Aufgaben zur Festigkeitslehre [13., überarb. Aufl.] 9783486598568, 9783486591323

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Oldenbourg Lehrbücher für Ingenieure Herausgegeben von Prof. Dr.-Ing. Helmut Geupel

Das Gesamtwerk

Assmann/Selke, Technische Mechanik umfasst folgende Bände: Band 1: Statik Band 2: Festigkeitslehre Band 3: Kinematik und Kinetik Aufgaben zur Festigkeitslehre Aufgaben zur Kinematik und Kinetik

Aufgaben zur Festigkeitslehre von Prof. Bruno Assmann und Prof. Dr.-Ing. Peter Selke 13., überarbeitete Auflage

Oldenbourg Verlag München

Prof. Bruno Assmann lehrte über 30 Jahre lang an der Fachhochschule Frankfurt am Main. Sein Wissen und seine Erfahrungen aus der Lehre hat er in die drei Bände zur "Technischen Mechanik" und die dazugehörigen Aufgabensammlungen einfließen lassen. Prof. Dr.-Ing. Peter Selke lehrt seit 1992 Technische Mechanik, Maschinendynamik und Finite-Elemente-Methode an der Technischen Fachhochschule Wildau.

Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über abrufbar.

© 2009 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH Rosenheimer Straße 145, D-81671 München Telefon: (089) 45051-0 oldenbourg.de Das Werk einschließlich aller Abbildungen ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlages unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Bearbeitung in elektronischen Systemen. Lektorat: Anton Schmid Herstellung: Anna Grosser Coverentwurf: Kochan & Partner, München Gedruckt auf säure- und chlorfreiem Papier Gesamtherstellung: Grafik + Druck, München ISBN 978-3-486-59132-3

Vorwort Diese Aufgabensammlung ist eine Ergänzung des Lehrbuchs Technische Mechanik, Band 2, Festigkeitslehre. Dort sind in einer Vielzahl von Beispielen Lösungswege vorgeführt, Fragen gestellt und beantwortet und Schlussfolgerungen aus den Ergebnissen gezogen. Trotzdem ist eine zusätzliche Aufgabensammlung notwendig. Der Lernprozess verlangt zwingend die Durcharbeitung des betreffenden Sachgebiets und damit verbunden das unabhängige Lösen von Aufgaben. Erst dabei stellen sich Fragen, die man meint, geklärt und verstanden zu haben. Somit ist es letzlich nur auf diesem Weg möglich zu kontrollieren, ob und wie weit die Zusammenhänge verstanden wurden. Aus diesen Ausführungen folgt, dass es sich hier nicht um die „Buchbeispiele mit anderen Zahlen“ handelt. Wir haben auch hier versucht, Erkenntnisse über physikalische Zusammenhänge zu vermitteln, vorhandene zu festigen und anschaulich zu machen. Der Leser bleibt aufgefordert, die Ergebnisse in diesem Sinne qualitativ zu kontrollieren. Als Beispiel sei der Zusammenhang von Biegemomentenverlauf und Krümmung der Biegelinie genannt. Graphische Darstellungen machen physikalische Inhalte bildlich erkennbar. Die Deutung solcher Diagramme ist für eine ingenieurmäßige Arbeit unerlässlich. Der Msche Spannungskreis z.B. veranschaulicht die unübersichtlichen Gleichungen und ermöglicht das Hineindenken in die Vorgänge im Werkstoff. Die mit der 16. Auflage des Lehrbuchs Band 2, Festigkeitslehre, vorgenommene Aktualisierung der praktischen Festigkeitsberechnung findet in der Anwendung im Kapitel 10 hinsichtlich der Lösung der Übungsaufgaben und der Tabellen für die Sicherheitszahlen (Tabelle 5) und die Formzahlen gekerbter Bauteile (Tabellen 17 und 18) am Ende der Aufgabensammlung seine logische Fortsetzung. Die Aufgaben hierzu wurden vom Co-Autor entsprechend neu gerechnet. Dem Verlag, insbesondere dem Lektor Herrn Anton Schmid, danken wir für die gute Betreuung und Zusammenarbeit. Frankfurt am Main Berlin

Bruno Assmann Peter Selke

VI

Verwendete Bezeichnungen

Verwendete Bezeichnungen

Indizes

A a, b a, b, h, l, s C D, d E F f G I i K M M m N, n n P p q R, r R R S S S T

A, B, C, D bezogen auf die so bezeichneten Punkte A Ausschlag; Anisotropie a Abscheren; Ausschlag B Bruch b Biegung D Dauer d Druck; Größenabhängigkeit el elastisch erf erforderlich F Formänderung G Gewicht Grenz Grenz(wert) g Gestalt; Größeneinfluss gef gefordert K Knick; Kerb(e); gekerbt L Lochleibung M, m mittlere; Mittel. . . max maximal min minimal N Normwert n normal; Nenn. . . O Oberfäche; Rauheit o Oberspannung; Ausgangszustand p polar pl plastisch q quer/Querkraft r radial res resultierend S Schwerpunkt s Schub Sch Schwell. . . T Temperatur t Torsion; tangential; Zeit u Umfang; Unterspannung V Verfestigung; Oberflächenverfestigung v Vergleich; Volumen W Wechsel z Zug zd Zugdruck zul zulässig x, y, z Richtungssinn nach vorgegeα, ξ, η benem Koordinatensystem σ Normalspannung τ Tangentialspannung (Schubspannung)

u V W w x, y, z α β γ  ϕ η, ξ λ µ % σ τ χ ω

Fläche; Bruchdehnung Konstanten (Mittelspannung) Längen allgemein Integrationskonstante Durchmesser Elastizitätsmodul Kraft Spannungsfaktor Gleitmodul Flächenmoment 2. Ordnung Trägheitsradius Faktor; Beiwert Moment Mittelspannungsempfindlichkeit Masse; Maßstabsbeiwert Anzahl Stützzahl Leistung Flächenpressung Streckenlast; Zähigkeitskoeffizient Radius Zugfestigkeitskennwert Rauheit Schadenssumme Seil- bzw. Stabkraft Sicherheitszahl Sicherheitskennzahl; statisches Moment bezogene Formänderungsarbeit Volumen Widerstandsmoment; Formänderungsarbeit Durchbiegung Koordinaten Winkel; Formzahl; lineare Ausdehnungszahl Kerbwirkungszahl Winkeländerung; Volumendehnungszahl Dehnung; Kürzung Winkeländerung Biegelinie; Verdrehwinkel Koordinaten Schlankheitsgrad Querkontraktionszahl (Psche Zahl) Krümmungsradius; Dichte Normalspannung Schubspannung (Tangentialspannung) bezogenes Spannungsgefälle Winkelgeschwindigkeit

Inhaltsverzeichnis (Zahlen in Klammern bezeichnen Abschnitte im Lehrbuch) Vorwort

V

Verwendete Bezeichnungen und Indizes

VI

1

Einführung

1

2

Grundlagen

3

3

Zug und Druck 5 Spannungen bei Zug und Druck (3.2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Formänderung bei Zug und Druck (3.3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 Formänderungsarbeit bei Zug und Druck (3.4) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 Flächenpressung und Lochleibung (3.5) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

4

Biegung Biegemoment und Querkraft (4.4) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Axiale Flächenträgheits- und Widerstandsmomente (4.5) . . . . . . . . . . . . . . Anwendung der Biegegleichung (4.3/4.4/4.5) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Formänderung bei Biegung (4.6) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Profile mit zwei Symmetrieachsen bei schiefer Biegung (4.7.1) . . . . . . . . Hauptachsenproblem und schiefe Biegung (4.7.3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Formänderungsarbeit bei Biegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

Schub 35 Schubspannung im auf Biegung beanspruchten Balken (5.3) . . . . . . . . . . 35 Abscheren (5.5) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

17 17 22 25 28 31 32 33

VIII

Inhaltsverzeichnis

6

Verdrehung Verdrehung eines Kreiszylinders (6.2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Formänderung eines Kreiszylinders (6.2.2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Verdrehung beliebiger Querschnitte (6.3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Formänderungsarbeit bei Verdrehung (6.4) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41 41 43 46 48

7

Knickung 49 Schlankheitsgrad und Knickspannung für den Grundfall (7.3) . . . . . . . . . 49 Schlankheitsgrad und Knickspannung für die Knickfälle . . . . . . . . . . . . . . 50

8

Der ebene Spannungszustand 53 Das Hauptachsenproblem; der Msche Spannungskreis (8.2). . . . . . . . 53

9

Zusammengesetzte Beanspruchung 57 Addition von Normalspannungen (9.2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 Zusammensetzung von Normal- und Schubspannungen (9.3) . . . . . . . . . . 59

10

Rechnerischer Festigkeitsnachweis

11

Die statisch unbestimmten Systeme 69 Auf Zug (Druck) statisch unbestimmt beanspruchte Systeme (11.3) . . . . 69 Der statisch unbestimmte Biegeträger (11.4) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

12

Verschiedene Anwendungen Wärmespannungen (12.2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Umlaufende Bauteile (12.3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Zylinder und Kugel unter Innendruck (12.4) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

75 75 76 77

Lösungen Lösungen zu Kapitel 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lösungen zu Kapitel 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lösungen zu Kapitel 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lösungen zu Kapitel 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lösungen zu Kapitel 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lösungen zu Kapitel 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lösungen zu Kapitel 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lösungen zu Kapitel 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lösungen zu Kapitel 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lösungen zu Kapitel 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lösungen zu Kapitel 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

79 79 81 86 97 98 103 105 109 110 117 119

65

Inhaltsverzeichnis

IX

Tabellenanhang 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

Werkstoffeigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Elastizitätsmodul verschiedener Werkstoffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Zulässige Spannungen nach B in N/mm2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bezeichnung der Festigkeiten bei unterschiedlicher Beanspruchung . . . . Sicherheitszahlen im allgemeinen Maschinenbau nach FKM-Richtlinie Verhältnis von Streckgrenze und Zugfestigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Zulässige Abscherspannungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Voraussetzungen für die Gültigkeit der Biegegleichung . . . . . . . . . . . . . . . . Flächen- und Widerstandsmomente geometrischer Grundfiguren . . . . . . . Berechnungsgrundlagen für warmgewalzte Stähle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gleichung der Biegelinien für Träger konstanter Biegesteifigkeit . . . . . . . Rs Integrationstafel 0 Mi Mk · dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Verdrehung beliebiger Querschnitte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Knickspannung in σK in N/mm2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Knickfälle (E) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vergleichsspannung σv ≤ σzul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Formzahlen nach FKM-Richtlinie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bezogenes Spannungsgefälle nach FKM-Richtlinie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Die Stützzahl nχ in Abhängigkeit vom bezogenen Spannungsgefälle χ für Stahl und Gusseisen nach FKM-Richtlinie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Einflussfaktor der Oberflächenrauheit KO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Geometrischer Größeneinflussfaktor Kg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Konstanten zur Berechnung der Mittelspannungsempfindlichkeit . . . . . . Lineare Wärmeausdehnungszahlen für den Bereich von 0 ◦ C bis 100 ◦ C in K−1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Funktion q(x) (Streckenlast) für verschiedene Einzelheiten einer Belastung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

123 123 124 124 124 125 125 126 127 128 132 133 134 135 135 136 137 147 148 149 150 150 150 151

Hinweis Falls nichts Gegenteiliges in den Aufgaben formuliert ist, gilt: 1. Die Eigengewichte von Trägern, Wellen, Stützen, Seilen usw. werden nicht berücksichtigt. 2. Lager und Gelenke sind reibungsfrei.

1

Einführung

Hinweise zur Lösung von Aufgaben Der angehende Ingenieur sollte sich möglichst früh das exakte und systematische Arbeiten beim Lösen einer technischen Aufgabe aneignen. Dadurch werden Fehler vermieden und Kontrollen sind viel leichter, auch von anderen Personen, durchführbar. Nachfolgend sollen dafür einige Hinweise gegeben werden, die, sinngemäß angewendet, für alle technischen Aufgaben gelten. Eine gute Skizze des betrachteten Bauteils (Träger, Welle u.a.) erleichtert den Einstieg in die Aufgabe. Richtige Proportionen helfen, Trugschlüsse zu vermeiden. Am Bauteil wirkende Kräfte werden eingetragen und bezeichnet. Dieser Prozess wird „Freimachen“ genannt. Er ist in einem eigenen Kapitel 5 im Band 1 (Statik) ausführlich dargestellt. Zur Bestimmung der Schnittreaktionen sollte vor allem der im Stoff Ungeübte für jeden freigemachten Teilabschnitt eine neue Skizze anfertigen. Die verwendeten Gleichungen sollen in allgemeiner Form, am besten links außen, geschrieben werden, z.B. X Mx = 0 aF1 − bF2 = 0 σ=

Mb W

σ=

12 · 104 Ncm 1 cm2 N 4 N = 10 · = 100 3 2 2 12,0 cm cm 100 mm mm2

Es sollte soweit wie möglich mit allgemeinen Größen gearbeitet werden, da die Rechnung damit leichter kontrollierbar ist. Bei der Ausarbeitung der Lösung soll kein Schritt übersprungen werden, eventuell sind einzelne Schritte durch kurze Bemerkungen zu erläutern. Bei Zahlenwertgleichungen ist dringend zu empfehlen, die Maßeinheiten mitzuschreiben. Die reine Zahlenrechnung kann durch Anwendung der 10er-Potenzen übersichtlicher gehalten werden. Einige in der Festigkeitslehre verwendete Größen sind in den Normen, Taschenbüchern usw. in verschiedenen Einheiten gegeben. Das hat Einfluss auf die Rechentechnik. Im Prinzip handelt es sich um einfache Umrechnungen, die erfahrungsgemäß jedoch Schwierigkeiten bereiten und oft zu Dezimalstellenfehlern führen. Aus diesem Grunde soll an dieser Stelle etwas dazu ausgeführt werden.

2

Einführung

Beispiel Die Zugspannung in einem dünnwandigen, rotierenden Ring wird aus folgender Gleichung berechnet: σz = ρ · r2 · ω2 ρ ω

mit

ω = 2πn

Dichte des Werkstoffs Winkelgeschwindigkeit

r n

mittlerer Radius des Rings Drehzahl

Diese Gleichung soll für folgende Daten ausgewertet werden. ρ = 7,85 g/cm3 (Stahl); n = 100 s−1 ; r = 150 mm. g σz = 7,85 3 · 1502 mm2 · (2π)2 · 104 s−2 cm Für das Ergebnis wird N/mm2 angestrebt. Aus diesem Grunde müssen für die Einheit N = kgm/s2 die Masseneinheit kg und die Längeneinheit m eingeführt werden. Folgendes Verfahren wird dafür empfohlen. Im Nenner steht z.B. cm3 , es soll durch m3 ersetzt werden. Dazu wird mit dem Verhältnis cm3 /m3 multipliziert. Aus 100 cm/1 m folgt 106 cm3 /1 m3 . Sinngemäß wird mit den anderen Größen verfahren. σz = 7,85

g 106 cm3 1 kg 1 m2 2 2 · · · 150 mm · · 4π2 · 104 s−2 cm3 1 m3 103 g 106 mm2

Die unerwünschten Einheiten g; cm; mm kürzen sich heraus. Das Meter (m) darf zunächst nicht gekürzt werden, da es zur Bildung der Einheit Newton (N) benötigt wird. kg m2 kg m 1 = 70 · 106 2 · 2 = 70 · 106 N/m2 2 3 s m s m 2 N m σz = 70 · 106 2 · 6 = 70 N/mm2 m 10 mm2 σz = 70 · 106

Erst im letzten Schritt wird auf die geforderte Einheit N/mm2 umgerechnet. Ein Ergebnis muss immer kritisch und mit dem gesunden Menschenverstand daraufhin untersucht werden, ob es überhaupt technisch möglich ist. Zur Kontrolle sollten nach Möglichkeit die errechneten Werte in noch nicht benutzte Gleichungen eingesetzt werden. Auch ist manchmal eine Kontrolle durch eine andere Lösungsmethode möglich.

2

Grundlagen

2-1

Was ist eine Spannung?

2-2

Welche Arten von Spannungen gibt es?

2-3

Zu erklären sind die Begriffe Verlängerung, Dehnung, Bruchdehnung, Streckgrenze, Zugfestigkeit.

2-4

Was besagt das Hsche Gesetz?

2-5

Welche physikalische Bedeutung hat die vom σ-ε-Diagramm eingeschlossene Fläche?

2-6

Weshalb ergeben sich verschiedene Bruchdehnungen für Stäbe verschiedener Längen aus gleichem Werkstoff?

2-7

Die Begriffe „elastisch“, „plastisch“, „zäh“ und „spröde“ sind zu erklären.

2-8

Es gibt Bedingungen, die ein sprödes Verhalten eines sonst zähen Werkstoffes verursachen (geringe oder keine plastische Deformation beim Bruch). Welche Bedingungen sind das?

2-9

Was sind ruhende, schwellende und wechselnde Belastung?

2-10

Wie entstehen Dauerbruch und Gewaltbruch und wie unterscheiden sich die Bruchflächen?

2-11

Was sind Dauerfestigkeit, Wechselfestigkeit, Schwellfestigkeit?

2-12

Wie entstehen Kerbspannungen?

2-13

Die Begriffe „sehr kerbempfindlich“, „weniger kerbempfindlich“, „zäher Werkstoff“, „spröder Werkstoff“ sind einander zuzuordnen.

2-14

Wie ist der Begriff „Sicherheit“ definiert und wie wählt man zweckmäßig die Grenzspannung für verschiedene Werkstoffe und Belastungsfälle?

2-15

Welche Faktoren sollen bei der Wahl der zulässigen Spannung berücksichtigt werden?

3

Zug und Druck

Spannungen bei Zug und Druck (3.2) 3-1

Die Skizze zeigt eine Bruchsicherung. Sie besteht aus den Bauteilen ACD und BCE, die im Gelenk C verbunden sind. Der Rundstab DE soll bei einer Überlastung durch die Kraft F brechen und das System freigeben. Der Durchmesser d des Stabes ist allgemein und für die unten gegebenen Daten zu bestimmen. a = 200 mm; b = 10 mm; c = 100 mm; Rm = 370 N/mm2 ; F = 100 kN. d E

D C

c b

F Abb. A3-1

3-2

F A

a

a

B

Für einen lotrecht hängenden Stab ist in allgemeiner Form die Länge zu bestimmen, die infolge der Gewichtsbelastung zum Bruch führt. Diese Größe wird Reißlänge genannt. Sie soll für einen Stahl mit Rm = 700 N/mm2 ; ρ = 7,85 · 103 kg/m3 und eine Aluminiumlegierung Rm = 360 N/mm2 ; ρ = 2,8 · 103 kg/m3 berechnet werden. Die Ergebnisse sind zu diskutieren.

6 3-3

Spannungen bei Zug und Druck Die abgebildete Nietverbindung ist zentrisch mit F = 30 kN belastet. Für eine gleichmäßige Spannungsverteilung ist die maximale Zugspannung zu bestimmen. F

10 15

∅5

15 10

F

10

3

10

3×15

b

b

3 4

mm F

3-4

F

Abb. A3-3/33 A 5-13

Skizziert ist eine an zwei Flachstäben 40 × 7 aufgehängte Rolle. Zu bestimmen ist die Spannung in den Stäben für m = 4000 kg und β = 60◦ . A α B β

S

m Abb. A3-4

3-5

Ein gekröpfter Träger ist nach Skizze mit der Kraft F belastet und mit einem Rundstab bei B verankert. Dieser ist zu dimensionieren. Die allgemeine Lösung soll für F = 120 kN und σzul = 140 N/mm2 ausgewertet werden. A F

D

2a

a

B C a

a Abb. A3-5

3 Zug und Druck 3-6

7

Der skizzierte Träger ist mit zwei aneinandergelegten U-Profilen in B abgehängt. Für folgende Daten sind diese zu dimensionieren. a = 6,0 m; l = 8,0 m; σzul = 140 N/mm2 .

q = 100 kN/m;

β = 30◦ ;

a

β B q

A l

Abb. A3-6

3-7

Der skizzierte Hebebaum ist mit m = 3000 kg belastet. Der Zuganker AD besteht aus zwei U-Profilen, die für σzul = 140 N/mm2 zu dimensionieren sind. 1,0 m A

B

5,0 m C

0,20 m 1,0 m

D 1,50 m m Abb. A3-7 A4-17

8 3-8

Spannungen bei Zug und Druck Abgebildet ist eine Masse, die im Bedarfsfall das über die Rolle geführte Seil 1 spannen soll. Das geschieht dadurch, dass die Winde die Masse über einen Flaschenzug (Seil 2) anhebt. Für die gegebenen Daten ist die Spannung in beiden Seilen zu berechnen. m = 4000 kg; d1 = 20 mm; Füllfaktor x = 0,50.

S 1

d2 = 10 mm;

3 Rollen 2

Hinweis: Der Füllfaktor ist der Quotient aus „metallische Querschnittsfläche“ und „umschriebene Kreisquerschnittsfläche Seil“.

3 Rollen Winde

Abb. A3-8

3-9

Skizziert ist ein auf Zug beanspruchter Bolzen, der mit einer Kehlnaht auf eine Unterlage geschweißt ist. In allgemeiner Form ist eine Gleichung für die Abmessung a in Abhängigkeit von σzul , F und d aufzustellen. Diese ist für σzul = 80 N/mm2 ; F = 24 kN; d = 20 mm auszuwerten. Hinweis: Der Schnitt der Schweißnaht mit der Höhe a wird in die Anschlussebene (= Unterlage) geklappt.

d F

Abb. A3-9

a

3 Zug und Druck 3-10

9

Die Abbildung zeigt einen geschweißten Rohranschluss. In folgenden Schnitten sind die Spannungen zu berechnen: Rohr, Schweißnaht Lasche, Lasche an der Stelle der Bohrung. Die Schweißnahtdicke a = 3 mm wird für die Berechnung in die Anschlussebene geklappt. ∅56 ∅50 mm

3 15

Abb. A3-10/34

3-11

50

8

F=30 kN

8

Eine Rohrleitung ist nach Skizze blindgeflanscht. Es ist eine allgemeine Gleichung für die Spannung (axiale Richtung) in der Schweißnaht bei Überdruck p aufzustellen und für p = 40 bar; d = 150 mm; s = 5,0 mm auszuwerten.

s d Abb. A3-11

3-12

Skizziert ist eine Platte, die von einer Seilrolle zentrisch belastet wird. Sie ist mit vier symmetrisch angeordneten Schrauben befestigt. Für diese soll der Festigkeitsnachweis erbracht werden. Seilkraft S = 15,0 kN; β = 20◦ ; Schrauben M 12-4.8 (Rp02 = 320 N/mm2 ); Spannungsquerschnitt As = 84,3 mm2 ; dm = 10,86 mm; Mittlerer Kopfdurchmesser dmK = 15 mm; Reibung Unterlage µ = 0,08; Reibung Gewinde tan(α + ρ) = 0,16; Anziehmoment MA = 21 Nm.

10

Formänderung bei Zug und Druck Die Spannung im Spannungsquerschnitt soll 70 % von Rp02 nicht übersteigen. Hinweis: durch Setzen u.ä. verursachte Effekte werden nicht berücksichtigt.

β

β S

3-13

S

Abb. A3-12

Die Skizze zeigt einen schräg verschweißten Flachstahl, der zentrisch auf Zug belastet ist. Zu bestimmen sind Normal- und Schubspannung in der Schweißnaht. Lösung allgemein und für F = 15,0 kN;

b = 40,0 mm;

s = 5,0 mm;

β = 60◦ .

F

s b

β

F Abb. A3-13

Formänderung bei Zug und Druck (3.3) 3-14

Ein Zugstab aus Stahl (l = 100 mm, d = 10 mm) wird mit einer Kraft von 12 kN gezogen. Zu bestimmen sind Verlängerung, Dehnung, Querkürzung, Abnahme des Durchmessers, Änderung des Volumens.

3-15

Eine Zugstange der Länge L ist aus einem Werkstoff gefertigt, für den die Bruchdehnung δ angegeben ist. Zu bestimmen ist die voraussichtliche Verlängerung und Bruchdehnung der Zugstange bis zum Bruch. Die Lösung soll allgemein angegeben werden und für L = 2,00 m;

δ = 32 %;

genormter Probestab l = 100 mm.

3 Zug und Druck

11

3-16

Auf eine starr angenommene Welle (Durchmesser d) wird ein Bronzering aufgeschrumpft. Nach dem Erkalten soll im Ring eine vorgegebene Spannung σ wirken. In allgemeiner Form und für d = 200 mm; σ = 60 N/mm2 ist das Untermaß des Rings zu bestimmen.

3-17

Eine Kupferstange (Länge l; Durchmesser dCu ) ist mit einem Alu-Rohr (DAl /dAl = dCu ) ummantelt. Sie wird mit einer Kraft F auf Zug beansprucht. Zu bestimmen sind allgemein und für die gegebenen Daten die Spannungen in beiden Teilen und die Verlängerung der Stange. An den Enden sind beide Teile fest miteinander verbunden. F = 30,0 kN;

3-18

DAl = 30,0 mm;

dCu = 20,0 mm;

l = 6,00 m.

Drei Blöcke gleicher Abmessungen, jedoch aus verschiedenen Werkstoffen gefertigt, werden von zwei parallelen Platten zusammengedrückt. Aus der Annäherung der Platten ∆l sollen in allgemeiner Form die wirkende Kraft F, die Spannung σ in den einzelnen Blöcken und deren Verkürzung bestimmt werden. Die Gleichungen sind für (1) Stahl; (2) Kupfer; (3) Aluminium und für l = 120 mm;

∆l = 0,030 mm;

A1 = A2 = A3 = 2000 mm2

auszuwerten. F

1 2 3 Abb. A3-18

l

12 3-19

Formänderung bei Zug und Druck Es handelt sich um grundsätzlich die gleiche Aufgabe wie 3-18, jedoch sind hier die Blöcke anders angeordnet. Zu bestimmen sind die wirkende Kraft, die Spannungen, die Einzelverkürzungen allgemein und für l = 40,0 mm;

A = 2000 mm2 ;

∆lges = 0,030 mm.

F l

1 2 3

l l Abb. A3-19

3-20

Skizziert ist eine aus mehreren Abschnitten bestehende Rohrleitung, die zwischen starren Anschlägen liegt. Die beiden Flansche klaffen um den Abstand e. Allgemein und für die gegebenen Werte sind zu bestimmen a) die zum Schließen des Spaltes e notwendige Kraft F (Flanschschrauben), b) die Verlagerung der beiden Flansche beim Schließen des Spaltes. Rohr D/d l

1 60/50 12,0 m

2 40/32 5,0 m

3 50/42 4,0 m

e = 1,0 mm.

e

1

3-21

2

3

Abb. A3-20

Abgebildet ist eine Dehnschraube, die über eine Hülse eine Platte hält. Nach der Montage erfolgt in den Trennfugen ein Setzen der Verbindung. Damit wird eine beim Anziehen verursachte Dehnung der Schraube teilweise rückgängig gemacht. Das führt zu einem Verlust der Vorspannkraft. Ist dieser zu groß, muss die Schraube nach einer bestimmten Betriebszeit nachgezogen werden. Man kann das durch Verwendung längerer Schrauben vermeiden, da der gleiche Setzbetrag in einer längeren Schraube einen geringeren Spannungsabbau verursacht. Hier setzt diese Aufgabe an. Es soll für die

3 Zug und Druck

13

unten gegebenen Daten ein Diagramm „prozentuale Spannungsabnahme im Schraubenschaft“ in Abhängigkeit von der Hülsenlänge l1 gezeichnet werden. Für eine Anziehgenauigkeit von +/−15 % ist die mindestens notwendige Hülsenlänge anzugeben, für die ein Nachziehen nicht notwendig ist, weil der Spannungsverlust innerhalb der Anziehgenauigkeit liegt. Schrauben Festigkeitsklasse 8.8 (Rp02 = 640 N/mm2 ); Vorspannung nach Montage 80 % von Rp02 ; Setzbetrag für drei Trennfugen s = 16 µm; Flansch l2 = 20 mm.

d3 d2 d1 l1

l2

Abb. A3-21/22/23

3-22

Die abgebildete Schraube wird hydraulisch vorgespannt. Dazu wird der über die Mutter herausragende Gewindeteil gefasst und mit einer Hydraulik gezogen. Dabei wird die Mutter bis zum Anschlag auf die Hülse geschraubt. Nach dem Lösen der Hydraulik ist die Schraube vorgespannt. In allgemeiner Form sind in Abhängigkeit von der Hydraulikkraft Fh zu bestimmen: a) die Vorspannkraft FV , b) die Spannungen im Schraubenschaft und in der Hülse, c) die Längenänderung Schaft/Hülse, die sich beim Lösen der Hydraulik einstellt. Die Auswertung soll für folgende Daten erfolgen: Fh = 160 kN; Schraube M 30; d1 = 25,7 mm; d2 = 31,0 mm; d3 = 44,0 mm; rechnerische Hülsenlänge l = l1 + l2 = 120 mm.

14 3-23

Formänderung bei Zug und Druck Die skizzierte Schraube gehört zur Deckelbefestigung eines Druckbehälters. Folgende Daten sind gegeben: Durch Druck verursachte Deckelkraft Fges = 200 kN; 12 Schrauben M 16-6.8; Vorspannung Schraube (Montage) σV = 300 N/mm2 ; Gewindereibung tan(α + ρ) = 0,16; dm = 14,7 mm; Reibung Mutter µ = 0,08; dmM = 20 mm; d1 = 13,5 mm; d2 = 16,5 mm; d3 = 24,0 mm; l1 = 90 mm; l2 = 20 mm; Rechnerische Hülsenlänge l = l1 + l2 . Zu bestimmen sind: a) die Vorspannkraft im Schraubenschaft und die Vorspannung in der Hülse, b) das Anziehmoment, c) die Spannungen in Schraube und Hülse im Betriebszustand, d) die Dichtkraft im Betriebszustand.

3-24

Die Verschiebung des Lastangriffspunktes der skizzierten Stabverbindung ist für folgende Daten zu bestimmen. Stab 1: l = 3,0 m; A = 200 mm2 ; Stab 2: l = 2,0 m; A = 250 mm2 ; F = 20,0 kN; α = β = 45◦ . 1 2 α

β Abb. A3-24/32

3-25

Eine homogene, starre Masse ist an vier Stäben aufgehängt. Alle Stäbe sind geometrisch gleich. Die Werkstoffe von (1) und (2) haben verschiedene E-Module. In allgemeiner Form und für E1 /E2 = 2,0 sind die Stabkräfte S 1 und S 2 zu bestimmen. Die Ergebnisse sind zu diskutieren.

1

2

a

2

2a

1

a

l

Abb. A3-25/26

3 Zug und Druck

15

3-26

Eine homogene, starre Masse ist an vier Stäben aufgehängt. Diese sind gleich, jedoch sind die Stäbe (2) um s zu kurz gefertigt. In allgemeiner Form und für m = 400 kg; l = 2,0 m; A = 20 mm2 ; s = 0,50 mm sind die Stabkräfte zu bestimmen. Die Ergebnisse sind zu diskutieren.

3-27

Der skizzierte, starre Träger hängt an drei gleichen Stäben und ist in B gelenkig gelagert. Zu bestimmen sind für a = 2,0 m; q = 30 kN/m die Stabkräfte 1 bis 3. Die Ergebnisse sind zu diskutieren. a

B

l

a

1

a

2

3 q

Abb. A3-27

3-28

Für eine hängende Stange aus elastischem Werkstoff ist in allgemeiner Form die durch das Eigengewicht verursachte Verlängerung zu berechnen.

Formänderungsarbeit bei Zug und Druck (3.4) 3-29

Eine Zugstange mit Kreisquerschnitt (d = 25 mm; l = 2,00 m) ist durch Überlastung zerstört worden. Ein aus dem Stangenmaterial gedrehter Versuchsstab mit Normabmessung (d = 10 mm; l = 100 mm) ergab im Zugversuch folgende Werte: Rm = 405 N/mm2 ; δ = 33,8 %. Das SpannungsDehnungs-Diagramm nahm 80 % des Rechtecks Rm × δ ein. Wie groß muss die zur Zerstörung der Zugstange aufgewendete Arbeit gewesen sein?

3-30

Eine Masse m fällt frei herunter und wird nach einer Fallhöhe h von einem Stahlseil der Länge l gefangen. Vom Seil sind metallischer Querschnitt A und E-Modul bekannt. Es ist in allgemeiner Form eine Gleichung für die beim Auffangen der Masse auftretende maximale Kraft abzuleiten.

16 3-31

Flächenpressung und Lochleibung Die Skizze zeigt eine Masse m, die frei (Fallhöhe h) auf den Anschlag der senkrechten Stahlstange fällt. Unter Annahme eines unelastischen Stoßes und einer vernachlässigbaren Stangenmasse ist die Fallhöhe h so zu bestimmen, dass sich der n-fache Wert der durch m · g verursachten Spannung im Stab ergibt. Die allgemeine Lösung ist für m = 200 kg; l = 2,0 m; A = 100 mm2 ; n = 10 auszuwerten. Das Ergebnis ist zu diskutieren.

l

m h Abb. A3-31

3-32

Für den Stabverband 3-24 ist mit Hilfe der Gleichung für die Formänderungsarbeit die senkrechte Verlagerung des Angriffspunktes zu berechnen.

Flächenpressung und Lochleibung (3.5) 3-33

Die Lochleibung der Niete der Verbindung 3-3 ist unter Voraussetzung gleichmäßiger Kraftverteilung zu berechnen.

3-34

Die Lochleibung des Bolzens in der Schweißkonstruktion 3-10 ist zu berechnen.

3-35

Für eine Welle/Nabe-Verbindung mit einer Passfeder ist die Flächenpressung an der Passfeder zu berechnen. Lösung allgemein und für Leistung P = 60,0 kW; Drehzahl n = 3000 min−1 ; Welle d = 40 mm; Passfeder 12 × 8/l = 40 mm (tragend); e = 3,1 mm herausragend.

4

Biegung

Biegemoment und Querkraft (4.4) Hinweis: Das Thema dieses Kapitels ist „Biegung“. Die zusätzliche Wirkung von Längs- und Querkräften in gebogenen Bauteilen wird in den Kapiteln 8 und 9 behandelt. 4-1 bis 6

Für die abgebildeten Träger sind jeweils das Querkraft- und Biegemomentendiagramm zu zeichnen. 30 kN 20 kN

6,0 m

5,0 m

3,0 m

Abb. A4-1/8/36/49

F1 = 3,0 kN

Abb. A4-2/9/38

200

F2 = 2,0 kN

300

F3 = 3,0 kN

300

200

B A Abb. A4-3/10/39/51

q = 4,0 kN/m

2,0 m

3,0 m

18

Biegemoment und Querkraft q = 15 kN/m

4,0 m

6,0 m

30 kN

30 kN

A

50 kN

C

B 5×2,0 m

10 kN

50 kN

150 150 / 150 50

4-7

Abb. A4-4/11/40/45/50

500 mm

Abb. A4-5/37

30 kN

/ 150 50

Abb. A4-6/46

Für den skizzierten Träger mit Dreieckslast sind Gleichungen für die Streckenlast, den Querkraft- und den Biegemomentenverlauf aufzustellen. Die Diagramme sind für q0 = 12,0 kN/m; l = 6,0 m zu zeichnen.

q0

l

Abb. A4-7/12

4-8 bis 12

Für die Träger 4-1 bis 4 und 7 sind mit dem F¨schen Verfahren die Querkraft- und die Biegemomentengleichung aufzustellen.

4-13/14/15

Der gekröpfte Träger ist bei A eingespannt und über eine Rolle mit der Masse m belastet. Das Biegemomentendiagramm ist für m = 3000 kg; a = 2,0 m; r = 200 mm zu zeichnen.

4 Biegung

19

A

2a

a r

m Abb. A4-13

A

Abb. A4-14

A a/2

Abb. A4-15

20 4-16

Biegemoment und Querkraft Skizziert ist ein Träger, auf dem ein Motor befestigt ist, der ein Objekt außerhalb des Trägers antreibt. Zu zeichnen ist das Biegemomentendiagramm, das durch das Motormoment verursacht wird. M a a

a

a

Abb. A4-16

4-17

Für die Säule des Krans 3-7 ist das Biegemomentendiagramm zu zeichnen.

4-18 bis 21

Für das skizzierte System ist das Biegemomentendiagramm zu ermitteln.

A 1,50 m

3,0 m

1,0 m

30◦

2,0 m FS = 3,0 kN

m

Abb. A4-18

a

B

a

F

C a F a

A Abb. A4-19

4 Biegung

21 C F

F A a

Abb. A4-20

a

a

a

2,0 m

4,0 m

2,0 m

2,0 m

C F = 100 kN

A Abb. A4-21

4-22

a B

F

B 0,50 m

4,50 m

An dem skizzierten Träger greift ein Kräftepaar M nacheinander an verschiedenen Stellen an. Die Lage wird durch den Faktor n vorgegeben. Zu zeichnen sind die Biegemomentendiagramme für n = 0; 0,5; 0,75; 1,0. Es handelt sich hier um eine Vorübung für die Ermittlung von Deformationen nach dem Kraftgrößenverfahren. M

A n·l Abb. A4-22

B

l

22 4-23

Axiale Flächenträgheits- und Widerstandsmomente Ein geschlossener Rahmen wird nach Skizze oben geschnitten. An der Schnittstelle werden nacheinander Querkraft, Längskraft und Moment eingeführt. Für alle Belastungen sind die Biegemomentendiagramme zu zeichnen.

1 kN

1 kN

1 kNm

8,0 m

8,0 m b

b

b

b

b

b

12,0 m

Abb. A4-23

Axiale Flächenträgheits- und Widerstandsmomente (4.5) Hinweis: Für die nachfolgenden Aufgaben gilt folgendes Koordinatensystem: Die Längsachse des Trägers wird mit x, die Abszissenachse des Querschnitts mit y, die Ordinatenachse des Querschnitts mit z bezeichnet (Tabelle 10, Stahlbauprofile). 4-24

Diese Aufgabe soll die starke Zunahme des Flächenträgheitsmoments mit größer werdendem Abstand des Flächenschwerpunkts von der Bezugsachse demonstrieren. Dazu wird nach Skizze ein Rechteck a × a in einem Abstand n · a von der Bezugsachse betrachtet. Der Faktor K = Iy /IyS , um den sich das Flächenträgheitsmoment bei zunehmendem Abstand vergrößert, soll allgemein abgeleitet werden. Das Diagramm K = f(n) ist zu zeichnen und zu diskutieren. a ys

a n·a

y

Abb. A4-24

4 Biegung

23

4-25 bis 30

Für die skizzierte Querschnittsfläche sind jeweils Wy ; Wz zu bestimmen. 50

60 8

20 10 50 30 20 80

8 Abb. A4-25

Abb. A4-26

l = 300 mm 60◦ 10 cm

s=

20 cm

10 mm

80 cm

60 cm Abb. A4-28

,0

cm

Abb. A4-27

10

U 200 HE-B 200 6,0 cm U 200

12,0 cm Abb. A4-29

Abb. A4-30 A5-3

24

Für das geschweißte H-Profil ist die Flanschbreite B so zu bestimmen, dass das Widerstandsmoment Wy = 400 cm3 beträgt. 16

4-31

Axiale Flächenträgheits- und Widerstandsmomente

200

8

Abb. A4-31 A5-4

16

B

4-32

Ein HE-B (IPB) 300-Träger wird in der Mitte des Steges getrennt. Es entstehen zwei gleiche T-Profile für die Wy ; Wz zu bestimmen sind.

4-33

Das skizzierte Profil ist durch Zerlegen eines HE-B 300-Trägers mit Zwischenlage einer 300 mm hohen Platte entstanden. Diese Platte hat eine Nenndicke von 12 mm. Wegen des zulässigen Abmaßes von 0,5 mm soll mit einer Plattendicke von 11,5 mm gerechnet werden. Zu bestimmen sind die Widerstandsmomente für die y- und z-Achse.

150

HE-B 300

11,5 300

150

Abb. A4-33/42 A9-12

4 Biegung 4-34

25 Auf den Flansch eines HE-B 200-Trägers werden zwei Flachstähle nach Skizze aufgeschweißt. Zu bestimmen ist das Widerstandsmoment für die y-Achse. Dieser Wert ist mit dem Widerstandsmoment des HE-BTrägers zu vergleichen. Das Ergebnis ist zu diskutieren.

100

Abb. A4-34

8

8

Anwendung der Biegegleichung (4.3/4.4/4.5) 4-35

Eine Achse ist für Mb = 2,0 kNm und σzul = 50 N/mm2 zu dimensionieren: a) als Vollwelle, b) als Hohlwelle mit Innendurchmesser di = 40,0 mm, c) als Hohlwelle mit Außendurchmesser da = 100 mm. Es ist ein Gewichtsvergleich durchzuführen.

4-36/37

Für einen Träger nach 4-1/4-5, sind ein HE-B (IPB)- und ein I-Träger für σzul = 140 N/mm2 zu dimensionieren. Für den leichteren Träger ist der Spannungsnachweis zu führen.

4-38

Das System 4-2 stellt eine Achse dar. Für die Lastangriffspunkte sind die erforderlichen Durchmesser für σzul = 50 N/mm2 für Voll- und Hohlquerschnitt (di = 30,0 mm) zu berechnen.

4-39

Der Träger 4-3 hat das skizzierte Profil. Zu bestimmen ist die maximale Biegespannung. 20

60

20

120

10

Abb. A4-39

100

26 4-40

Anwendung der Biegegleichung Der Träger 4-4 hat das skizzierte Profil. Zu bestimmen ist die maximale Biegespannung. 200 15

U 200

15

200 220

Abb. A4-40

4-41

Ein eingespannter Träger HE-B 300 ist mit q = 20 kN/m belastet. Welche belastete Trägerlänge ist bei σzul = 140 N/mm2 möglich?

4-42

Ein Träger mit dem Profil nach 4-33 liegt an den Enden frei auf und ist mit q = konst. = 100 kN/m belastet. Welche Trägerlänge ist für σzul = 120 N/mm2 möglich?

4-43

Ein frei auf den Enden aufliegender Träger (Länge l) mit der Mittellast F soll als I-Träger eine Optimalform nach Skizze erhalten. In jedem Schnitt soll die Spannung σzul sein. Da der Steg ausgespart wird, wird angenommen, dass nur die Flansche das Biegemoment übertragen. Aufzustellen ist eine Berechnungsgleichung für h. Für F = 400 kN; l = 8,0 m; Flanschquerschnitt A = 80 cm2 ; s = 2,0 cm; σzul = 140 N/mm2 ist hmax zu berechnen. s h

A

B

Abb. A4-43

4 Biegung 4-44

27 Ein beidseitig frei gelagerter Träger der Länge l mit dem abgebildeten Profil trägt eine konstante Streckenlast. In welchem Bereich sind für die gegebenen Daten die Gurte nicht notwendig? l = 8,0 m;

σzul = 140 N/mm2 .

q = 50 kN/m;

20

I 400

Abb. A4-44 A5-2 A9-11

20 200

4-45

Für den Träger 4-4 soll ein durch Gurte verstärktes Profil HE-B 160 verwendet werden. Die Gurtdicke beträgt s = 14 mm, die Spannung soll den Wert von 180 N/mm2 nicht übersteigen. Zu bestimmen ist die notwendige Breite der Gurte. Dieser Wert ist auf volle cm aufzurunden. Die Spannung im höchst beanspruchten Querschnitt ist zu berechnen. Es ist anzugeben, in welchem Bereich die Verstärkung durch die Gurte notwendig ist.

4-46

Die Durchmesser aller Abschnitte der Achse 4-6 sind für σzul = 50 N/mm2 zu berechnen.

4-47

Die Abbildung zeigt das Detail einer Rohrleitung. Es sind die durch die äußeren Belastungen verursachten Biegespannungen in den Querschnitten 1 bis 6 zu berechnen. Rohrinnendurchmesser d = 200 mm;

Wanddicke s = 5 mm. 40

3 4

250 cm

2

5 40

6 1 Abb. A4-47

100 40 40

100

40 40

200 cm

Fx = 1,0 kN Fy = 2,0 kN

28

Formänderung bei Biegung

Formänderung bei Biegung (4.6) 4-48

Das Thema dieser Aufgabe sind die Modellgesetze. Die Fragestellung lautet: Wie ändern sich die Spannung σ und die Durchbiegung w eines Trägers, wenn seine Länge um den Faktor kl , die Last um den Faktor kf und der Querschnitt maßstäblich um den Faktor km (linearer Abbildungsmaßstab) geändert werden. Es ist eine Proportion für a) Einzelkräfte, b) Streckenlasten anzugeben, die diese Faktoren enthält. Anzuwenden sind diese Proportionen auf den Prototyp einer mit Einzelkräften belasteten Achse, von der σmax = 80 N/mm2 und wmax = 0,10 mm bekannt sind. Nach dieser Achse soll folgende Variante gerechnet werden: Die Länge wird um 30 % gekürzt, der Durchmesser um 10 % verkleinert und die angreifende Kraft um 40 % erhöht. Zu bestimmen sind σ und w.

4-49

Der Träger 4-1 hat ein HE-B 340-Profil. Mit dem F¨schen Verfahren sind die Durchbiegungen an den Lastangriffsstellen und die Schiefstellung des Trägers an beiden Enden zu berechnen.

4-50

Der Träger 4-4 hat ein HE-B 500-Profil. Zu bestimmen sind mit dem F¨schen Verfahren die Durchbiegung in der Mitte zwischen den Lagern und am Trägerende.

4-51

Der Träger 4-3 wird aus einem Profil I 340 hergestellt. Der Zuganker ist als Flachstahl 10 mm × 50 mm von 4,0 m Länge ausgeführt. Zu bestimmen ist die Verlagerung des Trägerendes.

4-52

Für die abgebildete Welle ist die Biegelinie zu ermitteln. Gesucht sind die Durchbiegungen an den Lastangriffsstellen und die Schiefstellungen der Welle in den Lagern.

A

300 200

F2 = 872 N

400

∅45

∅60

∅50

F1 = 676 N

B

200 200

Abb. A4-52

4 Biegung 4-53

29 Der abgebildete Rahmen besteht aus Trägern mit dem Profil I 360. Die Ecken sind biegesteif. Die Zusammendrückung der Ständer ist vernachlässigbar klein. Zu bestimmen sind mit Hilfe der Tabelle 11 a) die maximale Durchbiegung des Querholmes, b) die Verlagerung des Loslagers, c) die Verlagerung der Ecke C. 8,0 kN/m C 3,0 m B

6,0 m

A 8,0 m

Abb. A4-53

4-54

Für das skizzierte System ist die Verschiebung des Lastangriffspunktes allgemein mit dem Kraftgrößenverfahren zu bestimmen. F a

Abb. A4-54

4-55

2a

2a

Der eingespannte Träger ist nach Skizze abgesetzt. Zu bestimmen sind in allgemeiner Form die maximale Durchbiegung und Schiefstellung mit dem Kraftgrößenverfahren.

Abb. A4-55

2I

I

a

a

F

30 4-56

Formänderung bei Biegung Für den gekröpften Träger unterschiedlicher Biegesteifigkeit sind in allgemeiner Form die Verlagerung und Schiefstellung des Endpunktes zu bestimmen. Die Ergebnisse sind mit Hilfe der Tabelle 11 zu kontrollieren.

b

I2 I1 q a

4-57

Abb. A4-56

Der nach Skizze gekröpfte Träger wird zunächst mit der Kraft F1 belastet. Dabei verschiebt sich der Punkt B nach rechts unten. Zu bestimmen ist eine Kraft FB so, dass die horizontale Verschiebung von B rückgängig gemacht wird. FB

B a

2a

F1 Abb. A4-57

4-58

Ein frei aufliegender Träger I 240 der Länge l = 6,0 m ist durchgehend mit q = 10,0 kN/m belastet. Die dabei entstehende Durchbiegung in der Mitte soll durch eine Kraft FC rückgängig gemacht werden. Für diese Bedingung ist die Größe von FC zu bestimmen. Um wieviel %, bezogen auf den Ausgangswert, ist durch die Wirkung von FC die maximale Spannung vermindert worden?

4-59

Diese Aufgabe schließt an 4-58 an. Die Kraft FC drückt den Träger a) um e = 5,0 mm über, b) um e = 5,0 mm unter die Verbindungslinie AB. Gesucht sind die maximalen Spannungen für beide Fälle und die Abweichungen gegenüber dem Idealfall nach A4-58.

4 Biegung

31

Profile mit zwei Symmetrieachsen bei schiefer Biegung (4.7.1) 4-60

Diese Aufgabe soll modellmäßig die Belastung in den Trägern eines Brückenkrans beim Anfahren erfassen. Das Modell besteht aus zwei parallel liegenden I 360-Trägern der Länge l = 8,0 m zwischen denen mittig eine Masse m = 10000 kg liegt. Zu bestimmen ist die maximale Beschleunigung für σzul = 140 N/mm2 . Die Trägermasse ist zu berücksichtigen. z

y x

a

l Abb. A4-60

4-61

Der skizzierte Träger hat folgende Daten: Profil I 300; Länge l = 2,0 m; Kraft F = 10,0 kN. Zu bestimmen ist der maximal mögliche Winkel β für σzul = 140 N/mm2 .

β F Abb. A4-61

4-62

Für den skizzierten Kastenträger sind folgende Daten gegeben: Querschnittsabmessungen außen H = 40,0 cm; B = 30,0 cm; innen h = 37,0 cm; b = 27,0 cm; F1 = 60,0 kN; F2 = 30,0 kN; q = 25,0 kN/m; a = 2,0 m. Zu bestimmen sind die Spannungen in der Trägermitte und am Lastangriffspunkt 1. q

a Abb. A4-62

F1

a

F2

a

32 4-63

Hauptachsenproblem und schiefe Biegung Die skizzierte Achse ist als Hohlwelle di = 40 mm; da = konst. für σzul = 60 N/mm2 zu dimensionieren. 200

200

300

200

F3 = 6,0 kN

30◦ F1 = 5,0 kN

F2 = 4,0 kN

Abb. A4-63

Hauptachsenproblem und schiefe Biegung (4.7.3) 4-64/65

Für das skizzierte Profil sind Iy ; Iz ; Iyz ; Imax ; Imin ; αh für die Schwerpunktachsen zu bestimmen. Die Ergebnisse sind mit dem Mschen Kreis zu kontrollieren. C

U 300

10 400 D

A 300

HE-B 200

B 10

100

Abb. A4-65 A7-3

Abb. A4-64

4-66

An einem Profil HE-B 180 ist der linke, untere Flansch in einer Breite von e = 80 mm entfernt. Für das so veränderte Profil sind Imax ; Imin ; αh zu bestimmen.

4-67

Ein Profil Z 200 überträgt nach Skizze ein Biegemoment Mb = 3,0 kNm. Zu bestimmen sind die Spannungen in den Punkten A; B; C. A

Mb

4-68

B

C

Abb. A4-67

Ein Winkelprofil L 50 × 6 überträgt ein Biegemoment Mb = 200 Nm. Der Momentenvektor liegt horizontal und parallel zu einem nach rechts gerichteten Winkelschenkel. Zu bestimmen sind die Spannungen in allen Eckpunkten.

4 Biegung 4-69

33 Das Profil A4-64 ist mit einem Biegemoment Mb = 50,0 kNm belastet. Der Momentenvektor liegt horizontal. Zu bestimmen sind die Spannungen in den Punkten A bis C und die Lage der neutralen Faser.

Formänderungsarbeit bei Biegung 4-70

Ein eingespannter Träger (EI = konst.; Länge l) ist am Ende mit einer Kraft F belastet. Aus der Formänderungsarbeit am Träger ist die Durchbiegung am Lastangriffspunkt zu berechnen.

4-71

Ein eingespannter Träger (EI = konst.; Länge l) ist am Ende mit einem Moment M belastet. Aus der Formänderungsarbeit am Träger ist die Schiefstellung des Trägerendes zu bestimmen.

4-72

Für das skizzierte System (EI = konst.) ist in allgemeiner Form aus der Formänderungsarbeit am System die Durchbiegung an der Lastangriffsstelle zu bestimmen.

2a

a

F

Abb. A4-72

4-73

Auf einen frei aufliegenden Träger fällt mittig eine Masse m. Falls diese viel größer als die Trägermasse ist, können Stoßverluste und andere Effekte vernachlässigt werden. Unter dieser Voraussetzung sind in allgemeiner Form eine Gleichung für das Verhältnis σdyn /σstat und die maximale Fallhöhe h für einen vorgegebenen Wert σzul = σdyn aufzustellen. Diese sind für m = 1000 kg; Trägerprofil I 200; Trägerlänge l = 4,0 m; σzul = 140 N/mm2 auszuwerten.

4-74

Der nach Skizze gekröpfte Träger soll als elastisches System eine mit der Geschwindigkeit 3 bewegte Masse m auffangen. In Abhängigkeit von EI; m; 3; σzul sind allgemein zu bestimmen: a) die Abmessung l, b) die maximale Kraft F, c) die maximale Aufbiegung wx des elastischen Systems in horizontaler Richtung.

34

Formänderungsarbeit bei Biegung Diese Gleichungen sind für folgende Daten auszuwerten: Hohlprofil 40 × 40 × 4 (I = 11,1 cm4 ); σzul = 100 N/mm2 .

m = 20,0 kg;

3 = 1,0 m/s;

l

l 3

m Abb. A4-74

5

Schub

Schubspannung im auf Biegung beanspruchten Balken (5.3) 5-1

Zwei Rohre und eine Stahlplatte sind nach Skizze zu einem Profil verschweißt. Die Nahthöhe beträgt a = 5 mm. Die Biegequerkraft Fq = 110 kN wirkt in Richtung des Stegs. Zu bestimmen ist die durch sie verursachte Schubspannung in den Schweißnähten.

10

240

7,5 140

Abb. A5-1

5-2

Die Gurtplatten am Profil 4-44 sind mit Schweißnähten a = 8 mm aufgeschweißt. Für eine in Stegrichtung wirkende Querkraft von 500 kN ist die Schubspannung in den Nähten zu berechnen.

5-3

Die U-Profile am Träger 4-30 sind mit a = 6 mm aufgeschweißt. Für eine senkrecht wirkende Querkraft Fq = 120 kN ist die Schubspannung in den Schweißnähten zu berechnen.

5-4

Ein Träger mit dem Profil nach 4-31 ist mit B = 110 mm ausgeführt. Für eine Querkraft Fq = 50,0 kN in Stegrichtung sind die Schubspannungen in der Schweißnaht (a = 5 mm) und in der Stegmitte zu berechnen.

5-5

Zwei HE-B 100-Träger sind nach Skizze übereinander angeordnet und in Stegrichtung mit Fq = 40 kN belastet. Fall a) Träger liegen lose aufeinander, Reibungskräfte werden nicht berücksichtigt. Fall b) Träger sind beidseitig mit a = 4 mm zusammengeschweißt. Zu bestimmen sind für a) τ in der

36

Schubspannung im auf Biegung beanspruchten Balken Stegmitte, für b) τ in der Schweißnaht. Zusatzfrage: Wie verhalten sich die Biegesteifigkeiten für beide Fälle?

Abb. A5-5

5-6

Das skizzierte Profil besteht aus zwei geklebten Alu-Flachstäben. Welche Schubspannung verursacht eine Biegequerkraft Fq von 1,0 kN in der Klebefuge? Die Rechnung ist so durchzuführen, als wäre der Steg ohne Einfräsung aufgesetzt. 50 5

Fq 40

5

Abb. A5-6

5-7

Das skizzierte Profil besteht aus faserverstärktem Kunststoff. Die Fasern sind im Steg a) nur in Längsrichtung, b) zur Hälfte in Längs- und Querrichtung eingelegt. Folgende Spannungen sind zugelassen parallel zur Faser τp = 5 N/mm2 ; quer zur Faser τq = 50 N/mm2 . Zu bestimmen ist die zulässige Biegequerkraft für beide Fälle. 10 10

40 10 50

5-8

Abb. A5-7

Ein frei aufliegender Träger I 200 der Länge l ist mit einer konstanten Streckenlast q belastet. Zu bestimmen ist die maximale Schubspannung im Träger für l = 3,0 m und q = 20 kNm.

5 Schub

37

Abscheren (5.5) 5-9

Für die Nietverbindung 3-3 ist die Abscherspannung unter Voraussetzung gleichmäßiger Kraftverteilung zu berechnen.

5-10

Die Skizze zeigt das Detail einer Sollbruchstelle, wie sie als Sicherung zur Vermeidung von Überlastungen eingebaut wird. Die Buchse besteht aus einem Werkstoff mit einer Bruchabscherspannung τaB . Für einen vorgegebenen Außendurchmesser D soll der Innendurchmesser so bestimmt werden, dass eine Kraft F zum Bruch führt. Lösung allgemein und für F = 24 kN;

τaB = 480 N/mm2 ;

D = 10,0 mm.

F

dD

Abb. A5-10

5-11

F

Welche Leistung kann die skizzierte Nabenverbindung bei einer Drehzahl n = 1000 min−1 übertragen? τaB = 100 N/mm2 .

5

60◦ ∅40

Abb. A5-11

38 5-12

Abscheren Eine Welle/Nabe-Verbindung (Durchmesser d) überträgt über eine Passfeder eine Leistung P bei einer Drehzahl n. Zu berechnen ist die Abscherspannung in der Passfeder allgemein und für P = 60 kW; n = 3000 min−1 ; d = 40 mm; Passfeder 12 × 48/l = 40 mm (tragend).

5-13

Die abgebildete Welle/Nabe-Verbindung überträgt eine Leistung P bei einer Drehzahl n. Zu berechnen ist die Spannung in den Schweißnähten allgemein und für P = 130 kW;

n = 500 min−1 ;

d = 70 mm;

a = 6 mm.

d

Abb. A5-13

5-14

Auf einer Grundplatte ist a) eine Rechteckplatte b × h und b) eine kreisförmige Platte (Durchmesser d) mit einer umlaufenden Schweißnaht (Abmessung a) aufgeschweißt. Die Platte ist durch ein Moment belastet, dessen Vektor senkrecht auf dieser steht. In allgemeiner Form ist die Schubspannung in der Schweißnaht zu berechnen.

d

h M b

M Abb. A5-14

5 Schub 5-15

39 Die abgebildete Konsole ist mit einer durchgehenden Schweißnaht (a) auf eine Grundplatte aufgeschweißt. Die rechte Naht liegt auf der Rückseite. Zu berechnen ist allgemein und für die unten gegebenen Daten die maximale Schubspannung. Hinweis: zuerst 5-14 lösen. Kraft in die Mitte der Schweißverbindung schieben. Beanspruchung durch Kraft und Moment überlagern. F = 10 kN;

l = 150 mm;

h = 80 mm;

b = 100 mm;

a = 4 mm. l

F

h b

Abb. A5-15

5-16

Für die skizzierte Nietverbindung ist die Abscherspannung im maximal belasteten Querschnitt zu berechnen. Lösung allgemein und für F = 15 kN;

b = 100 mm;

dN = 13 mm.

b F b

d

Abb. A5-16

5-17

Für die skizzierte Schraubenverbindung ist die Abscherspannung in der maximal belasteten Schraube zu berechnen. F = 20 kN; β = 60◦ .

20

300

200

β F

Abb. A5-17

400

40 5-18

Abscheren Eine mehrschnittige Schraub- oder Nietverbindung (s. Abb.) ist mit einem Moment belastet. In allgemeiner Form ist die Kraft an der am höchsten belasteten Schraube zu berechnen. Hinweis: Eine Schraube ist umso höher belastet, je weiter sie vom Mittelpunkt (= Flächenschwerpunkt) der Verbindung entfernt ist (das begründe der Leser). In die Gleichung für Fmax gehen deshalb neben dem Moment alle Schraubenabstände vom Mittelpunkt li und der Abstand der am weitesten entfernten Schrauben lmax ein.

M

Abb. A5-18

6

Verdrehung

Verdrehung eines Kreiszylinders (6.2) Hinweis: In den nachfolgenden Aufgaben sind z.T. Belastungen gegeben, die neben den Torsions- auch Biegespannungen zur Folge haben. Dieser Einfluss kann für kurze Wellen vernachlässigt werden. Das soll hier gelten. Die Überlagerung von Verdrehung und Biegung wird im Kapitel 9 behandelt. 6-1

Eine Welle ist für ein Drehmoment Mt = 1,0 kNm für τzul = 50 N/mm2 zu dimensionieren. Die Ausführung soll als a) Vollwelle, b) Hohlwelle mit D = 60 mm, c) Hohlwelle mit d = 40 mm erfolgen.

6-2

Das System besteht aus einem Rohr 1 Zoll und den angeschweißten Hebeln. Für die nachfolgend gegebenen Daten ist die Torsionsspannung im Rohr zu berechnen. Rohr D = 33,7 mm; Wanddicke s = 4,05 mm; e = 400 mm; F = 750 N.

l

e Abb. A6-2/9/23

6-3

F

Eine Welle überträgt eine Leistung P bei einer Drehzahl n. Sie soll für eine zulässige Spannung dimensioniert werden a) als Vollwelle, b) als Hohlwelle mit festgelegtem Außendurchmesser D, c) mit festgelegtem Innendurchmesser d. Für einen Gewichtsvergleich sind die auf Wellenlänge

42

Verdrehung eines Kreiszylinders bezogenen Wellenmassen zu berechnen. Die Lösung soll allgemein (a und b) und für nachfolgende Werte erfolgen P = 200 kW; n = 1450 min−1 ; τ = 40 N/mm2 Fall b) D = 80 mm; Fall c) d = 35 mm.

6-4

Skizziert ist ein Zahnradgetriebe. Für die nachfolgend gegebenen Daten sind alle Wellendurchmesser und die Umfangskräfte an den Zahnrädern zu berechnen. P = 300 kW; n1 = 2950 min−1 ; τzul = 60 N/mm2 ; Übersetzungsverhältnisse i2/1 = 4,0; i4/3 = 4,5; i6/5 = 4,8; Teilkreisdurchmesser D1 = 100 mm; D3 = 140 mm; D5 = 140 mm.

4

1

5

Antrieb Abtrieb 3

2

6-5

6

Abb. A6-4

Die Abbildung zeigt schematisch ein Zahnradgetriebe, dessen Antrieb an der Welle (1) angreift. Die Leistung wird auf zwei gleiche Wellen verteilt und am Zahnrad (4) wieder vereinigt. Die konstruktive Ausführung gewährleistet eine gleichmäßige Leistungsverteilung auf die beiden Wellen. Für die nachfolgend gegebenen Daten sind alle Wellendurchmesser und Umfangskräfte an den Zahnrädern zu berechnen. P = 200 kW; n = 80 s−1 ; τzul = 60 N/mm2 ; Teilkreisdurchmesser D1 = 80 mm; D2 = 320 mm; D3 = 80 mm; D4 = 320 mm.

1 2 3 4

Abb. A6-5

6 Verdrehung

43

6-6

In dieser Aufgabe soll der Einfluss einer Innenbohrung in einer Welle auf deren Masse m und Widerstandsmoment Wt untersucht werden. Dazu soll das Verhältnis mhohl /mvoll und Whohl /Wvoll in Abhängigkeit von d/D aufgestellt werden. Diese Abhängigkeit ist in einem Diagramm darzustellen und zu diskutieren.

6-7

In dieser Aufgabe wird folgende Frage untersucht: Wie ändert sich in einer auf Torsion beanspruchten Welle die Spannung τ in Abhängigkeit vom Durchmesser d. Das Drehmoment soll dabei gleich bleiben. Ausgegangen wird von einem Zustand 0, der durch d0 und τ0 gegeben ist. In einem Diagramm ist die Funktion τ0 /τ = f (d0 /d) darzustellen. Das Diagramm ist zu diskutieren.

Formänderung eines Kreiszylinders (6.2.2) 6-8

Eine Hohlwelle soll für die nachfolgend gegebenen Daten dimensioniert werden. Für auf volle mm gerundete Durchmesser ist die auf die Länge bezogene Verdrehung zu berechnen. d/D = 0,70;

6-9

Mt = 13,0 kNm;

τzul = 50 N/mm2 .

Die Verlagerung des Lastangriffspunktes im System 6-2 ist für die unten gegebenen Daten zu berechnen. Die Lager sitzen unmittelbar an den biegesteif angenommenen Hebeln. Rohr da = 33,7 mm; s = 4,05 mm; l = 1,2 m; F = 750 N.

6-10

e = 400 mm;

Skizziert ist ein Verstellmechanismus, der aus einer Welle (Länge l) und einem biegesteif angenommenem Hebel (Länge a) besteht. Die Welle ist so steif auszuführen, dass am Ende des Hebels der Wegfehler ∆s infolge des Drehmomentes Mt nicht überschritten wird. Die Spannung ist zu kontrollieren. Lösung allgemein und für Mt = 70,0 Nm; a = 300 mm; τzul = 80 N/mm2 .

l = 1,50 m; ∆s = 2,0 mm; l Mt a ∆s

Abb. A6-10

44 6-11

Formänderung eines Kreiszylinders Ausgegangen wird von einer abgesetzten Welle nach Skizze, die mit einem Torsionsmoment belastet ist. Zu bestimmen ist der Durchmesser de einer Welle gleicher Länge mit gleichem elastischen Verhalten wie die Ausgangswelle. Bei gleichem Moment sollen beide Systeme gleichen Verdrehwinkel aufweisen. Mit einem solchen Ersatzsystem, auch Bildwelle genannt, arbeitet man in der Schwingungstechnik. Für die folgenden Werte soll die allgemeine Lösung ausgewertet werden. d1 = 50 mm; l2 = 500 mm;

Mt

6-12

l1 = 400 mm; d3 = 40 mm;

d1

d2

d3

l1

l2

l3

d2 = 60 mm; l3 = 200 mm.

Mt Abb. A6-11/21

Das skizzierte System ist durch ein elastisch gleichwertiges (s. 6-11) zu ersetzen. Dieses soll aus einer glatten Welle mit dem Durchmesser d2 ohne Zahnradübersetzung bestehen. Zu bestimmen ist die Länge le der Bildwelle. Die allgemeine Lösung ist für die unten gegebenen Daten auszuwerten. d1 = 50 mm; l1 = 300 mm; Übersetzung i = 3,0.

d2 = 40 mm;

l2 = 600 mm;

Lösungshinweis: In der Welle (1) wirkt das Moment Mt · i. Der durch dieses verursachte Winkel ϕ1 wird wegen der Übersetzung vergrößert auf die Welle (2) übertragen i · ϕ1 . Hinzu kommt der durch Mt verursachte Winkel ϕ2 . l1 d1

i

d2 l2

Mt Abb. A6-12/22

6 Verdrehung 6-13

45

Für das skizzierte System sind in allgemeiner Form die Einspannmomente in A und B und das Verhältnis der Spannungen τ1 /τ2 zu bestimmen. Die Auswertung soll für die nachstehenden Daten erfolgen. F = 5,0 kN; d1 = 80 mm;

D = 600 mm; b = 300 mm;

a = 500 mm; d2 = 60 mm.

b

d1

d2

D

A

B

×

a

Abb. A6-13

6-14

F

F

b

Das skizzierte System wird durch das von außen angreifende Moment Mt belastet. Zu bestimmen sind in allgemeiner Form die Einspannmomente in A und B. Die Auswertung soll für d1 = d2 und Übersetzung i = 2 erfolgen. Lösungshinweis: Geometrische Bedingung ist gleiche Verlagerung in der Eingriffsstelle der Zahnräder für rechtes und linkes System. l d2 D2 B d1 D1

A Abb. A6-14

l

Mt

46

Verdrehung beliebiger Querschnitte

Verdrehung beliebiger Querschnitte (6.3) 6-15

Die Abbildung zeigt einen Trägerquerschnitt, der durch aneinanderlegen von zwei Profilen U 100 entstanden ist. Im Fall a) sind beide U-Stähle durch zwei Schweißnähte mit jeweils a = 6 mm verbunden. Im Fall b) sind die U-Stähle nicht verbunden. Welches Torsionsmoment kann jeweils für τzul = 80 N/mm2 übertragen werden?

Abb. A6-15

6-16

Abgebildet ist der Querschnitt eines Trägers, der auf eine Grundplatte mit einer umlaufenden Schweißnaht aufgeschweißt ist und mit einem Torsionsmoment von Mt = 31,0 kNm belastet wird. Für alle Schweißnähte gilt a = 7 mm. Zu berechnen sind a) die Spannung in der Umfangsnaht auf der Grundplatte. (Die Nahtdicke a wird in die Anschlussebene = Grundplatte geklappt). b) die Spannung in den senkrecht zur Zeichenebene liegenden Schweißnähten. (Satz von den zugeordneten Schubspannungen).

16

400 10

300

10

16 350

Abb. A6-16

6 Verdrehung 6-17

47

Der nach Skizze gekröpfte Träger besteht aus einem Vierkantrohr 120 × 60 × 4. Er ist mit F = 1,0 kN belastet. Zu bestimmen ist die Verlagerung des Lastangriffspunktes für l = 1,0 m.

l

F l Abb. A6-17

6-18

Für das abgebildete Profil mit B = 125 mm und a = 5 mm (Schweißnähte) ist die Schubspannung für ein Moment Mt = 10,0 kNm zu bestimmen. 100

6

U 100

Abb. A6-18, A7-2/5/20

B

6-19

In dieser Aufgabe soll die Belastbarkeit eines Rechteckprofils bei Torsion in Abhängigkeit von den Proportionen untersucht werden. Dazu soll für Profile h · b = 100 cm2 = konst. das Widerstandsmoment Wt in Abhängigkeit von h/b im Bereich 1 (Quadrat) bis 5 aufgetragen werden. Welche Schlussfolgerung kann gezogen werden?

6-20

Diese Aufgabe schließt an 6-19 an. Hier soll die Torsionssteifigkeit von Rechteckprofilen ermittelt werden. Dazu soll It in Abhängigkeit von h/b im Bereich 1 bis 6 für h · b = 100 cm2 = konst. aufgetragen werden. Um die Gefährlichkeit einer Verwechselung von It mit dem polaren Trägheitsmoment Ip zu demonstrieren, ist im gleichen Diagramm auch dieses einzutragen. Die Ergebnisse sind zu diskutieren.

48

Formänderungsarbeit bei Verdrehung

Formänderungsarbeit bei Verdrehung (6.4) 6-21

Ausgegangen wird von der gestuften Welle nach 6-11. Für diese sind zu bestimmen: a) die Formänderungsarbeit allgemein und für Mt = 700 Nm, b) der Verdrehwinkel unter Einwirkung von Mt mit Hilfe des Ergebnisses von a), c) die Formänderungsarbeit der Bildwelle (Ersatzsystem nach 6-11) für gleiche Belastung. Welche Schlussfolgerung ergibt sich aus dem Ergebnis?

6-22

Für das System nach 6-12 sind allgemein und für die dort gegebenen Daten zu bestimmen: a) die Formänderungsarbeit (Mt = 200 Nm), b) der Verdrehwinkel mit Hilfe des Ergebnisses von a), c) die Formänderungsarbeit der Bildwelle (Ersatzsystem nach 6-12).

6-23

Das System 6-2 soll durch elastische Deformation eine bewegte Masse m auffangen. Dazu ist der Lastangriffspunkt als Prallplatte ausgebildet. Die Bewegung erfolgt in Richtung der Wirkungslinie von F. Es gelten die geometrischen Daten von 6-2 und 6-9. Für eine zulässige Spannung von τ = 60 N/mm2 im Rohr sind unter Vernachlässigung von Stoßverlusten zu bestimmen: a) die mögliche Größe der mit 3 = 0,50 m/s bewegten Masse, b) der maximale Auffangweg.

7

Knickung

Schlankheitsgrad und Knickspannung für den Grundfall (7.3) Hinweis: Das hier behandelte Rechenverfahren gilt im allgemeinen Maschinenbau, wenn eine Nachweispflicht nach DIN 18800 nicht vorgeschrieben ist. Die Lösung der Aufgaben soll für den Werkstoff S 235 erfolgen. 7-1

Zwei U 80-Profile sind so aneinandergelegt und geschweißt, dass ein Kastenquerschnitt entsteht. Für eine Trägerlänge l = 4,0 m ist der Schlankheitsgrad λ zu bestimmen.

7-2

Für das Profil 6-18 ist die Breite B so zu bestimmen, dass ein Optimalquerschnitt für die Knickbelastung entsteht. Das Ergebnis ist auf volle 5 mm aufzurunden. Ein Träger mit diesem Profil wird in einer Länge l = 3,50 m ausgeführt. Zu berechnen ist der Schlankheitsgrad.

7-3

Ein Träger mit dem Profil nach 4-65 ist l = 7,0 m lang. Zu bestimmen ist der Schlankheitsgrad.

7-4

Zwei U 80-Profile sind so aneinandergelegt, dass ein Kastenprofil entsteht. Für die unten gegebenen Daten ist die zulässige Druckbelastung zu bestimmen für a) Träger miteinander verschweißt, b) Träger nicht miteinander verbunden. Trägerlänge l = 2,0 m; Sicherheitszahl SK > 3,5.

7-5

Das Profil 6-18 ist mit B = 125 mm ausgeführt. Die Trägerlänge beträgt l = 3,50 m. Ist eine Druckbelastung F = 240 kN möglich, wenn SK > 3,0 sein soll?

7-6

Zu dimensionieren ist ein auf Knickung beanspruchter Träger HE-B der Länge l = 3,0 m für eine Kraft F = 360 kN und eine Sicherheitszahl SK > 5,0.

7-7

Eine Druckspindel, l = 800 mm lang, mit F = 20 kN belastet, soll als Hohlwelle mit di = 25 mm ausgeführt werden. Für SK > 3,5 ist der Außendurchmesser auf volle mm gerundet zu bestimmen.

50

Schlankheitsgrad und Knickspannung für die Knickfälle

7-8

Ein Druckstab (l = 1,20 m; F = 180 kN; SK > 3,5) ist als Z-Profil zu dimensionieren.

7-9

Ein Druckstab mit dem abgebildeten Winkelprofil hat eine Länge l = 1,30 m. Ist eine Belastung mit F = 50 kN möglich, wenn SK > 3,5 gefordert ist? 10

60 10

60

Abb. A7-9

Schlankheitsgrad und Knickspannung für die Knickfälle 7-10

Für einen Druckstab L 60 × 8; l = 2,30 m ist die zulässige Belastung F zu berechnen. Knickfall 3; Sicherheitszahl SK > 4,0.

7-11

Ein Kastenträger ist aus zwei U 80-Profilen zusammengeschweißt. Für l = 3,20 m; SK > 4,0 sind die zulässigen Druckbelastungen für die Knickfälle zu berechnen. Die Wirkung der verschiedenen Lagerungen ist durch Vergleich mit dem Grundfall anschaulich zu machen.

7-12

Zwei HE-B 200-Träger der Länge l = 6,00 m sind nach Skizze angeordnet. Zu bestimmen ist die Knickkraft für alle Knickfälle wenn die Träger a) nicht miteinander verbunden sind, b) wenn sie verschweißt sind.

Abb. A7-10

7 Knickung 7-13

51

Ein Träger I 240 ist nach Skizze unten eingespannt und oben von zwei UProfilen gehalten, jedoch nicht mit ihnen verbunden. Zu berechnen ist die zulässige Kraft F für l = 3,50 m und SK > 3,0. F

Abb. A7-13

7-14

Die skizzierte Spindel mit dem Gewinde Tr 20 × 4 (Kerndurchmesser 15,5 mm) ist mit F = 4,0 kN belastet. Auf welche Länge lmax darf sie herausgeschraubt werden, wenn SK > 3,0 gefordert ist. F

l

Abb. A7-14

52 7-15

Schlankheitsgrad und Knickspannung für die Knickfälle Ein Träger mit dem skizzierten Profil ist l = 3,80 m lang. Er ist an einem Ende eingespannt, am anderen nicht fixiert. Ist eine Druckbelastung von F = 500 kN bei SK = 4,5 möglich?

U 300

Abb. A7-15

7-16

Für eine Stütze mit Rohrquerschnitt ist die zulässige Belastung F in Abhängigkeit von r/s (r Außenradius/s Wanddicke) in einem Diagramm darzustellen. Metallische Querschnittsfläche A = konst. = 20,0 cm2 ; Länge l = 2,0 m; SK = 3,0; Bereich 1 < r/s < 5; Grundfall. Das Diagramm ist zu diskutieren.

7-17

Die Masse m einer Stütze mit Rohrquerschnitt ist in Abhängigkeit von r/s (r Außenradius/s Wanddicke) in einem Diagramm darzustellen. Länge l = 2,0 m; Belastung F = 100 kN; Bereich 1 < r/s < 5. Das Diagramm ist zu diskutieren.

SK = 3,0;

8

Der ebene Spannungszustand

Das Hauptachsenproblem; der Msche Spannungskreis (8.2) 8-1 bis 3

Für das abgebildete Element sind die Hauptspannungen und die maximale Schubspannung zu berechnen. Der Msche Spannungskreis ist zu zeichnen. σy = 140 N/mm2

τyx

σy = 120 N/mm2

σx = −80 N/mm2

σx = 100 N/mm2 τxy = 30 N/mm2

Abb. A8-1

Abb. A8-2

σy = −40 N/mm2 τyx = 50 N/mm2 σx = 120 N/mm2 τxy Abb. A8-3

8-4

Für eine Dehnschraube M 24-8.8 sind in einer Schraubentabelle für µ = 0,08 folgende Werte gegeben: Vorspannkraft FV = 127 kN; Anziehmoment MA = 340 Nm; Taillendurchmesser dT = 18,0 mm; Schlüsselweite SW = 36 mm. Zu berechnen sind die maximale Normal- und Schubspannung im Schaft (= Taille) für diesen Montagezustand.

8-5

Ausgegangen wird von einem Biegeträger. Für ein Element in der neutralen Faser ist die Richtung der Hauptspannungen in der x-z-Ebene anzugeben (x = Trägerachse).

54 8-6

Das Hauptachsenproblem; der Msche Spannungskreis Ein Träger I 200 ist nach Skizze belastet. Für das gekennzeichnete Element sind die Hauptspannungen, deren Richtungen und die max. Schubspannung zu berechnen. Der Msche Kreis ist zu zeichnen. 25 kN 100 cm

∆ A

5 cm

Abb. A8-6

8-7

Die abgebildete Welle ist mit F1 = 5,0 kN belastet. Für die maximal belastete Stelle sind die Hauptspannungen, deren Richtungen und die max. Schubspannung zu berechnen. Der Msche Kreis ist zu zeichnen. ×

F1

A

B

∅ 250

∅ 500

∅ 66 ×

200

F2

360 120

20

Ein Biegeträger liegt beidseitig auf und ist vertikal nach unten belastet. An der skizzierten Stelle überträgt er ein Biegemoment Mb = 112,5 kNm und eine Querkraft Fq = 112,5 kN. Für die oberen und unteren Schweißnähte (a = 5 mm) sind die Hauptspannungen, deren Richtungen und die max. Schubspannung zu berechnen. Der Msche Kreis ist zu zeichnen.

400

10

20

8-8

Abb. A8-7 A9-10

150

Abb. A8-8

8 Der ebene Spannungszustand 8-9

55

Ein geschweißter Kastenträger ist nach Skizze belastet. Für die obere rechte Schweißnaht (a = 7 mm) im Abstand l = 1,0 m von der Kraftangriffsstelle sind die Hauptspannungen deren Richtungen und die max. Schubspannung zu berechnen. Der Msche Kreis ist zu zeichnen. F = 200 kN

155

16

F

400 10

Abb. A8-9 A9-13

16 350

Der zweimal gekröpfte Träger ist nach Skizze aus zwei U 200-Profilen mit a = 6 mm geschweißt. Die Belastung am Ende beträgt F = 15,0 kN. Für die obere Schweißnaht in den Schnitten A und B sind die Hauptspannungen und die max. Schubspannung zu berechnen. B z 12 00 1000

A 300 z

x

y

80 0

8-10

10

300

x Abb. A8-10 A9-14

F

y

U 200

56 8-11

Das Hauptachsenproblem; der Msche Spannungskreis Die Abbildung zeigt das freigemachte Detail einer Rohrleitung. Die Belastung durch Biegung, Verdrehung und Innendruck verursacht folgende Spannungen: Biegung σb = 21,7 N/mm2 ; Verdrehung τt = 12,4 N/mm2 ; Druck Umfangsrichtung σt = 40,0 N/mm2 ; Längsrichtung σa = 20 N/mm2 . Für das Element A sind die Hauptspannungen zu berechnen. Der Msche Kreis ist zu zeichnen.

Mt Mb

A Abb. A8-11

9

Zusammengesetzte Beanspruchung

Addition von Normalspannungen (9.2) 9-1

Das skizzierte System besteht aus Rohren der Abmessung 2 Zoll (D = 60,3 mm; s = 3,65 mm). Die Länge l beträgt 200 mm und die Kraft ist F = 3,0 kN. Zu bestimmen ist die maximale Spannung. Wie groß ist der Anteil der Zugspannung? (Schlussfolgerung)

l F

F

Abb. A9-1/2

9-2

Das Gebilde Abb. A9-1 soll aus einem Rohr d = 0,9 · D hergestellt werden und für F = 6,0 kN; l = 250 mm; σzul = 80 N/mm2 dimensioniert werden. Der Außendurchmesser D ist auf volle mm zu runden. Hinweis: Schlussfolgerung von 9-1 beachten.

9-3

Der Träger der skizzierten Vorrichtung soll als I-Profil ausgeführt werden. Für die Dimensionierung gelten die Daten F = 10,0 kN;

b = 150 mm;

σzul = 100 N/mm2 .

F b Abb. A9-3

58 9-4

Addition von Normalspannungen Für den nach Skizze geschweißten Träger sind die Spannungen im Schnitt AA (oben/unten) und unter Voraussetzung gleichmäßiger Spannungsverteilung im Schnitt BB zu berechnen. Die Werte sind zu vergleichen und zu diskutieren. F = 100 kN. A

80

B

10

F

F

80

b

40 5

9-5

5

B

A

Abb. A9-4

In der skizzierten Konsole hat die symmetrische Belastung im senkrechten Holm Zugspannungen zur Folge. Die Abweichung von der Symmetrie führt zu zusätzlichen Biegespannungen, deren Einfluss hier untersucht werden soll. Die Maximalspannung im senkrechten Holm darf bei gestörter Symmetrie auf den k-fachen Wert steigen. Folgende Fälle sind für diese Bedingung zu untersuchen: a) Um welchen Betrag ∆x darf die Kraft F parallel verschoben werden? b) Um welchen Betrag ∆F darf bei geometrischer Symmetrie eine Kraft größer sein? Die Lösung soll allgemein und für k = 2 und e = 2a erfolgen. Die Ergebnisse sind zu diskutieren.

b a

a

F

F e

9-6

e

Abb. A9-5/6

Die abgebildete Konsole ist symmetrisch belastet. Die bei Abriss einer Last entstehende maximale Spannung im senkrechten Holm ist zu berechnen. Um welchen Faktor k hat sie sich gegenüber dem Ausgangszustand geändert? Die Lösung soll allgemein und für e = 2a erfolgen. Das Ergebnis ist zu diskutieren.

9 Zusammengesetzte Beanspruchung 9-7

59

Die Skizze zeigt das Detail einer Bruchsicherung. Bei Überlastung durch eine Kraft F soll sie sich merklich und bleibend deformieren. Für diese Bedingung ist die Stegbreite b zu bestimmen. Die Lösung soll allgemein und und für die gegebenen Daten erfolgen. B = 40 mm; s = 10 mm; Re = 280 N/mm2 .

F

F = 5,0 kN;

b

s

F B

Abb. A9-7

Zusammensetzung von Normal- und Schubspannungen (9.3) Hinweis: Wenn nicht abweichend angegeben, gilt gleicher Belastungsfall für Normalund Schubspannung. 9-8

Skizziert ist der Riemenantrieb einer Welle. Für die unten gegebenen Daten ist der Wellendurchmesser an der Lagerstelle zu bestimmen. Da die Kerbspannungen noch nicht berücksichtigt werden können, ist die Vergleichsspannung niedrig gewählt. P = 60 kW; n = 700 min−1 ; S 1 /S 2 = 2; σv = 50 N/mm; E 295; Torsion Belastungsfall II; Biegung Belastungsfall III.

S1 20◦ S2

∅300

40◦

Abb. A9-8

40

60 9-9

Zusammensetzung von Normal- und Schubspannungen Skizziert ist ein Zahnradgetriebe. Für die unten gegebenen Daten sind die Wellendurchmesser an den Stellen der Zahnräder und der Lager von Anund Abtrieb zu berechnen. P = 260 kW; n1 = 2940 min−1 ; σv = 60 N/mm2 ; Teilkreisdurchmesser D1 = 80 mm; D2 = 400 mm; D3 = 100 mm; D4 = 450 mm; Geradverzahnung Eingriffswinkel α = 20◦ ; Anstrengungsverhältnis α0 = 0,7.

80 C

300 80

80 5

3

B 2

4

1 0

Abb. A9-9

9-10

Für die Welle 8-7 ist für die maximal belastete Stelle die Vergleichsspannung (Gestaltänderung) zu berechnen.

9-11

Gegeben ist das verstärkte I-Profil nach 4-44. Dieser Querschnitt überträgt ein Biegemoment Mb = 150 kNm und eine Querkraft Fq = 180 kN. Für die Schweißnaht (a = 5 mm) ist die Vergleichsspannung (Hauptspannungshypothese) zu berechnen.

9-12

Das Profil nach 4-33 ist mit Mb = 180 kNm und Fq = 100 kN belastet. Zu bestimmen ist die Vergleichsspannung (Hauptspannungshypothese) für die Schweißnaht.

9-13

Der Kastenträger 8-9 ist nach Skizze exzentrisch belastet. Für die rechten Schweißnähte (a = 7 mm) an der Einspannstelle ist für l = 1,0 m die Vergleichsspannung (Hauptspannungshypothese) zu berechnen.

9-14

Der gekröpfte Träger 8-10 ist mit F = 15,0 kN belastet. Der Kastenträger besteht aus zwei U 200-Profilen, die zusammengeschweißt sind. Für die Schweißnaht (a = 6 mm) im Schnitt B ist die Vergleichsspannung (Hauptspannungshypothese) zu berechnen.

9 Zusammengesetzte Beanspruchung 9-15

61

Der eingespannte Träger besteht nach Skizze aus einem rechteckigen Stahlrohr DIN 59411 mit den Abmessungen 100 × 60 × 4 (Außenmaße/Wanddicke). Darf die Kraft F im Bereich e außermittig verlagert werden, ohne dass die zulässige Vergleichsspannung nach der Hauptspannungshypothese überschritten wird? F = 4,0 kN; l = 1,0 m; e = 120 mm; Wy = 30,5 cm3 ; Wt = 43,0 cm3 .

σzul = 140 N/mm2 ; e

F

Abb. A9-15

9-16

F

l

Die Abbildung zeigt einen räumlich belasteten Rahmen aus Vierkantrohr mit quadratischem Querschnitt 100 × 100 mm2 und der Wanddicke 5 mm. Zu bestimmen sind in den nummerierten Schnitten die Vergleichsspannungen (Gestaltänderungshypothese) an den jeweils am höchsten belasteten Stellen. Fx = 0,80 kN; Fy = 1,20 kN; Fz = 0,70 kN; a = 1,50 m; b = 1,0 m; c = 2,0 m; d = 4,0 m.

Fy

Fz Fx

4

3

d

a 1 b Abb. A9-16

2

c

62 9-17

Zusammensetzung von Normal- und Schubspannungen Die Skizze zeigt das Detail einer freigemachten Rohrleitung, die drucklos ist. Zu bestimmen ist die Vergleichsspannung (Gestaltänderungshypothese) für die drei Stränge. Rohr Innendurchmesser d = 300 mm; Mx = 18,0 kNm; Mz = 25,0 kNm

Wanddicke s = 8,0 mm; .

Mz

1 Mx

2 3 Abb. A9-17

9-18

Skizziert ist ein freigemachtes Teilstück einer drucklosen Rohrleitung. Zu bestimmen ist die Vergleichsspannung (Gestaltänderungshypothese) in den nummerierten Querschnitten. Rohr Innendurchmesser d = 160 mm; Wanddicke s = 6,0 mm; a = 0,50 m; b = 2,50 m; c = 2,0 m; e = 3,0 m; Fx = 1,0 kN; Fy = 0,80 kN; Fz = 0,50 kN.

Hinweis: Analoge Aufgaben für Rohre unter Innendruck sind im Abschnitt 12.4 enthalten. a

e

Fz

a 1

Fx

2

c

3

Fy

a 5

4 a b

Abb. A9-18

9 Zusammengesetzte Beanspruchung 9-19

63

Die Montagevorspannkraft von hochfesten Schrauben soll beim Anzug den Werkstoff bis 90 % von der Rp0,2 -Grenze ausnutzen. Für diese Vorgabe sollen nach der Gestaltänderungshypothese die Vorspannkraft Fv und das Anziehmoment MA für eine Schraube M 12-8.8 berechnet werden. Rp0,2 = 640 N/mm2 ; Spannungsquerschnitt Asp = 84,3 mm2 ; Reibung Gewinde und Mutter µ = 0,1; Gewindesteigung α = 2,94◦ ; Schlüsselweite SW = 18 mm.

9-20

Die Aufgabe 8-4 soll hier fortgesetzt werden. Für den Zustand „maximaler Anzug“ ist die Vergleichsspannung im Schaft nach der Gestaltänderungshypothese zu berechnen. Wieviel Prozent von der Rp0,2 -Grenze beträgt dieser Wert?

10 Rechnerischer Festigkeitsnachweis Der nach Skizze gekerbte Flachstab 90 × 4 aus S 235 ist statisch mit F = 12,0 kN belastet. Es ist die maximale Zugspannung zu berechnen. R5

10-1

F

80 90

F

4 dick Abb. A10-1

10-2

Der skizzierte Wellenabschnitt (Werkstoff E 360) ist mit einem konstanten Torsionsmoment Mt = 2,50 kNm belastet. Für die Werte D = 80 mm; d = 60 mm; r = 5 mm ist die maximale Torsionsspannung zu berechnen.

∅D r

Abb. A10-2/4/6

10-3

∅d

Der gekerbte Rundstab (Skizze) aus E 295, Maße D = 40 mm; d = 32 mm; r = 2 mm, geschlichtet mit einer Oberflächenrauheit RZ = 50 µm (der Faktor für die Randschichtverfestigung wird mit KV = 1 festgelegt) soll eine wechselnde Zug-Druckbelastung von F = 30 kN aufnehmen. Für den Werkstoff sind die folgenden Kennwerte festgelegt: Rm = 490 N/mm2 ;

Re = 295 N/mm2 ;

σzdW = 220 N/mm2 .

66

10 Rechnerischer Festigkeitsnachweis

r

∅d

∅D Abb. A10-3/5/7

Es ist zu untersuchen, ob die Belastung bei einer geforderten Sicherheit gegen Dauerbruch von S D = 1,5 ertragen wird. 10-4

Der nach Abb. A10-2 skizzierte Abschnitt der abgesetzten Welle mit den Maßen D = 96 mm; d = 80 mm; r = 4 mm ist geschliffen (RZ = 6,3 µm; KV = 1). Der Wellenwerkstoff ist 25 CrMo 4 (vergütet). Die Welle ist an der Nut durch ein Biegemoment von Mb = 3800 Nm auf Umlaufbiegung belastet. Die Bauteilkennwerte, nach FKM-Richtlinie festgelegt, betragen: Rm = 645 N/mm2 ;

Re = 390 N/mm2 ;

σbW = 290 N/mm2 .

Es ist der Dauerfestigkeitsnachweis mit S Dgef = 1,35 zu führen. 10-5

Ein gekerbter Rundstab nach Abb. A10-3 ist mit den Abmessungen D = 72 mm; d = 66 mm; r = 3 mm gegeben. Die Rautiefe der geschlichteten, nicht verfestigten Oberfläche beträgt RZ = 25 µm. Das Bauteil unterliegt einer schwingenden Belastung durch eine axiale Zugkraft. Dem statischen Anteil dieser Kraft Fstat = 240 kN ist ein wechselnder Anteil Fdyn = 180 kN überlagert. Für den verwendeten Wellenwerkstoff E 335 gilt das in Abb. A10-5a dargestellte Dauerfestigkeitsschaubild aus Versuchswerten. σ N/ mm2 300 280

340

200 100

0 0

100

200 σ 300 m N/ mm2

Abb. A10-5a

Rechnerischer Festigkeitsnachweis

67

Es sind ein statischer Nachweis sowie ein Dauerfestigkeitsnachweis unter der Annahme hoher Schadensfolgen bei hoher Wahrscheinlichkeit des Auftretens der Spannungskombination und der Voraussetzung regelmäßiger Inspektionsintervalle zu führen (Tabelle 5). 10-6

Der nach Abb. A10-2 skizzierte Abschnitt der abgesetzten Achse hat die Maße D = 52 mm; d = 40 mm; r = 2 mm. Die gedrehte Oberfläche (geschlichtet) hat die Rautiefe RZ = 12,5 µm. Die Oberfläche ist nicht verfestigt (KV = 1). Der Werkstoff ist C 45E (vergütet). Für die Formzahlen bei Schubbeanspruchungen liegen die folgenden Werte vor: αKs = 2,2 (für r = 2 mm) und αKs = 2,0 (für r = 3 mm). Die Achse wird auf Umlaufbiegung mit σbW = 68 N/mm2 beansprucht; die dabei auftretende Querkraftschubbeanspruchung beträgt τsW = 45 N/mm2 . Die Bauteilkennwerte, nach FKM-Richtlinie festgelegt, betragen: Rm = 620 N/mm2 ; τsF = 254 N/mm2 ;

Re = 355 N/mm2 ; σbW = 279 N/mm2 ;

σbF = 508 N/mm2 ; τsW = 162 N/mm2 .

Es sind der statische und der dynamische Festigkeitsnachweis zu führen. Der statische Festigkeitsnachweis ist mit Berücksichtigung der statischen Tragreserve zu führen. Die Mindestsicherheiten sind nach den Kriterien „bei Havarie geringe Schadensfolgen, regelmäßige Inspektionen“ (Tabelle 5) festzulegen. In einer zusätzlichen Rechnung ist zu überprüfen um wieviel (in Prozent) sich die Sicherheit gegen Dauerbruch erhöht, wenn der Rundungsradius des Absatzes auf r = 3 mm erhöht wird. 10-7

Der nach Abb. A10-3 skizzierte Wellenabschnitt hat die Maße D = 78 mm; d = 70 mm; r = 2,5 mm. Die Rautiefe der geschliffenen Oberfläche beträgt RZ = 3,2 µm. Der Werkstoff ist 16 MnCr 5, oberflächengehärtet (KV = 1,5). Der Abschnitt ist mit einer statischen Druckkraft Fd = 75 kN, einem wechselnden Biegemoment Mb = 2,3 kNm und einem konstanten Torsionsmoment Mt = 3,0 kNm belastet. Die Bauteilkennwerte, nach FKM-Richtlinie festgelegt, betragen: Rm = 516 N/mm2 ; τtF = 206 N/mm2 ;

Re = 361 N/mm2 ; σbW = 206 N/mm2 ;

σbF = 510 N/mm2 ; τtW = 120 N/mm2 .

Es sind der statische (ohne Berücksichtigung der statischen Tragreserve) und der dynamische Festigkeitsnachweis zu führen. Die geforderten Mindestsicherheiten betragen S F = 1,5; S D = 1,35.

11 Die statisch unbestimmten Systeme Auf Zug (Druck) statisch unbestimmt beanspruchte Systeme (11.3) 11-1

Die Abbildung zeigt die Aufhängung einer homogenen, starren Masse m an drei Stäben. Der mittlere Stab ist um s zu kurz gefertigt, sonst sind die Stäbe gleich. Zu bestimmen sind in allgemeiner Form und für die gegebenen Daten die Stabkräfte und die Verlängerungen. Die Ergebnisse sind zu diskutieren. l = 1,0 m; A = 10,0 mm2 ; s = 0,50 mm; a = b; m = 300 kg.

1

Abb. A11-1/2

3

2

a

l

b

11-2

Skizziert ist die Aufhängung einer homogenen, starren Masse m an drei gleichen Stäben. Für die unten gegebenen Daten sind die Stabkräfte und die Verlängerungen zu bestimmen. (Hinweis: Wegen der Unsymmetrie stellt sich eine Schieflage ein.) l = 2,0 m; A = 10,0 mm2 ; a = 1,5 m; b = 2a; m · g = 5,0 kN.

11-3

Eine homogene, starre Masse m ist nach Skizze aufgehängt. Das System ist symmetrisch. Alle Seile sollen gleich belastet sein. Für diese Bedingung sind der Winkel β und die Seilkraft zu bestimmen. Lösung allgemein und für l2 = 1,50 · l1 und m · g = 5,0 kN. 1

Abb. A11-3

2 β

β

a

a

3

70 11-4

Auf Zug (Druck) statisch unbestimmt beanspruchte Systeme Eine homogene, starre Masse m ist nach Skizze an zwei Seilen aufgehängt und in D gelenkig gelagert. Das Seil 2 soll so lang ausgeführt werden, dass beide Seile gleich belastet sind. Für diese Bedingung sind der Abstand BC, die Seilkraft und die Gelenkkraft in D zu bestimmen. Lösung allgemein und für l1 = 1,0 m; a = 2,0 m; m · g = 80 kN. A D

1

l1

2

a

11-5

C

B

2a

Abb. A11-4

An dem skizzierten System soll die Kraft F den Spalt e schließen und auf die Hülse 4 eine vorgegebene Kraft F4 ausüben. Der Flansch und die Begrenzungen A und B sind starr. Das System soll über die Messung der Verlagerung des rechten Bundes kontrolliert werden. Allgemein und für die unten gegebenen Daten sind die Kraft F und die Verlagerung des Bundes s zu bestimmen. Bauteil d/mm l/mm

1 40,0 300

2 30,0 200

3 35,0 400

4 50/40 250

e = 0,20 mm;

F4 = 35 kN.

e

A

1

F

2 3

4

B

Abb. A11-5

11 Die statisch unbestimmten Systeme

71

Der statisch unbestimmte Biegeträger (11.4) Hinweis: Für alle Träger gilt EI = konst. 11-6 bis 9 Für das skizzierte System sind alle Auflagerkräfte zu berechnen. Das Biegemomentendiagramm ist zu zeichnen. q

A

E · I = konst.

B

1/3 l

C 2/3 l

Abb. A11-6/11

l

B l/2 F

A

l

Abb. A11-7

a B a F a A

Abb. A11-8

a A

a F 2a

Abb. A11-9

B

72 11-10

Der statisch unbestimmte Biegeträger Der nach Skizze eingespannte Träger liegt am Ende auf einer um den Betrag s zu tief montierten Stütze auf. Zu bestimmen sind die Auflagerkräfte allgemein und für die unten gegebenen Daten. Um wieviel Prozent wird der Träger durch die fehlerhafte Lagerung überlastet? Träger I 240;

F = 20,0 kN;

A

11-11

s = 5,0 mm.

Träger unbelastet

F

B a

a = 2,0 m;

s B

a

Abb. A11-10

Das mittlere Lager des Trägers 11-6 ist um wB zu tief montiert. Für diesen Zustand sind die Auflagerkräfte zu berechnen. Um wieviel Prozent ändert sich die maximale Spannung gegenüber der bei exakter Lagerung für l = 12,0 m; q = 100 kNm; Träger: I = 3,24 · 105 cm4 ; W = 9,85 · 103 cm3 ;

11-12

wB = 15 mm.

Ein Träger ist nach Skizze auf der einen Seite eingespannt und auf der anderen Seite mittig auf einem Querträger gelagert. In allgemeiner Form sind die Kraft und Deformation in B und die Biegemomente zu bestimmen. Die Gleichungen sind für die nachfolgend gegebenen Daten auszuwerten. Streckenlast q = 25 kN/m; Hauptträger I 400 l = 4,0 m; Querträger I 160 l = 3,0 m.

A

B

Abb. A11-12

11 Die statisch unbestimmten Systeme

A

Abb. A11-13

F = 30 kN

200

200

B

200

∅ 50

Für die abgesetzte, dreifach gelagerte Welle nach Skizze sind die Auflagerreaktionen, die Biegemomente und die elastische Linie zu bestimmen. Die Lösung soll nach F¨ erfolgen. ∅ 60

11-13

73

200

C

12 Verschiedene Anwendungen Wärmespannungen (12.2) 12-1

Eine Welle wird im Laufbereich einer Dichtung bei Raumtemperatur verchromt. Dieser Teil unterliegt einer schwankenden Betriebstemperatur ∆t. Es ist eine Gleichung für die Berechnung der entstehenden Zugspannung in der Chromschicht aufzustellen und für ∆t = 100 ◦ C auszuwerten. Chrom: α = 6,2 · 10−6 K−1 ;

E = 1,9 · 105 N/mm2 .

12-2

Ein dünnwandiger Stahlring (Untermaß ∆d) soll auf eine Welle (Durchmesser d) aufgeschrumpft werden. Zu bestimmen sind die notwendige Temperaturerhöhung ∆t für spielfreies Aufziehen des Rings und die Spannung im Ring nach dem Temperaturausgleich. Die Lösung soll allgemein und für ∆d = 0,080 mm; d = 100 mm erfolgen.

12-3

In dieser Aufgabe soll die Spannung abgeschätzt werden, die z.B. in den Bahnschienen bei Erwärmung/Abkühlung um ∆t entsteht. Es wird vorausgesetzt, dass bei einer Erwärmung die Schienen nicht seitlich ausweichen. Lösung allgemein und für ∆t = 50 K.

12-4

Zwei Stäbe aus verschiedenen Werkstoffen sind fest miteinander verbunden. Die Montage erfolgt bei der Temperatur t0 . Danach wird der Verband mit der Kraft F belastet und anschließend um ∆t erwärmt. Zu bestimmen sind allgemein die Spannungen in beiden Stäben im kalten Zustand und nach der Erwärmung. Die Auswertung soll für nachfolgende Daten erfolgen. A1 = A2 = 1,0 cm2 ; Stab 1: Stahl;

F = 12,0 kN; Stab 2: Kupfer.

∆t = 100 K;

F Abb. A12-4

1 2

F

76 12-5

Umlaufende Bauteile Das System besteht aus zwei Stäben, die auf gegenüberliegenden Seiten eingespannt sind und nach Skizze einen Spalt bilden. Die Werkstoffe sind verschieden. Zu bestimmen sind die Spannungen in den Stäben (A1 = A2 ) bei Erwärmung um ∆t. Vorausgesetzt wird, dass die Begrenzungen starr sind und die Stäbe nicht seitlich ausweichen. Lösung allgemein und für l = 0,50 m; Stab 1: Stahl;

A = 20,0 cm2 ; Stab 2: Kupfer.

1 l

e = 0,50 mm;

∆t = 60 K;

2

e

l

Abb. A12-5

Umlaufende Bauteile (12.3) 12-6

Zu berechnen ist die Zugspannung im Innenschnitt einer Turbinenschaufel. Diese hat eine über die Länge konstante Querschnittsfläche. Schaufellänge l = 45 mm; Querschnittsfläche A = 1,30 cm2 ; mittlerer Raddurchmesser d = 1100 mm; Turbinendrehzahl n = 3000 min−1 .

ω

A

dm

hse hac Dr e

Abb. A12-6

12 Verschiedene Anwendungen 12-7

Für eine ungelochte Stahlscheibe gleicher Dicke ist für eine vorgegebene zulässige Spannung die maximale Drehzahl nach der Hauptspannungshypothese zu berechnen. Lösung allgemein und für d = 600 mm;

12-8

77

σzul = 100 N/mm2 .

Wie 12-7, jedoch Scheibe mit kleiner Bohrung im Zentrum.

Zylinder und Kugel unter Innendruck (12.4) 12-9

Ein Rohr ist nach Skizze schräg zusammengeschweißt. Für die Schweißnaht an der Stelle A sind die Vergleichsspannungen nach der Hauptspannungs- und der Gestaltänderungshypothese zu berechnen. Ein Teilelement der Schweißnaht ist zu skizzieren und die Spannungen sind einzutragen. Rohr mittlerer Durchmesser Wanddicke s = 3,0 mm;

d = 100 mm; Druck p = 30 bar;

β = 40◦ .

A β Abb. A12-9

12-10

Abgebildet ist ein freigemachter Rohrbogen, der unter Druck steht. Das Teilelement A ist mit den wirkenden Spannungen zu zeichnen. Zu bestimmen ist die Vergleichsspannung nach der Gestaltänderungshypothese. Rohr di = 500 mm; s = 12,0 mm; Druck p = 38 bar; r = 4,0 m; F1 = 12,0 kN; F2 = 15,0 kN; M = 30,0 kNm. F1 F2 M A Abb. A12-10

r

78 12-11

Zylinder und Kugel unter Innendruck Die Skizze zeigt einen freigemachten Rohrbogen, der unter Druck steht. Zu bestimmen ist die Hauptspannung in den Teilelementen 1 und 2. Rohr di = 300 mm; s = 10,0 mm; Mx = 30,0 kNm; My = 35,0 kNm;

p = 50 bar; Mz = 40 kNm.

2

1 Mx Mz

12-12

My

Abb. A12-11

Die Abbildung zeigt das Detail einer Rohrleitung unter Innendruck. Zu berechnen ist die Vergleichsspannung (Gestaltänderungshypothese) in der Einspannstelle. Ein Teilelement ist mit eingetragenen Spannungen zu zeichnen. Rohr di = 200 mm; s = 5,0 mm; p = 20,0 bar; a = 3,0 m; b = 4,0 m; F1 = 1,0 kN; F2 = 0,6 kN.

b

F1 F2

a Abb. A12-12

12-13

Ein Ring mit den Abmessungen D = 130 mm; d = 120 mm; b = 15 mm wird mit einem Untermaß ∆d = 0,050 mm aufgeschrumpft. Welches Moment kann dieser Ring bei einem Reibungsbeiwert Welle/Ring µ = 0,1 übertragen?

Lösungen Die in den Lösungsansätzen angegebenen Gleichungsnummern beziehen sich auf das Lehrbuch Technische Mechanik, Band 2, von den gleichen Verfassern.

Lösungen zu Kapitel 2 2-1

Die Spannung ist ein Maß für die Belastungsintensität im Werkstoff. Sie kann sich von Punkt zu Punkt ändern. Für ein beliebig kleines Flächenelement ist die Spannung der Quotient aus Kraft und Fläche und damit eine „Kraftdichte“.

2-2

Normal- und Schubspannungen. Verlängerung Dehnung = Ausgangslänge Verlängerung des gebrochenen Stabes Bruchdehnung = Ausgangslänge Streckgrenze = Spannung im Zugstab bei einsetzendem Fließen des Werkstoffes maximale Kraft im Zerreißversuch Zugfestigkeit = Ausgangsquerschnittsfläche Normalspannung ist proportional zur Dehnung Schubspannung ist proportional zur Winkeländerung

2-3

2-4

σ = E · ε;

τ = G·γ

(Hsche Gerade)

E-Modul: Maß für Starrheit des Werkstoffes bei Längenänderung, G-Modul: Maß für Starrheit des Werkstoffes bei Winkeländerung. 2-5

Die eingeschlossene Fläche entspricht der bei der Zerstörung des Stabes aufgewendeten Arbeit. Diese kann bei Stählen hoher Festigkeit kleiner sein als bei weichen Stählen, da das Zerreißen praktisch ohne vorherige plastische Deformation erfolgt.

2-6

Weil die plastische Deformation eines zähen Werkstoffes sich fast ausschließlich auf den Bereich der Einschnürung konzentriert. Damit ist die Dehnung nicht gleichmäßig über die Stablänge verteilt.

80 2-7

Lösungen zu Kapitel 2 elastisch: Werkstück nimmt nach Entlastung Ausgangsform an. plastisch: Werkstück bleibt nach Entlastung deformiert. zäh: Große Energie zur Zerstörung notwendig, d.h. starke plastische Deformation und damit große Bruchdehnung. spröde: Geringe Energie zur Zerstörung notwendig, auch wenn die Zugfestigkeit groß ist, d.h. keine plastische Deformation und damit geringe Bruchdehnung.

2-8

Schlagartige Belastung, tiefe Temperaturen.

2-9

ruhend: Belastung = konstant. schwellend: Belastung schwankt zwischen Null und einem Maximalwert. wechselnd: Belastung schwankt zwischen positivem und negativem Maximalwert.

2-10

Ein Dauerbruch entsteht bei Zerrüttung des Werkstoffgefüges durch schwingende Belastung. Die Gefügekörner lösen sich dabei voneinander ohne plastische Deformation. Dieser Vorgang erfolgt schrittweise (Rastlinien) bis bei einer kritischen Querschnittsverminderung der Gewaltbruch einsetzt. Ein Gewaltbruch erfolgt durch einmalige Überlastung oder bei wenigen Lastspielen, wobei bei zähen Werkstoffen eine plastische Deformation vorangeht.

2-11

Dauerfestigkeit ist der Oberbegriff (nicht zu verwechseln mit Dauerstandfestigkeit). Wechselfestigkeit = Dauerfestigkeit für Belastungsfall III. Schwellfestigkeit = Dauerfestigkeit für Belastungsfall II.

2-12

An Stellen mit schroffen Querschnittsveränderungen erfolgt eine Konzentration der Kraftübertragung im Werkstoff. Die Zunahme der „Kraftdichte“ ergibt eine höhere Belastung der Gefügeteile und damit eine Spannungserhöhung.

2-13

Kerbempfindlich sind im allgemeinen spröde Werkstoffe, bei denen sich bei der Zerstörung die volle Spannungsspitze auswirkt.

2-14

Weniger kerbempfindlich sind zähe Werkstoffe, bei denen Spannungsspitzen durch lokales Fließen abgebaut werden können. Grenzspannung Sicherheit = vorhandene Spannung Bei ruhender Belastung soll nicht nur Bruch sondern auch bleibende Deformation verhindert werden, deshalb ist es sinnvoll für spröde Werkstoffe die 0,2-Dehngrenze, für zähe die Streck- bzw. E-Grenze als Grenzspannung zu

Lösungen

81 wählen. Für die schwingende Belastung nimmt man die Dauerfestigkeit als Grenzspannung.

2-15

Genauigkeit des Rechenverfahrens, (Berücksichtigung der Kerbwirkung, Oberflächenbeschaffenheit, Größe des Bauteils), Genauigkeit der Herstellung des Bauteils, Mögliche Abweichung von den angenommenen Lasten, Überlastung, Folgen beim Bruch eines Bauteils.

Lösungen zu Kapitel 3 s 4b · F = 6,18 mm π(c − b) · Rm

3-1

d=

3-2

Reißlänge l =

Rm ρ·g

E 360 l = 9,09 km;

Dural l = 13,1 km

Die Reißlänge ist ein Maß für die Verwendbarkeit eines Werkstoffes im Leichtbau. 3-3

Untere Nietreihe, Mittelblech σ = 167 N/mm2

3-4

3-6

Gelenkkraft FG = 68 kN; σ = 122 N/mm2 r 2·F derf = = 23,4 mm π · σzul U 160 FB = 616 kN

3-7

U 100 FA = 344,7 kN

3-8

Hauptseil S = 39,24 kN;

3-5

3-9

3-10

σ = 250 N/mm2 Ansatz A = (d + a)π · a = F/σzul ; s d d2 F a=− + + = 4 mm 2 4 σzul π σ N/mm2

Rohr 60

S 7 σ = 143 N/mm2

Windenseil S W =

Rohranschluss 54

Laschenanschluss 43

Lasche 54

82 3-11 3-12

Lösungen zu Kapitel 3 p · k2 = 29 N/mm2 4(k + 1) Vorspannkraft Schraube aus Ansatz (Bd. 1 Gl. 11-6) Mit d/s = k

MA = FV ·

σ=

dm dmK · tan(α + ρ) + FV · · µ ⇒ FV = 14,3 kN 2 2

Belastung Platte Betriebskraft Schraube Gesamtkraft Schraube σ=

FP = 2S · sin β = 10,26 kN FB = FP /4 = 2,57 kN FS = FV + FB

FS = 200 N/mm2 < σzul = 0,70 · 320 N/mm2 AS

3-13

Gl. 3-3/4 F σ= · cos2 (90◦ − β) = 56,2 N/mm2 b· s F τ= · sin2 (90◦ − β) = 32,5 N/mm2 2·b· s

3-14

ε = 7,3 · 10−2 %;

∆l = 7,3 · 10−2 mm;

εq = 2,2 · 10−2 %;

∆d = 2,2 · 10−3 mm;

3-15

Siehe 2-6

3-16

∆d =

3-17

∆L = ∆l = 32 mm;

δL = δ ·

e = 2,9 · 10−2 %. l = 1,6 % L

σ·d = 0,103 mm E (1) = Cu (2) = Alu F1 + F2 = F ε1 = ε2 Gl. 3-9 F σ1 = = 56,4 N/mm2 E2 A1 + A2 E1 F σ2 = = 31,3 N/mm2 E1 A2 + A1 E2 l·F ∆l = = 2,60 mm A1 E 1 + A2 E 2 Ansatz

3-18

F = F1 + F2 + F3 ;

Ansatz: Gl. 3-9;

F = ε · A(E1 + E2 + E3 ) = 206 kN; 2

σ1 = 52,5 N/mm ;

∆l1 = ∆l2 = ∆l3 σ = E·ε

2

σ2 = 32,5 N/mm ;

σ3 = 18,0 N/mm2

Lösungen

83 Der E-Modul ist ein Maß für die Starrheit eines Werkstoffes. Das Teil mit dem höchsten E-Modul überträgt den größten Kraftanteil.

3-19

Ansatz: Gl. 3-9; X 1 k = ; Ei ∆l1 = 5,4 µm; F = 56,9 kN;

∆lges = ∆l1 + ∆l2 + ∆l3 ; ∆lges · A F = ; l·k ∆l2 = 8,8 µm; σ = 28,5 N/mm2

F1 = F2 = F3 ∆lges ∆li = Ei · k ∆l3 = 15,8 µm

Der E-Modul ist ein Maß für die Starrheit eines Werkstoffes. Das Teil mit dem niedrigsten E-Modul weist die höchste Deformation auf. 3-20

Ansatz: Gl. 3-9; ∆l1 + ∆l2 + ∆l3 = e; X l e·E k= ; F= = 6,6 kN A k

F = konst.

Linker Flansch verlagert sich um ∆l1 + ∆l2 = 0,78 mm. 3-21

Zustand vor Setzen (v), nach Setzen (n) s = ∆lv − ∆ln ; H s·E s·E σn = σv − ; ∆σ = Spannungsverlust lges lges s·E lges = l1 + l2 ; l1 = − l2 = 24 mm ∆σ ∆σ/σ 30 % 20

Anziehgenauigkeit

10 0 Abb. L3-21

3-22

0

10

20

30

40

l1 mm

Wenn Fh angreift, ist Hülse spannungsfrei. Nach dem Lösen der Hydraulik verkürzt sich die Hülse um ∆l, es wirkt die Kraft FV . Gl. 3-9; FV =

∆l · AH · E l

(1)

Während des Lösens der Hydraulik wird der Schaft um ∆l kürzer. Die Kraft verringert sich auf FV FV = Fh −

∆l · ASch · E l

(2)

84

Lösungen zu Kapitel 3 Zwei Gleichungen für FV und ∆l. FV =

3-23

Fh ASch +1 AH

= 95,4 kN;

∆l =

Fh · l = 0,071 mm E(ASch + AH )

a) FV = 42,9 kN σV = 180 N/mm2 b) Band 1/Gl. 11-6; MA = 85 Nm c) Bei Belastung durch p verlängern sich Schraube und Hülse. Dadurch erhöht sich die Kraft in der Schraube (Zug) und vermindert sich die Kraft in der Hülse (Druck). P Die so entstehende Differenzkraft muss gleich der Betriebskraft sein ( F = 0). ∆l FB = ∆FS + ∆FH = E(AS + AH ) ⇒ ∆l = 0,023 mm l Gesamtverlängerung Schraube ∆lgesS = ∆lVS + ∆l = 0,180 mm ⇒ σmaxS = 344 N/mm2 Durch Druckbelastung verlängert sich Hülse um ∆l (Beachten: minus!) ∆lgesH = ∆lVH − ∆l = 0,072 mm ⇒ σHB = 137 N/mm2 d) Dichtkraft = Hülsenkraft im Betrieb FD = σHB · AH · z = 391 kN

3-24

yF = 1,10 mm;

xF = 0,33 mm

Hinweis für 3-25 bis 27: Die Aufhängung ist statisch unbestimmt. Die statische Gleichgewichtsbedingung wird durch das Hsche Gesetz und geometrische Bedingung(en) ergänzt. P 3-25 Ansatz: F = 0; Gl. 3-9; m·g m·g S1 = ! = 0,33m · g; S 2 = ! = 0,167m · g E2 E1 2 1+ 2 +1 E1 E2

3-26

Der Stab, dessen Werkstoff starrer ist (höherer E-Modul), ist stärker belastet. P Ansatz: F = 0; Gl. 3-9; ∆l2 = ∆l1 + s ! 1 2s · A · E S1 = m·g − = 0,456 kN; 4 l ! 1 2s · A · E S2 = m·g + = 1,51 kN 4 l Eine geringe Abweichung von der Solllänge (0,025 %) führt zu einer erheb-

Lösungen

3-27

85 lichen Mehrbelastung des zu kurzen Stabes. Die Einhaltung der Sollmaße ist für statisch unbestimmte Systeme besonders wichtig. P Ansatz: MB = 0; Gl. 3-9; ∆l3 = 3 · ∆l1 ; ∆l2 = 2 · ∆l1 F1 =

3 Fres ; 28

F2 =

3 Fres ; 14

F3 =

9 Fres ; 28

Der Stab mit der größten Verlängerung ist am höchsten belastet. 3-28

Das Element dy wird mit der Gewichtskraft des darunterhängenden Teils (A · ρ · g · y) belastet. Dadurch wird es um d(∆l) verlängert. ε=

d(∆l) F = dy A·E

⇒

d(∆l) =

ρ·g · y · dy E

l2 · ρ · g 2E Probestab u = 0,8 · σB · δ = 109,5 Nm/cm3 . Integration ∆l =

3-29

Dieser Wert gilt für einen proportional vergrößerten Stab d = 25 mm; l = 250 mm (geometrisch ähnliche Einschnürung). Für diesen vergrößerten Stab ist W = u · V = 13,4 kNm. Das ist auch die Formänderungsenergie für den Zuganker, da die „Überlängen“ an der plastischen Deformation nicht teilnehmen. 3-30

Ansatz: m · g(h + ∆l) = u · l · A; Gl. 3-9/12 s     2E · A · h  Fmax = m · g 1 + 1 + m·g·l  Für h = 0 ist Fmax = 2m · g(!). Diese Überlastung wird vermieden, wenn das Seil langsam belastet wird. Wenn die Masse bei h = 0 „losgelassen“ wird, setzt Schwingung mit der Amplitude ∆l ein.

3-31

Ansatz: m · g(∆l + h) = u · A · l;

Gl. 3-12

m·g·l 2 (n − 2n) = 7,5 mm 2A · E h = 0 für n = 2(!) (s. Diskussion Lösung 3-30). Sehr hohe Spannungszunahme durch dynamische Belastung. h=

3-32

s. Lösung 3-24.

3-33

pL = 137 N/mm2

3-34

pL = 125 N/mm2 P p= = 77 N/mm2 π·n·d·A

3-35

86

Lösungen zu Kapitel 4

Lösungen zu Kapitel 4 4-1

+20 kN

Fq

−21,82 kN 60 kNm

Mb

b

b

49,09 kNm

Abb. L4-1

4 kN

4-2

Fq

Mb 0,8 kNm

4-3

Abb. L4-2

1,1 kNm

Fq +12 kN −9 kN 18 kNm Mb Abb. L4-3 60 kN

Fq

4-4

25 kN

−65 kN Mb 120 kNm

3,3 m b

1,67 m b

20,8 kNm

Abb. L4-4

Lösungen 4-5

87 25 kN

2,5 kN −27,5 kN

−25 kN

50 kNm

Gelenk

−57,5 kN

b

b

50 kNm Abb. L4-5

4-6

42,2 kN 10 kN −7,8 kN −37,8 kN 3 kNm 7,6 kNm 11,4 kNm

4-7

" # 1 1  x 2 F q = q0 · l − ; 2 3 l

Abb. L4-6

"  x 2 # 1 Mb = q0 · l · x 1 − 6 l Fq

12 kN

3,46 m

−24 kN Mb

Abb. L4-7

27,7 kNm

88

Lösungen zu Kapitel 4

Hinweis für 4-8 bis 12: Einheiten x(m); F(kN); q( kN/m). x vom linken Trägerrand ausgehend. Kontrolle: x für rechtes Trägerende in Gleichung für M einsetzen: M = 0. 4-8

M = x · 8,18 − hx − 6i 30 + hx − 11i 41,82

4-9

M = 4x − hx − 0,2i 3 − hx − 0,5i 2 − hx − 0,8i 3

4-10

M = −hx − 2i2 2 − 9x + hx − 2i 21

4-11

M = −x2 7,5 + 25x + hx − 6i 125

4-12

M = 12x − x3 /3

4-13

Über gedrückter Faser aufgetragen.

118 kNm Abb. L4-13

4-14

Über gedrückter Faser aufgetragen. 177 kNm

59 kNm

4-15

Abb. L4-14

Über gedrückter Faser aufgetragen. 65 kNm

12 kNm

Abb. L4-15

Lösungen

89

Hinweis für 4-16 bis 21: Die Biegemomentendiagramme sind über der gezogenen Faser aufgetragen. 4-16

Ein Kräftepaar ist ein parallel verschieblicher Vektor, deshalb Mb = konst. Das Reaktionsmoment belastet den Träger. M

Abb. L4-16

B

4-17

D

Abb. L4-17

221 kNm

4-18

9,0 kNm 8,4 kNm 9,0 kNm

8,4 kNm 0,6 kNm

0,6 kNm 4,5 kNm 4,5 kNm

4-19

Abb. L4-18

Fa

3 Fa 2

2Fa Abb. L4-19

90

Lösungen zu Kapitel 4

4-20

1,50 Fa

Abb. L4-20

200 kNm

4-21

100 kNm

510 kNm

160 kNm

500 kNm

b

b b

b

350 kNm Abb. L4-21

4-22

n=0 M

0,50M

n = 0,50

0,75M

n = 0,75

M

M

M n = 1,0

Abb. L4-22 6 kNm

4-23

1 kNm 8 kNm b

b

b

b

b

b

Abb. L4-23

Lösungen 4-24

91 K = 1 + 12n2 Bei Parallelverschiebung der Bezugsachse vom Schwerpunkt ausgehend nimmt das Flächenträgheitsmoment sehr stark zu. Beträgt z.B. der Abstand etwa das 2,9-fache der Kantenlänge, steigt das Trägheitsmoment auf den 100-fachen Wert von IS . Berücksichtigt man bei diesen Proportionen den Schwerpunktanteil im Sschen Satz nicht, ergibt sich ein Fehler von ca. 1 %. Diese Überlegung wendet man im Stahlbau an. 800 K 600 400 200 K = 1 100 0 2 2,9 4

Abb. L4-24

6

4-25

IyS = 16,6 cm4 ;

Wy = 4,79 cm3 ;

Iz = 8,51 cm4 ;

Wz = 3,40 cm3 .

4-26

IyS = 37,5 cm4 ;

Wy = 11,8 cm3 ;

Iz = 94,0 cm4 ;

Wz = 23,5 cm3 .

4-27

Rechnung für Mittellinie der Wände Iz = 6750 cm4 ;

Wz = 450 cm3 .

IyS = 6750 cm4 ;

Wy = 390 cm3 ;

8n

Flächen nach Abb. 4-54 (Bd. 2) zusammenschieben. 4-28

IyS = 2,30 · 106 cm4 ; Wz = 45900 cm3 .

4-29

IyS = 676 cm4 ;

4-30

IyS = 21450 cm4 ;

4-31

B = 110 mm.

4-32

Schwerpunktlage für Halbprofil aus statischem Moment S (Tabelle 10a) berechnen A zS = S y ⇒ zS = 12,54 cm 2 0,5 · Iy (Tabellenwert) mit S auf S -Achse umrechnen IyS = 875 cm4 ;

Wy = 53700 cm3 ;

Wy = 128 cm3 ;

IzS = 3063 cm4 ;

Wy = 1220 cm3 ;

Wy = 69,8 cm3 ;

IzS = 1,38 · 106 cm4 ; Wz = 306 cm3 .

IzS = 5820 cm4 ;

Iz = 4280 cm4 ;

Wz = 582 cm3 .

Wz = 285 cm3 .

92 4-33

Lösungen zu Kapitel 4 Für Halbprofil s. Hinweis in Lösung 4-32 IyS = 1,17 · 105 cm4 ;

Wy = 3910 cm3 ;

IzS = 8560 cm4 ;

Wz = 570 cm3 . 4-34

Durch Aufschweißen der Flachstähle nimmt das Widerstandsmoment von 570 cm3 auf 505 cm3 ab. Begründung: der maximale Faserabstand emax ist im höheren Maße vergrößert worden als das Trägheitsmoment. Ein großer Faserabstand hat wegen der linearen Spannungszunahme eine große Spannung in den Außenbereichen zur Folge. Schlussfolgerung: Einzelne Teile sollen nicht herausragen.

4-35

a) d = 74,1 mm; m = 33,9 kg/m b) Es ergibt sich Gleichung 4. Grades. Vorschlag: durch Probieren für technische Genauigkeit lösen. d = 76,1 mm;

m = 25,8 kg/m

c) d = 87,7 mm; m = 14,2 kg/m Die leichteste Achse ist im Durchmesser am größten, weil die innenliegenden Teile in ihrer Festigkeit nur wenig ausgenutzt werden. 4-36

I 260 σ = 136 N/mm2

4-37

I 260 σ = 114 N/mm2

4-38

Lastangriffspunkt Vollwelle d/mm Hohlwelle D/mm

1=3 54,6 56,2

2 60,7 61,9

siehe Bemerkung zur Lösung 4-35b. Die Hohlwelle ist unwesentlich größer, da die inneren Materialteile nur wenig zur Übertragung der Biegemomente beitragen. 4-39

σ = 102 N/mm2

4-40

σ = 129 N/mm2 s 2W · σ l= = 4,8 m q s 8W · σ l= = 6,1 m q

4-41

4-42 4-43

Mb allgemein 2σ · A r     2s h = s + k 1 + + 1 k Mit k =

Lösungen

93 linearer Mb -Verlauf Mb =

1 F·x 2

r    F · x  8s · σ · A h = s+ + 1 ; 1 + 4σ · A F·x

0 3

7-6

HE-B 200 λ = 60 Quetschgrenze

7-7

da = 33 mm;

7-8

Z 180

7-9

imin = 1,17 cm;

7-10

λ = 139;

7-11

Knickfall Fd / kN Fd /Fd2

7-12

Knickfall Profile einzeln Profile verbunden

7-13

λ = 80

Fd = 23 kN

λ = 71 λ = 111; SK = 3,7

Fd = 24 kN 1 27 0,25 E

2 3 106 125 1 1,18 T FK / kN FK / kN

1 580 1640

Fd = 250 kN; Knickfall 3 für Imin

4 132 1,24 Quetschgrenze 2 2310 3590

3 3370 3750

4 3750 3750

104

Lösungen zu Kapitel 7

7-14

l = 350 mm

7-15

Imin = 8525 cm4 ;

7-16

Die Anordnung der Querschnittsfläche im gewissen Abstand von der Achse vermindert die Schlankheit und erhöht damit die Belastbarkeit des Stabes. Im Bereich der elastischen Knickung ist dieser Effekt besonders groß. Fkzul kN 160 140 120 100 80 60 40 20 0 1

λ = 89; SK = 4,9

elastische plastische Knickung

2

3

4

5 b

s

r

7-17

Abb. L7-16

Obwohl der Außendurchmesser zunimmt, vermindert sich die Masse. Besonders im Bereich der elastischen Knickung ist die Masseabnahme sehr stark. Der Rohrquerschnitt ist optimal für die Aufnahme einer Knickbelastung. m kg 50 40

elast.plast.

30 20

1

2

3

4 r

r s

5 s

Abb. L7-17

Lösungen

105

Lösungen zu Kapitel 8 8-1

σmax = 140 N/mm2 ;

σmin = −80 N/mm2 ;

τmax = 110 N/mm2 .

τ N/mm2 100

σmax

= 140 N/mm2 σmin

τmax

σM

σ N/mm2

100

σM

Abb. L8-1

8-2

σmax = 142 N/mm2 ;

σM

σmin = 78 N/mm2 ; τmax = 32 N/mm2 .

40

τ N/mm2 σmin

σmax

τxy 0

αh 50

−40

σM σy σx τyx < 0 τmax A

σM τmax

Abb. L8-2

τmax

σM

σmax σ N/mm2

106 8-3

Lösungen zu Kapitel 8 σmax = 134 N/mm2 ;

σmin = −54 N/mm2 ; τmax = 94 N/mm2 .

τ N/mm2

σmin

σM

σM τmax

100

σmax

τmax

A τyx σmin σy

σx σmax τxy

σM

160

σ N/mm2

Abb. L8-3

8-4

Vorspannung (Fv ) σ = 499 N/mm2 ; Moment Kopfreibung (rm = 15 mm); MK = 152 Nm; Gewindereibung MG = MA − MK = 188 Nm ⇒ τt = 164 N/mm2 ; σmax = 548 N/mm2 ; τmax = 299 N/mm2 .

8-5

Hauptachsen unter 45◦ . Begründung: σb = σx = 0; σz = 0. Am Element wirkt nur die durch die Querkraft verursachte Schubspannung. Der Mittelpunkt des Mschen Kreises liegt im Ursprungspunkt des Koordinatensystems.

8-6

σx durch Biegung verursacht, τxz durch die Querkraft. τ

σmin

σmax τmax = 35,1 N/mm2 τxy 16,9◦ σmin = σy = 0 −5,9 N/mm2

σM

σx

σ σmax = 64,3 N/mm2

Abb. L8-6

8-7

Max. Belastung in A; σx = σb = 35 N/mm2 ; σmax = 46 N/mm2 ;

σmin = −11 N/mm2 ;

τyx = τt = 22 N/mm2 . τmax = 28 N/mm2 .

Lösungen

107 Das sind Werte für ein Element in Draufsicht auf die Welle (Abb.). Für ein auf der gegenüberliegenden Seite liegendes Element ist σx negativ (Druckspannung). Der Msche Kreis ist um die Ordinate in den negativen Bereich geklappt. τ N/mm2

30 A

Ric htu ng

τyx

σm

ax

σmax

σx σmin

σy = 0 τxy

1,5. σa,zd 37,3 N/mm2 Kerbgrund σa,zd =

10-4

Formzahl αKb = 1,95 (Tabelle 17E) mit d/D = 0,83; r/t = 0,5; r/d = 0,05. Das bezogene Spannungsverhältnis für Biegung beträgt nach Tabelle 18: ! 2 2 1 χσ = · (1 + ϕ) = · 1 + = 0,65 mm−1 , √ r r 4 · t/r + 2 die dynamische Stützzahl nχ = 1,15 (Tabelle 19), αKb 1,95 die Kerbwirkungszahl βKb = = = 1,70, nχ 1,15 der Rauheitsfaktor KOσ = 0,91 (Rz = 6,3 µm; Tabelle 20), der Größeneinflussfaktor Kg = 0,84 (Biegung; Tabelle 21). Konstruktionsfaktor

! ! βKb 1 1 1,70 1 Kσ = + −1 · = + − 1 · 1,0 = 2,12. Kg KOσ KV 0,84 0,91

σbW 290 N/mm2 = = 136,8 N/mm2 . Kσ 2,12 Mit der Mittelspannung σm = 0 und dem Bauteil-Spannungsausschlag im Kerbgrund Bauteilwechselfestigkeit σWK =

σa,b =

Mb 3,8 · 106 Nm = = 75,6 N/mm2 Wb 50,265 · 103 mm3

wird die Sicherheit gegen Dauerbruch SD =

10-5

σAK,b 136,8 N/mm2 = = 1,81 > 1,35. σa,b 75,6 N/mm2

4 · Fstat 4 · 240 · 103 N = = 70,2 N/mm2 π · d2 π · 662 mm2 4 · Fdyn 4 · 180 · 103 N σzd = ± = = ± 62,6 N/mm2 π · d2 π · 662 mm2 geforderte Sicherheiten: S F = 1,5 (Tabelle 5A) Nennspannungen: σz =

S D = 1,35 (Tabelle 5C)

Lösungen

113 1. Statischer Nachweis: Maximalspannung (Nennspannung) σz max = σz + σzd = 122,8 N/mm2 . Für Zug-Druckbeanspruchung wird mit einer plastischen Stützzahl npl,zd = 1 gerechnet SF =

Re σz max

=

340 N/mm2 = 2,7 > 1,5. 122,8 N/mm2

2. Dauerfestigkeitsnachweis: Formzahl αKb = 2,65 (Tabelle 17A) mit d/D = 0,916; r/t = 1 und r/d = 0,045 bezogenes Spannungsverhältnis ! 2 1 2 χσ = · 1 + = · 1,16 = 0,78 mm−1 √ r 3 4 · t/r + 2 dynamische Stützzahl nχ = 1,16 (Tabelle 19) αKzd 2,65 Kerbwirkungszahl βKzd = = = 2,28 nχ 1,16 Rauheitsfaktor KOσ = 0,86 (Tabelle 20) Größeneinflussfaktor Kg = 0,86 (Tabelle 21) Konstruktionsfaktor

! ! βKzd 1 1 2,28 1 Kσ = + −1 · = + − 1 · 1,0 = 2,84. Kg KOσ KV 0,86 0,86

Bauteilwechselfestigkeit σWK =

σbW 280 N/mm2 = = 98,6 N/mm2 Kσ 2,84

Mittelspannungsempfindlichkeit Mσ = aM · 10−3 ·

Rm 600 MPa + bM = 0,35 · 10−3 · − 0,1 = 0,11 MPa MPa

(aM ; bM ; Tabelle 22) Mittelspannung σm = σz = 70,2 N/mm2 Dauerfestigkeit nach Mittelspannungen für Überlastfall σm = konst.: σAK,b = σWK − Mσ · σm = 98,6 N/mm2 − 0,11 · 70,2 N/mm2 = 90,9 N/mm2 σAK,zd 90,9 N/mm2 SD = = = 1,7 > 1,35. σa,zd 52,6 N/mm2

114

Lösungen zu Kapitel 10 Die Ergebnisse der Berechnung sind in das S-Diagramm, Abb. L10-5, eingetragen. σ N/mm2

340

300 280 226 200 Re /S F

123 100 70

σa σmax σm

σa

0

70 100

200

σm N/mm2

300 Abb. L10-5

10-6

Sicherheitszahlen S F = 1,3 (Tabelle 5A) S D = 1,2 (Tabelle 5C) 1. Statischer Festigkeitsnachweis mit Traglastreserve: plastische Stützzahlen: Biegung s npl,b = s

Rp, max Re

1050 N/mm2 = 1,72 > αp = 1,70 ⇒ npl,b = 1,70, 355 N/mm2 Schub npl,s = 1. =

Bauteilfließgrenzen: σFK = Re · npl,b = 355 N/mm2 · 1,70 = 603 N/mm2 , τFK = τF = 254 N/mm2 .

Lösungen

115 Bauteilsicherheit (für Biegung und Schub nach Gestaltänderungsenergiehypothese) 1 SF = s !2 !2 σbW τsW 2 + 3 · fτ · σFK τFK 1 = s = 2,76 > 1,3 ! !2 2 68 N/mm2 45 N/mm2 + 1· 603 N/mm2 254 N/mm2 √ mit fτ = 1/ 3. 2. Dauerfestigkeitsnachweis (Ermüdungsfestigkeitsnachweis): Formzahlen (Tabelle 17E) mit d/D = 0,77; r/t = 0,3 und r/d = 0,05: Biegung αKb = 2,05 Schub αKs = 2,2 (nach Vorgabe) bezogenes Spannungsverhältnis (Tabelle 18): ! 2,3 1 χσ = · 1+ = 1,28 mm−1 √ r 4 · t/r + 2 1,15 χτ = = 0,58 mm−1 r dynamische Stützzahlen (Tabelle 19): nχσ = 1,19 nχτ = 1,14 ( αK βKb = 1,82 Kerbwirkungszahlen: βK = nχ βKs = 1,93 Rauheitsfaktoren (Tabelle 20): KOσ = 0,88 KOτ = 0,93 Größeneinflussfaktoren (Tabelle 21): Kg,b = 0,89 Kg,s = 1 KV = 1 für nicht verfestigte Bauteile ! ( βK 1 1 Kσ = 2,18 Konstruktionsfaktoren: Kσ = + −1 · Kg KO KV Kτ = 2,01 σbW 279 N/mm2 = = 128,0 N/mm2 Kσ 2,18 τsW 162 N/mm2 = = = 81 N/mm2 Kτ 2,0

Die Bauteilwechselfestigkeit σWK = τWK

116

Lösungen zu Kapitel 10 Mittelspannung σm = 0; σWK = σAK ; τWK = τAK 1 S D,GEH = s !2 !2 σa,b τa,s 2 + 3 fτ σAK,b τAK,s 1 = s = 1,30 > 1,2. ! ! 2 2 2 2 68 N/mm 45 N/mm + 2 128 N/mm 81 N/mm2 Zusatzrechnung: Für den Radius r = 3 mm wird S D = 1,42; Erhöhung der rechnerischen Sicherheit um 9 %.

10-7

σz = 19,5 N/mm2 σb = ±68,3 N/mm2 τt = 44,5 N/mm2 σmax = σz + σb = 87,8 N/mm2 1. Statischer Festigkeitsnachweis: Nennspannungen:

1

SF = s σmax σbF

!2 +

3 fτ2 ·

= s 87,8 N/mm2 510 N/mm2

!2

τt τtF 1

!2

44,5 N/mm2 +1· 206 N/mm2

!2

= 3,62 > 1,5.

2. Dynamischer Festigkeitsnachweis: Formzahl αKb = 2,69 (Tabelle 17B) mit d/D = 0,897; r/t = 0,625 und r/d = 0,036. bezogenes Spannungsverhältnis (Tabelle 18): ! 2 1 χσ = · 1 + = 0,91 mm−1 √ r 4 · t/r + 2 dynamische Stützzahl (Tabelle 19): nχ = 1,18 αKb Kerbwirkungszahl: βKb = = 2,28 nχ Rauheitsfaktor (Tabelle 20): KOσ = 0,95 Größeneinflussfaktor (Tabelle 21): Kg,b = 0,85 Oberflächenhärtung KV = 1,5

Lösungen

117 ! βKb 1 1 Konstruktionsfaktoren: Kσ = + −1 · = 1,82 Kgb KOσ KV Die Bauteilwechselfestigkeit σWK =

σbW 206 N/mm2 = = 113,2 N/mm2 Kσ 1,82

Mittelspannungsempfindlichkeit: Mσ = aM · 10−3 ·

Rm + bM = 0,081 (aM ; bM ; Tabelle 22) MPa

Mittelspannung σm = σz = 19,5 N/mm2 Dauerfestigkeit nach Mittelspannungen für Überlastfall σm = konst.: σAK,b = σWK − Mσ · σm = 111,7 N/mm2 . σAK,b SD = = 1,79 > 1,35. σab

Lösungen zu Kapitel 11 11-1

11-2

P

F = 0; Symmetrie; H; Geometrie ∆l2 = ∆l1 + s 1 s · AE  S1 = S3 = m·g − = 0,63 kN 3 !l 1 2s · AE S2 = m·g + = 1,68 kN 3 l Geringe Abweichung vom Sollmaß führt zu stark unterschiedlicher Belastung. P P Ansatz: F = 0; M = 0; H; Ansatz:

Geometrie

∆l2 = ∆l1 + a · tan β,

∆l3 = ∆l1 + 3a · tan β

S 1 = 1,43 kN; S 2 = 1,61 kN; S 3 = 1,96 kN; ∆l1 = 1,36 mm; ∆l2 = 1, 53 mm; ∆l3 = 1,87 mm; tan β = 1,13 · 10−4 11-3

Geometrie ∆l1 / sin β = ∆l2 schräge Seile bleiben bei Verlagerung zur Ausgangslage parallel. S =

m·g = 2,14 kN; l1 1+2 l2

sin β =

l1 ; l2

11-4

S = 0,375 m · g;

11-5

Geometrie: e + ∆l4 = ∆l1 + ∆l2 ; H;

β = 42◦

FD = 0,25 m · g; l2 = 3l1 ; B-C = 2,0 m.

118

Lösungen zu Kapitel 11 Statik: F1 = F2 ;

F1 + F4 = F

F4 · l4 A4 + F4 = 139 kN; l1 l2 + A1 A2

e·E + F=

11-6 11-7 11-8 11-9 11-10 11-11 11-12

s = e + ∆l4 + ∆l3 = 0,54 mm

q · l = F; FA = F/24; FB = 11F/16; 6 FB = F 7 FAx = 0,375F(←); FAy = 0,25F(↑) 21 FBy = F 46 5 3EI · s FB = F− = 4,16 kN; 56 % 16 8a3 FB = 467 kN; 66 %

FC = 13F/48

Auflagerkraft FB = c · wB einführen. Federkonstante Querträger aus c = F/w oder nach Tabelle 11: c = 48EI/l3 Index 1 Hauptträger; Index 2 Querträger FB =

11-13

3q l1 = 20,6 kN; !3 1 I1 l2 +8 2 I2 l1

MA = 118 kNm

FA = 12,4 kN; FB = 20,3 kN; FC = −2,6 kN; Mbmax = 2,47 kNm.

Lösungen

119

Lösungen zu Kapitel 12 12-1

σChr = EChr · ∆α · ∆t = 91 N/mm2 Rissgefahr, Verminderung der Dauerfestigkeit möglich. ∆d = 73◦ C; d·α

12-2

∆t =

σ=E

12-3

σ = E · α · ∆t = 116 N/mm2

12-4

Ansatz:

F1 + F2 = F;

A1 E1 /A2 E2 = K;

∆d = 168 N/mm2 d

∆l1el + ∆l1th = ∆l2el + ∆l2th

∆α = α2 − α1

F · K + A1 E1 · ∆t · ∆α 1+K F − A1 E1 · ∆t · ∆α F2 = 1+K F1 =

Vor der Erwärmung (∆t = 0) F1 = 7,41 kN; F2 = 4,59 kN. Nach der Erwärmung F1 = 11,4 kN; F2 = 0,6 kN. Durch die größere Dehnung des Kupferstabes wird dieser fast völlig entlastet, während der Stahlstab zusätzlich belastet wird. 12-5

Ansatz: ∆l1th + ∆l2th − e = ∆lel1 + ∆lel2 ; e ∆t(α1 + α2 ) − l = 50 N/mm2 σ= 1 1 + E1 E2

12-6

σ = 19 N/mm2 s 1 8·σ n= = 93,2 s−1 d · π ρ(3 + µ) s 1 4·σ n= = 65,9 s−1 d · π ρ(3 + µ)

12-7

12-8

σ1 = σ2

Herabsetzung der Festigkeit durch Innenbohrung.

120 12-9

Lösungen zu Kapitel 12 σv = 50 N/mm2 ; GEH:

HH:

σv = 43 N/mm2

50◦ 35 N/mm2 40 N/mm2

12 N/mm2

12-10

Abb. L12-9

σv = 89 N/mm2 σmax = 96,7 N/mm2 σmin = 79,2 N/mm2

Abb. L12-10

12-11

Durch Innendruck verursacht σt = 75 N/mm2 ;

σa = 37,5 N/mm2

Querschnitt 1 σmax = 119 N/mm2

(37,5 + 68,3) N/mm2

Querschnitt 2 Von oben auf Teilelement geschaut σmax = 120 N/mm2 75 N/mm2

23,9 N/mm2 (72,6 + 37,5) N/mm2 75 N/mm2 20,5 N/mm2

Abb. L12-11

Lösungen 12-12

12-13

121 Innendruck Biegung Torsion Teilelement s. 8-11 Gl. 12-13;

σt = 40 N/mm2 ; σb = 21,7 N/mm2 τt = 12,4 N/mm2 ;

σa = 20 N/mm2 ; σv = 46 N/mm2

p = 7,3 N/mm2 ⇒ Normalkraft Ring/Welle

Fn = p · d · π · b = 41,2 kN ⇒ FR = µ · Fn ⇒ M = 250 Nm.

Tabellenanhang Tabelle 1: Werkstoffeigenschaften Deformation

Verhalten nach Entlastung

Beispiele

elastisch

Eine Vergrößerung der Dehnung erfordert eine Erhöhung der Spannung

Körper nimmt ursprüngliche Form an

Stahl bis Rp0,01 -Grenze, viele Metalle im elastischen Bereich

plastisch

bei etwa gleichbleibender Spannung Zunahme der Dehnung

Körper bleibt deformiert

Stahl im Zustand des Fließens, Bitumen, Asphalt, Blei, Knetmasse

Arbeitsvermögen

Bruchdehnung

Deformation

Beispiele

zäh

groß

groß

anfangs elastisch, bei höheren Spannungen plastisch (Fließen); Einschnürung bei Zugversuch

weicher Stahl

spröde

klein

klein

keine plastische Deformation (Fließen), keine Einschnürung bei Zugversuch

gehärteter Stahl, Gusseisen, Stein, Beton, Glas, Keramik, weicher Stahl in sehr kaltem Zustand bei Schlagbeanspruchung

Tabelle 2: Elastizitätsmodul verschiedener Werkstoffe

E-Modul N/mm2 Stahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2,1 · 105 EN-GJL-100 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,75 · 105 EN-GJL-200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1,2 · 105 Kupfer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1,3 · 105 Aluminium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,72 · 105 Beton (Druck) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,3 · 105 Bronze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1,16 · 105 ∗ Holz ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (0,11 − 0,13) · 105 Holz ∗∗) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (3 − 10) · 102 ∗) ∗∗)

In Faserrichtung Senkrecht zur Faserrichtung

G-Modul N/mm2 8 · 104 3,0 · 104 4,9 · 104 − 2,6 · 104 − − − −

124

Tabellenanhang

Tabelle 3: Zulässige Spannungen nach B in N/mm2 I II III

ruhende Belastung schwellende Belastung wechselnde Belastung

  Re   Festigkeitswerte   Rm  σ  (Mindestwerte)    τ bW tW Zug σz zul .............. .............. .............. Druck σd zul .............. .............. .............. Biegung σb zul .............. .............. .............. Verdrehung τt zul .............. .............. ..............

S 235 . . . 235 . . . 340 . . . 470 . . . 170 . . . . . . 120 . . . 100 . . . 150 65 . . . 95 45 . . . 70 100 . . . 150 65 . . . 95 45 . . . 70 110 . . . 165 70 . . . 105 50 . . . 75 65 . . . 95 40 . . . 60 30 . . . 45

I II III I II III I II III I II III

E 295 . . . 295 . . . 470 . . . 610 . . . 240 . . . . . . 150 . . . 140 . . . 210 90 . . . 135 65 . . . 95 140 . . . 210 90 . . . 135 65 . . . 95 150 . . . 220 100 . . . 150 70 . . . 105 85 . . . 125 55 . . . 85 40 . . . 60

E 360 . . . 360 . . . 670 . . . 830 . . . 330 . . . . . . 190 . . . 210 . . . 310 135 . . . 200 90 . . . 140 210 . . . 310 135 . . . 200 90 . . . 140 230 . . . 345 150 . . . 220 105 . . . 125 125 . . . 190 80 . . . 125 60 . . . 90

Hinweis: Es handelt sich hier um Anhaltswerte. Diese sollen Benutzern ohne Erfahrung ermöglichen, einfache Dimensionierungsaufgaben zu lösen. Grundsätzlich wird empfohlen, aus Werkstofftabellen Grenzspannungen zu entnehmen und unter Beachtung der vorliegenden Umstände eine Sicherheitszahl festzulegen.

Tabelle 4: Bezeichnung der Festigkeiten bei unterschiedlicher Beanspruchung

Bruchfestigkeit bei ruhender Belastung Fließgrenze bei ruhender Belastung Dauerschwingfestigkeit Schwellfestigkeit Wechselfestigkeit

Zug

Druck

Biegung

Torsion

Zugfestigkeit Rm Streckgrenze Re Rp0,2

Druckfestigkeit σdB Quetschgrenze σdF σd0,01

Biegefestigkeit σbB Biegegrenze σbF

Verdrehfestigkeit τtB Verdrehgrenze τtF

σzD

σdD

σbD

τtD

σz Sch

σd Sch

σb Sch σbW

τt Sch τtW

σzdW

Tabellen 5: Sicherheitszahlen im allgemeinen Maschinenbau nach FKM-Richtlinie Tabelle 5A: Sicherheitszahlen für Walzstahl und Aluminium-Knetlegierungen duktile Werkstoffe A5 ≥ 12,5 % St AW-Al Wahrscheinlichkeit des Auftretens der Spannung oder Spannungskombination

SF

SB

Schadensfolgen hoch gering

Schadensfolgen hoch gering

hoch

1,5

1,3

2,0

1,75

gering

1,35

1,2

1,8

1,6

Tabellenanhang

125

Tabelle 5B: Sicherheitszahlen für Stahlguss und Eisengusswerkstoff mit Kugelgraphit duktile Werkstoffe A5 ≥ 12,5 % GS GJS

Wahrscheinlichkeit des Auftretens der Spannung oder Spannungskombination

nicht zerstörungsfrei geprüft

zerstörungsfrei geprüft

SF SB Schadensfolgen hoch gering hoch gering

SF SF Schadensfolgen hoch gering hoch gering

hoch

2,1

1,8

2,8

2,45

1,9

1,65

2,5

2,2

gering

1,9

1,65

2,25

2,2

1,7

1,5

2,25

2,0

Tabelle 5C: Sicherheitszahlen für den Ermüdungsfestigkeitsnachweis für Walzstahl und AluminiumKnetlegierungen duktile Werkstoffe A5 ≥ 12,5 % St AW-Al Inspektionen

SD Schadensfolgen hoch gering

nichtregelmäßig

1,5

1,3

regelmäßig

1,35

1,2

Tabelle 5D: Sicherheitszahlen für den Ermüdungsfestigkeitsnachweis für Eisengussstoffe und Kugelgraphit duktile Werkstoffe A5 ≥ 12,5 % GS GJS

Inspektionen

nicht zerstörungsfrei geprüft

zerstörungsfrei geprüft

SD

SD

Schadensfolgen hoch gering

Schadensfolgen hoch gering

nichtregelmäßig

2,1

1,8

1,9

1,65

regelmäßig

1,9

1,7

1,7

1,5

Tabelle 6: Verhältnis von Streckgrenze und Zugfestigkeit

Werkstoff

C-Stahl

Leg. Stahl

Stahlguss

Leichtmetalle

Re /Rm

0,55 – 0,65

0,7 – 0,8

≈ 0,5

0,45 – 0,65

Tabelle 7: Zulässige Abscherspannungen

τa zul

Stahl u. seine Legierungen ∼ 0,8σz zul

Grauguss

Bronze, Messing

Leichtmetalle

∼ σz zul

∼ 0,8σz zul

∼ 0,6σz zul

σz zul siehe z.B. Tabelle 3

126

Tabellenanhang

Tabelle 8: Voraussetzungen für die Gültigkeit der Biegegleichung Die Grundgleichung der Biegung Mb σ= W gilt unter folgenden Voraussetzungen

Mb W gilt nicht σ=

Balken gerade 1

Balken leicht gekrümmt

keine Kerbwirkung lineare Spannungsverteilung

2

3

4

keine Krafteinleitung in der Nähe σ ε

Werkstoff deformiert sich nach dem Hschen Gesetz

σ ε

σmax < σP

5 σmax σ 6

α

σ

α ε

EZug = EDruck αd

h lh

7 Beanspruchung nur auf Biegung 8 X 9

M=0 für alle Achsen

10

Belastung durch äußere Kräfte

11

keine Massenkräfte

l kein Kippen und Beulen Belastung in Richtung Hauptachse Werkstoff im unbelasteten Zustand spannungsfrei keine Stoßbelastung

αz ε

Tabellenanhang

127

Tabelle 9: Flächen- und Widerstandsmomente geometrischer Grundfiguren

Flächenform

Flächenmomente

Widerstandsmomente

z

Iy = Iz =

A d

y

=

Iy =

z A

y u

b

b z

v

Wy = Wz =

Ad 2 16

=

bh3 Ah2 = 12 12

πd 3 ≈ 0,1d 3 32 Ad 8

Rechteck: bh2 Ah Wy = = 6 6

bh3 Ah2 Iu = = 3 3

A S

h

πd 4 ≈ 0,05d 4 64

Rechteck: b3 h Ab2 Iz = = 12 12

Wz =

b2 h Ab = 6 6

u

Iy = Iz = Iu = Iv =

A

y

a

=

Aa2 12

a4 12

Wy = Wz = =

a3 6

Aa 6

a z 1 h 3 h

S

S A b

y A

b

Iy = u

Iu =

bh3 Ah2 = 36 18 bh3 Ah2 = 12 6

Wy =

bh2 Ah = 24 12

128

Tabellenanhang

Z

Z

Tabelle 10A: Berechnungsgrundlagen für warmgewalzte Stähle b t

r1

s

t

Y Neigung 14 %

h

t

Z

Kurzzeichen

I

Y

r1

S y = Statisches Moment des halben Querschnitts Z

b 4

r1 Y s

← schmale I-Träger I-Breitflanschträger → (I-Reihe) Reihe HE-B (IPB-Reihe)

t

h Y

b

Warmgewalzte I-Träger

r2

Abmessungen in mm

h

b

s

t

Querschnitt

Masse m kg/m

r1

r2

A cm2

Für die Biegeachse Y –Y Iy cm4

Wy cm3

Z–Z iy cm

Iz cm4

Wz cm3

iz cm

Sy cm3

Schmale I-Träger (I-Reihe) 80 100

80 100

42 50

3,9 4,5

5,9 6,8

3,9 4,5

2,3 2,7

7,58 10,6

120 140 160 180 200

120 140 160 180 200

58 66 74 82 90

5,1 7,7 5,7 8,6 6,3 9,5 6,9 10,4 7,5 11,3

5,1 5,7 6,3 6,9 7,5

3,1 3,4 3,8 4,1 4,5

14,2 18,3 22,8 27,9 33,5

11,2 14,4 17,9 21,9 26,3

220 240 260 280 300

220 240 260 280 300

98 8,1 12,2 8,1 106 8,7 13,1 8,7 113 9,4 14,1 9,4 119 10,1 15,2 10,1 125 10,8 16,2 10,8

4,9 5,2 5,6 6,1 6,5

39,6 46,1 53,4 61,1 69,1

320 340 360 380 400

320 340 360 380 400

131 137 143 149 155

11,5 12,2 13,0 13,7 14,4

17,3 18,3 19,5 20,5 21,6

11,5 12,2 13,0 13,7 14,4

6,9 77,8 7,3 86,8 7,8 97,1 8,2 107 8,6 118

425 450 475 500 550 600

425 450 475 500 550 600

163 170 178 185 200 215

15,3 16,2 17,1 18,0 19,0 21,6

23,0 24,3 25,6 27,0 30,0 32,4

15,3 16,2 17,1 18,0 19,0 21,6

9,2 9,7 10,3 10,8 11,9 13,0

132 147 163 180 213 254

5,95 8,32

19,5 34,2

3,20 4,01

328 573 935 1450 2140

54,7 81,9 117 161 214

4,81 5,61 6,40 7,20 8,00

31,1 36,2 41,9 48,0 54,2

3060 4250 5740 7590 9800

278 354 442 542 653

61,0 68,1 76,2 84,0 92,6

12510 15700 19610 24010 29210 36970 45860 56480 68740 99180 139000

104 115 128 141 167 199

77,8 171

6,29 12,2

3,00 0,91 4,88 1,07

11,4 19,9

21,5 35,2 54,7 81,3 117

7,41 10,7 14,8 19,8 26,0

1,23 1,40 1,55 1,71 1,87

31,8 47,7 68,0 93,4 125

8,80 9,59 10,4 11,1 11,9

162 221 288 364 451

33,1 41,7 51,0 61,2 72,2

2,02 2,20 2,32 2,45 2,56

162 206 257 316 381

782 923 1090 1260 1460

12,7 13,5 14,2 15,0 15,7

555 674 818 975 1160

84,7 98,4 114 131 149

2,67 2,80 2,90 3,02 3,13

457 540 638 741 857

1740 2040 2380 2750 3610 4630

16,7 17,7 18,6 19,6 21,6 23,4

1440 1730 2090 2480 3490 4670

176 203 235 268 349 434

3,30 3,43 3,60 3,72 4,02 4,30

1020 1200 1400 1620 2120 2730

4,16 5,04 5,93 6,78 7,66

167 318 550 889 1360

33,5 52,9 78,5 111 151

2,53 3,06 3,58 4,05 4,57

52,1 82,6 123 177 241 321 414 527 641 767

I-Breitflanschträger mit parallelen Flanschflächen (IPB-Reihe) 100 120 140 160 180

100 120 140 160 180

100 120 140 160 180

6 6,5 7 8 8,5

10 11 12 13 14

12 12 12 15 15

26,0 34,0 43,0 54,3 65,3

20,4 26,7 33,7 42,6 51,2

450 864 1510 2490 3830

200 220 240 260 280

200 220 240 260 280

300 320 340 360

300 320 340 360

200 9 220 9,5 240 10 260 10 280 10,5

15 16 17 17,5 18

18 18 21 24 24

78,1 91,0 106 118 131

61,3 71,5 83,2 93,0 103

5700 8090 11260 14920 19270

570 736 938 1150 1380

8,54 9,43 10,3 11,2 12,1

2000 2840 3920 5130 6590

200 258 327 395 471

5,07 5,59 6,08 6,58 7,09

300 300 300 300

19 20,5 21,5 22,5

27 27 27 27

149 161 171 181

117 127 134 142

25170 30820 36660 43190

1680 1930 2160 2400

13,0 13,8 14,6 15,5

8560 9240 9690 10140

571 616 646 676

7,58 934 7,57 1070 7,53 1200 7,49 1340

400 450 500

400 300 13,5 24 450 300 14 26 500 300 14,5 28

27 27 27

198 218 239

155 171 187

57680 79890 107200

2880 3550 4290

17,1 19,1 21,2

10820 11720 12620

721 781 842

7,40 1620 7,33 1990 7,27 2410

11 11,5 12 12,5

89,9 144 216 311 426

Tabellenanhang

129

Tabelle 10B: Berechnungsgrundlagen für warmgewalzte Stähle r2 ζ

Z

a Y

Warmgewalzter gleichschenkliger rundkantiger Winkelstahl

η

s 45◦

r1

e

Y

r2

s e

η

a ζ

Z Abmessungen in mm a 20 25

30

35

40 45

50

55

60

65

70

s 3 4 3 4 5 3 4 5 4 5 6 4 5 6 5 7 5 6 7 9 6 8 10 6 8 10 7 9 11 7 9 11

r1 3,5 3,5

5

5

6 7

7

8

8

9

9

Querschnitt

Masse

A cm2 1,12 1,45 1,42 1,85 2,26 1,74 2,27 2,78 2,67 3,28 3,87 3,08 3,79 4,48 4,30 5,86 4,80 5,69 6,56 8,24 6,31 8,23 10,01 6,91 9,03 11,1 8,70 11,0 13,2 9,40 11,9 14,3

m kg/m 0,88 1,14 1,12 1,45 1,77 1,36 1,78 2,18 2,10 2,57 3,04 2,42 2,97 3,52 3,38 4,60 3,77 4,47 5,15 6,47 4,95 6,46 7,90 5,42 7,09 8,69 6,83 8,62 10,3 7,38 9,34 11,2

e cm 0,60 0,64 0,73 0,76 0,80 0,84 0,89 0,92 1,00 1,04 1,08 1,12 1,16 1,20 1,28 1,36 1,40 1,45 1,49 1,56 1,56 1,64 1,72 1,69 1,77 1,85 1,85 1,93 2,00 1,97 2,05 2,13

Y –Y = Z –Z Iy Wy iy cm4 cm3 cm 0,39 0,28 0,59 0,48 0,35 0,58 0,79 0,45 0,75 1,01 0,58 0,74 1,18 0,69 0,72 1,41 0,65 0,90 1,81 0,86 0,89 2,16 1,04 0,88 2,96 1,18 1,05 3,56 1,45 1,04 4,14 1,71 1,04 4,48 1,56 1,21 5,43 1,91 1,20 6,33 2,26 1,19 7,83 2,43 1,35 10,4 3,31 1,33 11,0 3,05 1,51 12,8 3,61 1,50 14,6 4,15 1,49 17,9 5,20 1,47 17,3 4,40 1,66 22,1 5,72 1,64 26,3 6,97 1,62 22,8 5,29 1,82 29,1 6,88 1,80 34,9 8,41 1,78 33,4 7,18 1,96 41,3 9,04 1,94 48,8 10,8 1,91 42,4 8,43 2,12 52,6 10,6 2,10 61,8 12,7 2,08

Für die Biegeachse η–η Iη iη cm4 cm 0,62 0,74 0,77 0,73 1,27 0,95 1,61 0,93 1,87 0,91 2,24 1,14 2,85 1,12 3,41 1,11 4,68 1,33 5,63 1,31 6,50 1,30 7,09 1,52 8,64 1,51 9,98 1,49 12,4 1,70 16,4 1,67 17,4 1,90 20,4 1,89 23,1 1,88 28,1 1,85 27,4 2,08 34,8 2,06 41,4 2,02 36,1 2,29 46,1 2,26 55,1 2,23 53,0 2,47 65,4 2,44 76,8 2,42 67,1 2,67 83,1 2,64 97,6 2,61

Iζ cm4 0,15 0,19 0,31 0,40 0,50 0,57 0,76 0,91 1,24 1,49 1,77 1,86 2,22 2,67 3,25 4,39 4,59 5,24 6,02 7,67 7,24 9,35 11,3 9,43 12,1 14,6 13,8 17,2 20,7 17,6 22,0 26,0

ζ–ζ Wζ cm3 0,18 0,21 0,30 0,37 0,44 0,48 0,61 0,70 0,88 1,10 1,16 1,18 1,35 1,57 1,70 2,29 2,32 2,57 2,85 3,47 3,28 4,03 4,65 3,95 4,84 5,57 5,27 6,30 7,31 6,31 7,59 8,64

iζ cm 0,37 0,36 0,47 0,47 0,47 0,57 0,58 0,57 0,68 0,67 0,68 0,78 0,77 0,77 0,87 0,87 0,98 0,96 0,96 0,97 1,07 1,07 1,06 1,17 1,16 1,15 1,26 1,25 1,25 1,37 1,36 1,35

130

Tabellenanhang

Tabelle 10C: Berechnungsgrundlagen für warmgewalzte Stähle Warmgewalzter rundkantiger [ -Stahl

Neigung 8 %

s Yh M yM

Profil für → h > 300 mm

b Neigung 5 %

Y

s M

Y

h

Z

← Profil für h ≤ 300 mm

Z

b

Y

e r1

e

yM = Abstand des Schubmittelpunktes M von der Z-Z-Achse

r2

b 2

Kurzzeichen

b−s 2

Abmessungen in mm

Quer- Masse schnitt

Für die Biegeachse Y –Y

t

r1

r2

A cm2

4 5 5 5

4,5 7 5 7

4,5 7 5 7

2 3,5 2,5 3,5

2,21 5,44 3,51 6,21

1,74 4,27 2,75 4,87

0,52 1,31 0,65 1,33

25 38 30

6 5 6

6,5 5 6

6,5 7 6

3 3,5 3

5,50 7,12 6,46

4,32 5,59 5,07

65 65 80 80 100 100

42 45 50

5,5 6 6

7,5 8 8,5

7,5 8 8,5

4 4 4,5

9,03 11,0 13,5

120 140 160 180 200

120 140 160 180 200

55 60 65 70 75

7 7 7,5 8 8,5

9 10 10,5 11 11,5

9 10 10,5 11 11,5

4,5 5 5,5 5,5 6

220 240 260 280 300

220 80 9 240 85 9,5 260 90 10 280 95 10 300 100 10

12,5 13 14 15 16

12,5 13 14 15 16

6,5 6,5 7 7,5 8

320 350 380 400

320 350 380 400

17,5 16 16 18

17,5 8,75 16 8 16 11,2 18 9

[

h

b

30×15 30 40×20 40

30 30 40 40

15 33 20 35

50×25 50 60×30

50 50 60

100 100 102 110

s

14 14 13,34 14

r1 Z

Z

t

t

r2

yM

m kg/m

e cm

ym cm 0,74 2,22 0,98 2,32

Iy cm4

Wy cm3

Z –Z iy cm

lz cm4

Wz cm3

iz cm

2,53 6,39 7,26 14,1

1,69 4,26 3,63 7,05

1,07 1,08 1,44 1,50

0,38 5,33 1,06 6,68

0,39 2,68 0,78 3,08

0,82 1,26 1,37 2,47 0,91 1,50

18,0 26,4 31,6

7,18 10,6 10,5

1,81 1,92 2,21

2,94 9,12 4,51

1,75 0,73 3,75 1,13 2,16 0,84

7,09 8,64 10,6

1,42 2,60 1,45 2,67 1,55 2,93

57,5 106 206

17,7 26,5 41,2

2,52 3,10 3,91

17,0 20,4 24,0 28,0 32,2

13,4 16,0 18,8 22,0 25,3

1,60 1,75 1,84 1,92 2,01

3,03 3,37 3,56 3,75 3,94

364 605 925 1350 1910

60,7 86,4 116 150 191

37,4 42,3 48,3 53,3 58,8

29,4 33,2 37,9 41,8 46,2

2,14 2,23 2,36 2,53 2,70

4,20 4,39 4,66 5,02 5,41

2690 3600 4820 6280 8030

245 300 371 448 535

8,48 9,22 9,99 10,9 11,7

75,8 77,3 79,7 91,5

59,5 60,6 62,6 71,8

2,60 2,40 2,35 2,65

4,82 4,45 5,43 5,11

10870 12840 15730 20350

679 734 826 1020

12,1 12,9 14,1 14,9

14,1 19,4 29,3

4,62 43,3 5,45 62,7 6,21 85,3 6,95 114 7,70 148

0,42 0,99 0,55 1,04

5,07 1,25 6,36 1,33 8,49 1,47 11,1 14,8 18,3 22,4 27,0

1,59 1,75 1,89 2,02 2,14

197 248 317 399 495

33,6 39,6 47,7 57,2 67,8

2,30 2,42 2,56 2,74 2,90

597 570 613 846

80,6 75,0 78,4 102

2,81 2,72 2,78 3,04

Tabellenanhang

131

Tabelle 10D: Berechnungsgrundlagen für warmgewalzte Stähle ζ

eζ

eη

t

oζ

Z b η

r1

r2

Warmgewalzter rundkantiger -Stahl

s α

oη

Y

aη

h Y

r1 t

η

r2 b Z

aζ

ζ

Kurzzeichen

Abmessungen in mm h

b

s

t

r1

r2

Quer- Masse Lage der schnitt Achse A m η–η cm2 kg/m tan α

oη

oζ

eη

eζ

aη

aζ

30 40 50 60 80 100

30 40 50 60 80 100

38 40 43 45 50 55

4 4,5 5 5 6 6,5

4,5 5 5,5 6 7 8

4,5 5 5,5 6 7 8

2,5 2,5 3 3 3,5 4

4,32 5,43 6,77 7,91 11,1 14,5

3,39 4,26 5,31 6,21 8,71 11,4

1,655 1,181 0,939 0,779 0,588 0,492

3,86 4,17 4,60 4,98 5,83 6,77

0,58 0,91 1,24 1,51 2,02 2,43

0,61 1,12 1,65 2,21 3,30 4,34

1,39 1,67 1,89 2,04 2,29 2,50

3,54 3,82 4,21 4,56 5,35 6,24

0,87 1,19 1,49 1,76 2,25 2,65

120 140 160 180 200

120 140 160 180 200

60 7 65 8 70 8,5 75 9,5 80 10

4,5 5 5,5 6 6,5

18,2 22,9 27,5 33,3 38,7

14,3 18,0 21,6 26,1 30,4

0,433 0,385 0,357 0,329 0,313

7,75 9,72 9,74 10,7 11,8

2,80 3,18 3,51 3,86 4,17

5,37 6,39 7,39 8,40 9,39

2,70 7,16 2,89 8,08 3,09 9,04 3,27 9,99 3,47 11,0

3,02 3,39 3,72 4,08 4,39

Kurzzeichen Iy 30 40 50 60 80 100 120 140 160 180 200

Y –Y Wy

9 10 11 12 13

9 10 11 12 13

Für die Biegeachse Z –Z η–η Wz iz Iη Wη

iy

Iz

cm4

cm3

cm

cm4

5,96 13,5 26,3 44,7 109 222

3,97 6,75 10,5 14,9 27,3 44,4

1,17 1,58 1,97 2,38 3,13 3,91

13,7 3,80 17,6 4,66 23,8 5,88 30,1 7,09 47,4 10,1 72,5 14,0

402 676 1060 1600 2300

67,0 96,6 132 178 230

4,70 5,43 6,20 6,92 7,71

106 148 204 270 357

cm3

18,8 24,3 31,0 38,4 47,6

Abstände in cm von den Achsen η – η und ζ – ζ

ζ–ζ Wζ

biaxiales Flächenmoment

iη

Iζ

iζ

Iyz

cm

cm4

cm3

cm

cm4

cm3

cm

cm4

1,78 1,80 1,88 1,95 2,07 2,24

18,1 28,0 44,9 67,2 142 270

4,69 6,72 9,76 13,5 24,4 39,8

2,04 2,27 2,57 2,81 3,58 4,31

1,54 3,05 5,23 7,60 14,7 24,6

1,11 1,83 2,76 3,73 6,44 9,26

0,60 0,75 0,88 0,98 1,15 1,30

7,35 12,2 19,6 28,8 55,6 97,2

2,42 470 2,54 768 2,72 1180 2,84 1760 3,04 2510

60,6 88,0 121 164 213

5,08 37,7 5,79 56,4 6,57 79,5 7,26 110 8,06 147

12,5 16,6 21,4 27,0 33,4

1,44 1,67 1,70 1,82 1,95

158 239 349 490 674

Iyz -Werte sind für das eingezeichnete Koordinatensystem negativ. Werte und Vorzeichen dieser Tabelle entsprechen DIN 1027.

132

Tabellenanhang

Tabelle 11: Gleichung der Biegelinien für Träger konstanter Biegesteifigkeit #

Gleichung der Biegelinie∗)

Belastungsfall l

x w ϕmax

wF

1

Durchbiegungen w Winkeländerungen ϕ∗)

B

"  # Fl3 3 x 1 x3 1− · + 3EI 2 l 2 l

w=

A

wF = wmax = ϕmax =

F l x

A

ϕA

2

l/2 ϕB

wmax

w

# " Fl3 x 4  x 2 · 1− 16EI l 3 l l für x 6 2

B

w=

C F

!2 ! Fl3 a b x l x2 · 1+ − · · 6EI l l l b a·b

l a x ϕA

A

3

b x1 wF w1

w

w= B

ϕB

w1 =

C

a

4

A ϕA x

ϕB

w1

C

ϕF

w1 =

# " a x1  x1 2 Fl3 x1 2a · +3 · − 6EI l l l l l

für x1 6 a

F

Fl2 2EI

Fl3 48EI Fl2 = ϕB = 16EI

wF = wmax = ϕA

 Fl3 a 2 · · 3EI l 1 ϕA = wF · 1+ 2a 1 ϕB = wF · 1+ 2b wF =

Fl3 3EI Fl2 = 6EI Fl2 = 6EI

wF =

für x 6 l

wF

B

"  x 2 # Fl3 a x · · 1− 6EI l l l

w=

x1

w

  x2  Fl3 b  a 2 x1  l · · · 1 + − 1  6EI l l l a a·b

für x1 6 b

F l

für x 6 a

Fl3 3EI

ϕA ϕF

 a 2  a 1+ l l a 1 · = ϕB l 2 a  a · · 2+3 l l ·

Kreisbogen mit dem Radius l ϕmax

x

5 M wmax

%=

w

B

A

x

6

wmax

N¨aherungsweise Ml2  x 2 w= 1− 2EI l

l w

q

B

EI M

w=

# " ql4 4 x 1  x 4 1− · + 8EI 3 l 3 l

A ϕmax l x

7

ϕA

wmax

A q

B

l x

8

w=

w A

∗)

w

# "  x 2 # " 5ql4 4  x 2 w= 1− 1−4 384EI l 5 l

l 2

C

M

ϕB

ϕA

# " MA l2 x 3  x 2 1  x 3 + − 3EI l 2 l 2 l

wF = ϕmax

Die Gleichungen gelten für (w0 )2 b a für 6 5 b 0,208a1,215 · b1,785

a Regelmäßiges Sechseck 7 2% Regelmäßiges Achteck 8 2%

Dünnwandige Profile h1

9

b1

h2 h1

b2

Werte η b1

b2

h2 h3

b3

⊥

I

IP

+

η 0,99 1,12 1,12 1,31 1,29 1,17

Größte Spannungen in den Mitten der Längsseiten des Rechteckes mit der größten Dicke bmax .

Tabellenanhang

135

Tabelle 14: Knickspannung in σK in N/mm2

Werkstoff

Plastische Knickung nach T

Elastische Knickung nach E

Gültigkeitsbereich 0 < λ < 65 65 < λ < 104

Gleichung für σK σK = 235 σK = 310 − 1,14λ

λ > 104

E 335

0 < λ < 88

σK = 335 − 0,62λ

λ > 88

GJ 200

0 < λ < 80

σK = 776 − 12λ + 0,053λ2

λ > 80

Bauholz

0 < λ < 100

σK = 29,3 − 0,194λ

λ > 100

S 235

Gültigkeitsbereich

σK =

π2 · E λ2

σK =

9,9 (λ/100)2

Tabelle 15: Knickfälle (E)

Grundfall 2

1

Knickfall

l

3

l

4

l

l

Freie Knicklänge lK

2l

l

0,7l

0,50l

Schlankheitsgrad λ

2l i

l i

0,7l i

0,50l i

∗∗)

σv =

σv =

p σ2 + 3(α0 τ)2

r σy − σx  2 + (α0 τ)2 2

q σ2y + σ2x − σx · σy + 3(α0 τ)2

q (σy − σx )2 + 4(α0 τ)2

σy + σx σv = + 2

p σ2 + 4(α0 τ)2

r  σ 2 + (α0 τ)2 2

Belastung durch σx σy und τ ∗∗)

Bei gleichem Belastungsfall für σ und τ ist α0 = 1. Für ein Hauptspannungssystem gelten diese Gleichungen mit σy = σmax ; σx = σmin und τ = 0.

σv =

Größte Gestaltänderungsarbeit

∗)

σv =

σ σv = + 2

Belastung durch σ und τ

Größte Schubspannung

Größte Normalspannung

Hypothese

Tabelle 16: Vergleichsspannung σv ≤ σzul

∗)

σGr √ 3τGr

σGr 2τGr

σGr τGr

α0

Bruch mit vorheriger plastischer Verformung. Dauerbruch.

Bruch mit vorheriger plastischer Verformung

Spröder Werkstoff, Bruch ohne vorherige plastische Verformung

Anwendung

136 Tabellenanhang

Tabellenanhang Tabellen 17: Formzahlen nach FKM-Richtlinie Tabelle 17A: Formzahlen: Rundstab mit Umlaufkerbe bei Zugdruck, r > 0; d/D < 1

137

138 Tabelle 17B: Formzahlen: Rundstab mit Umlaufkerbe bei Biegung, r > 0; d/D < 1

Tabellenanhang

Tabellenanhang Tabelle 17C: Formzahlen: Rundstab mit Umlaufkerbe bei Torsion, r > 0; d/D < 1

139

140 Tabelle 17D: Formzahlen: Rundstab mit Absatz bei Zugdruck, r > 0; d/D < 1

Tabellenanhang

Tabellenanhang Tabelle 17E: Formzahlen: Rundstab mit Absatz bei Biegung, r > 0; d/D < 1

141

142 Tabelle 17F: Formzahlen: Rundstab mit Absatz bei Torsion, r > 0; d/D < 1

Tabellenanhang

Tabellenanhang Tabelle 17G: Formzahlen: Flachstab mit beidseitiger Kerbe bei Zug oder Druck, r > 0; b/B < 1

143

144

Tabellenanhang

Tabelle 17H: Formzahlen: Flachstab mit beidseitiger Kerbe bei Biegung, r > 0; b/B < 1

Tabellenanhang Tabelle 17I: Formzahlen: Flachstab mit Absatz bei Zugdruck, r > 0; b/B < 1

145

146 Tabelle 17J: Formzahlen: Flachstab mit Absatz bei Biegung, r > 0; b/B < 1

Tabellenanhang

Tabellenanhang

147

Tabelle 18: Bezogenes Spannungsgefälle nach FKM-Richtlinie

χσ

χτ

Fzd

2 · (1 + ϕ) r

1 r

Fzd

2,3 · (1 + ϕ) r

1,15 r

2 · (1 + ϕ) r

−

Fzd

−

Fzd

2,3 · (1 + ϕ) r

−

Fzd

2,3 r

Bauteilform r Mb

Mb D

Fzd

d t r

Mb

Mb D

Fzd

d t r

Mb

Mb B

Fzd

b t r

Mb

Mb B

Fzd

b t

Mb Fzd

r d, b

Mb

Rundstab oder Flachstab

Stützzahlen des nicht gekerbten Bauteiles sind mit dem bezogenen Spannungsgefälle χ0 = 2/d bzw. χ0 = 2/b zu berechnen ϕ = 0 für t/d > 0,25 oder t/b > 0,25; p ϕ = 1/(4 · t/r + 2) für t/d ≤ 0,25 bzw. t/b ≤ 0,25 . Für Rundstäbe gelten die Gleichungen näherungsweise auch bei Längsbohrung.

148

Tabellenanhang

Tabelle 19: Die Stützzahl nχ in Abhängigkeit vom bezogenen Spannungsgefälle χ für Stahl und Gusseisen nach FKM-Richtlinie.

3,0

Rm in N/mm2

nχ

GJL 2,0

GJM

1,8

100 350 400 900 800

GJS 400

1,6 −1/0,65

1,4 1,3

1/0,70

GS

1/0,75

800 400 800

1/0,80

Stahl

1,2

1200

1/0,85

1/0,90

1,1 1,08 1,06

1/0,95

1,04 Das Diagramm darf erweitert werden auf χ = 100 mm−1 . Zahlenwerte 1/0,065 bis 1/0,095: Unterschied der Wechselfestigkeitskennwerte für Zug-Druck und Biegung, gültig für Werkstoffprobe des Durchmessers d0 = 7,5 mm.

1,03 1,02 2/d0 =0,267 1,01 0,01 0,02

0,05 0,1 0,2 0,3 0,5

1

5 2 χ in mm−1

10

Tabellenanhang

149

≤ 1 Rz in µm ≤ 1

1,0

poliert

Tabelle 20: Einflussfaktor der Oberflächenrauheit KO

0,9

geschliffen

1,6

K0σ

3,2 6,3

0,8

zh al W

25

au

0,7

t 50

geschlichtet

12,5

KO,σ ≈ 1 − 0,22 lg Rz · (lg

Rm − 1) 20

KO,τ ≈ 0,575 · KO,σ + 0,425

200

0,5

300

400

500

700

100

1000

1500 2000 Rm in N/mm2

geschruppt

0,6

150

Tabellenanhang

Tabelle 21: Geometrischer Größeneinflussfaktor Kg

1,0 Zugdruck Kg

Kg = 1

0,9 Biegung Torsion Kg ≈ 1 − 0,2

0,8

7,5

10

lg(d/7,5) lg 20

15

0,8

20 25 30

40 50 60 80 100 d in mm

150 200

300

Tabelle 22: Konstanten zur Berechnung der Mittelspannungsempfindlichkeit

Werkstoffgruppe

St

GS

GJS

GJM

GJL

aM

0,35

0,35

0,35

0,35

0

bM

−0,1

0,05

0,08

0,13

0,5

AW–Al

AC–Al

1,0

1,0

−0,04

0,2

Tabelle 23: Lineare Wärmeausdehnungszahlen für den Bereich von 0 ◦ C bis 100 ◦ C in K−1

Aluminium . . . . . . . . . . . . . . . Beton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Blei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bronze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Eisen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Glas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kupfer . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2,4 · 10−5 1,1 · 10−5 2,8 · 10−5 1,8 · 10−5 1,1 · 10−5 0,8 · 10−5 1,6 · 10−5

Invar (36 % Ni, 64 % Fe) . . . Messing . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nickel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Platin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Silber . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Zink . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

0,1 · 10−5 1,9 · 10−5 1,3 · 10−5 0,9 · 10−5 2,0 · 10−5 3,0 · 10−5

Tabellenanhang

151

Tabelle 24: Funktion q(x) (Streckenlast) für verschiedene Einzelheiten einer Belastung. Einzelheit bei x = a

Funktion q

q0

+ hx − ai0 · q0 x a w q0

− hx − ai0 · q0 x a w q0 l

m=

m=0

q0

+ hx − ai

q

x a m=

q0

− q0 l

m=0 x

l

= +hx − ai ·

q0 l

  q  0 + hx − ai 0 − − l

= +hx − ai ·

q0 l

a

w q0

x a

l

w

x

l a

Knick

 q0  q0 − hx − ai0 · q0 + hx − ai 0 − = −hx − ai0 · q0 − hx − ai · l l | {z } | {z } Sprung

q0 l1 a

 q  q0 0 + hx − ai0 · q0 + hx − ai − − 0 = +hx − ai0 · q0 − hx − ai · l l | {z } | {z } Sprung

q0

w

l

 −0

l

w

w

0

l2

x

q0 q0 + hx − ai − − l2 l1

Knick

!

q0 q0 = −hx − ai + l2 l1

!