À vos maths! mathématique, 1er cycle du secondaire. Manuel C [1C] 2892429749

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Mathématique

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1er cycle du secondaire

Manuel de l’élève

C

Michel Coupal

CHENELIÈRE ÉDUCATION

Mathématique

•

1er cycle du secondaire

Manuel

C

Michel Coupal

À vos maths ! Mathématique, 1er cycle du secondaire Manuel C Michel Coupal © 2006 Les Éditions de la Chenelière inc.

Éditrice : Valérie Tannier Coordination : Denis Fallu, Pascale Mongeon, Geneviève Gagné Révision linguistique : Nicole Blanchette Correction d’épreuves : Chantale Landry Conception graphique : Catapulte Illustration de la couverture : Fil et Julie Infographie : Alphatek Illustrations d’ambiance : Fil et Julie, Martin Goneau Illustrations techniques : Bertrand Lachance, Serge Rousseau

Remerciements L’Éditeur remercie Sophie René de Cotret, professeure au département de didactique de l’Université de Montréal, et Hassane Squalli, professeur au département de didactique de l’Université de Sherbrooke, qui ont agi à titre de consultants pour la réalisation de cet ouvrage. Merci également à Claudia Corriveau, Karine Desautels, Brigitte Gascon, Dominic Gagnon, Lysanne Landry, Jean Lepage et Étienne Rouleau pour leur aide. L’auteur tient à remercier tout spécialement Claude Boucher pour ses conseils, son oreille et son expertise sans pareille. Merci Claude ! Pour le soin qu’elles et ils ont porté à leur travail d’évaluation et pour leurs commentaires avisés sur la collection, l’Éditeur tient aussi à remercier Jean-François Arbour, enseignant, C.S. Marguerite-Bourgeoys ; Johanne Beaudoin, enseignante, English-Montréal School Board ; Martin Bergeron, enseignant, C.S. des Laurentides ; Louis Blanchard, enseignant, C.S. de la Baie-James ; Christian Chaumont, enseignant, C.S. des Monts et Marées ; Julie Deschênes, enseignante, Séminaire de Sherbrooke ; Inés Escrivá, enseignante, C.S. de la Seigneurie-des-Mille-Îles ; Marjolaine Gagné ; Martin Gaudreault, enseignant, C.S. de Montréal ; AnneMarie Goyet, enseignante, Collège Sainte-Anne de Lachine ; Martine Jacques, enseignante, Collège SaintSacrement ; Francine Jasmin, enseignante, Académie Lafontaine ; Brahim Miloudi, Ph. D. didactique des mathématiques ; Mireille Salvetti, enseignante, C.S. des Grandes-Seigneuries ; Nicolas Therrien, enseignant, C.S. de Laval ; Mélanie Tremblay, enseignante, C.S. Marie-Victorin. Nous remercions tout particulièrement les éditions LEP, Loisirs et Pédagogie – Suisse et CIIP, Conférence Intercantonale de l’Instruction Publique de Suisse romande de nous avoir autorisé à reprendre des activités publiées dans leur collection Mathématiques 7-8-9 de Michel Chastellain, Jacques-André Calame et Michel Brêchet.

CHENELIÈRE ÉDUCATION

7001, boul. Saint-Laurent Montréal (Québec) Canada H2S 3E3 Téléphone : (514) 273-1066 Télécopieur : (514) 276-0324 [email protected] Tous droits réservés. Toute reproduction, en tout ou en partie, sous quelque forme et par quelque procédé que ce soit, est interdite sans l’autorisation écrite préalable de l’Éditeur. ISBN 2-89242-974-9 Dépôt légal : 2e trimestre 2006 Bibliothèque et Archives nationales du Québec Bibliothèque et Archives Canada Imprimé au Canada 2 3 4 5 ITIB 10 09 08 07 06 Nous reconnaissons l’aide financière du gouvernement du Canada par l’entremise du Programme d’aide au développement de l’industrie de l’édition (PADIÉ) pour nos activités d’édition. Gouvernement du Québec – Programme de crédit d’impôt pour l’édition de livres – Gestion SODEC.

Table des matières Les variables

22

11

Vers la proportionnalité

Exploration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

Section 1 – Le concept de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Séquence 1.1 Reconnaître les variables d’une situation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Activités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Séquence 1.2 Les situations à deux variables . . . . . . . . . . . . . . 8 Activités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Bric à maths – Réinvestissement section 1

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Section 2 – La relation entre deux variables . . . . . . . . . Séquence 2.1 L’influence d’une variable sur une autre variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Activités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Séquence 2.2 La représentation graphique d’une situation à deux variables . . . . . . . . . . . .

14 16 16 19 20

TIC – Les animations, une question de variables . . . . . . . . . 21 Activités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Bric à maths – Réinvestissement section 2

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26

Exploration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

Section 1 – Les rapports et les taux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Séquence 1.1 Opération : comparaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Activités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Séquence 1.2 Les rapports . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Activités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Séquence 1.3 Les taux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Activités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Séquence 1.4 La comparaison de rapports et de taux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Activités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Séquence 1.5 Les taux unitaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Activités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

42 42 44 46 52 55 58

Bric à maths – Réinvestissement section 1

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70

Section 2 – Les rapports et les taux constants . . . . . . Séquence 2.1 Savoir décoder… . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Activités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Séquence 2.2 Le modèle proportionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

76 77 85 88

60 62 64 68

TIC – Le tableur : un autre système de repérage . . . . . . . . . . 33

TIC – Proportionnalité et édition d’image . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 Activités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

Dans la vie... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

Séquence 2.3 D’autres situations à deux variables . . . . . . 98 Activités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

Escale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 Option projet – Esprit d’entreprise

.............................

38

Bric à maths – Réinvestissement section 2

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102

III

Section 3 – Résoudre une proportion . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 Séquence 3.1 Une question de taux unitaire . . . . . . . . . . . . . 111 Activités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 Séquence 3.2 Une question d’extrêmes et de moyens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 Activités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 Séquence 3.3 Les pourcentages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 Activités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 Séquence 3.4 La relation de variation inverse . . . . . . . . . . . . . 129 Activités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 Bric à maths – Réinvestissement section 3

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135

Séquence 2.4 À chaque terme son rang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 Activités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 Séquence 2.5 La représentation graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 Activités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 Bric à maths – Réinvestissement section 2

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190

TIC – Calculer les termes d’une suite arithmétique . . . . . . 194 Dans la vie... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 Escale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 Option projet – De la suite dans les idées ! . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

Dans la vie... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 Escale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 Option projet – Pour un monde équitable . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

L’algèbre : un outil de résolution de problèmes Des modèles mathématiques Exploration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

Section 1 – Une nature mathématique . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 Séquence 1.1 Vers un modèle mathématique . . . . . . . . . . . . 152 Séquence 1.2 Une suite naturelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 Activités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 Bric à maths – Réinvestissement section 1

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162

Section 2 – Les suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 Séquence 2.1 Les suites numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 Activités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 Séquence 2.2 Les suites arithmétiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 Activités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 Séquence 2.3 Le terme général ou la règle d’une suite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 Activités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 TIC – Les compteurs informatiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

IV

Exploration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

Section 1 – Le langage algébrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 Séquence 1.1 Un outil de résolution de problèmes . . . . 203 Séquence 1.2 Les constituants du langage algébrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 Activités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 Séquence 1.3 Les termes semblables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212 Activités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217 Séquence 1.4 La multiplication ou la division d’un monôme par une constante . . . . . . . . . . . . . . . . . 218 Activités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222 Séquence 1.5 La multiplication de deux monômes de degré 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 Activités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227 Séquence 1.6 Les expressions algébriques . . . . . . . . . . . . . . . . 229 Activités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 Séquence 1.7 La réduction d’expressions algébriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233 Activités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239

Séquence 1.8 L’évaluation d’expressions algébriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242 Activités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245 Bric à maths – Réinvestissement section 1

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246

Section 2 – La résolution d’équations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250 Séquence 2.1 Le concept d’équation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250 Séquence 2.2 La méthode par tâtonnement . . . . . . . . . . . . . 253 Activités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254 Séquence 2.3 La méthode basée sur les équations équivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255 Activités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262 Séquence 2.4 La méthode par recouvrement . . . . . . . . . . . . . 264 Activités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265 Séquence 2.5 La méthode graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265 Activités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269 Bric à maths – Réinvestissement section 2

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Esprit d’entreprise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 Pour un monde équitable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 De la suite dans les idées ! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 Projets d’avenir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306

Les animations, une question de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Le tableur : un autre système de repérage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 Proportionnalité et édition d’image . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 Les compteurs informatiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 Calculer les termes d’une suite arithmétique . . . . . . . . . . . . . . . . 194 Les champs dans une lettre type . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302

270

Section 3 – La mise en équation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274 Séquence 3.1 Des mots à l’algèbre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275 Activités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279 Séquence 3.2 De l’algèbre aux mots . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281 Activités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284 Séquence 3.3 La relation d’égalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285 Activités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287 Séquence 3.4 La mise en équation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288 Activités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294 Bric à maths – Réinvestissement section 3

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296

Dans la vie... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302 TIC – Les champs dans une lettre type . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302 Escale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303 Option projet – Projets d’avenir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306

V

La collection

La collection À vos maths ! propose quatre manuels pour le premier cycle du secondaire. Chaque manuel est composé de chapitres qui s’articulent autour des trois principales phases d’apprentissage : la préparation, la réalisation ainsi que l’intégration et le réinvestissement. Dans ce manuel, tu trouveras quatre chapitres et un index.

L’organisation d’un chapitre La phase de préparation L’ouverture du chapitre te propose une activité d’exploration pour aborder de front le sujet principal du chapitre. Cette activité te demande de recourir à tes connaissances antérieures et t’amène à développer ta compétence à Résoudre des situations-problèmes. Cet encadré énumère les principaux concepts et processus à l’étude dans le chapitre. En lien avec l’Exploration, des questions d’ordre plus général t’amènent à amorcer une réflexion sur des problématiques auxquelles tu dois faire face dans différentes sphères importantes de ta vie. Le sommaire présente le contenu du chapitre en un coup d’œil.

La phase de réalisation Chaque chapitre est composé de plusieurs sections qui portent sur un concept clé. Chaque section est divisée en séquences d’apprentissage et se termine par des activités du Bric à maths.

Une séquence d’apprentissage te permet de construire les concepts et processus à l’étude et de développer tes compétences à l’aide du questionnement, des situations d’application et des encadrés théoriques. Diverses rubriques enrichissent tes apprentissages.

VI

Ces questions t’amènent à construire le sens des concepts et processus à l’étude.

Les rubriques Action ! te permettent de mettre en pratique tes conceptions et de les valider. Pour chacune des Action !, des fiches intitulées Plus d’action ! sont fournies dans les documents reproductibles.

À la fin d’une séquence, des activités te sont proposées pour appliquer, dans différents contextes, les concepts et processus étudiés.

Un encadré théorique propose une synthèse des concepts et processus que tu as construits au fil d’une séquence d’apprentissage. Ce type d’encadré, facilement repérable, peut également t’être utile lors de la révision des concepts et processus.

La phase d’intégration et de réinvestissement À la fin de chaque section, le Bric à maths te permet de réinvestir les concepts et processus étudiés dans l’ensemble des séquences de la section et ainsi développer tes compétences.

Des situations tirées de la vie courante t’amènent à constater la place de la mathématique dans ton quotidien.

Pour chaque Bric à maths, des fiches intitulées Un autre bric à maths sont fournies dans les documents reproductibles.

À la fin d’un chapitre, tu peux faire le point et organiser tes connaissances selon la méthode qui te semble la plus appropriée. Tu auras ainsi l’occasion de développer ton esprit de synthèse.

L’Option projet est une belle occasion de développer tes compétences à l’aide d’une situation signifiante. L’Option projet te permet de faire preuve de créativité et d’autonomie dans la réalisation d’une ou de plusieurs tâches complexes. Elle peut être réalisée en parallèle avec le chapitre ou à tout moment jugé opportun. Une tâche intégratrice, qui reprend l’essentiel des concepts et processus étudiés dans le chapitre, t’offre une occasion de consolider tes apprentissages.

VII

Les

rubriques

Constante : Dans une situation, élément qui conserve toujours la même valeur.

Fait un rappel de l’Exploration présentée en début de chapitre pour te permettre de prendre conscience de l’évolution de ta démarche et de tes apprentissages.

Propose une définition qui vise à préciser un concept présenté dans le manuel ou à faire un retour sur des savoirs à l’étude au primaire. Le mot défini est en bleu dans le texte courant pour en faciliter le repérage.

Vise à attirer ton attention sur une difficulté ou à te souligner une particularité du concept ou du processus étudié.

STRATÉGIE Pour calculer 12 % de 25, on peut calculer 25 % de 12. Puisqu’il est plus facile de calculer mentalement certains pourcentages, le calcul est parfois simplifié en inversant les termes de la multiplication (par commutativité).

Grâce à l’informatique et au travail des spécialistes en mathématique, on trouve des nouveaux nombres premiers de plus en plus rapidement. Essaie de trouver le nombre de chiffres qui constituent le plus grand nombre premier connu aujourd’hui.

VIII

Te fournit des pistes pour aborder un problème sous un angle différent, établir des liens ou prendre conscience de ta démarche d’apprentissage.

Exploration Si les élèves des groupes 102, 104, A213 et A215 continuent à récupérer le même nombre de bacs mais qu’ils les remplissent au même pourcentage de capacité que celui de ta classe (voir ta réponse à la question de la page 41 ), quelle masse de papier auront-ils récupérée en 36 semaines de classe ?

ATTENTION Pour éviter toute confusion, les coordonnées d’un point doivent être présentées dans un certain ordre. Par convention, l’abscisse d’un point précède son ordonnée.

Question de

Permet une ouverture sur un sujet de culture générale relié aux thèmes abordés.

T’invite à découvrir comment la mathématique contribue à l’essor des technologies, et vice versa, et te propose différentes activités favorisant l’exploitation des technologies de l’information et de la communication (TIC).

Porte à la réflexion et peut servir d’amorce à l’étude de certains concepts et processus. La citation peut être exploitée pour présenter un personnage marquant de notre histoire, qu’il soit ou non lié à la mathématique.

culture

LEONHARD EULER (1707-1783) C’est le mathématicien suisse Leonhard Euler qui s’intéressa le premier au concept de variable. Même s’il a partiellement perdu la vue avant l’âge de 30 ans et qu’il est devenu aveugle par la suite, il a été le mathématicien le plus prolifique de son temps, avec la publication de près de 900 livres et articles.

Le bonheur n’est peut-être que le résultat d’une comparaison. ≤≥ EUGÈNE BEAUMONT

. pictogrammes Les

Les compétences mathématiques se développent à travers toutes les situations du chapitre. Toutefois, pour t’amener à prendre conscience de tes apprentissages et pour faciliter le travail d’évaluation et d’autoévaluation, certaines activités ont été ciblées comme étant particulièrement propices à l’observation du développement d’une compétence. Ces activités sont accompagnées d’un pictogramme qui représente l’une ou l’autre des compétences mathématiques. Résoudre une situation-problème.

Déployer un raisonnement mathématique.

Communiquer à l’aide du langage mathématique.

Le pictogramme ci-dessous indique qu’une activité est reproduite dans les documents reproductibles du guide d’enseignement.

Les

personnages Des personnages t’accompagnent tout au long de tes apprentissages. Ils apportent parfois des précisions, soulèvent des questions ou émettent des commentaires qui peuvent traduire ta pensée ou celle de tes camarades. Ils t’aident aussi à te souvenir de concepts vus l’an dernier afin de te permettre de faire des liens.

KIM

M. GAUDREAULT

AMÉLIE

ANTOINE

IX

11

Nomme quelques avantages et quelques inconvénients à avoir une entreprise.

2

Imagine qu’un membre de ta famille planifie d’ouvrir une boutique d’articles de plein air et te demande de l’aide.

1. Quels facteurs faut-il considérer pour choisir l’emplacement d’une boutique d’articles de plein air ?

2. Parmi tous les facteurs trouvés à la question 1, lequel est le plus important, selon les élèves de ta classe ?

3. Une fois l’emplacement choisi, quels autres facteurs faut-il considérer pour assurer le succès de la boutique ? Explique brièvement l’effet de chacun des facteurs sur le succès de la boutique.

4. Trouve quelques éléments qui n’ont pas d’influence sur le succès de la boutique. Explique tes réponses.

5. Selon toi, quel mot de cette Exploration pourrait être remplacé par le mot « variable » ?

• Variable • Données – caractère qualitatif – caractère quantitatif discret ou continu • Représentation globale d’une situation par un graphique

SO MM AI RE Section 1 – Le concept de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Section 2 – La relation entre deux variables . . . . . . . . . . . . Dans la vie… . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Escale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Option projet – Esprit d’entreprise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4 16 34 36 38

3

Le concept de variable La mathématique peut nous aider à déterminer et à expliquer les liens possibles entre les divers facteurs qui influencent une situation. Pour ce faire, les spécialistes de la mathématique ont recours à un concept essentiel. Dans ce chapitre ainsi que dans les chapitres suivants, tu te familiariseras avec ce concept fondamental qu’est la variable.

1.1

Reconnaître les variables d’une situation Même si le concept de variable peut te sembler nouveau, il est présent dans plusieurs situations de la vie courante. Par exemple, pour déterminer l’heure à laquelle un élève doit quitter la maison pour l’école, on considère, entre autres, le moyen de transport utilisé. Dans cette situation, les variables en jeu sont : heure de départ et moyen de transport. La valeur d’une variable dans une situation peut influencer la valeur d’une autre variable. Dans l’exemple précédent, si le moyen de transport est la marche, l’élève devra partir plus tôt que si c’était la bicyclette. Inversement, si l’élève se réveille en retard, il devra choisir un moyen de transport plus rapide pour rattraper le temps perdu. A

Trouve une autre variable qui peut influencer l’heure de départ pour l’école.

B

Explique comment la variable que tu as trouvée à la question A influence l’heure de départ.

C

Explique comment l’heure de départ influence la variable que tu as trouvée à la question A.

1. Détermine quelques variables qui entrent en jeu dans les situations suivantes. a) Acheter une voiture b) Faire un appel interurbain c) Faire cuire un rôti d) Faire le lavage e) Faire une activité physique f ) Faire l’épicerie g) Jouer à un jeu de société

4

CHAPITRE 1

LES VARIABLES

La mathématique fournit des outils pour analyser les types de relations qui lient les variables d’une situation. Le fait de connaître ces variables et l’influence qu’elles exercent les unes sur les autres permet de prendre des décisions éclairées. D

Selon toi, la valeur d’une variable est-elle toujours exprimée par un nombre ?

E

Parmi les variables déterminées dans l’Action ! de la page précédente, donne un exemple de variable dont les valeurs possibles : ne sont pas des nombres ; 2) sont des nombres. 1)

Comme les données d’une étude statistique, les valeurs que prennent les variables peuvent avoir un caractère quantitatif ou qualitatif. Lorsque des valeurs de certaines situations ne varient pas, on les appelle des valeurs constantes ou des constantes.

La variable

Constante : Dans une situation, élément qui conserve toujours la même valeur.

Dans une situation, les éléments dont la valeur peut changer sont les variables. Une variable à caractère quantitatif est une variable dont les valeurs sont des nombres. Exemples : L’âge, la masse, le salaire sont des variables à caractère quantitatif. Une variable à caractère qualitatif est une variable dont les valeurs ne sont pas des nombres. Exemples : Le sexe, la couleur des yeux, l’issue d’un match de hockey sont des variables à caractère qualitatif.

F

Dans la Question de culture ci-contre : 1) trouve quelques constantes ; 2) trouve une variable.

1. Trouve une variable à caractère quantitatif et une variable à caractère qualitatif en lien avec les situations suivantes. a) Prendre l’autobus b) Gagner une médaille olympique c) Aller au cinéma d) Peindre les murs de ta chambre 2. Indique des valeurs possibles pour les variables que tu as trouvées à la question 1.

Question de

culture

LEONHARD EULER (1707-1783) Mathématicien suisse, Leonhard Euler est un des premiers à s’intéresser au concept de variable. Même s’il a partiellement perdu la vue avant l’âge de 30 ans et qu’il est devenu aveugle par la suite, il a été le mathématicien le plus prolifique de son temps, avec la publication de près de 900 livres et articles.

LE CONCEPT DE VARIABLE

SECTION 1

5

1. Des variables sucrées Les Canadiens abusent du sucre Avec une consommation de sucre par habitant trois fois supérieure aux recommandations de l’Organisation mondiale de la santé (OMS), le Canada se place désormais au 2e rang mondial dans le palmarès des pays amateurs de plaisirs sucrés. Une situation inquiétante qui lui assure du même coup une place de choix dans le peloton de tête des États où l’obésité, l’embonpoint, mais aussi les maladies cardiovasculaires se portent bien, estime l’Organisation de coopération et de développement économique (OCDE). Selon l’OMS, cette substance ne devrait pourtant représenter dans un régime alimentaire guère plus que 10 % de l’apport quotidien en calories. Au-delà de sa passion pour le sucre, le Canada se distingue aussi sur la scène

mondiale pour le caractère énergivore de ses habitants, indique ce Panorama de la santé. Le pays se place en effet au 8e rang des pays de l’OCDE pour sa consommation de calories (l’énergie pour le corps), avec 3600 calories absorbées chaque jour par personne. C’est entre 1100 et 1600 calories de plus que la moyenne recommandée. Malgré ces travers, le Canada arrive toutefois à obtenir une bonne note en matière de consommation de fruits et de légumes, constate l’organisme international. Il satisfait en effet pleinement à la recommandation de l’OMS de mettre en moyenne 146 kilos de ces aliments dans son régime alimentaire par an pour vivre en santé. SOURCE : FABIEN DEGLISE, LE DEVOIR .

2. Quantité ou qualité Les situations suivantes mettent en jeu une ou plusieurs variables. Trouve ces variables et indique s’il s’agit de variables à caractère quantitatif ou de variables à caractère qualitatif. a) Le salaire hebdomadaire d’une personne qui gagne 12 $/l’heure b) Le nombre de marches gravies par un facteur qui distribue le courrier depuis 10 ans c) La couleur des murs d’une cuisine d) Le nombre de pattes dans un troupeau de moutons e) La réaction d’une femme qui vient d’apprendre qu’elle est enceinte

6

CHAPITRE 1

LES VARIABLES

a) Dans ce texte, trouve les éléments : 1) dont la valeur peut changer d’année en année (les variables) ; 2) qui devraient conserver la même valeur d’année en année (les constantes). b) Compare tes réponses avec celles de tes camarades.

3. Plus ça change… Selon toi, l’élément de chacun des énoncés suivants est-il une variable ou une constante ? a) Le nombre de « e » dans un livre b) Le nombre de « e » dans cet énoncé c) Le nombre de fois qu’une personne de ton âge s’est brossé les dents depuis sa naissance d) Le nombre de fois que tu as souri aujourd’hui e) La saveur d’une sauce à spaghetti f) La couleur de ta bicyclette

4. De grandes qualités a) Trouve deux situations qui comportent des variables à caractère quantitatif. Identifie clairement les variables de la situation. 2) Indique deux valeurs que peuvent prendre chacune de ces variables. 1)

b) Trouve deux situations qui comportent des variables à caractère qualitatif. 1) Identifie clairement les variables de la situation. 2) Indique deux valeurs que peuvent prendre chacune de ces variables. c) Trouve deux situations qui comportent à la fois des variables à caractère qualitatif et quantitatif. 1) Identifie clairement les variables de la situation. 2) Indique deux valeurs que peuvent prendre chacune de ces variables.

5. Une variable constante a) Indique si les éléments suivants sont normalement des variables. La tension d’une prise de courant en Amérique du Nord 2) Le nombre de marches, d’un étage à l’autre, dans un édifice donné 3) Le nombre de faces d’un cube 4) Le nombre de poils sur un chat 5) Le nombre de millimètres dans un kilomètre 6) La couleur du ciel, la nuit 7) Le nombre de jours d’école dans une semaine 1)

La masse de un litre d’eau 9) La couleur des yeux d’un enfant dont les deux parents ont les yeux bruns 10) Le montant du chèque de paye, d’une paye à l’autre, d’un employé de bureau 11) Le nombre de mots dans un roman de 250 pages 12) Le nombre de pages dans un journal 13) La taille d’un fichier informatique contenant deux images et mille mots 14) Le nombre de voitures sur le pont Pierre-Laporte, à Québec, en ce moment 8)

b) Explique tes réponses à une ou à un camarade.

6. Une variable, plusieurs valeurs a) Indique la valeur minimale et la valeur maximale pour chacune des variables suivantes. 1) La taille d’une personne 2) Le nombre de prises de courant dans un appartement 3) Le nombre d’articles dans un réfrigérateur 4) Le nombre de pales d’un ventilateur 5) La couleur d’une voiture b) Compare tes réponses avec celles de tes camarades.

LE CONCEPT DE VARIABLE

SECTION 1

7

1.2

Les situations à deux variables Maintenant que tu as abordé le concept de variable, intéressons-nous plus spécifiquement aux situations comportant deux variables et au moyen de représenter ces situations. L’étude de situations à deux variables consiste tout d’abord à identifier deux variables d’une situation et à observer certaines de leurs valeurs. Ensuite, il est possible d’étudier les relations entre ces variables, ce qui sera le sujet de la prochaine section. Voici des exemples de situations à deux variables.

Benoît mesure le temps que prend sa baignoire à se vider, selon le volume d’eau qu’elle contient.

Geneviève s’intéresse au montant de sa facture d’épicerie, selon le nombre d’articles achetés.

A

Quelles sont les deux variables de ces situations ?

B

Donne quelques valeurs que peut prendre chacune de ces variables.

C

Comment t’y prendrais-tu pour représenter les valeurs que peut prendre : 1) la variable nombre d’articles achetés ? 2) la variable montant de la facture d’épicerie ?

Une droite numérique permet de représenter les valeurs que peut prendre une variable à caractère quantitatif. Elle est moins utile, cependant, pour représenter simultanément les deux variables d’une situation. D

Comment t’y prendrais-tu pour représenter simultanément les valeurs que peuvent prendre les variables nombre d’articles achetés et montant de la facture d’épicerie ?

Avant de poursuivre l’étude des situations à deux variables, intéressons-nous davantage au moyen de les représenter.

8

CHAPITRE 1

LES VARIABLES

Le plan cartésien Puisqu’une droite sert à représenter des valeurs que peut prendre une variable, deux droites sont donc nécessaires pour représenter des valeurs que peuvent prendre deux variables.

Une image vaut mille mots. ≤≥ CONFUCIUS

Par exemple, supposons qu’après 35 articles, le montant de la facture d’épicerie de Geneviève s’élève à 100 $ (total 1) et qu’après 50 articles, il s’élève à 140 $ (total 2). T1 0

A

5

T1

T2

Nombre d’articles achetés

0

20

T2

Montant de la facture d’épicerie (Montant cumulatif)

Pourquoi est-il utile de nommer les droites numériques ?

Pour que la représentation de situations à deux variables soit utile, elle doit permettre de représenter simultanément les valeurs des deux variables. De cette façon, il sera possible de coupler les valeurs relatives à la même facture. En fait, il s’agit simplement de disposer les deux droites numériques de façon à former ce qu’on appelle un « plan cartésien ».

T2(50, 140) T1(35, 100)

En disposant les droites numériques de cette façon, les valeurs correspondantes de deux variables sont représentées à l’aide d’un seul point. Par exemple, le couple (35, 100) représente les valeurs des variables du total 1. B

Quel couple de nombres représente les valeurs des variables du total 2 ?

C

Que représente le couple (0, 0) dans ce contexte ?

D

Selon toi, quel mathématicien serait reconnu comme le « père » du plan cartésien ?

Couple : Paire de valeurs, de forme (a, b ), où a représente la valeur d’une variable et b représente la valeur correspondante d’une autre variable.

Simon Stevin Leonhard Euler Pythagore René Descartes Joseph Louis Lagrange

LE CONCEPT DE VARIABLE

SECTION 1

9

Abscisse : Valeur du premier nombre dans un couple de coordonnées. Ordonnée : Valeur du second nombre dans un couple de coordonnées.

Le plan cartésien Un plan cartésien est un système de repérage formé de deux droites numériques perpendiculaires : les axes. Le point de rencontre des axes s’appelle l’origine. Le plan comporte quatre secteurs nommés quadrants. Les quadrants sont numérotés dans le sens contraire des aiguilles d’une montre, c’est-à-dire le sens positif de rotation. Chaque point d’un plan cartésien possède des coordonnées qui lui sont spécifiques. Ensemble, l’abscisse et l’ordonnée déterminent l’emplacement ou l’adresse d’un point dans un plan cartésien. Exemple :

Quand je lis à voix haute les coordonnées d’un point, je dis : « Le point R, moins trois, cinq. » Je ne dis pas le mot « virgule ». Je lis simplement les coordonnées l’une à la suite de l’autre.

Deuxième quadrant

Premier quadrant

axe des ordonnées OU axe des y couple de coordonnées du point P P(x, y)

R(−3, 5)

ordonnée du point P abscisse du point P 1 1

ATTENTION Pour éviter toute confusion, les coordonnées d’un point doivent être présentées dans un certain ordre. Par convention, l’abscisse d’un point précède son ordonnée.

origine (O)

Troisième quadrant

axe des abscisses OU axe des x Quatrième quadrant

Le point doit toujours être nommé à l’aide d’une lettre majuscule. Les coordonnées, séparées par une virgule, doivent être entre parenthèses. Ainsi, pour désigner le point R d’abscisse −3 et d’ordonnée 5, on écrit : R(−3, 5).

Question de

culture

RENÉ DESCARTES (1596-1650) Philosophe et mathématicien français, René Descartes est reconnu pour ses travaux visant à permettre l’application de principes mathématiques à tous les aspects de la connaissance humaine. En plus de nombreux ouvrages pour lesquels on lui attribue souvent le titre de père de la philosophie et de père de la mathématique moderne, on lui doit la phrase célèbre : Cogito, ergo sum. (« Je pense, donc je suis. ») On dit que c’est en observant le mouvement d’une araignée au plafond, alors qu’il était couché sur son lit, que René Descartes aurait eu l’idée d’un système pour identifier parfaitement tous les points d’un plan. Même si la véracité de cette légende est difficile à établir, il reste que le plan cartésien est un outil fabuleux dans la quête humaine de la description du monde.

10

CHAPITRE 1

LES VARIABLES

Le 19 décembre, des élèves ont représenté les températures enregistrées au cours des trois jours précédents, la température du jour même et les températures prévues pour les trois jours suivants dans le plan cartésien que voici.

1. Quelles sont les deux variables de cette situation ? 2. Que représente l’axe : a) des abscisses ?

b) des ordonnées ?

3. Quelle température faisait-il le jour où les élèves ont construit ce plan cartésien ? 4. Quelle abscisse représente : a) le 17 décembre ?

b) le 22 décembre ?

5. Quelle abscisse représenterait : a) le 5 décembre ?

b) le 7 janvier ?

6. Quelle date correspond à l’abscisse : a) −12 ? b) 16 ? 7. Que représente le couple : a) (−2, 0) ?

b) (2, −8) ?

8. Quel couple représente : a) la température du 18 décembre ? b) la température du 22 décembre ? 9. Si les élèves avaient fait le relevé des températures le 19 juin, dans quels quadrants se trouveraient probablement tous les couples ?

LE CONCEPT DE VARIABLE

SECTION 1

11

1. Jusqu’au sommet ! Voici les sommets de quatre quadrilatères. A(4, 5) ; B(5, 4) ; C(3, 2) ; D(2, 3) E(−2, 3) ; F(1, 3) ; G(1, 0) ; H(−2, 0)

2. Janvier givré Voici les températures enregistrées du 16 au 19 janvier et la prévision des températures pour les trois prochains jours. 16 janvier

17 janvier

18 janvier

19 janvier

Avantavant-hier

Avanthier

Hier

Aujourd’hui

5 °C

0 °C

20 janvier 21 janvier 22 janvier Demain

Aprèsdemain

Aprèsaprèsdemain

I(−2, 5) ; J(−1, 3) ; K(−2, 1) ; L(−3, 3) −

M(−1, 2) ; N(0, 2) ; P(2, −2) ; R(−3, −2) a) Quels quadrilatères sont : 1) des rectangles ? 2) des losanges ? 3) des trapèzes isocèles ? 4) des carrés ? b) Peut-on dire que tous ces quadrilatères sont : 1) des trapèzes isocèles ? Pourquoi ? 2) des carrés ? Pourquoi ?

8 °C

−

−

5 °C

15 °C

−

4 °C

−

10 °C

−

a) Représente ces températures dans le même plan cartésien. b) Compare ta représentation graphique avec celles de tes camarades.

3. La vitesse des rayures a) Trouve ou estime trois couples de valeurs possibles pour les variables de chacune des situations suivantes. 1) Le nombre d’heures travaillées et le montant d’un chèque de paye La vitesse de parcours et le temps requis pour se rendre à Québec 3) La mesure du côté d’un triangle équilatéral et son périmètre 4) Le diamètre d’un tronc d’arbre et son âge 5) Le nombre de rayures d’un tigre et la vitesse à laquelle il peut courir 2)

b) Représente ces couples dans un plan cartésien. c) Dans quelles situations semble-t-il y avoir une relation entre les deux variables ?

12

CHAPITRE 1

LES VARIABLES

Utilise un plan cartésien par situation et nomme bien les axes.

4. Dans le rouge Voici le solde du compte bancaire de M. Dubois quelques jours avant la paye et quelques jours après la paye. a) Comment le solde peut-il être négatif le 27 et le 28 septembre ? b) Quelles sont les conséquences d’un solde négatif ? c) Quelles variables de cette situation pourraient être représentées dans un plan cartésien ? d) Représente cette situation dans un plan cartésien.

5. On voit la vitesse ! Voici la représentation graphique d’une situation où la vitesse d’une voiture est constante.

Distance (km)

Distance parcourue en voiture

a) Quelle est la vitesse de la voiture ? b) Quelle opération mathématique as-tu effectuée pour répondre à la question a ?

160 120 80 40 O

0,5

1 1,5 2 Temps (h)

6. Zoom ou non ? Maïté a dessiné un carré dans un plan cartésien. Commente l’affirmation suivante.

«

Si on doublait les graduations des axes sans changer les coordonnées des sommets du carré, on aurait l’impression que la taille du carré augmente.

y

1 1

x

»

LE CONCEPT DE VARIABLE

SECTION 1

13

1. Variable à l’horaire

2. Vrai ou faux ?

a) Dans chaque situation, indique les variables pouvant être considérées. 1) Un gérant d’épicerie prépare l’horaire des caissiers pour la semaine.

Indique si les énoncés suivants sont vrais ou faux. Si c’est faux, donne un contre-exemple. a) L’axe des abscisses se définit comme l’ensemble de tous les points dont l’abscisse est nulle.

Une vendeuse d’automobiles envisage d’offrir un rabais à un client. 3) Un étudiant veut acheter un ordinateur. 4) Un enfant doit traverser une rue. 5) Une enseignante doit déterminer le nombre de questions à inclure dans un devoir. b) Compare tes réponses avec celles de tes camarades. 2)

b) Les coordonnées d’un point situé dans le deuxième quadrant ne peuvent pas être égales. c) Un point situé sur la bissectrice du premier quadrant se trouve sur l’axe des abscisses. d) L’ordonnée d’un point situé dans le quatrième quadrant est nécessairement plus grande que son abscisse. e) Des points qui ont la même abscisse ne peuvent pas être dans des quadrants différents. f) Si l’ordonnée du point A est le double de l’ordonnée du point B, alors les points A et B sont nécessairement dans le même quadrant. g) Si les coordonnées d’un point sont de même signe, alors ce point est situé dans le premier quadrant. h) Si le produit des coordonnées d’un point est un nombre négatif, alors ce point est situé dans un « quadrant pair ». i ) Si la somme des coordonnées d’un point est un nombre positif, alors ce point est situé dans un « quadrant impair ».

3. Simple comme ABCD Soit le rectangle ABCD suivant.

4. Plutôt maligne Indique si les trios de points suivants sont alignés. Explique tes réponses. a) A(2, 3) ; B(3, 4) ; C(4, 6) b) D(−1, −1) ; E(−2, −2) ; F(5, 5) c) G(0, 0) ; H(1, 7) ; I(2, 14) d) J(−2, 4) ; K(−4, 2) ; L(−3, 3)

14

CHAPITRE 1

LES VARIABLES

a) Quelles sont les coordonnées des sommets de ce rectangle ? b) Détermine le périmètre de ce rectangle. c) Calcule l’aire de ce rectangle. d) Selon toi, était-il possible de répondre aux questions b et c seulement à partir des coordonnées des sommets ? Explique ta réponse.

y

A

B 1 O

D

1

x C

5. « Planifier » une situation

Assure-toi d’écrire un titre, de nommer tes axes et de bien les graduer.

a) Représente les situations à deux variables suivantes dans un plan cartésien. Le nombre de minutes par jour que tu as consacrées à l’activité physique dans les cinq derniers jours 2) Le nombre de congés scolaires selon le mois de l’année 3) L’évolution du nombre de personnes dans ta famille, au fil du temps 4) Le nombre de livres que tu as lus au cours des cinq dernières années b) Comment détermines-tu la variable que tu places sur l’axe des abscisses ? c) Quelles situations ne pourraient pas être représentées par un trait continu ? Explique ta réponse. 1)

6. Coordonnées relatives Simon a placé trois points dans un plan cartésien. P1(27, −22) P2(−2, −68) P3(−39, −43) a) Quel point est le plus près de l’origine ? b) Quel point est le plus loin de l’origine ? Sophie veut placer les points P4, P5 et P6 autour du point C(81, 134) exactement comme les points P1, P2 et P3 sont placés autour de l’origine. c) Pourquoi peut-on savoir avec certitude que les points P4, P5 et P6 sont tous dans le premier quadrant ? d) Quelles sont les coordonnées des points P4, P5 et P6 ?

8. Avec un peu d’imagination a) Sans utiliser de plan cartésien, essaie de donner les coordonnées des points qui pourraient être les sommets : 1) d’un carré ABCD ; 2) d’un quadrilatère quelconque WXYZ ; 3) d’un triangle isocèle EFG ; 4) d’un parallélogramme RSTU. b) Vérifie tes réponses à l’aide d’un plan cartésien.

J’utilise un plan cartésien dans ma tête !

7. Vérification faite Vérifie les conjectures suivantes. a) Tous les points dont l’abscisse est le double de l’ordonnée sont situés dans le premier quadrant d’un plan cartésien. b) Si le quotient des coordonnées d’un point est négatif, alors ce point est dans un « quadrant pair ». c) L’abscisse des points du deuxième quadrant est un nombre plus petit que l’ordonnée de ces points. d) Il est possible que l’abscisse d’un point du quatrième quadrant soit égale à son ordonnée.

BRIC À MATHS

SECTION 1

15

La relation entre deux variables L’analyse du comportement d’une variable par rapport à une autre variable permet d’interpréter des situations. Elle donne l’occasion de reconnaître des tendances et même de faire des prédictions. L’influence qu’une variable peut avoir sur une autre variable intéresse beaucoup les spécialistes de divers domaines.

2.1 Exploration En affaires, quelles variables peuvent influencer le choix d’un type de commerce ?

L’influence d’une variable sur une autre variable En médecine sportive, l’étude de relations entre des variables conduit à déterminer l’effet de certaines activités sur la santé. A

Selon toi, quelles variables associées à l’activité physique ont une influence sur la santé ?

En biologie marine, l’étude de relations entre des variables permet notamment d’observer l’évolution des écosystèmes marins, c’est-à-dire la faune et la flore aquatiques. B

Selon toi, quelles variables peuvent avoir une influence sur les écosystèmes marins ?

En pharmacologie, l’étude de relations entre des variables permet de mettre au point des remèdes efficaces pour traiter certaines maladies. C

16

CHAPITRE 1

Selon toi, quelles variables permettent de déterminer si un remède est efficace ou non ?

LES VARIABLES

En étudiant une situation à deux variables, on tente généralement de déterminer la façon dont une variable varie par rapport à l’autre. D

Décris une situation à deux variables où : 1) l’augmentation de la valeur d’une variable fait augmenter la valeur de l’autre variable ; 2) l’augmentation de la valeur d’une variable fait diminuer la valeur de l’autre variable ; 3)

la valeur d’une variable n’a pas d’effet sur la valeur de l’autre variable.

Reproduis le tableau ci-dessous. Inscris-y les situations que tu as décrites à la question D.

E

Exemples de trois types de relations entre deux variables Les valeurs des variables varient dans le même sens

Les valeurs des variables varient en sens inverse

Les variables n’ont pas de relation entre elles

Tu as raison. Mais ça veut aussi dire que lorsque la valeur d’une variable diminue, la valeur de l’autre variable diminue aussi.

« Varier dans le même sens » signifie que lorsque la valeur d’une variable augmente, la valeur de l’autre variable augmente aussi.

F

Que signifie « varier en sens inverse » ?

G

Selon toi, existe-t-il d’autres types de relations entre deux variables ?

1. Pour chacune des situations suivantes, détermine le type de relation entre les variables. a) Le nombre de calories dépensées et la durée de l’entraînement b) La somme d’argent consacrée à la recherche et les dons amassés lors d’un téléthon c) La fréquence à laquelle une personne regarde le hockey à la télévision et son habileté à jouer au hockey d) Le débit d’un tuyau et la vitesse à laquelle une piscine se remplit e) Le diamètre du drain d’une baignoire et le temps requis pour vider la baignoire 2. Inscris-les dans le tableau que tu as rempli à la question E.

LA RELATION ENTRE DEUX VARIABLES

SECTION 2

17

Une variable de référence Deux automobilistes ont compilé les données suivantes lors de leur dernier déplacement.

Mon voyage à Tracy Temps écoulé Distance parcourue

Un match à Boston Distance parcourue Temps écoulé

0 min

0 km

0 km

0 min

30 min

22,5 km

50 km

42 min 34 s

60 min

71,8 km

100 km

1 h 17 min 12 s

90 min

117,4 km

150 km

1 h 49 min 57 s

120 min

142,9 km

200 km

2 h 21 min 6 s

A

Dans quelle situation est-il plus facile de déterminer la vitesse moyenne de l’automobiliste ? Explique ta réponse.

B

Quel automobiliste a calculé la distance parcourue pour des intervalles fixes de temps ? Explique ta réponse. Dans une situation à deux variables, les valeurs d’une des variables sont calculées à partir de valeurs fixes de l’autre variable. La variable qui prend des valeurs fixes est la variable de référence ou variable indépendante. La variable dont la valeur est calculée à partir de la variable de référence ou variable indépendante est la variable dépendante. C

COMMENT AURAIS-JE PU ROULER À 120 KILOMÈTRES L’HEURE ? IL Y A À PEINE 10 MINUTES QUE JE SUIS SUR LA ROUTE ! (HERMAN, DE JIM UNGER)

STRATÉGIE Le temps est souvent une variable indépendante. La masse, la taille (et autres mesures), les salaires et les profits (et autres données relatives à l’argent) sont souvent des variables dépendantes.

18

CHAPITRE 1

LES VARIABLES

Commente l’illustration ci-contre. Selon toi, qu’est-ce que l’agent de police pourrait répondre à la dame ?

Dans chacune des situations à deux variables suivantes, indique quelle variable est normalement calculée à partir de valeurs fixes de l’autre variable. 1. Le salaire et le nombre d’heures travaillées 2. Le nombre de pommes achetées et le prix

En fait, on demande d’indiquer la variable dépendante.

3. Le nombre de calories dépensées et la durée d’une activité physique 4. La quantité de nourriture apportée en excursion et la durée de cette excursion

1. Un peu partout

2. C’est quoi, le rapport ?

Indique si les valeurs des variables des situations suivantes varient dans le même sens, varient en sens inverse ou n’ont pas de relation entre elles. Explique ton raisonnement. a) Le nombre de fautes d’orthographe qu’une élève fait dans un texte et le nombre d’erreurs de calculs que la même élève fait dans un devoir de mathématique b) Le coût du chauffage pour une maison et la température extérieure c) Le nombre de voitures sur les routes du Québec et la quantité de monoxyde de carbone rejeté dans l’air d) La vitesse d’un ascenseur et le temps requis pour atteindre le 36e étage d’un gratte-ciel e) Le nombre de pièces d’une maison et le nombre de fenêtres qu’on y retrouve

3. La variable de référence Identifie les variables de chacune des situations suivantes, puis trouve la variable indépendante. a) Roberta calcule qu’elle a besoin d’un certain nombre de millilitres de peinture pour couvrir une surface donnée. b) Le grand chef Rodrigo met un nombre de plats au four selon la quantité de personnes dans son restaurant. c) Po Ling observe un certain nombre de bactéries sur une surface déterminée. d) François compte le nombre de pas qu’il fait pour une distance donnée. e) Dany vend des tablettes de chocolat à 3 $. Il rend la monnaie selon le montant d’argent qu’on lui a donné.

a) Indique si les deux variables de chacune des situations suivantes ont une influence l’une sur l’autre. Donne des arguments pour appuyer tes réponses. 1) L’habileté en dessin et la créativité 2) Le rang dans la famille et les résultats scolaires 3) Le taux d’accroissement d’une population et le nombre de personnes âgées 4) La population d’une ville et le nombre de sans-abri 5) L’âge d’un dalmatien et le nombre de taches noires sur son corps b) Compare tes réponses avec celles d’une ou d’un camarade.

LA RELATION ENTRE DEUX VARIABLES

SECTION 2

19

2.2

La représentation graphique d’une situation à deux variables Une représentation graphique permet de visualiser la relation qui existe entre des variables. Pour pouvoir construire ce graphique, il faut d’abord connaître un certain nombre de valeurs pour chacune des deux variables. On pourra ensuite représenter les couples de données ainsi formés dans un plan cartésien. Table de valeurs : Présentation, dans un tableau, de valeurs prises par deux variables d’une situation.

Les couples d’une situation à deux variables peuvent être inscrits dans une table de valeurs. Voici une table de valeurs d’une situation où l’on considère la mesure du côté d’un carré ainsi que l’aire du carré. Mesure du côté du carré (cm)

1

2

3

4

5

6

7

8

Aire du carré (cm2)

1

4

9

16

25

36

49

64

ATTENTION La graduation de chacun des axes doit être constante.

1. Essaie de représenter la relation entre la mesure du côté d’un carré et son aire dans un plan cartésien. 2. Compare ton graphique avec ceux de tes camarades.

Le graphique Contrairement à une table de valeurs, le graphique d’une situation à deux variables donne rapidement une idée du type de relation qui existe entre les deux variables. Prenons, par exemple, le graphique ci-contre. A

Selon toi, quelles sont les variables de la situation représentée par ce graphique ?

Supposons que les variables en jeu soient les profits d’une entreprise à mesure que le temps passe. B

Quelle variable est alors placée en abscisse ? Explique ta réponse.

C

Parmi les énoncés suivants, indique celui qui peut s’appliquer aux profits de l’entreprise. Plus le temps passe, moins l’entreprise fait des profits. On ne peut pas établir de lien entre les années et les profits de l’entreprise. Plus le temps passe, plus l’entreprise fait des profits.

D

20

CHAPITRE 1

LES VARIABLES

Construis un graphique à main levée pour représenter les situations dont il est question dans les deux énoncés que tu n’as pas choisis à la question C.

LES ANIMATIONS, UNE QUESTION DE VARIABLES Une animation est composée de plusieurs images dont l’enchaînement fournit à l’œil l’illusion d’un mouvement fluide. Sans la technologie, la création de toutes ces images, que ce soit au cinéma, dans les jeux vidéo ou dans Internet, représenterait une tâche presque impossible à réaliser. Des logiciels permettent de créer une animation à partir des dessins de la première et de la dernière image seulement. L’ordinateur s’occupe du reste. Dans l’exemple suivant, le soleil jaune se déplace vers la droite et devient graduellement un soleil vert de plus petit diamètre.

1. Selon toi, quelles variables le logiciel doit-il considérer pour créer les images 2, 3 et 4 ? 2. a) Selon toi, est-ce que la distance entre chaque soleil est la même ? À l’aide de la règle graduée en pixels située au-dessus et à gauche de l’animation, il est possible de mesurer la taille de chaque image et d’en estimer la position. b) Remplis la table de valeurs suivante et construis la représentation graphique correspondante. Image

Position

1

160

2

285

3

410

4

535

5

660

Taille

c) Que constates-tu quand tu observes ta représentation graphique ?

Question de

culture

L’ILLUSION DU MOUVEMENT Constamment sollicité, l’œil humain agit parfois en « trompel’œil » en créant l’illusion d’un seul mouvement fluide à partir d’une succession d’images. C’est le phénomène qui se produit lorsqu’on regarde un film, une animation vidéo ou encore une émission de télévision. Les images qui sont projetées sur la rétine sont conservées en mémoire pendant une courte période, c’est-à-dire quelques centièmes de seconde. Puisque les images se succèdent à une vitesse relativement élevée, l’œil conserve en mémoire l’image précédente jusqu’à ce que la suivante arrive, d’où l’impression d’un mouvement continu. Au cinéma, la vitesse normale d’enregistrement et de diffusion est de 24 images par seconde, alors qu’elle est de 30 images par seconde à la télévision, au Québec.

LA RELATION ENTRE DEUX VARIABLES

SECTION 2

21

L’ensemble des couples représentés dans un plan cartésien traduit une relation entre deux variables. En effet, selon le type de relation, le graphique a une allure et des caractéristiques particulières. E

Selon toi, quelle est l’allure générale d’un graphique qui représente une situation : 1) où les valeurs des deux variables varient dans le même sens ? Explique ta réponse. 2)

où les valeurs des deux variables varient en sens inverse ? Explique ta réponse.

Voici trois graphiques construits à main levée. Graphique A

Graphique B

Graphique C

Chacun d’eux représente une situation différente. Le temps requis pour construire un cabanon selon le nombre d’ouvriers

La température extérieure selon le jour de la semaine

Le nombre de calories absorbées selon le nombre de barres de céréales mangées

1. Détermine le type de relation qui existe entre les variables de chaque situation. 2. Associe chaque graphique à la situation qu’il représente. 3. Selon toi, quelle variable de chaque situation se trouve sur l’axe des abscisses ? 4. Compare tes réponses avec celles de tes camarades.

ATTENTION Dans la représentation graphique d’une situation à deux variables, on place la variable indépendante sur l’axe des abscisses.

22

CHAPITRE 1

LES VARIABLES

Le graphique d’une situation à deux variables La disposition des couples dans un plan cartésien constitue le graphique d’une situation à deux variables. Un graphique permet, entre autres, de déterminer le type de relation existant entre deux variables d’une situation. Il favorise également l’interprétation de cette relation. Exemples : Certains graphiques représentent des situations où les variables varient dans le même sens. Patin-O-Thon

70 60 50 40 30 20 10 O

Montant recueilli ($)

Aire (cm2)

Le carré

2

4 6 8 Mesure d’un côté (cm)

300 250 200 150 100 50 O

Plus on va vers la droite, plus ça monte !

10 20 30 40 Distance patinée (km)

Certains graphiques représentent des situations où les variables varient en sens inverse.

60 50 40 30 20 10 O

Refroidissement au congélateur Température (°C)

Nombre d’ouvriers

Construction d’un garage

Temps d’exposition (min)

10 5 0 −5

20

40

60

−10 −15

10

20 30 40 Temps requis (jours)

−20

Plus on va vers la droite, plus ça descend !

F

Selon toi, quelle peut être l’allure d’un graphique dans lequel il existe un autre type de relation entre deux variables ?

LA RELATION ENTRE DEUX VARIABLES

SECTION 2

23

1. À table !

2. Laisser couler l’encre

Représente chacune des situations suivantes dans un plan cartésien. Situation A x

y

3

13

5

27

9

55

11

69

Situation B y

8

21,5

11

45

−

17

53

20

63,5

Situation C

Nombre de pages imprimées

0

5

10

20

40

42

50

Quantité d’encre utilisée (mL)

0

15

20

60

200

220

300

a) Laquelle des deux variables est normalement calculée à partir de l’autre ? b) Représente cette situation dans un plan cartésien. c) Es-tu en accord ou en désaccord avec les affirmations suivantes ? 1) En moyenne, l’imprimante utilise 6 mL d’encre par page. 2) Toutes les pages (de 1 à 50) ont nécessité la même quantité d’encre. 3) Les premières pages de ce travail contiennent moins de mots que les dernières.

3. Lentement mais sûrement

x

y

1

10,5

9

18,5

2

7,5

Voici la représentation graphique des distances parcourues selon le temps de parcours par les voitures A et B, roulant à des vitesses constantes.

6

15,5

Vitesse des voitures A et B

−

Situation D y

x

5

2

9

4

13

6

17

8

Distance

−

x

La table de valeurs suivante indique la quantité d’encre utilisée en fonction du nombre de pages imprimées.

Voiture A Voiture B

Temps

a) Les deux voitures ont-elles parcouru la même distance ? b) Les deux voitures ont-elles accompli leur trajet dans le même laps de temps ? c) Quelle voiture avait la plus grande vitesse ? Explique ton raisonnement.

24

CHAPITRE 1

LES VARIABLES

4. Toutes tables confondues Voici des tables de valeurs qui représentent différentes situations. a) Explique, de la façon la plus précise possible, les situations que représentent les tables de valeurs 1 et 2. 1) Quantité de pluie tombée hier Heure

0h

2h

4h

6h

8h

10 h

12 h

14 h

16 h

18 h

20 h

22 h

0

0

0

2

3

4

5

5

5

6

6

7

Quantité de pluie (mm)

2) Évolution du régime de Mme Lavigne au cours des derniers mois Mois

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Masse (kg)

82

79

77

75

74

73

72

70

70

70

71

b) Invente une situation réaliste pour la table de valeurs 3. 3) Situation x

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

y

20

22

24

26

28

30

32

34

36

38

40

42

c) Représente chacune de ces situations dans un plan cartésien.

5. Plusieurs plans Pour chacune des situations ci-dessous : a) identifie les deux variables ; b) détermine la variable normalement calculée à partir de l’autre ; c) construis une table de valeurs ; d) représente la situation dans un plan cartésien. La population d’une ville de 100 000 personnes s’accroît de 3000 personnes par année.

Karine anime des sessions de perfectionnement en aérobie. On lui verse 500 $ pour la session et 25 $ de plus par personne inscrite.

Dans un restaurant à thème sportif, la propriétaire calcule qu’elle vend en moyenne 10 ailes de poulet par personne les soirs où il y a une partie de hockey.

Pour financer les activités étudiantes, les élèves d’une école vendent des caisses d’agrumes. Toutes les cinq caisses vendues, chaque élève dépose un bout de papier identifié à son nom dans un baril. À la fin de la campagne de financement, l’école tirera un nom et remettra une récompense à la personne gagnante.

LA RELATION ENTRE DEUX VARIABLES

SECTION 2

25

1. Farfelu, c’est nul ? Pour chacune des situations ci-dessous, indique si les valeurs des variables varient dans le même sens, varient en sens inverse ou n’ont pas de relation entre elles. Explique ton raisonnement. a) Le montant de la facture d’épicerie et le nombre d’articles achetés b) Le périmètre d’un octogone régulier et la mesure de son côté c) La distance parcourue en voiture et la quantité d’essence consommée d) La superficie d’un pays et le nombre d’hôpitaux de ce pays e) Le prix d’un roman et le nombre de pages du roman f ) Le nombre de peintres et le temps requis pour peindre un appartement g) La température extérieure et la température dans la classe de mathématique h) La mesure du côté d’un carré et l’aire de ce carré

2. Quand la « roulette » des dollars tourne plus vite que celle des litres ! On a noté, lors de 10 journées du mois de septembre, le prix du litre d’essence ordinaire dans une station-service de Montréal.

Prix (¢)

Le prix du litre d’essence ordinaire en septembre, l’an dernier 160 150 140 130 120 110 100 90 O

5

10

15

20

25

30 Date

a) Construis la table de valeurs correspondant à ce graphique. b) Estime la différence entre le prix de 50 L d’essence le 24 septembre et le prix de 50 L d’essence le 7 septembre. c) Selon toi, qu’est-ce qui a une influence sur le prix de l’essence ?

26

CHAPITRE 1

LES VARIABLES

3. Des hauts et des bas a) Décris chacun des graphiques suivants dans tes propres mots.

1

1

1

O 1

O 1

O 1

1

1

1

O 1

O 1

O 1

1 O 1

1

1

O 1

O 1

b) Quel graphique illustre une relation : 1) où les variables varient dans le même sens ? 2) où les variables varient en sens inverse ? c) Quel graphique te semble être le plus simple ? Explique ta réponse. d) Compare tes réponses avec celles de tes camarades. e) Choisis trois graphiques et invente un contexte réaliste pour chacun.

4. Ne pas se fier aux apparences a) Invente quatre situations à deux variables. b) Propose à une ou à un camarade de trouver les variables de tes situations pendant que tu trouves celles des siennes.

5. Des variables linguistiques Il y a des variables ailleurs qu’en mathématique, comme la partie b de l’activité 4 en témoigne.

«

Propose à une ou à un camarade de trouver les variables de tes situations pendant que tu trouves celles des siennes.

a) b) c) d)

»

Quel mot celles remplace-t-il ? À quoi le mot siennes fait-il référence ? Rédige une phrase. Utilise un mot qui fait référence à un autre mot. Comment appelle-t-on ce type de mot en français ?

BRIC À MATHS

SECTION 2

27

6. À la recherche de variables Nous sommes constamment à la recherche de variables qui ont une influence sur la météo, les résultats scolaires ou l’efficacité d’un traitement pour une maladie donnée. a) Trouve quelques variables qui ont une influence sur : 1) la température extérieure ; 2) le salaire annuel d’une personne ; 3) la taille d’une personne ; 4) la santé d’une personne ; 5) l’apparition d’un mal de tête. b) Compare tes réponses avec celles de tes camarades. Ensemble, entendez-vous sur la variable qui influence le plus chaque situation. c) Pour chaque situation, écrivez une phrase comme le modèle suivant. « Selon nous, la température extérieure dépend principalement de .»

7. Mon voyage à Tracy Voici deux graphiques construits à main levée représentant la situation « Mon voyage à Tracy » de la page 18.

a) Indique quel type de relation existe entre les variables représentées dans les tables de valeurs suivantes. 1)

2)

3)

Mon voyage à Tracy

30 60 90 120 Temps (min)

160 120

x

3

7

9

17

y

7

15

19

35

x

6

7

8

9

30 60 90 120

y

9

8

7

6

Temps (min)

x

1

2

3

4

y

5

10

15

20

b) Propose une situation réaliste pour chacune des tables de valeurs.

28

142,9 117,4 71,8 22,5 Distance parcourue (km)

8. Une relation certaine

Distance parcourue (km)

Mon voyage à Tracy

CHAPITRE 1

LES VARIABLES

80 40

a) Quelle est la principale différence entre ces deux graphiques ? b) Selon toi, la même situation peut-elle être traduite par deux représentations graphiques ? Explique ta réponse. c) Selon toi, quel graphique représente bien la situation « Mon voyage à Tracy » ? Explique ta réponse.

9. Un jour de repos entre deux entraînements Louis a construit deux représentations graphiques de la même situation.

a) Selon toi, quelle représentation est la plus adéquate ? Explique ta réponse. b) Pourquoi a-t-il coupé l’axe des ordonnées ? Voici deux représentations graphiques d’une autre situation.

c) Selon toi, quelle représentation est la plus adéquate ? Explique ta réponse. d) Quel parallèle peux-tu faire entre cette situation et le concept de données statistiques discrètes ou continues que tu as étudié l’an dernier ?

Lorsque les données peuvent prendre toutes les valeurs d’un intervalle, on dit que ce sont des données à caractère quantitatif continu. Lorsque les données ne peuvent pas prendre toutes les valeurs d’un intervalle, on dit que ce sont des données à caractère quantitatif discret.

BRIC À MATHS

SECTION 2

29

10. Avec des arguments

11. Abscisse, bissectrice

a) Essaie de convaincre quelqu’un que les points A(3, 4), B(−4, 3), C(−3, −4) et D(4, −3) sont les sommets d’un losange, sans les tracer dans un plan cartésien. b) Toujours sans les tracer, donne les coordonnées de quatre points formant les sommets d’un trapèze isocèle.

Vérifie les conjectures suivantes. a) L’axe des abscisses est formé des points dont les abscisses sont nulles. b) Tous les points situés sur la bissectrice du premier quadrant sont à égale distance de l’axe des abscisses et de l’axe des ordonnées. c) Les coordonnées des points formant la bissectrice du deuxième quadrant sont des nombres opposés. d) La somme des coordonnées des points formant la bissectrice du quatrième quadrant est nulle. e) Le quotient des coordonnées des points formant la bissectrice du troisième quadrant est négatif. f) Si un point est situé sur l’axe des abscisses, alors il se trouve dans plus d’un quadrant.

12. Du carré au losange À partir du point A(−2, 5) : a) forme un carré ABCD de manière que chaque sommet soit situé dans un quadrant différent. Indique les coordonnées des sommets du carré. b) forme un losange AEFG ayant des sommets dans trois quadrants différents. Indique les coordonnées des sommets du losange.

13. Poussée de croissance Depuis que Marc-Antoine a deux ans, sa mère reporte chaque année la taille de son fils sur la girafe illustrée ci-contre, puis la note dans un cahier. a) Quelles sont les deux variables de cette situation ? b) Quelle est la variable de référence de cette situation ? c) Reproduis les données recueillies sur la page du cahier dans une table de valeurs. d) Représente cette situation dans un plan cartésien. e) Compare ton graphique avec ceux de tes camarades. f ) Quel type de relation semble-t-il y avoir entre les deux variables de cette situation ?

30

CHAPITRE 1

LES VARIABLES

14. Sens dessus dessous Mme Paquin tente de représenter la croissance de sa fille Zoé dans un plan cartésien.

Âge (jours)

Croissance de Zoé 1000 800 600 400 200 0

50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 Taille (cm)

Qu’est-ce qui cloche dans ce graphique ?

15. Le jogging de Sylvain Sylvain s’entraîne sur une piste circulaire en vue du marathon de Montréal. Élizabeth, sa copine, l’encourage. Pour passer le temps, elle note l’heure chaque fois que Sylvain termine un tour de piste. Elle lui présente ensuite ce plan cartésien, fait avec un tableur. Nombre de tours de piste

1

2

3

4

5

6

7

Temps (min)

6

12

20

30

40

45

49

16. Donnez-moi vos coordonnées

a) Combien de tours Sylvain a-t-il faits ? b) Combien de temps a duré son entraînement ? c) Sylvain affirme avoir terminé son entraînement par un sprint. Est-ce vrai ? Explique ta réponse. d) Que dois-tu supposer pour être en mesure de relier les points du plan cartésien avec des segments de droite ?

Donne les coordonnées d’un point situé : a) sur la même ligne verticale que P(−2, −4) ; b) sur la même ligne horizontale que N(−2, −4) ; c) sur la bissectrice du premier quadrant ; d) sur la bissectrice du deuxième quadrant.

BRIC À MATHS

SECTION 2

31

17. Ce n’est pas un jeu d’enfant Voici une représentation graphique des points obtenus par Magalie à un jeu-questionnaire.

Total cumulatif des points obtenus

Partie du résultat de Magalie au jeu-questionnaire 30 25 20 15 10 5 O

1 2 3 4 5 6 7 8 9 Nombre de questions auxquelles Magalie a répondu

REMARQUES

• Magalie a répondu aux neuf questions dans l’ordre et les points ont été notés dans l’ordre. • Les questions valent, dans l’ordre : 3, 7, 2, 4, 5, 3, 2, 1 et 3 points. • Le total possible de points est 30 ; il n’y a pas de points reçus en prime. • Le nombre de points attribués à chaque question est un nombre entier. • Il est impossible d’avoir moins que zéro à une question.

a) Décris ce graphique dans tes propres mots. b) Pour quelle(s) question(s) manque-t-il d’information sur le nombre de points obtenus ?

18. Le lien qui les unit Détermine la relation qui existe entre les droites GJ et HK si les coordonnées de G, H, J et K sont les suivantes. a) G(6, 7) ; H(4, 5) ; J(8, 11) ; K(6, 9) b) G(0, 0) ; H(1, 1) ; J(2, 3) ; K(−4, 3)

c) Magalie a certainement obtenu tous les points à plusieurs questions. À combien de questions en tout a-t-elle obtenu tous les points ? d) Magalie peut-elle avoir obtenu deux points à la question 4 ? Explique ta réponse. e) Quel est le résultat final de Magalie ?

19. Comment taire ? Commente les affirmations suivantes. a) Le point P(−4, 4) est situé sur la bissectrice du deuxième quadrant. b) Le point P(0, −4) est situé sur l’axe des abscisses. c) Il est possible que les graduations des axes ne soient pas constantes. d) Les coordonnées des points du quatrième quadrant sont toutes deux négatives. e) Un point n’est pas toujours noté par une lettre majuscule.

32

CHAPITRE 1

LES VARIABLES

20. Graduation

21. Des mots au graphique

Voici une table de valeurs. Prix ($) Quantité

250

450

1000

1500

1

2

5

8

a) Détermine quelles graduations des axes seraient les plus appropriées pour représenter cette situation dans un plan cartésien. Axe des abscisses – Graduations proposées 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8 300 ; 600 ; 900 ; 1200 ; 1500 1; 2; 5; 8 Axe des ordonnées – Graduations proposées 250 ; 450 ; 1000 ; 1500 250 ; 500 ; 750 ; 1000 ; 1250 ; 1500

Représente les relations suivantes dans un plan cartésien. a) L’abscisse est égale à l’ordonnée. b) L’ordonnée est toujours le double de l’abscisse. c) La différence entre l’abscisse et l’ordonnée des couples est toujours égale à 3. d) La somme des coordonnées des couples est toujours égale à 7. e) L’ordonnée est le carré de l’abscisse.

2; 4; 6; 8 b) Quel titre donnerais-tu à un graphique qui représenterait cette situation ? Explique ta réponse. c) Compare tes réponses avec celles de tes camarades.

LE TABLEUR : UN AUTRE SYSTÈME DE REPÉRAGE Il est possible d’établir plusieurs parallèles entre les coordonnées d’un point dans un plan cartésien et les « coordonnées » d’une cellule dans un tableur.

1. 2. 3. 4.

Trouve deux ressemblances entre ces deux systèmes de repérage. Trouve deux différences entre ces deux systèmes de repérage. Quel est le « nom » de la 27e colonne d’un tableur ? Compare tes réponses avec celles de tes camarades.

BRIC À MATHS

SECTION 2

33

Situation 1 Le concept de variable se retrouve dans plusieurs expressions courantes. Voici quelques-unes de ces expressions. Plus ça change, plus c’est pareil.

L’argent ne fait pas le bonheur.

Plus on est de fous, plus on rit.

Qui trop embrasse mal étreint.

a) Nomme les variables en jeu dans chacune des expressions. b) Détermine si l’expression a du sens ou non. c) Indique le type de relation qui semble exister entre les variables. d) Essaie de trouver une autre expression où l’on retrouve une relation entre deux variables.

Situation 2 a) Quel est le système de repérage utilisé sur un globe terrestre ? b) Comment fonctionne-t-il ? c) Pourquoi le plan cartésien n’est-il pas utile dans ce cas ?

34

CHAPITRE 1

LES VARIABLES

Situation 3 « Le temps, c’est de l’argent. » Voilà un proverbe bien connu. a) Quelles sont les deux variables en jeu dans ce proverbe ? b) Quelle variable dépend de l’autre dans cette situation ? Explique ta réponse. L’Association québécoise de la fibrose kystique a remanié ce proverbe à sa façon, comme on peut le lire dans leur site Internet. c) De quelle façon le proverbe remanié inverse-t-il la relation entre les deux variables ? Explique ta réponse.

En finançant la recherche… En fibrose kystique de l’argent c’est du temps ! En 1960, un enfant atteint de fibrose kystique possédait une espérance de vie de 4 ans. Grâce à la recherche, l’âge médian de survie d’une personne atteinte de fibrose kystique (FK) est maintenant de 37 ans. Ce qui veut dire que 50 % des personnes FK auront peut-être la chance d’atteindre et de dépasser l’âge de 37 ans.

Question de

culture

LA FIBROSE KYSTIQUE Maladie héréditaire, la fibrose kystique se caractérise par un mauvais fonctionnement des glandes muqueuses, qui cause principalement des dommages aux poumons et au système digestif. Au Canada, on estime que 1 nouveau-né sur 3600 souffre de fibrose kystique. Bien qu’il n’existe aucun remède à l’heure actuelle, la découverte du gène responsable de cette maladie, en 1989, a fourni aux chercheurs et aux patients une source d’espoir. Actuellement, 47 % des personnes fibro-kystiques au Canada ont 18 ans ou plus.

DANS LA VIE…

CHAPITRE 1

35

Faire le point Complète le texte suivant. 1

Une

est un élément d’une situation dont la valeur peut changer.

2

Il existe deux types de variables : les variables

3

Dans certaines situations, deux variables peuvent varier dans le . Dans d’autres situations, elles peuvent varier en . Il existe aussi d’autres types de relations entre deux variables.

4

Le plan cartésien est un système de repérage formé de deux axes qui permet d’illustrer la relation entre deux variables.

5

Les coordonnées d’un point sont formées d’une Ensemble, ces coordonnées forment un .

6

Le d’une situation à deux variables est constitué de couples, disposés dans un plan cartésien.

7

La permet de compiler des valeurs numériques possibles pour les deux variables.

8

On calcule la valeur de la variable

9

On place la variable

et les variables

et d’une

CHAPITRE 1

LES VARIABLES

, .

à partir de la valeur de la variable

sur l’axe des ordonnées.

L’an dernier, tu as sans doute utilisé plusieurs méthodes pour organiser tes connaissances, que ce soit des résumés, des tableaux ou des réseaux de concepts. Peut-être as-tu trouvé la méthode qui te convenait le mieux. Cette année, tu peux utiliser cette méthode ou en essayer d’autres pour organiser tes connaissances dans chaque Escale. Pour ce faire, tu peux t’inspirer des énoncés ci-dessus. Si certains concepts et processus que tu juges essentiels n’y apparaissent pas, tu peux les inclure dans ta synthèse.

36

.

.

Activité d’intégration

70 % des jeunes Québécois ne respectent pas les critères minimaux en matière d’activité physique

Malbouffe et sédentarité sont synonymes d’obésité chez les jeunes

Déclarée épidémie mondiale par l’Organisation mondiale de la santé (OMS), l’obésité n’épargne pas le Québec

1. À partir de ces manchettes, trouve deux variables influençant l’obésité chez les jeunes. 2. Selon toi, quelle variable est la plus déterminante ? Explique ta réponse.

3. Choisis une des variables présentées dans cette activité, puis effectue une recherche dans Internet pour trouver des données statistiques sur cette variable. 4. Compile tes données à l’aide d’un tableur électronique. Construis ensuite la représentation graphique de tes données. 5. Présente tes résultats et tes conclusions personnelles à tes camarades. Pour ce faire, tu peux utiliser un logiciel de présentation.

ESCALE

CHAPITRE 1

37

Esprit d’entreprise Devenir entrepreneure ou entrepreneur constitue un défi de taille. Avant même de se lancer en affaires, il est essentiel d’étudier différents facteurs pour prendre des décisions éclairées qui favoriseront le succès de l’entreprise. C’est ce qu’on appelle une « étude de marché ».

Ton mandat En équipe, réaliser une courte étude de marché permettant de favoriser le succès d’une nouvelle entreprise de votre choix.

Tâche

1

a) En équipe, choisissez le type d’entreprise que vous aimeriez mettre sur pied. b) Déterminez ensemble : la clientèle cible de votre entreprise ; 2) les besoins de cette clientèle ; 3) l’endroit où vous désirez implanter votre entreprise. 1)

38

CHAPITRE 1

LES VARIABLES

Tâche

2

a) Formulez cinq ou six questions qui permettront de vérifier si les suppositions que vous avez faites à la tâche 1b sont les bonnes. Voici des exemples de questions. • Qui sont les concurrents et où sont-ils situés ? • Quels sont les endroits et les moments propices à la consommation du produit ou du service que vous offrez ? b) Recueillez des données qui vous aideront à répondre aux questions formulées en a. Pour ce faire, vous pouvez prendre contact avec des personnes-ressources, faire une recherche dans Internet, mener une enquête sur le terrain, faire des interviews, etc.

Tâche

3

a) À la lumière de l’étude que vous avez réalisée, quels sont, selon vous, les principaux facteurs à considérer avant de démarrer une entreprise ? b) En vous basant sur votre étude de marché, tirez des conclusions sur les suppositions que vous aviez faites à la tâche 1. Précisez maintenant vos choix et, au besoin, faites-en de nouveaux qui favoriseront davantage le succès de votre entreprise. c) Une fois l’étude de marché terminée, quelles sont, selon vous, les autres étapes à franchir avant de démarrer votre entreprise ?

OPTION PROJET

CHAPITRE 1

39

22

40

1. Selon toi, combien de feuilles de papier de format

2. 3.

4. 5.

lettre peut contenir le bac de recyclage de ta classe : a) si on le remplit à pleine capacité ? b) lorsqu’on le vide, chaque semaine ? Selon tes réponses à la question 1, quel pourcentage du bac de recyclage de ta classe est rempli lorsqu’on en ramasse le contenu, chaque semaine ? Combien d’arbres sont « sauvés » par ta classe en une année, approximativement ? Utilise ta réponse à la question 1b et suppose : • qu’une feuille de papier de format lettre a une masse de 2,5 grammes ; • que, pour chaque tonne de papier recyclé, on « sauve » 33 arbres. Combien d’arbres sont « sauvés » par les 1 350 000 élèves des écoles primaires et secondaires du Québec en une année ? En supposant que tous les élèves recyclent la même quantité de papier, combien d’arbres sont « sauvés » par chaque élève du Québec en une année ?

• • • •

Rapport et taux Proportion Variation directe ou inverse Reconnaissance d’une situation de proportionnalité, notamment à l’aide du contexte, d’une table des valeurs ou d’un graphique • Résolution d’une situation de proportionnalité Le gouvernement du Québec a mis en place un principe pour favoriser la protection de l’environnement. Il s’agit des 3RV. • Fais une recherche sur la signification des 3RV. • Propose des moyens pour mettre en pratique les 3RV dans ton école.

SO MM AI RE Section 1 – Les rapports et les taux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Section 2 – Les rapports et les taux constants . . . . . . . . . . Section 3 – Résoudre une proportion . . . . . . . . . . . . . . . . . Dans la vie… . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Escale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Option projet – Pour un monde équitable . . . . . . . . . . . . .

42 76 110 144 146 148

41

Les rapports et les taux Le chapitre précédent t’a donné l’occasion de te familiariser avec le concept de variable. Tu as également observé qu’il existe parfois une relation entre deux variables. Avant d’étudier l’une de ces relations un peu plus en profondeur, revenons sur une activité mathématique de base : la comparaison de valeurs numériques.

1.1

Opération : comparaison

Le bonheur n’est peut-être que le résultat d’une comparaison. ≤≥ EUGÈNE BEAUMONT

La comparaison occupe une place importante dans la vie quotidienne de tous les êtres humains. Nous nous basons sur le résultat de diverses comparaisons pour affirmer, constater, tirer des conclusions et même nous réjouir ou nous attrister. Par exemple, la comparaison du nombre de buts comptés par une équipe de hockey avec le nombre de buts comptés par l’équipe adverse permet de déterminer qui a gagné et de nous réjouir… si notre équipe préférée a remporté la partie. A

Commente la citation ci-contre. Essaie de donner un exemple.

En fait, plusieurs décisions sont basées sur des comparaisons de valeurs numériques. Voici, par exemple, deux lecteurs MP3 qui diffèrent sur plusieurs points.

LECTEUR MP3 LECTEUR MP3

GIGAMUSIQUE Capacité : 10 Go (2500 chansons)

42

CHAPITRE 2

200 $

VERS LA PROPORTIONNALITÉ

PODSILENCE Capacité : 2 Go (500 chansons)

50$

B

Quel lecteur MP3 préfèrestu ? Explique ta réponse.

C

Pour quelle raison une personne pourrait-elle préférer le lecteur MP3 numéro 1 au lecteur MP3 numéro 2, ou vice versa ?

D

Quelle caractéristique des lecteurs MP3 as-tu comparée pour répondre à la question B ?

E

Quelle opération mathématique as-tu utilisée pour comparer les lecteurs MP3 ?

F

Quelle autre opération peut servir à comparer des valeurs numériques ? Explique ta réponse.

G

Selon toi, qu’est-ce qui pousse à diviser plutôt qu’à soustraire pour comparer des valeurs numériques ?

1. Qu’a-t-on comparé pour émettre chacun des commentaires suivants ? a) J’ai couru le 100 mètres plus vite que toi. b) Notre classe a gagné deux fois plus de médailles que la vôtre. c) Les garçons ont remporté six médailles de moins que les filles. d) Notre équipe a gagné la finale par un but. e) J’ai couru le 100 mètres en 14 secondes. En moyenne, ça fait plus de 7 mètres par seconde ! 2. Selon toi, les comparaisons de la question 1 sont-elles toutes du même type ? Explique ta réponse. 3. Quelles comparaisons semblent être le résultat d’une division ? 4. Formule un commentaire dans lequel on retrouverait une comparaison par division.

Question de

culture

PRÉFIXES INFORMATIQUES Les préfixes tels que méga ou giga ne représentent pas toujours une multiplication par 106 ou par 109. Dans un contexte informatique, le préfixe méga correspond à une multiplication par 1 048 576 ou 220 plutôt que par 1 000 000. De même, toujours dans un contexte informatique, le préfixe giga représente une multiplication par 1 073 741 824 ou 230 plutôt que par 1 000 000 000. Ainsi, 1 Gm (gigamètre), c’est 1 000 000 000 mètres, mais 1 Go (gigaoctet), c’est 1 073 741 824 octets. Puisque le même préfixe est utilisé dans les deux cas, c’est le contexte qui dicte sa valeur.

LES RAPPORTS ET LES TAUX

SECTION 1

43

Au chapitre précédent, tu as identifié les variables en jeu dans une situation. Ainsi, au lieu de dire qu’on a comparé 10 Go et 2 Go, on pourra dire qu’on a comparé certaines valeurs de la variable capacité de stockage. Il est donc possible de comparer des valeurs d’une ou de deux variables en les soustrayant ou en les divisant. Dans certaines situations, on préfère soustraire plutôt que diviser, alors que dans d’autres situations une division est obligatoire. Les nombres en jeu peuvent aussi influencer le type de comparaison effectué. Moi, je reçois 10 $. Je reçois 5 $ par semaine en argent de poche. Moi, c’est 11 $.

ATTENTION Même si la soustraction permet de comparer des valeurs de certaines variables, la division est souvent plus efficace. En effet, la division permet également de comparer des variables de nature différente.

GRÉGORY

ALICIA

ARNAUD

H

En te référant à l’illustration ci-dessus, quels montants d’argent de poche aurais-tu tendance à comparer par soustraction ? Pourquoi ?

I

Quels montants d’argent de poche aurais-tu tendance à comparer par division ? Pourquoi ?

J

Comment pourrais-tu comparer par division le montant d’argent de poche d’Alicia et celui d’Arnaud ?

La comparaison par division de variables constitue un outil mathématique puissant pour la résolution de toutes sortes de problèmes.

1. Banque à essence a) De quelles variables est-il question sur cet écriteau ? b) De quel type de comparaison s’agit-il ? c) Quelle est la signification mathématique du mot « le » sur cet écriteau ?

44

CHAPITRE 2

VERS LA PROPORTIONNALITÉ

2. Quelle est votre langue maternelle ? Voici un article de journal où l’on compare des valeurs de certaines variables.

Lors du recensement canadien de 2001, près de 5 335 000 personnes, soit environ une personne sur six, étaient allophones, c’est-à-dire qu’elles ont déclaré avoir une langue maternelle autre que le français ou l’anglais. Ce nombre est en hausse de 12,5 % par rapport à 1996, ce qui représente trois fois le taux de croissance de la population canadienne (4,0 %). SOURCE : STATISTIQUE CANADA

a) Que représente la fraction 16 de ce texte ? b) Qu’a-t-on comparé pour arriver à la conclusion : « trois fois le taux de croissance » ? c) Dans ce texte, a-t-on comparé les valeurs des variables par soustraction ou par division ? Explique ta réponse.

3. Sacrée Marika ! Pour son cours de mathématique, Marika doit comparer certaines valeurs tantôt par soustraction, tantôt par division. Malheureusement, elle n’a pas noté ses calculs. Elle remet les résultats que voici. • Première comparaison : 4 • Deuxième comparaison : 7 km • Troisième comparaison : 15 cents/litre • Quatrième comparaison : 206 mètres/minute

a) Selon toi, quels résultats proviennent : 1) d’une comparaison par division ? 2) d’une comparaison par soustraction ? b) Quels résultats peuvent aussi bien provenir d’une comparaison par division que d’une comparaison par soustraction ? Explique ta réponse. c) Qu’est-ce que Marika a bien pu comparer pour obtenir ces résultats ? Donne une possibilité pour chaque comparaison.

LES RAPPORTS ET LES TAUX

SECTION 1

45

1.2

Les rapports La comparaison par division est aussi simple et aussi naturelle qu’une comparaison par soustraction. Les bulletins de nouvelles, les publicités et même les conversations quotidiennes comportent souvent des nombres obtenus par la division des valeurs d’une variable.

DEUX AMÉRICAINS

IL

SUR TROIS

NE SONT PAS D’ACCORD AVEC LA GUERRE

EST TOMBÉ DEUX FOIS PLUS DE NEIGE QUE PRÉVU

SOLDE :

DES RABAIS DE

35 % À 75 %

SONT OFFERTS SUR TOUTE LA MARCHANDISE

A

Qu’a-t-on comparé pour émettre chacune des trois affirmations ci-dessus ?

B

Dans la situation 3, est-il important de préciser si la quantité de neige tombée est mesurée en centimètres ou en pouces ? Explique ta réponse.

C

Qu’est-ce qui laisse croire qu’il s’agit de comparaisons par division ?

1. Quelles variables a-t-on comparées pour arriver aux constats suivants ? a) J’ai deux fois plus d’argent que toi. b) Je consacre la moitié de mon temps libre à ramasser tes affaires. c) En moyenne, une personne passe le tiers de sa vie à dormir. d) Le microprocesseur de mon portable est six fois moins rapide que celui du portable de mon père. 2. Les variables comparées dans chaque constat de la question 1 sont-elles de même nature ? Explique tes réponses. 3. Pourquoi les constats ne contiennent-ils pas d’unités de mesure ? 4. Si tu peux exprimer le constat en 1a à l’aide du rapport 21 , avec quels rapports peux-tu exprimer les autres constats ? 5. Propose une définition de « rapport ». 6. Compare ta définition avec celles de tes camarades.

46

CHAPITRE 2

VERS LA PROPORTIONNALITÉ

Des expressions comme « le triple », « la moitié », « six fois plus », etc., peuvent exprimer, entre autres, le résultat de la comparaison de deux durées, de deux montants d’argent ou de deux capacités. Ce type d’expressions indique que les variables comparées sont de même nature. D

Compose une phrase qui contient le mot « quadruple ».

E

Reformule ta phrase afin qu’elle contienne plutôt l’expression « quatre fois moins ».

F

Formule une phrase comportant une expression de ce type qui permet de comparer les lecteurs MP3 de la page 42.

G

Pourquoi des expressions de ce type font-elles nécessairement référence à une comparaison par division ?

Le rapport La comparaison par division de deux valeurs d’une même variable ou de deux valeurs de variables de même nature s’appelle un rapport. Exemple : La comparaison par division d’une durée avec une autre durée fournit le rapport entre les deux durées. Activité Souper Répondre à un courriel Faire ses devoirs

Durée 30 minutes 2 minutes 90 minutes

La durée des devoirs comparée avec la durée de la réponse à un courriel donne 45 le rapport 90 2 ou 1 . Dans cet exemple, il faut 45 fois plus de temps pour faire ses devoirs que pour répondre à un courriel. La durée du souper comparée avec la durée des devoirs correspond au rapport 30 1 90 ou 3 . Dans cet exemple, il faut trois fois moins de temps pour souper que pour faire ses devoirs. REMARQUES

• Un rapport ne s’écrit pas nécessairement sous une forme fractionnaire. Le rapport ba peut aussi s’écrire a : b. • Le rapport ba (ou a : b) se lit : le rapport de a à b. • Dans un rapport, il n’est pas nécessaire d’écrire les unités de mesure. Par exemple, on écrira « 10 : 1 » plutôt que « 10 minutes : 1 minute ».

LES RAPPORTS ET LES TAUX

SECTION 1

47

En mathématique, certains mots prennent un sens différent de celui qu’on leur donne dans la vie courante. C’est le cas du mot « rapport ». Par exemple, lorsqu’on parle d’un « rapport de police », on utilise un sens différent de celui qui est utilisé en mathématique. Cependant, quelques expressions courantes, comme « rapport de force », utilisent le sens mathématique du mot « rapport ». Le sens mathématique de rapport est également à la base du système de transmission par chaîne des bicyclettes.

Question de

Pignon 1 : 32 dents Pignon 2 : 28 dents Pignon 3 : 24 dents Pignon 4 : 21 dents

culture

UNE BICYCLETTE QUI A DU RAPPORT Les plus vieux croquis de ce qui ressemble à une bicyclette datent du 15e siècle et ont été dessinés par Léonard de Vinci. Il a fallu attendre plus de 300 ans pour que le premier véhicule roulant inspiré de ces croquis soit construit : on l’appelait le « célérifère ». Toutefois, c’est en 1879 que la première bicyclette à transmission par chaîne apparaît. À partir de ce moment, la bicyclette n’a cessé de se perfectionner. Aujourd’hui, les bicyclettes à vitesses multiples sont équipées de pédaliers à plateaux dentés reliés par une chaîne à un ensemble de Plateau 1 : 48 dents pignons, également dentés, fixés Plateau 2 : 38 dents sur le moyeu de la roue arrière. Plateau 3 : 28 dents On appelle « braquet » le rapport entre le nombre de dents d’un plateau et le nombre de dents d’un pignon. Par exemple, pour un plateau de 28 dents et un pignon de 16 dents, le braquet est de 28 16 ou 1,75. Ce rapport indique qu’il y a 1,75 fois plus de dents sur le plateau que sur le pignon. Par conséquent, pour chaque tour complet du pédalier, la roue arrière fait 1,75 tour.

Pignon 5 : 18 dents Pignon 6 : 16 dents Pignon 7 : 14 dents Pignon 8 : 12 dents

nombre de dents du plateau 3 ? nombre de dents du pignon 3

H

Quel est le rapport

I

Selon le rapport en H, combien de tours fait la roue arrière pour un tour du pédalier ?

Deux cyclistes ont choisi le pignon à 14 dents de leur vélo. Benoît a choisi un plateau à 38 dents et Anne a choisi un plateau à 48 dents.

48

CHAPITRE 2

J

Selon toi, si les deux cyclistes pédalent à la même cadence, qui ira le plus vite ? Explique ta réponse.

K

Combien de vitesses a cette bicyclette ?

VERS LA PROPORTIONNALITÉ

L

Quelle combinaison de plateau et de pignon (le braquet) ferait faire le plus grand nombre de tours à la roue arrière pour chaque tour de pédalier ?

M

Dans quelle situation quelqu’un pourrait-il choisir le braquet que tu as proposé en L ?

N

Quel braquet ferait faire le plus petit nombre de tours à la roue arrière pour chaque tour de pédalier ?

O

Dans quelle situation quelqu’un pourrait-il choisir le braquet que tu as proposé en N ?

P

Pour cette bicyclette, y a-t-il deux braquets qui sont équivalents ? Explique ta réponse.

1. Quels rapports suggèrent les illustrations suivantes ? b)

a)

c)

d)

e)

2. Suggère un contexte pour chacun des rapports suivants. a) 1 : 8 f ) Quatre fois moins b) 4 : 3

g) 9 7

c) Le triple

h) 2 5

d) La moitié

i ) 20 %

e) Soixante fois plus

j ) 150 %

LES RAPPORTS ET LES TAUX

SECTION 1

49

La notation en pourcentage La comparaison par division de valeurs numériques de même nature est aussi à la base de la notation en pourcentage. Cette notation est utilisée dans des contextes très variés.

A

Qu’est-ce qui indique qu’il y a eu comparaison dans chaque cas ?

B

Qu’a-t-on comparé dans chaque cas ?

C

Pourquoi choisit-on parfois d’exprimer un rapport en pourcentage ?

D

Trouve un autre exemple de notation en pourcentage.

Les pourcentages s’utilisent dans tous les contextes où l’on compare des valeurs de même nature. E

En général, préfères-tu un rabais de 10 $ ou un rabais de 10 % ? Explique ta réponse.

Chandails 25

$

AUJOURD’HUI SEULEMENT

Rabais de

5$

F

Quel est le pourcentage de rabais offert sur ces chandails ?

G

Si une personne achète quatre chandails, combien économise-t-elle : 1) en argent ? 2) en pourcentage ?

La notation en pourcentage est utile pour comparer rapidement des rapports. De plus, elle permet d’indiquer que le même rapport s’applique à tout un ensemble de données. Par exemple, il est plus simple d’indiquer une réduction de 10 % du prix marqué pour toute la marchandise que d’indiquer la réduction effective pour chacun des articles.

50

CHAPITRE 2

VERS LA PROPORTIONNALITÉ

Voici comment on a transformé en pourcentage un rabais en dollars. ×4

$

rabais ( ) prix courant ( )

11 55

$

5 25

20 10 0 ×4

=

H

Trouve un rapport égal à

I

À quel pourcentage équivaut le rapport 26 : 40 ?

J

Commente l’énoncé suivant.

20 %

dont le dénominateur est 100.

«

Exprimer un rapport en pourcentage revient à chercher le numérateur d’un rapport équivalent qui aurait 100 au dénominateur.

»

1. Reformule les énoncés suivants en utilisant un pourcentage. a) À l’épicerie, deux personnes sur cinq achètent pour plus de 100 $. b) En 25 lancers, Anaïs a réussi 18 paniers. c) Au Québec, sur 7 500 000 personnes, 75 000 ont plus de 70 ans. d) Denis a mangé quatre chocolats, sa sœur en a mangé huit. e) Chloé a parcouru 4 km en 10 minutes. 2. Utilise la notation en pourcentage pour exprimer les rapports suivants.

K

a) 3 8

f ) 21 20

b) 6 : 10

g) Onze fois plus

c) Le double

h) 7 fois sur 25

1 d) 20

i ) Cinq fois moins

3 e) 1000

j) 3: 1

Selon toi, un pourcentage permet-il de comparer des valeurs de nature différente, comme 10 minutes et 4 km ? Explique ta réponse.

LES RAPPORTS ET LES TAUX

SECTION 1

51

La notation en pourcentage La notation en pourcentage est une comparaison par division de valeurs de la même variable ou de variables de même nature. La notation en pourcentage est souvent utilisée dans les contextes liés à l’argent (profit, prix, intérêt…), mais également dans tous les contextes où l’on utiliserait un rapport. Exemples : • Les banques expriment leurs taux d’intérêt à l’aide de la notation en pourcentage. Un taux d’intérêt de 4 % signifie qu’à chaque tranche de 100 $ est associé un intérêt de 4 $. • La performance d’un joueur de fléchettes qui atteint la cible 12 fois en 15 lancers peut être mathématisée par le rapport 12 15 ou 12 : 15. On dirait alors que ce joueur atteint la cible dans 80 % des cas.

1. Fractions équivalentes Exprime les rapports suivants en pourcentages.

2. Contextes À part les contextes liés à l’argent, nomme quelques contextes où l’on utilise des pourcentages.

a) 2

f) 5

d) 222 : 25

i) 4: 3

e) 1 : 4

j ) 9 : 15

5 b) 7 20 c) 11 4

6 13 g) 8 13 h) 50

3. Rapports équivalents Exprime les pourcentages suivants en rapports. a) 25 % f ) 31 % b) 11 % g) 16 % c) 54 % h) 14 27 % d) 256 % i ) 1574 % 1 e) 33 3 % j ) 0,5 %

52

CHAPITRE 2

VERS LA PROPORTIONNALITÉ

4. Toujours plus lisses Qu’a-t-on comparé pour arriver à la conclusion suivante ?

5X PLUS DE VOLUME INSTANTANÉMENT

5. Gros rapport a) Trouve un rapport six fois plus petit que 35 . b) Trouve un rapport deux fois plus grand que 7 10 qui contient le chiffre 5. c) Trouve un rapport quatre fois plus grand que 16 qui contient le chiffre 3. d) Trouve un rapport 9 fois plus grand que « le triple » qui contient le chiffre 9. e) Comment peux-tu augmenter la valeur d’un rapport sans changer son numérateur ? Explique ta réponse.

6. Billes en tête ! Un sac contient 8 billes rouges, 7 billes bleues, 3 billes jaunes et 5 billes vertes. a) Exprime les rapports suivants à l’aide de nombres : 1)

nombre de billes vertes nombre de billes jaunes

nombre de billes jaunes + nombre de billes rouges 2) nombre total de billes 3)

nombre total de billes nombre de billes bleues

4)

nombre de billes rouges ou vertes nombre total de billes

J’ai l’impression que je calcule une probabilité !

Ici, le ou est un peu comme un « + ».

b) Dans cette situation, indique ce que peuvent représenter les rapports suivants. 1) 7 : 5 3) 7 : 23 2) 15 : 5 4) 3 : 23

LES RAPPORTS ET LES TAUX

SECTION 1

53

7. Radio Diversité Pour les propriétaires de la station Radio Diversité, il est important de faire jouer des genres musicaux différents. Dans une journée, la station fait jouer un nombre donné de pièces selon les styles suivants.

Country : 21 pièces

Rap : 17 pièces

Jazz : 8 pièces

Rock : 31 pièces

Musique du monde : 15 pièces

Rhythm and blues : 38 pièces

Pop : 59 pièces

Alternatif : 11 pièces

a) Dans cette situation, indique ce que peuvent représenter les rapports suivants. 1)

59 200

2)

31 38

3)

21 17

4)

141 200

b) À quel style de musique cette station accorde-t-elle 4 % des pièces musicales diffusées ? 38 c) Est-ce que le rapport 200 pourrait représenter deux situations différentes ? Si oui, lesquelles ?

8. Rapports de couleur La gérante d’une boutique a commandé 2 modèles de chandails. Elle a commandé, pour le premier modèle, 5 chandails verts et 8 chandails bleus. Pour le deuxième modèle, elle a commandé 14 chandails verts, 11 jaunes et 12 rouges. Dans cette situation, indique ce que peuvent représenter les rapports suivants. a) 11 50

54

CHAPITRE 2

VERS LA PROPORTIONNALITÉ

b) 13 37

c) 19 50

d) 19 31

1.3

Les taux Cette séquence te permettra de te familiariser avec plusieurs situations où il faut comparer des variables de nature différente. Tu verras aussi à quel point ces situations sont au cœur de notre quotidien. A

Donne un exemple d’une situation où l’on pourrait comparer des variables de nature différente.

Contrairement à la comparaison par soustraction, la comparaison par division permet de comparer des variables de nature différente : du temps avec de l’argent, une distance avec du temps, une quantité de sel avec une quantité d’eau, et ainsi de suite.

Pour vendre mes 24 tablettes de chocolat, j’ai dû les proposer à 200 personnes.

J’ai fait 6 tours de piste en 35 minutes. J’ai peint les 14 portes d’armoire de ma cuisine en 3 heures.

B

Nomme les variables en jeu dans les trois situations ci-dessus.

C

Comment a-t-on comparé la valeur de ces variables ?

L’activité consistant à comparer des variables ou des grandeurs de nature différente fait partie de ton quotidien depuis très longtemps. Par exemple, quand il partage des bonbons avec des camarades, on peut considérer qu’un enfant se trouve à comparer la quantité de bonbons avec le nombre de personnes.

LES RAPPORTS ET LES TAUX

SECTION 1

55

1. Compare les valeurs des variables en jeu dans les situations suivantes. a) Karl travaille 4 heures à l’épicerie et il gagne 64 $. b) Coralia a lu 300 pages de son roman policier en 4 jours. c) Jacob a parcouru 180 km à vélo en 12 heures la fin de semaine dernière. d) Diane a mis 16 grammes de sel dans 4 litres d’eau pour faire cuire des pâtes. e) Olivier a déboursé 55 $ pour acheter 60 litres d’essence. 2. Pourquoi semble-t-il impossible d’utiliser des expressions comme « le double », « deux fois plus », « la moitié », « le triple », « le quadruple », etc., pour exprimer ces comparaisons ?

Le taux La comparaison par division de valeurs de deux variables de nature différente s’appelle un taux. Exemple : La comparaison par division de la durée d’un devoir avec sa taille fournit un taux. Variable

Valeur

Durée

40 minutes

Taille

10 questions

La durée du devoir de math comparée par division avec le nombre de questions donne le taux 40 minutes ou 4 minutes . 10 questions

1 question

Le taux 4 minutes/question ou 4 minutes par question indique en quelque sorte le temps moyen consacré à une question. REMARQUES

• Dans un taux, puisque les variables ne sont pas de même nature, il faut écrire les unités de mesure de ces variables. Ce sont d’ailleurs ces unités qui permettent d’interpréter le taux. • Certains taux ont des noms particuliers. Par exemple, le mot « vitesse » désigne souvent la comparaison par division d’une distance avec du temps ; l’expression « salaire horaire » désigne la comparaison par division d’une somme d’argent reçue avec le nombre d’heures travaillées. Une vitesse et un salaire horaire sont des taux.

56

CHAPITRE 2

VERS LA PROPORTIONNALITÉ

1. Quels taux les situations suivantes te suggèrent-elles ? a) Une personne a déménagé 6 fois en 5 ans. b) Au cours des 27 derniers mois, j’ai payé 450 $ pour mon téléphone cellulaire. c) Un plein d’essence de 60 L m’a coûté 66 $. d) Chez moi, il y a cinq personnes et huit téléphones. e) Les 30 ampoules électriques de ma résidence ont une puissance combinée de 1500 watts. 2. Décris une situation que te suggère chacun des taux suivants. 9$

a) repas b)

6 poules 56 œufs

c) 650 $ par automobile

d)

1756 kWh 61 jours

e)

3000 places de stationnement 150 magasins

f ) 15 grammes d’alcool 10 litres de sang

3. Certains taux ont-ils plus de sens lorsqu’une des deux variables est placée au dénominateur ? Explique ta réponse.

Question de

culture

BOIRE OU CONDUIRE : IL FAUT CHOISIR ! La conduite en état d’ébriété constitue une cause très importante des accidents de la route. Une personne dont les facultés sont affaiblies par l’alcool cause 17 fois plus d’accidents mortels qu’une conductrice ou qu’un conducteur sobre. Au Québec, prendre le volant avec un taux d’alcool dans le sang excédant le taux limite constitue une infraction au Code criminel. Au cours des dernières années, le gouvernement québécois a instauré des peines de plus en plus sévères afin de réduire le nombre d’accidents de la route causés par la conduite en état d’ébriété. En se basant sur une étude réalisée aux États-Unis dans les années 1960, on a fixé l’alcoolémie limite à 0,08 gramme d’alcool par décilitre de sang. Cependant, des études plus récentes ont montré que le risque associé à la consommation d’alcool est plus élevé qu’on ne le croyait. À la lumière de ces études, plusieurs pays ont révisé à la baisse l’alcoolémie limite pour la fixer à 0,05 g/dL.

D

Crois-tu qu’il serait utile de faire passer l’alcoolémie limite de 0,08 g/dL à 0,05 g/dL ? Explique ta réponse.

LES RAPPORTS ET LES TAUX

SECTION 1

57

Puisque la comparaison de variables de nature différente est courante dans plusieurs domaines, il existe plusieurs mots servant à identifier les variables qui ont été comparées. E

Essaie de trouver un autre mot du langage courant qui désigne un taux. Le lit est l’endroit le plus dangereux au monde : 99 % des gens y meurent. ≤≥ MARK TWAIN

F

Reformule la citation ci-dessus de façon à y faire apparaître le mot « taux ».

1. Taux variés Exprime chacune des situations suivantes par un taux. a) En quatre jours de travail, j’ai gagné 55 $. b) Le prix d’une boîte de 12 mangues est 5,50 $. c) Sur l’autoroute, un véhicule peut parcourir jusqu’à 10 km en 6 minutes. d) Au cours de sa vie, une Québécoise a, en moyenne, 1,47 enfant. e) En quarante jours, mes cheveux poussent de 13 mm. f ) Avec l’encre d’un stylo, je peux écrire 100 pages de texte.

2. Nom d’un taux ! a) Quel nom est associé à chacun des taux suivants ? 1)

quantité de liquide écoulée temps

2)

montant d’argent temps travaillé

3)

masse d’un objet volume

4)

nombre de pulsations cardiaques temps

b) Avec quelles unités pourrait-on exprimer chacun des taux de la question a ? c) Compare tes réponses avec celles de tes camarades. d) Trouve d’autres mots qui font référence à des taux.

58

CHAPITRE 2

VERS LA PROPORTIONNALITÉ

3. Tomber dans le panneau a) Quelle est la limite de vitesse dans ces deux rues ? b) Quel panneau indique vraiment une limite de vitesse ? c) Qu’est-ce que l’autre panneau indique ?

4. Il est taux courant

5. Juste pour savoir

a) Donne un exemple de taux qu’on peut trouver à l’épicerie. b) Donne un exemple de taux qu’on peut trouver au cinéma.

a) Explique pourquoi un taux contient nécessairement des unités de mesure. b) Compare ta réponse avec celles de tes camarades.

6. Taux ou tard a) Voici quelques questions où les réponses sont des nombres. Trouve ces nombres. 1) Combien y a-t-il de pupitres dans ta classe ? 2) Quelle distance marches-tu, approximativement, en une journée ? 3) Combien de fois as-tu visité ton dentiste au cours des 12 derniers mois ? 4) Combien de fois la cloche de ton école sonne-t-elle en une journée ? 5) Quel est le prix d’un repas dans le restaurant que tu fréquentes le plus souvent ? b) Exprime les nombres trouvés à la question a comme des taux. c) Qu’est-ce que ces taux ont en commun ?

LES RAPPORTS ET LES TAUX

SECTION 1

59

1.4

La comparaison de rapports et de taux Les rapports et les taux occupent une très grande place dans le commerce, en finance et dans la plupart des activités économiques d’un pays. En effet, plusieurs renseignements utiles pour prendre des décisions proviennent de la comparaison de rapports ou de taux. A

As-tu déjà comparé des rapports ou des taux ? Explique ta réponse.

On décide souvent de transformer en taux les données d’une situation pour pouvoir les comparer. Voici par exemple deux formats de savon à lessive.

B

Quel format te semble être le meilleur achat ? Explique ta réponse. prix

Quel est le taux quantité de chacun des formats ? D Selon toi, comment peut-on comparer les taux des deux formats ? C

E

Pourquoi les grands formats représentent-ils souvent un meilleur achat que les petits formats ?

F

À part le prix, donne une raison pour laquelle une personne achèterait : 1) le plus grand format ; 2) le plus petit format. G

Si on considère le taux nombre de décibels , masse le rendement sonore d’une mouche surpasse celui d’un avion. ≤≥ FREDRIC BROWN

60

CHAPITRE 2

VERS LA PROPORTIONNALITÉ

Dans la citation ci-contre, comment l’auteur nomme-t-il le taux en question ?

1. Compare les taux des situations suivantes. a) À vélo, Ian parcourt 100 km en 5 heures tandis que Alice parcourt 120 km en 8 heures. b) M. Lavoisier a eu 6 contraventions en 16 mois. Mme Simard en a eu 4 en 14 mois. c) Ricardo a mélangé 4 L de peinture blanche avec 5 L de peinture bleue. Isabella a mélangé 6 L de peinture blanche avec 7 L de peinture bleue. d) Hugo tape 400 mots en 20 minutes. France tape 300 mots en 12 minutes. 2. Compare tes procédures avec celles de tes camarades. Il existe plusieurs façons de comparer des fractions. De même, il existe plusieurs façons de comparer des rapports et des taux. Par exemple, voici une situation dans laquelle on désire comparer le taux nombre de livres de deux bibliothèques. rayon Bibliothèque

A

43 livres disposés sur 6 rayons

Bibliothèque

55 livres disposés sur 8 rayons

On peut déduire que, dans la bibliothèque A, il y a en moyenne plus que 7 livres par rayon et que, dans la bibliothèque B, il y a en moyenne moins que 7 livres par rayon. H

B

Une procédure comme celle-là permet-elle de comparer facilement n’importe quels rapports ou taux ?

C’est l’occasion rêvée de mettre à profit tes connaissances en comparaison de fractions.

La séquence suivante te permettra de développer une procédure à la fois simple et efficace pour comparer des rapports ou des taux.

LES RAPPORTS ET LES TAUX

SECTION 1

61

1. À l’ordre ! Place les rapports et les taux suivants en ordre croissant. a) 5 : 7 , 3 : 7 , 4 : 6 , 2 : 1 , 7 : 8 3$

12 $

7$

10 $

b) 1 kg , 5 kg , 2 kg , 3 kg

2. Un petit café ? Réponds à la question suivante en comparant les taux. Corinne a acheté 600 g de café pour 7 $. Elle s’aperçoit qu’une autre sorte de café se vend 15 $/kg. Quel café revient le moins cher ?

c) 6,7 , 0,6 , 65 , 3,3 10 1 100 5 d)

10 g 14 g 22 g 6g , , , 150 mL 130 mL 310 mL 90 mL

3. Nuances du ciel Réponds à la question suivante en comparant les rapports. Carlos a deux mélanges de peinture blanche et de peinture bleue. L’un est dans un rapport 3 : 4 et l’autre dans un rapport 18 : 25. Quel mélange est plus foncé ?

4. Compensation nombre de garçons

Le rapport nombre de filles

de l’école Marie-Jeanne est en baisse.

À partir de l’information ci-dessus, Maxime tire la conclusion suivante : « De plus en plus de filles fréquentent l’école Marie-Jeanne. » Décris un scénario dans lequel : a) Maxime aurait raison ; b) Maxime aurait tort.

62

CHAPITRE 2

VERS LA PROPORTIONNALITÉ

5. Une chance sur cinq Marco a rempli son réservoir d’essence aujourd’hui, comme il le fait chaque jeudi. Que peux-tu dire de la variation du prix de l’essence si, la semaine dernière, il a payé : a) le même prix pour une plus petite quantité d’essence ? b) plus cher pour la même quantité d’essence ? c) plus cher pour une plus grande quantité d’essence ?

6. « Étirer » le jus En ajoutant de l’eau au restant de jus d’orange d’un pichet, on obtient plus de jus, c’est bien connu. Voici comment quelques familles appliquent ce procédé « économique ». Famille Lovato

Famille

Steele

Famille Goyette

Quand il reste la moitié du jus dans le pichet, on le remplit d’eau jusqu’aux trois quarts. Quand il reste les trois quarts du jus dans le pichet, on le remplit jusqu’au bord. Quand il reste le quart du jus dans le pichet, on le remplit jusqu’à la moitié.

a) Dans quelle famille le jus goûte-t-il le moins l’orange ? b) Supposons que les familles appliquent leur procédé à répétition, sans jamais ajouter de jus d’orange. Restera-t-il toujours du jus d’orange dans le pichet ? Explique ta réponse.

LES RAPPORTS ET LES TAUX

SECTION 1

63

1.5

Les taux unitaires Voici deux formats de papier hygiénique. A

Pourquoi est-il difficile de savoir rapidement quel format est le plus économique ?

B

Le prix d’un seul rouleau te serait-il utile pour comparer les prix ?

C

Commente l’affirmation suivante.

«

Une façon efficace de comparer des fractions, des rapports ou des taux consiste à les exprimer selon un même dénominateur.

»

D

Peut-on utiliser n’importe quel nombre en guise de dénominateur commun ? Explique ta réponse.

Un dénominateur commun en particulier, à la fois simple et efficace, facilite la comparaison de rapports et de taux dans la vie courante. On le trouve d’ailleurs à peu près partout, parfois même sans réaliser qu’il est là.

64

CHAPITRE 2

E

Quels taux peux-tu voir sur chacune des photos ci-dessus ?

F

Quel est le dénominateur dans chaque cas ?

G

Exprime d’une autre façon le taux présenté dans la photo 3.

VERS LA PROPORTIONNALITÉ

Les deux situations suivantes représentent les habitudes de récupération de papier dans certaines classes d’une école secondaire. H

Dans chacune des situations suivantes, détermine dans quelle classe on a récupéré le plus de papier.

Situation

102

1

Situation

104

A215

A213

CLASSE 102 17 bacs en 4 semaines

2

CLASSE 104 13 bacs en 3 semaines

CLASSE A213 3 bacs par semaine

CLASSE A215 3 21 bacs par semaine

Exploration Si les élèves des groupes 102, 104, A213 et A215 continuent à récupérer le même nombre de bacs mais qu’ils les remplissent au même pourcentage de capacité que celui de ta classe (voir ta réponse à la question 2 de la page 41 ), quelle masse de papier auront-ils récupérée en 36 semaines de classe ?

I

Pour quelle situation est-il plus facile de faire la comparaison ? Explique ta réponse.

J

Combien de bacs par semaine : 1) les élèves qui fréquentent la classe 102 remplissent-ils ? 2) les élèves qui fréquentent la classe 104 remplissent-ils ?

K

Pourquoi est-il utile de trouver le nombre de bacs par semaine pour comparer les taux ?

LES RAPPORTS ET LES TAUX

SECTION 1

65

Le taux unitaire Lorsque la valeur d’une variable est exprimée par rapport à la valeur unitaire de l’autre variable, on dit que le taux en question est un taux unitaire. Exemple : Une distance de 100 km comparée avec une durée de 4 heures donne le taux

100 km . 4h

Le taux unitaire correspondant est de 25 km ou 25 km/h. 1h

REMARQUE

On retrouve le concept de moyenne dans un taux unitaire. On dira par exemple qu’une voiture qui parcourt 100 km en 4 heures parcourt, en moyenne, 25 km par heure.

L

Est-ce que tous les taux peuvent s’exprimer en taux unitaire ?

M

Que faut-il faire pour exprimer un taux en taux unitaire ?

Ça veut dire que comparer des taux unitaires revient à comparer des nombres plutôt que des fractions !

1. Exprime les situations suivantes à l’aide d’un taux. a) J’ai couru 21 km en 126 minutes. b) Mon cousin a couru pendant 3 heures pour franchir 9 km. c) Un paquet de 6 kg de viande hachée maigre coûte 42 $. d) Chaque fin de semaine, je travaille 16 heures et je gagne 144 $. e) J’ai tapé mon texte de 250 mots en 20 minutes. f ) Dans la région de Montréal, le 14 juillet 1987, il est tombé environ 90 mm de pluie en 180 minutes. g) En juillet 1996, dans la région du Saguenay, il est tombé environ 250 mm de pluie en 48 heures. 2. Reformule les situations avec des taux unitaires. 3. Comment as-tu déterminé la variable qui représente « l’unité » ? 4. Compare tes réponses avec celles de tes camarades.

66

CHAPITRE 2

VERS LA PROPORTIONNALITÉ

La question 2 est plus facile si je pense « moyenne ».

En plus de faciliter la comparaison, exprimer un taux sous forme de taux unitaire permet de l’interpréter plus facilement : 5 mm de pluie à l’heure est plus facile à interpréter que 250 mm de pluie en 48 heures. Pour transformer un taux en taux unitaire, Ariel procède ainsi.

÷ 16

$

$

1 44 16 h

9 1h

$

9 /h

÷ 16 N

Que penses-tu de sa procédure ?

O

Établis quelques avantages à utiliser un taux unitaire : 1) pour comparer des taux ; 2) pour présenter des rapports ou des taux.

P

Essaie d’établir un parallèle entre un pourcentage et un taux unitaire.

Un dénominateur indépendant En comparant les valeurs de deux variables à l’aide d’un taux, on choisit forcément une variable à placer au dénominateur. Bien qu’on puisse souvent choisir cette variable de façon intuitive, le travail réalisé au chapitre précédent te permettra de la choisir selon des critères mathématiques. Dans certaines situations, ce choix dépend du contexte. Par exemple, un automobiliste affirmera qu’il roule à 50 km/h, alors qu’une adepte de la course à pied dira qu’elle court à un rythme de 6 minutes par kilomètre. A

Selon toi, l’adepte de la course à pied calcule-t-elle la distance parcourue par rapport à un certain temps ou son temps par rapport à une certaine distance ? Explique ta réponse.

Dans d’autres situations, une variable en particulier doit nécessairement se trouver au dénominateur. Il serait farfelu, par exemple, de parler du temps requis pour taper un mot au lieu du nombre de mots tapés en un certain temps. B

Dans le taux 31 mots/minute, a-t-on calculé le nombre de mots selon un certain temps ou l’inverse ? Explique ta réponse.

C

Selon toi, la variable calculée à partir d’une valeur donnée de l’autre variable doit-elle se trouver au numérateur ou au dénominateur d’un taux ? Pourquoi ?

En moyenne, je tape un mot en 1,935... seconde !

LES RAPPORTS ET LES TAUX

SECTION 1

67

Variable indépendante : Variable à partir de laquelle on calcule ou mesure normalement les valeurs de l’autre variable.

En plaçant au dénominateur la variable indépendante, il est plus facile d’interpréter le taux en question.

Oups ! J’avais trouvé 2 minutes/mm de pluie dans l’Action !

On calcule normalement l’accumulation de pluie selon le temps, pas l’inverse !

Les unités accompagnant les taux indiquent donc laquelle des deux variables est calculée à partir des valeurs de l’autre. Par exemple, le salaire horaire s’exprime normalement en dollars par heure, puisqu’on calcule habituellement le salaire (en dollars) à partir d’un certain temps travaillé (en heures).

1. Trois taux a) Quels taux peux-tu voir dans cette vitrine ? b) Dans le taux 2/5,25 $, quelles sont les deux variables en jeu ? c) Normalement, calcule-t-on le prix de location à partir du nombre de films loués ou le nombre de films qu’on peut louer avec une certaine somme d’argent ? d) Récris les taux. Place la « bonne » variable au dénominateur.

Il y a deux erreurs dans l’écriture du prix sur cette affiche. Quelles sont-elles ?

68

CHAPITRE 2

VERS LA PROPORTIONNALITÉ

2. À l’envers !

3. Tic tac taux

Voici des taux unitaires qui peuvent sembler étranges à première vue. Prix de l’essence : 0,8 L/$

Vitesse : 0,01 h/km

Salaire : 0,05 h/$

Consommation d’eau : 4 heures/verre

Abonnement à un centre de conditionnement physique : 1,6 jour/$ a) Pourquoi pourrais-tu dire que la « mauvaise » variable est au dénominateur ? b) Calcule de nouveau les taux pour qu’on y retrouve la « bonne » variable au dénominateur. c) Comment procèdes-tu pour « inverser » un taux unitaire ? d) Compare ta réponse en c avec celles de tes camarades.

Le temps est la variable de référence par excellence. a) Propose une situation dans laquelle on compare les variables suivantes avec du temps. 1) Un montant d’argent 2) Une distance 3) Une masse 4)

Une température

b) Indique un taux possible pour chaque situation que tu proposes. c) Pour quelles situations as-tu placé la variable « temps » au dénominateur ? d) Compare tes réponses avec celles de tes camarades.

4. L’heure du thé Réponds aux questions suivantes. a) Betty met 15 mL de sucre pour 180 mL de thé alors que 20 Grace sucre son thé dans un rapport 250 . Quelle fille aime son thé plus sucré ? b) Lucy, Betty et Grace ont acheté des tasses. Lucy a payé 87 $ pour 6 tasses, Betty a profité d’une offre spéciale de 2 tasses pour 31 $ et Grace s’est procuré des tasses à 12,99 $/tasse. En sachant que toutes les tasses sont de même qualité, qui a payé le meilleur prix par tasse ? c) Les deux plus grands producteurs de thé au monde sont la Chine et l’Inde. La Chine produit 25 % du thé mondial. L’Inde produit 1 million des 3,15 millions de tonnes de thé produites mondialement. Quel pays produit le plus de thé ?

LES RAPPORTS ET LES TAUX

SECTION 1

69

1. Moins diviser

En vélo, trois coins de rue par minute, c’est assez vite, non ?

Pour chacune des situations suivantes, indique s’il faut comparer par soustraction ou par division. Dans le cas d’une comparaison par division, indique si le résultat est un rapport ou un taux. a) Christina veut savoir de combien de centimètres Pablo est plus grand qu’elle. b) Guillaume veut calculer sa vitesse à vélo. c) Véronique veut comparer son salaire actuel avec celui de son ancien emploi. d) Un policier compare la vitesse d’un automobiliste avec la limite de vitesse. e) Natasha veut comparer approximativement la longueur d’un mètre avec celle d’un pied.

2. Taux ou moyenne ? Une pensée statistique permet souvent d’interpréter un rapport ou un taux comme une moyenne. Voici un exemple. Interprétation « rapport ou taux » Sébastien a mangé 6 yogourts en 3 jours.

Interprétation « statistique » En moyenne, Sébastien mange 2 yogourts par jour.

a) Est-ce que Sébastien mange nécessairement 2 yogourts par jour ? Explique ta réponse. b) Remplis le tableau suivant. Interprétation « rapport ou taux »

Interprétation « statistique »

En 6 jours de travail, Émile a gagné la somme de 300 $. En moyenne, mes cheveux poussent de 1 cm par mois. Il y a 30 élèves dans ma classe, dont 5 qui portent des lunettes. En moyenne, chaque fois qu’une personne préfère le thé, deux personnes préfèrent le café.

c) Établis un parallèle entre une moyenne et un taux unitaire. Donne un exemple.

70

CHAPITRE 2

VERS LA PROPORTIONNALITÉ

3. La vie en taux Gabrielle affirme que presque tous les nombres sont en fait des taux unitaires. Par exemple, on pourrait considérer le prix d’une bouteille d’eau à 3 $ comme le taux : 3 $/bouteille. a) Que penses-tu de l’affirmation de Gabrielle ? b) Donne d’autres exemples de taux unitaires présentés « sans leur dénominateur ».

4. Qui va là ? Les taux et les rapports suivants sont-ils équivalents ? a) 5 et 15 9 19

5. Conclusions

b)

Quelles conclusions peux-tu déduire des affirmations suivantes ? nombre de locataires a) Le rapport nombre de propriétaires à Montréal est en baisse. quantité de sucre b) Le taux quantité de café de mon deuxième café est plus élevé

que celui de mon premier café.

4g 24 g et 15 mL 100 mL

c) 3 : 4 et 5 : 6 d) 15 : 72 et 6 : 32 44 $

e) 25 kg et 1,76 $/kg

nombre de chandails

c) Le rapport nombre de chemises de ma garde-robe est en hausse. nombre de repas au restaurant

d) Le taux nombre de jours d’école en hausse.

chez les adolescents est

nombre de téléphones

e) Le taux nombre de Parisiennes et de Parisiens est supérieur à un entier.

6. En passant nombre de chiens

a) Le rapport nombre de chats d’une ville est en baisse. nombre de chats

Cela signifie-t-il automatiquement que le rapport nombre de chiens est en hausse ? Explique ta réponse. b) Si le taux de mortalité est en baisse, cela signifie-t-il automatiquement que le taux de natalité est en hausse ? Explique ta réponse.

BRIC À MATHS

SECTION 1

71

7. Unité unique Quatre élèves ont exprimé un taux présent dans la situation ci-dessous comme un taux unitaire. Enzo a couru 21 km en 147 min.

Voici leur travail.

Ariane 21 km 0,142857 km 147 min 1 min Yasmina 147 min 21 km

Miguel 147 min 21 km

147 min 1 tranche de 21 km

147 min 1 demi-marathon Fany

a) Selon toi, est-ce que tous ces élèves ont exprimé le taux en taux unitaire ? Explique ta réponse.

147 min 21 km

7 min 1 km

b) Selon toi, parmi les réponses des élèves : laquelle est la pire ? Explique ta réponse. 2) laquelle est la meilleure ? Explique ta réponse. 1)

8. Rose Dans son garage, Julio a les trois mélanges de peinture suivants. Mélange rose bébé

2 dL de peinture blanche et 3 dL de peinture rouge

Mélange rose bonbon

3 dL de peinture blanche et 4 dL de peinture rouge

Mélange rose flamant

4 dL de peinture blanche et 5 dL de peinture rouge

a) Lequel de ces trois mélanges est le plus pâle ? Explique ta réponse. b) Si Julio verse dans un même contenant les mélanges rose bébé et rose bonbon, obtiendra-t-il une couleur plus pâle ou plus foncée que celle du mélange rose flamant ? Explique ta réponse.

72

CHAPITRE 2

VERS LA PROPORTIONNALITÉ

9. C’est quoi le rapport ?

10. Mange tes croûtes

a) Que signifie le rapport 1 : 175 000 dans la carte ci-dessous ?

Avec deux pains de marque Houston, Karine fait 25 sandwichs. Avec trois pains de marque Poire, elle en fait 65. Laquelle des deux marques permet à Karine de faire le plus de sandwichs ?

b) Combien de temps mettrait une voiture roulant à 100 km/h pour parcourir le trajet indiqué en bleu sur la carte ?

11. Rapport taux plus vite

12. Autrement dit

a) Quel est le rapport : 1) entre la longueur d’un côté et le périmètre d’un carré ? 2) entre le nombre de consonnes dans le mot « voyelles » et le nombre de voyelles dans le mot « consonnes » ? 3) entre le nombre de fois que tu te brosses les dents et le nombre de fois que tu utilises la soie dentaire ?

Formule deux énoncés qui contiennent 3 des 5 mots suivants.

entre le nombre d’heures où tu regardes la télé et le nombre d’heures où tu pratiques une activité physique dans une semaine ? 5) entre le nombre total de touches de ta calculatrice et le nombre de touches avec un chiffre de ta calculatrice ? 4)

b) Indique un taux correspondant : 1) à la fréquence à laquelle tu manges du poisson ; 2) à la vitesse à laquelle tu marches ; 3) à la fréquence à laquelle tu fais de l’activité physique ; 4) à la concentration de sucre dans un café.

taux rapport unités de mesure essentielles superflues

c) Les taux que tu as indiqués en b sont-ils unitaires ? Pourquoi ?

BRIC À MATHS

SECTION 1

73

13. Trouve le rapport

14. Paires rapport

Invente une situation qui pourrait être représentée par chacun des rapports suivants.

a) Parmi les paires de nombres suivantes, indique celles qui sont dans un rapport 2 : 3. 4,6 et 6,4 2) 15 et 22,5 1)

a) 2 : 1 b) 20 20

20 et 30,6 4) 84,4 et 126,6 3)

b) Trouve quatre paires de nombres qui sont dans un rapport 3 : 2.

c) 2 5 d) 6 7 e) La moitié f ) Sept fois moins g) Le centuple h) 110 % i) 4 3

15. Sous tous les rapports a) Trouve un rapport qui traduit bien les situations suivantes. 1) Stéphania a réussi huit problèmes d’une épreuve qui en comptait dix. 2) Alain s’entraîne le mercredi, le samedi et le dimanche. 3) Éric utilise seulement trois des six tiroirs de sa commode. 4) La souris « moderne » de l’ordinateur de Juan a huit boutons. Celle de Jannick en a seulement deux. 5) Catherine s’exerce au piano 20 minutes par jour. Elle consacre aussi deux heures par jour au tennis. 6)

Au cours de sa carrière, Babe Ruth a maintenu une moyenne au bâton de 0,342.

b) Exprime les rapports que tu as trouvés à la question précédente en pourcentages.

16. Pour de belles pelouses Martina a ajouté 2 dL d’engrais biologique liquide pour la pelouse à 150 dL d’eau pure. a) Si elle ajoute à ce mélange 10 dL d’engrais liquide pour la pelouse et 10 dL d’eau pure, la concentration d’engrais du nouveau mélange sera-t-elle plus grande, moins grande ou la même ? Explique ta réponse. b) Modifie un seul terme du rapport 2 : 150 de façon à obtenir un rapport deux fois plus grand. Donne les deux solutions possibles.

74

CHAPITRE 2

VERS LA PROPORTIONNALITÉ

17. En forme pour cent âges

18. Pourcentage

Exprime les résultats de l’étude suivante en pourcentages.

Dans un pourcentage, l’unité de référence est 100.

Les personnes âgées qui font de l’exercice au moins trois fois par semaine retarderaient le début de la maladie d’Alzheimer ou de quelque autre forme de démence, selon une étude qui confirme que rester actif participe au maintien d’un cerveau en forme. L’étude, menée de 1994 à 2003, concerne 1740 personnes âgées de 65 ans et plus, qui ne SOURCE : ADAPTÉ

DE

montraient aucun signe de démence au début de l’étude. Leur santé était évaluée tous les deux ans pendant six ans. Au terme des six années d’étude, 1185 personnes étaient indemnes de démence, et 158 personnes présentaient des signes de démence. Les autres sont décédées ou sorties de l’étude. -

a) Selon toi, pourquoi l’unité de référence n’est-elle pas plutôt 62, 500 ou 81 ? b) Fais part de toutes les raisons que tu trouves à des camarades. c) Entendez-vous sur la « meilleure » raison.

PATRICK WALTERS, LA PRESSE

19. Taux latex ou à l’huile ?

20. Le rapport garçons-filles Dans une classe, le rapport du nombre de garçons au nombre de filles est 7 : 5.

a) Quel est le taux présenté sur cette affiche ? b) Quelles sont les variables en jeu dans ce taux ? c) Comment le symbole de la division est-il représenté sur cette affiche ? d) On trouve aussi une variable à caractère qualitatif dans cette situation.

Indique si les énoncés suivants sont vrais ou faux. Explique tes réponses. a) Le nombre de garçons est supérieur au nombre de filles. b) S’il y a 36 élèves dans la classe, il y a 21 garçons. c) Dans la classe, il y a exactement 7 filles et 5 garçons. d) Dans la classe, il peut y avoir 10 garçons.

Quelle est-elle ? 2) Quelles valeurs peut-elle prendre ? 1)

BRIC À MATHS

SECTION 1

75

Les rapports et les taux constants Les connaissances que tu as construites dans la section précédente vont te servir d’outils pour résoudre une multitude de problèmes comportant des rapports et des taux. Dans cette section, il est toujours question de problèmes comportant des rapports et des taux, mais on s’intéresse aux cas où le rapport ou le taux entre deux variables est constant. Pour pouvoir déterminer si une situation présente un rapport ou un taux constant, il faut savoir décoder l’énoncé du problème. A

Le lundi, Frank dépense 5 $ pour dîner. Combien dépense-t-il en une semaine pour dîner ?

B

Pourquoi est-il impossible de résoudre ce problème avec certitude ?

C

Que pourrais-tu ajouter à l’énoncé de la question A pour qu’il n’y ait qu’une bonne réponse ?

Si un nouvel énoncé précise que Frank dépense toujours 5 $ pour dîner, il est possible de calculer la somme dépensée pour ses dîners en une semaine, en un mois ou pour n’importe quel nombre de jours. D

Dans ce nouvel énoncé, quel mot laisse croire que le taux est constant ?

E

En 20 jours, combien d’argent Frank aura-t-il dépensé pour dîner ?

F

En 365 jours, combien d’argent Frank aura-t-il dépensé pour dîner ?

365 jours, c’est plus de deux ans si on compte seulement les jours de classe…

Décoder l’information présente dans un problème est au cœur de l’activité mathématique. C’est ce qui permettra de trouver une façon de le résoudre.

ATTENTION Pour simplifier, on utilise souvent le mot « taux » pour parler de rapport ou de taux...

76

CHAPITRE 2

Dans l’exemple ci-dessus, c’est le mot « toujours » qui permet de décoder que Frank dépense une somme constante pour dîner. Tant qu’on n’a pas décodé cette information mathématique, il est impossible de calculer avec certitude combien il dépense pour dîner pendant une semaine ou un mois. Si le taux d’une situation est constant, il est possible de calculer les valeurs que prend une variable à partir de valeurs d’une autre variable. G

Selon toi, comment fait-on pour déterminer que les taux en jeu dans une situation sont constants ? Explique ta réponse.

VERS LA PROPORTIONNALITÉ

2.1

Savoir décoder… Cette séquence te permettra de te familiariser avec divers moyens de décoder si les taux d’une situation à deux variables sont constants. Il existe tant de contextes, dans tellement de domaines, qu’il est pratiquement impossible pour une personne de connaître tous ceux qui admettent des taux constants. Par exemple, certains contextes, en économie, en physique ou en chimie, sont très difficiles à modéliser, même pour les spécialistes de ces domaines. En économie Dans les trois derniers mois, le taux d’intérêt a monté de 2 %. Quel sera le taux d’intérêt dans trois mois ?

En chimie La troisième orbitale d’un atome de fer compte 14 électrons. Combien d’électrons compte la quatrième orbitale d’un atome de fer ?

En physique Un baromètre indique une pression atmosphérique de 101,3 kPa lorsqu’il est à 25 m au-dessus du niveau de la mer. Quelle pression indiquera-t-il à 50 m au-dessus du niveau de la mer ?

A

Quelles sont les variables en jeu dans chacune de ces situations ?

B

Selon toi, les taux entre les variables de chacune de ces situations sont-ils constants ?

C

Possèdes-tu les connaissances nécessaires pour résoudre ces problèmes ? Moi non plus !

Le travail mathématique ne consiste pas à deviner qu’une situation présente un taux constant, mais bien à décoder, de différentes façons, si les taux sont constants. Pour ce faire, tu auras à décoder ou à analyser divers aspects d’une situation pour déterminer si les taux en jeu dans celle-ci sont constants.

LES RAPPORTS ET LES TAUX CONSTANTS

SECTION 2

77

Le contexte Certains contextes présentent nécessairement des taux constants. Il n’est pas toujours facile d’identifier ces contextes parce qu’il faut connaître la définition de certains de leurs éléments. Par exemple, la définition d’un carré et la définition du périmètre permettent de déduire (ou de décoder) ceci : Le rapport entre la mesure du côté d’un carré et 1 son périmètre est constant et est égal à 4 .

Pour être en mesure de décoder cette information, il faut absolument connaître la définition du carré et celle du périmètre. Voici d’autres contextes qui présentent des taux constants. La réduction ou l’agrandissement d’une photo sans en modifier l’apparence

La notation en pourcentage

La construction de plans à l’échelle de maisons ou des rues d’une ville

1:12 500

Par exemple, l’urbaniste qui trace le plan des rues d’une ville doit s’assurer de respecter le rapport

distance sur la carte . distance réelle

Cette contrainte lui permet de calculer

les valeurs nécessaires à la réalisation de la carte.

78

CHAPITRE 2

VERS LA PROPORTIONNALITÉ

1. Comment s’appelle le rapport

distance sur la carte ? distance réelle

2. Une carte a une échelle de 1 : 10 000. Quelle est la distance réelle correspondant à une distance de 1 cm sur la carte ? 3. Trouve deux autres contextes qui présentent nécessairement des taux constants. 4. Trouve deux contextes qui ne présentent pas nécessairement des taux constants. 5. Compare tes réponses aux questions 3 et 4 avec celles de tes camarades.

L’énoncé du problème Certains contextes ne permettent pas de décoder si les taux sont constants. Ce sont alors des éléments de l’énoncé du problème qui te permettent de le décoder. Voici deux problèmes concernant la quantité de papier récupérée dans deux écoles secondaires.

À l’école Saint-Martin, on a rempli 9 bacs de papier en 12 jours. Combien de bacs de papier y remplit-on en 21 jours ?

À l’école Sainte-Martine, on remplit en moyenne 9 bacs de papier en 12 jours. À ce même rythme, combien de bacs de papier y remplit-on en 21 jours ?

A

Quelle est la différence entre ces deux problèmes ?

B

Quel problème est-il impossible de résoudre avec certitude ? Explique ta réponse.

C

Selon toi, quel problème admet des taux constants ? Explique ta réponse.

D

Quels mots permettent de décoder que les taux sont constants ?

Même si personne ne peut prédire l’avenir avec une précision absolue, il est possible de calculer le nombre de bacs de papier remplis en un temps donné si l’on impose une contrainte à la situation : le rythme de remplissage des bacs doit être constant. En lisant un problème, il faut donc porter une attention particulière aux mots et aux expressions pouvant révéler que les taux en jeu sont constants.

LES RAPPORTS ET LES TAUX CONSTANTS

Exploration Quels mots, dans l’Exploration de la page 41, permettaient de conclure qu’on avait affaire à des taux constants ?

SECTION 2

79

1. Pourquoi est-il impossible de répondre avec certitude aux questions contenues dans les problèmes suivants ? a) Dans les 60 dernières minutes, Maribel a couru cinq kilomètres. Combien de kilomètres courra-t-elle dans les 120 prochaines minutes ? b) Tristan a fait les 15 premiers numéros de son devoir de mathématique en 30 minutes. En combien de temps fera-t-il les 10 numéros suivants ? c) Tania est pompiste. Elle a récolté 10 $ de pourboires en quatre heures de travail. En combien de temps récoltera-t-elle 25 $ de pourboires ? d) Un maçon a posé 444 pierres en 3 heures de travail. Combien de pierres pose-t-il en une journée de 8 heures ? e) Deux ouvriers mettent six jours pour réparer la toiture d’une maison. Combien de temps faudra-t-il à quatre ouvriers pour accomplir le même travail ? 2. Reformule chacun des problèmes pour y faire apparaître des taux constants lorsque c’est possible. 3. Réponds aux questions des problèmes que tu as reformulés. 4. Compare tes réponses avec celles de tes camarades.

Les données Une autre façon de déterminer si les taux d’une situation sont constants consiste à comparer plusieurs valeurs des deux variables de la situation. Voici deux problèmes. À l’école Charlemagne, on remplit 9 bacs de papier en 12 jours. De même, on y remplit 12 bacs de papier en 16 jours. Combien de bacs de papier y remplit-on en 21 jours ?

À l’école Charlemagne, on remplit 9 bacs de papier en 12 jours. Combien de bacs de papier y remplit-on en 21 jours ?

80

CHAPITRE 2

A

Quelle est la différence entre ces deux problèmes ?

B

Quel problème te permet de décoder que les taux de la situation sont probablement constants ? Explique ta réponse.

VERS LA PROPORTIONNALITÉ

Lorsqu’on retrouve des rapports ou des taux constants à même les données d’un problème, on peut présumer que les taux de cette situation sont constants. Dans la première situation de la page précédente, même s’il n’est pas écrit en toutes lettres que les taux sont constants, il semble légitime de poser une telle 9 bacs 12 bacs hypothèse à partir des données fournies : 12 = 16 . jours jours Ces données supplémentaires peuvent aussi être présentées directement dans une table de valeurs, comme dans les situations de l’Action ! suivante.

1. Arnaud a noté la distance qu’il a parcourue après chaque heure de route pour les quatre premières heures de son voyage à Rimouski.

Durée (heures) Distance (km)

0 0

1 96

2 192

3 288

4 384

a) Quelles sont les variables en jeu dans cette situation ? b) Quel mot est associé au taux formé de ces variables ? c) Quelle est la vitesse moyenne d’Arnaud : 1) pendant la première heure ? 2) pendant les deux premières heures ? 3)

pour tout le trajet ?

d) Cette situation admet-elle des taux constants ? Explique ta réponse. e) Représente cette situation dans un plan cartésien. f ) Quelle distance Arnaud pourrait-il avoir parcourue après cinq heures de route ? 2. Voici l’écriteau qui apparaît dans la vitrine de la boucherie Villeneuve. a) Quelles sont les variables en jeu dans cette situation ? b) Y a-t-il un mot associé au taux formé de ces variables ? Si oui, nomme-le. c) Cette situation admet-elle des taux constants ? Explique ta réponse. d) Représente cette situation dans un plan cartésien. e) Jamal prétend que 30 kg de bœuf haché extra-maigre peuvent coûter 180 $, 165 $, 160 $ ou 155 $. Quel est son raisonnement ? Y a-t-il d’autres prix possibles pour 30 kg de bœuf haché extra-maigre ?

LES RAPPORTS ET LES TAUX CONSTANTS

SECTION 2

81

La représentation graphique La représentation graphique d’une situation peut aussi permettre de déterminer si les taux en jeu sont constants. Les coordonnées des points fournissent alors toute l’information dont on a besoin. En effet, à partir de la table de valeurs correspondant à la représentation graphique d’une situation, il est possible de calculer les taux associés à cette situation.

Nombre de bacs

Le recyclage 24 21 18

U

15 12 9 6 3 0

T S

A

Quelles sont les coordonnées des points O, S, T et U dans ce graphique ?

B

Comment peux-tu établir le taux nombre de jours à partir des coordonnées d’un point ?

C

Cette situation admet-elle des taux constants ?

D

Dans tes propres mots, décris l’allure de ce graphique.

nombre de bacs

3 6 9 12 15 18 21 24 Nombre de jours

1. Construis une table de valeurs associée à chacun des graphiques. Le carré Périmètre (cm)

Aire (cm2)

Le carré 16 12 8

16 12 8 4

4

0

0

1 2 3 4 Mesure du côté (cm)

82

CHAPITRE 2

60

L’autobus, carte mensuelle 70

45

Prix ($)

Montant d’argent ($)

Le plein, svp

1 2 3 4 Mesure du côté (cm)

30 15 0

VERS LA PROPORTIONNALITÉ

10

20 30 40 50 60 Quantité d’essence (L)

0

5

10

15 20 25 30 Nombre d’utilisations

Norgel Valeur ($)

Nombre de jours

Construction d’un garage

16 12

100 80 60

8

40

4

20

0

4

8

0

12 16 20 Nombre d’ouvriers

Les taxes

Taxes ($)

Température (°F)

Échelle de conversion

48 40 32 24 16 8 0

1990 1992 1994 1996 1998 2000 Année

160 120 80 40

5

10

15

20

0

25

Température (°C)

100 200 300 400 500 600 Montant de l’achat ($)

2. Quelles situations admettent des taux constants ? 3. Décris chacun des graphiques présentés dans cette Action ! 4. Quels sont les points communs entre les graphiques représentant des situations qui admettent des taux constants ? 5. Compare tes réponses avec celles de tes camarades.

Il est possible de déterminer qu’une situation admet des taux constants à partir de la table de valeurs associée à la représentation graphique de la situation. Cependant, l’observation du graphique s’avère beaucoup plus rapide et tout aussi efficace. E

Comment l’allure du graphique d’une situation à deux variables permet-elle de déterminer si les taux entre les variables sont constants ? L’important, c’est de savoir ce qu’il faut observer. ≤≥ EDGAR ALLAN POE

F

L’observation recueille les faits ; la réflexion les combine ; l’expérience vérifie le résultat de la combinaison. ≤≥ DENIS DIDEROT

Selon toi, laquelle des deux citations résume le mieux le travail que tu viens de faire ? Explique ta réponse.

LES RAPPORTS ET LES TAUX CONSTANTS

SECTION 2

83

Quatre moyens de décoder si les taux sont constants Il existe au moins quatre moyens à partir desquels on peut décoder si les taux entre les variables d’une situation sont constants. Le contexte Certains contextes comportant 1) des échelles de conversion, 2) des agrandissements ou des réductions, 3) des pourcentages, 4) des taux de change et 5) des recettes font normalement intervenir des taux constants. REMARQUE

Il faut garder l’œil ouvert car il y a toujours des exceptions. L’énoncé du problème Certains mots ou expressions comme « au même rythme », « à la même vitesse », « de même goût », « toujours », etc., révèlent souvent que la situation admet un taux constant. REMARQUE

Avant de se lancer dans la résolution d’un problème écrit, il faut décoder l’information mathématique qu’il contient. Les données Souvent, les données sont présentées à l’aide d’une table de valeurs. Il est possible de calculer plusieurs taux et de les comparer directement. Si tous les taux calculés sont constants, on peut raisonnablement déduire que la situation admet un taux constant.

x

6

12

18

24

y

8

16

24

32

REMARQUE

Il faut calculer tous les taux qu’il est possible de calculer avant de tirer une conclusion. La représentation graphique La représentation graphique d’une situation admettant un taux constant consiste en une ligne droite passant par l’origine d’un plan cartésien.

0

84

CHAPITRE 2

VERS LA PROPORTIONNALITÉ

1. Thérapie par le rire

2. Constant ou non ?

a) Relève tous les taux et rapports que contient le texte suivant.

La santé d’un individu est-elle proportionnelle à la quantité de son rire ? Depuis longtemps, les médecins recommandent de rire au moins 10 minutes par jour. En 1945, on estime que les gens riaient en moyenne 20 minutes par jour alors qu’aujourd’hui, ils rient en moyenne 2 minutes par jour. On dit même qu’une personne sur douze ne rit pas du tout. Pourtant, le rire a des effets bénéfiques sur la santé. Effectivement, la vitesse de l’air expulsé lorsqu’on rit est de 120 km/h, ce qui permet un nettoyage en profondeur des muqueuses des poumons. De plus, 10 minutes de rire intense équivalent à une séance d’exercice de 45 minutes. SOURCES

Dans chaque situation, repère le taux. Indique si, d’après toi, la situation admet des taux constants. a) Claudine peut nommer cinq noms de pays commençant par la lettre A en 15 secondes. b) Édouard paie 3 $ pour 100 grammes de noix en vrac. c) Une mangue coûte 0,96 $.

VARIÉES, ADAPTATION LIBRE

b) L’information présentée dans ce texte te paraît-elle vraisemblable ? Pourquoi ?

3. Anders et Daniel a) Quelles variables sont mises en relation sur ce thermomètre ? b) Les taux entre ces deux variables sont-ils constants ? c) Représente des valeurs de ces variables dans un plan cartésien. Place les degrés Celsius en ordonnée. d) Normalement, si on obtient zéro en mesurant quelque chose avec une certaine unité de mesure, devrait-on aussi obtenir zéro en le mesurant avec une autre unité de mesure ? Quel est le lien avec le titre de l’activité ?

LES RAPPORTS ET LES TAUX CONSTANTS

SECTION 2

85

4. 5 ¢/feuille

5. La table est mise !

Marie-Andrée a agrandi le schéma d’un triangle au photocopieur. Les mesures des trois côtés du triangle de départ sont de 5 cm, 6 cm et 8 cm. a) Trouve les mesures des côtés du triangle agrandi si son périmètre est de 57 cm. b) Sur quelle touche, parmi les suivantes, Marie-Andrée a-t-elle appuyé pour réaliser cet agrandissement ? Explique ta réponse. 100 %

Voici quatre situations représentées à l’aide de tables de valeurs. x

7

8

10

12

x

1

2

3

4

y

28

32

40

48

y

0,2

0,4

0,6

0,8

x

2

4

6

8

x

5

10

15

25

y

8

20

32

44

y

5,75 11,50 17,25 28,75

a) Représente chaque situation dans un plan cartésien. b) Voici des titres pour tes graphiques. Associe-les à la situation appropriée et nomme les axes. 1) Le prix avec taxe 2) Le carré, une étude du périmètre 3) Vingt pour cent 4) Quatre de moins que six fois plus c) Quelles situations admettent des taux constants ?

150 %

200 %

300 %

6. Des comparaisons Détermine si les taux et les rapports des situations suivantes sont constants. a) Le 14 août, il est tombé 5 mm de pluie. Il en est tombé 105 mm dans tout le mois d’août. b) Lorsque j’échange 10 $US, j’obtiens 11,70 $CAN. J’ai obtenu 58,50 $CAN en échangeant 50 $US. c) Pour faire du jus d’orange, Marie presse 4 oranges pour 100 mL d’eau. Lorsqu’elle presse 26 oranges, elle prend plutôt 650 mL d’eau. d) La vinaigrette Delasalade contient 150 mL d’huile pour 40 mL de vinaigre. La vinaigrette Verdure a un rapport huile/vinaigre de 170 60 .

86

CHAPITRE 2

VERS LA PROPORTIONNALITÉ

7. Café équitable Dans le cadre d’un projet de coopération internationale, un groupe d’élèves vend du café équitable. Une partie des profits est versée aux travailleurs dans les plantations de café en Amérique centrale. La table de valeurs suivante représente la quantité de café équitable vendue par le groupe, selon le nombre de personnes sollicitées. Nombre de personnes sollicitées

5

13

25

41

Quantité vendue (kg)

1

3

6

10

On a demandé à deux élèves du groupe de déterminer si cette situation admettait un taux constant ou non. Voici leur travail.

Karim

Constance

Situation à deux variables

Nombre de personnes sollicitées 5

13 25 41

Quantité (kg)

3

1

6 10

5÷1=5 13 ÷ 3 = 4,33… 25 ÷ 6 = 4,166… 41 ÷ 10 = 4,1 La situation n’admet pas de taux constant.

Quantité 10 vendue (kg) 6 3 1

Le graphique de la situation est une ligne droite passant par l’origine, donc la situation admet un taux constant.

5 13 25 41 Nombre de personnes sollicitées

0

La situation admet un taux constant.

Qui a raison ? Explique ta réponse.

8. Certains le sont, d’autres non a) Parmi les situations suivantes, indique celles qui admettent des taux constants. 1) Magalie s’intéresse au périmètre d’un hexagone régulier selon la longueur de son côté. 2) Pour un sondage, Jules doit recueillir la taille et l’âge de 20 personnes. 3) Pamela trace le graphique de l’aire d’un carré selon la longueur de son côté. b) Explique pourquoi les autres situations n’admettent pas nécessairement des taux constants.

LES RAPPORTS ET LES TAUX CONSTANTS

SECTION 2

87

2.2

Le modèle proportionnel Dans la séquence précédente, tu as vu quatre façons de décoder si les taux d’une situation sont constants. Ces façons constituent en fait des moyens de déterminer si le problème peut être représenté à l’aide d’un modèle mathématique en particulier : le modèle proportionnel. Voici un problème concernant un appareil de chauffage. Un appareil de chauffage consomme en moyenne 4 L de mazout en 12 heures. À ce même rythme, en combien de temps consommera-t-il 20 L de mazout ?

A

Quel est le taux dont il est question dans ce problème ?

B

Qu’est-ce qui laisse croire que cette situation admet des taux constants ?

C

Essaie de résoudre ce problème de deux façons différentes.

D

En combien de temps cet appareil de chauffage consomme-t-il 25 L de mazout ?

Certains problèmes sont beaucoup plus faciles à résoudre que d’autres. Par exemple, tu as probablement trouvé la question D plus difficile que celle présentée dans le problème. E

Qu’est-ce qui augmente le niveau de difficulté d’un problème dans lequel on retrouve des taux constants ?

1. Relève le taux qu’on retrouve dans chacun des problèmes suivants, puis indique si les situations en question admettent des taux constants. a) En voiture, sur l’autoroute, Sophie écoute en moyenne 6 chansons en 30 minutes. En combien de temps écoute-t-elle 9 chansons, en moyenne ? b) Simone a 16 ans et sa sœur Valérie a 8 ans. Lorsque Valérie aura 16 ans, quel âge aura Simone ? c) En moyenne, le sac de 2,5 kg de nourriture pour chat dure 50 jours. En une journée, quelle masse de nourriture les chats mangent-ils ? d) Pour se laver les cheveux, une famille de 4 personnes utilise en moyenne 300 mL de shampooing en 15 jours. Combien de jours durera une bouteille de shampooing de 500 mL dans cette famille ? e) La maison de mon voisin de gauche compte 12 fenêtres. S’il y a 14 maisons dans ma rue, combien y a-t-il de fenêtres en tout ? 2. Essaie de répondre aux questions formulées dans ces problèmes. 3. Pourquoi est-il impossible de représenter le problème b ainsi : 16 = 16 ? 8 4. Compare tes réponses avec celles de tes camarades. 88

CHAPITRE 2

VERS LA PROPORTIONNALITÉ

Pour résoudre des problèmes admettant des taux constants, on doit procéder de façon méthodique. Il importe donc de se familiariser avec ce modèle proportionnel avant d’aborder la résolution de problèmes. F

Dans quels contextes as-tu déjà entendu ou utilisé le mot « proportion » ?

G

Selon toi, que signifie le mot « proportion » ?

Reprenons le problème concernant un appareil de chauffage, présenté à la page précédente. Un décodage des aspects mathématiques de ce problème, comme les variables, leurs valeurs et les taux présents, permet de représenter le problème comme une égalité de deux taux :

variable quantité

variable temps

données du problème (exprimées sous forme de taux)

4L 12 h

=

La recherche de fractions équivalentes sera utile pour résoudre ce type de problèmes.

20 ?h

rythme constant (égalité des taux)

question (exprimée sous forme de taux)

H

Peut-on traduire tous les problèmes de cette façon ?

I

Lorsque c’est possible, représente les problèmes de l’Action ! précédente comme une égalité de deux taux.

J

Selon toi, cette « traduction » du problème facilite-t-elle sa résolution ? Explique ta réponse.

LES RAPPORTS ET LES TAUX CONSTANTS

SECTION 2

89

La proportion Une proportion est l’égalité entre deux rapports ou deux taux. La proportion ba = dc se lit ainsi : le rapport de a à b est égal au rapport de c à d. Dans cette proportion : • a, b, c et d sont les termes. • a et d sont les extrêmes, alors que b et c sont les moyens. • le rapport de a à b représente le coefficient de proportionnalité de la situation. Exemple : Les élèves d’une classe d’arts plastiques remplissent trois bacs de récupération tous les deux jours.

Nombre de bacs

Récupération 15

12 bacs = 3 bacs = 1,5 bac/jour 8 jours 2 jours

12 9

coefficient de proportionnalité

6 3 0

2

4 6 8 10 Nombre de jours

Récupération Nbre de bacs

0

3

6

9

12

15

Nbre de jours

0

2

4

6

8

10

3 2

=

6 4

=

9 6

= 12 = 15 8

× 1,5 coefficient de proportionnalité

10

Cette situation admet un taux constant : en moyenne, les élèves de cette classe remplissent 1,5 bac/jour. Ce taux constant est appelé coefficient de proportionnalité. REMARQUES

• On appelle situations de proportionnalité ou situations proportionnelles les situations qui admettent des rapports ou des taux constants. • Dans une situation de proportionnalité, il y a une relation de variation directe entre les deux variables.

90

CHAPITRE 2

VERS LA PROPORTIONNALITÉ

K

Selon toi, pourquoi les mots « extrêmes » et « moyens » servent-ils à désigner les termes d’une proportion ?

L

Quels sont les extrêmes et les moyens dans la proportion utilisée pour résoudre le problème de l’appareil de chauffage de la page 89 ?

Des fractions équivalentes Le concept de fraction équivalente est au cœur de la définition d’une proportion. Le travail effectué depuis le primaire sur les fractions te sera donc très utile, encore une fois. Voici comment Tammy, Jérémie et Claudia ont résolu le problème de l’appareil de chauffage de la page 89.

Jérémie ×5

Ta m my ×3

4 12

=

20 60

4 12

×3

=

20 60

×5

Claudia 4 = 12 ×5 20 60

Il n’y a pas de fractions dans le problème, mais on peut le résoudre grâce aux fractions !

×5

A

Serait-il possible de procéder ainsi s’il n’y avait pas de relation d’égalité entre les deux fractions ? Explique ta réponse.

B

Selon toi, est-il toujours possible de procéder ainsi pour résoudre un problème ? Explique ta réponse.

1. Trouve les termes manquants des proportions suivantes. a) 1 = 3 2

d) 3 = 8

b) 6 = 9 8

e) 55 = 5

c)

7

= 7 1

12 11

f ) 8 = 10 25

g) h)

12

= 2 8

12

= 10 15

i) 4 = 6

45

2. As-tu procédé de la même façon dans chaque cas ? Explique ta réponse. 3. Quelle question as-tu trouvée la plus difficile ? 4. Compare tes réponses avec celles de tes camarades.

LES RAPPORTS ET LES TAUX CONSTANTS

SECTION 2

91

C

Commente l’affirmation suivante.

«

Les termes d’une proportion influencent grandement la procédure utilisée pour trouver le terme manquant.

»

Du problème à la proportion La première qualité du style, c’est la clarté. ≤≥ ARISTOTE

Avant de résoudre un problème dans lequel on retrouve un taux constant, il est utile de le traduire à l’aide d’une proportion. Puisque la résolution de problèmes écrits sera au cœur de tes apprentissages dans les cours de mathématique et de sciences, il est bon que tu t’appropries des moyens de présenter une démarche de résolution claire. La résolution du problème en sera facilitée. Soit le problème suivant. En voiture, Sara parcourt en moyenne 21 km en 15 minutes. Si elle conserve la même vitesse, en combien de temps parcourra-t-elle 28 km ?

Voici comment on peut traduire un problème à l’aide d’une proportion. Décoder s’il s’agit d’une situation de proportionnalité. En voiture, Sara parcourt en moyenne 21 km en 15 minutes. Si elle conserve la même vitesse, en combien de temps parcourra-t-elle 28 km ?

Identifier les valeurs des variables de la situation. En voiture, Sara parcourt en moyenne 21 km en 15 minutes. Si elle conserve la même vitesse, en combien de temps parcourra-t-elle 28 km ?

Exprimer les variables en jeu sous la forme de taux, puis poser l’égalité entre les deux taux.

21 km 28 km = 15 minutes ?

92

CHAPITRE 2

VERS LA PROPORTIONNALITÉ

1. Détermine si les situations suivantes sont proportionnelles. Indique ce qui t’a permis de le déduire. a) Mon téléviseur de 27 pouces a coûté 240 $. Combien coûtera un téléviseur de 36 pouces ? b) En deux tours de piste, Kumiko a brûlé 48 calories. Si la tendance se maintient, combien de calories brûlera-t-elle en sept tours de piste ? c) André a gagné 400 $ la semaine dernière. Combien gagne-t-il par année ? d) Une imprimante a imprimé 51 copies de la même feuille en 27 minutes. À ce même rythme, combien de temps mettra-t-elle à imprimer les 68 copies demandées ? e) Toutes les semaines, sans exception, Serge achète six fleurs à sa copine Rachel. Après cinq semaines, combien Rachel aura-t-elle reçu de fleurs de Serge ? f ) Je tonds le gazon de M. Leclerc une fois par semaine. M. Leclerc me donne 35 $ toutes les trois semaines. Combien d’argent m’a-t-il donné l’an dernier si j’ai tondu son gazon 15 fois ? g) Il y a quatre pintes dans un gallon. Combien de pintes y a-t-il dans 2,5 gallons ? h) Si deux ouvriers peuvent réparer une toiture en six jours, combien de jours faudra-t-il à quatre ouvriers travaillant au même rythme pour effectuer les mêmes travaux sur la toiture ?

Plus il y a de gens qui travaillent, moins ça prend de temps, non ?

2. Essaie de répondre aux questions des situations que tu as identifiées comme étant proportionnelles. 3. Pourquoi est-il pratiquement impossible de répondre avec certitude aux autres questions ? 4. Compare tes réponses avec celles de tes camarades.

A

Pourquoi est-il important de déterminer si une situation est proportionnelle avant d’entreprendre des calculs ?

LES RAPPORTS ET LES TAUX CONSTANTS

SECTION 2

93

PROPORTIONNALITÉ ET ÉDITION D’IMAGE Les logiciels d’édition d’image possèdent une fonctionnalité permettant d’ajuster la taille d’une image. Voici un exemple.

Les pouces sont d’usage courant en édition d’image, mais on pourrait aussi utiliser des centimètres.

Dans la fenêtre de gauche, toutes les données relatives à la taille de l’image sont indiquées. Rapports, taux et proportions, tout en un ! 1. On veut imprimer cette photo sur du papier format 6 po sur 8 po. hauteur

a) Quel est le rapport largeur de ce papier ?

hauteur

b) Est-ce qu’on retrouve le même rapport largeur dans la photo à imprimer ? c) Si on imprime cette photo sans la modifier, est-ce que sa taille sera la même que celle du papier ? d) Comment pourrait-on ajuster la taille de la photo pour utiliser toute la surface du papier ? 2. Selon toi, à quoi sert de cocher la case « Barrer les proportions » ? 3. En spécifiant qu’on veut une image ayant une hauteur de 6 pouces et une largeur qui respecte la proportion, quelle sera la largeur de l’image calculée par le logiciel ? 4. Quelle est la hauteur maximale qui peut être donnée à la photo originale si on veut l’imprimer sur du papier format 8 12 po sur 11 po ? 2

94

CHAPITRE 2

VERS LA PROPORTIONNALITÉ

5. Dans ces exemples, on a réduit la hauteur des images à 1 12 pouce. image redimensionnée

A

LR

image redimensionnée

B LR

a) Quelle image a été redimensionnée alors que la case « Barrer les proportions » était cochée ? Explique ta réponse. b) Quelle est la largeur de l’image redimensionnée A ? hauteur

c) Quel est le rapport largeur de l’image redimensionnée A ? d) Quelle est la largeur de l’image redimensionnée B ? hauteur

e) Quel est le rapport largeur de l’image redimensionnée B ? Dans plusieurs logiciels, on peut redimensionner une image avec un simple glissement de souris. Pour s’assurer que les proportions sont conservées, il suffit de tenir la touche « Shift » enfoncée.

LES RAPPORTS ET LES TAUX CONSTANTS

SECTION 2

95

1. Identification extrême Écris toutes les proportions que tu peux former avec les nombres 4, 17, 12 et 51.

2. À toi de jouer ! a) Rédige un problème qui pourrait être traduit à l’aide de la proportion suivante.

21 ? = 15 40 b) Dans ton problème, comment révèles-tu qu’il s’agit d’une situation de proportionnalité ? c) Trouve la réponse à ton problème.

3. Autrement dit Voici des situations de proportionnalité. Trouve le coefficient de proportionnalité de chaque situation. a) Chaque fois que j’achète un magazine, ça me coûte 4,95 $. b) Si la mesure du côté d’un triangle équilatéral augmente de 2 unités, son périmètre augmente de 6 unités. c) Chaque fois que je dépense 100 $, je paye environ 14 $ de taxes. d) Chaque fois que je reçois de l’argent de poche, je mets 3 $ de côté. e) Chaque fois que je parcours 10 km sur l’autoroute, je vieillis de 6 minutes. f ) Tous les milles qui me séparent de l’école mesurent environ 1,609 kilomètre. g) En 5 minutes, le volume de sang expulsé par le cœur est de 26 litres. h) Au repos, le cœur humain bat en moyenne 19 fois en 15 secondes. i ) En déposant 125 $ dans un compte en banque, j’ai récolté 37,50 $ d’intérêts après un an.

96

CHAPITRE 2

VERS LA PROPORTIONNALITÉ

4. Pas juste le papier La fin de semaine, Fred fait la collecte des canettes vides dans son quartier. Il amasse ainsi des fonds pour les activités parascolaires de son école. Voici les sommes d’argent que ses collectes des cinq dernières fins de semaine ont rapportées. Nombre de canettes

800

750

1200

1100

850

Somme amassée ($)

40

37,50

60

55

42,50

a) Trace le graphique de cette situation. b) Est-ce que la situation est proportionnelle ? Explique ta réponse. Suppose maintenant que Fred garde 5 $ pour une collation sur la somme amassée, chaque jour de collecte. c) Cette nouvelle situation est-elle proportionnelle ? Explique ta réponse. d) Trace un graphique pour convaincre quelqu’un de ta réponse en c.

5. À petite échelle

6. Trois sur quatre

Voici une carte routière.

On a formé une proportion avec les nombres 10, 15 et 150. Donne deux possibilités pour le quatrième terme.

a) Quelle est l’échelle de cette carte ? b) Est-ce que ce contexte donne lieu à une relation de proportionnalité entre la distance sur la carte et la distance réelle ? Explique ta réponse. c) Établis les proportions qui traduisent les problèmes suivants. 1) Sur la carte, quelle longueur représente une route de 8 km ? 2) Quelle est la distance réelle correspondant à une distance de 4 cm sur la carte ?

LES RAPPORTS ET LES TAUX CONSTANTS

SECTION 2

97

2.3

D’autres situations à deux variables Cette séquence traite de situations à deux variables pour lesquelles le modèle proportionnel n’est pas approprié, c’est-à-dire des situations qui n’admettent pas de taux constants. Par exemple, le nombre de pièces dans un appartement n’est pas la seule variable influençant le prix du loyer ; beaucoup d’autres facteurs, comme le quartier, les rénovations effectuées et la grandeur des pièces ont aussi une influence sur le prix du loyer. Le taux

prix du loyer n’est donc pas constant. nombre de pièces dans un appartement

De même, le salaire annuel d’une personne ne dépend pas directement du nombre d’années de scolarité de cette personne. Plusieurs autres facteurs entrent en ligne de compte. Le taux

salaire annuel n’est donc pas constant. nombre d’années de scolarité

A

Nomme quelques facteurs qui influencent le salaire d’une personne.

B

Donne un autre exemple d’une situation à deux variables où le taux n’est pas constant.

Quand une augmente, l’autre diminue ! Depuis le début de ce chapitre, il est surtout question de situations où la valeur d’une variable varie dans le même sens que la valeur de l’autre variable. A

Donne un exemple d’une situation à deux variables où la valeur d’une variable varie en sens inverse de la valeur de l’autre variable.

B

Relève des situations de ce genre dans les Action ! de cette section.

C

Quels contextes reviennent souvent dans ces situations ?

Voici une première situation. Trois personnes peuvent construire un garage en quatre jours. En combien de temps deux personnes travaillant au même rythme peuvent-elles construire un garage identique ?

1. Quelles sont les deux variables en jeu dans cette situation ? 2. Deux personnes devraient-elles prendre plus de temps ou moins de temps que trois personnes pour accomplir une tâche identique ? Explique ta réponse. 3. Combien de temps faudrait-il à une seule personne pour construire un garage identique ?

98

CHAPITRE 2

VERS LA PROPORTIONNALITÉ

Voici maintenant une autre situation. Élodie roule à une vitesse constante de 100 km/h. Il lui faut quatre heures pour se rendre à Québec. Combien de temps lui faudrait-il si elle roulait à 50 km/h ?

4. Quelles sont les deux variables en jeu dans cette situation ? 5. Si Élodie roule moins vite, lui faudra-t-il plus ou moins de temps pour franchir la même distance ? Explique ta réponse. 6. La vitesse est-elle constante dans cette situation ? 7. Qu’est-ce qui est constant dans cette situation ?

Variation directe et variation inverse Lorsque le taux entre deux variables d’une situation est constant, on est alors en présence d’une relation de variation directe entre les deux variables, c’est-à-dire une situation de proportionnalité. Exemple : Voici une table de valeurs mettant en relation les variables temps de parcours et distance parcourue d’un automobiliste qui roule à une vitesse constante. Distance parcourue (km)

60

120

180

240

Temps de parcours (h)

1

2

3

4

Dans cet exemple, le taux

distance parcourue est constant. Cette vitesse temps de parcours

de 60 km/h constitue le coefficient de proportionnalité de la situation. Lorsque c’est plutôt le produit de valeurs correspondantes de deux variables qui est constant, on est en présence d’une relation de variation inverse entre les deux variables. Exemple : Voici une table de valeurs mettant en relation les variables temps de parcours et vitesse de parcours de plusieurs automobilistes qui parcourent la même distance. Vitesse de parcours (km/h)

80

60

40

30

Temps de parcours (h)

3

4

6

8

Dans cet exemple, le produit de la vitesse par le temps est constant ; il est de 240 km pour tous les automobilistes.

LES RAPPORTS ET LES TAUX CONSTANTS

SECTION 2

99

Les autres situations Dans certains cas, les contextes en jeu ne peuvent pas admettre de taux constants, soit parce que les variables ne sont pas des nombres, soit parce que la logique ne le permet pas. A

Invente une situation à deux variables où les variables en jeu ne sont pas des nombres.

B

Invente une situation à deux variables où les variables n’ont pas de relation entre elles.

1. Essaie de résoudre les problèmes suivants. a) Deux sœurs ont quatre et huit ans. Quel âge aura l’aînée lorsque la cadette aura sept ans ? b) Mathieu a cinq ans et il mesure un mètre. • À quel âge mesurera-t-il deux mètres ? • À quel âge mesurera-t-il cinq mètres ? c) Le pelage d’un dalmatien de cinq mois compte 18 taches noires. Quel âge aura le dalmatien lorsque son pelage comptera 36 taches noires ? d) Un homme portant des souliers de pointure 10 a un salaire annuel de 50 000 $. Quelle sera sa pointure de souliers lorsqu’il obtiendra une augmentation de 5 000 $ ? e) La couleur préférée des enfants de deux ans est le rouge. Quelle est la couleur préférée des enfants de quatre ans ? f) Aujourd’hui, le vent souffle à 20 km/h et il fait 10 °C. Quelle température fera-t-il demain si la météo annonce des rafales de 40 km/h ? g) Le capitaine d’un bateau ayant un équipage de 40 matelots a 51 ans. Quel âge a le capitaine d’un bateau ayant un équipage de 80 matelots ? h) L’aire d’un carré ayant des côtés de 3 cm est de 9 cm2. Quelle est l’aire d’un carré ayant des côtés de 5 cm ? 2. Compare tes réponses avec celles de tes camarades. 3. Pourquoi est-il impossible de reformuler chacun des huit problèmes précédents pour y faire apparaître le concept de taux ou de rapport constant ? 4. Invente deux autres problèmes du même type.

100

CHAPITRE 2

VERS LA PROPORTIONNALITÉ

1. Vrai ou faux ?

2. Au fil de l’eau

Indique si les énoncés suivants sont vrais ou faux. Explique tes réponses. a) Une situation qui admet des taux constants n’est pas nécessairement une situation de proportionnalité. b) Une situation peut être proportionnelle même si une des deux variables de la situation n’est pas un nombre. c) Dans une relation de variation inverse, lorsque la valeur d’une variable augmente, il est possible que la valeur de l’autre variable ne change pas. d) La représentation graphique d’une relation de variation inverse est la même que celle d’une relation de proportionnalité.

3. Diminue, diminue pas... a) Identifie les deux variables en jeu dans chacune des situations suivantes. 1) Le nombre de personnes se partageant un prix et la part de chaque personne

Le robinet chez Éléna a un débit de 160 mL/s. À la maison, Éléna met 3 secondes à remplir sa bouteille d’eau. À l’école, la fontaine a un débit de 120 mL/s. Éléna se demande combien de temps il lui faut pour remplir sa bouteille à l’école. a) Est-ce que la bouteille se remplirait plus rapidement ou moins rapidement à l’école ? b) Quelles sont les deux variables en jeu dans cette situation ? c) Qu’est-ce qui est constant dans cette situation ? d) En combien de temps Éléna peut-elle remplir sa bouteille à l’école ?

Le nombre de portes d’armoire à peindre et la quantité de peinture nécessaire 3) La durée d’un trajet et la vitesse 4) Le nombre de tuques dans la cour d’école et la température 5) Le nombre de garçons dans un groupe et le rapport 2)

nombre de filles nombre de garçons du groupe

Le nombre de personnes ayant mangé du ragoût et la quantité de ragoût qui reste dans le chaudron b) Imagine quelques valeurs réalistes pour les variables de chacune des situations. Construis les tables de valeurs correspondantes. c) À main levée, représente l’allure de chaque situation dans un plan cartésien. Identifie bien les axes. 6)

LES RAPPORTS ET LES TAUX CONSTANTS

SECTION 2

101

1. Dans les pommes Associe chaque graphique à une situation. a) Prix total ($)

Coût des pommes 0,70 0,60 0,50 0,40 0,30 0,20 0,10 0

b)

0 1 2 3 4 5 6 7 Quantité achetée (kg)

Prix total ($)

Coût des pommes 4,20 3,60 3,00 2,40 1,80 1,20 0,60 0

c)

0 1 2 3 4 5 6 7 Quantité achetée (kg)

Prix total ($)

Coût des pommes 7 6 5 4 3 2 1 0

d)

0 1 2 3 4 5 6 7 Quantité achetée (kg)

Prix total ($)

Coût des pommes 7 6 5 4 3 2 1 0

102

0 1 2 3 4 5 6 7 Quantité achetée (kg)

CHAPITRE 2

VERS LA PROPORTIONNALITÉ

2. Le jeu de l’erreur Voici la même photo en deux formats.

Je vois une erreur sur le panneau. Où est-elle ?

a) Quelle est la longueur, en millimètres, de la base du panneau « Ralentissez » : 1) sur la grande photo ? 2) sur la petite photo ? b) Quel est le rapport des mesures de longueur entre ces deux photos ? c) Suppose que le panneau « Ralentissez » est carré. Quelle est son aire en millimètres carrés : 1) sur la grande photo ? 2) sur la petite photo ? d) Quel est le rapport des mesures de surface entre ces deux photos ? e) Quelle est l’échelle approximative de chacune de ces photos par rapport à la réalité ?

3. Bis-bille a) Dans chaque sac, quel est le rapport : 1)

nombre de billes rouges nombre total de billes ? nombre de billes bleues

2) nombre total de billes

?

b) De quel sac as-tu le plus de chances de tirer : 1) une bille rouge ? 2) une bille bleue ?

Si je vois à travers le sac, mes chances de tirer une bille de la couleur que je veux sont de 100 % !

BRIC À MATHS

SECTION 2

103

4. Deux, c’est mieux ! Voici une table de valeurs. Lait 0 %

Lait 1 %

Lait 2 %

Lait 3,25 %

4,07 $

4,29 $

4,53 $

4,78 $

a) Quelles sont les variables en jeu dans cette situation ? b) S’agit-il d’une situation de proportionnalité ? Explique ta réponse. c) Y a-t-il de la taxe sur le lait ? Pourquoi ? Pose la question à une ou à un adulte.

5. Entendu samedi soir Les commentateurs sportifs font parfois de la mathématique dans le cadre de leur travail. Voici un exemple classique.

«

Il a marqué deux buts lors du premier match de la saison. Si la tendance se maintient, il marquera 164 buts, pulvérisant ainsi le record de 92 buts en une saison détenu par Wayne Gretzky.

»

a) Qu’est-ce qui ne va pas avec cette « prédiction » ?

b) Essaie de trouver d’autres utilisations inadéquates de la mathématique dans le monde du sport.

6. L’école, c’est payant ! Voici la représentation graphique de deux situations. Un bon investissement Total moyen des revenus à vie (millions de $)

Somme amassée ($)

Profits amassés au lave-auto des finissants 300 250 200 150 100 50 0

0

20

40

60

80

Nombre de voitures lavées

a) S’agit-il de situations proportionnelles ? Pourquoi ? b) Dans tes propres mots, décris ces situations.

104

CHAPITRE 2

VERS LA PROPORTIONNALITÉ

3 2 1 0

0 2 4 6 8 10 12 14 16 Années de scolarité

7. Vraiment proportionnel Voici des situations admettant des taux constants. a) Traduis chaque situation à l’aide d’une proportion. Gabriel gagne 14 $ pour une heure de travail. Quel est son salaire s’il travaille 35 heures ? 2) Isabelle dort en moyenne 8 heures par nuit. Combien de temps passe-t-elle à dormir pendant un an ? 3) Quel est le périmètre d’un triangle équilatéral de 7 cm de côté ? 4) On utilise 9 sachets de sucre pour produire le contenu d’une cannette de boisson gazeuse de 355 mL. Combien doit-on utiliser de sachets de sucre pour produire 1 L de cette boisson gazeuse ? 1)

5)

Joseph reçoit en moyenne 13 courriels en une semaine. À ce rythme, combien recevra-t-il de courriels en une année ?

b) Essaie de répondre à la question de chaque situation.

9. Faussement proportionnel

8. Table rectangulaire Plusieurs rectangles ont un rapport largeur : longueur de 4 : 9. a) Construis une table de valeurs qui contient quelques exemples. b) Représente cette situation dans un plan cartésien.

a) Dans les situations suivantes, on ne peut ajouter de condition réaliste qui rendrait les taux constants. Explique pourquoi. Une joueuse de hockey a marqué trois buts en première période. Combien de buts marquera-t-elle dans toute la partie ? 2) Pour une course de 15 km en taxi, le montant à payer est de 25 $. Quel sera le montant à payer pour 30 km ? 3) J’ai lu 37 pages de mon livre en une journée. À quelle page serai-je rendu dans trois mois ? 4) Un litre de lait 1 % coûte 1,79 $. Combien coûtent 2 litres de lait 2 % ? 5) L’entrée au parc d’amusement coûte 35 $. J’ai essayé 14 manèges différents dans ma journée. Combien aurait coûté mon entrée si j’avais essayé 22 manèges différents ? 1)

b) Compare tes réponses avec celles de tes camarades.

BRIC À MATHS

SECTION 2

105

10. Paulette Labelle Ce texte comporte plusieurs situations qui mettent en jeu un taux ou un rapport. a) Relève cinq de ces taux ou de ces rapports.

Paulette est très coquette. Aujourd’hui, comme tous les matins, elle s’est concocté un masque de beauté. Elle utilise 50 mL d’avoine pour 100 mL de yaourt. Ensuite, elle est allée magasiner et elle a acheté trois chandails pour 78 $. Puis, elle est allée au cinéma et a payé 9 $ pour un film d’une durée de 2 h 14. Après sa manucure, son coiffeur lui a fait une tête magnifique. En plus de payer 40 $ pour la coupe de cheveux, Paulette a laissé un pourboire de 5 $. Finalement, en revenant à la maison, Paulette s’est fait couler un bain de pieds dans lequel elle met toujours trois gouttes d’huile d’amande pour 1000 mL d’eau chaude.

b) Indique les situations qui pourraient admettre des taux ou des rapports constants. Explique ta réponse.

11. Vrai ou faux ?

12. Chaque fois que c’est constant

a) Trouve un moyen de vérifier les égalités suivantes.

L’expression « chaque fois que » permet souvent de traduire un problème dans lequel on retrouve des taux constants. Normalement, cette expression désigne un taux unitaire.

1) 3

= 10,5 49

2) 52

= 156 21

14 7

Par exemple, « En moyenne, un cycliste donne 165 coups de pédale en 3 minutes » devient « Chaque fois qu’un cycliste pédale pendant une minute, il donne 55 coups de pédale. »

3) 65

= 97,5 4 6

4)

1,7 = 2,55 8 12

b) Compare ta façon de procéder avec celles de tes camarades.

106

CHAPITRE 2

Reformule les situations suivantes. Utilise la locution « chaque fois que ». Rappelle-toi de transformer le taux en taux unitaire, s’il y a lieu. a) En marchant vers l’école, Camille écoute en moyenne 4 chansons en 20 minutes. b) Parce que c’est bon pour la santé, il faut boire en moyenne 10 L d’eau en 5 jours. c) L’échelle de cette carte est de 1 : 100 000. d) Mes interurbains me coûtent toujours 4 ¢/minute.

VERS LA PROPORTIONNALITÉ

13. Une affaire de prix

14. Variation directe

a) Identifie les deux variables en jeu dans chacune des situations suivantes.

Voici une table de valeurs.

Le prix payé pour 2) Le prix payé pour dans le sac 3) Le prix payé pour de litres achetés 4) Le prix payé pour 5) Le prix payé pour par sac 1)

du tissu et le nombre de mètres achetés un sac de raisins et le nombre de raisins un litre d’essence et le nombre une entrée au cinéma et la durée du film un sac de carottes et le nombre de carottes

Le prix payé pour une coupe de cheveux et le nombre de cheveux de la personne 7) Le prix payé pour un bouquet de fleurs et le nombre de fleurs dans le bouquet 8) Le prix payé pour un livre et le nombre de pages du livre 9) Le prix payé pour des bananes et la masse des bananes 6)

x

10

12

14

16

18

20

y

15

18

21

24

27

30

a) Comment fais-tu pour décoder s’il y a une relation de variation directe entre x et y ? b) Quel est le coefficient de proportionnalité de cette situation ? c) Trouve un contexte approprié pour ces valeurs.

b) Lorsque c’est possible, ajoute une condition qui rend la situation proportionnelle. c) Lorsque ce n’est pas possible, explique pourquoi.

15. Chocolat Voici quatre « recettes » de lait au chocolat. On ajoute 30 mL de sirop de chocolat à 1 L de lait.

On ajoute 15 mL de sirop de chocolat à 450 mL de lait.

On ajoute 10 mL de sirop de chocolat à 350 mL de lait.

On ajoute 20 mL de sirop de chocolat à 750 mL de lait.

a) Quelle recette donne le lait au chocolat au goût le plus chocolaté ? b) Classe les recettes de lait au chocolat, du plus chocolaté au moins chocolaté. c) Quelles recettes faut-il combiner pour obtenir du lait au chocolat qui goûte exactement la même chose que celui obtenu avec la recette 2 ?

BRIC À MATHS

SECTION 2

107

16. Fais-moi un dessin...

17. Argent de poche

Vérifie la conjecture suivante à l’aide d’un dessin, puis à l’aide de calculs.

«

Je reçois 20 $ en argent de poche.

Moi, c’est 10 $.

En doublant la mesure des côtés d’un carré, on double aussi son aire.

» a) Qui reçoit le plus d’argent : Dimitri ou Jade ?

18. Des pommes avec des pommes Dans une circulaire, une épicerie annonce un contenant de 1,36 L de jus de pomme à 0,99 $. Une autre épicerie annonce un contenant de 1,5 L à 1,11 $. a) Quel achat est le plus avantageux, d’un point de vue économique ? b) Une troisième épicerie veut vendre des contenants de 1,89 L de jus de pomme le plus cher possible, mais demeurer l’option la plus avantageuse pour la clientèle. À quel prix devrait-elle vendre son jus de pomme ?

b) L’argent de poche représente-t-il une seule variable ou une relation entre deux variables ? Explique ta réponse. c) Quelle est la différence entre de l’argent de poche hebdomadaire et de l’argent de poche mensuel ? d) Étais-tu réellement en mesure de comparer les sommes de Dimitri et de Jade ? Explique ta réponse.

19. Taux composé Simon a composé deux problèmes à partir du taux suivant. 100 km/h Sur l’autoroute, la vitesse maximale permise est de 100 km/h. Si je roule sur l’autoroute pendant 1 h 30, combien de kilomètres vais-je parcourir ? Sur l’autoroute, je roule en moyenne à 100 km/h. Si je roule sur l’autoroute pendant 1 h 30, combien de kilomètres vais-je parcourir ? a) Lequel des deux problèmes comporte une situation admettant un taux constant ? b) Comme Simon, compose à ton tour deux problèmes à partir du taux suivant. 12 $/kg Parmi tes deux problèmes, un seul doit faire référence à une situation admettant un taux constant. c) Demande à un de tes parents ou à quelqu’un de ton entourage de résoudre tes problèmes. d) Cette personne a-t-elle vu la différence entre tes deux problèmes ?

108

CHAPITRE 2

VERS LA PROPORTIONNALITÉ

20. Et les enveloppes ? Voici la représentation graphique d’une situation.

Coût total ($)

Coût des timbres 25

Question

20

de

15 10 5 0

0

10 20 30 40 50 Nombre de timbres

a) Quel est le coefficient de proportionnalité de cette situation ? b) Que représente ce coefficient de proportionnalité ? c) Construis une table de valeurs représentant cette situation.

21. Directe, inverse ou autre ? a) Identifie deux variables pour chacune des situations suivantes. 1) Il en coûte 15 $ par voiture pour prendre place à bord d’un traversier. La location d’un bateau pour une croisière est de 3000 $. Lucie aimerait inviter le plus de personnes possible afin de répartir le coût de location du bateau. 3) L’unité de mesure de la vitesse d’un bateau est le nœud. Un nœud correspond à 1,852 km/h. 4) À une vitesse de 80 nœuds, un traversier met deux heures à effectuer une traversée. En cas de mauvais temps, il doit naviguer à 40 nœuds. 2)

culture

LES NŒUDS Anciennement, pour calculer la vitesse d’un bateau, on jetait à la mer une bouée. Cette bouée était attachée à une corde à laquelle on avait fait des nœuds à intervalles constants. Un marin comptait les nœuds qui défilaient sous ses doigts tandis qu’un autre marin mesurait le temps écoulé à l’aide d’un sablier. C’est pour cette raison qu’en navigation, aujourd’hui, l’unité de mesure de la vitesse d’un bateau se nomme le « nœud ». En effet, un nœud correspond à 1852 mètres par heure. À la surface de la Terre, on peut calculer les distances en degrés. Un nœud représente un parcours de 601 de degré en une heure.

b) Dans quelles situations retrouve-t-on : • une relation de variation directe ? • une relation de variation inverse ? c) Compare tes réponses avec celles de tes camarades.

BRIC À MATHS

SECTION 2

109

Résoudre une proportion La section 2 t’a donné l’occasion de constater que pour résoudre des problèmes répondant au modèle proportionnel, la plus grande part du travail consiste à : déterminer qu’une situation est proportionnelle ; 2) établir une proportion. 1)

Tu vas maintenant développer des procédures qui te permettront de trouver le terme manquant d’une proportion.

Voici un problème que des élèves avaient à résoudre. Les élèves d’une classe remplissent normalement 4 bacs de récupération en 11 jours. À ce même rythme, en combien de temps rempliront-ils 13 bacs de récupération ?

Voici comment ils ont procédé. ×3+1

4 11

=

13 34

×2+3

×3+1

34 jours

4 13 = 1 1 29

×2+3

29 jours

1. Que penses-tu de ces procédures ? Sont-elles appropriées ? Pourquoi ? 2. Comment pourrait-on procéder autrement ? 3. Qu’est-ce qui indique que cette situation est proportionnelle ? 4. Résous le problème en tenant compte du fait que les taux sont constants.

110

CHAPITRE 2

VERS LA PROPORTIONNALITÉ

Les procédures permettant de calculer le terme manquant d’une proportion doivent tenir compte de la définition d’une proportion. A

Quelle est la définition d’une proportion ?

Il existe plusieurs procédures pour calculer le terme manquant d’une proportion. Certaines d’entre elles sont plus populaires en raison de leur rapidité et de leur efficacité. Les séquences suivantes te permettront de te familiariser avec ces procédures. Ainsi, à ton tour, tu seras en mesure de les comprendre et de les utiliser de façon efficace.

3.1

Une question de taux unitaire Voici deux séries de proportions dans lesquelles il manque un terme. a)

91

4 = 13

a)

7

= 4 1

9

= 1 8

b) 54 = 6

b)

c) 5 =

c) 5 = 2,5 1

8

7

17,5

d) 5,9 = 37,76 3,2

1 = 6,4 d) 3,2

A

Essaie de trouver le terme manquant de ces proportions.

B

Avec quelle série éprouves-tu le plus de facilité ? Explique ta réponse.

C

Quelle série contient des taux unitaires ?

D

Selon toi, comment un taux unitaire peut-il faciliter la recherche du terme manquant d’une proportion ? Explique ta réponse.

Dans certains contextes, la recherche d’un taux unitaire semble très naturelle. Par exemple, Maria désire connaître le salaire qu’elle recevra pour 8 heures de travail. Son salaire horaire est constant et elle reçoit 54 $ pour 6 heures de travail. E

Est-ce que le modèle proportionnel traduit bien cette situation ? Explique ta réponse.

F

Est-ce que le calcul du salaire horaire de Maria est utile dans cette situation ? Explique ta réponse.

RÉSOUDRE UNE PROPORTION

SECTION 3

111

Voici deux proportions tirées des séries de la page précédente. 54 = 6 8

9

= 1 8

G

Comment a-t-on fait pour obtenir la proportion de droite à partir de celle de gauche ?

H

Quel est le terme manquant dans chacune de ces proportions ?

I

Pourquoi est-ce plus facile de trouver le terme manquant lorsqu’un des termes est 1 ?

J

Selon toi, est-ce que ces deux proportions différentes peuvent te permettre de trouver le salaire de Maria pour 8 heures de travail ? Explique ta réponse.

Trouver le terme manquant d’une proportion, c’est en quelque sorte partir à la recherche de multiplicateurs ou de diviseurs. Ce travail peut s’avérer plus difficile selon les termes de la proportion. ×?

4

13

En effectuant d’abord un retour à l’unité, cette difficulté n’est plus, parce que tous les nombres sont des « multiples » de 1. × 13 ÷4

4

1

13

÷ 4 × 13

1. Complète les phrases suivantes. a) À salaire constant, si je gagne 54 $ pour 6 heures de travail, je gagne donc

pour 1 heure de travail et

pour 8 heures

de travail. b) À vitesse constante, si je cours 3 km en 18 minutes, je cours donc

km en

minute et 11 km en

2. Dans tes propres mots, résume la procédure que tu as utilisée. 3. Compare ton résumé avec ceux de quelques camarades.

J’ai vu cette procédure au primaire. C’est le retour à l’unité.

112

CHAPITRE 2

VERS LA PROPORTIONNALITÉ

minutes.

Le retour à l’unité Le retour à l’unité est une procédure qui permet de calculer le terme manquant de n’importe quelle proportion. Cette procédure consiste à calculer d’abord la valeur que prend la variable associée au terme manquant lorsque l’autre variable vaut 1 : on obtient ainsi le taux unitaire. Grâce à ce taux unitaire, on peut ensuite calculer le terme manquant. Exemple : Un automobiliste a payé 50 $ pour 40 L d’essence. Si le prix de l’essence est constant, combien coûtent 65 L d’essence ? Déterminer si la situation est proportionnelle. Établir une proportion avec les taux en jeu dans la situation.

Calculer la valeur que prend la variable associée au terme manquant lorsque l’autre variable vaut 1. C’est le taux unitaire.

Calculer ensuite le terme manquant d’après le taux unitaire.

Cette situation est proportionnelle parce que le prix de l’essence est constant.

$

50 = 40 L 65 L

ou

$ 1,25 $ 50

÷ 40

50

$

40 L 65 L

40 L 65L 1L

÷ 40

ATTENTION Au lieu d’écrire 50 $ = 40 L, il faut écrire 50 $ → 40 L, ce qui est plus représentatif de la réalité puisque 50 $ n’égalent évidemment pas 40 L. La flèche indique plutôt l’idée de « correspondance ». Dans ce problème, 50 $ correspondent à 40 L.

Si on met 40 fois moins d’essence, le prix sera 40 fois moins élevé, parce que le prix est constant.

$ $

40 L 65 L

$

1L

50 81,25 ×

1,25

65

×

65

Si on connaît le prix de 1 L, on peut trouver le prix de 65 L, parce que le prix est constant.

K

Par quelle opération mathématique commence-t-on lorsqu’on procède par retour à l’unité ?

RÉSOUDRE UNE PROPORTION

SECTION 3

113

1. Détermine si les situations suivantes sont proportionnelles. Indique aussi ce qui te permet de décoder qu’elles le sont. a) Le prix de 4 kg de riz est de 6,49 $. Si le prix du riz est constant, combien coûteront 7 kg de riz ? b) Steve a marqué 3 buts lors des 9 premiers matchs de la saison de hockey. Si la tendance se maintient, combien de buts marquera-t-il dans la saison de 33 matchs ? c) Un système de chauffage consomme 9 L de mazout en 12 heures. Combien de litres de mazout consomme-t-il en 21 heures ? d) Un maçon réputé pour son rythme de travail constant pose 444 briques en 3 heures. Combien de briques pose-t-il en 8 heures ? e) Sarah prend 4 heures pour planter 18 plants de tomates et 6 heures pour en planter 27. En combien de temps en plantera-t-elle 45 ? f ) Une automobiliste qui roule à 60 km/h parcourt une certaine distance en 6 heures. Combien de temps lui faudra-t-il pour parcourir la même distance si elle roule à 90 km/h ? 2. Réponds aux questions des situations de la question 1 que tu as identifiées comme étant proportionnelles. Utilise le retour à l’unité. 3. Trouve le terme manquant de ces proportions. Utilise le retour à l’unité. 6 = 15 a) 15

b)

6

8 = 20

c)

4

= 21 6

6 = d) 15 25

C’est plus facile quand je récris les proportions avec des flèches.

1. Propreté proportionnelle garantie ! Avec le format de savon à lessive de 1,9 L, on peut laver 21 brassées de vêtements. Quelle quantité de savon à lessive doit-on utiliser pour laver une seule brassée de vêtements ? Suppose que la situation admet des taux constants.

114

CHAPITRE 2

VERS LA PROPORTIONNALITÉ

2. Repérage

3. Caffè latte

a) Relève le taux unitaire qu’on trouve dans les situations suivantes. 1) J’ai payé ma tablette de chocolat 1,29 $. Le poulet se vend 12 $ le kilogramme. 3) En une seconde, le son parcourt 343 mètres au niveau de la mer. 4) Dans ce gâteau, il y a 650 calories par portion. b) Dans chaque situation, quels mots ont la signification d’une division ?

Claudio met 75 mL de lait pour 120 mL de café.

2)

a) Trouve trois taux dans cette situation. b) Transforme tes taux en taux unitaires. c) Explique ce que représente chacun de tes taux unitaires.

4. Quelle opération ? Voici des taux.

Nombre d’heures d’entraînement Majorie : 15 h/semaine Monica : 44 h /3 semaines

Moi, j’ai préféré comparer les heures d’entraînement pour chacune en six semaines.

Anne : 33 h /2 semaines

Pour trouver le taux le plus élevé, j’ai transformé les taux en taux unitaires.

a) Selon toi, les méthodes utilisées par la joueuse 1 et la joueuse 2 sont-elles équivalentes ? Explique ta réponse. b) Quelle est la différence principale entre ces deux méthodes ? c) Au fait, quel taux est le plus élevé ?

RÉSOUDRE UNE PROPORTION

SECTION 3

115

5. Retour à l’unité Complète la procédure permettant de trouver un taux unitaire à partir d’un taux. a) 300 km → 4 heures → 1 heure

c) 7 L

→ 85 pommes → 1 pomme

b) 67,50 $ → 5 kg → 1 kg

d) 200 g

→ 250 mL → 1 mL

3.2

Une question d’extrêmes et de moyens Une autre procédure qui permet de calculer le terme manquant d’une proportion est basée sur une propriété des proportions que tu découvriras dans cette séquence. A

Selon toi, est-il préférable de découvrir des concepts et de se les approprier ou de les apprendre par cœur ?

Les seules connaissances qui puissent influencer le comportement d’un individu sont celles qu’il découvre lui-même et qu’il s’approprie. ≤≥ CARL ROGERS

B

Es-tu d’accord avec la citation de Carl Rogers ? Explique ta réponse.

Certaines activités mathématiques du primaire utilisaient la propriété fondamentale des proportions ; notamment lorsqu’il était question de comparer des fractions.

1. Détermine si les fractions suivantes sont équivalentes. a) 2 et 4 3 5

9 et 12 c) 33 44

5 e) 3 et 11 7

5 g) 2 et 19 7

5 b) 3 et 13 8

d) 11 et 34 7 23

4 et 11 f ) 12 31

h) 12 et 30 16 40

2. Formule une procédure qui permettrait de reconnaître des fractions équivalentes. 3. Compare ta procédure avec celles de tes camarades. Ensemble, essayez de vous entendre sur la procédure la plus efficace.

116

CHAPITRE 2

VERS LA PROPORTIONNALITÉ

Pour vérifier si deux fractions sont équivalentes, on peut les exprimer selon un même dénominateur. Voici un exemple.

12 9 = 20 15

C

Quel dénominateur commun peut servir à exprimer

12 20

et

9 15 ?

Suppose qu’on utilise 20 × 15 comme dénominateur commun. 12 × 20 ×

15

9 × = 15 × 20

D

Par quel nombre faut-il multiplier le numérateur de

E

Par quel nombre faut-il multiplier le numérateur de

Voici une façon d’exprimer les fractions

12 20

et

9 15

12 20 ? 9 15 ?

selon un dénominateur commun.

12 9 = 20 15 12 × 15 9 × 20 = 20 × 15 15 × 20 180 = 180 300 300

Observe bien les numérateurs des fractions avant d’effectuer la multiplication.

12 × 15 9 × 20 = 20 × 15 15 × 20

F

9 Dans la proportion 12 20 = 15 : 1) comment appelle-t-on les nombres 12 et 15 ? 2) comment appelle-t-on les nombres 9 et 20 ?

G

Quelle relation peut-on observer entre les extrêmes et les moyens de cette proportion ?

H

Selon toi, est-ce le cas pour toutes les proportions ?

RÉSOUDRE UNE PROPORTION

SECTION 3

117

La propriété fondamentale des proportions Dans une proportion, le produit des extrêmes est égal au produit des moyens. Cette propriété est la propriété fondamentale des proportions.

3= 9 4 12

Exemple :

Le produit des extrêmes égale le produit des moyens. 3 × 12 = 9 × 4

La propriété fondamentale des proportions donne lieu à une procédure très répandue qui permet de trouver le terme manquant d’une proportion : le produit croisé.

1. Indique par le symbole adéquat (=, < ou >) la relation entre les deux rapports. 6

8 9

c) 7

4

9 11

d) 1,2

a) 7 b) 5

1

7 49

0,8

9

e) 12 1

1,2 1,8

f) 4

21 28 0,6 2,5

2. Explique comment tu as procédé. 3. Compare tes réponses avec celles de tes camarades.

Question de

culture

LA MASSE ET LE POIDS Contrairement à ce que plusieurs personnes croient, la masse n’est pas synonyme de poids. La masse d’un objet est une constante universelle. Son unité de mesure est le kilogramme (kg). Le poids d’un objet varie selon la force de gravité qui s’exerce sur l’objet. Son unité de mesure est le newton (N). C’est d’ailleurs cette différence qui fait que les astronautes semblent plus légers lorsqu’ils sont sur la Lune. En effet, la gravité y étant plus faible, les astronautes sont moins attirés vers le sol. Leur poids est donc moindre même si leur masse demeure la même.

118

CHAPITRE 2

Voici un tableau représentant le poids d’un kilogramme sur différents corps célestes de notre système solaire. Le poids de 1 kilogramme sur différents corps célestes

Masse (kg) Poids (N)

Soleil

Terre

Lune

Mars

Saturne

1

1

1

1

1

274

9,8

1,7

3,7

10,6

I

Selon toi, qu’est-ce qui influence la gravité d’un corps céleste ?

J

Sur quelle planète se sentirait-on à peu près comme on se sent sur la Terre ?

K

Sur la Lune : 1) quelle serait ta masse ?

VERS LA PROPORTIONNALITÉ

2)

quel serait ton poids ?

Le produit croisé Le produit croisé est une procédure qui permet de calculer le terme manquant de n’importe quelle proportion. Cette procédure consiste à calculer le terme manquant en utilisant la propriété fondamentale des proportions : le produit des extrêmes est égal au produit des moyens. Exemple : Un automobiliste a payé 50 $ pour 40 L d’essence. Si le prix de l’essence est constant, combien coûtent 65 L d’essence ? Déterminer si la situation est proportionnelle. Établir une proportion avec les taux en jeu dans la situation.

Cette situation est proportionnelle, puisque le prix de l’essence est constant.

$

50 = 40 L 65 L

Calculer le produit des extrêmes et le produit des moyens sans tenir compte des unités.

Pour trouver la valeur de , diviser par 40. Une fois les calculs terminés, présenter le résultat avec les unités appropriées.

50

ou

$

40 L 65 L

50 = 40 65

40 ×

40

40 ×

= 50 × 65

40 ×

= 3250

=

3250 = 40

= 81,25

81,25

Tu auras l’occasion de réinvestir ce type de procédure en algèbre.

$

RÉSOUDRE UNE PROPORTION

SECTION 3

119

1. Détermine si les situations suivantes sont proportionnelles. Indique aussi ce qui te permet de décoder qu’elles le sont. a) Jamil a frappé la balle en lieu sûr 28 fois lors de ses 112 premières présences au bâton de la saison de base-ball. Si la tendance se maintient, combien de fois frappera-t-il la balle en lieu sûr s’il obtient 600 présences au bâton pendant la saison ? b) Une voiture consomme en moyenne 18 L d’essence pour parcourir 120 km. Selon cette consommation, quelle distance parcourra-t-elle avec 24 L d’essence ? c) Si Katie peut lire 100 pages d’un roman en 4 heures et qu’elle prend 6 heures pour en lire 150, combien de pages d’un roman lira-t-elle en 10 heures ? d) Un ouvrier a réparé, en trois heures, deux fissures dans un tuyau. Combien répare-t-il de fissures en 8 heures s’il travaille au même rythme ? e) Un sac de 8 kg de nourriture pour chat se vend 9,79 $. Si le prix du kilogramme est constant, quel devrait être le prix d’un sac de 13 kg de cette même nourriture pour chat ? f ) Une automobiliste qui roule à 60 km/h parcourt une certaine distance en quatre heures. À quelle vitesse devrait-elle rouler si elle veut parcourir la même distance en six heures ? 2. Réponds aux questions des situations de la question 1 que tu as identifiées comme étant proportionnelles. Utilise le produit croisé. 3. Trouve le terme manquant de ces proportions. Utilise le produit croisé. 6 = 15 a) 15

b)

6

8 = 20

c)

4

= 21 6

6 = d) 15 25

4. Par quelle opération mathématique commence-t-on lorsqu’on procède par produit croisé ?

120

CHAPITRE 2

L

Dans tes propres mots, explique la différence entre le retour à l’unité et le produit croisé.

M

Entre le retour à l’unité et le produit croisé, quelle procédure préfères-tu ? Explique ta réponse.

N

Quel pourcentage de ta classe préfère le retour à l’unité ?

VERS LA PROPORTIONNALITÉ

1. Plus petit

2. Des baguettes

Compare les rapports suivants. 7

18

c ) 9 et 21

51

32

d) 4

a ) 25 et 62 b) 5 et 3

6,2

15,5

14,5 65

et 17

3. Livraison à domicile Audréanne travaille comme messagère à vélo. Elle livre un colis toutes les 10 minutes et elle est payée 20 $ pour huit colis. Samedi dernier, elle a livré des colis durant quatre heures. Combien Audréanne gagne-t-elle de l’heure ?

À la Pâtisserie française, on a besoin de 1,26 kg de farine pour faire 6 baguettes de pain. Combien de farine faut-il pour faire 40 baguettes ? Suppose qu’une même quantité de farine est utilisée pour faire chaque baguette.

4. Mine de rien Dans une mine de cuivre, il faut traiter en moyenne 0,99 tonne de minerai pour extraire 0,01 tonne de cuivre. Combien de tonnes de minerai faut-il pour extraire 0,023 tonne de cuivre ?

5. Eau-dyssée Un groupe de randonnée organise une expédition en montagne. Le responsable apporte habituellement 27 L d’eau pour un groupe de 6 personnes. Combien d’eau doit-il apporter pour 15 personnes s’il veut conserver le même taux ?

RÉSOUDRE UNE PROPORTION

SECTION 3

121

3.3

Les pourcentages Cette séquence consacrée aux pourcentages te permettra d’établir des liens entre les méthodes de résolution de situations de proportionnalité et la résolution de problèmes comportant des pourcentages. A

La notation en pourcentage fait-elle nécessairement référence à des rapports constants ? Explique ta réponse.

La notation en pourcentage est courante dans le monde du commerce, de la finance et de l’économie. Entre autres, les taux de taxe et les taux d’intérêt sont exprimés en pourcentage, la plupart du temps. B

Aujourd’hui, quel est le taux de taxe de vente en vigueur au Québec ?

Épargne

Prêt auto

3%

8%

C

Que veut dire « taux d’intérêt » ?

D

Commente l’énoncé suivant.

«

Une somme de 100 $ aujourd’hui ne vaut pas la même chose qu’une somme de 100 $ dans 25 ans.

122

CHAPITRE 2

»

E

Pourquoi les banques demandent-elles un taux d’intérêt plus élevé sur les prêts que celui qu’elles versent sur les dépôts ?

F

Trouve d’autres contextes où l’on utilise les pourcentages.

VERS LA PROPORTIONNALITÉ

Voici deux problèmes. Un placement à 4 % d’intérêt par année a rapporté 1200 $ en intérêts seulement, et ce, après un an. Quel était le placement de départ ?

Un courtier place 1200 $ à 4 % d’intérêt par année pour une de ses clientes. Il décide de retirer les intérêts après un an. Combien la banque va-t-elle lui remettre ?

G

Dans quel problème cherche-t-on : 1) une partie du 100 % ? 2) le 100 % ?

H

Donne un exemple d’une question qui contient des pourcentages et où il faut trouver une partie du 100 %.

I

Donne un exemple d’une question qui contient des pourcentages et où il faut trouver le 100 %.

Voici six problèmes qui comportent des pourcentages. Le prix affiché d’un graveur DVD est de 100 $. Au moment de l’achat, la caissière ajoute les taxes de 10 % à ce prix. Quel est le prix total ? Des bottes de marche coûtent 130 $, taxes incluses. Si le taux de taxe en vigueur est de 10 %, quel était le prix des bottes avant les taxes ? 25 % d’un certain nombre équivaut à 40. Quel est ce nombre ? Un certain nombre équivaut à 25 % de 40. Quel est ce nombre ? Trouve le nombre qui, augmenté de 5 %, vaut 168. Trouve 5 % de 168. 1. Dans quels problèmes faut-il trouver : a) une partie du 100 % ? b) le 100 % ? 2. Essaie de résoudre ces six problèmes. 3. Vérifie tes réponses en les comparant avec celles de tes camarades. Quelle catégorie de problème semble la mieux réussie ?

Le concept de pourcentage est intimement lié au modèle proportionnel. En fait, puisque les pourcentages constituent un moyen d’exprimer des rapports constants, leur présence dans une situation à deux variables signifie que cette situation est proportionnelle.

RÉSOUDRE UNE PROPORTION

SECTION 3

123

La recherche du tant pour cent Cette catégorie de problèmes demande de calculer une partie du 100 % qu’on retrouve dans l’énoncé. A

Calcule 50 % de 30.

B

Dans la question A, quel est le 100 % ?

C

Refais la question A en établissant d’abord une proportion.

D

Calcule : 1) 24 % de 150 ;

E

2)

125 % de 8 ;

3)

12 % de 22.

Trouves-tu que l’établissement d’une proportion facilite le travail ? Explique ta réponse.

Dans un problème mettant en jeu des pourcentages, il est fondamental de considérer une donnée en particulier pour le résoudre : le 100 %. Dans certaines situations, cette donnée est présente dans le problème ; il suffit de la reconnaître. Par exemple, dans la question A, l’énoncé indiquait de façon implicite que le nombre 30 représentait le 100 %. 100 % Il était donc possible de former la proportion suivante : 30 → → 50 %

1. Pour chacun des problèmes suivants, identifie le 100 %. a) Trouve 12 % de 25. b) Marc a donné 50 $ à une œuvre de charité. Judith, sa fille, a donné 12 % du don de son père. Combien d’argent a donné Judith ? c) Une terrasse occupe 20 % de l’aire de la cour arrière des Tremblay. Quelle aire est occupée par la terrasse si leur cour a une aire de 75 m2 ? d) On dit qu’on passe environ 30 % de notre vie à dormir. Combien de temps a dormi une personne de 50 ans ? 2. Traduis chaque problème à l’aide d’une proportion. 3. Trouve le terme manquant de chaque proportion à l’aide de la méthode de ton choix.

STRATÉGIE Pour calculer 12 % de 25, on peut calculer 25 % de 12. Puisqu’il est plus facile de calculer mentalement certains pourcentages, le calcul est parfois simplifié en inversant les termes de la multiplication (par commutativité).

124

CHAPITRE 2

VERS LA PROPORTIONNALITÉ

La recherche du cent pour cent Contrairement à la catégorie de problèmes précédente, il s’agit ici de calculer le 100 % à partir d’une partie du 100 %. Lorsqu’un pourcentage est soustrait du 100 %, le calcul du 100 % peut parfois se faire naturellement, comme dans les situations suivantes. 50 % du salaire d’un joueur de hockey équivaut à 4 millions de dollars par année.

25 % du prix d’une bouteille de jus d’orange, c’est 0,50 $.

A

Identifie le 100 % de chacune des situations.

B

Quel est le salaire annuel du joueur de hockey ?

C

Quel est le prix d’une bouteille de jus d’orange ?

D

As-tu utilisé une proportion pour répondre aux questions B et C ?

Lorsqu’on fait face à des situations où un pourcentage est additionné au 100 %, le calcul du 100 % peut s’avérer plus complexe. Par exemple, voici une bouteille de shampooing qui contient 25 % de shampooing en prime.

E

Quel était le format de ce produit avant l’ajout de la prime ?

F

Comment peux-tu vérifier ta réponse ? Fais-le.

G

Quel est le 100 % dans cette situation ?

Si vous obtenez 300 mL, vous faites erreur !

RÉSOUDRE UNE PROPORTION

SECTION 3

125

Dans l’exemple de la bouteille de shampooing, on doit considérer le format original auquel on a ajouté une prime pour obtenir le nouveau format. Format original 100 %

Prime +

25 %

Nouveau format →

125 %

Le nouveau format de 400 mL correspond donc à 125 % du format original. H

Établis une proportion pour trouver le nombre qui, augmenté de 25 %, vaut 400.

Établir une proportion avec les données indiquées dans un problème de pourcentages te sera souvent très utile pour résoudre ce type de problème.

Le succès, c’est 50 % de talent, 50 % de chance, 50 % de travail et… une bonne idée ! ≤≥ CLAUDE ZIDI

I

Qu’est-ce qui ne va pas avec l’affirmation du cinéaste français Claude Zidi ?

1. Pour chacune des situations suivantes, indique le 100 %. a) Jean-Pierre et Stéphanie ont parcouru 25 km à vélo. Cela représente 30 % de leur objectif pour la journée. Quelle distance avaient-ils l’intention de parcourir aujourd’hui ? b) Amalia a mis 24 minutes pour labourer 15 % d’un champ. Si elle laboure au même rythme, combien de temps mettra-t-elle pour labourer le champ au complet ? c) J’ai payé ma planche à neige 475 $, taxes incluses. Si le taux de taxe est de 14 %, quel était le prix initial de la planche ? 2. Traduis chaque situation de la question 1 à l’aide d’une proportion et trouve le terme manquant. 3. Compare tes réponses avec celles de tes camarades.

126

CHAPITRE 2

VERS LA PROPORTIONNALITÉ

La résolution de problèmes mettant en jeu des pourcentages Une étape fondamentale de la résolution de problèmes mettant en jeu des pourcentages consiste à déterminer si on doit calculer le 100 % ou une partie du 100 %. Il s’agit ensuite de traduire le problème à l’aide d’une proportion pour faciliter sa résolution. Exemples : Sur 15 lancers d’un frisbee, Élizabeth a atteint la cible dans 60 % des cas. Combien de fois a-t-elle atteint la cible ?

Dans cette situation, les 15 lancers d’Élizabeth constituent le 100 %. On cherche une partie (60 %) de ce 100 %.

Donnée du problème

100 % → 15 lancers

Pourcentage à trouver Résolution par produit croisé :

60 % → 60 % × 15 100 %

= 9

Élizabeth a atteint la cible 9 fois sur 15.

Marc-André a atteint la cible à 60 % de ses lancers de frisbee. En tout, il a atteint la cible 9 fois. Combien a-t-il effectué de lancers ?

Dans cette situation, les 9 lancers de Marc-André constituent une partie (60 %) du 100 %. On cherche le 100 %.

Donnée du problème

60 % → 9 lancers

Pourcentage à trouver

100 % →

Résolution par retour à l’unité :

60 % → 9 lancers 100 % →

÷ 60

× 100

× 100

÷ 60

1 % → 0,15 lancers

Marc-André a effectué 15 lancers en tout.

1. Jean-Simon, tondeur de pelouse Jean-Simon a tondu 40 % de la pelouse du chalet de son grandpère en 50 minutes. En supposant qu’il tond au même rythme, en combien de temps aura-t-il complété 75 % de la tonte ?

2. Man-taux Un manteau se vend 136,74 $, taxes incluses. Si les taxes totalisent 14 %, détermine le prix initial du manteau.

RÉSOUDRE UNE PROPORTION

SECTION 3

127

3. C’est mental ! Calcule mentalement : a) 36 % de 50 ; b) c) d) e)

24 % de 75 ; 15 % de 20 ; 18 % de 33 13 ; 0,5 % de 10.

5. Espèce de brut ! Les déductions à la source d’une employée de bureau représentent 34 % de son salaire brut. Cette semaine, ces déductions se sont élevées à 197,65 $. a) Quel est le salaire brut de cette employée ? b) Quel est son salaire net ?

7. TPS + TVQ

4. Taxi ! Pascale est à bord d’un taxi à Barcelone. Le compteur indique 13 € alors qu’elle a parcouru 36 % du trajet. Les passagers d’un taxi doivent payer un tarif proportionnel au trajet qu’ils ont parcouru. a) Combien coûtera le trajet en entier si Pascale ajoute un pourboire de 2,50 € ? b) Quel pourcentage du prix total représente ce pourboire ?

6. La partie du 100 % Quelle partie du 100 % les proportions suivantes permettent-elles de calculer ? a)

2

= 100 30

25 b) 40 = 100

Il y a deux bonnes réponses pour chaque question.

c) 100 = 25 8 16 = d) 100 35

8. Sang pour sang

a) Trouve le nombre qui, augmenté de 14 %, vaut 108. b) Trouve 14 % de 108. c) Augmente 108 de 14 %. d) Explique, le plus clairement possible, la différence entre les questions précédentes.

a) Selon cette pancarte, quel pourcentage de la population donne du sang ? Trouve une autre réponse que 3 %.

b) Selon toi, pourquoi Héma-Québec a-t-elle choisi ces nombres pour sa publicité ?

128

CHAPITRE 2

VERS LA PROPORTIONNALITÉ

9. Gratuit

10. Question de morale

Voici une offre affichée dans une vitrine.

Benjamin a réussi 12 questions de son examen de morale. Si Benjamin a obtenu un résultat de 75 %, combien y avait-il de questions dans l’examen ?

a) À quel pourcentage de rabais correspond cette offre ? b) À quel pourcentage de rabais correspondent les offres suivantes : 1) Achetez trois articles à prix courant, obtenez un quatrième article gratuit (de même valeur). 2) Achetez trois articles à prix courant, obtenez quatre autres articles gratuits (valant chacun la moitié du prix courant).

3.4

La relation de variation inverse Les procédures de retour à l’unité et du produit croisé, telles que présentées dans les séquences précédentes, permettent de résoudre des situations où l’augmentation d’une variable fait aussi augmenter l’autre variable. Qu’en est-il lorsque l’augmentation d’une variable fait diminuer l’autre variable ? Voici comment Coralie a déterminé à quelle vitesse un automobiliste devrait rouler pour parcourir une certaine distance en 6 heures plutôt qu’en 5 heures.

5 heures 60 km/h 6 heures ? 6 × 60 = 72 5 Il devra rouler à 72 km/h. A

Qu’est-ce qui est illogique dans ce résultat ?

B

Selon toi, comment Coralie aurait-elle pu résoudre ce problème ?

C

Qu’obtient-on lorsqu’on multiplie une vitesse et une durée ?

RÉSOUDRE UNE PROPORTION

SECTION 3

129

Le retour à l’unité Relation de variation inverse : Relation dans laquelle le produit de deux variables est constant.

Il est possible d’adapter la procédure de retour à l’unité afin qu’elle nous permette de résoudre des problèmes dans lesquels on retrouve une relation de variation inverse.

Un guépard qui court à 60 km/h parcourt une certaine distance en 6 minutes. Combien de temps lui faudra-t-il pour parcourir la même distance s’il court à 90 km/h ? 1. Qu’est-ce qui est constant dans cette situation ? 2. Pourquoi s’agit-il d’une relation de variation inverse ? 3. Quelle est la distance parcourue par le guépard ? 4. Si le guépard voulait parcourir cette distance en six fois moins de temps, comment devrait-il modifier sa vitesse ? 5. En combien de temps ce guépard franchirait-il la distance s’il pouvait courir à 360 km/h ? 6. Si le guépard court quatre fois moins vite que 360 km/h, quel sera son temps de parcours ?

Lorsque le rapport entre deux variables est constant, on est en présence d’une relation de variation directe (ou une relation de proportionnalité) entre les deux variables. Inversement, lorsque les produits des valeurs de deux variables sont constants, on est en présence d’une relation de variation inverse entre les deux variables.

130

CHAPITRE 2

VERS LA PROPORTIONNALITÉ

A

Si on double un terme d’un rapport, quelle opération faut-il effectuer sur l’autre terme pour que le rapport soit constant ?

B

Si on double un terme d’un produit, quelle opération faut-il effectuer sur l’autre terme pour que le produit soit constant ?

La relation de variation inverse et le retour à l’unité La résolution d’un problème mettant en jeu une relation de variation inverse ressemble beaucoup à la résolution de problèmes présentant une situation de proportionnalité. Toutefois, afin de maintenir des produits constants (plutôt que des rapports constants), il faut effectuer des opérations inverses. Exemple : La construction d’un garage demande huit jours de travail à quatre ouvriers. En supposant que tous les ouvriers travaillent au même rythme, en combien de jours seize ouvriers construiront-ils un garage identique ? Déterminer s’il s’agit d’une relation de variation inverse.

Il s’agit d’une relation de variation inverse parce que plus il y a d’ouvriers travaillant au même rythme, moins il faut de temps pour construire un garage identique.

Organiser les données du problème.

Calculer la valeur que prend la variable associée au terme manquant lorsque l’autre variable vaut 1. Comme il s’agit d’une relation de variation inverse, on utilise les opérations inverses.

Calculer ensuite le terme manquant d’après le taux unitaire en utilisant, encore une fois, les opérations inverses.

÷4

4 ouvriers 16 ouvriers

8 jours

4 ouvriers 16 ouvriers

8 jours

1 ouvrier

32 jours

On voit pourquoi c’est l’inverse d’une situation proportionnelle.

×

4

S’il y a quatre fois moins d’ouvriers, la même tâche devrait prendre quatre fois plus de temps.

4 ouvriers 16 ouvriers

8 jours 2 jours

× 16

1 ouvrier

Quand je multiplie une variable, je divise l’autre.

÷ 16

32 jours

S’il y a seize fois plus d’ouvriers, la même tâche devrait prendre seize fois moins de temps.

REMARQUE

Les produits sont constants tout au long de la résolution.

4 × 8 = 32 1 × 32 = 32 16 × 2 = 32

RÉSOUDRE UNE PROPORTION

SECTION 3

131

Le quotient croisé Il existe aussi une procédure apparentée au produit croisé pour résoudre les situations qui présentent une relation de variation inverse entre les variables. A

Selon toi, quelle différence existe-t-il entre le produit croisé et cette procédure ? J’imagine qu’on fait les opérations inverses !

Un homme fait du ski de fond. Il parcourt 9 km/h en 90 minutes. En combien de temps fait-il le même parcours s’il skie à 12 km/h ? Était-il nécessaire de convertir les minutes en heures pour résoudre ce problème ?

1. Qu’est-ce qui est constant dans cette situation ? 2. Pourquoi s’agit-il d’une relation de variation inverse ? 3. Si l’homme skie à 12 km/h, son temps de parcours sera-t-il supérieur ou inférieur à 90 minutes ? 4. Résous le problème. Assure-toi que ton résultat respecte ton estimation.

Le quotient croisé Pour résoudre un problème présentant une relation de variation inverse, il est possible d’utiliser une procédure ressemblant au produit croisé, mais où il faut diviser au lieu de multiplier et multiplier au lieu de diviser. Exemple : Un bateau peut traverser l’Atlantique, entre Boston et Dakar, en 120 heures à une vitesse de 30 nœuds. En combien de temps ferait-il le même trajet à une vitesse de 24 nœuds ?

Temps Scénario 1 : 120 Scénario 2 :

Vitesse 30 24

120 = 24 30 120 × 30 = 3600 = 150 heures 24 24

132

CHAPITRE 2

VERS LA PROPORTIONNALITÉ

1. Rectangle sur plan

«

»

Un rectangle a une aire de 1080 cm2.

a) Quelles peuvent être les dimensions de ce rectangle ? b) Compare tes réponses avec celles de tes camarades. c) Selon toi, combien y a-t-il de réponses possibles ? d) Représente quelques-unes des réponses possibles dans un plan cartésien. Place la mesure de la base en abscisse et la mesure de la hauteur en ordonnée. e) Décris le graphique dans tes propres mots.

2. Mettre de l’eau dans son jus de raisin Paul retire 8 mL d’eau d’une tasse contenant 400 mL d’eau. Il verse ces 8 mL d’eau dans un verre contenant 400 mL de jus de raisin. Après avoir mélangé, Paul enlève 8 mL du mélange jus-eau et le verse dans la tasse contenant de l’eau. a) Quelle est la quantité de liquide dans le verre et dans la tasse ? b) Y a-t-il plus de jus de raisin dans l’eau ou plus d’eau dans le jus de raisin ?

3. ÉÉÉ Éphrem, ébéniste émérite, espère remporter encore une fois le premier prix de la compétition de fabrication de tables. Les règlements de la compétition stipulent que les tables soumises doivent avoir une aire de 7840 cm2. Éphrem a l’intention de construire une table en chêne massif dont les pattes seront sculptées. Selon ses calculs, la seule dimension de table possible est de 80 cm sur 98 cm. Éphrem a-t-il raison ? Sinon, propose-lui quatre autres possibilités de mesures (largeur et longueur).

RÉSOUDRE UNE PROPORTION

SECTION 3

133

4. Autobus de location Kevin a loué un autobus pour conduire son équipe à un tournoi de basket-ball. L’entente est la suivante : toutes les personnes qui voyageront dans l’autobus vont se répartir également le coût de location de 800 $. a) Quelle phrase parmi les suivantes traduit le mieux cette situation ? Plus il y a de personnes dans l’autobus, plus ça coûte cher à chacune.

b) c) d) e)

Moins il y a de personnes dans l’autobus, plus ça coûte cher à chacune. Le nombre de personnes n’a pas d’importance, l’autobus coûte 800 $. Si 20 personnes prennent l’autobus, quel est le coût par personne ? Si chaque personne doit payer 32 $, combien de personnes y a-t-il dans l’autobus ? Quel type de relation observes-tu entre les variables coût par personne et nombre de personnes ? Représente la relation entre les variables coût par personne et nombre de personnes dans un plan cartésien.

5. Toi, tu recules ? Claude a travaillé pendant 18 heures pour réparer la toiture de sa maison. Il avait demandé à ses deux frères de l’aider, mais ces derniers n’étaient pas disponibles. En supposant que les trois frères travaillent au même rythme, combien d’heures Claude aurait-il gagnées si ses frères l’avaient aidé ?

134

CHAPITRE 2

VERS LA PROPORTIONNALITÉ

1. Question de pourcentage a) Ben place 200 $ au taux annuel de 10 % auprès d’une institution financière. Après un an, il retire tout son argent et il dépense 20 % du montant. Combien d’argent lui reste-t-il ? b) Ce matin, il fait 88 °F. Audrey a livré 22 % de ses journaux et il lui en reste 22 à livrer. Combien de journaux a-t-elle livrés jusqu’à maintenant ? c) Une laveuse à vaisselle industrielle fonctionnant à 70 % de sa capacité assure le lavage de 280 verres à l’heure. Combien de verres à l’heure cette laveuse pourrait-elle laver si elle fonctionnait à 85 % de sa capacité ? d) Les joueurs du Canadien de Montréal ont marqué 75 % plus de buts que leurs adversaires dans un match de hockey. Si les joueurs du Canadien ont marqué sept buts, combien de buts l’équipe adverse a-t-elle marqués ? e) Luce emprunte 5600 $ à la banque à un taux d’intérêt de 8 % par année. Elle doit rembourser le prêt après un an, en un seul versement. Quel sera le montant de ce versement ? f ) Un agent d’assurances reçoit 15 % des primes payées par sa clientèle chaque mois. S’il a reçu 1250 $ le mois dernier, quel montant de primes sa clientèle a-t-elle payé ? g) Une boutique a réduit le prix de ses grille-pain de 68 %. Si un grille-pain coûte maintenant 9,75 $, combien coûtait-il avant la réduction ? h) Les données recueillies dans un sondage révèlent que 945 personnes se considèrent heureuses. Si ces personnes représentent 63 % des personnes interrogées, combien de personnes a-t-on interrogées en tout pour ce sondage ?

BRIC À MATHS

SECTION 3

135

2. Au moins deux fois par jour ! Une étude a permis de conclure qu’en moyenne, chez les élèves québécois de 12 ans, seulement 14 élèves sur 40 n’ont pas de caries dentaires. a) Quel pourcentage des élèves québécois de 12 ans n’ont pas de caries dentaires ? b) En supposant que ce pourcentage s’applique aux élèves de ton école, combien d’élèves de ton école n’ont pas de caries dentaires ?

3. Une tonne d’eau

4. Mme Couture

L’eau d’un tonneau permet de remplir 304 bouteilles de 750 mL.

Mme Couture confectionne ses propres vêtements. Elle paie 65,31 $ pour 3,5 m de tissu, alors que 4 m de ce même tissu lui coûtent 74,64 $.

Combien de bouteilles de 200 mL pourrait-on remplir avec l’eau d’un tonneau identique ?

Combien lui coûteraient 5,25 m de ce tissu ?

5. Petit train va loin Un train parcourt 330 km en 5 heures. a) Trouve la distance qu’il peut parcourir, à la même vitesse, en 16 heures. b) Trouve le temps qu’il mettra à parcourir 198 km s’il roule toujours à la même vitesse.

136

CHAPITRE 2

VERS LA PROPORTIONNALITÉ

6. Mon amie Suzette Voici la recette de crêpes de mon amie Suzette.

tte

ze Crêpes Su

• 3 oeufsse de lait • 1 tas de farine • 1 tasse • vanille le tout avec un malauxteeus.r 1 4

80 mL)

(environ 2

25 g)

(environ 2

Mélanger esse pendant 2 min à haute vit dans une poêle. Faire cuirenne 10 crêpes. Servir. Do

a) Dresse la liste des ingrédients nécessaires pour faire 35 crêpes selon cette recette. b) Récris cette recette de crêpes pour 1,12 L de lait. c) Si tu as 18 œufs, 1,5 L de lait et 1,5 kg de farine, quel est le nombre maximal de crêpes que tu peux faire selon cette recette ? En c, quel ingrédient aurais-tu épuisé en premier ?

8. Un chausson avec ça ? a) Donald peut préparer 40 hamburgers avec 6 kg de bœuf haché. Combien de hamburgers pourrait-il préparer avec 27 kg de bœuf haché ? Suppose qu’il utilise la même quantité de bœuf haché pour chacun des hamburgers. b) Les dirigeants d’un restaurant populaire prétendent avoir vendu 2 milliards de hamburgers depuis 1955. Combien de kilogrammes de bœuf haché cela représente-t-il si on a utilisé la même quantité de bœuf haché que Donald pour préparer ces hamburgers ?

7. Problème de 1948 En moyenne, 100 livres de lait donnent 15 livres de crème et, d’autre part, 4 livres de crème donnent 1 livre de beurre. Quelle est la valeur du beurre produit à partir des 6000 livres de lait fournies annuellement par une vache, si le beurre se vend 52 cents la livre ?

BRIC À MATHS

SECTION 3

137

9. Cadeau proportionnel

10. Miaou, wouf, pit pit, …

Dans un magasin de bonbons insolites, M. et Mme Métellus ont acheté une réglisse de 3,3 mètres de longueur. Ils la partagent entre leurs deux enfants de façon que chacun d’eux reçoive un morceau proportionnel à sa taille. L’aîné mesure 1,3 mètre et la cadette, 0,9 mètre.

Dans une école secondaire, il y a 1200 élèves. Voici la répartition de ces élèves par cycle. Répartition par cycle

2e cycle 32 %

1er cycle 68 %

Quelle est la longueur du morceau de réglisse que chaque enfant recevra ? Dominique a réalisé une enquête auprès de ces élèves pour savoir combien d’entre eux possèdent un animal domestique. Le tableau ci-dessous présente ses résultats. Cycle

Nombre d’élèves qui ont un animal : Nombre total d’élèves

1er cycle e

2 cycle

5:8 1:6

Combien d’élèves possèdent un animal ?

11. Une lieue française Dans la fable Les deux rats, le renard et l’œuf, La Fontaine écrit, en parlant du renard :

«

L’écornifleur étant à demi-quart de lieue.

»

Exprime cette distance en mètres en te fiant sur l’écriteau.

1 lieue française correspond à 4911,6 mètres.

138

CHAPITRE 2

VERS LA PROPORTIONNALITÉ

12. Lecture Observe de quelle façon deux élèves ont résolu le problème suivant. Pour faire 5 gâteaux, un boulanger a besoin de 3 kg de farine. De combien de kg de farine a-t-il besoin pour faire 7 gâteaux ?

5 7

3

1,4 × 3 = 4,2 kg

5 gâteaux 3 kg de farine 7 gâteaux 21 = 4,2 5 Il a besoin de 4,2 kg de farine.

a) Quelle démarche peut être associée au produit croisé ? Explique ta réponse. b) Pourquoi devrait-on accepter une réponse de 5 kg pour ce problème ?

13. Associations a) Associe chacun des graphiques suivants à la situation appropriée. Justifie ton choix.

Le périmètre d’un carré est le quadruple de la mesure de son côté. Moins on va vite, plus ça prend de temps. Après avoir retiré le bouchon de la baignoire, le bain se vide.

b) Nomme les axes et donne un titre aux graphiques.

BRIC À MATHS

SECTION 3

139

14. Satellite, planète, étoile Le rapport du rayon de la Lune au rayon de la Terre est d’environ 3 : 11. Le rapport du rayon du Soleil à celui de la Terre est d’environ 109 : 1. Quel est le rapport du rayon de la Lune à celui du Soleil ?

15. Pas Line, Pauline La roue d’une voiture a une circonférence de 100 cm. Pauline conduit cette voiture sur une distance de 100 km à une vitesse de 100 km/h. Son copain Paulo conduit la même voiture sur une distance de 200 km à une vitesse de 50 km/h. a) Combien de tours chaque roue de l’auto fait-elle durant le trajet de Pauline ? b) Combien de tours chaque roue de l’auto fait-elle durant le trajet de Paulo ? c) S’il y a 200 crampons sur cette même roue, combien de fois chaque crampon touche-t-il le sol durant le trajet de Pauline ?

16. Là où ça fait mal L’alcool à friction est composé de 7 volumes d’alcool éthylique pour 3 volumes d’eau. a) Quelle quantité d’eau y a-t-il dans un flacon contenant 500 mL d’alcool à friction ? b) Pourquoi le modèle proportionnel est-il approprié pour cette situation ?

17. J’ai 4 plans a) Propose quelques données relatives aux situations suivantes. 1) Chaque fois que j’achète un article, je paye 15 % en taxes. 2) Dans un pouce, il y a 2,54 centimètres. 3) Un centimètre sur la carte, c’est 100 km dans la réalité. 4) Un chat passe les trois quarts de sa vie à dormir. b) Construis le graphique de chaque situation après avoir déterminé quelle variable tu places en abscisse. Attention à la graduation des axes !

140

CHAPITRE 2

VERS LA PROPORTIONNALITÉ

18. Arts plastiques Un professeur d’arts plastiques demande à ses élèves de dessiner une série de triangles en respectant les contraintes présentées dans le tableau ci-dessous. Dimensions des triangles Mesure de la base (cm)

2

4

6

8

10

12

Mesure de la hauteur (cm)

45

22,5

15

11,25

9

7,5

a) Quelle est la relation entre la mesure de la base et celle de la hauteur d’un triangle dans cette situation ? b) Dans cette situation, qu’est-ce qui est constant ? Quelle est sa valeur ? c) Construis un graphique représentant cette situation.

19. À chacun sa paye Alfred, Béatrice, Conrad et Daniel ont 1000 $ à se partager pour la réalisation d’un projet. Cependant, chaque personne n’a pas fait une part égale des travaux. Voici leur entente quant à la répartition de l’argent. • Chaque fois qu’Alfred reçoit 2 $, Béatrice reçoit 3 $ ; • Chaque fois que Béatrice reçoit 3 $, Conrad reçoit 5 $ ; • Chaque fois que Conrad reçoit 5 $, Daniel reçoit 10 $. Combien d’argent chaque personne recevra-t-elle ?

20. Vente d’automne En fin de saison, une boutique liquide les patins à roues alignées. Il y a un rabais de 65 % sur le prix initial. Combien coûtera une paire de patins au prix courant de 129 $ si la taxe appliquée sur le prix réduit est de 14 % ?

BRIC À MATHS

SECTION 3

141

21. V comme Vitesse Dans un laboratoire de sciences, on mesure parfois des vitesses expérimentalement. Dans ce cas, on utilise souvent les mètres par seconde ou les centimètres par seconde au lieu des kilomètres par heure. Ces unités sont beaucoup plus pratiques pour atteindre le degré de précision souvent nécessaire en sciences. a) Selon toi, à quelle vitesse correspond une vitesse de 100 km/h, en mètres par seconde ? b) Vérifie ta réponse en a à l’aide de calculs. Les scientifiques ont longtemps pensé que la lumière et le son se propageaient de façon instantanée tellement leurs vitesses respectives sont grandes. Ils savent aujourd’hui que ces vitesses ne sont pas infinies. c) Convertis la vitesse du son et de la lumière en kilomètres par heure. 1) Vitesse approximative du son : 340 m/s 2) Vitesse approximative de la lumière : 300 000 m/s

Question de

culture

SON ET LUMIÈRE On a déjà cru que la lumière et le son étaient instantanés. On sait maintenant qu’ils se déplacent selon une certaine vitesse. La vitesse du son varie selon la température du milieu dans lequel il se propage. Plus la température est élevée, plus la vitesse du son est grande. La vitesse du son varie aussi selon la densité du milieu. Plus le milieu est dense, plus les ondes sonores se propagent rapidement. Par exemple, à une température de 20 °C, la vitesse du son est de : • 343 m/s dans l’air ; • 1480 m/s dans l’eau ; • 5200 m/s dans l’acier. Rien ne se déplace plus vite que la lumière. C’est dans le vide qu’elle atteint sa plus grande vitesse, soit 299 792 458 m/s. Contrairement au son, lorsque la matière dans laquelle sa lumière se diffuse devient plus dense, sa vitesse diminue. La lumière voyage plus vite que le son. Pendant un orage, par exemple, on voit l’éclair presque instantanément alors que le tonnerre se fait entendre quelques secondes plus tard.

142

CHAPITRE 2

VERS LA PROPORTIONNALITÉ

22. Pub Une chaîne de télévision consacre 20 % du temps d’antenne à la publicité. Hier soir, Mme Sanchez a noté qu’il y avait eu 36 minutes de publicité au total. Pendant combien de temps a-t-elle regardé la télévision ?

23. Chaises en série

24. Six cuistots

Pour fabriquer 2500 chaises, 15 ouvriers travaillant au même rythme ont dû fournir chacun 12 journées de 8 heures de travail.

Si six cuistots consciencieux préparent six gâteaux en six heures, en combien de temps seize cuistots tout aussi consciencieux prépareront-ils seize gâteaux ?

Combien de journées de 10 heures de travail faudrait-il à 32 ouvriers travaillant au même rythme que les précédents pour fabriquer 6000 de ces chaises ?

25. Brun

La réponse n’est pas 16 heures.

Alex croit avoir besoin de 8 L de peinture pour rafraîchir les murs de son atelier. Il décide de faire un mélange avec tous les restants de peinture qu’il trouve dans son garage : 1 L de peinture noire, 12 gallon de peinture blanche et 3 pintes de peinture rouge. a) Exprime, en litres, la quantité de peinture qu’Alex obtient. b) Indique, avec l’unité de mesure de ton choix, la quantité de peinture de chaque couleur qu’Alex doit acheter pour obtenir 8 L tout en conservant la même couleur. Système international Système en vigueur aux États-Unis 1L

0,264 gallon

3,788 L

1 gallon (4 pintes)

BRIC À MATHS

SECTION 3

143

Situation 1 À mesure que le prix de l’essence augmente, l’intérêt pour des voitures qui consomment peu d’essence augmente aussi. Avant l’adoption du système international d’unités (SI) au Canada, la consommation d’essence d’une voiture s’exprimait en milles au gallon. Par exemple, on disait qu’une voiture « faisait » 30 milles au gallon, c’est-à-dire qu’elle pouvait parcourir une distance de 30 milles avec un gallon d’essence. Depuis l’adoption du SI, la consommation d’essence d’une voiture s’exprime en litres par 100 kilomètres. Par exemple, on dit qu’une voiture consomme 10 L par 100 km, c’est-à-dire qu’elle a besoin de 10 litres d’essence pour parcourir 100 km. a) Trouve au moins deux différences entre ces deux façons de décrire la consommation d’essence d’une voiture. b) Estime la quantité d’argent dépensée en essence par le propriétaire d’une voiture ayant parcouru 36 000 km si la consommation d’essence de cette voiture est de 12 L par 100 km. c) Explique comment tu pourrais calculer la consommation d’essence de la voiture d’une personne de ton entourage. Fais preuve d’une grande précision. d) Pose la question suivante à une personne de ton choix ayant plus de 30 ans. À quoi correspond une consommation de 30 milles au gallon en litres par 100 km ?

Question de

culture

DES VOITURES ÉCOLOGIQUES Une voiture hybride est un véhicule dont le fonctionnement est assuré par deux types d’énergie. Généralement, on parle de l’association d’un moteur à essence et d’un moteur électrique. Ces moteurs peuvent fonctionner de façon indépendante ou en même temps. Ces voitures présentent l’avantage de réduire les émissions polluantes tout en offrant une performance comparable aux voitures équipées uniquement d’un moteur à essence. On estime qu’une voiture hybride diminue d’environ 20 % la consommation de carburant. En 2005, un protocole a été signé par le gouvernement canadien et l’industrie automobile du Canada. Les industries se sont engagées à concentrer leurs efforts sur l’introduction de nouvelles technologies telles que la voiture hybride, visant une réduction de 5,3 mégatonnes d’émissions polluantes d’ici 2010. Le marché de la voiture hybride devrait progresser rapidement et atteindre 5 % des ventes d’automobiles en 2013, ce qui représente plus de un million de véhicules.

144

CHAPITRE 2

VERS LA PROPORTIONNALITÉ

Situation 2 Selon toi, lorsqu’on sait préparer un repas pour deux personnes, devrait-on normalement pouvoir le faire pour quatre personnes ? Voici les instructions qui apparaissent sur un sac de riz. Méthode sur la cuisinière

Pour obtenir/To Make Portions/Servings

2

4

6

125 1/2

Riz/Rice

mL (tasses/cups)

175 3/4

250 1

Eau/Water

mL 300 375 (tasses/cups) 1-1/4 1-1/2

500 2

Sel*/Salt*

mL (c. à thé/tsp.)

1/2 1/8

2 1/2

Beurre*/Butter* mL (c. à thé/tsp.)

2 1/2

1 1/4

• Mélanger les ingrédients dans une casserole de grosseur moyenne et porter à ébullition à feu VIF. • Mélanger, couvrir et laisser mijoter à feu MOYEN-DOUX 15 à 20 minutes. • Retirer du feu et laisser reposer, à couvert, pendant 5 minutes ou jusqu’à ce que l’eau soit absorbée. Gonfler à la fourchette avant de servir. • Pour un riz plus ferme, utiliser moins d’eau. • Pour un riz plus tendre, utiliser plus d’eau.

5 7 1 1-1/2

* facultatif/optional

PORTION = 125 mL (½ TASSE) DE RIZ CUIT SERVING = 125 mL (½ CUP) COOKED RICE

a) Quels sont les ingrédients et les quantités nécessaires à la préparation de deux portions de riz ? b) Quels sont, selon toi, les ingrédients et les quantités nécessaires à la préparation de quatre portions de riz : 1) si tu te bases uniquement sur tes réponses en a ? 2) d’après les données indiquées sur le sac ? c) Selon toi, pourquoi ne peut-on pas doubler les ingrédients de la recette pour faire deux fois plus de riz ? d) Selon les instructions apparaissant sur le sac, quels sont les ingrédients et les quantités nécessaires à la préparation de : 1) 8 portions de riz ? 2) 10 portions de riz ? 3) 20 portions de riz ? e) Compare tes réponses en d avec celles de tes camarades. f ) Commente les affirmations suivantes au sujet de cette recette. quantité de riz diminue. quantité d’eau

1)

Plus on prépare de riz, plus le rapport

2)

La quantité de riz cuit équivaut environ au double de la quantité de riz non cuit.

3)

La tendreté du riz et la quantité d’eau utilisée sont des variables dont les valeurs varient en sens inverse.

DANS LA VIE…

CHAPITRE 2

145

Faire le point Complète le texte suivant. 1

La comparaison par division des valeurs de deux variables de même nature s’appelle un .

2

La comparaison par division des valeurs de deux variables de nature différente s’appelle un .

3

Dans un taux, la variable indépendante, c’est-à-dire celle à partir de laquelle on mesure ou calcule la valeur de l’autre variable, se trouve au .

4

Dans un taux, la variable dépendante, c’est-à-dire celle qu’on doit mesurer ou calculer, se trouve au .

5

Un

6

L’égalité entre deux rapports ou deux taux s’appelle une

7

Les situations qui admettent des rapports ou des taux entre les valeurs correspondantes de leurs variables sont des situations de proportionnalité.

8

Une relation de variation directe entre deux variables implique nécessairement que les des valeurs correspondantes entre deux variables sont constants.

9

Une relation de variation inverse entre deux variables implique nécessairement que les des valeurs correspondantes entre deux variables sont constants.

10

Un

11

Le graphique d’une situation de proportionnalité est d’un .

est un taux où la valeur de la variable indépendante est 1. .

est une comparaison par division où l’unité de référence est 100. qui passe par

En t’inspirant des énoncés ci-dessus, organise maintenant tes connaissances en utilisant la méthode de ton choix, que ce soit un résumé, un tableau ou un réseau de concepts. Tu peux inclure d’autres concepts et processus que tu juges essentiels dans ta synthèse.

146

CHAPITRE 2

VERS LA PROPORTIONNALITÉ

Activité d’intégration

Une échelle de conversion, c’est un peu comme un dictionnaire anglais-français pour les unités de mesure !

Le Canada a adopté le SI dans les années 1970. Cependant, notre proximité avec les États-Unis ainsi que certains domaines d’activité, comme la construction, nous amènent parfois à utiliser les unités de mesure en vigueur aux États-Unis. Des échelles de conversion entre les diverses unités de mesure sont donc très utiles pour communiquer avec quelqu’un qui utilise un autre système. Puisque les unités de mesure dans le SI et dans un autre système admettent des taux constants, le modèle proportionnel est tout à fait indiqué pour établir des échelles de conversion.

Premier contexte

La vitesse

Les États-Unis n’ont pas adopté le SI. Pour cette raison, les limites de vitesse sur les routes y sont exprimées en milles à l’heure (miles per hour ou mph). Au Canada, ces limites sont exprimées en kilomètres à l’heure (km/h).

Deuxième contexte

Le volume

1. À partir de l’information présente sur cette boîte de conserve, construis une échelle de conversion entre les onces liquides et les millilitres et vice versa (oz liq ↔ mL). 2. Corrige ton travail. Pour ce faire, compare ton échelle de conversion avec une tasse graduée dans les deux systèmes ou à l’aide des étiquettes d’autres produits qui indiquent les deux systèmes d’unités de mesure.

1. À partir de l’information présente sur ce panneau, construis une échelle de conversion de mesures des kilomètres à l’heure aux milles à l’heure et vice versa (km/h ↔ mph). 2. Corrige ton travail. Pour ce faire, compare ton échelle de conversion avec l’indicateur de vitesse qu’on trouve dans les voitures fabriquées au Canada.

Troisième contexte

Personnel

1. Choisis un type de mesure pour lequel tu peux construire une échelle de conversion. 2. Construis ton échelle à partir d’une seule information (une donnée et sa conversion). 3. Trouve une façon de vérifier « sur le terrain » l’exactitude de ton échelle.

ESCALE

CHAPITRE 2

147

Pour un monde équitable Sur notre planète, l’écart entre les riches et les pauvres est immense. Dans certains pays, il y a des gens qui vivent dans une pauvreté telle qu’ils n’arrivent pas à assurer leurs besoins essentiels en nourriture, en médicaments et même en eau. À l’opposé, une partie de la population mondiale vit dans l’opulence au point de ne pas savoir quoi faire de tout son argent.

Ton mandat Répartir équitablement la moitié de la fortune d’une ou d’un multimillionnaire entre les 10 pays les plus pauvres de la planète.

Tâche

1

Choisis une ou un multimillionnaire (artiste, vedette, chef d’entreprise, …) et effectue des recherches pour trouver à combien s’élève sa fortune.

Le monde n’est pas partagé entre les bons et les méchants, mais entre les riches et les pauvres. ≤≥ JEAN-PAUL II

148

CHAPITRE 2

VERS LA PROPORTIONNALITÉ

Tâche

2

a) Dresse une liste d’au moins cinq critères qui serviront à évaluer le degré de pauvreté d’un pays. Justifie ton choix de critères. b) Classe tes critères, du plus important au moins important. Explique ton classement. c) Détermine de quelle façon tu comptes recueillir l’information relative à tes critères. d) Recueille l’information relative à tes critères. e) Fais approuver ton dossier par ton enseignante ou ton enseignant.

Tâche

3

a) D’après tes critères, détermine les 10 pays les plus pauvres de la planète. b) Attribue un degré de pauvreté à chaque pays en te basant sur l’information que tu as recueillie. Établis ensuite une cote globale de pauvreté de chaque pays.

Tâche

4

a) Répartis équitablement la somme d’argent déterminée à la tâche 1 entre les 10 pays de ta liste. Pour ce faire, tiens compte de la cote globale de pauvreté attribuée à chaque pays. b) Trouve une façon de présenter tes résultats aux membres de ta classe.

OPTION PROJET

CHAPITRE 2

149

33

150

En l’an 2000, l’UNESCO lançait un concours international appelant à la réalisation de diverses affiches pour souligner l’Année mondiale des mathématiques. Le mathématicien Stéphane Durand, de l’Université de Montréal, a remporté le concours. Voici trois affiches, inspirées de ses créations, qu’on a pu voir dans le métro de Montréal.

1. Relève tous les éléments mathématiques sur les affiches.

2. Selon toi, dans quelle mesure la mathématique peut être utile pour répondre à ce type de questions ?

3. Propose une piste de solution aux questions qui apparaissent sur les affiches.

4. À part le contexte scolaire, dans quels autres contextes la mathématique se révèle-t-elle un outil pour répondre à diverses questions ? Donne un exemple.

5. Compare tes réponses avec celles de tes camarades.

• Régularités • Passage d’une forme d’écriture à une autre, d’une représentation à une autre • Construction d’une expression algébrique • Évaluation numérique d’une expression algébrique

Selon toi, pourquoi attribue-t-on une journée, une semaine ou une année à un groupe de personnes, à une activité ou à un événement ? Donne un exemple pour illustrer ta réponse.

SO MM AI RE Section 1 – Une nature mathématique . . . . . . . . . . . . . . . . Section 2 – Les suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dans la vie... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Escale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Option projet – De la suite dans les idées ! . . . . . . . . . . . .

152 166 195 196 198

151

Une nature mathématique Ce chapitre te donnera l’occasion d’apprécier la place importante que prend la mathématique dans le monde qui nous entoure. Entre autres, la mathématique est utile pour décrire et comprendre des phénomènes afin de prendre des décisions. Le livre de la nature est écrit dans un langage mathématique. ≤≥ GALILÉE

A

Donne un exemple de phénomène que la mathématique permet de décrire.

Modéliser une situation, c’est faire abstraction de son contexte pour mieux faire ressortir des tendances, des caractéristiques. Ces tendances peuvent nous éclairer sur différents aspects de la nature, nous aider à prévoir certaines situations de la vie courante et nous permettre de nous adapter à notre environnement. Par exemple, pour faire des prévisions, les météorologues se servent de modèles mathématiques. Ce sont aussi des modèles mathématiques qui permettent de prédire la demande en électricité dans un quartier. Dans le domaine de la santé, on a même comparé l’action d’un virus à des nœuds dans une corde, grâce à des modèles mathématiques, ce qui a conduit au développement de traitements contre divers virus, comme le VIH. B

Selon toi, est-ce la nature qui imite la mathématique ou la mathématique qui s’inspire de la nature ?

1.1

Vers un modèle mathématique Dans la vie courante, le mot « modèle » s’utilise dans plusieurs contextes. A

Dans quel contexte as-tu déjà utilisé le mot « modèle » ?

B

Combien d’usages différents de ce mot tes camarades et toi avez-vous trouvés ?

Afin de te familiariser avec certains modèles mathématiques, il importe de distinguer les types de modèles qui existent. L’Action ! qui suit te permettra d’établir deux catégories distinctes de modèles.

152

CHAPITRE 3

DES MODÈLES MATHÉMATIQUES

1. Associe les modèles ci-dessous à ce qu’ils représentent. Modèle

a)

b) 1 O

1

d)

c)

y = ax + b

e)

d = vt

Représentation

2. Essaie de regrouper les modèles en deux catégories : les modèles concrets et les modèles abstraits. 3. Donne d’autres exemples de modèles concrets. Essaie d’en trouver quelques-uns dans ta classe. 4. Donne d’autres exemples de modèles abstraits. Essaie d’en trouver quelques-uns dans ta classe.

UNE NATURE MATHÉMATIQUE

SECTION 1

153

Les modèles abstraits La mathématique permet de traduire une situation courante à l’aide, entre autres, d’une règle ou d’une représentation graphique. Contrairement aux modèles concrets, comme les maquettes, les plans ou les reproductions, les modèles mathématiques sont abstraits. Ils peuvent donc être rattachés à plusieurs contextes. C’est d’ailleurs cette caractéristique qui facilite l’établissement de liens entre des situations qui semblent très différentes. Modélisation : Représentation d’un phénomène ou d’un objet en vue d’en étudier les variations.

Une situation n’a pas besoin d’être mathématique pour qu’on la modélise. La modélisation est une activité mathématique, peu importe l’objet à modéliser : une facture pour des services de plomberie, la vidange automnale d’une piscine ou la masse de crayons dans un cours de sciences.

Montant de la facture = taux horaire × nombre d’heures travaillées + frais de déplacement

Quantité d’eau dans la piscine = débit du tuyau de vidange × nombre d’heures + quantité d’eau initiale y = ax + b

Masse affichée sur la balance = masse d’un crayon × nombre de crayons + masse de la boîte vide

Le désordre est simplement l’ordre que nous ne cherchons pas. ≤≥ HENRI BERGSON

154

CHAPITRE 3

Cette capacité de traduire le monde à l’aide de modèles mathématiques rend possible la comparaison de phénomènes et de situations. En effet, quand on fait abstraction du contexte, les régularités et les tendances deviennent plus apparentes. A

Quel lien vois-tu entre la citation de Bergson et la traduction d’une situation à l’aide d’un modèle mathématique ?

DES MODÈLES MATHÉMATIQUES

1.2

Une suite naturelle L’an dernier, en géométrie, tu as eu l’occasion de réaliser que certains éléments de la nature ressemblent à des constructions humaines. En voici des exemples.

La nature est très bien organisée. Pour survivre, les espèces (animales et végétales) ont dû respecter des contraintes d’espace et d’efficacité.

UN

PRISME À BASE HEXAGONALE EST LA FORME QUI PERMET DE REMPLIR COMPLÈTEMENT

UN ESPACE ET QUI DEMANDE LE MOINS DE CIRE POUR CONTENIR UN CERTAIN VOLUME DE MIEL.

LES

GRAINES D’UNE FLEUR DE TOURNESOL SONT

DISPOSÉES DE FAÇON QU’IL Y EN AIT UNE QUANTITÉ MAXIMALE POUR UNE CERTAINE TAILLE DE FLEUR.

A

Essaie de trouver d’autres exemples qui illustrent l’« efficacité » d’espèces végétales ou animales.

UNE NATURE MATHÉMATIQUE

SECTION 1

155

La suite de Fibonacci Suite : Séquence d’éléments ordonnés selon une certaine règle. Mot qui vient du latin sequere : suivre.

En tentant de modéliser l’accroissement d’une population de lapins à partir d’un mâle et d’une femelle, Fibonacci a développé, au 13e siècle, une suite mathématique très particulière : la suite de Fibonacci. Cette suite traduit en quelque sorte l’efficacité de certains phénomènes naturels. La suite de Fibonacci a quelque chose d’étonnant. Même si Fibonacci a développé sa suite en observant des populations de lapins, des éléments de cette suite se retrouvent un peu partout dans la nature. Voici une grille formée de carrés de différentes grandeurs. A

Si la mesure du côté des carrés rouge et bleu est de 1 unité, quelle est la mesure du côté du carré : 1) vert ? 2) orange ? 3) violet ? 4) turquoise ? 5) jaune ?

B

Si tu poursuivais la construction de la grille, quelle serait la mesure du côté du prochain carré ?

L’Action ! suivante te permettra de constater que, même si tu n’as jamais vu de grille comme celle ci-dessus dans la nature, sa structure est très « naturelle ».

Voici la coquille du nautile, qui rappelle la forme d’une spirale. 1. À main levée, essaie de reproduire la coquille du nautile. 2. Sur du papier quadrillé, reproduis la grille du haut de la page. Essaie de placer les premiers carrés de façon que ta grille soit la plus grande possible. 3. Reproduis la coquille du nautile à l’aide de ta grille. 4. Compare tes reproductions avec celles de tes camarades.

156

CHAPITRE 3

DES MODÈLES MATHÉMATIQUES

Question de

culture

FIBONACCI Fibonacci (1170-1250) est un mathématicien italien né à Pise. Même s’il est principalement connu pour sa suite, Fibonacci a largement participé à l’avancement de son domaine. En effet, il a établi un véritable pont entre les connaissances scientifiques des civilisations européenne et arabe. Grâce à un voyage autour de la Méditerranée, Fibonacci a pris connaissance du système de numération indo-arabe. Il a aussi étudié les travaux d’un grand mathématicien, Al-Khwarizmi. À son retour dans sa ville natale, il a transmis ses nouvelles connaissances en écrivant des ouvrages, dont le Liber abbaci, qui seront à la base de tous les travaux d’algèbre qui suivront.

Voici les premiers éléments de la suite de Fibonacci. 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, …

C

Quel pourrait être le prochain élément de cette suite ? Explique comment tu l’as trouvé.

D

Selon toi, est-ce que cette suite va jusqu’à l’infini ? Explique ta réponse.

D’ici la fin de cette section, tu verras plusieurs manifestations des éléments de la suite de Fibonacci dans des végétaux. Par exemple, le nombre de pétales de la plupart des espèces de fleurs est un élément de la suite de Fibonacci.

C’est pour ça que c’est si rare, un trèfle à quatre feuilles !

Exploration

E

Selon toi, est-ce que le nombre de graines d’une fleur de tournesol est toujours un élément de la suite de Fibonacci ?

UNE NATURE MATHÉMATIQUE

Selon toi, où retrouve-t-on des éléments de la suite de Fibonacci dans une fleur de tournesol ?

SECTION 1

157

Dans une fleur de tournesol, tu peux voir deux types de spirales : les unes vont dans un sens, et les autres vont dans l’autre sens. Modèle concret

1. Combien y a-t-il de spirales vertes ? 2. Combien y a-t-il de spirales orange ? 3. Qu’est-ce que les nombres que tu as trouvés en 1 et en 2 ont de particulier ?

Les manifestations de la suite de Fibonacci dans la nature ne s’arrêtent pas là. On retrouve aussi des éléments de cette suite dans le nombre de spirales des cônes de pin et des ananas, et dans plusieurs fruits.

F

158

CHAPITRE 3

DES MODÈLES MATHÉMATIQUES

Selon toi, où se trouvent les éléments de la suite de Fibonacci dans ces fruits ?

Vérifier des conjectures La suite de Fibonacci constitue un modèle abstrait de divers contextes, depuis l’accroissement d’une population de lapins jusqu’au nombre de spirales que forment les graines d’une fleur de tournesol. A

À partir de la suite 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, … seulement, aurais-tu été en mesure de nommer certains des contextes qui y sont associés ? Explique ta réponse.

Même s’il est très difficile de retrouver un contexte à partir des éléments de la suite de Fibonacci, il est toutefois possible de prolonger la suite et d’y ajouter des éléments selon la régularité qu’on peut y observer. Dans la suite de Fibonacci, pour trouver le prochain élément, il faut additionner les deux éléments précédents. Pour déterminer le prochain élément d’une suite, il faut d’abord émettre une conjecture, puis tenter de la vérifier. Si on trouve un contre-exemple, on recommence le processus. Avant d’aborder un type de suite en particulier dans la prochaine section, il est utile d’observer des suites qui peuvent ressembler à des énigmes afin de développer ta capacité d’observer des tendances et d’émettre des conjectures. B

Trouve l’élément manquant dans ces suites. 1) L, M, M, , V, S, D 2) 2, 4, 6, 8, ,… 3) B, C, D, F, G, H, J, K, …, W, X,

C

Comment peux-tu convaincre quelqu’un que ta réponse est bonne ?

D

Selon toi, peut-il y avoir plus d’une réponse dans chaque cas ? Explique ton raisonnement.

J’ai écrit K au numéro 1, parce que les membres de ma famille se nomment Liu, Maï, Marie, … et que moi, je m’appelle Kim.

E

Si la règle que tu utilises est bonne, alors ta réponse est bonne !

Que penses-tu de la réponse de Kim ?

UNE NATURE MATHÉMATIQUE

SECTION 1

159

1. Trouve l’élément manquant de chaque suite de lettres ou de chiffres. Indique pourquoi tu sais que ta réponse est bonne. a) 1, 3, 5, 7, b) 1 , 3, 5, 7, 2 4 6 8 c) J, F, M,

,… ,… , …, N, D

d) 2, 1, 1 , 1, ,… 2 4 e) M, O, E, D, C, N,

f) g) h) i) j)

M, V, T, M, , …, N, P 0, 2, 5, 7, 8, 9, 11, 4, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 24, 3, 7, 11, 15, ,… 0, 1, 4, 9, 16, ,…

,…

REMARQUE

Les éléments des suites respectent un certain ordre. Lorsque la suite se termine par des points de suspension, cela signifie qu’elle se prolonge jusqu’à l’infini ; si la suite ne se termine pas par des points de suspension, il s’agit d’une suite finie dont le dernier terme est représenté. Par exemple, à la question B de la page précédente, on aurait pu procéder ainsi :

160

CHAPITRE 3

1)

L, M, M, , V, S, D Réponse : J, car ce sont les premières lettres des jours de la semaine. Il n’y a pas de points de suspension, car il s’agit d’une suite finie qui contient sept éléments.

2)

2, 4, 6, 8, ,… Réponse : 10, car ce sont les nombres pairs. La suite se termine par des points de suspension, car la suite des nombres pairs est infinie.

3)

B, C, D, F, G, H, J, K, …, W, X, Réponse : Z, car c’est la suite des consonnes de l’alphabet. Il faut noter que la suite contient des points de suspension, mais qu’elle est finie, car elle ne se termine pas par des points de suspension. Ici, les points de suspension ne servent qu’à raccourcir la suite.

DES MODÈLES MATHÉMATIQUES

1. Dire la suite Décris en mots chacune de ces suites d’une façon qui permettra à quelqu’un d’en trouver le prochain élément. a) 11, 22, 33, 44, … b) 600, 606, 612, 618, … c) 6, 10, 14, 18, … d) 2, 4, 8, 16, … e) 1, 8, 27, 64, 125, …

2. Des suites aux arcs-en-ciel

Voici trois indices : arc-en-ciel, et, anglais !

a) Les suites suivantes obéissent à une certaine règle. Trouve-la. 1) P, I, M, ,A 2) O, T, T, F, F, S, S, E, , T, E, T, T, … 3) D, R, M, F, , L, S 4) 21, 31, 41, 51, 61, 71, , 131, … 5) R, O, J, V, , I, V b) Trouve l’élément manquant de chacune des suites de lettres ou de chiffres. Indique comment tu sais que ta réponse est bonne. c) Compare tes réponses avec celles de tes camarades.

3. Chacun son tour Invente une suite et écris les premiers éléments. Propose à une ou à un camarade d’essayer de trouver les quatre prochains éléments de ta suite ainsi que ton idée de départ.

UNE NATURE MATHÉMATIQUE

SECTION 1

161

1. Reçu par courriel a) Trouve les deux prochains éléments de chacune des suites suivantes. 1)

,

,

,

,

,…

2)

♥, ★, ♦, ♥♥, ♥★, ♥♦, ★♥, ★★, ★♦, ♦♥, …

3)

31, 28, 31, 30, 31, 30, …

4)

6, 16, 26, 36, 46, 56, 60, 61, 62, …

5)

1, −1, 2, −2, 3, −3, 4, …

b) Trouve le 30e élément de chacune des suites ci-dessus.

2. Jardin de pétales Compte le nombre de pétales de chacune de ces fleurs. Que remarques-tu ?

ARUM D’ÉTHIOPIE

ANCOLIE TRILLE

1. Trouve quatre autres variétés de fleurs. 2. Combien de pétales possède chacune des variétés de fleurs que tu as trouvées ?

SANGUINAIRE

EUPHORBE

162

CHAPITRE 3

DES MODÈLES MATHÉMATIQUES

3. Fondus, ils sont moins beaux ! L’observation des régularités dans la nature permet de répondre à plusieurs questions qui semblent assez complexes, comme trouver le point commun de tous les flocons de neige. Parmi les figures suivantes, laquelle ne pourrait pas être un flocon de neige ? Explique ta réponse.

Question de

culture

AUCUN SOSIE CHEZ LES FLOCONS La nature est une combinaison de hasards et de régularités. Par exemple, certains aspects d’un flocon de neige sont influencés par la température et le degré d’humidité des couches d’air qu’il rencontre pendant sa chute vers le sol. Comme le parcours unique de chaque flocon à travers les nuages relève principalement du hasard, tous les flocons sont différents. Chaque flocon a donc un motif bien à lui, qui se répète à l’infini. Lorsqu’on regarde le flocon à la loupe, on retrouve le même motif que celui qu’on peut voir à l’œil nu. Malgré le fait qu’ils soient tous différents, les flocons de neige ont un point commun : ils ont exactement six pointes. En combinant cette régularité avec le caractère aléatoire du parcours dans les nuages, la nature crée une infinité de flocons de neige qui se ressemblent tout en étant différents.

BRIC À MATHS

SECTION 1

163

4. Énigmatique Quel est le prochain élément de ces drôles de suites ? Justifie ta réponse. a) 643587, 78546, 6587, … b) I, V, X, L, … c) 1, 11, 21, 1211, 111221, 312211, 13112221, … d)

,

,

,

,

,

,

,

…

5. Ça marche ! Supposons que pour monter un escalier, une personne a le choix de monter une marche à la fois ou deux marches à la fois. D’après cette règle : • il y a deux façons de monter un escalier de deux marches ;

• il y a trois façons de monter un escalier de trois marches ;

• il y a cinq façons de monter un escalier de quatre marches.

a) Combien y a-t-il de façons de monter un escalier : 1) de cinq marches ? 3) de sept marches ? 2) de six marches ? 4) de huit marches ? b) Quel est le point commun de tes réponses ?

164

CHAPITRE 3

DES MODÈLES MATHÉMATIQUES

6. Ce cher Blaise On trouve beaucoup de suites de nombres dans le triangle de Pascal. Par exemple, on y trouve la suite des nombres naturels.

1 1 1 1

1

4 5

6

2 3

1 1

1 1 3 6

10 15

1 4

10 20

1 5

15

1 6

1

a) Trouve trois autres suites dans le triangle de Pascal et décris-les. b) Quels nombres forment la dixième rangée du triangle de Pascal ? c) Où se trouve la suite de Fibonacci dans le triangle de Pascal ?

7. Comment ça s’écrit ? On a appliqué une règle bien particulière pour former les suites de droite à partir de celles de gauche. Suite initiale

Suite transformée

1)

1, 2, 3, 4, 5, …

2, 4, 5, 6, 4, …

2)

2, 4, 6, 8, 10, …

4, 6, 3, 4, 3, …

3)

2, 3, 5, 7, 11, …

4, 5, 4, 4, 4, …

4)

3, 6, 9, 12, 15, …

5, 3, 4, 5, 6, …

a) Quelle est cette règle ? b) Trouve le terme suivant de chaque suite. Explique pourquoi ta réponse est bonne. c) Compare tes réponses avec celles d’une ou d’un camarade.

BRIC À MATHS

SECTION 1

165

Les suites Le travail sur les suites t’aidera à te familiariser avec une écriture qui deviendra bientôt pour toi un outil très important en mathématique : l’écriture algébrique. Pour ce faire, il s’agit de s’intéresser aux suites dont tous les éléments sont des nombres. Tu as d’ailleurs vu plusieurs suites numériques dans la section précédente.

2.1

Les suites numériques Voici deux suites numériques. 1) 31, 28, 31, 30, 31, 30, … 2) 11, 22, 33, 44, … A

Décris chaque suite à l’aide d’une phrase.

B

Selon toi, quelle phrase serait plus facile à mathématiser ? Explique ta réponse.

C

Selon toi, quelle suite pourrait être modélisée par l’écriture 11n ?

Les suites numériques Une suite numérique est composée de nombres organisés selon un certain ordre. Les éléments d’une suite numérique s’appellent aussi les termes de la suite. L’ordre des termes est important dans une suite numérique. C’est pourquoi chaque terme possède un rang qui indique sa position dans la suite. On peut présenter les suites numériques dans une table de valeurs. Cette représentation est utile pour associer chaque terme à son rang. Voici une table de valeurs représentant les termes de la suite de Fibonacci. Rang

1

2

3

4

5

6

7

8

…

Terme

1

1

2

3

5

8

13

21

…

Les points de suspension indiquent que la suite se poursuit à l’infini.

166

CHAPITRE 3

DES MODÈLES MATHÉMATIQUES

1. Trouve les deux prochains termes des suites numériques suivantes. a) 3, 5, 7, 9, … b) 99, 105, 111, 117, … c) 4, −5, −14, −23, … 2. Essaie maintenant de trouver les deux prochains termes des suites numériques suivantes. a) 1, 3, 6, 10, 15, … b) 3, 6, 18, 72, … c) 3, 7, 15, 27, 43, …

Ne passe pas trop de temps sur la question 3c !

3. Relève le défi et essaie de trouver les deux prochains termes des suites numériques suivantes. a) 1, 4, 1, 5, 9, 2, 6, … b) 4, 13, 22, 31, 40, 103, 112, … c) 14, 17, 28, 47, 74, … 4. Pourquoi certaines suites numériques sont-elles plus difficiles à prolonger que d’autres ? 5. Selon toi, y a-t-il toujours un moyen de prolonger une suite numérique ?

Dans l’Action ! précédente, tu as peut-être remarqué qu’il est impossible de trouver les prochains termes d’une suite sans trouver la « règle » qui a permis de générer les premiers termes de la suite. Les règles de certaines suites numériques peuvent être très complexes. Par exemple, à ce jour, les spécialistes en mathématique n’ont pas trouvé la règle qui décrit la suite des nombres premiers. Il n’y a donc pas de façon connue de déterminer les prochains nombres premiers à partir de ceux qu’on connaît déjà. C’est d’ailleurs une grande nouvelle quand quelqu’un trouve un nouveau nombre faisant partie de la suite des nombres premiers. Par exemple, voici un article qui date du 12 janvier 1994.

Un nouveau nombre premier Deux scientifiques ont fait la rare découverte d’un nouveau nombre premier, le plus grand connu à l’heure actuelle, à l’aide d’un super-ordinateur Cray. Ce nombre premier est constitué de 258 716 chiffres. Pour l’obtenir, il suffit de multiplier le chiffre 2 par lui-même 859 433 fois et de retrancher un. Le précédent record était détenu par un nombre composé de seulement 227 832 chiffres.

Grâce à l’informatique et au travail des spécialistes en mathématique, on trouve des nouveaux nombres premiers de plus en plus rapidement. Essaie de trouver le nombre de chiffres qui constituent le plus grand nombre premier connu aujourd’hui.

SOURCE : LA PRESSE

LES SUITES

SECTION 2

167

1. Autrement dit Décris en mots les suites suivantes. a) 1, 4, 9, 16, 25, … b) 1, 3, 7, 13, 21, …

2. Numérique Trouve les deux prochains termes de chaque suite.

c) 2, 2, 4, 6, 10, 16, … d) 0, 10, 30, 60, 100, … e) 1, 5, 12, 22, 35, …

a) 4, 11, 18, 25, … b) −9, −13, −17, −21, … c) 1 , 5 , 9 , 13 , … 4 4 4

4

d) 1 , 3 , 1 , 5 , …

4 8 2 8 e) 1, 1 , 1, 1 ,… 4 27 256

f ) 2, 3, 5, 7, … g) 6, 8, 10, 14, 15, …

Moi aussi, je peux faire des palindromes !

168

CHAPITRE 3

3. Palindromes Un palindrome est un nombre qui se lit indifféremment de gauche à droite ou de droite à gauche. Par exemple, 43234 et 112211 sont des palindromes. a) Indique quelques éléments de la suite de palindromes qui ont trois chiffres. b) Indique quelques éléments de la suite de palindromes qui ont quatre chiffres.

4. Toutes les suites mènent à Rome a) Trouve le prochain élément de ces suites « romaines ». 1) II, IV, VI, VIII, … 2) II, III, V, VII, … 3) V, VIII, XI, XIV, … 4) X, XI, XII, XIII, … b) Invente une suite romaine et propose à quelqu’un de trouver le prochain terme.

DES MODÈLES MATHÉMATIQUES

2.2

Les suites arithmétiques À partir de quelques termes d’une suite, on peut trouver les prochains termes qui la composent si on respecte la règle de la suite. Dans le cas de suites arithmétiques, cette règle est plus facile à trouver. Voici une suite arithmétique. 5, 9, 13, 17, …

A

Quelle est la différence entre deux termes consécutifs de cette suite ?

B

Quel est le 5e terme de cette suite ?

C

Quel est le 20e terme de cette suite ?

D

Selon toi, en combien de temps pourrais-tu calculer le 100e terme de cette suite ?

E

Selon toi, cette suite est-elle équivalente à la suite 9, 13, 5, 17, … ? Explique ta réponse.

F

Selon toi, quelle est la définition d’une suite arithmétique ?

1. Trouve les deux prochains termes de chacune des suites suivantes. a) 3, 6, 9, 12, 15, … b) −2, −4, −6, −8, … c) 5, 8, 11, 14, 17, … d) 1, 3, 9, 27, 81, … e) 3, 3, 3, 3, 3, … 2. Selon toi, quelle suite n’est pas arithmétique ? 3. Compare ta réponse avec celles de tes camarades et entendez-vous sur une définition de « suite arithmétique ». Certaines suites sont croissantes, d’autres sont décroissantes…

…et certaines sont constantes !

LES SUITES

SECTION 2

169

Les suites arithmétiques Une suite arithmétique est une suite numérique dans laquelle la différence entre deux termes consécutifs est constante. Par exemple, la suite 4, 7, 10, 13, … est une suite arithmétique, car la différence entre deux termes consécutifs est toujours égale à 3 ou à −3, selon l’ordre dans lequel on effectue la soustraction. La raison d’une suite arithmétique s’appelle aussi la « régularité » de la suite.

La différence entre un terme quelconque et le terme précédent d’une suite arithmétique s’appelle la raison de la suite. Par exemple, la raison de la suite arithmétique 4, 7, 10, 13, … est 3, puisque la définition de la raison spécifie un certain ordre des termes à soustraire.

1. Lorsque c’est possible, trouve les deux prochains termes de chacune des suites numériques suivantes. a) 3, 4, 5, 6, … f ) 27, 21, 15, 9, … b) 1 , 1 , 1 , 1 , …

g) 1, 22, 333, 4444, …

c) 4, 9, 11, 21, 16, …

h) −8, −10, −12, −14, …

d) 4, 8, 12, 16, …

i ) 6, 6, 6, 6, …

e) 1 , 3 , 1, 5 , 3, … 2 4 4 2

j ) 10,6 ; 11,7 ; 12,8 ; 13,9 ; …

2 3 4 5

2. Quelles suites sont des suites arithmétiques ? 3. Quelle est la raison des suites arithmétiques ? G

Sur un bout de papier, écris les quatre premiers termes d’une suite arithmétique de raison 5.

H

Est-ce que tout le monde dans la classe a écrit la même suite que toi ?

I

Peut-on définir une suite arithmétique seulement par sa raison ?

STRATÉGIE Pour définir une suite arithmétique, on peut spécifier sa raison ainsi qu’un terme de la suite et le rang qu’il occupe dans la suite. Normalement, on choisit de spécifier le premier terme de la suite.

170

CHAPITRE 3

DES MODÈLES MATHÉMATIQUES

1. Figures en file Voici trois suites de figures formées avec des objets de la vie courante.

,

,

,

,

,

,

,…

,

,

,…

,

,…

a) Est-ce que la suite formée des nombres de cure-oreilles de chaque figure est une suite arithmétique ? Explique ta réponse. b) Est-ce que la suite formée des nombres de trombones de chaque figure est une suite arithmétique ? Explique ta réponse. c) Est-ce que la suite formée des nombres de cure-dents de chaque figure est une suite arithmétique ? Explique ta réponse. d) Dans la 20e figure de chaque suite, combien y a-t-il : 1) de cure-oreilles ? 2) de trombones ? 3) de cure-dents ?

LES SUITES

SECTION 2

171

2. Par la suite

3. Une fraction de la suite

a) Trouve quelques termes de chacune des suites ci-dessous. 1) La suite des multiples de 7 2) La suite des nombres impairs 3) La suite des nombres carrés 4) La suite des nombres premiers La suite des multiples de 3 qui sont impairs 6) La suite des multiples de 3 qui sont pairs b) Quelles suites sont des suites arithmétiques ? 5)

a) Trouve les trois prochains termes de chacune des suites ci-dessous. 1)

1, 1 13 , 1 23 , 2, 2 13 , …

2)

2 47 , 5 47 , 8 47 , 11 47 , 14 47 , …

3) 1 , 1 , 1

, 1,… 4 8 12 16 4) 33 , 25 , 17 , 9 , 1 , … 4 4 4 4 4 1 3 5 7 9,… 5) , , , , 2 4 6 8 10 b) Quel est le 33e terme des suites ? c) Quelles suites sont des suites arithmétiques ? d) Quelle est la raison de chaque suite arithmétique ?

4. La suite a ses raisons a) Détermine la raison des suites arithmétiques suivantes. 3, 7, 11, 15, … 2) …, 271, 210, 149, … 3) …, 230, 242, 254, … b) Faut-il connaître le premier terme d’une suite arithmétique pour déterminer sa raison ? Explique ta réponse. c) Quel est le premier terme de la suite 2 si ce terme est un nombre naturel multiple de 9 ? Trouve le plus grand nombre possible inférieur à 1000. d) Quel est le premier terme de la suite 3 si ce terme est un nombre premier ? 1)

5. Les uns à la suite des autres Indique les quatre premiers termes des suites arithmétiques suivantes. a) Une suite de raison 6 dont le troisième terme est 2. b) Une suite de raison −2 dont le cinquième terme est 12. c) Une suite de raison 1,2 dont le quatrième terme est 4,8. − d) Une suite de raison 21 dont le sixième terme est 5.

172

CHAPITRE 3

DES MODÈLES MATHÉMATIQUES

2.3

Le terme général ou la règle d’une suite Pour simplifier l’écriture d’une suite, on peut la décrire en mots et indiquer la raison et le premier terme de la suite. On peut également utiliser une écriture mathématique appelée « terme général » ou « règle » de la suite. Tu as d’ailleurs vu un exemple de cette écriture mathématique à la page 166, alors que la suite des multiples de 11 (11, 22, 33, 44, …) a pris la forme 11n. A

Selon toi, que représente n dans l’écriture 11n ?

B

Selon toi, quelle est l’opération mathématique entre le 11 et le n dans 11n ?

C

Qu’obtiens-tu si tu remplaces n par 2 dans 11n ?

D

Selon toi, est-ce que n peut prendre n’importe quelle valeur ?

Le « terme général » est un terme qui permet de « générer » la suite.

Le terme général d’une suite Le terme général ou la règle d’une suite est une écriture algébrique qui permet de calculer la valeur de n’importe quel terme à partir de son rang. Par exemple, le terme général ou la règle de la suite des multiples de 11 est 11n. Voici d’autres exemples de termes généraux de suites arithmétiques. 1

2n, 3n + 6, 3n − 1, 2 n + 3, −5n + 0,4, … Les rangs d’une suite sont représentés à l’aide de l’ensemble *, qui comprend les nombres naturels sauf zéro (1, 2, 3, 4, …). C’est pourquoi on utilise la lettre n dans l’écriture du terme général. Pour calculer n’importe quel terme d’une suite, il suffit de remplacer n par le rang du terme à calculer. Par exemple, pour calculer le 32e terme de la suite 3n + 6 : 3n + 6 3(32) + 6 96 + 6 102

Dans cette suite, quand la valeur de la variable rang est 32, la valeur de la variable terme est 102.

L’Action ! de la page suivante te permettra de te familiariser avec l’écriture algébrique du terme général ou de la règle d’une suite.

LES SUITES

SECTION 2

173

1. Trouve les quatre premiers termes des suites représentées à l’aide des termes généraux suivants. a) 2n b) 3n + 7 c) 2n + 1

d) 6n − 4 e) 3n f ) −2n

2. Explique comment tu peux trouver les termes d’une suite à partir du terme général. 3. a) Exprime en mots chacune des suites suivantes. Quand je trouve d’abord la raison des suites, ça va bien !

Suite

Terme général

1)

6, 11, 16, 21, …

50n + 50

2)

2, 9, 16, 23, …

4n

3)

6, 3, 0, −3, …

5n + 1

4)

4, 8, 12, 16, …

−

5)

100, 150, 200, 250, …

4n + 1

6)

5, 9, 13, 17, …

7n − 5

3n + 9

b) Associe chaque suite au terme général correspondant. c) Compare tes réponses avec celles de tes camarades. 4. Quel est le terme général des suites arithmétiques suivantes ? a) 2, 4, 6, 8, … e) 9, 12, 15, 18, … b) 5, 7, 9, 11, … f ) −1, 2, 5, 8, … c) 8, 10, 12, 14, … d) 4, 4, 4, 4, …

g) 1 12 , 2 12 , 3 12 , 4 12 , …

5. Trouve le 100e terme des suites arithmétiques suivantes. a) 2, 11, 20, 29, … d) −4, 11, 26, 41, … b) −6, −10, −14, −18, … e) 2, 2, 2, 2, … c) 5, 10, 15, 20, … 6. Explique comment on peut trouver le terme général d’une suite arithmétique.

STRATÉGIE Pour trouver le terme associé à un rang élevé, il est plus efficace de trouver d’abord le terme général.

174

CHAPITRE 3

DES MODÈLES MATHÉMATIQUES

Une suite de figures Même si une suite numérique n’est pas nécessairement présentée à l’aide de nombres, elle doit faire référence à des nombres. Par exemple, cette suite de figures formées d’hexagones n’est pas une suite numérique proprement dite. ,

,

,

,…

Toutefois, la suite des périmètres des figures constitue une suite numérique. A

Quelle est la suite des périmètres des cinq premières figures ?

B

La suite que tu as trouvée en A est-elle une suite arithmétique ?

C

Dessine la 9e figure de cette suite. Quel est son périmètre ?

D

Quel est le périmètre de la 100e figure de cette suite ?

E

Quelle est la règle de cette suite ?

1. Quelle suite numérique est représentée par chacune des suites de figures suivantes ? a) La suite du nombre de points formant les figures suivantes

,

,

,

,…

b) La suite des périmètres des carrés suivants

,

,

,

,…

c) La suite des aires des carrés suivants

,

,

,

,…

2. Quelles suites sont des suites arithmétiques ? 3. Dessine le 5e terme de chacune des suites. Quel nombre est associé au terme dans chacun des cas ? 4. Quel nombre est associé au 50e terme de chacune des suites ? 5. Quelle est la règle associée aux suites arithmétiques ?

LES SUITES

SECTION 2

175

Trouver le terme général d’une suite arithmétique Voici une des façons de trouver le terme général d’une suite arithmétique. Prenons, par exemple, la suite 4, 7, 10, 13, … Trouver la raison de la suite.

R

1

2

3

4

…

T

4

7

10

13

…

+3

Multiplier la raison par un rang (normalement le rang no 1, car c’est simple à calculer). À partir de ce nombre, déterminer l’ajustement nécessaire pour obtenir le terme correspondant au rang choisi.

+3

1

2

3

4

…

T

4

7

10

13

…

R

1

2

3

4

…

T

4

7

10

13

…

(3 ¥ 1) + 1 = 4 ajustement raison

3n + 1 ajustement

R

1

2

3

4

…

T

4

7

10

13

…

On obtient les termes de la suite en effectuant les opérations suivantes : raison × rang + ajustement. En remplaçant la variable « rang » par les éléments de *, on génère tous les termes de la suite. raison

3n + 1

ajustement

} terme général

F

CHAPITRE 3

ok !

Le terme général de la suite 4, 7, 10, 13, … est 3n + 1.

Les problèmes ne sont pas toujours accompagnés d’une table de valeurs, mais celle-ci est très utile pour trouver le terme général d’une suite.

176

3

3¥1=3

3 ¥ 4 + 1 = 13

STRATÉGIE

raison

R

Exprimer le terme général de façon symbolique. Calculer un autre terme pour vérifier.

+3

Pourquoi écrit-on « 3n + 1 » au lieu de « 3 × n + 1 » ?

DES MODÈLES MATHÉMATIQUES

1. Au tableau

2. En d’autres termes Trouve le 22e terme et le 68e terme des suites représentées par les règles suivantes.

Quel est le terme général de chacune de ces suites ? a)

b)

c)

d)

Terme

6

8

10

12

…

Rang

1

2

3

4

…

37

…

25

Terme

−

29

−

33

−

−

Rang

1

2

3

4

…

Terme

41 3

8

11 2 3

15 1 3

…

Rang

1

2

3

4

…

1,7

…

4

…

4,1

Terme

−

Rang

1

3,3

−

2

−

2,5 3

−

n

a) 4n − 1 b) 2n + 12

n

n +4 c) 2

d) 10 − n

n

e) 3n + 7,3 n

f ) 0,1n − 0,8 g) 5n − 1 3 − h) 4n − 1 2

3. Le terme ou le rang ?

10 − n, est-ce que c’est équivalent à −n + 10 ?

a) Commente l’affirmation suivante.

«

Dans une suite, il y a deux variables : le terme et le rang.

»

b) Dans une suite, calcule-t-on normalement le rang à partir du terme ou le terme à partir du rang ? c) Dans une suite, le rang est-il la variable dépendante ou la variable indépendante ?

4. Déjà vu Voici une représentation des phases de la division cellulaire. Phase 1

Phase 2

Phase 3

Phase 4

Phase 5

a) Pour chacune des phases, quelle est la suite représentant le nombre de cellules ? b) Est-ce que la suite que tu as trouvée en a est une suite arithmétique ? c) Quel est le terme général de cette suite ?

LES SUITES

SECTION 2

177

5. À la recherche du terme perdu a) Le terme 34 fait-il partie des suites ci-dessous ? 1) 2n − 5 3) 5n − 9 1

2) 2 n

+4

4)

2,5n + 4

b) Essaie de convaincre quelqu’un que tes réponses en a sont bonnes à partir de la raison et de l’ajustement de chaque suite.

6. Suites boutonnées Voici des suites arithmétiques formées avec des boutons.

,

,

,

,

,

,…

,

,

,…

,

,…

Pour chaque suite : a) dessine la prochaine figure ; b) détermine le nombre de boutons à placer pour construire la 26e figure ; c) déduis la règle qui permettrait de trouver n’importe quel terme à partir de son rang ; d) compare tes réponses avec celles de tes camarades.

178

CHAPITRE 3

DES MODÈLES MATHÉMATIQUES

7. À table Dans chaque cas, déduis la règle de la suite arithmétique présentée dans la table de valeurs. a)

c)

Rang

Terme

1

2,5

1

−

2

4

2

−

3

5,5

3

−

4

7

4

−

…

…

…

Terme

8 11 14

…

d)

Terme

Rang

Terme

1

1

1,1

2

2,3

3

3,5

4

2 47 3 67 4 87 5 10 7

4

4,7

…

…

…

…

3

ang 1 2 3 4 … n

5

Rang

2

e)

n

n

b)

Rang

n

aille 1,25 m 1,5 m 1,75 m 2m …

n

8. Termes mystères a) Quel est le 1er terme de la suite arithmétique dont le 7e terme est 34 et le 5e terme est 22 ? b) Quel est le 3e terme de la suite arithmétique dont le 10e terme est 4, ce qui est la moitié du 9e terme ? c) Quel est le 13e terme de la suite arithmétique dont le 3e terme est 3 et le 5e terme est 11 ? d) Quel est le 15e terme de la suite arithmétique dont le 4e terme est 7,4 et le 7e terme est 11,9 ? e) Quel est le 4e terme de la suite arithmétique dont le 22e terme est 19 45 et le 16e terme est 15 ? f ) Quel est le 2e terme de la suite arithmétique dont le 10e terme est 74,3 et le 7e terme est 83,4 ?

9. À régler Détermine la règle des suites arithmétiques suivantes. a) 2, 8, 14, 20, … b) Rang Terme 1

1

2

12

3

23

4

34

…

…

n

LES SUITES

SECTION 2

179

LES COMPTEURS INFORMATIQUES Le concept de suite arithmétique est omniprésent en informatique. Les jeux, les services de messagerie instantanée et de courriel, les traitements de texte, les tableurs ainsi que la majorité des logiciels informatiques contiennent plusieurs compteurs parmi leurs milliers de lignes de codes de programmation. Les compteurs sont essentiels au fonctionnement des technologies. Voici la structure d’un compteur informatique : valeur initiale

condition

incrémentation

for (compteur = 1 ; compteur