КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ ПРОФ. РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ. СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM
284 137 2MB
Russian Pages 173
Table of contents :
Лекция 1
Частные случаи СЛУ
Системы линейных уравнений. Определения.
Метод Гаусса исключения переменных.Теорема 1.
Приведение ступенчатой матрицы к улучшенному виду
Метод Гаусса исключения переменных.Теорема 2.
Лекция 2
Метод Гаусса исключения переменных.
Следствия из метода Гаусса.
Арифметические векторные пространства.
Лекция 3
Лемма о выражении через независимый набор.
Критерий единствеености выражения через набор векторов.
Определение подпространства. Примеры.
Линейная оболочка. Свойства.
Основная лемма о линейной зависимости
Базис. Определение и свойства.
Лекция 4
Фундаментальная система решений.
Линейные подмногообразия.
Ранг системы векторов.
Лекция 5
Теорема о нахождении строчного равнга матрицы.
Теорема о равенстве строчного и столбцового рангов матрицы.
Алгоритм нахождения базы системы векторов.
Теорема о размерности пространства решений однородной СЛУ.
Теорема о существовании для подпространства СЛУ, множеством решений которой является это подпространство.
Теорема Кронекера-Капелли (критерий совместности СЛУ).
Лекция 6
Критерий определённости СЛУ в терминах рангов.
Операции над матрицами.
Примеры умножения матриц.
Свойства умножения матриц.
Операция транспонирования. Свойства.
Лекция 7
Единичная и элементарные матрицы.
След матрицы. Обратная матрица.
Алгоритм нахождения обратной матрицы с помощью элементарных преобразований.
Перестановки.
Лекция 8
Обратная подстановка.
Разложение подстановки в произведение независимых циклов.
Транспозиция.
Инверсия.
Знак подстановки.
Понятие определителя.
Лекция 9
Примеры нахождения определителя.
Определитель верхнетреугольной матрицы.
Свойства определителя.
Теорема об эквивалентности неравенства нулю определителя.
Теорема о функции, ставящей в соответствие набору векторов число.
Лекция 10
Определитель с углом нулей. Определитель Вандермонда.
Миноры.
Разложение определителя.
Определитель произведения матриц.
Фальшивое разложение.
Присоединенная матрица. Формула для обратной матрицы.
Лекция 11
Формулы Крамера и теорема Крамера.
Теорема о ранге матрицы.
Бинарные операции. Понятие полугруппы. Примеры.
Моноиды. Группы. Абелевы группы. Примеры.
Лекция 12
Кольцо. Определение и примеры.
Обратимость элемента. Делители нуля.
Нильпотент. Определение и примеры.
Поле. Определение и примеры.
Характеристика поля.
Частный случай бинома Ньютона в поле с характеристикой p.
Лекция 13
Введение.
Понятие комплексного числа. Операции.
Тригонометрическая форма записи комплексного числа.
Извлечение корней.
Корни из 1.
Первообразные корни из 1 и их свойства.
Лекция 14
Многочлены от одной переменной.
Связь формального и функционального равенства.
Задача интерполяции.
Теорема о делении с остатком.
Корни многочлена.
Теорема Безу.
Лекция 15
Кратность корня многочлена.
Производная многочлена. Ее свойства в зависимости от характеристики поля.
Переразложение многочлена в точке.
Нахождение кратности корня.
Теорема о числе корней многочлена.
Теория делимости.
Лекция 16
Ассоциированность элементов.
Евклидовы кольца.
НОД и его свойства.
Простые и неприводимые элементы.
Обобщение основной теоремы арифметики.
Предисловие к основной теореме алгебры.
Лекция 17
Существование корня многочлена над C, основная теорема алгебры.
Сходимость на комплексной плоскости.
Лемма о возрастании модуля.
Лемма Даламбера.
Доказательство основной теоремы алгебры.
Теорема Руффини - Абеля.Отделение кратных корней.
Лекция 18
Неприводимые многочлены.
Неприводимые многочлены над C и R.
Неприводимые многочлены над Q .
Теорема Декарта.
Лекция 19
Предварительные замечания.
Поле дробей.
Поле рациональных дробей.
Многочлены от нескольких переменных.
Лекция 20
Симметрические многочлены.
Леммы о старшем члене симметрического многочлена.
Основная теорема о симметрических многочленах. Доказательство.
Теорема Виета.
Дискриминант многочлена от одной переменной.
Лекция 21
Свойства дискриминанта.
Результант. Его связь с дискриминантом.
Выражение результанта через определитель.
Понятие группы и подгруппы. Гомоморфизм.
Лекция 22
Изоморфизм групп.
Ядро и образ.
Примеры групп.
Циклическая подгруппа.
Подгруппы в циклических группах.
Лекция 23
Смежные классы.
Теорема Лагранжа.
МЕХАНИКА • СЛЕПКОВ АЛЕКСАНДР ИВАНОВИЧ
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ ПРОФ. РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ. СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU.
МЕХАНИКОМАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА
АЛГЕБРА ЧАСТЬ 1 АРЖАНЦЕВ ИВАН ВЛАДИМИРОВИЧ МЕХМАТ МГУ
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ ПРОФ. РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ. СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU. ЕСЛИ ВЫ ОБНАРУЖИЛИ ОШИБКИ ИЛИ ОПЕЧАТКИ, ТО СООБЩИТЕ ОБ ЭТОМ, НАПИСАВ СООБЩЕСТВУ VK.COM/TEACHINMSU.
БЛАГОДАРИМ ЗА ПОДГОТОВКУ КОНСПЕКТА СТУДЕНТКУ МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОГО ФАКУЛЬТЕТА МГУ КОЩЕЕВУ АННУ ВИТАЛЬЕВНУ
ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU
Ñîäåðæàíèå Ëåêöèÿ 1 ×àñòíûå ñëó÷àè ÑËÓ
7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ñèñòåìû ëèíåéíûõ óðàâíåíèé. Îïðåäåëåíèÿ.
7
. . . . . . . . . . . . . . . . .
10
Ìåòîä Ãàóññà èñêëþ÷åíèÿ ïåðåìåííûõ.Òåîðåìà 1. . . . . . . . . . . . . . . .
12
Ïðèâåäåíèå ñòóïåí÷àòîé ìàòðèöû ê óëó÷øåííîìó âèäó
. . . . . . . . . . .
12
Ìåòîä Ãàóññà èñêëþ÷åíèÿ ïåðåìåííûõ.Òåîðåìà 2. . . . . . . . . . . . . . . .
14
Ëåêöèÿ 2
16
Ìåòîä Ãàóññà èñêëþ÷åíèÿ ïåðåìåííûõ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
Ñëåäñòâèÿ èç ìåòîäà Ãàóññà.
17
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Àðèôìåòè÷åñêèå âåêòîðíûå ïðîñòðàíñòâà.
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ëåêöèÿ 3
19
22
Ëåììà î âûðàæåíèè ÷åðåç íåçàâèñèìûé íàáîð.
. . . . . . . . . . . . . . . .
Êðèòåðèé åäèíñòâååíîñòè âûðàæåíèÿ ÷åðåç íàáîð âåêòîðîâ.
22
. . . . . . . .
22
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
Ëèíåéíàÿ îáîëî÷êà. Ñâîéñòâà. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
Îñíîâíàÿ ëåììà î ëèíåéíîé çàâèñèìîñòè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
Áàçèñ. Îïðåäåëåíèå è ñâîéñòâà.
26
Îïðåäåëåíèå ïîäïðîñòðàíñòâà. Ïðèìåðû.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ëåêöèÿ 4
29
Ôóíäàìåíòàëüíàÿ ñèñòåìà ðåøåíèé. Ëèíåéíûå ïîäìíîãîîáðàçèÿ.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
Ðàíã ñèñòåìû âåêòîðîâ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
Ëåêöèÿ 5
35
Òåîðåìà î íàõîæäåíèè ñòðî÷íîãî ðàâíãà ìàòðèöû.
. . . . . . . . . . . . . .
35
Òåîðåìà î ðàâåíñòâå ñòðî÷íîãî è ñòîëáöîâîãî ðàíãîâ ìàòðèöû. . . . . . . .
36
Àëãîðèòì íàõîæäåíèÿ áàçû ñèñòåìû âåêòîðîâ.
38
. . . . . . . . . . . . . . . .
Òåîðåìà î ðàçìåðíîñòè ïðîñòðàíñòâà ðåøåíèé îäíîðîäíîé ÑËÓ.
. . . . .
38
Òåîðåìà î ñóùåñòâîâàíèè äëÿ ïîäïðîñòðàíñòâà ÑËÓ, ìíîæåñòâîì ðåøå. . . . . . . . . . . . . . .
39
Òåîðåìà Êðîíåêåðà-Êàïåëëè (êðèòåðèé ñîâìåñòíîñòè ÑËÓ). . . . . . . . .
íèé êîòîðîé ÿâëÿåòñÿ ýòî ïîäïðîñòðàíñòâî.
41
Ëåêöèÿ 6
43
Êðèòåðèé îïðåäåë¼ííîñòè ÑËÓ â òåðìèíàõ ðàíãîâ.
. . . . . . . . . . . . .
43
Îïåðàöèè íàä ìàòðèöàìè. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43
Ïðèìåðû óìíîæåíèÿ ìàòðèö. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
Ñâîéñòâà óìíîæåíèÿ ìàòðèö.
47
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Îïåðàöèÿ òðàíñïîíèðîâàíèÿ. Ñâîéñòâà.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ëåêöèÿ 7
48
51
Åäèíè÷íàÿ è ýëåìåíòàðíûå ìàòðèöû.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
Ñëåä ìàòðèöû. Îáðàòíàÿ ìàòðèöà. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52
3
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА
ФОНД
ВОЛЬНОЕ ДЕЛО
ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU
Àëãîðèòì íàõîæäåíèÿ îáðàòíîé ìàòðèöû ñ ïîìîùüþ ýëåìåíòàðíûõ ïðåîáðàçîâàíèé. Ïåðåñòàíîâêè.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
56
Ëåêöèÿ 8
58
Îáðàòíàÿ ïîäñòàíîâêà. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
58
Ðàçëîæåíèå ïîäñòàíîâêè â ïðîèçâåäåíèå íåçàâèñèìûõ öèêëîâ. . . . . . . .
58
Òðàíñïîçèöèÿ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
59
Èíâåðñèÿ.
60
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Çíàê ïîäñòàíîâêè.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
61
Ïîíÿòèå îïðåäåëèòåëÿ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62
Ëåêöèÿ 9
63
Ïðèìåðû íàõîæäåíèÿ îïðåäåëèòåëÿ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
63
Îïðåäåëèòåëü âåðõíåòðåóãîëüíîé ìàòðèöû. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
64
Ñâîéñòâà îïðåäåëèòåëÿ.
65
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Òåîðåìà îá ýêâèâàëåíòíîñòè íåðàâåíñòâà íóëþ îïðåäåëèòåëÿ.
. . . . . . .
67
Òåîðåìà î ôóíêöèè, ñòàâÿùåé â ñîîòâåòñòâèå íàáîðó âåêòîðîâ ÷èñëî. . . .
68
Ëåêöèÿ 10
70
Îïðåäåëèòåëü ñ óãëîì íóëåé. Îïðåäåëèòåëü Âàíäåðìîíäà.
. . . . . . . . .
70
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
71
Ðàçëîæåíèå îïðåäåëèòåëÿ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
72
Îïðåäåëèòåëü ïðîèçâåäåíèÿ ìàòðèö. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
73
Ìèíîðû.
Ôàëüøèâîå ðàçëîæåíèå.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ïðèñîåäèíåííàÿ ìàòðèöà. Ôîðìóëà äëÿ îáðàòíîé ìàòðèöû.
. . . . . . . .
Ëåêöèÿ 11
74 74
77
Ôîðìóëû Êðàìåðà è òåîðåìà Êðàìåðà.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
77
Òåîðåìà î ðàíãå ìàòðèöû. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
78
Áèíàðíûå îïåðàöèè. Ïîíÿòèå ïîëóãðóïïû. Ïðèìåðû.
. . . . . . . . . . . .
79
. . . . . . . . . . . . . . .
81
Ìîíîèäû. Ãðóïïû. Àáåëåâû ãðóïïû. Ïðèìåðû.
Ëåêöèÿ 12
84
Êîëüöî. Îïðåäåëåíèå è ïðèìåðû. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
84
Îáðàòèìîñòü ýëåìåíòà. Äåëèòåëè íóëÿ.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
85
Íèëüïîòåíò. Îïðåäåëåíèå è ïðèìåðû.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
87
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
87
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
89
×àñòíûé ñëó÷àé áèíîìà Íüþòîíà â ïîëå ñ õàðàêòåðèñòèêîé p. . . . . . . .
90
Ïîëå. Îïðåäåëåíèå è ïðèìåðû. Õàðàêòåðèñòèêà ïîëÿ.
Ëåêöèÿ 13 Ââåäåíèå.
92 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ïîíÿòèå êîìïëåêñíîãî ÷èñëà. Îïåðàöèè.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Òðèãîíîìåòðè÷åñêàÿ ôîðìà çàïèñè êîìïëåêñíîãî ÷èñëà.
92 93
. . . . . . . . . .
94
Èçâëå÷åíèå êîðíåé. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
96
4
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА
ФОНД
ВОЛЬНОЕ ДЕЛО
ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU
Êîðíè èç 1.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ïåðâîîáðàçíûå êîðíè èç 1 è èõ ñâîéñòâà.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ëåêöèÿ 14
98
100
Ìíîãî÷ëåíû îò îäíîé ïåðåìåííîé.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ñâÿçü ôîðìàëüíîãî è ôóíêöèîíàëüíîãî ðàâåíñòâà. Çàäà÷à èíòåðïîëÿöèè.
100
. . . . . . . . . . . . .
102
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
103
Òåîðåìà î äåëåíèè ñ îñòàòêîì.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
104
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
105
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
106
Êîðíè ìíîãî÷ëåíà. Òåîðåìà Áåçó.
97
Ëåêöèÿ 15
108
Êðàòíîñòü êîðíÿ ìíîãî÷ëåíà. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
108
Ïðîèçâîäíàÿ ìíîãî÷ëåíà. Åå ñâîéñòâà â çàâèñèìîñòè îò õàðàêòåðèñòèêè ïîëÿ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ïåðåðàçëîæåíèå ìíîãî÷ëåíà â òî÷êå.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
109 111
Íàõîæäåíèå êðàòíîñòè êîðíÿ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
112
Òåîðåìà î ÷èñëå êîðíåé ìíîãî÷ëåíà. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
113
Òåîðèÿ äåëèìîñòè.
114
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ëåêöèÿ 16
115
Àññîöèèðîâàííîñòü ýëåìåíòîâ. Åâêëèäîâû êîëüöà.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
115
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
115
ÍÎÄ è åãî ñâîéñòâà.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ïðîñòûå è íåïðèâîäèìûå ýëåìåíòû.
116
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
118
Îáîáùåíèå îñíîâíîé òåîðåìû àðèôìåòèêè. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
119
Ïðåäèñëîâèå ê îñíîâíîé òåîðåìå àëãåáðû. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
120
Ëåêöèÿ 17
122
Ñóùåñòâîâàíèå êîðíÿ ìíîãî÷ëåíà íàä
C,
Ñõîäèìîñòü íà êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè.
îñíîâíàÿ òåîðåìà àëãåáðû.
. . .
122
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
123
Ëåììà î âîçðàñòàíèè ìîäóëÿ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
124
Ëåììà Äàëàìáåðà.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
125
Äîêàçàòåëüñòâî îñíîâíîé òåîðåìû àëãåáðû. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
126
Òåîðåìà Ðóôôèíè - Àáåëÿ.Îòäåëåíèå êðàòíûõ êîðíåé.
128
. . . . . . . . . . .
Ëåêöèÿ 18
130
Íåïðèâîäèìûå ìíîãî÷ëåíû. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
130
Íåïðèâîäèìûå ìíîãî÷ëåíû íàä
131
Íåïðèâîäèìûå ìíîãî÷ëåíû íàä
C è R. Q. . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
132
Òåîðåìà Äåêàðòà. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
134
Ëåêöèÿ 19 Ïðåäâàðèòåëüíûå çàìå÷àíèÿ.
140 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
140
Ïîëå äðîáåé. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
140
Ïîëå ðàöèîíàëüíûõ äðîáåé. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
142
5
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА
ФОНД
ВОЛЬНОЕ ДЕЛО
ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU
Ìíîãî÷ëåíû îò íåñêîëüêèõ ïåðåìåííûõ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ëåêöèÿ 20
146
149
Ñèììåòðè÷åñêèå ìíîãî÷ëåíû. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
149
Ëåììû î ñòàðøåì ÷ëåíå ñèììåòðè÷åñêîãî ìíîãî÷ëåíà.
. . . . . . . . . . .
151
Îñíîâíàÿ òåîðåìà î ñèììåòðè÷åñêèõ ìíîãî÷ëåíàõ. Äîêàçàòåëüñòâî. . . . .
152
Òåîðåìà Âèåòà.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
153
Äèñêðèìèíàíò ìíîãî÷ëåíà îò îäíîé ïåðåìåííîé. . . . . . . . . . . . . . . .
155
Ëåêöèÿ 21
156
Ñâîéñòâà äèñêðèìèíàíòà.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ðåçóëüòàíò. Åãî ñâÿçü ñ äèñêðèìèíàíòîì.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Âûðàæåíèå ðåçóëüòàíòà ÷åðåç îïðåäåëèòåëü.
156 157
. . . . . . . . . . . . . . . . .
158
Ïîíÿòèå ãðóïïû è ïîäãðóïïû. Ãîìîìîðôèçì. . . . . . . . . . . . . . . . . .
159
Ëåêöèÿ 22
162
Èçîìîðôèçì ãðóïï. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
162
ßäðî è îáðàç.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
163
Ïðèìåðû ãðóïï. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
163
Öèêëè÷åñêàÿ ïîäãðóïïà. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
165
Ïîäãðóïïû â öèêëè÷åñêèõ ãðóïïàõ.
167
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ëåêöèÿ 23
169
Ñìåæíûå êëàññû. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
169
Òåîðåìà Ëàãðàíæà. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
169
6
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА
ФОНД
ВОЛЬНОЕ ДЕЛО
ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU
Ëåêöèÿ 1 1. Ñèñòåìû ëèíåéíûõ óðàâíåíèé Íà÷íåì ñ ðàññìîòðåíèÿ ÷àñòíûõ ñëó÷àåâ.
×àñòíûå ñëó÷àè ÑËÓ 1) Ñàìàÿ ïðîñòàÿ ñèñòåìà ëèíåéíûõ óðàâíåíèé - îäíî óðàâíåíèå è îäíî íåèçâåñòíîå. Çàïèøåì óðàâíåíèå â îáùåì âèäå:
ax = b; a, b ∈ R. Âîçìîæíû 2 ñëó÷àÿ:
1.1. Îáùèé: Òîãäà
b x= a
a 6= 0. - ðåøåíèå.
1.2. Âûðîæäåííûé:
a = 0. Çäåñü âèä ðåøåíèÿ òàêæå çàâèñèò îò âèäà êîýôôè-
b. b = 0, òîãäà x - ëþáîå (îáîçí. x ∈ R). b 6= 0, òîãäà ðåøåíèé íåò.
öèåíòà
a) b)
2) Ðàññìîòðèì òåïåðü ñèñòåìó, ñîñòîÿùóþ èç îäíîãî óðàâíåíèÿ ñ äâóìÿ íåèçâåñòíûìè.
a1 x1 + a2 x2 = b a1 6= 0. 1 x1 = (b − a2 x2 ), x2 ∈ R. a1
2.1. Ïóñòü Òîãäà
Êàçàëîñü áû, âîçíèêàåò êàêàÿ-òî íåñèììåòðèÿ. Âåäü îáùèé ñëó÷àé - ýòî êîãäà âñå êîýôôèèåíòû íå íóëåâûå. Íî à
x2
x1
íåêîòîðûì îáðàçîì âûðàæàåòñÿ ÷åðåç
x2 ,
- ëþáîå, õîòÿ ýòè íåèçâåñòíûå ðàâíîïðàâíû.
Ìû âûáðàëè ãëàâíûå íåèçâåñòíûå - â íàøåì ñëó÷àå òîëüêî
x1 ,
òî åñòü òàêèå,
êîòîðûå âûðàæàþòñÿ ÷åðåç îñòàëüíûå íåèçâåñòíûå. Òàêèå íåèçâåñòíûå êàê
x2
áóäåì íàçûâàòü ñâîáîäíûìè. Ìîæíî áûëî ñäåëàòü íàîáîðîò è òîæå ïîëó÷èòü ïðàâèëüíîå ðåøåíèå, íî çàïèñàííîå â äðóãîé ôîðìå.
Íå áóäåì ñåé÷àñ ïðîâîäèòü ïîëíûé ðàçáîð ñëó÷àåâ, ýòî áóäåò ñäåëàíî íà ñåìèíàðàõ. Ðàññìîòðèì åùå òîëüêî îäèí ñëó÷àé.
2.2.
a1 = a2 = b = 0,
x1 ∈ R, x1 ∈ R. 2.1, è â ñëó÷àå 2.2 x1
òîãäà
Âðîäå áû, è â ñëó÷àå
7
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА
ФОНД
ВОЛЬНОЕ ДЕЛО
- ëþáîå è
x2
- ëþáîå. Îäíàêî ýòè
ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU
"ëþáûå" - ðàçíûå. Ïî÷åìó?
2.2 x1 , x2
 ñëó÷àå
íåçàâèñèìû äðóã îò äðóãà è ïðîáåãàþò âñå âåùåñòâåííûå
çíà÷åíèÿ.
2.1 x2
 ñëó÷àå
ïðîáåãàåò âñå âåùåñòâåííûå çíà÷åíèÿ, íî, ïðè çàäàííîì
x2 , x1
íàõîäèòñÿ îäíîçíà÷íî.  òàêîì ñëó÷àå ãîâîðÿò, ÷òî â
2.1
îäíà ñâîáîäíàÿ íåèçâåñòíàÿ, à â
2.2
äâå
ñâîáîäíûõ íåèçâåñòíûõ. 3) Â ïðåäûäóùåì ïóíêòå ìû ðàññìîòðåëè ñèñòåìó ëèíåéíûõ óðàâíåíèé ñ îäíèì óðàâíåíèåì è äâóìÿ íåèçâåñòíûìè, ïóñòü òåïåðü íàîáîðîò - äâà óðàâíåíèÿ è îäíà íåèçâåñòíàÿ.
( a1 x = b 1 a2 x = b 2 Íà÷íåì ñ îáùåãî ñëó÷àÿ.
3.1.
a1 6= 0, a2 6= 0,
ïîëó÷àåì, ÷òî
x=
b2 b1 = . a1 a2
Òàêèì îáðàçîì, â îáùåì ñëó÷àå íåò ðåøåíèé, åñëè êîýôôèöèåíòû âûáðàíû íàóãàä, è
b1 b2 6= . a1 a2
Åñëè æå óðàâíåíèÿ ñèñòåìû ïðîïîðöèîíàëüíû, òî ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå
x=
b1 b2 = . a1 a2
Áîëåå äåòàëüíûé àíàëèç ýòîé ñèñòåìû â âûðîæäåííûõ
ñëó÷àÿõ áóäåò ñâîäèòüñÿ ê ïóíêòàì
1)
è
2).
4) Ðàññìîòðèì ïîñëåäíèé ÷àñòíûé ñëó÷àé - ñèñòåìó ñ äâóìÿ óðàâíåíèÿìè è äâóìÿ íåèçâåñòíûìè.
( a11 x1 + a12 x2 = b1 a21 x1 + a22 x2 = b2 . Çäåñü ïåðâûé èíäåêñ ó
aij
- ýòî íîìåð ñòðîêè, âòîðîé èíäåêñ - ýòî íîìåð
ñòîëáöà.
4.1.  îáùåì ñëó÷àå (òî åñòü êîãäà â õîäå ïðåîáðàçîâàíèé çíàìåíàòåëü íå îáðàùàåòñÿ â íîëü) ïîñëå ïðåîáðàçîâàíèé ïîëó÷èì:
x1 =
b1 a22 − b2 a12 ; a11 a22 − a12 a21
x2 =
b2 a11 − b1 a21 . a11 a22 − a12 a21
Âèäíî, ÷òî ÷èñëèòåëè çäåñü î÷åíü ïîõîæè, à çíàìåíàòåëè è âîâñå îäèíàêîâûå. Õîòèì ýòè âûðàæåíèÿ îáîçíà÷èòü îäíèì ñèìâîëîì.
8
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА
ФОНД
ВОЛЬНОЕ ДЕЛО
ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU
Ââåäåì ñëåäóþùóþ ôóíêöèþ, íàçûâàåìóþ "îïðåäåëèòåëü". Ýòî ôóíêöèÿ îò ÷åòûðåõ ïåðåìåííûõ, çàïèñàííûõ â âèäå ìàòðèöû
a11 a12 a21 a22
Îïðåäåëèòåëü ìàòðèöû ðàâåí:
a11 a12 a a 11 12 a21 a22 = det a21 a22 = a11 a22 − a12 a21 Òàêèì îáðàçîì, ìû ñ êàæäîé êâàäðàòíîé ìàòðèöåé
- ýòî ÷èñëî.
2 × 2 ñâÿçàëè ÷èñëî, ïîëó-
÷åííîå ïî ñëåäóþùåìó ïðàâèëó: èç ïðîèçâåäåíèÿ ÷èñåë íà ãëàâíîé äèàãîíàëè âû÷ëè ïðîèçâåäåíèå ÷èñåë íà ïîáî÷íîé äèàãîíàëè.
Òåïåðü ìîæíî êðàòêî çàïèñàòü ôîðìóëû äëÿ ðåøåíèÿ ñèñòåìû
2×2
ñëåäóþ-
ùèì îáðàçîì:
b1 b2 x1 = a11 a21 a11 a21 x1 = a11 a21
a12 a22 ; a12 a22 b1 b2 . a12 a22
(1.1)
(1.2)
Çäåñü â çíàìåíàòåëå ñòîèò îïðåäåëèòåëü ìàòðèöû êîýôôèöèåíòîâ. Åñëè ìû èùåì ïåðâóþ íåèçâåñòíóþ, òî â ÷èñëèòåëå ñòîèò òîæå ìàòðèöà êîýôôèöèåíòîâ, â êîòîðîé ïåðâûé ñòîëáåö çàìåíèëè íà ñòîëáåö ñâîáîäíûõ ÷ëåíîâ. Åñëè æå ìû âûðàæàåì âòîðóþ íåèçâåñòíóþ, òî â ÷èñëèòåëå ñòîèò ìàòðèöà êîýôôèöèåíòîâ, â êîòîðîé, ñîîòâåòñòâåííî, âòîðîé ñòîëáåö çàìåíèëè íà ñòîëáåö ñâîáîäíûõ ÷ëåíîâ.
Ýòè ôîðìóëû â áîëåå îáùåì âèäå (äëÿ ñèñòåì
n × n ) áóäóò äîêàçàíû ïîçäíåå.
Èõ ïîëó÷èë øâåéöàðñêèé ìàòåìàòèê Ãàáðèýëü Êðàìåð (1704 - 1752).
Ïðîâåäåì áîëåå ïîëíûé àíàëèç íàøåé ñèñòåìû:
Åñëè çíàìåíàòåëü â ôîðìóëàõ íîå ðåøåíèå -
4.2
(1.1), (1.2) íå ðàâåí 0, òî ñóùåñòâóåò åäèíñòâåí-
(1.1), (1.2).
a11 = a12 = a21 = a22 = b1 = b2
- äâå ñâîáîäíûå íåèçâåñòíûå è áåñêîíå÷íî
ìíîãî ðåøåíèé.
4.3 Óðàâíåíèÿ ïðîïîðöèîíàëüíû, òîãäà èìååì îäíó ñâîáîäíóþ íåèçâåñòíóþ è 9
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА
ФОНД
ВОЛЬНОЕ ДЕЛО
ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU
áåñêîíå÷íî ìíîãî ðåøåíèé.
Òàêèì îáðàçîì, èç ðàâåíñòâà çíàìåíàòåëÿ íóëþ åùå íå ñëåäóåò îòñóòñòâèå ðåøåíèé.
Ñèñòåìû ëèíåéíûõ óðàâíåíèé. Îïðåäåëåíèÿ. Îïðåäåëåíèå 1.1.
m × n - ýòî ïðÿìîóãîëüíàÿ m ñòðîê è n ñòîëáöîâ.
Ìàòðèöà ïîðÿäêà
íåííàÿ ÷èñëàìè, ñîñòîÿùàÿ èç
òàáëèöà, çàïîë-
Çàïèøåì òàêóþ ìàòðèöó â îáùåì âèäå.
a12 a22
..
.
...
...
. . . a1n . . . a2n = (aij ) ...
a11 a21 A=
am1 am2 . . . amn Îïðåäåëåíèå 1.2.
Îáùèé âèä ñèñòåìû ëèíåéíûõ óðàâíåíèé (ÑËÓ) ñëåäóþùèé:
a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1n xn = b1 a x + a x + . . . + a x = b 21 1 22 2 2n n 2 ... am1 x1 + am2 x2 + . . . + amn xn = bm çäåñü
ai,j
- êîýôôèöèåíòû,
bj
- ñâîáîäíûå ÷ëåíû,
xj
,
- íåèçâåñòíûå.
Ñ ýòîé ñèñòåìîé ñâÿçàíû äâå ìàòðèöû.
Ìàòðèöà êîýôôèöèåíòîâ:
a12 a22 ...
...
. . . a1n . . . a2n ...
a11 a21
. ..
Îïðåäåëåíèå 1.3.
am1 am2 . . . amn
am1 am2 . . . amn Îïðåäåëåíèå 1.5.
Ðåøåíèå ÑËÓ - íàáîð ÷èñåë
b1 b2
...
. . . a1n . . . a2n ...
...
a12 a22
..
a11 a21
.
Ðàñøèðåííàÿ ìàòðèöà ñèñòåìû:
...
Îïðåäåëåíèå 1.4.
bm (x01 , . . . , x0n ),
êîòîðûé ïîñëå ïîä-
ñòàíîâêè â ñèñòåìó îáðàùàåò âñå óðàâíåíèÿ â âåðíûå ðàâåíñòâà. Ðåøèòü ñèñòåìó - ýòî íàéòè âñå åå ðåøåíèÿ èëè ïîêàçàòü, ÷òî èõ íåò. 10
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА
ФОНД
ВОЛЬНОЕ ДЕЛО
ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU
Îïðåäåëåíèå 1.6.
1) ÑËÓ ñîâìåñòíà, åñëè îíà èìååò õîòÿ áû îäíî ðåøåíèå,
èíà÷å - íåñîâìåñòíà.
2) ÑËÓ îïðåäåëåíà, åñëè îíà èìååò ðîâíî îäíî ðåøåíèå. Åñëè ðåøåíèé áîëüøå, òî ñèñòåìà íå îïðåäåëåíà. 3) ÑËÓ îäíîðîäíà, åñëè
bk = 0
äëÿ âñåõ
k = 1, . . . , m.
Çàìåòèì, ÷òî îäíîðîäíàÿ ñèñòåìà ñîâìåñòíà, òàê êàê
(0, 0, . . . , 0)
- ðåøå-
íèå. 4) Äâå ñèñòåìû ýêâèâàëåíòíû, åñëè ìíîæåñòâà èõ ðåøåíèé ñîâïàäàþò. Öåëü: çàìåíèòü äàííóþ ñèñòåìó íà ýêâèâàëåíòíóþ, êîòîðóþ ëåãêî ðåøèòü. Âîçüìåì ïðîèçâîëüíóþ ñèñòåìó è áóäåì ïðîâîäèòü ïðåîáðàçîâàíèÿ, ïðèâîäÿùèå ê ýêâèâàëåíòíûì ñèñòåìàì, òî åñòü ñèñòåìàì ñ òàêèì æå ìíîæåñòâîì ðåøåíèé.  èòîãå ïðèäåì ê íàìíîãî áîëåå ïðîñòîé ñèñòåìå è ðåøèì åå, ðåøèâ òåì ñàìûì è èñõîäíóþ ñèñòåìó. Îïðåäåëèì ñíà÷àëà òðè òèïà ýëåìåíòàðíûõ ïðåîáðàçîâàíèé íàä ñòðîêàìè ìàòðèö.
Îïðåäåëåíèå 1.7.
Òðè òèïà ýëåìåíòàðíûõ ïðåîáðàçîâàíèé íàä ñòðîêàìè ìàò-
ðèöû: 1) Ïðèáàâëåíèå ê îäíîé ñòðîêå äðóãîé, óìíîæåííîé íà ÷èñëî;
2) Ïåðåñòàíîâêà äâóõ ñòðîê;
3) Óìíîæåíèå îäíîé ñòðîêè íà íåíóëåâîå ÷èñëî. Êàê ìû ñåé÷àñ óâèäèì, âñå ýòè ïðåîáðàçîâàíèÿ îáðàòèìû.
Îïðåäåëåíèå 1.8.
Ëèäåð (âåäóùèé ýëåìåíò) íåíóëåâîé ñòðîêè - ýòî åå ïåðâûé
íåíóëåâîé ýëåìåíò.
Îïðåäåëåíèå 1.9.
Ìàòðèöà íàçûâàåòñÿ ñòóïåí÷àòîé, åñëè
1) Íîìåðà ëèäåðîâ åå íåíóëåâûõ ñòðîê îáðàçóþò ñòðîãî âîçðàñòàþùóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü; 2) Âñå íóëåâûå ñòðîêè ñòîÿò ïîñëå âñåõ íåíóëåâûõ. Ïðèìåð:
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
∗ 0 0 0 0 0
∗ ∗ 0 0 0 0
∗ ∗ 0 0 0 0
∗ ∗ ∗ 0 0 0
∗ ∗ ∗ 0 0 0
11
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА
ФОНД
ВОЛЬНОЕ ДЕЛО
∗ ∗ ∗ 0 0 0
∗ ∗ ∗ 0 0 0
ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU
Îïðåäåëåíèå 1.10.
0
ïðè
Ìàòðèöà
A = (aij ) íàçûâàåòñÿ âåðõíåòðåóãîëüíîé, åñëè aij =
i > j.
Óïðàæíåíèå 1.1.
Äîêàçàòü, ÷òî ëþáàÿ ñòóïåí÷àòàÿ ìàòðèöà ÿâëÿåòñÿ âåðõ-
íåòðåóãîëüíîé, íî îáðàòíîå íå âåðíî! Äîêàæåì òåîðåìó, ñîñòàâëÿþùóþ ñóòü ìåòîäà Ãàóññà.
Ìåòîä Ãàóññà èñêëþ÷åíèÿ ïåðåìåííûõ.Òåîðåìà 1. Òåîðåìà 1.1.
Ëþáóþ ìàòðèöó ïóòåì ýëåìåíòàðíûõ ïðåîáðàçîâàíèé ìîæíî ïðè-
âåñòè ê ñòóïåí÷àòîìó âèäó. Äîêàçàòåëüñòâî. Åñëè ìàòðèöà
A
íóëåâàÿ (ïîëíîñòüþ ñîñòîèò èç íóëåé), òî îíà
ñòóïåí÷àòàÿ.
Èíà÷å, ïóñòü
j
- ýòî íîìåð ïåðâîãî íåíóëåâîãî ñòîëáöà.
Ïåðåñòàâèì â ìàòðèöå ñòðîêè, òàêèì îáðàçîì äîáüåìñÿ, ÷òîáû
a1j 6= 0.
Âû÷èòàÿ ïåðâóþ ñòðîêó èç ïîñëåäóþùèõ ñ ïîäõîäÿùèìè êîýôôèöèåíòàìè, îáíóëèì âñå ïðî÷èå ýëåìåíòû â
0 0 0 0 0 0
0 a1j 0 ∗ 0 ∗ 0 ∗ 0 ∗ 0 ∗
∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
j -òîì ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
0 0 0 = 0 0 0
ñòîëáöå.
∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
0 0 → 0 0 0 0
0 a1j 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
0 a1j ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ 0 0 0 0 0 0 A1 0 0 0 0
Äàëåå ïîâòîðÿåì ïðîöåäóðó ñ ìàòðèöåé
A1 .
Ðàññóæäàÿ ïî èíäóêöèè ïî ÷èñëó ñòðîê, ïðèâåäåì
Çàìå÷àíèå 1.1.
∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
A
ê ñòóïåí÷àòîìó âèäó.
 ïðîöåññå ýòèõ ðàññóæäåíèé ìû èñïîëüçîâàëè òîëüêî òèï 1 è
òèï 2 ýëåìåíòàðíûõ ïðåîáðàçîâàíèé. Òèï 3 ïîêà íå ïîíàäîáèëñÿ.
Ïðèâåäåíèå ñòóïåí÷àòîé ìàòðèöû ê óëó÷øåííîìó âèäó Îïðåäåëåíèå 1.11.
Óëó÷øåííûé ñòóïåí÷àòûé âèä ìàòðèöû - ýòî åå ñòóïåí÷à-
òûé âèä ïëþñ: 1) Ëèäåðû âñåõ íåíóëåâûõ ñòðîê ðàâíû 1; 12
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА
ФОНД
ВОЛЬНОЕ ДЕЛО
ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU
2) Êàæäûé ëèäåð - åäèíñòâåííûé íåíóëåâîé ýëåìåíò ñâîåãî ñòîëáöà. Ëþáóþ ñòóïåí÷àòóþ ìàòðèöó ìîæíî ïðèâåñòè ê óëó÷øåííîìó ñòóïåí÷àòîìó âèäó.
Ïðîèëëþñòðèðóåì ýòî:
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
∗ 0 0 0 0 0
∗ ∗ 0 0 0 0
∗ ∗ 0 0 0 0
∗ ∗ 0 0 0 0
∗ ∗ ∗ 0 0 0
∗ ∗ ∗ ∗ 0 0
∗ ∗ ∗ ∗ 0 0
Óìíîæàÿ êàæäóþ íåíóëåâóþ ñòðîêó íà ÷èñëî, îáðàòíîå ëèäåðó, ïðåâðàùàåì ëèäåðîâ êàæäîé íåíóëåâîé ñòðîêè â 1.
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0
∗ 1 0 0 0 0
∗ ∗ 0 0 0 0
∗ ∗ 0 0 0 0
∗ ∗ 1 0 0 0
∗ ∗ ∗ 1 0 0
∗ ∗ ∗ ∗ 0 0
Òåïåðü ñäåëàåì ëèäåðà êàæäîé íåíóëåâîé ñòðîêè åäèíñòâåííûì íåíóëåâûì ýëåìåíòîì â ñâîåì ñòîëáöå.
Íà÷èíàåì ñ êîíöà.  íàøåì ïðèìåðå âîçüìåì 4 ñòðîêó è âû÷òåì åå èç âñåõ ñòðîê ñâåðõó ñ ïîäõîäÿùèìè êîýôôèöèåíòàìè, ïðåâðàòèì òàêèì îáðàçîì âñå ýëåìåíòû íàä ýòèì ëèäåðîì â íóëè.
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0
∗ 1 0 0 0 0
∗ ∗ 0 0 0 0
∗ ∗ 0 0 0 0
∗ ∗ 1 0 0 0
0 0 0 1 0 0
∗ ∗ ∗ ∗ 0 0
Ïîâòîðÿÿ ïîñëåäîâàòåëüíî òàêóþ ïðîöåäóðó ñ òðåòüåé è âòîðîé ñòðîêàìè, ïîëó÷èì óëó÷øåííóþ ñòóïåí÷àòóþ ìàòðèöó.
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
∗ ∗ 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
13
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА
ФОНД
ВОЛЬНОЕ ДЕЛО
0 0 0 1 0 0
∗ ∗ ∗ ∗ 0 0
ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU
Ìåòîä Ãàóññà èñêëþ÷åíèÿ ïåðåìåííûõ.Òåîðåìà 2. Îïðåäåëåíèå 1.12.
Òðè òèïà ýëåìåíòàðíûõ ïðåîáðàçîâàíèé íàä ÑËÓ:
1) Ïðèáàâëåíèå ê îäíîìó óðàâíåíèþ äðóãîãî, óìíîæåííîãî íà ëþáîå ÷èñëî; 2) Ïåðåñòàíîâêà äâóõ óðàâíåíèé; 3) Óìíîæåíèå îäíîãî óðàâíåíèÿ íà íåíóëåâîå ÷èñëî.
Òåîðåìà 1.2.
Åñëè îäíà ÑËÓ ïîëó÷åíà èç äðóãîé êîíå÷íîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ
ýëåìåíòàðíûõ ïðåîáðàçîâàíèé, òî ýòè ñèñòåìû ýêâèâàëåíòíû. Äîêàçàòåëüñòâî. Äîñòàòî÷íî äîêàçàòü, ÷òî åñëè
(x01 , . . . , x0n )
ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì
ÑËÓ, òî îíî îñòàåòñÿ ðåøåíèåì è ïîñëå ïðèìåíåíèÿ ýëåìåíòàðíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ. Äëÿ òèïà 1: Ïóñòü
(x01 , . . . , x0n )
ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì
i-òîãî
è
j -òîãî
óðàâíåíèé
ai1 x01 + . . . + ain x0n = bi ; aj1 x01 + . . . + ajn x0n = bj . Ïðèáàâèì ê
j -òîìó
óðàâíåíèþ
i-òîå,
óìíîæåííîå íà
λ
è ïîäñòàâèì
(x01 , . . . , x0n ).
Ïîëó÷èì
(aj1 + λai1 )x01 + . . . + (ajn + λain )x0n = bj + λbi òàêæå âåðíîå ðàâåíñòâî.
Äëÿ òèïîâ 2 è 3 - î÷åâèäíî.
Òåïåðü ïîéìåì, ïî÷åìó ðåøåíèå íîâîé ñèñòåìû âñå åùå ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì èñõîäíîé ñèñòåìû.
Çàìåòèì, ÷òî ýëåìåíòàðíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ îáðàòèìû. ÿâíî íàïèøåì îáðàòíîå ïðåîáðàçîâàíèå ê êàæäîìó òèïó.
Îáîçíà÷èì
(i) - i-òîå
óðàâíåíèå,
(j) - j -òîå
óðàâíåíèå.
1 òèï. Ïðÿìîå ïðåîáðàçîâàíèå:
(i) → (i) + λ(j). Îáðàòíîå ïðåîáðàçîâàíèå:
(i) → (i) − λ(j). Ò. å. ïðèáàâëÿåì ñòðîêó, óìíîæåííóþ íà
−λ.
2 òèï. Ïðÿìîå ïðåîáðàçîâàíèå:
(i) ↔ (j). 14
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА
ФОНД
ВОЛЬНОЕ ДЕЛО
ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU
Îáðàòíîå ïðåîáðàçîâàíèå:
(j) ↔ (i). Ò.å. ïðèìåíÿåì ýòî ïðåîáðàçîâàíèå åùå ðàç. 3 òèï.
Ïðÿìîå ïðåîáðàçîâàíèå:
(i) → λ(i). Îáðàòíîå ïðåîáðàçîâàíèå:
(i) → λ−1 (i). Ò.å. óìíîæàåì íà íåíóëåâîå ÷èñëî.
Çíà÷èò, åñëè ìû äîêàçàëè, ÷òî ðåøåíèå îñòàåòñÿ ðåøåíèåì ïîñëå ýëåìåíòàðíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ, òî äëÿ äîêàçàòåëüñòâà â îáðàòíóþ ñòîðîíó äîñòàòî÷íî ïðèìåíèòü îáðàòíîå ïðåîáðàçîâàíèå.
15
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА
ФОНД
ВОЛЬНОЕ ДЕЛО
ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU
Ëåêöèÿ 2 Ìåòîä Ãàóññà èñêëþ÷åíèÿ ïåðåìåííûõ. Øàã 1.
Ïðèâåñòè ðàñøèðåííóþ ìàòðèöó ñèñòåìû ê óëó÷øåííîìó ñòóïåí÷àòîìó âèäó.
. . . a1n
∗ 0 0 0
1 b1 0 → 0 bm 0
...
...
a11 ...
am1 . . . amn
0 1 0 0
∗ ∗ 0 0
∗ ∗ 0 0
0 0 1 0
∗ ∗ ∗ 0
Øàã 2.
Åñëè îäèí èç ëèäåðîâ ñòðîê ïîïàë â ñòîëáåö ñâîáîäíûõ ÷ëåíîâ, òî ñèñòåìà íåñîâìåñòíà. Íàïðèìåð,
1 0 0 0
∗ 0 0 0
0 1 0 0
∗ ∗ 0 0
∗ ∗ 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
Ýòî íàçûâàåòñÿ ýêçîòè÷åñêèì óðàâíåíèåì. Ýêçîòè÷åñêîå óðàâíåíèå - ýòî óðàâíåíèå âèäà
0x1 + 0x2 + . . . + 0xn = b 6= 0. Ïîíÿòíî, ÷òî ó òàêîãî óðàâíåíèÿ ðåøåíèé íåò. À çíà÷èò íåò ðåøåíèé è ó âñåé ñèñòåìû.
Øàã 3.
Èíà÷å îáúÿâëÿåì ïåðåìåííûå, îòâå÷àþùèå ëèäåðàì ñòðîê, ãëàâíûìè, à ïðî÷èå ïåðåìåííûå - ñâîáîäíûìè è âûðàæàåì ãëàâíûå ÷åðåç ñâîáîäíûå "ñíèçó ââåðõ".  íàøåé ñèñòåìå
1 0 0 0 ïåðåìåííûå
x1 , x3 , x6
- ãëàâíûå,
∗ 0 0 0
∗ ∗ 0 0
0 1 0 0
x2 , x4 , x5
∗ ∗ 0 0
0 0 1 0
∗ ∗ ∗ 0
- ñâîáîäíûå.
Ðåøàåì óðàâíåíèå:
x6 = ∗; x3 = − ∗ x4 − ∗x5 + ∗; x1 = − ∗ x2 − ∗x4 − ∗x5 + ∗. x2 , x4 , x5 ∈ R
16
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА
ФОНД
ВОЛЬНОЕ ДЕЛО
ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU
Ýòî îòâåò.
Ïðèäàâàÿ ñâîáîäíûì ïåðåìåííûì íåçàâèñèìî äðóã îò äðóãà ïðîèçâîëüíûå çíà÷åíèÿ, íàõîäèì âñå ðåøåíèÿ ñèñòåìû.
Êàê óæå ãîâîðèëîñü ðàíåå, ñâîáîäíûå ïåðåìåííûå ìîæíî âûáèðàòü ðàçíûìè ñïîñîáàìè. Íàïðèìåð, åñëè ñèñòåìà ñîñòîèò èç îäíîãî óðàâíåíèÿ
x1 +x2 = 1, òî ìîæíî çàïèñàòü
îòâåò äâóìÿ ñïîñîáàìè: 1. 2.
x1 = 1 − x2 , x2 ∈ R. x2 = 1 − x1 , x1 ∈ R. Îáà ýòè îòâåòà áóäóò ïðàâèëüíûìè.
Çàìå÷àíèå 2.2.
Íà øàãå 2 îòñóòñâèå ðåøåíèé äîñòàòî÷íî î÷åâèäíî, íî âî âñåõ
ñëó÷àÿõ, êðîìå âòîðîãî, ðåøåíèå åñòü. Ïîëó÷àåòñÿ, ýêçîòè÷åñêîå óðàâíåíèå ÿâëÿåòñÿ åäèíñòâåííîé ïðè÷èíîé îòñóòñòâèÿ ðåøåíèé.
Ñëåäñòâèÿ èç ìåòîäà Ãàóññà. Îïðåäåëåíèå 2.13.
Ñòóïåí÷àòàÿ ìàòðèöà íàçûâàåòñÿ ñòðîãî ñòóïåíàòîé, åñ-
ëè ÷èñëî íåíóëåâûõ ñòðîê ýòîé ìàòðèöû ðàâíî ÷èñëó ñòîëáöîâ. Îáùèé âèä òàêîé ìàòðèöû:
∗ 0 0 0 0 0 0
∗ ∗ 0 0 0 0 0
∗ ∗ ∗ 0 0 0 0
∗ ∗ ∗ ∗ 0 0 0
∗ ∗ ∗ ∗ ∗ 0 0
Ó ýòîé ìàòðèöû âñå ñòóïåíüêè ñîîòâåòñòâóþò ïðîëåòàì äëèíû 1, è ñòðîê â íåé íå ìåíüøå, ÷åì ñòîëáöîâ.
Ñëåäñòâèå 2.1.
ÑËÓ ñîâìåñòíà
⇔
ïîñëå ïðèâåäåíèÿ ðàñøèðåííîé ìàòðèöû ê
⇔ íåò ýêçîòè÷åñêèõ
ñòóïåí÷àòîìó âèäó â ïîñëåäíåì ñòîëáöå íåò ëèäåðîâ ñòðîê ( óðàâíåíèé).
Ñëåäñòâèå 2.2.
ÑËÓ îïðåäåëåíà
⇔
îíà ñîâìåñòíà è ïîñëå ïðèâåäåíèÿ ê ñòóïåí-
÷àòîìó âèäó ìàòðèöà êîýôèöèåíòîâ ñòðîãî ñòóïåí÷àòà.
17
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА
ФОНД
ВОЛЬНОЕ ДЕЛО
ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU
Îáùèé âèä ñòðîãî ñòóïåí÷àòîé ìàòðèöû:
∗ 0 0 0 0 0 0
∗ ∗ 0 0 0 0 0
∗ ∗ ∗ 0 0 0 0
∗ ∗ ∗ ∗ 0 0 0
∗ ∗ ∗ ∗ ∗ 0 0
∗ ∗ ∗ ∗ ∗ 0 0
Ñèñòåìà áóäåò èìåòü ðîâíî îäíî ðåøåíèå òîëüêî åñëè äëèíû âñåõ ñòóïåíåé áóäóò ðàâíû 1.  ïðîòèâíîì ñëó÷àå çà ñ÷åò áåñêîíå÷íî ìíîãî.
Ñëåäñòâèå 2.3.
(∗)
ïîëó÷èì ñâîáîäíóþ ïåðåìåííóþ, è ðåøåíèé áóäåò
∗ 0 0 0 0 0 0
∗ ∗ 0 0 0 0 0
∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ (∗) ∗ 0 0 ∗ 0 0 0 0 0 0 0 0 0
∗ ∗ ∗ ∗ 0 0 0
Ëþáàÿ ÑËÓ ëèáî íåñîâìåñòíà, ëèáî îïðåäåëåíà, ëèáî èìååò áåñ-
êîíå÷íî ìíîãî ðåøåíèé. Ò.å. ñèñòåìà ëèáî íå èìååò ðåøåíèé, ëèáî èìååò îäíî ðåøåíèå, ëèáî áåñêîíå÷íî ìíîãî ðåøåíèé. Ñèñòåìà íå ìîæåò èìåòü êîíå÷íîå ÷èñëî ðåøåíèé áîëüøå 1.
Ñëåäñòâèå 2.4.
Åñëè ÷èñëî óðàâíåíèé ìåíüøå, ÷åì ÷èñëî íåèçâåñòíûõ, òî ÑËÓ
ëèáî íåñîâìåñòíà, ëèáî èìååò áåñêîíå÷íî ìíîãî ðåøåíèé.  ÷àñòíîñòè, åñëè ó îäíîðîäíîé ñèñòåìû ÷èñëî óðàâíåíèé ìåíüøå ÷èñëà íåèçâåñòíûõ, òî ðåøåíèé áåñêîíå÷íî ìíîãî. Ò.å. â ýòîì ñëó÷àå ñèñòåìà íå ìîæåò áûòü îïðåäåëåíà.
Ïðåèìóùåñòâà ìåòîäà Ãàóññà: Îí ðåøàåò ëþáóþ ñèñòåìó. Äîñòàòî÷íî ëåãêî îïèñûâàåìûé àëãîðèòì. Íå î÷åíü òðóäîåìêèé ñ âû÷èñëèòåëüíîé òî÷êè çðåíèÿ. Îí ýôôåêòèâåí, è åãî ìîæíî ïðèìåíÿòü â ðåàëüíûõ âû÷èñëåíèÿõ.
Ïðèíöèïèàëüíûé íåäîñòàòîê:
Îí íå äàåò ÿâíîãî âèäà ðåøåíèé è õîðîø òîëüêî äëÿ ðåøåíèÿ êîíêðåòíîé ÑËÓ. Âî âðåìÿ äîêàçàòåëüñòâà òåîðåì áûâàåò íóæíî èññëåäîâàòü ñèñòåìû â îáùåì âèäå. Ìåòîä Ãàóññà ýòîãî íå äàåò.
18
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА
ФОНД
ВОЛЬНОЕ ДЕЛО
ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU
2. Àðèôìåòè÷åñêèå âåêòîðíûå ïðîñòðàíñòâà
Àðèôìåòè÷åñêèå âåêòîðíûå ïðîñòðàíñòâà. Îïðåäåëåíèå 2.14. Rn = {(x1 , . . . , xn )|xi ∈ R} Ïî÷åìó ýòî ëîãè÷íî íàçûâàòü
Ðàññìîòðèì
R1 .
n-ìåðíûì
âåêòîðíûì ïðîñòðàíñòâîì?
Åãî ýëåìåíòû - ýòî íàáîðû èç îäíîãî ÷èñëà.  ãåîìåòðè÷åñêîé
èíòåðïðåòàöèè ýòî òî÷êè íà ÷èñëîâîé ïðÿìîé. Çíà÷èò, ãåîìåòðè÷åñêèé îáðàç
R1
-
÷èñëîâàÿ ïðÿìàÿ.
Ãåîìåòðè÷åñêèé îáðàç
R2
- êîîðäèíàòíàÿ ïëîñêîñòü. Çäåñü êàæäîé òî÷êå êîîðäè-
íàòíîé ïëîñêîñòè ñîîòâåòñòâóåò ñâîÿ ïàðà êîîðäèíàò
(x1 , x2 ).
Çäåñü òàêæå èìååì
âçàèìíî-îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå ìåæäó òî÷êàìè âåùåñòâåííîé ïëîñêîñòè è ïàðàìè âåùåñòâåííûõ ÷èñåë.
Â
R3
òî÷êè òðåõìåðíîãî ïðîñòðàíñòâà îäíîçíà÷íî îòîæäåñòâëÿþòñÿ ñ òðîéêàìè
âåùåñòâåííûõ ÷èñåë. Ïî àíàëîãèè, òî÷êàì ÷åòûðåõìåðíîãî ïðîñòðàíñòâà ññîòâåòñâóþò ÷åòâåðêè âåùåñòâåííûõ ÷èñåë
(x1 , x2 , x3 , x4 ).
Rn : Ñëîæåíèå: (x1 , . . . , xn ) + (y1 , . . . , yn ) = (x1 + y1 , . . . , xn + yn ). Óìíîæåíèå íà ñêàëÿð: λ(x1 , . . . , xn ) = (λx1 , . . . , λxn ).
Ââåäåì äâå îïåðàöèè íà 1. 2.
Çàôèêñèðóåì îáîçíà÷åíèå íóëåâîãî âåêòîðà: Îáîçíà÷åíèå:
n
v = (x1 , . . . , xn ) ∈ R
Îïðåäåëåíèå 2.15.
0 = (0, . . . , 0).
.
v1 , . . . , vk ∈ Rn è λ1 , . . . , λk ∈ R. Òîãäà ëèíåéíîé êîìáèíàöèåé âåêòîðîâ v1 , . . . , vk ñ êîýôôèöèåíòàìè λ1 , . . . , λk n çûâàåòñÿ âåêòîð λ1 v1 + λ2 v2 + . . . + λk vk ∈ R . Îïðåäåëåíèå 2.16.
Ïóñòü
Åñëè
λ1 = . . . = λk = 0,
íà-
òî ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ íàçûâàåòñÿ
òðèâèàëüíîé, èíà÷å - íåòðèâèàëüíîé.
Îïðåäåëåíèå 2.17.
Âåêòîðà
v1 , . . . , vk ∈ Rn
íàçûâàþòñÿ ëèíåéíî çàâèñèìûìè
(ËÇ), åñëè ñóùåñòâóåò íåòðèâèàëüíàÿ ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ âåêòîðîâ ðàâíàÿ
v1 , . . . , vk ,
0.
Èíà÷å ýòè âåêòîðà íàçûâàþòñÿ ëèíåéíî íåçàâèñèìûìè (ËÍ), ò.å. íå ñóùåñòóåò íåòðèâèàëüíîé ëèíåéíîé êîìáèíàöèè, ðàâíîé 0, è òîëüêî òðèâèàëüíàÿ ëèíåé-
⇔
íàÿ êîìáèíàöèÿ ðàâíà 0 (
åñëè
λ1 v1 + λ2 v2 + . . . + λk vk = 0,
19
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА
ФОНД
ВОЛЬНОЕ ДЕЛО
òî
λ1 = . . . = λk = 0).
ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU
Ïðèìåðû: 1. (
k = 1)
îäèí âåêòîð ËÇ
⇔
ýòîò âåêòîð íóëåâîé.
2. (k = 2) äâà âåêòîðà ËÇ ⇔ îíè ïðîïîðöèîíàëüíû. λ1 v1 + λ2 v2 = 0, òîãäà λ1 v1 = −λ2 v2 . Ýòî è îçíà÷àåò, ÷òî
âåêòîðà ïðîïîðöèîíàëüíû
è ëåæàò íà îäíîé ïðÿìîé. Åñëè
3. (
λ2 6= 0, k = 3)
òî
v2 = − λλ12 v1
- íåêèé ñêàëÿð, óìíîæåííûé íà
òðè âåêòîðà ËÇ
Ëåììà 2.1.
Âåêòîðà
⇔
v1 .
îíè êîìïëàíàðíû, ò.å ëåæàò â îäíîé ïëîñêîñòè.
v1 , . . . , vk ∈ Rn , k ≥ 2
ëèíåéíî çàâèñèìû
⇔
õîòÿ áû îäèí èç
ýòèõ âåêòîðîâ âûðàæàåòñÿ ÷åðåç îñòàëüíûå.
⇐) Ïóñòü ∃i = 1, . . . , k : vi = λ1 v1 + . . . + λi−1 vi−1 + vˆi + λi+1 vi+1 + . . . + λk vk (vˆi îçíà÷àåò, ÷òî âåêòîð vi ïðîïóùåí).
Äîêàçàòåëüñòâî. (
Òîãäà íàì íàäî äîêàçàòü, ÷òî ýòè âåêòîðà ëèíåéíî çàâèñèìû. Äëÿ ýòîãî íàïèøåì íåòðèâèàëüíóþ ëèíåéíóþ êîìáèíàöèþ, ðàâíóþ
Ïåðåíåñåì
vi
âïðàâî è ïîëó÷èì
0.
0.
0 = λ1 v1 + . . . + λi−1 vi−1 − vi + λi+1 vi+1 + . . . + λk vk . Ýòî íåòðèâèàëüíàÿ êîìáèíàöèÿ, ïîòîìó ÷òî íåçâèñèìî îò
λi
êîýôôèöèåíò ïåðåä
vi
íåíóëåâîé.
⇒)
(
Ïóñòü
λ1 v1 + . . . + λk vk = 0, è ýòà êîìáèíàöèÿ íåòðèâèàëüíà. ∃i : λi 6= 0. Òîãäà ìîæåì âûðàçèòü vi :
Ïîñêîëüêó îíà íåòðèâèàëüíà,
vi = −
Çàìå÷àíèå 2.3.
λ1 λi−1 λi+1 λk v1 − . . . − vi−1 − vi+1 − . . . − vk . λi λi λi λi
Ëèíåéíàÿ çàâèñèìîñòü âåêòîðîâ
v1 , . . . , v k ∈ R n
÷òî ëþáîé èç íèõ âûðàæàåòñÿ ÷åðåç îñòàëüíûå.
Ïðèìåð. Ðàññìîòðèì ïðîñòðàíñòâî
R2
è âåêòîðà
v1 = (1, 0); v2 = (0, 1); v3 = (0, 2). Ýòè âåêòîðà ëèíåéíî çàâèñèìû:
0v1 + 2v2 + (−1)v2 = 0. 20
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА
ФОНД
ВОЛЬНОЕ ДЕЛО
íå îçíà÷àåò,
ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU
Èç ýòîé ëèíåéíîé êîìáèíàöèè
v1
âûðàçèòü íåëüçÿ. Ìîæåò áûòü, ñóùåñòâóåò äðóãàÿ
ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ, èç êîòîðîé
v1
âûðàæàåòñÿ?
v1 6= λ2 v2 + λ3 v3 . λ2 v2 + λ3 v3 ïåðâàÿ êîîðäèíàòà
Ïîêàæåì, ÷òî ýòî íå òàê, ò.å. Â ëþáîé êîìáèíàöèè êàêèõ
λ2 , λ3
íå ïîëó÷èòñÿ.
21
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА
ФОНД
ВОЛЬНОЕ ДЕЛО
áóäåò
0,
è âåêòîð
v1
íè ïðè
ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU
Ëåêöèÿ 3 Ëåììà î âûðàæåíèè ÷åðåç íåçàâèñèìûé íàáîð. Ëåììà 3.2. Òîãäà âåêòîð
v1 , . . . , vk ∈ Rn , k ≥ 2 ëèíåéíî íåçàâèñèìû. w âûðàæàåòñÿ ÷åðåç v1 , . . . , vk ⇔ âåêòîðà v1 , . . . , vk , w ëèíåéíî
Ïóñòü âåêòîðà
çàâè-
ñèìû.
⇒)
Äîêàçàòåëüñòâî. (
Ïóñòü
w = λ1 v1 + . . . + λk vk
äëÿ íåêîòîðûõ
λi ∈ R.
Òîãäà íóæíî íàïèñàòü ëèíåéíóþ íåòðèâèàëüíóþ êîìáèíàöèþ, ðàâíóþ íóëþ. Ïåðåíîñèì
w
â äðóãóþ ñòîðîíó è ïîëó÷àåì:
w − λ1 v1 − . . . − λk vk = 0. Ïðè
w
êîýôôèöèåíò ðàâåí 1, çíà÷èò, ýòà êîìáèíàöèÿ íåòðèâèàëüíà.
⇐) Òåïåðü íàîáîðîò. Ïóñòü ñóùåñòâóþò òàêèå λ1 , . . . , λk , µ ∈ R ÷òî λ1 v1 +. . . λk vk + µw = 0 è íå âñå ÷èñëà λ1 , . . . , λk , µ íóëåâûå. (
λ1 v1 + . . . λk vk = 0 - íåòðèâèàëüíàÿ ëèíåéíàÿ êîìáèíöèÿ, ñëåäîâàòåëüíî, âåêòîðà v1 , . . . , vk Ñëó÷àé 1. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî
µ = 0.
Òîãäà ïîñëåäíåå ñëàãàåìîå
µw = 0
è
ëèíåéíî çàâèñèìû. Íî ýòî ïðîòèâîðå÷èò óñëîâèþ. Çíà÷èò,
µ 6= 0.
Ñëó÷àé 2. Ïóñòü
µ 6= 0.
Òîãäà ìîæíî âûðàçèòü
w=−
w:
λk λ1 v1 − . . . − vk . µ µ
Êðèòåðèé åäèíñòâåííîñòè âûðàæåíèÿ ÷åðåç íàáîð âåêòîðîâ. Ëåììà 3.3.
Ïóñòü âåêòîð
w
âûðàæàåòñÿ ÷åðåç âåêòîðà
Òîãäà ýòî âûðàæåíèå åäèíñòâåííî
⇔
âåêòîðà
v1 , . . . , v k
v1 , . . . , v k .
ëèíåéíî íåçàâèñèìû.
Äîêàçàòåëüñòâî.
w = λ1 v1 + . . . + λk vk . (
⇒) Îò ïðîòèâíîãî. Ïóñòü v1 , . . . , vk
(3.1)
ëèíåéíî çàâèñèìû. Çíà÷èò, åñòü íåòðèâèàëüíàÿ
ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ, ðàâíàÿ íóëþ:
µ1 v1 + . . . + µk vk = 0. Ïðèáàâèì
(3.1)
ê
(3.2),
ïîëó÷èì
(λ1 + µ1 )v1 + . . . + (λk + µk )vk = w. 22
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА
ФОНД
ВОЛЬНОЕ ДЕЛО
(3.2)
ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU
Ýòî äðóãîå âûðàæåíèå äëÿ
w, òàê êàê ñóùåñòâóåò µi 6= 0, çíà÷èò, λi 6= λi + µi
è õîòÿ
áû îäèí êîýôôèöèåíò â íîâîé êîìáèíàöèè îòëè÷àåòñÿ îò ñòàðîé.
(
⇐)
Îò ïðîòèâíîãî. Åñëè
w = λ1 v1 + . . . + λk vk = γ1 v1 + . . . + γk vk , òî, âû÷èòàÿ îäíî ïðåäñòàâëåíèå èç äðóãîãî, ïîëó÷èì
0 = (λ1 − γ1 )v1 + . . . + (λk − γk )vk . Ýòî íåòðèâèàëüíàÿ ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ, òàê êàê ñóùåñòâóåò òàêîå
i
÷òî
λi − γi 6=
0.
Îïðåäåëåíèå ïîäïðîñòðàíñòâà. Ïðèìåðû. Îïðåäåëåíèå 3.18.
Ïîäìíîæåñòâî
U ⊆ Rn
íàçûâàåòñÿ ïîäïðîñòðàíñòâîì, åñëè
âûïîëíåíû òðè óñëîâèÿ: 1)
0 ∈ U;
2) Åñëè
v1 , v2 ∈ U , λ1 , λ2 ∈ R,
òî
Âòîðîå ñâîéñòâî îçíà÷àåò, ÷òî
U
λ1 v1 + λ2 v2 ∈ U . çàìêíóòî îòíîñèòåëüíî âçÿòèÿ ëèíåéíûõ êîì-
áèíàöèé. Ïðèìåíÿÿ ýòî ñâîéñòâî íåñêîëüêî ðàç, âûâîäèì, ÷òî
U
çàìêíóòî îòíîñè-
òåëüíî âçÿòèÿ ëèíåéíûõ êîìáèíàöèé ëþáîé äëèíû.
Çàìå÷àíèå 3.4.
Çàìåòèì, ÷òî ïåðâîå ñâîéñòâî ñëåäóåò èç âòîðîãî.
 ñàìîì äåëå, ðàññìîòðèì ñëåäóþùóþ ëèíåéíóþ êîìáèíàöèþ: ïîëó÷èì, ÷òî
v1 + (−1)v1 = 0
è
0 ∈ U.
Òåì íå ìåíåå åãî íåîáõîäèìî óïîìÿíóòü, ÷òîáû ïîêàçàòü, ÷òî ìíîæåñòâî
U
íå
ïóñòî. Âåäü, ðàññìàòðèâàÿ ëèíåéíóþ êîìáèíàöèþ
v1 + (−1)v1 ,
ìû âîñïîëüçîâàëèñü òåì,
÷òî õîòÿ áû îäèí ýëåìåíò â íàøåì ìíîæåñòâå åñòü. Ïóñòîå ïîäìíîæåñòâî íå ñ÷èòàåòñÿ ïîäïðîñòðàíñòâîì.
Ïðèìåðû.
1) Íåñîáñòâåííûå ïîäïðîñòðàíñòâà:
U = {0}, U = Rn .
Âñå îñòàëüíûå ïîäïðîñòðàíñòâà - ñîáñòâåííûå. 2) Â
R1
íåò ñîáñòâåííûõ ïîäïðîñòðàíñòâ.
3) Â
R2
ñîáñòâåííîå ïîäïðîñòðàíñòâî - ëþáàÿ ïðÿìàÿ, êîòîðàÿ ïðîõîäèò ÷åðåç
íà÷àëî êîîðäèíàò. Äðóãèõ ñîáñòâåííûõ ïîäïðîñòðàíñòâ íåò. 4) Â
R3
ñîáñòâåííûå ïîäïðîñòðàíñòâà - ïëîñêîñòè è ïðÿìûå, ïðîõîäÿùèå ÷åðåç
íà÷àëî êîîðäèíàò. Äðóãèõ ñîáñòâåííûõ ïîäïðîñòðàíñòâ íåò. 23
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА
ФОНД
ВОЛЬНОЕ ДЕЛО
ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU
Ëèíåéíàÿ îáîëî÷êà. Ñâîéñòâà. Îïðåäåëåíèå 3.19.
Ïóñòü
A ⊆ Rn .
Ëèíåéíîé îáîëî÷êîé ïîäìíîæåñòâà
A
íàçû-
âàåòñÿ
< A >= {λ1 v1 + . . . + λk vk |vi ∈ A, λi ∈ R}. Çàìå÷àíèå 3.5.
Ëèíåéíàÿ îáîëî÷êà âñåãäà áåñêîíå÷íà, êðîìå òîãî ñëó÷àÿ, êîãäà
ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíîé îáîëî÷êîé íóëÿ.  îñòàëüíûõ ñëó÷àÿõ âìåñòå ñ ëþáûì âåêòîðîì îíà ñîäåðæèò è âñþ ïðÿìóþ.
Ëåììà 3.4.
Äëÿ ëþáîãî ïîäìíîæåñòâà
A ⊆ Rn , A 6= ∅
åãî ëèíåéíàÿ îáîëî÷êà
ÿâëÿåòñÿ ïîäïðîñòðàíñòâîì.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðîâåðèì ñâîéñòâà èç îïðåäåëåíèÿ ïîäïðîñòðàíñòâà.
1)
∀v ∈ A 0 · v = 0 ∈< A >.
2) Íåîáõîäèìî ïðîâåðèòü:
∀v1 , v2 ∈< A >, ∀λ1 , λ2 ∈ R λ1 v1 + λ2 v2 ∈< A >. Ïî óñëîâèþ, v1 , v2 ∈< A >, ïîýòîìó v1 = µ1 u1 + . . . + µk uk , ãäå ui ∈ A, µi ∈ R, v2 = γ1 w1 + . . . + γs ws , ãäå wi ∈ A, γi ∈ R. Òåïåðü îñòàåòñÿ òîëüêî ðàñïèñàòü ñóììó
λ1 v1 + λ2 v2 ,
èñïîëüçóÿ ýòè ïðåäñòàâ-
ëåíèÿ.
λ1 v1 + λ2 v2 = λ1 (µ1 u1 + . . . + µk uk ) + λ2 (γ1 w1 + . . . + γs ws ) = (λ1 µ1 )u1 + . . . + (λ1 µk )uk + (λ2 γ1 )w1 + . . . + (λ2 γs )ws . Ýòî ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ âåêòîðîâ èç
A,
è îíà ïî îïðåäåëåíèþ ëåæèò â ëè-
íåéíîé îáîëî÷êå.
Îïðåäåëåíèå 3.20.
Åñëè
äàåò ïîäïðîñòðàíñòâî
Çàìå÷àíèå 3.6.
U =< A >,
òî ãîâîðÿò, ÷òî ïîäìíîæåñòâî
A
ïîðîæ-
U.
Òåïåðü ìû ãîòîâû ñòðîãî îáîñíîâàòü, ïî÷åìó â
R2
(äëÿ
R3
ðàñ-
ñóæäåíèÿ àíàëîãè÷íû) íåò äðóãèõ ñîáñòâåííûõ ïîäïðîñòðàíñòâ, êðîìå ïðÿìûõ, ïðîõîäÿùèõ ÷åðåç íà÷àëî êîîðäèíàò.
Ðàññìîòðèì êàêîå-òî ïîäïðîñòðàíñòâî â
R2 .
Åñëè îíî ñîñòîèò òîëüêî èç íóëÿ, òî îíî íåñîáñòâåííîå.
24
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА
ФОНД
ВОЛЬНОЕ ДЕЛО
ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU
Åñëè â íåì ëåæèò õîòÿ áû îäèí íåíóëåâîé âåêòîð, òî åãî ëèíåéíàÿ îáîëî÷êà òàêæå ëåæèò â ýòîì ïîäïðîñòðàíñòâå, à èìåííî íàòÿíóòàÿ íà ýòîò âåêòîð ïðÿìàÿ.
Åñëè êðîìå ýòîé ïðÿìîé â ïîäïðîñòðàíñòâå íè÷åãî áîëüøå íå ëåæèò, òî íàøå ïîäïðîñòðàíñòâî ñîâïàäåò ñ ïðÿìîé, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç 0.
Åñëè æå, êðîìå óïîìÿíóòîé ïðÿìîé, â ïîäïðîñòðàíñòâî ïîïàë íåêîëëèíåàðíûé åé âåêòîð ìîé è
w
w,
òî â ïîäïðîñòðàíñòâî òàêæå ïîïàäåò ëèíåéíàÿ îáîëî÷êà ýòîé ïðÿ-
- ïîëó÷èì ïëîñêîñòü, è ïîäïðîñòðàíñòâî ñîâïàäåò ñ
R2 .
Îñíîâíàÿ ëåììà î ëèíåéíîé çàâèñèìîñòè Ëåììà 3.5. Îñíîâíàÿ ëåììà î ëèíåéíîé çàâèñèìîñòè Åñëè ïîäïðîñòðàíñòâî
U
âåêòîðîâ â
U ⊆ Rn
m
ïîðîæäàåòñÿ
âåêòîðàìè, òî ëþáûå
k > m
ëèíåéíî çàâèñèìû.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü Òîãäà, ïîñêîëüêó ÷åðåç âåêòîðû
wi
U =< v1 , . . . , vm >
è
w1 , . . . , w k ∈ U . < v1 , . . . , vm >,
ëåæàò â ëèíåéíîé îáîëî÷êå
îíè âûðàæàþòñÿ
vj .
Çàïèøåì ýòè âûðàæåíèÿ:
w1 = µ11 v1 + . . . + µ1m vm , ...
w2 = µ21 v1 + . . . + µ2m vm ,
wk = µk1 v1 + . . . + µkm vm , ãäå
µij ∈ R.
Õîòèì ïîêàçàòü, ÷òî âåêòîðà
wi , i = 1, . . . , k
ëèíåéíî çàâèñèìû.
Çàïèøåì íåêîòîðóþ èõ ëèíåéíóþ êîìáèíàöèþ
λ1 w1 + . . . + λk wk = = λ1 (µ11 v1 + . . . + µ1m vm ) + λ2 (µ21 v1 + . . . + µ2m vm ) + . . . + λk (µk1 v1 + . . . + µkm vm ) = = (λ1 µ11 + . . . + λk µk1 )v1 + . . . + (λ1 µ1m + . . . + λk µkm )vm = 0. λi , i = 1, . . . , k áûëè ðåøåíèÿìè λ1 µ11 + . . . + λk µk1 = 0 λ µ + . . . + λ µ = 0 1 12 k k2 λ µ + . . . + λ µ = 0.
ñèñòåìû
...
Äëÿ ýòîãî äîñòàòî÷íî, ÷òîáû
1 1m
k km
m)
Ýòà ñèñòåìà îäíîðîäíàÿ è â íåé óðàâíåíèé (
Ìû çíàåì, ÷òî òàêàÿ ñèñòåìà èìååò íåíóëåâîå ðåøåíèå. ×òî è òðåáîâàëîñü. 25
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА
ФОНД
ВОЛЬНОЕ ДЕЛО
k
ìåíüøå, ÷åì íåèçâåñòíûõ ( ).
ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU
Áàçèñ. Îïðåäåëåíèå è ñâîéñòâà. Îïðåäåëåíèå 3.21.
Áàçèñ ïîäïðîñòðàíñòâà
ñèìàÿ ñèñòåìà âåêòîðîâ, ïîðîæäàþùàÿ
U ⊆ Rn
- ýòî ëþáàÿ ëèíåéíî íåçàâè-
U.
Ïðèìåð.
U = Rn , e1 = (1, 0, . . . , 0), e2 = (0, 1, . . . , 0), . . ., en = (0, 0, . . . , 0, 1)
- áàçèñ, êîòîðûé
íàçûâàåòñÿ ñòàíäàðòíûì. Ïðîâåðèì, ÷òî ýòî áàçèñ. Íóæíî ïðîâåðèòü äâà óñëîâèÿ.
1) Ëèíåéíàÿ íåçàâèñèìîñòü. Çàïèøåì ëèíåéíóþ êîìáèíàöèþ
λ1 e1 + . . . + λn en = 0. Äîêàæåì, ÷òî îíà òðèâèàëüíà.
λ1 e1 + . . . + λn en = = (λ1 , 0, . . . , 0) + (0, λ2 , 0, . . . , 0) + . . . + (0, . . . , 0, λn ) = = (λ1 , λ2 , . . . , λn ) = (0, . . . , 0), Ïîëó÷èëè, ÷òî
λi = 0, i = 1, . . . , n.
Òàêèì îáðàçîì, òîëüêî òðèâèàëüíàÿ êîìáèíàöèÿ ðàâíà íóëþ, çíà÷èò, âåêòîðà ëèíåéíî íåçàâèñèìû. 2)
Rn . n Ò.å. ëþáîé âåêòîð (x1 , . . . , xn ) ∈ R áèíàöèè âåêòîðîâ e1 , . . . , en . e1 , . . . , e n
ïîðîæäàþò
ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ëèíåéíîé êîì-
x1 e1 + . . . + xn en = = (x1 , 0, . . . , 0) + (0, x2 , 0, . . . , 0) + . . . + (0, . . . , 0, xn ) = = (x1 , . . . , xn ). Äîêàæåì íåñêîëüêî ñâîéñòâ áàçèñîâ.
Òåîðåìà 3.3.
1) Èç ëþáîãî êîíå÷íîãî ïîðîæäàþùåãî ïîäìíîæåñòâà
ñòðàíñòâà
U
A
ïîäïðî-
ìîæíî âûáðàòü áàçèñ;
2) Ëþáîå ëèíåéíî íåçàâèñèìîå ïîäìíîæåñòâî
v1 , . . . , vs
â
U
ìîæíî äîïîëíèòü
äî áàçèñà.  ÷àñòíîñòè, â ëþáîì ïîäïðîñòðàíñòâå ñóùåñòâóåò áàçèñ. Äîêàçàòåëüñòâî.
1) Åñëè
A
ëèíåéíî íåçàâèñèìî, òî îíî óæå áàçèñ.
Èíà÷å, åñëè îíî ëèíåéíî çàâèñèìî, ïî Ëåììå 2.1. îäèí èç âåêòîðîâ èç æåì,
v1 ,
ëèíåéíî âûðàæàåòñÿ ÷åðåç îñòàëüíûå.
26
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА
ФОНД
ВОЛЬНОЕ ДЕЛО
A,
ñêà-
ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU
Ïåðåéäåì îò ìíîæåñòâà ïîðîæäàåò
U
A
ê ìåíüøåìó ìíîæåñòâó
Îíî ïî-ïðåæíåìó
è ñîäåðæèò ìåíüøå ýëåìåíòîâ.
(Ïîÿñíèì ýòî. Ëþáîé èç âåêòîðîâ âåêòîðîâ èç
A\{v1 }.
A.
U
âûðàæàëñÿ êàê ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ
Åñëè â ýòîé ëèíåéíîé êîìáèíàöèè íå áûëî âåêòîðà
v1 ,
çíà-
÷èò âûðàæåíèå íàøåãî âåêòîðà îñòàåòñÿ ïðåæíèì. Åñëè æå â ýòîé ëèíåéíîé êîìáèíàöèè
v1
âñòðå÷àëñÿ, òî çàìåíèì
v1
íà åãî ëèíåéíîå âûðàæåíèå ÷åðåç
îñòàëüíûå. Ïîýòîìó ýòî ìåíüøåå ìíîæåñòâî òîæå ÿâëÿåòñÿ ïîðîæäàþùèì.)
Çà êîíå÷íîå ÷èñëî øàãîâ ïîëó÷èì áàçèñ, òàê êàê ìíîæåñòâî êîíå÷íî. 2) Åñëè
v1 , . . . , vs
ïîðîæäàþò
U,
òî îíè óæå áàçèñ.
U âûðàæàþòñÿ êàê èõ ëèíåéíûå êîìvs+1 ∈ U , êîòîðûé íå âûðàæàåòñÿ ÷åðåç
Åñëè íå ïîðîæäàþò (íå âñå âåêòîðà èç áèíàöèè), òî ñóùåñòâóåò òàêîé âåêòîð
v1 , . . . , v s . Òîãäà ïî Ëåììå 2.2. åñëè ê íàáîðó íàáîð
{v1 , . . . , vs , vs+1 }
{v1 , . . . , vs } äîáàâèòü vs+1 , òî ðàñøèðåííûé
òîæå áóäåò ëèíåéíî íåçàâèñèìûì.
Ëèáî ýòî áàçèñ, ëèáî ïðîäîëæàåì ïðîöåññ.
Ïî÷åìó ýòîò ïðîöåññ êîíå÷åí? Ïîòîìó ÷òî ïî îñíîâíîé ëåììå î ëèíåéíîé çàâèñèìîñòè âñå âåêòîðà â
U ⊆ Rn
âûðàæàþòñÿ êàê ëèíåéíûå êîìáèíàöèè âåêòîðîâ ñòàíäàðòíîãî áàçèñà. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ëþáûå áîëüøå ÷åì
n
âåêòîðîâ ëèíåéíî çàâèñèìû.
Ïî÷åìó â ëþáîì ïîäïðîñòðàíñòâå ñóùåñòâóåò áàçèñ? Ýòî ñëåäóåò èç ïåðâîé ÷àñòè 2).
Åñëè ïîäïðîñòðàíñòâî ñîñòîèò òîëüêî èç íóëÿ, òî ñ÷èòàåì áàçèñ ïóñòûì.
Åñëè æå â íåì åñòü õîòÿ áû îäèí íåíóëåâîé âåêòîð, òî îí îáðàçóåò ëèíåéíî íåçàâèñèìîå ïîäìíîæåñòâî, è åãî ìîæíî äîñòðîèòü, ïî ïåðâîé ÷àñòè 2), äî áàçèñà.
Òåîðåìà 3.4.
Âñå áàçèñû îäíîãî è òîãî æå ïîäïðîñòðàíñòâà
U ⊆ Rn
ñîäåðæàò
îäèíàêîâîå ÷èñëî âåêòîðîâ.
v1 , . . . , vm è w1 , . . . , wk U =< v1 , . . . , vm >=< w1 , . . . , wk >.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü Òîãäà
Îò ïðîòèâíîãî: ïóñòü, íàïðèìåð,
- äâà áàçèñà ïîäïðîñòðàíñòâà
k > m.
Òîãäà ïî îñíîâíîé ëåììå î ëèíåéíîé çàâèñèìîñòè âåêòîðû âèñèìû. Ïðîòèâîðå÷èå ñ îïðåäåëåíèåì áàçèñà.
27
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА
U.
ФОНД
ВОЛЬНОЕ ДЕЛО
w1 , . . . , w k
ëèíåéíî çà-
ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU
Îïðåäåëåíèå 3.22. â áàçèñå
Ðàçìåðíîñòü ïîäïðîñòðàíñòâà
U ⊆ Rn
- ýòî ÷èñëî âåêòîðîâ
U.
Îáîçíà÷åíèå:
dim U .
Êîððåêòíîñòü ýòîãî îïðåäåëåíèÿ ñëåäóåò èç Òåîðåìû 3.4.
Ïðèìåð.
dim Rn = n,
òàê êàê â ñòàíäàðòíîì áàçèñå
Óïðàæíåíèå 3.2. Íàéäèòå
vij = ei − ej , dim < vij , i, j = 1, . . . , n >.
Òåîðåìà 3.5. Òîãäà
Ïóñòü
n
ãäå
âåêòîðîâ.
ei , ej
- âåêòîðû ñòàíäàðòíîãî áàçèñà.
W ⊆ U ⊆ Rn - ïîäïðîñòðàíñòâà. dim W ≤ dim U è dim W = dim U ⇔ W = U . Ïóñòü
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü
v1 , . . . , vs
- áàçèñ â
W.
Ïî Òåîðåìå 3.3 ï.2), åãî ìîæíî äîñòðîèòü äî áàçèñà â Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî
Òîãäà
dim W ≤ dim U
dim W = dim U
U.
ïî îïðåäåëåíèþ ðàçìåðíîñòè.
îçíà÷àåò, ÷òî äîáàâëåíèå áàçèñíûõ âåêòîðîâ íå ïîðòåáîâà-
ëîñü. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî Èòàê,
U =< v1 , . . . , vs >.
Íî
W =< v1 , . . . , vs >.
W = U.
28
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА
ФОНД
ВОЛЬНОЕ ДЕЛО
ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU
Ëåêöèÿ 4 Ôóíäàìåíòàëüíàÿ ñèñòåìà ðåøåíèé. Ëåììà 4.6.
Ìíîæåñòâî ðåøåíèé ÑËÓ
a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1n xn = b1 a x + a x + . . . + a x = b 21 1 22 2 2n n 2 ... am1 x1 + am2 x2 + . . . + amn xn = bm â
Rn
ÿâëÿåòñÿ ïîäïðîñòðàíñòâîì
⇒)
Äîêàçàòåëüñòâî. ( ëåæèò â
⇔
ñèñòåìà îäíîðîäíà.
Åñëè ìíîæåñòâî ðåøåíèé
U
- ïîäïðîñòðàíñòâî, òî
(0, . . . , 0)
U.
Ïîäñòàâèì â ÑËÓ, ïîëó÷èì, ÷òî
bi = 0, i = 1, . . . , m.
Çíà÷èò, ñèñòåìà îäíîðîäíà.
⇐)
Ïóñòü b1 = . . . = bm = 0. (0, . . . , 0) ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì è åñëè (x1 , . . . , xn ) è (y1 , . . . , yn ) ÿâëÿþòñÿ ðåøåíèÿìè ñèñòåìû, òî íóæíî ïðîâåðèòü, ÷òî äëÿ ëþáûõ λ1 , λ2 ∈ R âåêòîð (
Òîãäà
λ1 (x1 , . . . , xn ) + λ2 (y1 , . . . , yn ) = (λ1 x1 + λ2 y1 , . . . , λ1 xn + λ2 yn ) òîæå áóäåò ðåøåíèåì. Ïîäñòàâëÿåì ýòîò âåêòîð â
i-òîå
óðàâíåíèå:
ai1 (λ1 x1 + λ2 y1 ) + . . . + ain (λ1 xn + λ2 yn ) = = λ1 (ai1 x1 + . . . + ain xn ) + λ2 (ai1 y1 + . . . + ain yn ) = = λ1 0 + λ2 0 = 0. Ò.î. ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì
i-òîãî
óðàâíåíèÿ.
Ìíîæåñòâî ðåøåíèé îäíîðîäíîé ñèñòåìû ãåîìåòðè÷åñêè âûãëÿäèò ñëåäóþùèì îáðàçîì:
29
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА
ФОНД
ВОЛЬНОЕ ДЕЛО
ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU
Ýòî ïëîñêîñòü, ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç íà÷àëî êîîðäèíàò.
Îïðåäåëåíèå 4.23.
Ôóíäàìåíòàëüíîé ñèñòåìîé ðåøåíèé (ÔÑÐ) îäíîðîäíîé ñè-
ñòåìû ëèíåéíûõ óðàâíåíèé íàçûâàåòñÿ ïðîèçâîëüíûé áàçèñ â ïðîñòðàíñòâå ðåøåíèé ñèñòåìû.
Çàìå÷àíèå 4.7.
≤ n.
×èñëî ýëåìåíòîâ ÔÑÐ
Ò.î. ÔÑÐ - êîíå÷íûé íàáîð âåêòîðîâ, ïî êîòîðîìó íàõîäèì âñå îñòàëüíûå ðåøåíèÿ êàê ëèíåéíûå êîìáèíàöèè.
Ëåììà 4.7.
Ðàçìåðíîñòü ïðîñòðàíñòâà ðåøåíèé îäíîðîäíîé ñèñòåìû ëèíåéíûõ
óðàâíåíèé ðàâíà ÷èñëó ñâîáîäíûõ íåèçâåñòíûõ.  ÷àñòíîñòè, ÷èñëî ñâîáîäíûõ íåèçâåñòíûõ íå çàâèñèò îò ñïîñîáà èõ âûáîðà. Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü
xi1 , . . . , xik , 1 ≤ i1 < . . . < ik ≤ n
- ñâîáîäíûå íåèçâåñòíûå.
Ïîäñòàâèì âìåñòî íèõ êîîðäèíàòû ñòàíäàðòíîãî áàçèñà
(1, 0, . . . , 0),
...
(0, 1, . . . , 0),
(0, . . . , 0, 1) ∈ Rk . Ìû ïîëó÷èì
k
ðåøåíèé:
(x11 , . . . , x1n ), . . . , (xk1 , . . . , xkn ). Ïðîâåðèì, ÷òî ýòî ÔÑÐ.
(ÔÑÐ - ýòî áàçèñ â ïðîñòðàíñòâå ðåøåíèé, à çíà÷èò ìû äîêàæåì, ÷òî â ïðîñòðàíñòâå ðåøåíèé åñòü áàçèñ èç íî
k
k
ýëåìåíòîâ. Çíà÷èò, âñå áàçèñû ñîñòÿò èç
k
- ýòî ÷èñëî ñâîáîäíûõ ïåðåìåííûõ.)
1) Ëèíåéíàÿ íåçàâèñèìîñòü ðåøåíèé.
λ1 (x11 , . . . , x1n ) + . . . + λk (xk1 , . . . , xkn ) = 0. Õîòèì ïîêàçàòü, ÷òî òîãëà âñå
Ïðè
λ1 , . . . , λk
ðàâíû
0.
i1 -êîîðäèíàòå: 1λ1 + 0λ2 + 0λ3 + . . . + 0λk = 0, λ1 = 0.
Àíàëîãè÷íî, ïî
i2 -êîîðäèíàòå λ2 = 0, . . ., 30
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА
ФОНД
ВОЛЬНОЕ ДЕЛО
ïî
ik -êîîðäèíàòå λk = 0.
ýëåìåíòîâ,
ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU
2) ×åðåç ýòè ðåøåíèÿ âûðàæàþòñÿ âñå îñòàëüíûå. Ïóñòü
(x01 , . . . , x0n )
- ïðîèçâîëüíîå ðåøåíèå íàøåé îäíîðîäíîé ñèñòåìû.
Òîãäà íàäî ýòî ðåøåíèå
(x01 , . . . , x0n ) âûðàçèòü ÷åðåç (x11 , . . . , x1n ), . . . , (xk1 , . . . , xkn ).
(x01 , . . . , x0n ) = x0i1 (x11 , . . . , x1n ) + . . . + x0ik (xk1 , . . . , xkn ) - ïðîâåðèì, ÷òî ýòî ðàâåíñòâî âåðíî.  ëåâîé è â ïðàâîé ÷àñòè çíà÷åíèÿ êîîðäèíàò
i1 , . . . , i k
ñîâïàäàþò.
Íî åñëè ó äâóõ ðåøåíèé ÑËÓ ñîâïàäàþò çíà÷åíèÿ ñâîáîäíûõ íåèçâåñòíûõ, òî çíà÷åíèÿ ãëàâíûõ íåèçâåñòíûõ ïî íèì îïðåäåëþòñÿ îäíîçíà÷íî è ïîýòîìó òîæå ñîâïàäàþò.
Çíà÷èò, ýòè
k
ðåøåíèé îáðàçóþò áàçèñ ïðîñòðàíñòâà ðåøåíèé, ò.å. ÿâëÿþòñÿ ÔÑÐ.
Ëèíåéíûå ïîäìíîãîîáðàçèÿ. Îïðåäåëåíèå 4.24.
Ëèíåéíîå ïîäìíîãîîáðàçèå â
äëÿ êîòîðîãî íàéäåòñÿ âåêòîð
v ∈ Rn
Rn
- ýòî ïîäìíîæåñòâî
è ïîäïðîñòðàíñòâî
U ⊆ Rn ,
L ⊆ Rn ,
òàêèå ÷òî
L = v + U = {v + u, u ∈ U }
Ñîãëàøåíèå.
∅
ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíûì ïîäìíîãîîáðàçèåì.
Ïðåäëîæåíèå 4.1.
Äëÿ ëþáîé ÑËÓ ìíîæåñòâî åå ðåøåíèé ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíûì
ïîäìíîãîîáðàçèåì. Äîêàçàòåëüñòâî. Ñ êàæäîé ñèñòåìîé
a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1n xn = b1 a x + a x + . . . + a x = b 21 1 22 2 2n n 2 . . . am1 x1 + am2 x2 + . . . + amn xn = bm 31
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА
ФОНД
ВОЛЬНОЕ ДЕЛО
(4.1)
ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU
ñâÿæåì îäíîðîäíóþ ñèñòåìó
a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1n xn = 0 a x + a x + . . . + a x = 0 21 1 22 2 2n n ... am1 x1 + am2 x2 + . . . + amn xn = 0
.
(4.2)
Ýòî íàçûâàåòñÿ àññîöèèðîâàííàÿ îäíîðîäíàÿ ñèñòåìà.
Åñëè ñèñòåìà
(4.1) íåñîâìåñòíà, òî òîãäà ìíîæåñòâî åå ðåøåíèé ïóñòî è äîêàçàíî
ïðåäëîæåíèå 4.1.
Åñëè æå ñèñòåìà
(4.1)
ñîâìåñòíà, òî çàôèêñèðóåì êàêîå-òî îäíî åå ðåøåíèå
v∈
Rn . Íàäî äîêàçàòü, ÷òî ðåøåíèå
(4.1) - ýòî â òî÷íîñòè v +U , ãäå U
- ìíîæåñòâî ðåøåíèé
(4.2). Íàäî ïðîâåðèòü: 1) Åñëè
u
- ðåøåíèå
Ïðîâåðêà:
u
(4.2),
òî
v+u
- ðåøåíèå ñèñòåìû
- ðåøåíèå
(4.2),
(4.1).
òî åñòü äëÿ ëþáîãî
i = 1, . . . , n
ai1 u1 + . . . + ain un = 0. v
- ðåøåíèå ñèñòåìû
(4.1),
òî åñòü äëÿ ëþáîãî
(4.3)
i = 1, . . . , n
âåðíî
ai1 v1 + . . . + ain vn = bi . Ñêëàäûâàÿ
(4.3)
è
(4.4),
âåðíî
(4.4)
ïîëó÷àåì
ai1 (v1 + u1 ) + . . . + ain (vn + un ) = bi + 0. Òàêèì îáðàçîì, ñóììà 2) Åñëè
w
v+u
- ðåøåíèå ñèñòåìû
Ïðîâåðêà:
w
- ðåøåíèå
(4.1),
- ðåøåíèå ñèñòåìû
òî
(4.1).
w−v
(4.1),
è
v
- ðåøåíèå
(4.2).
- ðåøåíèå ñèñòåìû
(4.1).
Âåðíî:
Âû÷èòàÿ
(4.5)
èç
(4.6),
ai1 v1 + . . . + ain vn = bi ,
(4.5)
ai1 w1 + . . . + ain wn = bi .
(4.6)
ïîëó÷èì
ai1 (w1 − v1 ) + . . . + ain (wn − vn ) = 0. w−v
- ðåøåíèå
(4.2).
3. Ðàíã ìàòðèöû 32
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА
ФОНД
ВОЛЬНОЕ ДЕЛО
ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU
Ðàíã ñèñòåìû âåêòîðîâ. Îïðåäåëåíèå 4.25.
Ðàíã ñèñòåìû âåêòîðîâ
v1 , . . . , vs ∈ Rn
- ýòî ðàçìåðíîñòü èõ
ëèíåéíîé îáîëî÷êè. Îáîçíà÷åíèå:
rk {v1 , . . . , vs }
Îïðåäåëåíèå 4.26. n
R
Ìàêñèìàëüíûé ëèíåéíî íåçàâèñèìûé ïîäíàáîð íàáîðà
íàçûâàåòñÿ áàçîé íàáîðà
v1 , . . . , vs ∈
v1 , . . . , vs .
Ïðåäëîæåíèå 4.2. rk {v1 , . . . , vs } íåçàâèñèìîé ïîäñèñòåìå ñèñòåìû
ðàâåí ÷èñëó ýëåìåíòîâ â ìàêñèìàëüíîé ëèíåéíî
v1 , . . . , vs ∈ Rn .
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïî òåîðåìå 3.3 ï.1) èç âåêòîðîâ
v1 , . . . , v s
ìîæíî âûáðàòü áàçèñ
< v1 , . . . , vs >. vi1 , . . . , vik , k ≤ s, è ýòîò ïîäíàáîð ëèíåéíî íåçàâèñèì. vi1 , . . . , vik íå ÿâëÿåòñÿ ìàêñèìàëüíûì ëèíåéíî íåçàâèñèìûì íàáîðîì, òî ê ìîæíî äîáàâèòü âåêòîð vik+1 òàê ÷òî vi1 , . . . , vik , vik+1 ïî-ïðåæíåìó ëèíåéíî
ïîäïðîñòðàíñòâà Ïóñòü ýòî Åñëè íåìó
íåçâèñèìû. Íî
vik+1
âûðàæàåòñÿ ÷åðåç
vi1 , . . . , vik .
Ïî Ëåììå 2.2 ðàñøèðåííûé íàáîð ëèíåéíî çàâèñèì. Ïðîòèâîðå÷èå.
vi1 , . . . , vik - áàçà. k = dim < vi1 , . . . , vik >
Çíà÷èò, Èòàê,
Îáðàòíî, åñëè ëþáîé âåêòîð èç
ðàâíî ÷èñëó ýëåìåíòîâ â íåêîòîðîé áàçå.
vi1 , . . . , vik - ýòî íåêîòîðàÿ áàçà íàáîðà v1 , . . . , vs , v1 , . . . , vs âûðàæàåòñÿ ÷åðåç vi1 , . . . , vik .
òî ïî Ëåììå 2.2
v1 , . . . , vs âûðàæàåòñÿ ÷åðåç vi1 , . . . , vik . áàçèñ < v1 , . . . , vs >. Îí ëèíåéíî íåçàâèñèì ïî îïðåäåëåíèþ
Çíà÷èò, ëþáàÿ ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ À çíà÷èò
vi1 , . . . , vik
-
è
ìû äîêàçàëè, ÷òî ëþáóþ ëèíåéíóþ êîìáèíàöèþ ÷åðåç íåãî ìîæíî âûðàçèòü.
Îïðåäåëåíèå 4.27.
Íàáîðû
v1 , . . . , vs ∈ Rn
è
w1 , . . . , wk ∈ Rn
ýêâèâàëåíòíû, åñëè
ëþáîé âåêòîð èç ïåðâîãî íàáîðà ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíîé êîìáèíàöèåé âåêòîðîâ âòîðîãî íàáîðà, è íàîáîðîò. Äðóãèìè ñëîâàìè,
< v1 , . . . , vs >=< w1 , . . . , wk >.
Ïî îïðåäåëåíèþ ðàíãè ýêâèâàëåíòíûõ ñèñòåì ñîâïàäàþò.
Ïðåäëîæåíèå 4.3.
Ýëåìåíòàðíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ íå èçìåíÿþò ðàíã ñèñòåìû
âåêòîðîâ.
v10 , . . . , vs0 ïîëó÷åíû èç v1 , . . . , vs öåïî÷êîé ýëåìåíòàðíûõ ïðå0 0 îáðàçîâàíèé, òî v1 , . . . , vs - ýòî ëèíåéíûå êîìáèíàöèè v1 , . . . , vs . 0 0 Ïðèìåíÿÿ îáðàòíûå ýëåìåíòàðíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ, âûðàçèì v1 , . . . , vs ÷åðåç v1 , . . . , vs . Äîêàçàòåëüñòâî. Åñëè
Çíà÷èò, ñèñòåìû ýêâèâàëåíòíû, à ó ýêâèâàëåíòíûõ ñèñòåì ðàíãè ðàâíû. 33
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА
ФОНД
ВОЛЬНОЕ ДЕЛО
ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU
Îïðåäåëåíèå 4.28.
Ñòðî÷íûé ðàíã ìàòðèöû
åå ñòðîê êàê âåêòîðîâ â
Îïðåäåëåíèå 4.29.
R
n
.
Ñòîëáöîâûé ðàíã ìàòðèöû
ñòåìû åå ñòîëáöîâ êàê âåêòîðîâ â
Rm .
34
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА
A ðàçìåðà m×n - ýòî ðàíã ñèñòåìû
ФОНД
ВОЛЬНОЕ ДЕЛО
A
ðàçìåðà
m×n
- ýòî ðàíã ñè-
ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU
Ëåêöèÿ 5 Òåîðåìà î íàõîæäåíèè ñòðî÷íîãî ðàíãà ìàòðèöû. Òåîðåìà 5.6.
Ñòðî÷íûé ðàíã ìàòðèöû ðàâåí ÷èñëó íåíóëåâûõ ñòðîê â ñòóïåí-
÷àòîì âèäå. Äîêàçàòåëüñòâî. Ðàíã íå ìåíÿåòñÿ ïðè ýëåìåíòàðíûõ ïðåîáðàçîâàíèÿõ ñòðîê. Ïîýòîìó ñðàçó ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî ìàòðèöà ñòóïåí÷àòàÿ.
0 0 0 0 0 0 Ïóñòü
v1 , . . . , vk
0 0 0 0 0 0
∗ 0 0 0 0 0
∗ ∗ 0 0 0 0
∗ ∗ 0 0 0 0
∗ ∗ 0 0 0 0
∗ ∗ ∗ 0 0 0
∗ ∗ ∗ ∗ 0 0
∗ ∗ ∗ ∗ 0 0
- âñå íåíóëåâûå ñòðîêè ñòóïåí÷àòîé ìàòðèöû.
Äîñòàòî÷íî äîêàçàòü, ÷òî îíè ëèíåéíî íåçàâèñèìû.
Ðàññìîòðèì ëèíåéíóþ êîìáèíàöèþ ýòèõ ñòðîê, ðàâíóþ 0:
λ1 v1 + . . . + λk vk = 0. Êàê îáû÷íî, õîòèì ïîêàçàòü, ÷òî òîãäà âñå
Ïóñòü
i1 , . . . , i k
Ðàññìîòðèì
(5.1)
λi = 0.
- íîìåðà ñòîëáöîâ, ãäå ñòîÿò ëèäåðû ñòðîê.
i1 -êîîðäèíàòó: λ1 ∗ +λ2 0 + . . . + λk 0 = 0, (ñì. (5.1))
çäåñü
Ïî
∗
- ëèäåð, ñëåäîâàòåëüíî, îíà íå
0.
Íî òîãäà
λ1 = 0.
i2 -êîîðäèíàòå: λ1 ∗ +λ2 ∗ +λ3 0 + . . . + λk 0 = 0,
ãäå
λ1 ∗ = 0,
ñëåäîâàòåëüíî,
Àíàëîãè÷íî,
λ2 ∗ = 0,
à
∗
- ëèäåð, ò.å. íå 0. Òîãäà è
λ2 = 0.
λ3 = . . . = λk = 0.
Òàêèì îáðàçîì,
v1 , . . . , vk
ëèíåéíî íåçàâèñèìû, è ñòðî÷íûé ðàíã ìàòðèöû ðàâåí
k. Ýòà òåîðåìà äàåò àëãîðèòì íàõîæäåíèÿ ðàíãà ìàòðèöû.
Íî àëãîðèòìà íàõîæäåíèÿ áàçû îíà íå äàåò, åãî ìû ïîëó÷èì ïîçæå.
35
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА
ФОНД
ВОЛЬНОЕ ДЕЛО
ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU
Òåîðåìà î ðàâåíñòâå ñòðî÷íîãî è ñòîëáöîâîãî ðàíãîâ ìàòðèöû. Òåîðåìà 5.7.
A ðàâåí ñòîëáöîâîìó ðàíãó A (è íàçûâàåòñÿ ïðîñòî
Ñòðî÷íûé ðàíã
ðàíãîì). Äîêàæåì ñíà÷àëà âñïîìîãàòåëüíûé ðåçóëüòàò.
Ïðåäëîæåíèå 5.4.
Ýëåìåíòàðíûå ïðåîáðçîâàíèÿ ñòðîê ìàòðèöû
A
íå èçìåíÿ-
þò ëèíåéíûõ ñîîòíîøåíèé ìåæäó ñòîëáöàìè. Ïåðåä òåì êàê äîêàçûâàòü ëåììó, ðàññìîòðèì ïðèìåð, ïîÿñíÿþùèé ýòî óòâåðæäåíèå. Ïðèìåð. Ðàññìîòðèì ìàòðèöó
1 2 . 3 6 Îáîçíà÷èì åå ñòðîêè
v1 = (1 2), v2 = (3 6),
à ñòîëáöû
1 2 w1 = , w2 = . 3 6
Ïîäâåðãíåì åå ýëåìåíòàðíîìó ïðåîáðàçîâàíèþ ñòðîê. Íàïðèìåð, âû÷òåì èç âòîðîé ñòðîêè ïåðâóþ, óìíîæåííóþ íà 3
1 2 1 2 → . 0 0 3 6 0 Ïîëó÷èì íîâûå ñòðîêè v1
= (1
2), v20
= (0 0)
Ëèíåéíàÿ îáîëî÷êà ñòðîê íå èçìåíèëàñü, íóòàÿ íà âåêòîð
Ñòîëáöû
0 è íîâûå ñòîëáöû w1
< v1 , v2 >=< v10 , v20 >
1 2 0 = . , w2 = 0 0
- ýòî ïðÿìàÿ, íàòÿ-
(1, 2).
w1 , w1
èñõîäíîé ìàòðèöû áûëè ñâÿçàíè ëèíåéíûì ñîîòíîøåíèåì
w2 =
2w1 . Îíî æå âåðíî è äëÿ íîâîé ìàòðèöû
w20 = 2w10 ,
÷òî è óòâåðæäàåòñÿ â ëåììå.
< w1 , w2 >6=< w10 , w20 >. < w1 , w2 > - ïðÿìàÿ, íàòÿíóòàÿ íà âåêòîð (1, 3), < w10 , w20 > - ïðÿìàÿ, íàòÿíóòàÿ óæå íà âåêòîð (1, 0), òî åñòü êîîðäèíàòíàÿ îñü. Ïðè ýòîì
à
Ïåðåõîäèì ê äîêàçàòåëüñòâó ëåììû.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü
w1 , . . . , w n
- ñòîëáöû
A
è
λ1 w1 + . . . + λn wn = 0.
36
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА
ФОНД
ВОЛЬНОЕ ДЕЛО
(5.2)
ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU
Ýòî ðàâíîñèëüíî òîìó, ÷òî
λ1 , . . . , λn
- ðåøåíèå ÑËÓ ñ ìàòðèöåé
A.
...
a11 λ1 + a12 λ2 + . . . + a1n λn = 0 a λ + a λ + . . . + a λ = 0 21 1 22 2 2n n a λ + a λ + . . . + a λ = 0 m1 1
m2 2
mn n
A è óìíîæèòü íà λ1 , âçÿòü âòîn-òîãî ñòîëáöà, à ïîòîì ñëîæèòü, çàïèñàííîå ñîîòíîøåíèå (5.2).
Ýòà ÑËÓ îçíà÷àåò, ÷òî åñëè âçÿòü ïåðâûé ñòîëáåö ðîé ñòîëáåö
A
è óìíîæèòü íà
λ2 ,
è òàê äàëåå äî
òî ïîëó÷èòñÿ 0. Ò.å. ýòî áîëåå ïîäðîáíî
Íî ïðè ýëåìåíòàðíûõ ïðåîáðàçîâàíèÿõ ñòðîê ñèñòåìà çàìåíÿåòñÿ íà ýêâèâàëåíòíóþ, è ìíîæåñòâî åå ðåøåíèé íå ìåíÿåòñÿ. Òåì ñàìûì ëåììà äîêàçàíà.
Ñëåäñòâèå 5.5.
Ñâîéñòâî íàáîðà âåêòîðîâ
wi1 , . . . , wi1
ìàòðèöû
A
áûòü ëèíåéíî
çàâèñèìûìè èëè ëèíåéíî íåçàâèñèìûìè íå ìåíÿåòñÿ ïðè ýëåìåíòàðíûõ ïðåîáðàçîâàíèÿõ ñòðîê.
Ïðåäëîæåíèå 5.5.
Ïóñòü
A0
- ñòóïåí÷àòàÿ ìàòðèöà, è
i1 , . . . , i k
- íîìåðà ñòîëá-
öîâ, ãäå ñòîÿò ëèäåðû ñòðîê. Òîãäà ñòîëáöû ñ íîìåðàìè
i1 , . . . , ik
îáðàçóþò áàçó ñèñòåìû ñòîëáöîâ ìàòðèöû
0
A. Ïóñòü
A0
èìååò, íàïðèìåð, òàêîé âèä
0 0 0 0
1 0 0 0
Äîêàçàòåëüñòâî. Ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî
∗ ∗ 0 0
0 0 1 0
∗ 0 0 0
0 1 0 0
A0
èìååò óëó÷øåííûé ñòóïåí÷àòûé âèä, ïî-
òîìó ÷òî ïåðåõîä îò ñòóïåí÷àòîé ìàòðèöû ê óëó÷øåííîé ñòóïå÷àòîé îñóùåñòâëÿåòñÿ ñ ïîìîùüþ ýëåìåíòàðíûõ ïðåîáðàçîâàíèé, à îíè íå ìåíÿþò ëèíåéíûå çàâèñèìîñòè ìåæäó ñòîëáöàìè.
Íî ó óëó÷øåííîãî ñòóïåí÷òîãî ñòîëáöû ñ íîìåðàìè áàçèñ â ïðîñòðàíñòâå
i1 , . . . , ik
- ýòî ñòàíäàðòíûé
Rk .
Ìû çíàåì, ÷òî âåêòîðà ñòàíäàðòíîãî áàçèñà, âî-ïåðâûõ, ëèíåéíî íåçàâèñèìû, âîâòîðûõ, ÷åðåç íèõ âûðàæàåòñÿ ëþáîé âåêòîð èç
Rk .
Ñëåäîâàòåëüíî, îíè îáðàçóþò áàçó ñèñòåìû ñòîëáöîâ ñòóïåí÷àòîé ìàòðèöû. Ïåðåéäåì ê äîêàçàòåëüñòâó Òåîðåìû 5.7.
37
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА
ФОНД
ВОЛЬНОЕ ДЕЛО
ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðèâåäåì
A
ê ñòóïåí÷àòîìó âèäó ýëåìåíòàðíûìè ïðåîáðàçîâà-
íèÿìè ñòðîê. Ýòî íå èçìåíèò íè ñòðî÷íûé, íè ñòîëáöîâûé ðàíã.
Ïîñëå ýòîãî ñòðî÷íûé ðàíã ðàâåí ÷èñëó íåíóëåâûõ ñòðîê, à ñòîëáöîâûé ðàíã ðàâåí ÷èñëó ñòîëáöîâ ñ ëèäåðàìè ñòðîê.
Ýòè äâà ÷èñëà ðàâíû.  ñàìîì äåëå, ÷èñëî íåíóëåâûõ ñòðîê - ýòî ÷èñëî ñòðîê ñ ëèäåðàìè (ïî îïðåäåëåíèþ ýòî ïåðâûé íåíóëåâîé ýëåìåíò ñòðîêè).  òî æå âðåìÿ áàçó ñèñòåìû ñòîëáöîâ îáðàçóþò òå ñòîëáöû, â êîòîðûõ ñòîÿò ëèäåðû ñòðîê. Òàêèì îáðàçîì, ñòðî÷íîé ðàíã ìàòðèöû ðàâåí ñòîëáöîâîìó ðàíãó.
rk A.
Îáîçíà÷åíèå:
Àëãîðèòì íàõîæäåíèÿ áàçû ñèñòåìû âåêòîðîâ. Àëãîðèòì íàõîæäåíèÿ áàçû ñèñòåìû âåêòîðîâ
Øàã 1. Âûïèñûâàåì êîîðäèíàòû âåêòîðîâ
v1 , . . . , vk
â
Rn .
ïî ñòîëáöàì (âàæíî!) â ìàò-
n × k.
...
ðàçìåðà
...
A
...
ðèöó
v1 , . . . , vk
...
...
v1 v2
...
0 0 . . . vk → 0 0
...
...
A ê ñòóïåí÷òîìó âèäó ýëåìåíòàðíûìè ïðåîáðàçîâàíèÿìè ñòðîê.
...
...
Øàã 2. Ïðèâîäèì
...
...
v1 v2 . . . vk
∗ 0 0 0
∗ 0 0 0
∗ ∗ 0 0
Øàã 3. Áàçà èñõîäíîãî íàáîðà - ýòî âåêòîðà
∗ ∗ ∗ 0
∗ ∗ ∗ 0
(íàïðèìåð)
vi1 , . . . , vis , ãäå i1 , . . . , is - íîìåðà v1 , v4 , v5 èñõîäíîé ìàòðèöû.)
ñòîëáöîâ ñ ëèäåðàìè ñòðîê. (Â íàøåì ïðèìåðå ýòî
Òåîðåìà î ðàçìåðíîñòè ïðîñòðàíñòâà ðåøåíèé îäíîðîäíîé ÑËÓ. Òåîðåìà 5.8. ãäå
n
Ðàçìåðíîñòü ïðîñòðàíñòâà ðåøåíèé îäíîðîäíîé ÑËÓ ðàâíà
- ÷èñëî íåèçâåñòíûõ,
A
- ìàòðèöà êîýôôèöèåíòîâ.
U - ïðîñòðàíñòâî ðåøåíèé íàøåé îäíîðîäíîé dim U ðàâíà ÷èñëó ñâîáîäíûõ íåèçâåñòíûõ.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü Òîãäà ïî Ëåììå 4.7.
38
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА
n−rk A,
ФОНД
ВОЛЬНОЕ ДЕЛО
ñèñòåìû.
ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU
n − {÷èñëî ãëàâíûõ íåèçâåñòíûõ}, à ýòî ðàâíî n − {÷èñëî ëèäåðîâ íåíóëåâûõ ñòðîê â ñòóïåí÷àòîì âèäå}, ÷òî â ñâîþ î÷åðåäü ðàâíî n − {÷èñëî íåíóëåâûõ ñòðîê â ñòóïåí÷àòîì âèäå}.  ìåòîäå Ãàóññà ÷èñëî ñâîáîäíûõ íåèçâåñòíûõ ðàâíî
À ÷èñëî íåíóëåâûõ ñòðîê â ñòóïåí÷àòîì âèäå - ýòî è åñòü ðàíã ìàòðèöû.
Çàäà÷à.
Äîêàæèòå, ÷òî äëÿ ïðîèçâîëüíîé ÑËÓ ÷èñëî ñâîáîäíûõ íåèçåñòíûõ íå
çàâèñèò îò ñïîñîáà èõ âûáîðà.
Òåîðåìà î ñóùåñòâîâàíèè äëÿ ïîäïðîñòðàíñòâà ÑËÓ, ìíîæåñòâîì ðåøåíèé êîòîðîé ÿâëÿåòñÿ ýòî ïîäïðîñòðàíñòâî. Òåîðåìà 5.9. a)
Ïóñòü
U ⊆ Rn
îäíîðîäíàÿ ÑËÓ îò ïåðåìåííûõ
b)
Ïóñòü
L ⊆ Rn
- íåêîòîðîå ïîäïðîñòðàíñòâî. Òîãäà ñóùåñòâóåò
x1 , . . . , x n ,
ìíîæåñòâî ðåøåíèé êîòîðîé ðàâíî
- ëèíåéíîå ïîäìíîãîîáðàçèå. Òîãäà ñóùåñòâóåò ÑËÓ îò
íåèçâåñòíûõ, ìíîæåñòâî ðåøåíèé êîòîðîé ðàâíî Äîêàçàòåëüñòâî.
a)
U.
Ïóñòü
n
L.
U =< v1 , . . . , vk >, v1 , . . . , vk
- áàçèñ â
U.
v1 = (a11 , a12 , . . . , a1n ), ...
v2 = (a21 , a22 , . . . , a2n ),
vk = (ak1 , a12 , . . . , akn ). Çàïèøåì òàêóþ ñèñòåìó:
...
a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1n xn = 0 a x + a x + . . . + a x = 0 21 1 22 2 2n n a x + a x + . . . + a x = 0 k1 1 k2 2 kn n Ýòà ñèñòåìà åùå íå çàäàåò íàøå ïîäïðîñòðàíñòâî. Ðàññìîòðèì ÔÑÐ äëÿ ñèñòåìû
(5.3):
w1 = (c11 , c12 , . . . , c1n ), ...
w2 = (c21 , c22 , . . . , c2n ),
wm = (cm1 , cm2 , . . . , cmn ). Òîãäà
m = n − rk A
ïî Òåîðåìå 8,
rk A = k , m = n − k .
Ðàññìîòðèì ñèñòåìó 39
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА
ФОНД
ВОЛЬНОЕ ДЕЛО
(5.3)
ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU
c11 x1 + c12 x2 + . . . + c1n xn = 0 c x + c x + . . . + c x = 0 21 1 22 2 2n n c x + c x + . . . + c x = 0 ...
(5.4)
m1 1
è îáîçíà÷èì ÷åðåç
V
m2 2
mn n
ïîäïðîñòðàíñòâî ðåøåíèé ñèñòåìû
â
Rn .
(5.4). [ Åñëè â ñèñòåìó (5.4) ïîäñòàâèòü v1 = (a11 , a12 , . . . , a1n ), . . . , vk = (ak1 , a12 , . . . , akn ), ïîëó÷èì íóëè â ïðàâîé ÷àñòè, ïîòîìó ÷òî w1 = (c11 , c12 , . . . , c1n ), . . . , wm = (cm1 , cm2 , . . . , cmn ) - ðåøåíèå ñèñòåìû (5.3). Òîãäà ïî ïîñòðîåíèþ
 ñèñòåìå
v1 , . . . , vk
(5.4)
- ðåøåíèå ñèñòåìû
(5.4) ïðîèñõîäèò òî æå aij ìû ïîäñòàâèëè â
ôèöèåíòàìè, à 0.
cij
ñàìîå, òîëüêî òåïåðü, íàîáîðîò, êà÷åñòâå
x-îâ
ñòàëè êîýô-
è â ïðàâîé ÷àñòè òàêæå ïîëó÷èì
]
v1 , . . . , vk - ðåøåíèå ñèñòåìû (5.4) ⇒ U =< v1 , . . . , vk >⊆ V . [ V - ïîäïðîñòðàíñòâî, ïîýòîìó åñëè êàêèå-òî âåêòîðà â íåì ëåæàò, ëåæàþ âñå èõ ëèíåéíûå êîìáèíàöèè.] Ïîêà ìû äîêàçàëè òîëüêî
Ñ äðóãîé ñòîðîíû,
U ⊆V.
òî â íåì òàêæå
Òåïåðü ïîñ÷èòàåì ðàçìåðíîñòè.
dim V = n − rk C = n − m rk C = m.) Çäåñü
(Ïî îïðåäåëåíèþ ÔÑÐ
w1 , . . . , wk
-
ëèíåéíî íåçâèñèìû, è
c12 c12
. . . c1n . . . c1n .
...
c11 c11 C=
cm1 cm2 . . . cmn n − m = n − (n − k) = k = dim U = dim V . À åñëè îäíî ïîäïðîñòðàíñòâî ëåæèò äðóãîì, è èõ ðàçìåðíîñòè ñîâïàäàþò, òî ýòè ïðîñòðàíñòâà ñîâïàäàþò è V = U .
Èòàê, â
a)
Åñëè
L = ∅.
Òîãäà èñêîìàÿ ñèñòåìà ìîæåò áûòü, íàïðèìåð, òàêîé:
0x1 + 0x2 + . . . 0xn = 1 Ïóñòü òåïåðü
- òðåáóåìîå óðàâíåíèå.
L 6= ∅.
Òîãäà ïî îïðåäåëåíèþ ëèíåéíîãî ïîäìíîãîîáðàçèÿ
L = v + U , ãäå U ⊆ Rn
- ïîäïðî-
ñòðàíñòâî. Ïóñòü
...
c11 x1 + c12 x2 + . . . + c1n xn = 0 c x + c x + . . . + c x = 0 21 1 22 2 2n n c x + c x + . . . + c x = 0 m1 1
m2 2
mn n
40
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА
ФОНД
ВОЛЬНОЕ ДЕЛО
(5.5)
ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU
- îäíîðîäíàÿ ñèñòåìà ñ ìíîæåñòâîì ðåøåíèé
Ïîëîæèì
v = (α1 , . . . , αn )
U
(ñóùåñòâóåò ïî ï. à)).
bi = ci1 α1 + ci2 α2 + . . . + cin αn .
è
Òîãäà ñèñòåìà
(5.6)
...
c11 x1 + c12 x2 + . . . + c1n xn = b1 c x + c x + . . . + c x = b 21 1 22 2 2n n 2 c x + c x + . . . + c x = b m1 1
m2 2
mn n
- ýòî ÑËÓ, ìíîæåñòâî ðåøåíèé êîòîðîé ðàâíî
[ { =
L
m
(èñêîìàÿ).
Ïî äîêàçàííîìó â ïðîøëîé ëåêöèè,
ìíîæåñòâî ðåøåíèé ñèñòåìû
v+U
=
(5.5) }
=
v + {ìíîæåñòâî
ðåøåíèé ñèñòåìû
(5.6) }
L. ]
Òåîðåìà Êðîíåêåðà-Êàïåëëè (êðèòåðèé ñîâìåñòíîñòè ÑËÓ). Òåîðåìà 5.10. Êðîíåêåðà - Êàïåëëè (êðèòåðèé ñîâìåñòíîñòè ÑËÓ â
òåðìèíàõ ðàíãîâ) Ñèñòåìà
...
a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1n xn = b1 a x + a x + . . . + a x = b 21 1 22 2 2n n 2 a x + a x + . . . + a x = b m1 1
ñîâìåñòíà Çäåñü
A
m2 2
mn n
m
e. ⇔ rk A = rk A
- ìàòðèöà êîýôôèöèåíòîâ,
e A
- ðàñøèðåííàÿ ìàòðèöà.
e⇔ rk A = rk A a11 a1n a11 a1n b1 a21 a a a b , . . . , 2n > = dim < 21 , . . . , 2n , 2 >. dim < ...
...
...
...
...
Äîêàçàòåëüñòâî.
am1
amn
am1
amn
bm
a11 a1n a21 a , . . . , 2n > , =< ,..., , > ⇔ ⇔ is .
×åòíîñòü ïîäñòàíîâêè
σ
- ýòî ÷åòíîñòü ÷èñëî èíâåðñèé â
σ. Ïðèìåð.
1 2 3 4 5 2 5 4 1 3
Èíâåðñèè: âî âòîðîé ñòðîêå øå
2, 5, 4 ñòîÿò ðàíüøå 1; 4, 5 ñòîÿò ðàíüøå 3; 5 ñòîèò ðàíü-
4.
Âñåãî
ε
6
èíâåðñèé - ïîäñòíîâêà ÷åòíàÿ.
- ÷åòíàÿ ïîäñòàíîâêà.
Âîçüìåì â
ε
òðàíñïîçèöèþ äâóõ ñîñåäíèõ ýëåìåíòîâ
(i i + 1).
Ïîëó÷èì íå÷åòíóþ
ïîäñòàíîâêó (÷èñëî èíâåðñèé èçìåíèëîñü íà 1).
Òåïåðü âîçüìåì òðàíñïîçèöèþ äâóõ ëþáûõ ýëåìåíòîâ
(i j). Ïîëó÷èì òîæå íå÷åò-
íóþ ïîäñòàíîâêó. Äîêàæåì ýòî.
Ëåììà 8.13. Òîãäà
Ïóñòü
∀ σ ∈ Sn
(i j)
- ïðîèçâîëüíàÿ òðàíñïîçèöèÿ.
÷åòíîñòè ïîäñòàíîâîê
Äîêàçàòåëüñòâî.
σ
è
σ(i j)
ðàçëè÷íû.
Ñëó÷àé 1. (i j) = (i i + 1)
1 2 ... i i + 1 ... n 1 2 ... i i + 1 ... n (i i + 1) = i1 i2 . . . k s . . . in i1 i2 . . . s k . . . in
- ÷èñëî èíâåðñèé èçìåíèëîñü íà îäíó.
k
Åñëè áûëè êàêèå-òî èíâåðñèè áåç ó÷àñòèÿ èíâåðñèè, çàòðàãèâàþùèå îäíîãî èç òîëüêî ïîëîæåíèå
k
è
s
k , s,
è
s,
òî îíè íå èçìåíèëèñü. Åñëè áûëè
òî îíè òîæå íå ïîìåíÿëèñü (èçìåíèëîñü
îòíîñèòåëüíî äðóã äðóãà, íî íå îñòíîñèòåëüíî äðóãèõ ýëå-
ìåíòîâ). Èòàê, åäèíñòâåííîå èçìåíåíèå â èíâåðñèÿõ - ìåæäó èëè
k è s (èëè +1 èíâåðñèÿ,
−1).
Åñëè ÷èñëî èíâåðñèé èçìåíèëîñü íà
Ñëó÷àé 2. (i j)
- ëþáàÿ,
1,
òî ÷åòíîñòü ýòîãî ÷èñëà ïîìåíÿëàñü.
i < j.
(i j) = (j − 1 j)(j j + 1) . . . (i + 1 i + 2)(i i + 1)(i + 1 i + 2) . . . (j − 1 j) 60
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА
ФОНД
ВОЛЬНОЕ ДЕЛО
(8.1)
ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU
Ñëåäñòâèå. Ëþáàÿ ïîäñòàíîâêà ðàâíà ïðîèçâåäåíèþ òðàíñïîçèöèé ñîñåäíèõ ýëåìåíòîâ. Ò.ê. ëþáóþ ïîäñòàíîâêó ìîæíî ïðåäñòàâèòü ïðîèçâåäåíèåì òðàíñïîçèöèé, à ëþáóþ
(8.1).
òðàíñïîçèöèþ ìîæíî ïðåäñòòàâèòü â âèäå
Â
(8.1) 2(j − i − 1) + 1
ñîìíîæèòåëåé - íå÷åòíîå.
Çíà÷èò, óìíîæåíèå íà òðàíñïîçèöèþ
Òåîðåìà 8.14. =
Â
n! (n ≥ 2). 2
Sn
(i j)
ìåíÿåò ÷åòíîñòü ïîäñòàíîâêè.
÷èñëî ÷åòíûõ ïîäñòàíîâîê = ÷èñëî íå÷åòíûõ ïîäñòàíîâîê
σ1 , . . . , σk - âñå ÷åòíûå ïîäñòàíîâêè σ1 (1 2), . . . , σk (1 2) - íå÷åòíûå.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü Òîãäà ïîäñòàíîâêè
Åñëè
σ
- íå÷åòíàÿ, òî
σ(1 2)
äëèíû
n.
- ÷åòíàÿ.
Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî
σ = (σ(1 2))(1 2) = σ(1 2)2 = σε. Ëþáàÿ ÷åòíàÿ ïîäñòàíîâêà ïîëó÷àåòñÿ èç íå÷åòíîé óìíîæåíèåì íà
Ñðåäè
σ1 (1 2), . . . , σk (1 2)
(1 2).
âñòðåòÿòñÿ âñå íå÷åòíûå ïîäñòàíîâêè.
Âûâîä. Ìû óñòàíîâèëè áèåêöèþ ìåæäó ìíîæåñòâîì âñåõ ÷åòíûõ è ìíîæåñòâîì âñåõ íå÷åòíûõ ïîäñòàíîâîê. Çíà÷èò, ýòè ìíîæåñòâà ñîäåðæàò îäèíêîâîå ÷èñëî ýëåìåíòîâ.
Çíàê ïîäñòàíîâêè. Îïðåäåëåíèå 8.41.
Çíàê ïîäñòàíîâêè
( 1, åñëè σ ÷åòíàÿ, sgn (σ) = −1, åñëè σ íå÷åòíàÿ.
Òåîðåìà 8.15.
sgn (στ ) = sgn (σ) sgn (τ ), ∀σ, τ ∈ Sn . σ = σ1 . . . σk , τ = τ1 . . . τs sgn (τ ) = (−1)s .
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü Òîãäà
sgn (σ) = (−1)
k
,
- ïðîèçâåäåíèå òðàíñïîçèöèé.
στ = σ1 . . . σk τ1 . . . τs ⇒ sgn (στ ) = (−1)k (−1)s = (−1)k+s .
Ñëåäñòâèå 8.6.
sgn (σ) = sgn (σ −1 )
61
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА
ФОНД
ВОЛЬНОЕ ДЕЛО
ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU
Äîêàçàòåëüñòâî.
sgn (σ) sgn (σ −1 ) = sgn (σσ −1 ) = sgn (ε) = 1.
Óïðàæíåíèå 8.11.
×åòíîñòü öèêëà äëèíû
k
ðàâíà ÷åòíîñòè ÷èñëà
6. Îïðåäåëèòåëè
Ïîíÿòèå îïðåäåëèòåëÿ. Îïðåäåëåíèå 8.42.
Ïóñòü
A = (aij )
- ìàòðèöà ðàçìåðà
Åå îïðåäåëèòåëåì íàçûâàåòñÿ
det A =
X
sgn (σ)a1σ(1) . . . anσ(n)
σ∈Sn
62
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА
ФОНД
ВОЛЬНОЕ ДЕЛО
n × n.
k − 1.
ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU
Ëåêöèÿ 9 Íàïîìèíàíèå:
Ïóñòü
A = (aij )
- ìàòðèöà ðàçìåðà
n × n,
òîãäà
det A =
P
sgn (σ)a1σ(1) . . . anσ(n) .
σ∈Sn Çäåñü ìû èñïîëüçîâàëè îáîçíà÷åíèÿ, íåñêîëüêî îòëè÷àþùèåñÿ îò ââåäåííûõ ðàíåå. À èìåííî äðóãóþ çàïèñü ïîäñòàíîâêè
σ= Çäåñü
σ(i)
1 2 3 ... n i1 i2 i3 . . . in
- ðåçóëüòàò äåéñòâèÿ
σ
=
1 2 3 ... n . σ(1) σ(2) σ(3) . . . σ(n)
íà ýëåìåíò
i.
Ïðèìåðû íàõîæäåíèÿ îïðåäåëèòåëÿ. Ïðèìåðû: 1)
n=1 det a11 = a11 .
2)
n=2 a11 a12 det = a11 a22 − a12 a21 , a21 a22 òàê êàê â ýòîì ñëó÷àå
2
ïîäñòàíîâêè:
1 2 1 2
(÷åòíàÿ)
;
1 2 2 1
(íå÷åòíàÿ)
.
Ýòî ïðîèçâåäåíèå ýëåìåíòîâ ãëàâíîé äèàãîíàëè ìèíóñ ïðîèçâåäåíèå ýëåìåíòîâ íà ïîáî÷íîé.
3)
n=3 Âûïèøåì âñå ïîäñòàíîâêè:
1 2 3 1 2 3 1 2 3 ; ; 1 2 3 2 3 1 3 1 2
1 2 3 1 2 3 1 2 3 ; ; 2 1 3 3 2 1 1 3 2 63
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА
ФОНД
ВОЛЬНОЕ ДЕЛО
- ÷åòíûå
.
- íå÷åòíûå
.
ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU
a11 a12 a13 det a21 a22 a23 = a11 a22 a33 +a12 a23 a31 +a13 a21 a32 −a12 a21 a33 −a13 a22 a31 −a11 a23 a32 . a31 a32 a33 Çàïîìèíàòü êîìáèíàöèè ýëåìåíòîâ ìîæíî ñëåäóþùèì îáðàçîì:
Îïðåäåëèòåëü âåðõíåòðåóãîëüíîé ìàòðèöû. a11 ∗ 0 a22 det 0 0 0 0
∗ ∗ .
..
Ëåììà 9.14.
0
∗ ∗ = a11 a22 . . . ann . ∗ ann
Äîêàçàòåëüñòâî. Ìàòðèöà âåðõíåòðåóãîëüíà
Ðàññìîòðèì
Ñëó÷àé 1.
⇔ aij = 0
ïðè
j > i.
a1σ(1) . . . anσ(n) .
1 ≤ σ(1), . . . n ≤ σ(n).
Òîãäà ñëîæèì èõ è ïîëó÷èì:
1 + . . . + n ≤ σ(1) + . . . + σ(n) = 1 + . . . + n. 1 = σ(1), . . . n = σ(n) ⇒ 1 2 ... n σ= ⇒ ñëàãàåìîå a11 a22 . . . ann . 1 2 ... n
Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî
Ñëó÷àé 2.
∃ i : i > σ(i).
Ïî îïðåäåëåíèþ âåðõíåòðåóãîëüíîé ìàòðèöû
0. 64
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА
ФОНД
ВОЛЬНОЕ ДЕЛО
aiσ(i) = 0 ⇒ a1σ(1) a2σ(2) . . . anσ(n) =
ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU
Ñâîéñòâà îïðåäåëèòåëÿ. Åùå îäíà ôîðìà çàïèñè ìàòðèöû:
A1
...
A = (aij ) = , An A1 , . . . , An
1)
- ñòðîêè ìàòðèöû
A.
Ïîëèëèíåéíîñòü. Åñëè
Ai = αA0i + βA00i ,
òî
A01
...
A001
...
ãäå
...
...
0 det A = α det Ai + β det A00i 0 An A00n Äîêàçàòåëüñòâî.
det A =
X
sgn (σ)a1σ(1) . . . (αa0iσ(i) + βa00iσ(i) ) . . . anσ(n) =
σ∈Sn
=
X
α sgn (σ)a1σ(1) . . . a0iσ(i) . . . anσ(n) +
X
β sgn (σ)a1σ(1) . . . a00iσ(i) . . . anσ(n) =
σ∈Sn
σ∈Sn 0
= α det A + β det A00 .
Êîñîñèììåòðè÷íîñòü.
1 ≤ . . . ≤ i < j ≤ n.
Òîãäà
A1
...
A1
...
Ïóñòü
...
... ...
A A i j det = − det Aj Ai ...
2)
An
An
Äîêàçàòåëüñòâî.
X
sgn (σ)a1σ(1) . . . aiσ(i) . . . ajσ(j) . . . anσ(n) =
σ∈Sn
=
X
sgn (σ)a1τ (1) . . . aiτ (i) . . . ajτ (j) . . . anτ (n) =
σ(i j)=τ ∈Sn 65
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА
ФОНД
ВОЛЬНОЕ ДЕЛО
ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU
(sgn σ = − sgn τ ) =
X
− sgn (τ )a1τ (1) . . . anτ (n) = − det A.
τ ∈Sn
Ñëåäñòâèå 9.7.
Åñëè äâå ñòðîêè ìàòðèöû
A
ïðîïîðöèîíàëüíû, òî
det A =
0. Äîêàçàòåëüñòâî.
A1
A1
...
...
A1 ...
...
...
...
...
...
...
A A A i i i det = λ det = −λ det λAi Ai Ai An
An
An
λ det A = −λ det A. Îòñþäà
3)
det A = 0.
Òðàíñïîíèðîâàíèå. Íàïîìèíàíèå:
A = (aij ) AT = (aji ). det A = det AT
Äîêàçàòåëüñòâî.
det AT =
X
sgn (σ)aσ(1)1 . . . aσ(n)n =
σ∈Sn
σ(1) σ(2) . . . σ(n) 1 2 ... n −1 σ= ; σ = ; σ(1) σ(2) . . . σ(n) 1 2 ... n =
X
sgn (σ)a1σ−1 (1) . . . anσ−1 (n) =
X
sgn (σ −1 )a1σ−1 (1) . . . anσ−1 (n) =
σ −1 ∈Sn
σ∈Sn
sgn (σ) = sgn (σ −1 ) X X = sgn (σ)a1σ−1 (1) . . . anσ−1 (n) = sgn (σ −1 )a1σ−1 (1) . . . anσ−1 (n) = det A.
σ −1 ∈Sn
σ∈Sn
Ñëåäñòâèå 9.8.
Ïîëèëèíåéíîñòü è êîñîñèììåòðè÷íîñòü âûïîëíåíû òàêæå
ïî ñòîëáöàì. 66
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА
ФОНД
ВОЛЬНОЕ ДЕЛО
ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU
Ïðè òðàíñïîíèðîâàíèè ñòðîêè ïåðåõîäÿò â ñòîëáöû, ñëåäîâàòåëüíî, äëÿ íèõ ýòè ñâîéñòâà òîæå âûïîëíÿþòñÿ. 4)
Ïîâåäåíèå îïðåäåëèòåëÿ ïðè ýëåìåíòàðíûõ ïðåîáðàçîâàíèÿõ ñòðîê. (Äëÿ ñòîëáöîâ ïîñëå òðàíñïîíèðîâàíèÿ áóäåò òî æå ñàìîå.)
Òèï 1.
A0i = Ai + λAj i 6= j . A1
...
ïî ïîëèëèíåéíîñòè.
...
...
A j 0 det A = det A + λ det Aj An Âòîðîå ñëàãàåìîå ðàâíî 0, ïîýòîìó
det A0 = det A
- ïðè ýëåìåíòàðíîì ïðåîá-
ðàçîâàíèè 1 òèïà îïðåäåëèòåëü íå ìåíÿåòñÿ.
Òèï 2.
Ai ↔ Aj .
Ïî êîñîñèììåòðè÷íîñòè
det A0 = − det A.
Ýëåìåíòàðíîå ïðåîáðàçîâàíèå 2 òèïà ìåíÿåò çíàê îïðåäåëèòåëÿ.
A0i = λAi , λ 6= 0. 0 ïîëèëèíåéíîñòè: det A = λ det A.
Òèï 3. Ïî
Ñëåäñòâèå 9.9.
Ñâîéñòâî
det A = 0
èëè
det A 6= 0
íå èçìåíÿåòñÿ ïðè ýëå-
ìåíòàðíûõ ïðåîáðàçîâàíèÿõ.
Ñëåäñòâèå 9.10. det (λA) = λn det A.
Òåîðåìà îá ýêâèâàëåíòíîñòè íåðàâåíñòâà íóëþ îïðåäåëèòåëÿ. Òåîðåìà 9.16.
A
Ïóñòü
- ìàòðèöà ðàçìåðà
n × n.
ýêâèâàëåíòíû: 1)
det A 6= 0;
2) Ñòðîêè
A
3) Ñòîëáöû 4)
A
ëèíåéíî íåçàâèñèìû;
A
ëèíåéíî íåçàâèñèìû;
rk A = n);
íåâûðîæäåíà (
67
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА
ФОНД
ВОЛЬНОЕ ДЕЛО
Òîãäà ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ
ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU
5)
∃A−1 .
Äîêàçàòåëüñòâî.
(2) ⇔ (3) ⇔ (4)
ïî îïðåäåëåíèþ ðàíãà è ïî ðàâåíñòâó ñòðî÷íîãî
ðàíãà ñòîëáöîâîìó.
(4) ⇔ (5)
ïî òåîðåìå 7.12.
(1) ⇔ (4).
Îñòàåòñÿ äîêàçàòü, ÷òî
Ïðèâåäåì
Ìàòðèöà
A
A0
ê ñòóïåí÷àòîìó âèäó
ñòóïåí÷àòà
⇒
A0
ýëåìåíòàðíûìè ïðåîáðàçîâàíèÿìè ñòðîê.
âåðõíåòðåóãîëüíà, è åå îïðåäåëèòåëü ðàâåí ïðîèçâå-
äåíèþ äèàãîíàëüíûõ ýëåìåíòîâ.
det A 6= 0 ⇔ det A0 = 6 0 ⇔ ïðîèçâåäåíèå äèàãîíàëüíûõ ýëåìåíòîâ 6= 0 ⇔ 0 0 äèàãîíàëüíûå ýëåìåíòû 6= 0 ⇔ A ñòðîãî ñòóïåí÷àòà ⇔ rk A = rk A = n.
Òîãäà âñå
Òåîðåìà î ôóíêöèè, ñòàâÿùåé â ñîîòâåòñòâèå íàáîðó âåêòîðîâ ÷èñëî. Òåîðåìà 9.17.
Ïóñòü
ñî çíà÷åíèÿìè â
R,
F
- ôóíêöèÿ îò
n
âåêòîðíûõ àðãóìåíòîâ
v1 , . . . , vn ∈ Rn
ò.å.
F : Rn × Rn . . . × Rn → R.
Òîãäà
F
ïîëèëèíåéíà è êîñîñèììåòðè÷íà.
F (v1 , . . . , vn ) = F (e1 , . . . , en ) det A,
 ÷àñòíîñòè, åñëè
F (e1 , . . . , en ) = 1,
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü
vi =
n P
ãäå
òî
v1 A = . ...
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî
vn F = det A.
aij ej = (ai1 , . . . , ain ).
j=1 Òîãäà â ñèëó ïîëèëèíåéíîñòè
F (v1 , . . . , vn ) =
X
a1j1 . . . anjn F (ej1 , . . . , ejn )
j1 ,...,jn
F (ej1 , . . . , ejn ) = 0,
åñëè êàêèå-òî äâà èç
j1 , . . . , jn
ñîâïàäàþò (ïî êîñîñèììåòðè÷íî-
ñòè).
Ñ÷èòàåì, ÷òî
j1 , . . . , jn
ïîïàðíî ðàçëè÷íû
⇒ σ=
1 2 ... n j1 j2 . . . jn
.
σ â ïðîèçâåäåíèå òðàíñïîçèöèé. F (ej1 , . . . , ejn ) ê F (e1 , . . . , en ) ïðîèñõîäèò çà ñ÷åò k òðàíñïîçèöèé ⇒ çíàê ïîìåíÿåòñÿ k ðàç ⇒ ïîëó÷èì çíàê ïîäñòàíîâêè σ .
Ðàçëàãàåì Ïåðåõîä îò ìåíòîâ
68
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА
ФОНД
ВОЛЬНОЕ ДЕЛО
àðãó-
ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU
Èòàê,
F (v1 , . . . , vn ) =
X
sgn (σ)a1σ(1) . . . anσ(n) F (e1 , . . . , en ) = F (e1 , . . . , en ) det A.
σ∈Sn
69
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА
ФОНД
ВОЛЬНОЕ ДЕЛО
ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU
Ëåêöèÿ 10 Îïðåäåëèòåëü ñ óãëîì íóëåé. Îïðåäåëèòåëü Âàíäåðìîíäà. Ïóñòü
B D A= , 0 C
ãäå
B, C
- êâàäðàòíûå ìàòðèöû. Òîãäà
det A = det B det C Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðè ôèêñèðîâàííûõ ïîëèëèíåéíàÿ ôóíêöèÿ ñòðîê ìàòðèöû
B A,
è
D
det A êîñîñèììåòðè÷íàÿ ìàòðèöû C .
ôóíêöèÿ
ò.å. ñòðîê
Ïî òåîðåìå 9.17
B D det A = det det C. 0 E
B D F (e1 , . . . , ek ) := det 0 E
.
D ïåðâûé ìíîæèòåëü - ýòî ïîëèëèíåéíàÿ êîñîñèììåòðè÷íàÿ ìàòðèöû B . Òîãäà B D E D det = det det B = 1 det B. 0 E 0 E
Ïðè ôèêñèðîâàííîé ôóíêöèÿ ñòîëáöîâ
 èòîãå
det A = det B det C . Îïðåäåëèòåëü Âàíäåðìîíäà.
Åùå îäíî îáîçíà÷åíèå îïðåäåëèòåëÿ:
Ñëåäñòâèå 10.11.
Åñëè
x1 , . . . , x n
Y = (xj − xi ) j>i . . . xn−1 n ... ... ...
1 xn x2n
...
...
...
1 1 x1 x2 2 x22 V (x1 , . . . , xn ) = x1 xn−1 xn−1 1 2
det A = |A|.
- ïîïàðíî ðàçëè÷íûå ÷èñëà, òî
n: 1 1 x1 x2 = x2 − x1
V (x1 , . . . , xn ) 6= 0.
Äîêàçàòåëüñòâî. Èíäóêöèÿ ïî
n = 2.
Øàã:
- âåðíî.
n > 2.
Áóäåì âû÷èòàòü èç êàæäîé ñòðîêè ïðåäûäóùóþ, óìíîæåííóþ íà
x1 .
70
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА
ФОНД
ВОЛЬНОЕ ДЕЛО
...
...
...
1 1 ... 1 0 x2 − x1 ... x n − x1 = V (x1 , . . . , xn ) = 0 xn−2 (x − x ) . . . xn−2 (x − x ) 2 1 2 1 2 n
ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU
...
...
...
...
x2 − x1 1 ... 1 ... x n − x1 = (x2 − x1 ) . . . (xn − x1 ) = = |1| xn−2 . . . xn−2 xn−2 (x − x ) . . . xn−2 (x − x ) 2 1 2 1 2 2 n n = (x2 − x1 ) . . . (xn − x1 )V (x2 , . . . , xn ). Ïî ïðåäïîëîæåíèþ èíäóêöèè
(x2 − x1 ) . . . (xn − x1 )V (x2 , . . . , xn ) = (x2 − x1 ) . . . (xn − x1 )
Y
(xj − xi ) =
j>i>1
Y (xj − xi ). j>i
Ìèíîðû. Ïóñòü
A
- ìàòðèöà ðàçìåðà
n×n
Ðàññìîòðèì äâà íàáîðà èíäåêñîâ
è
1 ≤ k ≤ n.
1 ≤ i1 < i2 < . . . < ik ≤ n
è
1 ≤ j1 < j2 < . . .
r.
Ëþáûå
s×s
ðàâíû íóëþ, à ïîòîì ÷òî ñóùåñòâóåò ìèíîð ïîðÿäêà
Äîêàæåì, ÷òî âñå ìèíîðû ïîðÿäêà
s
r.
ðàâíû íóëþ.
s ñòðîê ìàòðèöû A ëèíåéíî çàâèñèìû. Òîãäà ñòðîêè â ëþáîé ïîäìàòðèöå
ëèíåéíî çàâèñèìû.
Åñëè "äëèííûå"
s
ñòðîê ìàòðèöû
A
áûëè ëèíåéíî çàâèñèìû, òî è óêîðî÷åííûå
ñòðîêè ïîäìàòðèöû áóäóò ëèíåéíî çàâèñèìû, òàê êàê ëèíåéíûå ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó îòäåëüíûìè ýëåìåíòàìè â ñòîëáöå ñîõðàíÿþòñÿ.
78
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА
ФОНД
ВОЛЬНОЕ ДЕЛО
ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU
Òîãäà îïðåäåëèòåëü ìèíîðà (ïîäìàòðèöû
s × s)
ðàâåí íóëþ, è ïåðâûé ïóíêò äî-
êàçàí.
r.
Ïåðåõîäèì ê äîêàçàòåëüñòâó ñóùåñòâîâàíèÿ íåíóëåâîãî ìèíîðà ïîðÿäêà Â ìàòðèöå
A
åñòü
r
ëèíåéíî íåçâèñèìûõ ñòðîê
Ai1 , . . . , Air .
e= A
Ai1
...
Ðàññìîòðèì ìàòðèöó
.
A ir e ñóùåñòâóåò r A j1 , . . . , jr .
Ïî òåîðåìå î ñîâïàäåíèè ñòðî÷íîãî è ñòîëáöîâîãî ðàíãà â íåçàâèñèìûõ ñòîëáöîâ. Ïóñòü ýòî ñòîëáöû ñ íîìåðàìè
ëèíåéíî
Òîãäà ìèíîð
Di1 ,...,ir ,j1 ,...,jr 6= 0. Ïîòîìó ÷òî íà ïåðåñå÷åíèè ñòðîê ñ íîìåðàìè
j1 , . . . , jr
èñõîäíîé ìàòðèöû
ìàòðèöà ïîðÿäêà
A
i1 , . . . , ir
è ñòîëáöîâ ñ íîìåðàìè
îáðàçóåòñÿ íåîáõîäèìàÿ íàì íåâûðîæäåííàÿ ïîä-
r. 7. Îñíîâíûå àëãåáðàè÷åñêèå ñòðóêòóðû.
Áèíàðíûå îïåðàöèè. Ïîíÿòèå ïîëóãðóïïû. Ïðèìåðû. Îïðåäåëåíèå 11.48.
Áèíàðíàÿ îïåðàöèÿ íà ìíîæåñòâå
M
- ýòî îòîáðàæåíèå
M × M → M, (a, b) → a ◦ b. Êàæåòñÿ, ÷òî ìû íàêëàäûâàåì î÷åíü ìàëî îãðàíè÷åíèé íà îòîáðàæåíèå, íî, íà ñàìîì äåëå, ýòî íå òàê. Âî-ïåðâûõ, îíî äîëæíî ñîïîñòàâëÿòü ëþáîé ïàðå
M ×M
ýëåìåíò ìíîæåñòâà
Âîïðîñ. Ïóñòü
|M | = m.
M,
à âî-âîòîðûõ, ðîâíî îäèí.
Ñêîëüêî íà
M
ñóùåñòâóåò áèíàðíûõ îïåðàöèé?
79
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА
ФОНД
ВОЛЬНОЕ ДЕЛО
(a, b) ∈
ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU
Áèíàðíûå îïåðàöèè óäîáíî ñ÷èòàòü ñ ïîìîùüþ òàáëèö óìíîæåíèÿ:
aj
...
a1
. . . . . . a i ◦ aj
...
ai
. . . am
... ...
a1 . . .
am Ïîëó÷àåì, ÷òî âñåãî áèíàðíûõ îïåðàöèé
Îïðåäåëåíèå 11.49.
◦,
Ïîëóãðóïïà
(S, ◦)
mm
2
.
- ýòî ìíîæåñòâî
S
ñ áèíàðíîé îïåðàöèåé
óäîâëåòâîðÿþùåé òðåáîâàíèþ àññîöèàòèâíîñòè:
a ◦ (b ◦ c) = (a ◦ b) ◦ c, ∀ a, b, c ∈ S. Ïðèìåðû. 1)
(N, +).
2)
(N, ×).
3) Ìåíåå òðèâèàëüíûé ïðèìåð: Ïóñòü
S
- ìíîæåñòâî âñåõ îòîáðàæåíèé
M → M,
è ïóñòü
φ, ψ
- äâà òàêèõ
îòîáðàæåíèÿ. Òîãäà àññîöèàòèâíîé áèíàðíîé îïåðàöèåé äëÿ íèõ áóäåò êîìïîçèöèÿ:
φ ◦ ψ. 4) Âîçüìåì â êà÷åñòâå ìíîæåñòâà
S
êîìïîçèöèþ ñëåäóþùèì îáðàçîì:
ëþáîå ìíîæåñòâî
M
è îïðåäåëèì íà íåì
M
è îïðåäåëèì íà íåì
a ◦ b = a.
Ýòà îïåðàöèÿ àññîöèàòèâíà:
a ◦ (b ◦ c) = a ◦ b = a; (a ◦ b) ◦ c = a ◦ c = a. 5) Âîçüìåì â êà÷åñòâå ìíîæåñòâà
S
êîìïîçèöèþ ñëåäóþùèì îáðàçîì:
ëþáîå ìíîæåñòâî
a ◦ b = U ∈ M.
Òîãäà àññîöèàòèâíîñòü òîæå áóäåò âåðíà:
a ◦ (b ◦ c) = a ◦ U = U ; (a ◦ b) ◦ c = U ◦ c = U. 6) Ïðèâåäåì ïðèìåð íå àññîöèàòèâíîé îïåðàöèè. Âîçüìåì â êà÷åñòâå ìíîæåñòâà
S
ìíîæåñòâî íàòóðàëüíûõ ÷èñëåë
ëèì íà íåì áèíàðíóþ îïåðàöèþ êàê âîçâåäåíèå â ñòåïåíü:
2 ◦ (1 ◦ 3) = 2 ◦ 13 = 2 ◦ 1 = 21 = 2; (2 ◦ 1) ◦ 3 = 21 ◦ 3 = 2 ◦ 3 = 23 = 8. 80
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА
ФОНД
ВОЛЬНОЕ ДЕЛО
N è îïðåäåa ◦ b = ab . Òîãäà
ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU
Ìîíîèäû. Ãðóïïû. Àáåëåâû ãðóïïû. Ïðèìåðû. Îïðåäåëåíèå 11.50.
Ïîëóãðóïïà
(S, ◦)
íàçûâàåòñÿ ìîíîèäîì, åñëè â
âåò åäèíèöà èëè íåéòðàëüíûé ýëåìåíò, ò.å. òàêîé ýëåìåíò
S
ñóùåñò-
e ∈ S:
e ◦ a = a ◦ e = a, a ∈ S. Åñëè åäèíèöà ñóùåñòâóåò, òî îíà åäèíñòâåííà. Â ñàìîì äåëå, åñëè áû ñóùåñòâîâàëî äâå åäèíèöû
e1 , e2 ,
òî áûëî áû âûïîëíåíî:
e1 = e1 ◦ e2 = e2 . Ïðèìåðû. 1)
(N, +)
- ìîíîèä?
 Ðîññèè - íåò, âî Ôðàíöèè - äà.
Ýòî ñâÿçàíî ñ òåì, ÷òî â Ðîññèè íàòóðàëüíûìè ÷èñëàìè ñ÷èòàþò
N = {1, 2, . . .},
N = {0, 1, 2, . . .}. 0 âêëþ÷åí â ìíîæåñòâî íàòóðàëüíûõ ÷èñåë, òî îí ÿâëÿåòñÿ íåéòðàëüíûì
à âî ìíîãèõ åâðîïåéñêèõ ñòðàíàõ Åñëè
ýëåìåíòîì. 2)
(N, ×)
- ìîíîèä âñåãäà. Åäèíèöà çäåñü
Îïðåäåëåíèå 11.51.
(G, ◦) íàçûâàåòñÿ ãðóïïîé, åñëè ∀g ∈ G ñóùåñòâóåò òàêîé h ∈ G ÷òî g ◦ h = h ◦ g = e.
Ìîíîèä
îáðàòíûé ýëåìåíò, ò.å. Îáîçíà÷åíèå:
e = 1.
h = g −1 .
Îïðåäåëåíèå 11.52.
Ãðóïïà
(G, ◦)
íàçûâàåòñÿ êîììóòàòèâíîé (èëè àáåëåâîé),
åñëè
∀ a, b ∈ G a ◦ b = b ◦ a. Ñèñòåìà îáîçíà÷åíèé. Îïåðàöèÿ
◦
ìîæåò áûòü àääèòèâíîé èëè ìóëüòèïëèêàòèâíîé.
 àääèòèâíîì ñëó÷àå
◦ ≡ +,
â ìóëüòèïëèêàòèâíîì
◦ ≡ ·.
 àääèòèâíîì ñëó÷àå íåéòðàëüíûé ýëåìåíò îáîçíà÷àåì åäèíèöó êàê
0,
â ìóëüòèïëèêàòèâíîì
1.
Îáðàòíûé ýëåìåíò â àääèòèâíîì ñëó÷àå
−a,
â ìóëüòèïëèêàòèâíîì -
a−1 .
Ïðèìåðû ãðóïï. 1)
(Z, +)
- àáåëåâà ãðóïïà.
Òàê êàê ñëîæåíèå öåëûõ ÷èñåë êîììóòèòèâíî è àññîöèàòèâíî. Îáðàòíûé ýëåìåíò 2)
−a, a ∈ N.
(N, ×)
- íå ãðóïïà.
Íåéòðàëüíûå ÷èñëà ê íàòóðàëüíûì - äðîáè, êîòîðûå óæå íå ëåæàò â ìíîæåòâå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë. Ýòî çíà÷èò, ÷òî ñîçäàòü ìóëüòèïëèêàòèâíóþ ãðóïïó ìîæíî òîëüêî êàê ìèíèìóì ñ ìíîæåñòâîì ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë. 81
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА
ФОНД
ВОЛЬНОЕ ДЕЛО
ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU
3)
(Q>0 , ×)
- àáåëåâà ãðóïïà.
Óìíîæåíèå êîììóòàòèâíî è àññîöèàòèâíî, åäèíèöà - ÷èñëî ìåíò ê 4)
a ∈ Q>0
(Q\{0}, ×)
åñòü
1 a
1,
îáðàòíûé ýëå-
∈ Q>0 .
- àáåëåâà ãðóïïà.
Íîëü íå ìîæåò íàõîäèòüñÿ â ìóëüòèïëèêàòèâíîé ãðóïïå, òàê êàê äëÿ íåãî íå ñóùåñòâóåò îáðàòíîãî ýëåìåíòà. 5)
(R, +), (R\{0}, ×), (Rn , +)
- àáåëåâû ãðóïïà.
6) Ãðóïïà âû÷åòîâ ïî ìîäóëþ
n
òàêæå àáåëåâà:
(Zn = {0, 1, . . . , n − 1, +) Íåéòðàëüíûé ýëåìåíò -
0,
îáðàòíûé ýëåìåíò ê âû÷åòó
k
- ýòî âû÷åò
n − k.
Ñëîæåíèå âû÷åòîâ àññîöèàòèâíî è êîììóòàòèâíî.
Ó ýòîé ãðóïïû åñòü îòëè÷èòåëüíîå îò âñåõ ïðåäûäóùèõ ñâîéñòâî - îíà êîíå÷íà.
Ïðèìåðû íåàáåëåâûõ ãðóïï. 1) Ãðóïïà ïîäñòàíîâîê äëèíû
n (Sn , ◦), |Sn | = n!.
Ïðè
n≥3
- íåàáåëåâà.
Íåéòðàëüíûé ýëåìåíò - òîæäåñòâåííàÿ ïîäñòàíîâêà, îáðàòíàÿ ïîäñòàíîâêà îïðåäåëåíà äëÿ êàæäîãî ýëåìåíòà, êîìïîçèöèÿ àññîöèàòèâíà, ñëåäîâàòåëüíî, ýòî ãðóïïà.
Ïðè ýòîì êîìïîçèöèÿ íå îáëàäàåò ñâîéñòâîì êîììóòàòèâíîñòè, ïîýòîìó ãðóïïà íå áóäåò àáåëåâîé. 2) Êâàäðàòíûå ìàòðèöû ðàçìåðà
M at(n × n, ×)
n × n:
- ìîíîèä, íî íå ãðóïïà.
Åäèíèöà - åäèíè÷íàÿ ìàòðèöà. Îäíàêî ó ìàòðèö ñ íóëåâûì îïðåäåëèòåëåì íå ñóùåñòâóåò îáðàòíîãî ýëåìåíòà, ïîýòîìó òàêîé ìîíîèä íå ÿâäÿåòñÿ ãðóïïîé.
n × n: GLn (R) = {A ∈ M at(n × n, R), det A 6= 0} - ñ îïåðàöèåé
3) Êâàäðàòíûå íåâûðîæäåííûå ìàòðèöû
óìíîæåíèÿ ãðóïïà.
Åäèíèöà - åäèíè÷íàÿ ìàòðèöà, îáðàòíàÿ ìàòðèöà îïðåäåëåíà äëÿ âñåõ ýëåìåíòîâ, óìíîæåíèå ìàòðèö àññîöèàòèâíî.
Óìíîæåíèå ìàòðèö íå êîììóòàòèâíî, ïîýòîìó ãðóïïà íå àáåëåâà.
82
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА
ФОНД
ВОЛЬНОЕ ДЕЛО
ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU
4) Êâàäðàòíûå ìàòðèöû ñ åäèíè÷íûì îïðåäåëèòåëåì:
SLn (R) = {A ∈ M at(n × n, R), det A = 1}
- ñ îïåðàöèåé óìíîæåíèÿ òàêæå
áóäåò ãðóïïîé.
Áîëåå óçêàÿ ãðóïïà ìàòðèö, îáëàäàþùàÿ âñåìè ñâîéñòâàìè ïðåäûóùåãî ïðèìåðà.
83
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА
ФОНД
ВОЛЬНОЕ ДЕЛО
ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU
Ëåêöèÿ 12 Íàïîìíèì âçàèìíûå âêëþ÷åíèÿ àëãåáðàè÷åñêèõ ñòðóêòóð, îïðåäåëåííûõ íà ïðîøëîé ëåêöèè: Ïîëóãðóïïû
⊇
Ìîíîèäû
⊇
Ãðóïïû
⊇
Àáåëåâû ãðóïïû.
Íà ýòîé ëåêöèè ðàññìîòðèì îáúåêòû íåìíîãî äðóãîãî ñîðòà: êîëüöà è ïîëÿ (êîëüöà
⊇
ïîëÿ).
Óïðàæíåíèå 12.12. Äîêàæèòå, ÷òî
G
Ïóñòü
G
- ãðóïïà è
∀ g ∈ G gg = e.
àáåëåâà.
Êîëüöî. Îïðåäåëåíèå è ïðèìåðû. Îïðåäåëåíèå 12.53.
Êîëüöî - ýòî ìíîæåñòâî
(R, +, ·)
ñ äâóìÿ áèíàðíûìè îïå-
ðàöèÿìè. Îòíîñèòåëüíî ñëîæåíèÿ ýòî àáåëåâà ãðóïïà; È âûïîëíåíî ñâîéñòâî äèñòðèáóòèâíîñòè îòíîñèòåëüíî óìíîæåíèÿ:
a(b + c) = ab + ac, (b + c)a = ba + ca, ∀ a, b, c ∈ R. Ñëåäñòâèå 12.12.
0 · a = a · 0 = 0. Ýòî óòâåðæäåíèå êàæåòñÿ âïîëíå åñòåñòâåííûì, íî íàïîìíèì, ÷òî
0
- ýòî íåé-
òðàëüíûé ýëåìåíò ïî ñëîæåíèþ, à ìû èìååì äåëî ñ ïðîèçâîëüíûì ìíîæåñòâîì è ïðîèçâîëüíûìè áèíàðíûìè îïðåàöèÿìè íà íåì.
Òîãäà ñòàíîâèòñÿ íå âïîëíå î÷åâèäíûì, ÷òî óìíîæåíèå íà íåéòðàëüíûé ïî ñëîæåíèþ ýëåìåíò äàñò â ðåçóëüòàòå
0.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïî îïðåäåëåíèþ
a + 0 = 0 + a = a, ∀ a ∈ R.
Âîñïîëüçóåìñÿ äèñòðèáóòèâíîñòüþ:
a · 0 = a · (0 + 0) = a · 0 + a · 0. Ïðèáàâëÿåì ê ëåâîé è ïðàâîé ÷àñòè
−a · 0
−a · 0 + a · 0 = −a · 0 + (a · 0 + a · 0). Ïðåîáàçóåì ëåâóþ è ïðàâóþ ÷àñòè ðàâåíñòâà, ïîëó÷èì
0 = (−a · 0 + a · 0) + a · 0 = a · 0. a · 0 = 0. Àíàëîãè÷íî, 0 · a = 0. Èòàê,
84
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА
ФОНД
ВОЛЬНОЕ ДЕЛО
ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU
Ó íàñ:
1) Êîëüöî àññîöèàòèâíî, ò.å. 2) Êîëüöî ñ åäèíèöåé, ò.å.
Îïðåäåëåíèå 12.54.
a(bc) = (ab)c, ∀ a, b, c ∈ R;
∃ 1 ∈ R : 1 · a = a · 1 = a, ∀a ∈ R.
Êîëüöî
R
êîììóòàòèâíî, åñëè
a · b = b · a, ∀a, b ∈ R.
Ïðèìåðû.
1)
(Z, +, ×)
- êîììóòàòèâíîå êîëüöî.
2)
(Q, +, ×)
- êîììóòàòèâíîå êîëüöî.
3)
(R, +, ×)
- êîììóòàòèâíîå êîëüöî.
4)
(M at(n × n), +, ×)
5)
(F (M, R))
- íåêîììóòàòèâíîå êîëüöî.
M - ïðîèçâîëüíîå ìíîæåñòâî, f : M → R. F (M, R) = {f : M → R}.
- êîëüöî ôóíêöèé. Çäåñü
Ðàññìîòðèì âñå òàêèå ôóíêöèè
Ââåäåì íà ýòîì ìíîæåñòâå áèíàðíûå îïåðàöèè:
(f1 + f2 )(m) = f1 (m) + f2 (m), ∀m ∈ M. (f1 · f2 )(m) = f1 (m) · f2 (m), ∀m ∈ M. ×òîáû ïîêàçàòü, ÷òî ýòî êîëüöî, íóæíî ïðîâåðèòü ñëåäóþùåå:
ìíîæåñòâî ôóíêöèé ñ îïåðàöèåé ñëîæåíèÿ - àáåëåâà ãðóïïà; óìíîæåíèå ôóíêöèé àññîöèàòèâíî è îáëàäàåò åäèíèöåé (çäåñü åäèíèöà - ýòî
f ≡ 1); òàêæå èç êîììóòàòèâíîñòè óìíîæåíèÿ äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë ñëåäóåò êîììóòàòèâíîñòü óìíîæåíèÿ ôóíêöèé.
Èòàê, êîëüöî ôóíêöèé - êîììóòàòèâíîå êîëüöî. 6)
(Zn , +, ×)
- êîíå÷íîå êîììóòàòèâíîå êîëüöî âû÷åòîâ.
Îáðàòèìîñòü ýëåìåíòà. Äåëèòåëè íóëÿ. Îïðåäåëåíèå 12.55. Îáîçíà÷åíèå:
R×
b=a
−1
Ýëåìåíò
a∈R
îáðàòèì, åñëè
.
- ìíîæåñòâî îáðàòèìûõ ýëåìåíòîâ.
 íàøèõ ïðèìåðàõ: 85
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА
ФОНД
ВОЛЬНОЕ ДЕЛО
∃b ∈ R : ab = ba = 1.
ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU
1)
Z× = {−1, 1},
òàê êàê äëÿ âñåõ îñòàëüíûõ ýëåìåíòîâ îáðàòíûå áóäóò äðîáíû-
ìè.
2)
Q× = Q\0.
3)
R× = Q\0.
4)
(M at(n × n))× = GLn (R) = {A : det A 6= 0}.
Ìàòðèöà îáðàòèìà
⇔
îíà íåâû-
ðîæäåíà.
5)
(F (M, R))× = {f : f (m) 6= 0, ∀m ∈ M }/,
6)
Z× n = {k : (k, n) = 1}.
Îïðåäåëåíèå 12.56.
∃b ∈ R, b 6= 0,
òàê êàê
f −1 (m) =
1 . f (m)
(Ïî òåîðåìå èç êóðñà òåîðèè ÷èñåë.)
Ýëåìåíò
a∈R
íàçûâàåòñÿ äåëèòåëåì íóëÿ, åñëè
a 6= 0
è
òàêîé ÷òî
ab = 0 (ëåâûé
,
äåëèòåëü íóëÿ)
ba = 0 (ïðàâûé
.
äåëèòåëü íóëÿ)
Äåëèòåëè íóëÿ: 1) Â
Z
íåò äåëèòåëåé íóëÿ, ò.ê. ïðîèçâåäåíèå ëþáûõ äâóõ íåíóëåâûõ ýëåìåíòîâ
íåíóëåâîå. 2) Â
Q
íåò äåëèòåëåé íóëÿ.
3) Â
R
òàêæå íåò.
4)
M at(n × n) A : det A = 0.
5)
F (M, R) : {0 6= f( : ∃m0 : f (m0 ) = 0}. Åñëè òàêóþ 0, m 6= m0 ; êàêóþ-òî g(m) = , òî ïîëó÷èì 0. c 6= 0, m = m0 .
6)
Zn : {0 6= k : (n, k) 6= 1}
Óïðàæíåíèå 12.13.
(Çàäà÷à.)
Ïîêàæèòå, ÷òî åñëè ýëåìåíò
äåëèòåëåì íóëÿ.
86
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА
ФОНД
ВОЛЬНОЕ ДЕЛО
ôóíêöèþ óìíîæèòü íà
a îáðàòèì, òî îí íå ÿâëÿåòñÿ
ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU
Íèëüïîòåíò. Îïðåäåëåíèå è ïðèìåðû. Îïðåäåëåíèå 12.57.
Ýëåìåíò
a∈R
íèëüïîòåíò, åñëè
a 6= 0
è
∃n : an = 0.
Ïðèìåðû: 1)
M at(2 × 2) : 2 0 1 0 0 = 0 0 0 0 Íà ñàìîì äåëå, ìîæíî ïðèäóìàòü ìàòðèöó, â êîòîðîé íåò íóëåé, íî îíà íèëüïîòåíò. (Óïðàæåíèå.)
2)
2
Z4 : 2 = 0. Çàäà÷à: ïðè êàêèõ
n
ñóùåñòâóþò íèëüïîòåíòû? Êàê îíè óñòðîåíû?
Ïîëå. Îïðåäåëåíèå è ïðèìåðû. Çàìå÷àíèå î òåðìèíîëîãèè. Íåò îäíîçíà÷íîãî îòâåòà íà âîïðîñ, ïî÷åìó îïèñàííûå ñòðóêòóðû íàçûâàþòñÿ èìåííî êîëüöàìè è ïîëÿìè. Îäíàêî ñóùåñòâóåò ñëåäóþùåå ïðåäïîëîæåíèå: êîëüöà è ïîëÿ ââîäèëèñü, â îñíîâíîì, â Ãåðìàíèè â XIX âåêå.  ýòî âðåìÿ ó íåìåöêîãî ñëîâà
K¨orper
(ñîâðåìåííîå çíà÷åíèå - ÷åëîâå÷åñêîå òåëî) ñóùåñòâîâàëî åùå îäíî
çíà÷åíèå, èç êîòîðîãî ïîçæå îáðàçîâàëîñü ñëîâî "êîðïîðàöèÿ" (ò.å. æåñòêàÿ óïîðÿäî÷åííÿ ñòðóêòóðà).
 ýòîì ñìûñëå êîëüöî ïîíèìàëîñü êàê áîëåå ñâîáîäíûé îáúåêò ñ ìåíüøèì êîëè÷åñòâîì îãðàíè÷åíèé, à ïîëå - êàê áîëåå æåñòêàÿ ñòðóêòóðà.
Îïðåäåëåíèå 12.58.
Ïîëå - ýòî êîììóòàòèâíîå êîëüöî, â êîòîðîì ëþáîé íåíó-
ëåâîé ýëåìåíò îáðàòèì. Îïðåäåëåíèå ïîëÿ ìîæíî ïîíèìàòü òàê: ýòî êîììóòàòèâíàÿ ãðóïïà, à ïî óìíîæåíèþ - ïî÷òè êîììóòàòèâíàÿ. Åñëè âûáðîñèòü èç ãðóïïû
0, ïîëó÷èì êîììóòàòèâíîå
óìíîæåíèå.
Ïðèìåðû. 1)
Z
2)
Q, R, C
Ïîñòðîèòü ïîëå çíà÷èòåëüíî ñëîæíåå, ÷åì êîëüöî.
- íå ïîëå. - ïîëÿ.
3) Èç ìàòðèö íåëüçÿ ïîñòðîèòü ïîëå, òàê êàê äàæå ïðè óñëîâèè, ÷òî ìû îñòàâèì, òîëüêî îáðàòèìûå ìàòðèöû, âîçíèêíåò ñëåäóþùàÿ ïðîáëåìà ñî ñëîæåíèåì:
A + (−A) = 0
- íåîáðàòèìàÿ ìàòðèöà. Èëè
1 0 1 0 2 0 + = 0 1 0 −1 0 0 Êàæäàÿ èç ýòèõ ìàòðèö îáðàòèìà, à èõ ñóììà - íåò. 87
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА
ФОНД
ВОЛЬНОЕ ДЕЛО
ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU
Òåîðåìà 12.21. Zn
- ïîëå
⇔n
- ïðîñòîå.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ñõåìà äîêàçàòåëüñòâà, îñíîâàííîãî íà óòâåðæäåíèè èç êóðñà òåîðèè ÷èñåë:
Êîììóòàòèâíîñòü î÷åâèäíà, íóæíî ðàçîáðàòüñÿ ñ îáðàòíûìè ýëåìåíòàìè.
Z× n = {k : (n, k) = 1}, òî èç {k : (n, k) = 1} = Zn \{0} ⇔ n - ïðîñòîå. (Ïîíÿòíî, âçàèìíî ïðîñòû ñ n òîëüêî åñëè n ïðîñòîå.) Åñëè ìû äîêàæåì, ÷òî
Óòâåðæäåíèå
Z× n = {k : (n, k) = 1}
ýòîãî áóäåò ñëåäîâàòü, ÷òî ÷òî âñå ÷èñëà, ìåíüøèå
n,
áûëî äîêàçàíî â êóðñå òåîðèè ÷èñåë.
Âòîðîé âàðèàíò äîêàçàòåëüñòâà:
(⇒)
Îò ïðîòèâíîãî: ïóñòü
n = k · s, 1 < k < n, 1 < s < n.
ks = 0.
Òîãäà
Åñëè áû ñóùåñòâîâàë âû÷åò, îáðàòíûé ê
k,
−1
òî
−1
s = k ks = k 0 = 0. Ïðîòèâîðå÷èå.
(⇐)
n = p - ïðîñòîå è a a1, a2, . . . , ap − 1. Âñå
Ïóñòü
Ðàññìîòðèì
íåíóëåâîé âû÷åò. îíè íåíóëåâûå è ðàçíûå.
ai äàâàëî 0 ïî ìîäóëþ p, òî ýòî áû íà p. Ò.ê. åñëè ïðîñòîå ÷èñëî äåëèò
Íåíóëåâûå: åñëè áû êàêîå-òî èç ïðîèçâåäåíèé èçíà÷àëî, ÷òî ïðîèçâåäåíèå ÷èñåë
ai
äåëèòñÿ
ïðîèçâåäåíèå, òî îíî äåëèò îäèí èç ñîìíîæèòåëåé. Òóò îáà ìíîæèòåëÿ ìåíüøå
Ðàçíûå: åñëè áû
p,
ïîýòîìó
p
íå ìîæåò äåëèòü íèêîãî èç íèõ.
as = al, òî a(s−l) = 0. Äàëüøå ðàññóæäàåì êàê â äîêàçàòåëüñòâå
òîãî, ÷òî ïðîèçâåäåíèÿ íåíóëåâûå.
p − 1 âû÷åòîâ, −1 òîãäà s = a .
Ðàç âñå âû÷åòû íåíóëåâûå è ðàçíûå, òî íàïèñàíî ñðåäè íèõ åñòü
1.
Ýòî çíà÷èò, ÷òî
∃s : as = 1,
à
ñëåäîâàòåëüíî,
Ïðîñòûõ ÷èñåë áåñêíå÷íî ìíîãî, ñëåäîâàòåëüíî, ìû òîëüêî ÷òî ïîñòðîèëè áåñêîíå÷íî ìíîãî ïðèìåðîâ êîíå÷íûõ ïîëåé.
Áûâàþò è äðóãèå êîíå÷íûå ïîëÿ, èõ ïîëíàÿ êëàññèôèêàöèÿ áóäåò äàíà â êîíöå 3 ñåìåñòðà.
Ïðèìåð äåëåíèÿ:
3 −1 (mod7) = 3 · 5 = 3 · 3 = 2. 5 Íàõîäèòü ÷àñòíîå ìîæíî ïåðåáîðîì èëè ñ ïîìîùüþ àëãîðèòìà Åâêëèäà (íàïîìèíàíèå èç êóðñà òåîðèè ÷èñåë). 88
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА
ФОНД
ВОЛЬНОЕ ДЕЛО
ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU
Õàðàêòåðèñòèêà ïîëÿ. Îïðåäåëåíèå 12.59. ÷èñëî
p
F - ýòî íàèìåíüøåå 0: 1| + 1 + {z. . . + 1} = 0.
Õàðàêòåðèñòèêà ïîëÿ
òàêîå, ÷òî ñóììà
p
åäèíèö ðàâíà
íàòóðàëüíîå
p
p íå ñóùåñòâóåò, Îáîçíà÷åíèå: char F . Åñëè òàêîãî
òî ãîâîðÿò, ÷òî õàðàêòåðèñòèêà ðàâíà íóëþ.
Ïðèìåðû. 1)
char Q = char R = 0.
2)
char Zp = p
Ñîçäàåòñÿ âïå÷àòëåíèå, ÷òî ó áåñêîíå÷íîãî ïîëÿ õàðàêòåðèñòèêà
0,
à ó êîíå÷íîãî
6= 0. Ýòî òîëüêî ÷àñòè÷íî âåðíî. Ëåãêî ïîêàçàòü, ÷òî ó êîíå÷íîãî ïîëÿ õàðàêòåðèñòèêà âñåãäà
6= 0, íî ìîæíî ïîñòðîèòü è áåñêîíå÷íîå ïîëå ñ íåíóëåâîé õàðàêòåðèñòèêîé.
Çàäà÷à*.
Ïðèâåñòè ïðèìåð áåñêîíå÷íîãî ïîëÿ ñ íåíóëåâîé õàðàêòåðèñòèêîé.
Ïðåäëîæåíèå 12.6.
Äëÿ ëþáîãî ïîëÿ
F
ëèáî
char F = 0,
ëèáî
char F = p,
ãäå
p
-
ïðîñòîå. Äîêàçàòåëüñòâî. Îò ïðîòèâíîãî:
char F = p = p1 p2 , p1 < p, p2 < p. Èçâåñòíî, ÷òî ñóììà
p
åäèíèö ðàâíî íóëþ:
1| + 1 + {z. . . + 1} = 0. p
Ïåðåïèøåì ýòî ðàâåíñòâî ñëåäóþùèì îáðàçîì:
(1| + 1 + {z. . . + 1}) + (1| + 1 + {z. . . + 1}) = 0. p1
p2
Óòâåðæäàåòñÿ, ÷òî
1| + 1 + {z. . . + 1} = a 6= 0, |1 + 1 + {z. . . + 1} = b 6= 0. p1
Ýòî âåðíî, ò.ê. è
p2
ìåíüøå
p
p2
- ìèíèìàëüíîå êîëè÷åñòâî åäèíèö, êîòîðûå â ñóììå äàþò
à
p1
p. ab = 0, íî â ïîëå íå ìîæåò áûòü äåëèòåëåé íóëÿ. a 6= 0, ñëåäîâàòåëüíî, ñóùåñòâóåò a−1 . Óìíîæèì ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî
Ïîëó÷èëè, ÷òî ïðîèçâåäåíèå  ñàìîì äåëå, íà
0,
a−1 . 0 = a−1 ab = (a−1 a)b = 1 · b = b 6= 0.
Ïðîòèâîðå÷èå.
89
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА
ФОНД
ВОЛЬНОЕ ДЕЛО
ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU
×àñòíûé ñëó÷àé áèíîìà Íüþòîíà â ïîëå ñ õàðàêòåðèñòèêîé p. Ïðåäëîæåíèå 12.7.
Åñëè
char F = p,
òî
(a + b)p = ap + bp , ∀a, b ∈ F .
Îòìåòèì, ÷òî ýòî âåðíî òîëüêî äëÿ ÷èñëà
p,
è äëÿ
p − 1,
íàïðèìåð, óòâåðæäåíèå
óæå íå âåðíî.
Äîêàçàòåëüñòâî.
(a + b)p = ap + Cp1 ap−1 b + Cp2 ap−2 b2 + . . . + Cpp bp èëè
p
(a + b) =
p X
Cpk ap−k bk .
k=0
k = 1, . . . , p − 1 Cpk p! k Ýòî âåðíî, ò.ê. Cp = . (p − k)!k! Çäåñü p! äåëèòñÿ íà p. Â ïðîèçâåäåíèè (p − k)!k! âñå ìíîæèòåëè çíàìåíàòåëü íà p íå äåëèòñÿ. Óòâåðæäàåòñÿ, ÷òî ïðè
äåëèòñÿ íà
ìåíüøå
p,
p.
ïðè ýòîì
p
ïðîñòîå. Çíà÷èò,
Îòñþäà ïðÿìî ñëåäóåò òðåáóåìîå óòâåðæäåíèå.
char F = p
Çàìå÷àíèå. Åñëè
Ïóñòü
m = s · p.
è
m
äåëèòñÿ íà
p,
òî
a . . + a} = 0, ∀a ∈ F . | + .{z m
Ïðåäñòàâèì ýòî ïðîèçâåäåíèå êàê
. . + a} + . . . + a . . + a} = |a + .{z | + .{z p p {z } | s
a . . + 1} + . . . + 1| + .{z . . + 1} 1| + .{z = p p | {z } s
= a(0 + . . . + 0) = 0. Âåðíåìñÿ ê ñóììå
p P
Cpk ap−k bk .
k=0 Çäåñü ïðè Ïðè ýòîì
1 ≤ k ≤ p−1 aba
p−k−1 k−1
b
èç êàæäîãî ïðîèçâåäåíèÿ
âõîäèò â ñóììó
p P
Cpk ap−k bk
ap−k bk
Cpk ðàç, à
ìîæíî âûäåëèòü
Cpk äåëèòñÿ íà
Èòàê, èç óòâåðæäåíèÿ è çàìå÷àíèÿ ñëåäóåò, ÷òî âñå ñëàãàåìûå ðàâíû íóëþ.
90
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА
ïðè
k=0
1 ≤ k ≤ p − 1. p−1
p
ab.
ФОНД
ВОЛЬНОЕ ДЕЛО
Cpk ap−k bk , 1 ≤ k ≤
ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU
Îñòàþòñÿ òîëüêî
(a + b)p = Cp0 ap−0 b0 + Cpp ap−p bp = ap + bp .
Óïðàæíåíèå 12.14.
(Ìàëàÿ òåîðåìà Ôåðìà)
p
∀a ∈ Zp , a = a.
91
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА
ФОНД
ВОЛЬНОЕ ДЕЛО
ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU
Ëåêöèÿ 13 8. Êîìïëåêñíûå ÷èñëà.
Ââåäåíèå. Ïðîñëåäèì, êàê èñòîðè÷åñêè ðàçâèâàëîñü ïîíÿòèå ÷èñëà: ñíà÷àëà âîçíèêëè íàòóðàëüíûå ÷èñëà, èñïîëüçóåìûå ïðè ñ÷åòå, çàòåì ê íèì äîáàâèëè 0 è ïîëó÷èëè öåëûå íåîòðèöàòåëüíûå. Çàòåì öåëûå ÷èñëà, âîçíèêøèå èç ïîòðåáíîñòè âû÷èòàòü ëþáîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî èç ëþáîãî è ðàöèîíàëüíûå, íà êîòîðûõ óæå îïðåäåëåíî äåëåíèå ëþáîãî öåëîãî íà íåíóëåâîå öåëîå.
Âåùåñòâåííûå ÷èñëà, êðîìå ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë, ñîäåðæàò òàêæå âñåâîçìîæíûå ïðåäåëû ìîíîòîíûõ îãðàíè÷åííûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë. Íóæíî ëè äîïîëíèòåëüíî äîáàâëÿòü ïðåäåëû ìîíîòîííûõ îãðàíè÷åííûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé âåùåñòâåííûõ ÷èñåë? Íåò, âåùåñòâåííûå ÷èñëà ïîëíû îòíîñèòåëüíî ýòîé ïðîöåäóðû.
Îêàçûâàåòñÿ, âåùåñòâåííûå ÷èñëà ñîäåðæàòñÿ â åùå áîëüøåì ìíîæåñòâå êîìïëåêñíûõ ÷èñåë.
N ⊆ Z≥0 ⊆ Z ⊆ Q ⊆ R ⊆ C ⊆ H Êîìïëåêñíûå ÷èñëà âîçíèêàþò èç ïîòðåáíîñòè íàõîäèòü êîðíè óðàâíåíèé, òàêèõ êàê, íàïðèìåð,
x2 + 1 = 0.
Ïîçæå áóäåò äîêàçàíà îñíîâíàÿ òåîðåìà àëãåáðû, óòâåðæäàþùàÿ ñëåäóþùåå: ëþáîé ìíîãî÷ëåí ñòåïåíè
Îáîçíà÷èì
i
n
èìååò ðîâíî
- êîðåíü óðàâíåíèÿ
n
êîðíåé (ñ ó÷åòîì êðàòíîñòè).
x2 + 1 = 0.
Êàçàëîñü áû, ìíîãî÷ëåí âòîðîé ñòåïåíè èìååò 2 êîðíÿ, ïîýòîìó âòîðîé êîðåíü òîæå íåîáõîäèìî êàê-òî îáîçíà÷èòü. Íî åñëè îäèí èç êîðíåé -
i,
òî âòîðîé -
−i
(÷òî áû
ýòî íè çíà÷èëî).
Êðîìå
x2 + 1 = 0
ñóùåñòâåò åùå áåñêîíå÷íî ìíîãî óðàâíåíèé, íå èìåþùèõ âåùå-
ñòâåííûõ êîðíåé. Íåâîçìîæíî äàòü ñâîå îáîçíà÷åíèå êàæäîìó èõ êîðíþ. Íî â ýòîì è íåò íåîáõîäèìîñòè, ò.ê. ëþáîé òàêîé íå âåùåñòâåííûé êîðåíü âûðàæàåòñÿ ÷åðåç ÷èñëî
i
è âåùåñòâåííûå ÷èñëà. Âåùåñòâåííûå ÷èñëà ñ äîáàâëåííûì ê íèì ÷èñëîì
i
óæå îáëàäàþò ñâîéñòâîì, îïèñàííîì â îñíîâíîé òåîðåìå àëãåáðû.
Áûâàþò ëè ìíîæåñòâà áîëüøå, ÷åì ìíîæåñòâî êîìïëåêñíûõ ÷èñåë? Äà, êâàòåðíèîíû âêëþ÷àþò â ñåáÿ êîìïëåêñíûå ÷èñëà, ïîäðîáíåå êâàòåðíèîíû áóäóò ðàññìîòðåíû íà 2 êóðñå. Îäíàêî ýòî ìíîæåñòâî óæå íå áóäåò ïîëåì. Êîìïëåêñíûå ÷èñëà íåëüçÿ äîáàâëåíèåì êàêèõ-òî ýëåìåíòîâ ðàñøèðèòü òàê, ÷òîáû íîâîå ìíîæåñòâî áûëî êîíå÷íîìåðíûì íàä êîìïëåêñíûìè ÷èñëàìè ñ äåëåíèåì è êîììóòàòèâíîé îïåðàöèåé (òåîðåìà Ôðîáåíèóñà).
92
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА
ФОНД
ВОЛЬНОЕ ДЕЛО
ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU
Ïîíÿòèå êîìïëåêñíîãî ÷èñëà. Îïåðàöèè. Îïðåäåëåíèå 13.60.
Êîìïëåêñíûå ÷èñëà
C = {a + bi, a, b ∈ R}, i2 = −1.
Ñëîæåíèå/âû÷èòàíèå:
(a1 + b1 i) ± (a2 + b2 i) = (a1 ± a2 ) + (b1 ± b2 )i. Óìíîæåíèå:
(a1 + b1 i)(a2 + b2 i) = a1 a2 + a1 b2 i + b1 a2 i + b1 b2 (−1) = (a1 a2 − b1 b2 ) + (a1 b2 + b1 a2 )i. Äåëåíèå:
a1 + b 1 i (a1 + b1 i)(a2 − b2 i) (a1 a2 + b1 b2 ) + (b1 a2 − a1 b2 )i = = = a2 + b 2 i (a2 + b2 i)(a2 − b2 i) a22 + b22 a1 a2 + b 1 b 2 b 1 a2 − a1 b 2 + i a22 + b22 a22 + b22 (a2 , b2 ) 6= (0, 0). =
- ïðè óñëîâèè, ÷òî ïàðà
Ìíîæåñòâî
C
ñ ââåäåííûìè íà íåì îïåðàöèÿìè ÿâëÿåòñÿ ïîëåì.
z = a + bi- àëãåáðàè÷åñêàÿ ôîðìà çàïèñè. a = Re z - âåùåñòâåííàÿ ÷àñòü z ; b = Im z - ìíèìàÿ ÷àñòü z . Êîìïëåêñíûå ÷èñëà ñîäåðæàò â ñåáå âåùåñòâåííûå:
z = a ∈ R ⊂ C.
Ýòî ñîãëà-
ñîâíî ñ îïåðàöèÿìè. Åñëè íàïèñàòü îïåðàöèè ñëîæåíèÿ, óìíîæåíèÿ è äåëåíèÿ äëÿ
z = a + 0i, z = bi
ïîëó÷èì îïåðàöèè äëÿ âåùåñòâåííûõ ÷èñåë.
- ÷èñòî ìíèìîå ÷èñëî.
Êîìïëåêñíîå ñîïðÿæåíèå:
C → C, z = a + bi → z = a − bi. Ñâîéñòâà êîìïëåêñíîãî ñîïðÿæåíèÿ: 1)
z = z.
2)
z1 + z2 = z1 + z2 .
3)
z1 z2 = z1 z2 . Ïðîâåðÿåòñÿ ïðÿìîé ïîäñòàíîâêîé
4)
zz = a2 + b2 ∈ R≥0 .
5)
z + z = 2a ∈ R.
6)
z = z ⇔ z ∈ R.
7)
z = −z ⇔ z
zj = aj + bj i.
- ÷èñòî ìíèìîå. 93
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА
ФОНД
ВОЛЬНОЕ ДЕЛО
ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU
Òðèãîíîìåòðè÷åñêàÿ ôîðìà çàïèñè êîìïëåêñíîãî ÷èñëà. Êîìïëåêñíàÿ ïëîñêîñòü:
Ìîäóëü
z : |z| =
Àðãóìåíò
arg 0
√
a2 + b2 = r =
z : arg z = φ
√
zz .
- óãîë ìåæäó âåùåñòâåííîé îñüþ è ðàäèóñ-âåêòîðîì.
íå îïðåäåëåí.
Áóäåì ñ÷èòàòü, òî
φ ∈ [0, 2π)
èëè ÷òî
φ∈R
ïî
mod 2π .
×àùå áóäåì ïðèìåíÿòü
ïåðâûé âàðèàíò.
Âûðàæåíèÿ äëÿ âåùåñòâåííîé è ìíèìîé ÷àñòè â òðèãîíîìåòðè÷åñêîé ôîðìå:
a = r cos φ b = r sin φ z = r cos φ + r sin φi = r(cos φ + i sin φ)
Òðèãîíîìåòðè÷åñêàÿ ôîðìà çàïèñè êîìïëåêñíîãî ÷èñëà:
z = r(cos φ + i sin φ), r ∈ R≥0 , φ ∈ [0, 2π).
94
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА
ФОНД
ВОЛЬНОЕ ДЕЛО
ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU
Ôîðìàëüíî ãîâîðÿ, àðãóìåíò íóëÿ íå îïðåäåëåí, ïîýòîìó ó íóëÿ íåò òðèãîíîìåòðè÷åñêîé çàïèñè.
Ñëîæåíèå:
r1 (cos φ1 + i sin φ1 ) + r2 (cos φ2 + i sin φ2 ) Ñêëàäûâàòü êîìïëåêñíûå ÷èñëà â òðèãîíîìåòðè÷åñêîé ôîðìå äîâîëüíî íåóäîáíî ïîñëå ðàñêðûòèÿ ñêîáîê ïîëó÷èòñÿ äëèííîå âûðàæåíèå, ñ êîòîðûì ãîðàçäî ìåíåå óäîáíî ðàáîòàòü, ÷åì ñ àëãåáðàè÷åñêîé ôîðìîé çàïèñè.
Óìíîæåíèå:
r1 (cos φ1 + i sin φ1 )r2 (cos φ2 + i sin φ2 ) = = r1 r2 (cos φ1 cos φ2 − sin φ1 sin φ2 +i(cos φ1 sin φ2 + sin φ1 cos φ2 )) = {z } | {z } | cos (φ1 +φ2 )
sin (φ1 +φ2 )
= r1 r2 (cos (φ1 + φ2 ) + i sin (φ1 + φ2 )) Ò.å. ìîäóëè ïåðåìíîæàþòñÿ, à àðãóìåíòû ñêëàäûâàþòñÿ.
Ñëåäñòâèå 13.13.
z = r(cos φ + i sin φ) ⇒ z −1 = r−1 (cos (−φ) + i sin (−φ)) ò.ê.
1 = 1(cos 0 + i sin 0).
Ñëåäñòâèå 13.14.
(Ôîðìóëà Ìóàâðà)
z = r(cos φ + i sin φ) z n = rn (cos (nφ) + i sin (nφ)), n ∈ Z Ôîðìóëû äëÿ cos (nφ) è sin (nφ). Ïðèìåð.
n = 5, r = 1 (cos x + i sin x)5 = cos (5x) + i sin (5x)
Çàìå÷àíèå. Êàê áûñòðî ñ÷èòàòü
(cos x + i sin x)5 ?
Ñ ïîìîùüþ òðåóãîëüíêà Ïàñêàëÿ.
Ýòî òàáëèöà êîýôôèöèåíòîâ ïîñëå ðàñêðûòèÿ ñêîáîê. Çäåñü êàæäûé ýëåìåíò ðàâåí ñóììå äâóõ ýëåìåíòîâ, ñòîÿùèõ íàä íèì (åñëè òàêèå èìåþòñÿ).
95
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА
ФОНД
ВОЛЬНОЕ ДЕЛО
ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU
 íàøåì ñëó÷àå ïîëó÷èì:
(cos x + i sin x)5 = cos5 x + 5 cos4 x sin xi + 10 cos3 x sin2 xi2 + +10 cos2 x sin3 xi3 + 5 cos x sin4 xi4 + sin5 xi5 Âåðíåìñÿ ê âûðàæåíèþ
sin(5x)
è
cos(5x)
sin(5x) = 5 cos4 x sin x − 10 cos2 x sin3 x + sin5 x cos(5x) = cos5 x − 10 cos3 x sin2 x + 5 cos x sin4 x (Ïðîñòî âûäåëèëè äåéñòâèòåëüíóþ è ìíèìóþ ÷àñòü èç ðàçëîæåíèÿ ïî áèíîìó è ïðèðàâíÿëè ê ñîîòâåòñâóþùåé ÷àñòè ôîðìóëû Ìóàâðà.)
Èçâëå÷åíèå êîðíåé. √ n z = w ⇔ wn = z Íàøà çàäà÷à íàéòè âñå òàêèå
w.
Ïóñòü
z = r(cos φ + i sin φ) w = s(cos ψ + i sin ψ) √ n z = w ⇔ r = sn ; nψ = φ + 2πk, k ∈ Z ⇔ √ φ + 2πk , k = 0, 1, 2, . . . , n − 1. s = n r, ψ = n Îêîí÷àòåëüíàÿ ôîðìóëà:
√ n
z=
√ n
φ + 2πk φ + 2πk r cos + i sin , k = 0, 1, 2, . . . , n − 1. n n
(13.1)
Ãåîìåòðè÷åñêàÿ èíòåðïðåòàöèÿ Ðàññìîòðèì íà ïðèìåðå Ïîäñòàâëÿåì
k = 0, 1, 2
√ 3 z
êàê ðàñïîëàãàþòñÿ êîðíè íà êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè.
â ôîðìóëó
(13.1):
z1 = r(cos
φ φ + i sin ); 3 3
φ + 2π φ + 2π φ 2π φ 2π + i sin ) = r(cos( + ) + i sin( + ); 3 3 3 3 3 3 φ + 4π φ + 4π φ 4π φ 4π z3 = r(cos + i sin ) = r(cos( + ) + i sin( + ). 3 3 3 3 3 3 Êîðíè z1 , z2 , z3 ÿâëÿþòñÿ âåðøèíàìè ïðàâèëüíîãî òðåóãîëüíèêà, âïèñàííîãî √ 3 îêðóæíîñòü ðàäèóñà r√ñ öåíòðîì â íà÷àëå êîîðäèíàò. n  îáùåì ñëó÷àå êîðíè z - ýòî âåðøèíû ïðàâèëüíîãî n-óãîëüíèêà, âïèñàííîãî √ n îêðóæíîñòü ðàäèóñà r. z2 = r(cos
96
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА
ФОНД
ВОЛЬНОЕ ДЕЛО
â
â
ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU
Êîðíè èç 1. 1 = 1(cos 0 + i sin 0) Ïî ôîðìóëå
(13.1) √ n
1 = cos
Íàïðèìåð, â ñëó÷àå
2πk 2πk + i sin = εk , k = 0, 1, . . . , n − 1. n n
n = 6
ïîëó÷èì ïðàâèëüíûé øåñòèóãîëüíèê, âïèñàííûé â
îêðóæíîñòü ðàäèóñà 1 ñ ïåðâûì êîðíåì â
Ëåãêî âèäåòü, ÷òî ïðè ôèêñèðîâàííîì
1.
n {εk , k = 0, . . . , n − 1} - ãðóïïà ïî óìíî-
æåíèþ ïîðÿäêà n. Åñëè åñòü 2 êîðíÿ ñòåïåíè ñòåïåíè
n
n
èç
1 εk , εl ,
òî èõ ïðîèçâåäåíèå òàêæå áóäåò êîðíåì
èç 1.
2πk 2πk 2πl 2πl cos + i sin cos + i sin = n n n n = cos
2π(k + l) 2π(k + l) + i sin n n 97
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА
ФОНД
ВОЛЬНОЕ ДЕЛО
ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU
Îáðàòíûé ê
εk
òàêæå áóäåò êîðíåì ñòåïåíè
ε−1 k = cos
n
èç 1:
−2πk −2πk 2πk 2πk + i sin = cos − i sin n n n n
Ïîëó÷èì ÷èñëî, ñèììåòðè÷íîå îòíîñèòåëüíî ãîðèçîíòàëüíîé îñè.
Èòàê, ìíîæåñòâî êîðíåé èç 1 çàìíêíóòî îòíîñèòåëüíî óìíîæåíèÿ è îïåðàöèè âçÿòèÿ îáðàòíîãî ýëåìåíòà, ñëåäîâàòåëüíî, ÿâëÿåòñÿ ãðóïïîé.
Ïåðâîîáðàçíûå êîðíè èç 1 è èõ ñâîéñòâà. Îïðåäåëåíèå 13.61.
εm k 6= 1
ïðè
 ñëó÷àå
Êîðåíü
n=6 εm k
n
íàçûâåòñÿ ïåðâîîáðàçíûì, åñëè
ε1
è
ε5 .
m 2πk 2πk 2πkm 2πkm cos + i sin + i sin = = cos 6 6 6 6 = cos 2πl + i sin 2πl, m < 6, l ∈ N.
k = 1 m = 6, l = 1,
Ïðè ýòîì
èç 1 ñòåïåíè
ïåðâîîáðàçíûìè êîðíÿìè áóäóò
Èëè
Äëÿ
εk
m < n.
äëÿ
2πkm = 2πl ⇔ km = 6l. 6 k = 5 m = 6, l = 5.
ε32 = 1, ε23 = 1, ε34 = 1.
Ïðåäëîæåíèå 13.8.
1)
εk
- ïåðâîîáðàçíûé êîðåíü ñòåïåíè
n ⇔ (n, k) = 1. n.
 ÷àñòíîñòè, ïåðâîîáðàçíûå êîðíè ñóùåñòâóþò äëÿ ëþáîãî
εk - ïåðâîîáðàçíûé n ∃m ∈ N : εs = εm k .
2) Åñëè
êîðåíü ñòåïåíè
n,
òî äëÿ ëþáîãî êîðíÿ
2πkm ∈ 2πZ ⇔ nkm. n n Íàèìåíüøåå m ñ òàêèì ñâîéñòâîì ýòî m = . (k, n) Ýòîò ìèíèìóì ðàâåí n ⇔ (k, n) = 1.
Äîêàçàòåëüñòâî.
1)
εm k = 1 ⇔
98
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА
ФОНД
ВОЛЬНОЕ ДЕЛО
εs
ñòåïåíè
ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU
2) Ïóñòü
εk
- ïåðâîîáðàçíûé êîðåíü, òîãäà
p Åñëè áû ε k
=
εlk , l
< k,
εk , ε2k , . . . , εnk
ïîïàðíî ðàçëè÷íû:
òî
εlk (εkp−l − 1) = 0.
= 1. Ïðîòèâîðå÷èå ñ ïåðâîîáðàçíîñòüþ: p è l εlk 6= 0 ⇒ εp−l k íåêîòîðûå ÷èñëà ≤ n, òîãäà èõ ðàçíîñòü < n, â òàêîì ñëó÷àå ïî îïðåäåëíèþ p−l ïåðâîîáðàçíîãî êîðíÿ ε 6= 1. k
Ïðè ýòîì
εk , ε2k , . . . , εnk ε0 , ε1 , . . . , εn−1 .
Èç ïîïàðíîé ðàçëè÷íîñòè ÷àþòñÿ âñå êîðíè
ñëåäóåò, ÷òî ñðåäè
99
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА
ФОНД
ВОЛЬНОЕ ДЕЛО
εk , ε2k , . . . , εnk
âñòðå-
ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU
Ëåêöèÿ 14 9. Ìíîãî÷ëåíû îò îäíîé ïåðåìåííîé.
Ìíîãî÷ëåíû îò îäíîé ïåðåìåííîé. F è áóäåì ðàññìàòðèâàòü ìíîãî÷ëåíû F [x] - êîëüöî ìíîãî÷ëåíîâ íàä F .
Ôèêñèðóåì íåêîòîðîå ïîëå ìåííîé
x
íàä ýòèì ïîëåì.
îò îäíîé ïåðå-
f (x) = an xn + . . . + a1 x + a0 , n ∈ Z≥0 , ai ∈ F, an 6= 0 èëè f ≡ 0. F
Çäåñü âàæíî, ÷òî
- ýòî ïîëå. Îíî ìîæåò áûòü ïîëåì ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë, ïîëåì
äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë, ïîëåì êîìïëåêñíûõ ÷èñåë è ò.ä. Èìååò çíà÷åíèå, ÷òî êîýôôèöèåíòû ìîæíî äåëèòü: ëþáîé ýëåìåíò ïîëÿ ìîæíî ðàçäåëèòü íà ëþáîé íåíóëåâîé ýëåìåíò ýòîãî ïîëÿ. Íàïðèìåð, ìíîãî÷ëåíû ñ öåëî÷èñëåííûìè êîýôôèöèåíòàìè îáðàçóþò êîëüöî, íî óæå îáëàäàþò äðóãèìè ñâîéñòâàìè è èçó÷àþòñÿ îòäåëüíî. Ñâîéñòà ìíîãî÷ëåíîâ, êîòîðûå ìû áóäåò äîêàçûâàòü, áóäóò âûïîëíåíû íàä âñåìè ïîëÿìè.
Îïðåäåëèì ïîíÿòèå ðàâåíñòâà ìíîãî÷ëåíîâ.
Îïðåäåëåíèå 14.62.
f (x) =
P
ai x
i
è
g(x) =
i
Ôîðìàëüíîå ðàâåíñòâî ìíîãî÷ëåíîâ:
P
bj x j
ðàâíû, åñëè
ai = bi , ∀i ∈ Z≥0 .
j
Õîòÿ ìû ïðåäïîëàãàåì, ÷òî â ñóììå
P
ai x i
êîíå÷íîå ÷èñëî ñëàãàåìûõ, âñåãäà
i ìîæíî ñ÷èòàòü êîýôôèöèåíòû ïðè ñòåïåíÿõ, áîëüøèõ ðàâåíñòâî
ai = b i
n,
ðàâíûìè íóëþ, òàê ÷òî
ìîæíî çàïèñûâàòü äëÿ ëþáîãî öåëîãî íåîòðèöàòåëüíîãî
Îïåðàöèè 1) Ñëîæåíèå/âû÷èòàíèå.
f (x) + g(x) =
X
ai x i +
i
X j
bj x j =
X (ai + bi )xi i
2) Óìíîæåíèå.
f (x)g(x) = (an xn + . . . + a1 x + a0 )(bm xm + . . . + b1 x + b0 ) = . . . Îáû÷íîå ðàñêðûòèå ñêîáîê.
Åñòü
0 (f ≡ 0)
è
1 (f ≡ 1).
Òàêèì îáðàçîì,
F [x]
- êîììóòàòèâíîå êîëüöî.
100
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА
ФОНД
ВОЛЬНОЕ ДЕЛО
i.
ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU
Îòëè÷èòåëüíàÿ îñîáåííîñòü êîëüöà ìíîãî÷ëåíîâ, êîòîðîé ìîæåò íå áûòü â äðóãèõ êîëüöàõ, ýòî
ñòåïåíü ìíîãî÷ëåíà:
( n, an 6= 0, n − max; deg f = −∞, f ≡ 0. Ëåãêî âèäåòü, ÷òî 1)
deg(f g) = deg f + deg g; (an xn + . . .)(bm xm + . . .) = an bm xn+m + . . . ,
ò.ê.
an 6= 0, bm 6= 0
Èç ýòîãî ñâîéñòâà òàêæå ñëåäóåò, ïî÷åìó çà ñòåïåíü íóëåâîãî ìíîãî÷ëåíà íóæíî ïðèíÿòü
−∞. n > 0 íà íóëåâîé ìíîãîòåïåðü y - ñòåïåíü íóëåâîãî
Ïóñòü ìû óìíîæèëè íåêîòîðûé ìíîãî÷ëåí ñòåïåíè ÷ëåí è ïîëó÷èëè íóëåâîé ìíîãî÷ëåí. Îáîçíà÷èì ìíîãî÷ëåíà. Òîãäà ïî ñâîéñòâó
y+n=y Íèêàêîå öåëîå ÷èñëî íå óäîâëåòâîðÿåò òàêîìó ðàâåíñòâó, ïîýòîìó ïðèìåì
y=
−∞. 2)
deg (f + g) ≤ max deg f, deg g è åñëè
deg f 6= deg g ,
òî
deg (f + g) = max deg f, deg g  ïåðâîì ñëó÷àå ñòîèò íåðàâåíñòâî, ïîòîìó ÷òî, åñëè ñëîæèòü, íàïðèìåð, ìíîãî÷ëåíû âèäà
an xn + an−1 xn−1 + . . .
è
−an xn + −an−1 xn−1 + . . .
ñòåïåíü
ìíîãî÷ëåíà-ñóììû ìîæåò îêàçàòüñÿ ìåíüøå ñòåïåíè êàæäîãî èç ìíîãî÷ëåíîâ.
Ïðåäëîæåíèå 14.9.
⇐) f −1 (x) =
Äîêàçàòåëüñòâî. (
f (x)
Ìíîãî÷ëåí
îáðàòèì â
1 = a−1 0 a0
F [x] ⇔ f (x) = a0 6= 0.
(îí ñóùåñòâóåò, òàê êàê êîýôôèöèåíòû
îáðàçóþò ïîëå)
(
⇒) ∃g(x) ∈ F [x] : f (x)g(x) = 1 deg(f g) = deg f + deg g = deg 1 = 0 deg f ≥ 0, deg g ≥ 0 ⇒ deg f = deg g = 0. f = a0 6= 0.
Òàêèì îáðàçîì, â êîëüöå ìíîãî÷ëåíîâ íåëüçÿ ðàçäåëèòü ëþáîé ìíîãî÷ëåí íà äðóãîé íåíóëåâîé ìíîãî÷ëåí. Ýòî âîçìîæíî òîëüêî â ÷àñòíûõ ñëó÷àÿõ.
101
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА
ФОНД
ВОЛЬНОЕ ДЕЛО
ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU
Ñâÿçü ôîðìàëüíîãî è ôóíêöèîíàëüíîãî ðàâåíñòâà. Ðàññìîòðèì åùå îäèí òèï ðàâåíñòâà ìíîãî÷ëåíîâ.
Îïðåäåëåíèå 14.63.
Ôóíêöèîíàëüíîå ðàâåíñòâî ìíîãî÷ëåíîâ:
f (x) = g(x) ⇔ f (a) = g(a), ∀a ∈ F. Äâà ìíîãî÷ëåíà ôóíêöèîíàëüíî ðàâíû, åñëè îíè îïðåäåëÿþò îäíó è òó æå ôóíêöèþ.
Ðàâíîñèëüíû ëè ôóíêöèîíàëüíîå ðàâåíñòâî è ôîðìàëüíîå? Äëÿ âñåõ "åñòåñòâåííûõ" ïîëåé ýòî îäíî è òî æå, à äëÿ êîíå÷íûõ ïîëåé ýòè ðàâåíñòâà ðàçëè÷àþòñÿ.
Ïðèìåð.
F = Zp , f (x) = xp − x = 1xp + (−1)x
- ýòîò ìíîãî÷ëåí ôóíêöèîíàëüíî ðàâåí íóëþ.
Ýòî ñëåäóåò èç ìàëîé òåîðåìû Ôåðìà:
∀a ∈ Zp ap = a. Äîêàçàòåëüñòâî. Åñëè Ïóñòü
a 6= 0.
a = 0,
òî äîêàçûâàòü íå÷åãî.
Òîãäà
a = |1 + .{z . . + 1} a
Íà ïðîøëîé ëåêöèè áûëà äîêàçàíà òåîðåìà: êîãäà ïîëå èìååò õàðàêòåðèñòèêó
(a + b)p = ap + bp .
p,
Ïî èíäóêöèè ìîæíî ïðîäîëæèòü ýòî ñâîéñòâî íà ëþáîå ÷èñëî
ñëàãàåìûõ.
p
p
ap = (1 + . . . + 1)p = 1| + .{z . . + 1} = 1| + .{z . . + 1} = a. | {z } a
a
Òåîðåìà 14.22. Åñëè ïîëå
F
Ôîðìàëüíîå ðàâåíñòâî
áåñêîíå÷íî, òî è
⇐
⇒
a
ôóíêöèîíàëüíîå ðàâåíñòâî.
âåðíî.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïåðâîå î÷åâèäíî. Äîêàæåì âòîðîå.
f (a) = g(a), ∀a ∈ F ⇔ (f − g)(a) = 0, ∀a ∈ F . Åñëè äîêàæåì, ÷òî âñå êîýôôèöèåíòû ìíîãî÷ëåíà f − g ìàëüíîå ðàâåíñòâî f è g . Ôèêñèðóåì ïîïàðíî ðàçëè÷íûå a0 , . . . , an ∈ F , ãäå Ïóñòü
ðàâíû íóëþ, ïîëó÷èì ôîð-
f − g = h = cn xn + . . . + c0 , deg h = n. Çäåñü ìû âîñïîëüçîâàëèñü áåñêîíå÷íîñòüþ ïîëÿ, âåäü â êîíå÷íîì ïîëå íå äëÿ âñåõ
n
íàéäóòñÿ ïîïàðíî ðàçëè÷íûå
a0 , . . . , a n .
Ïîñìîòðèì íà ñëåäóþùóþ ñèñòåìó
...
c0 + c1 a0 + . . . + cn an0 = 0 c + c a + . . . + c an = 0 0 1 1 n 1 c + c a + . . . + c an = 0 0
1 n
n n
102
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА
ФОНД
ВОЛЬНОЕ ДЕЛО
ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU
Íàïîìíèì, ÷òî â êàæäîé ñòðîêå ñèñòåìû ïîëó÷àåòñÿ 0, ò.ê. ïî ïðåäïîëîæåíèþ ìíîãî÷ëåí
h
ðàâåí íóëþ íà âñåõ ýëåìåíòàõ ïîëÿ, â ÷àñòíîñòè, íà
a0 , . . . , a n .
Ïîñìîòðèì íà ýòî êàê íà îäíîðîäíóþ ñèñòåìó ëèíåéíûõ óðàâíåíèé ñ êîýôôèöèåíòàìè
1, ai , a2i , . . . , ani
è íåèçâåñòíûìè
c0 , . . . , cn .
Îïðåäåëèòåëü ìàòðèöû êîýôôèöèåíòîâ - ýòî îïðåäåëèòåëü Âàíäåðìîíäà
Q
(aj −
j>i
ai ) 6= 0 ⇒
ïî òåîðåìå Êðàìåðà íàøà êâàäðàòíàÿ ñèñòåìà îïðåäåëåíà, ïîýòîìó ó
íåå åñòü òîëüêî íóëåâîå ðåøåíèå, è âñå êîýôôèöèåíòû Òàêèì îáðàçîì, ìíîãî÷ëåíû
Óïðàæíåíèå 14.15. íåíóëåâîé ìíîãî÷ëåí
Ñëåäñòâèå 14.15.
F - ëþáîå h ≡ 0.
ïîëå
f
è
g
h
íóëåâûå.
ôîðìàëüíî ðàâíû.
Ïóñòü F - ïðîèçâîëüíîå êîíå÷íîå f (x) ∈ F [x] : f (a) = 0, ∀a ∈ F .
ïîëå. Òîãäà ñóùåñòâóåò
(ñëåäñòâèå èç äîêçàòåëüñòâà)
h(x) ∈ F [x], deg h = n
è
h(α0 ) = . . . = h(αn ) = 0, αi 6= αj ,
òîãäà
Çàäà÷à èíòåðïîëÿöèè. n + 1 ïîïàðíî ðàçëè÷íûõ ýëåìåíòà ïîëÿ F : α1 , . . . , αn ∈ F, αi 6= αj , j 6= i β0 , . . . , β n ∈ F . Íàéòè f (x) ∈ F [x]: f (α0 ) = β0 , . . . , f (αn ) = βn . Äàíû
è
Ò.å. õîòèì íàéòè òàêîé ìíîãî÷ëåí, ãðàôèê ôóíêöèè êîòîðîãî ïðîõîäèò ÷åðåç âñå óçëû èíòåðïîëÿöèè, ïðè÷åì ìíîãî÷ëåí ìèíèìàëüíîé ñòåïåíè.
Òåîðåìà 14.23.
Ïðè óñëîâèè
deg f ≤ n èíòåðïîëÿöèîííûé ìíîãî÷ëåí ñóùåñòâóåò
è åäèíñòâåíåí. Çàìå÷àíèå. Îò èíòåðïîëÿöèîííîãî ìíîãî÷ëåíà íåëüçÿ òðåáîâàòü, ÷òîáû îí áûë ñòåïåíè ðîâíî
n,
ò.ê. âèä ìíîãî÷ëåíà ñèëüíî çàâèñèò îò ðàñïîëîæåíèÿ óçëîâ èí-
òåðïîëÿöèè. Åñëè, íàïðèìåð, îíè ëåæàò íà êàêîé-òî ïðÿìîé, ìû äîëæíû ïîëó÷èòü ìíîãî÷ëåí 1 ñòåïåíè. 103
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА
ФОНД
ВОЛЬНОЕ ДЕЛО
ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU
Äîêàçàòåëüñòâî. Åäèíñòâåííîñòü: åñëè òî
f, g
- äâà èíòåðïîëÿöèîííûõ ìíîãî÷ëåíà,
h = f − g ðàâåí íóëþ â α0 , α1 , . . . , αn . deg f ≤ n, deg g ≤ n, deg h ≤ n ⇒ h ≡ 0.
Ïîñêîëüêó
Ñóùåñòâîâàíèå: Èíòåðïîëÿöèîííàÿ ôîðìóëà Ëàãðàíæà (Æîçåô Ëóè Ëàãðàíæ, 1736-1813, Òóðèí-Ïàðèæ)
f (x) =
n X
Q βi Q
i=0
= β0
(αi − αj )
=
j6=i
(x − α1 ) . . . (x − αn ) (x − α0 )(x − α2 ) . . . (x − αn ) + β0 + ...+ (α0 − α1 ) . . . (α0 − αn ) (α1 − α0 (α1 − α2 )) . . . (α0 − αn ) +βn
αi
(x − αj )
j=i
(x − α0 ) . . . (x − αn−1 ) (αn − α0 ) . . . (αn − αn−1 )
(14.1)
ïîïàðíî ðàçëè÷íû, ïîýòîìó çíàìåíàòåëè íèêîãäà íå îáðàùàþòñÿ â 0.
Ïîêàæåì, ÷òî ôîðìóëà Ëàãðàíæà äàåò èíòåðïîëÿöèîííûé ìíîãî÷ëåí. Ðàññìîòðèì îäíî ñëàãàåìîå èç ñóììû
(14.1)
(x − α0 ) . . . (x −ˆ αi ) . . . (x − αn ) ˆ αi ) . . . (αi − αn ) (αi − α0 ) . . . (αi − Òàêèì îáðàçîì, â ñóììå êðîìå ñîäåðæàùåãî
βj
(14.1)
βi : ( 0, j 6= i, = 1, j = i.
áåç êîýôôèöèåíòà
ïðè ïîäñòàíîâêå
αj
αj
âñå ñëàãàåìûå îáðàùàþòñÿ â 0,
- çíà÷åíèÿ èíòåðïîëÿöèîííîãî ìíîãî÷ëåíà â òî÷êå
Òåîðåìà î äåëåíèè ñ îñòàòêîì. Òåîðåìà 14.24.
î äåëåíèè ñ îñòàòêîì.
f, g ∈ F [x] è íå âñå ∃! q(x) è r(x) òàêèå
Ïóñòü
êîýôôèöèåíòû
g
ðàâíû íóëþ.
Òîãäà
÷òî
f = gq + r
è
deg r < deg g .
Ïðèìåð.
f (x) = x2 + 1, g(x) = x3 + 5 ⇒ q(x) = 0, r(x) = x2 + 1 x2 + 1 = (x3 + 5)0 + (x2 + 1) Äîêàçàòåëüñòâî. Ñóùåñòâîâàíèå.
Åñëè
deg f < deg g ,
òî
q = 0, r = f .
Åñëè
deg f ≥ deg g ,
òî "äåëèì â ñòîëáèê" :
f (x) = an xn + an−1 xn−1 + . . . + a1 x + a0 , g(x) = bm xm + bm−1 xm−1 + . . . + b1 x + b0 . 104
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА
ФОНД
ВОЛЬНОЕ ДЕЛО
αj .
ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU
f1 := f −
an n−m x g bm
Ýòà çàïèñü êîððåêòíà, ò.ê., âî-ïåðâûõ, ìû ñåé÷àñ ðàññìàòðèâàåì ñëó÷àé
n − m ≥ 0,
âî-âòîðûõ, ñòàðøèå êîôôèöèåíòû
an , bm 6= 0,
n≥m ⇔
è èõ ìîæíî äåëèòü äðóã
íà äðóãà.
deg f1 < deg f ,
ïîòîìó ÷òî ïîñëåäíèì âû÷èòàíèåì ìû óáðàëè ñòàðøèé ÷ëåí.
Ïðîäîëæàÿ ýòîò ïðîöåññ, ïîëó÷èì â èòîãå
f − q(x)g(x) = r(x). deg r < deg g. Íà êàæäîì øàãå âûïîëíÿåì àíàëîãè÷åíîå âû÷èòàíèå, åñëè ïîñëå ýòîé ïðîöåäóðû ñòåïåíü
r
ñòàíîâèòñÿ ìåíüøå ñòåïåíè
g,
çàêàí÷èâàåì ïðîöåññ, èíà÷å - ïðîäîëæàåì.
Ïðîöåññ áóäåò êîíå÷íûì, ò.ê. íà êàæäîì øàãå ñòåïåíü ìíîãî÷ëåíà ñòðîãî óìåíüøàåòñÿ, à ñòåïåíü èñõîäíîãî ìíîãî÷ëåíà - êîíå÷íîå öåëîå íåîòðèöèàòåëüíîå ÷èñëî
Èòàê,
n.
f = q(x)g(x) + r(x).
Åñäèíñòâåííîñòü. Îò ïðîòèâíîãî.
Ïóñòü
f = q1 g(x) + r1 = q2 g(x) + r2 .
Òîãäà
g(q1 − q2 ) = r2 − r1 . deg g > deg(r2 − r1 ) = deg g + deg(q1 − q2 ) Ñëó÷àé 1.
(14.2)
deg(q1 − q2 ) = −∞ ⇒ q1 = q2 ⇒ r2 − r1 = 0 ⇒ r1 = r2 ⇒
ïðåäñòàâëåíèå åäèíñòâåííî.
Ñëó÷àé 2.
deg(q1 − q2 ) ≥ 0.
Òîãäà ïðîòèâîðå÷èå ñ
(14.2).
Êîðíè ìíîãî÷ëåíà. Îïðåäåëåíèå 14.64. åñëè
Ýëåìåíò
α∈F
íàçûâàåòñÿ êîðíåì ìíîãî÷ëåíà
f (α) = 0
Èçâåñòíî, êàê íàõîäèòü êîðíè ìíîãî÷ëåíîâ íåáîëüøèõ ñòåïåíåé.
Äëÿ ìíîãî÷ëåíà ïåðâîé ñòåïåíè:
b ax + b = 0 ⇔ x = − . a Äëÿ ìíîãî÷ëåíà âòîðîé ñòåïåíè:
ax2 + bx + c = 0 ⇔ x1,2
√ −b ± D = , D ≥ 0. 2a
105
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА
ФОНД
ВОЛЬНОЕ ДЕЛО
f (x) ∈ F [x],
ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU
Äëÿ ìíîãî÷ëåíà òðåòüåé ñòåïåíè:
ax3 + bx2 + cx + d = 0 Ïðè ïîìîùè çàìåíû ïåðåìåííûõ
x = y−
b 3a
óðàâíåíèå ïðèâîäèòñÿ ê êàíîíè÷åñêîé
ôîðìå
y 3 + py + q = 0 ñ êîýôôèöèåíòàìè
p=
3ac − b2 2b3 − 9abc + 27a2 d ; q = 3a2 27a3
Ïî ôîðìóëå Êàðäàíî êîðíè êóáè÷åñêîãî ìíîãî÷ëåíà ðàâíû:
α+β α − β√ ±i 3 2 2 r r p 3 q 2 q √ q √ 3 α = − + Q, β = 3 − − Q, Q = + . 2 2 3 2 y1 = α + β, y2,3 = −
ãäå
Äëÿ ìíîãî÷ëåíîâ ÷åòâåðòîé ñòåïåíè: Êîðíè ìíîãî÷ëåíà 4 ñòåïåíè íàõîäÿòñÿ ñ ïîìîùüþ ôîðìóëû Êàðíî, êîòîðóþ ìîæíî íàéòè â ñïðàâî÷íèêàõ.
Ìåòîäû ðåøåíèÿ óðàâíåíèé 3 è 4 ñòåïåíè, ïðèâåäåííûå çäåñü, äëèííûå è íå ñëèøêîì óäîáíûå, ïîýòîìó èìè îáû÷íî íå ïîëüçóþòñÿ è íàõîäÿò ðåøåíèÿ äðóãèìè ñïîñîáàìè.
Äëÿ ìíîãî÷ëåíîâ 5 ñòåïåíè è âûøå:  ïåðâîé ïîëîâèíå XIX âåêà áûëà äîêàçàíà òåîðåìà Àáåëÿ-Ðóôôèíè î òîì, ÷òî íà÷èíàÿ ñ ìíîãî÷ëåíîâ 5 ñòåïåíè íå ñóùåñòâåò ôîðìóë äëÿ ïîèñêà èõ êîðíåé.
Òåîðåìà Áåçó. Òåîðåìà 14.25.
∀α ∈ F
è
(Áåçó)
f (x) ∈ F
èìååì
f (x) = (x − α)q(x) + f (α) q(x). f (x) ⇔ (x − α)f (x).
Äëÿ íåêîòîðîãî íåïîëíîãî ÷àñòíîãî  ÷àñòíîñòè,
α
- êîðåíü
Äîêàçàòåëüñòâî. Ñíà÷àëà ðàññìîòðèì óòâåðæäåíèå "â ÷àñòíîñòè" . Ìíîãî÷ëåí
f (x)
äåëèòñÿ íà ìíîãî÷ëåí
(x − α)
â òî÷íîñòè êîãäà îñòàòîê îò äåëåíèÿ
ðàâåí íóëþ. À èìåííî
f (x) = (x − α)q(x) = 0
è
f (α) = 0q(x),
106
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА
ФОНД
ВОЛЬНОЕ ДЕЛО
ò.å.
α
- êîðåíü.
ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU
Äîêàæåì òåïåðü îñíîâíóþ òåîðåìó.
f (x) = (x − α)q(x) + r(x). deg r(x) < deg(x − α) = 1 ⇒ r(x) = const = r. Äåëåíèå ñ îñòàòêîì:
Ïîäñòàâèì â ëåâóþ è ïðàâóþ ÷àñòè
α:
f (α) = (α − α)q(α) + r = 0 + r. Èòàê,
f (x) = (x − α)q(x) + f (α).
107
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА
ФОНД
ВОЛЬНОЕ ДЕЛО
ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU
Ëåêöèÿ 15 Çàìå÷àíèå 15.12.
×èñëî êîðíåé íåíóëåâîãî ìíîãî÷ëåíà
α1 , α2 , . . . - êîðíè f (x). f (x) = (x − α1 )q(x). Äàëåå 0 = f (α2 ) = (α2 − α1 )q(α2 ) ⇒ ïî òåîðåìå f (x) = (x − α1 )(x − α2 ) . . . (x − αm )ˆ q (x). Òîãäà
f (x) íå ïðåâîñõîäèò deg f (x).
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü
Òîãäà
Áåçó
q(x) = (x − α2 )e q (x)
è ò.ä.
m = deg f − deg qˆ ≤ deg f.
Êðàòíîñòü êîðíÿ ìíîãî÷ëåíà. Îïðåäåëåíèå 15.65.
Êðàòíîñòü êîðíÿ
íåîòðèöàòåëüíîå ÷èñëî Äðóãèìè ñëîâàìè,
k
k
(x − α)
α
f (x) - ýòî òàêîå öåëîå (x − α)k+1 íå äåëèò f (x).
ìíîãî÷ëåíà
äåëèò
f (x),
íî
- ýòî ñàìàÿ áîëüøàÿ ñòåïåíü ëèíåéíîãî ìíîæèòåëÿ
êîòîðàÿ äåëèò ìíîãî÷ëåí
Ïîíÿòíî, ÷òî òàêîå
÷òî
k
k
ñóùåñòâóåò äëÿ ëþáîãî
α.
 ñàìîì äåëå, íå ìîæåò áûòü òàêîãî, ÷òî äëÿ ñêîëü óãîäíî áîëüøîêî
(x − α)
k
f (x),
äåëèò
(x − α),
f (x).
ïîòîìó ÷òî â òàêîì ñëó÷àå
k
ìíîãî÷ëåí
k
deg(x − α) ≤ deg f (x).
Çàìå÷àíèå 15.13.
k ≤ deg f (x) Ìîæåò áûòü òàê, ÷òî Åñëè Åñëè
k = 1, k ≥ 2,
òî òî
α α
k = 0.
Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî
α
- íå êîðåíü.
íàçûâàåòñÿ ïðîñòûì êîðíåì. íàçûâàåòñÿ êðàòíûì êîðíåì.
Êðàòíîñòü êîðíÿ α ìîæíî îïðåäåëèòü ñëåäóþùèì îáðàçîì: Ïîäñòàâëÿåì
f (α) = 0,
òî
α
α
â ìíîãî÷ëåí
Ïîäñòàâëÿåì
α
Åñëè
f (α) 6= 0,
òî
α
- íå êîðåíü, åñëè æå
- êîðåíü êðàòíîñòè êàê ìèíèìóì 1.
Ðàçäåëèì ìíîãî÷ëåí
òî
f (x).
α
â
f (x)
íà
(x − α): f (x) = (x − α)f1 (x).
f1 (x). Åñëè f1 (α) 6= 0, òî α
- êîðåíü êðàòíîñòè 1, åñëè
f1 (α) = 0,
- êîðåíü êðàòíîñòè êàê ìèíèìóì 2.
Ïðîäîëæàåì ïðîöåññ, ïîêà íå ïîëó÷èì
fi (α) 6= 0.
108
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА
ФОНД
ВОЛЬНОЕ ДЕЛО
Òîãäà
α
- êîðåíü êðàòíîñòè
i.
ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU
Ïðîèçâîäíàÿ ìíîãî÷ëåíà. Åå ñâîéñòâà â çàâèñèìîñòè îò õàðàêòåðèñòèêè ïîëÿ. Îïðåäåëåíèå 15.66.
a1 x + a0
Ôîðìàëüíàÿ ïðîèçâîäíàÿ ìíîãî÷ëåíà
f (x) = an xn + . . . +
- ýòî
f 0 (x) = nan xn−1 + (n − 1)an xn−2 + . . . + 2a2 x + a1 . (Ïî àíàëîãèè ñ îáûêíîâåííîé ïðîèçâîäíîé ìíîãî÷ëåíà) Çàìåòèì, ÷òî â íàøåì ñëó÷àå îáûêíîâåííîå îïðåäåëåíèå ïðîèçâîäíîé
f (x + ∆) − f (x) ∆→0 ∆
f 0 (x) = lim
íå ðàáîòàåò, ò.ê. ìû õîòèì ðàáîòàòü ñ ìíîãî÷ëåíàìè íàä ëþáûìè ïîëÿìè. Çíà÷èòåëüíàÿ ÷àñòü äîêàçûâàåìûõ óòâåðæäåíèé îñòàåòñÿ âåðíîé è äëÿ ìíîãî÷ëåíîâ íàä íåêîòîðûìè êîëüöàìè.
Åñëè, íàïðèìåð, íàøå ïîëå - ýòî ïîëå âû÷åòîâ ïî ìîäóëþ 2 (ñîñòîÿùåå èç äâóõ ýëåìåíòîâ), òî â íåì óæå íåëüçÿ ãîâîðèòü î êàêîì-òî ïðèðàùåíèè àðãóìåíòà, óñòðåìëÿòü åãî ê íóëþ, áðàòü ïðåäåëû. Ïî ýòîé ïðè÷èíå íàì íåîáõîäèìà íåêàÿ çàìåíà îáûêíîâåííîé ïðîèçâîäíîé, ïðèìåíèìàÿ ê ëþáîìó ïîëþ.
Ýêâèâàëåíòíîå îïðåäåëåíèå:
Îïðåäåëåíèå 15.67.
Ïðîèçâîäíàÿ - ýòî îòîáðàæåíèå
d : F [x] → F [x],
îáëàäàþ-
ùåå äâóìÿ ñâîéñòâàìè: 1)
d(αf (x) + βg(x)) = αdf (x) + βdg(x); 2)
d(f (x)g(x)) = d(f (x))g(x) + f (x)d(g(x))ïðàâèëî Îáîçíà÷åíèå:
d(f (x)) = f 0 (x).
Äîêàçàòåëüñòâî ýêâèâàëåíòíîñòè îïðåäåëåíèé Äîêàçàòåëüñòâî.
d(an xn + . . . + a1 x + a0 ) = an d(xn ) + . . . + a1 d(x) + a0 d(1) ïî ëèíåéíîñòè.
d(1) = d(1 · 1) = 1d(1) + d(1)1 = 2d(1) ⇒ d(1) = 0. Ïî èíäóêöèè äîêàæåì, ÷òî
d(xk ) = kxk−1 . 109
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА
ФОНД
ВОЛЬНОЕ ДЕЛО
.
Íüþòîíà-Ëåéáëèöà
ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU
Áàçà:
d(x) = 1.
Äîïóñòèì, ÷òî äëÿ
Ïîêàæåì, ÷òî äëÿ
k−1 k
âåðíî, ÷òî
âûïîëíåíî
d(xk−1 ) = (k − 1)xk−2 .
d(xk ) = kxk−1 .
Øàã: ïî ïðàâèëó Íüþòîíà-Ëåéáíèöà ïîëó÷àåì:
d(xk ) = d(x · xk−1 ) = d(x)xk−1 + xd(xk−1 ) = = 1 · xk−1 + x(k − 1)xk−2 = xk−1 + (k − 1)xk−1 = kxk−1 . Èòàê, ìû äîêàçàëè, ÷òî ïðîèçâîäíàÿ ìíîãî÷ëåíà â ñìûñëå âòîðîãî îïðåäåëåíèÿ
d(f (x)) = f 0 (x) = nan xn−1 + (n − 1)an xn−2 + . . . + 2a2 x + a1 åñòü ïðîèçâîäíàÿ â ñìûñëå ïåðâîãî îïðåäåëåíèÿ.
Çàìå÷àíèå 15.14.
Ïóñòü
char F = 0.
Òîãäà
f 0 = 0 ⇔ f = a0 = const. ×òî èçìåíèòñÿ â ïîëå ñ õàðàêòåðèñòèêîé
Ïó÷òü
p?
char F = p. Âîçüìåì ïðîèçâîäíóþ îò ìíîãî÷ëåíà f (x) = an xn +. . .+a1 x+a0 f 0 (x) = nan xn−1 + . . . + 2a2 x + a1 .
ak xk , k ≥ 1 ïåðåøåë â kak xk−1 . Âàæíî ïîíèìàòü, ÷òî k êàê ïîêàçàòåëü ñòåïåíè â ak x - ýòî íàòóðàëüíîå ÷èñëî, à âîò êîýôôèöèåíò kak - ýòî óæå ýëåìåíò ïîëÿ F , òàê ÷òî k êàê ïîêàçàòåëü ñòåïåíè è êàê êîýôôèöèåíò - ýòî ïðèíöèïèàëüíî Êàæäûé ÷ëåí
k
ðàçíûå îáúåêòû.
Íàïðèìåð, ðàññìîòðèì ìíîãî÷ëåíû íàä ïîëåì æå, ïðè ýòîì ìíîãî÷ëåíû
x2
è
x0
Ó÷èòûâàÿ ñêàçàííîå âûøå, çàìåòèì, ÷òî åñëè ìåíò ïîëÿ
an
ñ ñàìèì ñîáîé
n
Z2 . Â ïîëå Z2 2 è 0 - ýòî îäíî è òî
- àáñîëþòíî ðàçíûå ìíîãî÷ëåíû.
n
äåëèòñÿ íà
p,
òî, ñêëàäûâàÿ ýëå-
ðàç, ëåãêî ìîæåì ïîëó÷èòü 0 â ïîëå
F (nan = 0).
p f 0 = 0 ⇔ ïðè âçÿòèè 0 n−1 ïðîèçâîäíîé âñå êîýôôèöèåíòû ìíîãî÷ëåíà f (x) = nan x + . . . + 2a2 x + a1 ñòàíóò Èç ýòèõ ðàññóæäåíèé ñëåäóåò, ÷òî â ïîëå õàðàêòåðèñòèêè
ðàâíû íóëþ. À ýòî çíà÷èò, ÷òî âñå íåíóëåâûå êîýôôèöèåíòû èñõîäíîãî ìíîãî÷ëåíà
. . . + a1 x + a0
äîëæíû áûòü "óáèòû ïàäåíèåì ïîêàçàòåëÿ" , êîòîðûé
Ïîäûòîæèì íàøè ðàññóæäåíèÿ:
110
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА
ФОНД
ВОЛЬНОЕ ДЕЛО
f (x) = an xn + äåëèòñÿ íà p.
ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU
Çàìå÷àíèå 15.15.
 ïîëå
F
p
õàðàêòåðèñòèêè
f 0 = 0 ⇔ f = apk xpk + ap(k−1) xp(k−1) + . . . + ap xp = = apk (xp )k + ap(k−1) (xp )k−1 + . . . + ap xp = g(xp ). Ýòî çíà÷èò, ÷òî åñëè äî âçÿòèÿ ïðîèçâîäíîé êàêîé-òî êîýôôèöèåíò
m)
áûë íåíóëåâîé, òî ïîêàçàòåëü ñòåïåíè ïðè íåì (
Äàëåå ñ÷èòàåì
am
äîëæåí äåëèòüñÿ íà
ïðè
xm
p.
char F = 0.
Ðåøèì íåñêîëüêî çàäà÷ ñ ïîìîùüþ ïðîèçâîäíîé.
Ïåðåðàçëîæåíèå ìíîãî÷ëåíà â òî÷êå. f (x) = an xn + . . . + a1 x + a0 = bn (x − α)n + . . . + b1 (x − α) + b0 Ò.å. ïåðåíåñëè íà÷àëî êîîðäèíàò èç òî÷êè
bi ,
Çàäà÷à: íàéòè
çíàÿ
0
â òî÷êó
α.
ai .
Ýòî ìîæíî ñäåëàòü ñ ïîìîùüþ ôîðìóëû Òåéëîðà:
f (x) =
f 0 (α) f (n) (α) (x − α)n + . . . + (x − α) + f (α). n! 1!
Êðàòíàÿ ïðîèçâîäíàÿ:
0 0 f (n) = (f 0 (x)) . . . {z } | n ðàç
Òî åñòü
bk =
f (k) (α) k!
Äîêàçàòåëüñòâî.
f = bn (x − α)n + . . . + b1 (x − α) + b0 Ïðîäèôôåðåíöèðóåì ëåâóþ è ïðàâóþ ÷àñòè
k
ðàç è ïîäñòàâèì
x = α:
f (k) (α) = 0 + k!bk + 0 ×òî ïðîèñõîäèò ïðè äèôôåðåíöèðîâàíèè ñî âñåìè ÷ëåíàìè ñòåïåíè ìåíüøå
k?
Ïðè îäíîêðàòíîì äèôôåðåíöèðîâàíèè ñòåïåíü óìåíüøàåòñÿ íà 1, òî åñòü åñëè ïðî-
− α)m , m < k k ðàç, ïîëó÷èì = const, à äàëåå (const)0 = 0).
bm (x (m)
äèôôåðåíöèðîâàòü (ò.ê.
m
(bm (x − α) ))
Äëÿ ÷ëåíà ñòåïåíè
k.
bk (x − α)k
(k)
= k · (k − 1) · . . . · 2 · 1bk = k!bk 111
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА
0
ФОНД
ВОЛЬНОЕ ДЕЛО
ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU
Äëÿ ÷ëåíîâ ñòåïåíè áîëüøå Ïóñòü
m > k,
k.
òîãäà
(bm (x − α)m )(k) = m · (m − 1) · . . . · (m − k + 1)(x − α)(m−k) x=α
Ïðè ïîäñòàíîâêå â ýòî âûðàæåíèå
ïîëó÷àåì, ÷òî ïðàâàÿ ÷àñòü ðàâíà 0.
Èòàê,
f (k) (α) = k!bk ⇒ bk =
f (k) (α) . k!
Íàõîæäåíèå êðàòíîñòè êîðíÿ. Òåîðåìà 15.26. ìíîãî÷ëåíà
Ïóñòü
char F = 0.
α (k − 1)
Òîãäà åñëè
f (x), òî α - êîðåíü êðàòíîñòè k - ýòî òàêîå ïîëîæèòåëüíîå
 ÷àñòíîñòè,
- êîðåíü êðàòíîñòè ìíîãî÷ëåíà
k, k ≥ 1
0
f (x).
öåëîå ÷èñëî, ÷òî
f (α) = f 0 (α) = . . . = f (k−1) (α) = 0;
f (k) (α) 6= 0.
Äðóãèìè ñëîâàìè, ïðè äèôôåðåíöèðîâàíèè êðàòíîñòü êîðíÿ óìåíüøàåòñÿ íà 1 (êðîìå ñëó÷àÿ êîðíÿ êðàòíîñòè 0).
Äîêàçàòåëüñòâî. Äîêàæåì òîëüêî ïåðâîå, ïîòîìó ÷òî âòîðîå ñðàçó æå èç íåãî ñëåäóåò. Ïî îïðåäåëåíèþ êðàòíîñòè êîíÿ
f (x) = (x − α)k q(x), q(α) 6= 0. Ïðîäèôôåðåíöèðóåì ýòî ðàâåíñòâî. Âîñïîëüçóåìñÿ ïðàâèëîì Íüþòîíà-Ëåéáíèöà
f 0 (x) = k(x − α)k−1 q(x) + (x − α)k q 0 (x) = (x − α)k−1 (kq(x) − (x − α)q 0 (x)) Ïîäñòàâèì â ïîñëåäíåå âûðàæåíèå
x = α.
(α − α)k−1 (kq(α) − (α − α)q 0 (α)) = 0(kq(α) − 0) kq(α) 6= 0 Ýòî çíà÷èò, ÷òî
α
- êîðåíü êðàòíîñòè
Ïðèìåð.(Óòâåðæäåíèå
k−1
ìíîãî÷ëåíà
f 0 (x).
òåîðåìû íå áóäåò âûïîëíÿòüñÿ â ïîëå õàðàêòåðèñòèêè
p
char F = p, f (x) = x (x − 1). Êðàòíîñòü êîðíÿ x = 0 ðàâíà p. Òåïåðü ïðîäèôôåðåíöèðóåì f (x) f 0 (x) = pxp−1 (x − 1) + xp 1 Ïî ñâîéñòâó ïîëÿ õàðàêòåðèñòèêè Çíà÷èò,
0
p
f (x) = x , x = 0
p, pxp−1 (x − 1) = 0.
- ïî-ïðåæíåìó êîðåíü êðàòíîñòè 112
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА
ФОНД
ВОЛЬНОЕ ДЕЛО
p.
p)
ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU
Òåîðåìà î ÷èñëå êîðíåé ìíîãî÷ëåíà. Òåîðåìà 15.27.
F
Ïóñòü
- ïðîèçâîëüíîå ïîëå è
1) ×èñëî êîðíåé ìíîãî÷ëåíà
Äîêàçàòåëüñòâî.
F
1) Ïóñòü
èõ êðàòíîñòè
k1 , . . . , km
Òîãäà
f (x) ñ ó÷åòîì êðàòíîñòåé íå ïðåâîñõîäèò deg f (x); f (x)
2) ×èñëî êîðíåé ìíîãî÷ëåíà ðàçëàãàåòñÿ íàä ïîëåì
f (x) ∈ F [x].
ñ ó÷åòîì êðàòíîñòåé ðàâíî
deg f (x) ⇔ f (x)
íà ëèíåéíûå ìíîæèòåëè.
α1 , . . . , αm
- âñå ðàçëè÷íûå êîðíè ìíîãî÷ëåíà
f (x) , è
(áûâàþò, êîíå÷íî, ìíîãî÷ëåíû, ó êîòîðûõ íåò êîðíåé
íà äàííûì ïîëåì, íî äëÿ íèõ óòâåðæäåíèå âåðíî àâòîìàòè÷åñêè). Íàäî äîêàçàòü, ÷òî
k1 + . . . + km ≤ deg f .
Èìååì
f (x) = (x − α1 )k1 q1 (x), q1 (α1 ) 6= 0. Ðàçäåëèì
q1 (x)
íà
(x − α2 )
ìàêñèìàëüíî âîçìîæíîå ÷èñëî ðàç, ïîëó÷èì
q1 (x) = (x − α2 )s2 q2 (x), q2 (α2 ) 6= 0. Ïðîäîëæàÿ ïðîöåññ, ïîëó÷èì â èòîãå
f (x) = (x − α1 )s1 =k1 (x − α2 )s2 . . . (x − αm )sm qm (x), qm (αi ) 6= 0, i = 1, . . . , m. Òîãäà äëÿ äàííîãî
i "
f (x) = (x − αi )si
# Y (x − αj )sj qm (x) := (x − αi )si h(x), h(αi ) 6= 0. j6=i
Îòñäà ñëåäóåò, ÷òî
si = ki .
deg f =
m X
Òîãäà
si + deg qm =
i=1
m X
ki + deg qm ≥
i=1
m X
ki .
i=1
2)
f (x) = (x − α1 )s1 =k1 (x − α2 )s2 . . . (x − αm )sm qm (x), ãäå ó
qm (x)
íåò êîðíåé íàä ïîëåì
F,
ïîòîìó êàê
ÿâëÿþòñÿ, à åñëè áû ó íåãî âîçíèê äðóãîé êîðåíü ìíîãî÷ëåíà
f (x),
α1 , . . . , αm åãî êîðíÿìè íå β , òî β áûë áû êîðíåì è
à ìû èõ âñå óæå ïåðå÷èñëèëè.
f (x) ðàçëàãàåòñÿ íà ëèíåéíûå ìíîæèòåëè ⇔ qm (x) ðàâåí m P const ⇔ deg qm = 0 ⇔ deg f = ki .
Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî
i=1
113
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА
ФОНД
ВОЛЬНОЕ ДЕЛО
ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU
Òåîðèÿ äåëèìîñòè. Îïðåäåëåíèå 15.68.
Êîììóòàòèâíîå àññîöèàòèâíîå êîëüöî ñ åäèíèöåé íàçûâà-
åòñÿ öåëîñòíûì êîëüöîì èëè îáëàñòüþ öåëîñòíîñòè, åñëè â êîëüöå íåò äåëèòåëåé íóëÿ.
Ïðèìåðû.
1)
F
- ïîëå (â íåì ìû è òàê çíàåì, ÷òî äåëèòåëåé íóëÿ íåò). Òîãäà â
F [x]
òîæå
íåò äåëèòåëåé íóëÿ. Ïðè ïåðåìíîæåíèè ìíîãî÷ëåíîâ ñ èõ ñòåïåíÿìè ïðîèñõîäèò ñëåäóþùåå:
0 ≤ deg(f g) = deg f + deg g , | {z } | {z } ≥0
≥0
à ýòî çíà÷èò, ÷òî ïðîèçâåäåíèå äâóõ íåíóëåâûõ ìíîãî÷ëåíîâ íå ìîæåò áûòü íóëåì. 2)
R
- öåëîñòíî
⇒ R[x]
- öåëîñòíî.
Äîêàçàòåëüñòâî ðîâíî òàêîå æå êàê â ïåðâîì ïðèìåðå. 3)
Z; Z[i]
- ãàóññîâû ÷èñëà, ïîëó÷åíû ïðèñîåäèíåíèåì
i
ê öåëûì ÷èñëàì.
Ýòî êîëüöà áåç äåëèòåëåé íóëÿ, ïîýòîìó îíè ÿâëÿþòñÿ öåëîñòíûìè.
Çàäà÷à*.
Ïóñòü
R
- êîììóòàòèâíîå àññîöèàòèûíîå êîëüöî ñ åäèíèöåé, è
f (x) = an xn + an−1 xn−1 + . . . + a1 x + a0 , ai ∈ R. Òîãäà
R[x] ⇔ a0
1)
f (x)
2)
f (x)-
äåëèòåëü íóëÿ
3)
f (x)-
íèëüïîòåíò
îáðàòèì â
- îáðàòèì,
a1 , . . . , a n
⇔ ∃a ∈ R : a 6= 0, af (x) = 0;
⇔ a0 , . . . , a n
- íèëüïîòåíòû.
114
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА
- íèëüïîòåíòû;
ФОНД
ВОЛЬНОЕ ДЕЛО
ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU
Ëåêöèÿ 16 Àññîöèèðîâàííîñòü ýëåìåíòîâ. Ïóñòü
R
- öåëîñòíîå êîëüöî.
a ∈ R äåëèòñÿ Îáîçíà÷åíèå: a b èëè b a.
íà ýëåìåíò
b ∈ R,
åñëè
∃c ∈ R : a = bc.
...
Ãîâîðÿò, ÷òî
Îïðåäåëåíèå 16.69. åñëè
a = bc
è
c∈R
Ýëåìåíòû
a, b ∈ R
íàçûâàþòñÿ àññîöèèðîâàííûìè (
a ∼ b),
îáðàòèì.
Ýòî îòíîøåíèå ýêâèâàëåíòíîñòè (îòíîøåíèå ñî ñâîéñòâàìè ðåôëåêñèâíîñòè, ñèììåòðè÷íîñòè è òðàíçèòèâíîñòè).
Ðåôëåêñèâíîñòü: êàæäûé ýëåìåíò àññîöèèðîâàí ñàì ñ ñîáîé, Ñèììåòðè÷íîñòü: åñëè
a
àññîöèèðîâàí ñ
1 · a = a;
b, b
àññîöèèðîâàí ñ
a
â ñèëó îáðàòèìîñòè
a
àññîöèèðîâàí ñ
c,
òî
c, b = ac−1 ; a àññîöèèðîâàí c, a = a1 b, b = b1 c, a = a1 b1 c.
Òðàíçèòèâíîñòü: åñëè
ñ
b
è
a
àññîöèèðîâàí ñ
Çàìå÷àíèå 16.16.
a ∼ b ⇔ a b, b a. ⇒) a = bc
Äîêàçàòåëüñòâî. (
(
⇐) a = bc
è
è
b = ac−1 .
b = ad. a = adc, a(dc − 1) = 0
1)
a = 0 ⇒ b = 0; 0 ∼ 0.
2)
a 6= 0.
Íåò äåëèòåëåé íóëÿ, ïîýòîìó
dc − 1 = 0 ⇒ c
îáðàòèì
⇒ a ∼ b.
Åâêëèäîâû êîëüöà.  êóðñå òåîðèè ÷èñåë ðàññìàòðèâàëñÿ àëãîðèòì Åâêëèäà äåëåíèÿ ñ îñòàòêîì è ïðèìåíåíèå ýòîãî àëãîðèòìà äëÿ íàõîæäåíèÿ ÍÎÄ. Ìû ïîâòîðèì ýòîò àëãîðèòì, íî íå òîëüêî äëÿ öåëûõ ÷èñåë, à äëÿ áîëåå øèðîêîãî êëàññà êîììóòàòèâíûõ êîëåö. Äëÿ ýòîãî íóæíî êàê-òî îïðåäåëèòü àëãîðèì äåëåíèÿ ñ îñòàòêîì.
Äëÿ ñîâåðøåííî ëþáîãî êîëüöà ýòî ñäåëàòü íåëüçÿ, ò.ê. èç ñóùåñòâîâàíèÿ â êîëüöå àëãîðèòìà ïîñëåäîâàòåëüíîãî äåëåíèÿ ñ îñòàòêîì ñëåäóåò íàëè÷èå ó ýòîãî êîëüöà íåêîòîðûõ ñïåöèàëüíûõ ñâîéñòâ. Åñëè ýòè ñâîéñòâà íå áóäóò âûïîëíÿòüñÿ, àëãîðèòì Åâêëèäà íà òàêîì êîëüöå íå áóäåò âîçìîæåí â ïðèíöèïå.
Îïðåäåëèì òîò êëàññ êîëåö, äëÿ êîòîðûõ òàêîé àëãîðèòì âîçìîæåí.
115
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА
ФОНД
ВОЛЬНОЕ ДЕЛО
ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU
Îïðåäåëåíèå 16.70. êëèäîâûì, åñëè
∃
Öåëîñòíîå êîëüöî
R,
íå ÿâëÿþùååñÿ ïîëåì, íàçûâàåòñÿ åâ-
ôóíêöèÿ
n : R\{0} → Z≥0
(íîðìà)
ñî ñâîéñòâàìè: 1)
n(ab) ≥ n(a) ∀b ∈ R\{0};
2)
∀a, b ∈ R, b 6= 0, ∃q, r ∈ R : a = bq + r,
è ëèáî
r = 0,
ëèáî
n(r) < n(b).
Ëåììà 16.16.
n(ab) = n(a) ⇔ b îáðàòèì. ⇐)
Äîêàçàòåëüñòâî. (
Åñëè
b
Ñëåäîâàòåëüíî, â ýòîé öåïî÷êå âîçìîæíî
(
⇒)
n(a) ≤ n(ab) ≤ n(abb−1 ) = n(a). òîëüêî ðàâåíñòâî è n(a) = n(ab).
îáðàòèì, òî
b íå îáðàòèì, òî a íå äåëèòñÿ íà ab: åñëè a = abc, òî a(bc − 1) = 0. a 6= 0 (ñëåäóåò èç óñëîâèÿ ëåììû), bc = 1 è b îáðàòèì.
Åñëè
Ïîñêîëüêó
Çíà÷èò,
a
ìîæíî ðàçäåëèòü íà
ab
a = abq + r, r 6= 0, n(r) < n(ab). r = a − abq = a(1 − bq). n(a) ≤ n(r), à ñ äðóãîé ñòîðîíû n(r) < n(ab). ïîñëåäíèõ äâóõ íåðàâåíñòâ n(a) < n(ab).
Îòñþäà
Ïî ïåðâîé àêñèîìå Èç
Ïðèìåðû åâêëèäîâûõ êîëåö 1)
R=Z
ñ åñòåñòâåííûìè îïåðàöèÿìè ñëîæåíèÿ è óìíîæåíèÿ.
 êà÷åñòâå ôóíêöèè
n
âîçüìåì
n(a) = |a|.
Çäåñü äîñòàòî÷íî ïîíÿòíî, ïî÷åìó êîëüöî åâêëèäîâî. 2)
F [x],
F - ïîëå. n(f (x)) = deg f (x).
ãäå
Íîðìà:
Ýòî êîëüöî åâêëèäîâî ïî òåîðåìå î äåëåíèè ñ îñòàòêîì.
ÍÎÄ è åãî ñâîéñòâà. Îïðåäåëåíèå 16.71.
a, b)
ÍÎÄ(
=
(a, b)
- îáùèé äåëèòåëü, êîòîðûé äåëèòñÿ íà
âñå îñòàëüíûå îáùèå äåëèòåëè ýëåìåíòîâ
Çàìå÷àíèå 16.17.
a
è
b.
Åñëè ÍÎÄ ñóùåñòâóåò, òî îí åäèíñòâåíåí ñ òî÷íîñòüþ äî
àññîöèèðîâàííîñòè. (Åñëè åñòü äâà ÍÎÄà, òî ïåðâûé äåëèò âòîðîé, à âòîðîé äåëèò ïåðâûé.)
116
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА
ФОНД
ВОЛЬНОЕ ДЕЛО
ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU
Íàïðèìåð, â êîëüöå öåëûõ ÷èñåë îáðàòèìûå ýëåìåíòû - ýòî
±1, çäåñü ÍÎÄ îïðå-
äåëåí ñ òî÷íîñòüþ äî çíàêà. Äëÿ àáñîëþòíîé åäèíñòâåííîñòè ìîæíî ïîòðåáîâàòü, ÷òîáû ÍÎÄ áûë ïîëîæèòåëüíûì.
 êîëüöå ìíîãî÷ëåíîâ îáðàòèìûå ýëåìåíòû - ýòî íåíóëåâûå êîíñòàíòû, çäåñü ÍÎÄ îïðåäåëåí ñ òî÷íîñòüþ äî óìíîæåíèÿ íà íåíóëåâóþ êîíñòàíòó.  ýòîì ñëó÷àå äëÿ åäèíñòâåííîñòè ìîæíî ïîòðåáîâàòü, ÷òîáû ñòàðøèé êîýôôèöèåíò ó ÍÎÄà áûë ðàâåí 1.
Òåîðåìà 16.28.
 åâêëèäîâîì êîëüöå
R ∀a, b ∈ R\{0}
(a, b).
ñóùåñòâóåò ÍÎÄ
Äîêàçàòåëüñòâî. Íàïîìíèì àëãîðèòì Åâêëèäà:
a = bq1 + r1 ,
...
b = r1 q2 + r2 ,
rs = rs+1 qs+2 + rs+2 , rs+1 = rs+2 qs+3 + 0. Ïîÿñíèì, ïî÷åìó ýòîò àëãîðèòì ðàáîòàåò.
n(b) > n(r1 ) > n(r2 ) > . . . > n(rs+2 )
- ïðîöåññ çàêîí÷èòñÿ.
Òîãäà ðàññìîòðèì ïîñëåäíèé íåíóëåâîé îñòàòîê
rs+2 .
Óòâåðæäàåòñÿ, ÷òî
(a, b) =
rs+2 . Äëÿ ýòîãî
rs+2
äîëæåí áûòü îáùèì äåëèòåëåì è äîëæåí äåëèòüñÿ íà âñå îñòàëüíûå
äåëèòåëè.
Ïåðâîå: ïîíÿòíî, ÷òî
rs+2 rs+1
(èç ïîñëåäíåé ñòðîêè àëãîðèòìà) è
rs+2 rs
(èç
ïðåäïîñëåäíåé ñòðîêè àëãîðèòìà). Ïî èíäóêöèè çàêëþ÷àåì, ÷òî Èòàê,
rs+2
rs+2 b (èç âòîðîé ñòðîêè) è rs+2 a (èç ïåðâîé ñòðîêè).
- îáùèé äåëèòåëü.
Âòîðîå: åñëè
d a
è
d b,
òî
d r1
(ïî ïåðâîé ñòðîêå).
Äâèãàÿñü òåïåðü óæå âíèç ïî ñòðîêàì àëãîðèòìà, ïîëó÷èì, ÷òî
d rs+2 .
Íóæíî ðàññìîòðåòü îòåäåëüíî ñèòóàöèþ, êîãäà ïîñëåäíåãî íåíóëåâîãî îñòàòêà íåò. Ïåðâûé æå îñòàòîê ìîæåò îêàçàòüñÿ íóëåâûì.
r1 = 0 ⇒ b a ⇒ (a, b) = b.
117
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА
ФОНД
ВОЛЬНОЕ ДЕЛО
ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU
Ëåììà 16.17. Ïóñòü
R
(î ëèíåéíîì ïðåäñòàâëåíèè ÍÎÄ)
- åâêëèäîâî êîëüöî. Òîãäà
∀a, b ∈ R\{0} ∃u, v ∈ R :
au + bv = (a, b). Äîêàçàòåëüñòâî. Èç ïðåäïîñëåäíåé ñòðîêè àëãîðèòìà Åâêëèäà
(ab ) = rs+2 = rs − rs+1 qs+2 = rs − (rs−1 − rs qs+1 )qs+2 = = rs (1 + qs+1 qs+2 ) − rs−1 qs+2 Ïðîäâèãàÿñü òàêèì æå îáðàçîì ââåðõ ïî ñòðîêàì àëãîðèòìà Åâêëèäà, ïîëó÷èì â èòîãå
rs (1 + qs+1 qs+2 ) − rs−1 qs+2 = . . . = au + bv.
Ïðîñòûå è íåïðèâîäèìûå ýëåìåíòû. Îïðåäåëåíèå 16.72. åñëè
Ýëåìåíòû
a, b ∈ R\{0}
íàçûâàþòñÿ âçàèìíî ïðîñòûìè,
(a, b) = 1.
Çäåñü â êà÷åñòâå ÍÎÄ ìîæåò âûñòóïàòü ëþáîé ýëåìåíò, àññîöèèðîâàííûé ñ 1, ò.å. ëþáîé îáðàòèìûé ýëåìåíò. Íî óñëîâíî ïèøåì
 ýòîì ñëó÷àå
(a, b) = 1.
∃u, v ∈ R : au + bv = 1.
Äëÿ âçàèìíî ïðîñòûõ ýëåìåíòîâ ìîæíî ïîäîáðàòü ëèíåéíóþ êîìáèíàöèþ, êîòîðàÿ ðàâíà 1.
Îïðåäåëåíèå 16.73. òèìûé ýëåìåíò
Ïóñòü
x∈R
1) ïðîñòûì, åñëè
R
- îáëàñòü öåëîñòíîñòè. Òîãäà íåíóëåâîé íåîáðà-
íàçûâàåòñÿ
p ab ⇒ p a
2) íåïðèâîäèìûì, åñëè
èëè
p b,
p = p1 p2 ⇒ p1
îáðàòèì èëè
p2
îáðàòèì.
Äëÿ íåêîòîðûõ êîëåö ïîíÿòèÿ íåïðèâîäèìîãî è ïðîñòîãî ýëåìåíòîâ îäèíàêîâû, íî äëÿ íåêîòîðûõ êîëåö îíè ðàçëè÷àþòñÿ.
Ïðèìåð: ìíîãî÷ëåí èëè
const 6= f (x) ∈ F [x]
íåïðèâîäèì, åñëè
Çàìå÷àíèå 16.18. p  ñàìîì äåëå, è òîãäà
p1
ïðîñòîé
⇒p
p = p1 p2 ⇒ p p1
íåïðèâîäèìûé.
èëè
p p2 ⇒ p ∼ p 1
è òîãäà
p2
îáðàòèì èëè
p ∼ p2
îáðàòèì.
Ëåììà 16.18.
Ïóñòü
∃i : p ai . ÷àñòíîñòè, p
R
- åâêëèäîâî êîëüöî,
p
Òîãäà Â
f = f1 f2 ⇒ f1 = const
f2 = const.
ïðîñò. 118
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА
ФОНД
ВОЛЬНОЕ ДЕЛО
íåïðèâîäèì,
p a1 . . . an , ai ∈ R.
ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü
n = 2.
Òîãäà
Òîãäà íàøà öåëü - äîêàçàòü, ÷òî
(p, a1 ) = 1
è
Óìíîæèì ýòî
p a1 a2
íå äåëèò
a1 .
∃u, v ∈ R : pu + a1 v = 1. ðàâåíñòâî íà a2 : +
a2
n > 2.
a1 a2 v | {z }
= a2
äåëèòñÿ íà p
äåëèòñÿ íà p
Ïóñòü
p
p a2 .
pa2 u |{z}
ïîëó÷èì, ÷òî
è ïóñòü
p.
äåëèòñÿ íà
Òîãäà ïðîâåäåì èíäóêöèþ ïî
n.
p a1 . . . an ⇔ p a1 (a2 . . . an ) Ïðèìåíÿÿ ïðåäûäóùèé ñëó÷àé, ïîëó÷àåì, ÷òî
Åñëè
p a1 ,
Åñëè
p a2 . . . an ,
p a1
èëè
p a2 . . . an .
òî äîêàçàíî.
ïðèìåíÿåì ïðåäïîëîæåíèå èíäóêöèè.
Îáîáùåíèå îñíîâíîé òåîðåìû àðèôìåòèêè. Òåîðåìà 16.29.
 åâêëèäîâîì êîëüöå
R
âñÿêèé íåíóëåâîé íåîáðàòèìûé ýëåìåíò
ðàçëàãàåòñÿ íà ïðîñòûå ìíîæèòåëè, ïðè÷åì ðàçëîæåíèå îäíîçíà÷íî ñ òî÷íîñòüþ äî ïîðÿäêà ìíîæèòåëåé è àññîöèèðîâàííîñòè. Ýòî îáîáùåíèå îñíîâíîé òåîðåìû àðèôìåòèêè.
Ïðèìåð. Z, 6 = 2 · 3 = 3 · 2 = (−3)(−2). Êîëüöà ñ òàêèì ñâîéñòâîì íàçûâàþòñÿ ôàêòîðèàëüíûìè. UFD - unique factorization domain.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ñóùåñòâîâàíèå. Îò ïðîòèâíîãî.
Ïóñòü
∃a ∈ R
Åñëè
a
Åñëè
a = bc
- íå ðàçëàãàåòñÿ. Ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî
íåïðèâîäèì, òî
è
b, c
a
ïðîñò è
a=a
ìèíèìàëüíà.
- òðåáóåìîå ðàçëîæåíèå.
n(b) < n(a)
- íåîáðàòèìû, òî
n(a)
è
n() < n(a),
íî òîãäà
b
è
c
ðàçëàãàþòñÿ íà ïðîñòûå.
a = (ðàçëîæåíèå - ïîëó÷èëè ðàçëîæåíèå äëÿ
a
äëÿ
b)(ðàçëîæåíèå
c)
- ïðîòèâîðå÷èå ñ òåì, ÷òî ñóùåñòâóåò ýëåìåíò, êîòî-
ðûé íå ðàçëàãàåòñÿ.
119
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА
äëÿ
ФОНД
ВОЛЬНОЕ ДЕЛО
ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU
Åäèíñòâåííîñòü. Ïóñòü
a = p1 . . . pn = q 1 . . . qm qi , pi
- ïðîñòûå. Íàäî äîêàçàòü, ÷òî
Çäåñü
σ
n=m
è
∃σ ∈ Sn : pi ∼ qσ(i) , i = 1, . . . , n.
èãðàåò ðîëü ïåðåíóìåðàöèè.
n = 1. a = p1 = q1 . . . qm Èç íåïðèâîäèìñòè
p1
ñëåäóåò, ÷òî
m=1
n > 1. p1 q1 . . . qm ⇒ ∃i : p1 qi ⇒ p1 ∼ qi . Ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî i = 1, ñîêðàùàåì
è
p1 = q1 .
ëåâóþ è ïðàâóþ ÷àñòè íà
p 1 = q1 .
p1 . . . pn = q1 . . . qm p1 (p2 . . . pn − q2 . . . qm ) = 0 p2 . . . pn − q 2 . . . qm = 0 Äàëåå ïî èíäóêöèè.
Óïðàæíåíèå 16.16.
1) Ïðèâåñòè ïðèìåð åâêëèäîâà êîëüöà, â êîòîðîì ðîâíî
îäèí êëàññ àññîöèèðîâàííîñòè ïðîñòûõ ýëåìåíòîâ. 2) Åñëè
F
- ïîëå, òî â
F [x]
÷èñëî íåïðèâîäèìûõ ìíîãî÷ëåíîâ áåñêîíå÷íî.
Ýòà çàäà÷à äåëèòÿ íà äâà ïîäïóíêòà:
a) êîãäà
F
áåñêîíå÷íî
â ýòîì ñëó÷àå îòâåò - âñå ëèíåéíûå ìíîãî÷ëåíû
b) êîãäà
F
x − α, α ∈ F .
êîíå÷íî.
Çäåñü, ïî ñóòè, íóæíî äîêàçàòü, ÷òî åñòü íåïðèâîäèìûå ýëåìåíòû ñêîëü óãîäíî âûñîêîé ñòåïåíè. Íàøà ñëåäóþùàÿ öåëü - îñíîâíàÿ òåîðåìà àëãåáðû:
Ïðåäèñëîâèå ê îñíîâíîé òåîðåìå àëãåáðû. Ëþáîé ìíîãî÷ëåí
f (x) ∈ C[x]
èìååò ðîâíî
n = deg f (x)
êîìïëåêñíûõ êîðíåé ñ
ó÷åòîì êðàòíîñòåé.
Ýòî óòâåðæäåíèå ðàâíîñèëüíî ñëåäóþùåìó: Ëþáîé ìíîãî÷ëåí
f (x) ∈ C[x]
ðàçëàãàåòñÿ íà ëèíåéíûå ìíîæèòåëè.
f (x) = λ(x − α1 )k1 . . . (x − αs )ks , 120
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА
ФОНД
ВОЛЬНОЕ ДЕЛО
ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU
k1 + . . . + ks = deg f (x). Òàêèì îáðàçîì, ïîëó÷àåì åùå îäíó ýêâèâàëåíòíóþ ôîðìóëèðîâêó:
Íåïðèâîäèìûå ìíîãî÷ëåíû íàä
Îïðåäåëåíèå 16.74.
Ïîëå
F
C
- ýòî â òî÷íîñòè ëèíåéíûå ìíîãî÷ëåíû.
íàçûâàåòñÿ àëãåáðàè÷åñêè çàìêíóòûì, åñëè äëÿ íåãî
âåðíà îñíîâíàÿ òåîðåìà àëãåáðû. Ïîêà ìû çíàåì òîëüêî îäèí òàêîé ïðèìåð - êîìïëåêñíûå ÷èñëà.
Ïîëÿ
Q, R
íå ÿâëÿþòñÿ àëãåáðàè÷åñêè çàìêíóòûìè, íàïðèìåð, èç-çà ìíîãî÷ëåíà
2
x + 1. Íèêàêîå êîíå÷íîå ïîëå òàêæå íå ÿâëÿåòñÿ àëãåáðàè÷åñêè çàìêíóòûì. Åñëè
{α1 , . . . , αk } = F ,
òî ïðèìåðîì ìíîãî÷ëåíà, íå ðàçëàãàþùåãîñÿ íà ëèíåéíûå
ìíîæèòåëè, áóäåò
(x − α1 ) . . . (x − αk ) + 1
121
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА
ФОНД
ВОЛЬНОЕ ДЕЛО
ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU
Ëåêöèÿ 17 Ñóùåñòâîâàíèå êîðíÿ ìíîãî÷ëåíà íàä C, îñíîâíàÿ òåîðåìà àëãåáðû. Íà ïðîøëîé ëåêöèè ìû ñôîðìóëèðîâàëè îñíîâíóþ òåîðåìó àëãåáðû. Íàïîìíèì åå ýêâèâàëåíòíûå ôîðìóëèðîâêè:
Òåîðåìà 17.30.
f (x) ∈ C[x] èìååò ðîâíî n = deg f (x) êîìïëåêñíûõ êîðíåé ñ ó÷åòîì êðàòíîñòåé. ⇔ Ëþáîé ìíîãî÷ëåí f (x) ∈ C[x] ðàçëàãàåòñÿ íà ëèíåéíûå ìíîæèòåëè.⇔ Íåïðèâîäèìûå ìíîãî÷ëåíû íàä C - ýòî â òî÷íîñòè ëèíåéíûå ìíîãî÷ëåíû. Ëþáîé ìíîãî÷ëåí
Ïåðåéäåì òåïåðü ê åå äîêàçàòåëüñòâó. Äîêàæåì ñíà÷àëà, íà ïåðâûé âçãëÿä, áîëåå ñëàáîå óòâåðæäåíèå:
Òåîðåìà 17.31. f (z) ∈ C[z]. f (z) 6= const ⇒ ∃z0 ∈ C : f (z0 ) = 0. Äîêàçàòåëüñòâî. (Äîêàçàòåëüñòâî çàìå÷àíèÿ) Ïóñòü ñóùåñòâóåò êîðåíü
Äàëåå èíäóêöèÿ ïî
Áàçà:
n = 1,
z0 ,
òîãäà ïî òåîðåìå Áåçó
f (z) = (z − z0 )g(z).
deg f = n.
î÷åâèäíà.
deg g = deg f − 1, ò.ê. îíè îòëè÷àþòñÿ íà ìíîæèòåëü ñòåïåíè 1. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî g èìååò n − 1 êîðåíü ïî ïðåäïîëîæåíèþ èíäóêöèè, òåëüíî, f èìååò n êîðíåé. Øàã:
ñëåäîâà-
Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû 17.30 íåîáõîäèìî ââåñòè íåêîòîðûå ïîíÿòèÿ ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà äëÿ êîìïëåêñíûõ ÷èñåë.
Âû÷èòàíèå è ñëîæåíèå äâóõ êîìïëåêñíûõ ÷èñåë êàê ðàäèóñ-âåêòîðîâ íà êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè âûãëÿäèò ñëåäóþùèì îáðàçîì:
122
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА
ФОНД
ВОЛЬНОЕ ДЕЛО
ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU
Âèäíî, ÷òî äëÿ ñòîðîí çàøòðèõîâàííîãî òðåóãîëüíèêà âûïîëíåíî ñëåäóþùåå íåðàâåíñòâî:
|z1 + z2 | ≤ |z1 | + |z2 |, ÷òî îçíà÷àåò, ÷òî äëèíà îäíîé ñòîðîíû òðåóãîëüíèêà ìåíüøå ñóììû äëèí äâóõ äðóãèõ.
Ëåãêî ïîëó÷èòü íåðàâåíñòâî è äëÿ âû÷èòàíèÿ âåêòîðîâ:
||z1 | − |z2 || ≤ |z1 − z2 |.
Ñõîäèìîñòü íà êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè. Îïðåäåëåíèå 17.75.
Ïóñòü
{zk , k ∈ N}
- ïîñëåäîâàòåëüñíîñòü êîìïëåêñíûõ ÷è-
ñåë.
zk → z, k → ∞ ⇔ |z − zk | → 0, k → ∞.
Òîãäà
Òåïåðü íà÷íåì äîêàçûâàòü òåîðåìó 17.30.
Ëåììà 17.19.
Ïóñòü
zk = xk + iyk ,
z = x + iy.
Òîãäà
zk → z ⇔ xk → x, yk → y. ⇒)
Äîêàçàòåëüñòâî. (
|zk − z| =
p (xk − x)2 + (yk − y)2 → 0,
p (xk − x)2 + (yk − y)2 < ε ⇒ |xk − x| < ε, |yk − y| < ε Òîãäà
xk → x, yk → y, k → ∞. (
⇐) |xk − x| < ε, |yk − y| < ε
Òîãäà
|zk − z| =
Ëåììà 17.20.
p √ √ (xk − x)2 + (yk − y)2 < ε2 + ε2 = 2ε.
1)
zk → z ⇒ |zk | → |z|; 2)
zk → z, wk → w Òîãäà
zk + wk → z + w; zk wk → zw 123
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА
ФОНД
ВОЛЬНОЕ ДЕЛО
ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU
Äîêàçàòåëüñòâî.
1)
||zk | − |z|| ≤ |zk − z| → 0 Ñëåäîâàòåëüíî,
|zk | → |z|.
2)
|(zk + wk ) − (z + w)| = |(zk − z) + (wk − w)| leq|zk − z| + |wk − w| |zk − z| → 0, |wk − w| → 0 ⇒ |(zk + wk ) − (z + w)| → 0.
|zk wk −zw| = |(zk −z)wk +z(wk −w)| ≤ |(zk −z)wk |+|z(wk −w)| = |zk −z|·|wk |+|wk −w|·|z|, |zk − z| → 0, |wk − w| → 0, |wk | → |w| = const, |z| = const.  èòîãå ïîëó÷àåì, ÷òî
|zk wk − zw| → 0.
Èòàê, åñëè
zk → z0 ,
òî
∀f (z) ∈ C[z]
f (zk ) → f (z0 ),
ò.ê. ïåðåõîä "óâàæàåò"
îïåðàöèè ñëîæåíèÿ è óìíîæåíèÿ, à âû÷èñëåíèå ìíîãî÷ëåíîâ - ýòî ìíîãîêðàòíàÿ êîìïîçèöèÿ ñëîæåíèÿ, óìíîæåíèÿ è óìíîæåíèÿ íà ñêàëÿð.
Ëåììà î âîçðàñòàíèè ìîäóëÿ. Ëåììà 17.21. î âîçðàñòàíèè ìîäóëÿ
f (x) ∈ C[x]\C |f (zk )| → ∞. Åñëè
ïîëîæèòåëüíîé ñòåïåíè, ò.å. íå êîíñòàíòà, è
Äîêàçàòåëüñòâî.
f (x) = an xn + . . . + a1 x + a0 , an 6= 0, n ≥ 1. a1 a0 n |f (zk )| = |zk | an + . . . + n−1 + n ≥ zk zk a1 a0 ≥ |zkn | |an | − . . . − n−1 − n z z k
k
ïî íåðàâåíñòâó òðåóãîëüíèêà.
Çàìåòèì òåïåðü, ÷òî
è
ai |an | = const, n−i → 0, k → ∞. Òîãäà zk a1 a0 |an | − . . . − n−1 − n → |an | zk zk
a0 a 1 |zkn | |an | − . . . − n−1 − n → ∞, k → ∞ zk zk
Òîãäà è
|f (zk )| → ∞, k → ∞. 124
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА
ФОНД
ВОЛЬНОЕ ДЕЛО
zk → ∞,
òî
ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU
Ëåììà Äàëàìáåðà. Ëåììà 17.22. Äàëàìáåðà (Æàí Ëåðîí Ä`Àëàìáåð, 1717-1783, Ïàðèæ)
f (x) ∈ C[x], deg f > 0 è f (z0 ) 6= 0 äëÿ íåêîòîðîãî z0 ∈ C. ∀ε > 0, ∀z ∈ C : |f (z)| < |f (z0 )| è |z − z0 | < ε.
Ïóñòü Òîãäà
Ãðàôèê êîìïëåêñíîãî ìíîãî÷ëåíà ñëîæíî ïðåäñòàâèòü, ò.ê. îí ñóùåñòâóåò â ÷åòûðåõìåðíîì ïðîñòðàíñòâå (äâóìåðíàÿ ïëîñêîñòü àðãóìåíòîâ è äâóìåðíàÿ ïëîñêîñòü çíà÷åíèé). Èçîáðàçèì òîëüêî îñü, ãäå îòêëàäûâàåì àðãóìåíòû. Êîìïëåêñíàÿ ïëîñêîñòü ïðîñòðàíñòâî àðãóìåíòîâ
z
C - ýòî
ìíîãî÷ëåíà.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü
f (z) = 1 + cp (z − z0 )p + cp+1 (z − z0 )p+1 + . . . + cn (z − z0 )n . f (z0 ) òî, ÷òî âèä ìíîãî÷ëåíà, ïåðåðàçëîæåííîãî ïî ñòåïåíÿì
z − z0
áóäåò èìåííî òàêèì,
ñëåäóåò èç ôîðìóëû Òåéëîðà èëè òåîðåìâ Áåçó. Ñóùåñòâóåò åùå áîëåå ïðîñòîå îáîñíîâàíèå: åñëè ïîäñòàâèòü â ðàçëîæåíèå âûøå
z = z0 , òî âñå ÷ëåíû, êðîìå ñâîáîäíîãî, f (z0 ) ñâîáîäíûé ÷ëåí ñòàíåò ðàâåí 1.
òî÷êó íà
çàíóëÿòñÿ, à çíà÷èò ïîñëå äåëåíèÿ
Íóìåðàöèÿ êîýôôèöèåíòîâ íà÷èíàåòñÿ íå ñ 1, à ñ íåêîòîðîãî çóìåâàåòñÿ íîìåð ïåðâîãî íåíóëåâîãî êîýôôèöèåíòà,
Ïóñòü
p,
ãäå ïîä
p
ïîäðà-
cp 6= 0.
z = z0 + tz1 , t ∈ (0, 1), z1 ∈ C.
cp z1p = −1. z1 ñóùåñòâóåò: èç ëåâîãî êîìïëåêñíîãî ÷èñëà ìîæíî èçâëå÷ü êîðåíü p-òîé ñòåïåíè è r 1 p − . äðóãîå íåíóëåâîå êîìïëåêñíîå ÷èñëî z1 = cp Òîãäà ïî âûáîðó z1 , Íàëîæèì ñëåäóþùåå óñëîâèå: ïóñòü
cp (z0 + tz1 − z0 )p = cp tp z1p = cp tp 125
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА
ФОНД
ВОЛЬНОЕ ДЕЛО
−1 = −tp , cp
ëþáîãî íåíóðàçäåëèòü íà
ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU
èç âñåõ îñòàëüíûõ ÷ëåíîâ âûíåñåì çà ñêîáêè
(z − z0 )p+1 = tp+1
è ïîëó÷èì
f (z) = 1 − tp + tp+1 φ(t), φ(t) ∈ C[t], deg φ = n − p − 1. f (z0 ) Ïóñòü
C
- ìàêñèìóì ìîäóëåé êîýôôèöèåíòîâ ìíîãî÷ëåíà
φ(t).
Òîãäà
|φ(t)| ≤ A = (n − p)C.
(17.1)
|φ(t)| = |α0 + α1 t + . . . + αn−p−1 tn−p−1 | ≤ |α0 | + |α1 ||t| + . . . + |αn−p−1 ||t|n−p−1 ≤ ≤ |C|(1 + |t| + . . . + |t|n−p−1 ) t ∈ (0, 1),
ïîýòîìó
|C|(1 + |t| + . . . + |t|n−p−1 ) ≤ |C| (1 + . . . + 1) = C(n − p). {z } | n−p−1+1
Äîêàçàëè
(17.1). f (z) p p+1 p f (z0 ) ≤ 1 − t + t A = 1 − t (1 − At) < 1
Ñëåäîâàòåëüíî, ïðè òàêèõ
t
è ïðè
ïðè
t
0, M = inf |f (z)|. z∈C
Çàìåòèì, ÷òî
{|f (z)|, z ∈ C}
- ýòî íå ïîñëåäîâàòåëüíîñòü, à êîíòèíóàëüíîå ìíîæå-
ñòâî âåùåñòâåííûõ íåîòðèöàòåëüíûõ ÷èñåë. Èç ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà èçâåñòíî, ÷òî ó ëþáîãî íàáîðà âåùåñòâåííûõ íåîòðèöàòåëüíûõ ÷èñåë ñóùåñòâóåò òî÷íàÿ íèæíÿÿ ãðàíü.
Òîãäà ñóùåñòâóåò òàêàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
{zk , k ∈ N}
÷òî
|f (zk )| → M, k → ∞
(òàêæå èç ìàò. àíàëèçà).
Åñëè
|zk |
íå îãðàíè÷åíû, òî èç ýòîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ìîæíî âûáðàòü ïîäïî-
ñëåäîâàòåëüíîñòü, ñòðåìÿùóþñÿ ê áåñêîíå÷íîñòè. Ïåðåõîäîì ê ýòîé ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòè äîáèâàåìñÿ òîãî, ÷òî
126
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА
ФОНД
ВОЛЬНОЕ ДЕЛО
|zk | → ∞.
ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU
Òîãäà ïî ëåììå î âîçðàñòàíèè ìîäóëÿ
|f (zk )| → ∞ - ïðîòèâîðå÷èå ñ òåì, ÷òî M 6= ∞.
Çíà÷èò, ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ìîäóëåé íå ìîæåò áûòü íåîãðàíè÷åíà.
|zk |
îãðàíè÷åíà, ò.å.
∃C : |zk | < C . ∀k : zk = xk + iyk .
Òîãäà
|xk | ≤ |zk | < C, |yk | ≤ |zk | < C. Ïî òåîðåìå Áîëüöàíî-Âåéåðøòðàññà èç ïîñëåäîâàòåëüíîñòè äÿùóþñÿ ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü. Äàëåå ñ÷èòàåì
xk
ìîæíî âûáðàòü ñõî-
xk → x0 .
Òåïåðü ïðèìåíèì òåîðåìó Áîëüöàíî-Âåéåðøòðàññà ê ýòîé ïîäïîñëåäîâàòåëüíî-
yk :
ñòè äëÿ
ïåðåõîäÿ ê ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòè, ñ÷èòàåì, ÷òî
Âàæíîå çàìå÷àíèå: ó íàñ åñòü äâå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
yk → y0 .
|xk | ≤ |zk | < C
è
|yk | ≤
|zk | < C . Ïî òåîðåìå Áîëüöàíî-Âåéåðøòðàññà èç íèõ îáåèõ ìîæíî âûáðàòü ñõîäÿùóþñÿ ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü, íî ñäåëàòü ýòî íóæíî îäíîâðåìåííî.
xk
Âåäü ìîæåò îêàçàòüñÿ, íàïðèìåð, òàê, ÷òî èç ìåðàìè, à èç
yk
âûáðàëè ýëåìåíòû ñ ÷åòíûìè íî-
- ñ íå÷åòíûìè. Òîãäà èç íèõ íåâîçìîæíî áóäåò âûáðàòü îáùóþ
ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü, ÷òîáû îíè îáå èìåëè ïðåäåë.
Òîãäà ïî ëåììå 17.19
zk = xk + iyk → z0 = x0 + iy0 . Òîãäà
|f (zk )| → |f (z0 )|. zk : |f (zk )| → M, k → ∞. Ïîòîì ìû, ïðàâäà, ïåðåøëè ê ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòÿì, íî åñëè |f (zk )| → M , òî è ëþáàÿ ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü áóäåò ñõîäèòüñÿ ê M .
C äðóãîé ñòîðîíû, ìû âûáèðàëè
Îòñþäà
|f (zk )| → |f (z0 )| = M. Èòàê, ìû äîêàçàëè, ÷òî
inf |f (z)|
z∈C
äîñòèãàåòñÿ:
∃z0 ∈ C : f (z0 ) = inf |f (z)|. z∈C
|f (z0 )| = 0 ⇒ f (z0 ) = 0 ⇒ z0
Åñëè
M = 0,
Åñëè
M > 0, òî ïî ëåììå Äàëàìáåðà ∃z : |f (z)| < |f (z0 )| = M . Íî M
òî
íèæíÿÿ ãðàíü - ïðîòèâîðå÷èå.
127
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА
ФОНД
ВОЛЬНОЕ ДЕЛО
- êîðåíü.
- ýòî òî÷íàÿ
ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU
Òåîðåìà Ðóôôèíè - Àáåëÿ. Îòäåëåíèå êðàòíûõ êîðíåé. Òåîðåìà 17.32.
(Ðóôôèíè - Àáåëÿ)
Îáùåå óðàâíåíèå ñòåïåíè
≥5
íå ðàçðåøèìî â ðàäèêàëàõ.
Äîêàçàòåëüñòâî. Áåç äîêàçàòåëüñòâà. Ýòà òåîðåìà íå âõîäèò â ïðîãðàììó ýêçàìåíà. Ïîëó÷àåòñÿ, ÷òî ïî îñíîâíîé òåîðåìå àëãåáðû ó îáùåãî óðàâíåíèÿ ñòåïåíè
≥5
åñòü êîðåíü, íî ïî òåîðåìå Ðóôôèíè - Àáåëÿ íàéòè åãî íåëüçÿ.
Òåðìèí "îáùåå óðàâíåíèå " ìîæíî ïîíèìàòü äâóìÿ ñïîñîáàìè, è îáà áóäóò âåðíûìè äëÿ äàííîé òåîðåìû.
1) Äëÿ óðàâíåíèÿ
an xn + . . . + a1 x + a0 = 0 íå ñóùåñòâóåò ôîðìóëû, âûðàæàþùåé êîðåíü
x
÷åðåç êîýôôèöèåíòû
ai .
2) Ïóñòü êîýôôèöèåíòû â óðàâíåíèè
an x n + . . . + a1 x + a0 = 0 âûáðàíû ñëó÷àéíî. Òîäà ó ýòîãî óðàâíåíèÿ áóäóò êîðíè, îäíàêî îíè íå ëåæàò â òîì ìíîæåñòâå êîìïëåêñíûõ ÷èñåë, êîòîðîå ìîæíî ïîëó÷èòü èç ìíîæåñòâà êîýôôèöèåíòîâ, âû÷èòàÿ, ñêëàäûâàÿ, óìíîæàÿ, äåëÿ è èçâëåêàÿ êîðíè.
 äàëüíåéøåì ìû áóäåì ïûòàòüñÿ îáîéòè ýòî îãðàíè÷åíèå äëÿ ðàçëè÷íûõ ÷àñòíûõ ñëó÷àåâ.
Èìååò ëè ìíîãî÷ëåí
f (z) ∈ C[z]
êðàòíûå êîðíè?
Àëãîðèòì íàõîæäåíèÿ êðàòíûõ êîðíåé:
f, f 0 ).
Ñ ïîìîùüþ àëãîðèòñÿ Åâêëèäà íàõîäèì ÍÎÄ(
Åñëè ÍÎÄ(
f, f 0 )
ðàâåí êîíñòàíòå, òî êðàòíûõ êîðíåé íåò.
Èíà÷å åñòü.
Äîêàçàòåëüñòâî.
f (z) = α(z − z1 )k1 . . . (z − zs )ks , k1 + . . . + ks = n. (f, f 0 ) = β(z − z1 )k1 −1 . . . (z − zs )ks −1 (f, f 0 ) = const ⇔ k1 = . . . = ks = 1.
128
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА
ФОНД
ВОЛЬНОЕ ДЕЛО
ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU
Îòäåëåíèå êðàòíûõ êîðíåé:
Ïðåîáðàçóåì ìíîãî÷ëåí
f → fe = Ìíîãî÷ëåí
fe íàçûâàåòñÿ
f
ñëåäóþùèì îáðàçîì:
f (f, f 0 )
ìíîãî÷ëåíîì, ïîëó÷åííûì â ðåçóëüòàòå îòäåëåíèÿ êðàò-
íûõ êîðíåé.
Ñðàçó âèäíî, ÷òî ìíîãî÷ëåí
fe èìååò
òå æå êîðíè, ÷òî è
f,
íî êðàòíîñòè 1:
α fe = (z − z1 ) . . . (z − zs ) β Êîðíè ìíîãî÷ëåíà áîëüøîé ñòåïåíè ìîæíî ïðîáîâàòü èñêàòü ïðèáëèæåííî, äëÿ ýòîãî ñóùåñòâóþò àëãîðèòìû, ïîçâîëÿþùèå íàéòè ÷èñëà, ñêîëü óãîäíî áëèçêèå ê êîðíÿì.
×òîáû íàéòè òî÷íîå çíà÷åíèå êîðíÿ, ìîæíî ïîïðîáîâàòü íàéòè ÍÎÄ
(f, f 0 )
è îò-
äåëèòü êðàòíûå êîðíè. Åñòü âåðîÿòíîñòü, ÷òî ïîñëå ýòîãî ñòåïåíü ìíîãî÷ëåíà óìåíüøèòñÿ äî ìåíüøåé 5, è êîðíè ìîæíî áóäåò íàéòè ïî èçâåñòíûì ôîðìóëàì. Òîãäà ìû òàêæå íàéäåì âñå êîðíè ìíîãî÷ëåíà
f , à çàòåì è èõ êðàòíîñòè ñ ïîìîùüþ
ñõåìû Ãîðíåðà.
129
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА
ФОНД
ВОЛЬНОЕ ДЕЛО
ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU
Ëåêöèÿ 18 Íåïðèâîäèìûå ìíîãî÷ëåíû. Íàïîìíèì îïðåäåëåíèå íåïðèâîäèìîãî ìíîãî÷ëåíà: Ïóñòü
F
- ëþáîå ïîëå, òîãäà ìíîãî÷ëåí
p(x), deg p > 0 íàä ýòèì ïîëåì íåïðèâîäèì,
åñëè îí íå ðàçëàãàåòñÿ íà ìíîæèòåëè:
p(x) = p1 (x)p2 (x) ⇒ p1 (x) = const 6= 0 èëè p2 (x) = const 6= 0. Òàêæå áûëî äîêàçàíî, ÷òî â ëþáîì åâêëèäîâîì êîëüöå ðàçëîæåíèå íà íåïðèâîäèìûå ìíîæèòåëè îäíîçíà÷íî, çíà÷èò, â êîëüöå ìíîãî÷ëåíîâ ëþáîé ìíîãî÷ëåí îäíîçíà÷íî ðàçëàãàåòñÿ íà íåïðèâîäèìûå ìíîæèòåëè.
Êàê óñòðîåíû íåïðèâîäèìûå ìíîãî÷ëåíû íàä ïîëåì
F?
Íàä ìíîãèìè ïîëÿìè ýòà çàäà÷à íå èìååò ïðîñòîãî îòâåòà - îïèñàòü âñå òàêèå ìíîãî÷ëåíû áûâàåò äîâîëüíî ñëîæíî.
Âàæíàÿ íåïðàâèëüíàÿ òåîðåìà
f (x) ∈ F [x]
Ìíîãî÷ëåí
⇒)
Äîêàçàòåëüñòâî. (
íåïðèâîäèì
⇔ f (x)
íå èìååò êîðíåé íàä ïîëåì
F.
ïîéìåì, ïî÷åìó îíà íå âåðíà â ýòó ñòîðîíó.
Îáùèé âèä ëèíåéíîãî ìíîãî÷ëåíà ñ òî÷íîñòüþ äî àññîöèèðîâàííîñòè:
x − α. Ëèx = α.
íåéíûé ìíîãî÷ëåí íåïðèâîäèì íàä ëþáûì ïîëåì, îäíàêî âñåãäà èìååò êîðåíü
Ýòî èñêëþ÷åíèå ÿâëÿåòñÿ åäèíñòâåííûì äëÿ äàííîé èìïëèêàöèè ïî òåîðåìå Áåçó.
⇒)
Ò.å. (
(
⇐)
Ïóñòü
âåðíà, åñëè
deg f ≥ 2.
òåïåðü ïîêàæåì, ïî÷åìó íåâåðíà îáðàòíàÿ èìïëèêàöèÿ.
p(x)
- íåïðèâîäèìûé ìíîãî÷ëåí ñòåïåíè
Òîãäà ìíîãî÷ëåí
2
p (x)
Ïðèìåð. F = R
≥ 2.
ïðèâîäèì, íî êîðíåé íå èìååò.
èëè
Q, (x2 + 1)2
- ïðèìåð ìíîãî÷ëåíà, äëÿ êîòîðîãî òåîðåíà íå
âåðíà.
Çàäà÷à.
Âàæíàÿ íåïðàâèëüíàÿ òåîðåìà âåðíà, åñëè
deg f = 2, 3.
 ýòîì ñëó÷àå, åñëè ìíîãî÷ëåí f (x) ðàçëàãàåòñÿ íà ëèíåéíûå ìíîæèòåëè f (x) = f1 (x)f2 (x), òî ëèáî deg f1 = 1, ëèáî deg f2 = 1. Ýòî çíà÷èò, ÷òî ñóùåñòâóåò ëèíåéíûé ìíîæèòåëü. Òîãäà äëÿ ýòèõ ìíîãî÷ëåíîâ æèòåëü"
⇔
f (x)
íåïðèâîäèìûì
⇔
"íå îòùåïëÿòü ëèíåéíûé ìíî-
íå èìåòü êîðíÿ.
Ðàññìîòðèì êàê óñòðîåíû íåïðèâîäèìûå ìíîãî÷ëåíû íàä êîíêðåòíûìè ïîëÿìè.
130
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА
ФОНД
ВОЛЬНОЕ ДЕЛО
ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU
Íåïðèâîäèìûå ìíîãî÷ëåíû íàä C è R. Íàä C (íàä ëþáûì àëãåáðàè÷åñêè çàìêíóòûì ïîëåì). Íåïðèâîäèìûå ìíîãî÷ëåíû
⇔
ëèíåéíûå ìíîãî÷ëåíû
x − α.
Íàä R. Íåïðèâîäèìûå ìíîãî÷ëåíû
⇔
ëèíåéíûå ìíîãî÷ëåíû
x−α
è
x2 + bx + c, D < 0.
Äîêàçàòåëüñòâî. ßñíî, ÷òî òàêèå ìíîãî÷ëåíû íåïðèâîäèìû. Íóæíî äîêàçàòü, ÷òî âñå îñòàëüíûå ìíîãî÷ëåíû áóäóò ïðèâîäèìûìè, íàïðèìåð, äåëÿòñÿ íà îäèí èç òàêèõ (ëèíåéíûõ èëè êâàäðàòíûõ ñ îòðèöàòåëüíûì äèñêðèìèíàíòîì).
Ïóñòü
p(x) ∈ R[x]\R. Òîãäà (x − α) p(x).
ïî îñíîâíîé òåîðåìå àëãåáðû
∃α ∈ C : p(α) = 0,
ñëåäîâàòåëüíî,
Ñëó÷àé 1.
α ∈ R.
Ñëó÷àé 2.
α ∈ C\R.
Ñëåäñòâèå 18.16.
Òîãäà äîêàçàíî.
Ëþáîé ìíîãî÷ëåí íàä
ëèíåéíûõ è êâàäðàòíûõ (
D < 0)
R îäíîçíà÷íî ðàçëàãàåòñÿ â ïðîèçâåäåíèå
ìíîæèòåëåé
Äîêàçàòåëüñòâî.
Ëåììà 18.23. f (x) ∈ R[x], α ∈ C, f (α) = − ⇒ f (α) = 0. Äîêàçàòåëüñòâî. Äîêàçàòåëüñòâî ëåììû.
f (x) = an xn + . . . + a1 x + a0 , ai ∈ R. f (α) = an αn + . . . + a1 α + a0 = an αn + . . . + a1 α + a0 = = an αn + . . . + a1 α + a0 = an αn + . . . + a1 α + a0 = 0 = 0. | {z } =0
(x − α) p(x). Íî ìíîæèòåëè (x − α) è (x − α) - ðàçíûå íåïðèâîäèìûå ìíîæèòåëè (ïîêîëüêó α 6= α, îíè íå ïðîïîðöèîíàëüíû). 2 2 Òîãäà (x − α)(x − α) p(x), ïðè ýòîì (x − α)(x − α) = x + (−α − α)x + αα = x + bx + c - âåùåñòâåííûé ìíîãî÷ëåí ñ D < 0. Èòàê,
(x − α) p(x)
è
Áîëåå ïîäðîáíî: Ïóñòü
α = a + ib, α = a − ib. −α − α = −a − ib − a + ib = −2a ∈ R; αα = (a + ib)(a − ib) = a2 + b2 ∈ R. 131
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА
ФОНД
ВОЛЬНОЕ ДЕЛО
ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU
Ïðè ýòîì êîðíè óðàâíåíèÿ
x2 + bx + c = 0
êîìïëåêñíûå, ïîýòîìó
D < 0.
Ñëåäñòâèå äîêçààíî.
Ñëåäñòâèå 18.17. f (x) inR[x], deg f (x)
íå÷åòíà
f (x)
èìååò êîðåíü â
R.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïåðâûé âàðèàíò äîêàçàòåëüñòâà.  ðàçëîæåíèè íà íåïðèâîäèìûå âñå ìíîæèòåëè íå ìîãóò áûòü êâàäðàòè÷íûìè. Òîãäà åñòü ëèíåéíûé ìíîæèòåëü
⇔
åñòü âåùåñòâåííûé êîðåíü.
Âòîðîé âàðèàíò äîêàçàòåëüñòâà.
f (x) = x2n+1 + a2n x2n + . . . + a1 x + a0 Óòâåðæäàåòñÿ, ÷òî ïðè
x → +∞ f (x) → +∞,
ïðè
x → −∞ f (x) → −∞.
Ïî òåîðåìå î ïðîìåæóòî÷íîì çíà÷åíèè íåïðåðûâíîé ôóíêöèè ìíîãî÷ëåí ïðèìåò çíà÷åíèå
0,
à ýòî è îçíà÷àåò èìåòü âåùåñòâåííûé êîðåíü.
Íåïðèâîäèìûå ìíîãî÷ëåíû íàä Q. Íàä Q. Êëàññèôèêàöèÿ ìíîãî÷ëåíîâ íàä
Ôàêò:
xn + 2
íåïðèâîäèì íàä
Q
- ñëîæíàÿ çàäà÷à.
Q ∀n ≥ 2.
Ýòîò ôàêò ñëåäóåò èç êðèòåðèÿ Ýéçåíøòåíà è áóäåò ðàññìîòðåí â 3 ñåìåñòðå.
Òåîðåìà 18.33.
Ïóñòü
f (x) ∈ Z[x],
ò.å.
f (x) = an xn + . . . + a1 x + a0 , ai ∈ Z. Òîãäà
x=
u , u, v ∈ Z, (u, v) = 1 v
ÿâëÿåòñÿ êîðíåì
132
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА
ФОНД
ВОЛЬНОЕ ДЕЛО
f (x) ⇒ u a0 , v an .
ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU
Ñëåäñòâèå 18.18.
(àëãîðèòì íàõîæäåíèÿ âñåõ êîðíåé
f (x) ∈ Q[x])
1)
f (x) ∈ Q[x] ⇒ g(x) ∈ Z[x] Ïåðåéòè îò ìíîãî÷ëåíà ñ ðàöèîíàëüíûìè êîýôôèöèåíòàìè ê ìíîãî÷ëåíó ñ öåëûìè êîýôôèöèåíòàìè, äîìíîæèâ íà ÍÎÊ çíàìåíàòåëåé ðàöèîíàëüíûõ êîýôôèöèåíòîâ. Ïîíÿòíî, ÷òî êîðíè îò ýòîãî íå èçìåíÿòñÿ.
2) Ïåðåáðàòü âñå ïàðû
(u, v) : u a0 , v an .
Ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî
a0 6= 0, an 6=
0. an 6= 0 êàê ñòàðøèé ÷ëåí. Åñëè a0 = 0, òî 0 ÿâëÿåòñÿ
êîðíåì. Ðàçäåëèâ óðàâíåíèå íà
x
â ïîäõîäÿùåé
ñòåïåíè, ïîëó÷èì óðàâíåíèå ñ íåíóëåâûì ñâîáîäíûì ÷ëåíîì, ëèáî êîðíÿìè óðàâíåíèÿ áóäóò òîëüêî íóëè.
Ìíîæåñòâî äåëèòåëåé
(u, v)
an
a0
è
êîíå÷íî, ñëåäîâàòåëüíî, è êîëè÷åñòâî ïàð
êîíå÷íî.
3) Ïîäñòàâèòü âñå äðîáè
u v
â
g(x)
è íàéòè êîðíè.
4) (ñõåìà Ãîðíåðà) Íàéòè êðàòíîñòè ïîëó÷åííûõ êîðíåé. Çàìåòèì, ÷òî åñëè ìû íàøëè âñå êîðíè ìíîãî÷ëåíà, ýòî åùå íå çíà÷èò, ÷òî ìíîãî÷ëåí ðàñïàëñÿ íà ëèíåéíûå ìíîæèòåëè. Âîçìîæíî, â ðàçëîæåíèè áóäåò ïðèñóòñòâîâàòü ìíîæèòåëü, êîòîðûé êîðíåé íàä äàííûì ïîëåì íå èìååò.
Ôàêò(ïîäðîáíåå
â ó÷. Âèíáåðãà)
Ñóùåñòâóåò àëãîðèòì (Äåäåêèíäè) ðàçëîæåíèÿ ìíîãî÷ëåíà âîäèìûå ìíîæèòåëè íàä
f (x) ∈ Q[x]
íà íåïðè-
Q.
Òåîðåìà 18.33 - ÷àñòü ýòîãî àëãîðèòìà, ïîçâîëÿþùàÿ íàéòè ëèíåéíûå ìíîæèòåëè ðàçëîæåíèÿ. Îñòàâøóþñÿ ÷àñòü òàêæå íóæíî ðàçëîæèòü íà íåïðèâîäèìûå ìíîæèòåëè áîëåå âûñîêèõ ñòåïåíåé, è àëãîðèòì Äåäåêèíäè îïèñûâàåò ýòîò ïðîöåññ.
Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 18.33:
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîäñòàâëÿÿ
u v
â
0 = an
f (x),
ïîëó÷àåì
un u + . . . + a1 + a0 , n v v 133
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА
ФОНД
ВОЛЬНОЕ ДЕЛО
ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU
0 = an un + . . . + a1 uv n−1 +a0 v n {z } | äåëèòñÿ íà u
u a0 v n . u a0 .
Îòñþäà Òîãäà
Íî
(u, v) = 1,
çíà÷èò,
(u, v n ) = 1.
Àíàëîãè÷íî
0 = an un + an−1 un−1 v . . . + a1 uv n−1 + a0 v n | {z } äåëèòñÿ íà v
Îòñþäà
v an u
n
⇒ v an .
Òåîðåìà Äåêàðòà. a0 , a1 , . . . , an
Ïóñòü
- ïîñëåäîâàòåëüíîñòü âåùåñòâåííûõ ÷èñåë. Ãîâîðÿò, ÷òî íà
ì ìåñòå â ïîñëåäîâàòåëüíîñòè èìååòñÿ ïåðåìåíà çíàêà, åñëè
ak 6= 0
è çíàê ÷èñëà
kak
ïðîòèâîïîëîæåí çíàêó ïîñëåäíåãî èç ïðåäøåñòâóþùèõ åìó íåíóëåâûõ ÷ëåíîâ ýòîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè. Åñëè
ak
- ïåðâûé íåíóëåâîé ýëåìåíò, òî ñìåíû çíàêà íà ìåñòå
k
íåò.
Ïðèìåð.
3 0 − 1 −2 0 3 0 Èäåì ñïðàâà íàëåâî è îòìå÷àåì ìåñòà ïåðåìåíû çíàêà. Ïîëó÷àåì, ÷òî ÷èñëî ïåðåìåí çíàêà ðàâíî äâóì.
Òåîðåìà 18.34. Äåêàðòà
(Ðåíå Äåêàðò, 1596 - 1650)
×èñëî ïîëîæèòåëüíûõ êîðíåé (ñ ó÷åòîì êðàòíîñòè) ìíîãî÷ëåíà
f (x) ∈ R[x]
íå
ïðåâîñõîäèò ÷èñëà ïåðåìåí çíàêà â ïîñëåäîâàòåëüíîñòè åãî êîýôôèöèåíòîâ è ñðàâíèìî ñ íèì ïî ìîäóëþ 2; åñëè âñå êîðíè
f (x)
âåùåñòâåííû, òî ýòè ÷èñëà ðàâíû.
Ïðåäèñëîâèå ê äîêàçàòåëüñòâó:
Áóäåì èñêàòü îòäåëüíî êîðíè ñðåäè ïîëîæèòåëüíûõ ÷èñåë, îòðèöàòåëüíûõ ÷èñåë è â íóëå.
Èñêàòü íóëåâûå êîðíè ëåãêî. Êðàòíîñòü íóëåâîãî êîðíÿ ðàâíà ìàêñèìàëüíîé ñòåïåíè
x, íà êîòîðóþ äåëèòñÿ ìíîãî÷ëåí (â ò.÷. íóëåâàÿ êðàòíîñòü, åñëè 0 íå ÿâëÿåòñÿ
êîðíåì).
134
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА
ФОНД
ВОЛЬНОЕ ДЕЛО
ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU
Åñëè ìû íàéäåì âñå ïîëîæèòåëüíûå êîðíè, òî íàéòè îòðèöàòåëüíûå òàêæå áóäåò íåñëîæíî. Äëÿ ýòîãî íóæíî çàìåíèòü
f (x) = an xn + . . . + a1 x + a0 íà
f (−x) = an (−x)n + . . . + a1 (−x) + a0 è ïîâòîðèòü òó æå ïðîöåäóðó íàõîæäåíèÿ ïîëîæèòåëüíûõ êîðíåé äëÿ ýòîãî ìíîãî÷ëåíà.
Íàéäåì ïîëîæèòåëüíûå êîðíè ìíîãî÷ëåíà
f (x) = an xn + . . . + a1 x + a0 . Ñ÷èòàåì, ÷òî
a0 6= 0,
òîãäà èìååì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü êîýôôèöèåíòîâ
an an−1 . . . a1 a0 . Ñóùåñòâóåò åùå áîëåå ñèëüíàÿ òåîðåìà. Åå ìû íå áóäåì äîêàçûâàòü, òîëüêî ñôîðìóëèðóåì ñóòü:
Òåîðåìà 18.35.
Øòóðìà (ó÷åáíèê Êîñòðèêèíà)
Ïóñòü äàí îòðåçîê
è ìíîãî÷ëåí
[a, b]
íà âåùåñòâåííîé ïðÿìîé
f (x) ∈ R[x].
Òîãäà òåîðåìà Øòóðìà ïîçâîëÿåò íàéòè òî÷íîå êî-
ëè÷åñòâî êîðíåé èç îòðåçêà
[a, b].
Ýòà òåîðåìà ïðàêòè÷åñêè óæå ïîçâîëÿåò äîêàçàòü òåîðåìó Äåêàðòà, ïîòîìó ÷òî ìîæíî ïðèíÿòü
a = 0,
à
b
îòîäâèãàòü íà ñêîëü óãîäíî áîëüøîå ðàññòîÿíèå.
Íà ñàìîì äåëå, âñåãäà ñóùåñòâóåò òàêîå
b,
ïðàâåå êîòîðîãî êîðíåé íå áûâàåò, ïî-
ýòîìó ïðàâàÿ ãðàíèöà îòðåçêà âñåãäà áóäåò êîíå÷íîé.
Äàëåå ìîæíî ðàçáèâàòü îòðåçîê
[a, b]
íà áîëåå ìàëåíüêèå, èññëåäîâàòü, â êàêèå
èç íèõ ïîïàäàþò êîðíè è íàõîäèòü èõ ñ áîëåå âûñîêîé òî÷íîñòüþ.
Èòàê, òåîðåìà Øòóðìà ïîçâîëÿåò ïðèáëèæåííî íàõîäèòü êîðíè ìíîãî÷ëåíà.
Ïåðåõîäèì òåïåðü ê äîêàçàòåëüñòâó òåîðåìû Äåêàðòà. Ñíà÷àëà ââåäåì íóæíûå îáîçíà÷åíèÿ è äîêàæåì íåñêîëüêî âñïîìîãàòåëüíûõ óòâåðæäåíèé.
Îáîçíà÷åíèå: N (f ) - ÷èñëî ïîëîæèòåëüíûõ êîðíåé ìíîãî÷ëåíà f (x). L(f ) - ÷èñëî ïåðåìåí çíàêà â ïîñëåäîâàòåëüíîñòè êîýôôèöèåíòîâ ìíîãî÷ëåíà f (x) : an = 1, a0 6= 0.
135
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА
ФОНД
ВОЛЬНОЕ ДЕЛО
ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU
Ëåììà 18.24.
N (f ) ≡ L(f )
mod 2
Äîêàçàòåëüñòâî.
f (x) = xn + an−1 xn−1 + . . . + a1 x + a0 , a0 6= 0. f (0) = a0 .
x → +∞ f (x) → +∞. ÷òî ïðè x >> 0 f (x) ïðèíèìàåò
Ïðè
Ýòî îçíà÷àåò,
òîëüêî ïîëîæèòåëüíûå çíà÷åíèÿ.
Ïðè äâèæåíèè âïðàâî ïðè ïðîõîæäåíèè êîðíÿ êðàòíîñòè íà
k
(−1)
k çíàê f (x) óìíîæàåòñÿ
.
Ñìåíà çíàêà ìîæåò ïðîèñõîäèòü òîëüêî êîðíÿõ, ò.ê. äëÿ ýòîãî ãðàôèêó íóæíî ïåðåñå÷ü îñü
Ox. Îäíàêî íå â êàæäîì êîðíå ïðîèñõîäèò ñìåíà çíàêà, à òîëüêî â êîðíÿõ
íå÷åòíîé êðàòíîñòè. Ðàññìîòðèì ãðàôèê ôóíêöèè
y = xk .
k.  îêðåñòíîñòè íóëÿ ìîæíî ïåðåðàçëîæèòü ìíîãî÷ëåí â òî÷êå x − α, òîãäà ëîêàëüíî k îí áóäåò âåñòè ñåáÿ òàê æå êàê x . Âèäíî, ÷òî ñìåíà çíàêà ïðîèñõîäèò òîëüêî ïðè íå÷åòíîì
N (f ) íå÷åòíî, åñëè a0 < 0. Ýòî ñëåäóåò èç âèäà ãðàôèêà ôóíêöèè f (x). Åñëè, íàïðèìåð, a0 > 0, òî ïðè x → +∞ Ïîýòîìó
N (f )
÷åòíî, åñëè
a0 > 0
è
136
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА
ФОНД
ВОЛЬНОЕ ДЕЛО
ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU
äîëæíî áûòü âûïîëåíåíî
f (x) → +∞, à ýòî çíà÷èò, ÷òî ÷èñëî ïåðåìåí çíàêà äîëæ-
íî áûòü ÷åòíûì.
Òî æå ñàìîå âåðíî äëÿ
L(f ).
Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü êîýôôèöèåíòîâ èìååò âèä
1 an−1 . . . a1 a0 . Çäåñü
1 > 0,
ñëåäîâàòåëüíî, ïðè
a0 > 0
÷èñëî ïåðåìåí çíàêà ÷åòíî, à ïðè
a0 < 0
-
íå÷åòíî.
 èòîãå ïîëó÷èëè:
N (f ) ≡ L(f ) mod 2.
Ëåììà 18.25.
N (f ) ≤ N (f 0 ) + 1
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïî òåîðåìå Ðîëëÿ ìåæäó ëþáûìè äâóìÿ êîðíÿìè ìíîãî÷ëåíà
f (x)
ëåæèò êîðåíü
f 0 (x).
Ïðè äèôôåðåíöèðîâàíèè êðàòíîñòü êîðíÿ ïàäàåò íà 1:
[αi , αi+1 ] åñòü õîòÿ áû îäèí êîðåíü f 0 (x). Îáùåå ÷èñëî êîðíåé k1 + . . . + ks − s + s − 1, ò.ê. ÷èñëî òàêèõ îòðåçêîâ s − 1.
Íà êàæäîì îòðåçêå ïðîèçâîäíîé ðàâíî
Ïîëó÷èëè, ÷òî åñëè íà êàæäîì îòðåçêå ïî îäíîìó êîðíþ, òî
N (f ) − 1 = N (f 0 ).
Íåðàâåíñòâî âîçíèêàåò, ïîòîìó ÷òî íà êàæäîì îòðåçêå ìîæåò îêàçàòüñÿ áîëüøå îäíîãî êîðíÿ ïðîèçâîäíîé.
Ëåììà 18.26.
L(f 0 ) ≤ L(f )
Äîêàçàòåëüñòâî. Ðàññìîòðèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòè êîýôôèöèåíòîâ:
f (x) : an an−1 . . . a1 a0 , f 0 (x) : nan (n − 1)an−1 . . . 2a2 a1 . Ïîýòîìó ñ òî÷êè çðåíèÿ ñìåíû çíàêà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü äëÿ ïðîèçâîäíîé - ýòî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü äëÿ ìíîãî÷ëåíà áåç ñâîáîäíîãî ÷ëåíà. Åñëè óáðàòü ïåðåìåí çíàêà ìîæåò òîëüêî óìåíüøèòüñÿ. 137
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА
ФОНД
ВОЛЬНОЕ ДЕЛО
a0 ,
÷èñëî
ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU
Ëåììà 18.27.
fe(x) = (−1)n f (−x). Òîãäà
L(f ) + L(fe) ≤ n.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü êîýôôèöèåíòîâ äëÿ
f (x):
an an−1 . . . a1 a0 , Äëÿ
fe(x):
(−1)n (an − an−1 . . . − a1 a0 ).
Ïîäñòàâëÿÿ
−x â f (x), ìåíÿåì çíàêè ïðè íå÷åòíûõ ñòåïåíÿõ, à ïðè ÷åòíûõ ñòåïåíÿõ
çíàêè îñòàþòñÿ òàêèìè æå.
Ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî âñå
ai 6= 0.
Òîãäà ïðè êàæäîì
ai
ïðîèñõîäèò ðîâíî îäíà ïå-
ðåìåíà çíàêà ëèáî â ïåðâîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè, ëèáî âî âòîðîé.  ýòîì ñëó÷àå ïîëó÷èì
Åñëè ñðåäè
ai
L(f ) + L(fe) = n.
âñòðå÷àþòñÿ íóëè, òî
L(f ) + L(fe) ≤ n.
Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû Äåêàðòà Íàïîìíèì ôîðìóëèðîâêó: ×èñëî ïîëîæèòåëüíûõ êîðíåé (ñ ó÷åòîì êðàòíîñòè) ìíîãî÷ëåíà
f (x) ∈ R[x]
íå ïðåâîñõîäèò ÷èñëà ïåðåìåí çíàêà â ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
åãî êîýôôèöèåíòîâ è ñðàâíèìî ñ íèì ïî ìîäóëþ 2; åñëè âñå êîðíè
f (x)
âåùåñòâåííû, òî ýòè ÷èñëà ðàâíû.
Äîêàçàòåëüñòâî. Äîêàçàíî, ÷òî
Äîêàæåì, ÷òî
L(f ) ≡ N (f ) mod 2.
N (f ) ≤ L(f ).
n. Áàçà. n = 0. N (f ) = L(f ) = 0. Øàã. n > 0. deg f = n − 1, òîãäà N (f ) ≤ N (f 0 ) + 1 ≤ L(f 0 ) + 1 Èíäóêöèÿ ïî
ïî ïðåäïîëîæåíèþ èíäóêöèè. Ïðè ýòîì
Íî
L(f 0 ) + 1 ≤ L(f ) + 1.
N (f ) = L(f ) + 1
èç-çà ÷åòíîñòè, ñëåäîâàòåëüíî,
N (f ) ≤ L(f ).
Ïåðâîå óòâåðæäåíèå äîêàçàíî.
Ïóñòü âñå êîðíè âåùåñòâåííûå (ñ÷èòàåì, ÷òî 0 íå êîðåíü). Òîãäà
n = N (f ) + N (fe) ≤ L(f ) + L(fe) ≤ n. Îòñþäà
N (f ) = L(f ). 138
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА
ФОНД
ВОЛЬНОЕ ДЕЛО
ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU
Ïðèìåð.
f (x) = x2 − x + 1 ×èñëî ïîëîæèòåëüíûõ êîðíåé
N (f ) = 0.
×èñëî ïåðåìåí çíàêà â ïîñëåäîâàòåëüíîñòè êîýôôèöèåíòîâ
L(f ) = 2.
N (f ) < L(f ). Âèäíî, ÷òî òåîðåìà Äåêàðòà íå ïîçâîëÿåò òî÷íî íàéòè êîëè÷åñòâî ïîëîæèòåëüíûõ êîðíåé.
139
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА
ФОНД
ВОЛЬНОЕ ДЕЛО
ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU
Ëåêöèÿ 19 Ïðåäâàðèòåëüíûå çàìå÷àíèÿ.  ïðåäûäóùèõ ëåêöèÿõ îáñóæäàëèñü ìíîãî÷ëåíû îò îäíîé ïåðåìåííîé íàä íåêîòîðûì ïîëåì êîýôôèöèåíòîâ. Áûëî äîêàçàíî, ÷òî ìíîãî÷ëåíû îò îäíîé ïåðåìåííîé îáðàçóþò åâêëèäîâî êîëüöî.  ÷àñòíîñòè, ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ìíîãî÷ëåíû ìîæíî áåç îãðàíè÷åíèé ñêëàäûâàòü, âû÷èòàòü, óìíîæàòü è äåëèòü ñ îñòàòêîì. Äåëèòü ìíîãî÷ëåíû íàöåëî, âîîáùå ãîâîðÿ, ïîëó÷àåòñÿ íå âñåãäà.
Àíàëîãè÷íàÿ ñèòóàöèÿ âîçíèêàåò è ñ äðóãèì åâêëèäîâûì êîëüöîì - êîëüöîì öåëûõ ÷èñåë.  ýòîì êîëüöå äåëåíèå òàêæå âîçìîæíî òîëüêî ñ îñòàòêîì, è äëÿ ïðåîäîëåíèÿ ýòîãî îãðàíè÷åíèÿ áûëè ââåäåíû ðàöèîíàëüíûå ÷èñëà. èç öåëûõ ÷èñåë îíè ñòðîÿòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:
∀r ∈ Q ; ∃m, n ∈ Z, n 6= 0 : r =
m , ò.å. r · n = m. n
Ðàâåíñòâî äðîáåé - ïðàâèëî ïðîïîðöèè
m m0 = 0 ⇔ m · n0 = m0 · n. n n Ïðåäñòàâëåíèå ðàöèîíàëüíîãî ÷èñëà â âèäå äðîáè íåîäíîçíà÷íî, îäíàêî äðîáè ðàçáèâàþòñÿ íà êëàññû ýêâèâàëåíòíîñòè, â êîòîðûõ äðîáè çàäàþò îäíî è òî æå ðàöèîíàëüíîå ÷èñëî. Ñëîæåíèå, âû÷èòàíèå, óìíîæåíèå è äåëåíèå îñóùåñòâëÿþòñÿ ïî èâåñòíûì ïðàâèëàì.
Ïðîöåäóðà ïåðåõîäà îò öåëûõ ÷èñåë ê ðàöèîíëüíûì ìîæåò áûòü îñóùåñòâëåíà áåç ñóùåñòâåííûõ èçìåíåíèé, åñëè êîëüöî öåëûõ ÷èñåë çàìåíèòü íà ëþáóþ îáëàñòü öåëîñòíîñòè.
Ïîëå äðîáåé. Ïóñòü
A
- ïðîèçâîëüíàÿ îáëàñòü öåëîñòíîñòè (ò.å. êîììóòàòèâíîå àññîöèàòèâíîå
êîëüöî ñ åäèíèöåé áåç äåëèòåëåé íóëÿ). Ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî
Ââåäåì íà
A × (A\{0})
A × (A\{0})
ïàð
(a, b),
ãäå
îòíîøåíèå ýêâèâàëåíòíîñòè:
(a, b) ∼ (a0 , b0 ),
åñëè
a · b0 = a0 · b.
Óáåäèìñÿ, ÷òî ýòî îòíîøåíèå ýêâèâàëåíòíîñòè: 1) Ðåôëåêñèâíîñòü î÷åâèäíà; 2) Ñèììåòðè÷íîñòü î÷åâèäíà; 140
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА
a, b ∈ A, b 6= 0.
ФОНД
ВОЛЬНОЕ ДЕЛО
ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU
3) Òðàíçèòèâíîñòü:
( a · b 0 = a0 · b (a, b) ∼ (a0 , b0 ) ∼ (a00 , b00 ) ⇒ a00 · b0 = a0 · b00
⇒
⇒ aa0 b0 b00 = a00 a0 b0 b ⇒ ab00 = a00 b ⇒ (a, b) ∼ (a00 , b00 ) Ïðè
a0 = 0
èìååì
( a · b0 = 0 a00 · b0 = 0 Ñëåäîâàòåëüíî,
ab00 = a00 b
ñîêðàòèì íà
è
b0 6= 0 ⇒ a = a00 = 0
(a, b) ∼ (a00 , b00 ).
Êëàññû ýêâèâàëåíòíîñòè ïàð íàçîâåì äðîáÿìè:
Ïðàâèëî ïðîïîðöèè:
a b
- êëàññ, ñîäåðæàùèé ïàðó
(a, b).
a0 a = 0 ⇔ a · b0 = a0 · b. b b
 ÷àñòíîñòè:
a ac = , c 6= 0. b bc Ìíîæåñòâî êëàññîâ ýêâèâàëåíòíîñòè A×(A\{0}) / ∼= Q(A) - ïîëå ÷àñòíûõ (ïîëå
äðîáåé).
Îïåðàöèè íà äðîáÿìè:
a c ad + bc + = b d bd ac a c · = b d bd Ïðîâåðêà êîððåêòíîñòè - ïðèìåð:
a a0 a0 c a0 d + b 0 c (a0 b)d + bb0 c ab0 d + bb0 c ad + bc a c = 0 ⇒ 0 + = = = = = + 0 0 0 b b b d bd bb d bb d bd b d Ò.î. åñëè ïðè ñëîæåíèè îäíó èç äðîáåé çàìåíèòü íà ðàâíóþ åé, òî è ðåçóëüòàò ïîëó÷èòñÿ ðàâíûé.
Ñâîéñòâà îïåðàöèé:
1) Êîììóòàòèâíîñòü, àññîöèàòèâíîñòü, äèñòðèáóòèâíîñòü. Âñå îíè ëåãêî ïðîâåðÿþòñÿ.
Èäåÿ äîêàçàòåëüñòâà: äðîáè ìîæíî ïðèâåñòè ê îáùåìó çíàìåíàòåëþ, òîãäà îñòàåòñÿ ïðîâåðèòü òîëüêî ñâîéñòâà îïåðàöèé íàä ÷èñëèòåëåì. 141
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА
ФОНД
ВОЛЬНОЕ ДЕЛО
ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU
2) Íóëåâîé ýëåìåíò:
Åäèíèöà:
1 1
0 ; 1
−a . b b b = , ∀a, b 6= 0. a
3) Ïðîòèâîâîïîëîæíûé ýëåìåíò:
Îáðàòíûé ýëåìåíò:
a −1 b
Èòàê, ìû ïîêàçàëè, ÷òî
Q(A)
−
a
=
äåéñòâèòåëüíî ÿâëÿåòñÿ ïîëåì.
A ⊂ Q(A). Ìíîæåñòâî A íå ñîäåðæèòñÿ ôîðìàëüíî â ìíîæåñòâå äðîìîæíî â ïîëå Q(A) íàéòè ïîäêîëüöî, êîòîðîå ìîæíî îòîæäåñòâèòü ñ êîëü-
Âëîæåíèå áåé, íî öîì
A
(èçîìîðôíîå).
À èìåííî, ýëåìåíòó
a∈A
ñîïîñòàâèì äðîáü
a a : a → . 1 1
Ýòî äåéñòâèòåëüíî áóäåò âëîæåíèåì, ïîòîìó ÷òî ðàçíûì ýëåìåíòàì áóäóò ñîïîñòàâëÿòüñÿ ðàçíûå äðîáè:
a a0 = ⇒ a · 1 = 1 · a0 ⇒ a = a0 . 1 1 Âëîæåíèå òàêæå ñîãëàñîâàíî ñ àðèôìåòè÷åñêèìè îïåðàöèÿìè, ò.ê. ñëîæåíèå è óìíîæåíèå äðîáåé âèäà
a 1
ñâîäèòñÿ ê ñîîòâåòñâóþùèì îïåðàöèÿì íàä ÷èñëèòåëÿìè.
Çíà÷èò, ìîæíî îòîæäåñòâèòü ýëåìåíòû êîëüöà
a∈A
ñ äðîáÿìè
a . 1
∀q ∈ Q(A) ∃a, b ∈ A, b 6= 0 : q = a · b−1 . −1 b a a 1 a = = = a · b−1 . ñàìîì äåëå, q = b 1 b 1 1
Òîãäà Â
Çàìå÷àíèå: äðîáíóþ ÷åðòó ìîæíî ïîíèìàòü êàê çíàê äåëåíèÿ.
Ïîëå ðàöèîíàëüíûõ äðîáåé. Ïðèìåðû 1)
A = Z, Q(A) = Q. 2)
A = F [x]
- êîëüöî ìíîãî÷ëåíîâ íàä ïîëåì
F , Q(F [x]) = F (x)
íàëüíûõ äðîáåé.
Ýëåìåíòû
F (x)
- ýòî ôîðìàëüíûå âûðàæåíèÿ âèäà
h(x) =
f (x) , f, g ∈ F [x], g 6= 0 g(x)
. 142
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА
ФОНД
ВОЛЬНОЕ ДЕЛО
- ïîëå ðàöèî-
ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU
Êîíå÷íî, ìîæíî áûëî áû ðàññìàòðèâàòü ôóíêöèè, ïîäñòàâëÿÿ âìåñòî êðåòíûå çíà÷åíèÿ èç ïîëÿ
F,
x
êîí-
F . Íî ýòà ôóíêöèÿ îïðåäåëåíà íå íà âñåì ìíîæåñòâå
à òîëüêî òàì, ãäå çíàìåíàòåëü íå îáðàùàåòñÿ â 0.
Ðàöèîíàëüíûå äðîáè ëó÷øå ðàññìàòðèâàòü êàê ôîðìàëüíûå âûðàæåíèÿ åùå è ïî ñëåäóþùåé ïðè÷èíå: Ìîæåò áûòü òàê, ÷òî äâå ðàçíûå (â ñìûñëå ïîëÿ äðîáåé, íå ðàâíûå ïî ïðàâèëó ïðîïîðöèè) äðîáè çàäàþò îäíó è òó æå ôóíêöèþ. Ýòî áûâàåò íàä êîíå÷íûìè ïîëÿìè. (Àíàëîãè÷íî ðàçíèöå ìåæäó ôîðìàëüíûì è ôóíêöèîíàëüíûì ðàâåíñòâîì ìíîãî÷ëåíîâ.) Íàøà ñëåäóþùàÿ öåëü - èçó÷èòü ñòðóêòóðó ðàöèîíàëüíûõ äðîáåé. Ðåçóëüòàòû, êîòîðûå áóäóò ïîëó÷åíû íèæå, èìåþò ïðèëîæåíèå, â îñíîâíîì, çà ïðåäåëàìè àëãåáðû (íàïðèìåð, â çàäà÷àõ ìàò. àíàëèçà). Òåì íå ìåíåå ýòè óòâåðæäåíèÿ ÷èñòî àëãåáðàè÷åñêèå, ïîýòîìó ðàññìàòðèâàþòñÿ â äàííîì êóðñå.
Îïðåäåëåíèå 19.76.
g
Ðàöèîíàëüíàÿ äðîáü
âçàèìíî ïðîñòû.
Ïðåäëîæåíèå 19.10.
f g
íàçûâàåòñÿ íåñîêðàòèìîé, åñëè
f
è
Ëþáàÿ ðàöèîíàëüíàÿ äðîáü ðàâíà íåêîòîðîé íåñîêðàòèìîé
äðîáè, îïðåäåëåííîé îäíîçíà÷íî ñ òî÷íîñòüþ äî óìíîæåíèÿ ÷èñëèòåëÿ è çíàìåíàòåëÿ íà êîíñòàíòó.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü Òîãäà
f = f0 d, g = g0 d,
f ∈ F (x) è ÍÎÄ(f, g) = d. g ÍÎÄ(f0 , g0 ) = 1.
h=
ãäå
h= Åäèíñòâåíííîñòü. Ïóñòü
f0 d f0 = g0 d g0 f1 f0 = g0 g1
- íåñîêðàòèìàÿ äðîáü.
- òîæå íåñîêðàòèìàÿ äðîáü.
f0 g1 = g0 f1 f0 , çíà÷èò, è ïðàâàÿ ÷àñòü äåëèòñÿ íà f0 . Íî f0 ñëåäîâàòåëüíî, f1 äåëèòñÿ íà f0 .
Ëåâàÿ ÷àñòü äåëèòñÿ íà ïðîñòû,
f 1 = f 0 p.
è
g0
âçàèìíî
Ïîäñòàâèì ýòî âûðàæåíèå â ïðàâèëî ïðîïîðöèè:
f0 g1 = g0 f0 p ⇒ g1 = g0 p. Íî äðîáü
const.
f1 g1
íåñîêðàòèìà, ñëåäîâàòåëüíî, ó
Ïîëó÷àåì, ÷òî
èëè
Ðàöèîíàëüíàÿ äðîáü
f g
g1
íåò îáùèõ äåëèòåëåé. êðîìå
íàçûâàåòñÿ ïðàâèëüíîé, åñëè
f ≡ 0. 143
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА
è
p = const.
Îïðåäåëåíèå 19.77.
deg g
f1
ФОНД
ВОЛЬНОЕ ДЕЛО
deg f
deg r2 Ïîëó÷àåì ïðîòèâîðå÷èå ñ
(19.2) (çà èñêëþ÷åíèåì r2 = 0, q = q1 ).
ñëó÷àÿ, êîãäà â ëåâîé è ïðàâîé
÷àñòè ñòîÿò íóëè, ÷òî îçíà÷àåò
Èòàê,
q = q1 ,
r1 r = . g g1
Îïðåäåëåíèå 19.78.
F [x], k ∈ N,
Ïðîñòåéøàÿ äðîáü - ðàöèîíàëüíàÿ äðîáü âèäà
ïðè÷åì ìíîãî÷ëåí
p
íåïðèâîäèì è
deg h < deg p.
Ïðèìåðû 1)
F =C Ïðîñòåéøèå äðîáè:
2)
c , (x − z0 )k
ãäå
c, z0 ∈ C.
F =R Ïðîñòåéøèå äðîáè:
(x2
c , a, x0 ∈ R, k ∈ N; (x − x0 )k
dx + e , b2 − 4c < 0, b, c, d, e ∈ R, l ∈ N. + bx + c)l
144
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА
ФОНД
ВОЛЬНОЕ ДЕЛО
h , pk
ãäå
h, p ∈
ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU
Òåîðåìà 19.36. ãäå
p1 , . . . , p s
Äëÿ ëþáîé ïðàâèëüíîé äðîáè
F [x]
íåïðèâîäèìû â
f g
ñî çíàìåíàòåëåì
è ïîïàðíî íå ïðîïîðöèîíàëüíû,
g = pk11 . . . pks s , k1 , . . . , k s ∈ N ,
ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííîå ðàçëîæåíèå â ñóììó ïðîñòåéøèõ äðîáåé âèäà
f h11 h12 h1k h2k h21 h22 hs1 hs2 hsk = + 2 + . . . + k11 + + 2 + . . . + k22 + . . . + + 2 + . . . + kss g p1 p1 p2 p2 ps ps ps p1 p2 Äîêàçàòåëüñòâî.
Ëåììà 19.28. Òîãäà
f f1 = g g1
Ïóñòü
g = g1 g2 , g1
è
g2
âçàèìíî ïðîñòû.
- ïðàâèëüíûå äðîáè.
Äîêàçàòåëüñòâî. Äîêàçàòåëüñòâî ëåììû.
(g1 , g2 ) = 1 = u1 g1 + u2 g2 .
ÍÎÄ
Óìíîæèì íàøó ïðàâèëüíóþ äðîáü
f g
íà åäèíèöó, ïðåäñòàâëåííóþ â òàêîì âèäå:
f f (u1 g1 + u2 g2 ) f u1 g1 f u2 g2 f u1 f u2 = = + = + g g1 g2 g1 g2 g1 g2 g2 g1 Ïðåäñòàâèì êàæäóþ èç äâóõ ïîëó÷èâøèõñÿ äðîáåé â âèäå ñóììû ìíîãî÷ëåíà è ïðàâèëüíîé äðîáè:
f1 f2 f u1 f u2 + = q1 + + q2 + = q1 + q2 + | {z } g2 g1 g1 g2 ìíîãî÷ëåí
Íî âûðàæåíèå
(19.3),
ðàâíîå
è
f , g
f1 f2 + g1 g2 | {z }
(19.3)
ïðàâèëüíàÿ äðîáü
åñòü ïðàâèëüíàÿ äðîáü, ñëåäîâàòåëüíî,
q1 + q 2 = 0
f f1 f2 = + . g g1 g2
Ëåììà äîêàçàíà.
Ñëåäñòâèå 19.19.
ãäå
f1 f2 fs , k2 , . . . , ks k1 ps p1 p2
Ëåììà 19.29.
f1 f2 fs f = k1 + k2 + . . . + ks , g ps p1 p2 - ïðàâèëüíûå äðîáè.
Ïóñòü
p
- íåïðèâîäèìûé ìíîãî÷ëåí,
h pk
- ïðàâèëüíàÿ äðîáü.
Òîãäà ñóùåñòâóåò ðàçëîæåíèå â ñóììó ïðîñòåéøèõ äðîáåé
h h1 h2 hk = + 2 + ... + k. k p p p p
145
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА
ФОНД
ВОЛЬНОЕ ДЕЛО
ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU
Äîêàçàòåëüñòâî. Äîêàçàòåëüñòâî ëåììû. Èíäóêöèÿ ïî
Áàçà.
k=1
k. - äîêàçûâàòü íå÷åãî.
Øàã. Ïîäåëèì ñ îñòàòêîì
h = p·e h + hk , deg hk < deg p (èëèhk = 0). Òîãäà
h = pk
e h
+
pk−1 | {z }
ïðîñòàÿ äðîáü
hk pk |{z}
ïðîñòåéøàÿ äðîáü
Ê ïåðâîé äðîáè ìîæíî ïðèìåíèòü ïðåäïîëîæåíèå èíäóêöèè. Ëåììà äîêàçàíà. Ïåðåõîäèì ê äîêàçàòåëüñòâó òåîðåìû:
Ñóùåñòâîâàíèå ñëåäóåò èç ëåììû 19.29 è ñëåäñòâèÿ 19.19.
Åäèíñòâåííîñòü - áåç äîêàçàòåëüñòâà.
Ìíîãî÷ëåíû îò íåñêîëüêèõ ïåðåìåííûõ. Îïðåäåëåíèå 19.79.
Ìíîãî÷ëåí îò ïåðåìåííûõ
x1 , . . . , x n
íàä ïîëåì
F
- ýòî ôîð-
ìàëüíîå âûðàæåíèå âèäà
f (x) =
X k1 ,...,kn ∈Z≥0
ãäå
ak1 ,...,kn ∈ F
è
ak1 ,...,kn 6= 0
ak1 ,...,kn xk11 . . . xknn , | {z } | {z }
êîýôèöèåíòû îäíî÷ëåíû
ëèøü äëÿ êîíå÷íîãî ÷èñëà íàáîðîâ
(k1 , . . . , kn ).
Ìîæíî ñêàçàòü, ÷òî ìíîãî÷ëåí - ýòî ôîðìàëüíàÿ ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ îäíî÷ëåíîâ îò
n
ïåðåìåííûõ ñ êîýôôèöèåíòàìè èç èñõîäíîãî ïîëÿ
F.
Íàä òàêèìè ôîð-
ìàëüíûìè âûðàæåíèÿìè ìîæíî îñóùåñòâëÿòü îïåðàöèè ñëîæåíèÿ, óìíîæåíèÿ.
Ìíîãî÷ëåíû îò
n
ïåðåìåííûõ îáðàçóþò êîëüöî
Îïðåäåëåíèå 19.80.
Ñòåïåíü îäíî÷ëåíà
F [x1 , . . . , xn ].
u = xk11 . . . xknn
deg u = k1 + . . . + kn , degxi u = ki . Ñòåïåíü ìíîãî÷ëåíà
deg f
- ìàêñèìàëüíàÿ ñòåïåíü îäíî÷ëåíîâ, âõîäÿùèõ â
íåíóëåâûìè êîýôôèöèåíòàìè (àíàëîã÷èíî äëÿ
146
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА
ФОНД
ВОЛЬНОЕ ДЕЛО
degxi f ).
f
ñ
ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU
Îòëè÷èå ñòåïåíè ìíîãî÷ëåíà îäíîé ïåðåìåííîé îò ñòåïåíè ìíîãî÷ëåíà ìíîãèõ ïåðåìåííûõ ñîñòîèò â òîì, ÷òî â ïåðâîì ñëó÷àå ìîæíî âñå îäíî÷ëåíû ïî èõ ñòåïåíè îòëè÷èòü äðóã îò äðóãà; â ñëó÷àå æå ìíîãèõ ïåðåìåííûõ äâà ðàçíûõ îäíî÷ëåíà ìîãóò èìåòü îäèíàêîâûå ñòåïåíè. Ëåãêî ïðèâåñòè ïðèìåðû.
Òàêèì îáðàçîì, ñòåïåíü ÿâëÿåòñÿ ñëèøêîì ãðóáûì èíâàðèàíòîì äëÿ òîãî ÷òîáû õàðàêòåðèçîâàòü îòäåëüíûå îäíî÷ëåíû è óïîðÿäî÷èòü èõ.
Îïðåäåëåíèå 19.81.
Ëåêñèêîãðàôè÷åñêèé ïîðÿäîê íà îäíî÷ëåíàõ:
u = xk11 . . . xknn v = xl11 . . . xlnn [u
ñòàðøå ÷åì
v],
åñëè
∃i ∈ {1, . . . , n} ∀j < i : kj = lj ,
íî
ki > li .
Ïðèìåð
u = x1 x22 x33 x24 x5 x1 x22 x23 x34 x45 = v deg u = 9, deg v = 12, degx3 u = 3, degx3 v = 2. Ýòî ïðèìåð ìíîãî÷ëåíà ìåíüøåé ñòåïåíè, êîòîðûé ñòàðøå. Èíîãäà ðàññìàòðèâàþò ìîäèôèêàöèþ ëåêñèêîãðàôè÷åñêîãî ïîðÿäêà, â êîòîðîé ìíîãî÷ëåíû ñíà÷àëà ñîðòèðóþòñÿ ïî ñòåïåíè, à óæå ïîòîì ëåêñêîãðàôè÷åñêè, îäíàêî íàì îíà íå ïîíàäîáÿòñÿ.
Ñâîéñòâà: 1) Äëÿ ëþáûõ äâóõ îäíî÷ëåíîâ
u, v
âûïîëåíåíî ðîâíî îäíî èç òðåõ:
ëèáî ëèáî ëèáî
u v, u = v, u ≺ v.
2)
u v w ⇒ u w. Äîêàçàòåëüñòâî.
k1 . . . . . . . . . kn
- íàþáð ñòåïåíåé äëÿ
u,
l1 . . . . . . . . . ln - íàþáð ñòåïåíåé äëÿ v , m1 . . . . . . . . . mn - íàþáð ñòåïåíåé äëÿ w. Ñìîòðèì îäíîâðåìåííî íà âñå íàáîðû ñëåâà íàïðàâî äî ïåðâîãî ðàçëè÷èÿ.
i-òîì ki < mi .
Ïóñòü ïåðâîå ðàçëè÷èå íà ñòâî ñòðîãîå. Îòñþäà
ìåñòå:
ki ≥ li ≥ mi ,
ãäå õîòÿ áû îäíî íåðàâåí-
3)
u v ⇒ uw vw Î÷åâèäíî, ò.ê. ïðè óìíîæåíèè íà
w
êî âñåì ïîêàçàòåëÿì ñòåïåíåé
áàâëÿþòñÿ îäíè è òå æå ÷èñëà. 147
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА
ФОНД
ВОЛЬНОЕ ДЕЛО
u
è
v
äî-
ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU
4)
u1 v1 ⇒ u1 u2 v1 v2 u2 v2 Äîêàçàòåëüñòâî.
u1 u2 v1 u2 v1 v2 Òîãäà
u1 u2 v1 v2 .
Åñëè îäíî èç
u1 v1 u2 v2 ñòðîãîå, òî è
u1 u2 v1 v2
Îïðåäåëåíèå 19.82.
ñòðîãîå.
fst ìíîãî÷ëåíà f ∈ F [x1 , . . . , xn ] f ñ íåíóëåâûì êîýôôèöèåíòîì.
Ñòàðøèé ÷ëåí
ñòàðøèé èç îäíî÷ëåíîâ, âõîäÿùèõ â
Ëåììà 19.30.
∀f, g ∈ F [x1 , . . . , xn ], f, g 6= 0 : f · g 6= 0, (f · g)st = fst · gst . ÷àñòíîñòè, F [x1 , . . . , xn ]
ïðè÷åì Â
- îáëàñòü öåëîñòíîñòè.
Äîêàçàòåëüñòâî.
f = a0 u0 + . . . + ak uk g = b0 v0 + . . . + bl vl u0 u1 . . . uk v0 v1 . . . vl , a0 , b0 6= 0. X fg = ai bj ui vj = a0 b0 u0 v0 + . . . , i = 0, . . . , k j = 0, . . . , l ui vj ≺ u0 v0 ïðè (i, j) 6= (0, 0). f · g 6= 0 è (f · g)st = fst · gst .
ïðè÷åì Òîãäà
148
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА
ФОНД
ВОЛЬНОЕ ДЕЛО
- ýòî ñàìûé
ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU
Ëåêöèÿ 20 Ñèììåòðè÷åñêèå ìíîãî÷ëåíû. Îïðåäåëåíèå 20.83.
Ìíîãî÷ëåí
f (x1 , . . . , xn ) ∈ F [x1 , . . . , xn ] íàçûâàåòñÿ ñèììåò-
ðè÷åñêèì, åñëè
f (xσ(1) , . . . , xσ(n) ) = f (x1 , . . . , xn ), ∀σ ∈ Sn . Ïðîùå ãîâîðÿ, ìíîãî÷ëåí íàçûâàåòñÿ ñèììåòðè÷åñêèì, åñëè ïðè ëþáîé ïåðåñòàíîâêå åãî àðãóìåíòîâ ìíîãî÷ëåí íå ìåíÿåòñÿ.
Ïðèìåðû 1)
Ïóñòü
f (x1 , x2 , x3 ) = x1 x2 + x2 x3 1 2 3 σ= = (1 2). Òîãäà 2 1 3
- íå ñèììåòðè÷åñêèé.
f (xσ(1) , xσ(2) , xσ(3) ) = x2 x1 + x1 x3 6= x1 x2 + x2 x3 . 2)
s 1 = x1 + . . . + xn sk = xk1 + . . . + xkn , k ∈ N. Ýòî ñèììåòðè÷åñêèå ìíîãî÷ëåíû (ñòåïåííûå ñóììû). Ïîëó÷èëè áåñêîíå÷íóþ ñåðèþ ñèììåòðè÷åñêèõ ìíîãî÷ëåíîâ. 3) Ýëåìåíòàðíûå ñèììåòðè÷åñêèå ìíîãî÷ëåíû:
σ1 = x1 + . . . + xn σ2 = x1 x2 + x1 x3 + . . . + xn−1 xn
...
σ3 = x1 x2 x3 + x1 x2 x4 + . . . + xn−2 xn−1 xn
X
σk =
xi1 . . . xik
...
1≤i1 i≥1 Ïîêàæåì, êàê óñòðîåíû ñèììåòðè÷åñêèå ìíîãî÷ëåíû.
Çàìå÷àíèå 20.19.
Åñëè
f1 (x1 , . . . , xn ), . . . , fk (x1 , . . . , xn )
G(y1 , . . . , yk ) - ïðîèçâîëüíûé ìíîãî÷ëåí, òî G(f1 (x1 , . . . , xn ), . . . , fk (x1 , . . . , xn )) - ñèììåòðè÷åñêèé
- ñèììåòðè÷åñêèå ìíîãî-
÷ëíåû è
ìíîãî÷ëåí.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïåðâûé âàðèàíò: ßñíî, ÷òî ñóììà, ïðîèçâåäåíèå è óìíîæåíèå íà ñêàëÿð ñèììåòðè÷åñêèõ ìíîãî÷ëåíîâ äàåò ñíîâà ñèììåòðè÷åñêèé ìíîãî÷ëåí. Ïðè ýòîì âû÷èñëåíèå ìíîãî÷ëåíà - ýòî ïîñëåäîâàòåëüíîå âûïîëíåíåíèå îïåðàöèé ñëîæåíèÿ, óìíîæåíèÿ è óìíîæåíèÿ íà ñêàëÿð.
Âòîðîé âàðèàíò: Ëþáàÿ ïåðåñòàíîâêà àðãóìåíòîâ â
1, . . . , k ,
G ðàâíîñèëüíà ïåðåñòàíîâêå àðãóìåíòîâ â fi (x1 , . . . , xn ), i = G.
ñëåäîâàòåëüíî, íå ìåíÿåò ìíîãî÷ëåí
Òåîðåìà 20.37. (Îñíîâíàÿ òåîðåìà î ñèììåòðè÷åñêèõ ìíîãî÷ëåíàõ) Äëÿ ëþáîãî ñèììåòðè÷åñêîãî ìíîãî÷ëåíà áîå ïîëå,
∃ ! G(y1 , . . . , yn ) ∈ F [y1 , . . . , yn ]
H(x1 , . . . , xn ) ∈ F [x1 , . . . , xn ],
ãäå
F
- ëþ-
òàêîé ÷òî
H(x1 , . . . , xn ) = G(σ1 (x1 , . . . , xn ), . . . , σn (x1 , . . . , xn )), ò.å. ëþáîé ñèììåòðè÷åñêèé ìíîãî÷ëåí ìîæíî ïîëó÷èòü èç ýëåìåíòàðíûõ ñèììåòðè÷åñêèõ ìíîãî÷ëåíîâ.
Ïðèìåð
H = S2 = x21 + x22 + . . . + x2n = = (x1 + x2 + . . . + xn )2 − 2(x1 x2 + x2 x3 + . . . + xn−1 xn ) = σ12 − 2σ2 G = y11 − 2y2 150
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА
ФОНД
ВОЛЬНОЕ ДЕЛО
ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU
Ëåììû î ñòàðøåì ÷ëåíå ñèììåòðè÷åñêîãî ìíîãî÷ëåíà. xk11 xk22 . . . xknn ÿâëÿåòñÿ ñòàðøèì ÷ëåíîì íåêîòîðîãî ñèììíîãî÷ëåíà ⇔ k1 ≥ k2 ≥ . . . ≥ kn .
Ëåììà 20.31. ìåòðè÷åñêîãî
Îäíî÷ëåí
⇒)
∃ i : ki < ki+1 . ki+1 ki . . . xi xi+1 . . . xknn . ki ki+1 k1 Âî-ïåðâûõ, ýòîò ìíîãî÷ëåí ñòàðøå ÷åì x1 . . . xi xi+1 Äîêàçàòåëüñòâî. (
Îò ïðîòèâíîãî.
k1 Òîãäà ðàññìîòðèì îäíî÷ëåí x1
. . . xknn ;
âî-âòîðûõ, îí âõîäèò
â íàø ñèììåòðè÷åñêèé ìíîãî÷ëåí. Äâà ýòèõ íàáëþäåíèÿ äàþò ïðîòèâîðå÷èå.
(
⇐)
Ïóñòü
xk11 xk22 . . . xknn
- îäíî÷ëåí ñ ñâîéñòâîì
k1 ≥ k2 ≥ . . . ≥ kn .
Õîòèì ñêîí-
ñòðóèðîâàòü ñèììåòðè÷åñêèé ìíîãî÷ëåí, äëÿ êîòîðîãî îí áóäåò ÿâëÿòüñÿ ñòàðøèì.
xk11 xk22 . . . xknn →
X
n 2 1 . . . xkσ(n) xkσ(2) xkσ(1)
(20.1)
σ∈Sn  êà÷åñòâå èñêîìîãî ñèììåòðè÷åñêîãî ìíîãî÷ëåíà íóæíî âçÿòü çàïèñàííûé ìíîãî÷ëåí ñî ñòàðøèì êîýôôèöèåíòîì 1. Ýòî íåîáõîäèìî, ò.ê. â
(20.1)
íåêîòîðûå ÷ëåíû
ìîãóò ïîâòîðÿòüñÿ.
Íàïðèìåð,
x21 x22 → x21 x22 + x22 x21 = 2x21 x22 . Çà ñ÷åò òîãî ÷òî ìíîãî÷ëåí ñèììåòðè÷åñêèé, êîýôôèöèåíòû ïåðåä îäíî÷ëåíàìè ïîñëå ïðèâåäåíèÿ ïîäîáíûõ áóäóò îäèíàêîâûìè, è èõ âñå íóæíî ïðèðàâíÿòü ê 1.
Ñòàðøèé ÷ëåí â
(20.1)
èìåííî
xk11 xk22 . . . xknn
â ñèëó íåðàâåíñòâà
k1 ≥ k2 ≥ . . . ≥
kn . Ëåììà 20.32.
öåëûå íåîòðèöàòåëüíûå ÷èñëà
σ1l1 σ2l2 . . . σnln
xk11 xk22 . . . xknn , k1 ≥ k2 ≥ . . . ≥ kn ∃! l1 , l2 , . . . , ln òàêèå ÷òî ñòàðøèé ÷ëåí ìíîãî÷ëåíà
Äëÿ ëþáîãî îäíî÷ëåíà
ðàâåí
xk11 xk22 . . . xknn .
Äîêàçàòåëüñòâî. Ñòàðøèé ÷ëåí
σ1l1 σ2l2 . . . σnln
ðàâåí ïðîèçâåäåíèþ ñòàðøèõ ÷ëåíîâ
(σ1 )st = x1 , (σ2 )st = x1 x2 , . . . (σn )st = x1 . . . xn . À èìåííî
(x1 )l1 (x1 x2 )l2 . . . (x1 . . . xn )ln = xl11 +l2 +...+ln xl22 +l3 +...+ln . . . xlnn Îäíî÷ëåí
(20.2)
äîëæåí ñîâïàäàòü ñ
xk11 xk22 . . . xknn .
...
l1 + l2 + . . . + ln = k1 l2 + l3 + . . . + ln = k2 ln−1 + ln = kn−1 ln = kn 151
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА
ФОНД
ВОЛЬНОЕ ДЕЛО
Ïîëó÷èì ÑËÓ
.
(20.2)
ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU
Åå ðåøåíèå
ln = kn ...
ln−1 = kn−1 − kn
li = ki − ki+1 Ðåøåíèå åäèíñòâåííî.
li
íåîòðèöàòåëüíû çà ñ÷åò íåðàâåíñòâ
ki ≥ ki+1 .
Îñíîâíàÿ òåîðåìà î ñèììåòðè÷åñêèõ ìíîãî÷ëåíàõ. Äîêàçàòåëüñòâî. Äîêàæåì òåîðåìó 20.37.
Äîêàçàòåëüñòâî.
1) Ñóùåñòâîâàíèå.
Õîòèì âûðàçèòü ñèììåòðè÷åñêèé ìíîãî÷ëåí
Åñëè
H ≡ 0,
òî ïîäõîäèò
H(x1 , . . . , xn ) êàê G(σ1 (x1 , . . . , xn ), . . . , σn (x1 , . . .
G ≡ 0.
针֌
Hst = axk11 xk22 . . . xknn , k1 ≥ k2 ≥ . . . ≥ kn . ∃! σ1l1 σ2l2 . . . σnln
òàêîé ÷òî
(aσ1l1 σ2l2 . . . σnln )st = Hst | {z } R
(H − R)st ≺ Hst . H1 = H − R - ñèììåòðè÷åñêèé.
Ðàññìîòðèì Ïóñòü
Ïîâòîðÿåì ýòó æå ïðîöåäóðó
(H1 − R1 )st ≺ (H1 )st
è ò. ä.
H − R − R1 − R2 − . . . = 0 è ýòî ïðîèçîéäåò çà êîíå÷íîå ÷èñëî øàãîâ. Åñëè ýòî íå òàê, òî
Hst (H1 )st (H2 )st . . . áóäåò áåñêîíå÷íî óáûâàþùåé öåïî÷êîé îäíî÷ëåíîâ.  íàøåé ñèòóàöèè ýòî íå âîçìîæíî.
Hst = axk11 xk22 . . . xknn , k1 ≥ k2 ≥ . . . ≥ kn (Hi )st = bxr11 xr22 . . . xrnn , k1 ≥ r1 ≥ r2 ≥ . . . ≥ rn Òàêèõ îäíî÷ëåíîâ êîíå÷íîå ÷èëî.
Èòàê,
H = R + R1 + . . . + Rs = G(σ1 , . . . , σn ). 152
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА
ФОНД
ВОЛЬНОЕ ДЕЛО
ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU
Óïðàæíåíèå 20.17.
Äîêàçàòü, ÷òî íå ñóùåñòâóåò áåñêîíå÷íî óáûâàþùèõ
ëåêñèêîãðàôè÷åñêèõ öåïî÷åê îäíî÷ëåíîâ.
Çàìå÷àíèå 20.20.
x1 xm 2 , ∀m 2) Åäèíñòâåííîñòü. Äîêàçàòåëüñòâî îò ïðîòèâíîãî.
H(x1 , . . . , xn ) = G1 (σ1 , . . . , σn ) = G2 (σ1 , . . . , σn ). Ïóñòü K(σ1 , . . . , σn ) = G1 (σ1 , . . . , σn ) − G2 (σ1 , . . . , σn ) 6= 0 êàê σ1 , . . . , σ n . Òîãäà K = K1 + . . . + Kp - ñóììà îäíî÷ëåíîâ.
Ïðåäïîëîæèì,
ìíîãî÷ëåí îò
(K1 )st , . . . , (Kp )st ïî x1 , . . . , xn . Òîãäà (K1 )st , . . . , (Kp )st - íå ïðîïîðöèîíàëüíûå äðóã äðóãó îäíî÷ëåíû îò x1 , . . . , xn Ðàññìîòðèì
(ëåììà 20.32).
x1 , . . . , xn - ïóñòü ýòî (Ki )st . Òàêîé ÷ëåí íå ìîæåò ñîêðàòèòüñÿ ñ äðóãèìè ÷ëåíàìè Ki è ñ äðóãèìè ÷ëåíàìè Kj , j 6= i, ñëåäîâàòåëüíî, îí íå ñîêðàùàåòñÿ è K(σ1 , . . . , σn ) 6= 0 êàê ìíîãî÷ëåí îò x1 , . . . , xn . Ïðîòèâîðå÷èå. Ðàññìîòðèì ñàìûé ñòàðøèé èç ýòèõ îäíî÷ëåíîâ ïî
Òåîðåìà Âèåòà. Òåîðåìà 20.38. Âèåòà Ïóñòü
α! , . . . , α n
(Ôðàíñóà Âèåò, 1540 -1603)
- êîðíè ìíîãî÷ëåíà
an xn + an−1 xn−1 + . . . + a1 x + a0 , an 6= 0.
α1 + α2 + . . . + αn = −
an−1 an an−2 an
...
α1 α2 + α1 α3 + . . . + αn−1 αn =
an−k , k = 1, . . . , n an
...
σk (α1 , . . . , αn ) = (−1)k
α1 α2 . . . αn = (−1)n
153
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА
ФОНД
ВОЛЬНОЕ ДЕЛО
a0 an
Òîãäà
ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU
Äîêàçàòåëüñòâî.
f = an xn + an−1 xn−1 + . . . + a1 x1 + a0 = an (x − α1 )(x − α2 ) . . . (x − αn ) Îñòàåòñÿ ðàñêðûòü ñêîáêè è ïðèðàâíÿòü êîýôôèöèåíòû ïðè
X
an−k = an (−1)k
xn−k :
αi1 . . . αik = an (−1)k σk (α1 , . . . , αn ).
1≤11 i ãäå
αi
- êîðíè.
Ñâîéñòâà: 1)
D=0 ⇔
2)
D
ìíîãî÷ëåí èìååò êðàòíûé êîðåíü;
ÿâëÿåòñÿ ñèììåòðè÷åñêèì ìíîãî÷ëåíîì îò
æàåòñÿ ÷åðåç
a1 a0 an−1 ,..., , . an an an
α1 , . . . , αn , ñëåäîâàòåëüíî, âûðà-
Âûïèñàòü ÿâíóþ ôîðìóëó ýòîãî âûðàæåíèÿ - î÷åíü òðóäîåìêàÿ çàäà÷à, ïîýòîìó ÿâíîé ôîðìóëû äëÿ ëþáîãî
n
íåò.
(21.1) ïåðåä ïðîèçâåäåíèåì ñòîèò èìåííî an2n−2 . (αj − αi )2 ÷åðåç ýëåìåíòàðíûå ñèììåòðè÷åñêèå ìíîãî÷ëåíû, ïîëó-
3) Ïîéìåì, ïî÷åìó â
Q
Âûðàçèì
j>i ÷èì ìíîãî÷ëåí îò ýëåìåíòàðíûõ ñèììåòðè÷åñêèõ ìíîãî÷ëåíîâ. Ïðè ïîäñòàíîâêå â íåãî
an−1 a1 a0 ,..., , an an an
çíàìåíàòåëè ýòèõ äðîáåé îáðàçóþò
íîâûé êîýôôèöèåíò, êîòîðûé áóäåò ñòåïåíüþ ÷èñëà æèòåëü
a2n−2 n
an .
Òàêèì îáðàçîì, ìíî-
íåîáõîäèì, ÷òîáû ñîêðàòèòü ýòîò íîâûé êîýôôèöèåíò.
Äîêàæåì ýòî
Ïðåäëîæåíèå 21.12. D Äîêàçàòåëüñòâî. Äëÿ
- ìíîãî÷ëåí îò
σ1l1 . . . σnln
ñóììà
a1 a0 an−1 ,..., , . an an an
l1 + . . . + ln
ðàâíà ïîêàçàòåëþ ïðè
x1
â
ñòàðøåì ÷ëåíå
Íî
α1
âõîäèò â
xl11 (x1 x2 )l2 . . . (x1 . . . xn )ln = xl11 +l2 +...+ln (. . .). Q (αj − αi )2 â ñòåïåíè 2(n − 1) = 2n − 2. j>i
Íóæíî äîìíîæèòü íà
(−1)k
an−k an
a2n−2 , ÷òîáû ïîñëå ïîäñòàíîâêè âìåñòî σ1 , . . . , σn äðîáåé n
ñîêðàòèëñÿ çíàìåíàòåëü.
Ïðèìåð
a2 x 2 + a1 x + a0 156
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА
ФОНД
ВОЛЬНОЕ ДЕЛО
ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU
D = a2·2−2 (α2 − α1 )2 = a22 (σ12 − 4σ2 ) = 2 ! 2 a a 1 0 = a22 − = a21 − 4a0 a2 . −4 a2 a2 Åñëè
an = 1,
òî
...
...
1 1 α1 α2 2 α22 D = α1 αn−1 αn−1 1 2
2 . . . αnn−1 ... ... ...
1 αn αn2
...
Çàìå÷àíèå 21.23.
Ðåçóëüòàíò. Åãî ñâÿçü ñ äèñêðèìèíàíòîì. Îïðåäåëåíèå 21.85.
f (x), g(x) ∈ F [x] Y Y (αi − βj ) = am g(αi ) = (−1)nm bnm f (βj ) n
Ðåçàóëüòàíò ìíîãî÷ëåíîâ
Y
n Res (f, g) = am n bm
i=1,...,n; j=1,...,m
i
j
f (x) = an xn + an−1 xn−1 + . . . + a1 x + a0 , an 6= 0, g(x) = bm xm + bm−1 xm−1 + . . . + b1 x + b0 , bm 6= 0, α1 , . . . , α n
- êîðíè
Ñìûñë. Res (f, g) = 0 ⇔ f
è
g
f (x), β1 , . . . , βm
- êîðíè
g(x).
èìåþò îáùèé êîðåíü.
g(x) = bm (x − β1 ) . . . (x − βm ) ⇒ Y Y n m am b (α − β ) = a g(αi ) i j n m n i=1,...,n; j=1,...,m
i
Àíàëîãè÷íî
n am n bm
f (x) = an (x − α1 ) . . . (x − αn ) ⇒ Y Y (αi − βj ) = (−1)nm bnm f (βj ) i=1,...,n; j=1,...,m
j
Èòàê, ðåçóëüòàíò äåéñòâèòåëüíî îòâå÷àåò íà âîïðîñ åñòü ëè ó ìíîãî÷ëåíîâ îáùèé êîðåíü. Âûðàæåíèå
am n
Q
g(αi )
îáðàùàåòñÿ â 0, åñëè õîòÿ áû îäèí êîðåíü
i
f (x)
ÿâëÿåòñÿ êîðíåì ìíîãî÷ëåíà
Òåîðåìà 21.39.
g(x).
0 D(f ) = (−1)nm a−1 n Res (f, f )
157
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА
ФОНД
ВОЛЬНОЕ ДЕЛО
αi
ìíîãî÷ëåíà
ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU
Äîêàçàòåëüñòâî.
f (x) = an
Y (x − αi ) i
XY f (x) = an (x − αj ) 0
i Ïðè ïîäñòàíîâêå
αk
j6=i
çàíóëÿþòñÿ âñå ïðîèçâåäåíèÿ, êðîìå îäíîãî
f 0 (αk ) = an
Y (x − αj ) j6=k
Òåïåðü, ïîëüçóÿñü ïðåäñòàâëåíèåì ðåçóëüòàíòà
Res (f, g) = am n
Q
g(αi )
i
Res (f, f 0 ) = ann−1
Y
f 0 (αi ) =
i
= an (−1)
n(n−1) 2
a2n−2 n
Y n(n−1) (αi − αj )2 = an (−1) 2 D(f ) j, ïîðîæäåííàÿ ýëåìåíòîì
Öèêëè÷åñêàÿ ïîäãðóïïà
ýòî
H = {g n , n ∈ Z} = {. . . , g −2 , g −1 , e, g, g 2 , . . .}. Çàìå÷àíèå 22.28.
Ýòî ñàìàÿ ìàëåíüêàÿ ïîäãðóïïà, ñîäåðæàùàÿ ýëåìåíò
òîì ñìûñëå ÷òî îíà ëåæèò â ëþáîé äðóãîé ïîäãðóïïå, ñîäåðæàùåé Äîêàçàòåëüñòâî. Åñëè â íåêîòîðóþ ïîäãðóïïó ïîïàë ýëåìåíò ïîäãðóïïà, â íåé òàêæå ñîäåðæèòñÿ ýëåìåíò óìíîæåíèÿ, ñëåäîâàòåëüíî, â íåé ëåæèò
g · g,
e.
G = (Z, +), g = 2
165
ФОНД
ВОЛЬНОЕ ДЕЛО
(â
òî òàê êàê ýòî
à çíà÷èò è âñå ñòåïåíè
< g >= 2Z
g
).
Ïîäãðóïïà çàìêíóòà îòíîñèòåëüíî
Ïðèìåð
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА
g,
g
g.
ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU
Îïðåäåëåíèå 22.96. íîå ÷èñëî
m,
g =e ord(g).
÷òî
Îáîçíà÷åíèå:
g ∈ G ýòî òàêîå íàèìåíüøåå òàêîãî m íå ñóùåñòâóåò.
Ïîðÿäîê ýëåìåíòà
m
èëè
∞,
åñëè
íàòóðàëü-
Ïðèìåð
G = (Z, +) ( 1, a = 0, ord a = ∞, a 6= 0. Äàëåå
(Z, +) ≡ Z.
Ëåììà 22.33.
ord(g) = | < g > | (ïîðÿäîê ýëåìåíòà ðàâåí ïîðÿäêó öèêëè÷åñêîé ïîäãðóïïû, èì ïîðîæäåííîé) Ò.å. ïîðÿäîê ýëåìåíòà (â ñìûñëå öåëîé ñòåïåíè) ñîãëàñîâàí ñ ïîðÿäêîì ïîäãðóïïû (â ñìûñëå ÷èñëà ýëåìåíòîâ â íåé).
Äîêàçàòåëüñòâî. Ñëó÷àé 1.
2
e, g, g , . . . , g ïîïàðíî ðàçëè÷íû. m k åñëè g = g , m > k , òî g m−k = e.
Òîãäà ýëåìåíòû Â ñàìîì äåëå,
m−k = {e, g, g 2 , . . . , g n−1 }. Ñëåäîâàòåëüíî,
| < g > | = n = ord g .
ord(g) = ∞. g n 6= g k , m 6= k .
Ñëó÷àé 2. Òîãäà
Åñëè áû ýòî áûëî íå òàê, òî
gm = gk
⇒ g m−k = e
-
ïðîòèâîðå÷èå ñ áåñêîíå÷íîñòüþ ïîðÿäêà. Ñëåäîâàòåëüíî,
| < g > | = ∞ = ord(g).
Îïðåäåëåíèå 22.97. ÷åñêîé ãðóïïû
Ãðóïïà
g íàçûâàåòñÿ G.
Òàêîé ýëåìåíò
G
öèêëè÷åñêàÿ, åñëè
∃g ∈ G,
÷òî
G =< g >.
ïîðîæäàþùèì èëè îáðàçóþùèì ýëåìåíòîì öèêëè-
Ïðèìåð
G = (Z, +) G =< 1 >=< −1 > Ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå îïèñûâàåò âñå öèêëè÷åñêèå ãðóïïû.
Ïðåäëîæåíèå 22.15. 2) Åñëè
G
1) Åñëè
G
- áåñêîíå÷íàÿ öèêëè÷åñêàÿ ãðóïïà, òî
- öèêëè÷åñêàÿ ãðóïàà ïîðÿäêà
n,
166
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА
ФОНД
ВОЛЬНОЕ ДЕЛО
òî
G∼ = Zn
G∼ = Z;
ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU
Äîêàçàòåëüñòâî.
1) Èçîìîðôèçì
Z → G =< g >, m → g m .
Ýòî îòîáðàæåíèå äåéñòâèòåëüíî èçîìîðôèçì, ò.ê. îíî ñîõðàíÿåò îïåðàöèþ (
m + l → g m g l ).
Èç äîêàçàòåëüñòâà ëåììû ñëåäóåò, ÷òî ðàçíûå ñòåïåíè ýëåìåíòà þò ðàçíûì ýëåìåíòàì ãðóïïû
G.
g
ñîîòâåòñâó-
Ñëåäîâàòåëüíî, ïîñòðîåííîå îòîáðàæåíèå -
áèåêöèÿ.
2) Èçîìîðôèçì
m
Zn → G =< g >, m → g m ; g n = e.
- ýòî öåëûé êëàññ ÷èñåë, êîòîðûå ïðè äåëåíèè íà
n
äàþò äàííûé îñòàòîê.
Íà ïåðâûé âçãëÿä íå î÷åíü ïîíÿòíî, êàê âîçâîäèòü ýëåìåíò íå â îäíó, à ñðàçó â ìíîãèå ñòåïåíè. Â
gm
÷èñëî
m
n: m = pn + r, 0 ≤ r < n. Ïðè îò ïðåäñòàâèòåëÿ m êëàññà m.
ïîäåëèòü ñ îñòàòêîì íà òåëüíî,
g
m
m, ò.ê. m ìîæíî p ýòîì g n = e, ñëåäîâà-
ìîæåò áûòü ëþáûì ïðåäñòàâèòåëåì êëàññà
íå çàâèñèò
Ñíîâà ïîëó÷èëè áèåêöèþ, ñîõðàíÿþùóþ îïåðàöèþ.
Óïðàæíåíèå 22.22. ord(g k ) =
n , (n, k)
ãäå
n = ord(g).
Ïîäãðóïïû â öèêëè÷åñêèõ ãðóïïàõ. 1) Öèêëè÷åñêàÿ ãðóïïà áåñêîíå÷íà: Ìû çíàåì, ÷òî âñå ïîäãðóïïû 2) Öèêëè÷åñêàÿ ãðóïïà êîíå÷íà:
Ïðåäëîæåíèå 22.16.
{ ïîäãðóïïû
Ïóñòü â
Z
G∼ = Z.
èìåþò âèä
dZ, d ∈ Z≥0 .
G∼ = Zn .
n ≥ 2.
Èìååòñÿ áèåêöèÿ
Zn } ↔ {íàòóðàëüíûå
äåëèòåëè ÷èñëà
n}
dZn ↔ d n Ïðè÷åì
n |dZn | = d
dZn ⊆ Zn - ïîäãðóïïà ∀d. n . Åñëè d n, òî dZn = {0, d, 2d, . . . , (k − 1)d}, ãäå k = d n Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî |dZn | = . d 0 0  ÷àñòíîñòè, dZn = d Zn ⇔ d = d . Äîêàçàòåëüñòâî. ßñíî, ÷òî
{0} 6= H ⊆ Zn dZn ⊆ H . Ïóñòü
- ïîäãðóïïà è
d
- ìèíèìàëüíûé ýëåìåíò â
167
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА
ФОНД
ВОЛЬНОЕ ДЕЛО
H.
Òîãäà
ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU
Åñëè
c = (n, d),
òî ïî ëåììå î ëèíåéíîì ïðåäñòàâëåíèè ÍÎÄ
∃n, v ∈ Z : c = dn + nv ⇒ c ∈ dZn ⊆ H. Îòñþäà
c=d
â ñèëó ìèíèìèàëüíîñòè
d
è
d n.
m ∈ H , òî m = qd + r. Îòñþäà r ∈ H . 0 ≤ r < d è d ìèíèìàëüíûé, ñëåäîâàòåëüíî, r = 0.
Åñëè
Èòàê,
H = dZn .
Ñëåäñòâèå 22.21.
Ïîäãðóïïà öèêëè÷åñêîé ãðóïïû öèêëè÷íà.
Äîêàçàòåëüñòâî.  ñëó÷àå 1) ëþáàÿ ïîäãðóïïà ïîðîæäàåòñÿ ÷èñëîì
d.
 ñëó÷àå 2) ëþáàÿ ïîäãðóïïà òàêæå ïîðîæäàåòñÿ îäíèì ýëåìåíòîì - âû÷åòîì
d.
Çàìåòèì, ÷òî öèêëè÷åñêàÿ ãðóïïà âñåãäà êîììóòàòèâíà. Êðîìå òîãî, ëþàÿ öèêëè÷åñêàÿ ãðóïïà íå áîëåå ÷åì ñ÷åòíà. Áûâàþò ëè êîììóòàòèâíûå ñ÷åòíûå ãðóïïû, êîòîðûå íå ÿâëÿþòñÿ öèêëè÷åñêèìè?
Óïðàæíåíèå 22.23.
Ïðèâåñòè ïðèìåð ñ÷åòíîé íå öèêëè÷åñêîãé êîììóòàòèâíîé
ãðóïïû. (èõ ìîæíî âûáðàòü èç ïðèìåðîâ ãðóïï â íà÷àëå ëåêöèè)
168
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА
ФОНД
ВОЛЬНОЕ ДЕЛО
ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU
Ëåêöèÿ 23 Ñìåæíûå êëàññû. Ïóñòü
G
H⊆G
-ãðóïïà è
Îïðåäåëåíèå 23.98.
- ïîäãðóïïà
g ∈ G
Ëåâûé ñìåæíûé êëàññ ýëåìåíòà
ïî ïîäãðóïïå
H
-
G
ýòî ïîäìíîæåñòâî â
gH = {gh h ∈ H}. Ýòî íå ïîäãðóïïà.
Çàìå÷àíèå 23.29. g, g 0
ëåæàò â îäíîì ñìåæíîì êëàññå ïî ïîäãðóïïå
H
⇔
−1 0
g g ∈H Îïðåäåëåíèå 23.99. ýòî ïîäìíîæåñòâî â
Ïðàâûé ñìåæíûé êëàññ ýëåìåíòà
g ∈G
ïî ïîäãðóïïå
H
-
G Hg = {hg h ∈ H}.
Ëåììà 23.34.
∀g, g 0 ∈ G
1)
ëèáî
gH = g 0 H ,
ëèáî
gH ∩ g 0 H = ∅.
Äðóãèìè ñëîâàìè, ðàçáèåíèå íà ñìåæíûå êëàññû - ýòî îòíîøåíèå ýêâèâàëåíòíîñòè. 2)
∀g ∈ G |gH| = |H|. gH ∩ g 0 H 6= ∅, 0 gH = g hh | {z } H = g H .
Äîêàçàòåëüñòâî. Òîãäà
1) Åñëè
òî
∃h, h0 ∈ H
òàêèå ÷òî
gh = g 0 h0 .
−1
0
∈H
gH = {gh h ∈ H}, òî |gH| ≤ |H|. gh = gh0 , òî óìíîæèì íà g −1 ñëåâà è ïîëó÷èì h = h0 .
2) Ïîñêîëüêó Åñëè
Îòñþäà
|gH| = |H|.
Îïðåäåëåíèå 23.100. ñîâ â
G
ïî ïîäãðóïïå
Îáîçíà÷åíèå:
Èíäåêñ ïîäãðóïïû
H⊆G
ýòî ÷èñëî ëåâûõ ñìåæíûõ êëàñ-
H.
[G : H].
Òåîðåìà Ëàãðàíæà. Òåîðåìà 23.41. Ëàãðàíæà
G - êîíå÷íàÿ ãðóïïà |G| = |H|[G : H].
Ïóñòü Òîãäà
è
H⊆G
- ïîäãðóïïà.
G ðàñïàäàåòñÿ íà [G : H] ïîïàðíî íå ïåðåñåêàþùèõñÿ ëåêàæäîì èç êîòîðûõ ïî |H| ýëåìåíòîâ.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ãðóïïà âûõ ñìåæíûõ êëàññîâ, â
169
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА
ФОНД
ВОЛЬНОЕ ДЕЛО
ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU
Îòñþäà
|G| = |H|[G : H]. Äîêàæåì òåïåðü ïÿòü ñëåäñòâèé èç òåîðåìû Ëàãðàíæà.
Ñëåäñòâèå 23.22.
|H| |G| Íàïðèìåð, åñëè ãðóïïà ñîñòîèò èç 10 ýëåìåíòîâ, òî íåëüçÿ ââåñòè íà íåé òàêèå îïåðàöèè, ÷òîáû ìíîæåñòâî èç òðåõ ýëåìåíòîâ áûëî ïîäãðóïïîé.
Ñëåäñòâèå 23.23.
∀g ∈ G ord(g) |G|. Äîêàçàòåëüñòâî. Íà ïðîøëîé ëåêöèè áûëî äîêàçàíî, ÷òî
ord(g) = | < g > |.
Òîãäà ïî ñëåäñòâèþ 23.22 äîêàçàíî.
Ñëåäñòâèå 23.24.
∀g ∈ G g |G| = e.
Çàìåòèì, ÷òî çäåñü íå óòâåðæäàåòñÿ, ÷òî ïîðÿäîê ãðóïïû ÿâëÿåòñÿ ïîðÿäêîì ýëåìåíòà
g,
ò.ê. ÷èñëî
|G|
ìîæåò îêàçàòüñÿ íå ìèíèìàëüíûì ñ òàêèì ñâîéñòâîì.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïî ñëåäñòâèþ 23.23
|G| = ord(g)k, k ∈ N.
g |G| = (g ord(g) )k = ek = e.
Ñëåäñòâèå 23.25. Ìàëàÿ òåîðåìà Ôåðìà Ïóñòü Òîãäà
p
- ïðîñòîå ÷èñëî è
a ∈ Zp .
p
a = a.
Äîêàçàòåëüñòâî.
G = (Zp \{0}, ×), |G| = p − 1. Òîãäà ïî ñëåäñòâèþ 23.24
∀a ∈ G a|G| = ap−1 = 1.
Äîìíîæàÿ ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî íà
a,
ïîëó÷àåì
ap = a, ∀a ∈ Zp . Çàìåòèì, ÷òî äîêàçàòåëüñòâî áûëî ïðîâåäåíî äëÿ  ñëó÷àå
a=0
âñå î÷åâèäíî. 170
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА
ФОНД
ВОЛЬНОЕ ДЕЛО
a 6= 0.
ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU
Ñëåäñòâèå 23.26.
G
Òîãäà
Ïóñòü
p
- ïðîñòîå ÷èñëî è
|G| = p.
öèêëè÷åñêàÿ, ïîðîæäåííàÿ ëþáûì ñâîèì íååäèíè÷íûì ýëåìåíòîì.
G∼ = Zp . ÷àñòíîñòè, G êîììóòàòèâíà.
Áîëåå òî÷íî, Â
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü Òîãäà
g ∈ G\{e}.
( 1 | < g > | |G|. |G| = p ⇒ | < g > | = p | < g > | ≥ 2,
Ïîëó÷èëè, ÷òî
G
- ãðóïïà,
H⊆G
- ïîäãðóïïà.
×èñëî ëåâûõ ñìåæíûõ êëàññîâ ðàâíî ÷èñëó ïðàâûõ ñìåæíûõ
êëàññîâ.
G
e 6= g ∈< g > .
| < g > | = p ⇒ < g >= G.
Çàìå÷àíèå 23.30. Åñëè
ò.ê.
.
êîíå÷íàÿ, òî îáû ÷èñëà ðàâíû
|G| . |H|
Äëÿ áåñêîíå÷íûõ ãðóïï - çàäà÷à.
Çàìå÷àíèå 23.31.
Ïðè ýòîì ðàçáèåíèÿ íà ëåâûå ñìåæíûå êëàññû è íà ïðàâûå
ñìåæíûå êëàññû ìîãóò íå ñîâïàäàòü. Åñëè
G
àáåëåâà, òî
gH = Hg, ∀g ∈ G.
Ïðèìåð G = S3 |G| = 6.
H = A3 Òóò ëåâûå è ïðàâå ñìåæíûå êëàññû ñîâïàäóò, ò.ê. ýòî ïîäãðóïïà èíäåêñà 2.
1 2 3 H = e, =< (1 2) > 2 1 3 H = {e, (1 2)} g = (1 3), (1 3)(1 2) = (1 2 3) g = (2 3), (2 3)(1 2) = (1 3 2) Ëåâûå:
Ïðàâûå: H = {e, (1 2)} g = (1 3), (1 2)(1 3) = (1 3 2) g = (2 3), (1 2)(2 3) = (1 2 3)
171
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА
ФОНД
ВОЛЬНОЕ ДЕЛО
ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU
Êàðòèíêà:
Óïðàæíåíèå 23.24. Ïóñòü
G
(Îáðàòíîå óòâåðæäåíèå ê òåîðåìå Ëàãðàíæà íå âåðíî)
- êîíå÷íàÿ ãðóïïà è
Òîãäà â ãðóïïå
G
d
- íàòóðàëüíûé äåëèòåëü ÷èñëà
åñòü ïîäãðóïïà
H, |H| = d
- ïðèâåñòè êîíòðïðèìåð.
172
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА
ФОНД
|G|.
ВОЛЬНОЕ ДЕЛО
МЕХАНИКОМАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА