Technische Mechanik: Statik – Reibung – Dynamik – Festigkeitslehre – Fluidmechanik [33. Aufl. 2019] 978-3-658-25723-1, 978-3-658-25724-8

Table of contents :
Front Matter ....Pages I-XXIII
Statik in der Ebene (Wolfgang Böge, Alfred Böge)....Pages 1-82
Schwerpunktslehre (Wolfgang Böge, Alfred Böge)....Pages 83-96
Reibung (Wolfgang Böge, Alfred Böge)....Pages 97-155
Dynamik (Wolfgang Böge, Alfred Böge)....Pages 157-279
Festigkeitslehre (Wolfgang Böge, Alfred Böge)....Pages 281-438
Fluidmechanik (Wolfgang Böge, Alfred Böge)....Pages 439-473
Back Matter ....Pages 475-494

Citation preview

Alfred Böge Wolfgang Böge

Technische Mechanik Statik – Reibung – Dynamik – Festigkeitslehre – Fluidmechanik 33. Auflage

Technische Mechanik

Lehr- und Lernsystem Technische Mechanik • Technische Mechanik (Lehrbuch) von A. Böge, W. Böge • Aufgabensammlung Technische Mechanik von A. Böge, G. Böge, W. Böge • Lösungen zur Aufgabensammlung Technische Mechanik von A. Böge, W. Böge • Formeln und Tabellen zur Technischen Mechanik von A. Böge, W. Böge

Alfred Böge • Wolfgang Böge

Technische Mechanik Statik – Reibung – Dynamik – Festigkeitslehre – Fluidmechanik 33., überarbeitete und erweiterte Auflage Mit 705 Abbildungen, 17 Tabellen, 22 Arbeitsplänen, 16 Verständnisübungen und 41 Übungseinheiten Unter Mitarbeit von Gert Böge

Alfred Böge Braunschweig, Deutschland

Wolfgang Böge Wolfenbüttel, Deutschland

ISBN 978-3-658-25723-1   ISBN 978-3-658-25724-8 (eBook) DOI 10.1007/978-3-658-25724-8 Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte biblio­grafische Daten sind im Internet über http://dnb.d-nb.de abrufbar. Springer Vieweg © Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 1970, 1971, 1972, 1974, 1975, 1979, 1981, 1983, 1984, 1990, 1992, 1995, 1999, 2001, 2003, 2006, 2009, 2011, 2013, 2015, 2017, 2019 Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung, die nicht ausdrücklich vom Ur­heberrechtsgesetz zugelassen ist, bedarf der vorherigen Zustimmung des Verlags. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Bearbeitungen, Übersetzungen, Mikro­verfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichenund Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Der Verlag, die Autoren und die Herausgeber gehen davon aus, dass die Angaben und Informationen in diesem Werk zum Zeitpunkt der Veröffentlichung vollständig und korrekt sind. Weder der Verlag noch die Autoren oder die Herausgeber übernehmen, ausdrücklich oder implizit, Gewähr für den Inhalt des Werkes, etwaige Fehler oder Äußerungen. Der Verlag bleibt im Hinblick auf geografische Zuordnungen und Gebietsbezeichnungen in veröffentlichten Karten und Institutionsadressen neutral. Lektorat: Thomas Zipsner Abbildungen: Graphik & Textstudio Dr. Wolfgang Zettlmeier, Barbing Springer Vieweg ist ein Imprint der eingetragenen Gesellschaft Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH und ist ein Teil von Springer Nature. Die Anschrift der Gesellschaft ist: Abraham-Lincoln-Str. 46, 65189 Wiesbaden, Germany

V

Vorwort zur 33. Auflage Lehrbuch Technische Mechanik Dieses Lehrbuch für Studierende an Fachschulen und Hochschulen für angewandte Wissenschaften ist Hauptteil des Lehr- und Lernsystems Technische Mechanik von Alfred und Wolfgang Böge mit der umfangreichen Aufgabensammlung, dem ausführlichen Lösungsbuch und der Formel- und Tabellensammlung. Das Lehr- und Lernsystem Technische Mechanik hat sich auch an Fachgymnasien Technik, Fachoberschulen Technik, Beruflichen Oberschulen, Bundeswehrfachschulen und in BachelorStudiengängen bewährt. In Österreich wird damit an den Höheren Technischen Lehranstalten erfolgreich gearbeitet. Der Lehrbuchtext ist zweispaltig gesetzt und blockweise in Lernschritte unterteilt. In der linken Spalte steht der ausführliche Lehrtext mit hervorgehobenen Sätzen und Regeln. Die rechte Spalte enthält Gleichungen mit mathematischen Entwicklungen, Zeichnungen, Beispielen und Hinweisen. Übungen schließen jeden größeren Lernabschnitt ab. Arbeitspläne machen die Lösungsverfahren nachvollziehbar und erleichtern ihre Anwendung. Die am Ende eines Lernabschnitts angegebenen Aufgabennummern beziehen sich auf die Aufgabensammlung. In der nun vorliegenden 33. Auflage wurden die bisherigen „Lehrbeispiele“ zu „Verständnisübungen“ weiterentwickelt. Dabei wurde die Struktur der Lösungen größtenteils beibehalten. Ebenfalls beibehalten wurden die Komplexität und die teilweise kapitelübergreifenden Aufgaben- und Lösungsteile. Vielfach werden Zusatzaufgaben mit Lösungen eingefügt, die nach dem Prinzip „Was wäre, wenn …“ aufgebaut sind. Dabei wird meistens eine gesuchte oder gegebene Größe der ursprünglichen Aufgabenstellung verändert und die Frage gestellt, welchen Einfluss diese Änderung auf die bisher gewonnenen Ergebnisse hat. Für das Lehrbuch völlig neu entwickelt wurde die Verständnisübung „Keilgetriebe“ im Kapitel Reibung. Zum Kapitel Wärmespannungen wurde eine Tabelle für Längenausdehnungskoeffizienten ausgewählter, für den Maschinenbau relevanter, Werkstoffe aufgenommen. Berechnungsergänzungen gibt es nun im Berechnungsbeispiel zur Stützkraftermittlung im räumlichen Kräftesystem (Getriebewelle) und zum schrägen Wurf ohne Luftwiderstand in der 2. Übung (Dachpfanne). Zudem wurden die zahlreichen Anregungen, konstruktiven Verbesserungsvorschläge und kritischen Hinweise von Lehrern und Studierenden berücksichtigt und verarbeitet.

VI

Vorwort 33. Auflage

Alle vier Bücher des Lehr- und Lernsystems Technische Mechanik sind inhaltlich aufeinander abgestimmt. Die aktuellen Auflagen sind: Lehrbuch

33. Auflage

Aufgabensammlung

24. Auflage

Lösungen

19. Auflage

Formeln und Tabellen

26. Auflage

Bedanken möchte ich mich beim Lektorat Maschinenbau des Verlags Springer Vieweg, insbesondere bei Frau Imke Zander und Herrn Dipl.-Ing. Thomas Zipsner für ihre engagierte und immer förderliche Zusammenarbeit bei der Realisierung der vorliegenden 33. Auflage des Lehrbuchs Technische Mechanik. Für Zuschriften steht die E-Mail-Adresse [email protected] zur Verfügung. Wolfenbüttel, Mai 2019



Wolfgang Böge

VII

Inhaltsverzeichnis Arbeitspläne  .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..  XV Verständnisübungen  .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..  XVII Übungen  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XIX Tabellenverzeichnis  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XXI 1 Statik in der Ebene  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  1 1.1 Grundlagen  .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 2 1.1.1 Aufgaben der Statik  .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 2 1.1.2 Physikalische Größen in der Statik  . . . . . . . . . . . . . . . . . .  2 1.1.3 Übungen zur Berechnung von Drehmomenten  . . . . . . . . . . . .  5 1.1.4 Bewegungsmöglichkeiten (Freiheitsgrade) eines Körpers  .. .. .. .. .. .. . 6 1.1.5 Gleichgewicht des Körpers in der Ebene (Gleichgewichtsbedingungen)  .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 6 1.1.6 Parallelogrammsatz für Kräfte  .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 8 1.1.7 Freimachen der Bauteile  .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..  11 1.1.8 Übungen zum Freimachen  .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 18 1.2 Grundaufgaben der Statik  .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 21 1.2.1 Zentrales und allgemeines Kräftesystem  .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 21 1.2.2 Hauptaufgaben  .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 21 1.2.3 Lösungsmethoden  .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 22 1.2.4 Grundaufgaben der Statik im zentralen ebenen Kräftesystem  .. .. .. .. 22 1.2.5 Grundaufgaben der Statik im allgemeinen ebenen Kräftesystem  . . . 42 1.2.6 Systemanalytisches Lösungsverfahren zur Stützkraftberechnung  .. .. 60 1.2.7 Stützkraftermittlung im räumlichen Kräftesystem (Getriebewelle)  . . 71 1.3 Statik der ebenen Fachwerke  .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 76 1.3.1 Gestaltung von Fachwerkträgern  .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 76 1.3.2 Gleichgewichtsbedingungen am statisch bestimmten Fachwerkträger  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 1.3.3 Ermittlung der Stabkräfte im Fachwerkträger  .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 78 2 Schwerpunktslehre  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 2.1 Begriffsbestimmung für Schwerlinie, Schwerebene und Schwerpunkt  .. .. .. .. 83 2.2 Flächenschwerpunkt  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 2.2.1 Flächen haben einen Schwerpunkt  .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 84 2.2.2 Schwerpunkte ausgewählter Flächen  . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 2.2.3 Schwerpunkte zusammengesetzter Flächen  .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 86 2.3 Linienschwerpunkt  .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 90 2.3.1 Linien haben einen Schwerpunkt  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 2.3.2 Schwerpunkte ausgewählter Linien  . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 2.3.3 Schwerpunkte zusammengesetzter Linien (Linienzüge)  .. .. .. .. .. .. .. 91

VIII

Inhaltsverzeichnis

2.4 Guldin’sche Regeln  .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 93 2.4.1 Volumenberechnung  .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 93 2.4.2 Oberflächenberechnung  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 2.4.3 Übungen zu den Guldin’schen Regeln  .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 94 2.5 Gleichgewichtslagen und Standsicherheit  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 2.5.1 Gleichgewichtslagen  .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 94 2.5.2 Standsicherheit  .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 95 3 Reibung  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 3.1 Grunderkenntnisse über die Reibung  .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 97 3.2 Gleitreibung und Haftreibung  .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 98 3.2.1 Reibungswinkel, Reibungszahl und Reibungskraft  . . . . . . . . . . 98 3.2.2 Ermittlung der Reibungszahlen  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 3.2.3 Reibungskegel  .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..  100 3.2.4 Übungen zur Lösung von Reibungsaufgaben  . . . . . . . . . . . .  103 3.3 Reibung auf der schiefen Ebene  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  108 3.3.1 Verschieben des Körpers nach oben (1. Grundfall)  . . . . . . . . .  108 3.3.2 Halten des Körpers auf der schiefen Ebene (2. Grundfall)  .. .. .. .. ..  113 3.3.3 Verschieben des Körpers nach unten (3. Grundfall)  .. .. .. .. .. .. .. ..  118 3.3.4 Übungen zur Reibung auf der schiefen Ebene  .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..  122 3.4 Reibung an Maschinenteilen  .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..  123 3.4.1 Prismenführung und Keilnut  .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..  123 3.4.2 Zylinderführung  .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..  124 3.4.3 Lager  .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..  125 3.4.4 Schraube und Schraubgetriebe  .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..  128 3.4.5 Seilreibung  .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..  137 3.4.6 Bremsen  .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..  141 3.4.7 Rollwiderstand (Rollreibung)  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  147 3.4.8 Fahrwiderstand  .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..  147 3.4.9 Übungen zum Rollwiderstand und Fahrwiderstand  . . . . . . . . .  148 3.4.10 Rolle und Rollenzug  .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..  151 4 Dynamik  .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 4.1 Allgemeine Bewegungslehre  .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 4.1.1 Größen und Geschwindigkeit-Zeit-Diagramm (v, t-Diagramm), Ordnung der Bewegungen  .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 4.1.2 Übungen zu dem v, t-Diagramm  .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 4.1.3 Gesetze und Diagramme der gleichförmigen Bewegung, Geschwindigkeitsbegriff  .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 4.1.4 Gesetze und Diagramme der gleichmäßig beschleunigten (verzögerten) Bewegung, Beschleunigungsbegriff  .. .. .. .. .. .. .. .. .. 4.1.5 Arbeitsplan zur gleichmäßig beschleunigten oder verzögerten Bewegung  .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 4.1.6 Freier Fall und Luftwiderstand  .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..

 157  158  158  160  162  164  167  172

Inhaltsverzeichnis

4.1.7

Übungen zur gleichmäßig beschleunigten und verzögerten Bewegung  .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 4.1.8 Zusammengesetzte Bewegungen  .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 4.1.9 Übungen zur zusammengesetzten Bewegung  . . . . . . . . . . . . 4.2 Gleichförmige Drehbewegung (Kreisbewegung)  .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 4.2.1 Drehzahl (Umdrehungsfrequenz)  . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.2 Umfangsgeschwindigkeit  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.3 Richtung der Umfangsgeschwindigkeit  . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.4 Umfangsgeschwindigkeit und Drehzahl  .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 4.2.5 Umfangsgeschwindigkeit und Mittelpunktsgeschwindigkeit  . . . . 4.2.6 Winkelgeschwindigkeit  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.7 Winkelgeschwindigkeit und Umfangsgeschwindigkeit  . . . . . . . 4.2.8 Baugrößen und Größen der Bewegung in Getrieben  .. .. .. .. .. .. .. .. 4.2.9 Übersetzung (Übersetzungsverhältnis)  .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 4.3 Gesetze und Diagramme der gleichmäßig beschleunigten (verzögerten) Drehbewegung  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.1 Gegenüberstellung der allgemeinen Größen mit den entsprechenden Kreisgrößen  .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 4.3.2 Winkelbeschleunigung  .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 4.3.3 Drehwinkel im ω, t-Diagramm  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.4 Tangentialbeschleunigung  .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 4.3.5 Arbeitsplan zur Kreisbewegung (Vergleich mit 4.1.5)  .. .. .. .. .. .. .. 4.4 Dynamik der geradlinigen Bewegung (Translation)  . . . . . . . . . . . . . 4.4.1 Trägheitsgesetz (Beharrungsgesetz), erstes Newton’sches Axiom  .. 4.4.2 Masse, Gewichtskraft und Dichte  .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 4.4.3 Dynamisches Grundgesetz, zweites Newton’sches Axiom  .. .. .. .. .. 4.4.4 Gesetzliche und internationale Einheit der Kraft  . . . . . . . . . . 4.4.5 Übungen zum dynamischen Grundgesetz  .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 4.4.6 Prinzip von d’Alembert  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.7 Arbeitsplan zum Prinzip von d’Alembert  . . . . . . . . . . . . . . 4.4.8 Übungen zum Prinzip von d’Alembert  .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 4.4.9 Impuls (Bewegungsgröße) und Impulserhaltungssatz  .. .. .. .. .. .. .. 4.5 Arbeit, Leistung, Wirkungsgrad bei geradliniger Bewegung  .. .. .. .. .. .. .. .. 4.5.1 Arbeit einer konstanten Kraft  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.2 Zeichnerische Darstellung der Arbeit  . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.3 Federarbeit (Formänderungsarbeit) als Arbeit einer veränderlichen Kraft  .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 4.5.4 Übungen zu der Größe Arbeit  .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 4.5.5 Mechanische Leistung  .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 4.5.6 Wirkungsgrad  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.7 Übungen zu den Größen Leistung, Wirkungsgrad  .. .. .. .. .. .. .. .. .. 4.6 Arbeit, Leistung, Wirkungsgrad bei Drehbewegung (Kreisbewegung)  .. .. .. 4.6.1 Gegenüberstellung der allgemeinen Größen mit den entsprechenden Kreisgrößen  .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..

IX

 175  179  181  191  191  192  192  192  193  194  194  195  196  197  197  198  198  199  199  203  203  204  206  208  208  210  212  212  218  219  219  220  221  222  225  226  228  229  229

X

Inhaltsverzeichnis

4.6.2 4.6.3 4.6.4 4.6.5 4.6.6

Dreharbeit (Rotationsarbeit)  .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. Drehleistung (Rotationsleistung)  .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. Zahlenwertgleichung für die Drehleistung  .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. Wirkungsgrad, Drehmoment und Übersetzung  . . . . . . . . . . . Übungen zu Arbeit, Leistung, Wirkungsgrad und Übersetzung bei Drehbewegung  .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 4.7 Energie  .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 4.7.1 Energie – Begriffsbestimmung und Einheit  . . . . . . . . . . . . . 4.7.2 Potenzielle Energie und Hubarbeit  .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 4.7.3 Kinetische Energie und Beschleunigungsarbeit  .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 4.7.4 Spannungsenergie und Formänderungsarbeit  . . . . . . . . . . . . 4.7.5 Energieerhaltungssatz  .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 4.7.6 Übungen zum Energieerhaltungssatz  . . . . . . . . . . . . . . . . 4.8 Gerader zentrischer Stoß  .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 4.8.1 Stoßbegriff, Kräfte und Geschwindigkeiten beim Stoß  . . . . . . . 4.8.2 Merkmale des geraden zentrischen Stoßes  .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 4.8.3 Elastischer Stoß  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.8.4 Unelastischer Stoß  .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 4.8.5 Wirklicher Stoß  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.8.6 Übungen zum geraden zentrischen Stoß  .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 4.9 Dynamik der Drehbewegung (Rotation)  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.9.1 Dynamisches Grundgesetz für die Drehbewegung  .. .. .. .. .. .. .. .. .. 4.9.2 Trägheitsmoment und Trägheitsradius  .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 4.9.3 Übung zum dynamischen Grundgesetz für die Drehung  .. .. .. .. .. .. 4.9.4 Drehimpuls (Drall) und Impulserhaltungssatz für die Drehung  .. .. 4.9.5 Kinetische Energie (Rotationsenergie)  .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 4.9.6 Energieerhaltungssatz für Drehung  . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.9.7 Fliehkraft  .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 4.9.8 Gegenüberstellung der translatorischen und rotatorischen Größen  4.10 Mechanische Schwingungen  .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 4.10.1 Begriff  .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 4.10.2 Ordnungsbegriffe  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.10.3 Harmonische Schwingung  .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 4.10.4 Schraubenfederpendel  .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 4.10.5 Torsionsfederpendel  .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 4.10.6 Schwerependel (Fadenpendel)  .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 4.10.7 Schwingung einer Flüssigkeitssäule  .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 4.10.8 Analogiebetrachtung zum Schraubenfederpendel, Torsionsfederpendel, Schwerependel und zur schwingenden Flüssigkeitssäule  .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 4.10.9 Dämpfung, Energiezufuhr, erzwungene Schwingung, Resonanz  . .

 230  231  231  232  232  236  236  237  238  238  239  240  242  242  242  243  245  246  248  250  250  251  257  257  258  259  260  263  264  264  264  264  269  272  274  275  276  276

Inhaltsverzeichnis

5 Festigkeitslehre  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1 Grundbegriffe  .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 5.1.1 Aufgaben der Festigkeitslehre  .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 5.1.2 Schnittverfahren  .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 5.1.3 Spannung und Beanspruchung  .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 5.1.4 Normalspannung und Schubspannung  .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 5.1.5 Grundbeanspruchungsarten  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.6 Zusammengesetzte Beanspruchung  . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.7 Bestimmung des inneren ebenen Kräftesystems und der Beanspruchungsarten  .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 5.2 Beanspruchung auf Zug  .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 5.2.1 Spannung  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.2 Gefährdeter Querschnitt in zugbeanspruchten Bauteilen  . . . . . . 5.2.3 Elastische Formänderung (Hooke’sches Gesetz)  .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 5.2.4 Reißlänge  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Beanspruchung auf Druck  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4 Übungen zur Zug- und Druckbeanspruchung  .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 5.5 Flächenpressung  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5.1 Begriff und Hauptgleichung  .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 5.5.2 Flächenpressung an geneigten Flächen  . . . . . . . . . . . . . . . 5.5.3 Flächenpressung im Gewinde  .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 5.5.4 Flächenpressung in Gleitlagern, Niet- und Bolzenverbindungen  . . 5.5.5 Flächenpressung an gewölbten Flächen (Hertz’sche Gleichungen)  5.5.6 Übungen zur Flächenpressung  .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 5.6 Beanspruchung auf Abscheren  .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 5.6.1 Spannung  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.6.2 Hooke’sches Gesetz für Schubbeanspruchung  .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 5.7 Flächenmomente 2. Grades und Widerstandsmomente  .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 5.7.1 Gleichmäßige und lineare Spannungsverteilung (Gegenüberstellung)  .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 5.7.2 Definition der Flächenmomente 2. Grades  .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 5.7.3 Herleitungsübung  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.7.4 Übungen zu Flächen- und Widerstandsmomenten einfacher Querschnitte  .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 5.7.5 Axiale Flächenmomente 2. Grades symmetrischer Querschnitte  . . 5.7.6 Axiale Flächenmomente 2. Grades einfach symmetrischer/ unsymmetrischer Querschnitte (Steiner’scher Verschiebesatz)  . . . 5.7.7 Übungen zu Flächen- und Widerstandsmomenten zusammengesetzter Querschnitte  . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.8 Beanspruchung auf Torsion  .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 5.8.1 Spannungsverteilung  .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 5.8.2 Herleitung der Torsions-Hauptgleichung  . . . . . . . . . . . . . . 5.8.3 Formänderung bei Torsion  .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 5.8.4 Formänderungsarbeit  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

XI

 281  283  283  284  285  286  287  289  290  297  297  297  299  303  304  305  307  307  307  309  310  311  312  315  315  317  333  333  334  336  337  345  346  349  354  354  355  357  358

XII

Inhaltsverzeichnis

5.9 Beanspruchung auf Biegung  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.9.1 Spannungsarten und inneres Kräftesystem bei Biegeträgern  .. .. .. .. 5.9.2 Bestimmung der Biegemomente und Querkräfte an beliebigen Trägerstellen (Arbeitsplan)  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.9.3 Spannungsverteilung im Trägerquerschnitt bei Biegung  .. .. .. .. .. .. 5.9.4 Herleitung der Biege-Hauptgleichung  .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 5.9.5 Spannungsverteilung im einfach symmetrischen Querschnitt  .. .. .. 5.9.6 Gültigkeitsbedingungen für die Biege-Hauptgleichung  .. .. .. .. .. .. 5.9.7 Übungen zur Berechnung des Biegemomenten- und Querkraftverlaufs bei den wichtigsten Trägerarten und Belastungen  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.9.8 Träger gleicher Biegespannung  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.9.9 Formänderung bei Biegung  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.9.10 Übungen zur Durchbiegungsgleichung  . . . . . . . . . . . . . . . 5.10 Beanspruchung auf Knickung  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.10.1 Grundbegriffe  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.10.2 Elastische Knickung (Eulerfall)  .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 5.10.3 Unelastische Knickung (Tetmajerfall)  .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 5.10.4 Arbeitsplan für Knickungsberechnungen  . . . . . . . . . . . . . . 5.10.5 Knickung im Stahlbau  .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 5.10.6 Übung zur Knickung  .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 5.11 Zusammengesetzte Beanspruchung  .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 5.11.1 Zug und Biegung  .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 5.11.2 Druck und Biegung  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.11.3 Übung zur zusammengesetzten Beanspruchung durch Normalspannungen  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.11.4 Biegung und Torsion  .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 5.12 Festigkeit, zulässige Spannung, Sicherheit  .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 5.12.1 Festigkeitswerte im Spannungs-Dehnungs-Diagramm  .. .. .. .. .. .. .. 5.12.2 Einflüsse auf die Festigkeit des Bauteils  .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 5.12.3 Spannungsbegriffe  .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 5.12.4 Dauerbruchsicherheit  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.12.5 Übungen zur Dauerfestigkeit  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

 366  366  367  367  368  370  370  371  381  384  387  392  392  393  396  397  406  411  413  413  414  415  416  427  427  428  432  434  435

6 Fluidmechanik  .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..  439 6.1 Statik der Flüssigkeiten (Hydrostatik)  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  439 6.1.1 Eigenschaften der Flüssigkeiten  .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..  439 6.1.2 Hydrostatischer Druck (Flüssigkeitsdruck, hydraulische Pressung)   440 6.1.3 Druckverteilung in einer Flüssigkeit ohne Berücksichtigung der Schwerkraft, das Druck-Ausbreitungsgesetz  .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..  440 6.1.4 Übung zum Druck-Ausbreitungsgesetz  . . . . . . . . . . . . . . .  441 6.1.5 Druckverteilung in einer Flüssigkeit unter Berücksichtigung der Schwerkraft  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  445

Inhaltsverzeichnis

6.2

6.1.6 Kommunizierende Röhren  .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 6.1.7 Bodenkraft  .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 6.1.8 Seitenkraft  .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 6.1.9 Auftriebskraft  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.10 Schwimmen  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.11 Gleichgewichtslagen schwimmender Körper  . . . . . . . . . . . . 6.1.12 Stabilität eines Schiffes  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dynamik der Fluide (Hydrodynamik, Strömungsmechanik)  .. .. .. .. .. .. .. .. 6.2.1 Übungen zu den Grundbegriffen der Hydrodynamik  . . . . . . . . 6.2.2 Erhaltungssätze der Strömung  .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 6.2.3 Übungen zu der Strömung in Rohrleitungen  .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..

XIII

 447  447  448  450  451  452  453  455  455  456  469

Allgemeine Tabellen  .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..  475 Sachwortverzeichnis  .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..  479

XV

Arbeitspläne Arbeitsplan zum Freimachen der Bauteile  .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 17 Arbeitsplan zur rechnerischen Ermittlung der Resultierenden  .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 26 Arbeitsplan zur zeichnerischen Ermittlung der Resultierenden  . . . . . . . . . . . 28 Arbeitsplan zur rechnerischen Ermittlung unbekannter Kräfte  . . . . . . . . . . . 29 Arbeitsplan zur zeichnerischen Ermittlung unbekannter Kräfte  .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 38 Arbeitsplan zum Momentensatz  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 Arbeitsplan zum Seileckverfahren  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 Arbeitsplan zur rechnerischen Ermittlung unbekannter Kräfte  . . . . . . . . . . . 50 Arbeitsplan zum Drei-Kräfte-Verfahren  .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 57 Arbeitsplan zum Vier-Kräfte-Verfahren  .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 59 Arbeitsplan zum Knotenschnittverfahren  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 Arbeitsplan zum Ritter’schen Schnittverfahren  .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 82 Arbeitsplan zur rechnerischen Bestimmung des Flächenschwerpunkts  . . . . . . . 87 Arbeitsplan zur rechnerischen Bestimmung des Linienschwerpunkts  .. .. .. .. .. .. .. 92 Arbeitsplan zur gleichmäßig beschleunigten oder verzögerten Bewegung  .. .. .. ..  167 Arbeitsplan zur Kreisbewegung (Vergleich mit 4.1.5)  .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..  199 Arbeitsplan zum Prinzip von d’Alembert  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  212 Arbeitsplan zur Bestimmung des inneren Kräftesystems und der Beanspruchungsarten  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  291 Arbeitsplan zur Berechnung axialer Flächenmomente 2. Grades  .. .. .. .. .. .. .. .. ..  349 Arbeitsplan zur Biegemomenten- und Querkraftbestimmung  . . . . . . . . . . .  367 Arbeitsplan für Knickungsberechnungen  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  397 Arbeitsplan zum Stabilitätsnachweis bei einteiligen Druckstäben  . . . . . . . . .  406

XVII

Verständnisübungen Rechnerische Bestimmung der Resultierenden eines zentralen Kräftesystems  .. .. .. . 30 Zeichnerische Bestimmung der Resultierenden eines zentralen Kräftesystems  .. .. .. . 33 Seileckverfahren – Zusammensetzen zweier Parallelkräfte  . . . . . . . . . . . . . . . .  47 Reibung ruhender und bewegter Körper  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 Keilgetriebe  .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 131 Geschwindigkeit‐Zeit (v, t)‐Diagramm  .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 170 Prinzip von d’Alembert  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 Wirkungsgrad  .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 233 Nietverbindung I  .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 318 Nietverbindung II  .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 323 Zugbolzen  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329 Mechanisches Torsionsstab‐Messgerät  .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 359 Torsionsstab‐Federung  .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 362 Knickung im elastischen Bereich  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398 Knickung im unelastischen Bereich  .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 402 Berechnung einer Getriebewelle  .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 419

XIX

Übungen Übungen zur Berechnung von Drehmomenten  .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 5 Übungen zum Parallelogrammsatz für Kräfte  .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 10 Übungen zum Freimachen  .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 18 Übung zur dritten und vierten Grundaufgabe  .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 39 Übungen zur Stützkraftberechnung  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 Systemanalytisches Lösungsverfahren zur Stützkraftberechnung  . . . . . . . . . . 60 Übung zum systemanalytischen Lösungsverfahren zur Stützkraftberechnung  . . . 69 Übungen zur Bestimmung des Flächenschwerpunkts  .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 88 Übungen zu den Guldin’schen Regeln  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 Übung zur Standsicherheit  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 Übungen zur Lösung von Reibungsaufgaben  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  103 Übungen zur Reibung auf der schiefen Ebene  .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..  122 Übungen zur Trag- und Spurzapfenreibung  .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..  127 Übungen zur Schraube  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  135 Übungen zur Seilreibung  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  138 Übungen zum Rollwiderstand und Fahrwiderstand  .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..  148 Übung zum Rollenzug  .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..  155 Übungen zu dem v, t-Diagramm  .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..  160 Übungen zur gleichmäßig beschleunigten und verzögerten Bewegung  .. .. .. .. .. ..  175 Übungen zur zusammengesetzten Bewegung  .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..  181 Übungen zum dynamischen Grundgesetz  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  208 Übungen zum Prinzip von d’Alembert  .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..  212 Übungen zu der Größe Arbeit  .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..  222 Übungen zu den Größen Leistung, Wirkungsgrad  .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..  228 Übungen zum Energieerhaltungssatz  .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..  240 Übungen zum geraden zentrischen Stoß  .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..  248 Übung zum Trägheitsmoment  .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..  252 Übung zum dynamischen Grundgesetz für die Drehung  . . . . . . . . . . . . . .  257

XX

Übungen

Übungen zur Fliehkraft  .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..  261 Übungen zum Schnittverfahren  .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..  291 Übungen zur Zug- und Druckbeanspruchung  .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..  305 Übungen zur Flächenpressung  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  312 Übungen zu Flächen- und Widerstandsmomenten einfacher Querschnitte  . . . .  337 Übungen zu Flächen- und Widerstandsmomenten zusammengesetzter Querschnitte  .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..  349 Übungen zur Berechnung des Biegemomenten- und Querkraftverlaufs bei den wichtigsten Trägerarten und Belastungen  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  371 Übungen zur Durchbiegungsgleichung  .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..  387 Übung zur Knickung  .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..  411 Übung zur zusammengesetzten Beanspruchung durch Normalspannungen  .. .. ..  415 Übung zu Biegung und Torsion  .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..  418 Übungen zur Dauerfestigkeit  .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..  435 Übung zum Druck-Ausbreitungsgesetz  .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..  441 Übungen zu den Grundbegriffen der Hydrodynamik  .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..  455 Übungen zum Massenerhaltungssatz (Kontinuitätsgleichung)  . . . . . . . . . . .  456 Übungen zum Energieerhaltungssatz (Bernoulli’sche Gleichung)  . . . . . . . . .  458 Übungen zum Impulserhaltungssatz  .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..  465 Übungen zu der Strömung in Rohrleitungen  .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..  469

XXI

Tabellenverzeichnis Tabelle 3.1  Reibungszahlen μ0 und μ (Klammerwerte sind die Gradzahlen für ϱ0 und ϱ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  99 Tabelle 4.1  Gleichmäßig beschleunigte geradlinige Bewegung   . . . . . . . . . .  168 Tabelle 4.2  Gleichmäßig verzögerte geradlinige Bewegung  . . . . . . . . . . . .  169 Tabelle 4.3  Gleichmäßig beschleunigte Kreisbewegung  . . . . . . . . . . . . . .  201 Tabelle 4.4  Gleichmäßig verzögerte Kreisbewegung . . . . . . . . . . . . . . . .  202 Tabelle 4.5  Gleichungen für Trägheitsmomente (Massenmomente 2. Grades)  . .  253 Tabelle 5.1  Axiale Flächenmomente 2. Grades, Widerstandsmomente und Trägheitsradien für Biegung und Knickung  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  342 Tabelle 5.2  Polare Flächenmomente 2. Grades und Widerstandsmomente für Torsion  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  344 Tabelle 5.3  Stützkräfte, Biegemomente und Durchbiegungen bei Biegeträgern mit gleichbleibendem Querschnitt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  389 Tabelle 5.4  Grenzschlankheitsgrad für Euler’sche Knickung und Tetmajergleichungen  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  396 Tabelle 5.5  Zuordnung der Knicklinien zu den Stab-Querschnittsformen  . . . .  409 Tabelle 5.6  Zulässige Spannungen im Stahlhochbau . . . . . . . . . . . . . . . .  410 Tabelle 5.7  Zulässige Spannungen im Kranbau für Stahlbauteile . . . . . . . . .  411 Tabelle 5.8  Richtwerte für die Kerbwirkungszahl βk  . . . . . . . . . . . . . . .  437 Tabelle 5.9  Festigkeitswerte für Stähle (alle Werte in N/mm2)  . . . . . . . . . .  437 Tabelle 5.10  Festigkeitswerte für Gusseisen (alle Werte in N/mm2) . . . . . . . .  438 Tabelle 6.1  Dynamische und kinematische Viskosität von Wasser und Luft in Abhängigkeit der Temperatur bei p0 = 101;25 kPa  . . . . . . . . . . . . . . . .  470

XXIII

Wichtige Symbole Kraft F, festgelegt durch Betrag, Wirklinie und Richtungssinn in N, kN, MN, z. B. FA, F2, FG2 (Gewichtskraft) Drehmoment M in Nm, kNm. Grundsätzlich werden linksdrehende Drehmomente positiv, rechtsdrehende Momente negativ in z. B. Gleichgewichtsbedingungen aufgenommen. Zweiwertiges Lager (Festlager) nimmt eine beliebig gerichtete Kraft auf. Die Wirklinie und der Betrag der Kraft sind unbekannt. Einwertiges Lager (Loslager) nimmt nur eine rechtwinklig zur Stützfläche gerichtete Kraft auf. Die Wirklinie der Kraft ist bekannt, der Betrag ist unbekannt. Feste Unterlage oder Stützfläche (Ebene) zur Aufnahme zum Beispiel von Los- und Festlagern oder Körpern – nicht verschieb- oder verdrehbar. Bezeichnung von Lagern (Fest- und Loslagern) und Körpern Schwerpunkt von Linien, Flächen und Körpern Masse von Körpern in kg, t Drehrichtung, zum Beispiel einer Welle

Zug- bzw. Druckfeder

Gedachte Schnittstellen in einem Körper – zeigt innere Kräfte- und Momentensysteme SP Schnittflächenschwerpunkt

1

1 Statik in der Ebene Formelzeichen und Einheiten1 A

m2, cm2, mm2

Flächeninhalt, Fläche, Oberfläche, Querschnittsfläche

b

m, cm, mm

Breite

d, D

m, cm, mm

Durchmesser

e

l

Euler’sche Zahl (2,718 28 …)

F

N; kN

Kraft. Bestimmte Kräfte werden durch Indizes unterschieden, z. B. Fr resultierende Kraft = Resultierende, FR Reibungskraft, FN Normalkraft, Fq Querkraft, FA Stützkraft im Lagerpunkt A usw.

FG

N, kN

g

m s2

Gewichtskraft. FG ist das nach DIN 1304 genormte Formelzeichen für die Gewichtskraft  m Fallbeschleunigung Normfallbeschleunigung gn = 9;806 65 2 s

h

m, cm, mm

Höhe, Tiefe

l

m, cm, mm

Länge, Abstand

M

Nm

Kraftmoment, Drehmoment

MT, T

Nm

Torsionsmoment; auch das Formelzeichen T ist zulässig

m

kg, g

Masse

−1

n

min

Drehzahl, Umdrehungsfrequenz

P

W, kW

Leistung

r

m, cm, mm

Radius, Halbmesser, Abstand

s

m, cm, mm 3

3

Weglänge, Kurvenlänge, Wanddicke 3

V

m , cm , mm

Volumen, Rauminhalt

v

m km m ; ; s h min

Geschwindigkeit

W

J = Nm

Arbeit

x, y

m, cm, mm

Wirkabstände der Einzelkräfte (und -flächen oder -linien), Koordinaten

x0, y0, z0

m, cm, mm

Schwerpunktabstände

α, β, γ

rad, °

ebener Winkel

η

1

Wirkungsgrad

μ

1

Reibungszahl

ϱ

°

Reibungswinkel

1

Alle in diesem Buch verwendeten Einheiten für physikalische Größen sind Einheiten des „Système International d’Unités“ (Internationales Einheitensystem), kurz: SI-Einheiten. Es gelten die Normen: DIN 1301 (Einheiten, Einheitennamen, Einheitenzeichen), DIN 1304 (Formelzeichen).

2

1  Statik in der Ebene

1.1 Grundlagen 1.1.1 Aufgaben der Statik An technischen Bauteilen greifen Belastungskräfte an, hervorgerufen durch Lasten, Eigengewicht, Winddruck, Gasdruck, Zahnkräfte, Riemenkräfte, Zerspanungswiderstände, Reibungswiderstände usw. Mit den Verfahren der Statik werden die Stützkräfte ermittelt, die den Körper im Gleichgewicht halten. Man sagt auch: Das angreifende Kräftesystem befindet sich im Gleichgewicht. Die Ermittlung der Stützkräfte, auch Auflagerkräfte genannt, ist der erste Schritt zur Konstruktion eines Maschinenteils. Sind alle angreifenden Kräfte bekannt, können die Abmessungen der Bauteile nach den Regeln der Festigkeitslehre festgelegt werden: Die Ergebnisse der Statik sind die Grundlage der Festigkeitsrechnung. Bei allen folgenden Untersuchungen in der Statik werden die Körper als unverformbar angesehen (Statik der starren Körper).

2 1

Festlager

F1

Belastung bekannt

F2

A

Loslager B

FG Eigengewichtskraft bekannt Stützkraft FA gesucht

Stützkraft FB gesucht

Belastungskräfte und Stützkräfte Gegeben: F1, F2, FG, l, l1, l2 Gesucht: FA, FB Hinweis: Die Begriffe Los- und Festlager werden in 1.1.7.6 erläutert. Beispiel: Erst wenn alle an einer Getriebewelle angreifenden Kräfte bekannt sind, können Wellenund Lagerdurchmesser bestimmt werden.

1.1.2 Physikalische Größen in der Statik Die wichtigsten Größen der Statik sind die Kraft F (Kurzzeichen F von engl. force), die in Newton (N), Dekanewton (daN), Kilonewton (kN) oder Meganewton (MN) gemessen und angegeben wird;

Das Newton ist die gesetzliche und internationale Einheit (SI-Einheit) für die Kraft F: 1 daN = 10 N; 1 kN = 103 N = 1 000 N 1 MN = 106 N = 1 000 000 N

das Kraftmoment M der Kraft F, das in Newton­ meter (Nm) oder Newtonmillimeter (Nmm) angegeben wird. Bewirkt das Kraftmoment eine Drehung des Bauteils, dann nennt man es Drehmoment M, z. B. bei Wellen. In der Festigkeitslehre wird ein biegendes Kraftmoment als Biegemoment Mb, ein tordierendes (verdrehendes) Kraftmoment als Torsionsmoment MT bezeichnet.

Das Kraftmoment M ist das Produkt aus einer Kraft F und einer Länge l. Daher ist die SI-Einheit des Kraftmoments das Newtonmeter (Nm): 1 Nm = 103 Nmm 1 kNm = 103 Nm 1 MNm = 106 Nm

3

1.1  Grundlagen

1.1.2.1 Kraft

die Wirklinie WL und der Richtungssinn.

Wie alle Vektoren wird auch die Kraft zeichnerisch durch einen Pfeil dargestellt. Die Länge des Pfeils gibt über den festgelegten Kräftemaßstab MK den Betrag (die Größe) der Kraft an. Die Wirklinie zeigt, wo und unter welchem Winkel zu einer festgelegten Bezugsachse die Kraft wirkt (Richtungswinkel). Die Pfeilspitze bestimmt den Richtungssinn. Eine Kraft, die auf einen Körper dieselbe Wirkung ausübt wie zwei (oder mehrere) gleichzeitig wirkende Kräfte F1 und F2, nennt man die Resultie­ rende Fr dieser Kräfte: Die Resultierende Fr ist eine gedachte Ersatzkraft für mehrere Einzelkräfte. Will man eine genaue Angabe über die Wirkung mehrerer Kräfte auf einen Körper machen, z. B. darüber, in welche Richtung er sich verschiebt, muss die Resultierende des Kräftesystems bekannt sein. Die Schubkraft Fs mit dem Angriffspunkt As bewegt den skizzierten Wagen mit der Geschwindigkeit v nach rechts oben. Die gleiche Wirkung wird durch die auf derselben Wirklinie WL liegende gleich große Zugkraft Fz = Fs (Angriffspunkt Az) erzielt: Kräfte sind linienflüchtige Vektoren. Für sie gilt der Längsverschiebungssatz Kräfte dürfen auf ihrer Wirklinie beliebig verschoben werden, ohne dass sich ihre Wirkung auf den starren Körper ändert.

starre, ebene Scheibe, in ihrer Ebene verschiebbar Lage Kra

Richtungssinn

ft F

5

10

Wirk linie der = Ve Kraf rsch t iebe rich tung

15

Betrag

Lageplan mit eingezeichneter Kraft F = 18 N N ^ Kräftemaßstab MK = 1 mm (1 mm = 1 N)

von F2

der Betrag der Kraft, z. B. F = 18 N,

Größen, die erst durch ihren Betrag und ihre Richtung eindeutig bestimmt sind (gerichtete Größen), heißen Vektoren, z. B. Kräfte, Wege, Geschwindigkeiten, Beschleunigungen. Größen, bei denen zur eindeutigen Bestimmung die Angabe ihres Betrags genügt, heißen Skalare (nicht gerichtete Größen), z. B. Wärme, Temperatur, Masse, Arbeit, Leistung.

F1

WL

Kräfte sind Vektoren. Ihre Wirkung auf einen Körper lässt sich nur dann genau angeben, wenn drei Bestimmungsstücke bekannt sind:

Fr

F2

v

WL von F1

WL der Re =V su l ers ti chi ebe erend en rich tun g

Fz = Fs WL Az

Fs As

Die Kraft Fs (Schubkraft) = Fz (Zugkraft) kann auf der gemeinsamen Wirklinie WL von As nach Az verschoben werden, ohne dass sich die Wirkung auf den Körper ändert (Längsverschiebungssatz).

4

1  Statik in der Ebene

1.1.2.2 Kraftmoment oder Drehmoment F

Drehsinn (–)

WL vo n

Das Produkt aus einer Einzelkraft F und ihrem Wirk­abstand l von einem beliebigen Bezugspunkt D heißt Kraftmoment M = Fl.

Bezugspunkt D

Die Bezeichnungen Kraftmoment und Drehmoment sind statisch gleichwertig. Der Betrag des Kraft- oder Drehmoments ist das Produkt aus der Kraft F (z. B. in N) und dem Wirk­ abstand l (z. B. in m). Der Wirkabstand l ist der rechtwinklig zur Wirklinie (WL) gemessene Abstand. Kraftmoment M = Kraft F · Wirkabstand l Der Drehsinn des Kraftmoments wird durch das Vorzeichen angegeben.

F

Kraftmoment der Kraft F bezogen auf den Punkt D: M = Fl M = Fl

M

F

l

Nm

N

m

(+) = Linksdrehsinn ↺ (–) = Rechtsdrehsinn ↻

1.1.2.3 Kräftepaar Wirken zwei gleich große, gegensinnige Kräfte auf parallelen Wirklinien mit dem Wirkabstand l (⊥ zu den Wirklinien gemessen), so erzeugen sie ein Drehmoment M. Man nennt die beiden Kräfte ein Kräftepaar. Ist der Körper frei beweglich, so dreht ihn das Kräftepaar auf der Stelle, ohne ihn zu verschieben (Welle, Handrad, Tretkurbel, Handkurbel, Drehstabfeder), denn die Resultierende des Kräftepaars ist gleich null.

Wirkabstand

Wirklinien Drehsinn des Körpers

Das Kräftepaar erzeugt ein Drehmoment M, die Resultierende ist Fr = 0.

Die Drehwirkung eines Kräftepaares bezeichnet man als sein Drehmoment M. Der Betrag des Drehmoments ist das Produkt aus der Kraft F (z. B. in N) und dem Wirkabstand l (z. B. in m). Der Wirkabstand ist der rechtwinklig zu den Wirklinien gemessene Abstand. Drehmoment M = Kraft F · Wirkabstand l Der Drehsinn des Drehmoments wird durch das Vorzeichen angegeben.

F

 Kräftepaar am M=F Fahrradlenker M = Fl (+) ≙ Linksdrehsinn ↺ (–) ≙ Rechtsdrehsinn ↻

M

F

l

Nm

N

m

5

1.1  Grundlagen

1.1.3 Übungen zur Berechnung von Drehmomenten 1. Übung:  Für die Tretkurbelwelle eines Fahrrads sollen die Drehmomente M1, M2, M3 in den drei skizzierten Stellungen berechnet werden. In allen Stellungen wirkt die Kraft F1 rechtwinklig nach unten. In Stellung 1 steht die Tretkurbel horizontal, in Stellung 3 vertikal. Stellung 2 liegt zwischen beiden Stellungen.

F1 = 150 N

Stellung 1

F2

F1

F1

Wie verändern sich die Drehmomente M1, M2, M3 mit fortschreitender Kurbeldrehung?

Stellung 3 3=0

Stellung 2

2 = 80 mm 1 = 200 mm

2. Übung:  Die Kraft F1 wirkt jetzt unter dem Winkel α = 45° auf die horizontal liegende Tretkurbel.

M1 = −F1l1 = −150 N · 0,2 m = −30 Nm M2 = −F1l2 = −150 N · 0,08 m = −12 Nm M3 = −F1l3 = −150 N · 0 m = 0 Das Drehmoment fällt von seinem Maximalwert M1 = −30 Nm in der horizontalen Stellung bis auf M3 = 0 Nm in der vertikalen Stellung der Tretkurbel.

2

α=

Wie groß ist nun das Drehmoment M an der Tretkurbelwelle?

45°

Lösung:  Als Folge der Kraft F1 an der Tretkurbel tritt im Tretkurbellager eine gleich große, entgegengesetzt gerichtete Kraft F2 auf. Beide bilden ein Kräftepaar, das ein Drehmoment M erzeugt. Es ergibt sich als Produkt aus der Kraft F1 und ihrem jeweiligen Wirkabstand von der Kraft F2. Die Drehmomente M1 und M2 haben Rechtsdrehsinn. Sie erhalten daher das negative Vorzeichen.

F1 = 150 N

F2 1 = 200 mm

Lösung:  Der Wirkabstand l2 zwischen den Wirklinien der Kräfte F1 und F2 ist jetzt kleiner geworden als vorher in der Stellung 1.

l2 = 0,2 m · sin 45°

Dadurch ergibt sich auch ein kleineres Drehmoment M. Es erhält das negative Vorzeichen, weil es Rechtsdrehsinn hat.

M = −21,15 Nm

Aufgaben Nr. 1–8

l2 = l1 sin α l2 = 0,141 m M = −F1l2 = −150 N · 0,141 m

6

1  Statik in der Ebene

1.1.4 Bewegungsmöglichkeiten (Freiheitsgrade) eines Körpers Jeder frei bewegliche starre Körper kann eine andere Lage erhalten, indem man ihn verschiebt oder dreht. Diese Bewegungen heißen Translation (Verschiebung) und Rotation (Drehung). Die Bewegungsmöglichkeiten, die ein Körper hat, nennt man seine Freiheitsgrade.

1.1.4.1 Freiheitsgrade im Raum Ein Körper, der im Raum frei beweglich ist, kann sich in Richtung der drei Achsen x, y, z eines räumlichen Koordinatensystems verschieben (T(x), T(y), T(z)). Er kann sich außerdem um jede der drei Achsen drehen (R(x), R(y), R(z)). Daraus folgt:

y T(y) T(z) R(y)

T(x)

R(x)

Ein im Raum frei beweglicher starrer Körper hat sechs Freiheitsgrade.

T(z) T(y)

T(x), T(y), T (z): Translation in Richtung der drei Achsen R(x), R(y), R(z): Rotation um die drei Achsen

1.1.4.2 Freiheitsgrade in der Ebene Ein Körper, der nur in einer Ebene frei beweglich ist, z. B. auf einer Richtplatte, kann sich nur in Richtung der zwei Achsen x, z eines ebenen Koordinatensystems verschieben (T(x), T(z)) und um die Achse y drehen (R(y)). Daraus folgt:

y

T(z) R(y)

T(x)

T(x) x

Ein in der Ebene frei beweglicher starrer Körper hat drei Freiheitsgrade. Jede beliebige Bewegung in der Ebene lässt sich auf diese drei Freiheitsgrade zurückführen.

x

R(z)

z

Jede beliebige Bewegung im Raum lässt sich auf diese sechs Freiheitsgrade zurückführen.

T(x)

T(z) z

1.1.5 Gleichgewicht des Körpers in der Ebene (Gleichgewichtsbedingungen) Die Ursache einer Verschiebung ist eine Einzel­ kraft, die Ursache einer Drehung ist ein Kräftepaar. Daraus folgt: Wird ein Körper verschoben, muss eine Kraft F wirken,wird er gedreht, muss ein Kraftmoment M wirken,wird er verschoben und gedreht, müssen eine Kraft F und ein Kraftmoment M wirken.

Hinweis: Die Drehwirkung eines Kräftepaars ist sein Kraftmoment M. Es wird auch als Drehmoment bezeichnet. g

iebun

ch Vers

F2 F1

S

Drehung F2

7

1.1  Grundlagen

Umgekehrt lässt sich auch schließen, dass dann keine Kraft F wirkt, wenn sich ein Körper nicht verschiebt, und dass kein Kraftmoment M vorhanden ist, wenn er sich nicht dreht.

Keine Verschiebung: F = 0 Keine Drehung: M = 0

Körper, die mit anderen fest verbunden sind, lassen sich auch durch Kräfte und Kraftmomente nicht gegeneinander bewegen. Hier werden durch die Verbindungen (wie Verschraubung, Lagerung, Klebung) Gegenkräfte und Gegenkraftmomente erzeugt.

Beispiel: Fräsmaschinentisch und darauf befestigter Schraubstock bewegen sich nicht gegeneinander, obwohl über das Werkstück Kräfte in den Schraubstock eingeleitet werden.

Alle Kräfte und alle Kraftmomente heben sich in solchen Fällen in ihrer Wirkung auf, und man sagt: Kräfte und Kraftmomente stehen miteinander im Gleichgewicht. Dann muss die Summe aller Kräfte gleich null und die Summe aller Kraftmomente gleich null sein, weil sich der Körper so verhält, als wirkten keine Kraft und kein Kraftmoment.

Keine Verschiebung: ΣF = 0 Keine Drehung: ΣM = 0 Σ (Sigma) bedeutet: Summe aller …, d. h. die Summe aller Kräfte und die Summe aller Kraftmomente ist gleich null.

Diese Erkenntnis auf die drei Freiheitsgrade des Körpers in der Ebene bezogen ergibt: y

Ein Körper ist dann im Gleichgewicht, wenn die Summe aller Kräfte in Richtung der xAchse gleich null ist, die Summe aller Kräfte in Richtung der yAchse gleich null ist, und die Summe aller Kraftmomente um die zAchse gleich null ist.

Nach dem Trägheitsgesetz gilt das für alle Körper, deren Bewegungszustand sich nicht ändert. Demnach ist ein Körper in drei Fällen im Gleichgewicht: wenn er ruht (Geschwindigkeit v = 0), wenn er sich auf gerader Bahn mit gleich bleibender Geschwindigkeit bewegt (v = konstant) und wenn er mit konstanter Drehzahl n (Umdrehungsfrequenz) umläuft (n = konstant).

ΣFx = 0 ΣFy = 0 ΣM(z) = 0

Fy

M(z)



x Fx

z

Mit Hilfe dieser drei Gleichgewichtsbedingungen berechnet man unbekannte Kräfte und Kraftmomente. Hinweis: Ruhelage und gleichförmig geradlinige oder rotierende Bewegung sind gleichwertige Zustände, d. h. es gelten die Gleichgewichtsbedingungen. Die Überlegungen zum Trägheitsgesetz stammen von dem italienischen Physiker Galileo Galilei (1564–1642).

8

1  Statik in der Ebene

1.1.6 Parallelogrammsatz für Kräfte Der Parallelogrammsatz ist die wichtigste statische Grundoperation für das Zusammensetzen und Zerlegen von gerichteten Größen (Vektoren). Dazu gehören neben Geschwindigkeiten v, Beschleunigungen a und Wegen s auch Kräfte F.

1.1.6.1 Zusammensetzen von zwei nichtparallelen Kräften (Kräftereduktion) Kräfte sind linienflüchtige Vektoren, d. h. zwei Kräfte F1 und F2 können auf ihrer Wirklinie in den Zentralpunkt A verschoben und dort mit dem Parallelogrammsatz zur Resultierenden Fr zusammengesetzt werden. Man nennt dies eine geometrische (zeichnerische) Addition und das Verfahren eine Kräftereduktion.

Hinweis Skalare wie Masse m, Volumen V, Fläche A usw. sind keine gerichteten Größen. Ihre Beträge können algebraisch addiert und subtrahiert werden. Kräfte dagegen sind als Vektoren geometrisch (zeichnerisch) zu behandeln. F1

de F r

ltieren

Parallelogrammsatz Die Resultierende Fr (Ersatzkraft) zweier in einem Punkt A angreifender Kräfte F1 und F2 ist die Diagonale des Kräfteparallelogramms. Einfacher ist es, die Kräfte nach Betrag und Richtungssinn maßstabsgerecht in beliebiger Reihenfolge aneinander zu setzen. Es ergibt sich das Kräftedreieck (Krafteck, Kräftezug).

α

A

Resu

F2

Geometrische Addition der Kräfte F1 und F2 zur Resultierenden Fr F1 F2

SO

E Fr oder

A

Fr

A

Im Krafteck ist die Resultierende Fr die Verbindungslinie vom Anfangspunkt A der zuerst gezeichneten Kraft zum Endpunkt E der zuletzt gezeichneten Kraft. Der Betrag der Resultierenden Fr zweier Kräfte F1 und F2, mit dem eingeschlossenen Winkel α, lässt sich mit dem Kosinussatz berechnen. Für den Winkel β wird der Sinussatz angewendet.

β

E F1

SO F2

Kräftedreiecke als Ersatz für das Kräfteparallelogramm Fr =

q F12 + F22 + 2F1 F2 cos ˛

ˇ = arcsin

F1 sin ˛ Fr

9

1.1  Grundlagen

1.1.6.2 Zerlegen einer Kraft in zwei nichtparallele Kräfte Das Kräfteparallelogramm lässt sich auch aus einer gegebenen Kraft F und den Wirklinien WL1, WL2 zweier gesuchter Kräfte F1, F2 zeichnen.

on

Lv

F1

W F1

Dazu werden die gegebenen Wirklinien WL1 und WL2 der gesuchten Kräfte F1, F2 parallel zu sich selbst in den Endpunkt E der maßstäblich aufgezeichneten gegebenen Kraft F verschoben. Damit entsteht das Kräfteparallelogramm.

α

F

A

β E

α

F2

Fc

osβ

F1

WL vo cos n F2

α

Zerlegen einer Kraft F in zwei Komponenten F1, F2

Die Beträge der beiden Komponenten der Kraft F lassen sich auch berechnen: Für F1 gilt der Sinussatz; die Gleichung für F2 lässt sich aus dem gestrichelt gezeichneten Kräftezug ablesen.

sin ˇ sin .180ı – ˛/

F1 = F

F2 = F cos β − F1 cos α E

F1

F2

F2

F1

F1

A

F2

y F Fy

α

Bei vielen Aufgaben der Statik ist es erforderlich, mit den beiden rechtwinklig aufeinander stehenden Komponenten Fx und Fy einer Kraft F zu rechnen. Dazu legt man die Kraft F unter Angabe des Richtungswinkels α in ein rechtwinkliges Achsenkreuz und beschreibt die Komponenten mit Hilfe der Kreisfunktionen Sinus und Kosinus.

F3

Fy = F sin α

Die Aufgabe, eine Kraft F in mehr als zwei Komponenten zu zerlegen, ist statisch unbestimmt, d. h. es sind unendlich viele Lösungen möglich.

F

x

Fx = F cos α

1.1.6.3 Zerlegen einer Kraft in zwei parallele Kräfte Für die gegebene Kraft F sollen die beiden parallelen Kräfte F1 und F2 ermittelt werden, die auf ihren Wirklinien mit den Abständen l1 und l2 die gleiche Wirkung haben wie die Einzelkraft F.

1

2

F1

F2 F

Zum Verständnis für die Lösung dieser Aufgaben ist der später erläuterte Momentensatz erforderlich (1.2.5.1):

Zerlegen einer Kraft F in zwei parallele Komponenten

Fl1 = F2 (l1 + l2) und Fl2 = F1 (l1 + l2) Daraus ergeben sich die beiden Gleichungen für die Beträge der Kräfte F1 und F2.

F1 = F

l2 l1 + l2

F2 = F

l1 l1 + l2

10

1  Statik in der Ebene

1.1.6.4 Übungen zum Parallelogrammsatz für Kräfte 1. Übung:  Zwei Kräfte F1 = 2 kN und F2 = 3 kN wirken im Angriffspunkt A unter dem Winkel α = 120° zueinander.

y

Fr

F2

Gesucht: a) der Betrag der Resultierenden Fr,

F2 180° – α

β

b) der Winkel β zwischen den Wirklinien von F1 und Fr.

α x

F1

A

Lösung:  a) Der Betrag der Resultierenden lässt sich zeichnerisch durch maßstäbliches Aufzeichnen des Kräfteparallelogramms und rechnerisch mit dem Kosinussatz ermitteln. b) Der Winkel β zwischen den Wirklinien von F1 und Fr wird mit dem Sinussatz berechnet: sin ˇ F2 = ; sin .180ı – ˛/ = sin ˛ sin .180ı – ˛/ Fr

2. Übung:  Für das skizzierte Lager einer Getriebewelle wurden mit Hilfe der statischen Gleichgewichtsbedingungen die Stützkraftkomponenten FAx  =  5089  N und FAy  =  471  N berechnet. Zur Bestimmung der Lagerabmessungen soll die Stützkraft (Lagerkraft) FA berechnet werden. Hinweis: Die Stützkraftkomponenten können in den Lagermittelpunkt verschoben werden.

Fr =

q F12 + F22 + 2F1 F2 cos ˛

Fr =

q

.2 kN/2 + .3 kN/2 + 2  2 kN  3 kN  cos 120ı

Fr = 2,646 kN

ˇ = arcsin

F2 sin .180ı – ˛/ = 79;08ı Fr y x

z

Lager

A FAx FAy

x

Welle

Gesucht: a) Skizze des Quadranten eines rechtwinkligen Koordinatensystems mit den in den Lagerpunkt A verschobenen Lagerkraftkomponenten FAx und FAy (Längsverschiebungssatz in 1.1.2.1),

y

Lösung: y FA FAy

c) Richtungswinkel α zwischen der positiven xAchse des Koordinatensystems und der Wirklinie der Lagerkraft FA. Aufgaben Nr. 29–31

α

b) Betrag der Lagerkraft FA, A

FA =

FAx

q

2 2 FAx + FAy =

p

x

.50892 + 4712 / N2

FA = 5111 N ˛ = arctan

FAy 471 N = arctan = 5;29ı FAx 5089 N

z

11

1.1  Grundlagen

1.1.7 Freimachen der Bauteile 1.1.7.1 Beschreibung des Verfahrens Die Lösung jeder Aufgabe in der Statik muss mit dem Freimachen beginnen, weil nur damit gewährleistet ist, dass alle an einem Bauteil (Welle, Stab, Feder, Stange u. a.) angreifenden Kräfte erfasst wurden.

Hinweis: Statt „Freimachen“ wird auch die Bezeichnung „Freischneiden“ verwendet, weil man ein Bauteil mit gedachten Schnitten von den angrenzenden Bauteilen trennen kann.

Vorgehensweise: Gedanklich wird ein Bauteil von angrenzenden Bauteilen „befreit“ und für jedes der weggenommenen Bauteile diejenigen Kräfte eingetragen, die von ihnen auf das frei zu machende Bauteil wirken. Übung zum Freimachen der Bauteile (siehe auch Aufgabensammlung und Lösungen Nr. 9) Eine Kiste mit der Gewichtskraft FG wird von zwei Seilen gehalten. Dieses Kiste – Seile – System ist in Ruhe, befindet sich also im Gleichgewicht.

Seil 2

Die Kiste soll frei gemacht werden. Lösung:  Wie oben in der Vorgehensweise beschrieben, wird die Kiste gedanklich von den beiden Seilen getrennt. Begonnen wird immer mit dem Freimachen möglichst einfacher Bauteile. Das sind bei diesem System die Seile, weil sie nur Zugkräfte in Seilrichtung übertragen können (siehe 1.1.7.2). Im waagerecht gespannten Seil 1 wirken dann die zwei Zugkräfte F1 und F2 (Nummerierung der Kräfte ist beliebig). Beide Kräfte sind gleich groß, gegensinnig gerichtet und liegen auf einer Wirklinie. Das gilt beim Seil 2 auch für die Kräfte F3 und F4.

Seil 1

Schnittstelle II S

Schnittstelle I

F4 F1

F2

Gleichgewichtsbedingungen:

F3

Seil 1: F1 = F2 → F1 − F2 = 0 → Gleichgewicht Seil 2: F3 = F4 → F3 − F4 = 0 → Gleichgewicht Nun wird die gedankliche Schnittstelle I des Seils 1 betrachtet: Wenn vom Seil 1 eine Kraft F2 auf die Schnittstelle I wirkt, dann muss von der Kiste aus eine gleich große, gegensinnig gerichtete Kraft F2 wirken. Nur dann ist die gedankliche Schnittstelle im Gleichgewicht.

F3

F2

S FG

12

1  Statik in der Ebene

Es müssen also an jeder Schnittstelle immer zwei gleich große, gegensinnig gerichtete Kräfte wirken: Aktionskraft F2 (des Seils 2) = Reaktionskraft F2 (der Kiste). Die gleiche Vorgehensweise gilt natürlich auch für die Schnittstelle II mit der Kiste und dem Seil 2. Freimachen heißt: Man nimmt die Nachbarbauteile, die das frei zu machende Bauteil berühren, Stück für Stück weg und bringt dafür an den Berührungsstellen diejenigen Kräfte an, die von den weg genommenen Bauteilen auf das frei gemachte Bauteil wirken.

Arbeitsplan zum Freimachen: 1. Das Bauteil ohne die angrenzenden Bauteile skizzieren. 2. Die Angriffspunkte aller Kräfte und die Wirklinien dieser Kräfte festlegen. 3. Den Richtungssinn in Bezug auf das frei gemachte Bauteil eintragen.

Eine Anleitung zum richtigen und sicheren Freimachen geben die folgenden Beispiele (1.1.7.2 bis 1.1.7.8).

1.1.7.2 Seile, Ketten, Riemen Seile und ähnliche flexible Bauteile können nur Zugkräfte in Seilrichtung ausüben oder aufnehmen. Zugkräfte wirken immer weg vom Angriffspunkt am freigemachten Bauteil. (Regel 1)

Die Erfahrung lehrt, dass man mit einem flexiblen Bauteil keine Druckkraft auf einen anderen Körper ausüben kann.

Es ist gleichgültig, ob das Seil durch eine Rolle umgelenkt wird: In jedem Querschnitt des Seils wirkt die gleiche Zugkraft.

Beispiel: Der Kranhaken soll freigemacht werden.

Seilkraft F

freigemachter Kranhaken

Gewichtskraft FG

Man nimmt den angehängten Zylinder weg und ersetzt ihn im Berührungspunkt durch die Gewichtskraft FG. Ebenso nimmt man das Seil weg (abschneiden) und ersetzt es durch die Zugkraft F = FG.

13

1.1  Grundlagen

1.1.7.3 Zweigelenkstäbe Zweigelenkstäbe können Zug- oder Druckkräfte aufnehmen, deren Wirklinie die Verbindungsgerade der Gelenkpunkte ist. Die Gelenke werden als reibungsfrei angesehen.  (Regel 2) Die Form des Zweigelenkstabs hat keinen Einfluss; er kann gerade oder gekrümmt sein oder jede beliebige andere Form haben. Zweigelenkstäbe dürfen nur an zwei Punkten mit Nachbarbauteilen verbunden sein und keine Kräfte an anderen Stellen aufnehmen. Zwei Kräfte können nur dann im Gleichgewicht sein, wenn sie eine gemeinsame Wirklinie haben, die durch die beiden Gelenkpunkte (Kraftangriffspunkte) verlaufen muss.

Beispiel: Der Zweigelenkstab (Pendelstütze) stützt eine Plattform ab. Wirklinie Plattform

Zug Druck

freigemachter Stab

Zweigelenkstab Druck Zug

Hier nimmt der Zweigelenkstab Druckkräfte auf. Er könnte aber auch Zugkräfte aufnehmen, z. B. wenn der Wind unter die Plattform fasst.

1.1.7.4 Berührungsflächen (ebene Stützflächen) Berührungsflächen können Normalkräfte und Tangentialkräfte aufnehmen. Normalkräfte wirken immer in Richtung Berührungsfläche am freigemachten Bauteil.  (Regel 3)

Beispiel 1: Ein prismatischer Körper liegt auf einer waagerechten Unterlage (z. B. Richtplatte) in Ruhe. freigemachter Körper

FG

Berühren sich zwei Bauteile, so wirkt in jedem Fall zwischen beiden eine Normalkraft FN. Ihre Wirklinie steht immer rechtwinklig auf der Berührungsfläche.

Die Tangentialkraft FT wird durch Reibung (Reibungskraft FR) oder durch einen Rollwiderstand hervorgerufen. Ihre Wirklinie liegt immer in der Berührungsebene, also rechtwinklig zur Wirklinie der Normalkraft FN. Den Richtungssinn kann man in den meisten Fällen erkennen, wenn alle übrigen Kräfte am freigemachten Bauteil eingezeichnet wurden. Die Tangentialkraft FT = Reibungskraft FR wirkt der Bewegung entgegen, die durch die übrigen Kräfte verursacht wird oder verursacht werden könnte.

FN

Gewichtskraft FG und Normalkraft FN haben die gleiche Wirklinie und sind im Gleichgewicht. Beispiel 2: Der gleiche Körper liegt auf einer schiefen Ebene in Ruhe. freigemachter Körper

FT =

FR FG

FN

Gewichtskraft FG und Normalkraft FN allein können nicht im Gleichgewicht sein. Der Körper würde abwärts gleiten, wenn ihn nicht die Tangentialkraft FT = Reibungskraft FR daran hindern würde.

14

1  Statik in der Ebene

Auch wenn zwei Bauteile auf ihrer Berührungsfläche gegeneinander gleiten oder das eine auf dem anderen abrollt, wirkt immer eine Tangentialkraft FT = Reibungskraft FR. Der Richtungssinn ist in diesem Fall sicher zu erkennen: Auf das schnellere Bauteil wirkt die Reibungskraft FR entgegen seiner Bewegungsrichtung, auf das langsamere wirkt sie in Bewegungsrichtung des schnelleren Bauteils. In vielen Fällen ist das „langsamere“ Bauteil eine ruhende Unterlage.

Beispiel 3: Der Körper wird durch die Verschiebekraft F auf der Unterlage verschoben.

Gleiten zwei Bauteile in entgegengesetzter Richtung aufeinander, so wirkt an beiden die Reibungskraft entgegen der jeweiligen Bewegungsrichtung.

Im Beispiel 1, ohne Verschiebekraft F, hatten Gewichtskraft FG und Normalkraft FN eine gemeinsame Wirklinie. Das ist hier im Beispiel 3 anders: F und FT = FR bilden ein rechtsdrehendes Kräftepaar. Bei Gleichgewicht stellt sich dann das linksdrehende Kräftepaar aus FG und FN ein. Die Kraftmomente M beider Kräftepaare sind gleich groß und gegensinnig (ΣM = 0).

Bleibt ein Bauteil in Ruhe, obwohl eine Verschiebekraft F versucht, es auf seiner Unterlage zu verschieben, so tritt auch bei waagerechter Berührungsfläche eine Reibungskraft FR auf. Diese ist zur Aufrechterhaltung des Gleichgewichts erforderlich.

1.1.7.5 Rollkörper (gewölbte Stützflächen) Rollkörper können Radialkräfte und Tangentialkräfte aufnehmen. Die Radialkräfte wirken immer auf den Berührungspunkt am freigemachten Körper.  (Regel 4) Zwischen dem Rollkörper und der Unterlage wirkt eine Radialkraft Fr. Ihre Wirklinie verläuft durch den Berührungspunkt und den Rollkörpermittelpunkt. Die Bezeichnungen „Radialkraft“ und „Normalkraft“ sind gleichwertig, denn die Wirklinie der Radialkraft steht immer rechtwinklig (in Normalen­ richtung) auf der Berührungstangente. Eine Tangentialkraft FT tritt am ruhenden Rollkörper nur unter den gleichen Bedingungen auf wie an Berührungsflächen (siehe 1.1.7.4, Regel 3). Ihre Wirklinie ist die Tangente an den Rollkörper im Berührungspunkt und steht darum immer rechtwinklig zur Wirklinie der Radialkraft.

v F

F

FG FN

FT = F R

FN

freigemachter Körper FT = F R

Kräfte vom Gleitkörper auf die Unterlage

Beispiel: Eine Rolle ruht auf einer waagerechten Ebene und stützt eine waagerecht liegende Platte ab. A

FrA freigemachte Rolle

B

Fr B

Die Berührungspunkte A und B liegen rechtwinklig übereinander. Die Radialkräfte FrA und FrB haben eine gemeinsame Wirklinie und sind im Gleichgewicht. Es wirkt keine Tangentialkraft.

15

1.1  Grundlagen

1.1.7.6 Einwertige Lager (Loslager) Einwertige Lager (Loslager) können nur eine rechtwinklig zur Stützfläche wirkende Kraft aufnehmen (Normalkraft). Sie wirkt auf den freigemachten Lagerpunkt zu. Wirkungsanalyse: Wirklinie der Lagerkraft bekannt, Betrag unbekannt (eine Unbekannte).  (Regel 5)

F

freigemachtes Gleitlager

Einwertige Lager werden für Träger auf zwei Stützen verwendet, um die Wärmeausdehnung in Längsrichtung nicht zu behindern, z. B. an Brückenträgern oder Wellen. Bei zweifach gelagerten Trägern muss ein Lager ein Loslager sein.

1.1.7.7 Zweiwertige Lager (Festlager) Zweiwertige Lager (Festlager) können eine beliebig gerichtete Kraft aufnehmen. Beim Freimachen ersetzt man die noch unbekannte Lagerkraft durch zwei rechtwinklig aufeinander stehende Komponenten Fx und Fy. Wirkungsanalyse: Wirklinie der Lagerkraft unbekannt, Betrag unbekannt (zwei Unbekannte).  (Regel 6)

FN

FN

F freigemachtes Kugellager

FN

Beispiel 1: Träger auf zwei Stützen B

Belastung F A

FB

F Fx Fy freigemachter Träger

Träger auf zwei Stützen, Wellen und Achsen erhalten ein zweiwertiges Lager (Festlager), um eine unzulässige Längsverschiebung zu verhindern. Zweiwertige Lager erkennt man am sichersten durch die Bewegungsprobe: Verschiebt man die Stützfläche des einwertigen Lagers in tangentialer Richtung, bleibt das gelagerte Bauteil in Ruhe. Beim zweiwertigen Lager bewegt sich das gelagerte Bauteil bei jeder Verschiebung der Unterlage mit.

Lager B ist einwertig, wie die Bewegungsprobe ergibt. Also wirkt eine Normalkraft FB rechtwinklig zur Stützfläche. Lager A ist zweiwertig (Bewegungsprobe). Die dort wirkende noch unbekannte Lagerkraft FA ersetzt man durch zwei rechtwinklig aufeinander stehende Komponenten Fx und Fy und legt den Richtungssinn für die spätere Rechnung nach Augenschein fest. Der zunächst angenommene Richtungssinn der Lagerkraftkomponenten Fx und Fy wird bei der späteren Berechnung durch ein positives Vorzeichen bestätigt. Ein negatives Vorzeichen für Fx oder Fy zeigt den entgegengesetzten Richtungssinn an.

16

Beim einwertigen Lager wirkt in der Verschiebe­ ebene (hier vertikal) offenbar keine Kraft; wohl aber wirkt immer eine Normalkraft (hier horizontal). Das zweiwertige Lager dagegen nimmt Kräfte aus jeder beliebigen Richtung auf, so dass hier im Gegensatz zu den Regeln 1 bis 5 beim Freimachen die Wirklinie der Lagerkraft nicht eindeutig festliegt. Da aber nach dem Parallelogrammsatz jede Kraft in zwei Komponenten zerlegt werden kann, hilft man sich wie bereits in 1.1.7.7 erläutert: Man zeichnet auf zwei rechtwinklig zueinander stehenden Wirklinien die beiden Komponenten ein. Dabei wird versucht, deren Richtungssinn unter Berücksichtigung der übrigen Kräfte zu bestimmen. Darum empfiehlt es sich, das zweiwertige Lager zuletzt freizumachen.

1  Statik in der Ebene Beispiel 2: Tür mit Halslager A und Spurlager B FA

A

Schwerpunkt S

S

FBx

B

FG FBy Lageskizze der freigemachten Tür

Bewegungsprobe: Spurlager B ist zweiwertig, Halslager A ist einwertig. Den Stützhaken bei Halslager A wegnehmen: Die Tür dreht nach rechts. Folglich muss FA nach links wirken. Den Stützhaken bei Spurlager B wegnehmen: Die Tür dreht nach links. FBx wirkt also nach rechts.

Wellen sollen Drehmomente weiterleiten und die Zahnrad- oder Riemenkräfte über Wälz- oder Gleitlager auf das Gehäuse übertragen. Eines der Lager ist konstruktiv als Festlager, das andere als Loslager ausgebildet.

Beispiel 3: Getriebewelle mit Loslager A, Festlager B

Auf das Zahnrad der skizzierten Getriebewelle wirken die beiden Zahnkraftkomponenten Fx und Fy. Zahnrad und Welle sind drehfest miteinander verbunden, z. B. durch eine Passfeder. Die waagerechte Komponente Fx wird allein vom Festlager B aufgenommen (Fx = FBx), denn das Loslager A ist in waagerechter Richtung im Gehäuse verschiebbar. Es kann nur Normalkräfte aufnehmen, hier die Lagerkraft FA.

A

Die Stützkräfte FA, FBx und FBy werden später mit Hilfe der drei statischen Gleichgewichtsbedingungen ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0 (siehe 1.2.5.3) berechnet.

Fy

Zahnkraftkomponenten Fx B

Fy A

Fx

FA

B

FBx FBy

Lageskizze der freigemachten Welle

Hinweis: Außer Fx und Fy wirkt noch die Umfangskraft Fz in Normalenrichtung zur Zeichenebene. Sie bewirkt die Drehung der Getriebewelle (siehe Lehrbeispiel in 5.11.4.3).

17

1.1  Grundlagen

1.1.7.8 Dreiwertige Lager Dreiwertige Lager können eine beliebig gerichtete Kraft und ein Kraftmoment aufnehmen. Beim Freimachen ersetzt man die Lagerkraft durch zwei rechtwinklig aufeinander stehende Komponenten, das Kraftmoment durch den Momentendrehpfeil. Wirkungsanalyse: Wirklinie und Betrag der Lagerkraft unbekannt, Betrag des Kraftmoments (Einspannmoment) unbekannt (drei Unbekannte).  (Regel 7)

Beispiel: Eingespannter Freiträger Mauerwerk

F

M = Fy

Einspannmoment

Fx

A FAx = Fx FAy = Fy

Fy

F

Lageskizze des Freiträgers

Richtiges Freimachen ist die Voraussetzung für die richtige zeichnerische und rechnerische Lösung aller Statikaufgaben. Dabei hilft das systematische Vorgehen nach folgendem Arbeitsplan: Arbeitsplan zum Freimachen der Bauteile Lageskizze des freizumachenden Bauteils zeichnen.

1. Schritt

Kraftangriffspunkte (Berührungspunkte mit den Nachbarbauteilen) festlegen.

2. Schritt

Wirklinien aller Kräfte nach den Regeln 1 bis 7 für das Freimachen einzeichnen.

3. Schritt

Richtungssinn für alle Kraftpfeile nach den Regeln 1 bis 7 festlegen.

4. Schritt

18

1  Statik in der Ebene

1.1.8 Übungen zum Freimachen 1. Übung: Die skizzierte Leiter lehnt in A reibungsfrei am Mauerwerk und ist am Boden rutschfest gestützt. Beim Besteigen wird die Leiter mit der Gewichtskraft FG belastet. Die Leiter soll nach den besprochenen Regeln freigemacht werden, eine Aufgabe, die häufig Schwierigkeiten macht. Lösung:  Nach dem Arbeitsplan wird zuerst die Lageskizze der Leiter gezeichnet und die Lagerpunkte A und B markiert. Das sind die Berührungsstellen derjenigen Mauerteile, die gedanklich weggenommen sind. Außerdem wird sofort die bekannte Gewichtskraft FG eingezeichnet. Nach dem Arbeitsplan sind nun die Wirklinien der Stützkräfte FA und FB einzuzeichnen. Bei zweifach gelagerten Bauteilen muss eines der beiden Lager einwertig sein. Das andere ist dann zweiwertig.

A FG

A FG

Lageskizze der Leiter mit Lagerpunkten und gegebener Kraft

B

Hinweis: Immer zuerst die einwertige Lagerstelle suchen. Dort ist die Wirklinie der Stützkraft bekannt. Es ist eine Normalkraft.

Die Bewegungsprobe mit dem Mauerwerk um Punkt A zeigt, dass in einer Richtung keine Kräfte übertragen werden. Das ist das Kennzeichen eines einwertigen Lagers: Bei Verschiebungen parallel zur Leiter wird zwischen Mauer und Leiter keine Kraft übertragen, wenn die Reibung nicht berücksichtigt wird. Die Bewegungsprobe mit dem Mauerstück um B ergibt Lageveränderungen der Leiter in jeder Richtung. Das Lager ist zweiwertig und überträgt eine beliebig gerichtete Stützkraft mit x- und y-Komponenten. Das Ergebnis der Untersuchungen zeigt die vollständige Lageskizze der freigemachten Leiter. Die Wirklinie der Stützkraft FB an der zweiwertigen Lagerstelle ist nicht bekannt. Es können nur ihre x- und y-Komponenten eingetragen werden. Das ist für die zeichnerische oder rechnerische Lösung solcher Aufgaben ausreichend.

Aufgabenskizze

B

Bewegungsprobe: keine Lageveränderung bei Parallelverschiebung des einwertigen Lagers.

A

Lageveränderung bei beliebiger Verschiebung des zweiwertigen Lagers. B

A

FA

FG

FBx ? FB ?

B FBy

Lageskizze der freigemachten Leiter

19

1.1  Grundlagen

2. Übung:  Der skizzierte Wanddrehkran ist in dem oberen Halslager A und dem unteren Spurlager B drehbar. An seinem Lastseil trägt er ein Werkstück, das ihn auf der eingezeichneten Wirklinie mit der Gewichtskraft FG belastet. Der Schwenkarm des Krans soll nach dem Arbeitsplan in 1.1.7.8 freigemacht werden. Lösung:  Man skizziert den Schwenkarm in der vorgegebenen Lage zunächst wieder ohne Kraftangriffspunkte, Wirklinien und Kraftpfeile.

A Last FG

B

Aufgabenskizze 1. Schritt

FA A FG

In diesem Fall ist die von dem Werkstück hervorgerufene Gewichtskraft FG bereits mit Angriffspunkt, Wirklinie und Richtungssinn bekannt. Man zeichnet darum den Kraftpfeil bereits ein, bevor nach dem Arbeitsplan weitergegangen wird.

FBx

B FBy

Lageskizze des freigemachten Schwenkarms

Nachbarbauteile des Schwenkarms sind Lager A (Loslager) und Lager B (Festlager).

Die Kraftangriffspunkte A und B einzeichnen.

2. Schritt

Die Bewegungsprobe für beide Lager ergibt: Das Halslager A ist einwertig (1.1.7.6, Regel 5), denn es kann mit seiner Unterlage nach oben oder unten verschoben werden, ohne dass sich der Schwenkarm bewegt. Verschiebt man dagegen das Spurlager B, so bewegt sich der Schwenkarm bei jeder beliebigen Verschiebung mit; das Spurlager B ist zweiwertig und wird nach 1.1.7.7, Regel 6 freigemacht.

3. Schritt Die Wirklinie der Halslagerkraft FA liegt horizontal (Normalkraft), weil die Lagerfläche vertikal steht. Die Wirklinien der Komponenten der Spurlagerkraft FB werden in Richtung der Lagerachse und rechtwinklig dazu eingezeichnet.

Bei zweifach gelagerten Bauteilen bestimmt man den Richtungssinn der Lagerkräfte auf folgende Weise: Wird das obere Lager weggenommen, dreht der Schwenkarm oben nach rechts. Die Lagerkraft FA verhindert dies.

4. Schritt Auf der Wirklinie der Halslagerkraft FA einen nach links gerichteten Kraftpfeil einzeichnen, weil nur dann der Schwenkarm am Wegdrehen nach rechts gehindert werden kann.

Wird aber nur das untere Lager weggenommen, dann dreht der Schwenkarm unten nach links und fällt außerdem nach unten. Beides müssen die Lagerkraftkomponenten FBx und FBy verhindern.

Auf der horizontalen Wirklinie von FBx einen nach rechts gerichteten und auf der vertikalen Wirklinie von FBy einen nach oben gerichteten Kraftpfeil einzeichnen.

20

1  Statik in der Ebene

3. Übung: Der aufwärts fahrende Wagen eines Schrägaufzugs soll freigemacht werden.

Zugseil S

Hierbei ist zu beachten, dass der Wagen mitsamt seiner Ladung als Ganzes freizumachen ist und nicht seine Einzelteile. Sonst müsste es z. B. heißen: Der Tragrahmen des Wagens ist freizumachen. Lösung:  Man skizziert den Wagen in seiner augenblicklichen, schräg stehenden Betriebslage, und zwar zunächst wieder ohne Festlegung der Kraftangriffspunkte, Wirklinien und Kraftpfeile.

B A

Aufgabenskizze



1. Schritt F

Gewichtskraft FG

S FT Fr

Fr

Hier muss die Gewichtskraft FG berücksichtigt werden, sonst könnten zwischen dem Wagen und seinen Nachbarbauteilen keine Kräfte wirken. Im Zughaken ist das Seil eingehängt, die Räder berühren die Fahrbahn. Seil und Fahrbahn sind die Nachbarbauteile des Wagens.

FT

Lageskizze des freigemachten Wagens

 2. Schritt In der Skizze den Schwerpunkt S des Wagens, den Zughaken und die Auflagepunkte A und B der beiden Räder als Kraftangriffspunkte kennzeichnen.

Die Gewichtskraft FG wirkt immer auf der Lotrechten. Am Zughaken wird nach Regel 1 freigemacht, denn dort wurde ein Seil weggenommen. Die Räder werden nach 1.1.7.5, Regel 4 für Rollkörper freigemacht. Da der Wagen rollt, wirken an beiden Rädern Radial- und Tangentialkräfte.

 3. Schritt Durch den Schwerpunkt S die lotrechte Wirk­linie der Gewichtskraft FG zeichnen. Die Wirklinie der Seilkraft liegt in Seilrichtung. Die Wirklinien der Radialkräfte verlaufen durch die Berührungs- und Radmittelpunkte, die der Tangentialkräfte rechtwinklig dazu.

Die Gewichtskraft FG wirkt immer nach unten. Die Seilkraft F zieht am Zughaken. Die Radialkräfte Fr sind auf die Räder zu gerichtet. Die Tangentialkräfte FT versuchen den Wagen zu bremsen, weil er schneller ist als die ruhende Fahrbahn.

 4. Schritt Die Kraftpfeile einzeichnen: FG nach unten, F als Zugkraft vom Zughaken weg, Fr nach links oben und FT der Bewegung des Wagens entgegen nach links unten.

Aufgaben Nr. 9–28

21

1.2  Grundaufgaben der Statik

1.2 Grundaufgaben der Statik 1.2.1 Zentrales und allgemeines Kräftesystem Unter einem Kräftesystem versteht man beliebig viele Kräfte, die gleichzeitig an einem Bauteil wirken. Ein zentrales Kräftesystem liegt vor, wenn sich die Wirklinien aller Kräfte in einem gemeinsamen Punkt schneiden. Man nennt diesen Schnittpunkt den Zentralpunkt A des Kräftesystems. Nach dem Längsverschiebungssatz können alle Kräfte des Systems auf ihren Wirklinien in diesen Zentralpunkt verschoben werden. Ein zentrales Kräftesystem kann einen Körper nur verschieben, aber nicht drehen.

F1

F2 A

F4

F3

Ein allgemeines Kräftesystem besteht aus Kräften, deren Wirklinien mehr als einen Schnittpunkt miteinander haben.

Zentrales Kräftesystem

F1

F2

Allgemeine Kräftesysteme können genauso wie zentrale Kräftesysteme einen Körper verschieben. Sie können ihn aber außerdem drehen oder beide Bewegungen gleichzeitig hervorrufen.

A1

A2

A3

A4 A5

F3 F4

F5

Allgemeines Kräftesystem

1.2.2 Hauptaufgaben 1. Hauptaufgabe: In einem Kräftesystem sind alle Kräfte nach Betrag, Lage und Richtungssinn bekannt. Um eine Aussage über die Wirkung des Kräftesystems auf ein Bauteil machen zu können (z. B. Verschiebung), müssen die resultierende Kraft Fr und das resultierende Kraftmoment Mr ermittelt werden. 2. Hauptaufgabe: In einem Kräftesystem, das sich im Gleichgewicht befindet, ist nur ein Teil der Kräfte bekannt. Um eine Festigkeitsrechnung an einem Bauteil ausführen zu können, müssen die noch unbekannten Kräfte ermittelt werden.

F2 Fr ?

Fr ?

F3

Fr ? Fr ? F1

bekannt: F1, F2, F3 gesucht: Fr, Mr

FAx ? FAy ?

F3

F1 F2

FB ?

bekannt: F1, F2, F3 gesucht: FAx, FAy, FB

22

1  Statik in der Ebene

1.2.3 Lösungsmethoden Jede der beiden Hauptaufgaben ist auf zweierlei Weise lösbar: rechnerisch und zeichnerisch. Die rechnerische Lösung erfordert a) eine unmaßstäbliche Lageskizze, die alle Kräfte als Kraftpfeile sowie alle erforderlichen Längenmaße und Winkel – insbesondere die zwischen den Wirklinien der Kräfte und einer Bezugsachse – enthalten muss, und b) den rechnerischen Ansatz in Form einer Gleichung oder eines Gleichungssystems, das aus der Lageskizze entwickelt wird. Die zeichnerische Lösung erfordert a) einen maßstäblich aufgezeichneten Lageplan, der das Bauteil (meist in vereinfachter Darstellung) mit allen, ebenfalls maßstäblich eingezeichneten Wirklinien darstellt, und b) einen Kräfteplan, der alle Kräfte maßstabs- und richtungsgerecht enthält.

Hinweis: Bei der rechnerischen Lösung kann man „analytisch“ vorgehen (analytische Methode) oder Kraftecke „trigonometrisch“ auswerten. Zur analytischen Lösung legt man die Kraftpfeile in ein rechtwinkliges Achsenkreuz und arbeitet mit ihren Komponenten (x- und y-Komponenten). Meist wird das Gleichungssystem aus den drei Gleichgewichtsbedingungen ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0 für ebene Kräftesysteme entwickelt. Hinweis: Lageplan und Kräfteplan werden stets auf einem Blatt aufgezeichnet. Längen- und Kräftemaßstab werden so gewählt, dass die Pläne nicht zu klein werden. Der Lageplan wird zuerst gezeichnet, und daraus wird der Kräfteplan durch Parallelverschiebung der Wirklinien aus dem Lageplan in den Kräfteplan entwickelt. Es werden immer zwei getrennte Pläne gezeichnet.

1.2.4 Grundaufgaben der Statik im zentralen ebenen Kräftesystem 1.2.4.1 Rechnerische Ermittlung der Resultierenden (erste Grundaufgabe) F2 = 40 N

F1y

F1 = 15 N

a3 –x

III

F2x

A

F3y –y

F3x

+x

F1x

Richtungswinkel: a1 = 30° IV a = 135° 2 F3 = 30 N a3 = 280°

Aufgabenskizze y

FA

FAy

a

Vorüberlegungen:  Der rechnerischen Lösung dieser Aufgabe liegen folgende Gedanken zugrunde: Jede Kraft wird in die beiden rechtwinklig aufeinander stehenden Komponenten in Richtung der Achsen des rechtwinkligen Achsenkreuzes zerlegt. Als Bezugswinkel für die Wirklinie der Kräfte wird immer der Winkel α verwendet, den die Kraft mit

I F2y

a1

Zu berechnen sind der Betrag der Resultierenden Fr und ihr Richtungswinkel αr nach der analytischen Methode, d. h. durch Kräftezerlegung im rechtwinkligen Koordinatensystem mit den vier Quadranten I, II, III und IV.

+y

II

a2

Aufgabe:  Ein zentrales Kräftesystem besteht aus den Kräften F1 = 15 N, F2 = 40 N und F3 = 30 N. Die zugehörigen Richtungswinkel sind α1 = 30°, α2 = 135° und α3 = 280°.

A

FAx

x

23

1.2  Grundaufgaben der Statik

der positiven x-Achse einschließt, und zwar im positiven Linksdrehsinn von 0° bis +360° (Richtungswinkel). Man erhält dann Berechnungsgleichungen, die immer wieder in derselben Form gebraucht werden können. Den Richtungssinn der Kraftkomponenten Fx und Fy zeigt der Rechner durch das Vorzeichen im Ergebnis an. Das negative Vorzeichen für eine xKomponente zeigt den Richtungssinn „nach links“, für eine y-Komponente „nach unten“ an.

Die Gleichungen zur Berechnung der rechtwinklig aufeinander stehenden Komponenten werden in der allgemeinen Form geschrieben. Der Buchstabe n steht für den Index 1, 2, 3, … der Kräfte F und ihrer Richtungswinkel α.

Die Komponenten einer unter dem Richtungswinkel α geneigten Kraft sind: Fx = F cos α

Fy = F sin α

Beispiel: Nach der Aufgabenskizze schließt die Kraft F2 = 40 N mit der positiven x-Achse den Richtungswinkel α2 = 135° ein: F2x = F2 cos α2 = 40 N · cos 135° = −28,28 N F2y = F2 sin α2 = 40 N · sin 135° = +28,28 N Die Kraftkomponente F2x wirkt nach links, F2y wirkt nach oben.

Fnx = Fn cos αn Berechnung der x-Komponenten Fny = Fn sin αn Berechnung der y-Komponenten

Die x-Komponenten Fnx sind die Produkte aus den Kraftbeträgen Fn und dem Kosinus der Richtungswinkel αn. Bei den y-Komponenten tritt an die Stelle der Kosinusfunktion die Sinusfunktion. Die Summe der x-Komponenten der Einzelkräfte ist die x-Komponente Frx der gesuchten Resultierenden (Frx = ΣFnx). Gleiches gilt für die y-Komponente Fry der Resultierenden (Fry = ΣFny).

Frx = ΣFnx

Wird immer der Richtungswinkel eingesetzt, zum Beispiel α2 = 135°, braucht man sich nicht um den Richtungssinn der Komponenten zu kümmern. Der Rechner nimmt das jeweilige Vorzeichen bei der Addition mit.

Fry = ΣFny

Weil die beiden Komponenten Frx und Fry rechtwinklig aufeinander stehen, kann mit dem Lehrsatz des Pythagoras der Betrag Fr der Resultierenden berechnet werden, denn Fr ist die Diagonale des rechtwinkligen Kraftecks aus Frx, Fry und Fr.

Frx = F1 cos α1 + F2 cos α2 + … + Fn cos αn x-Komponente der Resultierenden Fr

Fry = F1 sin α1 + F2 sin α2 + … + Fn sin αn y-Komponente der Resultierenden Fr

Fr =

q Frx2 + Fry2

Betrag der Resultierenden Fr

24

1  Statik in der Ebene

Der Richtungswinkel αr der Resultierenden kann nicht auf direktem Weg ermittelt werden. Man braucht erst den spitzen Winkel βr, den die Wirklinie der Resultierenden Fr mit der x-Achse einschließt. Es ist gleichgültig, in welchem Quadranten die Resultierende liegt. Dieser spitze Winkel βr kann im rechtwinkligen Dreieck mit der Tangensfunktion ermittelt werden, denn die beiden Katheten Frx und Fry sind jetzt bekannt.

jF j tan ˇr = ry jFrx j

Damit sich keine negativen Winkel ergeben, darf nur mit den Beträgen gerechnet werden.

jF j βr = arctan  ry jFrx j

Je nach Lage der Resultierenden Fr im rechtwinkligen Achsenkreuz ergeben sich folgende Gleichungen zur Berechnung des Richtungswinkels αr. Fr liegt im I. Quadranten:

Frx → positives Vorzeichen (Frx ≥ 0) Fry → positives Vorzeichen (Fry ≥ 0)

Fry (+)

br

Fry –x

+x Frx (–)

y

I

Fr

0

x

αr = βr jFry j αr = arctan  jFrx j

Fr liegt im II. Quadranten:

Frx → negatives Vorzeichen (Frx  x F yn > y F

PF (Momentendrehpunkt)

an

Pn xn < x F yn < y F

xn Fn sinan Pn

Fn cosan

yF

Diese Gleichungen sollen für beliebig viele gegebene Kräfte Fn mit beliebigen Richtungswinkeln αn zwischen 0° und 360° gelten, ebenso für beliebig geformte Bauteile, d. h. für beliebige Lagen der Kraftangriffspunkte Pn.

y Fn

yn

n

xF III

Pn IV

x Fn

an xn > x F yn < y F

Dazu wird nach dem Lageschema der Festlagerpunkt PF in den Ursprung eines rechtwinkligen Achsenkreuzes mit den vier Quadranten gelegt.

Lageschema für die Kraftangriffspunkte Pn, bezogen auf den Momentendrehpunkt (Festlagerpunkt PF).

Die Untersuchung führt zu dem folgenden Gleichungssystem in Abhängigkeit von der jeweiligen Koordinatenbedingung:

Hinweis: Damit der Klammerausdruck für die Koordinatendifferenz in den folgenden Gleichungen immer einen positiven Wert hat, wird er in Betragsstriche gesetzt. Es wird also immer mit dem Absolutwert der Differenz gerechnet.

Für Kräfte Fn, deren Angriffspunkt Pn in Bezug auf den Momentendrehpunkt PF im ersten Quadranten liegt, gilt Gleichung (I):

Mxn = −Fn cos αn|(yn − yF)|  Myn = +Fn sin αn|(xn − xF)|

(I)

Gilt für xn ≥ xF und yn ≥ yF (Koordinatenbedingung)

Für Kräfte Fn, deren Angriffspunkt Pn in Bezug auf den Momentendrehpunkt PF im zweiten Quadranten liegt, gilt Gleichung (II):

Mxn = −Fn cos αn|(yn − yF)|  Myn = −Fn sin αn|(xn − xF)| Gilt für xn < xF und yn ≥ yF (Koordinatenbedingung)

(II)

62

Für Kräfte Fn, deren Angriffspunkt Pn in Bezug auf den Momentendrehpunkt PF im dritten Quadranten liegt, gilt Gleichung (III):

1  Statik in der Ebene Mxn = +Fn cos αn|(yn − yF)|  Myn = −Fn sin αn|(xn − xF)|

(III)

Gilt für xn < xF und yn < yF (Koordinatenbedingung)

Für Kräfte Fn, deren Angriffspunkt Pn in Bezug auf den Momentendrehpunkt PF im vierten Quadranten liegt, gilt Gleichung (IV):

Mxn = +Fn cos αn|(yn − yF)|  Myn = +Fn sin αn|(xn − xF)|

(IV)

Gilt für xn ≥ xF und yn < yF (Koordinatenbedingung)

Zur Lösung einer Aufgabe ist zuerst die zutreffende Koordinatenbedingung herauszusuchen. Damit kann die für diesen Fall gültige Gleichung der vier Gleichungen (I)  …  (IV) festgelegt werden. Zur Gliederung der Lösung wird dieser Schritt als Abfrage bezeichnet (siehe 1.2.6.3). Die Rechnung ergibt Mx1 = −28,19 Nm (rechtsdrehend) für das Moment der x-Komponente F1x. Die y-Komponente F1y bewirkt das linksdrehende Moment My1 = +13,68 Nm. Der Drehsinn ist richtig, wie die Lageskizze zeigt.

Nach der Lageskizze führt die Abfrage 1 zu xn = x1 > xF und yn = y1 > yF (40 mm > 0 und 30 mm > 0). Ein Vergleich der vier Koordinatenbedingungen zeigt, dass mit Gleichung (I) zu rechnen ist.

Mx1 = −1 000 N · cos 20° · |(30 − 0)| mm Mx1 = −28 190,8 Nmm = −28,19 Nm ↻ My1 = +1 000 N · sin 20° · |(40 − 0)| mm My1 = +13 680,8 Nmm = +13,68 Nm ↺

Greifen mehr als eine Belastungskraft am Körper an (F1, F2, F3 …), muss der Rechnungsgang entsprechend häufig durchlaufen werden. Für jede Kraft wird festgestellt, welche der vier Gleichungen (I) … (IV) gilt (Abfrage 1). Danach werden die Momente Mx1, My1, Mx2, My2, Mx3, My3 … berechnet.

In einer Applikation sorgt eine Programmschleife mit Abfrage für die Wiederholung des Rechengangs (siehe 1.2.6.3).

Der weitere Rechnungsgang vereinfacht sich, wenn die statischen Momente der Einzelkräfte Mxn, Myn in Bezug auf den Momentendrehpunkt PF (Festlagerpunkt) zu einem resultierenden Gesamtmoment Mg addiert werden.

Mg = ΣMxn + ΣMyn Mg = Mx1 + Mx2 + … My1 + My2 + … Hinweis: Diese Gleichung hat nur den Zweck, die Rechnung bei mehreren Kräften Fn zu vereinfachen.

63

1.2  Grundaufgaben der Statik

Neben den Belastungskräften Fn wirkt immer noch die Loslagerkraft FL drehend in Bezug auf den Festlagerpunkt PF. Deren statisches Moment ist ML = MxL + MyL. Die vier Gleichungen (I) … (IV) gelten für jede Kraft, die auf den Körper wirkt, also auch für die Loslagerkraft FL mit ihren Komponenten FLx = FL cos αL und FLy = FL sin αL. Mit der Koordinatenbedingung wird als gültige Gleichung für die Aufgabe Gleichung (I) ermittelt.

Da xL = 120 mm > xF = 0 und yL = 30 mm > yF = 0 ist, liegt der Loslagerpunkt PL im ersten Quadranten, und es gelten die Gleichungen (I):

MxL = −FL cos αL|(yL − yF)|  MyL = +FL sin αL|(xL − xF)|

(I)

Die Gleichungen werden für die weitere Entwicklung gebraucht. Da FL noch nicht bekannt ist, kann ML an dieser Stelle auch noch nicht berechnet werden.

Damit sind alle Gleichungen erfasst, die für die Momentengleichgewichtsbedingung ΣM(PF)  =  0 erforderlich sind.

ΣM(PF) = 0

Aus der Momentengleichgewichtsbedingung ΣM(PF) = 0 wird nun eine Gleichung für die Loslagerkraft FL entwickelt.

ΣM(PL) = 0 = Mg + MxL + MyL FL = ?

ΣM(PF) = Mg + MxL + MyL = 0 Mg = Mx1 + My1 + … Mxn + Myn

Je nach Lage des Loslagerpunkts PL in Bezug auf den Momentendrehpunkt PF ergeben sich vier Gleichungen: Liegt der Loslagerpunkt PL in Bezug auf den Momentendrehpunkt PF im ersten Quadranten, gilt für die Berechnung von MxL und MyL die Gleichung (I). Damit ergibt sich die Gleichung (V):

Liegt der Loslagerpunkt PL in Bezug auf den Momentendrehpunkt PF im zweiten Quadranten, gilt für die Berechnung von MxL und MyL die Gleichung (II). Damit ergibt sich die Gleichung (VI):

Mg + MxL + MyL = 0 Mg + [−FL cos αL|(yL − yF)|] + + [+FL sin αL|(xL − xF)|] = 0 −Mg sin ˛L j .xL − xF / j − cos ˛L j .yL − yF / j  (V) Gilt für xL ≥ xF und yL ≥ yF (Koordinatenbedingung)

FL =

Mg + MxL + MyL = 0 Mg + [−FL cos αL|(yL − yF)|] + + [−FL sin αL|(xL − xF)|] = 0 −Mg − sin ˛L j .xL − xF / j − cos ˛L j .yL − yF / j  (VI) Gilt für xL < xF und yL ≥ yF (Koordinatenbedingung)

FL =

64

Liegt der Loslagerpunkt PL in Bezug auf den Momentendrehpunkt PF im dritten Quadranten, gilt für die Berechnung von MxL und MyL die Gleichung (III). Damit ergibt sich die Gleichung (VII):

Liegt der Loslagerpunkt PL in Bezug auf den Momentendrehpunkt PF im vierten Quadranten, gilt für die Berechnung von MxL und MyL die Gleichung (IV). Damit ergibt sich die Gleichung (VIII):

Eine Abfrage 2 im Lösungsgang hat das Ziel, die gültige Gleichung aus (V) … (VIII) herauszufinden. Richtgrößen für die Auswahl der richtigen Gleichung sind die Koordinaten xL, yL, xF, yF (siehe Lageskizze).

1  Statik in der Ebene Mg + MxL + MyL = 0 Mg + [+FL cos αL|(yL − yF)|] + + [−FL sin αL|(xL − xF)|] = 0 −Mg − sin ˛L jxL − xF j + cos ˛L j .yL − yF / j  (VII) Gilt für xL < xF und yL < yF (Koordinatenbedingung)

FL =

Mg + MxL + MyL = 0 Mg + [+FL cos αL|(yL − yF)|] + + [+FL sin αL|(xL − xF)|] = 0 −Mg sin ˛L j.xL − xF /j + cos ˛L j .yL − yF / j  (VIII) Gilt für xL ≥ xF und yL < yF (Koordinatenbedingung)

FL =

In der Aufgabe ist xL = 120 mm > xF = 0 und yL = yF = 0 Damit gilt für die Berechnung der Loslagerkraft FL die Gleichung (V) mit xL > xF und yL = yF. Da nur eine äußere Kraft F1 am Winkelhebel angreift, ist die Momentensumme Mg = Mx1 + My1 = −28,19 Nm + (+13,68 Nm) Mg = −14,51 Nm.

Fehlerwarnung: Der ausgerechnete Betrag für die Loslagerkraft FL muss immer positiv sein. Ist der Betrag negativ, muss der Richtungswinkel αL überprüft werden. Meist wurde sein Betrag um ±180° falsch angenommen. Bis zu diesem Lösungsstand wurde nur die Momentengleichgewichtsbedingung genutzt und damit die Loslagerkraft FL berechnet. Jetzt fehlt noch die Berechnung der Festlagerkraft FF und deren Richtungswinkel αF. Dazu stehen die beiden Kräftegleichgewichtsbedingungen ΣFx = 0 und ΣFy = 0 zur Verfügung. Es werden also die gleichen Lösungsschritte wie bei der üblichen Bearbeitung dieser Aufgabenart verwendet.

FL = FL =

−Mg sin ˛L j .xL − xF / j − cos ˛L j .yL − yF / j −.−14;51 Nm/ sin 140ı  j.0;12 − 0/ mj − cos 140ı  j.0 − 0/ mj

FL = 188,1 N

Bisher verwendet: Momentengleichgewichtsbedingung III. ΣM(PF) = 0

ΣMxn + ΣMyn + MxL + MyL = 0

Noch verwendbar: Kräftegleichgewichtsbedingung: I. ΣFx = 0 ΣFn cos αn + FL cos αL + FF cos αF = 0 II. ΣFy = 0 ΣFn sin αn + FL sin αL + FF sin αF = 0

65

1.2  Grundaufgaben der Statik

Greifen mehrere Belastungskräfte Fn am Körper an, werden die Summenausdrücke in Gleichung (IX) gesondert berechnet. Man erhält damit die Resultierenden der x-Komponenten Frx und der yKomponenten Fry. In einer Applikation wird eine solche Summierung mit einer von F1 bis Fn laufenden Schleife durchgeführt. In der Aufgabe greift nur die Kraft F1 = 1 000 N als Belastungskraft an.

ΣFn cos αn = F1 cos α1 + F2 cos α2 + … = Frx ΣFn sin αn = F1 sin α1 + F2 sin α2 + … = Fry 

(IX)

Eingesetzt in die Kräftegleichgewichts­ bedingungen: I. Frx + FL cos αL + FF cos αF = 0 II. Fry + FL sin αL + FF sin αF = 0 Frx = F1 cos α1 Frx = 1 000 N · cos 20° = 939,7 N Fry = F1 sin α1 Fry = 1 000 N · sin 20° = 342 N

Die Ausdrücke für FF cos αF und FF sin αF aus den Gleichungen I. und II. (oben rechts) sind die beiden rechtwinklig aufeinander stehenden Komponenten der Festlagerkraft FF in x- und y-Richtung. Der Betrag der Festlagerkraft FF kann daher mit dem Satz des Pythagoras berechnet werden.

I. FF cos αF = FFx = −(Frx + FL cos αL) II. FF sin αF = FFy = −(Fry + FL sin αL) FFx = −(Frx + FL cos αL)  FFy = −(Fry + FL sin αL) FF =

FF =

q 2 2 + FFy FFx



q   2 Œ− .Frx + FL cos ˛L /2 + − Fry + FL sin ˛L 

(X) (XIa)

(XIb)

Für die Aufgabe mit dem Winkelhebel wird Frx = 939,7 N

Fry = 342 N

FL cos αL = 188,1 N · cos 140° = −144,1 N FL sin αL = 188,1 N · sin 140° = +120,9 N q FF = Œ− .939;7 N + .−144;1 N//2 + Œ− .342 N + 120;9 N/2 FF = 920,5 N

66

1  Statik in der Ebene

Den Abschluss dieses allgemein gültigen Lösungsverfahrens bilden die Gleichungen, mit denen der Richtungswinkel αF der Festlagerkraft FF berechnet werden kann. Hierzu gelten die Überlegungen aus 1.2.4.1 und die dort hergeleiteten Beziehungen.

Je nach Lage der Festlagerkraft FF im Achsenkreuz gelten dann die in 1.2.4.1 hergeleiteten Beziehungen zur Berechnung des Richtungswinkels αF der Festlagerkraft. Die richtige Auswahl aus den vier Gleichungen erfordert also noch eine Abfrage 3. Richtgrößen sind hier die Beträge der Festlagerkomponenten FFx und FFy. Für die Aufgabe wird nach Gleichung (X): FFx = −(939,7 N + 188,1 N · cos 140°) = −795,6 N FFy = −(342 N + 188,1 N · sin 140°) = −462,9 N ˇF = arctan

jFFy j 462;9 N = arctan = 30;19ı jFFx j 795;6 N

Gilt für die Komponenten der Festlagerkraft FFx  ;

Federrate Streckgrenze

N mm2

Zugfestigkeit 0,2-Dehngrenze

mm

Radius

s

mm

Stabdicke, Blechdicke

∆T

K, °C

Temperaturdifferenz

V

mm3, m3

Volumen

W

Nm, J, Ws

Arbeit, Formänderungsarbeit

W

mm3

axiales Widerstandsmoment

Wp

mm3

polares Widerstandsmoment für Kreis- und Kreisringquerschnitt

Wt

3

mm

Widerstandsmoment bei Torsion nicht kreisförmiger Querschnitte

Wx, Wy

auf die x- oder y-Achse bezogenes Widerstandsmoment

α0

mm3 1 1 = ı K C 1

Anstrengungsverhältnis

βk

1

Kerbwirkungszahl

r

αl

Längenausdehnungskoeffizient

δ

%

Bruchdehnung, Bruchstauchung

ε

1

Dehnung, Stauchung

εq

1

Querdehnung

ϑ

°C

Temperatur

λ

1

Schlankheitsgrad

λ0

1

Grenzschlankheitsgrad (untere Grenze)

μ

1

Querkontraktionszahl, Querzahl

v

1

Sicherheit gegen Knicken

v

1

Sicherheit, allgemein bei Festigkeitsuntersuchungen

ϱ

mm

Biegeradius, Krümmungsradius der elastischen Linie

φ

rad

Biege- oder Verdrehwinkel

9  > > > > > > > > b > > > > > d > > > = N E > mm2 > K > > > > > l > > > > > > P > > > ; z

Normalspannung allgemein (Druck, Zug, Biegung, Knickung) Biegespannung Druckspannung

zul Entwurf 

Spannung an der Elastizitätsgrenze Knickspannung Lochleibungsdruck

a

Spannung an der Proportionalitätsgrenze Zugspannung

 t

9 > > > > > > > > > > > > > > = N > mm2 > > > > > > > > > > > > > ;

zulässige Normalspannung (σb zul, σd zul, σK zul, σz zul) Entwurfsspannung Schubspannung allgemein, Tangentialspannung (Schub, Abscheren, Torsion) Abscherspannung Schubspannung Torsionsspannung

283

5.1  Grundbegriffe

5.1 Grundbegriffe 5.1.1 Aufgaben der Festigkeitslehre Die technische Zeichnung einer Getriebewelle enthält alle zu ihrer Herstellung erforderlichen Maße. Beispielsweise haben der linke und rechte Lagerzapfen 30 mm Durchmesser und 16 mm Länge. Wie ist man gerade auf diese Maße gekommen? Technische Zeichnung einer Getriebewelle

Die Überlegungen zur Gestaltung der Getriebewelle beginnen mit der Ermittlung aller an der Welle angreifenden Kräfte und Momente: Das von der Getriebewelle zu übertragende Drehmoment M ist bekannt. Mit Hilfe der statischen Gleichgewichtsbedingungen werden die an den Zahnrädern angreifenden Umfangskräfte Fu und Radialkräfte Fr, sowie die an den Lagerzapfen angreifenden Stützkräfte FA und FB mit den Komponenten FAy, FAz und FBy, FBz ermittelt. Damit ist die Belastung der Getriebewelle bekannt. Nun werden die Abstände l, l1, l2 nach gegebenen Bedingungen wie zum Beispiel Getriebeabmessungen, Breiten der Zahnräder und Lager, festgelegt.

Belastungsskizze einer Getriebewelle Fu1, Fu2 Umfangskräfte, Fr1, Fr2 Radialkräfte, FAy, FAz, FBy, FBz Komponenten der Stützkräfte FA, FB, M Drehmoment

Es folgt die Auswahl des Werkstoffs der Getriebewelle. Damit sind wichtige Festigkeitswerte aus Diagrammen und Tabellen bekannt. Nun beginnen die Überlegungen der Festigkeitslehre. Die Getriebewelle darf sich nicht stark verformen (durchbiegen, verdrehen), weil das Getriebe sonst durch starken Verschleiß, zum Beispiel durch eine unzulässig hohe Kantenpressung in den Lagern, vorzeitig unbrauchbar wird.

Kantenpressung im Lager infolge der Durchbiegung

284

Die „von außen“ auf ein Bauteil einwirkenden Kräfte wie beispielsweise die Umfangskräfte am Zahnrad, die Stützkräfte in den Lagern und die Gewichtskräfte nennt man äußere Kräfte. Sie rufen im Werkstoffgefüge die inneren Kräfte hervor, die dem Bruch und der Verformung des Bauteils entgegenwirken. Bevor die Maße für ein Bauteil festgelegt werden können, müssen Betrag, Richtung und Richtungssinn der inneren Kräfte bekannt sein, z. B. die inneren Kräfte im Querschnitt x–x eines Zahnrades oder eines Hebezeugträgers.

5  Festigkeitslehre

Äußere Kräfte rufen innere Kräfte hervor

5.1.2 Schnittverfahren Die erste und wichtigste Arbeit beim Lösen einer Aufgabe aus dem Bereich der Festigkeitslehre ist die Beantwortung der Frage, welche inneren Kräfte die Bauteile zu übertragen haben. Denn von der Art des „inneren Kräftesystems“ hängt es ab, mit welchen Festigkeitsgleichungen gearbeitet werden muss. Aus der Statik ist bekannt, dass eine Kraft nur dann eindeutig bestimmt ist, wenn ihr Betrag (z. B. 150 N), ihre Richtung (z. B. waagerecht, senkrecht, in Richtung der x-Achse) und ihr Richtungssinn (z. B. Druckkraft, Zugkraft) festgelegt worden ist. Das gilt auch für innere Kräfte. Das Verfahren, mit dem die drei Bestimmungsstücke für jede innere Kraft ermittelt werden, heißt Schnittverfahren. Es wird an einem einfachen Beispiel Schritt für Schritt vorgeführt. Das stabförmige Bauteil mit der Querschnittsfläche A wird durch die Federkräfte F = 50 N belastet (äußere Kräfte). Der Stab befindet sich im Gleichgewicht, das heißt, die beiden Zugkräfte sind gleich groß (von gleichem Betrag). Sie wirken auf einer gemeinsamen Wirklinie und sind entgegengesetzt gerichtet. Man denkt sich den Stab an der (beliebigen) Stelle x–x rechtwinklig zur Stabachse durchgeschnitten. So entstehen die beiden Teilstücke I und II. Der Werkstoffzusammenhang ist damit aufgehoben und eine Kraftübertragung vom Schnittufer I zum Schnittufer II nicht mehr möglich: Die beiden Teilstücke werden durch die äußeren Kräfte nach links bzw. rechts gezogen.

A a x F = 50 N b

I

II x

Zugfederbelasteter Rundstab (a), freigemacht (b)

F = 50 N

285

5.1  Grundbegriffe

In den Schnittflächenschwerpunkten SP wird nun jeweils eine Normalkraft FN angebracht, die die Restkörper wieder ins Gleichgewicht zurückversetzen. Damit ist diejenige innere Kraft gefunden, die von der Querschnittsfläche (kurz: Schnittfläche) im unbeschädigten Zustand übertragen wurde.

Zugfederbelasteter Rundstab getrennt in Teilstücke I und II und mit inneren Kräften versehen.

Den Betrag der von einem Schnittufer zu übertragenden inneren Kraft liefern die rechnerischen Gleichgewichtsbedingungen aus der Statik: Für jedes Stabteil muss die Summe aller Kräfte gleich null sein (Kraftmomente wirken hier nicht).

Ergebnis des Schnittverfahrens im Beispiel: Die untersuchte Querschnittsfläche hat eine in Normalenrichtung auf die Schnittfläche wirkende innere Kraft FN = 50 N zu übertragen.

Schnittverfahren: Im Schnittflächenschwerpunkt SP werden diejenigen Kräfte und Kraftmomente angebracht, die den „abgeschnittenen“ Teilkörper in das Gleichgewicht zurückversetzen. Diese inneren Kräfte und Kraftmomente muss der Querschnitt übertragen.

für Teilstück I: −F + FN = 0 FN = F = 50 N

für Teilstück II: −FN + F = 0 FN = F = 50 N

Hinweis: Normalkräfte FN stehen rechtwinklig auf der Schnittfläche, Querkräfte Fq dagegen liegen in der Schnittfläche. Nach dem Wechselwirkungsgesetz (Aktion = Reaktion) von Newton müssen die inneren Kräfte und Kraftmomente beider Schnittufer gleich groß sein (von gleichem Betrag), jedoch entgegengesetzten Richtungssinn haben.

5.1.3 Spannung und Beanspruchung Es wird angenommen, dass mit dem Schnittverfahren die innere Kraft, die ein Zugstab aufzunehmen hat, mit FN  = 300 N gefunden wurde. Damit ist noch unklar, ob diese innere Kraft den Werkstoff stark oder weniger stark „beansprucht“. Das hängt offenbar davon ab, wie viele Flächenteilchen an der Kraftübertragung beteiligt sind, z. B. 60 mm2 oder nur 6 mm2. Als Maß für die Höhe der Beanspru­ chung des Werkstoffs bietet sich diejenige innere Kraft an, die von der Flächeneinheit übertragen werden muss, z. B. von 1 mm2 oder von 1 cm2. Wird vorausgesetzt, dass jedes Flächenteilchen eines Querschnitts gleichmäßig an der Kraftübertragung beteiligt ist, dann ist der Quotient aus der inneren Kraft (z. B. FN  = 300 N) und der Querschnittsfläche (z. B. A = 6 mm2) ein Maß für die Beanspruchung des Werkstoffs.

Spannung als innere Kraft je Flächeneinheit; wegen der einfacheren Rechnung wurde ein Rechteckquerschnitt gewählt. Hinweis: Der Werkstoff wird durch innere Kräfte beansprucht, der Körper wird durch äußere Kräfte belastet. Beispiel: Mit FN = 300 N und A = 6 mm2 beträgt das Maß für die Beanspruchung des Werkstoffs 50 N/mm2. Mit anderen Worten: Jeder Quadratmillimeter des Querschnitts überträgt eine Kraft von 50 N.

286

Der Quotient aus innerer Kraft und der an der Kraftübertragung beteiligten Fläche heißt Spannung. Die Einheit der Spannung muss ebenfalls der Quotient aus einer Krafteinheit (z. B. Newton) und einer Flächeneinheit (z. B. mm2) sein:

5  Festigkeitslehre Man sagt: „Die Spannung beträgt 50 Newton pro Quadratmillimeter“.

innere Kraft Querschnittsfläche N Einheit der Spannung: mm2 Hinweis: In der Festigkeitslehre wird als Einheit der mechanischen Spannung das „Newton pro Quadratmillimeter“ verwendet.

Spannung =

Die Spannung ist vorstellbar als die pro Flächeneinheit vom Werkstoff aufzunehmende Kraft. Einheit der Spannung ist der Quotient aus einer gesetzlichen Krafteinheit und einer gesetzlichen Flächeneinheit. Statt Spannung sagt man auch „mechanische“ Spannung. Übung:  Der Kreisquerschnitt eines Stahlstabs mit d = 3 mm Durchmesser hat eine innere Kraft FN = 50 N zu übertragen. Es soll die Beanspruchung des Werkstoffs bestimmt werden. Die Rechnung zeigt, dass jeder Quadratmillimeter eine innere Kraft von 7,07 N zu übertragen hat.

Lösung: Bei d = 3 mm Durchmesser beträgt die Querschnittsfläche  d 2   .3 mm/2 A = = = 7;069 mm2 4 4 Damit ergibt sich die zu übertragende FN 50 N N Spannung = = = 7;07 A 7;069 mm2 mm2

5.1.4 Normalspannung und Schubspannung Nicht immer liegt die Wirklinie der äußeren Kraft in der Stabachse, sie kann auch rechtwinklig (quer) zur Stabachse liegen. Die entsprechenden inneren Kräfte erhalten daher unterschiedliche Bezeichnungen: Steht eine innere Kraft in Normalrichtung auf dem Querschnitt A, dann heißt sie Normalkraft FN, liegt die innere Kraft dagegen im Querschnitt A, dann nennt man sie Querkraft Fq. Die beiden inneren Kräfte, die Normalkraft FN und die Querkraft Fq, stehen rechtwinklig aufeinander, also auch die aus ihnen zu berechnenden Spannungen. Es sind daher zwei Spannungsarten zu unterscheiden.

A

A

FN FN

Fq Fq

Normalkraft FN Querkraft Fq

287

5.1  Grundbegriffe

Wird die Spannung aus einer inneren Normalkraft FN berechnet, dann heißt sie Normalspannung und wird mit dem griechischen Buchstaben σ (Sigma) bezeichnet. Wie die Normalkraft FN muss auch die von ihr herrührende Normalspannung rechtwinklig auf dem Querschnitt stehen. Spannungen dieser Art treten als Zugspannung z. B. in Kettengliedern, als Druckspannung z. B. in Pleuelstangen auf.

Normalspannung s =

FN N in A mm2

A Querschnittsfläche in mm 2 FN Normalkraft in N ( zum Schnitt)

1 mm 2

Die Normalspannung σ, hervorgerufen durch die Normalkraft FN, steht rechtwinklig auf der Querschnittsfläche. Wird die Spannung aus einer inneren Querkraft Fq berechnet, dann heißt sie Schubspannung und wird mit dem griechischen Buchstaben τ (tau) bezeichnet. Wie die Querkraft Fq muss auch die von ihr herrührende Schubspannung in der Querschnittsfläche liegen. Spannungen dieser Art treten als Abscherspannung z. B. in Scherstiften auf. Die Schubspannung τ, hervorgerufen durch die Querkraft Fq, liegt in der Querschittsfläche.

Schubspannung t =

Fq N in A mm2

A Querschnittsfläche in mm2

Fq Querkraft in N ( zum Schnitt)

1 mm 2

Hinweis: Die im Bild dargestellte gleichmäßig über die Querschnittsfläche verteilte Schubspannung tritt in der Praxis kaum auf. Es handelt sich hier um einen Mittelwert der Schubspannung τmittel: Fq  = mittel = A

5.1.5 Grundbeanspruchungsarten Am stabförmigen Bauteil lassen sich die Beanspruchungsarten am einfachsten erkennen. Dazu wird das Schnittverfahren (siehe 5.1.2) eingesetzt. Die Berechnungsgleichungen in den gerasterten Rechtecken werden später hergeleitet.

5.1.5.1 Zugbeanspruchung (Zug) Die äußeren Kräfte ziehen in Richtung der Stab­ achse. Sie versuchen, die beiden Schnittufer I und II voneinander zu entfernen: Der Stab wird verlängert (gedehnt). Die innere Kraft FN steht rechtwinklig auf der Schnittfläche, es entsteht die Normalspannung σz (Zugspannung).

A

F

I Stabachse

σz = II

FN N in A mm2 F

Beispiele für Zugbeanspruchung: Seile, Ketten, Zuganker, Turbinenschaufeln und Luftschrauben (Propeller) infolge der Fliehkräfte, Zugstäbe in Fachwerkträgern.

288

5  Festigkeitslehre

5.1.5.2 Druckbeanspruchung (Druck) Die äußeren Kräfte drücken in Richtung der Stab­ achse. Sie versuchen, die beiden Schnittufer einander näher zu bringen: Der Stab wird verkürzt. Die innere Kraft FN steht normal (rechtwinklig) zur Schnittfläche, es entsteht wieder eine Normalspannung σd (Druckspannung). Bei schlanken Stäben besteht die Gefahr des „Ausknickens“. Diese Beanspruchungsart ist ein Sonderfall der Druckbeanspruchung und wird als Knickung behandelt (siehe 5.10). Die Beanspruchung der Berührungsflächen von zwei aufeinander gepressten Bauteilen heißt Flächenpres­ sung (siehe 5.5).

σd =

A I

F

FN N in A mm2

II

F

Stabachse σK =

E 2 λ2 F

F Stabachse ausgeknickt

Beispiele für Druckbeanspruchung: Kolbenstangen, Druckspindeln, Säulen, Lochstempel, Nähmaschinennadeln, Knickstäbe im Stahlhochbau und Kranbau.

5.1.5.3 Abscherbeanspruchung (Abscheren) Beim Scherschneiden wirken zwei gleich große gegensinnige Kräfte F auf leicht versetzten parallelen Wirklinien quer zur Stabachse. Sie versuchen, die beiden Schnittufer parallel zueinander zu verschieben. Das entstehende Kräftepaar wird erst in 5.6.1 in die Untersuchung einbezogen. Im Schnittufer bewirkt die innere Querkraft Fq = F die Schubspannung τ. Zur Kennzeichnung der Beanspruchungsart heißt sie Abscherspannung τa.

Schneidspalt u beim Scherschneiden τa =

F I

II F

Stabachse

A

Beispiel für Abscherbeanspruchung: In gescherten (Scherschneiden) und gestanzten Werkstücken, in Nieten, Schrauben, Bolzen, Schweißnähten.

5.1.5.4 Biegebeanspruchung (Biegung) Die äußeren Kräfte ergeben zwei Kräftepaare, die im Gleichgewicht stehen. Die beiden Kräftepaare wirken in einer durch die Stabachse verlaufenden Ebene und versuchen die Schnittufer gegeneinander schräg zu stellen: Der Stab wird gebogen. Da das innere Kraftmoment, das Biegemoment Mb, in einer Ebene rechtwinklig zur Schnittfläche wirkt, entsteht die Normalspannung σ (Biegespannung σb = Zug- und Druckspannung). In den Gleichungen σb = Mb/W und τt = MT/Wp erscheinen die Größen W und Wp. Sie heißen Widerstandsmomente und werden in 5.7 behandelt.

Fq N in A mm2

σb = Mb

F

F

Mb

F

Stabachse

Mb N in W mm2

F

Beispiele für Biegebeanspruchung: Biegeträger im Stahlhochbau und Kranbau, Wellen, Achsen, Drehmaschinenbetten, Spindeln in Arbeitsmaschinen, Kranhaken.

289

5.1  Grundbegriffe

5.1.5.5 Torsionsbeanspruchung (Torsion, Verdrehung) Die äußeren Kräfte ergeben zwei Kräftepaare, die im Gleichgewicht stehen. Die beiden Kräftepaare wirken in zwei rechtwinklig (quer) zur Stabachse stehenden Ebenen und versuchen, die Schnittufer gegeneinander zu verdrehen: Der Stab wird verdreht (tordiert). Da das innere Kraftmoment, das Torsionsmoment MT, in der Schnittfläche wirkt, entsteht die Schubspannung τ (Torsionsspannung τt).

F

F

τt =

MT N in Wp mm2

F MT

MT Stabachse F

Beispiele für Torsionsbeanspruchung: Getriebewellen, Torsionsstabfedern, Schraubenfedern, Schrauben, Kurbelwellen

5.1.5.6 Kurzzeichen für Spannung und Beanspruchung Aus dem Kurzzeichen für die Spannung (σ oder τ) erkennt man, ob es sich um eine rechtwinklig (in Normalenrichtung) auf dem Querschnitt stehende Normalspannung (Kurzzeichen σ) oder um eine im Querschnitt liegende Schubspannung (Kurz­ zeichen τ) handelt. Die Beanspruchungsart, also Zugbeanspruchung, Druckbeanspruchung, Abscherbeanspruchung, Biegebeanspruchung und Torsionsbeanspruchung wird mit einem Index gekennzeichnet. Eine Einführung in den Begriff der zulässigen Spannung steht in 5.12. Vorläufig wird die zulässige Spannung für alle Festigkeitsaufgaben gegeben (siehe Aufgabensammlung Technische Mechanik).

σz Zugspannung σz zul zulässige Zugspannung σd Druckspannung σd zul zulässige Druckspannung σb Biegespannung σb zul zulässige Biegespannung τa

Abscherspannung

τa zul zulässige Abscherspannung τt

Torsionsspannung

τt zul zulässige Torsionsspannung

5.1.6 Zusammengesetzte Beanspruchung Die meisten Bauteile werden durch die äußeren Kräfte so beansprucht, dass mehrere der vorstehenden Grundbeanspruchungsarten gleichzeitig auftreten. Kraftrichtungen mit beliebigem Winkel zur Stabachse ergeben immer eine zusammengesetzte Beanspruchung. Auch hierbei gibt das Schnittverfahren Aufschluss. Im beliebigen Schnitt x–x müssen zur Herstellung des Gleichgewichts am abgetrennten Stabteil die inneren Kräfte FN und Fq sowie das Biegemoment Mb angebracht werden. Der Vergleich mit den fünf Grundbeanspruchungsarten ergibt Zug‑, Abscherund Biegebeanspruchung.

Zusammengesetzte Beanspruchung durch eine schräg zur Stabachse wirkende Einzelkraft F

290

5  Festigkeitslehre

5.1.7 Bestimmung des inneren ebenen Kräftesystems und der Beanspruchungsarten Für die fünf Grundbeanspruchungsarten Zug, Druck, Abscheren, Biegung und Torsion gelten einfache Gleichungen, die später gründlich entwickelt werden. Jetzt geht es darum, Sicherheit im Erkennen der Beanspruchungsarten zu gewinnen, die bei den verschiedenartigen Belastungen in den Bauteilen entstehen. Den Schlüssel zum Verständnis liefert immer das Schnittverfahren. Dazu ist es erforderlich, die folgenden Übungen durchzuarbeiten. Zur Einführung in das Schnittverfahren wird das allgemeine innere Kräftesystem untersucht.

Zugbeanspruchung: FN Normalkraft z = = A Querschnittsfläche Druckbeanspruchung: FN Normalkraft d = = A Querschnittsfläche Biegebeanspruchung: Mb Biegemoment b = = W axiales Widerstandsmoment Abscherbeanspruchung: Fq Querkraft a = = A Querschnittsfläche Torsionsbeanspruchung: MT Torsionsmoment t = = Wp polares Widerstandsmoment

5.1.7.1 Allgemeines inneres Kräftesystem Im allgemeinen Fall kann der Querschnitt eines Bauteils das folgende innere Kräftesystem zu übertragen haben: eine normal auf der Schnittfläche stehende innere Kraft FN, sie erzeugt die Normalspannung σ (Zugoder Druckspannung σz, σd);

y F M z

eine in der Schnittfläche liegende innere Kraft Fq (Komponenten Fqx, Fqy), sie erzeugt die Schubspannung τ; ein normal auf der Schnittfläche wirkendes Biege­ moment Mb (Komponenten Mbx, Mby), es erzeugt die Normalspannung σ (Biegespannung σb); ein in der Schnittfläche liegendes Torsionsmoment MT, es erzeugt die Schubspannung τ (Torsionsspannung τt).

My = Mby

x Mx = Mbx Mz = MT Fqx FN

x

Fqy

z

y

Das allgemeine innere Kräftesystem

In nicht leicht zu analysierenden Fällen (z. B. Kurbelwelle) ist es zweckmäßig, diese vier statischen Größen in der Schnittfläche anzubringen und mit den Gleichgewichtsbedingungen am „abgeschnittenen“ Bauteil die inneren Kräfte und Momente zu bestimmen. Meist wird es genügen, wenn durch Hinzufügen von inneren Kräften und Kraftmomenten das abgeschnittene Bauteil Schritt für Schritt ins Gleichgewicht gesetzt wird. Dafür stehen die folgenden Übungen.

291

5.1  Grundbegriffe

Da diese Übungen eine der wichtigsten Grundaufgaben der Festigkeitslehre erfassen, geht man nach einem Arbeitsplan vor. In jedem Fall müssen zuerst die äußeren Kräfte und Kraftmomente mit den Gesetzen der Statik bestimmt werden.

5.1.7.2 Arbeitsplan zur Bestimmung des inneren Kräftesystems und der Beanspruchungsarten Äußere Kräfte und Kraftmomente mit Hilfe der statischen Gleichgewichtsbedingungen bestimmen (zeichnerisch oder rechnerisch).

1. Schritt

Bauteil durch einen Schnitt quer zur Stabachse an der Stelle schneiden, deren Beanspruchung untersucht werden soll.

2. Schritt

In den Schnitt Normalkraft FN, Querkraft Fq und Kraftmomente Mb und MT so einzeichnen, dass der Restkörper wieder im Gleichgewicht steht.

3. Schritt

Beträge der inneren Kräfte und Kraftmomente mit Hilfe der rechnerischen Gleichgewichtsbedingungen bestimmen.

4. Schritt

Beanspruchungsarten durch Vergleich des inneren Kräftesystems mit den Angaben in 5.1.5 festlegen.

5. Schritt

Spannungen nach 5.1.7 berechnen.

6. Schritt

Aufgaben Nr. 651–656

5.1.7.3 Übungen zum Schnittverfahren 1. Übung:  Durch die Last F wird ein Seil (Kette, Draht) belastet. Man macht das Seil frei und zerlegt es durch den Schnitt x–x in die Teile I und II. Der betrachtete Restkörper ist wieder im Gleichgewicht, wenn man im Schnitt die normal (rechtwinklig) zur Schnittfläche wirkende innere Kraft FN = F = 4000 N anbringt (ΣFy = 0). Der Vergleich mit den Angaben in 5.1.5 ergibt, dass Zugbeanspruchung vorliegt. Es tritt die Normalspannung σz (Zugspannung) auf. Ihr Betrag wird bestimmt durch die Zug-Hauptgleichung σz = FN/A.

II

I I

Inneres Kräftesystem beim Seil

292

2. Übung:  Das innere Kräftesystem im Querschnitt x–x eines Stützträgers soll bestimmt werden. Zunächst müssen mit Hilfe der Gleichgewichtsbedingungen am Gesamtkörper die Stützkräfte FA und FB berechnet werden. Die Rechnung ergibt für die Stützkraft FA = 20 kN = 20 000 N für die Stützkraft FB = 40 kN = 40 000 N Man sieht sich die Teilstücke an, und wählt zunächst Teil I. Soll sich der Restkörper I durch die Wirkung der Stützkraft FA nicht mehr verschieben, muss im Schnitt eine nach unten wirkende innere Kraft Fq  =  FA  = 20 000 N angebracht werden (ΣFy = 0). Nun bilden Fq und FA jedoch ein Kräftepaar, das den Restkörper rechtsdrehend belastet. Folglich bringt man im Schnitt ein linksdrehendes, normal zur Fläche wirkendes Biegemoment Mb = FAl1 = 60 000 Nm an, das die Drehung verhindert (ΣM(SP) = 0). Auf diese Weise kann auch der Restkörper II untersucht werden.

5  Festigkeitslehre

I

II

Stützträger, freigemacht ΣM(A) = 0 = FBl − F l2 l2 4m FB = F = 60 kN = 40 kN l ΣF  = 0 = F  − F + F 6 m y

A

B

FA = F − FB = 20 kN

I

II

Stützbalken geschnitten und mit innerem Kräftesystem versehen. Die inneren Kräftesysteme in I und II sind gleich groß und entgegengesetzt gerichtet.

Erkenntnis: Waagerecht wirkende Kräfte sind nicht vorhanden. Die im Schnitt wirkende innere Kraft Fq = 20 000 N ergibt nach 5.1.5 eine Abscherbeanspruchung mit der Schubspannung τa (Abscherspannung). Ihr Betrag wird bestimmt durch die Abscher-Hauptgleichung τa = Fq/A. Außer der inneren Querkraft Fq hat der Querschnitt noch ein Biegemoment Mb zu übertragen. Wie jedes Kraftmoment wird auch das Biegemoment Mb durch ein Kräftepaar erzeugt. Die Teilkräfte dieses Kräftepaares stehen hier normal zur Fläche und ergeben nach 5.1.5 Biegebeanspruchung mit der Normalspannung σb. Ihr Betrag wird bestimmt durch die Biege-Hauptgleichung σb = Mb/W.

Biegemoment und Kräftepaar

293

5.1  Grundbegriffe

3. Übung:  Durch das Anziehen soll in der Schraubenspindel der skizzierten Schraubzwinge eine Längskraft F = 3000 N entstehen. Diese Kraft wird die Schraubzwinge etwas aufweiten. Es soll für die willkürlich gelegten Schnitte x–x und y–y das innere Kräftesystem und die dort vorhandenen Beanspruchungsarten festgelegt werden. Schraubzwinge mit äußerer Belastung F

a) Schnitt x–x Die Kraft F würde das Schnittteil I nach rechts verschieben. Daher muss man im Schnitt die innere Kraft Fq = F = 3000 N anbringen (ΣFx = 0). Äußere Kraft F und innere Kraft Fq ergeben nun aber ein Kräftepaar, das den Körper mit dem rechtsdrehenden Kraftmoment

ΣFx = 0 = F − Fq Fq = F = 3000 N ΣM(SP) = 0 = −Fl1 + Mb Mb = Fl1 = 600 Nm Inneres Kräftesystem am Teilstück I

M = −F l1 = −3000 N · 0,2 m = −600 Nm

Beanspruchungsarten im Schnitt x–x:

rechtsherum drehen würde. Gleichgewicht bringt erst das eingezeichnete linksdrehende Biegemoment Mb = F l1 = 600 Nm (ΣM(SP) = 0). Damit liegen auch die Beanspruchungsarten fest.

Abscherbeanspruchung durch die Querkraft Fq = F = 3000 N mit der Abscherspannung τa = Fq/A und Biegebeanspruchung durch das Biegemoment Mb = F l1 = 600 Nm mit der Biegespannung σb = Mb/W.

b) Schnitt y–y Zur Herstellung des Gleichgewichts am abgeschnittenen Bauteil II muss man im Schnitt die innere Normalkraft FN = F = 3000 N anbringen (ΣFx = 0). Auch hier wirkt ein Kräftepaar mit dem Kraftmoment F l2, dem man mit dem eingezeichneten Biegemoment Mb = −F l2 rechtsdrehend entgegenwirken muss (ΣM(SP) = 0). Damit liegen auch für diesen Schnitt die Beanspruchungsarten fest.

ΣFx = 0 = −F + FN FN = F = 3000 N ΣM(SP) = 0 = F l2 − Mb Mb = F l2 = 900 Nm

Inneres Kräftesystem am Teilstück II Beanspruchungsarten im Schnitt y–y: Zugbeanspruchung durch die Normalkraft FN = F = 3000 N mit der Zugspannung σz = FN/A und Biegebeanspruchung durch das Biegemoment Mb = F l2 = 900 Nm mit der Biegespannung σb = Mb/W.

294

5  Festigkeitslehre

4. Übung:  Für die drei eingezeichneten Schnittstellen I, II, III einer Handkurbel sollen das innere Kräftesystem und die Beanspruchungsarten bestimmt werden. Gleiche oder ähnliche Probleme sind in der Praxis häufig, z. B. bei Kurbelwellen, bei Getriebewellen – überall dort, wo eine äußere Kraft drehend auf einen Körper wirkt. Handkurbel

a) Schnittstelle I (Bolzen) Um das Gleichgewicht am abgeschnittenen Bolzen wieder herzustellen, muss man zunächst die innere Querkraft Fq = F = 200 N anbringen (ΣFy = 0). Dadurch entsteht das aus Fq und F bestehende (rechtsdrehende) Kräftepaar. In der gleichen Ebene wirkt das linksdrehende Biegemoment Mb  =  200  N  ·  0,120  m  = 24 Nm. Es ergibt sich aus der Momentengleichgewichtsbedingung um den Schnittflächenschwerpunkt SP (ΣM(SP) = 0).

Die Beanspruchungsarten mit der jeweiligen Spannung, hier Abscherspannung τa und Biegespannung σb, erhält man durch den Vergleich mit den Angaben in 5.1.5.

Inneres Kräftesystem in der Schnittstelle I

ΣFy = 0 = −F + Fq Fq = F = 200 N ΣM(SP) = 0 = −F l1 + Mb Mb = F l1 = 200 N · 0,12 m = 24 Nm

Beanspruchungsarten im Schnitt I: Abscherbeanspruchung durch die Querkraft Fq = F = 200 N mit der Abscherspannung τa = Fq/A und Biegebeanspruchung durch das Biegemoment Mb = F l1 = 24 Nm mit der Biegespannung σb = Mb/W.

295

5.1  Grundbegriffe

b) Schnittstelle II (Kurbel) Bevor das innere Kräftesystem im Schnitt II des Kurbelarms bestimmt werden kann, muss man wissen, wie die Handkraft F in Bezug auf den Kurbelarm wirkt. Um das festzustellen, werden nach dem Parallelverschiebungssatz (siehe Statik) im Kurbelarmpunkt A zwei gleich große gegensinnige Kräfte F angebracht. Man erkennt, dass die Handkraft im Punkt A zweierlei bewirkt: zum einen die nach unten gerichtete Kraft F, zum anderen aber noch das dem Kräftepaar (zweifach gestrichene Kräfte) entsprechende (rechtsdrehende) Drehmoment M = F l10 = 26 Nm.

Kurbelarm mit Handkraft F und äußerem Kräftesystem in Punkt A

Mit diesem in A wirkenden Kräftesystem kann nun weitergearbeitet werden. Die in A angreifende Einzelkraft F = 200 N und das um A drehende Drehmoment M = 26 Nm sind dasjenige äußere Kräftesystem, dem man in der Querschnittsstelle II ein entsprechendes inneres Kräftesystem entgegensetzen muss. Der Kurbelarm soll sich weder verschieben noch soll er sich um seine Längsachse z–z verdrehen. Die Verschiebung kann ausgeschlossen werden, indem man im Schnitt die Querkraft Fq = F = 200 N anbringt (ΣFy = 0). Dadurch entsteht ein Kräftepaar (aus F und Fq), dem man im Schnitt ein entsprechendes Moment entgegensetzen muss. Das kann nur das um die xAchse drehende Biegemoment Mb = F l2 = 40 Nm sein (ΣM(SP) = 0). Nun würde aber das äußere Drehmoment M = 26 Nm den Kurbelarm um die z-Achse rechtsherum drehen. Folglich hat der Querschnitt noch das linksdrehende und in der Fläche liegende Torsionsmoment MT = 26 Nm zu übertragen. Statt ΣM(SP) = 0 müsste man hier exakter ΣM(z-Achse) = 0 sagen. Die Beanspruchungsarten mit den zugehörigen Spannungen erhält man nach 5.1.5.

Inneres Kräftesystem in der Schnittstelle II ΣFy = 0 = −F + Fq Fq = F = 200 N ΣM(SP) = 0 = −F l2 + Mb Mb = F l2 = 200 N · 0,2 m = 40 Nm ΣM(SP) = 0 = −M + MT MT = M = 26 Nm

Beanspruchungsarten im Schnitt II: Abscherbeanspruchung durch die Querkraft Fq = F = 200 N mit der Abscherspannung τa = Fq/A und Biegebeanspruchung durch das Biegemoment Mb = F l2 = 40 Nm mit der Biegespannung σb = Mb/W und Torsions­ beanspruchung durch das Torsionsmoment MT = 26 Nm mit der Torsionsspannung τt = MT/Wp.

296

5  Festigkeitslehre

c) Schnittstelle III (Kurbelwelle) Auch hier muss erst einmal festgestellt werden, welche Wirkung die Handkraft F auf den zu untersuchenden Körper ausübt. Dazu wird die Achse x–x der Welle bis zum Schnittpunkt B verlängert. Dort bringt man die beiden gleich großen gegensinnigen Kräfte F an. Man erhält in Bezug auf die x-Achse die äußere Kraft F = 200 N und das dem zweifach gestrichenen Kräftepaar entsprechende (rechtsdrehende) Drehmoment M = Fr = 50 Nm. Mit diesem in Punkt B wirkenden Kräftesystem kann man weiterarbeiten.

Handkurbel mit Handkraft F und äußerem Kräftesystem in Punkt B

Schritt für Schritt wird nun der abgeschnittene Körper ins Gleichgewicht zurückversetzt: Zuerst bringt man eine nach oben gerichtete Querkraft Fq im Schnittflächenschwerpunkt an. Damit wird das Gleichgewicht in der x, y-Ebene wieder hergestellt (ΣFy = 0). Nun ist aber das Kräftepaar F, Fq entstanden, das die Welle in der x, y-Ebene rechtsdrehend belastet. Folglich muss man als nächstes ein in gleicher Ebene wirkendes Kraftmoment im Schnitt anbringen, das linksdrehende Biegemoment Mb = F l4 = 52 Nm (ΣM(SP) = 0). Bis hierher ist gesichert, dass sich die Welle in der x, y-Ebene weder verschiebt noch dreht. Sie würde sich aber unter der Wirkung des Drehmomentes M um die x-Achse drehen (gegenüber dem Restteil der Welle). Das verhindert das in der Schnittebene liegende linksdrehende Torsionsmoment MT = 50 Nm. Wie üblich erhält man die Beanspruchungsarten und die Spannungen nach 5.1.5.

Inneres Kräftesystem in der Schnittstelle III

ΣFy = 0 = −F + Fq Fq = F = 200 N ΣM(SP) = 0 = −F l4 + Mb Mb = F l4 = 200 N · 0,26 m = 52 Nm ΣM(SP) = 0 = −M + MT MT = M = 50 Nm Beanspruchungsarten im Schnitt III: Abscherbeanspruchung durch die Querkraft Fq = 200 N mit der Abscherspannung τa = Fq/A, Biegebeanspruchung durch das Biegemoment Mb = 52 Nm mit der Biegespannung σb = Mb/W und Torsionsbeanspruchung durch das Torsionsmoment MT = 50 Nm mit der Torsionsspannung τt = MT/Wp.

297

5.2  Beanspruchung auf Zug

5.2 Beanspruchung auf Zug 5.2.1 Spannung Ein Stab mit beliebiger, gleich bleibender Querschnittsfläche A wird durch die äußere Kraft F auf Zug beansprucht. Man legt einen Schnitt x–x rechtwinklig (quer) zur Stabachse. Das Gleichgewicht am linken Stabteil wird hergestellt durch die im Schnittflächenschwerpunkt SP angreifende innere Kraft FN normal zum Schnitt (Normalkraft). Die Gleichgewichtsbedingung ΣFx = 0 ergibt FN = F. Angenommen, jedes Flächenteilchen des Querschnitts ist gleich stark an der Aufnahme der inneren Kraft beteiligt. Dann erhält man die Zugspannung σz einfach als Quotienten aus der Normalkraft FN und dem Flächeninhalt A der Querschnittsfläche. Damit wurde die Zug-Hauptgleichung gefunden, die je nach Aufgabenstellung umgeformt werden kann. Ist der Querschnitt längs der Stabachse gleichbleibend, wirkt auch in jedem Schnitt die gleiche Spannung. Bei (allmählichen) Querschnittsänderungen gehört zum kleineren Querschnitt die größere Spannung und umgekehrt. Die im so genannten gefährdeten Querschnitt wirkende Spannung darf den festgelegten zulässigen Spannungswert nicht überschreiten.

x

F

F x F

FN

SP

Querschnittsfläche A

Zugbeanspruchter Stab

Zugspannung z =

z =

Normalkraft FN Querschnittsfläche A

z N mm2

FN A

FN

A

N

mm2

Zug­Hauptgleichung Je nach vorliegender Aufgabe wird die ZugHauptgleichung umgestellt:

FN Aerf = z zul z vorh =

FN  z zul A

FN max = A σz zul

erforderlicher Querschnitt vorhandene Spannung maximale Belastung

Gefährdet ist bei Zugbeanspruchung der Querschnitt mit der kleinsten Fläche.

5.2.2 Gefährdeter Querschnitt in zugbeanspruchten Bauteilen Eine festigkeitstechnische Aufgabe kann nur dann richtig gelöst werden, wenn das zu untersuchende Bauteil richtig freigemacht und der gefährdete Querschnitt Agef richtig erkannt wird. Zur Übung wird das Aufsuchen des gefährdeten Querschnitts bei Zugbeanspruchung an einigen häufig vorkommenden Bauteilen erläutert.

298

5  Festigkeitslehre

5.2.2.1 Profilstäbe mit Querbohrung

d

∅d 1

Agef = Ax =

Agef

  2 d − dd1 4

s

Agef

Agef = Ax = s(b − d)

b

∅d

In ungeschwächten Profilstäben (Kreis-, Kreisring, Rechteck-, Winkel-, Doppel-T-Profile usw.) muss in jedem Querschnitt längs der Zugachse die gleiche Spannung wirken, weil die Querschnittsfläche überall gleich groß ist. Querbohrungen oder Querschnittsminderungen anderer Art führen an dieser Stelle zur Spannungserhöhung. Dort liegt also auch der gefährdete Querschnitt Agef, für den man mit den gewählten Bezeichnungen für die geometrischen Größen (Durchmesser d, Breite b, Dicke s usw.) eine Gleichung schreiben kann, z. B. für den gefährdeten Querschnitt eines Flachstahls in der Form Agef = bs − ds = s(b − d). Falsch wäre etwa Agef = bs − sd2π/4.

5.2.2.2 Zuglaschen s

s

b

∅D ∅d

Ändern sich bei Zugstäben Querschnittsform oder Flächeninhalt längs der Zugachse, so legt man einen Schnitt nach jeder Querschnittsänderung; in der skizzierten Zuglasche beispielsweise die Schnitte x–x und y–y. Erst der Vergleich der Flächeninhalte Ax–x, Ay–y lässt den gefährdeten Querschnitt erkennen; er liegt dort, wo der Flächeninhalt am kleinsten ist, denn nach σz = FN/A gehört zum kleineren Querschnitt die größere Spannung und umgekehrt.

Agef = Ax–x oder Ay–y

Ax–x = s(D − d) Ay–y = bs

Auch für Schrauben gilt, dass der gefährdete Querschnitt dort liegt, wo sich der kleinste Flächeninhalt ergibt. Setzt man einen Schnitt im Gewindegrund eines Spitzgewindes an, dann endet dieser Schnitt auf der anderen Seite im Gewindegang, und die Form des Querschnitts weicht etwas von der Kreisform ab. Der so entstandene gefährdete Querschnitt heißt Spannungsquerschnitt AS. Er ist für alle Befestigungsgewinde (Spitzgewinde) berechnet worden. Man kann ihn in mm2 den Tabellen entnehmen (siehe Formeln und Tabellen, 5.1).

d

5.2.2.3 Zugschrauben

A gef

Agef = Ax–x = AS AS Spannungsquerschnitt

Hinweis: Als gefährdeten Querschnitt bei Bewegungsgewinden (z. B. Trapezgewinde) nimmt man immer den Kernquerschnitt.

299

5.2  Beanspruchung auf Zug

5.2.2.4 Herabhängende Stäbe oder Seile Man denkt sich einen frei herabhängenden Stab, der von unten nach oben fortschreitend durch die Schnitte x1 − x1, x2 − x2 usw. zerlegt ist. Dann hat der jeweils höher liegende Schnitt eine größere Teilgewichtskraft FGx–x aufzunehmen. Das bedeutet, dass die Spannung an der Einspannstelle am größten ist. Dort liegt der gefährdete Querschnitt. Da die Belastung durch das Eigengewicht linear zunimmt, muss die Begrenzung der Spannungsverteilung eine Gerade sein. Trägt der Stab am unteren Ende noch die Last F, dann beträgt die Gesamtbelastung Fges = F + FG. Damit ist die maximale Spannung σmax zu berechnen. Vielfach muss bei solchen Aufgaben die Gewichtskraft FG = mg berechnet werden. Dazu ersetzt man die Gewichtskraft durch das Produkt aus dem Volumen V, der Dichte ϱ des Stoffes und der Fallbeschleunigung g.

F + FG Ax − x Ax–x Querschnitt an der Einspannstelle

Agef = Ax–x

max =

FG = Vϱg FG = mg V FG % m g m kg kgm kg 2 m3 N = s s2 m3

5.2.2.5 Ketten Zur Vereinfachung werden Ketten entgegen den tatsächlichen komplizierteren Beanspruchungsverhältnissen (Biegung) nur auf Zug berechnet. Die Sicherheit im Hinblick auf die tatsächliche größte Beanspruchung eines Kettengliedes liegt in der behördlich vorgeschriebenen zulässigen Zugspannung. Aufgaben Nr. 661–694

d

Agef



Agef = 2

  2   d = d2 4 2

Hinweis: Bei den Rechnungen wird häufig vergessen, dass der Schnitt x–x zwei Rundstahlquerschnitte trifft.

5.2.3 Elastische Formänderung (Hooke’sches Gesetz) Bei Belastung verändert ein Werkstück seine Form. Man unterscheidet „elastische“ und „plastische“ Formänderung. Hier wird nur auf die elastische Formänderung eingegangen, bei der das Werkstück nach Entlastung seine ursprüngliche Form wieder annimmt.

Das von Robert Hooke (englischer Physiker, 1635–1703) gefundene Gesetz ist das Grundgesetz für jede elastische Verformung fester Körper.

300

5  Festigkeitslehre

5.2.3.1 Verlängerung und Dehnung Jeder auf Zug beanspruchte Körper (Gummifaden, Stahldraht, Zugstab eines Fachwerks usw.) verlängert sich um einen bestimmten Betrag ∆l. Hat der Körper im ungespannten Zustand die Ursprungslänge l0, im gespannten Zustand dagegen die Länge l, so ist seine Verlängerung ∆l die Differenz von Länge l bei Belastung und Ursprungslänge l0. Es wird angenommen, ein Stahlstab mit beliebiger Länge l0 verlängert sich bei einer bestimmten Zugspannung um 10 mm. Dann würde sich ein doppelt so langer Stab unter sonst gleichen Voraussetzungen um 20 mm verlängern. Je nach größerer oder kleinerer Ursprungslänge l0 wird also die Verlängerung ∆l trotz gleicher Spannung größer oder kleiner. Um längenunabhängige Vergleichswerte für die Werkstoffbeurteilung zu erhalten, bezieht man die Verlängerung ∆l auf die Ursprungslänge l0. Dieser Quotient aus Verlängerung ∆l und Ursprungslänge l0 heißt Dehnung ε.

Stab ungespannt und gespannt ∆l = l − l0

Dehnung " = " =

Verlängerung l Ursprungslänge l0

l l − l0 = l0 l0

" l; l0; l 1

mm

Hinweis: Als Verhältnis zweier Längen (Verlängerung ∆l und Ursprungslänge l0) ist die Dehnung ε eine Verhältnisgröße mit der Einheit Eins. Beispiel: Ein Stab mit l0 = 100 mm Länge verlängert sich bei einer bestimmten Belastung um ∆l = 10 mm. Dann beträgt die Dehnung l 10 mm " = = = 0;1 .10 %/ l0 100 mm Hinweis: In der Werkstoffprüfung gibt man die Dehnung in Prozenten an. In Festigkeitsrechnungen dagegen darf nur mit der Dezimalzahl gerechnet werden.

5.2.3.2 Querdehnung An einem Gummifaden erkennt man, dass er bei Belastung nicht nur länger, sondern auch dünner wird. Ebenso nimmt auch der Querschnitt eines auf Zug beanspruchten Metallstabs ab, wenn auch nicht mit bloßem Auge erkennbar. Jede Dehnung ist also mit einer Querschnittsminderung verbunden. Daher hat man entsprechend der Dehnung ε die Querdehnung εq definiert, und zwar als Verhältnis von Dickenänderung ∆d (entsprechend ∆l ) und Ursprungsdicke d0 (entsprechend l0). Als Verhältnis zweier Längen muss auch die Querdehnung εq die Einheit Eins erhalten.

Querdehnung des Stabes

Querdehnung "q =

"q =

Dickenänderung d ursprüngliche Dicke d0

d d0 − d = d0 d0

"q d; d0 ; d 1 mm

301

5.2  Beanspruchung auf Zug

5.2.3.3 Poisson-Zahl2, Querzahl Jede Zugbeanspruchung eines Stabes ist mit einer Querschnittsabnahme und einer Verlängerung verbunden. Jede Druckbeanspruchung (Stauchung) eines Stabes ist mit einer Querschnittsvergrößerung und einer Längenabnahme verbunden. Das Verhältnis der Dehnung ε (bei Zugbeanspruchung) zur Querdehnung εq (bei Druckbeanspruchung) wird als Poisson-Zahl m bezeichnet. Für Metalle ist die durch Versuche ermittelte PoissonZahl nahezu konstant und beträgt m ≈ 3,3. Häufiger wird jedoch mit dem Kehrwert der PoissonZahl gerechnet. Diese Werkstoffkonstante wird als Querzahl μ oder Querkontraktionszahl bezeichnet.

5.2.3.4 Hooke’sches Gesetz Für viele Festigkeitsrechnungen ist es wichtig, den Zusammenhang zwischen der Spannung σ und der zugehörigen Dehnung ε zu erkennen. Beim Ziehen eines Gummifadens sieht man, dass mit zunehmender Spannung σ auch die Dehnung ε (Verlängerung ∆l) ansteigt. Versuche mit Probestäben (siehe Spannungs-Dehnungs-Diagramm in 5.12.1) zeigen, dass bei vielen Werkstoffen die Dehnung ε mit der Spannung σ im gleichen Verhältnis (proportional) wächst. Bei doppelter Spannung σ zeigt sich dann auch die doppelte Dehnung ε. Man kann auch sagen: Das Verhältnis von Spannung σ und Dehnung ε ist für jeden Werkstoff ein bestimmter, in den für die Praxis wichtigen Spannungsgrenzen gleich bleibender Wert, der Elastizitätsmodul E. Der Elastizitätsmodul3 (kurz: E-Modul) ist eine Werkstoffkonstante, die man selbst durch einfache Dehnversuche ermitteln kann. Die Tabellen  5.8 und 5.9 enthalten den E-Modul für die wichtigsten Werkstoffe.

2

Querdehnung "q =

d0 − d d0 Dehnung " m = Querdehnung "q

"q =

m =

" für Stahl m  3;3 "q

Poisson­Zahl 1  = m Querzahl Querzahlen μ für ausgewählte Werkstoffe: Stahl und Stahlguss 0,3 Gusseisen mit Lamellengraphit 0,26 Aluminiumlegierungen 0,33 Manganlegierungen 0,35 Kupfer 0,34 Elastomere 0,5 Epoxidharz 0,36 Spannung  Dehnung " Umgestellt und für ε = ∆l/l0 eingesetzt, ergibt sich die übliche Form: " l ; E l; l0  = "E = E N l0 mm 1 mm2 Hooke’sches Gesetz Elastizitätsmodul E =

Hinweis: Versuche mit druckbeanspruchten Stäben zeigen die gleichen Gesetzmäßigkeiten wie bei der Zugbeanspruchung: Das Hooke’sche Gesetz gilt für Zug- und Druckbeanspruchung. Statt σz und σd schreibt man daher hier nur σ.

Beispiele:

N N = 2;1  105 mm2 mm2 N = 0;72  105 mm2 N = 1;2  105 mm2

EStahl = 210 000 EAlCuMg EGJL−300

Siméon Denis Poisson, französischer Physiker und Mathematiker, 1781–1840

3

Thomas Young, englischer Arzt und Physiker, 1773–1829

Durchmesseränderung d Ursprungsdurchmesser d0

302

5  Festigkeitslehre

Dem Elastizitätsmodul E entspricht für Schubspannungen (Abscher- und Torsionsspannung) der Schubmodul G (5.6.2).

Hinweis: Manchmal erscheint eine Aufgabe nur deshalb schwierig, weil man vergisst, dass der E-Modul schon bekannt ist (Tabelle 5.8).

Nach dem Hooke’schen Gesetz σ = εE muss der E-Modul die Einheit der Spannung haben (N/mm2), denn die Dehnung ε hat die Einheit Eins. Über das Hooke’sche Gesetz E = σ/ε kann man den E-Modul auch als diejenige Spannung ansehen, die bei der Dehnung ε = 1 auftreten würde. Allerdings muss dabei beachtet werden, dass sich Metallstäbe nicht auf das Doppelte ihrer Ursprungslänge verlängern lassen und dass das Hooke’sche Gesetz nur im elastischen Bereich gilt (Spannungs-Dehnungs-Diagramm in 5.12.1).

Beispiel: Angenommen, ein Probestab verlängert sich bei der Spannung σz = 1000 N/mm2 auf das Doppelte seiner Ursprungslänge l0. Dann wäre seine Dehnung ε = ∆l/l0 = 1 und damit E =

z 1000 N N = = 1000 = z " 1 mm2 mm2

5.2.3.5 Wärmespannung Alle Metallstäbe dehnen sich bei Erwärmung aus und ziehen sich bei gleichgroßer Abkühlung wieder auf die Ursprungsgröße l0 zusammen. Die Verlängerung ∆l (Verkürzung) des Stabes ist abhängig von der Ursprungslänge l0, von der Temperaturdifferenz ∆T = T2 − T1 vor und nach der Erwärmung (Abkühlung) und vom Längenausdehnungskoeffizienten αl. Wird ein Metallstab durch entsprechende Einspannungen an der Längenänderung gehindert, dann müssen Zug- oder Druckspannungen auftreten. Sie können mit Hilfe des Hooke’schen Gesetzes berechnet werden. Diese Normalspannungen heißen Wärmespannung σϑ, weil die Temperatur allgemein mit dem griechischen Buchstaben Theta bezeichnet wird. Den Elastizitätsmodul E entnimmt man den Tabellen  5.8 und 5.9, den Längenausdehnungs­ koeffizienten αl dem Handbuch Maschinenbau.4

˛l T

l; l0

∆l = l0αl ∆T

mm

1 K

K

Hinweis: Für Stahl ist αlSt = 12 · 10−6 1/K, das heißt, ein Stahlstab mit 1 m Länge verändert sich bei Erwärmung um 1 K = 1 °C um 12 · 10−6 m = 0,012 mm. l ˛ª = "E = E Hooke’sches Gesetz l0 in allgemeiner Form Für die Verlängerung (Verkürzung) wird ∆l = l0αl∆T eingesetzt: l0 ˛l T ª ; E ˛l T ª = E 1 l0 N K mm2 K σϑ = αl ∆T E Wärmespannung Hinweis: Die Wärmespannung σϑ ist unabhängig von den Abmessungen des Stabs. F

Das Kraft-Verlängerungs-Schaubild zeigt als Kraftlinie eine ansteigende Gerade. Die darunter liegende Fläche entspricht der mechanischen Arbeit. 4

l0

∆l

F

Im elastischen Bereich steigt die Belastung F von Zug- und Druckstäben proportional zur Längenänderung an. Dabei verrichtet die Kraft F auf dem Weg ∆l (Verlängerung) eine mechanische Arbeit, die im Werkstoff gespeichert und bei Entlastung wieder vollständig frei wird. Man sagt: Der Körper „federt“.

Kraft

5.2.3.6 Formänderungsarbeit

Wf =

∆l

F ∆l 2

Verlängerung

Kraft-Verlängerungs-Schaubild eines elastisch verlängerten Stabs. Hinweis: Bei Zug- oder Druckfedern ohne Vorspannung ist die Arbeitsfläche ein Dreieck.

Alfred Böge, Wolfgang Böge, Hrsg.: Handbuch Maschinenbau, Springer Vieweg, 2016

303

5.2  Beanspruchung auf Zug

Mit Hilfe des Hooke’schen Gesetzes σ = εE = ∆l E/l0 schreibt man für die Verlängerung l0 l = E.

Kraft F  Verlängerung l 2 Fl Wf = 2 Formänderungsarbeit

Wf =

Für die Zugkraft F schreibt man mit der Zug-Hauptgleichung F = σA.

Wf =

A l0 2E

Dann ergibt sich mit A l0 = Volumen V die übliche Form für die Formänderungsarbeit Wf.

Wf =

Fl  2V = 2 2E

Die Formänderungsarbeit wird auch als Federarbeit bezeichnet. Als Einheit erhält man Newtonmillimeter. Zur Umrechnung in J = Nm dividiert man den Betrag durch 1000 (1 mm = 1/1000 m = 10−3 m).

Wf

F

Nmm = 10−3 J N

l

; E V N mm mm3 mm2

5.2.4 Reißlänge Die Belastung frei hängender Seile z. B. in Förderanlagen setzt sich aus der Nutzlast und der Eigengewichtskraft des Seiles zusammen. Mit zunehmender Seillänge wird man infolge der ansteigenden Gewichtskraft FG des Seiles immer weniger Nutzlast anhängen dürfen, bis der gefährdete Querschnitt (Aufhängequerschnitt) nur noch die Seilgewichtskraft FG tragen kann. Wie das Bild zeigt, steigt die allein durch die Seilgewichtskraft verursachte Zugspannung σz linear mit der Länge an. Das zeigt auch die folgende Entwicklung (siehe 5.2.2.4). In der Zug-Hauptgleichung wird die Zugkraft F durch die Gewichtskraft FG  =  mg ersetzt. Die Masse m des Seils ersetzt man durch das Produkt aus Dichte ϱ und dem Volumen V, letzteres wieder durch das Produkt aus Querschnittsfläche A und Seillänge l. Nach der Gleichung σz = ϱ l g ist die Zugspannung im Seil nicht vom Seildurchmesser abhängig. Wird in σz  =  ϱ l g statt der Zugspannung σz die Zugfestigkeit Rm für den Seilwerkstoff eingesetzt, dann erhält man eine Gleichung für die so genannte Reißlänge lr, bei der das frei hängende Seil unter seiner Eigengewichtskraft reißt.

FG   FG = mg = ϱVg = ϱAlg A %Alg z = = %lg A σz = ϱlg

z =

Hinweis: Die Gleichung für σz zeigt, dass die Zugspannung linear mit der Seillänge l nach oben hin ansteigt. σz = ϱlg, σz = Rm, l = lr Rm l r = %g Reißlänge

Rm Zugfestigkeit ϱ Dichte g Fallbeschleunigung

304

Setzt man in die Größengleichung für die Reißlänge die Zugfestigkeit Rm in N/mm2 ein, die Dichte ϱ in kg/m3 und die Fallbeschleunigung g in m/s2, dann muss bei der Ausrechnung die Flächeneinheit mm2 in m2 umgewandelt werden. Hierfür gilt 1 mm2 = (10−3 m)2 = 10−6 m2. Damit kann auch eine auf die Längeneinheit km zugeschnittene Zahlenwertgleichung entwickelt werden. Auch nach der Zahlenwertgleichung ist die Reißlänge eines Seils nicht vom Seildurchmesser oder vom Querschnitt A abhängig.

5  Festigkeitslehre N 2 ŒRm  N  m3  s2 mm Œlr  = = = m kg Œ% Œg mm2  kg  m  2 3 m s kgm 3 2  m  s kg  m4  s2 s2 Œlr  = = 10−6 m2  kg  m 10−6 m2  kg  m  s2 Œlr  = 106 m = 103 km lr = 103

Rm %g

lr km

Zahlenwert­ gleichung für die Reißlänge

Rm N mm2

% kg m3

g m s2

Zugfestigkeit Rm siehe Tabelle 5.8

Aufgaben Nr. 696–713

5.3 Beanspruchung auf Druck Die äußeren Kräfte wirken hier entgegengesetzt wie bei der Zugbeanspruchung. Man kann sagen: Zugund Druckbeanspruchung liegen spiegelbildlich zueinander, und die Gesetzmäßigkeiten sind von gleicher Art. Das gilt sowohl für die Spannungsart (Normalspannung) als auch für die Spannungsver­ teilung. Daher hat die Druck-Hauptgleichung die gleiche Form wie die Zug-Hauptgleichung. Grundsätzlich gilt auch für die Druckbeanspruchung: Bei gleich bleibendem Querschnitt wirkt in jedem Schnitt die gleiche Spannung. Bei Querschnittsänderungen tritt im kleineren Querschnitt die größere Spannung auf und umgekehrt. Die im gefährdeten Querschnitt vorhandene Spannung darf den festgelegten zulässigen Spannungsbetrag nicht überschreiten. Gefährdet ist der Querschnitt mit dem kleinsten Flächeninhalt. Für die Formänderungsarbeit Wf gelten die Beziehungen aus 5.2.3.6.

x

F

F

x SP

F

A FN

Druckbeanspruchter Stab Druckspannung d =

Normalkraft FN Querschnittsfläche A

FN A

d N mm2 Druck­Hauptgleichung

d =

FN

A

N

mm2

Je nach vorliegender Aufgabe wird die Druck-Hauptgleichung umgestellt: FN erforderlicher Aerf =  d zul Querschnitt FN d vorh =  d zul A

vorhandene Spannung

FN max = Aσd zul

maximale Belastung

305

5.4  Übungen zur Zug- und Druckbeanspruchung

5.4 Übungen zur Zug- und Druckbeanspruchung Hier wird die rechnerische Auswertung der bisher bekannten festigkeitstechnischen Beziehungen vorgeführt. Der Studierende wird vor allem lernen, welche Form seine Rechnungen haben müssen und nach welchem Konzept er technische Berechnungen aufbauen sollte. Die beiden folgenden Aufgaben sind von der gleichen Art, wie sie in dem Buch „Aufgabensammlung Technische Mechanik“ zusammengestellt wurden. Die Lösungsgedanken stehen links, die numerische Rechnung in der rechten Spalte. 1. Übung: Ein Stahldraht aus 20MnCr5 mit d = 1 mm Durchmesser und l0 = 2 m Länge wird durch Zugbelastung um ∆l = 4 mm verlängert. Zu bestimmen sind a) die Dehnung ε des Drahts, b) die vorhandene Zugspannung σz vorh, c) die Zugkraft F. d) Es soll nachgewiesen werden, dass im Rechnungsbereich das Hooke’sche Gesetz tatsächlich noch gilt.

Gegeben:     A = d2 = .1 mm/2 = 0;785 mm2 4 4 l0 = 2 m = 2 · 103 mm; ∆l = 4 mm N EStahl = 2;1  105 mm2 Gesucht: a) ε b) σz vorh c) F d) Spannungsnachweis für Hooke

Lösung:  a) Da Ursprungslänge l0 und Verlängerung ∆l gegeben sind, lässt sich die Dehnung ε sofort berechnen (als Dezimalzahl und in %). b) Ist eine Formänderung im Spiel, hier die gegebene Verlängerung ∆l, dann ist sicher, dass das Hooke’sche Gesetz gebraucht wird (σz = ε E oder auch in der Form σz = ∆l E/l0). Daher hat man unter „Gegeben“ auch sofort den E-Modul aufgeschrieben. c) Die Zugkraft F lässt sich nun über die ZugHauptgleichung mit der vorher bestimmten Zugspannung berechnen. Allerdings: Das Ergebnis dieser Rechnung kann nur dann richtig sein, wenn σz vorh fehlerfrei bestimmt wurde. Auch für Teilrechnungen sollte man daher immer versuchen, eine Gleichung für die gesuchte Größe (hier Zugkraft F) zu entwickeln, in der rechts vom Gleichheitszeichen nur die gegebenen Ausgangsgrößen stehen. In diesem Sinn wäre auch die hier vor-

" =

l 4 mm = = 2  10−3 = 0;002 l0 2  103 mm

ε = 2 · 10−3 · 100 % = 2 · 10−1 % = 0,2 % FN F z vorh = = ) führt nicht weiter. A A N z vorh = "E = 2  10−3  2;1  105 mm2 N N z vorh = 4;2  10−3  105 = 420 mm2 mm2 N F = z vorh A = 420  0;785 mm2 mm2 F = 329,7 N Kontrolle: l F z = E z = l0 A eingesetzt: F l E ) nach F aufgelöst: = A l0 F =

lEA l0 4 mm  2;1  105

N  0;785 mm2 2 mm F = 2  103 mm F = 329,7 N (wie oben)

306

5  Festigkeitslehre

geführte Kontrollrechnung noch nicht exakt, weil statt πd2/4 der schon berechnete Wert für den Querschnitt A = 0,785 mm2 eingesetzt wurde. d) Nach Tabelle 5.9 beträgt die Rp0,2-Dehngrenze für 20 MnCr5 850 N/mm2, d. h. bei dieser Spannung würde sich der Probestab um 0,2 % bleibend gedehnt haben. Da die hier vorhandene Spannung (420 N/mm2) weit unter dieser Dehngrenze 850 N/mm2 liegt, durfte tatsächlich mit dem Hooke’schen Gesetz gerechnet werden. 2. Übung: Ein Gummipuffer mit Kreisquerschnitt soll durch eine Druckkraft F = 500 N von l0 = 30 mm auf l1 = 25 mm elastisch zusammengedrückt werden. Der E-Modul der verwendeten Gummisorte ist mit E = 5 N/mm2 angegeben.

N mm2 N = 420 < Rp0;2 mm2

Rp0;2 = 850 z vorh

Gegeben: F = 500 N l0 = 30 mm N E = 5 mm2

Zu bestimmen sind a) die Druckspannung σd vorh im Gummipuffer, b) der erforderliche Pufferdurchmesser, derf

Gesucht: a) σd vorh b) derf c) Wf

c) die vom Puffer aufgenommene Formänderungsarbeit Wf. Lösung:  a) Man sollte sich künftig die Erkenntnisse aus der vorherigen Aufgabe zunutze machen und grundsätzlich die entsprechende Hauptgleichung und das Hooke’sche Gesetz aufschreiben. Entweder führt dann eine der beiden Gleichungen direkt zum Ziel oder beide werden zu einer Gleichung für die gesuchte Größe entwickelt.

∆l = 5 mm F d vorh = = "E A l 5 mm N d vorh = "E = E =  5 l0 30 mm mm2 N d vorh = 0;83 mm2

b) Aus der Druck-Hauptgleichung und dem Hooke’schen Gesetz wird eine Gleichung für die gesuchte Größe (hier derf) entwickelt. Nur so erhält man eine Beziehung, die es ermöglicht, die gegenseitigen Abhängigkeiten aller Größen zu diskutieren. Beispielsweise ist zu erkennen, dass bei größerem E-Modul der erforderliche Durchmesser kleiner wird, denn E steht im Nenner der Funktionsgleichung d = f (F, l0, ∆l, E).

F l   = E; A = d 2 A l0 4   2 F l0 A = d = 4 lE und daraus r v u 4  500 N  30 mm 4F l0 derf = = u t N  lE    5 mm  5 mm2 derf = 27,6 mm

c) Die aufgenommene Formänderungsarbeit Wf erhält man direkt aus den gegebenen Größen F und ∆l (siehe 5.2.3.6).

d vorh =

Fl 500 N  5 mm = = 1250 Nmm 2 2 Wf = 1,25 Nm = 1,25 J

Wf =

307

5.5  Flächenpressung

5.5 Flächenpressung 5.5.1 Begriff und Hauptgleichung Unter Flächenpressung p (auch Pressung genannt) versteht man die Beanspruchung in den Berührungsflächen (Oberflächen) zweier gegeneinander gedrückter Bauteile. Ursache jeder Flächenpressung ist eine Normalkraft FN, die häufig erst aus der beliebig gerichteten Kraft F bestimmt werden muss. Werden zwei ebene Flächen gegeneinander gepresst, dann gilt: Die Flächenpressung p ist der Quotient aus der Normalkraft FN und dem Flächeninhalt A der Berührungsfläche. Je nach vorliegender Aufgabe stellt man die Flächenpressungs-Hauptgleichung um.

Flächenpressung ebener Flächen Normalkraft FN Flächenpressung p = Berührungsfläche A p =

FN A

p FN A N N mm2 mm2

Flächenpressungs­ Hauptgleichung erforderliche FN A erf = pzul Berührungsfläche vorhandene FN p  pzul vorh = Flächenpressung A

FN max = A pzul

maximale Normalkraft

5.5.2 Flächenpressung an geneigten Flächen Im Maschinenbau und in der Feinwerktechnik stellt sich häufig die Aufgabe, die Flächenpressung auf geneigten ebenen Flächen zu bestimmen, wie beispielsweise zwischen den Gleitflächen einer Prismenführung. Der herausgeschnittene Teil der Gleitführung zeigt, dass das Prisma neben der Belastung F = 800 N die Normalkräfte FN1 und FN2 aufzunehmen hat. Das zugehörige Krafteck bildet ein rechtwinkliges Dreieck, aus dem die Gleichungen für FN2 abgelesen werden können. Sind die Flächeninhalte A1 und A2 der Gleitflächen bekannt, kann die Flächenpressung p1 und p2 berechnet werden.

FN1 F N = = 0;462 A1 A1 cos ˛ mm2 FN2 F tan ˛ N p2 = = = 0;462 A2 A2 mm2

p1 =

308

5  Festigkeitslehre

Die Flächenpressung p1 auf der geneigten Gleitfläche A1 lässt sich bequemer nach folgender Überlegung berechnen: Im Nenner der Gleichung p1 = F/(A1 cos α) steht der Ausdruck A1 cos α. Das ist die Projektion der Berührungsfläche A1 auf die zur Wirklinie von F rechtwinklige Ebene. Daraus folgt: Man kann – ohne den Umweg über die Normalkraft – mit der Kraft F und der so genannten projizierten Berührungsfläche Aproj die Flächenpressung p berechnen. In Zweifelsfällen führt der Weg über das exakte Freimachen und das Bestimmen der Normalkräfte FN immer zum Ziel. Jedoch ist es in vielen praktischen Fällen einfacher, mit der projizierten Fläche zu rechnen. Typische technische Beispiele zeigen die folgenden Bilder.

Kegelzapfen: p =

F F F =    =  d l tan ˛ Aproj m d12 − d22 4

Kegelkupplung: p =

F F = Aproj  dm b sin ˛

p =

F Aproj

p N mm2

F

Aproj

N

mm2

Hinweis: Aproj ist die Projektion der Berührungsfläche auf eine Ebene, die rechtwinklig zur Wirklinie der Belastung F steht. Beispielsweise ist beim Kegelzapfen Aproj eine Kreisringfläche, wie das folgende Bild zeigt.

Prismenführung: p =

Gewinde: p =

F F F = = Aproj .b1 − b2 / l 2lt tan ˛

F Aproj

Typische technische Beispiele für die Verwendung der Gleichung p = F/Aproj

309

5.5  Flächenpressung

5.5.3 Flächenpressung im Gewinde Der Verschleiß an den Gewindegängen einer Schraubenverbindung ist von der Flächenpressung zwischen Mutter- und Bolzengewinde abhängig. Vor allem bei so genannten Bewegungsschrauben (Spindeln in Pressen, Leitspindeln in Drehmaschinen usw.) muss die Mutterhöhe m so groß ausgelegt werden, dass die zulässige Flächenpressung im Gewinde nicht überschritten wird. Für Bewegungsschrauben benutzt man hauptsächlich metrisches ISO-Trapezgewinde, seltener metrisches ISO-Gewinde. Für beide Formen gelten die im Bild eingetragenen Bezeichnungen.

Bezeichnungen am Trapezgewinde

Zur Herleitung einer Gleichung für die erforderliche Mutterhöhe m geht man von der projizierten Fläche eines Gewindeganges aus (∆Aproj). Diese projizierte Fläche ∆Aproj ist eine Kreisringfläche mit der Tragtiefe H1 als Ringbreite (siehe Bilder in 5.5.2 zu technischen Beispielen). Die Anzahl der tragenden Gewindegänge i erhält man, wenn die Mutterhöhe m durch die Gewindesteigung P dividiert wird.

Die gesamte projizierte Berührungsfläche Aproj zwischen Gewindebolzen und Mutter muss das Produkt aus ∆Aproj und i sein. Damit erhält man eine Gleichung zur Berechnung der Flächenpressung p im Gewinde. Bei dieser Berechnung wird vorausgesetzt, dass alle beteiligten Gewindegänge gleichmäßig tragen. Tatsächlich werden die ersten Gänge stärker beansprucht. Zum Schluss wird die Flächenpressungsgleichung zur Berechnung der erforderlichen Mutterhöhe merf umgestellt.

i =

Mutterhöhe m Gewindesteigung P

Aproj = Aproj i =  d2 H1 i =  d2 H1 p =

m P

F FP =  Pzul Aproj  d2 H1 m

Flächenpressungsgleichung für Gewinde

FP erforderliche merf = Mutterhöhe  d2 H1 pzul

m; P; d2 ; H1

F

mm

N

pzul N mm2

310

5  Festigkeitslehre

5.5.4 Flächenpressung in Gleitlagern, Niet- und Bolzenverbindungen Schwieriger als bei ebenen Flächen sind die Pressungsverhältnisse an der Oberfläche eines Lagerzapfens, eines Bolzens oder eines Niets. Die Flächenpressung ist in Belastungsrichtung am größten (pmax) und nimmt nach den Seiten hin bis auf null ab. Der Maximalwert pmax müsste eingesetzt werden, wenn z. B. für ein Gleitlager die erforderliche Lagerlänge l bestimmt werden soll. Beziehungen zur Berechnung von pmax hat Hertz aufgestellt (Hertz’sche Gleichungen, siehe 5.5.5). Diese Gleichungen sind nicht einfach aufgebaut. Deshalb arbeitet man bei der Berechnung von Gleitlagerabmessungen sowie bei Niet- oder Bolzenverbindungen nicht mit den Hertz’schen Gleichungen, sondern rechnet mit einem Mittelwert p der Flächenpressung. Dazu denkt man sich die Kraft F gleichmäßig über die projizierte Fläche Aproj des Zapfens (Bolzen, Niet) verteilt. Der „Fehler“ bei dieser Betrachtung wird dadurch ausgeglichen, dass man die zulässige Flächenpressung entsprechend niedriger festlegt, so dass die tatsächlich auftretende Pressung pmax von den verwendeten Werkstoffen vertragen wird. Die Flächenpressung am Nietschaft wird Lochlei­ bungsdruck σl genannt. Er ist abhängig von der aufzunehmenden Kraft F, von der Anzahl n der Niete und von der projizierten Schaftfläche Aproj  =  d1s eines Nietes.

b

b

p =

F F =  pzul Aproj db

p N mm2

F

Flächenpressungsgleichung für Gleitlager und Bolzenverbindungen

l =

F F =  lzul nAproj nd1 s

Flächenpressungsgleichung für Nietverbindungen

Bei einschnittigen Nietverbindungen muss man für s die kleinere der beiden Blechdicken einsetzen, weil hier der größere Lochleibungsdruck auftritt. einschnittige Verbindung

Ist die Verbindung mehrschnittig, dann ist s die kleinere der beiden Bleckdickensummen in einer Kraftrichtung. Im skizzierten Beispiel (vierschnittig) müsse man also s = 10,5 mm in die Gleichung für den Lochleibungsdruck σl einsetzen. mehrschnittige Verbindung

d; b

N mm

311

5.5  Flächenpressung

5.5.5 Flächenpressung an gewölbten Flächen (Hertz’sche Gleichungen) Die Flächenpressung zwischen Körpern mit gekrümmter (gewölbter) Oberfläche lässt sich mit den von Hertz5 entwickelten Gleichungen berechnen. Diese Beanspruchung tritt beispielsweise zwischen Wälzkörpern (Kugeln, Walzen, Tonnen, Nadeln) und Laufringen in Wälzlagern auf (Kugellager, Kegelrollenlager, usw.). Die Größe der Druckfläche sowie die Verteilung und Höhe der auftretenden Normalspannungen können ermittelt werden. Die Hertz’schen Gleichungen gelten unter folgenden Voraussetzungen: • Die Körper sind homogen, isotrop und vollkommen elastisch. Es tritt keine bleibende Formänderung auf. • Es gilt das Hook’sche Gesetz σ = ε · E. • Die Abplattungen sind gegenüber den Abmessungen der Körper sehr klein. • In der Berührungsfläche beider Körper treten ausschließlich Normalspannungen σ und keine Schubspannungen τ auf.

Bedeutung der Formelzeichen: a Radius der kreisförmigen oder halben Breite der rechteckigen Druckfläche F Druckkraft μ Querzahl, Verhältnisgröße, siehe 5.2.3.3 r Krümmungsradius der Kugel oder des Zylinders; bei einer Krümmung beider Körper wird die Summe beider Krümmungen eingesetzt: 1/r = 1/r1 + 1/r2. Für die ebene Platte ist 1/r2 = 0, für die Hohlkugel muss 1/r2 negativ eingesetzt werden E Elastizitätsmodul; bei unterschiedlichen E-Moduln wird E = 2E1E2/(E1 + E2) l Länge des Zylinders p Druck auf der Berührungsfläche im Abstand ϱ p0 = pmax Druck in der Mitte der Berührungsfläche ϱ veränderlicher Radius oder Ordinate in Breitenrichtung der Berührungsfläche δ Gesamtabplattung, d. h. die gesamte Näherung beider Körper

5.5.5.1 Flächenpressungen zwischen Kugel und Ebene oder zwischen zwei Kugeln Wenn sich zwei Kugeln oder eine Kugel und eine Ebene berühren, entsteht eine Kreisfläche mit dem Radius a. Radius a der kreisförmigen Druckfläche in mm s r   1 − 2  F  r 3 1;5  3 F  r a = = 1;11  E E Druck p auf der Berührungsfläche im Abstand ϱ in N/mm2 p a 2 − %2 p = p0 a maximaler Druck p0 in der Mitte der Berührungsfläche in N/mm2 s s 2 1 3 1;5  F  E 2 3 F  E p0 = = 0;388    r 2  .1 − 2 /2 r2 p0 = 5

1;5  F    a2

Heinrich Rudolf Hertz, deutscher Physiker, 1857–1894

312

5  Festigkeitslehre

Gesamtabplattung δ in mm s  2 2 3 2;25  1 − 2  F 2 a ı = = r E2  r ı = 1;23 

s 3

F2 E2  r

p; p0 ; E N mm2

F

a; r; l; %; ı



N

mm

1

5.5.5.2 Flächenpressungen zwischen Zylinder und Ebene oder zwischen zwei Zylindern Wenn sich zwei Zylinder oder ein Zylinder und eine Ebene berühren, entsteht eine langgestreckte Rechteckfläche (l ≫ a). halbe Breite a der rechteckigen Druckfläche in mm s r   8  1 − 2  F  r F  r a = = 1;52     E  l E  l Druck p auf der Berührungsfläche im Abstand ϱ in N/mm2 p a2 − %2 p = p0 a maximaler Druck p0 in der Mitte der Berührungsfläche in N/mm2 s r F  E F  E p0 = = 0;418  2     r  l  .1 − 2 / r  l p0 =

2  F    a  l

Die Gesamtabplattung δ kann nach den Hertz’schen Gleichungen nicht berechnet werden.

5.5.6 Übungen zur Flächenpressung 1. Übung:  Eine Zugspindel soll über die Mutter in Längsrichtung F = 20 kN übertragen. Die Zugspannung in der Spindel darf σz zul = 80 N/mm2 nicht überschreiten, die Flächenpressung im Gewinde soll höchstens pzul = 15 N/mm2 betragen.

Gegeben: Zugkraft F = 20 kN = 20 · 103 N N N N N z zulz = = 80 2 pzul p= = 15 2 2 zul 80 zul 15 mmmm mmmm2

313

5.5  Flächenpressung

Zu bestimmen sind das erforderliche Trapez­ gewinde und die erforderliche Mutterhöhe m. Lösung:  Der Kernquerschnitt der Zugspindel muss bei σz zul = 80 N/mm2 die Zugkraft F = 20 000 N übertragen. Aus der Zug-Hauptgleichung (5.2.1) findet man für Aerf = 250 mm2 Kernquerschnitt. Aus der Gewindetabelle in den Formeln und Tabellen (5.2) wird dasjenige Trapezgewinde gewählt, das den nächstgrößeren Kernquerschnitt A3 = 269 mm2 besitzt. Zur Berechnung der Mutterhöhe m setzt man in die Gleichung nach 5.5.3 die gegebenen und die aus der Gewindetabelle entnommenen Größen ein. Als Normmaß wird m = 40 mm gewählt.

Gesucht: Trapezgewinde Mutterhöhe m F A (Zug-Hauptgleichung) F 20000 N Aerf = = = 250 mm2 N zzul 80 mm2 Gewählt wird Tr 24 × 5 mit A3 = 269 mm2, Steigung P = 5 mm, Flankendurchmesser d2 = 21,5 mm, Tragtiefe H1 = 2,5 mm. z =

merf = merf =

FP  d 2 H1 pzul 20  103 N  5 mm    21;5 mm  2;5 mm  15

N mm2

merf = 39,48 mm ausgeführt m = 40 mm

2. Übung: Ein Gleitlager hat eine Radialkraft Fr = 15 000 N und eine Axialkraft Fa = 6000 N aufzunehmen. Das Bauverhältnis soll l/d = 1,2, die zulässige Flächenpressung pzul = 5 N/mm2 betragen. Zu bestimmen sind die Maße d, D, l.

Lösung:  In die Flächenpressungsgleichung für Gleitlager (5.5.4), wird aus dem vorgegebenen Bauverhältnis b/d = 1,2 entweder d = b/1,2 oder für b = 1,2d eingesetzt. Hier entscheidet man sich für die zweite Möglichkeit und erhält damit eine Gleichung zur Bestimmung des erforderlichen Wellendurchmessers d. Im anderen Fall hätte sich eine Gleichung zur Berechnung der Lagerbreite b ergeben. Aus dem Bauverhältnis l/d = 1,2 ergibt sich die Lagerbreite b.

b

p =

Fr Fr b = = 1;2 ) b = 1;2d Aproj db d

Fr Fr = d  1;2d 1;2d 2 s v u 15000 N Fr derf = = u t N 1;2pzul 1;2  5 mm2 derf = 50 mm

p =

b = 1,2d = 1,2 · 50 mm = 60 mm

314

Man setzt die Beziehung für den Kreisringquerschnitt A in die Flächenpressungs-Hauptgleichung p = FN/A = Fa/A ein und entwickelt eine Gleichung zur Berechnung des erforderlichen Bunddurchmessers D = f(Fa, pzul, d), aus der D berechnet werden kann. Ausgeführt wird D  = 65 mm als nächsthöheres Normmaß.

5  Festigkeitslehre

p =

Derf

FN Fa =    A D2 − d 2 4 s 4Fa = + d 2 D = f(Fa, pzul, d)  pzul

Derf = 63,47 mm ausgeführt D = 65 mm

3. Übung:  Für die Festigkeitsüberprüfung (Spannungsnachweis) der Abmessungen eines Zahnrads, insbesondere des gewählten Moduls, ist die Flächenpressung pC im Wälzpunkt C der beiden Zahnflanken von besonderer Bedeutung. pC darf nicht größer sein als ein Grenzwert pzul, der in Versuchen ermittelt wurde.

r1

Die Krümmungsradien r1 und r2 für die skizzierte Nullstellung beider Räder lassen sich berechnen; hier ist r1 = 60 mm, r2 = 40 mm.

r2

r

FE rl

Hertz’sche Gleichung

Für b = 50 mm Zahnradbreite und pzul = 530 N/mm2 soll die maximale Normalkraft FN max bestimmt werden, die zwischen den beiden Zahnflanken auftreten darf.

p0 = 0;418

Lösung:  Die Berührung zweier Zahnflanken im Wälzpunkt C entspricht der Flächenpressung zwischen zwei Zylindern nach 5.5.5.2.

p0 = pC F = FN l = b 1 1 1 r2 + r1 = + = r r1 r2 r1 r2

Da beide Körper gekrümmt sind, muss der Krümmungsradius r aus 1/r = 1/r1 + 1/r2 berechnet werden. Diese Gleichung kann man in eine zweckmäßigere Form bringen und daraus dann r berechnen. Die Ausgangsgleichung wird nach FN max umgestellt, wobei man auch noch pC = pzul setzt. Wegen der Wurzel muss die Gleichung zuerst quadriert werden. Der Elastizitätsmodul für Stahl beträgt 2,1 · 105 N/mm2. Man erhält als Ergebnis für die größte Normalkraft FN max = 9187 N.

Aufgaben Nr. 714–736

r = pC2

r1 r2 .60  40/ mm2 = = 24 mm r1 + r2 .60 + 40/ mm !2 r FN E = 0;4182 rb

pC2 = 0;4182

pC = pzul

FN E rb

2 rb pzul 0;4182 E   N 2 530  24 mm  50 mm 2 mm FN max = N 0;4182  2;1  105 mm2 FN max = 9187 N

FN max =

315

5.6  Beanspruchung auf Abscheren

5.6 Beanspruchung auf Abscheren 5.6.1 Spannung Die Beanspruchungsart Abscheren tritt immer dann auf, wenn die Belastung F rechtwinklig zur Achse des Bauteils wirkt.

u W

In der Schnittfläche des Werkstücks W wird das Kräftegleichgewicht durch die innere Schnittkraft Fq (Querkraft) = F wieder hergestellt. Fq wirkt tangential zur Schnittebene, die auftretende Spannung ist also die Schubspannung τ (Tangentialspannung). Zur Kennzeichnung der Beanspruchungsart nennt man sie Abscherspannung τa. Vereinfachend wird zunächst angenommen, dass jedes Flächenteilchen gleichmäßig an der Übertragung der inneren Kraft Fq beteiligt ist. Dann erhält die Abscher-Hauptgleichung die gleiche Form wie die schon bekannten Zug/Druck-Hauptgleichungen.

s

Praktisches Beispiel für das Auftreten von Abscherspannungen ist das Scherschneiden. Die äußeren Schnittkräfte F bilden ein Kräftepaar mit dem (kleinen) Wirkabstand u (Schneidspalt). Das entsprechend kleine Kraftmoment M = Fu wird bei dieser Untersuchung vernachlässigt.

F

A

F F

l F

F Fq = F

A = Querschnittsfläche

Scherschneiden (Parallelschnitt) A = ls Querschnittsfläche, W Werkstück, F Schnittkraft, u Schneidspalt

Abscherspannung a = a =

Querkraft Fq Querschnittsfläche A

Fq A

Abscher­Hauptgleichung

a N mm2

Fq

A

N

mm2

Die Abscherfestigkeit τaB von Stahl und Gusseisen kann aus der Zugfestigkeit Rm bestimmt werden: für Stahl ist τaB = 0,85 · Rm für Gusseisen ist τaB = 1,1 · Rm Die Abscherfestigkeit τaB wird für Aufgaben aus der Stanzereitechnik gebraucht (siehe z. B. Aufgabe 741 aus der Aufgabensammlung). Zur richtigen Festlegung des gefährdeten Querschnitts in Abscheraufgaben geben die nachstehenden Verständnisübungen Anregungen.

Je nach vorliegender Aufgabe wird die Abscher-Hauptgleichung umgestellt: Fq Aerf =  a zul

erforderlicher Querschnitt

Fq a vorh =  a zul A

vorhandene Spannung

Fq max = Aτa zul

maximale Belastung

316

Bei den auf Abscheren zu berechnenden Bauteilen wie Niete und Bolzen tritt außer der Querkraft noch ein Biegemoment auf. Allein deshalb ist eine einfache Schubspannungsverteilung im Querschnitt nicht zu erwarten. In warm eingezogenen Nieten tritt keine Schubspannung auf, sie werden durch das Schrumpfen auf Zug beansprucht und trotzdem auf Abscheren berechnet. Genauere rechnerische Untersuchungen am Rechteckquerschnitt zeigen eine parabolische Schubspannungsverteilung mit τ = 0 in der Randfaser und τ = τmax in der mittleren Faserschicht. Mit dem Mittelwert τmittel  =  τa  =  Fq/A ergibt die Rechnung für den Rechteckquerschnitt τmax = (3/2) · τa, d. h. die maximale Schubspannung ist um 50 % größer als die rechnerische Abscherspannung τa = Fq/A.

5  Festigkeitslehre

Schubspannungsverteilung im schubbeanspruchten Rechteckquerschnitt Für die folgenden Querschnittsformen gilt: Rechteckquerschnitt τmax = (3/2) · τa Kreisquerschnitt

τmax = (4/3) · τa

Rohrquerschnitt

τmax ca. 2 · τa

Niete und Bolzen werden mit der Abscher-Hauptgleichung berechnet, obwohl in der Schnittfläche noch ein Biegemoment übertragen werden muss. Berücksichtigt wird dies durch eine geringere zulässige Spannung τa zul. Bei längeren Bolzen sollte die Biegespannung nachgeprüft werden. Die zulässigen Abscherspannungen für Nietverbindungen im Stahlhoch- und Kranbau sind vorgeschrieben (siehe Tabellen 5.6 und 5.7).

Schnittuntersuchung am Niet

317

5.6  Beanspruchung auf Abscheren

5.6.2 Hooke’sches Gesetz für Schubbeanspruchung Am Beispiel einer würfelförmigen Schubfeder kann die Formänderung bei Schubbeanspruchung erläutert werden: Die Kraft F verschiebt die beiden Schnittufer 1 und 2 parallel gegeneinander, so dass sich die Seitenflächen des Würfels um den Winkel γ neigen. Für kleine Winkel γ darf angenommen werden, dass der Abstand l0 der beiden Schnittufer während der elastischen Formänderung erhalten bleibt. Dann ist der Tangens des Winkels γ ungefähr gleich dem Winkel in der Einheit rad, also tan γ = ∆l/l0 ≈ γ. Der Winkel γ wird als Schiebung (Winkelverzerrung) bezeichnet.

Verschiebung l Schnittuferabstand l0

Schiebung =

tan    =

l l0

 l; l0

rad mm

Man versteht die Zusammenhänge besser, wenn die Formänderung bei Schub und bei Zug (5.2.3.4) einander gegenüberstellt werden.

Bei Zug ist die Dehnung ε das Verhältnis von Verlängerung ∆l und Ursprungslänge l0, bei Schub ist die Schiebung γ das Verhältnis von Verschiebung ∆l und Schnittuferabstand l0.

Die bei Schubverformungen auftretende Schubspannung τ wächst mit der Schiebung γ verhältnisgleich: Bei doppelter Schiebung stellt sich die doppelte Spannung ein.

Bei Zug wächst die Dehnung ε proportional mit der Normalspannung σ, bei Schub wächst die Schiebung γ proportional mit der Schubspannung τ.

Wie bei der Zugbeanspruchung ist auch hier das Verhältnis von Spannung τ und Schiebung γ ein bestimmter und bei elastischer Verformung gleich bleibender Wert. Nach DIN 1304 heißt er Schubmodul G. Wird die Gleichung für den Schubmodul G umgestellt, erhält man das Hooke’sche Gesetz für Schubbeanspruchung mit dem gleichen Aufbau wie bei der Zugbeanspruchung.

Schubmodul G =

 = G =

l G l0

Schubspannung  Schiebung 

; G l; l0  N mm 1 = rad mm2

Hooke’sches Gesetz für Schubbeanspruchung

Die Definitionsgleichung für den Schubmodul G = τ/γ zeigt, dass G die Einheit der Spannung hat (vgl. mit 5.2.3.4).

N 2 Œ  N mm ŒG = = = Œ  rad mm2

Ebenso wie der Elastizitätsmodul E ist auch der Schubmodul G eine Werkstoffkonstante, die den Tabellen 5.8 und 5.9 entnommen werden können.

Beispiel: GStahl = 80000

Aufgaben Nr. 738–765

N N = 8  104 mm2 mm2

318

5  Festigkeitslehre

Verständnisübung: Nietverbindung I Aufgabenstellung:

Für die Niete wird der Werkstoff QSt 36‐3, für den Flachstahlstab S235JR gewählt.

200

An einen Winkelstahlträger L 200 × 100 × 10 EN 10056‐1 wird ein Flachstahlstab genietet. Die auf den Stab wirkende Zugkraft beträgt F = 70 kN. Das Bauverhältnis des Flachstahlprofils wird mit Breite b / Dicke s = 10 gewählt.

s

100

F = 70 kN

Bei der Auswahl der zulässigen Spannungen wird der Lastfall H – alle Hauptlasten – angenommen (siehe Tab. 5.6). Für die Nietung und das erforderliche Flachstahlprofil sollen berechnet bzw. ermittelt werden: a) die Abmessungen (Breite b und Dicke s) des Flachstahlprofils, b) der erforderliche Nietdurchmesser d1 des geschlagenen Niets (siehe auch Niete und zugehörige Schrauben für Stahl- und Kesselbau, Formeln und Tabellen, Tabelle 4.31), c) die Anzahl der Niete n, d) der vorhandene Lochleibungsdruck σl am Nietschaft (Nachprüfung und Spannungsnachweis), e) die vorhandene Zugspannung σz vorh im Flachstahlstab (Nachprüfung und Spannungsnachweis), f) das Nietbild – die Abmessungen der Niete zueinander und zu den Rändern des Flachstahlstabs. Lösung: a) Abmessungen (Breite b und Dicke s) des Flachstahlprofils Der Flachstahlstab wird auf Zug beansprucht. Der gefährdete Rechteckquerschnitt wird durch eine Nietbohrung geschwächt (siehe Bild in Lösung e), Schnitt I–II). Diese Schwächung wird durch das Verschwächungsverhältnis v berücksichtigt. v=

Nutzquerschnitt An ) An = Aerf  v ungeschwächter Querschnitt A

Technisch sinnvoll sind Werte v = 0,4 … 0,9, hier wird zunächst als Annahme v = 0,7 gewählt. Die zulässige Zugspannung σz zul für den Flachstahlstab kann der Tab. 5.6 für Bauteile aus S235JR – Lastfall H – entnommen werden: z zul = 160

N mm2

Zur Berechnung des erforderlichen Nutzquerschnitts An wird die Zug – Hauptgleichung (5.2.1) unter Berücksichtigung des Verschwächungsverhältnisses v verwendet: z zul =

F F = An Aerf  v

) Aerf =

F z zul  v

=

70 000 N = 625 mm2 N 160 mm 2  0;7

319

5.6  Beanspruchung auf Abscheren

Die erforderliche rechteckige Querschnittsfläche des Flachstahlprofils beträgt Aerf = 625 mm2. Nun kann das Bauverhältnis mit einbezogen werden: b = 10 ) b = 10  s s Aerf = b  s = 10s  s = 10 s r 625 mm2 s= = 7;9 mm 10

2

) s=

r

Aerf 10

ausgeführt s = 8 mm, b = 10 s = 80 mm, Flachstahlprofil  80 × 8 mit An = 640 mm2 b) erforderlicher Nietdurchmesser d1 des geschlagenen Niets Der Nietdurchmesserp d1 wird für die Entwurfsberechnung einer Nietverbindung nach der Gebrauchsformel d1  50  smin − 2 mm berechnet. Darin ist smin die kleinste zu verbindende Blechdicke, hier die unter Lösung a) berechnete Dicke des Flachstahlstabs (der Winkelstahlstab L 200 × 100 × 10 hat eine Schenkeldicke sL = 10 mm). p p d1  50  smin − 2 mm = 50  8 mm − 2 mm = 18 mm ausgeführt d1 = 17 mm (siehe Formeln und Tabellen, Tabelle 4.31) mit der Querschnittsfläche A1 = 227 mm2 und dem Rohniet-Durchmesser d = 16 mm c) Anzahl der Niete n Die Niete werden auf Abscheren beansprucht. Zur Bestimmung der Nietzahl wird die Abscher‐ Hauptgleichung verwendet (siehe 5.6.1). Die Nietverbindung ist einschnittig (m = 1, siehe 5.5.4). F F ) nerf = A1  nerf  m A1  a zul  m 70 000 N = = 2;2 Niete N 227 mm2  140 mm 2 1

a zul = nerf

Die zulässige Abscherspannung beträgt

a zul = 140

N mm2

(Formeln und Tabellen, Tabelle 4.22)

ausgeführt n = 3 Niete mit dem Nietdurchmesser d1 = 17 mm

d) Nachprüfung des Lochleibungsdrucks σl (siehe 5.5.4) Obwohl der Nietdurchmesser d1 auf Abscherung berechnet wurde, kann der Lochleibungsdruck σl einen unzulässig hohen Wert erreichen. N

Der zulässige Lochleibungsdruck für Niete UST 36‐3 beträgt σl zul = 280 (siehe Formeln mm2 und Tabellen, Tabelle 4.22). Berechnet wird der Lochleibungsdruck über die Flächenpressungsgleichung für Nietverbindungen (siehe 5.5.4): Die Nietverbindung mit n = 3 Nieten, Rohnietdurchmesser d = 16 mm, ist zulässig.

320

5  Festigkeitslehre

e) Nachprüfung der Zugspannung σz im Flachstahlstab

8 mm dick

Der gefährdete Querschnitt des Flachstahlprofils liegt im Schnitt I–II, weil die Nietbohrung den Querschnitt schwächt.

z vorh =

II

I

Wie unter der Lösung a) wird für die Nachprüfung der Zugspannung σz die Zug‐Hauptgleichung aufgestellt, damit die vorhandene Zugspannung σz vorh berechnet und mit der zulässigen Zugspannung σz zul verglichen.

17 80

F 70 000 N N = = 139 An 80 mm  8 mm − 17 mm  8 mm mm2

Hinweis: Im gedachten Schnitt I–II ist die projizierte Bohrungsfläche rechteckförmig. Spannungsnachweis: N N z vorh = 139 < z zul = 160 2 mm mm2 Der Flachstahlstab  80 × 8 kann verwendet werden. f) Nietbild

Randabstand  e = 2 d1 = 2 · 17 mm = 34 mm ausgeführt e = 35 mm  e′ ≥ 1,5 d1 = 1,5 · 17 mm = 25,5 mm ausgeführt seitlicher Randabstand e′ = 40 mm

160

Nietabstand  a ≥ 2,5 d1 = 2,5 · 17 mm = 42,5 mm ausgeführt a = 45 mm

a = 45 e = 35

Anreißmaße werden nach DIN 997, Mindestversatzmaße nach DIN 998 und DIN 999 festgelegt.

e′ = 40

e = 35 a = 45

Das Nietbild wird mit den Maßen für den Nietabstand a und dem Randabstand e entwickelt. Dabei müssen die genormten Abstände der Niete untereinander und von den Rändern der Bauteile aus eingehalten werden (DIN ISO 5261).

Nietbild Maßstab 1 : 5

Zusatzaufgabe: Bei der Berechnung der Abmessungen des Flachstahlprofils (Lösung a)) wurde das Verschwächungsverhältnis v frei gewählt (v = 0,7). Welche Änderungen würden sich in der gesamten Berechnung der Nietverbindung ergeben, wenn das Verschwächungsverhältnis entweder v0,5 = 0,5 oder v0,9 = 0,9 gewählt worden wäre?

321

5.6  Beanspruchung auf Abscheren

Lösung: Verschwächungsverhältnis v0,5 bzw. v0,9 Die erforderliche Querschnittsfläche Aerf des Flachstahlprofils würde sich ändern (Lösung a)). Mit nun v0,5 = 0,5 wird sie größer, weil das Verschwächungsverhältnis im Nenner der Gleichung für die erforderliche Querschnittsfläche steht. Sie wird sich mit v0,9 = 0,9 verkleinern:   F 70 000 N Aerf 0,9 = 486 mm2 Aerf 0,5 = = = 875 mm2 N z zul  v0;5 160 mm 2  0;5 Damit verändern sich auch die Breite b und Dicke s des Flachstahlprofils: q q Aerf 0,5 875 mm2 s0;5 = = = 9;4 mm (s0;9 = 7 mm) 10 10 ausgeführt s0;5 = 10 mm .s0;9 = 8 mm/ b0;5 = 10  s0;5 = 100 mm .b0;9 = 80 /

ausgeführt Flachstahlprofil  100 × 10 ( 80 × 8) In die Berechnung des Nietdurchmessers d1 (Lösung b)) geht jeweils die kleinste Blechdicke s0,5 bzw. s0,9 ein: p p d1 0,5  50  smin − 2 mm = 50  10 mm − 2 mm = 20,4 mm ausgeführt d1 0,5 = 21 mm (siehe Formeln und Tabellen, Tabelle 4.31) mit der Querschnittsfläche A1 = 346 mm2 und dem Rohniet-Durchmesser d = 20 mm p p d1 0,9  50  smin − 2 mm = 50  8 mm − 2 mm = 18 mm ausgeführt d1 0,9 = 17 mm (siehe Formeln und Tabellen, Tabelle 4.31) mit der Querschnittsfläche A1 = 227 mm2 und dem Rohniet-Durchmesser d = 16 mm

Die Anzahl der Niete (Lösung c)) ergibt sich nun mit 70 000 N F = 1;5 Niete .nerf 0,9 = 2;2 Niete/ nerf 0,5 = = N a zul  A1 0;5  m 140 mm2  346 mm2  1 ausgeführt nerf 0,5 = 2 Niete

.nerf 0,9 = 3 Niete/

In die Nachprüfung des Lochleibungsdrucks (Lösung d)) gehen die Nietdurchmesser d1 0,5 und d1 0,9 ein. Da d10,9 = d1 ist, bleibt der Lochleibungsdruck in diesen beiden Entwurfsberechnungen gleich groß. Für d1 0,5 = 21 mm ergibt die Berechnung: l vorh 0,5 =

F 70 000 N N = = 167 n0;5 d1 0;5 s0;5 2  21 mm  10 mm mm2



l vorh 0,9 = 171;6

N mm2



Spannungsnachweis: N N < l zul = 280 (siehe Formeln und Tabellen, Tabelle 4.22) l vorh 0,5 = 167 2 mm mm2

Die Nietverbindung mit n0, 5 = 2 Nieten, Rohnietdurchmesser d0, 5 = 20 mm, ist zulässig.

322

5  Festigkeitslehre

Die Nachprüfung der Zugspannung σz vorh 0,5 für das Flachstahlprofil muss nur für das Profil  100 × 10 durchgeführt werden, weil sich die Profilabmessungen für das Verschwächungsverhältnis v0,9 nicht geändert haben. F 70 000 N N z vorh 0,5 = = = 88;6 An 0,5 100 mm  10 mm − 21 mm  10 mm mm2 Spannungsnachweis: N N z vorh 0,5 = 88;6 < z zul = 160 2 mm mm2

Der Flachstahlstab  100 × 10 kann verwendet werden. Erkenntnisse: Mit kleiner werdendem Verschwächungsverhältnis steigen die Größe der erforderlichen Querschnittsfläche und damit auch die Abmessungen eines Profils. Die erforderliche Anzahl der Niete nimmt ab, weil die Querschnittsfläche – und damit auch mögliche Nietdurchmesser – bei kleiner werdendem Verschwächungsverhältnis größer werden. Hinweis: Bei v = 0,7 und v = 0,9 sind die ausgeführten Größen beider Entwurfsberechnungen gleich groß. Gründe dafür sind große Auf‐ bzw. Abrundungen und Normvorgaben der Nietgrößen und Flachstahlprofile.

323

5.6  Beanspruchung auf Abscheren

Verständnisübung: Nietverbindung II Aufgabenstellung:

l = 600 mm

F = 12 kN

Die Stützbleche bestehen aus Stahl S235JR, die Niete aus Stahl QSt 36‐3. Bei der Auswahl der zulässigen Spannungen wird der Lastfall H – alle Hauptlasten – angenommen (siehe Tab. 5.6).

s

Werkstoffauswahl:

h

Für die Laufschienen eines Hallenkrans werden tragende Stützbleche (Konsolbleche) an U‐Träger U 200 DIN 1026 genietet.

Für die Nietung und die erforderlichen Abmessungen der Stützbleche müssen berechnet bzw. ermittelt werden: a) die Abmessungen (Höhe herf und Dicke serf) der Stützbleche, b) der erforderliche Nietdurchmesser d1 des geschlagenen Niets (siehe auch Formeln und Tabellen, Tabelle 4.31), c) die erforderliche Anzahl der Niete nerf pro Stützblech und das Nietbild, d) die Spannungsnachweise für den Lochleibungsdruck σl vorh und die Abscherspannung τa vorh. Lösung: a) Abmessungen (Höhe herf und Dicke serf) der Stützbleche Zunächst wird über die Biege‐Hauptgleichung das erforderliche axiale Widerstandsmoment ermittelt. Daraus können dann die Abmessungen der Stützbleche (Höhe h und Dicke s) berechnet werden (siehe 5.9.4): Mb max b zul = umgestellt nach dem erforderlichen Widerstandsmoment Werf W Werf  v Mb max Werf = b zul  v maximales Biegemoment Mb max W Mb max = F  l = 12 000 N  600 mm = 72  105 Nmm zulässige Biegespannung b zul W N b zul = 160 nach Tab. 5.6 – Lastfall H (alle Hauptlasten) mm2 Die Schwächung des Querschnitts durch die Nietbohrungen wird durch das frei gewählte Verschwächungsverhältnis v = 0;8 berücksichtigt (siehe auch Verständnisübung Nietverbindung I).

Damit kann das erforderliche Widerstandsmoment Wx erf berechnet werden: Wx erf =

Mb max 72  105 Nmm = 56;25  103 mm3 = N b zul  v 160 mm 2  0;8

324

5  Festigkeitslehre

Für den Rechteckquerschnitt lautet die Formel für das axiale Widerstandsmoment 2. Grades um die x‐Achse Wx erf =

b  h2 s  h2 = (siehe Tab. 5.1) 6 6

Mit der aus der Erfahrung heraus frei gewählten Blechdicke s = 8 mm kann dafür nun die erforderliche Höhe herf des Stützblechs berechnet werden: q q 3 mm3 herf = 6Wsx erf = 656;2510 = 205;4 mm 8 mm ausgeführt h = 210 mm

b) Nietdurchmesser d1 des geschlagenen Niets Der Nietdurchmesserp d1 wird für die Entwurfsberechnung einer Nietverbindung nach der Gebrauchsformel d1  50  smin − 2 mm berechnet. Darin ist smin die kleinste zu verbindende Blechdicke, hier die unter Lösung a) frei gewählte Dicke des Stützblechs (der U 200‐Träger hat eine Schenkeldicke sU = 8,5 mm). p p d1  50  smin − 2 mm = 50  8 mm − 2 mm = 18 mm ausgeführt d1 = 17 mm (siehe Formeln und Tabellen, Tabelle 4.31) mit der Querschnittsfläche A1 = 227 mm2 und dem Rohniet-Durchmesser d = 16 mm

Nietabstand

a ≥ 2,5 d1 = 2,5 · 17 mm = 42,5 mm ausgeführt a = 50 mm

210

a a a e

Für den Entwurf der Nietverbindung werden n = 4 Niete gewählt, weil sie gut über die Höhe h = 210 mm des Stützblechs verteilt werden können.

e

c) Anzahl der Niete n, Nietbild

Randabstand e ≈ 2 d1 = 2 · 17 mm = 34 mm ausgeführt e = 30 mm e′ ≥ 1,5 d1 = 1,5 · 17 mm = 25,5 mm ausgeführt e′ = 30 mm seitlicher Randabstand d) Spannungsnachweise für die Abscherspannung τa und den Lochleibungsdruck σl Die Nietkonstruktion muss sowohl das äußere Biegemoment Mb = F · l als auch die Querkraft Fq übertragen. Dabei werden die äußeren Niete am stärksten beansprucht. Aus der Skizze des frei gemachten Stützblechs kann man erkennen, dass das äußere Biegemoment Mb = F · l durch die Kräftepaare M1 = F1 · 3a und M2 = F2 · a, die proportional voneinander abhängig sind, aufgenommen wird (ΣM(SP) = 0). Gleichgewichtsbedingungen: P II. Fy = 0 = Fq − F P III. M(SP) = 0 = F1  3a + F2  a − F  l

325

5.6  Beanspruchung auf Abscheren

Die proportionale Abhängigkeit der Kräfte F1 und F2 voneinander kann über den Strahlensatz ausgedrückt werden:

F2

für F2 in die Momenten-Gleichgewichtsbedingung eingesetzt:

Die maximale Belastung der beiden äußeren Niete wird über den Satz des Pythagoras aus den senkrecht aufeinander stehenden Komponenten F1 und Fq / 4 = F / 4 = 3 · 103 N ermittelt: s  2 F 2 Fmax = F1 + 4 q Fmax = .43;243  103 N/2 + .3  103 N/2 Fmax = 43 347 N

Die maximal auf die beiden äußeren Niete wirkende Kraft beträgt Fmax = 43 347 N.

SP = Schwerpunkt des Nietsystems

F2

F1 3

F1 F1  3a + a−F l =0 3   a =F l F1 3a + 3 F l 72  105 Nmm = 43 243 N F1 = = 3; 3a 3; 3  50 mm

F

F1

a 2

umgestellt nach F2 W

Fq = F

3a 2

F1 3 a2 3 = a = F2 1 2 F1 F2 = 3

l

F1 Konsolblech freigemacht (Kräfte bezogen auf BlechLochquerschnitt)

Fmax

F 4

F1 F2

F 4 F 4

F2

F 4

Fmax F1

Kräfte bezogen auf den einzelnen Niet (Reaktionskräfte aus obiger Skizze)

Hinweis: Die zusätzliche Belastung der Niete durch die Querkraft F / 4 ist vernachlässigbar, weil sich Fmax ohne die Querkraft nur um 104 N (0,24 %) verringern würde. Damit geht der Einfluss der Querkraft auf die Abscherspannung und den Lochleibungsdruck gegen null. Die vorhandene Abscherspannung τa vorh wird über die Abscher‐Hauptgleichung ermittelt: Fmax 43 347 N N a vorh = = = 191 2 A1 227 mm mm2 Spannungsnachweis der Abscherspannung N N a vorh = 191 > a zul = 140 .a zul siehe Formeln und Tabellen, Tabelle 4.22/ mm2 mm2

326

5  Festigkeitslehre

Die zulässige Abscherspannung wird überschritten; deshalb wird der Nietdurchmesser auf d1 = 21 mm (A1 = 346 mm2) erhöht (siehe Formeln und Tabellen, Tabelle 4.31). Alle anderen Abmessungen bleiben erhalten, ebenso die Anzahl der Niete mit n = 4. Neuer Spannungsnachweis der Abscherspannung Fmax 43 347 N N N a vorh = = = 125 < a zul = 140 2 2 A1 346 mm mm mm2 Spannungsnachweis des Lochleibungsdrucks Fmax 43 347 N N N l vorh = < l zul = 280 = = 258 d1  s 21 mm  8 mm mm2 mm2 .l zul siehe Formeln und Tabellen, Tabelle 4.22/ Ergebnis: Die Nietkonstruktion mit n = 4 Nieten bei einem Rohnietdurchmesser d = 20 mm ist zulässig. Zusatzaufgabe: Konstruktiv wäre es möglich, die Höhe der Stützbleche so weit zu vergrößern, dass n = 5 Niete eingesetzt werden könnten. Welche Änderungen bzw. Auswirkungen würden sich im Hinblick auf die bisherige Nietkonstruktion mit n = 4 Nieten ergeben? Lösung: Grundsätzliche Überlegungen: Der in Lösung b) über die Entwurfsberechnung ermittelte Nietdurchmesser d1 = 17 mm bleibt erhalten, weil die Gebrauchsformel nur auf der Blechdicke smin aufbaut, die mit s = 8 mm nicht verändert wird. Da damit auch die Nietabstände ungefähr eingehalten werden können, wird sich die Höhe h der Stützbleche vergrößern (Lösung c)). Die Skizze des frei gemachten Stützblechs in Lösung d) zeigt, dass sich die Wirkabstände der Abscherkräfte F1 und F2 vergrößern müssen. Das wiederum hat sicherlich zur Folge, dass sich der Nenner der aus der Momenten‐Gleichgewichtsbedingung abgeleiteten Kraft F1 =

F l 3; 3a

ver-

größern wird und damit die maximal auf die äußeren Niete wirkende Kraft Fmax kleiner wird. Mit einer kleineren Maximalkraft werden sich auch die vorhandene Abscherspannung und der vorhandene Lochleibungsdruck verringern. Noch nicht beantwortet werden kann die Frage, ob durch die Erhöhung der Nietanzahl die vorhandene Abscherspannung so weit sinkt, dass eine Erhöhung des Nietdurchmessers auf d1 = 21 mm überflüssig wird (Lösung d)). Das wird die Nachrechnung zeigen.

327

5.6  Beanspruchung auf Abscheren

Nachrechnung für Stützbleche mit n = 5 Nieten: l

a e

Fq

a

a

F2

a

a

F

F1

SP

e a

h = 260 mm

e'

F2 F1

Nietbild des Stützblechs mit n = 5 Nieten

Stützblech mit n = 5 Nieten, frei gemacht

Der Nietdurchmesser d1 = 18 mm wird aus Lösung b) übernommen. Die Abstände Nietabstand a = 50 mm, Randabstand e = 30 mm und seitlicher Randabstand e′ = 30 mm werden ebenfalls übernommen. Die neue Höhe h der Stützbleche mit n = 5 Nieten ergibt sich aus dem Nietbild: h = 4  a + 2  e = 4  50 mm + 2  30 mm = 260 mm Die Ermittlung der Spannungsnachweise für die Abscherspannung τa und den Lochleibungsdruck σl orientiert sich an der Lösung d). Aus der Skizze des frei gemachten Stützblechs lässt sich erkennen, dass der mittlere Niet nicht belastet wird. Die proportionale Abhängigkeit der Kräfte F1 und F2 wird wiederum über den Strahlensatz ausgedrückt. Gleichgewichtsbedingungen: P II. Fy = 0 = Fq − F P III. M(SP) = 0 = F1  4a + F2  2a − F  l Strahlensatz: F1 2a 2 = = F2 a 1

umgestellt nach F2 ! F2 =

F1 2

F1 für F2 eingesetzt: 2 F1 F1  4a +  2a − F  l = 0 2 In III.

F1  5a − F  l = 0 F  l 12  103 N  6  102 mm = = 28 800 N 5a 5  50 mm F1  Fmax = 28 800 N F1 =

328

5  Festigkeitslehre

Die zusätzliche Belastung der beiden äußeren Niete durch die Querkraft Fq wird vernachlässigt (siehe Hinweis in Lösung d)). Damit reduziert sich die Belastung der äußeren Niete bei n = 5 Nieten gegenüber der Nietkonstruktion mit n = 4 Nieten um ungefähr 33 %. Die vorhandene Abscherspannung τa vorh wird wieder über die Abscher‐Hauptgleichung ermittelt: Fmax 28 800 N N a vorh = = = 127 A1 227 mm2 mm2 Spannungsnachweis der Abscherspannung N N a vorh = 127 < a zul = 140 .a zul siehe Formeln und Tabellen, Tabelle 4.22/ 2 mm mm2 Spannungsnachweis des Lochleibungsdrucks Fmax 28 800 N N N l vorh = < l zul = 280 = = 212 d1  s 17 mm  8 mm mm2 mm2 .l zul siehe Formeln und Tabellen, Tabelle 4.22/ Ergebnis: Die Nietkonstruktion mit n = 5 Nieten bei einem Rohnietdurchmesser d = 16 mm ist zulässig. Erkenntnisse: Durch die Erhöhung der Nietanzahl von vier auf fünf Niete ist keine Vergrößerung des Nietdurchmessers auf d1 = 21 mm erforderlich. Die maximale Belastung der äußeren Niete sinkt um ca. 33 %. Auch die vorhandene Abscherspannung und der vorhandene Lochleibungsdruck sinken weit unter die zulässigen Werte. Dafür muss eine Zunahme der Stützblechhöhe um 50 mm in Kauf genommen werden. Diese Höhenzunahme hat jedoch auch eine Zunahme des axialen Widerstandsmoments um ca. 53 % zur Folge, was die Steifigkeit der Stützbleche wesentlich erhöht.

329

5.6  Beanspruchung auf Abscheren

Verständnisübung: Zugbolzen Aufgabenstellung: h

Für den skizzierten Zugbolzen eines Stanzwerkzeugs, der von einer Kraft F = 20 kN ruhend belastet wird, sind die erforderlichen Abmessungen zu bestimmen.

D d + 3 mm

Als Werkstoff für den Zugbolzen wird Stahl E295 gewählt und eine maximal zulässige Zugspannung σz zul = 60 N/mm2 vorgeschrieben. Die Stanzplatte besteht aus Stahl S275J0.

Zugbolzen d Stanzplatte F

Die maximal zulässige Flächenpressung zwischen dem Zugbolzen und der Stanzplatte wird auf pzul = 15 N/mm2 begrenzt. Die zulässige Abscherspannung darf τa zul = 30 N/mm2 nicht überschreiten. Im Einzelnen sind zu berechnen (siehe Skizze des Zugbolzens): a) Der erforderliche Bolzendurchmesser derf, b) der erforderliche Kopfdurchmesser Derf, c) die erforderliche Kopfhöhe herf. Lösung: a) erforderlicher Bolzendurchmesser derf Da der Zugbolzen auf Zug beansprucht wird, gilt die Zug‐Hauptgleichung (5.2.1): F z zul = Aerf Da die zulässige Zugspannung σz zul und die Belastung F des Zugbolzens gegeben sind, kann durch Umstellung der Gleichung die erforderliche Querschnittsfläche Aerf berechnet werden: F 20 000 N Aerf = = = 333 mm2 N z zul 60 mm 2 Der Bolzen hat einen kreisförmigen Querschnitt: 2   derf umgestellt nach derf : 4 r r 4  Aerf 4  333 mm2 derf = = = 20;6 mm     ausgeführt d = 22 mm (Normmaß nach DIN 323)

Aerf =

b) erforderlicher Kopfdurchmesser Derf Durch die Kraft F wird der Kopf des Zugbolzens über eine kreisringförmige Auflagefläche Akr auf die Stanzplatte gepresst. Es wirkt Flächenpressung mit deren Hauptgleichung (5.5.1): F pzul = Akr erf

330

5  Festigkeitslehre

Mit den bekannten Größen pzul und F kann die Hauptgleichung nach der erforderlichen Kreisringfläche Akr erf umgestellt werden: F 20 000 N Akr erf = = = 1333 mm2 N pzul 15 mm 2 In der Flächenformel für den Kreisringquerschnitt kommen sowohl der erforderliche Kopfdurchmesser D (gesucht) als auch der Bolzendurchmesser d (unter Lösung a) berechnet) vor (Formeln und Tabellen, 7.20b.): r    2 4  Akr erf 2 Akr erf = Derf − d ! Derf = + d2 4   Da die Bohrung für den Zugbolzen angefast worden ist, wird der Durchmesser d des Zugbolzens auf d + 3 mm = 25 mm erhöht. q 2 Derf = 41333  mm + 252 mm2 = 48;2 mm ausgeführt D = 50 mm (Normmaß nach DIN 323)

Bei einer angenommen extrem großen Zugkraft F könnte der Bolzen entlang einer Zylindermantelfläche „abgeschert“ werden. Das ist der gefährdete Querschnitt zwischen dem Bolzen und dem Kopf des Zugbolzens (siehe Skizze).

h

c) erforderliche Kopfhöhe herf

A = Zylindermantel F

Es gilt die Abscher‐Hauptgleichung (5.6.1): F a zul = Azm erf Mit den bekannten Größen Zugkraft F und zulässiger Abscherspannung τa zul wird die Gleichung nach der Zylindermantelfläche Azm umgestellt: F 20 000 N Azm erf = = = 667 mm2 N a zul 30 mm 2 Die Gleichung für die Zylindermantelfläche lautet Azm erf = π · d · herf → umgestellt nach der gesuchten Größe herf: mm zm erf herf = A d = 667 = 9;65 mm  22 mm ausgeführt h = 10 mm (Normmaß nach DIN 323) 2

Zusatzaufgabe 1 (ZA 1): Um die auf Flächenpressung beanspruchte Kopfauflage des Zugbolzens optimieren zu können, wird eine s = 5 mm breite, ringförmige Nut mit dem Innendurchmesser dr = 31 mm in die kreisringförmige Kopfauflage des Zugbolzens gefräst.

331

5.6  Beanspruchung auf Abscheren

Welche konstruktiven Änderungen ergeben sich durch diese Maßnahme für die Abmessungen des Zugbolzens? Grundsätzliche Überlegungen: Der über die Zug‐Hauptgleichung (Lösung a)) berechnete Bolzendurchmesser d = 22 mm bleibt erhalten, weil die Flächenpressung hier keine Rolle spielt. Die in Lösung  b) über die Flächenpressungs‐Hauptgleichung berechnete erforderliche Fläche Akr erf = 1333 mm2 muss erhalten bleiben, da sonst die zulässige Flächenpressung pzul = 15 N/mm2 überschritten wird. Wenn die ursprüngliche, auf Flächenpressung beanspruchte Kreisringfläche (D = 50 mm, d = 22 mm) durch eine – nicht belastete – Kreisringnut verkleinert wird, muss zwangsläufig der Kopfdurchmesser D vergrößert werden, damit die erforderliche gepresste Fläche Akr erf = 1333 mm2 eingehalten wird. Die Frage, ob die Erhöhung des Außendurchmessers D vom exakt berechneten Wert Derf = 48,2 mm auf das Normmaß D = 50 mm ausreicht, um den Flächenverlust durch die Ringnut zu kompensieren, kann nur über die folgende Berechnung beantwortet werden. Dr

Nachrechnung: Die Gleichung für die ursprüngliche Kreisringfläche aus Lösung b) wird um die Fläche der Ringnut Ar reduziert:    2 Derf − d 2 − Ar Akr erf = 4

dr

s

gepresste Flächen zwischen Zugbolzenkopf und Stanzplatte

umgestellt nach dem neuen Kopfdurchmesser Derf: 4 .Akr erf + Ar / 2 Derf − d2 =   r 4 .Akr erf + Ar / Derf = + d2  

Ringnut d D

Hinweis: Im Vergleich zu der in Lösung b) entwickelten Gleichung Derf =

r

4  Akr erf + d 2 ist  

D Kopfdurchmesser (gesucht) d Bolzendurchmesser (bekannt, Lösung a)) Dr , dr Ringdurchmesser Dr = 41 mm, dr = 31 mm

deutlich erkennbar, dass die ursprünglich erforderliche Kreisringfläche Akr erf um die nicht tragende Ringnutfläche Ar erhöht wird:    2    2 Dr − dr2 = 41 − 312 mm2 = 565;5 mm2 Ar = 4 4 q mm2 + .22 mm/2 Derf = 4.1333+565;5/   Derf = 53;9 mm, ausgeführt D = 56 mm (Normmaß nach DIN 323)

332

5  Festigkeitslehre

Der Durchmesser des Zugbolzenkopfes erhöht sich durch die Kreisringnut mit s = 5 mm Nutbreite auf D = 56 mm. Zusatzaufgabe 2 (ZA 2): Welche Breite s dürfte die Ringnut höchstens haben, wenn alle bisher berechneten Maße für den Zugbolzen ohne Ringnut eingehalten werden müssen? Lösung: Ausgangsgleichung ist die um die Ringnut reduzierte Kreisringfläche aus der Nachrechnung der ZA 1:    2 Derf − d 2 − Ar Akr erf = 4 Zusammenstellung aller bekannten und gesuchten Größen: • Akr erf = 1333 mm2 (Lösung b)) • D = 50 mm, d = 22 mm (Lösung b)) • dr = 31 mm (siehe Skizze in ZA 1) • s = ? mm Die Ausgangsgleichung wird nach der Fläche der Ringnut Ar umgestellt:  2  Ar =  4 Derf − d 2 − Akr erf   Ar =  4 502 − 222 mm2 − 1333 mm2 = 250 mm2 Die (nicht belastete) Kreisringfläche der Ringnut beträgt Ar = 250 mm2. Damit und mit dem bekannten Innendurchmesser dr = 31 mm wird eine Gleichung für die Breite s der Ringnut entwickelt:   Ar =  4 hDr2 − dr2 j Dri= dr + 2s (siehe Skizze in ZA 1)     Ar =  4 .dr + 2s/2 − dr2 =  4 dr2 + 2  2dr s + 4s 2 − dr2 =   dr s + s 2 Ar  

= s 2 + dr s !

Ar  

=

250 mm2  

= 79;6 mm2

So ergibt sich die Normalform einer quadratischen Gleichung (siehe Formeln + Tabellen Mechanik, Gleichungen 7.12. und 7.13.): s 2 + dr s − 79;6 mm2 = 0 r  q 2  dr dr 31 mm 2 2 = − 31 mm ˙ s1;2 = − 2 ˙ + 79;6 mm + 79;6 mm2 2 2 2 s1 = 2;38 mm | s2 = −33;4 mm (nicht möglich)

Die bei einem Kopfdurchmesser des Zugbolzens D = 50 mm maximal mögliche Nutbreite beträgt smax = 2,38 mm.

333

5.7  Flächenmomente 2. Grades und Widerstandsmomente

5.7 Flächenmomente 2. Grades und Widerstandsmomente Axiale und polare Flächenmomente 2. Grades und Widerstandsmomente sind nur von der Querschnittsfläche abhängige mathematische Ausdrücke, die zur Berechnung von Biegespannungen (siehe 5.9), Torsionsspannungen (siehe 5.8) sowie Formänderungen in diesen beiden Beanspruchungen benötigt werden.

5.7.1 Gleichmäßige und lineare Spannungsverteilung (Gegenüberstellung) Zum Verständnis der Beanspruchungsarten Torsion, Biegung und Knickung muss man eine geometrische Betrachtung vorausschicken. Die bisher bekannten Hauptgleichungen sind alle nach dem gleichen Schema aufgebaut: Im Zähler des Bruchs steht in allen Fällen die Kraft F als statische Größe, im Nenner die Querschnittsfläche A als geometrische Größe, weil bei diesen vier Beanspruchungsarten jedes Flächenteilchen den gleichen Spannungsbetrag zu übertragen hat. Anders gesagt: Die Spannung (oder Pressung) ist gleichmäßig über dem Querschnitt verteilt.

FN A Zug/Druck­ Hauptgleichung

z;d =

p =

FN Aproj

Flächenpressungs­ gleichung für Gleitlager (siehe 5.5.4)

Fq A Abscher­ Hauptgleichung

a =

l =

F nAproj

Flächenpressungs­ gleichung für Nietverbindungen (siehe 5.5.4)

Das ist bei den Beanspruchungsarten Torsion und Biegung anders. Hier haben die Randfasern des Querschnitts die größte Spannung zu übertragen. (τmax bei Torsion und σmax bei Biegung). Nach der Querschnittsmitte zu, genauer: zur neu­ tralen Faser hin, sinkt die Spannung gleichmäßig bis auf null ab. Man spricht dann von einer linearen Spannungsverteilung, im Gegensatz zur gleichmäßigen Spannungsverteilung bei den Beanspruchungsarten Zug, Druck, Abscheren und Flächenpressung. Aussagebegrenzung: Alle Erläuterungen zur Torsionsbeanspruchung gelten nur für Kreis- und Kreisringquerschnitte.

Spannungsbild bei Torsions- und Biegebeanspruchung (lineare Spannungsverteilung)

334

5  Festigkeitslehre

5.7.2 Definition der Flächenmomente 2. Grades Aus der unterschiedlichen Spannungsverteilung gegenüber Zug-, Druck-, Abscher- und Pressungsbeanspruchung wird verständlich, dass die Hauptgleichungen für Biegung und Torsion nicht ganz so einfach aufgebaut sein können, wie die bisher bekannten Hauptgleichungen. Tatsächlich erscheint in den Herleitungen dieser Gleichungen (5.8.2 und 5.9.4) nicht mehr die Quer­ schnittsfläche als geometrische Größe im Nenner, sondern ein Summenausdruck, der als Flächen­ moment 2. Grades I bezeichnet wird. Das Flächenmoment für Biegung heißt axiales, das für Torsion von Stäben mit Kreis- oder Kreisringquerschnitt (Wellen) heißt polares Flächenmoment 2. Grades. Da beide Flächenmomente aus der Herleitung heraus gleichartig aufgebaut sind, gilt die folgende Definition: Multipliziert man jedes Flächenteilchen ∆A einer Fläche mit dem Quadrat seines Abstandes von einem Bezugspunkt oder von einer Bezugsachse (ϱ, x, y), dann ergibt die Summe dieser Produkte das Flächenmoment zweiten Grades I dieser Fläche.

Hinweis: Gleichmäßige Spannungsverteilung bei Zug, Druck, Abscheren und Flächenpressung. Lineare Spannungsverteilung bei Biegung und Torsion. Mb MT b = r e t = I Ip Biege- und Torsions-Hauptgleichung in noch nicht endgültiger Form (5.8.2 und 5.9.4).

Ix = A1 y12 + A2 y22 + A3 y32 + : : : + An yn2

Iy = A1 x12 + A2 x22 + A3 x32 + : : : + An xn2

Ix  = Σ ∆A y2 2

Iy  = Σ ∆A x

axiales Flächenmoment 2. Grades (für Biegung und Knickung erforderlich)

Definitionsgleichung Ip = A1 %21 + A2 %22 + A3 %23 + : : : + An %2n

Ip  = Σ∆A ϱ2 Definitions­ gleichung

polares Flächenmoment 2. Grades (für Torsion von Stäben mit Kreisoder Kreisringquerschnitt erforderlich)

Bezugsachse ist immer diejenige neutrale Faser des Querschnitts, um die gebogen oder verdreht wird (x–x, y–y oder 0).

Aus dieser Definition ergibt sich auch die Einheit mm4 (Fläche mal Abstandsquadrat). Neben den beiden axialen Flächenmomenten Ix, Iy und dem polaren Flächenmoment Ip unterscheidet man noch das gemischte Flächenmoment Ixy.

[I] = [A] · [x, y, ϱ]2 = mm2 · mm2 = mm4 [I] = mm4 Hinweis: Man geht hier von der Längeneinheit mm aus, weil im Maschinenbau und in der Feinwerktechnik damit gearbeitet wird. Grundsätzlich dürfen auch cm und m benutzt werden (cm4, m4).

5.7  Flächenmomente 2. Grades und Widerstandsmomente

Das gemischte Flächenmoment6 Ixy ist von Bedeutung • bei der Belastung unsymmetrischer Querschnitte oder

335

Ix,y = ∑xy A Gemischtes Flächenmoment Ixy bezogen auf das Achsenpaar (x, y). Ixy kann  0 oder = 0 sein

• wenn bei symmetrischen Querschnitten die Belastungsrichtung nicht mit einer der Hauptachsen x oder y zusammenfällt.

Definition des gemischten Flächen­ moments

Das gemischte Flächenmoment Ixy ist die Summe der Flächenteilchen A einer ebenen Fläche A, bezogen auf ein in der Ebene liegendes Achsenpaar (x, y), jedes multipliziert mit dem Produkt seiner rechtwinkligen Abstände x und y von beiden Achsen. Die axialen und polaren Flächenmomente Ix, Iy, Ip sind wegen ihrer Abstandsquadrate immer positiv. Gemischte (biaxiale) Flächenmomente können dagegen positiv, negativ oder null werden. Ixy ist null für symmetrische Flächen in Bezug auf ein auf die Symmetrieachse bezogenes Koordinatensystem. In diesem Fall entspricht ein positives gemischtes Flächenteilchen A (Koordinaten +x, y) einem symmetrisch gelegenen negativen gemischten Flächenteilchen A (Koordinaten −x, y). Bei der Summenbildung Ix,y = ∑ x y A heben sich ihre Beträge auf. Das gemischte Flächenmoment wird ebenfalls null in Bezug auf die zugeordneten oder konjugierten Achsen. Stehen diese Achsen rechtwinklig aufeinander, heißen sie Hauptachsen I, II. Die auf sie bezogenen Flächenmomente heißen dann Haupt­ flächenmomente 2. Grades II, III. Das Hauptachsenpaar I, II besitzt immer das größte und das kleinste axiale Flächenmoment. Jede Symmetrieachse einer Fläche ist auch eine Hauptachse. Sind für ein beliebiges rechtwinkliges Achsenkreuz x, y die Flächenmomente Ix, Iy, Ixy bekannt, so kann der Winkel ˛0, um den das Achsenkreuz gedreht werden muss, damit es die Lage der Hauptachsen annimmt, bestimmt werden.

6

Gemischtes Flächen­ moment an einem ein­ fach symmetrischen Querschnitt

Berechnung der Flächenmomente 2. Grades – Hauptachsen

2Ixy Iy − Ix Neigung der Hauptachsen – Definitionsglei­ chung des Winkels ˛0 tan 2 ˛0 =

Hinweis: Unter den Flächenmomenten 2. Grades sind, wenn die Angabe der Bezugspunkte bzw. -achsen fehlt, immer die auf den Schwerpunkt der Fläche bezogenen Hauptflächenmomente zu verstehen.

Andere Bezeichnungen des gemischten Flächenmoments: (Flächen-)Deviationsmoment (Deviation → Abweichung), (Flächen‑)Zentrifugalmoment.

336

5  Festigkeitslehre

Damit können die maximalen und minimalen Hauptflächenmomente 2. Grades bestimmt werden. In den Herleitungen in 5.8.2 und 5.9.4 erscheint außer dem Summenausdruck der Quotient Ip/r (bei Torsion) und I/e (bei Biegung). Darin sind r und e die Randfaserabstände, d. h. die Abstände vom Bezugspunkt oder von der Bezugsachse bis zur Randfaser. Dieser Quotient heißt Widerstandsmoment W =

Flächenmoment I Randfaserabstand r .oder e/

Am häufigsten werden die Widerstandsmomente in Bezug auf die beiden in der Querschnittsfläche liegenden Achsen x, y und in Bezug auf die rechtwinklig zum Querschnitt stehende 0-Achse gebraucht. Nach den Achsen werden sie auch bezeichnet. Mit Hilfe der Integralrechnung lassen sich für die verschiedenen Querschnittsformen Berechnungsgleichungen entwickeln; die wichtigsten sind in den Tabellen  5.1 und 5.2 zusammengestellt. Für genormte Profile (Winkel-, I-Profil usw.) enthalten die Profilstahltabellen ausgerechnete Werte für Flächenmomente I und Widerstandsmomente W.

II = Imax =

Ix + Iy 1 + 2 2

q 2 2 Iy − Ix + 4Ixy

III = Imin =

Ix + Iy 1 − 2 2

q

Iy − Ix

2

2 + 4Ixy

Randfaserabstand e und r I e Ip Wp = r W =

W; Wp I; Ip e; r

mm3 mm4 mm

Wx =

Ix a  xiales Widerstandsmoment ex in Bezug auf die x-Achse

Wy =

Iy a  xiales Widerstandsmoment ey in Bezug auf die y-Achse

Wp =

Ip p  olares Widerstandsmoment r in Bezug auf die Verdrehachse 0 (gilt nur für Kreis- oder Kreisringquerschnitt)

5.7.3 Herleitungsübung Um das Verständnis für das Flächenmoment zu vertiefen, wird erst einmal versucht, eine Berechnungsgleichung für das Flächenmoment Ix eines Rechteckquerschnitts ohne Integralrechnung zu entwickeln. Bezugsachse soll die waagerecht im Rechteckquerschnitt liegende x-Achse sein. Was bei dieser Untersuchung herauskommen muss, kann aus Tabelle 5.1, abgelesen werden: In Bezug auf die dort eingezeichnete waagerechte x-Achse muss I = bh3/12 sein.

Gegebener Rechteckquerschnitt bh, zerlegt in Flächenstreifen ∆A parallel zur x­Achse.

337

5.7  Flächenmomente 2. Grades und Widerstandsmomente

Lösung:  Die Rechteckfläche mit der Breite b und der Höhe h wird in 8 Flächenstreifen gleicher Höhe zerlegt, deren Flächeninhalt dann ∆A = bh/8 beträgt. Die mittleren Abstände der Flächenstreifen von der Bezugsachse x drückt man als Bruchteile der Gesamthöhe h aus und bildet die Produkte aus Flächenteilchen ∆A und zugehörigem Abstandsquadrat.

A1 y12 =

bh 8

A2 y22 =

bh 8

A3 y32 =

bh 8

A4 y42 =

bh 8

2 1 h 16 2  3 h 16 2  5 h 16  2 7 h 16 

Die Definitionsgleichung weist den weiteren Weg: Gemäß Ix = Σ∆A y2 summiert man die Produkte aus Flächenteilchen ∆A und Abstandsquadrat und rechnet die bestimmten Zahlen aus:   Ix = †Ay 2 = A1 y12 + A2 y22 + A3 y32 + A4 y42  2

Hinweis: Jedes Flächenteilchen Ausgerechnet ergibt das: ∆A1, ∆A2, ∆A3, ∆A4   ist oberhalb und 1 2 bh 9 2 bh 25 2 bh 49 2 bh Ix =  2 unterhalb der x-Achse  h +  h +  h +  h 8 256 8 256 8 256 8 256 vorhanden, erscheint also zweimal in der bh h2 bh3 Ix = 2   .1 + 9 + 25 + 49/ = Rechnung.

8

256

12;2

Der Vergleich mit der Gleichung in Tabelle 5.1 (Ix = bh3/12) zeigt, dass schon die grobe Aufteilung des Querschnitts dicht an den richtigen Wert im Nenner heranführt (12,2 statt 12). Auf gleiche Weise können sämtliche Gleichungen der Tabellen 5.1 und 5.2 genügend genau entwickelt werden. Allerdings führt die Integralrechnung schneller zum genauen Ergebnis.

5.7.4 Übungen zu Flächen- und Widerstandsmomenten einfacher Querschnitte 1. Übung:  Für eine Welle mit d = 60 mm Durchmesser sollen die axialen und polaren Flächen- und Widerstandsmomente berechnet werden. Die erforderlichen Gleichungen stehen in den Tabellen 5.1 und 5.2. Lösung:  Wegen der Querschnittssymmetrie sind die axialen Flächenmomente Ix, Iy und die zugehörigen Widerstandsmomente Wx, Wy, jeweils gleich groß. Die axialen Widerstandsmomente Wx und Wy können auch einfacher aus den vorher berechneten Flächenmomenten bestimmt werden, wenn man sich daran erinnert, dass allgemein W  =  I/e ist (e Randfaserabstand).

Gegeben: Wellendurchmesser d = 60 mm Gesucht: Ix, Wx, Iy, Wy, Ip, Wp  d 4 = 63;62  104 mm4 64  d 3 Wx = Wy = = 21;21  103 mm3 32 Ix Ix Wx = = = 21;21  103 mm3 e .d=2/ Iy Wy = wie vorher e Ix = Iy =

338

Ein Vergleich der Ergebnisse und auch der Gleichungen aus den Tabellen 5.1 und 5.2 zeigt: Die polaren Flächen- und Widerstandsmomente (Ip, Wp) sind beim Kreisquerschnitt und beim Kreisringquerschnitt doppelt so groß wie die axialen Flächen- und Widerstandsmomente (I, W). 2. Übung:  Für eine Hohlwelle mit da = 60 mm Außen- und di = 40 mm Innendurchmesser sollen wie in der ersten Übung die axialen und polaren Flächen- und Widerstandsmomente bestimmt werden. Lösung:  Die axialen Flächen- und Widerstandsmomente sind auch hier wegen der Querschnittssymmetrie für jede Schwerachse jeweils gleich groß, so dass man sie einfach mit I und W bezeichnen kann. Auch hier erkennt man wieder, dass die polaren Flächenmomente doppelt so groß sind wie die axialen, so dass Ip und Wp noch einfacher hätten berechnet werden können (Ip = 2I und Wp = 2W).

5  Festigkeitslehre

Ip =

 d 4   =  .60 mm/4 = 127;23  104 mm4 32 32

Wp =

 d 3   =  .60 mm/3 = 42;41  103 mm3 16 16

oder einfacher wie beim axialen Widerstandsmoment: Wp =

Ip 127;23  104 mm4 = = 42;41  103 mm3 r 30 mm

Gegeben: da = 60 mm, di = 40 mm Gesucht: Ix, Iy, Ip, Wx, Wy Wp I =

     4    4 da − di4 = 60 − 404 mm4 64 64

I = 51;1  104 mm4 W =

I 51;1  104 mm4 = = 17  103 mm3 .da =2/ 30 mm

Ip =

     4    4 d − di4 = 60 − 404 mm4 32 a 32

Ip = 102;1  104 mm4 Wp =

Ip 102;1  104 mm4 = = 34  103 mm3 .da =2/ 30 mm

3. Übung:  Für einen Holzbalken mit Rechteckquerschnitt mit h = 180 mm Höhe und b = 90 mm Breite sollen die axialen Flächenmomente 2. Grades und Widerstandsmomente bestimmt werden. Wird nichts anderes angegeben, gelten als Bezugsachsen die beiden rechtwinklig aufeinander stehenden „Hauptachsen“ (x- und y-Achse).

Gegeben: Rechteckquerschnitt mit h = 180 mm, b = 90 mm

Lösung:  Die axialen Flächenmomente sind ein Maß für die Steifigkeit des Querschnitts gegen Biegung oder Knickung. Der Balken ist „hochkant“ schwerer zu biegen (Ix = 43,74 · 106 mm4) als „flachkant“ (Iy = 10,94 · 106 mm4). Bei Knick­ beanspruchung würde er nach der Seite mit dem geringsten  I ausknicken, also flachkant (um die y-Achse), weil Iy  Ix). Bei Knickung würde er um die x-Achse ausknicken, weil Ix  1 b

It =

ha hi in den Endpunkten der = = n > 1   ba bi   n3 kleinen Achse: τt max It =  2  ba4 1 − ˛ 4 hi bi in den Endpunkten der 16 n + 1 = = ˛ < 1   großen Achse: ha ba   n3 It =  2  ba4 1 − ˛ 4 t max   3 16 4 n + 1 t = Wt = nba 1 − ˛ n 16 Wt = 0;208a3

It = 0;14a4 =

h4 h3 p p It = 15 3 7;5 3 h3 2It b4 Wt = = It = 13 h 46;2

Wt = 0;05b 3 =

a4 7;1

in der Mitte der Seite: τt max in den Ecken: τt = 0 in der Mitte der Seite: τt max in den Ecken: τt = 0

7 Der Torsion nicht kreisförmiger Querschnitte liegen andere schwierigere Gleichungen zugrunde als beim Kreis- oder Kreisringquerschnitt. Zur klaren Unterscheidung werden benannt: It Torsionsflächenmoment, Wt Torsionswiderstandsmoment. Es gelten die Gleichungen: Torsionsspannung τt max = MT/Wt; Verdrehwinkel φ = MTl/(GIt).

345

5.7  Flächenmomente 2. Grades und Widerstandsmomente

5.7.5 Axiale Flächenmomente 2. Grades symmetrischer Querschnitte Lassen sich Querschnitte derart in Teilflächen zerlegen, dass alle Teilschwerachsen mit der Gesamtschwerachse zusammenfallen, dann kann das Flächenmoment 2. Grades des Gesamtquerschnitts aus der Summe oder Differenz der Teilflächenmomente berechnet werden. Anders ausgedrückt: Flächenmomente 2. Grades dürfen addiert und subtrahiert werden, wenn Teil- und Gesamtschwerachse zusammenfallen. Widerstandsmomente dürfen keinesfalls addiert oder subtrahiert werden. Man kann sich am Beispiel eines H-Profils klarmachen, wie vorzugehen ist. Das Profil lässt sich in drei Teilflächen zerlegen, deren Teilschwerachsen mit der Gesamtschwerachse x–x zusammenfallen.

Gesamtflächenmoment 2. Grades als Summe von Teilflächenmomenten

Ix

=

+

2Ix1

Ix2

Nun wird das Gesamtflächenmoment einfach aus der Summe der Teilflächenmomente berechnet. Die Teilflächen sind Rechtecke, für die I = bh3/12 gilt (Tabelle 5.1): Ix = 2Ix1 + Ix2 = 2  Wx =

30 mm  .150 mm/3 140 mm  .30 mm/3 + = 17;19  106 mm4 12 12

Ix 17;19  106 mm4 = = 22;92  104 mm3 e 75 mm

Auch das axiale Flächenmoment des Querschnitts für die y-Achse lässt sich so bestimmen. Zur besseren Übersicht dreht man für die Rechnung den Querschnitt um 90°.

ey

Gesamtflächenmoment 2. Grades als Differenz von Teilflächenmomenten

Iy

=

Iy1

–

2Iy2

346

5  Festigkeitslehre

Wie vorher wird der Rechengang aus dem Bild der Teilflächen abgelesen, das heißt, man subtrahiert vom Teilflächenmoment Iy1 das doppelte Teilflächenmoment Iy2: Iy = Iy1 + 2Iy2 =

150 mm  .200 mm/3 60 mm  .140 mm/3 −2 = 72;56  106 mm4 12 12

Iy 72;56  106 mm4 = = 72;56  104 mm3 ey 100 mm

Wy =

In der folgenden Bildtabelle sind andere symmetrische Querschnitte so zerlegt, dass die Teilschwerachsen mit der Gesamtschwerachse zusammenfallen. Das Gesamtflächenmoment 2. Grades kann dann als Summe oder Differenz der Teilflächenmomente berechnet werden.

I

= I1

+ I2

I

= I1

+

I

= I1 +

2I2

I2 +

I3

I

=

I1

– I2

I

=

I1

– I2

I

=

I1

– I2

Profile mit gleichen Gesamt- und Teilschwerachsen

5.7.6 Axiale Flächenmomente 2. Grades einfach symmetrischer/ unsymmetrischer Querschnitte (Steiner’scher Verschiebesatz) Zerlegt man die skizzierten einfach symmetrischen bzw. unsymmetrischen Querschnitte in die Teilflächen A1 und A2, dann fällt auf, dass die Schwerachsen (x1−x1 und x2−x2) der Teilflächen nicht mit der Gesamtschwerachse x–x zusammenfallen. Beim Winkelprofil gilt das auch für die Achse y–y. Die Schwerachsen aller Teilflächen sind gegenüber den Gesamtschwerachsen um die Längen l parallel verschoben. Daher dürfen hier die Teilflächenmomente 2. Grades nicht einfach addiert werden, wie bei den Querschnitten in 5.7.5. Die Vorgehensweise in solchen Fällen wird am Beispiel des T-Profils erläutert. Dabei wird aus dem speziellen Beispiel eine allgemein gültige Beziehung entwickelt.

Teil- und Gesamtschwerachsen unsymmetrischer zusammengesetzter Querschnitte

347

5.7  Flächenmomente 2. Grades und Widerstandsmomente

5.7.6.1 Erste Herleitung des Steiner’schen Satzes8 Für ein T-Profil soll das axiale Flächenmoment Ix für die Gesamtschwerachse x–x ermittelt werden. Das Problem wird vereinfacht, indem nur die Teilfläche A1 betrachtet wird. Deren Teilschwerachse x1–x1 liegt um die Länge l1 gegenüber der Gesamtschwerachse parallel verschoben. Erinnerung: Das Flächenmoment Ix1 der Teilfläche A1 in Bezug auf die Teilschwerachse x1–x1 ist bekannt; mit Ix1 = bh3/12 könnte man es sofort berechnen. Es wird aber eine Gleichung gesucht, in der das Flächenmoment der Teilfläche A1 auf die Gesamtschwerachse x–x bezogen ist. Das wird durch die Bildung eines zur Achse x–x symmetrischen Profils erreicht, indem die obere Teilfläche A1 noch einmal unterhalb der Gesamtschwerachse x–x angesetzt wird. Dann kann man nach 5.7.5 vorgehen und das Gesamtflächenmoment in Bezug auf die x-Achse mit den allgemeinen Bezeichnungen bestimmen. Vom Flächenmoment der aus bH gebildeten Rechteckfläche wird das Flächenmoment der Rechteckfläche b (H − 2h) subtrahiert; beide Schwerachsen decken sich. Dieses Flächenmoment muss doppelt so groß sein wie das von nur einer Teilfläche A1 gebildete Flächenmoment Ix, da die beiden Teilflächen A1 symmetrisch zur x-Achse liegen. Es kann also Ix ges = 2Ix gesetzt werden. Mit der bekannten Gleichung zur Berechnung des Flächenmoments von Rechteckquerschnitten findet man die Ausgangsbeziehung, in die man für die Höhe H die Beziehung H  = 2l1 + h einführt (siehe Skizze).

Ix ges = 2Ix = 2Ix =

2Ix =

Die Differenz der Potenzausdrücke

bH 3 b .H − 2h/3 − 12 12

b .2l1 + h/3 b .2l1 + h − 2h/3 − 12 12 h i 3 b .2l1 + h/ − .2l1 − h/3 12

(2l1 + h)3 − (2l1 − h)3 wird mit Hilfe der binomischen Formeln berechnet und das Ergebnis eingesetzt (siehe Formeln und Tabellen, Binomische Formeln, 7.3.).

8

Jakob Steiner, Schweizer Mathematiker, 1796–1863.

.2l1 + h/3 − .2l1 − h/3 = 24hl12 + 2h3

348

Nach der Ausrechnung erhält man rechts vom Gleichheitszeichen eine Summe. Diese kann mit bh = A1 vereinfacht werden. Darüber hinaus ist bekannt, dass bh3/12 das axiale Flächenmoment Ix1 der Teilfläche A1 in Bezug auf die eigene Schwerachse x1 − x1 ist. Damit wurde der Verschiebesatz von Steiner gefunden: Das axiale Flächenmoment 2. Grades Ix einer Teilfläche A1 in Bezug auf eine zur Schwerachse um den Abstand l1 parallel verschobene Achse ist gleich dem Flächenmoment Ix1 der Teilfläche in Bezug auf deren Schwerachse, vermehrt um das Produkt aus der Teilfläche A1 und dem Abstandsquadrat l12. Häufig muss mit mehreren Teilflächen A1, A2  … gerechnet werden, deren Teilschwerachsen die Abstände l1, l2  … von der Bezugsachse haben. Dazu schreibt man den Steiner’schen Satz in allgemeiner Form. I1, I2  … sind die Flächenmomente 2. Grades der Teilflächen in Bezug auf die eigene Teilschwerachse. Sie werden mit den Gleichungen aus Tabelle 5.1, berechnet.

5  Festigkeitslehre   b 24hl12 + 2h3 24bhl12 + 2bh3 2Ix = = 12 12 Ix = bhl12 +

bh3 12

Ix = A1 l12 + Ix1

Ix = Ix1 + A1l12

Verschiebesatz von Steiner

Ix Flächenmoment für parallele Achse x–x Ix1 Flächenmoment der Teilfläche in Bezug auf die eigene Schwerachse x1–x1 A1 Flächeninhalt der Teilfläche l1 Abstand der parallelen Achsen I = I1 + A1 l12 + I2 + A2 l22 + : : : + In + An ln2 Verschiebesatz von Steiner

Hinweis: Fallen Teilschwerachsen und Bezugsachse zusammen, dann sind die Abstände l1, l2 … gleich null, und es wird I = I1 + I2 + … + In, d. h. die Teilflächenmomente 2. Grades werden einfach addiert (siehe Tabelle 5.7.5).

5.7.6.2 Zweite Herleitung des Steiner’schen Satzes Gesucht wird wieder eine Beziehung zur Berechnung des Flächenmoments 2. Grades Ix einer Teilfläche A1 in Bezug auf eine zur Teilschwerachse x1–x1 parallel um den Abstand l1 verschobene Achse x–x. Das Flächenmoment Ix1 der Teilfläche wird als bekannt vorausgesetzt (Tabelle 5.1). Man beginnt die Entwicklung mit der für alle Achsen gültigen allgemeinen Definitionsgleichung: Als „Abstandsquadrat“ wird hier (l1 + y)2 eingesetzt. Nach der Ausrechnung erhält man eine Summe von drei Gliedern. Die konstanten Größen werden vor das Summenzeichen geschrieben.

Lösungsskizze Ix = Σ∆A (l1 + y)2   Ix = †A l12 + 2l1 y + y 2 Ix = †Al12 + †A2l1 y + †Ay 2 Ix = l12 †A + 2l1 †Ay + †Ay 2

Das erste Glied ergibt das Produkt aus dem Abstandsquadrat und der Teilfläche, weil Σ∆A = A1 ist.

l12 †A = l12 A1

349

5.7  Flächenmomente 2. Grades und Widerstandsmomente

Das zweite Glied ist gleich null, denn der Faktor Σ∆Ay stellt die Summe der Flächenmomente 1. Grades aller Flächenteilchen ∆A in Bezug auf die Achse x1–x1 dar. Da das die Schwerachse der Fläche A1 ist, wird y0 = 0 und damit auch das Produkt A1y0.

2l1Σ∆Ay = 2l1A1y0 = 0 Hinweis: Das Produkt aus einer Fläche A und ihrem Schwerpunktsabstand x oder y von einer Bezugsachse heißt Flächenmoment 1. Grades (siehe Schwerpunktslehre 2.2.1).

Das dritte Glied ist das axiale Flächenmoment Ix1 der Teilfläche A1, bezogen auf die Teilschwerachse x1–x1.

Σ∆Ay2 = Ix1

Damit erhält man zum Schluss die gleiche Form für den Steiner’schen Satz wie in der ersten Herleitung über den speziellen Fall in 5.7.6.1.

Verschiebesatz Ix = Ix1 + A1l12  von Steiner

5.7.6.3 Arbeitsplan zur Berechnung axialer Flächenmomente 2. Grades Querschnitt in Teilflächen A1, A2 ... zerlegen und deren Flächenschwerpunkte S1, S2 ... bestimmen.

1. Schritt

Abstände l1, l2 … der Teilschwerachsen von der Bezugsachse für das Flächenmoment festlegen.

2. Schritt

Flächenmomente I1, I2 … der Teilflächen A1, A2 … nach Tabelle 5.1 berechnen.

3. Schritt

Flächeninhalte der Teilflächen und die Quadrate der Abstände (l12, l22 …) berechnen.

4. Schritt

Steiner’schen Satz aufstellen und ausrechnen.

5. Schritt

5.7.7 Übungen zu Flächen- und Widerstandsmomenten zusammengesetzter Querschnitte 1. Übung:  Für das skizzierte Winkelprofil soll das axiale Flächenmoment 2.  Grades für die Profilschwerachse x–x bestimmt werden. Nach dem Lösungsplan zerlegt man den Querschnitt in die Teilflächen A1 und A2. Die Lage der Teilschwerpunkte ergibt sich aus den gegebenen Längenmaßen, ebenso die Abstände l1, l2.

350

5  Festigkeitslehre

Lösung:   Ix = I1 + A1l12 + I2 + A2l22

Nebenrechnung:

Ix = (0,75 + 144 + 229 + 87,5) · 104 mm4 Ix = 461,25 · 104 mm4

bh3 90 mm  .10 mm/3 = 12 12 4 4 I1 = 0;75  10 mm

I1 =

A1 = bh = 900 mm2 ; l1 = 40 mm bh3 10 mm  .140 mm/3 = 12 12 I2 = 229  104 mm4

I2 =

A2 = bh = 1400 mm2 ; l2 = 25 mm

Aus dem Flächenmoment Ix erhält man die beiden axialen Widerstandsmomente Wx1 und Wx2.

Wx1 =

Ix 461;25  104 mm4 = e1 45 mm

Wx1 = 10;25  104 mm3 Wx2 =

Ix 461;25  104 mm4 = e2 95 mm

Wx2 = 4;86  104 mm3

2. Übung:  Da der Steiner’sche Satz für beliebige parallele Achsen gilt, kann das axiale Flächenmoment des Winkelprofils aus der 1. Übung auch für die Achse N–N bestimmt werden. Die Schwerpunkte SP1 und SP2 der Teilflächen sind festgelegt, ebenso die Abstände der Teilschwerachsen von der Bezugsachse N–N mit l1 = 5 mm und l2 = 70 mm. Lösung:  IN = I1 + A1 l12 + I2 + A2l22

Nebenrechnung: 4

4

bh3 = 0;75  104 mm4 12

IN = (0,75 + 2,25 + 229 + 686) · 10  mm

I1 =

IN = 918 · 104 mm4

A1 = bh = 900 mm2 l12 = .5 mm/2 = 0;25  102 mm2 I2 =

bh3 = 229  104 mm4 12

A2 = bh = 1400 mm2 l22 = .70 mm/2 = 49  102 mm2

351

5.7  Flächenmomente 2. Grades und Widerstandsmomente

3. Übung:  Zu bestimmen sind das axiale Flächenmoment Ix und die Widerstandsmomente Wx1, Wx2 für den skizzierten zusammengesetzten Querschnitt. Lösung:  Es werden Fehler vermieden, wenn man eine kleine Übersicht erstellt, etwa in der Form:

e l l2 I A 2 2 in mm in mm in mm in mm4 in mm 2 2 1 204,7 · 10 200 70 49 · 10 59 556 · 104 2 2 100 · 10 412,5 142,5 203 · 102 52 · 104 Gesamt 304,7 · 102

Teilfläche

Die Teilschwerpunkte SP1 und SP2 liegen im Abstand e1 und e2 von der unteren Kante (Bezugsachse für die Schwerpunktsbestimmung) entfernt. Die Lage des Gesamtschwerpunkts SP berechnet man nach 2.2.3.1. Als Bezugsachse wird die Unterkante des Querschnitts benutzt. Mit e0 kann man die Abstände der Teilschwerachsen von der Bezugskante x–x bestimmen. Nun lassen sich die Flächenmomente I1 und I2 der Teilflächen in Bezug auf ihre Schwerachsen berechnen. Zur Berechnung von I1 wird nach 5.7.5, vorgegangen. Es sind nun alle Größen vorhanden, die zur Berechnung des Flächenmomentes Ix gebraucht werden. Damit stellt man wieder den Steiner’schen Satz auf. Zum Schluss werden die beiden axialen Widerstandsmomente Wx1 und Wx2 berechnet. Der äußere Randfaserabstand für Wx1 ist die Länge e0 = 270 mm, für Wx2 dagegen 425 mm − e0 = 155 mm.

400 mm = 200 mm 2 e2 = .400 + 12;5/ mm = 412;5 mm

e1 =

e0 =

A1 e1 + A2 e2 = 270 mm A1 + A2

l1 = e0 − e1 = 70 mm; l12 = 49  102 mm2 l2 = e2 − e0 = 142;5 mm; l22 = 203  102 mm2

300 mm .400 mm/3 143 mm .348 mm/3 − 2  12 12

I1 =

I1 = 59 556  104 mm4

I2 =

400 mm  .25 mm/3 = 52  104 mm4 12

Ix = I1 + A1l12 + I2 + A2l22 Ix = (59 556 + 204,7 · 49 + 52 + 100 · 203) · 104 mm4 Ix = 89 938 · 104 mm4 Ix 89 938  104 mm4 = = 3331  103 mm3 e0 270 mm Ix = = 5803  103 mm3 425 mm − e0

Wx1 = Wx2

352

5  Festigkeitslehre

4. Übung:  Für den skizzierten einfach symmetrischen Querschnitt sollen die Flächen- und Widerstandsmomente berechnet werden. Lösung für die x-Achse: Man denkt sich den Querschnitt entstanden aus der vollen Rechteckfläche A1 = (200 × 300) mm2 abzüglich der Hohlraumfläche A2 = (160 × 150) mm2, also A = A1 − A2. Mit dieser Überlegung berechnet man sowohl die Schwerpunktslage (e0) als auch die Flächenmomente 2. Grades. Es wird mit der Schwerpunktsberechnung begonnen:

Einfach symmetrischer Querschnitt mit Hohlraum

Ae0 = A1  150 mm − A2  175 mm .Momentensatz für Flächen nach 2.2.3.1/ A1 = .200  300/ mm2 = 600  102 mm2

A2 = .160  150/ mm2 = 240  102 mm2

A = A1 − A2 = .600 − 240/  102 mm2 = 360  102 mm2 600  102 mm2  1;5  102 mm − 240  102 mm2  1;75  102 mm 360  102 mm2 e0 = 133 mm

e0 =

l1 = 150 mm − e0 = 17 mm l22

2

l12 = 2;89  102 mm2

l2 = 175 mm − e0 = 42 mm

2

= 17;6  10 mm

200 mm  .300 mm/3 = 45000  104 mm4 12 160 mm  .150 mm/3 I2 = = 4500  104 mm4 12   Ix = I1 + A1 l12 − I2 + A2 l22 = .45000 + 600  2;89 − 4500 − 240  17;6/  104 mm4

I1 =

Ix = 3;8  108 mm4 Ix 3;8  108 mm4 = = 2;86  106 mm3 e0 133 mm Ix 3;8  108 mm4 = = = 2;28  106 mm3 300 mm − e0 167 mm

Wx1 = Wx2

Lösung für die y-Achse:  Die Berechnung der Flächen- und Widerstandsmomente für die y-Achse ist einfacher als für die x-Achse, weil jetzt Teilschwerachsen und Gesamtschwerachse zusammenfallen: Iy = I1 − I2 =

300 mm  .200 mm/3 150 mm  .160 mm/3 − 12 12

Iy = 1;488  108 mm4 Wy1 = Wy2 =

Iy 1;488  108 mm4 = = 1;488  106 mm3 e 100 mm

5.7  Flächenmomente 2. Grades und Widerstandsmomente

353

5. Übung:  Ein Träger hat den skizzierten zusammengesetzten Querschnitt aus genormten L-Stählen und Blechen. Mit Hilfe der Profilstahltabelle aus den Formeln und Tabellen (4.24) ist zu berechnen: a) das Flächenmoment der oberen und unteren Gurtplatte, b) das Flächenmoment des Stegblechs, c) das Flächenmoment der L-Profile, d) das Gesamtflächenmoment in Bezug auf die Gesamtschwerachse 0–0. e) das Widerstandsmoment. Lösung:  a) I1 = I2 =

200 mm  .10 mm/3 = 1;67  104 mm4 12

10 mm  .300 mm/3 = 2250  104 mm4 12 c) I4 = I5 = I6 = I7 = 52,6 · 104 mm4

b) I3 =

d) Iges = 2 (I1 + A1l12) + (I3 + A3l32) + 4 (I4 + A4l42) Zwischenrechnung: A1 = 200 · 10 mm2 = 20 · 102 mm2, l1 = 155 mm, l12 = 240 · 102 mm2

A3 = 10 · 300 mm2 = 30 · 102 mm2, l3 = 0, l32 = 0



A4 = 11,9 · 102 mm2 (Formelsammlung)



l4 = (150 − 20,5) mm = 129,5 mm, l42 = 167,7 · 102 mm2

Iges

9603 ‚ …„ ƒ = Œ2 .1;67 + 20  240/ + .2250 + 30  0/ + 4 .52;6 + 11;9  167;7/104 mm4 = 2108 mm4

e) W =

Iges 2  108 mm4 = = 1;25  106 mm3 e 1;6  102 mm

Obwohl die Einzelflächenmomente I1 und I2 der Gurtplatten nur je 1,67 · 104 mm4 betragen, tragen sie doch den größten Anteil (≈ 9600 · 104 mm4 ≈ 108 mm4) zum Gesamtflächenmoment Iges bei, einfach deshalb, weil sie am weitesten von der Bezugsachse 0–0 entfernt liegen. Erkenntnisse: Es kommt beim Flächenmoment 2. Grades eines Querschnitts nicht auf den Flächeninhalt, sondern auf die Flächenform an, d. h. es muss möglichst viel Werkstoff möglichst weit von der Bezugsachse entfernt liegen, wenn der Querschnitt ein großes Flächenmoment haben soll. Darüber hinaus kann man sagen: Bohrungen in Schwerpunktsnähe haben nur geringen Einfluss; sie mindern das Flächenmoment 2. Grades nur geringfügig. Aufgaben Nr. 766–808

354

5  Festigkeitslehre

5.8 Beanspruchung auf Torsion Die folgenden Herleitungen und Berechnungsgleichungen gelten für rotationssymmetrische Querschnitte (Kreise und Kreisringe). Für andere Querschnitte siehe Tabelle 5.2.

5.8.1 Spannungsverteilung Eine Welle wird durch das Drehmoment M auf Torsion (Verdrehung) beansprucht. Ein achsparallel angebrachter Kreidestrich geht dabei in eine Schraubenlinie über. Man legt einen Schnitt rechtwinklig zur Stabachse und stellt durch das innere Torsionsmoment MT = M das Gleichgewicht am Stabteil I wieder her. Die Mantelgerade AB ist zur Schraubenlinie AC geworden. Die Schnittufer werden demnach drehend gegeneinander verschoben. Es entsteht eine in der Fläche wirkende Schub­ spannung. Sie heißt Torsionsspannung τt. Im Gegensatz zur Zug‑, Druck- und Abscherbeanspruchung werden die Werkstoffteilchen bei der Torsionsbeanspruchung nicht gleich stark verformt. Dementsprechend wird sich auch eine andere Spannungsverteilung über dem Querschnitt einstellen müssen. Verformungs- und Spannungsbild geben darüber Aufschluss. Das Verformungsbild des Schnittufers zeigt, dass die Stoffteilchen umso weiter drehend gegeneinander verschoben werden, je weiter sie von der Wellenachse entfernt liegen. Man sieht, dass Teilchen B auf dem Bogen b nach C gewandert ist, d. h. die stärkste Verdrehung stellt sich am Querschnittsumfang ein. Im Abstand ϱ von der Wellenachse ist die Verdrehung schon geringer (B′ wandert auf ∆b nach C′). Die Wellenachse 0 selbst ist unverformt. Im elastischen Bereich ist die Verformung der Spannung proportional (siehe Hooke’sches Gesetz, 5.2.3.4), d. h. die Spannung muss im Querschnitt ebenso verteilt sein wie die Verformung. Man spricht von einer linearen Spannungsverteilung. Die Wellenachse ist unverformt, also spannungsfrei. Die Spannung wächst mit ϱ bis zum Höchstwert τmax am Querschnittsumfang (Randspannung). Mit dieser Randspannung müssen die Festigkeitsrechnungen erfolgen.

Torsionsbeanspruchte Welle

Verformungsbild Die Verformungen wachsen linear mit dem Abstand von der neutralen Faser: b % = b r Nach Hooke sind die Verformungen den Spannungen proportional:  % b  = = r b max und folglich max

Daraus ergibt sich die Spannung τ an einer beliebigen Stelle: %  = max r

Spannungsbild

355

5.8  Beanspruchung auf Torsion

Bei Torsion erhalten die Randfasern die stärkste Beanspruchung, die Wellenachse ist spannungslos. Daher kann die Wellenachse auch zentrisch ausgebohrt werden.

Hinweis: Vor allem im Fahrzeugbau wird der Konstrukteur Hohlwellen vorsehen (Leichtbau).

5.8.2 Herleitung der Torsions-Hauptgleichung Das Flächenteilchen ∆A im Abstand ϱ von der Wellenachse (Spannungsbild) überträgt die im Querschnitt liegende Teilkraft ∆F. Unter der Annahme, dass die Spannung τ über dem (sehr klein gedachten) Flächenteilchen ∆A gleichmäßig verteilt ist (wie beim Abscheren), kann man ∆F = ∆Aτ schreiben. Die Teilkraft ∆F wirkt in Bezug auf die Wellenachse drehend am Hebelarm ϱ. Sie erzeugt also ein „kleines“ Torsionsmoment ∆MT = ∆Fϱ. Mit der Spannung τ kann man nichts anfangen; dagegen wird die Randfaserspannung τmax gebraucht, denn durch sie wird der Werkstoff am stärksten beansprucht. Man ersetzt daher τ durch die aus dem Spannungsbild abgelesene Beziehung τ = τmaxϱ/r und erhält damit eine erweiterte Gleichung für das Torsionsmoment ∆MT.

∆MT = ∆Fϱ = ∆Aτϱ

% MT = A% = Amax  % r max MT = A%2 r

Die Summe dieser kleinen Torsionsmomente ist das im Querschnitt wirkende (innere) Torsionsmoment MT.

MT = †MT = †

Die gleich bleibenden Größen τmax und r können vor das Summenzeichen gesetzt werden.

MT =

Der Summenausdruck Σ∆Aϱ2 ist das schon bekannte polare Flächenmoment 2. Grades Ip; der Ausdruck Ip/r ist das polare Widerstandsmoment Wp. Nur wegen der einfachen Schreibweise wird τmax = τt eingesetzt. τt ist also ab jetzt immer die Randfaserspannung, die größte Spannung im Querschnitt.

MT = Σ∆MT max A%2 r

max †A%2 r

Σ∆Aϱ2 = Ip (siehe 5.7.2) Ip = Wp r MT =  t

Ip = t Wp r

356

5  Festigkeitslehre

Die gefundene Gleichung löst man nach der Spannung auf und erhält so die gesuchte TorsionsHauptgleichung. Torsionsspannung t =

Torsionsmoment MT polares Widerstandsmoment Wp

t =

MT Wp

t N mm2

MT

Wp

Nmm

mm3

Torsions­ Hauptgleichung

Häufig werden Kreisring- und Kreisquerschnitte zu berechnen sein. Wird aus dem Torsionsmoment MT und der zulässigen Torsionsspannung τt zul das erforderliche Widerstandsmoment Wp erf ermittelt, dann lassen sich mit den Gleichungen in Tabelle 5.2 die erforderlichen Durchmesser (d, da, di) berechnen. Ob dabei mit den genauen Gleichungen oder mit den abgerundeten Beziehungen gerechnet wird, ist gleichgültig.

Je nach vorliegender Aufgabe wird die Torsions-Hauptgleichung umgestellt: Wp erf =

MT t zul

t vorh =

MT vorhandene  t zul Spannung Wp

MT max = Wp t zul

Statt zuerst Wp erf und daraus erst den Durchmesser zu bestimmen, kann man auch sofort eine Gleichung für den erforderlichen Durchmesser entwickeln. Das wird in den folgenden Verständnisübungen vorgeführt.

erforderliches Widerstandsmoment

maximales Torsionsmoment

Das die Welle beanspruchende Torsionsmoment MT ist gleich dem von der Welle zu übertragenden Drehmoment M.

MT = M P M = !

Das Drehmoment M wird entweder mit der Größengleichung P = Mω oder mit der im Maschinenbau gebräuchlichen Zahlenwertgleichung bestimmt. Dann sind die im Einheitenraster angegebenen Einheiten zu benutzen. Bei der Größengleichung ist man von dieser Bedingung frei.

Größengleichung für Drehmoment M mit Leistung P und Winkelgeschwindigkeit ω

Die Zahlenwertgleichung ist hier zugeschnitten auf die Einheit Nm für das Drehmoment M, wenn die Leistung P in kW und die Drehzahl n in min−1 eingesetzt werden.

M = 9550

ω = 2πn

P n

M Nm

P n kW min−1

Zahlenwertgleichung mit P in kW und n in 1/min = min−1

357

5.8  Beanspruchung auf Torsion

5.8.3 Formänderung bei Torsion

Zwei benachbarte Querschnitte einer Welle werden durch Torsionsbeanspruchung gegeneinander verdreht. Bringt man vor der Verformung auf der Welle mit der Wellenlänge l den Kreidestrich AB an, dann wird daraus nach der Verformung die Schraubenlinie AC. Zugleich dreht sich der Radius OB um den Kreismittelpunkt O in die Stellung OC, das heißt, die beiden Stirnflächen der Welle haben sich um den Verdrehwinkel φ gegeneinander verdreht. Die stärkste Verformung zeigt die Randfaser: Das Stoffteilchen in B durchläuft die Formänderung b c ). (Bogen BC Im Bereich der elastischen Formänderung gilt auch bei Torsion das Hooke’sche Gesetz, in das die entsprechenden Größen der Torsionsbeanspruchung eingesetzt werden. Man setzt für Zugspannung σ

⇒ Torsionsspannung τt

Formänderung ∆l ⇒ Formänderung b Stablänge l0

⇒ Wellenlänge l

Stoffkonstante E

⇒ Stoffkonstante G

(Elastizitätsmodul) (Schubmodul)

c = b ist vom Radius r abhänDas Bogenstück BC gig. Es ist einfacher, mit dem Verdrehwinkel φ in Grad zu rechnen. Zwischen b und φ besteht eine Beziehung, die man aus der Skizze für die Formänderung (oben) ablesen kann. Es wird nun in die Gleichung φ = b · 180°/πr der Wert b = τtl/G nach dem Hooke’schen Gesetz eingesetzt. Für τt kann man auch τt = MT/Wp und für Wpr = Ip einsetzen und damit drei Formänderungsgleichun­ gen für die Torsionsbeanspruchung entwickeln. Man erkennt aus den Gleichungen, dass bei Stahlwellen der Verdrehwinkel φ unabhängig von der Werkstoffgüte ist, denn der Schubmodul G ist für alle Stahlsorten gleich groß (siehe Tabelle 5.8).

Formänderung bei Torsionsbeanspruchung b b l l l b t = t G = , G , =G,=E  =E E t = l l l0 l 0 l 0 l Hooke’sches Hooke’sches Ge­ Gesetz für Torsion setz für Zug/Druck

Hinweis: Der Schubmodul G entspricht dem Elastizitätsmodul (siehe Tabelle 5.8 und 5.6.2): GStahl = 80 000 N/mm2 EStahl = 210 000 N/mm2

b ' = 2 r 360ı ' =

b  360ı b 180ı =  2 r r  

' =

t l 180ı  Gr  

' =

MT l 180ı  Wp rG  

' =

MT l 180ı  Ip G  

' t ; G l; r

°

MT

N mm Nmm mm2

Wp Ip mm3 mm4

358

5.8.4 Formänderungsarbeit

5  Festigkeitslehre ' d t l  2V = t A = t 2 4 d 4G G 2 2

Geht die Belastung von null aus, dann ist die Fläche unter der Federkennlinie ein Dreieck und es gilt Wf = MTφ/2. Bei vorbelasteter Feder ergibt sich eine Trapezfläche mit entsprechender Flächenformel.

Arbeitsdiagramm für Torsionsstabfedern im Gültigkeitsbereich des Hooke’schen Gesetzes (MT ~ φ)

Die Neigung der Federkennlinie ist ein Maß für die „Härte“ oder „Weichheit“ der Feder. Eine Feder ist umso weicher, je flacher die Kennlinie verläuft oder, rechnerisch ausgedrückt, je kleiner die Federrate R ist. Sie entspricht dem Tangens des Neigungswinkels α (siehe Arbeitsdiagramm). Für Torsionsstabfedern mit kreisförmigem Querschnitt kann man wie für die Zugfedern in 5.2.3.6 die Gleichung für die Formänderungsarbeit weiter entwickeln, indem für MT = τtWp (Torsions-Hauptgleichung) und für Wp = πd3/16 (Tabelle 5.2) eingesetzt wird.

Mit der Formänderungsgleichung für den Verdrehwinkel φ erhält man die endgültige Form der gesuchten Beziehung für Wf.

0

=

de Fe

ie lin nn e rk

nie sli ng Dreieckfläche = u t las M f Be a Wf = T 2

MT

Torsionsmoment

Bei der Beanspruchung einer Welle auf Torsion steigt das Torsionsmoment MT von null bis zu einem Höchstwert proportional zum Verdrehwinkel an. Dabei wird in der Welle eine Formänderungsar­ beit Wf gespeichert. Die Gleichung dafür liest man wieder aus dem Arbeitsdiagramm als Fläche unter der Belastungskurve ab. Das Arbeitsdiagramm oder Federungsdiagramm entsteht, wenn über dem Verdrehwinkel φ das Torsionsmoment MT aufgetragen wird.

W f = MT

Verdrehwinkel f

W f = MT

' 2

Wf

Formänderungs­ arbeit (Federarbeit)

J

MT

'

Nm rad = 1

R Nm rad

MT = tan ˛ ' Federrate

R =

3 2  d 3  d d d d 2 d MT =MTt W=p W pt W=p Wp16= =16 4 = 4 4 4

t l  d t2l  d 2 ' = ' = l = Volumen l = Volumen V V d 4d 4 G G 2 2

W f = MT

'  2V = t 2 4G

Formänderungs­ arbeit (Feder­ arbeit) vergleiche mit 5.2.3.6

Solange die Torsionsbeanspruchung im elastischen Bereich liegt, wird die im Werkstoff gespeicherte Arbeit bei Entlastung wieder vollständig frei. Torsions- oder Drehstabfedern verwendet man z. B. als Wagenfeder oder Drehstab-Stabilisator im Kraftfahrzeugbau, für Drehmomentenschlüssel zum Anziehen von Schrauben und Muttern oder im Messgerätebau. Aufgaben Nr. 809–833

359

5.8  Beanspruchung auf Torsion

Verständnisübung: Mechanisches Torsionsstab‐Messgerät Aufgabenstellung: Ein mechanisches Torsionsstab‐Messgerät (Drehmomentschlüssel) wird an feinmechanischen Geräten für das gleichmäßige Anziehen von Schrauben/ Muttern im Bereich M 4 … M 6 eingesetzt. Der Skalenmaximalwert soll bei einem Anzieh‐Torsionsmoment MT = 8 Nm und einem Verdrehwinkel φ = 35° liegen. Als Werkstoff für den Torsionsstab mit kreisförmigem Querschnitt (Vollprofil) wird Stahl 20MnCr5 mit einer zulässigen Torsionsspannung t zul = 335 G = 8  104

Skala

Torsionsstab

N und dem Schubmodul mm2

N festgelegt (Tab. 5.9). mm2

Zu berechnen sind: a) Torsionsstab‐Durchmesser d b) Stablänge l Lösung: a) Torsionsstab‐Durchmesser d bei kreisförmigem Querschnitt (Vollprofil) Ausgehend von der Torsions‐Hauptgleichung (5.8.2) kann zunächst das polare Widerstandsmoment Wp erf berechnet werden, da sowohl das Torsionsmoment MT als auch die zulässige Torsionsspannung τt zul gegeben sind. Torsions-Hauptgleichung MT umgestellt nach Wp erf W t zul = Wp erf Wp erf =

MT 8  103 Nmm = 23;9 mm3 = N t zul 335 mm 2

In Tab. 5.2 wird das polare Widerstandsmoment für den   3 kreisförmigen Querschnitt mit Wp erf = d definiert. 16 erf Umgestellt nach dem erforderlichen Stabdurchmesser derf W r r 3 3 16  23;9 mm 3 16  Wp erf = = 4;96 mm derf =     ausgeführt d = 5 mm (Normmaß)

Der Durchmesser des Torsionsstabs mit kreisförmigem Querschnitt beträgt d = 5 mm.

360

5  Festigkeitslehre

b) Stablänge l Die Stablänge l kann über eine der drei unter 5.8.3 entwickelten Gleichungen für den Verdrehwinkel φ ermittelt werden: Drehwinkel-Gleichung: MT  l 180ı  umgestellt nach der Stablänge lW '= Ip  G      '  G  Ip l= 180ı  MT Torsionsmoment MT = 8  103 Nmm (gegeben) polares Flächemmoment 2. Grades Ip für den Kreisquerschnitt nach Tab. 5.2:      d 4    54 mm4 = = 61;4mm4 Ip = 32 32 Verdrehwinkel ' = 35ı (gegeben) l=

   35ı  8  104

N mm2 3

 61;4mm4

= 375;1 mm 180ı  8  10 Nmm Die Länge des Torsionsstabs beträgt bei kreisförmigem Querschnitt l = 375,1 mm.

Zusatzaufgabe: Welche Abmessungen müsste ein aus einem Rohr mit kreisringförmigem Querschnitt gefertigter Torsionsstab erhalten, wenn alle Ausgangsgrößen bestehen bleiben sollen? Das Durchmesserverhältnis des Außen‐ zum Innendurchmesser beträgt dda = 10 . 9 i

Lösung: Das in Lösung a) ermittelte Wp erf = 23,9 mm3 bleibt erhalten. Da der Querschnitt nun kreisringförmig ist, ergibt sich das polare Widerstandsmoment für die Kreisringfläche nach Tab. 5.2:   da4 − di4  Wp erf = mit dem Bauverhältnis di = 0;9 da 16 da     da4 − .0;9da /4   da4  1 − 0;94 Wp erf = = = 0;0675  da3   16 da 16 da umgestellt nach dem Außendurchmesser da erf s s 3 W p erf 3 23;9 mm da erf = 3 = = 7;07 mm | di = 0;9  da = 6;4 mm 0;0675 0;0675 ausgeführt da = 7 mm, di = 6;4 mm

Die Länge l des Torsionsstabs wird wie in Lösung b) gezeigt ermittelt. Nur muss für das Flächenmoment 2. Grades die Gleichung für den Kreisringquerschnitt eingesetzt werden:

361

5.8  Beanspruchung auf Torsion

polares Trägheitsmoment Ip für den Kreisringquerschnitt nach Tab. 5.2:     4     4 Ip =  da − di4 =  7 − 6;44 mm4 = 71mm4 32 32 Länge des Torsionsstabs: l=

N 4    '  G  Ip    35ı  8  104 mm 2  71mm = = 433;7 mm ı ı 3 180  MT 180  8  10 Nmm

Die Länge des Torsionsstabs beträgt bei kreisringförmigem Querschnitt l = 433,7 mm. Gegenüberstellung der ermittelten Größen für den Torsionsstab mit Kreis‐ bzw. Kreisringquerschnitt:

d, da/di

Kreisquerschnitt

Kreisringquerschnitt

5 mm

7/6,4 mm 4

Ip

61,4 mm

71 mm4

l

375,1 mm

433,7 mm

Erkenntnisse: Der Torsionsstab mit kreisringförmigem Querschnitt hat ein größeres Flächenmoment 2. Grades, also einen größeren „Widerstand“ gegen Verdrehung. Um den Verdrehwinkel φ = 35° erreichen zu können, ist dafür eine größere Stablänge erforderlich. Würde man bei dem Torsionsstab mit kreisringförmigem Querschnitt dieselbe Länge l = 375,1 mm des Stabs mit kreisförmigem Querschnitt einsetzen, wäre der Verdrehwinkel φ′ wesentlich kleiner: '0 =

MT  l  180ı (siehe 5.8.3) Ip  G   

'0 =

8  103 Nmm  375;1 mm  180ı = 27;9ı N 77 mm4  8  104 mm 2   

Anders ausgedrückt: Bei gleichem Torsionsmoment, gleicher Torsionsstablänge und gleichem Werkstoff verdreht sich der Torsionsstab mit kreisringförmigem Querschnitt um ∆φ = 35° − 27,9° = 7,1° weniger.

362

5  Festigkeitslehre

Verständnisübung: Torsionsstab‐Federung Aufgabenstellung: Schwinghebel

f

l1

F

l

Die Einzelradfederung eines Fahrzeugs kann über eine federnde Torsionsstabkonstruktion ausgeführt werden (zum Beispiel bei Renault). Ein im Rahmen des Fahrzeugs fest verankerter Torsionsstab (oft über eine Kerbverzahnung) wird bei einer Belastung F des Fahrzeugs über einen Schwinghebel verdreht – das Rad „federt ein“ und federt bei Entlastung des Rads zurück. Für die Dimensionierung eines Torsionsstabs sind folgende Baugrößen gegeben:

Torsionsstab

Stellung bei ungespanntem Torsionsstab

Länge des Torsionsstabs l = 600 mm, Länge des Schwinghebels l1 = 400 mm, Belastung des Fahrzeugrads F = 2500 N, Werkstoff des Torsionsstabs 50CrMo4 mit τtzul = 320 N/mm2 und einem Schubmodul kg G = 8 · 104 N/mm2 (Tab. 5.9), Dichte %St = 7;85 3 . dm Folgende Größen sollen berechnet werden: a) Durchmesser d des Torsionsstabs bei kreisförmigem Querschnitt (Vollprofil), b) Federweg f ′ des Schwinghebels, c) Außendurchmesser da und Innendurchmesser di bei einem kreisringförmigen Querschnitt des Torsionsstabs (Rohrquerschnitt) und einem Bauverhältnis

da 10 = , di 8

d) Federweg f ′ des Schwinghebels bei kreisringförmigen Querschnitt des Torsionsstabs. e) Vor‐ und Nachteile des Vollprofils bzw. des Rohrquerschnitts Lösung: a) Durchmesser d des Torsionsstabs bei kreisförmigem Querschnitt (Vollprofil) Ausgehend von der Torsions‐Hauptgleichung (5.8.2) wird zunächst das über den Schwinghebel auf den Torsionsstab übertragene Torsionsmoment MT und danach über das polare Widerstandsmoment Wp (Tab. 5.2) der Durchmesser d des Torsionsstabs berechnet. Torsions-Hauptgleichung t zul = WMp Terf Torsionsmoment MT MT = F  l1 = 2500 N  400 mm = 106 Nmm polares Widerstandsmoment (Tab. 5.2) 3   derf Wp erf = 16

5.8  Beanspruchung auf Torsion

363

T 16 umgestellt nach derf : t zul = M 3  derf r q 6 16MT 3 1610 Nmm derf = 3   =  320 N t zul mm2

derf = 25;2 mm, ausgeführt d = 26,5 mm (Normmaß)

Der Durchmesser des Torsionsstabs mit kreisförmigem Querschnitt beträgt d = 26,5 mm. b) Federweg f des Schwinghebels Ausgangsgleichung ist eine der drei unter 5.8.3 entwickelten Gleichungen für den Verdrehwinkel φ: MT  l '= Ip  G polares Flächenmoment Ip für den Kreisquerschnitt nach Tab. 5.2:    d 4    26;54 mm4 = = 4;842  104 mm4 32 32 106 Nmm  600 mm '= = 0;155 rad N 4;842  104 mm4  8  104 mm 2 Ip =

Der Federweg f ist das vom Schwinghebel‐Endpunkt zurückgelegte Bogenstück (siehe Aufgabenskizze): f = '  l1 = 0;155  400 mm = 62 mm

Der Federweg des Fahrzeugrads beträgt f = 62 mm. c) Außendurchmesser da und Innendurchmesser di bei kreisringförmigen Querschnitt (Rohrprofil) (siehe Erläuterungen in der Lösung a)) Torsions-Hauptgleichung MT Torsionsmoment MT = 106 Nmm (Lösung a)) t zul = Wp erf umgestellt nach dem polaren Widerstandsmoment Wp erf W Wp erf =

MT 106 Nmm = = 3;125  103 mm3 N t zul 320 mm 2

polares Widerstandsmoment Wp erf für den Kreisringquerschnitt nach Tab. 5.2:   da4 − di4 Wp erf = mit dem Bauverhältnis di = 0;8 da  16 da     da4 − .0;8da /4   da4  1 − 0;84 Wp erf = = = 0;116  da3   16 da 16 da umgestellt nach dem Außendurchmesser da erf s s 3 3 3 3;125  10 mm 3 Wp erf da erf = = = 29;98 mm | di = 0;8  da = 24 mm 0;116 0;116 ausgeführt da = 30 mm, di = 24 mm

364

5  Festigkeitslehre

d) Federweg f ′ (siehe Erläuterungen in der Lösung b)) Ausgangsgleichung ist wieder die auch in Lösung b) verwendete Gleichung für den Verdrehwinkel φ: MT  l '0 = Ip  G Torsionsmoment MT = 106 Nmm (Lsg. a)) polares Flächenmoment 2. Grades IP für den Kreinsringquerschnitt nach Tab. 5.2     4     4 Ip =  da − di4 =  30 − 244 mm4 = 4;695  104 mm4 32 32 Torsionsstablänge l = 600 mm N Schubmodul G = 8  104 mm2 6 10 Nmm  600 mm '0 = = 0;16 rad N 4;695  104 mm4  8  104 mm 2 Federweg f ′ (Erläuterungen siehe Lösung b)): f 0 = ' 0  l1 = 0;16  400 mm = 64 mm

Der Federweg des Fahrzeugrads beträgt bei einem Torsionsstab mit Kreisringquerschnitt f ′ = 64 mm. e) Vor‐ und Nachteile des Vollprofils bzw. des Rohrquerschnitts Die Federwege des Torsionsstabs mit kreisförmigem Querschnitt (f = 62 mm) und mit kreisringförmigem Querschnitt (f ′ = 64 mm) sind fast gleich groß. Die Entscheidung für einen Rohrquerschnitt oder ein Vollprofil des federnden Torsionsstabs hängt also von anderen konstruktiven Bedingungen ab. Der Torsionsstab mit Vollprofil (d = 26,5 mm) nimmt weniger Platz in Anspruch als der Stab mit Rohrquerschnitt (da = 30 mm). Dagegen hat der Torsionsstab mit Rohrquerschnitt eine um ca. 54 % geringere Masse: Masse pro Meter Länge des Vollprofil-Torsionsstabs: kg m0V = AV  l 0  %St =  4 d 2  l 0  %St =  4  0;2652 dm2  10 dm  7;85 dm 3 m0V = 4;33 kg m Masse pro Meter Länge des Rohrquerschnitt-Torsionsstabs:     kg m0R = AR  l 0  %St =  4 da2 − di2  l 0  %St =  4  0;32 dm2 − 0;242 dm2  10 dm  7;85 dm 3 kg 0 mR = 2 m Auch eine größere Knicksicherheit bzw. Steifigkeit spricht für einen federnden Torsionsstab mit einem Rohrquerschnitt.

365

5.8  Beanspruchung auf Torsion

Zusatzaufgabe: Bei dem Torsionsstab mit kreisförmigem Querschnitt soll der Federweg auf f = 85 mm erhöht werden. Außerdem muss der Durchmesser des Stabs auf d = 30 mm vergrößert werden. Alle anderen Größen – auch die geometrischen – bleiben erhalten. Welche Länge l1 muss der Schwinghebel erhalten, damit die geänderten Vorgaben eingehalten werden können? Lösung: Zunächst wird eine umfassende, alle gegebenen Größen enthaltende Gleichung für den Federweg f entwickelt: f = '  l1 MT  l '= (Lsg. b)) Ip  G MT = F  l1    d4 (Lsg. a)) 32 F  l1  l  32 '= (Lsg. b))    d4  G 32  F  l  l12 f = umgestellt nach l1 W    d4  G s r 4    85 mm  .30 mm/4  8  104  f  d G l1 = = 32  F  l 32  2500 N  600 mm l1 = 600;4 mm Ip =

N mm2

Bei einem Federweg f = 85 mm und einem Stabdurchmesser d = 30 mm beträgt die Länge des Schwinghebels l1 = 600,4 mm. Erkenntnisse: Dass eine Vergrößerung des Federwegs f und gleichzeitig die Vergrößerung des Durchmessers d des Torsionsstabs die Länge l1 des Schwinghebels ebenfalls vergrößern würde, war abzusehen. Mathematisch ist das nun auch erkennbar, weil beide veränderten Größen (f und d) im Zähler des Bruchs der Gleichung für die Schwinghebellänge l1 stehen. Interessant ist, dass eine Verringerung der maximalen Belastung F ebenfalls zu einer Verlängerung des Schwinghebels führen würde.

366

5  Festigkeitslehre

5.9 Beanspruchung auf Biegung 5.9.1 Spannungsarten und inneres Kräftesystem bei Biegeträgern Der skizzierte Stab wird durch die Kraft F auf Biegung beansprucht. Die vor der Belastung gerade Stabachse verformt sich zur Biegelinie. Auf Biegung beanspruchte gerade stabförmige Bauteile wie Achsen, Wellen, Hebel nennt man Träger oder auch Balken. An einer beliebigen Stelle der Trägerlänge l legt man den Schnitt x–x rechtwinklig zur Stabachse und bringt im Schnittflächenschwerpunkt dasjenige innere Kräftesystem an (Fq und Mb), das den Restteil I ins Gleichgewicht setzt. Nach der Berechnung der Stützkräfte FA = 500 N und FB = 1500 N ergibt die Untersuchung des Kräftegleichgewichts für Trägerteil I: ΣFy = 0 = +FA − Fq

Fq = FA = 500 N

ΣM(SP) = 0 = −FAx + Mb Mb = FAx = 500 N · 1,2 m = 600 Nm Der Querschnitt hat demnach wegen ΣFy = 0 die in der Fläche liegende Querkraft Fq = FA = 500 N zu übertragen. Die Querkraft Fq ruft die Schubspannung τ hervor. Aus ΣM(SP) = 0 ergibt sich weiter, dass der Querschnitt noch das rechtwinklig zur Fläche wirkende Biegemoment Mb = FAx = 600 Nm zu übertragen hat.

x = 1,2 m F

x FA

x

FB

xm

Mb

Mb

SP

SP

FA Fq

Fq

FN FN

Inneres Kräftesystem bei Biegung Hinweis: Das Biegemoment Mb ruft im Querschnitt die Normalspannung σ hervor, weil es dem in Normalenrichtung auf der Fläche stehenden Kräftepaar FN entspricht. Diese Normalspannung heißt Biegespannung σb und besteht aus Zug- und Druckspannungen, entsprechend den beiden Normalkräften FN (Zug- und Druckkraft).

Die Lage der größten Durchbiegung fmax wird durch die Länge xm bestimmt: q  xm = l 2 − l22 =3 = 2;236 m Bei der Beanspruchung auf Biegung muss der Querschnitt eine Querkraft Fq und ein Biege­ moment Mb übertragen. Das Biegemoment belastet den Querschnitt am stärksten; es erzeugt Biegespannungen σb.

Hinweis: Bei langen Stäben ist der Einfluss der Querkraft gering, d. h. die Schubspannung τ kann daher meist vernachlässigt werden. Bei kurzen, dicken Stäben ist zu prüfen, ob der Wert zulässig ist.

367

5.9  Beanspruchung auf Biegung

5.9.2 Bestimmung der Biegemomente und Querkräfte an beliebigen Trägerstellen (Arbeitsplan) Das Biegemoment Mb an einer beliebigen Stelle längs des Biegeträgers erhält man als Momentensumme für die Schnittstelle am linken oder rechten Trägerteil; ebenso erhält man die Querkraft Fq als Kraftsumme an einem der beiden Teile. Am besten wird Schritt für Schritt nach folgendem Arbeitsplan vorgegangen: Arbeitsplan zur Biegemomenten- und Querkraftbestimmung Freimachen des Biegeträgers.

1. Schritt

Bestimmung der Stützkräfte mit den drei statischen Gleichgewichtsbedingungen (ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0).

2. Schritt

Momentensumme für die gewählte Schnittstelle bilden. Damit ergibt sich das dort vorhandene Biegemoment Mb.

3. Schritt

Kraftsumme für die gewählte Schnittstelle bilden (nur Querkräfte nehmen). Damit ergibt sich die dort vorhandene Querkraft Fq.

4. Schritt

Man schaut von der Schnittstelle aus nach links (oder rechts) und addiert die Momente. Das Ergebnis ist das im Querschnitt wirkende Biegemoment Mb. Man schaut von der Schnittstelle aus nach links (oder rechts) und addiert die Querkräfte. Das Ergebnis ist die im Querschnitt wirkende Querkraft Fq.

Hinweis: Dieser Merksatz veranschaulicht den dritten und vierten Schritt im Arbeitsplan. Da sich Biegemoment und Querkraft längs des Trägers ändern, müssen mehrere Schnittstellen untersucht werden. Zweckmäßig legt man die Schnitte in die Wirklinien der Belastungskräfte oder in Querschnittsübergänge des Trägers.

5.9.3 Spannungsverteilung im Trägerquerschnitt bei Biegung Die äußere Kraft F biegt den Träger nach unten durch. Die vorher gerade Trägerachse wird eine gekrümmte Linie, auch Biegelinie oder „elastische Linie“ genannt. Zwei vorher parallele Schnitte ab, cd stellen sich bei Biegebelastung schräg gegeneinander: a′b′, c′d′. Dabei werden die oberen Werkstoff-Fasern verkürzt (Stauchung −ε), die unteren dagegen verlängert (Dehnung +ε), so wie es das Verformungsbild auf der folgenden Seite zeigt.

Biegebeanspruchter Träger (Biegeträger)

368

Zwischen den oberen (gestauchten) und den unteren (gestreckten) Stoffteilchen muss eine Faserschicht liegen, die sich weder verkürzt noch verlängert, die ihre Länge also beibehält. Das ist die „neutrale Faserschicht“, bei der ± ε = 0 ist. Sie geht durch den Schwerpunkt SP der Schnittfläche. Nach dem Hooke’schen Gesetz sind im elastischen Bereich die Spannungen ebenso verteilt wie die Formänderungen. Wie die Längenänderung wächst auch die Spannung von der neutralen Faserschicht (Nulllinie) nach oben und unten gleichmäßig. Die Spannung verteilt sich linear. Die neutrale Faserschicht ist unverformt, also auch spannungslos. Die Spannung wächst mit dem Abstand y von der neutralen Faser bis zum Höchstwert +σmax (Zugspannung) und −σmax (Druckspannung). Genau wie bei der Torsion muss man also auch bei der Biegung mit der Randspannung σmax rechnen, wobei die Unterscheidung zwischen +σmax als größter Zugspannung und −σmax als größter Druckspannung nur bei solchen Werkstoffen notwendig ist, die auf Zug und Druck unterschiedlich reagieren, z. B. Gusseisen. Bei Biegung erhalten die Randfasern die stärkste Beanspruchung, die neutrale Faserschicht ist spannungslos, Bohrungen in Schwerpunktsnähe schaden daher kaum. Biegespannungen sind Zug- und Druckspannungen (Normalspannungen). Sie sind linear über dem Querschnitt verteilt.

5.9.4 Herleitung der Biege-Hauptgleichung Das Flächenteilchen ∆A im Abstand y von der x-Achse (Schwerachse) überträgt die rechtwinklig auf dem Querschnitt stehende Teilkraft ∆F. Unter der Annahme, dass die Spannung σ gleichmäßig über dem Flächenteilchen ∆A verteilt ist (wie bei Zugbeanspruchung), kann man für ∆F  =  ∆A σ schreiben.

5  Festigkeitslehre



Verformungsbild

Die Verformungen wachsen linear mit dem Abstand von der neutralen Faserschicht. Nach Hooke sind die Verformungen den Spannungen proportional, also wachsen auch die Spannungen linear mit dem Abstand von der neutralen Faserschicht. Wie das Spannungsbild zeigt, ist  y = max e Daraus ergibt sich für die Spannung σ an einer beliebigen Stelle: y  = max e

Spannungsbild

369

5.9  Beanspruchung auf Biegung

Die Teilkraft ∆F wirkt in Bezug auf die x-Achse drehend am Hebelarm y, sie erzeugt also ein „kleines“ Innenmoment ∆Mi = ∆Fy. Die Spannung σ ändert ihren Betrag mit dem Abstand y. Für die Hauptgleichung braucht man die Randfaserspannung σmax, weil sie den Werkstoff am stärksten beansprucht. Es wird daher σ durch die aus dem Spannungsbild abgelesene Beziehung σ = σmaxy/e ersetzt. Die Summe der kleinen Innenmomente ∆Mi hält dem einwirkenden Biegemoment Mb das Gleichgewicht. Die gleichbleibenden Größen σmax und Randfaserabstand e können vor das Summenzeichen gesetzt werden. Der Summenausdruck Σ∆Ay2 ist das schon bekannte axiale Flächenmoment 2. Grades I, der Ausdruck  I/e ist das axiale Widerstandsmoment W. Die gefundene Gleichung löst man nach der Spannung auf und erhält so die gesuchte BiegeHauptgleichung. Biegespannung b =

Biegemoment Mb axiales Widerstandsmoment W

Hat man aus dem Biegemoment und der zulässigen Biegespannung das erforderliche axiale Widerstandsmoment Werf berechnet, können mit den Gleichungen aus Tabelle 5.1 die Querschnittsmaße festgelegt werden. Bei Trägern mit konstantem Querschnitt, z. B. bei allen Profilstählen, reicht die Bestimmung des maximalen Biegemoments aus. Dagegen ist es bei abgesetzten Bauteilen nötig, das Biegemoment für sämtliche Übergangsstellen zu ermitteln und zu garantieren, dass σb vorh ≤ σb zul ist.

∆Mi = ∆Fy = ∆Aσy

y Mi = Ay = Amax y e max 2 Mi = Ay e

Mb = †Mi = †

Mb =

max Ay 2 e

max †Ay 2 e

I = b W e Hinweis: Nur wegen der einfacheren Schreibweise wird σb statt σmax geschrieben. σb ist also immer die Randfaserspannung, die größte Spannung im Querschnitt.

Mb =  b

Mb W Biege­Haupt­ gleichung

b =

b N mm2

Mb

W

Nmm

mm3

Je nach vorliegender Aufgabe wird die Biege-Hauptgleichung umgestellt: Werf =

Mb max  erforderliches Widerstandsmoment b zul

b vorh =

 vorhandene Mb max  b zul Spannung W

maximales Mb max = Wσb zul  Biegemoment

370

5  Festigkeitslehre

5.9.5 Spannungsverteilung im einfach symmetrischen Querschnitt Das skizzierte T-Profil (z. B. DIN EN 10025) hat eine spiegelsymmetrische y-Achse und eine senkrecht dazu durch den Schwerpunkt SP verlaufende x-Achse. Bei diesem einfach symmetrischen Querschnitt gibt es dann zwei verschieden große Randfaserabstände e1 ≠ e2 und damit auch zwei unterschiedliche Widerstandsmomente W1 und W2. Aus der Beziehung Ix/e1 = W1 erhält man im Beispiel des T-Profils die größte Zugspannung, die kleiner sein muss als σz zul. Aus der Beziehung Ix/e2 = W2 erhält man die größte Druckspannung, die kleiner sein muss als σd zul. Übung:  Aus der Profilstahltabelle für das T-Profil T80 ist abzulesen: Ix = 73,7 · 104 mm4, Randfaserabstand e1 = 22,2 mm, damit wird e2 = (80 − 22,2) mm = 57,8 mm. Für das zu übertragende Biegemoment Mbx = 520 Nm sind die beiden Randfaserspannungen (σb1, σb2) zu berechnen.

Spannungsverteilung im einfach symmetrischen Querschnitt z max =

Mbx e1 Mb  größte = Zugspannung Ix W1

d max =

größte Mbx e2 Mb  = Druckspannung Ix W2

Lösung: Mbx  e1 520  103 Nmm = Ix 73;7  104 N = 15;7 mm2 Mbx  e2 520  103 Nmm = = Ix 73;7  104 N = 40;8 mm2

b1 = b1 b2 b2

5.9.6 Gültigkeitsbedingungen für die Biege-Hauptgleichung Die Biege-Hauptgleichung σb  =  Mb/W gilt unter folgenden Voraussetzungen: 1. Die Stabachse ist gerade, also nicht gekrümmt wie z. B. beim Kranhaken. 2. Bei der einfachen (geraden) Biegung stehen alle Kräfte F (Belastungen) einschließlich der Stützkräfte rechtwinklig zur Stabachse. Sie liegen in einer Ebene (Lastebene), die durch die Stabachse geht und zugleich Ebene einer Hauptachse ist. Das ist auch die Ebene, in der die Biegemomente wirken. 3. Die Querschnitte bleiben bei der Beanspruchung eben. 4. Für den Werkstoff gilt das Hooke’sche Gesetz. 5. Der Elastizitätsmodul ist für Zug- und Druckbeanspruchung gleich groß (z. B. Stahl). 6. Die Spannungen bleiben unter der Proportionalitätsgrenze σP.

Rechteckträger

 22;2 mm mm4

 57;8 mm mm4

371

5.9  Beanspruchung auf Biegung

5.9.7 Übungen zur Berechnung des Biegemomenten- und Querkraftverlaufs bei den wichtigsten Trägerarten und Belastungen Man unterscheidet Freiträger und Stützträger. Ein typischer Freiträger ist z. B. das angeschweißte Konsolblech. Stützträger sind z. B. alle zwei- oder mehrfach an den Trägerenden gelagerte Achsen oder Wellen. Ein Stützträger wird als Kragträger bezeichnet, wenn er mit einem oder mit beiden Enden über die Lagerstelle hinausragt.

Trägerarten: F  reiträger, Stützträger, Kragträger

5.9.7.1 Freiträger mit Einzellast Eine Blattfeder wird nach Skizze im Abstand l  = 120 mm von der Einspannstelle B durch die Federkraft F  = 100 N biegend und abscherend belastet. Es wird der Biegemomenten- und Querkraftverlauf (Mb- und Fq-Linie) gesucht. Dazu lässt man eine Schnittebene x–x von A nach B wandern und ermittelt von dort aus das Biegemoment Mb und die Querkraft Fq nach dem Arbeitsplan in 5.9.2 (3. und 4. Schritt).

Lageskizze einer Blattfeder als Freiträger mit Einzellast

Für die eingezeichnete Schnittebene x–x im Abstand x vom Kraftangriffspunkt A erhält man die Funktionsgleichung für

Für den Freiträger mit Einzellast gelten die Funktionsgleichungen:

a) das Biegemoment Mb(x) = F x und für

Mb(x) = Fx

b) die Querkraft Fq(x) = F In einem Mb, x-Diagramm ist Mb(x)  =  F x die Gleichung einer mit zunehmendem Abstand x ansteigenden Geraden. Das Biegemoment Mb(x) wächst also proportional von null bis zum Größtwert Mb max an der Einspannstelle B. Dort beträgt bei x = l = 120 mm das Biegemoment Mb max = F l = 100 N · 120 mm = 12 000 Nmm = 12 Nm.

Fq(x) = F

Mb, x-Diagramm Mb max = F l Maximales Biegemoment

372

5  Festigkeitslehre

Die Querkraft Fq ist an jeder Trägerstelle gleich groß: Fq = F = 100 N. Daher hat die Querkraftfläche im Fq, x-Diagramm eine Rechteckform mit dem Flächeninhalt Aq ≙ F l. Das ist exakt die Gleichung für das im Einspannquerschnitt zu übertragende maximale Biegemoment. Gleiches gilt für das Biegemoment Mb(x) an der Schnittstelle x–x: Aq(x) ≙ Mb(x) = F x. Von links nach rechts fortschreitend (A → B) lässt sich für jeden Trägerquerschnitt die Gleichung für das Biegemoment Mb aus der Flächenformel für die Querkraftfläche Aq ablesen (Querkraftsatz).

Fq, x-Diagramm Aq ≙ Mb max

Mb max = F l

Maximales Biegemoment

Hinweis: Dieser Satz von der Querkraftfläche gilt für alle Trägerarten und Belastungen. Vielfach genügt es, den Querkraftverlauf annähernd maßstäblich aufzuzeichnen.

5.9.7.2 Freiträger mit mehreren Einzellasten Der skizzierte Freiträger wird durch drei Einzelkräfte F1, F2 und F3 belastet. Gesucht werden die Biegemomente Mb1, Mb2, und Mb3 für die Kraftangriffsstellen, das maximale Biegemoment Mb max in der Einspannstelle B und die Querkraftfläche Aq.

Lageskizze des Freiträgers mit Einzellasten

Die Biegemomente werden nach dem Arbeitsplan (3. Schritt) berechnet: Mb1 = 0 an der Kraftangriffsstelle von F1 Mb2 = F1 .l1 − l2 / an der Kraftangriffsstelle von F2 Mb2 = 15 kN  .6 m − 4 m/ = 30 kN Fq, x-Diagramm Mb3 = F1 .l1 − l3 / + F2 .l2 − l3 / Mb3 = 15 kN  .6 m − 2 m/ + 20 kN  .4 m − 2 m/ = 100 kN Mb.B/ = Mb max = F1 l1 + F2 l2 + F3 l3 Mb max = 15 kN  6 m + 20 kN  4 m + 10 kN  2 m = 190 Nm Diese Berechnungen lassen sich auch aus dem Fq, x-Diagramm ablesen. Das maximale Biegemoment Mb max entspricht dem Flächeninhalt Aq ges der gesamten Querkraftfläche.

Mb max = Fll1 + F2l2 + F3l3 Mb max ≙ Aq ges Maximales Biegemoment

Trägt man die berechneten Mb-Werte als Ordinaten in ein Mb, x-Diagramm ein, ergibt sich die Biegelinie. Danach steigt das Biegemoment linear von Mb1 = 0 auf Mb max an.



Mb, x-Diagramm

373

5.9  Beanspruchung auf Biegung

5.9.7.3 Freiträger mit konstanter Streckenlast (gleichmäßig verteilte Streckenlast) In einer Stahlbaukonstruktion wird ein Profilstahlträger IPE 360 nach DIN 10025 verwendet. Der 360 mm hohe Freiträger hat eine Eigengewichtskraft von F′ = 560 N/m (siehe Formelsammlung). Beim Profilstahlträger wird sie in Newton pro Meter (N/m) angegeben. Gesucht werden wieder das maximale Biegemoment Mb max in der Einspannstelle B und die Querkraftfläche Aq.

Zur Darstellung der Querkraftfläche Aq verwendet man die Teilkräfte F′ und erhält einen stufenförmigen Querkraftverlauf. Bei feinerer Unterteilung der Streckenlast, z. B. in acht Teilstrecken, ergibt sich eine immer feinere Stufung, bis die Querkraftfläche Aq in eine Dreieckfläche übergeht.

Mit der Erkenntnis, dass der gesamte Flächeninhalt Aq dem maximalen Biegemoment an der Einspannstelle entspricht, erhält man die Gleichung für Mb max = F l/2 = F′l2/2.

Lageskizze des Freiträgers mit konstanter Streckenlast

Fq, x-Diagramm

Mb max = F 0

l2 2

Mb max  ≙  Aq Maximales Biegemoment Beispiel für das maximale Biegemoment Mb max: N 42 m 2 l2 = 560  = 4480 Nm 2 m 2

Mb max = F 0

Wie bei der Gesamtfläche erhält man auch mit der Teilfläche Aq(x) das im Schnitt x–x wirksame Biegemoment Mb(x). Die entsprechende Gleichung Mb(x)  =  F′x2/2 ist die Funktionsgleichung zum Aufzeichnen des Mb, x-Diagramms. Sie ist die Gleichung einer Parabel, wie die Mb-Linie im skizzierten Mb, x-Diagramm zeigt.

Mb x

0

A

M b(x) = F′

x2 2

Mb(x)

Mb , x-Diagramm

Mb-Linie

Mb max

B x

374

5  Festigkeitslehre

5.9.7.4 Freiträger mit Mischlast (Einzellast und konstante Streckenlast) Bei Mischlast haben Biegeträger Strecken- und Einzellasten zu tragen. Diesen Fall zeigt der skizzierte Freiträger. Maße und Streckenlast F′ = 560 N/m sind dieselben wie bei der vorangegangenen Übung in 5.9.7.3. Zusätzlich wird der Träger durch die Einzelkraft F1 = 1500 N belastet. Sie wirkt im Abstand l1 = 3 m vom Einspannpunkt B entfernt unter dem Winkel α = 60° zur Trägerachse. Biegend wirkt aber nur die rechtwinklig zur Trägerachse stehende Komponente F1 sin α. Die waagerechte Komponente F1 cos α muss die Einspannung in B aufnehmen (FBx = F1 cos α).

Lageskizze des Freiträgers mit Mischlast

Gesucht werden wieder eine Gleichung für das maximale Biegemoment Mb max an der Einspannstelle B des Trägers und die Querkraftfläche Aq. Mit den Angaben aus der Lageskizze wird das Fq, x-Diagramm gezeichnet. Vom Punkt A an nach rechts fortschreitend setzt man an die erste Streckenlast F′  = 560 N/m die Kraftkomponente F1 sin α = 1299 N an. Danach folgen auf ihren Wirklinien die restlichen drei Streckenlasten und zum Abschluss die im Einspannquerschnitt B wirkende Gleichgewichtskraft FBy = F′l + F1 sin α. Die gesamte Querkraftfläche Aq setzt sich aus der Dreieckfläche Aq1 ≙ F′l2/2 und der Parallelogrammfläche F1 sin α l1 zusammen. Mb max an der Einspannstelle B entspricht dem Inhalt dieser beiden Teilflächen. Es kann also die Berechnungsgleichung sofort aufgeschrieben werden.

Fq, x-Diagramm Aq = Aq1 + Aq2 ≙ Mb max l2 Mb max = F 0 + F1 sin ˛l1 2 Maximales Biegemoment

Die Gleichung für das maximale Biegemoment Mb max kann auch auf einem anderen Weg gewonnen werden: Man zeichnet die Querkraftfläche nacheinander für den Träger mit konstanter Streckenlast F′ und für die Einzelkraft F1 sin α. Der Grundgedanke dazu: Der Träger wird erst allein mit der Streckenlast und danach allein mit der Einzelkraft belastet (Überlagerungsprinzip).

Hinweis: Das Verfahren, Belastungen schrittweise aufzusetzen, heißt Überlagerungsverfahren (auch: Überlagerungsprinzip oder Superpositionsprinzip).

375

5.9  Beanspruchung auf Biegung

Zum Aufzeichnen des Mb, x-Diagramms berechnet man einige Mb(x)-Werte oder entwickelt die Funktionsgleichung für den Graphen. Für Querschnitte von x = 0 bis zur Lastangriffsstelle von F1 gilt: x F0 2 Mb.x/ = F 0 x = x 2 2 An der Einspannstelle B gilt: F0 2 Mb.x/ = x + F1 sin ˛ Œx − .l − l1 / 2 Der Ausdruck F′x2/2 weist auf einen parabolischen Kurvenverlauf hin. Aufgaben Nr. 835–863



Mb, x-Diagramm

Beispiel für das maximale Biegemoment: Mit x = l wird F0 2 l + F1 sin ˛l1 = Mb max 2 560 N 2 2 =  4 m + 1500 N  sin 60ı  3 m 2 m

Mb.x = l/ = Mb max

Mb max  =  8377 Nm

5.9.7.5 Stützträger mit Einzellast Wie bei Freiträgern lassen sich auch für Stützträger für jeden Querschnitt x das Biegemoment Mb(x) und die Querkraft Fq(x) berechnen (Arbeitsplan in 5.9.2). Der skizzierte Stützträger wird mit der Einzelkraft F = 6000 N biegend belastet. Mit den Gleichgewichtsbedingungen ΣFy = 0 und ΣM(B) = 0 werden die Stützkräfte FA = 4000 N und FB = 2000 N berechnet. Für die eingezeichneten Schnittstellen 1, 2 und 3 berechnet man die Biegemomente Mb1, Mb2 und Mb3. Für jeden Schnitt zwischen dem Lagerpunkt A und der Kraftangriffsstelle ist das Biegemoment Mb(x) = −FAx. Das ist im Mb, x-Diagramm der Graph einer Geraden (allgemeine Geradengleichung: y = mx mit m = konstant).

Lageskizze des frei gemachten Stützträgers mit Einzellast F = 6000 N Mb1 = −FAx1 = −4000 N · 1 m = −4000 Nm Mb2 = −FAx2 = −4000 N · 2 m = −8000 Nm Mb3 = −FAx3 + F(x3 − x2) Mb3 = −4000 N · 4 m + 6000 N · 2 m Mb3 = −4000 Nm

Mb, x-Diagramm

376

5  Festigkeitslehre

Das Querkraftdiagramm wird aufgezeichnet: Von A nach B fortschreitend trägt man die aus dem Lageplan erkennbaren Kräfte aneinander. Es ergeben sich zwei gleich große Rechteckflächen über und unter der Nulllinie: Das Biegemoment Mb(x) in jedem Trägerquerschnitt entspricht der Fläche links oder rechts vom Schnitt. Das größte Biegemoment Mb max liegt dort, wo die Querkraftlinie durch die Nulllinie geht. Geht die Querkraftlinie mehrfach durch null, muss das Biegemoment für alle Nulldurchgänge berechnet und so Mb max bestimmt werden. Greift die Einzelkraft in der Mitte des Trägers an, dann wird mit FA = FB = F/2 und l1 = l/2 das maximale Biegemoment Mb max = (F/2) (l/2) = F l/4.

Fq, x-Diagramm Mb max ≙ Aq Maximales Mb max = FAll = FB(l − l1)  Biegemoment FA = 4000 N FB = 2000 N Mb max = FAl1 = 4000 N · 2 m = 8000 Nm Mb max = −FB(l − l1) = −2000 N · 4 m = −8000 Nm Hinweis: Beim Stützträger mit Einzellast wirkt Mb max dort, wo die Einzelkraft angreift. Berechnet wird Mb max aus der Querkraftfläche rechts oder links vom Nulldurchgang.

5.9.7.6 Stützträger (Kragträger) mit mehreren Einzellasten Berechnung der Stützkräfte: ΣM(B) = 0 = F1 (l1 − l1) + F2l3 − F3l2 − FAl Berechnung der F .l − l Stützkräfte: /+F l −F

2 3 3 l2 = 9;583 kN l Σ M(B) = 0 = F1(l1 – l1) + F2 l3 – F3 l2 – FA l ΣFY = 0 = FA + FB − F1 − F2 − F3

FA =

F =

1

1

1

F1(l1 – l1) + F2 l3 – F3 l2

= 9,583 kN

A FB = F 1 + F2 + F3l  − FA = 45,417 kN

Σ Y Kontrolle:

F = 0 = FA + F B – F1 – F2 – F3

F = F + F + F – F = 45,417 kN

B 1 2 3 A ΣFY = 0 = F A − F1 − F2 + FB − F3

Kontrolle: (9,583 − 25 − 10 + 45,417 − 20) Σ FY = 0 = FA – F1 – F2 + F B – F3 kN = 0 (9,583 – 25 – 10 + 45,417 – 20) kN = 0

Lageskizze mit Fq, x-Diagramm Die Querkraftfläche im Fq, x-Diagramm zeigt zwei Nulldurchgänge (1 und 2). Um festzustellen, welche der beiden Querschnittsstellen das maximale Biegemoment Mb max zu übertragen hat, führt man eine Vergleichsrechnung durch (ohne Berücksichtigung der Vorzeichen).

Nulldurchgang 1: Mb1 ≙ Aq1 = FAl1 Mb1 = 9,583 kN · 2,5 m Mb1 = 23,958 kNm

377

5.9  Beanspruchung auf Biegung

Das Biegemoment Mb1 erhält man am einfach­sten über die Rechteckfläche links vom Nulldurchgang 1. Zur Mb2-Berechnung wird die Fläche rechts vom Nulldurchgang 2 genommen.

Nulldurchgang 2: Mb2 ≙ Aq2 = F3l2 Mb2 = 20 kN · 2 m Mb2 = 40 kNm

Die Rechnung zeigt: Das größte Biegemoment tritt im Nulldurchgang 2 auf. Mb2 = 40 kNm > Mb1 = 23,958 kNm. Damit hat man die Mb max-Stelle und den Betrag des maximalen Biegemoments gefunden.

Mb max = Mb2 = F3l2

Zur Kontrolle kann die Fläche links vom Nulldurchgang 2 berechnet werden. Die algebraische Summe der Flächeninhalte Aq1 und Aq3 muss gleich dem Flächeninhalt Aq2 sein.

Mb2 = FAl1 − (F1 − FA)(l − l1) − F2l3

Mb max = 40 kNm

Mb2 = (9,583 · 2,5 − (25 − 9,583) · 3,5 − 10 · 1) kNm Mb2 = −40 kNm

Begründung: Das Biegemoment Mb2 im linken Schnittufer des Querschnitts 2 muss gleich dem Biegemoment im rechten Schnittufer sein. Die beiden Beträge haben ein entgegengesetztes Vorzeichen (−40  kNm, +40  kNm), weil für den Schwerpunkt des Querschnitts ΣM = 0 erfüllt sein muss.

Mb2 ˚ + Mb2  = 0 Mb2 = −Mb2 Zum Aufzeichnen des Mb, x-Diagramms werden die Biegemomente an den Lastangriffsstellen berechnet: Für x = l1 ist: Mb(x) = −FAl1 = −9,583 kN · 2,5 m Mb(x) = 23,958 kNm Für x = l − l3 ist:

Mb, x-Diagramm

Mb(x) = −FA (l − l3) + F1 (l − l3 − l1) Mb(x) = −9,583 kN · 5 m + 25 kN · 2,5 m Mb(x) = 14,585 kNm Für x = l ist: Mb2 = −FAl + F1 (l − l1) + F2l3 Mb2 = −9,583 kN · 6 m + 25 kN · 3,5 m + 10 kN · 1 m Mb2 = 40 kNm = Mb max

Die Trägerstelle mit Mb(x) = 0 liegt zwischen den Lagerpunkten A und B. Für diese Schnittstelle muss die Summe der Querkraftflächen Aq1 und Aq(x) gleich null sein.

Aq1 = Aq(x) FAl1 = (x − l1) (F1 − FA) x=

FA l1 9;583 kN  2;5 m + l1 = + 2;5 m F1 − FA 25 kN − 9;583 kN

x = 4,054 m

378

5  Festigkeitslehre

5.9.7.7 Stützträger (Kragträger) mit konstanter Streckenlast

Berechnung der Stützkräfte: l + l1 Berechnung der Stützkräfte: †M = 0 = F l −F .A/

B

r

2

l + l1 = 0der = FMitte (FrΣ istMdie Streckenlast angreifende (A) in B l – Fder r 2 Resultierende der Teil-Streckenlasten). (Fr ist die in der Mitte der Streckenlast angreifende l + der l1 Teil-Streckenlasten). 5m + 2m Resultierende FB = Fr = 14000 N  = 9800 N 2l l 2  5m l+ 5m+2m 1 = 14000 N · FBy = 0 = F = Fr = 9800 N ΣF  + F  − F B r 2 Al 2·5m FΣ A = F B = 4200 N 0=F Fy =r − F A + FB – Fr

Kontrolle: FA = Fr – FB = 4200 N

ΣFy = 0 = FA − Fr + FB Kontrolle: (4200 − 14 000 + 9800) Σ Fy = 0 = FA – Fr + FB N = 0 (4200 – 14000 + 9800) N = 0

Lageskizze mit Fq, x-Diagramm Die Querkraftfläche zeigt auch hier zwei Nulldurchgänge (1 und 2) wie beim vorhergehenden Träger. Nur an einem der beiden kann das maximale Biegemoment Mb max auftreten. Auch hier lässt sich nicht sofort erkennen, welche der beiden Querkraftflächen größer ist, Aq1 oder Aq2. Daher müssen beide berechnet werden. Eine Kathete des rechtwinkligen Dreiecks der Querkraftfläche Aq1 hat die Länge x. Sie kann abgemessen oder berechnet werden. Zur Rechnung benutzt man hier die Tatsache, dass beim Nulldurchgang, von links nach rechts gesehen, die Querkraft gleich null geworden ist. Nun lassen sich beide Querkraftflächen auswerten und damit das maximale Biegemoment und dessen Lage bestimmen. Die Vergleichsrechnung zeigt, dass das maximale Biegemoment Mb max mit 4410 Nm im linken Nulldurchgang 1 auftritt.

Hinweis: Das Biegemoment Mb1 im Nulldurchgang 1 berechnet man mit Blickrichtung von 1 nach links und sieht Aq1. Für den Querschnitt 2 blickt man vom Lagerpunkt B aus nach rechts und sieht Aq2.

Vom Nulldurchgang 1 aus nach links gesehen ergibt: FA − F′x = 0 FA 4200 N x = = = 2;1 m N F0 2000 m x = 2,1 m

Mb1 b = Aq1 =

FA x 4200 N  2;1 m = 2 2

Mb1 = 4410 Nm l1 l2 = F0 1 2 2 N 4 m2 Mb2 = 2000  = 4000 Nm < Mb1 m 2 Mb max = Mb1 = 4410 Nm Mb2 b = Aq2 = F 0 l1

379

5.9  Beanspruchung auf Biegung

Im Gegensatz zum Freiträger (5.9.7.4) sind hier wegen des Stützlagers B zwei Funktionsgleichungen zum Aufzeichnen des Mb, x-Diagramms erforderlich.

Mb, x-Diagramm

Für die beiden Nulldurchgänge im Fq, x-Diagramm sollen die Biegemomente berechnet werden.

Für die Mb-Werte zwischen 0 und B gilt mit Blick nach links in Richtung A in der Lageskizze: F 0x2 Mb1 = − FA x 2 Für die Mb-Werte rechts von B gilt mit Blick nach rechts: F 0x2 Mb2 = 2 In beiden Gleichungen erscheint der mathematische Ausdruck F′x2/2. Die entsprechenden Kurvenzüge müssen daher parabolischen Verlauf haben (siehe Mb, x-Diagramm).

Mb1 =

Für die Schnittstelle 1 wurde x = 2,1 m ermittelt.

F 0x2 − FA x 2 2000

Mb1 =

N .2;1 m/2 m − 4200 N  2;1 m 2

Das Biegemoment in der Lagerstelle B wird mit x = l1 = 2 m berechnet.

Mb1 = −4410 Nm

Ein Vergleich zeigt, dass im Trägerquerschnitt 1 das größte Biegemoment auftritt: Mb1 > Mb2.

N 2000 .2 m/2 F 0x2 m Mb2 = − = − 2 2 Mb2 = −4000 Nm

Zur Ermittlung der Schnittstelle für den Nulldurchgang der Mb, x-Kurve ist Mb = 0 in die Gleichung für die Schnittstelle 1 einzusetzen. Die Rechnung zeigt, dass im Trägerquerschnitt bei x = 4,2 m das Biegemoment gleich null ist.

F 0x2 Mb1 = − FA x = 0 2   F0 x x − FA = 0I x ¤ 0 2 FA  2 4200 N  2 x = = = 4;2 m N F0 2000 m

Aufgaben Nr. 864–880

380

5  Festigkeitslehre

5.9.7.8 Stützträger mit Mischlast (Einzellast und konstante Streckenlast)

Lageskizze mit Fq, x-Diagramm

Mb, x-Diagramm

Berechnung der Stützkräfte: Berechnung aus der der Stützkräfte: Resultierende Streckenlast Fr = F l3 = 2400 N, Resultierende der der Streckenlast Fr = F 0 l3 = 2400 N, angreifend in der deraus Mitte Streckenlast. Berechnung Stützkräfte: angreifend in der Mitte der Streckenlast. – Flder  M(A) = 0 =aus Resultierende Streckenlast 1–F r (l – l2) + FFBr l= F l3 = 2400 N, angreifend Mitte derr (l − l Streckenlast. ΣMFl  − F (A)1 = 0 = −Fl 2) + FBl +inFder r (l – l12) FBM N 2l/– l2) + FB l F=B(A)= =F0l=1l –+FlF1r –.lF−=r l(1750 = 1750 N  Fy =Fl01 =+ FFAr –(lF–l –l2F) r + FB FBΣF = y = 0 = FA − F − F = 1750 N  + F FA = F + Fr –l FB = 1650 rN B  − F F –B = 1650 N Fr + FB x: = 0 = Fdes FFAy = F + F Berechnung Ar – Abstandes FA =Nulldurchgang F + Fr – FB = 1650 Beim wirdNdiex:Querkraft gleich null; Berechnung des Abstands das bedeutet des Abstandes x: Berechnung Beim Nulldurchgang wird die Querkraft gleich null; FA –Nulldurchgang F – F x = 0 (F xwird = Streckenlast vongleich der Länge Beim die Querkraft null;x) das bedeutet das bedeutet FA – F 0 x= x = Streckenlast mit der Länge x) FA − F − F=0 x0,8125  = 0 (F m F A – FF– F x = 0 (F x = Streckenlast von der Länge x) FA − F Berechnung maximalen Biegemoments Mbmax: x F=A – F des = 0;8125 m F=0 0,8125 m x= F Biegemoment = Querkraftfläche Berechnung des maximalen Biegemoments Mbmax: Berechnung des maximalen Biegemoments (FA –MFbmax )x : MBiegemoment ≙ Querkraftfläche = 4539 Nm bmax = Aq1 = FA 2 m + (FA – F) 1,5 m + Biegemoment 2 Mb max b = Aq1 = = FQuerkraftfläche A 2 m + .FA − F /1;5 m + oder: (FA – F) x F+ /x(F F– F(3 m –mx)+ Mbmax = Aq1 =.F FAA 2−m = 4539 Nm A B ) 1,5 Mbmax = Aq2+= F1B21,5 m += 4539 Nm = 4539 2 Nm 2 oder: oder: mB–.3x)m − x/ FB (3 F b =q2A=q2F1=B 1,5 F lBm1;5 = 4539 Nm MM =A +m + = 4539 Nm b max bmax 2 2

Zum Aufzeichnen des Mb, x-Diagramms genügt es, die Mb-Werte für die Querschnitte unter dem Lastangriff von F und an den beiden Begrenzungen der Streckenlast F′ zu berechnen: Mb(F) = −FAl1 = 3300 Nm   l3 Mb .links/ = −FA l − l2 − + 2   l3 + F l − l2 − − l1 2 Mb (links) = −4275 Nm   l3 Mb .rechts/ = −FB l2 − = −2625 Nm 2 Der Mb-Verlauf zwischen den Endpunkten der Ordinatenwerte und den Nullpunkten A und B muss linear sein (siehe 5.9.7.1 und 5.9.7.2). Dazwischen liegt der parabolische Kurvenzug für den Mb-Verlauf infolge der Streckenlast F′ (siehe 5.9.7.3).

Dieser Fall zeigt besonders deutlich, wie einfach sich Lage und Betrag von Mb max mit Hilfe der Querkraftfläche bestimmen lassen. Nachdem die Stützkräfte berechnet wurden, kann der Querkraftverlauf aufgezeichnet werden. Bei nur einem Nulldurchgang liegt die Mb max-Stelle sofort fest. Das Maß x wird abgemessen oder berechnet. Damit lässt sich dann aus der Querkraftfläche rechts oder links vom Nulldurchgang Mb max berechnen. Aufgaben Nr. 881–897

381

5.9  Beanspruchung auf Biegung

5.9.8 Träger gleicher Biegespannung 5.9.8.1 Allgemeine Anformungsgleichung Hat ein Biegeträger durchgehend gleichen Querschnitt (W  = konstant), dann hat im Normalfall jeder Querschnitt eine andere Biegespannung σb. Die Maximalspannung σb max tritt nur in dem Querschnitt auf, der das maximale Biegemoment zu übertragen hat. Durch die so genannte Anformung erreicht man, dass jeder Querschnitt gerade so groß wird, wie es zur Aufnahme der zulässigen Biegespannung σb zul erforderlich ist. Man hat dann einen Träger gestaltet, der in allen Querschnitten die gleiche Biegespannung aufweist. Für jeden beliebigen Querschnitt x gilt die BiegeHauptgleichung σbx = Mbx/Wx, mit Biegemoment Mbx und dem Widerstandsmoment Wx. Gleiche Biegespannungen σbx = σb zul werden dann erreicht, wenn dafür gesorgt wird, dass überall der Quotient Mbx/Wx gleich groß ist. Diese Bedingung führt zur Anformungsgleichung in der allgemeinen Form.

bx =

Mbx = b zul = konstant Wx

Mbx1 Mbx2 = = ::: = konstant Wx1 Wx2

Anformungsgleichung, allgemeine Form

5.9.8.2 Achsen und Wellen Am Beispiel einer Radachse mit kreisförmigem Querschnitt wird die Anformung von Achsen und Wellen erläutert: Die Einspannstelle hat das maximale Biegemoment Mb max = F l zu übertragen und der (beliebige) Querschnitt x–x das Biegemoment Mbx = F lx. Die Anformung erfordert, dass der Quotient aus Biegemoment Mb und Widerstandsmoment W in allen Querschnitten gleich groß bleibt. Für die Mb max-Stelle gilt Mb max/Wmax = σb zul, für jede beliebige Stelle Mbx/Wx = σb zul, so dass man beide Quotienten gleichsetzen kann. Beim Kreisquerschnitt gilt für das axiale Widerstandsmoment W = 0,1d3. Wird dieser Ausdruck in die Ausgangsgleichung eingesetzt und außerdem die beiden Biegemomente durch F l und F lx ersetzt, dann erhält man die gesuchte Anformungsgleichung für Achsen und Wellen mit kreisförmigem Querschnitt.

Mb max Mbx Mb max Wmax = ) = Wmax Wx Mbx Wx 3 Fl l 0;1dmax d3 = = max 3 F lx 0;1dx lx dx3 r 3 lx dx = dmax l Anformungsgleichung für Achsen und Wellen

382

5  Festigkeitslehre

Mit der Anformungsgleichung können nun die Durchmesser dx für mehrere Trägerstellen x berechnet und in eine Wertetabelle eingetragen werden: Wertetabelle Lastentfernung lx Wurzelfaktor

r 3

1

Durchmesser dx

3 l 4

l

dmax

3  0;9 4

d1  0;9  dmax

1 l 2 r 3

1 l 8

1 l 4 r

1  0;8 2

3

d2  0;8  dmax

r

1  0;63 4

3

d3  0;63  dmax

1 = 0;5 8

d4 = 0;5  dmax

Die Durchmesser nehmen vom Höchstwert dmax an der Einspannstelle bis zum Trägerende nach einer kubischen Parabel ab. Als praktische Ausführung der Anformung dient die Kegelform. Der Kegelstumpfmantel muss den Parabelkörper einhüllen. Anformung einer Radachse

5.9.8.3 Biegefeder mit Rechteckquerschnitt Biegeträger mit Rechteckquerschnitten lassen sich in der Breite b oder in der Höhe h anformen. Als Beispiel kann man die Biegefeder als Biegeträger ansehen und sie in der Breite b anformen, also die Höhe (Dicke) h konstant halten. Dazu wird in gleicher Weise vorgegangen wie unter 5.9.8.2 bei der angeformten Achse. Statt W = 0,1 d3 muss man hier W = b h2/6 einsetzen (Tabelle 5.1). Die Anformung der Höhe h bei konstanter Breite b wird im Anschluss unter 5.9.8.4 behandelt.

Mb max Wmax = Mbx Wx Fl bmax h2 6 = F lx bx h2 6 bx = bmax

l bmax = lx bx

lx  Anformungsgleichung für Blattfedern l

Die Anformungsgleichung zeigt, dass die Breite mit bmax an der Einspannstelle bis zum Trägerende gleichmäßig abnimmt. Es entsteht eine Dreieck­ blattfeder mit gleichbleibender Dicke h. Wird der Wert bmax zu groß, teilt man die Blattfeder in gleich breite Streifen auf und schichtet diese aufeinander zur Mehrschichtfeder. Bei z = Blattzahl ist bmax = zb0, wobei b0 die Blattbreite ist. Anformung einer Biegefeder

383

5.9  Beanspruchung auf Biegung

5.9.8.4 Konsolträger mit Einzellast Das Belastungsschema ist beim Konsolträger das gleiche wie bei der Blattfeder, nur wird man beim Konsolträger nicht die Breite b, sondern die Höhe h anformen. Wird auch hier wieder vom Rechteckquerschnitt ausgegangen, also W = bh2/6, dann kürzt sich in der Gleichung unter anderem die Breite b heraus. Man erhält die Anformungsgleichung für die Höhe hx. Mit der Anformungsgleichung kann die Höhe hx für mehrere Trägerstellen x berechnet und in eine Wertetabelle eingetragen werden:

Mb max Wmax = Mbx Wx Fl bh2max 6 = F lx bhx2 6

hx = hmax

r

h2 l = max lx hx2

lx  Anformungsgleichung für Konsolträger l

Wertetabelle Lastentfernung lx

l

Trägerhöhe hx

hmax

3l 4

l 4

l 8

h3 = 0;5  hmax

h4 = 0;354  hmax

l 2

h1 = 0;866  hmax h2 = 0;707  hmax

Die Höhen h1, h2 … nehmen vom Höchstwert hmax an der Einspannstelle bis zum Trägerende nach einer quadratischen Parabel ab.

5.9.8.5 Konsolträger mit Streckenlast

Angeformter Konsolträger mit Einzellast

Auch bei gleichmäßig verteilter Last wird man einen Konsolträger nach der Höhe h anformen. Im Gegensatz zum Konsolträger mit Einzellast hat man hier in die allgemeine Anformungsgleichung für die Biegemomente einzusetzen: Mb max = F 0 l 2 =2 und Mbx = F 0 lx2 =2. Dann wird in gewohnter Weise die Anformungsgleichung entwickelt. Sie ist ebenso aufgebaut wie die Gleichung in 5.9.8.3: Die Höhe hx wächst proportional mit lx. Die Querschnittshöhe nimmt vom Höchstwert hmax an der Einspannstelle bis zum Trägerende gleichmäßig ab. Es entsteht ein Träger in Hochdreieck­ form (Keilform).

Mb max Wmax = Mbx Wx F 0 l 2 =2 bh2max 6 = 0 F lx2 =2 bhx2 6 hx = hmax

l2 h2 = max lx 2 hx2

Anformungsgleichung lx  für Konsolträger l mit Streckenlast Angeformter Konsolträger mit Streckenlast

384

5  Festigkeitslehre

5.9.9 Formänderung bei Biegung9 Wird ein Stab elastisch gebogen, dann behält nur die neutrale Faserschicht ihre ursprüngliche Länge bei, alle anderen Schichten verlängern oder verkürzen sich. Die in der neutralen Faserschicht liegende und vor dem Kraftangriff noch gerade Stabachse wird zur Biegelinie verformt. Dabei entsteht die Durchbie­ gung f. Die Endtangente t der Biegelinie liegt unter dem Neigungswinkel α. Beide Größen sind für die Konstruktion von Biegeträgern aller Art von Bedeutung, z. B. für Getriebewellen. Es werden deshalb Berechnungsgleichungen für die Durchbiegung und die Neigung der Biegelinie entwickelt. Dabei geht man immer von einem Träger mit gleichbleibendem Querschnitt aus (Achse, Τ-Träger).

Geometrische Verhältnisse am einseitig eingespannten Biegeträger (Freiträger) mit Einzellast; Krümmung stark übertrieben gezeichnet.

5.9.9.1 Krümmungsradius, Krümmung Die beiden dicht beieinander liegenden Schnitt­ ufer 1 und 2, die vor der Verformung parallel zueinander lagen, stehen nun unter dem Winkel φ zueinander geneigt. Ihre Fluchtlinien schneiden sich im Krümmungsmittelpunkt 0 und ergeben den Krümmungsradius ϱx an der untersuchten Trägerstelle x. Gegenüber dem kleinen Bogenstück s der Biegelinie hat sich die äußere Zugfaser um ∆s verlängert. Mit dem Ähnlichkeitssatz erhält man die Proportion ∆s/s = e/ϱx.

9

 s + s %x + e  = Ähnlichkeitssatz s %x 1 +

s e s e = 1 + ) = s %x s %x

Formeln zur Berechnung der Stützkräfte, Momente und Durchbiegungen bei Biegeträgern siehe Formeln und Tabellen zur Technischen Mechanik, 26. Auflage

385

5.9  Beanspruchung auf Biegung

Mit dem Hooke’schen Gesetz, hier also mit σx = ε E, ergibt sich aus der Ausgangsproportion ∆s/s = e/ϱx eine Beziehung für den Krümmungsradius ϱx an der untersuchten Trägerstelle x. Darin ist σx die zwischen den Schnittufern wirkende Biegespannung. Schreibt man die Biegehauptgleichung in der Form σb = Mbe/I nach 5.9.5, dann lassen sich Biegespannung σx und Randfaserabstand e durch die Größen Biegemoment Mx und axiales Flächenmoment 2. Grades I ersetzen. Der Kehrwert des Krümmungsradius wird als Krümmung kx bezeichnet.

s  = Dehnung ε (siehe 5.2.3.1) s x (Hooke′sches Gesetz nach 5.2.3.4) " = E s e x eE = = und daraus %x = s %x E x

%x =

eE Mx e e I x = ) = x I x Mx

%x =

EI Mx

Mx I N mm mm2 mm4 Nmm %x

Krümmungsradius 1 Mx = %x EI

kx =

E

Krümmung

5.9.9.2 Allgemeine Durchbiegungsgleichung

Aus der Ähnlichkeit der schraffierten Dreiecke an der Biegelinie ergibt sich die Proportion s/ϱx = ∆f/x. Für den Krümmungsradius ϱx kann die oben hergeleitete Beziehung eingesetzt werden. Werden noch die Teillängen ∆f summiert, dann findet man die gesuchte Gleichung für die gesamte Durchbiegung f. Elastizitätsmodul E und Flächenmoment 2. Grades I sind Konstante, sie können also vor das Summenzeichen Σ gezogen werden.

x s

s 1

f

Bi eg

eli

a

nie

∆f

x

r

f

F

f

x

2

r

Durch die Neigung der einzelnen Querschnitte entsteht am Trägerende die Durchbiegung f. Werden in den Punkten 1 und 2 die Tangenten an die Biegelinie angelegt, so schließen sie ebenso wie die Krümmungsradien ϱx den Winkel φ ein. Die Tangenten schneiden auf der Vertikalen am Trägerende (Wirklinie von F) von der gesamten Durchbiegung f das stark übertrieben gezeichnete Stück ∆f ab. Es ist also f = Σ∆f.

Hinweis: Nur im Grenzfall sind die beiden schraffierten Dreiecke ähnlich. s f sx = ) f = %x x %x f =

sxMx 1 = Mx sx EI EI

f = †f = † f =

1 †Mx sx EI

1 Mx sx EI

386

5  Festigkeitslehre

Das Produkt Mx s (Biegemoment mal Teillänge s an der Trägerstelle x) ist im Bild der Momentenfläche das Teilstück ∆AM der gesamten Momentenfläche AM. Aus der Schwerpunktslehre (2.2) ist bekannt, dass die Summe der Momente der Teilflächen gleich dem Moment der Gesamtfläche ist.

Mit x0 als Schwerpunktsabstand der gesamten Momentenfläche (hier Dreieckfläche) ergibt sich abschließend die allgemeine Durchbiegungsgleichung. Die Momentenfläche ∆AM ist das Produkt aus dem Biegemoment Mx und der Teillänge s; folglich hat AM die Einheit Nmm · mm = Nmm2.

ΣMxsx = Σ∆AMx = AMx0 1  Allgemeine Durch­ AM x0 biegungsgleichung EI

f =

f

E

I

AM

x0

mm

N mm2

mm4

Nmm2

mm

5.9.9.3 Neigungswinkel der Biegelinie Das Bild zur allgemeinen Durchbiegungsgleichung zeigt, dass zwei dicht benachbarte Tangenten an die Biegelinie den Winkel φ einschließen. Der Neigungswinkel α der Endtangente ist also die Summe aller Winkel φ. Die Gleichung φ = s/ϱ ist die Defini­ tionsgleichung für den Winkel φ. Das Produkt Mxs ist gleich dem Flächeninhalt der Teilfläche ∆AM; außerdem ist Σ∆AM = AM.

Es ist bekannt, dass für kleine Winkelwerte mit der Einheit rad auch der Tangens des Winkels eingesetzt werden kann. Damit ist die Endform für die Gleichung des Neigungswinkels α gefunden. In der zweiten Form dieser Beziehung hat man entsprechend der allgemeinen Durchbiegungsgleichung AM/E I = f/x0 einzusetzen.

' =

Bogenstück s Krümmungsradius %

˛ = †' = †

s %

% =

EI eingesetzt Mx

s sMx 1 ˛ = † EI = † = †Mx s EI EI M x

1 1 ˛ = †AM = AM EI EI

α = arc α = tan α 1 tan ˛ = AM EI tan ˛ =

f  Neigung der Endtan­ x0 gente an die Biegelinie

387

5.9  Beanspruchung auf Biegung

5.9.10 Übungen zur Durchbiegungsgleichung 1. Übung:  Freiträger mit Einzellast Für den skizzierten Freiträger mit Einzellast hat die Momentenfläche die Form eines Dreiecks. Mit der Balkenlänge l und der Dreieckshöhe Mb max = F l lässt sich der Flächeninhalt AM ausdrücken. Der Schwerpunktsabstand der Dreieckfläche beträgt x0 = 2l/3. Mit den Beziehungen für Mb max, AM und x0 erhält man aus der allgemeinen Durchbiegungsgleichung die spezielle Durchbiegungsgleichung und die Gleichung zur Berechnung des Neigungswinkels α für die Endtangente.

f =

1 AM x0 EI

AM = Mb max

f =

1 F l2 2   l EI 2 3

f =

F l3 3EI

tan ˛ =

l l F l2 = Fl = 2 2 2

f F l2 = x0 2EI

2. Übung:  Freiträger mit konstanter Streckenlast Die Momentenfläche beim Freiträger mit konstanter Streckenlast wird von einer Parabel begrenzt (siehe 5.9.7.3). Der Flächeninhalt AM ist gleich einem Drittel der umschriebenen Rechteckfläche: AM = Mb max l/3. Der Schwerpunktsabstand beträgt x0 = 3l/4 (Formelsammlung). Das maximale Biegemoment ist hier halb so groß wie beim Freiträger mit Einzellast, also Mb max  =  F l/2, mit der Resultierenden aus der Streckenlast F = F′l. Damit erhält man wie in der 1. Übung die spezielle Durchbiegungsgleichung und die Gleichung für den Neigungswinkel α der Endtangente an die Biegelinie. 3. Übung:  Stützträger mit Einzellast in Trägermitte Zur Herleitung einer Gleichung für die maximale Durchbiegung f in der Trägermitte darf nur mit der Momentenfläche bis zur Stelle der größten Durchbiegung gerechnet werden. Das ist zugleich die Mb max-Stelle, mit Mb max = (F/2) · (l/2) = F l/4 (siehe 5.9.7.5). Der Schwerpunktsabstand der Momentenfläche AM (Dreieckfläche) beträgt x0 = l/3.

1 1 1 Fl AM x0 ; AM = Mb max l =  l EI 3 3 2 1 F l2 3 1 F 0l 3 3 f =   l =   l EI 6 4 EI 6 4

f =

f =

F 0l 4 8EI

tan ˛ =

f F 0l 3 = x0 6EI

388

Mit dem Ausdruck für x0 und mit der Beziehung für den Flächeninhalt der Momentenfläche AM = F l2/16 ergibt sich die spezielle Durchbiegungsgleichung und die Gleichung zur Berechnung des Neigungswinkels α für die Endtangente.

5  Festigkeitslehre 1 AM x0 EI l AM = Mb max = 4 1 F l2 f =  EI 16 F l3 f = 48EI f =

Fl l F l2  = 4 4 16 l  3 f F l2 tan ˛ = = x0 16EI

4. Übung:  Stützträger mit konstanter Streckenlast Zur Herleitung einer Gleichung für die maximale Durchbiegung f in der Trägermitte darf nur mit der Momentenfläche bis zur Stelle der größten Durchbiegung gerechnet werden (siehe 3. Übung). Das ist hier zugleich die Mb max-Stelle, mit Mb max = F l/8. Der Flächeninhalt AM der Parabelfläche beträgt zwei Drittel der umschriebenen Rechteckfläche (siehe 2. Übung). Der Schwerpunktsabstand beträgt 5l/16 (siehe auch Formeln und Tabellen, Flächenschwerpunkt, 1.11). Wie in der 2. Übung wird die Resultierende der Streckenlast mit F = F′l berechnet. Wie in den vorhergehenden Übungen geht man von der allgemeinen Durchbiegungsgleichung aus, um die speziellen Gleichungen für f und tan α zu bekommen.

1 AM x0 EI 2 l 2 Fl l = Mb max =   3 2 3 8 2

f = AM

f =

f =

1 F l2 5 1 F 0l 3 5   l=   l EI 24 16 EI 24 16 5 F 0l 4   384 EI

tan ˛ =

f F 0l 3 = x0 24EI

5. Übung:  Biegeträger mit mehreren Belastungen (Überlagerungsprinzip) In der Praxis wirken häufig mehrere Belastungen zugleich in einer Ebene biegend, z. B. eine Einzelkraft neben der gleichmäßig über dem Träger verteilten Eigengewichtskraft. Solche Aufgabenstellungen löst man nach dem Überlagerungsprinzip. Es besteht darin, dass man sich die Belastungen einzeln auf den Träger aufgesetzt vorstellt, deren Einzeldurchbiegungen f1, f2, f3 … mit den bekannten Gleichungen bestimmt und zum Schluss diese Beträge addiert. Im vorliegenden Fall sind die Gleichungen für f1 (3. Übung) und f2 (4. Übung) bekannt. Damit kann eine Gleichung für fges = f1 + f2 erstellt werden.

F l3 5 F 0l 4 fges = f1 + f2 = +  48EI 384 EI   l3 5 0 fges = F +  F l 48EI 8

389

5.9  Beanspruchung auf Biegung

Tabelle 5.3  Stützkräfte, Biegemomente und Durchbiegungen bei Biegeträgern mit gleichbleibendem Querschnitt

FB = F



FA = FB =



Mmax = Fl



Mmax =



f =

F l3 3EI



f =

y y= =

    FFl 3l 3 3x3x x 3x 3  FFl 2l 2 3f3f F l 2x 4x 2 l tan˛ ˛= = 1 1− − + + 3 3 tan == y = 1 − für x  3EI 2EI 3EI 2l2l 2l2l 2EI 2l2l 16EI 3l 2 2



FB = F = F′l



Mmax =



f =



tan ˛ =

y =

F 0l 4 24EI



x x4 − 4 + 3 l4 l

F 0l 2 2

F 0l 4 8EI F 0l 3 4f = 6EI 3l





Mmax =



f =



tan ˛ =

F 0l 4 y = 120EI



x x5 − 5 + 4 l5 l



F 0l 2 6

F 0l 4 30EI F 0l 3 5f = 24EI 4l

tan ˛ =

F l2 3f = 16EI l



Mmax = F



f =



fmax = f

ab l

F a2 b 2 EI 3l l + a 3a

r

l + a 3b

  1 1 1 1 tantan ˛B˛B= =f f + + b b 2a2a

        xx22 F Fab ab22xxaa ll F Faa22bx bxbb xx22 ll 11 ++ −− aa yybb == 11 ++ −− bb 6EI 6EIll bb ab ab 6EI 6EIll aa ab ab

.für.für xa xa a/  a/ F 0l 2

F l3 48EI

b b FB F=B F=aF a FA F=A F= F l l l l

yyaa ==

FB = F =

Fl 4



  1 1 1 1 tantan ˛A˛A= =f f + + a a 2b2b



F 2



.für.für xb xb b/  b/



  a a  a a FA F=A F = F1 +1 + FB F=B F = F l l l l



Mmax = F a = MA



f =



für x = 0;577l

fC =

F l 3a p EI 9 3l

a F l 3 a2  1 + 3EI l 2 l

FFal FFal Falal Falal tan tan tan ˛˛ tan tan ˛˛ tan A˛ A= A == B˛ B= B == 3EI 3EI 6EI 6EI 3EI 6EI

a.2l .2l +3a/ 3a/ aa.2l ++3a/ tan tan ˛˛ FFF tan C˛ C= C== 6EI 6EI 6EI

390

5  Festigkeitslehre

Tabelle 5.3 (Fortsetzung)

FA = FB = F



Mmax = Fa



f =



fmax =



FA = FB = F



Mmax = Fa



f1 =

F a2 EI

f2 =

F al 2 8EI

FF a a.l.l+ +a/a/ tan tan˛1˛1= = 2EI 2EI



F l 3 a2 2EI l 2



F l 3a 8EI l



1 −



 4a 3l

1 −

l a + 3 2

 4a2 2 3l



FA = FB =

F 0l 2



Mmax



f =

5 F 0l 4  384 EI

F 0l 3 16f tan ˛A = = 24EI 5l   F 0l 3x  x x x2 y = 1 − 1 + − 2 24EI l l l

F 0l 6

FA =



Mmax = 0;064F 0 l 2

F 0l 3a  = 360EI

F ac 2EI F 0l 4

FA = FB =



Mmax =



f =



FA = FB = F 0



MA =

F 0 a2 2



MC =

F 0l 2 2

tan ˛A =





tan ˛C = tan ˛D =







F a .a + c/ 2EI

F 0l 2 12

F 0l 4 120EI

FF alal tan˛A˛A= = tan 2EI 2EI

F 0l 2 = 8



tan ˛A =

FB =

bei x = 0;5774l F 0l 4 f = 153;4EI bei y = 0;5193l    a2 a2 1 − 2 7 − 3 2 l l

F 0l 3

fmax =

F 0l 3 4EI







l + a 2



 a 2  1 − 4 l

   a 2   a 3 F 0l 4 a 1  a 4 1 − − fA = − 6 l 4EI 6l l 2 l fC =

F 0l 4 16EI



 a 2  5 − 24 2

F in Stabmitte 5 11 F FB = F 16 16 5 M = Fl 32 3 MB = Fl 16 7F l 3 f = 768EI

FA =

F l3 bei x = 0;447l p 48 5EI

391

5.9  Beanspruchung auf Biegung Tabelle 5.3 (Fortsetzung) b2  a 1 + l2 2l



FA = F



FB = F − FA



f =



tan ˛A =

a F a2b 3  1 + 4EI l 2 3l

F 2



FA = FB =



MC =



f =



MA = F a

 2 b l



MB = F b

 a 2



f =

Fl = MA = MB 8

F l3 192EI

F ab 2 4EI l

  1  a 3 3a M = Fa 1 + − 2 b 2l

MB =

Fl 2



 a 3  a − l l



FA = F





FB = F

3a 2l



MA = F a



MB =

f =

F l3 EI

1 +

3a 2l

Fa 2

    1  a 2 1 a 3 + 3 l 4 l



MC = 2F b

 a 2 l





1 −

 2   b b  3 − 2 l l

FB = F

 a 2 l



3 − 2

F a3 b 3 3EI l 3

a l

FA = F



l

a l



FA =

3 0 F l 8



FA = FB =



FB =

5 0 F l 8



MC =



Mmax =

F 0l 2 8



MA = MB =



fmax =

F 0l 4 185EI



f =



für x = 0;4215l

F 0l 2

F 0l 2 24

F 0l 4 384EI

F 0l 2 = Mmax 12

392

5  Festigkeitslehre

5.10 Beanspruchung auf Knickung 5.10.1 Grundbegriffe Ist bei der Beanspruchung auf Druck der Stab sehr schlank, d. h. ist die Stablänge l im Verhältnis zu seiner Querschnittsfläche A sehr groß, dann besteht die Gefahr des seitlichen Ausknickens. Das kann geschehen, obwohl der Stab genau in Richtung seiner Achse belastet wird und obwohl die Druckspannung σd noch unter der Proportionalitätsgrenze σdP liegt. Die Tragfähigkeit ist also schon vorher erschöpft. Knickung ist daher auch kein Spannungsproblem wie Zug, Druck, Biegung und Torsion, sondern ein Stabilitätsproblem: Trotz gleicher Querschnittsfläche A und gleicher Druckkraft F steigt die Gefahr des Ausknickens mit zunehmender Länge l.

Beispiele knickgefährdeter Bauteile aus dem Maschinenbau: Pleuelstangen, Kolbenstangen, Stößel, Spindeln in Pressen, Bremsgestänge

Die besondere Problematik der Knickung hat zur Definition besonderer Größen geführt.

Neue Größen sind: Knickkraft FK, Knickspannung σK, Trägheitsradius i, Schlankheitsgrad λ

Knickkraft FK ist diejenige Kraft, bei der das Ausknicken eines Stabes gerade beginnt. Dividiert man die Knickkraft FK durch die Querschnittsfläche A, erhält man eine Spannung, die als Knickspannung σK bezeichnet wird. Entsprechend der Definition von FK wirkt die Knickspannung σK dann, wenn der Stab auszuknicken beginnt. Da ein Bauteil nicht ausknicken darf, ist dafür zu sorgen, dass die tatsächliche Belastung, die Druckkraft F, immer wesentlich kleiner bleibt als die Knickkraft FK. Das gleiche gilt dann auch für die tatsächlich im Bauteil vorhandene Druckspannung σd vorh und für die Knickspannung σK. Immer muss σd vorh  λ0 Eulerbedingung

0 = min =  

s

E dP

Grenzschlankheitsgrad

Beispiel: Für den Werkstoff Stahl S235JR mit E = 2,1 · 105 N/mm2 und einer Proportionalitätsgrenze σdP = 190 N/mm2 wird der Grenzschlankheitsgrad: v u s u 2;1  105 N u E mm2 =  u 0 =   t N dP 190 mm2 λ0 = 104,44

396

5  Festigkeitslehre

Tabelle 5.4  Grenzschlankheitsgrad für Euler’sche Knickung und Tetmajergleichungen Werkstoff Nadelholz Gusseisen Stahl S235JR Stahl E295 und E335 AlCuMg AlMg3

E-Modul in

N mm2

Tetmajergleichungen N für K in mm2

Grenz­ schlankheitsgrad λ0

10 000 100 000 210 000 210 000

100 80 105 89

70 000 70 000

66 110

σK = 29,3 − 0,194 · λ σK = 776 − 12 · λ + 0,053 · λ2 σK = 310 − 1,14 · λ σK = 335 − 0,62 · λ Hinweis: Die Tetmajergleichungen sind Zahlenwertgleichungen mit σK in N/mm2.

5.10.3 Unelastische Knickung (Tetmajerfall) Wenn die Nachrechnung des Schlankheitsgrads λvorh mit den gegebenen Abmessungen einen Wert ergibt, der kleiner ist als der Grenzschlankheitsgrad λ0 (Tabelle 5.4), liegt unelastische Knickung vor. Nun gilt nicht mehr die Eulergleichung, sondern es gelten die Gleichungen von Tetmajer11 (Tabelle 5.4).

Tetmajer12 und andere Forscher haben für die Fälle λvorh  0 = 89 (Tab. 5.4)

Auch bei einem kreisringförmigen Querschnitt wird die Eulerbedingung erfüllt – es liegt elastische Knickung vor. c) Spannungsnachweis für die Druckspannung σd Druck‐Hauptgleichung d vorh =

F = A

  4

F =  da2 − di2 

  4

80  103 N N = 69;2 2 2 2 .54 − 38 / mm mm2

Spannungsnachweis: N N d vorh = 69;2 < d zul = 98 mm2 mm2

401

5.10  Beanspruchung auf Knickung

Erkenntnisse: Die Kolbenstange der Wasserpumpe kann als Vollprofil (Kreisquerschnitt) oder als Rohr (Kreisringquerschnitt) ausgeführt werden, weil die Eulerbedingung in beiden Fällen erfüllt wird. Dabei ist der äußere Durchmesser des Rohrs nur d = da − d = 54 mm − 50 mm = 4 mm größer. Massenbetrachtung Vollprofil/Rohr: Masse der Kolbenstange mit Vollprofil: mV = A  h  %St =  4 d 2  h  %St =

  4

kg  0;52 dm2  14 dm  7;85 dm 3

mV = 21;579 kg Masse der Kolbenstange mit Rohrprofil 54 x 8 nach DIN EN 10297-1: mR = m0  l = 9;07 kg  1;4 m = 12;698 kg m

Der Vergleich der beiden Massen mV = 21,579 kg und mR = 12,698 kg zeigt, dass die Ausführung der Kolbenstange als Rohr sinnvoll ist, zumal es sich um eine bewegte Masse handelt.

402

5  Festigkeitslehre

Verständnisübung: Knickung im unelastischen Bereich

l

Aufgabenstellung:

F

Die freie Knicklänge der Kolbenstange des Arbeitszylinders beträgt s = l = 350 mm. Die Sicherheit gegen Knicken beträgt ν = 5.

d

Der hydraulisch wirkende Arbeitszylinder zum Positionieren einer Montagevorrichtung soll eine Druckkraft F = 100 kN aufbringen.

Hydraulik-Arbeitszylinder

Die Kolbenstange besteht aus Stahl E295 mit einer zulässigen Druckspannung d zul = 110 Der Durchmesser d der Kolbenstange mit kreisförmigem Querschnitt soll ermittelt werden.

N . mm2

Lösung: Überlegungen: Im Arbeitsplan für Knickungsberechnungen (5.10.4) ist erkennbar, dass grundsätzlich jede Berechnung von auf Knickung beanspruchten Bauteilen in den ersten 4 Schritten identisch ist. Erst im 5. Schritt – Berechnung des vorhandenen Schlankheitsgrads λvorh und der Vergleich mit dem Grenzschlankheitsgrad λ0 – entscheidet sich, ob die Rechnung nach der Euler’schen Bedingung erfüllt ist, oder ob sie nach den Tetmajerformeln fortgesetzt werden muss. Da die Knickkraft FK = F · ν bekannt ist, kann über die Euler’sche Gleichung für die Knickkraft FK (5.10.2) das erforderliche Flächenmoment 2. Grades berechnet und darüber der erforderliche Durchmesser der Kolbenstange bestimmt werden: Euler’sche Knickgleichung: FK =

 2  E  Ierf s2 Knickkraft FK = F   freie Knicklänge s = l = 350 mm (Fall 2, siehe 5.10.2) N Elastizitätsmodul E = 2;1  105 (Tab. 5.9) mm2

Umstellung der Euler’schen Knickgleichung nach dem erforderlichen axialen Flächenmoment 2. Grades: Ierf = Ierf =

FK  s 2 F    l 2 =  2  E  2  E  2 3 100  10 N  5  3;5  102 mm  2  2;1  105

N mm2

= 2;955  104 mm4

5.10  Beanspruchung auf Knickung

403

Das axiale Flächenmoment 2. Grades beträgt Ierf = 2;955  104 mm4. Es wird berechnet nach der Gleichung 4    derf .siehe Tab. 5.1/ umgestellt nach dem Durchmesser derf W 64 r r 4 4 4 64  2;955  10 mm 4 64  Ierf derf = = = 27;85 mm     ausgeführt d = 30 mm (Normdurchmesser)

Ierf =

Ermittlung des Schlankheitsgrads λ: Der Schlankheitsgrad λ wird mit der Gleichung  = berechnet. Darin ist die freie Knicklänge s i d s = l = 350 mm (Fall 2) und der Trägheitsradius i = (Tab. 5.1, Kreisquerschnitt): 4

vorh =

4  l 4  350 mm = = 46;7 d 30 mm

Anwendung der Euler‐Bedingung λvorh > λ0:

λvorh  = 46,7 < λ0 = 89 (Tab. 5.4, Stahl E295) Damit wird die Eulerbedingung nicht erfüllt, der Schlankheitsgrad λvorh = 46,7 liegt sehr weit im Tetmajer‐Bereich (siehe Euler‐Hyperbel in 5.10.2). Es handelt sich bei der Beanspruchung der Kolbenstange um unelastische Knickung, eine Nachprüfung mit der zugehörigen Tetmajer‐ Gleichung in Tab. 5.4 ist erforderlich. Vergrößerung des Durchmessers auf d = 35 mm (frei gewählt): Tetmajer‐Gleichung für Stahl E295 nach Tab. 5.4: K = 335 − 0;62  vorh 4  l 4  350 mm vorh = = = 40 d 35 mm N K = 335 − 0;62  40 = 310;2 mm2 Nun wird geprüft, ob mit dem auf d = 35 mm vergrößerten Durchmesser die erforderliche Sicherheit ν = 5 erreicht wird. Dazu muss die vorhandene Druckspannung d vorh berechnet werden: Nachweis der Druckspannung σd vorh über die Druck‐Hauptgleichung: d vorh =

F = A

100  103 N N F = = 103;94     2 2 2 d  35 mm mm2 4 4

vorhandene Sicherheit ν bei einem Kolbenstangen‐Durchmesser d = 35 mm: vorh =

K d vorh

=

310;2 103;94

N mm2 N mm2

vorh = 2;98 <  = 5

= 2;98

404

5  Festigkeitslehre

Da die vorhandene Sicherheit kleiner als die erforderliche Sicherheit ist, wird der Durchmesser der Kolbenstange nochmals auf d = 46 mm erhöht. So kann die vorhandene Druckspannung gesenkt werden. Vergrößerung des Durchmessers auf d  = 46 mm (frei gewählt, Normdurchmesser):neuer Schlankheitsgrad λvorh vorh =

4  l 4  350 mm = = 30;4 d 46 mm

neue Knickspannung K K = 335 − 0;62  vorh N K = 335 − 0;62  30;4 = 316;2 mm 2

neue vorhandene Druckspannung σd vorh d vorh =

F = A

100  103 N N F = = 60;17     2 2 2 d  46 mm mm2 4 4

neue vorhandene Sicherheit ν bei einem Kolbenstangen‐Durchmesser d = 46 mm: vorh =

K d vorh

=

N 316;2 mm 2 N 60;17 mm 2

= 5;26

vorh = 5;26 >  = 5

Mit dem Kolbenstangen‐Durchmesser d = 46 mm wird die geforderte Sicherheit gegen Knicken erreicht. Zusatzfrage: Welche Änderungen in der Sicherheitsbetrachtung ergeben sich, wenn die Kolbenstange bei dem zuletzt ermittelten Durchmesser d = 46 mm nicht aus Stahl E295, sondern entweder aus a) Stahl S235JR oder b) Gusseisen GJL‐300 gefertigt wird? Vorüberlegungen: Da der Durchmesser der Kolbenstange d = 46 mm erhalten bleiben soll, bleibt es auch bei dem Wert des vorhandenen Schlankheitsgrads λ = 30,4. Es müssen nur die materialabhängigen Zahlenwertgleichungen nach Tetmajer für die Knickspannung σK eingesetzt werden. Der Wert der vorhandenen Druckspannung ändert sich dagegen nicht, weil der kreisförmige Querschnitt N mit dem Durchmesser d = 46 erhalten bleibt (d vorh = 60;17 ). 2 mm

Lösung a: Knickspannung σK nach Tetmajer für Stahl S235JR (Tab. 5.4): K = 310 − 1;14  vorh .vorh = 30;4/ N K = 310 − 1;14  30;4 = 275;3 mm 2

405

5.10  Beanspruchung auf Knickung

vorhandene Druckspannung d vorh = 60;17 vorhandene Sicherheit νS235JR K

S235JR =

=

d vorh

N 275;3 mm 2 N 60;17 mm 2

N mm2

= 4;58

S235JR = 4;58 <  = 5

Erkenntnisse: Wird die Kolbenstange aus Stahl S235JR gefertigt, muss ihr Durchmesser d erhöht werden, weil sonst die geforderte Sicherheit nicht erreicht wird. Grund dafür ist die auch gegenüber Stahl N E295 um ca. 40 geringere Knickspannung. 2 mm

Lösung b: Knickspannung σK nach Tetmajer für Gusseisen GJL‐300 (Tab. 5.4): K = 776 − 12  vorh + 0;053  2vorh .vorh = 30;4/ N K = 776 − 12  30;4 + 0;053  30;42 = 460;18 mm 2

vorhandene Druckspannung d vorh = 60;17 vorhandene Sicherheit νGJL‐300 GJL-300 =

K d vorh

=

N 460;18 mm 2 N 60;17 mm 2

N mm2

= 7;65

GJL-300 = 7;65 >  = 5

Erkenntnisse: Wird die Kolbenstange aus Gusseisen GJL‐300 gefertigt, könnte ihr Durchmesser d verkleinert werden, weil die vorhandene Sicherheit wesentlich über der geforderten Sicherheit liegt. Grund N dafür ist die um ca. 144 größere Knickspannung gegenüber Stahl E295. 2 mm

Hinweis: Die Knickbeanspruchung eines Bauteils, wie z. B. der Kolbenstange eines Arbeitszylinders, ist nur eine von mehreren Faktoren, die zur Auswahl eines bestimmten Werkstoffs führt.

406

5  Festigkeitslehre

5.10.5 Knickung im Stahlbau 5.10.5.1 Vorschriften Die in den vorhergehenden Abschnitten entwickelten Knickungsgleichungen gelten nicht für die Druckstäbe im Stahlbau. Hier sind die Berechnungsverfahren und die dabei verwendeten Gleichungen in Normen vorgeschrieben.

5.10.5.2 Stabilitätsnachweis bei einteiligen Druckstäben Nach DIN EN 1993-1-1 muss die Stabilität von Druckstäben nachgewiesen werden. Stabilität besteht dann, wenn in der Ausweichrichtung des Stabquerschnitts bei mittiger Druckbelastung die Bedingung der Stabilitäts-Hauptgleichung erfüllt ist. Die dazu erforderlichen Berechnungen enthält der Arbeitsplan in 5.10.5.4.

5.10.5.3 Herleitung einer Entwurfsformel (Zugeschnittene Größengleichung) Der Stabilitätsnachweis nach DIN EN 1993-1-1 ist nur möglich, wenn die geometrischen Größen des Druckstabs bekannt sind (Querschnittsfläche A und axiales Flächenmoment I). Man nimmt daher versuchsweise einen Stabquerschnitt (Profil) an oder verwendet die folgende Entwurfsformel zur Profilermittlung. Sie wird hier aus der für elastische Knickung gültigen Eulergleichung entwickelt. Für die überschlägige Querschnittsbestimmung nimmt man eine Sicherheit an, z. B. v = 3. Mit dem Elastizitätsmodul für Baustahl E = 210 000 N/mm2 und 103 N = 1 kN fasst man die Konstanten zusammen und erhält die Entwurfsformel.

Zur stabilen Ausbildung von Druckstäben gilt für den Stahlbau seit Juli 2012 die Norm Eurocode 3: Bemessung und Konstruktion von Stahlbauten Teil 1-1: Allgemeine Bemessungsregeln und Regeln für den Hochbau; Deutsche Fassung DIN EN 19931-1 und DIN EN 1993-1-1/NA: Nationaler Anhang – National festgelegte Parameter. Diese ersetzt die Norm DIN 18800 vom November 1990. F N

F  1 Fp1

Fpl N

κ 1

Stabilitäts­Hauptgleichung F Belastung (Normalkraft) in Richtung der Stabachse Fpl Normalkraft im vollplastischen Zustand nach Arbeitsplan Nr. 8 κ Abminderungsfaktor nach Arbeitsplan Nr. 6

In 5.10.2 wird die Eulergleichung entwickelt: vF sK2 Ierf v F sK Ierf =  2 E mm4 1 N mm

E N mm2 Ierf erforderliches axiales Flächenmoment v Knicksicherheit F vorhandene Druckkraft (Normalkraft) sK Knicklänge E Elastizitätsmodul (Tabelle 5.8)

Ierf =

3  F sK2 210 000   2

I mm4

F kN

sK mm

Ierf ≥ 1,45 · 10−3 · F sK2 Entwurfsformel

5.10.5.4 Arbeitsplan zum Stabilitätsnachweis bei einteiligen Druckstäben Sind sowohl die Belastung F des Druckstabs als auch das Stabprofil bekannt, bestimmt man der Reihe nach die folgenden Größen:

Gegeben: Stabprofil (z. B. IPE 200), Werkstoff (z. B. Stahl S235JR), Belastung F des Druckstabs (z. B. F = 50 kN). Gesucht: Tragsicherheit

407

5.10  Beanspruchung auf Knickung

1.  Knicklänge sK Die Knicklänge sK entspricht der freien Knicklänge s in 5.10.2 (Eulerfall) und es gilt auch das Bild für die Führungsverhältnisse mit den Fällen 1 bis 4.

sK β l mm 1 mm

sK = β l

β Knicklängenbeiwert nach Bild in 5.10.2. Danach ist einzusetzen für Fall 1 β = 2

Fall 2 β = 1

Fall 3 β = 0,707

Fall 4 β = 0,5

Die Druckstäbe in Fachwerken können in der Fachwerkebene oder rechtwinklig dazu ausweichen (ausknicken). Für das Ausweichen in der Fachwerkebene ist die Systemlänge l der geschätzte Abstand der beiden Anschlussverbindungen an den Stabenden. Für das Ausweichen rechtwinklig zur Fachwerk­ ebene ist die Systemlänge l der Abstand der Netzlinien.

2. Schlankheitsgrad λK und Trägheitsradius i Der Schlankheitsgrad λK wird wie bei der Euler’schen Knickung in 5.10.2 aus der Knicklänge sK und dem Trägheitsradius i berechnet. Der Trägheitsradius i ist die Wurzel aus dem Flächenmoment 2. Grades I und der Querschnittsfläche A des Knickstabprofils. Die Beträge für das Flächenmoment 2. Grades I und die entsprechende Querschnittsfläche A werden den Profilstahltabellen entnommen.12

NK 3. Bezogener Schlankheitsgrad  Der bezogene Schlankheitsgrad N K ist der Quotient aus dem Schlankheitsgrad λK und dem Bezugsschlankheitsgrad λa, der von den Festigkeitswerten E (Elastizitätsmodul) und Re (Streckgrenze) des Profilwerkstoffs abhängt.

12

Ausweichen in der Fachwerkebene

K =

i =

sK i

r

I A

K N K = a

Formeln und Tabellen zur Technischen Mechanik, Springer Vieweg, 26. Auflage

Ausweichen recht­ winklig zur Fachwerk­ ebene

λK 1

sK mm

i mm

i mm

I mm4

A mm2

N K

K

a

1

1

1

408

5  Festigkeitslehre

4.  Bezugsschlankheitsgrad λa Der Elastizitätsmodul für Stahl beträgt E = 210 000 N/mm2, die Streckgrenze Re ist abhängig vom verwendeten Werkstoff des Knickstabs. Für die im Stahlbau häufig verwendeten Werkstoffe ergibt sich damit: Bei Stahl S235JR mit Re  = 235 N/mm2 und einer Erzeugnisdicke t  ≤  40  mm zu λa  = 93,9, bei S355J2G3 mit Re = 355 N/mm2 und einer Erzeugnisdicke t ≤ 40 mm zu λa = 76,4.

5.  Ermittlung der Knicklinien Den im Stahlbau verwendeten verschiedenen Querschnittsformen (z. B. U-, L-, T-Profile) sind so genannte Knicklinien a, b, c, d zugeordnet. Sie werden Tabelle  5.5 entnommen. Ausführlichere Hinweise in DIN EN 1993-1-1, Tabelle 6.2.

a =  

s

E Re

a

E

Re

1

N mm2

N mm2

λa = 93,9 für Stahl S235JR und t ≤ 40 mm λa = 76,4 für Stahl S355J2G3 und t ≤ 40 mm

Beispiel: Einem Doppel-T-Profil mit den Werten h/b > 1,2 und Erzeugnisdicke t ≤ 40 mm ist nach Tabelle 5.5 die Knicklinie b zugeordnet, wenn das Ausknicken rechtwinklig zur y-Achse erfolgt. Die Werte für die Steg- oder Flankendicke t stehen in den Profilstahltabellen.13

6. Abminderungsfaktor κ Bereich N K > 0;2

Bereich N K  0;2 κ = 1

 =

1 q k + k 2 − N 2K

mit

    k = 0;5 1 + ˛ N K − 0;2 + N 2K

7. Parameter α zur Berechnung des Abminderungsfaktors κ

13

Knicklinie

a

b

c

α

0,21

0,34

0,49

d 0,76

Formeln und Tabellen zur Technischen Mechanik, Springer Vieweg, 26. Auflage

Bereich N K > 3;0

 =

1   NK N K + ˛

409

5.10  Beanspruchung auf Knickung

Normalkraft Fpl Fpl ist diejenige Normalkraft, bei der im Werkstoff des Stabs mit dem Querschnitt A ein vollplastischer Zustand erreicht wird. Als Widerstandsgröße wird die Streckgrenze Re oder die obere Streckgrenze ReH eingesetzt.

Fpl = ReA

Fpl

Re

A

N

N mm2

mm2

Re Streckgrenze, siehe Tabelle 5.8 A Querschnittsfläche, siehe Tabellen ab 4.2414

5.10.5.5 Zusammengesetzte Druckstäbe Die Berechnungsgleichungen im Arbeitsplan 5.10.5.4 gelten für mittig belastete einteilige Druckstäbe. Dazu gehören auch die aus mehreren Walzprofilen zusammengesetzten Druckstäbe, wenn die Einzelprofile durch Nieten oder Schweißen (nicht Schrauben) so verbunden sind, dass sie als einzelnes Bauglied angesehen werden können. Die Gleichungen gelten nicht für Druckstäbe, deren Querschnitt eine stofffreie Achse y–y hat. Tabelle 5.5  Zuordnung der Knicklinien zu den Stab-Querschnittsformen Ausknicken rechtwinklig zur Achse

Stab-Querschnittsformen

Hohlprofile

warm gefertigt

x–x y–y

a

kalt gefertigt

x–x y–y

c

x–x y–y

b

x–x y–y

c

x–x y–y x–x y–y

ab

x–x y–y

d

δ ≥ D/10 geschweißte Kastenquerschnitte



gewalzte I-Profile

dicke Schweißnaht und hx/tx  1,2 40  40 mm

gewalzte Profile und Vollquerschnitte



Knicklinie bc cd

x–x y–y

cc

x–x y–y

b

Tabelle 5.6 Zulässige Spannungen im Stahlhochbau Zulässige Spannungen in N/mm2 für Stahlbauteile1 Werkstoff S235 JR

Spannungsart

S355 JO

E 360

Lastfall H

HZ

H

HZ

H

HZ

Druck und Biegedruck, wenn ein Stabilitätsnachweis nach DIN EN 1993-1-1 erforderlich ist

140

160

210

240

410

460

Zug und Biegezug, Biegedruck, wenn ein Stabilitätsnachweis nach DIN EN 1993-1-1 erforderlich ist

160

180

240

270

410

460

Schub

92

104

139

156

240

270

1

Lastfall H: alle Hauptlasten, Lastfall HZ: alle Haupt- und Zusatzlasten

Spannungen in N/mm2 für Verbindungsmittel im Stahlhochbau Niete (DIN 124 und DIN 302) Spannungsart

für Bauteile aus S235 JR

Passschrauben (DIN 7986)

für Bauteile aus S355 JO

4.6 für Bauteile aus 5.6 für Bauteile aus S235 JR S355 JO

Lastfall1 H

HZ

H

HZ

H

HZ

H

HZ

Abscheren

τa zul

140

160

210

240

140

160

210

240

Lochleibungsdruck

δl zul

280

320

420

480

280

320

420

480

Zug

δz zul

48

54

72

81

112

112

150

150

1

Einteilung in Hauptlasten (H), Zusatzlasten (Z) und Sonderlasten (S). Hauptlasten (H) sind alle planmäßigen äußeren Lasten und Einwirkungen, die nicht nur kurzzeitig auftreten wie ständige Last, planmäßigen Nutzung auftretenden Lasten und Einwirkungen wie Windlast, Bremslast, Seitenstoßlast, nur kurzzeitig auftretende Massenkräfte, Wärmewirkung. Sonderlasten (S) sind nicht planmäßige mögliche Lasten und Einwirkungen aus möglichen Baugrundbewegungen

411

5.10  Beanspruchung auf Knickung Tabelle 5.7 Zulässige Spannungen im Kranbau für Stahlbauteile Zulässige Spannungen in N/mm2 für Bauteile

Werkstoff Außer dem allgemeinen Spannungsnachweis S235 JR S355 JO auf Sicherheit gegen Erreichen der FließSpannungsart grenze ist für Krane mit mehr als 20 000 Lastfall Spannungsspielen noch ein Betriebsfestig­ H HZ H HZ keitsnachweis auf Sicherheit gegen Bruch bei Zug- und Vergleichsspannung 140 160 210 240 zeitlich veränderlichen, häufig wiederholten Spannungen für die Lastfälle H zu führen. Druckspannung, Nachweis auf Stabilität 160 180 240 270 Zulässige Spannungen beim BetriebsfestigSchubspannung 92 104 139 156 keitsnachweis siehe Normblatt.

Zulässige Spannungen in N/mm2 für Verbindungsmittel im Kranbau Spannungsart

Passschrauben (DIN 7986) 4.6 für Bauteile aus S235 JR

5.6 für Bauteile aus S355 JO

Schrauben (DIN 7990) 4.6 für Bauteile aus S235 JR

Niete

5.6 für Bauteile aus S355 JO

(DIN 124) für Bauteile aus S235 JR

Lastfall1 H

HZ

H

HZ

H

HZ

H

HZ

H

HZ

Abscheren

einschnittig zweischnittig

84 112

96 128

126 168

144 192

70

80

70

80

84 112

96 128

Lochleibungsdruck

einschnittig zweischnittig

210 280

240 320

315 420

360 480

160

180

160

180

210 280

240 320

Zug

einschnittig zweischnittig

100 100

110 110

140 140

154 154

100

110

140

154

30 30

30 30

1

Einteilung in Hauptlasten (H), Zusatzlasten (Z) und Sonderlasten (S). Hauptlasten (H) sind alle planmäßigen äußeren Lasten und Einwirkungen, die nicht nur kurzzeitig auftreten wie ständige Last, planmäßigen Nutzung auftretenden Lasten und Einwirkungen wie Windlast, Bremslast, Seitenstoßlast, nur kurzzeitig auftretende Massenkräfte, Wärmewirkung. Sonderlasten (S) sind nicht planmäßige mögliche Lasten und Einwirkungen aus möglichen Baugrundbewegungen

Aufgaben Nr. 920–926

5.10.6 Übung zur Knickung Für die durchgehende Kolbenstange eines Verdichters ist der erforderliche Kolbenstangendurchmesser d zu berechnen. Der Druck im Zylinder beträgt p = 8,2 · 105 Pa. Als Werkstoff wurde Stahl E295 gewählt. Die Knicksicherheit soll v = 4 betragen.

p = 8;2  105 Pa = 0;82

 N   2 jA = D − d2 4 mm2

  N Lösung:  Nach 6.1.2 leitet sichp die wirksame D2 − d 2 = 8;2  105 Pa =Kraft 0;82 jA = mm2 4 F auf den Kolben aus der Druckgleichung p = F/A     F = D2 − d 2 p 4 ab. Für die Fläche A muss der Kreisringquerschnitt    2 eingesetzt werden. F = 500 − d 2 mm2  0;82 

4



N mm2

  I: F = 1;61  105 − 0;644  d 2 N

412

Zunächst wird elastische Knickung nach Euler angenommen (siehe 5.10.2). In der von Euler entwickelten Gleichung ist der Elastizitätsmodul E für Stahl E295 bekannt (Tabelle 5.9). Die Formel für das axiale Flächenmoment Imin (Kreisquerschnitt) ergibt sich aus Tabelle  5.1. Für die freie Knicklänge  s wird nach dem Grundfall 2 die Kolbenstangenlänge l eingesetzt (s = l). Werden beide Terme gleichgesetzt (I = II.), ergibt sich nach Umformung eine biquadratische Gleichung. Nach deren Lösungsformel (siehe Formeln und Tabellen, 7.13) ergibt sich d = 43,36 mm. Ausgeführt wird ein Durchmesser d  = 50 mm (Normmaß). Damit kann nach Euler nachgeprüft werden, ob die erforderliche Knicksicherheit verf = 4 eingehalten wird.

5  Festigkeitslehre

Fk =

EImin  2 s2

ˇ ˇ 4ˇ ˇ ˇImin =  d ˇ s = l ˇ 64 ˇ N 5 2;1  10     d 4   2 mm2 II: Fk = 64  15002 mm2 Fk = 0;0452  d 4 N

E = 2;1  105

N mm2

1;61  105 − 0;644  d 2 = 0;0452  d 4 0;0452d 4 + 0;644  d 2 − 1;61  105 = 0j W 0;0452 d 4 + 14;248d 2 − 3;562  106 = 0 Mit z = d 2 ergibt sich die Grundform z2 + 14;248z − 3;562  106 = 0 s   14;248 2 14;248 mm2 z1;2 = − + 3;562  106 mm2 ˙ 2 2 z1 = 1880;22 mm2 j z2 = −1894;5 mm2 .keine Bedeutung/ p p d = z = 1880;22 mm2 = 43;36 mm ausgeführt d = 50 mm .Normmaß/

Ablauf der Nachprüfung: • Trägheitsradius i der Kolbenstange ermitteln (Tabelle 5.1)

i =

d 50 mm = = 12;5 mm 4 4

• Schlankheitsgrad  ermitteln (5.10.2)

 =

l 1500 mm = = 120 > 0 = 89 i 12;5 mm

.Tabelle 5:4 für E295/

• Knickspannung K berechnen

• Druckspannung d berechnen

• vorhandene Knicksicherheit vorh ermitteln und mit der erforderlichen Knicksicherheit erf vergleichen Da vorh sehr viel kleiner ist als die erforderliche Sicherheit erf , muss die Nachprüfung mit einem wesentlich größeren Kolbenstangendurchmesser d wiederholt werden. Beispielsweise ergeben sich mit d = 60 mm folgende Werte:

N 2 5  2  E    2;1  10 mm2 = 2 1202 N K = 143;9 mm2    2 D − d2  p F 4 d = =   2 A d 4     2 N 500 − 502 mm2  0;65 2 4 mm d =    502 mm2 4 N d = 64;4 mm2 N 143;9 K mm2 = 2;23   = 4 vorh = = erf N d 64;4 mm2 K =

Trägheitsradius i60

i60 = 15 mm

Schlankheitsgrad 60

60 = 100 > 0 = 89

413

5.11  Zusammengesetzte Beanspruchung N mm2 N = 44;5 mm2

Knickspannung K60

K60 = 207;3

Druckspannung d60

d60

Knicksicherheit vorh60

vorh60 = 4;66 > erf = 4

Damit wird der Kolbenstangendurchmesser d = 60 mm ausgeführt.

5.11 Zusammengesetzte Beanspruchung 5.11.1 Zug und Biegung Am Beispiel der skizzierten Schraubzwinge kann man sich Klarheit über das innere Kräfte- und Spannungssystem verschaffen und die Spannungsgleichungen herleiten. Wie gewohnt, wird ein Schnitt x–x an eine zweckmäßige Querschnittsstelle gelegt und dort dasjenige innere Kräftesystem angebracht, durch das der Restkörper wieder ins Gleichgewicht gesetzt wird. Schraubzwinge

Aus der Kraft-Gleichgewichtsbedingung ΣFy = 0 ergibt sich als innere Kraft die Zugkraft FN und aus der Momentengleichgewichtsbedingung das Biegemoment Mb.

Inneres Kräftesystem

ΣFy = 0 = FN − F ⇒ FN = F ΣM(SP) = 0 = Mb − F l ⇒ Mb = F l

Die innere Kraft FN (Normalkraft) ruft im Querschnitt x–x die gleichmäßig verteilte Zugspannung σz = FN/A hervor (Zug-Hauptgleichung).



Durch das innere Biegemoment Mb entsteht im Querschnitt x–x das bekannte System der Biegespannung, aufgebaut aus den linear verteilten Zugund Druckspannungen (Biege-Hauptgleichung). Im symmetrischen Querschnitt sind die Größtwerte beider Normalspannungen gleich groß, also σbz = σbd = σb = Mb/W.



z =

FN A

Gleichmäßig verteilte Zugspannung

Linear verteilte Biegespannung

Sowohl Zug- als auch Biegebeanspruchung ergeben Normalspannungen σ (rechtwinklig auf der Schnittfläche stehend), die wie parallele Kräfte addiert und subtrahiert werden können. Trägt man an die Spitzen der Biegespannung die Zugspannung richtungsgemäß an, erhält man das Bild der Gesamtspannung (resultierende Spannung). Bild der resultierenden Spannung

b =

Mb W

414

5  Festigkeitslehre

Aus dem Bild der Gesamtspannung lassen sich nun die Beziehungen für die resultierende Zug- und Druckspannung ablesen. Beide müssen gleich oder kleiner als die zugehörige zulässige Spannung sein.

σres Zug = σbz + σz ≤ σz zul

Manchmal ist es zweckmäßiger, die Biegespannungen σbz und σbd nicht mit dem Widerstandsmoment W, sondern mit dem axialen Flächenmoment 2. Grades I zu bestimmen. Das gilt vor allem bei unsymmetrischen Querschnitten mit unterschiedlichen Randfaserabständen e (siehe 5.9.5). In beide Gleichungen wird für das Biegemoment Mb = F l eingesetzt.

Mb e1 F le1 = I I Mb e2 F le2 bd = = I I F le1 F res Zug = +  z zul I A F le2 F res Druck = −  d zul I A

Wie das Bild der resultierenden Spannung zeigt, ist die spannungsfreie Faserschicht um den Betrag a nach links verschoben. Aus der Ähnlichkeit der schraffierten Dreiecke erhält man eine Proportion, die zu einer einfachen Beziehung für die Verschiebungsgröße a weiterentwickelt werden kann. Aus dem Spannungsbild erkennt man weiter, dass die Verschiebungsgröße a ein Kriterium für die Spannungsverteilung ist.

σres Druck = σbd − σz ≤ σd zul

bz =

a e z = ) a = e z bz bz F Mb F le und bz = = eingesetzt: A W I

z = a =

FI I=A i2 e = = AF le l l

a > e bedeutet, dass nur Zugspannungen auftreten a