Einführung in die Determinantentheorie einschließlich der Fredholmschen Determinanten [3. verb. u. erw. Aufl. Reprint 2020] 9783111492414, 9783111126036

Table of contents :
Vorwort zur ersten Auflage
Vorwort zur zweiten Auflage
Vorwort zur dritten Auflage
Inhalt.
1. Historische Bemerkungen
2. Definition der n-reihigen Determinante
3. Einfachste Eigenschaften der Determinanten
4. Unterdeterminanten
5. Systeme linearer Gleichungen
6. Multiplikation von Matrizen und Determinanten
7. Determinanten, deren Elemente Minoren einer andern sind
8. Symmetrische Determinanten
9. Schiefsymmetrische Determinanten
10. Orthogonale Determinanten
11. Resultanten und Diskriminanten
12. Lineare und quadratische Formen
13. Funktionaldeterminanten
14. Wronskische und Gram sehe Determinanten
15. Einige geometrische Anwendungen der Determinanten
16. Die linearen Integralgleichungen
17. Elementartcilertheorie
Literaturnachweise und Anmerkungen
Sachregister

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Einführung in

die

Determinantentheorie einschließlich der Fredholmschen Determinanten Von

Prof. Dr. Gerhard Kowalewski Deutsche Karls-Universität i u Prag

Dritte, verbesserte und erweiterte Auflage

1

Verlag

von

9

4

2

W a l t e r de G r u y t e r & Co. / B e r l i n

v o r m a l s G. J. G ö s c h e n ' s c h e V e r l a g s h a n d l u n g / J . G u t t e n t a g . V e r l a g s b u c h h a n d l u n g / G e o r g R e i m e r / K a r l J . T r ü b n e r / Veit & Comp.

A l l e R e c h t e , i n s b e s o n d e r e d a s Ü b e r s e 1 1 u n g s r e c h t, von der Verlagshandlung vorbehalten

Archiv-Nr. 123042 Printed ill Germany / C G . R ö d e r , Leipzig

Vorwort zur ersten Auflage. Dieses Buch ist aus Vorlesungen und Übungen entstanden, die ich während meiner mehr als zehnjährigen Lehrtätigkeit in Leipzig, Greifswald und Bonn gehalten habe. Dem entspricht die Begrenzung des Stoffs und die Art der Darstellung. Es soll hier eine G i n f ü h r u n g in eine große und wichtige Disziplin geboten werden, die in neuester Zeit durch Übertragung des Determinantenbegriffs ins abzählbar und ins kontinuierlich Unendliche noch erheblich angewachsen ist. Die F r e d h o l m s c h e n Determinanten, die für die linearen Integralgleichungen dieselbe Bedeutung haben, wie die gewöhnlichen Determinanten für lineare Gleichungssystcme mit n Unbekannten, habe ich in der H i l b e r t schen Weise durch Grenzübergang aus gewöhnlichen Determinanten abgeleitet. Auf diesem Wege ergeben sich auch sehr einfach die F r e d h o l m schen Minoren und die Relationen zwischen ihnen, auf denen F r e d h o l m s Auflösung der linearen Integralgleichungen beruht. In dem Kapitel über unendliche Determinanten ist bei der Betrachtung der linearen Gleichungssysteme mit unendlich vielen Unbekannten auch die schöne Theorie dargestellt, die E r h a r d S c h m i d t für diese Systeme begründet hat. Ebenso wird am Schluß des Buches E. S c h m i d t s Behandlung der linearen Integralgleichungen in ihren Hauptpunkten entwickelt. Dieser Teil des Buches kann daher zur Einführung in das Studium der Integralgleichungen dienen, die sich unter den Händen H i l b e r t s zu einer der umfassendsten und bedeutsamsten mathematischen Theorien entwickelt haben. Am Schlüsse findet der Leser die hauptsächlichsten Literaturnachweise. Wünscht er eine vollständigere Bibliographie, so verweisen wir ihn auf den Artikel von E. N e t t o im ersten Bande der Enzyklopädie der mathematischen Wissenschaften oder auf das groß angelegte, ausgezeichnete Werk von T. M u i r : The theory of determinanta in the historical order of its development, London 1906. B o n n , im April 1909.

Gerhard Kowalewski.

Vorwort zur zweiten Auflage. Nachdem ein anastatischer Neudruck meines Buches vergriffen ist, hat die Verlagsbuchhandlung die Herstellung einer zweiten Auflage beschlossen, die sie jedoch nicht in erweiterter, sondern in verkürzter Form wünschte. Ich habe deshalb starke Streichungen vorgenommen. Z. B. ist das 13. Kapitel (Elementarteilertheorie) fortgefallen, das in modernisierter Form einen noch größeren Raum beansprucht hätte, das 16. Kapitel (Unendliche Normaldeterminanten), ebenso das 19. Kapitel, das sich zu sehr in die Einzelheiten der Theorie der Integralgleichungen verlor. Auch im 18. Kapitel ( F r e d h o l m s c h e Theorie) ist vieles gestrichen. Die Eigenart meines Buches, das von der Kritik seinerzeit sehr freundlich aufgenommen wurde, hat durch die vorgenommenen Änderungen keinerlei Einbuße erlitten, und ich hoffe, daß es auch in der jetzigen Gestalt, insbesondere den Studierenden, gute Dienste leisten wird. D r e s d e n , Mai 1924.

Gerhard Kowalewski.

Vorwort zur dritten Auflage. Die zweite Auflage meines Determinantenbuches unterschied sich von der ersten hauptsächlich dadurch, daß die Fredholmsche Theorie auf einen etwas engeren Raum beschränkt wurde. Ich habe mich bei der Vorbereitung der dritten Auflage nicht entschließen können, diese Kürzung wieder aufzuheben, zumal inzwischen im gleichen Verlag ein besonderes Buch über Integralgleichungen von mir erschienen ist. Eine zweite Änderung, welche die zweite Auflage gegenüber der ersten brachte, war die Fortlassung der Äquivalenztheorie von Büscheln bilinearer Formen, also die Elementarteilertheorie. Hierfür bietet die dritte Auflage Ersatz in einem besonderen Kapitel, wobei ich mich an ein von mir selbst stammendes Verfahren halte, das sich in meinen Vorlesungen sehr bewährt hat und zuerst in den Leipziger Akademieberichten 1917, S. 325—35 veröffentlicht wurde. Die unendlichen Determinanten, deren Theorie, abgesehen von der besonderen Klasse der Kochschen Normaldeterminanten, noch nicht recht geklärt ist, lasse ich auch diesmal beiseite. Meine Determinantentheorie gehört zu den zerlesensten und zerfetztesten Büchern der Seminarbibliotheken, wie ich von vielen Seiten höre, und auch jetzt bei meiner Rückkehr auf die Prager Professur wieder feststellen konnte. Möchte auch die neue Auflage sich gleicher Beliebtheit erfreuen! Prag, Januar 1942. Gerhard Kowalewski.

Inhalt. Seit«

1. Kapitel: Historische Bemerkungen Definition der n-reihigen Determinante Einfachste Eigenschaften der Determinanten Unterdeterminanten Systeme linearer Gleichungen Multiplikation von Matrizen und Determinanten Determinanten, deren Elemente Minoren einer andern sind Symmetrische Determinanten Schiefsymmetrische Determinanten Orthogonale Determinanten Resultanten und Diskriminanten Lineare und quadratische Formen Funktionaldeterminanten Wronskische und G r a m sehe Determinanten Einige geometrische Anwendungen der Determinanten Die linearen Integralgleichungen Elementartcilcrtheorie . . . . Literaturnachweise und Anmerkungen Sachregister

. . . .

1 6 21 29 41 69 71 101 121 144 160 169 200 223 232 264

298 J15 318

Erstes

Kapitel.

Historische Bemerkungen. § 1. Die Determinanten bei Leibniz. L e i b n i z kam auf die Determinanten bei Behandlung der Aufgabe, aus n - f 1 linearen Gleichungen mit n Unbekannten zlt x2,.. z„ diese Unbekannten zu eliminieren. Er führte eine sehr zweckmäßige Bezeichnungsweise ein, die im wesentlichen auch heute noch in der Determinantentheorie benutzt wird. Er schrieb nämlich die n + 1 Gleichungen in folgender Weise: 10 + 11 • x1 + 12 • x2 + .. . + 1 n • x„ = 0 , 20 + 21 • Xj + 22 • x2 + . . . + 2n • xn = 0 , 30 + 31 • x, - f 32 • x2 + . . . + 3n • xn = 0 , Jeder Koeffizient ist hier durch zwei Indizes symbolisiert, von denen der erste die Gleichung, der zweite die Stelle innerhalb der Gleichung anzeigt. I m Falle n =

1 findet man als Eliminationsresultat 10- 21 -

im Falle n — 2 -

11 • 20 =

0,

10 • 21 • 32 + 11 • 22 • 30 + 12 • 20 • 31 10 • 22 • 31 - 11 • 20 • 32 - 12 • 21 • 30 = 0

und so fort. L e i b n i z gelangte durch Induktion zu einem allgemeinen Theorem, das er in einem Brief an den Marquis de 1 ' H o s p i t a l (vom 28. April 1693) ausspricht: „Datis aequationibus quoteunque sufficientibus ad tollendas quantitates, quae simplicem gradum non egrediuntur, pro aequatione prodeunte primo sumendae sunt omnes combinationes possibiles, quas ingreditur una tantum coefficiens uniuscunque aequationis; secundo eae combinationes opposita habent signa, si in eodem prodeuntis aequationis latere ponantur, quae habent tot coefficientes communes, quot sunt unitates in numero quantitatum tollendarum unitate minuto; caeterae habent eadem signa." K o w a l e w e h i , Determinanten.

1

2

Erstes Kapitel.

Historische Bemerkangen.

Es seien beliebig viele Gleichungen gegeben, die zur Elimination der den ersten Grad nicht überschreitenden Unbekannten ausreichen. Um die resultierende Gleichung zu erhalten, hat man zunächst alle möglichen Kombinationen zu bilden, in die aus jeder Gleichung nur ein Koeffizient eingeht [d. h. die Produkte l r 0 • 2 r t . . . n + 1, r„ ]. Bringt man dann in der resultierenden Gleichung alles auf eine Seite, so haben diejenigen Kombinationen entgegengesetzte Zeichen, die so viele gemeinsame Koeffizienten enthalten, als es Einheiten in der um 1 verminderten Zahl der zu eliminierenden Unbekannten gibt. Die übrigen haben dieselben Zeichen. Wenn zwei Produkte 1 r 0 • 2 r j . . . n + 1, rn und 1 «o • 2 « , . . . n + 1, «„ n — 1 gemeinsame Faktoren haben, so entsteht s0, alt..., «„ aus r 0 , r,, ..., r„ durch eine T r a n s p o s i t i o n , d.h. durch Vertauschung zweier Glieder. Das nach der Leib nizschen Vorschrift gebildete Eliminationsresultat lautet also • 1 r0 • 2rx. .. n + 1, r„ = 0 . Die Summation erstreckt sich über alle (» + 1)! Permutationen *o» ri> • • -1 rn der Indizes 0, 1, . . ., n, und e ist gleich + 1 oder — 1, je nachdem r„, r x , . . . , r„ aus 0, 1, . . ., n durch eine gerade oder ungerade Anzahl von Transpositionen hervorgeht. - l r 0 • 2 r , . . . n + 1, r„ ist das, was wir heutzutage eine (n + l)-reihige D e t e r m i n a n t e nennen.

§ 2. Die Determinanten bei Gramer. Leibniz fand nicht die Zeit, seine Erfindung, von deren großer Tragweite er bei verschiedenen Gelegenheiten spricht, weiter zu verfolgen. So geriet sie ganz in Vergessenheit. Als Gabriel C r a m e r , der Verfasser der „Introduction à l'analyse des lignes courbes algébriques" (1750), sich mit Systemen linearer Gleichungen beschäftigte, stieß er ganz u n a b h ä n g i g von L e i b n i z noch einmal auf die Determinanten. Im Anhang seines großen Werkes zeigt er, wie man n lineare Gleichungen mit n Unbekannten durch Determinanten auflöst. Wir wollen die kurze Note hier vollständig wiedergeben:

§ 2 . Die Determinanten bei Cramer.

„Man habe mehrere Unbekannte z, y, x, und ebenso viele Gleichungen A» = ZH + yiy + A* = ZH + F2y+ A* = Zaz + Yay + Ai = Z*z+ F«y +

v,

3

...

Xlx + Vlv + .. X*x + V'v + .. Xax + V*v+..., I«ir+ F«w+...,

Dabei sollen die Buchstaben A\ A• A»,

A\...

nicht wie gewöhnlich die Potenzen von A bedeuten, sondern die als bekannt vorausgesetzte linke Seite der ersten, zweiten, dritten, v i e r t e n , . . . Gleichung. Ebenso sind Z\ Za, . . . die Koeffizienten von z, Y\ Y\ . . . die von y, X\ X*, . . . die von x, V\ V», . . . die von v, . . ., in der ersten, zweiten, . . . Gleichung. Diese Bezeichnungsweise vorausgesetzt hat man, wenn nur eine Gleichung mit einer Unbekannten z vorliegt, Ä* Sind zwei Gleichungen und zwei Unbekannte z und y da, so findet man

mnd

Z—

A1 Y* - A* Yl Z1Yt — Z*Yl

_Z1A, ~Z1Y*

y

— Z*A1 — Z*Y1 '

Sind drei Gleichungen und drei Unbekannte z, y und x da, so findet iman _ AlY*Xa-A1YaX*-AtY1X* + AsYaX1 + AaY1X*-AaY*Xl :Z~ 1 t a 1 a 2 a a z a 1 a Z Y X — Z Y X — Z Y* X ZY X Z Y* X* — ZaY* X1 ' 1 a 1 a A»X» -Z A X* -Z'i X + Z»i'I' + ^ P - Z a A * X 1 i 2 a 1 a zY X — Z Y X* — Z*Y1Xa + Z!SYaX1 + ZaY1Xz — ZaYltX1 ' Z*Y* Aa - Z1Ya A» - Z*Y1 Aa + Z*Ya Al + Z T 1 A» - Z*Y* A» ar— 2Jir»Zs — ZlYaX* — Z*Yl Xa + Z*Ya X1 + Z*Yl X* — ZaY*X1 ' l*

4

Erstes Kapitel.

Historische Bemerkungen.

Die Prüfung dieser Formeln liefert folgende allgemeine Regel. Die Anzahl der Gleichungen und der Unbekannten sei n . Man findet dann den Wert jeder Unbekannten, indent man n Brüche bildet, deren gemeinsamer Nenner ebenso viele Glieder hat, als es verschiedene Anordnungen von n verschiedenen Dingen gibt. Jedes Glied setzt sich aus den Buchstaben 11, y, Ji, v, . . . zusammen. Sie werden immer in derselben Reihenfolge geschrieben. Man erteilt ihnen aber als Exponenten die n ersten Ziffern in allen möglichen Reihenfolgen. So hat, wenn drei Unbekannte da sind, der Nenner 1-2-3=6 Glieder; sie sind zusammengesetzt aus den drei Buchstaben Z, Y, die der Reihe nach die Exponenten

X,

1 2 3 , 132, 2 1 3 , 2 3 1 , 3 12, 3 2 1 erhalten. Man gibt diesen Gliedern die Zeichen + oder — nach folgender Regel. Wenn auf einen Exponenten in demselben Gliede mittelbar oder unmittelbar ein kleinerer Exponent folgt, so will ich dies ein D e r a n g e m e n t nennen. Man zfihle nun bei jedem Gliede die Derangements. Ist ihre Anzahl gerade oder Null, so erhält das Glied das Zeichen + , ist sie ungerade, so erhält das Glied das Zeichen —. Z. B. gibt es in dem Gliede z1 y* x* kein Derangement. Dieses Glied erhält also das Zeichen - f . Das Glied Z* Y1X* hat auch das Zeichen - f , weil es zwei Derangements aufweist, 3 vor 1 und 3 vor 2. Dagegen erhält das Glied Z* Y2

X\

das drei Derangements aufweist, 3 vor 2,3 vor 1 und 2 vor 1, das Zeichen —. Nachdem so der gemeinsame Nenner gebildet ist, erhält man den Wert von z, indem man diesem Nenner einen Zähler gibt, den man dadurch bildet, daß man in allen Gliedern Z in A verwandelt. Der Wert von y ist ein Bruch, der denselben Nenner hat und als Zähler eine Größe, die sich ergibt, wenn man in allen Gliedern des Nenners Y in A verwandelt. In ähnlicher Weise findet man den Wert der übrigen Unbekannten. Allgemein zu reden ist das Problem bestimmt. Aber es kann besondere Fälle geben, wo es unbestimmt bleibt, und andere, wo es unmöglich wird.

§,2. Die Determinanten bei Cram er.

5

Das geschieht, wenn man den gemeinsamen Nenner gleich Null findet; d. h. bei nur zwei Gleichungen, wenn ZlY2

— ZtY1

=

0,

bei drei Gleichungen, wenn ZI Y*x8 — Z1Y*X* — ZiY1X3

+ Zi rsX» + Z* FXZ2 — Z* YiX1 1

= 0

3

2

ist usw. Sind alsdann die Größen A , A , A , . . . so beschaffen, daß auch die Zähler gleich Null sind, so ist das Problem unbestimmt, denn diu Bräche die die Werte der Unbekannten geben müßten, sind unbestimmt. Wenn dagegen die Größen A1, A2, Aa, . . . so beschaffen sind, daß, während der .gemeinsame Nenner gleich Null ist, die Zähler oder einige von ihnen nicht Null sind, so ist das Problem unmöglich oder es sind wenigstens die unbekannten Größen, die es lösen können, alle oder zum Teil unendlich. Hat man z. B. die beiden folgenden Gleichungen: 2 = 3 2 - 2y, 5 = 62— 4 y, so findet man z und y sind also unendliche Größen, die sich zueinander verhauen wie 2 zu 3. Rechnete man die Unbekannten nach den gewöhnlichen Methoden aus, so käme man auf die sinnlose Gleichung t = iDenn die erste Gleichung gibt * = $y + f und die zweite Also hat man

+ oder $ = f , was ein Unsinn ist, wenn z und y endliche Größen sind. Wenn sie aber unendlich sind, so kann man ohne Sinnlosigkeit sagen, daß fy + i

und gleichzeitig

2=

\y + t

ist. Denn die endlichen Größen f und £ sind im Vergleich zu den unendlichen Größen z und nichts. Die beiden Gleichungen z =

| ! / + f

und

z = f y + s

reduzieren sich also auf eine Gleichung, die nichts Widersprechendes h a t . "

6

Zweites Kapitel. Definition der n-reihigen Determinante.

Zweites

Kapitel.

Definition der n-reihigen Determinante. §3. Pa&nmgen zwischen zwei Systemen Ton n Dingen. Wir betrachten zwei Systeme von n Dingen. Der Leser stelle sich, um ein anschauliches Beispiel zu haben, n Herren und n Damen vor, die auf einem Balle sind. Wenn jedes Ding des einen Systems mit einem Ding des anderen Systems verbunden wird, also in unserem Beispiel jeder Herr eine Dame wfihlt, so wollen wir das eine P a a r u n g zwischen den beiden Systemen nennen. Eine solche Paarung kann man in folgender Weise bewirken. Man läßt die Herren in einer bestimmten Reihenfolge wählen. Der erste Herr hat dann die Auswahl unter n Damen, der zweite unter n — 1 und so fort. Der letzte Herr muß die zuletzt übriggebliebene Dame nehmen. Man sieht hieraus, daß es . „ n! = 1 • 2 . . . n P a a r u n g e n zwischen den b e i d e n S y s t e m e n

gibt.

§ 4. Umpaarnngen und Inversionen. Den Übergang von einer Paarung zu einer neuen wollen wir als eine U m p a a r u n g bezeichnen. Die einfachsten Umpaarungen sind solche, wo nur zwei Paare abgeändert werden, also nichts weiter geschieht, als daß zwei Herren ihre Damen austauschen. Umpaarungen dieser Art nennen wir T r a n s p o s i tionen. J e d e U m p a a r u n g l ä ß t sich d u r c h eine Reihe von T r e n s positionen herbeiführen. Will man von der Paarung zu der Paarung gelangen, so fasse man einen Herrn und eine Dame ins Auge, die bei ^ß, aber nicht bei ein Paar bilden. Sie befinden sich also bei in verschiedenen Paaren. Ändert man nur diese beiden Paare ab, so ist wenigstens schon eins von den neuen Paaren gewonnen. Sind noch nicht alle neuen Paare da, so setzt man das Verfahren fort. Nach höchstens n — 1 Schritten hat man die Paarung iß erreicht. Wir wollen nun die Damen mit Rangnummern 1, 2 , . . . , » versehen und zwei bestimmte Herren betrachten. Diese seien bei ^ß mit den Damen

§ 4. Umpaanuigen und Inversionen.

7

r und s, bei iß mit den Damen f. bzw. ä gepaart. Wenn die Differenzen r —s

und

f — S

entgegengesetzte Zeichen haben, so wollen wir sagen, daß die betrachtete Herrenambe beim Übergange von iß zu iß eine I n v e r s i o n erfährt. Um zu wissen, wie viele Inversionen bei einer Umpaarung stattfinden, muß man jede der (n — 1) Herrenamben darauf untersuchen, ob sie eine Inversion erleidet oder nicht. Vi» seien drei beliebige Paarungen. Bei der Umpaarung iß,, iß 2 , d. h. beim Ubergange von iß, zu iß2 gebe es « , bei der Umpaarung iß 2 , iß 3 gebe es ß Inversionen. Wie viele Inversionen gibt es dann bei der Umpaarung iß,, iß 3 ? 8 sei die Anzahl der Herrenamben, die sowohl bei iß,, iß2 als auch bei iß 2 , iß3 eine Inversion erfahren. Offenbar treten dann bei der Umpaarung iß,, iß3 (« - ö) + (ß . . . r - r, ist. Man hat also nachzuzählen, wie oft in der Permutation r

i > Tt i • • • t r„

eine kleinere Zahl auf eine größere mittelbar oder unmittelbar folgt oder wie viele Derangements im Sinne CRAMERS (vgl. § 2, S. 4) vorhanden sind. Man pflegt eine Permutation g e r a d e oder u n g e r a d e zu nennen, je nachdem sie eine gerade oder ungerade Anzahl von Derangements aufweist. Die P a a r u n gK n 2 . . ,n\ V^ rt. . . r j ist also, wenn man Vi

2

. . .

n)

als H a u p t p a a r u n g z u g r u n d e l e g t , gerade oder u n g e r a d e , je nachdem r lJ r2l • • •) r« eine gerade oder u n g e r a d e P e r m u t a t i o n ist. Dasselbe gilt von der Paarung (ri r2 - • r„\ Vi 2 ...n)' Denn es ist gleichgültig, ob wir auf die Inversionen der Herrenamben oder der Damenamben achten. In r l t r2,..., r„ gebe es q und in « 2 , . . . , s„ gebe es a Derangements. Dann finden beim Übergange von

q Inversionen (von Damenamben) statt, beim Übergange von frir2- •rA Vi 2 . . . n /

zu

(ri ^ ... r,A V«! «2 . . . sn)

dagegen a Inversionen (von Herrenamben). fri ••• r »\ V«i «j •. • s j ist also g e r a d e oder u n g e r a d e , je n a c h d e m q + o gerade oder u n g e r a d e ist.

§ 7. Ändere Auffassung des Symbols einer Paarung.

11

A n d e r e A u f f a s s u n g des S y m b o l s r 1 r « • • • M . \81 8t . . . 8nt Wir wollen jetzt eine andere Auffassung des Symbols §7.

rtr2 . . . r„\ 8l S3 . . . 8n) auseinandersetzen, von der wir allerdings erst an einer späteren Stelle Gebrauch machen werden. Der Leser denke sich n Dinge mit den Nummern 1 , 2 , . . . , » versehen. Den Übergang von einer solchen Numerierung zu einer neuen nennen wir eine U m n u m e r i e r u n g . Eine Umnumerierung ist im Grunde nichts anderes als eine U m p a a r u n g . Denn eine Numerierung ist eine Paarung der n Dinge mit den Zahlen 1, 2, . . . , n , eine Umnumerierung also in der T a t eine Umpaarung. Um eine Umnumerierung zu beschreiben, muß man sagen, durch welche neue Nummer jede alte e r s e t z t wird. Setzen wir unter jede Nummer die neue Nummer, die an ihre Stelle tritt, so erhalten wir das Symbol rt . . . r„ «S| •• •

(

Dieses stellt also jetzt eine U m n u m e r i e r u n g oder U m p a a r u n g dar, während es früher der Ausdruck für eine P a a r u n g war. Da eine Umnumerierung darin besteht, daß für jede alte Nummer eine neue substituiert wird, so pflegt man diese Operation eine S u b s t i t u t i o n in 1 , 2 , . . . , n zu nennen. In dem Symbol einer Substitution (Umnumerierung, Umpaarung) darf man die Spalten r

l i

r

2) • • • 1 rn

beliebig vertauschen. Denn es kommt nur darauf an, daß unter jeder Zahl der oberen Zeile (des Z ä h l e r s der Substitution) in der unteren Zeile (dem N e n n e r der Substitution) die richtige Zahl steht. Man kann daher eine Substitution so schreiben, daß ihr Zähler oder ihr Nenner eine vorgeschriebene Permutation von 1, 2, . . . , n ist. Man bezeichnet Substitutionen durch einzelne Buchstaben, wie 8, T u. dgl. Nimmt man zuerst die Substitution*)

vor, darauf die Substitution

*) Unter A, B, C sind Permutationen von 1, 2, . . . , n zu verstehen.

12

Zweites Kapitel. Definition der n-reihigen Determinante,

so ist das Resultat dasselbe, wie bei der Substitution

Diese Substitution nennt man das Produkt von /Sund T (in d i e s e r R e i h e n folge) und bezeichnet sie mit S T . Es ist nicht immer

ST=

TS,

d. h. S und T sind nicht immer v e r t a u s c h b a r . ) ist die Summe der Zeilen- und Spaltenindizes von M oder auch die Summe aller Indizes in dem Diägonalglied von M . Es gilt also folgende Regel für die Bildung des algebraischen Komplements von M: S a t z 11. Um d a s a l g e b r a i s c h e K o m p l e m e n t eines Minors M zu e r h a l t e n , b i l d e m a n z u n ä c h s t sein K o m p l e m e n t N. D a n n Kowaltwaki, DeUrminanteo.

3

34

Viertes Kapitel. Unterdeterminanten.

l a u t e t das algebraische Komplement o d e r — N. je n a c h d e m d i e S u m m e d e r Z e i l e n - u n d S p a l t e n i n d i z e s v o n M (oder von N) g e r a d e o d e r u n g e r a d e ist. §19. D e r L a p l a c e s c h e E n t w i c k e l u n g s s a t z . Wir wollen alle Minoren m 1 " Ordnung betrachten, deren Glieder in wi b e s t i m m t e n Zeilen der n-reihigen Determinante A enthalten sind. Die Indizes dieser Zeilen seien r l t rt, . . r m . Es gibt offenbar

solche Minoren. M sei einer von ihnen und M sein

algebraisches Komplement. "Wir wissen, daß das Produkt MM, wenn man es ausrechnet, m\(n— m)\ Glieder von A liefert. Bilden wir die Summe aller Produkte M M , so erhalten wir n\ \m\(n — m)I = n! , d. h. alle Glieder von A. Damit haben wir die L a p l a c e s c h e Entwickelung einer Determinante nach den in m Zeilen enthaltenen Minoren gewonnen. Nur ein Punkt bedarf noch der Erörterung. Liefern zwei verschiedene Produkte MM wirklich lauter verschiedene Glieder von A ? M und M1 mögen beide die Zeiienindizes rl, r s , . . . , r m , aber nicht dieselben Spaltenindizes haben. Die Spaltenindizes von M seien , , . . .,«„,. die von M t aber aj, Dann haben die Glieder des Produktes M M die Form a ± r,o, a,,

» • • •»

'

also mit den algebraischen Komplementen der Elemente der « U n Spalte, und addieren dann alles, so ergibt sich Ax, = b1 Alt

+ bt At, +

. . . + bn

A„s.

Der Koeffizient von xt wird nfimlich

entsteht aus

+ h

A2I

+

• • •+

+

bn

An,

...+an,An, sUn

dadurch, daß man die E l e m e n t e der Spalte der Reihe nach durch 6,, , . . b „ ersetzt. Daraus ergibt sich folgende Regel, die von C r a m e r durch Induktion gefunden worden ist (vgl. § 2 ) : M a n e r s e t z e d i e E l e m e n t e d e r a4"1 S p a l t e v o n A d e r R e i h e n a c h d u r c h blt ¿>t,..., b„ u n d b e z e i c h n e d i e s o e n t s t e h e n d e D e t e r m i n a n t e m i t v i , . D a n n l a u t e t d i e L ö s u n g d e s S y s t e m s (1): Xl~

Wenn 6 , , b

A '

A '

X"~

n A '

b„ alle gleich Null sind, so h a t jede der Determinanten At

>

• • •>

An

§ 22. Cramersche Regel,

eine Spalte mit lauter Nullen. = 0,

Es ist daher

xt = 0 ,

* „

=

0

.

Aus °11 *1 + «12 *« + • • • + °1« X» = 0 > »l «l + « a ® s + • • • + «in^n = 0 ,

a

«111*1 + ®na*i + • • • + 0) läßt sich durch eine passende Vertauschung der Zeilen und Spalten erreichen, daß die Eckdeterminante a

ungleich Null ist.

ll

a

12

• • •

"IT

°21

°22 • • • a iT

a

a

rl

ri

• • •

®rr

3. Man darf alle E l e m e n t e einer Zeile m i t d e m s e l b e n von Null v e r s c h i e d e n e n F a k t o r v e r s e h e n . 4. Man darf zu den E l e m e n t e n e i n e r Zeile die m i t i m u l t i p l i z i e r t e n e n t s p r e c h e n d e n E l e m e n t e einer a n d e r n Zeile a d d i e r e n . Von der neuen Matrix kann man zu der alten zurückgelangen, indem man zu den Elementen einer Zeile die mit — X multiplizierten entsprechenden Elemente einer andern Zeile addiert. Man sieht sofort, daß keine der beiden Matrizen einen höheren Rang haben kann als die andre. Jede ^-reihige Determinante der einen Tat nämlich eine lineare Kombination vön zwei /¿-reihigen Determinanten der andern, wenn sie nicht selbst eine Determinante der andern ist (vgl. Satz 6 und 7). 5. Man darf eine Zeile m i t l a u t e r Nullen hinzufügern o d e r streichen.

46

Fünftes Kapitel. Systeme linearer Gleichungen.

6. Man darf eine lineare K o m b i n a t i o n der Z e i l e n als neue Z e i l e h i n z u f ü g e n . Die Matrix *1°11 + • • • -H ImUml , ^ « u + • • • + °11 °12 ®11 °22

» • ••

*l°lii + - . . . + ! , « » , „ «In ®»n

am 2 ®MI hat n&mlich denselben Rang wie

®»n

®11 ®lt • • • ®ln ®21 ®M • • • I ®m 9 • • • Ofil Man erkennt das durch Anwendung der Bemerkungen 4 und 5. W e n n eine Z e i l e eine lineare K o m b i n a t i o n der andern ist, so darf man sie unterdrücken*).

§ 24.

Lineare Unabhängigkeit.

m Systeme von je n Zahlen x 11 . a-12 i (i)

nennt man linear u n a b h ä n g i g , oder kurz unabhängig, wenn die Gleichungen xml = 0, (¿1 »11 X12 + Äj • + km xmt = 0, (2)

+

nur durch

L

4"

xin

+•

•• + Am ®»i « = 0

=

. . . , ^ 0

befriedigt werden. Im Falle m > 1 können wir auch sagen, daß keins der eine lineare K o m b i n a t i o n der andern ist.

Systeme

Im Falle m = l hat die lineare Unabhängigkeit den Sinn, daß das e i n z i g e v o r h a n d e n e System

nicht aus l a u t e r Nullen besteht. ) Die Sätze 3 bis 6 gelten auch für die Spalten

§ 24. Lineare Unabhängigkeit.

47

Wenn die Systeme (1) n i c h t unabhängig sind, so sagen wir auch, d a ß z w i s c h e n i h n e n e i n e l i n e a r e R e l a t i o n b e s t e h t * ) . Damit meinen wir dann, daß die Gleichungen (2) sich durch ein Wertsystem ^ , Xt,..., befriedigen lassen, das nicht aus lauter Nullen besteht. Ist ¡1;, ungleich Null, so sagen wir, daß in der erwähnten linearen Relation das System x

kIi

x

h2 1 • • •» xbn

vorkommt. S a t z 16. D i e S y s t e m e (1) s i n d d a n n u n d n u r d a n n l i n e a r u n a b h ä n g i g , w e n n d e r R a n g d e r M a t r i x (1) g l e i c h m i s t . Für m = 1 ist der Satz offenbar richtig. Wir können uns also auf m > 1 beschränken. Wenn die Systeme (1) nicht unabhängig sind, so ist in der Matrix (1) eine Zeile eine lineare Kombination der andern. Wir dürfen diese Zeile streichen, ohne daß der Rang der Matrix sich ändert (vgl. § 23 Nr. 6). Dor Rang einer (m — l)-zeiligen Matrix ist aber höchstens gleich m — 1, also kleiner als m. Damit ist ein Teil des Satzes 16 schon bewiesen. Nehmen wir jetzt an, daß der Rang r der Matrix (1) kleiner als m ist. Im Falle r = 0 sind die Systeme (1) sicher nicht unabhängig. Sie bestehen alle aus lauter Nullen. Jedes ist also eine lineare Kombination der andern. Im Falle r > 0 können wir durch Vertauschung der Zeilen bewirken, daß in den r ersten Zeilen eine von Null verschiedene r-reihige Determinante steht. Es> lassen sich dann n — r Hilfssysteme 1,1»

¡ / r + 1 , 2 , • • •> yr + i,»

?/r-(-2,1» yr-f-2,2 » • • • • J/f+2,». y»l» y«2, so bestimmen, daß die Determinante ar u

••• Vnn • *m

*rl Vr± M • • Vr + i,n y« i

• Vnn

ungleich Null ist. Man wählt in den r ersten Zeilen eine von Null verschiedene r-reihige Determinante, setzt die Hauptelemente ihres Komplements gleich 1 und die übrigen y alle gleich Null. Dann reduziert sich die L a p l a c e s c h e Entwickelung nach den r ersten Zeilen auf ein Glied, das abgesehen vom Vorzeichen gleich jener r-roihigen Determinante ist. *) Diese Redeweise sollto man nur im Falle m > 1 anwenden.

48

Fünftes Kapitel. Systeme linearer Gleichungen. Wenn wir nun auf die Gleichungen*) +.

+

x

rl

• • • +

x

+ l

Vr + 1,1

+

• • • +

K

Vm

=

+ • • • + ¿r r2 + At+i J/r + 1,2 + • • • + ht Vm = x

in +

• • • +

+

x

K

rn

1 Vr+ l.n -f • • • +

K

Vnn

=

x

hl

x

,

hl , x

l,n

die Cramersche Regel (§ 22) anwenden, so erhalten wir j A

2) ' j ' -

1

D, (a = 1, 2, ...,

D

1 jy

j

1 • • • > *tt

jy

•

n) entsteht aus D, indem man in D die

Zeile durch

x

h Ii 2 I • • • > •''/in ersetzt. D r + 1 , D,+2 > • • • > A» enthalten daher r + 1 Zeilen der Matrix (1). Da alle (r -f l)-reihigen Determinanten in (1) gleich Null sind, weil der Rang r sein soll, so gibt die L a p l a c e s c h e Entwickelung nach jenen r + 1 Zeilen D r + i = 0 , A + a = 0 , . . . , Dn = 0. >l r+ 1, X, 4.21 • • •»K sind al3o gleich Null, und man hat für h = r -f-1,.., n Gleichungen von der Form x

hl

h 2 ~

x

hn

4"

• • • +

X,

x

r

II

12

4~

• • •

^T

x

r2

i

w

4~

• • •

Xr

—

x

—

x

x

XrB

.

Jede Zeile der Matrix (1) ist demnach eine lineare Kombination der r ersten Zeilen. Damit haben wir auch den zweiten Teil von Satz 16 bewiesen. Wir können unser Resultat auch so formulieren: S a t z 17. W e n n der R a n g der M a t r i x (1) g l e i c h r ist (r > 0), so l a s s e n sich u n t e r den S y s t e m e n (1) r, a b e r n i c h t m e h r u n a b h ä n g i g e a u s w ä h l e n . H a t m a n r u n a b h ä n g i g e a u s g e w ä h l t , so i s t j e d e s der S y s t e m e ( l ) c i n e l i n e a r e K o m b i n a t i o n von i h n e n . Wir beweisen im Anschluß hieran noch folgenden Satz: S a t z 18. W e n n in e i n e r M a t r i x eine von Null v e r s c h i e d e n e r-reihige D e t e r m i n a n t e vorhanden ist ( r > 0 ) , deren ( r + 1 ) r e i h i g e S u p e r d e t e r m i n a n t e n * * ) alle gleich Null s i n d , so i s t d e r R a n g der M a t r i x gleich r. *) h ist eine der Zahlen r -)-1, . . m. " ) Damit diese Superdeterminanten sich bilden lassen, muß man eventuell Zeilen und Spalten mit lauter Nullen hinzufügen.

§ 24. Lineare Unabhängigkeit

49

Wenn eine Determinante ein Minor einer anderen ist, so nennt man diese andere eine S u p e r d e t e r m i n a n t e von jener. Wir wollen annehmen, daß in der Matrix (1) die Determinante x

i f

. xlr . . • xtr

«u

xu

x

av« •• •

n

x

„

ungleich Null ist, während alle (r + l)-reihigen Superdeterminanten von ihr gleich Null sind. Da die Matrix X

x

x

11 xtl • • • xn l» xta • • • xr»

x

hl ht (*=

ir xtr • • • rr X 1» xt> • • • xr>

x

r + 1, . . . , m\

8 = r+

1,

»)

x

hr x ht

den Rang r hat und in den r ersten Zeilen eine von Null verschiedene r-reihige Determinante vorkommt, so ist nach Satz 17 die letzte Zeile eine lineare Kombination der r ersten. Wir sehen, daß in der Matrix X

11 xn • • • xln x n xt* • • • *»

x

x

rl x hl

x

rt

• ••

( * = r + l , . . . , »)

x

r» x h»

die n — r letzten Spalten lineare Kombinationen der r ersten sind. Wir dürfen also nach § 23 die n — r letzten Spalten streichen, ohne daß der Rang der obigen Matrix sich ändert. Dieser Rang ist daher gleich r und aus Satz 17 folgt, daß die letzte Zeile eine lineare Kombination der r ersten ist. Dies gilt für A = r + 1. . . . , m , und wir dürfen deshalb in der Matrix (1) • die m — r letzten Zeilen streichen, ohne daß der Rang dieser Matrix sich Ändert. Die Matrix (1) hat also den Rang r . Hieraus ergibt sich folgendes Verfahren, um den Rang einer Matrix zu bestimmen. Man sucht ein von Null verschiedenes Element auf. Gibt es kein solches, dann ist der Rang der Matrix gleich Null. Ist ein von Null verschiedenes vorhanden, so muß man seine zweireihigen Superdeterminanten betrachten. Sind sie alle gleich Null, dann hat die Matrix den Rang 1. Andernfalls muß man unter jenen Superdeterminanten eine nichtverschwindende heraussuchen und ihre dreireihigen Superdeterminanten prüfen. Sind sie alle gleich Kow»l*wiki, DtUimlunton. 4

50

Fünftes Kapitel. Systeme linearer Gleichungen,

Null, dann ist der Rang der Matrix gleich 2. Andernfalls muß man unter ihnen eine von Null verschiedene auswählen und ihre vierreihigen Superdeterminanten betrachten usw.

§ 25. Systeme linearer homogener Glelchangen. Eine lineare homogene Gleichung mit n Unbekannten xlt xt, hat die Form . , A " o, xx + as xt + ... + On xn = 0.

xn

Wir wollen ein System von m solchen Gleichungen betrachten.

(1)

/i = «11 xi + 0 können wir die Gleichungen (1) in einer solchen Reihenfolge schreiben, daß in den r ersten Zeilen von (2) eine von Null verschiedene r-reihige Determinante auftritt. Sollte m> r sein, so sind nach § 24 die m — r letzten Zeilen in (2) lineare Kombinationen der r ersten. Man hat also für A = r -f- 1, . . . , n «Ä1 = «11 + fo» o21 + ... -f hr ®n» a 0*2 = fol «12 + M + • • • + hr ari , Oft» = Am aln + Im «21» + Multipliziert man der Reihe nach mit xlt fh=

hl

fi + hl

• • • + hr ßrn • xt, . . x

und addiert dann, so

U + • • • + hr fr >

welche Werte auch die x haben mögen. Hieraus ist zu entnehmen, daß jede Lösung des Systems (3)

/l = 0 , / 2 = 0 , . . ., / r = 0

§ 26. Die Lösung des reduzierten Systems.

51

auch eine Lösung von (1) ist. Beide Systeme haben also dieselben Lösungen. S a t z 19. H a t ein S y s t e m l i n e a r e r h o m o g e n e r Gleichungen den R a n g r ( > 0 ) ) so k a n n m a n sich bei der B e s t i m m u n g der Lösungen auf r Gleichungen des S y s t e m s b e s c h r ä n k e n , in deren M a t r i x eine von Null v e r s c h i e d e n e r-reihige D e t e r minante vorkommt. Man nennt die tn Gleichungen (1) l i n e a r u n a b h ä n g i g oder kurz u n a b h ä n g i g , wenn ihre Koeffizientensysteme, d.h. die Zeilen der Matrix (2), im Sinne von § 24 unabhängig sind. Im Falle m > 1 bedeutet dies, daß keine Gleichung aus den übrigen durch lineare Kombination hervorgeht. Im Falle m = 1 kommt die Unabhängigkeit darauf hinaus, daß nicht alle Koeffizienten Null sind. Der obige Satz läßt sich hiernach auch so formulieren: H a t ein System l i n e a r e r h o m o g e n e r Gleichungen den R a n g r, so k a n n man sich bei der B e s t i m m u n g der Lösungen auf r u n a b h ä n g i g e Gleichungen des S y s t e m s b e s c h r ä n k e n . Diese r unabhängigen Gleichungen wollen wir das r e d u z i e r t e S y s t e m nennen.

§ 26. Die Losung des reduzierten Systems. Durch eine geeignete Numerierung der Unbekannten können wir bewirken, daß in dem reduzierten System a u + -^r + l.ni • i -^r + 2,n >

A , ) A„ • -^iil » Lösungen von (1). Das folgt aus Satz 15 in § 20. Wenn wir noch zeigen, daß sie unabhängig sind, so wissen wir, daß sie ein Fundamentalsystem bilden. Aus den Gleichungen n i

Äj

Ar

^>1 A j ,

n

1,1 4* Aj A r + 1,1 "f" ••• ~T 2 -f- ^2 2.2 "I" • • • ~f~ ^n — r -f"

n

^ r + 2,"

• ••

^n — r A

n

0,

=

„ =

®»

0

folgt aber, wenn man der Reihe nach mit aA j, ak 2 , . . . , aj„ (A = r + 1 , . . . , n) multipliziert und dann addiert, X

h

-

r

D =

0

(A = r + 1, . . . ,

Alle sind also gleich Null. sungen (2) bewiesen.

§ 28.

n).

Damit ist die Unabhängigkeit der Lö-

— l unabhängige lineare Gleichungen mit n homogenen Unbekannten.

Bei n — 1 u n a b h ä n g i g e n Gleichungen + a, 2 l + a22

alx

xx

°21

x

«n —1,1

x2 + . . . + o l n *2+ --+a2n

= 0, n= 0 ,

Xn

x

°n—l.n x n = 0

+ "n —1,2

besteht ein Fundamentalsystem aus einer einzigen Lösung, die von 0, 0 , . . . , 0 verschieden ist. Bezeichnet man mit D, diejenige Determinante der Matrix «11

a

a21

®22

12

• «1» • «2«

a „ - 1,1 °ti—1,2 • •• °n— 1, » » die durch Streichung der s 1 " Spalte entsteht, so liefert die F r o b e n i u s s c h e Methode die Fundamentallösung D l t -D2 , ..., ( - 1 ) — I D . .

55

§ 29. Beliebige lineare Gleichungssysteme.

Das algebraische Komplement von tzng in «11 ••• «1» Z

»1 °»2

ist nämlich

( - 1 ) " + »X>,= ( — l ) " ~ l - ( - 1 ) ' - 1 ! ) , . Streicht man den gemeinsamen Faktor (— l) n — 1 , so findet man die angegebene Lösung. Jede andere Lösung hat die Form lDlt Beispiel.

Aus

-lDa,..., (-

l)»-UDn.

®1 X1 + °2 X2 + «3 X3 = 0 , bt x1 4-, bt xt + 6j x 3 = 0

folgt

•

X»

oder, anders geschrieben,

—

a% «21 > • • •» «ml a ia i °2» » • • • i am 2

ist. (3)

«im °»ni • • •> Am« Dann hat aber nach § 23 (Bemerkung 6) die Matrix au a M .. «ml o „ o „ . . «Ml

denselben Rang wie (4) also auch

•

•

«11 «21 • •• «ml «12 «22 • •• «m2 . . . • •: «in «2n • •• «mn U , bt .. • bm «11 «12 • • «l» «21 «22 • • «2»

(3) denselben Rang wie

• *

«In «2n • •• «mn

. «ml «m» • •«mn

(4) (vgl. § 23, Bemerkung 1).

«11 ^12 • • «in «21 «2« • • «2n&2 «m l«m 2• • amnb„

58

Fünftes Kapitel. Systeme linearer Gleichungen.

Wenn (3) und (4) beide vom Range r sind und man wählt in (3) r unabhängige Zeilen aus, so ist nach § 24 jede andere Zeile in (3) und in (4) eine lineare Kombination von ihnen. Also ist 6 t , b2, ..bm eine lineare Kombination der Zeilen von (3). Dies bedeutet aber, daß das System (1) eine Lösung hat. Wie viele Lösungen hat nun das System (1), wenn überhaupt Lösungen vorhanden sind ? x[, x'2, ..., x'n sei eine bestimmte Lösung und xlt x3, ..., x„ eine beliebige Lösung von (1). Setzen wir x

\ — x'i + Vi • xz = xi + Vi' • • •' x» = xh + y»,

so ergibt sich durch Subtraktion der Gleichungen °Al X1 + °Ä2 x 2 + • • • + a»n xn = h

und die Gleichung

Ohl

+ o*2 x't + ... + ahn x'n = bh

Vi + ahi y 2 + ... + ahn y„ = 0 .

(A = 1, 2 , . . . , m).

Umgekehrt folgt aus den beiden letzten Gleichungen durch Addition die erste. Wenn also xj, x!2, ..., x'n eine bestimmte Lösung von (1) und yu Vt, •• • • i Vn eine beliebige Lösung des Systems ¡r\ ist, so ist

' «Ii Vi + «k y« + • • • +

bn

,„

ist. Jede der Zahlen r „ r 2 , . . . , r„ kann die n Werte 1, 2, nehmen. Die Summe besteht also aus n n Determinanten. Nun ist aber nach Satz 5 lr «lf. n ... a 2'n °2r, birtW . Onr, btr,.

• «"n

Our, «nr,

,., n an-

§ 32. Produkt zweier Determinanten.

61

Wenn zwei von den Indizes r u r 2 , . . . , r„ einander gleich sind, hat die Determinante lr alr, °lf. n f » a . . . a, ®lr, 2T, (2)

, b2ß2 + c2y2 ( S p a l t e n von D mit den S p a l t e n von J komponiert). b

§ 34. Produkt rechteckiger Matrizen.

63

Vertauscht man D mit J , so erhält man vier andere Ausdrücke für DJ , die aber aus den obigen durch Umklappung um die Hauptdiagonale entstehen.

§ 33. Das Quadrat der Yandermondeschen Determinante. Um eine Anwendung des Multiplikationssatzes der Determinanten zu haben, wollen wir das Quadrat der in §21 betrachteten V a n d e r ijiond eschen Determinante berechnen. Multiplizieren wir V„ =

a;-1

a»~2 . . 1

-1 a „ - 2

.. 1

mit sich selbst, indem wir Spalten mit Spalten zusammensetzen, so ergibt sich "in—2 *2«—3 *2n — S «3i» — 4 • • • —2 «n—1 «n—2 Dabei hat 8k folgende Bedeutung: sfc==af + a*-f . . . +akn.

«0 (¿=0,1,2,...)

«o ist also gleich n. Aus § 21 wissen wir, daß V% gleich (a, — aj)*(a, — a 3 ) 2 . . . (a, - a„)2 (o2 — o3)2 . . . (o4 — a j 2 (a„_i — a„)2 ist, also gleich dem Quadrat des Differenzenprodukts der n Zahlen o 1 , at, ..., a„ . Das Quadrat des Differenzenprodukts läßt sich demnach durch die Potenzsummen sk ausdrücken, und zwar in Form einer Determinante, deren Elemente solche Potenzsummen sind.

§ 34. Produkt rechteckiger Matrizen. Wenn wir zwei rechteckige Matrizen 6 U 6,t . • • bln °ll «12 • •• a l n b • «21 °21 «22 • 2\ ¿22 • • • btn und a

(m Sc n)

bn i bni2 ••• • f>mn ®ml°m2 •• mn nach Zeilen multiplizieren, so ist es erlaubt, in jeder Matrix k Spalten mit lauter Nullen als (n -f 1)", (» -f 2) to , . . . , (n + Spalte hinzu•

64

Sechstes Kapitel. Multiplikation von Matrizen und Determinanten.

zufügen. Dabei bleiben nämlich die Elemente (ar b,) der Produktdeterminante völlig unverändert. Im Falle m > n können wir durch Hinzufügen von m — n Spalten mit lauter Nullen die Matrizen quadratisch machen. Dann wird nach Satz 23 ihr Produkt gleich dem Produkt von zwei m-reihigen Determinanten, deren jede wenigstens eine Spalte mit lauter Nullen enthält, also gleich Null ist. S a t z 25. M u l t i p l i z i e r t m a n zwei M a t r i z e n m i t m Zeilen unn gleich Null. Da wir den Fall m = n schon in § 32 untersucht haben, bleibt nur noch der Fall m• •• °en — p°n — p

Bezeichnen wir mit M den Minor von D, der dem Minor M entspricht, d. h. dieselben Zeilen- und Spaltenindizes wie M hat, so l&ßt sich die obige Formel auch so schreiben:

Dp-im.

M=

Dabei bedeutet M das algebraische Komplement von M in der Determinante D. S a t z 28. D sei eine von Null v e r s c h i e d e n e D e t e r m i n a n t e und 4 die r e z i p r o k e von ihr. I s t d a n n M ein p - r e i h i g e r Minor von J und M der e n t s p r e c h e n d e Minor von D, so u n t e r s c h e i d e t sich M von dem a l g e b r a i s c h e n K o m p l e m e n t von M n u r um den F a k t o r Dp-1. Wir können auch sagen: Das a l g e b r a i s c h e K o m p l e m e n t von M' u n t e r s c h e i d e t sich von M' n u r um den F a k t o r Dp— 1. M' ist das Komplement von M, also der Minor von D, der dem Minor M' entspricht. Die algebraischen Komplemente der Elemente von J sind hiernach gleich den entsprechenden Elementen von D, multipliziert mit dem Faktor D n~ i. Die reziproke Determinante der Reziproken ist also wieder die ursprüngliche Determinante, nur daß alle Elemente den Faktor D n~* erhalten haben.

§ 39. Sie Reziproke einer verschwindenden Determinante. Wir haben bisher angenommen, daß D von Null verschieden ist. Jetzt wollen wir den Fall D = 0 erledigen. Und zwar beweisen wir folgenden Satz: S a t z 29. Wenn eine D e t e r m i n a n t e gleich Null i s t , so h a t i h r e R e z i p r o k e e n t w e d e r den R a n g 1 oder den R a n g 0. Wenn D = 0, so ist der Rang von D entweder gleich n — 1 oder kleiner als n — 1. Im letzten Falle sind alle A„ gleich Null, d. h. die zu D reziproke Determinante hat den Rang Null. Im ersten Falle haben die linearen Gleichungen a ll xl + all xi+ • • • + °in Xn = 0, a21 xt + an xt + . . . + a2n xu = 0, a

ui

+

x

2 + • • • -+" a„» x„ = 0

74

Siebentes Kapitel. Determinanten, deren Elemente Minoren einer andern sind.

nur eine unabhängige Lösung (vgl. Satz 21), aus der sich jede andre durch Multiplikation mit einem Faktor ergibt. Diese unabhängige Lösung sei _ Xl = -Dj, X%— IS2, . . . Xn— Hn. Dann läQt sich jede Lösung in der Form schreiben. Nun ist offenbar .., A Ari, A r2> rn

( r = 1, 2, . . . , n)

eine Lösung unseres Systems. Also gibt es eine Zahl A,, so daß man hat Arl—ArBlt

Ar2 = Ar Bt, ...,

Arn=ArB„.

2

Die n Elemente Art der reziproken Determinante drücken sich somit durch die 2n Zahlen A1, At, An und B1? Bt, ..., Bn in der Form aus: Art=ArBa. (r, s= 1, 2, . . . , n). Daraus folgt, daß alle zweireihigen Determinanten Ar,t, ATtst Ar,s, Ar,s, gleich Null sind. Eine solche Determinante ist nämlich gleich AtlBtl Ar.Btl

Ar,Bs, Bs, Bs, = 0. = At. Ar AuBt,

Die Sätze in § 37 und § 38 gelten also auch im Falle D = 0. Denn in der Matrix der reziproken Determinante verschwinden dann alle mehr als einreihigen Determinanten. Daß die Sätze 27 und 28 im Falle D = 0 ihre Gültigkeit bewahren, können wir auch aus den Betrachtungen in § 15 entnehmen. Ersetzen wir die Hauptelemente a u , ai2, . . . , a,,„ durch

+•

1

1

so ist D von Null verschieden, sobald nur p genügend groß ist. Dann also gelten die Sätze 27 und 28. Lassen wir nun p unbegrenzt zunehmen, so ergibt sich mit Hilfe von § 15, daß unsere Sätze im Falle D = 0 bestehen bleiben.

§ 40. Die reziproke Determinante eines Produkts zweier Determinanten.

75

§ 40. Die reziproke Determinante eines Produkts zweier Determinanten. Wir wollen die beiden Determinanten . ain bn bi2- • • bin °11 °12 • • aM .. • a%n b2l bM .. • bt„ und Oni Oni •• • Onn bm bn% • • b„n miteinander multiplizieren, und zwar nach Zeilen. Um zu den Produktdeterminante («ib2) ... (a2 bt) (a2b2) ...

K6„) (a2b„)

(an bt) (anb2) ... (a„b„) die reziproke zu bilden, muß man das algebraische Komplement c r , von (arb,) aufsuchen. (— 1 Y+'c,, ist das Produkt zweier Matrizen, die man erhält, indem man in der Matrix °11 °1S • • • a i n ®21 a i2 • • • a 2" « n l On»

Onn

die rto Zeile und in der Matrix 6 U b12

h i bM

bin b2n

bni b„t bnn man aber nach § 34 auch die a u Zeile streicht. Dieses Produkt kann durch Komposition der (n — l)-reihigen Determinanten beider Matrizen gewinnen. Die (n — l)-reihigen Determinanten der ersten Matrix lauten: ( - 1 )'+Mrl, die der zweiten:

(-1)'+Mr2,

...,

(-iY+*Arni

Das fragliche Produkt wird demnach gleich ( - 1)'+' (Ar, Bn + A„B,t + ... + Arn B,„) und cr, gleich Arl Btl + ArtB,t+ . . . + Arn Ban — Man erhält also die Elemente c„, indem man die reziproken Determinanten der beiden gegebenen nach Zeilen multipliziert.

76

Siebentes Kapitel. Determinanten, deren Elemente Minoren einer andern sind.

§ 41. Das Theorem von Sylvester. Wir wollen die n — 1 letzten Zeilen von «11 «12 • •• «in A = «21 «22 • • «2n «m «>12 •• -«nn mit an multiplizieren. Dann erhalten wir (vgl. Satz 5) H «11 «21 «11 °S2 • • • «11 «2» an anl au Ona ••• Onn Subtrahieren wir jetzt von der zweiten Zeile die mit a t l multiplizierte erste Zeile, von der dritten die mit a M multiplizierte erste, . . . , von der n Ua die mit a n l multiplizierte erste, so ergibt sich (vgl. Satz 7) «11 «12 ••* «l n 0 a u aM — OJJ a 2 1 i ... an a2„ — ain atl 0 fludn, — a it On\ . . . a u a n „ — O ln «ni d. h. (vgl. Satz 14) an~xA

= on

«11 «22 — «12 «21» • • •» «11 «2» — «in «21

«U «»2 — «12«»Ii • • •> «11«'» — «1» «»1 Im Falle o n ungleich Null folgt hieraus «11 «22 — «12 «21.«11 «23 — «IS «21. • «ii «in — «in «21 «11 «82 — «12 «81 >«11 «88 — «12 «31» • •> «11 «3»— «in «31 (1) a»r'A = «11 «»2— «12 «»1.«11 «"S— «13 «nl,-

anann — «in «»1

Die Formel gilt aber auch für o u = 0*). Dann wird nflmlich die rechte Seite gleich «21 «21 • «21 «81 «31 • •«31 B-1 l ) « i i « i s • • «m «ni«ni- •«ni Im Falle » > 2 sind also in (1) beide Seiten gleich Null. Im Falle » = 2 reduziert sich die Formel (1) auf A = A, wenn wir durch 1 ersetzen. *) Man kann sich hiervon auch dadurch überzeugen, dafi man zuerst a u annimmt und dann a u nach Null konvergieren läßt.

0

77

§ 41. Das Theorem von Sylvester.

Die Elemente der Determinante rechts in (1) sind die zweireihigen Minoren von A, welche o^ als einreihige Unterdeterminante enthalten, oder die zweireihigen Saperdeterminanten von a u . Setzen wir zur Abkürzung ®u a i >

p («i < < . . . < 8p) sind p Zahlen aus der Reihe 1, 2, . . . , 71 und Oi, a 2 , • • o „ — p bleiben übrig, wenn man in 1, 2, . . . , » die Zahlen alt a 2 , ..., ep streicht. •"piO. . . . a, "flOl . . . a, ft "n-p ( _ l)r.+-. +r p +>,+ ... + »f Op.o, s

s

Vpst

OD vn—p

a

a

e n _p«i

—p"1'

fn—p°n—p

6*

84

Siebentes Kapitel. Determinanten, deren Elemente Hinoren einer andern sind,

ist das algebraische Komplement von Or.«, «f.». •• - a r.«p

a't'i

••%'r in A.

Wir wollen diesen p-reihigen Minor mit A r,r,...rp

bezeichnen und sein algebraisches Komplement mit 1f,r,...r. Ar —P.

Da (n + l ) + . . . + (

n

+ i>) + ( n - p + l ) + . . . + n =

p(2n+l)

ist, so ergibt sich schließlich

x'pl

XTpZ

...

x..

...

X.UV

- ••

Vi », 2/1..

Vi»

Viti

Vu

Va,

Vp 11 yp »i

xr

pp

ip»v

Zum Schluß betrachten wir noch die zweifach geränderte Determinante all

*11 «18

•

«ni • • ®nnxnl yn • • Vm Z11 «18 Vn • • Vzn 221 Z22 Die Glieder, die kein z enthalten, sind im Falle n > 2 zusammen gleich*) «•r,l *r,2 Vit, Vii, »r,r. rril

xr,2

Viti

Vis,

Um die übrigen Glieder zu finden, entwickeln wir nach den beiden letzten Spalten und lassen alles fort, was mit keinem z behaftet ist. Da finden wir zun&chst ' Z11 z is Z21

z2i

*) Im Falle n = 2 ist Ä^, = 1 zu setzen. Im Falle » < 2 gibt es kein Glied, das von den z frei ist.

§42. Gerinderte Determinanten.

85

außerdem aber noch eine Summe von Gliedern, die nur ein einziges z enthalten. Will man z. B. die Glieder finden, die z u und kein anderes z als Faktor enthalten, so braucht man nur in R t diese andern z gleich Null zu setzen und in der so entstehenden Determinante «11 • •• ävll- .aV lP 0 0 .av,' p 0 0

^Tl", av.o, ®r,ff,

x

fei'i ypi'i

y^tu

ra

yv, ,

87

§ 43. Andere Berechnung von Rp.

usw. Hiernach ist Rp

=

A

Z

-

~

Z

2

*

Zr0

e

yq,

Ttr,r,Zgie,Q,

0,

rif. Z Vit . »i«i o,a.

+

t% 0\ •"'fiO,

1

Qi

< Q »
• np

. A MiVi) . • (An 2/l) «1« Zu • M i Vi) Wt Vi) ••(An Vi) «21 •n •• «2„ (Aiyp) (A2 yp) .• (An yp) Zp» zpl . • • ZPV 0

0

x

•

Dabei haben wir

Vkr = (Ar yk)

gesetzt (r = 1, 2 , . . . , » ; ¿ = 1 , 2 , Multiplizieren wir jetzt noch 10.. Ol..

. . . , p). Rp mit

An~l 0 0

0 0

0 0

.. 0 .. 0

.. 0 0Z Z 0^21^22 • • Ztp Z 0 0 . . . 0 ZplZpi PP (ZlXl)(ZiXl) .. • (ZpXy) A 0 .. 0 A . . . 0 (Zt x2) (Zt x2). ..(Zpx2) 0 0 0.. 1 0 0 0 0... n lt 0 0...

• •

so erhalten wir

0 .. A (ZlXn) (Ztx„) ... (Zpxn) An~1ZP~1 Bp = 0 0 . 0 (Aiyi) (Atyt) . . . U » y i ) z (Ai yt) (At yt.). . UnJ/t) 0 Z . 0

t/p) (Ai yP) (At y...(A„ p) wobei

0

0

. z

£ Zkf XTQ = (Zk xr)

gesetzt ist (r = 1, 2 , . . . , n; k = 1, 2 , . . . , p ) . Wir wollen jetzt A"—1

Zv~1 Rp nach den n ersten Zeilen entwickeln.

Ein Minor, der die Zeilenindizes 1, 2 ,

hat, wobei und

n und die Spaltenindizes

1 ^ t\ < r'2 < ... < ^n 1 ^ K < kt < . . . < fa ^ p

§ 43. Andere Berechnung von E p .

ist, lfißt sich so schreiben: eAn-f

89

(Zkl xTl) ... (Zkf xtl) (Zkl XTQ) ...

(Zk9x,e)

r l f r 2 , . . r e sind die Zahlen, die übrigbleiben, wenn man in der Reihe 1 , 2 , . . n die Zahlen r[, r'2, . . . , r,|_ e streicht. Für e gilt die Formel c

= (-l)» + . . . 0 — +

+

+

.

Das Komplement des obigen Minors ist in den p letzten Zeilen enthalten und hat die Spaltenindizes r,, r „ . . , , r ( , » + ¿1, n + k'2, ..., n + . AJ, k'2, . . . , Jfcp_f bleiben übrig, wenn man in der Reihe 1, 2, . . . , p die Zahlen k u k t , . . . , kg streicht. Das fragliche Komplement ist also gleich (ATl Vk,) • •

yke)

i'Zp-e Mr. ykQ) . und £ ' = (—l)(e+ >) + ••-+P +fc.'+ ... + » - p _ f . Um das algebraische Komplement zu erhalten, muß man das Komplement mit

s"

= (— 1) * + ••• + » + '.' + --. + » ' n - 9 +(» + *.) + . . . + (» + *f)

multiplizieren. Man bestätigt leicht, daß se'e" -- ( - 1)? Bp = Laplaceschen Satz hat man also (Zkl x„) ... (Zkf xri) Vkx) • • • (¿rp ykt) A"-eZp-e

(ZklxrQ

Z

k,l,

• •'

Z

kgh

ist, so finden wir n

A —t

y/c,
(tp) = m.

HO

Achtes Kapitel. Symmetrische Determinanten.

Um diesen Satz zu beweisen, stellen wir die Frage: Wie viele Zahlen gibt es in der Reihe 1 , 2 , . . m , die mit m den größten gemeinsamen Teiler t haben ? Dabei ist t irgendein Teiler von m. Unter den Zahlen «,21 i l haben genau g>\—)mit m den größten gemeinsamen Teiler t. Denn kt m und — t haben dann und nur dann den größten gemeinsamen Teiler t, wenn k und — relativ prim sind. Es gibt also in der Reihe 1, 2, . . . , m Zahlen, die mit m den größten gemeinsamen Teiler tx haben, (m) gelingt es nun, die Smithsche Determinante zu berechnen. Wir wollen festsetzen, d a ß a*( gleich 1 sein soll, wenn k d u r c h l t e i l b a r ist. A n d e r e n f a l l s möge akt gleich Null sein. Nach Einführung der Symbole akl können wir (r, a) in folgender Form schreiben: (r, «) = 0 ^ 0 , ! 9 5 ( 1 ) 4 - 0 ^ 0 , 4 ^ ( 2 ) + . . . + arn a,ng> {n). Denn «rt Oii SP W ist nur dann von Null verschieden und gleich g> (t), wenn t sowohl in r als auch in s enthalten ist. Die gemeinsamen Teiler von r und a sind aber

§62. Rang einer symmetrischen Determinante.

Ill

identisch mit den Teilern von (r, s). Die obige Gleichung reduziert sich also auf , „ ,, (r, «) = 2 > « ) , wobei die Summation über alle Teiler von (r, e) zu erstrecken ist. Die Smithsche Determinante ist nach dem Obigen das Produkt aus « n 9 W » «1» 9> (2), alng> (n) «11 «12 • • «1» a n g> (i) i «sä g> (2) , • • •, («) «21 «22 • • • ®2« und «nl ««2

«nn

«nig>(l), an2g>(1), • . . . « « n f W

Nun ist aki gleich Null, wenn k (l), «it g> ( 2 ) , .• - , «in SP(w) (n) «21 P W , «22 9> (2), •.aing> = g>(l)g>(2) ...g>(»), also

«nigo(l), «n2 9>(2), • • -, «n n Ç>(n) (1,1) (1,2) . • (1,») (2,1) (2,2) . . (2, n) (», 1) (n, 2) .

•

( « ,

= g>(l)g>(2) . . . g>(»)

n)

§ 52. Bang einer symmetrischen Determinante. S a t z 35. I n einer s y m m e t r i s c h e n D e t e r m i n a n t e vom Range r g i b t es einen r - r e i h i g e n H a u p t m i n o r , der von Null v e r s c h i e d e n ist. Für den Fall, daß die symmetrische Determinante selbst r Reihen hat, ist der Satz selbstverständlich. Um den anderen Fall zu erledigen, schicken wir eine Hilfsbetrachtung voraus, die sich auf beliebige Determinanten bezieht. Die Matrix «11 a12 • • • «in /J\ «21 «22 • • • «2n «nl «n2 • • * «nn

112

Achtes Kapitel. Symmetrische Determinanten.

habe den Rang r und r sei kleiner als » . Sucht man in ihr r unabhängige Zeilen CU cXi • • e l n c il ctt • • ctn . c fl c rs • • Ctn aus, so ist jede Zeile von (1) eine lineare Kombination dieser r Zeilen (vgl. § 24). Man hat also OfcJ = ¿1* Cll + XtJ, c,l + ••• + KkCfl (k, l = 1, 2, . . .,TO). Hieraus folgt, daß die r-reihige Determinante • a M, k,h k,l, • • ak,lr

a

(3)

a

a

k,k akrl, • • a"r'r

gleich dem Produkt der beiden Determinanten hk, • • i-lkr •hkT (1 ^k1

\ °2f, • . r „ K

•

° u a ia • •• Ol» A = ®21 «M • ••

•••> 8 to— 1) atay •••

s2, «j, ...,

ago, «u

...

sind also Permutationen von 1, 2, . . . , n. Die erste enthalte p, die zweite q Derangements. Dann ist nach § 6 (Schluß) sgn < S = (— 1)p+«; denn man hat

Das zu 8 gehörige Determinantenglied lautet demnach ( _ 1)P p . ( _ 1)1 Q. Man gelangt von diesem Produkt auf folgende Weise zu IS zurück. 1 stehe in den Doppelindizes von P mit k 2 zusammen, k 2 in den Doppelindizes von Q mit lc3. Im Falle k3 = 1 ist (1 k2) ein Zyklus von S. Wenn k3 noch nicht gleich 1 ist, so suche man den Index kt auf, der in P mit k3 zusammensteht, dann den Index k s , der in Q mit A4 zusammensteht, und fahre fort, bis man zu 1 gelangt und einen Zyklus von S gewinnt. Darauf beginne man mit dem niedrigsten der noch übrigen Indizes wieder einen Zyklus. Man sieht zunächst nach, mit welchem Index er in P zusammensteht, usw. Wenn man in dem Produkt P zwei Faktoren vertauscht, so bleibt (-I)pP ungeändert. Denn diese Vertauschung läßt sich durch zwei Vertauschungen je zweier Indizes in ^ß bewirken. Ebenso bleibt (— 1)p P ungeändert, wenn man die beiden Indizes irgendeines Faktors a t , von P vertauscht. Denn dadurch verwandelt sich (— 1)p in — (— 1)p und andererseits tritt an die Stelle von ar, der Faktor a,r = — art. Aus dem Obigen geht nun hervor, daß

ist, wobei sich die Summation über alle v e r s c h i e d e n e n Ausdrücke (— 1)p P erstreckt. Als verschieden betrachten wir solche Ausdrücke, die auch nicht identisch werden, wenn man die Relationen ar, = — a„ benutzt.

128

Nenntes Kapitel. Schiefsymmetrische Determinanten.

Wie viele solche Ausdrücke (— 1)p P gibt es ? Der Index 1 kann mit jedem der n — 1 Indizes 2, 3, . . . , n zusammenstehen. Wenn ein Glied z. B. den Faktor Oj, enthalt, so kann 3 mit jedem der n — 3 Indizes 4, 5 , . . . , « verbunden sein. Enthalt ein Glied die Faktoren Oj2a31, so kann 5 mit jedem der n — 5 Indizes 6, 7 , . . . , » vereinigt sein usw. Man sieht auf diese Weise, daß es (» - 1) (n - 3) . . . 3 • 1 verschiedene Ausdrücke (— 1)P P gibt. Beispiel. Um die obigen Betrachtungen dem Leser noch klarer zu machen, wollen wir den Fall n = 4 als Beispiel benutzen. Es gibt hier folgende Ausdrücke (— 1)P P: Das Quadrat von wird

«12 «84 > °1S «421 °w a231 )pP = an «34 + o13 ait + au a23

«12 «34 • «12 a34 + «Ii °31 • «IS «42 + «12 «31 ' «14 «23 + «13 «42 " «12 «34 + «13 «42 ' «13 «42 + «13 °12 ' «14 «»3 -f o14 a23 • a n o M -f a u a23 • a l s a42 -f a u a 23 • o M o M .

Die den einzelnen Gliedern entsprechenden Substitutionen sind folgende: (12) (34), (1243), (1234), (1342), (13) (24), (1324), (1432), (1423), (14) (23). Das sind gerade die Substitutionen in den Elementen 1, 2, 3, 4, die nur Zyklen mit gerader Elementzahl enthalten. Die zugehörigen Glieder der schiefsymmetrischen Determinante A=

°ii «21 «31 «41

«12 «13 «22 «23 «32 «33 «4« «43

«14 «24 «34 «44

folgende Summe: «12 «21 «34«43 — «12«24 «43 «31 «13 «34 «42«21 + «13 «31 «24 «42 — au ai3 a3t «21 — au «4» «23 «31 In Anbetracht der Relationen aTt = — a„ gegebenen Quadrat von «12 «34 + a13 «4» + «14 identisch.

Ha «23 «34 «41 1 13 «32 «24 «41 »14 «41 « 2 3 «32ist sie mit dem oben an«23

§ 61. Pfaffsche Aggregate.

129

§ 61. Pfaffsche Aggregate. In §60 zeigten wir, daß eine schiefsymmetrische Determinante n tor Ordnung (n gerade) das Quadrat einer aus 1 - 3 . . . (n - 1) Gliedern bestehenden Summe

vp ist. Dabei bedeutet P ein Produkt von der Form a

r,r,ar,r, • •

WO

•ar„_

l

r„ >

r

li rii • • •» rn

eine Permutation von 1, 2, . . . , n mit p Derangements darstellt. Je zwei Glieder jener Summe werden auch dann nicht identisch, wenn man die Relationen ars = — a„ berücksichtigt. Man nennt l) r P ein P f a f f s c h e s A g g r e g a t und bezeichnet es nach J a c o b i mit .. „ (1, 2, . . . , n). Die Glieder von (1, 2, . . . , n), die den Faktor a k l k t enthalten, haben die Form p a (-l) Oi,fc,Of.r.

•••

r„_ir

n

.

wobei r 3 , r 4 , . . . , r„ eine Permutation der Zahlen Jfc3, jfc4, ...,&„ ist, die in der Reihe 1, 2, . . . , n übrigbleiben, wenn man und k2 streicht. In der Permutation «-'ll «21 r3i r4> • • •> rn mögen k Derangements von

und k2 herrühren. Dann ist

p= k + p, wenn wir mit p die Anzahl der Derangements in r 8 , r 4 , . . . , r n be« zeichnen. Es wird .hiernach ( - 1 )paklk, ar,r,...

arn_lTn = ( - 1 )*aM. • ( - 1 )*aTtU ...

o,B_irn,

und die Summe aller Glieder von (1,2, . . . , » ) , die den Faktor aklkl enthalten, lautet ( - l)kaklk,^(-

1 )9artU ... akn aii, ai2» - • - ain>

wobei i S i t sein soll, so geht (1, 2, . . n ) in au + a(2 !!•••

«*i «*i atl

a

lp

a

lk

«li

Opp Opfc Opi = (1, 2 , . . . , p, i , I)«, a kp akk «kl «ip «ik «Ii

so ist nach Satz 28 ®fc* ®*J

= (1, 2, . . . , p)2 (1, 2, . . . , p,

Z)* = 0.

Nach Satz 38 hat man nun Es ergibt sich somit

» * * = » « = 0. «5*1= —501*=

A

Wir sehen hieraus, daß in (1) alle (p + l)-reihigen Supe?determinanten von «11 «li • • «IP «il «22 • • «2 p Op, O pi . .• . Opp Nach Satz 18 können wir also schließen, daß (1) den

gleich Null sind. Rang p hat. Um den Rang der Determinante (1) zu finden, kann man jetzt so verfahren. Man sucht in (1, 2, . . . , ») einen zweigliedrigen Minor, der von Null verschieden ist. Gibt es keinen solchen, so hat (1) den Rang 0. Andern*) Durch Vertauschung von 1 , 2 ,

n läßt sich dieser Fall herbeiführen.

§ 64. Rang einer schiefsymmetrischen Determinante.

135

falls lassen sich die Indizes 1, 2 . . . , n so vertauschen, daß gerade (1, 2) von Null verschieden ist. Sind alle Aggregate (1, 2, k, l) gleich Null (k,l = 3 , . . n ) , so ist (1) vom Range 2. Andernfalls läßt sich durch Vertauschung von 3, 4, . . . , n bewirken daß gerade (1, 2, 3, 4) von Null verschieden ist. Sind alle Aggregate (1, 2, 3, 4, k, l) gleich Null (k, l = 5, . . , n), so hat (1) den Rang 4. Andernfalls läßt sich durch Vertauschung von 5, 6, . . . , » bewirken, daß gerade (1, 2, 3, 4, 5, 6) von Null verschieden ist. Usw. Wir sehen hieraus, daß nach geeigneter Vertauschung der Indizes 1, % . . n die Aggregate (1, 2),

(1, 2, 3, 4), . . . ,

(1, 2, . . . , r)

von Null verschieden sind, während die Aggregate (1, 2, . . . , r, k, l) verschwinden (Jfc, l = r + 1, . . . , n)*). r ist dabei der Rang von (1). Bei einer symmetrischen Determinante läßt sich etwas Ähnliches erreichen. Es gilt nämlich auch für symmetrische Determinanten der folgende Satz. Wenn die (p + l)-reihigen und (p -(- 2)-reihigen Hauptminoren, in denen ein von Null verschiedener p-reihiger Hauptminor steckt, alle verschwinden, so ist der Rang der symmetrischen Determinante gleich p**). Hieraus ergibt sich leicht, daß eine symmetrische Determinante «11 alt «21 att Ofll

ant.

. • «in • • atn • «n n

vom Range r nach geeigneter Vertauschung der Indizes 1, 2 , . . . , n von folgender Beschaffenheit ist: In der Reihe au °12 • • ®lr °11 «21 °22 • • a» f «11. °21 «22 arl aT2 • • Orr

, . . .,

sind das erste und letzte Glied von Null verschieden und nie zwei benachbarte Glieder gleich Null. *) Man denke Bich (1) eventuell durch Nullen gerändert. **) Beweis ebenso wie bei- der schiefsymmetrischen Determinante.

136

Neuntes Kapitel. Schiefsymmetrische Determinanten.

§ 65. Lineare Gleichungen mit Terschwindender schiefsymmetrischer Determinante. Wir betrachten das System (1) in § 63, dessen Determinante schiefsymmetrisch und gleich Null sein soll, » braucht also jetzt nicht gerade zu sein. Aus § 29 wissen wir, daß das System dann und nur dann Lösungen besitzt, wenn die beiden Matrizen ° 1 1 «12 • • • « 1 » «21 «22 • • • « 2 n

(1)

«»1 «n« • • • «n n

und

«11 «12 •

• «in

«21 «22 • •

(2)

« 2 n &2

« n l «F>2 • • • « n n & n

gleichen Rang haben. Nun ist der Rang der schiefsymmetrischen Matrix «11

«12 • • •

ati ...

ain bt

«ni

«n2 • • •

« n n f>„

atl

«In

(3) - 6 , - 6 , ... - 6 „ 0

höchstens um 1 höher als der von (2). Bezeichnen wir also mit r l t r 2 , r3 den Rang von (1) bzw. (2) bzw. (3), so ist = r% und r 2 ^ r s ^ r, + 1, also auch rx ^ r3 ^ r, + 1. Da rt und r, gerade Zahlen sind, so folgt hieraus 's = »V Wenn rt = r 8 ist, so muß auch rr = rt sein. Denn es ist immer r, ^ ra ^ r3. Ein Gleichungssystem a ll + «Ii ** -+- • • • + «in xn — ¿1. a X tl 1 + «22 xt + • • • + « 2 n xn = bi, «m

+ a„t X2 4- . . . -f- ann xn = bn

mit schiefsymmetrischer Determinante hat also dann und nur dann eine Lösung, wenn die Matrizen (1) und (3) von gleichem Range sind.

§ 66. Determinanten gerader Ordnung, dargestellt durch Pfaffsche Aggregate.

137

Bezeichnen wir den gemeinsamen Rang von (1) und (3) mit r, so läßt sich durch Vertauschung der Indizes 1, 2, . . . , » erreichen, daß (1, 2,

r) + 0

ist. Nach § 24 sind dann die n -f- 1 — r letzten Zeilen von (3) lineare Kombinationen der r ersten»). Wir dürfen uns deshalb auf die r ersten Gleichungen des Systems beschr&nken. Diese schreiben wir in folgender Form: ®11 X1 «rl

+

X

1 +

••• +

«lr

x

• • • + Orr

t =

~

x

~

r=

r+1 xr+1 + • • • + «In ^n) + XT+1

( o f , r+1

-f-

. . . +

Z„) +

h 6

r

und wenden auf sie das in § 63 dargelegte Verfahren an. Wir wollen

(1, 2 , . . . , r) = P

setzen und unter P*,-

(4=1,

2, . . . , r ;

j = r + \ ,

..., « +

1)

das Pf äff sehe Aggregat verstehen, das aus P entsteht, wenn man k in j verwandelt*»). Dann ist nach § 63

Z2

X.

x

— -Pl.r+l

=

-

=

r+1 xr+1 ~~ •

-

x

r + l — • • • —Pin P

n +

Pin

x

Prn

x

n +

^l.n+l

-P2,n + 1

P

, r + 1 ^r+l —

~Pr,

n + -Pr.B + 1

x Dabei darf man xr+i n ganz beliebig wählen. Da auch die letzte Zeile der Matrix (3) eine lineare Kombination der r ersten ist, so erfüllen diese Werte der x auch die Gleichung x

i + K xt +

. . . + bn xn

= 0.

§ 66. Determinanten gerader Ordnung, dargestellt durch Pfaffsche Aggregate. Wir betrachten eine Determinante von gerader Ordnung 2v und schreiben sie in folgender Weise: (1)

D

=

«l. a2>

Oi.

blt b2,

b[, bi,

... ...

o»,

a'n,

6„,

b'n,

...

*) Den trivialen Fall r = 0 lassen wir beiseite. **) Statt blt bt, ..., bn schreiben wir wie in § 63 a i , „ + i

an,n+i.

138

Neuntes Kapitel. Schiefsymmetrische Determinanten.

Vertauschen wir die erste und zweite Spalte, die dritte und vierte Spalte usw., so multipliziert sich D mit dem Faktor (— 1)". Es ist also ei, «1. bl, ... 1)' «i, 2,

"in + Gin + • • • + °n» xn = K nach der Cramerschen Regel auf (vgl. § 22), so ergibt sich*) xT =

h Arl

+

b2Ar2

+

. . . +bn

-

Ar„

(r = 1, 1, . . n ) .

Für den Fall, daß b, = 1 ist und alle anderen b gleich Null, hat man also *i-

23

18

X n

^ '

~

-"n» A •

Aus § 69 ist aber zu entnehmen, daß in diesem Falle die Gleichungen durch _ _ ajj — a

befriedigt werden.

u

,

x2 — o2>,

...

xn =

ani

Da es nur eine Lösung gibt, so folgt

„

A

"

S a t z 43. In einer o r t h o g o n a l e n D e t e r m i n a n t e , die den W e r t 1 h a t , i^t jedes E l e m e n t gleich seinem a l g e b r a i s c h e n K o m p l e m e n t . I n einer o r t h o g o n a l e n D e t e r m i n a n t e m i t dem W e r t — 1 sind die E l e m e n t e und ihre a l g e b r a i s c h e n K o m p l e m e n t e e n t g e g e n g e s e t z t gleich. Mit Hilfe der Relationen aT, = Ar,: A erkennt man, daß in einer orthogonalen Determinante das Produkt von zwei verschiedenen Zeilen gleich Null und das Produkt einer Zeile mit sich selbst gleich 1 ist. Man hat in der Tat a

rl

. _

_

®,1 + °r2 °»2 + • • • + °r» a.n =

x

• •» (Ofil — ®ln) * • (°nt — «*») x

K » - o»i) x, (o,„ — ant) x , Hieraus folgt für x ^ O

1 X alt

D (x) D (— x) = s"

x

-

—

0»1 ~ a Hi

,

• 0»2. " "

oder, wenn man X

••» a»l — (x) = 0 keine reelle Wurzel zuläßt, die von 1 und — 1 verschieden ist. Schreibt man D{x) in der Form D (x) = X» + St J*»-1 +

...an,

so ist, wie wir wissen, 8k die Summe der i-reihigen Hauptminoren von A. 10*

148

Zehntes Kapitel. Orthogonale Determinanten. Nach Satz 43 wird aber z. B. °U «1Î • •

z y» = °nl l + OniZn + . • • + Onr>zn-

§ 74. Zweireihige nnd dreireihige orthogonale Determinanten.

157

Setzt man die Werte yx, yt, ..., y„, wie sie durch die Gleichungen (4') geliefert werden, in (3') ein, so kommt Z, = 2 ' 0 « ( a ' l z l + °r» Z2 + • • • +

a r» zn)

(« = 1, 2, . . ., Jl).

Da man den z beliebige Werte beilegen darf iarf (weil sich ddie Gleichungen (4) nach den x auflösen lassen), so folgt hieraus ar, = 0

£a„

(ä ^ 0 ,

= 1.

Die Determinante A ist also orthogonal. Um zu beweisen, daß A den Wert 1 hat, multipliziere man 21 21•Ii

- 1

«

x 1

A =

««n

mit

«

«

• '

21 2112

1 —

«

'

+

2Ï

2121in

1 '

21 «n 2 21 '

21 « « „ 21

* *1

««„„ «

.

...,

« „ 2t18 . . «1» «21 «22 • • «2n

»

«ni 2tn2 • • %in etwa nach Zeilen.

Dann ergibt sich*) « i i «12 • • «1„ «22 • • «2n ¿ 2 1 = «21

=

«

«m Daraus ist zu ersehen, daß A den Wert 1 hat.

§ 74. Zweireihige und dreireihige orthogonale Determinanten. Um die Elemente einer zweireihigen orthogonalen Determinante vom Werte 1 zu finden, gehen wir nach § 73 von einer zweireihigen schiefen Determinante mit gleichen Hauptelementen aus:

«=

1 - f i

* . x

Die reziproke Determinante lautet X (x —n X *) Man bedenke, dafi 3tr r = JSt und 91f» = — Sit r ist (f S *)•

158

Zehntes Kapitel. Orthogonale Determinanten.

Die Formeln (1) in § 73 liefern dann: 2P

2 Xfi

' W + l* o«i =

2

2Xfi

oder

a„=

V + f** 2i.fi

A - (i* a

2i.fi w + n*'

°ai =

2**

—1

»2 — W + n*

a

Dividieren wir Zahler und Neuner durch A* und setzen X/fi = t, so ergibt sich _ 1 - t* 2t a " — i 4- ¿2 ' a » : i + I« ' 2t 1 + t2 '

o„ —

a„ =

1 - — (IV p*

Die Formeln (1) in § 73 liefern 2(1» + g 2 ) U ' + ^ + f ' + i») '

o„ = — 1 a,, = a 13 =

2 (fiX-VQ) 2

X + ft* + v2 + ç2 '

2(Mg + A r ) X* + fi* + v* +

'

2(nX + vq) V + fit + v2 + ç * > 2(X2 +

,== - 1 ««s =

°31

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2

(XQ-HV)

X* + lt* + v* + ?

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«93 = ~ Setzen wir

1

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4 X2-+ 2 ai2a ++ Vn*) 2 + t V

0

Q2

ç2)

160

Elites Kapitel. Resultanten and Diskriminanten.

so lautet die dreireihige orthogonale Determinante : 2 1 t2 2 (s + rt) 2 (t — rs) ra _ a 2 2 2 2 2 2 1 + r 2 + a2 + t2 1+ r + s + < 1 -f r + s + t 1 + a2 - r2 - f2 2 (r — ai) - 2 (t + ra) 2 2 2 1 + r2