Aufgaben aus technischer Mechanik: Statik, Festigkeitslehre, Dynamik 9783486761092, 9783486761078

Table of contents :
Vorwort
Inhaltsübersicht
I. Abschnitt. Die Grundlagen der Statik
§ 1. Das Gleichgewicht von Kräften in der Ebene
§ 2. Das Seileck und die Momentenfläche beim Balken
§ 3. Statisch bestimmte Balken verschiedener Formen
§ 4. Statisch bestimmte ebene Fachwerke und Fachwerkträger
§ 5. Das Gleichgewicht von Kräften im Raum und das räumliche Fachwerk
§ 6. Schwerpunkte und Trägheitsmomente von Flächen
§ 7. Das Gleichgewicht von Seilen
II. Abschnitt. Festigkeitslehre
§ 1. Der einachsige (lineare) und zweiachsige (ebene) Spannungszustand und der Mohrsche Spannungskreis
§ 2. Spannungen in achsensymmetrischen Kesseln und Schalen
§ 3. Biegung des geraden Stabes und Zentralellipse
§ 4. Elastische Linie des ursprünglich geraden Stabes bei der Biegung
§ 5. Die Formänderungsarbeit, der Satz von Castigliano und statisch unbestimmte Aufgaben
§ 6. Statisch unbestimmte ebene und räumliche Fachwerke
§ 7. Torsion und Knicken von Stäben
§ 8. Stäbe auf nachgiebiger Unterlage; Achsensymmetrischer ebener Spannungszustand; Bachsche Näherungstheorie für Platten
III. Abschnitt. Dynamik
§ 1. Kinematische Grundbegriffe
§ 2. Geradlinige Bewegung des materiellen Punktes und Drehung eines starren Körpers um eine feste Achse
§ 3. Krummlinige Bewegung des materiellen Punktes und der Energiesatz
§ 4. Die Schwingungen eines materiellen Punktes und Drehschwingungen von starren Körpern
§ 5. Dynamik des Punkthaufens: insbesondere das Prinzip von d'Alembert und Festigkeitsberechnungen bewegter Körper sowie Schwerpunkt- und Flächensatz
§ 6. Der Kreisel. Elastische Schwingungen von Stäben und Wellen

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AUFGABEN AUS TECHNISCHER MECHANIK STATIK FESTIGKEITSLEHRE DYNAMIK VON

Dr. L. FÖPPL O . P R O F E S S O R A . D . TECHN. H O C H S C H U L E MÜNCHEN

MÜNCHEN UND B E R L I N 1930 VERLAG VON R. OLDENBOURG

DRUCK VON R. OLDENBOURG, MÜNCHEN.

DEM ANDENKEN

AN AUGUST FÖPPL GEWIDMET

Vorwort. Indem ich vorliegende Aufgabensammlung der Öffentlichkeit übergebe, komme ich einem öfters geäußerten Wunsche meiner Studenten nach, die von mir in den Übungen und Prüfungen gestellten Aufgaben zur Technischen Mechanik in Buchform erscheinen zu lassen. Nach einer bekannten Lehrerfahrung hat der Studierende das für ihn recht schwierige und fast vollständig neue Gebiet der Technischen Mechanik erst dann richtig verstanden, wenn er die Fähigkeit besitzt, Aufgaben selbständig zu lösen. Solange er nicht diesen Grad des Verständnisses erreicht hat, kann er mit den Lehren der Technischen Mechanik in seinem späteren Berufe nicht viel anfangen. Aus diesem Grunde muß auf die Übungen zur Technischen Mechanik das größte Gewicht gelegt werden. Ein wichtiger Punkt ist dabei die Auswahl der Aufgaben. Abgesehen von gewissen lehrhaften Aufgaben, die ohne Rücksicht auf eine praktische Verwendung nur dazu dienen, geeignete Beispiele zu gewissen Sätzen der Mechanik zu bilden, ist es von Wichtigkeit, auch Aufgaben zu stellen, die unmittelbar der Praxis des Ingenieurberufes entnommen sind; denn erstens können wir durch nichts besser die Notwendigkeit der Ausbildung des Ingenieurs in der Mechanik bewei sen und zweitens bleiben gerade solche Aufgaben im Gedächtnis des Studierenden haften, da sie sein Interesse beanspruchen, so daß es mit Hilfe derartiger Aufgaben gelingt, den jungen Studenten verhältnismäßig weitgehend in der Technischen Mechanik zu fördern. Ich bin daher immer bemüht gewesen, praktische Aufgaben, die ich teils Industrieprospekten und Ingenieurzeitschriften entnommen habe, teils Kollegen verdanke, für meine Übungen nutzbar zu machen. Zugleich verfolge ich mit der Herausgabe meiner Aufgaben noch den Zweck, dem Studierenden eine gedrängte Übersicht des in meinen Vorlesungen über Technische Mechanik behandelten Stoffes zu verschaffen. Entsprechend der Einteilung dieser Vorlesungen in eine Unterstufe, die bis zum Vorexamen reicht und die Statik, Festigkeitslehre und Dynamik mit den Grundlagen der Kinematik umfaßt, und eine Oberstufe, die für gewisse Studienrichtungen in höheren Semestern bis zum Hauptexamen reicht und höhere Festigkeitslehre sowie höhere Dynamik

VI behandelt, soll auch die Aufgabensammlung in zwei getrennten Teilen, einerseits für die Unterstufe, anderseits für die Oberstufe erscheinen. Das vorliegende Bändchen bezieht sich nur auf die Unterstufe, enthält also nur den Stoff, wie ich ihn in der Vorprüfung von Maschinenund Elektroingenieuren, Bauingenieuren und Technischen Physikern verlange. Um den Studierenden einen Überblick über diesen Stoff zu geben, ist die Aufgabensammlung in Abschnitte und Paragraphen unterteilt, wobei dort, wo es mir auf Grund meiner Prüfungserfahrungen notwendig schien, am Kopf der Paragraphen in Kürze die wesentlichen neuen Grundsätze, die zur Lösung der Aufgaben des betreffenden Paragraphen in Betracht kommen, angeführt worden sind, wobei ich aber keineswegs Vollständigkeit angestrebt habe. Ich hoffe, daß sich auf diese Weise die Studierenden die wichtigsten Lehren der Technischen Mechanik in dieser lapidaren Form leichter einprägen, wobei die sich daran anschließenden Aufgaben für das Verständnis der Sätze mindestens ebensoviel beitragen können als ihre systematischen Ableitungen, wie sie in den Vorlesungen gegeben werden. Da das Büchlein ausschließlich auf das Bedürfnis der Studierenden zugeschnitten worden ist, so habe ich mich bemüht, den Umfang möglichst bescheiden zu halten in der sicheren Erwartung, damit bei den Studierenden volles Verständnis zu finden; denn nichts ist bei dem Studenten beliebter als ein „kleines" Büchlein, in dem aber viel stehen muß, was er brauchen kann. Ich habe aus diesem Grunde nur eine Auswahl der von mir in den letzten 15 Semestern an der Technischen Hochschule München gestellten Aufgaben wiedergegeben; jedenfalls nicht mehr als mir unbedingt nötig zu sein schien, wobei ich mich durchaus an die Anforderungen unserer Vorprüfung gehalten habe. So kommt es, daß gewisse Paragraphen nur einen geringen Umfang in der Vorliegenden Aufgabensammlung für die Unterstufe einnehmen. Sie sollen teilweise in der Aufgabensammlung für die Oberstufe ausführlicher behandelt werden. Die meisten Aufgaben dürften neu, d.h. noch nicht in einer anderen Aufgabensammlung veröffentlicht sein. Für einige Aufgaben ließ sich dies allerdings nicht umgehen, da sie im Interesse des Ganzen nicht gut entbehrt werden konnten. Die Lösungen sind den Aufgabentexten immer gleich angefügt. Es wird auffallen, daß bei manchen Aufgaben nur die Resultate, bei anderen die vollständige Ausarbeitung der Lösungen und bei weiteren nur Andeutungen über den zur Lösung führenden Weg mit Angabe der Resultate gegeben worden sind. E s hat dies seinen Grund teils in pädagogischen Erwägungen, teils in dem Bestreben, die Wiederholung der Lösung einer ähnlichen, schon ausführlicher behandelten Aufgabe zu vermeiden. Was die Vorprüfungsaufgaben anbelangt, soweit sie Aufnahme gefunden haben und die als solche stets gekennzeichnet sind, so sind bei ihnen absichtlich vielfach nur die Resultate angegeben worden, um dem Studierenden die Aufgabe gegenüber der Prüfung nicht zu erleichtern, so daß er in der Lage ist, den jeweiligen Stand seines Wissens und Könnens relativ zu den Anforderungen des Vorexamens selbständig zu überprüfen.

VII Es ist mir ein Bedürfnis, an dieser Stelle meiner treuen Mitarbeiter in den Übungen zur Technischen Mechanik der letzten Jahre dankbar zu gedenken. Es sind dies die Herren Diplomingenieur Philipp E b e r t , Diplomingenieur Sigmund Freiherr v o n B o u t t e v i l l e und Diplomingenieur August H e n n i g , denen ich manchen Hinweis auf geeignete Aufgaben verdanke. Möge das Büchlein mit dazu beitragen, vielen Studierenden den großen Schrecken, den ihnen die Mechanik einflößt, zu mildern oder gar zu nehmen, so daß vielleicht sogar manchem von ihnen die Mechanik eine treue Freundin wird, die ihm sicher im späteren Berufe stets hilfreich zur Seite stehen wird. Mit diesem Wunsche lege ich das Büchlein in die Hände der Studierenden. M ü n c h e n , im November 1929.

L. FÖPPL.

Inhaltsübersicht. Seite

I. D i e G r u n d l a g e n d e r S t a t i k § 1. Das Gleichgewicht von Kräften in der Ebene § 2. Das Seileck und die Momentenfläche beim Balken § 3. Statisch bestimmte Balken verschiedener Formen § 4, Statisch bestimmte ebene Fachwerke und Fachwerkträger . . . . § 5. Das Gleichgewicht von Kräften im Raum und das räumliche Fachwerk § 6. Schwerpunkte und Trägheitsmomente von Flächen § 7. Das Gleichgewicht von Seilen

1 1 8 11 21 27 33 37

II. F e s t i g k e i t s l e h r e 45 § 1. Der einachsige (lineare) und zweiachsige (ebene) Spannungszustand und der Mohrsche Spannungskreis 45 § 2. Spannungen in achsensymmetrischen Kesseln und Schalen . . . . 50 § 3. Biegung des geraden Stabes und Zentralellipse 54 § 4. Elastische Linie des ursprünglich geraden Stabes bei der Biegung. 61 § 5. Die Formänderungsarbeit, der Satz von Castigliano und statisch unbestimmte Aufgaben 69 § 6. Statisch unbestimmte ebene und räumliche Fachwerke 91 § 7. Torsion und Knicken von Stäben 96 § 8. Stäbe auf nachgiebiger Unterlage; Achsensymmetrischer ebener Spannungszustand; Bachsche Näherungstheorie für Platten 104 III. D y n a m i k 115 § 1. Kinematische Grundbegriffe 115 § 2. Geradlinige Bewegung des materiellen Punktes und Drehung eines starren Körpers um eine feste Achse 120 § 3. Krummlinige Bewegung des materiellen Punktes und der Energiesatz 126 § 4. Die Schwingungen eines materiellen Punktes und Drehschwingungen von starren Körpern 138 § 5. Dynamik des Punkthaufens: insbesondere das Prinzip von d'Alembert und Festigkeitsberechnungen bewegter Körper sowie Schwerpunktund Flächensatz 157 § 6. Der Kreisel. Elastische Schwingungen von Stäben und Wellen . . 179

I. Abschnitt.

Die Grundlagen der Statik. § 1. Das Gleichgewicht von Kräften in der Ebene. Werden die Komponenten einer Kraft eines ebenen Kräftesystems in bezug auf ein rechtwinkeliges Koordinatensystem x, y mit Xf und Y{ bezeichnet und das Moment dieser Kraft in bezug auf den Nullpunkt mit M{ = Pt • at (s. Abb. 1), so lauten die G l e i c h g e w i c h t s b e d i n g u n g e n fürs ebene K r ä f t e s y s t e m ZX{ = 0 ; ZYi = 0 ; Z Mt = 0. Daraus folgt: 1. Z w e i K r ä f t e sind im Gleichgewicht, wenn sie gleich groß, entgegengesetzt gerichtet 'sind und auf derselben Wirkungslinie liegen. 2. D r e i K r ä f t e sind im Gleichgewicht, wenn sich ihre Wirkungslinien in einem Punkte schneiden und außerdem ihre geometrische Summe null ist. (S. Aufgaben 10, 11, 13, 16.) Die Z e r l e g u n g e i n e r K r a f t n a c h zwei v o r g e g e b e n e n G e r a d e n , die in derselben Ebene wie die Kraft gelegen sind und sich mit ihr in einem Punkte schneiden, erfolgt nach dem Parallelogramm der Kräfte. Die Z e r l e g u n g e i n e r K r a f t nach drei v o r g e g e b e n e n Ger a d e n , die mit der Kraft in einer Ebene liegen, erfolgt graphisch nach dem Culmannschen Verfahren oder rechnerisch nach der Momentenmethode (s. Aufgabe 16). Um. innere Kräfte eines Systems zu bestimmen, denke man sich das gegebene System durch geeignete Schnitte in zwei

2 oder mehr Teile zerlegt, auf die in den Schnitten die vorher inneren Kräfte als äußere angreifend zu denken sind. Jeder einzelne Teil muß dann für sich den obigen Gleichgewichtsbedingungen genügen. Besonders geeignet für Schnitte sind Gelenke, da in ihnen nur Kräfte und keine Momente übertragen werden können (s. Aufgabe 10). S t a t i s c h u n b e s t i m m t heißt eineAufgabe der ebenen Statik, wenn die obigen drei Gleichgewichtsbedingungen nicht ausreichen, die Auflagerkräfte eindeutig zu bestimmen; z. B. ist ein gewöhnlicher Balken mit drei Auflagerungen einfach statisch unbestimmt. 1. Aufgabe. Für ein zum Anhängen der Last an den Kranhaken dienendes Schlingseil ist eine maximale Zugkraft S = 1000 kg zulässig. Wie groß muß für eine rechteckige Last von der Breite b = 1,2 m und dem Gewicht Q — 1,4 t der Abstand h vom Lasthaken mindestens sein ? L ö s u n g : h — 0,62 m. Abb. 2.

2. Aufgabe.

h'2cmA

Abb. 3.

Durch den Kniehebel ABC wird das in C angelenkte Gleitstück, das auf der festen horizontalen Unterlage U gleitet, gegen die vertikale Wand W gepreßt. Welche Kräfte treten in den Gelenken A und C auf, wenn auf B eine vertikale K r a f t P = 30 kg drückt ? L ö s u n g : Die Horizontalkomponente der Gelenkdrücke in A und C beträgt 112,5 kg, die Vertikalkomponente 15 kg. 3. Aufgabe. Um am Stempel A einer Presse eine große Kraft zu erhalten, wendet man nebenstehende Anordnung an: Die Stangen BC, CD, EF, FG sind an ihren Enden

3 gelenkig miteinander und mit dem Stempel bzw. Boden verbunden. Es ist gefragt, wie groß die auf den Stempel ausgeübte Kraft P2 ist, wenn die in C und F horizontal angreifenden Kräfte P1 — 20 kg betragen. L ö s u n g : P2 = 100 kg.

P,"20kg

3m -HÜ/'*Abb. 4.

4. Aufgabe. Eine Last Q = 100 kg hängt an einem über 2 kleinen Rollen laufenden Seil in der Mitte der Entfernung l beider Rollen. Die freien Enden des Seiles sind mit je P = 250 kg belastet. Für welchen Durchhang h der Seilmitte tritt Gleichgewicht zwischen den 3 Kräften ein ? L ö s u n g : h = 0,6 m.

Gelenkdrücke

C = B = 1 2 5 0 kg J D = C = 1 2 5 0 kg Md = C-h = 6250 mkg b) Siehe Abbildung 51.

längs BC

12. Aufgabe. Der in A gelenkig gelagerte Träger A E wird durch die in C und D angelenkten Stäbe 1 und 2 unterstützt. Er hat eine gleichmäßig über die ganze Länge verteilte Last Q = 1,4 t aufzunehmen. Gesucht sind: 1. Die Auflagerkräfte A und i?, 2. die Stabkräfte 1, 2 und 3, 3. der Verlauf des Biegungsmomentes längs AE, insbesondere das maximale Biegungsmoment. Lösung: 1. (S. Abb. 53) EM mentenpunkt :

ii •

I!

i .2

o \ . ;

!.• | 1 , 6 3 3 1

2 X = Q :

Ax =

EY

Ay

= 0 :

= 0, für A als Mo-

=

— ß

=

l

— 1,633 1

1.4 1.

12m

20 2. s. Kräfteplan Abb. 53. = Ax = 1,6331)^, Siy = S2x = — 1 , 6 3 3 t j 2

2 31t

Ay — S1— S2v—