Eserciziario analisi 1 [1]

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Marco Bramanti

Esercitazioni di

Analisi Matematica 1

w

lmmuginedicopertinu paginedclquadcmo d icscn:izidiAnalisidimiopadre. ma1rieolaalPoli1ecnicodiMilanond 1943

ISB N 978.S8-7488-444·5

Primuedi:imie:L uglio2011 Rislumpe: ~ncmbrc201?·Scncmbf0.

15. to&:i:i: + 3 ::: 2 lo~:i: + l

Per ciascuna delle affermazio11i segwmti, stabilire se è reroo falsa:

16. 2sin 2:z: +sin:i: ?: 0 Tracciare il grafico delle seg11entifunzio11i elementari (max.15 mirmti ù1 tut10) 17.y ::: :i: 3 21.

La disequazione

35.*

Ladisequazionelog2(3:z:+l) $ lècquivalentea3:z: + l :S: 2

36.*

Ladìsequazione !:i:-2l+:z:2 ?:0èsempreverificata.

37.*

La disequazione

38.*

Ladisequazionez(:z:-2):S: lècquivalentea:i: :S: lo:i: - 2 :S: I

f/"'COS:Z:

18.y :::fi 22. !I "' lx+ l i- i 19. y:::l/:z: 23. y:::2-·

Altri esercizi sui prerequisiti 24.Ricavareyinfunzionedi:z:

10112(_!'._) :::3%+1. 1 - 211 Calcolarequindiy(O)ey(- 1).(Semplificareleespressioniottenule).

tz :S: 2èequivalentea :i: :S: 2(2-x).

34.*

..;;=I :S: 2 è equivalen1ea (z -

1)2 :S: 4.

39.*

LadisequazioM: l:z- l l:S: 2èequivalentea - 2:S::z: - 1 :S: 2.

40.*

Ladisequazione ';i :S:0 hapersoluzioni03

'

i+ h :S: z sf ... +kir, k eZ.

x> lo~( ~} -;/

f+ halechepuò

ei.scrc vcrainqualchecasoefalsainqualchecaso). e.

Vtr0. lneffcnipcrroncludcrcchelapèfa!sa èsufficientcl.a prim11de lleduecosc:

upcrdisc~un1riangolorcttangolocheoontialaproprit1àdiAnniblilc.

f Falso. Corru: !i è visto, rispondere alle domaocle pce0, 0 .r 1

(a) 1.3-0.

o.

l.31.

o.

Falso; Falso;

b.

b.

Vero; Vero;

c.

falso;

Vero;

d d

Falso;

l.32.

o. b. c.

d e.

13, +oo) (2, 1r] {-oo, - 2)Ul2, + oo) [ -3,3] (O, l]U(2, +oo)

( 1 + ~~1i - 2i\

c. d

I :O, quindi

2·

l:x1;

(b) xtan 3x; (e) :t: +2:r2;

(d ) r r : (e) sin(.rl);

2";:>:8;x;:>: lo828= 3.

lx-41,,.0,:t: ,,. 4.

Enmp io 2.2. Funzioni pari o dbpari. Dire se le seguenti funzion i soao pari, dispari,o nessunadelle duecose: (a)

- 8~0

L'argomento del logaritmo dev'essere positivo; poiché sempre ;:>:O,è sufficiente c hicderechc sia

L'ultimacondizioneinglobagiàquella :r# ki equindidàl'insiemecereato. Siconfrontinogliescmpi(c)e(d): il diversoordineincuisooocomposte tra toro lefunzionilog eianportaaduerunzionicon insiemidi definizionedivers i.

l'argomento~

lx - 4!,

che ~

(f) 3.r,

(a ) Perappl icaroladefinizio nedifunzionepariodispari, calco liamo / (-:t:) = i + ~:,.,)2 = - I

:x

1

= - / (:t:),

Cap. 2. Funzionidiunavariabile

Cap. 2. Par. 2.2. Funzioni composte e proprietà elementari delle funzioni

quindi f è dispari. Oppure, più sc~maiicarnente: il numeratore è dispari; il denominatore è pari; i/ quo:ieme (o prodo110} di u11ajunzio11e diJpari e u1w pari è dispari (ngofa dei Jegni}, quindi la funzione è dispari. (b) Ragionandocomesopra, 3

3

/ (-z) = (-z)[lan(-z)] = -zl-tanz] = -z.

(-tan3 x)

=

ztan 3 z

/(-z)=-x+2z2 ,

che non è né / (::) né - / (x), quindi f non è né pari né dispari. Più schemalicamente: la somma di una fu11:io11e pari e una diJpari i11 generale 11011 t néparìnédi.Jpari. (d)

/( -x) =

r !-

2

)'""

r~· = / (z),

quindi/èpari.Schematicamente:Lafunzione x 2 (equindi-xl )èpari;anchese g(t)=2* non è né pari né dispari , poiché la composizione di una funzione qualsiasiconunafunzioncparièpari,/ è pari. (e)

/(- z) = sin [(-z) 3j = sin(-x 3 ) = -sin(z 3 ) = - / (x),

quindi /èdispari.Schematicamente:r3èdispari,sintèdispari,lacomposizione didue funziontdisparièdispari.

(/)

f (-x) =

E•

comesivede dalleuguaglianze:

= / (z),

perciò / è pari. Oppure, più schematicamente: taro: è dispari, una sua potenza a esponente dispari è di spari, quindi tan3 x è di spari; la funzione z è dispari, il prodottodiduefunzionidisparièpari(regoladeisegni),quindi/èpari (e)

se / (z) ha periodoT, allora / (wx) ha periodo

59

(b) Poichésin 2zè1r-periodica,lostessovaleperlacomposta r?-'•. (e) Poiché sin4z ha periodo =~ e -5cos6;r ha periodo 3f: = la funzione sin4x - 5cos6x ha per periodo il minimo comun multiplo (rea le) tra ~ e i• che è ir.lna hreparole:irèilminimonumerorealepositivoper cuisiha:

2f

i•

"=n2 = m3 per opportuni interi positivi n, m (in quesco caso. n = 2, m = 3). (d ) Poiché sin2x ha periodo = 1' e cos?Tx ha periodo -2; = 2, la funzione sin(2x) · cos(7rz) dovrebbe a"ere per periodo il minimo comun multiplo (reale) tra 1f e 2, che però 11on esiste, in quanto lf é irrazionale. Dunque la funzione non t periodica.

3f

Ese mpio 2.4. Mo notonia di una fun ziune. Dire se la seguente funzione è monotona in tuno il suo insieme di definizione (specificando se cres.cente o decrescente)oppureno

.]{-'">' - rr

che non è né / (x) né -/{x). quindi / non è né pari né di spari. Più schematicamente: r3 è dispari ma g(t) = 3' non è né pari né dispari; la composta diunafunzionené parinédispariconunadispariingcnera!e11011ènépariné dispari. Esempio 2.J. Period icità d i una fu nzione. Dire se la seguente funzione è periodica o no, e incasoaffermativoqualè il periodo: (a ) cos3:i:; (i.I) e""'i; (e) sin4x - 5cos6:t; {d) sin(2x ) . cos(irz) (a) PoiclH!cos:tè211'·periodica, cos3x è periodica di periodo ~· Ingenerale, perogni w>O.

(d)

1:r;

(e)

t~;r 2 ;

(f)

I ~e"

Si noti come la risposta alla domanda viene data in ciasc un esempio senza disegnare alcun grafico o "studiare" la funzione sistematicamente, ma semplicemente ragionando sulla somma e composizione di funzioni mon()(one, e sulladefinizione difunzioncmonotona. (a) Lcfunzioni3z er3sonociascunacrescentcin R, quindi toèanchelaloro somma, g(x)=3x+x3. Anche La funzione / (t )==2' è crescente in R, per composizionedifunzionierescentilafunzione2:i.+.. ècresccnte.in tunoR L'ultimopassaggiosibasasullasegucn1eosservazio11Cgencrale: se/egsonocrescenti,anche/ogloè.

Cap. 2. Funzioni diuna'o'ariabile

Cap. 2. Par. 2.2. Funzioni comp»te e pl'Oprieta elementari delle funzioni

(a ) Pooiamo

Infatti: "''
O per :z>-1. ne segue che l /( 1 +r) è dc - 1 e per z < - 1 separatamente, ma non è de O. Ne segue che 1/(1 + z1 ) è decrescente per z ;;::: O e crescente per z :s; O. (Si confron1i con rcscmpioprect'dmte). {/) La funlione g(z ) • I +~ ècrescemcin 1un0Redèposi1iva,la funzione g(t) • l / t è decrescente per t >O, quindi la composta g( / (z )) - 1/( 1 + r) è decttset"ntesutut10 R. (Sicon fronti conidueesen:Wprccedcn1i).

=

Esempio 2 ..5. Fu 11rlone l n ~·ersa. Scrivere esplici1amcn1e la funzione in versa della seguentefunzione, precisando ildomin iodcllafunzioneinversa:

(a)

/(z)=~;

(b)

/(z)=e~.

Ora per ricavare z dobbiamo elevare ambo i membri al quadrato, il che però .!i le

o,,;.e.

62

Cap.2. Funzionidi unavariabjle

Cap. 2. Pa r. 2.2. FunziOni composte e proprietà elementari del le funziofli

Esercizi

2.54.

Oettrminare l'insieme di defini:ione delle seguenti funzioni:

2.JJ .•

2.J5.• 2.36.•

2.53.

log(~)

2.3 7.

log(logx)

e:t:i

2.J8.

~

fW!;

2.J9.

Jis:~-·

arcsin( ftli)

2.40.

....,

sin(l+tanf}

Fun::ioni pari e dispari

composizionedifunzionipariodispari. lnognicasellasc rivere"pari", "dispari"o "né pari né dispari":

1;~~

.1/paril/disparil

. gd1span .

.

;~ri.

/pari

/dispari

. ~'~'~""'"~-~-~

2.55.

Dire se la segue/I/e fan::i011e è periodico o no. e in pericdo:

xSltx xCltx C J.

Cap.2.Funzioni dì unaval'iabile

Cap. 2 Par.2.3. 0perazionisulgrafk:ldi funzioni

2.70. no 2.7 1. s~ crescente 2.72. 2.73. si.crescente 2.74. 2.75. Lafunzione2 +e• tcrescentesutuno R epositiva.quindi lafwlzione ~è cresccntcsu1uuo R. tnoltrc'ff;;auumc:valorinell'inlcrv11llo(O,!),sucuilafunzionesint è c!l'scentc. pm:iò la funziooe composla ~ decrescente 11t tutto R. 2.76. no 2.77. sl 2.78. 2.79. 2.80.

si no sl

2.81.

sl

L"insiemc didcfinizioncnondipendcsolodal!acoodizionediesistenu ditany.machl fatto chenclLtfunzionedipartenzaè11 = arc1an (. .. }.eLtfunzionearctanhaimmagine (-j , j ) .

2.8~.

Je' - l

&riviamo

11 =~

eric•viamoanti1uuo e' risolvendolacomeequazionediprimogrado

e' =~ . 3+,

OraperricavarezpaMiamo allo&aritmo,

z = logc3:~) e:i.+e"- 6 = 11

impooendolecondizioni di positività dell'argomento dcl logaritmo, 11< -3,y:> daMo l'insieme di definizione dell"inversa.

-I. che

e"+e'-{ 6+11) • 0

11= lot(2-z)- 1og(z+ I)

Siriconoscechequesta tun"equ;u:ionedi2° gradonell'incognita t?, chept:nantopuòesseu calcolata:

Ques~a

Prima di ricavare z passando 11 logaritmo in base e, imponiamo la condizione -l ± ~ :>O; q11estoponaascartarela soluzionecol segno -. Siriehicdcallon.

c quindiricavareprima

ha senso per - 1 < z < 2. Sono queste wndizioni possiamo riscriverla nella fonna )l = logG :7)

~:>l,c ioè11 >-6 1 g(11) - 1og(- + F)per 11>-6

e poi, risolve ndo l'equazioMdi l " gradoin z. z=

~ :::

definitaperogniy ER.

3 11"'3{aminz)ll +5

2.83. Ponendo ellf)plicandolafunzioneiangenteadamboimembri ricaviamo

1 + 1op: ... tany logz= UUl11-I

che,souolecondizioni -j $

(,Y) 1 $ J puòessen:riso!tacome

Onlricaviamo z pass.andoaltespontnzialc

zue-- 1 per yE

{-i·i)

~~;lafunzioneinversa.ll suo insiemedidefiniziooesiotlitne rr,lvendo le

Cap. 2.Funzionidiunavariabile

Cap. 2. Par. 2.3. 0pera:ionisuigraflcidifunzioni

2.3. Operazioni sui grafici di funzioni

:i:- log ( -1+ ~.

per 11> -3. :i: = (31.i>n u -1. pery .;,ir+ 2J.-ir.

!k>g(y - l ), pery > I

:i: •

f ,/2

• • log(f;,\). per

ìv'è

~ < V< 2

•=(':fl)'

pery < - 1 , y ~

2.101.

.. 1... (: -1)

*'

2,,r,

f. 2. IOJ

log(./3+ 2)

per O"1 - t Oalgraficodi/(z) algraficodi/(z)-1. Traslazione lungol'assey, verso il basso. li punto di intersezione con l'assey torna ad avere quota l, e si è creato un as intotoorizzootale y - 1:

2. y=é•l. Dal graficodif(x) algraficod i / (lxl):

=

ti

5. y = l2e-1%1 _ Dal grafico di / (x) al grafico di l/(:z:)I : il grafico pre

0.2'

.. ,.

U

1

1-•

I

M

)

·!

....

U

1

L.•

I

J.11=~ Dalgraficodi/(z) algrnfico di/(-z): riflessionerispettoall'asse11:

::L

l

li= cos.i:

y'l+;

Sì osservi l"ordinedeipassaggi, inpar1icolareabbiamoprimatrasla1oepoiriflesso.

79

2. y=m(x+!) Dal grafico di /(z) al grafico di/(z +i):n-asluionelwigora.ue z,

m7k L Zl';fl")t . 3.

J1 .. tos(2z+!)

··~.,~

vw 4. 11=3cos(2x+i).

Dal &Jllfttodi/(z ) ~graficodi3/ (z): dilatazionelungot'asse11:

Cap. 2.Funzionidiunavariabile

2. ll 5. siru-+./3cou

Cap.2. Par.2.3.0perazi0nisui graficidi lunziof'1i

2.m. 11og(J +:rJI

Occorreprimausareleidcn1ilàtrigooomctrkheperscri~e~I:

Quc1('Ul(ima forma t più adatla ptrcostruime il grafico a mano.

\j _L .

_,

I Questo procedimen(o~ spiegato in generale in (BPSl j, cap. 2, §3.4

'

'

Cap.2.Par.2.3. 0perazionisuigraficidiluru:ioni

Cap. 2. Funzionidi unavariabile

2. 11= log(l+x) ~1n;~1.,..or~-11 Dal grafico di / (oi:) al gnoficodi / {oi: - 1): 1rasluione versodcstni

~

-l

l

v - - m! ---> ) (-Sn

Pen:iòa. - -oo, per ilteoremasu ll'ari11netizzaziooeparzia le di oo. Successionc aterm inipositivi,applichiamo il cri!eriodel rappono.

a..+ 1 2H1(n + I)! n• 2(n + l)n" -;,;-- (n+ 1r " "N-(n+ 1r .. 1

= n(3+s inn) ( ~ -•"' -""") - - vn e (3+ sinn}'.'>-2yn e (pen: M 3 + sinn pcr la gerarçhiadegliinfinìti,inquanto (3/ e)> J. ln1 hcmativa,lasucccsslone ~ sipo1CVastudiarccolcri1crio delrapporto

3.3?. epcrilcriteriodel confronto,a,.-. O.

(!:!)

""

-.;< I

115

Cap. 3. Limitiecontinuità

3.2. Concetti di base su asintoti , continuità

Par. 3.2Concettidibasesuifimitidifunzioni, asintoti,conlinuit.a

limiti

di funzioni,

Riferimento: librodiiesto [BPSlj,cap.J,§2,§J.J Questo paragrafo riguarda: le varie definizioni di limite di funzione (finito, infinito,alfinito, all' infini to,pere.:cessoeper difeno, destro,s inistro); ilmodoi n cui si dimostra la non esistenza di un limi1e; tadefiniiione di asintotoverti l(equindiqualunque 6)vabcne,ad es.fJ= I.

K:s;

I, qualunque scel ta di

Esercizi

Esempi svolti E.le mpio J.8.

Scrivere la defin i:: ione (mediante e, li, K .. .) dei seguenti limili:

l.72.

Co/colare i Jeguenti limiti, 5e e5/5tono. giustificando il pmcedimemo seguito. Se il limite non esiste. dimostrarlo utili::zando le tecniche illustrate nei pro.uimi esempi. Se il limite è raggiunto per eccesso o per di/elfo, specificare questu informazione. Se il limite indica la presenza di un asintoto ~·erticale o orfr:omale.specificor/Q.

~/(z) =-oo

(•)

lim

~-:too.>

e 1 1~; (b)

lime 1fz;(c) !ime11z'; (d) lim Jog( 2z+l)

..-o

%....()

z-+oo

r+3

...

..~ · ~ ••

Par. 3.2Concettidibasesuilimitidifunzioni, asintoti,continuità

Cap. 3. Limitiecontinuita

120

(a) Per :i: - ±oo si ha ~ ..... o± e quindi (per il limite della funzione composta e la continui tà della furu:ionee lementare e')e 1 1~ ..... J. Pili precisamente, tenendo conio della monotonia della furu:ione esponenzia le si può dire che J!i!;,,/f~ = 1± (perché per t ..... o± e e' - 1±). I..a reua !/ "" l è as intoto orizwntale per ±oo. lrioltre l'in formazione che / (:1:) _, l °' per :1: _, ±oo ci pennette di coriosceredachcparteilgraficodellafunzionc siavvicinaalt'asintoto.La siluazioneèdescriuadalgrafico: :1: .....

Eumpi oJ.9.

(a) z_!!~~=~:~: ; (b) J!~:.,~~ !:::;(c) z_!!~;sin;i;; (d) ~arctan; (a) Per ;i; ..... ±oo, si n;i; e cos:i: non hanrio limite, ma si mantengono limitati, perc iò 3:1: + si nx .. 3::r:(l +ti' ) = ~ 2:i: - cos:i: 2:i:( l -~ ) 2

(I+ie')_~I- ~

2

Not iamo che, a causa dell e osci llazioni delle funzioni tri gonometriche, la funzione non tende a3/ 2r>éperecces.sonéper di feuo. ll graficodcllafunzione inre rseca infinitevol1e rasin1010,comes ivederisol~ndol'equuione

è ( 1 +'i:' ) ~è 2 (b) Per ;i;-O'*'è~ -±oo, quindi

· -~

2

che porta a

el /z_, { ;+oo e quindi rispettivamente. Poiché i due lim iti sono diversi e il rcsroc hiedevadicalco!are il limiteper ::r:--O(e non separaramcnteilimitiper :i:-O"), laconclus ioneècheil limite non esiJ1e. Possiamo comunque di re che :i: =O è asi ntoto ' 'ertica le per :i:-o+ (c) Per ;i;-Oe~ ..... +oo, quindi e1/r - +ooe:i:=Oèasi ntoto verticale. (d) Per :i:-+oo, 2::31 - 2 (come si vede raccogl iendo a numeratore e denominatore le parti principali 2:i:,:i:, rispenivamente), quindi (per lacontinuità dellafunzionee lementarelogl), los(2: : ' ) ..... log2. 3 v = log2èasi n101ooriz.zon1ale per;i; --+oo.

che hnl cinfinitesoluzioni :1:=arc1an(-l)+k1r. llgrafico infanihail seguente aspetto (lo tracciamo per /:i:I > 3 per evidenziare il solo componamento in un intomodiinfinito)

• -

'

.

(b) ln questocasorantoil numcratorequanto il denoininatorc oscillanosenza ammencre Jimire. ti limi1e non esisrc. Per mostrarlo rigorosamente, applichiamo la

·~,,, ~ ••

122

Cap. 3.Limiti econtinuitè

Par. 3.2Concettidlbasesuilimitidifunzionl,aslntoti,contlnuita

dtfini1iorte successiona/e di limitel, esibendo due diverse successioni tcndcmi a +oo, lungo le quali la fun:i:ionetendila !imiti diversi (elostessooccorrefareper -oo).Adesempioper

a.= abbiamo·

/(a.)=

i

+2n7'; b~ = 2n7'

~ ~ :~~g:

:::J

~ ~ ~ = ~;

Esercizi J.80. ~ e l /z

J .88.* !~!sin !

J.8 1.* ~e -lfz'

J.89.

J.82. • ~l_!!\1. ( ~ )

J.90.

J.83.

/ (b,.) = 3 + 2sin(2mr) = 3 +O = 3. 2-cos(2nw) 2 -1 '

."!:'. (;/;'.';i)

J.9 1.

00

Analogamente si mostra che non esis1~~

/(:i:)

considerando le successioni

c.. =i - 2mr; d..= - 2nr. chetendonoa -oo. (e) Per :i: ..... ±oo, si n:i: no11 ammene limite ma si mantiene limitata, mentre o,quindi possiamoscrivere

! .....

J.85.* z'.!.r r. log(logx) J.86. * }~sin ( Jogx)

J.87. ~~sin !

!~arctan! ~:i:an:tan ~

lim l cos l z-±oo z r ~,e"""'/z

J.8-4.* ;'..'"?.e-*1

pertamononesis1~~/ (:i:).

123

J .9J. ~'.rooe.-..Z/z J.94.

lim eu..z z-f' ~~llj log( l og2 (tan:i: ))

1;sin:i:I~~ . . . o eapplicandoilteoremadelconfronioconcluderecheil limìtecer\:aloèO.Si noti chenonsi puòdireche il limite sia O+ oo- perché!afun:i:ionepresentainfinile oscilla:i:ioni di segno. La retla v = O è asintoto ori1.zontale per :i: ..... ±oo, e anche inqucs1ocasoilgraficodellafunzioneloa11raversainfinì1e vol!e. (d) Per :i: ..... o± si ha ! ..... ±oo, quindi (limite della funzione composta) arctan!-->±!-

IY.tcsto (BPSl J, cap.3,par.2,0efinizioneJ.8.

m-m - ~ Go

124

Cap.3.UmlliecootinuiUI

Par. 3.2Concettidibasesuilimllidilunzioni,asintoti,continuita

Soluzioni§ 3.2.

:r=

±i; o+;

y = Otasintotoorizzontalcpcrx-+oo

+oo;

:r:Otasintorovenicalc

0;11

J tasintorovenìçalc

:r .. ot ..in!otovenicalc

a:=Otasin11.>1ovenicak:per:r ..... o•

3.69.

' =±f asintotiorizz.pcrz ....,±oo (rispcnivam.)

± !; '"" ±! asimOliorizz.per:i: -±o::i(rispettivam .)

(rispenivammte) l;/K > 036 :l;/:r€R,O < l:rl < 6=> /(z) < -K

:r • Ota.1intoroverticalcper:r-o•

\;/e

>03K >0:1;/:r€R,:r < -K=>O :S /{':r)-30511 >0:1;/z eR,:r > H => /(:r) < -K

l;/c >03l >0:1;/ze R,0< /:r-

li K

Ladefinizionedi,,!!T..,( ~)• 3t:

±oo;

z=OtasintOlovenicalc

,. ... ota.1in101ovenicak: per x-o+ o•;

\i't > 03K >0:\i':rE R,z > K""'

Coosideriamoladi~1110 : \fzER,OO, quindi è pi li povera di informazion i rispcuo a e'- t-z. (Per capire queste affermazion i basta applicare la defini:ione di asintOlico). Infatti, notiamo che per z->O, èanche

Dimostrazionc delleaffennazionipretedentL (a): è un limite notevole ormai familiare. (b):sin:i:+2-2, pereiòsin:i: +2-2. (e)

(2.z3+2% 2 -z)=2z'(1+; -~) -2x 3

per:i: __, oo, perché (1 + ~ -

(d)

ma da questo mm poniamo dedurre ez- J ,.,.z2 (falso!!!).

S,)

(zxs + 2.t" 2- z)

__, I perz __, ±oo.

= - z( l - 2x -

2x 2)"'

-z

per z-O,perchè(l-21"-2:.e1)__, J,perz -0.

In si ntesi: 11on i leci10 por lare u1111 quomità da w1a porle o/l'altro llel segno di "' combiandolo di segno, come si farebbe con 11n'uguogUa11:0. Come vedremo ancora.q uesto fatto è legatoalproblcmadcll'uso del sim bolo di asintotico nelle

(e)

5.x' 3log~z) (5x'+2'"+31og4z ) ,.. iz ( I+~ +~

per 2->oo, perché

( 1 +~+~)-1

,.,.z
..

o

o

±oo

o

2

'"'

Osservazionc 3.J.Parteprindpa le diun polinomi o.ldueescmpiprei:edcnti(c) e (d) hanno un significato genera le, in quanto illuslrall(l il metodo co n cui s i detcnnina tapartcprinc ipal cd iun polinornio,per :i:-->Ooperz-< ±oo. ln (c)si determin a la parte principale di un infini10; in (d) la parte principale di un injìnilesilflO: inentrambiicasilaparte principale è quclla"piùgrande", marncntrc per :i: _. ±oo è "più grande" la potenza di esponente moggiore, per :i: __, O è "pili grande" la pote nza di espone,,/e minore. Tutto ciò non vale solo per polinomi (sonune di po1enze intere), ma anche per somme di potenze a esponenti reali qualunque, come si vedrà in esempi successivi. Jn modo analogo, la somma di infinitìd itipodiverso,comein (e),èasintoticaalterm inecheèinfinitodiordine superiore.

r.n~~ 10J .12 . ~:em1edi ... (b) (e) (d)

lQuesta noo èovviamenteuna definitione verae propria, inquamo non è possibile precis;irc rigorosamente cosa sign ifichi elle una funzione~ piit umplice di un'altB, e tantomeno cop significhi che~ "la più semplice possibile"; tuttavia, con wi po' dì buon sensa,èfacile~red'accordosulfanoche,adescmpio,:i: siapiùsemplicedi ' in:i:,o 2~ siapiùsemplicedi(2.Tl+2~1 -:r)

2:i: +3~ 2x+3~ ,/i-~

per x-> ..

è ...

o•

2.fi

o•

Questi esempi hanno a che fare con situazioni in cui vogliamo calcolare la parte principale di una somma di infinitesimi o infiniti in cui non c'è un singolo addendoche"pesapi ùdegli altri"(comeaccadeneicasi (1:), (d),(e) dell'esempio

134

Cap.3. Limitiecontinuità

Par. 3.3 Calcolo del limiti mediante stime asintotiche e limiti notevoli

precedente),macisonopiùaddendidiugualpeso(cioè infi nitesimioinfinitidello stessoordine),checoncorronoa formare la parte principale. (a) Poiché per z __,o+ si ha z + x 2 "' z, e quind i ~"' ,/X. ci accorgjamocheidueaddcndi.,(i,~sonoinfinitesimiddlo stesso ordinc. Se raccogliamo dalla somma la parte princi pale di ciaseooo, otleniamo

(1-~)"'-~xpcrz - O, econcludettche

.fi + v';-+;2 ... IX( i +~)"' 2/X perdu!(t+~-2perz-o+.

(b)Per:r- +oo siha~-..JXi=x,pereiòraccogliamo

2z+3~ = x(2+3f-=1} ,._,5z perehé(2+3fl+D-s per x-+oo. (c)Per z __, -oosi ha ~"'

../%2 = -:r, perciò raccogliamo

2x +3~=z (2 - 3N '""-x perché(2 - 3fl+D- - 1perx-+oo. (d) Questo esempio sembra simile ad (a), ma se procediamo come sopra, sc rivendo

citroviamoa primavistainunvico locieco,perehéora(l -~--O,enon possiamo concludere che /X(l - ~ ,.,Q! (Si ricordi che la relazione / (x),..,Oè privadisenso,poichésignificherebbe.l!P-1). Questo è un caso in cui i due addendi non solosonoinlìnitesimi dello stesso ordine, ma hanno parti principali opposte. E' il fenomeno della ca11ce/lazirme delle pcrtiprincipa/iinunascmma.Quandociòaccadeingenera lenon èsufficienteun passaggio puramente algebrico per determinare la pane principale, ma occorre sfruttare qualche limite notevole. In questo caso si trana di sfrunare la stima asintotica 4

Esempio J.13. Lapar1eprincipaledi ... pcr z - ... è... (a) log2(:r+ 3) +oo 1081z (b) (zs+2x1 )Jog,(z+3) +oo :r3tog,z (•)

10111 (.:1 + 3) = los2(

Nell'ul1imo passaggio abbiamo usato un fatto generale: se /+g-/;perconvincersene,bastaraccog!iere/:

/+g =/·(1+7)-1

perché

f ..... ±oo e g è limitata,

(1+7)-1.

(I)

Osstrvazio ne 3.4. Parte pri ncipale di un logaritm o. L'esempio (a) ha un significato più generate, in quanto mostro. come determinare la parte principale di un logaritmo quando il suo argomento tende a o+o +oo. Sia / (z),...., g(x) per X _, xo, e supponiamo che g(x) tenda a o+oppure a +oo, per x _, xo. (Quindi log,,g(z), con o > I, tende, rispenivamente, a -oo o +oo). Allora possiamo scrivere Jog, / (z) = log,,(g(z) ·

(1-"1+Z) 'Per laverità,quu w stimaasintotica,chesegue daunlimiteno1evoledcdouo dalla dcflnizionedi e, sipuòstabilireancllepcrviapuramentealgcbrica.conipass;iggi;

x(I +; )) =- log2 z + log,( I+ ; ) "' log2x

per z __, +oo, perché log2x - +oo mentre 1081(1 + 3/x) ...... O.

~~=D = log.g(x)+ log,,~ "' log,,g(z)

(::Jt:!) =-1+71 r --~X

masolitamente1nquest1casioonci sonoscorcialoiealg

pcro.-o.

he.

·~·· ~ ••

136

Cap.3. LimitiecontinuM

perché

log. ~ _,O, in quanto

Par. 3.3 Calcolo dei limiti

Wi . . .

I, mentre log.g(:i:) _. :i=oo,

perg (x) tendente a Qi" oppurea +oo,rispett ivamente. Si puòquindicoricludere

'"'

st l'argomemo del fogari1mo è un i1ifini10 o un infinitesimo (positivo!), la paru principale del logarirmo è il logori/mo dello parre principale.

rer completare il quadro, ricordiamo come si detennina invKe la pane principale del logaritmo quando t'argomento tende a l , e quindi il logaritmo è infinitesimo.Abbiamovis1ochese t(x) --O per x-- x 0 ,a!lora log( l +t(;r)),..,t(x) per x_, :to.

med~nte

stime asinto!M;he e limiti notevoli

137

(con le tecnic he illustrate in precedenza), ovvero abbiamo detem1inato stime asintotiche dei singol i /attori; laconcl11sionesegueperchél'asintoticosiconserva per prodotti. (}!j.., rvuiune 3 .5. Prutluttu tli infiniti tli li pu di n•no. A questo punto ci si può chiedere se nel l'esempio (b) la funzione r 1087X sia effettivamente la più semplice funzione asintotica a quella di parteriza. Ad esempio, poiché sappiamo clic per x--. +oo l'infi n ito r'è diordinesuperiorerispe1toalo87 x, possiarnodirechex 3loS:i:l: "":i:'? Larispostaènegaliva,comesivedesubi1oapplicandoladefinizionediasintotico: per :i: __, +oo,

x31:~x

"" log:i:i: ...... +oo

Ponendo j (x)"" I + t(;r) otteniamo che: se / (:e) -- J per x ...... ;r0 , allora mentre, per va lere larelai.iO!l'+-z/z +oo c'+z Infatti,

__, ... è.,.

Abbiamousa1olestime perché elfz-o. Si noti che l'espressione trovata non può enere ulteriormente semplificata. In altre parole,

·~,,, · ~ ••

138

P11r. 3.3 C11lcolo dei limiti mediante stime asintotiche e tim~i notevoli

Cap. 3. Limitiecontinuita

an O, altrimenti il limite è banale.

per lagerarchìadegliinfi niti. (b) Per x _,. + oo, x: log( l + x:1)"' x:log (x ') = 2x: logx, che è un infinito di ordine inferiore rispetto a 3% 21ogx, quindi Num. "' 3x' logz A denom inatore, x: 42- :r ..... O, perciò

zl~.x:Pl logx: l = 0

ponendo x:z: l / t per il confron10 tra logaritmi e potenze all'infinito (Proposizione 3.1). Per il secondo limite, supponiamo ora fJ > O, altrimenti il lim ite è banale. 11- 1/ ,,0

quindi

/ (x: )-

cheèillimitccercato

ponendo :r- 1/t

La Proposiziooe precedente mostra come confrontare logaritmi, potenze cd esponenzialia +oo. Cisipuòchiederescvalganorisulta tianaloghinell'origine.La domanda va però formu lata Ìn modo più preciso, in quanto, pe r X --> Q+, logx -->-oo; 7' -0 {/J:>O); bz-1. Pertanto, il quoziente tra due di queste tre funzioni oon dà fom1e d i indeterminazione (il confronto è banale). Sono però forme di indeterminazione intercssantiqucllc contcnutenellaprossima· ProposWo ne J.2. !imì1i;

}~-;r=

~~:: = 3,

Grn rc hia deg li infiniti per z ..... o+. Vulgo1w i segueiilì ::. r"l logx:/" = O

per og11i /3 > O. a E R (si 0$Servi che il limite dQ utwforma di inde1erminazio11e [O· oo] sea >O: pera :S: Onon c 'è nessunaformadiilldeterminaziont};

~. b-;"° :: O; z~~ x:Pbl/,,O =o +oo per og11i b > l , et > O,fJ E R (:si osservi che i limiti dmmo form e di i11determina.iont !O/O], [O · oo]. r-ispellivumenle. se fJ > O, men/re se fJ :S: O non c'è nessuna/orma di illde1erminazio11e)

ponendot""' Y per ilconfromotrapotenzc c esponenzialiall'ìnfinito(Proposizione).l). Jnfine, il limite :r~ :rfllJL/,,o è il limite del reciproco rispetto al precedente, quindi dà +oo. Latccnica d icambiamentodivariabileinsiemeadopportunipassaggialgebrici p11òanc heservireperconfron1aretraloroinfinitiditipodiversorispenoagli infiniti "sta ndard" da ti da logaritmi, po1enz.e cd esponenziali. Si considerino i prossimi esempi · EsemploJ. 16.Calcolare i seguentilimiti: (a)

z~~lo~I~:); (b) :r~~~ -

(a)Ponendot - logxsiha: lirn Jog' (logx) z-+c: 2logx

=lim 1-+oo

log1t =O 2!

peril confrontotra logaritmiepotenze(Proposizione3.I ).

Cap. 3. Limi~econtinuftà

144

s~me

Par. 3.3 Calcokl dei limiti mediante

asintotiche e limiti notevoli

sin(2x + i}sin1(3x) ... sin(f){3x)~ (cos(2x)- l )cos(3x) -H2:i:)1 . 1

(b)

D'altro canto per la Proposizione 3.1 è xlOS:i:z: -:z;2 _, -oo, quindi

-==

1 "7;9:i: == _ -2x1

g

2J2

equestoèil limitecercato. EH mpio J . 18. Limiti notevoli.

(a)

lim

z-+oc

Calcol~

i seguemi limiti:

x2log[,,.( 2 '", )]; 1- z

(:i: :.-~ 2+x 2+ l)"', 3

(b)

lim z-+oc

3.3.C. Calcolo di limiti mediante limiti notevoli e stime asintotiche (a) Poiché

Esempi svolti Ese mpio J.1 1. Limiti notevoli. Calcolare i seguenti limiti·

( ''") ~

1="%2 . ('+")

-- o,sihacos

_, I.

Possiamoquindiusarelasti maasin1oticadel logaritmoquandoilsuoargomento tende a l (v.box(3 .lll)),eabbiamo (a) Sl imiamo questi fattori mediante le stime asintotiche dedotte dai limiti notevo li: (cos(fi} - 1) ...

- ~(~ 2 ;

Sh (2:z: ),.., 2:z:.

(j;- x) - j;

Stim iamo inoltre

(parte principa le della somma di infinitesim i di ordine diverso). Infine, poiché Ch (3:z:) _, I , è sempl icementeCh(3z) ... I. Quindi: / (:z: ) ...

-l :z;l~:- :z;l/ 3 = -1; "'- ~

e i llimiteè -~ .

(b) I due fauori s in (2x +i) e cos(3z ) tendono a una costante non nulla, perciò si stimano semplicemente con il loro limite. Per gli altri due fattori sin 2(3x) e (cos (2:z; ) - l ) usiamo le stime dedone da i lim iti notevoli e abbiamo:

sfnmando ora la stima asi ntoiica del coseno quando il suo argomento è infinitesimo

- ·'. (- '( ~)')- _!, •. :i;2 _1_ _ _ !2· 2 l - :t1 2 Il lim ite è- ! Si presti attenzione a!l'ON/i11e in cui abbiamo eseguito le due st ime, sul logaritmo e sul coseno: nell'anati:aareuna funzionecomposla, part iamo dalla più es1emo(inquestocasoil logaritmo). (b) Not iamo che per :z; ..... +oo, { ~ ) ..... J, me ntre 3:z:1 _, I, quindi abbiamo una forma di indetenninaiione (100 ], che ci ricorda il limite che definisce il numero e. Dovremo ricondun::i ai limiti notevol i legati ad e. Cominciarnoariscri•·erelafunzioncnellafonnaseguente

146

Cap. 3. Limiliecontlnuit

~~(2~:~:~ l)z

J.178.

z-+o

,!!~.(~+•)•

J.180.

:-3I;

%~:l1.. {idem)

Jim( ~-•)

J. 181.

~~:i:los( 1 ~:::2 )

J.182.

3.170.

3.1 71.

sm(l /z)

z--t+4l)] ("'+'""') 2z+5

z-+o

3.175.• J .187.•

.~::,,x{ + 16il - 2 - ::i:)· (x+ logx)

J.197. *

J.198 ••

.~::..·"{+.:){•''' - i•' - J.i}

,.,!!'!,[(n3 +5 n-1)

113

)

n) · lo;n

3 lim n (sinn) -sin1 ( .!.) -n

J.205.•

J. 196••

n'+ log'n

J.202.*

J.204.*

J.19!!.*

sin~

(

,, _ _, n. \jn2 + log2 n · login

lim ,(.1~)_,,)

·--

(V'n•+Jn'-n+l-n)

- nJ 1og(2+e")

.~~-e~l- 1)i· + "'"'1 r'+4 ) lim (::i:+ 2lop:)log ( 23---;i ::i:+

~-+o

J.207 .•

!~(l + sin(3%))~

J.208.•

}~.(1-cosx) 11 iop

J.209.*

}~. ;~8~ c:s:;!

J.210.•

_i;d~ -,)log~'+ 1)

1

w

155

156

Par. 3.3 Caloolo dei Nmiti mediante stime asintotiche e limiti notevoli

Cap. 3. Limitieoontinuittl

Soluzioni§ 3.3.

J.211.*

J.97.

falso

3%1/J

falso

-'l:rf/J

falso falso falso

per:r~

J.98.

J.212.*

J.213••

J.2 1.

f%llog("

1 1 ,.;:;

)- lxl["

1 1 ,.;:; - 1]

•lxi(~~~)-~·

Perciò

Perciòpcr ilcriteriodel coofromo cilcriteriodelconfronto asin!Olico,illimiteè O

i'-2%

7+1 -->

l,pm:iò

3xlog(:1 ~ 21")-3x("~~21" -1) = Jx(-,.;:~ 1)-. 3,,(-~) .. -6 Pcn:iòillimitcccrta!o èc-1 .

log1:i- 3log:i

Lo&;1 x

log(l+z)+(I + 2logz)l - .flog1.: -

I

4·

·~·· ~ ••

160

Cap.

3. LimiUecon~nuila

Par. 3.3 Calcolo dei limiti mediante stime asintotiche e limiti notevol i

161

quindialog(logx).Ptn:Ki /(z)-.

~;:;~i=(lo';)1/• -.o

Poicht ~-. J,

~-mt:2 .. .ìtii .. ! .___!__ .... ! '2z

Pen:iòi!limitet

2z

'2z

2 1 + '2z

~

conlh>nto di infiniti, e il limite t uro

2·

Per confrontare i due infiniti risçriviamoli enlnlllbi usando l'identità:

,fi. (lo&zr= e........ ; z' (!oaz) 2 (dow / > g significa "/ t infinito di on:line superiorerispeuoag"),amaggiorrt1gionet zloglop>( logz}1,quindi

e(1opJ'>e•loP>P e illimi1ecerc.atoé O

pen:iòil limitetzno(JXri!criteriodelconfrontoedel w nfrornoasintOlico)

Poicht lff:- 3, J. 161.

•Q- 1) .. .,t11 . .!..2..= _!__,0. ( ~-z•t:l) =ztlt ( yi-t-;; 3 z2 3:r:2/J - 2; - '2; 0

J.164.

-!

J. 168. 3;0;-t-oo

±oo

J. 16?.

Pn- z-o+,e-• - l,zlog:r -O pt"rc iò C'+zlog.r-. I e

~ -::,ell• __, +oo

o

e-•+zlogz

~u 1'~=[t =~]"",!~f =4-«:>

pen:!lt: +oo;o+,

'2;+00

rispt"ltivam.,JXr z_,O~

JXrla germ:hiadegliinfini1i. J. 171.

J. 17J.

E'un.afonnadi indelenninazione [oo/oof. Numeratore -(logz)1f.I

perchéponendo loiµ =tsi1Lalogt + l 111 -

t 1fi(&eG1Dinatore

1

3:

- 1) "' ,,2

1

-;

/(:r)-;· T "' ~ ll limitecercatoè ~ .

/ (:r) ..

3,,(2"';,,; :; l -1) .. 3i: C:1-+34) . . . ~ -

Dunquc il limitecercatoè: e•/1. J. 185.

J. 189.

{..yi+ log1z) ( ,Yz1 + sz- 1-:c2i3) ..

,!ur..,(::~~::! f+ ' "' Jl"'I

= v•r;~ ..,;11

,y;:(,Y~+S:i- I -:r111) •

' z' '. z zl') -.z.-·-=(FS ' l +---- 1

( S::~3:~+::: ) • •

e....

3

3

{~)=~(.)

''""'( ~) - • .

h(:rl--z (i!;:~~~+:~:- 1) =z( ~0~:~;~~ ) .. ~~ ,,,_ ~ 1

J. 186.

Q.lindi

/ (z)_.e-111.

[iai( ~~2::n J ( ~;+~) -(~~2zz:41 _ i)(~) -

··-·· - ~

..

164

Par. J_J Calcolo dei

Cap. 3. Umrtieconlinuitll

~miti

mediante

s~me

asintotiche e

limi~

notevoli

/(z)-z( ~:r.'+ !6xS- 2-z) =

quindiperi!teorcmadelconfron!o,

'Y + loglzl+e 11" -1o&lzl {perch;2•-o;e11•-1);

~-z=z (-R - 1),.. -2z-+oo; /{z),.. - 2zlog/zl-++. Si presti anenz.ionc al piSSaggio

..(;i= -z, perclM! z -

"~ -2,

-oo

in particolare la 5u«:n:iior>e è convergente.

/(z) =e(ulop-J.1ot(:?.::').e"l•l.

quindi

/(z)

"'~[~~ ~ -1]- z:~ 5 -

7

,..n{H &-t +;!:)J,..n2·i·~ = ~. J!timitcè~.

't1vaW

165

166

Cap. 3.

Par. 3.3 Calcolo

Limlti e conlinu~:ll

Quindi

perciò

d~

limiti mediante stime asintotiche e limiti notevoli

/ {r)-

~ ·z • ~

e il

limite ~~-

Poic~~ - L,

1°'(2_z;::r)- 2 ~::.:l- 1 - 2-h::r-7 - ~

pHlageran::hiadegliintiniti.

~, (J1 +'"n"" -1)

--'"--- (""') -'"-. ---'---+oo !of'n

2n

loi:"n - 21ogn

(z+ 21oç)-:z: ·

/(z)-z ·~ = ;-o, e illimile ~O.

quindi

ln,,l :S •1sin 2 (;)-n·~= ~ -o, (l

+ sin(3.i:))~

., .~'°ll(IH..C:ls)); é'l1)

eperilcrit«iodelconfromo,0 0 -0.

h(z)-; ·Sin(h)-

~

= 3,

quindi

h(::i:)-~= 2 logz~log2-2,

3.204. quindi ell(6 l-e2.

/(z)-~~~ - ~ -~ Poich~z-+oo,

a. -~.,. ...

~-·,·(R- ,) -· H-~) - -,;,

5 eillimite«'f(:atot5/ 3

Poich~~-o,

••(•' + ')- ''•(•') . "·

.(!$)_ 1 _~_.!!. _ .! z+5z2 5z2 5z men~,perlagerarchiadcgliin tin iti,

quindi

/(:z;)--~·z2=-~·

168

Par. 3.4Applicazioniaglistudidifunzi0ne

Cap. 3. Limitiecontinuità

3.4. Applicazioni agli studi di funzione 2 {log(:r2 + 3:i: - 1) - 21og:i:} = !og("'

+:;- 1) ~ "'' + ~:r- 1 - I =

Vedremo ora !'applicazione de l calcolo dei limiti e delle stime asin1otiche allo st udio del grafico di una funzione. Cominceremo con alcu ni esempi 1110110 semplici che illustrano l'idea di base.Po i passeremoacsempipiil claborati,primafissando l'anenzione su unaspcnopervolca(cioèlostudiodclgraficodiunafunzione nell'intornodiunpuntoprefissato,oppurelostudiodelgraficodiunafunzione all'infinico), infinecsegucndodeglis1udidi funzioncincuis iarrivaadeterminare complessivamente il grafico qualitativo della funzione. Il termine "quali1.a1ivo" in questo contesto significa che non otteniamo certe infonnazion i quan1i101/ve (come ascissa e ordinata de i punti di massimo, minimo, flesso) per le qua li tipicamente si utilizza il calcolo differenziale. Gli studi di funzione che util izzano il calcolo differenzialcsivcdranno nelprossimocapì1olo.

3.4.A. Grafici qualitativi elementari Esempi svolti

Num. = ?'r+ 20:+ 4-z=

Dcn.~;.

quindi

/(:r;),., ;;·~ = k

Po!lO(discontinuitàeliminabilc). Pcr :c __. ±oo, / (:e)__. I (asi ntotoorinontalc) Al finito./ ha infini te oscillazioni vicinoal l'origine. lnp.artieolare, / (:e) •O

jle1so a 1ange111e 1·erticale. di diJcominuità

~ ~

JO/to. di di1contim1i1à eliminabile.

Esempi svolti EH mp io J.23.

(·V'=i- 1)'

per ~=h,:cci;. Per comprendere meglio il comport.emento vicino a O si può osservare che

l/ (:c)j :5 lzl. il che mostra che it grafico è compreso tra quello delle due rette ±:c. Grafico:

Il

asin10101'trticale •.. ).

/ (x) = log(l + x) · lopPoich~

:to=

1

.y;=J" _, O,

Inoltre,

log(l +:e)· loy:"" log2 · logx "' log2 · (:e - I); perciò

Perciòin :c= J lafunzionehaunpuntodiflessoata ngentevertica!e(ascendente):

Esercizi Si chiede di srudiore /e funzioni uguellli come 11egfi esempi JWJ/li. J.216.

•' l + Vale la stessa osservazione fana alla fine delresercizio precedente. Si noti il diverso modo in cui nei due esempi la stima mostra l'esistenza di un punto angoloso. In quest'esempio, atrorigine del punto angoloso c'è la presenza di un valore assoluto nella funziOl\e; nell'esempiopre«dente il punto angoloso nasceva dalprodottodiunafunzionechetendeazerolineannenteconun'altraehetcndea duelimitidiversidadestraedasinistra.

(x - 1) 1/S

- 2(z - 1)2/S per z - l -

xo = I

176

Cap.3.limitiecontjnuilà

Par. 3.4Applicazioniaglistudidifunzione

quind ix= I è unpuntod i flessoatangcnteverticale,ascendente.

3.231.*

~ y--,-,

3.232.*

3.233.*

Esercizi

/ (:t:) =

(;i:l +

1 (logx) 2) :y;:=j

/ (:t:) = cos(u)· logx

Xo =

.,,;,[•(z- t)j

/ (x) =

(eVi - 1)1cos(u ) cos(.yi) -1

Dare ima stima asimotica della funzione /(:i:) per z _, :ro e tracciare, di cotiSeguenza, il grafico q1.aUtativo di / (-.i) ;,,"" intort1a di %= x 0. Classificare questo pu111a. come nei precedenti esempi svolti.

3.234.*

f (x ) = e~(l - cou)

/(x)=~

3.235.*

/(•)~~

3.224.*

Xo = l

%-

Zo=O

:ro=O

smTz· tana:

Xo = I

l

Xo= I

2

3.225.* J.226.*

3.227 .•

/ (:t:) =

fi~:g~l/ li

/(z) =llos(z+ l )) ·~ / (:t:) =

s'i:(~s~n;)

J.228. *

/ (z) = siru: · .y;=I log{ t +.y;)

J.2 29. *

/{z) = .;/log{l + :i:l) log(;i; + 2)5mx

J.2JO.*

/(z) = log(2;i;l- 1)

2z:

~

xo =O

Xo=O

l.236.*

3.237.*

f (x) = (~ - l)sin (x +2:i:11')

:i:o=O

arctan(Jz)

/ (x) = log(l +

~s·(~:i:l(;z!/a + 3:i:)

:ro =0

J.238.* -.i o= I

~)cos(u)los( 1 +1 2:~5"' ) 2

f (x )= sin(x -

xo=O

:i:o=O

;i;o =O zo=O Xo = I

"'\.

t1vaW

•~m~ GO

178

Par.3.4Applicazioniagli5100idi funzione

Cap.3. Umitiecontinurtà

3.241.*

/ (x) =

(log(2~ 'e2-e

:ro = I

3.242.*

3.243.*

3.248.Per :r->O,/{:r )=~ èasintoticaa: ... :ro= 1

/ (z)

= log(l ~~:ll.JiiT

3.244.Perz ....... l,/(r) =~ èasin toticaa · .. (scrivere un'espressione dcl tipo c(z - I )" ). Di conseguenza x • l per/ è· O angoloso O di cuspide O dillessoatangenteverticate O dillessoa1ang.orizzontale O diasintotovenica le O didiscontinuità1salto

~

èasin1ocicaa: .. 3.245.Per :e - 0,/(:r) • (scrivcreun'espressionedeltipo cz" ). Diconseguenza,:r zz Oper/è: O ango loso O dicuspide O dillessoatangentevertìcale O dillessoatang.oriz:zootalc O diasin!otoverticale O didiscon1inuitàasalto

J.246.Per :e->O,/(:e) = ~ èasintoticaa: .. (scrivereun'esprcssionedeltipoc:r"). Diconseguenza,x = O per /è: O angoloso O dicuspide O di !lesso a umgente verticale O di minimo O diasintotovenieale O didiscontinui1àa salto J.247.Per r-O,f(x )=~ èasin toticaa: ..

{scrivere un'espressionedeltipo cx"). Oieonseguenza, r"' O per /è: Dlconseguen1..a,z=O per / è un punto· O angoloso O di cuspide O di llessoatangenteveriicale O dillessoatang.oriz:zootale O di asintoto vcrticale O didisoontinuità a salto

(scri vere una funzione del tipo cx"). Di conseguenza, x = O per/ è: O angoloso O di cuspide O diflessoaumgenteverticale O dillessoatangenteorizzontale O diasintotoverticalc O didiscontinuitàasalto 3.249. Pcrz-0, / (r )=~èas intotica a: .. (scrivereunafunzionedeltipocx").Diconseguenza,r=Oper /è O angoloso O dicuspide O dillessoatangenteverticale O dillessoatangenteorizzontale O diasintotovenicalc O didiscontinuitàasalto

3.250.Per :r-O,/(z )=~ èasintocicaa: .. (scrivereunafunzionede!!ipocx"). Diconsegucnza,x=O per /è: O angoloso O dillessoatangentevcrticale O diasintocoverticale 3.25 1. Per x _, 0,/(r)

=

1

O

O O

d!cuspide dillessoaumgenteorizzontale didiscontinuitàasalto

'"" 1 ~~+l~ll è asintotica a:.

1

{scrivereunafunzione deltipocz"). Di coosegueru:a, r•O per /è O angoloso O dillessoatangentevenicale O diasintotoverticale

O

O O

dicuspide dillessoaiangcntcorizzontaJe didiscontinuitàasal to

J..252. Per z-.0,/ (z)=~èasintoticaa: ... (scri vereunafunziooodeltipocz"). Dioonseguenza, x=O per /è: O angoloso O dilles.soatangentevertitale O diasintotovertic1le

O O

O

dicuspide dillessoatangenteorizzontale didiscontìnul!àasallo

3.253. Perx-.O , / ( x )=~ èasintotica 1:. (scrivereunafunziooodcltipocx" ). Diconseguenza.z = Oper /è· O ango loso

O

dk'uspide

180

Par. 3.4Applicazioniaglislvdidifunzione

Cap.3. limitìecontinuita

O O

diflessoatangentevcnicale diasintoto\'erticale

O

O

diflessoatangenteorizzontale didiscontinuitàa$11lto

l.254. Per x ..... O, / (x )"' 1 ~-?H'°?t~"!! · Mil è asintotica a:.. Di conseguenza, x = O per/ è: angoloso di flessoatangenteverticalc di asintotovcnicalc

O O

O

O O O

di cuspide diflessoatangentcorizzontalc didi scontinuit.i asalto

l. 255. Perz - O, / (x ) = 2'~~~1zn è asintotica a: .. (scrivcreunafunzionedel1ipo cx" ). Oiconseguenza,z =O per /è: O angoloso O dicuspide O di flessoatangentevenicale O diflessoa langcnteorizzonta le O di asintotoverticalc O didiscorui nuità a satto

O diflessoatang.venicaleascendente ascendente O diflessoatang.verticaledtsccndente discendente O diasintotovcrticale

O O O

181

di flcs.soatang.orizzonta!e diflcs.soatang.orizzonta!e didiscontinuitàasalto

3.4.C. Studio all'infinito e ricerca degli asintoti obi/qui

Ricordiamodie una retta y = mx + q (m FO, q E R) si diceasin101oob/iquoper /,pcrz-- +oo (oa -oo),se

J!%.,[f (;r) - (nu: + q)J = o ossiaseladistanutra laretta eilgraficodella funzione tendeazeroall'infinito. Unasintotooòliq uoesiliteseesolo se sonosodd isfane led11c co11dizioni: / (z )- mz per z-+oo pcrqualchem ;/:O, edesiste finito

=

3.256. Per x - O,f(x ) z•"!,Ji;.J( è asi ntotica a: ... (scrivcreunafunzionedeltipo cz" ). Diconsegucnza,z= Oper / è· O angoloso O dicuspide O diflessoatangenteverticale O diflessoa1angente orizzoniale O diasin totoverticale O didiscontinull/la$lll!O l.257. Per x ..... O.f(x) = !~-~/Vi hsimoticu:.. (scrivere unafunzionedel 1ipocz" ) Di conseguenza, z= Oper /è: O angoloso O dicuspide O diflesso atang.vert. ascendenle Q diflessoatarig.orin.ascendente O diflessoatang.vcrt. discendente O di flesso a tang. orizzonta le discendente O diasintotO\"ertic,ale O didiscontinuitàasalto l. 258. Per z._ 0, / (:i:) •~ è as intotica a (scrivere una funiione del tipo cz a ): .. Diconseguenza, z =O per /è: O angoloso O dicuspide

cheintalcasocoincidcconilnumeroq.Sottolineiamo,tnparticolare, chelaprima condizionedasolanonimplica l'esistcnzadell'asintotoobliquo,cumemostreranno gli esempi.

Esempi svolti Esempio 3.28. Dare una stima asintotica di / (x ) per x .... + oo; stabilire quind i se /possicdcunasintotooòliquo, in caso affermativo determinandolo.

/ (z)=ze~. Stimiamo:

/ (z),..., z0pcr z-+oo.

Quindi la funzione tende a + oo, con crescila /ineon . Cen:hiamo l'eventuale asintoto ob liquo:

f (z )-z 0

=x0(ee-1r-1- 1) "'x0 ( 3:~ 21 -

D

=

.

.~ ·~ ••

182

Par. 3.41\pplica.zioniag!istudidifunzione

Cap. 3. Llmitiecontinuita

fi {:r;) ..... J:i:·sin; Pereiòes isteasi n101oobliquodiequaiione

,...,ll;.;

183

•3;h(:t) --+ l; quindi:

/{:z)-h"--+4

y=:r:..v;+~..v;.

e lafu nzioneammeneasin101oobliquo 11=3:z+4

Esempio 3.29. Dare una stima asintotica di / (:z) per :r: __, + oo; stabil ire quindi se f poss iedeunas inlolo o bliquo, incasoaffermativodelerminandolo.

Esercizi

Per:r:--+ +oo, / {:r:)-2:r:->+oo, conerescitalineare.Caleoliamo:

Ora:

l

C(J$ 7x_, J;

2+;:r+l

3.274 .•

el/(r+l)(3:r:+ l )

3.266

~

J.275.•

.Y8x3+3%2+1

3.267 .•

:r:eos-j;

3.276.•

xe~

3.268 .•

(:r:+2)1og(* ' )

2

:r;2/3

/ (:r:) = e""'; (3:i: + cos; ) / {x)"" 3%(crescita lineare)

~~

t1vaW

··-·· - ~ ••

184

Cap. 3. Umitiecontinuitil

Calcolare i limiti indicati pt!r le seguenti funzioni e ili base a questi e a considerazio11ieleme111ari, 1racciare/fgrajicode/fejum:i011i

Par.3.4ApplicaZioniaglistlidid ifunzione

,.

Perz__,1 , / (z) --+

{o++oo

185

(contangen1eori110ntale)

z =1 asintotovertica!c,dasinistra

Per z ..... + oo, / (z ),.., (log.:i: )1f 3 -. +oo con CTCscita 50ltolincare (senza asintoto obliquo). / (z ) ;?: Ointuttol'insiemedidcfinizione,/(x ) a= Operz= l; per z -. I, / (z )"' t.(z - t}2' 3;z = I punto di cuspide e di minimo relativo (e assoluto). Grafico qualitativo:

u

J.281. / (z ) a ~;z~TJ(z); z~/ (z) J.282. / (z) = zelfz; z~T..,f (z ); z~/{z); la funzione haasinloti obliqui? J.28J. / (z ) = ~; z~T..,f(z ); .,~i~/ (z ) ; la funzione ha asintoti obliqu i?

3.4.D. Studi di funzione mediante limiti e stime asintotiche TrQCCiare rapidamente il grafico quafitatillo della segueme fimziane. in base alfa conoscenza delle proprielà delle fiuizioni e/emenwri ed 111ilizzando opportunmne,,te limiti e s1ime asimotiche. Jn panico/are, è richiesta la stima asi11101/ca 11ei pumi ;,, cui/ si annoi/a e alla_fromlero dell'Insieme di definizione. Evide,,ziare nel grafico evetJtuali pu1Jli "O/eWJ/i (o /a11gtnle ori;:zonlale o verticale, angolosl.diaslnroro.ecc.), el'andamentoall'infi11i10.

EKmpioJJ2.

Definitaper :i: # O, :i:

7'2

Perz -- O* ,/(:i:) .....

- !id-. { ~-00

z= Oasintotovcrticaledatlasinistra.

Esempi svolti E.se mpio J.J I.

Definitaperz >0, :i: # ! Per z - o+ , / (z ) "' e(logz)213 ..... +oo; z = Oas intoto verticale.

Per :i: ...., 2±, / (z ) "' ~ _.. ±oo. z = 2 asintoto venicale. Perz - ± oo, / (z )--+ I. Il= 1 asintoto orizzontale. / (- l )z O.Grafieoqualitativo:

186

Cap.3. Llmiti econtinuiUi

Par. 3.4Applicazioniaglistvdi di funzione

EsemploJ.33.

l" 'I

/ (z )=xlo g 3-
O,/(x) - -arçtanx"' - :r; Per :i: -- 1, / (z) .... (e•/ 4 - 1)./2· (:i: - 1) 1/a, perçiòz = - 1 p11n1o di nesso atangente ven ica!e,ascendente Grafico quali tativo:

cioèper z,,.! .Graficoqualitativo

~

t1vaW

188

Par. J_4Applicazlonlaglistudidifunzione

Cap. 3. Limitiecontinuita

Ossen·azione J.8. Sti ma asi ntotica 111l' inlini10 e verso della concav ità. Negli esempi precedenti, quando la stima asintotica all'infinito denotava una crescita sopralinean: o !iOttolineare. abbiamo interpretato graficamente q~sta informazione come un'indicuione del verso della CQncavità all'infinito. Per esempio, nell'ultimo csempio vistosiaveva/ (x ) -+oo CQncrescitasonolinean:. c abbiamotracciato il grafico di una funzione concava verso il basso all'infinito. L'idea genera le é che se,perx - ±oo,é

·:1·~LL_ /

/ (x)-+oo concrescitasopraliriearc,ciaspettiamo/coneavavcrso l'al to; 10

/ (x)-+oo con crescitasottolintan:, ciaspettiamo/CQncavaversoilbasso; viceversa ,sepe r x --.±oo, è / (x) ..... -oo concft'SCitasopralineare, ci aspettiamo/corl(:avaversoilbasso; / (x)- - oo concrescita sottol ineare, ciaspeniamo/concava vcrso l'alto. Perché abbiamo se rino "ci aspetliamo"? L'afTermazione é rigorosa o no? Per rispondere,siconsideriilprossimocsempio. Ese mpioJ.JS. / (.i)= x 2 + .isin (:z2 ) . Poich4! la furudone sin è limitata, l:i:s in (:i: 2}15 l:i:I = o(:i: 2) per .i _, ±oo, pcreiò / (x) "'x 1 • Da questo segue che / (x ) ----. +oo per x-. ±oo, e che f non ha asintoto obliquo. Tuttavia la eoncavità di/ (eosl eome il suo crescere e decrescere) non sono, neppure per J.i l abbastanzagraride,gli stessi di .i 2. Infatti il graficodi/é:

Si osservi ilgraficoO. Per .,__, o+, / (:r) ... -zlogz - o• ron tangente verticale (perd1t\ l1;J __, +oc). Per :r .... +oo, / (z)- z21og:r - +oo con aesc:iiasopralinea.n:. /(z) • Operz • O, l. Per ., .... 1,/(:r) .. z(z-l}logz ... (z-!)7. pen:iò z=l ~ punto a umgente orizzontale(diminimo).Oraficoqua!itativo:

· U__

.• ... •..

0. 5

I

1. 5

2

2.5

l

Definitaper :t>O,z# I. Per o: -o o+,J(z)-~-O- contangente orizwntale(~o(o:)). Definita per z>O; per z_,o+, j (z) ... -~-+oovcnicale Per z-+oo, j(z)-~-o • (gnan:hiadcgliinfiniti). v=O asintotoorozzontale.

f(I) - o; per z-. l,j(r)- (o:- 1)2;z = l punto a tangenteorizzontale,diminimo. Grafico qualitativo·

209

Per z-1±,J(zJ ... ~-±oo; z • lasinto1overticale Per z...,-too, j (z) ... ~ - f.-O';v=O asintocoorizzonta!c. Grafico qualitativo·

210

Cap.3. Limiti econtinuità

Par. 3.4Applicazi0niaglistudidlfunzione

J 11~·

211

J.290. Definitapcr z> -1. Perz-{- l )+,/(z)--oo z • - lll5in1ocovcnicaledaU1dcstra. Per :i: - +oo, / {z) ~ zlog:i: --. +oo con crescita sopralineare. / (z)•O per z • O; perz -O,/(z),..z·lzl, pen:iò z=O pwuodiflcssoatangcnteorizzon1ale. Grafico

J.289. Defini!llper z#O; pcrz --.O,/ (z)-0,pen:iò~prolungab ileconcontinuili poMndO,:i:# l

Per :i: - o+, / {:i:) -

~-

-oo:

:i:

= O asintoto venicale.

Per z-l,/(r)-~=c 2 ·(z-l)-O; eliminabile, defmendo / (I) .. O, f risu l!ll continua, e

:i: • l

in•.\:

pun!o di discon!inui!à si annulla 'l/JleamaeNC~

,.~.. · ~ ••

212

Cap.3. Limitiecontinuità

Per :i: - +oo, / (:i:)"' Grafico:

=-

Par. 3.4 Applicazioni agli studi di funzione

+ooconcrescitasopralinme(senza ilSÌn!OIOobliquo).

213

J.294. Dcfinitaper;i: :/:0,:i:> -2. Per :i:- -z+,/(:i:)- .,.:ii· (iot;(2+ o:}]'fi - -oo. o:= -2 asimotovenicalc PO" z ..... +oo, / (z)- .,-! · lle>g:r:l m...., +oo con crncita SO!tolineare (in panicolare, Knza .. in110001iquo). Per :i: ..... O"', /(z) -

e,.; · [log2]1fi...., { ~+00

:i: "" O ~ punto a tangente C>rizzontale da destra (annullamento cspomiu.ia lc). mentre ~ asin!Oloverticaledasinistra. / (z)"'O perz =- 1. Pa- z - - l,/ (o:)-e!·(z+ i) 1/i, perciOz =- l puiitodi neuoatangcntevenicalc,asccndente Grafico qual itativo:

J.293.

Convicnerucrivere/nc!lafonna:

/ (z)=e• lotl~I. /(o:)defin itaperz Y,. -Z;z#--1; per., ..... - 2,zlogl~I- -oo;/(z)-o+ (con velocità csponau;iale, quindi c;on tangcntee>rizzontale); z=-2 puniodid iscontinuitàelimin.abi le , perz-- 1 ,xlogl ~I- +oo; /(z)-o +ooz ,. -lasintotovenica lc Per z-o±oo,

/(o: ) = ~(!':il=ef'·J

quindi 11 = .,- 1 .. intoto ori:r;:oornalc per :i:

.....

±oo. Gra fico qual!tat!vo:

J.295. Dcfinitaperz >- 1,:z:.,_O. Per :i:-0- 1+,

/(x) - 1~11-:_1.,) _ ~~~:~)-o+. Quindi :i: - - I t punto di discominuità eliminabile. Inoltre / (:i:) ~i annulla più rapidamcniedi (o:+ l ), quindihatangcn!ce>rizzantale. Pcr :i:-oO\ / (:i:)-z logl:i:l-Ol". Quindi x m O è punto di discontinui!! diminabile. Inoltre / (:i:) si annulla più lcntamcntc di ;i:, quindihatangcntevenicale:puntodiflcno 1tangcntevenicalc.

,,,~,, · ~ ••

214

Par. 3.4Applica.iioniaglistudidi funzi0ne

Cap.3. Limitiecontinuita

/(l) =O. Per x- 1,

/(z)- ~~I che si annulla Hncarmmte (il grafico anraversa r&SK z: con tangente obliqua, senza particolariU.). Perz:...., +oo,

Grafico qualitativo: aie~

/ (z) - z2 - +oo conc~scitasopralineare(inparticolare,senuasintotoobliquo). Graficoqua!ita1ivo

J.297. Dcfinitapcrz -:/; l /(0) • 0.

Perz - 1"', J.196. Defrnìtaper z~::l: l , /(O) - O.Prrz-0,

/(z)-e(e- l )e'f(z-•J - { ~

dispari.

r • ltasintotovenicalcdadestra,puntodiarns10,atangenteorizzontale,dasinistra.

Pcrz - +oo, Quindix = Otpuntodi ncs.soaiangtnteorizzoruale, diso;erniente Per z-> l, /{r)-1or11-z 2l--oo Quind i z: = I t asintoto venicale (per simmetria, /(z) ..... +oo per z ..... - l, e z = -1 tasintotoverticale). Perr --o +oo,

/(z) ... eiz _, +oo concrescitasopralincare(inparticolaresenz.aasintotiobliqui)

Perz --oo, 11 = 0as intotoorizzontale(perz _, -oo) Per z-0,

/ (z)-; ronc~scitasopnlincare(inparticolare, senzaasintotoobliquo).

(Persimmenia, / (r)...., -oopcrz...., -oo, sopralincannente). /(z) = O per ll-z21 = l,:r1- i • ::1:1,z =O,r = ::l: v'2. Inoltre in quc:sli punti, il

siannullaconrtttatangenteobliqua.

logalitmosiannulladelprim'ordine,pcrciò lafunrionesiannulladel3° ordine,ci~coo

flessoatangenteorizzontale. Jnfatt kper z-,/2,

.

,,~ · ~ ••

216

Cap. 3. Limitieoontinuita

Par. 3.4Applicazioniaglistudidifunzione

Gl'llfico qu.alìtativo

Gl'llficoqu.a lirarivo·

J.299. J.298. Definiraper :r;l--0. Per :r-oO,

Defi nirainruno R .Siannulla in :r • O.

Pcr :r-+oo, / (:r)- - e~ ..... -oo,concrcscitasopralinran: Per :r ..... -oo, / (:r)- - l .11= -I asinrotoorizzonta!cper :r-o -oo Per :r-0, / (:r)- -V'liT· l\lil,. -:r!'3 ; :r=O punto di cuspide rivolto verso l'alto. Gl'llficoqualirarivo

Quindi :r ~O t un punto di dìsçontinurili eliminabile, di cuspide verso ralto. Pcr :r-+oo,

quindi y=O tuintocoorizzonta!e. Per :r-ol,

Pcr J: - -oo,

/(:.:)-~ = -:r•!S_, _(X) concn:scita sopralincare(inparticolan:,senza asintotiobliqui). J.JOO.

~finitaper x;l--0, funzionepari.

Per :r-0\

:r'an:ran; ... ±xlj;

-

:nn:1111~,.. 'fxj,

quindi/ (:r)-'foi:J-0.lnoltn z=Ot unpuntoangol~.

,,~,, · ~ ••

218

Cap. 3. Limitiecontinuita

Cap. 4. Calcolo differenziale

Per z...., +oo, :r'arctan;-z2 ;

per funzioni di una variabile

-:i:an:ian~-- ~,

quindi/ (:r:J-zl - +oo concrcscitasopralinearc /(1) = 0. SimIM!riuando per z 0, pereiò f è streuarnente crescente e dunqueinvenibile. Notiamo che l'equazione y = xlog2z non è risol ubi le rispetto a x con procedimenti algebrici; questo è il motivo pet" cui l'eserc izio non richiede di scrivere l'inversa; invece,èiltooremasulladerivatadellafunzione inversaclieci permetteràdicalcolareif(4e2) senzabisognodiconoscereginognipunto. b.

g'(log2 ). 4.78.* Siconsiderilafunzione: /(1 )-e- 71 (t2 +3t + 4) , invenibile;deuag lasuafunzioneinversa,calcolare

/ (e2 ) = 4e2, dunqueg(4e 2 )=e2 ,e g'(4 e2 ) =

/'(~2) = 2(2~2)

=

ij.

Esercizi 4.74.* Sia/(z:)= e" 0 + 1. a. Calcolare f'(x) e dedurre che nell'intervallo x > -~ la funzione/ è monotona e qui ndi invenibile. (Non si chiede di scrivere la funzione inversa). b. Detta g la funzione inversa di/ nell'intervallo di cui sopra, calcolare

g(O, poiclM!f'ècootinua,perilteoremadipennancnzadelKgnointunounimomodi z :e

/'(z) ...

~; rG) =3;

/ (J) ,,, an:tanl ..

/'(:i:)=

l +(l ~ lit:)

sari/'(:i:) >O e/(:i:)ts~tta.mentecrescentc,quindiin~ibile.

I>

i;

/'(:t) •

/ (z) = i

-;;

+~(z-

z ~3- "'~2 - (z+3):z-2);

1oa);~!l=log2 poicM

Dunque:

PoicM/(e)•e2,

l )+o(z- l)perz __, I

si parla

dell'intervallo

per (0,2),

/'(z) • ez' 0 H(2x +i) > Oper z >

b.

-~,

inquesto intervallo/~ strtt1atncn1ecresc:entc, e penamoinvenibilc . PoicM/(i)=è, g(e3 )= 1,quindi

g'(eJ) • /';I ) "" ~·

il

so lo

valore

/ (l/3)= 1og2,g(log2) = 1/3; g'( log2) =

quindi

; ~ : • :!:2,z • ~ , z=7;

/'(~/J)"'

9/to · ~·

f'(t) = - e- :11(21 2 + 4t +!i);

/(l) ,,. ~; g(~)-=l;

t(~) = ~ = 11 ~-2 = -~. 'llVdl/ll

è

1/ 3:

234

Cap. 4. Calcolodifferenzialepe r funzionidiunavariabile

Par, 4 .1. Calcolodellederivate

/'(:i:) =log(Logz) + z~ =log(logz) + ~­ Pcr z

> c, lop >

Quindiin(e,

1, log(logz) :>0,c log(log:z)+ ~:>O.

pen:>ò lafunrionc~ smuamentecrcscentc,cquindiin vcnibilc,in (O,oo).

+oo) lafunziooe/èsmuamcntc~ c quindìinvenibi lc.

Notiamochc/ (2)=-j;, pcrciò g{-}.) • 2e

/>.

/{e2) =e2log2; g(e21og2) =c';

' ' " !:/!_ ( 2) " fljj'J.I

,. 7o

/'(z) Quindi in (e, +oo) Per :i E {O,J),sin:i: >O,~ cosz E {O,f), quirKlicos( jcos:z) >O. Pcn:iò f' (z) < O per ogni :i:E {O,i). Quindi in questo intc,....allo la funzione

f

è

{ t+2br

2cos:i: =- ~ +2br

o5.siasecos:r "'

!01!:2~ I

>O per :i: >e.

J è strettamente crcscen1e, e quindi invcnibilc.

b. NO!iamochc /(e2) - ~ . pcrciòg( ~)

• e2, e

g(~) = /'(~2) •

strtttamentedecrcsccntcequìndiinvcrtibile.

•

J .

( !+ 41; l+ 4k

l'unic11poss ibilitètcosz =~ chc,pcr zE (o,i) ,signifiea z "'

Quindi in

(-U, +oo) J è strenamcme cn:scente e quindi invertibile.

f.

/(0)=3;g(3) :::0; g'(3) ·

°'"""'/(l} • ;J; .• (;J;): j .
O . f' (z)"" logz+3 >0 perz >e-J

Quindi in {e-~, +oo) f è smnamcmc cn:Kente e quindi invenibile.

/(1) : 2;g(2) - 1; g'( 2) = rhl - 5· epoicht/'ècontinua,perilteon:rnadipconancnzadclsegnosarà]' (z)>O(e quindi/ l!rettamentc en:Kente) in un in!omo di z • 1. Pcrdb in un intorno di :i:= I la f è invertibile.

b. /(l )=e 2, dunqueg(e2)= !,e

g'(ei),,/'; l )= b·

J'(z) = e"9oO, quindilafunzionet$tn:ttamenternonotona,epcn: iòinvtttibile, intalcintomo. 1roJ=1 ;g(1)=0;

in un intorno di :z; =O.

/(t) • -j;+~+o(t) pcrt -0.

4.88. a./ t definita per :r >O e log:z; >O, quindi per :z; > l. In (l ,+oo) /è la $00llTladi due funiioni Stremunente crcscenti, quindi è stn:namente Cn.:5eente.quindi t invtttibile.. In alternativa, • i pOO provare che / è globalmente invertibile calcolando

:rl~gi­

rettll JI "' ~+:i,

/'(t) •e-ih·~; /'(0)=~; /(0) • -7e;

1t1i-ROJ -P ·

/'(:i)=2+

237

J"(t) · e-~ \f _ • --~ ) ·noJ · -~ Jèremprepo:sitiva,quindi/ èstn:«arne ncemonotona b. /(e) .., 2e, qulndi g(2ej .. e. f'(e) • 2 + ! ,quindi

/(O}= l;f(z) =e- •(- log(I + 2.i)+

g'( 2 el - ~ - ~ · 2e:1 ·

1

:

7, + q;

.l) +e•; /' (O) • 3; 2

/(z) • 1+3.i+o(z) b.

Poiché/(0) • 1,l(l) =

r!oJ · I·

/ (0) - 1;/'(2:) =e- 1• ( -2cosfi-zj;,inf i) ; f(O) =

-~;

llvaloredi /'(O)èslatoonenutocalcolando ~/'("').inquantol'espressionedi/'(:r)che

b

lbbiamocalcolatononhasignificatopcr "'=O '

/(1) • 3+!, quindi g(3+~)"'1.A llora

1 ( 3 +D -=rh> - 8=ac~ ,/(O)=~;f{:r) "' l +(2 ~ +l)

;/'(O)= I ;

/(:r) =l -~.i:+o(z) /J.

Poich~

/ {O) .. l,g'(J) .

7'!oi .

-~.

/(z)= ~+z+o(z}

,~,, · ~ ••

238

Par.4.2. Studiodeipuntidinonderivabilitil

Cap.4. Calcolodifferenzialeperfunzionidiunavariabile

(dove presenta unpuntoangoloso),ma lo ~ intuniglialtripunti,elasuaderi vata vale

4.2. Stud io dei punti di non derivabilità Riferimento: librodìtcsto [BPSl ], cap.4,§2.4. Delle .seguenti fim=ioni si chiede di: determinare l'insieme di definizione; determinare l'insieme in cui è derivabile; colcal(lrf: la derivata, QVe esiste; studiare gfi eve11111a/i pumi di nQn derfrabilità (dire. cie>è. se si tratta di punti angolosi, di cuspide. di flesso a tangente verticale, di di.Jcaminuità.. .).

Q~sla

formula t util e (5empre e solo quando l'argomento del modulo non si annulla) anche in combinazione col teorema di derivazione delle funzioni composte, per cui:

Esempi s volti '1;1/(.x)I = /' (z) ·sgn(/(.x)).

E.!:e mpio4.4.

La funzion e/ è definita per .x

,

f (z)

Ciò significa che se/tderivabile,anche l/ (.x)J sarà derivabile, almeno11Ci punti in cui / (.x) "# O; nei pumi in cui / (z) = O ci aspettiamo dei punti angolosi di l/ (.x)I (che talvolta potrebbero però non esserci, come mostreranno i prossimi esempi). Ad esempio

> O. Calcoliamo·

) I ( ( ')) = •g,(loµ 3.xloglf3z + .x+ ~ sgn log :t+ 2 =

definitaper z# l ,.x# ~· (Una spiegazione dettagliata di questi passaggi si trova nell'Osservazione che segue quest'esempio). Possiarnoorastudiare ip unti z= l ,:i:= Pcr:i: - 12 ,

!·

z~ ~ sgn(z - ~) _. ~

mentre

s:;l~g2~l;

.....

~

perciòf'(r)-±oocz-= lèpuntodicuspide. 2 Per z - i ,

quindiz =

'1;llogxl

= ~. sgn(log.z) =.;. sgn{r -

I), per ogni x #; l,x >O

Questa funzione ha effettivamente un punto angoloso in z = I, come si vede calcolando

sgn(x- 1) 1 ( ') = 3zlog2/ 3 x + x +l sgn z-2 '

/'(:i:)-- 3]~2/32 ±!, i è punto ango loso.

Osstn ·az.io nc 4. 1. De rinla di U Q va lo re auolulo e punii angolosi. Prendiamo spunto da quest'esempio per puntualizzare alcunifanieheriguardanolade rivata della funzione valore asso luto. Come noto, /(.x) =I.xl non è derivabile in :i:= O

;.1f. '1;1losxl -

;.rr•.; ·sgn(x -

I)= ± 1.

Siricordinoanchelesegucnti identità elementari·

sgn(z)=~=J;1, chesonoutiliadesempioincalcolicorneilseguente J;(zlzlJ - I· /rl + z · sgn(z) =lxi+ lxi"" 2'zl, per ogni .x #O. lnfine,inquestocontestoconvienericordarelafonnulo

chcdiscendcdallepreccdcntiosservuioniinbasealteoremadidcrivuionedel!a funzione composta:

240

Cap.4.Calcolodifferen.zialeperlun.ziooidlunavariabile

Par. 4.2. Studiodeipuntidinonderivabilita

Ci aspettiamo un punto di cuspide in x = l, perla presenz.adella funzione (x- 1)2'3 ,eunpuntodiflcssoa tangenteverticale in .x=O,perlapresenu della funzioneefi. Dallapn:ceden te se guc anche

/'(.x)=e~ ('/!. ,• + 1)(:i -

{dove/èuna funzionederivabile e di versadazero),form ula chcvienespesso ... diment icataafavore divariamifantasiosema sbagliate.

}.!,r;'J'(z) =

Esemplo4.S.

Definitaperx >FO.Funzionepari. Per z _, O, / (:r) - l log ~J. quindi/ è prolungabile con continuità in .x = O. Inol tre, z4'3toglz l è derivabile in z= O, con derivata nulla, in quanto 4 3 z 1 1ogl:rl=o{:r) per :r- !,z < -~ per - ~ < .x
"I

4.111.*

/ (:r.) = llo&:r.1· ~(:r. - 1)(2 - 2)

4. 112.*

/(:r.)= ~· el%-3j

4.llJ.*

f (:r.) = :r.arcsin:r.

:

/ (x)èdefinilain!UltoR. Studiarw.k>ilmodulo sivedeche:

/ (:.:) = {

~(: ~)ij(: ~)J~;2:-~J4) ~~ = ~

pcrciò/ non èderivabilein :z • l.puntoanguluso. (No1areche in :z = 2,anc hesel'Mgomen,odelrnodu losi annul!a,/ri'IUhaderivabile; il motivo è che in :z = 2 l'Mgo•ncnlo del modulo ha wigentc orizzontale). Definita per-I :S 2 -:.::S l , l :Sz:S 3.

4.114 .•

7i"+?

f(:r. ) =

IJo~~l++t)J

1 /'(:r.)""-J1- ( 2 -:z)2

f

è derivabile per - 1 < 2 - % < I , I < :z < 3; i punti .,• !,.,"' 3, sono punii di arTCSIO pcr/,a1angen!eve11icale, comesivedccalcolando

!...~.J' (:z) = -oo

4. 96.

"'.!lTJ'(:z).

Deftniuipcr :.:# -2,x# -3. f(:z) = (logJ:z + 21- lo&l:z+31)' =

,.! ,.! 2

-

3

definita in lu!to l'iru;icme di definizione di/. :z • -2,.., • -3 sono pumi di discominuità

... r

4.97.

Definitapcr :z< !,:.:> I.

lnol~, log(2""- 3z + l ) ::#0, ma esisu: ~/(z) :O, dunque z • O è

Sivedeche lafunzionenonèderivabilein :z=O,z • ±I . Per :z-o,

1 Po:rz -. 0 ,

Ji.2~'::"'' - ~ -- ./2sgn(:i-)-'f./2,

e:z •O èunpuntoangoloso Po:r z-.11,

quindi :z ,. Oè puntodiflessoatangentevenicale,asccndente. f (:z) -

3~•1•,, --. ±oo

quindi :z = l è punto di cuspide. Per simmccria (la fun:zìonc è dispari) anche :i- '"' - I è punto di cuspide. Ll funzioneèdefinitaper:z > I.Calcoliamo /'(:z) "' J(:z

"'

{

~ 2)ui llog{lo&z)I + (:i-:z~~/J sgn(log{ log.i:)) =

~log(logz)+~ -~ log(lop-)-~

J/~',-:'U' + J(z~ 1)2/l'

definitapcr z# l ,z.,,J-0

punto di discontinuità eliminabile. Mi aspetto prob lemi di derivabilità in z:O,zo=±l. Calcoliamo

Per :z- 11 ,

f è definita in runo R. Calcoliamo: /'(z)"'

l; / .'.. (-1) "' - I

z a -2ez •O punti • tangcntevenicale 4.106.

-:(~~·;fil,--+ ±oo

perciòinz • 21afunzioncnonèderivabileehawipWllodicuspide.

per :z:>e perl l, z'f2.

Per ,.._, ±1"°,/'(z)-. ±oo, perciò i punii z= ± I, di oon derivabili!!,

ilOnO

pw1ti

d'aJTeSm1wigen1e~icale.

Lafunzioncèdcfinilapcrz >- 1. Poich~ log(l +z) >O per z > O,sgn(log(l

;sgn(lop-)-V'(z -

llogr/· 3(z- 1~ffl~:-211J• -

l}(z - 2)-0, men~

/'(s) -

3(~~1;1111,. i1:1:-1 11µ _,o,

+ z)} •

sgn(z),e

~sgn(z/1~2;1;~g( i +:t"JI,

defmitaperz #O Pcr s - O'*, f (z)- ± I, perciò il pumo z =O, di oon derivabilità, è angoloso. Lafunzionetddinitaper z>O Poicho! logs >O pcrz >- l,sgn (Jos;i:) • sgn(z-1),c

4.11 5.

~iòcsiste/' (l)=O:z • ltunpun1odtderivabilità

Perz - 2,

/'(z)- log2·3(z ~2)1ft -+oo, 2~ un

(1n:sin:i;+Jtr1~-~.

U l 4.

S1udiarnaoraipur>1i;_ ,. l,z• 2. Perz-1 ,

pm:iòz =

/'(%}"' dcfioìtaperx #± l

f (z)"' ;sgn(z-

punto di ll(ln derivabilità, difl-(----"'-_I_)' --2(~) -)2 · 2-z2+J+z (2 -:r;2)2 --' (l+x

Perx -- 1~, /(x)"' ~

'"±

/( ) !fi:

eih

Z68

Cap. 4.Ca lcolod ifferenzialeperlunziOnidiunavariabile

Par. 4.3.StlldiodelgraficodiunafunziOne

Funzioni diptndlnli da un parametro

4. 172.• Si considerilafunzione

4. 148. * e%·~ Studi difunt)one eon derivata s«onda. Nei prossimi eserc:izi si ehiede di s1udiare fa/unzione e tracciarne il grajiro. Non è fornita una /roccia su come pNXt dere. Si imende che è richiesto wrche lo studio tiella derivata sttondu. 3

4.151.* x ( log l x l) /~ 4.152.*

lx 2 +

:,x- 3j

4.161.* (3x + 2)e 11" . 4.162.*

:r. 1 - 3x + 2 + log:z:.

4.163.*

:r.+ 2arctan; + :ir.

4.164.• :r. 2

rz+!.

4. IS4.* log(I + x 1 ) + arctan;

a. b.

Determinare, se esistono, mass imo e minimo assoluto di f (t) pcrt ;:: O. LineariZ7JU'ef(t) pert -- o.

c. Completare uno studio sommario della funzione e tracciarne un grafico qualitativopert ;:: O. 4.173.* Siconsiderilafunzione l + t" f ( t)- ( l+t)" dovcp > lèunparamctrofis.salo. a. Determinare, se esistono, massimo e minimo assoluto di f (t) per t ;:: O. b. Linearizzare/(t ) pert ..... o. c. Completare uno studio sommario della funzione e tracciarne un grafico qualitativopert ;:: O 4. 174.* Siconsideri lafunzione

4. 155.* (x+ I)le"- 11

4.1 67.*

4•157

dove A > Oèu n paramctro fissato.

xe-lr - 11

·* ~osx - sinx smx+ cosx

4.158.* x 2 - 8x+ 4toglx -!I

dove A > Oèunparametrofissato a. CeTCare (eventuali) massimi e minimi di / (t) per t ;:: O. b. Studiare il componamento de lla funzione per per t ..... +co. c. Completare uno studio sommario della funzione e tracciarne un grafico qualitativopert>O. 4. 175.• Siconsidcrilafunzione

/ (t) = 4.160.*

xe l/(I- 1)

4.111.•

1:.:3- :n,+ :r.I

2e~~ :ee-~'

dovea > Oèunparametrofissa10. a. Calcolare in dipendenza da a i limili alla frontiera de ll'insieme di definizione. b. Studiare, in dipendeniada a, il crescere e decrescere ~i / ~t) . c. Tracciareungraficoq ualitativodellafu n ~ ndipenden'Za daa

Par. 4.3. Studiodelgraficodiunafunzione

Cap. 4. Calcolodifferenzialeperfunzionidiunavariabile

270

(Per studiare il segno del numeratore si pone

Soluzioni§ 4.3. 4,116.

13

1 e si studia il segno di

t 1 + 4t -5).

/ (:i:) = efi·(~ )

/' (:i:);:>: Oper -z,

Definitaper :t.f - 1. Per :i: _. - 1'*, /(:i:) - ,h _. :l:oo. :t=- lasin\QIOverlicale. Per :r: _. :l:oo, / (:i:) - ~ - :l:oo con cresc ila $0tlolineare (in panicolare, senza llllinlotoobliquo). b. / (0)=0, per z-0 /( :i:)-- 2 ~, quindi "' "' Ot pumodi nesso alllngmtc verticate, discmdmte.