Einführung in die Determinantentheorie: Einschließlich der Fredholmschen Determinanten [4., verb. Aufl. Reprint 2019] 9783111643151, 9783111260242

Table of contents :
Vorwort zur ersten Auflage
Vorwort zur zweiten Auflage
Vorwort zur dritten Auflage
Vorwort zur vierten Auflage
Inhalt
1.Kapitel: Historische Bemerkungen
2. Kapitel: Definition der n-reihigen Determinante
3. Kapitel: Einfachste Eigenschaften der Determinanten
4. Kapitel: Unterdeterminanten
5. Kapitel: Systeme linearer Gleichungen
6. Kapitel: Multiplikation von Matrizen und Determinanten
7. Kapitel: Determinanten, deren Elemente Minoren einer andern sind
8. Kapitel: Symmetrische Determinanten
9. Kapitel: Schiefsymmetrische Determinanten
10. Kapitel: Orthogonale Determinanten
11. Kapitel: Resultanten und Diskriminanten
12. Kapitel: Lineare und quadratische Formen
13. Kapitel: Funktionaldeterminanten
14. Kapitel: Wronskische und Gramsche Determinanten
15. Kapitel: Einige geometrische Anwendungen der Determinanten
16. Kapitel: Die linearen Integralgleichungen
17. Kapitel: Elementarteilertheorie
Literaturnachweise und Anmerkungen
Sachregister

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E i n f ü h r u n g in die D e t e r m i n a n t e n t h e o

Einführung in die

Determinantentheorie einschließlich der Fredholmschen Determinanten

Von

P r o f . D r . G e r h a r d K o w a l e w s k i "j"

Vierte, verbesserte Auflage

BERLIN

1954

W A L T E R D E G R U Y T E R & CO. vormals G. J . Göschen'sche Verlagshandlung • J . Guttentag, Verlagsbuchhandlung Georg Reimer • Karl J . Trübner • Veit & Comp.

Alle Hechte, einschließlich der Rechte der Herstellung von Photokopien und Mikrofilmen, von der Verlagshandlung vorbehalten Archiv-Nr. 123054

Printed in Germany • Satz und Druck: Oswald Schmidt GmbH., Leipzig 111/18/65

Vorwort zur ersten Auflage Dieses Buch ist aus Vorlesungen und Übungen entstanden, die ich während meiner mehr als zehnjährigen Lehrtätigkeit in Leipzig, Greifswald und Bonn gehalten habe. Dem entspricht die Begrenzung des Stoffs und die Art der Darstellung. Es soll hier eine E i n f ü h r u n g in eine große und wichtige Disziplin geboten werden, die in neuester Zeit durch Übertragung des Determinantenbegriffs ins abzählbar und ins kontinuierlich Unendliche noch erheblich angewachsen ist. Die F r e d h o l m s c h e n Determinanten, die für die linearen Integralgleichungen dieselbe Bedeutung haben wie die gewöhnlichen Determinanten für lineare Gleichungssysteme mit n Unbekannten, habe ich in der H i l b e r t schen Weise durch Grenzübergang aus gewöhnlichen Determinanten abgeleitet. Auf diesem Wege ergeben sich auch sehr einfach die F r e d h o l m schen Minoren und die Relationen zwischen ihnen, auf denen F r e d h o l m s Auflösung der linearen Integralgleichungen beruht. In dem Kapitel über unendliche Determinanten ist bei der Betrachtung der linearen Gleichungssysteme mit unendlich vielen Unbekannten auch die schöne Theorie dargestellt, die E r h a r d S c h m i d t für diese Systeme begründet hat. Ebenso wird am Schluß des Buches E. S c h m i d t s Behandlung der linearen Integralgleichungen in ihren Hauptpunkten entwickelt. Dieser Teil des Buches kann daher zur Einführung in das Studium der Integralgleichungen dienen, die sich unter den Händen H i l b e r t s zu einer der umfassendsten und bedeutsamsten mathematischen Theorien entwickelt haben. Am Schlüsse findet der Leser die hauptsächlichsten Literaturnachweise. Wünscht er eine vollständigere Bibliographie, so verweisen wir ihn auf den Artikel von E. N e t t o im ersten Bande der Enzyklopädie der mathematischen Wissenschaften oder auf das groß angelegte, ausgezeichnete Werk von T. M u i r : The theory of determinants in the historical order of its development, London 1906. B o n n , im April 1909. Gerhard Kowalewski

Vorwort zur zweiten Auflage Nachdem ein anastatischer Neudruck meines Buches vergriffen ist, hat die Verlagsbuchhandlung die Herstellung einer zweiten Auflage beschlossen, die sie jedoch nicht in erweiterter, sondern in verkürzter Form wünschte. Ich habe deshalb starke Streichungen vorgenommen. Z. B. ist das 13. Kapitel (Elementarteilertheorie) fortgefallen, das in modernisierter Form einen noch größeren Raum beansprucht hätte, das 16. Kapitel (Unendliche Normaldeterminanten), ebenso das 19. Kapitel, das sich zu sehr in die Einzelheiten der Theorie der Integralgleichungen verlor. Auch im 18. Kapitel ( F r e d h o l m s e h e Theorie) ist vieles gestrichen. Die Eigenart meines Buches, das von der Kritik seinerzeit sehr freundlich aufgenommen wurde, hat durch die vorgenommenen Änderungen keinerlei Einbuße erlitten, und ich hoffe, daß es auch in der jetzigen Gestalt, insbesondere den Studierenden, gute Dienste leisten wird. D r e s d e n , Mai 1924. Gerhard Kowalewski

Vorwort zur dritten Auflage Die zweite Auflage meines Determinantenbuches unterschied sich von der ersten hauptsächlich dadurch, daß die Fredholmsche Theorie auf einen etwas engeren Raum beschränkt wurde. Ich habe mich bei der Vorbereitimg der dritten Auflage nicht entschließen können, diese Kürzung wieder aufzuheben, zumal inzwischen im gleichen Verlag ein besonderes Buch über Integralgleichungen von mir erschienen ist. Eine zweite Änderung, welche die zweite Auflage gegenüber der ersten brachte, war die Fortlassung der Äquivalenztheorie von Büscheln bilinearer Formen, also die Elementarteilertheorie. Hierfür bietet die dritte Auflage Ersatz in einem besonderen Kapitel, wobei ich mich an ein von mir selbst stammendes Verfahren halte, das sich in meinen Vorlesungen sehr bewährt hat und zuerst in den Leipziger Akademieberichten 1917, S. 325—335, veröffentlicht wurde. Die unendlichen Determinanten, deren Theorie, abgesehen von der besonderen Klasse der Kochschen Normaldeterminanten, noch nicht recht geklärt ist, lasse ich auch diesmal beiseite. Meine Determinantentheorie gehört zu den zerlesensten und zerfetztesten Büchern der Seminarbibliotheken, wie ich von vielen Seiten höre und auch jetzt bei meiner Rückkehr auf die Prager Professur wieder feststellen konnte. Möchte auch die neue Auflage sich gleicher Beliebtheit erfreuen! P r a g , Januar 1942. Gerhard Kowalewski

Vorwort zur vierten Auflage Der Verfasser dieses Werkes, Prof. Dr. Gerhard Kowalewski, ist am 21. Februar 1950 aus dem Leben geschieden. Er hatte bis zuletzt-an der Neubearbeitung seiner Bücher, insbesondere der vorliegenden „Einführung in die Determinantentheorie" gearbeitet und diese bis zum Imprimatur besorgt. So ist es dem Verlag erfreulicherweise möglich, das allgemein sehr geschätzte Werk als Vermächtnis des Verstorbenen den Lernenden, deren Förderung ihm immer am Herzen lag, wieder zugänglich zu machen. Der Verlag

Inhalt 1.Kapitel: Historische Bemerkungen 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17.

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Definition der n-reihigen Determinante Einfachste Eigenschaften der Determinanten Unterdeterminanten Systeme linearer Gleichungen Multiplikation von Matrizen und Determinanten Determinanten, deren Elemente Minoren einer andern sind Symmetrische Determinanten Schiefsymmetrische Determinanten Orthogonale Determinanten Resultanten und Diskriminanten Lineare und quadratische Formen Funktionaldeterminanten Wronskische und Gramsche Determinanten Einige geometrische Anwendungen der Determinanten Die linearen Integralgleichungen Elementarteilertheorie

1 6 23 32 45 65 77 111 132 156 176 186 220 242 254 279 326

Literaturnachweise und Anmerkungen

343

Sachregister

346

Erstes

Kapitel

Historische Bemerkungen § 1. Die Determinanten bei L e i b n i z Leibniz kam auf die Determinanten bei Behandlung der Aufgabe, aus xn diese Unn + 1 linearen Gleichungen mit n Unbekannten xlt x2, bekannten zu eliminieren. Er führte eine sehr zweckmäßige Bezeichnungsweise ein, die im wesentlichen auch heute noch in der Determinantentheorie benutzt wird. Er schrieb nämlich die n + 1 Gleichungen in folgender Weise: 10 + 11 • Zj + 12 • x2 H b in • xn = 0, 20 + 21 • xx + 22 • x2 + • • • + 2n • xn = 0, 30 + 31 • x1 + 32 • x2 + • • • + 3« • xn = 0, Jeder Koeffizient ist hier durch zwei Indizes symbolisiert, von denen der erste die Gleichung, der zweite die Stelle innerhalb der Gleichung anzeigt. Im falle n = 1 findet man als Eliminationsresultat 10 -21 - 11 -20 = 0 ,

im Falle n = 2 10 • 21 • 32 + 11 • 22 • 30 + 12 • 20 • 31 - 10 • 22 • 31 - 11 • 20 • 32 - 12 • 21 • 30 = 0 und so fort. Leibniz gelangte durch Induktion zu einem allgemeinem Theorem, das er in einem Brief an den Marquis de l ' H o s p i t a l (vom 28. April 1693) ausspricht : „Datis aequationibus quotcunque sufficientibus ad tollendas quantitates, quae simplicem gradum non egrediuntur, pro aequatione prodeunte primo sumendae sunt omnes combinationes possibiles, quas ingreditur una tantum coefficiens uniuscunque aequationis; secundo eae combinationes opposita habent signa, si in eodem prodeuntis aequationis latere ponantur, quae habent tot eoefficientes communes, quot sunt unitates in numero quantitatuin tollendarum unitate minuto; caeterae habent eadem signa." Kowalewskij Determinanten

1

2

Erstes Kapitel: Historische Bemerkungen

Es seien beliebig viele Gleichungen gegeben, die zur Elimination der den ersten Grad nicht überschreitenden Unbekannten ausreichen. Um die resultierende Gleichung zu erhalten, hat man zunächst alle möglichen Kombinationen zu bilden, in die aus jeder Gleichung nur ein Koeffizient eingeht fd. h. die Produkte l r 0 • 2rt ... n + 1, /•„]. Bringt man dann in der resultierenden Gleichung alles auf eine Seite, so haben diejenigen Kombinationen entgegengesetzte Zeichen, die so viele gemeinsame Koeffizienten enthalten, als es Einheiten in der um 1 verminderten Zahl der zu eliminierenden Unbekannten gibt. Die übrigen haben dasselbe Zeichen. Wenn zwei Produkte lr0 •2r1...n + 1 ,rn undls0 • 2s1 ... n + 1, sn n — 1 gemeinsame Paktoren haben, so entsteht s0,s1, ...,sn aus r0,r1,..., r„ durch eine T r a n s p o s i t i o n , d. h. durch Vertauschung zweier Glieder. Das nach der L e i b n i z sehen Vorschrift gebildete Eliminationsresultat lautet also 2e-lr0-2rt...n + i,rn = 0. Die Summation erstreckt sich über alle (n + 1)! Permutationen r0, r1, ..., rn der Indizes 0, 1, ..., n, und s ist gleich + 1 oder — 1, je nachdem r 0 , rx, ..., rn aus 0, 1, . . . , n durch eine gerade oder ungerade Anzahl von Transpositionen hervorgeht. 2'e • lr0 • 2rx...

n +

i,rn

ist das, was wir heutzutage eine (n + l)-reihige D e t e r m i n a n t e nennen. § 2. Die Determinanten bei C r a m e r L e i b n i z fand nicht die Zeit, seine Erfindung, von deren großer Tragweite er bei verschiedenen Gelegenheiten spricht, weiter zu verfolgen. So geriet sie ganz in Vergessenheit. Als G a b r i e l C r a m e r , der Verfasser der „Introduction à l'analyse des lignes courbes algébriques" (1750), sich mit Systemen linearer Gleichungen beschäftigte, stieß er g a n z u n a b h ä n g i g von L e i b n i z noch einmal auf die Determinanten. Im Anhang seines großen Werkes zeigt er, wie man n lineare Gleichungen mit n Unbekannten durch Determinanten auflöst. Wir wollen die kurze Note hier vollständig wiedergeben : „Man habe mehrere Unbekannte 2, y, x, v,

§ 2. Die Determinanten bei Gramer

3

und ebenso viele Gleichungen A1 = Z1z + Y1y

+ X*x + V1v +

---,

A2 = Z2z + Y2y + X2x

+ V2v +

---,

A3 = Z3z + Y3y + X3x

+ V3v + •••,

Ai = Z4z + Y*y + X*x + V*v + • •

Dabei sollen die Buchstaben A1, A2, A3, A\

...

nicht, wie gewöhnlich, die Potenzen von A bedeuten, sondern die als bekannt vorausgesetzte linke Seite der ersten, zweiten, dritten, vierten, . . . Gleichung. Ebenso sind ZS Z V . . die Koeffizienten von z,

Y\

Y\...

V1,

V . . .

die von y, die von x ,

die von v, . . . in der ersten, zweiten, . . . Gleichung. Diese Bezeichnungsweise vorausgesetzt, hat man, wenn nur e i n e Gleichung mit e i n e r Unbekannten z vorliegt, Ai z = Z i " Sind zwei Gleichungen und zwei Unbekannte z und y da, so findet man _ A1 Y2 - A2 Y1 ZPi* - Z2Yl

Z —

und

Z'i'-Z'i

y — Zi y^z^y1

1

•

Sind d r e i Gleichungen und d r e i Unbekannte z, y und x da, so findet man z = yX =

AlY2 X3 Z1Y2X3 Z1 A2 X3 Z1 Y2 X3 -

A1 Y3 X2 - A2Y1X3 + A2Y3X1 + A3Y1X2 - A3 Y2 X1 Z1Y3X2Z2 Y1 X3 + Z2Y3X1 + Z3Y1X2 - Z3 Y2 X1' 1 2 3 Z A X — Z2 A1 X3 + Z2 A3 X1 + Z3 A1 X2 — Z3 A2 X1 ZiY3X2 — Z 2 y 1 X 3 + Z2Y"X1 + Z3Y1X2 - z 3 y 2 X 1 '

Z 1 y 2 X3 — Z1Y3X2

— Z2YLX3

+ Z2Y3X1

+ Z*Y1X*

— Z3Y2X1

'

Die Prüfung dieser Formeln liefert folgende allgemeine Regel. Die Anzahl der Gleichungen und der Unbekannten sei n. Man findet dann den Wert jeder Unbekannten, indem man n Brüche bildet, deren 1

4

Erstes Kapitel: Historisohe Bemerkungen

gemeinsamer Nenner ebenso viele Glieder hat, als es verschiedene Anordnungen von n verschiedenen Dingen gibt. Jedes Glied setzt sich aus den Buchstaben Z , Y , X , V,... zusammen. Sie werden immer in derselben Reihenfolge geschrieben. Man erteilt ihnen aber als Exponenten die n ersten Ziffern in allen möglichen Reihenfolgen. So hat, wenn drei Unbekannte da sind, der Nenner 1-2-3=6 Glieder; sie sind zusammengesetzt aus den drei Buchstaben Z , Y, X , die der Reihe nach die Exponenten 123, 132, 213, 231, 312, 321 erhalten. Man gibt diesen Gliedern die Zeichen + oder — nach folgender Regel. Wenn auf einen Exponenten in demselben Gliede mittelbar oder unmittelbar ein kleinerer Exponent folgt, so will ich dies ein D e r a n g e m e n t nennen. Man zähle nun bei jedem Gliede die Derangements. Ist ihre Anzahl gerade oder Null, so erhält das Glied das Zeichen + , ist sie ungerade, so erhält das Glied das Zeichen —. Z. B. gibt es in dem Gliede ZXY2

X3

kein Derangement. Dieses Glied erhält also das Zeichen + . Das Glied Z3Y^X2 hat auch das Zeichen + , weil es zwei Derangements aufweist, 3 vor 1 und 3 vor 2. Dagegen erhält das Glied Z3Y2Xi, das drei Derangements aufweist, 3 vor 2 , 3 vor 1 und 2 vor 1, das Zeichen —. Nachdem so der gemeinsame Nenner gebildet ist, erhält man den Wert von z, indem man diesem Nenner einen Zähler gibt, den man dadurch bildet, daß man in allen Gliedern Z in A verwandelt. Der Wert von y ist ein Bruch, der denselben Nenner hat und als Zähler eine Größe, die sich ergibt, wenn man in allen Gliedern des Nenners Y in A verwandelt. In ähnlicher Weise findet man den Wert der übrigen Unbekannten. Allgemein zu reden ist das Problem bestimmt. Aber es kann besondere Fälle geben, wo es unbestimmt bleibt, und andere, wo es immöglich wird. Das geschieht, wenn man den gemeinsamen Nenner gleich Null findet; d. h. bei nur zwei Gleichungen, wenn Z1Y2-Z2Y1

= 0,

v

bei drei Gleichungen , wenn Z 1 Y2 X3 - Z1 Y3 X2 - Z2 Y1X3 + Z2 Y3 X1 + Z3 Y1X2 - Z3 Y2 X1 = 0

§ 2. Die Determinanten bei Cramer

5

ist usw. Sind alsdann die Größen A1, A2, As, ... so beschaffen, daß auch, die Zähler gleich Null sind, so ist das Problem unbestimmt, denn die Brüche -y, die die Werte der Unbekannten geben müßten, sind unbestimmt. Wenn dagegen die Größen A1, A2, A3, ... so beschaffen sind, daß, während der gemeinsame Nenner gleich Null ist, die Zähler oder einige von ihnen nicht Null sind, so ist das Problem immöglich, oder es sind wenigstens die unbekannten Größen, die es lösen können, alle oder zum Teil unendlich. Hat man z. B. die beiden folgenden Gleichungen: 2 = 3 2 - 2 y, 5 = 6z — 4 y,

so findet man

z =

2

3

y=T-

Y '

z und y sind also unendliche Größen, die sich zueinander verhalten wie 2 zu 3. Rechnete man die Unbekannten nach den gewöhnlichen Methoden aus, so käme man auf die sinnlose Gleichung =

—

3

—

6 "

Denn die erste Gleichung gibt 2

,

2

und die zweite Also hat man

5

2 , -*y+

2 4 , 5 -*=-*v + ~6-

,

oder

T

2 5 "e~'

=

was ein Unsinn ist, wenn z und y endliche Größen sind. Wenn sie aber unendlich sind, so kann man ohne Sinnlosigkeit sagen, daß

und gleichzeitig

2

, 2

2

5

z = y y + -y 2

5

ist. Denn die endlichen Größen und sind im Vergleich zu den unend2 liehen Größen z und -g- y nichts. Die beiden Gleichungen z==Ty2

reduzieren sich also auf

, +2

T

u n d,

z=

9 z = -r- y ,

¥ y2+ , T5

u

eine Gleichung, die nichts Widersprechendes hat."

6

Zweites Kapitel: Definition der w-reihigen Determinante

Zweites Kapitel

Definition der w-reihigen Determinante § 3. Paarungen zwischen zwei Systemen von n Dingen Wir betrachten zwei Systeme von n Dingen. Der Leser stelle sich, um ein anschauliches Beispiel zu haben, n Herren und n Damen vor, die auf einem Balle sind. Wenn jedes Ding des einen Systems mit einem Ding des anderen Systems verbunden wird, also in unserem Beispiel jeder Herr eine Dame wählt, so wollen wir das eine P a a r u n g zwischen den beiden Systemen nennen. Eine solche Paarung kann man in folgender Weise bewirken. Man läßt die Herren in einer bestimmten Reihenfolge wählen. Der erste Herr hat dann die Auswahl unter n Damen, der zweite unter n — 1 und so fort. Der letzte Herr muß die zuletzt übriggebliebene Dame nehmen. Man sieht hieraus, daß es nl = 1 -2

...n

P a a r u n g e n zwischen den beiden Systemen gibt. § 4. Umpaarungen und Inversionen Den Übergang von einer Paarimg zu einer neuen wollen wir als eine U m p a a r u n g bezeichnen. Die einfachsten Umpaarungen sind solche, wo nur zwei Paare abgeändert werden, also nichts weiter geschieht, als daß zwei Herren ihre Damen austauschen. Umpaarungen dieser Art nennen wir T r a n s p o s i t i o n e n . J e d e U m p a a r u n g l ä ß t sich d u r c h eine Reihe von T r a n s p o sitionen herbeiführen. Will man von der Paarung zu der Paarung gelangen, so fasse man einen Herrn und eine Dame ins Auge, die bei , aber nicht bei ^P ein Paar bilden. Sie befinden sich also bei ^P in verschiedenen Paaren. Ändert man nur diese beiden Paare ab, so ist wenigstens schon eins von den neuen Paaren gewonnen. Sind noch nicht alle neuen Paare da, so setzt man das Verfahren fort. Nach höchstens n — 1 Schritten hat man die Paarung ^ erreicht. Wir wollen nun die Damen mit Rangnummern 1, 2, . . . , n versehen und zwei bestimmte Herren betrachten. Diese seien bei mit den Damen r und s, bei mit den Damen r bzw. s gepaart. Wenn die Differenzen r — s und r — s

7

§ 4. Umpaarungen und Inversionen

entgegengesetzte Zeichen haben, so wollen wir sagen, daß die betrachtete Herrenambe beim Übergange von zu ^ eine I n v e r s i o n erfährt. Um zu wissen, wie viele Inversionen bei einer Umpaarung stattfinden, muß man 1 jede der -y n (n — 1) Herrenamben darauf untersuchen, ob sie eine Inversion erleidet oder nicht. > > seien drei beliebige Paarungen. Bei der Umpaarung -> ^p2 gebe es aber ß Inversionen, y sei die Anzahl der Inversionen bei -> . Gibt es einen Zusammenhang zwischen a , ß und y ? Die Herrenamben zerfallen in folgende vier Klassen: 1. solche, die w e d e r bei ^P2 n o c h bei invertiert werden (d. h. eine Inversion erfahren), a 2. solche, die s o w o h l bei l s a u c h bei ^ 2 ^3> 3. solche, die z w a r n i c h t bei -> ^2> w o h l a b e r bei ^ 2 4. solche, die z w a r bei -> $>2> a b e r n i c h t bei invertiert werden. Sind zwei bestimmte Herren bei mit den Damen rv, sr verbunden (v = 1, 2, 3), so wird diese Herrenambe zur Klasse 1 oder 2 oder 3 oder 4 gehören, je nachdem - «i) (r2 - s2) > 0 und

{r2 - s2) (r3 -s3)>

0

oder ('I ~ «1) (r2 - s2) < 0

und

(r2 ~ s2) (r3 - s3) < 0

(/•1 ~ Sj) (r2 -s2)>

und

(r2 - s2) (r3 - s j < 0

oder 0

oder ('i ~ «i) (r2 - sg) < 0 und

(r2 - «2) (r3 -s3)>

0

Da (ri -

fo

- s2) • (r2 - s2) (r3 -

s3),

2

d. h. (rj — s,) (r3 — s3) (r2 — s2) stets das Zeichen von (r1 — st) (r3 — s3) hat, so ist bei Klasse 1 und 2 (ri-Sj)

{r3 — s3) > 0,

bei Klasse 3 und 4 ( f i - s 1) (r3 - s3) < 0. Es werden daher bei der Umpaarung ^ — n u r die Herrenamben invertiert, die zur Klasse 3 oder zur Klasse 4 gehören. Die Umpaarung —^2 invertiert nur die Herrenamben der Klassen 2 oder 4 und —> nur die Herrenamben der Klassen 2 und 3. Nennt man also kv die Anzahl aller Herrenamben der Klasse v, so gelten folgende Aussagen: * = ¿2 +

ß = h +

y = £3 + K'

8

Zweites Kapitel: Definition der n-reihigen Determinante

Hieraus folgt nun y = «

ß — 24*.

a + ß und y haben also eine gerade Differenz. Sie sind, wie man sagt, k o n g r u e n t m o d u l o 2. Man drückt dies durch die Formel aus: y= a+ ß

(mod. 2),

in Worten: y kongruent « + ß modulo 2. Betrachtet man vier Paarungen der Inversionen bei der Umpaarung -> bewiesenen Satzes

^ 4 und ist a ß t l die Anzahl , so gilt auf Grund des soeben

«12 + «23 + «34 = «13 + «34 = «14 Bei m Paarungen

,

•••>

«12 + «23 +

(mod. 2) .

hat man

1" «m-1, m ^ «Im

(mod. 2) .

Jetzt wollen wir annehmen, daß die m Umpaarungen ^ > 9V +1 Transpositionen sind. Dann sind alle «^ ungerade. Es gilt nämlich folgender Satz: Bei einer T r a n s p o s i t i o n f i n d e t i m m e r eine u n g e r a d e A n z a h l von Inversionen statt. Besteht die Transposition in der Austauschimg der Damen r und s (r < s), so erleiden folgende Herrenamben Inversionen: 1. Die Herren der Damen r und s, 2. die Herren der Damen k und r, sowie die Herren der Damen k und s , wenn r < k < s ist. Außerdem finden keine Inversionen statt. Die Gesamtzahl der Inversionen ist somit 1 +2(s-r1). Wenn wir also annehmen, daß die m Umpaarungen ^ , positionen sind, so haben wir: = 1

Trans-

(n = 1, 2, . . . , m),

mithin «i + «2 + ' ' • + «m ^

m

(mod. 2)

und auch a, = m

(mod. 2).

a, und m sind'demnach entweder beide gerade oder beide ungerade. Damit haben wir folgenden Satz gewonnen:

§ 6. Symbolische Darstellung der Paarungen

9

W e n n eine U m p a a r u n g sich d u r c h m T r a n s p o s i t i o n e n bew i r k e n l ä ß t , so i s t m g e r a d e o d e r u n g e r a d e , j e n a c h d e m d i e U m p a a r u n g eine gerade oder u n g e r a d e Anzahl von I n v e r sionen hervorbringt. Wir haben, um die Inversionen zu zählen, die D a m e n mit Nummern versehen und auf die Herrenamben geachtet. Ebensogut hätten wir natürlich die Herren numerieren und auf die Damenamben achten können. Es ist auch ganz gleichgültig, wie wir die Damen bzw. die Herren numerieren. Unser obiger Satz zeigt, daß die Inversionenzahl, durch 2 dividiert, immer denselben Rest (0 oder 1) gibt. Wenn eine Umpaarung eine gerade (ungerade) Anzahl von Inversionen mit sich bringt, wollen wir sie g e r a d e ( u n g e r a d e ) nennen. Dann können wir unser Resultat so aussprechen: Eine gerade U m p a a r u n g l ä ß t sich d u r c h eine g e r a d e , eine u n g e r a d e U m p a a r u n g nur d u r c h eine u n g e r a d e Anzahl von Transpositionen bewirken.

§ 5. Einteilung der Paarungen in zwei Klassen Wir können jetzt die n! Paarungen zwischen zwei Systemen von n Dingen in z w e i K l a s s e n einteilen. Wir rechnen und in dieselbe oder in verschiedene Klassen, je nachdem man von zu ^ durch eine gerade oder ungerade Anzahl Transpositionen gelangt*), je nachdem also die Umpaarung ^ gerade oder ungerade ist. 1 I n j e d e r K l a s s e g i b t es - ^ n l P a a r u n g e n . Vertauschen wir nämlich in jeder der n ! Paarungen zwei bestimmte Damen, so geht jede Paarung in eine Paarung anderer Klasse über. Zeichnet man eine Paarung aus und nennt sie die H a u p t p a a r u n g , so pflegt man alle Paarungen, die nicht in dieselbe Klasse gehören (also durch eine u n g e r a d e Anzahl Transpositionen aus ihr entstehen), als u n g e r a d e P a a r u n g e n zu bezeichnen, die anderen als g e r a d e .

§ 6. Symbolische Darstellung der Paarungen Um ein Symbol für eine Paarung zwischen zwei Systemen • • • > s n Permutationen von 1 , 2 , . . . , n sind. Die Bedeutung dieses Symbols ist, wenn wir wieder das Beispier der n Herren und n Damen benutzen, folgende: Herr r1 führt Dame s1, Herr r 2 führt Dame s2 usw. Für rl, r2, rn (oder Sj, s2, ..., sn) darf man eine beliebige Permutation von 1, 2, . . . , n setzen. slt s2, ..., sn (bzw. r1, r2, rn) ist dann aber durch die Paarung völlig bestimmt. So stellen z. B. im Falle n = 3 die Symbole / 1 2 3\ Ii 3 2\ /2 1 3\ ¡2 3 l \ / 3 1 2\ ¡3 2 l\ \3 1 2 / ' \ 3 2 1 / ' \ l 3 2 / ' \ 1 2 3 / ' \2 3 1 / ' \2 1 3/ dieselbe Paarung dar. Jedesmal steht nämlich unter 1 die 3, unter 2 die 1 und unter 3 die 2. Herr 1 führt also Dame 3, Herr 2 Dame 1, Herr 3 Dame 2. Schreibt man das Symbol einer Paarimg in der Form

so kann man auf Grund von §4 leicht angeben, ob sie mit der Paarung

bei der je zwei gleichbenannte Dinge gepaart sind, in dieselbe Klasse oder in verschiedene Klassen gehört. Es kommt darauf an, ob beim Übergänge von

eine gerade oder eine ungerade Anzahl von Inversionen eintritt. Die Herren H und v (¡i /y ist.

§ 6. Symbolische Darstellung der Paarungen

11

Man hat also nachzuzählen, wie oft in der Permutation rl

> r2j •••irn

eine kleinere Zahl auf eine größere mittelbar oder unmittelbar folgt oder wie viele Derangements im Sinne C r a m e r s (vgl. § 2 , S. 4) vorhanden sind. Statt Derangement sagt man auch F e h l s t a n d . Man pflegt eine Permutation g e r a d e oder u n g e r a d e zu nennen, je nachdem sie eine gerade oder ungerade Anzahl von Derangements aufweist. Die Paarung 1 2 . . . n\ r1ri... rnj i s t a l s o , wenn m a n 12 ...n 12...» als H a u p t p a a r u n g nachdem

zugrunde

l e g t , g e r a d e oder u n g e r a d e ,

je

r1, 7*2, ..., rn e i n e g e r a d e oder u n g e r a d e P e r m u t a t i o n i s t . Dasselbe gilt von der Paarung \1 2 Denn es ist gleichgültig, ob wir auf die Inversionen der Herrenamben oder der Damenamben achten. In Tj, r2, ..., rn gebe es g und in s,, s2, ..., sn gebe es a Derangements. Dann finden beim Übergange von 1 2 . . . n\ 1 2 ...

ZU

//*! r2 ... rn \l 2 . . . »

q Inversionen (von Damenamben) statt, beim Übergange von r2 ... rn\ ^ 1 2 . . . 71 / '

/ • • • f» s 2 . . . s„

dagegen o Inversionen (von Herrenamben). rx r2 ... r, Si ... sn i s t also g e r a d e oder u n g e r a d e , j e n a c h d e m g + a g e r a d e o d e r ungerade ist.

12

Zweites Kapitel: Definition der »-reihigen Determinante

§ 7. Andere Auffassung des Symbols Wir wollen jetzt eine andere Auffassung des Symbols J°2 • • • rn ,S1 s2 • • • sn,

auseinandersetzen, von der wir allerdings erst an einer späteren Stelle Gebrauch machen werden. Der Leser denke sich n Dinge mit den Nummern 1, 2, ..., n versehen. Den Übergang von einer solchen Numerierung zu einer neuen nennen wir eine Umnumerierung. Eine Umnumerierung ist im Grunde nichts anderes als eine Umpaarung. Denn eine Numerierung ist eine Paarung der n Dinge mit den Zahlen 1, 2, . . . , n, eine Umnumerierung also in der Tat eine Umpaarung. Um eine Umnumerierung zu beschreiben, muß man sagen, durch welche neue Nummer jede alte e r s e t z t wird. Setzen wir unter jede Nummer die neue Nummer, die an ihre Stelle tritt, so erhalten wir das Symbol

Dieses stellt also jetzt eine Umnumerierung oder U m p a a r u n g dar, während es früher der Ausdruck für eine P a a r u n g war. Da eine Umnumerierung darin besteht, daß für jede alte Nummer eine neue substituiert wird, so pflegt man diese Operation eine S u b s t i t u t i o n in 1, 2, . . . , tl zu nennen. In dem Symbol einer Substitution (Umnumerierung, Umpaarung) darf man die Spalten

beliebig vertauschen. Denn es kommt nur darauf an, daß unter jeder Zahl der oberen Zeile (des Zählers der Substitution) in der unteren Zeile (dem Nenner der Substitution) die richtige Zahl steht. Man kann daher eine Substitution so schreiben, daß ihr Zähler oder ihr Nenner eine vorgeschriebene Permutation von 1 , 2 , . . . , n ist. Man bezeichnet Substitutionen durch einzelne Buchstaben, wie S, T u. dgl. Nimmt man zuerst die Substitution*)

*) Unter A, B, C sind Perimitationen von \, 2 , . . . , n zu verstehen.

§ 7. Andere Auffassung des Symbols einer Paarung

13

vor, darauf die Substitution

so ist das Resultat dasselbe, wie bei der Substitution

Diese Substitution nennt man das frodukt von S und T (in dieser Reihenfolge) und bezeichnet sie mit S T . Es ist nicht immer ST = TS,

d. h. S und T sind nicht immer vertauschbar. Dies zeigt das Beispiel o / 1 2 3 4 5\ \2 1 4 5 3/

r =

/1 2 3 4 5\ \2 3 4 5 1/ '

Hier ist nämlich f l 2 3 4 5\ ¡2 1 4 5 3 '2 1 4 5 3/ \3 2 5 1 4

CT aber TO

.

Ii 2 3 4 5\

\3 2 5 1 4/'

f l 2 3 4 5\ /2 3 4 5 1\ ) - ( Ii 2 3 4 5 '2 3 4 5 1/\1 4 5 3 2/

\l 4 5 3 2/'

Dagegen gilt für drei Substitutionen S, T, U die Formel (S T) U = S(T U).

Um dies zu erkennen, schreibe man Dann ist

und

Es gibt eine und nur eine Substitution E, für die SE = S

und ES = S

14

Zweites Kapitel: Definition der n-reihigen Determinante

ist, wie man auch die Substitution S wählen mag. Es ist dies die Substitution 1 2 . . . n\ 12...«/' die darin besteht, daß jede der n Zahlen durch sich selbst ersetzt wird. Man nennt sie die I d e n t i t ä t . Wo sie als Faktor auftritt, kann man sie streichen. Man benutzt deshalb für sie das Symbol 1. Zu jeder Substitution S gibt es eine Substitution S so, daß SS- = 1 ist. Schreibt man

soll

sein. Daraus ergibt sich

Offenbar ist auch

55 = 1. Man nennt S und S zueinander i n v e r s e Substitutionen. Die zu S inverse Substitution pflegt man mit zu bezeichnen. Man bemerke, daß (ST)'1 = r 1 ist, weil STT~1S-1

= SS~1 = 1.

Diese Bemerkung dehnt sich ohne weiteres auf Produkte von mehr als zwei Substitutionen aus. Wir sagen, daß die Substitution S den Z y k l u s (rir2...rp) enthält, wenn sie r1 durch r 2 , r2 durch r3, rp_t durch rp, rp

durch rx

§ 7. Andere Auffassung des Symbols einer Paarung

15

ersetzt oder, wie man auch sagt, r l t ..., r p z y k l i s c h v e r t a u s c h t . r1, r-2, ••., r p heißen die E l e m e n t e des Zyklus. Man denke sich die Zeile > r2 > • • • > r p s o gebogen, daß ein Kreis entsteht (Abb. 1 zeigt dies f ü r

Abb. 1.

den Fall p = 6). Durchlaufen wir den Kreis in geeignetem Sinne, so folgt auf jede Zahl gerade die, welche bei S an ihre Stelle tritt. So erklärt sich der Name Zyklus. Es ist klar, daß die Zyklen {rir2

... rp_x r p ) ,

(r2r3

...,

{ r p r i . . . r/,_2

r

p-i)

identisch sind. Wird bei S die Zahl r durch r ersetzt, so sagen wir, daß S den e i n g l i e d r i g e n Zyklus (r) enthält. Wenn S den Zyklus ( r t r 2 ... r p ) enthält, so enthält den Zyklus ( r p rp— I • • • ^I)-

Es ist leicht, alle Zyklen zu finden, die in einer gegebenen Substitution stecken. Wir zeigen dies an dem Beispiel 5 = Hier wird 1 durch 1 ersetzt. S enthält also den eingliedrigen Zyklus (1). Ferner wird bei S 2 durch 4 , 4 durch 3 , 3 durch 2 ersetzt. S enthält also den dreigliedrigen Zyklus (2 4 3). Endlich wird bei S 5 durch 7 ,

7 durch 8 ,

8 durch 6 ,

6 durch 5

ersetzt. S enthält also auch den viergliedrigen Zyklus (5 7 8 6). Wir können den Zyklus {ryr± ...rp) als eine Substitution in 1, 2, . . . , n betrachten, die darin besteht, daß r t , r2, ..., r p zyklisch vertauscht und die übrigen Zahlen durch sich selbst ersetzt werden. Ein eingliedriger Zyklus (r) bedeutet dann nichts anderes als die Identität. Bei dieser Auffassung gilt folgender Satz: J e d e S u b s t i t u t i o n i s t d a s P r o d u k t ihrer Zyklen. So ist z. B. 12 3 4 5 6 7 8 14 2 3 7 5 8 6

16

Zweites Kapitel: Definition der ra-reihigcn Determinante

das Produkt von (1),

(2 4 3),

(5 7 8 6),

und die zu ihr inverse Substitution 1 2 3 4 5 6 7 8\ 1 3 4 2 6 8 5 7/

das Produkt von

(1),

(3 4 2),

(6 8 7 5).

Man darf die Zyklen, da ihre Elemente durchweg verschieden sind, in beliebiger Reihenfolge nehmen. Sonst aber ist diese Zerlegung einer Substitution in Zyklen eindeutig. Einen zweigliedrigen Zyklus wie (r, s) nennt man eine T r a n s p o s i t i o n . Bei ihr wurden die beiden Zahlen r und s vertauscht und alle übrigen Zahlen durch sich selbst ersetzt. Der Zyklus {rxr2 ... rp) ist im Falle p > 1 das Produkt der p — 1 Transpositionen (W), (/Vs). •••, (Vp) in dieser Reihenfolge. In der Tat wird r1 bei (z^rg) durch rz ersetzt und die folgenden Transpositionen lassen r2 unberührt. r2 wird bei (rxr2) durch r1 ersetzt und r1 bei (r1/,3) durch r3. Bei den folgenden Transpositionen bleibt r3 unberührt. An die Stelle von r 2 tritt also ra usw. Sind Cj, C2, ..., Cr die Zyklen der Substitution S und besteht Ce aus nQ Elementen, so läßt sich S als Produkt von («! - 1) + («2 - 1) + • • • + («r - 1) Transpositionen darstellen. In § 4 sahen wir, daß eine Umpaarung sich durch eine Reihe von Transpositionen bewirken läßt und daß die Anzahl dieser Transpositionen entweder immer gerade oder immer ungerade ist. Die Umpaarungen zerfielen dementsprechend in zwei Klassen, gerade und ungerade. Das gilt nun auch von den Substitutionen, und wir sehen aus dem Obigen, daß die vorhin betrachtete Substitution S gerade oder ungerade ist, je nachdem die Summe £(ne — 1) gerade oder ungerade ist. (ne — l) ist gleich N —r, wobei N die Gesamtzahl der Elemente ist, die in den r Zyklen von S vorkommen. Es ist gleichgültig, ob man die eingliedrigen Zyklen mitberücksichtigt oder nicht. Daß die Zahl der Transpositionen, in die sich eine- Substitution S zerlegen läßt, entweder immer gerade oder immer ungerade ist, läßt sich auch ohne Bezugnahme auf die früheren Paragraphen in folgender Weise zeigen. Man bemerke, daß (/Va ...rp)

{s^s2 ...sq)

(r^)

= (rt ... r^

...sq)

§ 8. Die re-reihige Determinante

17

uüd ... rvsx ...st)

(r^i)

(r^

...rp) (s^

...sg).

Hieraus folgt, daß S T, wenn S irgendeine Substitution und T eine Transposition ist, e i n e n Z y k l u s m e h r oder e i n e n Z y k l u s w e n i g e r besitzt als S . Dabei muß man aber auch alle eingliedrigen Zyklen mitrechnen. Nun sei S= TxT2 ... Tv, und Tx, T2, ••., Tp seien Transpositionen. Da jede Transposition zu sich selbst invers ist, so hat man O

— rp' j Jrp p—l • • •rp 1 1 ;

_

also S Tp Tp_ j ... T 1 = 1. S habe k Zyklen. Dann hat S Tp Tp_1 ...T1 k + ei + e 2 4 + ep Zyklen, wobei ei = 1, e 2 = 1, ..., ep = l

(mod. 2)

ist, weil jedes e gleich + 1 oder — 1. Es wird daher k + el + e2

h ep = k + p.

Da S Tp Tp_1 ... T1 die Identität ist, also n eingliedrige Zyklen hat, so ist k + 6! + s2 +

b ep = n,

n = k + p

p = n — k.

mithin oder

Hieraus sieht man, daß p entweder immer gerade oder immer ungerade ist, wie man auch S in Transpositionen auflösen mag. § 8. Die n-reihige Determinante 2

Wir betrachten n Zahlen, die in quadratischer Anordnung vorliegen. Bezeichnen wir mit a r s die Zahl, die in der r t e n Zeile und in der s t e n S p a l t e steht, so haben wir folgendes Schema: « u a12 ... a l n a

21 a22 ••• a2n

a

Kowalewski, Determinanten

nlan2

••• ann-

2

18

Zweites Kapitel : Definition der »-reihigen Determinante

Man nennt ein solches Schema eine quadratische M a t r i x . M a t r i x bedeutet soviel wie V e r z e i c h n i s . Man denke an Matrikel und Immatrikulieren. Die ars heißen die E l e m e n t e der Matrix. Wir wollen jetzt eine Paarung zwischen den Zeilen und Spalten der Matrix vornehmen. Jedes Paar von ^p bestimmt ein Element der Matrix, nämlich das Element, das in der Zeile und in der Spalte des Paares steht. Ist z. B. die r t e Zeile mit der s t e n Spalte gepaart, so bestimmen beide das Element a r s . Mit pity) werde das Produkt der n Elemente bezeichnet, die durch die n Paare von bestimmt werden. Da es n\ Paarungen zwischen den Zeilen und Spalten unserer Matrix gibt, so sind nl Produkte p (^P) vorhanden. Unter dem Symbol sgn^), welches man „Signum lesen möge, soll + 1 verstanden werden, wenn ^ eine gerade, und —1, wenn eine ungerade Paarung ist. Als Hauptpaarung legen wir dabei Ii 2 . . . n \ \l2...n) zugrunde, d. h. die Paarung, bei welcher jede Zeile mit der gleichnamigen Spalte gepaart ist. Wir versehen jetzt jedes mit dem Faktor sgn und nennen die Summe aller Produkte sgn die D e t e r m i n a n t e unserer Matrix, n heißt die O r d n u n g der Determinante. Für diese Determinante benutzt man nach C a y l e y die Bezeichnung «11 «12 . • «1» «21 «22 • • «2 n «m «n 2 • • «rt n

Es ist also

au «12 • • «in «21 «22 • • a2n a

n 1 an 2 •• • «»71 wobei sich die Summation über alle n! Paarungen zwischen den Zeilen und Spalten der Matrix erstreckt.

§ 9. Andere Fassungen der Definition

19

Die einzelnen Produkte sgn •p heißen die G l i e d e r der Determinante. Ausführlich geschrieben lautet ein solches Glied sgn

S-i 5*o . . . S~

Die Paarung, zu der es gehört, ist rx r2 ... r, 6't •>2 So •...• •S.°nl Die r x t e Zeile ist mit der Sj t e n Spalte, die r 2 t e Zeile mit der s 2 t e n Spalte gepaart usw. Das zu der Hauptpaarung Ii 2 . . . n\ \l2...n) gehörige Glied, welches a

ll «22 • • • «n»

lautet, nennt man das H a u p t g l i e d der Determinante und an, a22, ..., die H a u p t e l e m e n t e . C a u c h y benutzt für die Determinante

ann

«1 n

«11 «12 •

•

«21 «22 •

• «2 n

«nl Ctn 2 . • «nn das Symbol 2 ±

ßll

«22 • • • «n n •

Wenn in jeder Zeile und in jeder Spalte nur ein Element von Null verschieden ist, so reduziert sich die Determinante auf ein einziges Glied, nämlich das Produkt jener Elemente mit dem zugehörigen Vorzeichen. Z. B . ist «11 0 . . 0 0 «22 • . 0 0

0

«11 «92 ••• «w.

. • Llnn

§ 9. Andere Fassungen der Definition Man kann die Glieder der w-reihigen Determinante in der Form sgn schreiben.

Ii

2 ... /i

V i r2 • •. rn

«I»1! «2r2 • • • «n 2*

20

Zweites Kapitel: Definition der »-reihigen Determinante Nun wissen wir aus § 6, daß sgn

Ii 2 . . . n

W r2 ... rn gleich + 1 oder —1 ist, je nachdem die Permutation rl > r2 > • • • i rn gerade oder ungerade ist. Man kann daher die «-reihige Determinante auch definiereil als die über alle Permutationen von 1 , 2 , ..., n erstreckte Summe

2 sgn (r t , r 2 , . . . , rn)

a1Tia2u...

anTn.

Dabei soll s g n ( r i>

r2,

...,rn)

gleich + 1 oder —1 sein, je nachdem rlt r2, ..., rn eine gerade oder ungerade Permutation ist. r1, r2, •••, rn ist eine gerade oder ungerade Permutation, je nachdem sie eine gerade oder ungerade Anzahl von Derangements aufweist. Diese Definition der Determinante ist genau die von L e i b n i z (vgl. § 1). Nur benutzt er eine andere Regel zur Bestimmung von sgn {rltr2, ... ,rn). Vertauscht man in , r2, ..., rn zwei Glieder, so wechselt die Paarung Ii 2 . . . n Vi

r2...rn

ihre Klasse, sgn(r l t r2, ..., rn) geht also über in - sgn (rx, r2, ...,

rn).

Hieraus entspringt die L e i b n i z s c h e Regel, daß zwei Produkte airia2n...

anTn

und

a1Sia2Si

...

anSn,

die n — 2 gemeinsame Faktoren haben, in der Determinante mit verschiedenen Zeichen auftreten. Man kann die Glieder der w-reihigen Determinante auch in folgender Form schreiben ^12

...n,

Die Paarung ( f i r2 . . . rn \1 2 . . . « ist gerade oder ungerade, je nachdem rl> r2>

• • • > rn eine gerade oder ungerade Permutation ist (vgl. § 6).

§ 10. Zweireihige und dreireihige Determinanten

21

Die w-reihige Determinante läßt sich also definieren als die über alle Permutationen von 1 , 2 , ..., n erstreckte Summe rn)

' arx

1

« r

2

2

• • • arnn

•

Das ist die Definition von Cramer (vgl. § 2). § 10. Zweireihige und dreireihige Determinanten

Im Falle n = 2 gibt es zwischen den Zeilen und Spalten nur die beiden Paarungen (I2)

(2?)

Und

Die erste ist gerade, die zweite ungerade. Zu der ersten gehört das Glied «11 «22 >

zu der zweiten das Glied — fiti2a21 in der Determinante. Man hat also «11 «12 = flu a0 «21 «22 Die Regel zur Berechnung einer zweireihigen Determinante können wir durch nebenstehende Figur veranschaulichen. # Die starklinig verbundenen Glieder geben ein Produkt, vor welches das Zeichen +, die punktiert verbundenen Glieder ein Produkt, vor welches das Zeichen — zu setzen ist. Im Falle n = 3 gibt es sechs Paarungen zwischen den Zeilen und Spalten, nämlich folgende: Abb. 2. 1 23 123

123 132

123 231

123 2 13

123 3 12

1 23 3 21

« 1 1

« 1 2 « 1 3

« 2 1

« 2 2

S CO

Wir haben sie so aufgeschrieben, daß zwei benachbarte durch eine Transposition auseinander hervorgehen, mithin verschiedenen Klassen angehören. Für die dreireihige Determinante gilt also folgende Formel:

« 3 2 « 3 3

« 1 1 « 2 2

« 3 3

+ « 1 2

« 2 3 « 3 1

+ « 1 3 « 2 1

« 3 2

« 1 3 « 2 2

« 3 1

« 2 3 —

a

n

« 2 3

« 3 2

« 1 2

« 2 1

« 3 3

22

Zweites Kapitel: Definition der »-reihigen Determinante

Die Regel zur Berechnimg einer dreireihigen Determinante läßt sich auch durch eine Figur veranschaulichen (Abb. 3). Wieder sind die Glieder w

.

Y " V

•

W

Abb. 3.

stark verbunden, deren Produkt das Zeichen + erhält, und die Glieder punktiert verbunden, deren Produkt das Zeichen — erhält.

§ 11. Beispiele. Der Leser zeige durch Ausrechnen, daß 1 a = A 1 + «92 —a 1 und 1 c -b = 1 + a 2 + 6 2 + c8 - e i a b -a 1

ist. Er verifiziere ferner, daß 1 -1 a2 0 -1

0 1 a3

1 a.

21 ¿22 ••• f>2n bnl bn2 • • • b n n mögen in solcher Beziehung zueinander stehen, daß immer Ks = asr ist. Die Äte Zeile der einen Matrix ist also identisch mit der Äten Spalte der andern. Um die eine Matrix aus der andern zu erhalten, muß man deren Zeilen als Spalten aufschreiben. Die Umwandlung der Zeilen in Spalten und der Spalten in Zeilen läßt sich dadurch bewirken, daß man die Matrix um die Hauptdiagonale (d. h. die von links oben nach rechts unten laufende Diagonale) h e r u m k l a p p t . Da die Zeilen und Spalten der ersten Matrix die Spalten bzw. Zeilen der zweiten Matrix sind, so ist jede Paarung zwischen Zeilen und Spalten der ersten zugleich eine Paarung zwischen Zeilen und Spalten der zweiten, und sgn hat in beiden Fällen denselben Wert; denn die Hauptpaarung der ersten Matrix, die darin besteht, daß jede Zeile mit der gleichnamigen Spalte gepaart wird, ist auch die Hauptpaarung der zweiten. Jedes Glied der Determinante «11 «12 • • «1 n «21 «22 • •• «2« «n 1 «n 2 •

. &nn

24

Drittes Kapitel: Einfachste Eigenschaften der Determinanten

ist also ein Glied der Determinante £>11 ¿12 b 21 ¿>22 bn 1 bn2 • • - bnn d. h. beide Determinanten sind gleich. S a t z 1. W e n n die Z e i l e n u n d S p a l t e n e i n e r D e t e r m i n a n t e m i t d e n S p a l t e n bzw. Z e i l e n e i n e r a n d e r n d e r R e i h e n a c h i d e n t i s c h s i n d , so h a b e n b e i d e D e t e r m i n a n t e n d e n s e l b e n W e r t . Anders ausgedrückt: Die D e t e r m i n a n t e b l e i b t u n g e ä n d e r t , w e n n m a n die M a t r i x um die H a u p t d i a g o n a l e h e r u m k l a p p t . Der obige Satz ermöglicht es uns, jedes Theorem, das wir über die Zeilen einer Determinante beweisen, sofort auf die Spalten zu übertragen und umgekehrt. § 13. Yertauschung der Zeilen Wir betrachten wieder zwei Matrizen: an a12 ... aln a

21 a22 ••• a2n

a

nl an2 •• • ®nn

und bn bl2

...bln

£>21 £>22 • • • £>2 n bnl £>k2 •••bnnDie zweite gehe aus der ersten d u r c h V e r t a u s c h u n g z w e i e r Z e i l e n hervor, etwa der t-*611 und der s t e n . Jede Paarung zwischen Zeilen und Spalten der ersten Matrix ist zugleich eine Paarung zwischen Zeilen und Spalten der zweiten Matrix. Aber sgn^p ist in dem einen Falle + 1 , im andern —1. Denn die Hauptpaarung der ersten Matrix ist n i c h t die Hauptpaarung der zweiten. Um sie in die Hauptpaarung der zweiten Matrix überzuführen, muß man die rte ünd die ste Zeile vertauschen, d. h. eine Transposition vornehmen. Die beiden Hauptpaarungen gehören also verschiedenen Klassen an, und aus diesem Grunde ist sgn das eine Mal + 1 , das andere Mal —1.

§ 14. Die Determinante als Funktion der Elemente einer Zeile

25

Wir sehen, daß jedes Glied der Determinante «11 «12 • • «1 n «21 «22 • • «2 n «711 «»2 • • «Tin wenn man es mit dem Faktor —1 versieht, ein Glied der Determinante

bn ¿>12 • bin b2i &22 • • bin •

bn 1bn 2. • bnn wird. Beide Determinanten sind also entgegengesetzt gleich. S a t z 2. D i e D e t e r m i n a n t e m u l t i p l i z i e r t sich m i t dem F a b t o r — 1, wenn m a n in der M a t r i x zwei Z e i l e n v e r t a u s c h t . Nimmt man in der Matrix eine beliebige Vertauschung der Zeilen vor, so multipliziert sich die Determinante mit dem Faktor + 1 oder —1, je nachdem die Vertauschung eine gerade oder ungerade ist, d. h. je nachdem sie sich durch eine gerade oder ungerade Anzahl sukzessiver Vertauschungen von nur zwei Zeilen bewirken läßt*). Auf Grund von § 12 gilt dasselbe für die Spalten. S a t z 3. W e n n in der M a t r i x zwei Z e i l e n so i s t die D e t e r m i n a n t e g l e i c h Null.

übereinstimmen,

Ist die Determinante gleich D, so erhalten wir durch Vertauschung der beiden übereinstimmenden Zeilen —D. Andererseits aber wird durch die Vertauschung dieser beiden Zeilen nichts an der Determinante geändert. Es ist also d. h. .D = 0 . § 14. Die Determinante als Funktion der Elemente einer Zeile Nach der Definition ist die Determinante «11 «12 • • «1 n «21 «22 • • «2 71 «ili «71 2 • . «»71 *) Eine Vertauschung und eine Substitution (vgl. § 7) ist dasselbe.

26

Drittes Kapitel: Einfachste Eigenschaften der Determinanten

gleich rn) alri

a2r,

• • • anrn t

wobei sich die Summation über alle Permutationen r^,r2, rn der Zahlen 1 , 2 , . . . , « erstreckt. Man sieht, daß jedes Glied der Determinante ein und nur ein Element aus der Äten Zeile als Faktor enthält. In dem Produkt alr

x

ß2r

2

• • • anrn

ist nämlich nur der Faktor a k r der k t e n Zeile entnommen. Wir wollen nun die Elemente der Äten Zeile als Veränderliche betrachten und sie der Reihe nach mit Xi, X2 , ...,

xn

bezeichnen. Die übrigen Elemente sollen Konstanten sein. Fassen wir alle Glieder, die mit demselben x multipliziert sind, zusammen, so läßt sich die Determinante so schreiben:

+ ••• +^n x n • Die c sind dabei Konstanten. Man nennt einen solchen Ausdruck in x1, x2, ..., xn eine l i n e a r e homogene F u n k t i o n von x1} x2, ..., xn. Es gilt also folgender Satz: S a t z 4. Die D e t e r m i n a n t e i s t eine l i n e a r e h o m o g e n e F u n k t i o n der E l e m e n t e j e d e r Zeile. Hieraus lassen sich verschiedene Folgerungen ziehen. Wenn bezüglich durch Xxx, Xx2, •••, Xxn ersetzt, wobei X eine beliebige Zahl ist, so verwandelt sich

+ ••• + in X(c1xx + c2x2 + ••• +

cnxn).

Darin liegt folgender Satz: S a t z 5. M u l t i p l i z i e r t m a n a l l e E l e m e n t e e i n e r Z e i l e m i t dem F a k t o r X, so m u l t i p l i z i e r t s i c h a u c h die D e t e r m i n a n t e m i t dem F a k t o r X. Setzt man A = 0, so ergibt sich, d a ß e i n e D e t e r m i n a n t e , b e i d e r eine Z e i l e aus l a u t e r N u l l e n b e s t e h t , s e l b s t g l e i c h N u l l i s t . Wenn xl

= Vi + zl> x2 = Vi + z2,

Hn + zn

§ 14. Die Determinante als Funktion der Elemente einer Zeile

27

ist, so wird C±Xt + c2x2 +

1- cnx„

gleich der Summe von Wi

und

+c2y2+

••• + cnyn

C^j + c 2 z 2 -I

h cnzn. ten

S a t z 6. W e n n a l l e G l i e d e r d e r ft Zeile B i n o m e s i n d , so l ä ß t sich die D e t e r m i n a n t e als Summe zweier D e t e r m i n a n t e n schreiben. Man erhält den einen S u m m a n d e n durch Streic h u n g der e r s t e n , den a n d e r n d u r c h S t r e i c h u n g der zweiten Bestandteile jener Binome. Ein ähnlicher Satz gilt, wenn die Glieder der ftten Zeile oder die der Ä ten Spalte (vgl. § 12) Summen von p Zahlen sind. B e i s p i e l . Die Determinante a a -bb', c a' -db',

ac'+bd' cc' + dd'

ist nach Satz 6 gleich aa ac ca' + db' cc'+ dd'

bb' bd' ca' + db' cc' + dd'

J e d e dieser beiden Determinanten läßt sich aber wieder nach Satz 6 zerlegen. Man findet also f ü r die ursprüngliche Determinante aa' ca'

ac' cc

aa' ac

bb'

bb' bd'

bd'

+ db' dd' + ca' cc' + db' dd'

Unter Benutzung von Satz 5 läßt sich diese Summe so schreiben: ac

, , + ad

b'd'

+ bc

+ bd |

b'd'

Nach Satz 3 hat man aber b'd' b'd'

a' c a'c'

= 0.

Da ferner nach Satz 1 und 2 ab' cd'

a'c' b'd'

b'd' a'c

ist, so ergibt sich schließlich aa' + bb', ca'+db',

ac'-\-bd'\ cc'+dd' |

ab cd

a * bz. * c'd'

Drittes Kapitel: Einfachste Eigenschaften der Determinanten

28

W i r wollen m i t x1, x2, ..., mit

xn (wie bisher) die E l e m e n t e d e r & t e n Zeile, yi,y2,---,yn

dagegen die E l e m e n t e einer a n d e r n Zeile bezeichnen. E r s e t z e n wir in d e r D e t e r m i n a n t e , die, wie wir wissen, gleich c1x1 + c2x2 + • •• + c„a; K ist, x1, x.j, ..., xn bezüglich d u r c h xx + Xylt

x2 + Xy2,

...,

xn +

Xyn,

so verwandelt sie sich in clx1 + c2x2 + c

c

h cnxn

+ X(c1y1 + c2y2 +

b

cnyn).

c

i Vi + 2 2/2 + ' " + n Vn e n t s t e h t aber aus Cj + c2 x2 + • • • + cn xn, i n d e m m a n die E l e m e n t e der A t e n Zeile d u r c h die entsprechenden E l e m e n t e einer a n d e r n Zeile ersetzt. T u t m a n dies, so erhält m a n eine D e t e r m i n a n t e m i t zwei übereinstimmenden Zeilen, die n a c h Satz 3 gleich Null ist. D a m i t h a b e n wir folgenden Satz bewiesen: S a t z 7. A d d i e r t m a n z u d e n E l e m e n t e n e i n e r Z e i l e d i e m i t A multiplizierten entsprechenden E l e m e n t e einer andern Zeile, so b l e i b t die D e t e r m i n a n t e u n g e ä n d e r t . Derselbe Satz gilt n a c h § 12 f ü r die Spalten. Addiert m a n zu den E l e m e n t e n einer Zeile die m i t k multiplizierten Elem e n t e einer zweiten, die m i t /j, multiplizierten E l e m e n t e einer d r i t t e n Zeile usw., so bleibt die D e t e r m i n a n t e u n g e ä n d e r t . Der Beweis ergibt sich d u r c h mehrmalige A n w e n d u n g des Satzes 7.

§ 15. Stetigkeit der Determinante Aus der Definition der D e t e r m i n a n t e sehen wir, d a ß sich au z> =

«12 • • «1 n «21 «22 • • «2 n a

nl

«712 • • «raw

aus den E l e m e n t e n ars d u r c h Multiplikation, Addition u n d S u b t r a k t i o n zusammensetzt. D a r a u s ergibt sich folgender S a t z : S a t z 8. A u s lim ars = ärs (r, s = 1 , 2 , ..., n) folgt immer «11 «12 • • «1 n • «2 n lim «21 «22 • a n 1 «n 2 •

•

«n n

=

«11 «12 • • «1 n «21 «22 • • «2 n «711 «n 2 •

29

§15. Stetigkeit der Determinante

Um diesen Satz zu beweisen, braucht man sich nur an die Bedeutung des L i m e s zu erinnern. lim xn — x will s a g e n , d a ß f a s t a l l e xn von x um w e n i g e r a l s e d i f f e r i e r e n , wie a u c h das p o s i t i v e e g e w ä h l t sein mag. „Fast alle" bedeutet „alle mit einer endlichen Anzahl von Ausnahmen". Wenn lim xn = x und lim yn = y ist, so wird lim [xn + yn) = x + y und lim (x n y n ) = xy. Ähnliches gilt für eine beliebige endliche Anzahl von Summanden und Faktoren. Dies genügt aber zum Beweise des Satzes 8. Von Wichtigkeit ist für uns folgende Eigenschaft: S a t z 9. E i n e v e r s c h w i n d e n d e D e t e r m i n a n t e l ä ß t sich als G r e n z w e r t e i n e r F o l g e von N u l l v e r s c h i e d e n e r D e t e r m i n a n t e n darstellen. Wir wollen die Determinante au + a21 nl

a

xa12 ^22 Ctn

• am X . • a2 n

2

• ^n n

X

betrachten, die aus D dadurch entsteht, daß zu den Hauptelementen x addiert wird. Von den n! Gliedern der Determinante D (x) enthält nur das Hauptglied (au + x) (a22 + x)...

{ann + x)

in jedem Faktor ein x. Daraus geht hervor, daß D (x), wenn man alle Klammern beseitigt, folgende Gestalt annimmt: D(x) = xn + h1xn~'i -\

VK-

hlt h2, ..., hn setzen sich aus den Elementen ars durch die Operationen der Addition, Subtraktion und Multiplikation zusammen. In der Algebra wird bewiesen, daß D(x) höchstens für n Werte von x gleich Null ist. Nimmt man also eine nach Null konvergierende Folge x1, x2, x3, . . . mit lauter verschiedenen Gliedern, so gibt es in der zugehörigen Folge Z ) ^ ) , ! » ^ ) , / ) ^ ) , ...

30

Drittes Kapitel: Einfachste Eigenschaften der Determinanten

höchstens n verschwindende Glieder. Nach Satz 8 ist nun lim D (xp) = D. Streicht man diejenigen D(xp), die gleich Null sind, so entsteht eine Folge nichtverschwindender Determinanten mit dem Grenzwert D. Es genügt z. B. xp = 1/p zu setzen und in der Folge 1 , 12 , 3- I, Jdie k ersten Glieder zu streichen, wobei nur k genügend groß zu wählen ist. § 16. Kennzeichnende Eigenschaften der Determinante Die Determinante «11 «12 •• • «1 n «21 «22 • • 0,2 n z> = «»1 «»2 • . (Inn hat, wie wir wissen, folgende vier Eigenschaften: 1. Sie setzt sich aus den Elementen durch die Operationen der Addition, Subtraktion und Multiplikation zusammen. 2. Sie ist eine lineare homogene Funktion der Elemente jeder Zeile. 3. Sie multipliziert sich mit dem Faktor —1, wenn man zwei Zeilen miteinander vertauscht. 4. Sie reduziert sich auf 1, wenn die Hauptelemente gleich 1 und alle andern Elemente gleich 0 sind. Diese vier Eigenschaften sind, wie wir jetzt zeigen wollen, für die Determinante k e n n z e i c h n e n d . Auf Grund der Eigenschaften 1 und 2 hat man D — 2 C^Tz... rn «lr, «2r2 • • • anr„ > wobei r x , r2, rn Zahlen aus der Reihe 1 , 2 , . . . , n sind und c n . . . r n ein ganzzahliger Koeffizient ist. Auf Grund der Eigenschaft 3 ist 2cTiTt... 2 cr1ri... rn azr, alTs • • • anrn ~ Nehmen wir an, daß rx = r2 ist, und setzen wir ßlri

rn alri ß2r„ • • • anrn-

= a2 rt — a3H — • • • — O-nTn

=

1>

alle übrigen a aber gleich Null, so reduziert sich obige Gleichung auf d. h.

cn

r,.. . rn = — Cti T

2

...

rn >

§ 16. Kennzeichnende Eigenschaften der Determinante

31

Alle Koeffizienten c ri ... r , in denen zwei Indizes r gleich sind, verschwinden also. Man darf daher annehmen, daß in D die zweiten Indizes r1, r2, ..., rn sämtlich verschieden sind. r1, r%, ..., rn ist dann eine Permutation der Zahlen 1, 2, . . . , n. Vertauschen wir jetzt die erste und die zweite Zeile, so verwandelt sich cr T,... l

2

in

2

oder

f j a2 r, • • •

rn

r,...

rn 0*2rl

2 c r , r l . . . rn alrt

anr

n

rt • • • a2r,

anr

n

• • • anrn •

Nach Eigenschaft 3 ist aber 2

cT

srl

... rn

ßlr, ß2r,

• • • anrn

xr,

2

=

cr

... rn

c

l r , a2r,

• • • anrn •

Setzen wir alr

l

— a2 r! = • • • =

anr

= 1

n

und alle andern a gleich Null, so reduziert sich die obige Gleichung auf cr,ri...r

n

= — c r ! r , . . . r„ •

C r i r m . r n multipliziert sich also mit Ti, r, ..., rn vertauscht. Setzen wir C12

so wird cr, r,...

—1, wenn man zwei der Indizes

... n =

rn = C oder

c

,

cn rt...

Tn

= — C,

j e nachdem r l 5 r 2 , . . . , eine gerade oder ungerade Permutation von 1 , 2 , ..., n ist. Denn eine gerade (ungerade) Permutation läßt sich aus 1 , 2, ..., n durch eine gerade (ungerade) Anzahl von Vertauschungen je zweier Indizes erhalten. Aus dem Obigen geht hervor, daß D = C%±

Oin ••• > ^n (fm+1

? m + 2 < • • • < rn)

und in den Spalten ^m +1) ^m +2 J • • • J sn föm +l r2>

• • • > rn

läßt sich leicht bestimmen. r1 bildet mit rl — 1 , r2 mit r2 — 2, ..., rm mit rm — m von den folgenden Zahlen Derangements. Außerdem gibt es keine. Die Gesamtzahl der Derangements in r i , r2, ...,rn ist also m{m+ 1) r r r 6= l + 2+•••+ m • 2 In > s2> ••• i gibt es , m[m+1) a = st + s2 + • • • + sm s-2 Derangements. Nach der Schlußbemerkung in § 6 ist aber sgni'' 1 '' 2 •••''») = ( - l ) e + » . \sls2 •• •

snl

Da g+o^Zir^ + sJ fi = i

(mod.2),

§ 19. Der Laplacesehe Entwicklungssatz

37

weil m(m + 1) immer gerade ist, so wird V2 • • • M • • • sn/

=

(_ l^i^+v).

2 (rM + Sß) ist die Summe der Zeilen- und Spaltenindizes von M oder auch die Summe aller Indizes in dem Diagonalglied von M . Es gilt also folgende Regel für die Bildung des algebraischen Komplements von M : S a t z 11. Um das a l g e b r a i s c h e K o m p l e m e n t eines Minors M zu e r h a l t e n , b i l d e man z u n ä c h s t sein K o m p l e m e n t N. D a n n l a u t e t das a l g e b r a i s c h e K o m p l e m e n t oder — N, j e n a c h dem die Summe der Zeilen- und S p a l t e n i n d i z e s von M (oder von N) gerade oder ungerade ist.

§ 19. Der L a p l a c e s e h e Entwicklungssatz Wir wollen alle Minoren mtel Ordnung betrachten, deren Glieder in m b e s t i m m t e n Zeilen der n-reihigen Determinante A enthalten sind. Die Indizes dieser Zeilen seien r1, r2, ..., rm. Es gibt offenbar

solche Minoren. M sei einer von ihnen und M sein

algebraisches Komplement. Wir wissen, daß das Produkt M M, wenn man es ausrechnet, m! (n — m)! Glieder von A liefert. Bilden wir die Summe aller Produkte MM, so erhalten wir

)

m \ {n — m)\ = n\,

d. h. alle Glieder von A . Damit haben wir die Laplacesche Entwicklung einer Determinante nach den in m Zeilen enthaltenen Minoren gewonnen. Nur ein Punkt bedarf noch der Erörterung. Liefern zwei verschiedene Produkte MM wirklich lauter verschiedene Glieder von A \ M und M1 mögen beide die Zeilenindizes rlt r2, ..., rm, aber nicht dieselben Spaltenindizes haben. Die Spaltenindizes von M seien s1, s2, ..., sm, die von Mt aber s^, s'2, ..., s'm. Dann haben die Glieder des Produktes M M die Form i^Ti oi aUot • • • armam • • • * die von M 1 M x aber die Form ¿'ZiW aT,a, • • • armam' • • • •

38

Viertes Kapitel: Unterdeterminanten

a'm ist eine Permutation von s ' t , , • • •, s'm, w ä h r e n d a 1 , a 2 , . . . , a n eine Permutation von s t , s2> •••> s m ist- Es kann also nie

a[, a2,...,

=

sein.

°2 =

..., a n

S a t z 12. ( L a p l a c e s c h e r E n t w i c k l u n g s s a t z . ) M u l t i p l i z i e r t m a n j e d e n Minor m ter Ordnung, der in m b e s t i m m t e n Zeilen e i n e r re-reihigen D e t e r m i n a n t e e n t h a l t e n i s t , mit seinem a l g e b r a ischen K o m p l e m e n t , so ist die D e t e r m i n a n t e g l e i c h d e r Summe dieser

Produkte.

Der Satz gilt nach § 12 auch für die Spalten. Wir nennen diese Entwicklung kurz die E n t w i c k l u n g nach m Zeilen bzw. S p a l t e n . Beispiel Entwickeln wir die Determinante a

l

a2

a

¿2 h

h

D

a3

i h

c4

c1 c2 c3 d± d 2 (L

nach den beiden ersten Zeilen, so ergibt sich D

=

+

£4

«1 «2

«1 «3

C2

b y b2

bi

bs

d2di

a2

a

a2

C l c4

, . . . ,

A

n

eine Spalte mit lauter Nullen. Es ist daher =

0 ,

x

=

2

0 ,

. . . ,

x

n

=

0 .

Aus ^21

und

^22

~f~ * * *

^ttl

n

**' fl12

• • •

a

^nw

l

~

0>

= 0

n

^21 ^22 • • * ^2»

4=0

•••

d n l

folgt ®i = 0,

»2 = 0,

^nn

...,

»„ = 0.

Beispiele Um die Gleichungen a

x

x

+

b^y

a

2

x

+

b

2

= y

=

c c

u

2

aufzulösen, hat man in «i a

2

h b

2

einmal die erste Spalte, ein zweites Mal die zweite Spalte durch

zu ersetzen. Dadurch ergeben sich die Determinanten C, c

2

b

2

«1 Ci 2 C2

d

48

Fünftes Kapitel: Systeme linearer Gleichungen

und die Lösung unserer Gleichungen lautet: Cl f>l

b,

c2 b2

|«2 h

a

«1 h

l Cl &2

a2

Vorausgesetzt wird, daß a, b1 a2 b2

von i 11 verschieden ist. Wil man die Lösung des Systems + bxy + CjS = dt, a2x + b2y + c2z = d2, a3x + b3y + c3z = d3

finden, so hat man in a x b t Cj ^2 3 3 einmal die erste, ein zweites Mal die zweite, ein drittes Mal die dritte Spalte durch a

C

di d2 d3

zu ersetzen. Dadurch entstehen die Determinanten ¿1

d2

b1 &2

d3 h

« 1 ¿ 1 Cl

c, C

2

C

3

a2 d2 a3 d3

>

c2

»

c3

«i h d, a2 d2 a3 h d3

und die gesuchte Lösung lautet : d x = d2 d3

y =

z =

6 l Cl

« 1 ¿>1 Cl

C3

b2 a3 b3

«1 Ì 1

Cl

ax bt

«2

C2

« 2 ¿>2 c 2

«3

¿ 3 C3

«1

dl

C2

«2 «3

«2

a3 b3

d3

C3 Cl

c3

« 1 ¿>1 Cl «2

h

c2

b2

c2

« 3 ¿>3 c 3

§ 23. Rang einer Matrix

49

§ 23. Bang einer Matrix Ein System von mn Zahlen, die in m Zeilen und n Spalten angeordnet sind, n e n n t m a n eine M a t r i x , und die mn Zahlen ihre E l e m e n t e * ) . Eine solche Matrix hat, wenn man die Elemente ähnlich wie bei einer Determinante bezeichnet, folgendes Aussehen: an

a12

...aln

a21 a2i •••0'2n

"ml "m2 • • •

•

Die in FI bestimmten Zeilen und ¡JL bestimmten Spalten enthaltenen Elemente liefern eine Determinante, die man eine / / - r e i h i g e D e t e r m i n a n t e d e r M a t r i x nennt, fi, kann natürlich keine der beiden Zahlen m, n übertreffen. Die e i n r e i h i g e n Determinanten der Matrix sind ihre Elemente. Gibt es in der Matrix eine von Null verschiedene r-reihige Determinante, während alle mehr als r-reihigen Determinanten (falls solche existieren) gleich Null sind, so sagt man, die Matrix habe den R a n g r. Ist der Rang der Matrix z. B. gleich 1, so bedeutet dies, daß nicht alle Elemente gleich Null sind, daß dagegen alle mehr als einreihigen Determinanten der Matrix verschwinden (falls solche existieren). Ist der Rang gleich 2, so gibt es eine von Null verschiedene zweireihige Determinante, während alle mehr als zweireihigen Determinanten gleich Null sind (falls solche existieren). Einer Matrix, deren sämtliche Elemente gleich Null sind, schreiben wir den Rang 0 zu. Folgende Operationen lassen den Rang einer Matrix ungeändert: 1. M a n d a r f d i e Z e i l e n a l s S p a l t e n s c h r e i b e n . Das heißt, die Matrizen «ii «21 •••aml

Ou a12 •••(¡in, Ö

21 a22 •••aZn

a

mlam2---amn

Un(j

ö

12 ö22 ••• a m2

a

ln a2n • • • amn

haben denselben Rang. 2. M a n d a r f d i e Z e i l e n b e l i e b i g v e r t a u s c h e n , ebenso die Spalten. Bei einer Matrix vom Range r ( > 0) läßt sich durch eine passende Vertau*) Von quadratischen Matrizen sprachen wir schon in § 8. KowalewskI, Determinanten

4

50

Fünftes Kapitel: Systeme linearer Gleichungen

schling der Zeilen und Spalten erreichen, daß die Eckdeterminante «11 «12 • • «lr «21 «22 • • «2r

ungleich Null ist.

«rl «r 2 • • a r r

3. Man darf alle E l e m e n t e einer Zeile mit demselben von Null verschiedenen F a k t o r versehen. 4. Man darf zu den E l e m e n t e n einer Zeile die mit X multiplizierten entsprechenden E l e m e n t e einer andern Zeile addieren. Von der neuen Matrix kann man zu der alten zurückgelangen, indem man zu den Elementen einer Zeile die mit — X multiplizierten entsprechenden Elemente einer andern Zeile addiert. Man sieht sofort, daß keine der beiden Matrizen einen höheren Rang haben kann als die andre. Jede //-reihige Determinante der einen ist nämlich eine lineare Kombination von zwei /x-reihigen Determinanten der andern, wenn sie nicht selbst eine Determinante der andern ist (vgl. Satz 6 und 7). 5. Man darf eine Zeile mit lauter Nullen hinzufügen streichen.

oder

6. Man darf eine lineare K o m b i n a t i o n der Zeilen als neue Zeile hinzufügen. Die Matrix +

••• + Xm am2>

••• > Äl aln

«11

«12

•••

«21

«22

•••

am 2 «ml hat nämlich denselben Rang wie

•••

m^mn a

ln a2n

amn

«11 «12 •••«In «21 «22 • • • «2 n «ml am

2 •••

amn-

Man erkennt das durch Anwendung der Bemerkungen 4 und 5. Wenn eine Zeile eine lineare K o m b i n a t i o n der andern i s t , so darf man sie unterdrücken*). *) Die Sätze 3 bis 6 gelten auch für die Spalten.

§ 24. Lineare Unabhängigkeit

51

§ 24. Lineare Unabhängigkeit m Systeme von je n Zahlen

#111 X12 > • • • i Xl n j X 2l > ^22 > • • • i 2)

• •

• > xm n

nennt man l i n e a r u n a b h ä n g i g , oder kurz u n a b h ä n g i g , wenn die Gleichungen

Ai x n + ?i>2 x2i + • • • + xml = 0, x Aj X-^2 *^22 * ' ' ^-m m2 = 0 j

„

/ j %xn

1- K l Xmn = 0

+

nur durch ^ = 0 , ^ = 0, Am = 0 befriedigt werden. Im Falle m > 1 können wir auch sagen, d a ß k e i n s d e r S y s t e m e eine lineare K o m b i n a t i o n der a n d e r n ist. Im Falle m = 1 hat die lineare Unabhängigkeit den Sinn, d a ß d a s einzige vorhandene System x

ll>

•••>

x

ln

nicht aus lauter Nullen besteht. Wenn die Systeme (1) n i c h t unabhängig sind, so sagen wir auch, d a ß z w i s c h e n i h n e n e i n e l i n e a r e R e l a t i o n b e s t e h t * ) . Damit meinen wir dann, daß die Gleichungen (2) sich durch ein Wertsystem A2> • • • > ¿m befriedigen lassen, das nicht aus lauter Nullen besteht. Ist Xh ungleich Null, so sagen wir, daß in der erwähnten linearen Relation das System x

h\> xh 2 > ••• i x hn

vorkommt. S a t z 16. Die S y s t e m e (1) s i n d d a n n u n d n u r d a n n l i n e a r u n a b h ä n g i g , w e n n d e r R a n g d e r M a t r i x (1) g l e i c h m i s t . Für m = 1 ist der Satz offenbar richtig. Wir können uns also auf m > 1 beschränken. Wenn die Systeme (1) nicht unabhängig sind, so ist in der Matrix (1) eine Zeile eine lineare Kombination der andern. Wir dürfen diese Zeile streichen, ohne daß der Rang der Matrix sich ändert (vgl. § 23 Nr. 6). Der Rang einer (m — l)-zeiligen Matrix ist aber höchstens gleich m — 1, also kleiner als m. Damit ist ein Teil des Satzes 16 schon bewiesen. *) Diese Redeweise sollte man nur im Falle m > 1 anwenden. 4*

52

Fünftes Kapitel: Systeme linearer Gleichungen

Nehmen wir jetzt an, daß der Rang r der Matrix (1) kleiner als m ist. Im Falle r = 0 sind die Systeme (1) sicher nicht unabhängig. Sie bestehen alle aus lauter Nullen. Jedes ist also eine lineare Kombination der andern. Im Falle r > 0 können wir durch Vertauschung der Zeilen bewirken, daß in den r ersten Zeilen eine von Null verschiedene r-reihige Determinante steht. Es lassen sich dann n — r Hilfssysteme Vr+1, 1 > Vr+l,

2 > • • • ) Vr+1, n

1 > VT+ 2, 2 > • • • j VT+ 2, n

Vt+2,

Vit, 1 J

Vn 2 )

• • • > Vn n

so bestimmen, daß die Determinante x

•

ll

n

• xr n

xr\

VT+1,1 • • Vr+l, ym

•

•

n

ynn

ungleich Null ist. Man wählt in den r ersten Zeilen eine von Null verschiedene r-reihige Determinante, setzt die Hauptelemente ihres Komplements gleich 1 und die übrigen y alle gleich Null. Dann reduziert sich die L a p l a c e s c h e Entwicklung nach den r ersten Zeilen auf ein Glied, das, abgesehen vom Vorzeichen, gleich jener r-reihigen Determinante ist. Wenn wir nun auf die Gleichungen*) A1 Xn x12

+

f- XT Xrl

+ •••+

+

2 +

xr

^

+ A r + 1 yr+i,i

xrn

Vr+1,2

+ ^r+1

+

y«, 1 =

•• • +

+ • • • + ^n Vn2 ~

2/r+l, rc + ' " " + ^-n Vnn —

xhl xh

, 2 ?

xhn

die Cramersche Regel (§ 22) anwenden, so erhalten wir , D A1

—

i

. D '

0

1

A,

2 — JJ ? • • • > An ~

jy •

Ds (s = 1 , 2 , ..., n) entsteht aus D, indem man in D die s t e Zeile durch xhl

> xh2>

• • •'

xhn

ersetzt. Dr+1, Dt+ 2, ..., Dn enthalten daher r + 1 Zeilen der Matrix (1). Da alle (r + 1)-reihigen Determinanten in (1) gleich Null sind, weil der Rang r *) h ist eine der Zahlen r + 1, ..., m.

§ 24. Lineare Unabhängigkeit

53

sein soll, so gibt die L a p l a c e s c h e Entwicklung nach jenen r + 1 Zeilen D r + 1 = 0 , Z ) r + 2 = 0 , ...,Dn = 0 . XT+x, Är+2) • • • j sind also gleich Null, und man hat für h — r + 1 , • • • i n Gleichungen von der Form x

it\

=

Ai^n +

+

Xrxn,

x

4" " ' + Ä.fXj.2,

x

+ • • • + ÄrXTn.

hZ ~ hn —

J e d e Zeile der Matrix (1) ist demnach eine lineare Kombination der r ersten Zeilen. Damit haben wir auch den zweiten Teil von Satz 16 bewiesen. Wir können unser Resultat auch so formulieren: S a t z 17. W e n n d e r R a n g d e r M a t r i x (1) g l e i c h r i s t (r > 0), so l a s s e n s i c h u n t e r d e n S y s t e m e n (1) r, a b e r n i c h t m e h r u n a b h ä n g i g e a u s w ä h l e n . H a t m a n r u n a b h ä n g i g e a u s g e w ä h l t , so i s t j e d e s d e r S y s t e m e (1) e i n e l i n e a r e K o m b i n a t i o n v o n i h n e n . Wir beweisen im Anschluß hieran noch folgenden Satz: S a t z 18. W e n n i n e i n e r M a t r i x e i n e v o n N u l l v e r s c h i e d e n e r - r e i h i g e D e t e r m i n a n t e v o r h a n d e n i s t (r > 0), d e r e n (r + 1)r e i h i g e S u p e r d e t e r m i n a n t e n * ) a l l e g l e i c h N u l l s i n d , so i s t d e r R a n g d e r M a t r i x g l e i c h r. Wenn eine Determinante ein Minor einer anderen ist, so nennt man diese andere eine S u p e r d e t e r m i n a n t e von jener. Wir wollen annehmen, daß in der Matrix (1) die Determinante Xu

• xlr %21 *^22 * . X2 r •

Xf\ Xr 2 •. . XTT ungleich Null ist, während alle (r + 1)-reihigen Superdeterminanten von ihr gleich Null sind. Da die Matrix x

u X21 • • • XT1 "pkl X}2 #22 • • • XT2 Xh 2 (h = r + i , ..., m;

s = r +

l,...,n) *

X1T X2T ... Xrr Xfrr x ls x2s • • • xrs xhs *) Damit diese Superdeterminanten sieh bilden lassen, muß man eventuell Zeilen und Spalten mit lauter Nullen hinzufügen.

54

Fünftes Kapitel: Systeme linearer Gleichungen

den Rang r h a t und in den r ersten Zeilen eine von Null verschiedene r-reihige Determinante vorkommt, so ist nach Satz 17 die letzte Zeile eine lineare Kombination der r ersten. Wir sehen, daß in der Matrix %n x12 ... x, n X2l ^22 • • • X2n (h = r + 1, ..., n) X

X

Tl T2 ' ' • ®TU

x

h\ xhz • • • xhn

die n — r letzten Spalten lineare Kombinationen der r ersten sind. Wir dürfen also nach § 23 die n — r letzten Spalten streichen, ohne d a ß der Rang der obigen Matrix sich ändert. Dieser Rang ist daher gleich r, und aus Satz 17 folgt, daß die letzte Zeile eine lineare Kombination der r ersten ist. Dies gilt f ü r h = r + l,...,m, und wir dürfen deshalb in der Matrix (1) die m — r letzten Zeilen streichen, ohne daß der Rang dieser Matrix sich ändert. Die Matrix (1) hat also den Rang r. Hieraus ergibt sich folgendes Verfahren, um den R a n g einer Matrix zu bestimmen. Man sucht ein von Null verschiedenes Element auf. Gibt es kein solches, dann ist der Rang der Matrix gleich Null. Ist ein von Null verschiedenes vorhanden, so muß man seine zweireihigen Superdeterminanten betrachten. Sind sie alle gleich Null, dann h a t die Matrix den Rang 1. Andernfalls m u ß man unter jenen Superdeterminanten eine nichtverschwindende heraussuchen und ihre dreireihigen Superdeterminanten prüfen. Sind sie alle gleich Null, dann ist der Rang der Matrix gleich 2. Andernfalls muß m a n unter ihnen eine von Null verschiedene auswählen und ihre vierreihigen Superdeterminanten betrachten usw.

§ 25. Systeme linearer homogener Gleichungen Eine lineare homogene Gleichung mit n Unbekannten hat die Form «j xx + a2 x2 + b an xn = 0.

, x2, ...,

Wir wollen ein System von m solchen Gleichungen betrachten, * • + «in Xn = 0 , i f l = "'ll Xl 4" #12 4 = «21 XX ~J~ #22 ^2 *• • + «2 nXn = 0 , fm

ml X1 -f- dm 2 #2

a

' • + ®mn Xn = 0 ,

xn

§ 25. Systeme linearer homogener Gleichungen

55

und seine Lösungen bestimmen, d. h. diejenigen Wertsysteme )

> • • •j

j

die allen Gleichungen (1) genügen. Es kommt, wie wir sehen werden, darauf an, welchen Rang r die Matrix «u

«12 •

«21 « 2 2 •

(2)

• «l n • «2

n

. « m l «OT2 • • ®mn hat, die man die M a t r i x d e s S y s t e m s (1) nennt. Ist r = 0, d. h. sind alle a gleich Null, so ist jedes Wertsystem xi, ..., xn eine Lösung von (1). Im Falle r > 0 können wir die Gleichungen (1) in einer solchen Reihenfolge schreiben, daß in den r ersten Zeilen von (2) eine von Null verschiedene /•-reihige Determinante auftritt. Sollte m> r sein, so sind nach § 24 die m — r letzten Zeilen in (2) lineare Kombinationen der r ersten. Man hat also für h = r + 1 , ..., n

«ftl =

«11 + hii «21 + • • • + ^hr « « > a + ^h2 «22 + • • • + ^hr T2 >

ÖÄ2 — ^ A l « 1 2

ühn — ^ftl aln + «2n + • • • + ^ftr arn • Multipliziert man der Reihe nach mit x„ und addiert dann, so ergibt sich fh — + ^hifz + • • • +^hrfr, welche Werte auch die x haben mögen. Hieraus ist zu entnehmen, daß jede Lösung des Systems (3)

fi = 0,ft

= 0,...,fr

= 0

auch eine Lösung von (1) ist. Beide Systeme haben also dieselben Lösungen. S a t z 19. H a t ein. S y s t e m l i n e a r e r h o m o g e n e r G l e i c h u n g e n d e n R a n g r ( > 0 ) , so k a n n m a n s i c h b e i d e r B e s t i m m u n g d e r L ö s u n g e n auf r G l e i c h u n g e n d e s S y s t e m s b e s c h r ä n k e n , in deren M a t r i x eine von null verschiedene r-reihige Determinante vorkommt. Man nennt die m Gleichungen (1) l i n e a r u n a b h ä n g i g oder kurz u n a b h ä n g i g , wenn ihre Koeffizientensysteme, d. h. die Zeilen der Matrix (2), im Sinne von § 24 unabhängig sind. Im Falle m > 1 bedeutet dies, daß keine Gleichung aus den übrigen durch lineare Kombination hervorgeht. Im Falle m = 1 kommt die Unabhängigkeit darauf hinaus, daß nicht alle Koeffizienten null sind.

Fünftes Kapitel: Systeme linearer Gleichungen

56

Der obige Satz läßt sich hiernach auch so formulieren: H a t ein S y s t e m linearer h o m o g e n e r Gleichungen d e n Rang/-, so k a n n m a n s i c h b e i d e r B e s t i m m u n g d e r L ö s u n g e n auf r u n a b h ä n g i g e Gleichungen des Systems b e s c h r ä n k e n . Diese r unabhängigen Gleichungen wollen wir d a s r e d u z i e r t e S y s t e m nennen.

§ 26. Die Lösung des reduzierten Systems Durch eine geeignete Numerierung der Unbekannten können wir bewirken, daß in dem reduzierten System an x1 + a12 x2 +

b aln xn = 0,

a21 x1 + a22 x2 +

1- a2n xn = 0,

an xt + aT2 x2 + • • • + aTn xn = 0 die Determinante «11 «12 • . alr «21 «22 • • «2r

A =

«ri 0>r 2 • • «rr von Null verschieden ist. Im Falle r — n liefert die C r a m e r s c h e Regel

Xi — 0, x2 ~ 0, ..., xn = 0 als einzige Lösung. S a t z 20. W e n n d e r R a n g e i n e s S y s t e m s l i n e a r e r h o m o g e n e r G l e i c h u n g e n g l e i c h d e r A n z a h l d e r U n b e k a n n t e n i s t * ) , so m u ß m a n , u m d a s S y s t e m zu b e f r i e d i g e n , a l l e U n b e k a n n t e n g l e i c h Null setzen. Im Falle r < n können wir xn+1, dann auf die Gleichungen «11

+ • " " 4" «1r

«2j

+

dr 1

X^ -]-''•

=

+ 0,2r Xr =

CLrf

Xf

•—

..., xn beliebige Werte beilegen und («l,r+l %r+l + "' • + ®i n («2,r+l %r+1 + • • ' + «2n

r+1

1

*'

*

j

«r?i

die C r a m e r s c h e Regel anwenden. *) Wir könnten auch sagen: „Wenn ein System linearer homogener Gleichungen so viel unabhängige Gleichungen enthält, als es Unbekannte gibt, usw."

§ 26. Die Lösung des reduzierten Systems

57

Bezeichnen wir mit Ast die Determinante, die aus A entsteht, wenn man die s t e Spalte durch «11 «2
T#2 2 + • • + arn zu finden (r < n), kann man so verfahren. Man fügt zu a u «12 • • • a m a21 «22 • • • «2» aTl

«r2

• • •

a

r n

n — r neue Zeilen «» + 1 , 2 • • • « r + 1 , re

aT+1,1

aT+

2,1 «r+2, 2 • • • «r+2, n

«rel «n 2 derart hinzu, daß die Determinante

• • • «nn

«12 • • «Iii «21 «22 • • «2 n «ii

D

=

dni ®n 2 • • &nn nicht verschwindet. Daß dies möglich ist, wissen wir aus § 24.

§ 28. n — 1 unabhängige lineare Gleichungen mit n homogenen Unbekannten 59

Bezeichnet man nun mit Ahs das algebraische Komplement von ahs in D, so sind die Wertsysteme •A-r+l, 2 i • • i -^r+l, n Ar+ 2,1

(2)

^r+2,2 > • •i -Ar+ 2, m

-4n2,

. An 1 ;

• j ^nn

Lösungen von (1). Das folgt aus Satz 15 in § 20. Wenn wir noch zeigen, daß sie unabhängig sind, so wissen wir, daß sie ein Fundamentalsystem bilden. Aus den Gleichungen -A-r+1,1 +

^-r+2,1 + • • • + ^-n—r Anl = 0 ,

^r+1,2 +

A-r+2,2 + ' •' + ^n—r - «2 r„

annehmen.

«lr, «1 r3 • • " l r . =

«2r, «2r; • • «2r„ «nr.

• «nr„

b\Ti b2Ti

... bnT

.

§ 32. Produkt zweier Determinanten

67

Wenn zwei von den Indizes r1} r 2 , . . . , rn einander gleich sind, hat die Determinante «lr, alr! • • alrn «2 Tt «2 r2 • • a2T»

(2)

«nr„ •

a

•

nrn

zwei übereinstimmende Spalten, ist also (vgl. Satz 3) gleich Null. Wir können uns daher auf diejenigen Wertsysteme rx, r2, ..., rn beschränken, die aus lauter verschiedenen Zahlen bestehen. Die Summation bei (1) erstreckt sich dann über alle Permutationen von 1, 2, . . . , n. Setzen wir «n «12 • • al n «21 «22 ' • «2 n 2t = «nl

an2 •

• «nn

so ist die Determinante (2) gleich + 2( (vgl. § 13). In (2) lautet das Hauptglied alT a2r„ i

• • • anTn-

Dieses Glied hat in 91 den Faktor sgn

/I 2 . . . » VI

• • • rn

Die Determinante (2) ist demnach gleich 21 sgn

(12 ...n r, r,... r.

und die Summe (1) läßt sich so schreiben: ^sgni1

2

Uj

••• n rg...rn

)blr,b2r2

Setzen wir ^11 ^12 • • • n 1 S8 = ^21 ^22 " ^2« bnl bn 2 • • • b nn so ist (vgl. § 9) « = ^sgnf1 2 - - ' n \b1Tlu2n ...br Vir2... r/ 5»

68

Seohstes Kapitel: Multiplikation von Matrizen und Determinanten

Die Summe (1) wird also gleich 2158. Satz 23. Das P r o d u k t der beiden Matrizen uu b

«1»

«11 «12

«21 «22

«2»

... u l n

¿21 ¿>22 ••• bZn

und

Kl K 2 • • • bn

«»1 «re2 • • • ann

ist gleich, dem P r o d u k t ihrer Determinanten. Wir können diesen Satz auch so formulieren: Satz 24. Das P r o d u k t der beiden D e t e r m i n a n t e n «11 «12 • • «in «21 «22 • • «2 n

4u ¿12 • • hn Kl ¿22 • • b^n

und

¿nl bn 2 • • bnn

«nl «n 2 • . «nn l ä ß t sich als h a t man

re-reihige

«11 «12 • • %n «21 «22 • • «2 n «nl «n2 • • ®nn

•

Determinante

bn ¿12 . • ¿1» ¿21 ¿22 " • ¿2 n bnl bn 2 • • bnn

=

schreiben, Und zwar

(«1 h) («1 («2 h) («2

. («! b„) • («2 bn)

( « „ ¿ ^ (a n

• («n b„)

wobei ist.

(«r &>) = «n

! + aT2 bt2 +

b arn bs

Man nennt diese Multiplikation zweier Determinanten die Multiplikation nach Zeilen. Es gibt noch drei andere Arten, zwei Determinanten zu multiplizieren. Man kann vor der Multiplikation die Zeilen von 21 oder die Zeilen von 58 oder auch die Zeilen von 2i und die Zeilen von 58 als Spalten schreiben und dann nach Zeilen multiplizieren. Die Elemente der Produktdeterminante entstehen dann durch Komposition der Spalten von §i mit den Zeilen von 58 oder der Zeilen von 21 mit den Spalten von 93 oder der Spalten von 2i mit den Spalten von 58. Endlich kann man noch die beiden Faktoren 21 und 58 vertauschen. So läßt sich z. B. das Produkt von D =

ci

Ca

und

A = ßi ßi Yi Vi

§ 33. Das Quadrat der Vandermondeschen Determinante

69

zunächst auf folgende vier Arten als zweireihige Determinante schreiben: bi

ßi

C

1 ßl

+

b2

+

ß2,

b1

ßi-

C

y±

1 Yl

+

b2

y2

C

+ 2

Yi

(Zeilen von D mit den Z e i l e n von A komponiert), ßi

+

b2

Yi

>

b

Ci ßi

+

c2 Yi

>

c

bi

ßa +

b

ßi

c

i

i

+

i

Yi

2

Yi

(Zeilen von D mit den S p a l t e n von A komponiert), bi

ßi

+

^

b2

ßi

+

c

2

ßz,

¿i

Yi

+

c

ß

i

yx

+

c

2

,

2

i

Yi y

2

2

( S p a l t e n von D mit den Z e i l e n von A komponiert), bi

ßi

+

•••> Qn-v

q1} fl2iri

Ol 0,

di „"n—p

• • • an oi • • • anrn ...

O19 „ i "n—p

1

^ D lauten

.

Q>n „_ " "n—p

AD wird also nach dem Laplaceschen Satze gleich " i i o i Oi

J)P

a

e i

"n—P

aQi

Ol

• •

a

e

n

—

^es

02

• •

a

e

n

—

•

aQiO

n_v

v

v

° i o t

Qn—p

an—p

oder, was dasselbe ist, gleich aQi

DP

a9t

ox

a

e i

Oi

ae

n—p

»i

o,

•

Oi

•

aQ

n—pOs

aQi

a

On—p e °

- p

n

• «o'-n—p

•

o

an—p

Da A = eM war, so ergibt sich im Falle D ungleich Null " e i o i aQi

a

aQl

02

Oi

e „ —

p

oi

a

e

n

—

p

o 2

•

*) Das heißt: die Elemente mit gleichen Indizes.

•

a

Q i O

n

_

p

•

a

e i o

n

_

p

•

ttn Qn—p

a

an—p

80 Siebentes Kapitel: Determinanten, deren Elemente Minoren einer andern sind

Bezeichnen wir mit M den Minor von D, der dem Minor M entspricht, d. h. dieselben Zeilen* und Spaltenindizes wie M hat, so läßt sich die obige Formel auch so schreiben: M = DP'1 M. Dabei bedeutet M das algebraische Komplement von M in der Determinante D. S a t z 28. D sei eine von Null v e r s c h i e d e n e D e t e r m i n a n t e und A die r e z i p r o k e von ihr. I s t d a n n M ein p - r e i h i g e r Minor von A und M der e n t s p r e c h e n d e Minor von D, so u n t e r s c h e i d e t sich M von dem a l g e b r a i s c h e n K o m p l e m e n t von M nur um den F a k t o r Wir können auch sagen: Das a l g e b r a i s c h e K o m p l e m e n t von M' u n t e r s c h e i d e t s i c h v.on M' nur um den F a k t o r D p _ 1 . M' ist das Komplement von M, also der Minor von D, der dem Minor M' entspricht. Die algebraischen Komplemente der Elemente von A sind hiernach gleich den entsprechenden Elementen von D, multipliziert mit dem Faktor Dn~2. Die reziproke Determinante der Reziproken ist also wieder die ursprüngliche Determinante, nur daß alle Elemente den Faktor Dn~8 erhalten haben. § 39. Die Reziproke einer verschwindenden Determinante Wir haben bisher angenommen, daß D von Null verschieden ist. Jetzt wollen wir den Fall D = 0 erledigen. Und zwar beweisen wir folgenden Satz: S a t z 29. Wenn eine D e t e r m i n a n t e g l e i c h Null i s t , so h a t i h r e R e z i p r o k e e n t w e d e r den R a n g 1 oder den R a n g 0. Wenn D = 0, so ist der Rang von D entweder gleich n — 1 oder kleiner als n — 1. Im letzten Falle sind alle Ar, gleich Null, d. h. die zu D reziproke Determinante hat den Rang Null. Im ersten Falle haben die linearen Gleichungen o11 + «12 + f- «1» Xn = 0, a21

+ a22

+

b a2„ xn = 0 ,

«»i

+ an2 x2 +

1- ann xn = 0

§ 39. Die Reziproke einer verschwindenden Determinante

81

nur e i n e unabhängige Lösung (vgl. Satz 21), aus der sich jede andre durch Multiplikation mit einem Faktor ergibt. Diese unabhängige Lösung sei .Tj = Bi, x2 =

, ..., xn =

Bn.

Dann läßt sich jede Lösung in der Form XB1, XB2, ...,

XBn

schreiben. Nun ist offenbar Arl,

Ar2, • • •, Arn

(r = 1, 2, ..., n)

eine Lösung unseres Systems. Also gibt es eine Zahl Ar, so daß man hat Arl = AtBi,

Ar2 = ArB2,

..., Arn =

ArBn.

Diere®Elemente Ars der reziproken Determinante drücken sich somit durch die 2 n Zahlen B1,Bi,...,Bn ..., Ar, und in der Form aus: ATS =AT Bs.

(r, s = 1, 2 , . . . ,

n).

Daraus folgt, daß alle zweireihigen Determinanten A ri s 1 ATl 8s A r i S l A Tttt gleich Null sind. Eine solche Determinante ist nämlich gleich ATt BSl, Ar, B,t ^ AR AR ~~ r '

r

B,t Bs2 ^ ' RR ~

Die Sätze in § 37 und § 38 gelten also auch im Falle D = 0. Denn in der Matrix der reziproken Determinante verschwinden dann alle mehr als einreihigen Determinanten. Daß die Sätze 27 und 28 im Falle D = 0 ihre Gültigkeit bewahren, können wir auch aus den Betrachtungen in § 15 entnehmen. Ersetzen wir die Hauptelemente an, 12 ••• h n ^21 ^22 ••• bin bnl bnz

• • •

b nn

die s t e Zeile streicht. Dieses Produkt kann man aber nach § 34 auch durch Komposition der (n — l)-reihigen Determinanten beider Matrizen gewinnen. Die (n — l)-reihigen Determinanten der ersten Matrix lauten: (—i)T+1Arl,

(—1 )r+2Ar2,

..., (—

l)r+nATn,

die der zweiten: (-l)*+i2?sl, ( - 1 ) ' + " £ „ , ..., (-l)*+»i?Än. Das fragliche Produkt wird demnach gleich (-1)'+*

(ArlBsl

+ AT2BS2

+ ... +

ArnBsn)

§ 41. Das Theorem von Sylvester

83

und cr , gleich A

B

r l

t l

+

A

r 2

B

+

s 2

+

A

r n

B

e n

=

( A

B

r

t

) .

Man erhält also die Elemente crt , indem man die reziproken Determinanten der beiden gegebenen nach Zeilen multipliziert.

§41. Das Theorem von S y l v e s t e r Wir wollen die n — 1 letzten Zeilen von

A

=

«ii

«12

•

•

«21

022

•

• « 2 71

«iti

«71 2 •

.

«ITI

d

n

n

mit an multiplizieren. Dann erhalten wir (vgl. Satz 5) . a «ii • du «2 7! «11 «22 • 0 » - 1 A = «11 «21

to

l n

«11 «711 «11 «712 • • «11 «71 n Subtrahieren wir jetzt von der zweiten Zeile die mit a 21 multiplizierte erste Zeile, von der dritten die mit a 31 multiplizierte erste, . . . , von der n die mit a multiplizierte erste, so ergibt sich (vgl. Satz 7) t e n

n l

«ii «12 0 «ii «22 ~~ «12 «21 • • a«-1.4 = 0 «ii «»i 2

n

«2 7t

«1 71 «21

«12 «711 • • «11 «»71

«1 71 «7! 1

d. h. (vgl. Satz 14)

« i f

A

1

=

a

«11 «22

«12 «21 ) • • , «11 «2 71 «1 71 «21

«11 «712

«12 «711 > • -, «11 «78 n

i

«1 71 «711

Im Falle «ii ungleich Null folgt hieraus

(1)

a " ~

2

A

=

«11 «22 «11 «32

«12 «21 ) «11 «23 «12 «31 ! «11 «33

«11 «712

«12 «il 1 ; «11 «71 3

«13 «21 » • • • ! «11 «2 71 «1 « «21 «13 «31 > • • • > «11 «S 71 — «1 n «31 «13 «»Ii • • • > «11 «78 71 " " «1 n «71 1 6*

84 Siebentes Kapitel: Determinanten, deren Elemente Minoren einer andern sind

Die Formel gilt aber auch für a u = 0 * ) . Dann wird nämlich die rechte Seite gleich «21 «21 • • «21 «31 «31 • • «31 1 ( - 1)" ß12ffij3. . . (Im anl

««1 • • «»1

Im Falle n > 2 sind also in (1) beide Seiten gleich Null. Im Falle n = 2 reduziert sich die Formel (1) auf A = A, wenn wir a^ durch 1 ersetzen. Die Elemente der Determinante rechts in (1) sind die zweireihigen Minoren von A, welche an als einreihige Unterdeterminante enthalten, oder die zweireihigen S u p e r d e t e r m i n a n t e n von « n . Setzen wir zur Abkürzung au

als

a22 + — i • • • > ah

,A1+

—

und läßt p die Folge 1, 2 , . . . durchlaufen, dann ist bei genügend großem p Hi

, 1

+

«21

•

«1 A

, 1 «22 + — •

«2 A

«12

J

«AI

«A2

• • «A A +

von Null verschieden, so daß also Satz 30 anwendbar ist. Bei der Ausführung des Grenzüberganges hat man sich auf § 15 zu stützen. E s ergibt sich dann die Allgemeingültigkeit des Satzes 30. Für den Fall n = h + 2 ist das S y l v e s t e r s c h e Theorem ein Spezialfall von Satz 28 im § 38.

§ 42. Geränderte Determinanten Von der Determinante «11 «12 • • «1» «21 «22 • . «2« ttn

Vi

j

«n 2 * • «nn Xn 2/2 •

•

Vn

z

§ 42. Geränderte Determinanten

89

sagen wir, daß sie aus A =

an a, 2 • • «i» «21 «22 ' • «2 n «n i «n 2 • • «nn

durch R ä n d e r u n gentstanden ist, Und nennen sie eine g e r ä n d e r t e D e t e r m i n a n t e . Solche Determinanten traten in § 41 auf. Die Determinante «IL «12 • • «1 #11 #12 «21 «22 • • O-Zn#21 #22 «n i «112 • . dn n Xn j #» 2 2/ll 2/12 • • Vin Zu z12 2/21 2/22 • • 2/2« Z21 Z22 entsteht aus A durch zweimalige Ränderung. Rändert m a n die Determinante A p-mal, so ergibt sich «11 «12 • • «1» #11 #12 • • - #lp «21 «¿8 • • «2» #21 #22 • • #2p • #np Rp = «B1 «»2 • • «n» #»1 #n2 • z Z 2/11 2/12 • • 2/1« Zll 12 • • lp Z Z 2/21 2/22 • • 2/2» 2i 22 • • Z2p 2/pi 2/J?2 • • • Vp nZpl Zp 2 • • Zpp Entwickeln wir R1 nach der letzten Spalte, so erhalten wir = ¿ ( _ l ) » + i + f x„ ¡i=i

Y„-+zA.

entsteht aus R1 durch Streichung der letzten Spalte und der / t t e n Zeile. Bezeichnen wir mit %liV das Komplement von attv in A, so ergibt sich durch Entwicklung von Y nach der letzten Zeile

so d a ß

Rx = 2 (-i)2n+i+«+"%r

ist (ß, v = 1, 2, . . . , n).

yv + zA

9 0 Siebentes Kapitel: Determinanten, deren Elemente Minoren einer andern sind

( - 1 )"+»«„,= stellt das algebraische Komplement von aß v in A dar. Wir können also auch schreiben: B1 =zA —

XU VV

(fi, v = 1, 2, . . . , n).

Wir wollen von dieser Formel eine Anwendung machen. Nehmen wir an, daß A = 0 ist. Wie wir aus § 39 wissen, lassen sich dann 2n Zahlen Als A2, ..., An und Bx, B2, • •., Bn so wählen, daß man hat •A-p v = •A.ttBv.

Hiernach wird

Ri^-ZA^B^^y,,

d. h.

f

»

Es gilt also folgender Satz: Wenn in einer Determinante das Komplement eines E l e ments aTS gleich Null i s t , so zerlegt sich die Determinante in zwei F a k t o r e n . Der eine ist linear und homogen in den E l e menten, die mit aTS in derselben Zeile, der andre linear und homogen in den E l e m e n t e n , die mit ars in derselben S p a l t e stehen. Bei der p-fach geränderten Determinante Rv behandeln wir zunächst nur den Fall, daß alle z gleich Null sind. Wenn p> n ist, reduziert sich die Determinante an

al2 • • «1» xll xn • • p X 0,22 • • «2 n 21 #22 • • P «21 anz • • &nn 1 Xn 2 •• %np Vu Vl2 • • Vm 0 0 . . 0 2/22 • • Hin 0 0 . . 0

VPI Vp 2 •• • Vpn0

0 . . 0

auf Null. Denn alle p-reihigen Determinanten, die in den p letzten Spalten enthalten sind, verschwinden, weil sie wenigstens eine Zeile mit lauter Nullen aufweisen.

§ 42. Geränderte Determinanten

91

Im Falle p = n ergibt sich durch Entwicklung nach den n letzten Spalten xn x12 . = e

• Xm #22 • • xtn

2/n 2/12 • • 2/m 2/21 Vis. • • 2/2»

Xn\ Xn 2 . • xnn

2/nl 2/K2 • • Un n

X21

Dabei ist (vgl. § 18 u. 19) e =

d. h.

(_l)l+2+ • • • +«+ (»+1) + (n + i) + • • • +2 n ^ £ = ( - l ) « ( 2 « + l ) = (-l)'>.

Nun bleibt noch der Fall p < n übrig. Die Entwicklung nach den p letzten Spalten liefert «e. 2 • •. xr,l

tl • • XTlp XTi 2 • • xTtV

xr

xr

xr

xm

2 (—l)r>+ """

(»+1)+ • • • +(n+p)

pl

aSi„

p

ae

n-pi

2/u

• • aen-pn 2/12 • •• 2/ln

2/pi

VPZ •

ae

n-P*

2 • • xrpP 2lp n

•••! >'p sind p Zahlen aus der Reihe 1, 2, ..., n, und ea ist rx < rz < ... < rp. Streicht man in 1, 2, . . . , n die Zahlen r 1 ; r2, ..., rp, dann bleiben ei>6z, - ',Qn-p übrig. Entwickelt man jetzt ri> r2>

ae,i

aei 2 ae

•

•

n-p

2/ii

2 • • aen~pn 2/12 • •• 2/i n

2/pi

2/p 2 • • 2/p»

nach den p letzten Zeilen, so findet man £ (_!)«»+ • • • +«p+n—P+1+ • • • +n 2/ni Vis, • • • 2/i«p Vitt Vit, • • • Hisp Vv Up «s • • • 2/p »x

«et».

• aei®n-p

a«i®>

• Vp», • •

ae,

On-p

aen—p"n~p

9 2 Siebentes Kapitel: Determinanten, deren Elemente Minoren einer andern sind

Ä!, s2> • • • > sp (st < s2 < ... < sp) sind p Zahlen aus der Reihe 1, 2, n und a 1 , a

«Si*.

(_l)r1+ •

arj2

• +*p

•

ot • •

"i V - P » ! "

ae

n—p

aei

"n—p

aQi

on—p

-n—p "n—p

ist das algebraische Komplement von •

ar,s

p

«»•sij • •

aUH

O'TpSiarps,

ar,Sp

• •

ar

psp

in A. Wir wollen diesen p -reihigen Minor mit

bezeichnen und sein algebraisches Komplement mit ATl r,...r p

St S2 . . . Sp

>

Da (n + 1) + ••• + (n+p)

+ (n-p

+ 1) + ••• + n=p(2n

+

i)

ist, so ergibt sich schließlich XT

XT\ 2 •

•

2/is, 2/is, ••

• Vi Sp

xr,l

xr

• xr, p

VlH

• 2/2

xr

XTp 2 •

• XTpV

Up si

t\

v\

2 2 •

Xr

xp

2/2 s 2 •

Sp

• Vp»p

Zum Schluß betrachten wir noch die zweifach geränderte Determinante «11 •

•

ai

Xu

^12

* 2 = «ni • • ann xn 1 xn 2 2/ll • • 2/1 Zu Z12 2/21 • • 2/2 n 221 z22

§ 42. Geränderte Determinanten

93

Die Glieder, die kein z enthalten, sind im Falle n > 2 zusammen gleich*) 1 -l'r12

2

y l « i Visa Ar t r2

2/2 Sj 2/2 Sa «i«,

Um die übrigen Glieder zu finden, entwickeln wir nach den beiden letzten Spalten und lassen alles fort, was mit keinem z behaftet ist. Da finden wir zunächst Z11

Z12

Hl Z22

außerdem aber noch eine Summe von Gliedern, die nur ein einziges z enthalten. Will man z. B. die Glieder finden, die z n und kein anderes z als Faktor enthalten, so braucht man nur in i?2 diese andern z gleich Null zu setzen Und in der so entstehenden Determinante «11 • • «in anl

%2

.

• «MM 1 2 Vn • ••2/1« Zu 0 0 2/21 •• • 2/2 n0

das algebraische Komplement von z u aufzusuchen. Dieses lautet, mit zn multipliziert, «11 • • «IM X12 «M 1 • • «MM 2 2/21 • • yan 0 Die Summe der Glieder, die Z22 und kein anderes z als Faktor enthalten, ist «11 • ' Öl« ^11 «M 1 • 3-M 1 0 • 2/l n 2/ll • Die Glieder, die z 12 bzw. Z21 und kein anderes z als Faktor enthalten, geben zusammen «11 • • «in 2-12

«11 • • «IM ¿12

«Ml • 2/21 "

.

dn n Xn j

• y^n

0

bzw.

—z21

«Ml •

2/ll • • 2/l M0

2

Im Falle n — 2 ist A12 = 1 zu setzen. Im Falle n < 2 gibt es kein Glied, das von den z frei ist. 12

94 Siebentes Kapitel: Determinanten, deren Elemente Minoren einer andern sind

Die vier letzten Determinanten können wir nach der letzten Zeile Und letzten Spalte entwickeln und erhalten dann bezüglich —

2jl 2

Art

XT2

2/2 8 >

z22

Ars

Xn

Vi s >

2

~t~z12 2 Af-g Xrl y2 a 1 +221 2

Ars

XT2yia

•

Diese vier Ausdrücke haben eine Summe, die sich so schreiben läßt: 0 2 A f i

xri

xr%

Vis

z

ll

z12

2/2 s

Z21

Z22

Setzen wir statt Are der Gleichförmigkeit halber A

r

,

so ergibt sich für R 2 folgende Entwicklung: 0 Xf j Xf 2 Z

U

z12

Zil

+ S A

r

Z22

Via

z

n

Z12

Vis

Z21

Z22

x 0 0 x 0 0 Xfa 2 Vl»l Vi S, Z11 z12 n l

+2 aTi Tl

2/2«! 2/2 s,

n 2

ZZ1

z22

Hiernach kann man voraussagen, wie die Entwicklung von R v aussehen wird. Sie wird lauten: 0 Rp

=

A

+ üp

0 0 'ZA

0

Vps

.

•

Ar a

"pp

Upa

XTiP

Zu

•

•

Z1P

Ups 2 Zp 1 '

•

zpp

+

2

Anr2r, SX Sl

Im Falle n ^ p ist für A12 ...

1 zu setzen.

Vis

0

r t r , y-LH 2/1« 81S2

av,!

1•

2

n

12 . . . n

XTl z

''Tp

n

z'PI

0

0

0

xH1

.

•

^TiP

0

0

0

Xril

.

•

xr

0

0

0

Xr.i

.

Vi«, Vis,

Vis,

Zu

.

•

zlp

2/j)«! Vpat

Vp S,

pl •

•

zpp

z

tp

95

§ 42. Geränderte Determinanten

Die in der Entwicklung von R v auftretenden geränderten Determinanten sind Null, sobald ihre Reihenzahl größer als 2 p ist. Setzen wir Z =

zn

zia

• • • zip

Z21

Z22

• • • Z2p

ZP

X ZP 2 * ' * ZV V

so wird 0 Xrx • . XT p yi> zn

zu .

. • zlp

=

•

zi

yis

P

= - 2 Z

Zpl . • Zpp yps xrl . . Xf p 0

Vps zpl . • zp p

Xray

,,

ferner 0

0

Xfl\ . • XT,P

0

0

XT

t1

•• . • zlp

yiH Vis, zn •

•

•

•

•

Z11

•

•

•

= •

VVH yps, Zpl • • zpp —2

•• •

zlp

Vi»! Vx«!

xr,p

Zpl • • ZPP Vph Vp>. 0 1 • •• XTiP 0

xr,

XTi 1

Xr i XTi ai ia e, Ol Olxr2 ) . Multiplizieren wir jetzt noch A11"1 Rv mit 1 0 . . .0 0 Ol.. . 0 0 Z f -

1

=

0 0

... 0 ... 0

0 0... 1 0 0 0 0 . . . 0 Z n Z12 0 0 . . • 0 Z21Z22

• • Zip •

0 0..• 0

z

p l

... 0 • • Z •2V

2•

Zp

• •Zp p

so erhalten wir A

X)

..

A

..

0 0

..

A

0 A ^ Z r -

1

0

R„

0

{A1y1)

(A

i y i

)

(Z,x

i)

(Z1x

2)

(Z1x

n) (Z2

••(An

Vi)

z

(AtVi)

(A2y2)

••{¿n

ft)

0

{AiVP)

(A2yP)

••(An

Vv)

0

wobei Zlcg

Xrg

—

•'(ZPXJ

{Z (Z2x2)

0

xn)

•

• (Zp

•

• {Zp

.

0 0

.

z

.

0

x2)

Xn)

{Z]cXr

e

gesetzt ist {r = 1, 2, ..., n; k = 1, 2, ..., p). Wir wollen jetzt An~x Zv~1 Rp nach den n ersten Zeilen entwickeln. Ein Minor, der die Zeilenindizes 1, 2, . . . , n und die Spaltenindizes rt, r2, ..., r

n

_

e

, n +

k1,

n +

k2,

..., n +

hat, wobei und 1 g ftj
rQ,

n + Ä j , n + k'2,

. . . , n +

k'p—e.

k^, k'2, ..., ftp_e bleiben übrig, wenn man in der Reihe 1, 2, ..., p die Zahlen kr, k2, ..., ke streicht. Das fragliche Komplement ist also gleich • (Ar

e

Sfc)

e ' Z v s (A f'

und

n

y k e ) • •• (

A

f

e

y*

e

)

= (_i)(s + D+ ••• + ?+•*; + ••• + Vp—e.

Um das algebraische Komplement zu erhalten, muß man das Komplement mit e " = (_1)1 + ••• + » + ri +••• + 4 _ e + (« + 1M + ... + (» + i e ) multiplizieren. Man bestätigt leicht, daß se' s" = (-1)8

ist. Nach dem Laplaceschen Satz hat man also C ¿n-l

Z

p-1

R

=

(Z^Xrd (1)

2

(-1)8

(^r.J/fo) • • •

• ••{ZkeXr.)

( A r V h )

An~eZP~e ( Z

h

x

f e

) .

(A

Nach § 34 ist Z •• • ( kQ

{Zu^u)

XTl)

(Zfe*fe).. gleich Zkt l

z

k

e

• • • Zkt p

1 • ••

ZkQp

xTll

Xr

. . . Xf

Q 1 • •• \

l P

P

r i

y

k g

)... ( A

t e

y

h

)

99

§ 43. Andere Berechnung von M.

also gleich Zki h • • • zki ie Ii '' ' ^kg Iq

XTih

• • • XTl1e

\li

• . Xro7£o

Ebenso ist {AriVki) • • iArg Vki) (,Än

Vk)-- •(AreVke)

gleich ATll

...

ATiU

2/i, 1 ••• Vki 7

ATgl

...

ATs„

Vkg-i • • • VkQ r>

ATisl

• • • ATls

also gleich Vki «1

Areil...

• • • 2/&I 8„

ykgS 1 • • • ykgSg

Da nun A TiH

• • •

Ari*e

A*

= Ae~*

Ar

= Ze-*

Z,kl ... kg h...l0

e*e

und 'kill ^fcg Ii

• Zt

^^Q ^Q

ist, so finden wir (Zkl xTl) An-e

Zv-Q

• • (Zke

(ATi Vki) • •• (^r

xn)

(Ariykg)

{ZkiXrQ) • • • (Zkg xTg)

An~1

2" (-

• •

Vki)

(Arey*e)

xTih

• • • xmB

Vkiti • •

xr

• • • Xre le

VkeH • •

.reZkl...ke

•>e h ...le

gh

Setzen wir dies in Gleichung (1) ein und dividieren durch An~' Z ^ 1 , so ergibt sich die Entwicklung, die wir in § 42 fanden. Der Fall A Z = 0 erledigt sich durch eine Stetigkeitsbetrachtung. 7*

100 Siebentes Kapitel: Determinanten, deren Elemente Minoren einer andern sind

§ 44. Zweiter Beweis des S y l v e s t e r sehen Satzes Unter Benutzung von §42 wollen wir jetzt den Sylvesterschen Satz noch einmal beweisen. Wir setzen a l l a 12

• • • alh

^91

* . . ß-2 h

ahlah2

•••

ahh

und bezeichnen mit Mq „ das algebraische Komplement von aQ a in M. Dann ist die geänderte Determinante an

a12 •

•

^21 ^22 *

alha\s

• a.2h

a2S

•• ahh

ahs

(r, s = h ah aT

1 2 1 ar2 • ah

+ 1, . . . ,

n)

• OlTh &TS

nach §42 gleich

1, o-rs M

-

Das Produkt

...,h 2 a e s e, "

bh+l,h

+l •

a-ro Mg

• b/,+1,

a

.

n

M bn,h+1

•

bn n

können wir durch folgende n.-reihige Determinante darstellen: an

ahl

• • • alh

. . . ahh

0

...

0

0

...

0

ali

A+i

«a,ä+i bh+li

b„>h+1

A+1

• • • ... ...

...

ai

ahn b

h +

„

bnn

Wir addieren in dieser Determinante zu der (h + l) t e n Zeile die mit 2J ah+i, o

„ multiplizierte erste Zeile,

die mit

a

a

ah+i,

a

multiplizierte zweite Zeile,

die mit £ «a+i, „ Mh „ multiplizierte Äte Zeile. a

§44. Zweiter Beweis des Sylvesterschen Satzes

101

Ebenso addieren wir zur (h + 2) t e n Zeile a

die mit £

h+2, o

a multiplizierte erste Zeile,

a

die mit

«a+2, a M 2 a multiplizierte zweite Zeile,

die mit

a

2!

h+2,

er

Mh

a

multiplizierte

a

hte

Zeile.

Ähnlich machen wir es bei den folgenden Zeilen bis zur n t e n . Nach dieser Umformung, die an dem Wert der Determinante nichts ändert, steht an der Stelle von brs arsM.

Die h ersten Elemente der r t e n Zeile (r = h + 1 , ..., n) lauten: aT„

Q,a

. . . , S a o h + l •

i

• h^

M bn,h+l

bn

•

n

Im Falle M 4= 0 ergibt sich somit bh+l,h+l •

•

— M n~ bn,h+1

•

«ii «12 • . a l n «21 «22 • • «2n

bh+1 , n f l

~

1

bn n

«»1 «n 2 •

•

a

nn

Diese Formel gilt aber auch im Falle M = 0. Um das zu erkennen, braucht man nur a n , a 2 2 , • • • , «aa durch 1

— i, au ,h h

P

P

P

zu ersetzen und p die Folge 1, 2 , 3, ... durchlaufen zu lassen. § 45. Dritter Beweis des S y l v e sterschen Satzes Betrachten wir die zu «il «12 • - «in «21 «22 • • «2 n

A =

«»1 «n 2 •

•

a

nn

reziproke Determinante ^12 • • ^171 -^21 ^22 • • • n A •"•ni

A n 2 • • • A" » »

und in ihr den Minor ift+l.A+l 5Öi = in.Ä+l

. . . A h+ l, n

§ 46. Der Sylvester-Frankesche Determinantensatz

103

Streichen wir in diesem Minor die Zeile r und die Spalte s, so entstellt eine (n — h — l)-relhige Determinante, die nach § 38 gleich «11

a

•

hl • aT1 .

• «1h •

a

hh

• «rA

« I S

An~h~2 = bTS An «As « r s

(—l) r+s .

ist, multipliziert mit Das algebraische Komplement von Ars in 95? ist also j, a n—A—2 T8 I und die zu 95? reziproke Determinante hat den Wert f>h+l,h+l • J^ (n—h) (n—h—2) i>n,h+l •

•

bnn

Andererseits ist diese reziproke Determinante gleich g j j n - A - i

oder, da «11

•

•

«1A

«AI

•

•

«AA

J^n—h—l

9W = gleich « i i

1

•

•

«1A

•

•

«AA

n—A—1

A (n—h—l)

« A l

Daraus folgt h+l,h+l • • bh+l,n

«11

•

•

«1A

«AI

•

•

«AA

n—h— 1

= A bn,h+1 • • bn n

Das ist aber der S y l v e s t e r sehe Satz. Der Fall A = 0 wird wieder durch eine Stetigkeitsbetrachtung erledigt.

§46. Der S y l v e s t e r - F r a n k e sehe Determinantensatz Der Sylvester-Prankesche Satz bezieht sich auf die Determinante, die man aus den m-reihigen Minoren einer re-reihigen Determinante A bilden kann (m < n). Wir denken uns die ( H I m-reihigen Minoren von A so

104 Siebentes Kapitel: Determinanten, deren Elemente Minoren einer andern sind

angeordnet, daß in einer Zeile (Spalte) immer Minoren stehen, die in denselben m Zeilen (Spalten) enthalten sind. n

Wir wollen die N =

Kombinationen der Zahlen 1, 2, ..., n zur m ten

\mj

Klasse in irgendeiner Reihenfolge mit 1, 2. . . . , N numerieren und unter 9)?re denjenigen m-reihigen Minor verstehen, dessen Zeilenindizes die Kombination r und dessen Spaltenindizes die Kombination s bilden. Die Determinante der m-reihigen Minoren läßt sich dann so schreiben: 9»u so?12 . so?22 . m

—

Bezeichnen wir mit a r die Summe der Indizes, aus denen die Kombination r besteht, so bleibt die obige Determinante ungeändert, wenn man jedes Wodurch ^ = ersetzt. Denn A m verwandelt sich in

%

•

m i x

•

wenn man die Zeilen der Reihe nach mit multipliziert und dann mit den Spalten dasselbe macht. Dabei hat man aber A m im ganzen mit (_1)2 (ei + m+ • • • +ffjff) = 1 multipliziert. Hieraus ersieht man, daß Am in An_m übergeht, wenn man jedes Element 95irs von Am durch sein algebraisches Komplement i0?T8 in A ersetzt. Bildet man das Produkt A

rn. A n—m

— —

' 8KU . . .

a»n • . m i r i • •

fflfri . . . TOjifN

•

indem man die Zeilen zusammensetzt, so ergibt sieh (vgl. § 19) A

.

0 .

. 0 .

A

i\ml

§ 46. Der Sylvester-Frankesche Determinantensatz

105

Diese Formel werden wir benutzen, um das S y l v e s t e r - F r a n k e s c h e Theorem zu beweisen. S a t z 31. Die aus den m-reihigen Minoren einer «-reihigen D e t e r m i n a n t e A gebildete D e t e r m i n a n t e A m ist gleich einer Potenz von A, und zwar hat man

Im Falle m = 1 ist dieser Satz trivial, ebenso im Falle m = n . Wenn m = n — 1 ist, fällt er mit Satz 27 in § 37 zusammen. Um den Sylvester-Frankeschen Satz allgemein zu beweisen, wenden wir den Schluß von n — 1 auf n an. Wir nehmen an, daß er für (n — 1)reihige Determinanten bereits bewiesen ist, und zeigen, daß er dann auch für n-reihige Determinanten gilt. Wir wollen alle Elemente von A mit Ausnahme von a n n als Konstanten betrachten. Dann sind in der Formel A

A

— Aym'

A m , A n _ m und A Funktionen von a n n , und zwar hat man A = ann B + C ,

wobei B

=

«12 • • «1, n—1 • «2, n—1 «22

«11 «21

«n—1 1 an—1, 2 • • «n—1, n—1 und «11

•

«1, n—1

«1 n

• «n—1, »—1 «n—1, n . • « n , n—1 0

anl

ist. Um zu ermitteln, wie A m von a„„ abhängt, denken wir Tins die Kombinationen von 1 , 2 , . . . , » zur w ten Klasse in der Weise numeriert, daß zuerst die K Kombinationen stehen, in denen der Index n vorkommt. Nur 9WU S0?l2 ... Wl lK ®?21 W22 . . . M

K x

WlE2 ...

106 Siebentes Kapitel: Determinanten, deren Elemente Minoren einer andern sind

enthalten dann a n n . Dabei ist J

R

n

-

\ m - i j

Von ann hängt 93?rs (r, s = 1 , 2 , ..., K) in folgender Weise ab:

ist ein (m — l)-reihiger Minor von B . Da wir Satz 31 für Determinanten als gültig annehmen, haben wir

Sftra

m 21 m 22

...

9^2Ä

=

ff

(n

— l)-reihig

n—2\ m—2l

... mKK Hieraus können wir schließen, daß »n

n—2\

S0î22 -

B

.m—21

»12 • ist, wobei die Punkte Glieder mit niedrigeren Potenzen von ann andeuten. Das Komplement dieses ÜT-reihigen Minors von A m lautet • ^ E + l . N

..

® l

N N

und ist die aus den m-reihigen Minoren von B gebildete Determinante, also gleich f n—2\ ß\m-1)

j

weil Satz 31 für (n — 1)-reihige Determinanten richtig sein soll. Jetzt ist leicht zu sagen, wie Am von ann abhängt. Man braucht nur A m nach den K ersten Zeilen zu entwickeln. Es ergibt sich dann ln-2\ ß\m-2l

aK

I n—2\

,

W-II

Wieder deuten die Punkte Glieder mit niedrigeren Potenzen von ann an. Da n - 2\ m

I n - 2\ m —

/re-1^ m —

1

ist, so hat man =

aK nn

BK

1

§ 46. Der Sylvester-Frankesche Determinantensatz

107

Am ist hiernach eine ganze rationale Funktion Kten Grades von a n n , deren höchster Koeffizient gleich BK ist. Da AmAn_m eine Potenz von A ist, so verschwindet A m nur, wenn A verschwindet, d. h. für

£5

'

Die Wurzeln der Gleichung

in der ann als die Unbekannte zu betrachten ist, sind demnach alle gleich — CjB. Man hat also C\ & ann + ßj , d. h.

(

Am={annB+C)K

= AK.

Damit ist Satz 31 für «-reihige Determinanten bewiesen unter der Voraussetzung, daß er für (n — l)-reihige Determinanten gilt. Da er nun im Falle n — 2 trivial ist, so gilt er für n = 3, n = 4 usw., d. h. er gilt allgemein. Unser obiger Beweis stützt sich auf den Fundamentalsatz der Algebra, wonach eine ganze rationale Funktion f(x) = a0x» + ajaS»-1 + ••• + av sich in der Form a0(x — Xj) (x - x2) ... (x - xp) schreiben läßt. xx, x2, xP sind die Nullstellen von f(x). Wir können aber auch ohne den Fundamentalsatz der Algebra auskommen, wenn wir bemerken, daß An-m = a^n

^

ist, wobei wir / B_i \ /»-l\ \n — m — 1/ \ m )

L

gesetzt haben. Nehmen wir an, daß A m sich if'-mal und An_m sich L'-mal durch teilen läßt, daß also

Bann + C = (B (Inn +

Am,

•n-n—m(B—Wnn + C)v A n—m

108 Siebentes Kapitel: Determinanten, deren Elemente Minoren einer andern sind

ist und A,„ = aR -R' B nn

K K

aL~L'

1n-m

" ™=

' +1 •••, 9

B'-j:

an

+ • • •

nicht mehr die Wurzel — B\C zulassen. Dann haben wir A

A

—A

K'+L' A

A

— A

Da nun K

1\

, n— + L = \ \m —

+

1/

1

n— \

m

/

\m

und +

K'+L'^K

L

ist, so folgt aus obiger Gleichung A

A

—,4v

Im Falle K' +

L'
cn+ 2 — c2 J • • • > cA+n—1 — ch—1 ClXn-h

+1 + . . .

^n-h+n^

+

d. h. xn-h+1

(Ci

+

^ CnZ»-1).

Cga;+

Setzen wir also f(a;) = cx + c2x -\

+

cnxn~l,

so lautet die Produktdeterminante C V: XnJ(Zl), x^f(x

x*f(xn)

xn2f(x2).

,), x^f(x ), 2

zlf(zl),

Ei f(X2l )

Xn f(Xn)

• •

oder xl xl~- • • ~n ...ri 1 ... • . . f(Xn) 2 2 1

Xnn Xnn~ ...

•

%

x2 xn

Nun ist aber X1 x»-1 ... X, . . X2 xn2 xn-1 2 xn xn-1

(«—1) (n—21 = (-1)

V.

Xn

n n

Wir haben daher (n--1) (n-2) » f(x1)f(x2)

CV=(-1) ...,

...f(xn).V-.

V ist aber von Null verschieden (vgl. §21), weil die n Wurzeln x1} xn alle verschieden sind. Aus der obigen Gleichung folgt demnach («—1) (n—2) 2 C = (-l) f{xi)f(x2) ...f{xn).

x2)

Zum Schluß wollen wir noch zeigen, daß sich das Produkt zweier zyklischer Determinanten (abgesehen vom Vorzeichen) als zyklische Determinante schreiben läßt. Um dies für die beiden zyklischen Determinanten Ci c2 c3 C2 C3

C1

C3

C2

und

Y l Ya Ys r = Yi Ys Yi Ys Yi Yi

118

Achtes Kapitel: Symmetrische Determinanten

zu zeigen, multiplizieren wir C und

7 1 72 7s Ya y i y

r=

y2 y 3

2

yi

nach Zeilen*). Dadurch erhalten wir

c i7i C

+\Y2 c y , ('iy + c r i + HYz i y + c2y3 + c3yt i7l + CcsY2ci7s rC 2y3 + c3yi + t'iy : c y + c y + c ^ CsYl + iYzc2y3 . csrs + ci7i + cz7i > cs72 + ci7s + ci7i 3 3

3

c

2

2

2

oder

2 2

3 3

c

i7i + ci72 + c3y3, Ciy3 + ciy1 + csy2 , c y + c2y3 + ~cr= Ci7a + 27i + c y , Cjy + c y + c y i . Wi + c2y2 + c3y3 Ciy + c y + c y , Cjy! + c2y2 + c3y3 , cty3 + c2y, + c3y2 x 2

c

2

3 2

2 3

3

2

2 3

3

x

Diese Determinante hat die Form

a1 a2 a3 0/2flgftj, a3 ax a2

ist also eine zyklische Determinante. Hat man zwei re-reihige zyklische Determinanten

cx c2 •. c c = 2 c3 . Cl •

und

r

Cn Cj• .n—l c

• 7n 72 7s •• Vi 71 72

=

7n 71-• Vn-1

zu multiplizieren, so schreibe man die n — 1 letzten Zeilen der zweiten Determinante in umgekehrter Reihenfolge, was einer Multiplikation dieser (B—2> entspricht. Dann wird das nach Zeilen Determinante mit (—1)*'! gebildete Produkt ( —ljVs (n-1) (n-2) C r eine zyklische Determinante. Wir wollen jetzt noch eine spezielle zyklische Determinante betrachten, bei der die Glieder der ersten Zeile eine arithmetische Reihe erster Ordnung bilden. Eine solche Determinante hat folgendes Aussehen:

a, a + d, .., a +(n -1) d a + 2d, a a + d, D— 2 )d a + (n — ,l)d a, .., a+(n — *) Bei — r entsteht die fcte Zeile aus der (k während es bei r umgekehrt ist.

1 ) t e n durch zyklische Permutation,

c 3 y,

119

§51. Beispiele symmetrischer Determinanten

Subtrahieren wir von der letzten Zeile die vorletzte, von der vorletzten die drittletzte usw., schließlich von der zweiten die erste, so erhalten wir a + (n — 2 )d a + (n — l)d

a

a + d

d

d d

d

d -(n-l)d .

d

D = d

..

-(n-l)d 1 )d

d

•

d

Ziehen wir jetzt die erste Spalte von allen folgenden ab, so kommt a d

D = d d

d

..

0 0

. . ..

(n-2)d (n-i)d —nd — nd 0

0

0

—nd

0

Jetzt wollen wir die erste Spalte mit n multiplizieren und dann alle anderen Spalten zu ihr addieren. Dadurch gewinnen wir rea + n D = z

n ( n

d

...

0 0

~

d

0 0

... ...

0 -nd

0

0

-nd

...

0

0

oder nD-(na

+

n { n

~

i )

0 0

d)

—nd

(n-2)d

(n-l)d -nd

. . . 0 —nd . . . —nd 0 ..

.

0

0

Nun ist aber 0 0 —nd

. . . 0 —nd . . . —nd 0 ..

.

0

—nd

(n—1) (n—2) 0 = (-1) =

0

0 n (M—l) (-1)

2

n (n—1)

z> = ( - 1 )

2

.. . —nd .. . 0

0

(nd)»~ i j

(nd)"- 1 Iß-f

n — 2U ) .

0 0

. . . —nd

120

Achtes Kapitel: Symmetrische Determinanten

Hiernach wird z. B . 1 2 . . n 2 3. .1

n(n—l)

-(

1)

2

n

i

1

n 1 . . n - 1 Die S m i t h s c h e D e t e r m i n a n t e

Mit (r, s) wollen wir den größten gemeinsamen Teiler der positiven ganzen Zahlen r und s bezeichnen und die symmetrische Determinante _

(1, 1) (1, 2) . . . (1, n) (2, 1) (2, 2 ) . . . (2, «) (n , 1) (n , 2) . . . (n,

n)

berechnen. Dies gelingt mit Hilfe der Funktion

S2; • • • > S2CT—1J S2 a > t2 , r3, ..., r2 Q, r^, s2, s3, ..., s2 a, Sj,

...

sind also Permutationen von 1, 2, ..., n. Die erste enthalte p, die zweite q Derangements. Dann ist nach § 6 (Schluß) denn man hat

s g n S = (-1)"+«;

Das zu S gehörige Determinantenglied lautet demnach ( - l ) p P-

{-i)9Q.

Man gelangt von diesem Produkt auf folgende Weise zu S zurück. 1 stehe in den Doppelindizes von P mit k2 zusammen, k2 in den Doppelindizes von •••' «*» bezüglich durch ali>

al2'

•••> atn>

wobei l ^ k sein soll, so geht (1, 2 , . . . , n) in an Sifci + a i 2 SIfc2 + ••• + a l n % k n über; denn 21*!, 2l k2 , •••> Sifc» sind von dem Index k gänzlich frei. Das Quadrat von (1, 2, . . . , n), d. h. die schiefsymmetrische Determinante «11 «12 • • «1» «21 &22 ' • «2 n «»1 an 2 • • «nn *) Das Glied mit akk fällt wegen akk = 0 fort, wie wir auch %kk wählen. Wir wollen aber %kk = 0 setzen.

142

Neuntes Kapitel: Schiefsymmetrische Determinanten

verwandelt sich dabei in eine Determinante mit zwei übereinstimmenden Zeilen (und Spalten). Daraus folgt, daß «zi2iii + aj 2 21fc2+ ••• + a l n % k n = 0 ist, sobald l von k verschieden.

§ 62. Die Reziproke einer schieisymmetrischen Determinante gerader Ordnung ( 1 , 2 , . . . , « ) sei ungleich Null und 2iki das algebraische Komplement von ak i in (1, 2, . . . , ri), Ak i aber das algebraische Komplement von akX in der Determinante ( 1 , 2 , . . . , n) 2 . Um die Beziehung zwischen 2 i k i und Akl zu finden, bedenke man, daß und

flftiAki+

ß«

A

ki

a

k 2

+ a8 z

A

k 2

Ak2

+

h a

+ ••• +

k n

aan

A

k n

Akn

=

(1, 2, ...,

= 0

rc)2

(s ^ k ) ,

außerdem aber und

«fci S i * i + akz

2ifc2 H

«m 2i*i + «92

+ akn

= ( 1 , 2 , . . . , n)

••• + a t n % kn — 0

(szzk).

Man ersieht hieraus, daß

und

^ki (1,2,...,»)'

A ¿2 Ak n (1, 2, . . . , n) ' •••' (1, 2, . . . , n) Sifci, Sita,

8t*.

dasselbe System von n linearen Gleichungen mit nichtverschwindender Determinante befriedigen. Da ein solches System nur eine Lösung hat, so folgt

oder A

k l

= ( 1,2,

...,»)«»,.

Durch eine Stetigkeitsbetrachtung überzeugt man sich, daß diese Formel auch im Falle (1, 2, . . . , n) — 0 gilt. Die algebraischen Komplemente von a k i in dem P f äff sehen Aggregat (1, 2 , ..., n) und in der Determinante ( 1 , 2 , . . . , re)a unterscheiden sich also nur um den Faktor (1, 2, . . . , n).

§ 63. Lineare Gin. mit einer von Null versch. schiefsymmetr. Determinante

143

§ 63. Lineare Gleichungen mit einer von Null verschiedenen schieisymmetrischen Determinante Das System

(1)

«11 xi + «12 x2 + • • + «i« Xn + • • + «2 71Xn = «21 + «22 + dni #2 + • *

. «» i

h,

«nn Xn = bn ,

dessen Determinante schiefsymmetrisch und von Null verschieden sein soll, hat nach § 22 nur die Lösung X, =

(1,2, . . . ,, nf

bn

i

, n)b2 A„

bl A12 + &2 -^22 + •* * (1, 2, . . . , Xn —

biAln + hAin

+

n

2

1- bnAnn

(1,2

Wegen der Relationen Akl=

(1,2,

nimmt diese Lösung folgende einfachere Form an: x,1 '

« i i + 6» ««! + •• • + &««« (1,2 n)

Xo —

Xn

(1,2,

n)

(1,2, . . . , n)

—

Der Ausdruck entsteht aus Sil & + «2 k

+ ••• + a n k 2t»i

oder aus ( 1 , 2 , . . . , « ) , indem man «1*> «2k>

ank

bezüglich durch ersetzt. Schreibt man statt blt b2, • •., bn «l, n+li «2,n+l> •••> «n,n+1

oder

— On+l, 1, ~ a n+1,2, •••>

—

®»+l, n>

144

Neuntes Kapitel: Schiefaymmetrische Determinanten

so geht b1%lk

+

b

%

i

i k

+

—

+

b

n

K

n k

dadurch aus ( 1 , 2 , . . . , » ) hervor, daß man den Index k durch n + 1 ersetzt. Es gilt also für die Auflösung des Systems folgende Regel, die ein Analogon der Cramerschen Regel ist (vgl. § 22): Man ersetze in P = (1, 2 , ..., n) den Index k durch n + 1. Das so entstehende Aggregat heiße Pk. Bann lautet die Lösung des Systems (1): x

l

" ~~p i

~

~p

=

t • • • > En

p

•

§ 64. Bang einer schielsymmetrischen Determinante Die schiefsymmetrische Determinante «11 «12 • • «in «21 «22 • • «2»

(1)

«»1 «712 • • «n re habe den Rang r. Dann ist (vgl. § 52) die Matrix ihrer r-reihigen Minoren vom Range 1. Ist nun z. B. a

h

kxU

•

«¡M, •

h

hakrl,-

von Null verschieden (ftx < wegen

k2

«4,fc,«jfc.Aj • a

kc i ,

a

akfkl

a

k,k,

a

k,h

krk2 a

hh

a

a-kih

a

a

k,h

kTh

. . .
kk,

SBjij

die algebraischen Komplemente von ttkl' alk>

a

ll

*) Durch Vertauschung von 1, 2, ..., n läßt sich dieser Fall herbeiführen. Kowalewski, Determinanten

10

146

Neuntes Kapitel: Schiefsymmetrische Determinanten

in der schiefsymmetrischen Determinante aw

• • • alp alk ai i

apl...

app üp^ttpi = (-1, 2, . . . , p, k, l)2,

ak 1 • • • akp akk a-kl an • • • aip a-ik o-n

so ist nach Satz 28

= (1, 2, ..., p)2 (1,2,..., p, k, l)2 = 0. Nach Satz 38 hat man nun » * * = « n = o. Es ergibt sich somit Wir sehen hieraus, daß in (1) alle (p + l)-reihigen Superdeterminanten von ^12 ' * ' P ^22 ' ' ' ®22> Clp j dp 2 . . . (lp p gleich Null sind. Nach Satz 18 können wir also schließen, daß (1) den Rang p hat. Um den Rang der Determinante (1) zu finden, kann man jetzt so verfahren : Man sucht in (1, 2, . . . , n) einen zweigliedrigen Minor, der von Null verschieden ist. Gibt es keinen solchen, so hat (1) den Rang 0. Andernfalls lassen sich die Indizes 1, 2, . . . , n so vertauschen, daß gerade (1, 2) von Null verschieden ist. Sind alle Aggregate (1, 2, k, l) gleich Null (k, 1 = 3, ..., n), so ist (1) vom Range 2. Andernfalls läßt sich durch Vertauschung von 3, 4, . . . , n bewirken, daß gerade (1, 2, 3, 4) von Null verschieden ist. Sind alle Aggregate ( 1 , 2 , 3 , 4 , k, l) gleich Null (k, l — 5, ...,«)> s o hat (1) den Rang 4. Andernfalls läßt sich durch Vertauschung von 5, 6, . . . , n bewirken, daß gerade (1, 2, 3 , 4, 5, 6) von Null verschieden ist. Usw. Wir sehen hieraus, daß nach geeigneter Vertauschung der Indizes 1. 2 n die Aggregate (1.2),

(1,2,3,4),

...,

(1,2,...,/•)

§ 65. Lineare Gleichungen mit verschwindender schiefsymmetrischer Determinante 147

von Null verschieden sind, während die Aggregate ( 1 , 2

, . . . , r , k , l )

verschwinden (k, l = r + 1, ..., n)*). r ist dabei der Rang von (1). Bei einer symmetrischen Determinante läßt sich etwas Ahnliches erreichen. Es gilt nämlich auch für symmetrische Determinanten der folgende Satz. Wenn die (p + l)-reihigen und (p + 2)-reihigen Hauptminoren, in denen ein von Null verschiedener p-reihiger Hauptminor steckt, alle verschwinden, so ist der Rang der symmetrischen Determinante gleich p**). Hieraus ergibt sich leicht, daß eine symmetrische Determinante «11 «12 • • «1« «21 «22 • • «2n «n i «»2 ' . a n n vom Range r nach geeigneter Vertauschung der Indizes 1 , 2 , ..., folgender Beschaffenheit ist: In der Reihe

1.

«11.

«11

«12

«21

«22

i

• • • i

«11

«12

•

•

«21

«22

•

• «2 T

«71

«r 2 •

•

n von

« l f

Cht

sind das erste und letzte Glied von Null verschieden und nie zwei benachbarte Glieder gleich Null. § 65. Lineare Gleichungen mit verschwindender schiefsymmetrischer Determinante Wir betrachten das System (1) in §63, dessen Determinante schiefsymmetrisch und gleich Null sein soll, n braucht also jetzt nicht gerade zu sein. Aus § 29 wissen wir, daß das System dann und nur dann Lösungen besitzt, wenn die beiden Matrizen «11 «12 ••• «in «21 «22 ••• «2» • «Kl «»2-

• a

n n

*) Man denke sich (1) eventuell durch Nullen gerändert. **) Beweis ebenso wie bei der schiefsymmetrischen Determinante. 10«

148

Neuntes Kapitel: Schiefsymmetrische Determinanten

und ' «11 «12 ••• «1« h h «21 «22 •• • «2re

(2)

. «»1 «n 2 •• «W 71K gleichen Rang haben. Nun ist der Rang der schiefsymmetrischen Matrix

(3)

«ra 1 «n 2 • • • «rere^re - b

n

0

höchstens um 1 höher als der von (2). Bezeichnen wir also mit rlt r2, rs den Rang von (1) bzw. (2) bzw. (3), so ist < r 2 + i, r-L = r 2 und r2 also auch r-i. ^ rs

^ rx +

1.

Da r t und r 3 gerade Zahlen sind, so folgt hieraus r 3 = '•iWenn ri = rs ist, so muß auch r x = r 2 sein. Denn es ist immer r 1 < r 2 Ein Gleichungssystem «11

Cli2 3*2

«1»

«21

«22 ^2

«2ra ^71

«»1

+

n

a

2 3-2 + " ' + «re 7!

r3.

~

^2'

=

~

^n

mit schiefsymmetrischer Determinante hat also dann und nur dann eine Lösung, wenn die Matrizen (1) und (3) von gleichem Range sind. Bezeichnen wir den gemeinsamen Rang von (1) und (3) mit r, so läßt sich durch Vertauschung der Indizes 1, 2, . . . , n erreichen, daß (1) 2,

. . . , r)

+ 0

ist. Nach § 24 sind dann die n + 1 — r letzten Zeilen von (3) lineare Kombinationen der r ersten*). Wir dürfen uns deshalb auf die r ersten Glei*) Den trivialen Fall r = 0 lassen wir beiseite.

§ 66. Determinanten gerader Ordnung, dargestellt durch Pfaflsche Aggregate 149

drangen des Systems beschränken. Diese sehreiben wir in folgender Form: «11 a

r l

x

1

+

1-

setzen. Da offenbar Prs =

Ps r>

so ist die Determinante (3) schiefsymmetrisch. Mit (1, 2, . . . , n) werde das P f ä f f sehe Aggregat bezeichnet, dessen Quadrat die Determinante (3) ist. Dann folgt aus (3) (4)

£>=(1,2,...,»).

Daß das Vorzeichen der rechten Seite richtig gewählt ist, erkennt man durch folgende Überlegung. In (1, 2, . . . , n) tritt das Glied Pl2 ?34 • • • Pn—l, n mit dem Zeichen + auf. Nun ist aber P12 —' Psi

=

/

• • • +

h K - ..

In dem ausgerechneten Produkt p12 pM ... pn glied von £>, d. h. ax a'z ¿>3 b\ ...

. ,

n

kommt also das Haupt-

151

§ 67. Schiefe Determinanten

mit dem. Zeichen + vor, wie in D selbst, und kein anderes Glied von ( 1 , 2 , . . . , n) enthält a1 a'2b3b'4 . . . als Bestandteil. Wir wollen Formel (4) auf die Determinante __

ax a[ bt

bi

a2a2

b2

b2

«3 «s b3 bg «4 «4 64 Ö4 anwenden. Setzen wir Prs

= «r«s — «8 a'T +

bTb's

— b,

b'r,

so wird D = Pl2 Psi + Pl3 Pi2 + Pli P23, weil die rechte Seite gleich ( 1 , 2 , 3 , 4 ) ist. Falls die Determinante (1) selbst schiefsymmetrisch ist, enthält die Formel (4) den Satz, daß das Quadrat eines P f a f f s c h e n Aggregats sich wieder als P f a f f s c h e s Aggregat schreiben läßt, und zwar mit derselben Gliederzahl.

§67. Schiefe Determinanten Wenn man die Hauptelemente einer schiefsymmetrischen Determinante durch irgendwelche Zahlen ersetzt, so entsteht eine Determinante, die man als schief bezeichnet. I n einer solchen Determinante ist also agr=

- a

( r ^ s ) .

r s

Wenn die Hauptelemente einer schiefen Determinante alle gleich x sind, so können wir sie in folgender Form schreiben: ^11 D(x)

^

^12

n

#2 n

=

• &nn Q>n 1 2 Nach § 53 ist diese Determinante gleich xn + S

i

x"-1

+ S2

xn~2

{(lsr—

drs

%

+ ... +

£„,

wobei S/c die Summe aller fc-reihigen Hauptminoren in der schiefsymmetrischen Determinante «12 • «21 «22 •

• «1 n

«711 «B2

• «n n

a D

bedeutet.

=

n

•

•

(I2 n

152

Neunte3 Kapitel: Schiefsymmetrische Determinanten

Da jeder Hauptminor einer schiefsymmetrischen Determinante selbst schiefsymmetrisch ist, so verschwinden nach Satz 38 alle S mit ungeradem Index, während alle S mit geradem Index Summen von Quadraten sind (vgl. Satz 40). Die schiefe Determinante D(x) reduziert sich also auf xn + S2 xn~2 + S4 xn~* + • • • Wenn x > 0 ist, so wird D(±x)

= (± l)n {xn + S2 xn-2 + St xn~4 + •••}.

Die Klammer besteht aus lauter nichtnegativen Gliedern, und eins von ihnen, nämlich xn, ist positiv. Wir sehen hieraus, d a ß d i e G l e i c h u n g D(x) = 0 k e i n e v o n N u l l v e r s c h i e d e n e r e e l l e W u r z e l h a b e n k a n n . Die Wurzel x = 0 hat sie nur dann, wenn D = 0 ist.

§ 68. Kontinuanten

£ II

Die K o n t i n u a n t e n sind schiefe Determinanten von der Form x1 1 0 . . 0 -1 1 . . 0 0 - 1 x3 . . 0 0

0

0 . . xn

Die Elemente a

a

12> a23' • • • j n—1, n

sind gleich 1, die Elemente a

21) ß32 > • • • J an, »1—1

gleich — 1 und die Hauptelemente gleich x1} x2, ..., xn. Alle andern Elemente sind gleich Null. Wenn man die Kontinuante Kn ausrechnet, so ist jedes Glied von ihr das Produkt gewisser x, versehen mit dem Koeffizienten 1. In der Tat ist K1 = xlt —

usw.

#2

153

§68. Kontinuanten

Um uns von der Allgemeingültigkeit des Satzes zu überzeugen, entwickeln wir Kn nach der letzten Zeile. Dann erhalten wir

Kn = xn

K

1 0 .. . 0 0 -1 1 .. . 0 0 + 0 - 1 x3 . . . 0 0

n

0

0

0 .. . - 1 1

Entwickeln wir die letzte Determinante (die aus Kn durch Streichung der letzten Zeile und vorletzten Spalte entsteht) nach der letzten Spalte, so ergibt sich K-n =

xn

^n-1 +

2-

Diese Formel hätten wir auch direkt gewinnen können, und zwar durch Entwicklung von Kn nach der letzten Zeile und letzten Spalte (vgl. § 42). Wenn K n _ 1 und K n _ 2 a u s lauter Gliedern mit dem Koeffizienten 1 bestehen, so gilt dies wegen der obigen Ilekursionsformel auch für Kn. Nun haben K1 und die in Rede stehende Eigenschaft, folglich auch K3, Ki,... Auf Grund der Rekursionsformel ist es leicht, die Gliederzahl von Kn zu berechnen. Nennen wir sie kn, so ist offenbar Kl =

Da

x + A„_ 2 .

Aj = 1, A2 = 2 ist, so folgt Ag = Aj

— 3,

A4 = A2 + k3 = 5, = + = 8 usw. Die Folge A1; A2, A3, . . . oder 1, 2, 3, 5, 8, . . . hat die Eigenschaft, daß vom dritten Gliede ab jedes Glied die Summe der beiden vorhergehenden ist. Setzt man wie gewöhnlich » /n\ (,a + b)n =2"! k Jan~k bk' so wird (a + &)n+1 = (a + b) (a + b)n

i^j an~k+i bk +2

Andererseits ist (a +

br+i^zj^y^an+x-ni.

^ j an~h bh+1 .

154

Neuntes Kapitel: Schiefsymmetrische Determinanten

Durch Vergleichung der beiden Ausdrücke für (a + 6 ) n + 1 erkennt man, daß » + j

/ )

=

\j)

n \j-l

+

ist. Wenn man vereinbart, daß ( U ) für k = — 1, — 2, ... und für k = n + 1, W n + 2, . . . gleich Null sein soll, so gilt diese Formel ganz allgemein. Mit c, werde nun die Summe aller

bezeichnet, bei denen n + k = s

ist. Dann folgt aus der obigen Formel CS =

Cfi—1 C3—2

(S — •

Die Folge c x , c 2 , c 3 , ... hat also auch die Eigenschaft, daß vom dritten ab jedes Glied die Summe der beiden vorhergehenden ist. Da

so stimmen die Folgen ki) k2, k3, ...

und

clt c 2 , c 3 , . . .

in ihren beiden ersten Gliedern überein. Daraus folgt aber wegen kn = Ä n _j +

2 und cn = cn—i + c„_ 2 ,

daß sie in allen Gliedern übereinstimmen. Es ist also kn

fn\ In —1\ In —2] ~\0) ' \ 1 ) ' \ 2

Der Name K o n t i n u a n t e hat seinen Ursprung in der Beziehung, die zwischen diesen Determinanten und den K e t t e n b r ü c h e n (fractions continues) besteht. Aus der Rekursionsformel Kn = xn Kn_1 + Ä„_ 2 ergibt sich TT

— #71 n^

oder, wenn wir ~=Qn

Kn-1

setzen,

TT-

§ 68. Kontinuanten

155

Aus demselben Grunde ist aber Qn—l ~ %n—1 +