Aufgabensammlung zur höheren Algebra [3., verb. Aufl. Reprint 2019] 9783111371771, 9783111014425

Table of contents :
Inhalt
1, I. Ringe, Körper, Integritätsbereiche
1, II. Gruppen
1, III. Determinantenfreie lineare Algebra
1, IV. Lineare Algebra mit Determinanten
2, I. Die linken Seiten algebraischer Gleichungen
2, II. Die Wurzeln algebraischer Gleichungen
2, III. Die Körper der Wurzeln algebraischer Gleichungen
2, IV. Die Struktur der Wurzelkörper algebraischer Gleichungen
2, V. Auflösbarkeit algebraischer Gleichungen durch Wurzelzeichen
Namen- und Sachverzeichnis

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SAMMLUNG

GÖSCHEN

BAND

1082

AUFGABENSAMMLUNG ZUR HÖHEREN ALGEBRA Ton

DR

H E L M U T

HASSE

O» P r o i . für M a t h e m a t i k an der Universität H a m b u r g und

WALTER

K L O B E

Wiss. Mitarbeiter an der T e c h n i s c h e n H o c h s c h u l e D r e s d e n

D r i t t e , v e r b e s s e r t e Auflage

WALTER DE GRUYTER & CO. vormale 6 . J . GOschen'scbe Verlagshandlung • J. Cuttentag, Verlagsbuchhandlung • Georg Reimer • Karl J. Trübner • Veit & Comp. B E R L I N

1961

© Copyright 1961 by Walter de Gruyter , ist eine eindeutige (für § > © nicht eineindeutige) Abbildung von © auf © mit der Eigenschaft: aus

S-+S,

T-^T

folgt

S T ^ S T .

Eine Abbildung mit dieser Eigenschaft heißt ein H o m o m o r p h i s m u s von © auf ©. — Man zeige, daß umgekehrt j e d e r Homomorphismus von © auf eine andere Gruppe © in obiger Art aus einem Normalteiler ig von © entspringt, d. h. daß dazu ein Normalteiler § von © existiert, derart, daß © s © / § i s t u n d der gegebene Homomorphismus durch 8 ->• SQS und einen Isomorphismus zwischen ©/¡p und © zustande kommt. Nach Satz 35 genügt es zu bestätigen, daß durch die Festsetzung: S=T, wenn S = T eine Kongruenzrelation in © definiert wird.

10. Man beweise auf Grund von Aufg. 9 noch einmal, daß jeder invarianten Teilfigur V von 0 ein Normalteiler § l

) Wir verwenden — als Zeichen für die I s o m o r p h i e .

26

1, IL Gruppen.

der Gruppe © der Deckbewegungen von entspricht [Aufg. 1, d ) ] . Die Deckbewegungen von werden auf Deckbewegungen von V homomorph abgebildet. 11. E s sei § eine Untergruppe der Gruppe © und 91 die Gesamtheit derjenigen Elemente S aus © , für die igS = SS), oder also auch S —1!qS=Sq ist (der N o r m a l i s a t o r d e r U n t e r g r u p p e § in © ) . — Man beweise der Reihe nach: a) 9t ist eine Untergruppe von © . b) § ist Normalteiler von 31. c) Ist § Normalteiler einer Untergruppe § von © , so ist § in 9t enthalten. Kurz: Der Normalisator 9t von § in © ist die umfassendste Untergruppe von von der § Normalteiler ist. a) folgt aus Satz 19 [55], b) und c) am einfachsten aus Def. 19. 12. Man beweise: Die Anzahl der verschiedenen konjugierten Untergruppen zu § in © ist gleich dem Index des Normalisators 9t von § in © . Insbesondere für endliches © ist also diese Anzahl stets Teiler der Ordnung von © . Man zeige genauer, daß die Repräsentanten S eines vollständigen vorderen Restsystems von © nach 31 in der Form S~ 1 § S das vollständige System der verschiedenen zu § konjugierten Untergruppen von © liefern. 13. Man setze in Aufg. 11 und 12 statt der Untergruppe § ein einzelnes Element A aus © , so daß also 9t jetzt die Gesamtheit derjenigen Elemente aus © wird, die mit A vertauschbar sind (der N o r m a l i s a t o r des E l e m e n t s A in © ) . — Man beweise entsprechend: 3t ist eine Untergruppe von © ; ihr Index ist gleich der Anzahl der verschiedenen zu A konjugierten Elemente in © . Insbesondere für endliches © ist also diese Anzahl stets Teiler der Ordnung von © . Ferner: Die Periode von A (§ 7, Aufg. 7) ist Normalteiler von 9t, und 9t ist Normalteiler des Normalisators der Periode von A.

9. Normalteilcr, konjugierte Teilmengen, Faktorgruppe.

27

14. Es seien § und $ Untergruppen einer Gruppe © derart, daß $ im Normalisator von § enthalten ist. ® = {.§, 3} sei das Kompositum, ® = [§, der Durchschnitt von § und g. — Man beweise der Reihe nach: a) § ist Normalteiler von 2) ist Normalteiler von b) Für die Faktorgruppen gilt ss c) Sind § und $ sogar Normalteiler von &, so sind auch fi und ® Normalteiler von a) und c) folgen ohne weiteres nach Def. 19 und der Voraussetzung. Für b) gehe man von einem vollständigen Restsystem von Q nach ® aus und zeige, daß es auch vollständiges Restsystem von ff nach § ist.

15. Man beweise: Ist § Normalteiler von © von endlichem Index j, so gehört 81 für jedes S aus ® zu ig>. Man wende § 8, Aufg. 4 an.

16. Man beweise: Die Additionsgruppe aller rationalen (oder aller reellen) Zahlen und die Multiplikationsgruppe aller reellen positiven Zahlen haben keine echten Untergruppen von endlichem Index. Man wende Aufg. 15 sowie § 7, Aufg. 14 an.

17. Man bestimme alle Untergruppen § von endlichem Index in der Multiplikationsgruppe © aller reellen Zahlen =4= 0Eine solche ist die Gruppe 3 der positiven reellen Zahlen. Für eine beliebige Untergruppe § von endlichem Index betrachte man den Durchschnitt $ mit Q und wende Aufg. 14, 16 an.

18. Man beweise: Ist G der (etwa hintere) Kommutator von A und B (§ 6, Aufg. 5), so ist für beliebige natürliche m und n der (hintere) Kommutator Cm_„ von Am und Bn ein Produkt aus Transformierten von G. Man berechne der Reihe nach die Kommutatoren zunächst

von A, £2; Bn; dann von A2. Bn;...; Am, Bn. 19. Man beweise: Ist C der (etwa hintere) Kommutator von A und B, so ist S~ CS der (hintere) Kommutator von S ^ A S und S ^ B S .

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1. HI. Determinantenfreie lineare Algebra.

20. Unter der K o m m u t a t o r g r u p p e 6 einer Gruppe © versteht man die aus der Menge aller Kommutatoren je zweier Elemente aus © erzeugte Untergruppe von © (§ 7, Aufg. 6). — Man beweise der Reihe nach: a) (S ist Normalteiler von ©. b) Die Faktorgruppe ©/© ist abelsch. c) Ist ig irgendein Normalteiler von © mit abelscher Faktorgruppe © / § , so ist K in § enthalten. Kurz: Die Kommutatorgruppe (£ ist der engste Normalteiler von © mit abelscher Faktorgruppe. a) folgt am einfachsten nach Satz 32 aus Aufg. 19, für b) und c) studiere man die © und gemäß Satz 34, 35 entsprechenden Kongruenzrelationen.

21. Man bestimme Zentrum und Kommutatorgruppe für die abelschen Gruppen, die Diedergruppen 2>„, die Tetraedergruppe die Oktaedergruppe D, und die Ikosaedergruppe g . Dazu beachte man Aufg. 5, 6, sowie § 6, Aufg. 2, 3 und § 7, Aufg. 2, 3.

1, III. Determinantenfreie lineare Algebra. § 10.

1. a) b) linear

Linearformell, Vektoren, Matrizen.

Sind die beiden Linearformen x1 und x1 + x2, x1 + x2 und xt— x2 unabhängig?

Man setze eine lineare Relation zwischen ihnen mit unbestimmten Koeffizienten cv c.2 an und versuche zu folgern, daß c1 = 0, c2 = 0 sein muß. Im Falle b ) kommt es darauf an, ob im Grundkörper K gilt 2e — 0 oder 2e 01).

2. Man zeige, daß die Linearformen durch die Eigenschaft von Satz 44 innerhalb des Bereichs aller Funktionen (i. S. d. An.) von xx,..., xn über K charakterisiert sind. ') d. h. ob die C h a r a k t e r i s t i k von K gleich 2 oder von 2 verschieden Ist; siehe dazu die allgemeine Theorie in Ä, § 4, insbesondere Def. 14 [36], — Diese Unterscheidung wird im folgenden mehrfach eine Kolle spielen.

10. Linearformen, Vektoren, Matrizen.

29

Man wende die fragliche Eigenschaft auf die lineare Kompott xn) aus den Einheitssition j = J } xk ek des Vektors j = (xlt..., k=1 Vektoren e* an und beachte auch Satz 45. 3. Unter dem P r o d u k t einer (m, w)-reihigen Matrix A = (aik) mit einer («, ö)-reihigen Matrix B = (bik) verstellt man die (m, ö)-reihige Matrix G = (cik) mit n cik = 2! a,ubik (i = 1,... ,m; k= 1,..., ö), für die also ciic das innere Produkt der i-ten Zeile von A mit der Äxten Spalte von B ist. — Man zeige, daß diese Produktmatrix C auf folgende zwei Arten als Matrix eines Linearformensystems zustande kommt: n a) indem man in die m Linearformen /¿(j) aü xt (i = 1 , . . . . , tri) mit der Matrix A für die n Unbestimmten xt ö die Linearformen 2 kt Vk ( 1 = 1» • • . , n) mit der Matrix B i=l in ö neuen Unbestimmten yk einsetzt, und so m neue Linear? formen y4(t() herleitet (Transformation eines Linearformensystems auf neue Unbestimmte), ö b ) indem man von den n Linearformen M%) = 2 lik xk k=1 (l = 1 , . . . n) mit der Matrix B die m linearen Komposita n J2 aafi ( i = l , . . . m ) mit der Matrix A bildet, und so m neue Linearformen g f ä ) herleitet (Transformation eines Linearformensystems in ein neues derselben Unbestimmten). 4. Man beweise, daß die in Aufg. 3 erklärte Matrizenmultiplikation dem assoziativen Gesetz und, zusammen mit der durch (2.') gegebenen Matrizenaddition, dem distributiven Gesetz genügt, daß dagegen das kommutative Gesetz der Multiplikation für sie nicht allgemein gilt. Das assoziative und distributive Gesetz beweist man durch Hinschreiben der sich aus den Definitionen ergebenden Ausdrücke

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1, III. Determinantenfreie lineare Algebra.

für A{BC\ (AB)C, ( 4 + B)C, AC + BC, C(A+ B), CA+ CB (man muß die beiderseitige Distributivität zeigen!) und Anwendung der entsprechenden Gesetze für die Elemente des Grundkörpers. Natürlich ist stillschweigend vorausgesetzt, daß die Reihenzahlen der eingehenden Matrizen A, B, C so sind, daß die Definitionen von Summe [in (2.')] und Produkt [in Aufg. 3] überhaupt anwendbar sind. Für das kommutative Gesetz hat man entsprechend zunächst von vornherein nur Matrizen A, B mit einer und derselben Zeilen-und Spaltenanzahln (w-reihig q u a d r a t i s c h e M a t r i z e n ) zu betrachten. Man findet dann für n > 1 leicht Beispiele mit AB 4= BA.

5. Insbesondere bilden hiernach die n-reihig quadratischen Matrizen einer festen Reihenzahl n (aus dem Grundkörper K) einen n i c h t k o m m u t a t i v e n R i n g (sinngemäße Verallgemeinerung des Ringbegriffs in Def. 1 [9]). — Man beweise: In diesem Ring gibt es ein eindeutig bestimmtes Einselement, d. h. zu jedem n gibt es eine und nur eine w-reihig quadratische Matrix En mit den Eigenschaften: EnA — A für alle Matrizen A mit n Zeilen (und n oder auch beliebig vielen Spalten), AEn — A für alle Matrizen A mit n Spalten (und n oder auch beliebig vielen Zeilen), ( w - r e i h i g e E i n h e i t s m a t r i x ; wo n aus dem Zusammenhang ersichtlich, auch einfach mit E bezeichnet). Die n-reihig quadratische Matrix En, deren Zeilen (oder Spalten) die n Einheitsvektoren e x , . . . , e„ sind, leistet das Verlangte. Die Eindeutigkeit ergibt sich, indem man für E„ eine unbestimmte w-reihig quadratische Matrix X ansetzt und eine der beiden Forderungen speziell für die zuvor genannte Matrix En als A anwendet.

6. Man konstruiere die V e r t a u s c h u n g s m a t r i x T7«, die bei vorderer Multiplikation mit einer beliebigen Matrix A deren i-te mit der fc-ten Zeile vertauscht, ferner die M u l t i p l i k a t i o n s m a t r i x Ui(t), die wieder bei vorderer Multiplikation die Elemente der «-ten Zeile von A mit t multipliziert, während alles andere unverändert bleibt. Schließlich bilde man die A d d i t i o n s m a t r i x TF«., die bei vorderer Multiplikation die fc-te Zeile von A zur i-ten addiert, sonst aber alles unver-

10. Linearformen, Vektoren, Matrizen.

31

ändert läßt. Welche Wirkung haben diese drei Matrizen, wenn man A hinten mit ihnen multipliziert ? Man bilde noch aus Ui (t) und Wik eine Matrix, die bei vorderer Multiplikation die mit t multiplizierte Zote Zeile von A zur i-ten addiert. (Auch hier gilt natürlich die stillschweigende Voraussetzung von Aufg. 4, 5.) Falls man die gesuchten Matrizen nicht sofort findet, kann man sie in der Form (tu) mit unbestimmten tu ansetzen. Man bilde sodann die Produkte ((,%•)• A und erhält auf Grund der Eindeutigkeit (vgl. (1.)) einfache Gleichungen für die ta.

7. Existiert zu einer n-reihig quadratischen Matrix A eine »-reihig quadratische Matrix A ^ 1 (bzw. A^ 1 ) derart, daß AA^1=E {A'^A^E) ist, so sagt man, Aä"1 sei eine h i n t e r e (A7 1 eine vordere) Reziproke zu A.1) — Man beweise: Sind A B ^ 1 h i n t e r e {A^ 1 , fí.71 vordere) Reziproke zu den w-reihig quadratischen Matrizen A, B, so ist B^1 A^1 eine hintere (B~r A^1 eine vordere) Reziproke zu AB. Man hat das assoziative Gesetz der Matrizenmultiplikation anzuwenden.

8. Man beweise: Existiert zu einer w-reihig quadratischen Matrix A eine hintere (vordere) Reziproke, so kann es zu A nicht mehr als eine vordere (hintere) Reziproke geben. Existieren hintere und vordere Reziproke zu A, so sind beide einander gleich; Bezeichnung dann einfach A~1. Man multipliziere die hypothetischen Gleichungen YlA = E und Y2A = E (AXx = E und AX2 = E) hinten mit A^1 (vorne mit A ~ v ) und hat damit den Beweis für beide Behauptungen.

9. Man bestätige die Behauptung in Anm. 1 nach Def. 28 über das innere Vektorprodukt. Was entsteht bei dieser Matrizenauffassung aus dem inneren Produkt zweier Vek') Vgl. hierz uauch Satz 18 [52], sowie die späteren Aufg. 1, 3, 4 zu § 14

32

1, III. Determinantenfreie lineare Algebra.

toren a = (a k ) (einzeilige Matrix) und b = Matrix) bei Vertauschung der Faktoren? Die n-reihig quadratische Matrix

(&,•) (einspaltige

a*).

10. Man beweise: Das Linearformensystem

n 4=1

aik xk

(i = 1 , . . . , m) mit der Matrix A = ( a ^ ) kann in der einfachen Form geschrieben werden, wo £ als einspaltige Matrix (Xj) aufgefaßt ist.

Das folgt unmittelbar aus der Definition des Matrizenprodukts in Aufg. 3. m

11. Wie

kann ferner das lineare

Kompositum

als Matrizenprodukt geschrieben werden?

c w o c = (ck) (einzeilige Matrix). — Nach Aufg. 4 brauchen keine Klammern gesetzt zu werden.

12. a) Man schreibe die quadratische Form Ax^

+

2Bx1x2

+

GX22

als Produkt dreier Matrizen. b) Ebenso schreibe man die bekannten Transformationsformeln für die Drehung eines rechtwinkligen kartesischen Koordinatensystems um den Winkel « als Produkt zweier Matrizen, und zwar auf zwei Arten. c) Man führe diese Transformation mit der Form a) durch und gebe die neuen Koeffizienten durch Matrizenprodukte wieder. Zu a): Man benötigt u. a. die Matrix ( ^ Zu b): J = J ' T oder j = T ' j ' , wobei T eine zweireihige quadratische Matrix ist, deren Elemente aus sin « und cos a gebildet werden. (Vgl. Aufg. 10 für m — » = 2). Zu c): Man wende das assoziative Gesetz (Aufg. 4) an.

13. Man beweise die Transpositionsregel (AB)' = B'A'. Wie hängt hiernach bei quadratischem A die Reziprokenfrage für A' mit der für A zusammen?

Die Transpositionsregel ergibt sich durch Hinschreiben der Ausdrücke, wie sie sich für beide Seiten aus den Definitionen ergeben. Es folgt: Ist A]l"1 eine hintere eine vordere] Reziproke

11. Inhomogene und homogene lineare Gleichungssysteme.

33

eine vordere [(/l" 1 )' eine hintere] Reziproke

zu A, so ist zu A'.

14. Es sei n = v1 + v2 + (- v, eine Zerlegung von n in ganze positive Summanden vlt v2,..., vT. Dementsprechend sei das quadratische Schema der (w, w)-reihigen Matrizen A in rechteckige Teilmatrizen eingeteilt: Vi vr Vi

¿11

¿12

¿xr

V2

¿21

¿22

¿2r

Ar\

¿7-2

Äff

•

Vr

Man beweise: Sind _ A = ( 4 ) und B = (B„) (t, * = 1, 2 r) zwei nach diesem Schema eingeteilte Matrizen, so ist in derselben Einteilung

Die Matrizen A aus den Matrizen Atx multiplizieren sich also nach einer zur Definition des gewöhnlichen Matrizenprodukts (Aufg. 3) ganz analogen Eegel. Man bestätigt das leicht durch Anwendung der in Aufg. 3 gegebenen Multiplikationsdefinition, indem man die Summe, welche das Element in der t-ten Zeile und fc-ten Spalte der Produktmatrix AB darstellt, entsprechend der zugrunde liegenden Einteilung des quadratischen Schemas in Teilsummen zerlegt.

§ 11. Inhomogene und homogene lineare Gleichungssysteme. 1. Wie können die linearen Gleichungssysteme (J.), (H.), ( H \ ) mittels des Matrizenprodukts geschrieben werden? Siehe § 10, Aufg. 16. 3

H a s s e , Aufgabensammlung

34

1, TIT. Deterniinantenfieie lineare Algebra

2. Die w-gliedrigen Vektoren über dem Körper K bilden eine abelsche Gruppe @ bezügl. der Addition (§ 6, Beisp. 1). ] )ie Lösungen von (H.) (einschl. der identischen Lösung) bilden eine Untergruppe § von Die Lösungen von ( J . ) bilden eine Restklasse nach § in Siehe Satz 47, 46 und Satz .19 [55], 3. Man bestimme ein Fundamentallösungssystem das aus der einen Gleichung

für

Zi + • • • + z« = 0 (n ^ 2) bestehende homogene System. Die n—1 Vektoren 0, . . 0 , e, -e, 0, . . , 0 sind a) linear unabhängig, b) Lösungen der Gleichung, und gestatten c) jede Lösung linear aus ihnen zu komponieren. 4. Wie läßt sich demnach die allgemeine Lösung dieser Gleichung durch unabhängige Parameter darstellen ? 5. Wie lautet demnach die allgemeine Lösung des aus der einen Gleichung * * ' %n ^ bestehenden inhomogenen S y s t e m s ? Eine spezielle Lösung läßt sich hier sofort angeben (wenn ne 0 ist, sogar in symmetrischer Form). Dann wende man Satz 46 an. =

6. Wie läßt sich die Tatsache, daß die Vektoren tcv . . . , £ s Lösungen von (H.) sind, durch ein einziges Matrizenprodukt ausdrücken ? AX=0, wo A die (m, n)-reihige Matrix von (H.) und X die aus den . . . , £ s als Spalten gebildete (n, s)-reihige Matrix ist. 7. Welche notwendige Einschränkung für die Seiten des inhomogenen Systems Xy

#2 — (w ^ 2)

Xn—

Xn

j

— (In— l Xi nr (Xn Xn

rechten

12. Das Toeplitzsche Verfahren.

35

ergibt sich aus der ohne weiteres ersichtlichen Abhängigkeit der linken Seiten? Man wende Satz 48 und Aufg. 3, 4 an. § 12.

Das Toeplitzsche Verfahren.

1. Es sei C eine m-reihig quadratische Matrix mit einer vorderen Reziproken C ( § 10, Aufg. 7). Durch vordere Multiplikation mit C werde aus dem Gleichungssystem

(J.)

das Gleichungssystem

(Je)

AI=cl

CATC=CÜ

hergeleitet. Jedes so entstehende System (Je) werde mit (J.) v e r k o p p e l t genannt. — Man zeige, daß die Verkoppelung eine Äquivalenzrelation im Sinne von § 2, (I.) ist, und daß verkoppelte Systeme äquivalent im Sinne von Def. 30 sind. Man beachte, daß (J.) aus (Jc) durch vordere Multiplikation mit zurückgewonnen werden kann, sowie § 10, Aufg. 5, 7. 2. Man bestätige, daß die im Beweis des Toeplitzschen Satzes konstruierte Äquivalenzbeziehüng zwischen (J.) und (J 0 ) eine Verkoppelung ist. Wegen der Transitivität der Verkoppelung (Aufg. 1) genügt es, das einzeln für die beiden Schritte des Toeplitzschen Verfahrens, d. h. einerseits für (J.) und (J 0 ), andrerseits für (J 0 ) und (J 0 ) festzustellen. Für den e r s t e n Schritt hat man (J 0 ) durch Hinzufügen von m — r Nullgleichungen als formal m-gliedriges System zu deuten. Man muß sich dann klarmachen: a) Aus dem so verstandenen (J 0 ) entsteht (J.) durch vordere Multiplikation mit einer Matrix des Typus

) • — Hierzu

beachte man die Relationen (5.), (6.), sowie § 10, Aufg. 3, b). b) Diese Matrix besitzt eine vordere Reziproke. — Eine solche kann hier unter Beachtung von § 10, Aufg. 14 ohne weiteres hingeschrieben werden, nämlich | ^ J ^ 3*

36

1, III. Determinantenfreie lineare Algebra.

Für den zweiten Schritt ist ähnlich nur zu zeigen, daß die Matrix C rechts in (7.) eine vordere Reziproke C~l besitzt. Dann hat auch die für die Zusammensetzung mit dem ersten Schritt (Mitführung der m — r Nullgleichungen zu bildende m-reihig quadratische (CO \ ' (n-1 0 \ Matrix I n „ eine vordere Reziproke, nämlich «

\0 Em_rJ

v

\0

Em_J

Die Existenz von C " kommt auf die Auflösbarkeit des mit C gebildeten linearen inhomogenen Gleichungssystems für jeden der Einheitsvektoren auf der rechten Seite hinaus. Diese steht rekursiv (von unten nach oben) sicher; siehe den Schluß des Beweises des Toeplitzschen Satzes. 1

3. Um auch die im Beweis des Toeplitzschen Satzes „nur aus bezeichnungstechnischen Gründen" gemachten speziellen Annahmen über die Reihenfolge der Gleichungen der Aufg. 2 unterzuordnen, zeige man: Auch die durch eine beliebige Umordnung der Gleichungen eines Systems zustande kommende Äquivalenzbeziehung ist eine Verkoppelung. Eine Umordnung wird erzeugt durch vordere Multiplikation mit einer Matrix P, die in jeder Zeile und in jeder Spalte an genau einer Stelle das Einselement e, sonst lauter Nullen hat (vgl. § 10, Aufg. 6). Zu einer solchen Matrix P kann man leicht eine vordere Reziproke angeben, nämlich die transponierte P'. 4. Man führe das Toeplitzsche Verfahren für das Gleichungssystem

Xi durch.

4 " ®a = Xg = dg

Siehe die Erl. zu § 10, Aufg. 1, b). § 13.

Lösbarkeit und Lösungen linearer Gleichungssysteme.

1. Man beweise, daß die notwendige Lösbarkeitsbedingung für ( J . ) (Satz 48 [81]) hinreichend ist (Satz 49), direkt, ohne vom Toeplitzschen Satz Gebrauch zu machen, durch vollständige Induktion nach der Anzahl n der Unbekannten.

13. Lösbarkeit und Lösungen linearer Gleichungssysteme. 37 Zur Zurückführung von n auf n— 1 Unbekannte setze man für xn ein passendes Element f n ein. Um dies f festzulegen, unterscheide man zwei Fälle: a) xn ist als lineares Kompositum der darstellbar: Dann setze man Zn=clal+ •••+ cmamDies S n hängt wegen der notwendigen Lösbarkeitsbedingung nicht von den ev. auf mehrere Arten bestimmbaren cv ..., cm ab. b) xn ist nicht als lineares Kompositum der f ; ( j ) darstellbar. Dann wähle man f B beliebig (etwa = 0). Man betrachte dann das neue System a il X1 + • • • + «¿,»-1 xn-l - - ai~aiJn (' = !> • • m) mit n — 1 Unbekannten, und hat festzustellen, daß es ebenfalls die notwendige Lösbarkeitsbedingung erfüllt. Dies folgt daraus, daß eine lineare Relation zwischen den neuen linken Seiten, die nicht auf eine solche zwischen den alten /'¿(j) zurückgeht, eine Darstellung von xn als lineares Kompositum der f.(j) nach sich zieht, woraus nach der Bestimmung von f n im Falle a) das Bestehen derselben linearen Relation auch für die neuen rechten Seiten gefolgert werden kann. 2. Man beweise, daß mehr als m m-gliedrige Vektoren stets linear abhängig sind (Hilfssatz 1 [85]), anders gesagt, daß (H.) für n > m stets lösbar ist, direkt, ohne vom Toeplitzschen Satz Gebrauch zu machen, durch vollständige Induktion nach m. Zur Zurückführung der Behauptung über (H.) von m auf m— 1 Gleichungen unterscheide man wieder die zwei Fälle a) und b) der Erl. zu Aufg. 1. Im Falle a) sind die linken Seiten des nach der Einsetzung xn = 0 entstehenden homogenen Systems a

n xi + ' * * + ai, n-l xn-i "0 = 1 '») linear abhängig, dies System reduziert sich also weiter durch Weg lassen einer linear abhängigen auf m—1 Gleichungen für n—1 > m—1 Unbekannte. Im Falle b) erfüllt das nach der Einsetzung xn = e entstehende System

38

1, III. Determinantenfreie lineare Algebra. a

il * ! + • • • + "¿,„-1 = — "in die notwendige Lösbarkeitsbedingung, und man ist auf Aufg. 1 zurückgeführt. 3. Im Beweis von Satz 52 wird unter a) die triviale Tatsache festgestellt, daß, wenn alle f t = Osind, alle j Lösungen von (H.) sind. — Man zeige direkt, ohne vom Toeplitzschen Satz und dem mit seiner Hilfe bewiesenen Satz 52 Gebrauch zu machen, daß umgekehrt, wenn alle £ Lösungen von (H.) sind, alle = 0 sind. Die zu beweisende Relation A = 0 folgt spaltenweise durch Einsetzen der u Einheitsvektoren C j , . . t n für r. 4. Die Lösungsgesamtheit von (H.) kann beschrieben worden als die Gesamtheit 33 derjenigen w-gliedrigen Vektoren £>, die mit m gegebenen Vektoren ctf, den Zeilen der Matrix A von (H.), und somit mit der Gesamtheit 91 der linearen Komposita a aus den a,, das innere Produkt ab = 0 ergeben.— Man zeige, daß diese Beziehung zwischen den beiden Vektormengen 9t und ÜB umkehrbar ist, d. h. daß 21 seinerseits die Gesamtheit aller w-gliedrigen Vektoren o ist, die mit den sämtlichen Vektoren b aus 33, oder — was dasselbe besagt — auch nur mit den n — r Vektoren b;- eines Fundamentallösungssystems von (H.), das innere Produkt ab — 0 ergeben. — Zur Herstellung voller Symmetrie und Analogie mag dann noch in der zuerst gemachten Feststellung die Menge 2t als Gesamtheit der linearen Komposita aus den r Vektoren eines Maximalsystems linear unabhängiger unter den a; beschrieben werden (Hilfssatz 2 [86]), oder auch von vornherein ohne Einschränkung r = m vorausgesetzt werden. Sei 21' die Gesamtheit der n mit n6 = 0 für alle 6 aus 33. Dann ist jedenfalls Teilmenge von 9t'. Nun kann 2t' gedeutet werden als die Lösungsgesamtheit des linearen homogenen Systems rb; • 0 ( j = l , . . . , w — r). Man wende Satz 52 auf dies System an, um zu zeigen, daß für es die zuvor definierten r Vektoren o.; ein Fundamentallösungssystem bilden und somit 2t = 21' ist.

14. Der Fall m = n.

39

5. Man zeige in Umkehrung zu § 12, Aufg. 1, daß äquivalente Systeme verkoppelt sind, zunächst für homogene Systeme. Nach (lein zum ersten Schritt des Toeplitzschen Verfahrens in § 12, Aufg. 2 Festgestellten ist jedes homogene System / ¡ ( j ) : 0 verkoppelt mit demjenigen homogenen System, das sich durch Beschränkung auf ein Maximalsystem linear unabhängiger fa ergibt; unter Beachtung des dort über die Verknüpfung des ersten mit dem zweiten Schritt Gesagten kann man also ohne Einschränkung annehmen, daß die beiden äquivalenten homogenen Systeme aus linear unabhängigen Linearformen gebildet sind. Wegen der Äquivalenz haben sie dann nach Satz 52 dieselbe Anzahl r von Gleichungen. Jetzt wende man Aufg. 4 an, nach der die r Zeilenvektoren der Matrix jedes der beiden Systeme je ein Fundamentallösungssystem ein- und desselben (aus der gemeinsamen Lösungsgesamtheit der ursprünglichen Systeme entspringenden) homogenen Gleichungssystems sind. Hieraus folgert man leicht die zu beweisende Verkoppelung (Beweis zu Satz 51). 6. Man zeige, daß auch für (lösbare) inhomogene Systeme umgekehrt aus der Äquivalenz die Verkoppelung folgt. Sind -- - a, Bx, -—- b die beiden Systeme, und ist j 0 eine spezielle Lösung, so liefert die Substitution ty = j — j 0 zwei äquivalente homogene Systeme 4t) = 0, fitj 0; diese sind verkoppelt gemäß Aufg. 5, und daraus ergibt sich eine Verkoppelung der beiden ursprünglichen Systeme vermöge derselben verkoppelnden Matrix. 7. Man stelle ein Fundamentallösungssystem für das aus der einen Gleichung xx-\ xn = 0 bestehende homogene System nach der Methode des Beweises von Satz 52 (Toeplitzsches Verfahren) auf und entwickle die Beziehung zu dem in § 11, Aufg. 3 angegebenen Fundamentallösungssystem nach dem Muster des Beweises zu Satz 51 (lineare Darstellung beider Systeme durcheinander). § 14. Der Fall m = 11. 1. Man beweise: A besitzt dann und nur dann eine hintere Reziproke, wenn A regulär ist.

40

1, III. Determinantenfreie lineare Algebra.

Man wende Satz (46, 48, 49)a an, indem man beachtet: Die Existenz einer hinteren Reziproken zu A ist mit der Lösbarkeit des zu A gehörigen Systems (J.) bei jedem der n Einheitsvektoren e j , . . . , e„ und daher bei jedem beliebigen Vektor a rechts, gleichbedeutend. 2. Man beweise: A' ist dann und nur dann regulär, wenn A regulär ist. Das folgert man sofort aus Satz (52, 53, 54) a. 3. Man beweise: A besitzt dann und nur dann eine vordere Reziproke, wenn A regulär ist. Das folgert man durch Kombination von Aufg. 1, 2 und § 10, Aufg. 13. 4. Hintere und vordere Reziproke zu A existieren demnach, wenn überhaupt (nämlich wenn A regulär), beide gleichzeitig und sind dann eindeutig bestimmt und einander gleich (§ 10, Aufg. 8). — Man zeige, daß die lösende Matrix A* zu regulärem A mit der Reziproken AT1 übereinstimmt. Das folgt ohne weiteres durch Umdeutung von Teil a) des Beweises von Satz 55 in den Matrizenkalkül; siehe das in der Erl. zu Aufg. 1 Gesagte. 5. Unter welcher Bedingung für ihre vier Koeffizienten ist die allgemeine zweireihig quadratische Matrix A regulär? Wie lautet dann ihre lösende Matrix? Die Bedingung lautet: ana22 — ana21 =(= 0. Dafür, daß sie hinreichend ist, sowie für die letzte Frage siehe •— falls nötig — die auf den Fall n — 2 bezüglichen Bemerkungen nach Def. 38 [113], Daß sie notwendig ist, bestätige man etwa gemäß Satz (52, 53, 54) a, indem man die Relation a u o 2 2 — a12 a 21 = 0, soweit möglich, als nichtidentisches Erfülltsein entweder von (H.) oder von (HZ) deutet; der Fall, wo keins von beiden geht, ist trivial. § 15.

Die Tragweite der determinantenfreien linearen Algebra.

1. Man führe im Körper aus 0 und e allein (§ 1, Beisp. 4) das Toeplitzsche Verfahren genau nach dem Schema von § 12

15. Die Tragweite der determinantenfreien linearen Algebra.

41

in endlich vielen Schritten durch und bestätige dabei insbesondere auch das Erfülltsein der notwendigen Lösbarkeitsbedingung für das Gleichungssystem % + X±

+ x3 + x4 + x5 ~ 0 + «3 + xt + % = 0 X2 ~f- X4 — 6

^3 = Als Multiplikatoren für die lineare Komposition und insbesondere für ev. lineare Abhängigkeiten kommen nur 0 und e in Frage. Man kann für jeden nach dem Schema auszuführenden Schritt schnell alle in Frage kommenden Kombinationen durchprüfen. 2. L ä ß t man in den Körperaxiomen § 1, (c.) das kommutative Gesetz (2.) der Multiplikation fallen und ergänzt nur dementsprechend die dadurch unsymmetrisch gewordenen Gesetze (5.), (6.), (7.) durch analoge Forderungen bei vertauschter Faktorenfolge, so entsteht der Begriff S c h i e f k ö r p e r . — Man zeige, daß die in §§ 1 0 — 1 4 erhaltenen Kesultate über lineare Gleichungssysteme bei richtiger Festlegung der Faktorenfolge auch in einem Schiefkörper K gelten. Indem man überall auf die Faktorenfolge als wesentlich achtet, stellt man fest: Satz 44 [75] bleibt gültig, wenn man die Multiplikatoren et als hintere Faktoren nimmt, entsprechend den ersichtlichen Einschränkungen in Satz 43 [74], Mit dieser auch weiterhin sinngemäß zu machenden Modifikation bleiben auch Satz 46, 47 [80] gültig. Ferner bleibt Satz 48 [81] gültig, nur muß man in seinen Zusätzen, wie überhaupt fernerhin, ( I I / ) mit umgedrehter Faktorenfolge (also Koeffizienten h i n t e n ) verstehen. Mit den angegebenen Modifikationen gelten dann alle in §§ 12—14 hergeleiteten Tatsachen. In Satz 53 [97] ist natürlich, entsprechend der Modifikation bei (HZ), r' als Maximalanzahl linear unabhängiger Spalten bezüglich linearer Komposition mit h i n t e r e n Faktoren zu verstehen, während sich r bei den Zeilen auf v o r d e r e Multiplikation bezieht. Auf die Frage des Zusammenhangs zwischen (H.) und dem transponierten Gleichungssystem mit v o r n e stehenden Koeffizienten, oder also zwischen den Maximalanzahlen linear unabhängiger Zeilen und Spalten beidesmal bezüglich v o r d e r e r Multiplikation, erhält man so keine Antwort.

42

1, IV. Lineare Algebra mit Determinanten.

1, IV. Lineare Algebra mit Determinanten. § 16.

Permutationsgruppen.

1. Es sei $ irgendeine n - g l i e d r i g e P e r m u t a t i o n s g r u p p e , d . h . irgendeine Untergruppe von • h ) t hat. Man braucht dazu nur auf eine Ziffer i = i x aus (Eg sukzessive die Permutationen P , P 2 , . . . . aus iß anzuwenden. 9. E i n e Permutation der Gestalt P =

( " ' '

V)

\hh---hl

kurz

auch

P =

(i, L . . . L ) ,

W 2

'

heißt ein v - g l i e d r i g f i r Z y k l u s . — M a n bilde die Potenzen P ° ,

, P ± 2 , . . . von P . Welche Ordnung (§ 8, Aufg. 5 ) hat P ? Die positiven (negativen) Potenzen ergeben sich durch „zyklische" Verschiebung der unteren Zeile i x . . . iv von

P

± l

P° = E = ^ ' "

nach links (rechts) um soviel Einheiten, wie

der Exponent angibt. 10. Gemäß Aufg. 2, 8, 9 besitzt jede Permutation P eine eindeutig bestimmte Z e r l e g u n g i n z i f f e r n f r e m d e Z y k l e n . — Man führe diese Zerlegung für die Permutationen aus ©3, ©4 durch. Etwa Q

=

(143),

Q

= (

i

3 )

( 2 4 ) .

11. Man beweise: Zwei w-gliedrige Permutationen P , R sind dann und nur dann innerhalb der Gruppe , die durch die Deckbewegungen von aus Y hervorgehen. — Man zeige, daß die Vi bei den Deckbewegungen von eine transitive M-gliedrige Permutationsdarstellung $ von © vermitteln. Man bestätigt leicht: a) Jede Deckbewegung S von bewirkt eine Permutation P,s der MV b) Der Nacheinanderausführung zweier Deckbewegungen 8, S' entspricht die Nacheinanderausführung der Permutationen Ps, Ps>. c) Jede Teilfigur H^ geht in jede andere Y . durch eine geeignete Deckbewegung S von über. 25. Wie läßt sich die Erzeugung der eben behandelten Permutationsdarstellung iß durch eine Untergruppe von © (Aufg. 22) von der Figur und der Teilfigur V aus charakterisieren ? Siehe Aufg. 23 und § 9, Aufg. 1, c), e). 26. Wann ist Sß nicht nur homomorph sondern sogar isomorph ? 4

H a s s e , Aufgabensammlung

50

1, IV. Lineare Algebra mit Determinanten.

Dann und nur dann, wenn der in Aufg. 23 genannte Normalteiler 31 = 6 ist; nach Aufg. 25 und § 9, Aufg. 1 also dann und nur dann, wenn allein die identische Permutation Deckbewegung für alle Teilfiguren Yj gleichzeitig ist.

27. Man wende die Ergebnisse der Aufg. 24—26 auf das reguläre n-Eck, w-eckige Dieder, Tetraeder, Oktaeder, Ikosaeder als Figur und eine Ecke, Fläche, Kante selbst oder eine Achse durch eine Ecke, Flächenmitte, Kantenmitte als Teilfigur V an und zähle die so resultierenden transitiven Permutationsdarstellungen der Gruppen % (§ 6, Aufg. 2), D, ^ (§ 9, Aufg. 4) nach ihrer Gliederzahl und dem zugehörigen Normalteiler im Sinne von Aufg. 23 auf. Insbesondere beweise man so: S 3 s 9t3, 2) 3 s s

3 — 1 — 1 4—2 1 2 — 2 5 ,

1231 804 7 6 5 |,

\a 0 b 0 < 0 IcOd

2. Man schreibe den Ausdruck für die Determinante der allgemeinen 4-reihig quadratischen Matrix A = (aik) hin. Die Permutationsvorzeichen kann man entweder direkt nach Def. 37 [109] bilden oder auch durch Zyklenzerlegung gemäß § 16, Aufg. 16, 17.

17. Determinanten.

51

3. Man berechne mit der erhaltenen allgemeinen Formel die folgenden speziellen 4-reihigen 1 — 2 0 3 — 4 - 1 1 2 —

1 2 — 0 — G

Determinanten: a 0 b 0

0

0 t 0 u 1 c 0 d 0 3 0 V 0 w 3 j Diese unbeholfene direkte Berechnung soll die Überlegenheit der späteren Methoden (§§ 1 8 , 1 9 ) hervortreten lassen. 4. Man berechne die folgenden Determinanten: «11

0

0

«in

«91

«n—l,tt an,n—1

anl

• • «i

C'nn

• 0

1 «1 n

•

o

« n - 1,1 «nl -""

ü 0 •

0

ann 0

aln

.

anl

an2

an

Für die erste Determinante wende man direkt Def. 38 an und beachte, daß in einer Permutation P = ^ j 4= E für mindestens ein i gelten muß Pi > i. Die weiteren Determinanten ergeben sich dann mittels Satz 64, 65; oder man kann sie auch in derselben Weise wie die erste direkt berechnen. 5. spricht

Jeder Permutation eine Matrix Ap,

P =

I

J

nämlich die

(i = 1 , . . . , n)

ent-

Koeffizientenmatrix

der n Linearformen xp. (vgl. § 12, Aufg. 3). — Welchen W e r t hat | AP | ? Man entnimmt den Wert unmittelbar aus Satz 65. 6. Welchen W e r t hat allgemeiner die Determinante der Koeffizientenmatrix der n Linearformen atxPi ? 4'

52

1> IV. Lineare Algebra mit Determinanten.

Auch das kann man leicht aus Satz 65 und der im Anschluß an Def. 38 gegebenen speziellen solchen Determinante entnehmen. 7. Es sei xik (i, k = 1 , . . . , n) ein System von n 2 Unbestimmten über K. Man beweise, daß die Determinante | xik | =j= 0 ist. Man mache sich klar, daß die Definitionsformel (Def. 38) der Determinante \xn\ gleichzeitig deren Normaldarstellung (Def. 9 [38]) als Element von K[xlv x12,..., xnn] ist. Auf Grund des Einsetzungsprinzips genügt es auch, auf die Existenz von n-reihig quadratischen Matrizen A mit | A | 4= 0 hinzuweisen, z. B. A — E. § 18.

Unterdeterminanten und Adjunkten. Der Laplacesche Entwicklungssatz. 1. Wie lautet die Zerlegung in transitive Bestandteile (§ 16, Aufg. 2—4) für die dem Beweis von Satz 66 zugrunde liegende Permutationsgruppe ß;»,,..,•„} ? Es sind zwei transitive Bestandteile vorhanden, entsprechend der Zurückf ührung von CR s auf R und S. Diese sind zu S v und ©„_,, isomorph. 2. Man berechne durch Entwicklung nach den Elementen einer Zeile oder Spalte die in § 17, Aufg. 1—3 genannten Determinanten. Man sucht sich dazu zweckmäßig eine Zeile oder Spalte aus, die möglichst viele Nullen enthält. Für die 4-reihigen Matrizen in Aufg. 2, 3 mag man die nötigen Unterdeterminanten 3-ten Grades auf entsprechende Weise berechnen. 3. Man beweise durch vollständige Induktion die in § 17, Aufg. 4 festgestellten Formeln. Dazu benutze man die Entwicklung nach einer Reihe mit n — 1 Nullen. 4. Man berechne die in § 17, Aufg. 2, 3 genannten Determinanten durch Entwicklung nach den Unterdeterminanten eines Zeilen- oder Spaltenpaares. Von den 6 Adjunkten eines Reihenpaares haben 4 das eine 2 das andere Vorzeichen (nicht etwa 3 das eine, 3 das anderel) 5. Im Anschluß an die letzten Determinanten in § 17, Aufg. 1, 3 berechne man allgemein die Determinante einer schachbrettartig besetzten quadratischen Matrix:

18. Unterdeterminanten und Adjunkten. 0

'«11 0 M =

I

&11 0

«21 0

b

22

0

a

0

K

0

«12 0

12

¿22

Durch Zeilen- und Spaltenumordnung kann man M in M0 =

IA

L

0

^

überführen, wo A= (am) und B = (Jjt); ist die Reiherizahl von M gerade, gleich 2n, so sind A und B beide M-reihig; ist die Reihenzahl von M ungerade, gleich 2n — 1, so ist A n-reihig, B (n — 1)reihig. Die Determinante von M0 kann ohne weiteres aus dem Laplaceschen Entwicklungssatz abgelesen werden [Entwicklung nach den ersten Zeilen oder Spalten*)]. Man kann auch ohne vorherige Zeilen- und Spaltenumordnungen von vornherein nach dem mit Elementen a ^ besetzten Zeilen- oder Spaltensystem entwickeln. 6. Man berechne die Determinante 0.

0

0

Arr

wobei die Aw und 0 Teilmatrizen im Sinne einer Einteilung der in § 10, Aufg. 14 beschriebenen Art bedeuten. Man wende am einfachsten vollständige Induktion nach r an (vgl. Aufg. 3) und entwickle etwa nach dem Zeilensystem von Arr. 7. E s sei A = (aik) eine M-reihig quadratische Matrix, A = ( « , * ) ihre adjungierte Matrix, und u = (ui) eine ngliedrige Spalte, b = (v k ) eine n-gliedrige Zeile. Man beweise die Relation A

b

u = 0

—

2 oca Ui 1,4=1

vk.

Man entwickle die (n-\- l)-reihige Determinante zunächst nach ihrer letzten Zeile und dann die in dieser Entwicklung auftretenden w-reihigen Determinanten nach ihrer letzten Spalte. ') Siehe dazu auch noch den späteren Satz 69 [128],

54

1, IV. Lineare Algebra mit Determinanten. § 19.

Weitere Determinantensätze.

1. Man berechne die numerischen Determinanten in § 17, Aufg. 1, 3, indem man zunächst durch Zeilen- (Spalten-) kombination gemäß dem Zusatz zu Satz 71 alle Elemente einer Spalte (Zeile) bis auf eines zu 0 macht und dann nach dieser Spalte (Zeile) entwickelt. "Wieder wird man sich zur Entwicklung zweckmäßig eine solche Reihe aussuchen, in der schon möglichst viele Elemente 0 sind. Z. B. in der ersten Determinante von § 17, Aufg. 1 wird man etwa die mit 2 multiplizierte erste Spalte von der zweiten und die mit 3 multiplizierte erste Spalte von der dritten subtrahieren und dann nach der ersten Zeile entwickeln. 2. Man berechne in derselben Weise die 5-reihige Determinante 1 2 3 4 5 2 3 4 5 1 3 4 5 1 2 4 5 12 3 5 1 2 3 4. Man mache etwa zuerst alle Elemente der ersten Spalte bis auf das erste zu 0 und verfahre dann ebenso mit der dann verbleibenden 4-reihigen Determinante (in der man nach der Bemerkung hinter Satz 68 alle Minuszeichen weglassen kann). 3. Daß die erste Determinante in § 17, Aufg. 3 den Wert 0 hat, kann man auch leicht mittels Satz 71 einsehen. Die Spaltensumme ist 0. 4. Man berechne die V a n d e r m o n d e s c l i e D e t e r m i n a n t e der Elemente a^ . . . , a n : 7 K ,

. . . , « „ ) =

| a n~ k

|

(i, k =

1 , . . n ) .

Man substrahiere der Reihe nach die mit an multiplizierte zweite Spalte von der ersten, die mit an multiplizierte M-te Spalte von der (n— l)-ten und entwickle dann nach der w-ten Zeile. Dadurch reduziert sich die Berechnung von Via^ . . . , an ) auf die von T 7 ^ , . . . . a n _±).—Resultat: ...,an) = I K ^ — n X — Man berechne damit auch [

1

iie v-to abgeleitete (adjungierte) Matrix eines Produkts AB = C ist das Produkt der v-ten abgeleiteten (adjungierten) Matrizen der Faktoren: C

M

=

Ä

W

p(v) =

A(v)

ß (v)_

Für die erstere Regel wende man Aufg. 9 auf eine Zeiienkombination {ilt..., {„} von A als (v, w)-reihige Matrix und eine Spaltenkombination { f c j , . . . , kv} von B als (n, v)-reihige Matrix an. Für die letztere Regel verfahre man entsprechend, nur hat man noch eine einfache Vorzeichenbetrachtung anzufügen.

12. Wie drückt sich die in Satz 72 erhaltene Erweiterung des Laplaceschen Entwicklungssatzes durch zwei Matrizenprodukte aus? Ä(v)

( A ( * > ) ' = (AW)'A ( , , ) = \A\ E

.

\vj 13. Man beweise hiernach: Eine w-reihig quadratische Matrix A hat dann und nur dann eine Reziproke A"1, wenn =)= 0 ist 1 ). Wie drückt sich dann A _ 1 durch die Elemente von A aus ? (Vgl. hierzu den Spezialfall in § 14, Aufg. 5.) Ist AX = E oder YA = E, so folgt | A | 4= 0 nach dem Determinantensatz für das Matrizenprodukt (Aufg. 7, '8). Ist | A | 4= 0, so ist \A\~1 A' vordere und hintere Reziproke zu A nach Aufg. 12.

14. Wie kann im Falle | A | =f= 0, | B | 4= 0 die zweite Regel in Aufg. 11 aus der ersten gefolgert werden ? Nach Aufg. 12, 13 ist für | A | + 0 auch | A(v) | =§= 0 und (A*"')' = \A\(A(v^)~1. Man verbinde dies mit der entsprechenden Tatsache für B und beachte § 10, Aufg. 7 , 1 3 .

15. Man beseitige die Einschränkungen | A 1 0 , | B \ 4= 0 in Aufg. 14 durch Betrachtung von Matrizen aus Unbestimmten. ' ) Siehe hierzu auch § 14, Aufg. 1—4, sowie die späteren Sätze 74, 79, 81, [132, 142].

59

19. Weitere Determinantensätze.

Ist xiJc, ijik (i, h = 1 , . . . , n) ein System von 2» Unbestimmten über K, und werden aus ihnen die Matrizen X = (xik), Y = (yik) über K[xiv ..xnn, yn,..., ym) gebildet, so ist \X | #= 0, | Y | + 0 (§ 17, Aufg. 7). Nach Aufg. 14 gilt daher die zu beweisende zweite Regel aus Aufg. 11 für X, Y. Nach dem Einsetzungsprinzip folgt dann die Gültigkeit für beliebige Matrizen A, B über K. 2

16. Mit A(,,) bezeichneten wir die r-te adjungierte Matrix zu A, d. h. die Matrix aus den

Adjunkten v-ter Ordnung

von A. Davon ist zu unterscheiden die r-te abgeleitete Matrix zu A, d. h. die Matrix aus den ( ^ j Unterdeterminanten r-ten Grades der (ersten) adjungierten Matrix A(1) = A zu A. Wir bezeichnen die letztere mit A w . — Welche Beziehung besteht zwischen A

w

und A M ?

Man wende Aufg. 11 auf die in Aufg. 12 speziell festgestellte Beziehung AA'= | A | E an und vergleiche mit der allgemeinen Beziehung aus Aufg. 12. Den Fall | A \ = 0 behandle man wie in Aufg. 15.

17. Man beweise durch Spezialisierung auf v = 2 die Formeln

18. Man beweise: Sind in einer (m, m + r)-reihigen Matrix (A B), wo A m-reihig quadratisch und B (m, r)-reiliig ist, alle diejenigen Unterdeterminanten m-ten Grades gleich 0, die aus m—1 Spalten von A und einer Spalte von B gebildet sind, während die aus den m Spalten von A gebildete Unterdeterminante | A 14= 0 ist, so ist B = 0. — Man benutze dazu die (m + l)-rciliig quadratischen Matrizen

wo a» die i-to Zeile von A und 64 die Je-te Spalte von B bezeichnet.

60

1> IV. Lineare Algebra mit Determinanten.

Entwickelt man | nach der letzten Zeile, so folgt |Mjj,| = 0 auf Grund der gemachten Voraussetzung. Entwickelt man | Mik | nach der letzten Spalte, so folgt | Mm | = ± | A | unter Beachtung von Satz 70. 19. Von einer n-reihig quadratischen Matrix A sei bekannt, daß für ein festes v mit 0 < v < n ihre v-te abgeleitete Matrix A(y) = E^ ist. — Man beweise (gestützt auf Aufg. 18), daß dann A — eE mit sv = e ist. Um zu zeigen, daß aa = 0 für i =)= k ist, betrachte man die (v, n)-reihige Matrix aus der i-ten und v — 1 anderen Zeilen h> • • -i i'v i v o n A. Nach der Voraussetzung ist dann von deren Unterdeterminanten v-ten Grades genau eine von Null verschieden (gleich e), nämlich die den Spalten i, iv ..., iv_1 entsprechende (Hauptunterdeterminante von A). Nach Aufg. 18 folgt also aik — 0 für k =# i, iv . . . , i' v _ 1 . Wegen v < n kann bei gegebenem k =f= t stets ein (v—l)-gliedriges, ¿und k nicht enthaltendes Zeilensystem iv ..., ausgewählt werden. Von den an weiß man jetzt, daß alle v-gliedrigen Produkte aus ihnen mit je v verschiedenen Indizes i gleich e sind. Daraus folgt ohne weiteres, daß alle au einander gleich sind und der Relation = e genügen. 20. Man beweise die Invarianz der D i s k r i m i n a n t e D = B2 — AG der quadratischen Form Axj2 + 2 Bx^ + Cx22 bei Drehung des Koordinatensystems (allgemeiner: bei einer linearen Transformation mit der Determinante ± 1). un( w e n Man beachte, daß D = — | B C | ^ d e § 10, Aufg. 12 sowie Aufg. 7, 8 an. (Bedeutung in der Theorie der Kegelschnitte ?).

§ 20.

Anwendung der Determinantentheorie auf lineare Gleichungssysteme im Falle m = n.

1. Man löse die folgenden (im Körper P verstandenen) Gleichungssysteme nach der Cramerschen Regel auf: n x 1 + 2x2 = a 1 a) | 4iJ/j ~f~ öiZ/g ßjj

20. Anwendung der Determinantentheorie für m = n. b)

c)

61

i x1 + 2x2 + 3x3 = at | 2xx + 3x2 + 4x3 = a2 ^ -f- 4x2 -f- öx3 ~ ötg, x± -(- x2 = x2 x3 — h gesetzt, so daß X = (xu) (i, k = 1 n) eine schiefsymmetrische Matrix ist. — Im Anschluß an § 19, Aufg. 5 beweise man: Für gerades n ist | X | das Quadrat einer ganzen rationalen Funktion / der xik über K: \X\ = f . Man mache sich klar, daß aus X durch Einsetzen von Elementen da aus K für die Unbestimmten xik jede schiefsymmetrische Matrix A über K gewonnen werden kann, falls K die Eigenschaft 2e 4= 0 hat 1 ). Den Beweis führe man durch vollständige Induktion nach n, und zwar — von der Feststellung im Falle n — 2 abgesehen — in folgenden Schritten: a) Entwicklung von | X | nach den Elementen der w-ten Zeile und Spalte gemäß § 18, Aufg. 7. — Die Koeffizienten dabei sind die Adjunkten (n — 2)-ten Grades !{i,n}{*,»>= Ii* (», & = 1 , . . . , » — 1 ) von X. b) Nachweis, daß deren Matrix E = (£ ik ) symmetrisch ist, auf Grund von § 19, Aufg. 5, c). c) Nachweis der Kelationcn £ t t2 rt i £ \=iii?kk— iik Skk | auf Grund von Aufg. 5. d) Anwendung der InduktionsVoraussetzung auf die also ¿¡u = rjl mit ganzen rationalen Funktionen rji der xik über K, und Vorzeichenfestlegung bei diesen derart, daß die Relationen £ ik = rj i rj k (i, k = 1 , . . . , n—1) gelten. ') Vgl. Anm. 1 zu § 19, Aufg. 6. F ü r K mit 2e = 0 siehe auch die spätere Aufg. 13 zu 2, § 4.

21. Der Rang einer Matrix. Zu a).

f>5

Gemäß der Definition der x ^ lautet die fragliche Ent-

wicklung hier | X | =

11-1

t,

„

tikxinxkn>

so

d^ß

Nachweis d) die

n—l Behauptung mit f = r/i xr-n ergibt. 1 ¿=i Zu b). Hier wird die Voraussetzung gebraucht, daß w gerade ist. Zu c). £ ist die adjungierte Matrix zu derjenigen Matrix Xdie aus X durch Streichung der w-ten Zeile und Spalte entsteht Für diese ist | X | = 0 bekannt nach § 19, Aufg. 5, a). Zu d). Die i n sind Determinanten von schiefsymmetrischen (n—2)-reihigen Teilmatrizen von X, also nach der Induktionsvoraussetzung Quadrate ganzer rationaler Funktionen rj i der xik über K. Legt man dabei das Vorzeichen von r^ willkürlich fest [es ist ??! =f= 0 gemäß § 19, Aufg. 5, b)] und die Vorzeichen von t ] 2 , . . V n — i so> d a ß I n = Vi Vk = 2 , . . . , n) ist [das geht gemäß den Relationen c)], so sind die übrigen in d) genannten Relationen von selbst erfüllt, wie aus b), c) und den aus derselben Quelle wie c) fließenden Relationen Sil

J*! = lii!tt-lnfi* = 0 :

hervorgeht. 7. Bei gegebener Matrix A mögen alle Matrizen der Form ("o o)'

a S0 a u s

'

^ durch Hinzufügen beliebig vieler Null-

zeilen unten und Nullspalten rechts entstehen, als untereinander gleich bezeichnet werden. In diesem Sinne können Matrizen A und B ganz beliebiger Reihenzahlen miteinander addiert und multipliziert werden, und Summe und Produkt sind im selben Sinne unabhängig davon, wieviele Nullzeilen und Nullspalten man an A und B anfügt, um zu im bisherigen Sinne miteinander addierbaren oder multiplizierbaren Matrizen zu kommen. Ebenso ist der Rang von A invariant in diesem Sinne. Ferner sind so die abgeleiteten Matrizen A g.

16. Man beweise hiernach: Für eine n-reihig quadratische reguläre Matrix A sind auch alle abgeleiteten Matrizen

Aund

alle adjungierten Matrizen A W regulär, während für singuläres A auch alle A(p\ A w singulär sind. Welche Beziehung besteht zwischen | AM | und | A w | ? Für das letztere wende man § 19, Aufg. 12 an.

17. Mittels des eben festgestellten Resultats gebe man einen neuen Beweis für den in Aufg. 5 erhaltenen Tatbestand. Man beachte dazu, daß A = a' 1 ' und quadratische Matrix A denselben Rang haben.

für eine n-reihig

18. Zwei w-reihig quadratische Matrizen A, B heißen ä h n l i c h , wenn eine reguläre w-reihig quadratische Matrix P existiert, derart, daß B = P~~lAP ist, also B durch Transformation mit P aus A entsteht. — Man zeige, daß die Ähnlichkeit eine Äquivalenzrelation im Sinne von § 2, (I.) ist. § 2, (*.), (ß.), (y.) folgen aus der Gruppeneigenschaft der regulären Matrizen (Aufg. 8) und aus Satz 15 [61].

19. Man beweise: Ähnliche Matrizen haben charakteristische Polynom (§ 19, Aufg. 6).

dasselbe

*) F ü r die völlige B e s t i m m u n g dieser D e t e r m i n a n t e n siehe die s p ä t e r e n A u f g . 30—32 zu 2, § 2; f ü r v = 1 schon § 20, Aufg. 6.

70

1, IV. Lineare Algebra mit Determinanten.

Man zerlege die Matrix xE — B auf Grund von P 1 P = E gemäß § 10, Aufg. 4 in drei Faktoren und wende § 19, Aufg. 7, 8 an. 20. Eine n-reihig quadratische Matrix A, f ü r die A2 = A ist, heißt i d e m p o t e n t . •— Man beweise: Ist A idempotent E 0\

(

Q 6 o j , und umgekehrt. Der Fall q = 0 ist trivial. Für q > 0 folgt aus A2 — 4 = (A — E) A = 0, wenn man eine reguläre Matrix P aus q linear unabhängigen Spalten von A als q ersten und dazu geeignet gewählten Spalten als n — o letzten bildet (analog wie A im Beweis von Satz 76), eine Transformation von A in die Gestalt wo wegen des Ranges (Aufg. 11) notwendig Y = 0 ist. Die verE e — JL \] ,0 En—e! in die behauptete Gestalt Uber. Die Umkehrung folgt einfach aus § 10, Aufg. 14.

(

§ 22.

Anwendung der Determinantentheorie auf Gleicliungssysteme im allgemeinen Falle.

lineare

1. Man bestimme ein Fundamentallösungssystem für die homogenen Gleichungssysteme (H.) und (HZ), die den beiden letztgenannten Matrizen in § 21, Aufg. 1 entsprechen. Man wende Satz 82 an. 2. Es sei (H.) ein homogenes Gleichungssystem mit (m, m-J-l)-reihiger Matrix A vom Range m. Man stelle die einfache Regel auf, nach der sich in diesem Falle ein Fundamentallösungssystem gemäß Satz 82 bilden läßt. Xk = a.]c, wo txje die durch Streichung der /c-ten Spalte von A gebildete Unterdeterminante mit dem Vorzeichenfaktor (— l ) t — 1 [oder natürlich auch (—1)*] ist. 3. Man bestimme demgemäß ein Fundamentallösungssystem f ü r das (im Körper P verstandene) homogene Gleichungssystem

1. Der Fundamentalsatz von der eindeutigen Zerlegbarkeit.

71

x1 + 4x3 + xi = 0 — 2xt + ?>x2— x3 + 2xt ~ 0 Xi — 2x2 — Gxt = 0 • 3 ~f~ 3 cc^ — 0 (vgl. § 17, Aufg. 3 und § 21, Aufg. 1). 4. Man bestimme die Lösungsgesamtheit der beiden (im Körper P verstandenen) inhomogenen Gleichungssysteme (vgl. § 21, Aufg. 1) x1 +

x2 + 2x2 +

x3 + 3X3+

= 0 4X^ =

2

2xx + 3X2 + 4X3+ bxt = 2 5«! + lx2 + 9xs + l l a ^ 4 lx1 + 10x2 + 13Z 3 + 16xt ~ 6

2x1 +

3X2 +

5X3 =

11

4 % +

6X2 +

10^3 =

22

8xt + 12x2 + 2Cte3 = 44 10®! + lbx2 + 25x3 = 55

a) nach der Methode von Satz 83, b) nach der Methode von Satz 83, Zusatz 1. Dabei überzeuge man sich vom Erfülltsein der notwendigen Lösbarkeitsbedingung a) nach der Methode von Satz 48, Zusatz 2 [82], b) nach der Methode von Satz 83, Zusatz 2. 5. Man behandle die in § 11, Aufg. 3—-5, 7 determinantenfrei behandelten Gleichungssysteme jetzt auch mit den determinantentheoretischen Methoden.

2, I. Die linken Seiten algebraischer Gleichungen. § 1. Der Fundamentalsatz von der eindeutigen Zerlegbarkeit in Primelemente in K[x] und r. 1. Wann gilt in einem K ö r p e r f\g, wann nicht? Nach 1, § 1, (7.) sind die in Satz 1 aufgeführten Nichtteilbarkeitsrelationen die einzigen. 2. Man beweise das Teilbarkeitsgesetz: Aus gtg21 f j 2 und j11 gt (/L #= 0, gl 4= 0) folgt g2 \ f2. Das folgt etwa aus den Regeln in Satz 2, oder auch direkt auf Grund von Def. 1.

72

2, J. Die linken Seiten algebraischer Gleichungen.

3. Die Teilbarkeitslehre k a n n auch in einem beliebigen R i n g B entwickelt werden. Welche Modifikationen erfahren d a b e i die in S a t z 1 — 3 ausgesprochenen Teilbarkeitsgesetze? Man beachte, daß in B nicht notwendig ein Einselement vorhanden ist. Daher fallen e \ f, f \ f in Satz 1 im allgemeinen fort. Ferner ist die Bedingung h 4= 0 in Satz 2 durch „h regulär" (1, § 3, Aufg. 1) zu ersetzen. Hat B keine echten Nullteiler, so fällt die letztgenannte Modifikation fort. 4. W a s b e d e u t e t die Teilbarkeit im R i n g der geraden Zahlen ? f \ g für zwei gerade Zahlen f und g hat hier keineswegs dieselbe Bedeutung wie im Ring der ganzen Zahlen; z. B. ist hier 2 ^ 2 . 5. W a s b e d e u t e t die Teilbarkeit in einem Vollring ( ] , § 3. Aufg. 3 ) ? Hier sind Nichtteilbarkeitsrelationen nur für Nullteiler links vom Teilbarkeitsstrich möglich. 6. W a s b e d e u t e t die Teilbarkeit i m Integritätsbereich l~2 aller rationalen Zahlen der F o r m

m i t u n g e r a d e m g oder

= 0 (vgl. 1, § 1 , Aufg. 10)? 91 [h Die Relation -—in r 2 läuft auf g11 g2 in f hinaus. n, 2

7. Welches sind die E i n h e i t e n dieses Integritätsbereichs r 2 ? W a s b e d e u t e t d e m n a c h assoziiert in ["2? Die Einheiten sind die Zahlen ± 2" (n beliebig ganz). 8. M a n gebe ein vollständiges R e p r ä s e n t a n t e n s y s t e m der Klassen assoziierter E l e m e n t e in l~2 an. Etwa die positiven ungeraden Zahlen bilden ein solches. 9. Sind 2 u n d 6 Primelemente in l~2? Es ist gerade umgekehrt wie in 10. Welches sind die E i n h e i t e n i m Integritätsbereich l[a;] aller g. r. F k t . von x über einem beliebigen I n t e g r i t ä t s b e reich I? W a s b e d e u t e t d e m n a c h assoziiert in ? Man zeige ferner, d a ß die P r i m e l e m e n t e v o n 1 auch P r i m e l e m e n t e in l[a;] sind, u n d m a c h e sich im Hinblick auf die späteren Aufg. 23—27 zu § 2 vor allem die Verhältnisse in den Spezialfällen I = r , I = K [ z 0 ] klar (Satz 7).

1. Der Fundamentalsatz von der eindeutigen Zerlegbarkeit. Alles ergibt sich aus der (auch in

73

gültigen) Fortfiel (3.).

11. Man untersuche die E l e m e n t e ax + b, ax2 + bx + c aus K[z] d a r a u f h i n , ob sie P r i m e l e m e n t e sind. Man wende Satz 6, 9 zur Einengung der möglichen echten Teiler an. Resultat: a x + b ist Primelement dann und nur dann, wenn a 4= 0. Ist 2e = 0 in K, so ist ax2 + bx + c dann und nur dann Primelement, wenn c =j= au2 + bu mit u aus K ist (vgl. Aufg. 33 und § 7, Aufg. 13). Ist 2e 4= 0 in K, so dann und nur dann, wenn bz — 4ac nicht Quadrat eines Elements aus K ist. 12. Man bestimme n a c h dem Euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler der Polynome a) x5 + x* + 2a? + 2a;2 + %x + 1, rf + & + 3a2 + 2x + 2, (K = P ) ; b ) f(x), x—(K beliebig, « in K). Im letzteren Falle muß man unterscheiden, ob f(a) =f= 0 oder f{ot) = 0 ist. 13. Wie modifiziert sich das R e s u l t a t in Aufg. 12, a), wenn die P o l y n o m e über d e m K ö r p e r aus genau 2 E l e m e n t e n (0, e) oder d e m K ö r p e r aus g e n a u 3 E l e m e n t e n (0, + e) vers t a n d e n werden (vgl. 1, § 1, Beisp. 4; 1, § 1, Aufg. 7; 1, § 2, Aufg. 1 2 ) ? Im ersten Falle gar nicht, dagegen im zweiten um den Linearfaktor x — e. 14. Man beweise die folgende Regel f ü r das Rechnen m i t dem Symbol (/, g) f ü r den g r ö ß t e n gemeinsamen Teiler: (af + bg, cf + dg) = ( / , g), wenn ad— bc E i n h e i t , insbesondere stets (f + hg, g)=(f,g). Man wende Satz 14, (1.), (2.) und Satz 3 an. Man mache sich auch klar, daß die Einschränkung für ad — bc wesentlich ist. 15. M a n b e s t i m m e den g r ö ß t e n gemeinsamen Teiler von ax2 -j-bx + c, xn + ax2 -j-bx+c (n> 2). Das Resultat fällt verschieden aus, je nachdem c =)= 0, oder c = 0, b 4= 0, oder c = 0, b = 0, a + 0, oder c = 0 , 6 = 0 , a = 0 ist. 16. Man leite aus Satz 14 die E x i s t e n z u n d eindeutige B e s t i m m t h e i t des normierten k l e i n s t e n gemeinsamen

74

2, I. Die linken Seiten algebraischer Gleichungen.

V i e l f a c h e n v= { / 1 , / 2 } v o n jxund / 2 h e r , charakterisiert durch (a.) fi\v,U\v; (b.) aus fi\h, f2\h folgt v | h. Die eindeutige Bestimmtheit folgt formal analog zu der eindeutigen Bestimmtheit des größten gemeinsamen Teilers d. Die Existenz kann aus der Existenz von d erschlossen werden, indem man mittels Satz 14, (1.), (2.) zeigt, daß

die Eigenschaften

(a.), (b.) hat. 17. Wie l a u t e t d e m n a c h das kleinste gemeinsame Vielf a c h e der P o l y n o m e in Aufg. 12, a), b ) u n d Aufg. 13 ? 18. Man beweise analog zu Satz 15 die Regel {ti,U}9={fi9,U9}19. Wie d r ü c k t sich die T a t s a c h e , d a ß f 1 u n d / 2 teilerfremd sind, m i t t e l s ihres kleinsten gemeinsamen Vielfachen v aus ? v = a fl fs • 20. Man zeige d u r c h Bildung eines Gegenbeispiels, d a ß in Satz 16 die Voraussetzung, / u n d gi seien teilerfremd, wesentlich ist. Es genügt etwa, g2 = e und f als von Einheiten verschiedenen Teiler von g1 zu nehmen. 21. Man zeige entsprechend, d a ß in Satz 18 die Voraussetzung, j> sei P r i m e l e m e n t , wesentlich ist. Es genügt etwa, grg2 an Stelle von p zu setzen (glt g2 keine Einheiten). 22. Wie stellen sich auf Grund des F u n d a m e n t a l s a t z e s von d e r eindeutigen Primzerlegung g r ö ß t e r gemeinsamer Teiler d u n d kleinstes gemeinsames Vielfaches v zweier, in ihrer Zerlegung in P o t e n z e n verschiedener normierter P r i m elemente gegebener E l e m e n t e u n d f2 d a r ? Welche allgemeingültige Relation zwischen der nicht größeren Min (vv v2) u n d der nicht kleineren Max (vv v2) zweier ganzer Zahlen vlt v2 e n t s p r i c h t dabei der Relation dv = a / j / 2 ? Man setzt dazu zweckmäßig ft(i = 1,2) in der Form ft=oiniPiit

1. Der Fundamentalsatz von der eindeutigen Zerlegbarkeit.

75

an, also als Produkte über ein- und dieselben Primelemente pk (7c = 1 , . . ., s), indem man für die Exponenten vik auch den Wert 0 zuläßt, und gibt dann die entsprechende Darstellung von d, und v auf Grund von Satz 20, 21 und Satz 14, (1.), (2.) bzw. Aufg. 16, (a.), (b.) an. 23. Man beweise auch für Elemente /¿ ( i ~ 1 , . . . , r) in beliebiger Anzahl r, die nur nicht sämtlich Null sind, die Existenz und eindeutige Bestimmtheit des größten gemeinsamen Teilers d = (/x fT) und kleinsten gemeinsamen Vielfachen v = {/l5..., fr} und verallgemeinere auch die weitere in Satz 14 gegebene Tatsache für d (Darstellung als lineares Kompositum), sowie die Sätze 15, 16, 21—23 und die Resultate der Aufg. 14, 18, 19, 22 dementsprechend. Man kann entweder die Beweise direkt gleich für r Elemente analog zum Fall r = 2 durchführen — man spart dann im Beweis der Eindeutigkeit der Primzerlegung den Ubergang von Satz 18 zu Satz 19 —, oder auch —• wie dort — vollständige Induktion nach r anwenden, gestützt auf die dann zur D e f i n i t i o n zu verwendenden Relationen (ffl

/r-l).

fr)=. Bei der ersteren Beweisart beweise man diese Relationen. — Die Relation dv=af1f.¿ (Aufg. 16) verallgemeinert sich n i c h t auf beliebige r. 24. Man beweise die folgenden Regeln für das Rechnen mit dem Symbol (/, g): a) (A, 9Ú (/ 2 , 'h) = (/1/2. / i ^ - 9ih, M i ) , b) (A g f = ( f , 9 n ) c) Sind / 1 , . . . . , fT von Null verschieden und p a a r w e i s e fr

teilerfremd, so sind die gi= li

(i—

1, . .., r)

insge-

s a m t teilerfremd, d. h. es ist (g^'...., gr) = e. Wie lauten die a), b) entsprechenden Regeln für das Symbol {/, 0 } ? a) folgt durch zweimalige Anwendung von Satz 15 (siehe auch die Erl. zu Aufg. 23). Für b) wende man den Fundamentalsatz

76

2, I. Die linken Seiten algebraischer Gleichungen.

von der eindeutigen Primzerlegung mit der in Satz 21 ausgesprochenen Folgerung an, oder auch — nach leichter Reduktion auf den Fall (f, g)= e — wiederholt den Satz 23. c ) fließt aus den gleichen Quellen wie a ) .

25. Der Eindeutigkeitsnachweis F . läßt sich nach Z e r m e l o auch sehr kurz indirekt führen. Man benötigt dann von den Vorbereitungen in E . nur die Division mit Rest (Satz 13) und auch diese nur mit der schwächeren, fast unmittelbar zu beweisenden Bedingung | h \ < | g | statt | h | < | / |. — Man führe diesen Beweis nach den nachstehenden Richtlinien im einzelnen aus. Man betrachte ein (hypothetisches) Element / =f= 0 kleinsten Betrages mit nicht eindeutiger Primzerlegung [Prinzip ( 4 . ) ] : f = ap1---pr= ¿fr • • • qs, zeige, daß dann notwendig r 2 ; 2, s Jg 2 und pi =(=?,,

1 , . . . , r;

k = l , . . . . s) ist, und stelle einen Widerspruch her, indem man Pj durch g1 mit R e s t dividiert: Vi = g die Wurzel 0 haben.

2, III. Die Körper der Wurzeln algebraischer Gleichungen. § 7. Allgemeine Theorie der Erweiterungen 1. Grundlegende Begriffe und Tatsachen. 1. Man mache sich klar, daß die in 1, § 2, Aufg. 5 betrachteten Bereiche T [}/«] und P([/ft) und die in 1, § 4, Aufg. 2, 4 betrachteten Bereiche I {i0(x)] und K(s(x) die Zerlegungen von f(x), g(x) in K(/3), K(«) in irreduzible Faktoren. Man beweise, daß r = s ist und daß für die Grade fYl' VYl m^rii der rp^x), f j x ) (beipassender Reihenfolge) ~ ~ ~ gilt ( K r o n e c k e r s c h e r S a t z ) . Man stelle die Galoisgruppe © des Wurzelkörpers W von f(x)g(x) als Permutationsgruppe der Wurzeln «j, ßk von f(x), g(x) dar. Die in Aufg. 4 herausgestellte Struktur von © entspricht dann der Zerlegung dieser Permutationen entsprechend den beiden Systemen durch © transitiv verbundener Elemente, nämlich dem System der a j einerseits und dem System der ßa andrerseits (§ 16, Aufg. 2). Ist ¡Qß die zu K(ß) gehörige Untergruppe von ©, so entspricht die Zerlegung von f(x) in K(ß) den verschiedenen Systemen bei faß transitiv verbundener a ; (etwas allgemeiner als in § 17, Aufg. 16), und Gradvergleich in K(«i, ß) liefert min= mn{, wo «j der Grad des zu ß gehörigen irreduziblen Faktors y>i{x) von 9ix) in

19. Definition der Auflösbarkeit durch Wurzelzeichen.

153

K(a,;) ist. Man h a t nun auf Grund der in Aufg. 4 herausgestellten Struktur von © zu zeigen, daß die r Polynome y>i{x), wo a ; von jedem i(x) von g(x) in K(a) zugeordnet sind. Dazu wende man auf ^¿(x) jeweils einen solchen Automorphismus Si aus © an, der « j in — «2.

3. Man beweise die Aussagen unter b.) in Satz 123 durch ein analoges Verfahren wie in § 13, Aufg. 4, 5. An Stelle des dortigen Ubergangs von g(x) zu g(x — ne) hat man hier von g(x) zu ¡¡r(£—" x) (n = 1 p— 1) überzugehen.

4. Man beweise: Ist das Polynom f(x) aus l~[a;] beim Übergang zum Restklassenring t[x]p irreduzibel in P p , so ist es auch in P irreduzibel. — Kann der Beweis von Satz 123, b.) im Falle K = P für a aus T auf diese Weise geführt werden ? Man beachte § 2, Aufg. 24, sowie § 4, Aufg. 8.

5. Es sei K ein Körper mit von p verschiedener Charakteristik und das Element a aus K keine p-te Potenz in K. Man beweise, daß die Galoisgruppe @ von xv—a linear ist (§ 16, Aufg. 8). Wie ist das d aus § 16, Aufg. 11 bestimmt? Man verifiziere auch § 17, Aufg. 14 hier direkt. Nach Satz 123,124 und Satz 121,122 [131,132] enthält @ einen zyklischen Normalteiler 3 von der Ordnung p mit zyklischer Faktorgruppe einer Ordnung d\p — 1. Eine Erzeugende A von g wird durch («.->• C£ r " gilt, wo r eine primitive Wurzel mod. p und dn=p— 1 ist. Man bestimme dann ET1 AB und

6. Man verallgemeinere die Aussagen in Satz 123 auf ein reines Polynom xn—a von zusammengesetztem Grade n unter 11 Hasse, Aufgabensammlung

162

2, V.Auflösbarkeit algebr. Gleichungen durch Wurzelzeichen.

den Annahmen, daß K die w-ten Einheitswurzeln über K enthält und die Charakteristik von K nicht eine in n aufgehende Primzahl ist. Wie lautet die Zerlegung von x"— a in irreduzible Faktoren aus K? Wie stellt sich die Galoisgruppe des Wurzelkörpers W von xn — o über K dar und wie die Teilkörper von W über K ? Es kommt auf den kleinsten Exponenten n0 an, für den a n ° eine n-te Potenz in K ist, und auf dessen Komplementärteiler d in ». Als primitives Element des (eindeutig bestimmten) Teilkörpers vom Grade j kann die Potenz « m (« 0 = mj) einer Wurzel von xn—a genommen werden. 7. Unter den gleichen Annahmen über K seien zwei beliebige (nicht notwendig irreduzible) reine Polynome xn— Oj und xn—«2 vom Grade n in K gegeben. Man bestimme die Galoissgruppe © des Kompositums ihrer Wurzelkörper W j und W 2 und gebe eine Kennzeichnung des Grades d des Durchschnitts [ W l f W 2 ] ? Welche Beziehung zwischen at und a 2 ist insbesondere daher notwendig und hinreichend für W j i S W a und welche demnach für W t = W a ? (Für n = 2 vgl. schon § 7, Aufg. 9—11.) Man wende die in § 18, Aufg. 4 entwickelte Theorie an. Sind a 2 je eine Wurzel, so stellt sich @ durch Substitutionspaare £"»1, dar, wobei die Exponenten Vj, v2 erstens durch die Analoga dv d2 zu dem d aus Aufg. 6 teilbar und zweitens noch untereinander durch eine Kongruenzbedingung verkettet sind, die sich aus dem in § 18, Aufg. 4 betrachteten Gruppenisomorphismus ergibt. Man beachte dazu die sich aus Satz 37 [34] ergebende Übersicht über alle Isomorphismen zwischen zwei zyklischen Gruppen gleicher Ordnung. Die Koeffizienten in der Kongruenzbedingung zwischen j>15 v2 sind zunächst nicht näher bestimmt. Um sie durch die gegebenen a l f a 2 zu kennzeichnen und damit dann auch die anderen Fragen so zu beantworten, daß nur die gegebenen a,, a 2 eingehen, empfiehlt es sich, in der Faktorgruppe St = K*/K*n zu rechnen, wo K* die Multiplikationsgruppe von K (1, § 6, Beisp. 1 [53]) bedeutet. Die Elemente von fil sind nach 1, Satz 34, 35 [65, 66] die Restklassen nach einer Kongruenzrelation = in K. Haben n,, n2 für W l t W 2 die Bedeutung des n 0 für W aus Aufg. 6, so gilt

21. Reine und zyklische Erweiterungen von Primzahlgrad. =

163

a 2 "» = l , und a , , a 2 erzeugen in ® zyklische Untergruppen

Slj, % der Ordnungen n l t n 2 , die zu den Galoisgruppen © ^ © 2 von W n W 2 isomorph sind. Man betrachte nun alle Relationen der Form a / ' a . / ' = 1 zwischen den Erzeugenden a l t a 2 und zeige, daß sie sämtlich formale Folgen der beiden genannten und einer einzigen weiteren sind, in welch' letztere der Grad d und die zuvor genannten Koeffizienten von vi, v.± eingehen; dazu studiere man das Verhalten der Potenzprodukte a ^ ' a . / ' bei GS. Durch die so erhaltene Aussage wird © explizit beschrieben und d gekennzeichnet. Man stellt überdies noch leicht fest, daß die Galoisgruppen © und @ 0 des Kompositums und Durchschnitts von W „ W 2 zum Kompositum bzw. Durchschnitt der Untergruppen 9 l „ 3 l 2 von S isomorph sind.

8. Man leite die in Aufg. 7 für W x ^ W 2 gefundene Bedingung auch auf andere Weise her, indem man ix1 durch die Basis e,tx2,.. .,« 2 "» —1 von W 2 darstellt und darauf die Automorphismen von W 2 anwendet. Man beachte, daß 04 dabei unter der Voraussetzung W t W2 in ein konjugiertes übergeht, dessen Basisdarstellung man auch direkt angeben kann, und benutze die Eindeutigkeit der Basisdarstellung.

9. Durch § 13, Aufg. 4 (vgl. auch § 15, Aufg. 4) wird das Analogon zu Satz 124 für Körper der Charakteristik p gegeben. Man beweise nunmehr in ümkehrung dazu auch das Analogon zu Satz 125 für Körper der Charakteristik p, also den Satz: Über einem solchen Körper K ist jede separable normale Erweiterung vom Grade p Wurzelkörper eines Polynoms der Form xp — x — a. Der Beweis kann weitgehend analog zum Beweis von Satz ] 25 geführt werden. hier

Anstelle der Summanden

die Ausdrücke

& A f t nehme man

als Summanden, wo sv =

p-1

&*Äti sv p=0 ist. Entsprechend dem zweiten Teil des Beweises hat man zu zeigen, daß v so wählbar ist, daß das (zu K gehörige) Element sv 4= 0 wird (Rückschluß auf die Determinante &\"An\, Separabilit ä t l ) . Für den ersten Teil des Beweises beachte man x? — 1 = x(x — e) •• • (x — (p — 1 ) e )

11»

164

2, V. Auflösbarkeit algebr. Gleichungen durch Wurzelzeichen.

(§ 5, Aufg. 1) und die daraus bei Ersetzung vun x durch x — 2) h a t im Sinne von § 3, Aufg. 16 die Primzahlpotenzinvarianten 2, 2"~ 2 . (Inwiefern k a n n m a n die Fälle v = 1, 2 als trivial beiseite lassen?). Welche S t r u k t u r h a t also T 2 * ü b e r P ? Welche Teilkörper gehören zu den beiden durch i 5 erzeugten zyklischen U n t e r g r u p p e n der Ordnung 2 v ~ z ? Die Elemente 5 und — 5 sind mod 2V von der Ordnung 2 V _ 2 und unabhängig von — 1. Als erzeugendes Element des Teilkörpers von T > , der bei dem der Restklasse von 5 entsprechenden Automorphismus invariant ist, erweist sich eine in T2v vorhandene primitive vierte Einheitswurzel. Der dadurch bestimmte Teilkörper T 4 = P (]/— 1 ) von T2v hat den Grad 2 über P. Ein erzeugendes Element des Teilkörpers von T 2 r, der bei dem der Restklasse von — 5 entsprechenden Automorphismus invariant ist, findet man in Gestalt einer Summe von zwei geeigneten primitiven achten Einheitswurzeln aus T 2 ». Der zugehörige Körper hat ebenfalls den Grad 2 über P und erweist sich als P ( / — 2 ) . 20. Wie stellen sich die p ' - t e n Einheitswurzeln über P durch Wurzelzeichen dar, wenn die Darstellung der p-ten Einheitswurzeln als bekannt angenommen wird, und wie demnach die n-ten Einheitswurzeln f ü r beliebiges n? Für welche n allein ist demnach das reguläre n-Eck mit Zirkel und Lineal konstruierbar? Die Polynome xpr~1 — f (C primitive p-te Einheitswurzel, p =f= 2) y 2 und ar — i sind irreduzibelinT p bzw. T 4 , und das erstere bleibt es auch bei Erweiterung von T durch diejenigen Einheitswurzeln, die

21. Reine und zyklische Erweiterungen von PrimzaMgrad.

167

zur Auflösung von T p gemäß Satz 126 erforderlich sind, wie man leicht auf Grund der Gradbestimmung in Satz 121 [131 ] und nach§ 20, Aufg. 8 bestätigt. Für zusammengesetztes n siehe die Erl. zu § 20, Aufg. 4. Für die Konstruierbarkeit schließe man nach der trivialen Reduktion auf Primzahlpotenzen p* analog wie im Spezialfall v= 1 (Resultat von G a u ß [134]). 21. Man stelle die 257-ten und die 65537-ten Einheitswurzeln durch reduzible Wurzelzeichen (Wurzeln reduzibler reiner Polynome) dar. x 257 — 1 und x 6 5 6 3 ' — 1 s i n d reduzible reine Polynome. — Man mache sich hiernach die Unnützlichkeit der Zulassung reduzibler Wurzelzeichen für die Erforschung der algebraischen Struktur der Kreisteilungskörper klar (vgl. die Anm. 1 vor Def. 39 [128]). 22. Man gebe ein primitives Element des im Kreisteilungskörper T P « (p 4= 2 ) über P enthaltenen zyklischen Körpers H vom Grade p über P an. Ist f eine primitive p 2 -te Einheitswurzel über P, so stelle man die p — 1 konjugierten zu f bzgl. H mit Hilfe einer gemäß der Erl. zu Aufg. 18 normierten primitiven Wurzel r mod. p auf. Analog zu Aufg. 11 genügt es wieder, zu zeigen, daß für deren Summe rj die p bzgl. P konjugierten rj, rj',..., j / p — 1 1 untereinander verschieden sind. Statt dessen kann man aber auch benutzen, daß diese konjugierten, die ja wegen der Normalität sämtlich zu H gehören und nach Satz 111 [109] entweder alle verschieden und dann primitive Elemente von H oder alle gleich und dann schon in P gelegen sind, mit dem p-gliedrigen System aus 0 und den p — 1 zu f bzgl. H konjugierten CrV (v = 0 , . . . , p — 2 ) durch ein lineares Gleichungssystem über T p mit regulärer Matrix zusammenhängen; dieses ergibt sich, indem man in den Darstellungen „m .

'

¿

f

(

,

=

o,...,

P

_i)

benutzt, daß (1 + p)ß = 1 + ¡ip mod. p2 ist, und dementsprechend die primitive p-te Einheitswurzel Cp = C0 aus Tp einführt. Auf Grund dieses Gleichungssystems ist jedenfalls rj, r\ , . .., ein primitives Elementsystem für T p , bzgl. T p , und es können somit rj, , . . . , r \ ( v ~ n i c h t in P liegen.

168

2, V. Auflösbarkeit algebr. Gleichungen durch Wurzelzeichen.

23. Unter denselben Annahmen über K wie in Aufg. 6, 7, 10 sei N eine zyklische Erweiterung vom Grade n über K. Ferner sei K0 ein Teilkörper von K derart, daß K separabel zyklisch über K0 ist. Gemäß Aufg. 10 sei N Wurzelkörper für das reine irreduzible Polynom xn—a aus K. Welche Bedingung für a ist notwendig und hinreichend dafür, daß a) N normal, b) N abelsch, c) N zyklisch über K0 i s t ? Wie lauten diese Bedingungen speziell, wenn «) hören, ß)

die n-ten Einheitswurzeln aus K schon zu K0 gen = p Primzahl und K0 = P, K = T „ ist ?

Zua). Sei« eine Wurzel von x n — a in N und 6'0 eine Erzeugende der Galoisgruppe ®„ von K bzgl. K0. Dann ist der Wurzelkörper zu x n — o S o über K konjugiert bzgl. K0 zu N. Man wende Def. 29 [84] und Aufg. 7 an. Resultat: a S j = akcn mit (k, n) = 1 und c aus K. Zu b). Ist N normal über K0 mit der Galoisgruppe ©, so entspricht S0 eine Restklasse & S von © nach dem Normalteiler Hierbei kann S eindeutig so normiert werden, daß