Analiză liniară pe spații finit-dimensionale

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analiza liniara

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Editura ,tiniifiCё ,i enCiC10pedicこ

I.M.CLAZMAN●

lU.:.LIUBIC!

Analizd Iiniari

pe spafii finit-dimensionale '

Manual

in

probleme

EDTTURA $lrNIlncA Bucuregii, 1980

$t ENctcloprorcA

TABLA DE IⅢ ATERII

I

Cuvint inaiute Capitolul I. Spa[iul vcclorial cornplex

g g g g g g g g g

13

1. Dependenfd 9i independenfd liniare. Rangul unei familii de vectori 2. Baze gi dirnensinne a spatitllui. Spalii izomorfe

3. Subspalii 4. Spaliu cit. Omomorfisme. Allernativa lui Fredholm 5. Operalii cu omomorfisme

31

38

0. li'unc[ionale liniare. Ortogonalitate. Sisteme biortogonale

7. Omomorfism adjunct

Fi

teoria lui

48

Fredholm

52

8. Funclionale biliniare gi produse tensoriale 9. Conjugalea complexd. Funclionale antiiiniare. Omomorfisme herr4itice Fi funcliouale sesquiliniare. g 10. Teoria generalA a oltogonalit5lii g g

11. Topologie . 12. Teolia lirnitelor. Serii. Eiemente de analizd

74 20 24

56 62 65 67

intinitezimald

7l

Capitolul II. Operatori liniari Pc un spallu veCtOFial COmplex. . . . . ・ ・ ・

81

・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・・ § 1. Algebra Operatorilor liniari . . . . . ralori proprii si vectOri proprii ai llnui oparator liniar. Subspalii § 2. ヽ invariante . . . . . ・ ・ ・ ・ ・ ● ● ● ● ●・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ § 3. Subspatti Spectrale. 1｀ eorema spectrali ftindanlentalI . . . . .

82

§ 4. Teorema ltli

」ordan. Clasificarca operatorilor

§ 5. Rezolventi si calclll ftinctiOnal

. .

. . . .

. . .

. . .

・・ ・

・

. ・・

§ 6. Operatori care colllllth Functii dC lln operator . . . . . . . § 7. Urma unui operator. comutatori . . . . . . . ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ § 8. Proiectori si descompunerea ul■

itュ tii

. ・・ . ・・

§ 9.Elemente dc teoria perturbatii10r. . . . . .

・

・・・

・ ・・ ・ ・ ・ ・ ・ ・

§10, D etarminantul unui operator Colllutatori grupali . . . . . . .

86 93 99

106 114 119 123 129 131

5

Capitolul III. tr'unelionale bil iniare gi sesquiliniare. Spafiu unitar. Operal,ori un spaliu unitar

pe

135

§ l FunctiOnale biliniare si pitratice . . . . . ・・ ・ ・ ・ ・ egca inertiei . . . . . . §2. IrtlnctiOnale sesquiliniarc si pitratice I″ § 3 Spatiul unitar . . . . . . . ・・ ・ ・ ・ ・・ ‐ §4_ Operatorul adlunct_ Sllbspatii o]｀ tOgonal redtlcitoare . . . . . § 5 Teoria spectralh a operatorilor autoadjuncli Algebra proiectorilor

135

140 145 156 159

ortogonali

§ 6. Teoria spectraltt a operatorilor unitari.Transformarea Cayley Repre― zentarea polarう a unui operator . . . . . . . . ・・ ・ 165 171 § 7 Teoria spectrali a operatori10r normali . . . . . ・ ・・ auto― §8. Propl・ ietュ ti extremale alc valori10r proPril ale unui operato■ adjllnct . . . . . . . ・・・・ ・・ ・・ ・ ・ 173 § 9. TeOreina lui Schllr Numerele singulare(s nimCre)alC Operatorilor 177 lnui operator _ _ . . . . . _ . 180 §10. ⅣIullimea HausdOrff a ■

Capitolul IV. Spafii trormate. Funefionale Fi operatori pe spafii nornate § 1. Normd, distanlI, topologie § 2. Seminorme ;i norme induse § 3 Mullimi absolut convexe gi seminorme. 4 5 6 7.

§ 8. §9 §10. §11.

183

.

183

Seminorme generalizate

Teoria lti Hahn gi Banach Izometrie, universlitate, scufundare Cea mai buni aproximafie Ecartul dintre doud subspafii. Spa{iul metric al subspa}iilor Operatori izometrici si contracfii. Teorie ergodici Norma pi raza spectlali a unui operator Norrne pe spafii de operatoli Inegalitdfi intre normele puterilor de opelatori

Capit01ul ヽア . A19ebri multiliniari ,i eXtCrioari

. . .

. .

188 191

lg3 198

2A2 205

270 275 218

222

・ ・・・

225

§ 1. Aplicalii multiliniare si tenSOri . . . . . . ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ 225 §2. Tensori simetrici si antisimetrici Teoria determinanLi10■ ・ ・ . . 230 . . . . . . ・ 233 § 3 Produse exterioare,i fOrme exterioare . . . . 「 §4. Pllteri tensoriale si exterioare ale unui Operator . . . . . ・ ・ ・ ・ 237 ol11lntll unei fam■ ii de vectori.Existenta baZei Auerbatll . . 240 § 5 ヽア . . . ・ ・ ・ 243 § 6 Norrne pe produse tcnsoriale de spatil ・ . . . . § 7. PolinOame si serii intregi fOrmale de mai lnulte variabile . . 245

Capitolul VI. Spaliul veCtOrial real

$ 1. Complexificarea g 2. Decomplexificare 6

・・

. . .

.

. . . . ・ ・・ ・ ・・・

・・・・・・・

・・・・・

・

・

251

256

real

２

3. Operat.oli pe un spaliu

２

4. Aplicafii difelentiablle. Nornre nctede. 5. Difclcnfiel'ea Iunctriilol cle nn operator 6. 'I'corerna ltri Steinitz asupla seriilor vecLorialc

２ ２

g g $ $

Capitolul VII. ll,Iulfimi convexe lntr-un spariu real

275

Clinuri gi conuri

275

trIul{irai con\rexe Ieoleme cle sepalare

281

Puncte extremale Inegalitdli lntre valolile proprii ;i numelele singulare NIullirri collvexe in probleme rle localizare a spectlului operatorilor

289

autoadjunc[i

297

§ 1. §2 §3 §4 §5 § 6. §7

Nonne unitar echivalcnte gi colpuli simetrice

Capitollll VIII. SI)ali1 0■

$ $ $ $ $ $ $ S $

d9nate ・

284

・・ ‐

・

convexe.

・・・・・

・

301

・・

1. Relatii de ordine pe un spafiu \/ectorial 2. 'I'eoria incoual,iilor liniale . 3. Probleue lirliare si con\.exe de exLlern 4. Problerne de extrelr in spaliul opelatorilor' 6. Relafii

de

oldine in spafiul operatorilor

8. Operatoli pozitivi 9. Func{ii nronolone

Si

autoadjunctri

inegalit:ili pentlu valolile proprii

gi convexe de un

operaior autoadjunct.

Capitolul IX. Ilxtinderex operatodtror

348

1. Opcratori liniari pe un subspafiu al unui spalilr vectotial 2. Opelatoriliniari peun subspaliu al unui spaliu unitar 3. Operator invers generalizat

.

,1. .feolia extinderii opelatorilor helnritici gi izomctrici 5. Extensii autoadjuncte care pdsireazi norrna G. Spectlelc extensiilor autoadjuncte gi unitare 7. Extcnsii cvasiautoadjuncte $i cvasiunital'e 8. Reprezentarea cvasitriunghitrlard a operator.ilor cu rang de neautoadjunclie nenul 9. Problema rrronrentelor

Capitolul X. Clase speclale de operatori

$ 1. Operatori disipativi ;i ontraclii g 2. Nlullimi spectlale

307 307 310 317 326 330 334 337 34o 343

5. Operatori monotoni 7. Spaliul ordonat al operatorilol

293

348 351

355 357 361

366 373 380 384 384

pe un spa

liu euclidian

388

392 7

§ 3 4.

Problerna Cauchy abstracti gi clasele de operatori asociate pe un spa-

liu normat

Pseudometric5

395 401

5

Operatori pseudoautoadjuncfi gi pseudounitari 6. Subspaliile invariante ale op eratorilor pseu doautoA djuncf i gi pseudounitari 7. Fascicul p{tratic de operatori autoadjuncli 8. Transformiri omografice ai ciror coeficienli sint operatori

409

472

Bibliografie

415

Diclionar de notiuni generale Indexul principalelor notalii

428 432

Index alfabetic.

435

CUViNT INAINTE

Oompozitorlll Ludwig Spohr, calleれ trttit spre sl缶 sitlll seco‐ lllli al Xヽ 互II― lea si lILceput■ ll secolllllli al XIX‐ lea,cste plltin cullloscut p■ lblicllllli larg din zilele lloastI・ e. Este adevlrat c沈 全 Il l■

sttlile coIIsα vatoarelor,coIIcertele sale peIIttll vioartt si clrchestr沈

mai rttsun沈 ,dar sillllfolll五 le si Opα ele sale llll se lnai clIIt沈 .TOtusi numele l■li Spobr ca follldttor al opellei rOIIIれ ILtiCe gerlnalle si Cれ muzician celebru al epocii sale ILu れ dispttrut diII tratれ tele de istorie a llluzicii.O circulnstanttt nemSemnat嵐 れ。ontribuit,deれ se‐ menea, lλ ill■ ortalizttea II■ lmelui lui Spohl・ . Este vorba despre inventallea intillnpltttoare, ran■ astt lleschilnbattt plII沈 ln z■ ele ■oastre, a baghetei declil・ ijat. ヽ 「olun■1■ si asa deStlll de lnare al lnanuscrisului nostl・ ll lllu lle perΠ lite,dill pttcate,stt ne qPrim in detaliu asuprれ allalizei Operei lui Spobl・ ,i asupra altor chestiulli,care lIIu se raporteaztt dillect la

CO■ illutul

cttrtii・

Este totusi necesれ r stt reamintim o alt焼

muzic温 航 si pedagogictt a lui Spohr,Inetoda sa de vioar沈 sθ

oper焼

-7づ θ %― 7づ

λtι 7θ .Ac∞ stれ れfo§ t llna diIItre prillnele llletode de vioartt in ctte

altttllri de pregtttirea tehllictt a elevllllli,se formula si sarciILれ

edu¨

Catiei Sale muzical― artistice.Metodω lui Spohr a fost llllmattt de altele れIlaloage a,le nuIIllerosilor lllllzicielli din secolole Ⅲ X si

XX.

yθ ι θ ααse compullle de obicei dilll lllλ i multe pttti(CapitOle) fiecare dintre elo f五 nd destilllattt uILui anulnit aspect al pregtttir五

皿:誼 鉛 i.留場11組 織鮒 ち∫ 器盟1腱 篤肥 電L現器糧

ub forllltt do exercit五 , Stud五 ,piese si alte note relativ scШ Fte, § forme mllzicale,nulnite pe scllrt %γ ttθ θ.Aceste nuln(re sillt dis― puse lIItr o astfel do o■ dille,lIIcit,in lilnitele uIILui cicl■ l tematic, '°

fiecare dintre ele crecaz抗 o baztt pentrll execlltia nllllnerelor urm抗 ― ulte ar putea pttea dificile dactt ar fi toare, diILtre Care foRrte l■ ■ COllSiderate ll■ afarれ contextullli. 1圧 aterial■ll ln■lzical al l■ ■ etodei este insotit de lln scllrt text explicativ care col■ ine indicat五 Sau

cMe comenteaztt insemntttatea anumitcpll llumげ e.De llllentionat c沈 ,ln

afara citorvh except五 ,aCeste numere ll■ ■sillt texte origillale

rea lor l■ ■ ajoritate este formatれ din ale autorllllli metodci.1旺 れ fragmente din alte opere, prezentate in forl■ lA lor originaltt sall コ■odificate;pe de alttt pa]rte, mれ teriallll muzical cste atlt de cunoscut illcit este grell stt fic atribuit■ lntli allunlit λutor. Urlele llumere sint prezentate lll■ preulltt c■l numele alltclrllllli 10r, 111 ciuda simplificttrilor ill■ portぁ nte operれ te asuprれ textlll■li Original, cれ re

au putllt lll(rge pilltt la transformarea opげ

elo■

orchestr&te

polifonic lll piese peIItru o sillgurtt voce.IDttstrarea temei originale れ compozitorului se considertt s■ lficieILttt pentl・ u atl・ ibllirea numo― lui sttu piesei tra■ lsf∝ Inれ te. Aria tehllictt si[Ftistictt a lnetodelor si c■llegerilor

de stlldii inI■ dite poate fi foarte hrgh, cupril■ zintl pe COrzl lil〕 ere pilltt lal piese dc

de exempl■ l,n■lln(Fe de exercit五

virtllozitate cll flageolete duble*. Cartea noastrtt reprezint沈 o incercarc de a elabora llIL CtrS avind carゐ cterlll si destillatia ana10age metodelor lnllzicale des―

げise mai sus.Alll denumi nccst cws

θ9η θ ι θ αtt αθα%α 7jea,ル πりJθ ―

磐 燻t″ ∴跳ittl l:肝 :鍬 :1柵 電胤∬喘僻品#∬ ITT 九ir∬鵬 λH譜 詭vedげ e ttm前 れ :isttτ i3罵 r盤精も e臨 出鮮捨 W篤 轟 :盟tis誌 温.CTttaW路1霜躍讐淵 1鶴 空l史‰:Ⅷ 棚h∬ 電 鑑lギ :幌 品fl 幌∬精 乱ギ SW4庶 mpi二 el棚 EW罵 ∬ 鼈 ∬ T甜 』 T珊孵 [ぷ 織 」 鷺 n器 ∫ 器I譜■■ealll潔 .出翻]獄胤 肥棚鮒 ↓ pttrL甜 肱 ttttttl辞 elL蹴 ttRflllttP:zttliL urm尻 _

1:ξ

toarele pu]■ ctc.

i llll i se c∝ e llici o cll■ Ostinttt prealabiltt de al 1.Cititorlll■ ■

ittittTl訛

鍵

f瑠

鉗 I撃 識

珊

席

器 :留 ltti

ii一 di¨ iOnarul de notillni gellerale一 pelltru care special al c激 し loSC■lt decit lilnbれ jul teoriei elemeIItλreれ Inlll―

nu se presupllne cll■ timi10r.

`:訊

* -,t. Diclionarul cncicloped.ic muzicctl (tn lb. rusi), sub redaclia lui G. Y' IteldiS, Moscova, 1959. Despre scala muzicd, v. G, Il. $ILOV Gama simpld (in lb. msd), Fizmatghiz, lloscova, 1963. Se poate at'Ita, printre altele, cd dificultatea executirii unor flageolele plovine din faptul c5, spre deosebire de sunetele obiqnuite ale viorii, ele nu sint stabile in sensul $ 11, cap. 1, 293-295. 10

2.Cartea se complllle clilll probleme ttllsotite de texte explica― t市 e.Acestea din llrmtt contill tOれ te definitiile si indicれ tiile llece― 。0冨 tea sare pelltru allulllllite probleme preculllL si alte comelllt服 五

ll este prevttzuttt cll lln capitol de rttspuIIsⅧ ri deoarece toate problemele propllse siIIt probleme de demoILStrat (teoreme). l■

3.Indici■ ll ctt lln paragraf explicれ tiv se terlnintt este llllmttrul 11ltotdeal■ lltt un sillgw ali―

teorenlei care Ⅷrlneaztt si care ocllp沈

Iliat.Indicil■ lc沈 lIIcepe lln nol■ paragraf explicativ ll co■ Istituie

い, care llllllleaZtt ellllttlll■ li teorel■ olor este iIIdepelldttttt pelltllll fie」

inceperea lllllli aliltiat noll,fttrtt llulllを teorell■ ei.N■ llllerotarea

care capitol. 4.Ulleori propozitiile§ i indiCa,tiile necesare rezolvttr五 proble― ll■ ei date sl■ t pllsc llu ttnamte, ci dllptt prOblem沈 . De aceeal, lλ

t鳳 eL昴 留 :lltrヽぅ 謂tξ gaf dれ ■

itlIII:l:::i【

:ilり

tr―

lll parれ

F:[]:: T∬ 出誌

t, este lltil stt se tl・ eactt rapid lII revisttt conti―

ILlltul lllt■ ・ egului

parれ graf.

5.Dllptt textul de baztt al clrt五 lllmeaztt ll■ l index bibliogTぁ fic, ■ lllde,lll prllnれ parte, se dtt lista trれ tれ tel(r ge■ lび ale de algebr沈 ,

aILaliz沈 , topologie, attebrtt lilliartt si &Ilaliztt fuIIctiollal焼

, iar illl

partea a douぁ se illdictt pe capitole,litび れt■■ ra folosittt si llecoman―

dat沈 .Pentrll rezolvarea problemeloI IL■ l este■ lecesM stt se consulte lit(】 atlLrん

mentiollttttt in illdex■ ll bibliografic si Celelalte sllrse.

Destillatia priIIcipaltt a bibliografiei citate este aceca de a indica citttorllllli litα atllra care contillle dezvoltれ rea teoriilor cllpri■ lse in carte. 6. I」 a sfirsitul lllcrttr五

se vOr gttsi:llIL indeX

れl priIIcipれ lelor

nOtat五 , lln illldex alfabetic al autori]oll toorelllelor citate, si, ln sfttsit, lln indexれ lfれ betic al to「 Inenilor care tl・ inlite cititorul la pagill■ e din textlll de baztt al cttrt五 uIIde acesti tellllleni(SCIlisi cwsi、 r)sint defilliti.

7. Nu am formulat p■ obleme ll∝ ezolvate, deOi lIL anulnite caz■lri ele sint fOarte apropiate de teoremele cllllntate・

Cttutareれ

Fezolvarea llILOr aSeme/11ea probleme fac parte dill lllllIICa Crea―

si

toare a cititcprllllli cttruia ti ullttm sllcceS ill acest domenill.

ExprimヽIn profunda■ 10astrtt

recllIIostinttt prOfesorilor lllostl・

i,

N.I.Ahiezer si l旺 ・G・ IKl ein si,deれ semenea,llli A.Ia.Povzlller Cll care alll iILvtttat a■ laliz& fllnctiOlllal抗 ■Tnele probleme si telrne lle― all fost propl■ se V.I.Gwar五 lI.Io Kad■ .

de G.R.Belitki,

,A.S.Markus,V.Io Maぃ ev,Iu.L.slllll lian.Unele pttti ale c加 ぃi au fOSt discutate cu E.■ lE.」 mude,I.S. ‐ ,■

7.P. Potapov, ・7.A. Tkacellko, ヽr.I. Illdovici.Mallllscrisul ctttii a fOSt Vttzllt de G.B.si10V, Care Iohvidov, A.ヽ r. Pogorelov,

a fd,cut sugestii pentru imbun[td,lirea cd,rlii in ansamblul ei. La redacta,rea c5,r!ii ne-au ajutat rnult Y. I. I(ogan, Y. N. Mitin, A.M. Ribalko, In.F. Senciuk. Tuturor persoaneior numite mai sus Ie exprimilm viile noastre mullumiri.

AUTORII

22 sept.

1967

La 30 mai 1968, clnd aceasti carte se afla lnci sub tipar, a incetat din viali Israil Marcovici Glazman, ciruia li aparline ln intregime ideea de bazd a cdrlii ,,modelarea" finit-dimensionall a analizei funcfionale. Ciud cineva li povestea ceva despre constructii infinit dimensionale complexe, el intreba, de obicei: Cum arat{ aceasta in cazul bidimensional? gi nu rareori aceastd intrebaregocantl aju[a la o mai buni inlelegere a esen{ei lucrurilor. intreaga activitate matematicl a acestui talent matematic viu a fost indreptati spre lnlelegerea lundamentului simplu al

lucrurilor

complexe.

IU. LIUBICI 17

fttZι θ

19 θθ

Oapitolul I

SPATIUL VECTORIAL COMPLEX

Se numeste Ψ じ %υ θ θ ι οiα 7 θ θ ηr7θ

pe care sint

"O mullimeョ si cle inlll■ lltire a definite operat五 le de adllllare a elementelor acestora cu nulllぴ “ e complexo,astfel lncit stt fie satisflcllte axio― naele: ■)ヨ eSte stれ bih reht市 laれ ceste doutt opげ atii; P・

2)コ este un grllpれ beliaIL relativ la operれ tia de ad■ l■ lare; 3)1■ Illlu“ ireれ cu un■ ulllltt complex este o operatie aSOCintiv抗 COlllutat市 沈 si dllblu distribut市 尻relat市 la adunareぃ IL■lme7relor

,

complexe si a elelllllentelor); 4)prodllSl11 0riCttlli elelnel■ t cll ulILttatea este cgれ l cu acel elelnent.

Elemelltele spatillllli vectollial*)se rlumesc

υ θ 6ι θ ″ (uneci

θ)si Sttlt notate priII literele lnici Ale alfabetlllui latill, spre r%%θ ι deosebire de ,ι %9η θγθ (Ilurnite sθ αι αrづ り pe care, ln general, le nO―

tttm prin litelle mici ale alfabetului bOrec.Duptt caz,simbOll11 0

va desemna sau vector■ll zero(elemeIItlll■ leutru al grupllllli)sall nl■ mttrlll

In vil・

zerO.

tutea&xiomelor■ )―-4)opげ λ tiile

Cu vectolli ai ullui spa―

till VectOrial satisfac aceleasi reguli ca si operat五 le cOrespll■ lz嵐 ― toare cu vectori lII selllslll geOmetric obisnuit.

h exemplu banal de spatill Vectorial este dat de multilnea formattt doぁ r din elementu1 0; operat五 le SlIIt definite de egali― ttttile

O+0=O

α・0=0・ α =0.

Acest spatill Se numeste Spatiu VectcDrial tr市 ial sau,pllr si silllplu,

nul si este desemllat de silnbolu1 0. *) Aici gi in cele ce urmeazS, cu excepfia menfiunii contlare, termenul de ,,spaliu vectorial" va desemna un spa[iu vectorial complex. in paralel cu expresia ,,spafin vectorial" se va spune de asemenea, mai pe scurt, ,,spafiu". (Se mai foloseste qi termenul ,,spaliu liniar". (N.rR.)) 13

LTn alt exemplu,lllai putin tl.市 ial,de spalti■l Vectorial este

dat de mulぃ mea ΦM a tutllror functil10r numerice definite pe o mul,me lI.Aceste funct五 Se numescル ι %り づ ο %α ・△dunar∽ fuILC― 7θ

tiOnalelα si mmulth.ea l∝ Cu un ll■ lmtt sint definite in mod natu― ral,la fel ca lDentru f■ lnct五 le nunl(rice Obisnuite,de o v&riabil沈 IlllIIl(FICa.

Exemplul poate fi concretizat presllpunind ctt M este muLi―

1‰

ι 品∴ 淋 ,州器 獄 鸞 caz,ca mul,meれ θωtt tl■ tllror sirllril∝ nl■ merice (α l, α ' a tlltwor multilni10r 2,・ …)Sa■ L Ca mllltillllea θ posibile de tt nulnere(α l,∝ 2… ・ ,α π ), lII Care adllnMeぁ si inml11ile θκ tilteれ Cu un IIlllmttr Se fac termen cu tげ meno Sp働 ぃ (λ =1,2, j6θ 3,… .,%,.… ,ω )Se numesc spatii%%鶴 θ γ rづ ι ttθ ι づ θ θ ,Sa■ α ど もν 冊

,W精

poate fi descris嵐 ,duptt

7We#,∴

.

IIn 31t exemplu imp∝ tant de spatiu veCtOriれ

,m五 Π a tuturor polinoamelor夕

(ι

l este cel al l■

ll11‐

)doO Vれ riab■ ttι si mulい meれ

Π"⊂ Π れ poli■ loれ melor de〔 ダad mai lllic decit lln allumit ttltl・ eg 協,lllzestrate cu opc■ iile Obisnuite de adunalle si inmultire cu

llllllnσ e.

§1. Dependenl五 ,i independonl五 liniare. Rangul lllnd famil五 de vectori Coru,binalia

lirfiard a oectorilor fi7) fiz,. . ., #,, (nu neapilrat czs . , ., a,, este vectorul a de forma

iliferi.ti), cu coeficienlii a,

”Σ Ｈ

%二 =

∝ん

.

"λ

O col■ billatie liniartt se llllmeste t″ イ 例αι a,dactt tou COeficientii ″jυ づ ei smt nuli si%ι ι αι a m caz cO.Itrπ .O colnbinalie liniartt tri― vlaltt de vectori ttbitl・ ari coillcide cll vectorlll lld. rectorii ″ ″ ・ ι づ ″づ θ ヽ %づ α 竹α ・・

,″ Se Zic η rt dactt toate 1, 2, 'Oα `rθ de “ combillatiile 10r hniare lletl.iviale sint diferite zero si づ ι ,tづ α グ

αク %ノ づin caz contrar.Se llnai spllne ctt fanlilia de vectori rθ ttα θ }f fOrmeれ ztt o familie lib∝ 夙 (reSpect市 nelibertt sau legat流 ). 0メ α,,2jι jθ αθυθ 6ι οi este o mllLime llevid焼 ,fillL沈 , ordonat沈 ι O fan■ ilie se numeste stι りα 鶴づ づ θa unei familii date dactt ca este

{"″

.

P・

o submultilne a fanliliei respective. Vom incepe cu te∝ eme elementare referitoare lれ depende“ a Si indepenflenta liniar焼

14

.

:猟 善 鞘量 暇 鰍 Xi∫ 1帖 :珊 枇ド 遜 Ctti臨 1靡 P盤 :柵#1詭Ю醐飢詭 五 este necesar si suficient cれ Ilici un vector dill falnilie stt■

lll fie

1∬

in telllnelli l■

ereditar沈

■etafollici, depeILdenta liniarrtt este o "prOprietれ te

''.

eれ tutllror combi― Fie「 o falnilie oarecare de vectori.■ [llltil■ ■ ,げ as%raι θ αγ θ αι づ llatii10r li■ liare de vectori diII「 este り ηづ αγ a a fa― l■

iliei r si O nOtttm cll五

(「 ).

se llllmeste liIIttr θοttrτ θ ι O sllbfalnilie ro a llllei fanlilii「 α dactt「 ⊂ 五(FO), adiCtt dactt fiecare vect∝ 'al fal■ liliei r este colln―

m鮮

¨

:誹 Oompletit■ldinea lillliartt este de aselnenea o proprietate ere― dtartt relativ lれ operRtia de eXtindere dM Illl si la Cea de restric― 椰

硼

鱗

魚

乳 』監∬ 辮

鰤

tie a■ lnei fLInilii.

ln tecemele 3 si 4.PentI・ u aceasta stt ellllⅢ 加l Stt comp『 嵐

teorellna 3 1n fellll llllnntttor. lilie a unei falnihi cle vect()ri Contill■ ■ ttt intr― o "Fiecarelibertt sllbfaⅡ subfallllihe este o s■ lbfamilie libげ 沈''. Este chl・ ctt dac尻 lll elluntlll teOremei 3 se ll1locllie§ te termeILul " ,,Sllbfλ milie liber沈 '' pllin tellIIlellul ,,subfallnilie lillbr complet沈 Si termelllll ,,oontin■ lt沈 "prin termenul ,,ctte coⅢ ine", Se Obtille elllllntul te∝ eⅡ loi 4.Intre t00remele 3 si 4 existtt o silnetrie logic沈

sau,cluptt cum se lnai spune,θ

.Ea se bazehztt pe silnetria α%α ι づ ι α ι θ ii1011・ Notiunea de

(dualitatea)col.espullztttoalle a notiunilol si relⅢ depelIIdel■ttt lilliartt este clualtt notillll五

de col■ lpletitlldille lirliar尻

.

Relatia intre lllultimile M,L care se enunttt prin,,M conti■ le pe L''

(M⊃ L)este duれ 1沈 relatiei,,M este co■ inut in L"(M⊂ Duλ litatea

れptte

L).

む ecveIIt

exttpl■ 井 _in teOria generれ

1沈

iIL diVerse teor五 matelllatice. ]De a multilnilor, existtt o duれ litate cnre

se bazeaztt pe dllalitatea relatii10r,,a ooIItille'' si,,れ fi Continllt",

″ sθ θ づ θ θ si care a fost dcia l■ llentionat航 ・Se arattt c焼 1loti■ lllile de tπ ι ′ §i de rθじ%づ %η θslllt dllale, fapt care se manttesttt perllnanent in aヒ ebrλ lllllllltimi10r.Legile distribut市 itⅢ 五 smt un exemplll con cludent:

N=(M∩ N)u(L∩ N), L)uN=(MuN)∩ (LuN).

(IIU L)∩ (llE∩

Este clar ctt duallitatea anunlitor llotiuni sall relat五 poλte fi

consecinta dualitttii altOr noぃ uni(relλ tii)・ De exemplu, inter‐ 15

棘財

F鮨暴

誉 猾

Si eSte cottinllttt m orice lnllし ime Cu aceasttt proprietate.Duali― fi continllt" este lnれ i fllndれ 血elltaltt decit duれ litateれ ,,intellsectie― reunhne''. PCILtlu COlllstruirea oricttrei teor五 este foarte importれ Ilttt pll―

tatea ,,a contille'', ,,ぉ

器P,lMI話 駄:1乱 f踊辮11∬ 鑑:紺 ξ l盤批1:器 ::L盈 盛 腕 structllrtt si lln aspect definitiv. De aceea, in cele ce urlneLz沈

,

vom atl・ age atenぃ a LSuprれ dual比 獅 五 ori de cite ori aceasta w― a fi posibil.

Fic acum wl■o焼 toarea definitieo Se numeste subfamilie αθb解 消 o subfallllilie lib∝ 沈 lilliar colllplettt al llnei farnilii de vectori calle

llu sint toti nllli.Notiuneれ de sllbfanlilie de baztt este

αθ α%α7α lf7ι

.

5.PcIItru ca o s■ lbfalllilic a llnei falnilii de vectori stt fie o sub―

糊卦 Z憾 管ftよ Ⅷ朧l溜 盟r∬ itti暑 :¶ l崖胤 rittt de ea. Propoz“ ia dllaltt este wmtttoarea: Go Pentrll cal o subfalnilie de vectori,nu toli egali cu zげ

o,s沈

鵬#搬:紺 7:Ⅷ ly鮒 讐 吼ゞ lintti‰ 調 器 鳳 1説

tillct沈

:

.

Stt eILuntttlll teoremれ de existent嵐

れullei subfalllihi de baz沈

.

Remarcttm mai ttntii c沈 ∝ice familie r de vectori,Illll tOti eg&li cu zero,conoille O Sllbfalllilie liber沈

(de exOmplll, sllbfamilia for―

mattt doar din vectcbr■ ll"∈ , ″ ≠ o)si O Sllbfallllilie liniar cOIn― 「 plet嵐 (de exempll■ ,subfalllilia care coincide c■ l fam■ ia r).

i脚 subL認 1:瑞芳空識 号ittsttlli謎 」 littie誂 筑 ∬廿

pletattt plIItt la o sllbfス Inilie de baztt si(lIL mOd dllal)diIL Orice

岬 :帥線 ¶鮒鴇淵辮Ъ ξ Ъ 鮮域椒鑑亀 靴器珊 rea Fopozitie: tξ

〓

″

ヾ 力自 ク

逢絲紬鳳比j稲孵椰iν lT器 曽 α ″ り 「κ

騨 l乱 激部 ‖ 鼈れ .hr coeide“ 粽」 16

五α 句航acestd reprezm―

面tecipIIoc:

9.Dactt orice vector al llnei fall■ ilii este repl'ezentat lIL I■

Od

unic sub forma ullei combinat五 liniare de vectoriれ i unei subfa― milii,atunci aceasttt sllbfalILilie este o s■ lbfalnilie de b&z沈 ・opoz“ ia llrmtttoare este o lemtt eseⅢ ialtt pentru teorema fun― P■ .

dameIItれ 1沈 11。 襲 現 i芦 品 厨

子ち響 毀 馬 1鼎 ヤ 鍔

lι

astfel mcat%_α υ∈五(「 ■). 11。 Orice m+l Vect∝ iれ i

詭

d♀

3Sli:冊

spatiului liniar generat de o fami―

it∬13総 霊[鮮増計竜 ∫::::臨 〔

12.Toate subfれ

出 謂 留 t出 品 瓦

etti・

este c沈

:

Fllihile de baiztt ale ullei stlbfall■ ilii「 ,fixate,de

vectori contill aCelasi lrlumttr de vectori.

Acest numttr se numeste rα %θ %ι

falllliliei「

Dactt toti veCtOrii din「 silllt nuli,等

F=0.

Este c、 riclent ctt rc■ nglll llllei famil五 llum ttul cardinal al faIIlliliei. Rangul unei falrnilii este,,ll■

si se noteaztt γθF.

Illl este mai lnare decit

ttswa supariOar嵐 ''a illdepellde■

llei

sale liniare.

13.Rれ ngul unei famil五 de vectα i,IIu tou egalli cu zα o,este egal cll llllmttrul cardillal maxilnttl al sllbfれ

Iniliilor sale libelle.

Deci,pentru ca familia「 ={η F stt fie liber嵐 ,oste necesar Si SllfiCient cal ″g「

Teoranれ

=鶴

dualtt ll■

.

i 13 este:

7:し 批 翻 iぶ 咄 l■ i鑑∫t:滞 e』 lltil器 計 譜 t籍 ∫訛 ll盤 謂 ∫ plete. JLStfel,rang■ ll llnei falnilii de vectori este,,InttslLra illfe/11ioar沈 `` a completitllclin五 sale lilli2re. TcOremele 13 si 14 cれ ractoriz∞ ztt rangul unei famil五 ca extrem bfanlilii. al II― 加 ul■li cardillal al aII■ lnlitor clase de s■■ Stt artttttll■ ctt sllbfanliliile de baztt slIIt caracterizate cれ ,,pllIIc― te'' 金 n care se ntiIIge acest extrem. Este evidellt ctt exttemlll se

atiIIge in aceste p■lncte.Reciproc: 15。

Orice subfanlilie libertt a unei falllilii「 de vectori format沈

din γク vectori este o subfalllilie de baztt si(ln mOd dllal)orice

「 sllbfalnilie liniar complettt a unei fallnilii r de vcctori format沈 diII γ θ vectOri este o subfalnilie de baz沈 .

「

rolrL SC711ie Fie acllIIn lsi F2 d° lltt fれ mil五 oarectte de vectori.ヽ 「 rlく (「 2 daCtt Fl⊂ 二(F2)・ Este clar c沈 , dactt Fl⊂ F2, at■■nci

「

1く

F2・

2 - c. 1977

{16.PcIItr■ l ca「 1く F2,eSte necesar si sllfiCient cれ 五(Fl)⊂

⊂ 五(11ゴ

ニa「 ._く F2 eSte O relaし ie de preordillle pe multilnea fami_

liilor de vectori.

づ θ λ υα ηι θsi vollIL SCIlie Voln spune ctt falllil五 le「 .si F2 Sil・ t θ n relatiile rlく F2Si F20)・ づ 1%α ι Se spune ctt lln lant este l%α ″ dactt el llll este o parte prO―

fie mcluziuILea ttν 2⊂

jι

prie a nici llllui alt lal■ t.

49.Pentru ca un l&nt五 0⊂ 五1⊂ ・… ⊂五 stt fie maximal, “ ηo=% si

este llecesar si suficicIIt ca

αれ 五た=λ

(λ

(in particular,五 。=0,五 %=E).

=0,1,…

・,得 )

・協llatte∬ th器 ¶IIttttine:]]ヽ ]]limal。 器 慶

24

但守号讐 :調話 :サ ぶ luam五 l認 寄霧 Cll s■lbspれ ,五 le

』

.e■ Is沈 ie bttze m

se pot efectua o serie de operatii・ Iat沈 ,peIItrll

inceput,operat五 ale teolliei mu“ imil∝・

Re■ lILi■lnea れ dolltt cazuri exceptiOn31e:

sl■ bspat五

ILu eSte un subspati■l dectt 'II

52.Pelltru ca relllli■ lllea■lllui llllmttr finit de sl■ bspat五 stt fie

lln sllbspatiu,eSte■ lecesar si sufiCieILt Ca■■ ILul

dil■ tlle aceste sub―

Spat五 Stt le colltil■ tt pe toate celelalte.

De aici rezulttt ctt reuniulleL ulllli llllmttr finit de subspat五 difellite de spatiul E este de aselnellea diferittt deヨ .Spre deose

bire de 52 avem:

mt翼 :ぶ

re de subspⅢ ヽ atund 鳴メ 飢Ts仇 甜 llttl∫ 術 譜 αづ π

(∩

五ν )≪ 鶴れ

(J/i物

五ν )・

aceれ sttt illegalitate al.e loc egalitatea dac軌 ,si ll■lmai dac嵐 ,l■ Illll din^sllbspat五 le 五, CSte cOntillut illl tOate celelalte. IIL Cele Ce llrmeaztt vom coIIsidell■ in diferite rillldwi multi― lneれ ￡ a tutwOr s■ lbspat五 10r cれ re all o proprietate sall alta. Voln Il■

conveni stt distingeln intre sllbspⅢ iul,,maximal"si,,cel mai mar♂

'

subspath al mul,im五 8 1n modul llllmtttor.Dactt un subspath 五 dilll￡ Illl este contillut in nici■ llll alt Subspatiu din￡ el se nll― jれ α meste ttα ″ ιln五 .Dactt ullL sllbSpatiu五 ∈O COnぃ ne Orice sub― Spatiu din o el se numeste θ J%扇 l12″ θsllbspath al l■ i8.Dacれ θ in 8 existtt lllll Cel IIlれ i lllare sllbspatill, atllnci el este llnaxilllλ

Pentru ca un subspⅢ h maximal al ml■ l,m五 〇 stt

l.

fie cel

mai lnare, este llecesar si suficient ca acest sl■ bspatill mれ Xil■ al stt fie llnic. Rel■

lλ

rcttln c尻 , sye deosebil・ e de cel lnれ

?η

e嚇

i ll■ are

sllb―

讐'謂 iV評 笹ち出籠譜t懇聞』 腸 瀾路駅:譜 ル α づηし

Sp鋤

sllbspatill).

Stt 'θ considellttm,ca exellllplu,lllll、 imea￡ F a tuttt「 or subspa― tiilCIr care contin O lnu“ ime F de vectori.Intersectia t■ tllrOr sub― Spat五 10r care apalltiIL llli￡ P,れ palltine llli￡ P si,pril1 1】 fIIlare,este

― cel mai mic dintre sllbsp¨ iile nllllぃ mii￡ F・ El se numeste s%bΨ α 77れ づ γ ι 悌 α θ %θ γ α de F si se noteaz沈 五 ″ θ (F). Intersectia unei ttimi de subspttii{五 ν }eSte cel mai lnare

CMe este contlllut in toate s■lbspatiile ttv・ Stt intrOd■ l― cem notillllea dllal夙 .Ei lll1 li corespullde rellllilllle■ ,lrltI・ uolt ope― rttIIl illtr― o clastt de sllbspat五 si ILu in Clasa sllbmultilllilα llllei sllbspれ till

lnultill■

iヨ

.

25

1ユ 紺蹴 t譜1守 ∬ n滋 ∴ ∞ 品 Ll11亀 l%辮 鶴 場ヽ lma sllbspa,ilα SC『 no_ cide cu spaぃ l11 liniar genげ at五 :き

tい

■FW翼

:[』

'喘

(u五 ッ

聡樹 Σ'十 te

)・

S■

.

η ら 五ν づ 鶴(Σ Lν )>π α ″(α づ α )。

in aceasttt inegalitate, alle loc egttlitatea dac焼 , si nullllai dnc悦 , lnul dlIItre sllbspat五 le Lッ le conil■ le pe tORte celelalte. ■

TeOremele 53 si 54 sint hnれ loれ ge teoremelo■ 19 si 20。 ι IIltellsectiれ si Sumれ subspatiilor Verttictt llrmtttovele rツ タ t α 6● づ ″ θ″ θ ,Care dec■lrg din principiul I.uper五 lattllri10■ 48: ηθ 55.Pentru σice mu“ ime de sllbspatii eXiSttt o sllbmultime

hn選

mt的 Ⅲ・

ec∼

計∫ 需鵬∬

56.Pentru orice mulい me de Subspat五 fiILit沈 , Calre れFe れCeCasi Remarcttll■ c沈 ,dactt

surn沈

bmultime exiSttt o s■ ■

.

n■ lllち ill■ ea de subspれ tii COnぃ lle iIItel'sectia

oricttrei pgechi de sllbspat五 ,LtuIIci exist前

lII Inl■ ltillle cel llllai nlic

subspatiu.Prill dl■ ttitate,dactt multimeL de subspatii C01ltine suma gricttrei perechi de sllbspat五 ,atllILCi eXisttt in lnll“ illle u.L

cel lnai lnare s■■ bspatiu.

Opび ¨in cte aduntte a sllbspatiilC,ca si operatia de illtersec―

bu伍 山t∽ nuど e e』 脇五 晟i営 猫 盤rttTWIi詰 サゞi{五 l orice i増

57.PentrlL oriCe l■

■ ■ lltine de subspaぃ

ν }si pentr■

Spれ till五 , au loc relatiile:

五 ∩ Σ ム ⊃ Σ (五 ∩Zν ), 五 十 ∩五ν⊂ ∩(五 十 ム

)・

Dar,ln cazlll a dolltt subspntii五 .si五 2 are loc: 58. Dac嵐 五.⊂ 五, atullci 五 ∩ (五 1十 五2)=五 ∩ 五1十 五 ∩ 五2 §i,pl.ill dllalitate,dac沈

五.⊃ 五,atllILCi

五 十 五1∩ 五2=(五 十 五1)∩

Aceste relaぃ i Se lllllmesc

(五

十 五2)・

.Ele se demonstreaz尻 ι づ ι θttθ α%7α ″ θ θ θ

foarte simpll■ dactt se faceれ pel lal urmtttoarea descrierc L sumei

a doutt subspat五 59。 Sunla a do■ltt subspれ ,i五 l si五 2 eSte m■lヽ illlllea .

de fcbrlFla

″ =.Tl+″ 2("1∈ 五1,″ 2∈ 五2)・

26

vectorilor

Teorema 59 se gelllerれ lize■ ztt finit, oarecare, de subspat五

ill■

ediat la sllma llnui lluⅡ lう籠

.

Stt considerttm mai amttllulltit cazul llnei falnilii dc doutt sllb― Spat五・Stt Stれ bilinl mai intiiれ nalogul te∝ emei 21. 60。 PentrtL OriCe cloutt sl■ bspat五 五l si五 2 al'e loc egalitあ tea

協五2 %五 1+α づ (五 十 五2)=α づ

αづ 筋 (五 1∩ 五2)+α `協

αssttα %り 。 ∬θη)%ι α71tづ θγ ,｀

Di■ l forllnllln llli Cil・ asslnaIIIl rezulttt c沈

are loo: 61.α J%(五 1十 五2)≪ ぷ

, prin allalogie cl1 22,

五1+副 筋 五 ヽ 「oll■ da conditia pentru care are loc egalitatぃ 2・

''ら

ctt subsp吋

1■

0五 . ,i五

l五1,五 2}estC

ll1 61.ヽ rolll sp■ lne

。 2 Sint rっ θc争 ″θθノ イ絶αη θ,3α θttι θ (si Ctt faIIlilia

ι ibθ raノ ,tlac尻

五 1∩ 五 2=0・

Sulna a doutt slllDsptttii oeCiproc)iIIdepelldente五

6ta si se nOteaz沈 llleste s%鶴 膨蒻γ θ

五1+五

62.Pentrll ca stt aib抗 loc egalitateA αづ m(五1十 五2)=α づ%ム

1

、i 五 2 Se ntl―

2・

+α づ物 12,

este lllecesar si sllficiellt ca sllbspatiile五

l si五 2 Stt fie(reciprOc)

independente(a se COmparれ cl1 23 si 24). P「 opriet沈 Ⅲle sllmei a do■ ltt sllbspaぃ i五 l poate fi enuntattt il■ modul■lrnl夙 tor:

si五 2 de a fi,,direct軌

63.Suln:bれ dolltt subspht五 五l si五 2 eSte directtt dれ c沈 ,si dac), reprezelltarea

''

ll■ lmai

″ =″ 1+″ 2(″ 1∈ 五D"2∈ 五2) eSte uILiCtt pcntr■ L OriCe″ ∈五1十 五2(eSte Suficicllt ca nceast飢 reprezelltare stt fie■ lnictt pellltllu ″ ==0,adic焼 ″ ==O stt implice ″1=O Si″ 2=0)・ Noliunea dc i■ ldependeIIt飢 (reCiproc焼 )eSte d■ ■altt l■ o,illll五 de

COlllpletitudine.Astfel,ofれ milie de dclutt subspat五 {■ ,Z2)Se

numeste

θθ

ι α dac抗

",P7θ

五1十 五2=ヨ

adictt clactt orice vector

″∈ヨ

,

admite reprezentarea

n : fit * fiz (ure L' ure Lr). 27

・θ θ S■■ bspれ tiile五 l si五 2 Se nlllne6c θ , iar familia ηp7θ ttθ 硼 za,dac悦 α θ bα 2),O familie 1,五 I五 五■+五 2=ヨ , (*) ttι

静syJ」 灘∫ :場 尻》 milL.&CdⅢ 盤漁Pll乱轟 棚Bgalitれ teL(*)arattt Ctt ollice vect∝ ::λ

"admite o reprezttttte

unictt de forlnれ

“ 64。

=亀 +"2(″ 1∈

五1,″ 2∈ 五2)・

Orice subspatill L admite un complement.

Acesta llu este llILiC, dac嵐 五 ≠ ヨ , clM plement al subspati■ lli Z este 65.Dill■ ensiunea oricttui col■ ■ egaltt cu%― ― αづ "7五 MttimeR%一 αづ物 五 se l■ llmeste θθαづ協 θttst%鶴 θ a spttillllli五 .

Si Se nOteaztt

θ ο αづ %五 .Astfel,priIL definitie, 磁鶴 二 十

%五 =η

6ο α づ

.

OodimeIIsiullea este o notil■ ne dllaltt dilnensillIL五 .Acest lucrll se vede clar diII teoremele care llrlllleaz沈

66.Dれ c沈

.

五l si五 2 Sint Subspaぃ i si五 1⊂ 五2,atunci

%五 1>θ θαj%五

cθ αづ

2・

Te loc dacぁ si llum&idれ cぁ ム =五ち ・ 67.Pmtllu O nlultime Oarecare de subspat五 {五 ν l alle

Egalitれ tea gれ litれ tea

6θ

%鶴 ∂

(∩

loc ine―

11)>π α″ rθ θ副物 五ν ・ ノ

れ re loc dac焼 , si numai dac沈 ,llIIlll din subspatiile Lν este continut in toate celel<e.

Egalitれ teれ

68.Pentr■ ollice mulume de subspat五 tれ tea

}田 e10C

{五 ν

inegali―

θ ο 磁 %rθ θ り d鬱 協 (】 ∂ ・ E ttν )く "oム リ re loc dac沈 , si■ lllmai Egalitateれ れ 五,lc conune pe toate celelalte. 69。

dac抗 ,ulllll dintl・ e sllbspatiile

Pentllll orice pereche de subspatii五 l si五 2 are 10c egali‐

tateれ π 五1+6ο 副 彿 五2・ θο蒲 鴨 (■ 十 五2)十 θθ副 %(五 .∩ 五2)=θ οαづ

28

︱ ヽ ・

・ p∬ 盤 ″01∩ 『 71.PeIItrll ca 6ο

αづ 鶴

L21く

(五 1∩

θ θ α れ五 れ五 .+6ο α 2・

五2)=θ οf7/i鶴 ム +6θ 副鶴 Z2,

este necesar si sllfiCient cれ fnmili&{五 1,五 2)Stt fie complet焼 PlecttILd de lれ

teoremele 61 si 70

.

este■lsor stt se obtillltt criterii

pentllu cれ o familie formattt din dOlltt subsp易 ぃ i{五 1,321 Stt nu fie

colnplettt si liber沈

72.DRctt oon■plet尻

.

θθ副 鶴 五1>α j%五 2,atunci familia{五

1,五 2}・ lll eSte

.

73. Dactt αづ協 Iラ 1

este libu島

%五 2, )>6ο αづ

atunci familia {L' Lr). nu oarecare. in ce conditii acestea

.

Fie -t,, Lr, . . ., L* subspalii admit un complement comun ? B5,spunsu1 poate fi otrlinut cu ajutorul Iui 52. 74. Pentru oa sutrspali7le Lr, Lr, . . . , L- s5, aib5, un cornplement comun, este necesar qi suficient ca dimensiunile lor s5, fie egale. S5, extinclem notiunea de sum5, directS, la o farnilie cu un numdr arbitrar de'subspalli {Lk}!. Yom pleca de la 63.

,r, . . ., L* se numeqte su,zrd ilirectd, Suma subspaliilor "il dac5, pentru orice n e \ Lo reprezentarea *.-i' - i *r (nrelr; k:1r

2,

...,

nt)

i-1

este unic5,, adici, altfel spus, daci egalitatea

∈ム Σ =0(″ た ,

乃 =1,2,… .,777)

λ-1 "λ

illlplic航 "″

=0(λ ° =■ ,2,… Σ ,キ ・

.メη

)・

S■lmれ

directtt se noteaztt clL

simbollu・ ilo

75.Pelrltru ca sum&subspat五 lor]%, 五2,… ° ,五 %stt fie o sllm焼

,este necesall si sufiCiellt cれ pel■ trll orice pereche de famil五 diSillllCte cle inclici{′ 1,ブ 2,・ ・ ・,ブ ,}Si(7.・ 1,λ 2,… ・,んα } stlbSpatiile

dil・ ect嵐

五ノ 2+… ・ +五 ぁ 1十 五ノ

i ttκ l+五 κ § 2+… ・ +五 κg

stt fie ceciproc)illldependente.Este suficieILt Chiar ca subspat五

le

五1十 五2+… ・ 十 五,si五 ォ f

stt fie llleCiprOc)independmte pelltru orice r=1,2,…

.,π

-1. 129

α

五 爛

daca

〓

O familie de sllbspat五 αθbα zα

L' Lr, . . ., L^ sil fie o sum5,

％ ΣＨ

五

鶴 副

Σ ︻ ％

76. Pentru ca suma, suhspaliitror directd,, este necesar qi suficient ca

nellllle{五 κ }y se nullleste fれ

Inilie

・五 =ヨ・ ″ Σ た=1 Se splllle attlnci ctt spれ

llヨ Se desoompune lII sllma d士 ect嵐

ti■

れsubspatii10r五 1, 12,… .,五 物 77.Dac抗 {五 κ F este O familie de baztt de subspa,i si daC沈 △χeste o baz悦 oarecM.e a subsPⅢ lhi五 た ,れ tunci△ =u△ .eSte .

i■

λ=1

o baztt a spれ ti■ll■ li」 F・

職癬響F

Reciproc:

ボ 剛群 緬椰 讐減

i」

baztt a subspttillllli Z(△ κ ). Sirul finit de llulll∝ e intregi{副

協五κ }r se numeste cげ ― jθ “ ″ ι θ ,sι αfamilici de baztt formate de subspatiile{五 ぉ F・ 79。 Pe■ ltrl■ ca sirlll fi■ lit de llumere lIItregi{α λ }T Stt fie carac―

teristica■lnei falnilii de b&ztt de subspat五 , eSte iecesλ r si sufi

・

cient ca Σ ′ ん=2・ lll pttlticular, este llecesar ca ?ん cれ ractげ

istictt posibih este{1,1,…

≪ %.Pentrtl 賜 =%, SiIIg■ lra ,,1]・

Ea cOrespunde descom―

pllner五 spati■llui tt in sllmtt dh.ecttt de sllbspat五 nale.

IIlllLi麗

電器

i:雛

80.Fie α(五 )o

llnidilnensio―

a讐 CW鴨 職 fIお 群 警l 鵠「 TRs:鶴

器

flllllctionaltt pe lllu“ in■ ea tllturOr sllbspatii10r

uILlli Spathヨ ,Cu trmtttoarele proprietttti: ■)daCtt S■ ■ bspλ t五 le 五l si 五 2 sint oeCiprOc)indepelldeIIte, atu■ lci

_

α(五 1十 五2)=α (五 1)+α (I」 2);

2)dactt αj鶴 五 =1,atllnci α(五 )=■・ Atulllci α(3)=α づ 9η tt pelltl・ u orice五 .

30

§ 40 Spalill Cit・

Omomorfismeo Alternat市 a lui FIedhoIIEL

Fie tt llll subSpatill o&recare al sllbspati■ lllli刀 .Von■ spllne c沈 61ι οtt si vonl scl・ ie γttο αtι ι

vectorlll "θ sι θ θO,oク γt`θ %ι

∬ ≡ γ (%θ α五), dac沈

″――ν∈五. in partic■llar, cOngrllelllta ″ 三 0(腸 θα五)

coresp■ lllde apartenentei″

∈五・Este evident cttcongr■ lel■ al■ Odl1lo

Z este o rela● e de eChi■alent焼・Deci spati■ll tt Se dcscolrnp■ lne in clase de congrucIIt嵐 (echiValent嵐 )de VectOri l■ lodl1lo 五r67α sθ 鶴ο α 7ο 五ノ ・01asれ generattt de lln vector″ va fi notat飢 ["]ι Sau, mai silllplu,[″ ],atll■ lci ci■ ld n■l este posibiltt llici o confllzie. 81.D&c沈 ″ ≡ ッ (絆 oθ α五), ″1≡ yl(机 οα五),atunci tι

″ 十 続 三 ν tt γl(r17ο α 五),α ″ ≡ αy(%ο α五

)・

Acest fapt porll■ ite introducerea n&twal沈 lll lllultilllea clase― lor ill rapct cll un lnodul fixat,a operatii10r de acluILaI.e siinmul― til・

e Cu un ILllmar,defillind 2グ

[″

]十

a::雅

棚1か脇射

[銑 ]=[″

′イ

十

.り

1],α [″ ]=[α

erttf:彎

u部 讐

lsI譜

″]・

鼎lalTЪ 濯.皿

82.J′ 0%E,コ ≠ E=0・ Vom da acum o propozttie mai genび al沈 ′ :じ e6te lln subspatill COll■ ple11lelltar

mω te

:

乳 t.11:i

Dac嵐

al sllbspati■ llui:し ,

ヨ′ 五 %五 ′ ・

De unde:

84.α j協 ヨ≠ z=cο α力 五 egalitれ te se poate scrie sub fσ nlaル r,2 1flθ

物 θ ぶ 痛

誦

,ら

.

lド

副 ヨ≠ 五十 α づ η五 =π "ι

― づ,叩 λ 6θ

.

in cele ce urllleれ ztt vom intillli desoori astfol de forll■ ule.

空 鮒 機 島胎ょ 存亀 1群彎夢 ?ξ 惚鰺 卵ζ 31

85。 Pentru ca voctorii ∬1,″ 2, .… ,″れ Stt fie liniar illdepen‐ denti mOdulo五 ,este■ lecesar゛ i suficient ca spatiul liniar generat

de ei si subspatilll tt Stt fic(reciprOc)illdepelldente. Dactt vectclr五 ・,″ れSint hnitt independetti modll10 2,・ ・ "1,″ 五 ,peIItrll tt Oarecれ re,ei siILt α ル π づοπ liniar illdependenti(adiC沈 liniar indepeILdenti lnOdl1lo O). Mai gelleral: 86.Dれ ctt vectcprii ・ e., ″2,・ …,″ Sht linitt independeIIti

modulo五

,peIItl・

u lllL五 Oarecare,atullci“ ei sint liniar iILdepelldenti

lnodl1lo ■[,peIItru clrice y c五

.

Vom intllodllce acum■ otiunea fundamentaltt de omomorfism, lizeれ ztt notilanea de izomorfism.Fieコ l un alt sp¨ ill cMe genげ 櫛

vectorial.Se spllne ctt aplica,aL:ヨ →ヨl este ull θ ttθ 0げ iS″ ι (de laヨ inョ 1),dac沈 ,}〕

1)L(″ 1+″ 2)=λ (″ 1)十 λ("2),

2)λ (α

")=α

λ(″

)・

Dλ c沈 oOrespolldentれ dilltrc ″si 71″ , prin ol■ omorfislnul λ 8評

亀=λ 物血山嵐亀=o,涎

励留 棚 『 響湧 :甥θ De exeinplu,dac沈 g este■ ]分

,

Spune

.λ

lII sllbSpaし ill al Spatiuluiヨ 1,at■ lIIci

」

omolllorfismulづ de laヨ inヨ 1,dofinit de relぉ ぃa イ

"=″

(″

∈ヨ ),

este un mOno71■ orfism.El so nllllle:te s61ゲ

θα%θ %づ θa α ι %ヨ 1. %づ ョ つ

α α γ αsauル ″θ 6″ α θ

tι

'ι

Dactt un omomorfism λaplictt

ctt L este un ηl″ θ μS彿・ ■

spati■ 1ヨ pe spatiulヨ 1,Se

spune

Vom da ceva mai jos exemple de epimoゴ isme. Ul■ izol■ orfislrn este u■ l

omomorfisl■ ctte este sillllllltan l■10no―

morfism si epimcbrfism. Fie L u五 omomorfisl■ ll de la」 D in El. 87。 Mul●Inea sollltii10r ecuatiei L"=O este un subspatiu. Acest subspⅢ ill Se numeste竹 %θ %7 omomorfismul■ iん § i Se rθ γλ oteaz例 コ 88.■ I■lltimea Vect∝ ilor de forma ν=L″ estc un subspath. Acest subspatiu se numesteづ ηし α αomOmOrfismului λsi se れθ ク :θ

l■

.

ILOteaZtt ltt λ .

Sptti■ll Cit I殆 ′ Iπ L Se numeste θο%彿 θZθ %3 omomorfismului乃 r λ.Sp¨ iul Cit J′Zθγ L Se numeste cο づ鶴 づ%θ α λ θ θο Si Se nOteaztt

omomorfismuluiん si se noteλ z沈

%

6ο づ つ

λ.Pllefixul,,oo"Mattt tre― “

cereλ lal notiunea dllal沈 (la fel ca in cazlll termenului ,,codilnell― siune'').

32

on01mOl・ fisln,este

89.Pentru ca uII omomcpllfisln L stt fie ulll l■ necesar si sllficient cc■ ]【 θ γ L =0。

90.PcIItrll c&llII OmOmorfisl■ llecesttr si suficient ca

λ stt fie llll epilnollfisll■ , este γ 77==0. θολθ

Notiuni10 de mo■ omorfism si de epilnorfism sint duale. NOtiunea de izomorfislll este autOdual悦 MentiOnttm ctt un izom∝fism λde la E in Jl poate fi con― .

SideFat Cal un izomorfisln de l& E per"o

λ .

Exist焼 o legtttwtt strinstt intre omolnorfisme si spati■ e cit: 91.Fie ttr un subspatiu Oallecareれ l spatillllliヨ ・Aplicれ tiれ

乃 .71f ″"=[″ ]l este un OlllollnOrfism al luiヨ inヨ ≠ y. Xθ γ場 =″ ,I%場 =ヨ ′ Deci λκ este

si,ln pllls,

°y'° bthem

″θαspa‐ lLIl epilllorfisln,Se splllle ctt el este rθ α%θ θ

'.Wお

:路l∴ 猾 場

理

メ亀lld・

:糀 則[1蓋搬ill蝋 Ⅷ ".tattΨ 滉辮 ∬ 朋ル 蠅甜 島.輻勲]胸だ・ 籠 1盤 if¶ ttt謂器 ξ ittT,VILξ ii乾

nettli島

;藷

Kθ ″ 711″ z={["]LI″

Pe de alttt parte,Xθ

∈y〕 ,Itt λ ″ ″ =ヨ ≠ /ι

.

γ場/z%y′ 五

樋 %α 肌 鰐歌出:計熱迅 ° シ肌那サ ¶蹴品∫ Ъ.Tm∞ 93.Fic λun ollnolnorfisIIl oTecTe de lλ J inム .Aplicatiれ λ este un tomorfヽ m alspa‐ =λ ″ 輛:l場 荒 ヂ甜密夕 λ lレ .

1。

}′ /ル

,β

Im

h,

x DlKerh.

mcf穏:h￡itttt S骰 l記 li島 器空 ng霊 絡 ftt」 鶴∫ 雪認肝

ficλ

imagine助 .Se poate sp■ lne ctt OmomOrfisllllll

1:出Tcliψ 鳳 ull izoll10rfiSl■

;F朧&『 棚 :∬得″昇

λ este un lnono―

乳ЖttL:瞥 ∫詭

λ. Aceast沈 ,,stalldardizare'' a ll■ ■ li OmOmol'fisln ●υ

●υ

3 - c 1977

e器

oarecare joac5, un rol important. S5, consid.er5,m una d.intre cele mai pregnante aplica{ii aleformulei (*). Mai intii, sd, cIH,m douil de-

finilii

:

Pentru un onlomolfism oarecare h,, dimensiunea imaginii

Int h se numeqte rangul omomorfismului ;i se noteazd, rg h; dimensiunea nucleului Ker h se numeqte defecl",tl omomoliismului qi se noteaz[" de.f h*). 94, rg harr : corlim M, def h,rutr, : dint, XI d,im L. in particular, rg h,o, : cotlitt, M, def h* :- clitm M, urmale, def h*1" : def 1'* deJ hr' Este clar c5, dac5, /a este atunci

ri, plin

un ornomorfism de Ia -E in D'

O{deJh,{n,,0(rgh{n' unde n desemneazir, ca de obicei dirnensiunea lui D, ial +.t, climensiunea lui -D1. 95. Pentru un omomorfism oarecare 7z de la E in D, are loc formula complementului ″ クλ+α げ λ=90. Dactt λ∈Iθ l12(E, El),atunci dif∝ e“ a

dilllellsiullilol・

2j乳 α夕,oE一 αイη

づ %α λ. Oll■ o― イ タ 〕 ′ 乃==0. Un caz particulzr impolltallt al omomorfislll■ elor FredholL■ l este ″1ル ιomomorfislnlllui L si se nOteaz焼 se llumeste t,oα θ

l■l mollfisl■ ■

cel tt

se nulnesto omOll101・

fiSllll Fγ θ 9η αλοτ

dac沈

l omomorfisluelor de πθ smθ τ r spれ ,illl■liコ ,adic沈 れ θ %α θ θ げづ

laヨ inヨ

.

Proprietλ tea f■ lndλ meIItal沈 れoll■ omorfisnlelor Fredhollll este colltinl■ ttt

in toorema urmtttoare:

96.Pentl.■ l ca un Omomorfisnl Fredhollln stt fic ull epilnorfisln,

este necesar si sufiCient cれ

el stt fie un monomorfism(deci un

izomorfism).

i') Uneori tennenul ,,defect" (in englezl defficiencg) se folosegte pentru a desemna codimensiunea imaginii Im ft ln .Er, cate difeld in general de dimensiunea nu-

cleului /(erft ln J1t

E (in englezi nttllitg) (N.".).

De alcl:

97.Dactt L este un omom∝

fism FI・ edholm,pentЩ cれ ecuatia

lleol■ ogeII例

==ν

71″

stt fie」 obal SOlubiL(ad艶 沈SOlubitt pentrll orice membru dllept i Suficiont cれ ecuatiれ omOgellltt corespunztttoare y), eSte neces錮 §

=0

71″

ttκ ατ θ θ γ θ %づ ″=0(7月 παι

stt nu aibtt dech sol■ i&tr市 ial沈 lθ

ι ・

Fγ θ α―

Acest rezultat este deseori eILu“ at Sub fOrma αθ づ づ協づ γ %α ι υ θ

"lノ

7ι

Frθ α7tο ι,ル : dac沈

ん este un olnolnorfisllII Fredholl■

, atuIIci,fie eCuatia lleomogehtt este soll■ biltt pentru orice membru drept,fio eCuatiれ OmOgentt c∝ espurlztttoaro aro O solutie netrivial沈 Vom remMca,de asemenea,ctt existe“ a solutii10r netri宙 れle ale ecllatiei OmOgellle este echivalenttt cu llellllicitateれ solutiei ecllatiei neOmOgene,ori de cito ori aceasttt sollltie exist汎 .JLtllIIci, .

fie ecuatiれ IleOmogellltt este global solubil焼 ,fie,ori de cite ori este s01ubil焼 , solulia SA llu este llllic沈 Ge■leralizareλ 98 a forlllulei 95,pe care o vom da in cele co .

llrmeaz■ , va fi izv∝ lll unei serii de rezultate ultorioare.

Fie L un omomclllfism de laヨ

tilll■ li

ln■ ,iar

tt un subspatiu al spa‐

E。 ]正 ultillleれ vectoriloll {ν

ν=ん ″,″ ∈五},

111盟 馴 ・ ‰みlW壁 号 l胤拙 勝 ち ぶ 留 予 are loc incluzillnea 71五 ⊂ I第 Wl糧

71,astfel lncit

αj協 筋 ≪ 叩 λ .

98。

′jtt λ五

=α づ

"o五

一 α加

(五

∩ Zθγん),

れ 乃五 =6θ αれ 五 +α j%(五 ∩ Kθ r λ)_九 α λ cθ α ・ De aici, il■

particlllλ r,

se vede c沈

αづ %λ五 く αj"ι 五

,

adictt ul1 0momorfisnl llll mtteste dimensiunea subspatii10r.Pe de alttt 13arteフ

協五一 α 磁%λ 五 >α づ グλ ,

a,dictt llll omOmorfisln fixat llu lnic§

oreれ ztt pre■ mult clilnelllsillnea

subspatii10r. Aceasttt estilnare este exact尻 , ln sensul c沈

:

35

99.Existtt u■ l subspatill tt astfel lncit

αり ,偽瓶 =α j鶴 五 _α げλ .

I

レ ￨″ ∈ヨ,λ ″∈〃},

・

1群 ギ ギ 耕 里 a鷲 懺 薄 鼈 ぜ 湖 relれ tia

1(乃

λ

五)⊃ 五

.

ric五 ,este necesarゞ 諄サ 乳T矯 :属 孟111計 ° l識

suf施

艶 nt

l・

PI・ in

dualitれ te: 101. 士 e loc llelatia

み(λ

ly)⊂

″

.

enttu∝ れ 04曲 n∝ 帥 ゛耐施 hnt 皆兜 昆響竃 凱酪僻 102.θ οαj%λ -1動『 =6θ αづ 「 _θ θαづ 鶴″ 鶴 (型r+I%λ ),

-141f=α づ鶴 型r tt θ αづ 711λ θ αづ m(■ f+‐

I,ル

λ)+‐ イ %α λ .

Duallitateal fOrmulelor 98 si 102 este fOarte pregnallt尻

.

I)il1 102 s0 0bserv沈 ,lll pれ rticular,c尻

θοαづ ηo 41f > θοαづ 鶴 λ-1』f.

∝ eaztt cOdhenttunoa sub‐ ・・um施 § ユ:1譜.彎 leO器胤f器 θ θ磁%][く θθαづ 鶴 λ-1』 f tt θθαづ η (I%λ ),

憮 継謬Ⅷ繁:lMa措 鰍 36

'糧 :』 rl∫

出品瞥:nttunea

103.Existtt lln sllbspれ tiu ■[, れstfel lILCh

i

.

θ θ αイ %」 И =θ θα

`%λ

swttS]d叱 詰 計馳■ix:鰍Ifr oricttr■ li

l

I

・

,

(Itt

λ

)・

nttp剛

n=轟』」

olar ctt pentl・ ll cL llIL OmOmOrfisll■

話卜F駄 乳

71 stt coIIserve codilllensillnea

sllbspatill,este necesar si S■ ■ ficient stt fie ull epin■ orfisln.

Ptomttcttm ctt pentl・ u omolllorfismele fredholmiene(si numai perltr■ l ele)

η 2(1992λ )=α グ λ θ θ α づ ,

adictt maxillllll l■ ■ icsOrttrii dilnel■ sitln五 coiIIcide cll nlttxillnlll lll尻 ― rll11l oodillleIIsl■ lnll.

l de椰 墨簿 ￨

ly+θ θαづ鶴

も 』 晰威il」

u“ m°

nlttlwT苗 ・

arecare de sttspat五 温 ° e utti

λ (Σ ttv)=Σ 乃 (五 ν ),LIΣ

spathム

Σ λlyμ

yμ )⊃

All

)

Si, prill dllalitate, l(‐ λ(∩ 五ν )⊂ ∩ λ(五 ν), Ll(∩ fFμ )=∩ λ lfμ

)・

■[ai precis: 105。 Sillt vλ labile forllILulele

Σ λl″ μ=λ ∩λttν Deci, dactt yμ

l(Σ

(yμ

=λ (∩ (ル νtt

⊂ Iη o λ

∩Itt λ )),

Kθ ″λ)). μ (lIL paFtic■llaF,

pentru orice

este ul■ epiIIlorfisllll), れtunci

λIΣ・lf∂

=Σ λl(yμ

daC嵐

ん

).

Pri■ l dllalitate, dれ c抗 五 ⊃ Zrθ γ λ ν peIItrll orice v(lll pal.ticlllar, dac沈 ん este lln mollolnorfislll), atulllci λ(∩ 五ν )=∩ λttν・

106.Stt presllpllnem ctt sllbspaぃ ile五l si五 2 fOrmeaztt o familie

COIILplettt si fieん un epimorfisIIl.Atunci subspれ tiile λム §iλ 五 2

IlleRztt de asenneneR o falllilie colllplet嵐

.

fOr―

107. Stt presllpllllem ctt subspatiile 五l si 五2 Silllt(reciprOc) λlln monomorfisnl.AtuIIci subspatil10乃 ′ 五l si

indepel■ dellte si fie

λ五2 Sllllt de aselnellea(reClproc)independente. Vom enunta o prOpozitie llnai general汎

:

108.Dac悦 五=Σ・五%si dactt λeste un lllononlorfism,atunci ん=1

λ 五=Σ・λ 五ん ・ 力=1

§5.Operalii c11 0momorfisme Stt considorttln multimeλ Fθ m(ヨ ,コ 1)a tuturOr omomorfis―

lnelor de la」 θ ill童 ,1.Definiln stι %α ll10n01■ orfisnlolor 721 si乃 2 prin

。 (L α

Si prθ %S%7 oι ,レ %j

λ 2)″ =L″ 十 λ 2″

tt

jS%λ ttθ η θ θ γ ノ (α λ)″

p″ j%ι

(〃

∈E),

ル%%%tι η ]ar αprin

=α (λ ″)(″ ∈」

)・

Astfel,Iθ 鶴 (F,コ 1)devine lln spatiu Vectorial.Vectorlll ll■ ll

れcestui sp¨ iu este omomorfismu1 0:0″ =0("∈ ヨ). LTl・

mtttoareれ propOzitie coILduce la o metodtt genα

al

altt de de―

scriere a omomorfismelor de laヨ in ll.

STrutぷ 0譜 %:舗 〃 毘 篭 般 器Ⅷ 沈 』織 Tl唯 λ∈ 潟

h」

Iθ

i lυ n° (ヨ ,コ1)Cれ re Ve7rifictt reltti■

レ κ=υ ″

pottTttfi計 鵠 轟

(ん

:

e

=1,2,…

.,10).

撃託Ъ ll孟 lLt溜 鴇 eii.ヤ 聟

ic醐

jθ matrice se numeste ttα ι ″ αO%θ %θ γ θ ttι %づ λrelat市 1れ per∞ hea 力Sη ι do baze{θ }I si{%′ }11・ Ea are dimenshnile 7ι ]× %.Este

“ llSOr de vellificat ctt sumei omomorfislnelor ii corespul■ de sunla matl'iciloI Ielativ la o pereche fixattt de b■ ze, adictt olellaentele coresp■lnztttOare se aduntt ill l■ od obisn■ lit

ん+β グ )+(β )=(α グ

(α ル

38

Jた

.)・

in l■ 10d

れIllぉlog,

lIL llullllt廿 inll■ ultir五 uII■ li omolln〔 rfisln c■ l ■ ea l■ latric五 sale c■l acest r_ulll:む

λ li corespuncle lIImullil・

:

λ(α ′ κ)=()、 α■

)・

Fie{%}1 0 baztt a sptti■ lllli ヨ,{lι プ ン1 0 baZtt a spati■ η 2(F,El)prin ∈ π ο VOm(lCfini olllomol'fismul ttα ム・ 110。

=δクス ,(9,λ =1,2,… .,,3,P=1,2,…

frα θ た

Qι

llui

.,901).

o baz元 ,I spatiului

Falnilia de omolllorfisme II,α 〕 fOrmeaz嵐

lθ 綱 (ヨ ,コ 1)・ Aう adar,

α′〃 Iθ 聞 (ヨ ,ム )=α 夕,ι E・ αづlllュ

.

in particular,spatiul lθ %(2,コ )este spatiul endOl■ lcIIfismelol. ミ pRtiul■liヨ .El are dimensiunea(α ′ %ヨ )2.

rolll d3 o consecinttt R teore1llei 109 si a rezllltatelor din ヽ §4

(a Se C01npara cl1 43). 111。

PentI.u ca stt e、 iste un monomorfislll λ de

c5te necesal. si s■ ltticient ca αづ772 亜フ 1>α づIP7

:フ

l&E in■

,

. Pelltru cal sh existe

llll CpitnOrfisnl λ tle la 亜フ pe 亜ワ 1, este necesM si sllfiCient ca αづ 協 ヨ1く αづ 鶴 刀. _ P■・ ll｀ l■ lare, dactt existtt sill■ in ■ lllt,も IL un l1lollol110rfislll 乃1 ∈ ∈Iο ,η (ヨ ,■ )si un epimorfiξ m λ2∈ Iθ (2,■ ),atunci E%ヨ 1, adictt existtt un izomorfism λ∈″ ο鶴(ヨ ,■ "ら00nfcprm prlllnei teorelnc )・

L llli Fredhohlln,tOate monomorfisllnele si toate epilnorfisl■ lele vor fi izOlno■ fislme. Voln intI・

oduce operatia de inmultirc a Omomol'fismelor.Fie

inctt un spaぃ u E2 Sifie乃 1∈ Iο 鶴 (コ ,E.)si λ2∈ ″ θ Prin "2(El,E2)・ egalitれ tea 乃″ =λ 2(λ l″ )(″ ∈」 )

』 椰囃キ 質 辮l se defilleste o aplicatiC

¥得 脱 l蹴

卵

沈 λl∈ ・

λde la」 D

θ協 ば

Al.e loc asociativitatea: ‖ 3.13(λ 211)=(乃 3た 2)乃

'コ

MIま

in」 E2,nul■ ith rrο α ttStι 7

J,λ 2CI"ん ρ

ο,,2o,)2θ ― '・

11ざ

D ED,atundん 2λ ■∈

1・

39

AsOciativitatea este ver」 icattt llll numai pentru pFOduSul de

il oarecTe.Rmar

omomorfisme ci si pentru produsul de aplicⅢ cam ctt la

ismelor, matricile lor se lIIIInudteSC

」 脚t舗Ⅷ 賞;椰;咄倣

罪過a継

lnullli λ2 relativ l・ap∝ echea

:

cle baze△ 1,△ Atunci,ll■ atriceれ omo― Inorfisttului λ =λ 2λ l relativ la perechile de bazc△ ,△ 2 eSte(α ル), 2・

llnde

α =歯 α た ∫ ′ P α P・

S-1

Fie fE θ 7P2θ γSm%τ ttα θ ヵ

%%づ

l spati■ llliヨ ,ad絶 元aplicatia α れ ι

idclltic焼

`θ

為

￨:]li f:lll

"=″

(″

∈ヨ)

主 elE・ 需1:11。 llllel‖ 111111渤 諾

LC101■ olfぶ l■llele

llnitate

l14.Dac焼 為∈Iθ 鶴 (〃 ,コ 1), atunci λ島

=為

.λ

=λ

.

Matricett clldolnorfisl■ ullli unitate relativ lれ

identice△ ,△

este lllatl・ icca

Teoremele l12-114れ

opげ eche de baze

unitate.

fillm焼 ,de fapt,ctt falllliltt spatiilor Vec‐

torialo de dilnensiulle fillittt si a omoll■ orfisIIlelor lor forllneaz沈 θ θαι θ θOttθ

.

llEai ILOtttm legile distriblltivit嵐 :五

:

115.Dac焼 め,λ l∈ Iθ 鶴 (ヨ ,″ 1い i λ2∈ ・

θ%(■ ,コ 2),atunCi

λ2(λ tt Ll)=λ 2λ tt λ2λ ■ ・

in mOd anれ10g,dactt λ∈Iθ 鶴

(ヨ ,コ1い i

λl,L2∈ Iθ llt(ヨ 1,コ 2),

atllnci (7o.tt λ2)λ

=乃 lL

tt λ2λ °

lII sflr,it,

116.Dれ c沈 72.∈ Iθ %(」 ,■ ),λ 2C・ θηO(■ ,コ 2), iar α este■ ■ scalar oarecare, atllnci 乃2(∝ λl)=(α λ2)λ l=α

(λ 2λ l)・

蝋 F:Wtttr蝋 癬喩蝉I蘭 鮒鷲 選苫

.enclomorfisIIlelor.

40

「om stlldia ヽ

れcea sttt algebr沈

ll■

capitollll II.

ill general,ο

00pび 吋ie Si

飢9θ bra este un spれ ti■l Vectorial in care este defillit沈 leg■ e distlnibut市 it¨ 五

de inmultire,care ver」 ictt

パソ1+y2)=町 ■+″ γ2,(負 十 "2)y=亀 γ+″ 2ν ltteれ cclllllltat市 it獅 五 relativ la inmultil・ い Cu un scalar バα γ)=(α ″ル =α (ω ν

)・

Dac抗 金 IInrlllltirea este asociativ抗

2)=(″ γ)2, バγ づ υα;astfel este,de exelnpl■ l,れ lgebrれ algebra se■lllmeste αsθ θイαι

clldomorfislnelor.

ヽ 「onl considera acllln problema importanttt a prel■ omol■ olfism.

l■ lgirii

llnlli

Fie tt un subspatiu al llli E si λ∈Iο π(五 ,■ θ%sづ α (sall pγ θ― Omomol・ fismul λ∈Iθ 協 (ヨ ,ム )Se numeste θ″ι )・

rθ ι %%θ づ の

omOlnorfismullli

λ ,dac焼

=λ ″ (″ ∈五 ). ReCipFOC,dat fimd Ol■Omorfismul λ∈ Iθ 鶴 λ″

(ヨ ,■),atunci

α(sau%γ πα omomorfismul λ∈IIθ %(五 ,1殆 )Se llllmeste″ θ 西リイ ノ Sι

Lllli 71 1a on■ omorfお n■ ■

五, dac嵐

λ″ =λ ″

(″

∈五)

(adiCtt dac沈 77 este o exteIIsie a omomorfismllllli

deseorl

λ).

Se scrie

五 λ=λ ′ .

Este chr c飢 I鶴

)=λ 五,Xθ ″(λ ′五)=Kθ ″λ ∩ 五

五 (λ ′

.

Ceれ mtti sunpltt teorelntt de extensie este wmtttoarea:

117.Pmm orice Omomorfism λ∈Iθ m(五 ,■ ),

c_■

tensie ttc lο 協 (刀 ,コ 1)・

eXiSt沈

o

Mai mult decit atit:

鳳舗曜壺 瑯 林絶 灘野1霧I毬W轄 ∈Fο 鶴(″ ,■ )CMe ver」 ictt condi3i■ e: 屁θκ=%κ (λ =1,2,… .,%).

4■

Pentr■l ca acabst汎 oxtensie stt fio uILiC尻 (pelltl.■ L θ l, θ2,… ・,θ %1,lι 2, …・ θ η t Z=7,レ αづ ,%塑 dati), este llecesar si suficiellt ca θ ,″

;

t面 ん i0 掘鵠i∬■.dC hmma de v∝ セFS尻 109Fb留 11麗 :xsytti』ぽ で よ 」 境器胤霧 乳峰 詣雪騰 。 T7響 説就 留 ビ明や ぶ認織」 職,研 T¶馳t∫ 蹴 λ α al lui λ 1■

:lttc認 静

tiぶ

:協

7α

, dれ c沈

sで

',7θ

gん

θ 7α Siづ 9ι υ

==IE,

αγθ″rι α al llli 71, dac焼

'■ 71′

θ =Ir..

Dactt un ollloll■ oず iSm λ dmite un invげ s la stinga,el se nulnc、 te sabjι ι αsι α.In l■ OCl a■ lalog,se iIItroduce notiunea do ol■ o― `「 ,^sα lllorfisnl イ bjι ι α α θ9Pι α %υ θ `%θ ・Dactt tl‐n omo7norfisl■ este iIIvelヽ ― shbil la stlllga si la dI'ealpta, ol oste bイ ι αι θα7イ タ ι υ Sα b`ι snu,pur si

づ %υ

,″

,・

sil■lplLl,

γsα bjι '9)υ θ

`,・

.

Terlllen五 ,,la stinga'' si ,,la dreapta'' siIIt duali. 119。 Pentru ca lln ol■ omorfislll λ stt fic inversabil la stlILga, este necesw si ttufiCient stt fie un monol■ orfismぃ diCtt Kθ ″λ=0). ]Iai m■llt decit atit: 120。 Dactt λ este llll monomolfisl■ ■,pelltrll ca inverslll sttu la sting&、 汎 fie llnic,este necesar si sllficient ca L stt fie un izomor―

fism.ぃ dic沈 ,Ilu numali Kθ ″ λ =0,ci si

θοlθ

,・

λ =0).

ITill duれ litate:

121.PcIItru cR u1l omol■■orfisl■ l λ stt fie inversabil la dreapta, θολθ γ λ =0). este necosar si sufiCient stt fie un epimorfism(adictt _IIai ll■ lllt deCit atit: 122. Dぁ ctt λ este un epilnorfisl■ , pentl・ ■ l ca illversul sttu la dreApta stt fie ullic,este necesar si sllfiCient ca L stt fie un izolnOr― numai θθλθγ L=0,ci si J―rθ λ =0). Vom notれ consecittele cele l■ lai imediate ale te∝ elnelor

fiSm(adic嵐 ,■ u

,・

l19-122.

123.Pel■ tr■l ca■lll olnomollfislln stt fie bilatcral inversabil,estc necesar si sllficient stt fie un izomorfislln.

12/1. Dactt un omomollfisln este bilateral invgsabil, atllnci dreれ pta sint unici. ■ li

invel.sul sttll la stiILga si inversul sttll lれ ln・l■

I〔

declt atit,ci coincid.

11l acost caz,fiecare dintre ci estc l10tat 72 1 )i ll■ llllit fismlll j,3υ θ rs al l■ li λ .

125.Omomorfismul 42

λ

l este.bilater■

l inverSabil iん I(ん

01■ 03nor―

1)1=λ

・

;認兜 r呪 塩 WTttltttiTa∫ 品t譜 鴇 『 yt:」 品職 :∫

StlThtm omomorfぶ

mde Fredholm cn partお

Wを Ψ盟盤柵 1116

poatt i mt航

endo― Jp五 md te針 沈cu ttut∝,pentru ulal・

127.Dactt un omolllorfisll■ Fredhollll este llnilれ t∝ al invellsabil

l呻

:磁

珈

躍

TS鳳

獣

23重 T選

批

出

器

128.Inversl11 la stiILgaス l llIIlli ll1011olll〔 rfisllll eSte llll epllllor― nlli epilnorfisll■ este ull ll10nOm01.― fisln. Inverslll la dreapta al■ ■ fishl.Inverslll u■ lui izolllorfisI■ l este ul■ izomol'fisll■ Voln stlldia imaginea si l■ llclelll(respectiv ranglll si defectl11) .

Sllllnei si produsull■

129.Dactt

i de izomorfislne.

λl,λ 2∈ 五[θ 771(2,El),atunci I,η (λ

.+λ 2)⊂

IIθ ″(λ l+-712)⊃

∬π λ.+∬ 協 乃2, 五[θ

771∩

Йrθ ″712・

'・

Oollforll■

prilnei relat五

:

13o.9(λ .+λ 2)く ″ ク乃 1+'・ クλ

2・

De

れici:

131.,v(λ l+乃 2)>″ θ λ .― η λ2ト

Apoi,

132.Dactt

η (ヨ ,コ 1),λ 2∈ λ∈ Iο つ ・

I''0(乃 ′ 2λ

°協 (ヨ 1,E2),atunCi

・ l)=λ 2(・ tt λ.), Kθ ″(λ 2Ll)=λ 「

(κ θ″乃2)・

De aici si dill teorem& 98, rezlllttt follmlllal 133.,v λ2λ ■― 彎 λl― 副 %(I"O λl∩ Kθ ″ λ2)

Aceasttt forlnllltt se poate scrie:

134.り

λ2λ l='V

Si,dOれ Semelleれ 135。

λ2

θ θαづ物 (Il12 λ.+【

θ″ λ2),

:

協 (I%λ l∩ αげ λ2乃 1=α グ λ l+α づ

Kθ r L2),

sall, lII sfttsit:

L2)+づ %α λ

α づ 協 (Itt λ 136.α げ λ2λ l=Jグ λ .+Kθ 2+θ θ i■ l

particular, dac焼

乃.este llII omomorfisll■

l・

'°

Fl・

edholln,atunci

副鶴 (∬ %λ l+Iθ αげ λ2λ l=α グ λ2+θ θ ''λ

2)・

“

in vil・ tutea

relat五 lor 133 si 134,ore loc ineyllitれ te8: %j%(η λ2,η λl)°

137。 η 乃2乃 1≪

Sub o formtt mai explicit沈 138。

lui■

:

Dれ ctt o familie de subspatii{Iπ

λl,Xθ ″ ん2)ale Spれ tiu_ λ (ln particular,dactt 2 eStO un lnonomorfism),

eSte liber沈

atunci

rg λ2721 =γ クL■・ ])れ ctt

aceasttt falnilie este liniar complet沈

(ln partiClllar, dac沈

λ.酬 te un epimol'fislll), a,tunci 乃2711 = ■ 9λ 2・

rθ

lll celelれ lte caz■ lri,

″クλ2乃 1 dle¶ 〕 ∫ヽ1lL aw潜 ×

ｏ い″ 日 ，

astfel iIIcit

〓 Ｉ

h,, @ gr

(a SC C01npara cu 229).

§10・ T00ria generalユ

a or亡 o9onalitう

lij

l :身 ツツtR盟 襖 鵬 ;■ ツ畷野Ⅷ:blTぢ 」 ぃたみ注

』1-θ πθJθ %α ι づ , flac沈

se noteaz悦 :″ ば 上 )γ

F(″ ,ν )=0, .

De exelllpll■ , dac焼

ヨ1=ヨ ,コ 2=E′ ,F(",∫ )=∫ (″ )(″ ∈ヨ,ノ ∈刀′ ),

い n温 前 lilltt° ・ 譜鑑i』 聟PIttle解 七ttn酬鵬」 ソ

cu::6!bune ctt subspatil10五 dac嵐

v∝

バF⊥ )グ

c島 ,y⊂ F2Sint (″

γ θ %α 7ら ι θ F― θ θ

lf). ∈五,γ ∈」

° 」脚5九 孟∬ :]甘 ぶ轟 # 厭i WiWs織 ∬:淵 錦 α θ τι α l廿

ο El se numeste θ η θ

rι ttθ %′

ιF― ο γ ι ο ι ι ク%α

#酬鷲 彙 atu警

Sι 6%ク

al Subspatill‐

淵榊

)hudede h ttm」

a゛ L dreapta tte und hn"b‐ 」:息 脱 nale F in functie de COmplementele F― ortogonale.

258.Ki=(・ り2,K}=ヨ ト )

5 - c. 1977

65

in gOlleral: 259。 Pent■・ u orice subsptttiu五 ⊂ヨ.si」 И ⊂】2,罰 vem

メ )⊃ ζ》,C)y⊃ Fi. ■l ortogollれ litatGぁ se red■ lce lλ ortogollalitatea obisnuittt cll

ajlltorul gelleratorilor:

260.Pelltru orice subspaぃ ll y⊂ ヨ2, aVOlm ∈)y=(λ

iれ

r pentrll orice sllbspatill

ly)■

θl 五 ⊂」

五C)=(鴫 ″

)・

.

Deci(cf・ 98),

261.α づ llo((⇒ y)=θ θ α づ 協 y+α づ 鶴 y∩ Fi一 物αF. ⊂ ))=θ j192五 262。 αづ協 (五 θttπ 二 十 α ∩ 【 多 十 づ%α F. D&cttofuILCtiOnalttFestefunctiOnalttFredholmsidacttα ゲF=0, ca se numeste rθ θ 悦7α ι α.De exempl■l,func,iOnalれ Φ (二 ″)=∫ (″ ) ′ ヨ)eSte regulatス (∫ ∈ヨ ,“ ∈ .

263. PeIItlru o f■ lIIctiollaltt reg■ lattt P, are loo: αづ 協

((→

y)=θ

θαづ %y,α

づ 9η

(五

(D)=θ θα

.

'772五

Reciproc,dactt aceste relat五 Sint adevttate pellltrll toate sllbspa―

いile Wr si五 ,funcぃ OIlalれ F este regulat悦 Vom studia in ce mttsⅦ『嵐relatia de F ortogonalitate este in― .

volutiv沈 264.((■ )夕「)(・ )⊃ .

:И

)(五 (・ l)⊃

;(■

五・

D⊃ X},仕 く五 仕))⊃ K3. Dar,oonform llli 259,(C)yメ Deci sint valabile relⅢ iile (D)=Z+X■ 265。 (住 )y)C)=y tt K》 ;C)(五 I)ecl:

″

266.Pentru ca(l・ )/7pr)住 )=y,este neces鉦

PF}.

§i suficient ca

In mod allalog,se enunl沈 Critelliul de egalitate C)(五 は))=五 ・

267.Dactt cele doutt defecte(la stilllga si la tteapta)ale func_

tiOmlei F sht ILule(m pallticular,dれ ctt functionala F este rOg■

れtunci:F‐ ortogonれ litatea este involutiv沈

1れ t沈 ),

ｒ

ｕ ｓ，

帥 醜 66

l―

:

_ M, o(Lt\) : L, orice subspalht M c D* L c Dr. Condilia este ilece(uM)Q)

suficientX pentru involutivitate.

ム 北

盛 乱 『

α 比び 皿

。皿 ¨

亀 亀

do og温 比ate響

1計 ∫ ¶辮:鯖eSW電 ∴瑚盟￡ λ gぶ鷺1::蹴 忠 ° p菖

毅

1.If.tt y♪

は)(″

1∩

ぶ

=Zソ ・ 迅

吼

y2;“ .十 五がD=五 Pn五 り t%dm Cれ uzれ bsettd mvoh悦 Vttt h ∩ω

=0ム

服

gen脚 '評 r挽紺智

iギ

.

れ

y2)=C)・Yl tt C)y2'“ 1∩

五2)は )=五 卜)十 五ゝ

)・

M2)=(JJf.tt l・ )y2, eSte necesar 270.Pentru ca l■ )(:″ 1∩ 」 Si S■lfiCient

ca

(4+XO n(y2+島 )=ム ∩y2+4・

in ptarticular,este suficiett ca■ 亀 ⊃ KI sau cu ath mれ i lnult drαbptれ este nul.

y2⊃ Kl,mtmcit defectul lれ

Pl・ opozit五 Silnilare sint vぉ labile pontru complementde orto― gontte la dl・ eapta.

§11・ TOpologie :弩 略 l:乳 am#¶ 認柵守 ‐ 7θ

alξ

θづα.

ri器 望 粗耽〕

蛍 器 漱

_

':i駕 siollalo,topologiれ

va

e pOSibil,llltrllcit

沈'' este ullic沈 *)si

int est

蠅 ,鼎品 t謂 釧lど 棚F記 ⅧI:Attt鰯 蹴]“ 吼 ObisILuit,lllll“ imile

sθ ttsθ αθ

si 6%θ Lづ sθ

*) Va Ii vorba aici de topologii pentru te in E, sint er anumite melor BouRBAKr, gdsite considerate lLezult

tire cu

.

care operaliile de adunare

9i de lnmulteorepot fi Paris-

67

Fie ″O un vector oarecare.Fie date fuIIc● Ona101e lilliare A, ,九 si un numtt ε>0.llllltimea vectorilor″ ,care vぽ ん,… 。

i―

fictt illegalittttile l∫

た )￨■ pot fi arbitrare,c■l oOndi‐ tiれ

た=2・ Σ♂

ん=1

73.Pelttrll orice oper乏 就or■ ,al1 loc inegalittttile:

d4

2

rp (h

:1, 2, . . ., m,).

De aici: 74. Polinomul caracteristic aI unui operatol este un polinom anulat de acesta:

e(A; A) : { teorema Ham,ilton-

o

). Fe de a1t5, parte, clin inegalit[lile 73 rezu1t5, clin nou c[ graclul polinornului minimal nu este mai mare decit rr. C ayley

Teorema 73 se poate obline uqor considerincl suDspaliile spectralo Xictlia,le : Iド TT l=Kθ γ(五 一 た )、

(s=0,1,2,…

。 ).

Evitlelllt, Wア ]二 =0. Subspatiul TT i coinCide cll subspatiul prO_

priu こ、 corespllnztttor valor五 propr五 λ. Este clar ctt toate l・

lbspλ lI五 leフ ア,Sillt invariante.Schema generaltt oste■ lrl■ lhtoarea: る ■ 75. _t■1 loc incluziullile stricte Wア :

⊂ Wi ⊂ フ ア:⊂ ...⊂ lFfん

Si,in acelasi timp,71=TTIん (S>1・ .)・ (cf. 7 -―

'i) Reamintitn ci polinomul rninimal estc delinit pin:i la un factor constarrt !!). C. 1977

97

De aici rezulttt illegalitttti mai tari dectt cele din 73:

76.α

%ヨ た十 ≫ αづ

(″

=1,2,…

κ― ■)(λ

.,,,3).

“ lll acuIIl ca Stt rellnttrcλ

′⊂7f(ブ ,S=0,1,2,… .). Deci(cf.98,cap.I), +ブ 78.α れ T予 写 η O T/1/1(j,S=0,■ ,2,… 。 ≪ α;"O l17‐ :+α イ )_ 77.(五 一 λ I)プ κ

Vl十

In particular, ■ %Ⅵ πf+α i"ι Eκ (S=■ ,2,3,… 。). 甘 ≪ αじ `%″ De aici se obぃ ne rezultatul con■ plemelltttr lui 76, 79.α 80。

αたく し αイ %〃 ん(λ

=1,2,…

ri6tic coincide c■ l polinol■llul

.,l12).

polinolnul、 前ll caracte― n■ inin■ al, adictt dac汎

Se spllne ctt operatorul_l este si,η

′た=,1(た

2Z2ι ,dactt

=■ ,2,_.,,,2).

31.Pentrll ca un operator stt fie silnpl■ l,este neccsal｀ 挙i

cient cal toぁ te s■ lbspat五le sale propr五

sれ

sufi―

fie unidilllellsiollale.

in pttrticl■ lar, 82.ll「 ll operator cl■ spectrl■

sill■ pl■l

este sill■ pl■l.

eSte adevlrat汎 .lns沈 plu,atllnci、 lDeCtrul 83.IIDactt llIL Operator dc tip scalλ r este sil■ ■

I)ill exel■ plll1 34 se vede ctt reciproctt lll■

:

sttu este sillnplll.

LTn alt criteriu diferit de 81,pentru ca un Operator si fic silnplu,

este urmtttorul: lfi― 84.Pentru cR url operator stt fie sirllplll, este llecesar si s■ cient cれ gadul polinomului stt■ ll■ illilnal sれ fic ,3. ■、 ltfel spus, pentrll cれ operatorlll yl Stt fie silnplu,e、 te llocesar

si suficient c&α i177撃 (■ )=η

(Cf・

§■ )・

Tinind Seama de teorema 52 din capitollll l se poate trece la

criteriul llrmtttor: 85。 Pentru ca lln operator 21 stt fie silnplll,este llecesar si sufi― cient stt existe un vector″ ,astfel lncit falllilia

n, An,

A'r, .. ,, An-'*

sI fie o hazd,.

Altfel spus, vectorul r tretruie s5, fie de orclinul tr reXatir. Ia operatorul{. Un astfel c1e vector se mrmeqte vector generutor

pentru operatorul 98

A, iar baza corespunz[toare

se numegte baad

Froben,ius. Matricea unui operator nicd, Irohenius :

in

acea,st5,

0.…

α 。 ■

bazil are forma cano'

0、

α1

0 1...0 ° 0・ ・・ 0 α2 ∝π -2

0 α′ _1 0 iar α んsint coeficiel■

t五

0 ・・・ ■ 0 ... 0

polinomului caracteristic(sall, CChivalent,

■inill■ al)care Se scrie sub forma

l■

'(λ

;五

一Σα )=(― ■ (λ π た″ )ヽ

)・

)・

た=0

Asndar, rezulttt de aici lln procedell evideIIt de collstrllire ■ ■ nui Operator, cl■

polilllon■

れ

caracteristic dat.

Notttln, lll legttt■ lrtt cu tё ollemλ 85, c沈

86.Pel■ trll orice vectOr ″, spatiul lilliar tt generat de fallllilia ・ ″,五 ″,.… ,五

2″

,五

η ■″

este■ln sllbspati■ l invarial■t.

Acest sllbspatill Se IIumeste sllbspatiu tor■ll″

si in Virtlltea llli t:5, este

torul_ll五 eSte sil■ ■plu. 87. Dinlensiuneれ ll■ llli

§4・

6 generat de vec―

`67づ caracterizat de

S■ lbspaltiu

este egaltt cu ordinul vectorului″

θ

faptlll ctt opera―

ciCliC generat de vectorul ″

relativ la operλ torl11_4.

T00rellla llli Jordano ClasificI「 ea oPcratOrilo■ Stt trecel■ ■ ,pe llllttst■

ra dezvoltttr五 teoremei spectrale fundamelll― れllILu1 0peratOr.

%θ tale,la studiul sι γα%rtt∫ う tι

IntroclnCem pentru inceput o IIOti■

llle IIou沈

. UIl operator

spectru unipunctllal(cf.eXelnplu1 34)se nulneste%%づ θθ‐ 7tι ι αγ*),Volll■ Vedeal ctt lln operatOr llnicelular are,lntr― lln allume

sillnplu c■ l

sens, b strlLCtllrtt foarte siIIrlpl銑

*)

Originea acestui termen va deveni

.

clari in cele ce urmeazi. 99

88。

Dalc焼

_■

este llIL Opertttor llllicel■ llar,atullci lalltlll Stlbspa―

tii10r salle spectrれ le partiale*) 0⊂ TTπ l c T172⊂ T17‐

。… ⊂ w″

este lllaxilllllal. 89.Alrllltill■ ea sllbspat五 10r invariante ale l■ nui operator llnice― llllar este epllizattt de sllbspatiile sale spectrale pλ rtiale.

UII subspati■ l invTiぁ llt tt al llnlli operator tt se nllllleste

rθ

θ αθ αι γ , dactt existtt lln sllbspati■ l COmplemel■ tar y ⊂ E care tι

stt fie si el invariλ nt pentrll_‐ L.UII operator care adlnite tll■ Sptttiu reductttor netr市 itt se llllmeste rθ α %6れ bを ι

st■ b―

.

Un operator ireductibil este m mod necesar cu spectru unlpunc― er五 spectrale. Di■ L cele ce tlflneaz島 clar ctt el este si llILiCellllar. Stt enulltttm prOpozi!ia reci

tllal in virtlltea desGOlllplll■ rezl■ lttt

,

proca: 90. Un operator l■ Ilicellllar este ireclllctib■

.

Punct■ll cullnillant al teoriei spectrale este tθ ογθ ι i Jο γαttfO, "Oα pe care o vollll enuIIta aCllIIl.Ett se comp■ lne diIL dOlltt pttrti.IIL lι

IDrilna parte se stabileste o fOrl■ ltt caIIolliCtt pentrll matricea■ ll■ lli opellator u■ licell■ lar, care este strins legattt de forma c・ anollic沈 FrobeIIllls.

91. Dac抗 _4 este u13 0perator unicelular coIIcelltrat illtr― pllIIct α,atllIIci exist悦

o ba2沈

un

た }f,aStfel ttllcit 五θ た1(ん =1,2,… .,%;θ 。=0). κ十 θ ん=α θ Matl'iceれ operator■ llui inれ ceasttt baztt este de forma {θ

O astfel de matrice se numeste cθ ι %ι α 」θ γαα,1. Vectorul θ .れ l acestei bazc estc propriu.Ceilalti veCtOri sc llll…

esc vectori αsθ 6づ α l, iar ri vectorului θ γ θ tα ια θθ αt鈴%み λ―-1.Este clar ctt orice ILattt de vectorlll θ . Acest fapt sttt la ″ mei 91. ll■

θ κse numeste veCtOr αsθ「 baztt este unic deternli― baza demon6tratiei teOre―

Teorellna 91 admite o reciproc嵐 92.Dactt pentrll ll■ operator_4 exist軌 o baz沈 :

_4θ

た〒 αθ ■ 1+θ卜1(λ

=1,2,…

{θ

ル M aStfel

ll■ c缶

.,%,θ 。=0),

atllnci operatOrul tt este unicelular si coIIcentrat in punCtul

∝.

*) Indit'ele inferior din notafia subspatiilor spectiale parlielc se omite ln virtutea unicitilii I'alolii proprii. 100

A doua parte, care reprezillttt in acelasi tilnp partea princi― paltt a teorelllei lui Jordan, afirmtt c嵐 93. Ollice operator este sllmtt directtt de operatori llllicelulari. Dell■ onstratial

teOremei 93 val fi indicattt in 96; stt dlln mai

intii lciteva din conseciIItele sale. 94. Dactt lln operator este iredllctibil,atunci el este unicelulalr. ln punct Operator五 unicellllari pot fi cれ racterizati nCulll dilltr― ■

tle vedere p■lr geometric: 95。 Pel■ tru ca un operator stt fie llnicellllar, cste llect'sar si suficient ca subspat五 le Sale invariante stt fie dolltt cLe do■ ltt col■ ― parabile,れ dictt pentru orice pereche de sllbspat五 inVariante,■ llll■ l dintre ele stt fie continut in celttlalt.

Tinmd seamれ de'descompunel.ea slDectral沈 se dol■ Stratiれ

cu 77).

, este stlficient s焼

oIIstreze teorema 93 pentrll■ ln operator llllicellllar.Del1loll― Se bazeaztt pe llrmtttoarea lemtt gelller狙 嵐(a se c01npara

96.Dactt vectorii物 ∈Wデ

deIIti, mOd■ 1lo

Ⅵπ i,

1(J=1,2,…

.,7)sint lhiar indepen―

atuIICi vectorii

=(_4-λ んI)lι ノ∈Wi(プ ー 1,2,… .,7), indepelldenぃ ,modu10″ 11(s=1,2,… 。 tブ

sint liniar

).

Rezulttt de aici ctt inegalitatea 78 poate fi llltttriユ 97。

di172 T♯ rtttθ

.

sirul{α ttη 17:}誰 。eSte cOncav,adれ 沈

ittι αι θ

1_2α づ %Wi+α j%T7〕 7γ j

Fγ θ bθ ,lj%sり

1≪

0(S=■ ,2,3,…

.)

.

`α inegalitatea este strict島 Pentr■ ls=,'ル

.

Toorelnele lui Jordan 91 si 93 arattt ctt orice operaltor poate fi

6α Jθ γ ααη redus laノ 「 θ α66f・ 几Oπ づ :

''ι

■ lllde 6.smt celllle JordRII. O baz焼 ln care ll■ atricea lln■li olDera― tor are forllla canonictt Jordan se n■ lmeste bα zα Jθ ″ααη a aoostlli operator. O baztt Jordarl este ln l■ od l■ ecesal'o baztt de reprezeIL―

tttre triullttilllartt si teorema lui JordaIL preCizeaztt astfd tcorema de reprezel■ tTe triungLiulT沈 .Rezultatl■ l obtin■ ■ t este defin比 市

,

m senslll cれ asigurtt dezvoltarea oricttr■ li operator iII sllmtt clirect焼 ｎυ

de operatori pentrll cれ re n■■ se lnai poate continlla descompu― nerea, altfel spus, de operれtori ireclllctibili. Teorema lui Jordan dtt totodattt posibilitalten ul■ ei clasif艶 沈ri colnplete a operatollilor liniari la studi■ ll cttreia voIIl trece illl cele ce urmeaz銑 .

Operator五 五 si B sc lllllneSC St%tι αγう 。i se noteaz沈 JL_-3,

dれ ctt existtt ■ ■ n

automorfisIIn r, astfel mc批

B==rtt r l. Relatia,,A si B sht similarr`este e宙 dent o relれ tie de echi― valeIIt沈

.Se pottte deci vorbi de clase cle operatori silnilari.

Notiunea dO matrici similare se poate defini si pentTu matrici, priII relatiれ

b =tat 1, astfel ca operatori10■ silllilari in aceeasi baztt stt le corespllnd流 maltrici silnilare.Pe de alttt parte, matricile sillnilare pot fi cOnsi―

derate ca matricile aceluiasi operator in baze diferito (cf.

§1).

ノ 生 si II Stt fie silnilari, e￡ te l■ ecesar Si SllfiCient ca pentru Orice balz嵐 △ stt existe o baz沈 △.,astfel l■ cit matriceA operatorlllui ■,in baza △l stt fie cgaltt cll mλ tricea ope― ratorul■li 」L in baza Δ Ne volln imagina■ lll opel'ator ca pe un obiect l■ latel■ atic,care poate fi coIIstr■ lit pornind de la o bazれ dattt si de la o lllatric・ c dattt ill鋤 ooasttt bttz沈 . Se poate splllle deci ctt notiulleれ de silnila― ritalte duce la disparitia deOSebirilo■ lntre operatori datOrate ale― ger五 ,,intimpltttoare``al bazei(SiStemlll■ li de referint嵐 ). Clasa ope―

98. PeIItru ca operartorii

.

ratorilor similari cll lln operator dat reuneste toti Operator五 care alu alceleasi proprietttti geOmetrice. Spre deosebire de un operator individual, o clastt este lln iIIvariれ nt al y■lpullli cle automor― fisme(cf。 26)ale spaltiului de baz沈 .

Voll■

descrie mai detaliat lnultimea prOprietttti10r 00mune

a71e tutllror operatorilor sillnilari cll un operator dalt.

99.Dactt B=rtt r-1,atllnci pelltru orice polinomグ loc egttlitatea

(λ

)are

夕 (B)=r夕 (_4)■ '1. 100. ]Poliaoamele lllinil■ lale ale operatorilor silnilari coillcid. in ■ lrIInare, spectrele operatori10r sillnilれ lli coincid.

PI・

101.Un operator sillnilar cll un opel'ator de tip scalalr este de eSte O baztt pro― tip scalar.M&i precis,dactt B=rttr l si{θ κ }【 prie λoperttorullli五 ,atunci(rθ ん F este O baztt prOprie a ope― ratorullli B si vれ lorile propr五 corespunztttoare vectorilor propr五 θ んsi rθ ルsmt egale.

102

Prin ■ lrmare, dillnensillnile subspat五 10r cOresp■ lnztttotte sint eg&le. GeILeralizl■ d propozitiれ 101,Se poate afirina c嵐 l atllnci,

:

102. Lctt B=T_4`「

rT/71(_l)=1/1(B)(λ =■ ,2,… Prin lllヽ

.,"7,S=0,■ ,2,…

.).

mare,

103. Polinoan■ ele cal'acteristice ale operatorilor silllila)ri coiIIcicl. ll■ t acc― Prin urinare, lllllltiplicitltile Va10rilor proprii(care 、

leasi)coinCid. Se poatc en■ lrllス チ θθ θ,,2α J%η αα970θ ηι θ αι α αθ θι αs勾Fjθ α′

:

:0/1.IDentrll()a dol operatori“ ▲ 、i B stt fie sill■ ilari, este nece― Sれ ヽi Sllficient stt existc o baztt Jordan △ al operatorllllli_江 si o bazII Jordan △l a Operatorul■li B, astfel illctt matricea operato― rul■li JB in baza Δ stt coincidtt cu matricea opertttoFlllui B in ttza '・

1｀

△1(a Se cOlllpalra・ cl1 98).

De asemellea, este llsor de gれ 、it■ ln sistell■ complet cle inva― ri&nti numerici independellti ctte deterllnilltt clasele de opefatori silnilari(altfel spu、 ,care deterlnintt un operator pmtt la O sirnilぁ ― ritate).IPie λ O vλ 10are proprie a operator■lllli_4.Vonl notλ cu ZИ (λ ;ツ )nlllnttrul de celule Jortlan de dilne■ lsiune ν corespullz沈 ― toTe walorii propll五 λ in forma canonictt Jordan a matricii opera― torullli _4.

105.Pentru ca,operatoI.ii_l si B Stt fie sinlilari, este necesar si sllficient ca σ(‐4)=σ

(B),ア .(λ

pellLtr■■ Orice sistel■ ■de

;ν

)=χ B(λ

;ν )(ν

=1,2,3,…

.)

vectolヽ i propr五 λ .

UII sistenl echivalent de invarianti este dat de sirlll finit cle clillnenslunl {α l,72復 'i}1く

106.χ .(λ ん;V)=一

たく

(α illl tυ

1≪ S≪ ″ ″ .

"ち

l+1-2

(v=1,2,3,…

αi"o

oθ

I+濯 j%"11)

。 )

Rez■llttt din nou inegれ litatea lui Frobcnius 97.Evident,aceast沈 il■

egλ litate nll poate fi l■ tttrit焼 . Remarcttl■■,

107.z.(λ ″;'■ )>0,ス

de asemellea, c悦

,v)=0(V>7・

ん). λたcOincide cll ordinul celei IIltti mttri celule Jordan corespunztttoalle acestei valori propllii. .(λ た

Asaclス 1',Ordinlll γ んλl■lnei valori propr五

103

Formulele reciproce lui 106 sint tt forma: 108.α う 鶴T7(=Σ vχ И (ヽ ;ν )

+S

(S=1,

И χ

=

λ

αじ 7177T/71■

;

2,...,91)

一ロ Ｔ 鶴

In particlllar,

Σ X4(λん

ν=S+1

,-1

Dactt htre spectrele operatorilor ■ §i B se 130ate stabili o

bijectie,鋤 Stfel lllcit

αilll lFl(五 )=α j%TTl(3)

鶴(■ )=γ ん(B), (λ

=1,2,… 。,912,S=1,2,…

。 ,為 ),

ctt operator五 _4 si」 B allれ ceeれ si str%θ ι tι ,'α Jθ γ ∂β,2.

VOll■ Sp■ lne

Crite7riul de sillllilttritate se simplifictt mult dactt existtt o infor―

matie Suplil■ ■elltartt collLvellabiltt asllpra operatorul■ li. 109. D&ctt doi operaltori sil■ pli a■■acelasi spectru, iar lnulti―

錢 響計 盟」 盤1群 ilT視 ∬棚躍榔札:鷺 認旨i官 篭￡ 仇 l“ elasi

silnplll a■

speCtr■ l,れ tuIIci ei sht silnilれ ri.

110. Dactt doi operatori de tip scalar au acelasi Spectru, iar mllltiplicittttile valorilol・ proprii corespunztttoare sht egale,atunci

tcl躙

°peI『 鳳

egatta盤

bg智

灘

]ti協 五d de雨 m■ M比 航 e∝ t pur

Ⅲ

皿メL

器胤 utta出品:L m teona specMtt a正 ぬ :11出 η rtti讐 r..上 SttTtte犠

]￡

器淵

嚇棚

:監

夕 (五

′

)=[グ (■

:メ

・

)]′

112. Polil■ oalllele llllillil■ ■ ale ale olDeratorilor 」 si _4 COincid. Deci, spectrele operatollilor ∠ ′si _■ coiILCid*)si clれ C沈 ―l este ′ de tip scれ lar,atllIIci siュ 生 eSte de tip scalar. Se poate cIIunta prO_ L′

pOZitial:

113.D猟 〕 抗{θ た }l este o bazЙ ′proprie a operatorlllui五 ,atunci′ ■ ilia biortogollall沈 {θ l}l estO O baztt p■ oprie a operatorllllli五 . si fi siIIt egale. Si Va10rile propr五 corespuIIztttoare vectorilor θ

fれ l■

￨)ズ ヽ cest

104

fapt rezulti imediaL din teoria lui「 rcd1lolill

Prill llrll■

ttre, dillrlensiunile subslDat五 10r propr五 c6respuILZれ ―

toれ re coiILCid.

電器濡IFtir:° lttettSl・ 露 hlr甘 樹 器『電器 41,Callle actiOneaztt respect市 pe spatilleヨ e島

un∫

si El,se nullllesc

Si‐

%五 1)daCtt E%El si dactt existtt un izomorfism ∈Iθ %(ヨ ,コ .),あ Stfel mcit■ 1_7己 ケ1.

si%を ι αFt(■

λ∈

Oriteriile 104, 105,109 si l10 slIIt valabile si pentrll operaltori cれ reれ ctiOIlealztt

pe spat五

diferite.

l 五 , れ、 「el■ Oricare ai fi operator■ ■

ll

l14.■

′%五

.

O delnoIIstratie pOSibil焼 れacostei teorellle constう

inれ faco o

trecere la71illlittt plecind de la operatOri de tip scalar,dar voln pre‐

1背

塁棚

l15。

ittt品

鳳″l信 電 踊61飢

° de 4g9b五 ∝ ・Te∝ etta

Dactt σ }Io siノ ≠S,atunci subspatilll Spectral (五 )={λ た

al operatorului´ 注′oorespunZtttor valor五 propr五 λ′este ortogollal pe subsp&ti■ ll Spectral a1 0peratOr■ lllli _4, corespullztttor valorii propr五 フ 、 s: T7J(五 S嵐

oonsiderttlll subspれ

t五 le

′ 羽 )⊥ L(■

Spectrale partiale.cOnforIIl teoriei

lui nedh。 lIIl: ′ 116。 αj%ル 71(五 )=α j"ι Wi(■ (λ

)・

)

=1,2,… .,977;S=0,■ ,2,…

In particular,■ Otttnl,

.)。

c焼

′ 117. PoliILOalnele carac・ teristice Rle operatollilor五 siノ 生coincid. in]■ 10d allalog, se poれ te stlldiλ legtttura dintre tt si´ 乙*・ Se pot transpune teoremele stabilite peIItrll tt si 五 ′la」 L si 五 *,

cu ajutorlll colljugttrii complexe canonice′

118.五 *=J-471・

:

De alici llezult沈 119。

。(五 *)=。 (‐ 1)・

Prin llrlnare, operatorii _l si五 * llu sLat, IIL geneF温

dar structurile 10r Jordarn coincid.

, Sillllilari,

120.Dactt spectrul operatorului_左 este real,atunci

_4*%五

.

105

Rezol■Tent■ ,i ca10ul lllncliOllal

§5。

Fie´ 注 un operator o&recare. Opel.atorlll

RI(五 )=(■ ― λI)・

,

賃are eXiSttt pentru

λ￠σ(■ ),Se numeste γθ ″θι υθηtt operatorului五 In cele ce urmeaztt vom descrie doseori Rλ m 10c de Rλ (■ ).

.

Scoplll acestui pれ ragrnf este de al stlldia collllportttrett rez01_ ventei cれ functie de λ. ヽroln incepe cu o remarctt trivialtt dalr ■ ltil島

.

121.D猟 兄 λ￠σ (■ ),atullci ecuatia _4″ 一 λ∬ =ν aI.e sol■ltie llnictt pentrl■

orice lllellnbru drept

ν,iar sollltia sa este

″ =Rλ ν .

122.D&c沈 五 ″ =λ ″ 十 ν,atunCl

んプ 五り =λ た ″十 Σ λ

1五 Jν

ノ=0

(λ

=■ ,2,3.… ).

123.Pontru orice polinom夕 (■ )=Σ α オ,are 10c fOrmula ″ λ=0

,'1-1

(グ (■ )一

グ (λ ￠σ(■ )), グ(λ )I)Rλ =Σ タプ (五 )五 ′‐0

―プー unde a(λ )=Σ α ん・ λO=0,1,… 。 ,"2-1) ん=0 ,″

1

+ノ

1)ヽ

124.Dac沈 夕(λ )este un polinoln oarecare,anlllat de operato― ■ l五 ,si dac沈 〃 este lnultilnea rttdttcillilo■ sale,atu]χ i

r■

Rλ

￠ ―恭Σ烈ンは 4・

Aoaldar, 125。

Rez01venta Rλ

de λ. Polii

ぁullui operaltor tt este o functie ratiOn温 尻 operatorului 五.Ea este reg■ ―

stti a・ partill Spectr■llui

lattt la infiltit,llncle se si anuleaz島

106

.

ヽ 「om precizれ comportarea rezolvelltei ln vecintttateれ punctelor spectrului si la infinit. 126.Fiecare punct λた∈ σ(_4)eSte un p01 pentrtl rezolvent島 , de ordin egal cu ordinul valor五 propr五 λた。

Prin llrIIIlare,pentlu ca toti polii rezolventei llnui operator五 stt fie simpli este necesれ r si Suficient ca tt stt fie operaltor de tip scalれ r.

Este usor de bttlluit r01ul rezolventei in teorial spectral嵐 .Dup沈 ttm vttzut, rezolvellltれ perlllite descrierea spectRllui in lim‐ bajul funct五 10r analitice. A、 adれ r, Se pot aplica nletodelo teoriei c■lm

allitice lal teorial operaltorilor.

fllllct五 10r all■

127. Dezvoltareat rezolventei lII serie La■ lrent in vecintttate■ punctullli de ltt infinit este de formλ

ム =― Σ た=0

・ 五 +1 λλ

>P(五 ),unde p(五 )eSte cel mai

Seria converge in domenilll lλ

i五 ale operatorlll■■ wθ θι ″αι aれ operれ torului五

lnalre dilltre lnodulele va1lorilor propr五 。 4)se numeste

Mttrimea

γαZa

(‐

.

.

I)iIL 127 si din teorema Callchy― IIadamard rezlllttt urmtttoarea formultt peIItru razal spectrall嵐

128.ρ (■

)= SΨ

:

ん

′ ノ∈ε ,″ ∈E

た /1人 五の}. 繭 λ→∞

Pentrll a colltinual studiul rezolvelttei, so dovedeste util沈 o cc■latie

all■ lrllittt

functiollal五

.

上re loc egalitatea 129. コ Rλ rθ

%α ″α θ

31ι

一 Rμ =(λ ― μ)Rλ Pμ

(λ ,μ

￠σ(-4))

j ljι bθ γ

り*).

I)in ecllatial lui I[1lbeI.t rezultれ ecuatia diferentialtt a rezol― ve■ ltei:

B脱

+Rλ =瑠

博 L∫

(フ

、≠ σ(五

))・

are loc,ln gcl■ eral: Rλ

=履

R癸 +1(λ

=1,2,3,…

.;λ ￠σ(■ )).

'') Sau prima ecuaIie a rez-o]r,entei. (l'.7'.) 107

Prin urmare:

λ

ユ︲ ｏ

瑠

〓

ム

ゝ一ロ ∞゛

I32. Dac5, ).0 f o(-4), atunci seria Ta5rlor a rezolventei, ln vecinltatea punctului ).0, este de forma ― λ。)λ

.

Este interesant de remarcat ctt ecuatial lui lEIilbert nu are,2n conditii reStrictive ILれ tWttle, alte soll■ t五 m ttfttral rezolventei: 18B.D讀 嚇 functiれ operatori鋤 1嵐 R()、 )dattt pe O ml■ ltil■

le/

din plal■ l■l complex verifictt ecuatiれ

llli I[ilbert

R(λ )一 R(μ )=(λ 一 μ)R(λ )R(μ )(λ ,μ ∈ン

)

)este Si dあCtt pentru■ ln λO∈ ング operatorlll R(λ 。 existtt un operator _4,

ぁstfel lncit R(λ

regulat, atunci )COincide cu rezolventa

operatorlllui_左 in toれte pllnctele lnultlm五 ン Vom demonstra utilitateλ no● ll・ lii de rezolventtt pe exompl■ ll 6α ι αι %oルι %り tθ η αια7 7%tF.Rjθ sβ D%総 ルγ α.Ideea collespullz沈 ― ]lι ι .

toare l'ozulttt clil■ llrmtttorul rezllltat.

134.Pentrl1 0rice poliIIon■ ′ (λ )are 10C I.epI.ezelltグ ett intc― gral島

夕)=一 ダ タ ≒ ∫ ィ

unde“ truヽ

dλ

(D Rλ

(五

este lln cont■ lr*)oareca■ o ce coIItillle in interior■ ll

‖肝:五・ fpi熙腕

一

-1-%Rλ

(*)

,

stt■l

spec‐

αλ=I,

三 L∫ λ 五 一 τ ∝ l瀾 :11#Tttc琴 胤 i∬ 辮 Cauchyn忠 認臨″電 I一 4)1.Cu tOate acesteれ Rλ dλ

=二

.

‐ (λ 一 α)l este iucat de_Rλ =(λ 多()、 )dil■ (*)este dOar un polinollll si nl1 0 functie analitic汎 oare― +) Se nume$te contur o curbi simpld lnchisi rectificabil{ sau un sistern finit de astfel de curbe fdri puncte de intersectie. Integrarea se face totdeauna in sensul ,

pozitiv. 10E

care, deoarece simbolulLLi g(A) nu i s-a dat sens, pin5, acum, clecit pentru polinoame. Extind.erea naturalS, constX in a considera, in general, formula

lui Cauchy drept defin“

ie.

Asれ dar, fie dattt o functie scallar航 9(λ ), 010mOrftt pe

tilne deschis焼

ΦИmultimeR

*)′

。calle contine spectrul operttorullli

O Illl11五

.Fie

Fie,prin definitie,

aCestor fllIIctii・

． 啄

ｉ 一 π ２

一

9(_4)=

9(λ )Rλ α λ

(**)

,

唇 ml亀 札 .争 ettl鮮 虞 :よ 塩罵 :器 'ど s癬ri庶 滞諾 al relれ tiei(**)ILu

depillde de啄

:

.

■11■ til■ lea ΦИeste o allgebrtt relativ la operat五 le ObisILuite de a functii101・ Fie aplicatia gИ :Φ И→ 鍛(コ )definittt de relatiλ きИ 9=9(■ ). Aceasttt aplicatie este un omomorfism de algebre: 135。 Fie 9,ψ ∈ΦИ si O= α 9+β ψ,ullde α,β sint llllmere. aduntte,lnmllltire cu un ILumtt si inll■ llltire

Atllnci

O(五

)=∝ 9(五 )十 βψ(■ ).

136.Fi9 9,ψ ∈ΦИsi

O=9ψ・-4tunci O(五 )=9(五 )ψ (■

)・

Stt gttsiln imagille& omoΠ lorfisllnlllui

sИ

.Folosind reprezeII―

tarea 127 ajulIIgem lR coIICluZia dest■ ll de lleasteptat沈

137.I%3И =T(■

:

).

Altfel spus,toate valorile posibile ale llli 9(¨ 左)Slllt ep■ lizate de polinoれl■■ele de grad llllai lnic sau egttl cll γ――■,■l■ Lde r eSte radul

p01mOmului minimal./(λ

;∠ ),

L pllls,

de轟 W儡∫ 盤聯電 :;叱 'あ品fdh°

dnttTT子 ど鶴 P o)

ie dtt hr pdmom」

mu五 C夕

品

夕 9 depmde h

)iu neapdrat conexl, cdci considerlm func[ii ,,analiticq pe buci]i" 109

Nu este bOIle■ l

dc descris nucleul omomorfismul■ li

S′ ,adictt l■ l11-

limea fllnc● ilor 9れ nlllate de operatOrul tt in sensul c11 9(■ uilo・

)=0.

Nucleul Kθ γ3И este format din multimea tuturol'func

139。

9∈ ΦИcare sint dhrizibile prin polillom■ ll minimalン (λ ;五 ),

calle smt adictt de forma

?(λ ll■

)=″

(λ ;‐4)ψ (λ ),

lde ψ∈Φス バ i・ lulnai din acele場 (a Se cOmpara cl1 8). De aici obtineln cu■ lstlriIIt飢 O COnstr■lctie algObrictt a polillo―

lllului夕 。(■ ).

n認

∬レ γ 脇;棚 ″協θ ,棚∫ 肥軌 ぉ 1九 り ″ お)慶 ″品I総 ち eα

1ザ

′g)(λ た )=9(グ

JLici,γ ″este

)(λ

κ )(J=0,1,…

.,,・

Ll,ん =■ ,2,… ス

`「

.,ω 2).(***)

ordinul valor五 proprii λ..

生∈ΦИ,adic嵐 9(λ )≠ O pentrll λ∈σ(■ ). 141.Fie 9∈ Φ′ iψ ≡」 4 ぅ ^ 9 1n aceste condit五 〇 peratoru1 9(.■ )eSte regulat si [9(_4)]■

=ψ (五

).

Pentru 9(λ )=λ ,teorel■ a141 cstc evident汎 :dac抗

at■lIIci

Operatorul_乙 este reboulat.

0 ￠σ(■ ),

Vom da recむ ■OCal tooremei 141.

142。 Orice vector propriuれ l va1lor五 proprii μ este ull vector

unui operれ tor 21, corespullztttor propriu a1 0peratorllllli 9(JL)

corespunztttor valorii propr五 9(μ ). 143.Dac沈 9∈ ΦИsi daCtt Opel'atoru1 9(.4)eSte llegulat, atllnci

生 ∈Φ′ .

の

Tooremele 141 si 143 conduc lal llrmtttorul rezultat foarte ilnportant:

144.Dac抗 9∈ Φ., atunci 9(σ (■

))=σ (?(■ ))

θ ″ θЮ γ づ αι γ αηlメ ο t Ψθ aγ θ ο ι rり・ "3aγ “ ett r留 e obthe dm te。 ]∬ T Se mtt po航 rtθ

￡ 罵

λ 盤 嚇ぶ響現

145.DК 嵐五=Σ・ム,atunci た=1

9(五

)=Σ ° 9(五 た ) (9∈ Φ .). ん=1

110

￨

146.Dac沈 五 este■lll operator■ lllicelular α

■

0 0 0

α

si

0... 0 ■ ... 0 α ... 0

0 0 0 ... 0 0 0...

1 ∝

este lnatriceal stt illtr― o baztt Jorda■ l, atllnci lllatriceal operato‐ rul■li?(_/1),lll alceeasi b例 2嵐 ,este

de formれ

″→ 《 →9て →;9賓 →。 …7が 市ヴ ・ O

α→

9冥 → …: 満

00刺 0

0

0

0

…嵩 ギ →

0 0

― 貿り ヴ″

。..

9′

..。

9(∝

(α )

)

Teo■ elna transfollmttrii spectrelor rezulttt illlediat dil1 145 si

146.Mai lnult declt atit, se poれ te dtt llIL enuIIt mλ i precis care tille Sean■ a de mllltiplicitttti(a Se cOmparれ cu 71):

147.Fie tt un operator oarecれ re,σ (4)={λ κ た multi― }撃 si α

plicitatea vれ lor五 propr五 λル(λ 二 =■ ,2,… .“ り).Fie Ψ∈Φス si μ ∈

・

:[鰍

:uCttC:鮒

亀 PLわ

hd協 樋 り

配∝ 五 pppn

μaop←

α α (μ )= ″ Σ 力 .

9(λ

)=μ

￨

lll

puぬ ∝ Ъ 鵬18認LRIr酬 』 = ⇒ 鰍;吼 柵:辮 lilS視 島

=ψ (9(α ))apartine lui Φ.si O(■

)=ψ (9(■

))・

Rezl■lttt usor teOrema:

9∈ ΦИesto ulliva,lentと くAtl■ nci Φ 9 1 apartine lui ,(ス )si 9 1(9(■ ))=五 。

149.Stt pres■ lpllnelln ctt fulllctiぁ fllllctiλ inヽ rers焼

Teorema 149 este lln iIIstrument puterllic de rezolTare a oclla‐ tii10r Operatoriale de formal

ψ(I)=五 i´ ▲ un opertttor dat. unde ψeste O fullctie dat沈 § 150.Stt presupulleln ctt ψeste O functie olomortt si univmel.ttt pe ll■ ltimea deschi6沈 Atullci ecuatia (■ )⊂ ψ (′ si ctt σ “ ψ(X)=-4 ,

a■

)・

are o solutie ullictt illl clasa operatorilor care verificttrelれ tia

σ■)⊂ ク ・ (―

Teorenla 150 este bine illlstrattt de problemele particlllare ale extrager五 rttdttcin五 unui operator si deterrl■ inttr五 logaritttl■ llli un■li operator.

151. Fie r lln・

lulnttr llltttural. Ecllatia ノ

=五

,

■ lnde_4 este un operator reglllrat,are o solutie unictt i■ l clasa ope_ λ>O si9%eSte tltrog, salu γ

i%=0.

=い

287.Formtt generaltt a■ lllei ILue nenule in別 (D)este ι五 δ(■ )=α θ

llnde ω

ω §i L sht COILStttlllte si,salu

flLILCtiOntte lnultiplicative conti―

lω

elん

α /g(′ θ `4,

夕 eω

>O si 7L・

e§ te

intreg,sau

=O si乃 =0. in siぃ it,mentionttm c沈 288。

Nu existtt fllnctiOnaltt liniartt mllltiplicativtt llenultt pe

%E>■ 凱 (E),darctt αづ

.

Acest rezultat este strins legalt de teollelna 25, din care rezult焼 u§ Or,tinind Seλ mtt de: Fθ

289.DaCtt δ (■ )este O func,onaltt linialrtt llnultiplicalti哺 ,atunci ,・

δeste ull ideal bilateral al algebrei,肌

(E)・

Oapitohll III

FUNCT10NALE BILINIARE sI SESQUILINIARE. SPATIU UNITAR.OPERATORI PE UN SPATIU■ TNITAR

§1. FllncliOnalo biliniare ,i pltratice Vom studiれ in acest pttagaf function温 Ole biliniare 3(″ ,ν θ bilj〃 を α″

pe E× E(cf.§ 8,cap.I).Ele De llllmesc J2tπ りjθ ηα

)

:θ

pθ

E. Mai precis, vom vedea ce proprietttti particlllare rezlllt沈

″si y parcwg acelasi spatiu.Unれ dill acestea este αλ ο ι %づ Fγ θ ι "o. arecare tt spatiului E.Matricea fl■ nc‐ Fie△ `効 ={θ ″ }1 0 baz沈 。 E)rel前 市 la bれ zole△ ,△ ,adictt matriceれ tiOnalei B(″ ,ν )(″ ,7∈

din faptul c焼

α θ ι ι rγ 9rγ づ

coeficienti10r dezvoltttr五

B(″

た )=Σ βルξブ ν η ,

ヽ１ｌ Ｉ′

η

ｙ

″ Σ胸

ブ,ん =1

〓

”Σ ︲ 〓

= (″

,

se numeste rnatricea, funclionolei biliniare in baza A. I\Iemtrrul drept al egalit[lii determinS, o funclionali, biliniaril, in .rpaliul aritmetic Cn, ca,re se numeqte formd, biliniard,. Ila trecerea de la o bazd, A la o bazd A, matricea unei funclionale biliniare se transformX, dup5, relalia br : t'bt" unde b este matricea funclionalei in baza L,, b, matricea sa in baza L,r, t este matricea bazei L,, relativ la A, t' matricea trwtsTtttsd,: clacd, t : (rili,r:r, t' : (.il'i,1:1, atunci aft: rxj U, h: :lt 2, ..., %). De fuaclionalele biliniare pe -E sint strins legate funclionalele pS,tratice.

O fulclionalra, Q@) pe Z se numeqte 7td,tral,icd, dac5, eristX o funclional5, biliniar5, B(n, !l), astfel incit 0(″ )=B(″ ,″ )・

(*)

135

1. Funclionalele p5,tratice pe E formeazra, un spaliu vectorial relativ ta operaliile naturale de aclunare qi d.e inmullire cu un numir. Acest spaliu va fi notat 6@). Yom studia epimorfrsmul j de la spaliul S(O) : E(D, -U) al funclionalelor biliniare clefinite ee E, pe spaliul 5(n), dat cle formula (*). Fnnc.tionala biliniarS,

B(lt, u) :

-

B(n,

B(r, y) se numeqte

antisi'metricd, da'cd'

A).

Nucleul omomorfismuiui j coincide cu multime:r funclionalelor antisimetrice. Cu alte cuvinte, pentru ca functionala B s5, fie antisimetricir,, este necesar ,5i suficient ca

2.

B(u,

u):Q (neE).

3. Pentru ca o funclionald, bitiniard, sd fie antisimetricd,, este b intr-o baz\" oa,tecare, s5, fie

necesar qi suficient ca matricea sa antisi'rretricd, i

b':-b.

in particular, este necesar c& P,r, : 0 (b : 1, 2,.'. n). 4. Dimensiunea subspaliului E (r) aI funclionalelor biliniare n(n - l) antisimetrice este egall "2 eu ' i : "(!-]) 2 5. Dimensiunea spaliu1ui. 6(Z) al n(n I L) este egala cu -------r-.

Altfel spus,

deJ

func.tionalelor pS,tratice

O funclional5 biliniar d, B(m, gt) se nume ste si,metricd B(Y,

r) : B(n'

dac5,

lt).

6. Pentru ca o func.tional5, biliniard s5, fie sirnetrici, este necesar qi suficient ca matricea sa b intr-o bazi, oarecare sd, fie simetricd, :

b':b. 7. Dimensiunea subspaliului A+(E) 45! simetlice est,e egal5,

"-

136

a1

funclionalelor biliniare

3.S(E)=S+(ヨ )+お

(E)・

Asaldar, Orice functionλ ltt

llllictt ca sllmtt al llllei f■

biliniれ rtt

adlnite o descomplllllere

LIICtiollale silnetrice cll lllla antisillnetric沈

れdlnite o illterpretare operatorial焼

Acest rezultalt

9.Ull operator r pe spatilll零

=B(ν ,″ )este

(ヨ )dat

.

:

de fOrmula(rB)(″

,ν

)=

O i■ lvollltie: r2=I.s.lbspatiile S+(ヨ )si S(E) sint subspat五 propr五 ale operttor■ llui r asOciate valorilor proprii 十■si― ■O Se comparn cu 44,oり .I). Fie.′ +=ブ ￨お +(ヨ )・

10.Omomorfismulブ +este un izomorfism lntre sp&tiile郎

+(ヨ )

si 6(刀 Asadar, pentrll orice fllnctiO■ laltt ptttratic沈 o exiSttt o llnic沈 f■lIIctionaltt biliniartt sillnetric沈 , Bo cれ re gellereaztt fllnctiOnalal o )・

ED Se ■ lllmeste

in sens■ ll relattiei(*)・

αγ ι αf■lnctioILalei 9. ″θ

functiOnala polartt sall

Exist沈 o metodtt simpltt care permite recoIIstituirea fl■

IIctio―

nalei polare Bo di■ l fulllctiOnala ptttratictt dれ ttt O. 11・

0(μ tt

ν)=0(″ )+0(υ )十 九L(″ ,7)・

Aceastal este o generalizare a forllllllei elementare

れ ptttllatll―

lui s■ llnei. I)in ll rezlllttt c焼

12.Bま ら ν)=:[0(″ 十 γ)-0(″

ν)]・

br t晟 ぎ ι 働 鑢鵠脚 嚇協θ協:棚鵬 脇Ъ ち .Este e宙 dent湘 ab■ tt dezvd― ぷ:]Sttt matrtte este silnet五 pソ

{θ

c沈

0(の

θ 一 ル ζ ζ(″ =』 ξ ブ ノ ブ ・ 方ブ ilβ

)・

Membrul drept al egalit焼 :五 dじ terlnilltt o fllIIctiollaltt ptttratic沈 aι ″ 927α ρ α tjθ α 2n θπ ,care sO numeSteル ″ Bijectia dilltre functiOIlalele ptttrれ tice si functionalele lor polalre face pOsibiltt transp■ llllerea alutomattt lal fll■ lctiO■ lallele p沈 ― .

[計

露,1ぷ

t封

t柑 鵠 ポ:が ヽ 1織 f鵠r:il織 :憮 b淵:甜五

Si la dreapta dispalle,m virtutea simetl・

iei fuILCtiOnalei polttre.

ceasttt deosebire Pentru o functionaltt bilininrtt alltisil■ etric沈 , ぁ

、 ILu eSte esellti勧 1沈 . 13. Gonerれ torii lcal stmgal si ltt dreaptal ai unei fullctiOnale bili― niare れntisilnetrice nll se deosebesc decit prin factorul _1. Relatille de ortogonalitate(221,cap.I)pentru O fllllctiolllal沈 simetrictt sau antisimetric嵐 , iall forlna: 14。

SB=(Kぉ 丼

(SБ

B, 」

este suportul iar KB nucleul). 137

Fiecare functionaltt biliniartt B∈ S(2)gellereれ z沈 OB― ortogo― nalitate a vectorilor din spath1 2,COnfOrm schemei genellalle 0,Cap.I.Deoarece Ll cれ zul de fattt I〕 ― dalte ill §■ OrtogoIIれ litatea cste o l'olれ tie llltre vectorii acellliasi spれ

complel■ lelltれ re la sthga si lal dreapta(■ Sptti■ Oare/care五

till,Subspat五 lo OrtOgo■ lale )五

si 五 l ale llnlli sub― (■

⊂ E sint,de asemeneれ ,subspれ tii ale luiョ

.

15.IDentrll ca complellnentul B― ortogonal al unui sllbspatill五 entul llli五 , este necesar si suficieILt Ctt I'cstrictial fie coll■ plel■■

stt

la L a fllnctiO■ lれ lei B, adictt functiollalal

)=B(∬ ,7) (″ αグ B(a=0・

,γ ∈五 )

B(Ll(″ ,ν

島 fie

regulalt嵐 ,動 dictt

lnul dilltre cele dolltt complemente B― ortogollalle 16. Dactt ■ ale sub叩 ヵ tiullli tt este si complementul sttu,れ tunci si al dOileれ

001111plelnent are aceasttt proprietate.

este B― θ %ι α ιdれ Ctt funcliOnaltt Bltl este Un subspati■l ttSe nul■ ■ ''θ regulat流 . O familic cle vectori se nul■ ■este ■,― γθク%ι αι α dactt sub― Spλ tiul liniar generれ

t de acestia este B― regulat.

17. PeIItru ca un vector

suficient ca B(θ ,θ )≠ S沈 lλ

θstt fie B― ″ θ θ%ι αι , este necesalr si

0・

oonsiderttm problenlA reducer五

forll■ a

lllllei fullctionale bilini2re

callonic汎 . Rezultart■ ll general in aceastれ

ObtiII■lt ill§

directie a fost 8,cap.I. El poate fi precizat,preslllDu■ lind ctt func―

tionala este silnetrictt sau antisimetric沈

18.Fie r={θ ″ }1

.

0 familie Oarecare de functionale liniare.

B=Σ

Atunci,functionala bilini冨 嵐

た=1

gん

Θθ ヵeste

simetric沈 ,iar

sllportlll sttll sP coiIIcide cu s■ lbspaltiul liniar gelleralt de fatlILilia「

PrL llrmare, γ B=,・ ク

.

γクBく こγ Si Clactt falnilial este liber沈 , atllnci

.

J￡ est eILllnt are O reciproc尻

^ 19.Fie B o functiOn配 沈bilmiartt simetric沈 , ,vB=″ >0.

IIL aCOSte colllditii, CXist嵐 O bゐ

z嵐 {∫ ″}i

a suportului SB, astfel

incit B=Σ ∫ ・ =Θ 九 Aceasta este teorelna fundalIIIlentalltt asupral forlllei calnonice a biliniare silnetrice cttreial i se poate dal §i urmtttOrul

fllnctiol■ alelor

enllnt:

20. Fie 3 o fllllction狙 沈 bilinialrtt silllletric焼 , 年クB==″ >>0. Atunci,oxisttt o familie de vectori{θ ″ }1 libertt modulo KB,ast― γ

Ｂ

θ

″

188

Ｂ

B(″ ,γ )=

九 ゛ ︻ 二 ″

fel ll10it

Metoda de delllloIIStratie reZulttt inlediat observmd cス Fam■ れ {θ κ}i eSte m mod necesT B_OrtOgon狙 沈,m sen― :

s」

管

た ・)=δ ノ

B(θ ブ ,θ

(プ ,λ

=■ ,2,… 。 ,γ ).

LTrlntttoTeal lemtt cOnduce ilnedialt lal teorema 20: tじ

spれ

為監itt h:∫

11°

・ 1∴ 淵懺 3.幾 trD=・・

″=ξ θ .+%,

e tt suト

ν=η ら 十 υ (り ,υ ∈五仁)),

atuncl B(″ ,y)=B(″

,ι l)B(γ

,θ l)十

B(tι ,υ )・

rmd Cれ no五 ceれ b■ ttdOr λ ∫ T咄￡淋]rげ。 e対 諦几肥 littCT鑑 馴 ]拶 littrf融 淋tぷ 胤 funcゥ

ptttふ 1::獣

0(∬

)=Σ

ん=1

[ル (″ )]2.

暉職脚Fヤ 野男礁

24.Dactt o functiOnaltt ptttratic沈 9(″ )Se reprezilllttt sub forma O(″

)=Σ

[ク

ル (″ )]2,

力=1

i批

『 塁 綴 善 脚 li鱗鐵 iW掌 l∬ 詰 盟∬ 争 ]｀

北LO￡ち 冊群 訛‰ 扁 ♂ ‰穏n農 ,硼 ∴柵 B=

Σ日 蒻

り

[ん _lΘ

:

_.] ん ―∫ Θんκ 2た

139

este alltisillnetric島 , iar sllportul sttu SB coiIIcide cll stlbspatilll

liniar gellerat de falmilitt「

AsLd肛 ,電 B=″

.

・ POate fi construittt o fuILCtiOnaltt bilinialr沈

antisil■■etr艶 沈 de rang impar?Rttspunslll negaltiv la xealsttt intre― bare va fi obtinllt Ca un cor01れ r,lllalinteれ teoremei 30 asllpra for‐

meゝ

rtt ani― FTl:sr計 盤c躍肝宙留ム fⅧ淵lttc∬ [l』 胤鍬

Sllll■ etlllca.

26.Pentru ca o familie{θ l,θ 2}￡ 沈fie

Si SufiCient ca B(θ

D

I卜 regllltttれ

,estc llecesar

θ2)≠ ° ・

27.O familie 3-regulat沈 {θ l,θ 2}eSte liber沈 28.Fie{θ D θ 2}O familie B― reg■ lath,B(θ l,θ 2)=・ .

tiul lilliar gellerat de alceasttt fれ milie. ]Dac汎

″=ξ lら 十 ζ 2θ 2+2`,γ =η lθ l+η 2θ 2+υ

Si tt Subspa―

(γ ,υ

∈五に)),

atlllllci

B(″ ,ν )=B(″ ,θ l)B(γ ,θ 2)

B(″ ,θ 2)B(γ ,θl)+B(lι ,υ ).

Acum pot fi ell■ lntttte teorernele fllndalmentale asupral fullc― etrice. tionalelor biliniare al■ tisil■ ■

29. Rangul unei fuIIc↓ ionale bilini2re ttntisilnetrice oarecare este llll■

lumttr par.

30,Fie B o functiOnれ

1沈 bili■ liartt

B=2"み >0.

alltisimetric焼 ,「 ク

Atunci,existtt o fれ milie de vectori{θ ん }1 libertt modulo KB,ぉ stfcl inc批

B(″ ,ν

)=Σ [B(″ , θ-1)B(y, θ) B(″ , θ)B(γ , θ 2ん

2″

O consecillttt a l■ li 29 este:

31.Dactt dil■ elllsiunea %al spatillllli de baz尻

2ん

2■

1)]・

ヨ este ilnpar悦

,

atunci llici o fllnctionalltt biliniartt antisillnetrictt pe E llu este regl11税 t沈

.

FllnctiOnalele biliniare■ leregulate pe■ tiOnλ le biliniallle′

ηθ ' se mai numesc fllnc― θ ″ αι θ foloseste si ln cazul ・Acelasi termen se θθ

funCtiOnalelor sescllliliniare.

§2. FllncliOnale sesquilillialc ,i pユ traticoo Lcgea inerliei Paragraful de fattt este dedicat trallspunerii teoriei dezvoltate in§ 1 la fuIIctiollale sesquiliniare I(",γ )(″ ,γ ∈刀).Ne vom opri elor rezultate care fる c s尻 勧partt intr― ull fel sau dottr arsllpra altul ,,antililtiaritaltea“ “

140

.

1:綸

ac鵬 ∴馬 縁

]recare a spatm皿

I(″ ,7)=Σ

ブ,た -1

η

eti:瞥 lξ rb,札 1:沈 電 f■llllctio■

ttt

ヽ１１ノ

Σ間 π

ν

一

=自 ζ 力

Xん

γ ルξ ttκ

Jι

(″

刀 .Matlliceaぃ κ→

Л∬

ale seSquiliniare se tralnsformtt duptt formllla gl ==t*st,

驀勁言 蝿鸞冨夢粥 省 賦駆胤ど 後 if辮 讐 品?f監 [fLが 出薔 術ι 1肝 出 鵬ヽ ηF辮 :fil絡 餓 K(r) : H(u, r)

(n e E).

(*)

π Σ

〓

１

″

／ １

ζ 一

γ‘

ロ

ヽ

・

．′，

I(″ )=

ト ゝ“ πい

Forntula (x) dn un epimorfism D de Ia spaliul funclionalelor sesquiliniare in spaliul funclionalelor pd,tratice hermitice. Spre tleo-seJ:rire d.e 2, este yalabil5, teorema : 32. Ornomorfismul 7r, este un izomorfism. Aceasta face ca d,tratice hermitice K(n) in baza A s5, .( i)1, r:t asociat5, funclionalei sesquili'i;i:;;i a funclionatei r;. in ac-elaqi timp, 犠 )・

\Iernbrul drept al acestei egaIit5,li d.etermin5, o formd, ptd,naticti hermiticd, pe C". 33. Dimensiunea spaliului functionalelor pd,tratice hermitice pe B este egald, ct n2, Formula 11 poate fi inlocuit5, prin 34. K(r * y) : K(a) + K(y) * H^(!/, n) -l Hflr, y). 141

De aici: 35。

17x(″

"=:え

,

K(″ +i物 :協

ル

rica*), O functionaltt Sesquiliniartt I(″ ,ν )SO numeste stttθ ι

daca

I(γ ,″ )=I(∬ ,ν ), St`%θ ι γ a, dalc沈 づ Si αηι jθ

I(ν ,″ )=一

I(″ ,ν

)・

Existtt o strlIIstt legttturtt intre functionれ

lele sesqllililliare

silnetrice si cele ajntisillnetrice.

36.Pentru ca o fllnctionれ ltt

Sesquiliniar沈 ]T stt fie aIItisilnetrich,

i sufiCielllt ca functionallal ittr stt fie silnetric汎 este necesalr §

De aceea,fuILCtiOnれ lele

.

sesquilinialre alltisillnetrice nu slllt esell―

tiれ l

diferite de cele silnetrice. 37.Pentru ca o fllnctioILれ ltt Sesqlliliniartt j日

(″ ,ν

)Stt fie silne―

necesar si sllficie■ lt cal fullctiOllalれ ptttrtttictt herIIlitic沈 asociattt stt nu ial dectt valori reale. ι α O alstfel do fuIIctionぉ 1沈 ptttratictt hernlitictt se ILumeste rθ α 38.Dactt Йr este o functionaltt ptttratictt real尻 ,atunci

tric焼 ,este

.

雅 Iぼ η ω =:照

″十 の 一 ζ ″― 醐 ・

VOll■ 皿 流 da uII clliterill de silllletrie in exprillnare matricial沈

(a Se COmpttal cu 6): 39。

Pclltru ca o fuILC,Onaltt Sesquilinlalrtt stt fie silnetric沈 ,este

o balz尻 oalllecare stt fie necesalll si Suficient cal lnれ 伊 iceれ stt g tta伊 ― 滋 α%ι Oα 巧 %η θι :

9* =9・ FllnctiOllalele ptttratice herlnitice reale pe lln spatill arit_ llnetic sc lll■ mesc follllne ptttraltice herllnitice rθ

sint fullctiOnale de forma lnetric沈 (γ グ ハタル =1・

αι θ. Altfel splls, olo

ξ κ ブ ノ , Cu mttrice hermitic si_ てた Σγ

′,た =1

x) Definilia precedentd a simeLriei nu are sens pentru funclionale sesquiliniare, deoarece daci o astfel de functionali verificd relalia Il(y, r): H(r, y), atuuci ea este identic nuli.

t42

ヽ 「om coIIsidertt problema red■ lcer五 lllllei forme sesqllilirLiare silnetrice la formal caILolliC島 , aplicmd metodal din §■ Fie l o funё tiOnaltt sesquiliniall焼 。 Stt definiln■ otiunile de sub― .

i de fal■ ilie]堅 ― ″ θ %ι α ι§ γ θ %ι α a de vectori in alcelasi mod ι ク ク ■.TeOremele 15-17 se pttstrettz尻

Spatill I― Cれ

∈=土 ⊃ゞ 五鳳謝ulltth」 ま 番 %鰹 蟄 密 a「 ∬ l■ 橙 }ft罵 ∫ .

'n§

s:\er!tt,,

(u, oeLlt)),

U:"rtet*o

atunci

H(n, y) : eH(r, er)H(!t, er) | H(u,

a).

Σ日 ″

41. X'ie E o funclional[ sesquiliniari simetrici ct rg H : r ) 0. Atunci, existS, o familie de vectori {a,,}i liberS, modulo Kr, astfel incit I(″ ,γ )= ■ lncle ε =三 二 上 ■ (λ

ελI(″ ,θ κ)I(γ ,θ κ),

=1,2,..っ

γ).

Reciprocぃ se COlllpara cu 18),

42.Fie r=(θ た }1 0 familie oれ rectte de functionale liniare si{α ″ )l un sir fhit oarecalre de numere realeo Atunci,functionalれ biliILi霞 沈re鋤 1沈 I(″ ,ν

κ ″ ″ )=Σ_1 α θ (″ )θ

(ッ )

々

eDte sil■ etric沈 ,iar suportlll sttu coincide cll subspatiul liniar gene―

rat de fanlilia「

.

△§ adar,γ クI≪ T Si,dあ Gtt fttlnilia r este liber沈 ,atuIIci γク I=γ Toorema 41 illnplictt teorema alsuprれ formei c例 ■onice n llnei .

funCtiOntte ptttratice hermitice reale. 43.Fie X(r)O fllllCtiOIL勧 1沈 ptttratictt herlnitictt realltt c■l γク1て

=γ E>0.

h aceste cOnditii,existtt o familie liber沈

{ん )i de funCtiO―

″

∫

〓

″

Ｋ

(a

′ で カロ

■lale lillialle, astfel hcit

se compara cu 23). 143

PriIL ttllalogi, cl1 24: 44.Dactt o fllnctionれ ltt reprezentλ sllb forma

pう tratictt

herlnitictt re幼 1悦

K(")se pOate

ｓ Ｔ カ ロ

K(″ )=

(**)

αん θλ(″ )2,

und.e g* sint funclionale liniare iar cry sint numere reale nenule, atunci s > rg J(. Egalitatea are loc dac5,, qi numai claci, familia,

i蹴 λ dnt hnhr l鉗 霜 1 ln repreze就 Tea← *)functbnttde θ た e譜 』鮒 :岸 rm麗 柵胤TЧt比留計 ,鴨 mij鶉 譜鷺 re {θ

α″ >0(deci si Cel α″0(″ ∈五,″ ≠

0)・

Dimensillneれ maximtt a subspatiilor lt Strict pozitivo se nu―

れι θal θrθ zづ ι づ υαθづ llleSte t名 湖jθ θ ι りを t“

α +1て 。

in mod ぁna10g

れ α

ttθ si笛

fllnc,onalei x si se ILOteaztt cll

se flefillesc subspttti■ e K― Sι ″

・ td鵠 焼 鶏 r饗鶴 籠Ff渤 ゎ

πθ αf'ど θ*)si ク

'cι

iヤ

K(″ )ン

0 (″

∈五

)・

*)_ を θ υ in mod alllぁ log, se iILtrOdllce notiulleal de sllbspaltiu X― η ttα ι 45。 ]Dactt o fllnctioll温 悦 ptttratictt herIInitictt real尻 五[(″ )Se

poate reprezeIItal sub forma K(″

)=Σ ακlク ん (ω )% ん=1

開 elt詣 島 i滞 電1:c鵠 留鴨1署 嚇 鶴 ‖鵠酔七譜 πα」 【 lti10r llegativi α :

:〕

rul coefictio■

λeste egal cllづ

.

*) in Ioc de l{-strict pozitiv,'I{:strict negativ, /{-pozitiv sau K-negatil ' se mai; poate spune /(-pozitiv, K-negativ, I(-nenegativ sau -I(-nepozitiv, rcspectiv. Iir acest, sens, vezi gi nota de la p. 275. (N.7.) 144

46・

じ %α 十五〔■

_亜 〔==″ θ

K.

de inertie.

Mai nlentionttm`%α un rezultat referitor la indic五 UII subsptttill L Se spune ctt este」

K(″ )=0(″ a、 im沈 47.Dilllellsiunett l■ ■

【― %θ %ι ″ %, dac焼

∈五)・

劉s■lbspatiilor K― ■Olltre

′+F,り とI)+α げ

,,lj得 (り

,し

este egaltt cl■

/.

F・

'ι

ill il■

cheierc,vom da clれ sificareal

f■

ll■

ctiOnalelor pう tratice her―

11litice l.eale.

O functionaltt K(″ (Ceea Ce implictt t%α

)Se nullllleste Stγ

rθ Zづ ιをυa dttc航 づηαttX=竹

jθ ι

K=0,α グ K=0,γ θ K=η ),pθ Zittυ αdac沈

tυ a dactt j%α _K=総 (Ceea ce il■ lplic誌 α_X=0, striθ ι2θ 9α ι jυ tt dactt j,3α X=0,α K=π αι X=0,'・ ttX=0.Func― 十 ),,oθ θ ク グ ― θ tiOnttele stl・ ict pozit市 e ca si cele Strict negat市 e se nllmesc α づ %づ θ 抗 se nllmeste ttθ α tη イ a dac沈 0, ι O fllnctiOn温 ι ィ η α ・ +X≠ げ ∫ j7ι α_κ ≠ 0.

lη

t'1′

Pc bazれ legii inertiei,Se poate deterlllina tiplll■ lnei functiOnれ le

dup尻 o rcprezentare oarecalre a ci sub forll■ a1 45.

§3。

SPaliul、 llllitar

Ull SP昴 ノ を %?ι ん tι α r este un spぁ till veCt01'ial complex ln care este drat lln l′

rodlls scalar al vectorilol・ .Se llumeste rγ θ α%S S6α Zα γo fllnc―

tiOIlaltt sesquiliniartt silnetrictt fixatれ ,cttreia li corespullde o fuIIc― tiOnaltt ptttraticう , hernlitictt pozitiv島 .Prodllslll scalar al vecto―

ilor″ si ν se l10tettz夙 (″ ,ν ). PliIL Clefirlitie,uII prOdus scalar este deci o fllllc,lonalltt cttre verifictt llrmtttoarele plloprietttti:

1ヽ

■ 十″ )(″ 二 十 2,ν )=(∬ 1,γ 予

(″ 2,ν

stγ づ b%ι jυ )rα づ

2)(α ″ %`ι α θ ι αノ′ ,γ )=α (″ ,y)rθ 7700θ θ

jι

α ι θ α メ ノ

3)(y,″ )=(″ ,γ )rSi%θ ι γ リメ 4)(″ ,″ )>0(″ ≠ 0)● ο Zづ ι づ づ θ αノ υ tα ι `α ・

Mel■ tiOnttm ctt proprietれ tea

(",α ν)==(″ ,ν ) rezlllttt dil1 2)si 3). ヽrector五 ″ si νai llnlli 夕 ι づ (″ _Ly), daC嵐 Jο αι

10 - c. 19,7

spaliu unitar se numesc (reciproc) orto-

(n, y) :

o,

145

adictt dactt ei smt OrtogoILali relativ lal fll■ lctiOnalal sesquiliniar焼

care este chiar produsul scalar. Teori&ortOgonalitttt五 intr― un spaltill llnitar are o forlntt doo― sebit de silnpltt ca si teoria ortOgonalittttii Vectorilor si a functiO―

nalelor liniare(§ 6, cap. I). Aceasta rezu]ttt formal din regllla― rit&tea produsullli sc狙 劉r si di■ l teoremele din§ 10,Cap.I.O clpli― CatiC Clttrtt al csentei fellomenului este dattt do urmtttoare& teo―

■ lllei fllnctiOnale

remtt fundalllentaltt asupra formei gerlerale a liniare pe llII spalti■ unitar.

48.Orice fuIIc,ionaltt liniar嵐

o repFeZentare de forlrnal

∫ pe u・ L

Spれ till ullitゐ r

ヨ

adlllite

∫(″ )=(″ ,ν ),

un%γ

tttt出

島他譜 r」 讐 lZOll10rfisIIl herlnltic.

Z籠

鮒籍 亀訛]プ ク=ν ノeste un

′ Acestれ este izomorfismul hermitic θ α%ο ηづ `lntre sptttiileヨ si E.El arpare■ l■lmai atllllci cmd spあ tiUlヨ e6te inzestrat cu o 6trTtWtt ulllitar嵐 , prin specificttrea unui produs scalar. In cele ce urmeaztt inれ cest capitol,spatiul jD va fi coIIsiderat unitar. plementl1l ortogonal*)al uILui sub― ヽ 「olll desemna prin五 ■col■■ Spatill tt diILtr― uII spatill unitar,adictt tot asa cれ

ortogollal in sensul din §6,cap.I. Cele dolltt modllri de n intelege termen■ll gollal`` sint echivale■ lte,in scIIsul c沈

,,col■

plomeIIt orto―

:

50.Dactt y este lln subspatiu al llli E′ ,Ⅳ ⊂E este imaginea ′ izollnorfismul hermitic canonic al spatii10rョ si E,atllnci

sa pri■ l

y■

si COmplel■ ent■ll

■

=二 3‐

,u■ lde

complementul ortogonal ltt sthga este 性lteles m

seIIsl1l ortogollalit嵐 t五 veCtOrilor pe fullctionalele liniare, lll t‐ lp

ce complementul ortogonal lれ

dreapta, ln sensl1l ortogollalittttii

illl i:」

enuntttHl t00reコ nele fundalllleLttale referitoalre la connple― menti1 0rtOgonalli. 訓 。 αt"Э 五■ ― θοα ら 五

.

`η

52.五 十 五■ =コ 53.(L■ )上 =ん 。 54.Dac嵐 五1⊂ 五ヵ atinci五 十⊃ 工場 55。 (五 1十 五2)・ =襲 ∩五吉;(五 1∩ 五2)・ .

.

t)

Complementele ortogonale

produsului scalar.

146

la

=襲

+L2・・

stinga gi la dreapta coincid, datoriti simetriei

LILLk U+k). De exemplu, familia {L, Lt} este ortogonali,.

56. D^acd,'o familie'd'e subspalii {Lt'\T este ortogonald', atunci tu suma I -to esie direct5,. &:1

57。

sau

sazn'd

五

.. ' @ -t.

L1@ Lz @

”① ト

Suma unei familii ortogonale d-e subspalii se numeqte ortogonald, si se noteazS,

Fie」じ =① 五t si,00nfOrm alcestei descompuneri,descollll― カー1

γ

〓

γ

鶴

“Σ

”

一

自

九 ０ 一 日 “

pullerile vectorilor:

(鶴 ,γ κ∈五κ)。

Atunci, (″ ,ν

(″

)。

た

particular,

日

Ｈ

ヽ １ １ ノ

五

∈ ″

／１１ １ヽ

∬

″

“Σ

一

″

″

″Σ

in

)=Σ ・,γ ん =1

盤等鍔 『識鮒椰 蝉1北 胤 ]鱗 ∬ ‐ 五 1「

II勇

]計

vector″ de formぁ

∈λ ″ κ (″ κ )verifiCtt "=Σ ん=1

″ =%十

υ

lui Pが

① rm descompuner五 五 」 ° ° °

seval,atunci fanlilial este ortogoILal沈

∫坦二器cft闇紺ち絆 ①

egttitateλ

.

O reprezentare unictt Sub fOrmal

:°

T)。 (%∈ 五, υ∈五

147

Terllllenul%din aceasttt reprezentare se nulneste rγ Ojθ りづ ο ι α θγ θο― παι tt αυ θ %t″ rθ S%b,r“ 五.Evident,tι =P″ ,undo P este θ θ ι "%ι 218,cap. II)corespllnztttor proiectorul(cf。 perech五 de subspat五 `%ι Dooarece al doileれ subspatiu al perech五 este llllic cleter― {五 ,Z・ )・

ll■

inat de prilnlll, P Illl depiIIde decit de L:

P=P(五 PFOieCtorul P(五 )se ILumeste rγ teaztt pe sllbspatiul五

)・

θ θιοr ογιοθοηα7(C[ピ

)・

59。

e proiec―

`ι

Pentrll ctt proiectorul P stt fie lln proiector ortogolllal,este

necesar si suficient ca Fθ γP=(I%P)・ Stt studiem aplicatiれ

60.P=P(五

P=P(五

.

).Fie P■

・ ). =P(五

).

61. Dac沈 五 」_21f, atuILCi P(五 )P(y)=0。 P(五 )Pfy)=0,れ tunci五 ⊥ xlf. Deci: 62.Dactt P(五

Reciproc, dac嵐

)P(y)=0,atunci P(y)P(■ )=0。

■LSadar,pe b&za teoremei 61,sllbspat五 le(reCiproc)ortOgonale

coreslDlllld ullor proiectori(reCiprOc)ortOgollali si vteversa. 63.Dttc沈 {五 κ }r este o familie ortogonaltt de subspatii,atunci

P(① ム)=Σ た =1

P(五 κ )

ん=1

(cf. 221, cttp. II).

Reciproc:

64.Dactt P(二 {五 λ )r est。

P(ム ),atunCi famim subspatii10r 五 ヵ )=ム

rtogollal沈 (cf.239,cap.II). 。

65.Pentrll ctt o falnilio ortOgOIIれ 1焼 de subspatii{五 λ}I Stt fie。

familie de baz焼 ,este necesar si sufiCient ca

)=I, adic嵐 Σ P(五 λ

力_1

1D■

Oiectorii ortogoIInli corespllnztttori stt constituie o desoompunere

a ll■ itttt五 。

０． 丼

￨

O descompunere a unit5,lii format5, din proiectori ortogonali se nunreqte ortogonald,. 66. Formulele Pk : P(Lh) (lt, : l, 2, . . ., m) stabilesc bijectie intre familiile de bazd, de subspalii ortogonale {Lr}i descompunerile ortogonale ale nnitd,lii {Pr\T. 148

Fie、

五L}F O fallllilic ortOgonal沈 oarecare de subspatii.Dθ S‐ 〔

COl12Panθ ″ αメ9″ 鶴αι θ a relat市 la aceasttt familie este aplic¨

Spatilllui E in suma cartezian■

ll比

嵐de

de spatii」

forl■ llllele r″

={″ κ }r″ κ=P(ム )″

ia r a

■ +五 2+・ … +五 物defi―

=1,2,… 。,%).

(λ

αθ sθ θ αメ %α ι a αυ θθ ″ι %j″ ∈E. ηr%%θ θ

Se mai、 pune ctt r″ eSte

9γ

6ι

tι

67. O descol■ ■ punere formaltt este un omomorfisln '・

un opinlorfism.De aceea,olnomorfislnlllノ

§i chiar etttれ al ,inVers la dl・

lui r(あ Se compara cl1 56),exiSttt si este un monomorfislln.

68.Omomorfismul J eSte de forma (*)

自

λ }1'

″

物Σ

︰ ′ ヽ １ ノ

五 ％① ト

Ｐ

pj : Ir,*L,+...*L-, jp :

／ ｆ ｌ ｌ ヽ

G9.

〓

J{″

Deci:

70.Dac抗 ″∈①れ,atunci κ=Σ P(五 ″ )″ Si reciproc. た_1 ん=1

71.Kθ γ r=(① 五″)・

.

た-1

1n acest mod: 72. I,,0′ ∈)」 【θ γr

=E・ 73.Pentru cれ descompuncrea formaltt duptt familia{五 ″ }r

stt fie lln monomorfisll■ (si, lIII cOllISeCint焼 , ullL iZOmOrfisIIl)este necesttr 、i suficie■ lt ca aceast螢; familie stt fie O familie de baz沈 Aceれ stれ propozi,ie pottte fi considerattt ctt f五 nd lln criteriu,

.

lll ternlel■

i de descompullere formall,pentrlL Ca O falllilie stt fie

o familie cle baz嵐

.

DacL o fれmilie{五 κ }r este o familie de bぁ z悦 ,atunci omonlor‐

fisl■ lul

」 , invers la dreapttt al descompuner五 formalle r, devme

inverstllブ

=二

r 1; fOrlnlllal(*)dtt O descompunere a ullui vector

Ⅱlilie

dattt de sllbspat五

.

″

五 Ｐ

´ で 日 の

(lllptt o ft■

Un t-Lspect important aI d.escompunerii formale apa,re in legilturi, cu egalitatea lui Parseval. 149

74. Dand, p:0

rului o, atunci

: {r,,}f este o (n,

unde

r:0-

descompunere formal[ a vecto-

7n

r) - \r(nr, nr) : i:1

jpn:*-

0", r),

i*,,.

A-1

75. Are loc inegalitatea

hti

Bessel:

\ t*r, rr) (

@, *).

Inegalitatea devine egalitatex) dacd,, qi numai dacd,, n .6"r. [-1 76. Pentru ca o familie ortogonald, de subspa!,ii s[ fie o familie de hazil, este necesar qi suficient ca egalitatea lui Parseval sil aibd, Ioc pentru toli vectorii a e D. Sd, consider5m acum teoria paralel5, pentru familiile cle vectori. Ea poate fi redus5, la teoria preced.entd,, dar poate fi dezvoltatd, qi in mod. independent. Se spune c[, o familie de vectori {eo}!' este ortogonald, dacd, a1)- e6 U+ ttl si orlonorntatd, dacra, in plus, (e6 e1) :l (h :1, 2,...,m). Aqadar, pentru o familie ortonormatS,, au loc reialiile (ei, er) : 8ir,. Este evident cd, orice subfamilie a unei familii ortogonale (respectiv ortonormate) este ortogonalS, (respectiv ortonormatd,). 77. Dacd, o familie ortogonalS, de vectori nu conline elementul nul,-atunci ea este liber5,. In particular, o familie ortonormatS, este totd.eauna liberil. Yom presupune, in cele ce urmeaz5,, cd, familia ortogonald, consideratd, {ar}i' nu conline elementul nul. 78. Fie teolT o familie ortogonalS, cle vectori. Da,cd, n : iorr*

atunci

,r :$ r), (k:r,2,...,m,) (er, ax)

(tormulele Euler

-I

ouri,er )

*) Chiar egalitatea lui 150

.

Parseval.

,t-:1

Forll■ lllele l■li Euler― Fowier lII cttzl■ l

capttttt o formtt doOsebit de sil■ pl沈

unei fanlilii ortollorlllttte:

=■ ,2,…

θ″=(″ ,θ κ)(λ

.,%).

五 。 ∬跡 ぜ」器盟s鑑 占蹴 e蒻:J鮮 れ鮒i職 F器 1。

calre relat市 la o fttmilie ortottnal焼

{θ

″ F Sht

definiti prin egali―

ttttile

0=1籍 ・ 颯 79。

Operatorlll P calre actioneaztt duptt forl■ P″

=Σ

ulれ

θ E) κ (″ ″ (″ ∈ )θ

ん=1

falttillle{騨 rrrOiectorul ortogonal pe sllbspaltiulliniar.gellerat do 80. ニ ミre loc tη θ づ ι αι θα ι %う Bθ ssθ ι クαι (″ )12(ら ,。 Σlθ κ

ん_1

L・

)≪

(″ ,″ ).

■]a de、ア ille θ θ αι %づ Pα γ sθ υ αι θα7:`α ι :

ん (″ )12(ι た , θ ″ )=(″ ,″ Σ θ

),

λ=1

,dac嵐

,si llum&id猟 ふ,″ apalrthe subspatiului linhr gellertt de

familia{θ ″ }撃 。

Pentru o familie ortol10rmat沈 , inegallitttea lui Bessel alre o

formtt mai simpl沈

:

Σ Iの (″ )12く

ル=1

(″

,″ ).

｀ litatea llli Parse■ 物l devillle

1】 `ダ

(″ )12=(″ ,″ Σlθ κ

)。

″ =1

151

81.Pclltru cれ o falmilie ortogonaltt de vectori{θ ん }r Sh fie o

baz沈 , este llecesar si sufiCieIIt ca egalitatett llli P&rDeval stt fio

θ verificattt pelltru toti vectOrii r∈ 」 .

Egttitれ tea lui Parseval ioれ ctt r。 lul llll numai de criterin de

colnpletitlldine,ci si de criterill de ortogonalitate.

82.Pentrl1 0 familie de vectori「 ={%″ }r,care nu contine

vector■■ l nul, egalitateal llli Parseval

[=し 二十がギ ,0 este verificattt pentru toti VectOr五 ″∈五(「 )daC島 , si nlllnal dacれ familial este ortogonal嵐

,

.

RemalrcttIIl c焼 , pe baza lui 77, o familie ortogollaltt esto o baztt dac尻 ,si n■lmai dac沈 ,aceれ sttt fallnilic este col■ plet嵐 .O fal■li― lie ortogo■ lal悦 (OrtOl10rmat流 )oomplettt se■ lumeste bα zα θ て ,90,ι α7れ ι θ,00γ %α ta). o baztt ortOIlormれ ttt este o baztt care coillcitle cll (θ γ ,'ι

baza sa dualtt abstractie fttcind de izol■

orfisl■ llll herl■ litic

ca―

83.Pentrll cれ O familie ortogonaltt de vectori{θ ヵ }rSユ

fie

IIOIIIC.

complet沈 , este lllecesar si sllfiCient ca siIIttul veCtOr OrtOgonal

pe tOti Vecto■ 五fal■lliliei stt fie vectorul nlll(cf。 173, cap. I). Altfel splls,egalitれ teal cu O a oricttrui vector pelltru care toti coeficiellt五 Follrier relativ la fanlilia dattt sillt nuli, este llll cri― terill de comlDletitudille. Teorema 82,lmprellntt cll teoremal as■ lprれ formei cal■ olliceれ 、 llnei fl■ nctionalle

ptttratice hermitice reale,collduce lal url■ litorlll

rezllltat f■lndamental.

84.intr_un spatiu llnitalr E existtt totdeaunれ O baz沈 lnat沈

ol'tollor―

.

Se pot construi baze OrtOnormate care stt verifice coILdil五

Sllpli―

mentare.`]De exemplll:

ぷ lttlt隊 躇 ,∴ 凱鴛但 Ⅷif%鯖 tr肌 認∬%λ 難 astfel lncit sllbfalllnil五 le {θ

″ }11,(θ ん:‡ 12,...,{θ 力 }″ 1+.… ″ _1+1 燿 }劣

stt fie respectiv baze in subspa,ile Ll,12,… col■

° ,五 員

° rd;″ Ci pletttCl」 111ヽ 視 野跳 。 圏露 狙 盟 1綿 1:器 .

hf補 欄 泥げ場橋 響 蹴ざ聯l鯖 152

_41tfel spus, {%κ }l exiSt沈 O baz沈 ortonommat尻 {θ κ }, astfel mcit pentru toti m=■ ,2,… 。 ,総 ,SubSpaぃ ile liniTe gene―

88.Pellltru orice baz元

ralte de subfttmiliile{%.}r si{θ ん }r COincid.

SttfT=翻

l鳳 FTtte轟 れ も 窃讐讐 ,VT現 撃 七β re:

izJ?亀1職

se falce cll ailltOrlll u■ lor lnatrici trill■ lghiulれ

θ %ブ , ん=Σ α κ ノ ノー1

%み =Σ ′=1

θ κ β ブ ′ (λ =■ ,2,…

.,総 ).

ExistS, o metod.5, recurenti, simpl5, pentru construirea efectiv[, a unei baze ortonormate {er}T, ,,triunghiular echivalent5,"

cu baza c7atd, {u1,}il este metoda d,e ortogonalizare Bonin-Bchmid,t: 89. Fie {rr}f*' o familie liber5, oarecare, ttr}T o familie ortonorrnatd, pentru care subspaliul Iiniar generat coincide cu subspa{iul liniar generat de familia {ur}f. Fie

θ+1=2ι れ 十 二Σ lι

(%π +1,θ

たκ(pentru,,o=0;θ i=%1). )θ

ん=1

Jttunci θ12+1≠

0・

Fie apoi θ 為+1

Amit : llr(θ

九+1,θ 鳥+1)

ln aceste condilii, {t*}T*'este o familie ortonorma;ti pentru care subspaliul liniar generat coincide cu subspaliul liniar generat de familia {ur}?*'. Procedeul de ortogonalizare conduce iar la teorema 86. Mai mention5,m faptul c5,: $0. intr-o bazd, ortonorrnat:i {er}!, produsul scalar are forma ｌ ヽ ｌ ， ノ

η

Σ日 ″

ν

〓

〓

Σ日 多

″

一 硼

〓

″

ν

″ Σ由

canonicX:

Aされdar, mれ tricea produsullli scalar ttIItr-O baz沈 ortonormatS, cste 』natricea llnitate. Acest fapt este caracteristic bazelor ortollorll■

ate.

91. Dac5, intr-o anumit5 baz[ produsul scalar are nici, atunci tlaza este ortonormat5,.

forIInス cal■ o―

153

in

mod analog, baza ortogonald, se caracterizeazd, prin faptutr produsului scalar il aceastS, bazd, este diagonali,. In cazul general, matricea unui produs scalar ln Joaza {oe}f este cle forma ん=(υ ブ )(J,λ =■ ,2,‥ .,%). ,υ ″ γグ cd, matricea

Pentru orice familie de vectori{"κ }r mtttricett ale cttrei ele―

mente slllt■ lumerele

,ω κ )(J,λ γノ ″=(ω ブ

=1,2,.… ,%)

″ じ θ θ se numeste ψα ι αθγ αm a acestei familii de vectori..II¨ riCea rectori este herlnitic simetric嵐 伽 alll a oricttrei fannilii de ■ FolosiILd lnatriceれ Gralln,vollfl gelleralizal inegalitatea lui Bessel .

Si Criterilll de completitudine(egttitatett lui Parseval)la fam■ iile

libere ottecare.MentiOnttm penttt inceput wlntttOttea propo― Zitie:

92. Pentrll ca o familie de vectori stt fie liber沈

, este llecesar

hb∝ er=拗 』 Ъ 憲漁.留Ⅷ fundhm血 ギ 菅鰍聾れ r沈

Si SufiCient cL matriceL stt Grttm Stt fie llesingulれ ]夕

.

tこ

〔(″ ,α Fl)(″ ,11,プ )(″ ,1ズフ ■ )く 〔 ∫ Σγ

)

ゴ,ん =1

″∈ヨ.Egalttatea zre 10c dac沈 バi numれ i dacl,

pelltr■l tO,vectOr五 ″ ∈五 (「 ). 94。

Pentru ca o fall■ ilie liber沈

cesar si sufiCiCIlt ca

∫ Σγ ブ =1 『

1)(ω

κ

{ω }r stt fie col■ plet沈 ,este

ne―

,"ブ )(″ ,"κ )=(″ ,″ )

,ん

peILtr■ l

toli veCtOr五

″ ∈コ

de 2湖 lfT器 ]:轟

.

肌需彗:辮 ilⅧittath unLar■ olmnea

)撃 「 ={"κ , P*={ω 惹 }I。

se ILumesc bづ θ″ι οθθηαι θ, dac沈 (ω

,"オ )=δ ル ′

(プ

,λ

=1,2,…

.,第 ).

De exelnplll,o fanlilie ortOIIoFlllZ洗 沈 ll■■ este altceva decit o faⅡlilie biortogollal嵐 ■olativ la ca insttsi・ TeOriat generaltt a famil五 lor bior―

154

togonale de vectori se obtine din teoria dezvoltattt m

§6, cap. I 187-192)prin intermedilll izomorfismului hermitic canonic rmれ re,Il■l necesit沈 o oonstructie sepalllnt焼 。Ne vom mttr― ,i,prin■ ■ (cf。

gilli stt dttm wmtttoarett geILび alizareれ formulelor llli]Euler― Fou― rler. 95。

Dac汎

∬=Σ ξ りた ん ,atunci ん=1

ζ L=(″ ,9tl惹 (a Se COmpれ ra cu 168, cap. I).

)

De aici:

96.f″ ,″

)=Σ

た=1

(″ ,ω

オ )(″ ∈五f「 )). )(ω ,ω κ

AceastR este egalitttteλ llli Palrseval peIItrll falnilii biortogo―

nale. Inegalitatea lui Bessel■ lu se transpune la falnilii biortogo‐ nalle,totusi,egalitateallui Pれ Isevall contlll■ ltt Stt fie un crite711iu bun

de completitlldille.

97.Pentru ca o familie{り

.)[ι

si suficient ca

Stt fie complet焼 ,este necesar

)=(″ ,″ Σ(″ ,ω 惹)(″ ,oυ κ

)

力=1

PT器 総:i織 電ヽ あ♂ld・ matric五 衝am biortogonttle.

98.PrOiecua ortogOnalltt a llnui vector"ブ

Cu Σγ 1)ω 芳 ,・ nde(γ ル ― .este λ j「

)1た

lntttriceれ

m teonafa面 h■ or

pe五 (「 *)este egal沈 CIl・

am a familiei F*.

=1

1n Palrticular:

誡

]Li織 :脚 ‖TL欄

鮒 調 器紐]△

=剛

皿航市 h

θ ノ=Σ 怖 芳 1)θ

,

た=1

unde(γ ブκ)lκ ‐l este maltrbett GIIれ m a bazei△ *.

De alcl: 100。 Matricile Gram ale bazelor biortOgoILale

llla verse ■

alteia.

△ si △*

siIIt ill…

De aceeal, descompuILerea1 99 se mai poate scrie sl■ b form勧

:

θ θ ″ ・ 芳=Σ γ プ ノ ノ=1

155

§40 0peratO■ ul

adiunct・ Subspal五 ortOgonal reducltoare

Fie tt un operator li■ liar Oarecれ re

Stt cOIl―

° 将Fi枷 1盟需llワ マts削訛 (_4*θ )(″

)=θ (五 ″)(″

m叩 ト

∈刀 , θ ∈E*)。

Trecem peク diILヨ *mE′ cll ailltOrlll θ ο ゥ〔 aγ づ ,η r7θ ″ θ ″ ク canonice,apoi din亜 彊 ln E cu ajutorul izomorfismull■ i hermitio canollic.“ liCatia astfel obtinuttt de la刀 *lII E se noteaztt cu r. 101._4plicath r este un izomorfism. 6 mtte spttme E*■ E ctte lι

ぼ ″°

PottTttettξ :TI褥 102. メ 生re loc identitntea

θ(″ )=(rθ ,″ )(″ ∈E,

g∈

コ*).

Reciproc: 103. Dactt pentru o fllIIctional焼

鋤ntiliniar尻

ク, dat島 ,

are loG

iclellltittttea

pΨ

θ(″ )=(γ ,″ )(″ ∈ヨ ),

満und γ=r多 満 1躙 II〕 盤器夕

104。

,7)=(″ ,

(五 ∬

r五

*r-ly) (″ ,γ

∈E).

Operatorlll r五 *rl,similar c■ l opuatorul五 *,れ ctioneaz尻 ln Spatiul Eo Al・ tlld)ui stt fie numit adiuIICtul i■ ltern al operatorllllli

ι %7 1ui∠ _4,dalll il vom numi,oo■ form traditiei,α 巧%η θ llota, ca si plllltt aculll■ , Cu 五*. Identitれ tea 10/■ ial ac■lm follll■ a

,7)=(″ ,五 *ν ) (″ ,ν

(五 ″

si il vOllllL

∈E)

Si pOate folosi cれ definitie iIItern尻 (fttrtt a iesi dinヨ )a nOului ope―

rator adiunCt五 *. 105.Dac嵐 operttorii tt si B pe Spatiul E Sint astfel inclt

atunci B : A*.

(Aa' Y) : (u'

BY)

(″ ,ν

∈E),

Func,tionala

H(n, A; A) este sesqui iniar -tDo

:

(Aa, y)

(″ ,ν

∈E)

(*)

106. _4plicれ tia deterllllinattt prin formulal(*), de lal SIDatilll operttori10r m spatiul fuIIctioILa1010r sesquiliniare, este lln izo― 1■ orfism. Aceasttt prOpozitie poate fi completalt沈

107.

■llatricea

.

flllllctionalei Lr(″ ,

L)intr-O γ; 」

baztt ortonor―

m航 沈 oarectte{θ た }I COinCide cu transpus&matricii operatorului 五 (1■ れ Ceeasi bれ zり .

De aici rezulttt ctt lnatricea operatorului tt este de forlna αル ー (五 θた ). ,θ ノ 108。 I)鋤 ctt

Il1011rnれ t沈

a este lnatriceれ unui operator tt intr‐ o baz■ orto―

, atunci lnatricea operatorullli ノ1* 色■ aceealsi baZtt este

egaltt cll a*.

ミ、m enumera prOpriettttile tullldamentttle ale Ope/11atiei de trecげ e la operator五 aldjuILCti. 109.五 **=五 (egalitatea este strict悦 ,れ dictt nll numai ab― stractie fttclIId de izomorfisllllll canonic).

B)*=五 *+B*・ 111。 (α _4)*=7五 *. 112.(_tlB)*=B*∠ 110。 (五 十

*・

113. ]Dactt opellatorul tt este reglllat, atunci operatorlll 五 米 este si el regulれ t si(五

*) 1=(五

1)*・

Ca un corOlar:

1絲 砕 亀 鼻 き fttllll籠 説 tf*brettdm h o brm抗 面 silmpl嵐 ,

lntrucit Operatorul adillnct actioneaztt de dttta accasta

.De aceea,al doua si tt trein teoremtt a llli Fredhollln se enunt軌 , llll acest cれ z,fttrtt a mai iesi diIL Spati■ ll E・ M volll mali da cllllILturile llIL lil■ bajul teoriei ecuatii10r, ci voⅡl indicL doar relat五 le f■llldalllentale.

chiれ r in spatilll de baz焼

115.Iπ _4*=(K`γ 五 ,Kθ ″五 *=(I協 *=α グ 五・ 116.γ ク五*=γ ク五, α グ五 )■

五 )・

.

Cll ajutorlll teoriei lui Fredholllll se poate regttsi relatia σ(五 *)=σ (五 )

(Cf. 119, Cap. I)si Se pOt stabili urmtttoarele propozitii:

孔,e綿 艦:]∬密rttr鍵 。 潮 が鳴e惚ド 棚: 「 θ た θ I Sint COmplex oonjugate.

bazllL]蹴

{鮮

proprie L opertttorl■ lui 五 * si Valorile prOprii corespuIIlztttoa■ o vectorilor si

157

118.Subspauile scalare ale lui tt si五 *ctte cOrespllnd unor λ ,μ ,dill speじ tru,neconiugate(λ ≠ 7),Sint Ortogontte. °Wブ *),dactt valorile propr五 Pl・ in urllltte,[Wκ )]■ =Σ (五

p■ LrlCte

ブ≠ん

din cele dolltt spectre se “llumeroteaz沈

lII mod corespllnztttor.

Vom studia legtttllra dintre subspatiile invariante alle opera―

ノ 1*. 119. Dac沈 五 este un subspatiu inVariant pellm operatOrul 五, 鋤 tunci subspatilll tt■ este invariant pe]勤 r■l operttorul五 *. De asemenea,(五 五)*=P(■ )五 *￨五 ,unde P(■ )este prOiectorul tollilor _‐

L si

ortogoILal pe五 gθ %α ι Se spulle ctt lln subspatiu五 ″ θ %θ θθ α γ ι θ llll operator 五 dactt atit sllbspatiul五 ,Ctt si complё lneIItlll sttu ortogonal 五■ .

sint hvariante pentru五

,

.

120.Pentrll ctt llII Sllbspatiu tt Stt reductt ortogollall un opera‐

tor_左 ,este llecesar si suficient stt fie invariallt7 atit pentrlL」

*.TOtOdat沈

*￨五

L cit

,(五 ￨五 )*=五 Stt iIItroducem lllotil■ Ileal de sumtt ortogonaltt de opellatori.

Si pentru五

.

Fie lln spatillヨ descompus m suma ortogonal尻 ヨ ー ① 五″ 力_1

de subspat五 invariれ ILte,Ilenl■ le,ale lllllui Operator_左 .h acest caz, operatorulノ 生se numeste S%%α ο γ θ gο η ι αZa a pttrtilor Sale corespun― ztttoare: ′ グ ″ 五

=①λ_1 五 ″

Este evicleIIt ctt fiec2ぱ e subspatil■ l_■ tor■■

.

ttκ

redllce ortё gonal opera―

.

οgθ %α ιづ se splllle ctt un operator este θγι γθ α%θ ι づ bjι dactt el llll

poate fi clescompus m sumtt Ortogon狙 焼 netrivial沈 , aldictt IL■l admite un subspatiu OrtOgonal reducttor netr市 i狙

dac焼

.

121.Dac沈 ∠ =① 五ゎ atunci五 *=① _4脊 λ=l λ=1 ■ Illltilllea subspaltii10r ortogonal reductttoare alle llllui operal― .

tor _l allle o stlluct■ lrtt algebrictt determiILat沈 , Ceeal ce nll este

in general adevttat pelltr■l subspat五le reductttoare: 122.Suma si intersecth ullui■ lumttr oだ ectte de s■ lbspれ t五

ortogonal red■ lctttoare este lln sllbspaltiu OrtOgoILal reductttor(ぁ se compara cl1 51,capo II)。

158

′ ′

§5. TooFia Spectraltt a operatOrilor autoadiunoli・

A19obra proiec″

loriloll ortogollali

E se numeste α%ι οαの

‐ l operator S pe un spatiu unitπ dac沈

lι

,06ι

S*=S, 例dictt dac沈

ド ″,ν )=(″ ,Sグ )(″ ,γ ∈ヨ). Multilnea Operatorilor autoadjuncti pe E Va fi IIotattt C(刀 123.Pentrll cれ

五 ∈ C(ヨ ),este

sesq■lililliar嵐 ヨr(∬ , ν ;五 )stt fie silll■ etric沈 12/1。

)・

necesalr si suficiellt cれ fuILCtiOIltta .

Pentrll ca lln operator stt fie alltoadjulllct,este necesar

Si SufiCient ca lnatricea sa, intr‐ o baztt ortonorlnttt沈

fie&utoadjllllct尻

oarecalle,s沈

Vom da cite■ ‐ a exemple de operaltori autoadjuncti. .

iector ortogonal este llll operator autoadjunct.

1251」 ]rlCe pr°

126. Orice proiector れ utoれ djunct este llIL prOiector ortogonれ

1.

127.Pentru orice operator五 ,operatoriiコ生*五 § iノ 生 五*sint auto‐

adjuIIcti.

128. Pentr■ orice opellaん or 五 , operatorii

*, 十 五

s=五

T=五

2

五* 2i

smt allltoaldjuncti.

Ei se numesc respectiv rα γι θ α γθ αι κ si

ratorlllui五 . Este clar c沈

五

Reciproc: ゛ 乳 坦

TC焼

五

=島

十

ι θ αう rα γ

gjη αγ tt a ope―

"Oα

=S+ir.

ia unde島

(*)

ゞ 乳 ∈q助

,航 und島 _s

g・ ° ttθ 嘲 狙repreze就 嵐 ■ob、 nutte a 肌 造譜胤Ъ晨 露 Ψ 130.Dalc沈 五 este

uII s■ lbSpaltill inVallliant all unui operator auto―

eSte lln oper〔

3:FllCt S' atunci restrictitt SI五 131.Dactt Sl si S2∈ C(E),atunci島

un numar re狙 ,atunci

ぇ ん or alutoadjullct

+S2∈ C(コ ).Dactt

α este

αS c C(E)pentru orice S c C(E).

159

△cettstれ arattt ctt GrE)este uIL,p■ t%υ θ 6ι ο づ γ αιγθ α7(cf.Cap.VI). Dactt S∈ 0(E)si S≠ 0,atu■ lci αS c C(ヨ )dOar pontru∝ re温

.

De aici si diIL 130,rezlllt沈 o propllietate remarcabiltt al spec―

trlllui uhui operator autoadjullct: 132.Spectrlll ulllli operator alltoaldill■ lCt este real.

Totodat沈

,

133.Fttlnilia sl■ bspatiilor prOpr五 ale unlli operator alltoadillIICt

este ortOyILall焼 Este e鋤 oare si o fallnilie de baz焼 ?Aceasta este problemtt cell― .

tralltt a teOriei operatorilor autoadjuncti.Urmttto『 ea lemtt poate fi fo10sittt pelltru a rezolva ttceasttt problem悦 134. Pentr■ l lln operator autoadillIICt, Orice sllbspatil■ lliれ IIt este ortogon勧 l reductttoll. Se stabileste usor c沈 .

135。

FamilM subspat五10r proprii ale lllllli Operatbr autoadjuIIct

este o fall■ ilie de baz沈 Mai

i■ lVa_

.

Astfel,dactt S∈ G(E),atllIICi S eSte■ l■ operator de tip scttar. llrl■llt,pe bttzれ lui 84: 136.Peitrl1 0rice opgator al■ toadjllIIct,exist悦 o balztt proprie

ortonormat沈

.

illl termelli de descolnplllllere al ulllitttt五

137. Descompllltereal■ ■ llitttt五 ortogo■ lal島

:

ui operator allltoadjuIIct este

.

AsRdar,S― 鋤 Stabilit ι θθγθ "2α

adillIICti・ 138。

l■ l■

″αι ι a pentrll operator五 auto― ,rθ θ ・

]Descompllllerea spectraltt a ■ ■ Illli Operator autoadillIICt

este de forma

S=Σ λλPκ

,

λ=1

unde{Pκ )r

este descompllllere& ortogoll温 抗a llllit沈 ぃi iar{λ た }7 de nllmere reale(cf.227,cれ p.II).

este o l■ ■ ultillle

Reprezentarett este in esenttt ullic焼 139。 Dactt ulll operator a■ ltoadillnct se poate reprezelltれ .

sub

forllla

*

^r

″でカ ロ

),,7

〓

Ｓ

uncle

I'rPo'

0 * h), Pr sint proiectori, iar f ,, : ,, h:r

atunci

{Pr}T este descompunerea unitH,lii pentru operatorul S, iar mul-

-timea {a.r}f este spectru} 160

s5,u.

Pκ ,unde λ λ

Este evident ctt orice operaltor de forIIltt S=Σ λ=1

鮮

鴫椰聯

刷蝋

alltoadillllCu accia,si■ l■lmai aceia,care all spectrul real si adlnit

o baztt ortoIIormattt proprie.Stt vedem ce falnihe de operれ tori Obtillem dactt cerem doar ca spectrul stt fie real si operator五

s沈

fie de tip scallar.

140.PCIltru ca un opellatoll de tip sca12ぽ stt alibtt spectrul real, este necesar si sufiCient sl fie sill■ ilar cll ulll operator alltoatliunct. Un operator similall cu ll■ l operator autoれ diunCt Se numeste st%θ ιjzα bjι

.

,・

Putcm cottplettt acum m.nod substantial teOremれ cu pr市 ire ltt formal caIIoILiC沈

勧

ullei fuILCtiOnale sesq■ lillILiare Simetllice.

141.Pelltru orice f■ lILCtiOIlaltt sesquiliILiartt silnetric沈

「 (″ , 7), コ {θ κ }I, 力Stfel ＊ ヽ１ ︰︰ ′

η

Σ日 ″

ν

〓

′こ ︶

″

〓

日

／１ Ｉ︲ヽ

一 山

λ

‘ゝ

″ Σ

〓

γ

″

Ｉ

Asad.ar

π Σ日

pe ulIL Spatill lllllitar, exist汎 o baztt ortollorl■ at沈 lnc範

:

142. Pentru orice funcl;ional5, pd,traticS, hermiticd, reald, K(n) pe un spaliu unitar. existS, o bazil ortonormatil ler\1, astfel ＊ ヽ１ ︰Ｉ ノ

"o%ι

〓

Aceasttt balztt sc IL■ llneste stsι θ tiolllalei.

Σ間 ″

″

／１ ︰１ ヽ

λ

〓

”

Ｋ

Σ日 ，

incit

αθ α″θP'｀ t%θ

α:θ ale func― “

RelnalrcぁIrl ca:

143. in reprezeIItttrile caILonice 141 si 142, ln■ lltilnea cOefi‐ Cienti10r{λ ″ }I eSte unic determinれ ttt pintt la o perlllutare(a Se

compara clL 45).

Teorema 1/42 adn■ ite urmtttoarea mtellpretare ilnportallt沈

.

￢ ￨`)N umerele λ ″ (■ =1,2,… 11 - c。 1977

Ⅲ珈 .■ )Sint,in

plus, reale(NR.)

161

144.Dactt K(″ )si XO(″ )Smt fllnctiOnale ptttratice hermitice

rette,pe uII spati■l Vectorial,si dalctt fllILCtiё nala z[0(″ )eSte pozi― t市 沈 ,atunci exist嵐 o baz働 {θ た }【 ,astfel incit

Σ日 多

K(″ )=

λ ん にκ 12,x。

(″

θ κ ″ )=Σ た2(″ =Σ_1 ζ ん=1

)・

lξ

ん

Aceasta este ιθογθttα γθα%θ θγづi st,%%ι ι α%ι forma talloltic沈

p五 etttti殿

.

i既

理轟品旨需

=ζ O・ 蟹 ∬き Ъ ∬

a dolltt fllllctiOILale la

錮冊l''議

' Vedem care dtt pЮ

―

6. ]Dactt λ este reれ 1, atullci Rλ (S)eSte llll operator ttutbad― lII訴 ・ 001LSiderhd fllllctial SC&lartt fle form鋤 (」 Rλ ″,α )unde ″ este

i■

llllL VeCtOr arbitralr fixat, llenlll,se poate gttsi o prOprietate mai profllnd焼

・Functiれ lital∬ .

(Rλ

らのeste realtt pe ttxa reatt si、 ア

erific沈 ogれ

31■ (Rλ ″,″

―

)>0

129,cap.II). O hnCtie 9(λ ),0101nOrftt in selrliplanul sllpttior Stltλ >0, mcだ e se verifictt inegalitatea tlltΨ (λ )>0,Se llllmesteル ι %の jθ / θⅣθ υ α%ι t,9%α )*). (Sallル ηりづ Nll este grell de artttttt ctt fOrmれ gelleral悦 れ llnei funct五 ノ r,

,II selniplanul sllperior(cf・

ratiOllale, 9(λ ),Care se aILl■ leaztt la illfi■ lit este:

9(D=』

ギ≒ '

llnde p91ii λ″ Shlt reali, iar rezidllurile 6.― ― pozitive.

Deれ ici se poate obtine diII Iloll teOrell■ rttorii alltoれ dJlllllCti.

Clttf雌

a spectrれ 1沈 pentrtl ope―

eょ

躍 諸∫ 露ellttrC為 轟在 卸 剛 響th乳 ‖盟開L Φ lllctii10r olomorfe m veci.ltttatea spectr■ lllli poate fi inlo‐

s a f■

→ Sau functie Herg10tz(N・

162

T)

n配 計 ir吼 ょ 1ミ c謬 盤:私 lu留 跳糧:鰍 挽 鷺ettaぷ 霊品よ 9(S)=Σョ カ

148.[9(S)]*=下

・

9(λ .)Pた

1

(S)・

I)ecl: 149。

Opttatorl11 9(S)eSte autoadil■ nct dac沈 , si■ llllnai dac焼

funCti鋤 9(λ )este realtt pe spectr■ ll Teoritt ecllatii10■ Operatoriale

,

。(S).

ψ(X)=五 deville ll■ ai silnpltt in clas鋤

operれ torilor autoadiuILCti.

150. Fie S un operator autoattunct,

ψo fllnCtie Oarecare,

ll complex.Pelltr■ l y de p■ lⅡcte din plal■ ■

defi■ ittt pe o n■ ultillne

ca ecllatia

ψ(X)=S stt aibtt o sollltiC autoadillncttt X,este necesar si suficiellt ca ecutttial

ψ(μ )=λ stt aibtt o sollltie reぁ

]嵐

μλpentru orice λ∈。(S).Pentrll ca solutia μλStt fie u■ lictt peIItru orice

l stt fie unic沈 ,este llecesalr ca sollltial

λ∈

]:11:嵐 rtic.llar :

151.Fie r uIL Ilumar ntttllral.Ectlatia

X'=S, unde S este lln operator autoadiuILCt,aldlnite totdeallllla o sollltie

autoadillnCttt unictt X, pentrll r impar, dactt r este par, ca admite o sollltie alltOadiunCttt dac嵐 ,si numai dれ c銑 ,spectrul ope―

ratOrLlllli S este poziti■ ‐ ,iar solutia eSte unic・

沈ln

clastt operato―

rilor cu spectrll pozitiv.

Da3沈 spectrlll unui operator autoれ diunct eSte pozit市 strict pozitiv),altullci operaltor■ ll se nllmeste rο ″

tυ

(Sι

(resp・

,

″づ 6ι を υ). rο Zづ ι

Pe bれ zれ llli 151,ecuati勧 」 κ2==S,uIIde S este lln 'ιoperator pozitiv,

*) De altfel, acest lucm estc valabil nu numai peirtru opcratorii autoarljuncfi ci, in general, pentru operatorii de tip scalar. ００ ■υ

adIL■ ite

O sollltie poZitiVtt llILiCtt pentrll orice r・

ACeasttt solutie

1

ooincide cll rttdttcintt aritmetictt S夕

.

152.Ec■lれ tial

eX=S, llllde S este lln operttor strict pozitiv,adFl■ ite o sollltic autOad_ jllncttt u■ lic沈

.

%S. Aceぁ stt solutie coincide cu determinarea principaltt a l■ li ι Relnarcλ ■lll cれ

153. Orice prOiector olltogolIIall P este un operator pOzitiv. EI ILu eSte strict pozitiv decit dalctt P==I. 154.Pentrll ca ull operntor alltoaldilllllCt S Stt fie pozitiv, este ILeCeSar si suficient cal (S″ ,″ )≫

0(″

∈E).

Pentru ca uIL OperatOr S stt fio strict pozitiv,este lllecesar§

i sllfi―

CiCILt Ca (S″ ,″

)>0 (″ CE,″

≠

0)。

Prin wIILallle,pozit市 ittteR strict焼 (pozit市 itatea)勧 unui Ope― rator autoaldillILCt eSte echivalenttt cll pozitivitatea strict汎 (pozi― itice corespllIIztttoare. tivitatea)a fuIILctiollalei ptttratice herl■ ■ 155. Pentru orice Operator 五 , operatorii五 *21 si_■ 五 * sLat po― zit市 io Pentru ca unlll dintre ei(oriCare)stt fie strtt pOzit市 1曽

neCiX勢

ン サ 響 」 Ъ″ Tttγ 157.I%五 *五 =1973五 *, I協

ち ツ ≧ ]勝 五五 *=I鶴 五

,este

‡ .

.

Asadalr,

″g ノ1*=生 ==γ θノ1* =,。 θtt E=γ ク 五ノ1*・ ヽrorn da reciproca teorelnei 155。

158.Dactt S este llIL operator pozitiv,れ tunci existtt lln opera― t°

rk_' astfel lnctt S==コ

生*ノ1五

lealztt fac apel lal matricett Gram.

乳輸 粘卜 1確 1棚 撃 紺 認訳閻日 メ乳翠 ャ 『 Zitileciproc: }智

160. I)ac尻

C:∫

角atr‐ o balztt olltonorlnattt oallecare o matrice detell―

miltt un operttor strict pozitiv,atllILGi eれ

eSte matricea Grarm a

llllel alllllmite balze.

in mcheiere, stt lle opriln la algebrれ proiectorilor ortogollali (a Se COll■ pttrら

164

cu §8,cap.II).

161。 Dactt s■ lllla

lltor ll■ ai lll■ ■

proiectori olltogollali este un pro‐

iector,atllILCi ea este un proiector ortogonal. 162。

Pettru ca sllma P=Σ

P″

de proiectori ortogonali

み 恩ひ lilhifl::lr 力=1

5て tα

i鬼

FI器 絶 ぽ

apttt品

sfinIX_ ・ 血 ツ‰ 1器器 d∞ね 「 i

靡智 ‖‖ Ъ 躙 鸞撒褥 懸

$沈

fio ortOgollれ

li.

1∬ 3認 撃 sbld7]hnci sr∈ c(E)daめ ,si

S&F.

I)eci:

llllmai da島

,

耐 ぜ ピ ツ l de proiectori OrtOgonali P=P.P2・ C鵬

P01:ReTЪ 品 品&肌 酬話 FΨ 拙塩圏 167. Dach produs■ ■

…

...P%este iILVariant l劉 o permutalle ciclic嵐 鋤factorilor si la inver― sarea ordiILei fれ Ctorilor, atu■ lci el este ull proiector ortogonal. Stt collsiderttm problelnal calcl■ lttrii proiecto■ ■llui ortogonal pe intersecua de subwat五 五κ(λ =1,2,… 。 ,物 )Cu ailltOml pro‐ iectorilo■

ortogonali P.=P(ム

)。

Fie,pentru

α >物

,

Pc=P., unde λeste restlll imptttir五 lui g prin物 PC r」。γ%%脇 Kα θzttα 解 168。 P(自 五″ )=二 .

υθ%IⅣ θ%鶴 α%り 。

「

§6。

Tooria spectraltt a operatorilol u■ itaFi.Transfolllllarea Cayley。

Reprezentarea polarユ

a unui oporator

Un oper″ 満Or y pe■ln spatill llnitar E sc ILllmesto%%づ ι αr dac沈 este lleglllat si dac沈 」*=y

1.

皿 timea Operttorilor u■ litari pe E se noteaztt cll u(E). 165

169. Pentru ca un operator ,4 sX fie unitar, este necesar si suficient ca eL s5, pS,streze proclusuX scalar :

(An,

Ay): (n, U)

@, y e E).

170. Pentru ca un operator .4 sil fie unitar este necesar si suficient ca matricea sa o intr-o bazi, ortonorrnat5, oarecare si fie

unitard,:

o* : q-1. Aceasta este echivalent cu urmltoarele lelatii intre elementele matricii s :

ΣＨ ′

aiy ale

or17,d.7s

: 8ps

(/r,, s

: l, 2,.,.rn),

Pentru ctt uIL operttor stt fie unitar,este■ lecesar si sllfi Stt aplice o baztt ortoIIorlnat沈 oarecれ re pe o baztt ortonor―

171。

Cl:l音

。 172。

Produsulれ doi operatori unitari este un operator uILttar.

Operatorul invers*)al unui operator urlitar este ullitar. dar,Operator五 llllitalli pe E formeaztt ulIL y,up care este lln SubJup al yllpului fle al■ tomorfislne. Acest subgョ 明p IIu este rabeliaIL pentt■ l% >>■ .El se numeste`″ 'η αγde dilnensiune,ι rt[711,]づ ι Proprietatea topologictt ilnportanttt a gr■lpul■li llnitar este: 173。

JLヽ 例

174。

OTl・ llpul

unitar este coll■ pact.

e器

S:3棚

d鏃 ,Wi」 叩詰認鋤 nilrOMttltttl守 廿 vedea, existtt aici ILu IIull■ai o aILalogie ci si o letttl■ direct銑 l・

175。

.

沈

.

Dac沈 五 cste lln sllbspatill lILVariant al llnlli operator

unitalr y, atllnci restrictitt

176.Dactt

σl五 eSte uII operator llnitar pe五

.

」 ∈I(E)si lα l=1, at■ lnci αび ∈lI(ヨ ). Remarcttm ctt dactt σ ∈u(ョ ),atlLIICi ∝び ∈u(E)Il■lmai pelltrll lα

l=1・

177. Spectrlll llnui operatOr unitar apartine cercllllli unitate.

Unれ stfel

de spectl・ ll se ll■lmeste%,tttar.

178.Fanlilia subspぁ

t五 10r proprii乏 証e unui opertttor ullitar estc ortogonal尻 179。 Orice sllbspatill iIIvariant al llllui operator llnitar este .

ortogoILal redllctttor. 180。 Falmilial de subspatii prOprii tte ll■ llli operttOr llllitar este o fallnilie de balz沈

.

i') Deci qi operatorul adjunct. 166

Asadall,dactt 」 ∈I(E),atuILCi J eSte un operator de tip scぁ lar.

181.Pentru orice operator unitar exist悦 ob&ztt proprie orto‐

normat沈

.

斜卵 穏

cttntter7翻

a乱

r府 鴛

監 Γttt:F町

鮒器

鼎

forlna

び=発

e10″

Pゎ

7.=1

襦 詳 職J靱犠鮮

1°

〓 Ｊ

ゝ “ ゛ 一 日

TrlttW's∬

∬

Pめ λん

+ l;)t P" sint proiectori ;i f, trr: I, atunci {Pr}!" este descompunerea unitd,lii pentru Ll"ratorrt U, iar

uncle ),i

*

),y1j

{L^.}fl este spectrul

s5,u.

: i e'ur P* unde {P'}fl h:'r a uniti,lii, iar {0^}f o mullime

184. Orice operator c1e forma U

este o rlescornpunere ortogonali, de numere r:eale, este unitai. fn particuiar,'dac[ un operator aclmite o bazd' proprie ortonormatd, usi dac5 spectrul s5,u este unitar, atunci acest operator este unitar. Rezultd, deci c5, sint unitari acei operatori, qi numai aceia, care au un spectru unitar qi admit o bazra ortonormatS, ploprie. 185. Pentru ca un operatcr cle tip scalar si, aibit, un spectru unitar este necesar qi suficient s5, fie similar cu ur operator unitar. De aici, rezttltd,, de exemplu, c5, : X86. Dac5, un operatcr -1 satisface ecualia

AP:X, pentrn ure intreg ? 2 l, atunci cl este similar crl u.n operator unitar.

Teorema 186 adrnite o generalizare ctl irnpiicalii foarte largi : 187. Dacd I : {Ar}T este un gr'up finit de operatori regula!i, atunci existd, un autornorfisrn 1', astfei incit toli operatorii

ar,:IA*T-L (k:1, 2,...,

?)

stt fie unitalri.

167

Acest fapt rezultX, din lBB-190. Fie in E proclusul scalar gene-

ヾ ね日 ク

Ｆ

〓

″

ν

■ 一Ｐ

rat de grupul l:

(■ .″ ,_4.ν ).

(r, A), are toate proprietd,file unui produs 189. Toli operatorii care apartin grupului f sint unitari relativ la prod.usul scalar (r, y)r. 190. Dac5, intr-un spaliu unitar se rnai d.5, ul produs scalar lBB. Funclionala

scala'r.

omografice ソｑ

〓

ω 一 ．¨ 一 λ

(n, A), atunci existd, un automorfism ?, astfel incit pentru orice operator -4, unitar relativ Ia produsul scalar (u, A), operatorul U : TAT-1 este unitar relativ Ia primul produs scalar. Yom stabili o legS,turd, direct5, intre operatorii unitari qi cei autoadjuncli. Acest lucru poate fi ficut cel pulin in dou5, feluri. Prima metodil se bazeazd" pe transforlnarea lui Ca-1'Iey. Ideea transformd,rii lui Cayley este strins legatX, de teorema transformd,rii spectrelor. Pentru a trece d.e la un operator autoadjunct Ia un operator ulitar, spectrul real trelouie transformat in spectru unitar. Acest lucm se poate realiza cu ajutorul transformdrii

uld.e to este u:r parametru, Snt co I 0. Transformata Cayley a unui operator autoad.junct S este operatorul U. de forrna U. : (S -.r) (S λ ″

πα

{″

,″

.

)-1

″∈ι″

″cι ん

Mai llnlllt chiar:

230.λ π_た 十■=%α ″ Zλ

%れ

(γ ,″ )=l

(S“ ,″

″∈ι7.

),

λκ=%れ

Z″

/P22α

(″

,″

"(S″ )=1

,″ ).

″cLκ

Vom da citeva aplica,i tte teOriei Fischer-00urant. 231. Fic P proiectorul ortogonal pe llII sllbSpatil1 0arecare 五π _., de dilll■ eIIsilllle %― -1. Oonsiderttm operatorul autoadjuILCt

S=PSI五 %_l pe ttπ l,si fie{λ ″)T lVれ 10rile sale proprii.AtuILCi valorile propr五 勧le lui S si S ι ι θ γ%θ αzん :

“

｀ >｀ ,174

>λ 2>λ 2>・ … >λ π_.≫

λπ_.>λ π .

′

232.Fie{五 κ }6 11・ lant maXimれ l de subspatii Oarecare,P″

proiectorul ortogo■ lal pe 五 si “

S″

SI五 ″ =η κ

(λ

=1,2,…

.,総 ).

lIL aCeSte condit五 ,va10rile proprii a doi terl■ ■eILi SuCCesivi oarecare ai l∫ 二 11lc{Sλ

沈・

}: 31tel跳

〔

se poate dedllce llsOr ull criteriu, m

terllllleILi tle deterIIlinalllti, pentru ca lln Operator autoadillILCt S沈 θ γづ %ι fie stllict pozitiv; critelliul este cunoscut s■ lb llumele de apι ι

Sプ

軍

γ 6守 二脇 盤

。 =La_o.Pettru

sκ

m opげ 航α」

S stt fie strict pozitiv,este necesar si sufiCient ca toti deterIIlinaIItii

α″ 「 ge.ler4alizettztt L InOdlll llllmtttoL 唱e〕11群i響 αん≠ 0(λ =1,2,… .,%),atunci llllmttrd valo‐ 234.Dactt ==・

rilor propr五 negative 2de operatorului S este egal cll ILumttul schiln‐ bttrilor de selnn din silllll

,α l,α 2,・ … ,α

・

.

“

Fie acull■ ,.(λ )p01illomul caracteristic al operatorlllui S″

.

Stt ILotttnl o■l bs(λ )ILl■ rnを

"ul schilnbttfilor de semll din sirul

■,9.(λ ),… 。,Oπ (λ )

l棚 lTTtup五 n鍵 縦11° 1:器 蹴 瑠齢 発.a霊lⅢ、 egal cu鴫 )一 略)(Cu cOndi― Sh ttm漱 ¨熱l鳳誂 Ⅷ黒譜亀 」湘ω ■ ぱpЮ pm温 e 晶 pe電

in illtervab■ l deschis(α ,β )eSte

(β

(α

i計

OO, )、 ). operatorullli S, cupriltse lIL illtervalul deschis(― S沈 oontinuttm dezvoltarea teoriei llli Fischer‐ Oollrant.Rem"r― cttln, pe■ ltI・ ll iIIceput,ctt rezultatu1 231 este exact iII sellslll C飢

:

237.Dactt un sir llllmeric{λ た }1 l SatiSface inegalittttile 231, atunci e対 sttt lln proiector ortOgonal P(γ ク P=η ― ■),例 Stfel

° 』 ま 19:陽 ;p認 拙」tFf)f路 亀。 ら δ 4b m航 genililttlentru ca stt existe un proiector ortogonal P (γ mCL挽

1威

0

>■ 68.Exi就 嵐 mΠ (五 )un prOicctor P(五 ),aStfel加 飾 ω(五 ;ヨ )= =‖ P(■ Asad霞 ,ω (五 ;ヨ )=%れ ￨IPII. PCΠ (L) 69。 Pclltm cれ orice monomorfism λ∈Iθ %(五 ,■ )(五 ≠ 0)S沈 れdl■ it沈 o oxtensie L∈ Iθ %(ヨ ,■ ),Care Stt pttstreze norma,este necesar si sdicient ca ω(ヨ ;五 )=■・ Vom aplica acest rezmlttt general la cazlll spatil■ ui eucli― .

)￨￨・

diall.

70.Dactt P≠

O este llll proiecto■ ortogonal pe un spatill eu―

clidian,航 unci ll P‖ =1・ Deci,

ω(五 ;E)=■ este satisfttcuttt pentru toate sub― le spatiullli ellclidian*)ヨ 五 ≠0 れ 72。 Dac嵐 ヨ este uIL Spぁ tiu euclidiれ n, atullci pentr■ l orice sub― Spatiu五 ≠ o si Orice omomol・fism λ∈Iθ 協 (五 ,ム ),exiSttt o pre― lullgire λ∈Jrο 勧 (ョ ,コ 1)Care pttstreaztt llorm助 OoILditia

71。

Spatiile

.

.

Teorelna 70 れdIIIlite

o reclproc沈

:

73.Dactt P este llIL prOiectOr pe wttilll euclidiれ n si dac沈 ==1, atll■ lci F este llll proiector ortOgollal。

￨IP‖

=

Aceasttt propozitie ne Sllgerealztt ideea stt dellulnill■ proiector ortogonal rο π9ν γ pe un、 θ う patiu nOrmat un proiector P θ aο γ り pentrll care‖ P‖ =1(si,de ascmellea,proiectoml P=0).Oo■ ‐ ditia ω(五 ;ヨ )=■ mseallllILtt ctt P(五 )este uIL prOiOctor ortogonal, altfel spus, ctt existtt un proicctor ortogonal pe五 ヽ、m introdllce ILOtiullea dO ortogollalitttte a vectorilo■ ln‐ tr¨ un spatiu normalt. Se spllllle ctt vectorul γ este ογι θgθ ηαιpe vectorlll ″, dalc沈 .

￨￨″

1乱

蹄

g略

∝ t蹴

r号 °

Ⅷ

]指留ci淵

:電 r馴

島 常

+∝ νll>￨″ ‖

]::繁 鳳

ittPζ

(*)

響仇識 h‰ :Ttth」1出

,d吋

為 。

∝

"協

i晩

悦ざ詭 就 沈 pmttu

― ∫s‖ 乳t盟 瑞珊 Dtti∫ L冨1鶏 刀se numeste ο ο π θ ク ∈ ]f eSte ortogonal γ 」 静 ま る ギ 鼈考 ′ 堪 1.dactt fiecalle vector

18ι f見

x) Aceastd proprietate este caracteristic[ spaliilor euc]icliene (cf. S2, cap. YiI).

194

75. Dactt llII subspaltiu y este ortogonal pe llII subsPatiu

五 ,

at■lnci

ttr si tt sint reciproc illLdependente. Totllsi,l■ n Subspttti■ ■ Oarectte L poate stt nu a山 阻ittt colnple― ment ortogon鋤 1, m s∽ sll1 001LSidellat mali slls. Se lnai potte ttl¨

tilnpla si ca complementul ortogoIItt stt existe, dar stt llll fie unic. 76。 Pentru cヵ un sl■ bspatiu tt Stt admittt lln col■ plement orto― gonぁ 1,este necesar si sllficiellt ctt ω(五 ;ヨ )=1・ Aceasttt propozitic este stlヽ ms legattt de urmtttoM.ea:

77. PcIItrll cal uIL prOiector P stt fie proiector ortogoltal, este necesall si suficient ch sl■bspatiul Zθ γ P stt fie ortogQntt pe sub―

Spatiul I%P. intre altele, pe bazれ fれptului ctt proprietateれ _de OrtOgonali― ic嵐 , proiectorul complemclltar F poれ te stt llll

tate llll este silnetl・

fie proiector ortobOonal.

Fie r″ mllltllnea vectorilor dill spatiul E Care sint ortogo‐ ″∈ヨ.WEultimeれ r″ pOate stt nu fie un s■ ■ bspa―

nalli pe vectOr」 till.Dttr:

ν∈rtt pelltru orice α 78.Dactt ν∈r″ , atllnci α In pπ tic」 ar, 0∈ r夕 79.Dac嵐 ″ ≠ 0,atllllci"≠ r夕 .

.

.

80。

=刀

Dac沈 ″ =0, atllnci r″

=r″

81。 rα ″

(α

≠

.

o)。

Vom vedea in cele ce urmeatt ctt lnllltimett r￠ este totdeauna stlficiellt de bogralt悦

y

Un subspaltil■

.

ο y se numeste ογι ο ,2α ι θ αο ι ″, θ rθ υ ttι

dac嵐

⊂ ″π , adictt dactt y este ortogollal pe subspati■11 lillliar 1/ geILerat de vectorul ″. Este clar ctt dactt y este ull subspatill ortogOntt pe″ ,atunci orice sllbspⅢ il■ al llli■■ f este olltogon狙 pe″ .

82.Orice subspatiu OrtOgollttl pe″

este co■ ltirtut htr―

llII s■lb―

Watiu mttximtt ortogonall pe″ Dac嵐 "≠ o si dぁ C尻 ″ este un subspatiu maXilnal ortOgollal .

pe

″, atu■ lci,pe baztt llli 79,

in adevar: g。 ∬

ゞ

?孟

un淵嵐 s船 urnf]::〕 [譜

■ lf≠ ヨ, adiCtt θοαt,総 ″ ≫ 1.

孔 ∫θ:)〃 協 ±

ム 譜

r]出

fSれ 肌

∬ Ⅷ 器 計り

狙 °rt。 _ 勝 里 辮

闊 崎け

rt° pn温 狙 sttspathlui °

島 1:聡 ::i teoreme flllldarnellt鋤

lo se bぁ zeaztt pe

195

84.Fie Ⅳ un subsptttiu OrtOgonall pe″ ,LⅣ omomorfismul re― ducerii watiului E modulo Ⅳ.Atunci, ￨lλ

Ⅳν‖く ‖νll(7∈ ヨ)si‖

LⅣ

″‖=‖ ″

￨￨・

Asadar,￨lλ Ⅳ I=1・ 85。 Dalctt αり ,総 コ >1,altunci pelltrll orice vector

″ existtt un

vector y≠ O perpelldicl112r pe ".

Stt considerttm principttlele consecinte ttle teOremei lui Ascoli―

Mazur.

。 ° ι』 場 轡1."≠ Si dactt「“este u■

l

subsptttil■ ,

altunci

P多

oα

87。

==■

Dac沈 五 estellll subspatiuunidillllensiollal,atllnci ω(五 ;刀 )=

.

pOtte

ie鍬 出:州躙ギ 普品琳Ffttl端 :糊 棚針 88。

Orice fuIIctionaltt liniar沈

クdefinittt

pe■ ln s■lbsptttitl potte

fi extinstt la tot spatiul, Cu pttstrπ eれ normei rι θ ο ″ θ %α lα L92Bα %α θ り

,

Aceasta este teoremtt centraltt a teoriei collsiderateo Cu aill― torul ei se poぁ te stabili llsor tθ ογθ%α Ztι j yづ πλoω sl・ づ ″existtt o functiOnれ 1嵐 JL≠ 0, alStfel :

1.ci190 Pentrl1 0rice vectOr

lル (″

)￨=‖ ん

￨￨・

″ ‖

￨￨・

e bdit胡 協≧ 鰍摯雀f響 留鳳鮮nit」 ♂ ζ ω i3耐 Ψ訛 澄 FllILctiOnalele sllport sint legate de sllbspatiile OrtOgolltte

prill urmtttottele propozit五 90。

:

Pentru cal o fullctiOIlaltt linizr沈

∫≠

suport m punctul″ ,este necestt si sufiCie乱

O Stt fie o functiOnall焼

ca subspatiul Kθ γ∫

stt fie ortogollal pe vectorul″ 91. Pentrll ca o fllllctiOnalltt suport m pllIIctlll .

uILiC definit沈

,plllltt la l■

″ ≠ O stt fie

II fttctor llnultiplicれ tiv, este llecesar si sufi―

CieILt Cれ r″ stt fic un subspatiu.

Mai remarcttm c焼 , independellt de teorellL■ a Ⅱ ahll― Balltalcll: 92. Orice fulllctiOnaltt liniar沈 ∫≠ O este O hllctioILaltt Suport un pur.ct ″≠ 0.

hltr―

Aceastうl propoz“ ie permite construirea intr― llll sptttiu nOrIIIIat re Solllll― Schnlidt.

a unui analog al metodei de ortogonalizれ 196

r盤

mc設 濡:I器』

酔 復 縁 講¶ llttittZれ ‖:場 響 ″ 」ll響 場 θ グ,i stt COincidtt cu spatiul liniar ge―

stt fie orto"nal pe Vectorlll

nerat de familia{%た

}11・

O baz沈 {θ .}f Cu prOprietatea ctt pelltru orice」 =2,3,.… ,総 sllbspatiuHiniar generれ t de familia{%)κ く J este ortobOonal pe vec‐ torul θノse llllmeste sθ %fο ttθgο ttα ι ao TeOllema 93 garanteaztt exis¨

,

teILttt unei balze sellniortogonale.

bα θ O baz焼 {θ .}I Se nlllneste ο γ ι ο θ λノdac嵐 ttα 7a(sall baz嵐 五%θ γ θ pentrl1 0rice′ ==1, 2,.… ,,レ Sllbspatilll liniar ge■ lerat de falnilial CSte ortogon鋤l pe vectorul θグ.O bttztt ortOgoll翻 沈 exist嵐 }た ≠ブ {θ ″ totdealllna,dalT constrllctia ei necesittt metode mult lnai compli― CatC(Cf.§ 5,cれ p.V).

94*).Baz&canonich m Allerbalch.

ι '(■ く rく ∞ )este O baztt norlll航 沈

ヽrom extinde teorelllal Hahn‐ Ba■ lach la omomorfislne.

95.Fie θ≠ O lln omomorfism de la subspatilll五 ⊂ E

ttIL Spa―

ο %五 十 1.Atunci,exist沈 αづ tiul nOrmat Dl,astfel incit,・ ク クく θ ull s■ lbspatiu五

⊃ 五,astfel lIIcL θθ疏

"oIラ

=rθ θ ― ■ ,

lar g se pottte extillde llnic pe L, cll pう

strareal IIormei.

Tooria HahII― Banach se transpulle fttrtt modificttri esell‐ tiale la furlctionale alltiliniare si la omomorfislne herⅡ

litice.

Mai mentionttm O genellalliz田 oれ teoremei lui Ⅱ虚In― Banach la Sptttii,,Seminormate``.O functiOnal沈 lmiar沈 ノse null■ este α ι 滋 θ %う α de o seminormtt generalizattt r,daCI SelILinOrma lノ l ette dOminat沈 ,ι

de selnillorma gelleralizatXl p. Totodat沈

M2菫

sッ

,

.

冊

96. ]Dach r eSte O seminormtt generalizattt pe fllnctiOIlaltt lilliれ rれ ,clefinlttt pe lln sllbspatil■

ヨ si g este o

,iar νeste donlinat沈′

de selninorma gerleralizttttt r, atlllllci existtt o preluILgire

dominattt de r,Ctte verifictt egalitateれ ‖ ク‖ ,=‖ ク‖ ,・

σ∈ヨ

,

+) S4.f. Pentru ca o bazi normatd si fie bazd Auerbach, este necesar qi suficient duali si fie hnzi normatd. Agadar, orice bazi duali unei baze Auerbach este o hazd Auerbach. ca si baza

197

§5.Izometrie,universalitate,scufundare γ づ θcll lln spatiu Se spane ctt un spatiu normat E este`zθ %θ ι El,dac尻 コ 、 iコ .sint izomorfe si dacう existtt un izol■ orfiSm J∈ ∈Iο 物

(ヨ ,El)Care

pttstreaztt norl■ れvectorilor: ￨IJ″

‖=‖ ″

￨￨・

Unれ stfel

de izomorfism se nllmeste teο %ι ι θんspぁ ぃi10rコ § iコ 1. ■ olatia de izometrie intre spatii este O relれ tie de echivalent焼・ 7'イ

Este clar c沈

97. Izolllletria pttstrealztt distanta:

α(J″ ,Jν )=α (″ ,7)(″ ,ν ∈ヨ

)・

ReciprOc,Orice epllILorfisllll calre pttstreazう ,distalltal eSte O izo― n■ etrle.

Un izolllorfism hellllnitic calre pttstreazi norl■ lぁ vectori10r se jθ γtθ んθ ″%じ ι a a spa,i10r E si El・ numeste izο ttθ ι ′ ヨ → ヨ* este lln izomor‐ 98。 Ooniugarea complextt cttnonic嵐 fislln herJ■ itic.

Acettsta nu insettmntt mstt ctt spλ title E§ iコ *smt iZOmetrice. ′ ′ 99. IzolILOrfisnaele cal■ lonice E ―)亜】 , 1,一 )コ ** slat izolnetrii.

Aceasttt teoremtt fundamentaltt so obtine u§ Or din teorema lui

Ⅳ[inko、rski.

Cu乏ゴlltOrlll lui 99 si 49 se stalbilesc egalittttile: 100。

￨lλ

*‖

′ =‖ λ‖=‖ λ

l。

Stt dttm cLevtt exemple.

101.Toate spati■ e ellclidierle de aceeasi dinlensilllle shlt izo‐ lnetrice.

tuIIci spatiu1 7'l nu este 102.D&ctt Pl≠ p (■ くr,r. く OO), コ izolnetric ctL Spatill1 7',cu exceptia Spht五 10r:si θbidil■ ellsiollale 血 en雨° ndι ゛

Ъ濁 就 脚 鮮サ

103.Spatiul l夕 ,p≠ 2,Illl eSte ellclidiall(cu exCeptia Spat五 10r

unidin■ ensionale).

IIltroducem pentr■ ■ orice

=占 紳

く r く OO)indiCe10 α%α ι α ==

dtta １

■

一 α

〓

＋

ｌ 一ｐ

198

r(1

∫ lzhemc∝ ら 腑 血 ∬串嚇欄 盤部≫鷺 盤 Fヂ

αり J」

:ll勇lヵ } :‖ lFattmtt

1).

.prll-izomorfe

Z, se poat6

presupuse -_^PSntru a fi izometrice, metricitate. Mdsura ile tton-izometricttate (rlim Er: dim Er) este *er.i-u*

δ (■

7づ

一ｇ

、 ︲ ｌ ′ ノ

? :2 devine inegali,t

ag1l3,

づ η θ αι α ι θ ク

１

η

， ノ

″ Σ日

、 １

日

・ (延:￨こ

／ ｒ ｉ ヽ １ 一ｐ

η

“ Σ

care pentrt

く

.netric binecunOscuta

ge。

nu sint non_izo_

*a spaliilor normate Z, $i

・ ￨け ‖ ￨IJ・ 'E2)=イ グ ′

Dz

￨￨,

ge m咄 m鍋 izomorfismelor de la E, pe .Dr. fn

隠:1品腎

p(コ1'コ 2)=Z%δ

(El,E2)

se numeste αを Sι α αBα ,2α θ λ_■ rα β で ttγ dintre spaゥ illeコ l 105。

si D2・ Distanta Ba■ lach_llllazur alle prOpriettttile diStanlei:

ゞ男sttLttetti&∞ gttitatea Te bc dacれ ゅnumm dacぁ 乳 ρ 尉餞 勢 ,現 長 胸亀;+ρ 佃 分 106.ptEf,E`)=P(■ "コ

,E2)。

.

tts柵見 lnwト 『 だ鋤fけ ,1%eci::}l:蹴 響ぶ響Tユ ζ

is」

一

=1,￨IJ l‖

１一 九

二 ′ 〓

￨IJ‖

(1

Deci: 1 瓦 1

盤 環F2万 %鯛缶

(?, {?).

に

く 夕1く p2)・

199

1

109。

δ (ι p, θ)く %夕 .

Pe de allttt pttte: 1

110.δ

(ι

1

r,72)>総 2 ,(2く

rく

De aici,pe balza llli 106,rezlllt嵐 1

111.δ (7',32)>%′

∞ )・ :

1

2(1く p0,Sau″ =0).

egalitatea

202

ate spatШ e′ liね

F°

は1(五 ≠ 0).

L υ ハ ，υ ０４

Eal coiILcido oll normれ fullctioILalei

α(・

in adevttr,

;13)・

」 ∫典街籐 鴇靭 器鳳躍c艦躙 e跳

este strlct llorlnat.

Fie{ム }6

uII laIIt maXimal de sllbspatil.Fie ακ(∬ )=α (″ ;五 κ)(λ

=0,■ ,2,…

.,97).

(″ )=0・ Evident,α O(″ )=￨￨″ ‖ ,α π 138.α O(")>α l(ω )>α 2(″ )≫ …・ >α ,2(″ )f Reciproc:

139. PcIItru orice faIIlilie fillittt de llllmere δ。>δ l≫ δ2>° … ≫ δπ Oxisttt ul■

.=0),

vector ″, astfel lncit ακ(″ )=δ κ

rι

(δ

(λ

=0,1,2,…

.,%)

,tStθ j'り・ %jS.Bθ γ ttα ι ο γ θ θ

S沈

ブ

{θ }【

ooIISiderttm cazul lantului de subSptttii generれ t de balza

:

五κ=五 ({θ J}1)(λ BaZa{θ κ}I Se numeste b″

pentru orice vectOr″

=1,2,…

渕 αθ θθα π αづ

=Σ ξ ノare ノθ

.,%).

b%総 α

のrγ ο″づ%り づθ dれC瞥

loc egalitatea

′=1

ακ O)=￨■

{θ

均 14′

￨￨・

Fie Rκ prOiectorul pe subspatinl linittr generat tle falnili勧 }1+1,paralel cu 1/″ 。Este clar c沈 ′ Rκ

″=Σ ξ メθ ノ ′=た +1

204

″

〓

一 Ｒ

みΣロ

$i cea mai bun5, aproximalie a vectorului o prin vectori din -tc este egald, cu ζ グθ ゴ .

1/r0. Pentra cabaza {er}i s[ fie o bazd de cea mai buni, aproximatie, este necesar ;i suficient sX, fie verificate inegalitillile I

Rnnl

zllRflll > .. . >

llB,=+ nll.

Ilaza de cea mai bun5, aproximalie are proprietS,li foarte speciaie (intr-atit cle particulare, incit ea poate sL nu existe, chiar

intr-un spaliu tridimensional).

141. Pentru ca o bazd {e}i sd, fie o ltazd, de cea mai bund, aproximalie, este necesar gi suficient ca pentru orice fo : a, 2, 3,. . . , n - L r.ectorul er si fie ortogonal pe sutrspatiul liniar familia {e}I+r. generat de Baza de cea mai bun5, aproximalie este obiectul dual bazei semiortogonale.

142. Baza canonicd, a spaliului Z, (1 < ? ( oo) este o de cea mai bun5, aproximatie.

§7.

bazd,

Ecartul intre douユ subsp〔4五 。Spaliul lnetric al sllbspalii101

Fie -t

* 0 un subspaliu. Notd,m cu rS, sfera unitate: B1 : {rla e L, llrll : 1}.

Punem S, : {0} dacil L :0. Ecartul intre subspa\ille L qi Jl[ este prin definilie 0(L, M) : 1n&$ {sup d(u; L), sup d(n; LI)}. x

eSM

n

eSL

Ecartul vellifictt inegalitぁ tea: 143。 0(五 , lf)≪ 1. ・ Ecれ rtulれ re anlllnite proprietttti ale distantei:

144.1)0(五 , ]f)>0(五 ≠ 」 И); 0(五 ,五 )=0, 2)0(■lf,五 )=0(五 ,y). 205

in肝

]罵 覧紺 ‰

::℃ 1肌 謝 咄 讐 ∴ 畿 al漁露

Ⅲ 珈

]留

:

tru a obtine O diStれ nttt pe lnultil■ ea subspatii10r.Dllptt cum vom vedea intr‐lln spatiu euClidian, ecartlll esto o distallt沈 145。 Pentru orico sllbspa,ii tt si llf ale unui spれ tiu eucliflian, .

este valabiltt forllllllれ

α(″ ;五 )=‖ [P(」 y)_P(五 )]″ ‖

(″

∈』 〃).

Deci:

146.0“ ,471f)く ‖P(″ )一

P(五 )￨￨・

147.0に ,y)=‖ P(y)一

P(五 )￨・

De fれ pt:

PeIItruれ delno■ lstr& 147 se folo6este ideILtitatea P(五 )]″ 12+￨[I― P(■ )]″ 12=‖ P(y)[I一 148.[P(y)一 一

P(y)]P(五 )″

12.

Pe bazれ lui 147: 149。 intr_uII spatil■

O(五

euclidian,are loc inegalitatea trillllghiului

,y)≪

0(五

,N)+0(・L7,y)。

昴fOrmlllei 147 este autodl■ alitatea

O alttt consecinttt evideILt沈

ccartului: 150。

0(五 ■,.7■

)=0(五 ,y).

Plltelln explica aculln conditial ill Care a,re 10c egalitatea llt 143:

151. PcILtru Ca llttr― ull subspatiu euClidian stt aveln O(五 ,」 ン r)= =1,este necesar si sllficicllt ca cel plltin u■ ld diIItre subspat五 10

五, ■ ll s沈 oolltintt llll vector llellul,ortogollal pe celttlalt subspatiu, adic沌 五 ∩ y■ ≠ O sall五 ■ ∩y≠ 0. De aici rezulttt urmtttoarea conseciIIttt importa,IIt嵐

:

152.I)actt intr― un spatill euclidian O(』 5, y)1, oxisttt llIL operator五 , astfel lncit

五￨￨=1, ‖ 協省￨に 名の￨=;・ Remarcttm ctt primul membru al inegraliatii 21l nu depinde de llorlrLa dinヨ . Poate oalle fi ttleastt aceれ sttt lllolllllltt in asa fel詭 it inegttlitatett stt se transfolllne lll egalitate? Dificultatea care ttpare este indicattt de teorelna 205。 Totusi,c■ l ajutorul lui 208 se poate sttabili c焼 228。

:

五 (∠ )=づ づ ‖ ρ

.

￨￨￨￨

Folosind 210 se poヵ te obtine O prOpozitie mれ i

229.Dac沈 五 este■ l operator pe llII spati■ l■

precis沈

et■ clidian,

:

atllnci

m‐ ρ (■ )=tη ′￨・ 42・ ￨.

r

Cll alte cuvil■te, ln cazul spatii10r euclidiellc lall se poate llla infilILlll笠 L

formula 228 decit pe llornlele e■ lclidioILe. inferioRrtt este atiIIstt in 228 dac焼 , si numai

230。 Margil■ eれ

dac沈 ,ordlILlll valorilor proprii care aparim cercului l

λl=ρ (■ )

este egal cll llIIll.

ヽ、m aplictt forll■ lλ llli Ghelfand pentru a calcllla distanta ;五 )de la pШ■Ct■ll λ al planului colllplex la spectrul σ 4). l■

α(λ

.

231.α (λ ;_tL)=一 一 ニ ー (R,=Rλ (_4)). ー ギ ″ り η/岡「

(‐

た→∞

・ =υ 幻 … 蒜

I)e altfel:

歯 e loo o illegぁ litate folosittt deseori:

器&‖ 到

>満

・

De ttsemenea: 23/4.Dac焼 Ⅳ este■n operator■ Ormal pe llll spa,iu euclidia■l,

前

d同

=満

・

Reciplloc:

217

235.Dactt pentru lln Operttor tt pe lln w¨ iu euclidian lRλ llく 鑓

く

.Ci五

お欝

蘊

te lln Opα ttor ILCDШ 血

236.Dactt S este uII opera」 tor autoadjllILCt pe lln spati■

eu01i‐

diall, atllllci

向

く 詰

・

Reciplloc:

237.Dactt pentrll

un operator tt pe llIL Spatill euclidian

固

atttCi話

,

詰

S塩

。 湿 肥glpew°

238。 ]Dれ cれ

a樋 面

く

」 este

:∬1∬ l‖rp

出 reclipЮ %dm― 出 ctt operatorul este llILitar. 固

ll Spatill ellclidian,

l■

■ 血 脚 枷

く

Acest rezllltat se generalizettztt m sp&t五

Ю州 機

norlnate:

239.Dactt」 este llIL Operator izometric pe un spatu normat, altul■

Rλ ‖く ci ‖

沈inegttitate r銘 」t沈 ゞ 11-lλ ‖ 'reclipro%din acea前

ctt operatorul este izometric.

§10。 Norme pe w叫 五 d00peratori Spatil11 0peratorilor

鍛 (E)pOate fi coILSidertt ca lln spれ

,u

vectorial coll■ plex, all■ tonolll, de dill■ ellsiulle %2 si, cOnfOrm celor

spllse pmtt acllm, el poate fiinzestrat cll o normtt sau alta, iILde―

pendent de normtt lui E.Normele re勁 (E)Ctte smt indllse de ■orlllele luiコ se numesc η θ γα γイ α73.Normele pe勁 (ヨ )Care au rγ 9rγ

jθ

ι αι θ α αθ づ ηθ ι

se■ lllmesc

`ο

五B‖ く‖ 五 ・‖B‖ (‐4,B∈ 毀(ヨ )) ‖ *).h sfttsit,■ Ormele pentru care‖ I‖ ttθ γ %θ α 鈴θ θり ι

se numesc lllorme care raStl・ θαga

/11%tι αι θ α .

rialtt este o ILOrll■ tt cle inel si o normtt ctte pttstI・

t sau saDmultiplicatiue. (N.R.) 278

=1

0rice normtt operatO―

eaztt llILitateal.

u五

鰍I盟鳳la pl:ぷ∬

altrザ 野頸

::景

曲u Spa,u

∠‖=ン′ ″覆戸 ‖

ir 芯 設 0岬 塾 鞠職億脇fttl∬ 勝

″ グ Xに l mamcea un■ ∞赫 rlirttfeTT盤薦;Ъ l鬼 .1ば に ″Ｔ“に

■ 一％

〓

五

。認

I

nnl.

llenII』 ltt pttstreaztt unitatea, dar, pentru %)>■ , .lu este

243. Fie

ll∠

‖ =781″ α￨' l

(*)

Jた

lllor]mtt nll este O normtt de mel

η″ 思″ lα

￨・

化 ∬ r 鶉 ご

総

l]卜

η″ Д″ lα

246。 Pe■ ltru Orice IIOrl■

沈 de

￨・

illel are 10c illegttlitatea llI‖

>1. 219

S5, presupunem cd, !)t(E) este inzestrat cu o normd, (norma ini!,iald,) j care nu este neapS,rat o normd, de inel sau o normf, care pd,streazd, unitatea. Se poate defini atunci o normd, d,eriaatd'

五r=凱 ‖

冊

247.(D IIormtt deri■ 7attt este totdeallllal o normtt de inel si o llorIIntt care pttstreaztt llnitatea. 248.Dactt IIorl■ lぁ in■ialtt este o norllntt de inel,atllllci‖

五 く‖

∠

￨￨′

く

￨￨。

249.Dactt norlna illⅢ ialtt pttstreaztt uILitateれ sau verifictt cel 1,航 unci‖ 五 >‖ 五 ・

plltin inegalitateR‖ IIく

￨￨′

Pelltra ctt o normtt stt fie o IIormtt de illel si o nomtt Calle pttstreaztt ullitatea, o6te llecesar si Sllficient ca ca s沈 ooincidtt clL 250。

derlvtta s税

.

Teorelllele 248 si 249 Sllgerealztt ideea introducerii, pe llllllti―

mea tutピ or norlnelor pe勁 (コ ),a

llllei relat五

de Ordine defintte

T増‰ 農 tftttttl兵 温 欝⑮ 」 協崎胤牝 沈 響‰ 絋 ta(majorantれ )Sa. i mare sau eph)Cu alta sall este mi■ t認

1°

lora■

(mれ

Evident, se poate IItiIIlpla ca ILOrlllele stt ILu fie compallabile。

De exemplu,o normtt der市 attt IIlu este,in gelleral,compだ abil沈 cll norma ill“ ial飢 ,Cttci teorellnele 28 si 249 all reciproce. 251.Dactt o norllIIItt der市 attt este mai mictt sa■ ■ eg製沈 cu nOrma , atllIIci IIorma illitialtt este o ILOrmtt de inel. 252. ]Dac沈 o ILCbrmtt delliヽ nttt este mai mare salll egaltt cu■ initiah,atunci norlnれ ill“ 飢L Satisface relれ tial llI‖ く■ ・ illitial嵐

neよ t謬 蹴鶴 ∬ 懲秘eふ 謬糧I謂 1訛

se defmeste IIOlllnれ derivat焼 缶lrれport cu ideal■ l13

loma

』漁∫ 洲 ぶ‰

五 ‖ 脂=翼 鵠#・ 253.Norma‖ 五

este tOtdeaunれ o normれ de inel care ptts― . . 254.Norma derivattt a ll■ ei norme de inel l■ rapoltt cu lln ide&l stmg oれ recare, 3≠ 0, este o minoranttt pentn■ ILorlnal ilti― ￨￨し

treaztt llllitttte助

tial焼

' Aceasta este o gelleraliz測 .

『e tt teorelllei 248.lII ceett ce pri■ 7este teorema1 249, ett nu se gellleralizeaztt pelltl・ ll ideぁ lele 3≠ ) "?(刀 intrllcit aceste ideale llu colltill un■ atea.

220

ead認 。 b」 :札 棚 t器 問 lЧ 臨 胤.T蹴 ws] 帖。 defmim idealul sthg 3(∫ ∈刀′ ≠ :s∫

)(∫

0)prin COndit7i勧

,ノ

【θ ″五 ⊃Kθ γ∫ (cf.21,c叩 .Ⅱ ).

%5。 Pelltru ca五 ∈3(∫ ),eSte necesar si s■ ■ fiCient ca tt stt fie de formれ 五ν_ス ν )″ ,■ lllde″ este un ve/ctor. Op∝航or五 de tteasttt follmtt pot fi considerati Ca fiind prodllse tensoritte si se nOteaz悦 ∫Θ ″ .

256.■ (ノ Θ ″)=∫ Θ 五″ (五 ∈助(ヨ 257.Dactt spatiulヨ este normalt, 航unci norlnele induse sa― tisfac relれ tia‖ ∫Θ ″‖=‖ ∫ ‖ ″ト Rolul idettelor 3げ )este precizat de urm航 oTea pllopozitie: ))。

￨・

258.PcIItru orice IIormtt pe"〕 (2), IIOrma sal derivat沈

cu un ideal o田 ecπ e S(∫ )eSte O norm沈 Decl:

operatcDllia島

鉦l

raport

.

259.Dactt o normtt pe鍛 (E)COillCide cu norma stt der市

航沈

m rttport cu un ideぁ l oπ ectte S(∫ ),れ t■ lIIci ea este o normtt ope― ratori劉 1沈

.

etattξ

m脇11器11理 幣 260。

Lll eSte dectt sぜ

ttterm・

呻 t,dガ

Orice normtt operれ torialtt coincide c■l norma sれ derivat焼

m raport cu oricle idea1 3(∫ ).

Am obtiltut deci caracterizalleal complettt a normelor opera‐ toriale. Eλ llll perlnite totllsi o descriere dillect沈 れ llllei norme■ le‐ operatoriale care este mstt IIorIIIIItt de lllel §i pttStreaztt llllitatea. 261. Ol・ ice llα mtt

de illel alre o ■ llliIIOranttt operatollial焼 j%づ %αι Se spune c沈 o llorШふ de inel este ηレ a, dactt llll adlnite minorぁ nte de illel difellite de ea msttsi. .

262.()ILOrlntt de illel lllillilllaltt este o ILOrm沈 Operatoriれ 1沈 Acest criterill pentrll ca o IIormtt stt fio operatorialtt este neces肛 . 263.PeIItrll ca o ILorlntt de inel stt fio operatori勧 1尻 ,este necesar .

Si SufiCient ca ca stt fie millimal沈 Delllonstraren necesit沈

￨五

.

se bazeれ ztt pe wIItttottrele leme

264--266. 264.Dactt llll spatill ヨ este 笠 じestrat cu dolltt ILOrme Si‖

″￨12§ i daCtt norHlele operatoritte asociate pe"l(2)V∝

‖

"IL ifiC沈

illlegttlitateal

五ILく ‖

￨￨五

￨12に ∈別(ヨ )), 221

atunci

穏冊 く z冊 レ≠%∫ ≠叫

265.Pelltrll doutt ILollme oarecare pe ヨ

雅冊 =″ 冊 ,雇 冊 刊 冊・ T'‖

e蔦

留

∬ 胤 靭 膜Ⅲ誌 j襟

(m sens.ll ordinii defiILite mai sus),atllIIci normele pe E calle le ■orIIlele operatoriale in“ 鳳le

=I‖

rILereあ Ztt simt prOportiollale, iar 00111Cld.

Ll pal・ ticulall,din criteri■ 263 rezulttt c焼

267.Dttc嵐

五 ‖

IL si

五 ‖

:

12 Smt doutt .Iorll■ e operatoritte dis―

tincte pe凱 (2), atllILCi l10rlna ‖-4‖ =響 α″ (￨五 IL, ‖∠ 2)este O llcprmtt de illel, cttre pttstre厖 沈 ■ lnitatea, dalll care nll este oper勧 ― tori例 1焼

.

De exemplu: ヽ ｌ ︲ Ｊ ノ

,

α

%た

″ α ん

(観

彿

五 ″ ″夕 ‖ ￨=鶴 α 』

一 一 ％﹃ コ一

268. ]ヽ orIILa

o 0011Struittt pornind de la lnatl・ icea(α ル)lκ _l a Operatorullli in伊 ― baz焼 oarecぱ ef破 航 尻 ILll este o normtt operatorial腕 (pelltl・ u雀 >■ )

d霞

ぎ塩品よ 器 咄:1lll■ p讐 留孵 ltt stt se condder% 辞

m mOd special,semlILCprIIle pe肌 (E)deOTece: 269。

inel r(五

§11・

Dalctt o seminorIIltt r≠ O pe凱 (E)are prOprietatea de B)≪ r(五 ン (3),atttCi r eSte o norm沈 (cf.25,cぁp.II).

Ineghlitttli intre■ ormele pllterilor do operatori

θ L operttor tt pe un sp¨ iu■ Ormatヨ se numeste"θ ″ α ι r λ 一協

222

″

五κ″￨￨く イπ,. ‖

“ 一 牡

r, dalctt verifictt inegalittttea αθ θ 7α sa ク

五%″ ￨￨ ‖

,

pentru orice ″∈E, %==2, 3, … 。 , L=こ 1, 2, .… ,o%一 ―■, 7れ oll de clas飢 ′r, vOm nOta 五 este l]n oper航 find constante. Dac嵐 ,と

cu

τ (五 )cea mtti lllllc/鋤 va10働 re posibil焼 例 oonstttntei ",κ 270。 ]〕 actt ll■ operatoll tt saltisface illeg例 1比 alte劉 1

τπ.κ 。

1

∠″￨￨く イ￨￨″ ￨12‖ 五 ‖

2″ ￨12

pentru orice″ ∈ヨ,atullci el este un operator de clas沈 影r

si

レ 0・ τπ,κ (五 )く イル ■LSaldれr, pentm orte operator de clastt ar, 7物 ,た (五 )く [″ 町1(■ )]た (塑

λ

).

271.PcIItru ctt uIL operator tt stt apttrtillltt clalsei / este ne¨

cesar si sufiCient ca Kθ γ」P二 =]rθ γ 五 , adictt stt fie regulat, sau ordinul vallor五 propr五

λ ==O stt fie egal cu llILll.

_4ceasttt teorel■ 沈 勧r2満 焼 ctt aparteneILta la Clれ Sa /1111 depindo

de ttlegerett ILOrmei peヨ .Dar,evident,valloallea coILStantei啄 協 l de ttlegerea normei. depinde m mod ese叫 272. Dac沈 ヱl este llIL Operator regulat, atunci

17t―

,κ

273.Dac尻 274。

_■

(五 )

カ

ル

4r ∠た1物 ‖ イ (五 物(_4)く ‖

,た

“

ん

￨ド

.

este un operttor reglllat,atllIILCi啄 物 (■

1)=7“

,ん

,%_た (■ )。

Orice operator cle tip scalれ r tt este lLrL Operator de clas沈

/Si Sttp啄 れ 物,ん

,た

(■

)% dillllellsllllllea cste nul沈 31. Sllbspatiul teIIsorilor antisimetrici de valent沈

.

夕:>l apar―

o,dar pentru r>211u

tine nucleului operatorului de simetriz霞 coillcide c■l acest nucleu.

Sllbspatiul つ(2)温 tensorilor antisill■ etrici de valenttt πare lln ■ol deosebit de illnportant. 認 。αj"oЭ (2)=1. Oonfollm celor arttate m§ 1,o]・ ice baz沈 △ a lui E indllce ob&ztt m O(コ )care,COゴ Orln lui 32,este formattt dintr― un singlr

olement α△.Valoarea acetttei ftlnctionale multililliare pe familia

rTs∴器 総1驚Ht∫ Jtt」 ・ 膀

ti△

Dacう alegerea bazei nu dtt llastere la confllz五

。

fattj鰯 1〃 ]竃

se scrie p■ lr si simplu

ι sau′ θ α θ ι{a,・ …,″ π }. 「33.Jθ ι△△ 二 =1. 34.PeIItl・ ■ orice

'

baze △ si △. ぬ .=(α θ なェ △)α △ .

De aici:

35.Pentru orice baze △, △l si △2 αθ 亀2Δ

Aceasta ostc teorell■ 1五

=α θ亀lΔ ・αα△2

れde

Δl.

inllnultire a detellllniILalltilor faIIIli―

]or de vectOri.Legtttura Da cu teofemtt de mmultire L determi_

IIlantilo■

Operatorilor(272, cap. II)va fi dattt mai depallte, dllp悦

descrierea deterlninalltullli lll■ ui operator m terlneni de deterlni‐

nanti ai fallliliilor tle vectori.

36.Pentru orice baze △ si △1 αα△1 △・67θ ι △ △.==1. Relllarcttm in legttt■lltt cu aceastal c軌

87.Dactt o fallllilie r este liber島 , atullci α

「

Reciproc, 38。

≠ 0.

`ι

Dactt o falllilie r llll este liber焼 , れも unci αιι 「 沈

WiSic調 器 liniare alltisilnctl・

ぷ attu:lrよ 胤

れ Ⅷ

==0.

]W:]。 XT需

離

ice cOiIIcid, atunci valoarea fullctionalCi este zero。

fre￡ :ittilrⅧ u■. rez..lttt si urllntttoaFea coIIseciIIttt f01osit抗

ad&鶴

71淵 魂ijittryltttr紺 躍 鰍品・ 温鮮 ctt」

nantlll fanliliei rttllline neschillnbalt.

231

ebttT塩 Ю 詰 Ⅷ ∫品紹曲蹄lilΨ tttrTttα 霊 baZ21)浴 tl鼈 。 Ψ te"hnま 岨artt rdat市 h o baz沈 ヘ atunci α θ ι ん Δ=士 α 「 rlζ

..

Este lltil stt se coIILpare acest rezrultat cll dcfiIL“ia determi― nantullli unui opertttor(§ ■ 0, Cap. II).

Fie(JD・ …,ブ P)O perlllllltare tt l■ ll■ltil■ 五 (1,… 。 ,p).Nllmttrul

力D… 硼=仁 l鶴 軍‖胤ex∫ ‰a島 θ 猟 :t脇 ゛仇… pemtTe a "場 咄 鰹そ 7∬ ""。 :沈

lnultiln五 (1, … 。 ,92),atllllCi

α θ ι ,ブ ル △{θ ノ ,%π )=χ (Jl,・ … .,… ・ )・

43.Fie(α ォ)lλ =l

lllatricea llnei fallllil五

「

illltr―

obぁ z抗 △.Atllnci

α θ ι ・ )笥 11・ …釣″ △ O・ … "J″ 「 ■ la χ “ ,¨

illl t00ria clasictt a deterlninalllti10r, lllembrul drept al acestei ega場 nギ :ilЬ l:飢 lil tFlht.lnci pentru ι ι ollice pereche de △△1. И△∠△1==α θ △ Illl depillde de ノ 生 45.Pentru orice operator 」[, Inttrillnea αθι △ baza △ si coinCide cll deterlninaIItul opび atorullli αιfA4△ == =α θι五 ι Cll alte cuvinte, αθ △ ==α a五 , unde tt este uIL Operator ullic △ in falnilia defillit care tralllsformtt 「 balz助 「 I)in 45 si 35 se obtille dill nou, cu llsllrint沈 , teOrelnλ de .

.

m踏 rb■

霧 よ 曽 棚漱盟吼l盤 『ソ I『

tθ

rt417

mtroducem

づ sを 得θ ι rtttγ θo: αθ αηι

Gα

Ъ…ノ J=赤 伍 … "妬 …,り 層 か力

*) sur sl.gnalcra petrnutlrii. (N.n.) 232

l::視 .。 s沈

‐ θ γ α η

46.Operatorul σFoieCteaztt pe subsptttil■ l

tensorilor anti―

°°

Sllllletrlcl。

m・ rTザ 留 m孟 1)1孵l漁 柵 乱翻蹴鵬z肌 ,VT場 」 00Ⅱ I〕 ide

Cll ttcest nucleu.

eFS鷺 ettitty轟 糖 ざ嘱1 ∬」 ∫ evttTT竜 認爾 :溜需 sllnetrle.

§3.Produse exte五 oare,i fOIIIl10 0Xterioare γ θtθ 2sθrta7α a ull■li Stt coIIsiderttl■ ■ar― 勧r%ι θ Θ ヨ

=EΘ

・… Θ

spaltiu刃

:

E;

accst spaltiu este acljuIIctul sptttiului tellsorilor de valenttt r, Cll

variabile din E。

.∬

吼

llli ヨ

S鵬

縦 瑞 曽封 ∬ 蹴 肥

:triS渕 跡 ′洸

:脇 fl甜

ぽ

si se nOteaz焼 p

∧E=ヨ

∧ 。… ∧ヨ

.

タ

Dactt F>>"′ , atllnci ∧jD=0. 48。

Operatoml σ′aditllllCt

a1 0peratolullli de antisimetrizallle

鋤 ―人ヨ %σ ′ ∬ ・ 絶 a pe ttE 猜 urmeぁ ,vom ttent量

proiecteaztt spれ tiu1 6 E pe ll」 ls■lb叩 tiu iZOmorf cuス

^

ceL ce

コ :

cu subspath1 2)0′

IIl ttest sells,

49. D&c沈 ″1, … .,″ ″SIItt VeCtori din ヨ, ntllnci tellsorul p]ノ Jχ け 叩 ¶

鷺 Ⅷ

O"・ ・

ttt cu a∧

al vectorilor ″1, ...,″ p.

"JJ均

…

…Θ .Θ 。

Aち

%

゛ Se ILllnle■e rrο α%Stt θ″冽 θγ

233

50. inmul,tirea exterioari, estc o aplicalie multiliniaril p

a

pu-

2

carteziene x E :E x ... x H in 1,8, antisiinetricX in raport cu factorii ―∧″ 均ェ∧.… A″ら=χ (Jl,… 。 ,J2)(亀 ∧ 。 ,)

terii

pentru to満 e permuttrile(Jl,J2,… ° ,J,)狙 e siStelnlllui de illdici (1,2,..。 ,r)・ 51.Egalitateal trl A ... A ″ ,==O are 10c dac沈

V∝

器 誰 [」

, si ll■lmai

dac尻

,

"島 ど臨 lmmele:計曽サユm咄 hぃ 軸 ∝皿 れ 。

れplicatie mllltilinialll航

例 ntisilnetrictt lllliversaltt si aceasttt proprie― tate carttcterizeaztt mllllllltireれ exterioall沈 (a Se cOnlpara cu 4-7).

plicⅢ ie multiliniartt antisimetrictt a pt■ terii 52.Dactt F este o λ

calllteziclle x E intr― ullL Spatillヨ 。si dacう ′λ∈Iθ %(Eo

El),atllnci

卿 este oれ plicatie m■ltiliniartt antisimetrictt a lui× 刀 m ll.

53.Pentru orice omomorfism L∈ 」η m(∧ ヨ,■ )apliCatia r=

lnde A este aplicatitt de inln■ lltire exterioar尻 ==五[∧ , ■ ∧(a,。 …,″ 2)=亀 ∧ 。… ∧ %

,

(″ ヵ∈E),

este o alplicatie multilini4artt antisimetrictt a lui× E in l珪

.

54.Pentrll orice aplicatie multiliniartt alltisimetrictt F a lui ×ヨ in■ ,existtt mclt F=″ 'AA.

un omon■ orfism unic F′ 、c lθ

il

(Aヨ ,■ ),aStfel

“

;i po aplicalie multiliniarri anti■etric沈 』r a puterii carteziene X ]l in E0 crl propriet[lile 1) pentru orice aplicalie multiliniarS, antisimetricd, -8 a, lui *U intr-un spaliu oarecare -D, existd, un omomorfism -8r, e Hom (Do, -D)r, astfel incit 7:PnM; 2) imaginea aplicaliei II contine o 55.Fie date spれ ,1le

,si Eo

sil■

familie completd, in Eo. Atunci, Do este izornorf cu produsul p exterior A.D qi prin acest izomorfism, aplicalia ,M se transfolm:i i11 A r atlicX in inmuilirea exterioarf,. Teoria determinantilor, dezvoltatS, in paragraful precedent,

se inscrie ln mod natural in cadrul algetxei exterioare. 56. Dac5, A : {e,,}i este o bazi, oarecare a lui -D, atunci pentru orice familie I : {ari}f, ar.em J‐

△(trl,。 …,μ ″)(■ A・ … ∧ θ). i∧ ・・・ A″ =Jθ ι “

“

４ ００ うる

Aceれ stt forl■ ultt poate fi generttizattt intloduclnd notiunile

de minor si de lnincbr adiunct.

1O si punem Ps=三

πs al polinOamelor

L Os.

Este llsor de delnonstrat cu ajutorlll foFll■ ulei 130 o焼 131。 Opα ator■ll Ps proiecteaztt spalilll Πs pe subspatiul ttθ :

al polinoamelor Lie omOgene de rad s. Modificttln aplicntia O punind Pα

ブ l… =Σ ⊥ α

,ノ

3L.[・

S

…[々 3_.,鋳 s]・ …]]

pentru seriile α fttrtt termen colllstaIIt. 132. Pelltru ca o serie llltFeag沈

のstt fic o sel.ie Lie,este necesar

si suficient ca Pα =α Mれ i cxisttt uIL Criterill impOrtallt pentrll ca o s(】 ie stt fie o serie Lie.Pontru a-l oILurltれ , trebllie stt intrOduceln lIImultil・ ea .

tellsorialtt a seriilo■

lILtregi.

PleolIId de la propriet嵐 ,ile Obisllluite

b=α l Θ b+α 2Θ ♭ αΘ (bl+b2)=α Θ b.+α b=α Θ αb=α (α Θ b),

l)(αl+α 2)Θ

2)α αΘ

Si de la proprietate& 248

,

Θ b2,

3) (o @ bXr e d):

oc @ bd,

este suficient s5, se defineascS, produsele de forma

zi

@

?r,

|

@

zx,

ii

@ 1,

181.

(*)

Definilia pe care o propunem

constd, irr a consid.era aceste produse (cu exceplia lui 1 @ 1) clrept noi variabile indopendente def gi, in plus, 1 I 1 : 1. Aqadar, produsul tensorial a doui serii intregi ittzr,...,2,r, este o serie lntreagX cle (m + 1)' l variabile

-

independente noi. Sd, asociem acum fiecS,rei serii intrcgi

1,・・ S釘 α =Σ ∝グ ._・ 竹s ,グ

selllれ 1,¨ んα =Σ αブ

,′

3 71竹

1_.乃 鋳s,

unde s― a plls

Lz.=zκ Θ l+l Θ Zκ (λ =■ ,… ・,鶴 ). 133. Pentru ca o sσ ie intreagtt stt fio o sellic Lic, cste Si SufiCient cれ De aici,

Lα

=α

lllecosれ r

Θ ■ +■ Θ α .

134.Aplica↓ ia expOnentialtt b=eC este o bijecぃ e a llnul,im五 seriilor Lie pe mullimea Seriilor cu termbn constallt egal cu unu care verifictt relatia λ ♭ Este usOr de verificat acllnl c抗

b=bΘ

135。 Se/riλ intreag沈 Ea este de follllna:

.

7協 (ett eZ2)este O Seric I」 ie.

H蕊 掲 aれ e→ =二 ∵ 却 鮮武滞 ・

De ullde,aplicilld operatorlll P (cf・

132)si sllbStitllti■

e21-)

→ αSi e2→ ら prbθ 77-Iα ttsα θ γ 協%7α θαγ D`%λ れ「 ,ObtinQmル ″ ∬― 137.7%oCeひ

`1× )=旦 ≒ ノ

クS,b′ 8],.・ ク × Σ ■ 堕 ・ [α ・,[b'1, ・・・,[α >OΣ r.!gl!・ … pδ !αδ gJ) ち+タ ノ (2′ 十

.]]

!

ノ=1

249

Am f010sit urmtttoarele nota,五

[%ち

:

υ]=[%,[10,… ・,[tι ,つ ],… ・]],

M州

=00>軌

P,切 =性

朧

III

Stt scriem prlll■ 五 termelli lli serici 137:

″ L呵 十 号 鮒 :F∫ 1lb十 け Cgall11lF話 ltreれ gtt ai cttei to「

[ひ

品

lneni au gracllll lnai lnare salL

]ll:lifilllttF7:hTbγ txist抗 。

3intttate mB ぁ

llli zero, astfellIIcit, dllptt substitut五 le α→ Vα 五 B'seria sa stt fie Campbell‐ Hausd orff― Dmkin s沈 0。 .icargtt si F uma Si b→ %(eイ eB),pentru Orice五 ,B∈ 別 。 egaltt cll op∝ atorlll ι

Capitolul VI

SPATIUL VECTORIAL REAIJ

︱︱﹄

1魃 鳳 設:lTg淵 計ヽ鵬 ¶tttt∬ J鶴 1選 乳■ III capit0101e lDl.ecede■ oa皿

00nSident spⅢ ii veCtOriale com‐

l尋

ア lnelltele ullui corp oarecare si atllnci este ■ orba de llII spatill vectorial peste un corp(comlltativ)dat*).PC■ ltru analiz汎 ,cazI[ile

celo lllai ilnportante sint corpul numerelor colllplexe si al■ llllnere―

lor reale.ヽ roln considera ac■ lln acest al doilea caz si volll exれ lnilla ceeれ ce arO cl caracteristic.Este u,Or de vttz■

lt ctt mれ ,oritatea defi―

emclor di■ l capitolole precedellte se transpuIL,f激 汎 llici O l■ 10difiCare,la spat五 reale(§ iOl■ are parte dintrc ele,si la Spaltii peste un corp cOlnlitativ oれ recare).lII Special,acest lucrll este valab■ pelltru capitolele I,III一 ヽr.in capit01ul II, alln oo■ ―

1litii10r si tC01・

stl.liit teoritt slDectllaltt care este strins legattt de rttdttcinile poli― 1loれ nlelo■

si,in general,de instrumcnt■

ll fur■ lizat de teoria fuILC―

r,de exelll_ tii10r anる liticc.Spl.e deOsebire de acest caz,lll capitollllヽ

plu,,,caracterul oonlplex''nu joactt llici lln rol si acest capitol

poate fi transpus α αι づ ″ ι ι α772 1a Spat五 reale. θ

§1・ COmplcxificarea intre spat五 le reale si sPat五 le COmplexe ekist汎 0 10gXturtt strins航 care rezllltれ din relatia dilltre nllmerele reale si nulllerelo oomplexo.

Aceasttt situatie perllnitc reducere& sistematictt a problematicii Spス til10r realo lれ problellle deja rezolvate illL CaZlll spatiil∝ COl■ l_ plexe(si reCiprOc)。 Desif「 r,O astfel de redllcere nu este totdeallna

necesartt si con10dh dar deseori ea collduce repede la scoplll dorit.

i')

Se

pot cousidcrrl gi spatii vectoriale peste corpuri necomutativc. (N.l?.) 251

lll acest cれ pitol voln ILota prin R spati■ ll Cle baztt real,iar di― IIlellsiullea sん

(ca spatill real)*)Cll%.

ll spatill real de di― 1. Corplll llumerelor complexe C este■ ■ lllenslllllle dOl.

2.Prodllslll tenSorial R。 oomplex**),cll defillitiれ Θ ″)=α β Θ ″ ・

l■

)=c

れtllraltt

Θ R este lll■ spatiu Vectoriれ 1 a lnmultir五 Cu■ln scれ 1れ 1': α (β Θ

α ″ θ αθ ο Spatill1 001nplex R“ )se nllmeste∂ 巧β む%raι ο ηr7ι ″湧a Sp¨ il■ llli R,Lr aplicatia prin c[re se trece de la R la RICl,se ll■ l― meste θο竹響 Zθ ″づル のγθα Spatiullli R,spⅢ iul RO Se lllai nllmeste

θ θ θ α ι %ι lui R. ηρ ″ヴづ ∈C,″ ∈R)lIL in cele ce wmeaztt vom scrie,pe scwt,α "(α cll sllbllllul― loc de α(3″ 。Spatiul illitiぉ 1 2 Se poate ide■ ltifica いmea{γ lγ =1″ }a lui RO,Care este un subspatiu al Sp¨ illlui reλ l 7θ

R“ ).

'蹴 出 守 ∬ ■ 例 tultimilfattilt謂 研:ツ ,観 」 lt〕

1・

ber沈 ***).

Pc de alttt pλ rte, rezulttt ctt dimellsillneL real沈

R(θ

)este 2%.

れspatil■ llli

・ 4. I)ilneIIsiullea complextt a spatilllui R(ι )este egλ l沈 cll % (atliCtt este eg&1沈 cu dil■ ensillnea real流 れspれ tillllli」 R). 5. Orice vector 2∈ R(の se reprez■ Z=″ 十 iγ (″ ,ν ∈R)・

llt焼

lII Inod llllic sllb forlna

rector五 ″ 3α ― αι a si pα ttθ αjγ 夕 ι α″ θ ヽ θ si γSC Ilumesc respectiv rα ″ )este ll real iR(θ ″ 5 afil・ llntt ctt spれ α あれ Vectorllllli 2.Teoremれ θ ti■ jη

suma directtt a spatii10r R si iR.

Dactt z=″ 十 iy(″ si γ∈R),お tullci vectorul″ =″ 一 iッ se numeste θ θ ,ヴ lη 漏%τ θ θ ″al vectorullli 2. ηrι θ 6.DRctt α=ρ tt iσ (P si σreれ lo),2=″ 十 iグ (″ si ν∈R), atunci αe=(p"― σy)十 i(σ ″ 十 ρν). 7.Aplicatia Jz=ラ este un izolll10rfiSm hermitic R(の → R(の si o aplicぁ tie involutiv抗 DLc嵐 五 este lln subspatill al llli R, atullci illlfttsurtttoarea .

complex沈 五

(の

(″ ,γ 8。

∈五

L lui tt este mul,Inea vectorilor de forma∬ 十 iy

)・

infttsurtttoλ rea

complex悦 五(の

estc uII s■ lbSpatill al llli R(の

.

*)Ea poate fi definith exact la fel si pentru un spati■ COmplex. in cele ce ''. urmeazう vom folosi,dupi caz,termenii,,dimensiune reali'',i,,dimensiune complexう

本ホ )Si, de asemenea, real

***)Relativ la corpul real(NR)

252

￨

Totodat沈

:

9. I)imellsillllleれ

complextt a subspcltiullli 五(C)este egaltt cll

dimenSillnea realtt a subspatillllli五 ・

10.Fie Rl si R2 dOlltt spⅢ

ii reれ le,λ ∈ Iθ ,ル (Rl,R2)・

:涙れ話麟号:器寝計五3ヽ F¶ 品t:肌 f纂

F°

° mOmOr_

1路 孔 L%タ

j″ αθ θ %ルク θ Olllol■ orfislnlll L(Cl se numeste rrθ ι ηr7θ ″aa omomor― (の α se nlllneste θ θ″rι θ ″げづ θ αγ θ fismlllui乃 .Trecerea de la λlれ λ θ %Ottθ η 力SIP7%ι %づ ん 11.Iθ ″″の =(κ θ″乃)0, I"0 7erの =(■ 71t L)0. Prlll lrn■ are: (C)=町 λ 12.α 膠C)=α ぼん ・ , マλ .

げ

Pe llILgtt complexificarea ullui omomorfisll■ , existtt o nletod沈 jθ rθ α α ο θ α ,ん イ ι ″ ttθ ″ COnillgattt llumittt θ ηrι θ ザづ ∈ 13.Fie R.si R2 d° utt spれ !五 reale,λ Iθ %(Rl,22)・ Oll■ O― .

[:服

沈%夕 FWあ

Wi織

ふ 瑶 監 :置 ∫ 場 i)1∫ L:孵 織 ∬ l蹴

Cele spllse pentru ol■ ollnorfislllle se refer沈 ,1■ particuloば ,1れ tionale lilliare.

fu■ lc―

Prin complexificarea fuIIctiOnれ ldor biliniare se illtelego 0 prelllngire pintt la o functiOnaltt sesqlliliniar沈

14.Fie Rl si R2 dOlltt spat五

i酬

.

reれ le, 3 o functiOnaltt biliniar沈

d untt h o hnctb・

讐 升犠 色 ぽ ゞ奮 昴le m m° lll∫ 、ま話 15。 Oomplexificれ rcち uneif■lnctiolllんle bililliれ reipttStreぁ ztt

rallglll

,i defectul.

16.Dactt B estc o funcliOllaltt biliniartt simetrictt po R,atunci B(の

(2,2)=B(″ ,″ )+B(γ ,ν )(Z=″ +iッ

)・

17.Prin col■ plexificaren llnei fllnctiollale biliniarc silnetrice Se Obtine O fullctiOnaltt sestl■ liliniartt silrnetric沈 .

a島

透Ъ 悦n∬ I枷 』 lf比 瑠 電¶ i認 肝 ]￡L乳 蔚 認 制 sensul de la §2, cap. III)o(の lDe R(C)・ 19。 PcILtru orice fllllctiOllaltt biliniartt sil■ ■ etrictt B pe R exist沈 o familie de vcctori{θ た }i⊂ R,(″ =″ クB>0),nStfel incit B(″ ,ν

)=Σ ε .B(″ ,θλ ,ν )(C″ =± 1). )B(θ λ ん=1

253

〓

0(″ )

Σ日 γ

20. Pentru orice funclionalf pd,tratic[ 0 pe fr, existil o famiiie liber5, de funclionale liniare {fi}\Q : rg Q }0), astfel inclt [ル )]2(c.=± ■

)・

Teoremde 19 si 20 pot fi demottstrate prill colnplexificare (atunCi rezulttt dill teorelll■ ele 41 si 43 de la cap.IⅡ )dar ele pot fi l teOrellnelor cores‐ dell■ ollstrate si,,fttr嵐 助 iesi dill」 R'',dllptt llllodel■■

pllnztttoare pentru spat五

complexe.

Subli■ liem ctt legea inoftiei peIItrll fllIIctiOna,10 ptttratice se tllallspllne idellltic ill cazlll spat五 10r reale. 21。 Cё mplexificarea ullei ful■ ctioILale ptttratice pttstreaztt iIL― dic五 cle illertic.

in particlllalr,oollllpleXificarea llnei functionale pozitivc d沈 o fllnctiol■

altt pozitiv銑

.

22.Dactt R este lln spatill■ lllitar,atllIIci COmploxificarea prO― dllsllllli scalal'1■ zestreaztt pe R(の

cl■

o structllrtt de Dpatill ullitar

complex. Stt considellttm acllm problem2 oolllplexificttrii nornldor. Se θη2夕 ι θ θ ,os'θ θ θ″aa■lnei norlne pe R o IIormtt pe R(Cl, "ι c[re coincide pe R cu norma illlitial沈 ・

numeSte 23。

Fie R■ln

spati■l ellclidian:Prin forl■ lula l″

十iν O=/1面 2+ly 2

se defineste O CXtel■ sie complextt e■lclidial■ tt a norlllei. Acest caz este llilic, 1■ sensl■ lc抗 :

24.Dactt R este un spatitl■ Orm&t,iar norma pe R(C)este de formれ

‖″十iν l=ν (″

￨,グ

)(″ ,γ ∈R),

atullci

ν (α ,β )=/…

.

iar R este lln spa,ill euclidia■ l(12,cRp.IV).

Asadar,COmplexificareれ

llnei norllle nee■ ■ clidiene l■ u este coIIL―

cll reprezelltarea 2 1=″ ― 十 iν . Existtt ea lIL genera12 Rttspllllsul afirlllれ tiv la aceast沈 金 ntrebare rezulttt din teoria ILor¨ melo■ lncrucisate(§ 6,cap.V).

p■ tibiltt

ヽroln l■ la drept llormtt in c rnod■ lllll numerelor complexё 25。

ale ■lormei coincide cll clasa normelor incrucisate pe C

254

.

Dactt R este norllnat,atunci lnultimea extensiilor complexo Θ R.

Deci: 26. Functionス la lZ‖

=`げ Σ た・￨″ ‖ lα

,

“

■ lllde marginett infel.ioartt se ia pe toate reprezentttrilo

o=Σ ακ

(α

"ん

″∈C,各 ∈R),

este cea mai lnare extensic complextt a normei.

27.Norllla inclustt pe C o R este de forma

同了 扮 。 一り I)in teoreinれ lui Schれ ttelll rezlllt沈

:

28. ]ヽ ormal illdusユ este cea lllai lnictt extellsie con■ plextt a ILormei date pe」 R,compれ tibiltt cu complexificarea functiOnalelo■ lilliare: ￨∫

(0‖

=‖ ∫￨(∫

Pentrll fiectte vector 2=二

ε:R′ → c

defillit de relaぃ a

″十 iy,

″ f=ス ″)十 29*)。 ll■

∈R′

N01'ma illldllstt pe R(の

i/1ν

)・

Considerttm omomorfislln■

ll

)。

coincide cu llormal omomorfis―

ului,. 30. Dれ c嵐 ■Ormん pe Rに )este prelllngiren complex沈

clate pe R collnpatibiltt cu colllploxificareれ atllIIci ll

fl■

れllormci

llctionalelor liniare,

ε‖く￨￨″ ・

*) Fie R un spaliu euclidian. Se spune ci nonna Il n + iU116, definiti in ?3, cste norma standard pe 1?(c), Pentru n> 1, ea nu coincide nici cu norma indusi nici cu cea rnai mare extensie complexd (in virtutea dualitdlii lui 116, cap. V). Ea este cuplinsi intre aceste doud norme, intrucit este compatibili cu complexiiicarea func[.ionalelor liniare. in afard cle 24, norura stanclard mai poate Ii caractelizati de urmitoarea proprietate : 2!).f. Daci spaliul R(c) este cuclidian si daci prorlusul scalar colespnnzitor este real pe 1?, atunci norma pe /l(c) cste o nolmi standarci iar plorlusul scalar se obline prin cotrplexificarea produsului scalar pe R.

In

general

:

30.[. Formula ll

r

-F igril

-

l,/il a'LP

+ ilUl, + 2lrGr

y)

stabilegte o bijecfie intre extensiilc complexe euclidiene ale normei 9i funclionalele

255

Oonsiderttm clolltt spa,五

veCtOriale roale」31

ficarea omomorfismelol.λ ∈Iθ ‖ (Rl,R2)・ 31. Orice comploxificAre&norlllelo■

lll J31

l GOmplexificれ rea fllllctiOnale10■

linial'c,(ヽ te colnplexificれ rea olnolnorfisllllelor, astfel ll■ olt: 0■

IL(の

;i R, qi cornplexifli B* compatibilS,

compatibilS, qi cu

‖=￨lλ ‖

pentru orice L∈ Iο m(Rl,R2)・

§2.Decomploxificare Acest termen s― a introdlls pentru a deselnlla o metodtt iIIvers汎 intr― llll

anume sens, complexificttr五

,

.

32. Orice spatiu 001nplex de dilnellsilllle,ι este lln spati■ l real de dillllenslulle 2%.

ill cazl11 ln cttre il vom considera ca spれ till real, spatilll E

′ η θ va fi notat JO.Trecerea de la」 1れ ヨ )se llllmeste Jθ θ ψ ″■ (r)este αθ ηpι θ ″ψθ α ι αSpati■lllliヨ ,iarヨ %ι llliヨ 6α γ θ 'メ `θ コ de dil■ ensillne"ら este llll 33.Orice s■lbspatiu COmplox Z⊂ subspatill real al luiヨ de dimcnsiune 2%. (″

7θ

.

(り

絲ざ :llgttЛr轟 。

研瑳 l品

器

lttI。 . 1lSミ 1器 3肝 l∫ ヨ (r). ヽrom nota cu J acest autolnorfislll. 3or.」 2=― ∬ ), 36.Pellltrll ca ull subspatiu al llli E(r)stt coiILCidtt cll lln五 .

い ¶爾胤)MtF品 場t:Ⅷ 鮒ふ器用上姦″ 学 (″

(〃

_

θαbづ ι θ .

37.Dac沈 ]r este un subspぉ ぃu al luiョ (r),atunci cel IIlai mic

stlbspatiu y al lui E care ll ooIItine pe y este egtll cu sl11■

y tt Jy・

a

■ 一２

８ ３

αjη 2

yく

mttfttltty二 Rr),atunci

αj,}2″ く αj,)2_lf.

蝉驚憮吾 ぎ 正 IIiliWlaXぶ

pentr■ orice i c lo″ 1(■ 1,R2)・

256

。 )=71 が ‖ノ

el

y ttd∝ れ 船 ら %″ =÷ 伽 ・ 珈協 ″ いmm航 崎 t∽

y este oomplexificabil. 40。

」_lf

Egalitatea αj,総 c llf=α j,%R y areloc dac沈 ,si llllmai dach,

n_lf=0.

Asifel de subspatii ale lui刀 ("se numesc θ 6α ttι θ ο ・Este ηr7θ ″ヴを clar ctt orice subspalill al ulllli spatill COmplexificaIIt este coln plex:ficallt.

41. D2ctt y este■ln sllbspatiu cOmplexificant atuIIci α η o型「く,3. づ 42.Dactt■ f este llll sllbSpatiu cOmplexificaIIt si dactt αづ astfel >0, ん , ζ

こ > 01 “

COllllpletattt cll zero este de aselnene& uII cliII. Pclltt■ l

あ ceste

鶴

==%,

dolltt cliILuri Sint collllri solide rθ θ %づ Mi%λ ο υsλ り η%弓 ι θι 8. Dactt vectoll五 care determilltt semidlleptele din 3 sint liniar illdepeIIldenti,atllnci clill■ ll corespllnztttor este lln coII.Dactt vec― torii nlllltilln五 」 F dil1 5 sint lilliar illdependenti,atllnci clillul co―

.

llesp■ lnztttor

cste lln con.

9,Intellsectia unei multillli Oarec&re de coIIwi este un con.

Printre subspat五 le tt COnlinute in clilllll F existtt lllllll

10。

care este cel lnれ i naare. Cel mai mare s■ lbspatiu lilliλ r tt coIItillut in clin■ ll l se nullllestc ι θαSα rα ″

Zづ %づ α ,。 あ ,

iar ntllnを

tllJar.。 α夕α

.

11.Dれ

multime乳

G沈 五[eSte

{[″ ]ι

l″

αづ鶴 L se llumestc αづ

"ul

%S'lι

ttθ

αs`ι

'%θ

ull clin si dac焼

五

este lln subspa,ill,atuIIci

∈K}este un clin in spatiul Cit Fμ

.

12.Dac焼 五 este partea li■ liartt a clinului lr,at■lnci 五 {[″ ]L″ ∈Z}eSte lln con lILヨ ′

la■

ul,imea

.

I)in 12 rezulttt c尻 13. Orice cliII se poLte reprezelllta sllb formれ

ll■

lei sllllle dintre

lDartea sa lilliartt si un coll.

14.Dactt un cliII se reprezillttt sub forma urlei sulne dintre un sllbspatill si ■ lll COIl, atunci acest s■lbspatill este partea sa lilliarれ

,

A§ 為tlar,peIItru cR llll Clin Stt fie lln con,este necesar si S■

lficient

ca parteれ sa lilliartt stt fiё lllll焼 Ull clill care se reprezinttt sub forma ullei sllme a llnui llumttr finit de semidrepte se llllmeste cι づ .Subspatiul nlll este con― %ル %づ ι .

sidげ れ t prin definiゥ ie ca un clin finit.Un clin fmit se mai numeste

ι づ αα ι .Un exemplu de clin finit este dat de λ θ γ θ θ ι α%ι %ι rο ノθ ゥθ jυ ″ι prin sistemul ,c&re se defineste relat市 lれ o baz尻 oれ r∞ are{θ ″ }『 de inegalitttti ζ =1,2,… 。 ″>0(λ 二 ,%)。 Este clar ctt lln hiperOctant ,・

ipOzitiv este un con.

O mul,me Oarecare de v∝ tori

Ⅶ磁toare liniar飢 L cttror mf焼 §

nellegativtt coillcide cll lln cliIL finit F se lll■ meste sθ λθ ι ι θ %ι acestui

clin, Scheletl11 lnillilnal(relatiV la numttrul de vectori)se llllmeste Oα zα

chllului finit. Nllmttlll de vectori din baza ullui clin l se al clill■llui X si se noteaztt ο γα Z.

jり ■lullleste ογαづ 9し %7(sau rα η tι ιげ Este clar ctt θγα]【 ≫ αjη レ1て .

277

15. Orice subspaぃ ll tt este un clill fmit de Ordin副

,):五

16.Orice sellnispaぃ ■ l illChiS este ull clill fillit de ordill,ι

十 1. ■ 1.

01iIIul defillit in 5 1111 este finit decit dactt γ θ F ≪ 1,iar clinlll defillit iIL 6 1111 este fillit decit dactt dilllleIIsill■ lea sれ este く 1. in 7 prilnul clill nll eDte fil■ it decit peIItr■ l観 ==2 111 til■ lp ce al

doilea nu este nic・

iodattt filllit.

Un vector "0⊆ 」 【 (″ 0≠ 0)Se llllmeste Vector `″ ι ″θ ιal

cli―

鳥 盤 Tr乱 協 肥 称 佛 ti掛 輔 電i郁 路 "2α

17. L coll finit ir este infttsurtttoarea liniartt lllenegati■ 7沈 a

nlulい m五 tutllror vectorilor stti extremali.Ordinul colllului F este cgal cu llllll■ ltttul

maxilnal de vectori extrelnali pozitiv liILiar

iILdepende■ lti ai cOllullli K. 18.D&c沈 五 esto partea liniartt a clillllllli j【

, at■ lnci

θ ″ α【 =θ ,'α 五 十 θ ″ αF′ 五・ 19。 Slll■ la■lllui lllul■

20. Interseciia■

■ar fillit de clin■ lri finite este■ l■ l clill finit_ finit de clinuri finite este lln clill

lILui l■ llmttr

finit.

In particlllar, 21. Intersectia unlli nul■ ■ ttr fillit de selnispatii inchise oste ull clin finit.

Reciprocλ acestei teoreme vれ fi considcat沈 lIL§ 3. Fie tt cel mai lnic subspa,u care COllい lle clilllll Zo iII cele ce

器 鮮聯Ъ 綱椰 嚇毬椰1/t:RIt札 網認り ii』

22.Pelltru ca un clin」 【 stt fie lllchis,este llecesar si sllficient

cん

inters∝ tiれ

Sれ

Cll orice sllbspatill bidilnensional stt fie llll clill

finit.

Vom nota cu r%ι K mul● lnea punctelor interioare ale unui clin F. 23. Dactt clinul F este inchis, atullci Ogahtれ

tea K==∬

9ι

ι]【

れre 10c dac沈 , si nlll■lれ i daC嵐 , r este lll. subspatill. 24.Intersec,ia unei mul,imi oarecare de clinllri inchisc este un cli■ l illlchis. 25。 S■lnla

llnui llumttr finit de clinuri inchise este llll cliII inchis.

htta量 器 :誦 Ъ珊

罷札l器 鴫 稿

Se verle ll§ Or ctt ad∝ elltλ

脳

De exemメ L

#・ unui COl■ nu este totdoaulla lln cOn.

27.Dac沈 ん∈Iθ 鶴(ヨ ;El)si dRCtt Z eSte lln clin in E,atunci mul,il■ ■ ea λr este un clin inヨ 1. 278

28. Dれ ctt clinul F este fiILit, atunci si clinlll λZ este finit. 29. ′づっ %77亜 〔 く αjl%r.

30. DRctt cliILlll F este fillit,れ tuIIci θ″α乃【 く ο″αK. 31.D&ctt Й[este un con si dactt Kθ ″λ ==0,at711LCi si 7"【 este

u■ l

con.

Mai general: 32. Pelltrll ca clilllll λK stt fie uII coll,eSte necesar si suficielllt

cR五 ⊂Xθ ″ん,unde tt este parteれ lllliれ rtt a clilllullli』 【 33.Dactt K este un clinれ l luiヨ ,atunci mlllぃ mea .

F′

={ノ ￨ル )>0,″ ∈K} ′

cste lln clill al l■li]ワ ′ Clinlll五〔 se n■ lmeste clilllll α%α 7*)llli Z. .

34.Un clin dual ette tOtdeauna lnchis:Z′ =Z′ 35。 (π =Z′・ ′ 36.D&ctt clillul tt este llII subspaぃ ll,atunci五 =五 ■ .

)′

.

37. Dactt clinul K este fillit, 動tllnci si Clinul 五[′ este fillit. 38.Pel■ tru orice clilll ttr are loc inclllziullea

F⊂

I′

′

,

´

pin沈 lR izol■ orfislnlll c8■ oILic. 39。

(ζ l+Z2)′

40。

(Kl∩

F2)′

=Kl∩

K`.

⊃ Fi tt K`.

Dactt clillurile r,ζ l si r2 din 38 si 40 sint subsp¨ ii,&tunQェ

182 si 184,cap.I). Acest lllcru

inclllziullea deville egalitate(Cf・

f炒、 描。 :鵬 習認,電 鰍迅.Te:1・ gertfぽ『 電 織性 lIIchise al1 loc egalitttti in 38 si 40.

■Ltunci,relat五le 39 si 40 sint

duale iar relatia 38 alltodual沈 41. Aplicれ tia(′ )eSte monotoll descresctttoare: dac沈 at■lnci]【 〔⊃ X'(a Se cOmparれ cl1 183,cap.I). .

/42. Pe■ ltr■l ca clinlll lf′ stt fie solid, este necesar, iar este illchis este si s■ lfiCient,ca clillul』 【 stt fic llll cOn.

Ifai

島

⊂K2,

dRctt X

general:

43. DacL rn este climensiunea superioarS, a clinului K, iar m' 'dimensiunea inferioarS, a clinului conjugat -K', atunci are loc J ormttN,a complementului

tn!m':n. (a se compara cu 1Bl, cap. f). 'r) sau conjugal, sau polar. (N.R.) 279

′

１ 一 ，

coILILl]【

L prin inegalital,ea

く pく ∞

(■

),

′ bazれ dllal沈 △ cste deternlinat de inegilitatea,

il■

ヽ

１

一９ ｌ ｌ ｌ ノ

η

＞

η

undC二 十二 =1い

月コ ロ ，

atl■ l■ ci

‘ヽ

こ ,>

este dat intr-o bazd,

月カロ ，

I{

44. Dzcil, conu,l

Se col.lpara cu 104,cap.IV).

in41LCh:ierea acestui paragraf, stt c:IIsider嵐 11■ cazul spalill― llli euclidian E. Se poate presup■ lnc atllnci ctt Z′ ⊂ J. 45・

Z十

(― 【

′

)=E・

46.Dactt K∩ X′ =0,atunci Z este un subspttiu. Un clin Й[al■ln■li spatill euclidian J se nllmeste α s6?げ O pentru ol'ice″ K si ο bι z dれ ctt pelltru orice ,ν )≫ ,y∈ (″ tι

j′

dac誌

y￠

r

existtt un"∈ 【 ,astfel lncit(″ ,ν )0, O∈ Iηt]【 , αν 。〕

ぁ tl■ nci

pelltr■ l ca stt existe o fllnctional焼

ln lr si care vellifictt ecllatiile

∫∈17′

130Zitivtt r01ativ

)=α ν ス″ ν pelltrll toti v, cSte necesar si s■ lfiCiCIIt ca pentru orice nlllltilne

finittt de indici vl, v2, ・・・,Va Si pellltru orice numere re&le λl, λ2, ・・・, λ″ 2' pentlll■ care

α λ ν Σλ た=0,

ん=1

stt fie sれ tisfttcllttt co]■ diti&

″ た Σλ ヵ I%ι

た=1

l￠

K・

287

pe W:路 が

4群 冨 l鮮 慾 部 地 構 濾 ut島 , λ tunci pelltru ca stt existe un operator autoadjunct θpOzitiv,

care l‐ erifictt ecuat五 le (θ Sν

1群

孟 為二

iC::「

:°

)=α 、

`″

tiliSTッ

ys:∵

e寧 12:l讐 ,ギ I:尉 i 壼 譜盤￡

lDentl.ll cRre

γ た ν Σλ た=0,

1=1

λ

s5,

Ｓ

“ Σ日

operatOr■ ll

nu fie strict pozitiv. S[ considerirn concomitent aqa-numila problemti

I

or tnonleil-

telor'.

107. I'ie {mn,\',!:r(m { n,) o familie liber5 de vectori ai unui spalin uormat Z;i fie dtt ezt ...s d- numere leale. Fie

r : ?yil5 ^,- li Lt, '^i"' : Pentru ca

1)

existe o funclionalf / e E' care verific[ ecutrliile f(n): ev (k:1,2,.-.,1n)t lifll電

llli Weyl se transforllll沈

_4,inegalit焼 !■ e

金 i.Pentru ca toate inegalittt■ n egalit尻 を

e

stt se tralllsforllle nn egalitttti,este■ Lecesar si suficiellt ca operatorlll

∠ stt fie normal(cf・ 251 si 252,cap.III). Inegalitttjile lui Weメ Sht exれ cte in sensul c沈 140.Pclltruげ ice numere con■ plexe 、, λ2,・ ・・,現 , ￨｀ ￨≫ >l λ2>・ … ≫ lλ %l si Orice ll■ lmere pozit市 es.>s2>・ … >S.C&re verifictt relaぃ ile

1自

為く Ё勁∽=唱 …%― 場 =Ⅱ

S・

,

λ=1

are湘 。me prop血 {司 1■ ゝnum∝de 丸 脇ァ lnegalittt■ e lui Ⅵreメ pOt fi Ob● llute,de aselnenea,din ur―

罵 ぽ 渇 厖瘍

a霧

mtttotteれ teoremtt care rezulttt ilnediat dill alternanta valorilor

prOpr五 (cf. 232, cれ p. III).

141.Pentru orice familie ortonormattt de vectori{θ ″ }r,avem

α ι θ λ ,五 θ ((∠ の r″ =1)く Π ん_1

s″

(五 )・ ‐

Mai gellば れ1: 142.Pentru orice fれ milie do vectori{θ ″ F(m≪ %),あ Vem

α θ ん )‰ _1)≪ バ(五 のL五 θ 294

(Π ん=1

S″

(■ ))α

J((θ ′ θ ,θ ″ )‰ _1)。

Pentru ooo=% are loc egalitatea。 S焼 oOllsid∝ 加 L CLeVaれ plicat五 a10 teOrelnei 137. 143. Stt presuplllleHL Ctt O func,iOnal焼

]7(γ

),definittt pe ittter―

SeCい れOlinului F cu hipelloctantul pozitiv,gengeaztt functionala Φ(″ )=P(♂ )(″ ∈F),

care satisface condi,iile teoremei 137。

AtuILCi

F(ω (五 ))≪ F(S(五 )) rι

θ ″ η oα ι stγ θ ωsλ り θ θ %づ θ .

I)ill teorenlal lui Ostrowski rezlllttt c沈 144. Dactt flllllCti劉

ζ

9に )=ス θ)

(―

0)・ {(∠ θ I)iIL 147 si illegalittttile(*)rezlllt沈 , de asemelleR, illlegalitttti ale llli]Ky Fan (cf・

■ lrnltttoarcle

264,cAp. III):

α

(五

∈C(ヨ ), σ (∠ )={ακ }I)・

Palltea netllivialtt a acestei teoreme se poate deduce din teo―

rema lui Birkhoff.

Teorema 168

れdmite urlntttoれ rea generalizare. 171. Dactt multil■ leれ Ac Rtt este invarianttt la toate permu―

れeste tttile coordonatelor punctelor{λ κ }I si dac焼 。 convextt inchistt a ulllei multimi動 『⊂ Rπ ,atuILCi

infttsllI'嵐

tOarea

Σ 鵬(A)=θ ο 露0(丑 f)・

De aici si din teorema llli Cれ rath6odory rezulttt c焼

:

172.Dactt rF esto o m■ lltime cOnic飢 れ sp易 ぃullli Rれ (adiC沈 y⊂ fr pentrll orice γ>0)*),atllIIci m3(A)este lllultill■ ea Opera‐ γ torilor cれ re pot fi reprezentれ ,is■lb fOrma ll■ lei sume de%opび a‐ tori diI1 80(y). t aici urmtttorlll corOlar evidellt in particular, este colltill■■

tori autoadjuncti: al teoremei spectrale pentru opば れ 173. Orice operλ tor pozitiv pOate fi reprezellltat sllb forlna llnei

sume de % operatori pozitivi de raIIg

く 1.

+) Remarcim cd aceasti detinilie, consideratd de mulfi autori ca definifie dileri de definilia conului (convex) din paragralul 1 aI acestui capitol. (N. ?.) a conului (nu neapdraL convex),

300

o unitar §7.NoШ ■

echivalellte

,i COIIpulli siIILOtriCe convexo

ln acest pれ ragraf,」 D vL fi ca si lllai nllainto un sptttiu euClidiaIL

complex*).O norlntt pe spaぃ ■ ll¶ 肌(D)Se■ lullneste%%づ ι α ″づ γ づ %υ α α%Ja dactt pelltr■l orice y∈ u(ョ ),aveln ∈鍛 ‖y∠ ‖=‖ 五び =‖ 五

‖

174。 175。

‖(∠ (ヨ )). Norlna operatorial沈 ￨￨五 ‖=Sl(■ )eSte llllitar

Norl■la IIilbert

invれ riallt悦

.

固=/商L/脚 este llILitar in■ ― ariれ nt沈

.

176.Func:iOnala p(■ )=Σ

ん-1

Sκ (∠

)(五

111Litar iIIvariallt汎

(cf. 264, cap. III).

°

i乳

∈勁 (〃 ))eSte

O norm沈

・‖O nOrl■ tt llllitar inva― III cele ce llrmeaztt vom notλ priIL ‖ riれ nt沈 oarecare.Dれ ctt vom coILSidellR sillnultan o l10rm焼 ￨・ ‖si lξ

Ⅷ辮 肌′

d乳

悧譜Ъ ∬ti」 lthTttfLl:hedt

de norlna lnodullll■li opaれ torial.

177.‖ 五‖=‖ (∠ *五 )'‖

=￨(五 五*)'￨￨.

Apoi:

178. ]Dac沈 l pe■ lttll lln γ≫ S.(五

0,aveln

)0(″ ≠ 0);

2)p(α ″)=α r(″ )(DO);

3)ズ ″+γ )く 4)r(″ )く

P(ω )十 P(ν );

p(γ )pelltr■ l ″・く ν .

191.Pentr■ l cL o fllnctiOnaltt P,defi■ ■lげ eze coILforll■ rel働 い ei(*)O

*)ノ ゝdici

littt pe collul」

【+,

stt ge‐

I10rlntt ullitar iILvariant沈 ,este■ lecesar

fiecare coordonati a vectorului

nu este mai mare decit coordonata “

corespunzitoare a vectorului y Ｑυ ｎυ ●０

Si SufiCient cn prelungil・ eR sa simetrictt p stt fie O seminormtt rι

γ ηαι %づ θ

Sθ

λ α ι ι %ソ θ

‐ θ θ

.

Inegalitaten triunghillllli, care reprezillttt partea■ letrivialtt a teoremei llli Schれ ttell, rezlllttt din 264,cap. III, si dill teoreina 189。

Un corp sillnctric collVeX Se numeste %θ γ%α ιdactt sellninorm乳 corespllnztttoa■ er(″ )SatiSface collditiれ P(θ

)=1(θ ={1,0,…

.,0})。

Oollform teoremei llli Schれ tten, IIormele lIIcrllcisate unitar Vtt Cu corpu」 e b可 (島 cadrulれ cestei corespoIIden,e, ettifTIWden・ :盤 teorema urmtttonI.o, care pOatc fi stabilittt in mod illdependent,

伍 ∝

柵幌肌難 淵

se lealgtt do teoroma 182.

192. Orice corp silrnetric oonvex ■orlYla,t T7c Rπ

sれ tisface

relⅢ ia

Vl⊂ T7cTの ullde

L=￨″ =脇 Ⅲ 卜

m詰 留叱l¶ liⅧ T,″ α ″=T7∞

可

'

盟lli:nT雅 鷲 ∬l肥:Ⅷ咄 縄讐 :

.

Dil■ teorelna lui Schれ ttelll in cazlll particulれr al sellllinormei slmetrlce

p

=γ ξ た の ズ tt F

rezulttt inegallitate■

ク

ク

眺

y庭

:

1颯

五 十 ⊃ く yp‖

ク

/11喜 石易 い

。

Aln lll&i intllnit &ceasttt illegalitate pelltru r==■ , 2, ,.. ∞

Notttn cu Sゞ )Spatiul ttη (ヨ )inZestr&t Cll ■ormれ llnitar inva― 304

.

riaIIt沈

ク

く =/iS,こ 再い 牌‖ rく Spatiu1 /sV,(」 3)eSte

cal.

″ anを し logl1l operatorial al spatilll■ li ι . Trebllie

deci stt lle asteptttnl ca S,(亜 7)si Sc(17)§ 沈 fie reciprOc ll■ lale pentru

上 十二

r

=1.

g

Pentru a verifica acettsttt ipotez沈 , stt collsidσ ttnl pl'oblem凡 normoi pe spatilll du&l al spatillllli 901(jF)inzeStrat cu o norl■ 沈 llllitttr irl■ 7ariぉ nt沈 11lai gellerぉ 1沈 n deternlinttr五

.

Pentrll o Relnillornl尻

sil■ etricII〔

パ

"=即

trbitrartt p pe R″ ,fic

r(希 ど 1悩 )

pentru ν∈X+,ッ ={η λ }f,"=〔 ξκ }f・ Til1lnd seamれ de propozitiれ 190,Se poatc sta,bili c焼

:

194.FunctiOnala多 *(ン )este o seminormtt simetrictt pe R%。 195。 Spatilll dllal al spatiului R・ inzestrれ t cu norma r eSte

izometric cu spatiul К ・ lnzestrat cu norlllaル 196.Dactt p este o seminormtt simetrictt pe Rπ ,atunci spaぃ ul .

dual al lui"l(ヨ )inZestrat cu norlna r(S(■ ))este izOmetric cu 就 Cu nび ma rЧ 朝 Hご・ 20ぃ ap I⊃・ Wattl肌 鵞 認

Tむ

197.Spatiile s,(ヨ

)§ i

S2(2)pentru■ 夕

+上 =1(1く ′≪∞

)

α

sint duぉ le. ill iIIcheiere voln en■ lnta dOlltt ι %θ α ,pθ ι θ ″ %ι θ α″ .Fie五 θ θ θづ θ p relativ lれ un operator lil■ iar pe R"si‖ 24‖ ,l10rlnる sa operatorialtt pe ι

bazn canonic沈 . Se intl'oduce produsul scalar obislluit pe 198.Dac沈

‖∠

Lく l si dac沈

五 ‖

￨∞

■

3つ

.

く ■, れtllIIci ‖五 ‖ く ■ peIIl―

tru orice lllormtt unitalr invarianttt care pttstreaztt llnitatea βθθい

ι %づ ″

″ θ

jι jα

づ・

gλ %り

Se poate folosi teorema 129 pentrll a demonstra urmtttoareal

'`)1)α

teorena沈 20_c.1977

.

305

199.Dac焼 ‖ 五11く ■,‖ -4∞ く 1,atuILCi‖ ∠￨し くl pentrll orice

θ γ ttα θ rく l βθ

θ

7%′ Rづ sり

.

i■ 1

10c de a presllpune tIL 198 ctt■ lorma este llILitar invariant嵐 este suficicllt stt De presup■llIItt Ctt normele tlltror operatorilor de cvasipcfllllltれ re(relativ lれ

,

baza canonic抗 )Sillt egale c■1

1. .Rc―

marcam ctt teorel■ ■ ele 198-199 se trallsplln llll cazul spatii10r oolnplexe.

Capitollll VIII

SPATII ORDONATE

§1. Rolalii d0 0rdine pe un spaliu veCtOrial ヨ se nllnleste θ υ α stο α θ %α ι dλ c焼

Ulll spatill Vectoriれ l reLl

,。

lII

el este dttt llII clin Iて (nlllnit rθ Zjι づ υ ソsi daCtt relatin de cvnsiordiILe

se defineste prin regula:″ ≫ γ (sau ν く ″)daC嵐 ,si ntlmai dac尻 【 ″― ― ν ∈」 ・ Dactt I[este un clill pozitiv,atunci este clar c沈

,

Z={″ lκ >0}・ tL響

助縞づ :.T淵腑 allalog se dtt inegalit¨ii″ se l鴇:鑽

く 0・

ポ 期%イ 歴 響ちサ″器鮒 力

>O dac沈 Dactt un clin pozitiv este solid,voln scric at■lllci″ 〕 ι]【 . ヽrector五 ω〕 >O se nulnesc ″ ∈Ittι ]【 si ″ 0. Inegalitatea ″〕 Relatia くadlnite propriettttilo llnei cvasiordilli: 1)″ くχrγ グι υα ″づ ι θ αノ′ θ

um″ く zμ %就 ぁ くク γ くら航 虎 ω ・ αy,pentru orice ∝ >O oθ ″ く α″ jι

盈盤 3)Dac尻

.

:″

γ,atllnci

く

Zづ

ι づ υ

θ ttο θ α %づ ι ι α θ θ ノメ 4)Dac沈 ″1く γ バ i″ 2く γ2,atullci a十 ″2く γl+γ 2rα αづ づ づ ι υ ι ι α α θ ノ .

Dactt se dtt lDe■ ,o relatie de cvasiordille care vellific沈 oon‐ dil五 le 3)si 4),atlllllCi illegalitatea″ >O deterlni■ ltt lln cliIL Care 1。

gellereaztt aceasttt relatie・ 2.Dactt clilllul j【 este lln coll,れ tunci

5)dill ″・‐νsi γ く″rezult沈 ″==ν

γ s物%θ ι づ α ・ rα %ι づ ノ

Asadar,dactt un clill pozitiv este lln con,atllnci cvれ siordillea relatiede %θ ,iar spれ tiul』 Se nulneste

][llli∫

鮒:;;]:身θ

*) Spatiile ordonate

°

ο γ づ α

ワ

]葉 ￨「

se mai numesc si semiorclonate.

307

3. Dactt se dtt pe■ l tiilo 3)si 4),ス

o rel助 tie de Ordille care satisface coILdi‐ tlllllCi inegalitれ tea ″ >O deterIInilltt lln con care

gellereaztt aceasttt relatie・ 4. Dactt cliILlll pOzitiv五 こeste solid,atllnci 6)peIItrl1 0rice"∈ 」9,cxisttt■lnッ >″ .

Reciproc, dactt O relalie de cvasiordille satisface cOllditiれ

6),

れtllnci clillul pozitiv este solid.

5. Dactt clinlll pozitiv ttr este l.chis,atllnci

7)dill ″″>O si 7'η ″ζ=″

atur観

棚

::潟 号 警 ∫

il::li:甜 )゛

> 0.

rezulttt c沈

λ→∞

“

∝ 正 ne隔 伍」ace

con螂 鳳

7、

塩 鵬 siV]雨

勺 ■ °rれ e″ ロ ッ 磁 nヨ

Smt cOmp&rab五 ,atund

れ η ml鼈滉 淵ンsel肌 品∫ P― 'atund Spa_ ゥ 電器rr鵬 勝 θ re rdath de Orttne 盟:1:li鰤 ]犠 llW電 出::1鶴rTuCれ Dactt pelltrll vector五 :親

″si νdiILtr― lln spatill Kantorovici exist焼 llll VeCtOr g astfel incit z > "si z >γ Si dactt pentr■ 1 0rice" care

煮 露 孟fr:1塩 :glelttiЪfifで胞 席 l身 丼監 F § e謂 灘Ic:&T器 品肥塩乱盈乱謎l託llee淵品ま灯 r{″ γ }exiSt沈 れ det:[nlllil elemelltlll z=sη allll]CilFet::寵 il」

(上

,

,

tllnci el este llILic

8.Dactt z=s2ψ r{″ ,γ }eXiSt沈 ,atunci

Z十 %=Sη バ ″+%,γ

+%}(%∈ ヨ

).

9.Dactt existt sTレ ,γ hiづ げ {″ ,ν },atunci

STン ,γ }+jヴ ン,ν }=の イ

.

鮮 彙 侮 模 i 霧 為 鮮 lil γ∈F existtt sη r{″ ,γ 11.Hip∝ octantul pozit市 din Rπ este un con miniedral. 12.Oonul ζ η (§ 1,C&p.ヽ 互I)llll este llnilliedrれ l pentrll■ く rく ∞ (%>3). 花 熙

p∝ Oche"si ≪

十γ

308

}・

13。

Pelltrll ca uIL COll S01id l■ chis j【 stt fie llliILiedral,este ne‐

【 Stt existe un cesar si sllfiCient ca pecltrll orice pereche″ si ν ∈」 z, astfel lIIcit ・

(Z十

″)∩

in pllls,z==Sηr{″ ,γ

(X+γ )=五

十

Z.

}・

14.Pentru ca llIL COlll S01id illchis Zi sユ

fie lnilliedral, este

llecesar si suficiellt stt fie■llfl coll finit de ordinul%.

Asadar: 15。

Ull spatill Llltorovici E cll uIL COn pOzitiv IIliniedral

este izoto■ lic*)izolnorf cu spatilll artill■ etic R″ pe care relatia de

ordine este gencI.al嵐

de hiperoctantul pozitiv, adictt existtt l■

n

j総 izolrnorfism E%Rtt care pttstreaz飢 ordinea rι θ οθ ttα 7eι づ IQだ α り 16.Dac嵐 ヨ este un spatill Kantorovici cll coll llniniedral, ,・

atllIIIci pentl・

ll orice ″ ∈ヨ exist沈 o descompuncre unic尻

"=″ astfel lIIc鶴 , dac沈 ′ ′

Si″

>″

.

十

佐

>0,″

(″

′ ′ ′ ′ ″=″ 一″ , ″ >O

si

十 ″

>0),

>0, at■ lllci

"′

′

>

″+

_・

Descompunerea c■l propriettttile de lllai sus se llumeste 177づ %タ

湧.Vectorii″ 十 Si αL Se nuttaesc pttr,ile rο Zjι づυa 物αι rectorul “ vectorullli ″, iar 、 l″

=″ 十十

si%θ クαιづυa ale

佐

se numeste υαιθαγθ αbsο ι %ι α a vectorului ". 17. lul : str,p {r, -n). 18。 ￨一 ″￨=￨″ ト 19。 ￨″ 十 νlく ￨″ ￨十 lν ト Yom face clteva remalci cu privire la trecerea la limitS, in spa!ii I(antorovici. 20. Dacil un qir nedescresc5,tor de vectori {rr}f este mXrginit superior, adic5, dacd, existi,un r, astfel incit fry { fi (k .- 1, 2, .. .), atunci el converge ;i lirn frr : sLt? frrt. A+o

@

21. Dacil seria

h

Ur ctt termeni pozitivi converge, atunci

ea

″

∞ Σ自

! h:r necondilionat. converge 22. Dacd, pentru seria

*) Care pdstreazi ordinea. (N.T.) 309

e対 sttt o serie convergenttt

″Cu Σγ

termeni pOzit市 i,astfel incit

ル=1

-ν κく

鶴 く νた

=1,2,3,…

(乃

atuILCi Seria(*)00nverge necont‐

.),

litioIIれ t.

23.Dactt un con pozit市 este miniedral si seria ΣI″ κ たコ l

1

converge,atunci seria

Σ tt

in incheiび %remarttm

conVerge neconditiOnat.

c沈

:

24. illltr_1ln spれ ,ill Kantorovici cll con pOzitiv lnilliedral exist沈 SQ″

r F pentru orice multimO F mttrginittt superiOr.

§2.Tooria inecua,ii10r lilliare Stt presupunem ctt relatia de CVasiordille pe spれ

,iul ヨ este ′ de chnul lllchis」 【.Olinlll dual j【 deterllllill焼 o ovasi― ′ a pe」フ .vom iIItroduce'Iltotdeれ una ttl acest fel cvasi― ordine αtι αι

dete/11111il■ れttt

ordillea pe spatiul dual.

Fieヨ siコ l spれ tii CVasiOrdonate de clin pozitive F si Fl§ λ∈Iο 鶴 (ヨ ,■ Fie

i fie

)。

∬%+λ =λ F,Zθ 25。

Dactt Z=ヨ

P・

Iλ

=メ Fl.

′ 十′ , atullci IP27+λ ==I,陽 λ si Zθ ″ 乃 ==″ :θ 乃 . ,。

Prill dllalitate:

26.Dactt Zl=0, Atunci Zθ

,'十

乃 =Fθ γん si I%+λ

′

=Iπ

′ λ.

iコ ′sht spat五 Kan― in acest p冨 鋤 raf,vOm presupune c沈 ヨ § ′ iヨ l VOr fi tot spatii Kantorovici toroviCi.Atunci,Spatiile E′ § 711). (Cf・ 42,Cap.■ 27. 視jη しI協 +λ =″θλ .

Teoremれ urmtttoれ re

gelleralizet■

ztt relatiile fundamentれ le date

ln 197,cap.I.Pellltru a o demonstra se poate face apel la teorema de sep&rare a lnlll,ilni10r collvexe。

28.I鶴 +λ ′=(Fθ γ+λ , Zθ ″十λ′=(I%+ん )′

・

)′

Vom extiILde teOrtt lui nedh0111L la inecuat五

310

le liniare。

温 age °

lT盤 ]胤 謂l出 増 37辮 ″ cd∫ Wi押&R‐ぎ

ん″==ν stt aibtt o solutio 29。 Pentru ca ectlatia neOmOgen焼 pozitiv沈 , cste lllecesar si sllfiCient ca pentrll orice sol・ dtie ク a

meWル

stt att o sdutL 讐 :謂 群盟1轟 ilふ冨塁詔η "ず ヶ

este necesar si sufiCiellt ca pentr■ l orice sollltie pOZitivtt a ecllれ tiei

Ⅲ 腑]り・ 渕 攘 砲僻曇識器Fl制 埒 (neE, Ee -I?t).

λ(″ 十 ζ)=λ ″十 ζ ν

lll mOdれ nalog se pot stabili teoroinele 31,33 si 34. 31, Pentru ca inecuatia lleOmOgelltt

λ″≫y

stt aibtt o sol■ ltie

pozitiv嵐 ,este llecesar si sufiCient ca perLtrl1 0rice solutiC pozitiv沈 ′

a illecuatiei OmOgelle λθ くO stt avem θ (γ )く 0・ Propoz“ iile 32-34 de lnai jos sint analoれ ge prilnei teorelne a lui Fredholl■ l.

32.Pentrll ca ecuatia n001■ ogentt λ″==γ stt aibtt o sollltie

:￨イ

讐i]il lJiftriIIlili業 Ilatia 蠍 33.Pentrll cal inecuatia n00mOgentt λ ≫ γstt alibtt o solutie " ∈ヨ pentr■ orice γ

7θ

l este necesar si

孟ゝ 肌i猫 』

l:Ъ

ttWecf

omOgen沈

謂庶l

″ ≫ y stt aibtt o solutie 34. Pontrll ca iIIoouatiλ n001nogentt λ pozitivtt pontru orice ν∈」1,este necesar si sllficient ca inecuれ tia 『dlnittt ca sollltie pozitivtt decit solutia stt llll れ omogen嵐 ん′ ク くO'¶ trivial沈

.

Urllntttottrele trei prolDozitii despro ocuat五 le si illectlat五 le Omo‐

gene pot fi considerate ca f五 Ild analoage ale celei doれ

doua too―

reme al lui Fredholln. 35。 Pontru cλ ecuatia OmOgentt

λ″ 二 =O stt λibtt o solutie ′ pozitivtt netriviれ l沈 *),este necesれ r,i Suftient cal i■ leclla!ia λク)>0 stt nu れdmittt solutii.

36.Pentllll cれ ittecllaぃ aん ″卜 O stt aibtt o solutie,este nocesar

′

si suficiont ca ecuatiλ OmOgentt λク==O stt nu adlnittt sohl!五 strict pozitive. 37. Pellltrll ca illecllatia omOgentt

λ″くO stt aibtt o solll,ie ん′ Jα ″ stt adⅡ littt

(λ

=1,2,… .,%)

o solutie,eSte necesar si sufiCient ca egalitatea

Σ 協ん =0

■‐ 1

cu

γ″>O stt llnplice illettlitatea

″α ″く Σγ

0。

カー1

41.Pentrll cal sistenul de iILecllatii

,%) ん(″ )>α ル (λ =1,2,… 。 stt adIInittt o solutie pOZitiv悦 , este necesar ,i sufiCient ca inegali―

tれ tea

κ Åく0, Σγ

ル…1

cu γκ>0, stt llnplice illegalitate&

κα ιく Σγ

0・

力=1

312

´

42.Pentrll ca sistelmul de ecllⅢ

ル(″ )=α ぉ

(λ

ii

=1,2,… .,%)

れ dIInittt o solutio pozitivtt pe■ ltru orice nlernb■ ll drept, este necesれr si s■lfiCiellt ca inegalitateR s焼

κ 光;>0 Σγ

ん...1

stt iIIlplice γ. 43. Pelltlll■

。,鶴 ). =0 (λ =1,2,… ca sistemul de ineclla↓ 五

九(″ )>α ″ (λ

=1,2,… 。,m)

stt admittt o solutie pentr・ u orice memb■・ u drept, este neceshll ,i s■lficieILt Ca egalitatea

ん九 =0, Σγ

た=1

cu

γん >0,stt

implice

γた=0(λ

=1,2,…

。,η ら ).

44. PCILtru Ca sistemlll de inecuat五

ん(″ )>α ぉ stt adlllittt o solutic

(λ

Zlti｀ ア 沈,

=1,2,… 。 ,%)

pelltru orlce lnenabrll drept, este

llecesall sl ■ illegalitatoa , sllficlent cl°

ん く0, た Σγ

ん_1

cu YL_>0,stt implice γ″=0(乃 =1,2,… 。,%). 45。

Pelltr■l ca sistel■ ul de ecllat五

ル(")=0(λ =1,2,…

.,o

stt aibtt o sol■ltie pozitivtt netrivial沈 , este necesれ r si sllficient ca

inegalitatea

'

ル>0 ″ Σγ

ん_1

stt IL■l

fie satisfttcut沈

pelltru lllici lln γκ .

313

/16.Pentru Ca sistelnlll de illlecllれ

∴(″ )>0(λ

,i

豊 1,2,… 。 ,筋

)

stt a島 嵐o Sollltie inetri宙 al沈 ,este necesttr si Suficiont ca eCuatia

κ∴ =0 Σγ

λ_1

κ>0(SOluぃ a γ

stt nu fie verificattt oricare ar fi

Se lllllmeste■

%θ

γ ι j‐

α dac沈 ん (″ )llu Se a■ lllleaztt SilrnllltaII). υづαι

47.Pentrll ca sistelnlll de illeCuれ tii

ん(″ )>0(λ =1,2,…

.,テ

υ タ )

stt admittt o Sollltie pOZitivtt lletrivial悦 ,eSte neCesar si SufiCient

c8 illegalitateR

お ん0。

stt llu fie satisfttcllttt oricare ar fi

ie m正 宙 棚 1腑

n蹴

宙

t tttiWtisi盤

illl思

鵠

ぅ盪

鵬

exemple de acest fd。 48. Stt presupunem stt SiStemlll

oltevれ

ル(″ )=α κ

(ん

=■ ,2,…

.,つ

η-1),

∫"(")>α 協

este colnpatibil.Pentrll cれ toate solut五 le Sistemului .,協 -1) ん(″ )=α

.(L=1,2,…

stt satisfactt illlecllれ tiれ I,(″ )>α

722'

卜 鑑l∬TSil品 剛粘:lT,V:lbnttaん ,・

,∫

s沈

i00 00mbm&tb

1・

49. Stt presllpllllem ctt SiStemul

∴(″ )>∝ κ (λ =■ ,2,… .,鶴 )

:綿

話iふ ∬ 」 〃 蕊Lli認ぽL"S:.:l常 曰 1皿 滉″ ■ 1鞍

:爾 lllli de ecllatii

iナ

astfel incit orice Solutie a siStell■

s(λ =1,2,… 。,γ

As(″ )=α κ stt fie solutie R siStCm■

γ %ι の。 力θ jθ

314

(*)

)

づ %6● j%7 lui de inecuatii(*)● ″

j7θ γ Sθ ι づ

り

50。

Stt presllpullem ctt sistemul

ん(″ )>α ″

(λ

=■ ,2,… 。 ,%― ■

(**)

)

∝te colllpatibil.Dactt inecuatia 九 (ω )≫

αれ

(***)

rezultH, din acest sistem, dar nu rezrtltd, din nici un

atunci

r9

tf' fr,''.,

fu,-t)

:

m

alt

subsistem,

- l.

51. Pentru ca inecuatia (**x) s5, rezulte din sistemul com(x*), este neoesar pi suficient sI existe numerele Tr ) O (lr : t, 2) . . .) rn tr), astfel lncit

p-atibitr

-

た ・ ル>α れ ん =Σ γ ん Si Σ γ ″α λ ん=1 =1

52.Pentrll ca un sistem ■(″ )>α .

(λ

=1,2,…

.,9協 )

stt fie compatibil, este necesar 、i suficient ca orice subsistem de r+l inecu働 ぃi stt fie compatibil. Rezulttt clin nou teorel■ a llli IIellv. Sistemul(*)Se llllme,te /112づ 総 ,2α ι づ θθ ραι Jbjι dactt este in‐ compatibil, dal' orice subsistem proprill este colllpatibil. 53. Sistenlul(*)este l■ illllllal incoll■ patibil dac島 ,si il■ llnai dac嵐 orice%― ■func,iOnale dintl'じ functiOnale10■ ,ん ,… ・,九 Sint j′

12′

,,ι

,

lilliλ

r indOpendente si dactt exist嵐 ％ Σ 日

.ん γ

■umerele γκ)・ 0, astfel illcit

>0・ ルα ル =O si Σ γ λョ 1

Dactt spat五 le」ヨsi」η l sillt euclifliene si dactt conwile lJozitive

Z⊂ ヨ,Itt cヨ l

lorlna 54--59.

Sint autodualle,atunci propozitii10 29-37 iau

54. Pentru ca ecua!ia neOmOgen沈 乃″==y stt adlllittt o solutie ″ >0,este llecesar si sllficient cλ ,peIItrll orice solll↓ iC a ineclla,iei omogene λ′ z >0,stt fie satisfttcuttt inegalitateを も(ν ,2)> 0・ Pentru

r si sOlubilitatea誤 Obal焼 ,este necesを 、

stt n■ l

s■ lfた iellt

′

ca inecuatia λZ>0

adlnittt decit sollltia tl'ivialtt z==0.

315

55。 Pentrll cれ inec■ latiA IL00mOgell鴻 72″ ≫ γstt oste llecesar si sufiCiellt cれ ,pentrll orice solutie omogene 72′ z==0,stt fie satisfttuttt illettlitatea(λ solubilitateal global悦 , este n∝ esar si suficient ca

adlnit焼 o solutie,

Z >O a ccuatiei ,2)く 0。 Pentrll

aceasttt ecuaゥ ie stt nu admittt ctt sollltie poZitiVtt decit soluth tll市 れ1沈・ 56.Pellltllu ca ill∝ llhtih n00mOgeIItt λ stt admittt o solutie

">ν orice solutie z >0 ″>0, este necesar si sl■fiCieILt Ca, pelltru ′ λ 多 0, stt fie satisfttcuttt inegalitatea れ illecllatiCi Omogene く

斜l 胎盤 etti∫ 出 ∬ )け 堕 sゴ 留蹴 t8れ

dectt solutia trivial沈

lT胤げ :l棚 驚

.

″=O stt aibI.o sol■ lぃ e″ 卜 0, 57.PelltI・ ll cれ ec■ lれ tiれ OmOgentt λ ′ este llecesれ r si sufiCicllt ca inecuatiれ λZ〕 >O stt llu admittt solllt五・

58。 PcIItru cれ inecllatia λ ″卜 O Stt aibtt o solutie,este necesaF ′ Si SufiCiellt cn ecuati3 0mOgentt λz=O stt llu admittt solll● i strict pOzitive.

59. PentrlL Ca inecllatia OmOgelltt λ″ >O stt aibtt o solutie ′ ″)´ 0,este llecesar si sl■ficient ca illegalitateれ λzy. ″>y este convex沈 61.IIllltilllea ア & soll■ tii10r inecllatiei λ 62. M■ ltilnea C a sOllltii10r illec■ lλ tiel olllogene λ″> O este

.

url clill.

″λ+Z,unde 63.ml,imea c eSte suma vectorialtt O=【 θ F este un coII. 64.Dactt multimeれ O Se reprezinttt sub formtt de sumtt vec― tciれ 1沈 a unui subspatiu Cu un con(9=五 十 r),atunci五 =

=能

」

llfi話 t‐ ::[llentare de forin凡 64, flescompll■ leren llli ″∈O duptt formula″ =″ 1+″ 2(ttl∈ Z,″ 2∈ 五)este unic焼 ″>ッ este mttrgi‐ 66.IIul,ill■ ea ァ a sollll五 10r illecualtiei λ ″>O nu adll■ ite decit solll― llit尻 , flactt si nllmai dac沈 ,inoouatia λ .

tia triviれ l尻

.

67.M■ timea

Tア este suma vectoriれ este ull corp co■ vex compact.

1尻

y=17+0,unde]藤

68.Dactt lnullimea y se reprezillttt sllb formtt de sumtt vec― torialtt a l■ nei

lnultilni cOnveXe mtttginite cu lln cliI1 7=T7.+

+01,atunci ol=o。 69。 1■ ollice reprezelltare de forma 68, descompunerea llli ″ ∈ 7d■■ Ptt forlnulれ ″ =″ 0-卜 Z(″ 。∈T7,7∈ 0)este llILiC沈 .

316

70. Mullimea V

a soluliilor inecualiei hn> y

este de forma

V:W+K+L, unde W este un corp convex compact, -K este un con $i, : Ker h,. 7I. in orice reprezentare de forma 70, descompunerea lui ueV dup5, formula

fi:

fio

* ql rz (noeW, fireK, ureL)

″

〓

力Ｈ 夕で

este unic5,. 72. Dacil conul pozitiv al spaliului D1 este finit, atunci, ln 70, W este un poliedru qi .K este un con finit, iar solulia generalH, a inecuatiei hu > gr este de formtl

″ た た″ 十 Σ β κ 十Σ γ “ ん=1 た_1 telた

0ん

unde α≫0,Σ α >0,γ ″sint κ=■ ,β λ

2た

,

nulnere reale oarecare{″

力_1

esto o baztt a poliedrului WЪ {μ 2■ }l

″ 。 }F

{″1月 f

eSte O baztt a condui K si ・Valorile tuturor coeficienti10r ″ %α ιづ late de vectorlll "∈ 7 rJθ θ θ

eSte O baztt a sllbspatiullli五

α た た , γ , β κSint θ ι zλ れソ

unic cleterllni■

tι

.

_21`:「

§3.Probleme liniare,i co]Vexe do o甕 rem O f■ lncち ionaltt reAl尻 夕(″ )clefinittt pe o ml11,ilne COnvex嵐 E se nl■ meste θθ%υ θ″a dactt pentrll orice″ l si″ 2∈ W

W⊂

r((1-0)a+0″ 2)≪ (1 0)P(a)十

帥 ("2)(0O in p■ lnctul ″0, dactt pentr■ 'sJbづ l ortte νdintl・ ― vecintttateれ punctului γO si pelltrll orice c,>O dintr― o vecintttate んlui zerO, are loc inega]itatea `じ

9(″

0+Cグ )>0・

Vectorul ν O ≠O se■ unleste

restrictiei

jα θα t,a′・ αηガst♭ rづ

.jι

れcoliespllllztttOare

ψ )==0, tlactt pellltru orice vecintttate U a pllnctului γOヽ i pelltru orice 30>O pOt fi g■ siti un numか ε(0O este lleceSれ r si sufiCient ca peIItl'll orice

り1:評 鑑 鵬 :gTrttaご Tfb sht∝ hivahnta in mod 塩 轟 ′ analog,inegalit焼 e∠ >0,i五 >O Sht echi■‐ aleIIte.

口

136.Pentrll ca conul n c"Q(17)stt fie fillit, este rlecesar si sllficient ca co■

lul I⊂

E stt fie finit.

137.Dactt conul F este miniedrれ ≪ ∠ ￨″ l pentru orice″ ∈ヨ

lsi dぁ c沈 五

>0,atunci1 4″ ￨≪

.

138.Dれ c嵐 五 >0,atllnci Rλ

(∠ )く

O pentrll orice λ>P(■ ).

139. Dac沈 operatorul 五 >O adnlite valoarea lDroprie poziti、ア 沈 ρ =ρ (五 )de OrdiIL γ,atllnpi nll dezvoltareぉ llli LaweILt a rezol―

ventei

ム=百讐下十 百七ち戸+…

ooeficielltul o_r nu este pozitiv. 1`Ю o in cO■ ldiぃ i10

teOremei 139,valorii prOprii p=。 (五 )11 0>O al operatorului五

oorespullde cel putin un vector propriu″

.

*) Aceasti definilie a pozitivitifii nu coincide cu cea datd pentru operatorii autoadjuncli ln $ 5, cap. III (N.R.). 330

T0011elnλ 140 este o varianttt preahbiltt al teorenlei lui FFO‐ bellills(cf。 143), in enuntul defillitiv al ctteia apartenen,o lui

J夕 :卜 :Ⅷ

tttt∫

ピ ″〃1lFll震

::器l識 ]:胤

ritttfTZ胤

valoarea proprie λ,pentrlL Care α ク λ este conlenswれ bil cu 2π ,

apartine c∝ cului l λl=。 (五 ),teOremれ

llli Fl・

Obenills rezulttt din

141 si din propozitiile gencale 141 si 142. 141. Dac焼 」[>O si daCtt pentru un allu■ lit ILulnttr natwal r,

avem

∠pν

=μ ν (μ >0,グ ト

0),

ぉtllnci pelltrl■ 2ν

″ =P'・ γ +P'2五 ν +… .p五 フ

,ip=/百 >0,冨 e

loG∠ ″=ρ ″ ,α

tt P■ '・ γ

汁

0。

142.Dactt λ(l λl=ρ (■ ))eSte O valoare proprie a OperatOru― 11li_4>0 8vind Palrtea realtt lnaxilntt printre toa,te valorile proprii de llllodlll ρ (五 ),atlll■ ci peIItru un ε>O suficiellt de lllic,Il■lmerele λ ― ελ2 si λJ― ελ2 sint Valollile proprii de mOdlll maxllll ale 「 ∠2. operatorului_l+ε 1∬ 雪 :la謝 路謂 』認跳 ぃ 轟r#五θ胤 s∬認留p盤 γπαι lllIL VeCtOr proprill pozitiv″ ο tよ

。rtθ θ

Prin■ a

%づ

Pγ

bθ

πj%sノ

.

lei l■li FrObenius pOate fi demoILStrat沈 7%づ 」 P″ づ %ク sλ θ づ %la dezvoltarea rezolvelltei

parto a teorel■

一

〓

Ｂ

∞ で 力 脚

θθ″θttθj Si prinれ plicarea ι

>ば 五 引 》 詰 。 :

raza de convergentd, a unei serii intregi cu ooeficienli pozitivi este urr. punct singular al sumei seriei. in cazul unu-i con rniniedral -K, se poa,te trage urmS,toa,rea concluzie interesantS, asupra valorilor proprii de modul maxim ale operatorului .A. 141r. Dacd conul K c E este minierlral qi dac5, operatorul .4 este pozitiv, atunci orice valoare proprie a, acestuia, egali, in modul cu p: p(.4) este de forma p0,">0),atunci pentr■ "(μ puncte limittt pe∂ Z. orice γ>O sirul{μ ら 五 πν}F nuれ 1.e ″

PrOpOzi:ia 151 rezlllt尻

sillnpl沈

, 1れ

rindlll ei, din llrlntttoarea rel■ arc沈

:

>0 、1 グ〕>0 。i pelltl.ll α〕>O sllficie■ lt de 152. Pentllu ol・ ice″ 〕 ν> α″ 153.Dac沈 五 >0,at■llllci Va10area proprie ρ(∠ )eSte lnai mare

lnic, を re loc illegalitatea も

.

decit l■ odllllll tuturor celo■ lalte vRlori propr五

Proprict抗 ,■ ea■lxiliare 154-156 si 151 po与 a delnonstrを し 153.

154.Dactt

λ =reO(0

uu, pentru

operator rnd)fr

este egald, cu

q'

ded

un ,i>0}. Err este egali, si

ρ(∠ )=%j%β β∈タ

*nd.efi:{9lAn4Pr

A> 0

eu

,

pentru un″ >0}.

Asadar,

160. Pelltr■ l rez■ lttt inegalit】

orice">0,dill inegalitⅢ

ile α

‐ tilC α 9(■

"く

五 ″ si β″≫ 五 ″ ,

)・

I)in 159 se pot obtille l■rmtttoれ role dolltt form■ lle pentrll ρ 乙): (´

L =J雹 弊 'ぼ 均=蓮 鰹′ 幣 里ノ Γ hⅢ bmhα ら 耐∝ れ R乱 Ⅲ × dⅢ 鶴 =7神 ヨ の Oげ S′ lfP 9(″ ,の

gcA′

″cκ

=ST

″cκ

づ 9(″ ,の

9げ gcI[′

(a Se COlllpara cl1 105). 163. llargine■ infげ ioarh in

ll nlemb■ ■ Sl l■ argl■ ea sll― ■ 1 161 sil■t atilis( pelltru vectorii perloara ln lnelnllr■ ll al doilen dipriin■ ′ proprll oorespunzhtori λi operatorilor 2生 si 五 .

つ０ ●０ ●●

Tini■ ld

Seama de 159 se pot obtine lllor llrlntttoar91C teorelne:

164.Raza spectraltt ρ(∠ )pentrtL∠ >O eSte o funciie mOIIIc― tontt de五 , adictt ρ(五 2)>0(・ .), daC沈 ∠ 2>∠ ■>0・ 165。 Dac沈 五 >O si Rλ (五 )≪ 0,atllIIci λ>p(■ )(a se cOIIlpalrぁ cu 138).

― Stt aplicttln teoremele 138 si 165 1R studiul st&bilittttii Opび れ

づ 6ι sι α ら づ Z dactt spec― 9腕 (ヨ )Se llllmeste sι γ σ(B)apν tille sel■ liplal■ ului sting deschis.Un operれ tor づ 6ι γ θ Sι γ B∈ 瓢R(ヨ )Se llullleste ι α%Sι ■づ %α ι rθ ttπ υdactt pentrll ull

torilor.IL operator B∈ trlll sttll

>0,avell■ μ〕

B tt μI>0。

166. Pentru cれ llll operator tralllslational Strict pozitiv B stt fie strict stれ bil este necesar si suficienl Stt fie satisfttcllt焼

meg」

rl‰ °

■

υ daC沈 ″>O

:譜 詰 1ゝ oЮ mmω 樋

penttu

Pgron rttmm valab■ e dac沈 伴TIt『 l肌 為e teoremd li"商

se

n■

・

a

l ai

_4 si 24′

Sint strict pozitivi,

es

l

ちよ■.ЧFl:鯖 ::lttt

COIISidげ 焼m puterea ext(rioar沈 ∧ヨ si colllll pozitiv A』 【. I「n ope―

r&tor五

=輔

υ dactt A五 ιrθ Z物 づ ∈瓢R(コ )Se llumeste cθ ηrτ θ

>0(γ =

ZI躙 I瑞Ъ ttF誂 ぷ 喩 角 絲品 」f僻認 ″ γ づ・ んθ θ γ θ θ θ θα %α θ

sint pozitive si Simple rι

ttα

%ι

-1【

%ノ

§6.Relalii d0 0rdine pe spaliu1 0peratorilor Orice coII s01id mchis K⊂ 刀 indllce pe凱 de collul operatorilor mollotoni: 食

=食 (K)・

(ヨ )0

0rdine defillit嵐

i∬ 「 鰍ζ 滲 跳 鮒温 l∬ 謂 肌 悧魁 雀鶏跡 《 ]酔 ∬ l』

334

:∫

繁

t桶

鮮

》

1陽

麟

珈

撒

ガ

職

e鮮

警

Cれ pi」

iFt。 .L食 ⊂ 勁 (■7)Se nlllrleste con

左I〕 ∈ αθづ %θ ιdac嵐 ´

ce tt si B∈ 食

indftt焼

`ミ

.

171。 Colllll 食(」【)eStO

llIL COn de inel si COIItine operatorlll

llllitate.

171.Oonul I税 食(Z)este de aselllle■leれ un coll de ind dar llu

COntille opび atorul ullitalte. Relatia ■e Ordille din"1(亜 フ )Se llllmeste relatie de Ordine

αθ 〕>0111dれ ttt ce.左 >O si」 B>0。 Pe baza lui 170, orice ■■ づ %θ ι dac沈 ´ relatie de αdi■le opellatoriah este o relatie de Ordine de inel si, lotoda島 ,I≫ 0. ′ S悦 ヽ tudieln structllra conului dual食 =[R(F)]′ ,000a Ce ne va 30nduce la uILれ dIItre caracterizう謄ile relatiei de Ordille ope― ratolliale。

Fie∫

∈ヨ′ ,″ ∈ヨ。S尻

ooIIsiderttm o functiollaltt liniar沈 別 (ヨ )definittt de forlnulれ

9 pe

9(■ )=」lttω )。 O fllIIctiollaltt de acest gen poate fi interpretattt ca fil■ d un pro―

r, ∫Θ ″ .Dealtfel, acest dus tensorial si poate fi notat嵐 ,asaαも produs poate fi intellpretat Qa si lln operator pe」 フ :

(∫

Θ ″)γ =■ γ)κ・

Alegerea interpretttr五 produttlui tensorial∫ fiec&re dattt h funclie de cO■ ltext。

Θ ″ Se va face de

172.Dac沈 ″∈Z,∫ ∈【′ ,atunci∫ Θ ″GR′ Reciproo: 173.Dac沈 ∫⑧ ″∈R′ ,れ tunci"∈ K,∫ ∈K′ (Sau _″ ∈F, 一∫∈Z′ Fie S′ Inu“ imeれ tuturor functiOnalelor de forma∫ Θ ∈【 ′Cttd m“ met t"(″ ⊂ Rち dtt nu曲 邦 γ %『 ・ 1「 稔 .憔 ∫子 174。 Oonul R′ este lllf沈 § wtttOareれ oonvextt a mul,iln五 8′ si .

)・

,

n′

=θ 。8′

.

175。 Dac沈 ″∈K si∫ ∈ K′ Sht vectori extremaliれ i conllri― lor l si Z『 ,atunci func,iOnalれ ∫Θ ″ eSte un vector extremal

al collului n′

.

335

ReciprOc:

])(laCれ

Xl={″ ￨″ ∈ヨ,ノ Θ ″∈0,pentl・ u

cel putin t●

′ f∈ 」}, へ

′ Z2=lfl f∈ コ,ノ ○ ″こQ,pentl・ u cel pntin un″ ∈ 認

}ガ

atunci Xl esto un con solid inchis si Z2=Fi; 2)0′ este illftts■ lrtttoarea coIIveXtt a ml11limii tuturor funl(1lo― de form&ノ Θ ∬ Care aparlin lui m. Asadal.,Rvem Ca,racterizal.ett rdⅢ ii10r de Ordine Op∝ atoriale

nれ lelor

in terlneni(le perechi cle conllriメ D si`Q′ . Rezultatul teollenlelor care■lrme,lztt va fi Cal・ acterizarea acestOr relを 、 tii de Ordille in tel'一 1■ en五 oonului“ Q. 173. Dactt I[l si]【 2 Sint Oollwi solide inclliso l■ 17,atunci co■ lu―

器楡J∬ 鳳 普 詣t=漁itdimt澤 T)躙

_・

ultim caz K2=Kl sall K2= ζ Apoi:

in電:露

l・

179.D&ctt D este un con de illel solid inchis in "l(ヨ )atunci ノ∈E′ si″ ∈ヨ (∫ ≠0,″ ≠0),aStfd mcit∫ Θ ″∈m. Asadれ 1.:

exist嵐

180。 1ば ultimea

F={″ ￨"∈ E,ノ Θ ″∈m pentru un∫ ∈ヨ′ } este■ln ooII inchis din」 フ .

181.Are loc relatia o c n(z)。 Deci,co■ lul Й[este solid. Din 178 si l131 rezulttt c嵐

182.Pё lltru ca lln con cle iILel solid illchis a c"l(F)stt de_ termine in班 (コ )o relatie de αdine operatol'iah,esle necesM si

mcluzillne. Aculll, se ponte stれ bili llsor eXiStenta relatii10r de ordine de inel■ leoperatoriれ le pe 勁(ヨ )Care satisfac conditiR I>0・ De stlficient stt fie nlaxilnal rclativ lれ

exelnpl■ l:

336

183.Dactt Xl si X2≠ Xl Sint COllllri solide inchise inヨ

si

un coll solid, atunci in― 暦olicl illchis care 【 2)eSte llIL COn de inel

dactt colllll Fl∩ 五r2 eSte de alsemelleる

tersectiR COIltil■ e

食 (I■

l)∩

食 (」

llnitatea, dれ r relatitt de Ordille pe cnrO o fleternlintt nl■

este operatorial焼

.

§7. Spaliu1 01'do】 lat al operalorilor autoadiunCli Collsiderttln operatorii を 、 `lltotttlillncti pozitivi(respectiv strict pozitivi)defilliti ca in§ 5,Cap.III lliII pllnctul de vedel'e al teoriei Spat五 10■ Ordonate. l l14._NIllltilnea′ G十 (lF)a Operatorilor pozitivi este lln con solid in3his al lui C(E). Asada11,Sp■ tiu1 6(E)Cu relⅢ iれ de Ordille definittt de collul C十 (ヨ )

■ spatiu Kantorovici. Relatiれ este ■

de Ordil■ e corespunzれ toare

l■

pe C十 (17)Se nl11■ leste lρ θ ″ θ ι α7α・ 185。

Multin■ ea Opernt()1'1lor stl'ict pozitivi coincide cu∬

2,conulこ +(17)Ilu eSte filllit. >2,conul e+(ヨ )lllll este llll cOn

,ι

ι6+(E)・

186.Pel■ trll%≫ 187. Pentrll ,ι

de illel。

Asadal',relatia de Ortline spectraltt nu este o ordine operlも torial沈 _

188.Oolllll C+(2)este unLar in、 ariaIIt:dactt S∈ G十 (コ ),atlllllci

ySび

1∈

6+(E) (y∈

lI(E))・

189. Fol'mれ gel■ eraltt a unei functiOnale lilliare pozitive ill Spatiul c(刀 )este dattt de lormula,チ (S)=ι ″ (θ め, ullde θ∈G十 (コ

)‐

Prlll ul.lllare:

190. Oonll1 6+(」 フ)este autOadillnCt(prin identificarea llれ tu― raltt a spatii10r C(ヨ )′ si C(ヨ ))・ 191.Fie tt un operator alltoadillIICt・ Atllnci,lllultime8 0peraリ ー

torilor de forma/Sl=9(■ ),1lnde 9 este o fllllc●

e realtt arbitl・

a,r尻 ,

este llII subspatill al llli C(ヨ )si intersectia Sa cll conul C+(2)este

un co■ l finit.

192.Dactt Sl>0, S2>O Si Sl&S2,atll■ lci SlS2≫ °・ ,adictt din Sl>0,S2≫

Oollditia S1 8。 S2nu pOate fi olllis沈

0,

Aceast沈 ,,iIIsuficient沈 ''■ ll se refeltt si lal prO_ duse de matrice lII sensul l■ li Scん γ 193. D&ctt operator五 Sl si S2 Si・ It pozitivi si dactt matricile 10r illltr-O baztt orto1lol｀ mattt oarecAre sint sl si s2, atunci opera・ torul&utoれ djunct S,dcfinit in aceeasi baztt prin lnatI.icea s=51o s2 oste pozitiv.D&c嵐 ,ill plus,Sl〕 >O si S2>0,atuIIci si S〕 >0.

nu rezlllttt SlS2>0・

tι

22-c 1977

.

337

194.Dac沈 島 くS2,S>O Si S&島 ,S&S2(Sれ u S&(島 S2)),atunci■ Sく S2S・

cel putin

Introdlloon■ pれ rtile pOZitiv沈 ,i negativtt ale unlli operator alltoadjllIIct S priIL fOrnllllele;

S.=P+(S),unde p+(λ )=9η α″{0,λ },

S_=r_ド ),unde

r_(λ )=179α べ 0,一 λ }・

Remarcttm ctt modlllele Operatol'iale la stinga si la dreapta ale ulllli operatol・

autoadjurlct S cOincid si sint egale cll

lSI=p十 (S)+r_(S)・ Pe de alttt parte,

S=p+(S)―

P(S)・

195.Operatorul l SI VellifiCtt rolⅢ iile l S I&S, 一 ISI≪ Sく ≪ I Sl si este cel llllλ i mio operator care verifictt astfel de relatii pentl・ ll un S dat.(a se cOl■lpara cl1 17). 196。 Operれ tor■ll S+verifictt relat五 le S+&S, S+>S si este cel mai lnic operator cれ re verifictt aceste relat五 pentru・ un S dat. Operれ torul S_ se cれ racterizcalz嵐 鐘l lnod analog. Aceste propOzi,五 sillt Cazuri p&1'ticulare ale urmtttoarei teo― re■ llle:

197.Dac沈 島 &S2,atllllci in clasa opび atorilor autoadjllncti

care comuttt cu Sl si S2, aVem S貿 可 島 ,S2}=号

づ げ{SI,S2}=÷ S焼

(S・

+S2+I IS.― S2),

(Sl+S2 1島

S21)°

oonsiderttm relath d0 0rdine spectral沈

れproiectoll■ or

olltogonali.

198. POntru proiectori ortogonali,inegalitatea」 valenttt cu relⅢ ia∬ 鶴 P⊂ ∬ %o. A,れ dar,din rdれ ,ia

Pく o oSte echi―

Fく O reZulttt P&o.

Dactt proiectorii ortogonali P.si P2 COmllt嵐 ,れ tunci m fttmiltt tutllror plloiector■ or ortogonali care comuttt cu Fi si P2, 199。

aveln 鋤り

338

{P.,P2}=P■ tt P2 PIP2,

「 づ匂 {Pl,P2}=P■ P2・

200.Proiectorul ortogonal P=P(Ille S)depillde l■ ■oILoも oIL de S peIItru S≫ 0 P(Im Sl)≪ P(I%S2) (0≪ S.く Teorelnele pe care le vonl dれ la lnarginile sllperiOar汎 cal.e alljartil■ llli C(ヨ

11l oontillllal・

i infel.ioartt ミ

S2)°

e se refer嵐 lII csent沈

ale mllltin■ ilol'Inil.giILite il」 iILite

).Fic 5 o■ lultilllte oarecare din C(コ

201.Dactt r=slψ 5,あ tunci (Tu, n) - sup (Sa;, a,) se5

).

(c:e E).

Rcciproc. 2112. ]Dac沈

(Te:, a)

atunci r=sψ

:

sup (Br, s€5

r)

(,ru

e Jr'),

5。

203。 ]Dac尻

sup (Sr,

Sc5

si(181ctt pelltru ol.ice Sl si S2∈

r) { oo s eNiSt為

(ae E), ll■

(*)

5 0 11najorallttt S coェ llun沈

(Sン Sl,Sン S2), atunCi lnultilllCa 5 adlllite o margille sllperi―

oara. Necesitateれ GOnditiei(*)este eVidellt汎

204.Dactt r=sγ P

.

ε>0, oxisttt lln orice S∈ 5oれ re Verifictt re‐

5, atllILci pelltrll orice

operator Se∈ 5,astfel incit pellltrl■

hiれ S> SE tt fie sttisfttc■ lttt inegalitttteR Il r一

s‖

くε .

Propozit五 ana10age c■ 201-204 slllt valλ bile si peIItru ll■ gillea iIIfoFioar沈

ar―

.

Stt colllsidび 尻ln ctteミヽ prOblelne speciale referitoalre la deterlni―

劇

eれ ln3rgl■ 11l

supel.10are.

Fie 21r={sls CC(2), Sく

五 ,Iθ γ S⊃ 五},ullde tt esto un subspatiu,五 >0・ Fie O prOiectorlll ortogollal pe complemelltul ortogollal al 1

subspa,iullli五 2五 1

205。

1

.

五20■ 2∈ 班 .

206. PeILtrl1 0rice S∈ S2r, avem l

l

五2“ _■ 2υ ‖ (″ ∈ヨ,″ ∈五). (S″ ,″ )≪ ‖ 207. Pclltru orice S∈ 班,avem l

l

s≪ 五20■ 2. 339

Asadれ r,Sη r飯 =∠ 20∠ 2,,i lnarginea superioartt este atins沈 Men,1011ttm totodattt G焼 1

1

.

1

208.I瀦 五20■ 2=五 ■∩I鶴 五2. in incheiere, collsiderttm prOoeslll iterativ de cxtragere a r沈 a u■ lui operator.

dttcillii ptttrれ te

209.Dclc焼

o・ S _‐

く I, atunci 、

il・

lll

七ば 助 け=%‐ ・ 島=0

&t=&十 are linlitれ

1

St=SP Sκ =S2(。 。 nfOrm :空

&° p需 § 咄lttyl品 Inog亜

t益

l■

20).

J

dttrTr:』 鶴 灘 ∬仄苗 =dttyttt」

e北

￨:驚

Fie S>0.Notttm、 =、 (s),λ π=λ 2(S). 210。

2・

￨″ 111{(S″ '″

)(Si″ ,″ )}=■

.

=7・

β省他 ば り

Aceastれ este づ%θ クαι づ ι αι θα Z%j コてαんι θγθυづ θづ .

2)2. 創2.出 創S″ ぽ ば ものり=上L― λ 雀 幽 := 4 λ λ2_. /=1 1S"12 (λ l+λ ″)2 `,0

213.鶴

l

Mai dttIIll urmtttoarea illegalitate:

214.Dac沈 5=(sグ .x・ _l

este lΥ latricc、 し Ope12も t()iヽ ■lui S l.e■ ltiv

la o baztt ortonorlllat沈 o21'ocare si

α ι(sブ .)"″ _1(協 =■ ,2,… 。 π=α θ ,,じ 340

;α 。=■ ),

‐

atunci

n

tu tr

d,k >EV tr/^,(,s) n= t 1 '7Y-1' &:t

avind loc numai dacil, matricea s este diagonalil (irzlui M. G. Kreim). d, teoremS, se deduce uqor din propozilia 265, cap' III oud, remarci.

dac[ se !,ine

matricea Gram a familiei p1 d-e Ia vectorul tt', la sub(r(fo) : 0) este egal5, cu

215. Dacd, cle veetori 17 spir!,iul liniai

,':v :#h

u -:.,2,

"', ni d'ets,-t)'

216. Dac5, o f {ru*}f cu ajutorul atunci (et, ui) : Yom da &cllm

-tite rlin familia Sonin-Schmidt,

Schwarz (cf' 9,

cap. IY).

217. Dacdt"

T> 0, atunci

l(Tn,

De aici :

218. Dacd,

v)i' < (Tr,, n) (Tll, y)

(Tn, n) : O, atunci Trr : t

(n,

'Y e

E).

0.

ゃ 」 tor■lllli r ■ S coincide cll multil■ Spectrl1l opel・ を pelltr■ l care ecllati〔 λ

s"_λ ie″

≠O

r″

=o

ea acelor λ

(*)

ial.sGlutiile coil■ cid

9S―

《

留雫iflttF品 F器 増1盤 胃 づ :θ υαι θ″ Prθ rrだ 。1

h ゞ撃 鴇 謂:獣ギ

品 ぶ 服 鮮 h撞

0θ ι ι οrjj r'・

rliえ

341

221. Exist沈 o baztt r― orton。 1'mattt de vectori propr五

CiC4ului liniar de opσ atori S― λF(r>o).

λi fas―

Intre altele, de aici rezlllttt c嵐

222. Dactt S este un operatol'r■ ■ ltoadj■lIIct si dnctt r este u.L opび atoI' strict pozitiv in ヨ , atulllc,i_乙 =rS este lln operator de tip scaLピ cll spectru real. 223。 Pel■ tru ca valorile pro13rii ale fasciculului liniar S― λr

nlului deschis(α ,β )eSte necesar si (r>0)stt apar,intt intび 、

r>Q β r_s>a 盤cif:α 毬 22/4. Dactt S>0 ,i r>>o, atul■ci 、ralorile proprii ale fasci― Cul守 1盟 品 i話 撃 鳳鼈1遂3.颯 .e pO■ ru湘o」 e prop」 con Suf讐

siclgate cれ 225。

f■lIIc,iol■

ale pe C(E).

Spectrele operatorilor S si r>s vel.ifictt inegalittttile λャ (S)≪ λl(r)(λ

ma「

=1,2,…

。,10).

鷺r灘塁 1蹴 TTttl盤 器 獄鮒lξ ttrCeSterd¨ 押 λκ (S)=λ κ(r)(λ

=1,2,…

五llu este

.,%)

Si dill r>S rez.ilttt ctt r=S. Pllill■

a si llltilna valoare prOprie (spre d00sebire de valorile

propr五 intermediare)ぁ u llrmtttoarea proprietate: 227.F短 ILCtiOnal& λl(S)este cOIIcav沈 , i"r functiOnalぁ este convex沈 :pentrl1 0λ 2(r)>.…

:

>場 (s)

(a Se COmpれ ra cu 231,cap.III)。 れd■lit reciproce dar,

TeOrellnele 228 ,i 230 111u

231. Dac沈

(r)_λ κ(S)￨く

lλ ″

ε (λ

=1,2,…

.,得

;ε

>0),

atullci existtt lln operator llllitれ r y, astfel lIIc缶

― ・ ‖yr」 l_s‖ く ε in plus, dれ ctt Sく r, atunci opcatorlll y poate fi ales れstfel 生 illcit Sく σrθ 1.

232.Dactt Sく r§ i

dac沈

λκ _1(S)(λ (r)く λた

=2,…

。,%).

llndo cel putiIL uILれ dintre inegalitttti eSte strict焼 ,atu■ lci existtt uII operator unitar y,れ stfe1 lIIlcit S≪ 」rσ ■ si γク(び r θЧ _s)=1.

Pentru al deIILonstrれ

acoasttt propozitie, se poate considげ

a

cazul ullui spれ tiu real」 iar opび ator■ll y se ca■ lttt sllb formal lllllei rotatii.

§9。 Func,i mOnOtone ,i COnvexe do lm operator autoadiunCt Fie 9(λ )O fllnctie SCalartt realtt defilllittt pe lln intcval fillit sau iILfinit(α , β O funcぃ e9(S)de ll■ Opellator S∈ C(ヨ )SC ILume,to(operatO_ )。

rれ 1)協 θηοιθ筋滋*)pe intげ valul(α I,β I)={Sl

αIく Sく βI}daC沈 din Sく r,s si r∈ (α ∬,β I)reZulttt ctt Ψ(S)く CP(r). 233.Funclia 9(S)=― S l este monotontt pe inter■ rれ lele S>0,

S」 si S0, este lrLOnOtO■ ltt pe in―

tervalele

DI・

S>-21 siS0, βl>0, γκ0. Aceasta rezulttt dill llrlntttoarele propOzit五

238.Dac沈

0く Sく r, atunci pλ rtea l

l

l

(r2+s2+μ pentl・ ll

si S2∈

l'oa11沈

a operatorullli

l

∬)(S2_r2+μ

>O arbitrar, este strict pozitiv沈 μ〕

239.D鑓 尻 Sl

:

I)

.

C(Eい i Sl>0,atunci operatorul凡 +iS2

este inversabil(Cf・ 224).

Criterilll general de monotonie poate fi obtinut Cu ajutorlll forllllllei lui Tれ

ylor pentru fllnc,ile de llll opgatol'.

240. Dac沈 *' 9(λ )∈ τl(α , β ), atunci pentru ca fllllcth 9(S)

sう

,fie nlonoton焼 , cste necesar )i s■ lfiCient ca inegれ

Ψ

tea:

>0 L。 (α ∬,

stt fie satisfttcllttt pentrll ol.iCe S∈ 2_/11. Dac焼 9(λ )∈ 71(α , β),

litれ

βI)si△ S>0・

atunci pentru ca fuILClia 9(S)S沈

fie mo■ oton沈 , cste necesall si suficient ca inegλ litatea

S>0

9[1](S)。 α stt fie satisf芝 絶uttt

pentrll orice S c(α I,β I)si αS>0。

*l €r(o,, p) este familia functiilor scalale continuu cliferenliabile pe intervalul (a, P)344

よ ealsttt coILditi0 0Ste echivalenttt cu inegalitれ tea 9[1](S)> 0・ 242. Dac悦 9(λ )∈ 71(∝ , β ), atlluci pelltru ca functin 9(S)S沈 fie lll■

oIIOtOn尻 ,este necesnI・

si S■ lficicllt ca forll12も

学 ″

九i12で stt fie pozitivtt pellltru orice

torv&lul(α , β

pltratiC尻

λl≫ λ2> ・・・ > λr arbitl.ari in ill―

)

Volln mai d3 11lc嵐

O oonditie de lnOnotonie,Pcntu cal.O nu

trebllie presupllstt difeI.entiab■ itatea functiei 9()、 IIl plus, se poate presllpulle ctt fllnctia 9(卜 )este defillittt pe o ln■ ltillne p■ lnc― tual沈 o8rccれ re′ c (α , β ),Care contil■ e cel plltin 2,ι puncte dis― tincte. Func,ia 9(S)1lll VA fi defillith atuilci decit pe llnul↓ irnea )・

(S)C′ }・ V011l da intii wmtttoarett lemtt simpl沈 ISl σ 243.Dactt o fllnctie 9(S)este mOnOtontt pe C(ヨ

este monotontt pe C(ヨ 1),pentru αj閣 コ1>λ l>>μ 2>・ ・・ >>μ π>"λ ルarbitl.ari illヨ Pelltru a delnonstI.a aceRsttt pl.opozitic, se poate utiliza 232

e、 し e

.

lSこ

ア duptt caro se calcllleaz前 11latricea operatorului Ψ(び )一 ―CP(S) intr― o baztt prOprie a operatorlllui AS7. T00relna 2/■ 4 1Del'll■ ite descolDcl.il'ea llnei scI'五 de prOprietttti

e易 1珊 ° 11端:躙 ∫ 男LiFttrttl冊 Ъ 蝋lrⅧ ∫ 甘 >1.Pe baza llli 2/13 se llDoate pres■ puile ill deinonstrat五 ch 」〕 dづ ,η

d,i,m『

E:

2.

245. Olice funclie rnonotonX g(S). ueconstant,S,, rlefinit5 pe intervalul (aI, Pf) cste strict clescl.toare, aclicii, ,p(S) < ?(f) pontru B < ?. Aqadar, funcf ia g( ),) adruite o f rrnc.t,ie invels5,. 11l gelleral, insれ furclia inversil ?'(8) nu c,ste rnolotonfl : 246. Dacd, func!,ia 9(B) este rnonotonS, impreund, cu funclia sa, inver-sd,, atunoi g(S) : (frrB f yrrl) (y,B I ^trrl)-'. In particular' : 247. Singura functie g(S) monotoni pe axa (- oof, col) care admite inversd, monotoni este funcliir, liniarS, q(S) : 901 + ,

*

P'B' 345

248. Dacd, funclia 9(S) este monotond, pe intervalul atunci funclia 9(I) este continud, pe intervalul (a, B).

De

(aI,

pI),

asemenea:

249. Dacd, funclia 9(B) este monoton5, pe intervalul (af, pf), atunci funclia 9(I) este continuu clif erenliabild, pe intervalul (", P). Rezult5, de aici o intS,rire a criteriului 242 : 250. Pentru ca funclia 9(B) s5, fie monotond, pe intervalul (aI, pI), este necesar qi suficient, sd, fie continuu diferenliabild,

iar folnra

phtraticS,

Σ -1

′,■

) 9(λ j)-9(λ ぉ

trl-1r

κ ξ ζ ′

stt fie pOzitivtt pentllu orice、 > λ 2> ・… >λ πdin(α , β)。 Teorelllele ref(】 itoare la fllILCt五 10 mOnOtone de lln operator, pe care le― aln expus,formea,z尻 全 IIceplltulォ θ θγづ θ %づ 五びω%θ r.Rezul‐ `ι tatele cele l■ ai rennttrcabile ale acestei teorii se llefertt la lDroprie‐ tttti tle ttferentiabilitλ te si de analiticitate. Se arattt c尻 lIL COn― dit五 le din 249 11u lllllllai prilna dellivattt ci si u『 mtttoarele derivate

温e fullctici Ψ(λ )Sint contiILue, plIItt la ordinl11 %― ―■inchsiv. Lterヽ物lul(α I,β I) oricalle T fi dillnensill■ eれ spatiul■■ i 」, atunci functia Ψ(λ )

Dac島 ,totodat焼 ,fllllctia 9(s)este lnOnotontt pe i■

esteれ nalitictt pe interv&lul(α , β), si pOれ te fi prelllngittt allalitic in selnipl&nlll supeFiOr,■ lnde are o parte ilnttginartt pozitiv沈 (adiC嵐 , este o func● e Nevanlinna)・ Aceasttt llltimtt proprietate esto cttac‐ teristictt pentru fllllc,iile 9(λ )Care gellereaztt fllnct五 9(S)]阻 OnO―

tone pentru orice %.

ecem acum la functii coIIl■ reXe de un operatc. O fullctie 9(S)Se llllmeste(Operatorial)6ο ttυ θκa pe intervalul I,β I)dactt pentr■l orice opcatori S si r din intervれ lul(∝ I,β I), (α れre loc illegalitateれ Stt tl・

9((■

-0)S+Or)く

(■

_o)9(S)+09(r)

(00 stt fie stttisfttcuttt pelltrl1 0rice S∈

partt cu 240).

(α I,β

I)si△ S∈ C(19)(a se COIn_

254。 Dactt Ψ(λ )∈ 72(α , β),atunci,pelttr■ l ca fllnctia 9(S)S尻 fie convex尻 ,este necesar si stlficient cれ inegalitatea 9[2](s)。 αS(a≫

stt fie satisfttuttt pmtru Orice S∈ pallal cu 241). fね

0

(α I,β I)si

αS∈ C(ヨ )(a se COm_

篤キ ￡]lls紆 乳[斃 lЪ 跡訛‖t■漁 批

ti‖ l:『

a

αtt S沈

,λ o,λ た )ζ Jξ ″ Σ 92](λ ブ

ノ,々 -1

stt fie pozitivtt pentrll orice λ ,、 ,… 。 ,鳩 din(α ,β )(a Se colll■ para 。 cu 242). 256. Dac悦 9(λ )∈ ″2(α , β ), atllnci, peIIじ ru ca ftlnctia 9(S)S沈 fie convexれ ,este lllecesar tti SllfiCiellt cれ fullc,iile ψ(S)==9[11(μ ,S) stt fie nlonotollle pellt■・ ll orice

*l

€z(a-,

μ∈(α , β )・

“

p) este clasa funcliilor scalare, de doui oli continuu

intcrvalul (or,

diferenJiabile

B),

347

Capitolul IX

EXTINDEREA OPERATORILOR

§10 0peratOri liniaFi pe un sulJspaliu al unui spaliu vectorial Voln studil in acest capitol omol■ lo■ fisllle五 ∈Iθ 99t(Dル コ unde」 Dメ este■lll

trll D`==ヨ

s■lbsp■ till

al slD&tiului vcctorial cOl■

,0■ oOlr10rfismlll tt oste lin opcrator in senslll din Cれ

tolul Ⅱ .Acest teFmen Vれ fi pユ strat chiall dactt DИ

)ァ

plexヨ .Pen―

pi―

≠ 〃 (desi al'

ettT盤 辮場 ∬驚iど ι 1:ち よ :¶ :通lぶ認 鍔1:ボ ∬見 ″∈ jD_41:Ъ r l'elatiile

torl11_4α nu existれ decit pellltl.11

五(ω l+″ 2)=五 ″1+五 ″2,・ (α ″)=“ 五″ ,

tl.ebllic stt nib嵐 l■

loc peiltrll toti

ttr complex α

ul■■

″1, ″2 si ″∈D■ Si pentru orice

.

温3お漱猟i均 ヨぽ躙 zfT甥

,1讐 .電 [I鮒 :nttnttI宅

椰 L犠 郵 蒻

勲

l〔

離

capitolul l lDentrl■ 01noll10rfislne l、 i pttstreaztt sensul si pentrll

operator五 definiti pe lll■ Subspatill・ Spunelll ctt opertttor五 ∠l si五 2 Sint θ クα7′ ,clac尻 Dθ η)∠ 1-Dθ 助 五 2 Si五 1"=五

2″

lin dOl・ lelliul de definitie. 11讐 ril.dI欝

鼻品

Dθ %五 ⊂ Dθ lll l si I″

*) Sau imagine (N. 348

?-.).

∫∫ T厖 31allt温 磁

1ち

';留 =五

″

(″

∈Dο %∠

ll島

`梅 )。

Se va scrie atunci∠

_4 .Extensia I⊃

⊂

a, 五 sc ILumeste θο9ηPι θι

dac尻 Dθ 9η 五

=ヨ

.

1. lhltilnett tut■ lrOr extelllsiilor complete ale llll■ li Operator 五

este convex尻

.

trll il■ cellllt operatiile aritlnetice c■ operλ tori. Definit五 le sunlei(diferOntei)si prOd■ lsllllli tle operatori pe care le volll da lnai jos slllt cOll■ patibile cu operatiile C■ 1 01110-

Stt considerttln pel■

lnOrfislne introdllse in ca.13it01■

lI・

Operatorii O si 1 lSi pttStreaz沈

sensul dat in capitolul II(cttCi Dθ IP2 0=ヨ ,Dο 鶴 ∬ =〃 ). Sり ″α si αヴθ ,イ α ‐ l=五 1土 五 2 a Operatorilor五 l si_42,Sint 7'θ

defillite prilll forl■ lulele

=■ 1″

l″

_‐

土 五 2″

pe sllbspati■ 11

Dθ

五 "ι

=Dο ″らИl∩

Dθ ,ん 五 2・

之。(■ 1十 五 2)十 二 3=五 1+(■ 2十 五 3)・ 3.五 1十 五 2=‐42十 五1.

4._4+0=五 _41-五 2=五 1+(一 .

5。

6.五 一 _■ ⊂ 0. 7.(■ 1-■ 2)+‐42⊂ Prcα

lι

s%ι

・

五 2)・

1・

J[ ==_122生 l Cnjl operatorilol' _41 siコ 乙2 CSte tlefinit prin

egalitateれ

五 ″ =_42(∠ 1″ )

pe sllbspれ tilll Dメ

={"″ ∈Dθ Pr2五 1,∠ 1″ c

Dac嵐 _41■ 2==五 2-41, &tllllci ope7rator五

Dο 螺五2}.

」Ll si 242 Se nulllesc

j;cれ Si mali inainte, aceasta se vrnJ llotれ prin J[1&_42. ]. Produslll de,,O factori egali cu tt se■ loteaztt cu五 ″ Cθ ,ん lι ι づ υ αι

8。

(-41■ 2)∠ 3=-4.(_・ 12-43)・

9。

(-41十 五 2)五 3=-41_43十 五 2五

I]■

3・

s元 ,

10°

五3(・ 1十 五2)⊃ ∠3И l+‐43・ =五 ∬ =_/1.

2・

11.I五

12.α J脱 (Dο ■ 1五 2)=α づηι(Dο η И l∩ 'ん compara cu 133-136,cap.I).

I密 ∠ 2)十 ごげ ∠ 2(a

Se

13.Dac沈 ∠2 αj協

1 0Xist沈 , atllllc

(Dο %∠ 1五 2)=α

j7(Dθ %_41)+α れ

(Dο 協 ∠2)

α づ792(Dθ ηι∠1+

+Dθ ηら五ダ1). In legttturtt cu plltα ■e unui opatttOr五

propOzitie:

,me“ ion:加 ■lrmtttoarea

14. Pentru Orice lIItreg llatura1 7れ , averr. Dο %∠ “ ⊃ Dθ 7ん

_4π +1.

Dactt in Lceasttt relれ も ie egalitateaを も re loo pclltru lll■ anurl■ it atllnci ca ttre loc pentrll orice,夕 〕>η 2。

ηし 。

.

)0+δ

15。 筆 (∠ )く η Spllnelll ctt lLIll SllbSpλ .

ti■ ttC Dθ dac尻 五 ″ ∈五 pelltrll orice "∈ 五

%五 este仇 憾 商 α

ttι

pentrll五

,

.

16. Sllbsp3,ti■ ll ″ -1

五ス =∩ Dθ %五 ″=,θ λ-1

0ste invれ riaILt pentru 五

%∠ 埼

.

17. Subspatiul五 ′nll este continllt de llici llll alt sllbspatiu invarial■ t al op∝ atOrllllli 五 .

18. Subspatilll 五′Coll,illle toate s■lbspat五 le illVariante 21o opげ atorului 五

Asadar五 _4

torlllui.左

.

eSte Cel lllai lnttre slll〕

spatill iIIVariれ nt al opera―

.

Ull1 0perator tt se numeste sづ ηp7%dん ctt llu are subspa,ii in‐

■ bsptttilll nlll si de cel totAl. 19. Pentru ca un operator ∠ stt fie sil■ plll, este necesar si

variallte,distincte de s■ π -1

sぜ icient ca r、 Dθ

in p&rtic祖 嵐 1.:

“

∠ ・

20. ]Dalctt Xθ γ“ 乙 =O

=0. si Dθ 7P7/∠

torlll tt este sillllplll.

乙 =0, atlllllci opげ ∩I,Ю “

21. Orice restric,10 a llllui operator silllplu este■

a―

opcatOr

l■

silnplll.

NOtiullile de vootor propriu si de sllbSpatiu prOpriu,folosite in acest par&graf, se definesc ca do obloei.

22.Pentrll ca■ l■ opげ ator stt fie silnplu,oste nooesぁ r si sufi ciellt ctt el stt nu aibtt vectori proprll. 硫 riFζ RttitF認

識 話 。淋

yttLs計 :臨

鮒

讐Ψ

rului tt nu este mni lnare decnt n.mttul de defect δ(五 350

ttb肥

)。

:

。 n計 cRttel珊 淵rf[普鵠 珈 協 decit

Ψ盤∫ 柵til

δ(五 ),atllIIci opび atorul tt este sil■ lplu. PeILtl・ u a demoIIstralれ cest f&pt,este sllficient stt se foloseれ sc沈 WllllltttOareal prOpozitie:

Peflttetti鮮 1。 (″

翻TL害 謂蹴鏡 ]樹 夕鶴 部甜F」 』

∈五)‐ re 10C egalitatea

Fθ ″ ∠ =Zθ r∠

+五

.

Un oper&tOr 24 se nllmeste s%%α αづ″θθιa a opgatollului ∠1 Si五 2:

五 =五 1+五 2 dactt subspatiile Dθ Dο 協∠

unde

§2.

%五 l

si Dθ %五 2 Sint reciproc independente si

=Dθ %五 1+Dθ 鶴五2,五 ″=五 1亀 十 五2″ 2,

ω =亀 十 ″2,亀 ∈D° 協 五1,″ 2∈ Dθ

'η

五 2・

OIDeratOri liI」 ari pe un subspaliU al unui spaliu llllitar

¨ in acest paragraf voΠ L nota cu:フ llII spa,iu ullitar.Un opσ れ tor S 6o ILllmeste ttθ

,総 γ づ 6, dac焼 jι

(S″ ,y)=(″ ,Sγ )(″ ,γ

Dactt Dθ

%S=ヨr ,se/nllmeste opellれ torul

Opcatorul

フ

hcmitic S este autoadjunct.

づ zθ 777θ ι γ , dttc焼 'θ

Dac沈

:Dθ

%7=」

∈Dθ %S)・

ア″￨￨=‖ ″￨￨(″ ∈Dθ ‖ '総

7).

フ,operatorlll izoIInetric 7 este ullitれ

r.

26. Orice restrictie a llILui Operator al■ toadillIICt este un ope― rator helllnitic.

27.Orice restricぃ o a unui opσ ator unitar este lll■

opelatOr

20Ю ■OtrlC。

Reciproc: 28. Ol・

ice operぁ tor izometric れdⅡlite o exteIIsie ullitar悦

.

351

Problema recipl'ocei teorell■ e126 va fi studiattt in §4. Propo― pe caI'o le volll da ac■ lm sillt generalizう ri ale l teol'emelor col.espllllztttoれ re dill § §5 si 6,cap.III.

tZit五 le

Pentl'u ca u■ operator S Stt fie herll■ itic,

29。

1. este l■ eces之 、

llicient stt fie satisfttc■ lttt collditia

s■

5m(S",″ )=0 (″ ∈Dθ m

S)・

30. Dactt un operator S este herIIlitic, atllnci opげ atorlll αS este herlllitic pelltru orice αl.eal. 31. Orice sumtt de operatoIoi hel.Initici este un operatol' her― mitic. 32. Dac嵐 olDeratOrul herΠlitic S este inversabil,atllnci opera― tぴ

К血 。pげ 航 ∝ hrmtt dnt 跳 爵 atteち 乳 lTttCin‖ ￢ 34。 7ector五 pllopr五 ai llllui operator herlnitic ooresp■ lnztttori

nn15聖

'Wt出

■ 乱

1腑

suficient stt fie satisfttcut航

, (ア ″

ntЛ

平 智19認 IIt曲

.∝

oonditia

面゛

T7)=(″ ,γ )(″ ,γ ∈Dο η)y). ll χl=■

36.Dactt operatorul y este izometrio,atunci pentl・ opellntorul αア este si ol iZOllletric.

37. Orice produs de opel'atori izometrici este

■ lII opげ atol・

lZOllnetrlc.

tor izollletl'ic eXiStl*)li 38. Operatorlll illvel・ s al llntli opel.を し este ll■

operator izolnetric.

39.1旺 odulele valorilol' p■ opr五 alle ullui opcrator izollletriC lllu. sillt egale cu ■ 40. ヽrectorii prolJrii ai ilnlli operator izorllctl.ic corcspllnztttoll valol・ ilor

pl'oprii distincte stilt()1.togonali.

*, 41.Pentrll orice operator tt existi llll opel'レ tlor α巧 ′ 五

i satisfttcind collditiile: Si llunaれ i■lnul,defil■ it pe tot」 コ、

1)(■ ″,7)=け ,五 *γ )(″ ∈pυ 2)I,η 五 *⊂ ″θ9η ∠ 42.五 ⊂ _4**.

"ι

`1夕

`ι

五,〃 ∈Z),

.

舅*'d面 ll去 」 pnftgR襦 ∬嚇LTTttЬ ∴Ъ tti盤 ‖ B*1・ *) 352

メ]Citi:itiピ 彗rnsLC01nメ

dれ

a OperatruM∠

ca operator definit pe imaginca acestuia din urm5. (N',I1.)

ぬ

■dad

.I鶴 五 ① Zθ γ五 *=ヨ ・ in cele ce ■ lrmeれ z沈 , PA vあ tlesemlla proiectorl11 0rtogonal 柘

pe稔 ・

Dac航 operator五 五 si B sht legati prin rela¨ (五 ″,γ

atunci P′ `,リ pril■

)=(″ ,Bγ )(″

∈Dθ %五 ,″ ∈つθ B),

Bc五 *. :亀

ド1提 F鍛

“

Bc五 *,atuttd

Operato五 五

)=(″ ,Bγ )(″

∈Dθ 鶴 -4,ν c Dθ tt B).

β d勲

bg奪

relatia (五 ″,ν

“

48.Pentr■ l ca operatorlll∠ stt fie ull operatOr herlnitれ ,este

llecesttr si s■lficient ca P五 五 ⊂ ∠ *.

e器

1∬ 留 l:l勝 』晋 撃 躍 herttt」 盤 e∬ rt∬乳 itttSia増 unde S este tln operator autOadillnCt, iar P este■ lll proiector 『 ortogollal.

50. Stt presllpllncllll ctt S,S sint operatori herlnitioi Si C沈 Dθ tt S⊃ Dο m s.Pentrtl ctt」 Ь s,este necesar si sufiCient ci

=sS*=S*・ 51.Daも 沈 DB⊃ Reciproc:

52.Dactt B⊃

D五 ]i PИ B*二=_乙 *,atunci

B⊃

五

.

∠ ,atllllci PИ B*=_4*..

53.Fie S lll■ operator herlnitic, S llll operator autoadjuIIct.

Pelltru ca S stt fie o extensie a operれ もor■lllli S, cste necosar si

suficiellt ca PsS=S*. 54. ■Illltillnea tllturor exteIIs五 lQr autOadiuILCte ale llnui opera― tor herlllitic este collvex抗 (れ se cOmpara ct■ 1).

1*ノ 生si 五2生 * Sil■ t ン しoperatOrii ノ

55. Oricare all fi operatorlll

autoadjuncti(priIIllll pe Dθ 鶴∠,al doilea pe 2)si poZit市 (pe Dθ %∠ )Stt 生 =0. l【 θγ」

56.Pentru ca operatorlll五

este llecesar si sllficient cA

*五

57.Pentru cれ operatorul五 五 *(pざ ヨ )Stt fie ― ILeCeSar si suficient ca I%∠ =ヨ .

i・

fb Strict pozit市

,

strict pozit市 ,este

58. PeIItrll ca operatorll1 7 stt fie izol■ etric, este II∝ esar si

sllficient cれ

ア*7cI.

59. Dac焼 ア este lln operator izometric,れtullci 77*este proicc― torl1l ortOgOILal pe itrllagineれ opellれ tollllllli 60。

T″

.

Pentrll ca operれ torul B stt fie adjullctul ll■ llli operator

izoll■ etric este necesar si sllficient cn el stt fie de forIIlれ B = Pび ■ lnde y este ll.。 perator ulllitれ r iar F este ull prpiector ortogonal、

23-c.1977

353

61.Dac沈 7 este llll operatol' izollnetrれ , atunci 7■ c ア*. ReciprOc: 62.Dactt y este ll■ operator inversabil §i dac嵐 7■ ⊂ 7*, atunci 7 este izometric. 63. Fie T/, レ opげ atori izOmetrici§ i」 Dθ o)1/⊃ Dο ηじア Pentru ca γ ⊃ 7, este ■lecesar si suftient ca 確 1⊂ y*. 64.Fie 7 ulL opgator izometric si 7 11■ opcator unitar. .

Pellltl'u ca / stt fio o extensie a operatoFul■ li 7, este■ lecesar si ア sllficient ca y*フ ニ =Pフ .

Un operator B, definit pe E se numeste pα ,7づ αιttο

γ づ θ ι ,

"oθ d&ctt este extensh ll■ llli operator izomet五 c 7 si dactt B″ =二 〇

pentru″ ∈(Dο

)■

.De exemplu,operatorul adjunct al oricか

'DT″ este partial iZOmetric. opα 'atoF iZOmetric 65。

Dactt B este llll operator parthl iZOmetric,

este partial iZOmetl・

lli

罰tunci B*

ic.

66.Dactt B este llll operatol'partial iZOILetFiC,atllnci B*B= tiv proiectOrii oFtOgOllali =P,BB*=o,undC P tti c smt resp“ pe Dο B si pe rtt B. ,Pι

67.Dac沈 opσatorul B este definit peコ si daCtt B*B (sall

BjB*)este pFOieCtor oFtOgOnal,atunci B este lllll operator paFtial izolnetric.

68.Pentl'll ca ul1 0perator B(Dθ %B=E)stt fie pttrtial iZO― metric, este llecesar siSuficiellt ca modlllul sttu opeFatOruし l stt fio pFOieCtor ortogollal. ″ -1

69。 五 カ

=Σ

(五

*声

(Dθ

た=0

70.Dactt B⊃

'屁

(a Se cOmpara cu 16).

五 卜

五 , atullci Z士

=T(Bり た=0

(Dθ

鶴五 )・

.

71. Dactt S este uIL Operator herllnittt si dactt S este o exteIIsie

autoadjunct嵐 oTα 〕 are al sa, atunci

五 =冨 政Dο %S卜 き んに

.

o

税tillttξ

Sr謝 器

i盤

五チ= 354

Or 2° metr施 ゛ d田 沈 υ estO o oxtensb

Ｔ ● 脚 ︻

.五 離

U-h(Dort V)t.

Din 69 qi 72 se poate obline un criteriu pentru ca un operator

si,

fie simplu. Sil introducem noliunea de subspaliu generator. Un subspaliu -t se numeqte subspaliu generator pentru opera(Dont,

T

: E\

dac[,

´ Ｔ ︹ 脚

torul ?

r″ 五

=E

(a Se COmpar&cll §3, cap. II). 73. Pentru ca operatorul“ 乙 stt fiё silnpl■l,oste necottr si sぜ cient ca subspatiul(Dο %」L)■ stt fie un sllbspatiu genellator pen‐ trll五 *.

i―

74. Pentru ca opcratorul silnetric S stt fie silnplu,este llecesar ca sllbspatiul(Dθ 嘗 3S)■ Stt fie un subspa!ill generator pentru orice utoadjllncttt S⊃ S si este suficient stt fie subspatill extensie れ gellerator pentrll o extensieれ utoadjllnct沈 oarecれ re S⊃ S. 75。 Pentrll cλ operatorul izometric y stt fie silnplu, este ne― r ca subspatilll(Dο tt y)・ Stt fie uII sllbspれ tiu generrator pen、 c∝ れ trll orice exteIIsie unitar沈 7⊃ 7-l si eSte suficient cれ ol stt fio 1. sllbspatiu gellerれ tor pentrll o extensie unitar■ oarecare'⊃ ア

§3。 Operalor invers generihzat Fie tt lln operれ to■ oarec&re definit pe llltregul sphtill ullitar poate stt llu existe, dar lllind restricぃ れ 五 。 a lui tt cu domeni■ l de definilie Dο 鶴五。=(Kθ γ五)■ ,Obtinem un

J.Operatorul五 -l

operator inversalbil∠ 。⊂ 五. Operatorul∠ l IIu este, lll gOnerれ 1, operatorului五 l pe E, definit pe tOt spaぃ ul E.Extensh五 (-1)a『

『

defillittt prin formul例 ∠ (―

"=五 JlP,

llnde」 P este proi∞ torul ortogoILal pe f鶴 」L se numeste operatorul づ ηυθrt9 θθηθγα7り,α ι ぉ1 lui 五 1. 76 Dac沈 五 -l oxist沈 ,atllnci五 (-1)=∠ 77.I協 五(-1)=(Kθ r五 )■ , Xθ γ ∠ {-1)=(I%五 )・ ・ .

78.五 五(-1)=P.

Stt nOtttIIL Cl1 0 prOiectorl1l ortogOllal pc(Iθ

79.五 (-1)∠ =o. 80。 五(-1)P=0五 {-1)― ∠(-1)。

γ■

・

)■

355

81. Operatorul∠ ( 五X五

1)sれ tisface

=∠ ,X∠ X=X,∠

independente

sistemlll de ecuat五

*,X4=五

X=X*五

*イ *・

82. Sistelllllll de ecllatii 81 nll are alte sollltii lII ttfaFtt de_4( 1).

83.[_4(・ )](ll=五

84.[∠ *]← D=[∠

.

(・ )]*.

85。 Dactt opel'atorul」 B este iIIversabil si daCtt Subspa,illl I"ら 五 este invれ ri&IIt pentru B*B,atulllci[B五 }ll=五 (・ )31・ 86.Dactt opel'ator■ ll B este inversれ biぃ i dacれ SubspⅢ lul Zθ 五 este in、 た 2briant pentrll BB*,atunci[五 B](・ )=B・ ∠ ( D. 87. Pelltru cL 五( ll =21*, cste llecesar si sutticient ca ∠ s沈 '・

fie partial iZOllletric.

Utilitatea operatCi10r invび si generalizati pentllu rezolvar(B

eCu&,iCi neolnogene

五 ″ =γ

(*)

rezulttt dilll u■ llltttoarele prOpOzi,五 ・

88. Pentrll cal ecllath (*)Stt fie s0111bil沈 ,este llecesar si sllfi―

cient cal AA(■ )γ 〒 γ ・

89. Solll,ia generaltt a ecuれ ,iCi Olnogene 五″ =0

este dれ ttt de formula″

=[I一

五 (D五 ]C

D加 尻 ∝ llatia(*)este SOlllbil沈 , este dattt de fOrmula 90。

】 =五 (1)γ

+[I―

(2∈ ヨ).

atun(,i sollltiれ

Sa general沈

五(・ '五 ]z(z∈ 〃).

91.Penttu orice ν,vectorul tt dat de fcmula 90 este soluぃ a j%づ θ ttθ むj%ι %づ θ Zο ″%α づraι rttθ ,adic沈 わ θ

eCuatiei(*)in senSul rγ

五冴一 νll=鶴 れ ‖ 五∬― yl・ ‖ ″ CE

Trecind de la oOuauile vectcll.れ le lれ ecuaぃ ile Opera,toriale se poate obti■ le wmtttoarm propozitie care cttncterizeaztt coln― plet propriettttile extremれ le ale operatorilor il■ versi genび alizati・

ア ヽ oln recurge la nol.n■ a Hilbert. 92.‖ 五_4(1)一 I‖ =%j%‖ ∠X― II. X∈

班 (E)

93.FuncliOnぁ la r(X)=‖ 五X― unic cu conditia ca ltt X⊥ _Fθ ″五

I‖

pe肌 (ヨ )are

u■ minim

.

+) A se cornparft cu problerna aploximafiei Cebilev (g 3, cap. VtrII) ea 9i propozifia 127, cap. IV.

356

cu

94.Pentrll orice Bご ‖-4(五

(・ )B)一

"l(D),

B‖ =鶴 χ

づ% ￨￨五 XTB‖ C勁 (E)

,

iar lninil■ llll este llllic cll conditiL ca r,η 」 F_Lj【 θ″五

「

care班脩 曇 Ъ 胤 釜 ittnZttZttif織 轟 ∬ 認 Dθ η)21=ヨ . Teoremele 88--9/■ rttlnlll valabile. §る。T00ria extinder五 S■llnれ

.

L ttZttz靴

訥

operatorilor hernlitici ,i izolllletrici

五l si五 2 pe ull spatill llnitarヨ 211」 _Dθ 五 Sllma ortogonal沈

directtt a operatorilol・

de酬:鑑 u普 讐 路 tuturor ずγ Ъ ,3defri鷺 B parcwge mu“ ]t:1精 出 盤‖ 計猟I輩 。 有 鳴批継lttTe:leol劇 聞 rtご se llllmeste θ″ι θθθ%α Zα dactt Dθ

llι

2・

"ら

imeれ

:

t°

= 滋 ∈

Fbactt Tr este un oper&tOr izometiic, れ tllnci formulれ フ paК urgё m咄 mea tutWOF opgatom∝

鳳ri8=な見 Dθ tt

B=(Dθ 鶴

7)■

, Itt B=(I%7)■

,

stabileste o bijectie lIItre extellsiile ullitare y ale opellれ toruluiア

Si Opげ atorii B.

97. I)Actt S este ll■ op∝ &tor herlnitic,atllllci formula

S=S①

(S*P十

五 ),

llndc P eら te proiectorul oFtOgOllal pe(Dθ lle S)■ si tt parclrge multilllea tuturor operatorilorれ utOadjuncti pe subspatilll(Dθ れS)・ stabileste o bijectie illtre extells五 le λ utoadillnCte S ttle Opgato― rlllui S si Operれ torii五 .

Rellparcttlll ctt descrierea exteIIsiilor izollletrice Ale operλ ― rllllli T/ rezlllttt in■ ediat din 96.

to‐

.98.Dac尻 7 este uII operator izometric,ntunci foFllllllla 7= =7① B, in care B pれ rcurge lnuliimea tlltllror opα atorilor izoll■

etrici pentr■l care Dθ η

B⊆

(Dθ IP2 7)■ ,

Il12 B⊂

(1772T/7)■

,

前abil■ te o bij∞ ti0 1ntre extensiile izolnetrice 7 31e Operaton― llli y si opellれ もorii」 B.

357

Spre deosebire do 98,propoziti3 97 11u collduce dillect la de― scrielleal tutllll∝

extens五 lo■ herlnitice ale operatorullli S.Aceast沈

descriere poRte fi fttcuttt cll

れjutorul transformatei Cayley, defi―

nittt mai inaiIIte pentrt■ operator五 autoadjunc,i si Cei llnitari (cf. §6, cap. III). rrα ttsJi9γ ttα ι α θα θ νι ν7ω a operatorului hermitic S este ope―

ratorlll

吼

uILde Sin ω ≠

=(S―

ざr)(s_ω I)-1,

0.

99.Operatorul yω este izometric si Dθ 鶴 7ω 100。

=I鶴 (S―

CIDI),Itt T7ω

=f場 (S―

COr).

Unitatea llu este valoare proprie れ operatorullli yω

.

101. OperatOrlll S sc exprilntt c■ l ajutOr■ ll traIIsfOrmatei sale

Cayley prlll fOrmula

S=(ω

γの CID∬ )(yω _I) 1.

Dれctt y este lln operator izonletric pelltru care ullitateれ nl■ este valoare proprie, atuILCi, pentru 3111 ω ≠ 0, exist尻 opertttorul Sω

=(ω ア ー

D∬ )(ア

C・

ー ∬)1,

numit ι ″ ″ ?η α y a Operatorului izometric 7. α%げ θ ι αθα θ γι 102. Operatorul Sω este un operator herinitic si Dθ PIP

Sω

=∬ 塑(7-∬

),Itt Sω

=∬ m(ω y-61)・

103. Operatorul y se exprlmtt cuれ jlltorlll transformatei sale Cttyley Sω pril1 lorlnula

y=(Sω

一 DI)(Sω 一 ωI)・・ C・

Remarcttllll ctt formulele pentru tjl・ ansformata CAメ ey intrO dllstt mれ i sus, spre deosebire de formulele corespunztttoare din

§6,cれ p.III,nll adlnit,lll gelleral,Pl.oprietatea do oomutativitate

a fれ ctOrilor.

104.Pontrll cれ un operλ tor Si SufiCiCIIt ca transforllnれ

tれ sれ

herl■ litic stt fie silnplu,este nocettr

Cayley stt fie sirnpl嵐

.

105.Dactt S este o exteIISie hernlitic尻 (respectiv autoadjunct嵐

a operatorului hermitic S,れ tunci trれ nsformatれ 358

Cれ メey

)

a Operれ ―

torului S este o exteIIsie izometl・

ic沈

(reSpectiv llllitar沈 )a trれ llS¨

formatei Cayley a operatorului S. 106.Dac沈 ア eSte o extensie izometric沈 (reSpectiv llnitall沈 ) a operatoilllui izometFiC 7§ i dactt ullu llll este vれ loalle plloprie

LttTMh鰍 :路 よ 3器 Ⅷ 郡 器『1柵 胤 tF Caメ ey a Opび atorullliア 107. Dactt S este ull operator ho[llnitic si dactt numttrul .

nu este o valoare proprie a sれ

λ

(1■ particlllar, dac嵐 3111λ ≠ 0),

atunci γク(S― V)十 XS)=鶴 ・ ASadaF: 100。 Nulnttul η (S一 M)Ilu depi■lde de λ ,daCtt λ￠σ(S)・ Subspatilll

Ⅳ λ=(I協 (S― 」 ))・

e鶏

協%就 朋脇lll親ブ 潔∬ 1腕脇′ 胤 IIcAfギ 誂器￡ θ αθαげθ ι ・『 『 づs%bΨ り Subspatilll de defect Ⅳ sづ

j%ι %づ

%%づ

λcoincide

109。

cu llllulゥ ilneal sOllltii10r

eCuatiCi S*″ =λ P″

unde F este proi∝ tσ

,

■ortopttl器 θ fie tttoadjun働 ￡Ъヽ沈

110. PeIItru Ca operatOrlll i tti]黙 eStlT:鶴

littf量 謄

iS視 ∫ :メ げ電 ￨ド ヽ1澪 l器

Ⅷ

:・

,

her_

llllitic S,atuILCi (Dο

%乙 》 =Ⅳ λ,(I鶴

I)in lll rezlllttt c沈 transforlnう貯ii Caメ ey.

ム )・

=Ⅳ ス

(I%λ ≠ 0).

numS,rul de defect este

un invariant al

IJrrnd,toarea descriere a extensiilor hermitice ale operatorului

S rezulttt dil1 98.

SW電 「 1:ll蝋 β 機 蠍 扁 ::Ъ 脇 サ よ 堀 =封 Ъ 警 治 ∬ 場 Itt B cギ ぇ,iar u.lu IILu este valoare proprie a opeFatOrului予 「λ .

AtuIIci forlnula

憲=(洒乙―泣)(■ ―Iド・ stabileste O btteCtie mtre extensi■

S si operator五 B.

ehび mitiCe

S ale opび atOrului

359

Oonstrllct五 le pc care le vonl da in colltinuれ reれ uc& scop ill― locuirea conflitiel■ ￠σ (7λ )printr‐ o restl'ictie rnai cOncret■ 2Lsupr乱 operator■lllli B.Rezultat■ ll definitiv este conlinut i■ 1119.

113.耳 λ ∩ Dbれ 11/1。

Dac鶉

S=0.

eSte proieCtOr■ ll()rtOgollal pe]島 ,RtunCi

oλ

LOル =0+″

(″

∈(Dο

"7S)■

)・

115. Form■ lele

y=9λ ″ ,

(″

∈(Dθ %S)・ ),

「ν=0ぇ ″

I予

°Z∬ 91鳳 li面 塩乳総 ∫ ‖ ΨttT葺 ,

1器 咄為l讐 賞ヽ ∫

:

116.Pづ θL O CXtellsie izolnetricj嵐 れtrallslormatei Caメ eyち

れOperatorlll■ li S. Dactt existtt■ lll vector γ c Dο ,,11,「 λ ∩ astfe incit 「 予λ γ= opel・ atorl■ llli

,DL(y≠

0),

'ο Fλγ, atllnci ullitateれ cste valoarO prOIDlie a

予 歌 .

Reciproca se obtine ll§ Or dttbctt relnれ rc尻 ln c悦

117.DActt Tア λ″ =″ ,atunci″ ∈(Dθ 772 S)■ 118。 D&ctt llnitatea este valoare propric a opel.ator■ atunci cxisttt■ln vector .

γ∈Dθ tt

Vλ

llui l′ l,

川■ (γ ≠ 0), ∩Dθ η

為stfel lncit ttγ =W「 λ ・ γ Atllnci, propozitia l12 so poate scrio astfel: 119.Fie tt ll■ ultilnea tutl11'or operatorilor izolnetrici B,cu

Dθ η υB⊂ (γ

Ⅳl,Itt B⊂ Ⅳぇsi care vorifictt relatia(B― Tλ )γ ≠ 0 ≠ 0).Atunci fOrmllla

S=(λ L一

λl)(「 λ― ∬)1,

unde Z、 一 予 Ъ +B,Stabilestc o bijecぃ e intre mul,imea extensiil∝ hermitice S ale Operatorlllui S si m■ 1■ mea 8・ 120。 Pё ntill し 島in l19 extellsiれ S stt fL a■ltoadjuILcttt este necesar si suftient ca Dθ tt B=耳 λ .

360

Rezultatde oblinllte pot fi exprimate si prinル 9認

ι ,'j6θ %,ん απ,ι θ ατ θι %づ υ θ,ι Ⅳ θ

― ″ 協%Zθ ι α θrα″

:

121.ID&ctt exteIIsia S corespunde opび atorlllui B∈

25, atullci

orice″ ∈Dθ ηυS se poate rerezenta in mod ullic sllb forlna

"=Oι

Sl

tt υ ― Bυ S″

(%∈ Dθ tt

S,υ ∈Dθ ,η B)

=S%+Sυ ― λBυ

.

§5。 ExtindcFi autOadillnOte care pユ streazこ norma Conforlll cdOr spllse lll capitollll IV, ILOrIILal ull■ li operator_4 corlsiderat cλ oll■ omorfislll, este definittt prin relatia

五‖= ‖ in cOntilluれ re:

llAnll" nlaff " reDoffie llnll

22に ‖ =″

И 器升 響 *￨=‖

1123.‖ 五

五 124.Dactt B⊃ 五,atullci .

llB‖ >￨￨五

￨。

イ ザl昇1庶鑑Ψピ￨"糊甘 =‐ 孵撚 職 srl鶴 」 ¶腎淵:翻lpぶ 品∫ も ∫ 監ltti翻i旦 冒1常 吼」 ∬」 .lF¶ Lte出 蹴 1拙 盤理 ul:∫ LttifTⅧ 職 就 :fθ

t」

:

S=S*.

Trecincl la elaborarea teol・ iei extellsi1lor alltoれ dillnCte ctte norma, peILtru ull operれ tor hcrlmitic oarecalle, ■u re― stlヽ lngell■ generalitateゐ prestlpunind c沈

pttstreれ ztt

S II=1・ ‖

」洲rr鶴 ∫ 33;#よ ]R「 』 :L詰 ∫ 1∬ ‖ 1漱 。 =深 甘 ご t=&fttrT望 St汎 ・

V° t°

ヽ ま 骨extende comメ 醜a opσ ._ρ 研 。 ネ 』 Ъ革 型唯 a■ レズ )}.Atund

1∬

rl器

n讐

了 a_

1よ

Dθ m

S+θ ρ=E。 αυ ¨ Ｊ

Introducem prOiectorul R pe Subspatiul Dθ tt S paralel cu sllbspatiul θ。 ・

129. Operれ tol・ul 五 2=S2」 R eSte extensia complettt a opび

a―

torlllui S2 Si SatiSfれ Ce inegalitateれ

∠2″ 12 S care

pdstreazd norma nu este unic5.

363

llltTT:)rSttlli鰍 ettlef誹 1∫ ‖ ぶ罵聴 メ operλ tOrii

l

s′

l

=S_(I+S)■

01(I+S)・

Sl

S′

′

=S十

l

l

(I― S)2 92(I S)丁

apartill lui 別 146.Pentrll ca o extensie alltoadillnCttt r tt unlli operator S .

stt apartintt llli tt este necesar si sllficient ca r stt satisfactt ine― galitateれ s′

0,atllnci α 178: ]Dactt nllmttrul λeste o valoare propric(le lllllltiplicitAte %五λ=sO si daCtt λ ‖

痴%7M∈ 助%玲

195. Dac5, dou5, arce d.e curtr[ acoperd, impreund, cercul unitate, atunci cel pulin unul dintre ele nu este o lacunS, spectralfi,. 196. O lacuni spectrali, nu conline valori proprii. Pentru m : O, este r,-alabil5, qi r'gciproca : 197. Dac5, un arc de pe cercul unitate nu conline valorile proprii ale unui operator unitar, atunci eI este o lacuni, spectral5,. ^ ?entru rn>O; nu se poate afirma decit cd, 198. Daci, punctul Io (llo] : flnu este o valoare proprie a unui operator 7, atunci un anumit arc d.e pe cercul unitate care conline. acest punct este o lacunS, spectrald, a operatorului 7. 199. Suma multiplicit5lilor valorilor proprii ale oric5,rei extensii unitare i = V, care aparlin unei lacune spectrale a operatorului I/, nu este mai mare d.ecit m. 200. Dacd v este dimensiunea marimi, a subspaliilor -t c c Dom 7 pentru care are loc inegalitatea

is.1! llVn-e 'nl)ん (J 0.

11.M■ ltilnOれ COntl'actiilor este ull corp con、 ア ox in飢 (ヨ ).

]I11ltimea punctelor extrelll■ a,le coincide cu u(ヨ

)。

12. Dactt γ eStO O oxtelllsie c■ lasiunitar沈 れ operatorllllli izo― r cll numttr de defect

lnetric 「

dilliritilirtttil「

δ (7)==1, atllnci cel putin ullul

2]li【 :iミ フ

.te

PI・

eSte 。 °ntractie (dac沈 フ■ C°

n■

oprietttlile Spectrale ale contract五 10r (Cf。 204--2416, cap.

I｀ r)S'IIt

analoage proprietttti10r spectrale ale operatorilor disi

ptttivi.

Stt dhl■ 1 0 teorolnh allaloagtt teorel■

ci C:

13.Dac汎 ″ 、 iy(11″ ‖=lγ ‖=1)Snnt vectorii pl・ Oplliiれ i unei cOrespllllzttt01・ i valori10r propr五 λsi μ , atuIIci

contrac,五

口

F≪

1/1。 Printre subs13at五 le invariallte ]f ale collltractiei B, pe care BI』 f cste unitそ tr, cxisttt llnul ll■ axilll calre coincide cll sub―

Spatiul yB defilllit ill

§7, cap. IX.

Dac悦 』 4ョ =0,Contractia se lluIIleste Cο 15。

lη r7θ

ι,lθ

ra。 ι α

lι

"づ

Orice coIItractie este sulna ortogonaltt dillltre llll operator

i o cOntractie complet neu■ litarh. 、 16.Pentru ca o colltractie B Stt fie compl(光

lllllitalr

llcll■

litar汎 ,

este

necesar si sufiCient ca spectrlll恣 沈 u stt a,partinユ diSCllllli ■ lllitate deschis.

389

Ou ajutorul transform5,rii Cayley se poate stabili o legd,turd,

intre operatorii disipativi qi ope,ratorii contractivi.

17. Dacd, -4. este un operator disipat,iv, atunci pent'ru Smo transformata sa Cayley B : (A -- aI)(A - of1-t

o contractie ;i 1( o(B). Reciproc : 18. Dacd, B este o oontraclie si d:lcii $mo(0 transformata sa Cavley


0).

qi

Menliond,m faptul c5, : + 77. Intr-un spaliu euclidian condilia llEoll


-

ro)

este echivalent5, cu faptul cd mullimea Ifausdorff a operatorului .4 aparline semiplanului Ee). < - o. Teorem:l 77 sugereazd, generalizarea noliunii de rnultime

Hausd.orff a unui operator -4 relativ la un spaliu normat oarecare. Fie o razd, oarecare ). : pe'o (0 < 0 { 2r-) qi sX considerS,m toate valorile reale cr pentru care

IlEi(/)11

*- 1 p-0r

(7,.

:

peiu,

p>

p(

a)>-a.).

&Iarginea inferioarS, a numerelor cr Be noteazd, cu a( 0; A). 78. lotr-un spaliu euclidian, mullimea llausdorff a unui operat,Jr A coincicle cu intersec!,ia semiplanelor

fre(Ie-io; < a(0; ,4) 400

(0く 00・

rator五

4・ Z2dtt autoattunc● L Sp吋 ml

155.∝ F)=σ (Zl)U61Z2)・

ち

「 WI路 品 tttl∬ Jり l」 =fill場 宏 、 ralorile propr五 ), ヽ

λ ll),...,λ 停 λ 7),

Fr絶 山 絶hs

epЮ pn λ P゛ λP

...,λ 『

O=

)ale fれ sciclllllllli p焼

‐

tratic Z(λ )au prOpriet4i de minimax analoage prOpriettti10r

WIWり l響

° 鶴

ri:∬ Iflmfi酬 :柵

ノ1'場 (″ )=―

Ct tt dar nd rdd

/ (Bu, n)2- 4(Cu, o)(r, nl. ι 鶴づD箋 〃j%:

(B″ ,″ )平

156.A■■loo jわ r鶴 %7θ 7θ

°(0' 瑚Lλ +1=%彿 ″鶴づπ P(1)(″ ｀⇒ 隅 雀 夕 L ″∈ L

(λ

=2,…

。,竹 ),

λ ″ r)=鯛 α″p121(″ ); 鳩 κ+1=π α ι 2と

￨￨=l ″CE

艦 性 ″cL

1″

(λ

un%∴

澁

)

″ ￨￨=1

″∈E

=2,…

p° (0

。,得 ),

:In.lmea subspⅢ

■ Or de codmendune λ ―■

157.λ F)0,

,

Seミヽ presupulle in cele cc urmeaztt ctt aceasttt iliegalitate oste satisfttcllt沈 159。

.

Sollltia generaltt a ecuセ bliei(1)este de fOrma

Z=Z。 +R17R2, ullcle Z。

=―

五

13,Rl=五

l ll月

l

2=(B*五

・

B一

θ)丁 ,y∈ lI(ヨ ).

Opげ れtorul ZO se numeste Centr■ l circumferintei Opaatoriale iar ■31 si』 32 Se nulllesc razele sale la stiILgR si ltt clFeapta.

160.Dactt ZO∈ (2)si F.>0,R2>0,atunci punctul Z= =Z。 +R.y22,llndc y"こparcllrge mllltimea Operatorilor ll■ tari, llescric circull■ ferinta oper&tOrialtt cu ceIItru1 211 p■ lnctul Zo si de raze l& stillgぉ si respectiv lれ drea,pt& ]`l si 」 R2・

161.Funclia liniartt Ty=WO+FZθ

alrbitr&r iar coeficient五 riniれ

Opび atoI・ ialtt

intr―

162. Dactt θ 〕>0,

unde llr。 ∈S331(ヨ )eStO F,θ Sint invぴ sabili,transforlrntt circumfe― o circlllnferinttt Operatori為

1五

.

il■ versi■lllea

ly==Z l transfol.Iη tt Orice cir_ Culギ ∝iⅢ 飢OperatOrial沈 lntr o circumfellinttt Opげ atorial沈 In cazul cel lntti simplu,cind ecu働 ぃん(■ )eSte de forma Z*Z= =∬ ,cil・ curnfσ inta opel・ atOrialtt se transform尻 1ll lrnullinlea I(ョ ) を もoperatorilor unitari, iar dol■ leni■ ll .

食 ={ZZ*Z