Klausurentrainer zur Festigkeitslehre für Wirtschaftsingenieure: Mit Formelsammlung [2. Aufl.] 9783658289010, 9783658289027

Table of contents :
Front Matter ....Pages I-VIII
Einführung (Klaus-Dieter Arndt, Joachim Ihme, Heinrich Turk)....Pages 1-10
Einfache Beanspruchungen (Klaus-Dieter Arndt, Joachim Ihme, Heinrich Turk)....Pages 11-54
Zusammengesetzte Beanspruchungen (Klaus-Dieter Arndt, Joachim Ihme, Heinrich Turk)....Pages 55-79
Durchbiegung (Klaus-Dieter Arndt, Joachim Ihme, Heinrich Turk)....Pages 81-100
Stabilitätsfall Knickung (Klaus-Dieter Arndt, Joachim Ihme, Heinrich Turk)....Pages 101-111
Ergebnisse (Klaus-Dieter Arndt, Joachim Ihme, Heinrich Turk)....Pages 113-135
Lösungshinweise (Klaus-Dieter Arndt, Joachim Ihme, Heinrich Turk)....Pages 137-219
Klausuren (Klaus-Dieter Arndt, Joachim Ihme, Heinrich Turk)....Pages 221-263
Verwendete Bezeichnungen und Indizes (Klaus-Dieter Arndt, Joachim Ihme, Heinrich Turk)....Pages 265-269
Back Matter ....Pages 271-271

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Klaus-Dieter Arndt Joachim Ihme Heinrich Turk

Klausurentrainer zur Festigkeitslehre für Wirtschaftsingenieure Mit Formelsammlung 2. Auflage

Klausurentrainer zur Festigkeitslehre für Wirtschaftsingenieure

Klaus-Dieter Arndt  Joachim Ihme  Heinrich Turk

Klausurentrainer zur Festigkeitslehre für Wirtschaftsingenieure Mit Formelsammlung 2., überarbeitete und erweiterte Auflage

Klaus-Dieter Arndt Ostfalia HAW Wolfenbüttel, Deutschland

Heinrich Turk Ostfalia HAW Wolfenbüttel, Deutschland

Joachim Ihme Ostfalia HAW Wolfenbüttel, Deutschland

ISBN 978-3-658-28901-0 https://doi.org/10.1007/978-3-658-28902-7

ISBN 978-3-658-28902-7 (eBook)

Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.d-nb.de abrufbar. Springer Vieweg © Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2016, 2020 Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung, die nicht ausdrücklich vom Urheberrechtsgesetz zugelassen ist, bedarf der vorherigen Zustimmung des Verlags. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Bearbeitungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von allgemein beschreibenden Bezeichnungen, Marken, Unternehmensnamen etc. in diesem Werk bedeutet nicht, dass diese frei durch jedermann benutzt werden dürfen. Die Berechtigung zur Benutzung unterliegt, auch ohne gesonderten Hinweis hierzu, den Regeln des Markenrechts. Die Rechte des jeweiligen Zeicheninhabers sind zu beachten. Der Verlag, die Autoren und die Herausgeber gehen davon aus, dass die Angaben und Informationen in diesem Werk zum Zeitpunkt der Veröffentlichung vollständig und korrekt sind. Weder der Verlag noch die Autoren oder die Herausgeber übernehmen, ausdrücklich oder implizit, Gewähr für den Inhalt des Werkes, etwaige Fehler oder Äußerungen. Der Verlag bleibt im Hinblick auf geografische Zuordnungen und Gebietsbezeichnungen in veröffentlichten Karten und Institutionsadressen neutral. Lektorat: Thomas Zipsner Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier Springer Vieweg ist ein Imprint der eingetragenen Gesellschaft Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH und ist ein Teil von Springer Nature. Die Anschrift der Gesellschaft ist: Abraham-Lincoln-Str. 46, 65189 Wiesbaden, Germany

Vorwort

In den Grundlagenfächern technischer Disziplinen ist es zum Verstehen der Theorie unabdingbar, Aufgaben selbst zu rechnen. Das sichert auch den Erfolg in Klausuren und Prüfungen. Für das Fach Festigkeitslehre im Maschinenbau und für Wirtschaftsingenieure soll der vorliegende Klausurentrainer dies unterstützen. Angepasst an das im selben Verlag erschienene Lehrbuch „Festigkeitslehre für Wirtschaftsingenieure“ bietet er eine Vielzahl von Übungsaufgaben, soweit sinnvoll mit wirtschaftlichen Aspekten. Die 2. Auflage dieses Klausurentrainers wurde an die 4. Auflage des genannten Lehrbuchs angepasst. Vor jedem Aufgabenteil sind die zum Lösen der Aufgaben benötigten Formeln und Tabellen aufgeführt, die dem Lehrbuch entnommen wurden. Die Einteilung des Stoffes bringt kapitelweise zunächst die Aufgaben. Die (numerischen) Ergebnisse findet man in einem separaten Abschnitt zu jedem Kapitel. Gelingt einmal die Lösung einer Aufgabe nicht, gibt es in einem weiteren Abschnitt jedes Kapitels Hinweise zum Lösungsweg mit Zwischenergebnissen. Der Schwierigkeitsgrad der Aufgaben ist jeweils gekennzeichnet: * steht für leichte, ** für mittelschwierige und *** für schwierige oder umfangreiche Aufgaben. Zusätzlich zu den oft aus Klausuren stammenden Aufgaben wurden sechs komplette Klausuren aufgenommen. Daran kann das Lösen der Aufgaben innerhalb eines vorgegebenen Zeitrahmens (hier: 90 Minuten) geübt werden. Die Verfasser danken Herrn Dipl.-Ing. Thomas Zipsner vom Springer Vieweg Verlag für die wiederum problemlose und angenehme Zusammenarbeit. Für Anregungen aus dem Leserkreis und Hinweise auf Fehler sind die Autoren dankbar. Wolfenbüttel im März 2020

Klaus-Dieter Arndt Joachim Ihme Heinrich Turk

V

Inhaltsverzeichnis

1

Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1 Vorgehensweise zum Lösen von Aufgaben der Festigkeitslehre . . . . . . 1.2 Aufgaben zu Kapitel 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

Einfache Beanspruchungen . . . . . . . 2.1 Zug- und Druckbeanspruchung . . 2.1.1 Aufgaben zu Abschnitt 2.1 2.2 Biegebeanspruchung . . . . . . . . 2.2.1 Aufgaben zu Abschnitt 2.2 2.3 Schub- oder Scherbeanspruchung 2.3.1 Aufgaben zu Abschnitt 2.3 2.4 Torsionsbeanspruchung . . . . . . . 2.4.1 Aufgaben zu Abschnitt 2.4

. . . . . . . . .

11 11 14 22 28 39 41 44 48

3

Zusammengesetzte Beanspruchungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1 Aufgaben zu zusammengesetzten Beanspruchungen . . . . . . . . . . . . .

55 61

4

Durchbiegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1 Aufgaben zur Biegeverformung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

81 86

5

Stabilitätsfall Knickung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 5.1 Aufgaben zu Kapitel 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

6

Ergebnisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1 Ergebnisse zu Kapitel 1 . . . . . . . . 6.2 Ergebnisse zu Kapitel 2 . . . . . . . . 6.2.1 Ergebnisse zu Abschnitt 2.1 6.2.2 Ergebnisse zu Abschnitt 2.2 6.2.3 Ergebnisse zu Abschnitt 2.3 6.2.4 Ergebnisse zu Abschnitt 2.4 6.3 Ergebnisse zu Kapitel 3 . . . . . . . .

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1 1 5

113 113 116 116 118 120 121 123

VII

VIII

Inhaltsverzeichnis

6.4 6.5

Ergebnisse zu Kapitel 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 Ergebnisse zu Kapitel 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

7

Lösungshinweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1 Lösungshinweise zu Kapitel 1 . . . . . . . 7.2 Lösungshinweise zu Kapitel 2 . . . . . . . 7.2.1 Lösungshinweise zu Abschnitt 2.1 7.2.2 Lösungshinweise zu Abschnitt 2.2 7.2.3 Lösungshinweise zu Abschnitt 2.3 7.2.4 Lösungshinweise zu Abschnitt 2.4 7.3 Lösungshinweise zu Kapitel 3 . . . . . . . 7.4 Lösungshinweise zu Kapitel 4 . . . . . . . 7.5 Lösungshinweise zu Kapitel 5 . . . . . . .

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137 137 145 145 155 167 171 177 195 214

8

Klausuren . . . . . . . . . . . . 8.1 Klausur 1 . . . . . . . . . 8.2 Klausur 2 . . . . . . . . . 8.3 Klausur 3 . . . . . . . . . 8.4 Klausur 4 . . . . . . . . . 8.5 Klausur 5 . . . . . . . . . 8.6 Klausur 6 . . . . . . . . . 8.7 Lösungen der Klausuren 8.7.1 Klausur 1 . . . . . 8.7.2 Klausur 2 . . . . . 8.7.3 Klausur 3 . . . . . 8.7.4 Klausur 4 . . . . . 8.7.5 Klausur 5 . . . . . 8.7.6 Klausur 6 . . . . .

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221 221 224 226 228 230 232 235 235 239 245 250 253 258

9

Verwendete Bezeichnungen und Indizes 9.1 Verwendete Bezeichnungen . . . . . . 9.2 Indizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3 Indizes von R . . . . . . . . . . . . . . .

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265 265 267 269

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Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271

1

Einführung

Das Lösen von Aufgaben bereitet dem Anfänger oftmals Schwierigkeiten, es wird die folgende Vorgehensweise empfohlen.

1.1 Vorgehensweise zum Lösen von Aufgaben der Festigkeitslehre          

Aufgabenstellung genau durchlesen und verstehen (nachdenken!) Welche Beanspruchungsarten bzw. Spannungsarten treten auf? Lösungsweg überlegen. Welche Gesetze bzw. Formeln wende ich an? Skizzen anfertigen, eventuell Teilsysteme betrachten Freimachen bzw. Freischneiden (Kräfte und Momente antragen, Richtungssinn beachten) Beanspruchungen ermitteln (z. B. Auflagerkräfte, Momenten- und Kraftverläufe) Formeln einsetzen Beim Einsetzen von Zahlenwerten in Formeln auf Einheiten achten Rechengang übersichtlich und nachvollziehbar durchführen Ergebnisse überprüfen, eventuell korrigieren und nachrechnen

Der in der folgenden Abb. 1.1 dargestellte Ablauf für eine Festigkeitsberechnung ist dabei zu beachten. Je nach Aufgabenstellung und gegebenen Werten lassen sich  die zulässige Belastung [Tragfähigkeits-Rechnung (Lastbegrenzung)], z. B.: F D A   zul ,  die erforderlichen Abmessungen [Bemessungs-Rechnung (Dimensionierung)], z. B.: A D Fzul  der erforderliche Werkstoffkennwert (Werkstoffwahl), z. B.: Rm D SB   v , m  die vorhandene Sicherheit S F D Rzule ; S B D Rzul © Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2020 K.-D. Arndt et al., Klausurentrainer zur Festigkeitslehre für Wirtschaftsingenieure, https://doi.org/10.1007/978-3-658-28902-7_1

1

2

1

Einführung

Berechnung der zulässigen Spannung Vzul mithilfe der Werkstoffkennwerte (Streckgrenze Re/Rp0,2, Zugfestigkeit Rm usw.) und der Sicherheit (SF gegen Fließen, SB gegen Bruch usw.)

Ermittlung der Belastung (Kräfte, Momente usw.)

Ermittlung von Querschnitt A, Flächenmoment 2. Grades I, Wanddicke s usw. aus Form und Abmessungen

Berechnung der Spannungen (Normal-, Tangentialspannungen, Vergleichsspannungen)

Sicherheitsnachweis führen: Vv d Vzul (Vergleich der im Bauteil größten auftretenden Spannung bzw. Vergleichsspannung mit der zulässigen Spannung)

Abb. 1.1 Ablauf für die Festigkeitsberechnung

berechnen. Darüber hinaus können je nach Erfordernis (z. B. Betriebs-/Dauerfestigkeit) noch andere technische Berechnungsverfahren oder Normen herangezogen werden. Die notwendigen Gleichungen und Tabellen aus dem Lehrbuch zum Lösen der Aufgaben für Kap. 1 sind im Folgenden aufgeführt. Definition der Spannung: Normalspannung  D

Fn A

Tangentialspannung  D Dehnung " D

Ft A

mit Fn ?A

(1.4)

mit Ft kA

(1.5)

l l  l0 D l0 l0

(1.6)

H OOKE’sches Gesetz:

l l0 Zusammenhang zwischen Längenänderung und Kraft:  DE "DE 

(1.7)

F  l0 E A

(1.8)

l D

1.1

Vorgehensweise zum Lösen von Aufgaben der Festigkeitslehre

3

Tab. 1.1 Anhaltswerte ausgewählter Werkstoffgruppen (Re bzw. Rp0,2 /Rp0,1 ) Werkstoff unlegierte Stähle rostfreie Stähle Einsatzstähle Gusseisen GJL Gusseisen GJS Stahlguss Messing Kupfer Aluminiumlegierung Titanlegierung PP PVC GFK CFK Holz Beton Glas

Rm in N/mm2 290–830 400–1100 500–1200 100–450 350–900 380–970 400 220 140–540 900–1100 30 60 90 750 40–240 50 (nur für Druck) 80

Tab. 1.2 Querkontraktionszahlen ausgewählter Werkstoffgruppen

Re in N/mm2 185–360 210–660 310–850 100–285 250–600 200–650 200 100 80–470 800–1000 15 50 – – – – –

Werkstoff Beton Stähle und Stahlguss Gusseisen mit Lamellengrafit Al und Al-Legierungen Mg und Mg-Legierungen Kupfer Zink Elastomere

Querkürzung: "q D

d d0  d D d0 d0

E in kN/mm2 210 210 210 78–143 169–176 210 100 120 60–80 110 1 3 75 140 10 30 80

 in kg/dm3 7,85 7,85 8,10 7,10–7,30 7,25 7,85 8,50 8,74 2,75 4,43 1,10 1,40 1,45 1,45 0,50 2,38 3,00

Querkontraktionszahl µ 0 0,30 0,25 . . . 0,27 0,33 0,30 0,34 0,29  0,5

(1.9)

Spezifische oder bezogene Formänderungsarbeit: wf D

Wf 1 D  " V 2

(1.10)

1 F2 l   2 A E

(1.11)

Formänderungsarbeit: Wf D

4

1

Einführung

Tab. 1.3 Mindestsicherheit in Abhängigkeit des Lastfalls Lastfall Werkstoff Zweckmäßige Grenzspannung Sicherheit Smin

I zäh mit Streckgrenze Streckgrenze Re 1,5 . . . 3

spröde ohne Streckgrenze Bruchfestigkeit Rm 2 ... 4

II, III für alle Werkstoffe Dauerfestigkeit D 2 ... 4

Zulässige Spannung und Sicherheit: Mindestsicherheit Smin D

Grenz zulässig

(1.12)

Grenz Smin

(1.13)

zul D

D Smin

(1.14)

F SFerf

mit

zul D  zul bei dynamischer Beanspruchung:

Zugbeanspruchung:  Versagen durch Fließen: SFvorh D

F I vorh

zul D

F D Re

oder Rp0;2

(1.15)

 Versagen durch Bruch:

SBvorh D

B I vorh

zul D

Rm SBerf

(1.16)

Druckbeanspruchung:  Versagen durch Fließen: SFvorh D

F I vorh

zul D

F SFerf

mit F D dF

oder d0;01

(1.17)

 Versagen durch Bruch: SBvorh D

dB I vorh

zul D

dB SBerf

(1.18)

1.2

Aufgaben zu Kapitel 1

5

Tab. 1.4 Statische Festigkeitswerte für Überschlagsrechnungen [2] Werkstoff Duktil (zäh) Beanspruchungsart Stahl, GS, Cu-Leg. Zug Re (Rp0,2 ) Druck Red  Re Biegung  bF  1,1  Re Schub  sF  0,6  Re Torsion  tF  0,65  Re

Al-KnetLeg.

Al-GussLeg.

Re Re 0,6  Re 0,6  Re

1,5  Re Re 0,75  Re –

Spröde GJL

GJM

GJS

Rm 2,5  Rm Rm 0,85  Rm –

1,5  Rm Rm 0,75  Rm –

1,3  Rm Rm 0,65  Rm –

 Versagen durch Knicken:

SKvorh D

K I vorh

zul D

K SKerf

(1.19)

1.2 Aufgaben zu Kapitel 1 Aufgabe 1.1 (**) Der geschweißte Trägerverband (Abb. 1.2) wird über die Endplatten durch Zugkräfte (F D 3,5 MN) beansprucht. a) Wie groß sind die in den Schnitten A–A und B–B auftretenden Zugspannungen? b) Welchen Werkstoff wählen Sie, damit eine Sicherheit gegen Fließen SF D 1,5 bei schwellender Belastung gewährleistet ist (s. Tab. 1.5)? c) Welche Masse m besitzt der Gitterverband und welche Materialkosten K M fallen an? Hinweis: Die Schweißnähte und die beiden Endplatten sind bei der geforderten Berechnung zu vernachlässigen. Gegeben: L EN 10056-1-130 × 130 × 12: Querschnitt A D 30 cm2 ; bezogene Masse m0 D 23,6 kg/m; kFlach D 1,60 C/kg; kL D 1,80 C/kg. Aufgabe 1.2 (**) Ein Stab der Länge l D 0,8 m wird konstant gedehnt. a) Wie groß ist die Dehnung ", wenn die Längenänderung l D 6 mm beträgt? b) Wie groß ist die Längenänderung l bei einer gegebenen Dehnung " D 0,15 %?

Werkst. Nr.

1.0035 1.0036 1.0037 1.0044 1.0045 1.0050 1.0060 1.0070 1.0114 1.0143 1.0533 1.0543 1.0553 1.0570 1.0633

Werkstoff

S185 S235JRG1 S235JR S275JR S335JR E295 E335 E360 S235JO S275JO E295 GC E335 GC S335JO S355J2G3 E360 GC

Rm Re /Rp Fließgrenze N/mm2 N/mm2 N/mm2 Zug/Druck Biegung 310 190 190 230 360 235 235 280 360 235 235 280 430 275 275 330 510 355 355 425 490 295 295 355 590 335 335 400 690 360 360 430 360 235 235 280 430 275 330 190 590 420 420 505 690 490 490 590 510 355 355 425 510 355 355 425 780 560 560 670

Tab. 1.5 Tabelle zur Werkstoffwahl

Torsion 130 165 165 190 245 205 230 250 165 190 290 340 245 245 390

Schwellfestigkeit N/mm2 Zug/Druck Biegung 200 220 225 270 225 270 270 320 325 380 295 355 335 400 360 430 225 270 270 320 410 440 470 520 325 380 325 380 540 590 Torsion 150 160 160 190 245 205 230 250 160 190 300 350 245 245 400

Wechselfestigkeit N/mm2 Zug/Druck Biegung 130 150 140 180 140 180 170 215 205 255 195 245 325 290 275 345 140 180 170 215 260 300 300 350 205 255 205 255 340 390

Torsion 90 105 105 125 150 145 180 205 105 125 180 210 150 150 230

6 1 Einführung

Aufgaben zu Kapitel 1

500

500

500

Schnitt AA 600

500

B

A F

F

B

A

20

100

7

600

1.2

20

20000

L 130x130x12

20200

Abb. 1.2 Geschweißter Trägerverband 50

30

F l

Abb. 1.3 Eingespannter Stab

Aufgabe 1.3 (*) Ein Stab der Länge l mit konstantem Querschnitt A (Abb. 1.3) wird durch eine Zugkraft F belastet. Wie groß ist die Längenänderung l? Gegeben: l D 3 m; F D 40 kN; E D 210.000 N/mm2 Aufgabe 1.4 (**) Ein Stahlzylinder 1 und ein GJS-Rohr 2 werden zwischen den starren Druckplatten (Abb. 1.4) einer Presse gemeinsam um den Betrag h D 0,05 mm elastisch verformt. Gegeben: E1 D 2,1  105 N/mm2 ; E2 D 1,7  105 N/mm2 Zu ermitteln sind: a) die Spannungen in den Bauteilen, b) die Presskraft. Aufgabe 1.5 (**) Eine Hülse aus Stahl mit 3 mm Wanddicke wird mit geringem Spiel über eine Schraube M20 × 2,5 geschoben (Abb. 1.5). Die aufgeschraubte Mutter wird nach beginnendem Anschlag um ¼ Umdrehungen angezogen. Die Hülsen- und Schraubenlänge beträgt 200 mm. Wie groß sind die Spannungen in der Hülse und im Schraubenschaft (Schraubenschaft ohne Gewinde, Durchmesser 20 mm, E D 2,1  105 N/mm2 )?

8

1

Abb. 1.4 Stahlzylinder und Hülse

Einführung F

1 100

2 Ø 50

Ø 60 Ø 80

3

200

Abb. 1.5 Schraube M 20 × 2,5 mit Hülse

Hinweis: Betrachten Sie die Schraube als Zugstab (das Gewinde wird nicht berücksichtigt). Aufgabe 1.6 (**) Der geschweißte Profilträgerverband wird über die Endplatten (Abb. 1.6) durch Zugkräfte (F D 8,5 MN) beansprucht. a) Wie groß ist die auftretende Zugspannung im Schnitt A–A? b) Welchen Werkstoff wählen Sie, damit eine Sicherheit gegen Fließen SF D 2 bei wechselnder Belastung gewährleistet ist (Tab. 1.5)? c) Welche Formänderungsarbeit kann der Verband aufnehmen? d) Welche Masse m besitzt der Gitterverband und welche Materialkosten K M fallen an? Gegeben: L EN 10056-1-150 × 150 × 15: Querschnitt A D 43 cm2 ; bezogene Masse m0 D 33,8 kg/m; E D 2,1  105 N/mm2 ; kFlachst D 1,60 C/kg; kL–St D 1,80 C/kg Hinweis: Die Schweißnähte und die beiden Endplatten sind bei der geforderten Berechnung zu vernachlässigen.

1.2

Aufgaben zu Kapitel 1

9 600 530

530

F

600

F

20

A

20

A L 150x150x15

20000

Schnitt AA

Abb. 1.6 Geschweißter Profilträgerverband

120

Ø 40

Abb. 1.7 Stab mit wechselnder Belastung

25

Aufgabe 1.7 (**) Konstruieren Sie ein Dauerfestigkeitsschaubild (DFS) nach Smith für Stahl, wenn folgende Daten bekannt sind: Rp0,2 D 570 N/mm2 ;  W D 330 N/mm2 und  Sch D 520 N/mm2 Aufgabe 1.8 (**) Konstruieren Sie ein Dauerfestigkeitsschaubild (DFS) nach Smith für folgende Werte: Streckgrenze ReH D 900 N/mm2 ; Zugfestigkeit Rm D 1000 N/mm2 ; Wechselfestigkeit  W D 500 N/mm2 . Wie groß ist die Schwellfestigkeit  Sch , die zulässige Ausschlagspannung  azul bei einer Mittelspannung  m D 650 N/mm2 und einer Sicherheit von 2 gegen Dauerbruch? Aufgabe 1.9 (**) Ein Stab 120 × 30 DIN EN 10058 aus S275JR (Abb. 1.7) ist in einer Maschine einer Stoßbelastung durch Zugkräfte wechselnder Höhe ausgesetzt. Diese schwankt zwischen den Werten F o D 210 kN und F u D 90 kN. Wie groß ist die vorhandene Sicherheit SD vorh ? Gegeben: Rm D 430 N/mm2 ; Re D 275 N/mm2 ;  zW D 170 N/mm2 ;  zSch D 270 N/mm2

1

F

Ød

10

Einführung

F

Abb. 1.8 Gelenkstange

Aufgabe 1.10 (***) Eine Gelenkstange (Abb. 1.8) überträgt 100 kN wechselnd als Zug- und Druckkraft. a) Die maximal auftretende Zug- und Druckspannung darf einen Wert von 125 N/mm2 nicht überschreiten. Für welchen Durchmesser ist die Gelenkstange auszulegen? b) Wie groß ist die Sicherheit gegen Dauerbruch für diesen Belastungsfall? c) Der wechselnden Belastung wird noch eine konstante Zugkraft von 120 kN überlagert. Stellen Sie den zeitlichen Spannungsverlauf dar, der sich in der Gelenkstange ergibt. Wie groß ist die maximal ertragbare Spannungsamplitude  a für diesen Lastfall? Wie groß ist nun die Sicherheit gegen Dauerbruch und gegen Fließen? Gegeben: Materialkennwerte:  W D 400 N/mm2 ;  Sch D 640 N/mm2 ; Rp0,2 D 680 N/mm2 ; Rm D 1000 N/mm2

2

Einfache Beanspruchungen

2.1

Zug- und Druckbeanspruchung

Die notwendigen Gleichungen und Tabellen aus dem Lehrbuch werden im Folgenden für den Abschn. 2.1 aufgeführt: Zugspannung: F D konstant (2.1) .z) D A Bei leicht veränderlichem Querschnitt (für Zug und Druck): max D

F Amin

(2.2)

Druckspannung: .d/ D

F A

bzw.  D 

F A

(2.3)

Festigkeitsbedingung: F  zul A Tragfähigkeits-Rechnung (Lastbegrenzung): j j D

F  Fzul D A  zul

(2.4)

(2.5)

Bemessungs-Rechnung (Dimensionierung): A  Aerf D F=zul

(2.6)

Spannungen in beliebigen Schnitten:  D 0  cos2 ˛ © Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2020 K.-D. Arndt et al., Klausurentrainer zur Festigkeitslehre für Wirtschaftsingenieure, https://doi.org/10.1007/978-3-658-28902-7_2

(2.7) 11

12

2 Einfache Beanspruchungen

Tab. 2.1 Längenausdehnungskoeffizienten ausgewählter Werkstoffe

˛ in 106 K1 12 16 24 17 20 180 70 5 0,5 10 4

Werkstoff unlegierter Stahl Edelstahl Aluminium Kupfer Messing PP PVC Glas Quarzglas Beton Holz

1 0  sin 2˛ 2 1 D 0 D max 2

D 45ı

(2.8) (2.9)

Spannungen durch Eigengewicht: Traglänge lT D

zul zul D g 

(2.10)

Reißlänge lR D

Rm Rm D g 

(2.11)

Wärmespannungen: l D l0  ˛  #

mit # D #1  #0

in K (Kelvin)

l1 D l0 C l D l0 C l0  ˛  # D l0 .1 C ˛  #/ "therm D "ª D

l l0  ˛  # D D ˛  # l0 l0

 D ˛  #  E

(2.12) (2.13) (2.14) (2.15)

Flächenpressung ebener und gekrümmter Flächen: Flächenpressung p D pD

F A

mit

F ?A

FN F F D D A A  cos ˛ b  l  cos ˛

(2.16)

(2.17)

2.1 Zug- und Druckbeanspruchung Tab. 2.2 Anhaltswerte  dB D Druckfestigkeit) Werkstoff Zähe Werkstoffe Spröde Werkstoffe

für

die

13 zulässige

Flächenpressung

pzul

( dF D Quetschgrenze;

Zulässige Flächenpressung pzul dF pzul  1;2

Belastung bei ruhender Belastung

pzul 

bei schwellender Belastung

pzul  pzul 

dF 2 dB 2 dB 3

bei ruhender Belastung bei schwellender Belastung

F F D  pNzul Aproj d b

pm D pN D

Lochleibungsdruck oder Lochleibung pl D

(2.18) F d s

F mit Aproj D d  l oder d  s d l Spannungen in zylindrischen Hohlkörpern: pl D

(2.19) (2.20)

t D

pd pr D 2s s

(2.21)

a D

pd pr D 4s 2s

(2.22)

Spannungen durch Fliehkräfte:  D   r 2  !2

(2.23)

 D   v2

(2.24)

r vGrenz D

s

zul D 

Rm   SB q

(2.25)

Rm

SB vGrenz D nGrenz D 2 r 2 r Für den Fall des Reißens gilt SB = 1, dann wird Gl. (2.26):

q nR D

Rm 

2 r

(2.26)

(2.27)

14

2 Einfache Beanspruchungen

2.1.1 Aufgaben zu Abschnitt 2.1 Aufgabe 2.1.1 (*) Ein Vierkantstab (Abb. 2.1) ist links fest eingespannt und wird am rechten Ende durch eine Kraft F D 125 kN belastet. a) Wie groß sind die Normalspannungen im Schnitt A–A und im Schnitt B–B? b) Wie groß darf die Kraft F für den Stab höchstens sein, wenn die zulässige Spannung von 180 N/mm2 für den Stab nicht überschritten werden darf? Aufgabe 2.1.2 (**) Ein Stahlseil (Rp0,2 D 950 N/mm2 , EK D 210.000 N/mm2 ) mit einem Durchmesser von 60 mm und einer Länge von 100 m wurde zum Zweck des Korrosionsschutzes mit einer thermoplastischen Schicht (EUm D 12.000 N/mm2 ) von 2,5 mm Dicke umhüllt (Abb. 2.2). Stahlkern und Kunststoffummantelung können als fest miteinander verbunden angesehen werden. Für eine Zugkraft von F D 1500 kN ist die Verlängerung der Stahlseils sowie die Spannungen im Stahlkern und der Kunststoffummantelung zu berechnen. Das Verhalten der Kunststoffumhüllung kann als linear-elastisch angesehen werden. Aufgabe 2.1.3 (**) Ein Stab mit einer Querschnittsfläche 30 × 40 mm wurde unter dem Winkel ˇ D 35° verschweißt (Abb. 2.3). Der Stab wird durch eine Kraft F D 180 kN auf Zug beansprucht. Wie groß sind die Spannungen in der Schweißnaht?

Abb. 2.1 Abgesetzter Vierkantstab

A B F B A Schnitt BB 40

40

60

Schnitt AA 60

Ø 30

Ø 24

2.1 Zug- und Druckbeanspruchung

15 AA A

F

z

Stahlkern Ummantelung

F

x

y

2,5

A

Ø 60

Abb. 2.2 Kunststoffummanteltes Stahlseil

40

E

30

F l

Abb. 2.3 Verschweißter Stab

Aufgabe 2.1.4 (***) Ein Wandkran, der aus einem Tragarm und einem Zugstab besteht, wird durch eine angehängte Masse m beansprucht (Abb. 2.4). Als Werkstoff für den Zugstab soll Baustahl S275JR verwendet werden. Gegeben: Re D 275 N/mm2 ; Rm D 510 N/mm2 ; s D 5 mm; g D 9,81 m/s2

E D 210.000 N/mm2 ;

da D 60 mm;

Gesucht: a) Bestimmen Sie den Zusammenhang zwischen der Kraft F S im Zugstab und der angehängten Masse m mit Hilfe einer Gleichgewichtsbedingung. b) Wie groß ist die zulässige Masse m, wenn ein Abreißen des Zugstabes mit einer Sicherheit von SB D 2 ausgeschlossen sein soll? c) Wie groß ist die zulässige Masse m* , wenn eine Verlängerung des Zugstabes von l D 2 mm nicht überschritten werden darf? d) Ermitteln Sie die Materialkosten K M für die Masse m, wenn kSt D 1600 C/t beträgt. Aufgabe 2.1.5 (***) Ein Stabstahl mit der Querschnittsfläche A (Abb. 2.5) ist oben fest eingespannt (1) und am unteren Ende (2) durch eine angehängte Masse m belastet.

16

2 Einfache Beanspruchungen

Abb. 2.4 Wandkran

Zugstab

da s

a = 2000

D

A

B

C

m b = 2250

c = 1500

Abb. 2.5 Hängender Stab mit Masse m

1 x

l

Ø 30 A, E, U

2 m

Gegeben: d D 30 mm; l D 12.500 mm; E D 2,1  105 N/mm2 ;  D 7850 kg/m3 ; m D 250 kg a) Ermitteln Sie den Spannungsverlauf  (x) über l. b) Wie groß ist die Spannung  1 an der oberen Einspannstelle (1)? c) Wie groß ist die Längenänderung l des Stabes? Aufgabe 2.1.6 (**) Eine Schachtförderanlage wird über ein 1200 m langes Stahldrahtseil befahren. Das Seil hat einen tragenden Metallquerschnitt von 2830 mm2 und eine Masse von 22,2 kg/m. a) Wie groß muss die Zugfestigkeit sein, damit das Seil nicht aufgrund seines Eigengewichts reißt?

2.1 Zug- und Druckbeanspruchung

17

x

l F

'Abb. 2.6 Stab unter Wärmeeinfluss

b) Wie groß ist die Reißlänge des Seils bei einer Zugfestigkeit von 1200 N/mm2 des Stahls? c) Wie groß darf die anzuhängende Last des Seiles bezogen auf die Zugfestigkeit von b) bei einer Länge von 750 m sein, wenn unter Berücksichtigung des Seilgewichts eine 10fache Sicherheit gegen Bruch gefordert ist? Aufgabe 2.1.7 (*) Der Stab (Abb. 2.6) mit dem Querschnitt A wird von 20 °C auf 145 °C erwärmt. Wie groß muss die aufzubringende Kraft F am rechten Ende sein, damit sich die Länge l nicht ändert? Gegeben: l D 1,75 m; A D 60 mm2 ; E D 70.000 N/mm2 ; ˛ D 2,4  105 K1 Aufgabe 2.1.8 (***) Rohr 1 und Rohr 2 sind aus Stahl und sollen durch Aufschrumpfen (Abb. 2.7) miteinander verbunden werden. Der Durchmesser von Rohr 1 ist vor dem Aufschrumpfen um den Betrag ı kleiner. a) Wie groß sind die Spannungen  1 und  2 in den Rohren und der Pressdruck p im zusammengefügten Zustand bei Raumtemperatur? b) Welche Temperaturerhöhung # von Rohr 1 ist für die Montage nötig? Gegeben: d D 160 mm; d1 D 140 mm; d2 D 120 mm; ı D 0,15 mm; E D 210.000 N/mm2 ; ˛ D 1,2  105 K1 Abb. 2.7 Rohrschrumpfverbindung

d2

d1

d

1

2

18

2 Einfache Beanspruchungen

100

60

4

l = 2000

c Abb. 2.8 Rechteckrohr-Feder-Verbindung

Aufgabe 2.1.9 (***) Das Rechteckrohr (100 × 60 × 4) aus S235 und die Feder sind anfangs entspannt (Abb. 2.8). Dann wird das Rohr erwärmt (nicht die Feder). a) Bei welcher Temperaturdifferenz # würde das Rohr zu fließen beginnen, wenn es nicht vorher ausknickt? b) Bei welcher Temperaturdifferenz # würde das Rohr ausknicken, wenn es nicht vorher zu fließen beginnt? Gegeben: E D 2,1  105 N/mm2 ; c D 125.000 N/mm; l D 2000 mm; ˛ D 1,2  105 K1 Aufgabe 2.1.10 (***) Das in Abb. 2.9 dargestellte Bauteil aus S235JR ist in A und B gelenkig gelagert. Bei 20 °C treten in A und B keine Lagerkräfte auf, d. h. das Bauteil ist spannungsfrei. Ein Knicken des Systems ist auszuschließen. a) Wie groß sind die horizontalen Lagerkräfte in A und B wenn das Bauteil auf #1 D 375 K erwärmt wird? b) Wie groß ist der Betrag, um den sich der Punkt C bei dieser Erwärmung verschiebt und in welcher Richtung verschiebt er sich? c) Wie groß ist die Spannung in den Abschnitten 1 und 2? Gegeben: E1 D E2 D E D 2,1  105 N/mm2 ; l1 D 400 mm; l2 D 600 mm; A1 D 252 mm2 ; A2 D 302 mm2 ; ˛ 1 D ˛ 2 D ˛

A

C

1

l1

Abb. 2.9 Abgesetztes Bauteil

2

l2

B

2.1 Zug- und Druckbeanspruchung

19

25

Abb. 2.10 Laschenverbindung

F

25

30

F

d

Aufgabe 2.1.11 (**) Eine Laschenverbindung (Abb. 2.10) aus Baustahl E335 (Re D 335 N/mm2 ; Rm D 590 N/mm2 ;  aB D 160 N/mm2 ) soll eine Kraft von F D 50 kN übertragen. a) Wie groß muss der Durchmesser d des Bolzens sein, damit eine sichere Kraftübertragung möglich ist (SB D 2)? b) Wie groß ist die maximale Flächenpressung p in der Laschenverbindung? Aufgabe 2.1.12 (*) Ein dünnwandiger Behälter mit halbkugelförmigen Böden (Abb. 2.11) wird durch einen konstanten Innendruck pi belastet. a) Wie groß sind die Spannungen im zylindrischen Behälterteil und in den Halbkugeln? b) Wie groß sind die Materialkosten K M für den Behälter?

d

s

Gegeben: pi D 0,8 MPa; d D 1500 mm; l D 2500 mm; s D 8 mm; kSt D 1600 C/t

l

Abb. 2.11 Behälter mit halbkugelförmigen Böden

2 Einfache Beanspruchungen

s

20 Abb. 2.12 Druckbehälter

s

d

r1

l

Aufgabe 2.1.13 (**) Ein Druckbehälter (Abb. 2.12) aus P355GH mit kugelkalottenförmigen Boden ist für einen Innendruck von 35 bar auszulegen. Gegeben: d D 2500 mm; l D 4000 mm; E D 2,1  105 N/mm2 ; S D 2; ReH D 350 N/mm2 Zu berechnen sind: a) die Wanddicke s und der Radius r1 , b) die Spannungen im zylindrischen und im kugelförmigen Teil. Aufgabe 2.1.14 (***) Ein Kupferkugelkessel wird von einer Stahlkugel umschlossen (Abb. 2.13) . Bei einer Temperatur #0 und unbelastet berühren sich beide Kugeln, ohne Druck aufeinander auszuüben. Durch den Innendruck pi dehnt sich der Kupferkessel aus. Der Stahlkessel stützt ihn in diesem Fall, wobei ein Druck pa von außen auf den Kupferkessel ausgeübt wird. Gegeben: pi D 8 bar; #0 D 20 ı C; (r1 und r2 sind mittlere Radien).

Kupfer

Stahl pa

pi

Abb. 2.13 Kugelkessel

pa

2.1 Zug- und Druckbeanspruchung

21

Kupfer: r1 D 1000 mm; s1 D 7 mm; E1 D 120 kN/mm2 ; ˛ 1 D 17  106 K1 ; kCu D 7050 C/t Stahl: r2 D 1006 mm; s2 D 5 mm; E2 D 210 kN/mm2 ; ˛ 2 D 12  106 K1 ; kSt D 1600 C/t a) Stellen Sie eine Beziehung für den Druck pa auf. b) Es sind die Spannungen in den Kesseln bei einem Druck pi im Kupferkessel für die Temperatur #0 zu ermitteln. c) Bei welcher Temperatur ist der Stahlkessel spannungsfrei und wie groß ist die Spannung im Cu-Kessel? d) Wie groß sind die Materialkosten für den Kupfer- und den Stahlkessel? Aufgabe 2.1.15 (***) Das Hubschrauber-Rotorblatt aus CFK (Abb. 2.14) rotiert mit der max. Drehzahl n D 325 min1 um den Punkt M. Die Querschnittsfläche A des Rotorblattes ist konstant. Gegeben: l D 8,1 m; a D 15 cm; CFK D 1,6  106 kg/mm3 ; E-Modul D 88.000 N/mm2 a) Geben Sie den Verlauf der Normalspannung  (x) in Abhängigkeit der Koordinate x an. b) Wie groß ist die Spannung  an der Stelle A? c) Wie groß ist die Längenänderung l des Rotorblattes? Hinweis: Für die Belastung gilt: q(x) D ! 2    A  x.

x

M

A

Z a

l

b

Abb. 2.14 HubschrauberRotorblatt

22

2 Einfache Beanspruchungen

2.2 Biegebeanspruchung Die notwendigen Gleichungen und Tabellen aus dem Lehrbuch werden im Folgenden für den Abschn. 2.2 aufgeführt: Zusammenhang zwischen dem äußeren Biegemoment M b und der maximalen Biegespannung: R 2  z dA Mb D max (2.33) zmax Widerstandsmomente W eines beliebigen Querschnittes bei Belastung um die y- bzw. z-Achse: R 2 z dA (2.34) Wy D zmax R 2 y dA Wz D (2.35) ymax Wy D

Iy zmax

und Wz D

Iz ymax

(2.36)

Grundgleichung der Biegung:  D z D max D

Mb z Iy

(2.37)

Mb Mb zmax D O Iy Wy

b D

(2.38)

Mb Wb

(2.39)

Flächenmoment 1. Grades oder statisches (lineares) Flächenmoment: Z Hy D

Z zdA und Hz D

A

ydA

(2.40)

A

Koordinaten des Schwerpunktes: yS D

1 A

Z ydA und zS D

1 A

Z zdA

(2.41)

Bestimmung der Schwerpunkte für einfache, aus Teilflächen zusammengesetzte Flächen: n n 1 X 1 X .yi  Ai / und zS D .zi  Ai / (2.42) yS D Ages iD1 Ages iD1

2.2 Biegebeanspruchung

23

Axiale Flächenmomente 2. Grades (auch Flächenträgheitsmomente genannt): Z Iy D z 2 dA bezogen auf die y-Achse (2.43) Z Iz D

y 2 dA bezogen auf die z-Achse

(2.44)

Die Integration ist möglich, wenn die Fläche A von einfach erfassbaren mathematischen Funktionen begrenzt ist. Ansonsten erfolgt eine Näherungslösung durch Summation ausgehend von Flächenstreifen parallel zur betrachteten Achse. An Stelle der Integration wird eine Summenbildung vorgenommen: Iy D

n X

zi2

 Ai

und Iz D

iD1

n X

yi2  Ai

(2.45)

iD1

Für die Flächenmomente des Rechteckquerschnitts bezogen auf die Achsen gilt: Iy D

b  h3 12

und Iz D

b3  h 12

(2.46)

und für die Widerstandsmomente: Wy D

Iy h 2

D

b  h2 6

und Wz D

Iz b 2

D

b2  h 6

b  h3 12  4 d Iy D Iz D 64  4 d Vollkreis: Ia D 64    4 D  d4 Kreisring: Ia D 64 Iy D

(2.47)

(2.48) (2.49) (2.50) (2.51)

Abhängigkeit der Flächenmomente von der Lage des Koordinatensystems (S TEI NER ’scher Satz): (2.52) Iy D IyN C zS2  A und Iz D IzN C yS2  A I D IS C s 2  A

(2.53)

Flächenmomente zusammengesetzter Querschnitte: Iyges D

n X iD1

Iyi

und Izges D

n X iD1

Izi

(2.54)

4

3

2

1

Fläche

h 2

e1 D

a 2 pa 2

H 2

e1 D e2 D

eD

Randfaserabstand e1 D 23 h e2 D 13 h

a4 12

3

3

Iy D b H 12h

Iy D Iz D ID D

3

3

h Wy D b H6H

Wy D a6 3p WD D a12 2

3

bh2 6 hb2 6

Wy D Wz D

bh3 12 hb3 12

Iy D Iz D

Widerstandsmoment 2 W1 D bh 24 2 W2 D bh 12

Flächenmoment 3 Iy D bh 36 3 IAB D bh 12

Tab. 2.3 Flächenmomente 2. Grades und Widerstandsmomente geometrischer Flächen

24 2 Einfache Beanspruchungen

8

eD H 2

Da

D 0;288  d 4 r e2 D  3  D 0;212  d

e1 D r  e 2

7

D 2

Randfaserabstand e D d2

eD

Fläche

6

5

Tab. 2.3 (Fortsetzung)  4 64 d

Widerstandsmoment  3 Wy D 32 d D 0;1  d 3

Iy D

 B  H3 64  H  B3 Iz D 64

Iy D 0;00686  d 4  4 IAB D Iz D d 128

Iy e1

 B  H2 32  0;1  B  H 2  Wz D H  B2 32  0;1  H  B 2 Wy D

Wy D

 4    D4 d 4 Iy D Iz D 64 Wy D Wz D 32 D  d4 D D  d D 2  s, d. h. kleine Wandstärke 3 2 Iy D 8 Dm s Wy D 4 Dm s

Flächenmoment Iy D Iz D Id D

2.2 Biegebeanspruchung 25

eD

e1 D R

11

p 1 R 3 2 D 0;866  R

eD H 2

Randfaserabstand

10

9

Fläche

Tab. 2.3 (Fortsetzung)

p 5 3 Iy D  R4 16 D 0;5413  R4

Iy D

p 5 3  R4 16 D 0;5413  R4

Flächenmoment  s  H 2 .3B C H / Iy D 32  s  B 2 .3H C B/ Iz D 32

5 8

 R3

p 5 3 Wy D  R3 16 D 0;5413  R3

Wy D

Widerstandsmoment  s  H .3B C H / Wy D 16  Wz D s  B .3H C B/ 16

26 2 Einfache Beanspruchungen

12

Fläche

Tab. 2.3 (Fortsetzung) Randfaserabstand h .a C 2b/ e1 D 3 .a C b/ h .2a C b/ e2 D 3 .a C b/ ICD

IAB D

h3 .3a C b/ 12 h3 .a C 3b/ D 12

Flächenmoment   2ab h3 aCbC Iy D 36 aCb

Widerstandsmoment I W1 D e1y I W2 D e2y

2.2 Biegebeanspruchung 27

28

2 Einfache Beanspruchungen

Abb. 2.15 Möglichkeiten zur Wahl des Koordinatensystems

z S1

1 y

S2 Sges

2 yS

S3

3

Vorgehensweise zur Bestimmung des Gesamtschwerpunktes und des Gesamtflächenmomentes zusammengesetzter Querschnitte: 1. Wahl eines Bezugskoordinatensystems (Möglichkeiten s. Abb. 2.15). Hier: Schwerpunkt S1 der Fläche A1 2. Aufteilung der Gesamtfläche (Profil; hier i D 1 . . . 3) in Teilflächen P 3. Bestimmung des Gesamtschwerpunktes Sges : yS D A1ges niD1 .yi  Ai /; P zS D A1ges niD1 .zi  Ai / die jeweilige Achse 4. Ermittlung des Gesamtflächenmoments Iges bezogen auf  Pn  2 (y oder z) mithilfe des S TEINER ’schen Satzes: Iges D iD1 ISi C si  Ai

Grundsätzlich dürfen bei zusammengesetzten Querschnitten nur die Flächenmomente 2. Grades addiert oder subtrahiert werden, jedoch nie die Widerstandsmomente. Widerstandmomente ergeben sich bei zusammengesetzten Querschnitten aus dem Gesamt-Flächenmoment 2. Grades durch Division durch den größten Randabstand.

2.2.1

Aufgaben zu Abschnitt 2.2

Aufgabe 2.2.1 (**) Eine Rohrleitung (Ø 406,4 × 12,5) mit Dehnungsstück (Abb. 2.16) wird in A durch eine Wand geführt und durch die Kräfte F 1 und F 2 in B belastet. Ermitteln Sie die Biegemomente und Biegespannungen für die Stellen 1 . . . 9 und die Materialkosten K M für das Dehnungsstück (Stelle 1 . . . 8). Gegeben: F 1 D 12,5 kN; F 2 D 7,5 kN; kRohr D 2,60 C/kg

2.2 Biegebeanspruchung

29 4

700

5

6

2300

3

A 2

9

8 1300

700

7

B

1 700

700

1400

700

700

F2

F1 1800

Abb. 2.16 Rohrleitung mit Dehnungsstück

Aufgabe 2.2.2 (**) Der in Abb. 2.17 dargestellte Träger (I 240 DIN 1025 – S235JR) wird durch das Biegemoment M by belastet. Gegeben: M by D 50 kNm; I y D 3890 cm4 ; W y D 324 cm3 ; I z D 284 cm4 ; W z D 47,3 cm3 ; Re D 235 N/mm2 Abb. 2.17 I-Träger

b = 120 Mbz

h= 240

Mby y

z

30

2 Einfache Beanspruchungen

Abb. 2.18 U-Profil

9

zS

7

120

S

yS

9

yS 55

a) Wie groß ist das Biegemoment in der Randfaser? b) Wie groß ist die Sicherheit SF gegen Fließen? c) Wie groß darf für die ermittelten Werte das Biegemoment M bz sein, wenn es allein auftritt? Aufgabe 2.2.3 (*) Berechnen Sie für das U-Profil (Abb. 2.18) den Schwerpunktabstand yS . Aufgabe 2.2.4 (**) Ermitteln Sie für das U-Profil (Abb. 2.19) den Schwerpunktabstand zS und die Flächenmomente 2. Grades bezüglich der Schwerpunktachsen.

Abb. 2.19 U-Profil

zS

60

8

yS

60

S

8

8

zS

2.2 Biegebeanspruchung

31

6

45

eo

6

S

6

eu

zS

y

80

B

A l

C

D F

a

Abb. 2.20 Gelenkig gelagertes U-Profil

Aufgabe 2.2.5 (***) Ein gelenkig gelagertes U-Profil (Abb. 2.20) wird durch die im Flächenschwerpunkt angreifende Kraft F (Abb. 2.20 unten) beansprucht. a) Berechnen Sie die Lage des Flächenschwerpunktes (Maß zS ). b) Berechnen Sie das axiale Flächenmoment 2. Grades des U-Profils bezüglich der yAchse. c) Ermitteln Sie die Auflagerkräfte. d) Skizzieren Sie den Biegemomentenverlauf. e) Ermitteln Sie das maximale Biegemoment. f) Berechnen Sie die maximale Normalspannung für den Balkenquerschnitt. Gegeben: F; ˛; l; a; I y ; eo ; eu ; A Hinweis: Die Lösungen zu den c), e) und f) sind nur formelmäßig anzugeben! Die Punkte c) bis f) können unabhängig von a) und b) bearbeitet werden! Aufgabe 2.2.6 (**) Ein Heimwerker will in seine Scheunenwand ein Garagentor mit der Breite b D 2,5 m einbauen (Abb. 2.21). Die Streckenlast aus Wand und Decke über dem Torausschnitt soll

32

2 Einfache Beanspruchungen

Abb. 2.21 Stützträger

durch einen aus Flachstählen Fl 10 × 150-S-235JRG-2 geschweißten Träger aufgenommen werden (Abb. 2.21; die Schweiß-Längsnähte sind nicht zu berechnen). Der Träger kann als Balken auf zwei Stützen mit einer Streckenlast q D 25 kN/m bei einer Stützweite von 2,5 m aufgefasst werden. a) Ermitteln Sie das Flächenmoment 2. Grades des zusammengesetzten Biegeträgers! b) Wie groß ist die maximale Biegespannung im Träger? c) Ist sie zulässig, wenn eine Sicherheit gegen Fließen von SF D 3 erforderlich ist? Aufgabe 2.2.7 (***) Der Brückenkran (Abb. 2.22) mit 6 m Spannweite besitzt eine Brücke aus einem I-Profil I 240-DIN 1025-5. Zur Erhöhung der Biegesteifigkeit sind im mittleren Bereich zwei Blechstreifen von 10 mm Dicke mit Längs-Kehlnähten schubfest auf dem I-Träger verschweißt.

2.2 Biegebeanspruchung

33 6000 5900 4000 2500

1500 D

1000

C

C

D

Kranschiene

F

Laufkatze

Brückenträger

Schnitt CC

10

10

80 I240 DIN 1025

100

Abb. 2.22 Brückenkran

Gegeben: I-Profil I 240-DIN 1025-5 mit: h D 240 mm; b D 120 mm; A D 39,1 cm2 ; I y D 3890 cm4 ; W y D 324 cm3 ; m0 D 30,7 kg/m; kI D 1,85 C/kg; kFlach D 1,60 C/kg a) Wie groß darf die Kraft F bei einer zulässigen Biegespannung von  b zul D 120 N/mm2 in Mittelstellung der Laufkatze sein? b) Wie groß ist die Biegezugspannung im Querschnitt D–D des Brückenträgers? c) Welche Materialkosten K M fallen für den Brückenträger an? Aufgabe 2.2.8 (**) Am Ende zweier einseitig eingespannter Doppel-T-Träger (Abb. 2.23) unterschiedlicher Länge (l1 D 1500 mm und l2 D 550 mm), mit gleichem Profil, wirkt eine Kraft F 1 bzw. F 2 . Ermitteln Sie die maximalen Kräfte F 1 bzw. F 2 für die vorgegebenen zulässigen Spannungen. Für die zulässigen Biegespannungen unter Zug/Druck gelten:  z zul D 160 N/mm2 ;  d zul D 140 N/mm2 . Schubspannungen sind zu vernachlässigen.

34

2 Einfache Beanspruchungen

F1

10

120

l1 = 1500

y

y

F2

100

z

12

8

l2 = 550

Abb. 2.23 Doppel-T-Träger

Aufgabe 2.2.9 (**) Der Profilträger (Abb. 2.24) wird durch zwei Massen m1 D 450 kg und m2 D 750 kg belastet. Die Massen sind über Nutensteine mit dem Profil verschraubt. a) Skizzieren Sie den Biegemomentenverlauf für den Profilträger mit Angabe des größten Biegemoments. b) Ermitteln Sie die Lage der Schwerpunktachse für das Profil. c) Wie groß ist das axiale Flächenmoment 2. Grades bezogen auf die y-Achse. d) Wie groß ist die maximale Biegespannung? Aufgabe 2.2.10 (***) In einer Leichtbaukonstruktion wird ein Hutprofil aus S235 (Abb. 2.25) mit einem Deckblech desselben Materials schubfest zu einem geschlossenen Profil verbunden. Für das

Schnitt AA

z

150

1000

80 70

750

120

3000

30

A m1

Abb. 2.24 Profilträger

A

m2

30

y

2.2 Biegebeanspruchung

35 Schnitt AA z; z

92

3

A

Blech

3

Sges

31,3

z S ges

62

y SHut

Hutprofil

y

48

A

Abb. 2.25 Hutprofil

Hutprofil gibt der Hersteller ein Flächenmoment 2. Grades um die y-Achse N (unterer Rand des Profils) IyN D 969:286 mm4 an. Der Schwerpunkt des Hutprofils liegt bei zNS D 31; 3 mm (Abb. 2.25). Die Querschnittsfläche des Hutprofils beträgt AHut D 630 mm2 . Das Profil muss ein Biegemoment M y D 925 Nm aufnehmen. a) Berechnen Sie die Lage des Gesamtschwerpunktes zN Sges des geschlossenen Profils. b) Wie groß ist das Flächenmoment 2. Grades des Hutprofils um seine waagerechte Schwerpunktachse? c) Ermitteln Sie das Flächenmoment 2. Grades des Gesamtprofils für die y-Achse (Achse des Gesamtschwerpunktes). d) An welcher Stelle des Profilquerschnitts tritt die max. Biegespannung auf und wie groß ist sie? Aufgabe 2.2.11 (**) Das Profil (Abb. 2.26) wird mit der Kraft F D 30 kN belastet. Die Masse des Profils ist zu vernachlässigen. Zu ermittelt sind: a) b) c) d)

die Stelle, an der das größte Biegemoment M b max auftritt und dessen Größe, das Flächenmoment 2. Grades des Profils um die y-Achse, die Spannungen in den Randfasern des Profils und Wahl des Werkstoffes, wenn folgende zul. Biegespannungen nicht überschritten werden dürfen: Werkstoff  b zul N/mm2

S235 110

E295 150

E360 220

36

2 Einfache Beanspruchungen 4000

z 80 30

2500

z

130

F

Schnitt CC

C

10

y

20

x

140 A

y

B

C

Abb. 2.26 Profilträger Ø 40

z

Schnitt CC

750 F2

C 120

F1

A

60

1000

y

B x 4000

C

100 160

Abb. 2.27 Strangpressprofil

Aufgabe 2.2.12 (**) Das Strangpressprofil aus EN AW-6082 (Abb. 2.27) wird durch zwei Kräfte, die in der Mitte des Profils angreifen, belastet. Gegeben: F 1 D 32 kN; F 2 D 20 kN; Rm D 310 N/mm2 ; Rp0,2 D 255 N/mm2 ; E-Modul D 70 kN/mm2 ; S D 1,5. a) b) c) d)

Wie groß ist für den Profilträger das max. Biegemoment? Wie groß ist das axiale Flächenmoment 2. Grades bezogen auf die y-Achse? Wie groß sind die Biegespannungen in den Randfasern? Ist eine ausreichende Sicherheit gegen Fließen und Bruch gegeben?

Aufgabe 2.2.13 (**) Der geschweißte Kastenträger aus E335 (Abb. 2.28) wird durch zwei Kräfte F 1 und F 2 belastet. Die zul. Biegespannung darf höchstens 40 % der Proportionalitätsgrenze  P betragen.

2.2 Biegebeanspruchung a

37 F2

F1

b C

C

Ø 100

120

100

150

15

B

l

200

A

150

7400

100

10

Schnitt C–C Abb. 2.28 Kastenträger

a) b) c) d) e)

Skizzieren Sie den Biegemomentenverlauf. Wie groß ist das max. Biegemoment? Wie groß ist die Biegespannung in den Randfasern? Bestimmen Sie die Biegespannung in Höhe der Schweißnaht. Wie groß ist die tatsächliche Sicherheit gegen Fließen SF ? Kalkulieren Sie die Materialkosten K M für den Kastenträger.

Gegeben: F 1 D 15 kN; F 2 D 6 kN; a D 2350 mm; b D 3100 mm; l D 7400 mm; kFlach D 1,70 C/kg

Aufgabe 2.2.14 (**) Der konische Kastenträger gleicher Wandstärke (Abb. 2.29) wird am rechten freien Ende mit einer Einzelkraft F D 400 kN belastet.

38

2 Einfache Beanspruchungen

3000 500

A

B

A

B

500

F

600

300

500

Schnitt BB 15

Schnitt AA 15

600

Ø 250

Ø 250

Ø 100

15

15

Ø 100

400

400

Abb. 2.29 Konischer Kastenträger

a) Wie groß sind die im Schnitt A–A und B–B auftretenden Biegespannungen? b) Wählen Sie aus Tab. 1.5 einen entsprechenden Werkstoff, der einer schwellenden Belastung und einer geforderten Sicherheit von 1,5 genügt. Aufgabe 2.2.15 (**) Der Träger (Abb. 2.30) wird wie dargestellt durch zwei Kräfte belastet. Gegeben: F 1 D 18 kN; F 2 D 30 kN; a D 400 mm; b D 300 mm; l D 1500 mm a) Skizzieren Sie den Biegemomentenverlauf für den Profilträger mit Angabe des größten Biegemoments. b) Ermitteln Sie die Lage der Schwerpunktachse für das Profil im vorgegebenen Koordinatensystem. c) Wie groß ist das axiale Flächenmoment 2. Grades bezogen auf die y-Achse? d) Wie groß sind die Biegespannungen in den Randfasern?

2.3 Schub- oder Scherbeanspruchung

39

Abb. 2.30 Träger mit zwei Einzelkräften

b

z

a

F1

F2

C

x l

A

C

B 12

z Schnitt CC

3 10

2

250

180

1

2.3

8

y 80

Schub- oder Scherbeanspruchung

Die notwendigen Gleichungen und Tabellen aus dem Lehrbuch werden im Folgenden für den Abschn. 2.3 aufgeführt: s (2.55) tan    D L   D G   bzw. G D ; ŒG D N/mm2 (2.56)  m GD E (2.57) 2 .m C 1/ G D 0;384  E 2  V F  s D 2 2G Scherspannung  a (Index a von „Abscheren“): W D

a D

F A

(2.58) (2.59)

(2.60)

40

2 Einfache Beanspruchungen

Anhaltswerte für zulässige Scherspannungen im Maschinenbau:  a zul  Re / 1,5 bei ruhender Beanspruchung  a zul  Re / 2,2 bei schwellender Beanspruchung bei wechselnder Beanspruchung  a zul  Re / 3 mit Re als Streckgrenze (bzw. Rp0,2 als 0,2-%-Dehngrenze). Allgemeine Beziehung für die Schubspannungsverteilung: .x; z/ D

Fq .x/  H.z/ I b

(2.64)

Schubspannungsverteilung Rechteckquerschnitt: .x; z/ D

Fq  6  b  h3

max D



h2  z2 4

3 Fq  2 bh

 (2.67)

(2.68)

Mittlere Schubspannung: Fq Fq D A bh Schubspannungsverteilung Kreisquerschnitt: m D

.z/ D

(2.69)

 4  Fq  2 r  z2 4 3r

(2.71)

4 Fq  3  r2

(2.72)

Größte Schubspannung für z D 0: max D

Im Vergleich zur mittleren Schubspannung: m D

Fq Fq D A  r2

(2.73)

Für den Balken mit Kreisquerschnitt gilt: 4 m 3

(2.74)

max D 2  m

(2.75)

max D Dünnwandiges Kreisrohr:

2.3 Schub- oder Scherbeanspruchung

41

Tab. 2.4 Schubspannung für verschiedene Verbindungsarten Geleimter bzw. geklebter Träger qmax D

Fq Hy .z/ I bz

bz D Breite des Trägers an der Stelle z F q D Querkraft I D Flächenmoment 2. Grades H y (z) D Flächenmoment 1. Grades

Genieteter bzw. punktgeschweißter Träger F H .z/  4t  qmax D q I byz  3nr 2

Geschweißter Träger (schrittgeschweißt) 

n D Anzahl der Nietreihen t D Teilung D Abstand von Niet zu Niet   r2 D Querschnitt einer Nietfläche 4 / 3 D Formfaktor des Kreisquerschnittes (aus Gl. 2.72)

t D Teilung D Abstand von Schweißnaht zu Schweißnaht a D Schweißnahtbreite an der Wurzel lS D Länge der Schweißnaht

qmax D

Fq Hy .z/ I bz



t 2alS

2.3.1 Aufgaben zu Abschnitt 2.3 Aufgabe 2.3.1 (*) Zwei Rohre werden wie in Abb. 2.31 dargestellt mit einem Scherstift verbunden. a) Welche Zugkraft F kann die Rohrverbindung maximal übertragen, wenn die zulässige Schubspannung im Stift 120 N/mm2 beträgt? b) Wie groß muss bei gleicher Zugkraft F die Klebelänge l sein, wenn die Rohre miteinander verklebt werden, und die zulässige Schubspannung des Klebstoffes 6 N/mm2 beträgt? Aufgabe 2.3.2 (**) Die dargestellte Konstruktion wird durch vier Schweißnähte (Abb. 2.32) gehalten. Wie groß darf die Zugkraft F maximal sein, damit die zulässige Schubspannung  zul in der Schweißnaht nicht überschritten wird? Der Kraterabzug ist zu vernachlässigen.

Abb. 2.31 Scherstiftverbindung

Ø 16

120

80

100

l

42

2 Einfache Beanspruchungen

120

l

8

z

z

200

x F

z

Abb. 2.32 Verschweißter Träger

Hinweis: Die größte Schubspannung tritt in der kleinsten Querschnittsfläche auf, die unter 45° geneigt ist. Gegeben: z D 4 mm; l D 150 mm;  zul D 120 N/mm2 Aufgabe 2.3.3 (**) Das in Abb. 2.33 dargestellte Profil besteht aus einem Stegblech, an das zwei Gurtbleche angeschweißt sind. Gesucht sind die Schubspannungen in den Schweißnähten für eine Querkraft F q D 50 kN. Gegeben: a D 6 mm; b D 150 mm; h D 240 mm; t D 12 mm; s D 15 mm

Abb. 2.33 Profilträger

t

b s

h

y

b

t

a

z

2.3 Schub- oder Scherbeanspruchung

43 z

Abb. 2.34 Klebverbindung 20

30

20

Fq

20

100

1

60

2 y

150

Aufgabe 2.3.4 (**) Das in Abb. 2.34 dargestellte Profil ist an der Stelle 1 miteinander verklebt und wird durch die Querkraft F q D 15 kN belastet. Wie groß sind die Schubspannungen in der Klebnaht (Stelle 1) und der Stelle 2?

z Fq 40

0 1 2a, b 160 3

280

40

yS

100

150

S

4 5

240

40

50

6

y Abb. 2.35 Schubbeanspruchter Träger

7a, b 8 9

44

2 Einfache Beanspruchungen

Aufgabe 2.3.5 (***) Der in Abb. 2.35 dargestellte Träger wird mit einer Querkraft F q D 150 kN beansprucht. Wie groß sind die Schubspannungen an den Stellen 0 bis 9? Hinweis: Lösung mit Gl. 2.64

2.4 Torsionsbeanspruchung Die notwendigen Gleichungen und Tabellen aus dem Lehrbuch werden im Folgenden für den Abschn. 2.4 aufgeführt: Torsionsmoment: Z T D r    dA (2.76) D

r max R

max T D R

(2.77)

ZR r 2  dA

(2.78)

0

Polares Flächenträgheitsmoment oder polares Flächenmoment 2. Grades: ZR Ip D

r 2  dA

(2.79)

0

Polares Widerstandsmoment W p : Wt D Wp D

Ip R

(2.80)

Grundgleichung der Torsion: t D

T T D Wt Wp

mit t D max als Spannung in der Außenfaser.

(2.81)

Polares Flächenmoment für den Kreisringquerschnitt: Ip D

   4 da  di4 32

(2.83)

Polares Flächenmoment für den Vollkreisquerschnitt: Ip D

 4 d 32

(2.84)

2.4 Torsionsbeanspruchung

45

Für die Torsionswiderstandsmomente (auch „polare Widerstandsmomente“ genannt) erhält man aus den polaren Trägheitsmomenten für den Kreisringquerschnitt: Wp D

 da4  di4  D4  d 4 D   16 da 16 D

(2.85)

und für den Vollkreisquerschnitt   d3 16

Wp D

(2.86)

Vordimensionierung von Vollwellen: s derf D

3

16  T   t zul

(2.87)

'r l Das H OOKE’sche Gesetz lässt sich für Schiebung schreiben: s D' r D l )  D

 DG )  D D

 G

(2.88)

(2.89)

T Wp  G

(2.90)

'r T T l D ! 'D l Wp  G Wp  r  G

(2.91)

Verdrehwinkel ' (im Bogenmaß) am Endquerschnitt: 'D

T l G  Ip

bzw. ' D

 l r G

(2.92)

Verdreh- bzw. Torsionssteifigkeit einer Welle: C D

G  Ip T D I ' l

Formänderungsarbeit:

ŒC  D

Nmm rad

(2.93)

Z W D T  d' Z W D C  '  d'

1 1  C  '2 D  T  ' 2 2 G  I Ip  l l p  T 2 und W D  2 W D  ' 2 sowie W D 2  G  Ip 2l 2  G  r2 t W D

(2.94) (2.95) (2.96) (2.97)

46

2 Einfache Beanspruchungen

Torsion dünnwandiger Querschnitte Torsionsmoment: T D 2    s  Am 1. B REDT’sche Formel: D

(2.98)

T 2  Am  s

(2.99)

Die größte Schubspannung  max tritt an der Stelle mit der kleinsten Wandstärke smin auf: T T D  zul (2.100) max D 2  Am  smin Wt Torsionswiderstandsmoment für beliebige dünnwandige geschlossene Querschnitte: Wt D 2  Am  smin

(2.101)

Torsion nicht kreisförmiger Querschnitte t D

T Wt

und ' D

T l G  It

(2.102)

Tab. 2.5 Widerstands- und Flächenmomente bei Verdrehung beliebiger Querschnitte Wt  3 3 16 d  0;2d

It  4 32 d

Bemerkungen Größte Spannung am Umfang Wt D 2Wb It D Ip

 0;1d 4

d

1

4 4  da di 16 da

 32

 4  da  di4

Wie unter 1

di

da

2

3 s

Für kleine Wanddicken .Aa C Ai /  smin 2 .Aa C Ai /  s   2  Am  smin  4  A2m usm (Bredt’sche Formeln)

Am um

Aa = Inhalt der von der äußeren Umrisslinie begrenzten Fläche Ai = Inhalt der von der inneren Umrisslinie begrenzten Fläche Am = Inhalt der von der Mittellinie umgrenzten Fläche um = Länge der Mittellinie (mittlere Umrisslinie)

2.4 Torsionsbeanspruchung

47

Tab. 2.5 (Fortsetzung) Wt 0;208a3

It 0;141a4 D

a

4

a4 7;11

Bemerkungen Größte Spannungen in den Mitten der Seiten. In den Ecken ist  D 0

a

a > bI ab D n  1 c1  a  b 3 D c1  n  b 4 Größte Spannungen in der c1 Mitte der größten Seiten.  a  b 2 D cc12  n  b 3 c2 In den Ecken ist  D 0 c1 D  0;630 0;052 1 C 1  5 3 n n 0;625 c2 D 1  1Cn 3

a

5

b

Gleichseitiges Dreieck

a3 20



h3 13

a4 46;19



h4 26

Größte Spannungen in der Mitte der Seiten. In den Ecken ist  D 0

h

6

a

7

Regelmäßiges Sechseck

1;5113

1;8474

Größte Spannungen in der Mitte der Seiten

1;4813

1;7264

Größte Spannungen in der Mitte der Seiten

2ρ

8

Regelmäßiges Achteck

2ρ

48

2 Einfache Beanspruchungen

Tab. 2.5 (Fortsetzung) Wt 3bmax

Dünnwandige Profile

P

It 3

bi3 hi

P

Bemerkungen Größte Spannungen in der Mitte der Längsseiten des Rechteckes mit der größten Dicke bmax

bi3 hi

h1

9

η 0,99 1,0 h2

1,17

1,29 1,31

h2

h1

1,12

b1 b2

b1

b3

b2

h3

2.4.1

Aufgaben zu Abschnitt 2.4

Aufgabe 2.4.1 (*) Eine Vollwelle ist für ein Antriebsmoment T A D 80 Nm auszulegen. Wie groß muss ihr Durchmesser d mindestens sein, damit die zulässige Schubspannung  zul D 35 N/mm2 nicht überschritten wird? Der Durchmesser d ist auf ganzzahlige Werte aufzurunden. Aufgabe 2.4.2 (*) Die in Abb. 2.36 dargestellte Welle wird durch ein Torsionsmoment T D 12.000 Nm beansprucht. Gegeben: d D 100 mm; D D 1,2d; l D 120 mm; G D 81.000 N/mm2 ; kWe D 2,65 C/kg a) Wie groß ist die größte Torsionsspannung und wo tritt sie auf? b) Wie groß ist der Gesamtverdrehwinkel? c) Welche Materialkosten K M fallen für die Welle an, wenn die Welle aus blankgezogenem Material besteht und nur die beiden Zapfen gedreht werden? Für den Zuschnitt und das Plandrehen der Wellenzapfen beträgt die Bearbeitungszugabe 10 mm.

T Abb. 2.36 Torsionsbeanspruchte Welle

3l d

12l D

d

l

T

2.4 Torsionsbeanspruchung

49

Abb. 2.37 Drehmomentenschlüssel

Aufgabe 2.4.3 (***) Das geschlossene Profil aus Aufgabe 2.2.10 (Abb. 2.25) muss zusätzlich zur Biegung auch noch ein Torsionsmoment T D 900 Nm aufnehmen. Aus Versuchen ist bekannt, dass sich das Torsionswiderstandsmoment W t und das Flächenmoment 2. Grades für Torsion I t mit denjenigen eines Vierkantrohrs 65 × 48 × 3 vergleichen lassen. Gegeben: G D 80.000 N/mm2 ; Re D 235 N/mm2 ;  tF D 150 N/mm2 ;  bSch D 280 N/mm2 ;  tSch D 165 N/mm2 ; Smin D 1,5 a) Wie groß ist die Torsionsspannung? b) Wie groß ist der Verdrehwinkel des Profils bei einer Länge von 3500 mm? c) Ermitteln Sie, ob das Profil aus S235 für eine Beanspruchung aus Biegung mit  b D 80 N/mm2 und der Torsionsspannung aus a) ausreichend dimensioniert ist, wenn Biegung und Torsion schwellend auftreten. Aufgabe 2.4.4 (**) Zur Montage eines Dachgepäckträgers ist dem Teilesatz ein einfacher Drehmomentschlüssel für Innensechskantschrauben SW 5 beigelegt (Abb. 2.37). Ein Sechskantstahl ist (links) mit seinem abgewinkelten Ende in den Kunststoff-Handgriff eingespritzt. Ein angespitzter Rundstab als Zeiger, der ebenfalls fest im Handgriff sitzt, zeigt auf eine in Nm kalibrierte Skala, die drehfest auf dem Sechskant befestigt ist (Zeiger und Skala haben keine Verbindung). Handgriff und Zeiger sowie Skala können als starr angesehen werden. Gegeben: G D 80.000 N/mm2

50

2 Einfache Beanspruchungen

Abb. 2.38 Stabilisator

a) b) c) d)

Welcher Drehwinkel der Skala gehört zu einem Drehmoment von 9 Nm? Wie groß ist dabei der Gesamtverdrehwinkel des Sechskants? Wie groß ist die Torsionsspannung im Querschnitt B–B? Schätzen Sie ab, ob die Spannung für E360 zulässig ist.

Aufgabe 2.4.5 (**) Stabilisatoren sollen bei Kraftfahrzeugen die Aufbauneigung in Kurven vermindern. Abb. 2.38 zeigt links einen Stabilisator an der Vorderachse eines Nutzfahrzeugs und rechts die für die Berechnung idealisierte Geometrie und deren Maße. Der mittlere Teil des Stabilisators wird bei seitlicher Neigung des Aufbaus bzw. des Rahmens verdreht. Gegeben: G D 78.000 N/mm2 a) Legen Sie den Durchmesser des Stabilisators so fest, dass sich bei einer Kraft F D 10 kN ein Verdrehwinkel von 10° einstellt. b) Ist die dabei auftretende Torsionsspannung zulässig ( t zul D 750 N/mm2 )? c) Welche Spannungsart(en) tritt/treten im linken und rechten abgewinkelten Teil des Stabilisators auf und wie groß ist/sind sie? Aufgabe 2.4.6 (***) Eine abgesetzte Welle ist an den Enden fest eingespannt. Sie wird gemäß Abb. 2.39 beansprucht. Zu ermitteln sind: a) die Torsionsmomente in A und B, b) die Torsionsspannung  t in A und B, c) der Verdrehwinkel an der Stelle C. Gegeben: d1 D 60 mm; d2 D 50 mm; d D 300 mm; l1 D 500 mm: l2 D 300 mm; F D 12 kN; G D 81.000 N/mm2 .

2.4 Torsionsbeanspruchung

51

A

C

B

F

l1

d2

d1

d

F

l2

Abb. 2.39 Abgesetzte Welle, links und rechts fest eingespannt

Hinweis: Die Verdrehwinkel für den rechten und den linken Teil der Welle sind im Punkt C gleich! Aufgabe 2.4.7 (**) Die Hinterachse eines Kleinwagens wird als Verbundlenkerachse ausgeführt. Dabei werden die Längslenker über eine Torsionsfeder der Länge l D 900 mm miteinander verbunden (siehe Abb. 2.40a). Bei unterschiedlichen Federwegen des rechten und linken Rades wird die Torsionsfeder verdreht. Die Torsionsfeder entsteht durch Umformung eines Präzisionsstahlrohres Ø 60 × 2-S355 (b) zu einem sichelförmigen, dünnwandigen geschlossenen Querschnitt (c). Die Länge der Mittellinie (mittlerer Umfang) und die Querschnittsfläche der Rohrwand bleiben bei der Umformung erhalten. Der sichelförmige Querschnitt besitzt eine von der Außenfaser eingeschlossene Fläche [graue Fläche in (d)] von A D 430 mm2 . a) Ermitteln Sie das Verhältnis der Widerstandsmomente W t Rohr / W t Torsionsfeder . b) Welche Spannung tritt in der Torsionsfeder bei einem Verdrehwinkel von 15° auf?

Abb. 2.40 PKW-Hinterachse schematisch

52

2 Einfache Beanspruchungen

18,5

300

F

3

3

600

40

3

F

18,5

40

Abb. 2.41 Geschlitztes Profil

Aufgabe 2.4.8 (**) Das in Abb. 2.41 dargestellte Profil 40 × 40 × 3; 600 mm lang, ist auf halber Länge geschlitzt und wird mit einem Kräftepaar F beansprucht. Gegeben: F D 4 kN; G D 80.000 N/mm2 a) Wie groß ist das Torsionsmoment T? b) Wie groß sind der Verdrehwinkel ' voll am rechten Ende des geschlossenen Profils und zwischen dessen linkem und rechtem Ende ' Schlitz sowie die Gesamtverdrehung ' ges ? c) Wie groß ist die Torsionspannung  im geschlossenen und geschlitzten Profil? Aufgabe 2.4.9 (**) Ein dünnwandiges Rechteckprofil (Abb. 2.42) der Länge l wird wie dargestellt belastet. Gegeben: F D 5 kN; l D 2 m; E D 2,1  105 N/mm2 ; G D 81.000 N/mm2 a) Wie groß ist die maximale Torsionsspannung für das geschlossene Profil? b) Wie groß sind die maximale Torsionsspannung und der Torsionswinkel für das offene Profil, wobei wegen der geringeren Torsionssteifigkeit die Belastung F und die Länge l auf ein 1/4 reduziert werden?

2.4 Torsionsbeanspruchung

53 45

55

60

a)

50

F

b)

F 10

l

Abb. 2.42 Rechteckprofil

Aufgabe 2.4.10 (***) Für das in Abb. 2.43 dargestellte U-förmige Profil ist zu ermitteln a) das Drillflächenmoment I t und das Drillwiderstandsmoment W t , b) das übertragbare Torsionsmoment T, wenn  t zul D 35 N/mm2 nicht überschritten werden darf. Gegeben: h1 D h3 D 20 mm; h2 D 150 mm; r D 60 mm; s D 3 mm

h2 s Abb. 2.43 U-Profil

r h3

h1

T

54

2 Einfache Beanspruchungen

b)

a

a)

T

l

a

Schlitz

s

T

Abb. 2.44 Dreikantrohr

Aufgabe 2.4.11 (**) Das in Abb. 2.44 dargestellte Dreikantrohr aus Stahl ist mit einem konstanten Torsionsmoment T belastet. Im Fall a) handelt es sich um ein geschlossenes Profil und im Fall b) um ein in Längsrichtung geschlitztes Profil. Gegeben: a D 100 mm; s D 5 mm; l D 3000 mm;  zul D 100 N/mm2 ; G D 81.000 N/mm2 a) Berechnen Sie das zulässige Torsionsmoment für das geschlossene und das geschlitzte Profil. b) Ermitteln Sie die Verdrehwinkel der Endquerschnitte für die unter a) ermittelten Torsionsmomente. c) Wie groß ist das Verhältnis der beiden Drillflächenmomente 2. Grades?

3

Zusammengesetzte Beanspruchungen

Im Folgenden werden die wichtigsten Gleichungen für dieses Kapitel aus dem Lehrbuch [1] aufgeführt. Treten in einem Bauteil Zug- bzw. Druckspannungen sowie Biegespannungen gleichzeitig auf, können diese addiert werden: Biegung mit Zug: max D bz C z I min D bd C z

(3.3)

Biegung mit Druck: max D j  bd  d jI min D jbz  d j

(3.4)

Durch die Überlagerung von Biegespannungen mit Zug- oder Druckspannungen verschiebt sich die Spannungs-Nulllinie um das Maß z0 . Bei Biegung mit Zug wandert die Nulllinie zur Biegedruckseite und z0 wird negativ. Ein positives z0 erhalten wir bei Biegung mit Druck; hier verschiebt sich die Nulllinie zur Biegezugseite. z0 bei Biegezug: z0 D 

z  ez bz

(3.6)

z0 bei Biegedruck: z0 D

d  ed bd

(3.7)

Für Tangentialspannungen – Schubspannungen aus Querkraft sowie Torsion – gilt dies entsprechend; Schubspannungen müssen allerdings wie Vektoren behandelt werden. Die maximale Schubspannung tritt daher dort auf, wo Schubspannungen aus Querkraft und Torsionsmoment dieselbe Richtung haben: max D t C q Maximal- und Minimalspannungen (Hauptspannungen) können beim zweiachsigen Spannungszustand aus dem M OHR’schen Spannungskreis berechnet werden. Dieser Kreis © Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2020 K.-D. Arndt et al., Klausurentrainer zur Festigkeitslehre für Wirtschaftsingenieure, https://doi.org/10.1007/978-3-658-28902-7_3

55

56

3

Zusammengesetzte Beanspruchungen

W

Abb. 3.1 Quadrantenregel für den Mohr’schen Spannungskreis

C

A

2. Quadrant

1. Quadrant

Wyx > 0 Vy < Vx

Wyx > 0 Vy > Vx

3. Quadrant

4. Quadrant

Wyx < 0 Vy < Vx

Wyx < 0 Vy > Vx

Dh

D

V

hat die Mittelpunktskoordinaten ˇ  y C x ˇˇ M 0 2 ˇ

r y  x 2 2 C yx rD 2

und den Radius

(3.17)

(3.18)

Daraus ergeben sich folgende Beziehungen für die Hauptspannungen  max und  min : max

y C x D M C r D C 2

r y  x 2 2 C yx 2

min

y C x D M  r D  2

r y  x 2 2 C yx 2

(3.19)

(3.20)

Da die tan-Funktion mehrdeutig ist, entstehen bei der Bestimmung der Lage der Hauptachsen leicht Fehler. Bei Betrachtung der Zuordnung von  y ,  yx und  x ,  xy sind vier Kombinationen möglich. Mithilfe der Quadrantenregel (Abb. 3.1) kann man sehr schnell die Lage des Punktes A auf dem Mohr’schen Spannungskreis und die Richtung der maximalen und minimalen Hauptachse bestimmen. Wenn Normalspannungen und Tangentialspannungen in einem Bauteil gleichzeitig vorhanden sind, muss für den Spannungsnachweis eine Vergleichsspannung ermittelt werden. Im Folgenden werden die Vergleichsspannungsformeln für den im Maschinenbau häufigen Fall angegeben, dass in einem Bauteil Biegespannungen und Torsionsspannungen auftreten. Je nach Werkstoffeigenschaften werden drei Hypothesen für die Ermittlung der Vergleichsspannung unterschieden.

3

Zusammengesetzte Beanspruchungen

57

1. Vergleichsspannung nach der Hypothese der größten Normalspannung (NH): max

y C x D C 2

r y  x 2 2 D  C yx v zul 2

(3.24)

Für den Fall, dass nur Biegung und Torsion auftreten folgt: v D

  q 1 b C b2 C 4t2  zul 2

(3.25)

Die Hypothese der größten Normalspannung liefert eine brauchbare und gute Übereinstimmung zwischen Versuch und Berechnung bei (überwiegend ruhender) Beanspruchung von Werkstoffen, welche mit Trennbruch ohne Fließen versagen  spröde Werkstoffe (Grauguss, martensitische Stähle, Schweißnähte)  spröde oder zähe Werkstoffe bei stoßartiger Beanspruchung  duktile Werkstoffe infolge Versprödung bei tiefen Temperaturen. 2. Vergleichsspannung nach der Hypothese der größten Schubspannung (SH): zul

r y  x 2 2  v D 2  C yx 2

(3.26)

Bei Biegung und Torsion gilt: v D

q

b2 C 4t2  zul

(3.29)

Die Hypothese der größten Schubspannung liefert eine brauchbare Übereinstimmung zwischen Versuch und Berechnung bei (überwiegend ruhender) Beanspruchung von zähen (duktilen) Werkstoffen mit ausgeprägter Streckgrenze (großer plastischer Verformbarkeit), welche durch Fließen (Gleitbruch) versagen sowie auch spröde Werkstoffe unter Druckbeanspruchung. Im Vergleich zur Gestaltänderungsenergiehypothese (GEH) kommen etwas größere Werte und damit eine etwas größere Sicherheit heraus. 3. Vergleichsspannung nach der Hypothese der größten Gestaltänderungsenergie (GEH): q (3.30) v D b2 C 3t2  zul Die Hypothese der größten Gestaltänderungsenergie liefert eine gute Übereinstimmung zwischen Versuch und Berechnung bei (überwiegend ruhender) Beanspruchung von duktilen Werkstoffen ohne ausgeprägte Fließgrenze (z. B. Tiefziehstähle: hohes Verformungsvermögen ohne ausgeprägte Streckgrenze: DC 06; DC 10) sowie insbesondere bei dynamischer Beanspruchung.

58

3

NH

duktil zäh

Werkstoff

spröde

Abb. 3.2 Anwendungsbereich der Vergleichsspannungshypothesen

Zusammengesetzte Beanspruchungen

GEH SH ruhend

dynamisch

stoßartig

Beanspruchung

Aus Abb. 3.2 ist der Anwendungsbereich der Vergleichsspannungshypothesen in Abhängigkeit von der Werkstoffart und der Beanspruchung ersichtlich. Wenn Normalspannungen und Tangentialspannungen nicht im gleichen Belastungsfall nach BACH (statisch, schwellend oder wechselnd; siehe [1], S. 185) auftreten, wird dies durch das Anstrengungsverhältnis ˛ 0 berücksichtigt:   q 1 2 2 v D (3.32)  C  C 4 .˛0 /  zul für NH 2 q v D  2 C 4 .˛0 /2  zul für SH (3.33) q (3.34) v D  2 C 3 .˛0 /2  zul für GEH Oft sind bei der Berechnung von Wellen statt Drehmomenten zu übertragende Leistungen sowie Drehzahlen gegeben. Die Umrechnung ist mit folgender Beziehung möglich: P DT ! mit P D Leistung, ! D Drehwinkelgeschwindigkeit, wobei gilt ! D .2  n/=60 mit n D Drehzahl in min1 . Für die nachfolgenden Beanspruchungskombinationen wird folgende Empfehlung zur Anwendung der Vergleichsspannungshypothesen gegeben:  Biegung und Torsion In Wellen tritt diese Beanspruchung vorwiegend auf, wobei durch die Biegung Normalspannungen und durch die Torsion Torsionsspannungen hervorgerufen werden. Die Vergleichsspannung wird nach der Gestaltänderungsenergiehypothese ermittelt, da Wellen oftmals aus zähem Stahl sind.

3

Zusammengesetzte Beanspruchungen

59

Einzelspannungen

Vz,d

Vb

Ws

Wt

treten

Vund W

nein

gemeinsam auf? ja nein

resultierende Spannung Werkstoff duktil (zäh)?

Vres

Wres

Vres Vz,d + Vb Wres Ws + Wt

ja SH/ ja GEH

Vergleichsspannung VV (NH)

Vergleichsspannung VV (SH)

Vergleichsspannung VV (GEH)

Abb. 3.3 Ablaufschema resultierende Spannung/Vergleichsspannungshypothesen

 Biegung und Schub In Balken/Trägern tritt diese Beanspruchung vorwiegend auf, indem durch Biegemomente Normalspannungen und durch die Querkräfte Schubspannungen hervorgerufen werden. Bei geschweißten Trägern können durch die Spannungen verformungslose Schweißrisse entstehen. Zur Ermittlung der Vergleichsspannung in Schweißnähten wird die Normalspannungshypothese angewendet. Bei Trägern, die auf Werkstoffen mit ausgeprägter Streckgrenze basieren, wird die Schubspannungshypothese herangezogen.  Torsion und Zug Diese Beanspruchung tritt in Schrauben und Spindeln auf. Sie erfolgt aus der durch das Anzugsmoment hervorgerufenen Torsionsspannung und der durch die Längskraft verursachten Zugspannung. Da Schrauben und Spindeln aus zähem Stahl sind, wird zur Ermittlung der Vergleichsspannung die Gestaltänderungsenergiehypothese angewendet.  Behälter und Rohre unter Außen- und Innendruck Zylindrische Behälter und Rohre werden durch axiale, radiale und tangentiale Spannungen beansprucht. Da für Behälter-/Rohrmaterialen zähe Werkstoffe zum Einsatz

zul zul

Anwendung

'D

Anstrengungsverhältnis ˛ 0 Grenz ˛0 D ' Grenz

Biegung und Torsion

ε

Re

Rm

Rm Bruch

σ

Bruch

ε

Überwiegend ruhende Beanspruchung, duktile (zähe) Werkstoffe mit ausgeprägter Streckgrenze Re

2

Schubspannungshypothese SH q 2   v D .y  x /2 C 4yx zul q v D b2 C 4t2  zul q v D b2 C 4.˛0 t /2  zul

Rm

σ

Bruch

ε

Überwiegend ruhende Beanspruchung, duktile (zähe) Werkstoffe mit nicht ausgeprägter Streckgrenze Re sowie bei dynamischer Beanspruchung

p 3  1;73

Gestaltänderungsenergiehypothese GEH q 2  v D x2 C y2  x y C 3yx zul q v D b2 C 3t2  zul q v D b2 C 3.˛0 t /2  zul

3

σ

Überwiegend ruhende Beanspruchung, spröde Werkstoffe (Grauguss, Stein, Glas) und bei Schweißnähten

1

Normalspannungshypothese NH q y Cx y x 2 2   v D 2 C C yx zul 2   q 1 v D 2 b C b2 C 4t2  zul   q v D 12 b C b2 C 4.˛0 t /2  zul

Tab. 3.1 Vergleichsspannungshypothesen

60 Zusammengesetzte Beanspruchungen

3.1 Aufgaben zu zusammengesetzten Beanspruchungen

61

kommen, werden die Vergleichsspannungen nach der Schubspannungs- oder der Gestaltänderungsenergiehypothese ermittelt. In Tab. 3.1 sind die drei Vergleichsspannungshypothesen gegenübergestellt.

3.1 Aufgaben zu zusammengesetzten Beanspruchungen Aufgabe 3.1 (*) Eine Autobahn-Wegweisertafel ist über zwei Halterungen an einem Mast aus Quadratrohr 200 × 200 × 5-S235 befestigt. Der Mast ist am unteren Ende einbetoniert. Zu ermitteln ist die größte Spannung im Mast aufgrund der mittig auf der Wegweisertafel angreifenden Windlast F Wind D 6 kN. Vereinfachend kann davon ausgegangen werden, dass die Belastungen je zur Hälfte durch die beiden Halterungen auf den Mast übertragen werden.

Abb. 3.4 Autobahn-Wegweisertafel unter Windlast

62

3

Zusammengesetzte Beanspruchungen

Abb. 3.5 Abgewinkeltes Rohr mit Streckenlast und Einzelkraft

Aufgabe 3.2 (*) Ein abgewinkeltes Rohr 323,9 × 5,0 wird entsprechend Abb. 3.5 mit einer Streckenlast und einer Einzelkraft belastet. Berechnen Sie die maximal auftretende Spannung. Gegeben: F D 10 kN, q D 1 kN/m; l D 5 m Aufgabe 3.3 (*) Die Hinterachswelle aus C40E eines Quad (vierrädriges, einsitziges offenes Freizeitfahrzeug) wird durch ein Torsionsmoment T D 450 Nm und eine in der Radmittelebene angreifende Radlast F R D 1800 N belastet. Die durchgehende Hinterachswelle besitzt kein Differenzialgetriebe. Sie ist mittig in zwei Rillenkugellagern gelagert, die eine feste Einspannung für das Biegemoment darstellen. In Abb. 3.6 ist nur eine Achshälfte dargestellt. Das Torsionsmoment T wird mittig über ein Kettenrad (Antreiben) bzw. eine Bremsscheibe (Bremsen) eingeleitet. Die Achswelle besitzt am Wälzlager eine Nut für einen Wellensicherungsring DIN 471 (siehe Abb. 3.6). Führen Sie einen Sicherheitsnachweis gegen Fließen mit SFmin D 1,8.

Abb. 3.6 (Halbe) Antriebswelle eines Quad

3.1 Aufgaben zu zusammengesetzten Beanspruchungen

63

Abb. 3.7 Kranhaken

Aufgabe 3.4 (*) Mit dem in Abb. 3.7 gezeigten Kranhaken wird eine Last von F D 80 kN angehoben. Zu ermitteln ist die Beanspruchung im schraffierten ellipsenförmigen Querschnitt. Aufgabe 3.5 (***) Für das in Abb. 3.8 dargestellte Bauteil aus Vollmaterial sind die Normalspannungen in den Schnitten C–C, D–D und E–E zu ermitteln und grafisch darzustellen. Die Schnitte sol-

Abb. 3.8 Durch Einzelkraft belastetes T-förmiges Bauteil

64

3

Zusammengesetzte Beanspruchungen

Abb. 3.9 Schiffspropeller

len unmittelbar am Verbindungspunkt zwischen senkrechtem und waagerechtem Balken liegen. Gegeben: F, A, W b , l Aufgabe 3.6 (**) Für den in Abb. 3.9 skizzierten Schiffspropeller soll der notwendige Durchmesser d der Welle aus E335 ermittelt werden („glatten“ Wert wählen!). Auf der Länge l D 12 m darf der Verdrehwinkel nicht größer als ' max D 6° werden. Der Propeller erzeugt bei einem Drehmoment von T D 350.000 Nm eine Schubkraft F D 1.200.000 N. Zu ermitteln ist die Sicherheit gegen unzulässige Verformung. Ist die Welle knicksicher (l1 D 10 m)?

Abb. 3.10 Schlüssel für Innensechskantschraube

3.1 Aufgaben zu zusammengesetzten Beanspruchungen

65

Abb. 3.11 Angeschweißtes Quadratrohr

Aufgabe 3.7 (**) Eine Innensechskantschraube M8–8.8 wird mit einem entsprechenden Schlüssel (Abb. 3.10) der Schlüsselweite s D 6 mm mit einer Kraft F D 100 N angezogen. Ermitteln Sie die Spannung im Schlüsselwerkstoff direkt oberhalb des Schraubenkopfes. Wie groß ist die Sicherheit gegen Fließen für den Werkstoff 42CrMo4 mit  bF  1000 N/mm2 ? Aufgabe 3.8 (**) Ein Quadratrohr 100 × 100 × 4,0-DIN EN-102102 ist mit einer Kehlnaht der Dicke a D 4 mm an einer senkrechten Platte angeschweißt, siehe Abb. 3.11. Zu ermitteln sind die Spannungen in Bauteil und Schweißnaht. Hinweis: Die Wurzellinie der Schweißnaht fällt mit der Außenkontur des Quadratrohrs zusammen; d. h. die Schweißnaht liegt mit der halben Dicke im Bauteil, mit der anderen Hälfte außerhalb (siehe Skizze der Schweißnahtfläche in Abb. 3.11). Gegeben: F D 1500 N; T D 1,2 kNm; l D 1200 mm Aufgabe 3.9 (**) Ein Hebel aus Flachstahl ist mit zwei Kehlnähten auf ein Rohr aufgeschweißt. Das Rohr selbst ist linksseitig über eine Kehlnaht mit einer Platte verbunden, Abb. 3.12. Rohr und Hebel bestehen aus Stahl. a) Wie groß darf der Innendurchmesser di des Rohres maximal sein, wenn die Gestaltänderungsenergiehypothese zugrunde gelegt wird? b) Wie groß ist die Schubspannung aufgrund des Torsionsmomentes in den Schweißnähten am Hebel? c) Wie groß ist die Spannung in der Schweißnaht an der Platte?

66

3

Zusammengesetzte Beanspruchungen

Abb. 3.12 Geschweißter Hebel

Hinweis: Die Schweißnähte (Kehlnähte) liegen mit ihrer Nahtwurzel auf der Außenkontur des Rohres. Die Schweißnahtfläche (hier Kreisringfläche) wird je mit der halben Dicke außerhalb bzw. innerhalb des angeschweißten Bauteils angenommen. Gegeben: b D 150 mm; c D 400 mm; da D 30 mm; F D 300 N;  zul D 150 N/mm2 Aufgabe 3.10 (***) Die Radsatzwelle (Abb. 3.13) aus E335 eines Eisenbahnwagens wird an den Radlagern mit je einer senkrechten Kraft F D 100 kN aus dem Gewicht des Wagens belastet. Bei langsamer Fahrt durch einen engen Gleisbogen greift am Spurkranz des linken Rades eine waagerechte Kraft F y D 20 kN an. An der mittigen Bremsscheibe wirkt ein Bremsmoment T D 30 kNm, das sich auf beide Räder je zur Hälfte verteilen soll.

Abb. 3.13 Eisenbahnradsatz mit äußeren Kräften und Bremsmoment

3.1 Aufgaben zu zusammengesetzten Beanspruchungen

67

Gegeben: b D 2000 mm; s D 1500 mm; r D 500 mm; d D 150 mm;  zul D 150 N/mm2 Zu ermitteln sind a) der Biegemomentenverlauf, b) die größte Biegespannung und die größte Torsionsspannung an der Radsatzwelle, c) die größte auftretende Vergleichsspannung. Wird die zulässige Spannung eingehalten? Aufgabe 3.11 (**) Ein Elektromotor mit einer Abgabeleistung P D 20 kW treibt das Ritzel eines Zahnradgetriebes mit einer Drehzahl n D 120 min1 an, Abb. 3.14. Das Großrad ist auf der Welle fliegend gelagert und hat eine Gewichtskraft von F G D 2,5 kN. Die Radialkraft am Zahneingriff beträgt ein Drittel der Umfangskraft (F r D F u / 3). Der Durchmesser der Welle am Großrad ist nach der Gestaltänderungsenergiehypothese für ein Anstrengungsverhältnis ˛ 0 D 0,7 zu bestimmen. Gegeben: D1 D 200 mm; D2 D 750 mm; l D 350 mm;  zul D 120 N/mm2 Aufgabe 3.12 (*) Eine Konsole aus Flachstahl (Länge l, Breite b, Höhe h) wird entsprechend Abb. 3.15 durch eine Kraft F belastet. In der Konsole treten dadurch Normalspannungen infolge Biegung und Schubspannungen infolge Querkraft auf.

Abb. 3.14 Zahnradgetriebe

68

3

Zusammengesetzte Beanspruchungen

Abb. 3.15 Konsole

a) Wie groß sind die Normal- und die Schubspannungen an den gekennzeichneten Elementen 1 und 2 an der Einspannstelle (1 z D 0; 2 z D h / 2)? b) Skizzieren Sie qualitativ den jeweils zugehörigen M OHR’schen Spannungskreis für das Element 1 und das Element 2. Aufgabe 3.13 (*) Zu berechnen sind für die folgenden ebenen Spannungszustände die Hauptspannungen und deren Hauptrichtungen. Die Ergebnisse sind im M OHR’schen Spannungskreis darzustellen. a)  x D 100 N/mm2 ;  y D 150 N/mm2 ;  yx D 60 N/mm2 b)  x D 120 N/mm2 ;  y D 280 N/mm2 ;  yx D 150 N/mm2 Aufgabe 3.14 (**) Ein dünnwandiges Rohr (Abb. 3.16) wird durch ein Biegemoment, ein Torsionsmoment sowie durch Innendruck belastet. In den Punkten A und B wurden folgende Spannungen gemessen: Punkt A:  x D 25 N/mm2 ;  ' D 50 N/mm2 ;  'x D 50 N/mm2 Punkt B:  x D 25 N/mm2 ;  ' D 50 N/mm2 ;  'x D 50 N/mm2 In den Punkten A und B liegt in guter Näherung ein ebener Spannungszustand vor, da das Bauteil dünnwandig ist. Zu bestimmen sind für beide Punkte die Hauptspannungen, die Hauptrichtungen und die maximale Schubspannung. Aufgabe 3.15 (***) Gegeben sei die Antriebswelle (Abb. 3.17) mit d D 10 mm aus 42CrMo4 einer Handkreissäge. Rechts befindet sich das Sägeblatt. Auf der linken Seite ist als Antrieb eine Riemenscheibe montiert.

3.1 Aufgaben zu zusammengesetzten Beanspruchungen

69

Abb. 3.16 Dünnwandiges Rohr mit ebenem Spannungszustand

Abb. 3.17 Kreissägewelle

Antriebsleistung

P

D 1800 W

Antriebsdrehzahl Axialkraft Radialkraft Vorspannkraft

nA Fa Fr Fv

D 1100 min1 D 50 N D 75 N D 700 N

Wellendurchmesser d

D

10 mm

Durchmesser Riemenscheibe Durchmesser Sägeblatt Abstand Sägeblatt – Lager Abstand Lager – Lager Abstand Lager – Riemenscheibe Wellenwerkstoff

DR D 150 mm DS l1 l2 l3

D D D D

315 mm 25 mm 100 mm 50 mm

42CrMo4

a) Ermitteln Sie die Beanspruchungsverläufe der auftretenden Belastungen. b) Führen Sie für die am höchsten beanspruchte Stelle einen Festigkeitsnachweis (Sicherheit Serf D 2) durch. c) Alternativ soll untersucht werden, ob eine Welle aus S235 kostengünstiger ist. Dazu sind folgende Daten gegeben: Kosten Halbzeug 42CrMo4: k1 D 3,80 C/kg; Kosten S235: k2 D 1,20 C/kg

70

3

Zusammengesetzte Beanspruchungen

Abb. 3.18 Getriebewelle

Aufgabe 3.16 (**) Eine schrägverzahnte Kegelgetriebewelle (Abb. 3.18) erfährt durch den Antrieb Radial-, Axial- und Umfangskräfte. Ermitteln Sie für den Querschnitt A: a) die größte resultierende Normalspannung, b) die Vergleichsspannung  v nach der GEH mit dem Anstrengungsverhältnis ˛ o D 1 und c) die Sicherheit gegen Fließen bei Verwendung von 38Cr2. Gegeben: Axialkraft F a D 3,6 kN; Radialkraft F r D 3,6 kN; Umfangskraft F u D 10 kN; l D 40 mm; d D 50 mm; d0 D 140 mm Aufgabe. 3.17 (*) Aus nostalgischen Gründen besitzt ein Motorrad einen Kickstarter (Abb. 3.19) statt eines Anlassers. Beim Anlassen beträgt die senkrecht angreifende Kraft F D 2500 N. Die Kickstarterwelle ist aus 34Cr4 gefertigt. Berechnen Sie den Durchmesser der Kickstarterwelle mit einer Sicherheit gegen Fließen von SF min D 1,5. Die Hebellänge des Kickstarters beträgt l1 D 295 mm. Der Kraftangriffspunkt liegt axial l2 D 120 mm entfernt.

Abb. 3.19 Kickstarter

3.1 Aufgaben zu zusammengesetzten Beanspruchungen

71

Querschnitt A (H-Profil)

Abb. 3.20 Schraubzwinge

Aufgabe 3.18 (**) Eine Schraubzwinge (Abb. 3.20) aus C40E spannt zwischen den Armen ein Werkstück. Mit einer angenommenen Umfangskraft von F u D 500 N soll folgendes berechnet werden: a) b) c) d)

Axiale Spannkraft, Widerstandsmoment, Vergleichsspannung  v in Querschnitt A, Sicherheit gegen Fließen.

Abmessungen der Schraubzwinge: Steigungswinkel des Gewinde ˛ D 20°; Reibwinkel  D 6°; Querschnitt A der beiden Schenkel als H-Profil: B D 10 mm; H D 30 mm; s D 3 mm; l2 D 200 mm; ˛ o D 1. Aufgabe 3.19 (**) Am Handbremshebel (Abb. 3.21) eines Fahrrades kann eine Person eine Kraft F D 150 N aufbringen. Er besteht aus EN AC-AlCu4MgTi. Skizzieren Sie qualitativ den Biegemomentenverlauf beider Hebelarme A und B bis zu den Querschnitten C und D. Beide Hebelarme haben eine Dicke von d D 10 mm; die Breiten der Hebelarme sind: bA D 8 mm; bB D 12 mm. Längen: l1 D 75,5 mm; l2 D 27,5 mm; Abständen der Schnitte C und D: l3 D 75 mm; l4 D 23 mm. Sind die Sicherheiten gegen Fließen von SF min D 1,5 in den Querschnitten C und D ausreichend? Aufgabe 3.20 (*) Beim Einsatz eines Küchenhandmixers (Abb. 3.22), Einsätze aus S275JR, treten bei Zubereitung eines Kuchenteiges folgende Kräfte auf: Axialkraft F a D 25 N; Radialkraft F r D 15 N und Umfangskraft F u D 30 N. Weitere Abmessungen: l D 120 mm; d D 8 mm; d0 D 50 mm. Bestimmen Sie die Vergleichsspannung  v nach der GEH mit einem Anstrengungsverhältnis ˛ o D 0,7. Wie groß ist die Sicherheit gegen Fließen?

72

3

Zusammengesetzte Beanspruchungen

Abb. 3.21 Handbremshebel

Aufgabe. 3.21 (**) An einer Monitorhalterung (Abb. 3.23) kann eine Masse von mmax D 35 kg angehängt werden. Bestimmen Sie für die Winkel ˛ D 0 und 90° die Vergleichsspannungen nach der GEH. Die Längen der einzelnen Teile sind: l1 D 300 mm; l2 D 200 mm; l3 D 100 mm. Alle Teile bestehen aus Rundrohr S235 JR mit den Abmessungen: D D 30 mm; s D 2 mm. Wie groß ist die Sicherheit gegen Fließen? Ist unter allen Umständen eine Sicherheit von SF min D 1,5 gewährleistet? Wenn nicht, welches Material müssten Sie dann wählen? Alternativ soll untersucht werden, ob eine Ausführung mit einem Rechteckrohr kostengünstiger ist. Falls dies der Fall ist, wie groß ist dann die prozentuale Ersparnis und wie groß wäre der Gewinn, wenn eine Stückzahl von n D 25.000 Stück gefertigt werden würde? Wie groß sind die Kosten K Gesamt dann auf jeden Fall? Folgende Daten für das Rechteckrohr sind gegeben: B D 20 mm; H D 30 mm; s D 3 mm. Kosten S235JR: k1 D 1,20 C/kg; Kosten S275JR: k2 D 1,30 C/kg; Kosten S335JR: k3 D 1,40 C/kg

Abb. 3.22 Handmixereinsatz

3.1 Aufgaben zu zusammengesetzten Beanspruchungen

73

Abb. 3.23 Monitorhalterung

Aufgabe 3.22 (***) Zur Herstellung von Kunststoffteilen soll eine vorhandene Extruderschnecke (Abb. 3.24) aus 34Cr4 verwendet werden. Dazu muss geprüft werden, ob sie den Belastungen standhält. Die Extruderschnecke wird durch den Herstellprozess einem radialen Druck von p1 D 50 bar ausgesetzt. Der axiale Druck ergibt sich zu p2 D 250 bar. Der Reibwert

kann mit 0,23 angenommen werden. Die Abmessungen der Extruderschnecke sind: d1 D 120 mm; d2 D 80 mm; l D 800 mm. Als Vereinfachung darf angenommen werden, das der radiale Druck auf einem mittleren Durchmesser gleichmäßig über die Länge angreift. Wegen des Temperatureinflusses soll eine Sicherheit gegen Fließen von SF min D 2,5 eingehalten werden. Kann die vorhandene Extruderschnecke verwendet werden oder muss sie aus einem anderen Material hergestellt werden? Aufgabe 3.23 (***) Für die Zerkleinerung von Gestein wird ein Walzenbrecher mit Pyramidenspitzen (Abb. 3.25) eingesetzt. Zur Einstellung der Korngröße können die beiden Walzen achsparallel verfahren werden. Der Fußdurchmesser der Walzen beträgt d D 330 mm bei einer Walzenlänge von l D 600 mm. Für den Durchmesser des Kraftangriffs können Sie mit d0 D 355 mm rechnen. Die Belastung ergibt sich zu qu D 10 kN/mm und qr D 2 / 3 von qu . SF min D 1,5 muss eingehalten werden. Annahme einer Axialkraft von 300 kN wegen der ungleichmäßigen Belastung. Um die Größe des zu zerkleinernden Gesteins zu erwei-

Abb. 3.24 Extruderschnecke. (https://commons.wikimedia.org/wiki/File:3Zoneneschnecke.jpg; aufgerufen am 12.10.2015; Foto: Ban19)

74

3

Zusammengesetzte Beanspruchungen

Abb. 3.25 Walzenbrecher mit Pyramidenspitzen (nur eine Walze dargestellt). (https:// upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/0/0b/Einlauf_Klumpenbrecher.JPG; aufgerufen am 12.10.2015; Foto: Magnus Manske)

tern, kann eine kleinere Walze mit einem Durchmesser d D 290 mm (Kraftangriffspunkt d0 D 315 mm) bei sonst gleichen Abmessungen, Belastungen und Material verwendet werden. Welcher der folgenden Werkstoffe kann die Anforderungen an die Walzen erfüllen? Die Berechnungen ergeben sich nach der GEH mit ˛ o D 1. Berechnen Sie die Vergleichsspannungen, die tatsächlichen Sicherheiten und die Kosten der Walzenpaare für die gewählten Werkstoffe. Falls beide Werkstoffe den Anforderungen standhalten, wie groß wäre dann eine prozentuale Ersparnis? Als Materialien stehen C40E oder 46Cr2 zur Verfügung. Die Kosten betragen für C40E: k1 D 3,30 C/kg; für 46Cr2: k2 D 4,10 C/kg. Aufgabe 3.24 (*) Ein Leistungsprüfstand für Pkw besteht aus zwei Scheitelrollen (Abb. 3.26) (die antreibenden Räder stehen dabei direkt oben auf der Scheitelrolle). Das Fahrzeug wird nach vorn und hinten so abgespannt, dass die Position der Räder stabil bleibt. Der Leistungsprüfstand ist für eine Achslast von F D 50 kN sowie einer max. Abtriebsleistung von P D 100 kW bei einer Drehzahl n D 8000 min1 je Scheitelrolle ausgelegt. Die Welle der Scheitelrollen bestehen aus E335; die Scheitelrolle hat einen Außendurchmesser von d0 D 400 mm (Rohrprofil). Der Abtrieb zur Bremseinheit ist seitlich jeder Scheitelrolle über die Wel-

3.1 Aufgaben zu zusammengesetzten Beanspruchungen

75

Abb. 3.26 Antriebsrolle eines Leistungsprüfstands

le gewährleistet. Bestimmen Sie den Durchmesser d der Welle bei einer zul. Spannung  zul D 100 N/mm2 nach der GEH. Vernachlässigen Sie dabei den geringen Einfluss des Querkraftschubes. Das Rohr der Antriebsrolle ist am Ende mit einer Scheibe und der Welle verschweißt. Die Scheitelrollen haben eine Länge l2 D 1600 bei einem Lagerabstand l1 D 2000 mm. Aufgabe 3.25 (**) Gegeben ist ein Schlegelmäher (Abb. 3.27) mit einem Mähwerk aus insgesamt 48 Einzelmessern. Diese sind in vier Reihen à zwölf Messer am Umfang eines Stahlrohres angeordnet. Im Schnitt sind somit zwölf Messer im Eingriff. Rechnen Sie dabei mit einer gleichmäßigen Belastung über die Länge l2 D 1300 mm der Messerreihen. Das Stahlrohr hat einen Außendurchmesser von da D 100 mm, einen Innendurchmesser von di D 90 mm und besteht aus 34CrMo4. Die zulässige Spannung  zul beträgt 180 N/mm2 . Durch die Konstruktion der Messer ist der Kraftangriffspunkt am Umfang bei einem Durchmesser D0 D 300 mm gegeben. Der Abstand der Lagerpunkte beträgt l1 D 1500 mm. Da der Ort der max. Vergleichsspannung nicht direkt berechnet werden kann, rechnen Sie die Belas-

Abb. 3.27 Schlegelmäher

76

3

Zusammengesetzte Beanspruchungen

Abb. 3.28 Tretlagerwelle

tungen für die Mitte des Schlegelmähers aus. Gehen Sie davon aus, dass immer nur eine Messerreihe im Eingriff ist. Folgende Kräfte für eine Messerreihe sind gegeben: Radialkraft F r D 6 kN; Umfangskraft F u D 24 kN; Axialkraft F a D 4 kN. a) Berechnen Sie die Streckenlast in radialer Richtung sowie in Umfangsrichtung. b) Skizzieren Sie qualitativ den Verlauf der resultierenden Querkräfte und der resultierenden Momente (Biegung und Torsion) am Stahlrohr. c) Berechnen Sie die vorhandene Spannung; ist das Bauteil sicher? Aufgabe 3.26 (*) Die Tretlagerwelle (Abb. 3.28) eines Fahrrades soll überprüft werden. Gegeben: F D 2000 N; Material: C50E; d D 25 mm; SF min D 1,5; l1 D 170 mm; l2 D 90 mm. Bestimmen Sie die vorhandene Sicherheit. Aufgabe 3.27 (*) In einer Schlagbohrmaschine (Abb. 3.29) ist ein Steinbohrer mit l1 D 500 mm eingespannt. Der Abstand zur Lagerstelle, an der die Spannung berechnet werden soll, beträgt l2 D 100 mm. Die Kraft des Bedieners erfolgt aufgrund der Geometrie der Schlagbohrmaschine außermittig. Dadurch ergibt sich zusätzlich eine Querkraft. Kräfte sind: F a D 1000 N; F r D 160 N; P D 750 W bei n D 2000 min1 ; d D 15 mm. Das Material der Spindel besteht aus C40E. Wie groß ist die vorhandene Spannung, wenn die Bohrmaschine zum Stillstand (n D 0 min1 ) kommt? Aufgabe 3.28 (***) Auf einer Triebwerkswelle befindet sich mittig ein Exzenter zum Antrieb einer Kesselspeisepumpe (Abb. 3.30). Lagerabstand l D 400 mm; Pumpenkolbendurchmesser

3.1 Aufgaben zu zusammengesetzten Beanspruchungen

Abb. 3.29 Schlagbohrmaschine

Abb. 3.30 Kesselspeisepumpe

77

78

3

Zusammengesetzte Beanspruchungen

Abb. 3.31 Drehmaschinenspindel

DK D 90 mm; Wasserdruck pW D 16 bar. Kolbenhub hK D 200 mm;  zul D 40 N/mm2 ;  zul D 32 N/mm2 . Berechnen Sie: a) die Stangenkraft D Kolbenkraft; Reibung mit 16 % Zuschlag, b) das erforderliche Antriebsmoment mit einem Exzenterwirkungsgrad D 0,7, c) den Wellendurchmesser d. Aufgabe 3.29 (*) Auf der Planscheibe einer Drehmaschine ist ein Werkstück (Buchse) aufgespannt (Abb. 3.31). Der Lagerzapfen aus 42CrMo4 hat einen Durchmesser d D 100 mm. Der Abstand des Lagerzapfens bis zur Einspannung des Werkstückes beträgt l1 D 180 mm; die max. Werkstücklänge lW D 1000 mm. Der Werkstückdurchmesser kann Dmax D 800 mm nicht überschreiten. Die max. angreifende Spankraft unter 45° darf F S D 6 kN nicht überschreiten. Eine Axialkraft von F a D 2 kN darf ebenfalls auftreten. Berechnen Sie die vorhanden Spannungen  b ,  N und  und berechnen Sie die Vergleichsspannung  V nach der GEH mit ˛ o D 0,7. Aufgabe 3.30 (***) Ein Kragarm liegt in zwei Profilvarianten (Abb. 3.32) vor (Rechteckrohr und Rundrohr). Für jede Profilvariante stehen vier alternative Materialien zur Auswahl: S235JR, E335, 38Cr2 und MgAl8Zn F31 (Dichte MgAl8Zn F31 mit 1,8 kg/dm3 und Stahlsorten

3.1 Aufgaben zu zusammengesetzten Beanspruchungen

79

Abb. 3.32 Kragarm mit zwei verschiedenen Profilvarianten

mit 7,86 kg/dm3 ). Am Ende des in der Wand festgelegten Kragarmes greift eine Kraft F D 21 kN an. Die Kragarmlänge beträgt: l1 D 350 mm. Es soll immer eine Sicherheit gegen Fließen von SF min D 1,5 eingehalten werden. Bestimmen Sie für die von Ihnen gewählten Profile die Kosten aller Varianten für ein Stück und berechnen Sie die prozentuale Verteuerung zur günstigsten Variante. Um den Aufwand der umfangreichen Berechnung nicht ausufern zu lassen, beschränken Sie sich dabei auf folgende Rechteckprofile: a) b) c) d) e)

B1 D 50 mm bei H 1 D 100 mm, B2 D 60 mm bei H 2 D 100 mm, B3 D 60 mm bei H 3 D 120 mm, B4 D 80 mm bei H 4 D 120 mm, B5 D 80 mm bei H 5 D 140 mm

sowie folgende Rundprofile: f) g) h) i)

dA1 D 88,9 mm, dA2 D 101,6 mm, dA3 D 114,3 mm, dA4 D 139,7 mm.

aus den Tabellen ([2], TB 1-13). Folgende Kosten sind gegeben: S235: k1 D 1,20 C/kg;

E335: k2 D 1,80 C/kg;

38Cr2: k3 D 2,60 C/kg;

MgAl8Zn F31: k4 D 4,80 C/kg

4

Durchbiegung

Die Vorgehensweise bei der Lösung von Aufgaben zur Durchbiegung zeigt die Abb. 4.1. Im Folgenden werden die notwendigen Gleichungen aus dem Lehrbuch [1] für dieses Kapitel aufgeführt. Mb .x/ (4.2) ) w 00 D  EI Z (4.3) Fq D  q  dx Z Mb D Z 'D Z wD

Fq  dx

(4.4)

Mb dx E I

(4.5)

'  dx

(4.6)

Außerdem benötigt man oft Werte für Biegelinie, Durchsenkung und Tangentenneigung für bestimmte Belastungs- und Lagerungsfälle aus Tab. 4.1.

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2020 K.-D. Arndt et al., Klausurentrainer zur Festigkeitslehre für Wirtschaftsingenieure, https://doi.org/10.1007/978-3-658-28902-7_4

81

4

3

2

1

A

A

A

A

q0

x

x

x

x

Belastungsfall

l

l

l

l

w

B

x1

q x1

w

φmax

M

F

wmax

q0 l 4 120EI q0 l 4 120EI

wD

ql 4 24EI

wD

wD

ql 4 24EI

wD

wD

h    3 i 2 3 xl  xl h    3 i 2  3 xl1 C xl1

h    3  4  5 i 2 10 xl  10 xl C 5 xl  xl h    5 i 4  5 xl1 C xl1

h    3  4 i 2 6 xl  4 xl C xl h    4 i 3  4 xl1 C xl1

M x2 2EI   2 x1 2 M l 2EI 1  l

F l 3 6EI

wD

wD

F l 3 6EI

wD

Gleichung der Biegelinie

'max D

wmax D

'max D

wmax D

q0 l 4 30EI q0 l 3 24EI

ql 4 8EI ql 3 6EI

2

l wmax D M 2EI M l 'max D EI

3

F l wmax D 3EI F l 2 'max D 2EI

Durchbiegungen w Neigung '

4

B φmax

w wmax

B φmax

wmax

B φ max

x1 w wmax

x1

Tab. 4.1 Biegelinien und Verformungen von Balken

82 Durchbiegung

8

7

6

5

A

A

A

A

a

x

φA

F

φA

x

l/2 φA

x

x

a

l

F

w

l

wmax

w1

φB

a

wmax

B

φB

B

B

B φ max

x1 b

φB

q0 w

F

F

wmax

l

l

x1

w wF

w

Belastungsfall

Tab. 4.1 (Fortsetzung)

F l 3 16EI  2l

q0 l 4 120EI

q0 l 4 120EI

 l

x h 1

  4 x 2 3 l

i



F 3alx  3a2 x  x 3 w D 6EI für 0  x  a

F w D 6EI 3alx  3ax 2  a3 für a  x  2l

   2   h    x 2 i F l 3 w D 6EI  al  bl  xl 1 C bl  ab für 0  x  a    x 2 i    2   h F l 3  bl  al  xl1 1 C al  ab1 w1 D 6EI für 0  x1  b

für x

wD

wD

wD

h    3  5 i 2 20 xl  10 xl + xl h    4  5 i 11  15 xl1 + 5 xl1  xl1

Gleichung der Biegelinie 11q0 l 4 120EI q0 l 3 8EI

3

 2  F a 3l  4a2 wmax D 24EI F a .l  a/ D 'B 'A D 2EI F a ' .a/ D 2EI .l  2a/

 2  2 F l 3 wF D 3EI  al  bl   1 'A D wF  2a 1 C bl   1 1 C al 'B D wF  2b

F l wF D wmax D 48EI F l 2 'A D 16EI D 'B

'max D

wmax D

Durchbiegungen w Neigung '

4 Durchbiegung 83

12

11

10

9

A

A

φA

A

MA

A

φA

φA

x l/2

x

x

wmax φA

x

l

φB

l/2

B

φB

wC

B

q

B

B

F

φF C

w1

a

φB

x1

φB

wmax

M φC

C

l

w

l

w wmax

w

l

Belastungsfall

Tab. 4.1 (Fortsetzung)

M l 2 24EI

MA l 2 3EI

wD

ql 4 24EI



  3 x 2 2 l C

l

h  x

l 2

2

l

 x 3

C

x h  2 i 1  4 xl l

l

h  x

für 0  x 

wD

wD

l

 x 4 i

  1 x 3 2 l

i

   h  2 i F l 3 w D 6EI  al  xl 1  xl für 0  x  l h      2 i    2a  F l 3 C 3 al  xl1  xl1  xl1 w1 D 6EI l für 0  x1  a

Gleichung der Biegelinie

'A D

5ql 4 384EI ql 3 24EI D

wmax D

'A D 'C D

'B

p 3 M l 2  EI 216 l p 2 3 M l 24EI D 'B M l 12EI

wmax D bei x D

2

MA l wmax D 9p 3EI bei x D 0;4426  l A l 'A D M D 2'B 3EI

Durchbiegungen w Neigung '  2   F l 3 wC D 3EI  al  1 C al F l 2  al D 12  'B 'A D 6EI    2 F l 'C D 6EI  al 2 C 3 al

84 4 Durchbiegung

14

13

C

A

a

A

φA

x

φA

l

l w

x

wmax w

Belastungsfall

Tab. 4.1 (Fortsetzung)

φB

B

x1

q

B

C x1

w1

a

φB

φC

q0

für: 0  x1  a

C6 l

 a 2

i         4 o 4  1  xl1  al C al  xl1

n h  2 i h 5  a 2 1  x 2 i o 1  4 xl  24  l  6 l

h    3  5 i 7 xl  10 xl C 3 xl h    4  5 i  3 8 xl1  20 xl1 C 15 xl1  3 xl1

ql 4 16EI für  2l  x  2l n h   3 ql 4 4 al w1 D 24EI

q0 l 4 360EI

wD

wD

q0 l 4 360EI

wD

Gleichung der Biegelinie

3

ql 4 16EI

h

5 24



 a 2 i l q 5 wmax D 0 wenn a D l  24 wC hD i  2  3 ql 3 a 6 al C 3 al  1 24EI wC D 0 wenn a D 0;3747l 'A D 'B h i  2 ql 3 6 al  1 'A D 24EI j'C j  D  q 4a3 C 6a2 l  l 3 24EI

wmax D

q0 l 'B D  45EI

4

q0 l wmax  153EI bei x  0;519  l 7q0 l 3 'A D 360EI

Durchbiegungen w Neigung '

4 Durchbiegung 85

86

4

Durchbiegung

Abb. 4.1 Vorgehensweise bei der Lösung von Aufgaben

4.1

Aufgaben zur Biegeverformung

Aufgabe 4.1 (**) Ein Heimwerker der Masse m D 80 kg baut ein provisorisches Gerüst aus zwei Böcken und einer flach darauf gelegten Leiter (zwei Holme, 14 Stufen), siehe Abb. 4.2. Gegeben: g D 10 m/s2

Abb. 4.2 Provisorisches Gerüst mit Leiter

4.1 Aufgaben zur Biegeverformung

87

Abb. 4.3 Biegeträger aus zwei I-Profilen mit Streckenlast

Die Leiterholme bestehen aus Rechteckrohr 50 × 30 × 2,6. Ein Kilogramm Rechteckrohr hat in Stahl Kosten von 3,20 C, in Aluminium 9,20 C. Vereinfachend ist davon auszugehen, dass die beiden Leiterholme das auftretende Biegemoment je zur Hälfte aufnehmen und die die Holme verbindenden Stufen unbelastet sind. a) Ermitteln Sie die Durchsenkung der Leiter in der Mitte, wenn die Holme aus Stahl und alternativ aus Aluminium bestehen. b) Wie hoch sind die maximalen Biegespannungen? c) Welche Masse haben die beiden Holme aus Stahl bzw. Aluminium? d) Wie hoch sind die Materialkosten für die Holme je nach Werkstoff? e) Legen Sie die Leiter in Aluminium so aus, dass die Durchsenkung etwa gleich der Stahlleiter ist. Wie hoch ist die Biegespannung, wie hoch sind die Masse und die Kosten? f) Vergleichen Sie Durchsenkung, Biegespannung, Gewicht und Kosten mit e), wenn die Stahlholme aus Rechteckrohr 65 × 30 × 1,5 hergestellt werden. Aufgabe 4.2 (*) Ein Biegeträger aus zwei hochkant neben einander gestellten I-Profilen DIN 1025S235JR-IPE400 (Abb. 4.3) soll sich unter Streckenlast q in der Mitte um nicht mehr als wmax D L / 300 durchbiegen. a) Welche Streckenlast ist dabei erlaubt? b) Wird die erforderliche Sicherheit gegen Fließen SF D 1,5 bei dieser Streckenlast eingehalten? Aufgabe 4.3 (***) Eine Hochwasserschutzwand besteht aus in den Boden einbetonierten IPB-Profilen aus S235 und Holzbohlen, Abb. 4.4 links. Die maximale Wasserhöhe bis zum oberen Rand beträgt h D 2 m. Aufgrund des Wasserdrucks ergibt sich eine dreieckförmige Streckenlast auf die senkrechten IPB-Profile, Abb. 4.4, rechts. Zu ermitteln sind

88

4

Durchbiegung

Abb. 4.4 Hochwasserschutzwand (links) und Streckenlast auf IPB-Profil (rechts)

a) die Gleichung der Biegelinie für die Profile, b) das Biegemoment an der Einspannstelle, c) ein geeignetes Profil IPB-DIN 1025-2 für eine zulässige Biegespannung  b zul D 150 N/mm2 , d) die seitliche Verschiebung (Durchsenkung) des Profils am oberen Ende. Gegeben: q0 D 40 N/mm Aufgabe 4.4 (**) Für den Balken (Abb. 4.5) mit der konstanten Biegesteifigkeit E  I ist die Verschiebung des Balkens im Punkt D zu ermitteln. Gegeben: q, E  I, l Aufgabe 4.5 (**) Für den abgesetzten Balken (Abb. 4.6) ist die Durchsenkung im Punkt A zu berechnen. Gegeben: F D 3 kN; a D 300 mm; b D 450 mm; E  I 1 D 140  109 Nmm2 ; E  I 2 D 420  109 Nmm2

4.1 Aufgaben zur Biegeverformung

89

Abb. 4.5 Einseitig eingespannter Biegebalken mit mittiger Streckenlast

Abb. 4.6 Abgesetzter Biegeträger unter Einzellast

Aufgabe 4.6 (*) Tiefladefahrzeuge werden wegen der erforderlichen Bodenfreiheit bei Beladung oft mit Vorsprengung gebaut (siehe Abb. 4.7), d. h. die unbelastete Ladeplattform besitzt eine Durchbiegung nach oben. Die abgewinkelten (gekröpften) Enden der Längsträger können als biegestarr angenommen werden, d. h. die elastische Verformung findet zwischen den Festpunkten A und B statt. Gegeben: E D 2,1  105 N/mm2 ; I D 12.700 cm4 ; l D 8 m

Abb. 4.7 Tiefladeanhänger mit Vorsprengung, schematisch

90

4

Durchbiegung

Abb. 4.8 Sprungbrett eines Schwimmbades

a) Berechnen Sie die notwendige Vorsprengung wvor , wenn die Ladefläche über die gesamte Länge mit einer Streckenlast q D 20 kN/m beladen wird und die Längsträger vereinfacht als in den Punkten A und B gelagert angesehen werden. b) Welche Einzellast dürfte maximal in Ladeflächenmitte wirken, wenn wvor aus Aufgabenteil a) nicht überschritten werden soll? Aufgabe 4.7 (*) Auf dem Sprungbrett eines Schwimmbades (Abb. 4.8) befindet sich im Punkt C eine Person mit der Gewichtskraft F. Ermitteln Sie: a) b) c) d)

die Tangente an die Biegelinie im Krafteinleitungspunkt C, die Durchsenkung am rechten Ende des Brettes im Punkt D, die Durchsenkung des Brettes in der Mitte zwischen den Auflagern A und B, die zusätzliche Durchsenkung im Punkt D, wenn sich aus dem Wasser heraus eine Person mit der Gewichtskraft F / 2 im Punkt D an das Brett hängt.

Gegeben: F, E  I, l, a, b Aufgabe 4.8 (*) Ein Bootsanhänger mit einer Zentraldeichsel der konstanten Biegesteifigkeit E  I wird wie in 4.9 dargestellt belastet. a) Berechnen Sie die Durchsenkung der Deichsel im Punkt A. b) Ermitteln Sie die Länge c für a D b D l / 2, wenn im Punkt A keine Durchsenkung der Deichsel auftreten soll.

4.1 Aufgaben zur Biegeverformung

91

Abb. 4.9 Bootsanhänger und zu berechnendes Ersatzsystem

Aufgabe 4.9 (***) Ein Träger ist gemäß Abb. 4.10 bei A fest eingespannt und bei B elastisch auf einer Feder mit der Federkonstante c gelagert. Im unverformten Zustand liegen A und B auf gleicher Höhe und die Feder ist spannungslos. Bestimmen Sie die Durchsenkung im Punkt B. Gegeben: l D 3 m; a D 2 m; F D 18 kN; c D 1,2 kN/mm; E D 210.000 N/mm2 ; I y D 3830 cm4 Aufgabe 4.10 (***) Der beidseitig einbetonierte Träger (Abb. 4.11) mit der Länge l und der Biegesteifigkeit E  I wird durch die Streckenlast q belastet. Berechnen Sie die Durchsenkung in Balkenmitte. Gegeben: q, l, E  I Abb. 4.10 Elastisch gestützter Träger

92

4

Durchbiegung

Abb. 4.11 Beidseitig eingespannter Träger mit Streckenlast

Aufgabe 4.11 (**) Ein statisch bestimmt gestützter T-förmiger Rahmen aus Vierkantrohr (Abb. 4.12) mit der Biegesteifigkeit E  I wird an seinem Ende im Punkt P4 durch eine äußeres Biegemoment M by (um die y-Achse) sowie im Punkt P5 durch eine äußere Kraft F belastet. Die Auflager P1 , P2 und P4 lassen keine Durchsenkung, aber eine Tangentenneigung und eine Verdrehung um die Längsachse der Vierkantrohre zu. Die Auflagerkräfte F 1 , F 2 und F 4 in den Punkten P1 , P2 und P4 sind gegeben. Berechnen Sie die Durchsenkung des Punktes P5 (Angriffspunkt der äußeren Kraft F). Gegeben: F; F 1 D F 2 D (2 / 3)  F; F 4 D F / 3; M by D (2 / 3)  F  l; E  I

Abb. 4.12 T-förmiger Rahmen unter Kraft- und Momentenbelastung

4.1 Aufgaben zur Biegeverformung

93

Abb. 4.13 Auf Blattfedern gelagertes Schwingsieb; rote und blaue gestrichelte Linien: Verformungszustand der Blattfedern in den Endlagen des Siebes

Aufgabe 4.12 (**) In der Müllereitechnik werden so genannte Schwingsiebe verwendet, deren Prinzip in Abb. 4.13 dargestellt ist: Das eigentliche Sieb liegt waagerecht und stützt sich über senkrechte Blattfedern ab. Die Federn sind am Fundament und am Siebrahmen biegesteif angeschlossen. Ein Kurbeltrieb sorgt für eine oszillierende Bewegung des Siebes. Zu ermitteln ist die Gleichung der Biegelinie sowie das Einspannmoment einer Blattfeder am Sieb, wenn pro Feder eine waagerechte Kraft F am Sieb wirkt. Aufgabe 4.13 (*) Für das in Abb. 4.13 dargestellte Schwingsieb soll der Antrieb ausgelegt werden. Welche Kraft F ist je Blattfeder notwendig, wenn der Schwingweg f D ˙100 mm betragen soll? Wird die zulässige Spannung eingehalten? Gegeben: Blattfedern mit Rechteckquerschnitt, Dicke h D 3 mm, Breite b D 40 mm, Länge l D 1000 mm; Werkstoff: Federstahl 51CrV4 mit E D 2,06  105 N/mm2 ,  b zul D 700 N/mm2 Aufgabe 4.14 (*) Ein Autobahn-Wegweiser ist als 3 × 3 m große Tafel mittels zweier Halterungen an einem Mast aus Quadratrohr 200 × 200 × 5-S235 befestigt, Abb. 4.14. Der Mast ist am unteren Ende in einem Betonfundament eingespannt. Bei Sturm wird in Tafelmitte eine maximale Kraft von F Wind D 6 kN ausgeübt, die zu gleichen Teilen über die obere und untere Halterung auf den Mast wirkt. Zu ermitteln sind die Verschiebung des oberen Mastpunktes sowie die maximale Spannung im Mast.

94

4

Durchbiegung

Abb. 4.14 Autobahn-Wegweiser mit Windlast

Aufgabe 4.15 (**) Berechnen Sie die Verschiebungen (Durchsenkungen) des T-förmigen Balkens (Abb. 4.15) in den Punkten B und C sowie die Verschiebung des Punktes D in waagerechter Richtung. Alle Teilabschnitte besitzen die Länge l und die Biegesteifigkeit E  I. Der Anschluss des senkrechten Trägers an den waagerechten ist biegesteif. Gegeben: F; E  I; l

Abb. 4.15 Eingespanntes Trägersystem mit Einzellast

4.1 Aufgaben zur Biegeverformung

95

Abb. 4.16 Einseitig eingespannter Träger mit mittiger Einzellast

Aufgabe 4.16 (*) Ein bei C fest eingespannter Träger (I-Profil DIN 1025-S235JR-I240) der Länge l D 6000 mm (Abb. 4.16) soll bei A auf einem Lager aufliegen. Dieses hat sich jedoch um den Betrag a gesenkt, so dass der Träger im Punkt A nicht gestützt wird. Wie groß darf die Durchsenkung a maximal sein, ohne dass die zulässige Biegespannung  b zul D 150 N/mm2 überschritten wird? Aufgabe 4.17 (*) Der dargestellte Träger IPE270-DIN 1025-S235JR (Abb. 4.17) ist an der Stelle A fest eingespannt. Er wird durch die Kräfte F 1 und F 2 und sein Eigengewicht belastet.

Abb. 4.17 Einseitig eingespannter Träger mit zwei Einzellasten und Eigengewicht

96

4

Durchbiegung

Gegeben: l D 3 m; a D 2,25 m; E D 210.000 N/mm2 ; F 1 D 12 kN; F 2 D 9 kN; g D 10 m/s2 Profilwerte für IPE270: m0 D 36,1 kg/m; I y D 5790 cm4 ; W y D 429 cm3 a) Wie groß ist die Durchsenkung wB am rechten Trägerende im Punkt B? b) Wie groß ist die Sicherheit gegen Fließen? Aufgabe 4.18 (*) Eine abgesetzte Welle ist in den Punkten A und B gelagert und durch zwei Einzelkräfte F 1 und F 2 belastet, siehe Abb. 4.18. Zu berechnen sind der Tangentenneigungswinkel im Punkt B und die Durchsenkung im Punkt C. Aufgabe 4.19 (**) Für das abgewinkelte Rohr (Abb. 4.19) aus Aufgabe 3.2 soll die Durchsenkung im Punkt C berechnet werden. Gegeben: l, q, F, E  I, G  I p

Abb. 4.18 Abgesetzte Welle

Abb. 4.19 Abgewinkeltes Rohr

4.1 Aufgaben zur Biegeverformung

97

Abb. 4.20 Gelenkig verbundene, eingespannte Träger

Aufgabe 4.20 (*) Zwei eingespannte Träger sind durch ein Gelenk verbunden (Abb. 4.20). Der linkere, längere Teil der Länge 2l ist durch eine Streckenlast q belastet. Zu berechnen ist die Gelenkkraft F B und die Durchsenkung im Gelenk wB . Aufgabe 4.21 (***) Für den Rahmen einer Spindelpresse sollen die Schnittgrößen an der Krafteinleitungsstelle sowie das Einspannmoment an der Grundplatte berechnet werden, Abb. 4.21. Vereinfachend kann davon ausgegangen werden, dass der Rahmen durchgängig die Biegesteifigkeit E  I besitzt.

Abb. 4.21 Spindelpresse; links: Konstruktionsskizze (nach [2], Kap. 8); rechts: vereinfachter Rahmen für Berechnung

98

4

Durchbiegung

Abb. 4.22 Radsatz eines Stadtbahnwagens

Aufgabe 4.22 (***) Stadtbahn- und Straßenbahnwagen besitzen im Gegensatz zu Eisenbahnwagen oft innen gelagerte Radsätze, Abb. 4.22, d. h. die Wälzlager befinden sich zwischen den Rädern eines Radsatzes. Aufgrund der Verformung der Radsatzwelle verschiebt sich der Radaufstandspunkt zwischen Rad und Schiene nach außen. Um Probleme bei der Spurführung zu vermeiden, ist diese Verschiebung s begrenzt. Für den dargestellten Radsatz ist der Mindest-Durchmesser der Radsatzwelle bei statischer Beanspruchung zu ermitteln. Dabei soll pro Radseite die maximale Verschiebung des Radaufstandspunktes s / 2 D 2 mm eingehalten werden. Die Radscheiben können als starr angenommen werden. Außerdem ist die maximale Biegespannung für einen „glatt“ zu wählenden Durchmesser der Radsatzwelle als Vollwelle zu berechnen. Schließlich ist die Durchsenkung der Radsatzwelle in der Mitte zu ermitteln. Gegeben: F D 30.000 N; a D 200 mm; b D 1100 mm; r D 300 mm; s D 1500 mm; E D 2,1  105 N/mm2

4.1 Aufgaben zur Biegeverformung

99

Abb. 4.23 Gelenkig verbundene Balken

Aufgabe 4.23 (*) Die beiden gelenkig verbundenen Balken (Abb. 4.23) werden spannungsfrei montiert. Dann wird ihre Temperatur um # erhöht. Wie groß sind danach die Einspannmomente an den Stellen 1 und 2? Dehnungen infolge Normalkräften sollen vernachlässigt werden. Gegeben: l D 1 m; ESt D 2,1  105 N/mm2 ; I D 120 cm4 ; # D 30 K; ˛ D 1,4  105 K1 Aufgabe 4.24 (**) Zwei Balken sind über ein verschiebliches Gelenklager aufeinander abgestützt, siehe Abb. 4.24. Beide Balken haben die skizzierte Hohlform. Wie groß ist die Durchsenkung an der Kraftangriffsstelle?

Abb. 4.24 Aufeinander abgestützte Balken (oben); Balkenquerschnitt (unten)

100

4

Durchbiegung

Abb. 4.25 Dreifach gelagerte Welle, Höhenversatz am mittleren Lager

Gegeben: l D 500 mm; B D 20 mm; b D 18 mm; H D 30 mm; h D 28 mm; ESt D 2,1  105 N/mm2 ; F D 100 N Aufgabe 4.25 (*) In einem Großgetriebe ist die Zwischenwelle (Durchmesser d) dreifach gelagert, Abb. 4.25. Aufgrund von Fertigungstoleranzen wird das mittlere Lager um 0,5 mm zu hoch eingebaut. Die Lager in A und B sind Tonnenlager und erlauben eine Schrägstellung der Welle. a) Welche Radiallasten erhalten dadurch die drei Lager? b) Wie groß ist die Winkelstellung der Welle in den beiden äußeren Lagern? c) Wie groß ist die durch den Einbau der Welle hervorgerufene Biegespannung? Gegeben: d D 120 mm; l D 1500 mm; E D 2,1  105 N/mm2

5

Stabilitätsfall Knickung

Die notwendigen Gleichungen und Tabellen aus dem Lehrbuch werden im Folgenden für Kap. 5 aufgeführt: Für die Knickkraft FK gilt: E  Imin (5.1) FK  lK2 Bezieht man diese Knickkraft auf die Querschnittsfläche des Stabes, so erhält man die Knickspannung  K : FK E  Imin (5.2) K D  A A  lK2 Trägheitsradius i (imin ist der Trägheitsradius für die Stabachse mit dem minimalen Flächenmoment 2. Grades) r Imin Imin 2 D aus imin (5.3) imin D A A Schlankheitsgrad  eines Knickstabes: D

lK lK Dq imin Imin

(5.4)

A

Knickspannung als Funktion des Schlankheitsgrades: K 

E  Imin E 2 E D 2  imin D 2 2  A  lK lK

(5.5)

Elastische Knickung nach E ULER Knickkraft FK , auch E ULER-Last: FK D  2 

E  Imin lK2

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2020 K.-D. Arndt et al., Klausurentrainer zur Festigkeitslehre für Wirtschaftsingenieure, https://doi.org/10.1007/978-3-658-28902-7_5

(5.8) 101

102

5

Stabilitätsfall Knickung

Tab. 5.1 E ULER’sche Knickfälle, Knicklänge, Schlankheitsgrad, Knicklast, Knickspannung, Anwendung F

F

F

F

lK = 0,5·l

l

lK = 0,7·l

Gelenk

lK = l

Gelenk

lK = 2·l

l

fest

fest fest

fest

Fall 1 Freie Knicklän2l ge lK Schlankheitsgrad  i2l min Knicklast F K Knickspannung  K Anwendung a

2

 EIl 2min min  EI l 2 A Masten und Stützen 4 2 4

2 l

3  0,7 l

4 0,5 l

l imin 2

0;7l imin 2

0;5l imin 2

  EIl 2min min  2  EI l 2 A Säulen, Fachwerkstäbea

2  EIl 2min 4  EIl 2min 2 EImin min 2  l 2 A 4 2  EI l 2 A Säulen und Stützen, die fest eingespannt sind

Deren Einspannungen nicht starr genug sind, um eine Verdrehung der Stabenden zu verhindern

Aus der Knickkraft F K , der Querschnittsfläche A und dem Schlankheitsgrad  kann die E ULER’sche Knickspannung ermitteln werden: K D

FK  2  E  Imin 2  E D D A 2 lK2  A

(5.9)

s min D  

E P

(5.10)

5

Stabilitätsfall Knickung

103

Tab. 5.2 Knickspannungen in Abhängigkeit vom Schlankheitsgrad Werkstoff

Plastische Knickung nach T ETMAJER Gleichung für  K

S235

Gültigkeitsbereich 0 <  < 65

E335 5 % Ni-St EN-GJL200

65 <  < 104 0 <  < 88 0 <  < 86 0 <  < 80

K K K K

Bauholz

0 <  < 100

K D 29;3  0;194  

K D 235 D 310  1;14   D 335  0;62   D 470  2;30     D 776  12   C 0;053  2

Elastische Knickung nach E ULER 2 Gültigkeits- K D 2E bereich 207  > 104 K D .=100/ 2  > 88  > 86  > 80

K D

 > 100

K D

98;7 .=100/2 9;9 .=100/2

Knickkraft und die Knickspannung für alle vier Lagerungsfälle nach E ULER (Tab. 5.1):  2  E  Imin 2  E FK D und  D (5.11) K 2 lK2 Elastisch-plastische Knickung nach T ETMAJER Knickspannung  K in Abhängigkeit des Schlankheitsgrades  für Werkstoffe des Maschinenbaus: N S235: K D .310  1;14  / mm2 N E335: K D .335  0;62  / mm2   N EN-GJL200: K D 776  12   C 0;053  2 mm2 Für die technische Berechnung können die zulässige Druckspannung und die zulässige Druckkraft wie folgt ermittelt werden: dzul D

K Serf

Fdzul D

FK ^ K  A D Serf Serf

(5.12)

 K  4 . . . 2 und zwar mit abnehmenden Schlankheitsgrad . Aus Abb. 5.1 geht der Ablauf der Überprüfung hervor, wie beim elastischen Knicken nach E ULER oder beim elastisch-plastischen Knicken nach T ETMAJER zu verfahren ist.

104

5

Stabilitätsfall Knickung

Knickung nach EULER ODER TETMAJER

Ermittlung des minimalen Flächenmoments Imin und der Querschnittsfläche A oder des erforderlichen Flächenmoments 2.Grades nach EULER: FK vorh ˜ SK ˜ lK2 I erf S2˜E Berechnung des Trägkeitsradius imin I imin  min A Lagerungsbedingung und Knicklänge lK nach Tab. 5.1

Ovorh

Schlankheitsgrad O E l  K mit Omin S ˜ VP imin

Ovorh t Omin

Ovorh d Omin

EULER

TETMAJER

FK zul

S 2 ˜ E ˜ I min

FK zul

SK ˜ lK2

Ermittlung der Knickspannung VK und der Knicksicherheit SK nach EULER: F S 2 ˜ E S 2 ˜ E ˜ I min VK  K  2  A lK2 ˜ A O V K SK V d vorh



A a  bO + cO 2 SK



Ermittlung der Knickspannung VK und der Knicksicherheit SK nach TETMAJER: V K a  bO + cO 2 SK

VK

V d vorh



A ˜ (a  bO + cO 2 ) Fvorh

Ist die Sicherheit gegen Knicken nicht gegeben, müssen die Stabparameter geändert werden (Fläche, Flächenmoment 2.Grades, Länge, Lagerungsbedingungen; bei unelastischer Knickung auch der Werkstoff) und der Knicknachweis muss erneut durchgeführt werden, solange bis die geforderte Sicherheit SK erf erreicht wird. Abb. 5.1 Vorgehensweise zum Knicknachweis nach E ULER oder T ETMAJER

5.1 Aufgaben zu Kapitel 5

5.1

105

Aufgaben zu Kapitel 5

Aufgabe 5.1 (*) Ein beidseitig gelenkig gelagerter Profilstab aus Baustahl S235JR mit einer Länge l D 2000 mm und einer quadratischen Querschnittsfläche (Abb. 5.2) wird durch die im Flächenschwerpunkt angreifende, statisch wirkende Druckkraft F D 50 kN mittig beansprucht. Werkstoffkennwerte: Re D 235 N/mm2 ; Rm D 360 N/mm2 ; E D 210.000 N/mm2 Berechnen Sie die Knickkraft F K , die Sicherheit gegen Knicken SK sowie die Sicherheit gegen Fließen SF . Aufgabe 5.2 (**) Die in Abb. 5.3 dargestellte Stütze hat einen Kreisringquerschnitt und soll eine axiale Druckkraft von F D 120 kN aufnehmen. Die Länge der Stütze beträgt l D 1300 mm und der Außendurchmesser da D 80 mm. Die Stütze ist am unteren Ende fest eingespannt und am oberen Enden frei beweglich. Gegeben: Re D 275 N/mm2 ; Rm D 430 N/mm2 ; E D 210.000 N/mm2 Berechnen Sie die erforderliche Wandstärke s, damit die Belastung von F D 120 kN mit der notwendigen Sicherheit (SF D 2 und SK D 3,5) ertragen werden kann. Die Druckkraft F greift mittig an.

Abb. 5.2 Gelenkig gelagerter Stab

A

A

Schnitt AA z 50

l = 2000

F

y 50

106

5

Abb. 5.3 Druckbelastete Stütze

F

Stabilitätsfall Knickung

F

AA

l

z

y A

A s da

Aufgabe 5.3 (**) Hydraulikfahrstühle werden bei niedriger Hubhöhe bevorzugt, z. B. wenn ein Fahrstuhl nachträglich in ein bestehendes Gebäude eingebaut werden muss. Die Kabine wird dabei von einem im Boden eingelassenen Hydraulikzylinder bewegt. Die Kabine wird seitlich durch Rollen in senkrechten Schienen im Fahrstuhlschacht geführt. Die Kolbenstange aus E295 eines solchen Hydraulikfahrstuhls (Abb. 5.4) erreicht bei voller Hubhöhe eine ausgefahrene Länge von l D 3500 mm. Die Gewichtskraft der Fahrstuhlkabine beträgt bei voller Besetzung F D 4,5 kN. Die Kolbenstange ist am Kabinenboden biegesteif befestigt. Ist die Kolbenstange knicksicher bei einem Durchmesser von d D 30 mm und bei einer erforderlichen Knicksicherheit von SK D 5,5? Aufgabe 5.4 (**) Rohrstützen aus Stahl S235JR werden für ein Baugerüst verwendet (Abb. 5.5). Die Stützen werden auf Druck (statisch) beansprucht und können als beiderseits fest eingespannt angesehen werden. Gegeben: Re D 235 N/mm2 ; E D 210. 000 N/mm2 ; Rohr Ø 60,3 × 4,5; l D 3800 mm a) Wie groß ist die zulässige Druckkraft F d auf die Rohrstütze, wenn Fließen mit einer Sicherheit von SF D 1,5 ausgeschlossen sein soll? b) Wie groß ist die zulässige Kraft F auf die Rohrstütze, wenn ein Ausknicken mit einer Sicherheit von SK D 4 ausgeschlossen sein soll? c) Berechnen Sie die Verkürzung l der Rohrstütze infolge der maximal zulässigen Druckkraft.

5.1 Aufgaben zu Kapitel 5

107

Abb. 5.4 Hydraulikfahrstuhl

Kolbenstange

3500

1. Stockwerk

Erdgeschoss

Zylinder

Abb. 5.5 Rohrstütze

Fd AA

3800

Rohrstütze

A

A

4,5 Ø 60,3

Aufgabe 5.5 (**) Bei einem Eisenbahn-Reisezugwagen mit Luftfederung wird das Drehgestell mit einer Zug-/Druckstange (Koppelstange) am Wagenkasten angelenkt, da die Luftfeder keine Längskräfte übertragen kann (Abb. 5.6). Beim Bremsen tritt in der Koppelstange eine Druckkraft von F D 32 kN auf. Die Koppelstange besteht aus Rohr Ø 60,3 × 2,6. Als Material für die Koppelstange wird S355 verwendet.

108

5

Stabilitätsfall Knickung

Wagenkasten Luftfederbalg Kopp

elstan

ge

Drehgestellrahmen

1800 Abb. 5.6 Reisezugwagen mit Luftfederung

Profildaten: A D 4,71 cm2 ; m0 D 3,70 kg/m; I D 19,7 cm4 ; W D 6,52 cm3 ; i D 2,04 cm; a) Welcher Knickfall liegt für die Koppelstange vor? b) Liegt elastisch-plastisches Knicken oder Euler-Knicken vor? (Hinweis: Berechnen Sie hierzu den kleinsten Schlankheitsgrad für Euler-Knickung!) c) Wie groß ist die vorhandene Spannung im Bauteil? d) Wie groß ist die Sicherheit gegen Knicken? Aufgabe 5.6 (**) Der in Abb. 5.7 dargestellte Körper wird durch zwei Stützen aus S235JR (Stab A gelenkig gelagert, Stab B unten fest eingespannt) abgestützt. Gegeben: I D 250 cm4 ; A D 25 cm2 ; E D 2,1  105 N/mm2 ; SK D 4 Wie groß darf die Masse des Körpers sein, wenn für beide Stäbe die gleiche Knicksicherheit gilt?

5000

A

3000

FG

2000

B

4000

Abb. 5.7 Körper auf zwei Stützen

5.1 Aufgaben zu Kapitel 5

109

Abb. 5.8 Druckstab

F

A

A Schnitt AA

s

5s

5s

s F

Aufgabe 5.7 (***) Für den Druckstab einer Presse aus EN-GJL-200 ist der Querschnitt (die Wanddicke s) gemäß Abb. 5.8 auszulegen. Gegeben: F D 125 kN, l D 750 mm; b D 5  s; S D 4 Für den E-Modul EN-GJL-200 ist mit dem Mittelwert (nach Tab. 1.1) zu rechnen. Überprüfen Sie, ob die Sicherheit mit SK D 4 gegeben ist, und wenn nicht, welche Maßnahmen schlagen Sie vor? Aufgabe 5.8 (***) Ein Gasversorger plant einen Kugelhochbehälter gemäß Abb. 5.9 aufzustellen. Der Behälter ist für einen Betriebsdruck p D 12 bar und einem Volumen V D 15.000 m3 auszulegen. Die Spannung im Behälter darf  zul D 250 N/mm2 nicht überschreiten. Der Kugelbehälter ist auf 8 Stützen aufgeständert. a) Ermitteln Sie den Durchmesser D des Kugelbehälters und die erforderliche Wanddicke s. Die Wanddicke s ist auf volle Zehnerwerte aufzurunden. b) Für die Stützen sollen Rohre Ø 406,4 × 12 aus E335 zum Einsatz kommen. Wie groß ist die Sicherheit gegen Knicken, wenn Knickfall 4 vorliegt? Die Masse des Gases im Behälter ist mit 130 t anzusetzen. c) Kalkulieren Sie die Materialkosten für den Kugelbehälter und die 8 Rohrstützen. kRohr D 2,60 C/kg; kSt D 1,80 C/kg

110

5

Stabilitätsfall Knickung

Abb. 5.9 Kugelhochbehälter

20 m

D

d

Aufgabe 5.9 (**) Der in Abb. 5.10 dargestellte Wandkran ist gelenkig gelagert. Am rechten, freien Ende greift eine Kraft F D 1,5 MN an. Der Ausleger wird durch einen Stützstab IPB 300 aus E335 abgestützt und kann als beidseitig gelenkig gelagert angesehen werden.

5200 5000

400

3500 Ausleger

IPB300 F

Abb. 5.10 Wandkran

5.1 Aufgaben zu Kapitel 5

111

Gegeben: Re D 335 N/mm2 ; E D 210.000 N/mm2 ; kI D 1,80 C/kg; m0 D 117 kg/m a) Wie groß ist die Druckkraft F d , die auf den Stützstab wirkt? b) Wie groß sind für den Stützstab die Sicherheiten gegen Fließen und gegen Knicken und sind sie ausreichend? c) Bestimmen Sie die Materialkosten für den Ausleger und den Stützstab.

6

Ergebnisse

6.1

Ergebnisse zu Kapitel 1

Aufgabe 1.1 a)  A–A D 59,93 N/mm2 ;  B–B D 291,67 N/mm2 b)  zSch D 291,67 N/mm2  1,5 D 437,5 N/mm2 , gewählt E335GC mit  zSch D 470 N/mm2 c) m D 3400,23 kg; K M D 5828,79 C Aufgabe 1.2 a) " D 0,75 % b) l D 1,2 mm Aufgabe 1.3 l D 0,381 mm Aufgabe 1.4 a)  1 D 105 N/mm2 ;  2 D 85 N/mm2 b) F D 393.091,78 N  393 kN Aufgabe 1.5 l D 0,625 mm; F D 84.175 kN;  S  268 N/mm2 ;  H  388 N/mm2 Aufgabe 1.6 a)  z D 142,62 N/mm2 b) Wahl des Werkstoffes bei wechselnder Belastung und einer Sicherheit gegen Fließen von SF D 2:  zW D  z  SF D 285,24 N/mm2 , gewählt nach Tab. 1.5 E335GC mit  zW D 300 N/mm2 . c) W f D 57,7 kNm d) m D 9360,8 kg; K M D 15.518,08 C © Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2020 K.-D. Arndt et al., Klausurentrainer zur Festigkeitslehre für Wirtschaftsingenieure, https://doi.org/10.1007/978-3-658-28902-7_6

113

114

6

Ergebnisse

VD N/mm2 6

Rp0,2 570 VSch 520

5

Va

7

400

1

Va

VW 330

200 100 45° 0

100

4

200 3 300

400

500 Rp0,2

Vm N/mm2

-100 -200

VW -330

2

½VSch

Abb. 6.1 Dauerfestigkeitsschaubild (DFS) nach Smith

Aufgabe 1.7 Konstruktion des Dauerfestigkeitsdiagramms (Abb. 6.1) mit den gegebenen Werten Rp0,2 D 570 N/mm2 ,  Sch D 520 N/mm2 , und  W D 330 N/mm2 Aufgabe 1.8 a) Konstruktion des Smith-Diagrammes mit den gegebenen Werten ReH D 900 N/mm2 ; Rm D 1000 N/mm2 und  W D 500 N/mm2 (Abb. 6.2). b) Die Schwellfestigkeit beträgt  Sch D 750 N/mm2 ( min D 0 N/mm2 ,  max D  Sch D 750 N/mm2 ) c) Bei der Mittelspannung  m D 650 N/mm2 ergibt sich eine Ausschlagspannung  a D 250 N/mm2 . Mit einer Sicherheit SD D 2 folgt daraus  a zul D 125 N/mm2 .

6.1 Ergebnisse zu Kapitel 1

115

VD N/mm2 Rm

1000

ReH

900

1 2 4

VSch 750

VW

500

3

45°

100 0 -100

VW

100

500

800

1000

Vm N/mm2

-500

Abb. 6.2 Dauerfestigkeitsschaubild (DFS) für ReH D 900 N/mm2 , Rm D 1000 N/mm2 ,  W D 500 N/mm2

Aufgabe 1.9 Konstruktion des DFS für den S235JR mit den gegebenen Werten. Ermittlung der Oberspannung  o , der Unterspannung  u , der Mittelspannung  m und der Ausschlagspannung  a . Aus dem Dauerfestigkeitsschaubild (DFS, Abb. 7.5) ergibt sich eine Ausschlagsspannung  a DFS D 150 N/mm2 . Mit diesem Wert und der berechneten Ausschlagspannung  a D 30 N/mm2 errechnet sich die vorhandene Sicherheit zu SD vor D 5. Aufgabe 1.10 a) Die Gelenkstange ist für einen Durchmesser d D 32 mm auszulegen. b) Die Sicherheit gegen Dauerbruch ergibt sich, da es sich um eine rein wechselnde Beanspruchung handelt, zu SD D 3,2. c) Die konstant wirkende Kraft verschiebt die Spannungskurve um   150 N/mm2 in den Zugbereich. Es ergibt sich eine um 150 N/mm2 aus der Nulllage nach oben verschobene Spannungskurve (Abb. 7.6) mit einer Amplitude (Ausschlagspannung  a ) von 125 N/mm2 .

116

6

Ergebnisse

Zur Bestimmung der maximal ertragbaren Ausschlagspannung ist ein Dauerfestigkeitsschaubild aus den gegebenen Werten Rm , Rp0,2 ,  Sch und  W zu konstruieren (Abb. 7.7). Die Sicherheit gegen Dauerbruch kann mit folgenden Annahmen bestimmt werden: Annahme 1: Nur die zeitlich veränderten Anteile der Belastung werden betrachtet. Bei einer Mittelspannung von  m D 125 N/mm2 wird ein Wert  a zul D 370 N/mm2 aus dem DFS abgelesen. Damit ergibt sich SD D 2,96 Annahme 2: Bei einer Mittelspannung  m D 275 N/mm2 aus zeitlichem und konstan0 D 335;5 N/mm2 aus dem DFS abgelesen. Damit ten Wert wird azul 0 ergibt sich SD D 2;68 Die Sicherheit gehen Fließen beträgt SF D 2,47.

6.2 Ergebnisse zu Kapitel 2 6.2.1 Ergebnisse zu Abschnitt 2.1 Aufgabe 2.1.1 a)  A–A D 43,21 N/mm2 ;  B–B D 108,92 N/mm2 b) F D 206.570 N Aufgabe 2.1.2 Der Stahlkern und die Kunststoffummantelung sind parallel angeordnet. l D 250,15 mm, Zugspannung:  K D 525,32 N/mm2 ;  Um D 30 N/mm2 Aufgabe 2.1.3 Die Spannung in der Schweißnaht beträgt  D 49,35 N/mm2 und  D 70,5 N/mm2 . Aufgabe 2.1.4 a) F S D 24,61 (m/s2 )  m b) m D 8951,2 kg c) m* D 4897,42 kg d) K M D 14.321,92 C Aufgabe 2.1.5 a)  (x) D   g  l  [1  ( x /l)] + m  g / A b)  1 D 4,43 N/mm2 c) l D 0,235 mm

6.2 Ergebnisse zu Kapitel 2

Aufgabe 2.1.6 a)  D 95,35 N/mm2 b) l D 15.594 m c) F max D 176.263,5 N entspricht einer Masse m D 17.968 kg Aufgabe 2.1.7 F D 12.600 N Aufgabe 2.1.8 a)  1 D 129,75 N/mm2 ;  2 D 111,125 N/mm2 ; p  18,5 N/mm2 b) # D 90 K Aufgabe 2.1.9 a) # D 188;5 K b) # D 61;7 K Aufgabe 2.1.10 a) F D 158.143 N b) wC D 0,088 mm c)  1 D 253 N/mm2 ;  2 D 175,7 N/mm2 Aufgabe 2.1.11 a) d D 20 mm b) p D 83,33 N /mm2 Aufgabe 2.1.12 a) Spannungen im zylindrischen Behälterteil:  t D 75 N/mm2 ;  a D 37,5 N/mm2 Spannung im halbkugelförmigen Behälterteil:  a D 37,5 N/mm2 b) Materialkosten K M D 1894 C Aufgabe 2.1.13 a)  t D 175 N/mm2 ; s D 25 mm; r1 D 2500 mm b)  t D 175 N/mm2 ;  a D 87,5 N/mm2 ;  a1 D 175 N/mm2 Aufgabe 2.1.14 a) pa D

pi C

2s1 E1 r1 .˛1 ˛2 /# r s E 1C r2 s1 E1 1 2 2

b)  1 D 25,5 N/mm2 ;  2 D 44,6 N/mm2 c)  1 D 57,14 N/mm2 d) K MCu D 5420,11 C; K MSt D 800,26 C

117

118

6

Aufgabe 2.1.15 a)  .x/ D

F .x/ A

Ergebnisse

h  2 i   D 12 ! 2   l 2  x 2 D 12 ! 2    l 2 1  xl

b)  A D 1,54 N/mm2 c) l D 0,092 mm

6.2.2

Ergebnisse zu Abschnitt 2.2

Aufgabe 2.2.1 Biegemomente und Biegespannungen Stelle M bi  bi

1 Nm 22,5 2 N/mm 15,2

2 36,5 24,7

3 53,75 36,4

4 67,75 45,8

5 85,25 57,7

6 88,75 60

Materialkosten K M D 3282,82 C Aufgabe 2.2.2 a)  by D 154,24 N/mm2 b) SF D 1,52 c) M bz D 7,3 kNm Aufgabe 2.2.3 yS D 17,44 mm Aufgabe 2.2.4 zS D 23,02 mm; I y D 463.988,6 mm4 ; I z D 710.869,34 mm4 Aufgabe 2.2.5 a) zS D 14,11 mm b) I y D 180.721 mm4   c) FAx D F  cos ˛; FBz D F al C 1 sin ˛ d) Siehe Abb. 7.15.  l D F  a  sin ˛ e) Mb max D MbB D FAz  ˛ cos ˛ f) max D bz C z D F asin Iy  eo C A Aufgabe 2.2.6 a) I y D 24.850.000 mm4 b)  b vorh  67 N/mm2 c) S D 3,5 > Serf D 3

7 71,5 48,4

8 75 50,75

9 91,25 61,7

6.2 Ergebnisse zu Kapitel 2

Aufgabe 2.2.7 a) F  68,1 kN b)  b D–D  95 N/mm2 c) K M D 479,26 C Aufgabe 2.2.8 F 1  14,6 kN; F 2  39,7 kN Aufgabe 2.2.9 a) Biegemomente: M b max  6 kNm b) zS D 65,22 mm c) I y ges D 18.585.186 mm4 d)  b max D 21,1 N/mm2 Aufgabe 2.2.10 a) zN ges D 41;1 mm b) I y ges D 551.279 mm4 c)  b max  69 N/mm2 Aufgabe 2.2.11 a) M b max D 28,125 kNm b) zS D 58,67 mm; I y ges D 14.949.333,4 mm4 c)  bo D 134,2 N/mm2 ;  bu D 110,4 N/mm2 d)  bo D  b max D 134,2 N/mm2 <  b zul D 150 N/mm2 , gewählt aus Tab. 1.5 E295 Aufgabe 2.2.12 a) M b max MbF1 D FA  l1 D 27:750 N  1000 mm D 27:750:000 Nmm D Mb max MbF2 D FB  l2 D 24:250 N  750 mm D 18:187:500 Nmm b) Flächenmoment 2. Grades Iy D 17:887:788 mm4 c) b D 93;1 N/mm2 d) SF D 1;83 > 1;5 und SB D 2;22 > 2 Aufgabe 2.2.13 a) Biegemomentenverlauf und M bmax Mb max D FA  a D 12:750 N  2350 mm D 29:962:500 Nmm b) Biegespannung in der Randfaser: b zul D 0;4  0;8  Re D 107;2 N/mm2 I Iy D 37:391:666;67 mm4 b D 80;13 N/mm2  zul D 107;2 N/mm2 c) Biegespannung in Höhe der Schweißnaht: bSch D 68;11 N/mm2 d) Sicherheit gegen Fließen Svorh D 4;18

119

120

6

Ergebnisse

Aufgabe 2.2.14 a) Biegespannungen im Schnitt A–A und B–B: IyAA D 1:489:882:500 mm4 und bAA D 241;63 N/mm2 IyBB D 956:632:500 mm4 und bBB D 287;47 N/mm2 b) Werkstoff, der einer schwellenden Belastung und der geforderten Sicherheit von 1,5 genügt.  bSch D  b B–B  S D 287,5 N/mm2  1,5 D 431,25 N/mm2 Gemäß Tab. 1.5 gewählt E295GC mit  bSch D 440 N/mm2 Aufgabe 2.2.15 a) M b max D 8.640.000 Nmm b) zS D 159,31 mm c) I y ges D 44.130.798 mm4 d)  bo  18 N/mm2 ;  bu  31 N/mm2

6.2.3 Ergebnisse zu Abschnitt 2.3 Aufgabe 2.3.1 a) F D 48:255 N b) l D 25;6 mm Aufgabe 2.3.2 Die Kraft F verteilt sich auf 4 Schweißnahtflächen: F D 203:646;75 N  204 kN Aufgabe 2.3.3 Zur Berechnung der zu übertragenden Schubkraft pro Länge werden das Flächenträgheitsmoment I y und das Flächenmoment H(z) benötigt. Schubspannung: .z/ D 10;15 N/mm2 I Schubspannung in der Schweißnaht: s D 12;7 N/mm2 Aufgabe 2.3.4 Schubspannung Stelle 1: (z)1.1 D 1,44 N/mm2 ; (z)1.2 D 1,97 N/mm2 Schubspannung Stelle 2: (z)2 D 2,03 N/mm2 Aufgabe 2.3.5 Schubspannungen an den Stellen 0–9: Gesamtschwerpunkt zS bezogen auf das vorgegebene y-z-Koordinatensystem: zS D 12;4 cm Gesamtflächenmoment Iy D 25:305;6 cm4 .

6.2 Ergebnisse zu Kapitel 2

121

Zur Berechnung der Schubspannungen an den Stellen 0 . . . 9 muss die jeweilige Restfläche Ai und der dazugehörige Schwerpunktabstand zN i ober- und unterhalb der Schwerpunktachse yS bestimmt werden. Stelle zi cm

zNi cm

Ai cm2

bi cm

jzNi  Ai j cm3

0 1 2a 2b 3 4 5 6 7a 7b 8 9

15,6 14,6 13,6 13,6 12,53 10,91 10,32 9,62 10,4 10,4 11,4 12,4

0 32 64 64 84 104 110,4 116 96 96 48 0

16 16 16 4 4 4 4 4 4 24 24 24

0 467,2 870,4 870,4 1052,5 1134,6 1139,3 1116,4 998,4 998,4 547,2 0

6.2.4

15,6 13,6 11,6 11,6 6,6 1,6 0 3,4 8,4 8,4 10,4 12,4

jNzi Ai j Iy bi 2

cm 0 0,00115 0,00215 0,0086 0,01039 0,01121 0,01126 0,01103 0,00986 0,00164 0,00009 0

ij  D Fq jNzIi A  y bi 2 N/mm2 N/cm

0 173 322 1289,8 1559,7 1681,3 1688,3 1654,4 1479,5 246,6 135,1 0

0 1,73 3,22 12,9 15,6 16,8 16,9 16,5 14,8 2,47 1,35 0

Ergebnisse zu Abschnitt 2.4

Aufgabe 2.4.1 d D 22;66 mm, gewählt d D 24 mm Aufgabe 2.4.2 a) Die größte Torsionsspannung tritt in den dünneren Endteilen mit dem Durchmesser d auf. t D 61;1 N/mm2 b) 'ges D 0;0181 rad D 1;04ı c) KM D 454;07 C Aufgabe 2.4.3 a) t  54 N/mm2 b) ' D 0;0902 rad  5;17ı c) Mit Hilfe der Vergleichsspannung (GEH; ˛ 0 D 1) soll untersucht werden, ob die Sicherheit ausreichend ist. v  123 N/mm2 I S  2;28 > Smin D 1;5 ) richtig bemessen! Aufgabe 2.4.4 a) ' D 0;1715 rad D 9;83ı b) 'ges  21ı

122

6

Ergebnisse

c) t D 381;2 N/mm2 ; Re  360 N/mm2 )  tF  0,65  360 N/mm2  234 N/mm2 < 381 N/mm2 . Gemäß Tab. 1.5 würde ein E360 GC mit  tF D 390 N/mm2 die Forderung erfüllen. Aufgabe 2.4.5 a) d D 43;76 mm ) gewählt d D 44 mm b) t  209 N/mm2 < t zul D 750 N/mm2 c) Es treten die Spannungsarten Biegung und Schub auf. b D 418;5 N/mm2 I s D 6;6 N/mm2 ,  s ist gegenüber  b vernachlässigbar. Aufgabe 2.4.6 a) Torsionsmomente in A und B. Es handelt sich um ein statisch unbestimmtes System. Aus der Gleichgewichtsbedingung †T D 0 D T  T A  T B und der Bedingung ' C gleich dem Verdrehwinkel im rechten und linken Teil der Welle kann durch entsprechendes umstellen T A oder T B berechnet werden. TA D 1:995:836;46 NmmI TB D 1:604:163;7 Nmm b) Torsionsspannung  t in A und B: tA D 47;06 N/mm2 I tB D 65;36 N/mm2 c) Verdrehwinkel an der Stelle C: 'C D 0;00968 D 0;555ı Aufgabe 2.4.7 a) Verhältnis der Widerstandsmomente: N b) t D 63;4 mm 2

WtR WtT

 10;78

Aufgabe 2.4.8 a) T D 148:000 Nmm b) 'voll D 0;21ı I 'Schlitz D 24;37ı I 'ges D 'voll C 'Schlitz D 24;58ı c) t voll D 18 N/mm2 und t Schlitz D 340;23 N/mm2 Aufgabe 2.4.9 a) Geschlossenes Profil, Anwendung der B REDT’schen Formel: T D 300:000 NmmI t  22 N/mm2 b) Offenes Profil: t D 180 N/mm2 I ' D 0;444 rad  25;5ı Aufgabe 2.4.10 a) Drillflächenmoment und Drillwiderstandsmoment: It D 3815;2 mm4 I Wt D 1271;7 mm3 b) Übertragbares Torsionsmoment T  44:510 Nmm Aufgabe 2.4.11 a) Ta D 4:330:127 Nmm D 4;33 kNm und Tb D 250:000 Nmm b) 'a D 0;128 rad D 7;35ı und 'b D 0;741 rad D 42;44ı c) Vergleich der Drillflächenmomente: IItbta D 100

6.3 Ergebnisse zu Kapitel 3

6.3

123

Ergebnisse zu Kapitel 3

Aufgabe 3.1  v  118 N/mm2 Aufgabe 3.2  v  168 N/mm2 Aufgabe 3.3 Es sind zwei Querschnitte zu betrachten: 1) Radebene:

N N t  147 mm 2 < tF D 300 mm2 I SF  2;04

N N 2) Wellennut am Wälzlager: b  104 mm 2 I t  44 mm2

N N < Rp0;2 D 460 mm2 mm2 SF  3;57 > SF min D 1;8

v  129

Aufgabe 3.4 Die Beanspruchung besteht aus Zug und Biegung: Innenseite:  z res  291 N/mm2 ; Außenseite:  d res  226 N/mm2 Aufgabe 3.5 Die Spannungen sind in Abb. 6.3 dargestellt. Schnitt C–C: Es liegt eine Biegespannung der Größe bC D Biegezug).

Abb. 6.3 Normalspannungen in den Querschnitten zu Aufgabe 3.5

F l=2 Wb

vor (am rechten Rand

124

6

Ergebnisse

Schnitt D–D: In diesem Schnitt überlagern sich Biegespannung und Druckspannung; die Fl

größte Spannung ist eine Druckspannung jdresD j D FA C Wb2 (am rechten Rand). Am linken Rand ergibt sich eine Zugspannung der Größe zresD D Fl

 Wb2 , wenn wie hier die Druckspannung  d D kleiner als die Biegespannung angenommen wird. Schnitt E–E: Die Biegespannung beträgt bE D WFb (Biegezug am oberen Rand). F A

Aufgabe 3.6 derf D 267 mm ! gewählt: d D 270 mm Druckspannung  d  21,0 N/mm2 ; Torsionsspannung  t  90,6 N/mm2 ; Vergleichsspannung  v  158 N/mm2 ; Sicherheit gegen Fließen SF  2,12 Sicherheit gegen Knicken SK  1,83 ! nicht knicksicher Aufgabe 3.7 Vergleichsspannung  v  384 N/mm2 ; SF  2,6 Aufgabe 3.8 Bauteil:  v  50 N/mm2 ; Schweißnaht:  wv  41 N/mm2 Aufgabe 3.9 a) di  27,27 mm; b)  wt  5,8 N/mm2 ; c)  wv  48,9 N/mm2 Aufgabe 3.10 a) s. Abb. 6.4 b) Größte Biegespannung in der Radsatzwelle:  b max  106 N/mm2 (Mitte linkes Rad); größte Torsionsspannung:  t max  45 N/mm2 (in Radsatzmitte)

Abb. 6.4 Biegemomenten- und Torsionsmomentenverlauf an der Radsatzwelle

6.3 Ergebnisse zu Kapitel 3

125

c) Größte Vergleichsspannung:  v max  113 N/mm2 (Mitte linkes Rad); zulässige Spannung wird eingehalten. Aufgabe 3.11 Erforderlicher Wellendurchmesser: derf  86,0 mm Aufgabe 3.12 a) 1 z D 0 !  D b) s. Abb. 6.5

3F 2bh ;

 D 0; 2 z D h/2 !  D

6F l ; bh2

 D0

Aufgabe 3.13 a)  max D 190 N/mm2 ;  min D 60 N/mm2 ;  max D 65 N/mm2 ; ˛ h D 33,7° (Abb. 6.6) b)  max D 370 N/mm2 ;  min D 30 N/mm2 ;  max D 170 N/mm2 ; ˛ h D 30,96° (Abb. 6.7) Aufgabe 3.14 a) Punkt A:  max D 89,04 N/mm2 ;  min D 14,04 N/mm2 ;  max D 51,54 N/mm2 ; ˛ h D 38° (Abb. 6.8) b) Punkt B:  max D 75 N/mm2 ;  min D 50 N/mm2 ;  max D 62,5 N/mm2 ; ˛ h D 26,57° (Abb. 6.9) Aufgabe 3.15 a) Beanspruchungsverläufe (siehe Abb. 6.10) b) Vergleichsspannung im Lager A:  v D 402,4 N/mm2 ; damit SF D 2,68 c) Kosten Welle aus 42CrMo4: K 1  0,41 C (d D 10 mm); Kosten S235: K 2  0,37 C (d D 15 mm) Aufgabe 3.16 Größte Normalspannung  N  35,6 N/mm2 ; Vergleichsspannung  v  71,4 N/mm2 ; SF  7,7 Aufgabe 3.17 Durchmesser d D 24,88 mm

Abb. 6.5 M OHR’sche Spannungskreise für die Konsole

126

6

Ergebnisse

W N/mm2 80 Wmax = 65 N/mm2

40 20

Wyx = 60 N/mm2

A 60

n

V mi

x

V ma

n

V mi

x

V ma

Mh

0 20

40

2Mh

80

160 180 200

V N/mm2

- 20 - 40 2 - 60 Vmin  1mm

Vx  1mm2

- 80

Vy  1mm2 Vmax  1mm2

Abb. 6.6 M OHR’scher Spannungskreis zu Aufgabe 3.13 a) W N/mm2 Wmax = 170 N/mm2

160 120 80 40

40 - 40

80

320

120 160 200 240

Mh

Vm

Vm

ax

2Mh

in

- 80

Vm

in

Vm

- 120

ax

- 160 Vmin  1mm

2

- 200 - 220

A

Vx  1mm2

Vy  1mm2 Vmax  1mm2

Abb. 6.7 M OHR’scher Spannungskreis zu Aufgabe 3.13 b)

Wyx = - 150 N/mm2

0

V N/mm2

6.3 Ergebnisse zu Kapitel 3

127

W N/mm2

WMx = 50 N/mm2

40 in

30 20 10

Vm

ax Vm in

Vm

ax

Vm

Mh

2Mh

0 - 20 - 10 - 10

Wmax = 51,54 N/mm2

A

50

10

20

30

40

50

60

70

80

V N/mm2

Vx  1mm2

- 20 - 30

VM  1mm2

- 40 - 50 Vmin = - 14,04 1mm2

Vmax  1mm2

Abb. 6.8 M OHR’scher Spannungskreis zu Aufgabe 3.14 a); Spannungen im Punkt A

Aufgabe 3.18 a) Axiale Spannkraft F a  1025 N b) Widerstandsmoment W b D 962,4 mm3 c) Vergleichsspannung  v  214,7 N/mm2 c) Sicherheit gegen Fließen SF  2,1 Aufgabe 3.19 Sicherheiten SF A  1,7 und SF B  3,8 sind größer als SF D 1,5 Aufgabe 3.20 Sicherheit gegen Fließen SF  3,4 Aufgabe 3.21 Für Rundrohr und S235JR gilt: SF  1,3 < 1,5. Deshalb darf das Material für das Rundrohrprofil nicht verwendet werden; S275JR erreicht die nötige Sicherheit mit SF  1,54.

128

6

Ergebnisse

W N/mm2

WMx = 50 N/mm2

40 30 V min

V max

20

V min

Mh

V max

10

2Mh

0

- 40 - 30 - 20 - 10 - 10

Wmax = 62,5 N/mm2

A

50

10

20

30

40

50

60

70

80

V N/mm2

- 20 Vmin   1mm2 - 30

VM  1mm2

- 40 - 50

Vmax  1mm2

Vx   1mm2 Abb. 6.9 M OHR’scher Spannungskreis zu Aufgabe 3.14 b); Spannungen im Punkt B

Das Rechteckrohr weist bei beiden Winkeln erheblich größere Sicherheiten (SF  2,6; SF  2,2) auf, es ist aber entsprechend teurer als das Rundrohr. Berechnung laut Aufgabenstellung daher nicht erforderlich. Aufgabe 3.22 Sicherheit SF  2,8 > 2,5, keine Änderungen nötig Aufgabe 3.23 Für d D 330 mm können beide Werkstoffe verwendet werden; für d D 290 mm nur 46Cr2. Vergleichsspannung  v330  305 N/mm2 ;  v290  412 N/mm2 ; SF330 C40E  1,51; SF330 46Cr2  2,13; SF290 46Cr2  1,58 Kosten pro Paar bei d D 330 mm: C40E  2659 C; 46Cr2  3303 C Kosten pro Paar bei d D 290 mm: 46Cr2  2551 C Prozentuale Ersparnis für d D 330 mm  24,2 % bzw. 645 C

6.3 Ergebnisse zu Kapitel 3

Abb. 6.10 Beanspruchungsverläufe für die Kreissägewelle aus Aufgabe 3.15

Aufgabe 3.24 Durchmesser d D 63,39 mm Aufgabe 3.25 a) Streckenlast im Umfangsrichtung qu  18,5 N/mm; qr  4,6 N/mm b) Querkraft-, Biegemomenten- und Torsionsmomentverlauf (Abb. 6.11) c) Vergleichsspannung  v  165 N/mm2 < 180 N/mm2 ; Bauteil ist sicher Aufgabe 3.26 SF  2,2 Aufgabe 3.27 Vergleichsspannung  v  296 N/mm2

129

130

6

Ergebnisse

Abb. 6.11 Querkraft und Momentenverläufe für den Schlegelmäher aus Aufgabe 3.25

Aufgabe 3.28 a) Stangenkraft F St  11,8 kN b) Antriebsmoment T  1687 Nm c) Durchmesser d  87,1 mm Aufgabe 3.29 Biegespannnung  b  72,1 N/mm2 ; Normalspannung  N  72,4 N/mm2 ; Torsionsspannung  t  8,64 N/mm2 ; Vergleichsspannung  v  73,1 N/mm2 ; SF  2,6 Aufgabe 3.30 Kosten Rechteckprofil:

K S235JR  5,0 C; K E335  6,7 C; K 38Cr2  6,5 C; K MgAl8Zn F31  5,1 C Verteuerung Rechteckprofil: V E335  34,2 %; V 38Cr2  29,4 %; V MgAl8Zn F31  1,3 % Kosten Rundrohr: K S235JR  5,7 C; K E335  8,5 C; K 38Cr2  7,1 C; K MgAl8Zn F31  5,2 C Verteuerung Rundrohr: V S235JR  9,2 %; V E335  63,8 %; V 38Cr2  36,8 %

6.4 Ergebnisse zu Kapitel 4

131

6.4 Ergebnisse zu Kapitel 4 Aufgabe 4.1 a) Durchsenkung in Stahl: wF St D 2;08 cm Durchsenkung in Aluminium: wF Al D 3  wF St D 6;24 cm b) Biegemoment: Mbmax D 80:000 Ncm N Biegespannung: bmax D 164 mm 2 c) Masse in Stahl: mSt D 24,0 kg; in Aluminium: mAl D 8,24 kg. d) Kosten: K St D 76,80 C und K Al D 75,81 C e) Dieser Teil ist nur durch Probieren zu lösen. Mit einem Vierkantrohr 60 × 40 × 4 ergibt sich für das Flächenmoment 2. Grades: I D 34;5 cm4 ; Durchsenkung dafür wAl D 2,2 cm Weitere Profilwerte: A D 7,36 cm2 ; m0Al D 1;99 kg/m Masse der neu ausgelegten Aluminium-Holme mAL D 15,92 kg; Halbzeugkosten K Al D 146,46 C f) Zum Beispiel dünnwandiges Stahl-Rechteckrohr 65 × 30 × 1,5. Dafür I x D 15,03 cm4 ; W x D 4,62 cm3 ; A D 2,76 cm2 ; m0 D 2,17 kg/m Durchsenkung in der Mitte der Holme wSt D 1,69 cm. Biegespannung beträgt  b D 173 N/mm2 Masse der Holme mSt D 17,36 kg, Halbzeugkosten K St D 55,55 C. Aufgabe 4.2 a) q D 24,87 N/mm D 24,87 kN/m b) SF D 1,75 < SF erf D 1,5 Aufgabe 4.3

h 5 i q0 h4  xh5  5 xh C 4 a) Biegelinie: w .x/ D 120EI b) Verschiebung des oberen Punktes: w D 6,72 mm Aufgabe 4.4 Die Durchsenkung am Balkenende im Punkt D beträgt: wD D

23 ql 4 8 EI

Aufgabe 4.5 Die maximale Durchsenkung tritt im Punkt A auf. Sie beträgt wmax D 1,13 mm. Aufgabe 4.6 a) Für die gegebene Streckenlast muss die Vorsprengung wvor  40 mm betragen. b) Die Einzellast in Ladeplattformmitte ergibt sich zu F  100 kN.

132

6

Aufgabe 4.7   F l 2 a a a) 'C D 6EI l 2C 3 l 

F l 2 a b) wD D 6EI 2 C 3 al  b C 2l. al /2 .1 C al / l l 2 a c) wM D F16EI     F l 3 aCb 2 d) wD D 6EI  1 C aCb l l Aufgabe 4.8

F a 2ab 2  cl 2 C a2 c a) wA D 6EI l oder mit b D l  a:

F a 2 2 2 wF D 6EI l 2a.l  a/  cl C a c b) c D l=3 Aufgabe 4.9 wB D 4,46 mm Aufgabe 4.10 4 1  ql wM D 384 EI Aufgabe 4.11 h 3 F b w5 D EI C 54

4l 3 81

i

Aufgabe 4.12 h  2  3 i F l 3 w .x/ D 12EI 3 xl  2 xl Mb .x/ D F  x  12 F  l; daraus: Mb .x D l/ D 12 F  l Aufgabe 4.13 F D 22,2 N;  b  185 N/mm2 <  b zul Aufgabe 4.14 7 F l 3 woben D 16 EI  55 mm b  138 N/mm2 Aufgabe 4.15 F l 3 I wC D wB D 2EI

F l 3 I EI

wD D

Aufgabe 4.16 a D 89,3 mm Aufgabe 4.17 a) wB  12,58 mm; b) SF  1,81

4 F l 3 3 EI

Ergebnisse

6.4 Ergebnisse zu Kapitel 4

133

Aufgabe 4.18   1 3F1  l12  32F2  l2  l1 'B D 48E  I1   1 2 2 2 I1 3F1  l1  l2  32F2  l2  l1 C 16F2  l2  wC D 48E  I1 I2 Aufgabe 4.19 ql 4 9F l 3 C 24EI C wC D 8EI

F l 3 4GIp

Aufgabe 4.20 Gelenkkraft: FB D .2q  l/=3 Durchsenkung im Gelenk: wB D .2q  l 4 /=.9E  I / Aufgabe 4.21 2

3a Waagerechte Schnittkraft am Krafteinleitungspunkt C: FCx D F 8alC2l  2 2 a Schnittmoment am Krafteinleitungspunkt C: MC D F 4aCl  a2  2 a Einspannmoment im Punkt A an der Bodenplatte: MA D F 8aC2l

Aufgabe 4.22 derf  86,8 mm Mit einem gewählten d D 90 mm ergibt sich eine Biegespannung  b  84 N/mm2 . Für d D 90 mm beträgt die Durchsenkung in Radsatzmitte w D 1,34 mm. Aufgabe 4.23 M 1 D M 2  317,5 Nm Aufgabe 4.24 w D 1,46 mm Aufgabe 4.25 a) F A D F B  7,6 kN; F C  15,2 kN b)  b  33,6 N/mm2 (in der Mitte der Welle) c) ' A D ' B  0,001 rad  0,0573°

134

6.5

6

Ergebnisse

Ergebnisse zu Kapitel 5

Aufgabe 5.1 Knickfall 2 mit lK D l; FK  270 kN; SK D 5;36 ) knicksicher und SF D 11;75 Aufgabe 5.2 Es muss gelten:  d   zul ; Versagensfall Knickung (Knickfall 1): s D 9;95 mmI s D 10 mm gewählt Aufgabe 5.3 Es liegt Knickfall 4 vor ) lK D 0;5l W SK D 5;94 > 5;5 ) knicksicher. Aufgabe 5.4 a) Fließen mit einer Sicherheit von SF D 1,5 soll ausgeschlossen sein, es gilt die Bedingung  d   zul : F D 123:587 N b) Ein Ausknicken mit einer Sicherheit von SK D 4 soll ausgeschlossen sein. Es liegt Knickfall 4 mit lK D 0,5l vor. Es muss die Bedingung  d   zul D  K /SK gelten, F D 44:355 N c) Verkürzung l D 1;017 mm Aufgabe 5.5 a) Es liegt Knickfall 2 mit lK D l vor. b) Minimaler Schlankheitsgrad min D 85;4;  D 88;2 ) Knickung nach Euler c) Druckspannung d  68 N/mm2 d) Sicherheit gegen Knicken: K D 266;4 N/mm2 ) SK D 3;92 ) knicksicher! Aufgabe 5.6 Stab B: Knickfall 3 mit lK D 0,7l D 2,8 m;  D 88;6 < 104 ) Knickung nach Tetmajer; FG D 208:996 N am Stab B ist somit die zulässige Gewichtskraft und damit die zul. Masse mzul des Körpers = 21.304 kg. Aufgabe 5.7 Es liegt Knickfall 2 vor ) lK D l D 750 mm. Mittelwert für den E-Modul nach Tab. 1.1: EGJL D 110.000 N/mm2 . s D 14 mm gewählt ) b D 70 mm und A D 1764 mm2 .  D 49 < 80 ) Rechnung der Spannung nach TetmajerI SK D 4;45 > 4 ) knicksicher! Aufgabe 5.8 a) D D 30;6 mI serf D 36;72 mm, gewählt s D 40 mm b)  D 71;68 < 88 ) TetmajerI SK D 3;34 ) knicksicher! c) K M D K Kugel + K Rohr D 1.711.182,27 C

6.5 Ergebnisse zu Kapitel 5

135

Aufgabe 5.9 a) Druckkraft F d auf den Stützstab: Fd D 2:719:641;47 N  2720 kN b) Sicherheit gegen Fließen: Bedingung:  d   zul : SF D 1;835 .ausreichend, da SF > 1;5/ Sicherheit gegen Knickung (Knickfall 2): SK D 2;66 > 2: Die Sicherheit gegen Druck und Knicken ist gegeben. c) Materialkosten K M D 2169,18 C

7

Lösungshinweise

7.1

Lösungshinweise zu Kapitel 1

Aufgabe 1.1 Der Trägerverband wird auf Zug beansprucht. a) Die Spannungen in den Schnitten A–A und B–B errechnen sich zu: AA D BB D

F AAA F ABB

N N D 59;93 mm 2  60 mm2

mit

AAA D 58:400 mm2

D 291;67

mit

ABB D 12:000 mm2

N mm2

 292

N mm2

b) Die Schwellfestigkeit  zSch ergibt sich zu  zSch D SF   B–B D 1,5  291,67 N/mm2 D 437,51 N/mm2 , gemäß Tab. 1.5 gewählt: E335GC mit  zSch D 470 N/mm2 . c) Masse m des Verbandes: m D mL C mFlach D 4  m0  lL C n  AFlach  lFlach  St D 4  23;6 kg/m  20;2 m C 46:400 mm2  41  100 mm  7;85 kg/dm3  106 dm3 /mm3 D 1906;88 kg C 1493;38 kg m D 3400;26 kg Materialkosten K M D kL  mL C kFlach  mFlach D 1,80 C/kg  1906,88 kg C 1,60 C/kg  1493,38 kg D 3432,38 C C 2389,41 C D 5828,79 C Aufgabe 1.2 a) Dehnung gemäß Gl. (1.6): " D

l l

b) Gl.(1.6) nach l umstellen: l D

 100 % D 0;75 % " 100 %

 l D 1;2 mm

Aufgabe 1.3 Anwendung des H OOKE’sche Gesetzes, Gl. (1.7) und umstellen nach l und mit Gl. (1.8): l D 0,381 mm © Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2020 K.-D. Arndt et al., Klausurentrainer zur Festigkeitslehre für Wirtschaftsingenieure, https://doi.org/10.1007/978-3-658-28902-7_7

137

138

7

Lösungshinweise

Aufgabe 1.4 a) Es handelt sich hier um eine Parallelschaltung von Stahlzylinder und GJS-Rohr, d. h. die Längenänderungen sind gleich: h D h1 D h2 D l. Angewendet wird das H OOKE’sche Gesetz, Gl. (1.7): h h N N 1 D E1  "1 D E1 ; 2 D E2  "2 D E2 D 105 D 85 h mm2 h mm2 b) Die Gesamtpresskraft ergibt bei der Parallelschaltung aus der Addition der Einzelkräfte: F D F1 C F2 D 1  A1 C 2  A2 D 206:167;02 N C 186:924;76 N D 393:091;78 N  393 kN Aufgabe 1.5 Die Steigung des Gewindes beträgt P D 2,5 mm, bei einer 1/4 Umdrehung ist l D 2,5 mm  1/4 D 0,625 mm. Die Schraube wird auf Zug beansprucht. Die Dehnung "S der Schraube muss die ermittelte Längenänderung ergeben:  F P P F l AS  ES  P D I "S  l D D "S D ) )F D ES AS  ES 4 AS  ES 4 4l Die Hülse hingegen wird zusammengedrückt mit der geometrischen Bedingung: lS  lH D P/4. Ferner gilt: Zugkraft Schraube D Druckkraft Hülse D F und damit: F  F und "H D D "S D AS  ES EH AH  EH mit "S D Verlängerung, "H D Verkürzung sowie ES D EH  l  "S  l  "H D P4 ) F  l AS1ES C AH1EH )F D

4l

 P E 1 1 A CA S

D 84:174;7 N  84:175 N

H

Die Spannungen in Schraube und Hülse betragen: F 84:175 N N F 84:175 N N D  268 und H D D  388 S D AS 314;16 mm2 mm2 AH 216;77 mm2 mm2 Aufgabe 1.6 a) Zugfestigkeit  z im Schnitt A–A: F z D mit A D 4  AL C 4  ABl D 17:200 mm2 C 42:400 mm2 D 59:600 mm2 A N ) z D 142;62 mm2 b) Die Wechselfestigkeit  zW ergibt sich zu  zW D SF   z D 2  142,62 N/mm2 D 285,24 N/mm2 , gemäß Tab. 1.5 gewählt: E335GC mit  zW D 300 N/mm2 . c) Die Formänderungsarbeit des Verbandes lässt sich nach Gl. (1.11) bestimmen: 1 2 1 F2  l 1 .8:500:000 N/2  20:000 mm D  D  Wf D  V  N 2 E 2 AE 2 59:600 mm2  210:000 mm 2 D 57:726:110;58 Nmm D 57;7 kNm

7.1 Lösungshinweise zu Kapitel 1

139

d) Masse m des Verbandes: m D mL C mBl D 4  m0  lL C ABl  lBl  St D 4  33;8 kg/m  20 m C 42:400 mm2  20:000 mm  7;85 kg/dm3  106 dm3 /mm3 D 2704 kg C 6656;8 kg m D 9360;8 kg Materialkosten KM D kL mL CkBl mBl D 1;80 C/kg2704 kgC1;60 C/kg6656;8 kg D 4867;2 C C 10:650;88 C; KM D 4867;2 C C 10:650;88 C D 15:518;08 C Aufgabe 1.7 Konstruktion des Dauerfestigkeitsschaubildes (DFS) nach Smith (Abb. 7.1): Das Smith-Diagramm stellt die Abhängigkeit des Spannungsausschlags  a von der Mittelspannung  m dar. VD N/mm2 6

Rp0,2 570 VSch 520

5

Va

7

400

1

Va

VW 330

200 100 4

45° 0

100

200 3 300

-100 -200

VW -330

2

½VSch

Abb. 7.1 Dauerfestigkeitsschaubild (DFS)

400

500 Rp0,2

Vm N/mm2

140

7

Lösungshinweise

Für die Dauerfestigkeit werden über der Mittelspannung  m die Oberspannung  o D  m C  a und die Unterspannung  u D  m   a aufgetragen. Die Oberspannung  o wird durch die Streckgrenze (Re /Rp0,2 ) begrenzt. Sind die Werte Re /Rp0,2 bzw. Rm ,  Sch und  W für einen Werkstoff bekannt, kann mit diesen Daten das Smith-Diagramm wie folgt konstruiert werden:  Koordinatensystem mit der Mittelspannung  m (Abzisse) und der Dauerfestigkeit  D (Ordinate)  Vom Ursprung (0;0) eine 45°-Gerade antragen  Punkt 1: auf der Ordinate C W antragen  Punkt 2: auf der Ordinate  W antragen  Punkt 3: auf der Abzisse  m D 1/2 Sch antragen  Punkt 5: Linie  m D Rp0,2 und Linie  D D Rp0,2 mit der 45°-Geraden zum Schnitt bringen  Punkt 7:  m D 1/2 Sch und  D D  Sch  Punkt 6: Schnittpunkt der Geraden durch 1und 7 mit der Linie  D D Rp0,2  Punkt 4: Senkrechte unter Punkt 6 mit der Geraden durch 23 VD N/mm2 Rm

1000

ReH

900

½VW 1 2 4

500

Va

VW

Va

VSch 750

3

45°

100 0 -100

VW

100

500

800

1000

Vm N/mm2

-500

Abb. 7.2 Dauerfestigkeitsschaubild (DFS) für ReH D 900 N/mm2 ; Rm D 1000 N/mm2 ;  W D 500 N/mm2

7.1 Lösungshinweise zu Kapitel 1

141

Aufgabe 1.8 Eine weitere Möglichkeit zur Konstruktion des DFS gegenüber der in Aufgabe 1.7 beschriebenen Vorgehensweise wird im Folgenden gezeigt (Abb. 7.2): a) Konstruktion des Dauerfestigkeitsschaubildes (DFS) nach Smith:  Antragen der gegebenen Kenngrößen C W ,  W , Re (Reh oder Rp0,2 ), Rm auf der senkrechten  D -Achse  45°-Gerade durch den Ursprung legen  im Schnittpunkt der 45°-Geraden mit Rm wird 1/2 W in negativer Richtung nach links angetragen (Punkt 1)  Punkt 1 mit C W auf der  D -Achse verbinden, der Schnittpunkt mit der ReH -Geraden ergibt den Punkt 2  Abstand Punkt 2 zur 45°-Geraden nach unten abtragen, ergibt den Punkt 3  C W , mit Punkt 2, Punkt 4, Punkt 3 und  W verbinden. Der eingeschlossene Bereich begrenzt das Dauerfestigkeitsgebiet. Alle  m   a -Kombinationen, die außerhalb dieses Bereiches liegen, führen zum Bruch.

VD N/mm2 1000 Vmax

45° 0

- 500

½VSch

VSch

500

Vmin 500

½VSch

Abb. 7.3 Ermittlung der Schwellfestigkeit  zSch

1000

Vm N/mm2

142

7

Lösungshinweise

VD N/mm2

Va

Va

1000

Vm

500

45° 0 500

1000

Vm N/mm2

- 500 Vm

Abb. 7.4 Ermittlung der Ausschlagspannung  a aus dem DFS

b) Die Schwellfestigkeit  Sch (Abb. 7.3) ergibt sich aus der unteren Spannung  min D 0, der Mittelspannung  m D 1/2 Sch und der Oberspannung  max D  Sch , sie beträgt  Sch D 750 N/mm2 . c) Die Ausschlagspannung  a (Abb. 7.4) erhält man, indem bei der Mittelspannung  m D 650 N/mm2 senkrecht nach oben gelotet wird. Aus dem senkrechten Abstand der Reh Geraden mit der 45°-Geraden ergibt sich die Ausschlagspannung  a D 250 N/mm2 . Mit der geforderten Sicherheit SD D 2 folgt daraus  a zul D 125 N/mm2 . Aufgabe 1.9 Hierzu müssen folgende Spannungen bestimmt werden: Oberspannung  o : Unterspannung  u : Mittelspannung  m : Ausschlagspannung  a :

o D

210:000 N N D 105 mm 2 .12040/ mm25 mm 90:000 N N u D D .12040/ D 45 mm25 mm mm2 .105C45/ N 2 0 Cu N mm m D 2 D D 75 mm 2 2 N .10545/ 0 u N mm2 a D 2 D D 30 mm2 2 F0 A Fu A

D

7.1 Lösungshinweise zu Kapitel 1

143

VD N/mm2 500 Rm

430

Re VSch

275 270

VzW

170

Va

300

100

Va

45° 0 75

200

300

500

Vm N/mm2

-100 VzW -170

-300 Abb. 7.5 Dauerfestigkeitsschaubild S275JR für Zug/Druck

Aus dem Dauerfestigkeitsschaubild (DFS, Abb. 7.5) ergibt sich für  m D 75 N/mm2 eine Ausschlagsspannung  a DFS D 150 N/mm2 . Mit diesem Wert und der berechneten Ausschlagspannung  a D 30 N/mm2 errechnet sich die vorhandene Sicherheit SD vorh zu: N 150 mm a DFS 2 SD vorh D D D 5; gegenüber einer geforderten Sicherheit SD D 2 : : : 4: N a 30 mm 2 Aufgabe 1.10 a) Der benötigte Querschnitt A berechnet sich aus F F 100:000 N D D 800 mm2 und damit )AD D N A  125 mm 2 q q 2 D 4800mm D 31;91 mm, gewählt d D 32 mm der Durchmesser d D 4A  b) Die Sicherheit gegen Dauerbruch ergibt sich, da es sich um eine rein wechselnde Beanspruchung handelt zu N 400 mm W 2 D D 3;2 SD D N vorh 125 mm2

144

7

Lösungshinweise

V N/mm2

125

300

0

125

200 150 100 S 2

S

-100

3S 2

5S 2

2S

3S

7S 2

4S

-200 Abb. 7.6 Zeitlicher Spannungsverlauf

c) Die konstant wirkende Kraft verschiebt die Spannungskurve um N N 2  150 mm  D FA D 120:000 2 in den Zugbereich. Mit einer um 150 N/mm aus 322 mm2  4

der Nulllage nach oben verschobenen Spannungskurve (Abb. 7.6) mit der Amplitude (Ausschlagspannung  a ) von  a D 125 N/mm2 . Zur Bestimmung der maximal ertragbaren Ausschlagspannung ist hierfür ein Dauerfestigkeitsschaubild aus den gegebenen Werten Rm D 1000 N/mm2 ; Rp0,2 D 680 N/mm2 ;  Sch D 640 N/mm2 und  W D 400 N/mm2 zu konstruieren. Als ertragbare Amplitude bei einer Mittelspannung von  m D 150 N/mm2 (Punkt A, Abb. 6.7) wird ein Wert  a zul D 362,5 N/mm2 abgelesen. Die Sicherheit gegen Dauerbruch kann mit folgenden Annahmen bestimmt werden: Annahme 1: Nur die zeitlich veränderten Anteile der Belastung werden betrachtet. Bei einer Mittelspannung von  m D 125 N/mm2 (Punkt B, Abb. 7.7) wird ein Wert  a zul D 370 N/mm2 abgelesen. Damit ergibt sich N 370 mm a zul 2 SD D D D 2;96 N vorh 125 mm2 Annahme 2: Bei einer Mittelspannung  m D 275 N/mm2 (Punkt C, Abb. 7.7) aus zeitlichem und konstanten Wert wird a0 zul D 335;5 N/mm2 abgelesen. Damit ergibt sich N 335;5 mm 0 2 SD0 D a zul D D 2;68 N vorh 125 mm 2 Die Sicherheit gegen Fließen beträgt SF D

Rp0;2 m

D

680 275

N mm2 N mm2

D 2;47.

7.2 Lösungshinweise zu Kapitel 2

145

½VW

VD N/mm2

Rp0,2

680

VW

400 C

275

VSch = 640

Rm 1000

45°

A 100

B

0 -100

VW

-400

500

100

1000

800

Vm N/mm2

½VSch

Abb. 7.7 DFS

7.2 Lösungshinweise zu Kapitel 2 7.2.1

Lösungshinweise zu Abschnitt 2.1

Aufgabe 2.1.1 Es handelt sich um eine reine Zugbeanspruchung. a) Die Zugspannung in den Querschnitten berechnet sich zu: F F 125:000 N N D D D 43;21 AA D 2 2 302 mm2  dAA  2 2 AAA mm 2 60 mm  a  AA

BB

4

4

F F 125:000 N N D D D D 108;92 2 2 242 mm2  dBB  2 2 ABB mm 2 40 mm  aBB  4 4

146

7

Lösungshinweise

b) Gefährdet ist der Querschnitt B–B, da dort die größte Zugspannung auftritt:   d2   2  BB  zul F D ABB  zul D aBB 4   N 242 mm2   2 2  180 D 40 mm  D 206:570 N 4 mm2 Aufgabe 2.1.2 Da Stahlkern und Kunststoffummantelung fest miteinander verbunden sind, handelt es sich um eine Parallelschaltung. Für die Kraft F bei der Parallelschaltung gilt: F D FK C FUm D EK  "K  AK C EUm  "Um  AUm mit "K D "Um D " D l= l F l l F D .EK  AK C EUm  AUm / ) l D l .EK  AK C EUm  AUm / 1:500:000 N  100:000 mm  D 250;15 mm l D  N N  2 2  2 2 2 210:000 mm 2  60 mm  4 C 12:000 mm2  4 .65  60 / mm Zugspannung im Stahlkern: l 250;15 mm N N K D EK  " D EK   D 210:000 D 525;32 l mm2 100:000 mm mm2 Zugspannung in der Kunststoffummantelung: l 250;15 mm N N  Um D EUm  " D EUm  D 12:000 D 30 2 l mm 100:000 mm mm2 Aufgabe 2.1.3 Die Schweißnaht unter dem Winkel ˇ wird durch eine Normal- und Tangentialspannung beansprucht. Anwendung der Gl. (2.7) und (2.8). Normalspannung  F 180:000 N  cos2 .90ı  ˇ/ D  cos2 .90ı  35ı /  D 0  cos2 ˛ D A0 40 mm  30 mm N D 49;35 mm2 Tangentialspannung  1 F 1 1 180:000 N sin 2 .90ı  ˇ/ D   D  0  sin 2˛ D   sin 2.90ı  35ı / 2 2 A0 2 40 mm  30 mm N D 70;5 mm2

7.2 Lösungshinweise zu Kapitel 2

147

b

c FS D

z x

A

B

C m

Abb. 7.8 Kräfte am Tragarm

Aufgabe 2.1.4 a) Bestimmung der Stabkraft F S (Abb. 7.8): X MA D FS  sin ˛  b  m  g.b C c/ D 0 a a ) tan ˛ D ) ˛ D arctan ) ˛ D 41;63ı b b m m  g .b C c/ FS D  D 2;51  m  g D 24;61  m  2 sin ˛ b s b) Zulässige Masse m:  A  2 Rm F ; FS D Rm  mit A D D d  di2 D 863;94 mm2 D A SB SB 4 a A sin ˛ A b m D Rm   D 8951;2 kg  D 0;0406  Rm  SB g bCc SB c) Zulässige Masse m*: l  A  E FS  l l  A  E D 120:534 N l D ) FS D D p AE l a2 C b 2 FS  sin ˛  b m D D 4897;42 kg g.b C c/ d) K M D m  kSt D 8951,2 kg  1,60 C/kg D 14.321,92 C Aufgabe 2.1.5 a) Spannungsverlauf  (x) über der Stablänge l: An einem Volumenelement dV D A  dx greift die Gewichtskraft dF G D dm  g D dV    G D q.x/ D   g  A D Streckenlast. g D   g  A  dx an, damit gilt: dF dx Da die Querschnittsfläche A konstant ist, gilt für den Spannungsverlauf  (x): Z d D   g  A ) d D   g  dx )  D    g  dx D   g  x C C: A dx Mit der Randbedingung  .x D l/  A D m  g D .  g  l C C /  A ) C D   g  l C m  g=A und dem Spannungsverlauf:  .x/ D   g  x C   g  l C m  g=A D   g  .l  x/ C m  g=A D   g  l  Œ1  .x= l/ C m  g=A

148

7

Lösungshinweise

b) Spannung an der Einspannstelle (1): 250 kg  9;81 sm2 m2 mg m kg C D 7850 3  9;81 2  12;5 m  106 1 D   g  l C 302 mm2  A m s mm2 4

N D 4;43 mm2 c) Längenänderung l: Die Dehnung " ergibt sich zu: x m  g gl   .x/ 1 C D ".x/ D E E l E A   ZxDl l g 1 " .x/ dx D l ACm ) l D EA 2 xD0

l D

12:500 mm  9;81 sm2 N 210:000 mm 2 

302 mm2  4



 1 302 mm2    106 m2 kg C 250 kg  7850 3  12;5 m  2 m 4 mm2

D 0;235 mm Aufgabe 2.1.6 a) Das Seil reißt am höchsten Punkt, infolge des Eigengewichtes und bei Überschreiten der Bruchfestigkeit. Es muss gelten: m 1200 m  22;2 kg FG mg l  m0  g m  9;81 s2  N D D D A A A 2830 mm2 kgm s2 N D 92;35 mm2 b) Zugfestigkeit des Stahles Rm D 1200 N/mm2 . Vorstehende Gleichung nach l auflösen: N 2 1200 mm Rm  A 2  2830 mm lD 0 D 15:594 m D Ns2 m g 22;2 kg  9;81 sm2  kgm m

Rm erf   D

c) Die Sicherheit gegen Bruch soll das Seilgewicht der Länge von 750 m einschließen. Aus SB D 10 ergibt sich: N 1200 mm Rm FG C Fmax N l  m0  g C Fmax 2 D D D 120 D SB 10 mm2 A A 0 D zul  A  l  m  g

zul D Fmax

D 120

N kg m N  s2 2  2830 mm  750 m  22;2   9;81 mm2 m s2 kg  m

D 176:263;5 N Dies entspricht einer Masse m D 17.968 kg.

7.2 Lösungshinweise zu Kapitel 2

149

Aufgabe 2.1.7 Für die Dehnung unter mechanischer und thermischer Beanspruchung gilt:  F C ˛  # D C ˛  # "ges D "mech C "therm D E AE  F C ˛  # F ist entgegengesetzt gerichtet, damit wird "ges D  C ˛  # D  E AE Die Länge des Stabes ändert sich nicht, wenn "ges D 0 ist ) N  2;4  105 K1  125 K D 12:600 N F D A  E  ˛  # D 60 mm2  70:000 mm2 Aufgabe 2.1.8 a) Spannungen  und Pressdruck p: Im montierten Zustand ist der Radius von Rohr 1 um d1 größer und der Radius von 1 2 und "2 D d . Rohr 2 um d2 kleiner. Es muss gelten: ı D d1 Cd2 mit "1 D d d1 d2

d2 1 Für die Spannungen folgt: 1 D E  "1 D E  d d1 , 2 D E  "2 D E  d2 Beide Rohre werden durch den gleichen Pressdruck belastet, wobei der Pressdruck bei Rohr 1 auf der Innenseite anliegt und nach außen gerichtet ist und bei Rohr 2 auf der Außenseite anliegt und nach innen gerichtet ist. Für die Spannungen gilt auch die Kesselformel: p  d1 p  d2 2  s1  1 2  s2  2 ; 2 D )pD D 1 D 2  s1 2  s2 d1 d2 Einsetzen der Beziehungen für die Spannungen ergibt:   d1 d2 d1 d2 s2 d1 2 2E 2 s1 D 2E 2 s2 ) s D s ) d D  d2 1 2 1 s1 d2 d1 d2 d12 d22 Einsetzen in ı D d1 C d2 ) "   # s2 d1 2 ı ıD und C 1 d2 ) d2 D  2 s1 d2 s2 d1 C 1 s1 d2   s2 d1 2 ı d1 D  2  s d2 s2 d1 C1 1 s1 d2     s2 d1 2 10 mm 140 mm 2 D D 1;361 s1 d2 10 mm 120 mm 0;15 mm d2 D D 0;0635 mm und d1 D 1;361  0;0635 mm D 0;0865 mm 1;361 C 1 ı D 0;0865 mm C 0;0635 mm D 0;15 mm .Kontrolle/ Spannungen  1 und  2 und Pressdruck p: d1 N 0;0865 mm N D 210:000   1 D E  "1 D E  D 129;75 d1 mm2 140 mm mm2 d2 N 0;0635 mm N 2 D E  "2 D E  D 210:000  D 111;125 d2 mm2 120 mm mm2

150

7

Lösungshinweise

N 2  10 mm  129;75 mm 2  s1  1 N 2 D  18;5 d1 140 mm mm2 N 2  10 mm  111;125 mm2 2  s2  2 N pD D .Kontrolle/  18;5 d2 120 mm mm2 b) Temperaturerhöhung Zum Montieren muss der Durchmesser des Rohres 1 um den Betrag ı vergrößert werden, d. h. ı 0;15 mm ı D ˛  # ) # D D  90 K "D d1 ˛  d1 1;2  105 K1  140 mm

pD

Aufgabe 2.1.9 a) Es gilt die Bedingung l D 0 D ltherm C lmech C lFeder D l  ˛  #    l F 1 E ACcl # D C DF ; für die Fließgrenze gilt: l ˛ E A c E Ac l ˛ F F D ) F D F  A D Re  A A mit A D B  H  b  h D 60 mm  100 mm  52 mm  92 mm D 1216 mm2 E ACcl # D Re E cl ˛ N N 2 2;1  105 mm N 2  1216 mm C 125:000 mm  2000 mm  D 235 N N 5 K1 mm2 2;1  105 mm 2  125:000 mm  2000 mm  1;2  10

F l EA



D 188;5 K b) Aufgrund der Einspannung handelt es sich um den Eulerfall 1 mit lK D 2l  2  E  Imin 1  2  E  Imin D und FK D 2 4 l2 lK E ACcl  2  Imin E  A C c  l  D E Acl ˛ 4  l2 Acl ˛ 3 3 3 4 B H bh 100  60 mm  92  523 mm4 Imin D D D 722:005;33 mm4 12 12 N N  2  722:005;33 mm4 2;1  105 mm2  1216 mm2 C 125:000 mm  2000 mm # D  N 4  20002 mm2 1216 mm2  125:000 mm  2000 mm  1;2  105 K1

# D FK

D 61;7 K

F c

7.2 Lösungshinweise zu Kapitel 2

151

Abb. 7.9 Kräfte am Bauteil

FA

FB

FA

F

Aufgabe 2.1.10 a) Horizontale Lagerkräfte F A und F B (Abb. 7.9): X F D 0WFA  FB D 0 ) FA D FB I FA  F D 0 ) FA D F F  l1 und E  A1 F  l2 l2 D lth 2  lel 2 D ˛  l2  #  E  A2 Es gilt die Bedingung: l D l1 C l2 D 0 F  l1 F  l2 ˛  # .l1 C l2 / C ˛  l2  #  D0 )F D ˛  l1  #  l1 l2 E  A1 E  A2 EA C EA

l1 D lth 1  lel 1 D ˛  l1  # 

1

F D FA D FB D

1;2  105 K1 .375  293/ K .400 C 600/ mm 400 mm mm2 2;1105 N252 mm2

C

600 mm mm2 2;1105 N302 mm2

2

D 158:143 N

b) Verschiebung des Punktes C (Abb. 7.10): F  l1 ˛  # .l1 C l2 / l1 D ˛  l1  #   wC D l1 D ˛  l1  #  l l 1 2 E  A1 E  A1 EA C EA 1

2

A1  A2 D ˛  l1  l2 #  l1  A2 C l2  A1 wC D 0,088 mm; d. h. der Punkt C verschiebt sich nach links c) Spannungen in 1 und 2: F 158:143 N N D D 253 1 D 2 2 A1 25 mm mm2 F 158:143 N N 2 D D D 175;71 A2 302 mm2 mm2

Abb. 7.10 Verschiebung des Punktes C

l1

wc

152

7

Lösungshinweise

Aufgabe 2.1.11 a) Berechnung der Schubspannung  a (zweischnittige Verbindung): F 2F F a D D  2 D 2A 2 4d   d2 2F aB Festigkeitsbedingung: a  a zul W a D D 2  d SB Damit folgt für den Durchmesser d: s s 2  F  SB 2  50:000 N  2 D D 19;94 mm; gewählt d D 20 mm dD N   aB   160 mm 2 b) Die maximale Flächenpressung p tritt in der mittleren Fläche auf. F 50:000 N N pD D D 83;33 bd 30 mm  20 mm mm2 Aufgabe 2.1.12 Anwendung der Kesselformeln Gln. (2.21) und (2.22): t D

pi r s

und a D

pi r 2s

a) Spannungen im Behälter: Spannungen für den zylindrischen Behälterteil: N 0;8 mm pi  r pi  r N 2  750 mm t D und a D D D 75 2 s 8 mm mm 2s N 0;8 mm N 2  750 mm D D 37;5 2  8 mm mm2 Spannung für den halbkugelförmigen Behälterteil: N 0;8 mm pi  r N 2  750 mm a D D D 37;5 2s 2  8 mm mm2 b) Materialkosten K KM D .AKugel  s C AZyl  s/    kSt D .d C l/  d    s    kSt KM D .1500 C 2500/ mm  1500 mm    8 mm  7;85

kg  dm3  1;60 C/kg dm3  106 mm3

D 1894 C Aufgabe 2.1.13 Es handelt sich um Spannungen in Behältern, d. h. Anwendung der Kesselformeln (Gln. 2.21 und 2.22): a) 1 bar D 105 N/m2 D 0,1 N/mm2 N 350 mm pi  r pi  r ReH N 2 t D und a D ; zul D D D 175 s 2s S 2 mm2 N 35  0;1 mm pi  r 2  1250 mm s D D 25 mm N zul 175 mm 2 r1 

N 175 mm zul  2  s 2  2  25 mm D D 2500 mm N pi 3;5 mm 2

7.2 Lösungshinweise zu Kapitel 2

153

b) Spannungen gemäß Gl. (2.21) und (2.22): N 3;5 mm pi  r N 2  1250 mm D D 175 s 25 mm mm2 N 3;5 mm pi  r N 2  1250 mm a D D D 87;5 2s 2  25 mm mm2 N 3;5 mm pi  r N 2  2500 mm a1 D D D 175 2s 2  25 mm mm2

t D

Aufgabe 2.1.14 N a) 1 bar D 105 mN2 D 0;1 mm 2 "ges D "mech C "therm ;

mit  D E  " und Kugel D

pi  r .Kesselformel/ 2s

1 p  r1 C ˛1  # D C ˛1  # E1 2  s1  E1 2 pa  r2 D C ˛2  # D C ˛2  # E2 2  s2  E2

"1 D "mech1 C "therm1 D "2 D "mech2 C "therm2

Es gilt: "1 D "2 .pi  pa /  r1 pa  r2 C ˛1  # D C ˛2  # 2  s1  E1 2  s2  E2 pi  r1 pa  r1 pa  r2 C .˛1  ˛2 / # D C 2  s1  E1 2  s1  E1 2  s2  E2 pa D mit

pi C

r2 s1 E1 r1 s2 E2

2s1 E1 r1

1C D

ˇ ˇ 2  s1  E1 ˇ ˇ r1

.˛1  ˛2 / # r2 s1 E1 r1 s2 E2

1006 mm7 mm120 kN mm2 1000 mm5 mm210 kN mm2

D 0;805

b) # D 0 pi 8 bar N D D 4;43 bar D 0;443 1 C 0;805 1 C 0;805 mm2 N p D pi  pa D 8 bar  4;43 bar D 3;57 bar D 0;357 mm2 p  r1 0;357 N  1000 mm N 1 D D D 25;5 2  s1 mm2 2  7 mm mm2 pa  r2 0;443 N  1006 mm N 2 D D D 44;6 2 2  s2 mm 2  5 mm mm2 c) Der Stahlkessel ist für pa D 0 spannungsfrei. r1 # D pi  2  s1  E1 .˛1  ˛2 / 1000 mm mm2 N  D 0;8 2 mm 2  7 mm  120:000 N .17  12/  106 K1 pa D

D 95;24 K

154

7

Lösungshinweise

# D #0 C # D 293 K  95;24 K D 197;76 K D 75;24 ı C 1 D

pi  r1 0;8 N  1000 mm N D D 57;14 2 2  s1 mm 2  7 mm mm2

d) Materialkosten K M KMCu D AKugel1  s1  Cu  kCu D d12    s1  Cu  kCu C kg  dm3  7;05 D 5420;11 C 3 6 3 kg dm  10 mm D AKugel2  s2  St  kSt D d22    s2  St  kSt

KMCu D 20002 mm2    7 mm  8;74 KMSt

KMSt D 20142 mm2    5 mm  7;85

C kg  dm3  1;60 D 800;26 C 3 6 3 kg dm  10 mm

Aufgabe 2.1.15 a) Der Drehpunkt M des Rotorblattes (Abb. 7.11) wird als Ursprung der x-Achse gewählt. Für die Streckenlast infolge der Fliehkraft gilt q(x) D ! 2    A  x (s. Streckenlast Aufgabe 2.1.5). Aus der Stabgleichung dF D q.x/ D ! 2    A  x folgt durch Integration F(x) D 1/2  ! 2    A  x2 C C. dx Am äußeren Ende muss die Kraft null sein: F(x D l) D 0 D 1/2  ! 2    A  l2 C C ) C D 1/2  ! 2    A  l2 . Somit gilt für die Kraft F(x) D 1/2  ! 2    A  (l2  x2 ) und für die Spannung   x 2    1 1 F .x/ D !2   l 2  x2 D !2    l 2 1   .x/ D A 2 2 l Alternativlösung:   A .l  x/  m  rS2  ! 2 F D D A A A  x 2  1 D  !2    l 2 1  2 l

D

lCx 2

 !2

D

Abb. 7.11 Angriffspunkt der Fliehkraft

  1  !2   l 2  x2 2

l-x

x a M

F

A Z

½(l + x) l

7.2 Lösungshinweise zu Kapitel 2

155

b) Spannung  an der Stelle A: h  2 i A D 12 ! 2    l 2 1  al

"  2 # kg 2 2 2 3 2 2 150 mm dm m 1 325  1;6 dm3  8;1 m N  s A D   103 3  106  1   s 2 2 m mm2 kg  m 8100 mm min 60 min N D 1;54 mm2 c) Längenänderung l des Rotorblattes:   Für die Dehnung gilt: " .x/ D  E.x/ D 12 ! 2  E l 2  x 2 . Die Längenänderung berechnet sich zu  l Zl Zl  2  !2  x3 !2  2 2 l D " .x/ dx D l  x dx D   l x 2 E 2 E 3 a a a   !2  3 2 a 1  a 3 D  l  C 2 E 3 l 3 l 2 2 325 1;6 kg  106  103 3 3 m Ns l D   8100 mm  N 3 s 2 mm kg m 88:000 mm 2 mm 2 min 60 min "  3 # 2 150 mm 1 150 mm   C l D 0;092 mm 3 8100 mm 3 8100 mm

7.2.2

Lösungshinweise zu Abschnitt 2.2

Aufgabe 2.2.1 Momente: M bi D F 1  l1i C F 2  l2i , Biegespannung bi D    406;44  381;44 mm4 Wb D D 1:477:887 mm3 32 406;4 mm Stelle l1i mm l2i mm M bi kNm  bi N/mm2

1 1800 0 22,5 15,2

2 2500 700 36,5 24,7

3 2500 3000 53,75 36,4

Materialkosten   2 KM D da  di2  lges    kRohr 4

4 3200 3700 67,75 45,8

5 4600 3700 85,25 57,7

Mbi Wb

und Wb D

6 5300 3000 88,75 60

7 5300 700 71,5 48,4

4 4  da di 32 da

8 6000 0 75 50,75

9 7300 0 91,25 61,7

156

7

Lösungshinweise

  406;42  381;42 mm2  .2  2300 C 1400 C 2  700  / mm 4 kg  dm3 C  7;85  2;60 kg dm3 106 mm3 D 3282;82 C

KM D

Aufgabe 2.2.2 M a) by D Wbyb D b) SF D

Re by

D

Mby e Iy 235

D

N mm2 N mm2

154;24

50:000:000 Nmm 38:900:000 mm4

N  120 mm D 154;24 mm 2

D 1;52 > 1;5

N 3 c) Mbz D by  Wz D 154;24 mm 2  47:300 mm D 7:295:552 Nmm  7;3 kNm

Aufgabe 2.2.3 Schwerpunktabstand yS : P Ai  yi 29:724 mm3 D D 17;44 mm yS D Ages 1704 mm2 Teilfläche 1 2 3 †

Ai mm2 55  9 D 495 7  102 D 714 55  9 D 495 1704

Abb. 7.12 Bezugssystem und Aufteilung der U-Profilfläche (Aufgabe 2.2.3)

ySi  Ai mm3 13.612,5 2499 13.612,5 29.724

ySi mm 27,5 3,5 27,5

z 3 S 2 1 y yS

7.2 Lösungshinweise zu Kapitel 2

157

Abb. 7.13 Bezugssystem und Aufteilung der U-Profilfläche (Aufgabe 2.2.4)

2 zS

y

1

3

z

Aufgabe 2.2.4 Schwerpunktabstand zS : Teilfläche 1 2 3 †

P

Ai mm2 52  8 D 416 60  8 D 480 52  8 D 416 1312

zSi  Ai mm3 14.144 1920 14.144 30.208

zSi mm 34 4 34

Ai  zi 30:208 mm3 D D 23;02 mm Ages 1312 mm2 Flächenmomente I y und I z durch Anwendung des S TEINER ’schen Satzes: zS D

1 416 26 10,98 93.738,67 2218,67 50.153,13 281.216

Ai ySi zSi I yi I zi 2 zSi  Ai 2 ySi  Ai

2 480 0 19,02 2560 144.000 173.645 0

3 416 26 10,98 93.738,67 2218,67 50.153,13 281.216

† 1312

190.037,34 148.437,34 273.951,26 562.432

X

mm2 mm mm mm4 mm4 mm4 mm4

 2 Iyi C zSi  Ai D 190:037;34 mm4 C 273:951;26 mm4 D 463:988;6 mm4 X  2 Iz D Izi C ySi  Ai D 148:437;34 mm4 C 562:432 mm4 D 710:869;34 mm4 Iy D

Aufgabe 2.2.5 a) Schwerpunktabstand (zS bezogen auf die Unterseite des U-Profils): P Ai  zi .2  6  45  22;5 C 68  6  3/ mm3 D D 14;11 mm zS D Ages .2  6  45 C 68  6/ mm2

158

7

Lösungshinweise

z A x FAx

B FAz

FBz

C

F·cosD

F·sinD

Abb. 7.14 Kräfte Abb. 7.15 Momentenverlauf

Mb

b) Flächenmoment 2. Grades I y (Anwendung des S TEINER ’schen Satzes):   Iy D 2 I C A  z 2 C I C A  z 2     6  453 68  63 2 4 2 Iy D 2 C 6  45 .22;5  14;11/ mm C C 68  6  11;11 mm4 12 12 c)

d) e) f)

D 180:721 mm4 Auflagerkräfte (Abb. 7.14) X Fix D 0 D FAx C F  cos ˛ ) FAx D F  cos ˛ X Fiz D 0 D FAz C FBz  F  sin ˛ ) FBz D FAz C F  sin ˛ X a MB D FAz  l  F  sin ˛  a ) FAz D F sin ˛ al a FBz D F sin ˛ C F  sin ˛ ) FBz D F C 1 sin ˛ l l Maximales Biegemoment in B (Abb. 7.15): Mb max D MbB D FAz  l D F  a  sin ˛ Maximale Biegezugspannung auf der Balkenoberseite Mb max F  a  sin ˛ FAx F  cos ˛  eo D  eo mit z D D b max D bz D Iy Iy A A   a  sin ˛ cos ˛  eo C max D bz C z D F Iy A

Aufgabe 2.2.6 a) Flächenmoment 2. Grades um die waagerechte Symmetrieachse (Anwendung des S TEINER ’schen Satzes): h  b3 b  h3 C2 C 2  A  zS2 Iy D 2 12 12   10  1503 150  103 2 D2 C C 10  150  80 mm4 12 12 D 24:850:000 mm4

7.2 Lösungshinweise zu Kapitel 2

b) Auflagerkräfte FA D

ql ; FB 2

159

D

ql ; größtes 2

Biegemoment bei l=2W Mb max D

ql 2 8

Iy Mb max 24:850:000 mm4 ; Wb D D D 292:353 mm3 Wb zmax 85 mm q  l2 25 N  25002 mm2 Mb max D D D 19:531:250 Nmm 8 mm 8 Mb max 19:531:250 Nmm N N D D 66;8  67 b vorh D Wb 292:353 mm3 mm2 mm2 b vorh D

c) S D

zul vorh

D

Re vorh

D

235 67

N mm2 N mm2

D 3;5 > Serf D 3

Aufgabe 2.2.7 a) Biegemomentenverlauf (Abb. 7.16): F a F Mb max e D 2  e mit e D 14 cm  a und b D Mb max D FA  a D 2 Iges Iges 3 0 3 0   h b1   b2  h C 2  A1  z12 C 2  2 C 2  A2  z22 Iges D II C 2  1  12  12 Iges D 3890 cm4 C 2  10  1 cm2  12;52 cm2 C 2  8  1 cm2  13;52 cm2  9931 cm4 N 4 2  120 mm 2  zul  Iges 2  99:310:000 mm D D 68:098 N  68;1 kN ae 2500 mm  140 mm F  150 cm D 5:107:371;4 Ncm mit b) Mb DD D 2 IDD D II C 2  A1  z12 D 3890 cm4 C 2  10  1 cm  12;52 cm2  7015 cm4 Mb DD 5:107:371;4 Ncm N b DD D  eDD D  13 cm  9464;8 ; IDD 7015 cm4 cm2 N b DD  95 mm2

F D

a Mb max

FA

FA = FB = ½F

Abb. 7.16 Kraft- und Momentenverlauf

½F

½F

FB

160

7

Lösungshinweise

c) Materialkosten KM D lI  m0  kI C 2 .l1  b1  h1 C l2  b2  h2 /   kFlach C kg KM D 5;9 m  30;1  1;85 C 2 .2500  80  10 C 4000  100  10/ mm3 m kg 3 C kg  dm  7;85  1;60 D 479;26 C kg dm3 106 mm3 Aufgabe 2.2.8 Gesamtschwerpunkt zS : zS D Teilfläche

†

P

P

Ai zi , Ages

gewähltes Bezugssystem obere Profilkante

Ai  zi mm3

si D |zi  zS | mm

Ai mm2

zi mm

1200 800

5 60

6000 48.000

59,26 4,26

1440

116

167.040

51,74

3440

–

221.040

–

I yi D  bi  h3i =12 mm4 10.000 666.666,67 17.280 693.946,67

2 zSi  Ai mm4

4.214.097,12 14.518,08 3.854.919,74 8.083.534,94

Ai  zi 221:040 mm D D 64;26 mm Ages 3440 mm2 Flächenmoment 2. Grades, durch Anwendung des S TEINER ’schen Satzes: zS D

3

Iy ges D Iy1 C s12  A1 C Iy2 C s22  A2 C Iy3 C s32  A3 D 8:777:481;6 mm4 Widerstandsmomente am oberen und unteren Flansch: Iy ges 8:777:481;6 mm4 Wyo D D D 136:593;2 mm3 eo 64;26 mm Iy ges 8:777:481;6 mm4 Wyu D D D 152:017;35 mm3 eu 57;74 mm Biegespannungen in den Randfasern: Mby Mby F1  l1 F2  l2 D und bu D D bo D Wyo Wyo Wyu Wyu F1  l1 F1  l1 bo1 D und bu1 D Wyo Wyu F2  l2 F2  l2 bo2 D und bu2 D Wyo Wyu Maximal zulässige Kräfte: o1 D zul (Zug), o2 D zul (Zug) zul (Zug)  Wyo 160 N  136:593;2 mm3 D D 14:569;94 N  14;6 kN l1 mm2  1500 mm zul (Zug)  Wyo 160 N  136:593;2 mm3 D F2 D D 39:736;2 N  39;7 kN l2 mm2  550 mm F1 D

7.2 Lösungshinweise zu Kapitel 2 Abb. 7.17 Kraft- und Momentenverlauf

161

l

z

a

A

B

x FA

b FB

F1 = m1·g

F2 = m2·g Mb max

Abb. 7.18 Bezugssystem und Flächenaufteilung

z

150

120

1 80

30

70

2 3

y 30

Aufgabe 2.2.9 a) Auflagerkräfte und Biegemomentenverlauf (Abb. 7.17) X Fz D FA  F1  F2  FB D 0 m F1 D m1  g D 450  9;81 2 D 4414;5 N s m F2 D m2  g D 750  9;81 2 D 7357;5 N s X MB D 0W FA  l C F1  a C F2  b D 0 4414;5 N  2250 mm C 7357;5 N  1000 mm D 5763;375 N 3000 mm FB D F1 C F2  FA D 4414;5 N C 7357;5 N  5763;375 N D 6008;625 N

FA D

Mb max D FB  b D 6008;625 N  1000 mm D 6:008:625 Nmm  6 kNm b) Lage der Schwerpunktachse (Abb. 7.18) P Ai  zSi A1  z1  A2  z2  A3  z3 D zS D Ages A1  A2  A3 150  120  60 mm3  80  40  50 mm3  30  30  15 mm3 906:500 mm3 D 2 2 2 150  120 mm  30  30 mm  80  40 mm 13:900 mm2 D 65;22 mm

zS D

162

7

Lösungshinweise

c) Flächenmoment 2. Grades (Anwendung des S TEINER ’schen Satzes)     Iy ges D I1 C z12  A1  I2 C z22  A2  I3 C z32  A3     b3  h23 b1  h21 b2  h22 2 2 2 Iy ges D C z1  A1  C z2  A2  C z3  A3 12 12 12 150  1203 Iy ges D mm4 C 5;222  150  120 mm4 12 80  403 30  303  mm4 C 15;222  80  40 mm4 C mm4 12 12 ! C 50;222  30  30 mm4 Iy ges D 18:585:186 mm4 d) Maximale Biegespannung (eu D 65,22 mm, eo D 54,78 mm) Mb max 6:008:625 Nmm N  eu D  65;22 mm D 21;1 b max D Iy ges 18:585:186 mm4 mm2 Aufgabe 2.2.10 a) Gesamtschwerpunkt P Ai  zi 630 mm2  31;3 mm C 92  3 mm2  63;5 mm D D 41;1 mm zN Sges D Ages 630 mm2 C 276 mm2 b) Das Flächenmoment des Hutprofils um seine Schwerpunktachse muss ermittelt werden, und zwar bezogen auf den unteren Rand, durch Anwendung des S TEINER ’schen Satzes: IS Hut D IyN Hut  AHut  zN S2 D 969:286 mm4  630 mm2  31;32 mm2 D 352:081 mm4  2 Iy ges D IS Hut C AHut zN Sges  zN S C IBlech C ABlech  zS2 Blech 3

Iy ges D 352:081 mm4 C 630 mm2  9;82 mm2 C 923 mm4 C 276  22;42 mm4 12 4 D 551:279 mm c) Maximales  b am unteren Rand (zu D 41,1 mm, zo D 24,9 mm) My My 925:000 Nmm N b max D D  zu D  41;1 mm  69 Wb Iges 551:279 mm4 mm2 Aufgabe 2.2.11 a) Maximales Biegemoment M b max X Fz D 0W FA C FB  F D 0 F a 30:000 N  2;5 m D D 18:750 N l 4m FA D F  FB D 11:250 N und Mbmax D FB  a D 18:750 N  1500 mm D 28:125:000 Nmm D 28;125 kNm MA D 0W

FB  l  F  a D 0 ) FB D

7.2 Lösungshinweise zu Kapitel 2

b) zS D

P

Ai zi Ages

D

352:000 mm3 6000 mm2

163

D 58;67 mm, yS D 0

Teilfläche

Ai mm2

zi mm

Ai  zi mm3

1 2 3 †

140  20 D 2800 10  80 D 800 80  30 D 2400 6000

10 60 115 –

28.000 48.000 276.000 352.000

zSi D |zi  zS | mm 48,67 1,33 56,33 –

Iyi D .bi  h3i /=12 mm4 93.333,33 426.666,67 180.000 700.000

2 zSi  Ai mm4

6.632.552,92 1415,12 7.615.365,36 14.249.333,40

2 2 2 Iyges D Iy1 C zS1  A1 C Iy2 C zS2  A2 C Iy3 C zS3  A3 D 14:949:333;4 mm4

c) Biegespannung in den Randfasern Mb max 28:125:000 Nmm N  eo D  71;33 mm D 134;2 bo D Iy ges 14:949:333;4 mm4 mm2 Iy ges 14:949:333;33 mm4 D D 209:579;9 mm3 eo 71;33 mm Mb max 28:125:000 Nmm N D  eu D  58;67 mm D 110;4 Iy ges 14:949:333;4 mm4 mm2

Wbo D bu

Wbu D

Iy ges 14:949:333;33 mm4 D D 254:803;7 mm3 eu 58;67 mm

d) bo D b max D 134;2

N N < b zul D 150 ; gewählt E295 2 mm mm2

Aufgabe 2.2.12 a) Auflagerkräfte und M b max X Fz D 0W FA C FB  F1  F2 D 0 X MA D 0W FB  l  F1  l1  F2  l2 D 0 F1  l1 C F2  l2 32:000 N  1000 mm C 20:000 N  3250 mm D D 24:250 N l 4000 mm FA D F1 C F2  FB D 32:000 N C 20:000 N  24:250 N D 27:750 N

FB D

MbF1 D FA  l1 D 27:750 N  1000 mm D 27:750:000 Nmm D Mb max MbF2 D FB  l2 D 24:250 N  750 mm D 18:187:500 Nmm b) Flächenmoment 2. Grades (Anwendung des S TEINER ’schen Satzes):   Iy D Iy1  Iy2  4  Iy2 C s22  A D Iy1  5Iy2  4s22  A b1  h31    5  d 4  4  s22   d 2 12 64 4 160 mm  1203 mm3  D  5  404 mm4  302 mm2    402 mm2 12 64 D 17:887:788 mm4

Iy D

164

7

c) b D

Mb Wb

d) SF D

Rp0,2 S b

SB D

D

Mb Iy

D

e D

255

N mm2

1;593;1

27:750:000 Nmm 17:887:788 mm4

Lösungshinweise

N  60 mm D 93;1 mm 2

D 1;83 > 1;5

N 310 mm Rm 2 D D 2;22 > 2 S  b 1;5  93;1

Aufgabe 2.2.13 a) Biegemomentenverlauf und M b max (Abb. 7.19) X Fz D 0 W FA C FB  F1  F2 D 0 X MA D 0 W FB  l  F1  a  F2  .l  b/ D 0 F1  a C F2  .l  b/ 15:000 N  2350 mm C 6000 N  4300 mm D l 7400 mm D 8250 N FA D F1 C F2  FB D 15:000 N C 6000 N  8250 N D 12:750 N FB D

Mbmax D FA  a D 12:750 N  2350 mm D 29:962:500 Nmm b) Biegespannung in der Randfaser 40 % N N D 107;2 bzul D  P D 0;4  0;8  Re D 0;32  335 2 100 % mm mm2 Mb b D Es handelt sich um ein symmetr. Profil! Wb I y D I 1  I 2  2  I 3  2  I 4 (Abb. 7.20)

Abb. 7.19 Momentenverlauf

A

B

Mb max Abb. 7.20 Flächeneinteilung zur Flächenmomentberechnung (Anwendung des S TEINER ’schen Satzes)

I1

I4 I2 I3

7.2 Lösungshinweise zu Kapitel 2

b1  h31 120 mm  2003 mm3 D D 80:000:000 mm4 12 12 b2  h32 80 mm  1703 mm3 I2 D D D 32:753:333;33 mm4 12 12 b3  h33 10 mm  1703 mm3 I3 D D D 4:094:166;67 mm4 12 12 b4  h34 10 mm  1003 mm3 I4 D D D 833:333;33 mm4 12 12 Iy D 37:391:666;67 mm4 e D eo D eu Mbmax Mbmax 29:962:500 Nmm N b D D e D  100 mm D 80;13  zul 4 Wb Iy 37:391:666;67 mm mm2 N D 107;2 mm2 c) Biegespannung in Höhe der Schweißnaht  bSchw Mbmax Mbmax 29:962:500 Nmm N bSchw D D  eSchw D  85 mm D 68;11 Wb Iy 37:391:666;67 mm4 mm2 d) Sicherheit gegen Fließen N 335 mm Re 2 Svorh D D D 4;18 N b 80;13 mm 2 I1 D

Aufgabe 2.2.14 a) Biegespannungen im Schnitt A–A und B–B: MbAA D F  l D 400:000 N  3000 mm D 1:200:000:000 Nmm D 1;2 MNm MbBB D F  .l  500 mm/ D 400:000 N  2500 mm D 1:000:000:000 Nmm

bAA

D 1 MNm MbAA D eA IyAA

B  H 3 b  h3 400 mm  .600 mm/3 370 mm  .570 mm/3  D  12 12 12 12 D 1:489:882:500 mm4 1:200:000:000 Nmm N bAA D  300 mm D 241;63 4 1:489:882:500 mm mm2 H1 D 550 mm, h1 D 520 mm   d2  s 3 B  H13 b  h31 s  d13 2  2 2 C s1  d2  s IyBB D 12 12 12 12 IyAA D

165

166

7

IyBB D

Lösungshinweise

400 mm  .550 mm/3 370 mm  .520 mm/3 15 mm  .250 mm/3  2 12 12 12   100 mm  153 mm3 2 2 2 C 267;5 mm  100 mm  15 mm 12

D 956:632:500 mm4 MbBB 1:000:000:000 Nmm N bBB D eB D  275 mm D 287;47 IyBB 956:632:500 mm4 mm2 b) Werkstoff, der einer schwellenden Belastung und der geforderten Sicherheit von 1,5 genügt.  bSch =  b B–B  S = 287,5 N/mm2  1,5 D 431,25 N/mm2 Gemäß Tab. 1.5 gewählt E295GC mit  bSch D 440 N/mm2 Aufgabe 2.2.15 a) Ermittlung der Auflagerkräfte und des maximalen Biegemomentes (Abb. 7.21) X Fz D FA  F1  F2 C FB D 0 X MA D 0W FB  l  F1  a  F2  .l  b/ F1  a C F2  .l  b/ 18:000 N  400 mm C 30:000 N  1200 mm D l 1500 mm D 28:800 N FA D F1 C F2  FB D 19:200 N FB D

Mb max D FB  b D 28:800 N  300 mm D 8:640:000 Nmm b) Gesamtschwerpunkt zS P Ai  zi 812:500 mm3 zS D D D 159;31 mm4 Ages 5100 mm2

z

F1

F2 B

A x FA

FB Mb max

Abb. 7.21 Kraft- und Momentenverlauf

7.2 Lösungshinweise zu Kapitel 2

167

Teilfläche

Ai mm2

zi mm

Ai  zi mm3

1 2 3 †

80  8 D 640 10  230 D 2300 180  12 D 2160 5100

4 123 244 –

2560 282.900 527.040 812.500

si D |zS  zi | mm 155,31 36,31 84,69 –

I yi D  bi  h3i =12 mm4 3413,33 10.139.166,67 25.920 10.168.500

2 zSi  Ai mm4

15.437.565,5 3.032.357 15.492.375,58 33.962.298,08

c) Flächenmoment 2. Grades (Anwendung des S TEINER ’schen Satzes): b1  h31 b2  h32 b3  h33 C .zS  z1 /2  A1 C C .zS  z2 /2  A2 C C .zS  z3 /2  A3 Iy ges D 12 12 12 Iy ges D 44:130:798 mm4 d) Biegespannungen in den äußeren Randfasern Mb max 8:640:000 Nmm N N  eo D  90;7 mm D 17;76  18 bo D Iy ges 44:130:798 mm4 mm2 mm2 Mb max 8:640:000 Nmm N N bu D  eu D  159;31 mm D 31;2  31 4 2 Iy ges 44:130:798 mm mm mm2

7.2.3

Lösungshinweise zu Abschnitt 2.3

Aufgabe 2.3.1 a) Die Kraft wird über zwei Scherflächen übertragen, es gilt: F a D  zul ) F  2  zul  A 2A  N   162 mm2 D 48:255 N F  2  120 mm2 4 b) Für die Klebfläche gilt: AK D d    l ) l D dAK Schubspannung in der Klebung: F 48:255 N F  zul ) AK D D D 8042;5 mm2 D N AK zul 6 mm 2 )lD

AK 8042;5 mm2 D D 25;6 mm d  100 mm  

Aufgabe 2.3.2 Für die kleinste Schweißnahtfläche (Abb. 7.22) gilt: A D a  l D z  cos 45ı  l D Die Kraft F verteilt sich auf 4 Schweißnahtflächen: p p N F  4  A  zul D 2 2  z  l  zul D 2 2  4 mm  150 mm  120 mm2 D 203:646;75 N  204 kN

p 2 2

zl

168

7

Lösungshinweise

z

a

Abb. 7.22 Schweißnahtgeometrie

45° z

Aufgabe 2.3.3 Zur Berechnung der zu übertragenden Schubkraft pro Länge werden das Flächenträgheitsmoment I y und das Flächenmoment H(z) benötigt. # "   b  t3 h s  h3 t 2 bt Iy D C2 C C 12 12 2 2 Iy D

15 mm  2403 mm3 # " 12   240 mm 150 mm  123 mm3 12 mm 2  150 mm  12 mm C C C2 12 2 2

D 74:476:800 mm4 Flächenmoment 1. Grades für   die untere und obere Schweißnaht:  h 240 mm t 12 mm H.z/ D H.z/ D C bt D C  150 mm  12 mm 2 2 2 2 D 226:800 mm3 Schubspannung (x, z): Fq  H.z/ 50:000 N  226:800 mm3 N D D 10;15  .x; z/ D s  Iy 15 mm  74:476:800 mm4 mm2 N N Schubkraft pro Länge: q .x; z/ D .x; z/  s D 10;15  15 mm D 152;26 mm2 mm N 152;26 mm q .x; z/ N Schubspannung in den Schweißnähten: s D D D 12;7 2a 2  6 mm mm2 Aufgabe 2.3.4 F H .z / Schubspannung Stelle 1: .z/ D q bIy 1 An der Stelle 1 haben wir die Breite b1.1 D 150 mm und b1.2 D 150 mm  2  20 mm D 110 mm, d. h. wir haben dort sowohl einen Breiten- als auch Spannungssprung (Abb. 7.23).   40 C 10 mm Flächenmoment 1. Grades: H.z/1 D b  h1  zS1 D 150 mm  40 mm  2 D 180:000 mm3

7.2 Lösungshinweise zu Kapitel 2

169 z Fq

zS1

S

Sges

y

1

Abb. 7.23 Schwerpunktabstand zs1 der Restfläche 1 vom Gesamtschwerpunkt

z Fq

zS2

S

Sges

2

y

Abb. 7.24 Schwerpunktabstand der Restfläche 2 vom Gesamtschwerpunkt Sges

b  h3 a4 150 mm  1003 mm3 204 mm4 2 D 2 12 12 12 12 D 12:473:333;3 mm4

Gesamtflächenmoment: Iy D

.z/1:1 D

Fq  H.z/1 15:000 N  180:000 mm3 N D D 1;44 4 b1:1  Iy 150 mm  12:473:333;3 mm mm2

Fq  H.z/1 15:000 N  180:000 mm3 N D D 1;97 b1:2  Iy .150  2  20/ mm  12:473:333;3 mm4 mm2 Schubspannung Stelle 2: 1 X 150  50  25 mm3  2  20  10  5 mm3 D 26;13 mm zSi  Ai D zS2 D Ages .150  50  2  20  10/ mm2 .z/1:2 D

H.z/2 D A2  zS2 D .150  50  2  20  10/ mm  26;13 mm D 185:523 mm3 Fq  H.z/2 15:000 N  185:523 mm3 N .z/2 D D D 2;03 4 b2  Iy .150  2  20/ mm  12:473:333;3 mm mm2

170

7

Lösungshinweise

Aufgabe 2.3.5 F H .z / Schubspannungen an den Stelle 0–9:  .zi / D qbi Iy i Vorgehensweise: P zsi  Ai 24  4  2 cm3 C 4  20  14 cm3 C 16  4  26 cm3 D D 12;4 cm zS D Ages 24  4 cm2 C 4  20 cm2 C 16  4 cm2 Ermittlung des Gesamtflächenmoment I y : 2 2 2  A1 C Iy2 C zS2  A2 C Iy3 C zS3  A3 Iy D Iy1 C zS1

24  43 4 4  203 4 cm C .12;4  2/2 .24  4/ cm4 C cm C .12;4  14/2 .4  20/ cm4 12 12 16  43 2 C cm C .12;4  26/2 .4  16/ cm4 D 25:305;6 cm4 12 Zur Berechnung der Schubspannungen an den Stellen 0 . . . 9 muss die jeweilige Restfläche Ai und der dazugehörige Schwerpunktabstand zN i ober- und unterhalb der Schwerpunktachse yS bestimmt werden (Abb. 7.25). Die Rechnung zur Ermittlung der Schubspannungen an den Stellen 0 . . . 9 erfolgt in tabellarischer Form: Iy D

Stelle 0 1 2a 2b 3 4 5 6 7a 7b 8 9

zi cm

zN i cm

15,6 13,6 11,6 11,6 6,6 1,6 0 3,4 8,4 8,4 10,4 12,4

15,6 0 14,6 32 13,6 64 13,6 64 12,53 84 10,91 104 10,32 110,4 9,62 116 10,4 96 10,4 96 11,4 48 12,4 0

Ai cm2

bi cm 16 16 16 4 4 4 4 4 4 24 24 24

ij jzNi  Ai j jNzIi A y bi 2 cm3 cm 0 0 467,2 0,00115 870,4 0,00215 870,4 0,0086 1052,5 0,01039 1134,6 0,01121 1139,3 0,01126 1116,4 0,01103 998,4 0,00986 998,4 0,00164 547,2 0,00009 0 0

ij  D Fq jNzIi A y bi

N/cm2 0 173 322 1289,8 1559,7 1681,3 1688,3 1654,4 1479,5 246,6 135,1 0

 N/mm2 0 1,73 3,22 12,9 15,6 16,8 16,9 16,5 14,8 2,47 1,35 0

7.2 Lösungshinweise zu Kapitel 2

171 z

40

0 1 2a, b 160

3 3

2 280

40 4 5

100

150

yS

50

zS

6

1

40

240

y

7a, b 8 9

Abb. 7.25 Lage des Gesamtschwerpunktes zS bezogen auf das vorgegebene y-z-Koordinatensystem

7.2.4

Lösungshinweise zu Abschnitt 2.4

Aufgabe 2.4.1 T t D Wp

mit

  d3 Wp D )d  16

s 3

16  T D   tzul

s 3

16  80:000 Nmm D 22;66 mm, N   35 mm

gewählt d D 24 mm Aufgabe 2.4.2 a) Die größte Torsionsspannung tritt in den dünneren Endteilen mit dem Durchmesser d auf. T   mit Wp D  d3 D  1003 mm3 D 196:349;5 mm3 t D Wp 16 16 12:000:000 Nmm N ) t D D 61;1 3 196:349;5 mm mm2

172

7 T l I Ip1 GIp

b) ' D

  d 4 und Ip2 D 32  D 4  2  Ip1   l T  10  l T 12l 3l D D '1 C '2 C '3 D C C G Ip1 Ip2 Ip3 G  Ip1 10  12:000:000 Nmm  120 mm  32 D N 4 4 81:000 mm 2    100 mm D 0;0181 rad D 1;04ı

'ges

'ges

D Ip3 D

Lösungshinweise

 32

c) Materialkosten der Welle:   KM D lges C 10 mm  AWe    kWe D 1930 mm

C  kg  dm3  2;65  1202 mm2  7;85 D 454;07 C 3 6 3 4 kg dm  10  mm

Aufgabe 2.4.3 T mit Wt D 2  Am  s D 2  62 mm  45 mm  3 mm D 16:740 mm3 a) t D Wt 900:000 Nmm N ) t D  54 16:740 mm3 mm2 T l b) ' D GI mit It D 4  A2m  usm und um D 2 .62 C 45/ mm D 214 mm t 3 mm  436:492 mm4 214 mm 900:000 Nmm  3500 mm  mm2 'D D 0;0902 rad  5;17ı 436:492 mm4  80:000 N c) Mit Hilfe der Vergleichsspannung (GEH; ˛ 0 D 1) soll untersucht werden, ob die Sicherheit ausreichend ist. s     q   N 2 N N 2 2 2 2 C 3  54  123 v D b C 3 ˛0  t D 80 mm2 mm2 mm2 It D 4  27902 mm4 

SD

N 280 mm bSch 2 D  2;28 > Smin D 1;5 ) richtig bemessen! N v 123 mm 2

Aufgabe 2.4.4 T l I It aus Tab. 2.5, Ziffer 7: It D 1;847  4 mit 2 D 5 mm )  D 2;5 mm; a) ' D GI t It D 72;15 mm4 9000 Nmm  110 mm 'D D 0;1715 rad D 9;83ı N 4 80:000 mm 2  72;15 mm mm b) 'ges D ' 235  21ı 110 mm

c) t D

T Wt

mit

Wt aus Tab. 2.5, Ziffer 7: Wt D 1;511  3 D 23;61 mm3

9000 Nmm N D 381;2 23;61 mm3 mm2 Re  360 N/mm2 )  tF  0,65  360 N/mm2 D 234 N/mm2 < 381 N/mm2 , genügt nicht. Gemäß Tab. 1.5 würde ein E360 GC mit  tF D 390 N/mm2 die Forderung erfüllen. t D

7.2 Lösungshinweise zu Kapitel 2

173

Aufgabe 2.4.5 a) Gesucht Durchmesser d, wenn F D 10 kN und ' D 10°

s 32  180ı  F  a  l  3   'ı T l _ mit Ip D )d  4 'D d und ' D ı G  Ip 32 180 G   2  'ı s 32  180ı  10:000 N  350 mm  1400 mm d 4 D 43;76 mm N 2 ı 78:000 mm 2    10

)gewählt d D 44 mm T  3 16  F  a 16  10:000 N  350 mm mit Wp D D d ) t D b) t D 3 Wp 16  d   443 mm3 N N  209 < tzul D 750 2 mm mm2 c) Es treten die Spannungsarten Biegung und Schub auf. Mb 32  F  a 32  10:000 N  350 mm N b D D D D 418;5 Wb   d3   443 mm3 mm2 4F 410:000 N N s D FA D d D 6;6 mm 2 D 2 ,  s ist gegenüber  b vernachlässigbar. 442 Aufgabe 2.4.6 a) Torsionsmomente in A und B. Es handelt sich um ein statisch unbestimmtes System. Aus der Gleichgewichtsbedingung †T D 0 D T  T A  T B und der Bedingung ' C gleich dem Verdrehwinkel im rechten und linken Teil der Welle kann entsprechend umgestellt werden: TA  l 1 TB  l 2 l1 Ip2 l1 Ip2 D ) TB D   TA ) T  TA    TA D 0 'C D G  Ip1 G  Ip2 l2 Ip1 l2 Ip1   T T l1 Ip2 und TB D T  TA 1 C  D 0 ) TA D I I l p2 l2 Ip1 1C 1  1 C l2  p1 l2

l1 Ip2 l1  D  l2 Ip1 l2

 4 d 32 2  4 32 d1  4 d 32 1  4 d 32 2

D

l1  l2

d24 d14 d14 d24

D

Ip1

4

l1

Ip2

4

500 mm 50 mm D 0;803755  300 mm 604 mm4

l2 Ip1 l2 l2 300 mm 604 mm4  D  D  D D 1;24416  l1 I2 l1 l1 500 mm 504 mm4 T F d 12:000 N  300 mm 3:600:000 Nmm D D TA D D l1 Ip2 l1 Ip2 1 C 0;803755 1;803755 1 C l2  Ip1 1 C l2  Ip1 D 1:995:836;46 Nmm TB D 1:604:163;7 Nmm b) Torsionsspannung  t in A und B: TA TA 1:995:836;46 Nmm N tA D D  D D 47;06  3 3 mm3 2 Wt1  60 mm  d 1 16 16 TB TB 1:604:163;70 Nmm N tB D D  D D 65;36  3 3 mm3 2 Wt2  50 mm  d 2 16 16

174

7

Lösungshinweise

c) Verdrehwinkel an der Stelle C: TA  l 1 TA  l 1 1:995:836;46 Nmm  500 mm 'C D D D D 0;00968 D 0;555ı  N  4 4 3 G  Ip1 G  32  d1 81:000 mm 2  32  60 mm TB  l 2 TB  l 2 1:604:163;70 Nmm  300 mm 'C D D D  N  4 4 3 G  Ip2 G  32  d2 81:000 mm 2  32  50 mm D 0;00968 D 0;555ı (Kontrolle) Aufgabe 2.4.7 a) Widerstandsmomente gemäß B REDT’scher Formel: W t  2  Am  s Rohr: AmR D 4  582 mm2 D 2642 mm2 I WtR D 2  2642 mm2  2 mm D 10:568 mm3 Torsionsfeder:    2  2 AmT D Aproj  dR  dm2 D 430 mm2  60  582 mm2  245 mm2 4 4 Wt T  2  245 mm2  2 mm  980 mm3 Wt R 10:568 mm3   10;78 Wt T 980 mm3 T l t t Wt l I t D WT t ) T D t  Wt ) ' D GI ) t D 'GI b) ' D GI lWt T T s Wt D 2  Am  sI It D 4  A2m  mit um D   dm um N 2 81:000 mm G  Am N 2  245 mm t D D D 63;4 6  l  dm 6  900 mm  58 mm mm2 Aufgabe 2.4.8 a) Torsionsmoment T D 2  F  a2 D F  a D 4000 N  37 mm D 148:000 Nmm Am T l mit It voll D 2 .Aa C Ai /  s  b) ' D G  It um  2  372 mm2 D 2 40 C 342 mm2  3 mm  4  37 mm D 152:958 mm4  2 3 mm oder alternativ: It voll  4  A2m  usm D 4  372 mm4  437 D 151:959 mm4 mm   P It Schlitz D 3 bi3  hi D 13 2  33  18;5 C 2  33  34 C 33  40 mm4 D 1305 mm4 ; D 1 gewählt T l 148:000 Nmm  300 mm 'voll D D D 0;00365 rad D 0;21ı N 4 G  Itvoll 80:000 mm 2  151:959 mm T l 148:000 Nmm  300 mm 'Schlitz D D D 0;425 rad D 24;37ı N 4 G  ItSchlitz 80:000 mm  1305 mm 2 'ges D 'voll C 'Schlitz D 24;58ı

oder 'ges D

T l G



1 Itvoll

C

1 ItSchlitz



7.2 Lösungshinweise zu Kapitel 2

c) t D

mit Wt voll D 2  Am  s D 2  372 mm2  3 mm D 8214 mm3 X 3 It Schlitz 1305 mm4 Wt Schlitz D D D 435 mm3 bi  hi D 3  bmax bmax 3 mm T 148:000 Nmm N t voll D D D 18 und Wt voll 8214 mm3 mm2 T 148:000 Nmm N t Schlitz D D D 340;23 3 Wt Schlitz 435 mm mm2 T ; t voll Wt

D

175

T Wt voll

Aufgabe 2.4.9 a) Geschlossenes Profil, Anwendung der B REDT’schen Formel: T T a 60 t D D I T D 2  F  D 2  5000 N  mm D 300:000 Nmm Wt 2  Am  s 2 2 Am D .60  2;5/ mm  .50  2;5/ mm D 2731;25 mm2 T 300:000 Nmm N t D D  22 2  Am  s 2  2731;25 mm2  2;5 mm mm2 b) Offenes Profil, Anwendung Tab. 2.5, Ziffer 9 l 2000 mm loff D D D 500 mm 4 4 1 1 ) Toff D  T D  300:000 Nmm D 75:000 Nmm 4 4 X T I Wt D bi3  hi mit D 1 t D Wt 3  bmax X bi3  hi D 2  2;53 mm3  50 mm C 2;53 mm3  55 mm C 2  2;53 mm3  22;5 mm D 2;53 mm3 .2  50 mm C 55 mm C 2  22;5 mm/ D 3125 mm4

Abb. 7.26 Flächenaufteilung Aufgabe 2.4.9

h4 = h5 = 22,5 mm b2

b4

b1 = b2 = b3 = b4= b5 = b = 2,5 mm

b1

b5

b3

h4

h2

h5

h1

h3 = h1 = 50 mm

176

7

Lösungshinweise

X 1  3125 mm4 D 416;67 mm3 bi3  hi D 3  bmax 3  2;5 mm T 75:000 Nmm N t D D D 180 3 Wt 416;67 mm mm2 X T l 1 'D I mit It D bi3  hi D  3125 mm4 D 1041;67 mm4 G  It 3 3 T l 75:000 Nmm  500 mm 'D D D 0;444 rad  25;5ı N 4 G  It 81:000 mm  1041;67 mm 2 Wt D

Aufgabe 2.4.10 a) Für das Drillflächenmoment gilt:   i X 3 h 3 s  h1 C s 3  h2 C s 3  h3 C 2  s 3 bi  hi D r It D 3 3 2  s3 .2  h1 C h2 C   r/ D 3 Da s für das Profil konstant ist, gilt für das Drillwiderstandsmoment: It  s2 Wt D D .2  h1 C h2 C   r/ mit D 1;12 für ein U-förmiges Profil s 3 1;12  33 mm3 It D .2  20 mm C 150 mm C   60 mm/ D 3815;2 mm4 3 It 3815;2 mm4 Wt D D D 1271;7 mm3 s 3 mm b) Übertragbares Torsionsmoment T T N ) T D t zul  Wt D 35  1271;7 mm3  44:510 Nmm t D Wt mm2 Aufgabe 2.4.11 a) Es handelt sich um einen dünnwandigen geschlossenen Querschnitt, d. h. Anwendung der B REDT’schen Formel: r  a 2 Ta ah a2 p 1002 mm2 p a a2  D 3D 3 mit Am D D t zul D 2  Am  s 2 2 2 4 4 D 4330;13 mm2 N Ta D t zul  2  Am  s D 100  2  4330;13 mm2  5 mm D 4:330:127 Nmm mm2 D 4;33 kNm Geschlitztes Profil: X Tb mit Wtb D  bi3  hi (Tab. 2.5, Ziffer 9), t zul D Wt b 3  bmax mit bi D s und hi D aI D 1 gewählt.

7.3 Lösungshinweise zu Kapitel 3

177

a 1  2  s3  a C 2  s3 D s 2  a D 52 mm2  100 mm D 2500 mm3 3s 2 N Tb D t zul  Wt b D 100  2500 mm3 D 250:000 Nmm mm2  2 5 mm Ta l mit It a D 4  A2m  usm D 4  4330;13 mm2  3100 D 1:250:000 mm4 b) 'a D GI mm ta Wt b D

4:330:127 Nmm  3000 mm D 0;128 rad D 7;35ı N 4 81:000 mm 2  1:250:000 mm a X 3 1 2  s3  a C 2  s3 D s 3  a D 53 mm3  100 mm It b D  bi  hi D 3 3 2 D 12:500 mm4 250:000 Nmm  3000 mm 'b D D 0;741 rad D 42;44ı N 4 81:000 mm 2  12:500 mm 'a D

c) Vergleich der Drillflächenmomente:

7.3

It a It b

D

1:250:000 mm4 12:500 mm4

D 100

Lösungshinweise zu Kapitel 3

Aufgabe 3.1 Die größte Beanspruchung tritt im Einspannquerschnitt oberhalb des Betonfundaments auf. Der Mast wird durch die Windlast an der Wegweisertafel auf Biegung und Torsion beansprucht. Biegemoment am Mastfuß resultierend aus zwei Kräften zu je 3 kN an den Halterungen: M b D 27 kNm Torsionsmoment am Mastfuß: T D 9 kNm Profilwerte aus Profiltabelle: A D 38,7 cm2 ; W b D 245 cm3 ; W t D 362 cm3 Spannungen am Mastfuß:  b  110 N/mm2 ;  t  25 N/mm2 . Die Schubspannung aus der Querkraft beträgt  s  1,6 N/mm2 und kann vernachlässigt werden. Vergleichsspannung nach GEH (wegen Baustahl S235): q v D b2 C 3  t2  118 N/mm2 Aufgabe 3.2 Die größte Spannung tritt im Einspannquerschnitt auf. Dort wird das Rohr auf Biegung, Schub und Torsion beansprucht. Biegung wird durch die Streckenlast über A–B und die Einzelkraft in C hervorgerufen; der Rohrabschnitt A–B wird außerdem auf Torsion durch die mit dem Hebelarm l/2 angreifende Einzelkraft F beansprucht. Auflagerreaktionen: q  l2 l C F  l D 62;5 kNmI T D F  D 25 kNmI Fq D q  l C F D 15 kN Mb D 2 2 Profilwerte (aus Profiltabelle): A D 50,1 cm2 ; W b D 393 cm3 ; W t D 787 cm3

178

7

Lösungshinweise

Spannungen: b D 159 N/mm2 I

t D 31;7 N/mm2 I

s  3 N/mm2 I

res  34;7 N/mm2

Vergleichsspannung nach GEH:  v  170 N/mm2 ( s könnte auch vernachlässigt werden; dann:  v  168 N/mm2 ) Aufgabe 3.3 Die Antriebswelle wird auf Biegung und Torsion beansprucht. Gefährdete Querschnitte sind einmal die Radmittelebene und zum zweiten die Nut für den Wellensicherungsring. In der Radmittelebene tritt nur Torsion auf (den Querkraftschub mit an dieser Stelle  s  3,7 N/mm2 kann man vernachlässigen). An der Stelle der Nut für den Wellensicherungsring wird die Welle auf Biegung und Torsion (und wieder Querkraftschub) beansprucht. Für die Berechnung der Spannungen benötigt man den Kerndurchmesser. Er ist in DIN 471 in Abhängigkeit vom Wellendurchmesser gegeben (siehe z. B. [2], TB 9-7); dK D 37,5 mm. Außerdem ist die Fließgrenze notwendig: Rp0,2 D 460 N/mm2 ([2], TB 1-1). 1. Radebene: Biegemoment in der Radebene: Profilwert: Spannung: Torsionsfließgrenze: Sicherheit gegen Fließen:

M b D 0; W t D 3068,0 mm3 (d D 25 mm)  t  146,7 N/mm2  tF  0,65  Rp0,2  300 N/mm2 SF  2,04 > SF min D 1,8

2. Wellennut: Biegemoment am Wellensicherungsring: M b max D 540.000 Nmm; Profilwerte: W b D 5177,2 mm3 ; W t D 10.354,4 mm3 (dK D 37,5 mm) Spannungen:  b  104,3 N/mm2 ;  t  43,5 N/mm2 ;  v  128,7 N/mm2 (nach GEH) Sicherheit gegen Fließen: SF  3,57 > SF min D 1,8 Hinweis: Da die Welle wechselnd auf Biegung (Umlaufbiegung) beansprucht wird und die Nut für den Sicherungsring eine hohe Kerbwirkung besitzt, ist in der Praxis auf jeden Fall auch ein dynamischer Festigkeitsnachweis (Dauerfestigkeitsnachweis) notwendig.

7.3 Lösungshinweise zu Kapitel 3

179

Aufgabe 3.4 Der schraffierte Querschnitt wird auf Zug und Biegung beansprucht: z D FA D 32;34 N/mm2 mit A D 4 B  H  2474 mm2  b b D M D 258;70 N/mm2 mit Mb D F  a (a D 70 mm) und Wb D 32 B  H2  Wb 3 21:647 mm (für ellipsenförmigen Querschnitt; B D 45 mm, H D 70 mm; Biegeachse ist in der gezeichneten Lage die senkrechte Symmetrieachse) Auf der Innenseite ergibt sich eine Biegezugspannung, auf der Außenseite eine Biegedruckspannung. Zug- und Biegespannung können direkt überlagert werden: Innenseite, Zugspannung:  z res D  z C  bz  291 N/mm2 Außenseite, Druckspannung:  d res D  z   bd  226 N/mm2 Aufgabe 3.5 Zunächst müssen die Auflagerreaktionen ermittelt werden: F Ax D F/2; F Bx D F/2; F By D F, siehe Abb. 7.27. Aus den Auflagerreaktionen lassen sich der Biegemomentenverlauf sowie der Längsund der Querkraftverlauf bestimmen, Abb. 7.28. Aus den Biegemomenten an den zu betrachtenden Schnitten und aus dem Längskraftverlauf können die Normalspannungen – Biegespannungen und Druckspannungen – berechnet werden.

Abb. 7.27 Auflagerreaktionen

180

7

Lösungshinweise

Abb. 7.28 Biegemomentverlauf, Längskraftverlauf und Querkraftverlauf

Aufgabe 3.6 Mit Hilfe der Gl. (2.92) ermittelt man durch Umstellen den erforderlichen Durchmesser der Welle. Mit dem gewählten Wert d D 270 mm lassen sich die Spannungen berechnen (A  57.256 mm2 ; W p  3.864.748 mm3 ). Die Vergleichsspannung ergibt sich über GEH nach Gl. (3.34). Für die Sicherheit gegen unzulässige Verformung – gleichbedeutend mit Sicherheit gegen Fließen – setzt man als Materialwert die Streckgrenze (Re D 335 N/mm2 ) ein. Zum Knicknachweis berechnet man zunächst den Schlankheitsgrad ( D 74,1). Der Knicknachweis hat wegen  < 88 nach T ETMAJER zu erfolgen. Die Knickspannung beträgt  K D 289 N/mm2 , so dass sich für die Sicherheit gegen Knicken ein zu kleiner Wert ergibt (Hinweis: Als vorhandene Spannung ist die Vergleichsspannung einzusetzen.). Die Knicksicherheit sollte beim vorhandenen Schlankheitsgrad bei SK  3 liegen. Daher muss die Welle entweder einen größeren Durchmesser erhalten oder es muss z. B. zwischen den vorhandenen Lagern ein weiteres Radiallager eingebaut werden. Eine andere Möglichkeit wäre, das Axiallager direkt am Propeller anzuordnen. Damit würde der längere Teil der Welle nur auf Torsion beansprucht. Aufgabe 3.7 Der waagerechte Teil des Schlüssels wird auf Biegung, der senkrechte Teil auf Biegung und Torsion beansprucht. Im Querschnitt direkt oberhalb des Schraubenkopfes betragen das Biegemoment M b D 4000 Nmm und das Torsionsmoment T D 8000 Nmm. Der Sechskantquerschnitt des Schlüssels wird um die in Abb. 3.10 eingezeichnete Achse x-x gebogen. Das dafür vorhandene Widerstandsmoment geht nicht aus der Tab. 2.3 des Lehr-

7.3 Lösungshinweise zu Kapitel 3

181

buches hervor; es muss aus anderen Tabellenwerken entnommen werden und beträgt W x D 0,5413  R3 mit R D Seitenlänge des Sechskants; hier: R D 3,46 mm. Damit ergibt sich für W x D 22,42 mm3 . Für das Torsionswiderstandsmoment erhält man nach Tab. 2.5 W t D 1,511  3 , wobei s D 2   D 6 mm. Für die Spannungen errechnet man folgende Werte:  b  178,4 N/mm2 ;  t  196,1 N/mm2 ;  v  383,7 N/mm2 nach GEH. Zur Ermittlung der Sicherheit gegen Fließen setzt man als Werkstoffgrenzwert die gegebene Biegefließgrenze  bF ein, da die Vergleichsspannung wie eine im Bauteil vorhandene Normalspannung betrachtet wird und die herrschende Normalspannung im Bauteil eine Biegespannung ist. Aufgabe 3.8 Bauteil und Schweißnaht werden auf Biegung, Torsion und Schub beansprucht. Für die Berechnung der Spannungen im Bauteil entnimmt man die Profilwerte z. B. aus [2], TB 1-13: A D 1520 mm2 ; W x D 46.400 mm3 ; W t D 68.200 mm3 . Das Biegemoment im Anschlussquerschnitt direkt an der Schweißnaht beträgt M b D 1.800.000 Nmm. Damit ergeben sich folgende Spannungen: b  38;8 N/mm2 I

t  17;6 Nmm2 I

s  1;0 N/mm2 I

v  50 N/mm2 (nach GEH) Für die Schweißnaht müssen die Fläche und die Widerstandsmomente berechnet werden: A D 1600 mm2 I Wx  51:364 mm3 .über Flächenmoment 2. Grades: Ix  2:670:933 mm4 /I O a D Schweißnahtdicke) Wt D 80:000 mm3 (nach Bredt mit Am D 10:000 mm2 und s D Damit errechnen sich die Spannungen wie folgt: b  35;0 N/mm2 I

t  15;0 Nmm2 I

s  0;9 N/mm2 I

v  41 N/mm2

(nach NH, da Schweißnähte als spröde angesehen werden) Die Schubspannung  s hätte auch vernachlässigt werden können. Aufgabe 3.9 a) Mit den Belastungen M b D 120.000 Nmm (Biegemoment des Rohres an der Platte) und T D 45.000 Nmm (Torsionsmoment des Rohres) ergeben sich die Teilspannungen zu: 32da 16da  I t D F  b b D F  c  4 .da4  di4 /  da  di4 Daraus bildet man die Vergleichsspannung nach Gestaltänderungsenergiehypothese (GEH): p 16da v GEH D F 4c 2 C 3b 2  zul 4 4 .da  di /

182

7

Lösungshinweise

Nach di umgestellt erhält man schließlich: s 16F da p 2 4c C 3b 2 di  4 da4    zul und als Zahlenwert di  27,27 mm. b) Die Schweißnähte am Hebel haben einen Außendurchmesser dwa D 33 mm (Index „w“ für „welding“) und einen Innendurchmesser dwi D 27 mm (der mittlere Durchmesser entspricht dem Rohrdurchmesser von da D 30 mm). Damit ist das Widerstandsmoment der beiden Schweißnähte zusammen W wt  7788,3 mm3 und die Spannung beträgt  wt  5,8 N/mm2 . c) Die Schweißnaht zwischen Rohr und Platte (links) wird auf Biegung, Torsion und Querkraftschub beansprucht, wobei der Schub kleiner als 1 N/mm2 ist und vernachlässigt werden kann. Die Schweißnaht hat den Außendurchmesser dwa D 34 mm und den Innendurchmesser dwi D 26 mm. Damit ergeben sich das Widerstandsmoment gegen Biegung zu W wb D 2539,1 mm3 und das Widerstandsmoment gegen Torsion zu W wt D 5078,3 mm3 . Die Biegespannung beträgt  wb D 47,3 N/mm2 und die Torsionsspannung beträgt  wt D 8,9 N/mm2 . Die Vergleichsspannung für Schweißnähte muss nach der Normalspannungshypothese   (NH) errechnet werden: q 2 2 C 4wt  48;9 N/mm2 wv NH D 0;5 wb C wb Aufgabe 3.10 Für die Berechnung des Biegemomentenverlaufs müssen zuerst die Auflagerkräfte (Radaufstandskräfte auf den Schienen) ermittelt werden: Fl D F C Fy  rs I Fr D F  Fy  rs Der Sprung im Biegemomentenverlauf in Radmitte links (Punkt B) ergibt sich, weil hier ein Moment F y  r aus der Seitenkraft am Spurkranz auftritt. a) Das größte Biegemoment tritt also in Radmitte links auf: M bB D 35 kNm; damit ergibt sich hier die Biegespannung zu  bB D 105,6 N/mm2 . Das Torsionsmoment am linken Rad ist T B D 15 kNm; mithin erhält man hier für die Torsionsspannung  tB D 22,6 N/mm2 . Das größte Torsionsmoment (gleich Bremsmoment) wirkt am Sitz der Bremsscheibe in Radsatzmitte: T C D 30 kNm, was zu einer Torsionsspannung von  tC D 45,3 N/mm2 führt. An dieser Stelle beträgt das Biegemoment M bC D 25 kNm und damit die Biegespannung  bC D 75,5 N/mm2 . b) Die Vergleichsspannung muss nach GEH (aufgrund E335) berechnet werden. Da auf den ersten Blick nicht zu erkennen ist, wo die maximale Vergleichsspannung zu erwarten ist, werden die Vergleichsspannungen für die Punkte B und C ermittelt:  vB D 112,6 N/mm2 und  vC D 108,9 N/mm2 . Die größte Spannung liegt also am Punkt B vor. Spannungen aus der Längskraft können vernachlässigt werden, da sie unter 1 N/mm2 liegen.

7.3 Lösungshinweise zu Kapitel 3

183

Hinweis: Hier wurde nur eine statische Berechnung durchgeführt. Da die Räder drehfest auf der Radsatzwelle sitzen, tritt an der Radsatzwelle Umlaufbiegung auf. Die Biegespannungen sind daher Wechselspannungen. Deshalb ist in der Praxis ein Dauerfestigkeitsnachweis für Radsatzwellen notwendig. Aufgabe 3.11 Wir berechnen zuerst das Antriebsmoment des Elektromotors: PM  30  1591;5 Nm P M D TM  ! ! TM D n Damit ergeben sich die Kräfte im Getriebe: TM Fu  15:915 NI Fr D  5305 N Fu D D1 =2 3 Das Torsionsmoment der Welle erhalten wir zu T D Fu  D22  5968;125 Nm. Die Welle muss außerdem Biegemomente in zwei Ebenen aufnehmen: um die y-Achse: Mby D .Fr C FG /  l  2731;75 Nm um die z-Achse: Mbz D Fu  D22  5968;125 Nm Die Biegemomente kann man geometrisch addieren, da ihre Drehachsen senkrecht zueinander stehen: q 2 2 C Mbz  6563;6 Nm Mb D Mby q Für die Vergleichsspannung nach GEH gilt Gl. (3.34): v D b2 C 3.˛0  t /2 Mit b D

und t D WT t ergibt sich schließlich: 1 p v D .32Mb /2 C 3.˛0  16  T /2   d3 Für den erforderlichen Durchmesser erhält man: s 1 p derf D 3 .32Mb /2 C 3.˛0  16  T /2   zul Mb Wb

Aufgabe 3.12 a) Im Einspannquerschnitt der Konsole treten Biegespannungen sowie Schubspannungen aus Querkraft auf. Die Biegespannungen sind im Element 1 null (neutrale Faser), während hier nach Gl. (2.68) die Schubspannung maximal ist und für einen Rechteckquerschnitt gilt: 3F 3 z D 0I  D 0I  D m D 2 2bh Im Element 2 am oberen Rand der Konsole ist die Biegespannung maximal und die Schubspannung ist null (zu Letzterem siehe auch Abb. 2.94 im Lehrbuch): 6F l h Mb D I  D0 z D W D 2 Wb bh2

184

7

Lösungshinweise

b) Die M OHR’schen Spannungskreise lassen sich einfach konstruieren. Im Element 1 wird die senkrechte Achse beim berechneten  (da  D 0) geschnitten und legt damit den Kreis fest. Für das Element 2 ist das berechnete  gleich dem Durchmesser des Spannungskreises, da hier  D 0 ist. Aufgabe 3.13 a) Zur Konstruktion des M OHR‘schen Spannungskreises tragen wir die Werte für  y und  x auf der Abszisse ( -Achse) ab. In den gefundenen Punkten (150|0) und (100|0) errichten wir die Lote der Länge  yx in positiver (Endpunkt A) bzw. negativer Ordinatenrichtung. Wir verbinden die Endpunkte der Lote und finden den Mittelpunkt des M OHR’schen Spannungskreises als Schnittpunkt dieser Verbindung mit der Abszisse. Die Länge dieser Verbindungsstrecke ergibt den Durchmesser des Kreises, den wir nun einzeichnen können. Die Schnittpunkte des Kreises mit der Abszisse ergeben die Größen der Hauptspannungen  min und  max ; der Radius des Kreises entspricht der Größe von  max . Den Hauptachsenwinkel ˛ h lesen wir als Winkel zwischen der Verbindungslinie des Punktes A und dem linken Schnittpunkt des Kreises mit der Abszisse ab. b) Wir gehen entsprechend wie im Teil a) vor. Da die Tangentialspannung negativ ist, wird sie im Punkt (280|0) nach unten aufgetragen. Aufgabe 3.14 Wir gehen entsprechend den Hinweisen zu Aufgabe 3.13 vor. Da für den Punkt B eine negative Spannung  x vorliegt, liegt der linke Schnittpunkt des M OHR’schen Spannungskreises auf der Abszisse in negativer Richtung. Aufgabe 3.15 a) Wir ermitteln zunächst das Antriebsmoment T An (= Abtriebsmoment T Ab ), aus dem die Umfangskräfte berechnet werden können: P 60 D 15;63 Nm Antriebsmoment: TAn D TAb D P! D 2n A DS DR Umfangskräfte: FuR  2 D FuS  2 D TAn ! FuR D 208;4 NI FuS D 99;2 N Die Axialkraft am Sägeblatt erzeugt ein Biegemoment am Wellenende: DS D 7;9 Nm Mba D Fa  2 Wir tragen nun alle Kräfte und Momente an der Welle an und berechnen die Lagerkräfte in A und B aus dem Kräfte- und Momentengleichgewicht, Abb. 7.29. Es ergeben sich folgende Auflagerkräfte: Auflager A (Loslager): F Ay D 410 N; F Az D 1074,8 N Auflager B (Festlager): F Bx D 50 N; F By D 276,6 N; F Bz D 474 N Als Nächstes berechnen wir die Beanspruchungsverläufe für Längskraft, Querkräfte und Biegemomente jeweils in der x-y- und x-z-Ebene sowie für das Torsionsmoment. Dies führen wir bereichsweise zwischen den Stellen 1-2, 2-3 und 3-4 durch. Das Ergebnis zeigt Abb. 6.10.

7.3 Lösungshinweise zu Kapitel 3

185

Abb. 7.29 Kräfte und Momente an der Kreissägewelle aus Aufgabe 3.15

b) Aus den Belastungsverläufen erkennt man, dass die größte Beanspruchung am Lager A auftritt. q 2 2 C FQzA D 230;36 N Gesamtquerkraft: FQA D FQyA Mit der Querschnittsfläche der Welle A D 78,5 mm2 ergibt sich daraus eine Schubspannung  s D 9,3 N/mm2 . q Gesamtbiegemoment: MbA D

2 2 MbyA C MbzA D 36;5 Nm

Daraus erhält man mit dem Widerstandsmoment W b D 98,17 mm3 eine Biegespannung  b D 371,8 N/mm2 . Die Torsionsspannung beträgt mit W t D 196,35 mm3 :  t D 79,6 N/mm2 , so dass die Tangentialspannung insgesamt einen Wert von  res D 88,9 N/mm2 hat. Für die Vergleichsspannung nach GEH ergibt sich damit zu  v D 402,4 N/mm2 . Mit Re D 900 N/mm2 ([2], TB 1-1) kann man die Biegefließgrenze zu  bF  1,2  Re  1080 N/mm2 abschätzen. Damit erhält man eine Sicherheit gegen Fließen von SF  2,68 > Serf D 2. c) Zunächst muss der Durchmesser der Welle aus S235 ermittelt werden. Die Beanspruchungsverläufe aus Aufgabenteil a) gelten weiterhin. Wir verwenden die Gl. (3.30) und setzen die Beziehungen für die Spannungen ein: s s  2   2    q T 16T 2 M 32Mb 2 b C3 D C 3  zul v D b2 C 3t2 D Wb Wt d 3 d 3 Diese Gleichung stellen wir nach dem erforderlichen derf um: s q 1 3 .32Mb /2 C 3.16T /2 derf    zul Mit  bF  1,2  Re  280 N/mm2 wird  zul D 140 N/mm2 . Für den Durchmesser erhalten wir: derf  14,15 mm. Wir wählen d D 15 mm. Das Volumen, die Masse und die Halbzeugkosten der Wellen betragen: 42CrMo4 V 1 D 0,01374 dm3 ; m1 D 0,108 kg; K 1  0,41 C S235 V 2 D 0,03922 dm3 ; m2 D 0,308 kg; K 2  0,37 C

186

7

Lösungshinweise

Hinweis 1: Die Halbzeugkosten der Welle aus S235 sind also geringfügig niedriger als die der Welle aus 42CrMo4. Auch die Bearbeitungskosten für S235 liegen aufgrund der geringeren Festigkeitswerte niedriger. Allerdings erfordert der größere Wellendurchmesser auch größere Lager mit höheren Kosten und dadurch mehr Platz im Gehäuse. Dies könnte sich ungünstig auf die maximale Schnitttiefe der Kreissäge auswirken. Schließlich ist die Masse der Welle aus S235 um ca. 200 g höher, was für eine Handkreissäge ungünstig ist. Die Entscheidung über den einzusetzenden Werkstoff ist demnach von vielen Einflussgrößen abhängig. Hinweis 2: Die aus den Beanspruchungen ermittelten Durchmesser sind die erforderlichen Kerndurchmesser. In der Praxis wäre außerdem noch der dynamische Festigkeitsnachweis zu führen. Aufgabe 3.16 Die Getriebewelle wird auf Biegung, Schub, Torsion und Druck beansprucht. Für die Berechnung der Biegespannung müssen erst die Biegemomente in den 90° zueinander stehenden Ebenen berechnet werden: M b1  108 Nm aus F a und F r M b2  400 Nm aus F u Vektorielle Addition der Biegemomente; M bges  414 Nm; damit  b  33,8 N/mm2 Druckspannung  D  1,8 N/mm2 ergibt sich aus F a Größte Normalspannung  N  35,6 N/mm2 Torsionsspannung aus F u ( t  28,5 N/mm2 ) sowie Querkraftschub aus F a und F r ( s  7,2 N/mm2 ) ergibt  res  35,7 N/mm2 Die Vergleichsspannung nach GEH ergibt sich zu  v  71,4 N/mm2 . Die Sicherheit gegen Fließen SF  7,7 ergibt sich aus TB 1-1 mit Re D 550 N/mm2 und der Vergleichsspannung. Aufgabe 3.17 Die größte Spannung tritt an der Kickstarterwelle auf. Es wirken Biegung und Torsion. Biegemoment Torsionsmoment Biegespannung Torsionsspannung

M b  300 Nm T  737,5 Nm  b  198,4 N/mm2  t  243,9 N/mm2

Für die Vergleichsspannung nach GEH gilt Gl. (3.34): v D Mit b D

Mb Wb

und t D

T Wt

ergibt sich schließlich:

q b2 C 3.˛0  t /2

7.3 Lösungshinweise zu Kapitel 3

187

1 p .32Mb /2 C 3.˛0  16  T /2   d3 Für den erforderlichen Durchmesser erhält man: s 1 p derf D 3 .32Mb /2 C 3.˛0  16  T /2   zul derf D 24,88 mm v D

Hinweis: Schub  s  6,9 N/mm2 kann vernachlässigt werden Aufgabe 3.18 An der Schraubzwinge ergibt sich durch die Umfangskraft eine Axialkraft, die am Hebel zu einem Biegemoment führt, so das Biegung und Druckbeanspruchung vorliegt. Fu . a) Die axiale Spannkraft F a  1025 N berechnet sich nach [2], Kap. 8, aus Fa D tan.'C/ 3 b) Widerstandsmoment W b D 962,4 mm nach der Formel aus Tab. 2.3 c) Biegemoment aus Mb D Fa  l  205 Nm b erhält man die Biegespannung  b  213 N/mm2 Mit b D M Wb und damit die Vergleichsspannung  v  214,7 N/mm2 d) Die Sicherheit gegen Fließen SF  2,1 ergibt sich aus TB 1-1 mit Re D 460 N/mm2 und der Vergleichsspannung

Aufgabe 3.19 Querschnitt C am Hebel A wird auf Biegung und Schub durch die Handkraft beansprucht. Freischneiden am Querschnitt D am Hebel B ergibt eine Querkraft, die der Bowdenzug entgegensetzt sowie eine Axialkraft, die der Handkraft entspricht; dadurch Biegung, Druck und Schub. Querschnitt C: Biegemoment aus Mb D FHand  l1  12;23 Nm 2 b Mit b D M Wb erhält man die Biegespannung  b  114,6 N/mm FHand Mit s D A erhält man die Schubspannung  s  2,8 N/mm2 Vergleichsspannung nach GEH ergibt sich zu  v  114,7 N/mm2 Querschnitt D: Biegemoment aus Mb D FBowden  l4  12;23 Nm 2 b Mit b D M Wb erhält man die Biegespannung  b  51 N/mm FBowden Mit s D A erhält man die Schubspannung  s  5,6 N/mm2 Mit D D FHand erhält man die Druckspannung  D  1,25 N/mm2 A Vergleichsspannung nach GEH ergibt sich zu  v  53,1 N/mm2 Die Sicherheiten SFA  1,7 und SFB  3,8 sind größer als SF D 1,5.

188

7

Lösungshinweise

Aufgabe 3.20 Der Mixereinsatz wird auf Biegung, Torsion und Druck in der Einspannung (zwei kleine abgeflachte Nasen) beansprucht. Für die Berechnung der Biegespannung müssen entweder die Biegemomente in den 90° zueinander stehenden Ebenen berechnet oder die Kräfte F u und F r zu einer resultierenden Biegekraft zusammengefasst werden (Vektorielle Addition): Biegemoment: Biegespannung: Druckspannung: Größte Normalspannung: Torsionsspannung:

Mb b D N t

    

4025 Nmm 80,0 N/mm2 0,5 N/mm2 80,5 N/mm2 7,5 N/mm2

Die Vergleichsspannung nach GEH ergibt sich zu  v  81,1 N/mm2 . Sicherheit gegen Fließen SF  3,4 Hinweis: Schub kann vernachlässigt werden, da < 1 N/mm2 . Aufgabe 3.21 Für ˛ D 90° ergibt sich Biegung und Torsion für den gefährdeten Querschnitt an der Wand. Für ˛ D 0° ergibt sich nur Biegung. Berechnung für ˛ D 90° und Profil als Rundrohr: Biegemoment Torsionsmoment Biegespannung Torsionsspannung

Mb T b t

   

172 Nm 34,3 Nm 149 N/mm2 13,9 N/mm2

Vergleichsspannung nach GEH ergibt sich zu  v  151 N/mm2 ; SF  1,6 Berechnung für ˛ D 0° und Profil als Rundrohr: M b  206 Nm  b  178 N/mm2 ; SF  1,3

Biegemoment wie oben Biegespannung aber

Fazit: Material erfüllt die Anforderungen nicht. Es müsste S275JR verwendet werden; SF  1,54 Berechnung für ˛ D 90° und Profil als Rechteckrohr: Biegemoment Torsionsmoment Biegespannung Torsionsspannung

Mb T b t

   

172 Nm 34,3 Nm 89,2 N/mm2 12,5 N/mm2

7.3 Lösungshinweise zu Kapitel 3

189

Vergleichsspannung nach GEH ergibt sich zu  v  91,8 N/mm2 ; SF  2,6 Berechnung für ˛ D 0° und Profil als Rechteckrohr: Biegemoment Biegespannung

M b  206 Nm  b  107 N/mm2 ; SF  2,2

Fazit: Material erfüllt die Anforderungen Das Rechteckrohr weist bei beiden Winkeln erheblich größere Sicherheiten (SF  2,6; SF  2,2) auf, es ist aber entsprechend teurer als Rundrohr. Berechnung laut Aufgabenstellung nicht erforderlich. Der Vollständigkeit halber ist sie hier trotzdem angegeben: Bei Rundrohr und S275JR gegenüber Rechteckrohr und S235JR ergibt sich eine prozentuale Ersparnis  27,8 %; Gesamtkosten K Gesamt S275JR  26.930 C gegenüber K Gesamt S235JR  37.303 C; Gewinn somit  10.373 C. Aufgabe 3.22 Durch den Umgebungsdruck bei der Herstellung ergeben sich Axial- und Umfangskräfte an der Extruderschnecke. Die Axialkraft verursacht eine Druckspannung; die Umfangskraft verursacht Torsion. Diese wird gleichmäßig am Umfang angenommen. Es wird antriebsseitig gerechnet. Biegung und Schub entstehen nicht. Mittlerer Durchmesser d0 D (120 mm C 80 mm) / 2 D 100 mm. Die Mantelfläche, auf der der Umfangsdruck anliegt, ist damit AM D 251.327 mm2 . Die Axialfläche ergibt sich zu AA D 6283 mm2 . Fu D FN  D p  A  D p  d  l  D 289 kN  Fa D FN  D p  A  D p  d 2   D 36;1 kN 4 Damit ergeben sich folgende Momente und Spannungen: Torsionsmoment mit d D 80 mm Druckspannung Torsionsspannung

T d t

 14.4513 Nm  7,2 N/mm2  143 N/mm2

Vergleichsspannung nach GEH ergibt sich zu  v  249 N/mm2 Sicherheit SF  2,8 > 2,5; damit kann die Extruderschnecke verwendet werden. Aufgabe 3.23 Der Walzenbrecher wird auf Biegung, Zug bzw. Druck und Torsion beansprucht. Die Zugbzw. Druckbeanspruchung kann in beide Richtungen gehen, daher erfolgt die Berechnung antriebsseitig. Für die Berechnung der Biegespannung müssen zuerst die Biegemomente in den 90° zueinander stehenden Ebenen berechnet werden: qr  l 2 Fr  l D D 300 kNm Mb1 D 8 8

190

7

Lösungshinweise

qu  l 2 Fu  l D D 450 kNm 8 8 Vektorielle Addition der Biegemomente M b ges  540 kNm Mb2 D

Biegespannung aus b D

Mb Wb

D 153 N/mm2

Torsion und Zug bzw. Druck sind durchmesserabhängig. Zunächst Berechnung für d D 330 mm: Torsionsmoment T D Fu  d20 D qu  l  d20  1065 kNm Torsionsspannung aus  t  151 N/mm2 Zug- bzw. Druckspannung aus zd D FAa ;  d  3,5 N/mm2 Zusammen mit der Biegespannung ergibt sich die Vergleichsspannung nach GEH zu  v  305 N/mm2 Sicherheiten: C40E: SF  1,51 und 46Cr2: SF  2,13 Fazit: Beide Materialien erfüllen die Anforderungen. Berechnung für d D 290 mm: Torsionsmoment T D Fu  d20 D qu  l  d20  945 kNm Torsionsspannung aus  t  197 N/mm2 Zug bzw. Druckspannung aus zd D FAa ;  d  4,5 N/mm2 Zusammen mit der Biegespannung ergibt sich die Vergleichsspannung nach GEH zu  v  412 N/mm2 Sicherheiten: C40E: SF  1,12 und 46Cr2: SF  1,58 Fazit: Da für beide Walzenpaare das gleiche Material verwendet werden soll, ist die Wirtschaftlichkeitsberechnung hinfällig. Falls dieser Umstand (gleiches Material) aufgehoben werden könnte, ergäben sich folgende Kosten und Ersparnisse bei d D 330 mm: Kosten pro Paar bei d D 330 mm: C40E  2659 C; 46Cr2  3303 C prozentuale Ersparnis für d D 330 mm  24,2 % bzw.  645 C Aufgabe 3.24 Die Scheitelrollen werden auf Biegung und Torsion beansprucht. Die Berechnung erfolgt wegen des Torsionsmomentes auf der Abtriebsseite. Abtriebsmoment einer Scheitelrolle: P  30  59;7 Nm P DT ! !T D n Die Auflagerberechnung ergibt: 1 2T D 298;4 N Fr D FAchslast  D 25 kNI Fu D 2 d0

7.3 Lösungshinweise zu Kapitel 3

191

Die Welle muss Biegemomente in zwei Ebenen aufnehmen: l1  l2 Mb1 D Fr   2500 Nm 4 l1  l2  29;8 Nm Mb2 D Fu  4 q 2 2 C Mb2  2500;2 Nm Biegemomente vektoriell addieren ergibt: Mb D Mb1 Alternativ kann das Biegemoment berechnet werden, indem zunächst die Kräfte vektoriell addiert werden um danach mit dem Abstand multipliziert zu werden; q Fres D Fr2 C Fu2  2500;2 N q Für die Vergleichsspannung nach GEH gilt Gl. (3.34): v D b2 C 3.˛0  t /2 Mit b D

und t D WT t ergibt sich schließlich: 1 p v D .32Mb /2 C 3.˛0  16  T /2   d3 Für denserforderlichen Durchmesser erhält man: 1 p derf D 3 .32Mb /2 C 3.˛0  16  T /2   zul Durchmesser derf D 63,39 mm Mb Wb

Aufgabe 3.25 Die Streckenlasten ergeben sich zu: Fr N Fu D 4;6 D 18;5 N/mm I qu D qr D l2 mm l2 Der Schlegelmäher wird generell auf Biegung, Torsion, Zug bzw. Druck sowie Schub beansprucht. Die Zug- bzw. eine Druckbeanspruchung wird durch die Axialkraft verursacht, welche wechseln kann. Sie deckt lediglich Unwägbarkeiten ab und wird über den Querschnitt als konstant angenommen. Es wird die Vergleichsspannung nach der GEH mit ˛ D 1 für die Mitte des Schlegelmähers berechnet. Hierbei entfällt die Schubbeanspruchung, wie man aus dem Verlauf der Querkraft erkennen kann. Das Torsionsmoment nimmt ab Beginn der Streckenlasten linear bis zum Ende der Streckenlast ab. Damit ist das Torsionsmoment in der Mitte nur halb so groß. Für die Berechnung der Biegespannung müssen erst die Biegemomente in den 90° zueinander stehenden Ebenen berechnet werden; dabei ergeben sich zusätzliche Momente, weil die Streckenlasten nicht bis zur Lagerstelle reichen. qr  l 2 Fr  .l1  l2 / Fr  l Fr  .l1  l2 / C D C  1275 Nm Mb1 D 8 4 8 4 qu  l 2 Fu  .l1  l2 / Fu  l Fr  .l1  l2 / C D C  5100 Nm Mb2 D 8 4 8 4 Vektorielle Addition der Biegemomente: M b  5257 Nm

192

7

Lösungshinweise

Biegespannung:  b  155,7 N/mm2 Druckspannung  D  2,7 N/mm2 T Torsionsspannung: t D 2W  26;7 N/mm2 t Vergleichsspannung nach GEH ergibt sich zu  v  165 N/mm2 . Damit ist die Vergleichsspannung kleiner als die zulässige Spannung und das Bauteil damit sicher. Aufgabe 3.26 Die max. Belastung für die Tretlagerwelle ergibt sich, wenn die Kraft F senkrecht zum Pedal steht. Sie wird dann auf Biegung, Torsion und Schub beansprucht. Biegemoment Torsionsmoment Biegespannung Torsionsspannung

M b  180 Nm T  340 Nm  b  117,3 N/mm2  t  110,8 N/mm2

Vergleichsspannung nach GEH gilt Gl. (3.34): v D

q b2 C 3.˛0  t /2 D 233 N/mm2

Die Sicherheit beträgt damit SF  2,2. Aufgabe 3.27 Die Bohrmaschinenwelle an der Lagerstelle muss berechnet werden. Dazu müssen die Torsionsspannung, die Biegespannung sowie die Druckspannung berechnet werden. Die geringfügige Schubbeanspruchung kann vernachlässigt werden. Das Torsionsmoment berechnet sich aus der Leistungsangabe. Daraus kann dann die Torsionsspannung berechnet werden. P  30  3;58 Nm P DT ! !T D  n Biegemoment: Biegespannung: Druckspannung: Torsionsspannung:

M b  96 Nmm  b  290 N/mm2  D  5,7 N/mm2  t  5,4 N/mm2

Die Vergleichsspannung nach GEH ergibt sich zu  v  296 N/mm2 Aufgabe 3.28 Zur Berechnung der Stangenkraft benötigen wir den Wasserdruck und den Durchmesser des Kolbens. Für die Umrechnung von bar auf Spannung gilt: 1 bar D 0;1 N/mm2 . Der Zusammenhang zwischen Wasserdruck und Kolbengeometrie ist folgender:   d2 F !F DpADp  10:179 N pD A 4

7.3 Lösungshinweise zu Kapitel 3

193

Mit dem Zuschlag von 16 % ergibt sich die Stangenkraft F St  11.807 N. Das Torsionsmoment ergibt sich aus: T D FSt  h2K  1181 Nm. Zur Berechnung des erforderlichen Antriebsmomentes muss das Torsionsmoment durch den Wirkungsgrad geteilt werden und ergibt sich dadurch zu: T  1687 Nm. Das daraus resultierende Torsionsmoment beträgt:  t  13 N/mm2 . Die Triebwerkswelle wird zudem auf Biegung durch die Stangenkraft belastet. Hier ergibt sich durch die Lagerkraft und den Abstand ein Biegemoment M b  2361 Nm. Die Biegespannung ist dann  b  36,5 N/mm2 . Da die zulässigen Werte  b zul  40 N/mm2 und  t zul  32 N/mm2 sowie ' D 1,73 (GEH) gegeben sind, kann das Anstrengungsverhältnis berechnet werden: b zul  0;722 ˛0 D '  t zul ([2], Kap. 3) q Für die Vergleichsspannung nach GEH gilt Gl. (3.34): v D Mit b D

b2 C 3.˛0  t /2

und t D WT t ergibt sich schließlich: 1 p v D .32Mb /2 C 3.˛0  16  T /2   d3 Für den erforderlichen Durchmesser erhält man: s 1 p derf D 3 .32Mb /2 C 3.˛0  16  T /2   zul Mb Wb

Durchmesser d  87,1 mm Aufgabe 3.29 Der Lagerzapfen wird auf Biegung, Torsion und Druck beansprucht. Die Schubbeanspruchung liegt bei ca. 1 N/mm2 und kann vernachlässigt werden. Da die Kräfte F r und F u jeweils die einzigen Biegemomente in den Ebenen bilden, kann über die vektorielle Addition eine resultierende Kraft berechnet und für die Biegebeanspruchung direkt verwendet werden: q Fres D Fr2 C Fu2 D 6 kN Biegespannung: Druckspannung: Normalspannung: Torsionsspannung:

Fres .l1 Clw /32 b  72;1 N/mm2 b D M Wb D d 3  d  0,3 N/mm2  N D  b C  d  72,4 N/mm2 2 u 16 t D WT t D Fd 3  8;6 N/mm

Die Vergleichsspannung liegt dann bei  v  73,1 N/mm2 Aufgabe 3.30 An der Einspannung des Kragarmes tritt die größte Belastung durch Biegung und Querkraftschub auf. Das Biegemoment ist an dieser Stelle M b D 7350 Nm. Die Biegespannung

194

7

Lösungshinweise

und der Querkraftschub können erst nach Auswahl eines Profils berechnet werden. Danach kann dann über die Vergleichsspannung die Sicherheit gegen Fließen ermittelt und festgestellt werden, ob das gewählte Profil den Anforderungen entspricht. Für die angegebenen Rechteckprofile finden wir in den Tabellen (siehe z. B. [2], TB 1-13) die Widerstandsmomente zu: W b1 D 23,2 cm3 ; W b2 D 26,2 cm3 ; W b3 D 41,5 cm3 ; W b4 D 50,4 cm3 ; W b5 D 62,9 cm3 sowie die Flächen: A1 D 9,08 cm2 ; A2 D 9,72 cm2 ; A3 D 13,6 cm2 ; A4 D 15,2 cm2 ; A5 D 16,8 cm2 Mit diesen Werten können die Biegespannungen berechnet werden:  b1  317 N/mm2 ;  b2  281 N/mm2 ;  b3  177 N/mm2 ;  b4  146 N/mm2 ;  b5  117 N/mm2 Für den Querkraftschub rechnet man  s D 2  m und die berechneten Werte dazu sind:  s1 D 46,3 N/mm2 ;  s2 D 43,2 N/mm2 ;  s3 D 30,9 N/mm2 ;  s4 D 27,6 N/mm2 ;  s5 D 25 N/mm2 Nach Berechnung der Vergleichsspannungen stellen wir fest, welche Profile die Sicherheiten der Materialien erfüllen. Gewählte Profile: S235JR E335 38Cr2 MgAl8Zn F31

= = = =

Profil 4 Profil 3 Profil 1 Profil 5

Damit ergeben sich die Kosten für die Rechteckprofile: K S235JR  5,0 C; K E335  6,7 C; K 38Cr2  6,5 C; K MgAl8Zn F31  5,1 C; günstigste Variante damit S235JR Verteuerung Rechteckprofil zu S235JR: V E335  34,2 %; V 38Cr2  29,4 %; V MgAl8Zn F31  1,3 % Für das Rundrohr können wir analog vorgehen. Für die angegebenen Rundrohrprofile finden wir in Tabellen (siehe z. B. [2], TB 1-13) die Widerstandsmomente zu: W b1 D 17,8 cm3 ; W b2 D 23,6 cm3 ; W b3 D 30,2 cm3 ; W b4 D 56,2 cm3 sowie die Flächen: A1 D 8,62 cm2 ; A2 D 9,9 cm2 ; A3 D 11,2 cm2 ; A4 D 17,1 cm2 Mit diesen Werten können die Biegespannungen berechnet werden:  b1  413 N/mm2 ;  b2  311 N/mm2 ;  b3  243 N/mm2 ;  b4  131 N/mm2 Für den Querkraftschub rechnet man wie angegeben mit  s D 2  m und die berechneten Werte dazu sind:  s1 D 48,7 N/mm2 ;  s2 D 42,5 N/mm2 ; s3 D 37,5 N/mm2 ; s4 D 24,6 N/mm2 Nach Berechnung der Vergleichsspannungen stellen wir fest, welche Profile die Sicherheiten der Materialien erfüllen. Gewählte Profile: S235JR E335

= Profil 4 = Profil 4

7.4 Lösungshinweise zu Kapitel 4

195

38Cr2 = Profil 2 MgAl8Zn F31 = Profil 4 Damit ergeben sich die Kosten für die Rundrohre: K S235JR  5,7 C; K E335  8,5 C; K 38Cr2  7,1 C; K MgAl8Zn F31  5,2 C; günstigste Variante damit MgAl8Zn F31 Verteuerung Rundrohr zu MgAl8Zn F31: V S235JR  9,2 %; V E335  63,8 %; V 38Cr2  36,8 %

7.4 Lösungshinweise zu Kapitel 4 Aufgabe 4.1 Schritt 1 Gesucht ist die Durchsenkung eines Trägers auf zwei Stützen mit mittiger Einzelkraft und die Biegespannung. Dafür benötigen wir entsprechende Gleichungen. Die übrigen Berechnungen sind mit dem „gesunden Menschenverstand“ zu bewältigen. Schritt 2 Für die Durchsenkung bei unserem Lagerungs- und Belastungsfall finden wir die Lösung in Tab. 4.1, Ziffer 6: F  l3 wF D 48EI Für die Biegespannung gilt die Grundgleichung der Biegung: Mb b D Wb Aus Tab. 1.1 holen wir uns die benötigten Materialkonstanten: O 2,1  105 N/mm2 ESt D 210 kN/mm2 D St D 7,85 kg/dm3

EAl D 70 kN/mm2 D O 0,7  105 N/mm2 Al D 2,75 kg/dm3

Schließlich benötigen wir noch die Profilwerte. Sie sind in [2], TB 1-13, tabelliert. Da laut Abb. 4.2 die Vierkantrohre hochkant eingesetzt sind, gelten folgende Werte: A D 3,82 cm2

W x D 4,87 cm3

I x D 12,2 cm4

m0 D 3,0 kg/m (für Stahl)

Schritt 3 kann entfallen, da die Formeln für die gesuchten Größen vorhanden sind. Schritt 4 Wir setzen für die Lösung a) die vorhandenen Größen in die Gleichung für die Durchsenkung ein. Die Gewichtskraft beträgt F D 800 N. Nicht vergessen: Die Leiter hat zwei Holme! Für Stahl gilt: F  l3 800 N  .400 cm/3 D 2;08 cm D wF St D N 4 48E  I 48  2;1  107 cm 2  2  12;2 cm

196

7

Lösungshinweise

Für Aluminium könnten wir die Formel erneut durchrechnen. Da der Elastizitätsmodul für Stahl dreimal so groß ist wie der für Aluminium, verdreifacht sich die Durchsenkung für die gleichen Profile und dieselbe Belastung: wF Al D 3  wF St D 6;24 cm Im Teil b) sollen die Biegespannungen berechnet werden. Spannungen sind nicht vom Material abhängig; für beide Werkstoffe ergibt sich im vorliegenden Fall dieselbe Biegespannung. Um diese ermitteln zu können, brauchen wir zuerst das maximale Biegemoment. In unserem Belastungsfall liegt es an der Stelle des Angriffspunktes der Gewichtskraft F. Wir berechnen zunächst die Auflagerkräfte; aufgrund der Symmetrie beträgt jede der beiden Auflagerkräfte F links D F rechts D F/2. Damit können wir das Schnittmoment in Leitermitte bestimmen; es beträgt F l D 80:000 Ncm Mb max D 4 Für die Biegespannung ergibt sich somit Mb max 80:000 Ncm D D 16:427 N/cm2 D O 164 N/mm2 b max D Wx 4;87 cm3 Dieser Wert gilt wie gesagt für die Leiterholme aus Stahl wie aus Aluminium und wäre z. B. sowohl für S235 als auch für bestimmte Aluminiumlegierungen zulässig. Für den Aufgabenteil c) erstellen wir selbst zwei Formeln für die Masse: m D m0  l

und m D A    l

Für die Stahlrohre ist die spezifische Masse m0 gegeben (s. o.): m0 D 3,0 kg/m. Mit l D 4 m und unter Berücksichtigung zweier Holme ergibt sich: mSt D 24,0 kg Für Aluminium benötigen wir die Dichte  D 2,75 kg/dm3 und die Querschnittsfläche der Rohre (A D 3,82 cm2 ) und erhalten damit mAl D 8,24 kg. Der Werkstoff Aluminium bietet hier also deutliche Gewichtsvorteile. Zur Lösung des Teils d) multiplizieren wir die berechneten Massen mit den gegebenen Kosten und erhalten: KSt D 76;80 C

und KAl D 75;81 C

Beide Werkstoffausführungen unterscheiden sich von den Halbzeugkosten her nur unwesentlich. Der Aufgabenteil e) ist nur durch Probieren zu lösen. Da die Durchbiegung der Aluminium-Holme bei gleichem Flächenmoment 2. Grades dreimal so groß ist wie die der Stahl-Holme, verdreifachen wir das Flächenmoment: IAl;erf D 3  I D 36;6 cm4 und suchen ein entsprechendes Vierkantrohr: Mit den Maßen 60 × 40 × 4 ergibt sich für das Flächenmoment 2. Grades: B  H 3 b  h3 4  63 3;2  5;23 I D  D  D 34;5 cm4 12 12 12 12 Die Durchsenkung dafür beträgt wAl D 2,2 cm, ist also ungefähr gleich der Durchsenkung der Stahl-Leiter mit dem Ausgangsprofil. Für dieses Vierkantrohr ergeben sich

7.4 Lösungshinweise zu Kapitel 4

197

folgende weitere Profilwerte: A D 7;36 cm2 I

m0Al D 1;99 kg/m

Damit ist die Masse der neu ausgelegten Aluminium-Holme mAl D 15,92 kg; die Halbzeugkosten betragen jetzt K Al D 146,46 C. Die Masse der Aluminium-Holme liegt auch jetzt noch deutlich unter der Masse der Stahl-Holme. Wird wie hier auf Steifigkeit und nicht auf Festigkeit dimensioniert, braucht der Werkstoff Aluminium wegen seines kleineren Elastizitätsmoduls größere Querschnitte als Stahl. Mit dem größeren Querschnitt erhöhen sich die Halbzeugkosten. In diesem Fall hat die Aluminium-Ausführung gegenüber Stahl fast die doppelten Kosten. Aufgabenteil f) sieht ein dünnwandiges Stahlrohr größerer Querschnittshöhe vor (65 × 30 × 1,5). Dafür ergeben sich nach den bereits angewendeten Formeln folgende Werte: I x D 15,03 cm4 ;

W x D 4,62 cm3 ;

A D 2,76 cm2 ;

m0 D 2,17 kg/m

Für die Durchsenkung in der Mitte der Holme erhält man wSt D 1,69 cm. Die Biegespannung beträgt  b D 173 N/mm2 , die Masse der Holme mSt D 17,36 kg und die Halbzeugkosten betragen K St D 55,55 C. Mit dem dünnwandigen Stahl-Vierkantrohr mit größerer Höhe (günstig für Biegebeanspruchung!) erhält man eine leichte Konstruktion mit geringen Kosten. Die Stahl-Holme besitzen so nur wenig mehr Masse als die Aluminium-Holme aus Teil e), sind aber deutlich steifer und deutlich kostengünstiger. Aufgabe 4.2 Wir gehen vor entsprechend Abb. 4.1. Schritt 1 Die Aufgabenstellung zeigt einen Biegeträger, der in zwei Gelenklagern statisch bestimmt gestützt ist und eine Streckenlast aufzunehmen hat. Der Biegeträger besteht aus zwei gleichen, parallel angeordneten I-Profilen. Gegeben sind die Profilgröße (IPE400) und der Werkstoff (Stahl S235). Gesucht ist im Teil a) die Streckenlast q, bei der sich der Biegeträger um L/300 seiner Länge durchsenkt. Wir benötigen also einen Zusammenhang zwischen der Streckenlast und der Durchsenkung für einen entsprechenden Biegeträger. Schritt 2 Allgemein sind diese Beziehungen in Tab. 4.1 zu finden; Ziffer 12 zeigt das passende Beispiel (Träger auf zwei Stützen mit konstanter Streckenlast): 5ql 4 wmax D 384E  I

198

7

Lösungshinweise

Schritt 3 Diese Gleichung nach q umgestellt liefert das gewünschte Ergebnis, wobei wir für wmax den gegebenen Wert L/300 einsetzen: 384E  I  L 32E  I qD D 4 5L  300 125L3 Jetzt benötigen wir für das numerische Ergebnis noch den E-Modul von Stahl (Tab. 1.1 E D 2,1  105 N/mm2 ) und das Flächenmoment 2. Grades. Diese findet man für IPE-Profile z. B. in [2], TB 1-11: I D 23.130 cm4 . Schritt 4 Damit lässt sich die gesuchte Streckenlast berechnen: q D 24;87 N/mm D 24;87 kN/m Kommen wir nun zum Aufgabenteil b). Schritt 1 Gesucht ist hier die Sicherheit gegen Fließen bei der gerade berechneten Streckenlast. Schritt 2 Wir benötigen demnach die Gleichung zur Bestimmung der Sicherheit gegen Fließen: Re Re D SF D vorh b Als vorhandene Spannung ist die Biegespannung aufgrund der Streckenlast zu ermitteln: Mb max b D Wb Erforderlich ist das größte Biegemoment M b . Es tritt in der Mitte des Biegeträgers auf. Um das Schnittmoment an dieser Stelle zu ermitteln, wird der Träger freigemacht und es werden zunächst die Auflagerkräfte ermittelt, Abb. 7.30. Für die Auflagerkräfte erhält man: qL FA D FB D 2 und für das Schnittmoment Mb  FA  x C q  x D 0 qLx Mb D 4 Für das größte Biegemoment in Trägermitte (x D L/2) ergibt sich also: M b D (q  L2 )/8 („Architektenformel“). Wir benötigen jetzt noch das Widerstandsmoment für den IPETräger, das wir wieder aus [2], TB 1-11, entnehmen: W b D 1160 cm3 . Unser Biegeträger besteht allerdings aus zwei parallelen Profilen. Da beide gleich sind und beide mit ihrem Schwerpunkt auf der Biegeachse liegen, können wir W b einfach verdoppeln: W b ges D 2320 cm3 D 2.320.000 mm3 . Dies wäre nicht zulässig bei unterschiedlichen Profilen und wenn die Einzelschwerpunkte nicht auf der gemeinsamen Schwerpunktachse liegen. Dann müsste man über die Flächenmomente 2. Grades (unter eventueller Berücksichtigung der Steiner-Anteile) das Widerstandsmoment ermitteln.

7.4 Lösungshinweise zu Kapitel 4

199

Abb. 7.30 Ermittlung der Auflagerkräfte und des Schnittmomentes

Schritt 3/Schritt 4 Wir erhalten schließlich 8  Re  Wb ges  SF erf D 1;5 SF D q  L2 und mit Zahlenwerten SF D 1;75 > SF erf D 1;5 Aufgabe 4.3 Schritt 1 Die Aufgabenstellung zeigt einen einseitig eingespannten Biegeträger (unten) mit einem freien Ende oben), der durch eine dreieckige Streckenlast belastet ist. Gesucht sind die Gleichung der Biegelinie, das Einspannmoment, ein geeignetes IPB-Profil und die seitliche Verschiebung des Trägers am oberen Ende. Letztere kann man aus der Biegelinie berechnen. Schritt 2 Wir wollen die Gleichung der Biegelinie nach der Integrationsmethode ermitteln. Dabei hilft uns die Gl. (4.2): Mb .x/ w 00 D  E I Wir benötigen also den Biegemomentenverlauf M b (x). Durch zweimalige Integration erhält man hieraus die Biegelinie w(x). Geschickter Weise gehen wir dazu vom freien Ende aus vor. Wir schneiden den Balken entsprechend Abb. 7.31 und setzen für die Dreieckslast die resultierende Kraft an. Sie greift im Schwerpunkt des Dreiecks an, also bei 2/3  x vom

200

7

Lösungshinweise

Abb. 7.31 Schnittgrößen am Profil nach Abb. 4.4

freien Ende aus gesehen. Die Resultierende aus der dreieckigen Streckenlast entspricht der Fläche des Dreiecks, siehe Abb. 7.31. Zunächst benötigen wir noch eine mathematische Beschreibung des Verlaufs der Streckenlast in Abhängigkeit der Längskoordinate x. Die Streckenlast folgt vom freien Ende aus einer Geraden mit der Gleichung (m D Steigung) q0 x q .x/ D m  x D h Somit erhält man für die Resultierende F der Streckenlast: x q0 2 q0 x D x F D h 2 2h Aus dem Momentengleichgewicht am Teilbalken folgt: q0 1 q0 Mb .x/ C  x 2  x D 0 ! Mb .x/ D   x3 2h 3 6h Mit der Gl. (4.2) gilt also: Mb .x/ q0 w 00 D  D x3 E I 6h  E  I q0 w 0 .x/ D x 4 C C1 24h  E  I q0 w .x/ D x 5 C C1 x C C2 120h  E  I Die Integrationskonstanten C1 und C2 bestimmen wir über die Randbedingungen: Am Einspannende ist die Durchsenkung w( x D h) D 0 und die Tangentenneigung (hier aus Sicht der Balkenachse) ist ebenfalls null, w0 (x D h) D 0. q0 q0 h4 C C1 ! C1 D  h3 w 0 .x D h/ D 0 D 24h  E  I 24E  I q0 q0 q0 w .x D h/ D 0 D h5  C1 h C C2 D h4  h4 C C2 120h  E  I 120E  I 24  E  I 4q0 ! C2 D h4 120E  I Damit lautet die Gleichung der Biegelinie:  5  x x q0  h4  5 5 C4 w .x/ D 120E  I h h Wir können diese Gleichung noch überprüfen für x D h; dort muss w D 0 sein: q0  h4 w .x D h/ D  Œ1  5 C 4 D 0 120E  I

7.4 Lösungshinweise zu Kapitel 4

201

Somit haben wir den Aufgabenteil a) gelöst. Für Teil b) benötigen wir keine weiteren Formeln. Wir setzen in die Formel für das Schnittmoment x D h ein (Moment an der Einspannstelle). Das Einspannmoment ist gleich dem negativen Schnittmoment an dieser Stelle. Mit den gegebenen Zahlenwerten erhalten wir: q0 q0 h2 40 N  .2000 mm/2  x 3 ! Mb .x D h/ D D 6h 6 mm  6 ^ 7 6 Mb D 2;67  10 Nmm D 2;67  10 Ncm Mb .x/ D 

Im Aufgabenteil c) wird ein geeignetes IPB-Profil gesucht. Dies kann man über das erforderliche Biegewiderstandsmoment auswählen. Dazu benötigen wir die Grundgleichung der Biegung und stellen diese nach W b um: Mb Mb ! Wb erf D b D Wb b zul Da die Profiltabelle (siehe z. B. [2], TB 1-11) Profilwerte basierend auf der Einheit cm bereithält, setzen wir die gegebenen Zahlenwerte entsprechend ein: 2;67  106 Ncm  cm2 D 178 cm3 Wb erf D 1;5  104 N Wir wählen ein Profil mit einem Widerstandsmoment W x  178 cm3 und finden: IPB 140-DIN 1025-2 mit W x D 216 cm3 . Für den Unterpunkt d) der Aufgabe, in dem die (hier) seitliche Verschiebung des oberen Trägerpunktes gesucht ist, verwenden wir die Gleichung der Biegelinie (s. o.) und setzen x D 0 ein:  5  x x q0  h4 q0  h4  5  5 C 4 ! w .x D 0/ D w .x/ D 120E  I h h 30E  I Da es sich um den Werkstoff Stahl handelt, ist E D 210.000 N/mm2 und für das Flächenmoment 2. Grades des gewählten IPB-Profils finden wir I x D 1510 cm4 . Damit lautet das Ergebnis: w(x D 0) D 6,72 mm. Aufgabe 4.4 Aus der Tab. 4.1 des Lehrbuchs ist keine entsprechende Lösung zu entnehmen. Es gibt lediglich eine Formel für die Durchsenkung und die Tangentenneigung am Ende eines einseitig eingespannten Balkens mit konstanter Streckenlast (Tab. 4.1, Ziffer 3): q  l3 q  l4 I 'D wD 8E  I 6E  I Die Durchsenkung im Punkt C erhält man, wenn man zunächst einen Träger der Länge 2  l mit konstanter Streckenlast betrachtet. Davon subtrahiert man die Durchsenkung im Punkt C für einen Träger der Länge 2  l mit Streckenlast über dem Teilstück AB (Abb. 7.32): 41 q  l 4 wC D wC1  wB2  'B2  l D 24 E  I

202

7

Lösungshinweise

Abb. 7.32 Ermittlung der Durchsenkung für Aufgabe 4.4

Durch die Tangentenneigung im Punkt B ergibt sich bei der Streckenlast über AB im Punkt C eine „starre“ Durchsenkung der Größe 'B2  l. Die Gesamt-Durchsenkung im Punkt D erhält man schließlich als wD D wC C 'C  l mit 'C D 'C1  'C2 Für die Ermittlung des korrekten Ergebnisses muss man beachten, dass der Balken insgesamt die Länge 3  l hat, während die Werte aus der Tab. 4.1 immer für Balken der Länge l gelten. Aufgabe 4.5 Die maximale Durchsenkung tritt im Punkt A auf. Sie kann durch Superposition aus den Durchsenkungen der Teilbalken ermittelt werden. Zu beachten ist, dass auf den rechten Teilbalken sowohl die Kraft F wirkt und im Punkt B eine Durchsenkung hervorruft, als auch ein „Versatzmoment“ M b D F  a, das eine weitere Durchsenkung in B bewirkt. Durch die Tangentenneigung im Punkt B ergibt sich im Punkt A zusätzlich eine „starre“ Verschiebung. Für die Gesamt-Durchsenkung im Punkt A lautet das formelmäßige Ergebnis:   F  b3 .a C b/ a  a 3 I2   C 1C3 (s. Lehrbuch Beispiel 4.8) wA D 3E  I2 b b b I1 Aufgabe 4.6 Für Aufgabenteil a) benutzt man die Formel für wmax aus Tab. 4.1, Ziffer 7. Teil b) lässt sich mit der Formel für wmax aus Tab. 4.1, Ziffer 12, lösen. Man stellt die Formel nach der gesuchten Kraft F um.

7.4 Lösungshinweise zu Kapitel 4

203

Aufgabe 4.7 Der Aufgabenteil a) ist direkt mithilfe Tab. 4.1, Ziffer 9, zu lösen. Für Teil b) gilt: wD D wC C 'F  b mit wC D wF nach Tab. 4.1, Ziffer 9. Die Durchsenkung in der Mitte zwischen den Auflagern (Teil c) kann aus der in Tab. 4.1, Ziffer 9, angegebenen Gleichung für die Biegelinie durch Einsetzen von x D l / 2 ermittelt werden. Ein anderer Weg ist die Verwendung der Gleichung für die Biegelinie aus Tab. 4.1, Ziffer 10, mit dem äußeren Moment M D F  a sowie x D l / 2. Teil d) ergibt sich, da nur nach der zusätzlichen Durchsenkung gefragt ist, aus Tab. 4.1, Ziffer 9, durch Einsetzen von F / 2. Aufgabe 4.8 Die Lösung zum Aufgabenteil a) kann aus Tab. 4.1, Ziffer 7 und 9, ermittelt werden: wA D wF1 .Ziffer 7/  wF2 .Ziffer 9/ Für den Teil b) wird die Lösung aus a) nach der gesuchten Länge c umgestellt und a D l / 2 eingesetzt. Aufgabe 4.9 Der Träger ist einfach statisch überbestimmt gestützt. Wir entfernen das überflüssige Auflager – die Feder im Punkt B. Dann ermitteln wir die Durchsenkung wF aufgrund F am Trägerende bei B. Nun wird die Auflagerkraft F B als äußere Kraft eingesetzt und die dadurch hervorgerufene Durchsenkung wB bestimmt. Die resultierende Durchsenkung w im Punkt B ergibt sich aus der Differenz: w D wF  wB Abb. 7.33 erläutert die Vorgehensweise. Formeln zur Ermittlung der Durchsenkungen liefert die Tab. 4.1 F  a2 wF D w1 C .l  a/  ' D .3l  a/ 6E  I 3 FB  l wB D 3E  I

Abb. 7.33 Vorgehensweise zur Lösung der Aufgabe 4.9

204

7

Lösungshinweise

Abb. 7.34 Aufteilung des statisch zweifach überstimmt gestützten Trägers in Hauptsystem und Nebensysteme

Die Feder wird um den Betrag w zusammengedrückt: FB wD c Damit kann die Kraft F B bestimmt werden:  2 1 F  al  .3  al / 2 FB D D 5349;53 N 1 C 3EI cl 3 Schließlich ergibt sich w D F B / c D 4,46 mm. Aufgabe 4.10 Der Träger ist zweifach statisch überbestimmt gelagert. Zur Lösung werden ein Hauptsystem und zwei Nebensysteme benötigt, Abb. 7.34. Für das Auflager rechts im Punkt B gilt: wB D 0 und ' B D 0. Mit diesen beiden Bedingungen bestimmt man die Auflagerreaktionen F B und M B : 1 1 FB D q  lI MB D  q  l 2 2 12 Die Durchsenkung in Balkenmitte ergibt sich schließlich zu: wM D wM .q/  wM .FB /  wM .MB / Dabei ermittelt man die einzelnen Summanden aus den jeweiligen Gleichungen für die Biegelinien mit x D l / 2. Aufgabe 4.11 Als erstes ermittelt man die Durchsenkung des Punktes P3 . Hierfür benötigt man die Kraft F 3 in diesem Punkt: F3 D 43 F . Zu dieser Kraft gehört die Durchsenkung (Balken auf zwei Stützen mit mittiger Einzellast) F  b3 w3 D 36E  I

7.4 Lösungshinweise zu Kapitel 4

205

Das gesuchte w5 setzt sich zusammen aus drei Anteilen: „starre“ Durchsenkung in P5 aufgrund w3 ! w53 Durchsenkung aufgrund Moment in P4 ! w5M Durchsenkung aufgrund F in P5 ! w5F w5 D w53 C w5M C w5F F  b3 8F  l 3 w53 D I w5M D I 54E  I 243E  I

w5F D

4F  l 3 243E  I

Aufgabe 4.12 Man verwendet für eine Blattfeder mit der dem Schwingsieb entsprechenden Lagerung das Ersatzmodell entsprechend Abb. 7.35. Die Blattfeder ist am linken Ende fest eingespannt und besitzt rechts eine Schiebehülse, die nur eine waagerechte Tangente der Biegelinie in diesem Auflager zulässt, aber keine senkrechte Kraft aufnehmen kann. Dann ermittelt man die Auflagerkraft im Punkt A sowie die daraus resultierende Querkraft F q und integriert den Querkraftverlauf F q (x) dreimal entsprechend den Gln. (4.4) bis (4.6). FA D F Fq .x/ D FA D F Durch dreimalige Integration folgt: 1 F w .x/ D  x 3  C1  x 2 C C2  x C C3 6E I 2 Über die Randbedingungen w(x D 0) D 0, w0 (x D 0) D 0 und w0 (x D l) D 0 erhält man die Integrationskonstanten. Zweimaliges Ableiten der Biegelinie ergibt schließlich den Biegemomentenverlauf, aus dem man das Moment am Sieb ermitteln kann.

Abb. 7.35 Ersatzmodell zur Berechnung der Biegefeder am Schwingsieb

206

7

Lösungshinweise

Abb. 7.36 Ersatzsystem zu Aufgabe 4.14 (Autobahnwegweiser mit Windlast)

Aufgabe 4.13 Man geht aus von der Biegelinie aus Aufgabe 4.12, aus der man die Durchsenkung am Sieb (für x D l) ermittelt: F  l3 D O f w .x D l/ D 12E  I 3 mit I D bh 12 (für die Blattfeder mit Rechteckquerschnitt) Durch Umstellen dieser Gleichung nach F und Einsetzen der gegebenen Werte erhält man die gesuchte Kraft F. Die Biegespannung ergibt sich aus Mb 3F  l D b D Wb b  h2 mit Mb D 12 F  l aus Aufgabe 4.12 und Wb D

bh2 6

(für einen Rechteckquerschnitt)

Aufgabe 4.14 Man geht von folgendem Ersatzsystem aus (Abb. 7.36): Die Durchsenkung im Punkt C setzt sich aus drei Anteilen zusammen: l wC D wB .F1 / C 'B .F1 /  C wC .F2 / 2 Die Formeln für die Durchsenkungen und Tangentenneigungen kann man Tab. 4.1 entnehmen. F 1 und F 2 sind gleich groß. Das Flächenmoment 2. Grades entnimmt man einer Profiltabelle (I x D 2445 cm4 ). Das größte Biegemoment tritt am Mastfuß an der Einspannung auf: MA D 32 F  l. Daraus erhält man die größte Biegespannung mit W b D 245 cm3 aus einer Profiltabelle. Aufgabe 4.15 Abb. 7.37 erläutert die Verschiebungen der drei Punkte. Die im Punkt D wirkende Kraft F führt zu einer Momentenbelastung M D F  l des waagerechten Balkens im Punkt B. Daraus resultieren die Verformungen wM und ' M . Der Teilbalken B–C hat keine Verformung; er verläuft nur mit der Tangentenneigung ' M im Punkt B „starr“ nach unten. Der senkrechte Teilbalken B–D wird um die Tangentenneigung in B „starr“ nach rechts gekippt und zusätzlich durch die Kraft F im Punkt D verformt. Die entsprechenden Verformungsgrößen entnimmt man der Tab. 4.1

7.4 Lösungshinweise zu Kapitel 4

207

Abb. 7.37 Verformungen und Verschiebungen des Balkens aus Aufgabe 4.15

Aufgabe 4.16 Der Träger ist solange statisch bestimmt gestützt, wie das linke Ende bei A nicht auf dem Lager aufliegt. Daher kann man die Durchsenkung im Punkt B aus Tab. 4.1, Ziffer 1 ermitteln:  3 F  2l wB D 3E  I Mit der Tangentenneigung im Punkt B  2 F  2l 'B D 2E  I lässt sich die Durchsenkung des Punktes A berechnen: l 5F  l 3 wA D wB C 'B  D a 2 48E  I Daraus ergibt sich für die Kraft F: 48E  I  a F  5l 3 Das größte Biegemoment tritt im Punkt C (Einspannquerschnitt) auf: l MC D F  2 Die Biegespannung im Punkt C ist damit: Mb 24E  I  a b D D Wb 5l 2  Wb

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7

Lösungshinweise

Mithin erhalten wir die maximal zulässige Absenkung des linken Auflagers zu b zul  5  l 2  Wb a 24E  I Die notwendigen Profilwerte entnehmen wir z. B. [2], TB 1-11: I D 4250 cm4 ; W b D 354 cm3 . Da der Träger lt. Aufgabenstellung aus Stahl besteht, gilt: E D 2,1  105 N/mm2 . Hinweis: Man kann sich den Rechenaufwand vereinfachen, wenn man berücksichtigt, dass I Wb D h=2 ist; in diesem Fall mit h / 2 D 120 mm für das Profil I240. Dann erhält man für a: b zul  5  l 2 a 12E  h Das Heraussuchen der Profilwerte entfällt damit auch. Aufgabe 4.17 a) Die Durchsenkung im Punkt B setzt sich aus vier Anteilen zusammen, die der Tab. 4.1 entnommen werden können: Durchsenkung aufgrund Kraft F 1 an der Kraftangriffsstelle und „starre“ Durchsenkung in B aufgrund Tangentenneigung im Kraftangriffspunkt: F1  a3 F1  a2 C .l  a/ wBF1 D 3E  I 2E  I Durchsenkung aufgrund Kraft F 2 : F2  l 3 wBF2 D 3E  I Durchsenkung aufgrund Balkenmasse (zu berücksichtigen wie Streckenlast): m0  g  l 4 wm0 D 8E  I b) Wir berechnen zunächst das Einspannmoment in A: m0  g  l 2 MA D F2  l C F1  a C D 55;625  106 Nmm 2 Damit und mit dem gegebenen W y erhalten wir für die Biegespannung: b D 129;662 N/mm2  130 N/mm2 Schließlich ergibt sich mit Re D 235 N/mm2 (Fließgrenze): SF  1,81. Aufgabe 4.18 Der linke Teil der Welle kann sich in den Lagern A und B nicht durchsenken. Es ergeben sich in diesen Punkten aber jeweils Tangentenneigungen. Die Durchsenkung im Punkt C erhält man aus der „starren“ Durchsenkung aufgrund der Tangentenneigung im Punkt B und aus der Durchsenkung aufgrund der Kraft F 2 . wC D 'B  l2 C wCF2

7.4 Lösungshinweise zu Kapitel 4

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Die Tangentenneigung im Punkt B berechnet man aus der Überlagerung der Tangentenneigung ' BF1 aufgrund F 1 sowie ' BM2 aufgrund des Versatzmomentes M 2 D F 2  l2 im Punkt B. Die Werte können der Tab. 4.1 entnommen werden: F1  l12 'BF1 D 16E  I1 2M2  l1 2F2  l2  l1 'BM2 D  D 3E  I1 3E  I1 F2  l23 wCF2 D 3E  I2 Aufgabe 4.19 Die Durchsenkung im Punkt C setzt sich aus vier Anteilen zusammen: Durchsenkung wBq aufgrund der Streckenlast über A–B, Durchsenkung wBF aufgrund der Kraft F über A– B, Durchsenkung wCF in C aufgrund der Einzelkraft am Ende von B–C sowie Verdrehwinkel ' aufgrund des Torsionsmomentes F  l / 2 über A–B, was in C zu einer „starren“ Durchsenkung wC' führt: wC D wBq C wBF C wCF C wC® Dabei sind q  l4 F  l3 F  l3 F  l2 wBq D ! wC® D I wBF D I wCF D I ' D 8E  I 3E  I 24E  I 2G  Ip F  l3 4G  Ip Die Tangentenneigung im Punkt B aufgrund der Streckenlast q über A–B spielt in diesem Fall keine Rolle: Sie führt nur zu einer „starren“ Verdrehung des Rohrabschnitts B–C um seine Längsachse. Aufgabe 4.20 Wir schneiden das System am Gelenk und setzen die Gelenkkraft F B als äußere Kraft sowohl am linken als auch am rechten Teilbalken an. Für den linken Teilbalken der Länge 2l können wir dann die Durchsenkung in B berechnen (Abb. 7.38): 2q  l 4 8FB  l 3  wBI D wq C wB D E I 3E  I Die Durchsenkung des rechten Teilbalkens ergibt sich zu: FB  l 3 wBII D 3E  I Im Gelenk müssen die Durchsenkungen des linken und rechten Teilbalkens gleich sein: wBI D wBII . Aus dieser Beziehung lässt sich die Gelenkkraft berechnen und mit der Gelenkkraft auch die Durchsenkung in B.

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7

Lösungshinweise

Abb. 7.38 Schneiden der Teilbalken am Gelenk (oben), Haupt- und Nebensystem für die Berechnung der Durchsenkung (unten)

Aufgabe 4.21 Der Rahmen der Spindelpresse ist dreifach statisch überbestimmt (sechs Lagerreaktionen). Für die Lösung machen wir uns die Symmetrie zu Nutze, Abb. 7.39: Im Punkt C behält der Rahmen auch bei Verformung durch die Kraft F eine waagerechte Tangente. Somit können wir uns den halben Rahmen als im Punkt C durch eine Schiebehülse gelagert denken (Abb. 7.39, Mitte). Diese Schiebehülse kann ein Moment M C und eine waagerechte Kraft F Cx aufnehmen. Beide tragen wir mit der äußeren

Abb. 7.39 Ausnutzung der Symmetrie des Rahmens zur Vereinfachung der Berechnung

7.4 Lösungshinweise zu Kapitel 4

211

Abb. 7.40 Verformungen im Hauptsystem und in den Nebensystemen 1 und 2

Kraft F zusammen als äußere Belastungen an. Jetzt können wir das Überlagerungsprinzip anwenden: Wir ermitteln zunächst die Verformungen in B und C aufgrund der äußeren (Spindel-)Kraft F / 2 („Hauptsystem“). Dann setzen wir M C als äußeres Moment an und bestimmen dafür die Verformungen in B und C („Nebensystem 1“). Schließlich wird die Kraft F Cx als äußere Belastung angenommen („Nebensystem 2“) und dafür werden die Verformungen in B und C berechnet. Die Größe der Durchsenkungen und Tangentenwinkel für die Einzelbelastungen entnimmt man der Tab. 4.1. Die Schnittgrößen M C und F Cx erhält man dann durch folgende Bedingungen: Die waagerechte Verschiebung des Punktes B muss null sein und in C muss eine waagerechte Tangente an die Biegelinie vorliegen. Abb. 7.40 zeigt die zu überlagernden Verschiebungen. Hauptsystem (beachte: Die äußere Kraft ist F / 2!): F  al 2 F  al F  a3 I 'BF D I wCF D wBF D 4E  I 2E  I 6E  I F  a2 F a wCH D .3l C a/ I 'CH D .2l C a/ 6E  I 4E  I Nebensystem 1: MC  l 2 MC  l Mc  a wBM D I 'BM D I 'CM D 2E  I E I E I Mc  a Mc .2l C a/ I 'C1 D .l C a/ wC1 D 2E  I E I Nebensystem 2: FCx  l 3 FCx  l 2 I 'BFCx D  D 'C2 wBFCx D  3E  I 2E  I FCx  al 2 wC2 D  2E  I

212

7

Lösungshinweise

Mit den Bedingungen wB D 0 und ' C D 0 (siehe oben) erhält man schließlich zwei Gleichungen für die beiden Unbekannten M C und F Cx . Das Einspannmoment in A berechnen wir über die Gleichgewichtsbedingung F M .A/ D 0 D MA C a C MC  FCx l 2 Aufgabe 4.22 Die Verschiebung des Radaufstandspunktes ergibt sich aus dem Tangentenwinkel der Biegelinie. Um diesen zu berechnen, gehen wir aus von Gl. (4.2): Mb .x/ w 00 D  E I Zunächst benötigen wir demnach den Biegemomentenverlauf (Abb. 7.41). Da der Biegemomentenverlauf eine unstetige Funktion ist, können wir nur bereichsweise integrieren. Bereich 1: F  x1 F  x12 F  x13 I w10 D  C C11 I w1 D  C C11  x1 C C21 w100 D  E I 2E  I 6E  I An der Lagerstelle bei x1 D a ist die Durchsenkung null: F  a3 C C11  a C C21 .1/ w1 .x1 D a/ D 0 D  6E  I Bereich 2: F  a  x22 F a F  a  x2 I w20 D  C C12 I w2 D  C C12  x2 C C22 w200 D  E I E I 2E  I An der Lagerstelle bei x2 D 0 ist die Durchsenkung null: C22 D 0 An der Lagerstelle sind die Tangentenneigungen im Bereich 1 und im Bereich 2 gleich: F  a2 C C11 D C12 .2/ w10 .x1 D a/ D w20 .x2 D 0/ W  2E  I Für x2 D b ist die Durchsenkung null (rechte Lagerstelle): F ab C12 D .3/ 2E  I (3) in (2) eingesetzt: F  a.a C b/ C11 D 2E  I

Abb. 7.41 Biegemomentenverlauf für die Radsatzwelle

7.4 Lösungshinweise zu Kapitel 4

213

Damit gilt für w2 : F  a  x22 F ab C  x2 .4/ w2 D  2E  I 2E  I Die Neigung der Tangente der Radsatzwelle am Rad (x1 D 0) soll maximal sein: s F  a.a C b/ w10 .x1 D 0/ D D .5/ 2r 2E  I (5) umgestellt nach I: F  a .a C b/ r Ierf D s  E Für einen Vollkreisquerschnitt gilt:  4 d ; I D 64 womit sich dann der notwendige Wellendurchmesser derf berechnen lässt. b ergibt sich mit einem gewählten „glatten“ Wert d D Über die Gleichung b D M Wb 90 mm die genannte Spannung. Sie ist relativ niedrig. In dieser Aufgabe wurde auch nur die statische Belastung berücksichtigt. In der Praxis gibt es dagegen zusätzliche dynamische Belastungen aus den Vertikal- und Horizontal-Schwingungen des Fahrzeugs. Radsatzwellen werden dauerfest ausgelegt, womit die zulässigen Spannungen deutlich niedriger sind als bei statischer Belastung. Die Durchsenkung der Radsatzwelle in der Mitte ergibt sich durch Einsetzen von x2 D b / 2 in (4):  2   F  a  b2 b F ab b F  a  b2 D C  D w2 x2 D 2 2E  I 2E  I 2 8E  I Aufgabe 4.23 Die Dehnungen infolge der Normalkräfte sollen vernachlässigt werden. Da das System symmetrisch ist, ist die sich aufgrund der Temperaturerhöhung ergebende Verlängerung der Balken 1 und 2 gleich. Das Verbindungsgelenk wird infolge der Wärmedehnung verschoben; beide Balken werden um denselben Betrag verbogen. Einspannmoment: M 1 D M 2 D F  l Durchsenkung am Gelenk jeweils: 3˛  #  E  I F  l3 D 317;5 N !F D w D l D l  ˛  # D 3E  I l2 Aufgabe 4.24 Beide Balken erfahren am jeweiligen Ende dieselbe Durchsenkung w. Die dazu notwendigen Kräfte F 1 und F 2 sind aber aufgrund der unterschiedlichen Steifigkeiten (unterschiedliche Länge l bei gleichem EI) unterschiedlich; ihre Summe ergibt die Gesamtkraft F: F D F1 C F2

214

7

Lösungshinweise

Allgemein gilt für die Durchsenkung eines einseitig eingespannten Balkens: F  l3 wD 3E  I und damit F1  23  l 3 F2  l 3 w1 D D w2 D ! 8  F1 D F2 ! F D F1 C 8  F1 D 9  F1 3E  I 3E  I F ! F1 D D 11;11 N 9 Das Flächenmoment 2. Grades für die Balken ergibt sich zu B  H 3  b  h3 D 12:072 mm4 I D 12 Durch Einsetzen aller bekannten Werte in die Gleichung für w1 erhält man schließlich die Lösung. Aufgabe 4.25 a) Aufgrund des Höhenversatzes ergibt sich eine Durchsenkung der Welle. Dazu ist am Lager C eine Kraft F C erforderlich. Aus dem Kräftegleichgewicht ergeben sich die Lagerkräfte F A und F B : FA D FB D 1 / 2  FC Die Kraft F C lässt sich über die gegebene Durchsenkung in Wellenmitte nach Tab. 4.1, Ziffer 6, ermitteln: FC  l 3 48wC  E  I ! FC D wC D 48E  I l3 b) Das maximale Biegemoment (in Wellenmitte am Lager C) beträgt: l Mb D FA  D 5:700:750 Nmm 2 Für das Biege-Widerstandmoment erhält man: W b D 169.646 mm3 . c) Den Neigungswinkel der Tangenten in A und B ermittelt man nach Tab. 4.1, Ziffer 6: FC  l 2 'A D 'B D 16E  I

7.5

Lösungshinweise zu Kapitel 5

Aufgabe 5.1 Der Stab ist beidseitig gelenkig gelagert ) Knickfall 2 mit lK D l r a4 I a 2 I D ; A D a und damit wird der Trägkeitsradius i D D p 12 A 2 3 lK l Schlankheitsgrad  D D a D 138;6  139 ) Euler-Knickung p i 2 3 N 4 4  2  210:000 mm 2  E  I 2  50 mm D D 269:872 N  270 kN FK D l2 mm2 20002 mm2 12

7.5 Lösungshinweise zu Kapitel 5

215

F N 50:000 N D 20 und D 2 2 A 50 mm mm2 N  2  210:000 mm 2  E N 2 D D 107;3 K D 2 2  139 mm2 N 107;3 mm2 K SK D D D 5;36 ) knicksicher und N d 20 mm 2 d D

SF D

N 235 mm Rp0;2 2 D D 11;75 N d 20 mm 2

Aufgabe 5.2 Es muss gelten:  d   zul F Re F Re dF  D  I dF  Re )   2 D 2 A SF SF SF  da  di 4 s s p 4  F  SF 4  120:000 N  2 mm2 di D da2  D .80 mm/2  D 5288;8 mm2   Re   275 N D 72;72 mm Erforderliche Wanddicke s: da  di 80 mm  72;72 mm sD D D 3;64 mm 2 2 Versagensfall Knickung (Knickfall 1): Festigkeitsbedingung: d  zul D SKK  1 F  2 E  Imin 1 2 E   4 FK 1 )F D  D D    2  da  di4  2 A A SK 4 SK 4 lK 64 SK l  K4  3 4   E da  di D 256  lK2  SK s s 2  S 256  F  l 256  120:000 N  13002 mm2  3;5 4 K 4 K 4 di D da4  .80 mm/  D N 3  E  3  210: 000 mm 2 D 60;11 mm sD

da  di 80 mm  60;11 mm D D 9;95 mmI 2 2

Aufgabe 5.3 Es liegt Knickfall 4 vor ) lK D 0,5l

s D 10 mm gewählt

r I   d4   d2 d I D ;A D ) Trägheitsradius i D D 64 4 A 4 lK 4  0;5l 2  3500 mm D D D D 233;33 ) Knickung nach Euler i d 30 mm

216

7

K D

2  E N  38 2 mm2

SK D

N 38 mm K 2 D D 5;94 > 5;5 ) knicksicher N d 6;4 mm 2

und d D

F D A

 4

Lösungshinweise

N 4500 N D 6;4  302 mm2 mm2

Aufgabe 5.4 a) Fließen mit einer Sicherheit von SF D 1,5 soll ausgeschlossen sein, es gilt die Bedingung  d   zul :  Re Re Re  2 F dF  )F DA D D 123:587 N D D  d2 A SF SF SF 4 SF b) Ein Ausknicken mit einer Sicherheit von SK D 4 soll ausgeschlossen sein. Es liegt Knickfall 4 mit lK = 0,5l vor. Es muss die Bedingung  d   zul D  K / SK gelten. F  2  E  Imin FK mit FK D D A A  SK lK2    2  E  Imin  3 E D4  d 4 )F D D D 44:355 N  16 l 2  SK lK2  SK c) Verkürzung infolge der Druckkraft: Verkürzung l: l d  l F l ) l D  D D 1;017 mm d D E  " D E l E AE Aufgabe 5.5 Es liegt Knickfall 2 mit lK D l vor. Minimaler Schlankheitsgrad min : s E N N mit P  0;8  Re D 0;8  355 D 284 ) min D 85;4 min D  P mm2 mm2 lK 1800 mm imin D 20,4 mm gemäß Profiltabelle )  D D D 88;2 imin 20;4 mm ) Knickung nach Euler Druckspannung d D

F A

D

32:000 N 471 mm2

N  68 mm 2

Sicherheit gegen Knicken: K 2  E N mit K D D 266;4 ) SK D 3;92 ) knicksicher! SK D 2 d  mm2 Aufgabe 5.6

X Ermittlung der Kräfte in A und B: Fz D FG  FA  FB D 0 und X 5 3 MA D FG  5 m  FB  8 m D 0 ) FB D FG und FA D FG 8 8 q q cm4 Stab A: Knickfall 2 mit lK D l D 4m, Trägheitsradius i D AI D 250 D 3;16 cm 25 cm2

7.5 Lösungshinweise zu Kapitel 5

217

lK 400 cm D D 126;6 > 104 ) Knickung nach Euler i 3;16 cm N 2  2  210:000 mm 2  E  A 2  2500 mm D D 323:290 N FK D K  A D 2 126;62 FK FK 3 .mit SK D 4/ ) FA zul D D 80:822;5 N ) FA zul D FG SK D FA zul SK 8 8 ) FG D FA zul D 215:527 N 3 Stab B: Knickfall 3 mit lK D 0,7  l D 2,8 m lK 280 cm D D D 88;6 < 104 ) Knickung nach Tetmajer i 3;16 cm N K D 310  1;14  D 310  1;14  88;6 D 209 mm2 N FK D K  A D 209  2500 mm2 D 522:490 N mm2 FK 5 8 D 130:622;5 N ) FB zul D FG ) FG D FB zul D 208:996 N FB zul D SK 8 5 F G am Stab B ist somit die zulässige Gewichtskraft und damit die zul. Masse mzul des Körpers D 21.304 kg. D

Aufgabe 5.7 Das Flächenmoment 2. Grades für das Kreuzprofil ist für die y- und z-Achse gleich, d. h. b  h3 .b  s/  h3 s  .5s/3 4s  s 3 s 4 .53 C 4/ C D C D D 10;75s 4 Iy D Iz D 12 12 12 12 12 Es liegt Knickfall 2 vor ) lK D l D 750 mm. Mittelwert für den E-Modul nach Tab. 1.1: EGJL D 110.000 N/mm2  2  E  Imin FK  SK  lK2 FK D ) I D D 259:060 mm4 ) min 2  E SK  lK2 s 4 4 259:060 mm D 12;46 mm sD 10;75 s D 14 mm gewählt ) b D 5  14 mm D 70 mm und A D 70 mm  14 mm C 56 mm  14 mm D 1764 mm2 I D 10;75  s 4 D 10;75  144 mm4 D 412:972 mm4 lK 750 mm D q D q D 49 < 80 ) Rechnung der Spannung nach Tetmajer I A

412:972 mm4 1764 mm2

K D 776  12 C 0;0532 D 776  12  49 C 0;053  492 D 315;25 d D

N mm2

N 315;25 mm F N K 125:000 N 2 D 70;9 ) S D D D 4;45 > 4 D K N A 1764 mm2 mm2 d 70;9 mm 2

) knicksicher!

218

7

Lösungshinweise

Aufgabe 5.8 a) Volumen des Kugelbehälters:

r r 3 4   D3 3 6  15:000 m 3 6  V 3 V D  r D )DD D D 30;6 m 3 6   N N ) 12 bar D 1;2 1 bar D 0;1 2 mm mm2 pD pD 1;2 N  30;6 m  103 mm D D D 36;72 mm; )serf D N 4s 4  zul mm2 4  250 mm 2 m gewählt s D 40 mm

b) V Kugel D A  s D   D2  s D   30,62 m2  0,04 m D 117,67 m3 ) mKugel  St D 117,67 m3  7,85 t / m3 D 923,682 t F ges D (m1 C m2 )  g D (923.682 kg C 130.000 kg)  9,81 m/s2 D 10.336.620 N F Stütze D 1 / 8 F ges D 1.292.078 N Knickfall 4 mit lK D 0,5l D 0,5  20 m D 10 m  2  E  Imin FK  l 2 1:292:078 N  10:0002 mm2 ) Imin D 2 K D FK D N 2  E lK  2  210:000 mm 2 D 62:340:415 mm4       IStütze D D4  d 4 D 406;44  382;44 mm4 D 289:370:135;75 mm4 64 64    2  2 AStütze D D d D 406;42  382;42 mm2 D 14:868;53 mm2 4 4 s r I 289:370:135;75 mm4 iD D 139;51 mm D A 14:868;53 mm2 10:000 mm lK D D 71;68 < 88 ) Tetmajer i 139;51 mm N K D 335  0;62 D 335  0;62  71;68 D 290;56 mm2 F N K 1:292:078 N d D D 86;9 mit SK D D 3;34 ) knicksicher! D 2 2 A 14:868;53 mm mm d

mit

D

c) KKugel D mKugel  kSt D 953:682 kg  1;80 C=kg D 1:662:627;60 C KRohr D n  ARohr  lRohr  St  kRohr D n  1=4    .da2  di2 /  lRohr  St  kRohr D 8  1=4    .406;42  382;42 / mm2  20:000 mm  7;85 kg/dm3  106 dm3 /mm3  2;60 C/kg D 48:554;67 C KM D KKugel C KRohr D 1:711:182;27 C

7.5 Lösungshinweise zu Kapitel 5

219

c = 400

a = 5000 b = 3500

A

Fdx

z 45° Fdz x

F

Fd

Abb. 7.42 Kräfte am Druckstab

Aufgabe 5.9 a) Berechnung der Druckkraft F d auf den Stützstab (Abb. 7.42): X MA D Fdz  b C Fdx  c  F  a D Fd  cos ˛  b C Fd  sin ˛  c  F  a D 0 Fd D

F a F a 1:500:000 N  5000 mm D D 1p cos ˛  b C sin ˛  c cos 45ı  b C sin 45ı  c 2 .3500 mm C 400 mm/ 2

D 2:719:641;47 N  2720 kN b) Sicherheit gegen Fließen: Bedingung:  d   zul Fd Re dF  D A SF SF Re  A 335 N  14:900 mm2 SF D D D 1;835 .ausreichend, da SF > 1;5/ Fd mm2 2:719:642 N Sicherheit gegen Knickung (Knickfall 2): K Fd FK d  zul D I D SK A A  SK FK  2  E  Imin  2  210: 000 N  85:600:000 mm4 SK D D D D 2;66 > 2 2 Fd l  Fd mm2 49502 mm2  2:719:642 N Die Sicherheit gegen Drücken und Knicken ist ausreichend. c) Materialkosten K M D (lAusl C lStütz )  m0  kI D (5,2 m C 5,1 m)  117 kg/m  1,80 C/kg = 2169,18 C (IPB 300)

8

Klausuren

Zur Prüfungsvorbereitung unter realen Bedingungen sind die nachfolgenden sechs Klausuren zusammengestellt. Zulässige Hilfsmittel: nichtprogrammierbarer Taschenrechner, Tabellen aus dem Klausurtrainer, ein Blatt eigene Formelsammlung, Bearbeitungszeit 90 min. Der Lösungsweg ist übersichtlich und nachvollziehbar unter Angabe der Formeln darzustellen. Die Klausuren bestehen aus jeweils vier Aufgaben und beziehen sich auf den Stoff der fünf Kapitel des Lehrbuches und des Klausurentrainers. Versuchen Sie die Aufgaben erst einmal selbständig zu lösen, möglichst ohne Lösungshilfe. Wenn dieser Weg nicht zum Ziel führt, dann sollte die Lösungshilfe in Anspruch genommen werden. Darüber hinaus sollte überlegt werden, ob es eventuell andere oder kürzere Lösungswege gibt, die zum besseren Verständnis des Problems und zur Vertiefung des gelehrten Stoffes beitragen.

8.1 Klausur 1 Aufgabe 1 Eine Getriebewelle aus E335 ist wie dargestellt gelagert. Während des Betriebes erwärmen sich das Gehäuse und die Welle. Der Temperaturunterschied zwischen Gehäuse und Welle beträgt max. 40 °C. a) b) c) d)

Welches Lagerspiel ist notwendig, um die Dehnung aufzunehmen? Welche axiale Kraft entsteht, wenn kein Lagerspiel vorhanden ist? Wie groß sind dabei die Spannungen in den Getriebewellenabschnitten 1, 2 und 3? Wie groß ist die Mindestsicherheit der Welle gegen Fließen?

Gegeben: E D 2,1  105 N/mm2

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2020 K.-D. Arndt et al., Klausurentrainer zur Festigkeitslehre für Wirtschaftsingenieure, https://doi.org/10.1007/978-3-658-28902-7_8

221

222

8 625

Lagerspiel

Ø 25

2

Ø 40

1

Ø 70

150

Ø 50

175

Ø 30

Klausuren

3

Aufgabe 2 Das einseitig fest eingespannte geschlossene Profil konstanter Biegesteifigkeit aus S235 wird mit einer Kraft F D 10 kN wie dargestellt belastet. a) Wie groß sind die Randspannungen 1 und 2 an der Stelle A? b) Aus funktionellen Gründen soll im unteren Bereich das Profil über die gesamte Breite wie dargestellt offen sein. Sind die vorhandenen Randspannungen in 3 und 4 noch zulässig, wenn die Randspannungen von 1 und 2 nicht überschritten werden dürfen? Sollten diese Biegespannungen den Wert von a) überschreiten, so sind Änderungsvorschläge zu unterbreiten.

80

1200

70 z

A

130

a)

150

1 y

y

2 z

A

90 y

120

b)

150

3 y

70 z

4

F

8.1 Klausur 1

223

Aufgabe 3 Der dargestellte Sechskantsteckschlüssel dient zum Eindrehen von Innensechskantschrauben. Zu ermitteln sind a) das Verhältnis der maximalen Torsionsspannungen der Bereiche 1 und 2 b) der maximale Verdrehwinkel ' max bezogen auf die Länge l c) das Längenverhältnis l1 / l2 , wenn ' 1 D ' 2 ist. Gegeben: F; d; D; l1 ; l2 ; s (s d); G D

F

F 1

2

2

d

d

l

l1

1

l2

s Querschnitt 1

Querschnitt 2

Aufgabe 4 Der dargestellte Träger IPE-500 aus S235JR wird mit einer Streckenlast aus der Kraft F q (die Gewichtskraft des Trägers ist darin mit enthalten) belastet. a) Zu bestimmen ist die Durchsenkung des Trägers für die Punkte C, D und E sowie die Neigungswinkel in A, B, C und E. b) Für welche Länge a wird die maximale Durchsenkung und die Durchsenkung in C und E null? Gegeben: F q = 120 kN; E D 2,1  105 N/mm2 ; l D 18 m; a D 1,5 m; b D 15 m. z

l Fq = 120 kN

a

h

a

y

y s

b

B t

A C

D

E

b z

224

8

Klausuren

8.2 Klausur 2 Aufgabe 1 Ein Träger mit sechseckigen Durchbrüchen im Steg (Wabenträger) wird durch zwei gleichgroße Kräfte F D 50 kN wie dargestellt belastet. a) b) c) d)

Skizieren Sie den Biegemomentenverlauf. Wie groß ist die maximale Biegespannung, wenn der Träger keine Durchbrüche hat? Wie groß ist die maximale Biegespannung für den Träger mit Durchbrüchen? Ist die Sicherheit gegen Fließen gegeben, wenn der Träger aus S235JR gefertigt wird und die Mindestsicherheit Smin D 1,5 beträgt? Wenn nicht, welche Maßnahme schlagen Sie vor?

z

F

y

F 450

450

Mb 200

x

215

215

140

140 2000

A

B

F 80

10 10

150

200

C

140

215

215

C Schnitt C-C

Aufgabe 2 Eine Torsionsfeder, die aus einem Rohr (1) und einem zylindrischen Stab (2) besteht, ist an den Enden durch zwei starre Platten fest miteinander verbunden. An den Endplatten greift jeweils ein Torsionsmoment T D 10 kNm an. a) Wie groß sind die vom Rohr (1) und vom zylindrischen Stab (2) aufzunehmenden Torsionsmomente?

8.2 Klausur 2

225

b) Wie groß ist der Verdrehwinkel an den Endplatten? c) Wie groß sind die maximalen Spannungen im Rohr und im Stab? Gegeben: d1 D 120 mm; s D 3 mm; d2 D 40 mm; l D 1000 mm; G1 D 81.000 N/mm2 ; G2 D 42.000 N/mm2 1000

1

Ø 40

Ø 114

T

Ø 120

2 T

Aufgabe 3 Die 1,5 m lange Spindel einer Reibspindelpresse soll aus E335 hergestellt werden. Das Reibmoment an der Druckplatte kann vernachlässigt werden. a) Welcher Spindelkerndurchmesser dKern ist bei einer Sicherheit SK D 3 mindestens erforderlich? b) Ist die Sicherheit gegen Knicken ausreichend? Wenn nicht, was ist zu tun?

1500

Gegeben: F D 1 MN

dK

F

F

226

8

Klausuren

Aufgabe 4 Für den skizzierten Breitflanschträger mit der konstanten Biegesteifigkeit E  I ist die Durchsenkung und die Neigung an der Stelle D zu bestimmen. Gegeben: F; q; E  I; a D 0,25  l; b D 0,4  l; c D 0,3  l; l

q

F

a

c

IPBl b

F l

A

8.3

B

C

D

Klausur 3

Aufgabe 1 Der dargestellte starre Balken ist an zwei parallelen, elastischen Stäben aufgehängt und wird mit der Kraft F belastet. Stab A hat einen Kreis- und Stab B einen quadratischen Querschnitt. a) In welchem Abstand c von der Mitte (C) aus muss die Kraft F angreifen, damit der starre Balken waagerecht bleibt? b) Wie groß sind die Spannungen in den Stäben? Gegeben: dA D 30 mm; EA D 210.000 N/mm2 ; aB D 25 mm; EB D 175.000 N/mm2 F D 60 kN; b D 600 mm; l D 1000 mm

b

EA

EB

dA

aB

A

l

b

B c

F

C

8.3 Klausur 3

227

Aufgabe 2 Der Träger einer Lastaufnahmeeinrichtung wird wie dargestellt belastet. Die Querschnitte der Schweißnähte sind zu vernachlässigen. a) b) c) d)

Skizzieren Sie den Biegemomentenverlauf. Wie groß ist das max. Biegemoment? Wie groß ist die max. Biegespannung? Ist die Sicherheit gegen Fließen ausreichend, wenn der Träger aus S235JR gefertigt wird?

Gegeben: F D 350 kN; l D 6 m; a D 0,4  l 30 a5

y

30 165

a5

a5 a5

155

x a

a5 a5

300

C 320

Mb

F

340 165

20

z

C

A

140

a5 a5

B 20

l

155

140

a5

a5

Schnitt C - C

Aufgabe 3 Der dargestellte Stab wird mit einem Torsionsmoment T D 150.000 Nmm belastet. a) Wie groß muss der Durchmesser d mindestens sein, damit  t max   t zul im Stab nicht überschritten wird? b) Wie groß ist der Gesamtverdrehwinkel ' ges ? Gegeben: h / b D 2,5;  t zul D 50 N/mm2 ; G D 81.000 N/mm2 1000 600

T

d

h

b

T

228

8

Klausuren

Aufgabe 4 Für den skizzierten Breitflanschträger mit der konstanten Biegesteifigkeit E  I sind die Durchsenkung und die Neigung an der Stelle B zu bestimmen. Wie groß muss die Kraft F 1 sein, damit sich der Träger an der Stelle B nicht durchbiegt? Gegeben: F; F 1 D F / 2; q; E  I; b D 0,4  l; l

F

q

b

IPBl F1 F

l

A

B

8.4 Klausur 4 Aufgabe 1 Das Profil wird durch die Kraft F wie dargestellt belastet. a) Wie groß ist die Biegespannung in den Randfasern des Profils? b) Welchen Werkstoff würden Sie einsetzen, wenn die Sicherheit gegen Fließen 1,5 betragen soll? Gegeben: F D 30 kN; l D 1,5 m; a D 0,6 m 100

z □ 70

l

Mb

A

x

80

F

y

90

z

100

a

y

y

C C

B

z Schnitt C - C

8.4 Klausur 4

229

Aufgabe 2 Das U-Profil ist wie dargestellt links wölbfrei eingespannt und wird am rechten Ende durch ein Kräftepaar beansprucht. Wie groß darf die Kraft F höchstens sein, damit  t zul und ' zul nicht überschritten werden? Gegeben:  t zul D 60 N/mm2 ; ' zul D 2°/m; G D 81.000 N/mm2 l

60

110

105

5

F

F 15

Aufgabe 3 Für das dargestellte System sind zu bestimmen: a) Handelt es sich im vorliegenden Fall um eine elastische oder unelastische Beanspruchung, wenn als Werkstoff ein E360 eingesetzt werden soll? b) Wie weit darf die Kraft F 1 um den Abstand l1 nach rechts verschoben werden, damit der Stab BC bei einer Sicherheit von 4 nicht ausknickt? Der Stab BC ist oben und unten gelenkig gelagert und hat einen Kreuzquerschnitt. c) Wie groß ist dann die Spannung im Stab BC? Gegeben: F 1 D 75 kN; E D 2,1  105 N/mm2 ; Stabwerkstoff E360. F1

l1

Ausleger

B Stab 4000

C

10 10

Stabprofil

80

5500

80

1500

A

230

8

Klausuren

Aufgabe 4 Das dargestellte System wird mit einer Kraft F D 15.000 N belastet. Aufgrund von Vorgaben darf die größte Lagerneigung ' D 0,5° und die größte Durchbiegung w D 0,3 mm nicht überschritten werden. Für welchen Durchmesser d ist die Welle auszulegen und welches Kriterium ist maßgebend?

d

F

800

A

200

B

C

8.5 Klausur 5 Aufgabe 1 Der Querträger einer Schiebebühne zum Transport von Eisenbahnwaggons wird mit einer Radlast von je 45 kN pro Wagenachse gemäß Abbildung beansprucht. a) Skizzieren Sie den Biegemomentenverlauf! Wie groß ist das max. Biegemoment? b) Wie groß sind die Biegespannungen im gefährdeten Querschnitt? c) Welcher Werkstoff ist zu wählen, wenn eine Sicherheit gegen Biegung SF D 1,5 eingehalten werden soll?

F= 45 kN

C

F= 45 kN

350

L 200 x 100 x 15

Schnitt C - C 30

C 1500

A

4500

B L 150 x 75 x 15

Querträger

8.5 Klausur 5

231

Aufgabe 2 Der dargestellte Stab wird in einem Torsionsversuch durch die Momente T beansprucht. Dabei wird über die Länge l D 150 mm ein Verdrehwinkel ' D 2° gemessen. a) Wie groß sind die Momente T i und die Schubspannungen  ti in den einzelnen Abschnitten des Torsionsstabes? b) Der Stab soll durch einen Stab mit gleichbleibendem Durchmesser bei gleicher Länge l ersetzt werden. Wie groß ist hierfür der Durchmesser bei gleichem Moment T und gleichem Verdrehwinkel ' wie unter a) zu wählen? Wie groß wird dann die Torsionsspannung  t ? G D 81.000 N/mm2 150 50

T

T

1

Ø 10

Ø 20

Ø 25

50

2

3

Aufgabe 3 Das 3 m breite Podest ist gemäß Abbildung auf dem Gebäudemauervorsprung und auf einem Langträger gelagert. Der Langträger wiederum wird durch 4,5 m lange Profile im Abstand von 6 m abgestützt. Die Podestbelastung einschließlich des Podesteigengewichtes beträgt 10 kN/m2 . a) Wie groß ist die Belastung einer Stütze, wenn die Podestbelastung nur von den Stützen aufgenommen wird? b) Welches Profil ist nach DIN 1025-5 (IPE-Reihe) bzw. DIN 1025-2 (IPB-Reihe) bei 3facher Sicherheit zu wählen? c) Wird die Stütze elastisch oder inelastisch beansprucht?

232

8

Klausuren

3000

Langträger

Podest Langträger

4500

6000

Stütze

Stütze

Aufgabe 4 Für den in Aufgabe 1 dargestellten Querträger einer Schiebebühne sind zu bestimmen: a) die maximale Durchsenkung b) die Durchsenkung an der Krafteinleitungsstelle c) der Neigungswinkel in A und an der Krafteinleitungsstelle. E D 210.000 N/mm2

8.6 Klausur 6 Aufgabe 1 Das dargestellte fest eingespannte Profil wird am freien Ende mit der Kraft F D 30 kN belastet. Die Kraft wirkt in Richtung der z-Achse durch den Profilschwerpunkt S. Der Schubmittelpunkt M hat vom Schwerpunkt den Abstand yM . Zu bestimmen sind: a) b) c) d)

die Koordinaten des Schwerpunktes S das Flächenmoment I y des Profils die auftretenden Spannungen, wenn yM D 120 mm ist der Werkstoff, wenn eine Sicherheit S D 1,5 bei wechselnder Beanspruchung gefordert wird e) die Maßnahme, damit die Verdrillung des Profils durch das Torsionsmoment nicht entsteht.

8.6 Klausur 6

233

z x

y

250

yM

15

20

M

60

F

10 y

S 60

x

z 150

Aufgabe 2 Das dargestellte System bestehend aus den Balken B1 und B2 mit den Querschnittsflächen A1 und A2 ist bei Raumtemperatur (20 °C) spannungsfrei gelagert. Das gesamte System wird homogen auf die Temperatur 40 °C aufgeheizt. a) Wie groß ist die Längenänderung vom Balken 1? b) Wie groß ist die Kraft, bedingt durch die Eigenspannung, die bei der Temperatur 40 °C auftritt? c) Welcher Balken knickt zuerst und bei welcher Temperatur tritt dies ein? Gegeben: l D 800 mm; r D 5 mm; E D 2,1  105 N/mm2 ; ˛ D 12  106 K1 B2

B1

l

l

2r

4r

4r

A1

A2

234

8

Klausuren

Aufgabe 3 Ein Torsionsstab mit der skizzierten Querschnittsfläche wird mit einem Torsionsmoment T D 500 Nm belastet. a) Wie groß ist die maximale Torsionsspannung im Stab? b) Wie groß ist die Sicherheit, wenn die Schubspannungsgrenze  Grenz D 100 MPa nicht überschritten werden darf?

t

Gegeben: R D 50 mm; t D 2 mm

Aufgabe 4 Der dargestellte Drehkran trägt 75 kN Nutzlast in 5 m Ausladung von der feststehenden Säule. Das Eigengewicht von 30 kN des um die Säule drehenden Auslegers greift in dessen Schwerpunkt S im Abstand 1,67 m von der Säulenachse an. a) Welche waagerechte Kraft F B hat der Säulenkopf in B aufzunehmen? b) Wie groß ist die Durchsenkung und die Neigung im Punkt B der 2,5 m langen Säule, wenn sie als Zylinder mit einem mittleren Durchmesser dm D 300 mm ausgeführt wird? E D 2,1  105 N/mm2 5000 1670

B

S

2500

FN = 75 kN A

FG = 30 kN

8.7 Lösungen der Klausuren

235

8.7 Lösungen der Klausuren 8.7.1

Klausur 1

a) Notwendiges Lagerspiel zur Aufnahme der Dehnung. Die Abschnitte der Welle sind in Reihe geschaltet. l D ˛  #  l .˛ aus Tab. 2.1/ lges D l1 C l2 C l3 D ˛  #  lges lges D 1;2  105 K1  40 K  625 mm D 0;3 mm b) Axiale Kraft ohne jegliches Lagerspiel F l und l D ˛  #  l l D EA F l1 F l2 F l3 ˛  #  l1 C ˛  #  l2 C ˛  #  l3 D EA C EA C EA 1 2 3   F l1 l2 l3 ˛  # .l1 C l2 C l3 / D C C D ˛  #  lges E A1 A2 A3 ˛  #  lges  E ˛  #  lges  E ˛  #  lges  E D Dh  i F D l1 l2 l3 l1 l2 l3 l1 l2 l3  C C C C C C    2 2 2 2 2 2 A1 A2 A3 4 d d d d d d 4

1

4

2

4

3

1

2

3

1;2  105 K1  40 K  625 mm  2;1  105 N   D 4 175 mm 300 mm 150 mm 2 C 70 2 mm2 C 402 mm2 mm  502 mm2 63:000 N F D D 219:936;74 N  220 kN 0;28645 c) Vorhandene Spannungen F 219:936;74 N N D  D 112;01 1 D 2 2 A1 mm2 4  50 mm 2 D

F 219:936;74 N N D  D 57;15 2 2 A2  70 mm mm2 4

3 D

F 219:936;74 N N D  D 175;02 2 mm2 2 A3  40 mm 4

d) Mindestsicherheit gegen Fließen Re 335 N D D 1;91 > 1;5 die Sicherheit gegen Fließen ist gegeben. SF D N 3 175;02 mm 2 Aufgabe 2 a) Randspannungen an der Stelle A MbA MbA D  e1;2 bA D WbA IyA B  H 3  b  h3 12 D F  l D 10:000 N  1200 mm D 12:000:000 Nmm D 12 kNm

IyA D MbA

236

8

Klausuren

80 mm  1503 mm3  70 mm  1303 mm3 D 9:684:166;66 mm4 12 12:000:000 Nmm 150 mm N N D   93 D 92;94 4 2 9:684:166;66 mm 2 mm mm2

IyA D b1;2

b) In diesem Fall liegt der Schwerpunkt nicht mehr in der Mitte der Anschlussfläche, deshalb zuerst Bestimmung des Gesamtschwerpunktes:   P2 2  60 mm  10  120 mm2 C 135 mm  90 mm  30 mm zi  Ai zS D iD1 D Ages 2  10  120 mm2 C 90  30 mm2 zS D

508:500 mm3 D 99;71 mm 5100 mm2

S2 zS2

2

e3

z

Sges zS1

yS

e4

S1

1 y

zS1 D z1  zS D 60 mm  99;71 mm D 39;71 mm zS2 D z2  zS D 125 mm  99;71 mm D 25;29 mm   Iyges D 2 Iy1 C zS21  A1 C Iy2 C zS22  A2   10  1203 mm4 90  303 mm4 Iyges D 2 C 39;712  10  120 mm4 C 12 12 C 25;292  90  30 mm4 Iyges D 6:664:521;84 mm4 C 1:929:377;07 D 8:593:898;91 mm4 e3 D 150 mm  99;71 mm D 50;29 mm e4 D zS D 99;71 mm

8.7 Lösungen der Klausuren

237

b3 D

MbA 12:000:000 Nmm N N  e3 D  50;29 mm D 70;22  70 4 2 Iyges 8:593:898;91 mm mm mm2

b4 D

MbA 12:000:000 Nmm N N  e4 D  99;71 mm D 139;23  140 Iyges 8:593:898;91 mm4 mm2 mm2

Da b4 > b1;2 müssen entweder der obere Flansch oder die unteren Stege dicker ausgeführt werden, damit b4  b1;2 wird! Aufgabe 3 a) Verhältnis der beiden maximalen Torsionsspannungen  t1 und  t2 Torsionsmoment T D FD i D 1,2 T timax D ; mit Wti D 2  Ami  s (Anwendung der Bredt’schen Formel) Wti T timax D 2  Ami  s Kreis (Querschnitt 1): Am1 D

  d2 4

Sechskant (Querschnitt 2): Die vom Sechskantprofil eingeschlossene mittlere Fläche kann man sich aus sechs Dreiecken mit der Spitze im Mittelpunkt zusammengesetzt denken: ah d mit a D Am2 D 6  ADreieck D 6  2 2 s r  2  2 p d d 3 2 d 3 3 Am2 D 3    D d  d D  d2  3 2 2 4 2 16 8 F D 2F D t1max D D 2  4  d 2  s   d2  s 4F D F D p D p t2max D 3 2 2 8 d  3s 3  d2  3  s 4F D
p
d 2  3s p D 1;21 C D 2 D 3Z 3 3 2F D
2
Z d s C b) Maximaler Verdrehwinkel Die Verdrehwinkel addieren sich: 'max D '1 C '2 T  li 'i D G  Iti 4  Ami  s Iti D umi

t2 max t1max

238

8

Klausuren

d 2   d2 3 2 p Am1 D Am2 D  d  3 4 8 F  D  l1  d    16 4  F  D  l1 D '1 D 2 4 G4 d s   d3  G  s um1 D   d

'2 D

'max

um2 D 6 

16  F  D  l2 F  D  l2  d  3  64 D p 2 9  d3  G  s G49 3  d4  s   4F D l1 4  l2  D C  9 G  d3  s

c) Längenverhältnis l1 zu l2 '1 D '2     4  F  D  l1 F  D  l2 16   X3XX D X3XX   d  G X s 9  d  G X s l1 4 D D 1;396  1;4 l2 9 Aufgabe 4 a) Durchsenkung in C, D und E:

  a 2  5 q  b4  ; 16E  I 24 b Fq 120:000 N N D D 66;67 Fq D 120 kN ) q D b C 2a 1800 cm cm Gemäß Tab. 4.1, Ziffer 14: wD D wmax D

Aus Profiltabelle: Iy D O Ix D 48:200 cm4 I N N 102 mm2 E D 2;1  105  D 2;1  107 2 2 2 mm cm cm   a 2  5 q  b4 wD D wmax D  16E  I 24 b "   # 4 4 150 cm 2 66;67 N  1500 cm cm2 5 wmax D  D 4;133 cm cm 16  2;1  107 N  48:200 cm4 24 1500 cm     a 3 q  b3  a a 2 wC,E D C3 1 (Tab. 4.1, Ziffer 14) 6 24E  I b b # "     150 cm 3 150 cm 2 66;67 N  15003 cm3  150 cm cm2 wC,E D C3 1 6 cm 24  2;1  107 N  48:200 cm4 1500 cm 1500 cm wC,E D 1;3 cm Negatives Vorzeichen: Die „Durchsenkungen“ in C und E liegen oberhalb der Mittellinie des unbelasteten Trägers.

8.7 Lösungen der Klausuren

239

Neigungswinkel in A, B, C und E   a 2  q  b3 16 'A D 'B D 24E  I b

"  #  66;67 N  15003 cm3  cm2 150 cm 2 D 16 cm 24  2;1  107 N  48:200 cm4 1500 cm

O 0;499ı  0;5ı 'A D 'B D 0;00871 D   3 q j'C;E j D 4a C 6a2 b  b 3 24E  I   66;67 Ncm2 cm3 D 4  1503 C 6  1502  1500  15003 7 4 cm 24  2;1  10 N  48:200 cm j'C;E j D j  0;00867j D 0;497ı b) Abstand a, bei dem die Durchsenkungen null werden. r r 5 5 wmax D wD D 0; wenn a = b  D 1500 cm  D 684;65 cm  685 cm 24 24 wC,E D 0; wenn a D 0;3747  b D 0;3747  1500 cm D 562;05 cm  562 cm

8.7.2

Klausur 2

Aufgabe 1 a) Ermittlung der Auflagerkräfte, des max. Biegemomentes und des Biegemomentenverlaufs X Fz D 0W FA C FB  2F D 0 X MA D 0W  F  a  F  b C FB  l D 0 F .a C b/ 50:000 N  .550 C 1450/ mm D D 50:000 N l 2000 mm FB D F

FB D

FA D 2F  FB D F D 50:000 N X MF D FA  a D 50:000 N  550 mm D 27:500:000 Nmm F

F

b

a

FA

27,5 kNm

Mb

FB

240

8

Klausuren

b) Maximale Biegespannung, wenn der Träger keine Durchbrüche hat

1

2

2

ohne

1

mit Durchbruch

Flächenmoment 2. Grades     b1  h31 b2  h32 Iyvoll D I1 C 2 I2 C s22  A2 D C2 C s22  b2  h2 12 12   3 3 3 80 mm  10 mm3 10 mm  180 mm 2 2 D C2 C 95 mm  80 mm  10 mm 12 12   D 4:860:000 mm4 C 2 6666;67 mm4 C 7:220:000 mm4 Iyvoll D 19:313:333;4 mm4 b D

Mb Mb 27:500:000 Nmm N D e D  100 mm D 142;39 4 Wb Iyvoll 19:313:333;4 mm mm2

c) Maximale Biegespannung für den Träger mit Durchbrüchen 1. Lösungsweg:     IyWabe D ISteg  IDurchbr C 2 I2 C s22  A2     b1  h31 b1  h31Durchbr b2  h32 2 D  C2 C s2  b2  h2 12 12 12   10 mm  1803 mm3 10 mm  1503 mm3 D  12 12   80 mm  103 mm3 C2 C 952 mm2  80 mm  10 mm 12   D 2:047:500 mm4 C 2 6666;67 mm4 C 7:220:000 mm4 D 16:500:833;34 mm4 Hinweis: 2. Lösungsweg: IyWabe D Iyvoll  IDurchbruch D Iyvoll 

b1  h31Durchbruch

12 Mb Mb 27:500:000 Nmm N D e D  100 mm D 166;66 b D 4 Wb IyWabe 16:500:833;34 mm mm2

8.7 Lösungen der Klausuren

241

d) Sicherheit gegen Fließen Svorhvoll D

D

Re vorhvoll

SvorhWabe D

Re vorhWabe

N mm2 142;39 N 2 mm 235 N 2 mm 166;66 N 2 mm

235

D 1;65  1,5 Sicherheit ist gegeben

D

D 1;41  1,5 Sicherheit ist nicht gegeben

Weil die Sicherheit für den Bereich des Durchbruchs für Mbmax nicht gegeben ist, wäre ein Werkstoff mit höherer Festigkeit (S295 oder E335) oder ein Profil mit stärkeren Steg- bzw. Flanschdicken zu wählen. Auch eine geringere Höhe der Wabendurchbrüche würde zum Ziel führen. Aufgabe 2 a) Torsionsmomente Da das Rohr (1) und der zylindr. Stab (2) fest miteinander verbunden sind, werden beide Bauteile um den gleichen Winkel ' verdreht. Rohr (1) und Stab (2) sind parallel geschaltete Torsionsfedern. Es gilt die geometr. Bedingung: ' 1 D ' 2 T1  l 1 T2  l 2 T1 T2 D ) D mit l D l1 D l2 G1  Ip1 G2  Ip2 G1  Ip1 G2  Ip2 Freischneiden des Körpers:

T

T 2 T1

T1 C T2  T D 0 ) T D T1 + T2 G1  Ip1 T1 D T2  G2  Ip2 T D T2 

G1  Ip

1

G2  Ip2

!

1

G2  Ip2

T

T2 D Ip1

C T2 D T2 1 C

G1  Ip

G1 Ip

1 C G2 Ip1 2     4    D d1a  d14i D 1204  1144 mm4 D 38:463:984 mm4 32 32 32 D 3:776:192;8 mm4

Wp1 D

Ip1 d1a 2

D

3:776:192;8 mm4  2 D 62:936;55 mm3 120 mm

242

8

   d4 D  404 mm4 D 251:327;41 mm4 32 2 32 Ip 251:327;41 mm4  2 D d2 D D 12:566;37 mm3 2 40 2

Ip2 D Wp2

10:000:000 Nmm  mm2

T2 D

1C

81:000 N3:776:192;8 mm4 42:000 Nmm2 251:327;41 mm4

D 333:591;6 Nmm

T1 D T  T2 D 10:000:000 Nmm  333:591;6 Nmm D 9:666:408;4 Nmm b) Verdrehwinkel an den Endplatten T1  l 9:666:408;4 Nmm  1000 mm  mm2 D ' D '1 D '2 D G1  Ip1 81:000 N  3:776:192;8 mm4 D 0;0316 rad D O 1;81ı c) Maximale Spannungen im Rohr und im Stab T1 9:666:408;4 Nmm N D D 153;59 t1 D Wp1 62:936;55 mm3 mm2 t2 D

T2 333:591;6 Nmm N D D 26;55 Wp2 12:566;37 mm3 mm2

Aufgabe 3 a) Spindelkerndurchmesser dKern für SK D 3   2  E  Imin FK  l 2 4 I FK D ) Imin D 2 K  dKern Imin D 2 64  E lK  FK  lK2  SK 4 D  dKern 64 2  E Knickfall 3, mit lK D 0; 7  l D 0; 7  1500 mm D 1050 mm s 2 4 64  FK  lK  SK dKern D E  3 s 2 2 2 p 4 64  1:000:000 N  1050 mm  3 mm 4 dKern D D 32:509:546;71 mm4 3 210:000 N  

Imin D

D 75;51 mm dKern  76 mm s r r  4 Imin d2 d 64  d imin D D D D  2 A 16 4 4 d D

lK 1050 mm  4 D D 55;26  88 ) Tetmajer imin 76

K D .335  0;62  / D 335  0;62  55;26 D 300;74

N mm2

Klausuren

8.7 Lösungen der Klausuren

d D

243

FK N 1:000:000 N D 762 mm2 D 220;44 A mm2 4

N 300;74 mm 2

K D D 1;36  3 ) nicht ausreichend! N d 220;44 mm 2 Da die Sicherheit nicht gegeben ist, muss der Kerndurchmesser noch einmal neu berechnet werden. s 2 K  4  dKern 4  SK  FK K  A SK D D ) dKernerf D FK FK   K s p 4  3  1:000:000 Nmm2 dKernerf D D 12:701;066 mm2 D 112;7 mm  113 mm   300;74 N lK 1050 mm  4 D D D 37;17  88 ) Tetmajer imin 113 N K D .335  0;62  / D 335  0;62  37;17 D 311;95 mm2 SKvorh D

d D

FK N 1:000:000 N D 1132 mm2 D 99;71 A mm2

SKvorh

N 311;95 mm K 2 D D D 3;13  3 ) ist gegeben! N d 99;71 mm2

4

Aufgabe 4 Die Ermittlung der Durchsenkung erfolgt nach dem Überlagerungsprinzip gemäß Abb. und mit Hilfe der Tab. 4.1, Ziffer 2 und 3:

wMD

l

A

0,65·l

+

M

D

wM D

M  l2 I 2E  I

wq D

wqB

A

B

q  l4 ; 8E  I

D wMCD

-

0,25·l

'q D

q  l3 6E  I

wMBD

C

A

wqC

q

244

8

Klausuren

  wD D wMD C wqC C w®CD  wqB C w®BD   wD D wMD C wqC C 'C  lCD  wqB C 'B  lBD Längen: a D lAB D 0,25  l; a + b D lAC D 0,25  l + 0,4  l D 0,65  l; lBD D 075  l lCD D 0,35  l; c D 0,3  l wMD D wqC D

M  l2 F  c  l2 F  0;3  l  l 2 F  l3 D D D 0;15 2E  I 2E  I 2E  I E I 4 q  lAC q  .0;65  l/4 q  l4 q  l4 D D 0;1785 D 0;0223 8E  I 8E  I 8E  I E I

w®CD D 'C  lCD D wqB D

3 q  lAC q  .0;65  l/3 q  l4  lCD D  0;35  l D 0;0160 6E  I 6E  I E I

4 q  lAB q  .0;25  l/4 q  l4 D D 0;00049 8E  I 8E  I E I

w®BD D 'B  lBD D

3 q  lAB q  .0;25  l/3 q  l4  lBD D  0;75  l D 0;0019 6E  I 6E  I E I

F  l3 q  l4 q  l4 q  l4 q  l4 C 0;0223 C 0;0160  0;00049  0;0019 E I E I E I EI E I F  l3 q  l4 l3 wD D 0;15 C 0;0359 D .0;15  F C 0;0359  q  l/ E I E I E I wD D 0;15

M l q  l3 I 'q D E I 6E  I 'D D 'MD C 'qC  'qB 'M D

'MD D

M l F cl F  0;3  l  l F  l2 D D D 0;3 E I EI E I E I

'qC D

3 q  lAC q  .0;65  l/3 q  l3 D D 0;0458 6E  I 6E  I E I

'qB D

3 q  lAB q  .0;25  l/3 q  l3 D D 0;0026 6E  I 6E  I E I

'D D 0;3

F  l2 q  l3 q  l3 l2 C 0;0458  0;0026 D .0;3  F C 0;0432  q  l/ E I E I E I E I

8.7 Lösungen der Klausuren

245

8.7.3 Klausur 3 Aufgabe 1 a) Freimachen des Systems und Ermittlung von Maß c: b

b

c

FA

X X cD

F

C FB

F D F  FA  FB D 0 MC D F  c  FA  b C FB  b D 0 FA  FB b F

FA  l FB  l und lB D EA  AA EB  AB FA  l FB  l EA  AA D ) FA D FB  EA  AA EB  AB EB  AB   EA  AA EA  AA F D FA C FB D FB  C FB D FB 1 C EB  AB EB  AB F FB D  A 1 C EEAB A AB Es gilt lA D lB

mit lA D

F 
 EA AA   EF
A E A EB AB 1C EA AA 1C EA AA FA  FB B B B B cD b b )c D F F EA AA 1 E  A  EB  AB E A b D A A b cD B B EA AA E B  AB C EA  AA 1 C EB AB N 210:000 mm 2 

 4

N 2 2  302 mm2  175:000 mm 2  25 mm

 600 mm N N  2 2 2 2 175:000 mm 2  25 mm C 210:000 mm2  4  30 mm 39:065:252;88 N 148:440:252;88 N  109:375:000 N  600 mm D  600 mm cD 109:375:000 N C 148:440:252;88 N 257:815:252;88 N c D 90;91 mm  91 mm cD

246

8

b) Spannungen in den Stäben FA FB und B D A D AA AB F D FB D  A 1 C EEAB A 1C AB FB D 

60:000 N 1C

148:440:252;88 N 109:375:000 N

60:000 N N   302 mm2 mm2 4 175:000 N 2 252 mm2 mm

210:000

 D

Klausuren



60:000 N D 25454;27 N D O 25;45 kN .1 C 1;35716/

FA D F  FB D 60:000 N  25:454;27 N D 34:545;73 N D O 34;55 kN A D

34:545;73 N N D 48;87  2 mm2 2  30 mm 4

B D

25:454;27 N N D 40;73 2 2 25 mm mm2

Aufgabe 2 a) Biegemomentenverlauf a

A

B

M bmax

b) Max. Biegemoment M bmax X F D F  FA  FB D 0 X MA D FB  l  F  04l D 0 ) FB D 0;4F FB D 0;4F D 0;4  350:000 N D 140:000 N D O 140 kN FA D F  FB D 350:000 N  140:000 N D 210:000 N D O 210 kN Mbmax D FA  0;4l D 210:000 N  0;4  6000 mm D 504:000:000 Nmm D O 504 kNm

8.7 Lösungen der Klausuren

247

c) Max. Biegespannung Mbmax Mbmax D e b D Wb Iy z

4

1

1

2

2 y

3

4

Gesamtflächenmoment 2. Grades des Profils:   Iy D 2Iy1 C 2Iy2 C Iy3 C 2 Iy4 C s42  A4   b4  h34 b1  h31 b2  h32 b3  h33 2 Iy D 2 C2 C C2 C s4  b4  h4 12 12 12 12 30  3203 140  103 10  3003 Iy D 2 mm4 C 2 mm4 C mm4 12 12 12   340  303 4 2 4 C 2 mm C 165  340  30 mm 12 Iy D 163:840:000 mm4 C 23:333;33 mm4 C 22:500:000 mm4 C 2 .765:000 C 277:695:000/ mm4 D 743:283:333;33 mm4 b D

Mbmax 504:000:000 Nmm N eD  180 mm D 122;05 Iy 743:283:333;33 mm4 mm2

d) Sicherheit gegen Fließen N 235 mm Re 2 SF D D D 1;925  1;5 die Sicherheit ist gegeben. N bvorh 122;05 mm 2

248

8

Aufgabe 3 a) Berechnung von dmin Schubspannung im Kreisquerschnitt T  tzul tmax D Wt  Wt D Wp D  d3 16 s tzul

16  T D )d D   d3

3

16  T D   tzul

s 3

Klausuren

16  150:000 Nmm D 24;81 mm  25 mm N   50 mm 2

Schubspannung im Rechteckquerschnitt T  tzul tmax D Wt c1 c1 Wt D  h  b2 D  n  b 3 .Tab. 2.5, Ziffer 5/ c2 c2     1 0;630 0;052 0;630 0;052 1 c1 D 1 C 1 C D D 0;24951 3 n n5 3 2;5 2;55 0;625 0;625 c2 D 1  D1 D 0;9624 1 C n3 1 C 2;53 c1 0;24951 D D 0;25926 c2 0;9624 s s T 150:000 Nmm T tzul D c1 ) b D 3 c1 D 3 D 16;67 mm N 3  n  b  n   0;25926  2;5  50 mm tzul 2 c2 c2 b D 17 mm gewählt h D 2;5  b D 2;5  17 mm D 42;5 mm p p d D b 2 C h2 D 172 mm2 C 42;52 mm2 D 45;77 mm d D 46 mm gewählt b) Gesamtverdrehwinkel ' ges T  l1 T  l2 'ges D '1 C '2 D C G  It1 G  It2   4 It1 D Ip1 D d D  464 mm4 D 439:573;21 mm4 32 32 It2 D c1  n  b 4 D 0;24951  2;5  174 mm4 D 52:098;31 mm4     600 mm T l1 l2 400 mm 150:000 Nmm 'ges D C C D N G It1 It2 439:573;21 mm4 52:098;31 mm4 81:000 mm 2 'ges D 0;016745 D O 0;959ı

8.7 Lösungen der Klausuren

Aufgabe 4 Bestimmung der Durchsenkung nach dem Überlagerungsprinzip und Tab. 4.1, Ziffern 1, 2 und 3: wges D wM C wq  wF1 M  l2 F  b  l2 0;2F  l 3 F  l3 mit M D F  b ) wM D D D 2E  I 2E  I E I 5E  I q  l4 wq D 8E  I F1  l 3 F F  l3 wF1 D mit F1 D ) wF1 D 3E  I 2 6E  I   F F  l3 q  l4 F  l3 l3 F ql wges D C  D  C 5E  I 8E  I 6E  I E I 5 6 8   F l3 ql wges D C 2E  I 15 4 wM D

Neigung an der Stelle B 'ges D 'M C 'q  'F1 M l F bl 0;4F  l 2 4F  l 2 2F  l 2 D D D D E I E I E I 10E  I 5E  I q  l3 'q D 6E  I F1  l 2 F  l2 'F1 D D 2E  I 4E  I   2F 2F  l 2 q  l3 F  l2 l2 F ql 'ges D C  D  C 5E  I 6E  I 4E  I E I 5 4 6   3F l2 ql 'ges D C 2E  I 10 3 'M D

wges D wM C wq  wF1 D 0 ) wF1 D wM C wq F1  lS3 F  lS3 q  l 4C D C      3 E I 5 E I 8 E  I  F 3F 3q  l ql F1 D C D 3 C 5 8 5 8

249

250

8

8.7.4

Klausuren

Klausur 4

Aufgabe 1 a) Biegespannungen in den Randfasern des Profils. X Fz D F  FA  FB D 0 X MA D FB  l  F  a D 0 F a 30:000 N  600 mm D D 12:000 N l 1500 mm FA D F  FB D 30:000 N  12:000 N D 18:000 N

FB D

Mbmax D FA  a D 180:000 N  600 mm D 10:800:000 Nmm Für die Berechnung des Flächenmomentes 2. Grades des Profils ist es am einfachsten, die Flächenmomente der Profilausschnitte vom Flächenmoment des umschreibenden Quadrats abzuziehen.

1

z

3

3

2 y

zS4

4

y

4

z Schnitt A - A

  b4  h34 b1  h31 b2  h32 b3  h33 2 Iy D  2 2 C zS4  b4  h4 12 12 12 12 1004 mm4 704 mm4 10  903 mm4 D  2 12 12 12   70  103 mm4 2 4 2 C 45  70  10 mm 12 D 8:333:333;33 mm4  2:000:833;33 mm4  1:215:000 mm4  2:846:666;67 mm4 Iy D 2:270:833;33 mm4 b D

Mb Mb 10:800:000 Nmm N D eo D  50 mm D 237;8 Wb Iy 2:270:833;33 mm4 mm2

b) Gemäß Tab. 1.5 gewählt E335 mit  bF D 400 N/mm2 b 400 SFvor D F D D 1;68  1;5 b 237;8

8.7 Lösungen der Klausuren

251

Aufgabe 2 Berechnung von F max Aufteilung der Querschnittsfläche: 45

110

5

15

T F a X 3 D mit Wt D bi  hi Wt Wt 3  bmax  1;12  3 Wt D 15 mm3  110 mm C 2  53 mm3  45 mm D 9520 mm3 3  15 mm t  Wt 60 N  9520 mm3 F D zul D D 5440 N a mm2 105 mm T l F al 'D D G  It G  It X  1;12  3 It D bi3  hi D 15 mm3  110 mm C 2  53 mm3  45 mm D 142:800 mm4 3 3 '  G  It 2ı  81:000 N  142:800 mm4   m F D D 3845;31 N D al m mm2 105 mm  1000 mm 180ı Maßgebend ist der Verdrehwinkel ', d. h. die Kraft darf  3845 N nicht überschreiten. tzul D

Aufgabe 3 a) Art der Beanspruchung Es handelt sich um den Knickfall 2, lK D 1500 mm s s s E E 210:000 Nmm2 D D D 84;83 min D  P 0;8  Re 0;8  360 mm2 N D

lK lK D q ; da das Profil symmetrisch ist, gilt Iy D Iz i I A

252

8 z

Klausuren

z 1

2

1 2

2

y

y = y

z

y

z

b1  h31 b2  h32 10 mm  803 mm3 70 mm  103 mm3 C D C D 432:500 mm4 12 12 12 12 A D b1  h1 C b2  h2 D 10 mm  80 mm C 70 mm  10 mm D 1500 mm2 Iy D

lK 1500 mm D 88;34  min ) Knickung nach Euler Dq i 432:500 mm4

D

1500 mm2

b) Maximaler Abstand von F 1 , wenn SK D 4 FK FK SK D ) Fzul D Fzul SK  2  E  Imin  2  210:000 N  432:500 mm4 FKzul D D D 99:600;76 N mm2 15002 mm2  4 lK2  SK F1

l1

FAx

4000

A FAz

X

MA D 0 D FKzul  4 m  F1  l1

FKzul  4 m 99:600;76 N  4 m D D 5;31 m F1 75:000 N c) Druckspannung in Stab BC FKzul N 99:600;76 N D 66;4 d D D A 1500 mm2 mm2 l1 D

B F Kzul

8.7 Lösungen der Klausuren

253

Aufgabe 4 Gemäß Tab. 4.1, Ziffer 9 ist: a F  l 3  a 2  1C wC D 3E  I l l 3E  I  wC 3E  I  wC 3E  I  wC   D 2 F D D  a 2  2 1C a a 3 a .l C a/ l  a 1C l l  l l  4 F  a2 .l C a/ mit I D d 3E  wC 64 64  F  a2 .l C a/ d4 D   3  E  wC s s 2 2 2 2 4 64  F  a .l C a/ 4 64  15:000 N  200 mm .800 C 200/ mm mm dD D   3  E  wC   3  210:000 N  0;3 mm

I D

d D 89;677 mm ) gewählt d D 90 mm F  l2 a F  l 2  64 a F  l  64  a D2 D 4 6E  I l 6E  d   l 3E  d 4   F  l  64  a ) d4 D 3E  'B   s s 2 ı 4 64  15:000 N  800 mm  200 mm mm  180 4 64  F  l  a D dD ı 3    E  'B 3    210:000 N  0;5   'B D 2

d D 54;61 mm ) d D 55 mm gewählt Für die Dimensionierung des Durchmessers d ist die Kraft F maßgebend.

8.7.5 Klausur 5 Aufgabe 1 a) Biegemomentenverlauf und max. Biegemoment: A

B

Mbmax F

F

1500

1500

FA

FB 4500

254

8

X X

Klausuren

Fz D F C F  FA  FB D 0 MA D FB  l  F  1;5 m  F  3 m D 0

FB D Mbmax

F .1;5 m C 3 m/ D F D FA D 45 kN 4;5 m D FA  1;5 m D 45 kN  1;5 m D 67;5 kNm D O 67:500:000 Nmm

b) Berechnung der Biegespannungen Gesamtschwerpunkt: Bezugskoordinatensystem und Teilflächen: 430

1

85

15

y

2

15

350

yS 30 330

3

15

15

60

4

Teilfläche

Ai mm2 430  15 D 6450 2  15  85 D 2550 30  320 D 9600 2  15  60 D 1800 330  15 D 4950 25.350

1 2 3 4 5 †

P5

 Ai

5

z

zi mm 7,5 57,5 175 305 342,5

4:119:375 mm3 D 162;5 mm Ages 25:350 mm2 Gesamtflächenmoment 2. Grades zS D

1 zSi

D

zi  Ai mm3 48.375 146.625 1.680.000 549.000 1.695.375 4.119.375

zSi mm 155 105 12,5 142,5 180

8.7 Lösungen der Klausuren

255

    Iyges D Iy1 C zS21  A1 C 2 Iy2 C zS22  A2 C Iy3 C zS23  A3 C 2 Iy4 C zS24  A4 C Iy5 C zS25  A5 430  153 mm4 C .155 mm/2  6450 mm2 12   15  853 2 4 2 C2 mm C .105 mm/  1275 mm 12 30  3203 C mm4 C .12;5 mm/2  9600 mm2 12   15  603 2 4 2 C2 mm C .142;5 mm/  900 mm 12 330  153 C mm4 C .180 mm/2  4950 mm2 12 D 120:937;5 mm4 C 154:961:250 mm4 C 2 .767:656;25 C 14:056:875/ mm4

Iyges D

C 81:920:000 mm4 C 1:500:000 mm4 C 2 .270:000 C 18:275:625/ mm4 C 92:812;5 mm4 C 160:380:000 mm4 D 465:715:312;5 mm4 Biegespannungen an der Ober- und Unterseite: Mb 67:500:000 Nmm N  eo D  162;5 mm D 23;55 bo D 4 Iyges 465:715:312;5 mm mm2 bu D

Mb 67:500:000 Nmm N  eu D  187;5 mm D 27;18 Iyges 465:715:312;5 mm4 mm2

c) Werkstoffwahl bei SF D 1,5 gegen Biegung:  D bu  1;5 D 27;18 N/mm2  1;5 D 40;77 N/mm2 Gewählt gemäß Tab. 1.5: S185 mit  bF D 230 N/mm2 . Wird der Querträger wechselnd belastet, dann ist  bW D 150 N/mm2 und damit immer noch eine Sicherheit Svorh von 3,68 gegeben. Aufgabe 2 a) Berechnung des Torsionsmomentes und der Schubspannungen 150 50

T

T

1

Ø 10

Ø 20

Ø 25

50

2

3

Die Verdrehwinkel ' i der drei Stablängen li müssen addiert werden (in Reihe geschaltet). Jeder Bereich wird durch das Torsionsmoment T beansprucht, jedoch sind die  i unterschiedlich. Für die polaren Flächenmomente 2. Grades gilt:

256

8

 4  4 D D 20 mm4 D 15:707;96 mm4 32 32  4  4 Ip2 D d D 10 mm4 D 981;75 mm4 32 32 T  li '1 D '3 D G  Ipi T  l2 '2 D G  Ip2 'ges D '1 C '2 C '3 D 2ı D O 0;0349 rad   2  l1 T  l1 T  l2 T  l3 l2 'ges D C C DT C G  Ip1 G  Ip2 G  Ip3 G  Ip1 G  Ip2 'ges 'ges  G D T D 2l1 l2 2l1 C GIp C Ilp2 GIp Ip Ip1 D Ip3 D

1

T D t1;3 D t2 D

2

1

0;0349  81:000 N 250 mm 15:707;96 mm4

C

50 mm 981;75 mm4

2



mm2

D 49:338;81 Nmm

T T 49:338;81 Nmm N D R D  10 mm D 31;41 4 Wp1 Ip1 15:707;96 mm mm2

T T 49:338;81 Nmm N D r D  5 mm D 251;28 Wp2 Ip2 981;75 mm4 mm2

b) Berechnung des erforderlichen Durchmessers T l T l  4 ) IP D '2 D und IP D d G  IP G' 32 s 32  T  l  4 T l IP D d D )d D 4 32 G'  G' s 32  49:338;81 Nmm  150 mm D 12;78 mm dD 4 N   81:000 mm 2  0;0349 Gewählt d D 13 mm T 16  T 16  49:338;81 Nmm N D D D 114;37 t D 3 3 3 Wp  d   13 mm mm2 Aufgabe 3 a) Belastung der Stütze A D 6 m  3 m D 18 m2 kN D 180 kN D 180:000 N m2 F 180:000 N D D D 90:000 N 2 2

F D A  p D 18 m2  10 FStütze

Klausuren

8.7 Lösungen der Klausuren

257

b) Profilwahl F FK  lK2 E  Imin ) Imin   K D 2 A E A  lK Knickfall 3 mit lK D 0;7  l D 0;7  4;5 m D 3;15 m FKvorh  SK  lK2 90:000 N  3  31502 mm2 mm2 D D 1:292:605 mm4 2  E  2  210:000 N  130 cm4

Ierf D Ierf

Gemäß Roloff-Matek Tabellenbuch Tab. 1-11: gewählt IPE 200 mit I D 142 cm4 oder IPB 100 mit I D 167 cm4 c) Art der Beanspruchung lK D imin Für den IPE 200 ) imin D 2;24 cm und den IPB 100 ) imin D 2;53 cm 315 cm D 140;625 ) S235  104 ) elastische Knickung IPE 200 D 2;24 cm 315 cm IPB 100 D D 124;5 ) S235  104 ) elastische Knickung 2;53 cm Aufgabe 4 Gemäß Tab. 4.1, Ziffer 8:

x

l

a

MA A

F

w

a wmax MB F

B

a) Maximale Durchsenkung  F a  2 wmax D 3l  4a2 24E  I   45:000 N  1500 mm mm2 wmax D 3  45002  4  15002 mm2 4 24  210:000 N  465:715:312;5 mm wmax D 1;488 mm  1;5 mm b) Durchsenkung bei F (Stelle a D 1500 mm)   F  2 F  w .a/ D 3alx  3ax 2  x 3 D 3a l  3a3  a3 6E  I 6E  I  F  2 3a l  4a3 D 6E  I

258

8

Klausuren

  45:000 N mm2 3  15002  4500  4  15003 mm3 6  210:000 N  465:715:312;5 mm4 w .a/ D 1;294 mm  1;3 mm w .a/ D

c) Neigungswinkel in A und bei F F a 45:000 N  1500 mm mm2 .4500  1500/ mm .l  a/ D 'A D 2E  I 2  210:000 N  465:715:312;5 mm4 O 0;0593ı  0;06ı 'A D 0;001035 rad D F a .l  2a/ 2E  I 45:000 N  1500 mm mm2 D .4500  2  1500/ mm 2  210:000 N  465:715:312;5 mm4 ' .a/ D 0;0005176 rad D O 0;0297ı

' .a/ D

8.7.6

Klausur 6

Aufgabe 1 a) Gesamtschwerpunkt S Aufteilung der Teilflächen für die Ermittlung der Schwerpunktkoordinaten:

z

1

yS1

2

yS3

S

yS

3

yS2

y

8.7 Lösungen der Klausuren

Pn yS D

iD1

yi  Ai

Ages

259

P3 D

iD1

yi  Ai

Ages

10 mm  20  250 mm2 C 2  80 mm  120  15 mm2 C 2  145 mm  10  60 mm2 yS D 20  250 mm2 C 2  120  15 mm2 C 2  10  60 mm2 3 512:000 mm yS D D 52;244 mm 9800 mm2 zS D 125 mm, da Symmetrie b) Aufteilung der Flächen zur Ermittlung des Gesamtflächenmomentes 2. Grades:

z

1

2

zS

S yS

3

y b1  h31 b2  h32 b3  h33   12 12 12 3 3 150 mm  250 mm 120 mm  2203 mm3 10 mm  1303 mm3 Iy D   12 12 12 Iy D 195:312:500 mm4  106:480:000 mm4  1:830:833;67 mm4 Iy D

Iy D 87:001:666;67 mm4 c) Ermittlung der auftretenden Spannungen Infolge der Querkraft F wird das Profil auf Biegung beansprucht. Zusätzlich tritt Torsion auf, da bei diesem U-Profil die Kraft F nicht im Schubmittelpunkt M, sondern im Schwerpunkt S angreift. Biegung: Mb Mb D e b D Wb Iy Mb D F  l D 30:000 N  2500 mm D 75:000:000 Nmm b D

75:000:000 Nmm N  125 mm D 107;76 4 87:001:666;67 mm mm2

260

8

Klausuren

Torsion: T t D Wt Torsionsmoment T D F  yM D 30:000 N  120 mm D 3:600:000 Nmm  3;6 kNm Da es sich um ein offenes Profil handelt, muss W t gemäß Tab. 2.5, Ziffer 9 bestimmt werden: n X 3 b  hi mit D 1;12 und Aufteilung der Flächen gemäß a) Wt D 3  bmax iD1 i

 1;12  3 20 mm3  220 mm C 2  153 mm3  120 mm C 2  103 mm3  60 mm 3  20 mm Wt D 50:213 mm3

Wt D

t D

3:600:000 Nmm N D 71;7 50:213 mm3 mm2

Da Biegung und Torsion auftreten, muss aus diesen beiden Spannungen die Vergleichsspannung  v ermittelt werden. Mit diesem Wert und der Sicherheit kann dann der Werkstoff gemäß Tab. 1.5 gewählt werden. q v D b2 C 3 .˛0  t /2 nach GEH, ˛0 D 1 gewählt s s     N 2 N2 N 2 C 3 1  71;7 D 27:034;89 v D 107:76 mm2 mm2 mm4 N v D 164;42 mm2 d) Werkstoffwahl gemäß Tab. 1.5  N N SD ) erf D S  v D 1;5  164;42 D 246;63 vorh mm2 mm2 Gewählt: E335 mit  bW D 290 N/mm2 und  tW D 180 N/mm2 (Tab. 1.5). Nachrechnung von ˛ 0 N 290 mm bW 2 ˛0 D p Dp D 0;93 N 3  tW 3  180 mm 2 e) Die Verdrillung lässt sich vermeiden, wenn die Kraft F im Schubmittelpunkt M angreift. Aufgabe 2 a) Ermittlung der Längenänderung Die Balken sind in Reihe geschaltet. F1 D F2 D F l1 C l2 D 0 )

l1 l2 C D 0 ) "1 C "2 D 0 l l

8.7 Lösungen der Klausuren

261

F D E."1  ˛  #/ ) F D A1  E."1  ˛  #/ A1 F 2 D D E."2  ˛  #/ ) F D A2  E."2  ˛  #/ A2 A1  E."1  ˛  #/ D A2  E."2  ˛  #/ A1 ."1  ˛  #/ C ˛  # "2 D A2 A1 "1 C ."1  ˛  #/ C ˛  # D 0 A2     A1 A1 C 1 "1 D  1 ˛  # A2 A2

A1  A2 "1 D ˛  # A1 D ' .2r/2  r 2 D 3  '  r 2 D 3  '  52 mm2 A1 C A2 D 235;62 mm2 1 D

A2 D '  .2  r/2 D   4  52 mm2 D 314;16 mm2 235;62  314;16 12  106  20 D 3;429  105 235;62 C 314;16 l1 D "1 l D 3;429  105  800 mm D 2;74  102 mm "1 D

b) Ermittlung der Kraft infolge Eigenspannung   A1  A2 2A1  A2 ˛  #  ˛  # D  E  ˛  # F D A1  E A1 C A2 A1 C A2 N 2.235;62  314;16/ F D  12  106  20 mm2  2;1  105 235;62 C 314;16 mm2 F D 13:572 N c) Knickberechnung

 15.5 mm/4 .2r/4  r 4 D D 7363;1 mm4 I1 D 4 4 .2r/4 16.5 mm/4 I2 D D D 7854;0 mm4 4 4 s s I1 7363;1 i1 D D mm D 5;59 mm A1 235;62 s s I2 7854;0 2r i2 D D mm D D r D 5 mm A2 314;16 2 B1 W

Knicklastfall 3I

lK1 D 0;7l

B2 W

Knicklastfall 2I

lK2 D l

262

8

0;7l 0;7  800 D D 100;18 i1 5;59 l 800 2 D D D 160 r 5  2  E  A1  2  2;1  105  235;62 FKrit1 D D N 100;182 21 1 D

FKrit1 D 48:659;67 N FKrit2 D

 2  E  A2  2  2;1  105  314;16 D N 2 1602 2

FKrit2 D 25:435 N Der Balken 2 wird zuerst knicken. F  FKrit2 2A1  A2  E  ˛  #  2  E  A2  A1 C A2 22 # 

 2 .A1 C A2 / 2˛  A1  22

#  37;48 K Bei 57,48 °C wird der Balken 2 knicken. Aufgabe 3 a) Maximale Torsionsspannung T max D WT   R2 WT D 2Am  t D 2  t D   R2  t D   502 mm2  2 mm 2 WT D 15:708 mm3 500:000 Nmm 15:708 mm3 N D 31;83 mm2

max D max

b) Ermittlung der Sicherheit N 100 mm Grenz 2 SD D N max 31;83 mm 2 S D 3;14

Klausuren

8.7 Lösungen der Klausuren

Aufgabe 4 a) Ermittlung der Kraft in B X MA D 0 D FG  1;67 m C FN  5 m  FB  2;5 m FG  1;67 m C FN  5 m 30:000 N  1;67 m C 75:000 N  5 m D 2;5 m 2;5 m FB D 170:040 N  170 kN

FB D

b) Durchsenkung und Neigung   3004 mm4   d4 D D 397:607:820;22 mm4 I D 64 64 Gemäß Tab. 4.1, Ziffer 1W FB  l 3 170:040 N  25003 mm3 mm2 D 10;606 mm D 3E  I 3  210:000 N  397:607:820;22 mm4 FB  l 2 170:040 N  25002 mm2 mm2 'B D D 0;00636 rad D O 0;3646ı D 2E  I 2  210:000 N  397:607:820;22 mm4

wB D

263

9

Verwendete Bezeichnungen und Indizes

9.1

Verwendete Bezeichnungen

A B a a, b a, b, c, h, l, s C C D, d d E EA EI e F f G G  Ip g GEH GFK GJL GJS H I i

Fläche, Bruchdehnung, Querschnitt Breite Nahtdicke Konstanten Abmessungen Celsius Drehfederkonstante, Federkonstante, Integrationskonstante Durchmesser Differenzial Elastizitätsmodul Dehnsteifigkeit Biegesteifigkeit Abstand, Exzentrizität, Randfaserabstand Kraft Schwingweg Gestalt, Gleit-/Schubmodul Torsions-, Verdrehsteifigkeit Erdbeschleunigung Gestaltänderungsenergiehypothese Glasfaserverstärkter Kunststoff Gusseisen mit Lamellengrafit Gusseisen mit Kugelgrafit Höhe, Flächenmoment 1. Grades (statisches Flächenmoment) Flächenmoment 2. Grades (Flächenträgheitsmoment) Trägheitsradius

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2020 K.-D. Arndt et al., Klausurentrainer zur Festigkeitslehre für Wirtschaftsingenieure, https://doi.org/10.1007/978-3-658-28902-7_9

265

266

K K k k0 L, l M Mg m m0 N N NH n P PP PVC p q R, r R Rb S s SH SW T t Üb V v W w x, y, z z ˛ ˇ  ,ı " #

9

Verwendete Bezeichnungen und Indizes

Kelvin Kosten Krümmung bezogene oder spezifische Kosten Länge Material, Moment, Mittelpunktkoordinaten, Schubmittelpunkt Magnesium Masse, Poisson’sche Konstante, Steigung bezogene oder spezifische Masse Lastspiele Newton Normalspannungshypothese Anzahl, Drehzahl Leistung, Steigung des Gewindes Polypropylen Polyvinylchlorid Druck, Flächenpressung Streckenlast Radius Werkstofffestigkeit Randbedingung Schwerpunkt, Sicherheitsfaktor, Streckgrenze Abstand, Blechdicke, Wandstärke, Weg Schubspannungshypothese Schlüsselweite Temperatur, Torsionsmoment Tonne Übergangsbedingung Verteuerung, Volumen Geschwindigkeit Arbeit, Formänderungsarbeit, Widerstandsmoment Koordinate, Durchbiegung, spezifische Formänderungsarbeit Koordinaten Schenkellänge Korrekturfaktor, Winkel, Längenausdehnungskoeffizient Winkel Winkel, Winkeländerung, spezifisches Gewicht Differenz Dehnung, Querkürzung Temperatur, thermisch

9.2 Indizes

267

'

Anstrengungsverhältnis, Biegewinkel, Neigung, Verdrehwinkel, Winkeländerung Koordinaten, Korrekturfaktor Schlankheitsgrad Querkontraktionszahl (P OISSON’sche Konstante), Reibwert Dichte, Krümmungsradius Normalspannung, Spannung Schubspannung, Tangentialspannung Winkelgeschwindigkeit

, 

   !

9.2 Indizes A A, B, C, D Al a B Bl b bd bz CFK Cu D DFS d E erf elast F f Flachst G ges Grenz H h I i

Antrieb Eckpunkte, Schnittbezeichnung Aluminium Abscheren, Ausschlagspannung, außen, axial Bruch Blech Biegung Biegedruckspannung Biegezugspannung Carbonfaserverstärkter Kunststoff Kupfer Dauer Dauerfestigkeitsschaubild Druck Elastizitätsgrenze erforderlich elastisch Fließen, Fließ-/Stauchgrenze, Formänderung Formänderung Flachstahl Gewicht gesamt Grenzspannung Horizontal, Hülse Hauptachse Doppel-T Zählindex, Index, innere

268

K L l M m max mech min N n o off P p plast proj q R r res S s Sch St T t # tat therm U u v vorh W x, y, z z zd zul Zyl

9

Verwendete Bezeichnungen und Indizes

Kern, Knickung, Kolben Winkel Lochleibung Material Mittelspannung, mechanisch, mittlere maximal mechanisch minimal Normal Nenn, normal Oberspannung offen Proportionalitätsgrenze polar plastisch projiziert Quer Reißlänge, Riemenscheibe radial resultierend Sägeblatt, Schraube, Schwerpunkt, Span, Stab, Streckgrenze, Stirnfläche Schub schwellend Stahl Traglänge tangential, Torsion, Zeit thermisch tatsächlich thermisch Umhüllung Umfang, Unterspannung Vergleichsspannung, Vorspann vorhanden Wand, Wasser, wechselnd Koordinaten Zug Zug-/Druckspannung zulässig Zylinder

9.3 Indizes von R

9.3

Indizes von R

e eH eL p0,2 p0,01 m

Streckgrenze obere Streckgrenze untere Streckgrenze 0,2 % Dehngrenze 0,01 % Stauchgrenze Zugfestigkeit

269

Literatur

1. Arndt, K.-D., Brüggemann, H., Ihme, J.: Festigkeitslehre für Wirtschaftsingenieure, 4. Aufl. Springer Vieweg, Wiesbaden (2019) 2. Wittel, H., Muhs, D., Jannasch, D., Voßiek, J.: Roloff/Matek Maschinenelemente. Lehrbuch, 22. Aufl. Springer Vieweg, Wiesbaden (2015). Tabellenbuch

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2020 K.-D. Arndt et al., Klausurentrainer zur Festigkeitslehre für Wirtschaftsingenieure, https://doi.org/10.1007/978-3-658-28902-7

271