Analiza numerică

Table of contents :
1-150
1anal1-56
57-114
115-132
133-140
141-150
151-158
159-164
165-168
169-170
171-172
173-176
177-202
203-256
257-290
291-302
303-d

Citation preview

Ion Cuculescu

Analiza . '"" .numerica

Editura tehnică Bucureştf-1967

Lucrarea conţine o prezeutare teoreticii a metodelor de rezolvare a ecuaţiilor cu c, necunoscută, a sistemelor de ecuaţii, a metodelor de determinare a valorilor proprii şi vectorilor proprii ai unei matrice, a interpolării şi aproximării funcţiilor, precum şi a metodelor de integrare numerică. Analiza numerică este necesară pentru diferite probleme de economie, cercetare ştiinţifică tn domeniul fizicii, chimiei, tehnicii etc. care conduc la anumite ecuaţii obişnuite sau sisteme de ecuaţii, la ecuaţii diferenţiale sau la ecuaţii cu derivate parţiale, a căror soluţie trebuie determinată numeric. Lucrarea se adresează studenţilor de la facultăţile de matematică, fizică, institutele politehnice, inginerilor şi este de un mare folos cercetătorilor care lucrează tn cibernetică şi la maşinile electronice de calcul.

Introducere ln lucrare se prezintă, din punot de vedere teoretic, o serie de capitole ale analizei numerice. Prin modul de expunere, lucrarea este un tratat de matematioă -oe conţine o serie de proprietăţi de algebră liniară, analiză şi analiză funcţională oare se aplică in probleme de oaloul. Modul de aplioare este arăt~ separat, eventual ou exemple, după demonstrarea propoziţiilor ,enunţate.

Materialul este grupat în trei părţi : rezolvarea ecuaţiilor cu o necunoscută ; rezolvarea sistemelor de ecuaţii liniare ; aproximarea funcţiilor. Pentru a păstra un caracter uniform părţii a doua s-a inclus in partea întii un paragraf privind sistemele de ecuaţii neliniare şi oa metodă acest paragraf este mai apropiat de partea intîi.

1n partea intîi sînt tratate

două probleme :

1. Dindu-se un polinom P ou coeficienţi reali,

să se determine numă­ rădăcini reale ale polinomului şi să se construiască şiruri oe tind -către rădăcinile polinomului (fără evaluarea erorii) (oap. 1).

:rul de

2. Dindu-se o funcţie f definită pe un interval (a, b) ou valori reale, despre oare se ştie oă are o rădăcină în intervalul (a, b), să se construiască un şir ce tinde oătre acea rădăcină ou evaluarea rapidităţii :de convergenţă (cap. 2). Evident oă, pentr:u a afla rădăcinile unui polinom P, este necesară rezolvarea, ln această ordine, a oelor două probleme. Modul în oare sint rezolvate aceste probleme în această parte a cărţii ·nu este singurul posibil. Numărul de rădăcini reale ale unui polinom P (fără rădăcini multiple) ou coeficienţi reali se poate determina ou ajutorul teoremei lui Sturm: dacă P=P0 , P 1 , ••• , Pn sînt n+1 polinoame, în oare Pn este oon~tant, P1,+1 este restul împărţirii lui P,,_ 1 la Pr, ou semn sohim5

bat, P 1 = P', atunoi numărul de rădăcini reale ale lui P este dintre numărul de variaţii de semn în şirurile şi

diferenţa

P0 (+ oo), P 1(+ oo), ... , Pn(+ oo)

P0( - oo), P 1 ( - oo), ... , Pn(- oo).

O altă metodă, oare ne dă numărul de rădăcini reale şi de intervale în care este cuprinsă oîte o rădăcină a polinomului, este „şirul lui Rolle". O dată oe ştim că P are o rădăcină ~ i,e (a, b) şi de exemplu P( a) < O, P(b) > O, dacă vom calcula P{ atunci: dacă a ; b} > O,

a-:~)

P(

b} , iar dacă P( a ; b) < O, b , b) . ln acest mod obţinem un

acea rădăcină ~ se va găsi pe ( a, a ; acea rădăcină ~ se- va găsi pe ( a ; şir

ce tinde către acea rădăcină ~Aplicarea acestor metode necesită însă calcule foarte lungi. ln cazul „şirului lui Rolle", . trebuie aflate întîi rădăcinile lui P'. Din această cauză, au fost imaginate alte metode mai rapide, dintre care se prezintă citeva în partea întîi. ln partea a doua sînt date o serie de metode de rezolvare a sistemelor de ecuaţii liniare. Sînt bine cunoscute metodele efective de rezolvare, numite „metoda substituţiei" şi „metoda reducerii", precum şi rezolvarea cu ajutorul determinanţilor. Marele număr de calcule, necesare pentru rezolvarea pe această cale a sistemelor liniare ou mare număr de necunoscute a determinat căutarea de noi metode. Aceste metode sau „sînt exacte", adică dau soluţia sistemului după un număr finit de operaţii (v. cap. 1), sau dau soluţia sistemului oa limită a unui şir de vectori, deci prin „aproximaţii succesive" (v. cap. 2). Ca o completare, vom prezenta metode de determinare a polinomului caracteristic al unei matrice, oa şi metode de calcul ale valorilor proprii şi vectorilor proprii ai unei matrice (cap. 3). Pentru a facili ta urmărirea capitolului 3 din partea a doua, s-au introdus o serie de preliminarii de algebră liniară. Partea a treia conţine tot trei capitole : Interpolare. Aproximarea uniformă a f unoţiilor şi integrare numerică. ln această parte am prezentat o serie de fapte relative la probleme generale de aproximare a funcţiilor, care, deşi nu au aplicaţii directe în calcule, creează o perspectivă precisă a problemelor. . ln lucrare nu s-au dat toate metodele de rezolvare a unui anumit tip de probleme de calcul, ci s-au ales oîteva ce se deosebesc prin ideile lor fundamentale căutînd să fie accentuate problemele matematice oe le ridică. 6

/

- '\

\ S-a căutat de asemenea să se sublinieze de cite ori s-a ivit ocazia, posibilitatea utilizării de metode moderne, în special ale analizei funcţionale. Cîteva exemple : prezentarea metodei Cehmer în capitolul 1 partea tntîi, utilizarea produsului tensorial în capitolul 3 partea a doua, teorema lui Stove Weierstrass în capitolul 2 partea a treia, modul de prezentare al capitolului de integrare numerică. Nu s-a abordat problema rezolvării numerice a ecuaţiilor diferenţiale : aoeasţa poate fi tema unei alte lucrări în genul celei de faţă. Unul din scopurile lucrării a fost şi de a stabili o linie de alegere a materialului şi de expunere a lui în analiza numerică. Această disciplină matematică s-a constituit în urma problemelor puse de calculele efeotive. Ea nu poate fi nici încadrată oa un capitol sau o serie de capitole a altor discipline matematice, nici nu poate fi confundată ou o colecţie de reţete de calcul. Numai avînd în vedere toate relaţiile ei cu alte domenii putem avea o înţelegere justă a analizei numerice.

\

Partea tntti

Rezolpa,rea ecuaţiilor cu o necunoscută

I. lletoda lui Lobacevski pentru determinarea rădăcinilor

Preliminarii

şi

unui polinom notatfi

Fie un polinom P(:c)

=

n

a;n

+ a1a;n-l + ... + an = t=o ~ akxn-k [(CZo = 1),

în care x 1, ••• , :&n s!nt rădăcinile .sale. Notăm ou Pk(x) polinomul ale cărui rădăcini slnt -xt, .•. , - xt şi al cărui prim coeficient este 1 : Pk(a;)

= a;T& + afk> a;r&-1 + ... + a~k).

Vom deduce o relaţie de recurenţă pentru coeficienţii a(k> ( după k} 1 oare permite calcularea lor din aproape în aproape. Pentru aceasta observăm că, dacă z1 , ••• , Zn sînt rădăcinile lui Pk,· atunci rădăcinile lui Pk+l sînt - zf, ..• , - Zi, deci n

Pk

= i-l n c:c -

z;),

n

P1,,+1(x)

= i=l Il (x + zf).

Rezultă

P1,,+1(- a;2) =

fI (- + zf) = ( fi (a;2

i= I

Z; -

\ f ... 1

=

P1,(- :c) Pk(x).

x)) (rr (- + x>) = Z;

f„ I

Urmează că

t aJk+

avem · n (- :i:•)_,

=

(t. ajk> (- :i:)"-1) (~ ajk> zn-1)

adică

unde, pentru a evita precizarea domeniului de variaţie al indicilor de ;Sumare, presupune:µi at> = O pentru i < O sau i > n. . Obţinem

(- 1)n-ia?+I)

= )'. (-1)n-f aj1'> al'O. l+7=2i

Notind j - i

=

=

m (l

aţh+I> i

:sau (ou

convenţia

ln particular

i - m) avem

= L.-1 ~ (- 1)m aţk> a!k> i+m

i-m

m

de mai înainte) avem

rezultă

aih+I>

=

(afh>)2 - 2at>'

a~k+ 1> = (at>) 2 - 2a?> aJk>

+ 2aik>

etc.

§ 1. Studiul cazului în care polinomul are toate rădăcinile

.:c17

reale

Propoziţie. Dacă polinomul ou coeficienţi reali P(x) are rădăcinile ••• , :l:n reale şi dacă aceste rădăcini sint numerotate astfel oa :i:1

> I X 2 I > ... >

Ix; ;_şi,

J.0

în plus a}">

I

I Xn I atunci

I = liro

k➔ co

2va .. {A>

> O pentru orice j şi k.

a1_ 1

I>

Demonstraţie.

Conform

(-1)/

a}">=

relaţiilor

lui Viete

-~ . (- xt) ... (- xi;),

l~ii 2, ... , i; > j 2

obţinem

I:: I~ 1, ···, I:: I~ 1. 1

. Fie _c;

numărul

de

şiruri

i1

I ;: I = I:: I= = 1, ... , i; = j ~ n şi

< ... < i; astfel încît

1, ... , 1. In orice caz c; este un astfel de şir.

>1

1

I Xi I > I Xi+ 1 I = I X1+2 I >

j X1+3

I > ...

şi Xt+2

deoi daoă polinomul are oăror modul nu coincide ştim oă lim

k➔co

a)2 - 2a\"> ai"> + 2a~k>, 2 - 2a a:

1,72 • 109

2,38 • 103

6,065 • 10'

2,401 • 108

2,23553

3,37658

4,78283

3,38039

4,4710·">

6,75316

9,56566

6,76078

Ig a}2-1 > a(2) J+l

7,01836

6,75697

2> Ig 2a}2> -1 a 2 Ig a(2) I

..

( aj2))2

2,958 • 10'

2> a - 2a

lg a /-1 /+1 lg2a~~1 1

an

5,765 ~ 106

I

13,95911

13,94262

'-14,26014

-14,24365

19:

(a'J3>)2 2ajS> aCS) -1 J+l

-

6,160 • 108.

2,810 • 101'

1,345 • 1019

3,823 • 1()13

0,304 • 108

-1,820•101'

o

3,323 • 1018

o

2ai3) aC4)

6,464• 108

4,90 • 1018

1,345 • 1018

3,323 • 1011

8,81050

18,69020

19,12872

18,52156

17,62100

27,88040

38,25744

27,04312

Ig aj4) aC4)

27,93922

27,21176

4> a~4> Ig 2aj-1 J+l

28,24025

27,51279

1

I

lg ai4) 2 lg aj4> -1 J+l

('44))2

4,178 • 1017

0,240 • 1098

1,809 · 1()88

o

-0,001 • 1017 -1,739 · 1098

-2aJ~1 aJî1

4>

1,104.1027

o

2a= (~ 5>) 2 termenul ( a{5>) 2 este de ordinul 1035 iar 2~5 > de ordinul 1028 deoi nu influenţează primele patru oifre de la stînga scrierii zecimale a lui ( a\5>)2. Analog în a~6 > = = (ar>)2 - 2ai5>, termenul (a~5>)2 este de ordinul 1076 iar celălalt de ordinul 1055 • Ctt priveşte pe ai6> el este exact (ai5>)2. Daoă notăm rădăcinile reale cu z 1, z 4 , iar perechea de rădăcini complexe conjugate ou pe::l:•q,, vom avea I :»1 I > p > I :»4 1 şi

I z1 I ~ p~ 20

= V4,177 · 1011 ~ 3,553

2 ~

va\

2

a!fl

-5= >

v··t,809 • 1()18 ----~2101 4,177 • 1017

'

f7 ai5>

25

I x, I ~ V ~5) =

1,104 • 1011 1,809 • 1088

~ 0,4462.

Rămine aoum să decidem semnul lui x 1 şi .z4 • ln oazul nostru aceasta ~ste foarte simplu, deoarece P(.z) are toţi ooefioienţii pozitivi şi nu poate ~vea rădăcini pozitive. Deoi x 1 = - 3,553, .z4 = - 0,4462. ln general, oind ecuaţia are şi ooefioienţi pozitivi şi negativi, nu este totdeauna aşa de simplu să determinăm semnele rădăcinilor ei reale. O metodă destul de sigură este să considerăm şi ecuaţia P(.z k) = O p~n~ru un anumit k, să o rezolvăm şi apoi determinarea semnelor rădăo~or lui P este în general simplă. De exemplu, dacă modulele rădăomilor reale x 1, .z4 ale lui P sînt 1,5 şi 4,2 iar modulele rădăcinilor reale Z1 -2 şi .z4 - 2 ale lui P(.z 2) = O sînt .0,5 şi 6,2, atunci este olar oă X1 ::/= -=f= - 1,5 oăoi x 1 - 2 3,5 şi ~1 = 1,5 (x1 - 2 . 0,5) iar x, 4,2 căci x 4 - 2 =f= 2,2 şi x 4 -..: - 4,2 (~ 4 , - 2 = - 6,2). Această idee de .de.terminare a semnelor rădăcinilor va mai fi arătată în § 4,

+

+

+-

+

Observăm oă

I P(-3,553) I = o,o înseamnă oă

s-au

obţinut

... iar I P{-0,4462) I = o,oo .•.. ; .

pentru

3. Determinarea argumentelor

rădăcinile

riidăelnllor

reale valori destul de precise-

complexe

O altă :pr?blemă oare treb~i~ rezolvată este det_erminarea argumentelor· rădăomilor complexe, ad1oa în exemplul considerat, determinarea lui 'P· Prima observaţie relativă la propoziţia de la începutul paragrafului nu ne vine, _dup~ ~~m s-ar părea la pri_ma vedere, în ajutor, deoarece ne d~ numai pos1b1htatea de a determma cos 2kq> deci

şi

apoi sîntem în situaţia de a alege între 2k valori

· «o

-:; ' :-r·

CXc,

+ 2n2•

, ••• , CXo

2(2k - 1)7t + ----'-= CXo + 21t 2k

ff

- - •. 'J!'-1

lnoer(?area a 2k de valori oonduoe la oaloule prea lungi. Se procedează în consecinţă altfel.

21

1n general, daoă ştim oă ecuaţia P(x) = O are o pereche de rădă­ oini complexe conjugate de modul cunoscut p, aceasta înseamnă oă P se divide ou un polinom de forma (x. -

pe'cp) (x -

pe-icp)

=

x 2 ·_ (2p cos q>) x

+ p2 = x2 -

px + p2

in oare p2 este ounosout, ·iar p necunoscut. Facem deci împărţirea: lui P(x) la x 2 - px + p2• Obţinem un rest R 1(p)x + R 2(p). Pentru oa împărţirea să se facă exact, trebuie să aleg~m numărul p astfel ca el să fie o rădăcină comună a ecuaţiilor R1(P)-:- O, R2(P) = O. . Meto'da de determinare a argumentului unei perechi de rădăcini complexe pe:l:scp a unui polinom P ou ooefioienţi reali, ounosoind modulul lor p este următoarea: Facem împărţirea lui P(x) la x 2 - px + p2 ca, polinoame în x şi obţinem un rest R 1(p)x-+ R 2(p). Aplicăm polinoamelor R 1 şi R 2 algoritmul lui Euclid şi obţinem un polinom R. Determinăm o rădăcină p a lui R(x) = O astfel oa Ip I < 2p şi vom avea p cos q> = - .

2p Observăm oă, dacă ştim că polinomul P nu are altă pereche de rădă­ cini al căror produs să fie p2, în afară de rădăcinile simple pe:l:icp (q> -::J= O şi 1t), atunci există un singur număr p 0 astfel oa P(x) să se dividă ou

x2

p0x

+ p2•

ln acest caz oei mai mare divizor comun R al lui R 1 va fi de gradul 1. ln adevăr, în acest caz, R 1 şi R 2 pot avea o singură rădăcină comună p0 • Ea nu este multiplă, oăoi dacă am avea RHp0 ) = R~(p0 ) = O, atunci, derivînd faţă de p relaţia -

şi R 2

P(x)

= C(x, p) (x2 -

px

+ p2 ) + R 1(p) x + R,ip)

am avea O= c;,(x, p) (x2 şi,

pentru p

= p0

-

vom

px

+ p2} -

xC(x, p)

+ RHp) x + R~(p)

obţine

xC(x, p 0 )

= C;,(x, p 0 ) (x2 -

p0x

+ p2 )

deci C(x, p 0) s-ar divide ou x 2 - p0 x + p2 şi prin urmare, P(x) = = C(x, p 0) (x2 - p0 x + p2) s-ar divide ou (x2 - p0 x + p2) 2 contrar ipotezei oă pe:l:icp sînt simple. .. Faptul remarcat mai înainte prezintă importanţă_. în calcule, deoarece p este în general cunoscut aproximativ şi R 1 şi R 2 au „numai aproximativ" rădăcini comune. -ln cazul in oare ştim oă cmmdo al lor este de gradul întii, ef eotuăm algoritmul lui Euclid pină oind obţinem un rest de gradul întîi şi alegem pe p drept rădăcina acelui rest. 22

ln cazul în oare poli~omul P(x) are o singură pereche de rădăcini eomplexe şi am reuşit să determinăm modulul acestor rădăcini, precum şi toate rădăcinile reale, determinarea argumentului perechii de rădăcini complexe este ou mult mai simplă. Anume, dacă P(x) = xn a1 xn-1 a,,_1x an şi x 1 , ••• , x,,_2, pe'11>, p~ sint rădăcinile sale, avem

+ ... +

- a1

+

+

+

=

+ ... + Xn-2 + pe•11> + pe-'fP = = x 1 Ţ ... + Xn-2 + 2poos cp

!:x;

=

x1

de unde putem determina pe cos cp. In cazul exemplului considerat mai înainte

- 8

=

X1

+ X4 + 2 p COS cp,

- 8

=-

3,9992

+ 4,202 • COS cp,

4,0008 =- -

ooscp

41202

p COS cp = - 2,0004, lg I' cos cp I = Î,97869, lg I sin cp I = î,48529, lg I p sin cp I =Î,80773, I p sin cp I = 0,6423 rezultă X2,s

=-

2,000

± 0,6423

i

zecimală din p cos cp nu. este sigură deoarece x 1 este d8:t fără a se preciza zecimala următoare). Chiar şi în cazul în care P(x) are două perechi de rădăcini complexe p 1 e:l:i1P1, p2 e:1:fCP1 cu p1 p2 şi cunoaştem modulele lor p1 şi p2, precum şi toate. rădăcinile reale, putem determina cp 1 şi cp 2 astfel :

(ultima

- 3,553,

+

Dacă

• şi

x

P(x)

1 , ••• , Xn

=

x"

+ a1xn-t + ... + a..-1X + an

sint rădăcinile lui, Xn-1, n

=

P1e::i:i1Pi, Xn-3, n-2

=

P2e::i:•11> 1 ,

vom avea

- al= !:x; =Xi+ ... +

=

I:x1 ... Xj-1Xi+i x1 ••• Zn

Xn-4

, , , Xn

+ 2p1 cos cpl +2

·= !: 2._ = 2._ z; x1

P2 008

cp2 - a- 1 = a„

+ •••+ _1_ + x,,_,

+- ooscp 1 +- ooscp 2 • 2

2

P1

Pa

23

Aceste două relaţii ne oferă un sistem de al oărui determinant: 2pl 2p2

ecuaţii

liniare în oos q, 1 , oos q, 2

4

= - ( P12 - P22)

2

2

P1

P2

P1 Pa

este diferit de zero, conform presupunerii p1 =I= p2• ln § 4 problema determinării argumentelor rădăcinilor complexe se va rezolva pe altă oale. § 3. Generalizare la polinoame cu în inelul K< 2>

coeficienţi

1. Structura de inel pe K< 9>

Fie K mulţimea tuturor perechilor (a, b) în care a şi b sînt numere complexe oarecare. Vom defini (ai, b1 )

+ (a 2,

= (a1 + a 2, b1 + b2); = (a1a2 , a 1b2 + b1a 2).

b2)

(ai, b1) • (a 2 , b2)

In acest mod am introdus în K o structură de inel comutativ (se verifică uşor că adunarea şi înmulţirea sînt comutative, că înmulţirea este distributivă faţă de adunare (O, O)

+ (a, b) = (a, b),

(a, b)

+ (-a,

:-b)

= (0,0).

·

Adunarea ·este asociativă; de asemenea se verific.ă şi oă înmulţirea este asociativă

= ·(a1a 2 ~- a 1b2 + a 2b1) a 1asb 2 + a 2a3 b1 + a 1a 2b3 ) = (a 1 , b1 ) (a 2a 3 ,

[(a1 , b1 )

•

(a 2 , b2)] (as, b3)

- = Se ~hservă că este un suhinel

=

a 2b3

=

(a1a 2as,

+a b = 3 2)

(a 1b1 ) [(a 2 , b2) • ~(a 3 , bs)].

mulţimea

((a 1 , O) - (a 2 , O)

(as, b3 ))

(a 1

tuturor elementelor din K de forma (a, O). -

a 2 , O); (a1 , O) • (q 2 ,_

9) =

(a1 • a2 , O))

care, prin corespondenţa a .... (a, O) este izomorf cu corpul numerelor complexe K. Daoă notăm (a, 0)- ou a, iar (O, 1) cu h, atunci (a, b) = = a + bh, iar h2 = O. 24-

-

"·

Deoi, orioe element din K se sorie unio sub forma a + bh. Adunarea. şi înmulţirea elementelor din K( 2), sorise sub forma ·a + bk se poatef aoe, ţinînd seama numai de faptul că k2 = O. K are ca unitate elementul 1 = 1 + O • k. K< 2> nu este un corp„ deoareoe are divizori ai lui O. Orice element de forma bk este un divizoral lui O. Orice element de forma a+ bh ou a ::f= O are un invers unfo 1 . oac1 "' . xy = 1, xz = 1 1mp . 1·ICa"' y = ş1· anume - - - b h ("mversul est e unic a

=

a9

.

1 · y = zxy = z · 1 = z). Deci a + bh nu este divizor al lui O daoă a este ::/= O. Aplicaţia a + bh ➔ a de la K< 2> la K este un homomorfism. 2 Un polinom de gradul n cu coeficienţii în K< > poate avea mai mult de n rădăcini. De exemplu x2 se anulează pentru orice x de forma bh. Orice polinom cu coeficienţii in K( 2) se scrie sub forma P(x) kQ(x) unde P şi Q sint polinoame cu coeficienţi în corpul numerelor complexe. Pentru ca a + bh să fie o rădăcină trebuie ca

+

+

+

+ bh) + hQ(a + bh) = O, P(a + bh) = P(a) + bkP'(a) + b2h2 P"(a) + ... = P(a) + bhP'(a). · 21 Analog Q(a + bh) = Q(a) + bh Q'(a). Condiţia P(a + bh) + + hQ(a + bh) = O se scrie P(a) + bhP'(a) + h(Q(a) + bhQ'(a)) = O P(a

adică

P(a)

= O,

bP'(a)

+ Q(a) = O.

Deci, pentru ca a+ bh să fie o rădăcină a polinomului P(x) + kQ(x) este necesar şi suficient oa a să fie o rădăcină a lui P(x) iar b să satisfacă relaţia bP'(a) + Q(a) = O. Dacă a este o rădăcină simplă a lui P(x), atunci b este unio determinat de această relaţie. Dacă a nu este o rădăoină simplă a lui P(x) atunci sau a este o rădăcină a lui Q(x) şi atunoi b este arbitrar, sau a nu este o rădăcină a lui Q(x) şi atunci nioi un b nu satisface relaţia bP'(a) + Q(a) = O. · In rezumat, fie x 1, ••• , Xk rădăcinile simple ale lui P(x) iar y 1 , ••• , y, rădăoinile multiple ale lui P(x) care sînt şi rădăcini ale lui Q(x) Atunci rădăcinile lui P(x) kQ(x) sînt.:

+

,r,

""1

-

Q(xi) P'(xi)

h

,r,

' • • ., wk

unde· b este arbitrar.

-

Q(xk)

P'(Xk)

h

,Y1

+ bh ' • • ., Yl + bh

Acest rezultat ne permite să dăm exemple de polinoame ou ooefi­ oienţi in K(2> oare n-au nici o rădăcină: 1 + hx, x2 + h(x + 1), etc. 2. Generalizarea rezultatelor din §1 - §2

Teoria ecuaţiilor cu coeficienţi in K diferă esenţial de teoria ecua­ ţiilor ou ooefioienţi în oorpul numerelor compfoxe, totuşi rezultatele din § 1 se păstrează sub forma următoare. Dacă X"

unde

+ C1x"-1

+ . . . + Cn = (X - X1) . . . (X - Xn),

sînt elemente din K şi daoă X

,,

+ C1(li) Xn-1 + ... +

cJ0> = c;

= (X +

(k)

Cn

j

= 1,

2k) Xt

• • •

(

X

+ Xn2

k

)

,

2, ... , n,

atunci au loc relaţiile de recurenţă (1)

in care ct> = 1 şi coeficienţii ou indici în afara intervalului [O, n] slnt, nuli. Cum c}1'> E K, c}"> = a}1'> + 2kb}1'> h, unde a}1'>, bJ"> sint numere complexe. Relaţiile (1) devin aJll+O + 2Ht w+l) h = (a_{;k) + 2k W>h)2 + adică oJA+I> k+1

b}

26

>

=

�

= (a}1'>)2 + 2 E (-1)' aJi,aJ':2,, l=l .

1 aY,>b} > + E (-1) (a'/'.J_,b}".!.., k

l=l

+

+co

-

a}".!..,b}''.J_,) = E (-1)'oJt,b}�z.(2) l=-oo

Propoziţie. Fie P(x) = x" + a 1 WS- 1 dul n, avînd ca rădăcini x 1 , .••• , Xn• S'ă presupunem că

+ ... + an un polinom

de gra-

I X1 I = • • • = I Xm1 I > ·I Xm1+l I = • • • = I Xm! I > > ••• = I Xm 1 I > I Xm +l _: ·. : • = I Xm I > O(m, = 8

_

8

_~

8

n).

Fie

= P(x) - hP'(x) = x" + (a1 + (in care b; = - (n - j + 1) a;- 1).

b1h)" x"- 1

P(x - h)

+ ... +

(an + bnh)

Avem

P(x - h)

=

(x - (x1

+ h)) ... (x -

(xn + h)).

Fie x"

+ (a\"> + 2kb\k>h) a;n-l + ... + (i~> + 2kbh) = = (x + (x + h)2k) ... (x + (xn + ht)

(3)

1

(coeficienţii

a}1'l, W> se

calculează recursiv după formulele (2)).

Atunci

Demonstraţie. Să

(-i/

(aJ">

scriem explicit relaţia (3),

+ 21ebJ">k) =

E

adică

(- (x, + h)

l~i1li

pentru u

z1

Zm11

+1

1,CM

Iim m„+i=_.!_·. __1_ k➔co

'4!)u+1

şi scăztndu-Ie, obţinem relaţia

Z1

Xmu+l

din enunţ. O b s ~ r v ·a ţ i e. . a}">. ~lnt" aceiaşi ·ou oei din preliminarii şi notaţii, oăoi se calculează pe: liazâ, aceloraşi '.relaţii de r~ourehţă (alt argument 2~..:

este şi faptul oă, prin homomorfismul a+ bk ➔ a polinomul P(:v - h) se transformă 1n P(:v) iar (:v (:z:1 h) 2k) ••• (:v (:vn h) 211 ) se transformă în (:v (z a;;') notat în § 1 cu P1e(:v). Cazuri partioulare ale propoziţiei : a) Dacă I :v1 I > I :v2 I > ... > > I :vn I atunci

+ + t»f') ... +

+

+

+

(3)-

b)

Daoă

I X1 I > ••• > I X1 I = I X1+1 I > I X1+2 I > ••• > I Xn I atunci are Ioo (3) pentru j =I= l, l iar 1

+

-;;

ln cazul 1n oare x„

1

_

%J+1 -

X1+1

=

2 cos cp

(i)

(k)

)

l°

bz+i

r,~ (

aii1 - af1 •

b1_ 1

pe:f:iql rezultă

= lim

(k}

bz+I _

k➔ao ( a + b~>h). >

29

Calculăm.

apoi, pe baza a(l) I ,

relaţiilor

• • ·,

bc2> n

l , • • •,

b(k) n

b 1 ,

(2).

a1 ' ••. , a;, ' (k)

recurenţă

(2), numerele

. ·bm bu> 1 , • • •, n

nW> putem determina valori aproximative atit _pentru rădăcinile reale ale ecuaţiei, oit şi pentru rădăcinile complexe. Deci faptul oă am calculat in plus coeficienţii bjk>, ne scuteşte de a cerceta semnele rădăcinilor reale, de a calcula special argumentele rădăcinilor complexe şi de a extrage rădăcină cu ocazia calculului rădă­ cinilor reale. · 30

II. l\letode de precizare a valorilor rădăcinilor unei ecuaţii § 1. Teorema de punct fix pentru

contracţii

Această teoremă are următorul enunţ : Fie (E, p) un spaţiu metric complet, T : E ➔ E o aplicaţie, care există un a: 1 astfel ca p (Tx, Ty) > ( ţ) I, obţinem

(1)

P ! ~e[a,b]

I Xn+l

-

MI< MI

Xn -

(2)

M jP.

Să

vedem în ce caz, în ipoteza (1), şirul Xo, x 1 , ••• , Xm ••• se poate forma. Fie 3 ~ min (x - a, b - M}. Şirul se poate forma dacă I Xn -- x I a pentru orice n. . -Pre1;mp:unem deci I x0 _- x I< 3 şi în plus M3P- 1 , ( ~) \. PI te[a,b]

Fie x0 astfel. oa I:i:0 -x l~min (1, x-- a, b- x) ·şi în plus MI x0 - re I < 1. Atunci, este posibil să formăm şirul %, x 1 , •• _., Xn, • • • în care f(zn) = = Xn+ 1 şi vom avea Pn-1

I Zn unde .MI x 0

-

re I< ex.

2. Aducerea unei

< 1 deoi

ecuaţll

X\


x 4 > ... este < x 0• Dar X2

deci lim Xm dacă există, conform propoziţiilor 1 şi 2 pentru x0 - ~ 2 suficient de mio, acea limită este ~2 > x0 ( ~ 2 = z). Rezultă că, pentru x0 E (tGO, z)

X 3 > X 5 • •• Xo

44


'(x) < O şi prin urmare q> duce biunivoc ( ~, z] pe [ q>(z), ~) deci şi pentru x0 e ( ~, z] avem lim Xn = ~Pentru x> z avem q>'(x) > O iar q> duce biunivoc (z, oo) pe (cp(z), oo) cu q>(z) < ~Fie tn definiţi prin t 1 > q,(z), q>(t 1) = ~' tn+l > tn, cp(4,+1) = tn (pentru x > ţ avem cp(x) < x). Pentru Xo E [tn, tn+d avem X1

deci lim

Xm

E [tn-1, t,,], ... • Xn E [z, t1l,

Xn+l

E (q>(z), z]

= ~-

m ➔ eo

Observăm că

lim t„ există, lim tn >

q> (lim tn)

=

Jim q>(t,.)

=

~-

Dacă

lim tn este finită, atunci

Jim t,._ 1

::;:

lim tn,

ar urma lim t,. = ţ ceea oe este imposibil. Am dovedit oă lim tn . oo şi, deci, oricare ar fi x 0, avem lim

Xn

= ţ.

n ➔ «>

45

4.

Construcţia

unei

ecuaţii

de la punctul 2 în cazul. algebrice

Pe marginea propoziţiei 2 pag. 35 vom demonstra Propoziţia 3. Fief un polinom, fără rădăoini multiple. Atunoi există o funcţie h(x) definită pe o mulţime· deschisă oare oonţine ·rădăcinile lui indefinit derivabilă, oare nu se anulează niciodată şi astfel oa, oricare ar fi p 2, aplioind construcţia din propoziţia 2 lui să obţinem drept cp un polinom. Demonstraţie. Pentru oa cp să rezulte un polinom este suficient oa,

f,

>

fh,

pentru orice k, bk(x)(h(x))k să fie un polinom. Avem b -

1

1 (fh)'

1 -

f'h

+ fh'

b1 ·h=--1__ f' + f .!!:_ h

Vom alege deoi h astfel: f'. şi f fiind prime intre ele, există noame P şi Q astfel ca Pf + Qf' = 1. Alegem h astfel ca

două

poli-

p.

h'

h=a·' rezultă ('P(z) dz

·

h(x)

= eJ Q(z)

,

unde h este definită pe complementara· mulţimii· rădăoinilor lui Q. Q şif nu pot avea rădăcini comune, căci Q(x0 ) = f(x0) = Oar im~~ioa

1 = P(x~) f(ţo) h fiind indefinit

Avem

derivabilă şi

+ Q(x

nu se 1

b1 · h = - - -

f'+f.!!:_ h

0)

f'(x0):= O,

anulează nicăieri.

···

1

---=Q. f'+f.!.. Q

Să dovedim că bk . hk este un polinom pentru orice k. Utilizăm mduoţia. Avem

46

= Q [(b,N)' =

kb" • hk. ~'

]=

Q(b1ih")' - k(bkh") P

rezultă că bkhk este un polinom oa P şi

Q.

O h s e r v a ţ i e. Din demonstraţie rezultă că, dacă coeficienţii lui f sint polinoame într-un parametru a şi dacă aril. reuşit să găsim pe P şi Q ai căror coeficienţi sînt tot polinoame în a astfel ca Pf+Qf' = = 1, ··atunci şi coeficienţii polinomului cp obţinut aplioind construcţia ( P(x) dx

din propoziţia 2 lui f(x) eJ Q(x>

vor fi tot polinoame în a.

Exemplu f(x)

=

ax - 1,

f'(x)

P(z)

=

=

-1,

a,

Q(x)

=

= e~ - - = -1 ,

z,

rl:&

h(x)

:&

Ix~

.

j

b1 (x) h(x)

= Q(x) ~

'

x ;

deoi

=

cp 2(x)

b2(x) h2(x)

x -

=

b1 (x) f(x) h(x)

= 2x -

Q(x) (b 1 (x) h(x))' -

ax2

=

x

+ (1 -

(b 1(x) h(x)) P(x)

ax) x,

=x+x=

2z

de asemenea

= l

=

2'x - ax2

2x -

ax

+ -21 (ax -

1)2 2·x

= •

+ x - 2ax + a a;8 = 3x - 3ax + a a; = = x + (1 - az) x + (1 - ax) x, 2

2

2

2 3

2

etc. 47

De fapt, soluţia ecuaţiei este xo

1 - (1 - aX«,)

=

x0

.!.. oare se poate scrie a

.

+ x (1 0

ax0 )

+ Xo(1 -

ax0 ) 2

+ ...

Importanţa acestui exemplu rezidă în posibilitatea aplicării lui la inversarea nu a unui număr, oi a unei matrice. Concluzii pentru calcule : Dacă avem de aflat rădăcinile unui polinom P(x) atunci obţinem întii, cu ajutorul metodei Lobaoevski, valori aproximative pentru rădăcinile lui şi apoi, cu ajutorul procedeelor din § 1 şi §2 ale acestui capitol, obţinem valori şi mai precise.

§ 3.

Aplicaţii

ale teoremei de punct fix peritru contracţii la rezolvarea sistemelor de ecuaţii (neliniare) 1 )

1. Contractil pe Rn

Vom aplica teorema de punct fix pentru contracţii în Vom introduce în Rn o metrică astfel : dacă

= Rn. x

=

(?), Xn

spaţiul

E =

1

y

= (~

vom pune p (x, y)

)

=.,-1, max I X; ...

Y; I•

-

,,i

Yn

Fie T : D ➔ Rn o aplicaţie, în care D este o de forma D = S(xC0 >, r) deci D· este un oub:

submulţime

D={(D ={(::)

Xi(0) -

r

,.,,,,. ~

,.,,,,. x, ~ x,(0)

+ r, = 1, ... , n •

•

1,

a lui R"

I •

1) Am încadrat acest paragraf aci, pentru a rezerva partea a doua a sistemelor de liniare. Pe de altă parte, şi ca metodă, acest paragraf este apropiat de capitolul de faţă.

ecuaţii

48

Scrisă

„pe coordonate" T va

arăta

astfel:

în care fu ..., f n vor fi funcţii ou valori reale, definite pe D. Să presupunem că {1 , ••• , fn au derivate de ordinul intii continue pe D. ln acest caz, dacă remarcăm că D este o mulţime convexă (g;, y ED, O < t ·< 1 implică tx 1 - t) y E D), putem aplica formula de medie a lui Lagrange şi vom avea, pentru x, y e D

+( a;

=(

?) .

y

= i-l, max I f;(Xi, • • •, Xn) ... , n = i=l, max •.. ,n unde

~

ar.-

l

(X1 - Y1) - ' (~) 8:z:1

e D depinde de x,

=(

?) '

Yn

Xn

- fi(Yu • • ., Yn)

+ •••+ (Xn -

I=

a,,.

Yn) - ' (;)

j

8:x:n

y şi i.

Deci p(Tx, Ty) ~. max

•=l, ... ,n

(1

X1 - Y1

I · 1 8:z:1 (; (ţ) I+•••+ I ten 8

8

Yn I j f;

8:&n

{ţ)I)-, ••• , x:I)) -

Atunoi sistemul de

ecuaţii

X2

= f1(X1, • • •, Zn) . f2(:»1, • • •, Xn)

Xn

= fn(X1, • • ., Xn)

X1

va •avea în D o

xi0> I < r(1 - oe).

soluţie unioă

x=

(?). . . ~n.

ln plus,

daoă

x este un element oarecare din

>, ••• , x = x;. k➔m

Demonstraţie. Calculul făout înainte de enunţarea propoziţîei arată aplicaţia T : D ➔ Rn definită prin

Tx=

(t;)) f n(X)

satisface

relaţia

p( Tx, Ty)

< «p(x,

p(x,Jy)

y) unde

= i=l, max I xi ...,n

Y,

I

f . •\

daoă

;;

ţ.

(y) \y = : '

\\,,

'I

.ii

1

Yn

Rn este complet

faţă

de metrica p.

Relaţia

If (

; Xico> , ••• , Xnco>> -

ne spune

X,coi

,j

I< r

oă

p ( Tx,

x) ~ r(1

- oe).

Deoi putem aplica propoziţia 2, § 1. Relaţia x = Tx, pentru i=

(1:)

e_ste echivalentă cu X;= f;(x 1, •• •, Xn) deci o\l si~temul din enunţul propoziţiei noastre. . ! · Relaţia de recurenţă dintre x şi a; ~e sorie a;(k+t) = Tm. 51.

Ceea oe trebuie dovedit despre şirul

:J!..k)

( (1)

(2))

~ P ,2: • ,2: ~ 1-cx

P (:J!..k)' ie)

fapt garantat de

propoziţia

2, § 1. (vezi

se scrie oc,l-1

şi observaţia la

2, Aducerea unul sistem de ecuaill la forma x unde T este o contracfle pe nn

=

acea

propoziţie).

Tx,

'

Vom examina acum următoarea problemă : Fie un sistem de ecuaţii g1(a:1, • • •, 3:n) = O g2(a:1, • • •, 3:n} = O

unde g1, supunem de

••• ,

gn sint

funcţii

l

definite pe un domeniu F C Rn.

oă el are o soluţie {1:

Să

Se poate oare construi un alt sistem

ecuaţii

3:n

oare

= fn(:l:1, • • •, 3:n}

să aibă pe (1:) oa soluţie şi căruia săi se poată aplica propoziţia

precedentă ?

Vom rezolva această problemă în ipotezele următoare : a) g1 , ... , gn au derivate de orainul al doilea continue pe F; b) iaoobianul

este diferit de zero 1n (]:),

52

pre-

ln acest caz, iacobianul va fi diferit de zero într-o vecinătate· V a lui.t

(J:) · Să considerăm

=

G(z)

matricea

. .... .. . . .. .. . . . .

=

ag.(a:) :

8gn(3:)

~- .. a;,;-, Dacă

:c E V,

această

matrioe este

inversabilă.

Fie

{;(x)

=

n

X; -

E h;;(x) g;(x) J=l

unde,z=C:)eV. Dacă

notăm

Ux

=

(~i(x))

şi

gn(X)

avem Ta:

=s

Tz

=

n(z)) .~(x)

:c - H(:c) • Ua;.

Să ob&&l'Văm oă, pentru z EV, z = G:), sistemul Jg~~~~' :::.'

.:~>... -~'

l gn(Z1, • • •, :Cn} = O 5Ş

este eohivalent ou Ua; = O. Cum H{a;) este inversa unei alte matrice, rezultă oă şi ea este inversabilă; deoi relaţia Ua; = O este ~ohivalentă ou H{z) Uz= O deci ou . T:c-= :,;. I I

I}

ln concluzie, pentru (

E V sistemul de

g1{X1, ... , Xn)

=

0

gn(Xi, • • ., Xn)

=

O

ecuaţii

este echivalent ou sistemul

=

X1

j

f1(:&1, • •:·, Xn)

............. ,.....

j

\ Să observăm oă âf; ( ) X âx1e

=

~ . Uik -

~ âh;; ( }

~-h ( ) âg;(x) L.! ii X - -

( }-

L.! X g1 X i=l âx1e ·

i=-1

âXk

(f; sint derivabile, căci elementele lui G(:c) sînt derivabile,• deci şi elementele inversei ei H(x) sint derivabile). Ultimul termen din expresia lui âf; este elementul i, k din matriâxk

adică 6;k•

oea produs H(x)G(x) Deci 1

1

!

:,

Se observă că rezultă oă există

o

.

âf; axk

aleasă

:

=

t.

'

âx 1

1 !

!_âh;; (x) 'axk ·

=

W C _V a -lui

g;(:c).

O. Cum

âf; âxk

:g

în care 4

(1t·- âf; (~}

I+ ... + I!Jj_ ( ~) I) < 1 âxn

de forma { :c

54

t

O căci g;(x)

'.

vecinătat~

max sup

-

,=t

âf; (~) âxk

•-1, ..., n ~ew

W poate fi

1(x) =

! I

I-p (:c, x) < r} l

~înt contin~e,

ş

propoziţia

se poate aplica pentru z = M, r, X1

=

f1{X1, • • ., Xn)

Xn

=

fn(X1, • t

•,

şi

sistemul

Xn)•

ln concluzie rezultă următoarea Fie g1 , ••• , gn, ·n funcţii definite pe un domeniu F C: R•, avind derivat~ de ordinul al doilea continue. Propoziţie.

Fie

:lJ

=

(t)

o

soluţie

a sistemului

g1(Xi, ... , Xn)

SA presupun~m

oă

=

0.

..

iaoobianul

~

.

~

:; 'I

este diferit de zero în punctul x. Atunci există o vecinătate V a lui

M astfel

ca pentru x e V matricea

cJgi(X) 8g1(X) --•··-8x1 _ 8xn

G(-x)

= âgn(X) 8gn(X) - ... âx1 âxn

să

fie inversabilă. Dacă notăm · (G(x)t1

(hn(X) •.. h1n{x) )

= ............. .

hn1(X) • • • hnn(X)

55

şi

cu (;(Xi, . .. , Xn}

=

n

E

X; -

h;;(Xi, • • .,

Xn) gj(X1, • • ., Xn}

, ... I

atunci f; au derivate de ordinul intii continue pe V

se

anulează

Dacă

in

a f1

ar1

aX1

axn

şi

iacobianul

x.

alegem r astfel ca_ «x

= i=max I, ... , n

sup

(I -ar·' ( ~) I+ ... + I-' (~) I) < 1 8(·

p(I;, ii)~,

OX1

OXn

(unde p este metrica pe Rn introdusă in propoziţia precedentă). Dacă alegem un x E Rn astfel ca p(x, :g) = max I x~0 >- X; I ,

prin recurenţă după formula ~ţk+t)

tAI•

vom avea f xt> - :g; I ~ r«xk,

=

.f,( ~(k)

va avea ca .

. ~(k))

•,""n

in' particular lim x~k> = :c; pentru orice i = k ➔ co

1, 2, ... , n. Demonstraţie.

56

_

-1, ""1 , ••

S-a

văzut

soluţie pe (~

X1

=

Xn

= f n(X1, • • •, Xn}

1

Xn

o~. sistemul

),

f1(X1, • • ·,

Xn)

Aplicaţia definită

T : D ➔ Rn unde D

prin T

(~l) = ( f~1!~~'.: :'. ~:).) Xn

are proprietatea şi Tx = x.

că

n(X1, • • •, Xn)

p( Tz, Ty)

Deci pentru p(x, x)

p(x, x) =

= {x I p(x, ~) ~ r}

~

p ( Tx = {A I E 3cn>, d~•> = {A I E dcn>, (J)Cn>

=

3cn>

a;;

=

1 pentru orice i},

a;;

=

1 pentru orice i},

n d =

{A I E JH., A-1

Se observă că J, ;;icn>, Jln>, dl">, (vezi şi observaţia de la (a), (b)). Mai observăm oă

cr = Jt> n ;;J, De (J)(n>~ CE cfi"> satisface Kn. I Demonstraţie. Inducţie faţă de .n. Pentru n = 1 este iţnediat. ln general, fie

B=(BuO), D=(D11 O), C=(Cu c1n), bnl 1 O dnn O 1 BDC

= (B11D11 Cu Wn1

W1n), ann

în care nu ne interesează expresiile lui Wn 1 , w 1n, ann• Avem Bil Ed\n-1), D 11 e(f)Cn-l), C11 EJ~n-l) (observaţia precedentă), deci B 11D 11C11 satisface Kn-i (ipoteza de inducţie) · · det BDC ~ det B det D det C =I= O. Observaţia precedent( încheie demonstraţia.

62

Propoziţia 2. Orioe matrice A din JH.Cn> oare satisface Kn se scrie ca A= BiJC ou Bedin>, De(J)(n), CeJl11>. Demonstraţie. Aplicăm inducţia faţă de n. Pentru n = 1 este trivială.

Fie

. Cum A satisface Km avem şi

det A =f=. O Căutăm

A 11 satisface Kn-i•

pe B, D, C sub forma B

= (:.:

1 ~),

D

(~n ~J,

=

ou dnn ::/= O, B 11 Ed{n-I), D 11 E Va trebui

să

(J), D1,D2en, C 1,C2eJi"> implică B 1 = B 2, D 1 = D 2, C1 = C2. Demonstraţie. Toate oele şase matrioe slnt inversabile. Avem B2 1 B 1 = D,1,C 2C. 1 D, 1, B2 1 Ed\"> (vezi (f) şiobservaţia{b)), deoi B21B 1 E ;;A"> (este un grup). Analog D 2C2C't 1D"i'" 1 E J(n) (vezi (e), observaţia (a) şi D(n) C J(n>). Cum J

n din> = {1n} 1

rezultă B2 B 1

D2C2Ct D1

1

1

= 1n

=

1„ adioă Bi

deci C2C"i'"

1

= B2

şi

= D2 1D1.

Avem C2C1 1 E Ji">, D2 1D1 E (J) C d. Cum J\n> n d, DE (J)Cn>, CE Jin>. Corolar 2. Orioe matrice A din J se scrie unic oa DC ou .D E (J)(n)' C E J\n>. Demonstraţie. a;; ::/= O pentru orice i = 1, ... , n. De aici şi din A e J rezultă imediat oă A satisface Kn . Deoi A = BDC, B e d\n>, .D E (JJ(n)' C E J\n>. Avem B = DC · A-1 E J şi oum J n d\n> = {1n } rezultă

B

= 1n.

Corolar 3.

Orice matrice A din d se sorie unio oa BD cu

B E d\n>, DE ([J(n).

, Ce Jin>. Deci, conform propoziţiei 3, C', F'F = F 2 şi C sînt bine determinaţi. O matrice D E (J)Cn> fiind dată, există exact 2n matrice F E (JJ(n) pentru oare F 2 = D, deoarece fiecare termen{;; se poate alege, independent de ceilalţi, în două moduri distincte: ± Vd;;. _ 2. Orice matrice de forma S' S cu S e JCn> este simetrică şi satisface K,.. · ln adevăr (S'S)' = S'(S') = S'S şi, reluind calculul din observaţia precedentă ·

S'S

S'S

=

C'F2C, C' E dţn>, Ce J\n>, F 2 E (J)Cn>

şi

deci S' S satisface Kn conform propoziţiei 1. 3. Dacă matricea simetrică A de ordinul n satisfaoe Kn şi are elementele reale, nu rezultă că S din propoziţia 4 poate fi aleasă astfel incit să aibă toate elementele reale. Aceasta deoarece S = FC, .C are toate elementele reale, dar f;; = Vd;; deci elementele lui f pot rezulta imaginare. · Cum s;k = (;;c;k urmează că: Dacă matricea simetrică A de ordinul n are toate elementele reale şi satisface Kn, atunci există o matrice SE J ale cărei elemente sint reale sau imaginare astfel oa A - S' S. Mai mult, pe o linie fixată a lui S sint posibile două alternative : sau toate elementele sînt reale, sau toate elementele sint imaginare. Propoziţia 5. Fie toţi determinanţii

sint

=I= O

(k

= 2

A

=

S' S, S E JCn>. Atunci

1, 2, ... , n) Ak

şi

su = - - pentru k = 1, 2, ... , n unde ~~

tul

=

•

âo = 1. .

Demonstraţie. Faptul oă Â 1 , ••• , Ân sint :::f=. O reprezintă oă A satisface Kn (vezi observaţia la propoziţia 4). 132

tocmai fap-

65

relaţia s:,. = ~ (k = 1, 2, •.. ~ n) prin inducţie faţă de n. Ak-l . n = 1 este trivială.

Dovedim

Pentru Să presupunem

oă această afirmaţie

este

adevărată

pentru n - 1.

Fie

prin urmare

S' =

(~;l Ctn

o )

conform ipotezei Au

= s;.su.

Snn

= n - 1 deci ~ui Aui se aplică propoziţia. Deter.!i1 , ••• , Ân-1 sint aceiaşi la A ca şi la Au. De asemenea elementele s117 ••• , Sn-t, n-1 sint aceleaşi la S oa şi la Su. Propoziţia aplicată lui A 11 , ne dă Avem grad A 11

minanţii

Ak

2

.

s,.,. = --pentru k = 1, ... , n - 1. Ak-1

·

Rămine

de dovedit

relaţia

Avem .6.,.

=

det A =· det S'S = (det 8) 2 . sr1 •••

= de unde

Â1 • A2 • ~ • An-1 •

A1

.

s!-i. n:--1s!n~ =

s;n

An-1

rezultă oă

4. l\latripe pozitiv definite

Corolar. Pentru oa matricea simetrică A de gradul n, ou elemente reale să se poată scrie sub forma S' S unde S E J(n) şi unde S are toate elementele reale, este necesar şi suficient oa au a 11 > O,

66

a12

au • · ·

a1n

>0, ... , . . . . . . . . . .

>

O.

Demonstraţie. Dacă

A

=

S' S, S E J

şi

toate ~lementele lui S stnt

reale, atunci notînd

vom avea, conform

propoziţiei

5,

_  A2 Aa  1,.1•-•

Âk

•••

A1 A2

:::/= O pentru orice k

~-

2 82 11••• 8 i11>

şi

0

A11-1

toţi s;;

fiind reali. · Reciproc, daoă toţi Âr. (k = 1, 2, ... , n) sînt pozitivi, atunci A satisfaoe Kn deoi există o maţrioe S E J ou elemente reale sau imaginare (vezi observaţia 2 la prop.oziţia 4), astfel oa A = SS'. , ' Avem

s1,1,

=+

V/k

oăoi  sînt pozitivi.

oare este real,

k-1

Conform observaţiei Ia propoziţia 4, rezultă oă toate elementele din S stnt reale, deoarece pe fiecare linie (k) a lui S există un element real (Skk)• Definiţie.

me

z_=(!:)• y=(t)

doi vectori din ·R". Notînd (x, y) Rezultă.

=

y'x

=

,.

E ,-1

X;Y;•

·· ~ (x,

'

Propoziţia

y)

=

(y, x). '

6. Fie A o matri~e simetrică de ordinul n, ou toate ele-

mentele reale. Fie

• ! ~ .' •

6:7,

I

Următoarele progrietăţi

> o, ••·. ,

a) Â1

=

Ân

ale lui A sînt echivalente.

> o.

b) Există o matrice SeJ cu toate elementele reale, astfel ca A = S'S. c) Oricare ar fi XE Rn, x =I= O avem (Ax, x) > O. Demonstraţie. S-a văzut în corolarul la propoziţia 5 oă (a)~ (b). Să arătăm acum oă (b) ➔ (c).

In

adevăr

(Ax, x) Dacă

S~

=

(1

1 )

Yn

=

rezultă

x'Ax

=

x'S'Sx

(Sx, Sx)

=

~ f:,

(Sx)'Şx

=

(Sx, Sx).

y'f > O.

i--1

Dacă am avea (Sx, Sx) = O ar rezulta y 1 = ... =Yn=O, adică Sx=O. Dar S este inversabilă, deci ar rezulta x = O. Dacă x =I= Oimplică (Ax, x) = (Sx , Sx) > O. Să arătăm acum că (o) ➔ (b) şi ou aceasta propoziţia va fi demonstrată.

Fie A

Vom avea

.

Fie x

=

Âk

(X1 )} o

1f

=

= (Au A 12), grad A 11 =

k.

A21 A22 det Au.

elemente

•

Rezultă

Ax

=

(A 11x 1); (Ax, x) A21X1

= x' Ax= (xLO) = (Â~1X1, X1).

(Auxi) Â21X1

=

xfAux 1

=

Pentru X1 =/= o, atrăgînd după sine X =/= 0 şi O =/= (Ax, x) ~ (AuXi, x 1), atunci A 11x 1 =f=. O. A 11 este o matrice inversabilă şi Âk =/= O or_ioare ar fi k = 1, 2, ... , n. Cu alte cuvinte A satisface Kn, deci există SEJ ou toate elementele reale sau imaginare, astfel ca A = S' S. Din demonstraţia propoziţiei 4 rezultă S = FC, Fe(f)(n) CEJ\,. unde Care toate elementele reale. Vom arăta acum oă Fare toate elementele reale. Fie j un întreg intre 1 şi ,i. 68

Fie

o y=

Avem x E R"

6 1 -i

şix

=

c-•y.

şi

=

O < (Ax, x)

=

(S' Sx, x)

(FCC- 1 y,

Dar

=

(Sx, Sx) = (FCx, FCx) =

=

(Fy, Fy).

(Fy, Fy)

= fi; > O

FCC- 1y)

o Fy

= f1; ~

j,

b ~eea oe arată oă(;; este real, dovedind în acest fel că F E (JJ)

deci Ax

=

e;, j

=

= 1, 2, .... ,

(ei

I ... I en),

o e; = 1 b

~j

n.

b) Să observăm că, dacă matricea A a unui sistem Ax

rior

triunghiulară,

a~1Xi

şi, dacă

= b este supe-

sistemul se scrie _

+ a12X2 + ••• +''i'iinXn = bi, a22X2 + ••: + a2nXn = b2,

A este nesingulară, sistemul se rezolvă simplu, determinind necu-

noscutele Xn

Xn, Xn-t, ••• , Xi

succesiv

= a;~ • bn, ·... ,

1 Xi= aii (b1'. -

a1nXn - · ••• -

ai2Xs)•

ln cele oe urmează vom căuta să reducem problema rezolvării ·unui sistem liniar la problema rezolvării unui sistem liniar cu matrice superior triunghiulară. . ,. . · o) Să presupunem oă avem de rezolvat sistemele de n ecuaţii ori. n necunoscute;

Ax =

b(i), ••• ,

Ax.:.....

.

Am văzut oă aceasta este e~hivalent cu a cu n + m linii şi m coloane astfel oa ĂX

=

b(m).

găsi

o matrice X

=

l:

, X ) -1m

O unde Ă ~ (A I b I ... I b(m>).

2. Rezolvare în cazul în care ma1rleea sistemului satisface eondlJla K„

Să presupunem oă A satisface condiţia Km A= BDC, B E d\n>, DE (J)(n), CE Jt>. Fie F = BD Ed, ••. ;

i=l, ..., n+m

j= 1, ... , n+m

Vom avea n

= E s1:;s1:;•

a;; ·

Cum

s1:;

=

O, pentru k

> i,

(4)

k=l

relaţiile

(4) se scriu

i

a;;

=

B s1:;S1:;

pentru i ~j.

k=l

:sau i-l

a;;

=

E si; + sr"

k=l

i-l

a·· IJ

= '\.-. LJ S1:·S1:· • I .+ S··S·· .. I/

pentru i

1,

S11

i-l = .a;; - ~ sf; '

pentru i

(5)

O,. căci

xe V, x ::/= O. Obţinem li

.,"',r E K. Rezultă M. "'li li .,"'11'!

< li x li 4' M oe

Avem M 1 > M 2

li "'

M1

şi

x 'l3

li

X

llc

Ileu =

1 deci

c

apoi M.

relaţie evident adevărată şi pentru x

li X

li'!
)m=l,2,... este convergent. Avem

=

lim x m ➔ GC>

(li li fiind

echivalentă cu

n

B (lim x\m>)ei i=

1

m ➔ oo

li li;')-

2. Exemple de norme

a) Fie B o formă biliniară simetrică şi pozitiv definită pe spaţiul vectorial real V (vezi §3, cap. 1). Atunci li ~ 11 8 = VB(x, x) este o normă pe V (inegalitatea triunghiului se dovedeşte cu ajutorul inegalităţii lui Schwartz). ' In particular, dacă (lJ dacă

n

x

= E xi e; · ,

y

=

=

{e 1 ,

•.• ,

en} este o bază şi B(x,y)

n

E Y; ei, se· obţine

n

=E

X;Y;

•=I

o normă - norma sferică

s=l

i=l

corespunzătoare bazei (lJ - pe care o notăm li 11;3• b) Fie 1111 o normă pe spaţiul vectorial V finit dimensional. Fie V* (dualul lui V) spaţiul vectorial al formelor liniare pe V.

Definim, pentru

v*E V*: li v*

li* = sup Iv* (x) I· li X ll ~·

' Acest superior este finit, deoarece v* este continuă pe V şi { xi li xll- • m ➔ «>

§ 3. Un procedeu general de

aproximaţii

m ➔ co

succesive

1. CendlJia de oonvergentA

O h s e r v a ţ i i. 1 Fie A o matrice pătl'ată de ordinul n, inversabilă. Fie b un vector (coloană) din R". Atunci sistemul de ecuaţii liniare As: = b are o soluţie unică M (x este tot un vector coloană din R"). Pentru oa un alt sistem de ecuaţii liniare Cx = d să aibă printre soluţiile sale pe :a:, este necesar şi suficient să existe o matrice pătrată H .astfel ca C = HA, d = Hb. ·(ln adevăr, dacă există o asemenea matrice H avem CM= HA:t = =Hb = d, iar dacă CM = d şi notăm ou H = CA- 1 vom avea Hb ~ =HA~ = CA-a A~ = Cz = d). . . 2.. Dacă avem un şir de matrice de ordinul n : Am astfel oa, pentru rioo 3; e R" să avem liro Ama: = O atunci avem lim Am = O şi reciproo. m➔ao

·

101

Demonstraţia observaţiei

2. (a). Fie

e•1

= [~1 o o

+- j

Avem Prin

h)

Am = (Amei I • • • I Amen)· lim Amei · O pentru orice j deci lim Am = O.

ipoteză

Dacă

m➔ ~

Jim Am

=

O atunci lim Amx

m➔=

=

O pentru orice x fixat.

Fie x un vector fixat din R". Fie C1 , ••. , Cm, ... un şir de matrice pătrate de ordinul n, d 1 , ••. , dm, ..• un şir de vectori (coloană) din R"; astfel ca, pentru orice m, să avem x = Cmx + dm. Atunci condiţia necesară şi suficientă ca, oricare ar fi x E Rn, să avem lim Xm = x, unde şirul Xm este construit prin recurenţă după Propoziţie.

m➔ =

regula: este ca

lim CmCm-l .•. Ci= Demonstraţie. Xm -

=

o.

Avem

X= Cm-1Xm-l Cm-1(Xm-l -

Pentru ca lim

Xm

+ dm-1 -

x) =

(Cm-lX

Cm-iCm-2••·

+ dm-1) =

C1(Xi - x) =

= Cm-lCm-2• • • C1(X - x). = x, oricare ar fi x, este necesar

şi

suficient ca

m➔m

oricare ar fi x. Cînd x parcurge Rn, x - x parcurge de asemenea întregul R". Observaţia precedentă spune că, pentru ca lim Cm-1Cm-2 ... C1Y 102

=

O

oricare ar fi y e Rn este necesar

şi

suficient oa

Jim Cm-tCm-2 • • • el

m ➔ ao

= o.

Propoziţia dovedită dă următoarea metodă de ximaţii suooesive a unui sistem de ecuaţii liniare :

rezolvare prin apro-

Ax= b. Se consideră un şir H 1 , ••• , Hm, ... de matrice pătrate. Se consideră şirul Cm = 1 - H mÂ, precum şi şirul dm = H mb. Se ia un vector x 1 E R" oarecare. Se formează şirul X1,. , ., Xm, . . . în care Xm+I = CmXm + dm. Observăm că, dacă x este soluţia sistemului

Ax= b, atunci

Cmx înseamnă că

se

+ dm =

aplică

x - HmAx

propoziţia

+ Hm b =

precedentă

Jim CmCm-l • • • C1 m ➔ co

x care

arată

oă,

daoă

= o,

atunci Jim

Xm

=

X.

m ➔oo

2. Exemple

a)

Să

presupunem

oă

H1 = H2

= ... =Hm= •.. = H

deoi oă Să

C1 = C 2 = ... = Cm= ... = C. vedem în oe condiţii vom avea 0

=

Jim CmCm-l .. • C1 m ➔m

Se bilă

ştie că

=

lim cm. m ➔ co

(vezi introducerea la capitolul 3)

X astfel ca

0) ,D

D1 ... X-ICX= ( ......

.

o ... Dk

5

există

o matrice inversa-

=A1 •1+ds, d:=O,

unde n este ordinul lui C, iar Ai, ... ,

Âk

sînt valorile proprii ale lui C. 103

Avem

cm= liro

lim

=

(XX- 1 CX · X- 1 )m

=

X lim (X-1

lim X(X- 1 CXrX- 1

-

cxrx-1 •

m➔co

Deci vom studia care este condiţia

necesară şi suficientă

lim (X- 1CX)m

=

oa

O.

ffl➔ CO

Dar (X- 1CX)m Condiţia necesară şi oă,

pentru orice s

Dar D';' =(As· 1 Dacă

=

DT ... O) = ( ...... . o ... nr

suficientă

oa lim (X- 1 CX)m m-+c:o

=

O este deci

1, 2, ... , k să avem lim D';' = O.

+ dsr = ~ · 1 + Cl,,A';'- ds + ... + c:,- A':- n+i~:1

1

1

•

I As I< 1, atunci pentru orice l fixat avem lim C!,,A':-'

=

O

căci C!,, este un polinom în m, iar ,.,:-1 este o exponenţială care tinde la O, şi se ştie oă exponenţiala tinde la O mai repede decît tinde un polinom la oo. Cum in expresia lui D:' intră numai n termeni, unde n este gradul lui C care este independent de m, rezultă că, dacă I As I < 1 avem lim D': = O, deci că, pentru ca lim cm= O este suficient oa toate va-

m ➔ co

m➔ c:o

lori1e proprii ale lui C să aibă modulele mai mici oa 1. Să arătăm că aceasta este şi .necesar. Fie A o valoare proprie a lui C, v un vector propriu =I= O corespunzător lui Â. Avem cmv = c-•cv =

,.cm-1v = ,.mv. cm = o rezultăm-+co liro cmv = o deci lim Am = o adică IA I < 1.

= Cm- 1().v) = Dacă

lim m ➔ co

m ➔ co

ln concluzie : Propoziţie. Pentru ca lim

cm =

O este necesar

şi

suficient ca toate

ffl➔ GO

valorile proprii ale lui C să aibă modulele mai mici decit 1. O b serva ţii 1. Dacă li 11 1 este o normă pe algebra matricelor şi dacă 11 C 11 1 < 1 atunci lim cm = O deoarece li cm 11 1 (li C ll 1)m ➔ O. m➔ co

104


O. Să alegem un k întreg şi să alegem apoi

H1

=

~1 •

1, .. ., Hk

=

~s •

= ~k • 1, H11+1 =

1 pentru s

=

~1 •

1, .. ., Hmk+s

=

1, 2, ... , k.

Vom avea C1

= = li li

1-

~1A, •.. ,

C1e

1 - ~sA pentru ~

Xmk+s -

Xmk+s -

~

= 1s = 1,

2, ... , k, · (vezi 2)

lls < li Cmk+s-1

lls

~ M(II

=

~kA, ... , Cmk+s •••

el 112 llx1 -

ck ••• C1 ll2)m li X1 -

lls ~lls X

unde

M = max (1, li C1 112, ••• , li

ck-1 •••

C1 112)-

Vom căuta să alegem ~17 ••• , ~k astfel ca superiorul lui li Ck ••• C1 11 2 oind A parcurge toate matrioele pozitiv definite, ale căror valori proprii aparţin toate intervalului [M 1 , M 2], să fie minim posibil. Este evidentă această alegere, deoarece cu cit li Ck •.. C1 11 2 este maimioă~ cu atit ştim despre şirul (Xm) că va converge mai repede spre soluţia sistemului Ax= b. Avem

ck ...

C1

=

(1 -

~1A) ... (1 -

~kA)·

=

P(A)

unde . P(x)

=

(1 -

~1X) ...

(1 -

~kX).

105

Dacă Â1 , ••• , An sint valorile proprii ale lui A, atunci valorile proprii ale lui P(A) sint P(A 1 ), ••• , P(A 2 ) (vezi corolar la (i) din introducerea la capitolul 3). li P(A) 11 2 = unde µ este cea mai mare valoare proprie a lui

V~

(P(A))' P(A)

= P(A')

=

P(A)

P(A) P(A)

=

(P(A))2,

adică

µ

=

max (P(1.i)) 2

i= 1, 2, ... ,n

Deci

li ck ...

şi

li

C1 112

P(A) 11 2

=

=

max

I P(1.i) l-

i=l, 2, ... ,n

max ·1 P(A;) I

i=l, ... ,n

unde ).1 , ••• , An sint valorile proprii ale lui A. Aceasta arată că superiorul lui li Ck ... C1 11 2 oind A parcurge toate matricele pozitiv definite, ale căror valori proprii aparţin toate intervalului [M 1 , M 2], este sup I P(x) lxe[M1,M!l

k

Condiţiile puse asupra lui P(x) şi P să aibă k rădăcini reale.

=

sint: P(O)

1, gradul lui P

să

fie

Problema se pune deci astfel : printre toate polinoamele P care satisfac condiţiile enunţate, să se determine acel polinom pentru -Oare sup I P(x) I să fie minim posibil. xe[M1,M2]

Să notăm

cu Q( x) polinomul p(M1;M,

+ X Ma; M

Vom avea P(x)

= Q[ x

_ M1: Ma

M1-M1

1

)·

l•

2 Corespondenţa

dintre P şi Q este biunivocă. Condiţiile puse asupra lui P sint echivalente cu următoarele condiţii asupra iui Q :

Q( gradul lui Q să fie k M1+ M2 .3:------2

106.

şi Q să aibă

+

M1 Ma) Ma-M1

= 1,

k rădăcini reale. Cind x parcurge [M 1 , M 2],

parcurge pe [- 1, 1], deci Q trebuie ales printre poli-

noamele care satisfac

condiţiile enunţate,

astfel ca sup I Q(:c) I să xe[-1,1)

fie minim posibil. Pentru a determina pe Q, vom nota ou Ts(:c) = cos (s arccos x). Aceasta este o funcţie definită pe [ -1, 1]. Avem Tc,(:c) 1, T 1 (x) x

=

şi

Ts+i(x)

=

+ Ts-1(x) = cos ((s + 1) arccos x) + cos ((s-1)arccos x)-:--

=2

cos (s arccos x) cos (arccos x)

=

2:cTs(x)

deci Ts+i(x)

=

2xT,(x) -

Ts-i(x).

Prin inducţie faţă de x rezultă că, pentru orice s întreg~ O, Ts(x) este un polinom de gradul s. · Vom

arăta că

căutat

polinomul Q(x)

de noi este

Tk(X) Tk ("'.""" M1 + M2) . M2 - M1

Pentru aceasta,

să observăm oă

_M1+ M2_ M2-M1

(s, s)-1

~

1

sup (.A.x,x) • sup (A-1 x, x)

(s, s)= 1

(s,s)= 1

=! y

unde y este cea mai mare dintre valorile proprii, iar 8 cea mai mică, ale lui A (vezi calculul de la sftrşitul exemplului b) § 2, oare arată oă y = sup (Ax, x), A fiind simetrică; iar A-1 este şi ea simetrică şi valo(s,s)-1

rile ei proprii stnt inversele valorilor proprii ale lui A). Deci 11

1- sup IIZm+l -_xll ~(inf qm) (2 - sup qm) 11Xm-Xll

1

m

ceea ce

dovedeşte relaţia ot

114

~

!

>0

y

(2) tn care

1 - (inf qm) (2 - sup qm) -8 , y

(3)

Ob ser v a

ţ

i e. li

Rezultă

Xm - :g 11 2 ~ r,.m li Xo -

:i; 11 2 ;

cu alte cuvinte în norma considerată, Xm tinde către x cu rapiditatea unei progresii geometrice de raţie r,.. Avem r,. ~ 1 - (inf qm) (2 -

8 y

sup qm) -. Numărul

din dreapta

inegalităţii

este cu atît mai mic, deci ne

aş-

teptăm Ia o convergenţă cu atît mai bună, cu cît ! este mai mare, y


e,

1

1

1• ···•

Dacă văzut că

Am

® ... ®e;k)=

k

doi indici i;, i1 coincid pentru j :::f= l, termenul respectiv s-a este nul, deci

cx(v 1 ® ... ® vk)

din . V baza

1

=

E

•1• ... • ik i ;=I:•1 pentru f::/::.l

~1:> ... ~~~ a(e,

1

® •.. ® e;k)

=

obţinut astfel, cunoscind descompunerile unor vectori v1, ••• , vk după o bază e1, ••. , en, descompunerea lui a(v 1 ® ... ® vk) după

3. Apllearea produsului tensorial altemat] în determinarea modulelor valorilor proprii

Rezultatele obţinute se aplică· astfel : a) Dacă A E ..e( V) are ca valori proprii A1 ,

.•. , Âm

n

=

dim! V

:şi

151

atunoi A1 poate fi determinată prin procedeul bazat pe propoziţia de la începutul · p4U"agrafului. Dacă formăm A ® ... ® A şi luăm restricţia ei A1t la atunci

v:

k ori

>.. 1 ••• "A1e va fi valoarea ei proprie de modul maxim şi va fi mai mare în modul deoit oricare altă valoare proprie a lui Ak, Deci ea poate fi obţinută prin procedeul de la începutul paragrafului. Anume : · alegem un z E Vt şi, pentru m suficient de mare, Arz şi A:+Iz vor ·fi „aproa,pe'' proporţionali cu un factor de proporţionalitate ce va da o valoare aproximativă pentru "A 1 • • • "A1e. Pentru a simplifica calculele vom alege z- · ot(v 1 ® .•. ® v1e) şi atunci

Arz= Aroc(v 1 ® ... ®v1e) = ot((Am@ ... ®Am) (v 1 ® .•• ®v1e))=

= b)

Dacă

ot (Amvl ® ... ® Amvk)-

A E ..e( V) are ca valori proprii

11. 1 , .•. , Am

n

=

dim V

şi

I Â1 I = · • • = I Âs1 I > I Âs1+l I= • • • = I Âs2 I>••• atunci,

dacă formăm restri~ţia.

A,; a lui ·A®~·~ la

v:;,

"A 1 ••• "A,;

s; ori

1 •

va fi valoarea proprie de modul maxim a lui A 5 • şi va fi mai mare în modul decit oricare alta. · ' Deci 11. 1 ••• As; se poate calcula (vezi a) ). · Dacă A este o matrice cu elemente ·reale, atunci valorile ei proprii care nu sint reale se grupează în perechi complex conjugate. De aici rezultă că în acest caz A1 • • • As;

= ± I Âs1

js1

I Âs2

1s2-s1 • • •

I As;js;-si-1,

deci prin această metodă se pot calcula modulele valorilor proprii ale lui A şi multiplicităţile lor (dacă luăm k '=fo orice s; şi z E V1 atunci A:z şi A: + 1 z sau nu sînt „aproape" proporţionali, sau_,:q.~că.sjnţ „aproape" proporţionali pentru orice m suficient de mare, factorul de proporţionalitate este ).. 1 ... Â1e). 4. Determinarea valorilor proprii eomplexe

Cum calculăm argumentele valorilor proprii complexe ale unei matrice A cu elemente reale?

152

·· Ne vom· mărgini la cazul

I A1 I>•••> I Ak I> I Ak+l I= I AH2 I= • • • = I Al,+2p I >I ik+2P+l I> .. • unde Ak+l

= ··· =

Ak+P;

Dacă formăm Ak+i,

= • · · = Ak+2P =

Ak+P+l

Â,Hl•

ea ·va avea două valori proprii distincte de

modul maxim: A1 ••• AkAk+l şi A1 ••• AkÂk+P+l ,/

fiecare avînd multiplicitatea p. Am văzut că A1 ••• Ak se poate calcula A1 ... AkÂk+P+l

=

şi că

este un

număr

real, deci

A1 ... AkAk+J•

Este suficient să considerăm cazul în care A are ca valori proprii ). şi i (),. complex) de multiplicitate p şi restul valorilor proprii · mai 1 mici în modul decît A. · Pentru aceasta să reluăm raţionamentele din propoziţia de la începutul paragrafului. Fie A E ..L?(R"), v E R", V C R" cel mai mic subspaţiu invariant prin A ce conţine v. Să presupunem (ceea ce are loc în general) că restricţia lui A Ia .V ar~ pe ). (deci şi pe ~ ca valoare proprie. Fie VK totalitatea vectorilor de forma v 1 +. iv 2 cu v 1 , v 2 E V A ope,rează pe VK, care este un spaţiu vectorial· complex. · · · Fie VK

= w„1 + w„2 + ••• + w '-s

descompunerea lui VK în spaţii rădăcină relativ la A. A1 = A, ). 2 = A. Pentru v1, v2 E R" să definim v1 + iv 2 = v1 - iv 2 • A E ..l?{R") deci Aw = AW. pentru w E K". Dacă w E W 11 . atunci W E Wii {căci avem (A - µ · 1)" w = O deci (A - µ · 1)" ill = O, adică ill E Wµ). Fie V

=

W1

+ ... + Ws,

=

V

W;

E W '-;

Avem v şi

în

=

W1

+ ... ,+ Ws

pe baza oelor spuse mai înainte aceasta este o descompunere a lui v sumă de vectori rădăcină corespunzători la valori proprii distincte.

153

Rezultă oă cele două descompuneri coincid (abstracţie făoind de ordinea termenilor) deci in particular w1 = w 2 (ambii sint în WÂ 2 = WA 1 ).

= {wI w

Fie oc 1 = dim W >. 1 • Cum W A2

E W ;.1 } avem oc1 = dim W A2 •

La fel oa in demonstraţia propoziţiei, vom avea . 1 lIm ffJ -1 Amw; = o pentru j = 3, 4, ... , s. ni➔oo ;.: m4 1 1

Aceasta are drept consecinţă . 1 l Im - - - A m(v - w 1 m ➔= ).m m~1-l

-

w1) =

O.

I

Fie Jl

=

A -

Â1.

J 2 =. J 1

1.

=

A -

Â2 •

1

Fie z1 , ••• , Zct1 o bază în WAd unde ~k = Jt-1 z1 • Atunci z1, ••• , 2«1 va fi o hază în W A2 , zk = 1:-•2 1• Fie deci W1

=

'3121

+ · · · + J«1 Z«1 •

La fel oa în demonstraţia propoziţiei, se Putem presupune deci z1 = w 1 Avem A mW1

=

(Â1 •

1

arată că

~1

+ O.

+ J 1r Z1 = E c;-1 AiJ-(1-l) Zt «1

, ... I

şi

pentru t

< oc1

analog «1

Amzl

_m-(t-1)

= E c:;-1 ).I

Zt

l=l

şi

154

lim

1

m ➔ oo

,.,'f m«1- 1

t-1 _m-(t-U Ât Zt

Cm

=

O pentru

t


'"(x;) 2

2 --------::::s-1 3 - (CJ>"(x;) )2 4

CJ>'"(x;) (CJ>"(x;)) 2

deci P(x)

=

CJ>(X)

m

[

2 ~ - -2 (Y,,o

8

Observăm şi că

x;)

(x -

Yi,o(X -

în cazul P(x)

ct 1

1 + .y,,1 (x- X;))--CJ>"(x;) CJ>"'(x;) ]

X;) 3 (CJ>"(x;))2 •

= ... =

ctm

= O formula se poate scrie 1

CJ>(X)

= E-·Yi,o • - - . i= x - x; CJ>'(x;) m

1

§ 2. Diferenţe divizate 1.

Definiţie

Definiţie. Fie f o funcţie, definită pe [a, b], derivabilă de p ori. Fie x 1 , •.. , xn, n numere din intervalul [a, b] nu neapărat două cite două distincte. Să presupunem că: k 1 dintre aceste numere sînt egale cu y 1 , k 2 dintre ele cu y 2 , ••• , km dintre ele cu Ym, că y 1 , ••• , Ym sint de acum distincte două cite două şi că k 1 + k 2 + ... + km = n (deci y 1 , ••• , Ym sint toate valorile distincte care se întîlnesc printre x 1, ••. , xn>• Să presupunem că k1 - 1 ~ p, ... , km - 1 ~ p. Vom numi polinom de interpolare pentru funcţia f, cu nodurile x 1, ••• , xn, polinomul P (care există şi este unio determinat conform teoremei fundamentale) ou proprietăţile : 1° grad P < n - 1, 2° P(y1) = f(Y1) • • • p(ki-l)(Y1) = fCki-O(y1); • • • ;P(ym) =

=

f(Ym), • • •, p(km-l) (Ym)

=

f(km-l) (Ym)•

Vom nota acest polinom cu P(f; x 1 , 164

•. .

,xn; x).

f

Observăm că, dacă

este un polinom de gradul cel mult n -· 1,

avem f(x)

=

P(f; x 1,

••• , Xn;

x).

Definiţie. Coeficientul termenului de gradul n - 1 din P(f; x 1 , ••• . . ., xn; x) se numeşte diferenţă divizată a funcţiei f relativă Ia nodurile X1, ... , Xn Şi se notează CU f(x1, ... , Xn). ObserPaţii 1. Notaţia nu dă naştere Ja confuzii în cazul n = 1, t;leoarece P(f; x 1 ; x) = f(x 1), deci f(x 1) este diferenţa divizată a lui f relativă la nodul x 1•

2. Definiţiile de mai înainte se puteau da, mai general, pentru un tabel oarecare de forma Y1 · · · Ym Yi,o .. · · • Ym,o . . ..

(evident în ipoteza că toţi X; sînt aleşi dintre y 1 , •• • , Ym şi că o valoare Y; nu apare printre x; de mai mult decît de k; + 1 ori). Propoziţia 1. f(x 1 , •• • , xn) şi P(f; x 1 , •• • , Xn; x) depind simetric de argumentele x 1, •• •, Xn• Demonstraţ.ia este evidentă. 2. Formula de interpolare a lui Newton Propoziţia

2. P(f; X1, • • ., Xn; x)

.+ f(Xi, ... , Xn)

=

P(f;

Xi, • • ., Xn-l ;

(X - X1), ... , (X -

+

x)

Xn-1),

Demonstraţie. Polinomului P(f; Xi, .•• , Xn; x) i se poate aplica observaţia 2 din § 1, deoarece el satisface toate relaţiile din definiţia lui P(f; x 1, ••• , Xn-l ; x) cu excepţia celei referitoare la grad. Rezultă

P(f;

X1, , • ., Xn;

x) -

P(f;

Xi, • , ., Xn-l ;

x)

=

n-l

R(x) II (x -

X;).

i=-1

Dar grad P(f; x 1 ,

••• ,

xn; x)

-< n -

1, grad P(f; x 1, •• • ,

deci gradul membrului drept este

n este pozitiv, k + t} are semnul (-f)n-k, deci semnele alternează pe (k, k + 1).

n t

(t

+ 1) t(t -

1) • • • (t - (n - 1))

t(t - 1) • • • (t -

+

Q,,(t l) Q,,(t)

~- 1= n-t

t
))2 .

x-yi

Avem

şi

(l)n{.Yin>) = O (l)~(x) = -

n1:__ 1

2

sin (n arooos x) •

V1

n

x2

,

1 - cos ( n arooos x ) · -n2- (l)n,, ( x ) = - - 1 2n-

-

( (1)

188

2 )"

n

1 2n-

-1

1 -

. ( n arccos x ) sm

x2

nx (1 - x2)312 2

1

(y(n)) =2((l)'(y)) 2 = 2 -- · sin 2(n arccos y).--n-----'

n

$

2n-2

i

1 -(

uin>y

deoi

2n-3

= -2 n -(1-xy~nl). 2

Obţinem

pentru Qn expresia

Qn (X ) = 2

=

n

g E •=l

(

(n (x))2 Y:(n)) - - - - .. -22n-3 (1 - xy (n)) --

.

(x - ut>)2

_!__ ~ g (y(nl) n2

f.:i

n2

(Tn (x))2

, (x -

Yin))2

• (1

•

- xy(n))

•

unde

Tn (x)

=

oos (n arooos x).

Observăm oă dacă g ar fi fost identic egală ou 1, Qn (x) ar fi fost identio egal ou 1. Aceasta ne dă relaţia

1 = _!__ ~ n2

şi

( T n (x))2

f=1 ( X

-

yt>) 2

şi

el

(1 - xy) •

deci

I Qn (x)

- g (x)

I = 12.-

t

n •=l

(g(y\•>) - g(x)) ( (Tn ) x-yi

< -n21 4-J '°'n Ig (y(n)) • •-1

oăci

1 - xy~n)

=.> O datorită

g(x) I

relaţiilor

I
; x) I= sup

~e[a, b]

=

sup YE[a, b]

:t'E[a, b]

I h(y) I · sup

n B \

xe[a, b] i=l

Să căutăm

acum

h ( x(n))

i

sup I h(y) I

If; h( xJ"') R}">(x) I= J= I

RY,> (x)

I
, ... , x~n) ; x) ar tinde uniform către f(x) deoarece in acest caz P(f; x\"', ... , x(':} ;x)1 ar rezulta uniform mărginţi pe [a, b]). 201.

Să

sup ~e[a, b]

observăm

oă

I S;n (x} I~ 2

şi

seria :E8nS;n este uniform

:El 3n I este

oonvergentă

oăoi

presupusă oonvergentă.

Deoi P(f; x\ik>, •.. ' x!t; z;k) =

t

f(x) R}'k) (z,k) =

i-=l

r

co = E•1e B

r)

>

8nS,,,(x/k} R/k (zik)

co =B

i=ln1:10

Cum grad S;n

n=O

< În+i

~

ik pentru n (i )

P(S;n; x{•k>, ... , x,/ ; Zik)

>

1=1

rezultă

= S;n (z11)

p~ntru n


; x)

pe [a, b], unde

Teorema este demonstrată. O h s e r v a ţ i e. Dacă utilizăm observaţia de după teorema luE Banach Steinhaus din §2 capitolul 3 (al părţii 3) teorema se deduce· mult mai uşor din lemă. Anume, considerăm spaţiul Banach C([a, b]) .. Considerăm operatorul T n oare ataşează fiecărei funcţii f E C([a, b]), polinomul (n)

P(f ;

X1 ,

••• ,

• •. '

(n). Xn '

x)

(n)

Xn

)

; X •

Avem P(f;

x\n>,

=

n

E

f (xt>)

Rl">(x)

i=l

(unde Rt> este polinomul definit la începutul demonstraţiei teoremei noastre). Rezultă

li Tnf li= sup I P(f; x\n>, ••. ,

X~n);

x)

I~

zE[a,b]

~

n

E

,

sup I f(x~,.>)

, ... 1 ze[a,b]

I

I nt>(x) I ~

cn ze[a,b] sup I f(x) I = cn 11 fli

unde

Deci T n sint operatori continui

(li Tnf- T ~li~ Cn li f204

g

li).

Lema

dovedită

înainte de

teoremă arată că

li Tn li> P ln ( n - 1), sup li Tn li= oo. n

Conform observaţiei de la teorema Banaoh Steinhaus, nu se poate ,ca, pentru orioe f E C([a,b]) să avem sup li T nf li < oo. n

Dar,

am avea lim li Tnf - fli

dacă

=

O pentru orice

f

E C([a, b]),

ti ➔co

ar rezulta sup li T nf li n

< oo

pentru orioe f E C([a, b]) contrar celor

dovedite. Deducem oă există f E C([a, b]) astfel ca oătre O, deci astfel oa (Tnf> (x) să

nu

tindă

=

uniform pe [a,b]

dită.

li

Tnf- fli

să

nu

tindă

P(f; x\">, •.• , x~•>; x) către

f

(x) şi cu aceasta teorema este dove-

l

ln încheierea paragrafului

să dăm un exemplu oonoret în oare un „proces de interpolare" nu converge uniform. Anume, fie f(x) = I x I definit pe [ -1, 1]. Fie X'J(n) = - 1 + j_ , 1· = O' 1 ' ... ' 2n

n

Să oaloulăm (n) P(f •,Xo,

••• ,

(n).

}

X2n, X.

Cum (n)

Xt

să folosim una ascendentă.

-

{n)

Xo

= ... =

(n)

(n)

X2n -

X2n'.-1

= -n1

şi

anume formula lui Newton

Pentru aceasta trebuie calculate ( Ll¾

f) (-1) pentru k = O, 1, ..•

dintre formulele din §3

. . . , 2n.

Avem f(x)

= -

x

+ g(x) g(x)

=

unde O pentru x { 2x pentru x


O 205

şi

t/'1 _,). nk

Pentru cp(x)

=-

=

x avem

2

X

I(x + i) (x + 1 _ .!.) ... (x _

(2n - 2) I n2n n I (n - 1) I (2n) I

n

n n

n

1) I:>,

m -

n

1) I

r.

Daoă alegem x = .!.. (~ + k + 1 ) pentru -n < k < -1 atunoi n

2

I

( ) p (f'· x" O '

n

n

_(n)

:,;;! •'

• • ·'

X -

1

+ k +-2 n

=

(n

2

>

(n

2

2

n2n-1

X

11

1

1

2

2

n

n

+ k + .!..) • • •.!.. • .!.. • . • (n -

> 2 ((n-1) 1) 2n(2n -1) • 2

n-k-!

2 - -n- -

!)2 >

k -

2

((n - 1) 1)2 • 2n(2n - 1) • n

+ k) I (n -

k - 2) I 8n · (n 1)2

Să aplioăm

Se

+ k) I (n -

(n - k) I

32n3(n

1)2

I n +2

1/ti:

= v"'1t • n

8 12n

• e-n · e

_!._

~+~

·e4n

ou I 8

k) I •

32 n 3(n 1)11

< 1.

n+k+!

·(n+k)

3~.

n-•[(1 +

+ x) ln

Funcţia (1 derivată

(1

~t(

+ x) + (1 -

n-k+!

2(n-k)

32

~

1-

~r~r

x) ln (1 - x),

1 + ln {1 + x) - 1 - ln {1 - x)

208

> (n + k) I (n -

k) I

Sn(n 1)2 (n - k - 1) (n - k - 2)

obţine

+ k) I

are ca

(n

(n + k) I (n - k - 2) I :,:,4((n - 1) 1) 2 (2n - 1) • n 2

formula lui Stirling:

nI

(n

I

)

=

1n

2.n-(2n+4)

>

e-•. definită

1

+z 1-z

pe (-1,0]

oare este negat~vă pe acest interval, deoi funoţia de soreşte. Cînd x = O, valoarea funcţiei este O. Rezultă oă, dacă !!.. ~ _:_ 8 vom avea n

Daoă

alegem

vom avea,

daoă

oc

I P(f;

(n)

=

(1

+ 8) 1+8 (1 (n) •

Xo , ••• , X2n , Xn

)

-

3) 1-3;

a.> 1:

I Xn I I ,,:::? . . . ._ - 1

32

(n) d ec1• P(f ; Xo(n) , ••• , X2n ; x ) nu t·m d e uniform [ -1, O], dacă x)") = - 1 + j_ •

,x.n

• -

n8

•

e-2

➔ 00

către f(x)

= Ix I

pe

n

II. Aproximarea

uniformă

a

funcţiilor

Fie K un spaţiu topologic compact (ln cazurile de oare ne vom ocupa, un interval [a, b] sau cercul {z 11 z I = 1} din planul complex). Fie C(K) mulţimea tuturor funcţiilor definite pe K, ou valori reale, şi continue. Orice funcţie continuă f pe un compact fiind mărginită, li f li = = sup I f(x) I este finit. C(K) este înzestrată cu o structură de algebră ~Ek

de operaţiile obişnuite (f + g) (x) = f(x) + g(x), (fg)(x) = f(x)g(x), (ocf) (x) = ocf(x) li fi este o normă pe algebra C(K). FieVCC(K) un subspaţiu vectorial dat, fEC(K) un element arbitrar dat. Vom studia

faţă

ey{f) U -

4132

= inf li fcev

g 11-

209

1. Teorema lui Weierstrass-Stone 1. Teorema

generală

> O şi M > O, există un sup I P( x) - I x I I < e:.

Lemă.

Oricare ar fi e:

polinom P astfel ca

lsl~M

Demonstraţie. a) Funoţif!. V1

+

x se dezvoltă în serie Taylor conve~uniform pe orice [ -«,«], unde O < « < 1, deci oricare ar fi e: > O < « < 1 există un polinom P astfel ca

gentă şi O

sup I P(x) -

Jsl~IX

Dacă

«

=1-

TJ 2 unde TJ

sup I Q(x) - VTJ2

\sl~l

căci

+x

I

=

TJ2

2

I x I ~ 1 implică - «

Observăm şi că

O
O,

deoi a' - a 4

I-

a - b I,

4

Să oaloulăm 2

I: +

i~f max ( I b I, I1 - a - b I, ~

Cazul 1 : a

1, deci - -a"' 4

~

b

I) ·

O ~ 1 - a.

a"'

Pentru b ~ - - avem 4

max

{I b I,

11 - a - b I,

I:+ I)= b

= 1- a Pentru b E ( -

:2,

max ( I bi, I 1 - a - b I,

+:) =

I: + I) _

max ( I b I, 1 - a - b, b

b

l

>1-

b.

avem

max b, - b, 1 - a - b, b

iar pentru b

+ : }=

a - b I,

i~f max { I b I, I 1 - a - b I, min [ inf (1 - a - b), b~- 42

4

inf be ( -

· a2) , +4 230

max ( 1 - a - b, b + :

Ia; + b I)= a; + b

obţine

=

+

a avem

max {I b I, I 1 Se

a)

1-

:}=

max (-b, .1- a-b, - b_-

inf

I: + I)= b

(max (1 - a - b), b

4!

) 4 , 1--a

b;;;tl-4

analog.

{b +a2 )] . 4

+

} ..

r,

-·a+:=( (1 2 )2 d .

Primul inf este 1 1 - ; la fel ultimul. Al doilea este inferiorul maximului a două numere pozitive, de sumă: 1-a-b + b + + a"' = - a , eo1 constantă ; e este 1 - a şi se atmge

4

pentru b Obţinem,

=

f (1 -

I

2

+:

a pentru a E [O, 1] :

(1

2

2

(1 b I ' I 1 -

Cazul 2 : a

Analog se

a - b I'

> 1, deci

I: + I)= ~ (

1-

b

r-

;

a2

- - ~ 1-aI ~ +cj+j ;-cj>j ~ +c+; -c,=1 deci

I~ +c I, I; - c I) > ~

max ( . ş1,

pentru c

= -8-3

. est e oh.iar -1 . aoe1 maxim 2

Obţinem

Avem

li f însă

K1

.sup I

-"e[o, 11

ou. alte cuvinte şi deoi

I:z:2 - .! I= !.

li = se[O, sup 1)

nf-

K1

1 x2 - -

2

8

8

I=- li f- k li pentru h(x) =

li f - gill >

inf hEW1

li f -

k

..!_ 2

li .

Observăm oă, daoă am fi utilizat teorema a doua de la punotul 2, oaloulele pentru exemplul de mai înainte ar fi fost ou mult mai sourte.

232

Corolar al lemei. Fie f o funcţie continuă pe [a, b] şi n un număr > O. Atunoi există un polinom P cel mult de gradul n astfel oa

întreg

sup I f(x) - P(x) I =

ze(a, b]

Demonstraţie.

Avem dim W PEW astfel oa

sup I f(x) - Q(x) I

inf

Q polinom ze(a, b] grad Q~n

li fli = sup I f(x) I•

Fie V= C ([a,· b]) normat ou

=

W

n

+

=

ze(a,bJ

mulţimea

polinoamelor de grad ~ n. 1. Lema este aplicabilă lui W şi f şi deoi există

li f-P li = QEW inf li f-Q li . Înlocuind li li ou expresia sa · şi scriind definiţia lui Q E W obţinem exact afirmaţia cerută. 2. Unicitatea şi proprietăţile polinomului de cea mai bună aproximare

Teorem~. Fie f o funcţie

continuă pe [a, b], n Pun polinom oei mult de gradul n astfel oa

sup I f(x) - P(x) I
(O))]

=

Deci rezultă că

fp(X)

=

fCP)(x)

şi este continuă, ceea ce dovedeşte afirmaţia (a) din enunţ.

276:

b) Demonstraţia afirmaţiei(b) din enunţ se. face demonstraţia afirmaţiei (a): utilizînd în loc de lema larul şi observînd că '

'·

l

.·

exaot ·la fel oa şi precedentă coro-

l

=====< -8 . a) (b - x)

sup .re[a+8, b-8) V(x -

< 2n,

Anume : Alegem polinoamele Qn, de grad I

sup I f(x) :- Qn(X) I

.re[a, b]

.. ,

. ·.

astfel ca

< (2n)MHa .

,:: Vom avea sup I Qn+i(x)·- Qn(X) I
O astfel ca li v ln acest caz li v 11. ~ 1 implică succesiv

1

jj iv ~

li < 3

i < 3, j v* ( !v )I< 1, I

să

implice I v*(v)I

v*(v)

I

< 1.

< :.

Rezultă sup I v*(v) I ,< ~, adică v* E V*. llvll~l

3

implică

Reciproc, v* E V*

I v*(v1) deci v* este

continuă

- v*(v2) I ~

Propoziţia 1. 11111 ln cazul in care

=

- v,

li

pe V.

§ 1. Imposibilitatea

V

li v* li * li V1

aproximării

=

uniforme

b - a.

C([a, b]),

li fli = sup fi (x) I pent1·u fE

V

xe[a, b]

avem următoarele exemple de a) Integrala l(f)

funcţionale

= ~: f(x)

din V* :

dx.

b) Oricare ar fi :c E [a, b] fixat: e:c(f) = f(x). Ne vom ocupa de problema aproximării funcţionalei J prin liniare de funcţionale de forma e:c• 278

combinaţii

Vom indica în repetate rînduri posibilitatea de a generaliza rezultatele la funcţionale de forma

I p(f) pe C([a. blh unde F este o pe [a, b]. Demonstraţie. a)

I J(f) I = I(b f(x) dx ).i

= ~: f(x) dF(x)

funcţie continuă, nedescrescătoare, definită

I< (1 6

f(x) I d.x

)a

, O,

sup gES(/, 8) l;EM

I ~(g)'I =

oo.

căci, dacă

N =

sup I ;(g)I, l;EM

geS(f, 8)

vom avea, pentru orice

~ E

M

şi

h E V, h -=I= O,

I ţ(k> I= i(~(r+

li:

11~11}-~} 11:11 \
n. In acest caz, şirul fn va fi. un şir Cauchy (li fn+P -

fn

li
)~ . •

,Avem, corifprm •,

.

t1, .

oo. . ',,;

Fie de~if1 astfel ca. li {1 li~ 1 şi ~1 E M I ~1((J I:'> L Cum ~1 ' este pe ·V, fie 31 astfel ca I ~1 (g) I > 1 pentru orice· g,e1S(f1 , 8J. Să presupunem că · · ·· · ·

continuă

S(fi,' 81Y S

au fost alese

şi că

~1 ,

•• ~, ~n

... :J S (f~,

3n)

E Af: ·sînt alese asftfel ca

pentru orice g E S(fk, 8k) şi orice k --= 1, .... , n. Vom alege (n+I şi ~n+I, pentru care

I ~n+l (fn+l) I > n + 1,

~n+I E M, fn+i E

s(fm B2n)

eeea ce este posibil pe baza afirmiţiei dovedite la (a).

Vom alege apoi 8n+1 astfel ca 8n+1 ~~şi pentru g E S(fn+l ,8n+d 2 ' ' : avem I ~n+ 1 (g) I foi ~+1)-

să

>n

+ 1 (ceea ce

este posibil pe baza .continuităţii

0bservăm că

deoarece g E S(fn+i, 8n+l ) implică

, li g ~ ,fn li

~

li g -

fn+I

li

+ li fn+I

- fn

IJ .~

8n+I-

+

(

In fine

Prin procedeul de recurenţă indicat obţinem deci ,un de la (b) deci contradicţia căutată. Teorema este demonstrată.

tăţile

şir

cu proprie· 285

O b s e .r v a ţ i e. Exact la fel se dovedeşte că, dacă M este o de operatori liniari continui pe spaţiul Banach E, astfel incit, oricare ar fi f eE să avem sup li T(f) li < 00, atunci supli T li < oo

mulţime

li T li

(unde prin

TEM

TEM

sup li T(f) li, care este

înţelegem

operatorii liniari continui). Corolar. Dacă V este spaţiu Banach ţionale astfel ca Jim

w (aplicăm

finită

pentru

llfll~l

~n

=

~ E

şi ~n

E V* este un şir de func-

V* at~nci supli n

teorema· Banach-Steinhaus

~n

li*
E (a, ~\ 0 ), una 21 ~~ E (~\1>, b), n - 2 egale cu b;

................................................................ 290

;i"-0 E

una egală cu a, una

(Ln)C11-0(x)

2

i:(n--1) E ( i:(n-2) una ,n-2 ~n-3 , 2 1 2 ~~"_:; >), una ;~".:j > e (ţj,~ >, b) şi una egală ou b.

t'(n-1)

1..)2

eun(x)

=

(Ln(

eun (x~")) C(xi">)

+ Q(xi">)) =

i=I

t

r4"'Q(x1"')

~-I

iar ~: P(x) dx

t.

= ~: (

=t

Q(xi">)

i=I

= ~: Q(x) dx + ~: 6>n(x) C(x) dx =

Q( xl" ) Rl"\x)) dx + ţ: 1

(b R1"' (x) dx + )a

+ ... + ( In fine (b P(x) dx )a

termenii

integraţi

=

t

"'•(x)

(Ln)(t1-l)C

1)"- 1LnCCn-1)

s=I

~")Q(xin>)

=

lb a

C( x) dx

=

(Ln)C11 - 2>C' lb

a

+

1: (vezi (2)).

t

r4"' P(xi"')

t=I

fiind nuli. 291

2.

Convergenţa slubă

dacă

Vom cerceta acum

=w

I

•

hm

-

n ➔ oo

B n

(n)

O pentru orice i şi n. Demonstraţie. ln notaţiile propoziţiei precedente

grad (Rin>) 2

= 2(n -

O < (b (Rj">(x)) 2 dx )a

=

t

1)

< 2n -

avem

1,

ocJn>(R}">(x}'->)) 2

.

rlin>,

j=l

căci Propoziţia

3. Avem

Demonstraţie. Utilizăm

avem ~n)

> O. Fie l >

din §2 observaţia la ultima propoziţie deoarece 1 1 O întreg. Pentru 2n - 1 l deci n > + avem

>

2

conform propoziţiei 1. Condiţ.ia 2° din acea observaţie este şi conform acelei observaţii rezultă propoziţia noastră.

satisfăcută

3. Evaluarea restului

Vom evalua acum în cazul în care feste

I

J(f) -

(iJ!•> •!•>) (f) H~: f( s

derivabilă

x) dx -

de 2n ori,

&i ~•>f( x!•>ij-

Fie

P(x) Avem grad P

292

=

P(f; xin>, xin>, .•. , x$.">, x~n); x).

< 2n -

1

diferenţa

Putem scrie : -.

Iţ:

t.

f(x) dx -

ct("1f(xl" 1)

I=I ţ:

propoziţia

Dar (corolar la

f(x) - P(x)

(f(x) -P(x)) dx

Ieun(x) dx = Lr-1>eun 1: - L~•H)eu~ 1: +

+ ... + ( -

1: + ( -

1)"-1Lneu!:5- 1>

Dar Ln(a)

Ln(b)

1)" ~: L(x) (eun)f(xln>)

i=l

I
aparţinind intervalului [a, b] şi aln>, ... , ~n) astfel ca

I p(f)

=

n .

b

f(x) dF(x) ~a

= E r,.~n>f(xjn>) •-1

pentru orice polinom f de grad ~ 2n - 1. Raţionamentul este analog cu cel de mai înainte. Anume: polinomul eun(x> se

determină

şi

astfel ca

= (x - xl,.>> ... (x - xr>>

ca un polinom de gradul n cu coeficientul lui x" egal cu 1 ~: eun(x)g(x) dF(x)

=O

pentru orice polinom g de grad~ n - 1. Dacă 1 au fost deja determinaţi, atunci vom avea ~: eu;(x) eu;(x) dF(x) pentru î

=

eu0, eu 1 ,

••• ,

eu,._1

=O

+ j,

w,,

Wn(X)

= xn + P1Cun-l (x) + •••+ Pn-1 O. In acest mod se determină prin recurenţă polinoamele oon (x). acum că oon are n rădăcini reale distincte situate pe [a, b]. Pentru aceasta, fie ~1 , .•• , ~k, k < n acele rădăcini ale lui oon de pe (a, b) oare au multiplicitate impară (~;=I= ~i pentru i =I= j). Vom avea oon(x) = (x - ~1 ) ••• (x - ~k) Q(x) Să arătăm

unde Q(x) păstrează semnul constant pe [a, b]. Nu se poate să avem k căci ar urma

O=~:

oon(x} (x -

= ~: (x -

~1 ) 2

~1 ) •••

•••

(x -

(x - ~k) dF(x) ~k}

2

n are grad n, rezultă că el are n rădăcini distincte pe (a, b). xt'>, ... , xJ:'> căutaţi vor fi rădăcinile lui oon iar 04n>, ... ,~>se vor determina la fel ca în cazul F(x) = x tratat pe larg în actualul paragraf. Şi în acest caz rezultă cxf"> ~ O (la fel ca în cazul F(x) = x) şi deci

Să dăm

un exemplu.

Fie [a, b]

= [-1, 1],

F(x}

=

(z

J-1

dt

Y1-t 2

=

arcsin x

ln acest caz vom avea oon(x)

1 = -2n-l cos (n arccos x) pentru n ~ 1, C1>0 (x)

296

= 1=

cos (O · arccos x).

+ :.2:. .

ln adevăr eun este un polinom de grad n cu coeficientul lui x" egal cu 1. Orice polinom de grad n - 1 este o combinaţie liniară a polinoame-


egali cu cos (O b s e r v aţi e. S-a văzut satisfac relaţia de recurenţă Tn+dx)

că

x)

1t + 2\ : 1 1t)

unde j = 1, 2, ... , n►

polinoamele T n(x) = cos (n arccos x).

= 2xTn(x) -

Tn-1(x),

deci polinoamele eun(x) din exemplul precedent satisfac Cun+1(X)

=

relaţia

x eun(x) - - eu,._1(x) pentru n > 2 1

4

297

şi

2(X)

=

X

1

1(X) - - o(x); 2

-cu alte cuvinte restul împărţirii lui ,. + 1la n este proporţional cu n_, coeficientul de proporţionalitate fiind negativ. Se poate dovedi că, în general, dacă F este o funcţie continuă pe [a, b] nedescrescătoare, cu F(b) =I= F(a) şi dacă Ct>0 , i, ••• , Cl>n, .•. sint polinoame cu proprietăţile: gradul lui Ct>n este n, coeficientul lui xn în Cl>n este 1, ~: Ct>;(x) Ct>j(x) dF(x)

>

atunci, pentru n 1, restul CXn Cl>n-1 CU n

+ 1 cu

Cl>n

este de forma

adevăr, rezultă întii că orice polinom de gradul cel mult

n este

combinaţie liniară a polinoamelor eu0 , • • • , Cl>n. Dacă facem împărţirea lui Cl>n+ 1 la Cl>n obţinem un cit de gradul 1 (egal cu diferenţa gradelor lui Cl>n+l şi eu,,) de forma x ~n (căci coefici-enţii lui xn+l respectiv xn în Cl>n+i respectiv Cl>n sînt 1) şi un rest R

o

+

de grad

n(X) [x

+ ~n) Ct>n(X) -

=~:

Ct>n+i(x) R 1(x) dF(x) -

+ ~n) R (x)] dF(x) 1

n-1(x) R 1(x) dF(x)

=

O

{căci din proprietăţile polinoamelor "'• rezultă că 1: "'•(x)S(x) dF(x)=O dacă

gradul lui S este

- x~>} __;__;:_:_~---=--,:_;__-_;___ _~ _

IX~n)

=

~ba

R~n)(x) dx.

Atunci, oricare ar fi polinomul P de grad ,

I=

oo .

nemonstraţie.

..~•> = ~: Rt>(x) dx =

=cba_~(~x_-~xb_">_)~(x_-_x~r~>)~(x_-_x_f~')_._·_·~(x_-_x_~~>)__ dx ) ( x~n) - xb">)( x~n} - x\">)( x~n) - xt>) ... (xţ> - x~")) Facem schimbarea x =a+ y(b - a); x~n> =a+.!_ (b - a) n

deci I

rit"> = (b - a) ~

300

0

+--!f-_!)···(Y-1) n n dy . .!n . ..!.n ( - ..!.) ... (-~-2) n n

Fie g11(y) integrantul. .Avem k+l

k+l

~~•>=I~~--

g.(y) dy

I=~; I

n

g.(y) I dy

=

n

k+l

..!..)(y!) ... (y-1) dy n n

=-~~C~Jy(y-

J

2(n - 2) I !:...

j

1

1

n

Pentru k Q.(n) ........_

=

O avem

nn

1

.:;::,,- 2(n - 2) I • 2n •

t-'O

3 ) 4n

(3

inf

4n

-

... (n - !)4 = !64 .

..!..) n

I(1 _ _!.) (~4n

n

.(3 _ !)4 (4 _ !4 )... (a - !) (4 - !) ... (n - !) .

nn 3_ _ 1 n(n - 2) l 64n2 nn-2

3 )

n

I

31 y(y -

I YE [ 4n' 4n

1 n(n - 2) I

4

4

4

Fie Yn

(a-1)·. -(n-1)

=

n(n - 2) l

Avem 3

n+t-Yn+l

4

n2+~

n

4

= - - - - . - - Yn=---rn= n-1

n+1

na-1

deci 'Yn

1 > (1 + ..!..) · • •(1 + _!_) Yo > (1 + _!_ +-- + • · • + .1...) Yo • 4 4n 4 4 •2 4n

Rezultă călim

Yn

= oo (căci seria armonică diverge) ceea ce este

tot-

una cu: lim ~t)

=

oo.

n ➔ 00

301

Avem

~~n~l =

nn

("

2(n - 2) I )n-1

ly(y- .!..)(y!)n •. •(y-1)1 dy ~ n

n

< 2(n nn- 2) I • .!...1(1.!..)(1-!)• •.!n . .!..= n n n n nn -

1

nI

1

2(n - 2) I • ;

• nn •

1

-;;-=-; = 2 •n(n -

nI

n- 1

2)(n - 2) I -

2(n - 2)

deci r.tCn) sup ,-,n-I n

< oo •

De asemenea 2

.. ~in) =

nn

("

2(n-2)1

J.!..

•

Iy(y - .!..)(y - !) ••.(y - 1) Idy < n n

•

ln fine, pentru 2

=

I)arb f(x) dx - t

o:t> f(xt))

k=O

... (x - x~>) dx I-< • • • (X -

f(x) dx -

k=O

Xn(n))

a

+;;

I= I(b)a f(x, x&n>, .. ., xin>)(x -

1

sup

+ 1) I

Pentru n par

(b f(x) dx ""'."""

I)a b

304

f( X,

)a

1 - (b -a )n+2 ~n I t(t --

(n

t

o

n

I f f( xi">) =

k=O Xn , Xi

x&n)) ...

If(x) dx)r( xt>)I = =I~: (r) R1">(x)) dx I= =I~: x)) I· f( x~n))

(f(x)- P(f; xbnl, .. ., x~n):

+

ori

că

k=O

I

+2

(n))

Xo

(

••• X -

Xo(n)} • • • ( X -

(n)} d X

Xn

Xn(n))( X -

+

I

(n) d X!!.. X •

2

Dar

(b )a {X

-

(n)) { Xo • • • X -

(n)) Xn

Prin schimbarea de

- a)n+2 (n dx = ( -b n J/(t

variabilă 1i -

(n t( t - 1) ..• (t - n) dt )o ·

= (-

Cum n este par (- 1)n+I

t

=u

-

1) ..• (t - n) dt.

obţinem

1)"+ 1 (n u( u - 1) .•. ( u - n) du.

Jo

= -1,

~: t( t - 1) .•• (t - n) dt = O•

Deoi în acest caz

I~:

f(x) - &o"~•> f( a,i->)

I= I~:

f( xi,•>, •••, zi.•>, x'.f)(x - xi,">) ••.

. . . (x- a;/.">)(x- z_ a

wO

-

,,.u> _ b·

'

wl

(I) _

oto

-

-

2

x~ > = a,

'

2 ~b -x - b d _ (x - b) 'ib - X----

a- b

a

~

2)

)a

=

~b

a

( ot~2)=(b

2(a - b) ,a

a+ b =--, 2 1 (b =-

b- a

,,.(2>-b•

w2 -

)• a,

2

= (6 ~ dx= _!. {b -

ot~n

2 (b - a)9

(2)

X1

a);

2

a+ b) ( x - -2 - (x-b)

-----dx= (a a+b) -- (a-b) 2

~l t(t - i) d t• (- -a )3 = - -a- - = - -a,• b2

-1

>(

a+b)

x-a x - - 2 -

dx=

4

b -

6

·(b-a)3(1 t(t+i)dt=

2

a ; b)

). (b _ a) ( b _

2 3

b-

J-1

2

(b - a)' b-a

2

b-a

4

3

6

=----=--; (2)

ot1

= ţb - -(x-- -a)(x ---b)- - d X= a

=

4

(b-

a)2

(a; b _ a)( a; b _. b) + 1)(t J-1 (t

(•

1) dt · ( b -

2

a)

3

=

b-a (2 2 =---· - - 2)=-(b-a). 2 3 3 ln concluzie

IJa(b f(x)dx -

I~:

2:. (b- a) (f(a) + f(b)) ,~ 2.. 2

.

f(x) dx ~

¼(b -

~ 2..

sup

if(IV)

I f"(x) I (b -

4f( a; b) + f(b)) I~ (x) I ( a)s.

a)(f(a) +

90 x E [a,b)

306

sup

12 x E [a, b[

b2

a) 3 ,

şi

4. Formula trapezelor

formula Iul Slmpson

ln calcule, formula lui Newton-Cotes se aplică astfel: Se consideră un interval [a, b], se împarte în k·părţi egale: [a, [Y1, Y2], ... , [Yk-t, b] se scrie ~: f(x) dx =

=

unde Yo

= b şi

a, Yk

t. ~::_,

f(x) dx

aplică fiecăreia din integralele

se

yJ,

es

f(x) dx

JYs-1

formula lui Newton-Cotes pentru acelaşi n. Să vedem ce se obţine în cazurile n = 1 şi n = 2. l n cazul n = 1, fie b =a+ kh, Xs =a+ sk d eci. k =b-a --; k

X1

-

=

Xs-1

k.

Avem b

E k

f(x) dx =

~%s

f(x) dx =

s=l x,.-1

~"

=

1

h ( - f(x0) 2

E k

[ x

s=l

s

-

:t

2

s-i

+ f(x1) + •••+ f(XA-1) + -12

(f(x,-1)

f(x1,)

}

+

+ s=l Ek es

unde

deci

E

Is=l

es

I

(b

n

Ja f(x) dx = c ~ f(x~n>)_. 308

Pentru Pentru

f = 1 obţinem b - a = ne deci c = f = xi:, k = 1,2, ... , n obţinem n k B(xin>) = -n - ~b

•=

k

n

ak d x =n- · -bk.-- .

b- a a

1

Dacă notăm

X

b- a •

k

+1

b- a

cu n (bk - ak Sk=----

k+1

b-a

atunci s-a văzut Ia §1, capitolul 3 partea a doua de recurenţă - kpk

=

Sk

putem calcula coeficienţii p 1 , P(x)

= (x -

că,

cu ajutorul

relaţiei

+ P1Sk-J + •••+ Pk-1S1 ••• ,

xin>) . • • (x -

Pk ai polinomului

xJ.">)

= xn + P1xn+l + ... + Pn

s1 , ••• , sn sînt cunoscuţi, p 1 , ••• , Pn se determină cu ajutorul relaţiilor indicate şi apoi xln>, ... , xJ."> se determină ca rădăcini ale polinomului xn + p 1 xn-1 + ... + Pn· Se constată însă că singurele valori ale lui n pentru care toate rădăcinile acelui polinom sînt reale sînt n=1,2, ... ,7,9.

§ 5. Formula lui Euler-Mac-Laurin

Acest paragraf nu se încadrează în problematica generală descrisă la începutul capitolului. EI dă o relaţie importantă în care apar: integrala unei funcţii, suma Riemann corespunzătoare împărţirii intervalului ln părţi egale şi valorile derivatelor funcţiei la capetele intervalului. Pentru formule mai generale de acest tip (formule de integrare numerică ou noduri multiple) recomandăm a se consulta cartea „Cuadraturi numerice" de D. V. Ionescu. Vom începe prin a defini polinoamele lui Bernoulli şi numerele lui Bernoulli. 1. Polinoamele Iul Bemoulli Definiţie. şir

Se numesc polinoamele lui Bernoulli Bn(x) n de polinoame definit prin recurenţă astfel: B 0(x) = 1

şi

B~+i(x) = B,,(x),

~: Bn+i (x) dx

=

= O, 1, ... un

O (n >O)•:

309

Observăm că, relaţie dă

determină

avînd pe Bn(x), B,,+1 (x) se

astfel: prima

iar a doua:

c + ~~

(~: Bn(y)dy) dx = O

adică

c = - ~: (~: Bn(y)

dy) dx.

unic şirul de polinoame Bn(x). Se numesc numere Bernoulli Bn = Bn(O). Propoziţia 1. Avem, pentru n 2: Bn(O) = Bn(1).' Demonstraţie. Bn(1) - Bn(O) = ~~ B~(x) dx = ~: B,._ 1(x) dx = O Deci

definiţia dată determină

Definiţie.

>

pentru n - 1 ~ 1 deci n

> 2.

O b s e r v a ţ i e.

= x - P x dx = x - .!. .

Jo

Propoziţia

2.

Să formăm

2

seria

F(x, t)

=

formală 00

Bo Bn(x) tn.

n ...

Vom avea d

- F(x, t) = tF(x, t), dx

F(1, t) - F(0, t)

=

t

F(x, t} a unei serii formale F(x, t} [ prin derivata~ dx 00

de x se

înţelege

seria

formală

E m,n - O

310

=

i::,

m,n=O

amnXmtn fată •

(m '+ 1) llm+i, n xmtn; iar F(b, t),

unde b este real -::fa O are sens numai dacă, pentru orice n există un Mn astfel ca amn = O pentru n > Mn, ceea ce este adevărat pentru

seria

formală considerată] ·

Demonstraţie. d

- F(x, t)

Boo

=

dx

B~(x) tn =

n=O

oo E Bn-1 (x) tn = n=l

00

= t ,B Bn-l (x) tn-l = tF(x, t) n=l

F(f, t) - F(O, t)

=

E(Bn(f) -

=

B,.(0)) t

n=O

1.

----B1

= - -21 • Pentru

este o funcţie In adevăr

__ t_

+ _!_ =

et - 1

2

arătat că

l(et + 1) • 2(et - 1)

obţinem

t(ct

+ 1)

2(e-t -1)

t(1

+ et)

t(et

2(1 - e+t)

+

1)

2(eH - 1)

4. Avem B2n(1 - X)

pentru n

trebuie

pară.

Schimbind t în -t,

Propoziţia

afirmaţia,

a dovedi

=

B2n(X),

> O.

Demonstraţie.

B0(x)

=

1 deci pentru el este

Aplicăm inducţia faţă de n. _Funcţiile B 2n(1 - x) şi B 2n(x) şi derivatele lor -B2n-1(1- x) şi

adevărat.

coincid pentru x = O (propoziţia 1) B~n-1(x) coincid pe haza ipotezei in-

ductive. Analog B2n-1(1- x) şi B2n--1(x) coincid pentru'x

= O (căci sintnule

acolo pentru n > 2 conform propoziţiilor 1 şi 3, iar pentru n = 1 sint egale cu ~ in iar derivatele lor -B2n-2(1 - x) şi -B2n--2(x) coincid

O),

pe haza presupunerii inductive. Propoziţia 5. a) B 0 (x) 1. h) B 1(x) este crescătoare, B 1(0) = - ..!. , se anulează pentru x

=

2

= ~ , B 1 (1) = ~ , B 1 este negativă pe (O, c) B-1n+2(X) (n

> O)

=

i) şi pozitivă pe ( ~ ,O).

este descrescătoare pentru x , .!. , se anulează de două ori pe [O, 1], in două puncte de forma~ 2

313

şi 1 - ţ cu O < ţ< _!... B4n+2(0) = B4n+2(1)> O. Deci B4n+2 este pozi2

tivă

pe (0, ţ) şi (1 - ţ, 1) şi negativă pe (~, 1-~). d) B4n-L-3 (x) (n O) este. crescătoare pe două intervale de forma [O, ţ] şi [1 - ţ, 1] unde O < ţ < _!.. şi descrescătoare pe [ ţ, 1- ~].

>

2

'

Se anulează de trei ori pe [O, 1] in O, _!.. şi 1. 2

Este pozitivă deci pe ( O, ~) şi negativă pe { ~, 1}. e) B 4n(x) (n )':- 1) este crescătoare pe

[o,;] şi descrescătoare _pe

[~, 1] şi se anulează de două ori pe [O, 1], in două puncte unde O O deci Bm se anulează o dată pe ( ~' 1 - ţ), intr-un punct 11· Cum O = Bm(11) = - Bm(i - 11) rezultă 11 = 1 - 11 deci 11 = ~ ceea

>

ce

dovedeşte afirmaţiile Dacă m 4n 2, n

2

relative la Bm. = + )':- O atunci B:,, = Bm-1 = B 4,,+ 1 • Conform ipotezei de inducţie, B:,, este negativă pe O,

pe { ~ , 314

1).

Deci Bm descreşte pe ( O, ~),

l i) şi pozitivă

şi creşte pe ( ~ ,

1),

deci

·----minimul pe [O, 1] îl atinge în ..!:. , iar maximul în O şi 1. Cum 2

);· Bm(x) dx

=

O rezultă

că maximul ei est~ pozitiv:

Bm(O)

=

Bm(1) >0

şi minimul este negativ Bm ( ~ ) < O. Deci Bm se anulează o dată pe

{O, ~) într-un punct ţ şi o dată pe ( ~ , 1) într-un punct "IJ· Avem O= = Bm( ţ) = Bm(1 - ţ), deci "'l = 1 - ~- Afirmaţiile din propoziţie relative la Bm sînt dovedite. Cazurile m = _4n + 3, m = 4n = 4(n - 1) + 4

se tratează analog. O b serva ţie. A rezultat că, oricare ar fi n:B2n(O) - B2n(x) păstrează semnul constant pentru x E [O, 1] şi anume + pentru n impar şi - pentru n par. Să dăm şi graficele lui Bm pe [O, 1] (fig. 4). 2. Formula Euler Mnc-Laurln

Fie f o prin părţi

funcţie derivabilă.

de 2n ori pe [a, a + h]. Avem, integrînd

(a+h (1 )a f(x) dx= h)o 1•f(a + th) dt ou care ocazie apar polinoamele Bernoulli (1 - B0 (t)):

~:+•

f(z) dz

= k ~: f(a + tk) dt =

- h2 f'(a

kf(a

+ tk) B,(t)

I~ -

+ th) B (t) 1: + ... 2

- 7i2nrc2n-o (a

+ th) B2n(t) 1: +

+ h2n+l. ~: f(a + th) B n(t) dt. 2

Oprirea dezvoltării la un termen observaţiei de la propoziţia 5.

de

această

paritate permite exploatarea

315

y 1i,....----

(t,f)

o~--------z

o------1---x

_J_ 2

!J 82=

o !I

B'ln+2

~~~

li

"'

o___________..___.r

8 '1n+3:

~~~ o_,...----::~;---r-y----

y

!I B1/-n:

(n~ t)

8 '1n+1

(na:1}

Fig. 4

o~.......-,.._------;....

Să observăm că

f< 2n-1) (a + tk) B2n(t)

I: =

= B2n. ~: h f< 2">(a Deci (vezi

şi

f