Las Funciones de una variable 9788484296263, 8484296261

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Las funciones de una variable Frederic Udina Adaptación a cargo de Sebastià Martín P01/75005/00100

la función f(x) la derivada g(x)

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Las funciones de una variable

I´ndice

´ ....................................................... Introduccion

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Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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1. Las funciones como modelos para las relaciones entre magnitudes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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1.1. Ejemplos de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.2. Notaciones y algunas novedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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1.3. M´as ideas b´asicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

1.5. Solucionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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2. Las funciones polinómicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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2.1. Las funciones cuadr´aticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

´ cuadr´atica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Crecimiento de una funcion

20

´ 2.3. Las funciones cubicas ..........................................

22

2.4. Derivadas de polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

2.5. El a´ lgebra de los polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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2.6. Las funciones racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

2.7. Las funciones potenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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2.8. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

2.9. Solucionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

3. Las funciones exponenciales y logarítmicas . . . . . . . . . . . . . . . .

36

3.1. El crecimiento exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

3.2. El decrecimiento exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

3.3. Los logaritmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

3.4. La función exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41

3.5. La derivada de la función logaritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

42

3.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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3.7. Solucionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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´ Ejercicios de autoevaluacion ....................................

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Solucionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Glosario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

53

Sumario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Bibliografía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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´ Introduccion

Para empezar, es fundamental que domin´eis los contenidos que hacen ´ entre variables, en particular por lo que respecta a referencia a la relacion ´ entre las variaciones de dos magnitudes. Esta circunstancia es la relacion interesante en todos los ámbitos de la actividad humana. ´ con Resulta f´acil encontrar ejemplos de magnitudes que var´ıan en relacion ´ de otras, que dependen de otras. Por ejemplo, la eficacia en la transmision ´ del medio material una señal depende del tipo de señal, de la codificacion del canal y de otros factores. En este caso, tenemos una magnitud que depende de varias magnitudes. En fin, en esta parte del curso estudiaremos las herramientas matem´aticas que permiten entender las relaciones entre magnitudes num´ericas. Existe la posibilidad de que gran parte de lo que hagamos aqu´ı sea un repaso para algunos de vosotros, por ejemplo para los que hayáis seguido un curso ´ de matemáticas en los ultimos cursos de enseñanza secundaria. Si es así, ´ podr´eis seguir este primer modulo con una mayor rapidez y desenvoltura que aqu´ellos para quienes el material es nuevo o hace mucho tiempo que no lo tratabais. En cualquier caso, avanzaremos poco a poco, pero los que no record´eis demasiado la materia sería conveniente que le dedicaseis más tiempo.

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Objetivos

´ A lo largo del modulo, los objetivos que podr´eis alcanzar son los siguientes: 1.

´ Saber qu´e es una funcion.

2.

Conocer los tipos principales de funciones reales de variable real.

3.

Alcanzar las propiedades y los conceptos básicos de estas funciones.

4.

´ de una magnitud con respecto a la otra, su creciMedir la variacion miento o decrecimiento.

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1. Las funciones como modelos para las relaciones entre magnitudes .

En este apartado veremos los ejemplos b´asicos que nos permitir´an pensar en las funciones matem´aticas como modelos de las relaciones entre magnitudes que se dan en la realidad. Tambi´en repasaremos las notaciones que se utilizan de manera habitual para trabajar con comodidad. ´ Veremos que estas relaciones pueden venir definidas por una formula, por una tabla de valores o, incluso, por una gr´afica, y que, en todos los casos, las funciones ser´an una buena herramienta para pensar en los problemas que la realidad nos plantea. También comprobaremos que una hoja de c´alculo es de gran ayuda para trabajar, investigar, calcular y dibujar gr´aficas de funciones. Si lo que se presenta en este primer apartado es nuevo, es probable que teng´ais que dedicarle m´as tiempo, pero contamos con que para la mayor´ıa de vosotros son cuestiones conocidas.

1.1. Ejemplos de funciones

Debemos tener la capacidad de entender, interpretar y utilizar las funciones, ´ independientemente de la forma como nos haya llegado la informacion. . ´ matem´atica es una relación entre dos variables x, y Una funcion tales que a cada valor de x le corresponde un único valor de y. Esta relación se escribe habitualmente y = f (x) y se puede presentar de distintas formas: ´ algebraica, 1) una expresion 2) una tabla que registra pares de valores, 3) una gr´afica.

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Ejemplo 1.1. ´ de que los beneficios de e´ sta Un gerente de una empresa ha llegado a la conclusion ´ la relacion: ´ dependen fundamentalmente del salario del conserje, segun b(s) =

100s − 5s2 , (1 + s)

donde s es el salario anual del conserje en millones de pesetas y b(s) son los beneficios, ´ ´ que se da entre el salario del también en millones. Esto es una funcion: la relacion conserje y las ganancias de la empresa. ´ de otras formas; por ejemplo: Podemos escribir la funcion y = f (x) =

100x − 5x2 , (1 + x)

´ ha relacionado dos magnitudes. pero lo que cuenta es que nuestra funcion

Ejemplo 1.2. En los documentos que explican el impuesto sobre la renta de las personas f´ısicas correspondiente al ejercicio de 1994, encontramos la tabla de gravamen que permite calcular la cuota ´ıntegra del impuesto en cada a´ mbito de ingresos. La cuota ´ıntegra es la cantidad que se tiene que pagar del impuesto sobre la renta y, a pesar de que existe una serie de deducciones que pueden rebajarla un poco, aqu´ı no las tendremos en cuenta. Ingr. superiores a

A pagar

% por el exceso

400.000 1.000.000 1.570.000 2.140.000 2.710.000 3.280.000 3.850.000 4.420.000 4.990.000 5.560.000 6.130.000 6.700.000 7.270.000 7.840.000 8.410.000 8.980.000 9.550.000

0 120.000 245.400 385.050 538.950 709.950 892.350 1.086 .150 1.291.350 1.507 .950 1.735.950 1.978.200 2.234.700 2.502.600 2.781 .900 3.072.600 3.377.550

20% 22% 24% 27% 30% 32% 34% 36% 38% 40% 42,5% 45% 47% 49% 51% 53,5% 56%

´ nos permite considerar varias funciones, definidas de diferentes formas. Esta informacion Por ejemplo, para unos ingresos anuales I, sea Q(I) la cuota íntegra. Para calcularla, buscaremos en la primera columna de la tabla anterior la mayor cantidad menor que I, y restamos estas dos cantidades. A la cantidad resultante se le aplica el porcentaje correspondiente y, para finalizar, sumamos esta cantidad y la cantidad señalada en la ´ Q(I), definida por todos los valores columna del medio. Si consideramos la funcion ´ lineal a trozos, o poligonal: entre cada dos posibles de I, tenemos un ejemplo de funcion ´ es lineal. Observad esta otra forma valores de la primera columna de la tabla, la funcion ´ de Q(I): de escribir la definicion

                 Q(I) =

               

0 0, 20(I − 400.000) 120.000 + 0, 22(I − 1.000.000) 245.400 + 0, 24(I − 1.570.000) 385.050 + 0, 27(I − 2.140.000) 538.950 + 0, 30(I − 2.710.000) 709.950 + 0, 32(I − 3.280.000) 892.350 + 0, 34(I − 3.850.000) ... 3.072.600 + 0, 535(I − 8.980.000) 3.377.550 + 0, 56(I − 9.550.000)

si si 400.000 si 1.000.000 si 1.570.000 si 2.140.000 si 2.710.000 si 3.280.000 si 3.850.000 si 8.980.000 si 9.550.000

I < 400.000 ≤ I < 1.000.000 ≤ I < 1.570.000 ≤ I < 2.140.000 ≤ I < 2.710.000 ≤ I < 3.280.000 ≤ I < 3.850.000 ≤ I < 4.420.000 ... ≤ I < 9.550.000 ≤I

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Con la hoja de c´alculo es f´acil hacer una tabla con una primera columna en la que figuren los ingresos anuales desde 0 hasta 12.000.000, en saltos de 200.000 pesetas, y una segunda, con las cuotas ´ıntegras Q(I) correspondientes. ´ interesante puede ser la que nos proporciona, para unos ingresos anuales I, Otra funcion el porcentaje R(I) de los ingresos que hay que pagar a Hacienda por el IRPF. Si utilizamos ´ que acabamos de definir, ser´a: la funcion

R(I) =

Q(I) I

Notación La notacion ´ del tipo 4.5e+06 es habitual en lenguajes de ordenador para expresar la notacion ´ cient´ıfica 4, 5 · 106 .

Cuota ´ıntegra del IRPF segun ´ los ingresos anuales del año 1994

´ de la que depende en gran Ante una gr´afica como e´ sta, que representa una funcion ´ entre los ingresos medida nuestro bienestar, surgen otras preguntas. ¿Es lineal la relacion y la cuota ´ıntegra? Parece que no, parece que la cuota ´ıntegra crece con mayor rapidez por el hecho de tener unos ingresos m´as elevados.

1.2. Notaciones y algunas novedades ´ por lo tanto, ser´a necesario que escojamos una Para hablar de una funcion, letra o s´ımbolo con el que podamos representar cada una de las dos magnitudes. Normalmente utilizamos x e y, pero en otras ocasiones se recurre a letras relacionadas con el nombre de las magnitudes que entran en juego; por ejemplo, p y q para los precios y las cantidades, respectivamente. ´ b relaciona s, el salario del conserje, con En el ejemplo anterior, la funcion b(s), los beneficios que la empresa obtiene cuando el conserje cobra s. Cuando tratamos con funciones que relacionan dos magnitudes, una de e´ stas se conoce como variable independiente, a la que podemos otorgarle dos valores, y otra que se denomina variable dependiente, que, como su propio nombre indica, depende del valor que le hayamos asignado a la independiente. Los papeles de ambas variables pueden ser, a menudo, intercambiables, y en determinadas ocasiones nos interesar´a intercambiarlos. Sin embargo, es preciso fijar las ideas: podemos modificar la variable

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´ del valor independiente x, pero la variable dependiente y est´a en funcion que le hayamos dado a x.

!

´ ´ con una letra. En general, tal como Resulta comodo identificar la funcion ´ escribiremos: hemos dicho, para representar la funcion

y = f (x)

´ que asocia y con x. donde x y y son las variables y f simboliza la relacion En el ejemplo 1.1., el salario del conserje (s) se toma como una variable independiente, mientras que los beneficios de la empresa son la variable dependiente. Podr´ıamos haberlo hecho al rev´es, pero aqu´ı el planteamiento ha sido el siguiente: los beneficios dependen del salario del conserje. ´ se da una condicion ´ indispensable que hay que cumplir: En una funcion ´ nos retorna un dado un valor de la variable independiente, la funcion ´ unico valor de la variable dependiente. Por ejemplo, podr´ıamos tratar de ´ ´ de la velocidad poner el consumo por kilometro de un coche como funcion ´ media a la que se hace el kilometro, pero resulta que para una misma velocidad media tenemos varios consumos, dependiendo de si el trayecto se realiza por ciudad o por carretera, de si el coche va muy cargado o ´ que poco. Por lo tanto, no podemos decir que el consumo es una funcion ´ de la velocidad, ya que tambi´en se encuentra en funcion ´ de depende solo otros factores.

!

´ Si lanzamos un cohete, e´ ste seguir´a una trayectoria parabolica: primero subir´a y despu´es bajar´a hasta caer. Llamamos t al tiempo y h a la altura del cohete con respecto a la superficie.

La altura... ... que alcanza el cohete var´ıa con el tiempo y depende de e´ ste, de manera que es funcion ´ del tiempo.

16 altura(t) 14

12

10

8

6

4

2

0 0

1

2

3

4

5

6

7

8

Altura del cohete en cada instante

´ del tiempo: h = f (t). Lo que Podemos decir que la altura h es funcion ´ de la altura, ya que el cohete no podemos decir es que el tiempo es funcion ha alcanzado una misma altura en dos instantes diferentes.

!

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Tal como hemos visto en los ejemplos del IRPF, para un nivel de ingresos ´ dado, la cuota ´ıntegra queda determinada de manera unica y, en conse´ de los ingresos anuales. cuencia, podemos decir que esta cuota es funcion La cuota l´ıquida, es decir, lo que finalmente se paga de impuestos, no ´ de los ingresos; otros factores, como los gastos deducibles, depende solo ´ tambi´en intervienen en su determinacion. En la segunda parte del curso estudiaremos funciones de varias variables. ´ Estas funciones son importantes porque permiten ver como dos magnitudes influyen sobre una tercera, circunstancia que, en realidad, es fundamen´ tal. Por ejemplo, la temperatura y la humedad determinan la produccion ´ de las longide una planta agr´ıcola, y el a´ rea de un rect´angulo es funcion tudes de dos de sus lados. De momento, sin embargo, continuamos con funciones de una sola variable. El dominio y el recorrido Tenemos que asegurarnos de que conoc´eis otros conceptos sobre las funciones que tambi´en necesitar´eis antes de continuar, con el fin de entendernos y para que pod´ais acceder a otros libros de matem´aticas e ingenier´ıa. .

Comentario

´ es el conjunto de valores que puede El dominio de una funcion tomar la variable independiente. ´ es el conjunto de valores que El recorrido o imagen de la funcion puede tomar la variable dependiente.

´ el salario del conserje, e´ ste no En el ejemplo de los beneficios b(s) segun puede tomar cualquier valor. Supongamos que debe estar comprendido ´ b es el intervalo entre 0 y 10 millones, por lo que el dominio de la funcion ´ ser´a el conjunto de los posibles cerrado [0, 10]. El recorrido de la funcion beneficios cuando el salario del conserje est´e comprendido entre 0 y 10 millones. En el ejemplo del cohete, el tiempo tambi´en tiene restricciones sobre los valores que puede tomar: no ser´a m´as de 8 segundos, que es cuando el ´ cohete cae a tierra, y tampoco puede ser negativo; el dominio de la funcion ´ vendr´a dado por es, por tanto, el intervalo [0, 8]; el recorrido de la funcion los valores posibles de la altura, que no llegar´a a ser nunca mayor que 16 ´ es [0, 16]. ni menor que 0. As´ı, la imagen de la funcion

En muchos casos, la representacion ´ gr´afica de una funcion ´ ayuda a identificar con facilidad su dominio y su recorrido.

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. Dos funciones f, g son iguales si f (x) = g(x) para cada x del dominio ´ de definicion, es decir, si tienen la misma imagen y el mismo dominio.

´ ideas basicas ´ 1.3. Mas

Hasta ahora hemos entendido las funciones como una forma de describir la ´ entre dos variables, la dependencia de una variable con respecto a relacion otra. Otra forma de interpretar las funciones ser´a mediante la idea de trans´ es decir, la funcion ´ transforma un numero ´ ´ formacion, en otro numero. Por ´ b(s), que hemos visto antes, transforma 0 en 0, 500/11 ejemplo, la funcion en 10, etc., de manera que escribiremos b(0) = 0, b(10) = 500/11. La idea de ´ se adecua bien a algunos ejemplos: pongamos por caso una transformacion ´ V = f (P ) que relaciona la inversion ´ publicitaria de la empresa P funcion con el volumen de ventas V . Nos podemos imaginar que f es una m´aquina en la que introducimos el importe en publicidad que pensamos invertir y nos devuelve el volumen de ventas que obtendremos. ´ As´ı, tenemos que, si bien una formula puede ser suficiente para explicar √ ´ como se relacionan dos variables, como por ejemplo y = x− x, para x ≥ 0, √ ´ funcional f (x) = x − x, que a menudo preferiremos utilizar la notacion ´ De hecho, lo que hacemos representa de manera exacta la misma funcion. √ muy a menudo es mezclar las dos, poniendo y = f (x) = x − x. ´ al siguiente c´alculo (si no lo acab´ais de entender, haced Prestad atencion el ejercicio 1.2 de este apartado): f (x2 ) − f (4x) = x2 − x − (4x −

Recordad

√ √ 4x) = x2 − 5x + 2 x.

√

x2 = |x| donde

( |x| =

´ de funciones La composicion Con frecuencia, encontramos relaciones entre m´as de dos variables y las podemos analizar por separado. Por ejemplo, los beneficios de la empresa ´ de la planta agr´ıcola, y e´ sta se puede considerar dependen de la produccion ´ de la cantidad de lluvias de la temporada. Decimos que con b(p) funcion ´ p, y que p(l) nos obtenemos los beneficios para un a´ mbito de produccion ´ de la planta para una cantidad de lluvia l. Si queremos da la produccion conocer los beneficios que alcanzaremos con respecto a la cantidad de lluvia, tendremos que calcular b(p(l)).

x −x

si x ≥ 0 si x < 0

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Por ejemplo, si b(p) = p2 + 4p y p(l) = (l − 3)2 + 9, entonces: b(p(l)) = ((l − 3)2 + 9)2 + 4((l − 3)2 + 9) = l4 − 12 l3 + 76 l2 − 240 l + 396. ´ de funciones se puede representar De manera esquem´atica, la composicion ´ como vemos a continuacion:

Notación p

b

IR −→ IR −→ IR l 7−→ p(l) 7−→ b(p(l))

A pesar de que probablemente ya los conoc´eis, repasemos los hechos m´as ´ de funciones. importantes por lo que se refiere a la composicion ´ que resulta de componer f con g, se utiliza la 1) Para indicar la funcion ´ g ◦ f . As´ı pues, tenemos que (g ◦ f )(x) = g(f (x)). Observad que a notacion ´ que actua ´ en primer lugar. la derecha de la igualdad ponemos la funcion 2) El orden en que se componen las funciones es importante. En general, g ◦ f diferente de f ◦ g. Ejemplo 1.3. Si consideramos f (x) = x2 , g(x) = 2x, tenemos que: (g ◦ f )(x) = g(f (x)) = g(x2 ) = 2x2 (f ◦ g)(x) = f (g(x)) = f (2x) = 4x2

3) Para poder componer x con f y despu´es con g, x 7−→ f (x) 7−→ g(f (x)), ´ f est´e contenido dentro es necesario que el recorrido de la primera funcion del dominio de la segunda. Si no es as´ı, tendremos que restringir el dominio de la primera. Ejemplo 1.4. ´ y = f (x) = Podemos considerar la funcion g h √ x 7−→ (2 − x)x con x 7−→ x.

p

´ de (2 − x)x como una composicion

Podemos escribir: y = f (x) = h(g(x)) = h((2 − x)x) =

p

(2 − x)x.

´ g es IR, y el recorrido es no negativo cuando 0 ≤ x ≤ 2. El dominio de la primera funcion √ ´ para 0 ≤ x ≤ 2 se podr´a componer con h(x) = x, que Esto quiere decir que solo ´ ´ unicamente admite numeros positivos o, como m´aximo, cero.

´ la gr´afica El grafo de una funcion, Seguro que hab´eis visto muchas gr´aficas, porque incluso las encontramos ´ Como m´ınimo ya hab´eis visto una gr´afica, la en los diarios o la television. ´ que hemos presentado en el apartado 1.1. gr´afica de la funcion

IR denota el conjunto de numeros ´ reales. Excluyendo el 0, son numeros ´ reales todos los numeros ´ enteros positivos y negativos y todos los numeros ´ positivos o negativos con un numero ´ finito o infinito de decimales. As´ı, por ejemplo: −1, 0, 1, 4, 1, 3b 7...

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. ´ f es el conjunto de puntos (x, y) del El grafo o gr´afica de una funcion Y

plano cuya segunda coordenada es igual a f , aplicada a la primera, es decir, que cumplen y = f (x).

gráfica de f

´ incluye su grafo junto con los ejes de El gr´afico de una funcion coordenadas y otros elementos esclarecedores, como pueden ser las ´ marcas y los numeros de los ejes. X Gráfico de una función

´ de las escalas y el punto donDesde el punto de vista pr´actico, la eleccion de se cortan los ejes tienen una gran importancia. A pesar de que los programas de ordenador a menudo establecen estos valores por defecto, los podemos modificar. A continuación reflexionamos un poco sobre los conceptos que est´abamos ´ gr´afica. tratando, pero a partir de la representacion ´ La gr´afica inferior que tenemos en el margen corresponde a una funcion ´ en la que a cada valor de x le corresponde un unico valor de y (de no ´ y que, adem´as, es inyectiva, lo cual quiere ser as´ı, no ser´ıa una funcion) ´ valor de y se ha relacionado con m´as de un valor decir que ningun ´ que no es de x. En cambio, la gr´afica superior corresponde a una funcion inyectiva. Observad tambi´en que en el gr´afico superior hemos dibujado ´ m´as grueso el tramo que corresponde al recorrido o imagen de la funcion (Imf ), mientras que en el de abajo hemos remarcado el tramo del eje que se corresponde con el dominio (Domf ). ´ podemos saber con facilidad si es inyectiva Dada la gr´afica de una funcion, mediante el llamado test de las rectas horizontales. Se empieza trazando rec´ y = k, para diferentes tas paralelas al eje de las X, es decir, rectas de ecuacion valores de k. Si alguna de las rectas corta la gr´afica en m´as de un punto, ´ no es inyectiva, porque aquel valor de y es eso quiere decir que la funcion alcanzado por m´as de un valor de x. Siguiendo el mismo razonamiento, ´ estrictamente creciente (o decreciente) en todos los puntos una funcion del dominio es inyectiva. En la gr´afica siguiente encontramos un ejemplo de ello:

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La recta y = k3 corta la curva en tres puntos; por tanto, no se trata de la ´ inyectiva. gr´afica de una funcion . Una función y = f (x) es inyectiva si a dos valores diferentes cualesquiera de x les corresponden imágenes diferentes.

´ inversa La funcion ´ y = f (x) inyectiva admite una funcion ´ inversa, que se suele Una funcion ´ inversa deshace la transformacion ´ que ha efecnotar con f −1 . La funcion ´ tuado f es decir, dado un numero y de la imagen de f , seguro que existe ´ ´ entonces: un unico x del dominio tal que y = f (x). Por definicion,

f −1 (y) = x

La gráfica de la función inversa es la simétrica de la gráfica f respecto de la recta y = x. Ejemplo Ejemplo 1.5. ´ f (x) = x3 es IR. La funcion ´ es inyectiva, ya que El dominio y el recorrido de la funcion ´ dos numeros que tengan el cubo igual tienen que ser forzosamente iguales. Por lo tanto, √ debe tener inversa, y la inversa es f −1 (x) = 3 x. Las gr´aficas son e´ stas:

´ dada en forma algebraica, tenemos En general, para calcular la inversa de una funcion ´ de la independiente. Para acaque aislar la variable dependiente y expresarla en funcion ´ bar, solemos intercambiar las x y las y de manera que continuen desempeñando el papel habitual. Ejemplo 1.6. ´ y = f (x) = La funcion

x+2 x−1

es inyectiva (intentad verificarlo represent´andola gr´afica-

mente). Para calcular su inversa, observamos primero que y = f (x) = 1 +

3 , x−1

aislamos

La función y = inyectiva.

1 x

es

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3 3 ´ x = 1 + y−1 y, por ultimo, ponemos y = f −1 (x) = 1 + x−1 = ´ curioso en el que la inversa coincide con la misma funcion.

Las funciones de una variable

x+2 . x−1

´ Este es un caso

Ejemplo 1.7. ´ sea inyectiva y, en consecuencia, tenga inversa, no siempre A pesar de que una funcion ´ de la funcion ´ inversa. La funcion ´ y = f (x) = x3 + x5 sabremos determinar la expresion es inyectiva (pod´eis verificarlo por medio de un esbozo de la gr´afica) y, por tanto, tiene ´ expl´ıcita, tendr´ıamos que aislar x en la ecuacion ´ inversa. Para determinar una expresion y = x3 + x5 , cosa que no parece factible.

1.4. Ejercicios ´ definida por: 1.1. Buscad el dominio de la funcion

r f (x) =

(x − 1) (x − 2)(x − 5)

´ del radicando solo ´ puede cambiar de signo en Si ten´eis dudas, recordad que la expresion x = 1, x = 2 o x = 5, es decir, que pod´eis estudiar cada intervalo por separado. 1.2. Sea f (x) =

1 , g(x) (x−2)

=

√

x + 2. Calculad y simplificad las siguientes expresiones:

a) f (a + 1) − f (a) d) g(2 + f (2x))

b) f (g(x)) − g(f (x)) e) 2 + g(2f (x))

c) g(x2 ) − g(x)2

1.3. Sea f (x) = |x| el valor absoluto de x. ¿Cu´al es el dominio de f ? ¿Y su recorrido? Dibujad ´ f. la gr´afica de la funcion ´ gr´afica del margen y resolved las cuestiones que se plantean 1.4. Observad la representacion ´ a continuacion: a) De las siguientes igualdades, ¿cu´ales son ciertas? a = f (b), b = f (a), a = g(b), b = g(a). ´ b) Observad que la diagonal nos viene muy bien para transportar un numero de un eje al otro. Desde a en el eje horizontal, por ejemplo, trazamos la vertical hasta la diagonal, y cuando la tocamos, trazamos la horizontal hasta el eje Y y, ya tenemos el mismo a en el eje vertical. Teniendo en cuenta esto, comprobad que a = f (g(a)) y que b = g(f (b)). Al cumplirse esto para todos los valores de x, podemos concluir que f y g son inversas la una de la otra. c) Hay un punto especial en la gr´afica: sea P el punto donde se cruzan las gr´aficas de f y de g. Demostrad que si Px indica la abscisa de P , Px = f (Px ) = g(Px ). d) Demostrad, con argumentos como los del apartado b, que siempre que tengamos una ´ y su inversa, las gr´aficas ser´an sim´etricas respecto de la diagonal del primer cuadrante. funcion ´ inversa de f ? Dibujad las dos en un mismo e) Supongamos f (x) = 2 − 3x. ¿Cu´al es la funcion gr´afico junto con la de la diagonal y = x. 1.5. Determinad el dominio de las funciones siguientes: a) g(x) = b) h(x) =

√

x2 − 5x + 6

1 |x|−7

1.6. Dadas f (x) y g(x), calculad (f ◦ g)(x) y (g ◦ f )(x). a) f (x) = sin2 (x) , g(x) =

1 x

b) f (x) = x − 1 , g(x) = x2 √ c) f (x) = x3 , g(x) = 3 x d) f (x) = 2 − 3x , g(x) =

2−x 3

En la figura,... ... vemos las gr´aficas de dos funciones, f y g. Tambi´en se ha dibujado la recta y = x, la diagonal del primer cuadrante.

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1.5. Solucionario 1.1. Pensemos qu´e pasa en cada intervalo. La siguiente tabla resume el signo del radicando. Intervalo

Numerador Denominador

Cociente

x 3, la derivada es positiva y el polinomio original es creciente; cuando x < 3, ser´a decreciente, ya que la derivada ser´a negativa.

Ejemplo 2.3. Utilizando la derivada, haced un estudio de cu´ando es creciente y cu´ando decreciente el polinomio: x3 − 3x2 − 3x − 25 ´ La derivada es p0 (x) = 3x2 − 6x − 3, que se anula para x1 = −0, 41 y x2 = 2, 41. ¿Como podemos saber el signo de p(x)? Aqu´ı tambi´en podr´ıa ser un buen recurso solicitar la gr´afica al programa de gr´aficas y responder con tranquilidad, aunque contamos con otras opciones. Al disponer de las ra´ıces, es f´acil descomponer el polinomio: p0 (x) = 3(x − x1 )(x − x2 ) = 3(x + 0, 41)(x − 2, 41). As´ı que exponemos: este producto ser´a positivo si ambos factores son positivos o negativos. Esto se da cuando x < −0, 41 y cuando x > 2, 41. En medio, si −0, 41 < x < 2, 41, uno de los factores es positivo y el otro, negativo. Es decir, el polinomio es decreciente entre –0,41 y 2,41, y es creciente fuera de este intervalo.

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Consideramos el polinomio f (x) =

1 4 4x

− 43 x3 − 72 x2 + 10x y su derivada

g(x) = f 0 (x) = x3 − 4x2 − 7x + 10. Introducimos estos datos en el programa de gr´aficas y pedimos las gr´aficas. la función f(x)

la la derivada g(x) 40

20

0

-20

-40

-4

-2

0

2

4

´ las gr´aficas, tened el programa de gr´aficas a Observad con mucha atencion mano e id leyendo con detenimiento las observaciones siguientes: • Para x = −4, si ped´ıs el valor de f (−4) y de g(−4), ver´eis que f (−4) = ´ vale 53 y en aquel = 53, 3312 y que g(−4) = −90. Es decir, la funcion momento se produce un notable descenso, est´a decreciendo fuertemente ´ nos situamos en debido a que la derivada vale −90. A continuacion x = −3 y determinamos f (−3) = −5, 2509 y f 0 (x) = −32. Prestad ´ al hecho de que la funcion ´ ahora baja con menor inclinacion ´ atencion que cuando est´abamos en −4. ´ f no sube o baja, se puede • Ahora nos situamos en x = −2. La funcion decir que estamos en el fondo de un valle. La pendiente es cero, ya que la tangente sería horizontal, y el valor de g(−2) tambi´en es cero. • A partir de este momento, la gr´afica de f empieza a subir y la pendiente empieza a ser positiva; esto se aprecia con claridad en la gr´afica de g, la derivada. Situ´emonos, por ejemplo, en x = 0. Trazad en vuestra ´ la tangente en la gr´afica de f para este punto y realizad un imaginacion tri´angulo de incrementos. Sobre la base de este tri´angulo, calculad el valor aproximado de la pendiente de la tangente. ¿Qu´e valor obten´eis para la derivada de f en f en x = 0? ¿Qu´e valor os da g(0)? ¿Coinciden? • Si ahora avanzamos hasta x = 1, vemos que en este punto la gr´afica de f vuelve a ser horizontal y la derivada vale cero. A partir de este punto ´ baja y observamos que g es negativa durante y hasta x = 5, la funcion todo este intervalo.

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´ ´ vuelve a ser creciente, • Por ultimo, vemos que a partir de x = 5, la funcion a subir, y que su derivada tambi´en vuelve a ser positiva.

´ 2.5. El algebra de los polinomios

Como habr´eis podido observar, es f´acil hacer manipulaciones con las ´ funciones polinomicas. Existen algunos hechos del a´ lgebra de los polinomios que es necesario recordar; puede que ya los conozc´ais, pero no est´a de m´as que los repasemos de nuevo. ´ 1) Un polinomio de grado n con coeficientes reales tiene n ra´ıces. Estas ´ pueden ser reales o complejas, simples o multiples. Ejercicio 2.6. Poned un ejemplo de polinomio de segundo grado que cuente con estas caracter´ısticas: a) Una sola ra´ız real de multiplicidad 2. b) Dos ra´ıces reales diferentes. c) Ninguna ra´ız real.

2) Las ra´ıces complejas no nos interesan en estos momentos, pero no ´ deja de ser importante remarcar que si un numero complejo es ra´ız de un polinomio, su conjugado tambi´en lo es. De una manera pr´actica, esto significa que las ra´ıces complejas siempre van de dos en dos, de modo que un polinomio de grado n debe tener n, n − 2, n − 4... ra´ıces reales. Si el polinomio es de grado impar, seguro que tiene que haber, por lo menos, una ra´ız real; puede ser que encontremos 3, 5 ...; si, por el contrario, el polinomio es de grado par, puede que haya 0, 2, 4... ra´ıces reales. 3) Si un polinomio tiene los coeficientes enteros y alguna ra´ız entera, e´ sta ser´a un divisor del t´ermino independiente del polinomio. Ejemplo 2.4. ´ la El polinomio p(x) = x3 − 3 x2 − 10 x + 24 tiene los coeficientes enteros y, segun regla anterior, si posee ra´ıces enteras deben ser divisores de 24. Ser´a necesario probar ´ no os garantiza ±1, ±2, ±3..., todos los divisores de 24. Observad que esta comprobacion ´ el poder determinar todas las ra´ıces (en este ejemplo s´ı), lo unico que os indica es que en caso de que haya ra´ıces enteras, las determinar´eis.

4) Si x0 es ra´ız de un polinomio p(x), el polinomio es divisible por (x − x0 ), es decir, se puede determinar un polinomio q(x) tal que p(x) = (x−x0 )q(x). Ejemplo 2.5. Consideremos el polinomio p(x) = −148 + 46 x + 12 x2 + x3 . Si aplic´ais el tercer punto, pod´eis asegurar que p(2) vale cero. Antes de continuar probando divisores de 148, pode´ es mediante mos dividir p(x) por (x − 2). La forma m´as sencilla de realizar la operacion el algoritmo de Ruffini, que ya conoc´eis. El resultado ser´a, x2 + 14x + 74, que es f´acil comprobar que no tiene ra´ıces reales. Hacedlo.

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´ 5) Se dice que x0 es ra´ız multiple de un polinomio p(x) si (x−x0 )2 es divisor de p(x). Ejemplo 2.6. El polinomio p(x) = x3 + 3 x2 − 24 x + 28 admite x = 2 como ra´ız. El cociente de p(x) entre (x − 2) es x2 + 5x − 14, que es cuando vuelve a anular para x = 2. Por tanto, 2 es una ra´ız doble de p(x).

´ ´ si, tambi´en es ra´ız de 6) Una ra´ız de un polinomio es multiple si, y solo la derivada del polinomio. Esta propiedad permite averiguar si una ra´ız es ´ multiple o no lo es. Ejemplo 2.7. En el caso del polinomio del ejemplo anterior, tenemos p0 (x) = 3x2 + 6x − 24, que se anula para x = 2. Dado que tambi´en ten´ıamos p0 (2) = 0, podemos decir que 2 es su raíz ´ multiple.

7) El comportamiento del polinomio cuando la x toma valores muy gran´ del coeficiente de mayor grado. En condes en valor absoluto depende solo secuencia, mirando el grado del polinomio podemos saber si las ramas de la ´ o no, y mirando el signo gr´afica del polinomio tendr´an la misma direccion ´ del coeficiente del t´ermino de grado superior conoceremos su direccion. Podemos recordar este hecho con la imagen de que el resto de los t´erminos, comparados con el de mayor grado, no tienen valor: son negligibles. Ejemplo 2.8.

Comentario

En el polinomio − + − 34x − 1 234 567, no importa como sean de grandes los otros coeficientes. Cuando consideramos valores muy grandes de x, tanto positivos como negativos, el grado siempre ser´a positivo, ya que el t´ermino x4 lo es y ´ ser´a mayor que los otros. A pesar de que pueda no parecerlo, los cuatro ultimos t´erminos no tienen importancia cuando x es muy grande: son negligibles. En cambio, en el caso del polinomio −2x3 + 345x2 + 5x − 789, tenemos que distinguir: si x es muy grande y ´ del coeficiente −2 de x3 ); por otro lado, positivo, el polinomio ser´a negativo (por razon si x es grande en valor absoluto pero es negativo, el valor del polinomio ser´a positivo. x4

3 564 893x3

x2

8) La gr´afica de un polinomio de grado n no puede tocar el eje horizontal m´as de n veces, no puede tener m´as de n − 1 puntos cr´ıticos, hecho que se desprende de que los puntos cr´ıticos son las ra´ıces de la derivada.

2.6. Las funciones racionales

Continuando con nuestra estrategia de ir complicando las cosas poco a ´ poco, tras haber considerado las funciones polinomicas, en las que las ´ unicas operaciones permitidas con la variable son sumas y multiplicaciones, introducimos ahora la posibilidad de dividir, de realizar fracciones con la variable en el denominador.

Los puntos cr´ıticos son aqu´ellos en los que la funcion ´ ni crece ni decrece, es decir, los puntos donde la derivada vale cero.

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. Las funciones racionales son las que se pueden expresar como cociente de dos polinomios.

Ejemplo 2.9. 10x ´ racional, f (x) = 1+x En el primer apartado hemos puesto como ejemplo una funcion 2 ´ racional con un polinomio de primer grado en el (ejemplo 1.1). Se trata de una funcion numerador y de segundo grado en el denominador. Su gr´afica la hab´eis trabajado en el apartado 2.4.

Ejemplo 2.10. 2

Si busc´ais en el programa de gr´aficas una gr´afica de f (x) = x2x−1 , no obtendr´eis una curva ´ sino tres. Es el primer ejemplo de funcion ´ discontinua o no como gr´afica de la funcion, continua que encontramos en este curso. El problema es evidente: para x = 1 y para ´ se anula y, en consecuencia, la funcion ´ no x = −1, el denominador de nuestra funcion ´ est´a definida. De hecho, todav´ıa podemos decir m´as: si tomamos numeros muy cercanos a 1, el numerador est´a muy cerca de 1 pero el denominador disminuye en gran medida, con lo que el cociente pasa a ser muy grande. Si no lo veis claro, pod´eis recurrir a la ´ hoja de c´alculo o buscar los numeros en el programa de gr´aficas. Fijaos bien en que para valores cercanos y superiores a 1, el cociente es grande y positivo, mientras que para valores cercanos e inferiores a 1, el cociente es negativo y muy elevado en valor absoluto. Con todo, tendremos el resultado que se observa en la gr´afica. Ejemplo 2.11. 2

´ racional f (x) = x x−6x+5 Tengamos en cuenta ahora la funcion . Si ped´ıs la gr´afica al 2 −1 programa de gr´aficas, ver´eis algo curioso: en el punto x = −1, el comportamiento es ´ anterior. En el punto x = 1, en cambio, donde el denominador similar al de la funcion ´ no encontramos un salto como en los otros casos, tambi´en se anula, en la funcion puesto que e´ sta es casi continua en este punto. Esta circunstancia puede darse cuando el ´ denominador y el numerador se anulan en el mismo punto. Prestad atencion: x2 − 6x + 5 x−5 = x2 − 1 x+1

para x 6= 1,

´ de la funcion ´ podemos conseguir que por lo que modificando ligeramente la definicion sea continua en el punto problem´atico. En x = −1 no hay nada que hacer, la discontinuidad no es evitable.

Brevemente remarcaremos algunos de los rasgos principales de las funciones racionales. 1) Las funciones racionales se definen y son continuas en todos los puntos excepto en aqu´ellos en los que el denominador se anula. Si el denominador ´ presenta se anula y el numerador no lo hace en un punto x0 , la funcion ´ Se dice tambi´en que la recta en x0 una discontinuidad llamada asintotica. ´ ´ x = x0 es una as´ıntota vertical para la funcion. vertical de ecuacion 2) Si el numerador tambi´en se anula en x0 , ser´a necesario ver la multiplicidad de la ra´ız en cada uno de los polinomios o, dicho de otra manera, ´ En caso habr´a que simplificar los factores (x − x0 ) y redefinir la funcion. de que obtengamos un denominador que no se anula, decimos que la discontinuidad es evitable.

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Las funciones de una variable

3) Cuando la x toma valores elevados (positivos o negativos), el com´ portamiento se puede determinar observando unicamente los monomios de mayor grado del numerador y del denominador. Supongamos que la ´ es: funcion f (x) =

am xm + am−1 xm−1 + . . . + a1 x + a0 bn xn + bn−1 xn−1 + . . . + b1 x + b0

con am y bn 6= 0,

es decir, que el numerador es de grado m y el denominador, de grado n. ´ se comporta tal como Cuando la x se crece en valor absoluto, la funcion disponen los t´erminos de mayor grado. Ahora detallaremos algunos casos posibles y lo razonaremos en los ejemplos. Ejemplo 2.12. 2

+2x−1 Consideremos f (x) = 1,5xx+1 , despu´es generad la gr´afica con el programa de gr´aficas y fijaos en que, suponiendo que x 6= 0, podemos dividir el numerador y el denominador por x2 y tendremos: 1, 5 + x2 − x12 1, 5x2 + 2x − 1 = 1 1 x+1 2 + x x

y esto, cuando x es grande, tiende a ∞.

´ tambi´en crecer´a y el signo 4) Si m > n, cuando x aumente, la funcion ´ del signo del cociente depender´a solo

am bn .

Si, en cambio, tenemos m < n,

´ tender´a cuando x crezca (tanto positiva como negativamente), la funcion ´ ´ a cero y el eje horizontal ser´a una as´ıntota para la funcion. El signo solo depender´a del signo del cociente

am bn .

Ejemplo 2.13. Si en el programa de gr´aficas ponemos: f (x) =

−x2 + 4x − 10 , 2x3 + 4x − 1

´ se solapa en el eje horizontal cuando nos alejamos vemos en la gr´afica que la funcion tanto por la derecha como por la izquierda. Para entender por qu´e pasa esto, y para poder conocer el signo de f (x) cuando la x crezca, dividimos el numerador y el denominador por x3 : −1 + x42 − x103 −x2 + 4x − 10 x , = 2x3 + 4x − 1 2 + x42 − x13 lo cual se comporta, cuando la x es grande en valor absoluto, como conocemos.

−1 , 2x

´ que ya funcion

´ 5) Si los grados del numerador y del denominador coinciden, la funcion tendr´a como as´ıntota horizontal la recta y =

am bn .

Ejemplo 2.14. 2

para diferentes valores Solicitad en el programa de gr´aficas la gr´afica de f (x) = ax x−2x+1 2 +5 de a y podr´eis observar lo que hemos dicho. El argumento vuelve a ser: dividimos arriba y abajo por x2 .

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. ´ ´ Con el fin de conocer el comportamiento asintotico de una funcion racional, se divide el numerador y el denominador por la variable ´ y se elevada al mayor exponente que aparezca en la expresion analizan los t´erminos que quedan cuando la x crece.

2.7. Las funciones potenciales ´ veremos las funciones polino´ En el apartado que tenemos a continuacion,

Nota

´ tan sencilla micas, pero antes vamos a seguir adelante con una expresion Si el exponente c es un numero ´ entero, positivo o negativo, podemos considerar xc definida por cualquier valor de x, pero, en general, solo ´ podemos considerarla definida para x > 0.

como:

f (x) = xc

´ donde ahora c es un numero cualquiera. Dibujad gr´aficas de funciones xc para diferentes valores positivos de c (no necesariamente enteros), primero por separado y despu´es, juntas. Nos encontramos ante dos cuestiones que hay que subrayar: la primera es que todas las gr´aficas pasan por un mismo punto: (1, 1), hecho que no es demasiado sorprendente teniendo en cuenta que 1c = 1 para cualquier c.

4 x**-0.5 x**-4 x**-0.25 x**-1 x**-2 x x**0.3 x**0.8 x**1.5 x**2 x**2.5 x**3

3.5

3

2.5

2

1.5

1

0.5

0 0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

´ importante, a la que nos refer´ıamos en el p´arrafo La segunda cuestion ´ pasan por este punto, sino que anterior, es que todas las gr´aficas no solo

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todas se cruzan en e´ l. Esto quiere decir que en cualquier par de curvas que se considere, si una llega al punto por encima de la otra, sale por debajo. Esto se puede traducir al lenguaje algebraico. . ´ ´ Si x, y son numeros positivos cualesquiera y c, d son numeros cualesquiera, tenemos que, si x ≤ y, entonces xc ≤ y c para c ≥ 0 y xc ≥ y c para c ≤ 0 y si c ≤ d, entonces xc ≤ xd para x ≥ 1 y xc ≥ xd para x ≤ 1.

2.8. Ejercicios ´ de dos funciones potenciales es una funcion ´ potencial y 2.7. Demostrad que la composicion ´ potencial tambi´en es una funcion ´ potencial. que la inversa de una funcion 2.8. Sabemos de una par´abola que tiene el v´ertice sobre la recta x = 2, que pasa por el punto ´ (0, 3) y que pasa por dicho punto con pendiente −1. Determinad su ecuacion. ´ para la funcion ´ 2.9. Determinad la tasa instant´anea de crecimiento, aplicando la definicion, f (x) = x1 en el punto x = 1. ´ f (x) = xα es creciente en todo su dominio? ¿Para 2.10. ¿Para qu´e valores de α la funcion cu´ales es decreciente en todo su dominio? 2.11. Determinad todas las ra´ıces enteras de los polinomios siguientes: a) x2 + x − 2 b) x3 − x2 − 25x + 25 c) x5 − 4x3 − 3 ´ 2.12. Dividid −3x3 + 48x entre x − 4 y comprobad el resultado haciendo la multiplicacion. ´ 2.13. Buscad ejemplos de funciones cubicas para cada una de las siguientes condiciones: ´ punto cr´ıtico, a) que no tengan ningun ´ b) que tengan un unico punto cr´ıtico en (2, 2), c) que tengan dos puntos cr´ıticos y, para x → +∞, que sean negativas, d) que tengan dos puntos cr´ıticos, pero una sola ra´ız. ´ 2.14. Estudiad el comportamiento asintotico de estas funciones racionales: a)

x2 +x−2 −2x+5

b)

−1 x2 −3x+25 2 x3 −x2 −25x+25

c)

x5 −4x3 −3 2x5 −3x3 +x2 −3

2.15. Dado el polinomio y = f (x) = 2x3 − 15x2 + 24x − 5, calculad la derivada y deducid cu´ales son los puntos cr´ıticos. Estudiad para qu´e valores de x la derivada es positiva y para cu´ales es negativa, y deducid tambi´en para qu´e valores de x el polinomio es creciente ´ y para cu´ales es decreciente. Por ultimo, contrastad vuestros resultados con la gr´afica que el ´ programa de gr´aficas genera del polinomio en cuestion.

2.9. Solucionario 2.1. Queremos determinar a, p y q tales que se cumpla x2 −2x+4 = a(x−p)2 +q. Desarrollando ´ de la derecha obtenemos x2 − 2x + 4 = a(x2 − 2px + p2 ) + q, de donde, tras la expresion igualar los coeficientes respectivos para cada potencia de x, tenemos: a = 1, p = 1, q = 3. ´ Comprobad que el resultado es el mismo aplicando las formulas anteriores.

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Las funciones de una variable

2.2. ´ tenemos que calcular la pendiente de la recta que pasa por los puntos (a, a2 ) y a) Solo (a + h, (a + h)2 ) (observad que f (a) = a2 y f (a + h) = (a + h)2 . El resultado ser´a: pendiente =

(a + h)2 − a2 = 2a + h. h

´ solo ´ tenemos que realizar el l´ımite cuando h → 0 del resultado b) S´ı, siguiendo la definicion, anterior. De modo que, la tasa instant´anea de crecimiento en el punto x = a es 2a. c) Fijaos en que para evitarnos calcular tres veces lo mismo, podemos utilizar la forma general ´ en un punto gen´erico x = a de la funcion ´ f (x) = x2 −2x+1. de la tasa instant´anea de variacion ´Esta es: Ta

= =

f (a + h) − f (a) = h (a + h)2 − 2(a + h) + 1 − a2 + 2a − 1 = 2a − 2. lim h h→0 lim

h→0

De aqu´ı, las tasas que se piden ser´an: T0 = −2, T−2 = −6 y T1 = 0. ´ es decreciente. Para Podemos asegurar que si la tasa instant´anea es negativa, la funcion demostrarlo, consideramos dos casos con respecto al signo del incremento h: •

Supongamos h > 0: f (a+h)−f (a) Dado que limh→0 < 0, el numerador tiene que ser necesariamente negativo h (porque estamos suponiendo el denominador positivo), es decir, f (a+h) < f (a). Adem´as, ´ f (x) tiene que ser decreciente. dado que a + h > a, podemos concluir que la funcion

•

Supongamos h < 0: f (a+h)−f (a) Dado que limh→0 < 0, el numerador tiene que ser necesariamente positivo, h ´ es decir, f (a + h) > f (a). Adem´as, dado que a + h < a, podemos concluir que la funcion f (x) tiene que ser decreciente. ´ de la tasa instant´anea de crecimiento, tenemos que: d) Aplicando la definicion Tx0

= = =

lim

h→0

lim

f (x0 + h) − f (x0 ) = h a(x0 + h)2 + b(x0 + h) + c − ax20 − bx0 − c h

h→0

=

2ax0 + b.

Cuando x0 = 0, sustituyendo tenemos que T0 = b. 2.3. ´ de manera que su gr´afica suba o baje a) Variar d supone añadir una constante a la funcion, dependiendo de signo de la d. Adem´as, si d = 0 podemos asegurar que la gr´afica pasa por (0, 0). b) Con el fin de que ve´ais por vosotros mismos qu´e pasa cuando c = −100, −50, 0, 50, 100 por ejemplo, utilizad el programa de gr´aficas. Observad que c es la pendiente de la recta tangente en el punto de corte con el eje vertical (x = 0). Lo pod´eis comprobar calculando la tasa ´ de c es la misma para cualquier instant´anea de crecimiento para x = 0. Esta interpretacion valor que puedan alcanzar a, b y d. Ser´ıa conveniente que lo intentaseis vosotros mismos con el programa de gr´aficas. c) Al ser a el coeficiente del t´ermino que presenta una mayor potencia, su signo ser´a el responsable m´aximo del comportamiento de la y cuando la x tome valores elevados en valor absoluto. x >0 y muy grande

x 0

y > 0 y muy grande

y < 0 y muy grande

a 0 y muy grande

´ cambia de signo en algun ´ momento, podemos estar seguros de que cortar´a d) Si la funcion el eje y = 0, lo que implicar´a la existencia de una ra´ız del polinomio. ´ El numero m´aximo de cortes con el eje de las x que puede llegar a tener un polinomio es ´ igual a su grado. En el caso de los polinomios cubicos ser´a 3.

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Tal como hemos dicho antes, como m´ınimo podemos asegurar la existencia de una ra´ız real. ´ M´as adelante veremos que el numero de cortes tiene que ser par. De manera intuitiva, pensad ´ en que las funciones cubicas o van del cuadrante superior izquierdo hasta el cuadrante inferior derecho, o van al rev´es. Por ejemplo, intentad unir los puntos (−50, −50) y (50, 50) con un trazo continuo sin que sea recto, y notar´eis que si atraves´ais el eje de las x dos veces, por fuerza ten´eis que volverlo a cruzar para llegar al punto (50, 50). e) Como hemos dicho en el apartado anterior, puede tener tres ra´ıces como m´aximo. ´ de las gr´aficas B y C es suficiente con que nos fijemos en 2.4. Para determinar la ecuacion cuales son los puntos de corte con el eje de las x. As´ı: •

´ C tiene que pasar por los puntos (−2, 0), (1, 0), (5, 0) y, adem´as, sabemos que La funcion ´ tiene que ser cubica.

•

´ toca el eje, no Por lo que respecta a B, tiene que pasar por los puntos (−2, 0) (donde solo lo corta) y (2, 0). Adem´as, observad que para x muy negativas toma valores muy grandes y positivos, y para x muy positivas tiende a valores muy negativos.

´ al hecho de que la funcion ´ A no decrece nunca, que pasa por Para finalizar, prestad atencion (0, 0), y que tiene la misma forma que x3 , pero desplazada una unidad hacia la derecha y una hacia arriba. Por tanto, las ecuaciones son: A B C

= = =

(x − 1)3 + 1 −(x + 2)2 (x − 2) (x + 2)(x − 1)(x − 5)

2.5. Es muy f´acil si aplicamos las reglas anteriores: a) f10 (x) = −4x + 4. b) f20 (x) = 5x4 − 4x. c) f30 (x) = 3x3 − 9x2 + x − 1. d) f40 (x) = 25x24 − 14x13 + 2x. 2.6. a) Que una ra´ız tiene multiplicidad 2 quiere decir que se encuentra dos veces, es decir, la fun´ roza el eje de las x pero no lo cruza. Por tanto, tendr´ıamos un ejemplo en: p(x) = (x−1)2 . cion b) Dos ra´ıces diferentes significan dos cortes con el eje de las x. Por ejemplo, si queremos que los cortes se den en los puntos (0, 0) y (1, 0), tendremos: p(x) = x(x − 1). c) Que nunca tenga una ra´ız significa que no puede cortar nunca el eje de las x. Por lo tanto, se tendr´a que mantener siempre por encima o por debajo del eje. Un ejemplo ser´ıa p(x) = x2 + 1. ´ 2.7. Planteamos dos funciones potenciales gen´ericas: f (x) = xc , g(x) = xd . La composicion de ambas ser´a f ◦ g(x) = f (g(x)) = f (xd ) = (xd )c = xdc . Partiendo de f (x) determinaremos f −1 (x). Sabemos que: x = f ◦ f −1 (x) = f (f −1 (x)) = (f −1 (x))c . 1

Por lo tanto, f −1 (x) = x c . ´ general de una par´abola: y = ax2 + bx + c. Aplicando 2.8. El punto de partida es la ecuacion el apartado d del ejercicio 2.2, sabemos que la pendiente de la recta tangente en el punto x = 0 coincide con el coeficiente b. Por tanto, b = −1. Por otra parte, dado que la abscisa del 1 v´ertice de una par´abola es p = −b ⇒ p = 2a y sabiendo que p = 2, determinamos a = 14 . Y, 2a para acabar, si la par´abola tiene que pasar por (0,3), forzosamente c = 3. As´ı pues, la par´abola que busc´abamos es y = 14 x2 − x + 3. ´ con la aplicacion ´ de la definicion ´ en el punto x = 1 tenemos que: 2.9. Solo Tx0

= = =

lim

h→0

f (x0 + h) − f (x0 ) = h 1 1+h

−1

= h −h = −1. lim h→0 h(1 + h) lim

h→0

´ a la forma de las funciones potenciales. 2.10. Podemos resolver este ejercicio prestando atencion En la tabla que vemos aqu´ı resumimos las condiciones que se deben cumplir para cada caso.

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α∈Z

α∈R−Z

Creciente

α > 0 e impar

α>0

Decreciente

α < 0 e impar

α 4, y ser´a negativa cuando 1 < x < 4. Por lo tanto, la funcion decreciente entre 1 y 4, y creciente fuera de este intervalo.

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3. Las funciones exponenciales y logarítmicas .

En este apartado introduciremos funciones un poco m´as sofisticadas. Los polinomios son muy f´aciles de utilizar y de entender, pero no nos pueden ´ explicar algunos de los fenomenos que nos interesan. Veremos una serie de ejemplos en los que las funciones exponenciales tienen un papel central. Las funciones logar´ıtmicas son sus inversas y tambi´en aparecen en muchas aplicaciones. Estos ejemplos tambi´en nos servir´an para repasar e introducir conceptos centrales del c´alculo que encontraremos en apartados posteriores desde un punto de vista m´as general.

3.1. El crecimiento exponencial ´ de M´exico a principios de los años ochenta; Consideremos la poblacion ´ contiene las cifras aproximadas. la tabla que encontramos a continuacion ´ ´ Con el objetivo de conocer como crece la poblacion, podemos calcular su incremento de un año para otro (datos que se muestran en la tercera ´ fuese lineal, las cifras columna de la tabla). Si el crecimiento de la poblacion de esta tercera columna ser´ıan todas iguales; sin embargo, por regla general, las poblaciones crecen con mayor rapidez cuando son m´as numerosas, teniendo en cuenta que hay m´as gente que tiene hijos. Por lo tanto, no es sorprendente que las cifras de la tercera columna aumenten.

Año

Población (millones)

Incremento de la población

1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986

67,38 69,13 70,93 72,77 74,66 76,60 78,59

–– 1,75 1,80 1,84 1,89 1,94 1,99

Población de M´exico (millones de habitantes)

As´ı pues, los incrementos o las diferencias no nos dicen gran cosa ante ´ esta situacion. Si calculamos los factores de crecimiento dividiendo la ´ de cada año por la del año anterior, observamos que: poblacion

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Las funciones de una variable

´ 1981 / Poblacion ´ 1980 ≈ Poblacion ´ 1982 / Poblacion ´ 1981 ≈ Poblacion ´ 1983 / Poblacion ´ 1982 ≈ ... ≈ 1,026 ≈ Poblacion ´ crece de manera aproximada un As´ı pues, de un año a otro, la poblacion 2,6%, un factor de crecimiento pr´acticamente constante. En los casos en ´ geoque el factor de crecimiento es constante, se tiene una progresion m´etrica, un crecimiento exponencial. Definimos t = 0, 1, 2 . . . como la ´ en este año, se diferencia entre un año y el año 1980; si P es la poblacion puede escribir: P = 67, 38 · 1, 026t . Ejercicios 1. Entrad las dos primeras columnas de la tabla anterior en una hoja de c´alculo ´ y, en la tercera columna, definid la formula adecuada para que aparezcan los incrementos obtenidos en la tabla. En una cuarta columna, comprobad que todos los ´ coeficientes que hemos visto dan valores similares a 1,026. Por ultimo, en la quinta ´ columna colocad las formulas adecuadas para que aparezcan los valores de nuestro modelo, P = 67, 38 · 1, 026t y comparad los valores del modelo con los de la realidad. La ´ mejor manera de comprobarlo es mediante una gr´afica en la que se represente la evolucion de ambas cantidades. ´ 67, 38 · 1, 026t , escribidla en la forma kect . En caso de que no 2. Dada la expresion encontr´eis una manera m´as r´apida de hacerlo, pod´eis sustituir t por 0 y obtendr´eis k; despu´es recordad que ect = (ec )t .

´ siendo v´alida para los Si pensamos que esta ley de crecimiento continua ´ años siguientes y en el futuro (una extrapolacion, por cierto, un tanto atrevida), la podr´ıamos representar por medio de una gr´afica como la de la ´ donde se muestra una forma exponencial figura que ten´eis a continuacion, t´ıpica. Podemos comprobar que es creciente y, adem´as, convexa (es cada vez m´as creciente). Al principio, el crecimiento es lento, pero las curvas exponenciales, aunque pueden ser poco crecientes en un primer momento, siempre alcanzan tasas de crecimiento muy altas.

800 67.38 · 1.026**t 700

600

500

400

300

200

100

0

0

20

40

Gr´afica de f (t) = 67, 38 · 1, 026t

60

80

100

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´ de la poblacion, ´ podemos averiguar qu´e Mediante el uso de esta expresion ´ de M´exico en el futuro, en el supuesto de que la pasar´ıa con la poblacion ´ ley de crecimiento exponencial se continuase cumpliendo en los proximos años. Este supuesto es un tanto arriesgado, pero no deja de ser el modelo m´as sencillo de los que podr´ıamos aplicar. Si queremos saber cu´al es la ´ de nuestro modelo para el año 2007, haremos: prediccion

t = 2007 − 1980 = 27 y P = 67, 38 · 1, 02627 ≈ 67, 38 · 2, 00 ≈ 134, 76 millones. ´ de M´exico ser´ıa Pod´eis observar que nos dice que en 27 años la poblacion el doble. Pero, ¿qu´e pasa en los 27 años siguientes?

t = 2034 − 1980 = 54 y P = 67, 38 · 1, 02654 ≈ 67, 38 · 4, 00 ≈ 269, 52 millones, ´ se habr´ıa vuelto a duplicar y representar´ıa el cu´adruple es decir, la poblacion de la que hab´ıa en el año 1980. ´ Esta es una caracter´ıstica interesante del crecimiento exponencial que podremos comprobar en otros ejemplos: el tiempo necesario para doblar (doubling time) la magnitud que crece es constante, no depende del momento del que partimos. Comprobad que, 27 años despu´es de cualquier ´ se ha doblado. momento, la poblacion

3.2. El decrecimiento exponencial

Veamos ahora un ejemplo de decrecimiento exponencial: supongamos que depuramos agua contaminada con un tratamiento que cada hora suprime el 20% de los productos contaminados que contiene el agua antes de ser tratada. Si apuntamos P (t) como la cantidad de contaminantes en el momento t (horas) y suponemos que al empezar el tratamiento ten´ıamos una cantidad P0 , entonces: P (0) = P0 , P (1) = 0, 8 · P0 , P (2) = 0, 82 · P0 . . . y despu´es de t horas: P (t) = 0, 8t · P0 .

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Si tomamos P0 = 1 (que es como si tom´asemos la cantidad inicial como ´ ´ unidad de medida de la contaminacion), podemos concretar la situacion en la siguiente gr´afica:

Un decrecimiento exponencial, f (x) = 0, 8x

´ al decrecimiento de la funcion: ´ Prestad atencion en cada paso, el decre´ es tambi´en cimiento es menor debido a que cada vez la contaminacion menor y nuestro procedimiento de limpieza puede extraer menos cantidad. ´ que con el crecimiento exponencial, pero al rev´es. Es la misma situacion ´ hasta la mitad? ¿Cu´antas horas necesitamos para reducir la contaminacion ´ 0, 8t · P0 = La ecuacion

1 2 P0

se puede resolver por tanteo, o utilizando

logaritmos (consultad un poco m´as adelante lo que se dice acerca de los logaritmos) y se obtiene t = 3, 1 horas. Como pod´eis ver, este tiempo ´ no necesario para reducir hasta la mitad la cantidad de contaminacion depende de la cantidad inicial P0 que, por otra parte, no ha intervenido en los c´alculos. Obtendremos exactamente lo mismo si partimos del mo´ mento t = 5 y calculamos cu´anto tardaremos en reducir la contaminacion en dicho instante a la mitad.

3.3. Los logaritmos

Hay cosas que no podr´ıamos hacer si no fuese porque los logaritmos nos lo permiten. Vamos a repasar de manera breve las propiedades de los ´ logaritmos y algunos ejemplos de aplicacion. . ´ loga se define como la inversa de la funcion ´ exponencial La funcion de base a, es decir, y = loga x es lo mismo que x = ay . Esto tambi´en nos indica que loga ax = x o que aloga x = x y que loga 1 = 0 (ya que a0 = 1).

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´ logar´ıtmica es la reflexion ´ sobre la diagonal La gr´afica de una funcion de la gr´afica de la exponencial correspondiente.

Propiedades de los logaritmos: ´ se puede calcular el logaritmo de un numero ´ 1) Fijaos en que solo positivo, aunque el resultado pueda ser positivo, negativo o cero. 2) loga (x · y) = loga x + loga y. Esto es importante porque quiere decir que aplicando logaritmos podemos transformar productos en sumas. 3) loga xy = y loga x. Esto nos indica que loga 4) loga b =

1 x

= − loga x.

1 logb a .

´ ´ 5) Formula de conversion: loga x =

logb x logb a .

´ ´ Esta formula de conversion

´ permite efectuar todos los c´alculos logar´ıtmicos con una unica base. As´ı, por ejemplo, podemos calcular log3 7 utilizando la base e mediante: log3 7 =

loge 7 . loge 3

Escribimos ln para referirnos a los logaritmos naturales o neperianos, a los que tienen por base e = 2, 71828 . . . Habitualmente utilizaremos esta base. Tal como venimos diciendo, los logaritmos nos permiten hacer c´alculos que, de otro modo, ser´ıan imposibles. Por ejemplo, y haciendo referencia ´ de M´exico, si queremos saber en qu´e al caso anterior de la poblacion ´ llega a 100 millones, tendremos que calcular: momento la poblacion 67, 38 · 1, 026(t−1980) = 100,

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´ que solo ´ se puede resolver mediante el uso de los logaritmos y expresion sus propiedades: ln(67, 38 · 1, 026(t−1980) ) = ln 100 ln 67, 38 + (t − 1980) ln 1, 026 = ln 100

t = 1980 +

ln 100 − ln 67, 38 ln 1, 026

´ os queda coger la calculadora y realizar el c´alculo. Obtendr´eis y ahora solo t = 1.995, 4. ´ 0, 8t · P0 = 12 P0 que Aplicad tambi´en esta t´ecnica para resolver la ecuacion hemos visto antes y comprobad que el resultado es realmente 3, 1.

3.4. La función exponencial ´ exponencial se puede definir de diferentes maneras, las cuales, La funcion por otra parte, son equivalentes. . ´ exponencial es la unica ´ ´ f (x) que cumple: La funcion funcion •

f (0) = 1

•

Para cualquier x ∈ IR, f 0 (x) = f (x)

O bien: . ´ exponencial es la unica ´ ´ f (x) que cumple: La funcion funcion •

f (0) = 1

•

Para cualquier x, y ∈ IR, f (x + y) = f (x)f (y)

´ significa que la tasa instant´anea de crecimiento de la La primera condicion ´ en cualquier punto x coincide con el valor de la funcion ´ en aquel funcion punto.

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. En la grafica,... ´ ... se visualiza la propiedad que caracteriza la funcion ´ exponencial. En todos los puntos, la pendiente es igual al valor de la funcion. ´

Representación gráfica de la función exponencial

´ ´ Para acabar, un ultimo comentario: todas las funciones multiples de la exponencial, f (x) = kex , cumplen f 0 (x) = f (x). Y lo hemos conseguido ´ anterior hemos añadido que la exponencial gracias a que en la definicion tiene que cumplir, adem´as, f (0) = 1. Ejemplo 3.1. Activad de nuevo la hoja de c´alculo; vamos a calcular, para una serie de valores de x, una ´ a la tasa instant´anea de crecimiento de la funcion ´ exponencial, y as´ı ver´eis aproximacion ´ que es pr´acticamente igual al valor de la funcion. 1) En la columna 1, poned valores de x, desde –10 hasta 100, de 5 en 5, por ejemplo. 2) En la columna 2, colocad los valores de ex que la hoja de c´alculo nos da directamente. (x+0,01)

3) En la columna 3, poned e instant´anea de crecimiento.

−ex

0,01

´ a la tasa , que es una buena aproximacion

Lo que obteng´ais tiene que parecerse a:

Se observa claramente que los cocientes de los incrementos se parecen mucho al valor ´ ´ ´ de la misma funcion; si en vuestra hoja de c´alculo modific´ais la formula de la ultima ´ columna y cambi´ais los 0, 01 por numeros menores, todav´ıa lo ver´eis m´as claro.

3.5. La derivada de la función logaritmo Tenemos presente que las gr´aficas de ex y ln x son sim´etricas con respecto a la recta y = x.

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exp(x) log(x) x

Precisamente, al utilizar esta simetr´ıa podemos deducir una propiedad muy ´ logaritmo. Si queremos calcular la derivada de importante de la funcion ´ logaritmo en el punto x (mirad la figura anterior), tenemos que la funcion dibujar la tangente de la gr´afica de ln x en el punto (x, ln x) y calcular su pendiente, que es

β α.

Ahora imagin´emonos que la diagonal y = x es un

espejo que refleja nuestra tangente y su tri´angulo de pendientes, o que doblamos la gr´afica por la diagonal y vemos que en la otra parte, sobre ´ exponencial, encontramos la tangente dibujada la gr´afica de la funcion ´ exponencial en el punto (ln x, x). Sabemos que la derivada de la funcion ´ ex , es decir, que la en cualquier punto x es igual al valor de la funcion derivada en el punto que nos interesa, x = ln a, ser´a igual a eln a = a, en ´ el tri´angulo de pendientes de arriba: consecuencia, segun α = a. β En consecuencia, la derivada de ln en x = a es igual a a1 . ´ Como conclusion: . ´ logaritmo en el punto x es x1 , que podemos La derivada de la funcion escribir: 1 d ln x = . dx x En general: 1 1 d loga x = . dx x ln a

Ejemplo 3.2. Pensemos en un algoritmo que recibe como entrada un entero N . Decimos que el algoritmo tiene una complejidad (C) lineal cuando el tiempo que tarda en retornar el valor final es lineal con respecto al tamaño del entero N . Es decir, C = kM , donde M es el tamaño

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Las funciones de una variable

´ de N y k, una constante. Ahora bien, M ≈ numero de cifras de N , por tanto n ≈ 10M es ´ C = O(log10 N ), que decir, M ≈ log10 N . En este contexto, se suele utilizar la notacion quiere decir que la complejidad es “del orden” de log10 N . Volveremos a hablar de todo ´ ´ en las t´ecnicas del c´alculo”. esto en el modulo “Profundizacion

3.6. Ejercicios 3.1. Determinad el dominio y el recorrido de las funciones F (x) = 1 + x2 y G(x) = F, G, G ◦ F y F ◦ G.

√

1 + ln x

3.2. Aplicad las propiedades de los logaritmos y las funciones exponenciales para resolver las siguientes ecuaciones: a) 3x−1 + 3x + 3x+1 = 117 b) 4x+1 + 2x+3 − 320 = 0 x c) 2 ln x = 3 + ln 10 d)

ln(35−x3 ) ln(5−x)

=3

3.3. Poned en funcionamiento el programa de gr´aficas y pedidle gr´aficas de diferentes fun´ para ciones exponenciales y logar´ıtmicas. Intentad cambiar los coeficientes de la funcion, ponerlos positivos, negativos, mayores que 1, menores, etc.; probad tambi´en intervalos diferentes para las x. Echadle un vistazo a la siguiente figura y al comentario que la acompaña. 3

log10(x) ––– log(x) ---exp(x) ····· 10**x

2

1

-1

-2

-3 -3

-2

-1

1

2

3

´ exponencial g(x) = abx se puede deducir de la gr´afica de “la” La gr´afica de cualquier funcion ´ exponencial f (x) = ex . Hemos visto que siempre podremos escribir abx = aecx y, funcion ´ si observ´ais las gr´aficas de f (x) = ex y de g(x) = aecx , lo que encontramos es una dilatacion ´ vertical de factor a. Es natural que la dilatacion ´ sea horizontal de factor c y una dilatacion ´ si el factor es un numero ´ m´as bien una contraccion, entre 0 y 1, y tambi´en se puede dar el caso de que algunos de los factores sean negativos, casos que ya aprendimos a tratar. Aplicad esto al caso concreto de y = 3 · 2x , y dibujad a mano un croquis conjunto de y = ex ´ en las transformaciones que son necesarias para pasar de y de y = 3 · 2x , bas´andonos solo una a otra. Despu´es pod´eis utilizar el programa de gr´aficas para comprobar el resultado de vuestro intento. ´ y = −2, 5 · 0, 25x . Repetid el ejercicio con la funcion ´ discreta: la progre3.4. El crecimiento exponencial tambi´en se puede estudiar en su version ´ geom´etrica. Recordad que una progresion ´ geom´etrica es una serie de numeros ´ sion en la que cada uno se obtiene a partir del anterior, multiplic´andolo por una constante: la ´ razon.

!

La hoja de papel m´as gruesa del mundo. Imaginad que ten´eis una hoja de medida A4 y la dobl´ais por la mitad. El grosor ahora ser´a el doble que antes de haberla doblado. Si la volvemos a doblar, el grosor ser´a cuatro veces el de la hoja inicial. Pues bien, imaginad que doblamos la hoja 20 veces. Partiendo de que la hoja inicial ten´ıa 2 d´ecimas de mil´ımetro de grosor, ¿cu´al es el grosor que ten´eis ahora en la mano? ´ La pir´amide. Este es un juego que aparece con cierta periodicidad en una forma u otra. Recib´ıs una carta que dice as´ı: env´ıa 1.000 pesetas a la primera de las ocho personas de la lista que adjunto. Despu´es elim´ınala de la lista, ponte tu´ detr´as y env´ıa ocho copias a amigos tuyos

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Las funciones de una variable

donde se repitan estas instrucciones. a) Supongamos que la persona que inventa el juego se pone de acuerdo con ocho amigos suyos y env´ıa la primera lista de ocho personas a una sola. Sea C(t) la cantidad de personas que reciben la lista en el per´ıodo t. Esto quiere decir que C(1) = 1. Calculad C(2), C(3) y C(4). ´ general de C(t)? b) ¿Cu´al es la expresion c) Si en el pa´ıs hay dos millones de personas que pueden participar en el juego, ¿cu´antas generaciones del juego se pueden producir? ´ d) Colocad en una hoja de c´alculo una columna con numeros enteros 1, 2, 3... que representen ´ las generaciones del juego, y en la segunda columna haced que aparezca el numero de ´ correspondiente. personas que reciben la lista en la generacion ´ de bombas nucleares, 3.5. El plutonio, elemento radioactivo que se utiliza en la produccion se desintegra siguiendo un decrecimiento exponencial. C(t) = C0 ekt da la cantidad que ´ queda a partir de una cantidad inicial C0 despu´es de t años de desintegracion. Su media de vida es de mil años, lo cual significa que en mil años una cantidad inicial de plutonio queda ´ de la funcion ´ de cantidad. reducida a la mitad. Calculad el coeficiente k de la expresion ¿Qu´e porcentaje de plutonio se desintegra en un año? ¿Cu´anto tiempo pasar´a antes de que la cantidad de plutonio almacenada en la actualidad se reduzca al 10%? 3.6. Imaginad que acabamos de hacer caldo y que para tenerlo bien conservado hasta el d´ıa siguiente lo queremos guardar en la nevera, a 0◦ C; el caldo, cuando lo pon´eis en la nevera, est´a a 90◦ C. Al cabo de una hora (t = 1), el caldo se ha enfriado un poco y est´a a 30◦ C, ha perdido 60◦ C. Tras haber pasado otra hora, habr´a perdido temperatura, pero no puede perder 60◦ C. El modelo adecuado puede ser un modelo de decrecimiento exponencial T (t) = a · bt , en el que la temperatura T del momento t viene dada por unos par´ametros a y b que desconocemos. Con los datos que tenemos, ¿podemos calcularlos? ´ Malthus, la poblacion ´ mundial crece de manera exponencial, mientras que los 3.7. Segun recursos disponibles para alimentarla crecen aritm´eticamente. Os proponemos que hag´ais un modelo gr´afico de esta teor´ıa maltusiana en el que una de las funciones sea p(t) = c · dt , es ´ mundial en tiempo t, y la otra sea f (t) = a + bt, la cantidad de personas decir, la poblacion ´ que se pueden alimentar con los recursos disponibles en el tiempo t. ¿Os parece una vision optimista sobre el futuro de la humanidad? √ 3.8. Sabiendo que las funciones f (x) = x − 2 y g(x) = x2 + 2 son inversas la una a la otra 0 y que la derivada de g e´ s g (x) = 2x en cualquier punto x, dibujad una gr´afica para estas funciones y calculad cu´anto vale la derivada f 0 (a) de f en un punto cualquiera x = a. ´ 3.9. Despu´es de las catastroficas inundaciones del año 1953, en Holanda se puso en marcha ´ para determinar la altura optima ´ un proyecto de investigacion de los diques. Uno de los ´ modelos m´as sencillos trataba de establecer el valor de x que minimizase la funcion: f (x) = I0 + kx + Ae−αx

(x > 0),

donde x representa la altura en metros del dique que se ten´ıa que construir sobre los que ´ y Ae−αx es una estimacion ´ de las p´erdidas ya hab´ıa, I0 + kx es el coste de construccion provocadas por las inundaciones. I0 , k, A y α son constantes positivas. a) Comprobad que el modelo no es contradictorio con la realidad que intenta representar y analizad cada componente. ¿Qu´e representa f (x)? Si x aumenta, ¿aumentan los costes? ¿Disminuyen las p´erdidas? Haced gr´aficas de las funciones involucradas por los valores de las constantes que os parezcan m´as adecuados y analizad las gr´aficas que teng´ais. b) Supongamos que x0 es el m´ınimo de f (x). Determinad x0 . c) ¿Qu´e condiciones tenemos que poner en α, A y k para que x0 sea positiva? ´ d) La constante A puede venir dada por la formula: A=

¡ δ ¢ 100 , p0 V 1 + δ 100

donde p0 es la probabilidad de que las aguas desborden los diques antes de rehacerlos y δ es un tipo de inter´es. Demostrad que x0 se puede escribir de la siguiente manera: x0 =

100αp0 V (1 + 1 ln α kδ

δ ) 100

.

Examinad qu´e ocurre con x0 cuando cada uno de los par´ametros p0 , V , δ o k aumenta. Comentad si los resultados os parecen razonables.

Este problema... ... se discute en el art´ıculo de D. van Dantzig “Economic decision problems for flood prevention’’, en Econometrica (1956, núm. 24, pág. 276–287), que hemos encontrado en Sydsaeter and Hammond, Mathematics for Economic Analysis, Prentice-Hall, 1995.

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Las funciones de una variable

3.7. Solucionario 3.1. Dominio de F . IR (como todos los polinomios). ´ se definen con los numeros ´ Dominio de G. Recordad que las ra´ıces de ´ındice par solo positivos. Por tanto, necesitaremos imponer que 1 + ln x ≥ 0 ⇒ −1 ≤ ln x ⇒ 1e ≤ x. De aqu´ı obtendremos que G = [ 1e , ∞).

p

´ al hecho de 1 + ln(1 + x2 ), prestad atencion Dominio de G ◦ F . Partiendo de G ◦ F (x) = que en este caso estamos realizando el logaritmo de una cantidad siempre mayor que 1 para todo x. Por lo tanto, 1 + ln(1 + x2 ) > 0 se cumple siempre y Dom G ◦ F = IR. Dominio de F ◦ G. Partiendo de F ◦ G(x) = 2 + ln x, el dominio coincide con el dominio de ´ ln x. Por tanto, Dom F ◦ G = (0, ∞). la funcion 3.2. Recordad que la suma de potencias es siempre dif´ıcil de tratar. En este caso, sin embargo, todas las potencias se pueden poner respecto de la misma base. ´ 3x y obtenemos: a) Podemos sacar factor comun 3x (

1 + 1 + 3) = 117 ⇒ 3x = 27 ⇒ x = 3. 3

´ que hay que resolver es equivalente a: b) Observad que la ecuacion 22(x+1) + 2x+3 = 320 ⇒ 4 · 22x + 8 · 2x = 320; ´ de segundo grado: haciendo ahora y = 2x , hay que resolver la ecuacion y 2 + 2 · y = 80 ⇒ y = 8 o y = −10. ´ es posible la positiva (tened en cuenta que una funcion ´ exponencial De las dos soluciones, solo siempre toma valores positivos). ´ final es x = 3. As´ı, la solucion ´ con incognita ´ c) Como veis, no es m´as que una ecuacion ln x; por tanto, es suficiente con aislarla. Por eso, recordad que ln( ab ) = ln a − ln b. De aqu´ı: 2 ln x = 3 + ln x − ln 10 ⇒ ln x = 3 − ln 10 ⇒ x =

e3 . 10

´ Pensad que para obtener la ultima igualdad es necesario aplicar exponenciales a un lado y a otro. d) En este caso, recordad que no podemos suprimir los logaritmos de entrada porque ´ ln(a + b) 6= ln a + ln b. As´ı, lo primero que haremos es reescribir la ecuacion: ln(35 − x3 ) = 3 ln(5 − x) = ln(5 − x)3 , ´ de segundo grado: de donde podemos sustraer los logaritmos y obtener la siguiente ecuacion 15x2 − 75x + 90 = 0 ⇒ x = 3 o x = 2.

´ solo ´ con que le dediqu´eis un rato 3.3. No es necesario que os expliquemos ninguna solucion, delante del ordenador ser´a suficiente. 3.4. La hoja de papel m´as gruesa del mundo Sea Gt el grosor del papel despu´es de haberlo doblado t veces. Entonces, sabiendo que cada vez que lo doblamos su grosor tambi´en se dobla, tenemos: G0 = 0, 2 (el grosor inicial), G1 = 2 · 0, 2, G2 = 2 · (2 · 0, 2) = 22 · 0, 2, G3 = 23 · 0, 2 . . .. ´ Podemos apreciar que el numero de veces que doblamos el papel coincide con el exponente del 2. Por tanto, en general, Gt = 2t · 0, 2. En concreto, el grosor despu´es de 20 dobleces ser´a G20 = 220 · 0, 2 = 209.715, 2 mm., es decir, aproximadamente 200 metros. La pir´amide Teniendo en cuenta que C(t) es la cantidad de personas que reciben una lista en el per´ıodo ´ al hecho de que en este caso el t, C(2) = 8, C(3) = 8 · 8 = 82 , C(4) = 83 . . ., prestad atencion exponente del 8 se corresponde con el periodo t − 1. Por tanto, en general, C(t) = 8t−1 .

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A partir de aqu´ı, para conocer cu´antas generaciones del juego se pueden producir en un pa´ıs ´ con 10 millones de habitantes, tenemos que resolver la siguiente ecuacion: 8t−1 = 107 . ´ exponencial se tiene que resolver aplicando logaritmos a ambos Recordad que una ecuacion lados de la igualdad. El resultado es: t−1=

7 ln 10 = 7, 75 ⇒ t = 8, 75. ln 8

´ Pero dado que t define el periodo y, por tanto, tiene que ser un numero natural, podemos ´ es t = 8. producir 8 generaciones del juego, es decir, la solucion 3.5. Sabemos que C(t) = C0 ekt da la cantidad que falta a partir de una cantidad inicial C0 ´ y que en mil años tenemos una cantidad de plutonio despu´es de t años de desintegracion, C0 ´ . Entonces, para determinar k, planteamos la siguiente ecuacion: 2 C0 = C0 ek1.000 , 2 de donde, tomando logaritmos, obtenemos k = −6, 9 · 10−4 . −4

La cantidad de plutonio que queda al cabo de un año es C(1) = C0 e−6,9·10 . Por lo tanto, el −4 C(1) porcentaje de plutonio que queda al cabo de un año ser´a C 100 = e−6,9·10 100 = 99, 93%. 0 Sin embargo, dado que lo que nos pide el problema es el porcentaje de plutonio que se desintegra en un año, tenemos que calcular 100 − 99, 93 = 0, 07%. Para finalizar, nos preguntamos cu´anto tiempo transcurrir´a antes de que se haya desintegrado ´ el 90% del plutonio. Por este motivo, planteamos la siguiente ecuacion: −4 10 C0 = C0 e−6,9·10 t , 100

de donde, tomando logaritmos, obtenemos t = 3.337, 08 años. 3.6. Con los datos que expone el problema tenemos suficiente para calcular los coeficientes a y b. Ve´amoslo. Observad que, de hecho, T (0) = a, lo que representa la temperatura en el momento de poner el caldo en la nevera. De aqu´ı vemos que a = 90 y, por otra parte, teniendo en cuenta que la temperatura al cabo de una hora es 30◦ C, tenemos que T (1) = a · b = 90 · b. As´ı que, b = 0, 33. ´ mundial crece de manera exponencial segun ´ la 3.7. Partiendo del hecho de que la poblacion ´ f (t) = c · dt y que la cantidad de personas que se pueden alimentar crece linealmente funcion ´ p(t) = a + bt, veremos de manera gr´afica la relacion ´ entre ambas funciones. Tened segun ´ exponencial con d > 1 y c > 0 acaba, tarde o temprano, muy en cuenta que una funcion superando a una lineal con pendiente positiva y para cualquier a. Este ejemplo ha sido elaborado tomando a = 20.000, b = 400, c = 1 y d = 1, 1. 3.8. La gr´afica que deb´eis obtener se parece mucho a la del apartado 3.3., con estas diferencias: ´ hay una gr´afica en el primer cuadrante, x, y > 0. 1) Solo 2) En los puntos de los√ejes que estaban rotulados con ln a en vuestra gr´afica tendremos que ´ encontrar el rotulo a − 2. √ ´ ser´a similar pero diferente. Aqu´ı, la derivada de x − 2 en el punto x = a Vuestra conclusion 1 ´ es 2√a−2 , ya que repitiendo el razonamiento del ultimo apartado y siguiendo la misma ´ tenemos: notacion, a) La pendiente de la recta tangente en el punto (a, f (a)) = (a,

√

a − 2) es pen fa =

β . α

b) Sabemos que g 0 (x) = 2x. Es decir, pen gx = 2x. c) La pendiente de la recta tangente g en el punto (f (a), a) es el inverso de la pendiente de la tangente en f en el punto (a, f (a)). Es decir: f 0 (a) = pen fa =

1 1 1 . = = √ pen gf (a) 2f (a) 2 a−2

3.9. ´ f (x) consta de dos componentes bien diferenciados: a) De entrada, observad que nuestra funcion ´ de la altura que se le añada al dique. el coste y las p´erdidas, en funcion

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Si decidimos incrementar la altura del dique en x unidades, el coste depende de x. Esta circunstancia es coherente con el componente coste de nuestro modelo, ya que I0 + kx es ´ lineal de pendiente positiva, I0 es el coste fijo de hacer obras y kx es el coste una funcion añadido de realizar x metros de dique. Las p´erdidas previstas disminuyen con la altura, pero el decrecimiento es cada vez menor. La ´ de ello. ´ Ae−αx es una buena representacion funcion Comprobadlo en la gr´afica elaborada con los datos I0 = 2, k = 1, A = 4 y α = 0, 5 que pod´eis obtener vosotros mismos utilizando el programa de gr´aficas. b) Hay que determinar la derivada de f (x) e igualarla a cero. f 0 (x0 ) = k − Aαe−αx0 = 0 ⇒ e−αx0 = ⇒ x0 = −

k Aα

1 1 k Aα ln ⇒ x0 = ln . α Aα α k

´ tenga sentido si es positivo, ya que representa una c) Es importante el hecho de que x0 solo altura. A partir del resultado anterior, y teniendo en cuenta que α es positivo, es necesario ´ que se debe imponer es: Aα que ln Aα > 0. Por tanto, la condicion > 1 ⇒ k < Aα. k k ´ hay que sustituir el valor A = d) De hecho, solo As´ı: 1 Aα 1 = ln x0 = ln α k α

100 p0 V δ

100p0 V

¡

¡

1+

δ 1+ 100

δ

k

δ 100

¢

en el resultado anterior.

¢

α

.

´ de los par´ametros es la siguiente, teniendo presente que V es el coste actual La interpretacion de los daños previstos en caso de desbordamiento del dique. 100αp0 V

¡

δ 1+ 100

¢

•

aumentar´a y, por lo tanto, x0 ser´a mayor. Resulta Si p0 aumenta, ln kδ ´ logico que si la probabilidad de que las aguas desborden los diques antes de rehacerlos aumenta, queramos un dique m´as alto.

•

δ p0 V 1 + 100 = 100 p0 V + p0 V baja porque su primer sumando Si δ aumenta, A = 100 δ δ decrece, mientras que el segundo se mantiene constante. Por lo tanto, x0 disminuye.

•

¡

100αp0 V

¢

¡

δ 1+ 100

¢

Si k aumenta, entonces ln disminuye y, por lo tanto, x0 ser´a menor. kδ ´ de coste, tendremos incentivos para Es decir, al aumentar la pendiente de la funcion construir menos altura de dique.

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´ Ejercicios de autoevaluacion ´ una de las tres respuestas que se proponen es correcta, as´ı En los ejercicios siguientes, solo que marcadla y despu´es comprobad el resultado en el solucionario. Os encontrar´eis con preguntas f´aciles, otras de nivel medio y preguntas dif´ıciles, puesto que ´ y de dominio del temario del modulo. ´ se trata de evaluar vuestro nivel de comprension En el caso de que se os presenten dudas en el momento de responder, lo mejor es que dej´eis la respuesta en blanco (ya que la forma de corregir estas pruebas consiste en sumar 1 punto por cada respuesta correcta, y restar 0,5 por cada una de las incorrectas). Al final, el resultado se ´ divide por el numero total de preguntas y se multiplica por 10. Insistimos: es normal, a no ser que os parezca que merec´eis un diez, que os queden en blanco entre el 10% y el 30% de las preguntas. ´ del nivel de impuestos que aplica el 1. Si decimos que los precios de la gasolina son funcion Gobierno, ... a) la variable independiente es el precio de la gasolina. b) la variable dependiente es el precio de la gasolina. c) Se puede interpretar de las dos formas. 1 ´ y = √x−1 2. En la funcion ,... a) el dominio es el conjunto {y : y > 0}. b) el dominio es el conjunto {x : x > 1}. c) Ninguna de las dos respuestas anteriores es correcta.

´ P 2 = Q,... 3. En la expresion ´ de Q, como Q como funcion ´ de P . a) se puede considerar tanto P como funcion ´ se puede considerar Q como funcion ´ de P . b) solo ´ de Q si nos restringimos a los valores positivos c) se puede considerar P como funcion de P . √ 4. Si tenemos f (x) = x2 − 2 y g(x) = x − 2, resultar´a... a) f ◦ g(x) = x √− 4. b) g ◦ f (x) = x2 − 2 − 2. c) Ninguna de las respuestas anteriores es correcta. ´ f ◦ g de las funciones f y g,... 5. Con el fin de que se pueda construir la composicion a) es necesario que el recorrido de f est´e dentro del dominio de g. b) es necesario que el recorrido de g contenga el dominio de f . c) Ninguna de las dos respuestas anteriores es correcta. ´ 6. Una curva del plano coordenado no puede ser el grafo de una funcion... a) si una recta x = a la corta en dos puntos. b) si una recta y = b la corta en dos puntos. c) si una recta y = ax + b la corta en dos puntos. ´ es inyectiva,... 7. Si una funcion ´ inversa definida en todo IR. a) tiene una funcion b) su inversa est´a definida en todos los puntos de su recorrido. ´ polinomica. ´ c) no puede ser una funcion ´ inversa de y = (x − 1)3 es... 8. La funci√on a) y = 3 x − 1. √ b) y = 1 + 3 x. ´ y. c) Ninguna de las respuestas anteriores, ya que la inversa tiene que ser x segun 2

´ inversa de y = (x − 2)2 e(x−2) es... 9. La funci√ on a) y = 2 x − 2 ln(x − 2). ´ no tiene inversa. b) La funcion ´ tiene inversa, pero no se puede calcular. c) La funcion ´ y el de su inversa... 10. El grafo de una funcion ´ punto. a) no se pueden cortar nunca en ningun ´ pueden cortarse en puntos de la diagonal y = x. b) solo ´ se trate. c) se pueden cortar en cualquier punto, dependiendo de qu´e funcion 11. ¿En qu´e punto apartado o apartados las dos rectas son paralelas? a) y = ax + b y y = cx + b. b) y = bx + a y y = bx + c. ´ si b 6= 0. c) La anterior, pero solo

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12. Si tenemos una recta perpendicular al vector de componente horizontal −2 y vertical 4, ´ de la recta puede ser... la ecuacion a) 4y − 2x = 12. b) −x + 2y = 0. c) Cualquiera de las dos ecuaciones anteriores puede ser correcta. ´ de la recta que pasa por el punto (a, 0) con pendente igual a 3 es... 13. La equacion a) y = 3(x − a). b) y = 3x + a. c) 3x + ay = 0. 14. La recta que pasa por el punto (−2, 2) con pendiente −2 y la recta que pasa por los puntos (a, 0) y (0, b)... a) nunca puede ser la misma. b) puede ser la misma si a y b son negativos. c) Ninguna de las dos respuestas anteriores es correcta. ´ y = f (x), consideramos las funciones y = g(x) = f (x−2) y y = h(x) = 15. Dada una funcion = f (x − 3). a) Las gr´aficas de g y de h tienen la misma forma, pero la de g est´a desplazada una unidad m´as hacia la izquierda que la de h. b) Las gr´aficas de g y h tienen la misma forma, pero la de g est´a desplazada una unidad m´as hacia la derecha que la de h. c) Ninguna de las dos respuestas anteriores es cierta. 16. El grafo de y = f (3x − 2) y el de y = f (−2x − 2)... a) son sim´etricos respecto del eje Y . b) cortan el eje X en los mismos puntos. c) Ninguna de las dos respuestas anteriores es cierta. 17. Las gr´aficas de las funciones y = f (x) e y = f (−x)... ´ punto. a) no se pueden cortar en ningun ´ se pueden cortar en el eje Y . b) solo c) Las dos respuestas anteriores son falsas. 18. Las gr´aficas de las funciones y = f (x) e y = −f (x)... ´ punto. a) no se pueden cortar en ningun ´ se pueden cortar en el eje X. b) solo c) Las dos respuestas anteriores son falsas. 19. Si las par´abolas y = x2 + 4 e y = ax2 + 8 se cortan en dos puntos, podemos asegurar que... a) a < 1. b) a > 0. c) No es posible que se corten en dos puntos. f (b)−f (a)

´ f es cero... 20. Si la tasa de crecimiento en un intervalo (a, b) de una funcion b−a ´ es constante a) quiere decir que la funcion ´ tiene el mismo valor en los dos extremos del intervalo. b) quiere decir que la funcion ´ es continua en el intervalo. c) quiere decir que la funcion ´ f en el punto a se escribe... 21. La tasa instant´anea de crecimiento de la funcion f (a + h) − f (a) a) lim . h h→0 f (x − a) . b) lim x→a x − a c) Las dos expresiones son correctas. 22. Si x < y, se tiene x2 < y 2 ... a) siempre. ´ si x, y son positivos. b) solo c) Las dos respuestas anteriores son incorrectas. 23. Sabiendo que x < y y xc < y c , podemos asegurar que... a) c > 0. b) c > 1. c) Ninguna de las dos respuestas anteriores es correcta. ´ y = xc es creciente, podemos asegurar que... 24. Sabiendo que la funcion a) c ≥ 0. b) c > 1. c) Ninguna de las dos respuestas anteriores es correcta.

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25. El grafo del polinomio y = ax3 − x2 + bx + c... a) cruza el eje vertical con una pendiente b. b) cruza el eje vertical en el punto y = b. c) Ninguna de las dos respuestas anteriores es correcta. 26. El grafo del polinomio y = ax3 − x2 + bx + c,... a) seguro que corta el eje X como m´ınimo en un punto. b) si a > 0, seguro que corta el eje X como m´ınimo en un punto. ´ punto. c) si c > 0, puede ser que no corte el eje Y en ningun ´ que tiene como derivada f 0 (x) = (x − 2)(x + 3)... 27. La funcion a) es creciente en el intervalo (−2, 3). ´ es decreciente en el intervalo (−3, 2). b) solo ´ es decreciente en (−∞, −3). c) solo 28. Un polinomio de grado n... a) tiene siempre n ra´ıces diferentes. b) tiene que tener n coeficientes diferentes de cero. c) Las dos respuestas anteriores son incorrectas. 29. Un polinomio de quinto grado... a) debe tener un punto cr´ıtico real. ´ punto cr´ıtico real, tiene que haber dos. b) si tiene algun c) Las dos respuestas anteriores son falsas. 30. Un polinomio de tercer grado tiene una ra´ız real de multiplicidad 2. a) La otra ra´ız no puede ser real. b) La ra´ız tiene que ser real y positiva. c) La otra ra´ız tiene que ser real. 31. Observando la gr´afica de un polinomio, vemos que tanto por la derecha como por la izquierda el polinomio tiende a aumentar y a hacerse positivo. a) Podemos asegurar que todos los coeficientes del polinomio son positivos. b) El polinomio tiene que ser de grado par. c) No podemos asegurar ninguna de las tres afirmaciones anteriores. 32. Un polinomio p(x) de tercer grado grado tiene todos los coeficientes positivos. Cuando x → −∞,... a) p(x) → ∞. b) p(x) → −∞. c) No podemos asegurar ninguna de las dos respuestas anteriores. 33. Un polinomio de quinto grado... a) no puede tener m´as de cuatro puntos cr´ıticos. b) puede tener m´as de cinco puntos sobre el eje horizontal. c) puede tener tres ra´ıces no reales. 2

−2 ´ dada por y = x 34. La funcion ... 2x−1 a) tiene como as´ıntota oblicua la recta y = x − 2. ´ b) tiene un valor impredecible cuando x → ∞, ya que da la indeterminacion c) tiene como as´ıntota oblicua la recta y = x2 + 14 .

∞ . ∞

´ crece de manera que en un mes aumenta el 5%, la funcion ´ P (t) que da 35. Si una poblacion ´ el numero de individuos (t) en años... ´ exponencial. a) no es una funcion b) cumple P 0 (t) = 0, 05P (t). c) Ninguna de las respuestas anteriores es cierta. ´ exponencial... 36. Una funcion a) es siempre creciente. b) tiene derivada constante. c) Ninguna de las respuestas anteriores es correcta. ´ 37. Si x, y son numeros positivos,... a) ln xy = ln x + ln y. b) ln(x + y) = ln x ln y. c) El hecho de que las respuestas anteriores sean correctas o no, depende de si ln representa un logaritmo natural o decimal. ´ y = 0, 8x ... 38. La funcion ´ exponencial, es una progresion ´ geom´etrica. a) no es una funcion ´ y = e−0,223143551x . b) es igual que la funcion ´ creciente, pero no admite exponentes negativos. c) es una funcion

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39. Los grafos de las funciones exponenciales y = aebx y y = cedx , a 6= 0, c 6= 0 y d 6= b... a) se cruzan siempre en el punto y = 1. ´ punto. b) puede ser que no se crucen en ningun c c) se cruzan siempre en el punto de abscisa x = ln a−ln . d−b 40. ¿Cu´al de las siguientes funciones es inyectiva? a) tan x. b) x3 − 1. c) ln2 x. ´ f (x) = 41. El dominio de la funcion a) (−∞, 0). b) (−∞, 0]. c) (−∞, +∞). ´ f (x) = 42. El dominio de la funcion a) (−∞, −2] ∪ [1, +∞). b) [−2, −1]. c) Ninguno de los anteriores.

p

|x| − x es:

√

x2 − 3x + 2 es:

´ f (x) = ln(x2 − 1) es: 43. El dominio de la funcion a) (−∞, −1) ∪ (1, +∞). b) (1, +∞). c) (−∞, −1) ∪ (−1, 1) ∪ (1, +∞).

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Solucionario 1. b, 2. b, 3. c, 4. b, 5. c, 6. a, 7. b, 8. b, 9. b, 10. b, 11. b, 12. c, 13. a, 14. b, 15. a, 16. c, 17. c, 18. b, 19. a, 20. b, 21. a, 22. b, 23. a, 24. c, 25. a, 26. a, 27. b, 28. c, 29. b, 30. c, 31. b, 32. b, 33. a, 34. c, 35. b, 36. c, 37. a, 38. b, 39. c, 40. b, 41. c, 42. c, 43. a.

Glosario ´ Funcion: aplicación que relaciona dos variables y que se puede presentar de varias formas, ´ algebraica, una tabla que registra pares de valores o una a saber: mediante una expresion gr´afica. ´ inversa: una funcion ´ y = f (x) inyectiva admite una funcion ´ inversa, que se Funcion ´ inversa deshace la transformacion ´ que f ha efectuado, de suele denotar con f −1 . La funcion ´ ´ x del dominio tal manera que, dado un numero y de la imagen de f , seguro que hay un solo ´ f −1 (y) = x. que y = f (x). Es decir, por definicion, ´ lineal: funcion ´ que cumple f (x+y) = f (x)+f (y) y f (ax) = af (x) para cualquiera Funcion ´ ´ de los numeros x, y, a. Las unicas funciones continuas de IR a IR que son lineales, son las de tipo f (x) = bx, donde b es una constante real. De las funciones del tipo f (x) = a + bx, se las conoce como afines o, de manera m´as sencilla, como rectil´ıneas. ´ Funciones cuadraticas: funciones que se expresan con un polinomio de segundo grado ´ f (x) = ax2 + bx + c, donde a, b y c son numeros fijos que se denominan coeficientes del polinomio. ´ ´ f es el conjunto de puntos Grafo o gráfica de una funcion: el grafo de una funcion (x, y) del plano que tienen la segunda coordenada igual a f aplicada a la primera, es decir, que cumplen y = f (x). ´ ´ Grafico de una funcion: gr´afico que incluye su grafo o gr´afica junto con los ejes de ´ coordenadas y otros elementos esclarecedores, como pueden ser las marcas y los numeros en los ejes. ´ ´ o cociente Tasa de crecimiento de una funcion: la tasa de crecimiento de una funcion f (x2 )−f (x1 ) de incrementos entre dos valores x1 < x2 de la variable independiente es , es x2 −x1 ´ por lo que ha crecido la variable. Esta tasa decir, el cociente de lo que ha crecido la funcion de crecimiento tambi´en recibe el nombre de variaci´on de la funci´on en el intervalo (x1 , x2 ). ´ Tasa instantánea de crecimiento: la tasa instant´anea de crecimiento de una funcion f en un punto a se define como la tasa de crecimiento entre a y a + h, cuando h es muy f (a + h) − f (a) pequeño o, m´as concretamente lim . h h→0

Sumario ´ hemos visto ejemplos y hemos En el primer apartado hemos repasado el concepto de funcion, destacado la existencia de diferentes notaciones matem´aticas para expresar que una magnitud depende de otra. Por otra parte, hemos hablado del dominio, del recorrido y de la gr´afica de ´ y tambi´en se han repasado las ideas b´asicas por lo que respecta a la composicion ´ una funcion, ´ inversa. de funciones y al concepto de funcion Despu´es, en el segundo apartado hemos hecho un repaso de algunas cuestiones sobre las funciones cuadr´aticas y sus representaciones gr´aficas: las par´abolas. Hemos definido la tasa ´ para aprender a calcularlas en casos media de crecimiento y la tasa instant´anea de variacion sencillos. Se han introducido los polinomios de tercer grado y la forma de sus gr´aficas, las ´ cubicas. Hemos generalizado el concepto de derivada en un punto para aplicarla a cualquier polinomio, y hemos observado la forma de calcularla e interpretarla. Para finalizar, se ha recordado una serie de hechos importantes sobre los polinomios, las funciones racionales y las funciones potenciales. ´ ´ En el tercer y ultimo apartado hemos podido ver ejemplos de como las funciones exponenciales sirven para modelizar hechos de la vida real.

Bibliografía ´ a los conceptos b´asicos del an´alisis Teniendo en cuenta que se trata de una introduccion matem´atico, es recomendable que consult´eis los libros de texto de estas asignaturas de matem´aticas de la enseñanza secundaria.

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