À vos maths! mathématique, 1er cycle du secondaire. Manuel de l’élève B 2765200157

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Mathématique

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1er cycle du secondaire

Manuel de l’élève

B

Michel Coupal

CHENELIÈRE ÉDUCATION

Mathématique

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1er cycle du secondaire

Manuel B Michel Coupal

CHENELIÈRE ÉDUCATION

À vos maths ! Mathématique, 1er cycle du secondaire Manuel de l’élève B Michel Coupal © 2005 Les publications Graficor inc. Éditrice : Guylaine Cloutier Coordination : Denis Fallu, Suzanne Archambault, Valérie Tannier Révision linguistique : Nicole Blanchette Correction d’épreuves : Chantale Landry Conception graphique : Catapulte Infographie : Alphatek Illustrations d’ambiance : Anne Villeneuve, Fil et Julie Illustrations techniques : Bertrand Lachance Illustration de la couverture : Fil et Julie

Remerciements L’Éditeur remercie Sophie René de Cotret, professeure au département de didactique de l’Université de Montréal, qui a agi à titre de consultante pour la réalisation de cet ouvrage. Merci également à Isabelle Jordi, François Moreault et Étienne Rouleau pour leur aide. Pour le soin qu’elles et ils ont porté à leur travail d’évaluation et pour leurs commentaires avisés sur la collection, il tient aussi à remercier tout particulièrement Claude Boucher, conseillère pédagogique, C.S. des Patriotes ; ainsi que Marie-Luz Arguelles, enseignante, C.S. de Laval ; Stéphane Bondu, enseignant, C.S. des Samares ; Cargil Édouard, enseignant, C.S. de la Pointe-de-l’Île ; Martin Gaudreault, enseignant, C.S. de Montréal ; Karine Gélinas, enseignante, C.S. des Draveurs ; Isabelle Giard, enseignante, C.S. des Chênes ; Anne-Marie Goyet, enseignante, Collège Sainte-Anne de Lachine ; Francine Jasmin, enseignante, Académie Lafontaine ; Nawaf Kabbara, enseignant, C.S. Marguerite-Bourgeoys ; Jean-Frédéric Lacroix, enseignant, C.S. de Montréal ; Lyne Leblanc, enseignante, C.S. MargueriteBourgeoys ; Camille Legault, enseignante, C.S. de la Jonquière ; Patrick Léger, enseignant, C.S. de la Vallée-des-Tisserands ; Lesley Lee, professeure, département de mathématiques, Université du Québec à Montréal ; Michaëlla Lessard, enseignante, C.S. des Navigateurs ; Brahim Miloudi, Ph.D. en didactiques des mathématiques, C.S. de Montréal ; Michel Morissette, enseignant, Académie Sainte-Thérèse ; Marilène Paradis, enseignante, C.S. des Navigateurs ; Caroline Pelletier, enseignante, C.S. des Navigateurs ; Céline Poirier, enseignante, Académie Lafontaine ; Marie-Josée Renaud, enseignante, Collège Français ; Mireille Salvetti, enseignante, C.S. des Grandes-Seigneuries ; Hassouna Sediri, enseignant, C.S. de la Pointe-de-l’Île ; Nathalie St-Amand, enseignante, C.S. du Fleuve-et-des-Lacs ; Nicolas Therrien, enseignant, C.S. de Laval ; Michel Therrien, enseignant, C.S. de Laval ; Mélanie Tremblay, enseignante, C.S. Marie-Victorin ; Cécile Vanasse, enseignante, C.S. Marie-Victorin. Merci à Simon Yan Wong, élève à l’école Sophie-Barat, qui a donné l’inspiration pour le titre À vos maths !

CHENELIÈRE ÉDUCATION

7001, boul. Saint-Laurent Montréal (Québec) Canada H2S 3E3 Téléphone : (514) 273-1066 Télécopieur : (514) 276-0324 [email protected] Tous droits réservés. Toute reproduction, en tout ou en partie, sous quelque forme et par quelque procédé que ce soit, est interdite sans l’autorisation écrite préalable de l’Éditeur. ISBN 2-7652-0015-7 Dépôt légal : 2e trimestre 2005 Bibliothèque nationale du Québec Bibliothèque nationale du Canada Imprimé au Canada 2 3 4 5 ITIB 09 08 07 06 Nous reconnaissons l’aide financière du gouvernement du Canada par l’entremise du Programme d’aide au développement de l’industrie de l’édition (PADIÉ) pour nos activités d’édition. Chenelière Éducation remercie le gouvernement du Québec de l’aide financière qu’il lui a accordée pour l’édition de cet ouvrage par l’intermédiaire du Programme de crédit d’impôt pour l’édition de livres (SODEC).

Nous remercions tout particulièrement les éditions LEP, Loisir et Pédagogie – Suisse et CIIP, Conférence Intercantonale de l’Instruction Publique de Suisse romande de nous avoir autorisé à reprendre des activités publiées dans leur collection Mathématiques 7-8-9 de Michel Chastellain, Jacques-André Calame et Michel Brêchet.

Table des matières La collection À vos maths !

......................

V

La statistique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

Section 1 – Pourquoi la statistique ? . . . . . . . . . . . . Le centre et les extrémités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . La statistique et la probabilité . . . . . . . . . . . . . . . . Un monde statistique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4 4 10 11

chapitre 5

Activités

...................................

14

Section 2 – L’étude statistique . . . . . . . . . . . . . . . . . . Le sujet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . La population et l’échantillon . . . . . . . . . . . . . . . . . La collecte de données . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L’organisation des données . . . . . . . . . . . . . . . . . . La présentation des résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . Les interprétations et les conclusions . . . . . . .

19 20 23 28 32 34 39

Activités

...................................

43

En temps et lieu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

50

Bric à maths . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

51

Dans la vie...

......................................

62

..............................................

64

Escale

Section 1 – L’être humain mesure depuis toujours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Un instrument de mesure naturel . . . . . . . . . . . . Des parties du corps plus « officielles » . . . . .

Activités

...................................

Activités

74 74 76 80 84 85

...................................

88

Section 3 – D’autres sortes de mesures . . . . . . . . Les angles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Le temps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

92 93 97

Activités

...................................

100

En temps et lieu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 Bric à maths . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 Dans la vie... Escale

......................................

106

..............................................

108

chapitre 7 Des objets géométriques . . . . . . . . . . . . . . .

110

Section 1 – Les origines de la géométrie . . . . . . . 112 Un monde géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 Une longue histoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

chapitre 6 La mesure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Section 2 – Une référence terrestre . . . . . . . . . . . . . Le mètre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Le mètre et ses préfixes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . D’une dimension à l’autre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . De la longueur à la masse, en passant par le volume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L’adoption du système international d’unités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

66 68 68 70 73

Activités

...................................

118

Section 2 – De dimension en dimension . . . . . . . L’objet géométrique adimensionnel . . . . . . . . . . . Les objets géométriques unidimensionnels . . Les objets géométriques bidimensionnels . . .

121 121 122 130

Activités

...................................

131

III

Section 3 – Les angles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nommer un angle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Les types d’angles et leur classification . . . . . Les relations entre deux angles . . . . . . . . . . . . . .

Activités

...................................

136 137 139 141 146

En temps et lieu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 Bric à maths . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 ......................................

156

..............................................

158

Dans la vie... Escale

A teliers de construction Introduction

.............

245

.......................................

246

Atelier 1 – Le point milieu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249

Activités

...................................

251

Atelier 2 – La droite perpendiculaire . . . . . . . . . . . . 253

Activités

...................................

Atelier 3 – La bissectrice d’un angle

Activités

255

............

257

...................................

259

Atelier 4 – La droite parallèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261

Activités

chapitre 8 Une initiation aux polygones . . . . . . . . . . Section 1 – Les caractéristiques des polygones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Du dessin au polygone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . La classification des polygones . . . . . . . . . . . . . . Les angles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Activités

...................................

Atelier 5 – La reproduction d’un angle 160 162 162 167 170 177

Section 2 – La classification des triangles et des quadrilatères . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 La classification des triangles . . . . . . . . . . . . . . . . 182 La classification des quadrilatères . . . . . . . . . . . 189

Activités

...................................

...................................

Activités

264

.........

267

...................................

269

Atelier 6 – La médiane, la médiatrice et la hauteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271 ...................................

273

.............................................

277

Graphisme, notations et symboles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

279

Sources

280

Activités

Index

.........................................

197

Section 3 – Le périmètre et l’aire . . . . . . . . . . . . . . . . 206 Mesurer autour . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 Mesurer en dedans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

Activités

...................................

218

En temps et lieu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 Bric à maths . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232 ......................................

241

..............................................

243

Dans la vie... Escale

IV

La pub sous enquête . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Un sondage d’opinion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 Des gabarits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 Chantier de construction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 À vos pinceaux ! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244

La collection

La collection À vos maths ! propose quatre manuels pour le premier cycle du secondaire. Chaque manuel est composé de chapitres qui s’articulent autour des trois principales phases d’apprentissage : la préparation, la réalisation et l’intégration.

L’organisation d’un chapitre La phase de préparation

chapitre

Une activité d’exploration inspirée de la vie courante éveille l’intérêt des élèves et leur permet d’aborder de front le sujet principal à l’étude. Non seulement devrontils recourir à leurs connaissances antérieures, mais ils développeront leurs compétences à partir d’une situation signifiante en lien avec un domaine général de formation. Des rappels à l’exploration seront faits à travers le chapitre de façon à permettre une rétroaction.

5

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1. Selon toi, à qui profite une offre d’abonnement ? À l’entreprise ? Aux consommateurs ? Explique ta réponse. 2. Un abonnement peut-il être offert par n’importe quel type d’entreprises ? Pourquoi ? 3. Parmi les 5 abonnements présentés ici, lequel coûte le plus cher, selon toi ? 4. Si le montant total des cinq abonnements est de 465 $, détermine le coût de chacun.

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Accès au stationneme à partir de 17 h entre 6 en semai nt h et 21 ne et h la fin de semai ne

5. Compare tes résultats avec ceux de tes camarades. 6. Selon toi, quel type de questions une entreprise doit-elle se poser avant de déterminer le coût d’un abonnement ?

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4

.. ? ............ i la statistique .. Section 1 – Pourquo .............. statistique . . Section 2 – L’étude

2

19

3

La phase de réalisation Chaque chapitre est composé de plusieurs sections qui renferment des questionnements, des notions théoriques, des situations d’application et diverses rubriques complémentaires pour permettre à l’élève de développer ses compétences et de construire de nouvelles connaissances. À la fin de chaque section, des activités offrent aux élèves l’occasion d’appliquer dans différents contextes les concepts et les processus mathématiques étudiés.

Action ! 1

La statistique et la probabilité La statistique et la probabilité sont intimement liées. Les données statistiques permettent de calculer des probabilités, et les probabilités permettent, en quelque sorte, d’anticiper des statistiques.

Pourquoi la statistique ? Tu as sans doute remarqué que nous sommes inondés d’informations de toutes sortes. La branche de la mathématique qui s’intéresse à la collecte, à l’organisation, à la présentation et à l’interprétation de ces informations s’appelle la statistique. Statistique : Mot qui vient de l’italien statista et qui signifie «état».

Questionnements Amènent les élèves à découvrir les notions mathématiques à

Ce chapitre sur la statistique est probablement celui qui te semblera le plus près de ton quotidien. Tu verras, par exemple, qu’on peut attribuer un sens statistique à plusieurs mots du vocabulaire courant.

Bleuets Fraises

153 200 58

Vanille

33

Café Autre

Question générale

CHAPITRE 5

Questions spécifiques

Peut-on dire qu’il est deux fois plus probable de trouver une ou un élève qui préfère le yogourt aux pêches plutôt qu’une ou un élève qui préfère le yogourt aux bleuets ?

D

Selon toi, comment se sert-on de données statistiques pour calculer des probabilités ?

1 26

Quelle activité physique pratiquez-vous : la randonnée pédestre ou le ski de fond ?

1. Combien de fois a-t-on obtenu un diviseur de 6 ?

•

Quel âge avez-vous ?

2. Quelle est la probabilité d’obtenir un diviseur de 6 en lançant un dé ordinaire si l’on se fie à ce diagramme à bandes ?

Quel groupe comprend les personnes les plus âgées ?

B

Quel groupe comprend des personnes dont les âges sont le plus dispersés ?

C

Selon toi, quel groupe a une moyenne d’âge de 41 ans ? Explique ta réponse.

D

Selon toi, que signifie la question : « Quelle est l’étendue des âges des personnes du premier groupe ? »

100 lancers d’un

Pas un diviseur de 6

Type de nombre obtenu

4. Formule une question en te basant sur cette situation. 5. Selon toi, comment se sert-on des probabilités pour anticiper des statistiques ?

10

CHAPITRE 5

Propose des situations d’application des concepts et des processus à l’étude qui peuvent être réalisées individuellement ou en équipe. D’autres activités sont proposées

Diviseur de 6

3. Selon toi, quelle est la « vraie » probabilité d’obtenir un diviseur de 6 en lançant un dé ordinaire ?

19, 43, 50, 21, 22, 22, 29, 18, 24, 42

A

La statistique

C

•

Âge des personnes

4

Selon toi, quelle est la probabilité de choisir au hasard l’élève qui préfère le yogourt au café ?

En lançant un dé ordinaire plusieurs fois, il est plus fréquent (donc plus probable) d’obtenir un diviseur de 6 qu’un 4 ou un 5. Voici les résultats obtenus en lançant un dé ordinaire 100 fois.

Randonnée pédestre 43, 46, 54, 42, 39, 44, 35, 37, 31, 39

riche qui favorise les discussions

Si tu avais à prédire la sorte de yogourt préférée d’une ou d’un élève qu’on aurait choisi au hasard, quelle serait ta prédiction ? Pourquoi ?

B

aaaction!

Voici les résultats obtenus.

Ski de fond

A

29

Pêches

Commençons par nous familiariser avec deux types de mesures pouvant être obtenues à partir d’un ensemble de données. Dans l’exemple suivant, on a posé des questions spécifiques à un ensemble de personnes afin de pouvoir répondre à une question générale.

Les gens qui pratiquent la randonnée pédestre sont-ils normalement plus âgés que ceux qui pratiquent le ski de fond ?

Nombre d’élèves

Framboises

La compréhension des concepts en jeu t’amènera à réaliser que la statistique permet de recueillir des informations utiles sur un nombre incroyable de sujets, comme les habitudes de vie et de consommation d’une population, les effets d’un médicament, etc. Tu verras aussi qu’il est possible, notamment en publicité, de manipuler les informations recueillies pour leur « faire dire » à peu près n’importe quoi.

Le centre et les extrémités

l’étude par un questionnement en grand groupe.

Voici, par exemple, les données recueillies lors d’un sondage pour connaître la sorte de yogourt que préfèrent les 500 élèves d’une école de quartier. Sorte de yogourt préférée

Nombre de fois

section

dans les documents reproductibles du guide d’enseignement.

La statistique

V

activites

Activités Notions clés

1. Ça s’appelle aussi l’espérance Propose un ensemble de : a) 6 données ayant une moyenne de 14 et une étendue de 20 ;

2. Un « moyen » travail à faire !

Actuellement, Jonathan a une moyenne 5 de 10 pour les trois premiers devoirs de la semaine.

b) 8 données ayant une moyenne de −3 et une étendue de 13.

La moyenne arithmétique (ou moyenne) peut se calculer en divisant la somme des données par le nombre de données d’un ensemble. _ La moyenne arithmétique est notée à l’aide du symbole « X ».

Le symbole X se lit « iks barre ».

Exemple: Jean-François a relevé le nombre d’animaux de compagnie que possèdent les six familles qui habitent le plus près de chez lui.

importantes d’une section

Famille

Nombre d’animaux de compagnie

Tremblay

2

Nguyen

0

Beaulieu-Diaz

et facilite le repérage lors

3

Henri

1

St-Jean-Léger

4

1)

j’additionne les données :

2)

je divise le résultat par le nombre total de données : _ X = 12 6 =2

et les processus étudiés dans la section

3. Moyenne automatique Une banque a compilé tous les retraits que ses clients ont effectués, durant une heure, à son guichet automatique.

Pour calculer la moyenne arithmétique des nombres 2, 0, 2, 3, 1 et 4,

afin de consolider leurs apprentissages

Montant des retraits (11 février, de 14 h à 15 h)

2 + 0 + 2 + 3 + 1 + 4 = 12

2

Rabat

J’ai le « iks barre » sur ma calculatrice scientifique !

de consultations ultérieures.

dans différents contextes, les concepts

Quelle note Jonathan doit-il obtenir pour son devoir du jeudi s’il veut être dispensé de devoirs en fin de semaine ?

et ainsi développer leurs compétences.

Effectif

Met l’accent sur les notions

Permettent aux élèves d’appliquer,

Dans la classe de Jonathan, les élèves qui ont une moyenne 6 d’au moins 10 pour les devoirs de lundi, mardi, mercredi et jeudi n’ont pas de devoirs à faire au cours de la fin de semaine.

Le nombre moyen d’animaux de compagnie de ces six familles est 2. On peut interpréter ce nombre comme étant le nombre d’animaux que chaque famille aurait si l’on répartissait tous les animaux également entre ces familles. 20

40

60

80

100

Montant du retrait ($)

F

exploration Selon toi, est-ce qu’on utilise l’idée de moyenne lorsqu’on veut déterminer le coût d’un abonnement ? Explique ta réponse.

Les mots clés de la rubrique

Est-ce possible que la moyenne ne donne pas un nombre naturel ? Pourquoi ? Explique ta réponse.

a) Selon toi, que veut dire le mot « effectif » dans ce diagramme ? b) Quel est le montant du plus grand retrait ?

aaaction!

c) Combien de clients ont retiré 60 $ ? d) Combien de retraits ont été effectués en tout ?

1. Estime, puis calcule la température moyenne des cinq derniers jours.

e) Combien d’argent les clients ont-ils retiré, en moyenne ?

2. Estime (en classe), puis calcule (à la maison) la taille moyenne des gens qui habitent avec toi.

f ) Quelle est l’étendue des retraits ?

3. Estime, puis calcule l’âge moyen (en jours) de 5 élèves de ton choix dans la classe.

sont surlignés en jaune.

g) Selon toi, pourquoi la banque a-t-elle réalisé cette étude statistique ?

4. Dans quels autres contextes pourrait-on utiliser la notion de moyenne ? 14

CHAPITRE 5

La statistique

La moyenne ne peut pas représenter adéquatement tous les ensembles de données. Son interprétation peut même conduire à des conclusions erronées. La valeur moyenne des maisons de la rue du Château est de un million de dollars !

6

CHAPITRE 5

G

Que penses-tu de l’affirmation du personnage ?

H

Selon toi, pourquoi la moyenne n’est-elle pas représentative de la situation ?

I

Trouve une autre situation dans laquelle la moyenne ne permet pas d’interpréter correctement un ensemble de données.

La statistique

La phase d’intégration Les sections de fin de chapitre ont pour objectif d’ancrer les apprentissages des élèves, de les situer par rapport aux apprentissages futurs et à la réalité dans laquelle ils vivent. En temps et lieu Établit un parallèle entre les notions étudiées dans

Tu as eu l’occasion, dans ce chapitre, de voir comment il était possible d’intégrer des notions de statistique en probabilités. Ces liens te seront certainement utiles lorsqu’il sera question de poursuivre l’étude des probabilités plus tard dans le cycle.

le chapitre et celles qui seront abordées plus tard dans

À cet effet, reprenons l’étude sur la couleur des yeux des élèves du groupe 103. Interprétation statistique Couleur

Effectif Fréquence

Bleu pâle

8 2

5,5 %

Brun pâle

14

38,8 %

Brun foncé

Le brun pâle est la couleur la plus courante pour les yeux.

22,2 %

Bleu foncé

9

Peu de gens ont les yeux d’une autre couleur que bruns ou bleus.

25 %

Autres

3

8,3 %

Total

36

100 %

le cycle, de façon à décloisonner les apprentissages

Interprétation probabilité (ou probabiliste) La probabilité qu’une personne prise au hasard dans ce groupe ait les yeux 14 brun pâle est de 36 , soit 38,8 %.

La probabilité qu’une personne prise au hasard dans ce groupe n’ait pas 3

les yeux bruns ou bleus est de 36 , soit 8,3 %.

et à permettre aux élèves de faire des liens.

On peut transposer ce raisonnement dans d’autres domaines. a) Quelle est la probabilité de perdre à cette loterie ?

b) Observe les statistiques de conduite de deux conducteurs.

Nombre de combinaisons

À chaque tirage hebdomadaire de la loterie, il y a 1 combinaison gagnante et 13 983 815 combinaisons perdantes.

1)

Selon toi, qui a la plus grande probabilité d’avoir un accident ? Pourquoi ?

2)

Selon toi, qui a la plus grande probabilité d’avoir une contravention ? Pourquoi ?

Perdre à la loterie 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

•

Cette conductrice n’a jamais eu d’accidents.

•

Cette conductrice n’a jamais eu de contraventions.

1

Gagnantes Perdantes

Combinaisons

•

3 accidents au cours de la dernière année.

•

6 contraventions au cours des 24 derniers mois.

2

Bric à maths

c) Dans tes propres mots, explique comment on peut se servir d’une statistique pour calculer une probabilité.

50

CHAPITRE 5

Permet aux élèves d’intégrer les concepts et les processus

La statistique

1. L’énergie Voici un diagramme publié dans un quotidien.

étudiés dans l’ensemble du chapitre de façon à réinvestir Le déficit énergétique se creuse 210 205 200 195 190 185 180 175 170 165 0

182,0 (1,4) 180,6

186,3 (4,6) 181,7

2004

2005

191,6 (5,5)

194,4 (7,1)

186,1

187,3

2006

2007

197,4 (7,2) 190,2

2008

199,9 (7,7) 192,2

2009

Demande totale en tétrawattheures (TWh) Déficit prévu (TWh) Production prévue (TWh)

202,5 (7,6) 194,9

2010

leurs apprentissages et ainsi mobiliser leurs compétences.

205,4 (9,4) 196,0

Des activités supplémentaires sont offertes dans les

2011 Année

documents reproductibles du guide d’enseignement.

a) Comment s’appelle ce type de diagramme ? b) Construis le tableau de données sur lequel on a dû se baser pour le construire. c) Que signifient les nombres entre parenthèses dans ce diagramme ? d) Qu’est-ce qu’un TWh ? e) Selon toi, pourrait-on réduire la consommation d’énergie plutôt que d’augmenter sa production ? Explique ta réponse.

Bric à maths

CHAPITRE 5

Escale : Activité d’intégration

51

Permet aux élèves de consolider leurs appren-

Situation 1

Utilisation d’Internet au Canada

et de celle de 42% maison ainsi que les per- en 2001 précédente. Après avoir fait un bond vers la à la au niveau de scolarité enregistrée l’année fin des années 1990, l’utilisa- sonnes élevé. Comme la majorité L’utilisation d’Internet est tion d’Internet par les ménages plus ménages ont déjà adopté demeurée assez stable. En canadiens s’est stabilisée […]. de ces la capacité de soutenir 2002, 75% des ménages utiliEn 2002, un nombre esti- Internet, taux de croissance élevés sant régulièrement Internet à matif de 7,5 millions de des précéannées les ont déclaré qu’un ménages [sur près de 12,2 [observés 19 % en 2001 et domicile soit membre du ménage se branmillions de ménages (62%)] dentes, sensitrouve fois par se une en 2000] chait au moins comptaient au moins un 24% réduite. jour en moyenne, compamembre utilisant régulièrement blement rativement à 73 % en 2001. Internet à domicile, au travail, 2002, environ 6,3 mil- Deux ménages sur cinq à l’école, dans une bibliothèque […] En ménages, [51% du (65 %) utilisant régulièrement ou à un autre endroit, en lions de ménages] comptaient Internet à domicile ont hausse de 4 % seulement par total des un membre qui utili- déclaré passer 20 heures ou rapport à 2001. […] au moins Internet à mois à naviguer dans Les ménages qui ont adopté sait régulièrement de 7% par plus par en hausse Internet, comparativement à Internet sont surtout ceux à domicile, à 2001. Cette hausse 63% en 2001. ■ revenu élevé, ceux dont les rapport qu’une fraction de membres sont actifs, ceux ayant ne constitue de 23% enregistrée des enfants qui habitent encore la croissance

Dans la vie Invite les élèves à constater la place de la mathématique

tissages en réalisant une tâche intégratrice qui renferme l’essentiel des notions à l’étude dans le chapitre.

dans leur quotidien par le biais Organiser ses connaissances,

a) Résume ce texte en une phrase. b) Dans un tableau, organise certaines des informations fournies dans cet article, puis présente-les à l’aide d’un diagramme de ton choix.

62

CHAPITRE 5

de situations tirées de la vie courante.

escale

ce n’est pas toujours facile, mais c’est important.

exploration À la lumière de ce que tu as lu dans ce chapitre, que répondrais-tu à la question 6 de l’exploration ?

Te voilà déjà à l’escale du cinquième chapitre ! Encore une fois, cette escale t’aidera à développer tes habiletés d’organisation et de synthèse. Depuis le début de l’année, tu as sans doute utilisé plusieurs méthodes pour organiser tes connaissances. Tu dois maintenant choisir celle qui te convient le mieux.

La statistique

Comme dans le manuel A, Faire le point te propose de revoir les principaux concepts du chapitre. L’Activité d’intégration exigera de toi débrouillardise et organisation. Comme toujours, tu peux demander l’aide de tes parents ou de tes camarades.

Escale : Faire le point

Faire le point

leurs connaissances et à développer ainsi leur esprit

VI

Étape de préparation

Sujet à l’étude

2. Présente tes résultats sous forme de diagramme que tu auras dessiné sur une affiche. 3. Accompagne ton diagramme d’un document qui contient les conclusions que tu as tirées de ton sondage.

Étape de réalisation

Population ou échantillon

4. Présente ensuite ton affiche à tes camarades. Ce diagramme pourra ensuite être affiché dans la classe avec ceux de tes camarades.

Organisation des données

Collecte de données

1518-M05S2_24 Pictos

Étape d’intégration

Présentation des résultats

Interprétations et conclusions

Les énoncés suivants t’aideront à résumer, à ta manière, le chapitre. Ils reprennent les notions essentielles. Si certaines notions que tu juges pertinentes n’y apparaissent pas, tu peux les inclure dans ton résumé, ton schéma ou ton réseau de concepts.

Incite les élèves à organiser

de synthèse.

Activité d’intégration 1. Réalise un sondage ou un recensement sur le sujet de ton choix. Ton enseignante ou ton enseignant doit approuver ton sujet.

64

CHAPITRE 5

•

Un sondage est différent d’un recensement.

•

Un échantillon doit être représentatif d’une population.

•

Toute étude comporte des biais ; il faut s’efforcer d’en minimiser la portée.

•

Il existe deux types de données : les données quantitatives et qualitatives.

•

Les diagrammes ne conviennent pas tous à une étude en particulier.

•

On peut déduire des probabilités à partir de statistiques, et vice versa.

•

Le hasard, c’est plus complexe qu’on le pense.

La statistique

Un sondage d’opinion Dans ce chapitre, tu as pu voir que la couleur des yeux d’une personne est déterminée par ses gènes. Les études en génétique avancent à pas de géant. Certains en craignent les avancées technologiques. a) Réalise un sondage pour connaître l’opinion des gens sur un sujet d’actualité en lien avec la génétique, par exemple les organismes génétiquement modifiés (OGM), les cellules souches, le clonage. Tu as l’embarras du choix ! Prends bien soin, toutefois, de cerner ton sujet. b) À la lumière des données recueillies et des recherches que tu as pu faire sur le sujet, prends position à ton tour. Tu auras l’occasion d’exprimer et de défendre ton point de vue lors d’un débat en classe.

Escale

CHAPITRE 5

65

Les ateliers de construction

La construction d’une droite perpendiculaire (à une droite d) passant par un point P comporte en fait trois étapes.

1

2

À partir du point P, déterminer deux points A et B sur la droite d.

À partir des points A et B, tracer des arcs de cercle qui se coupent sans changer l’ouverture du compas.

P

P

A

d

B

A

À la fin du manuel, on trouve 6 ateliers de construction. Les élèves y sont amenés à découvrir comment construire des objets géométriques en n’utilisant que leur compas et une règle non graduée.

B

d

REMARQUE

Quand il n’y a pas de point P, on en place un n’importe où.

telier

2

3

R

Relier les points d’intersection des arcs de cercle.

Il sera utile de savoir construire des perpendiculaires pour effectuer des réflexions.

P

La droite perpendiculaire Dans l’atelier 1, tu as sans doute remarqué que le fait de déterminer l’emplacement du point milieu d’un segment à l’aide d’un compas implique la construction d’une droite perpendiculaire à ce segment.

aaaction!

A

Droite perpendiculaire à une autre droite ou à un segment : Droite dont tous les points sont à égale distance de deux points déterminés sur la droite ou sur le segment.

B

PR est perpendiculaire à AB, par construction.

1. Trace une droite et nomme-la AB. Essaie de construire une droite perpendiculaire à AB.

d

R

aaaction!

2. Si tu as réussi, explique à quelqu’un comment tu as procédé. Si tu n’as pas réussi, demande à quelqu’un de t’expliquer sa démarche.

1. Reproduis les schémas suivants et effectue les constructions demandées. a) Une droite perpendiculaire à la droite d passant par le point F. d F

La présentation des ateliers permet deux modes de réalisation :

b) Une droite perpendiculaire à la droite d passant par le point A.

Pour construire une droite perpendiculaire à une autre droite ou à un segment, il faut d’abord déterminer deux points sur la droite ou le segment.

A

B

Le point P est sur la droite.

C

d

2. Comment s’appelle la droite perpendiculaire construite en b) par rapport au triangle ABC ?

À partir d’un point P, il est facile, à l’aide d’un compas, de déterminer deux points situés à la même distance, sur une droite. En voici deux exemples. 254

Le point P n’est pas sur la droite.

Ateliers de construction

P A

• au fur et à mesure que les notions sont vues dans les chapitres 7 et 8 grâce à un pictogramme qui renvoie à l’atelier pertinent ;

P B

d

d

A

B

A

Le point P est-il à la même distance du point A et du point B ? Pourquoi ?

B

Dans les exemples ci-dessus, comment peux-tu t’assurer qu’une droite perpendiculaire passera par le point P ?

La droite perpendiculaire

ATELIER 2

253

• de façon consécutive, à tout moment jugé opportun. 2. À l’œil

Reproduis les trois schémas ci-dessous, puis effectue les constructions demandées. a) Construis une droite perpendiculaire au segment AB passant par le point P. P

activites

1. Trois fois P

a) Selon toi, les droites suivantes sont-elles perpendiculaires ?

1

Chaque atelier est accompagné d’une section

A B

b) Construis une droite perpendiculaire à la droite d passant par le point P.

2

P

d

c) Construis trois droites passant par le point P. Chaque droite doit être perpendiculaire à un des côtés du triangle.

b) Calque ces droites et vérifie ta réponse en a). Utilise seulement un compas. c) Pourquoi est-il important d’indiquer les angles droits dans les figures géométriques ?

E P D

d’activités qui permet aux élèves de mettre en pratique les compétences développées.

F

3. Pléthore de perpendiculaires a) Construis une droite perpendiculaire à BE :

Reproduis ce schéma. D

A E B C

1)

qui passe par le point A ;

2)

qui passe par le point E ;

3)

qui passe par le point C ;

4)

qui ne passe par aucun des cinq points.

b) Quelle relation vois-tu entre les quatre droites que tu as construites ? c) Formule une conjecture qui résume ta réponse en b).

La droite perpendiculaire

ATELIER 2

255

Les définitions proposées dans les ateliers de construction sont formulées de façon à mieux comprendre comment il est possible d’utiliser un compas pour construire les relations en jeu.

Point milieu d’un segment : Point d’un segment situé à égale distance des extrémités de ce segment.

Les rubriques Fait un rappel de l’exploration présentée en début de chapitre et

exploration

permet aux élèves de prendre conscience de l’évolution de leur

Selon toi, est-ce qu’on utilise l’idée de moyenne lorsqu’on veut déterminer le coût d’un abonnement ? Explique ta réponse.

démarche et de leurs apprentissages.

Permet aux élèves de faire preuve de créativité

Un sondage d’opinion Dans ce chapitre, tu as pu voir que la couleur des yeux d’une personne est déterminée par ses gènes. Les études en génétique avancent à pas de géant. Certains en craignent les avancées technologiques.

et d’autonomie en réalisant une tâche complexe.

a) Réalise un sondage pour connaître l’opinion des gens sur un sujet d’actualité en lien avec la génétique, par exemple les organismes génétiquement modifiés (OGM), les cellules souches, le clonage. Tu as l’embarras du choix ! Prends bien soin, toutefois, de cerner ton sujet.

VII

Propose une définition qui vise à préciser un concept présenté dans le manuel ou à faire un retour sur des notions à l’étude au primaire.

Statistique : Mot qui vient du latin status, État.

Le mot défini est en bleu dans le texte courant pour en faciliter le repérage.

Données démographiques : Renseignements sur une population.

Propose une définition d’un mot difficile qui n’est pas nécessairement lié à la mathématique. Le mot défini est en bleu dans le texte courant pour en faciliter le repérage.

Attenti n

Vise à attirer l’attention des élèves sur une difficulté ou encore à leur souligner une particularité de la notion étudiée.

Question de

culture

UN TOUT PETIT CRAPAUD D’une longueur de moins de 10 mm, le plus petit vertébré du monde est utilisé par des chercheurs de l’Université de Rio de Janeiro pour déterminer le facteur de rétrécissement de la forêt vierge de l’Atlantique. En effet, chaque fois qu’une partie de la forêt est détruite, la population de crapauds diminue.

Contrairement à un énoncé qui peut être vrai ou faux, une information basée sur des données statistiques comprend toujours une part d’incertitude.

Permet une ouverture sur un sujet de culture générale relié aux thèmes abordés.

Amène les élèves à compléter leurs découvertes et leurs apprentissages en exploitant l’information fournie dans différents médias comme Internet, les journaux et les ouvrages de référence.

Cherche l’origine du mot «toise » dans un dictionnaire ou dans Internet.

Cette rubrique favorise également l’utilisation des technologies de l’information et de la communication (TIC).

La géométrie est aux arts plastiques ce que la grammaire est à l’écrivain. ≤≥ GUILLAUME APOLLINAIRE

VIII

Porte à la réflexion et peut servir d’amorce à l’étude de certaines notions. La citation peut être exploitée pour présenter un personnage marquant de notre histoire, qu’il soit ou non lié à la mathématique.

Les pictogrammes Les compétences mathématiques sous-tendent l’ensemble d’un chapitre. Toutefois, pour amener les élèves à prendre conscience de leurs apprentissages et pour faciliter le travail d’évaluation (et d’autoévaluation), certaines activités ont été ciblées comme étant particulièrement propices à l’observation du développement d’une compétence. Ces activités sont accompagnées d’un pictogramme qui représente l’une ou l’autre des compétences mathématiques. Résoudre une situation-problème.

Déployer un raisonnement mathématique.

Communiquer à l’aide du langage mathématique.

Les pictogrammes suivants apportent d’autres précisions. Indique qu’une activité est reproduite dans les fiches reproductibles du guide d’enseignement.

9.

Indique que le degré de difficulté d’une activité peut être plus élevé pour certains élèves. Indique le moment opportun pour effectuer un des ateliers de construction regroupés à la fin du manuel.

Les personnages Des personnages accompagnent les élèves tout au long de leurs apprentissages. Ils émettent des commentaires qui traduisent bien la pensée des élèves, apportent parfois des précisions ou soulèvent des questions.

Ariane

Mme Ortiz

Liang

Jean-François

IX

5

chapitre

e r u s s u o UE

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1. Selon toi, à qui profite une offre d’abonnement ? À l’entreprise ? Aux consommateurs ? Explique ta réponse. 2. Un abonnement peut-il être offert par n’importe quel type d’entreprises ? Pourquoi ?

l

MARS

3. Parmi les 5 abonnements présentés ici, lequel coûte le plus cher, selon toi ? 4. Si le montant total des cinq abonnements est de 465 $, détermine le coût de chacun.

Accès a u statio à partir nnemen de 17 h t entre 6 en sema h et 21 ine et h la fin de sema ine

5. Compare tes résultats avec ceux de tes camarades. 6. Selon toi, quel type de questions une entreprise doit-elle se poser avant de déterminer le coût d’un abonnement ?

Plan du chapit

re

........ stique ? . . . . . . ti a st la i o u rq u o .... Section 1 – P .............. e u iq st ti a st e ’étud Section 2 – L

4 19

3

section

1

Pourquoi la statistique ? Tu as sans doute remarqué que nous sommes inondés d’informations de toutes sortes. La branche de la mathématique qui s’intéresse à la collecte, à l’organisation, à la présentation et à l’interprétation de ces informations s’appelle la statistique. Statistique : Mot qui vient du latin status, État.

Ce chapitre sur la statistique est probablement celui qui te semblera le plus près de ton quotidien. Tu verras, par exemple, qu’on peut attribuer un sens statistique à plusieurs mots du vocabulaire courant. La compréhension des concepts en jeu t’amènera à réaliser que la statistique permet de recueillir des informations utiles sur un nombre incroyable de sujets, comme les habitudes de vie et de consommation d’une population, les effets d’un médicament, etc. Tu verras aussi qu’il est possible, notamment en publicité, de manipuler les informations recueillies pour leur « faire dire » à peu près n’importe quoi.

Le centre et les extrémités Commençons par nous familiariser avec deux types de mesures pouvant être obtenues à partir d’un ensemble de données. Dans l’exemple suivant, on a posé des questions spécifiques à un ensemble de personnes afin de pouvoir répondre à une question générale.

Question générale

Questions spécifiques

Les gens qui pratiquent la randonnée pédestre sont-ils normalement plus âgés que ceux qui pratiquent le ski de fond ?

•

Quelle activité physique pratiquez-vous : la randonnée pédestre ou le ski de fond ? • Quel âge avez-vous ?

Voici les résultats obtenus. Âge des personnes Randonnée pédestre 43, 46, 54, 42, 39, 44, 35, 37, 31, 39 Ski de fond

4

CHAPITRE 5

19, 43, 50, 21, 22, 22, 29, 18, 24, 42

A

Quel groupe comprend les personnes les plus âgées ?

B

Quel groupe comprend des personnes dont les âges sont le plus dispersés ?

C

Selon toi, quel groupe a une moyenne d’âge de 41 ans ? Explique ta réponse.

D

Selon toi, que signifie la question : « Quelle est l’étendue des âges des personnes du premier groupe ? »

La statistique

Les mesures de tendance centrale La statistique cherche à identifier les points communs, les tendances qui se dégagent d’un ensemble de données. Ces points communs, ces tendances, donnent une idée générale de la composition de cet ensemble de données et permettent donc de répondre à une question. A

Comment pourrait-on organiser les données recueillies pour répondre à la question générale sans avoir à calculer quoi que ce soit ?

Tendance : Indication de ce vers quoi s’oriente une catégorie de personnes, un phénomène. Une tendance se dégage d’un certain nombre de faits et peut être représentée par une répartition de données dans un diagramme ou un graphique.

Avant le tri

B

Après le tri

Quel est l’avantage à trier les données ? Donne quelques exemples.

Le type de mesure qui nous informe sur le centre d’un ensemble de données s’appelle mesure de tendance centrale. En mathématique, il existe plusieurs sortes de mesures de tendance centrale, entre autres : • le mode ; Cette année, nous poursuivons • la médiane ; le travail commencé au primaire sur la moyenne arithmétique. • la moyenne arithmétique, etc. C

Faut-il nécessairement trier les données avant de calculer leur moyenne ? Explique ta réponse.

D

Calcule la moyenne d’âge des membres du groupe qui s’adonnent au ski de fond. Comment as-tu procédé ?

E

Connais-tu d’autres façons de calculer une moyenne arithmétique ? Lesquelles ?

Pourquoi la statistique ?

SECTION 1

5

La moyenne arithmétique (ou moyenne) peut se calculer en divisant la somme des données par le nombre de données d’un ensemble. _ La moyenne arithmétique est notée à l’aide du symbole « X ».

Le symbole X se lit « iks barre ».

Exemple : Jean-François a relevé le nombre d’animaux de compagnie que possèdent les six familles qui habitent le plus près de chez lui.

J’ai le « iks barre » sur ma calculatrice scientifique !

Selon toi, est-ce qu’on utilise l’idée de moyenne lorsqu’on veut déterminer le coût d’un abonnement ? Explique ta réponse.

Nombre d’animaux de compagnie

Tremblay

2

Nguyen

0

Beaulieu-Diaz

2

Rabat

3

Henri

1

St-Jean-Léger

4

Pour calculer la moyenne arithmétique des nombres 2, 0, 2, 3, 1 et 4, 1)

j’additionne les données : 2  0  2  3  1  4  12

2)

je divise le résultat par le nombre total de données : _ X  12  2 6

Le nombre moyen d’animaux de compagnie de ces six familles est 2. On peut interpréter ce nombre comme étant le nombre d’animaux que chaque famille aurait si l’on répartissait tous les animaux également entre ces familles.

F

exploration

Famille

Est-ce possible que la moyenne ne donne pas un nombre naturel ? Pourquoi ? Explique ta réponse.

aaaction! 1. Estime, puis calcule la température moyenne des cinq derniers jours. 2. Estime (en classe), puis calcule (à la maison) la taille moyenne des gens qui habitent avec toi. 3. Estime, puis calcule l’âge moyen (en jours) de 5 élèves de ton choix dans la classe. 4. Dans quels autres contextes pourrait-on utiliser la notion de moyenne ? La moyenne ne peut pas représenter adéquatement tous les ensembles de données. Son interprétation peut même conduire à des conclusions erronées. La valeur moyenne des maisons de la rue du Château est de un million de dollars !

6

CHAPITRE 5

La statistique

G

Que penses-tu de l’affirmation du personnage ?

H

Selon toi, pourquoi la moyenne n’est-elle pas représentative de la situation ?

I

Trouve une autre situation dans laquelle la moyenne ne permet pas d’interpréter correctement un ensemble de données.

La dispersion Pour éviter que l’interprétation d’une mesure de tendance centrale donne lieu à des conclusions erronées, on peut la combiner à un autre type de mesure permettant de « calculer » la répartition ou la dispersion des données. De cette façon, il est possible, par exemple, d’avoir un meilleur portrait de la valeur des maisons de la rue du Château. A

Selon toi, quelles données influeront davantage sur la dispersion ? Ça doit être la valeur des maisons qui sont loin de la moyenne, comme le château.

Le type de mesure qui nous informe sur la « répartition » ou la dispersion d’un ensemble de données s’appelle mesure de dispersion. Comme dans le cas des mesures de tendance centrale, il existe, en mathématique, plusieurs sortes de mesures de dispersion, notamment : la variance ; • l’écart type ; • le centile ; • le quartile. •

Cette année, nous abordons le concept de dispersion des données en travaillant l’étendue.

Avant le tri

Après le tri

On a repris ci-contre les résultats obtenus à la question posée aux randonneurs et aux skieurs.

B

Selon toi, quelle est l’étendue de ces ensembles de données ?

C

Selon toi, quelle disposition est la plus utile pour calculer l’étendue ?

D

Est-il nécessaire d’ordonner les données pour calculer leur moyenne ? Pourquoi ?

E

Est-il nécessaire d’ordonner les données pour calculer leur étendue ? Pourquoi ?

F

Quelle pourrait être la définition de « l’étendue » ? Pourquoi la statistique ?

SECTION 1

7

L’étendue d’un ensemble de données est la différence entre la valeur maximale et la valeur minimale de l’ensemble de données.

Plus la différence est grande, plus c’est dispersé !

Exemple : Reprenons le tableau qui présente le nombre d’animaux de compagnie des six familles qui habitent le plus près de chez Jean-François. Famille

Nombre d’animaux de compagnie

Tremblay

2

Nguyen

0

Beaulieu-Diaz

2

Rabat

3

Henri

1

St-Jean-Léger

4

Pour calculer l’étendue des données 2, 0, 2, 3, 1 et 4, 1)

je les trie : 0, 1, 2, 2, 3, 4

2)

je calcule la différence entre la valeur maximale et la valeur minimale : 404

L’étendue est 4.

On peut donc caractériser un ensemble de données à l’aide de deux types de mesures : la tendance centrale des données et la dispersion des données. Ces deux types de mesures sont complémentaires. Chacune d’elles nous informe, à sa façon, sur la répartition ou le regroupement de données, c’est-à-dire sur la distribution des données.

aaaction! 1. Estime, puis calcule l’étendue de la température des cinq derniers jours. 2. Estime (en classe), puis calcule (à la maison) l’étendue de la taille des gens qui habitent avec toi. 3. Estime, puis calcule l’étendue de l’âge (en jours) de cinq élèves de ton choix, dans la classe. 4. Dans quels autres contextes pourrait-on utiliser la notion d’étendue ?

8

CHAPITRE 5

La statistique

Parle-moi de statistique ! En écoutant attentivement certains conseils, on peut presque y entendre des statistiques. Tu dois aller à l’école si tu veux avoir un emploi intéressant plus tard. La vitesse tue.

Ne touche pas à ça, tu vas te faire mal. Mets un foulard, sinon tu vas attraper le rhume. Ne fais pas craquer tes doigts ; tu feras de l’arthrite plus tard.

A

Donne un exemple de « conseil » de ce genre que tu as déjà reçu.

B

Donne-t-on des conseils pour le passé ou pour le futur ?

C

Sur quoi les personnes se basent-elles pour donner des conseils de ce genre ?

D

L’information contenue dans de tels conseils est-elle nécessairement vraie ? Pourquoi ?

E

Pourquoi a-t-on l’impression que l’information véhiculée dans ces conseils est vraie ?

Les conseils sont souvent basés sur la statistique (ou la probabilité), même si les gens qui les donnent n’en sont pas toujours conscients. On peut même dire qu’on calcule quotidiennement, sans y penser, des moyennes ou des probabilités pour tenter d’anticiper ce qui arrivera. F

Relève deux situations dans lesquelles tu as probablement « calculé » sans t’en rendre compte : 1) une moyenne ; 2) une probabilité.

G

Nomme une profession où l’on tente de prédire le futur.

En tout cas, c’est surprenant de réaliser à quel point les maths sont partout !

Pourquoi la statistique ?

SECTION 1

9

La statistique et la probabilité La statistique et la probabilité sont intimement liées. Les données statistiques permettent de calculer des probabilités, et les probabilités permettent, en quelque sorte, d’anticiper des statistiques. Voici, par exemple, les données recueillies lors d’un sondage pour connaître la sorte de yogourt que préfèrent les 500 élèves d’une école de quartier. Sorte de yogourt préférée

Nombre d’élèves

Bleuets

29

Fraises

153

Framboises

200

Pêches

58

Vanille

33

Café

1

Autre

26

A

Si tu avais à prédire la sorte de yogourt préférée d’une ou d’un élève qu’on aurait choisi au hasard, quelle serait ta prédiction ? Pourquoi ?

B

Selon toi, quelle est la probabilité de choisir au hasard l’élève qui préfère le yogourt au café ?

C

Peut-on dire qu’il est deux fois plus probable de trouver une ou un élève qui préfère le yogourt aux pêches plutôt qu’une ou un élève qui préfère le yogourt aux bleuets ? Explique ton raisonnement.

D

Selon toi, comment se sert-on de données statistiques pour calculer des probabilités ?

aaaction!

1. Combien de fois a-t-on obtenu un diviseur de 6 ? 2. Quelle est la probabilité d’obtenir un diviseur de 6 en lançant un dé ordinaire si l’on se fie à ce diagramme à bandes ?

100 lancers d’un

Nombre de fois

En lançant un dé ordinaire plusieurs fois, il est plus fréquent (donc plus probable) d’obtenir un diviseur de 6 qu’un 4 ou un 5. Voici les résultats obtenus en lançant un dé ordinaire 100 fois.

Diviseur de 6

Pas un diviseur de 6

Type de nombre obtenu

3. Selon toi, quelle est la « vraie » probabilité d’obtenir un diviseur de 6 en lançant un dé ordinaire ? 4. Formule une question en te basant sur cette situation. 5. Selon toi, comment se sert-on des probabilités pour anticiper des statistiques ?

10

CHAPITRE 5

La statistique

En bref, la statistique est l’organisation et l’interprétation d’un ensemble de données recueillies sur un groupe de personnes, une situation ou un phénomène, ce qui permet d’en avoir un portrait global. À partir de ce portrait, on peut calculer des probabilités permettant, par exemple, de prédire des événements dans des situations analogues.

Attenti n Contrairement à un énoncé qui peut être vrai ou faux, une information basée sur des données statistiques comprend toujours une part d’incertitude.

Un monde statistique Comme bien d’autres branches de la mathématique, la statistique sert à modéliser le réel. Elle permet de recueillir et d’organiser des données pour y dégager des tendances générales. Par exemple, on peut prédire que cette année, environ 5 000 000 d’humains mourront des méfaits du tabagisme et qu’il tombera un peu plus de 2 m de neige à Montréal. Plus loin dans ce chapitre, tu verras que certaines entreprises se servent parfois des statistiques pour tenter d’anticiper diverses situations susceptibles de les aider dans leur prise de décision. A

Construis une phrase contenant une donnée statistique de ton choix.

Question

B

Nomme trois contextes dans lesquels il y a normalement beaucoup de données statistiques.

C

Selon toi, quels aspects du futur peut-on prédire à l’aide des données statistiques ?

TABAC ET DÉCÈS Les méfaits du tabagisme sur la santé, en 2005, représentent la deuxième principale cause de décès au monde. Au début du 21e siècle, ces effets sont responsables du dixième des décès des adultes de la planète (environ 5 millions de décès chaque année). Si cette tendance se maintient, le nombre de décès augmentera pour atteindre une dizaine de millions par année en 2025.

de

culture

Pourquoi la statistique ?

SECTION 1

11

exploration Quelle statistique pourrait faire en sorte que la société de transport RiveOuest augmente le coût de sa carte mensuelle ?

Dans la prochaine section, tu verras qu’en statistique, une population n’est pas nécessairement formée d’êtres humains ou même d’êtres vivants. En effet, la statistique permet de calculer aussi bien, par exemple, l’espérance de vie des êtres humains que celle de leur chien ou de leur voiture. Du revenu annuel à la longueur moyenne du gros orteil en passant par le nombre de transactions qui seront effectuées par Internet dans 10 ans, les biscuits préférés des jeunes ou la fiabilité des sièges d’auto pour enfants, la statistique est un bon moyen d’analyser une situation ou un phénomène. Elle permet d’interpréter les données recueillies et de tirer des conclusions qui mènent à des suggestions, des recommandations ou des prescriptions. D

Comment une entreprise peut-elle utiliser les statistiques pour augmenter ses revenus ?

E

Comment les consommateurs peuvent-ils utiliser les statistiques pour prendre de meilleures décisions ? Donne un exemple.

L’envers de la médaille Il peut être intéressant d’examiner la façon dont certaines entreprises pourraient utiliser les statistiques comme moyen de persuasion pour vendre un produit.

Voici, par exemple, le diagramme qu’un fabricant de casques de hockey a utilisé dans sa campagne publicitaire.

La sécurité des enfants au hockey Nombre de blessures graves à la suite d’un impact à la tête

Parfois, une entreprise essaie même de nous convaincre que son concurrent offre le « pire » produit !

Tête-dure

Heaume

Marque du casque

12

CHAPITRE 5

A

Selon toi, lequel des deux fabricants a utilisé ce diagramme pour vanter son produit lors de sa campagne publicitaire ? Pourquoi ?

B

Quelles informations manquent dans le diagramme ?

C

Selon toi, pourquoi le fabricant a-t-il décidé de taire certaines informations ?

La statistique

aaaction! 1. Imagine un scénario qui t’inciterait à choisir le casque Heaume. 2. Dessine une affiche que le fabricant Heaume pourrait utiliser en tenant compte de ton scénario.

D

As-tu déjà vu une publicité qui te semblait un peu trompeuse ? Laquelle ?

Moi, c’est quand on dit qu’avec tel shampooing, mes cheveux seront 3 X plus lisses, comme au chapitre 3 !

La publicité sert à mettre en évidence les avantages du produit à vendre. Il revient aux consommateurs d’exercer leur jugement critique et leurs compétences mathématiques, de garder l’œil ouvert et de ne pas toujours se fier aux apparences.

Un jour, des compétences de base en statistique seront aussi nécessaires que l’habileté à lire et à écrire. ≤≥ H. G. WELLS (1866-1946)

E

Que penses-tu de la citation de H. G. Wells ?

La pub sous enquÊte Tout comme pour l’offre d’abonnements, les entreprises s’appuient parfois sur les statistiques pour faire mousser leurs produits ou services. a) Trouve une publicité qui en témoigne, puis explique pourquoi tu crois qu’elle contient des statistiques. b) Effectue une enquête sur cette publicité pour déterminer si l’emploi de ces statistiques est adéquat ou abusif.

Pourquoi la statistique ?

SECTION 1

13

Propose un ensemble de : a) 6 données ayant une moyenne de 14 et une étendue de 20 ;

2. Un « moyen » travail à faire ! Dans la classe de Jonathan, les élèves qui ont une moyenne 6 d’au moins 10 pour les devoirs de lundi, mardi, mercredi et jeudi n’ont pas de devoirs à faire au cours de la fin de semaine. Actuellement, Jonathan a une moyenne 5 de 10 pour les trois premiers devoirs de la semaine.

b) 8 données ayant une moyenne de 3 et une étendue de 13.

Quelle note Jonathan doit-il obtenir pour son devoir du jeudi s’il veut être dispensé de devoirs en fin de semaine ?

3. Moyenne automatique Une banque a compilé tous les retraits que ses clients ont effectués, durant une heure, à son guichet automatique. Montant des retraits (11 février, de 14 h à 15 h)

Effectif

activites

1. Ça s’appelle aussi l’espérance

20

40

60

80

100

Montant du retrait ($)

a) Selon toi, que veut dire le mot « effectif » dans ce diagramme ? b) Quel est le montant du plus grand retrait ? c) Combien de clients ont retiré 60 $ ? d) Combien de retraits ont été effectués en tout ? e) Combien d’argent les clients ont-ils retiré, en moyenne ? f ) Quelle est l’étendue des retraits ? g) Selon toi, pourquoi la banque a-t-elle réalisé cette étude statistique ?

14

CHAPITRE 5

La statistique

4. Les toqués de la BD Quatre amateurs de bande dessinée ont donné leur appréciation des 10 bandes dessinées présentées dans le tableau ci-dessous. Légende :

♥♥♥♥ ♥♥♥ ♥♥ ♥

♣ ♣♣ ♣♣♣

J’adore J’aime beaucoup J’aime bien

Je n’aime pas tellement Je n’aime pas du tout Je déteste

J’aime un peu

Amateurs Titre

Alex

Zoé

Carlos

Kim

L’indispensable Achille Talon

♣♣

♣

♥

♥♥♥

Le monde de Mafalda

♥♥

♥♥♥

♥

♥♥

♥♥♥♥

♥♥♥

♥♥♥♥

♣♣♣

♣♣

♣

♥♥

♣♣♣

♥♥♥

♥

♥♥

♣

Gaston – Gare aux gaffes

♣

♥♥♥

♣♣

♥♥♥

La flûte à six schtroumpfs

♥

♥

♣

♥♥♥♥

♥♥♥♥

♥♥

♥♥♥

♥♥♥♥

♣♣♣

♣♣♣

♣

♥♥

♥♥♥♥

♥♥♥

♥♥♥

♥

Astérix et Cléopâtre Garfield – Une vie de chat Dis pas de bêtises, Charlie Brown

Superman contre Spider-man Lucky Luke – La ballade des Dalton Tintin au pays des Soviets

a) D’après les renseignements de ce tableau, ordonne les bandes dessinées de la plus appréciée à la moins appréciée. b) Quelle est la personne la moins sévère dans son appréciation, selon toi ? Explique ton raisonnement. c) Explique ton classement à une ou à un camarade qui a classé les bandes dessinées différemment.

5. Moyenne et étendue Calcule la moyenne et l’étendue de chacun des groupes de données suivants. a)

12

43

56

29

8

b)

1 2

4 5

3 4

1 5

3 8

c)

1,2

2,5

2,09

3,98

2,86

9

9

6

8

0

d)





76

19

2,76

1,87

1

2



21

5

Pourquoi la statistique ?

SECTION 1

15

6. Du déjà vu !

Pincher Creek

Snag La plus basse température au Canada, 63 °C, a été enregistrée le 3 février 1947 à Snag, un village du Yukon.

La plus forte variation de température au Canada a été enregistrée en janvier 196 2. La température est passée de 19 °C à 22 °C en une heure, à Pincher Creek, un village de l’Alber ta. Cette hausse fut provoquée par un vent chaud et sec appelé chinook.

a) Lequel de ces deux articles fait référence à une étendue de température ? b) Quelle est cette étendue ? c) Quelle est l’étendue, en années complètes, des deux événements relatés par ces articles ?

7. Un bon remède

8. Le centre et les extrémités

Commente les citations ci-dessous. a)

42,7 % de toutes les statistiques sont inventées spontanément. ≤≥ STEVEN WRIGHT

b) Selon les statisticiens, si vous avez un pied dans le four et l’autre dans un seau de glace, vous devriez être très confortable. ≤≥ BOBBY BRAGAN

16

CHAPITRE 5

La statistique

Il suffit parfois d’écouter les conversations quotidiennes d’une oreille « mathématique » pour entendre des mots faisant référence aux notions de tendance centrale et de dispersion. Voici des exemples : normal • typique • identique • déviant • coutume • bizarre • différent • espérance • conventionnel • étrange • moyen • spécial • habituellement • inhabituel • usuel • ordinaire • original • extrême •

a) Classifie chacun des mots de la liste ci-dessus dans un tableau comme celui ci-dessous.

b) Trouve deux autres mots pour chaque catégorie.

9. À vue de nez

10. Ma vie en statistique

Sans calculer, associe les données à leur moyenne.

Estime la moyenne et l’étendue des données dans les situations suivantes.

Série

1

Données

Moyenne

a) 6, 6, 6, 7, 8, 9

8

b) 6, 7, 8, 9, 9, 9

7,5

c) 7, 7, 7, 8, 8, 8

7

Série Données

a) La durée de déplacement de chez toi à l’école. b) Le nombre d’heures que tu passes à regarder la télévision dans une journée. c) Le nombre d’heures que tu passes à faire du sport dans une journée.

2 Moyenne

d) 1, 10, 100, 1001

215

e) 174, 204, 300, 310, 215, 279

278

f ) 450, 188, 200, 22

247

d) Le nombre de fois que tu éternues dans une journée. Prends la semaine passée en guise de période de référence.

Explique comment tu as procédé.

11. Fréquent ou rare ? a) Classifie les événements suivants du plus probable au moins probable. 1) 1 Être foudroyé pendant un orage. 2) 2 « Perdre » un bas dans la sécheuse. 3) 3 Obtenir une somme supérieure à 5 en lançant deux dés ordinaires. 4 Lancer une pièce de monnaie deux fois et obtenir 4) deux fois le côté « pile ». 5) 5 Tirer un as de cœur d’un jeu de 52 cartes. 6 Te réveiller demain. 6) b) Trouve un événement moins probable que le dernier de ta liste. c) Qui a trouvé l’événement le moins probable dans ta classe ? Quel est cet événement ?

Pourquoi la statistique ?

SECTION 1

17

12. Du « lunddhi » au « dimmanchent » Arnaud travaille 7 jours par semaine. Son salaire est calculé d’une façon très particulière. • Le lundi, le mardi et le jeudi, il gagne 15 $. • Le samedi, il gagne 20 $. • Le mercredi, le vendredi et le dimanche, il gagne 30 $. a) Combien d’argent Arnaud gagne-t-il par jour, en moyenne ? b) Au fait, comment est calculé son salaire quotidien ? c) Combien gagnerait-il par jour, en moyenne, si les mots « lundi » et « dimanche » s’écrivaient comme dans le titre de l’activité ?

En tout cas, ça ferait des « dimmanchent » payants !

13. Le jeu de fléchettes Voici les résultats de la dernière partie de fléchettes de Chloé et de Nicolas.

a) Quel est le pourcentage de réussite de Chloé ? b) En te fiant au tableau, calcule la probabilité que Nicolas atteigne le centre de la cible. c) Les statistiques présentées dans ce tableau permettent-elles de prévoir les résultats des futures parties de fléchettes de Chloé et de Nicolas ? Explique ta réponse. d) Que faudrait-il demander à Chloé et à Nicolas pour pouvoir se fier davantage à leurs statistiques ?

18

CHAPITRE 5

La statistique

section

2

L’étude statistique La présente section t’amènera à reconnaître les aspects sur lesquels tu dois te concentrer pour entreprendre une étude statistique. Une étude statistique menée sérieusement permet de tirer des conclusions valables et pertinentes. Tu verras l’ensemble des étapes nécessaires à la réalisation d’une étude statistique. Tu pourras donc saisir quels sont les aspects essentiels d’une étude statistique et être ainsi plus critique envers les études présentes dans ton quotidien. Mieux vaut développer de bonnes habitudes dès maintenant puisque l’activité d’intégration de l’escale te propose de réaliser un sondage. Une étude statistique pourrait être schématisée de la façon suivante.

Étape de préparation

Sujet à l’étude Étape de réalisation

Population ou échantillon

Organisation des données

Collecte de données

Étape d’intégration

Présentation des résultats

Interprétations et conclusions

A

Selon toi, quelle étape est la plus importante ? Explique ta réponse.

B

Résume ce schéma dans tes propres mots. L’étude statistique

SECTION 2

19

Le sujet 3

2

1

Sujet à l’étude

Les divers problèmes auxquels les êtres humains doivent faire face, leurs activités ainsi que leur environnement soulèvent des questions, qui, heureusement, ne restent pas toujours sans réponses. Une étude statistique permet de répondre à certaines de ces questions. Dans une étude statistique, la question qu’on se pose ou l’information qu’on cherche est normalement appelée sujet. En plus de déterminer le caractère étudié (par exemple, la couleur des yeux, le revenu annuel d’une catégorie de travailleurs, la teneur en mercure d’un lac), le choix du sujet doit également porter sur une population cible (les élèves d’une école, les travailleurs d’Hydro-Québec, les poissons du lac Érié, etc.). Selon toi, que veut-on dire par « population cible » ?

A

Puisque les résultats d’une étude statistique peuvent varier selon la population cible, il est essentiel de bien cibler celle-ci au moment du choix du sujet de l’étude. Voici, par exemple, deux sujets d’étude statistique présentés sous forme de question.

1

Quel est le salaire moyen des employés d’Hydro-Québec ?

2

Quel est le salaire moyen des travailleurs québécois ?

B

Selon toi, laquelle des deux études est la plus facilement réalisable ? Pourquoi ?

C

Peut-on utiliser les mêmes données dans les deux études ? Pourquoi ?

D

Commente l’énoncé suivant.

«

»

La population cible est l’endroit où l’on recueille des données.

aaaction! Propose des populations cibles qui seraient appropriées pour les sujets d’étude statistique suivants. a) La taille moyenne d’un éléphant. b) La teneur en mercure des poissons d’un lac québécois. c) La teneur en mercure des poissons des lacs québécois. d) Le prix moyen d’une facture d’épicerie.

20

CHAPITRE 5

La statistique

Les données Pour réaliser une étude statistique, on a besoin de données. Dans les exemples de la page précédente, comme le caractère étudié est le salaire de certains travailleurs, il faut recueillir des données sur cet aspect de la population cible. On recueille donc des données au sein d’une population cible. Ces données portent sur le caractère étudié.

Données ou données statistiques : Résultats d’observations du caractère étudié sur lesquels est basée une étude statistique.

aaaction! 1. Observe la couleur des yeux des élèves de ta classe et présente les résultats dans un tableau semblable à celui-ci.

Couleur des yeux (caractère étudié)

Nombre d’élèves

Bleus Br uns 2. Ton tableau représente-t-il exactement la distribution de la couleur des yeux des élèves de ta classe ? Pourquoi ? 3. Selon toi, ton tableau donne-t-il un aperçu de la distribution de la couleur des yeux des élèves de toute l’école ? Pourquoi ?

A

Que faudrait-il faire pour connaître la distribution exacte de la couleur des yeux des élèves de ton école ?

B

Selon toi, cette distribution ressemblerait-elle à celle de ton tableau ? Pourquoi ?

C

Pourrait-on connaître la distribution exacte de la couleur des yeux de la population québécoise ? Explique ta réponse.

Distribution : Ensemble des valeurs d’un caractère étudié et de l’effectif pour chacune de ces valeurs.

L’étude statistique

SECTION 2

21

Au fil du temps, les spécialistes en mathématique ont développé des outils statistiques qui nous permettent de connaître la distribution de variables statistiques (revenu, taille, couleur des yeux, couleur des voitures, intention de vote, espérance de vie, etc.) de populations entières, quel que soit le nombre d’individus qui les composent.

Méthodologie : Ensemble de règles, de procédés qui permettent d’arriver à un résultat.

Même s’il est fondamentalement impossible d’obtenir la distribution exacte des variables dans le cas de populations très grandes, nous verrons qu’il est tout de même possible de réaliser une étude fiable en travaillant avec méthodologie.

Une méthodologie... ça me fait penser à un algorithme.

Oui, un algorithme à plus grande échelle.

aaaction! 1. Pour connaître les intentions de vote de la population québécoise lors d’une campagne électorale, une firme de sondage doit-elle joindre toute la population ? Pourquoi ? 2. Selon toi, combien de personnes la firme de sondage doit-elle interviewer pour avoir une bonne idée des intentions de vote ? 3. Dans la classe : a) Quelle est la moyenne de toutes les réponses en 2 ? b) Quelle en est l’étendue ? 4. Désignez, tes camarades de classe et toi, une ou un responsable qui se chargera de trouver la bonne réponse à la question 1. L’élève peut, par exemple, consulter le site Web d’une firme de sondage ou envoyer un courriel à une ou à un spécialiste en la matière.

Population : Ensemble des unités sur lesquelles porte une étude statistique.

22

CHAPITRE 5

D’ici la fin du chapitre, tu auras à choisir le sujet de ton étude statistique. N’oublie pas que ton sujet porte sur une population cible. Les pages qui suivent te permettront de te familiariser avec la démarche qui consiste à questionner seulement un certain nombre de membres de la population cible sur une question concernant tous les membres de cette population.

La statistique

La population et l’échantillon 3

2

1

Population ou échantillon

La population cible, associée au sujet choisi, détermine, en quelque sorte, la méthodologie à suivre. Par exemple, voici trois sujets d’étude.

1

2

3

S’intéresser à la couleur des yeux des élèves de ta classe.

S’intéresser à la couleur des yeux de la population québécoise.

S’intéresser à la couleur des yeux des élèves d’une classe de Norvège.

A

Quel est le caractère étudié ?

B

Quelle est la population cible de chaque étude ?

C

Quelle étude semble la plus difficile à réaliser ? Pourquoi ?

D

Selon toi, quelle est la différence entre « population » et « échantillon » ?

E

Selon toi, comment pourrait-on déterminer un échantillon pour réaliser l’étude 2 ?

Attenti n Comme les premières études statistiques portaient sur les populations humaines, on a naturellement utilisé le mot « population » pour les désigner. Aujourd’hui, ce mot désigne aussi bien des populations humaines que des ensembles d’objets. Par le fait même, on peut nommer individu chaque élément d’une population, qu’il soit un être humain ou un objet.

La population (ou population cible) est l’ensemble des individus sur lesquels porte une étude statistique. Lorsque la population cible est trop grande pour qu’on puisse en questionner chaque individu (ou en observer ou en mesurer des aspects), on peut alors ne considérer qu’un échantillon (une partie) de cette population. REMARQUE

Pour pouvoir étendre les résultats d’une étude à la population entière, l’échantillon à considérer doit être formé dans le respect de certains principes statistiques, dont certains sont intuitifs.

L’étude statistique

SECTION 2

23

aaaction! Voici les sujets que cinq élèves du primaire ont choisis pour leur étude statistique.

Marc-Antoine veut connaître la masse moyenne de tous les livres de sa bibliothèque.

Julie veut savoir quelle fraction des gens ont déjà vu une vraie chauve-souris.

Pétulia s’intéresse à l’âge des personnes qui enseignent à son école.

Lynn veut connaître la couleur préférée des élèves de sa classe.

Wei veut rassembler des données sur le nombre de personnes qui vont régulièrement au théâtre.

1. Quelle est la population cible associée à chaque étude ? 2. Détermine quel pourrait être l’échantillon de chaque étude. 3. Existe-t-il plusieurs échantillons possibles pour une même population ? Si oui, donne un exemple. Si c’est impossible, explique pourquoi. 4. Quelles pourraient être les caractéristiques d’un « bon » échantillon ? 5. Selon toi, comment le choix de l’échantillon peut-il influencer la fiabilité d’une étude ?

Étude de...

6. Imagine des données qui pourraient être recueillies pour chaque étude. Présente-les dans un tableau semblable à celui ci-contre.

Marc-Antoine Julie

es Type de donné , .. 3 kg, 4,2 kg, 1,2 kg Oui, Oui, Non, ...

Les questions Dans certains cas, par exemple dans une étude statistique portant sur la couleur des yeux, la question à poser aux membres de la population cible est facile à formuler. Il est même possible de recueillir les données simplement en observant la couleur des yeux de la population ou de l’échantillon. 24

CHAPITRE 5

La statistique

Toutefois, la plupart des études statistiques qui portent sur des êtres humains nécessitent des questions plus complexes. Ces questions doivent être construites de façon qu’on obtienne l’information voulue. Voici les questions que Lynn et Wei ont posées pour réaliser leurs études. Lynn : « Quelle est votre couleur préférée : bleu ou rouge ? »

Wei : « Combien de fois par mois gaspillez-vous votre argent au théâtre ? »

A

Comment des questions de ce type risquent-elles d’affecter une étude statistique ?

B

Donne d’autres exemples de questions à éviter et indique pourquoi elles ne devraient pas être posées.

C

Quelles pourraient être les règles à suivre pour formuler les questions d’une étude statistique ?

On dit qu’une question de ce type introduit un biais dans l’étude statistique. Il sera d’ailleurs question de biais à la page 41.

Recensement ou sondage ? Il existe deux grands types d’études statistiques : le recensement et le sondage. A

Dans quels contextes as-tu déjà entendu : 1) le mot recensement ? 2) le mot sondage ?

B

Selon toi, quelle est la différence entre un recensement et un sondage ?

C

Parmi les études réalisées par les cinq élèves à la page 24, lesquelles pourraient être qualifiées de recensements ?

Un recensement est une étude statistique qui porte sur tous les individus d’une population. Lorsque les individus d’une population ne sont pas des êtres humains, le recensement porte le nom d’inventaire. Exemple : Tous les cinq ans, le gouvernement canadien recense la population au moyen de diverses questions allant du nombre de personnes dans une famille à leur type d’abonnement à Internet. Une loi stipule que toutes les Canadiennes et tous les Canadiens doivent participer à ce recensement. Un sondage est une étude statistique qui porte sur un échantillon d’une population. Si la méthode d’échantillonnage est adéquate, les résultats du sondage peuvent être étendus à toute la population. Exemple : Lorsqu’une firme de sondage veut connaître les intentions de vote des Québécois, elle en interroge seulement un échantillon (environ 1000 personnes). Elle choisit cet échantillon selon une méthodologie qui permet d’étendre les résultats du sondage à toute la population québécoise.

L’étude statistique

SECTION 2

25

Un échantillon représentatif La méthodologie utilisée pour réaliser un sondage est bien différente de celle utilisée pour recenser une population. Lorsqu’on réalise un sondage, on veut tirer des conclusions sur toute la population même si l’on a observé seulement un échantillon de cette population. Pour ce faire, il est essentiel de choisir l’échantillon selon une méthodologie bien précise.

aaaction! Pour réaliser un sondage sur les émissions de télévision préférées des Québécoises et des Québécois, des élèves ont proposé les échantillons présentés dans le tableau ci-dessous. Ils veulent poser la question suivante : « Quelle est votre émission de télévision préférée ? » Élèves

Échantillons proposés

Martin

Les membres de sa famille (incluant oncles, tantes, etc.)

Stéfanie Cora-Line

Une dizaine de clients d’un restaurant Les élèves de sa classe dont le prénom a plus de six lettres

Allison

Les enfants de la garderie de sa sœur

Marco

Toutes les personnes de sa rue dont le numéro d’immeuble est un multiple de 7

Sabera

Toutes les personnes qui figurent dans son carnet d’adresses de courrier électronique

Louis-Philippe

Une vingtaine de personnes jointes par téléphone en composant des numéros au hasard

À la page 41, tu verras qu’un échantillon inadéquat est aussi une source de biais.

Toi

Comment choisirais-tu ton échantillon ?

1. Classe les échantillons en deux catégories : ceux qui sont adéquats et ceux qui sont inadéquats. Justifie chacune de tes réponses. 2. Compare ton classement avec celui des autres équipes. Quel échantillon a été le plus difficile à classer ? Pourquoi ?

26

CHAPITRE 5

A

Selon toi, comment peut-on former un échantillon adéquat ou représentatif ?

B

Comment définirais-tu le hasard ?

La statistique

Pour former un échantillon représentatif d’une population cible, il existe plusieurs méthodes d’échantillonnage. Cette année, il est question d’aborder deux de ces méthodes : l’échantillonnage aléatoire simple et l’échantillonnage systématique.

Aléatoire : Qui relève du hasard.

L’échantillonnage aléatoire simple consiste à former un échantillon au hasard. Exemple : Générer des numéros de téléphone au hasard à l’aide d’un logiciel. L’échantillonnage systématique consiste à former un échantillon à partir d’une liste de tous les membres de la population, selon un critère déterminé à l’avance.

Marco était systématique.

Exemple : Choisir toutes les personnes se retrouvant en haut et à droite des pages impaires d’un annuaire téléphonique.

Même si ces méthodes d’échantillonnage s’appuient sur des règles mathématiques complexes, elles sont quand même intuitives. Tu les as peut-être d’ailleurs déjà utilisées pour classer les échantillons de l’action ! de la page précédente. C

Quels échantillons de l’action ! de la page précédente te rappellent : 1) la méthode d’échantillonnage aléatoire simple ? 2) la méthode d’échantillonnage systématique ?

D

Propose une autre façon de former un échantillon en utilisant : la méthode d’échantillonnage aléatoire simple ; 2) la méthode d’échantillonnage systématique. 1)

E

Comment ferais-tu pour choisir 100 personnes au hasard dans l’école ?

F

Comment ferais-tu pour choisir 100 personnes au hasard au Québec ?

G

Comment peux-tu choisir un chiffre au hasard entre 0 et 9 ? Est-ce vraiment du hasard ?

H

Donne un exemple de hasard dans la vie de tous les jours.

I

Indique si les situations suivantes relèvent ou non du hasard. 1) Le résultat d’une loterie. 2) Rencontrer un ami sur le chemin de l’école. 3) Rencontrer ta cousine sur un bateau à Hong Kong.

Question de

culture

LE HASARD Souvent associé au destin, le hasard fascine l’être humain depuis toujours. Les phénomènes qui s’expliquent difficilement sont fascinants, surtout quand on a l’impression que ces phénomènes ont une certaine influence sur notre quotidien. La théorie des probabilités développée à partir du 15e siècle a permis d’en connaître un peu plus sur le hasard, mais ce dernier demeure encore bien mystérieux.

L’étude statistique

SECTION 2

27

En pratique, les sondages sont plus fréquents que les recensements. Ils sont plus économiques et ils permettent de gagner du temps. De plus, ils donnent un portrait adéquat de la population. Toutefois, comme un sondage porte sur un échantillon plutôt que sur la population en entier, il ne donne pas un portrait exact. Intentions de vote Parti Pris

41 %

Parti Cipation

39 %

Parti Debonneheure

14 %

Autres/Indécis

6%

J

Ce sondage permet-il de déterminer avec certitude qui va remporter les élections ? Pourquoi ?

K

Comment la firme de sondage nous fait-elle part de cette incertitude dans ce tableau ?

L

Selon toi, est-il possible d’avoir un échantillon qui représente parfaitement la population ? Pourquoi ?

Sondage effectué auprès de 1023 personnes. Marge d’erreur : 3,1 %, 19 fois sur 20.

La collecte de données 1

3

2

Collecte de données

Après avoir choisi le sujet de l’étude et formé, s’il y a lieu, un échantillon représentatif de la population cible, il s’agit de recueillir les données dans un tableau de dénombrement. Titre

yeux Couleur des e 103 group des élèves du Caractère étudié

Couleur

Dénombreme

nt

Bleu pâle Bleu foncé Bleu-gris Bleu-vert Réponses possibles

Verts Pers Café

28

CHAPITRE 5

La statistique

Données recueillies

Types de données Le sujet de l’étude statistique influe aussi sur le type de données qui sont recueillies et sur lesquelles le reste de l’étude s’appuiera. A

Essaie de trouver deux sujets d’étude pour lesquels le type de données à recueillir serait différent.

B

Selon toi, combien y a-t-il de types de données ?

aaaction! Reprenons l’action ! de la page 24, en nous intéressant cette fois-ci au type de données recueillies. Marc-Antoine veut connaître la masse moyenne de tous les livres de sa bibliothèque.

Pétulia s’intéresse à l’âge des personnes qui enseignent à son école.

Julie veut savoir quelle fraction des gens ont déjà vu une vraie chauve-souris.

Wei veut rassembler des données sur le nombre

Lynn veut connaître la couleur préférée des élèves

de personnes qui vont régulièrement au théâtre.

de sa classe.

1. Selon toi, quelle est la différence entre une donnée qualitative et une donnée quantitative ? Sers-toi du tableau que tu as construit au numéro 6 de l’action !, à la page 24, pour répondre aux questions suivantes. 2. Quelles études généreront des données qualitatives ? 3. Les données suivantes sont toutes quantitatives. Utilise un critère de classement pour en faire deux types distincts. 1) La taille d’un individu. 2) Le nombre de bougies sur un gâteau. 3) Le nombre de frites dans un sac. 4) La masse d’un livre. 5) La vitesse d’une voiture sur une autoroute.

L’étude statistique

SECTION 2

29

Les données recueillies au cours d’une étude statistique peuvent être à caractère quantitatif ou à caractère qualitatif. Les données à caractère quantitatif sont des nombres. Lorsque les données peuvent prendre toutes les valeurs d’un intervalle, on dit que ce sont des données à caractère quantitatif continu. Ces données doivent nécessairement être arrondies parce qu’on ne peut connaître la valeur exacte.

Attenti n On peut tout aussi bien dire « données discrètes » ou « données continues », sans préciser qu’elles sont quantitatives.

Exemples : L’âge, la taille, la masse. Lorsque les données ne peuvent pas prendre toutes les valeurs d’un intervalle, on dit que ce sont des données à caractère quantitatif discret. Comme on peut connaître la valeur exacte de ces données, elles n’ont pas à être arrondies. Exemples : Résultat obtenu en lançant un dé, nombre de bonnes réponses à un questionnaire, nombre de mots dans un texte. Les données à caractère qualitatif ne sont pas des nombres. Exemples : Couleur des yeux, opinion, nationalité, numéro de téléphone, etc.

C

Est-ce qu’un numéro de téléphone est un nombre ?

aaaction! 1. Détermine si les données suivantes sont quantitatives ou qualitatives. Si elles sont quantitatives, précise également si elles sont continues ou discrètes. a) Le nombre de participants à une expérience quelconque. b) Le temps de réaction pendant une expérience quelconque. c) Le nombre de fois qu’un individu a visité un parc d’attractions, dans sa vie. d) Le nombre de manèges d’un parc d’attractions. e) L’aire d’une table de cuisine. f ) La couleur d’une table de cuisine. g) Le nombre de fois qu’on a lavé une table de cuisine. h) Le nombre de poils d’un ours. i ) La longueur d’un poil d’ours. j ) Le numéro de matricule d’un employé.

Je mesure 1,63 m ; est-ce une donnée discrète ou continue ?

2. Donne un exemple de question qui fournirait : a) des données qualitatives ; b) des données quantitatives de type discret ; c) des données quantitatives de type continu.

D

30

CHAPITRE 5

Dans tes propres mots, explique la différence entre « discret » et « continu ».

La statistique

aaaction! 1. À quels sujets d’étude pourraient se rattacher les données suivantes ?

a)

c)

b)

d)

2. Quelles données sont qualitatives ? 3. Quelles données semblent continues ? Pourquoi ? 4. Quelles données sont discrètes ?

L’étude statistique

SECTION 2

31

L’organisation des données 3

2

1

Organisation des données

Une fois que les données ont été recueillies à l’aide d’un tableau de dénombrement, il faut passer à l’étape d’organisation de ces données. Le tableau de distribution des effectifs permet cette organisation, en facilitant, entre autres, le regroupement de certaines données en classes.

Couleur des yeux des élèves du groupe 103

Couleur

Dénombrement

Bleu pâle Bleu foncé Bleu-gris Bleu-vert

Effectif : Le nombre d’éléments de chacune des classes du caractère étudié.

Verts

Reprenons par exemple le tableau de dénombrement de l’étude sur la couleur des yeux de la page 28.

Pers Café Noisette

A

Selon toi, que veut-on dire par « classe » ?

B

Comment peut-on trier des données qualitatives ?

C

Peut-on calculer la moyenne des données de cette étude ?

D

Selon toi, en combien de classes devrait-on regrouper ces données ? Compare ta suggestion avec celles de tes camarades.

Marron Brun pâle Brun foncé Noirs

Un tableau de distribution des effectifs, en plus de contenir l’effectif de chaque classe, donne la fréquence, qui représente le rapport entre l’effectif et le nombre total de données. La fréquence est normalement exprimée en pourcentage. Fréquence d’une classe (en %) =

effectif  100 nombre total de données

Caractère étudié Classe 1 Classe 2

32

CHAPITRE 5

La statistique

Effectif

Fréquence

aaaction! Voici deux façons d’organiser les données de la page précédente dans un tableau de distribution des effectifs. Couleur des yeux des élèves du groupe 103

Couleur des yeux des élèves du groupe 103

Couleur

Effectif

Fréquence

Couleur

Pas bruns

12

33,3 %

Bleu pâle

8

22,2 %

Bruns

24

66,6 %

Bleu foncé

2

5,5 %

Total

36

100 %

Brun pâle

14

38,8 %

Brun foncé

9

25 %

Autres

3

8,3 %

Total

36

100 %

1. Explique ce qui a été fait dans chacun des cas pour créer des classes. 2. À ton avis, lequel des deux tableaux représente le mieux les données ? Pourquoi ?

Effectif

Fréquence

3. Aurait-on pu organiser les données autrement ? Pourquoi ? 4. Que doit-on garder en tête lorsqu’on crée des classes ?

Encore une fois, c’est le sujet à l’étude qui aide à déterminer les classes appropriées. Par exemple, les classes utilisées dans le tableau de gauche de l’action ! ci-dessus permettent de répondre à la question : « Quel pourcentage de la classe a les yeux bruns ? » Cependant, elles sont complètement inutiles si on veut répondre à la question : « Quel pourcentage de la classe a les yeux pâles ? »

Question de

culture

LA COULEUR DES YEUX Tous les caractères géniques (couleur des yeux, teinte de la peau, forme des oreilles, pilosité, etc.) d’un individu proviennent des gènes qui lui sont transmis par ses parents. Même si l’enfant de l’illustration a reçu un gène « yeux bleus » de sa mère, il a les « yeux bruns » parce que le gène « yeux bruns » reçu de son père est dominant. Le gène « yeux bleus » est dit récessif parce qu’il faut avoir reçu deux gènes « yeux bleus » pour avoir les yeux bleus. Par conséquent, dans une population, on trouve plus de gens ayant les yeux bruns. En fait, on estime le pourcentage d’une population ayant les yeux bruns à 70 %.

L’étude statistique

SECTION 2

33

La présentation des résultats 3

2

1

Présentation des résultats

La présentation des résultats d’une étude statistique a beaucoup d’importance. En effet, ceux-ci doivent être compris par des personnes qui ne connaissent pas forcément le domaine. Nous disposons aujourd’hui d’outils informatiques très puissants pour construire les diagrammes dans lesquels sont présentés les résultats d’une étude. L’étude statistique sur la couleur des yeux du groupe 103 servira à illustrer la façon dont on peut présenter des résultats à l’aide d’un tableur. Suppose que cette étude concerne les gènes récessifs et les gènes dominants dans un cours de sciences. Voici le tableau de distribution des effectifs pour cette étude. Gène associé à la couleur des yeux des élèves du groupe 103 Caractère étudié Effectif

Fréquence

Couleur

Gène

Pas bruns

Récessif

12

33,3 %

Bruns

Dominant

24

66,6 %

Il suffit maintenant de recopier les données de ton tableau dans un tableur, de les sélectionner et de cliquer sur l’icône « création de graphiques ».

34

CHAPITRE 5

La statistique

En suivant les instructions qui apparaissent à l’écran, il est possible de créer plusieurs types de diagrammes. Gène associé à la couleur des yeux des élèves du groupe 103

Gène associé à la couleur des yeux des élèves du groupe 103 30

Effectif

25 Dominant Récessif

20 15 10 5 0

Récessif

Dominant Gène

Gène associé à la couleur des yeux des élèves du groupe 103

Gène associé à la couleur des yeux des élèves du groupe 103

30

Effectif

25

Gène

Dominant

20 15 10 5

Récessif

0

Dominant

Récessif Gène

0

5

10

15

20

25

30

Effectif

A

Nomme les types de diagrammes que tu connais.

B

Quel type de diagramme te semble le plus approprié pour cette étude ? Pourquoi ?

On peut faire beaucoup d’autres types de diagrammes avec un tableur.

L’informatique est utile parce qu’elle permet de construire des graphiques rapidement. Toutefois, elle comporte des limites. Les aspects mathématiques, comme déterminer le type de diagramme approprié, relèvent de l’utilisatrice ou de l’utilisateur. Le tableur, qui n’est en fait qu’une calculatrice à fonctions multiples, ne peut pas s’en charger. C

À ton avis, un ordinateur pourra-t-il faire des mathématiques un jour ?

Pour être en mesure de déterminer quel type de diagrammes peut servir à représenter les résultats d’une étude, il est important de connaître leurs principales caractéristiques. Cette année, trois types de diagrammes sont étudiés : le diagramme à ligne brisée, le diagramme circulaire et le diagramme à bandes.

Une calculatrice, ça sert à calculer, pas à faire des mathématiques. ≤≥ JOHN A. VAN

L’étude statistique

DE

WALLE

SECTION 2

35

Le diagramme à ligne brisée

Diagramme : Terme général servant à désigner une représentation schématique d’un ensemble de données. Le mot « diagramme » vient du grec diagramma qui signifie « figure dessinée » ou « dessin ».

On utilise un diagramme à ligne brisée pour représenter la relation entre deux données. Il est donc tout indiqué pour représenter la variation d’un caractère étudié selon le temps.

Les deux diagrammes à ligne brisée ci-dessous représentent l’évolution des températures à Montréal au cours d’une année.

25 20 15 10 5 0  5  10  15 J

F

M

Le deuxième diagramme me fait penser à la droite trouée du chapitre 1.

36

2

Températures moyennes mensuelles à Montréal

Température (ºC)

Température (ºC)

1

CHAPITRE 5

A

M J J A S Mois de l’année

O

N

D

Températures moyennes mensuelles à Montréal

25 20 15 10 5 0  5  10  15 J

F

M

A

M J J A S Mois de l’année

O

N

D

A

Qu’y a-t-il de différent entre les deux diagrammes ?

B

Les deux diagrammes sont-ils appropriés pour représenter l’évolution de la température ?

C

Donne deux sujets d’étude dont les résultats pourraient être présentés à l’aide d’un diagramme à ligne brisée.

D

Donne un sujet d’étude qu’il serait préférable de présenter à l’aide d’un autre type de diagramme.

E

Construis le tableau de distribution des effectifs qui a servi à la construction des diagrammes ci-dessus.

F

Essaie de rédiger une procédure à suivre pour dessiner un diagramme à ligne brisée à partir d’un tableau de distribution des effectifs.

La statistique

Le diagramme circulaire Le diagramme circulaire est souvent utilisé pour représenter des résultats lorsque leur relation à un tout est fondamentale. Il est tout indiqué pour représenter l’emploi du temps ou les budgets. Dans un diagramme circulaire, pour chaque classe, la mesure de l’angle est proportionnelle à l’effectif.

Attenti n La construction d’un diagramme circulaire demande des connaissances sur les angles et sur la proportionnalité que nous verrons plus tard dans le cycle. Pour l’instant, on se limitera à l’interprétation des données présentées à l’aide de ce type de diagramme.

Voici un diagramme circulaire. Emploi du temps d’un adolescent de 13 ans durant une semaine

Loisirs 12,8 % Autres 12,5 %

Sommeil 37,2 %

Transport 4,2 % École 25 % Devoirs 8,3 %

A

Selon toi, quels sont les avantages de ce type de diagramme ? Donnes-en un.

B

Donne deux sujets d’étude dont les résultats pourraient être présentés à l’aide d’un diagramme circulaire.

C

Essaie de construire le tableau de distribution des effectifs qui a pu servir à la construction du diagramme ci-dessus.

L’étude statistique

SECTION 2

37

Le diagramme à bandes Lorsque les résultats ne conviennent ni à un diagramme à ligne brisée ni à un diagramme circulaire, ils sont souvent présentés dans un diagramme à bandes.

Il existe deux façons de présenter un diagramme à bandes : avec des bandes verticales ou des bandes horizontales. Longueur des fleuves les plus importants

1

Longueur (en milliers de km)

Longueur des fleuves les plus importants Fleuves

8

Amazone

7

Gange

6

Mississippi

5

Nil

4

Rhin

3

Saint-Laurent Seine

2

Volga

1

Zaïre

Lorsque tu construis un diagramme, rappelle-toi de l’intituler. S’il s’agit d’un diagramme à ligne brisée ou d’un diagramme à bandes, tu dois aussi identifier la droite verticale (l’axe des ordonnées) et la droite horizontale (l’axe des abscisses). La graduation des deux axes doit également tenir compte de l’étendue de tes données.

CHAPITRE 5

La statistique

0

1

2

3

4

5

6

7

8

Longueur (en milliers de km)

Fleuves

Diagramme à bandes verticales

Attenti n

Zaïre

Volga

Seine

Saint-Laurent

Rhin

Nil

Mississippi

Gange

Amazone

0

38

2

Diagramme à bandes horizontales

A

À ton avis, pourquoi choisit-on un diagramme à bandes verticales plutôt qu’un diagramme à bandes horizontales pour présenter des données ?

B

Dans l’exemple ci-dessus, quel type de diagramme convient le mieux, selon toi ?

C

Donne deux sujets d’étude dont les résultats pourraient être présentés à l’aide d’un diagramme à bandes.

D

Construis le tableau de distribution des effectifs qui a servi à construire les diagrammes ci-dessus.

E

Essaie de rédiger une procédure à suivre pour dessiner un diagramme à bandes.

Les interprétations et les conclusions 3

2

1

Interprétations et conclusions

Tu passeras probablement plusieurs heures à chercher un sujet d’étude, à recueillir des données et à les organiser convenablement. Tu devras ensuite présenter tes résultats dans un diagramme approprié, les interpréter et émettre des conclusions. A

Quelles conclusions peux-tu tirer de l’étude sur la couleur des yeux des élèves du groupe 103 ?

B

Quelles sont les étapes à suivre pour rédiger une bonne conclusion ?

C

Quelle importance accordes-tu à la rédaction d’une conclusion ? Pourquoi ?

L’étude statistique prend tout son sens lorsque vient le temps d’émettre des conclusions à la fin du travail accompli. Pour pouvoir conclure de façon adéquate, il faut d’abord avoir interprété les données qu’on a recueillies et présentées. Prenons par exemple le diagramme suivant.

Temps (min)

Temps d’attente à la caisse d’une épicerie de 10 h 30 à 18 h 30 40 30 25 20 15 10 5 0 10 h 30

11 h 30

12 h 30

13 h 30

14 h 30

15 h 30

16 h 30

17 h 30

18 h 30

Heure

D

Selon toi, les énoncés suivants sont-ils des interprétations ou des conclusions ? 1) Lorsque Lisa est pressée, elle va à l’épicerie le matin. 2) L’attente est plus longue en fin d’après-midi car on s’approche de l’heure du souper. 3) Si on veut rencontrer beaucoup de gens pour essayer de leur vendre du chocolat, l’épicerie est un bon endroit, vers 17 h 30, pour les rencontrer. 4) L’attente y est moins longue lors des heures normales de bureau (à l’exception de l’heure du dîner).

L’étude statistique

SECTION 2

39

Interpréter un diagramme, c’est tenter d’expliquer les raisons qui font en sorte que les données qu’il contient sont distribuées de telle ou telle façon. Émettre des conclusions, c’est dire comment nos interprétations influenceront nos comportements, ou nos actions.

aaaction! Voici un diagramme à ligne brisée représentant l’évolution des ventes de bicyclettes chez Provélo pour les mois de mars, avril, mai, juin, juillet et août.

Nombre de vélos vendus

Évolution des ventes de Provélo 230 225 200 175 150 125 100 75 50 25 0 Mars

Avril

Mai

Juin

Juillet

Août

Temps (mois)

1. En une trentaine de mots, explique ton interprétation de l’évolution des ventes de bicyclettes chez Provélo. 2. Compare ton interprétation avec celle de quelques élèves. Que constates-tu ? 3. Est-il possible que l’interprétation d’un diagramme soit différente d’une personne à l’autre ? Pourquoi ? 4. Quelles conclusions peux-tu émettre en te basant sur les interprétations du diagramme énoncées dans ta classe ?

En plus des différences d’interprétation qui sont attribuables à la connaissance du domaine, aux habiletés de rédaction ou même à la personnalité des individus, il faut également considérer un autre facteur qui peut influencer l’interprétation : les biais. 40

CHAPITRE 5

La statistique

Les biais Lorsqu’on interprète les résultats d’une étude ou lorsqu’on rédige une conclusion, il faut se méfier des biais qui peuvent avoir faussé les résultats de notre étude. Des résultats biaisés risquent de conduire à des interprétations ou à des conclusions inappropriées.

J’entends souvent cette phrase : « Les résultats étaient biaisés ! »

Biais : Facteur, ou ensemble de facteurs, qui vient fausser les résultats ou l’interprétation des résultats d’une étude statistique.

Qui dit étude statistique dit biais. Le travail des spécialistes en statistique consiste à minimiser ces biais tout au long de la réalisation d’une étude statistique. A

Donne ta propre définition du mot « biais ».

B

Essaie de trouver un synonyme de biais.

Comme les statisticiennes et les statisticiens n’ont pas le contrôle sur tout, ils doivent porter une attention particulière aux éléments sur lesquels ils peuvent exercer un contrôle (choix des questions, choix de l’échantillon, etc.). De cette façon, les résultats seront les plus fiables possible. Il est impossible d’éliminer tous les biais d’une étude statistique. On doit cependant s’efforcer de minimiser leur impact. Un biais peut être introduit à toutes les étapes de l’étude statistique. En voici deux exemples.

exploration Quel biais pourrait se glisser dans une étude servant à déterminer le prix d’un abonnement mensuel ?

La formulation des questions Un statisticien s’intéresse aux intentions de vote des habitants d’un village. Il introduirait un biais dans son sondage s’il posait la question suivante : «Êtes-vous le type de personne qui vote pour un parti autre que le seul vrai parti, le parti A ? »

C

Pourquoi cette question est-elle inappropriée ?

D

Reformule la question pour qu’elle soit appropriée.

L’étude statistique

SECTION 2

41

Le choix d’un échantillon représentatif Une statisticienne s’intéresse au salaire annuel moyen des Montréalais. Elle introduirait un biais si elle formait un échantillon à partir des clients d’un concessionnaire de voitures de luxe. E

Pourquoi l’échantillon choisi serait-il inapproprié ?

Lis attentivement le texte suivant. Il montre comment certains biais peuvent même fausser une étude statistique à l’insu de la statisticienne ou du statisticien.

Les premières enquêtes sur le taux de mortalité par cancer du poumon ont mené à des résultats erronés, car elles ne tenaient pas compte du fait qu’une certaine par-

tie de l’échantillon était composée de fumeurs. À l’époque, on ne pensait pas que l’usage du tabac pouvait avoir une incidence sur la probabilité de développer

un cancer du poumon. On sait aujourd’hui que ces enquêtes étaient faussées dès le départ parce que les échantillons étaient mal constitués.

Qui sait si une variable inconnue fausse des enquêtes menées de nos jours ?

aaaction! 1. Donne un autre exemple de biais qui pourrait être introduit dans une étude statistique. 2. Montre ton exemple à une ou à un camarade et demande-lui s’il est possible d’éliminer ce biais. Si oui, comment ?

Torturez les nombres et vous obtiendrez la confession que vous voulez. ≤≥ GREGG EASTERBROOK

42

CHAPITRE 5

La statistique

activites

1. Un coup de fil a) Nomme un avantage à réaliser un sondage par téléphone. b) Nomme un inconvénient de cette méthode de sondage. c) Quel biais faut-il tenter d’éviter dans une étude statistique menée par téléphone ? d) Quel biais peut-on éviter en utilisant le téléphone ?

2. Question de citation Les questions occupent une place importante en statistique. Voici ce que certains hommes influents pensent des questions. Il existe plusieurs questions que les imbéciles peuvent poser sans que les sages puissent y répondre. ≤≥ GEORGE PÓLYA, MATHÉMATICIEN HONGROIS (1887-1985)

Le seul moment où on peut poser une question c’est lorsque toutes les possibilités de trouver la réponse soi-même ont été éliminées. ≤≥ BENJAMIN FRANKLIN,

HOMME

POLITIQUE ET PHYSICIEN AMÉRICAIN

(1706-1790)

Celui qui pose une question est un imbécile pour cinq minutes ; celui qui ne pose pas de question reste imbécile pour toujours. ≤≥ CONFUCIUS, PHILOSOPHE CHINOIS (VERS 551-479 AV. J.-C.)

L’éducation est un voyage qui commence par une question d’enfance. ≤≥ DAVID L. FINN,

PROFESSEUR DE MATHÉMATIQUE À L’UNIVERSITÉ D’INDIANA

a) Laquelle de ces citations préfères-tu ? Pourquoi ? b) Y a-t-il une citation avec laquelle tu es en désaccord ? Si oui, laquelle ? Pourquoi ? c) Trouve une autre citation qui contient le mot « question ».

L’étude statistique

SECTION 2

43

3. Inventaire

4. Matière à réflexion

a) Donne deux sujets d’étude pour lesquels il serait approprié (et réaliste) de faire un recensement ou un inventaire.

Vrai ou faux ? Explique ta réponse.

b) Donne deux sujets d’étude pour lesquels il serait inapproprié (ou irréaliste) de faire un recensement ou un inventaire.

5. Des « biais » perdants

a) L’échantillon pourrait être plus grand que la population, mais c’est rare. b) Mesurer la capacité de tous les verres de la maison, c’est dresser un inventaire. c) Je n’ai pas de question précise à poser aux gens ; j’improvise chaque fois, mais ça ne change rien aux résultats de mon sondage. d) Si l’on annonce 30 % de probabilité d’averses pour samedi et 70 % de probabilité d’averses pour dimanche, alors il pleuvra certainement en fin de semaine.

6. Au hasard, vraiment ?

a) Dresse une liste de ce qui pourrait biaiser un échantillon, selon toi. b) Quels étaient les biais dans les échantillons proposés par les élèves à la page 26 ?

a) Écris (au hasard) une séquence de 50 chiffres (de 0 à 9) le plus vite possible. b) Selon toi, combien de fois chaque chiffre se répète-t-il ? Vérifie-le. c) À ton avis, pourquoi est-ce ainsi ? d) Demande à ton père ou à ta mère de faire cet exercice.

c) Certains de ces biais sont-ils plus importants ou plus graves que d’autres ? Explique ta réponse.

7. Pile ou face ? a) Combien de fois faut-il lancer une pièce de monnaie avant d’obtenir un nombre égal de résultats pile et face ? Essaie-le. b) Si tu recommences, faudra-t-il le même nombre de lancers ? Pourquoi ?

44

CHAPITRE 5

La statistique

8. Météo hebdo

Moi, je choisis une ville d’Asie !

a) Choisis secrètement une ville dans le monde dont tu peux connaître la température tous les jours. b) Note la température de la ville que tu as choisie pour tous les jours de la semaine dernière. c) Construis un diagramme à ligne brisée pour présenter les températures que tu as notées. Avec Internet et un tableur, c’est facile !

9. Une grande soif Voici un tableau qui présente les ventes de boissons non alcoolisées au Canada et au Québec. Ventes pour les 52 semaines se terminant le 12 juin Croissance Lait Boissons gazeuses Jus et boissons aux fruits Eau embouteillée



2%

1,8 milliard $



4%

435 millions $



1%

1,7 milliard $



1%

420 millions $



5%

1,2 milliard $



5%

361 millions $



24 %

291 millions $



32 %

48 millions $

5%

86 millions $



13 %

14 millions $



47 %

3 millions $



57 %

0,8 million $



Boissons de soja Boissons énergétiques

Ventes

a) Décris en quelques lignes l’état de la consommation de boissons non alcoolisées au Québec. b) Construis un diagramme à bandes horizontales représentant la croissance de chaque type de boisson au Québec. c) Comment expliques-tu la forte croissance des boissons énergétiques ? d) Quel type de boisson consommes-tu le plus ? Pourquoi ?

L’étude statistique

SECTION 2

45

10. Un code qui a du caractère Une entreprise de sondage assez particulière mène une étude sur le code postal des clients d’un commerce. a) Quels pourraient être les objectifs de cette étude ? b) Le caractère étudié est-il qualitatif ou quantitatif ? Justifie ta réponse.

11. Mesure, observation ou question a) Donne un sujet de sondage pour lequel il faudrait mesurer des objets pour recueillir des données. b) Donne un sujet de sondage pour lequel il faudrait observer des gens pour recueillir des données. c) Donne un sujet de sondage pour lequel il faudrait questionner des gens pour recueillir des données. Ça me donne des idées pour mon sondage...

12. Le type de données

13. Le recensement

Quel type de diagramme est rarement utilisé pour représenter des données qualitatives ? Pourquoi ?

En Suisse, le recensement fédéral de l’an 2000 a permis de dresser une liste de tous les moyens de transport utilisés par la population suisse pour se rendre au travail. Automobile seulement

51,5 %

Auto et transports publics

5,2 %

Transports publics urbains

10,0 %

Transports publics interurbains

1,8 %

Tramway

8,3 %

Vélo, moto et transports publics

2,7 %

À pied

10,4 %

Vélo et cyclomoteur

10,1 %

a) Pour une population active d’environ 4 millions d’habitants, combien de personnes cela représente-t-il dans chaque catégorie ? b) Représente la situation à l’aide d’un diagramme de ton choix. c) Selon toi, quelle est la principale différence entre les moyens de transport utilisés en Suisse et ceux utilisés ici ?

46

CHAPITRE 5

La statistique

14. Ah ! la Suisse !

15. Des données qui ont du caractère

Il y a plusieurs années, une enquête menée auprès de nombreux Suisses professionnellement actifs a permis de connaître leur opinion à propos de l’affirmation suivante : « Il faut chercher à travailler le moins possible. »

Commente les énoncés suivants et donne un exemple.

«

Voici les résultats de cette enquête : Tout à fait d’accord Plutôt d’accord

14 %

Plutôt en désaccord

58 %

Totalement en désaccord

23 %

Sans opinion

Même si les données d’un sondage sont qualitatives, les résultats, eux, peuvent toujours être quantitatifs.

3%

» »

«

2%

Lorsqu’on peut calculer la moyenne, les données sont nécessairement quantitatives.

Dans une autre enquête, la question suivante était posée : « Entre une augmentation de salaire et une diminution du temps de travail, que choisissez-vous ? » Les réponses des 1000 personnes interrogées se répartissaient ainsi : 516 ont préféré la diminution du temps de travail ; 299 ont choisi l’augmentation de salaire ; 85 étaient indécises ; 100 n’ont pas répondu.

a) Représente les résultats de ces deux enquêtes à l’aide de diagrammes à bandes. b) À partir de l’interprétation que tu fais de ces diagrammes, quelles conclusions tires-tu ? c) Selon toi, une des questions était-elle biaisée ? Explique ta réponse.

16. Une histoire de budget Voici le budget d’une famille qui pense disposer d’environ 48 000 $ pour les 12 prochains mois. a) Estime la somme allouée à chacun des postes budgétaires et construis le tableau de distribution des effectifs correspondant.

Budget annuel (répartition) • • • •

Frais de garderie Transports Loisirs Voyages

• Alimentation • Boissons

b) Représente la même situation à l’aide d’un diagramme à bandes. c) En quoi ce budget diffère-t-il de celui de ta famille ? En quoi est-il semblable ?

Habillement

• • • •

• Assurances • Impôts

L’étude statistique

Logement Chauffage Éclairage Divers

SECTION 2

47

17. Pour chaque dollar Attribuer 4 ¢ pour l’éducation, ça veut dire que 4 % des impôts vont à l’éducation.

Les contribuables paient des impôts au gouvernement pour chaque dollar gagné. Le gouvernement dépense ensuite cet argent selon des priorités établies de façon démocratique. L’illustration ci-dessous montre la façon dont chaque dollar est dépensé par le gouvernement américain. Représente cette situation à l’aide d’un diagramme circulaire.

3¢

14 ¢

Pension d’anciens combattants

Sécurité d’emploi

3¢

5¢

Transports

Autres

23 ¢ Sécurité sociale

4¢

10 ¢

16 ¢

22 ¢

Éducation, formation, etc.

Intérêts nets

Défense nationale

Santé

18. Attention ! Commente les phrases suivantes. a) Plus le nombre de personnes interrogées est élevé, plus le sondage est représentatif de la réalité. b) Je vais au café du coin le mardi matin à 10 h pour interroger des gens au hasard. c) Quand je réponds à un sondage, je conte toujours quelques mensonges. Je ne sais pas pourquoi. d) La moyenne d’un échantillon se situe toujours en plein centre de l’échantillon. e) Si on enlève une donnée, c’est sûr que la moyenne baisse. 48

CHAPITRE 5

La statistique

19. Des « bibittes » de tout poil Jonathan et Héloïse ont interrogé des familles sur leur animal de compagnie. Ils avaient fixé les règles suivantes. 1 Si une famille répond qu’elle n’a pas d’animal, elle ne compte pas dans le sondage. 2 Si une famille a plus d’une espèce animale, seule la première espèce nommée compte. 3 Si une famille a plus d’un animal de la même espèce, par exemple deux chats, un seul animal est compté. Ils ont questionné des familles jusqu’à ce qu’ils aient obtenu 50 réponses. Voici les résultats de leur enquête. a) Organise ces données dans un tableau comprenant six classes au maximum. b) Construis un diagramme à bandes horizontales pour présenter ces données. c) Cette étude permet-elle d’arriver à la conclusion que 38 % des familles possèdent un chat ? Pourquoi ? d) Énonce une conclusion pour cette étude.

Animal

Dénombrement

Chat Chien Lézard Souris Perruche Tarentule Hamster Tourterelle Cochon d’Inde Lapin Serpent

20. NZQD a) Trouve deux sujets d’études statistiques pour lesquels on obtiendrait des données quantitatives discrètes et deux sujets pour lesquels on obtiendrait des données quantitatives continues. b) Invente une dizaine de données pour chaque étude. c) Quel parallèle peut-on faire entre les types de données quantitatives et les ensembles de nombres étudiés au chapitre 1 ? Explique ta réponse.

L’étude statistique

SECTION 2

49

Tu as eu l’occasion, dans ce chapitre, de voir comment il était possible d’intégrer des notions de statistique en probabilité. Ces liens te seront certainement utiles lorsqu’il sera question de poursuivre l’étude de la probabilité plus tard dans le cycle. À cet effet, reprenons l’étude sur la couleur des yeux des élèves du groupe 103. Interprétation statistique Couleur

Effectif Fréquence

Bleu pâle

8

22,2 %

Bleu foncé

2

5,5 %

Brun pâle

14

38,8 %

Brun foncé

9

25 %

Autres

3

8,3 %

Total

36

100 %

Le brun pâle est la couleur la plus courante pour les yeux. Peu de gens ont les yeux d’une autre couleur que bruns ou bleus. Interprétation probabilité (ou probabiliste) La probabilité qu’une personne prise au hasard dans ce groupe ait les yeux 14

brun pâle est de 36 , soit 38,8 %. La probabilité qu’une personne prise au hasard dans ce groupe n’ait pas 3

les yeux bruns ou bleus est de 36 , soit 8,3 %.

On peut transposer ce raisonnement dans d’autres domaines. a) Quelle est la probabilité de perdre à cette loterie ?

Nombre de combinaisons

À chaque tirage hebdomadaire de la loterie, il y a 1 combinaison gagnante et 13 983 815 combinaisons perdantes.

b) Observe les statistiques de conduite de deux conducteurs. 1)

Selon toi, qui a la plus grande probabilité d’avoir un accident ? Pourquoi ?

2)

Selon toi, qui a la plus grande probabilité d’avoir une contravention ? Pourquoi ?

Perdre à la loterie 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

1

•

Cette conductrice n’a jamais eu d’accidents.

•

Cette conductrice n’a jamais eu de contraventions.

Gagnantes Perdantes

Combinaisons

•

3 accidents au cours de la dernière année.

•

6 contraventions au cours des 24 derniers mois.

2

c) Dans tes propres mots, explique comment on peut se servir d’une statistique pour calculer une probabilité.

50

CHAPITRE 5

La statistique

1. L’énergie Voici un diagramme publié dans un quotidien.

Quantité d’énergie (TWh)

Le déficit énergétique se creuse 210 205 200 195 190 185 180 175 170 165 0

182,0 (1,4) 180,6

186,3 (4,6) 181,7

2004

2005

191,6 (5,5)

194,4 (7,1)

186,1

187,3

2006

2007

197,4 (7,2) 190,2

2008

199,9 (7,7) 192,2

2009

Demande totale en térawattheures (TWh) Déficit prévu (TWh) Production prévue (TWh)

202,5 (7,6)

205,4 (9,4)

194,9

196,0

2010

2011 Année

a) Comment s’appelle ce type de diagramme ? b) Construis le tableau de données sur lequel on a dû se baser pour le construire. c) Que signifient les nombres entre parenthèses dans ce diagramme ? d) Qu’est-ce qu’un TWh ? e) Selon toi, pourrait-on réduire la consommation d’énergie plutôt que d’augmenter sa production ? Explique ta réponse.

Bric à maths

CHAPITRE 5

51

2. Un vent de fraîcheur JEU 26 août

VEN 27 août

SAM 28 août

DIM 29 août

LUN 30 août

MAR 31 août

T. MAX.

27 °C

28 °C

25 °C

24 °C

26 °C

21 °C

T. MIN.

17 °C

17 °C

16 °C

17 °C

17 °C

21 °C

Ciel variable

Ciel variable

Nuageux avec éclaircies et averses isolées

Nuageux avec éclaircies et averses isolées

Nuageux avec orages

Ensoleillé

CIEL

P.D.P.

30 %

30 %

30 %

40 %

60 %

0%

VENTS

15 km/h

10 km/h

5 km/h

10 km/h

10 km/h

5 km/h

Légende : T. : Température P.D.P. : Probabilité de précipitations

a) À partir des températures de ce tableau, construis un diagramme à ligne brisée présentant la température maximale et la température minimale de chaque journée. Utilise deux couleurs : une pour les températures maximales et l’autre pour les températures minimales. b) En utilisant d’autres données de ce tableau, construis un diagramme à bandes. c) Quelle est la température moyenne pour cette période ? d) Quelle est l’étendue des températures pour cette période ? e) Recommence avec les températures prévues pour les six prochains jours dans la capitale d’un pays de ton choix. Tu trouveras l’information dont tu as besoin dans Internet.

52

CHAPITRE 5

La statistique

3. Transport à dos de huard Budget du ministère des Transports du Québec (2004-2005)

Voici comment le gouvernement du Québec pourrait présenter son budget pour le transport. a) Si le ministère des Transports avait utilisé une pièce de 25 ¢ pour créer son diagramme, la représentation du budget aurait-elle été la même ? Pourquoi ?

26,3 % 59,1 % 2,5 %

b) Crée un diagramme pour représenter la répartition de tes dépenses.

12,1 %

Activités ministérielles

Rémunération

Subventions

Activités de soutien

4. Interprétation Ce diagramme à ligne brisée indique des prévisions de température à long terme (ligne jaune). 4 avr. - 17 avr.

20º 15º 10º 5º 0º

SAM DIM

4

5

6

7

8

9

10

SAM DIM

11

12

13

14

15

16

17

a) Si on se fie à ce diagramme à ligne brisée, quelle est : la moyenne des températures prévues du 4 au 17 avril ? 2) l’étendue des températures prévues du 4 au 17 avril ? 1)

b) Selon toi, que représente la ligne rouge ? c) Selon toi, quelles prévisions sont les plus fiables dans ce diagramme ? Pourquoi ?

Bric à maths

CHAPITRE 5

53

5. De grandes dépenses Le diagramme ci-dessous présente les dépenses de l’administration fédérale américaine de 1900 à 1997. Dépenses fédérales annuelles, 1900-1997 (corrigé selon l’inflation, à la valeur du dollar US en 1999)

Milliards de dollars US (à la valeur de 1999)

1800

Autres Éducation

1600

Assurance santé Soins de santé

1400 1200

Sécurité d’emploi Intérêts sur la dette nationale

1000

Sécurité sociale Administration de la justice

800

Ressources nationales et environnement

600

Administrations publiques

400

Affaires internationales Pension d’anciens combattants

200

Défense nationale

0 1900 1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 Année

a) Qu’est-ce qui te frappe dans ce diagramme ? Peux-tu l’expliquer ? b) Depuis le début des années 1990, seulement quelques secteurs voient leur part de budget augmenter. Lesquels ? c) Quel montant d’argent (approximatif) le gouvernement des États-Unis consacrait-il à son programme de sécurité sociale en 1985 ? d) Si l’on estime qu’en 1995 la population des États-Unis était d’environ 300 millions de personnes, combien d’argent le gouvernement américain dépensait-il alors par personne annuellement pour la défense nationale ? e) Formule quelques questions à propos de ce diagramme et demande à une ou à un camarade d’y répondre.

6. Vroum Trouve deux sujets d’études statistiques basées sur la photo suivante.

54

CHAPITRE 5

La statistique

7. Mystère et boule de gomme

8. Plus qu’elle, mais moins que lui.

Voici un graphique trouvé dans Internet.

a) Construis un diagramme à bandes représentant le nombre de minutes que tu as consacrées aux travaux scolaires, à la maison, lors des derniers jours. b) Calcule le nombre de minutes que ta classe passe, en moyenne, à faire des travaux scolaires, chaque soir.

a) Que peut-il bien vouloir dire ? On voit à quoi ça sert de bien identifier nos axes et de mettre un titre !

b) Compare ta réponse avec celles de tes camarades et entendez-vous pour trouver la signification la plus plausible.

9. Pouding-chômeur Taux de chômage au Canada (1976-2003) 14

Taux de chômage (%)

12 10 8 6 4 2 0 1976

1979

1982

1985

1988

1991

1994

1997

2000

2003 Année

En quelques mots, raconte l’histoire de l’évolution du taux de chômage de 1976 à 2003.

Bric à maths

CHAPITRE 5

55

10. Drôle de sondage 2

75 %

1

80 % DES CLIENTS SONT S

des dentis tes dent le de ntifrice

recomman

LATION SATISFAITS DES INSTAL DU PARC AQUATIQUE

L’éclaboussure

PATA D A

contre la carie.

N

3

66 23 % des personnes interrogées préfèrent le théâtre d’été

Sous les projecteurs. a) Transforme les pourcentages contenus dans ces publicités en fractions. b) Quelle est la taille du plus petit échantillon possible qui aurait pu fournir ces résultats ? c) Selon toi, peut-on avoir confiance en un sondage qui utilise un si petit échantillon ? Pourquoi ? Garde l’œil ouvert et essaie de repérer des sondages douteux dans les journaux et à la télévision.

11. C’est où, la Maurienne ? a) Combien d’avalanches y a-t-il eu en janvier 1981, en Maurienne, selon ce diagramme ?

c) Dans quel pays trouve-t-on la Maurienne ?

25 Nombre d’avalanches

b) Quel pourcentage de ces avalanches ont eu lieu le 20 janvier ?

Avalanches en 1981, en Maurienne

20 15 10 5 0

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 Jour du mois de janvier 1981

56

CHAPITRE 5

La statistique

12. Ô Canada Population du Canada 1er octobre 2003

1er janvier 2004

1er octobre 2004

1er janvier 2005

31 747 670

31 788 635

32 040 292

32 078 819

Terre-Neuve-et-Labrador

518 952

518 809

516 875

516 986

Île-du-Prince-Édouard

137 431

137 620

137 744

137 734

Nouvelle-Écosse

937 082

937 220

938 134

937 538

Nouveau-Brunswick

750 877

750 741

751 449

751 257

Québec

7 509 504

7 516 950

7 560 592

7 568 640

Ontario

12 299 514

12 312 421

12 439 755

12 449 502

1 163 003

1 164 962

1 173 164

1 174 645

994 663

994 443

996 194

995 280

Alberta

3 170 227

3 179 066

3 212 813

3 223 415

Colombie-Britannique

4 164 043

4 173 596

4 209 856

4 219 968

Territoire du Yukon

30 878

30 927

31 167

31 227

Territoires du Nord-Ouest

42 362

42 629

42 925

42 944

Nunavut

29 134

29 251

29 624

29 683

Canada

Manitoba Saskatchewan

a) Quel pourcentage de la population du Canada habite en Ontario ? b) La population du Canada est-elle en pleine croissance, selon toi ? Explique ta réponse. c) Y a-t-il un aspect qui te surprend dans ce tableau ? Construis un diagramme à bandes qui présente cet aspect.

13. Ah ! comme la neige a neigé !

« «

14. Moyens salaires

Commente les énoncés suivants. Si on connaît la quantité de neige tombée tous les jours d’une semaine, on peut calculer la quantité moyenne de neige tombée par jour.

»

Si on connaît la quantité moyenne de neige tombée par jour au cours d’une semaine, on peut calculer la quantité de neige tombée chaque jour de la semaine.

»

Dans une entreprise, 20 employés gagnent 10 $ l’heure et 40 employés gagnent 14 $ l’heure. Quel est le salaire horaire moyen des employés de cette entreprise ?

Bric à maths

CHAPITRE 5

57

15. Vrai ou faux ?

16. Un dimanche à la pige

Indique si les énoncés suivants sont vrais ou faux. Explique tes réponses.

Un pigiste a travaillé, en moyenne, 9 heures par jour au cours de la semaine dernière.

a) La moyenne d’un échantillon composé de fractions est nécessairement une fraction. b) La moyenne d’un échantillon composé de nombres naturels est nécessairement un nombre naturel. c) L’étendue d’un échantillon composé de fractions est nécessairement une fraction. d) L’étendue d’un échantillon composé de nombres naturels est nécessairement un nombre naturel.

En te basant sur ces données, combien d’heures a-t-il travaillées dimanche ? Lundi

Mardi

Mercredi

Jeudi

Vendredi

Samedi

10

0

7

8

11

4

Dimanche

17. Échantillons Sans calculer, classe les échantillons suivants, en ordre croissant, selon leur moyenne. Série 1 1

23, 45, 2, 9, 90, 3

2

100, 9, 6, 0, 100

3

23, 24, 25, 26, 27

4

23, 24, 25, 26, 27, 28

Série 2 1

1, 11, 111, 1111, 11 111

2

5000, 5001, 5002, 5003, 5004

3

1000, 2000, 3000, 4000, 10 000

4

5, 50, 500, 5000, 50 000

18. Dans le mille ! Sarah et Benjamin ont joué 15 parties de fléchettes. Voici leurs résultats. a) Combien de points faut-il pour gagner une partie ?

Sarah-Benjamin 201-198

194-201

201-123

201-200

201-145

b) Quel est le score moyen de Sarah ?

201-56

196-201

187-201

201-167

201-186

c) Quel est le score moyen de Benjamin ?

201-65

201-191

56-201

201-153

201-129

d) Quels résultats ont la plus grande étendue : ceux de Sarah ou ceux de Benjamin ? e) Qu’est-ce qui est le plus représentatif de la force des joueurs dans cette situation : l’étendue ou la moyenne ? Pourquoi ? f ) En moyenne, chaque fois que Sarah obtient 10 points, combien de points Benjamin obtient-il ? g) Représente un ou deux aspects de ces données à l’aide d’un diagramme de ton choix.

58

CHAPITRE 5

La statistique

19. Le cercle du temps a) Trouve un moyen de noter le plus précisément possible (au quart d’heure près) ton emploi du temps pendant une semaine (cinq jours d’école et une fin de semaine).

Activités de mercredi Heure du début Heure de la fin Dormir

22 h 15

b) Une fois que tu as amassé des données sur ton emploi du temps, construis un diagramme circulaire représentant ton emploi du temps pour une semaine. c) En quoi ton emploi du temps est-il différent ou semblable à celui de tes camarades ?

7h30

Durée 9 heures 15 minutes

L’ensemble de tes données représente 100% de ton temps. L’ensemble d’un cercle équivaut à 360 °. Si 100% correspond à 360 °, alors 10% correspond à 36 ° et 1% correspond à 3,6 °. Donc, chaque tranche de 1% de ton temps correspond à 3,6 °.

d) Comment expliques-tu ces ressemblances ou ces différences ? e) Comment pourrais-tu mieux gérer ton temps ?

20. Les femmes vivent plus longtemps, en moyenne Espérance de vie à la naissance, selon le sexe Sexe masculin Canada

Sexe féminin

Nombre d’années

1920-1922

59

61

1930-1932

60

62

1940-1942

63

66

1950-1952

66

71

1960-1962

68

74

1970-1972

69

76

1980-1982

72

79

1990-1992

75

81

a) Donne une définition d’espérance de vie dans tes propres mots. b) Selon toi, pourquoi les femmes ont-elles une plus grande espérance de vie que les hommes ? c) Selon toi, quels sont les facteurs qui ont contribué à faire augmenter à ce point l’espérance de vie ? d) Construis un diagramme à bandes qui présente l’évolution de l’espérance de vie au Canada, pour la période couverte par le tableau.

Bric à maths

CHAPITRE 5

59

21. Attention, c’est cumulatif ! Au centre sportif Les Experts, on a relevé le temps mis par chacun des participants pour courir un 60 mètres. Les résultats sont présentés dans le tableau ci-contre.

Temps (en secondes) Moins de 9 (t < 9)

Dénombrement 6

Moins de 10 (t < 10)

25

a) Si on court le 60 mètres en moins de 10 secondes, l’a-t-on couru en moins de 11 secondes ?

Moins de 11 (t < 11)

48

Moins de 12 (t < 12)

54

b) Combien de personnes ont couru le 60 mètres ?

Moins de 13 (t < 13)

55

c) Combien de personnes ont couru le 60 mètres en 12 secondes ou plus ? d) Combien de personnes ont un temps qui se situe entre 9 et 10 secondes ? e) Calcule le pourcentage des participants qui ont mis plus de 11 secondes pour courir le 60 mètres.

22. Un marathonien unique La contribution de Terry Fox à la recherche sur le cancer est inestimable. Encore aujourd’hui, ce jeune homme décédé des suites du cancer est une source d’inspiration. Prends connaissance du texte de la Question de culture ci-contre, puis réponds aux questions suivantes. a) En moyenne, combien de kilomètres Terry Fox a-t-il courus, par jour, lors du Marathon de l’espoir ? b) À ce jour, combien d’argent chaque kilomètre couru par Terry Fox a-t-il rapporté pour la recherche sur le cancer ?

Question de

culture

TERRY FOX (1958-1981) Figure incontournable au Canada, Terry Fox symbolise la détermination et l’espoir. À 18 ans, Terry Fox apprend qu’il est atteint du cancer des os. Son cancer progresse au point où on doit lui amputer une jambe, à 15 centimètres au-dessus du genou. Durant ses séjours à l’hôpital, il constate la souffrance que vivent les enfants cancéreux. Devant tant de souffrances, il décide d’agir et entreprend son Marathon de l’espoir. Son objectif est de traverser le Canada à la course, d’un océan à l’autre, afin d’amasser des fonds pour la recherche sur le cancer. Malgré sa jambe droite amputée, il prévoit courir un marathon (42 km) par jour. Au fil de ses marathons, l’intérêt pour ce jeune homme s’accroît au sein de la population et les dons augmentent de jour en jour. Terry Fox suscite l’enthousiasme dans le pays tout entier. Le 1er septembre 1980, il doit abandonner sa course, après avoir couru 143 jours et parcouru 5373 km : le cancer a alors atteint ses poumons. Terry Fox est mort le 28 juin 1981, à l’âge de 22 ans. À ce jour, le Marathon de l’espoir et la fondation Terry Fox ont permis d’amasser plus de 360 millions de dollars pour la recherche sur le cancer. Si vous avez donné un dollar, vous faites partie du Marathon de l’espoir. ≤≥ TERRY FOX

60

CHAPITRE 5

La statistique

23. Football Voici deux diagrammes concernant la publicité diffusée lors d’un événement sportif bien connu : le Super Bowl.

SUPER BOWL XXXIX

Super prix pour une publicité au Super Bowl Le coût moyen d’un message publicitaire de 30 secondes diffusé durant l’émission ayant la meilleure cote d’écoute de l’année a encore augmenté cette année. Coût moyen d’un message de 30 secondes

89,8 en 2004

2,4 millions de dollars en 2005

100

51,2 en Personnes (millions)

2,5

Dollars (millions)

Audience

2,0 1,5 1,0

42 500 dollars en 1967*

0,5 0

70 75

80

85

90

95

00

05

80 1967* 60 40 20 0

70

75

80

85 90

95

Année

00

05

Année

a) Qu’est-ce qui te surprend le plus dans ces deux diagrammes ? Pourquoi ? b) En te basant sur les diagrammes, indique si les énoncés suivants sont vrais ou faux. Explique tes réponses. 1) Depuis 1970, le prix d’un message publicitaire a augmenté au même rythme que l’audience du Super Bowl. 2) L’audience du Super Bowl semble se stabiliser depuis les années 1990. 3) L’ascension la plus forte des prix des messages publicitaires a eu lieu à la fin des années 1990. 4) L’ascension la plus forte de l’audience a eu lieu à la fin des années 1970. 5) L’audience du Super Bowl n’a même pas doublé en 40 ans, alors que le prix d’un message publicitaire a été multiplié par 50 au cours de la même période. c) Compose un énoncé semblable à ceux de la question b). Échange-le avec quelqu’un de ta classe et effectuez le même travail qu’en b). d) Selon toi, pourquoi les compagnies dépensent-elles autant en publicité ?

Bric à maths

CHAPITRE 5

61

Situation 1

Utilisation d’Internet au Canada

de 42 % i que les per- en 2001 et de celle ains son mai la à la vers d bon un Après avoir fait née précédente. au niveau de scolarité enregistrée l’an fin des années 1990, l’utilisa- sonnes élevé. Comme la majorité L’utilis atio n d’Intern et est tion d’Internet par les ménages plus ménages ont déjà adopté demeur ée asse z stable. En canadiens s’est stabilisée […]. de ces t, la capacité de soutenir 2002, 75 % des ménages utiliEn 200 2, un nombre esti - Interne taux de croissance élevés sant régulièrement Internet à ma tif de 7,5 mil lion s de des és les années précé- domicile ont déclaré qu’un mé nages [su r prè s de 12,2 [observ soit 19 % en 2001 et membre du ménage se branmillions de ménages (62 %)] dentes, en 2000] se trouve sensi- chait au moins une fois par comptaient au moins un 24 % ent réduite. jour en mo yenne, compamembre utilisant régulièrement blem rativement à 73 % en 2001. Internet à domicile, au travail, mil 6,3 iron env 2002, De ux mé nages sur cinq à l’école, dans une bibliothèque […] En du % ménages, [51 (65 %) utilisant régulièrement ou à un autre endroit, en lions de ménages] comptaient Internet à domicile ont hausse de 4 % seulement par total des un membre qui utili- déclaré passer 20 heures ou rappor t à 2001. […] au moins lièrement Internet à plus par mois à naviguer dans Les ménages qui ont adopté sait régu , en hausse de 7 % par Internet, comparativement à Internet sont surtout ceux à domicile à 2001. Cette hausse 63 % en 2001. ■ revenu élevé, ceux dont les rapport e qu’une fraction de membres sont actifs, ceux ayant ne constitu ce de 23 % enregistrée des enfants qui habitent encore la croissan

a) Résume ce texte en une phrase. b) Dans un tableau, organise certaines des informations fournies dans cet article, puis présente-les à l’aide d’un diagramme de ton choix.

62

CHAPITRE 5

La statistique

Situation 2 En naviguant dans Internet, on peut trouver plusieurs sondages. a) As-tu déjà répondu à un sondage dans Internet ? Si oui, quel était le sujet de l’étude ? b) Selon toi, peut-on se fier aux sondages qu’on trouve dans Internet ? Pourquoi ? c) L’échantillon de la population qui y participe est-il représentatif ? Pourquoi ? Voici un exemple de sondage qu’on peut trouver dans Internet. Il porte sur la relation entre le salaire des gens et leur taille. Quiz financier Pour chaque centimètre en plus, combien d’argent additionnel par année gagnent les personnes de grande taille par rapport à leurs collègues plus petits ? 315 $

Pour chaque centimètre en plus, combien d’argent additionnel par année gagnent les personnes de grande taille par rapport à leurs collègues plus petits ? La répartition des réponses 202 953 votes jusqu’à ce jour

205 $

315 $

145 $

205 $

Aucune différence

145 $

Soumettre votre réponse (Vous verrez aussi combien il y a eu de répondants.)

Aucune différence

41 %

82 786 votes

25 %

49 942 votes

14 %

28 841 votes

20 %

41 384 votes

La réponse correcte est :

315 $

d) Comment a-t-on déterminé le choix de réponses, selon toi ? e) Que penses-tu de la réponse à la question posée dans le tableau ci-dessus ? f ) Combien de personnes ont répondu au sondage ? Cela le rend-il plus fiable ? Pourquoi ?

Situation 3

a) Quelle est la différence entre ces deux panneaux ? b) Comment peut-on faire pour savoir s’il faut écrire « risque élevé » ou « risque très élevé » sur un panneau ? c) Pourquoi donne-t-on l’information « sur 5 km » ? d) Connais-tu d’autres panneaux qui laissent « percevoir » une probabilité ou une statistique ?

Dans la vie...

CHAPITRE 5

63

Organiser ses connaissances,

escale

ce n’est pas toujours facile, mais c’est important.

exploration À la lumière de ce que tu as lu dans ce chapitre, que répondrais-tu à la question 6 de l’exploration ?

Te voilà déjà à l’escale du cinquième chapitre ! Encore une fois, cette escale t’aidera à développer tes habiletés d’organisation et de synthèse. Depuis le début de l’année, tu as sans doute utilisé plusieurs méthodes pour organiser tes connaissances. Tu dois maintenant choisir celle qui te convient le mieux. Comme dans le manuel A, Faire le point te propose de revoir les principaux concepts du chapitre. L’Activité d’intégration exigera de toi débrouillardise et organisation. Comme toujours, tu peux demander l’aide de tes parents ou de tes camarades.

Faire le point Les énoncés suivants t’aideront à résumer, à ta manière, le chapitre. Ils reprennent les notions essentielles. Si certaines notions que tu juges pertinentes n’y apparaissent pas, tu peux les inclure dans ton résumé, ton schéma ou ton réseau de concepts.

64

CHAPITRE 5

•

Un sondage est différent d’un recensement.

•

Un échantillon doit être représentatif d’une population.

•

Toute étude comporte des biais ; il faut s’efforcer d’en minimiser la portée.

•

Il existe deux types de données : les données quantitatives et qualitatives.

•

Les diagrammes ne conviennent pas tous à une étude en particulier.

•

On peut déduire des probabilités à partir de statistiques, et vice versa.

•

Le hasard, c’est plus complexe qu’on le pense.

La statistique

Activité d’intégration 1. Réalise un sondage ou un recensement sur le sujet de ton choix. Ton enseignante ou ton enseignant doit approuver ton sujet.

Étape de préparation

Sujet à l’étude

2. Présente tes résultats sous forme de diagramme que tu auras dessiné sur une affiche. 3. Accompagne ton diagramme d’un document qui contient les conclusions que tu as tirées de ton sondage.

Étape de réalisation

Population ou échantillon

4. Présente ensuite ton affiche à tes camarades. Ce diagramme pourra ensuite être affiché dans la classe avec ceux de tes camarades.

Organisation des données

Collecte de données

1518-M05S2_24 Pictos

Étape d’intégration

Présentation des résultats

Interprétations et conclusions

Un sondage d’opinion Dans ce chapitre, tu as pu voir que la couleur des yeux d’une personne est déterminée par ses gènes. Les études en génétique avancent à pas de géant. Certains en craignent les avancées technologiques. a) Réalise un sondage pour connaître l’opinion des gens sur un sujet d’actualité en lien avec la génétique, par exemple les organismes génétiquement modifiés (OGM), les cellules souches, le clonage. Tu as l’embarras du choix ! Prends bien soin, toutefois, de cerner ton sujet. b) À la lumière des données recueillies et des recherches que tu as pu faire sur le sujet, prends position à ton tour. Tu auras l’occasion d’exprimer et de défendre ton point de vue lors d’un débat en classe.

Escale

CHAPITRE 5

65

chapitre 6

Bon, j’ai posé la moitié des carreaux… je mérite bien une petite pause.

66

C’est en apprenant qu’on mesure son ignorance. ≤≥ LAO SHE,

UN

FILS TOMBÉ DU CIEL

On a trouvé au moins sept façons de mesurer les dimensions du comptoir sans utiliser d’instrument de mesure conventionnel. Trouves-en le plus possible.

Combien de carreaux de céramique sont nécessaires pour recouvrir le comptoir en entier ? Que deviendraient les mesures de la longueur et de la largeur du comptoir si on utilisait plutôt les carreaux ci-dessous pour recouvrir le comptoir ?

Combien de ces nouveaux carreaux seraient nécessaires pour recouvrir le comptoir ?

Plan du chapit

re

sure 68 tre humain me ’ê L – 1 n o .............. ti . c . . e . S . . . . . . . depuis toujours . . . . . 74 re . . . . . . . . . . . st e rr te e c n re ne réfé 92 Section 2 – U s ............ re su e m e d s e ’autres sort Section 3 – D 67

section

1

L’être humain mesure depuis toujours Dans le chapitre 0, tu as pu en apprendre au sujet des peuples anciens, de leurs systèmes de numération et de leurs différentes façons de représenter des quantités et de les calculer. Les gens se servaient alors spontanément de leurs doigts pour compter. En fait, les êtres humains ont toujours utilisé leur corps pour effectuer différentes tâches. Alors, quoi de plus normal que de l’employer comme instrument de mesure ! A

B

As-tu déjà utilisé une partie de ton corps en guise d’instrument de mesure ? Si oui, laquelle ?

«

Commente l’affirmation suivante. Quand on compte des objets, on mesure leur quantité.

»

Un instrument de mesure naturel Plus les peuples anciens s’organisaient, plus leurs besoins changeaient. La mesure faisait de plus en plus partie de leur quotidien. Qu’il s’agisse de clôturer des terrains pour l’élevage, de tailler des flèches d’une longueur adéquate pour la chasse ou de se livrer à des activités commerciales, mesurer était indispensable. A

Selon toi, dans quels autres contextes les peuples anciens devaient-ils mesurer ?

B

Cite des exemples de parties du corps qui ont servi d’instruments de mesure au fil du temps.

C

Selon toi, quels avantages y a-t-il à utiliser des parties du corps pour mesurer ?

Il est tellement naturel d’utiliser le corps comme instrument de mesure que les gens s’en servent même pour mesurer ce qui ne peut être mesuré.

Je t’aime gros comme ça.

68

CHAPITRE 6

La mesure

Beaucoup d’expressions usuelles nous rappellent d’ailleurs que le corps est probablement notre principal instrument de mesure. En voici quelques exemples. Je suis passée à un cheveu près.

Il m’arrivait à la hanche. Elle me dépasse d’une tête.

aaaction! 1. Dresse une liste d’autres expressions dans lesquelles des parties du corps servent d’unités de mesure. Ajoute à ta liste les bonnes trouvailles de tes camarades. 2. Indique comment tu pourrais mesurer les grandeurs suivantes en utilisant uniquement des parties de ton corps. a) La largeur de ta classe. b) La quantité de neige tombée lors de la dernière tempête. c) d) e) f)

La taille de ta meilleure amie ou de ton meilleur ami. La largeur d’une porte. L’épaisseur d’une feuille de papier. La distance de ta maison à l’école.

3. Mesure la largeur de ta classe avec la partie de ton corps que tu as indiquée à la question 2 a). Note cette mesure. 4. Compare ta mesure avec celles de tes camarades qui ont utilisé la même partie du corps que toi. Est-ce que vous obtenez la même mesure ? Pourquoi ?

Les limites du corps humain comme instrument de mesure sont beaucoup plus apparentes lorsqu’on veut l’utiliser pour mesurer autre chose que la longueur. D

Explique comment tu peux utiliser ton corps pour mesurer : 1) une masse ; 2) une capacité ; 3) une durée.

E

Pourquoi les parties du corps sont-elles plus appropriées pour mesurer des longueurs que des masses ou des capacités ?

Dans le système qui était en vigueur au Canada avant le système international d’unités, les noms des unités témoignent de ce réflexe qu’a eu l’être humain de mesurer des longueurs avec des parties de son corps. L’être humain mesure depuis toujours

SECTION 1

69

Des parties du corps plus « officielles » Je pensais que le pouce correspondait à la longueur de la première phalange.

En théorie, n’importe quelle partie du corps pourrait servir d’unité de mesure de longueur. Toutefois, au fil du temps, certaines parties se sont imposées. La plupart des gens ont déjà entendu parler du pouce et du pied comme unités de mesure de longueur. Ces unités de mesure sont d’ailleurs toujours en vigueur dans certains pays, comme les États-Unis. un pouce

un pied

Question de

culture

LA COUDÉE ET LA TOISE Voici deux autres unités de mesure basées sur des parties du corps. Méconnues aujourd’hui, elles étaient très populaires autrefois.

Cherche l’origine du mot « toise » dans un dictionnaire ou dans Internet.

La coudée La coudée correspond à la longueur du bout des doigts jusqu’au coude. Les gens fabriquaient assez facilement une règle rigide en reportant cette longueur sur un bout de bois. Si la rigidité de cette règle était un inconvénient, ils fabriquaient une règle plus souple en utilisant une longue corde et en y faisant un nœud toutes les coudées.

La toise Quand la coudée se révélait une unité de mesure trop petite, les gens trouvaient pratique d’utiliser la toise. La toise correspond à la distance d’un majeur à l’autre, lorsqu’on ouvre les bras en croix.

une toise

une coudée

70

CHAPITRE 6

A

Combien de tes pouces y a-t-il dans un de tes pieds ?

B

En moyenne, combien chaque membre de ta classe a-t-il trouvé de pouces dans son pied ?

C

Quel est l’inconvénient d’utiliser une unité de mesure basée sur une partie de son corps ?

La mesure

Le chaos Jusqu’au 18e siècle, il n’existait aucun système de mesure unifié. À la fin de ce siècle, en France, on utilisait plus de 700 unités de mesure différentes. Le roi Charlemagne et de nombreux autres souverains après lui ont tenté de réduire le nombre d’unités de mesure existantes.

1 toise de velours pour 2 pièces d’or

1 toise de velours pour 2 pièces d’or

Observe l’illustration ci-contre. A

Dans quel commerce irais-tu acheter du velours ? Pourquoi ?

B

Pourquoi est-il important d’avoir une unité de mesure commune ?

À cette époque, l’absence d’unités de mesure communes et précises entraînait beaucoup de fraudes. Par exemple, les impôts étaient souvent payés en boisseaux de blé. Certains seigneurs, au moment de percevoir les impôts de leurs paysans, utilisaient un boisseau qu’ils faisaient remplir comble. Par contre, lorsque ces mêmes seigneurs payaient leur impôt au roi, ils utilisaient un boisseau rempli à ras bord. C

Pourquoi cette stratégie était-elle avantageuse pour les seigneurs ?

L’être humain mesure depuis toujours

Boisseau : Ancienne mesure de capacité, de forme cylindrique, équivalant à un peu plus d’une dizaine de litres.

SECTION 1

71

La mesure d’une grandeur d’un objet (longueur, aire, volume, ...) est un nombre qui exprime la comparaison de cette grandeur avec une autre grandeur utilisée comme unité de référence. Exemple :

exploration Dans l’exploration, quelle unité de mesure rappelant l’empan était-il possible d’utiliser pour mesurer le comptoir ?

Empan : Distance entre l’extrémité du pouce et celle du petit doigt, lorsque la main est ouverte.

La mesure de cette branche est de 2 pieds, si l’unité de référence est le pied. La mesure de cette branche est de 24 pouces, si l’unité de référence est le pouce.

En plus d’encourager la fraude commerciale, le manque d’unités de mesure communes et précises entraînait des erreurs qui nuisaient au développement de la science. Lorsque les sociétés ont senti le besoin de développer davantage le commerce et la science, l’unification des unités de mesure est devenue indispensable. On a alors voulu convenir d’une unité qui rappellerait un élément appartenant à tous les êtres humains, peu importe leur milieu géographique ou social.

72

CHAPITRE 6

D

Selon toi, que signifie l’unification des mesures ?

E

Selon toi, qu’est-ce qui appartient à tous les êtres humains ?

F

Compare tes réponses en D et E avec celles de tes camarades de classe.

La mesure

2. Pratico-pratique

Dans tes propres mots, raconte l’évolution des unités de mesure présentées dans la section 1. Pour t’y préparer, inspire-toi des questions suivantes.

As-tu déjà eu besoin de mesurer quelque chose alors que tu n’avais pas de règle sous la main ? Qu’as-tu utilisé à la place ?

•

Qu’est-ce qui te surprend ?

•

Que savais-tu déjà ?

•

Que vas-tu retenir ?

3. Fais-le « toise » aussi ! Tu peux relire la rubrique « La coudée et la toise » (p. 70) avant de répondre aux questions suivantes. a) Mesure « ta » toise et ta taille. Compare-les. Que constates-tu ? b) Selon toi, est-ce que tout le monde arrive à la même conclusion ? Pourquoi ? c) Estime les grandeurs suivantes, en toises, puis en coudées. 1) La hauteur de l’école. 2) La largeur de ton pupitre. 3) La distance de chez toi à l’école.

Dans Internet ou dans une encyclopédie, cherche d’autres renseignements ou des anecdotes sur les anciennes unités de mesure de longueur, de masse ou de volume.

d) Compare tes estimations avec celles de tes camarades.

4. Un 40 qui défie le temps On dit que l’arche de Noé avait une longueur de 40 coudées. Compare cette longueur avec celle de ta classe. Encore 40... Une arche de 40 coudées. Un déluge de 40 jours et 40 nuits. Ali Baba et les quarante voleurs... Pourquoi toujours 40 ?

5. Crayon en main Réponds aux questions suivantes le plus précisément possible. Utilise seulement un crayon. a) Combien de tes pieds y a-t-il dans : 1) une de tes coudées ? 2) ta toise ? b) Compare ta stratégie avec celle de tes camarades.

L’être humain mesure depuis toujours

SECTION 1

73

activites

1. Qu’en penses-tu ?

section

2

Une référence terrestre Dans cette section, tu verras comment on a uniformisé, au fil du temps, les unités de mesure et comment on a réussi à éliminer les références au corps humain.

Le mètre Au moment de la Révolution française (1789), la France a souhaité mettre en place une unité de référence sans lien particulier avec un individu, un peuple ou un endroit, afin que tout le monde puisse se reconnaître dans cette nouvelle unité. Autrement dit, il fallait une unité de référence terrestre. A

Selon toi, comment peut-on se servir de la Terre pour définir une unité de mesure de référence ?

Une fraction de la hauteur de l’Everest, la plus haute montagne.

B

74

CHAPITRE 6

Une fraction de la longueur du plus grand navire du monde. La largeur d’un trottoir.

Pourquoi les propositions d’unité de mesure de ces élèves ne permettentelles pas vraiment de régler le problème ?

La mesure

À la suite des travaux de Pierre-François Méchain (1744-1804) et de Jean-Baptiste Delambre (1749-1822), une nouvelle unité de référence a été créée : le mètre. Le mandat de ces deux géodésiens français consistait à mesurer la longueur d’un quart de méridien, allant de Dunkerque (France) à Barcelone (Espagne). Leurs travaux durèrent environ sept ans, de 1792 à 1799. La longueur que Méchain et Delambre ont calculée est de 5 130 740 toises. On a défini le mètre comme étant le dix-millionième de cette longueur. Pour le représenter, on a construit un mètre étalon en platine. C

Pourquoi est-ce qu’on peut dire que la nouvelle unité de mesure « appartient » à tous les êtres humains ?

D

Selon toi, pourquoi a-t-on décidé de diviser la mesure du quart du méridien par dix millions ?

Mètre : Mot qui vient du grec metron : mesure.

Étalon : Représentation officielle d’une unité de mesure.

La définition du mètre concrétisait l’idée d’une unité qui n’a rien d’arbitraire, ni rien de particulier à un individu ou à un peuple de la Terre.

Mètre étalon en platine

Question de

culture

A

LE MÈTRE EN ÉVOLUTION Les définitions du mètre qui ont suivi celle basée sur le méridien terrestre avaient pour but d’augmenter le degré de précision du mètre et de le rendre le plus universel possible. À partir de 1960, le mètre a été rattaché à un phénomène physique immuable. Voici un résumé des principales définitions du mètre au fil du temps. 1795

(Première définition) Un dix-millionième du quart du méridien terrestre

1889

Distance entre deux traits gravés sur un prototype en platine

1960

Longueur de 1 650 763,73 longueurs d’onde d’une radiation orangée du krypton

1983

Longueur du trajet parcouru par la lumière

B

1

en 299 792 458 seconde. Cette définition est basée sur la définition de la seconde adoptée en 1967.

A. Stations mesurées par Delambre B. Stations mesurées par Méchain

Une référence terrestre

SECTION 2

75

Le mètre et ses préfixes La mesure de longueur déterminée à partir des travaux de Méchain et Delambre, le mètre, a permis d’établir un système unifié de mesure : le système métrique. On a établi qu’il s’agirait d’un système décimal pour qu’il concorde avec notre système d’écriture des nombres.

J’ai déjà vu ces préfixes quelque part…

Valeur

Préfixe

Symbole

1 000 000 000

giga

G

1 000 000

méga

M

1 000

kilo

k

100

hecto

h

10

déca

da

0,1

déci

d

0,01

centi

c

0,001

milli

m

0,000 001

micro



0,000 000 001

nano

n

M U LT I P L E S

Ainsi, une fois le mètre défini, on a pu déterminer des unités de mesure pour les petites et les grandes choses. On a alors adopté les préfixes suivants pour les multiples et les sous-multiples du mètre.

S O U S - M U LT I P L E S

Unités

Question

A

culture

Décade: 1 000 000 m D eg r é : 10 0 000 m J’HABITE À DEUX STADES DE L’ÉCOLE P o st e : 10 000 m Avant d’adopter l’utilisation des préfixes, M illaire : 1000 m l’Académie des sciences (France) a proposé, en 1792, la nomenclature suivante pour Stade : 100 m les différentes puissances de dix Perche : 10 m de un mètre. Mètre : 1 m Palme : 0,1 m Doigt : 0,01 m Trait : 0,001 m Selon toi, est-il préférable de

d’utiliser des préfixes plutôt que des mots différents pour chaque multiple ou sous-multiple du mètre ? Pourquoi ?

B

76

CHAPITRE 6

Quelle est la largeur : 1) de ta paume ? 2) de ton petit doigt ?

La mesure

3)

d’un trait de crayon à la mine ?

Dans le système métrique, l’unité de référence pour la mesure de longueur est le mètre (m). Une unité de longueur autre que le mètre lui-même s’écrit donc avec un préfixe suivi du mot « mètre ». L’unité de longueur peut aussi être exprimée sous forme de symbole.

En passant, on aurait dû écrire « deux virgule quatre ».

En voici des exemples.

aaaction! Utilise un préfixe approprié pour les mesures suivantes. 1. J’ai couru 10 fois 100 mètres, donc j’ai couru 1

mètre.

2. Sur une plaine, on peut distinguer une personne à environ 4 3. Un pas a environ 75

mètres.

mètres de longueur.

4. L’empan d’un adolescent de 13 ans mesure environ 157 5. Mes cheveux poussent environ de 1

mètres.

mètre par mois.

Une référence terrestre

SECTION 2

77

Le choix de l’unité de mesure appropriée Selon la longueur à mesurer, certaines unités sont plus appropriées que d’autres. Par exemple, la distance entre deux villes et celle parcourue lors d’un marathon s’expriment généralement en kilomètres. Quant à la longueur d’un insecte, elle s’exprime le plus souvent en centimètres ou en millimètres. Bien sûr, il est toujours possible d’exprimer ces mesures dans d’autres unités, mais il peut alors être plus difficile de se les représenter. A

Nomme des objets pour lesquels tu peux mesurer la longueur ou la largeur en : hectomètres (hm) ; 2) décamètres (dam) ; 1)

B

En « pas », ça se mesure bien, mais j’imagine que je dois utiliser le système métrique.

décimètres (dm) ; 4) micromètres (μm). 3)

Quelle unité utiliserais-tu pour mesurer : 1) la largeur d’une rivière ? 2) la profondeur d’un océan ? 3) les dimensions d’un écran d’ordinateur ? 4) la distance marchée en une journée par un adolescent de 13 ans ?

La conversion des unités de mesure de longueur Sur le bout des pieds, Marguerite mesure 1,32 m. Chaque caisse de lait mesure 28 cm de haut.

Question de

culture

UN TOUT PETIT CRAPAUD D’une longueur de moins de 10 mm, le plus petit vertébré du monde est utilisé par des chercheurs de l’Université de Rio de Janeiro pour déterminer le facteur de rétrécissement de la forêt vierge de l’Atlantique. En effet, chaque fois qu’une partie de la forêt est détruite, la population de crapauds diminue.

78

CHAPITRE 6

La mesure

A

Quelle est la taille du père de Marguerite ?

B

Quelle est cette taille en millimètres ?

On n’additionne pas des pommes et des oranges !

Pour pouvoir additionner ou soustraire des mesures, il faut d’abord les exprimer dans les mêmes unités. Puisque le système métrique repose sur des groupements de dix, comme les nombres, les habiletés avec les nombres deviennent utiles pour convertir des unités de mesure. C

Combien y a-t-il : 1) de dizaines de dollars dans cent dollars ? 2) de dizaines de mètres dans cent mètres ? de décamètres dans un hectomètre ? 4) de dam dans 1 hm ? 3)

Dans le système métrique, pour convertir une mesure lorsqu’il y a une seule dimension, il faut multiplier ou diviser le nombre par une puissance de 10. Un autre préfixe est alors utilisé pour exprimer le résultat de l’opération effectuée.  103  10 kilo (k)

 10

 10

hecto (h)

déca (da)

Unités

déci (d)

centi (c)

milli (m)

0,01

0,1

1

10

100

1000

0,001

 10

 10

 10

 10

 104 Exemples : Pour exprimer 34 dam en centimètres : • 1 dam  1  103 cm • 34 dam  34  103 cm • 34 dam  34  1000 cm • 34 dam  34 000 cm Pour exprimer 27,3 dm en kilomètres : • 1 dm = 1  104 km • 27,3 dm = 27,3  104 km • 27,3 dm = 27,3  10 000 km • 27,3 dm = 0,00273 km

Une référence terrestre

SECTION 2

79

D’une dimension à l’autre À partir d’une unité de mesure de longueur (une dimension), il est possible de mesurer des surfaces (deux dimensions) et des volumes (trois dimensions). A

Comment peux-tu mesurer la surface du plancher de ta classe en utilisant ta règle graduée ?

B

Estime cette mesure.

C

Quelle unité de mesure as-tu utilisée en B ?

D

Comment peut-on obtenir une unité de mesure de volume à partir d’une unité de mesure de longueur ?

aaaction! Voici un dé cubique de 1,5 cm de côté. 1. Estime le nombre de dés qu’il faudrait pour : a) recouvrir complètement le plancher de ta classe, en les plaçant côte à côte ; b) remplir complètement ta classe, du plancher au plafond. 2. Compare ton estimation avec celles de tes camarades et détermine laquelle est la meilleure. 3. Calcule le nombre exact de dés requis en 1 a) et 1 b).

Les unités de mesure de référence pour exprimer l’aire et le volume sont définies à partir du mètre. Elles sont respectivement le mètre carré (m2) et le mètre cube (m3).

m3 m2

80

CHAPITRE 6

La mesure

En multipliant des mesures de longueur pour calculer une aire, on se sert en fait de l’exponentiation et de certaines propriétés de la multiplication.

On part toujours de ce qu’on sait déjà !

4 cm  4 cm commutativité 4 cm

4  4  cm  cm associativité exponentiation 4 cm

16 cm2

Par conséquent, l’exposant d’une unité de mesure de longueur indique le nombre de dimensions de l’objet mesuré. E

Trouve quelques situations dans lesquelles il faut mesurer avec une unité de mesure : 1) unidimensionnelle (cm, dm, m, ..., km, …) ; 2) bidimensionnelle (cm2, dm 2, m2, ..., km2, …) ; 3) tridimensionnelle (cm3, dm 3, m 3, ..., km3, …).

Lorsque l’exposant est 1, on n’a pas besoin de l’écrire.

La conversion des unités de mesure d’aire Il est parfois utile de considérer une dimension à la fois lors de la conversion des mesures d’aire. On réutilise ainsi les connaissances développées lors de la conversion des unités de mesure de longueur et la tâche devient plus simple.

aaaction! Gaëlle propose la conjecture suivante à ses camarades.

«

»

Puisqu’il y a 100 cm dans 1 m, il est logique de dire qu’il y a 100 cm2 dans 1 m2.

Vérifie cette conjecture.

Une référence terrestre

SECTION 2

81

A

Combien de décimètres carrés y a-t-il dans 1 m2 ? Un schéma aide souvent à y voir clair.

Aire du carré : 1 m x 1 m = 1 m2

Aire du carré 10 dm x 10 dm = 100 dm2 Alors, 1 m2 = 100 dm2

B

Explique comment on a procédé pour convertir un mètre carré en décimètres carrés.

aaaction! 1. Voici des mesures exprimées en mètres carrés. Convertis-les dans l’unité de mesure indiquée. a) 1 m2  mm2 d) 1000 m2  km2 b) 10 m2  dm2 e) 0,1 m2  ha 2 2 c) 0,01 m  cm exploration Combien de carreaux de céramique carrés de 4 cm sur 4 cm faut-il pour couvrir une surface de 40 cm sur 40 cm ?

82

CHAPITRE 6

2. Convertis les mesures suivantes en mètres carrés. a) 10 dm2 Mon grand-père m’a dit b) 10 000 cm2 qu’un hectomètre carré, ça 2 s’appelle aussi un hectare. c) 1 km d) 100 hm2 e) 100 000 mm2

La mesure

aaaction! Simon affirme qu’il peut convertir des mesures de surface à l’aide d’un tableau. Il a converti 10 dm2 en 100 000 mm2 de la façon suivante. km2

hm2

dam2

m2

dm2 1

cm2 0

,

0

mm2 0

0

0

,

1. Comment procède-t-il ? 2. Effectue les conversions demandées à l’aide d’un tableau. a) 14 m2  mm2 f) 12,04 km2  b) 11,7 hm2  dm2 g) 123 567 cm2  c) 0,01 cm2  km2 h) 51,74 dm2  d) 1237 m2  km2 i ) 0,0087 m2  e) 0,109 m2  dam2 j ) 0,0034 mm 2 

mm2 hm2 cm2 km2 ha

3. Établis quelques parallèles entre un tableau pour convertir des mesures d’aire et le tableau de la page 79. 4. Rédige un message qui permettrait à quelqu’un de convertir une mesure de surface.

Dans le système métrique, pour convertir une mesure lorsqu’il y a deux dimensions, il faut multiplier ou diviser le nombre par une puissance de 100.  1002

Exemple :  100

 100

km2

hm2

dam2

m2

dm2

cm2

mm2

0,00001

0,0001

0,001

1

1000

10 000

100 000

1 m2  10 000 cm2

On peut également effectuer une conversion pour chacune des dimensions de l’objet mesuré. Exemples :

1 m2 1mx1m

=

? cm2

100 cm x 100 cm

=

10 000 cm2

1

2

310 cm2 310 cm x 1 cm

=

? m2

3,1 m x 0,01 m

=

0,031 m2

Une référence terrestre

SECTION 2

83

De la longueur à la masse, en passant par le volume On ne mesure pas que des longueurs. Les gens, aujourd’hui comme par le passé, sont amenés à effectuer toutes sortes de mesures dans leur vie quotidienne. A

Qu’y a-t-il d’autre à mesurer que des longueurs, des surfaces ou des volumes dans la vie de tous les jours ?

B

Quelles unités sont utilisées pour mesurer ce que tu as trouvé en A ?

Dans l’effort d’unification des unités de mesure, on a trouvé un moyen ingénieux d’associer l’unité de référence de la masse à celle de la longueur (le mètre). Voici un mini-aquarium cubique de un décimètre de côté.

1 dm

1 dm

1

dm

C

Quel est le volume de ce mini-aquarium ?

D

Estime la quantité d’eau que peut contenir un mini-aquarium comme celui-ci, sans le poisson.

E

Estime la masse de l’eau que tu as indiquée en D.

L’unité de référence pour la mesure de la masse est le kilogramme (kg). On a défini un kilogramme comme étant la masse de un décimètre cube (dm3) d’eau. De même, on a défini le litre (L) comme l’unité de capacité. Un litre est le volume occupé par un décimètre cube. Autrement dit, un litre d’eau a une masse de un kilogramme !

84

CHAPITRE 6

F

Est-ce une coïncidence si 1 dm3 d’eau a une masse d’exactement 1 kg ? Explique ta réponse.

G

Est-ce une coïncidence si 1 L a un volume d’exactement 1 dm3 ? Explique ta réponse.

H

Quel avantage y a-t-il à associer ainsi l’unité de référence de la masse à celle de la longueur ?

La mesure

L’adoption du système international d’unités En 1960, le Bureau international des poids et mesures a adopté officiellement le système international d’unités (SI). Le SI est en fait une réforme du système métrique (ce dernier avait été instauré en 1790). Le SI définit un ensemble d’unités de base indépendantes permettant de mesurer tous les phénomènes physiques qui nous entourent. Le SI comporte sept unités de base. Toutes les autres unités de mesure du SI sont des unités dérivées de ces unités de base. Les unités de base du SI Unité de base du SI

Symbole

Pour mesurer…

Le mètre

m

la longueur

Le kilogramme

kg

la masse

La seconde

s

le temps

L’ampère

A

le courant électrique

Le kelvin

K

la température thermodynamique

La mole

mol

la quantité de matière

La candela

cd

l’intensité lumineuse

Attenti n

Les unités de base du SI sont des noms communs qui commencent par une lettre minuscule et prennent un « s » au pluriel.

Rappelle-toi : nous avons parlé du SI lors de la présentation des nombres décimaux, au chapitre 4.

Question de

culture

DISTINCTION ENTRE SYSTÈME MÉTRIQUE ET SI Pour répondre aux besoins de l’époque, le système métrique proposait les unités de base suivantes : le mètre (longueur), l’are (superficie), le litre (volume), le gramme (masse) et le bar (pression). Ce système ne prévoyait pas d’unités de mesure de phénomènes comme le temps, l’intensité lumineuse ou le courant électrique. Quant au SI, il propose un ensemble d’unités fondamentales, qui peuvent être combinées pour former les unités dérivées, afin de mesurer tous les phénomènes physiques. Ainsi, les unités de mesure de superficie ou de volume peuvent être dérivées de l’unité de mesure de longueur en élevant cette dernière au carré (m2) ou au cube (m3). De plus, en combinant des unités de base du SI, on peut mesurer des phénomènes comme la vitesse (m/s), l’accélération (m/s2) ou encore la force (kg • m/s2), ce que le système métrique ne permettait pas de faire.

Une référence terrestre

SECTION 2

85

Les préfixes utilisés pour nommer les multiples et les sous-multiples du mètre peuvent être ajoutés à toutes les unités de base et à toutes les unités dérivées du SI.

aaaction!

Tu peux te référer au tableau de la page 76.

1. Avec quel préfixe peux-tu exprimer : a) une longueur 1000 fois plus grande que 1 mètre ? b) une intensité lumineuse 1000 fois plus petite que 1 candela ? c) une masse 1000 fois plus grande que 1 décigramme ? d) une durée 1000 fois plus petite que 1 seconde ? e) un courant électrique 100 fois plus petit que 1 kiloampère ? 2. Quel nom donne-t-on à une masse de 1000 kg ?

La structure du SI est très simple. Contrairement aux anciens systèmes d’unités de mesure, où il fallait retenir le nombre de pieds dans un mille ou le nombre de tasses dans un gallon, le SI utilise toujours le même rapport entre deux unités successives (10 : la base de notre système de numération), peu importe le type de mesure. De plus, toutes les unités de mesure ont la même notation, soit « préfixeunité » : kilocandela (kcd), milliampère (mA), décamètre (dam), et ainsi de suite.

A

Nomme un autre avantage du SI par rapport aux anciens systèmes de mesure.

B

Combien d’unités de mesure différentes y a-t-il sur le compteur d’électricité de ta maison ?

Question de

culture

LE KILOGRAMME Des sept unités de base du SI, le kilogramme est la seule unité accompagnée d’un préfixe. Le kilogramme est aussi la seule unité encore représentée par un objet tangible. L’étalon du kilogramme, en platine, est conservé sous trois cloches de verre scellées au Bureau international des poids et mesures à Sèvres, en France. Malgré ces précautions, sa masse a varié de quelques microgrammes avec le temps, en raison des phénomènes de pollution à la surface du platine. Des études sont en cours pour remplacer la définition actuelle du kilogramme par une constante physique (qu’on ne pourra donc plus toucher) afin de prévenir les variations de masse. 86

CHAPITRE 6

La mesure

Le SI de plus en plus « international » Aujourd’hui, plus d’une centaine de pays ont adopté le SI. A

Tes parents étaient-ils nés lorsque le Canada a adopté le SI comme système officiel de mesure ?

B

Selon toi, depuis quand le Canada utilise-t-il le SI ?

C

Trouve un pays qui n’utilise pas encore le SI. Trouve ensuite des raisons qui pourraient expliquer sa réticence à le faire.

Adoption du SI par le Canada Quelques dates

1975

ETINS MÉTÉO FINIS LES BULL

EN POUCES

es

tr ais en millimè rm so é d ra e b La pluie tom centimètres. et la neige, en

1979

1977

La limite de vitesse permise indiquée sur les panneaux routiers ne se lit plus en milles par heure (mph), mais en kilomètres par heure (km/h).

L’essence se vend maintenant au litre plutôt qu’au gallon.

D

Trouve d’autres unités de mesure qu’on a dû changer.

E

Donne quelques exemples de mesures qui ne sont pas encore exprimées dans les unités de mesure du SI.

F

Selon toi, pourquoi la conversion au SI est-elle si difficile ?

G

Selon toi, en quelle année le Canada complétera-t-il la conversion au SI ?

Une référence terrestre

SECTION 2

87

activites

1. Peu ou zéro ?

2. D’une commune mesure

Jean-Yves dit qu’il n’y a pas de mètres carrés (m2) dans un centimètre carré (cm2). Comment peux-tu le convaincre du contraire ?

Compare les mesures suivantes. a) 250 474 mm et 0,02 km

c) 567 dam2 et 4567 m2

b) 0,345 hg et 323 mg

d) 12 345,6 mL et 9,898 L

3. Missionnaire du métrique a) Rédige un message qui permettrait à une personne de convertir en mètres les autres unités de mesure de longueur du système métrique. b) Comment peux-tu modifier ton message pour que la personne puisse convertir une unité de longueur donnée du système métrique en n’importe quelle autre unité de ce système ?

4. Aire ou volume ?

Recouvrir un plancher de carreaux de céramique, c’est une question de volume !

Commente l’affirmation du personnage.

88

CHAPITRE 6

La mesure

5. Du « sur mesure »

6. Transformation

Reproduis le tableau de conversion d’unités d’aire suivant, puis remplis-le. Utilise les puissances de 10 lorsqu’elles sont utiles.

Lorsque c’est possible, effectue les calculs suivants.

km2

m2

dm2

cm2

108

1010

1 km2

mm2

a) 3,34 m2 + 332 cm 2 b) 0,478 hg + 37,6 mg

1 hm2

c) 23,4 dm2 − 4567 mm2

1 dam2

d) 7235,6 mL − 0,898 L

1 m2

e) 0,2 m × 14 m2

1 dm2

f) 18 L ÷ 200 mL

1 cm2

g) 11 km + 2 kL

1 mm2

h) 12 m ÷ 2 h i ) 12 kWh + 7 kWh j) 7 μA − 2 μA

7. L’unité « mètresse »

k) 51 ma + 250 μA l ) 2 hcd − 3 dacd

En utilisant l’unité de mesure qui convient le mieux, estime : a) la hauteur de la maison dans laquelle tu habites ; b) la taille d’un nouveau-né ; c) la profondeur maximale de l’océan Pacifique ; d) la hauteur du mont Sainte-Anne, dans la région de Québec ; e) la distance de la Terre à la Lune ; f) la largeur d’un pou.

8. Activité démesurée ! a) Estime : 1) la masse d’une canette de limonade (pleine) ; 2) la masse d’une goutte d’eau ; 3) le volume d’une « livre de beurre » ; 4) l’aire du tableau de ta classe ; 5) la distance entre ta maison et la bibliothèque la plus près. b) Vérifie tes réponses du mieux que tu le peux.

Une référence terrestre

SECTION 2

89

Parfois, c’est vraiment utile de faire un dessin !

9. Conversion a) S’il y a environ trois pieds dans un mètre, combien y a-t-il de pieds carrés dans 1 m2, environ ? b) Macha dit que 1200 pieds carrés correspondent environ à 120 m2. A-t-elle raison ? Pourquoi ? c) Combien y a-t-il de pieds carrés dans 24,5 m2, environ ? d) Combien y a-t-il de mètres carrés dans 12,67 pieds carrés, environ ? e) Formule une règle permettant de convertir rapidement des pieds carrés en mètres carrés lorsqu’une estimation est suffisante.

10. Les bulles ne pèsent rien... Quelle est la masse d’une caisse de 12 bouteilles pleines de 750 mL d’eau gazéifiée si une bouteille vide pèse 150 g et que la caisse vide pèse 375 g ?

11. Les facteurs de 64 ! Simone a versé 50 L d’eau dans un récipient d’une capacité de 64 L. Le récipient a maintenant une masse de 54 kg. a) Quelle masse a le récipient lorsqu’il est vide ? b) Quelles peuvent être les dimensions du récipient ? (Donne deux réponses possibles.)

12. À la mesure de tes connaissances... Donne une unité de mesure appropriée pour chacune des situations suivantes. a) Ajouter de la dentelle autour d’une nappe. b) Comparer la capacité de deux récipients. c) Savoir combien de temps tu peux retenir ton souffle. d) Remplir une piscine. e) Poser du tapis. f ) Comparer les performances de deux autos.

90

CHAPITRE 6

La mesure

13. Plus long, plus lourd, moins soif... a) Ordonne les longueurs suivantes, de la plus petite à la plus grande. 12,5 m

123,4 dm

1,276 dam

12,65 dm

1176 cm

12 987,8 mm

b) Ordonne les masses suivantes, de la plus grande à la plus petite. 2,76 kg

2345 g

21 765 cg

0,2774 hg

2,876 dag

10 kg

c) Parmi les capacités suivantes, indique celles qui sont inférieures à 1 L. 12,7 dL

0,0007 kL

2134 mL

0,11 daL

2,006 dL

0,001 mL

d) Parmi les aires suivantes, indique celles qui sont supérieures à 10 m2. 91 dm2

7000 cm2

125 pieds carrés

9,76 dam2

0,002 hm2

0,000001 km2

e) Pourquoi ne peut-on pas trier les mesures suivantes ? 4 m2

80 cm

12 L

14. Accumulation Que penses-tu de la réflexion du personnage ?

0,5 kg

Il est tombé 10 cm de neige, mais moi, je pellette des centimètres cubes !

Une référence terrestre

SECTION 2

91

section

3

D’autres sortes de mesures Jusqu’ici, tu as vu comment les êtres humains se sont servis de leur corps pour mesurer et même pour élaborer des systèmes d’unités de mesure. Ensuite, tu as pu constater qu’avec l’intensification du commerce et le développement de la science à la fin du 18e siècle, le besoin d’établir des unités de mesure communes s’est imposé. Tu as aussi pu suivre l’évolution du mètre comme unité de mesure de longueur, puis le développement d’unités qui en découlent directement ou non : les unités de mesure de surface et de volume. Cette section porte sur deux autres unités de mesure, indépendantes du mètre, mais très importantes en mathématique et en science.

A

À quelles sortes de mesure distincte chacune des images ci-dessous fait-elle référence ?

Les mesures d’angles et du temps sont intimement liées. Autrefois, l’angle formé par l’ombre d’un cadran solaire servait à mesurer le temps. Aujourd’hui, les aiguilles d’une montre forment un angle qui nous permet de lire l’heure.

92

CHAPITRE 6

La mesure

Les angles L’être humain a toujours observé le ciel et, par le fait même, il a toujours utilisé les angles, d’une façon plus ou moins consciente.

Question de

culture

POINT DE REPÈRE : LES ASTRES Pour trouver leur chemin, les premiers navigateurs avaient besoin de se repérer en mer. Les astronomes souhaitaient déterminer le mouvement des planètes. Les arpenteurs désiraient mesurer des territoires et des montagnes. Tous ces besoins ont amené les êtres humains à mettre au point des instruments de mesure des angles. Ces instruments leur permettaient de relever la hauteur des étoiles au-dessus de l’horizon, leur inclinaison sur l’horizon et toutes sortes d’autres mesures d’angles. L’astrolabe existe depuis plus de 2000 ans. Il était surtout utile à la navigation. Il permet, entre autres, de mesurer la hauteur du Soleil au-dessus de l’horizon pour, notamment, déterminer l’heure.

L’arbalestrille, ou bâton de Jacob, a été utilisée du 14e siècle au 17e siècle. Elle sert à mesurer la hauteur d’un astre (par exemple le Soleil) au-dessus de l’horizon pour connaître la latitude du lieu d’observation.

L’invention du sextant remonte à 1730 environ. Il a surtout servi en navigation. Par la réflexion de la lumière sur un miroir, il permet de déterminer la position géographique du lieu d’observation.

D’autres sortes de mesures

SECTION 3

93

Les astronomes de Babylone représentaient le mouvement apparent du Soleil autour de la Terre par un cercle qui correspondait à une journée. Ils ont ensuite divisé ce cercle en six secteurs égaux.

60°

Degré (°) : Une unité de mesure d’angle. Minute : Mot qui vient du latin minuta : menue partie. Seconde : Mot qui vient du latin minutum secundum : menue partie résultant de la seconde fragmentation de l’heure.

Depuis quand sait-on que la Terre gravite autour du Soleil, et non l’inverse ?

Le système de numération des Babyloniens, en base 60, explique pourquoi chaque secteur compte 60 degrés et qu’un cercle en compte donc 360. Ainsi, même après 3500 ans, la mesure des angles, en degrés, repose toujours sur la division du cercle faite par les Babyloniens. Comme toutes les unités de mesure, le degré se divise en unités plus petites pour obtenir une plus grande précision. Les Babyloniens ont aussi établi ces subdivisions. • Dans un degré, il y a 60 minutes. • Dans une minute, il y a 60 secondes.

Un instrument pour mesurer les angles Même si les Babyloniens ont subdivisé l’unité de mesure des angles en minutes et en secondes, peu d’instruments permettent de les mesurer avec une telle précision. Les rapporteurs d’angle, par exemple, ne présentent la plupart du temps que les degrés. Voici deux modèles de rapporteurs d’angle.

A

94

CHAPITRE 6

Trouve une ressemblance et une différence entre les deux rapporteurs ci-dessus.

La mesure

Estimer la mesure d’un angle A

Estime la mesure des angles suivants. 1)

2)

5)

3)

6)

4)

7)

B

Comment fais-tu pour estimer la mesure d’un angle ?

C

Pourquoi devrait-on toujours faire une estimation avant de mesurer un angle ?

Pour estimer la mesure d’un angle, il semble naturel de le comparer à un angle de 90°, de 180° ou de 360°. Par exemple, puisque l’angle ci-dessous semble « rentrer » un peu plus que deux fois dans un angle droit (90°), 40° représente une estimation raisonnable de sa mesure.

aaaction! 1. Estime la mesure, en degrés, des angles suivants. a) L’angle maximal formé par ton pouce et ton index. b) L’angle minimal que forment ton bras et ton avant-bras droits quand ta main droite touche ton épaule droite. c) L’angle minimal que peut former ton pied gauche avec le devant de ta jambe gauche. d) L’angle minimal que peut former ta main droite avec le dessus de ton avant-bras droit. 2. Trace à main levée : a) un angle de 45° ; b) un angle de 60° ; c) un angle de 100° ;

Quand je trace un angle à main levée, je fais une estimation.

d) un angle de 340° ; e) un angle de 230°.

D’autres sortes de mesures

SECTION 3

95

Mesurer et tracer des angles à l’aide d’un rapporteur Quand il faut plus qu’une estimation, le rapporteur d’angle est l’instrument tout indiqué pour mesurer un angle. A

Parmi les trois illustrations suivantes, quelle est la bonne façon de placer un rapporteur sur un angle pour le mesurer ? Explique ta réponse.

1

2

3

aaaction! 1. Mesure, en degrés, les angles suivants le plus précisément possible. a)

c)

b)

d)

2. Trace un angle : a) de 124° ; b) de 45° ; c) de 57° ; d) de 222° ; 3. Explique comment tu procèdes pour tracer un angle de plus de 180° avec un rapporteur.

96

CHAPITRE 6

La mesure

e)

e) de 154° ; f ) qui aurait la même « mesure » que la température d’aujourd’hui. Ce ne sont pas les mêmes degrés ! En plus, il fait 2 °C aujourd’hui !

Le temps La mesure du temps présente une grande différence par rapport à la mesure d’une longueur ou d’une masse. En général, les choses qu’on veut mesurer ne changent pas pendant qu’on les mesure. Le temps, lui, continue de s’écouler. Il passe, il nous échappe... A

Nomme quelques instruments (ou moyens) que l’être humain a utilisés pour mesurer le temps.

Le temps fait partie intégrante de toute activité humaine. Il passe sans qu’on ne puisse rien y faire, sauf peut-être essayer de le mesurer. Notre vocabulaire est d’ailleurs imprégné de références au temps.

J’attends deux minutes avant de commencer, pour ne pas finir premier...

aaaction! 1. Dresse une liste d’au moins quinze mots (ou expressions) qui font référence au temps. 2. Ajoute à ta liste les trouvailles de tes camarades.

Question de

culture

JOUR ET NUIT Les Égyptiens ont été parmi les premiers à diviser le jour en 24 heures. Les Babyloniens ont amélioré le système égyptien en décidant que chacune des 24 heures aurait la même durée. Cependant, cette idée a mis du temps à s’imposer partout dans le monde. En Europe, avant 1344, les seules « horloges » se trouvaient dans les églises et les monastères. L’unique but de ces horloges sans aiguilles ni cadran était de faire sonner les cloches pour indiquer l’heure des prières. L’invention de l’horloge en 1344 a été l’un des événements marquants du Moyen Âge. À partir de ce moment, le passage des heures inégales aux heures égales s’est effectué et s’est répandu partout. Fait intéressant : pour les Égyptiens, la journée commençait au lever du soleil ; pour les Babyloniens, au crépuscule ; tandis que pour les Romains, c’était à minuit.

D’autres sortes de mesures

SECTION 3

97

Constater des régularités, c’est un travail mathématique !

Diviser le temps pour le mesurer Pour mesurer le temps, les êtres humains ont observé leur environnement. Grâce à ces observations, ils ont dégagé certaines régularités, certains cycles naturels : les jours et les nuits, les saisons, les années. Ils ont pu, par la suite, « mesurer » ces cycles, ou tout au moins leur attribuer un nom. A

Quel autre cycle naturel peut servir à mesurer le temps ?

Le fait de vivre sur une planète soumise à des cycles naturels nous a imposé plusieurs divisions du temps, qu’on pourrait appeler les « divisions naturelles ». Les deux principales divisions naturelles du temps (sur la Terre) sont le jour astronomique et l’année astronomique.

Jour astronomique : Temps que prend la Terre pour faire un tour complet sur elle-même : environ 23 heures, 56 minutes et 4 secondes. Année astronomique : Temps que prend la Terre pour faire un tour complet autour du Soleil : environ 365 jours, 5 heures, 48 minutes et 46 secondes.

B

Pour des raisons pratiques, on utilise des mesures plus simples : le jour terrestre de 24 heures et l’année terrestre de 365 jours.

Sauf les années bissextiles, qui ont 366 jours.

Pourquoi les années bissextiles arriventelles tous les quatre ans, et non pas tous les trois ou cinq ans ?

D’autres besoins particuliers ont nécessité l’invention d’autres divisions du temps qui ne sont pas directement liées à notre environnement naturel. Par exemple, à partir de la durée d’un jour, on a pu définir l’heure, la minute et la seconde, même si ces durées ne se manifestent pas naturellement autour de nous.

98

CHAPITRE 6

C

Nomme une autre division du temps créée par l’être humain.

D

Selon toi, pourquoi l’être humain crée-t-il des divisions du temps ?

La mesure

Bien qu’elle soit probablement la dernière unité de temps définie par les êtres humains, la seconde est aujourd’hui l’unité de base du SI pour mesurer le temps.

aaaction!

Question de

1. Fais équipe avec une ou un camarade. Selon vous : a) la durée d’une année sur Mars est-elle la même que sur la Terre ? Pourquoi ? b) la durée d’un jour sur Jupiter est-elle la même que sur la Terre ? Pourquoi ? c) la taille d’une planète influe-t-elle sur la durée d’un jour ou d’une année sur cette planète ? Explique ta réponse. d) qu’est-ce qui influe sur la durée d’une année sur une planète ? 2. Partagez vos découvertes avec une autre équipe. Ensemble, faites un résumé de vos trouvailles et présentez-le à votre cours de science.

Au fil du temps, l’être humain a inventé toutes sortes d’instruments pour mesurer le temps. En voici des exemples.

culture

LE TEMPS AU CÉSIUM L’échelle du temps humain est basée sur la rotation de la Terre autour de son axe et autour du Soleil. Des mesures de temps de plus en plus précises ont toutefois révélé que ces mouvements de corps célestes ne sont pas aussi constants qu’on le croyait autrefois. C’est pourquoi l’unité de temps est aujourd’hui déterminée à l’aide d’une méthode atomique.

Essaie de trouver l’année (ou l’époque) approximative d’invention de chaque instrument de mesure du temps présenté ci-dessous.

Un sablier

Une montre de gousset Une clepsydre (artéfact)

Un réveil à affichage numérique

D’autres sortes de mesures

SECTION 3

99

activites

1. Tab-l’heure ? Il peut être ardu d’additionner ou de soustraire des durées exprimées en « heures : minutes : secondes ». Aussi bien additionner ou soustraire des quantités écrites en babylonien !

Voici une feuille de calcul d’un tableur qui contient les temps d’arrivée au demi-marathon de Montréal (édition 2003) des cinq coureuses et coureurs ayant terminé l’épreuve en dernier. a) Dans quelle cellule du tableur trouvet-on la somme des temps de ces cinq personnes ? Vérifie cette somme. b) La feuille de calcul montre aussi l’écart entre les temps d’arrivée de ces coureurs. En te basant sur les données de la feuille de calcul, remplis le tableau suivant. 1)

Temps indiqué dans la cellule A10

Écart entre les positions

et

2)

Temps indiqué dans la cellule A11

Écart entre les positions

et

3)

Temps indiqué dans la cellule A12

Écart entre les positions

et

Le sport mesure la valeur humaine en millimètres et en centièmes de seconde. ≤≥ BERNARD ARCAND EXTRAIT DE QUINZE LIEUX COMMUNS

2. ZZZZZZ ! Marie s’est endormie à vingt-deux heures vingt minutes et elle s’est réveillée à sept heures moins quart. Combien de temps a-t-elle dormi ?

100

CHAPITRE 6

La mesure

3. Le VHS, l’ancêtre du DVD

4. En corps !

Sara a enregistré un film de 102 minutes sur une bande VHS ayant une capacité d’enregistrement de 180 minutes.

a) Estime, en degrés, les mesures d’angles suivantes.

Avec ce qu’il reste de bande, peut-elle enregistrer trois émissions de 30 minutes chacune si elle « coupe » les messages publicitaires, qui représentent 25 % de la durée d’une émission ?

5. Le DVD, futur ancêtre du... Isabelle a enregistré un film de 145 min sur un DVD. Le fichier a une taille de 2,75 gigaoctets (Go) et la capacité du DVD est de 9,4 Go. Combien de « minutes » peut-elle encore enregistrer sur son DVD ?

Chronomètre : Mot qui vient du grec khrônos, temps, et metron, mesure.

Le plus petit angle que tu peux former en pliant ton genou au maximum.

2)

Le plus grand angle que tu peux former entre ton index et ton majeur.

3)

Sans bouger la tête, ton champ de vision : • vertical ; • horizontal.

b) Indique la moyenne et l’étendue des données que toute la classe a trouvées à la question 3) : • pour le champ de vision vertical ; • pour le champ de vision horizontal.

6. Un marathon en deux temps Deux chronomètres différents ont servi à mesurer la durée du marathon de Pierre et d’Alain.

1)

Alain

Pierre

Lequel des deux coureurs a enregistré le meilleur temps ?

7. Une longue journée Dans un aéroport, une navette fait le parcours entre le Terminal A et le Terminal B en 14 minutes. Elle s’arrête 6 minutes à chaque extrémité du parcours pour prendre à son bord des passagers ou les laisser descendre. Si la navette part du Terminal A à 6 heures, à quel endroit sera-t-elle à 20 heures ?

D’autres sortes de mesures

SECTION 3

101

[

Les diverses unités de mesure présentées dans ce chapitre te serviront à poursuivre l’étude de la géométrie. Il en sera d’ailleurs question dans les chapitres suivants qui portent sur des objets géométriques et leurs mesures.

]

Tu verras, entre autres, que les unités de mesure de longueur sont utiles pour mesurer les côtés de figures géométriques et que leurs angles se mesurent normalement en degrés. Pour te donner un avant-goût, voici une situation qui présente un objet géométrique assez particulier pouvant être mesuré de deux façons différentes.

a) Selon toi, un bateau qui traverse l’océan Atlantique parcourt-il des kilomètres ou des degrés ? En se déplaçant à la surface de la Terre, on franchit certainement une distance en kilomètres, mais on pourrait aussi dire qu’on « parcourt » des degrés. Voici le schéma d’une traversée de l’Atlantique à bord d’un bateau allant de Boston, aux États-Unis, Boston Dakar jusqu’à Dakar, la capitale du Sénégal. 49,91°

5546 km

Boston

Dakar La Terre a une circonférence d’environ 40 000 km.

En mathématique, la mesure d’un arc de cercle peut s’effectuer à l’aide de deux types d’unités de mesure : une mesure de longueur ou une mesure d’angle. b) Quelle est la mesure, en degrés, d’un cercle ? c) Si le contour d’un cercle mesure 40 cm, combien mesure un arc de ce cercle qui a : 1) 180° ? 2) 90° ? 3) 53,5° ? d) Comment a-t-on calculé la mesure, en degrés, de l’arc parcouru par le bateau à l’aide de la distance entre Boston et Dakar ?

J’ai l’impression d’avoir fait quelque chose d’assez difficile sans m’en rendre compte !

102

CHAPITRE 6

La mesure

1. À peu près a) Estime chacune des grandeurs suivantes. Utilise l’unité de mesure la plus appropriée. 1) La longueur d’un grain de riz. 2) 3) 4) 5) 6)

La masse de sucre que peut contenir une cuillère à soupe. La masse de ton sac d’école. La longueur d’un crayon à mine jamais taillé. La durée d’un devoir de mathématique « normal ». La hauteur que tu peux atteindre lorsque tu es sur le bout des pieds, les bras étirés vers le haut.

b) Essaie de vérifier le plus d’estimations possible.

2. Cent détours

3. Trois fois tri  9

Je suis au point A et je veux me rendre au point B.

a) Avec ta règle, dessine trois triangles différents.

a) Selon toi, quel chemin est le plus long ? b) Vérifie ton estimation sans utiliser ta règle graduée. c) Quel pourcentage de la classe a la même réponse que toi ? in

1

m he

c) Additionne les mesures des trois angles de chaque triangle.

C

A B Ch

em

in

2

b) Mesure les neuf angles que tu viens de dessiner. Écris la mesure dans l’ouverture de chaque angle.

d) Essaie de formuler une conjecture à propos de la somme des mesures des angles d’un triangle.

Bric à maths

CHAPITRE 6

103

4. Je me convertis aux secondes Convertis les durées suivantes en heures, minutes et secondes. a) 145 000 s b) 5,60 h c) 1,25 min

5. Les arpents verts Léon a acheté une terre à cultiver de 15 arpents de son arrière-grand-père, puis il en a acheté une autre de 15 hectares de sa voisine. Sachant qu’il peut labourer, dans une heure, 1500 m2 de terre, combien de temps mettra-t-il, en tout, à labourer ses deux terrains ?

Question de

Rappelle-toi, c’est une virgule décimale.

culture

COMMUNES MESURES... L’arpent est une ancienne mesure française à la fois de longueur et de superficie. Le mot « arpentage », qui signifie « mesure de la superficie d’un terrain », tire d’ailleurs son origine de cette ancienne unité de mesure. Au Québec, l’arpent est demeuré l’étalon de « mesure des terrains » jusqu’à ce qu’il soit remplacé par le mètre et l’are, à la fin des années 1970. Pour mesurer de grandes superficies, on utilise l’hectare (ha) plutôt que l’are (a). L’are et l’hectare ne font pas partie du système international d’unités (SI), mais en découlent. Un arpent de superficie équivaut Un hectare équivaut à : environ à : • 100 a ; • 34,2 a ; • 10 000 m2 ; • 0,342 ha ; • 1 hm2 ; • 3420 m2 . • 0,01 km2.

104

CHAPITRE 6

La mesure

6. Mère-grand Pour faire 16 grandes galettes ou 25 petites galettes, mère-grand utilise 0,5 kg de farine d’avoine, 300 g de cassonade, 60 g de levure, 250 g de beurre léger et 2 dL d’eau. En supposant que les ingrédients ne changent pas de masse en cuisant, mais que la moitié de l’eau s’évapore, détermine : a) la masse d’une grande galette ; b) la masse d’une petite galette. Explique ta démarche.

7. Combien de fois plus ? Voici les angles a et b. b a

8. Antico-pratique a) Mesure l’angle a en prenant l’angle b comme unité. b) Mesure l’angle b en prenant l’angle a comme unité.

Pourquoi peut-on dire que les anciennes unités de mesure étaient « pratiques » ?

c) Comment l’inverse multiplicatif peut-il t’être utile dans cette situation ?

10. Suis la règle 9. Goutte par goutte Un robinet qui coule met une journée pour remplir un récipient de 10 L. En combien de temps ce robinet aura-t-il rempli : a) un contenant de 1,5 L ? b) un bidon de 28 L ? c) ta baignoire ? d) une piscine ?

Ce serait plus simple si je connaissais les dimensions de la piscine.

Clémentine veut carreler sa cuisine de 6 m sur 4 m avec des carreaux blancs de 25 cm de côté et des carreaux noirs de 15 cm de côté. Elle a autant de carreaux qu’elle veut de chaque sorte, mais elle n’a pas d’outil pour les tailler. a) Dessine un motif qu’elle pourrait adopter pour sa cuisine. b) Compare ta réponse avec celle d’une ou d’un camarade.

Bric à maths

CHAPITRE 6

105

Situation 1 Observe bien l’information peinte sur la chaussée de cette rue.

pieds dans un mille ? de il tay en bi om C 1. orge dans une livre ? d’ ns ai gr de il tay 2. Combien ? livres dans une tonne 3. Combien y a-t-il de acre ? es carrées dans une rg ve de il tay en bi 4. Com ennes unités anci question sur les re op pr ta e nt 5. Inve n. ur transformatio de mesure ou le

a) Selon toi, quel message la municipalité veut-elle transmettre aux automobilistes ? b) Qu’est-ce qui ne va pas avec ce message ? c) Selon toi, pourquoi cette erreur se retrouve-t-elle peinte sur la chaussée ? Comment aurait-on pu l’éviter ? d) Montre cette photo à tes parents. Voient-ils ce qui ne va pas ? Qu’en pensent-ils ?

Et l’abréviation de kilomètre n’est pas la bonne : ça prend des minuscules.

106

CHAPITRE 6

La mesure

Situation 2 Sur certains emballages de papier d’aluminium, des unités de mesure du système anglo-saxon côtoient celles du SI. a) A-t-on besoin d’une longueur ou d’une aire de papier d’aluminium pour emballer un produit alimentaire ? Explique ta réponse. b) Selon toi, pourquoi « 100 pi » apparaît-il en gros caractères sur l’emballage ci-dessus alors que l’indication des mesures d’aires apparaît en petits caractères, dans le coin gauche ? c) Comment arrive-t-on à une aire de 100 pi2 ou 9,3 m2 ? d) Quelle partie de l’emballage te fait constater que les multiples et les sous-multiples du mètre sont des puissances de dix ? e) Si le prix de ce rouleau de papier d’aluminium est de 3 $, estime le coût d’emballage d’un sandwich avec ce papier. f ) En coûte-t-il moins cher d’emballer un sandwich dans de la pellicule plastique ? Explique ta démarche.

Situation 3 Valérie affirme qu’un seul de ces contenants a été conçu dans un pays ayant adopté le SI. a) Commente son affirmation. b) Qu’en pensent tes parents ? c) Trouve d’autres exemples.

Dans la vie…

CHAPITRE 6

107

Organiser ses connaissances,

escale

ce n’est pas toujours facile, mais c’est important.

Dans l’escale du chapitre 5, tu as déterminé la méthode qui te convient le mieux pour organiser le contenu d’un chapitre. Il s’agit maintenant de peaufiner cette méthode. Que pourrais-tu faire pour l’améliorer ?

Et pour la rendre plus efficace ?

Faire le point Les énoncés suivants t’aideront à résumer le chapitre à ta manière. Si certaines notions que tu juges pertinentes n’y apparaissent pas, tu peux les inclure dans ton résumé. •

108

Les anciennes unités de mesure se basaient sur des parties du corps.

exploration Parmi les éléments de l’illustration de la p. 66 que tu as choisis pour mesurer le comptoir, lesquels correspondaient à d’anciennes unités de mesure ?

•

Le commerce et la science ont fait naître le besoin d’unifier les unités de mesure.

•

Le système international d’unités (SI) fonctionne en base dix, comme notre système de numération.

•

La définition du mètre a évolué depuis le 18e siècle.

•

L’eau permet d’établir un lien entre le mètre, le litre et le kilogramme.

•

Convertir des unités de mesure, c’est les exprimer à l’aide d’un préfixe différent.

•

Les unités de mesure des angles et du temps se basent sur les divisions en base soixante des peuples anciens.

CHAPITRE 6

La mesure

Activité d’intégration Dessine à l’échelle un plan de ta chambre qui inclut tous les meubles qui s’y trouvent. Indique toutes les mesures : la longueur de 1 m dans ta chambre doit correspondre à 5 cm sur ton plan. Exemple :

40 cm

3,80 m

25 cm

2,80 m

175 cm 75 cm

25 cm

100 cm

125 cm

40 cm

65 cm

60 cm

Gabarit : Grandeur que l’on détermine, sous forme d’un modèle, pour mesurer un objet. Sorte d’instrument de mesure non conventionnel.

Des gabarits Puisque les unités de mesure de longueur n’ont plus de relation directe avec certaines parties du corps, il peut être utile d’associer certaines longueurs à des choses connues. Cela peut faciliter l’estimation des distances ou de la taille de certains objets. Ton mandat :

exploration

Dans l’exploration, quels objets ont pu servir de gabarit pour mesurer les b) Déterminer par vote, en grand groupe, quel gabarit est le plus significatif, dimensions du le plus utile. comptoir ?

a) Proposer un «gabarit» pour les mesures suivantes : 1 mm, 1 cm, 1 dm, 1 m, 1 dam, 1 km.

c) Construire ou illustrer chaque gabarit retenu par la majorité et l’afficher dans la classe.

Escale

CHAPITRE 6

109

chapitre

7

Toutes les indications pour construire une maison se retrouvent sur des plans comme celui-ci.

La largeur de la maison.

Le plan que tient la contremaîtresse.

Le sommet du toit de la maison.

110

Nommez un élément qu’on trouve sur ce chantier et nous le placerons dans une case du tableau. Pour répondre, levez la main.

La façade de la maison.

• Selon toi, qu’est-ce qu’une dimension ? • Dans quelles cases du tableau classifierais-tu les réflexions des élèves ?

1. Dans un tableau semblable à celui que présente l’enseignant dans l’illustration : a) classifie les autres éléments que contient l’illustration ; b) ajoute dans chaque catégorie un élément qui ne se trouve pas dans l’illustration. 2. Compare tes réponses avec celles de tes camarades. 3. Comment détermines-tu le nombre de dimensions d’un objet ? 4. Comment peut-on considérer 0, 1 ou 2 dimensions d’un objet en 3 dimensions ?

Chantier de construction On veut déterminer quelles sont les connaissances mathématiques dont a besoin une personne qui travaille sur un chantier de construction. Commence par trouver un métier en lien avec la construction. Interviewe ensuite une femme ou un homme qui exerce ce métier. Demande-lui d’énumérer les connaissances mathématiques qu’elle ou qu’il doit utiliser pour effectuer son métier. Tu devras ensuite présenter brièvement un compte rendu de ton interview.

re Plan du chapit

112 ie . . . . . . . . . . tr é m o é g la e s origines d . . . 121 Section 1 – Le ension . . . . . . . im d n e n o si n e dime 6 Section 2 – D . . . . . . . . . . . . 13 . . . . . . . . . . . . . es angles . . Section 3 – L 111

section

1

Les origines de la géométrie

Géométrie : Mot qui vient du grec gê, Terre, et metron, mesure.

Aujourd’hui, puisque la mathématique est partagée en plusieurs branches, l’étude de la géométrie peut souvent sembler dissociée de celle des nombres. Il est toutefois important de noter que la plupart des concepts utilisés aujourd’hui, qu’ils soient reliés aux nombres ou à la géométrie, ont probablement été développés à la même époque. Les Grecs considéraient d’ailleurs que la géométrie était le fondement des mathématiques, comme en témoigne cette phrase gravée à l’entrée de l’Académie d’Athènes, l’école fondée par Platon :

Trouve un renseignement sur Platon, son travail, ses croyances ou ses discours. En grand groupe, confectionnez une affiche qui résume ce que vous avez trouvé.

« Que nul n’entre s’il n’est géomètre. »

Un monde géométrique Il suffit de jeter un regard autour de nous pour voir des immeubles qui rappellent des polyèdres, des étendues d’eau calme qui suggèrent l’idée d’un plan, des gouttes de pluie qui semblent sphériques...

Question de

Ammonite : Mollusque à coquille enroulée. Le mot vient du nom du dieu égyptien « Amon », qui était représenté sous la forme d’un bélier. 112

CHAPITRE 7

culture

DES SPIRALES DANS LA NATURE Le nautile cloisonné est un mollusque des mers chaudes qui existe depuis quelque cinq cents millions d’années. La spirale de sa coquille se retrouve également dans les escargots, les ammonites, les fleurs de tournesols, les galaxies spirales... Elle est un exemple parmi d’autres des liens étroits qui existent entre les formes naturelles et les formes « idéales » de la géométrie. Nautile cloisonné

Des objets géométriques

A

Selon toi, est-ce la nature qui imite la géométrie ou la géométrie qui s’inspire de la nature ?

La géométrie permet de schématiser le monde. Elle fournit en quelque sorte une façon de représenter les objets, de les étudier, de les mesurer.

Il s’agit d’avoir du talent pour le dessin !

aaaction! Choisis un objet que tu vois chaque jour. Schématise-le en un ou plusieurs objets géométriques, comme dans l’illustration ci-dessus.

Parfois, certaines figures géométriques semblent même coïncider avec la nature sans qu’on ait à les schématiser. Il suffit de penser aux cercles concentriques obtenus en laissant tomber une pierre dans l’eau. B

Cite d’autres exemples de figures géométriques que tu « vois » dans la nature.

C

Selon toi, pourquoi trouve-t-on que certains objets « naturels » s’apparentent à des figures géométriques ?

Concentrique : Qui a le même centre. Con signifie « avec », en latin.

Les origines de la géométrie

SECTION 1

113

Une longue histoire L’étude de la géométrie remonte à très longtemps. On sait que certains peuples anciens ont développé la géométrie pour mathématiser et étudier des aspects de la nature que les nombres ne pouvaient pas décrire.

L’Égypte et la Babylonie Comme dans le cas des systèmes de numération, l’organisation des connaissances en géométrie semble trouver ses sources dans les cultures égyptiennes et babyloniennes. Le papyrus de Rhind, présenté au chapitre 3, a permis de déterminer que les arpenteurs égyptiens avaient déjà, il y a 3000 ans, des connaissances suffisantes en géométrie pour refaire le tracé des propriétés touchées ou emportées par les crues du Nil. Des tablettes babyloniennes de la même époque montrent aussi des énoncés géométriques concernant les cercles, les angles et les polygones. On pense que certaines tablettes ont servi à l’enseignement puisqu’on y trouve des problèmes à résoudre.

Le papyrus de Rhind

Des tablettes babyloniennes

Bien qu’à ses débuts, elle ait servi à redéfinir les terres emportées par les eaux, la géométrie s’occupe maintenant autant des problèmes terrestres que célestes : elle a élargi son champ d’étude aux frontières les plus éloignées de l’espace. ≤≥ W.B. FRANKLAND

114

CHAPITRE 7

Des objets géométriques

Les écoles grecques Les connaissances en géométrie des Égyptiens et des Babyloniens sont parvenues en Grèce à la faveur d’échanges commerciaux. Trois géomètres grecs d’un génie exceptionnel ont marqué la géométrie : Thalès de Milet, Pythagore et Euclide.

ITALIE GRÈCE •

Thalès

Crotone Samos

•

• Milet

Pythagore Mer Méditerranée

• Babylone

Alexandrie • ÉGYPTE

Thèbes •

Euclide

Thalès de Milet (vers 624-547 av. J.-C.) La tradition attribue à Thalès de Milet l’introduction en Grèce de la géométrie égyptienne. Thalès a principalement étudié la géométrie élémentaire, celle qui concerne les droites, les angles, les triangles, les cercles, etc. En plus du théorème qui porte son nom, il a énoncé d’autres relations importantes, notamment : « Tout diamètre partage le cercle en deux parties isométriques. » et « Si deux droites se coupent, les angles opposés sont isométriques. » Pythagore (vers 580-500 av. J.-C.) Né à Samos, en Grèce, Pythagore a mis sur pied une école religieuse, philosophique et scientifique à Crotone, en Italie. Ses disciples, les pythagoriciens, ont cherché à expliquer la couleur, la musique, l’ordre cosmique et l’essence de l’être à l’aide de nombres entiers positifs. Pythagore est principalement connu pour le théorème qui porte son nom. Euclide (vers 325-265 av. J.-C.)

Fais une recherche pour trouver : a) Comment Thalès de Milet a calculé la hauteur de la grande pyramide de Khéops. b) Quelle était la devise de l’école de Pythagore ? c) Un fait intéressant sur Euclide.

Euclide est probablement le mathématicien grec le plus célèbre de l’Antiquité. Il a été l’un des géomètres de l’école d’Alexandrie, en Égypte, où il a écrit son traité Éléments. Dans cet ouvrage, Euclide a présenté toutes les connaissances en géométrie plane de l’époque. Cette géométrie est toujours enseignée dans les écoles du monde plus de 2000 ans après sa mort. Les origines de la géométrie

SECTION 1

115

Question de

culture

ÉLÉMENTS D’EUCLIDE Le traité Éléments regroupe 15 livres, dont 13 de la plume d’Euclide. Ces 13 livres traitent des figures géométriques, des polygones inscrits et circonscrits à un cercle, de leurs propriétés, des proportions, de la similitude, de la géométrie dans l’espace et de bien d’autres choses encore. Voici quelques extraits des Éléments.

• Le point est ce dont la partie est nulle. • Une ligne est une longueur sans largeur. • Les extrémités d’une ligne sont des points. • Les figures trilatères sont terminées par trois droites. • Les quadrilatères sont terminés par quatre droites. • Les multilatères sont terminés par plus de quatre droites. • [...]

Euclide a réussi à lier la géométrie un peu comme ces cow-boys qui lient les pattes des chevaux ou des taureaux afin qu’ils ne puissent plus bouger. ≤≥ ERIC TEMPLE BELL (1883-1960)

116

CHAPITRE 7

Des objets géométriques

A

Aujourd’hui, comment appelle-t-on les « trilatères » ?

B

Selon toi, quelle est la signification de « multilatère » ?

De la Grèce jusqu’à nous Avec la décadence de la civilisation grecque coïncide une longue période obscure pour la géométrie. Ces connaissances auraient sans doute sombré dans l’oubli sans les travaux d’autres peuples, dont ceux des civilisations arabe et indienne. Ces travaux, traduits par la suite en latin, vont contribuer à l’essor de la Renaissance au 15e siècle. Ils influenceront entre autres les recherches sur la perspective dans le domaine des arts. La géométrie est aux arts plastiques ce que la grammaire est à l’écrivain. ≤≥ GUILLAUME APOLLINAIRE

Dürer, c’est le créateur du fameux carré magique présenté au chapitre 2.

Puisque la géométrie constitue les fondements de la peinture, j’ai décidé d’en enseigner les principes de base à tous les jeunes qui ont soif d’art. ≤≥ ALBRECHT DÜRER (1471-1528)

A

En plus de la peinture et d’autres formes d’arts plastiques, quels autres domaines artistiques utilisent ou semblent utiliser des principes de géométrie ? Donne des exemples.

B

Essaie de nommer un artiste ou une œuvre qui illustrerait un de tes exemples.

Voici deux reproductions d’œuvres représentant le dernier repas de Jésus-Christ. L’œuvre de gauche remonte au 13e siècle, avant le développement des notions sur la perspective. L’œuvre de droite, achevée en 1498, a été peinte selon les règles de la perspective.

Parement d’autel de Soriguerola, Musée d’art catalan, Barcelone

La Dernière Cène, Léonard de Vinci, église Sainte-Marie-des-Grâces, Milan

C

Quelle est la principale différence entre ces deux œuvres ?

D

Selon toi, pourquoi les artistes-peintres appliquent-ils les règles de la perspective ? Les origines de la géométrie

SECTION 1

117

activites

1. Tout est dans la nature a) Établis quelques ressemblances entre cet échangeur d’autoroute et un trèfle à quatre feuilles. Pourquoi est-ce ainsi, selon toi ?

Je vois des spirales dans ma cuisine tous les jours.

b) Nomme des objets de la vie courante qui ont la forme d’un cône. c) Nomme des objets de la vie courante qui te rappellent une spirale. d) Associe une figure géométrique à un objet de la nature ou de la vie courante.

2. Internet Beaucoup de gens disent que grâce à Internet, on peut trouver n’importe quel renseignement en un rien de temps. En réalisant cette activité, tu vas peut-être te rendre compte qu’il faut pour cela développer des stratégies de recherche. a) Cherche les réponses aux questions suivantes. 1) Quelle figure associe-t-on à un dénommé Mandelbrot ? 2) En quelle année est né Mandelbrot ? 3) Comment dit-on « losange » en anglais ? en allemand ? en ancien français ? 4) Quelle est la ville natale de Platon ? 5) Où se trouve la pierre de Rosette aujourd’hui ? b) Quelle question t’a donné le plus de fil à retordre ? c) Compare tes réponses avec celles de quelques camarades. d) Si tu devais faire de nouvelles recherches dans Internet, procéderais-tu de façon différente ? Pourquoi ?

118

CHAPITRE 7

Des objets géométriques

3. J’aurais juré le contraire !

4. Tête d’affiche

Plusieurs artistes se sont amusés à créer des illusions d’optique.

a) Dans une encyclopédie ou dans Internet, fais une recherche sur un géomètre grec dont on n’a pas parlé dans cette section.

En voici un exemple.

b) Rédige un court texte sur les principaux travaux de ce géomètre. c) Affiche ton texte à un endroit prévu à cet effet dans ta classe.

Que vois-tu dans cette illustration : une spirale ou des cercles concentriques ? Vérifie ta réponse sans laisser de trace dans le manuel.

5. La main à la pâte a) Selon toi, lequel des objets suivants est impossible à fabriquer ?

1

2

La figure 2 s’appelle un ruban de Möbius. Tu peux faire une recherche dans Internet au sujet d’autres surfaces « mystérieuses », par exemple la bouteille de Klein. b) Fabrique l’autre, et colorie-le en utilisant des couleurs différentes pour le recto et le verso.

Les origines de la géométrie

SECTION 1

119

6. Fausse perspective Voici une gravure de William Hogarth réalisée en 1754 et intitulée Fausse perspective. L’artiste cherchait à illustrer à quel point le non-respect des règles de la perspective peut causer des situations illogiques.

a) Relève quelques situations qui te semblent illogiques dans le tableau. b) Combien en avez-vous relevé, en tout, dans votre classe ?

120

CHAPITRE 7

Des objets géométriques

En cherchant dans Internet, vous pouvez savoir s’il vous en manque.

section

2

De dimension en dimension Tout comme les nombres sont organisés en ensembles, les objets géométriques ont aussi une classification. Il est apparu logique de classifier les objets géométriques non pas selon leur taille, mais plutôt selon le nombre de dimensions qu’ils comportent.

L’objet géométrique adimensionnel Le point est le seul objet géométrique adimensionnel (0D). À partir du point, il est possible de générer plusieurs autres objets géométriques : des objets unidimensionnels (1D), bidimensionnels (2D) ou tridimensionnels (3D).

0D

A

1D

2D

Dimension : Longueur, largeur et hauteur (ou profondeur) d’un objet géométrique. Adimensionnel : Se dit d’une grandeur dénuée de dimensions.

3D

Quel coin du cube semble « sortir » de la page ? Grâce aux lois de la perspective, on peut donner l’illusion d’avoir représenté un objet tridimensionnel sur une surface bidimensionnelle.

B

Décris un point que tu vois dans la classe de façon qu’une autre personne puisse repérer ce point. De dimension en dimension

SECTION 2

121

Un point est un objet géométrique adimensionnel pouvant être formé par l’intersection de deux ou de plusieurs lignes distinctes. Un point est représenté à l’aide d’une trace de crayon et est nommé par une lettre majuscule.

Point : Mot qui vient du latin punctus, piqûre.

Exemples :

A B

Quand un point résulte de l’intersection de deux lignes, il est inutile de faire une trace de crayon. Exemple :

exploration Avais-tu trouvé des objets adimensionnels (0D) dans l’exploration ?

A

Comment un point peut-il exister s’il n’a pas de dimension ?

C

Avant Pythagore, le point n’était pas un objet sans dimension. C’était un objet concret souvent représenté par un grain de sable. Les géomètres grecs ont décidé de modifier la définition du point pour en faire un objet géométrique « idéal », tout à fait abstrait. D

Nomme un avantage à définir le point comme on le faisait avant Pythagore.

E

Nomme un avantage à définir le point comme on le fait maintenant.

Comme le point, les autres objets géométriques dont il est question dans les pages suivantes sont abstraits. Autrement dit, il est impossible de les toucher. Cependant, leur définition permet de s’en faire une image mentale.

Les objets géométriques unidimensionnels Il existe plusieurs objets géométriques unidimensionnels. En fait, plus il y a de dimensions, plus le nombre d’objets possibles augmente. A

Combien connais-tu d’objets géométriques unidimensionnels ? Nomme-les.

B

Dans ta classe, repère un élément qui te rappelle une droite. Décris-le de façon qu’une ou un camarade puisse, à son tour, le repérer.

aaaction! 1. Décris, d’une autre façon, l’élément s’apparentant à la droite que tu as observé dans ta classe. 2. En équipe, trouvez le plus de façons possible de décrire une droite.

122

CHAPITRE 7

Des objets géométriques

La droite Tout comme le point, la droite est un objet géométrique « idéal » et abstrait, qu’on peut se représenter grâce à une définition.

Une droite est une ligne formée d’une infinité de points alignés (allant dans la même direction). La représentation de la droite est une ligne. On nomme une droite à l’aide de deux points (lettres majuscules) ou à l’aide d’une lettre minuscule.

Droite : Mot qui vient du latin directus, direct.

Exemples : A

d B

La droite AB

La droite d

REMARQUE

AB signifie aussi la droite AB.

Au stop, tourne à droite et continue tout droit jusqu’à la faculté de droit.

A

Dans quels contextes utilises-tu le mot « droite » dans la vie courante ?

B

Est-ce qu’une droite a des extrémités ?

C

Selon toi, est-ce qu’une droite peut avoir plusieurs directions ? plusieurs sens ?

D

Quelle pourrait être l’unité de mesure d’une portion de la droite ?

E

Selon toi, pourquoi la droite est-elle un objet géométrique unidimensionnel ?

F

Peut-on mesurer la longueur d’une droite ?

G

Parmi les définitions suivantes d’une droite, laquelle préfères-tu ? Pourquoi ?

1

2

3

« « «

» »

Une droite est le trajet d’un point qui se déplace sans jamais changer de direction.

Une droite est l’intersection de deux plans (un mur et un plafond, par exemple).

»

Une droite est une ligne qui passe par deux points.

De dimension en dimension

SECTION 2

123

Attenti n En mathématique, une droite a une seule direction, mais deux sens. La direction est en fait l’inclinaison de la droite. Deux droites ayant la même inclinaison ont donc la même direction. Cette signification du mot « direction » peut être différente de celle utilisée dans la vie de tous les jours.

D’une certaine manière, une droite EST une direction.

Je comprends mieux pourquoi le mot « droite » vient du latin directus.

On EST sur la même droite, donc SUR la même direction.

On ne va pas dans la même direction.

aaaction! 1. Sur une feuille, trace un point F. 2. Trace toutes les droites qui passent par le point F. 3. Sur la même feuille, trace un point D. 4. Trace toutes les droites qui passent par les points F et D. 5. Sur la même feuille, trace un point S. 6. Existe-t-il une droite qui passe par les points F, D et S ? Explique ta réponse.

124

CHAPITRE 7

Des objets géométriques

Les photos ci-dessous montrent comment des objets de notre environnement semblent « supportés » par des droites.

H

Selon toi, que veut-on dire lorsqu’on dit qu’un objet semble supporté par une droite ?

aaaction! Observe une image de ton choix tirée d’un magazine, d’un livre, etc. Repères-y des objets qui font penser à : a) une droite oblique ; b) une droite horizontale ; c) une droite verticale ; d) deux droites qui ont la même direction ; e) deux droites qui se coupent à 90° ; f ) deux droites qui se coupent.

I

exploration Refais cette action ! à partir de l’illustration de la page 110.

Quels objets géométriques unidimensionnels peut-on définir à partir d’une droite ?

De dimension en dimension

SECTION 2

125

La demi-droite A

Qu’est-ce qu’une demi-droite, selon toi ?

B

Quel lien fais-tu entre un panneau indiquant un sens unique et une demi-droite ?

C

Quelle est la mesure d’une demi-droite ?

Une demi-droite est l’ensemble de tous les points d’une droite situés du même côté d’un point, qui est appelé l’origine de la demi-droite. Pour nommer une demi-droite, il faut mentionner deux points : l’origine et un autre point situé sur la demi-droite. Exemple : A

B

La demi-droite AB

D

Selon toi, la demi-droite AB aurait-elle pu être nommée BA ? Pourquoi ?

E

Est-ce qu’une demi-droite a plusieurs directions ? plusieurs sens ?

Le segment de droite Un segment de droite est une portion de droite limitée par deux points. Voici une représentation d’un segment de droite. B A

Segment : Mot qui vient du latin segmentum, morceau coupé, de secare, couper.

126

CHAPITRE 7

d

Le segment de droite AB, ou AB, est supporté par la droite d. REMARQUE

Il est possible de désigner un segment de droite en n’utilisant que le terme « segment ».

A

Un segment de droite a-t-il des extrémités ?

B

Peut-on mesurer la longueur d’un segment ?

C

Selon toi, pourquoi le segment est-il un objet géométrique unidimensionnel ?

Des objets géométriques

Les relations entre deux droites En plus de permettre de définir des objets géométriques, le travail mathématique exige qu’on s’intéresse également aux relations pouvant exister entre ces objets. Lorsque deux droites sont dans un même plan, sur un tableau par exemple, deux situations peuvent se produire : • Les droites ne se coupent pas. • Les droites se coupent.

e

d

j

Autrement dit, soit les droites ont la même direction, soit elles n’ont pas la même direction.

f g

Dans le cas où deux droites sont superposées, on peut aussi dire qu’il n’y a qu’une droite...

h k

A

Les droites représentées dans l’illustration sont-elles dans le même plan ? Pourquoi ?

B

Identifie deux droites qui ne se coupent pas.

C

Identifie deux droites qui se coupent.

D

Comment appelle-t-on deux droites qui ne se coupent jamais ?

E

Comment appelle-t-on deux droites qui se coupent ?

F

Quelle caractéristique intéressante pourraient avoir deux droites qui se coupent ?

De dimension en dimension

SECTION 2

127

page 253

Avant d’entreprendre l’atelier 2, consulte d’abord les pages 246 à 248 et effectue l’atelier 1.

Des droites perpendiculaires sont des droites d’un même plan qui se coupent à angle droit. Exemple : BN est perpendiculaire à PL ou BN PL

L

B

Le symbole signifie « est perpendiculaire à ».

N P

Des droites parallèles sont des droites d’un même plan qui ne se coupent pas. page 261

Exemple :

G

GF est parallèle à HJ ou GF // HJ

F

Le symbole // signifie « est parallèle à ».

J H

Des droites sécantes sont des droites d’un même plan qui se coupent. Exemple : s

Les droites s et t sont sécantes. t

Perpendiculaire : Mot qui vient du latin perpendiculum, fil à plomb. Parallèle : Mot qui vient du grec para, auprès, et allêlôn, l’un l’autre. Sécante : Mot qui vient du latin secare, couper.

128

CHAPITRE 7

Des objets géométriques

G

Quel est le lien entre « fil à plomb » et « perpendiculaire » ?

Puisqu’il n’y a pas de droites dans notre environnement, il n’y a pas non plus de droites parallèles ou perpendiculaires. Cependant, dans plusieurs contextes, des objets droits semblent supportés par des droites parallèles ou perpendiculaires. H

Trouve des situations de la vie quotidienne qui te rappellent : 1) des droites parallèles ; 2) des droites perpendiculaires.

aaaction! Pour chacun des énoncés suivants, indique s’il est vrai ou faux. Justifie tes réponses. a) b) c) d) e)

« « « « «

»

Si deux droites sont parallèles à une troisième droite, les trois droites sont parallèles entre elles.

»

Si deux droites sont perpendiculaires à une troisième droite, alors elles sont parallèles.

»»

Si deux droites sont parallèles entre elles, toute droite perpendiculaire à l’une d’elles est perpendiculaire à l’autre.

Attenti n Lorsque deux droites sont superposées, on dit qu’elles sont confondues. Des droites confondues sont forcément parallèles.

Si deux segments ne se coupent pas, alors ils sont parallèles.

»

Si deux segments sont perpendiculaires, alors ils se coupent nécessairement.

En d’autres mots, dans l’action!, on demande de vérifier des conjectures.

Des segments supportés par des droites parallèles sont des segments parallèles. Exemple :

B

A C

d

D

Si les droites d et e sont parallèles, alors AB // CD

e

Des segments supportés par des droites perpendiculaires sont des segments perpendiculaires. Exemple :

GH

E

EF

F G

H

De dimension en dimension

SECTION 2

129

Les objets géométriques bidimensionnels Selon le même principe qui permet de générer une droite (1D) à partir d’une infinité de points (0D), on peut générer un plan (2D) à partir d’une infinité de droites. Je me fais un « plan » de mur.

A

Commente l’illustration ci-dessus.

B

Définis un plan dans tes mots.

C

Quelle utilisation fait-on du mot « plan » dans la vie de tous les jours ?

Le plan Tout comme la droite, le plan est un objet géométrique « idéal » et abstrait. On peut toutefois imaginer qu’il fait partie de notre entourage (la mer, ton manuel ouvert, etc.), comme les autres objets géométriques abstraits. D

Donne d’autres exemples d’objets de ton environnement qui semblent supportés par un plan. Fais preuve d’originalité.

E

Est-ce qu’un plan a des extrémités ? des bords ?

F

Quelle unité utiliserais-tu pour mesurer un plan ou une partie d’un plan ?

G

Quelle est l’épaisseur d’un plan ?

H

Selon toi, pourquoi le plan est-il un objet géométrique bidimensionnel ?

aaaction! 1. Combien peut-on faire passer de plans par : a) deux points ? b) trois points non alignés ?

c) trois points alignés ?

2. Essaie de dessiner deux plans qui se coupent. Quel objet géométrique as-tu ainsi créé ?

130

CHAPITRE 7

Des objets géométriques

Ce serait plus facile si le mot « droite(s) » était accordé.

a) Ajoute le mot manquant pour que les énoncés soient vrais. 1) Par un seul point du plan, on peut faire passer droite(s). 2) Par deux points du plan, on peut faire passer droite(s). 3) Par trois points alignés du plan, on peut faire passer droite(s). 4)

activites

1. Des lignes, des lignes

Par trois points non alignés du plan, on peut faire passer droite(s).

b) Compare tes réponses avec celles de tes camarades.

2. Père à l’aile disjointe ! Voici des énoncés sur des segments disjoints. Indique si chacun est vrai ou faux. Explique ta réponse. a)

b)

« «

» »

Pour être disjoints, des segments doivent être parallèles.

Segments disjoints : Segments qui n’ont aucun point commun.

Pour être parallèles, des segments doivent être disjoints.

3. On échange !

4. Souvenirs primaires

a) Écris des consignes permettant de tracer deux droites parallèles avec une règle non graduée et un rapporteur.

a) Trace une droite AB.

b) Échange tes consignes avec celles d’une ou d’un camarade. Exécute les consignes que tu as reçues. c) Réussis-tu à tracer deux droites parallèles ? Et ta ou ton camarade ? Une règle « ordinaire » peut devenir « non graduée » si on ne se sert pas de la graduation !

b) À l’aide d’une équerre, trace une droite CD, perpendiculaire à la droite AB. c) À l’aide d’une équerre, trace une droite EF, parallèle à la droite AB. d) Que peux-tu dire au sujet des droites EF et CD ? Explique ta réponse.

De dimension en dimension

SECTION 2

131

5. Ouf !

6. Une par une

Une élève a représenté sept points n’importe où dans un plan. Elle affirme que :

Jean-Simon a tracé toutes les droites passant par deux des quatre points suivants :

«

Le nombre de droites que je peux faire passer par deux de ces points est toujours égal au nombre de segments qui auraient ces points comme extrémités.

A B C

»

Es-tu d’accord avec son affirmation ?

Un dessin t’aidera à y voir clair.

D

Stéphanie a préféré tracer toutes les demi-droites. a) Sans les tracer, nomme toutes les droites que Jean-Simon a tracées. b) Sans les tracer, nomme toutes les demi-droites que Stéphanie a tracées. c) Que remarques-tu ? Donne une explication. d) Jean-Simon aurait-il tracé plus ou moins de droites si trois des points avaient été alignés ? e) Stéphanie aurait-elle tracé plus ou moins de demi-droites ?

7. Mosaïque a) Divise une feuille de papier en au moins 20 régions de différentes formes et grandeurs. Pour ce faire, trace plusieurs droites parallèles, sécantes et perpendiculaires. Utilise une règle. b) Colorie toutes les régions, mais n’utilise pas la même couleur dans les régions qui ont une frontière commune. Utilise le moins de couleurs possible. c) Combien de couleurs as-tu utilisées ? d) Dans ta classe, qui a utilisé le plus petit nombre de couleurs ? Combien de couleurs cette personne a-t-elle utilisées ?

132

CHAPITRE 7

Des objets géométriques

8. Alignés ou non a) Combien de segments peut-on 1) trois points alignés ? 2) quatre points alignés ? 3) cinq points alignés ?

9. Éventail tracer à partir de : 4) six points alignés ? 5) trente points alignés ? 6) n points alignés ?

b) Combien de segments peut-on tracer à partir de : 1) trois points non alignés ? 4) six points non alignés ? 2) quatre points non alignés ? 5) trente points non alignés ? 3)

cinq points non alignés ?

6)

a) Fabrique un éventail avec une feuille de papier. b) Quelle est la relation entre les « droites » formées par deux plis de ta feuille : 1) quand l’éventail est ouvert ? 2)

n points non alignés ?

Organiser ses résultats dans un tableau est souvent une stratégie efficace.

quand l’éventail est fermé ?

c) Où vois-tu des droites (ou des segments) perpendiculaires dans ton éventail ?

10. Classique Nomme des objets géométriques auxquels chaque illustration te fait penser. Tu peux aussi décrire les relations entre les droites ou les segments qui les composent.

Il y en a une qui me fait penser à ma grand-mère, et elle est droitière... Est-ce que c’est bon ?

Compare tes réponses avec celles de tes camarades.

De dimension en dimension

SECTION 2

133

11. Bonne chance !

12. Avoir la berlue

Dessine deux plans :

a) Dans cette illustration, les lignes rouges sont-elles parallèles ? Vérifie-le.

a) parallèles ; b) perpendiculaires ; c) sécants. Je n’ai pas appris ce que c’est, mais j’ai ma petite idée.

Voilà ce que j’appelle faire des liens.

b) Dans cette illustration, les bandes horizontales sont-elles parallèles ? Vérifie-le.

c) Dans cette illustration, les lignes obliques sont-elles parallèles ? Vérifie-le.

13. Le serpent qui se mange la queue

« «

Vérifie les conjectures suivantes.

» »

Un exemple est suffisant pour montrer qu’une conjecture est vraie.

Un contre-exemple est suffisant pour montrer qu’une conjecture est fausse.

134

CHAPITRE 7

Des objets géométriques

d) Montre les illustrations a), b) et c) à une ou à un adulte pour qu’elle ou qu’il fasse l’exercice. Cette personne a-t-elle vu la même chose que toi ?

14. Timber ! Dessine un billot de bois coupé de façon à y voir : a) un plan horizontal. b) un plan vertical. c) un plan oblique. d) deux plans parallèles. e) deux plans perpendiculaires. f ) deux plans sécants.

15. Möbius Voici un ruban.

a) Selon toi, que se passera-t-il si tu le découpes le long du pointillé ? Voici maintenant un ruban de Möbius. Ouf ! Si quelqu’un a prévu ça, je lui dois des félicitations !

b) Selon toi, que se passera-t-il si tu le découpes le long du pointillé ? c) Avant de découper quoi que ce soit, essaie de convaincre quelqu’un que tu anticipes bien ce qui se passera. d) Vérifie ton anticipation en découpant un ruban de Möbius. e) Quelqu’un dans ta classe avait-il réussi à prévoir ce qui se passerait ?

De dimension en dimension

SECTION 2

135

section

3

Les angles Dans le chapitre 5, tu as vu brièvement la mesure d’angles sans t’attarder sur cet objet géométrique qu’est un angle.

Angle : mot qui vient du grec ankon, coude.

136

CHAPITRE 7

Dans cette section, tu vas étudier l’angle lui-même ainsi que différents types d’angles et le vocabulaire qui s’y rapporte. Il sera aussi question de certaines relations qui peuvent exister entre deux angles.

A

Repère dans ces illustrations ce qui s’apparente à des angles. Identifie le plus de types d’angles possible.

B

Quel critère utiliserais-tu pour classer les types d’angles de ces illustrations ?

Des objets géométriques

Nommer un angle Il y a un lien étroit entre la notion d’angle et la notion de droite, car deux droites qui se coupent forment forcément des angles. A

Combien d’angles sont formés par deux droites qui se coupent ?

Beaucoup plus qu’on ne le pense !

d

e B

Comment peux-tu représenter un seul angle ? Fais-le.

C

Comment peux-tu définir un angle à partir de ta représentation ?

Un angle est un objet géométrique formé de deux demi-droites ayant la même origine. L’origine des demi-droites est le sommet de l’angle. Les demi-droites sont les côtés de l’angle. Exemple :

côtés sommet

REMARQUE

Les côtés consécutifs des figures géométriques forment un angle. Exemple : côtés

A

Attenti n

sommet

C

B

Quand deux droites se coupent, on peut imaginer une infinité d’angles. Pour simplifier le travail, on identifiera les angles sur lesquels tu auras à travailler.

aaaction! Voici deux schémas dans lesquels on a identifié plusieurs angles.

1

2

1. Combien d’angles y a-t-il : a) dans le schéma 1 ? b) dans le schéma 2 ? 2. Comment peut-on nommer chacun de ces angles ?

Les angles

SECTION 3

137

La plupart des figures sur lesquelles tu travailleras possèdent plusieurs angles que tu dois être en mesure de nommer. Tu y parviendras en employant certaines règles précises. Il y a plusieurs façons de nommer un angle. •

Par son sommet

•

Par un chiffre inscrit dans l’ouverture

•

Par une lettre minuscule inscrite dans l’ouverture

•

Par trois points

A

L’angle A ou  A

L’angle 3 ou  3

3

b

L’angle b ou  b

H L’angle GHR ou  GHR R

REMARQUE

G

Lorsqu’on nomme un angle par trois points, la lettre du milieu représente le sommet de l’angle. D

Quelle est la signification du symbole  ?

E

Pourquoi désigne-t-on le sommet d’un angle par une lettre majuscule ?

F

L’angle GHR et l’angle RHG désignent-ils le même angle ? Pourquoi ?

G

L’angle GHR et l’angle GRH désignent-ils le même angle ? Pourquoi ?

aaaction! Observe les angles formés par les côtés en rouge dans les schémas suivants.

1

A B

2

E

3

F

K

G

C J

H

N

L M

D

1. Nomme ces angles de différentes façons. 2. Est-ce que toutes les façons de nommer les angles conviennent à toutes les situations ? 3. Quand est-il inapproprié de nommer un angle par son sommet ? 4. Y a-t-il une façon de nommer les angles qui convienne à toutes les situations ? Si oui, laquelle ? 138

CHAPITRE 7

Des objets géométriques

Les types d’angles et leur classification Dans le chapitre 6, tu as vu comment les Babyloniens en sont venus à diviser le cercle en 360 parties égales. A

Nomme l’unité de mesure des angles que tu connais.

B

Trouve une expression courante qui rappelle une mesure d’angle.

C

Que mesure-t-on au juste quand on mesure un angle ?

En utilisant leur mesure comme critère de classification, on peut distinguer sept types d’angles.

Tu as vu la plupart de ces types d’angles au primaire.

aaaction! Voici la représentation de sept angles de type différent. Représentation 1)

2)

3)

Type d’angle

a) Droit b) Obtus c) Rentrant d) Plein

4)

e) Nul 5)

f ) Plat 6)

g) Aigu

7)

1. Associe chaque représentation avec chaque type d’angle. 2. Rédige une définition possible de chaque type d’angle. 3. Indique les types d’angles qui font référence à un angle ayant une mesure précise.

Les angles

SECTION 3

139

Les sept types d’angles. Angle droit

An gl e

s

s gu ai

An gl es

s tu ob

Angle nul

Angle plat

Angle plein

Ang l

Obtus : Mot qui vient du latin obtusus, émoussé.

e s re n t r a n

ts

D

Deux angles aigus peuvent-ils avoir des mesures différentes ?

E

Quel lien peux-tu établir entre « émoussé » et un angle obtus ?

aaaction! 1. Reproduis le tableau suivant, puis remplis-le. Type d’angle

Mesure (en degrés)

Nul Aigu Droit Obtus Plat Rentrant Plein

2. Quels sont les deux types de réponses qu’on retrouve dans la colonne « Mesure » ? 3. Si tu créais un autre type d’angle, quelle serait sa mesure ? Comment le nommerais-tu ? 140

CHAPITRE 7

Des objets géométriques

Décidément, les maths sont partout !

Les relations entre deux angles Les angles ont plusieurs relations intéressantes entre eux. Ces relations t’aideront à classifier les figures géométriques dans le prochain chapitre. Cela t’étonnera peut-être d’apprendre que tu peux observer la plupart des relations intéressantes entre deux angles en traversant une rue.

Supposons que ces trottoirs soient supportés par des droites parallèles...

A

Nomme la relation entre la droite supportant la trajectoire du piéton et celle supportant le bord de l’un des trottoirs.

B

Estime l’angle selon lequel il s’est engagé dans la rue.

C

Estime l’angle selon lequel il atteint l’autre côté de la rue.

D

Schématise les deux bords de trottoir et la trajectoire du piéton.

E

Combien d’angles as-tu formés ?

Cette situation d’une droite sécante à deux droites permet d’illustrer plusieurs relations entre deux angles jugées intéressantes par les spécialistes en mathématique.

Les angles

SECTION 3

141

Dans le schéma ci-dessous, les angles formés par la droite f sécante aux droites parallèles d et e sont numérotés de 1 à 8.

4

1 2 3 5 8

7

6

d f e F

Dans le schéma, quelles droites correspondent aux bords des trottoirs de l’illustration de la page précédente ?

G

Combien y a-t-il d’angles aigus dans le schéma ? Combien y a-t-il d’angles obtus ?

H

Est-ce qu’il pourrait y avoir plus d’angles obtus que d’angles aigus dans un schéma de ce type ? Pourquoi ?

aaaction! Consulte le schéma ci-dessus pour y repérer les paires d’angles définies ci-dessous. Dans chaque cas, nomme le plus grand nombre possible de paires d’angles. a) Deux angles placés côte à côte. b) Deux angles situés à l’intérieur des deux droites parallèles, de part et d’autre de la sécante. c) Deux angles situés à l’extérieur des deux droites parallèles, de part et d’autre de la sécante. d) Deux angles de même mesure. e) Deux angles dont les mesures totalisent la mesure d’un angle plat (180°). f ) Deux angles placés de la même façon par rapport aux deux points d’intersection de la droite sécante.

Si je faisais glisser l’angle 8, il irait se placer exactement sur l’angle 4.

142

CHAPITRE 7

Des objets géométriques

Ces angles ont la même ouverture, donc la même mesure.

Les paires d’angles que tu as repérées dans l’action ! de la page précédente portent toutes un nom spécifique, un nom mathématique. Certains de ces noms sont très représentatifs de la relation entre les deux angles, d’autres moins.

aaaction! Les schémas qui suivent mettent en évidence des relations intéressantes entre deux angles. Comme dans le schéma de la page précédente, les droites d et e sont parallèles.

4

1

d

d

f

f

e

e

2

5

d

d

f

f

e

e

3

6

d

d

f

f e

e

1. Associe chaque relation à son nom mathématique. Tu peux parfois associer plus d’un nom à un même schéma. Angles adjacents

Angles supplémentaires

Angles isométriques

Angles alternes-externes

Angles opposés par le sommet

Angles alternes-internes

Angles correspondants

2. Dans tes propres mots, donne une définition de chaque relation. 3. Quelle relation « disparaîtrait » si les droites d et e n’étaient pas parallèles ?

Les angles

SECTION 3

143

Des angles isométriques sont deux angles ayant la même mesure. A

Exemple :

34° 34°

Les angles A et B sont isométriques.

B

57°

C

Les angles C et D ne sont pas isométriques.

65°

D

Des angles supplémentaires sont deux angles dont les mesures totalisent 180°. Exemples :

1

Les angles 1 et 2 sont supplémentaires.

2

d T

F 50°

B

Les angles BAC et FDT sont supplémentaires.

130° A

D

C

Les angles N et P ne sont pas supplémentaires. N

P

Des angles complémentaires sont deux angles dont les mesures totalisent 90°. Exemples :

Les angles m et n sont complémentaires.

m n

G

P 40°

50°

F

30°

F

Les angles GFT et PKL sont complémentaires.

L

T

E

K

30°

30°

M

Les angles E, F et M ne sont pas complémentaires.

Des angles opposés par le sommet sont deux angles ayant un même sommet et dont les prolongements en ligne droite des côtés de l’un forment les côtés de l’autre. Les angles 1 et 3 sont opposés par le sommet.

Exemple : On prolonge en ligne droite les côtés de l’angle 1.

144

CHAPITRE 7

Des objets géométriques

1 4

2 3

Les angles 2 et 4 sont opposés par le sommet. Les angles 1 et 2 ne sont pas opposés par le sommet.

Des angles adjacents sont deux angles répondant aux trois conditions suivantes : avoir le même sommet ; • avoir un côté commun ; • être situés de part et d’autre du côté commun. •

Exemple : Les angles AOB et BOC sont adjacents. A

B

1

Les angles AOC et BOC ne sont pas adjacents. 2

C

Les angles 1 et 2 ne sont pas adjacents.

O

Des angles alternes sont deux angles qui ne sont pas adjacents, mais qui sont situés de part et d’autre d’une sécante à deux droites. •

Ils sont alternes-internes lorsqu’ils sont situés à l’intérieur de la « bande » formée par les deux droites coupées par la sécante.

•

lls sont alternes-externes lorsqu’ils sont situés à l’extérieur de la « bande » formée par les deux droites coupées par la sécante.

Exemple : Les angles 1 et 8 sont alternes. 4

1 2 3 8

d

5 7

Les angles 3 et 5 sont alternes-internes. 6 Les angles 4 et 6 sont alternes-externes. f

e

Des angles correspondants sont deux angles qui ne sont pas adjacents, mais qui sont situés du même côté d’une droite sécante à deux autres droites ; l’un des angles étant interne, l’autre étant externe.

Attenti n Lorsqu’une sécante coupe deux droites parallèles, les angles alternes-internes, alternes-externes et correspondants sont isométriques.

Exemple : 4

Les angles 1 et 5 sont correspondants.

1 2 3 8

d

5 7

Les angles 3 et 7 sont correspondants.

6 f

e

La morale de cette histoire… la seule relation entre deux angles qu’on ne peut pas observer en traversant une rue en ligne droite…

… c’est la complémentarité !

Les angles

SECTION 3

145

activites

1. Angles grecs

2. Taille ton crayon

Les angles  et  ont des côtés respectivement parallèles.

Dans le schéma suivant, BE et GD sont perpendiculaires. B A

C

β O

G

D

α

Sans effectuer de mesure, détermine l’angle qui est le plus grand. Les lettres grecques, comme alpha () et bêta (), servent parfois à nommer les angles.

F

E

Identifie : a) deux angles aigus ; b) deux angles obtus ; c) deux angles rentrants ; d) deux paires d’angles adjacents ; e) deux paires d’angles complémentaires ; f ) deux paires d’angles supplémentaires ; g) deux paires d’angles opposés par le sommet ; h) deux paires d’angles isométriques.

3. Argumentation en vue Tu dois convaincre une ou un camarade que les deux affirmations suivantes sont vraies. Utilise la méthode de ton choix. a)

b)

146

CHAPITRE 7

Des objets géométriques

« «

Si une droite coupe deux droites parallèles, alors les paires d’angles internes situés du même côté de la sécante sont supplémentaires.

» »

Dans le cas d’une droite coupant deux droites, si deux angles correspondants sont isométriques, alors ils sont formés par des droites parallèles coupées par une sécante.

4. Angles arachnéens Voici un agrandissement d’une partie d’une toile d’araignée.

a) Identifie les paires d’angles correspondants. b) Identifie les paires d’angles isométriques. c) Quelles paires d’angles deviendraient isométriques si les droites d et e devenaient parallèles ? d) Comment expliques-tu que l’araignée gère toutes ces relations entre les angles de sa toile ?

5. La rose des vents Tu as sûrement déjà vu une rose des vents. Il y en a souvent sur les cartes géographiques.

N NO

La rose des vents ci-contre comporte différents types d’angles. Reproduis-la et indiques-y : a) trois angles aigus ;

NE

O

E

b) trois angles obtus ; c) trois angles droits ;

SO

SE S

d) trois angles plats.

6. Locataire ou voisin ? Représente des angles ABC et CBD de façon : a) qu’ils soient adjacents ; b) qu’ils ne soient pas adjacents.

Trouve, au mot « adjacent », d’autres significations : 1) mathématiques ; 2) non mathématiques.

Les angles

SECTION 3

147

7. Triangle

8. Quel angle est-il ?

Dessine trois droites sécantes deux à deux.

Indique une heure où les aiguilles d’une montre forment : a) un angle aigu ;

a) Colorie un angle aigu en rouge.

b) un angle obtus ;

b) Colorie un angle obtus en bleu.

d) un angle obtus plus grand que ta réponse en b).

c) Colorie un angle rentrant en vert.

c) un angle aigu plus petit que ta réponse en a) ; e) Pourrait-on dire que l’aiguille des minutes bouge à 360°/heure ? f) À quelle vitesse bouge l’aiguille des heures ?

d) Repère et nomme les paires d’angles isométriques.

9. On dirait un trottoir… Indique la condition à respecter pour que les angles 1 et 2 soient isométriques.

e

1 f

10. Observation Dans la figure ci-contre, les demi-droites obliques sont parallèles. a) Identifie toutes les paires d’angles : 1) isométriques ; 2) supplémentaires ; 3) alternes-internes. b) Explique tes réponses.

148

CHAPITRE 7

Des objets géométriques

d

2

2

1 3

4 6

5

11. À l’équerre ! a) Trace deux angles ABC et DEF pour que : 1) les demi-droites BA et ED soient parallèles ; 2) les demi-droites BC et EF soient parallèles.

Des demi-droites sont parallèles si les droites qui les supportent sont parallèles.

b) Trace deux angles ABC et DEF pour que : 1) les demi-droites BA et ED soient perpendiculaires ; 2) les demi-droites BC et EF soient perpendiculaires. c) Quelles relations observes-tu entre les deux angles que tu as tracés en a) et en b) ? d) Formule tes observations à l’aide d’un énoncé. e) Compare tes observations avec celles de tes camarades.

12. Intersection a) Est-il possible que tous les angles de cette figure soient des angles droits ?

b) Et ceux de cette intersection ?

C’est une question de perspective !

Les angles

SECTION 3

149

Le travail sur les droites et les angles que tu as réalisé dans ce chapitre est en fait une introduction à certains concepts de base de la géométrie.

[

Quand tu as étudié les nombres, il fallait savoir compter avant de trouver le résultat d’une chaîne d’opérations ou d’apprendre à diviser des nombres décimaux. En retour, les opérations arithmétiques t’ont permis d’avoir une meilleure compréhension des nombres. De la même manière, en géométrie, les notions que tu as abordées dans ce chapitre te seront utiles pour effectuer des tâches plus complexes dans les années à venir et, ainsi, continuer à dégager le sens de ces notions. Par exemple, tu verras les développements de solides, comme le cube :

a) Essaie de dessiner un autre développement du cube. b) Comment se nomment les solides suivants ?

1

2

3

c) Essaie de dessiner le développement de chacun d’eux. d) Compare tes développements avec ceux de tes camarades.

]

Pour effectuer ces tâches plus complexes, il faut connaître davantage les objets géométriques bidimensionnels et tridimensionnels. L’étude de ces objets s’échelonnera sur une longue période pour que tu puisses réellement leur accorder toute l’attention qu’ils méritent.

150

CHAPITRE 7

Des objets géométriques

1. Sous tous les angles

2. À main levée

Vérifie les conjectures suivantes.

Dans tes propres mots, rédige une définition de chaque type d’angle. Propose tes définitions aux élèves de ta classe. Ensemble, entendez-vous sur celles qui seront affichées à un endroit prévu à cet effet.

a)

b)

c)

d)

e)

« « « « «

»

Il est impossible que trois angles soient supplémentaires.

» » » »

Si deux angles sont complémentaires, ils ne sont pas adjacents. Des angles correspondants sont nécessairement isométriques.

Vous pouvez accompagner vos définitions de schémas.

Des angles adjacents sont nécessairement supplémentaires. Des angles qui ont un côté commun sont nécessairement adjacents.

3. Un peu d’histoire

4. Un quadrilatère

a) Inscris les années de naissance et de décès de Thalès de Milet, de Platon, de Pythagore et d’Euclide sur une même ligne de temps.

Reproduis la figure suivante.

b) À quel âge chacun de ces hommes est-il mort ? c) Combien d’années séparent la naissance de Pythagore de celle d’Euclide ? d) Pendant combien d’années Pythagore et Thalès de Milet ont-ils vécu en même temps ? e) Ces mathématiciens ont-ils connu l’Empire romain ? f) Trouve un événement important dans l’histoire de la mathématique qui est survenu entre la naissance de Thalès de Milet et la mort d’Euclide.

Identifie, puis nomme des paires d’angles : 1) correspondants ; 2) alternes-internes ; 3) alternes-externes.

Bric à maths

CHAPITRE 7

151

5. À l’angle de ta rue

6. Un, deux, trois...

Dans ton environnement, nomme des objets qui semblent être supportés par :

Vérifie les conjectures suivantes.

a) des droites parallèles ; b) un angle droit ; c) un angle obtus ;

a) b) c)

d) un plan ; e) des plans perpendiculaires.

« « «

Par un point, passe une seule droite.

» » »

Par deux points, passe une seule droite.

Par trois points, ne passe aucune droite.

7. Huit à la fois Soit la figure suivante. b a

Il y a parfois plusieurs réponses.

c d

j k i l

e h

f g

a) Y a-t-il des paires d’angles isométriques dans cette figure ? Justifie ta réponse. b) Quels angles sont correspondants à l’angle e ? c) Quels angles sont supplémentaires à l’angle i ? d) Quels angles sont alternes-externes à l’angle b ? e) Quels angles sont alternes-internes à l’angle d ? f ) Comment l’angle a peut-il être à la fois alterne-externe à l’angle g et alterne-interne à l’angle k ?

8. Une chance sur sept Lorsque c’est possible, détermine le type de chacun des angles suivants. a) Deux angles complémentaires. b) Deux angles supplémentaires. c) Un angle supplémentaire à un angle complémentaire à un angle nul. d) Un angle opposé par le sommet à un angle supplémentaire à un angle obtus. e) Un angle supplémentaire à un angle opposé par le sommet à un angle aigu. 152

CHAPITRE 7

Des objets géométriques

9. En mathématique : « presque vrai », ça veut dire « faux » ! Explique pourquoi dans chaque paire d’angles suivante les angles ne sont pas : a) adjacents ;

b) supplémentaires ;

c) complémentaires ;

d) opposés par le sommet ;

e) alternes-internes ;

f ) alternes-externes ;

g) correspondants ;

Bric à maths

CHAPITRE 7

153

10. En parallèle

11. Un trait supplémentaire

a) Dessine deux paires de droites parallèles. La première paire doit couper la deuxième paire.

Essaie de prouver l’énoncé suivant.

«

b) Colorie de la même couleur l’ouverture des angles qui ont la même mesure. c) Combien de couleurs as-tu utilisées ?

»

Deux angles adjacents dont les côtés extérieurs forment une ligne droite sont supplémentaires.

12. Mentalement, SVP Calcule les mesures d’angles suivantes. a) Un angle complémentaire à un angle de 36°. b) Un angle supplémentaire à un angle de 108°. c) Un angle opposé par le sommet à un angle de 98°. d) Un angle supplémentaire à un angle complémentaire à un angle de 31°. e) Un angle complémentaire à un angle supplémentaire à un angle de 117°. f ) Un angle opposé par le sommet à un angle complémentaire à un angle de 31°.

13. Sous différents angles Dans le schéma ci-contre, les droites m et n sont parallèles. La droite s est sécante à ces deux droites.

s

a) Parmi les énoncés ci-dessous, lesquels sont vrais ? Justifie tes réponses.

1 4

2

1 Il y a huit paires d’angles adjacents supplémentaires.

3

2 Il y a quatre paires d’angles correspondants. 3 Il y a le même nombre de paires d’angles alternes-internes que de paires d’angles alternes-externes.

5 8 m

7

n

154

6

CHAPITRE 7

4 Les angles correspondants sont isométriques. 5 Les angles désignés par un chiffre impair sont aigus. b) Quels énoncés deviendront faux : 1) si la direction de la droite s change ? 2) si la direction de la droite m change ?

Des objets géométriques

14. À tension à l’ortograf ! Complète les énoncés suivants pour qu’ils soient vrais. a) Si une droite coupe deux droites les angles , et isométriques.

, alors sont respectivement

b) Si une droite coupe deux droites , alors les paires d’angles situés du même côté de la sécante sont supplémentaires. c) Si deux droites sont à l’une d’elles est

, toute perpendiculaire à l’autre.

d) Si deux droites sont elles sont .

à une troisième, alors

16. Des arguments convaincants Vérifie les conjectures suivantes. a) Deux angles alternes-internes ne peuvent pas être supplémentaires. b) Deux angles correspondants ne peuvent pas être isométriques. c) Deux angles opposés par le sommet ne peuvent pas être complémentaires. d) Deux segments parallèles sont nécessairement isométriques. e) Deux droites perpendiculaires déterminent des angles opposés par le sommet supplémentaires.

15. Un trait complémentaire a) Trace un angle droit et nomme-le AOC. b) Comment peux-tu tracer deux angles complémentaires à l’aide d’un trait de crayon ? c) Nomme les angles complémentaires que tu as tracés. d) Sont-ils adjacents ? Pourquoi ? e) Commente l’affirmation suivante.

«

Deux angles adjacents dont les côtés extérieurs forment un angle droit sont complémentaires.

»

f ) Les trois angles d’un triangle sont supplémentaires. g) Deux angles adjacents ne peuvent pas être opposés par le sommet. h) Deux angles isométriques sont nécessairement opposés par le sommet. i ) Deux angles alternes-externes peuvent être correspondants. j ) Deux droites parallèles coupées par une sécante déterminent des angles internes isométriques.

Bric à maths

CHAPITRE 7

155

Situation 1 Nomme des tronçons de ligne (segments) : a) qui sont parallèles ; b) qui sont perpendiculaires ; c) qui ont la même direction ; d) qui ont le même sens ; e) qui ont des sens différents.

Il serait plus juste de dire « direction verte sens Angrignon » que « ligne verte direction Angrignon », non ?

f ) Que penses-tu de la remarque du personnage ci-contre ? g) Combien y a-t-il de métros dans le monde ? Dans quelles villes se trouvent-ils ?

Plan du métro de Montréal

Les élèves de Tokyo n’auront pas fini leur « Dans la vie » de sitôt !

Plan du métro de Tokyo

156

CHAPITRE 7

Des objets géométriques

Situation 2 Les alvéoles formées par les abeilles sont un bon exemple d’éléments de la nature rappelant une forme géométrique. a) Les abeilles pourraient-elles faire des alvéoles octogonales ? Pourquoi ? b) Les gouttes d’eau pourraient-elles être cubiques ? Pourquoi ? c) Pose les questions a) et b) à tes parents.

Les abeilles, selon une certaine intuition géométrique, savent qu’un hexagone contiendra plus de miel qu’un carré ou un triangle ayant le même périmètre ≤≥ PAPPUS D’ALEXANDRIE

Situation 3 Voici une œuvre tracée à la craie sur un trottoir. Aurait-on pu la photographier selon un autre angle ? Pourquoi ?

Essaie de trouver d’autres œuvres du même genre.

Dans la vie...

CHAPITRE 7

157

Organiser ses connaissances,

escale

ce n’est pas toujours facile, mais c’est important.

Dans l’escale des deux derniers chapitres, tu as tenté de déterminer la méthode qui te convenait le mieux pour organiser le contenu d’un chapitre. Tu as probablement essayé de peaufiner cette méthode. Selon toi, est-ce que la méthode que tu as jugée la plus pertinente pour les derniers chapitres convient à tous les chapitres ? Est-ce que le type de contenu d’un chapitre peut déterminer le choix d’une méthode plus appropriée ? Explique ta réponse.

Faire le point Les énoncés suivants t’aideront à résumer le chapitre à ta manière. Ils en reprennent les notions essentielles. Si certaines notions que tu juges pertinentes n’y apparaissent pas, tu peux les inclure exploration dans ton résumé. Revois le tableau que

158

•

Les anciens peuples s’intéressaient aussi bien à la géométrie qu’à la numération.

•

Pour classifier les différents objets géométriques, on peut considérer leur dimension.

•

Le segment de droite est le seul objet mathématique unidimensionnel qui soit mesurable.

•

Les angles sont classifiés selon leur ouverture.

•

On a défini dans ce chapitre des relations entre deux angles ou deux droites.

CHAPITRE 7

Des objets géométriques

tu as fait dans l’exploration. Corrige-le ou améliore-le à la lumière des notions que tu as vues dans ce chapitre.

Activité d’intégration Voici une reproduction d’une œuvre intitulée Cycle, créée en 1938 par Maurits Cornelis Escher. 1. Décris cette œuvre en quelques mots. Qu’est-ce qui te surprend ? Qu’est-ce que tu aimes ? Qu’est-ce que tu n’aimes pas ? 2. Dans l’illustration, décris : a) un plan, pour qu’une personne puisse le repérer. b) une droite, pour qu’une personne puisse la repérer. c) un point, pour qu’une personne puisse le repérer. 3. Un des personnages de cette illustration aurait-il pu fournir les mêmes descriptions que toi aux questions a), b) et c) du numéro 2 ? Justifie ta réponse. 4. Dans l’illustration, donne : a) un exemple de chacune des relations entre deux droites présentées dans ce chapitre ; b) un exemple de chacune des relations entre deux angles présentées dans ce chapitre. 5. Quels objets de l’illustration semblent à la fois être représentés en 2D et en 3D ? Explique ta réponse.

Trouve d’autres œuvres d’Escher dans lesquelles des objets en trois dimensions « deviennent » des objets en deux dimensions (ou vice versa).

À l’école, j’ai toujours eu beaucoup de difficultés en mathématique. Aujourd’hui, mes œuvres sont utilisées pour illustrer les manuels de mathématique ! ≤≥ MAURITS CORNELIS ESCHER (1898-1972)

Escale

CHAPITRE 7

159

chapitre

160

8

Observe bien les œuvres du peintre d’origine russe, Wassily Kandinsky. • À quel champ de la mathématique ces œuvres te font-elles penser ? • Selon toi, comment des notions de géométrie peuvent-elles être utiles à une ou à un artiste qui désire représenter un paysage, une personne ou une nature morte ?

1. Choisis un des deux tableaux de la page précédente.

Rédige en quelques phrases une description d’une partie de ce tableau. 2. Échange ta description contre celle d’une ou d’un camarade.

Ferme ton manuel. Dessine ce qui t’est décrit. 3. Ouvre ton manuel et essaie de repérer la partie

que tu as dessinée.

Dans Internet, trouve des renseignements sur le peintre Kandinsky. Trouve aussi le titre des deux œuvres reproduites sur la page précédente.

pitre Plan du cha

. . 162 polygones . s e d s e u iq st ri Les caracté ngles Section 1 – tion des tria a ic . 182 if ss la c a L ............ . . . s re Section 2 – tè rila 06 et des quad .......... 2 . . . . . . e ir e et l’a Le périmètr Section 3 – 161

section

1

Les caractéristiques des polygones Ton travail sur les droites et les angles au chapitre précédent te permet maintenant d’amorcer l’étude plus systématique de figures géométriques à deux dimensions. De la même façon qu’on a défini la droite comme une infinité de points alignés et, ensuite, le segment comme un morceau de droite, les nouveaux objets géométriques présentés dans ce chapitre seront toujours définis à partir de ceux que tu connais déjà. En fait, des figures complexes peuvent être formées ou définies à partir de figures plus simples, ce qui est à la base de la géométrie euclidienne. En se limitant à certains types de polygones, ce chapitre va te permettre de les aborder de manière plus approfondie.

Du dessin au polygone Voici des dessins que Jean-Christophe a gribouillés tout en parlant au téléphone.

2

1

3

162

CHAPITRE 8

4

A

Selon quels critères pourrais-tu classer ces figures ?

B

Quel dessin de Jean-Christophe ressemble à un polygone ?

C

Pourquoi les autres dessins ne sont-ils pas des polygones ?

Une initiation aux polygones

Polygone : Ligne brisée fermée. Mot qui vient du grec polus, nombreux et gônia, angle.

L’étude des polygones ne se limite pas à les définir comme des figures fermées qui ne peuvent contenir de lignes courbes. Les spécialistes en mathématique ont aussi défini toutes les composantes des polygones qui te seront présentées dans les pages qui suivent. D

Comment peux-tu représenter un polygone : 1) avec des cure-dents ? 2) à partir d’une feuille de papier ?

E

Quelles différences y a-t-il entre ces deux représentations ?

F

Selon toi, la figure ci-dessous est-elle une suite de segments disposés bout à bout ou une partie de plan ?

G

Quelle est la relation entre le nombre de côtés et le nombre d’angles d’un polygone ?

H

Est-ce possible de former un polygone à partir de deux points ? Pourquoi ?

aaaction! A E

B C

D

1. Observe les points A, B, C, D et E ci-dessus. Selon toi, le polygone ABCDE est-il le même que le polygone BAECD ? Pourquoi ? 2. Peut-on toujours former un polygone à partir de cinq points d’un plan ? 3. À partir de cinq points d’un plan, indique : a) le plus petit nombre de polygones qu’on peut former. b) le plus grand nombre de polygones qu’on peut former.

Les caractéristiques des polygones

SECTION 1

163

En fait, plus il y a de points non alignés, plus le nombre de polygones distincts qu’on peut former augmente. Voici deux polygones distincts formés à partir des cinq points de la page précédente. A

1

A

2

E

E

B

B

C

C

D

D

Normalement, on nomme les sommets d’un polygone dans le sens des aiguilles d’une montre, mais ce n’est pas obligatoire.

I

Selon toi, quel polygone pourrait être nommé ABCDE ? Pourquoi ?

J

Ce polygone pourrait-il être nommé DCEAB ? Pourquoi ?

K

Nomme un autre polygone qu’on pourrait former avec ces cinq points.

Pour être un polygone, une figure géométrique doit posséder une « frontière » qui délimite l’intérieur de l’extérieur de la figure. De plus, la « frontière » d’un polygone doit se composer de segments de droite. Exemples : Le polygone ABCDE possède 5 sommets et 5 côtés. A, B, C, D et E sont les sommets du polygone. B

Le polygone WXYZTV possède 6 sommets et 6 côtés. V et W sont des sommets consécutifs. W

A C

V

T

X

E D AB, BC, CD, DE et EA sont les côtés du polygone.

Z

Y

V et Z sont des sommets non consécutifs.

Pour nommer un polygone, il suffit de : 1) nommer d’abord un sommet, n’importe lequel ; 2) nommer ensuite tous les autres sommets, l’un après l’autre, en suivant le contour du polygone. REMARQUE

Même si le polygone est une figure fermée, il ne faut pas nommer deux fois le sommet de départ.

164

CHAPITRE 8

Une initiation aux polygones

Dans un polygone : les côtés qui ont une extrémité commune sont des côtés consécutifs ; • les angles qui ont un côté commun sont des angles consécutifs. •

Exemple : Voici un polygone JKLMN.

Les côtés JK et KL sont consécutifs. Leur extrémité commune est le sommet K.

K J

L

N M Les angles JNM et NML sont des angles consécutifs. Leur côté commun est NM.

L

Dans un polygone FNTRP, identifie une paire : 1) 2) 3) 4) 5) 6)

de sommets consécutifs au sommet T ; de sommets consécutifs au sommet F ; de côtés consécutifs ; d’angles consécutifs ; de côtés non consécutifs ; d’angles non consécutifs.

Mon polygone ne ressemble pas au tien et mes réponses sont bonnes quand même.

Je n’en ai peut-être pas besoin, mais ça m’aide toujours de tracer le polygone.

M

Pourquoi n’as-tu pas besoin d’une représentation du polygone pour répondre à la question L ?

Les caractéristiques des polygones

SECTION 1

165

aaaction! 1. Parmi les figures suivantes, lesquelles sont des polygones ? Pourquoi ? a)

d)

g)

b)

e)

h)

c)

f)

i)

2. Sur une feuille, trace un polygone à 4 côtés et nomme ses sommets. Identifie : a) une paire de sommets consécutifs ; b) une paire de côtés consécutifs ; c) une paire d’angles consécutifs.

Les diagonales

D

À partir des sommets d’un polygone, il est possible de tracer des segments de droite qui ne sont pas les côtés du polygone. Diagonale : Segment de droite qui relie deux sommets non consécutifs d’un polygone.

166

CHAPITRE 8

Ces segments, comme le segment DR, s’appellent les diagonales du polygone.

F

A

Quel(s) autre(s) segment(s) peut-on tracer dans le polygone FDERT ?

B

Trace un polygone ayant au moins une diagonale qui passe à l’extérieur du polygone.

Une initiation aux polygones

E

T R

Les polygones convexes et les polygones non convexes Voici un polygone.

A C

Polygone convexe : Polygone dont toutes les diagonales sont à l’intérieur du polygone. Polygone non convexe : Polygone dont au moins une diagonale passe à l’extérieur du polygone.

B

D A

Quelles sont les deux diagonales de ce polygone ?

B

Estime la mesure des angles de ce polygone.

C

Dans ce polygone, quelle caractéristique particulière possède : 1) une de ses diagonales ? La notion d’angle intérieur 2) un de ses angles intérieurs ? est très intuitive. On en présente une définition à la page 171.

aaaction!

Formule une définition de polygone convexe et de polygone non convexe en te basant sur le type des angles intérieurs qu’on peut y retrouver.

Ces caractéristiques permettent de différencier les polygones convexes des polygones non convexes.

La classification des polygones Une fois qu’on sait déterminer si une figure géométrique est un polygone ou non, on peut s’intéresser à la classification des polygones. A

Quel est le critère de classification des polygones ?

B

Quel nom porte un polygone : 1) à 3 côtés ? 2) à 4 côtés ?

Voici ci-contre une vue aérienne d’un édifice gouvernemental situé à Washington aux États-Unis. C

Quel est le nom de cet édifice ? Pourquoi s’appelle-t-il ainsi ?

D

Connais-tu d’autres édifices ou d’autres structures importantes qui ont des noms inspirés de la géométrie ou d’un autre domaine de la mathématique ? Si oui, nomme-les.

E

Que signifie le mot grec hepta ? Les caractéristiques des polygones

SECTION 1

167

Question de

culture

Voici les noms des polygones qu’on utilise le plus souvent. Exemples :

GÔNIA Les anciens Grecs ont établi une structure permettant de nommer tous les polygones avec un préfixe qui indique le nombre d’angles et le suffixe gônia.

Nombre de côtés

gone nombre grec gônia (angle)

Savoir nommer les polygones revient, en quelque sorte, à savoir compter en grec. Aujourd’hui, en français, on emploie cette même structure pour les polygones à 5 côtés et plus.

Quels mots d’origine grecque a-t-on remplacés par « triangle » et « quadrilatère » ?

Nom du polygone

Étymologie

3

triangle

tri (3) angulus (angle)

4

quadrilatère

quadri (4) laterus (côté)

5

pentagone

pente (5) gônia (angle)

6

hexagone

hex (6) gônia

7

heptagone

hepta (7) gônia

8

octogone

oktô (8) gônia

9

ennéagone

ennea (9) gônia

10

décagone

deka (10) gônia

11

hendécagone

hendeka (11) gônia

12

dodécagone

dodeka (12) gônia

Origine latine

Origine grecque

F

Pour classifier un polygone, que comptes-tu : les angles ou les côtés ? Est-ce que cela revient au même ? Pourquoi ?

G

Selon toi, les anciens Grecs comptaient-ils les angles ou les côtés des polygones ? Explique ta réponse.

Si j’écris oktôgônia au lieu d’« octogone », est-ce que je fais une faute d’orthographe ? On comprend mieux le choix de certains mots lorsqu’on connaît leur origine.

aaaction! Trouve le nombre de côtés des polygones suivants.

168

CHAPITRE 8

a) icosagone

c) chiliagone

b) myriagone

d) pentadécagone

Une initiation aux polygones

aaaction! 1. Trouve au moins deux objets qui te rappellent : a) un pentagone ; b) un hexagone ; c) un octogone. 2. Au Canada, à peu près tout le monde voit, touche et échange des hendécagones chaque jour ! Comment est-ce possible ? Explique ta réponse.

En fait, ce sont des prismes à base hendécagonale que je manipule.

H

La multiplication des diagonales A

J

G

Combien y a-t-il de diagonales dans : 1) un triangle ? 2) un quadrilatère ?

Plus le polygone a de côtés, plus il a de diagonales. En fait, le nombre de diagonales devient vite impressionnant, même dans un polygone ayant relativement peu de côtés. Par exemple, voici l’hendécagone ASDFGHJKLMN dans lequel toutes les diagonales sont tracées.

K

F

D

B

Combien de diagonales sont issues de chaque sommet ?

C

La diagonale SH est-elle la même que la diagonale HS ?

D

Combien y a-t-il de diagonales en tout dans l’hendécagone ?

E

Combien y a-t-il de diagonales dans un icosagone (20 côtés) ?

L

S

M A

N

Compter une à une les diagonales d’un polygone qui a beaucoup de côtés peut se révéler long et ennuyeux. Une démarche structurée qui amène à trouver des régularités permet à la fois d’éviter les erreurs de comptage, de gagner du temps et de développer l’esprit de synthèse. Et trouver une régularité, ça fait partie du travail mathématique.

Les caractéristiques des polygones

SECTION 1

169

aaaction! 1. Reproduis le tableau ci-contre, puis complète-le. 2. Comment peux-tu trouver le nombre de diagonales issues d’un même sommet à partir du nombre de côtés d’un polygone ? 3. Comment peux-tu trouver le nombre total de diagonales à partir du nombre de côtés et du nombre de diagonales issues d’un même sommet ?

Nombre de diagonales Nombre de côtés issues d’un même sommet total

Nom du polygone Triangle

3

0

0

Quadrilatère

4

1

2

Pentagone

5

2

5

Hexagone Heptagone Octogone

Plus je remplis de lignes, plus il est facile de trouver une régularité.

Les angles Pour nommer un polygone, les anciens Grecs faisaient sans doute référence au nombre d’angles, puisqu’ils observaient les relations entre ceux-ci. Avant d’étudier ces relations, il est important de définir les angles intérieurs et les angles extérieurs d’un polygone.

D

D E

E F

L’angle intérieur de sommet E.

170

CHAPITRE 8

F

Ceci N’EST PAS l’angle extérieur de sommet E.

A

Dans tes propres mots, propose une définition d’un angle intérieur d’un polygone.

B

Sachant que la définition d’un angle extérieur ne correspond pas à toute la partie extérieure d’un angle, quelle pourrait être, selon toi, cette définition ?

Une initiation aux polygones

Les angles intérieurs et les angles extérieurs d’un polygone convexe Sans connaître la définition exacte des angles intérieurs, on peut tout de même s’en faire une idée de façon intuitive. En effet, ce sont les angles auxquels on fait normalement référence dans un polygone. On ne peut pas en dire autant de la définition d’un angle extérieur. Elle est même contraire à la définition intuitive de la plupart des gens. L’action ! suivante t’aidera sans doute à y voir plus clair.

aaaction! Voici le schéma d’une piste de kart. virage 2

virage 1 Départ Arrivée

120° 130°

virage 5

140°

60°

virage 4

virage 3

1. Sur cette piste, de combien de degrés doit-on tourner lors de chacun des cinq virages ? Fais attention, la réponse est moins évidente qu’elle ne le semble ! 2. Selon toi, quel est le lien entre l’angle extérieur d’un polygone et cette situation ?

Dans un polygone convexe, un angle intérieur est un angle formé par deux côtés consécutifs.

A L’angle intérieur de sommet C

Exemple :

est représenté en rouge.

B C

Dans un polygone convexe, un angle extérieur est formé par un côté et le prolongement en ligne droite du côté consécutif. Exemple :

A Un angle extérieur de sommet C est représenté en bleu.

B C

A

Sur une feuille, trace un polygone convexe et essaie de tracer deux angles extérieurs ayant un même sommet. Compare ton travail avec celui d’une ou d’un camarade. Les caractéristiques des polygones

SECTION 1

171

aaaction! Voici un hexagone. Les côtés ont été prolongés pour montrer les angles extérieurs.

h

g b

c

i

p a

d

m

j f n

e k

1. Nomme ce polygone. 2. Combien d’angles extérieurs compte chaque sommet du polygone ? 3. Si  a mesure 85°, combien mesure  p ? Pourquoi ? 4. Si  h mesure 40°, combien mesure : a)  g ? Pourquoi ? b)  b ? Pourquoi ? 5. Quelles sont les relations : a) entre  g et  h ? b) entre  d et  j ? 6. Quelle est la relation : a) entre  k et  f ? b) entre  n et  k ?

B

1)

2)

172

CHAPITRE 8

« «

Commente les affirmations suivantes.

»

En un même sommet, l’angle intérieur et l’angle extérieur d’un polygone convexe sont supplémentaires.

»

En un même sommet d’un polygone convexe, il existe deux angles extérieurs et ces angles sont opposés par le sommet.

Une initiation aux polygones

La somme des mesures des angles extérieurs d’un polygone convexe De la même façon qu’on connaît la somme des mesures de deux angles supplémentaires sans connaître la mesure de chacun d’eux, il est possible de déterminer la somme des mesures des angles extérieurs d’un polygone sans connaître chacune de leurs mesures. A

Selon toi, comment peut-on procéder pour déterminer la somme des mesures des angles extérieurs d’un polygone ?

aaaction! 1. Trace quatre points n’importe où sur une feuille, puis relie-les pour former un quadrilatère. 2. Identifie un angle extérieur en chaque sommet et découpe-les. 3. Rassemble leurs sommets en un même point et place les angles pour qu’ils soient adjacents deux à deux. 4. Est-ce que tous les élèves de la classe obtiennent le même résultat ?

Attenti n Pour déterminer la somme des mesures des angles extérieurs d’un polygone, on considère un seul angle extérieur par sommet, même si on a vu qu’il en existait deux.

B

Quelle est la somme des mesures des angles extérieurs d’un quadrilatère ?

C

Est-ce qu’on arrive à la même somme en considérant les angles extérieurs d’un :

Lorsque je fais le tour d’un pâté de maisons, j’effectue, en fait, un tour sur moi-même sans m’en rendre compte.

triangle ? Pourquoi ? 2) pentagone ? Pourquoi ? 3) dodécagone ? Pourquoi ? 1)

La somme des mesures des angles extérieurs d’un polygone convexe ne dépend pas du nombre de côtés du polygone. Cette somme est toujours égale à 360°.

Les caractéristiques des polygones

SECTION 1

173

La somme des mesures des angles intérieurs d’un polygone convexe Comme dans le cas du nombre de diagonales d’un polygone, il est possible de déduire la somme des mesures des angles intérieurs à l’aide de quelques observations et d’un peu d’organisation. Étonnant ce qu’on peut apprendre en découpant des formes dans une feuille de papier !

aaaction! 1. Trace un triangle scalène sur une feuille de papier. 2. Identifie les angles intérieurs et découpe-les. 3. Quel type d’angle peux-tu former si tu réunis les trois angles intérieurs de ton triangle ?

4. Le résultat est-il le même pour tous les élèves de ta classe ?

A

Quelle est la somme des mesures des angles intérieurs d’un triangle ?

On se servira de la somme des mesures des angles intérieurs d’un triangle pour déterminer la somme des mesures des angles intérieurs des autres polygones. Ainsi, on utilise ses connaissances pour en construire d’autres.

Attenti n Il est primordial de bien formuler les énoncés mathématiques. Par exemple, n’écris pas : La somme des angles d’un triangle est de 180°. Écris plutôt : La somme des mesures des angles intérieurs d’un triangle est de 180°.

174

CHAPITRE 8

B

Selon toi, quelle est la somme des mesures des angles intérieurs : 1) d’un quadrilatère ? 2) d’un pentagone ?

C

Tâche de convaincre une ou un camarade que tes réponses à la question B sont exactes.

Une initiation aux polygones

Pour pouvoir déterminer la somme des mesures des angles intérieurs d’autres types de polygones, il suffit de les partager en triangles. D

En combien de triangles peut-on partager un pentagone ?

En trois triangles.

En cinq triangles.

En une douzaine de triangles, ou même plus.

E

Quelle façon de partager un pentagone en triangles est la moins utile pour déterminer la somme des mesures des angles intérieurs du pentagone ? Pourquoi ?

En fait, au moins deux façons de partager un polygone en triangles permettent de déduire facilement la somme des mesures de ses angles intérieurs.

1 Tracer toutes les diagonales issues d’un même sommet. Exemple :

2 Choisir un point situé à l’intérieur du polygone et y relier tous les sommets. Exemple :

F

Comment peux-tu déterminer la somme des mesures des angles intérieurs du pentagone si tu sais que la somme des mesures des angles intérieurs d’un triangle est de 180° : 1) avec la méthode 1 ? 2) avec la méthode 2 ?

G

Quelle est la somme des mesures des angles intérieurs d’un pentagone ?

Les caractéristiques des polygones

SECTION 1

175

aaaction! 1. Reproduis le tableau suivant et complète-le. Nombre de côtés

Nombre de diagonales issues d’un même sommet

Nombre de triangles ainsi formés

Somme des mesures des angles intérieurs

Triangle

3

0

1

180°

Quadrilatère

4

1

2

360°

Pentagone

5

2

3

Nom du polygone

Hexagone

Ça me rappelle le tableau de la page 170 sur les diagonales !

2. Quelle est la somme des mesures des angles intérieurs d’un polygone : a) à 20 côtés ?

b) à n côtés ?

La somme (S) des mesures des angles intérieurs d’un polygone convexe dépend du nombre de côtés (n) du polygone. S = (n − 2) × 180° nombre de triangles formés par les diagonales issues

somme des mesures des angles intérieurs d’un triangle

d’un même sommet

H

Commente l’énoncé suivant.

«

»

La somme des mesures des angles intérieurs d’un polygone à n côtés est de 180° × n − 360°.

aaaction! 1. Utilise cette illustration pour expliquer à quelqu’un la relation qui permet de calculer la somme des mesures des angles intérieurs d’un polygone. 2. Explique-lui aussi pourquoi la somme des mesures des angles extérieurs est toujours de 360°.

176

CHAPITRE 8

Une initiation aux polygones

2. Un polygone

Voici le schéma d’une paire de droites perpendiculaires sécantes à une paire de droites parallèles.

a) Sur une feuille, trace un polygone composé des 5 angles suivants. • l’angle aigu CDF • l’angle aigu DFS • l’angle rentrant FSZ • l’angle aigu SZC

y x

40°

•

Déduis les mesures des angles x et y en justifiant toutes les étapes de ta démarche.

3. Interpréter

activites

1. Sans rapporteur

l’angle obtus ZCD

b) Tes camarades de classe ont-ils tracé exactement le même polygone que toi ? c) Vos polygones ont-ils tous le même nom ?

4. Un MÉGAgone

Il y a plusieurs façons de calculer la somme des mesures des angles intérieurs d’un polygone.

1

(n − 2) × 180° A

B

Laure prétend qu’il existe des polygones dont la somme des mesures des angles intérieurs est supérieure à un million de degrés. Xavier est persuadé du contraire. Qui a raison ? Explique ta réponse.

2

(180° × n) − 360° C

D

3 (180° × n) − 360° E

F

Si n représente le nombre de côtés du polygone en question, que représente : a) A ?

c) C ?

e) E ?

b) B ?

d) D ?

f) F ?

Les caractéristiques des polygones

SECTION 1

177

5. Ce n’est pas de la sauce !

6. Qu’en penses-tu ?

Déduis la mesure des angles h et p de la figure suivante.

h

Indique si les énoncés suivants sont vrais ou faux. Justifie tes réponses. a) La somme des mesures des angles intérieurs d’un trapèze rectangle est égale à la somme des mesures des angles extérieurs de n’importe quel octogone. b) Si un polygone a un angle extérieur de 150°, ce polygone ne peut pas être un triangle.

p 56°

c) Il est possible de construire un polygone à 5 côtés dans lequel les diagonales ne se coupent pas. d) Il est possible de construire un octogone dans lequel des diagonales ne se coupent pas. e) Plus un polygone a de côtés, plus son aire est grande.

7. Attention !

8. Déduire, ce n’est pas mesurer

Explique pourquoi il est primordial d’inclure les mots en gras dans l’exemple de la rubrique Attention ! de la page 174.

Déduis la mesure de l’angle a des figures suivantes. a)

b)

a

80°

65°

60° 100°

100°

60° a

9. Yvan Cournoyer Un certain polygone est décomposable en 10 triangles si l’on trace les diagonales issues d’un même sommet. a) Quel est la somme, en degrés, des mesures des angles intérieurs de ce polygone ? b) Quel est le nom de ce polygone ? c) Combien de diagonales ce polygone possède-t-il en tout ?

178

CHAPITRE 8

Une initiation aux polygones

10. Dallage ou allée de garage Corinne affirme qu’elle peut déduire la somme des mesures des angles intérieurs de certains polygones si ceux-ci peuvent former un dallage. Exemple :

11. Une question allumée ! Comment peux-tu former quatre triangles équilatéraux avec six allumettes identiques ? Je la pose à mon père, celle-là !

À partir de ce dallage, elle déduit que la mesure d’un angle intérieur d’un carré est de 90°. a) Comment procède-t-elle ? b) Déduis les mesures des angles intérieurs des polygones réguliers utilisés pour faire les dallages ci-dessous. 1)

3)

Polygone régulier : Polygone dont tous les côtés et tous les angles intérieurs sont isométriques.

2)

4)

12. Drôles d’hexagones, petits et gros Reproduis l’hexagone suivant sur du papier quadrillé. Partage-le en quatre hexagones isométriques.

Les caractéristiques des polygones

SECTION 1

179

13. Convexe ou non

14. Et quand c’est non convexe ?

a) Trace 6 points sur une feuille.

a) Comment peux-tu convaincre quelqu’un que la somme des mesures des angles intérieurs de ce quadrilatère non convexe est de 360° ?

b) À partir de ces points, combien : 1) de triangles différents peux-tu tracer ? 2) de quadrilatères différents peux-tu tracer ?

Et avec 7 points ?

b) Quelle est la somme, en degrés, des mesures des angles intérieurs de ce pentagone non convexe ? c) Selon toi, est-ce que la relation permettant de calculer la somme des mesures des angles intérieurs des polygones convexes s’applique aussi aux polygones non convexes ? d) Et qu’en est-il de la somme des mesures des angles extérieurs ? Est-elle toujours égale à 360° même si le polygone est non convexe ?

15. Le double, est-ce véritablement le double ? a) En doublant le nombre de côtés d’un polygone, double-t-on du coup : 1) le nombre de ses angles ? 2) le nombre de ses diagonales ? 3) la somme des mesures de ses angles extérieurs ? 4) la somme des mesures de ses angles intérieurs ? b) Explique tes réponses en a).

16. Démonstration Une élève a commencé à montrer que la somme des mesures des angles intérieurs d’un triangle est de 180°. Complète sa démonstration.

1. Je trace u n tria et la droite GH ngle DFE à la droite FE. , parallèle 2. Les angles FDG et DFE sont et ils puisque GH est sont parallèle à FE. 3.

G

D

F 180

CHAPITRE 8

Une initiation aux polygones

H

E

17. Rien à voir avec un « arrêt »

18. Une définition précise

Sans effectuer de mesure, déduis la mesure des angles nommés par une lettre minuscule dans l’octogone suivant. Explique ta démarche.

Parmi les figures suivantes, lesquelles pourraient être : a) des polygones croisés ?

71°

b) des polygones étoilés ?

266° 68°

c

c) des polygones réguliers ?

a

1 50°

69°

b

d

2

Attenti n

3

Le travail mathématique consiste aussi à déduire les mesures plutôt qu’à utiliser un rapporteur d’angle ou une règle. Lis attentivement les questions : lorsque le verbe « mesurer » n’y est pas, tu ne dois pas mesurer.

4

19. Qu’on vexe un autre, d’accord, mais qu’on me vexe, moi...

5

Détermine la mesure de tous les angles extérieurs des polygones suivants. a)

B

b)

A

A 120°

119° 103° D

6

B

110°

67°

C F

100° C

Essaie de convaincre une ou un camarade que tu as raison !

140° E

D

Les caractéristiques des polygones

SECTION 1

181

section

2

La classification des triangles et des quadrilatères Dans la section précédente, tu as dégagé des propriétés importantes des polygones. Il est maintenant temps d’examiner plus à fond les triangles et les quadrilatères. En te limitant à l’étude de polygones qui ont seulement 3 ou 4 côtés, tu pourras appliquer facilement les relations observées au chapitre 7. Ces relations entre les droites et les angles t’amèneront à faire une classification relativement précise des triangles et des quadrilatères.

La classification des triangles Bien que tu connaisses probablement déjà le vocabulaire relatif à la classification des triangles, tu n’as peut-être pas remarqué comment ce vocabulaire est organisé. Le moment est venu d’y mettre de l’ordre. A

Selon toi, quels critères permettent de distinguer les triangles ?

B

Dessine 10 triangles différents. Classifie-les selon tes critères.

C

Selon toi, combien de types de triangles existe-t-il ?

aaaction! Les six mots suivants permettent de classifier les triangles. Tu les connais peut-être déjà. acutangle

isocèle scalène

équilatéral

rectangle

obtusangle

1. Groupe ces mots en deux classes distinctes. 2. Nomme ces classes.

Attenti n Lorsque aucune indication ne précise s’il est question des angles intérieurs ou des angles extérieurs d’un polygone, on considère les angles intérieurs. 182

CHAPITRE 8

Les classes que tu as proposées dans l’action ! devraient correspondre aux deux critères de classification des triangles : le type d’angles et la relation entre les angles. Les pages suivantes te permettront de différencier ces deux critères.

Une initiation aux polygones

Le type d’angles Pour classifier un triangle, on peut utiliser un critère basé sur le type de ses angles intérieurs.

aaaction! 1. Si possible, trace un triangle qui possède : a) trois angles aigus ; c) seulement un angle aigu ; b) seulement deux angles aigus ; d) aucun angle aigu.

»

«

2. Commente l’énoncé suivant.

Tous les triangles possèdent au moins deux angles aigus.

A

Selon toi, quel angle pourrait-on qualifier de « troisième angle » d’un triangle ?

B

Le troisième angle d’un triangle pourrait-il être : 1) nul ? Pourquoi ? 3) droit ? Pourquoi ? 2) aigu ? Pourquoi ? 4) obtus ? Pourquoi ?

plat ? Pourquoi ? 6) rentrant ? Pourquoi ? 5)

Puisque tous les triangles possèdent au moins deux angles aigus, le type du troisième angle permet de distinguer trois types de triangles : le triangle acutangle, le triangle rectangle et le triangle obtusangle. 3e angle : aigu

3e angle : droit

3e angle : obtus

angle aigu angle aigu

angle aigu

Triangle acutangle

angle aigu

angle aigu Triangle rectangle

Triangle acutangle : Triangle possédant trois angles aigus. Mot qui vient du latin acutus, pointu, aigu et angulus, angle. Triangle rectangle : Triangle possédant un angle droit. Mot qui vient du latin rectus, droit. Triangle obtusangle : Triangle possédant un angle obtus. Mot qui vient du latin obtusus, émoussé.

angle aigu Triangle obtusangle

Pour classifier les triangles selon le type d’angles, les anciens Grecs utilisaient plutôt les mots oxigone, ambligone et orthogone. Associe ces mots aux mots d’origine latine correspondants.

La classification des triangles et des quadrilatères

SECTION 2

183

aaaction! Classifie les triangles suivants selon le type de leur « troisième » angle. Il y a parfois plusieurs réponses possibles. a) b) c) d) e) f) g) h) i) j)

Un Un Un Un Un Un Un Un Un Un

triangle ayant des angles de 30° et 45°. triangle ayant trois angles de 60°. triangle ayant des angles de 95°, 65° et 20°. triangle ayant deux angles de 80°. triangle ayant deux angles de 30°. triangle ayant deux angles isométriques. triangle ayant un angle de 90°. triangle ayant deux angles de 45°. triangle ayant un angle de 125°. triangle ayant un angle de 10°.

k)

C

l)

Le triangle en l ) de l’action ! ci-dessus est-il : 1) obtusangle ? Pourquoi ? 2) acutangle ? Pourquoi ?

Attenti n Pour éviter la confusion, un symbole sert à identifier un angle droit dans un triangle ou dans toute autre figure géométrique. Exemple : B

C

A

Le symbole signifie que l’angle est droit, c’est-à-dire qu’il mesure 90°.

184

CHAPITRE 8

Une initiation aux polygones

Si ce symbole n’apparaît pas, un angle ne peut pas être considéré comme un angle droit, même s’il semble droit.

La relation entre les angles Une fois qu’on a classifié un triangle selon le type d’angles, il s’agit ensuite de vérifier s’il existe une relation entre ses angles. Le nombre d’angles isométriques constitue le deuxième critère de classification des triangles.

aaaction! 1. Si c’est possible, trace un triangle qui possède : a) trois angles isométriques ; b) deux angles isométriques ; c) aucun angle isométrique.

«

2. Comment peux-tu convaincre quelqu’un que l’énoncé suivant est vrai ?

»

Un triangle qui a deux angles isométriques a nécessairement deux côtés isométriques.

Le nombre de côtés (ou d’angles) isométriques dans un triangle permet de distinguer trois types de triangles : le triangle équilatéral, le triangle isocèle et le triangle scalène.

Triangle équilatéral (équiangle) : Triangle possédant trois côtés (angles) isométriques. Mot qui vient du latin æquus, égal et laterus, côté. Triangle isocèle (isoangle) : Triangle possédant deux côtés (angles) isométriques. Mot qui vient du grec isos, égal et skelos, jambe. Triangle scalène : Triangle ne possédant pas de côtés (angles) isométriques. Mot qui vient du grec skalenos, oblique, boiteux.

A

Un triangle isocèle peut-il être rectangle ? Pourquoi ?

B

Un triangle acutangle peut-il être scalène ? Pourquoi ?

C

Un triangle équilatéral peut-il être obtusangle ? Pourquoi ?

Les anciens Grecs désignaient aussi une sorte de triangle par le mot « isopleure ». De quel triangle s’agit-il ?

Pour classifier un triangle, il faut toujours utiliser les deux critères suivants : • le type d’angles (troisième angle) ; • la relation entre les angles (nombre d’angles ou de côtés isométriques).

La classification des triangles et des quadrilatères

SECTION 2

185

aaaction! 1. Indique des mesures possibles pour chacun des angles des triangles suivants. a) Un triangle obtusangle scalène. b) Un triangle acutangle isocèle. c) Un triangle rectangle scalène. 2. Classifie les triangles dont les mesures d’angles sont les suivantes. a) Deux angles de 80°. b) Un angle droit et un angle de 45°. c) Deux angles dont les mesures totalisent 90°. d) e) f)

J’ai rencontré Isocèle. Il a une idée pour un nouveau triangle. ≤≥

D

Combien de types de triangles les deux critères de classification permettent-ils de distinguer ?

E

Le triangle en 2 f ) de l’action ! précédente est-il : 1) isocèle ? Pourquoi ? 2) scalène ? Pourquoi ?

WOODY ALLEN

exploration Observe de nouveau les deux œuvres de Kandinsky présentées à la page 160. Classifie quelques triangles que tu y trouves.

Attenti n Pour éviter la confusion, un symbole sert à identifier des angles isométriques dans un triangle ou dans toute autre figure géométrique. Exemple : a Les angles a et b sont isométriques.

b

Le même symbole permet d’identifier des côtés isométriques. S Exemple : R

U

T

Les côtés RS et UT sont isométriques. Les côtés RU et ST sont isométriques.

Le même nombre de traits sur des côtés (ou des angles) signifie que les côtés (ou les angles) sont isométriques. Sans ce symbole, deux angles ou deux côtés ne peuvent être considérés comme isométriques, même s’ils semblent l’être.

186

CHAPITRE 8

Une initiation aux polygones

Des droites remarquables

Attenti n

Dans un triangle, divers droites ou segments ont des particularités intéressantes. On les appelle des droites ou des segments remarquables. A

En géométrie, l’expression « des particularités intéressantes » est souvent associée à « milieu, droit, isométrique, ... ».

Observe l’illustration ci-dessous. Quelle erreur le personnage commet-il ?

Ma tente mesure un mètre de haut.

B

Comment faut-il procéder pour mesurer la hauteur de la tente ?

C

Trace un triangle. Ensuite, trace ce que tu crois être la hauteur de ce triangle.

D

Combien y a-t-il de hauteurs dans un triangle ?

La hauteur d’un triangle est un segment remarquable. Il s’agit du segment abaissé perpendiculairement sur le côté opposé (ou son prolongement) à partir d’un sommet. Le mot « hauteur » désigne aussi la mesure de ce segment. Exemples : A

D BG est la hauteur relative au sommet B du triangle ABC.

DN est la hauteur relative au sommet D du triangle DEF.

G C

page 271

N

B

E

Commente les propos du personnage ci-contre.

F

Une hauteur doit-elle arriver sur le point milieu du côté opposé ? Explique ta réponse.

G

Une hauteur pourrait-elle arriver sur le point milieu du côté opposé ? Explique ta réponse.

F

E

Si je laisse tomber la bille, elle suivra, par gravité, la hauteur de mon « triangle ».

La classification des triangles et des quadrilatères

SECTION 2

187

Dans un triangle, le fait que des droites ou des segments sont « remarquables » est souvent lié à leur perpendicularité ou encore au fait qu’ils passent par le point milieu. La hauteur n’est donc pas la seule droite (ou le seul segment) remarquable d’un triangle. La médiatrice, la médiane et la bissectrice sont des droites remarquables. A

Dans un triangle, la médiane est un segment joignant un sommet au milieu du côté opposé à ce sommet.

page 271

B

Les segments CG et GB sont isométriques.

G C A

La médiatrice est une droite perpendiculaire à un segment (ou un côté) en son milieu.

page 271

Les segments CT et TB sont isométriques et les angles qui ont T pour sommet sont droits.

C T B A

La bissectrice est une droite qui partage un angle en deux angles isométriques.

page 257

Les angles ABD et DBC sont isométriques.

D

B

C

H

Selon toi, est-il adéquat de parler : 1) de la bissectrice d’un angle qui n’est pas l’angle d’un triangle ? Pourquoi ? 2) de la médiatrice d’un segment si le segment n’est pas le côté d’un triangle ? Pourquoi ? 3) de la médiane d’un segment qui n’est pas le côté d’un triangle ? Pourquoi ?

aaaction! Voici le triangle ABC. Des hauteurs, des médianes, des médiatrices et des bissectrices y sont tracées.

A

F

Quelles lignes correspondent à des : a) médiatrices ? c) médianes ? b) hauteurs ? d) bissectrices ?

G

CHAPITRE 8

Une initiation aux polygones

J

E

M

188

Par « ligne », on entend ici « segment » ou « droite ».

C

K

L

B

La classification des quadrilatères La classification des quadrilatères n’est pas aussi simple que celle des triangles. Il est d’ailleurs étonnant que l’ajout d’un seul côté ait de si grandes répercussions sur le nombre de figures possibles et sur le nombre de façons de les classifier. Voici un triangle et un quadrilatère. A

D

Angles opposés

C

G

Côtés opposés

F

B Dans un triangle, tous les côtés et tous les angles sont consécutifs.

A

E

Angles consécutifs

Dans un quadrilatère, l’« ajout » d’un côté entraîne la formation de côtés opposés et d’angles opposés.

Dans un quadrilatère, combien y a-t-il de paires : de côtés opposés ? 2) d’angles opposés ? 3) d’angles consécutifs ? 1)

B

Combien y a-t-il de diagonales dans un quadrilatère ?

C

Selon toi, quels critères permettent de distinguer les quadrilatères ?

aaaction! 1. Trace cinq quadrilatères différents. Avec une ou un camarade, classifiez vos quadrilatères. 2. Quels critères avez-vous utilisés ? 3. Selon vous, combien de types de quadrilatères existe-t-il ?

Question de

culture Étymologie : Science qui s’intéresse à l’origine des mots.

À LA SOURCE Le vocabulaire utilisé de nos jours pour décrire les différents types de triangles et de quadrilatères a une origine grecque ou latine. L’étymologie permet de mieux comprendre le choix de certains mots.

La classification des triangles et des quadrilatères

SECTION 2

189

Les quadrilatères quelconques Pour bien comprendre de quelle façon les quadrilatères sont classifiés, on te présente d’abord un quadrilatère pour lequel on n’a pas imposé de contraintes : le quadrilatère quelconque. En fait, on peut former un quadrilatère quelconque en reliant quatre points placés absolument n’importe où sur une feuille.

Quadrilatère quelconque : Quadrilatère dans lequel on ne peut pas observer la présence d’une relation de parallélisme ou d’isométrie entre ses côtés ou ses angles.

A

Trace quatre points n’importe où sur une feuille, puis relie leurs extrémités pour former un quadrilatère. Vérifie si quelqu’un a tracé le même quadrilatère que toi.

B

Selon toi, les quadrilatères que vous avez tracés sont-ils des quadrilatères quelconques ? Pourquoi ?

Il existe évidemment d’autres classes de quadrilatères dont les propriétés sont plus intéressantes que celles du quadrilatère quelconque. Dans les pages qui suivent, on imposera peu à peu certaines contraintes à un quadrilatère quelconque pour former différentes classes de quadrilatères jusqu’à en arriver au quadrilatère régulier : le carré. Ce sont probablement les mathématiciens de l’époque d’Euclide qui établirent ces contraintes aussi appelées « critères de classification des quadrilatères ».

Les critères de classification des quadrilatères sont les suivants. Une paire de côtés parallèles. • Deux paires de côtés parallèles. • Quatre angles et (ou) côtés isométriques. • Deux paires d’angles et (ou) de côtés isométriques. •

190

CHAPITRE 8

C

Quelle est la différence entre les deux derniers critères ?

D

Selon toi, quel(s) autre(s) critère(s) aurait-on pu utiliser ?

E

Trace un quadrilatère possédant une paire de côtés parallèles.

Une initiation aux polygones

Les trapèzes Tous les quadrilatères qu’on peut tracer à partir de deux droites parallèles sont des trapèzes. Exemples :

A

Reproduis cette illustration, puis identifie quelques paires d’angles : alternes-internes ; 2) alternes-externes. 1)

Question de

culture

Les anciens Grecs employaient le mot trapeza pour désigner une table à quatre pieds. En grec moderne, le mot trapeza ne désigne plus une table mais une banque, qui rappelle la petite table que les banquiers utilisaient anciennement pour compter l’argent.

Trapèze : Quadrilatère possédant au moins une paire de côtés parallèles. Les côtés parallèles du trapèze sont les bases du trapèze. La distance entre les deux côtés parallèles est la hauteur du trapèze. Trapèze vient du grec trapeza, table à quatre pieds.

aaaction! 1. Dans une feuille de papier, découpe un triangle rectangle, un triangle isocèle et un triangle scalène. 2. Découpe ensuite d’un seul coup de ciseaux chacun de tes triangles pour former des trapèzes. 3. Y a-t-il des relations entre les angles et les côtés dans tes trapèzes ? Si oui, lesquelles ?

La classification des triangles et des quadrilatères

SECTION 2

191

À partir d’un triangle rectangle et d’un triangle isocèle, on peut former soit un trapèze rectangle, soit un trapèze isocèle.

Trapèze rectangle : Trapèze possédant au moins un angle droit. Trapèze isocèle : Trapèze possédant une paire de côtés opposés isométriques.

B

De quelle façon peux-tu découper un triangle isocèle pour former un trapèze quelconque (qui n’est pas isocèle) ?

C

Un trapèze rectangle a-t-il au moins deux angles droits ? Pourquoi ?

D

Un trapèze isocèle a-t-il deux paires d’angles isométriques ? Pourquoi ?

E

Un trapèze isocèle a-t-il des paires d’angles supplémentaires ? Justifie ta réponse.

F

Quelles autres relations entre les angles, les côtés ou les diagonales peut-on observer dans un trapèze ?

Les parallélogrammes Pour créer une autre classe de quadrilatères et ainsi poursuivre leur classification, on impose une contrainte au trapèze : une deuxième paire de côtés parallèles. Les quadrilatères ainsi formés s’appellent les parallélogrammes.

Parallélogramme : Quadrilatère possédant deux paires de côtés parallèles. Chacun des côtés peut être désigné comme la base du parallélogramme. Parallélogramme vient du grec para, auprès, allêlôn, l’un l’autre, et grammê, ligne.

192

CHAPITRE 8

A

Un trapèze est-il nécessairement un parallélogramme ? Pourquoi ?

B

Un parallélogramme est-il nécessairement un trapèze ? Pourquoi ?

C

Peut-on observer une relation intéressante entre les diagonales d’un parallélogramme ? Si oui, laquelle ?

D

Donne une définition de parallélogramme sans utiliser le mot « parallèle ». Inspire-toi de l’étymologie du mot.

Une initiation aux polygones

aaaction! 1. Calque l’illustration des parallélogrammes de la page précédente, puis identifie quelques paires d’angles : a) b) c) d) e)

alternes-internes ; alternes-externes ; correspondants ; isométriques ; supplémentaires.

2. Est-ce possible de former, d’un seul coup de ciseaux, un parallélogramme à partir d’un triangle comme on l’a fait précédemment pour le trapèze ? Pourquoi ?

La formation d’un quadrilatère à partir des intersections de deux paires de droites parallèles implique certaines relations entre les angles et les côtés. Par exemple, dans tout parallélogramme, les côtés opposés sont isométriques. E

Vérifie les conjectures suivantes. 1) 2) 3) 4)

« « « «

» »» »

Les angles consécutifs d’un parallélogramme sont supplémentaires. Les angles opposés d’un parallélogramme sont supplémentaires.

Les angles consécutifs d’un parallélogramme sont isométriques. Les angles opposés d’un parallélogramme sont isométriques.

Question de

culture

AU FIL DU VENT Il est intéressant de constater comment un mot ancien évolue au fil du temps. • À l’époque d’Euclide, le mot « rhomboïde » désignait un parallélogramme. • En français, le mot « rhomboïde » a longtemps été utilisé pour désigner ce qu’on appelle aujourd’hui « cerf-volant ». • En anglais, rhombus désigne plutôt un autre parallélogramme : le losange.

La classification des triangles et des quadrilatères

SECTION 2

193

Les losanges, les rectangles et les carrés On peut préciser la classification des quadrilatères et ainsi créer de nouvelles classes de quadrilatères en imposant d’autres contraintes à un parallélogramme. A

Quelle contrainte pourrait-on imposer à un parallélogramme afin d’obtenir d’autres types de quadrilatères que tu connais ?

Les quadrilatères résultant de la contrainte selon laquelle tous les côtés d’un parallélogramme doivent être isométriques sont des losanges.

1

Les quadrilatères résultant de la contrainte selon laquelle tous les angles d’un parallélogramme doivent être isométriques sont des rectangles.

2

Les quadrilatères qui sont à la fois des losanges et des rectangles sont des carrés.

exploration Observe de nouveau les œuvres de Kandinsky présentées à la page 160. Classifie quelques quadrilatères que tu y trouves.

194

CHAPITRE 8

B

Les losanges, les rectangles et les carrés sont-ils tous des parallélogrammes ? Pourquoi ?

C

Un quadrilatère dont tous les angles sont isométriques a-t-il nécessairement quatre angles droits ? Pourquoi ?

D

Peut-on observer une relation intéressante entre les diagonales : 1) d’un losange ? Si oui, laquelle ? 2) d’un rectangle ? Si oui, laquelle ? 3) d’un carré ? Si oui, laquelle ?

Losange : Mot qui vient de l’ancien français losange, louange. Quadrilatère ayant quatre côtés isométriques. Rectangle : Mot qui vient du latin rectus, droit et angulus, angle. Quadrilatère ayant quatre angles isométriques. Carré : Mot qui vient du latin quadratus, de quadrare, rendre carré, équarrir. Quadrilatère qui est à la fois un losange et un rectangle.

Une initiation aux polygones

aaaction! 1. Un losange est-il nécessairement un rectangle ? Pourquoi ? 2. Un rectangle est-il nécessairement un carré ? Pourquoi ? 3. Un carré est-il nécessairement un trapèze ? Pourquoi ? 4. Un quadrilatère est-il nécessairement un losange ? Pourquoi ? 5. Explique à une ou à un camarade le raisonnement qui permet de répondre à ce type de questions, ou demande à quelqu’un de te l’expliquer.

Les quadrilatères classifiés jusqu’à maintenant possédaient tous au moins une paire de côtés parallèles. E

Comment un quadrilatère peut-il avoir une ou deux paires de côtés isométriques mais n’avoir aucune paire de côtés parallèles ?

aaaction! 1. Utilise deux pailles (ou cure-pipes) de 2 cm de longueur et deux autres de 5 cm de longueur en guise de côtés pour former des quadrilatères. 2. Combien de types de quadrilatères différents peux-tu former ? Nommes-en le plus possible. 3. Compare ton travail avec celui d’une ou d’un camarade. As-tu formé des quadrilatères que tu n’as pas encore vus ? Je ne sais pas comment s’appellent les figures que j’ai formées.

Question de

culture

LOUANGE En ancien français, le mot rhombe désignait ce qu’on appelle aujourd’hui losange. Le mot losange, quant à lui, signifiait « louange ». Or, les armoiries destinées à rappeler les hauts faits des seigneurs féodaux et à faire leur louange étaient jadis encadrées dans un rhombe. Avec le temps, le mot « losange » a fini par perdre son sens de « louange » pour ne plus désigner que certains quadrilatères à forme rhomboïdale.

Les anciens Grecs utilisaient les mots « orthogone », « hétéromèque » et « tétragone » pour désigner des quadrilatères. De quels quadrilatères s’agit-il ?

La classification des triangles et des quadrilatères

SECTION 2

195

Les cerfs-volants et les deltoïdes Certains quadrilatères sont jugés intéressants même s’ils n’ont pas de paires de côtés parallèles. C’est le cas du cerf-volant et du deltoïde. Ils ont deux paires de côtés isométriques, mais pas de côtés parallèles. Le futur nom du deltoïde deviendra peut-être le deltaplane !

Ou le boomerang !

Cerf-volant

Cerf-volant : Quadrilatère convexe possédant deux paires de côtés consécutifs isométriques. Deltoïde : Quadrilatère non convexe possédant deux paires de côtés consécutifs isométriques.

Deltoïde

A

Quelle relation intéressante peut-on observer entre les diagonales : 1) d’un cerf-volant ? 2) d’un deltoïde ?

B

Trace un quadrilatère qui possède des diagonales perpendiculaires mais qui n’est pas un losange, ni un cerf-volant, ni un deltoïde.

C

Le quadrilatère que tu as tracé pourrait-il être un carré ? Pourquoi ?

aaaction! 1. Forme des énoncés géométriques vrais à partir d’éléments de chacune des colonnes du tableau. Sorte de quadrilatère Dans un quadrilatère quelconque, • Dans un trapèze, • Dans un trapèze isocèle, • Dans un trapèze rectangle, • Dans un cerf-volant, • Dans un deltoïde, • Dans un parallélogramme, • Dans un rectangle, • Dans un losange, • Dans un carré, •

Relation entre ces éléments

Éléments en jeu les les • les • les • les • •

diagonales angles consécutifs angles opposés côtés consécutifs côtés opposés

sont isométriques. sont supplémentaires. • sont parallèles. • sont perpendiculaires. • se coupent en leur milieu. • •

2. Combien d’énoncés différents peut-on former en tout ? 196

CHAPITRE 8

Une initiation aux polygones

2. À chacun son nom

Vérifie les conjectures suivantes.

a) Comment peux-tu nommer deux hauteurs d’un même triangle de façon à les différencier ?

a) Si les diagonales d’un quadrilatère sont isométriques, ce quadrilatère est nécessairement un rectangle. b) Si un quadrilatère a deux paires de côtés isométriques, il est nécessairement un parallélogramme. c) Si les diagonales d’un quadrilatère sont perpendiculaires, ce quadrilatère est nécessairement un losange.

b) Comment peux-tu nommer deux médianes d’un même triangle de façon à les différencier ?

d) Puisque la somme des mesures des angles intérieurs d’un triangle est de 180°, les angles d’un triangle sont supplémentaires. e) Les angles aigus d’un triangle rectangle sont complémentaires. f ) Un losange est toujours un carré. g) Un triangle scalène peut être obtusangle. h) Un parallélogramme est toujours un losange. i ) Un triangle équilatéral est isocèle, mais un triangle isocèle n’est pas nécessairement équilatéral. j ) Si un quadrilatère a des diagonales perpendiculaires, alors il a automatiquement deux paires de côtés isométriques. k) Si deux angles ont le même sommet, un côté commun et que leurs mesures totalisent 90°, alors ils sont adjacents et ils sont complémentaires.

3. L’enveloppe, l’enveloppe ! On peut « voir » plusieurs polygones en regardant une simple enveloppe : un losange, des triangles obtusangles, un pentagone convexe, un pentagone non convexe, etc. a) Trouve d’autres objets de la vie quotidienne qui peuvent te faire penser à différents types de polygones. Présente-les à tes camarades. b) Trouve aussi ce qui rappelle des polygones dans des objets de la nature, c’est-à-dire qui n’ont pas été fabriqués.

La classification des triangles et des quadrilatères

SECTION 2

197

activites

1. Argumenter pour convaincre

4. Un trio de triangles

5. Les apparences sont parfois trompeuses

Trace :

La droite TQ est la bissectrice de l’angle UTS.

a) un triangle rectangle scalène.

Q

U

36°

b) un triangle obtusangle isocèle.

S

58°

c) un triangle acutangle scalène.

T

Indique toutes les étapes d’une démarche qui te permet de déduire la mesure de l’angle TUQ.

6. Une question d’angles

7. Sans dessin, c’est sans dessein

a) Donne toutes les classifications possibles des triangles suivants.

a) « Dans un triangle, le plus grand côté est opposé au plus grand angle. »

1)

2) 3)

4) 5) 6)

Commente les affirmations suivantes.

Deux angles du triangle ont des mesures totalisant 100°. Le triangle possède un angle de 60°. Deux angles du triangle ont des mesures totalisant 90°. Le triangle possède un angle de 105°. Deux côtés du triangle mesurent 6 cm. Le triangle possède un côté de 6 cm.

b) « Dans un rectangle, la diagonale est plus longue que chacun des côtés. »

8. Oui, il est isocèle ! Soit le trapèze ABCD ci-dessous. • AC et BD sont les diagonales de ce trapèze. • E est le point d’intersection des diagonales. A

B

E

56°

28°

52°

D

C

Calcule la mesure de chacun des angles suivants. Justifie ta démarche.

198

CHAPITRE 8

a)  AEB

c)  EBC

b)  AED

d)  BDA

Une initiation aux polygones

e)  DAB

9. Un triangle du futur ! a) Parmi les triangles suivants, détermine ceux qui sont « impossibles ». Explique pourquoi. 1) Un triangle qui possède deux angles intérieurs de 89°. 2) Un triangle qui possède deux côtés de 2 cm et un côté de 5 cm. 3) Un triangle qui possède trois angles intérieurs de 50°. 4) Un triangle qui possède deux angles extérieurs aigus. Un triangle qui possède une paire de côtés parallèles. 6)

Un triangle qui possède un côté de 3 cm, un côté de 4 cm et un côté de 7 cm.

b) Comment peux-tu déterminer qu’un triangle est impossible ? c) Essaie de décrire un quadrilatère « impossible ».

11. Surnom : Polygone a) Dans l’illustration suivante, vois-tu un individu ou un ensemble de polygones ?

10. Un design d’intérieur a) Sur une feuille de papier, trace seulement les diagonales : 1) d’un carré ; 2) d’un losange ; 3) d’un rectangle ; 4) d’un parallélogramme ; 5) d’un trapèze isocèle ; 6) d’un cerf-volant ; 7) d’un deltoïde. b) Demande à une ou à un camarade d’identifier tes quadrilatères.

b) Identifie tous les polygones que tu vois.

La classification des triangles et des quadrilatères

SECTION 2

199

12. À main levée a) Reproduis le tableau suivant. Fais un croquis de chaque type de triangle. Tes croquis n’ont pas à être exacts, mais tu dois indiquer les relations importantes. Acutangle

Rectangle

Obtusangle

Équilatéral Isocèle Scalène

b) Pourquoi certaines cases demeurent-elles vides ?

13. Qui sommes-nous ? Voici des énoncés géométriques concernant les diagonales de certains quadrilatères.

1 Les diagonales sont isométriques. 2 Les diagonales sont perpendiculaires.

Z u t c’ e s t u n Z

3 Les diagonales se coupent en leurs milieux. a) Identifie les quadrilatères 1) la caractéristique 1 ; 2) la caractéristique 2 ; 3) la caractéristique 3 ; 4) les caractéristiques 1 5) les caractéristiques 2 6) les caractéristiques 1

dont les diagonales possèdent :

et et et

2 3 3

; ; .

b) Quel quadrilatère possède à la fois les caractéristiques 1 , 2 et 3 ?

14. L’alphabet des droites remarquables Samuel affirme qu’il a vu la lettre N lorsqu’il a tracé une hauteur, une médiane et une médiatrice dans un triangle. a) Fais le croquis d’un triangle qu’il aurait pu utiliser pour y voir un N. b) Oriente ton triangle pour qu’on y voie plutôt la lettre Z.

200

CHAPITRE 8

Une initiation aux polygones

15. Constructeur d’énoncés a) Forme des énoncés géométriques vrais avec un élément de chacune des colonnes. Sorte de quadrilatère Dans un triangle équilatéral, • Dans un triangle isocèle, • Dans un triangle scalène, •

Relation entre ces éléments

Éléments en jeu les hauteurs une des hauteurs • les bissectrices • une des bissectrices • les médiatrices • une des médiatrices • les médianes • une des médianes

sont aussi des hauteurs. est aussi une hauteur. • sont aussi des bissectrices. • est aussi une bissectrice. • sont aussi des médiatrices. • est aussi une médiatrice. • sont aussi des médianes. • est aussi une médiane.

•

•

•

•

b) Combien d’énoncés différents peut-on former en tout ?

16. Des pixels Sophie et Pierre avaient le mandat de construire un trapèze à l’aide d’un logiciel. Voici leur travail. Sophie

A

D

B

Pierre

A

C

B

D

C

a) Est-ce que les deux élèves ont réussi la tâche, selon toi ? Pourquoi ?

Pour pouvoir commenter leurs figures, l’enseignant a fait glisser le sommet D vers le bas. Voici ce que les figures de Sophie et de Pierre sont devenues. Sophie

A

B

Pierre

A

B

C D

D

C

b) Quels commentaires l’enseignant a-t-il pu formuler au sujet des figures de Sophie et de Pierre ?

La classification des triangles et des quadrilatères

SECTION 2

201

17. Une bonne déduction D

B

F O E

A C

18. Ce n’est pas une devinette ! a) Avec une ou un camarade, pensez à un type de quadrilatère et indiquez quelques-unes des caractéristiques de ce quadrilatère. b) Demandez à une autre équipe d’identifier votre quadrilatère.

•

F, O, A et C sont alignés, tout comme E, O, B et D.

•

EF // AB // CD

•

m OE  m OB

Essaie de trouver toutes les paires d’angles isométriques. Justifie ta réponse.

19. Oui ou non ? Pourquoi ? B C D A

E

Les informations contenues dans la figure permettent-elles d’affirmer que  DAE est plat ? Justifie ta réponse.

20. Pour un léger supplément a) Ce dallage formé de losanges peut-il te convaincre que : 1) les angles consécutifs d’un losange sont supplémentaires ? Pourquoi ? 2) les angles opposés d’un losange sont isométriques ? Pourquoi ? b) Avec quels autres types de quadrilatères peut-on arriver aux mêmes conclusions ?

202

CHAPITRE 8

Une initiation aux polygones

21. Aux angles, citoyens ! a) Détermine la mesure de chacun des angles intérieurs des figures suivantes. b) Pour chaque mesure d’angle, justifie ta démarche à l’aide d’énoncés géométriques. Tu as également formulé des énoncés à l’activité 15 de la page 201 et dans l’action! de la page 196.

Consulte la page suivante pour des exemples d’énoncés géométriques. Un triangle rectangle

Un parallélogramme

P

N

M

70°

54° Q

O

R

Un triangle isocèle

P

Un triangle

M

B

42° C

A

Un triangle équilatéral

42° P

N

Un quadrilatère

L

R

S 110°

M

80°

N

T

U

Un trapèze isocèle

Un triangle

V

S 25°

V

78°

W

T

40°

Y

51°

X

Un trapèze rectangle C

B

53° D

A

La classification des triangles et des quadrilatères

SECTION 2

203

22. Sherlock Voici des énoncés géométriques concernant les triangles et les quadrilatères. Énoncé 1 Dans un triangle, la somme des mesures des angles intérieurs est de 180°.

Énoncé 2 Dans un quadrilatère, la somme des mesures des angles intérieurs est de 360°.

Énoncé 3 Tous les carrés sont des losanges.

Énoncé 4 Tous les carrés sont des rectangles.

Énoncé 5 Tous les losanges sont des parallélogrammes.

Énoncé 6 La médiane issue d’un sommet partage le côté opposé en deux segments isométriques.

Énoncé 7 Dans un parallélogramme, les angles consécutifs sont supplémentaires.

Énoncé 8 Dans un carré, tous les côtés sont isométriques.

Énoncé 9 Dans un carré, tous les angles sont droits.

Énoncé 10 Dans un rectangle, les diagonales sont isométriques et se coupent en leur milieu.

Énoncé 11 Des angles adjacents ayant leurs côtés extérieurs en ligne droite sont supplémentaires.

Énoncé 12 Dans un losange, les diagonales sont perpendiculaires.

a) Indique les énoncés qui justifient les affirmations suivantes. N’utilise pas d’énoncés superflus dans tes justifications. Attention ! Tu peux utiliser le même énoncé plus d’une fois et tu n’auras peut-être pas besoin de certains énoncés. Affirmations A

A

D

E

B

C • ABCD est un losange. • L’angle BAD mesure 40°. • AC et BD sont les diagonales du losange et se coupent en E.

204

CHAPITRE 8

Une initiation aux polygones

1)

Le triangle BAE est rectangle. Énoncé(s) :

2)

L’angle ABC mesure 140°. Énoncé(s) :

Affirmations A

B

B

E

D

1)

Le triangle ABE est isocèle. Énoncé(s) :

2)

Le triangle ABE est rectangle. Énoncé(s) :

3)

Le triangle ABC est isocèle. Énoncé(s) :

4)

Le triangle ABC est rectangle. Énoncé(s) :

C

• ABCD est un carré. • AC et BD sont les diagonales de ce carré.

Affirmations

C

B

C T

A

67°

D

5 cm

1)

La mesure du segment TC  3 cm. Énoncé(s) :

2)

La mesure du segment TD  3 cm. Énoncé(s) :

3)

La mesure de l’angle DTA est de 113o. Énoncé(s) :

• BCDA est un rectangle. • AC et BD sont les diagonales qui se coupent en T. • m AT  3 cm

Affirmations P

D

1)

La mesure du segment RM  2 cm. Énoncé(s) :

2)

La mesure de l’angle NPM  40o. Énoncé(s) :

130° S

N 2 cm R

M

Pourquoi peut-on être certains que les angles PNM et PRM ne sont pas isométriques ?

PR est la médiane issue du sommet P du triangle rectangle MNP.

b) Tu dois maintenant créer tes propres énoncés pour justifier les affirmations suivantes. Les énoncés dont tu as besoin ne se retrouvent peut-être pas tous dans la liste de la page précédente. Affirmations

E

S

T

1)

La mesure de l’angle WSR est de 60o. Énoncé(s) :

2)

La figure WSTV est un trapèze isocèle. Énoncé(s) :

W R V Le quadrilatère STVW est formé de trois triangles équilatéraux isométriques, soit WSR, SRT et RTV.

La classification des triangles et des quadrilatères

SECTION 2

205

section

3

Le périmètre et l’aire Dans cette section, tu auras l’occasion d’utiliser les différentes notions concernant les unités de mesure abordées au chapitre 6 pour mesurer des polygones. Tu apprendras également à distinguer les diverses mesures pouvant être effectuées sur un polygone. Dans la vie courante, il est parfois nécessaire de mesurer une ou plusieurs dimensions de divers objets. Voici une vue aérienne des patios de deux voisins : Édouard et Françoise. Patio d’Édouard

A

Propose un critère qui permettrait d’affirmer : 1) que le patio d’Édouard est le plus grand des deux. 2) que le patio de Françoise est le plus grand des deux.

B

Nomme d’autres situations de la vie courante dans lesquelles il est question : de périmètre ; 2) de surface. 1)

C

206

CHAPITRE 8

Patio de Françoise

Dans tes propres mots, définis : 1) le périmètre ; 2) la surface.

Une initiation aux polygones

Mesurer autour En mathématique, le périmètre fait référence à la mesure du contour d’une figure quelconque. Dans la vie courante, ce mot désigne simplement un contour ou une frontière sans nécessairement tenir compte de sa mesure. Périmètre : Mot qui vient du grec peri, autour, et metron, mesure. Longueur de la frontière d’une figure fermée. Établissez un périmètre de sécurité !

De combien de mètres ?

A

Comment fait-on pour déterminer le périmètre d’un polygone ?

B

Peut-on déterminer le périmètre d’un polygone si on connaît la mesure de tous ses côtés ? Pourquoi ?

C

Peut-on déterminer la mesure de tous les côtés d’un polygone si on connaît son périmètre ? Pourquoi ?

Des relations qui simplifient la vie Le travail mathématique requis pour déterminer le périmètre d’un polygone ne consiste pas seulement à additionner les mesures des côtés du polygone. Dans certaines situations, on ne dispose pas de toutes les mesures des côtés ; le travail mathématique consiste alors à déduire les mesures manquantes.

Le périmètre et l’aire

SECTION 3

207

aaaction! 1. Calcule le périmètre des polygones suivants. a) Un carré ayant des côtés de 4 cm. b) c) d) e)

Un Un Un Un

parallélogramme ayant des côtés de 3 cm et de 5 cm. octogone régulier ayant des côtés de 6 cm. deltoïde ayant des côtés de 7 cm et de 4 cm. triangle rectangle ayant des côtés de 3 cm, de 4 cm et de 5 cm.

f) Un pentagone régulier ayant des côtés de d cm. 2. Classifie chaque polygone, puis calcule son périmètre en utilisant l’unité de mesure de ton choix. a)

e) 6

b)

Dans Internet, trouve les données manquantes pour 2 e) et 2 f).

f) 3

4

c)

g) 22 cm 7 dm

2 cm 8 cm

d)

h)

3 cm

5 cm 7 cm 3 cm 3 cm

3. Compose un problème dans lequel il faut trouver le périmètre d’un polygone. Inclus le moins de données possible.

A

208

CHAPITRE 8

Que faut-il faire pour calculer le périmètre d’un polygone si les mesures des côtés sont exprimées dans différentes unités ?

Une initiation aux polygones

Les unités de mesure de longueur Calculer le périmètre d’un polygone lorsqu’il manque certaines mesures peut se révéler complexe, mais le fait de disposer de toutes les mesures ne simplifie pas forcément la tâche. En effet, les mesures d’un polygone sont parfois fournies dans des unités différentes. Au chapitre 6, tu as eu l’occasion de voir comment convertir des unités de mesure du SI. Cela te sera utile.

Pour évaluer l’attention des élèves ou pour rendre les problèmes un peu plus complexes, les manuels de mathématique utilisent parfois dans un même problème des unités de mesure différentes.

× 103 × 10

× 10

× 10

kilo (k)

hecto (h)

déca (da)

Unités

déci (d)

centi (c)

milli (m)

0,001

0,01

0,1

1

10

100

1000

÷ 10

÷ 10

÷ 10

÷ 10

÷ 104

Je me rappelle ! On l’a vu à la page 79 du chapitre 6.

aaaction! 1. Calcule le périmètre des rectangles suivants. a) 4 dm 3 km

b) c) d) e)

Un Un Un Un

rectangle de 4 m sur 3 mm. rectangle de 4 cm sur 3 hm. rectangle de 4 dam sur 3 cm. rectangle de 4 m sur 3 dm.

2. Résume la procédure que tu as utilisée pour convertir des unités de mesure de longueur.

Le périmètre et l’aire

SECTION 3

209

Mesurer en dedans

Surface : Ensemble de points qui forment un espace à deux dimensions. Aire : Mesure d’une surface fermée à deux dimensions.

Outre le périmètre, il est aussi possible de mesurer la surface à l’intérieur d’une figure géométrique à deux dimensions. On nomme aire la mesure de cette surface. Les patios de la page 206 sont maintenant recouverts de dalles carrées. Patio d’Édouard

Patio de Françoise

A

Quel est le périmètre de chacun des patios ? Quelle en est l’aire ?

B

Est-il correct de dire que l’aire du patio correspond au nombre de dalles qui le recouvrent ? Est-il correct de dire la même chose de son périmètre ?

C

Si quelqu’un construisait un patio d’une autre forme avec le même nombre de dalles : 1) quel serait son périmètre ? 2) quelle serait son aire ?

D

Comment peut-on créer une unité de mesure de surface à partir d’une unité de mesure de longueur ? Mais...

Comme vous me l’avez demandé, voici vos 40 mètres de gazon, Madame.

E

210

CHAPITRE 8

Commente cette illustration.

Une initiation aux polygones

F

Selon toi, est-ce possible de calculer l’aire des figures suivantes ? Pourquoi ?

1

2

3

aaaction! 1. Voici deux dallages.

1

2

1 cm

1 cm 2 cm

2 cm

a) b) c) d)

Les deux dallages ont-ils le même périmètre ? Pourquoi ? Les deux dallages ont-ils la même aire ? Pourquoi ? Quel dallage a une aire de 30 cm2 ? L’aire de l’autre dallage est-elle inférieure ou supérieure à 30 cm2 ? Pourquoi ? e) De quelle mesure aurais-tu besoin pour calculer l’aire de l’autre dallage ?

2. Pour calculer l’aire de la feuille d’érable ci-contre, Yasmine propose d’en suivre le contour de très près avec une ficelle, puis de calculer l’aire d’un carré qu’elle pourra former avec la longueur de ficelle utilisée. a) Que penses-tu de la méthode de Yasmine ? Justifie ta réponse. b) Toi, comment aurais-tu procédé ?

Avant de calculer l’aire de figures plus complexes, comme la feuille d’érable, il est utile de déduire des relations permettant de calculer l’aire de triangles et de quadrilatères. Grâce à ce travail, il sera ensuite possible de calculer l’aire de tous les types de figures à deux dimensions.

Le périmètre et l’aire

SECTION 3

211

L’aire (A) de la surface occupée par un rectangle est égale au produit de la mesure de la base (b) et de la hauteur (h) du rectangle. Arectangle = b × h Exemple :

A

B

5 cm

D

6 cm

C

L’aire du rectangle ABCD : 6 cm × 5 cm = 30 cm2. REMARQUE

Par définition, la hauteur d’un rectangle est perpendiculaire à la base.

G

Peut-on calculer l’aire d’un carré de la même façon ? Pourquoi ?

H

Commente les affirmations suivantes.

« «

Si on découpe en petits morceaux un carton dont l’aire est de 100 cm2, la somme des aires de tous les morceaux qu’on aura découpés sera égale à 100 cm2.

»

Si on découpe en petits morceaux un carton dont le périmètre est de 100 cm, la somme des périmètres de tous les morceaux qu’on aura découpés sera égale à 100 cm.

I

»

Que faut-il faire pour calculer l’aire d’une figure si les mesures des côtés sont exprimées dans différentes unités de mesure ?

Les unités de mesure d’aire Puisque la surface occupée par une figure géométrique a deux dimensions, il faut adapter les unités de mesure de longueur pour exprimer l’aire d’une surface.

aaaction! 1. Calcule l’aire d’un rectangle de : a) 2 dm sur 0,3 km ; d) 51,2 cm sur 0,05 hm ; b) 4 m sur 7 mm ; e) 0,65 dam sur 398 cm. c) 2 m sur 31 dm ; 2. Quelles peuvent être les dimensions, en centimètres, d’un rectangle ayant une aire de : a) 10 m2 ? b) 100 mm2 ? c) 2 km2 ?

212

CHAPITRE 8

Une initiation aux polygones

La déduction des relations permettant de calculer l’aire L’aire d’un rectangle peut être calculée en multipliant simplement la mesure de sa base par celle de sa hauteur. La simplicité de cette opération peut être mise à profit pour calculer l’aire d’autres types de polygones. Il suffit de réaménager ces polygones en rectangles et ainsi, réduire le nombre de formules à retenir. L’exemple suivant montre comment calculer l’aire d’un triangle en le réaménageant en rectangle.

Réaménagement d’un triangle en rectangle

A À partir d’un triangle ABC,

B C A on trace une hauteur AE .

B

h E C A Il en découle deux triangles rectangles, AEC et AEB.

B E C L

A De là, on peut créer deux triangles rectangles isométriques aux triangles AEC et AEB, qu’on appelle ACG et ABL.

G B E C

A

Pourquoi les triangles AEC et AEB sont-ils rectangles ?

B

Le quadrilatère GLBC est-il un rectangle ? Pourquoi ?

C

La base du triangle ABC est-elle la même que celle du rectangle GLBC ?

D

La hauteur du triangle ABC est-elle la même que celle du rectangle GLBC ?

E

Combien de triangles ABC faut-il pour former le rectangle GLBC ?

F

Comment peut-on calculer l’aire du triangle ABC si on connaît l’aire du rectangle GLBC ? Le périmètre et l’aire

SECTION 3

213

C’est la moitié de l’aire du rectangle.

L’aire (A) de la surface occupée par un triangle est égale au produit de la mesure de la base (b) et de la hauteur (h) du triangle, divisé par 2. Atriangle  b  h 2

Exemple :

T

4 cm

h V

U 9 cm

L’aire du triangle TUV : 9 cm  4 cm  18 cm2. 2

Le calcul de l’aire d’un triangle peut servir à déterminer l’aire des autres polygones. Il s’agit de les partager en triangles, de déterminer l’aire de chaque triangle, puis de les additionner. G

Comment a-t-on partagé ces quadrilatères en triangles ?

Attenti n En se basant sur les relations entre les côtés ou les diagonales de certains quadrilatères, il est possible de déduire des formules propres au calcul de l’aire de chacun d’eux. C’est d’ailleurs le sujet des pages suivantes. Cependant, il demeure important de préciser que les formules qu’on déduira ne sont en fait que des « réaménagements » de la formule sur laquelle on doit toujours s’appuyer pour calculer l’aire de figures à deux dimensions : Abh REMARQUE La base et la hauteur sont perpendiculaires.

214

CHAPITRE 8

Une initiation aux polygones

aaaction! 1. Voici le losange ABCD partagé en deux triangles. A

E

D

B

C

Chaque côté du losange ABCD mesure 5 cm. Les diagonales mesurent respectivement 6 cm et 8 cm. a) L’aire du losange ABCD est-elle égale à la somme des aires des triangles ABC et ADC ? Pourquoi ? b) Comment appelle-t-on le segment AC par rapport aux triangles ? par rapport au losange ? c) Comment appelle-t-on le segment ED par rapport au triangle ADC ? par rapport au losange ? d) Le segment ED est-il isométrique au segment EB ? Pourquoi ? e) Quelle est l’aire des triangles ABC et ADC ? f ) Quelle est l’aire du losange ABCD ? g) Comment peut-on calculer l’aire d’un losange si on connaît la mesure de ses deux diagonales ? 2. Voici le trapèze RSTU. R

S

h

U

T

La hauteur (h) du trapèze mesure 4 cm. Les bases du trapèze mesurent respectivement 3 cm et 7 cm. a) Refais le même travail qu’à la question 1 afin de déterminer l’aire du trapèze. b) Comment peut-on calculer l’aire d’un trapèze si on connaît la mesure de sa hauteur et de ses deux bases ?

Le périmètre et l’aire

SECTION 3

215

Pour calculer l’aire d’un losange, il suffit de calculer l’aire des deux triangles formés par une de ses diagonales. Exemple : E

Soit le losange EFGH, dont les diagonales sont D et d. L’aire du triangle EFG est ainsi calculée : base du triangle EFG

D  12 d 2

H

D

F

hauteur du triangle EFG

G d

Puisque les triangles EFG et EHG sont isométriques, l’aire du losange est le double de l’aire d’un triangle : 2

D  12 d 2

Alosange  D  12 d ou

Dd 2

Pour calculer l’aire d’un trapèze, il suffit de calculer l’aire des deux triangles formés par une de ses diagonales. Exemple : Soit le trapèze JKLM, dont les bases sont B et b et la hauteur, h.

b J

L’aire du triangle JLM est calculée ainsi : base du triangle JLM

Bh 2

hauteur du triangle JLM

L’aire du triangle JKL est calculée ainsi : base du triangle JKL

bh 2

hauteur du triangle JKL

K h

h M

L B

L’aire du trapèze est la somme de l’aire des deux triangles, alors : Atrapèze  B  h 2

216

CHAPITRE 8

Une initiation aux polygones

b  h ou (B  b)  h 2 2

aaaction! 1. Calcule l’aire des polygones suivants. a) Un losange ayant des diagonales de 10 cm et de 24 cm et des côtés de 13 cm. b) Un trapèze isocèle ayant une hauteur de 3 cm et des bases de 6 cm et 7 cm. c) Un carré ayant un périmètre de 36 cm. d) Un rectangle ayant un périmètre de 70 cm et une hauteur de 5 cm. e) Un triangle rectangle ayant des côtés de 5 cm, de 12 cm et de 13 cm. f) Un carré ayant des diagonales de 6 cm. 2. Identifie chacun des polygones suivants, puis calcule son aire. D

a)

D

c)

d

d

7 cm

G

11 cm

2 cm

b)

E

K

d  4 cm

L

d)

A

F

B

h h

5 cm

M N

4 cm

KL  NM

D

C

Voilà une autre façon de comprendre qu’un trapèze n’est pas un carré, mais qu’un carré est un trapèze.

m BC  5 cm h  4 cm

3. La relation permettant de calculer l’aire d’un carré peut-elle servir à calculer l’aire d’un trapèze ? Pourquoi ? 4. La relation permettant de calculer l’aire d’un trapèze peut-elle servir à calculer l’aire d’un carré ? Pourquoi ?

Le périmètre et l’aire

SECTION 3

217

activites

1. Drôle d’arrêt

2. Quelle aire a-t-il ?

L’aire de la partie ombrée de l’octogone régulier ci-dessous est de 36 cm2. Quelle est l’aire totale de l’octogone ?

a) Calcule l’aire des polygones suivants. 1) Un trapèze rectangle ayant une hauteur de 8 cm et des bases de 3 cm et 6 cm. 2) Un triangle équilatéral ayant un périmètre de 18 cm et une hauteur d’environ 5,2 cm. b) Classifie chacun des polygones suivants, puis calcule son aire. F G

2,5 cm d

d  6,5 cm

E 6 cm

H

W

m YW m WX m XY h

h

Y

   

11 mm 7 mm 6 mm 4 mm

X

3. Deltoïde

4. De tous côtés

À partir du schéma suivant, essaie de déduire la formule permettant de calculer l’aire du deltoïde ABCD si on a les mesures des segments AN, AC et BD.

Trouve la mesure de tous les côtés des polygones suivants. a) Un carré ayant un périmètre de 24 cm. b) Un carré ayant une aire de 121 cm2.

A

c) Un trapèze ayant trois côtés isométriques, une grande base représentant 40 % de son périmètre et un périmètre de 40 cm.

C

d) Un cerf-volant ayant un périmètre de 40 dm et dont les grands côtés mesurent 150 % des petits. e) Un rectangle ayant une aire de 72 mm2 et une hauteur deux fois plus petite que la mesure de la base.

D

218

N

CHAPITRE 8

B

Une initiation aux polygones

5. C’est dans l’aire a) Trace deux figures A et B qui respectent les deux contraintes suivantes.

Tes figures n’ont pas à être à l’échelle, mais tu dois indiquer les mesures importantes.

Contrainte 1

La figure A et la figure B doivent avoir la même aire.

Contrainte 2

Le périmètre de la figure B doit être au moins deux fois plus grand que le périmètre de la figure A. b) Convaincs une ou un camarade que tes figures respectent les deux contraintes.

6. Triangles et parallélogramme Découpe deux triangles identiques dans une feuille de papier. a) Dispose tes triangles de façon à former un parallélogramme. b) Le parallélogramme et les triangles ont-ils : 1) la même base ? 2) la même hauteur ? c) Quelle est la relation permettant de calculer l’aire : 1) d’un triangle ? 2)

d’un parallélogramme ?

7. Attention !

«

Vérifie la conjecture suivante.

8. En partage

En doublant la longueur du côté d’un carré, on double aussi son aire.

Découpe un parallélogramme dans une feuille de papier. Découpe-le ensuite en deux et dispose les deux morceaux de façon à former un rectangle.

»

a) Quelle est l’aire du rectangle ainsi formé ? b) Quelle est l’aire du parallélogramme ? c) Formule une conclusion à la suite de cette expérience. Le périmètre et l’aire

SECTION 3

219

9. Des estimations

2 6

3 1

4

5

a) Nomme les pays qui sont numérotés. b) Sachant que la superficie de la France ( estime la superficie du pays : 1)

3

.

4)

4

.

2)

6

.

5)

5

.

3)

2

.

1

) est d’environ 550 000 km2, Vérifie tes réponses dans Internet ou dans une encyclopédie.

c) Quelle modification pourrais-tu apporter au quadrillage pour améliorer tes estimations ? d) Quelle est l’échelle approximative de cette carte ?

10. Pas de conclusions hâtives ! Trouve le périmètre et l’aire des polygones suivants. a) Un parallélogramme ayant des bases de 4 cm et 7 cm, et dont une des hauteurs est de 5 cm. b) Un losange ayant des diagonales isométriques et un côté de 14 cm. c) Un trapèze rectangle ayant les mesures de côtés suivantes : 60 mm, 60 mm, 70 mm et 96 mm.

220

CHAPITRE 8

Une initiation aux polygones

11. Des explications, s’il vous plaît ! Oui ou non ? Pourquoi ? a) Est-il toujours possible de trouver l’aire d’une figure si on connaît son périmètre ? b) Est-il toujours possible de calculer le périmètre d’une figure si on connaît son aire ? c) En photocopiant un losange, on a doublé les longueurs de ses côtés. Qu’est-il arrivé alors à : 1) la longueur de ses diagonales ? 2) son aire ? d) Si deux rectangles ont le même périmètre, ont-ils nécessairement la même aire ? e) Si deux carrés ont la même aire, ont-ils nécessairement le même périmètre ?

12. En long et en large

Lorsque c’est possible, donne plus d’une solution.

Quelles peuvent être les dimensions, en centimètres : a) d’un rectangle ayant une aire de 15 dm2 ? b) d’un triangle isocèle ayant un périmètre de 8 dam ? c) d’un rectangle ayant un périmètre de 212 m ? d) d’un carré ayant une aire de 3600 mm2 ?

13. Drôle de fleur La figure ci-contre se compose de triangles équilatéraux et d’un carré. Le périmètre de cette figure est de 84 cm. a) Quel est le périmètre : 1) de l’un des triangles équilatéraux ? 2) du carré ? b) Est-il possible de calculer l’aire de cette figure ? Si oui, quelle est-elle ? Sinon, pourquoi ?

Le périmètre et l’aire

SECTION 3

221

14. Fendre l’aire Voici un cerf-volant. a

a d

c

c

e b

15. « Juxte » à côté ! Deux triangles équilatéraux DEF et DFG, de 4 dm de côté, sont juxtaposés de façon à former un quadrilatère DEFG dont l’aire est de 13,84 dm2. a) Quelle est la longueur de EG ? Justifie ta réponse. b) Quelle est la hauteur du quadrilatère ?

b

a) Parmi les relations suivantes, laquelle permet de calculer l’aire du cerf-volant ?

1

2c  d  2c  e

3

2

c  (d  e)

dce 2

b) Sur quelle propriété doit-on se baser pour conclure que la relation trouvée en a) permet bien de calculer l’aire du cerf-volant ?

16. Ombrage La figure suivante est formée de deux carrés et de quatre triangles isocèles isométriques. L’aire des carrés est de 100 cm2 et de 64 cm2 respectivement.

Quelle est l’aire du quadrilatère ombré ? Décris chaque étape de ta démarche. 222

CHAPITRE 8

Une initiation aux polygones

17. À qui le beau bureau ? Nicole, Myrek, Étienne et Ève se choisissent des bureaux dans un nouvel édifice. Tout le monde est d’accord : Nicole prendra le bureau le plus spacieux et Myrek, le bureau le moins spacieux. Voici une reproduction à l’échelle des quatre bureaux.

1

2

3

4

a) Quel sera le bureau de : 1) Myrek ? 2) Nicole ? b) Compare ta démarche avec celles de tes camarades. Obtenez-vous tous le même résultat ?

18. Quatre élèves, quatre méthodes Quatre élèves se prononcent sur le périmètre et l’aire d’une bande de tissu de 1,5 m de longueur et de 6 cm de largeur, sans mentionner d’unités de mesure. Sébastien

Yasmine

Camille

Juan

Périmètre

312

15

31,2

3,12

Aire

900

9

9

0,09

Explique comment chaque élève a procédé.

Le périmètre et l’aire

SECTION 3

223

19. Un voyage inoubliable Pendant son voyage, Maryse a photographié des gens et des paysages. À son retour, elle fait un collage de photos sur un grand carton rectangulaire. Elle sépare le carton en 3 sections rectangulaires, comme dans l’illustration suivante. La section du titre a une aire de 900 cm2. Celle des paysages a une aire de 6300 cm2.

60 mm

e

Un voyage inoubliabl

Paysages

Personnes

90 cm

a) Quelle est l’aire de la section réservée aux photos de personnes ? b) Quel pourcentage de l’aire totale est réservé aux photos de paysages ? c) Décris chaque étape de ta démarche.

20. Un polygone musclé Certains muscles du corps humain ont des noms qui rappellent des polygones. C’est le cas du triceps, du quadriceps, du trapèze et du deltoïde. a) Localise ces muscles dans ton corps. b) Selon toi, pourquoi portent-ils ces noms ? c) Fais un croquis rapide de chacun d’eux. d) Selon toi, le quadrilatère qui s’appelle « trapèze » tire-t-il son nom du muscle, ou vice versa ? Justifie ta réponse.

224

CHAPITRE 8

Une initiation aux polygones

21. Il n’y a pas que les centimètres carrés a) Calcule l’aire des trois figures suivantes en utilisant le carré comme unité de mesure. 3)

1)

2)

unité

b) Calcule l’aire de ces figures en utilisant le triangle comme unité de mesure.

3)

1) 2)

22. Complexe rectangulaire Quelle est l’aire du rectangle ayant :

unité

a) un périmètre de 60 cm et une base deux fois plus grande que sa hauteur ? b) un périmètre de 51 cm et une hauteur égale au tiers de son périmètre ?

23. Le troisième triangle Dans le rectangle ABCD, l’aire du triangle ABK est de 24 unités carrées et celle du triangle BCK, 13 unités carrées. Quelle est l’aire du triangle AKD ? Justifie ta réponse.

B

A

D

K

c) un périmètre égal au quadruple de sa base et une hauteur de 5 cm ?

C

Le périmètre et l’aire

SECTION 3

225

24. Combinaisons de polygones Quel est le périmètre : a) d’un losange formé de deux triangles équilatéraux de 12 cm de périmètre chacun ? b) d’un carré formé de deux rectangles de 18 cm de périmètre chacun ? c) de l’hexagone suivant, formé d’un rectangle et d’un carré ? J’ai pu déduire les données « manquantes ».

6 cm

15 cm

d) de cet octogone, formé de trois rectangles isométriques ?

8 cm

10 cm

25. « Maxi l’aire » Les points A, E et D se trouvent sur un segment parallèle à BC. Des trois triangles ABC, BCE et CDB, lequel a la plus grande aire ? Explique ta réponse. D E A

C B

226

CHAPITRE 8

Une initiation aux polygones

26. Trompe-l’œil Les deux bandes suivantes sont formées de parallélogrammes. Indique celle qui a la plus grande aire. Explique pourquoi.

1 2 cm

27. Mon étoile ! 2

a) Trace deux quadrilatères dont tous les côtés mesurent 5 cm, mais qui n’ont pas la même aire.

2 cm

11 cm

b) Recommence le travail demandé en a), mais avec des octogones. c) Pourrais-tu faire ce travail pour n’importe quel type de polygone ? Explique ta réponse.

28. Base fois hauteur divisé par deux Compare les aires du triangle ABC, du rectangle ABDE et du parallélogramme ABFG. C

E

D

A

B

G

F

29. Défense d’afficher Sur un panneau de 4 m de large et de 1 m de haut, Gaëlle souhaite punaiser : •

deux affiches de 40 cm de large et de 60 cm de haut ;

•

deux affiches de 80 cm de large et de 40 cm de haut ;

•

deux affiches de 1 m de large et de 40 cm de haut ;

•

quatre affiches de 60 cm de large et de 20 cm de haut ;

•

une affiche de 80 cm de large et de 30 cm de haut ;

•

une affiche de 60 cm de large et de 1 m de haut.

Propose-lui le croquis d’une disposition possible de ces affiches.

Le périmètre et l’aire

SECTION 3

227

30. Établir des relations Dans la figure suivante, le point D se trouve au centre de AC. La figure n’est pas nécessairement à l’échelle. En plus des quatre mesures d’angles (deux angles droits et deux angles aigus) indiquées sur la figure, voici la mesure de trois segments : •

m AB  50 mm ;

•

m BD  30 mm ;

•

m DC  40 mm.

C

D

53° 37° A

B

a) Quelle est la mesure de  BCE ? Explique ta réponse. b) Quelle est la mesure, en millimètres, de CE ? Explique ta réponse.

31. Ah, la construction ! Johnny a obtenu le contrat de pose de plancher de bois franc dans les 10 copropriétés identiques d’un nouveau secteur résidentiel. Johnny doit poser du bois franc dans les pièces marquées d’un X sur ce plan. 6m

1m

2m

5m 1m 4m 12 m

Les lattes de bois franc à poser mesurent 10 cm sur 60 cm. a) Combien de lattes commandera-t-il s’il en prévoit toujours 10 % de plus (pour les pertes) ? b) Si ce type de latte coûte 45 $ le mètre carré : 1) combien coûte une seule latte ? 2) combien la commande de Johnny coûtera-t-elle ? 228

CHAPITRE 8

Une initiation aux polygones

E

32. D’une hauteur à l’autre Voici le losange RSTU de 4 cm de côté. La hauteur SA mesure 3,3 cm et la grande diagonale RT, 6 cm.

S

T

B

a) Quelle est la mesure de la hauteur SB ? Explique ta réponse. R

b) Quelle est la mesure de SU ? Explique ta réponse.

A

U

33. La relation idéale Vrai ou faux ? Explique tes réponses. a) Acarré  D  d 2

34. Selon Marco

b) Arectangle  (B  b)  h

Marco dit que la relation suivante permet de déterminer l’aire d’un trapèze. Ce trapèze a une petite base mesurant b cm, une grande base mesurant B cm et une hauteur mesurant h cm.

c) Aparallélogramme  (B  b)  h

2

2

A  (B  b)  h  (b  h) 2

A-t-il raison ? Explique ta réponse.

35. À chacun sa façon Voici comment Eugénie a procédé pour calculer l’aire d’un carré.

Premièrement, je partage le carré en triangles à partir du centre, comme ceci. Je calcule ensuite l’aire d’un triangle et je la multiplie par 4.

a) Vérifie la méthode d’Eugénie avec un carré de 4 cm de côté. b) Eugénie peut-elle procéder ainsi pour calculer : 1) l’aire d’un losange ? Explique ta réponse. 2) l’aire d’un rectangle ? Explique ta réponse.

Le périmètre et l’aire

SECTION 3

229

36. La vie en blanc Stéphanie a finalement convaincu ses parents que le rose, dans sa chambre, ne lui convenait plus très bien. Elle va tout repeindre en blanc. La peinture se vend dans un contenant de 4 L qui coûte 20 $ ou dans un contenant de 1 L qui coûte 8 $. Un contenant de 1 L de peinture couvre environ 10 m2.

80 cm 2,4 m

80 cm

80 cm

2m

3,8 m

3,5 m

a) Combien de litres Stéphanie doit-elle prévoir si elle veut appliquer deux couches de peinture dans cette chambre (murs et plafond) ? b) Combien coûtera ce projet si, en plus de la peinture, Stéphanie doit acheter 25 $ de matériel ?

230

CHAPITRE 8

Une initiation aux polygones

Les habiletés que tu as développées pour calculer l’aire de triangles et de quadrilatères te seront utiles dès l’an prochain pour calculer l’aire de figures plus complexes. Le principe selon lequel on calcule l’aire d’une figure en la partageant en triangles s’applique aussi aux polygones réguliers.

Hexagone régulier

« «

Partage en six triangles isométriques

Réaménagement des triangles en parallélogramme

a) Commente les énoncés suivants. 1)

2)

»

La base du parallélogramme mesure la moitié du périmètre de l’hexagone régulier.

»

L’aire de l’hexagone régulier est la même que celle du parallélogramme.

Évidemment, pour calculer l’aire de l’hexagone, il aurait aussi été possible de calculer l’aire d’un triangle et de la multiplier par six. Le réaménagement en parallélogramme ou en rectangle nous permet cependant de comprendre une des façons de calculer l’aire d’un disque.

Pour réchauffer les pointes, je dispose d’une plaque rectangulaire.

b) Crois-tu qu’un disque peut être réaménagé en rectangle ? Explique ta réponse.

La multiplication et la division En temps de fractions et lieu

CHAPITRE SECTION 8 5

231

Tiens, ça me donne une idée pour l’activité 30 de la page 228.

1. Le vertige Voici un triangle ABC avec ses trois hauteurs. A • m AB  10 cm. • m BC  13 cm. E

m CA  11 cm. • m AD  8,2 cm. •

C

F

B

D

Détermine les mesures de BE et de CF.

2. C’est un « pensez-y bien » !

«

Commente l’énoncé suivant.

»

La différence entre l’aire et le périmètre d’un carré est nulle lorsque le côté du carré mesure 4 unités.

3. Aussitôt dit, aussitôt fait ! Comment partager un parallélogramme en quatre parties de même aire ?

C’est facile. Je trace les diagonales et le tour est joué ! J’obtiens quatre triangles de même aire.

Jean-François a-t-il raison ? Si oui, explique pourquoi. Sinon, donne ta propre réponse.

232

CHAPITRE 8

Une initiation aux polygones

4. Être ou ne pas être un parallélogramme ? Dans la figure ADCB, BD mesure 8 cm.

A

m AB  m AD

80°

m CB  m CD B

D

48°

S’agit-il d’un parallélogramme ? Explique ton raisonnement.

C

5. Sur un carré G

A

ABCD est un carré.

D

E, F, G et H sont les points milieux des côtés du carré. Q R

a) Reproduis la figure. Utilise seulement ton compas et une règle non graduée.

P

H

b) Compose quelques questions sur les relations entre les angles et les relations entre les côtés qu’on peut observer dans cette figure.

F S

U

Soumets tes questions à tes camarades, comme devoir à faire.

T

B

E

C

6. Figure mystère Le triangle ACD est isocèle.

B

A

m DA  m DC DM est la hauteur du triangle ACD.

M

C

D

En te basant sur les renseignements donnés ci-dessus, classifie le quadrilatère ADCB. Justifie ta réponse.

Bric à maths

CHAPITRE 8

233

7. À sa juste valeur Déduis la mesure de tous les angles identifiés par un x dans chacune des figures suivantes. Explique tes réponses. a) m  a  47o

d) SP et UQ sont deux hauteurs du triangle STU. U

A

m  w  30o m  e  70o

a

B

w

P x

x

e

R

T

Q

C S

e) Le triangle BEC est isocèle de sommet E. ABCD est un parallélogramme.

b) m  k  37o m TP  m TQ

P

m  f  94o m ED = m EC

x B

E

R

x k

A

f

D

T

Q C

f ) Le triangle ABC est rectangle en A.

c) EFGH est un parallélogramme.

AH est une médiane. m AB  m AC

m  p  58o E

B x

H

H C

x

F p G A

234

CHAPITRE 8

Une initiation aux polygones

8. Un hexagone et des diagonales Voici un hexagone régulier dans lequel sont tracées quelques diagonales. a) Identifie quatre trapèzes isocèles. Pourquoi sont-ils isocèles ? b) Identifie trois triangles équilatéraux. Pourquoi sont-ils équilatéraux ?

A

F

c) Identifie trois losanges. Pourquoi sont-ils des losanges ?

C

P

E

Pense aux angles !

B

D

d) Est-ce que le triangle AEC est équilatéral ? Pourquoi ?

9. Cent mille milliards de poèmes Raymond Queneau est un écrivain français dont l’œuvre est assez particulière. Il a par exemple raconté la même histoire de 99 façons différentes dans son livre intitulé Exercices de style. Marco rêve de recopier les histoires sur 99 feuilles mobiles (8 1 pouces sur 11 pouces) et d’en tapisser un mur de sa 2 chambre. Son mur mesure 2,4 m de hauteur sur 3,1 m de largeur. Aurait-il assez de 99 feuilles pour couvrir complètement son mur ou, au contraire, en aurait-il de trop ?

Bric à maths

CHAPITRE 8

235

10. Anatole Girouette Anatole Girouette possède un terrain de la forme suivante.

Ça va m’aider de tracer la figure sur une feuille de papier quadrillé.

Il veut diviser son terrain en quatre parcelles isométriques. Aide-le. Reproduis la figure, puis dessine le contour des quatre parcelles.

11. La somme ne glisse pas Voici le quadrilatère que Marcel a tracé avec un logiciel de géométrie dynamique. B

A 109°

117°

73°

C

61° D

a) Marcel prétend que s’il fait glisser le sommet D de son quadrilatère vers un autre point du plan, la mesure de l’angle B ne changera pas. Qu’en penses-tu ? Explique ta réponse. b) Comment pourrait-il faire glisser le sommet A pour faire diminuer la mesure de l’angle D de son quadrilatère ? c) Indique dans quelle direction il a fait glisser le sommet B, si les mesures d’angles sont devenues les suivantes. • m  A  105° • m  B  58° • m  C  137° • m  D  61° 236

CHAPITRE 8

Une initiation aux polygones

12. ISO 9001 Est-il vrai qu’en reliant les trois points milieux des côtés d’un triangle, on détermine quatre triangles isométriques ?

Triangles isométriques : Triangles qui ont les mêmes mesures.

13. Histoires de figures Vrai ou faux ? Pourquoi ? a) N’importe quelle bissectrice d’un triangle isocèle le partage en deux triangles isométriques. b) Chaque médiane d’un triangle équilatéral le partage en deux triangles isométriques. c) Si l’on trace une diagonale d’un parallélogramme, on le divise alors en deux triangles isométriques.

14. Entre quatre murs Roxanne est bien embêtée, car sa vache Marguerite ne s’entend pas avec les autres vaches du troupeau. Pour isoler Marguerite, Roxanne a clôturé au milieu de son pré carré un espace dans lequel l’animal peut brouter.

25 m 100 m

50 m

a) Quelle est l’aire du pré de Roxanne ? b) De quelle aire Marguerite dispose-t-elle pour brouter ? c) Compare tes réponses avec celles de tes camarades.

Bric à maths

CHAPITRE 8

237

15. Donnée inutile ? Ça dépend de la question. Calcule le périmètre et l’aire des polygones suivants. a) Trapèze isocèle dont la hauteur est de 3 cm 12 cm

c) Losange dont les diagonales sont de 12 cm et 3,5 cm

5 cm

6,25 cm

4 cm

b) Parallélogramme dont la hauteur est de 2,5 cm

16. Intérieur et extérieur

3 cm

Dans un octogone régulier, quelle est la mesure d’un angle : a) intérieur ? b) extérieur ?

5 cm

17. Progression Tous les polygones réguliers suivants ont le même périmètre.

a) Quel polygone a les plus grands côtés ? b) Quel polygone a les plus petits angles intérieurs ? c) Quel polygone a la plus grande aire ? d) Si tu devais convaincre quelqu’un que ta réponse en c) est exacte, comment t’y prendrais-tu ? e) À quoi ressemblerait le terrain ayant la plus grande aire possible si son périmètre est de 72 m ? f ) Compare ta réponse à la question e) avec celle de tes camarades.

18. Réaction en chaîne

«

Commente l’énoncé suivant.

»

Dans un triangle équilatéral, les médianes sont des bissectrices, les bissectrices sont des médiatrices et les médiatrices sont des hauteurs, et vice versa !

238

CHAPITRE 8

Une initiation aux polygones

19. Parc au mètre Pour diriger son troupeau de bovins d’un parc à bestiaux vers l’autre, Mme Letendre a mis au point un assemblage de trois portes battantes. Les portes peuvent se rabattre tantôt dans un sens, tantôt dans l’autre. Ainsi, elles ouvrent et ferment, en alternance, l’accès aux différents parcs A, B et C. Les ouvertures mesurent respectivement 8 m, 10 m et 4 m de large.

A

8m

4m

C

10 m

B

a) Quelles longueurs minimales Mme Letendre a-t-elle dû donner à ses portes ?

Tu peux utiliser un compas.

b) Compare tes réponses avec celles de tes camarades.

20. Au sommet a) Trace un carré. b) Trace deux droites passant chacune par l’un des sommets de ton carré. Elles doivent diviser le carré en trois parties ayant la même aire. c) Convaincs une ou un camarade que ton carré est bel et bien divisé en 3.

Bric à maths

CHAPITRE 8

239

21. Ouvrir l’œil Faites l’activité 21 en équipe de deux.

Dans le schéma suivant, les points A, B, C et D sont des sommets de deux cubes isométriques, placés côte à côte. A B

D C

a) Construis un modèle avec du papier ou du carton. b) Classifie le quadrilatère ABCD.

22. En maths, on organise Dans le chapitre 1, tu as organisé les différents types de nombres.

Essaie maintenant d’organiser les différents types de quadrilatères. Parallélogrammes

Losanges

Rectangles

Cerfs-volants

240

CHAPITRE 8

Une initiation aux polygones

Carrés

Trapèzes

Deltoïdes

Quelconques

Situation 1 Le chapitre 6 t’a sans doute permis de constater que certaines mesures sont toujours exprimées selon le système anglo-saxon. Notre façon d’exprimer la dimension d’un écran de télévision ou d’un moniteur d’ordinateur constitue un bon exemple de cette situation.

a) Au fait, lorsqu’on parle d’un écran « 17 pouces », à quelle dimension de l’écran fait-on référence ? Pourquoi est-ce ainsi, selon toi ? b) Voici deux schémas qui représentent des écrans « 17 pouces ». Quel écran est le plus pratique ? Pourquoi ?

c) Un écran de télévision « 24 pouces » est-il deux fois plus grand qu’un écran « 12 pouces » ? Explique ta réponse. d) Selon toi, quelle mesure d’un écran serait plus appropriée pour avoir une meilleure idée de sa taille réelle ? Explique ta réponse.

Dans la vie

CHAPITRE 8

241

Situation 2 Dès qu’ils empruntent un boulevard ou une autoroute, les automobilistes peuvent observer sur la chaussée des lignes blanches qui rappellent la forme d’un rectangle. Ces lignes ont une largeur moyenne de 120 mm et il faut un litre de peinture pour en tracer 5,6 mètres carrés. a) Combien faut-il de litres de peinture pour tracer une ligne blanche continue sur l’autoroute 20, entre Montréal et Québec ? Estime d’abord un résultat, puis calcule-le le plus précisément possible. b) À combien estimes-tu le coût d’une telle ligne : 1) en matériaux ? 2) en main-d’œuvre ?

Question de

culture

LE MARQUAGE DE LA CHAUSSÉE Le marquage de la chaussée est un moyen efficace pour faciliter la circulation routière et accroître la sécurité. Toutefois, savais-tu que ces simples marques de peinture font l’objet d’études de la part d’un grand nombre de spécialistes : chimistes, économistes, environnementalistes, statisticiens ? Au Québec, depuis plusieurs années, le marquage de la chaussée s’effectue avec de la peinture alkyde. Or, ce type de peinture contient des produits pétroliers volatils et contribue ainsi à l’augmentation de l’effet de serre. De plus, puisqu’il s’agit d’un produit peu durable, il faut refaire le marquage tous les ans et même deux fois par année à certains endroits. Par souci d’efficacité et de préservation de l’environnement, le ministère des Transports fait donc des recherches depuis plusieurs années en vue de trouver des produits de remplacement.

242

CHAPITRE 8

Une initiation aux polygones

Organiser ses connaissances,

escale

ce n’est pas toujours facile, mais c’est important. La dernière pour cette année !

Ça y est, te voilà à la dernière escale ! Maintenant que tu as complété sept escales, tu sais comment t’y prendre pour organiser tes connaissances. Pour parvenir à réaliser ce travail d’organisation et de synthèse, tu préfères sans doute certaines méthodes à d’autres, que ce soit des tableaux, des exemples, de courts textes, des schémas, etc. Utilise la méthode qui te semble la plus appropriée pour faire le point sur le chapitre 8.

Faire le point Voici donc les notions essentielles présentées dans ce chapitre. Elles t’aideront à résumer le chapitre à ta manière. N’oublie pas que tu peux toujours en ajouter.

exploration Relis ta description d’une des œuvres de Kandinsky de l’exploration. Utiliserais-tu toujours le même vocabulaire si tu avais à recommencer ?

•

Un polygone ne contient pas de lignes courbes.

•

La somme des mesures des angles intérieurs d’un triangle est de 180°.

•

La somme des mesures des angles extérieurs de n’importe quel polygone est de 360°.

•

On classifie les triangles selon deux critères distincts.

•

Certaines droites (d’un triangle) sont remarquables : la bissectrice, la médiane, la médiatrice et la hauteur.

•

On classifie les quadrilatères selon plusieurs critères, dont le parallélisme des côtés et la présence de côtés isométriques.

•

Si on connaît l’aire d’une figure, on ne connaît pas nécessairement son périmètre.

•

Si on connaît le périmètre d’une figure, on ne connaît pas nécessairement son aire.

•

Si le périmètre d’un carré double, alors son aire quadruple.

Escale

CHAPITRE 8

243

À vos pinceaux ! Peut-être as-tu déjà entendu quelqu’un dire, au sujet d’une œuvre d’art : « N’importe qui serait capable de faire ça ! » Que penses-tu de ce genre de remarque ? À toi maintenant de jouer les artistes. Crée une œuvre qui contient plusieurs figures géométriques parmi celles que tu as étudiées dans les chapitres 7 et 8 ou toute autre figure que tu connais. Tu peux t’inspirer des œuvres de Kandinsky ou d’Escher. Une fois réalisée, présente ton œuvre à ta classe. N’oublie pas de lui donner un titre. Les plus belles œuvres de la classe pourront faire l’objet d’une exposition. Y a-t-il un Kandinsky ou un Escher dans la classe ?

Activité d’intégration Cette année, tu as eu le mandat de faire le point sur chacun des chapitres des manuels A et B. Tu as sans doute fait des progrès au fil du temps et tes résumés des chapitres 7 et 8 sont probablement mieux organisés que ceux des premiers chapitres. Ces résumés te seront utiles pour faire le point sur les apprentissages que tu as réalisés tout au cours de l’année. D’ailleurs, les nouvelles notions mathématiques traitées l’an prochain seront abordées à partir de ce que tu connais déjà. Avant de partir en vacances, il est nécessaire de faire une synthèse de l’année scolaire qui s’achève. 1. Relis tous tes résumés et relève, pour chacun des chapitres, une ou deux notions que tu juges essentielles. Tu peux fournir des exemples de certaines notions, si tu le juges nécessaire. Utilise une feuille distincte pour chaque chapitre de façon à faciliter la réalisation du travail d’équipe qui suivra. 2. Formez huit équipes dans la classe, soit une équipe par chapitre. Chaque équipe doit rédiger une page de résumé du chapitre à partir des notions relevées par tous les élèves de la classe. Vous pouvez fournir des exemples pour certaines notions si vous le jugez utile, mais vous ne devez pas dépasser une page de résumé par chapitre. Utilisez les manuels en guise de référence. 3. À partir des résumés faits par chacune des équipes, constituez un aide-mémoire. Conservez précieusement votre aide-mémoire. Il vous sera utile pour aborder la prochaine année scolaire.

Bon été ! 244

CHAPITRE 8

Une initiation aux polygones

Cerf-volant

Carré

Losange Rectangle ers

Plan des ateli

Trapèze isocèle

. . . 246 .............. . . . . . . . . . . . . . ....... 249 Introduction . .............. . . . . . . . . . . . oint milieu . . . . . 253 Atelier 1 – Le p ire . . . . . . . . . . la u ic d n e rp e p roite 257 Atelier 2 – La d .............. . le g n a n ’u d ssectrice 61 Atelier 3 – La bi ........... 2 . . . . . . . . . . . roite parallèle 267 Atelier 4 – La d ............. le g n a n ’u d n o producti Atelier 5 – La re iatrice 271 édiane, la méd m a L – 6 ............ r . lie . . te . . A . . . . . . . . .. et la hauteur 245

Introduction L’exploration des objets géométriques et de certaines relations entre ces objets amorcée dans les chapitres précédents se poursuit avec les ateliers de construction. Ces ateliers t’invitent à enrichir la représentation que tu te fais de ces relations en te permettant de réaliser des constructions géométriques. Ce faisant, les définitions de ces relations deviendront plus concrètes et plus significatives à tes yeux et tu pourras ainsi mieux en saisir la portée. Évidemment, tu as déjà représenté des objets géométriques au primaire. Il s’agit maintenant de le faire en te limitant à un instrument de géométrie en particulier. Voici par exemple plusieurs façons de représenter un angle droit.

1

À main levée

3

Avec un compas

2

Avec une équerre

4

Avec un logiciel de géométrie

A

Parmi ces représentations d’un angle droit, laquelle provient d’une mesure ?

B

Selon toi, quelle représentation pourrait-on qualifier de « construction » ?

aaaction! 1. Trouve une autre méthode pour tracer un angle droit. 2. Parmi les méthodes a) la plus précise ?

1

à

4

et celle que tu as trouvée, laquelle est : b) la moins précise ?

3. Trouve des arguments pour convaincre tes camarades que tes réponses à la question 2 sont correctes.

246

Ateliers de construction

Dans ces ateliers de construction, on considère que la représentation d’un objet géométrique ou d’une relation entre deux objets géométriques est appelée construction lorsqu’elle résulte de l’utilisation exclusive d’un compas et d’une règle non graduée.

C

Décris la région d’herbe que peut brouter une chèvre attachée à un pieu, au milieu d’un grand terrain.

D

Décris un outil rudimentaire qui pourrait servir à tracer un cercle sur un terrain vague.

E

«

Attenti n Si tu n’as pas de règle non graduée, tu n’as qu’à utiliser une règle graduée sans tenir compte des graduations.

Commente l’énoncé suivant.

»

On trace un cercle en reportant une même distance autour d’un point.

Les ateliers qui suivent te permettront de te familiariser avec l’utilisation du compas. Pour l’utiliser de façon adéquate, on doit respecter quelques règles de base.

Le compas sert notamment à reporter plusieurs fois une même longueur (ou distance) sans avoir à la mesurer chaque fois. Il permet également de tracer ou de repérer dans un plan des points situés à la même distance d’un autre point du plan. La distance entre les points correspond à la distance entre les deux pointes du compas (l’ouverture du compas). Dans la plupart des constructions, il faut placer la pointe sèche du compas sur un point existant, par exemple à l’intersection de deux droites ou d’une droite et d’un arc. Au besoin, on peut nommer un point avant d’y placer la pointe sèche du compas.

Attenti n Souvent, une même ouverture du compas est requise pour effectuer plusieurs étapes d’une construction. Prends donc l’habitude de ne pas refermer le compas ou de ne pas changer son ouverture chaque fois.

ouverture du compas

pointe sèche

INTRODUCTION

247

Question

Moi, je fais la quadrature du cercle avec un marteau !

de

culture

DES CONSTRUCTIONS IMPOSSIBLES Euclide et d’autres mathématiciens de son époque croyaient qu’il était possible de réaliser n’importe quelle construction géométrique en se servant seulement d’un compas et d’une règle non graduée. Au fil du temps, on a prouvé que certaines constructions sont impossibles à réaliser de cette manière. Parmi les constructions impossibles, les trois suivantes sont les plus connues. La quadrature du cercle : construire un carré ayant la même aire qu’un cercle donné. La duplication du cube : construire le côté d’un cube dont le volume serait le double de celui d’un cube donné. La trisection d’un angle : construire un angle qui mesure le tiers de n’importe quel angle donné. Même s’il a été établi, il y a des centaines d’années, que ces constructions sont impossibles, beaucoup de gens tentent toujours de les réaliser.

aaaction! 1. Reproduis le plan ci-dessous. Essaie de déterminer les zones qui pourraient accueillir un bâtiment industriel s’il doit se trouver à plus de 500 m d’une route ou d’une maison. Utilise seulement un compas. maison

maison

route

Attenti n

maison

Dans tous les ateliers de construction, n’oublie pas que le verbe construire implique l’utilisation exclusive du compas et de la règle non graduée.

route maison maison

500 m

2. Compare tes résultats avec ceux de tes camarades.

248

Ateliers de construction

telier

1

Le point milieu Avant d’explorer les constructions plus complexes présentées dans les ateliers suivants, cet atelier te propose de te familiariser avec l’utilisation du compas pour déterminer l’emplacement du point milieu d’un segment.

Attenti n Contrairement aux définitions présentées aux chapitres 7 et 8, celles qu’on te propose dans les ateliers de construction font référence à la notion de distance. Ce type de définition permet de comprendre, en quelque sorte, comment il est possible d’utiliser un compas pour construire les relations en jeu.

Point milieu d’un segment : Point d’un segment situé à égale distance des extrémités de ce segment.

Souvent, on a besoin de déterminer l’emplacement du point milieu pour réaliser d’autres constructions.

A

Trace un segment AB.

B

Sans effectuer de mesure, trace un cercle qui passe par A et par B.

C

Toujours sans mesurer, trace un autre cercle passant par A et par B.

D

En tout, combien de cercles différents passent par A et B ?

aaaction! 1. Trace un segment. Essaie de trouver le point milieu en utilisant seulement un compas et une règle non graduée. 2. Si tu as réussi, explique à quelqu’un comment tu as procédé. Si tu n’as pas réussi, demande à quelqu’un de t’expliquer sa démarche.

Le point milieu

ATELIER 1

249

Pour déterminer l’emplacement du point milieu d’un segment, on peut procéder de la façon suivante, en trois étapes.

1

2

C

B

B

A

A D

3

C M

B

A D

On a déterminé le point M, point milieu du segment AB, par construction.

E

Est-ce que l’ouverture du compas doit demeurer la même tout au long de cette construction ? Pourquoi ?

F

Est-ce que n’importe quelle ouverture du compas fait l’affaire ? Pourquoi ?

G

Comment classifies-tu l’angle CMB ? Explique ta réponse.

H

Dans la figure ci-dessous, comment s’appelle le quadrilatère ACBD ? Explique ta réponse. C M

B

A D

I

«

Commente l’affirmation suivante.

aaaction! Détermine l’emplacement du point milieu d’un segment et demande à une ou à un camarade de vérifier ton travail en utilisant une autre ouverture de compas.

250

Ateliers de construction

»

Dans la figure ci-dessus, le point C est à égale distance des points A et B.

activites

1. Un compas trop bien huilé Jean-Simon se rappelle que l’ouverture du compas n’a pas d’importance quand il s’agit de trouver le point milieu M d’un segment AB. Son travail, par contre, laisse croire qu’il a oublié une partie de la règle.

A

M B

a) Quelles précisions peux-tu apporter à la règle qui énonce que « l’ouverture du compas n’a pas d’importance » ? b) Quelle construction la méthode de Jean-Simon permet-elle toutefois de réaliser ?

2. Invraisemblable a) Trace un quadrilatère de ton choix. b) Détermine l’emplacement du point milieu de chacun de ses côtés. c) Relie les points milieux entre eux. d) Quel type de quadrilatère obtiens-tu ?

3. D’autres fractions a) Trace un segment. Divise-le en quatre parties égales en utilisant seulement un compas et une règle non graduée.

e) Tes camarades ont-ils obtenu le même résultat que toi ? Est-ce que c’est toujours le cas ? Comment le vérifier ?

b) Pourrais-tu diviser un segment en huit parties égales ? Comment ?

4. Trois méthodes, un milieu

5. En d’autres mots

a) Trouve le « milieu » d’une feuille : 1) en pliant la feuille ; 2) avec une règle graduée ; 3) avec un compas et une règle non graduée.

Construis deux segments isométriques.

b) Selon toi, quelle méthode est la plus précise ? Explique ton raisonnement.

Isométriques : Qui ont la même mesure.

Le point milieu

ATELIER 1

251

6. Une histoire de famille Sollicite la participation d’une ou d’un membre de ta famille qui ne sait pas comment déterminer l’emplacement du point milieu d’un segment à l’aide d’un compas et d’une règle non graduée. Demande-lui d’essayer de le faire. Si elle ou il ne réussit pas, explique-lui comment procéder.

7. En morceaux a) Trace un rectangle de 12 cm sur 6 cm à l’aide d’une règle graduée. b) À l’aide d’un compas et d’une règle non graduée, partage-le en huit parties égales. c) Combien y a-t-il de façons différentes de partager le rectangle en b) ?

8. Détecteur de mensonges a) Avec ta règle graduée, trace deux segments mesurant 10 cm chacun. Toujours avec ta règle, place un point situé à 5 cm d’une extrémité d’un segment. Sur l’autre segment, place un point situé à 4,9 cm de l’une des extrémités. b) Demande à une ou à un camarade de déterminer, à l’aide de son compas et d’une règle non graduée, lequel des deux points est le « vrai » point milieu.

9. Conjecture visuelle Sébastien aime se compliquer la vie. Voici comment il a déterminé l’emplacement du point milieu M d’un segment AB. Les cercles qui semblent isométriques le sont.

A M

B

Selon toi, est-ce que sa méthode fonctionnera à tout coup ? Justifie ta réponse.

252

Ateliers de construction

telier

2

La droite perpendiculaire Dans l’atelier 1, tu as sans doute remarqué que le fait de déter miner l’emplacement du point milieu d’un segment à l’aide d’un compas implique la construction d’une droite perpendiculaire à ce segment.

aaaction!

Droite perpendiculaire à une autre droite ou à un segment : Droite dont tous les points sont à égale distance de deux points déterminés sur la droite ou sur le segment.

1. Trace une droite et nomme-la AB. Essaie de construire une droite perpendiculaire à AB. 2. Si tu as réussi, explique à quelqu’un comment tu as procédé. Si tu n’as pas réussi, demande à quelqu’un de t’expliquer sa démarche.

Pour construire une droite perpendiculaire à une autre droite ou à un segment, il faut d’abord déterminer deux points sur la droite ou le segment.

À partir d’un point P, il est facile, à l’aide d’un compas, de déterminer deux points situés à la même distance, sur une droite. En voici deux exemples. Le point P est sur la droite.

Le point P n’est pas sur la droite.

P A

P B

d

d

A

B

A

Le point P est-il à la même distance du point A et du point B ? Pourquoi ?

B

Dans les exemples ci-dessus, comment peux-tu t’assurer qu’une droite perpendiculaire passera par le point P ?

La droite perpendiculaire

ATELIER 2

253

La construction d’une droite perpendiculaire (à une droite d) passant par un point P comporte en fait trois étapes.

1

À partir du point P, déterminer deux points A et B sur la droite d.

2

À partir des points A et B, tracer des arcs de cercle qui se coupent sans changer l’ouverture du compas.

P

P

A

d

B

A

B

d

REMARQUE

Quand il n’y a pas de point P, on en place un n’importe où.

3

R

Relier les points d’intersection des arcs de cercle.

Il sera utile de savoir construire des perpendiculaires pour effectuer des réflexions.

P

A

B

PR est perpendiculaire à AB, par construction.

d

R

aaaction! 1. Reproduis les schémas suivants et effectue les constructions demandées. a) Une droite perpendiculaire à la droite d passant par le point F. d F

b) Une droite perpendiculaire à la droite d passant par le point A. A

B

C

d

2. Comment s’appelle la droite perpendiculaire construite en b) par rapport au triangle ABC ? 254

Ateliers de construction

2. À l’œil

Reproduis les trois schémas ci-dessous, puis effectue les constructions demandées.

a) Selon toi, les droites suivantes sont-elles perpendiculaires ?

a) Construis une droite perpendiculaire au segment AB passant par le point P. P

activites

1. Trois fois P

1

A B

b) Construis une droite perpendiculaire à la droite d passant par le point P.

2

P

d

c) Construis trois droites passant par le point P. Chaque droite doit être perpendiculaire à un des côtés du triangle.

b) Calque ces droites et vérifie ta réponse en a). Utilise seulement un compas. c) Pourquoi est-il important d’indiquer les angles droits dans les figures géométriques ?

E P D

F

3. Pléthore de perpendiculaires a) Construis une droite perpendiculaire à BE : 1) qui passe par le point A ; 2) qui passe par le point E ; 3) qui passe par le point C ; 4) qui ne passe par aucun des cinq points.

Reproduis ce schéma. D

A E B C

b) Quelle relation vois-tu entre les quatre droites que tu as construites ? c) Formule une conjecture qui résume ta réponse en b).

La droite perpendiculaire

ATELIER 2

255

4. Plusieurs noms

5. Subito presto

a) Trace un triangle ABC.

Coralie a trouvé une façon très rapide de construire une droite perpendiculaire à une autre droite.

b) Construis une droite perpendiculaire à AB passant par le point milieu du côté AB. c) Ta droite perpendiculaire est la bissectrice d’un angle. De quel angle s’agit-il ? Après la question c), je suis à plat !

Elle trace deux points sur une droite (n’importe où). À partir de ces points, elle trace deux arcs de cercle qui se coupent en deux endroits. (Elle peut même changer l’ouverture du compas avant de tracer le deuxième arc.) Elle relie les points d’intersection des deux arcs et le tour est joué. a) Essaie la méthode de Coralie. b) Selon toi, la méthode de Coralie est-elle acceptable ? Explique ta réponse.

6. Au compas Reproduis cette figure en utilisant seulement un compas et une règle non graduée. Dans cette figure, tous les angles qui semblent droits le sont.

7. Changement de propriétés Le triangle ABC est scalène.

Demande à une ou à un camarade d’évaluer ta reproduction et évalue la sienne.

A B

C

8. Au plus simple Quelles conditions doit-on imposer aux deux cercles pour que le triangle soit :

a) Place un point n’importe où sur une feuille et nomme-le A. Construis le rectangle ABCD.

a) isocèle ?

b) Compare ta construction avec celle d’une ou d’un camarade. Laquelle préférez-vous ? Pourquoi ?

b) équilatéral ?

256

Ateliers de construction

telier

3

La bissectrice d’un angle Les constructions des deux premiers ateliers te seront utiles pour réaliser une nouvelle construction à l’aide de ton compas : la bissectrice d’un angle.

Bissectrice d’un angle : Droite dont chacun des points est à égale distance des côtés de l’angle.

aaaction! 1. Avec un rapporteur d’angle, trace des angles de 54°, 132°, 180° et 207°. 2. À main levée, trace la bissectrice de deux de ces angles. 3. Essaie de construire la bissectrice des deux autres angles en utilisant ton compas et une règle non graduée. 4. Si tu as réussi, explique à quelqu’un comment tu as procédé. Si tu n’as pas réussi, demande à quelqu’un de t’expliquer sa démarche.

Le travail consistant à construire la bissectrice d’un angle est relativement simple si on prête une attention particulière aux caractéristiques des points qui forment les arcs de cercle tracés avec le compas. Voici un angle POH traversé par un arc de cercle de centre O.

P

H

O A

Pourquoi les points H et P sont-ils nécessairement situés à la même distance du point O ?

B

Comment peut-on déterminer un ensemble de points situés à égale distance : 1) du point H ? 2) du point P ?

C

Un point situé à égale distance du point H et du point P est-il nécessairement situé sur la bissectrice de l’angle POH ? Pourquoi ? La bissectrice d’un angle

ATELIER 3

257

Pour construire la bissectrice d’un angle, il s’agit de déterminer un point situé à égale distance des côtés de l’angle.

1

Déterminer d’abord deux points (P et H) sur les côtés de l’angle situés à égale distance du sommet de l’angle. Les points P et H sont à égale distance du sommet de l’angle POH puisqu’ils sont sur le même arc de cercle tracé à partir de O.

H

P

O

2

À partir des points P et H, tracer des arcs de cercle qui se coupent sans changer l’ouverture du compas.

V Puisque : • le point V se trouve à la fois sur l’arc de cercle tracé à partir de H et sur l’arc de cercle tracé à partir de P ; et • que les deux arcs ont été tracés sans changer l’ouverture du compas, le point V est situé à égale distance des points P et H.

H

P

O

3

Pour terminer la construction de la bissectrice, tracer la droite passant par les points O et V.

V

H

P

O

OV est la bissectrice de l’angle POH, par construction.

Une élève affirme qu’elle n’a pas changé l’ouverture de son compas pour construire la bissectrice de l’angle AOC. Voici son travail. A

O C D

258

Quelle erreur a-t-elle commise, selon toi ?

Ateliers de construction

2. Fraction d’angle

Calque les figures suivantes. À l’aide de ton compas, détermine si les lignes rouges sont des bissectrices.

Construis un angle de :

a)

b) 22,5° ;

c)

activites

1. La ligne rouge

a) 45° ; c) 11,25° ; d) 30°.

b)

d)

3. Dans mon jardin Tu désires planter un poteau à égale distance des deux clôtures de ton jardin. a) Où vas-tu le placer ? b) Compare ta réponse avec celle de tes camarades. c) Le poteau pourrait-il être à l’extérieur du jardin tout en étant à égale distance des deux clôtures ? Explique ta réponse.

La bissectrice d’un angle

ATELIER 3

259

4. Bissectrices

5. Bissectrices bis

a) Trace un angle plat, deux angles aigus différents, un angle obtus et un angle rentrant.

a) Calque les figures suivantes.

1

2

3

4

b) Construis la bissectrice de chaque angle. c) Commente le travail d’une ou d’un camarade.

b) Construis les bissectrices de tous les angles intérieurs de ces figures.

6. Schémathématiser Vérifie la conjecture suivante à l’aide d’un schéma.

«

»

La bissectrice d’un angle plat est perpendiculaire à la droite formée par les côtés de l’angle.

7. Vérification interne a) Commente l’affirmation suivante.

«

»

En traçant un angle de 50°, on trace automatiquement un angle de 310°.

b) Trace un angle de 50°, puis construis sa bissectrice. c) Construis la bissectrice de l’angle de 310° que tu as forcément tracé en b). d) Vérifie ta construction avec un rapporteur.

260

Ateliers de construction

telier

4

La droite parallèle Si tu sais construire des droites perpendiculaires, tu peux aussi construire des droites parallèles. Voici une marche à suivre.

1

Construire d’abord CD, perpendiculaire à AB.

Droites parallèles : Droites d’un même plan qui sont toujours à la même distance l’une de l’autre.

C

P A

B

Cela me fait penser à l’activité 3 de la page 255.

D

2

Construire ensuite EF, perpendiculaire à CD.

C

P A

B

F

E D

A

Pourquoi la droite EF est-elle forcément parallèle à la droite AB ?

B

Selon toi, y a-t-il une façon plus « économique » de procéder ?

Construire plusieurs droites perpendiculaires pour obtenir des droites parallèles correspond en quelque sorte à définir des droites parallèles selon l’énoncé suivant.

«

»

Si deux droites sont perpendiculaires à une troisième, alors elles sont parallèles.

La droite parallèle

ATELIER 4

261

aaaction! 1. Trace une droite. Essaie de construire une droite parallèle à cette droite sans construire de droite perpendiculaire. 2. Si tu as réussi, explique à quelqu’un comment tu as procédé. Si tu n’as pas réussi, demande à quelqu’un de t’expliquer sa démarche. Il sera utile de savoir construire des droites parallèles pour effectuer des translations.

On constate qu’avec un compas, il est plus difficile de respecter la contrainte de la distance égale en tous points entre deux droites parallèles. Dans les cours de musique, un instrument permet de tracer des portées au tableau : un porte-craies à cinq branches également espacées. Il suffit d’un seul mouvement pour que l’instrument trace cinq lignes droites parallèles.

Tu verras que la construction de droites parallèles avec un compas s’apparente au tracé d’une portée. 262

Ateliers de construction

Pour construire une droite parallèle à une autre droite, il suffit de tracer la trajectoire d’un point qui demeure à la même distance de la droite.

1

Tracer un point P n’importe où, sauf sur la droite d, puis tracer un point N n’importe où sur la droite d.

P d N

2

À partir du point N, tracer un arc de cercle pour déterminer un point M, n’importe où sur la droite d.

P

M

d

N

3

À partir du point P, et sans changer l’ouverture du compas, tracer un autre arc de cercle.

P

M

Évidemment, je peux nommer les points avec les lettres majuscules de mon choix.

d

N

4

Mesurer la distance du point N au point P (avec le compas).

P

M

d

N

5

Reporter cette distance à partir du point M pour obtenir le point R et tracer la droite PR.

R P

M

d

N

PR est parallèle à NM, par construction. C

Comment s’appelle le quadrilatère NPRM ? Pourquoi ? La droite parallèle

ATELIER 4

263

activites

1. Pensez-y bien… L’énoncé suivant semble illogique. L’est-il vraiment ? Explique ta réponse.

«

Savoir construire des droites perpendiculaires permet de construire des droites parallèles, mais savoir construire des droites parallèles ne permet pas de construire des droites perpendiculaires.

»

2. Parallélogramme

3. Une droite et un point occupés

Place un point n’importe où sur une feuille et nomme-le A.

a) Reproduis les schémas suivants. P

1

Construis un parallélogramme ABCD.

2

d

d

P

b) Dans chaque cas, construis une droite parallèle à la droite d qui passe par le point P.

4. En deux étapes, probablement a) Reproduis le schéma suivant. B

A C

F

G

b) Construis les droites AM, BN et CR, parallèles à la droite FG. Les segments AM, BN et CR doivent être isométriques au segment FG. Les quadrilatères AMGF et AMRC sont des parallélogrammes. c) Comment peux-tu construire des losanges de cette façon ? Essaie de le faire. 264

Ateliers de construction

5. Des parallélogrammes

6. Losange

Cette figure est formée de 16 parallélogrammes isométriques ayant chacun deux angles de 45°.

Place un point n’importe où sur une feuille et nomme-le A. Construis un losange ABCD.

a) Reproduis la figure en utilisant seulement un compas et une règle non graduée. b) Combien de parallélogrammes y a-t-il au total dans cette figure ?

7. AAAA ! Anabelle affirme avec assurance qu’en faisant glisser la pointe sèche de son compas le long d’une droite, elle construit une droite parallèle à cette droite.

d

a) Essaie de construire une droite parallèle avec cette méthode. b) Que penses-tu de cette méthode ?

La droite parallèle

ATELIER 4

265

8. Vérifications Calque les droites suivantes.

1

2

a) Selon toi, quelles droites sont parallèles ?

9. Nouvelle méthode remarquable ! Trace une droite parallèle à une autre droite en utilisant deux équerres et sans tracer de perpendiculaires.

b) Vérifie ta réponse en utilisant seulement un compas.

10. Quadrilatères « parallèles concentriques » Madelyn prétend avoir construit plusieurs types de quadrilatères à partir de deux droites parallèles et de deux cercles concentriques.

C

D

B

A

G

H

P E

F

a) Quels quadrilatères a-t-elle construits ? b) Comment peux-tu construire un carré selon le même principe ? Essaie de le faire.

266

Ateliers de construction

telier

5

La reproduction d’un angle Un compas peut aussi servir à reproduire un angle, c’est-à-dire à construire un angle isométrique à un autre.

Construire des angles isométriques nous permettra d’effectuer des rotations.

aaaction! 1. Trace un angle ABC. Essaie de construire un angle DEF, isométrique à l’angle ABC. 2. Si tu as réussi, explique à quelqu’un comment tu as procédé. Si tu n’as pas réussi, demande à quelqu’un de t’expliquer la marche à suivre.

Voici des angles tracés dans deux cercles isométriques.

a b

A

Détermine lequel des deux angles est le plus grand en utilisant seulement ton compas.

B

Sans mesurer, comment peux-tu construire un angle isométrique à l’angle déterminé en A ? Fais-le.

C

Si les deux cercles n’étaient pas isométriques, comment procéderais-tu ?

Voici des angles tracés dans deux cercles qui ne sont pas isométriques.

e c

D

Calque les deux figures ci-dessus. Détermine ensuite lequel des deux angles est le plus grand en utilisant seulement ton compas.

La reproduction d’un angle

ATELIER 5

267

Le rapporteur d’angle est l’instrument de choix pour tracer un angle d’une mesure donnée. Toutefois, pour reproduire un angle, le compas se révèle plus approprié. La reproduction d’un angle comporte trois étapes. Exemple : N

1

À partir du sommet (N) de l’angle à reproduire, tracer un cercle (ou un arc de cercle).

2

À partir d’un nouveau point (N′), tracer un cercle isométrique au premier et tracer la demi-droite N′P′.

M P′ N

N′

P

3

Mesurer le segment MP à l’aide du compas. Reporter la mesure sur le deuxième cercle.

M′ M

P′

N

N′

P

Les angles MNP et M′N′P′ sont isométriques, par construction.

aaaction! 1. Trace un angle obtus. 2. Reproduis-le en utilisant ton compas. 3. Demande à une ou à un camarade de vérifier si tes angles sont isométriques. Vérifie ses angles.

268

Ateliers de construction

activites

1. Méfiez-vous ! a) Les angles suivants semblent-ils isométriques ? À la page 186, on présente le symbole qui représente la relation d’isométrie.

1

2

b) Calque les angles ci-dessus. Vérifie ensuite ta réponse en a) en utilisant seulement un compas. c) Pourquoi est-il important d’indiquer les angles isométriques dans les figures géométriques ?

2. Copies d’angles a) Avec un rapporteur d’angle, trace des angles de 23°, de 71°, de 117° et de 231°. b) Construis un angle isométrique à chacun des angles. c) Invite une ou un camarade à vérifier ton travail.

3. Combinaisons de constructions

4. L’avenir nous le dira

a) Trace un angle DEF de 43° avec ton rapporteur.

a) Trace un cercle de centre O et trace ensuite un angle AOB mesurant 72°.

b) Construis la bissectrice EH de cet angle. c) À un autre endroit de la feuille, construis un angle isométrique à l’angle DEF. Le sommet du nouvel angle doit se trouver sur la bissectrice (EH) du premier angle. Marie-Soleil affirme qu’elle peut prolonger les côtés des angles pour vérifier si la bissectrice du premier angle est aussi la bissectrice du nouvel angle. d) A-t-elle raison ? Pourquoi ?

b) Avec ton compas, reporte la distance de A à B tout autour du cercle. c) Quelle figure as-tu ainsi formée ?

e) Compare ta réponse et ton explication avec celles d’une ou d’un camarade.

La reproduction d’un angle

ATELIER 5

269

5. Une triple reproduction

6. Bonne idée !

Calque le triangle suivant. Reproduis-le en utilisant seulement un compas et une règle non graduée.

a) Construis deux droites perpendiculaires. En plaçant la pointe sèche de ton compas sur le point d’intersection des droites, trace ensuite un cercle de centre O. b) Relie les quatre points formés par l’intersection du cercle et des droites. c) Tu obtiens un quadrilatère. Les côtés du quadrilatère sontils isométriques ? Utilise un compas pour le vérifier. d) Comment peux-tu vérifier avec un compas si les angles du quadrilatère sont isométriques ?

7. Échange de bons procédés Demande à une ou à un camarade de tracer un angle sur une feuille. Échangez vos feuilles et reproduisez l’angle.

8. Un duo d’angles Selon toi, les angles ABC et DEF sont-ils isométriques ? Vérifie-le avec ton compas. D F A

B

9. Précise la plus précise a) Trace un angle de 60°, puis construis un triangle équilatéral en reproduisant cet angle. b) Reproduis la figure ci-contre, puis, à partir de cette figure, complète la construction d’un triangle équilatéral. c) Selon toi, des deux constructions réalisées en a) et en b), laquelle est la plus précise ? Explique ta réponse.

270

Ateliers de construction

C

E

telier

6

La médiane, la médiatrice et la hauteur Cet atelier te propose d’établir des liens entre des définitions que tu as vues précédemment et des constructions réalisées dans les autres ateliers. Il t’amènera à déduire la façon d’effectuer certaines constructions sans recevoir d’autres instructions à leur sujet. A

Dans les définitions de médiane, de médiatrice et de hauteur, retrouves-tu des mots qui te rappellent certains ateliers de construction ? Lesquels ?

B

Selon toi, à quelle construction s’apparente la construction : 1) d’une médiane ? 2) d’une médiatrice ? 3) d’une hauteur ?

Médiane : Dans un triangle, segment joignant un sommet au milieu du côté opposé à ce sommet. Médiatrice : Droite perpendiculaire à un segment en son milieu. Hauteur : Dans un triangle, segment abaissé perpendiculairement sur le côté opposé (ou son prolongement) à partir d’un sommet. Le mot hauteur désigne aussi la mesure de ce segment.

aaaction! 1. Construis la médiane relative au sommet A du triangle ABC. A B

C

2. Construis la médiatrice relative au côté EF du triangle DEF. D

Pour réaliser ces constructions, on transfère ses connaissances dans de nouveaux contextes.

E

F

3. Construis la hauteur relative au sommet J du triangle GKJ. G K J

La médiane, la médiatrice et la hauteur

ATELIER 6

271

Les définitions de la médiane, de la médiatrice et de la hauteur permettent d’établir une relation entre leur construction et celles du point milieu et d’une droite perpendiculaire. Médiane : Déterminer l’emplacement du point milieu d’un côté et le relier au sommet opposé. A

C E

B

Autrement dit, quand je détermine le point milieu d’un segment, je construis du même coup une médiatrice !

Le segment AE est la médiane relative au sommet A du triangle ABC.

Médiatrice : Construire une droite perpendiculaire passant par le point milieu d’un côté. G

H

J

d

La droite d est la médiatrice relative au côté HJ.

Hauteur : Construire une droite perpendiculaire à un côté passant par le sommet opposé. M

N

S

R

P

Le segment MS est la hauteur relative au sommet M du triangle MNP.

272

Ateliers de construction

2. Affaires extérieures

Reproduis le tableau suivant et coche les cases appropriées. Conserve-le en guise d’aide-mémoire pour la définition et la construction des droites remarquables.

a) Est-il possible qu’une médiane d’un triangle passe à l’extérieur du triangle ? Pourquoi ?

Sommet

Milieu d’un côté

Droite perpendiculaire

Médiane Médiatrice

b) Est-il possible qu’une hauteur d’un triangle passe à l’extérieur du triangle ? Pourquoi ?

Hauteur

3.

4. Référence circulaire

À partir de quatre triangles ABC différents, Denis a tracé les médianes relatives au sommet A d’une couleur. Il a tracé les quatre médiatrices relatives au côté BC d’une autre couleur, puis il a tracé les quatre hauteurs relatives au sommet A d’une troisième couleur. Il a ensuite effacé les triangles ! Voici ce qui reste.

a) Trace toutes les médiatrices d’un triangle MNP.

1

2

3

4

b) Nomme Q le point d’intersection des médiatrices et trace le cercle de centre Q passant par un sommet du triangle. Que constates-tu ?

a) Détermine quelles couleurs représentent respectivement les médianes, les médiatrices et les hauteurs. Explique ta réponse. b) Calque les quatre figures et retrace les triangles que Denis a effacés en utilisant seulement un compas. c) Y a-t-il plusieurs réponses possibles ? Regarde les triangles de tes camarades pour t’en convaincre.

La médiane, la médiatrice et la hauteur

ATELIER 6

273

activites

1. Aide-mémoire

5. Sous toutes les coutures a) Trace un triangle obtusangle scalène et nomme-le DEF. b) Construis la hauteur relative au sommet d’un des angles aigus du triangle. c) Construis la médiane relative au sommet de l’autre angle aigu du triangle.

6. Des finitions a) Essaie de reformuler la définition d’une médiatrice en utilisant le mot « distance ». b) Essaie de définir un cercle en utilisant le mot « distance ».

7. Estimation a) Estime la position du point de rencontre des médiatrices de ces triangles.

1

2

3

d) Construis la médiatrice du plus long côté du triangle. e) Construis la bissectrice de l’angle obtus du triangle.

b) Compare tes estimations avec celles d’une ou d’un camarade. c) Comment peux-tu vérifier si tes estimations sont vraisemblables ?

8. J’ai oublié ma règle Farah n’hésite pas à se servir de son compas, en tout cas !

Farah propose ce moyen pour construire la médiatrice d’un segment. A

B

a) Que penses-tu de son moyen ? b) Trouve un triangle isocèle dans cette construction et convaincs quelqu’un qu’il est bien isocèle. c) Trouve un losange dans cette construction et convaincs quelqu’un qu’il s’agit bien d’un losange.

274

Ateliers de construction

9. Explorateur égaré Un explorateur en expédition au pôle Sud s’est égaré. Son dernier message radio précisait qu’il se trouvait à égale distance de Vostok et du cercle polaire antarctique. Utilise la fiche reproductible qu’on t’a remise. a) Indique sur la carte l’endroit exact où pouvait se trouver l’explorateur lorsqu’il a transmis son message. b) Son message radio permettra-t-il d’envoyer une équipe de secours au bon endroit ? Océan e Pacifiqu Océan Indien

Vostok •

Pôle Sud •

CE RC LE

POL AIRE ANTARCTIQUE

Océan e Atlantiqu

10. Vérité conditionnelle

«

Donald prétend que cet énoncé est toujours vrai.

»

La bissectrice d’un angle ABC est la médiatrice du segment AC.

A-t-il raison ? Explique ta réponse.

La médiane, la médiatrice et la hauteur

ATELIER 6

275

Index Note : Les folios en gras indiquent la page où tu trouveras une définition du terme ou un encadré portant sur cette notion clé.

A

aire, 210 d’un losange, 216 d’un rectangle, 212 d’un trapèze, 216 d’un triangle, 214 unités de mesure d’, 80 angle(s), 93-96, 136-137 adjacents, 145 alternes, 145 alternes-externes, 145 alternes-internes, 145 bissectrice d’un – (voir bissectrice) complémentaires, 144 consécutifs, 165 correspondants, 145 côtés de l’–, 137 d’un triangle, relations entre les –, 185-186 estimer la mesure d’un -, 95 extérieur, 171 intérieur, 171 isométriques, 144, 186 mesurer et tracer des –, 96 nommer un –, 138 opposés par le sommet, 144 rapporteur d’–, 94 relations entre deux –, 141-145 reproduction d’un –, 267-268 sommet de l’–, 137 supplémentaires, 144 types d’–, 140 angles d’un triangle relation entre les –, 185-186 angles extérieurs d’un polygone convexe somme des mesures des –, 173 angles intérieurs d’un polygone convexe somme des mesures des –, 174, 176

B

base(s) d’un losange, 216 d’un parallélogramme, 192 d’un rectangle, 212 d’un trapèze, 191 d’un triangle, 214

biais, 25, 41-42 bissectrice, 188 d’un angle, 257-258

C

capacité, 84 caractère étudié, 20, 34 carré, 194 cerf-volant, 196 collecte de données, 28 compas, 247 conclusions d’une étude statistique, 39-42 construction (représentation d’un objet géométrique par), 247 conversion des unités de mesure de longueur, 78-79 des unités de mesure (deux dimensions), 83 des unités de mesure (une dimension), 79 côté(s) consécutifs d’un polygone, 165 d’un angle, 137 isométriques, 186

D

degré (°), 94 Delambre, Jean-Baptiste, 75 deltoïde, 196 demi-droite, 126, 137 dénombrement (voir tableau de dénombrement) diagonale, 166 diagramme, 36 à bandes (verticales, horizontales), 38 à ligne brisée, 36 circulaire, 37 interprétation d’un –, 40 dimension, 121 dispersion, 7-8 mesure de –, 7 distribution, 21 des effectifs (voir tableau de distribution des effectifs)

données, 21 à caractère qualitatif, 30 à caractère quantitatif continu, 30 à caractère quantitatif discret, 30 collecte de – (voir collecte de données) organisation des –, 32-33 données statistiques, 21 droite(s), 123 (voir aussi demi-droite) parallèle(s), 128, 261, 263 perpendiculaire(s), 128, 253-254 relations entre deux –, 127-129 remarquables, 187-188 sécante(s), 128 segment de – (voir segment de droite)

E

échantillon, 23-28 échantillon représentatif, 26-27 choix d’un –, 42 échantillonnage aléatoire simple, 27 systématique, 27 effectif, 32, 34 étendue, 8 étude statistique, 19 Euclide, 115

F G

fréquence, 32

géométrie, 112 origines de la –, 112-120

H

hauteur, 271-272 d’un losange, 216 d’un rectangle, 212 d’un trapèze, 191 d’un triangle, 187, 214

I interprétations (de données), 39-42

277

L

litre (L), 84 losange, 194 (voir aussi aire, base, hauteur d’un losange)

M

masse (voir mesure de la masse) Méchain, Pierre-François, 75 médiane, 188, 271-272 médiatrice, 188, 271-272 mesure de dispersion (voir dispersion) de longueur, 70, 74-79, 209 de la masse, 84 des angles, 96 d’une grandeur, 72 du temps, 97 (voir aussi unité de mesure) mètre (m), 74-75, 77 carré (m2), 80 cube (m3), 80 étalon, 75 et ses préfixes, 76-79 méthodologie, 22 métrique (voir système métrique) minute, 94 moyenne arithmétique, 5, 6

O objet(s) géométrique(s) adimensionnel, 121 bidimensionnels, 130 tridimensionnels, 121 unidimensionnels, 122

P

parallèle (voir droite parallèle) parallélogramme, 192 (voir aussi bases d’un parallélogramme) périmètre, 207 perpendiculaire (voir droite perpendiculaire) plan, 130 Platon, 112 point, 121-122 point milieu d’un segment, 249-250 polygone(s), 162, 164 angles consécutifs d’un, 165 angles des –, 170-177 angle extérieur d’un –, 171 (voir aussi angles extérieurs d’un polygone)

278

angle intérieur d’un –, 171 (voir aussi angles intérieurs d’un polygone) classification des –, 167 convexe, 167 côtés consécutifs d’un, 165 nommer un –, 164 noms de –, 168 non convexe, 167 régulier, 179 somme des mesures des angles intérieurs d’un – (voir angles intérieurs d’un polygone) population, 22, 23-28 cible, 20 pouce, 70 présentation des résultats, 34-38 probabilité(s), 10-11 Pythagore, 115

Q quadrilatère(s) classification des –, 189 critères de classification des –, 190 quelconque, 190

R recensement, 25 rectangle, 194 (voir aussi aire, base, hauteur d’un rectangle)

S seconde, 94 segment(s), 126 de droite, 126 disjoints, 131 parallèles, 129 perpendiculaires, 129 remarquables, 187 sondage, 25 statistique, 4, 11 étude – (voir étude statistique) données – (voir données statistiques) sujet (d’étude), 20-22 surface, 210 système international d’unités (SI), 85 et unités de longueur, 76, 85 structure du –, 86 unités de base du –, 85 système métrique, 76

T

tableau de dénombrement, 28-31 tableau de distribution des effectifs, 32 temps, 97-99 mesure du –, 97 (voir aussi minute ; seconde) tendance, 5 centrale, 8 centrale, mesures de –, 5-6 tendance centrale, 8 Thalès de Milet, 115 trapèze, 191 isocèle, 192 rectangle, 192 (voir aussi aire, base, hauteur d’un trapèze) triangle(s) acutangle, 183 angles isométriques dans un –, 186 base d’un – (voir base d’un triangle) classification des –, 182 critères de classification des –, 185 côtés isométriques dans un –, 186 équilatéral, 185 hauteur d’un – (voir hauteur d’un triangle) isocèle, 185 isométriques, 237 médiane d’un – (voir médiane) obtusangle, 183 rectangle, 183 scalène, 185 (voir aussi aire d’un triangle)

U

unité de capacité (voir capacité) unité(s) de mesure choix de l’–, 78 conversion des – de longueur, 78-79 conversion des – (deux dimensions), 83 conversion des – (une dimension), 79 d’aire, 212 de capacité, 84 de la masse, 84 de longueur, 209 de référence, 72

V

volume unités de mesure de –, 80

Graphisme, notations et symboles 

Symbole de l’addition

A



Symbole de la soustraction

A



Symbole de la multiplication



Symbole de la division

%

Symbole du pourcentage



L’opposé de a

1 a

L’inverse de a

a2

Le carré de a ou a exposant 2

a3

Le cube de a ou a exposant 3

a b

La fraction a sur b ou la division de a par b



... est égal à...



... n’est pas égal à...



... est inférieur à...



... est inférieur ou égal à...



... est supérieur à...



a

Le point A B

d

La droite AB La droite d

A

B

La demi-droite AB

A

B

Le segment AB ou AB

m AB

La mesure du segment AB

//

... est parallèle à... ... est perpendiculaire à...

ABC

L’angle ABC



Degré ABC

Le triangle ABC Angle droit

ºC

Degré Celsius

a

La racine carrée positive de a

− a

La racine carrée négative de a

1,234

Le nombre rationnel 1,2 trente-quatre périodique

... est supérieur ou égal à...



La constante « pi »...   3,1416



... est approximativement égal à...

a  10 n

Notation scientifique



... est isométrique à...

x

Moyenne arithmétique

279

Sources P. 11 : Organisation mondiale de la santé. • P. 42 : Malcolm E. Lines, Adaptation de Think of Number (Dites un chiffre), Paris, Flammarion, 1990, p. 64-65. • P. 51 : La Presse, 6 juillet 2004. • P. 53 : Ministère des Transports du Québec. • P. 54 : Courtesy, U.S. Census Bureau. • P. 55 : 1. Franck Scurti, « Graphique Poétique », marker noir sur bois et branche d’arbre, 55 x 101 x 8,5 cm ; 2. Statistique Canada, Enquête sur la population active, tableau CANSIM 282-0002. • P. 56 : Lycée Paul Héroult. P. 57 : Statistique Canada, « Statistiques démographiques », Le Quotidien – (Jeudi 24 mars 2005). P. 59 : Statistique Canada, Espérance de vie à la naissance, selon le sexe (Réf. 12 avril 2005). P. 61 : Nielsen Monitor Plus : Nielsen Media Research. • P. 62 : Statistique Canada, « Enquête sur l’utilisation d’Internet par les ménages », Le Quotidien – (Jeudi 18 septembre 2003). • P. 211 : action !, no 2, problème tiré des notes de cours développées dans le cours MAT 3224, Didactique des mathématiques 2, par Claude Janvier et Nadine Bernarz, Département de Mathématiques, UQAM.

Photographies P. 37 : John Terence Turner/Alamy. • P. 75 : 1. Bureau international des poids et mesures (BIPM) ; 2. Tiré de Mesurer le monde, Ken Alder, Flammarion, 2005. • P. 77 : Nuance Photo. • P. 86 : Bureau des poids et mesures (BIPM). • P. 92 : Charles et Josette Lenars/Corbis. • P. 93 : 1. akg-images ; 2. Bettmann/Corbis ; 3. Gianni Dagli Orti/The Art Archive at Art Resource, NY. • P. 94 : Nuance Photo. P. 99 : 1. Gianni Dagli Orti/The Art Archive at Art Resource, NY ; 2. Nuance Photo ; 3. Nuance Photo. P. 107 : Michel Verreault. • P. 114: 1. akg-images ; 2. The Shoyen Collection MS3049 et MS2192. P. 115 : 1. J.L. Charmet/Science Photo Library ; 2-3. akg-images. • P. 116 : 1. Art Resource, NY ; 2-3. British Library Images Online. • P. 117 : 1 et 2. Album/Art Resource, NY. P. 118 : 1. Lester Lefkowitz ; 2. Mak Studio. • P. 119 : Pierre Rousseau. • P. 120 : akg-images. P. 126 : Michel Verreault. • P. 130 : Michel Verreault. • P. 156 : 1. STM 2005 ; 2. Bureau des transports, Gouvernement de la Ville de Tokyo. • P. 147 : Julie Benoit, cartographe. • P. 157 : 1. Craig Tuttle/Corbis ; 2. Julian Beever. • P. 159: MC Escher Art. • P. 160 : 1. RMN-Grand Palais/Art Resource, NY ; 2. Erich Lessing Art Resource, NY. • P. 167 : Space Imaging/Science Photo Library. • P. 169 : 1. Michel Verreault ; 2. Nuance Photo. • P. 196 : Michel Verreault. • P. 220: Stéphane Bourrelle. • P. 241 : Michel Verreault. P. 242 : Michel Verreault.

280

La collection propose une démarche claire et flexible pour l’apprentissage de la mathématique au premier cycle du secondaire. Elle amène l’élève à s’engager pleinement dans le développement de ses compétences en interaction avec ses pairs et son environnement. À partir de situations-problèmes et de questionnements, l’élève pourra mettre en œuvre son raisonnement logique afin de comprendre les concepts et les processus à l’étude. La collection

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Manuel A Manuel B Guides d’enseignement A et B

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ISBN 2-7652-0015-7

CHENELIÈRE ÉDUCATION