Abel: el desarrollo de las funciones elípticas [Primera ed.] 9788447390694

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El desarrollo de las funciones elípticas

Abel

RBA

© 2016, José María Almira y José Ángel Cid por el texto © 2017, RBA Coleccionables, S.AAI Realización: EDITEC Diseño cubierta: Lloren^ Martí Diseño interior: Luz de la Mora Infografías: Alberto íYegenal Fotografías: Alamy: 29ad, 113ai; Archivo RBA: 29ai, 40,60,72, 75ai, 7sad, 76bi, 75bd, 83, L!3bi, H3bd, 117, 131,135a; Emilio Segré Visual Archives: 76; Getty Itnages: 113ad, 143,146,147; Soren Fuglede Joigensen: 137; Lutz Leiunann: 85i, 85d; Bjdm Erlk Federsen: 29b; Shutterstock: 135b. Reservados torios loa derechos. Ninguna parte de esta publicación puede ser reproducida, almacenada o transmitida por ningún medio sin permiso del editor.

ISBN (Obra completa): 97834473-8775-5 ISBN: 978-84473-9069-4 Depósito legal: B 19456-2017

Impreso y encuadernado en Cayfosa (Im presia Ibérica) Im preso en España - Printed in Spain

Sumario

INTRODUCCIÓN ........................................................... ...........................

7

c a p ít u l o

i El genio que surgió del f r í o ........ ....................

capítulo

2 En busca de la solución perdloa__________ _

15

CAPÍTULO 3 D os hom bres y un Grand Pibe Abel, Jacobi y la teoría d e las funoiones elípticas_____________ as CAPÍTULO 4 E l lega do d e A b e l ..................... ............................ 127 LECTURAS RECOMENDADAS .............................................................. 151 ÍNDICE .......................................................... ...... ............ ........ ............ .

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Introducción

En O slo, a finales de m ayo, cuando el rigor del invierno ya ha pa­ sado y e l s o l anim a a los noruegos a salir a la calle, un curioso ritual se re p ite a ñ o tra s año: en los jardines del Palacio Real, a los pies de una im p on en te esta tu a d e bron ce sobre un enorme pedestal de granito, a lgu n o d e lo s m ejores matemáticos del mundo coloca una co ro n a d e flo re s en h o n o r d e N iels Henrik Abel, el genio nórdico que m urió antes d e lo s veintisiete años y que protagoniza este libra E l h om en aje fo r m a p a r te de los actos del prem io Abel, que aspira desd e su c r e a c ió n en 2002, bicentenario del nacimiento de Abel, a s e r el p r e m io N o b e l d e las matemáticas. La ceremonia principal, la e n tr e g a d e l p r e m io A b e l p o r parte d e l rey d e Noruega, suele c e leb ra rse a l d ía sig u ien te y continúa con un banquete de gala y d o s lectu ras p o r p a rte d e los ganadores: una ante los miembros de la A c a d e m ia d e C ien c ia s y Letras de Noruega, que concede el pre­ m io, y o t r a ante estu diantes d e secundaria que tienen así la opor­ tu n id ad d e c o n o c e r de prim era m ano los principales avances de las m a tem á ticas actuales. N o en vano, uno de los motivos princi­ pa les p o r lo s que e l P a rlam en to noru ego aprobó por unanimidad la c r e a c ió n d e l p r e m io A b e l fu e para aumentar el prestigio social de la s m a tem á tic a s y gen erar interés por las mismas entre las jó ­ ven es g e n e ra c io n es . P e r o , ¿qu ién fu e este g en io al que tanto respeto y admiración se p r o fe s a en su pa ís natal?, ¿cuáles fueron sus principales contri-

bu cio n es al pensam iento cien tífico?, ¿ p o r qué se a tribu ye tanta im portancia a su obra? A lo la rg o de las páginas de este lib ro se intentará resp on d er estas y otra s cu es tio n es con c ie r to detalle. A hora, a m odo d e introducción, se es b oza un b re v e resum en que perm itirá contextualizar la vid a y la ob ra del personaje en cuestión. Niels Henrik A b el nació el 5 de agosto de 1802 en Kinnoy — una pequeña isla del suroeste de N oruega— , hijo de Spren G eo rg Abel, un pastor protestante, y Arme M ane Simonsen. D os años después del nacim iento de Abel, to d a la fa m ilia se desplazó a la parroquia d e Qjerstad. Fue en esta pequeña v illa del sureste de N oru ega don­ de N iels Henrik pasó la infancia co n sus cin co herm anos, en una ép oca políticam en te convulsa y llen a d e dificultades económ icas. A principios del siglo xrx N oru eg a fo rm a b a pa rte de Dinamarca, y en 1807 se v io som etid a a un duro bloqu eo p o r pa rte de R eino Uni­ d o c o m o represalia den tro del con texto de las guerras napoleóni­ cas. A consecu encia del bloqueo, se paralizaron todas las exporta­ ciones e im portaciones — lo que resultó especialm ente grave para Noruega porque dependía del grano danés— , y el hambre y la p o ­ b reza s e ex te n d ie ro n p o r to d o el país. En 1814, tras una guerra entre Dinamarca y Suecia, N oru ega pasó a depender de esta últim a E l padre de N iels H enrik e ra m iem bro del Storting, el Parlam ento noruego, y participó en la red acción d e la nu eva Constitución. A b e l estu dió en casa hasta 1815, año en el que ingresó, ju nto c o n su herm m io m ayor, en una e s c u e la d e C ristia n ía (l a actual O slo). E l p oten cial de A b el c o m o m atem ático no se puso d e m ani­ fiesto hasta que B em t M ichael H olm boe fu e contratado c o m o nue­ v o docen te en 1818, en sustitución de un brutal p r o fe s o r que mal­ trataba físicam ente a los alum nos y que fu e d espedido cuando uno de ello s falleció. H olm boe supo apreciar e l en orm e talento d e A bel y lo m o tivó anim ándolo a le e r las ob ra s d e los grandes m atem áti­ cos: Leonhard Euler, Joseph-Louis Lagrange y H erre-S im o n Laplace, entre otros. Adem ás d e m entor, fu e am igo íntim o y confidente d e A b e l hasta su trá g ica m uerte. N i siq u iera su rgió un rep ro ch e p o r parte de A b e l cuando se co n ce d ió a H o lm b o e un puesto en la U niversidad de Cristianía, para el que A b e l p o d ía con sid erarse le ­ gítim am ente m e jo r cu alificado y que adem ás tanta falta le h a cía H o lm b o e fu e m i ejem p lo m a ra villos o d e m aestro que supo reco-

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INTRODUCCIÓN

n o c e r un ta le n to su p erior en uno d e sus alumnos y, en lugar de sen tirse intim idado p o r él, lo orientó y estimuló. Por este motivo, el m in istro de E ducación noruego entrega anualmente, en vincu­ la ción c o n el p re m io Abel, el prem io en memoria de Bemt Michael H o lm b o e a la ex c e le n c ia en la enseñanza matemática. La cerem o­ nia d e p rem ia ció n tien e lugar el mism o día que se realiza la ofren­ da ante e l m onu m ento a AbeL En 1820, cu an do el padre de A bel murió, después de haber ca ído en desgracia política, el jo v en noruego se v io en serios apu­ ros econ óm icos; n o disponía d e dinero para completar su educa­ c ió n y a d e m á s d e b ía co n vertirse en e l sostén económ ico de su fam ilia. P o r fortuna, H o lm b o e acudió en su ayuda y consiguió que va rio s c o le g a s fin anciasen los estudios del joven, quien en 1821 in g res ó en la U n iversid a d de C ristianía Pronto empezaron a ve r la luz sus p rim eros artículos y quedó claro que Noruega se le había quedado pequ eñ a y que necesitaba entrar en contacto con los gran­ des m a tem á tic os continentales para seguir progresando. C on sigu ió una pequ eña b eca de viqje para visitar a Cari Ferdinand D egen y o tro s m atem áticos daneses en Copenhague y que tam bién le p e rm itió c o n o c e r a quien pronto se convertiría en su prom etid a, Christine Kemp, a la que cariñosamente llamaba Creily. Sin em bargo, él tenía un ob jetivo más ambicioso; viajar a Alemania y F ran cia p a ra tra tar a la élite mundial de las matemáticas. Mien­ tras se p re p a ra b a para ello, A b el produjo su primer gran resultado; la im p o s ib ilid a d de res o lv e r la ecuación general de quinto grado m ed ian te rad icales. É l m ism o corrió con los gastos de la publica­ ció n d e este trabajo en un panfleto que vio la luz en 1824, y al año siguiente in ic ió un viq je p o r el continente que se prolongaría hasta m ed iad os d e 1827. En B erlín tuvo lugar para Abel el encuentro más fr u c tífe ro de to d o su viaje. A llí co n oció al que sería, junto con H olm b o e, su m ás lea l am igo y su más fume apoyo: August Leopold C relie. E ste in g en iero y aficionado a las matemáticas fundó la re­ vista Jou rm ü fü r (lie reine und migewandte Mvlhemalik, también c o n o c id a c o m o Crelie, en la que A b e l publicaría muchos de sus tra b a jo s y que s ir v ió pa ra dar difusión a sus resultados entre los m atem á ticos eu ropeos. Cuando A b el llegó a París, después de dar un r o d e o p a ra atravesar lo s A lp es junto a unos amigos, era el ve-

INTRODUCCtÓN

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rano de 1826 y e l recibim iento de los m atem áticos franceses fue correcto pero distante. Conoció a Augustin-Louis Cauchy y AtlrienM arie Legendre, p ero en un prim er m om ento no consiguió que se interesasen p o r sus descubrim ientos. Aun así, trabajó m uy duro durante varios m eses para co m p letar uno d e sus estu dios más importantes, la llamada «M em oria de P a rís», que contenía e l teo­ rem a de adición para integrales abelianas, uno d e sus resultados m ás profundos. La m em oria fu e presentada p o r Jean-Baptiste Joseph Fourier ante la A cadem ia de Ciencias. A b e l confiaba en que una opinión favorable de la misma le abriría las puertas en el mun­ do académico. Sin embargo, esperó en vano una respuesta- Cauchy perdió el manuscrito, que no aparecería hasta después de la muer­ te d e Abel. Adem ás, su situación en París se v o lv ió desesperada p o r la a lt a de dinero. A finales de 1826 gastó sus últim os recursos para pagar e l via jo d e vu elta a Berlín. A llí pu do su bsistir con la ayuda de H olm boe y Crelle, p e ro su salud ya estaba d eteriorad a Perm aneció en dicha ciudad hasta m ediados de 1827, trabajando en la teoría de las funciones elípticas, una am plia generalización de las funciones trigonom étricas con importantísimas aplicaciones físicas, tales com o el cálculo del p e ríod o del péndulo sim ple o la rectificación de un arco de elipse. A l finalizar su beca d e vlty'e regresó a Cristianía, donde sobre­ vivió gracias a una pequeña ayuda de la universidad y dando clases particulares. Continuó trabajando en su teoría d e funciones elíp­ ticas en el aislamiento d el invierno n oru ego y no fue hasta princi­ pios do 1828 cuando descubrió los avances del m atem ático alemán Cari Gustav Jacob Jacobi en dicha teoría. E m p ezó entonces una fren ética com p etición en tre ambos. A b o l d e jó de lado tod os sus otros trabajos, inclu id os sus n u evos resu ltad os en la te o r ía de ecuaciones, para centrarse en las fu nciones elípticas, consciente com o era de la im portancia del tem a y tem eroso d e que Jacobi se le adelantara. En las Navidades d e 1828 d ecid ió viajar a Froland, donde se encontraba Crelly, a pesar de que visitarla su ponía via ja r varios días bajo un intenso frío. L le g ó con fieb re y, después d e las cele­ braciones navideñas, la tuberculosis lo ob ligó a reposar en cama. E l 6 de abril de L829, A b e l m urió sin haber cum plido los veintisie-

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INTRODUCCIÓN

te años y s o lo dos días antes de que Crelle le remitiera una carta para in form a rle de que p o r fin le había conseguido un puesto de p ro fes o r en Berlín. A dem ás de sus contribuciones fundamentales a las ya mencio­ nadas teoría d e ecuaciones algebraicas y teoría de funciones elíp­ ticas, hiperelípticas y abelianas, Abel participó de forma destacada en el esta b lecim ien to firm e del rigor en el análisis matemático, especialm ente en lo referen te al estudio d e la convergencia de las series de funciones. En particular, se le considera autor de la pri­ m era dem ostración rigurosa y completa del teorem a del binomio de N ew lon , así o< uno de algunas de las críticas al trabajo de Cauchy — a quien sin em bargo admiraba— y Euler, que dieron lugar a una nueva co rrien te d e pensam iento en el análisis cuyo testigo recoge­ rían p o s te r io r m e n te m uchos otros m atem áticos de renombre, c o m o K a rl W eierstrass. O tro aspecto en e l que destacó fue en el estudio y el uso de diversas ecuaciones funcionales, rama del aná­ lisis d e la que tam bién se le considera uno de los fundadores. L os elo gi os y reconocim ientos postumos al genio noruego se sucedieron. En 1830 la A cadem ia Francesa de Ciencias concedió a A b e l y J a cob i su G rand P rix p o r sus descubrimientos en el cam­ p o d é la s fu nciones elípticas. Sus obras completas vieron la luz en dos ed icion es antes de finalizar e l siglo xa. A principios del siglo xx se levan tó la im pon ente estatua en los jardines del Palacio Rea!, a cuyos pies s e rea liza el hom enqje anual del premio Abel. Y quizá no m enos im portan te es e l sencillo reconocimiento que los mate­ m áticos le rindieron, asociando su nom bre con multitud de térmi­ nos y c o n ce p to s fundam entales de la disciplina: grupo abeliano, integrales abelianas, fu nciones abeüanas, variedades abelianas, ecuación fu ncional de A b e l y transformada de Abel, entre otros. En las páginas que siguen se presentan, utilizando un mínimo d e fo rm a lism o m atem ático, algunos de los resultados más signifi­ cativos dem ostrad os p o r Abel, así com o algunas de las derivacio­ nes y consecu encias de los mismos, que han ayudado a la creación de varias rautas d e la m atem ática en las que el nombre del mate­ m á tic o n o ru eg o destaca c o m o uno de sus fundadores. Resulta sorprendente que alguien tan joven com o Abel, condicionado por la situación d e aislam iento y depresión económ ica que le tocó vi-

i m t r o o u c o Om

s

vir, llegara, en solitario, tan lejos. P ero esa es, probablem ente, una de las m arcas típicas del g en io en m atem áticas: la p recocida d. Después d e su muerte, el m atem ático francés C harles H erm ite afirmó: «A b e l ha dejado suficiente a los m atem áticos para mante­ nerlos ocupados durante quinientos años». Hasta ahora, esta afir­ m ación se ha m antenido cierta.

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INTRODUCCIÓN

1802 El 5 de agosto, N iels Henrik Abel nace en Firuwy.

entre ellos uno que contiene la demostración de la imposibilidad de resolver ecuaciones algebraicas a partir

1815

A b el se desplaza a O istianfa (actual O slo ) para ser escolarizado de forma tardía — hasta entonces había recibido clases de su padre— en la Escuela C atedral

1818

B e m l M ichael H olm boe es contratado co m o p rofesor de la Escuela Catedral y se convierte en m aestro d e Abel.

1820 Muere el padre de Abel.

del grado cinco. El 10 de julio, Abel llega a París. Redacta su «Memoria de París». Jean-Baptiste Joseph Fourier lee el prefacio de esta ante la Academia de Ciencias y el manuscrito queda sometido a publicación. Abel deja París en diciembre y vuelve a Berlín. 1827 Vuelta a Cristianía, en mayo, finalizado su vi^je por Europa. Aparecen publicados los primeros artículos de Abel y Cari Gustav Jacob Jacobi sobre

1821

Demostración (fallida) de la solubilidad de la química. Se gradúa en la Escuela Catedral y se matricula como alumno de la Universidad de Cristianía, tras aprobar el examen de ingreso. Augustin-Louis Cauchy publica su Curso de análisis, que tanto influiría en Abel.

1823 A b el visita a Degen en Copenhague.

Conoce a su futura novia, Christine,

funciones elípticas. 1828 Abel descubre los trabajos de Jacobi.

Inicio de la competición entre ambos. 1829 Aparecen publicados varios artículos de Abel. Uno de ellos es sobre ciertas ecuaciones que pueden ser resueltas en radicales (las ecuaciones abelianas), otros son sobre funciones elípticas. Publicación de los «Nuevos

Crelly, Kemp (1804-1862). Primeros

fundante ritos para una teoría de

artículo» de Abel, publicados en Cristian ía

funciones elípticas» de Jacobi. El 6 de

El 7 de septiem bre Abel inicia su viaje

enfermo. Dos días después, Crelle le

abril Abel muere de tuberculosis en Froland, tras pasar varios meses

1825

p o r Europa co n una prim era parada en

escribe desde Alemania confirmándole

Berlín, donde con oce a August Leopold

su nombramiento como profesor.

C relle y em pieza su colaboración con é l 1850 Abel y Jacobi ganan ex aequo el gran 1826

Aparecen publicados varios artículos de

prem io de matemáticas de la Academia

Abel en e l primer número de Crelle,

de Ciencias de París.

INTRODUCCIÓN

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C A P ÍT U L O !

E l genio que surgió del frío

N a c e r en N oruega en 1802 era, en gran medida, una condena al aislamiento. Las matemáticas de la época se hacían en París, aunque quizá también en Alemania Nunca tan al norte. Si además uno carecía de recursos económ icos, la condena era aún mayor. Tales fueron las circunstancias d el nacimiento de Abel, quien, pese a todo, logró que su nom bre llegara a figurar entre los más im portantes p ara las matemáticas del siglo xrx.

Soren G eo rg A b el (1772-1820) era un pastor protestante, luterano, h ijo d e o tro p a s to r, tam bién luterano. Se había educado en Copenhague, p ero en 1800 se le requirió para trabajar en Finnoy, una pequeña isla en el suroeste de Noruega, a donde se desplazó. Ese m ism o año c o n o ció a quien más tarde sería su esposa, Auné M arie Sim onsen (1780-1846), hija de un marino mercante. Pronto tuvieron d escendencia. De hecho, el protagonista de este relato, Niels H enrik A b el, nacido e l 5 de agosto de 1802 en Finnoy, fue su segundo hijo. En total, Henrik tuvo cinco hermanos: cuatro chicos y una chica, a la que siem pre se sentiríamuy unido. Cuando Henrik ten ía s o lo d o s años, e l pu esto de su abuelo com o pastor en la parroquia de G jerstad quedó vacante y fu e ocupado por su padre, de m anera que el futuro m atem ático pasó su infancia allí, en una pequ eña v illa en el sureste de Noruega que actualmente cuenta co n m en o s d e tre s m il habitantes. Los prim eros años de su educación corrieron a cargo del pa­ dre, quien d io esp ecia l im portancia a la lectura, la escritura, la a ritm ética básica y, c ó m o no, e l catecismo. Abel contaba ya con tre ce años cuando, en 1815, ingresó junto con su hermano mayor en una e s cu ela de Cristianía (h o y Oslo). Allí se impartían clases de lenguas clásicas y modernas, así com o aritmética y geometría. Durante los prim eros cursos, A b el no m ostró especial interés por las m atem áticas, p e ro esto cambió cuando, en 1818, un nuevo pro-

EL GENIO QUE S U R G Í) DEL FBto

fe s o r en tró en sustitución dei a n terior — quien a costu m brab a al m altrato fís ico d e lo s niños, lo cual no pu do ocultarse tras e l falle­ cim ien to d e uno d e sus alum nos, m o tiv o p o r e l que fu e despedi­ do— . L a p e rso n a que lo re le v ó , B e m t M ic h a el H o lm b o e (17951850), fu e sin duda e l m o to r que d e s p e rtó la v o c a c ió n d e l jo v e n n o ru eg o co m o m atem ático. N o s o lo su po a p rec ia r en segu ida el talen to d e A b e l para las m atem áticas sin o que rápidam ente inten­ tó cu ltiva rlo y lo a lim en tó c o n las m e jo re s lectu ras que ten ía a m ano. En e fe c to , ya du ran te lo s p rim e r o s m eses d e escu ela, en 1818, H o lm b o e a n im ó a A b e l pa ra que ley e ra de p rim era m ano a lo s m atem á tic o s m ás im p orta n te s d e l m o m en to . E n u no d e los cuadernos de A b e l s e p u ed e le e r la sigu ien te anotación: Si uno desea averiguar qué debería hacer para obtener un resultado con la mayor conformidad con la naturaleza, debería consultar los trabajos del famoso Laplaee, donde esta teoría se muestra con máxi­ ma claridad y en una extensión que es acorde con la importancia de la materia. Es fácil ver que una teoría escrita por Laplaee debe ser superior a cualquier otra escrita por matemáticos menos brillantes. Me parece que si uno desea progresar en matemáticas, debe estudiar a los maestros, no a los discípulos. Sin duda alguna, la lista de «m a e s tr o s » a la que hacía referen ­ c ia era la su gerida p o r H o lm b o e, qu ien tam b ién se d ed icab a a su estudio, tras h a b er asistido a las clases d e m atem áticas d e Soren Rasm ussen (1768-1850) en la U n iversid a d d e O slo . En e lla se in­ cluían lo s n om b res d e l su izo Leonhard Euler(1707-1783), el italia­ no J o s ep h L o u is L a gra n g e (1736-1813), lo s fra n ce se s SylvestreFranqois L a cro ix (1765-1843) y Sim éon-D enis P o isso n (1781-1840) y el a lem án Cari F tie d rich Gauss (1777-1855), a lo s que, al parecer, A b e l su m aría p ron to a lo s fra n ce se s F ierre-S im ón L a p la ee (17491827) y A ugu stin-Lou is C au ch y (1789-1857) c o m o referen cias fun­ dam entales. A b e l ingresó en la U niversidad d e O slo en 1821. P o r entonces, la in s titu c ió n estaba aún e n sus p rim e ro s a ñ os (fu e fu ndada en 1811, aunque a b rió sus cla ses en 1813). S o lo se oferta b a n títulos e n M edicin a, T e o lo g ía , D e re c h o y F ilo s o fía . L a s m a tem á ticas s e

»

EL G fcN O O U E S U M IÓ OEL FRIO

estu diaban d e n tro d e la Facultad de Filosofía, y n o era posible o b ten er u n títu lo e n ciencias, m ateria que era enseñada solo por dos p rofes ores: Rasm ussen y Christopher Hansteen (1784-1873). Aun así, A b e l ten ía d e cid id o form arse com o matemático, por lo que asistió a las clases d e ambos. De ellos aprendió lo más básico: una introdu cción general a las matemáticas y algo sobre geometría esférica y su u so en astron om ía Sin embargo, pronto se v io inmer­ so en la lectu ra d irecta de lo s grandes nombres déla matemática del m om ento. E n particular, en 1823 estudió en detalle las Disquisit iones arithmeticae d e Gauss, lo cual le proporcionó de manera in m ed iata una b a te ría d e p rob lem a s d e investigación a los que p o d ía dedicarse. B jjo su influencia investigaría no solo cuestiones de te o ría de n ú m eros sino tam bién sobre la teoría de tas ecuacio­ nes y el p ro b le m a d e la rectificación de lalemniscata, que le llevar ría p o s terio rm en te al estu dio de la s funciones elípticas. En 1823, H ansteen, co n la colaboración de otros dos profeso­ res de la universidad, p ro m o v ió la publicación de una revista cien­ tífica, bau tizada con el nom bre deMagazin fwNatvrvidensknber*

nc, c o n el o b je tiv o d e da r a c o n o ce r e impulsar las investigaciones que se rea liza b a n en N o r u e g a A llí publicaría A bel sus primeros trabajos. D e h echo, en el prim er volum en de la revista aparecieron dos con trib u cion es suyas. En la prim era se solucionaban dos pro­ blem as de cálcu lo integral surgidos de su lectura de los Fundamen­

tas de cálculo diferencial d e Euler y los Ejercicios de cálculo in­ tegral d e l fra n c é s A d rien -M arie Legendre (1752-1833). En dicho trabajo s e re s o lv ía una cu estión d e la m ecánica racional que gene­ ralizaba e l p ro b lem a de la tautócrona y conducía al estudio de una ecu a ció n , a h ora lla m a d a «e c u a c ió n integral de A b el», que es de hecho la prim era d e e s te tipo que se conoce. La teoría de ecuacio­ nes integrales sería am pliam ente desarrollada setenta años después p o r e l su eco E rik Iva r F redh olm (1866-1927), el alemán David Hilbert (1862-1943) y e l italiano V ito Voiterra (1860-1940), entre otros. E l s e g u n d o a rtíc u lo estaba d edicad o a la teoría de la elim i­ nación , un te m a p ro p io d e la te o ría de ecuaciones algebraicas. Su in clu sión en la r e v is t a fo r z ó a H ansteen a introducir una breve e x p lica ció n , argu m en tan d o que tod a revista dedicada a las cien­ cia s n a tu ra le s d e b ía a ñ ad ir en tre sus in tereses la publicación de

EL GENIO QuC 5WWVO OE1

e l p r o b l e m a m e c á n ic o d e a b e l

Considérese una curva y - y O ¡2 (en nota­ ción sexagesimal. 1:245110. que en nuestra n otación decim al se co rresp o n de con

I

I

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Tablilla YBC 7289, donada en 1912 por©l millonario John Plerpont Morgan a la Universidad de Yak

Se creé que esta aproximación tan buena fue obtenida mediante el proceso iterativo de «división y valor medio». La sucesión audloactlva La siguiente sucesión fue propuesta por el matemático británico John Horton Conway (n. 1937) en 1985: se empieza por cualquier número natural, por ejemplo 11, y a con­ tinuación se cuentan en voz alta los grupos de dígitos que contiene el número ante­ rior, «dos unos», 21, «un dos un uno», 1211, «un uno un dos dos unos». 111221,... gene­ rando así la llamada sucesión «audioactiva» U 21. 1211, 111221,... Conway se preguntó cuál seria Ja longitud L(n) del térm ino que ocupa la posición /j-ésima en la sucesión (en el ejemplo anterior, L O ) - 2, L(2 ) - 2 , L (3 )-4 , ¿(4)=6,.„> La sorprendente respuesta es que, salvo para la sucesión que empieza por 22 y que es constante, la longitud L(n) para valores grandes de n es proporcional a Xn, donde

y se cum ple que ya+ p y + q =O si u3+vs+ (¡= 0 y 3 u v u y v satisfacen e l sistem a d e ecu a cion es

= 0. Entonces

i í 3 + u3 = -q , u V D espejand o i? = - q - u a en la prim era ec u a ció n e insertándola en la segunda, se lle g a a la ec u a ció n de ord e n seis

EN BUSCA DE L A SOLUCION PERDIDA

L la llamada constante de Conway. e$ la ün'Ca solución reaI positiva de Ja siguiente ecuación algebraica de grado 71:

- 3 x « - 2 x " +6 x '^

9 ^ .-3 ^ ,_

-12X39+ 7>rM - 7 a * 7* 7 x í6 ' t x ,s-3 > rw + 10

+ X 33- $ X3?_2 jrJO-1 0 x 29-3A'2e+ 2 x r'+ 9 x 2fi- 3 x 25+

+, 4 ^ - a ^ - 7 V '+ 9 ^ r 3 ^ - 4 ^ - 1 0 x r - 7 ^ +1 2 ^ A 7 ^ +¿ » - 12x « - ^ - 2 Í t SX^ +x7- 7 x6 + 7a 5~4.x-4+ 12x 3- 6 x2+ 3 x - 6 “ 0. Sin Jugar a dudas, esta es una de las ecuaciones algebraicas con significado matemá­ tico más extraordinarias que se conocen, Con respecto a la constante de Conway se s3bequek= 1,303577...

Representación «n al plano com plejo do las solucionas de la ecuación algebraica anterior. El punto señ alad o a la derecha se corresponde e... ( 2

m ,+ to2+ ... +TOt=71,

EN BUSCA DÉ ÉA SOÉUCIÓN “ EFO O A

y p o r ta n to un p o lin o m io d e g ra d o n a 1 tie n e ex acta m en te n raíces, ca d a una c o n su m u ltip lic id a d , tal y c o m o D es ca rte s había conje­ tu r a d o . T a m b ié n a p a r t ir d e la f a e t o r iz a c id n d e l polinom io

p {z)= z*+ a nl z "-‘+an 2 2 "-2+ . . . + a i ® + a 0 c o n r a íc e s a v ap ....a , se d e d u c e c o n fa c ilid a d que

« o K - 1) * » . « 2 - • « » . « 1= ( - l ) ’ ' l( a 1a 2 . . a ^ 1+ ... + a2a 3. . . a j ,

a^ = a í ai + a , a3+ - + ° n - l a, ’ a ^ i = - ( a l + “ 2+ " • + « „ ) • E sta s fó rm u la s , q u e re la c io n a n lo s c o e fic ie n te s d e l polinomio c o n su s r a íc e s , e r a n y a c o n o c id a s d e s d e la é p o c a d e Cardanoy r e c ib e n e l n o m b re d e «fu n c io n e s s im é tr ic a s ele m en ta le s»: simé­ tric a s p o rq u e n o ca m b ia n s i se in te r c a m b ia el ord e n d e las raíces, y e le m e n ta le s p o rq u e , c o m o d e m o s tr a r o n e l fís ic o , m atem áticoy filó s o f o Is a a c N e w t o n y e l m a te m á tic o b ritá n ico E d w a rd Waring (1734-1798), s o n lo s b lo q u e s b á s ic o s de lo s que d ep en d e racional­ m e n te c u a lq u ier o tr a fu n c ió n s im é tr ic a d e las raíces. Sin e m b a rg o , e l te o r e m a fu n d a m en ta ] d e l á lg e b ra es solo un te o r e m a de e x isten c ia : a firm a q u e las r a íc e s e x is te n p e ro no pro­ p o r c io n a una fó rm u la p a r a ca lcu la rla s, p o r lo que el problem a de r e s o lv e r la q u ín tic a p o r r a d ic a le s p e r m a n e c ía inexpu gnable. El p r o p io G au ss r e a liz ó a lgú n a v a n c e al p r o b a r q u e la s raíces enési­ m as d e la tin id a d , es d ecir, las s o lu c io n e s d e la e c u a c ió n 2 " = 1, eran e x p r e s a b le s m e d ia n te r a d ic a le s p a ra t o d o v a lo r d e n. E s te no era un res u lta d o e v id e n te p u e s to q u e la fó rm u la habitual para descri­ b ir la s ra íc e s d e la u n ida d

2kn

= co s —

n

.

2kn . , „ , k = 1,2 n

-u sen —

n

u sa fu n c io n e s trig o n o m é tric a s que n o s o n a d m isib les en una solu­ c ió n a lge b ra ica .

70

E N B U S C A DE L A S O LU C IÓ N PER D ID A

En cu a n to a la r e s o lu c ió n d e la ec u a ció n general d e grado mayor o ig u a l a c in c o , e l m a tem á tic o su izo Leonhard Euier había publicado en 1738 su s p r o p ia s so lu c io n es a las ecuaciones d e gra­ do in ferior en la s q u e d e m o s tr a b a que la solución d e la ecuación de grado d o s p o d ía e s c r ib ir s e c o m o V r i , la d e grado tres como

tA + V 5 y la d e g r a d o c u a tro c o m o i Í A r i f B t t f c , siendo A, B, C soluciones d e u n a «e c u a c ió n r e s o lv e n te » d e grado inferior. Con­ jeturó que ta m b ié n e x is t ía u n a ecu a ción resolvente para las ecua­ ciones d e g r a d o c in c o y s u p e r io r y que, p o r ejem plo, la quíntica p o d ría r e s o l v e r s e

m e d i a n t e u n a e x p r e s ió n d e la fo rm a

tfA + ÜB + y¡C + %/D, p e r o n o p u d o p rob ar este resultado. A lexa n d re T . V a n d e rm o n d e (1735-1796), matemático, musicó­ logo y p o lític o fra n c é s , in te n tó en 1770 un enfoque alternativo tra­ tando de co n stru ir fó rm u la s que prod u jesen las raíces a partir de las fu n cion es s im é t r ic a s e le m e n ta le s , lo cual funcionó para los casos c o n o c id o s , p e r o al lle g a r a la ecu ación d e grado cinco se vio llevado a una e c u a c ió n r e s o lv e n te d e g ra d o seis, lo que le impidió seguir avan zan d o e n e l p r o b le m a .

«Si uno quiere progresar en matemáticas, debe estudiar a ios m aestros y no a los discípulos.» — N ublb H enkik AlBL

Sin d u d a , l a p e r s o n a q u e m á s in flu y ó en e l trabajo de los matem áticos p o s t e r io r e s q u e s e o c u p a ro n d e la teoría de ecua­ ciones, in c lu id o A b e l , fu e J o s e p h -L o u is Lagrange, quien, entre 1770 y 1771, p u b lic ó Reflexiones sobre la resolución algebraica de las ecuaciones. L a g r a n g e a n a liz ó la s soluciones conocidas a las ecu acion es d e g r a d o m e n o r o ig u a la cu atro tratando de bus­ car un patrón q u e p u d ie r a s e r g e n e r a liz a d o a las d e grado supe­ rior. La p rin c ip a l n o v e d a d q u e in tr o d u jo fu e e l estudio del núme­ ro d e v a lo re s q u e t o m a u n a fu n c ió n cu an do sus argumentos son permutados, in v e s t ig a c ió n q u e c o n tin u ó e l m atem ático francés Cauchy y q u e s e r ia u n in g r e d ie n t e fu n d am en tal en la prueba de Abel. En el tra b a jo d e L a g r a n g e a p a re c e sin duda la primera apli­ cación d e la t e o r ía d e g r u p o s a la t e o r ía d e ecu acion es que cui-

E N BUSCA DE LA SOLUCIÓN P&ROOA

Tí

LAGRANGE Y LA TEORIA DE GRUPOS En los trabajos de matemáticos como Joseph-Louis Lagrange, Augustin-Louis Cauchy, Abel y Évariste Galois surgieron los rudim entos que luego cristali­ zarían en el concepto abstracto de grupo. Un grup o G es simplemente un conjunto dotado de una operación interna «: G x G -* G que a dos elementos a.ó e G les asigna otro elemento a-beG y que cumple las siguientes propie­ dades o axiomas; - Asociativídad: (a*íO*e=a-(ó*c). para cualesquiera a.b.ceG, es decir, al ope­ rar con tres elementos no importa como se asocien dos de ellos. — Existencia de elemento neutro: Existe e e G ta l que a -e -e *a = a para cual­ quier a£G , es decir, cualquier elemento operado con el neutro permanece inalterado. - Existencia de inverso: Para cualquier a £ G existe o tro elemento denotado como g 'eG tal quea*a-,=a'l *a=e, es decir, todo elem ento operado con su inverso produce ei neutro, Si además en G se cumple esta otra propiedad, — Conmutad vidad: a * 0 =¿>-a para cualquier a.beG, es decir, no im porta el orden en el que se operan dos elementos, entonces se dice que es un grupo conmutativo o abeliano (en homenaje a Abel). Un subconjunto F £ G se dice que es un subgrupo sí la re stric­ ción de la operación » a F lo con­ vierte en un grupo, Cualquier g ru ­ po G p o s e e s ie m p re d o s subgrupos triviales: F={e>y F -G . es decir, el subconjunto formado por el elemento neutro y él mismo Un conjunto FCG es un subgrupo si y solo si dados a .ó e F entonces a-b-'eF. El orden de un grupo Si G es un grupo finito, se llama or­ den de G a su número de elementos, El teorema de Lagrange afirma que en todo grupo finito el orden de cual­ quiera de sus subgrupos es siempre un divisor del orden del grupo. En particular, si el orden de G es un nú­ mero primo entonces los únicos sub­ grupos de G 5 0 n los triviales.

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EN BUSCA OE L A SOLUCIÓN PE ROIDA

J o s e a h - L o e ií L e g ra rm e

m in a ría e s p e c t a c u la r m e n t e c o n la obra del francés Évariste Galois (18 11 -183 2). U n a p e r m u t a c ió n d e un conjun to finito es simplemente una reord enación d e su s elem en tos, com o cuando se barban ¡ascartas. Si s e id e n t ific a e l c o n ju n to con los n primeros números naturales [1, 2, 3

, n ), u n a p e r m u t a c ió n es cualquier ordenación de los

mismos, c o m o (2 ,1 , 3

, n ) donde lo que se ha hecho es intercam­

biar el 1 c o n e l 2 y d e ja r lo s dem ás números en su sitio. Parala prim era p o s ic ió n p o d e m o s e le g ir entre n números, una vez colo­ cado el p r im e r o , y c o m o lo s nú m eros no pueden repetirse, pode­ m os e s c o g e r n - 1 n ú m e r o s p a ra e l segundo lugar, » - 2 para el tercero, y a s í s u c e s iv a m e n te hasta llegar a la última posición, para la q u e h a y u n a ú n ic a p o s ib ilid a d . Es decir, en total existen

n ! - n - (n ~ 1) • ( n - 2 )- . . . •3 •2 -1 ordenaciones distintas opennutaciones d e n e le m e n to s . Si s e c o n s id e r a , p o r e je m p lo , la función de tres variables _fií],;i';1.r.l) = : r |+ .r2+ a v , se s a tis fa c e que, para cualquier permutación de d ich as v a r ia b le s , la fu n c ió n n o cambia, es decir, toma única­ mente un v a lo r , p o r lo q u e s e p u e d e afirm ar que es simétrica Por otro la do, la fu n c ió n f { x vx v x ^ = (x ,-x .) (x:-x ,j (x -x ¡) dasdodos valores, f ( x v x 2, x s) o - f ( x v x itx^, cuando se realiza cualquiera de las seis p o s ib le s p e r m u t a c io n e s d e la s variables, Lagrange probó que si f ( x t, x

x j

e s u n a fu n c ió n ra cion a l— es decir, expresa-

ble en fo r m a d e c o c i e n t e d e p o lin o m io s — que toma los valores distin tos/,, / 2, ..., / r, a l p e r m u t a r sus variables, entonces r es un divisor d e ni A d e m á s , lo s c o e fic ie n te s A0, A ¡t,.,, Ar ¡ del polinomio construido a p a r t ir d e lo s valores/,,/,,, ,,.,/r como

Xz) -

( z - f , X¿ - /2)- ..( 2 -/ r) - r í +Ar_,¿r-' +Ar_izr-i*..,*A¡z * \ ,

son fu n c io n es s im é tr ic a s d e x,,

xn.

En p a r tic u la r , u na fu n c ió n ra cion a l de tres variables podría tomar 1, 2, 3 o 6 v a lo r e s d ife r e n te s (lo s divisores de 3!=3-2-1=6), pero nu nca 4 o 5. E s te t ip o d e argum ento sería fundamental enla prueba d e A b e l En 1799, s ig u ie n d o la sen d a iniciada por Lagrange, el matemá­ tico y m é d ic o it a lia n o P a o lo R u ffin i (1765-1822) publicó la prueba

6N BUSCA «

LA SOLUCIÓN < «5 0 ® *

que dem ostrab a p o r p rim era v e z la im p o s ib ilid a d d e resolver la quím ica p o r radicales. Sin em bargo, la c o m p ro b a ció n era muy lar­ ga y com plicada, pues ocu p ab a c e r c a d e quinientas páginas, y no recibió dem asiada atención p o r pa rte de la com u nid ad matemáü ca. Ruffini se es fo rzó en o b ten er la o p in ió n d e Lagrange, a quien tenía en la m ayor estima, p e r o este apenas le p re stó atención. En­ tre quienes tuvieron la p a cien cia y e l in terés en leer con detalle su dem ostración p ron to surgieron crítica s a cierta s suposiciones no com probadas C om o consecu encia, R uffini p u b lic ó varias versio­ nes diferentes de su pru eb a a lo la rg o de v e in te años, p ero la opi­ nión generalizada era que se en con trab a in c o m p leta y que la pri­ m era dem ostración esencialm ente c o rr e c ta fu e la de A b e l Entre los m atem áticos de renom b re s o lo C auchy — p o c o dado, por otro lado, a elogiar la o b ra d e otros— a la b ó a R u ffini e, inspirado por él, pu blicó una influyente m em o ria so b re los va lo res que una timció n podía tom ar cu ando se perm u taban sus argum entos, resulta­ d o que sería fundam ental pa ra A bel. En particular, Cauchy gene­ ralizó e l resultado de Ruffini — según el cu al una fu n d ó n de cinco variables n o podía tener exactam ente tres o cuatro valores cuando se perm u taban sus a rgu m en tos— p r o b a n d o que «e l núm ero de valores que tom a una función n o sim étrica de n cantidades cuando sus variables se perm utan d e todas las m aneras posibles no puede ser m enor que el m ayor p rim o p m en o r que n sin ser igual a dos».

LA DEMOSTRACIÓN DE ABEL E l padre d e A b e l fue ele g id o, a fin ales de 1817, m iem b ro del Stortíng (Parlam ento n oru ego), p e ro apenas unos m eses después cayó en desgracia al acu sar fa lsa m en te a d o s rep re se n ta n tes en una sesión, El fin de su carrera p o lític a y sus p rob lem a s con el alcohol deterioraron seriam ente su salud y lo llevaron a la m uerte en 1820. A bel, su m adre y sus cin co h erm an os q u edaron en una situación ec on óm ic a m uy precaria, y fu e su m e n to r H o lm b o e quien consi­ guió apoyo e c o n ó m ic o para que A b e l pu diera acabar e l colegio y em pezar sus estudios en la U niversidad de C ristianía (actualO slo)

74

EN BUSCA D E L A SOLUCIÓN PERDIDA

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EN BUSCA D E L » SOLUCION'* * * *

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r EL DILEMA DE ULAM El Journal tur dié reine una angewa ndte Mathematik, en cu yo prim er número, en 1826, aparecieron hasta seis artículos de Abel, fue la la primera revista de matemáticas de Alemania no controlada p o r ninguna academia. Poco a poco fueron apareciendo en Europa unas cuantas publicaciones especializadas simi­ lares a esta, en las que los matemáticos presentaban sus principales hallazgos. Por tanto, para estar al corriente de las novedades en la disciplina bastaba con acudir a la biblioteca y leer este puñado de revistas. En la actualidad la situación es mucho más complicada. Se conoce co m o «dilema de Ulam» al problema planteado por el matemático polaco Stanislaw Ulam (1909-7984) en su autobiografía Aventures de un matemático: Hace algunos años, durante una conferencia que pronuncié en Princeton en los actos de celebración del vigesim oquinto aniversario de la compu­ tadora de Von Neumann, de repente m e puse a e stim a r mentalmente cuántos teoremas se publican al año en las revistas de matemáticas. Hice un rápido cálculo mental y llegué a una cifra de cien mil teoremas al año.. SI el número de teoremas es mucho m ayor de lo que es humanamente posible examinar, ¿en quién fiarse para juzgar qué es importante? SI el dilema de Ulam planteaba una pregunta de d ifícil respuesta en 7976, año de publicación de su libro, una solución es hoy en día todavía más acuciante, debido al crecimiento exponencial del número de revistas y de las facilidades que proporciona Internet a la hora de d ifu n d ir y p u b lica r el trabajo de los matemáticos de todo el mundo. Stanislaw Uam (derecha) con Richard Feynman (centro) y John voti Neumann, cerca de Los Álamos hada 1949.

76

EN BUSCA DE L Á SOLUCIÓN PERDfDA

en 1821. C o a s o lo d iecin u eve años, Abel presentó a Holntboe una fórm ula pa ra r e s o lv e r la ecuación d e grado cinco por radicales. En la aislada N o ru e g a , A b e l n o había tenido noticias de los trabaos de RuBini s o b re la im posibilid ad de resolver la quinta, y por tan­ to sus es fu e rz o s contin uaban, en la tradición de Euler y Lagrange, centrados en b u s c a r u n a fó rm u la que proporcionase las solucio­ nes. C o m o H o h n b o e n o fu e capaz de determinar la validez del ar­ gum ento d e A b e l, d e c id ie r o n en viárselo a Ferdinand Degen, el mejor m a tem á tic o d a n é s d e la época. Degen respondió de manera amable p id ie n d o e je m p lo s numéricos. Precisamente fue buscando estos e je m p lo s c o m o A b e l se d io cuenta de un error en su fórmula. Y lo que r e s u lta n o m e n o s im portante, Degen le proporcionó un consejo que t e n d ría g ra n d e s consecuencias en la orientación de su trabólo: « M e r e fie r o a las integrales elípticas. Un investigador serio c o n c a p a c id a d e s a decu a da s para una investigación de este tipo no se r e s tr in g ir ía s o lo a la s muchas bellas propiedades de estas n o ta b les fu n c io n e s , s in o que p odría descubrir un estrecho de M agallan es q u e c o n d u je s e a las vastas extensiones de un tre­ mendo o c é a n o a n a lít ic o ». A b el o b tu v o u n a p e q u eñ a ayuda para visitar a Degen y a otros m atem áticos d a n e s e s en Copenhague. Lo más reseñable de este Yiqje fue q u e e n su tra n s cu rs o co n oció a Christine, Crelly, Kemp, quien se c o n v e r tir ía e n su prom etida. A su v u e lta a C ristia n ía continuó trabajando en la ecuación de quinto grado. T r a ta n d o d e enm endar su error, Abel empezó a cam­ biar de p a r e c e r y p e n s ó q u e la fórm ula que buscaba no existía, Por otro lado, sus p r o fe s o r e s y a m igos noruegos, el astrónomo y fisico C hristopher H a n s t e e n y e l m a tem á tico Soren Rasmussen eran conscientes d e q u e un g e n io d e la talla de Abel necesitaba entrar en contacto c o n lo s g ra n d e s m atem áticos europeos para desarro­ llar tod o su p o te n c ia l. P o r ello , consiguieron del gobierno noruego unabeca d e v ia je p a ra A b e l. E sgrim ieron el argumentode que «una estanciaen el e x tr a n je r o , e n lo s lugares donde se encontrábanlos matemáticos m ás s o b res a lie n te s, contribuiría de forma excelente asu ed u cación c ie n tífic a y eru dita». En 1824 A b e l h a b ía c o n s e g u id o probar la imposibilidad de resolver la q u ím ic a m e d ia n te radicales y decidió publicar la de­

e s BUSCA DE LA SOLUCIÓN EERDtDA

m ostración pagan do al im p res o r de su b o ls illo p a ra tener una bue­ na. carta de p resen ta ción ante lo s m a tem á tic o s e u ro p e o s a los que ib a a c o n o c e r en su in m in en te v ia je. C o m o s o lo p u d o permitirse un b r e v e p a n fleto d e se is páginas, su p r im e r a dem ostración pubft cada fue p o c o cla ra y p a rca en d etalles. L a e n v ió a Gauss, esperan­ do r e c o n o c im ie n to d e l gran m a tem á tic o alem án , p e r o parece que este n i siq u iera lle g ó a a b rir e l s o b r e . L a id e a in ic ia l d e Abel de visitar a Gauss en G otin ga s e tru n c ó a n te la fa lta d e interés de este últim o y así am bos gen io s n o lle g a ro n a c o n o c e r s e en persona En Berlín, sin em b argo, s í c o n s ig u ió im p r e s io n a r a A u gu st Leopold Crelle, fundador del Journal j u r die reine und angewandteMalhe-

matik, p r im e r a r e v is ta m a te m á tic a a le m a n a n o controlada por ninguna academ ia, que e n su p rim e r nú m ero, en 1826, publicó una ve rs ió n am p liad a d e l p a n fleto de A b e l. A l no te n e r que pagar por la publicación, pu do ela b o ra r m ej o r la d em o stra c ió n y aportar más detalles. E ste a rtícu lo y un res u m en d e l m ism o que A b e l escribió en francés para la revista del b a ró n d e F erru sac (1786-1836) dieron a co n oce r al m un do a] ta le n to so jo v e n n o ru eg o que afirmabahaber dem ostrad o la im p os ib ilid a d d e r e s o lv e r la quíntica p o r radicales. A d iferen cia d e lo que su c e d ió c o n R u ffini, e s ta v e z la comunidad m atem ática fu e re c e p tiv a c o n la s id e a s d e A b e l y le d io crédito por desentrañar e l m is te rio de esta ecu a ció n . L a d e m o s tr a c ió n d e im p o s ib ilid a d d e A b e l e s u na pieza de o rfe b re ría m a tem á tic a y p r o c e d e p o r «r e d u c c ió n al absurdo»; su­ p o n e que e x is te u n a fó rm u la a lg e b r a ic a q u e p ro p o rc io n a las solu­ ciones a p a r tir de lo s c o e fic ie n te s d e la e c u a c ió n gen eral de grado cin co y sigue d e m an era la b o rio s a c o n una ca d en a d e deducciones hasta lle g a r a una c o n tra d ic c ió n , p r o b a n d o que la existencia de tal fó rm u la es im posible. C o m o e s c r ib ió e l fa m o s o m atem ático de C am b rid ge G o d fr e y H. H a rd y (1877-1947), «R edu ctio ad absur dum, que E u clid es tan to a m aba, es u n a d e la s m e jo re s armas del m atem á tico. Es un g a m b ito m u c h o m ás fin o q u e cualquiera del a jed re z: un ju g a d o r d e a je d r e z p u e d e o f r e c e r e l s a c r ific io d e un p e ó n o in c lu s o u na p ie za , p e r o un m a te m á tic o o fr e c e la partida». A b e l em p e z ó su p o n ien d o qu e la e c u a c ió n d e g ra d o cinco

+at & + a3x>+ a.,¿

78

EN BUSCA DE L A SO LUCIÓ N PERD ID A

a¿c + a„= 0

adm itía u n a s o lu c ió n p o r radicales, es decir, supuso que existía una fó rm u la q u e co m b in a n d o los coeficientes a0, a,,...,

median­

te un n ú m ero fin ito d e sum as, restas, productos, divisiones y ex­ tracción d e r a íc e s p r o p o r c io n a b a las soluciones. Su primer paso, explicado ert d e ta lle en su artícu lo d e 1826 —y no así en su panfle­ to d e 1824— c o n s is tió en p ro b a r que cualquier solución por radi­ cales p o d ía e s c r ib ir s e c o m o

x - g a+ ^ ¡R + g s Í J ? + g 3 4 ^ * ..A g m.ii ¥ r\ siendo m u n n ú m e r o p r im o y R, g0, gr ,.., gn i expresiones que podían d e s c o m p o n e r s e d e la m ism a form a que a; y así sucesiva­ mente h asta lle g a r fin a lm e n te a fu nd ones racionales de los coefldentes a0, o , , ..,, a4. A d e m á s , '¡ÍR n o se podía expresar como una función r a c io n a l d e lo s c o e fic ie n te s y de gwg2.... g^¡. Así, en la expresión d e la s o lu c ió n aparecían distintas raíces anidadas (raíces dentro d e r a íc e s ) h a s ta lle g a r en el nivel más interior a fundones racionales (s in r a íc e s ). P o r e je m p lo , la s o lu c ió n d e la cúbica reducida yJ+pt/+q=0 es, según la fó r m u la d e D e l Ferro-Tartaglia-Cardano-Feirari vista anteriormente,

pero también a d m ite la ex p res ión equivalente y=$[R+g2

siendo

que es de la fo r m a d e s c r ita p o r Abel. A contin uación A b e l d edu jo de manera brillante queg^g»...,^

y

son fu n c io n e s ra c io n a les de las raíces de laquíntica Así, VR,

que es n e c e s a ria m e n te u n a fu n ción irracional de los coeficientes Je la ecuación, ¡es s in em b a rg o una función racional de las raíces! Esta p ro p ied a d , fu n d a m e n ta l p a ra la prueba de Abel, había sido

EN BUSCA DE LA SOLUCION PERCUDA

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u tilizad a p o r R u ffin i en su m e m o r ia d e 1799 p e r o sin haberla de­ m ostrado. Su co m p ro b a ció n ju stifica la rep u ta c ió n d e A b e l como el prim ero en r e s o lv e r c o m p le ta m e n te e l m is te r io d e la quíntica Por ejem p lo, si se c o n s id e ra q u e la s r a íc e s d e la e c u a c ió n cuadrática a í+ te + c = 0 s o n

-b + 'J b 2- 4 c - b - J b 2- i c x ¡ ---------- --------- y x ¿ ------------ --------- , se c o m p ru e b a co n fa c ilid a d q u e Vh2 - 4 c = x t - x , y p o r tanto la fu n ción Jb1- 4 c , que es irra c io n a l en lo s c o e fic ie n te s b ye, es por el co n tra rio ra cion a l en las ra íc e s x t y x v en co n co rd a n c ia con el resultado g en e ra l d e A b el. A p lica n d o un ra zo n a m ien to a n á lo g o , A b e l co n clu y ó que cual­ quier radical que a p a reciese en la s o lu c ió n x d e b ía s e r una fundón racional de las raíces. L le g a d o a e s te p u n to , e l m a tem á tico ya es­ taba prepa ra do para usar e l te o r e m a d e C a u ch y s o b r e e l número de va lo res que to m a una fu n c ió n ra c io n a l cu a n d o se permutan sus va lo re s , p a ra lle g a r a u na c o n t r a d ic c ió n y d e m o s tr a r así que la so lu ción p o r ra d ica les n o p o d ía e x istir. En e fec to , A b e l p re stó a te n c ió n a h o ra a lo s rad ica les del nivel m ás in terio r, es d e c ir, a q u e llo s d e la fo r m a ’4 r d o n d e R es una fu nción racion a l d e lo s c o e fic ie n te s ats,a v ...,a Ad e la ecuación de g rad o c in c o (e s d e c ir , R e s tá lib r e d e r a íc e s ) y n es un número prim o. C om o lo s c o e fic ie n te s s o n la s fu n c io n es sim étrica s elemen­ tales de las raíces, se cu m p le e n to n c e s q u e R ta m b ién es una fun­ ció n sim étrica d e la s raíces y, p o r su p a rte, A b e l h a bía demostrado que ’

{x-xt) = 0— c o m o n u e v a a p ro x im a c ió n x l a la solución (véase la figura 2). R e p itien d o e s t e p r o c e d im ie n to se genera el método iterativo — at„

que co n ve rg e a

gTan v e lo c id a d

/ (* .)

n *.?

a la solución siempre que el valor

inicial i 0se e lija s u fic ie n te m e n te cerca, En la película^/ Blackjwk se dice q u e N e w t o n le r o b ó e l m éto d o a Joseph Raphson (16681715) p orqu e e s te ú ltim o lo p u b lic ó cincuenta años antes. Aunque es cierto, se s a b e q u e N e w t o n había descubierto elraétodo para el caso p o lin o m ia l a n te s q u e R a p h son y que este lo extendió al caso general, p o r lo q u e e s c o r r e c t o y ju sto denominarlo cea el nombre de ambos.

EN BUSCA Oí LA SOIUCiOn PSttHOA

CAPITULO 3

D os h o m b res y un Grand Prix: A b e l, Jacobi y la teoría d e la s funciones elípticas Q u iz á s e l tra b a jo más importante de Abel, aqu el qu e requ irió m ayor esfuerzo por su parte y cuyas c o n se c u e n c ia s e implicaciones se han revelado más p ro fu n d a s y diversas, fue su contribución al estudio de las fu n c io n e s elípticas y, en particular, su teorema de adición. L a s investigaciones del matemático noruego en este c a m p o tuvieron su fuente de inspiración en el trabajo d e L e o n h a rd Euler y Adrien-Marie Legendre.

Toda a p r o x im a c ió n al c á lc u lo que intente abarearloe conceptos fundamentales d e la m a teria y que aspire a ofrecer ona aproxima­ ción reposada, co n tie m p o para interiorizar las ideas y con material apropiado p a ra a p r e h e n d e r lo s co n ceptos básicos como la conQnuidad, la d e riva b ilid a d y la integración de funciones, así como sus aplicaciones g e o m é tric a s y físicas, requiere construir algunos tem ­ plos sen cillos d e fu n c io n e s qu e sirvan de banco d e pruebas para las distintas id e a s q u e s e v a n a trabajar. N o es necesario inventar estos ejem plos « d e la n a da », im provisando, porque surgen de forma natural ( a p a rtir d e c u e s tio n e s interesantes de física y geometría) y proporcionan p o r s í m is m o s un conjunto de problemas cuya re­ solución a yu da a c o m p r e n d e r la teoría. Se trata de las llamadas «funciones e le m e n ta le s »: lo s polinom ios, las funciones trigonomé­ tricas, las fu n c io n es ra c io n a les (algebraicas y trigonométricas), las exponenciales y lo s log a ritm os, así com o Jas Junciones inversas de las función es a n te r io r e s — cu ando sea posible calcularlas— y las funciones que s e p u ed en ob te n er a partir de todas las anteriores mediante o p e ra c io n e s algeb ra ica s y composición de funciones. Es importante c o n o c e r b ie n tod a s estas funciones y estudiarlas con profundidad, lo q u e p ro p o rc io n a rá algunas claves fundamentales para com p ren d er e l cá lcu lo. Sin ir más lejos, está claro que los po­ linomios y las fu n c io n es racionales algebraicas (cocientes de poli­ nomios) ex isten p o rq u e e s p o s ib le sumar, multiplicar y dividir nú-

DOS HOMBRES V U N G R A N O FRIX: AB EL, JACO BI Y L A T EO R fAD ELAS FUNCIONES ELÍPTICAS

31

raeros. Pero, p o r p o n e r un e je m p lo s e n c illo , in trod u cir la fundón trigon om étrica s e n (0 ) req u ie ro a lg o d e g e o m e t r ía En con creto, esta fu n c ió n s e d e fin e c o m o e l co cien te del ca­ teto op u esto p o r la h ip oten u sa en un triá n g u lo rectán gu lo

(como

e l que s e o b s e rv a en la fig u ra 1), d o n d e la h ip o te n u sa forma un ángulo 9 con e l ca teto co n tig u o ; y e l h e c h o d e q u e es te cálculo no dependa del tam año del triá n g u lo (p o r lo q u e se trata d e un núme­ ro p erfectam en te d e fin id o ) s e d e b e al t e o r e m a d e Tales. L o mismo se puede argum entar p a ra la s o tras d o s fu n c io n e s trigonométricas directas: el c o s e n o y la tangente. Así, se descubre que e l c á lc u lo es, en rea lid a d , inseparable de la geom etría y que, d e h e ch o, e x is te n c u e s tio n e s geom étricas que m otiva n la in tro d u c c ió n d e id e a s im p o r ta n te s e n e l cálculo. Un ejem plo d e e llo e s la bú squ eda d e lo n g itu d e s y áreas (e s decir, la rectificación y la cu adratura d e c u r v a s ), te m a s que llevan a definir ciertas integrales e intentar calcu larlas. D e s d e esta perspectiva, la geom etría fue, desd e e l p rin c ip io , u na fu en te d e inspiracicn de la que bebieron lo s m a tem á tic os d e lo s s ig lo s xvn, xvm y x a que que rían ahondar en el cá lcu lo y, sim u ltá n eam en te, e l cá lcu lo propor­ cion ó un conjun to d e té cn ica s d e e x tr e m a u tilid ad para el estudio d e ob jetos g eo m é trico s c o m o ias cu rva s y las superficies. L o s estu diantes d e c á lc a lo a p ren d en tem p ra n o a hallar áreas y volúm enes. Si a d em á s s e in ic ia n e n ia g e o m e tr ía diferencíalo en las ecu acion es d ife re n c ia le s , p r o n to d e s c u b rirá n algunos re­ sultados q u e c a r a c te r iz a n e s to s o b je t o s a p a r t ir de! conocimient o d e c ie r ta s fu n c io n es con propie­ d a d e s y d e fin ic io n e s especiales P o r e je m p lo , u n a c u rv a en el espa­ B

c io q u ed a d e te r m in a d a a partir de su s fu n c io n e s d e cu rva tu ra y tor­ sión. L a c u r v a tu r a m id e cuántose d o b la la c u r v a d e n t r o d e cierto p ia n o , d e n o m in a d o «o s c ila d o r», que es el p ia n o que m e jo r se apro­

A

b

x im a a e lla . L a t o r s ió n establece

(adyacente)

c u á n to s e s e p a r a la c u r v a de s« p la n o o s cu la d o r.

92

DOS HOMBRES ¥ UN UR AN O PRIX: AB EL, JAC O BI V L A T E O R IA DE L A S FUNCIONES ELIPTICAS

P a r t ic u la r m e n t e i m ­ portante fue, e n lo s a lb o res de la nueva disciplina, abor­ dar desde la p e rs p e c tiv a d e l cálculoel estu d io d e las c ó ­ nicas, q u e s o n la s c u r v a s obtenidas a l in t e r s e c a r un plano y un c o n o rec to . A sí,

t

por ejemplo, lo s lo g a ritm o s

in(tp-r 4

resultan de c o n s id e r a r e l área en cerrada p o r u n a h i­

0

t

pérbola y el e je d e ab scisa s entre dos p u n tos d a d o s R«pr»sírtKlóft ©Tífica tkl ccnetptó

d* logaritmo

y las fu n d o n e s t r ig o n o m é t r ic a s inversas surgen a partir del pro­ blema de la r e c tific a c ió n d e la circu n feren cia Obviamente, e s ta m e to d o lo g ía se puede aplicar sobre diferentes curvas, y lo s m a te m á tic o s que com en zaron a desarrollar el cálculo se pusiere*» d e in m e d ia to a trabajar en esta dirección. No obstante, descubrieron c o n e s tu p o r q u e la rectificación de algunas curvas algebraicas s e n cilla s, c o m o la elipse, daba lugar al cálculo de ciertas integrales que, p o r m ás que se empeñaban, nadie sabía resolver. Adem ás, a la lu z d e lo s resu ltad os d e la mecánica celeste, que describían la s t r a y e c to r ia s d e ic e planetas con elipses, larectificación de estas cu rva s e n c o n c r e to se consideraba fundamental, leibniz propuso e l p r o b le m a a G r e g o r y y N e w lo n en 1675. Él estaba convencido d e q u e p o d ía o b te n e r una expresión cerrada parala longitud d e l a r c o d e u n a elip se , p e r o lo cierto es que en sus deduc­ ciones había c o m e tid o un e rr o r d e l que se dio cuenta más adelante, tras revisarlas, a l r e c ib ir la n o tic ia d e que los otros matemáticos solo lograban r e s o lv e r e l p ro b le m a usando series infinitas. L o p e o r del c a s o e s que, a raíz d e las aplicaciones geométricas y físicas q u e es ta s in te g r a le s prom etían, su estudio y, al menos, su tabulación, re s u lta b a im p e ra tiv o . ¿Sería posible expresar estas fundones c o m o fu n c io n e s elem entales?

DOS HOMBRES Y U N G R A N D PRIX: AB EL, JAC OB! Y LA TEO RIA DE LAS FUNCIONES 6¡JPT!CAS

93

OBTENCIÓN DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS Sí se tiene en cuenta que la longitud de una curva plana o (f) - (x (f).y ( 0 ) entre los puntos o ( y y a(f,) viene dada por la expresión

donde Y (f) e / ( O son las derivadas de las com ponentes de la curva a(f). y sé parametriza la circunferencia de radio unidad entre los puntos de ordenadas y=Oey=sene mediante la curva K y ) « ( , / l - y J,y ), la longitud L d e dicho segmento de circunferen­ cia viene dada por

El mismo cálculo, realizado esta vez con la param etrizacidn * " & * - * > o coordenadas p o la r e s r*= cos(20). La re c tific a c ió n d e es ta cu rva conduce a !a integral

a la que se r e fe r ir á a p a r tir d e ahora com o «integral lemniscátiea» (que es, o b v ia m e n t e , un c a s o pa rticu la r de integral elíptica). A pesar de su a p a r ie n c ia sencilla, esta integra] se resistíaatodo tipo de m aques y s o lo a d m itía se r resuelta por técnicas que reque­ ran d esa rrollos en s e r ie s infinitas, com o el teorema del binomio. En cambio, ia in te g ra l

asociada a la c ir c u n fe r e n c ia , era fácilm ente resoluble, no solo con el arg u m e n to p re s e n ta d o co n anterioridad sino también, por ejemplo, su s titu y e n d o la v a r ia b le t p o r la expresión t=2s/(l+s1), lo que la t r a n s fo r m a b a en ía in te g r a l de una función racional. Entonces, e l m a t e m á tic o s u iz o Jakob Bernoulii (1667-1748) plan­ teó la cu estión d e s i la in te g r a l lem niscátiea definía un nuevo tipo defunción, d ife r e n te d e la s o tra s elem entales conocidas hastad momento. Esta p re gu n ta , si se p ie n s a un instante, se parece mucho al tipo de in te r r o g a n te s a lo s q u e A b e l se había enfrentado cuando estudiaba e l p r o b le m a d e la quím ica, pues trata de desvelar si un determinado o b je t o m a te m á tic o (u n a función, en este caso; un número, en e l c a s o d e la s e c u a c io n e s algebraicas) se puede obte-

DOS HOMBRES Y UN G R A N O PR(X ; A8EC. JAC O BI Y L A TEORÍA DE LAS FUNCIONES ELÍPTICAS

Curva ieraniscaU

e integral lemnlscátíca asociad».

(x 2+ y 2) 2 “ x2- y 2 r / r 3= a 2

(2 a 2 = 1 )

J ner en un número finito d e pasos tras aplicar determinados pro­ cesos (bien definidos) a otro s ob jetos ya construidos. De hecho, las técnicas em pleadas p o r G alois para la teoría de ecuaciones algebraicas serían utilizadas posteriorm en te con la finalidad de demostrar que ciertas funciones, entre las que se incluía el cocien­ te 1/ v i - t , no admitían prim itiva elem ental y, por tanto, la fun­ ción

pertenecía, en efecto, a una nueva clase d e funciones trascenden­ tes, más amplia que la de las fu n d on es elementales. El trabajo de Fagnano term inó por caer en manos de Euler, a quien de inm ediato le inspiró e l sigu iente h erm oso teorema de adición: si los números x, y, z están algebraicamente relacionados de tal m odo que cumplen la expresión

x 1+ y1+

-z 'J- 2 x y J l^ z ' - 0 ,

entonces se satisface la relación

DOS HOMBRES Y UN GRANO PRiX: A B E L JACQB1Y L A TEORÍA OE LAS FUNCIONES ELIPTICAS

Fijados lo s v a lo r e s d e las variables x, y en la ecuación alge­ braica anterior, es claro que esta se puede resolver para la variable a. Así, e s p o sib le in te rp re ta r e l resultado de Euler afirmando que la suma d e las lo n g itu d es d e dos áreos de la lemniscataasociados a dos parám etros x, y da lugar a la longitud de otro arco de lemniscata cu yo p a r á m e tr o z es tá algebraicamente relacionado con los otros dos parám etros. Esto, en realidad, resulta bastante des­ concertante, p o rq u e la in teg ra l lem niscática define en concreto una función trascendente. Se considera que la teoría de integrales dípticas nació ju s to cu ando Eu ler demostró este teorema Sin em­ bargo, el v e r d a d e r o im p u lsor d e una teoría coherente para estas funciones fu e Legen d re.

LA APORTACIÓN DE LEGENDRE A partir de 179.3, L e g e n d re in ic ió un largo período de investigación sobre las in tegrales elípticas. Este estudio cristalizó en un extenso tratado en tres v o lú m e n e s que publicó en 1825,1826 y 1828 bajo el título general d e Estudio de las funciones elípticas y las inte­ grales eulertcmas. Su a p o rta c ió n más relevante fue, por un lado, la reducción d e las in teg ra le s elípticas, mediante ciertas transfor­ maciones, a unos p o c o s casos especiales, a los que denominó «for­ mas canónicas d e p rim era , segunda y tercera especie». Además, dedicó un e s fu e rz o titá n ic o a la evaluación numérica precisa de estas integrales. La técn ica d e r e d u c ir una integral general a unos pocos casos especiales es bien c o n o c id a p o r to d o estudiante de cálculo, porque se aplica a la re s o lu c ió n d e las integrales de las funciones raciona­ les. Asi, cu ando s e q u ie re h allar una integral del tipo pQ ) /

dx,

sO )

DOS HOMBRES V U N G R A N O PRIX; ABEL. JACOBI ¥ L A TEORÍA OE LAS FUNCIONES ELÍPTICAS

do n d e p (x), q (x ) so n p o lin o m io s d e c o e fic ie n te s reales, se procede d e l sig u ien te m o d o : s i e l g r a d o d e l n u m e r a d o r es m ayor o igual al d e l d en om in a d or, se re a liza rá la d iv is ió n , de m o d o que

P (x )

= c (x ) +

r jx ) q {x Y

? (* )

d o n d e c(x'), r (x ) son p o lin o m io s — s ie n d o c (x ) e l cocien te de la d ivisión y r ( x ) e l res id u o — y e l g r a d o d e r (x ) tien e que ser menor que e l de q (x). C o m o la in te g r a l d e un p o lin o m io se calcula de m an era inm ediata, el p r o b le m a se r e d u c e a l ca so en el que el nu­ m e ra d o r tie n e g r a d o e s tr ic ta m e n te m e n o r q u e el denominador. A dem á s, se pu ed e su pon er, sin p é r d id a d e generalidad, que el po­ lin om io q (x ) es m ó n ic o , e s to es, e l c o e fic ie n te d e l térm inode ma­ y o r g rad o es la uni dad. C o lo c a d o s y a en esta situación, se hace oso del te o re m a fu nd am en tal d e l á lge b ra pa ra d e scom p on er e l polino­ m io q (x ) c o m o p ro d u c to d e fa c to r e s lin e a le s y cuadráticos (si se d e se a h a c e r t o d o s lo s c á lcu lo s co n n ú m eros rea les),

q (x )= (x -

.. { x -

(x^+a^xx

(x3x a;xx 6,)“ '.

y a con tin u a ción se dem uestra que e l c o c ie n te p {x y q{x) se puede d e s c o m p o n e r c o m o una su m a fin ita d e fu n c io n es racionales de la fo rm a

Al Bux x C u ------ - — r y d e la fo rm a ( x - r ty ( x 2+ aux - b h)' para v a lo res aprop ia d o s d e las co n stan tes

B u, Ct;, lo que redu­

ce el cá lcu lo d e la in tegra] de cu a lqu ier fu nción racional al cálculo d e las in tegrales d e unas p o ca s fu n c io n es racionales, que se pue­ d en estudiar en detalle. En e l ca so d e la s in teg ra le s elíp tic a s , la red u cción realizada p o r L eg en d re co n d u cía al es tu d io d e las in tegrales

r

di

*, fd - f Q »v

TOO

a - i 2)

di y l ( i x i a 2) j a - ñ t i - k V )

DOS HOMBRES Y U N G R AN D PRIX: ABEL. JAC O B! Y L A T EO R ÍA DE L A S FUNCIONE5 ELÍPTICAS

que re c ib e n e l n o m b r e d e in tegrales elípticas de primera, segunda y tercera e s p e c ie , r e s p e c tiv a m e n te . Si se sustituye en ellas la va­ riable t p o r la e x p r e s ió n í = sen 0, y se tienen a i cuenta los pará­ metros n, k, e s ta s in te g r a le s quedan expresadas porlas funciones $

n ffl

♦

y— ■

■

.

m ,k ) o V l - * s e n 20

o

da

‘

o (1 + n s err 0)-/l - á 2s e n V

respectivam ente, d o n d e 4 »=arcsen (xj. Legendre, motivado porlas aplicaciones q u e te n ía n en m ec á n ic a celeste, tabuló estas funcio­ nes, para lo q u e n e c e s it ó d em ostrar que verificaban ciertas rela­ ciones fu n c io n a le s e id e a r va rio s m étodos iterativos.

EL PÉNDULO SIMPLE Uno d e lo s p r o b le m a s d é fís ic a en lo s que aparecen, de forma na­ tural, las in te g r a le s e líp tic a s , es e l estudio del péndulo simple. Si se asume que la ú n ic a fu e r z a que interviene en el movimiento del péndulo es la g r a v e d a d , e s fá c il deducir que la ecuación que go­ bierna d ic h o m e c a n is m o , e s c r ita en términos del ángulo 0(í) que forma la v a r illa d e la q u e e s tá suspendido el peso con el eje de ordenadas en el in s ta n te t, v ie n e dada por

0 " ( O + — sen 0(t )- O , L donde g es la c o n s ta n te gravita cion al, L la longitud déla varilla y 0" indica la s e g u n d a d e r iv a d a d e la expresión del ángulo respecto del tiem po. S e s a b e que e l m ovim ien to del péndulo es periódico porque n o e x is t e ro z a m ie n to , d e manera que al no haber pérdida de energía, to d a la e n e r g ía c in é tic a acumulada en el momento en

i» OOS HOMBRES Y U N G R A N D PRIX: A B E N JAC O B! Y L A TEORIA DE LAS FUNCIONE OM ICAS

H M W

r - —

FÓRMULAS PARA 6L SENO V EL COSENO DE UNA SUMA La tabulación de las funciones seno y cos9 se apoya, de forma muy evidente, en las fórmulas sen(9+■cp)= sen ecos cp+ eos Osen qp cos(9+ „ 1908porit •scultor Gurt,* Vl9*!and (T86j-

mj).

t

'

13S EL LEGADO DE A # 1-

donación d e l B an co N a c io n a l d e S u e c ia a la Fundación Nobelej Matemáticas. L a ausencia d e un p re m io N o b e l en M atem áticas siempre sido un asunto p o lém ico . S e ha apu ntado, c o m o posible causa, |j m ala relación ex is te n te e n tre A lfr e d N o b e l y Mittag-Lefflei, habría llev a d o a l p rim e ro a no q u e re r e s ta b le c e r un premio podría haber sid o ganado p o r e l segu n d o, aunque lo más probable es que ai pragm ático h om b re que era A lfr e d N o b e l ¡as matemáticas le pareciesen d em asiad o te ó r ic a s y ca re n te s de aplicación en e| mundo real.

«El teorema de Abel es un monumento más duradero que el bronce.» — A drién-Ma íie L egevdse, parafraseando a H oracio.

L a falta d e un p re m io N o b e l en M atem áticas impulsó aSopbus Lie a intentar es ta b lecer un p re m io A b e l en matemáticas putas. En 1898 utilizó su am p lia red d e c o n ta cto s para recab ar apoyosinlernacionales ai prem io. Su id e a fu e en gen eral m uy bien recibida por la comunidad m atem ática, y ob tu vo resp uestas positivas de impor­ tantes m atem áticos, c o m o lo s fra n ceses É m ile Picard (1856-1941) y Charles H erm ite o e l a lem án F é lix Klein, p e ro tras la muerte de Lie, en 1899, e l p ro y e cto fu e abandon ado. L a id e a d e l p r e m io A b e l en M a te m á tic a s v o lv ió a surgir en 1902 en e l co n te x to d e las c e le b ra c io n e s d e l centenario del naci­ m ien to de A bel, E l g o b ie r n o y la C a s a R e a l se involucraron a fo n d o en la c o n m em o ra c ió n , a la q u e ta m b ié n fueron invitados im portantes m atem á tic o s ex tra n jero s , y se d e c id ió erigir el mo­ num ento a A b e l que V ig ela n d c o m p le ta r ía se is años después. El p ro p io rey O sc a r a nun ció la c r e a c ió n d e una m ed alla de oro en h on or del n o ru e g o p a ra p r e m ia r lo s tra b a jo s matemáticos más destacados. S e crearon va rias c o m is io n e s co n e l fin de estudiar la via b ilid a d d e l p r e m io y d is eñ a r su s esta tu tos, p ero un grave asunto p o lítico, la s e p a ración d e N o r u e g a y S u ecia en 1905, im­ p id ió culm inar el p ro y e cto .

136

EL LEGADO OS ABEL

PREMIOS M A TE M A TIC O S : M E D A L L A PIELDS VERSUS PREMIO ABEL

El hecho de que A lfred Nobel no dejase instaurado un pramio Nobel en Mate­ máticas ha p erjudicado claramente el reconocimiento social de esta ciencia. A pesar de ello, varios matemáticos han ganado dicho premio en otras disci­ plinas. c o m o en literatura — en 1904 el español José Echagaray (1832-1916), a quien se debe tam bién el perfil biográfico sobre Abel, 0 Alen-fon de/Norte, y en 1950 el británico Bertrand Russell 0872-1970)- ode forma más frecuente, en economía, co m o los estadounidenses Kenneth Arrow (1921-2017) en 1972y John Nash (1928-2015) en 1994. Para comp ensar esta carencia se han instau­ rado a lo la rg o del siglo xx distintos prem ios matemáticos, siendo (a medalla Fíelds y el p rem io A b e l los que han alcanzado mayor prestigio y repercusión. Dos galardones d istin to s La medalla Fíelds. creada por el matemático canadiense John Charles Fíelds (1863-1932), se e ntre g ó p o r primera vez en el Congreso Internacional de Ma­ temáticos de Oslo d e 1936. Considerada durante muchos años como el pre­ mio más prestigioso de las matemáticas, posee ciertas características que la diferencian claram ente de los premios Nobel: seentrega cada cuatro años, a un mínimo de dos y un máxim o de cuatro matemáticos menores de cuarenta artos y su cuantía económica es de unos 10 000 euros. En contraste, el Nobel es anual, no puede ser com partido por más de tres ganadores, la edad media délos galardonados es bastante avanzada y su cuantía es de casi un millón da euros. El lím ite d e edad en la medalla Fíelds se toma tan en serio gue cuando el m atem ático b ritá n ico Andrew Wíles (n, 1953) probó el último teorema de Fermat recibió solo una placa conmemorativa por tener mésde cuarenta artos, El premio Abel fue presentado en 2002, coincidiendo con la celebración del bicentenario del nacim iento de matemáti­ co noruego. Se creó para premiar traba­ jos matemáticos de excepcional calidad, para aum entar el estatus social de las matemáticas y a tra e r el interés de los más jóvenes p o r las mismas. La Acade­ mia Noruega de las Artes y las Ciencias loconcede anualmente a uno o dos ma­ temáticos de trayectoria excepcional, y es entregado p o r el rey de Noruega en una ceremonia d e gran solemnidad. 5u cuantía económ ica — 6 0 0 0 OOO de co­ ronas noruegas, unos 6 5 0 0 0 0 e u ro sy su repercusión en los medios lo han E| mitMlltlco Freedman, ganador de lanwJalto Retds Convertido en lo más parecido hoy en día a un prem io N obel en Matemáticas. mises.

B . VAGADO 0ÉA9R

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La m em oria d e A b e l sig u ió v iv a en N oruega. P o r ejemplo, su rostro fu e im p res o en u n s e llo c o n m o t iv o d e l centenario de su muerte en 1929 — un p riv ile g io que s o lo habían disfrutado hasta la fecha la fam ilia real y e l d ra m a tu rg o H en rik Ibsen (1828-1906)—, y en 19-18 su retrato a p a re c ió e n e l b ille te d e 500 coronas. También se han escrito distintas b io g ra fía s s o b re la v id a de Abel, siéndolas más com pletas la d e 0 y s te in O re (1899-1968), Hids Henrik Abti,

Maihematician Extraordinary (19 57 ), y A r ild Stubhaug (n 1948), Niels Henrik Abel and, kis Times (2000). En 2000, en v ís p e r a s d e l b ic e n t e n a r io d e l nacimiento del m atem ático, to m ó fu e r z a d e n u e v o la id e a de cre a r un premio A b el en M atem áticas, E s ta v e z la id e a fru c tific ó , y al año siguien­ te el g ob iern o n o r u e g o a n u n c ió la c r e a c ió n de un fondo de 200 m illo n e s d e c o r o n a s (a p r o x im a d a m e n te 22 m illones de euros) a d m in is tra d o p o r e l M in is t e r io d e E d u c a c ió n y cuyo retomo anual s e ría c o n c e d id o a la A c a d e m ia N o ru e g a d e Ciencias y Le­ tra s pa ra o to rg a r e l p re m io A b e l a una o m ás personalidades por sus c o n trib u c io n es e x c e p c io n a le s a la s m atem áticas. La crea­ ció n d e l p r e m io a lc a n z ó u n a m p lio c o n s e n s o político, tal vez porqu e u no de 6us o b je t iv o s e x p líc it o s era e le v a r la considera­ c ió n s o c ia l d e e s ta d is c ip lin a y a t r a e r h a c ia e lla el interés de niños y jó v e n e s .

LOS GANADORES DEL PREMIO ABEL P o r fin, m ás d e d e n añ os d e sp u é s d e la prim era propuesta al res­ pecto, e l p rem io e n h o n o r d e A b e l v e ía la lu z d e manera oficial en 2002, coin cid ien d o c o n e l b ic en ten a rio d e su nacimiento. A conti­ nuación se reseñan lo s g a n a d o res hasta la fe c h a de dicho premio, m ediante lo s cu a les se o fr e c e , sin du da alguna, un panorama de las m ejores m atem áticas d e l s ig lo x x En 2002, el año de su instauración, el p re m io A bel se concedió d e fo rm a h on orífica a A tle S r lb e r g (1917-2007), a la sazón el mate­ m ático noru ego de m a y o r prest ig io internacional. Selberg desarro­ lló la m ayor pa rte d e su ca rre ra e n P rin c eton , Estados Unidos, y

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EL LEGADO OE AB EL

EL TEOREM A DEL NUM ERO PRIMO

Un número prim o es cualquier riaturaldistlntodelquesoloesáivislbleporl y por si mismo. Los números primos son los bloques básicos de los que están compuestos to d o s los números, algo asi como los átomos de la aritmética, puesto que to d o número natural se descompone de forma única -salvo el orden de los factores— com o producto de números primos. El matemático griego Euclldes ya probó, en los Elementos, quehabia una cantidad Infinita de números primos: dados los primos p,.p,... p,, el número p=pl p1-...'p0 de cu a lqu ier triá n g u lo). E l g a la r d o n a d o c o n e l p r e m io A b e l e n 2010 fu e e l matemá­ t ic o e s ta d o u n id e n s e J o h n T o r r e n c e T a t e (n. 1925), p o r su gran im p a c t o e n la t e o r ía d e n ú m e r o s . T a t e d e s c u b r ió su gusto por la s m a t e m á t ic a s s ie n d o m u y j o v e n a t r a v é s d e lo s puzlesde H e n r y D u d e n e y (1857-1930) y d e l c lá s ic o lib r o d e l escocés Eric T e m p le B e ll (18 83 -196 0) i o s grand es m atem áticos, que tantas v o c a c io n e s m a t e m á tic a s h a d e s p e r ta d o . Su p r in c ip a l campo de e s tu d io h a s id o la t e o r ía d e n ú m e r o s a lg e b r a ic o s , e s decir, las

LA CLASIFICACIÓN DE LOS GRUPOS FINITOS SIMPLES La teoría de grup o s se inició con los estudios sobre la resolución de ecuacio­ nes por radicales llevadas a cabo por Lagrange, Cauchy, Abel y Gaíois, y hoy en día es un c o n c e p to transversal con múltiples aplicaciones, desde la física de partículas basta la cristalografía, pasando por la solución al cubo de Rubilc oíos mosaicos d e la Alhambra. Uno de los grandes hitos del siglo » en teoría de grupos fue la clasificación de los grupos finitos simples, que son los bloques con los q ue se form a cualquier otro grupo finito La tarea fue ingente; involu­ cró el trabajo co n ju n to de más de cien matemáticos y ocupó más de diez mi páginas. Un resultado clave fue probado en 1962 ROrWáterFait[l930-2004) y John G riggs Thom pson, prem io Abel en 2008: «Cualquier grupo finito de orden im par es resoluble». A pesar de su sencillo enunciado, de tan solo ocho palabras, su dem o stra ción ocupó un volumen completo de 255 páginas déla revista Pacific Journal o f Mathematies. y constituyó un ingrediente esencial para el teorem a de clasificación, según el cual cualquier grupo finito simple es de uno de los siguientes tipos: un grupo cíclico de orden primo, un grupo alternado, un m ie m b ro de una de las dieciséis familias de grupos deLle finitos o uno de los veintiséis grup o s esporádicos. El monstruo 0 enfoque g e o m é tric o de la teoría de grupos introducido por Jacques Tits, el otro g alardonado en 2 0 0 8 con el premio Abel, resultó a Su vez fundamen­ tal en el estudio d e los grupos esporádicos, y en particular del mayor de todos, conocido d e fo rm a p o p u la r co m o el «Monstruo» por su enorme tamaño con­ tiene unos 3 0 8 Q T 0 50 elementos, un número increíblemente grande que equi­ vale al núm ero de partículas elementales en el planeta Júpiter, Para hacerse una ¡dea de la co m p le jid a d del «Monstruo» basta señalar que se corresponde con el grup o de sim etrías de gn espacio de 196883 dimensiones.

JlCquesTJts y John Griggs Thompson (segundo y tercero por la Izquierda, respectivamente) posan con los monarcas noruegos y con la esposa de Tits, Marle-Jeanne (primera por la derecha), en el Palacio Real de Oslo tras recibir el prem io Abel. •120 de m ayo d e 2008.

EL LEGADO DE A flR

ra íc es de p o lin o m io s c o n c o e fic ie n t e s ra c io n a le s . A l igual que A b el, su in flu en cia p u ed e m e d ir s e p o r la c a n tid a d de conceptos y resu ltad os a s o c ia d o s a su n o m b re : m ó d u lo d e T a te, algoritmo de T a te, t e o r e m a d e S e r r e -T a te , t e o r ía d e H onda-Tate, entre otros. En 2011 e l p rem io A b e l fu e c o n c e d id o al estadounidense John W iilard M iln or (n. 1931), uno d e lo s m a te m á tic o s más versátiles del sig lo xx, co n im portan tes c o n trib u c io n es en topología, geome­ tría y álgebra. U n o de sus re s u lta d o s m ás asom brosos, y por el que re c ib ió la m ed a lla F ie ld s e n 1962, fu e e l descubrimiento de las «esferas e x ó tic a s » en d im e n s ió n s ie te . A sí, M iln or probó que ex isten va ried a d es d ife r e n c ia b le s q u e p u ed en transformarse de fo rm a continua en una e s fe ra h eptad im en sion ai, p ero dicha trans­ form a ción nunca e s suave, sie m p re ap a recerá n arrugas o pliegues que n o pu ed en a lisa rse. D e h e c h o , e n d im e n s ió n siete existen ve in tioch o «e s fe r a s e x ó t ic a s » d iferen te s. M iln o r también realizó aportaciones im portan tes en te o r ía d e n u d os — escribió su primer artículo so b re e l tem a c o n d ie c is ie te años, un ejem plo de preco­ cid ad c o m o A b e l— , t e o r ía d e gru p os, K -teoría, dinám ica comple­ ja, etc. El m atem ático h ú ngaro E n d re S z em eré d i (n. 1940) recibióel prem io A b el en 2012 p o r sus n u m erosa s y profundas contribucio­ nes a la c o m b in a toria , en te n d id a en un s e n tid o am p lio como el estudio de las estructuras discretas. Su resultado más importante, el teo rem a d e S zem eréd i, afirm a q u e S(k, ti) — el m ayor mimen) d e en tero s en tre 1 y n q u e p u e d e e le g ir s e sin con ten er ninguna p rog resión a ritm ética d e lo n g itu d k— e s un porcentaje de n tan pequ eño c o m o se q u iera sie m p re que n s e a suficientem ente gran­ de. E l te o r e m a d e S z e m e ré d i aú n a un en u n c ia d o sencillo de en­ te n d e r y una p r u e b a e x tr e m a d a m e n te co m p lica d a , aunque de naturaleza elem en tal, es d ecir, sin u sar co n c e p to s matemáticos avanzados. L o s resu ltad os de S z e m e ré d i han ten id o importantes aplicaciones en te o r ía de n ú m eros, c ie n c ia s d e la computación c in telig en cia artificial. El galardón de 2013 re c a y ó e n e l b e lg a F ierre Deligne (n. 1944). C onsiderado c o m o uno d e lo s m e jo re s m a tem á ticos del siglo a, fu e gan ad or tam bién d e la m ed a lla F ie ld s en 1978. El comité del

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El- LE G AD O DE ABEL

premio A b e l d e s t a c ó su s v a lio s a s contribuciones a la geometría algebraica, que h an te n id o un gran im pacto en la teoría de números yls teoría d e la r e p re s e n ta c ió n . Su resultado más relevante fue Ja demostración d e la h ip ó te s is d e Riem ann para variedades sobre

10 cuerpo fin ito, u na v a r ia n te d e la hipótesis de Riemann original, I ¡ I

que es en la a ctu a lid a d e l p r o b le m a a bierto más importante délas matemáticas. C o m o c o n s e c u e n c ia d e su teorema, Deiignepudo establecer re s u lta d o s ta n in c re íb le s co m o una estimación precisa dd error c om etid o a l e s c r ib ir un núm ero com o suma de veinticua­ tro cuadrados. El g an ad or d e l p r e m io A b e l en 2014 fu e Yákov G. Sinái (n. 1935), un p r e s t ig io s o in v e s t ig a d o r d e la escuela rusa que trabaja enla frontera e n tr e la s m a tem á tic a s y ia física Sus contribuciones más destacadas h a n te n id o lu g a r en la te o ría de los sistemas diná¡nicos, la te o ría e r g ó d ic a y la m ec á n ic a estadística, donde introdu­ jo importantes c o n c e p t o s c o m o la entropía de Koimogórov-Sutói, las medidas d e S in á i-R u e lle -B o w e n y lo s paseos de Sinái, entre otros. En un in te r e s a n te a r tíc u lo de 2006, Sinái se preguntaba á matemáticos y fís ic o s e r a n c o m o perros y gatos, y terminaba con estas palabras: «S in e m b a r g o , e s ve rd a d que e l mundo de ios ma­ temáticos y e l d e lo s fís ic o s so n bastante diferentes y que existe unafrontera q u e lo s s e p a r a E s ta fron tera es muy personal, y cada uno elige la su y a ». El prem io A b e l d e 2015 fu e co n ce d id o a los matemáticos John Forbes Nash (19 28 -201 5) y L o u is N irenberg ( n 1925), por sus con­ tribuciones a la s e c u a c io n e s en derivadas parciales y sus aplica­ ciones al análisis g e o m é tr ic o . N ire n b e rg es reconocido intemacionalmente c o m o u n o d e lo s líd e r e s en e l estudio de las ecuaciones enderivadas p a rc ia le s , m ie n tr a s que Nash publicó pocos artículos pero de una g ra n in flu e n c ia . E n con creto, se debe a Nash, y de forma ind ependiente a i m a te m á tic o italiano Ennio de Giorgi (19281996), la d e m o stra c ió n d e la regu laridad de las soluciones de ecua­ ciones de tip o e líp tic o . L a s a p lica cio n es al anáfisis geométrico que reconocía el ju ra d o d e l p r e m io A b e l son ios teoremas de inmersión -probadas p o r N ir e n b e r g p a r a su perficies de Riemaim de curva­ tura positiva, y p o r N a s h p a r a va ried ad es de Riemann generales—, Quepusieron d e m a n ifie s to q u e es to s objetos geométricos abstac-

aiÉGADODEABa

JOHN F. NASH: UNA VIDA DE PELÍCULA En 2015, por primera y hasta ahora única vez, un ganador del prem io Abel había sido g a ­ lardonado previamente con el prem io Nobel: el matemático estadounidense John Forbes Nash había conseguido en 1994 el p re m io Nobel de Economía por su teoría del equ ili­ brio para juegos no cooperativos, d e sa rro ­ llada en su tesis d octo ra l cuarenta y cin co arios antes. El premio Abel de 2015 se le co n ­ cedió, junto a Louis Nirenberg, p o r sus c o n ­ tribuciones a la geometría diferencial y a las ecuaciones en derivadas parciales. Nash pro­ bablemente sea ei g anador más m e diá tico de cuantos han recibido el premio Abel, pues en su vida se mezclaron la genialidad, la tra ­ gedia — en form a de una esquizofrenia que lo mantuvo apartado d el m undo d u ra rte cuarenta arios— y una inesperada recuperación acompariada de grandes reconocim ientos, un bastsellersobra su vida titulado Una mente prodigiosa y la película Una mente maravitUosa que ganó cuatro premios Óscar en 2001. Por desgracia, Nash y su esposa, Alicia, fallecieron en un accidente de taxi cuando regresaban del aeropuerto pocos días después de haber re cog ido el p rem io A bel en Oslo.

■ M M M im u W M M fA IN

to s p o d ía n « in t r o d u c ir s e » en tur e s p a c io e u c líd e o ordinario con­ se rva n d o las distancias. E l p r e m io A b e l d e 2016 r e c a y ó e n e l m a tem á tic o británico A n d r e w J. W ile s (n . 1953), q u ie n h a b ía a c a p a ra d o las portadas m undiales en 1994 cu a n d o a n u n ció que h a bía demostradoelúltimo te o r e m a d e F erm a t. Su e n u n c ia d o es m u y s e n c illo (la ecuación

x"+yn=zn n o tie n e s o lu c io n e s e n te ra s p o s it iv a s si n > 2 ), pero su d e m o stra c ió n e lu d ió a io s m e jo r e s m a te m á tic o s durante más de tre sc ien to s años. L a p ru e b a d e W ile s u sa ba d o s conceptos, curvas elíp ticas y fo rm a s m o d u la re s, que h a b ía n s id o introducidos en di­ feren tes c o n te x to s p o r lo s m a te m á tic o s d e lo s s ig lo s xvin yxix. En la d é c a d a de 1950, lo s m a te m á tic o s ja p o n e s e s YutakaTaniyama (1927-1958) y G o r o Shim u ra (n . 1930) e s ta b le c ie ro n una conjetura según la cu a l a ca d a c u rva e líp tic a le co rre s p o n d ía d e forma pre-

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EL L E G AD O DE AB EL

cisauna fo r m a m o d u la r . A m e d ia d o s d e Ja década de IQSOseJlegd # )a co n clu sió n d e q u e la c o n je tu r a d e Taniyama-Shírmira impli­ caba el ú ltim o t e o r e m a d e F erm at, pues apartir de un contiaejemplc a dicho t e o r e m a p o d ía con stru irse una curva elíptica sin ftama modular a s o c ia d a F u e ju s t o un ca so particular de esta conjetura para cu rvas s e m ie s t a b le s , p e r o aun así suficientemente poderosa para im p licar e l ú lt im o t e o r e m a d e Fenmat, la que probó Wiles. El p r e m io A b e l d e 2017, e l ú ltim o concedido hasta lafecha, ha sido o t o r g a d o a l m a t e m á t ic o fra n c é s nacido en Túnez fres Meyer ( a 1939), p o r e l d e s a r r o llo d e la teoría de (indiculas, Fue Jean-Baptiste J o s e p h F o u r ie r e l p rim ero en defender y utilizar

UNA C ARTA DE A B E L SOBRE FERMAT S premio A bel d e 2016 fue concedido al matemático británico AndrewJ.Wiles por su d e m o stra ció n del últim o teorema de Fermat. la ecuación «"»/=*» no tiene soluciones enteras positivas si n» Z la prueba de Wiles sebasaba en la relación existe n te e n tre form as modulares y curvas elípticas, un campo de las matemáticas que se re m o n ta a las Investigaciones de Abe¡ sobre las fondbnes elípticas. P recisam ente, una carta de Abel s Holmboe en el verano de 1623, donde le re la ta b a sus p rim eros avances en 'a teoría de las funciones elípticas mientras estaba v is ita n d o a Degen en C ópentele, contenía una referendeal último teorem a de Ferm at: aunqueAbel reconocía que no habla sidocapaz de resolverlo, enviaba a H olm bo e cuatro teoremas relacionadosconálque haba obtenido. P o r e je m p lo , Abel probó que si x y n>2 eran primos, entonces la ecuación de Ferm at no tenía solución. Curiosamente, Abel comentaba a Holmboeque «los m a te m ático s británicos no son tan malos como yo pensaba», lo que resulta p re m o n ito rio si se tiene en cuenta que el misterio del último teo­ rema de Ferm at fue desvelado precisamente p o r un m atem á­ Pimi DIFERMATifflí iw tico de dicha nacionalidad. La epístola te rm in a b a c o n una broma m a te m ática : A b e l p ro ­ porcionaba c o m o fe c h a de su carta la p a rte d e c im a l de 1/6064 321219, lo que se co ­ rrespondía c o n el 4 d e agosto. El teorema de Fermat en un sello francés.

1

n a - p ie s d e s ó lu t ío n p o u r des entiers n * - i

ELU=6AD0C*ABa

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de m a n era s is te m á t ic a q u e u n a fu n c ió n p e r ió d ic a podía des­ com p on erse co m o u na su m a, p o s ib le m e n te infinita, de seros y cosenos. D esd e F o u rie r se h a n e n c o n tr a d o m uchas otras bases orton orm ales, e s d ecir, c o n ju n to s de fu n c io n e s perpendiculares dos a dos que c o m p a r te n e s ta im p o r ta n te propiedad de senos y cosenos. En la te o r ía de o n d fc u la s h a y u n a «on d ícu la madre» que genera, p o r tra sla cio n es y d ila ta c io n e s , to d o s los demás elemen­ tos de la b ase o rto n o rm a l. L a s o n d íc u la s perm iten descomponer cu a lq u ier s e ñ a l (d a to s , im á g e n e s , s o n id o s , etc.) en elementos m ás sim ples, fá c ile s d e a lm a c e n a r y que p e rm iten recuperar con g ra n e fic ie n c ia y fia b ilid a d la s e ñ a l o r ig in a l (p o r ejemplo, las ondículas s o n usadas en e l fo r m a to d e co m p resió n gráfica JPEG 2000). M eyer in ic ió su c a r r e r a en la te o ría de números y comenzó a estu d ia r las o n d íc u la s g r a c ia s a u na a fortu n ada coincidencia en la fo to c o p ia d o ra d e su fa c u lta d , d o n d e v io el trabajo de dos c o leg a s su yos y su p o r e la c io n a r lo c o n u n a teo ría que conocía en profundidad. La con cesión del p re m io A b e l d e 2017 no ha estado exenta de una cierta p o lé m ic a p o rq u e m u ch os consideraban que debía ha­ b e r sid o co m p a rtid o c o n la m a te m á tic a b e lg a Ingrid Daubechies (n. 1954), o tra figura m uy destacad a e n el desarrollo de la teon'ade ondículas. H ubiera sido, adem ás, la prim era m ujer en recibir dicho premio, reivindicando d e esta fo rm a el trabqjo fem enino en un cam­ po dom inado en gran m ay oría p o r ios hom bres. Aunque Daubechies m erecía sin duda s e r r e c o n o c id a igual que M eyer, parece que en este caso no se trató de una discrim inación, sino de un conflicto de intereses: Ingrid Daubechies fue presidenta de !a Unión Matemática Internacional (UMZ) de 2011 a 2014, y la U M nomina a la mayoría de los m iem bros de la com isión que seleccion a a los ganadores del pre­ mio Abel. La Academ ia N oru ega d e G en cia s y Letras se toma muy en serio ei prob lem a de las incom patib ilidades, y en 2017 Daubechies aun no podía ser elegida para el p re m io A bel. En 2014, la matemática iraní Maryam Mirzajani (1977-2017) fue la prim era mitierpremiada co n la m ed alla Field s; sin e m b a rg o , habrá que esperar a futuras ediciones pa ra v e r a la p rim e ra m u jer g an ad ora del premio AbeL A pesar de las en orm es d ificu lta d es a las que tuvo que enfren­ tarse N iels H en rik A b e l en su c o rta vida, in cluida la pobreza y la

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EL LEGADO DE ABEL

enfermedad, su s lo g r o s fu e ro n enorm es y sus principales resulta, dos —la irreso lu b ilid a d de la quíntica, el teorema del binomio ye] teorema de a d ició n p a ra integrales abelianas, entre otros-todavía nos deslumbran. Su g e n ia lid a d y modestia son un ejemplo valiosíj¡jno y la m e jo r fo r m a d e ren d irle homenaje y preservar so memotía ha sido u n ir su n o m b re al galardón que premia los mayores avances de la m a te m á tic a actual.

Lectu ras recomendadas i

Bbu, E. T., Los grandes m atem át icos, Buenos Aires, Losada, 2810. Echegmay, J., « E l N e w t o n d e l N o r te », Gaceta de la Real Sociedad

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tos, 1630-1910. Una in trod u cción histórica, Madrid, Alianza Editorial, 1984. Hayek, N., «U n a b io g r a fía d e A b e l», Números, volumen 62, pp.3-26, San C r is tó b a l d e la L a g u n a , A cadem ia Canaria de Ciencias,

2002. JCune, M., E l pensam iento m atemático de la antigüedada nues­

tros días, M a d r id , A lia n z a Editorial, 2012. Umos, 1,, Pruebas y refutaciones. La lógica del descubrimiento

matemático, M a d r id , A lia n z a Editorial, 1086. Lmo, M., La ecu a ción ja m á s resuelta: cómo dos genios mate­

máticos descubrieron el lenguaje de la simetría, Barcelona, Ariel, 2013. One, O., N iels H e n rik Abel, Maihernahcian Extmoriimry, Nueva Y ork , A m e r ic a n M athem atical Society, 1957. Pesic, P., Abel’s P ro o f: A n essay on the smtrces and meaning cf

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nórdico, M a d rid , N iv o la , 2005.

T., Abel. El romántico

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Indice

I

. m¡ü de Ciencias de Fans 10,

AÍ T

uo U2, 113-121. 122>131 ^¡sis matemático 11,34,43 Ati>-ah,

140

Degen, Cari Permnana 30, 77,104,147

9 13.29 ^

Deligne, Pierre 144,145 desarrollo de T-ylnr 42 Descartes, Eené 68,70,75

¿cizaño, Bemard 40, 44

DisquistiioruxAriítoneíicag log

6íinbelli, Rafael 66 Bn:n, Viiígo 123,131,132

ecuación algebraica 61,68,95,112,129

urdano, (rprolaino 62-66, 70, 75

de Abel 11,19,20

Caflfson, Lennart 141

diferencial 50

Cauiliv, Augnstin-Louis 10,11,13,

en derivadas marciales 53,140, 145,146

18,28,31,37,38,42-15, 47,48, 51-54,71,72, 74,80,112,113, 133,142,143 ilasiffaetón de lo s gru p os fin itos simples 142,143 convergencia 11,32,38 ,39, 44,46, 51,109,141

funcional 11,36,49-52,123 ecuaciones abelianas 13 Erdós, Paul 139 Euler, Leonhard 8,11,18,19,2S, 32-37, 39,42,44,71, TI, 89,98, 99,104,109,110,124

frdfe 20,30,31 Cftlle. 4ugust L eo p o ld 9-11,13, 2^1.39,41 ,55, 78,82,84 ,115, 119>120-122,124,125, 129 "•"¿algebraica l l l , H 2 , 114

Ferrari, Lodovico 64,65 Ferro, Scipione del 59,62,64,66 Fourier, Jean-Bapf steJosepít 10, 13, 83,112,113,147,148 función

'M *».tiies, Ingrid 148

elíptica 106

hiperelíptica 11 holom orfa 107 m erom orfa 107,123

Lagrange, Joseph-Louis 8, ia 71-74,77,124,142,143 L aplace, Pierre-Simon 18,33,35

racional 73, 79,80, 82, 96, 97,

Lax, P eter D. 140,141

100,110

Lebesgue, Henri Léon 53

simétrica 70

Legen d re, Adrien-Marie 10,19

zeta de Riemann 36,30,140 {unciones de variable com pleja 36,107,139 trigonom étricas 10, 70, 86,92, 94,95 trigonom étricas inversas 93-95

’

81, 89, 99-102,104,105,1^ 113, 116, 118, 120,121,124 129, 136 lem niscata 19,98,99,lO S -llj L ie, Sophus 123,131,133,134,13g 142 Liouvilie, Joseph 83,107

Galois, Évariste 55, 72, 83, 84,86, 98, 132, 133, 142, 143 Gauss, Cari Fnedrich 18, 19, 38,39, 65, 67, 68 , 70, 78, 108, 109, 116-118, 120,121, 124, 139 género de una curva 111, 112,114 Gergonne, Joseph 110

Mandelbrot, Benoit 85 m ecánica racional 19 m edalla Fields 40,137,139,140, 142,144,148 M em oria de París 10,13,110,113, 122,125, 131

Griggs TTiompson, John 142, 143

M eyer, Yves 147,143

Grómov, Mijaí! 142

Milnor, John Willard 144

grupo 52, 72,133,143

Mittag-Leífler, MagnusGosta 134,

abeliano 11 Hansteen, Christopher 19-22,41, 77, 121

136 Nash, John 137,145,146 New ton, Isaac 11, 32,42,70,87,93

Hardy, G odfrey H. 78,134

Nirenberg, Louis 145,146

Hilbert, David 26, 34, 51, 52

N obel, A lired 134,136,137

Holmboe, B em t Michael 8-10,13,

núm ero com plejo 24,25,31,67,69

18,21,22,29,37,38, 74, 77,82, 104,109,115,122,130,133,147

Pacioli, Lúea 59 péndulo 20,101,103

integral 96,97, 104,106,111

períod o del péndulo 10,104

integrales abelianas 10,11,111, 149

períod os de una función 45, 106,

Jacobi, Cari Gustav Jacob 10, 11,

perm utación 73, 81

107, 123 13,83,91,115-125,129,131

Foisson, Simeón-Denis 18 p o los de una función 106

Kemp, Christine 9,13, 77

154

prem io

Klein, Félix 86 , 132,133,136

A b e l 7,9 ,11, 129,134,136-148

Kronecker, Leopold 84, 85

N o b el 7,134,136,137,146

In d ic e

Szemerédi, Endre 144 delaquíntica70, 71, 74,77-81, 86,97,142,149 mecánico d e A b e l 20

Tale, John Torrence 142 tantócrona. 19,21

Tartaglia, Niccotó 59,62-65,75 (juinto problem a d e H ilb e r t 51,62

teorem a de Abel 86,110,111,136

Kasmnssen, Soren 18,19, 22, 77

de Euler 94

[tctificación de cu rvas 26, 92,93,

deT aylor 41-44

96,97 Kuffirú, Paok) 73, 74, 77, 7 8 ,80

del binomio 11,41,42,44-46, 48, 50,52,07,109,149 d el número primo 139,140

Sdiumacher, H ein rich C hrisüan 20,116,119-121 Setberg, Atle 138-140 serie convergente 35,45, 4 6 ,4 7 ,5 0 divergente 35,38, 50,141 funcional 45

del valor medio 41-43 fundamental del álgebra 68-70, 86,100,107 teorem as de adición 10,89,98,195, 106,110,125,149 teoría de las funciones elípticas 10, 89,129,147

Serte, Jean-Pierre 140

Tits, Jacques 142,143

Sfflái, Yákov G. 145

transformada de Abel 11

Snger, Isadore M. 140 solución por radicales 79-81,84

último teorema de Fermat 146,147

SnnivasaVaradhan, S.R. 141 srimación de series d iv e rg e n te s 38

Vigeland, Gustav 131,132,136,136

Sylow,Ludwig 123, 131-134

Wiles, Aridrew 137,146,147

B5

HOCE