À vos maths! mathématique, 1er cycle du secondaire. Manuel D [1D] 2765200130

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À vos maths! mathématique, 1er cycle du secondaire. Manuel D [1D]
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Mathématique



1er cycle du secondaire

Manuel de l’élève

D

Michel Coupal Lynn Marotte Avec la collaboration de Jean Lepage Étienne Rouleau

CHENELIÈRE ÉDUCATION

Mathématique



1er cycle du secondaire

Manuel

D

Michel Coupal Lynn Marotte Avec la collaboration de Jean Lepage Étienne Rouleau

À vos maths ! Mathématique, 1er cycle du secondaire Manuel D Michel Coupal, Lynn Marotte Avec la collaboration de Jean Lepage et Étienne Rouleau © 2006 Les Éditions de la Chenelière inc.

Éditrice : Valérie Tannier Coordination : Denis Fallu, Pascale Mongeon, Geneviève Gagné Révision linguistique : Nicole Blanchette Correction d’épreuves : Chantale Landry Conception graphique : Catapulte, avec la collaboration de Accent Tonique Illustration de la couverture : Fil et Julie Infographie : Alphatek Illustrations d’ambiance : Fil et Julie, Martin Goneau Illustrations techniques : Bertrand Lachance, Jacques Perreault et Serge Rousseau La sculpture illustrée sur la couverture de ce manuel est une représentation libre de l’œuvre de Michel de Broin, Révolutions, érigée sur la place du métro Papineau, à Montréal. Artiste montréalais, Michel de Broin s’est fait connaître par des œuvres réalisées et installées dans des espaces publics. Révolutions intègre plusieurs éléments du paysage urbain : des structures métalliques du pont Jacques-Cartier aux escaliers courbés des maisons jusqu’au tourbillon des manèges de la Ronde. Le « solide » ainsi formé évoque l’idée de cycle, de révolution.

Remerciements Nous remercions Linda Gattuso, professeure au département de mathématiques de l’Université du Québec à Montréal, Sophie René de Cotret, professeure au département de didactique de l’Université de Montréal, Philippe R. Richard, professeur au département de didactique de l’Université de Montréal et Hassane Squalli, professeur au département de didactique de l’Université de Sherbrooke, qui ont agi à titre de consultants pour la réalisation de cet ouvrage. Nous tenons également à remercier Claudia Corriveau et Karine Desautels pour leur précieuse collaboration ainsi que Claude Boucher pour ses conseils, son oreille et son expertise sans pareille. Merci aussi à Brigitte Gascon, Dominic Gagnon et Lysanne Landry pour leur contribution. Pour le soin qu’elles et ils ont porté à leur travail d’évaluation et pour leurs commentaires avisés sur la collection, nous tenons à remercier Jean-François Arbour, enseignant, C.S. Marguerite-Bourgeoys ; Johanne Beaudoin, enseignante, English-Montréal School Board ; Martin Bergeron, enseignant, C.S. des Laurentides ; Louis Blanchard, enseignant, C.S. de la Baie-James ; Christian Chaumont, enseignant, C.S. des Monts et Marées ; Julie Deschênes, enseignante, Séminaire de Sherbrooke ; Martin Gaudreault, enseignant, C.S. de Montréal ; Anne-Marie Goyet, enseignante, Collège Sainte-Anne de Lachine ; Martine Jacques, enseignante, Collège Saint-Sacrement ; Francine Jasmin, enseignante, Académie Lafontaine ; Nawaf Kabbara, enseignant, C.S. Marguerite-Bourgeoys ; Nicolas Therrien, enseignant, C.S. de Laval. Nous remercions tout particulièrement les éditions LEP, Loisirs et Pédagogie – Suisse et CIIP, Conférence Intercantonale de l’Instruction Publique de Suisse romande de nous avoir autorisés à reprendre des activités publiées dans leur collection Mathématiques 7-8-9 de Michel Chastellain, Jacques-André Calame et Michel Brêchet.

CHENELIÈRE ÉDUCATION

7001, boul. Saint-Laurent Montréal (Québec) Canada H2S 3E3 Téléphone : (514) 273-1066 Télécopieur : (514) 276-0324 [email protected] Tous droits réservés. Toute reproduction, en tout ou en partie, sous quelque forme et par quelque procédé que ce soit, est interdite sans l’autorisation écrite préalable de l’Éditeur. ISBN 2-7652-0013-0 Dépôt légal : 2e trimestre 2006 Bibliothèque et Archives nationales du Québec Bibliothèque et Archives Canada Imprimé au Canada 3 4 5 6 7 ITIB 14 13 12 11 10 Nous reconnaissons l’aide financière du gouvernement du Canada par l’entremise du Programme d’aide au développement de l’industrie de l’édition (PADIÉ) pour nos activités d’édition. Gouvernement du Québec – Programme de crédit d’impôt pour l’édition de livres – Gestion SODEC.

Table des matières La probabilité

L’isométrie et la similitude

Exploration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

Section 1 – Le dénombrement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Séquence 1.1 Le hasard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Séquence 1.2 L’expérience aléatoire simple . . . . . . . . . . . . . . Activités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Séquence 1.3 Les modes de représentation . . . . . . . . . . . . . . Activités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Séquence 1.4 Le nombre de cas possibles . . . . . . . . . . . . . . . Activités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4 4 7 9 10 12 13 18

Bric à maths – Réinvestissement section 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

Section 2 – Le calcul d’une probabilité . . . . . . . . . . . . . . . . Séquence 2.1 Un événement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Activités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Séquence 2.2 La probabilité théorique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Activités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Séquence 2.3 La probabilité fréquentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . Activités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Séquence 2.4 L’estimation d’une probabilité par expérimentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21 21 24 25 27 29 31

TIC – Les outils de simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Activités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Séquence 2.5 Produit des probabilités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Activités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Séquence 2.6 La relation entre deux événements . . . . . . Activités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33 34 35 38 39 43

32

Exploration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

54

Section 1 – L’isométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 Séquence 1.1 Les transformations du plan . . . . . . . . . . . . . . . 56 TIC – Les isométries du plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

60

Séquence 1.2 La translation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Activités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

61 65

Séquence 1.3 La rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Activités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

66 71

Séquence 1.4 La réflexion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Activités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

73 77

Bric à maths – Réinvestissement section 1 . . . . . . . . . . . . . . . .

79

Section 2 – La similitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 Séquence 2.1 L’homothétie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 Activités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 Séquence 2.2 Les propriétés des figures semblables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 Activités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 Bric à maths – Réinvestissement section 2 . . . . . . . . . . . . . . . . 103 Dans la vie…

..........................................................

107

Escale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 Option projet – Pour une bonne cause

....................

111

Bric à maths – Réinvestissement section 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 Dans la vie… . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 Escale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 Option projet – Météo : probabilités de probabilités ! . . . 53

III

Les polygones réguliers

Le cercle

Exploration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

Exploration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

Section 1 – La régularité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 Séquence 1.1 La nature fait bien les choses . . . . . . . . . . . . . 114 Séquence 1.2 Des polygones aux polygones réguliers . 116

Section 1 – Une forme naturelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Séquence 1.1 Le cercle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Activités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Séquence 1.2 Situer le centre d’un cercle . . . . . . . . . . . . . . . . .

TIC – La construction de l’image d’un kaléidoscope . . . . 119 Activités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 Séquence 1.3 Les angles des polygones réguliers . . . . . 122 Activités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 Séquence 1.4 Les constructions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 TIC – Du segment au polygone régulier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 Activités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 Bric à maths – Réinvestissement section 1 . . . . . . . . . . . . . . . . 132

Section 2 – Le périmètre et l’aire de polygones réguliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Séquence 2.1 Le périmètre de polygones réguliers . . . . Activités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Séquence 2.2 L’aire de polygones réguliers . . . . . . . . . . . . . . Activités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

135 137 140 141 146

160 161 164 165

TIC – La construction d’un cercle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 Activités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 Bric à maths – Réinvestissement section 1 . . . . . . . . . . . . . . . . 170

Section 2 – La circonférence et l’aire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 Séquence 2.1 L’histoire du rapport Cd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 Activités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 TIC – Des faits π-ttoresques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 Séquence 2.2 La circonférence et les arcs . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 Activités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 Séquence 2.3 Les disques et les secteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 Activités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 Bric à maths – Réinvestissement section 2 . . . . . . . . . . . . . . . . 192

Bric à maths – Réinvestissement section 2 . . . . . . . . . . . . . . . . 148

Dans la vie…

Dans la vie…

Option projet – PoésIe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

..........................................................

152

Escale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 Option projet – Génies du jardin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

IV

..........................................................

198

Escale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

Les solides Exploration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

Section 1 – Une classification des solides . . . . . . . . . . . . . 204 Séquence 1.1 Les objets géométriques tridimensionnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 TIC – Le visage de la 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 Activités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 Séquence 1.2 Le développement de polyèdres . . . . . . . . 211 Activités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 Séquence 1.3 Les prismes et les pyramides . . . . . . . . . . . . . 217 Activités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221 Séquence 1.4 Le cylindre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224 Activités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227

Météo : probabilités de probabilités ! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 Pour une bonne cause . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 Génies du jardin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 PoésIe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 Et que le spectacle commence ! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258

Les outils de simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 Les isométries du plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 La construction de l’image d’un kaléidoscope . . . . . . . . . . . . . 119 Du segment au polygone régulier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 La construction d’un cercle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 Des faits π-ttoresques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 Le visage de la 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208

Bric à maths – Réinvestissement section 1 . . . . . . . . . . . . . . . . 228

Section 2 – L’aire des solides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Séquence 2.1 L’aire des prismes droits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Activités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Séquence 2.2 L’aire des pyramides droites régulières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Activités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Séquence 2.3 Le cylindre droit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Activités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Séquence 2.4 Les solides décomposables . . . . . . . . . . . . . . . . . Activités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

233 234 237 238 242 243 245 247 249

Bric à maths – Réinvestissement section 2 . . . . . . . . . . . . . . . . 250 Dans la vie…

..........................................................

254

Escale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256 Option projet – Et que le spectacle commence ! . . . . . . . 258

V

La collection

La collection À vos maths ! propose quatre manuels pour le premier cycle du secondaire. Chaque manuel est composé de chapitres qui s’articulent autour des trois principales phases d’apprentissage : la préparation, la réalisation ainsi que l’intégration et le réinvestissement. Dans ce manuel, tu trouveras cinq chapitres et un index.

L’organisation d’un chapitre La phase de préparation L’ouverture du chapitre te propose une activité d’exploration pour aborder de front le sujet principal du chapitre. Cette activité te demande de recourir à tes connaissances antérieures et t’amène à développer ta compétence à Résoudre une situation-problème. Cet encadré énumère les principaux concepts et processus à l’étude dans le chapitre. En lien avec l’Exploration, des questions d’ordre plus général t’amènent à amorcer une réflexion sur des problématiques auxquelles tu dois faire face dans différentes sphères importantes de ta vie. Le sommaire présente le contenu du chapitre en un coup d’œil.

La phase de réalisation Chaque chapitre est composé de plusieurs sections qui portent sur un concept clé. Chaque section est divisée en séquences d’apprentissage et se termine par des activités du Bric à maths.

Une séquence d’apprentissage te permet de construire les concepts et processus à l’étude et de développer tes compétences à l’aide du questionnement, des situations d’application et des encadrés théoriques. Diverses rubriques enrichissent tes apprentissages.

VI

Ces questions t’amènent à construire le sens des concepts et processus à l’étude.

Les rubriques Action ! te permettent de mettre en pratique tes conceptions et de les valider. Pour chacune des Action !, des fiches intitulées Plus d’action ! sont fournies dans les documents reproductibles.

À la fin d’une séquence, des activités te sont proposées pour appliquer, dans différents contextes, les concepts et processus étudiés.

Un encadré théorique propose une synthèse des concepts et des processus que tu as construits au fil d’une séquence d’apprentissage. Ce type d’encadré, facilement repérable, peut également t’être utile lors de la révision des concepts et des processus.

La phase d’intégration et de réinvestissement À la fin de chaque section, le Bric à maths te permet de réinvestir les concepts et processus étudiés dans l’ensemble des séquences de la section et ainsi de développer tes compétences.

Des situations tirées de la vie courante t’amènent à constater la place de la mathématique dans ton quotidien.

Pour chaque Bric à maths, des fiches intitulées Un autre bric à maths sont fournies dans les documents reproductibles.

À la fin d’un chapitre, tu peux faire le point et organiser tes connaissances selon la méthode qui te semble la plus appropriée. Tu auras ainsi l’occasion de développer ton esprit de synthèse.

L’Option projet est une belle occasion de développer tes compétences à l’aide d’une situation signifiante. L’Option projet te permet de faire preuve de créativité et d’autonomie dans la réalisation d’une ou de plusieurs tâches complexes. Elle peut être réalisée en parallèle avec le chapitre ou à tout moment jugé opportun. Une tâche intégratrice, qui reprend l’essentiel des concepts et processus étudiés dans le chapitre, t’offre une occasion de consolider tes apprentissages.

VII

Les

rubriques

Constante : Dans une situation, élément qui conserve toujours la même valeur.

Fait un rappel de l’Exploration présentée en début de chapitre pour te permettre de prendre conscience de l’évolution de ta démarche et de tes apprentissages.

Propose une définition qui vise à préciser un concept présenté dans le manuel ou à faire un retour sur des savoirs à l’étude au primaire. Le mot défini est en bleu dans le texte pour en faciliter le repérage.

Vise à attirer ton attention sur une difficulté ou à souligner une particularité du concept ou du processus étudié.

STRATÉGIE Pour calculer 12 % de 25, on peut calculer 25 % de 12. Puisqu’il est plus facile de calculer mentalement certains pourcentages, le calcul est parfois simplifié en inversant les termes de la multiplication (par commutativité).

Grâce à l’informatique et au travail des spécialistes en mathématique, on trouve des nouveaux nombres premiers de plus en plus rapidement. Essaie de trouver le nombre de chiffres qui constituent le plus grand nombre premier connu aujourd’hui.

VIII

Te fournit des pistes pour aborder un problème sous un angle différent, établir des liens ou prendre conscience de ta démarche d’apprentissage.

Exploration Si les élèves des groupes 102, 104, A213 et A215 continuent à récupérer le même nombre de bacs mais qu’ils les remplissent au même pourcentage de capacité que celui de ta classe (voir ta réponse à la question de la page 41 ), quelle masse de papier auront-ils récupérée en 36 semaines de classe ?

ATTENTION Pour éviter toute confusion, les coordonnées d’un point doivent être présentées dans un certain ordre. Par convention, l’abscisse d’un point précède son ordonnée.

Question de

Permet une ouverture sur un sujet de culture générale relié aux thèmes abordés.

T’invite à découvrir comment la mathématique contribue à l’essor des technologies, et vice versa, et te propose différentes activités favorisant l’exploitation des technologies de l’information et de la communication (TIC).

Porte à la réflexion et peut servir d’amorce à l’étude de certains concepts et processus. La citation peut être exploitée pour présenter un personnage marquant de notre histoire, qu’il soit ou non lié à la mathématique.

culture

LEONHARD EULER (1707-1783) C’est le mathématicien suisse Leonhard Euler qui s’intéressa le premier au concept de variable. Même s’il a partiellement perdu la vue avant l’âge de 30 ans et qu’il est devenu aveugle par la suite, il a été le mathématicien le plus prolifique de son temps, avec la publication de près de 900 livres et articles.

Le bonheur n’est peut-être que le résultat d’une comparaison. ≤≥ EUGÈNE BEAUMONT

. pictogrammes Les

Les compétences mathématiques se développent à travers toutes les situations du chapitre. Toutefois, pour t’amener à prendre conscience de tes apprentissages et pour faciliter le travail d’évaluation et d’autoévaluation, certaines activités ont été ciblées comme étant particulièrement propices à l’observation du développement d’une compétence. Ces activités sont accompagnées d’un pictogramme qui représente l’une ou l’autre des compétences mathématiques. Résoudre une situation-problème

Déployer un raisonnement mathématique

Communiquer à l’aide du langage mathématique

Le pictogramme ci-dessous indique qu’une activité est reproduite dans les documents reproductibles du guide d’enseignement.

Les

personnages Des personnages t’accompagnent tout au long de tes apprentissages. Ils apportent parfois des précisions, soulèvent des questions ou émettent des commentaires qui peuvent traduire ta pensée ou celle de tes camarades. Ils t’aident aussi à te souvenir de concepts vus l’an dernier afin de te permettre de faire des liens.

KIM

M. GAUDREAULT

AMÉLIE

ANTOINE

IX

5 Chapiteau 2

Chapiteau

Chapiteau

1

3

Chapiteau 4

2

Connais-tu certains jeux qui sont interdits par la loi aux mineurs ? Selon toi, pourquoi de telles lois existent-elles ?

Un festival propose un jeu qui permet de gagner des prix. Philippe est choisi au hasard pour jouer. Voici ce qu’il doit faire. Placé au centre du labyrinthe représenté ci-contre, il fera face à une succession de portes identiques, qui donnent un accès, sans possibilité de retour, à différents corridors. Certains parcours mènent au chapiteau 1, d’autres aux chapiteaux 2, 3 ou 4. Dans chacun de ces chapiteaux se trouvera l’un des quatre prix : • 1er prix : une planche à voile ; • 2e prix : un vélo de montagne ; • 3e prix : un lecteur MP3 ; • 4e prix : deux billets de cinéma. Imagine que Philippe est ton ami et que tu lui souhaites de gagner le 1er prix. On te montre le plan du labyrinthe et on te demande de décider dans quel chapiteau placer chacun des prix. On conduit Philippe, les yeux bandés, au centre du labyrinthe. Tu ne peux pas communiquer avec lui avant le début du jeu. Dans quel chapiteau placeras-tu chacun des quatre prix ? Justifie tes choix.

• Expérience aléatoire • Événement • Probabilité théorique et probabilité fréquentielle

• Dénombrement • Modes de représentation • Calcul de la probabilité d’un événement

SO MM AI RE Section 1 – Le dénombrement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Section 2 – Le calcul d’une probabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . Dans la vie… . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Escale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Option projet – Météo : probabilités de probabilités ! . . . .

4 21 49 51 53

3

Le dénombrement J’ai une devinette pour toi. Mon patron est le destin. Certains disent que je fais bien les choses et m’utilisent pour faire des choix. D’autres croient qu’il ne faut pas se fier à moi et qu’il ne faut rien me laisser. Je n’ai pas de mémoire et on ne peut me contrôler. Plusieurs me confondent avec la coïncidence. Qui suis-je ?

Souvent associé au destin, le hasard fascine l’être humain depuis toujours. Le désir de prédire et de comprendre l’imprévisible a motivé l’être humain à se pencher sur des phénomènes fascinants, difficiles à expliquer et qui ont une certaine influence sur notre vie. L’incertitude fait partie de notre quotidien. Dans ce chapitre, tu apprendras à reconnaître des situations de hasard. Tu aborderas des concepts et processus qui permettent de décrire et de quantifier le hasard et de mieux comprendre le rôle qu’il joue dans ta vie.

1.1

Le hasard Beaucoup de personnes croient, à tort, avoir une bonne connaissance intuitive du hasard. Même s’il est très présent dans nos vies, le hasard n’est pas nécessairement bien compris. A

Selon toi, qu’est-ce qu’une connaissance intuitive ? Donne un exemple.

B

Et toi, crois-tu avoir une bonne connaissance intuitive du hasard ?

L’Action ! suivante te permettra de valider ta réponse à la question B.

1. S’il y a une probabilité de 50 % qu’il pleuve samedi et une probabilité de 50 % qu’il pleuve dimanche, quelle est la probabilité qu’il pleuve en fin de semaine ? 2. Une famille compte deux enfants. Si on sonne à la porte et qu’un des enfants, un garçon, vient ouvrir, quelle est la probabilité que ce garçon ait une sœur ? Je vais vérifier l’intuition des membres de ma famille au souper.

3. Patrick, Mylène et Camille sortent de l’école et aperçoivent en même temps deux pièces de 2 $ sur le trottoir. Les trois élèves n’ont pas de monnaie pour se partager les quatre dollars. Mylène propose alors de lancer les pièces en l’air, puis de voir le résultat : – Si les deux pièces tombent du côté face, Patrick peut garder les quatre dollars ; – Si les deux pièces tombent du côté pile, c’est Mylène qui gagne ; – Si une pièce tombe du côté face et l’autre, du côté pile, c’est Camille qui empoche la somme. Selon toi, est-ce que tout le monde a les mêmes chances de gagner ?

4

CHAPITRE 5

LA PROBABILITÉ

Les réponses aux problèmes de l’Action ! de la page précédente peuvent sembler évidentes. Toutefois, peux-tu avoir la certitude que tu as trouvé les bonnes réponses ? Dans les situations où intervient le hasard, l’intuition induit souvent en erreur. Pour cette raison, il est important de posséder certaines connaissances et des outils mathématiques permettant de modéliser et de quantifier des situations qui relèvent du hasard.

Question de

culture

Le mot « hasard » vient de l’arabe. Les Européens auraient nommé ainsi un jeu de dés observé au château de Hasard (Az-Zard), en Syrie, pendant les croisades. Dans les années 1000, la notion de hasard au sens moderne n’existait pas. Les chrétiens croyaient que c’était la Fortune, ou Dieu, qui déterminait tout. Toutefois, en observant les musulmans jouer aux dés, les chrétiens se posèrent la question suivante : Qui décide du destin de ces gens qui croient en un autre Dieu ? L’idée du hasard a alors pris forme, et on lui a attribué le nom du château.

Les mythes du hasard Dans les jeux de hasard et d’argent, la passion pour le jeu prend souvent le dessus sur la raison. L’appât du gain amène les gens à développer et à propager certaines idées fausses au sujet du hasard. La meilleure façon de vérifier sa perception du hasard est de comparer une prédiction du déroulement d’une expérience qui relève du hasard avec son déroulement réel.

1. Invente une suite, composée de piles (P) et de faces (F), qui imiterait les résultats de 100 lancers d’une pièce de monnaie (ex. : PPFP…). 2. Comment as-tu essayé d’imiter le hasard en créant ta suite à la question précédente ? As-tu essayé de contrôler certains éléments ? 3. Lance une pièce de monnaie 100 fois. Note, sous forme de suite, le résultat de chaque lancer, soit pile (P) ou face (F). 4. Pour chacune des deux suites, détermine : a) le nombre de P et de F ; b) le nombre de séquences de plus de cinq P ou de cinq F consécutifs ; c) la plus longue séquence de P ou de F. 5. Compare les deux suites. a) Qu’est-ce qui est semblable ? b) Qu’est-ce qui est différent ? 6. Compare tes réponses aux questions 4 et 5 avec celles de quelques camarades.

Conserve ta suite de vrais résultats, elle te sera utile plus tard.

7. Y a-t-il des choses qui t’étonnent dans les suites des vrais résultats ? Si oui, lesquelles ?

LE DÉNOMBREMENT

SECTION 1

5

A

Dans l’Action! de la page précédente, quand tu lançais la pièce de monnaie, avais-tu parfois l’impression qu’un certain résultat se produirait ? Explique ta réponse.

B

Est-ce que les prédictions que tu as faites par rapport au hasard correspondent à la réalité ? Explique ta réponse.

Question de

Dans un jeu de roulette, il y a 37 cases numérotées de 0 à 36, alternativement rouges et noires. Le zéro est vert.

culture

LE ROUGE ET LE NOIR En 1913, au casino de Monte-Carlo, la boule du jeu de roulette s’est arrêtée 26 fois de suite sur une case noire ; c’était un record. Après la 15e fois, les gens se sont mis à parier en grand nombre sur le rouge ; chaque fois, ils croyaient à tort que c’était « au tour du rouge » de sortir. Le casino a alors réalisé d’énormes gains. Les joueurs, eux, ont perdu beaucoup d’argent.

Une idée fausse ou une perception erronée, très répandue, d’un phénomène constitue un mythe. C

Donne un exemple d’un mythe.

Voici quatre énoncés reflétant des croyances au sujet des jeux d’argent. Il est possible de développer des stratégies pour contrôler des jeux de hasard et regagner l’argent perdu.

Si tu analyses les statistiques des résultats passés d’une loterie, tu pourras mieux prédire les résultats futurs.

Les appareils de loterie vidéo fonctionnent selon le même principe que les jeux vidéo.

La loterie Gagnez gros consiste à choisir six nombres entre 1 et 50. La combinaison 1-2-3-4-5-6 n’a presque aucune chance de se réaliser.

La personne qui achète un billet de loterie le lundi en vue d’un tirage le vendredi a deux fois plus de « chances » de mourir avant le tirage que de gagner le gros lot. ≤≥ JEAN DION

6

CHAPITRE 5

LA PROBABILITÉ

D

Détermine si chacune des quatre croyances ci-dessus est un mythe ou un fait. Explique ta réponse.

E

Donne d’autres exemples de mythes associés aux jeux de hasard et d’argent.

F

Commente l’énoncé suivant.

«

La loterie est une taxe pour les gens qui ne connaissent pas les probabilités.

»

1.2

L’expérience aléatoire simple Le hasard intervient dans un grand nombre de situations très diversifiées. Avant d’arriver à comprendre et surtout à quantifier le hasard, il faut d’abord le reconnaître. Le matin, plusieurs événements peuvent survenir. Mon réveil sonne et je regarde l’heure. Il est 5 h 55. Sans regarder, je prends une brosse à dents dans le tiroir de la salle de bains familiale et il s’agit de la mienne. Je plonge la main dans le fond de mon tiroir de chaussettes et je tire une chaussette bleue et une chaussette noire. Je sors le lait du réfrigérateur et je constate que le sac est vide. J’échappe ma tartine de beurre d’arachide par terre et elle tombe du côté beurré. Au moment où je sors de la maison, j’attrape le journal lancé par le camelot. Il commence à pleuvoir et quelques gouttes me tombent sur la tête. Je manque l’autobus scolaire. Ma mère me dispute. En route vers l’école, je mets le pied sur une gomme à mâcher.

A

Selon toi, parmi les 10 événements ci-dessus, quels sont ceux qui relèvent du hasard ?

B

Pour chaque situation que tu as nommée à la question A, indique s’il y a d’autres facteurs que le hasard qui sont en jeu.

Décris deux situations que tu as vécues dans la dernière semaine qui, selon toi : a) relèvent uniquement du hasard ; b) relèvent en partie du hasard ; c) ne relèvent pas du tout du hasard.

LE DÉNOMBREMENT

SECTION 1

7

Les expériences aléatoires Le hasard intervient à divers degrés dans différents contextes. Une expérience aléatoire est une situation qui relève uniquement du hasard. Il est donc impossible de prédire avec certitude son résultat. Exemple : Un bocal contient cinq boules rouges et trois boules jaunes. On prend une boule dans le bocal sans regarder et on note sa couleur. C’est une expérience aléatoire parce qu’il y a deux résultats possibles, « rouge » et « jaune », et qu’on ne peut prédire le résultat avec certitude. Contre-exemple : Un bocal contient six boules rouges. On prend une boule dans le bocal sans regarder et on note sa couleur. Ce n’est pas une expérience aléatoire parce qu’il est certain que la boule sera rouge.

On ne peut pas prédire avec certitude le résultat d’une expérience aléatoire. Cependant, on peut déterminer l’ensemble des résultats possibles de l’expérience.

ATTENTION

C

Détermine si chacune des expériences suivantes peut être considérée comme une expérience aléatoire. 1) Lancer un dé et noter le chiffre obtenu. 2) Les yeux fermés, pointer une lettre dans une page d’un dictionnaire et noter la lettre. 3) Laisser tomber une assiette de porcelaine d’une hauteur de 1 m et vérifier si elle est cassée. 4) Sonner à une porte et noter le sexe de la personne qui ouvre. 5) Faire un vœu en regardant une étoile filante et attendre deux jours pour vérifier si le vœu se réalise. 6) Tirer une carte d’un jeu de cartes et noter sa couleur. 7) Jouer une partie d’échecs et noter qui l’emporte.

D

Imagine une autre expérience où les résultats sont aléatoires et décris-la.

E

Pour chacune des expériences aléatoires décrites à la question C, énumère tous les résultats possibles.

Dans ce chapitre, lorsqu’il est question de dés, on fait référence à un dé ordinaire de six faces, numérotées de 1 à 6. Lorsqu’il est question de jeux de cartes, on fait référence à un jeu ordinaire de 52 cartes.

Une description en extension est une énumération, entre accolades, des éléments de l’ensemble.

Il est souvent utile d’énumérer les résultats possibles d’une expérience aléatoire.

L’univers des possibles Dans une expérience aléatoire, on appelle univers des possibles l’ensemble des résultats possibles de l’expérience. On désigne cet ensemble par la lettre grecque Ω (oméga). Exemple : Les résultats possibles du lancer d’une pièce de monnaie sont « pile » ou « face ». L’univers des possibles, décrit en extension, est Ω = {pile, face}.

8

CHAPITRE 5

LA PROBABILITÉ

Écris l’ensemble Ω associé à chacune des expériences aléatoires suivantes. a) Aller dans une classe et noter la couleur des yeux des élèves. b) Tirer une lettre au scrabble et noter la lettre. c) Déterminer quel jour de la semaine sont nés tes camarades de classe. d) Arriver à un feu de circulation et noter sa couleur. e) Mettre 25 ¢ dans le distributeur de boules de gomme à mâcher ci-contre et noter la couleur de la gomme qui tombe. f ) Observer une bougie allumée et noter sa durée de vie. g) Pêcher une truite dans un lac et déterminer sa longueur.

1. Sur l’échelle du hasard

2. Vraiment faux ?

Voici plusieurs situations. Remettre un prix au joueur qui a marqué le plus de buts dans la saison de hockey masculin. Attraper le bouquet que la mariée vient de lancer sans regarder. Obtenir pile en lançant une pièce de monnaie. Réussir un panier au basket-ball. Entrer la bille numéro 2 sur le coup de départ au billard. Fermer les yeux et piger dans un panier le nom de la personne à qui l’on offrira un cadeau à Noël. Gagner le gros lot à la loterie. a) Indique si chacune de ces situations correspond à une expérience aléatoire ou non. Justifie tes réponses. b) Pour chaque expérience aléatoire indiquée en a, décris l’univers des possibles Ω .

3. La possibilité des possibles Décris une expérience qui a : a) un seul résultat possible ; b) deux résultats possibles ;

c) 52 résultats possibles ; d) plus de 1000 résultats possibles.

Indique si les énoncés suivants sont vrais ou faux. Explique tes réponses. a) Une personne habile aux dés peut déjouer le hasard. b) Une expérience aléatoire comporte au moins deux résultats possibles. c) Dans une loterie où l’on doit choisir 6 nombres parmi 49, on a moins de chances de gagner si on laisse la machine choisir la combinaison. d) Il y a 13 983 816 combinaisons à la loterie en c. Si j’achète 5000 billets avec des combinaisons différentes chaque semaine pendant 54 ans, soit 14 040 000 billets, je gagnerai à coup sûr le gros lot.

LE DÉNOMBREMENT

SECTION 1

9

1.3

Les modes de représentation Les expériences de la séquence précédente comportent seulement une étape. Tu as sans doute constaté qu’il était assez simple de déterminer l’ensemble des résultats possibles. Cependant, très souvent, une expérience aléatoire est composée de plus d’une étape. Dans ce cas, il faut considérer les résultats possibles de chaque étape pour déterminer l’ensemble des résultats possibles de l’expérience. Lancer une pièce de monnaie correspond à une expérience aléatoire à une étape. A

Décris ce qui pourrait correspondre, selon toi, à une expérience à deux étapes.

Voici un exemple de situation à plus d’une étape.

Caroline et Christina se rendent au mont Imposant pour une fin de semaine de ski alpin. Le mont Imposant est une station de ski spéciale. Il n’y a qu’un remonte-pente qui va de la base au sommet. Le mont est très haut et les pistes sont plutôt longues. Au milieu du mont, la station a construit un petit chalet qui permet de faire une halte. Il y a quatre pistes identifiées par des symboles (●, ■ , ◆, ◆◆) qui vont du sommet au petit chalet, et cinq autres pistes (●, ■ , ◆, ◆◆, ) qui vont du petit chalet à la base du mont. Les deux skieuses aimeraient bien faire toutes les combinaisons possibles de descentes, du sommet à la base, qu’offre la station de ski.

B

Quelles sont les étapes dans cette situation ?

C

Fais un schéma pour représenter toutes les descentes.

D

Compare ta représentation avec celles de tes camarades.

E

Représente chaque descente par un couple, par exemple (●, ◆) et écris l’ensemble Ω des descentes possibles.

F

Comment as-tu procédé pour répondre à la question E ?

G

Combien de descentes différentes les deux filles peuvent-elles faire ?

Une expérience aléatoire qui comporte plus d’une étape est dite composée. Il peut être complexe d’énumérer tous les résultats possibles d’une expérience aléatoire composée. Un mode de représentation qui permet d’illustrer les résultats de l’expérience peut simplifier cette tâche.

10

CHAPITRE 5

LA PROBABILITÉ

Les modes de représentation On utilise souvent une grille, un réseau ou un arbre pour faciliter l’énumération des résultats d’une expérience aléatoire composée. Exemple: Un questionnaire contient deux questions. La question 1 demande de répondre par vrai ou faux. La question 2 est à choix multiple (a, b, c et d). On peut représenter toutes les façons possibles de répondre à ce questionnaire par l’un des trois modes de représentation suivants. À l’aide d’une grille Question 2 a Question 1

b

c

REMARQUE

Une grille permet de représenter les résultats d’une expérience à deux étapes seulement.

d

V

(V, a) (V, b) (V, c) (V, d)

F

(F, a) (F, b) (F, c) (F, d)

À l’aide d’un réseau Question 2 Question 1

a

V

Les réseaux sont très utiles pour illustrer des trajets.

branche

b c

F

chemin

nœud

REMARQUE

d

À l’aide d’un diagramme en arbre a (V, a) b (V, b) V

c

branche nœuds chemin F

d

(V, c) (V, d)

Dans le réseau et le diagramme en arbre, chaque chemin correspond à un résultat. Il y a donc huit façons différentes de répondre au questionnaire.

Utilise l’un de ces trois modes pour représenter les parcours du labyrinthe.

a (F, a) b c d

Exploration

(F, b) (F, c) (F, d)

H

À quel mode de représentation s’apparente le schéma que tu as créé pour illustrer les descentes possibles des skieuses?

I

Comment avais-tu procédé pour énumérer les descentes possibles des skieuses?

J

Selon toi, quel est l’avantage de chaque mode de représentation?

K

Représente de nouveau les descentes en employant un autre mode de représentation parmi ceux présentés dans l’encadré théorique.

LE DÉNOMBREMENT

SECTION 1

11

Le mois de naissance de François est un multiple de 3 et sa journée de naissance est un multiple de 8. Le mois de naissance de Sylvie commence par la lettre J et sa journée de naissance est un multiple de 6. 1. Utilise un mode de représentation (grille, réseau ou arbre) pour représenter les dates d’anniversaire possibles de François. 2. Utilise un mode de représentation différent pour représenter les dates d’anniversaire possibles de Sylvie. 3. Écris l’ensemble Ω des dates d’anniversaire possibles : a) pour François ; b) pour Sylvie. 4. François et Sylvie ont la même date d’anniversaire. Quelle est-elle ?

1. Deux de deux Dans une famille, il y a deux enfants. L’aîné est un garçon de 5 ans. Représente, à l’aide d’une grille, l’ensemble des possibilités pour le sexe et l’âge du second enfant.

2. Aéroport Chaque jour, plusieurs liaisons aériennes relient différentes villes canadiennes. Voici les vols offerts par une compagnie. De Montréal : • Deux vols partent en direction de Toronto. • Un vol part en direction de Calgary. De Toronto : • Un vol part en direction de Calgary. • Un vol part en direction de Vancouver. • Un vol part en direction d’Halifax. De Calgary : • Deux vols partent en direction de Vancouver.

a) Représente cette situation à l’aide d’un réseau. b) Un Montréalais qui veut aller à Vancouver avec cette compagnie doit-il obligatoirement faire escale à Toronto ? c) À partir de Montréal, par quelle ville doit-on absolument faire escale pour aller à Halifax avec cette compagnie ? d) Combien de trajets possibles cette compagnie offre-t-elle entre Montréal et Vancouver ?

12

CHAPITRE 5

LA PROBABILITÉ

3. J’ai mon voyage Une agence de voyages propose à ses clients de créer leur propre « voyage de rêve ». Elle offre un choix entre trois continents, puis entre deux pays par continent proposé. • Asie : Chine ou Japon ; • Europe : France ou Italie ; • Océanie : Australie ou Nouvelle-Zélande.

4. Grand nombre de petits mots Un jeu consiste à tirer trois consonnes et quatre voyelles et à former le plus de mots (fictifs ou réels) de trois lettres possible. Guylaine tire les consonnes B, L, T et les voyelles A, E, I, O.

Les voyageurs choisissent ensuite une des quatre activités suivantes. • Visite de musées ; • Randonnée en montagne ; • Plongée sous-marine ; • Visite de vieux quartiers.

a) À l’aide d’un arbre, représente tous les mots (fictifs ou réels) de trois lettres que Guylaine peut former, compte tenu de chacune des contraintes suivantes. 1) La deuxième lettre doit être une voyelle et les deux autres, des consonnes. 2) La première lettre doit être une consonne. 3) La première lettre doit être une voyelle.

a) Représente les possibilités de voyages à l’aide d’un arbre. b) Combien de forfaits voyages différents l’agence peut-elle offrir à ses clients ? c) Si Évelyne veut visiter l’Asie et que Noah veut faire une randonnée en montagne, ont-ils des chances d’aller au même endroit ? Explique ta réponse.

b) Pour chacune des contraintes, combien des mots formés se retrouvent dans un dictionnaire de langue française ?

1.4

Le nombre de cas possibles Tu as vu que la représentation facilite l’énumération des résultats possibles d’une expérience à plus d’une étape. Si une expérience comporte beaucoup d’étapes et un très grand nombre de résultats, il devient complexe de les représenter. Par ailleurs, il arrive parfois qu’on s’intéresse davantage au nombre de résultats qu’aux résultats eux-mêmes. A

Selon toi, pourquoi a-t-on adopté des numéros de téléphone à 10 chiffres ?

Donne un exemple de situation pour laquelle le nombre de résultats a plus d’intérêt que les résultats eux-mêmes.

LE DÉNOMBREMENT

SECTION 1

13

Denis est daltonien. Il a une entrevue pour un emploi. Il est un peu nerveux parce qu’il a du mal à agencer ses vêtements. Il se rend dans une boutique et demande au vendeur de lui proposer plusieurs vêtements qu’il pourra agencer les uns avec les autres sans risquer de commettre un impair. Il ressort de la boutique avec ses achats : trois pantalons, quatre chemises et deux cravates. Denis a obtenu l’emploi. Chaque jour de travail, il décide de porter une combinaison différente de ses nouveaux vêtements. 1. Construis un diagramme en arbre pour représenter l’ensemble des combinaisons de vêtements possibles. 2. Après combien de jours Denis devra-t-il remettre une combinaison de vêtements qu’il a déjà portée ? 3. Si Denis avait acheté une cravate de plus, combien de jours de plus aurait-il pu porter une combinaison de vêtements différente ? À sa première journée de travail, un collègue complimente Denis sur ses chaussures jaunes (Denis les croyait brunes). Denis décide alors de se défaire de ses chaussures jaunes et d’en acheter quelques nouvelles paires. 4. Combien de paires de chaussures Denis devra-t-il acheter afin de pouvoir porter une combinaison différente (vêtements et chaussures) chaque journée de travail de la saison, soit 60 jours ? 5. Combien de combinaisons différentes Denis pourrait-il créer avec : a) cinq pantalons, six chemises, quatre cravates et une paire de chaussures ? b) trois pantalons, cinq chemises, trois cravates et trois paires de chaussures ? c) a pantalons, b chemises, c cravates et d paires de chaussures ? 6. Propose deux garde-robes différentes qui permettraient à Denis de porter une combinaison de vêtements différente à chacune des 240 journées de sa première année de travail.

La recherche du nombre de combinaisons dans l’Action ! précédente avait pour but de t’amener à découvrir la relation qui existe entre le nombre de résultats possibles de chaque étape et le nombre de résultats possibles de l’expérience. B

14

CHAPITRE 5

Relis tes réponses de l’Action ! précédente. Observes-tu une relation entre le nombre de résultats possibles de chaque étape et le nombre de résultats possibles de l’expérience ? Si oui, décris-la.

LA PROBABILITÉ

La règle de la multiplication Le nombre total de résultats possibles d’une expérience aléatoire composée est égal au produit des nombres de résultats possibles de chacune des étapes qui la composent. Cette règle qui permet de déterminer le nombre de résultats possibles d’une expérience aléatoire est appelée la règle de la multiplication.

Il y a autant de facteurs dans la multiplication qu’il y a d’étapes dans l’expérience.

Nombre total de résultats possibles = a•b•c•… d’une expérience à n étapes n facteurs REMARQUE

Dans la multiplication ci-dessus, a correspond au nombre de résultats possibles de la première étape, b correspond au nombre de résultats possibles de la deuxième étape, etc. Exemple : Un questionnaire contient cinq questions. Les questions 1 et 2 demandent de répondre par vrai ou faux. Les questions 3, 4 et 5 sont à choix multiple (a, b, c et d). La règle de la multiplication permet de calculer le nombre de façons différentes dont une personne peut répondre au questionnaire.

J’ose à peine imaginer le temps que ça me prendrait pour construire le diagramme en arbre !

Nombre de façons de = 2 • 2 • 4 • 4 • 4 = 256 répondre au questionnaire

Utilise la règle de la multiplication pour répondre aux questions suivantes. 1. Combien de combinaisons de repas possibles comprend le menu du mardi soir ? 2. Combien de repas différents peux-tu commander si tu peux aussi choisir parmi deux boissons et quatre desserts ? 3. Propose une façon d’offrir exactement 200 choix de repas différents à la clientèle du restaurant.

Me nu du ma rd i s oi r Seulement Ch oi x d e p 8, 25 $ iz z

as : • végétarienn e • toute garn • quatre saisons ie • hawa ïenne Ch oi x d ’a c • Salade cés c om pa gn em en ts : • Salade jar ar • Spaghetti dinière LE DÉNOMBREMENT

SECTION 1

15

Dépendance ou indépendance Dans la vie, les choix d’une personne, qu’ils relèvent ou non du hasard, ont généralement une incidence sur ses choix à venir. A

Donne une signification des mots « dépendant » et « indépendant ».

B

Dans le cas de Denis (à la page 14), est-ce que le choix d’un pantalon a une incidence sur le choix d’une chemise ?

Ce matin, Élisabeth a un cours d’éducation physique à la première période et un cours d’histoire à la deuxième période. Elle doit se rendre du vestiaire (A) au local d’histoire (K) en cinq minutes seulement. Le schéma ci-dessous représente tous les corridors (en vert) et les escaliers (en bleu) menant de A à K. L

I

K

2e étage J H

C

De combien d’étapes se compose l’expérience qui consiste à choisir un chemin parmi les plus courts pour se rendre du vestiaire au local d’histoire ?

D

À l’aide d’un diagramme en arbre, illustre tous les parcours les plus courts qu’Élisabeth peut emprunter à partir du vestiaire pour se rendre au local d’histoire.

E

Énumère tous les parcours les plus courts à l’aide des lettres correspondant aux intersections de corridors et d’escaliers.

F

Qu’est-ce qui différencie cette situation de celle du mont Imposant de la page 10 de ton manuel ?

G

er

E

1 étage

F

D

A

C

Les résultats possibles d’une expérience aléatoire sont déterminés en fonction des étapes qui composent l’expérience. Le résultat d’une étape peut avoir ou non une incidence sur les autres étapes.

Rez-de-chaussée Vestiaire

B

ATTENTION Avant de déterminer les résultats possibles d’une expérience composée, il faut toujours déterminer si les étapes qui la composent sont dépendantes ou indépendantes.

Dépendance ou indépendance Les étapes d’une expérience aléatoire composée sont dites indépendantes si le résultat d’une étape n’influence pas celui des autres étapes. Exemple : Lancer deux dés. L’ensemble des résultats possibles pour un dé n’est pas influencé par le résultat obtenu sur l’autre dé. Les étapes d’une expérience aléatoire composée sont dites dépendantes si le résultat d’une étape influence celui des autres étapes. Exemple : Tirer deux cartes d’un jeu de cartes. Au premier tirage, il y a 52 résultats possibles. Au deuxième tirage, il y a 51 résultats possibles parce qu’il y a une carte de moins.

16

CHAPITRE 5

LA PROBABILITÉ

G

Dans l’exemple du trajet d’Élisabeth du vestiaire au local d’histoire, est-ce que les étapes (corridors et escaliers) sont dépendantes ?

Puisqu’il faut tenir compte de la dépendance ou de l’indépendance des étapes dans la recherche des résultats possibles, il est essentiel de bien reconnaître les deux cas. La dépendance peut prendre différentes formes. En voici un exemple. À la fête de fin d’année de l’équipe de basket-ball de l’école, l’entraîneuse effectue le tirage d’un lecteur MP3 et d’un sac de sport parmi les joueuses de l’équipe. Examine les deux situations suivantes. La situation 1 La gagnante du lecteur MP3 n’a pas le droit est un tirage de participer au tirage du sac de sport. sans remise. La gagnante du lecteur MP3 a le droit de participer au tirage du sac de sport.

H

Donc, la deuxième situation est un tirage avec remise.

Dans chacune des situations précédentes, les tirages sont-ils dépendants ou indépendants ?

Pour chacune des situations suivantes, indique si les étapes sont indépendantes ou dépendantes. Explique ton raisonnement. a) Avoir la surprise d’apprendre le sexe de chacun de ses deux enfants à leur naissance. b) Dans une boîte de chocolats assortis, choisir un chocolat, le manger et en choisir un deuxième. c) Choisir le mois et ensuite le jour de son mariage. d) Sans regarder, sortir l’une après l’autre deux boucles d’oreilles identiques de son coffret à bijoux. e) Dans un concours, on doit répondre à une question pour gagner un prix : une roulette détermine la question à laquelle il faut répondre ; l’autre roulette détermine le prix à gagner.

LE DÉNOMBREMENT

SECTION 1

17

CHEZ FRANÇOIS

1. Chez François

Potages :

Voici les tables d’hôte du restaurant Chez François, comprenant un potage, une entrée, un plat principal, une salade et un dessert. Combien de repas différents peux-tu composer à partir de ce menu ?

• légumes • chou-fleur • asperges • maison

Entrées : Escargots • Avocat farci au crabe • Saumon fumé

En considérant qu’aucun numéro ne peut commencer par 0 ou 1, combien peut-on former de numéros de téléphone : a) différents composés de sept chiffres ? b) composés de sept chiffres différents ?

5. De plus en plus petit Un nombre est dit « décroissant » si chaque chiffre qui le compose est plus petit que le chiffre qui le précède. a) Combien existe-t-il de nombres décroissants de 3 chiffres, inférieurs à 500 ? b) Combien existe-t-il de nombres décroissants de 4 chiffres, inférieurs à 6000 ?

18

CHAPITRE 5

LA PROBABILITÉ

Salades : • César • chef • jardinière

Le tout ( un choix par catégorie )

29, 95 $ 2. Nombre de numéros

Plats principaux : • Canard à l’orange • Truite arc-en-ciel • Homard frais • Filet mignon

Desserts : • Gâteau au chocolat • Poire au vin • Tarte au sucre • Bananes nappées de chocolat

3. Dépendantes ? Ça dépend… Dans une école, il y a deux classes de finissants. Il faut choisir deux finissants pour animer le gala de fin d’année. Les étapes sont-elles dépendantes ou indépendantes compte tenu des contraintes suivantes ? a) Les deux élèves doivent provenir de deux classes différentes. b) Les deux élèves doivent provenir de la même classe.

4. Choix multiples Dans une école secondaire (premier et deuxième cycle), tous les élèves doivent participer à deux activités pendant l’étape : une activité communautaire et une activité sportive. Il y a 12 choix d’activités communautaires et 10 choix d’activités sportives. Combien y a-t-il de combinaisons différentes si on tient compte du cycle scolaire en plus des deux activités ?

6. Le conseil d’élèves Dans une école secondaire qui compte sept classes, Jérôme, Antoine, William, Karine, Lisa, Émilie et Chen ont été élus au conseil d’élèves. À la première rencontre des membres du conseil, il faut déterminer qui assurera la présidence, la vice-présidence et le secrétariat. Combien y a-t-il de combinaisons possibles pour l’occupation de ces trois postes ?

1. Prises au hasard

2. Multiples trios

Détermine si les situations suivantes : • sont attribuables uniquement au hasard ; • sont attribuables en partie au hasard ; • ne sont pas du tout attribuables au hasard.

Un couple a trois enfants. On considère le sexe des enfants. a) Trace un diagramme en arbre pour illustrer tous les résultats possibles. b) Écris l’ensemble Ω des combinaisons possibles du sexe des trois enfants.

a) L’ordre dans lequel les élèves sont placés pour prendre une photo de groupe b) Obtenir une carte de trèfle en pigeant une carte d’un jeu de cartes c) La mesure d’un troisième angle dans un triangle dont deux angles mesurent 40° et 60° d) La couleur de tes yeux e) Obtenir une consonne en pigeant une lettre parmi B, C, D, F, G, H et J f ) Obtenir un 2 en lançant un dé

4. La recette parfaite Dans leur quête de la perfection, plusieurs athlètes de haut niveau font appel à des psychologues du sport pour les aider à gérer leur stress et à optimiser leurs performances. Des recherches en psychologie du sport ont révélé cinq éléments importants pour une ou un athlète. Lors de la première rencontre entre un athlète et son psychologue, ce dernier lui présente ces cinq éléments, qu’il a schématisés avec un pentagone régulier composé de cinq triangles. Le psychologue propose à l'athlète un programme progressif visant à améliorer ces éléments. Dans le schéma, il a représenté en vert les éléments ciblés, sur lesquels l’athlète doit d’abord se concentrer. a) Si chacun des triangles peut être soit vert, soit bleu, combien de combinaisons de couleurs différentes le pentagone pourrait-il avoir ? Un autre psychologue dresse une liste de huit facteurs. Il les représente à l’aide d’un de bonnes octogone régulier selon le même principe. l’équilibre habitudes b) Dans ce cas, combien émotionnel alimentaires et de sommeil de combinaisons différentes de couleurs pourrait-il y avoir ? une bonne la motivation concentration c) Écris une expression qui permet de calculer le nombre la faculté de représentations possibles d’apprendre pour un polygone à n côtés. et de s’adapter

3. Trios hawaïens L’alphabet hawaïen contient 12 lettres (A, E, I, O, U, H, K, L, M, N, P et W). Combien de mots (réels ou fictifs) de trois lettres peux-tu former à partir de ces lettres avec au moins une voyelle au centre ?

5. Le cadenas Pierre-Luc a oublié la combinaison à quatre chiffres de son cadenas. a) Combien y a-t-il de combinaisons possibles pour ce cadenas ? b) Si Pierre-Luc se souvient des chiffres (5-8-2-3), mais pas de l’ordre, quel est le nombre maximal de combinaisons différentes qu’il devra essayer avant de réussir à ouvrir le cadenas ?

BRIC À MATHS

SECTION 1

19

6. Du pareil au même ?

7. Pas possible ! Écris l’ensemble Ω associé à chacune des expériences aléatoires suivantes.

a) De combien de façons différentes peut-on : choisir trois personnes parmi un groupe de cinq ? 2) attribuer trois prix différents à trois personnes parmi un groupe de cinq ? b) Y a-t-il une différence entre ta réponse à la question 1 et celle à la question 2 ? Si oui, explique-la. 1)

a) Demander, à une personne choisie au hasard, sa pointure de souliers. b) Tourner l’aiguille du disque ci-contre en considérant la couleur. c) Demander l’âge d’un élève choisi au hasard dans ton école. d) Sans regarder, prendre une boule dans un bocal contenant 3 boules jaunes, 5 boules bleues et 6 boules vertes.

8. La relativité de l’univers Écris l’ensemble Ω associé aux situations suivantes. a) Tourner l’aiguille du disque ci-contre 6 en considérant :

9. « Noël a trop par rapport à Léon »

la couleur ; 2) le nombre ; 3) le nombre et la couleur. 1)

Combien y a-t-il de nombres palindromes : a) à 3 chiffres ? b) à 4 chiffres ? c) à 5 chiffres ?

b) Piger une carte dans un jeu de cartes en notant : 1) la couleur ; 2) la sorte ;

2

4

4

2 6

3)

8

10

le nombre.

Question de

Nombre palindrome : Nombre dont l’ordre des chiffres peut être inversé sans le changer (ex. : 474). Mot qui provient du grec palin : en arrière, et dromos : course.

20

CHAPITRE 5

culture

ENGAGE LE JEU QUE JE LE GAGNE Les palindromes n’existent pas que dans les nombres. Les mots peuvent aussi en former, comme « radar » ou « kayak ». Certaines expressions peuvent aussi prendre la forme de palindromes, comme « engage le jeu que je le gagne » ou « élu par cette crapule ». Le plus long palindrome de langue française est celui de l’auteur français Georges Perec (1936-1982). Son œuvre, Le grand palindrome, contient 1247 mots ou encore 5566 lettres. Georges Perec est connu pour ses exploits en littérature. Par exemple, on lui doit un roman, La disparition, écrit sans utiliser la lettre e, puis la suite de ce livre, Les revenentes, dans lequel on ne retrouve que la voyelle e. Il était aussi un grand créateur de mots croisés.

LA PROBABILITÉ

10. Salut ! Combien de combinaisons différentes est-il possible d’obtenir avec les lettres du mot SALUT si les mots (fictifs ou réels) doivent respecter les contraintes suivantes ? a) Les mots doivent avoir cinq lettres. b) Les mots doivent avoir cinq lettres différentes. c) Les mots doivent avoir trois lettres. d) Les mots doivent avoir trois lettres différentes.

Le calcul d’une probabilité La section précédente t’a permis de découvrir des méthodes pour énumérer et dénombrer les résultats possibles d’une expérience aléatoire. Ce sont des étapes primordiales pour déterminer la probabilité associée à un résultat d’une expérience aléatoire.

Probabilité : Nombre qui quantifie les chances qu’un résultat se réalise. Mot qui vient du latin probare : prouver, ou tester. Le mot « probable » signifie « qui peut se produire ».

2.1

Un événement À partir de l’univers des possibles (Ω) d’une expérience aléatoire, on peut former des sous-ensembles contenant un certain nombre de résultats. Ces sous-ensembles portent le nom d’événements. Par exemple, en pigeant une carte d’un jeu de cartes, 52 résultats sont possibles. L’événement {Piger une carte rouge} est composé de 26 résultats parmi les 52. A

Dans un jeu de cartes, combien de résultats comprend l’événement suivant ? 1) {Piger un cinq} 2) {Piger une figure}

B

Dans le même contexte, donne un exemple d’un événement composé de : 1) 8 résultats ; 2) 13 résultats.

Marielle place 24 boules numérotées de 1 à 24 dans un boulier. Elle effectue l’expérience aléatoire qui consiste à laisser sortir une boule du boulier après qu’elles ont été brassées. 1. Décris Ω pour cette expérience. 2. Quels résultats forment l’événement {Obtenir un nombre pair} ? 3. Combien y a-t-il de résultats associés à l’événement {Obtenir un multiple de 5} ? 4. Pour cette expérience aléatoire, décris un événement formé de : a) 6 résultats ; c) 0 résultat ; b) 11 résultats ; d) 24 résultats. 5. Associe, à chaque réponse de la question 4, l’un des mots suivants : impossible, probable ou certain.

LE CALCUL D’UNE PROBABILITÉ

SECTION 2

21

Les types d’événements Un événement est un sous-ensemble de Ω. Ce sous-ensemble peut ne contenir aucun des résultats de Ω, comme il peut être constitué de un des résultats, de quelques-uns des résultats ou de tous les résultats de Ω. Selon le cas, on associe à l’événement un des termes suivants : élémentaire, impossible, certain ou probable. REMARQUE

On nomme l’événement à l’aide d’une lettre majuscule et on décrit l’événement entre accolades. Les diagrammes qui servent à illustrer les types d’événements sont des diagrammes de Venn. Soit l’expérience aléatoire qui consiste à lancer un dé et à noter le nombre obtenu. Les résultats possibles sont Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Événement élémentaire Événement qui comprend seulement un résultat de l’ensemble Ω.

Ω 2 6 3

Exemple : A = {Obtenir un 4} = {4} Événement impossible Événement qui ne comprend aucun résultat de l’ensemble Ω.

A 4

1 5

Ω 2 6

B 4

3

Exemple : B = {Obtenir un 7} = { }

7

1 5

REMARQUE

On appelle { } ensemble vide. Événement certain Événement qui comprend tous les résultats de l’ensemble Ω.

Ω 2 6

C 4

3

1 5

Exemple : C = {Obtenir un nombre inférieur à 8} = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Événement probable Événement qui comprend au moins un résultat de l’ensemble Ω.

Ω

Exemple : D = {Obtenir un nombre pair} = {2, 4, 6}

22

CHAPITRE 5

C

Trouve un autre événement associé au lancer d’un dé.

D

Soit l’expérience qui consiste à pointer au hasard une journée du mois d’avril dans un calendrier. Trouve un événement associé à cette expérience qui est : 1) élémentaire ; 3) certain ; 2) impossible ; 4) probable.

LA PROBABILITÉ

2 6 3

D 4

1 5

L’Action ! qui suit te permettra de faire le lien entre un événement et des résultats.

Voici un jeu qui se joue à plusieurs où chaque personne doit d’abord placer, à son gré, 11 jetons sur la planche de jeu (il est possible de placer plus d’un jeton sur une même case). La première personne à enlever tous ses jetons de la planche de jeu gagne la partie. Règles du jeu • À ton tour, lance deux dés. Calcule la somme des nombres obtenus. • Ceux qui ont un ou plusieurs jetons sur la case de la planche correspondant à cette somme doivent enlever un jeton de cette case. • S’il n’y a pas de jeton sur la case en question, il ne se passe rien. • Le jeu se termine quand une personne n’a plus de jetons sur la planche.

Pour un jeu de hasard, même la meilleure des stratégies ne peut garantir une victoire.

1. Élabore la meilleure stratégie, selon toi, pour augmenter tes chances de gagner au jeu de dés. 2. Construis une grille pour représenter tous les résultats possibles pour un lancer de deux dés. 3. Combien de résultats compte l’univers des possibles (Ω) ? 4. Décris tous les événements possibles pour la somme de deux dés dans ce contexte.

5. Détermine le nombre de résultats associés à chaque événement possible de la question précédente. 6. Est-ce que les réponses à la question Si oui, comment ?

t’incitent à modifier ta stratégie ?

7. Pour l’expérience qui consiste à lancer deux dés et à noter la somme, donne un exemple d’un événement : a) élémentaire ; c) certain ; b) impossible ; d) probable.

LE CALCUL D’UNE PROBABILITÉ

SECTION 2

23

1. De A à Z

2. Faire l’événement

Un bocal contient des jetons sur lesquels sont inscrits les 26 lettres de l’alphabet. Considère l’expérience aléatoire qui consiste à piger un jeton sans regarder. a) Décris Ω. b) Quels résultats forment l’événement {Obtenir une voyelle} ? c) Quels résultats forment l’événement {Obtenir une consonne de ton prénom} ? d) Quels résultats forment l’événement {Obtenir une lettre du mot « commission »} ?

Dans une tirelire, on a déposé des pièces de monnaie allant de 0,01 $ à 2 $. Soit l’expérience aléatoire qui consiste à faire sortir une seule pièce de la tirelire par l’ouverture du dessous. On considère la valeur de la pièce qui sort de la tirelire. a) Combien de résultats compte l’ensemble des possibles Ω ? b) Trouve un événement qui peut être formé des résultats suivants. 1) {0,01 ; 0,10 ; 1}; 2) {0,05 ; 0,10 ; 0,25 ; 2}. c) Donne un exemple d’un événement : 1) élémentaire ; 2) impossible ;

3)

certain.

d) Compare tes réponses avec celles d’une ou d’un camarade.

3. Arbre généalogique Une famille compte quatre enfants. Décris cinq événements probables différents qu’il est possible de former en considérant le sexe de ces enfants.

4. Possibili-dés Dans un jeu de société, tu dois rouler au choix un ou deux dés et obtenir une somme de 6 pour commencer à jouer. a) Quel est l’événement souhaité dans la situation ? b) Quels résultats forment cet événement : 1) pour le lancer d’un dé ? 2)

pour le lancer de deux dés ?

c) Serait-il préférable de choisir un ou deux dés ? Explique ta réponse. d) S’il fallait obtenir une somme de 2, que choisirais-tu ? Explique ta réponse.

5. Bravo René ! Claude et René disputent cinq parties de billard. Le vainqueur sera celui des deux qui emportera le plus de parties. Combien de résultats sont associés à l’événement {René est le vainqueur} ?

24

CHAPITRE 5

LA PROBABILITÉ

2.2

La probabilité théorique Dans une expérience aléatoire, on peut souvent estimer la probabilité qu’un événement se produise. Dans le langage courant, plusieurs mots servent d’ailleurs à exprimer ce genre d’estimation : rare, surprenant, probable, exceptionnel, certain, attendu, étonnant, etc. A

Trouve d’autres mots qui peuvent avoir une interprétation probabiliste.

Voici plusieurs événements associés à des expériences aléatoires. Obtenir un nombre pair en lançant un dé.

Obtenir B12 comme première boule au Bingo.

Tirer l’as de pique d’un jeu de cartes.

Échapper une punaise par terre et qu’elle tombe avec la pointe vers le haut.

Obtenir la couleur rouge avec la roulette ci-contre.

Gagner le gros lot à la loterie.

Obtenir un 7 en lançant un dé.

Tirer une figure d’un jeu de cartes.

Se casser une jambe en faisant de la planche à neige.

Atteindre le bleu en lançant une fléchette sur la cible carrée ci-dessous.

B

Utilise des mots du langage courant pour décrire la probabilité que chaque événement se réalise.

C

Ordonne ces événements, de celui qui a le moins de chances de se réaliser à celui qui a le plus de chances de se réaliser, selon toi.

D

Comment as-tu procédé pour ordonner ces événements ?

Il y a deux interventions possibles pour votre condition. Les complications sont peu courantes pour la première et elles sont inhabituelles pour la seconde.

Beaucoup de mots permettent de décrire la probabilité qu’un événement se produise. Cependant, ces mots peuvent être interprétés différemment selon les personnes. Il est donc souvent préférable de quantifier la probabilité associée à un événement, plutôt que de la qualifier, surtout si cette information doit servir à prendre des décisions importantes.

LE CALCUL D’UNE PROBABILITÉ

SECTION 2

25

La théorie des probabilités n’est que le bon sens confirmé par le calcul. ≤≥ PIERRE SIMON LAPLACE, 1796

E

Si possible, pour chacun des 10 événements de la page précédente, détermine : 1) le nombre de résultats qui constituent l’événement ; 2) le nombre de résultats possibles de l’expérience aléatoire.

La probabilité théorique La probabilité théorique associée à un événement A d’une expérience aléatoire est un nombre compris entre 0 et 1 qui se note P(A) et se calcule comme suit : P(A) = REMARQUES

nombre de cas favorables nombre de cas possibles

• Les cas favorables sont les résultats qui forment l’événement. • Si P(A) = 0, l’événement est impossible. • Si P(A) = 1, l’événement est certain. Exemple : Un bocal contient trois boules vertes, deux boules rouges et quatre boules jaunes. La probabilité de l’événement R = {Tirer une boule rouge} se calcule comme suit : P(R) =

nombre de boules rouges = 2 9 ≈ 22,2 % nombre total de boules

STRATÉGIE Il est utile de reformuler certains problèmes pour y faire apparaître le concept de pourcentage et ainsi obtenir une autre vision de la tâche à accomplir. Ainsi, calculer la probabilité de tirer une boule rouge revient à déterminer le pourcentage de boules du bocal qui sont rouges.

Le travail fait dans la section 1 t’a permis de dénombrer les cas possibles d’une expérience aléatoire. Les processus liés au dénombrement vont servir à déterminer le dénominateur dans le calcul d’une probabilité.

1. Soit l’expérience aléatoire qui consiste à prendre une boule, sans regarder, dans le bocal ci-dessous. Il y a quatre événements possibles. B = {Tirer une boule bleue} J = {Tirer une boule jaune}

Détermine : a) P(B) ;

b) P(R) ;

R = {Tirer une boule rouge} V = {Tirer une boule verte}

c) P(J) ;

d) P(V).

2. Calcule la somme des probabilités obtenues à la question 1. 3. Quelle est la probabilité de tirer une boule qui n’est pas jaune ? 4. Pour cette expérience, décris un événement A qui est : a) élémentaire ; b) impossible ; c) certain.

26

CHAPITRE 5

LA PROBABILITÉ

L’addition des probabilités Les résultats possibles de l’expérience aléatoire « Tirer une carte d’un jeu de cartes » sont équiprobables. A

Donne un autre exemple d’une expérience aléatoire dont les résultats sont équiprobables.

B

À la page 25, quels événements associés à des expériences aléatoires comportent des résultats équiprobables ?

C

Pour l’expérience qui consiste à tirer une carte d’un jeu de cartes, nomme les résultats qui composent l’événement {Tirer un 2}.

D

Quelle est la probabilité associée à chacun de ces résultats ?

E

Quelle est la relation entre la probabilité associée à l’événement {Tirer un 2} et la probabilité associée à chacun des résultats ?

Résultats équiprobables : Résultats d’une expérience aléatoire qui ont tous la même probabilité de se produire.

La règle de l’addition La probabilité qu’un événement E se produise, notée P(E), est égale à la somme des probabilités des résultats qui forment cet événement. Si l’événement E est formé des résultats A et B, on a : P(E) = P(A) + P(B) Exemple : Soit l’expérience aléatoire qui consiste à lancer un dé et l’événement B = {Obtenir un chiffre impair}. P(B) = P(1) + P(3) + P(5) = 1 + 1 + 1 = 3 = 1 = 50 % 6 6 6 6 2

1. Tourne-disque On considère l’expérience aléatoire qui consiste à tourner l’aiguille d’un disque. Les événements considérés sont les suivants. A = {Obtenir la couleur jaune}

B = {Obtenir la couleur bleue}

C = {Obtenir la couleur rouge}

En supposant que les aires qui paraissent isométriques le sont, calcule les probabilités des événements A, B et C pour chacun des disques ci-dessous. a)

b)

c)

d)

LE CALCUL D’UNE PROBABILITÉ

SECTION 2

27

2. Question de « visou » À un kiosque d’une foire, pour gagner un toutou, tu dois lancer une fléchette dans une des régions orange de la cible ci-dessous. En supposant que la fléchette atteint la région comprise à l’intérieur du rectangle noir, détermine la probabilité de gagner un toutou. Écris ta réponse sous la forme d’une somme.

3. Face de caribou Tes amis ont inventé un nouveau jeu qui consiste à choisir un nombre de pièces, à lancer ces pièces et à observer le résultat. Le jeu se joue avec des pièces de 0,01 $, 0,05 $, 0,10 $ et 0,25 $. Voici les cinq événements à considérer. A = {Obtenir le côté face} D = {Obtenir le bateau} B = {Obtenir la feuille d’érable} C = {Obtenir le castor}

E = {Obtenir le caribou}

Associe le groupe de probabilités données avec le bon agencement de pièces. a) P(A) = 12 1

P(B) = 8 1

P(C) = 8

b) P(C) = 0 1

P(D) = 4 P(E) = 0 1 2 1 P(D) = 6

c) P(A) =

4. Ça pique !

1 2 1 P(D) = 6

d) P(A) =

Soit l’expérience qui consiste à tirer une carte d’un jeu de cartes. Voici cinq événements possibles de l’expérience. {Tirer le 5 de pique}

P(C) = 0

e) P(B) = 0

{Tirer un roi}

P(C) = 0

{Tirer une carte rouge}

P(D) = 4

1

{Tirer une carte sur laquelle est inscrit un nombre pair} {Tirer une carte autre qu’une figure}

5. Le tirage de monsieur Lachance

a) Quels événements parmi les événements ci-dessus comprennent plus d’un résultat ?

Pour effectuer un tirage dans sa classe, monsieur Lachance met les noms de ses 32 élèves dans un chapeau. On considère deux événements : F = {Tirer un nom de fille} et G = {Tirer un nom de garçon}.

b) Détermine la probabilité que chaque événement se produise.

Détermine le nombre de garçons dans la classe si :

28

CHAPITRE 5

LA PROBABILITÉ

a) P(F) = 3 ; 8

b) P(G) = 3 ; 4

c) P(F) = 1.

2.3

La probabilité fréquentielle Dans la séquence précédente, tu as sans doute reconnu que dans certaines expériences, le raisonnement mathématique ne suffit pas pour déterminer la probabilité de l’événement. A

Y a-t-il des événements à la page 25 pour lesquels tu n’as pas réussi à déterminer la probabilité ? Si oui, lesquels et pourquoi ?

Lorsqu’on ne peut pas calculer la probabilité théorique qu’un événement se produise, on a souvent recours aux statistiques pour estimer la probabilité de l’événement. Par exemple, sur sa page web, une compagnie d’assurance met à la disposition du public un calculateur du coût d’une prime d’assurance-vie. Le tableau ci-dessous présente des primes calculées à l’aide de ce calculateur. Prime annuelle pour une assurance de 100 000 $ pour une personne née en 1969 Fumeurs

Non-fumeurs

Homme

273 $

154 $

Femme

207 $

129 $

B

Quels facteurs peuvent influencer le coût de la prime à payer ?

C

Selon toi, pourquoi y a t-il une si grande différence entre la prime annuelle pour une femme non fumeuse et un homme fumeur ?

D

Selon toi, comment procède-t-on pour fixer les primes à payer ?

On peut utiliser la fréquence associée à un événement pour estimer la probabilité qu’il se produise.

Question de

culture

L’ACTUARIAT La profession d’actuaire est directement liée aux mathématiques. Une ou un actuaire effectue en effet des calculs de probabilités à partir de données statistiques afin d’élaborer des politiques financières ou de guider des décisions d’ordre économique. Les calculs de l’actuaire servent, par exemple, à déterminer le montant des primes d’assurance-vie ou encore les sommes à verser dans une caisse de retraite, compte tenu de certains facteurs comme les taux d’intérêt prévus et l’espérance de vie des assurés ou des participants.

Fréquence : Le nombre de fois qu’un résultat se produit au cours de plusieurs expériences.

On voit bien que les compagnies d’assurance ont évalué l’effet négatif de la cigarette sur la santé !

LE CALCUL D’UNE PROBABILITÉ

SECTION 2

29

Cette probabilité porte aussi le nom de probabilité expérimentale.

La probabilité fréquentielle On peut estimer la probabilité d’un événement en comparant la fréquence à laquelle cet événement se produit avec le nombre de répétitions de l’expérience. Probabilité fréquentielle =

fréquence à laquelle l’événement se produit nombre de répétitions de l’expérience

Exemple : Une classe de 2e secondaire compte 24 droitiers et 4 gauchers. L’estimation basée sur ces statistiques de la probabilité qu’un élève de ta classe pris au hasard soit gaucher est :

ATTENTION L’estimation d’une probabilité à partir de statistiques sur une population (année, pays, personnes, etc.) est fiable uniquement si la population pour laquelle on estime la probabilité est semblable à celle pour laquelle on a obtenu les statistiques.

nombre d’élèves gauchers 4 = 1 ≈ 14,3 % = 28 7 nombre total d’élèves

E

Pour quel événement de la page 25 est-il nécessaire de recourir aux statistiques pour en estimer la probabilité ?

F

Essaie de trouver d’autres événements pour lesquels il faut recourir aux statistiques afin de leur associer une probabilité.

G

Pourquoi dit-on toujours « estimation » lorsqu’on fait référence à une probabilité fréquentielle ?

H

Selon toi, quels sont les facteurs qui influencent la fiabilité des probabilités découlant de statistiques ?

Les employés d’une entreprise désirent souscrire à une assurance-vie collective. Voici la répartition des employés en fonction du sexe et du statut de fumeur. Fumeurs

Non-fumeurs

Total

Hommes

38

76

114

Femmes

13

39

52

Total

51

115

166

1. Parmi les employés de cette entreprise, détermine la probabilité qu’une personne prise au hasard soit : a) une femme ; b) un homme fumeur ; c) une fumeuse ou un fumeur. 2. Selon l’étude de cette entreprise, détermine la probabilité : a) qu’une femme soit une fumeuse ; b) qu’une personne qui fume soit une femme. 3. Y a-t-il une différence entre les deux questions de 2 ? 4. Les probabilités calculées en 1 et 2 sont-elles des probabilités théoriques ou fréquentielles ? 5. Pourrait-on utiliser ces statistiques pour calculer des probabilités sur le sexe et le statut de fumeur pour une autre entreprise ? Si oui, à quelles conditions ?

30

CHAPITRE 5

LA PROBABILITÉ

1. Qui admires-tu ?

2. Le petit écran

Le diagramme circulaire ci-dessous présente, pour les filles canadiennes du secondaire, la distribution des réponses à la question « Choisissez la catégorie qui décrit le mieux une personne que vous admirez beaucoup », du questionnaire Recensement à l’école de Statistique Canada. a) Estime la probabilité qu’une fille prise au hasard dans ta classe admire une ou un athlète. b) Estime le nombre de filles de ta classe qui répondraient « membres de la famille » si on leur posait la même question.

Estime la probabilité qu’un garçon canadien de 15 ans pris au hasard écoute en moyenne, une journée de la fin de semaine :

Catégorie des personnes admirées par les filles du secondaire 2%

1%

4%

a) 3 heures de télévision ;

Membres de la famille

10 %

b) entre 2 et 5 heures de télévision.

Amis Athlètes 38 %

14 %

Musiciens ou chanteurs

Nombre d’heures en moyenne passées par jour à regarder la télévision la fin de semaine pour des garçons de 15 ans

Acteurs Enseignants

4%

Personnalités religieuses Entraîneurs ou chefs de groupe

Nombre de garçons

27 %

Le diagramme ci-dessous représente les réponses d’un échantillon de jeunes garçons canadiens de 15ans à la question : « En moyenne, combien d’heures par jour passes-tu à regarder la télévision dans ton temps libre, la fin de semaine ? »

SOURCE : STATISTIQUE CANADA

3. Non à l’intimidation

20

19

17

15 10

10

Selon des études, 10 % des élèves au Québec sont victimes d’actes d’intimidation au moins une fois par semaine.

5 4

a) Dans une école du Québec qui compte 1060 élèves, estime combien d’élèves sont victimes d’intimidation chaque semaine.

0

b) Qu’as-tu dû supposer pour pouvoir répondre à la question a ?

18

0

7

6

1 2

10

9

1

2

3

4

5

6 7 ou +

Nombre d’heures

SOURCE : STATISTIQUE CANADA

4. 4 = 80 % 5 Si on dit « Quatre dentistes sur cinq recommandent d’utiliser le dentifrice Frest », est-ce la même chose que de dire « 80 % des dentistes recommandent d’utiliser le dentifrice Frest » ? Explique ta réponse.

LE CALCUL D’UNE PROBABILITÉ

SECTION 2

31

2.4

L’estimation d’une probabilité par expérimentation Autrement dit, si on n’a pas de données statistiques, on peut en créer soi-même !

Il arrive que les données d’une expérience aléatoire n’existent pas ou ne soient pas accessibles. Dans ces cas, on peut parfois estimer la probabilité d’un résultat en réalisant l’expérience un grand nombre de fois et en notant la fréquence des résultats obtenus. A

Selon toi, pourquoi faut-il réaliser l’expérience un grand nombre de fois ?

B

Selon toi, est-ce toujours possible de « créer » des données ? Explique ta réponse.

La situation qui suit te permettra de vérifier si la réalité rejoint la théorie. Maya et Sara travaillent dans un magasin à rayons d’un centre commercial. Tous les jours, du lundi au vendredi, elles ont une pause de 20 minutes en même temps. Elles en profitent pour se rendre à la foire alimentaire et prendre un café qui coûte 1 $. Puisqu’il y a peu de places disponibles, elles ont fait une entente : chaque jour, avant de se rendre à la foire alimentaire, elles vont lancer une pièce de monnaie pour déterminer qui va acheter les cafés et qui va chercher une table. Si c’est face, Maya achète les cafés. Si c’est pile, Sara achète les cafés. Simuler : Imiter la réalité.

C

Simule une semaine de pauses. Remplis la première rangée d’un tableau semblable au tableau ci-dessous. Pour ce faire, lance une pièce de monnaie cinq fois et inscris pour chaque journée la première lettre du prénom de la fille qui paiera les cafés. Jour

Prix moyen payé

Semaine Lundi

Mardi

Mercredi

1 2 …

Tu peux aussi utiliser la suite de lancers que tu as réalisée dans la séquence 1.1.

32

CHAPITRE 5

D

Selon toi, s’agit-il d’une entente équitable ? Explique ta réponse.

E

À l’aide d’une pièce de monnaie, effectue 20 simulations d’une semaine de pauses. Remplis le tableau pour ces 20 semaines.

LA PROBABILITÉ

Jeudi

Vendredi

Maya

Sara

F

Essaie de trouver au moins une autre façon de simuler une semaine de pauses-café.

G

Calcule pour une semaine, cinq, dix et vingt semaines, le prix moyen payé par Maya et par Sara pour les cafés.

H

Pour chacune de ces périodes, quelle est la différence entre le prix moyen payé par chaque fille ?

I

Compare les différences de prix moyen pour chacune de ces périodes avec les résultats de tes camarades. Que remarques-tu ?

J

Est-ce que ton opinion par rapport à l’entente a changé ? Si oui, comment ?

K

Décris les conditions qui assurent qu’une entente comme celle-ci est équitable.

LES OUTILS DE SIMULATION Le recours à des outils technologiques peut grandement faciliter et accélérer le processus de simulation. On peut utiliser un tableur pour simuler un grand nombre d’essais. Voici les étapes pour générer de façon aléatoire les entiers 0 et 1. 1) Entrer la formule = ENT(2*ALEA ()) dans une cellule. 2) Coller la formule dans un nombre de cellules égal au nombre d’essais. De quelle façon les « 0 » et « 1 » peuvent-ils être utilisés pour simuler les lancers de la pièce de monnaie ?

Dans le cas d’une expérimentation, plus le nombre de répétitions de l’expérience est grand, plus il y a de chances que la probabilité fréquentielle s’approche de la probabilité théorique. Cette constatation porte le nom de loi des grands nombres.

Indique si on peut avoir recours à l’expérimentation pour estimer la probabilité : a) qu’un jeune de 16 ans obtienne un emploi d’été ; b) de se blesser en sautant en parachute ; c) qu’une famille de quatre enfants comprenne au moins trois fils ; d) qu’il neige en juillet à Victoriaville ; e) de répondre au hasard correctement à 60 % des questions vrai ou faux d’un questionnaire.

LE CALCUL D’UNE PROBABILITÉ

SECTION 2

33

1. Histoire de pêche Un pisciculteur possède un lac dans lequel les gens peuvent pêcher des truites. Pour faire de la publicité, il désire informer les gens des probabilités d’attraper une truite d’au moins 20 cm. Il te demande de l’aider. Comment pourrais-tu lui fournir cette probabilité ? Explique les étapes de ta démarche.

3. Effets secondaires Un médecin te prescrit un médicament et te dit : « Tu as 3 chances sur 5 d’avoir des effets secondaires ». a) S’agit-il d’une probabilité théorique ou fréquentielle ? b) Explique comment il a pu obtenir cette probabilité.

2. Théorique ou fréquentielle ? Voici plusieurs événements. Lancer quatre fois une pièce de monnaie et « obtenir 4 piles ». Se rendre à l’urgence et « se faire soigner par une femme médecin ». Pour une joueuse de basket-ball de ton école, « obtenir plus de 20 points dans un match ». Tirer cinq fois au tir au pigeon d’argile et « atteindre la cible 3 fois ». Pour ton joueur de hockey préféré, « marquer au moins un but dans son prochain match ». Lancer trois fois deux dés et « obtenir exactement un double six ». a) Pour chacun des événements ci-dessus, quel type de probabilité te semble la plus appropriée : théorique ou fréquentielle ? b) Si tu as choisi la probabilité fréquentielle, indique s’il est préférable d’utiliser la statistique ou l’expérimentation. c) D’après toi, qu’est-ce qui différencie les probabilités fréquentielles estimées à partir de statistiques de celles estimées par l’expérimentation ? d) Compare ton explication avec celle d’une ou d’un camarade.

4. Chèvre-olet Dans un jeu télévisé bien connu des années 1960 et 1970, une personne devait choisir l’une de trois portes. Derrière une des portes se trouvait une voiture. Derrière les deux autres portes se trouvaient deux chèvres. Une fois que la personne avait fait son choix, l’animateur lui montrait la chèvre qui se trouvait derrière une des deux portes non choisies sans lui montrer ce qui se trouvait derrière la porte de son choix. La personne avait alors la possibilité de modifier son choix. a) Imagine que tu participes à ce jeu. Est-ce que tu modifierais ton choix ? b) Émets une conjecture au sujet de la probabilité de gagner la voiture en conservant son choix initial. c) Décris une expérimentation qui pourrait te donner une indication quant à la validité de ta conjecture. d) Réalise l’expérimentation pour vérifier ta conjecture.

34

CHAPITRE 5

LA PROBABILITÉ

2.5

Produit des probabilités Tu as peut-être remarqué que jusqu’à maintenant, les expériences pour lesquelles tu as calculé des probabilités comportaient une seule étape.

Chapiteau 2

Chapiteau 3

Pour le labyrinthe de l’Exploration, qu’est-ce qui correspond à une étape ? Essaie de déterminer la probabilité qu’une personne au centre du labyrinthe emprunte le parcours qui mène au chapiteau 2. Comment as-tu procédé ? Pour un parcours donné, une personne doit d’abord choisir entre a portes, puis entre b portes. Quelle expression permet de calculer la probabilité associée à ce parcours ?

Chapiteau 1

Exploration

Chapiteau 4

La règle de la multiplication des probabilités La probabilité d’un événement d’une expérience aléatoire à plus d’une étape est égale au produit des probabilités de chacune de ses composantes. Exemple : Voici l’arbre de probabilités associé à l’expérience aléatoire qui consiste à lancer une pièce de monnaie puis à tourner la flèche de la roulette ci-contre. pièce roulette de monnaie 1 A P 1 2

1 2

F

(P, A)

1 6 B

(P, B)

C

(P, C)

1 A 2

(F, A)

1 6 B

(F, B)

1 3

C

C

résultat

2

1 3

B A

Arbre de probabilités : Diagramme en arbre sur lequel on inscrit la probabilité associée à chaque événement.

(F, C)

On considère les événements F = {Obtenir face} et B = {Obtenir B}. La probabilité d’obtenir face en lançant la pièce de monnaie ET d’obtenir B en tournant la flèche se note P(F ∩ B), qui se lit « probabilité de F et B » et se calcule de la façon suivante. P(F ∩ B) = P(F) • P(B) = 1 • 1 = 1 2 6 12

LE CALCUL D’UNE PROBABILITÉ

SECTION 2

35

Tant qu’à faire, je mets mes chaussures jaunes !

À la page 14 de la section précédente, tu as fait connaissance avec Denis le daltonien. Il a toujours le même emploi et vise maintenant un poste de cadre au sein de l’entreprise. Cependant, depuis quelque temps, il a l’impression de passer inaperçu. Il se rappelle qu’il recevait beaucoup plus d’attention avant de se convertir aux vêtements coordonnés. Un matin, il décide de revêtir ses anciens vêtements pour voir si les patrons le remarqueront. Il prend au hasard (à quoi bon s’attarder, il n’a aucune idée de leur couleur !) un pantalon parmi deux pantalons rouges et trois pantalons bleus, une chemise parmi une chemise jaune, quatre chemises bleues et deux chemises rouges. Puis il se dit : « Tant qu’à faire, je mets mes chaussures jaunes ! » Myriam a tracé un arbre de probabilités pour représenter les probabilités associées aux événements possibles de cette expérience aléatoire. Elle a nommé chaque événement par la première lettre de la couleur. pantalon

R

7 4 7 B 2 7 R

B

1 J 7 4 7 B 2 7 R

2 5

3 5

chemise 1 J

1. Combien d’agencements de couleurs différents sont possibles ? 2. Calcule la probabilité associée à chaque agencement de couleurs. 3. Soit l’événement M = {Prendre un pantalon et une chemise de la même couleur}. Quels sont les résultats de l’expérience qui composent l’événement M ?

ATTENTION

4. Détermine P(M). Comment as-tu procédé ?

Dans ce genre de contexte, il est fréquent de confondre « résultat » et « événement ». Par exemple, {Prendre un pantalon bleu} est considéré comme un événement qui comprend trois résultats.

5. Quelle est la probabilité que Denis prenne un pantalon et une chemise de couleurs différentes ?

36

CHAPITRE 5

6. Écris une expression mathématique qui permet de calculer la réponse à la question 5 à partir de la réponse à la question 4. A

Dans l’Action ! précédente, est-ce que le pantalon que Denis prend a une influence sur la chemise qu’il prend ? Explique ta réponse.

B

Comment peux-tu qualifier les étapes de l’expérience aléatoire qui consiste à prendre au hasard un pantalon et une chemise : sont-elles dépendantes ou indépendantes ?

C

Lorsque Myriam a inscrit les probabilités associées aux chemises dans son arbre de probabilités, a-t-elle tenu compte de l’événement associé aux pantalons, selon toi ?

LA PROBABILITÉ

Tirage avec ou sans remise Les événements des étapes qui composent une expérience aléatoire peuvent être soit dépendants, soit indépendants. Dans le premier cas, il faut calculer les probabilités des événements d’une étape en tenant compte de la nouvelle situation qui découle de l’étape précédente. Exemple : Soit l’expérience aléatoire qui consiste à prendre au hasard deux boules dans le même bocal. Voici les événements possibles. B = {Tirer une boule bleue}

V = {Tirer une boule verte}

Voici deux arbres de probabilités associés à cette expérience : le premier illustre un tirage avec remise et l’autre, un tirage sans remise. Tirage avec remise Boule 1

5 8

3 8

B

V

Boule 2 5 8

B P (B ∩ B) = 25

3 8

V P (B ∩ V) = 15

5 8

B P (V ∩ B) = 15

3 8

V P (V ∩ V) = 9

64

64

Il y a 8 × 8 = 64 résultats possibles.

64

64

Tirage sans remise Boule 1

5 8

3 8

B

V

Boule 2 4 7

B

3 7

V P (B ∩ V) = 15

P (B ∩ B) = 20 56

ATTENTION

56

5 7

B P (V ∩ B) = 15

2 7

V P (V ∩ V) = 6

Il y a 8 × 7 = 56 résultats possibles.

56

56

REMARQUE

Dans le tirage sans remise, au deuxième tirage, non seulement faut-il tenir compte du fait qu’il y a une boule de moins, mais il faut considérer quelle boule n’y est plus. D

Même si dans l’arbre de probabilités on présente les étapes d’une expérience aléatoire l’une après l’autre, il arrive parfois que cellesci se réalisent simultanément.

Si on prend au hasard deux boules en même temps dans un bocal, est-ce que ça correspond à un tirage avec ou sans remise ?

LE CALCUL D’UNE PROBABILITÉ

SECTION 2

37

Dans un paquet de bonbons assortis de la marque préférée de Nathalie, il y a toujours 4 bonbons rouges, 3 bonbons orange et 2 bonbons verts. Nathalie ouvre un nouveau paquet de bonbons et offre le premier bonbon à Steeve, puis le deuxième à Sébastien. 1. Trace l’arbre de probabilités associé aux couleurs des bonbons que Steeve et Sébastien ont reçus. 2. Quelle est la probabilité que Steeve reçoive un bonbon orange ? 3. Si Steeve a reçu un bonbon vert, quelle est la probabilité que Sébastien reçoive un bonbon rouge ? 4. Quelle est la probabilité que Steeve et Sébastien reçoivent tous deux un bonbon rouge ?

1. C’est le Bontemps de gagner ! À l’école secondaire Bontemps, il y a trois classes de 2e secondaire. À la fin de l’année, la direction fait tirer un prix dans chacune des classes. Dans la classe A, il y a 14 garçons et 18 filles. Dans la classe B, il y a 15 garçons et 17 filles. Dans la classe C, il y a 15 garçons et 15 filles. Détermine la probabilité :

5. Quelle est la probabilité que Steeve et Sébastien reçoivent des bonbons de la même couleur ? 6. Quelle est la probabilité qu’ils reçoivent des bonbons de couleurs différentes ? 7. Écris une expression mathématique qui permet de calculer la réponse de la question 6 à partir de la réponse de la question 5.

2. Noir et blanc Tu tires une bille de deux sacs contenant chacun quatre billes blanches et quatre billes noires. a) Quelle est la probabilité qu’au moins une des billes que tu tires soit noire ? b) Quelle est la probabilité qu’aucune des billes ne soit noire ? c) Écris une expression mathématique qui permet de calculer la réponse de la question b à partir de la réponse obtenue en a.

3. Couleurs primaires

a) que les trois personnes gagnantes soient du même sexe ;

Un tétraèdre régulier a une face bleue, une face rouge, une face verte et une face jaune.

b) qu’au moins deux filles gagnent ;

a) Si tu lances le tétraèdre deux fois, quelle est la probabilité qu’il cache deux fois la même couleur ?

c) qu’exactement une fille et deux garçons gagnent.

38

CHAPITRE 5

LA PROBABILITÉ

b) Y a-t-il une différence entre « lancer une fois deux tétraèdres identiques » et « lancer deux fois le même tétraèdre » ?

4. Chapeau chanceux

5. Proba-bille-ités

Dans un chapeau, on a mis les lettres de A à I et les chiffres de 0 à 9. On considère l’expérience aléatoire de piger au hasard deux symboles, sans remettre le premier dans le chapeau.

On place trois billes dans un sac, une noire et deux vertes. Une personne tire deux billes en secret et annonce que l’une d’elles est verte. Quelle est la probabilité que l’autre bille soit verte ?

Quelle est la probabilité de : a) piger une lettre d’abord et un chiffre ensuite ? b) piger une lettre et un chiffre ? c) piger deux lettres ? d) piger deux chiffres ? e) piger une voyelle et un multiple de 2 ? f ) piger deux multiples de 4 ?

2.6

La relation entre deux événements Dans une expérience aléatoire, on peut souvent définir plusieurs événements. Cette séquence va te permettre de reconnaître les relations possibles entre ces événements.

Charles, si samedi matin la météo prévoit du soleil OU une température supérieure à 20 °C, nous irons au parc Vivalo.

Charles et Charlotte ne se connaissent pas, mais tous les deux espèrent passer le samedi qui vient au parc aquatique Vivalo.

A

Quelles conditions la mère de Charles a-t-elle posées ?

B

Quelles conditions la mère de Charlotte a-t-elle posées ?

C

Explique la différence entre le mot ET et le mot OU dans les illustrations.

D

Qui, entre Charles et Charlotte, a le plus de chances de passer la journée de samedi au parc Vivalo ? Explique ta réponse.

E

Les conditions « du soleil » et « température supérieure à 20 °C » peuvent-elles se réaliser en même temps ?

F

Essaie de trouver deux conditions qui ne pourraient pas se réaliser en même temps.

Charlotte, si samedi matin la météo prévoit du soleil ET une température supérieure à 20 °C, nous irons au parc Vivalo.

LE CALCUL D’UNE PROBABILITÉ

SECTION 2

39

La relation entre deux événements indépendants Dans une expérience aléatoire, on peut établir plusieurs relations en comparant les résultats de deux événements indépendants. Selon la situation, deux événements seront compatibles, incompatibles ou complémentaires. Soit l’expérience qui consiste à lancer un dé et à noter le nombre obtenu. Les résultats possibles sont Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Donc, deux événements compatibles peuvent se réaliser en même temps.

Événements compatibles Événements qui ont au moins un résultat favorable en commun. Exemple :

Ω A

A = {Obtenir un nombre pair} = {2, 4, 6} B = {Obtenir un nombre inférieur à 3} = {1, 2}

B 6

REMARQUE

1

2 4

3

5

Dans le diagramme de Venn, la région commune aux deux ensembles comprend les résultats communs aux deux événements. Événements incompatibles Événements qui n’ont aucun résultat favorable en commun. Exemple :

Ω

B = {Obtenir un nombre inférieur à 3} = {1, 2} C = {Obtenir un nombre supérieur à 3} = {4, 5, 6}

B

C 1

3

Événements complémentaires Événements incompatibles qui, une fois réunis, donnent l’univers des possibles.

4 2

5

6

REMARQUE

L’événement complémentaire à un événement A est noté A′ (lire complément de A).

Ω

Exemple : E = {Obtenir un diviseur de 6} = {1, 2, 3, 6} E′ = {Obtenir un chiffre qui n’est pas un diviseur de 6} = {4, 5}

40

CHAPITRE 5

E 1

3

2

6

4 5

G

Les événements A = {Avoir du soleil} et B = {Avoir une température supérieure à 20 °C} sont-ils compatibles ou incompatibles ?

H

Dessine un diagramme de Venn et hachure la région ou les régions qui représentent la probabilité que : 1) l’événement A ET l’événement B se réalisent ; 2) l’événement A OU l’événement B se réalise.

I

Quel pourrait être l’événement complémentaire à : 1) l’événement A ? 2) l’événement B ?

LA PROBABILITÉ

1. Soit l’expérience aléatoire qui consiste à tirer une carte d’un jeu de cartes. Détermine si les événements décrits sont complémentaires, compatibles ou incompatibles. a) {Tirer un as} et {Tirer une carte de pique} b) {Tirer le trois de carreau} et {Tirer une carte de trèfle} c) {Tirer une figure} et {Tirer une dame} d) {Tirer une carte noire} et {Tirer une carte de cœur} e) {Tirer une carte noire} et {Tirer une carte rouge} 2. Soit l’expérience aléatoire qui consiste à lancer deux dés et à noter la somme. Donne un exemple de deux événements : a) compatibles ; b) incompatibles ; c) complémentaires.

La relation et la probabilité Tu as étudié la relation entre deux événements. Tu vas maintenant examiner le lien entre cette relation et les probabilités associées à ces événements. Pense à l’expérience qui consiste à tirer une carte d’un jeu de cartes. A

Quelle est la probabilité de tirer une dame ?

B

Quel est l’événement complémentaire à l’événement « Tirer une dame » ?

C

Quelle est la probabilité de l’événement décrit à la question B ?

D

Comment peux-tu obtenir la probabilité que tu as trouvée à la question C à partir de celle que tu as calculée à la question A ? Formule une conjecture.

E

Quelle est la probabilité de tirer une carte de cœur ?

F

Quelle est la probabilité de tirer la dame de cœur ?

G

Comment peux-tu obtenir la probabilité que tu as trouvée à la question F à partir des probabilités que tu as calculées aux questions A et E ? Formule une conjecture.

H

Quelle est la probabilité de tirer un dix OU une dame ?

I

Quelle est la probabilité de tirer une dame OU une carte de cœur ?

J

Comment peux-tu obtenir la probabilité que tu as trouvée à la question I à partir des probabilités que tu as calculées aux questions A et E ? Formule une conjecture.

K

Quelle différence observes-tu entre les calculs de probabilité pour la question H et ceux pour la question I ?

LE CALCUL D’UNE PROBABILITÉ

SECTION 2

41

Les probabilités d’événements complémentaires, compatibles et incompatibles Dans une expérience aléatoire qui présente des événements indépendants, le calcul des probabilités doit tenir compte du type de relation entre ces événements. Soit l’expérience aléatoire qui consiste à lancer un dé et à noter le résultat. Les résultats possibles sont Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Événements complémentaires Pour deux événements E et E′ complémentaires, la somme des probabilités est toujours 1 et se calcule de la façon suivante. P(E) + P(E′) = 1, donc P(E′) = 1 − P(E)

ATTENTION Dans tous les cas, la probabilité qu’un événement se produise correspond au rapport du nombre de cas favorables au nombre de cas possibles.

Exemple : Soit les événements E = {Obtenir un diviseur de 6} = {1, 2, 3, 6} E′ = {Obtenir un chiffre qui n’est pas un diviseur de 6} = {4, 5}

Ω E 1

3 4

2

P(E) + P(E′) = 4 + 2 = 6 =1 6 6 6

6

5

Événements compatibles Pour deux événements A et B compatibles, la probabilité que l’un ET l’autre se réalisent se note P(A ∩ B) et se calcule de la façon suivante. P(A ∩ B) = P(A) • P(B) Exemple : Soit les événements A = {Obtenir un nombre pair} = {2, 4, 6} ET B = {Obtenir un nombre inférieur à 3} = {1, 2}

Ω A

B 6

P(A ∩ B) = P(A) • P(B) 6 = 1 = 3 • 2 = 36 6 6 6

2

1

4

3

5

Événements compatibles ou incompatibles Pour deux événements A et B compatibles ou incompatibles, la probabilité que l’un OU l’autre se réalise se note P(A ∪ B) et se calcule de la façon suivante. On doit soustraire l’intersection (A ∩ B). Sinon, elle sera comptée deux fois.

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) Exemple : Soit les événements A = {Obtenir un nombre pair} = {2, 4, 6} OU B = {Obtenir un nombre inférieur à 3} = {1, 2} P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) 1 = 3 + 2 − = 4 =2 6 6 6 6 3

42

CHAPITRE 5

LA PROBABILITÉ

Ω A

B 6

3

2

1

4 5

Justin place 20 boules numérotées de 1 à 20 dans un boulier. Il fait tomber une boule au hasard. 1. Donne un exemple d’événements : a) compatibles ;

b) incompatibles ;

c) complémentaires.

2. Détermine la probabilité que le nombre obtenu : a) soit un multiple de 2 ; b) soit un multiple de 9 ; c) ne soit pas un multiple de 2 ; d) soit à la fois un multiple de 2 et un multiple de 9 ; e) soit un multiple de 2 ou un multiple de 9.

1. Envers ou côté

2. Le prime

Si on échappe un verre de carton comme celui-ci, il pourra s’immobiliser dans l’une de ces deux positions.

Pour chacun des événements, décris l’événement complémentaire.

Si la probabilité qu’il s’immobilise sur son côté est a, quelle est la probabilité qu’il s’immobilise à l’envers ?

a) {Piger une voyelle au scrabble} b) {Avoir plus de 15 ans} c) {N’avoir que des filles comme enfants}

3. Jeunes victimes Ce tableau contient des statistiques de la SAAQ sur la répartition selon l’âge des victimes d’accidents de la route.

Nombre de victimes d’accidents de la route au Québec, selon le groupe d’âge, 2004 Âge (années)

Nombre de victimes

0 à 14

24

15 à 24

162

25 à 34

108

35 à 44

89

45 à 54

84

c) Quelle est la somme des probabilités estimées aux points 3 et 4 ?

55 à 64

62

d) Donne une explication pour le résultat que tu obtiens à la question c.

65 à 74

44

75 ou +

61

a) Pour cette situation, à quoi correspond le nombre de répétitions de l’expérience ? b) Utilise ces données pour estimer la probabilité qu’une victime d’un accident de la route ait : 1) moins de 15 ans ; 3) moins de 55 ans ; 2) entre 35 et 44 ans ; 4) 55 ans et plus.

SOURCE : SAAQ

LE CALCUL D’UNE PROBABILITÉ

SECTION 2

43

4. Doubles dés

5. Chaussettes trouées

Dans le tableau ci-dessous, on a décrit des événements de l’expérience aléatoire qui consiste à lancer deux dés.

Le tiroir contenant les chaussettes de François est en désordre : on y trouve 9 chaussettes noires, 3 paires de chaussettes bleues et 3 paires de chaussettes blanches. Parmi ces chaussettes, certaines sont trouées : 2 noires, 1 bleue et 3 blanches.

a) Associe des événements incompatibles.

François s’habille dans la salle de bains pour ne pas réveiller son frère. Il s’aperçoit que la veille, il a pris seulement une chaussette noire non trouée. Il retourne dans la chambre. Dans l’obscurité, il retire une chaussette du tiroir. Calcule la probabilité que :

b) Associe des événements complémentaires.

{Obtenir un doublé}

{Obtenir un produit supérieur ou égal à 2}

a) la chaussette soit noire ; b) la chaussette soit trouée ; c) la chaussette ne soit pas noire ; d) la chaussette soit noire et trouée ; e) la chaussette soit noire et non trouée ; f ) la chaussette soit blanche ou trouée ;

{Obtenir un seul 4}

{Obtenir une somme de 2}

{Obtenir une somme de 6}

g) la chaussette ne convienne pas, soit parce qu’elle n’est pas noire ou parce qu’elle est trouée.

6. Sur les buts Clara, Maude et Audrey sont les trois prochaines joueuses au bâton pour l’équipe des Astrals. Les statistiques des trois joueuses pour les présences sur les buts sont données dans le tableau suivant. Joueuses

{Obtenir deux nombres différents}

Apparitions au bâton Présences sur les buts

Clara T.

72

24

Maude G.

68

17

Audrey N.

72

27

a) Trace l’arbre qui représente les probabilités de présence sur les buts pour les trois joueuses. b) Calcule la probabilité : 1) qu’au moins une des trois joueuses se rende sur les buts ; 2) que seulement une des joueuses se rende sur les buts ; 3) que les trois joueuses se rendent sur les buts ; 4) qu’aucune des trois joueuses ne se rende sur les buts. c) Pour la question b, considère les événements deux à deux et décris pour chaque paire d’événements la relation qui existe entre les deux.

44

CHAPITRE 5

LA PROBABILITÉ

1. Trois jetons

2. Pour vrai ?

Une expérience aléatoire consiste à lancer les trois jetons suivants et noter les triplets obtenus. Voici la description des jetons.

Indique si chacun des énoncés qui suivent est vrai ou faux. a) On peut représenter à l’aide d’une grille les résultats possibles au jeu de Bingo. b) Une situation dans laquelle le hasard intervient est appelée une expérience aléatoire. c) Pour le lancer de deux dés, il y a 2 × 6 = 12 résultats possibles. d) Si on pige deux cartes en même temps d’un jeu de cartes, les étapes de l’expérience sont dépendantes. e) Pour le lancer de deux pièces de monnaie, l’événement complémentaire à {Obtenir deux faces} est {Obtenir deux piles}.

Jeton

1

un côté marqué d’un carré et l’autre d’un cercle

Jeton

2

les deux côtés sont marqués d’un triangle

Jeton

3

un côté marqué d’un carré et l’autre d’un triangle

a) Définis l’univers des possibles pour cette expérience. b) Détermine la probabilité d’obtenir : 1) (carré, triangle, carré) ; 3) un seul triangle ; 2) un seul cercle ; 4) au moins un carré.

3. Activités incendiaires Au Québec, la SOPFEU (Société de protection des forêts contre le feu) tient des statistiques sur les incendies de forêt. Le diagramme ci-dessous présente des données sur les causes des incendies. a) À partir de ces statistiques, estime la probabilité que l’activité humaine soit la cause du prochain incendie de forêt au Québec. b) Selon toi, la probabilité calculée à partir des données de 5 années devrait-elle être plus ou moins fiable que celle calculée à partir uniquement des données de la plus récente année ? Explique ta réponse. Nombre d’incendies de forêt selon la cause, Québec, 2001 à 2005 foudre chemin de fer 24 %

opérations forestières

35 %

opérations industrielles incendiaires

23 % 2% 4%

6%

6%

résidants récréation

SOURCE : SOPFEU

BRIC À MATHS

SECTION 2

45

4. La fête

5. Toute une tâche

Détermine la probabilité que : a) la fête de l’Halloween soit le 31 octobre l’année prochaine ; b) ta fête soit une journée de la semaine qui ne se termine pas par une voyelle.

Isabelle, Carla, Xavier et Sonia préparent le spectacle de fin d’année à leur école. Ils doivent se répartir quelques tâches et s’entendent pour laisser le hasard décider. Suppose qu’ils aient 3 tâches à attribuer et qu’ils ne remettent pas le nom de la personne pigée dans le bocal. a) Quelle est la probabilité qu’un nom de fille soit pigé pour la première tâche ? b) Quelle est la probabilité qu’un nom de fille soit pigé pour la première tâche et qu’un nom de garçon soit pigé pour la deuxième ? c) Quelle est la probabilité que 3 noms de filles soient pigés pour les 3 tâches ?

6. BLT Patricia veut se faire un sandwich pour dîner. Elle a à sa disposition du fromage, du bacon, de la laitue et des tranches de tomates. a) Combien de variétés de sandwichs peut-elle faire en choisissant trois ingrédients parmi les quatre ? b) De combien de façons différentes peut-elle disposer trois ingrédients parmi les quatre dans son sandwich ?

Suppose maintenant qu’ils aient 5 tâches à distribuer et que, pour cette raison, ils décident de remettre le nom pigé dans le bocal après chaque tour. d) Quelle est la probabilité qu’Isabelle doive faire les 5 tâches ? e) Quelle est la probabilité que les 4 premières tâches soient accomplies par un garçon ? f ) Quelle est la probabilité que Carla fasse uniquement les deux premières tâches ?

7. Numéro d’identification personnel Trois banques proposent d’avoir une carte pour accéder aux comptes bancaires à l’aide du guichet automatique. Cependant, pour utiliser la carte, il faut avoir un numéro d’identification personnel (NIP). Voici ce que demandent les banques. Banque

Nbre de chiffres du NIP

Banque Régionale

Choix de 4 chiffres

Banque CIBG

Choix de 5 chiffres

Banque Loyale

Choix de 6 chiffres

a) Combien de NIP sont possibles pour chacune des banques ? b) Selon toi, quel est l’avantage pour une banque de proposer un NIP de 4 chiffres ? c) Selon toi, quel est l’avantage pour une banque de proposer un NIP de 6 chiffres ? d) Lorsqu’on se trompe trois fois en composant un NIP, le système informatique conserve la carte. Pour chacune des banques, quelle est la probabilité qu’un voleur réussisse à composer au hasard le bon NIP en trois essais ?

46

CHAPITRE 5

LA PROBABILITÉ

8. Fléchettes et hasard Soit l’expérience aléatoire qui consiste à lancer des fléchettes au hasard sur une cible. On considère la somme des points et les événements suivants. A = {Obtenir 10 points} B = {Obtenir 25 points}

C = {Obtenir 50 points} D = {Obtenir 300 points}

En supposant que toutes les fléchettes atteignent la cible, et que les aires qui paraissent isométriques le sont, calcule les probabilités des événements A, B, C et D pour chacune des cibles ci-dessous : a) en tirant un seul dard ; c) en tirant 3 dards. b) en tirant 2 dards ; 5 300

10

10 25

50

25

10

50

25

100

50

100

50

25

100 50

300

50

10 50

100

100

25

25

9. Donner le feu vert Un feu de circulation est rouge pendant 50 secondes, vert pendant 30 secondes et jaune pendant 5 secondes. a) Quelle est la probabilité que ce feu soit vert pour une voiture qui arrive à cette intersection à une heure aléatoire ? b) Quelle est la probabilité qu’il faille attendre plus de 5 secondes pour le feu vert ?

10

10. Pour un environnement propre On organise un spectacle pour ramasser des fonds pour un organisme de préservation de l’environnement. Trois chanteurs, deux danseurs et quatre humoristes participent à l’événement. Un organisateur propose de présenter le spectacle en trois blocs. Les chanteurs ensemble, les danseurs ensemble et les humoristes ensemble. Un organisateur propose plutôt d’alterner les candidats pour ne pas que, par exemple, deux chanteurs passent l’un à la suite de l’autre. Un troisième organisateur suggère de tirer au hasard l’ordre de présentation des artistes. a) D’après toi, est-ce qu’il y aura autant de combinaisons possibles dans les trois cas ?

11. Novembre en Estrie, c’est gris En novembre, à Sherbrooke, le mercure descend en moyenne en dessous de la barre des 0 degrés pendant 360 heures. Il y a aussi en moyenne 125 heures de précipitations lors de ce mois. Quelle est la probabilité qu’il neige en novembre à Sherbrooke ? Explique ta démarche.

b) Quelle est la probabilité que le spectacle débute en chant dans les trois cas ? c) Quelle est la probabilité que le spectacle débute en humour dans les trois cas ?

BRIC À MATHS

SECTION 2

47

12. Le labyrinthe

13. Par hasard

Après tout le travail de calcul de probabilités que tu as réalisé, c’est maintenant à ton tour de construire un labyrinthe.

Quelles situations parmi les suivantes : a) sont attribuables uniquement au hasard ?

Celui-ci doit comprendre deux chapiteaux. Les probabilités associées à chacun des 5 7 chapiteaux doivent être 12 et 12 .

Exploration Calcule la probabilité associée à chacun des chapiteaux dans le labyrinthe de l’Exploration.

b) sont attribuables en partie au hasard ? c) ne sont pas du tout attribuables au hasard ? Déjeuner à 7 h 30 le matin Obtenir 3 en lançant un dé Piger le nom d’une personne dans un bocal Répondre à une question à choix multiple dans un examen Avoir les cheveux roux naturellement

15. Les p’tits bouts de choux

On place neuf balles numérotées de 1 à 9 dans un sac. Lucie pige 2 balles au hasard, sans les remettre après. Quelle est la probabilité que la somme des nombres sur les 2 balles pigées soit un nombre impair ?

Dans une garderie, on a noté le mois de naissance de chaque enfant. a) Quelle est la probabilité que le premier enfant que tu rencontres dans cette garderie soit né le même mois que toi ? Exprime cette probabilité en pourcentage. b) Si tu animes un atelier pour 5 enfants de cette garderie, quelle est la probabilité que les enfants soient tous nés le même mois ? c) Les probabilités calculées en a et b sont-elles fréquentielles ou théoriques ?

Nombre d’enfants

14. Pas pair

Mois de naissance des enfants de la garderie «Les p’tits bouts de choux »

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

48

CHAPITRE 5

LA PROBABILITÉ

J

F

M

A

M

J

J

A

S

O

N

D Mois

Situation 1 La vie est une école de probabilité. ≤≥

Chaque année, au Québec, des milliards de dollars sont dépensés en assurances et en jeux de hasard et d’argent. a) Nomme quelques risques contre lesquels on peut s’assurer. Essaie aussi de nommer l’assurance correspondante.

WALTER BAGEHOT

b) Décris les similitudes et les différences entre les assurances et les jeux de hasard et d’argent. Qu’est-ce qui motive les gens à en acheter ? 2) Quelles sont les conséquences de ne pas en acheter ? 1)

Le calcul de probabilités, appliqué à la mortalité humaine, a donné naissance à une science nouvelle : celle des assurances. ≤≥ ÉMILE

DE

GIRARDIN

c) Quel rôle jouent les probabilités : 1) dans les assurances ? 2) dans les jeux de hasard et d’argent ? d) Ces probabilités sont-elles théoriques ou fréquentielles ? e) De quelle façon l’industrie de l’assurance et celle des jeux de hasard et d’argent s’assurent-elles de faire des profits ?

DANS LA VIE…

CHAPITRE 5

49

Situation 2 Mercure : des eaux empoisonnées À Grassy Narrows, près de Kenora, au nord-ouest de l’Ontario, la communauté autochtone Ojibwé comptait, en 2004, 800 personnes dont les trois quarts ont moins de 17 ans. Les plus vieux sont morts de maladies liées à l’environnement. La Reed Paper Company, située à Dryden, déverse depuis 1962 des déchets de mercure dans la rivière Wabigoon. Or, la population autochtone de Grassy Narrows se nourrit essentiellement de produits de la chasse et de la pêche. En consommant quotidiennement du poisson, ces communautés s’empoisonnent petit à petit. SOURCE : MAURICE GODIN, ARCHIVES

DE

RADIO-CANADA

L’empoisonnement au mercure des Autochtones Ojibwé cause un déséquilibre du système hormonal qui a une incidence sur le sexe des bébés qui naissent dans la réserve. Seulement 34 % des bébés qui naissent dans la réserve sont des garçons. a) Trace, pour une famille de trois enfants vivant dans cette réserve, l’arbre de probabilités associé au sexe de chacun des enfants. Estime ensuite la probabilité associée à chacun des événements suivants. 1) {Avoir deux fils} 2) {Avoir trois filles} 3) {Avoir au plus un fils} b) Pourquoi tes réponses à la question a sont-elles des estimations ? Quels facteurs peuvent faire varier ces probabilités ? c) Décris ce que réserve le futur pour la communauté autochtone de Grassy Narrows si la situation demeure ce qu’elle est présentement.

Effectue une recherche pour trouver d’autres renseignements sur la problématique à Grassy Narrows. 1. Quel autre peuple a connu une situation semblable à celle observée à Grassy Narrows ? 2. Trouve des données statistiques sur des maladies liées à l’environnement, relatives à la situation décrite dans cet article.

50

CHAPITRE 5

LA PROBABILITÉ

d) À partir des données statistiques que tu as trouvées dans ta recherche, estime d’autres probabilités associées aux conséquences du déversement de polluants dans la rivière Wabigoon.

Faire le point Complète le texte suivant. 1

Lorsqu’une expérience aléatoire se déroule en plus d’une étape, on dit qu’elle est .

2

L’ensemble qui contient tous les résultats possibles d’une expérience aléatoire se nomme l’ et on le note .

3

La permet de déterminer le nombre de résultats d’une expérience qui comporte plusieurs étapes.

4

Dans une expérience, si le résultat d’une étape influence celui des autres étapes, on dit que les étapes sont .

5

Un

6

Un événement qui contient seulement un résultat est dit

7

La d’un événement est un nombre compris entre 0 et 1 inclusivement qui quantifie la chance que cet événement se réalise.

8

La probabilité théorique qu’un événement se réalise est égale au rapport du au nombre de cas possibles.

9

La probabilité associée à un événement est égale au rapport de la fréquence observée de l’événement au nombre de faites de l’expérience.

10

La probabilité qu’un événement

se réalise est égale à 1.

11

La probabilité qu’un événement

se réalise est égale à 0.

12

Deux événements qui peuvent se réaliser en même temps sont dits et ont au moins un résultat .

13

On appelle événements deux événements une fois réunis, constituent l’ensemble des possibles.

14

Un est un diagramme en arbre qui présente les probabilités des résultats possibles de chacune des étapes d’une expérience aléatoire.

15

La probabilité d’un résultat est égale au de chacune de ses composantes.

16

La probabilité d’un événement est égale à la des résultats qui forment l’événement.

est un sous-ensemble de Ω. .

qui,

En t’inspirant des énoncés ci-contre, organise maintenant tes connaissances en utilisant la méthode de ton choix, que ce soit un résumé, un tableau ou un réseau de concepts. Tu peux inclure d’autres concepts et processus que tu juges essentiels dans ta synthèse.

des probabilités des probabilités

ESCALE

CHAPITRE 5

51

Activité d’intégration Voici une adaptation d’un problème célèbre, posé par le chevalier Méré. Ce problème a été résolu par Blaise Pascal et expliqué dans une des lettres qu’il envoya à Pierre de Fermat, à l’été 1654. Comment peut-on partager équitablement le prix d’un jeu qui se déroule en plusieurs manches si la partie est interrompue alors que l’un des deux joueurs avait l’avantage ?

ville jouent é M t e s le r a h C u face qui o e il p e d u je n àu rs manches. u ie s lu p n e le u o se dér on lance , e h c n a m e u q a h Àc nnaie. une pièce de mhaorles gagne Si c’est pile, iCc’est face, c’est la manche ; s premier à gagner Méville. Lees gagne la partie trois manch 64 pistoles. et remporte er montre face. c Le premier laponur des raisons Ensuite, de la volonté indépendantes s, la partie des joueur mpue. est interro

1. Trace l’arbre de probabilités des résultats possibles du jeu de pile ou face, du début jusqu’à ce qu’il y ait un gagnant, en supposant qu’il n’y ait pas d’interruption. 2. On considère l’événement M = {Méville gagne le jeu} et C = {Charles gagne le jeu}. Indique dans l’arbre tous les résultats qui appartiennent à l’événement M et tous ceux qui appartiennent à l’événement C. 3. Calcule P(M) + P(C). 4. Propose une façon équitable de partager les 64 pistoles, en tenant compte du fait que Méville a remporté la première manche.

Question de

culture

SUR UN COUP DE DÉ ! C’est une correspondance entre deux mathématiciens du 17e siècle qui a fait naître la théorie des probabilités. Pierre de Fermat et Blaise Pascal se sont envoyé cinq lettres à ce sujet, à l’été 1654. Pascal a initié cette correspondance pour que Fermat confirme ses idées à propos d’un jeu de dés. Les deux mathématiciens se sont interrogés sur le nombre de fois qu’une personne devait tirer deux dés avant d’obtenir une paire de 6. Ils se sont aussi penchés sur le problème du jeu interrompu et ont réussi à résoudre le problème pour deux joueurs. Ils n’avaient toutefois pas suffisamment développé leur méthode pour résoudre le problème avec trois joueurs. Néanmoins, leurs travaux auront permis la création d’une branche importante de la mathématique.

52

CHAPITRE 5

LA PROBABILITÉ

Météo : probabilités de probabilités ! La météorologie est une science basée sur la prédiction du futur à partir d’expériences passées, mais est-ce une science infaillible ? Jusqu’à quel point peut-on s’y fier ? Comment pourrait-on procéder pour vérifier l’efficacité des prévisions météorologiques ?

Ton mandat Vérifier l’exactitude des prévisions météorologiques pour une ville de ton choix, pendant dix jours consécutifs.

Tâche

1

Choisis une source d’information (émission de télévision, émission de radio, Internet, etc.) qui t’informera à la fois sur les prévisions météorologiques du jour et sur les statistiques des jours précédents.

Tâche

2

a) Note, pendant dix matins consécutifs, les prévisions du jour : • la température (maximale et minimale) ; • la probabilité de précipitations (en %) ; • la quantité de précipitations annoncée (en mm ou en cm). b) À la fin de chacun des dix jours, recueille les données réelles, enregistrées pour la journée.

Tâche

3

a) En grand groupe ou en équipe, établissez les principaux critères permettant d’affirmer qu’une prévision est exacte.

Afin de mieux comprendre ta tâche, fais une recherche sur la signification de l’expression « probabilité de précipitations ».

b) Sur la base des données que tu as recueillies, établis, en pourcentage, l’efficacité des prévisions en comparant le nombre de fois où celles-ci ont été exactes, par rapport au nombre total de jours. c) En général, peut-on vraiment dire que les prévisions à court terme sont fiables ? Explique ta réponse. d) Selon toi, quels sont les facteurs qui peuvent influencer la fiabilité des prévisions ?

OPTION PROJET

CHAPITRE 5

53

6

54

Voici une reproduction de l’œuvre De plus en plus petit (1956) de Maurits Cornelis Escher.

1. Les lézards qui figurent dans cette œuvre te semblent-ils tous identiques ?

2. La position des lézards semble-t-elle suivre une certaine logique ? Explique ta réponse.

3. Choisis deux lézards. Décris le plus précisément possible les déplacements et les transformations que l’artiste a fait subir au premier lézard pour en arriver au deuxième.

4. Soumets ta description à une ou à un camarade. Demande-lui de trouver le deuxième lézard en prenant soin de lui indiquer quel lézard est le premier.

5. Selon toi, quelle branche de la mathématique peut t’aider à faire une description plus précise ?

• Figures isométriques et semblables • Translation, rotation, réflexion • Homothétie de rapport positif • Mesures manquantes de figures isométriques et semblables • Périmètre d’une figure provenant d’une similitude • Longueurs de segments provenant d’une isométrie ou d’une similitude

SO MM AI RE • Selon toi, pourquoi le gouvernement investit-il dans l’art et dans la culture ? • Quels effets positifs l’art et la culture apportent-ils à la société ? Explique ta réponse.

Section 1 – L’isométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Section 2 – La similitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dans la vie… . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Escale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Option projet – Pour une bonne cause . . . . . . . . . . . . . . .

56 82 107 109 111

55

L’isométrie La mathématique joue un rôle important pour décrire et expliquer divers aspects de l’environnement auquels l’être humain doit faire face. Que ce soit en étudiant l’évolution des symptômes d’une maladie ou en observant différentes phases d’une situation économique, c’est en comparant un état initial à un état intermédiaire ou final que la mathématique prend tout son sens. À mesure que notre environnement se transforme, la mathématique décrit et explique ces transformations. Ce chapitre te permettra de réinvestir tes connaissances en géométrie pour comprendre diverses transformations appliquées à un objet mathématique : le plan.

1.1

Les transformations du plan On peut observer des transformations dans plusieurs contextes de la vie courante. Voici des photos satellites de l’est du Canada et des États-Unis prises la même journée à des intervalles de quatre heures, soit à 12 h 15, 16 h 15 et 20 h 15. En plus de modèles mathématiques complexes, c’est ce type de photos qu’utilisent les météorologues pour prévoir le temps qu’il fera. 12 h 15

Si tu as réalisé le projet du chapitre 5, tu as déjà répondu en partie à la question C.

56

CHAPITRE 6

16 h 15

20 h 15

A

Quels renseignements peux-tu tirer de l’observation d’une seule photo satellite ?

B

Quels renseignements supplémentaires peux-tu tirer de l’observation de ces trois photos satellites ?

C

Même quand on dispose de ces renseignements, il reste difficile de prévoir le temps qu’il fera dans quelques heures ou dans quelques jours. Selon toi, pourquoi est-ce si difficile ?

L’ISOMÉTRIE ET LA SIMILITUDE

Les situations suivantes peuvent rappeler des transformations dans un contexte de la vie courante. Avant le bris

Après le bris

10 h 00

10 h 02

D

Pour chacune des situations ci-dessus, décris les différentes transformations représentées.

E

Quelle image intermédiaire serait la plus facile à dessiner : celle « pendant » le bris au billard ou celle du train à 10 h 01 ? Explique ta réponse.

Comme tu viens de le constater, moins il y a de possibilités pour associer deux représentations d’une situation, plus il est facile de décrire ou de prévoir les changements. Dans cette section, on étudiera les transformations qui font correspondre deux figures isométriques d’un même plan. Une transformation géométrique du plan est une relation entre deux figures. C’est en analysant cette relation que tu pourras déduire les propriétés d’une transformation géométrique donnée.

Plan : Objet géométrique à deux dimensions ayant une surface continue illimitée.

L’ISOMÉTRIE

SECTION 1

57

Les isométries du plan L’être humain peut avoir recours à certaines transformations du plan pour exprimer sa créativité. Isométrie : Transformation qui associe deux figures ayant exactement la même forme et la même grandeur. Mot qui vient du grec isos : égal, et metron : mesure.

Voici trois œuvres de Maurits Cornelis Escher dans lesquelles on retrouve des isométries.

DIVISION

JOUR

58

CHAPITRE 6

RÉGULIÈRE DU PLAN, DESSIN

ET NUIT

84

DIVISION

RÉGULIÈRE DU PLAN, DESSIN

21

(1938)

A

Quels « mouvements » semblent se dégager de chacune de ces œuvres ? Trouve un mot pour décrire chacun de ces mouvements.

B

Parmi les mouvements que tu as nommés : 1) lesquels s’associent à l’idée de glissement du plan ? 2) lesquels s’associent à l’idée de retournement du plan ?

L’ISOMÉTRIE ET LA SIMILITUDE

L’orientation du plan Certaines transformations conservent l’orientation du plan, d’autres pas. Voici, par exemple, une figure initiale à laquelle on a fait subir deux transformations différentes. A A′ transformation

1

B

B′ C

C′

A′

A

transformation

2

B

B′ C

C’est l’ordre dans lequel on retrouve les sommets qui fournit l’information nécessaire !

C′

A

Selon toi, comment appelle-t-on chacune de ces transformations du plan ?

B

Quelle transformation du plan semble avoir « fait glisser » la figure ?

C

Quelle transformation du plan semble avoir « retourné » la figure ?

D

Selon toi, dans quel cas l’orientation du plan a-t-elle été conservée ? Explique ta réponse.

La transformation géométrique du plan La transformation géométrique du plan est une relation qui fait correspondre un ensemble de points de départ, qui constitue la figure initiale, à un ensemble de points d’arrivée, qui constitue l’image. Pour identifier un sommet de l’image, on utilise normalement la même lettre que celle qui identifie le sommet homologue de la figure initiale, à laquelle on ajoute le symbole « ′ » nommé « prime ». Lorsque la transformation du plan fait correspondre deux figures isométriques, on dit qu’il s’agit d’une isométrie. Exemple :

Les sommets D et D′ sont des sommets homologues.

D′ D F′

F

E

E′

Homologue : Éléments correspondants dans deux figures différentes. Mot qui vient du grec homos : semblable, le même, et logos : lien logique.

Les côtés DF et D′F′ sont des côtés homologues. Les angles DFE et D′F′E′ sont des angles homologues.

Rien ne se perd, rien ne se crée, tout se transforme. ≤≥

La figure initiale DEF et l’image D′E′F′ sont associées par une isométrie. Deux figures sont isométriques si tous leurs côtés homologues et tous leurs angles homologues ont les mêmes mesures.

Les translations, les rotations et les réflexions sont des isométries du plan.

ANTOINE-LAURENT DE LAVOISIER

L’ISOMÉTRIE

SECTION 1

59

Voici trois isométries.

1

A

3

D C

B

2

G

D

F

E

I H

J

1. Reproduis-les et indique les sommets homologues des différentes images. 2. Laquelle de ces isométries représente : a) une translation ? b) une rotation ?

c) une réflexion ?

3. Pour quelle isométrie l’orientation du plan n’est-elle pas conservée ?

LES ISOMÉTRIES DU PLAN Le concept de plan est bien présent dans certains logiciels d’édition d’images. Dans ces logiciels, les images sont formées de calques qui représentent en quelque sorte des plans superposés. Image à l’écran

Image décomposée en calques

Il est possible d’appliquer plusieurs types de transformations aux calques. Dans l’image , on a utilisé la fonction « rotation » du logiciel. 1. Sur quel calque a-t-on appliqué la rotation ? 2. Décris cette rotation dans tes propres mots. 3. Combien y a-t-il de figures sur le calque 1 ? 4. Selon toi, la transformation appliquée au calque est-elle une transformation géométrique du plan ? Explique ta réponse.

60

CHAPITRE 6

L’ISOMÉTRIE ET LA SIMILITUDE

Image transformée

1.2

La translation Observe de nouveau cette œuvre d’Escher. A

Peut-on dire que les poissons sont des figures isométriques ? Explique ta réponse.

B

Décris le mouvement suggéré par les poissons dans cette œuvre.

C

Décris maintenant le mouvement suggéré par les oiseaux dans cette œuvre.

Dans cette œuvre d’Escher, les poissons, tout comme les oiseaux, sont des figures isométriques associées par une translation. D

À partir de cette œuvre, essaie de déduire au moins deux caractéristiques d’une translation. A′

Les triangles ABC et A′B′C′ ci-contre sont associés par une translation. La translation qui associe les poissons semble-t-elle de la même longueur que celle qui associe les triangles ?

E

A C′ C

B′

En plus de la longueur, quelles sont les autres différences entre ces deux translations ? Explique ta réponse.

F

B

Pour analyser une isométrie du plan, il est utile d’observer d’abord des polygones plutôt que le plan en entier. De cette façon, on peut voir les effets de la transformation sur les sommets des polygones.

A′

1. Calque les triangles ci-contre et relie les sommets de la figure initiale aux sommets homologues de l’image par des segments de droites. 2. Identifie les caractéristiques communes à tous les segments que tu as tracés.

A C′ C

B′ B

G

Selon toi, comment peut-on définir une translation ?

H

Selon toi, quelle flèche pourrait servir à représenter la translation de l’Action ! précédente ? Explique pourquoi les autres flèches ne conviennent pas.

L’ISOMÉTRIE

SECTION 1

61

On observe les sommets homologues pour « voir » l’effet d’une transformation, mais c’est tout le plan qui est transformé.

Pour décrire une translation, on utilise une flèche de même direction et de même longueur que les segments reliant les points initiaux à leur image. La flèche de translation contient toute l’information relative à une translation. Elle indique en quelque sorte le déplacement que subit le plan. I

Quelle information supplémentaire une flèche fournit-elle, par rapport à un segment ?

J

Quelle est la différence entre les mots « direction » et « sens » dans un contexte mathématique ?

K

Quel aspect d’une flèche de translation indique : 1) la longueur du déplacement ? 2) la direction du déplacement ? 3)

L

le sens du déplacement ?

Selon toi, l’emplacement d’une flèche de translation influence-t-il la translation qu’elle représente ? Explique ta réponse.

La translation La translation, notée « t », est une isométrie du plan représentée par une flèche. Cette flèche contient les trois éléments nécessaires pour définir une translation : 1) la longueur ; la direction ; 3) le sens. 2)

A

Exemple :

A′ t

B B′ C C′

Les segments orientés AA′, BB′ et CC′ : 1)

ont la même longueur ;

2)

sont parallèles ;

3)

respectent le sens de la flèche.

Les triangles ABC et A′B′C′ sont donc associés par une translation. Une translation est une isométrie du plan. Les triangles ABC et A′B′C′ sont donc isométriques. REMARQUES

Dans une translation : • l’orientation du plan est conservée ; • les côtés homologues sont parallèles.

62

CHAPITRE 6

L’ISOMÉTRIE ET LA SIMILITUDE

Atelier de construction Les concepts de segments parallèles et de segments isométriques sont au cœur du concept de translation. Il est donc utile de réinvestir le travail de construction de droites parallèles à l’aide d’un compas, réalisé l’an dernier.

1. Construis une droite parallèle à la droite AB et qui passe par le point P. Nomme cette droite d. 2. Détermine un emplacement pour le point R, situé sur la droite d, afin que le segment PR soit isométrique au segment AB. A

P

Quels sont le sens, la longueur et la direction de la translation que tu as effectuée dans l’Action ! précédente ?

B

A

STRATÉGIE La construction de droites parallèles à l’aide d’un compas permet d’amorcer la tâche consistant à effectuer une translation.

1. Place trois points non alignés sur une feuille. Nomme-les A, A′ et B. a) Relie A et A′ par une droite. b) Construis une droite parallèle à la droite AA′ et qui passe par le point B. c) Place le point B′ sur la droite que tu as tracée de façon que le segment BB′ soit isométrique au segment AA′. d) Place un point C n’importe où sur le plan et situe le point C′ selon le même procédé. Tu viens d’effectuer la translation du segment AB. 2. Calque la figure suivante et suggère une autre méthode permettant d’effectuer la translation t. A t

B C

3. Vérifie si le triangle ABC est isométrique au triangle A′B′C′.

L’ISOMÉTRIE

SECTION 1

63

Tracer l’image d’une figure par translation Pour tracer l’image d’une figure par translation, on doit respecter le sens, la direction et la longueur dictés par la flèche de translation. Par exemple, voici comment on détermine l’emplacement des sommets images A′, B′ et C′ par la translation t.

A C B t

À l’aide du compas, mesurer la flèche. Ensuite, reporter cette mesure à partir des sommets de la figure initiale.

A C B t

Toujours à l’aide du compas, mesurer la distance de l’origine de la flèche à un sommet. Reporter cette mesure à partir de l’extrémité de la flèche pour obtenir l’image de ce sommet.

Recommencer l’étape 2 pour tous les sommets de la figure initiale.

A C B′ B t

A′

A C′

C

B

B′

t

64

CHAPITRE 6

B

Explique pourquoi la méthode présentée dans l’encadré théorique nous permet de conclure que les triangles sont isométriques.

C

Selon toi, pourquoi détermine-t-on seulement l’emplacement des sommets d’un polygone lorsqu’on effectue une translation ?

L’ISOMÉTRIE ET LA SIMILITUDE

1. Je « translate », tu « translates », … Effectue les translations suivantes. t a)

c)

t

A A B B D

C

C

A

b)

d) D

t t

O

D

F

C

2. La règle et l’œil Observe les paires de figures suivantes. Explique pourquoi elles ne sont pas associées par une translation. a) b) A A′ A C

C′

B

C′

C

3. Translation circulaire A′

Effectue la translation de ce cercle. Explique ta démarche. t

B B′

B′

4. Suite de t Effectue d’abord la translation t1 du triangle ABC, puis, à partir de l’image A′B′C′, effectue la translation t2. a) Aurait-il été possible d’effectuer une seule translation pour passer du triangle ABC au dernier triangle que tu as tracé ? Si oui, trace la flèche de translation correspondante. B b) Le résultat final aurait-il été le même si on avait effectué la translation t2 avant la translation t1 ? Vérifie ta réponse en effectuant t2 , puis t1.

A

t1

t2

C

L’ISOMÉTRIE

SECTION 1

65

1.3

La rotation Dans la séquence précédente, tu as observé la façon dont se déplaçaient les points d’un plan pour déduire les propriétés de la translation. Dans la présente séquence, la même démarche sert à étudier une autre isométrie : la rotation. Observe de nouveau cette œuvre d’Escher.

A

Est-ce que les personnages sont isométriques ? Explique ta réponse.

B

Quelle transformation associe les personnages de la même couleur ?

C

Décris le mouvement suggéré par les personnages de couleurs différentes.

Pour créer son œuvre, Escher semble avoir eu recours à deux isométries du plan : la translation et la rotation. D

Dans une rotation, est-ce que tous les points se déplacent de la même distance ? Explique ta réponse.

E

À partir de l’œuvre d’Escher, essaie de déduire d’autres caractéristiques d’une rotation.

On retrouve le concept de rotation dans plusieurs situations de la vie courante. On n’a qu’à penser à une porte qu’on ouvre, à une roue qui tourne, à un robinet qu’on ferme, etc.

Centre de rotation : Point fixe du plan autour duquel les autres points du plan tournent.

66

CHAPITRE 6

F

Quelle partie d’une porte subit le plus grand déplacement lorsqu’on l’ouvre ?

G

Quelle partie d’un robinet subit le plus petit déplacement lorsqu’on l’ouvre ?

H

Trouve d’autres situations dans lesquelles on retrouve le concept de rotation.

I

Selon toi, qu’est-ce qu’un point fixe dans une rotation ? Explique ta réponse.

Dans une rotation, il y a toujours un point fixe. Ce point est appelé le centre de rotation.

ATTENTION Habituellement, on privilégie la lettre O pour nommer le centre d’une rotation.

L’ISOMÉTRIE ET LA SIMILITUDE

Lorsqu’une rotation est définie sur un plan, elle possède un centre de rotation. Dans la vie courante, on déplace les objets dans l’espace. À ce moment, on effectue plutôt la rotation autour d’un axe de rotation. C’est notamment le cas lorsque, par exemple, on ouvre une porte.

Voici plusieurs paires de figures associées par une rotation. D′

A A′

D B′ A′

C′

A

B

A

B

C′ C

B′

B′

C′ D

A′

C B

C

1. Essaie de déterminer l’emplacement du centre de rotation pour chacune des paires de figures. 2. Pour quelle paire de figures la question 1 est-elle plus difficile ? 3. Compare la stratégie que tu as utilisée avec celles de tes camarades. 4. Si l’on suppose que le bonhomme jaune est la figure initiale de la première paire de figures, laquelle des trois autres rotations n’est pas dans le même sens ? 5. Quels sont les deux sens possibles d’une rotation ? Comment les appellerais-tu ? 6. Selon toi, quel aspect d’une rotation mesure-t-on ? 7. Estime la mesure de chacune des rotations. 8. Selon toi, quels sont les éléments nécessaires pour définir une rotation ?

Le centre de rotation et l’angle de rotation contiennent toute l’information relative à cette transformation. Ils déterminent en quelque sorte la transformation que subit le plan. À lui seul, l’angle de rotation contient deux éléments distincts qu’il faut savoir décoder. Voici les losanges ABCD et EFGH, associés par une rotation de centre O. A H D

B

E

G F

C O

J

Identifie les paires de sommets homologues de cette transformation.

K

À quoi ressemble la trace liant un point à son image ?

L

Peut-on savoir quelle figure est l’image ? Explique ta réponse.

Je n’ai qu’à suivre le contour des cercles !

L’ISOMÉTRIE

SECTION 1

67

Selon le contexte, on peut attribuer différents noms aux deux sens de rotation. Par exemple, dans une salle de bain, on peut parler d’« ouvrir » et de « fermer » le robinet pour désigner les deux sens. Un ouvrier maniant un tournevis peut les décrire en employant les verbes « visser » et « dévisser », ou encore les termes « avant » et « arrière » pour un tournevis électrique. En mathématique, il existe deux façons de différencier les sens de rotation. Une première façon est d’associer les symboles « + » et « − » à chacun des sens de rotation. On parle alors de rotation de sens positif et de rotation de sens négatif.

ATTENTION Intuitivement, on a tendance à faire correspondre le sens positif de rotation avec le sens des aiguilles d’une montre. Pourtant, le sens positif de rotation correspond plutôt au sens dans lequel sont numérotés les quadrants d’un plan cartésien. sens positif de rotation

2

1

3

4

+



Une deuxième façon consiste à se référer aux aiguilles d’une montre pour définir les deux sens de rotation. La rotation s’effectue soit dans le sens des aiguilles d’une montre, soit dans le sens inverse des aiguilles d’une montre. M

Quel est le signe d’une rotation dans le sens des aiguilles d’une montre ?

N

À quelle rotation dans le sens des aiguilles d’une montre équivaut une rotation de 60° dans le sens inverse des aiguilles d’une montre ?

Il faut donc porter une attention particulière à cette convention et se souvenir que le sens des aiguilles d’une montre, c’est en fait le sens négatif de rotation !

Calque le dessin ci-dessous et trace les angles AOE, ,BOF, ,COG et tD e OH. 1. Mesure les angles que tu as tracés. 2. Quelle relation existe-t-il entre ces angles ? 3. Quel est l’angle de cette rotation : a) si le losange ABCD est la figure image ? b) si le losange EFGH est la figure image ?

68

CHAPITRE 6

L’ISOMÉTRIE ET LA SIMILITUDE

A D

H B

G

C O

E F

La rotation La rotation, notée « r », est une isométrie du plan définie par : 1)

un angle ;

2)

un centre ;

3)

un sens.

Exemple : C′ A

Les angles AOA′, BOB′ et COC′ : A′

B′ r C

O B

1)

sont isométriques

et les arcs AA′, BB′ et CC′ : 2)

sont situés sur des cercles concentriques ;

3)

respectent le sens de la rotation.

Les triangles ABC et A′B′C′ sont donc associés par une rotation. Une rotation est une isométrie du plan. Les triangles ABC et A′B′C′ sont donc isométriques.

ATTENTION Il est possible de représenter une rotation de 25° et de centre O à l’aide d’une notation simplifiée, comme ceci : r (O, 25°).

Une flèche en forme d’arc peut être placée pour indiquer symboliquement l’angle de rotation et le sens de rotation. REMARQUES

Dans une rotation : • l’orientation du plan est conservée ; • les côtés homologues ne sont pas nécessairement parallèles.

Atelier de construction Le concept d’angles isométriques est très important pour effectuer une rotation. Il sera donc utile de réinvestir le travail de reproduction d’un angle à l’aide d’un compas, réalisé l’an dernier.

1. Construis l’angle POR, isométrique à l’angle AOB, de façon que le segment OR soit isométrique au segment OP. 2. Combien d’emplacements différents y a-t-il pour le point R ?

A

Quels sont le centre, l’angle et le sens de la rotation que tu as effectuée dans l’Action ! précédente ?

P

B A O

STRATÉGIE La reproduction d’angles à l’aide d’un compas permet d’amorcer la tâche consistant à effectuer une rotation.

L’ISOMÉTRIE

SECTION 1

69

Tracer l’image d’une figure par rotation Pour tracer l’image d’une figure par rotation, on doit respecter l’angle, le sens et le centre de rotation. C

Par exemple, voici comment on détermine l’emplacement des sommets images A′, B′ et C′ par une rotation dans le sens des aiguilles d’une montre de 55° de centre O. Tracer un cercle de centre O passant par chaque sommet de la figure initiale.

A

B O

A C -

B O

Avec le compas, mesurer l’arc intercepté par l’angle de rotation. Reporter ensuite cette mesure à partir d’un sommet de la figure initiale sur le cercle correspondant en tenant compte du sens de rotation.

A′

C B O

55°

A

A′ B′ B O

CHAPITRE 6

-

C′

C

70

55°

A

Recommencer l’étape 2 pour tous les sommets de la figure initiale.

B

55°

-

55°

Explique pourquoi la méthode présentée dans l’encadré théorique nous permet de conclure que les triangles sont isométriques.

L’ISOMÉTRIE ET LA SIMILITUDE

1. Le vent a tourné Lorsqu’il veut tracer l’image d’une figure par rotation, Denis pense à une éolienne, comme celles qu’on retrouve près de chez lui, à Cap-Chat. Il se sert des hélices comme repères, tel que le montre le dessin suivant. B

A′

2. Je « rotationne », tu « rotationnes », … Effectue les rotations demandées. a) Rotation de −105º de centre O

A

C

O

O

A

C′ B′

B

C

b) Rotation de flèche r et de centre O A

r

O

a) Quelle est la mesure de l’angle de rotation que cette éolienne permet de modéliser ? b) Avec tes instruments de géométrie, dessine une éolienne qui permet de modéliser une rotation de : 1)

90°;

2)

72°;

3)

60°;

4)

C

B

c) Rotation de −135º de centre E D

20°. G

E

F

Question de

culture

UNE ÉNERGIE « DANS LE VENT » À mesure que l’être humain réalise que certaines ressources, comme le bois, le charbon, le pétrole et le gaz naturel, ne sont pas inépuisables, il se tourne vers des énergies renouvelables, notamment vers l’énergie éolienne. Il est difficile d’imaginer à quel point une éolienne peut être imposante en « grandeur nature ». En effet, sa hauteur peut varier de 20 m (un édifice de six étages) à 100 m ! Étant donné que des vents de 30 km/h permettent à une éolienne de produire huit fois plus d’énergie que des vents de 15 km/h, il est utile de placer son hélice à la hauteur où soufflent habituellement les vents les plus forts. Sur le plan international, l’Allemagne détient la plus grande capacité de production d’énergie éolienne. Au Québec, cette technologie est encore peu développée. Deux parcs d’éoliennes existent en Gaspésie, l’un à Matane et l’autre à Cap-Chat.

d) Rotation de 215º de centre O A

O

C B

3. Sens contraire, même résultat Pour chacune des rotations de l’activité 2, trouve l’angle d’une rotation de sens contraire équivalente à celle qui est indiquée.

L’ISOMÉTRIE

SECTION 1

71

4. Ça tourne rondement On a fait subir trois rotations de centre O au triangle ABC :

B′′ A′′ A

• une rotation horaire de 80°; • une rotation de 100°; • une rotation de −140°.

C′′ C

a) Associe les images à chaque angle de rotation. O

B

b) Quel est l’angle de rotation de centre O qui permet d’associer les figures suivantes ? C′′′

Triangle initial

Triangle image

1)

A′B′C′

A′′′B′′′C′′′

2)

A′′B′′C′′

A′B′C′

3)

A′′′B′′′C′′′

A′′B′′C′′

C′

B′

A′′′ B′′′ A′

Je viens de trouver une autre utilité à l’addition de nombres entiers !

5. Suite de r Effectue d’abord une rotation de 155º de centre O du triangle ABC, puis, à partir de l’image A′B′C′, effectue une rotation de −45º, toujours de centre O. A C B O

Aurait-il été possible d’effectuer une seule rotation pour passer du triangle ABC au dernier triangle que tu as tracé ? Si oui, quels seraient l’angle et le centre de cette rotation ?

72

CHAPITRE 6

L’ISOMÉTRIE ET LA SIMILITUDE

1.4

La réflexion Comme tu l’as fait pour les deux autres isométries, c’est en observant l’emplacement de l’image par rapport à la figure initiale qu’il te sera possible de déduire les propriétés de l’isométrie à l’étude dans cette section : la réflexion. Observe de nouveau cette œuvre d’Escher. A

Décris cette œuvre dans tes propres mots.

B

Relève quelques paires de figures isométriques.

C

Pourquoi une oie blanche et une oie noire ne peuvent-elles pas être associées par : 1) une translation ? 2) une rotation ?

D

Est-il possible de placer un miroir qui associe : 1) les oies blanches aux oies noires ? 2) les deux villes ?

E

À partir de cette œuvre, essaie de déduire quelques propriétés d’une réflexion.

Tu peux observer une réflexion en te regardant dans une surface réfléchissante, comme une étendue d’eau ou un miroir. F

Lorsque tu te regardes dans un miroir, l’image que tu vois est-elle identique à ta personne ?

G

Si tu lèves ta main droite, quelle main ton image lève-t-elle ?

H

Si tu places un doigt sur un miroir, quelle est la distance entre celui-ci et son image ?

Les images réfléchies dans un miroir plan sont identiques aux figures placées devant le miroir. La réflexion est donc une isométrie. Un miroir est une surface réfléchissante, donc bidimensionnelle. Lorsqu’une réflexion est définie sur un plan, elle possède plutôt un axe de réflexion unidimensionnel, une droite. I

Propose une définition d’axe de réflexion.

Les miroirs feraient bien de réfléchir un peu avant de renvoyer les images. ≤≥ JEAN COCTEAU

L’ISOMÉTRIE

SECTION 1

73

Voici plusieurs paires de figures associées par une réflexion.

A′ A

A′ A

B′

B

D′ C′

E C

E′

B

B′

C′

C D

ATTENTION

1. Pourquoi les paires de figures ci-dessus ne peuvent-elles pas être associées par : 1) une translation ? 2) une rotation ?

Puisque l’axe de réflexion est une droite, on peut le nommer à l’aide d’une lettre minuscule. Plutôt que d’utiliser la lettre «r », qui représente normalement une rotation, on utilise la lettre «s » (du mot « symétrie »).

2. Essaie de déterminer l’emplacement de l’axe de réflexion pour chacune des paires de figures. 3. Compare la stratégie que tu as utilisée à la question 2 avec celles de tes camarades. 4. Selon toi, quels sont tous les éléments nécessaires pour définir une réflexion ?

L’axe de réflexion contient toute l’information nécessaire pour définir une réflexion. Les triangles ABC et A′B′C′ sont associés par une réflexion d’axe s. Les segments reliant les sommets homologues ont été tracés. A

Selon toi, quelle relation existe-t-il entre : 1) la trace AA′ et l’axe de réflexion ? 2) la trace AA′ et la trace BB′ ?

K

Tes réponses à la question J s’appliquent-elles à toutes les traces ?

L

Quelles propriétés de la réflexion peux-tu déduire de ta réponse aux questions J et K ?

A′

B

C

C′

74

J s

CHAPITRE 6

B′

L’ISOMÉTRIE ET LA SIMILITUDE

La réflexion La réflexion, notée « s », est une isométrie du plan définie par un axe de réflexion. Dans une réflexion : 1)

les segments liant les points à leur image sont perpendiculaires à l’axe de réflexion ;

2)

tous les points et leur image sont à égale distance de l’axe de réflexion.

Exemple :

Les segments AA′, BB′ et CC′ :

s A′

1)

sont perpendiculaires à l’axe de réflexion ;

2)

sont coupés en leur milieu par l’axe de réflexion.

A C′ C B

B′

REMARQUES

Les triangles ABC et A′B′C′ sont donc associés par une réflexion d’axe s. Une réflexion est une isométrie du plan. Les triangles ABC et A′B′C′ sont donc isométriques.

Dans une réflexion : • l’orientation du plan est inversée ; • les côtés homologues ne sont pas nécessairement parallèles. L’axe de réflexion est la médiatrice des segments AA′, BB′ et CC′.

Atelier de construction Le concept de droite perpendiculaire est fondamental pour effectuer une réflexion. Il est donc important de revoir le travail de construction d’une droite perpendiculaire à l’aide d’un compas, réalisé l’an dernier.

A

1. Construis une droite perpendiculaire à la droite AB et qui passe par le point P. Nomme le point d’intersection C. 2. Sur la droite PC, détermine l’emplacement du point R, situé de l’autre côté de la droite AB, afin que le segment CR soit isométrique au segment CP.

A

Décris la réflexion que tu as effectuée dans l’Action ! précédente.

P B

STRATÉGIE La construction de droites perpendiculaires à l’aide d’un compas permet d’amorcer la tâche consistant à effectuer une réflexion.

L’ISOMÉTRIE

SECTION 1

75

Tracer l’image d’une figure par réflexion Pour tracer l’image d’une figure par réflexion, on amorce la construction de droites perpendiculaires à l’axe de réflexion à partir de chacun des sommets de la figure initiale. En ne modifiant pas l’ouverture du compas, on détermine par le fait même l’emplacement des sommets de l’image. Les sommets homologues se trouvent ainsi à égale distance de l’axe de réflexion. Par exemple, voici comment on détermine l’emplacement des sommets images A′, B′ et C′ par la réflexion d’axe s.

C

A s

B

À partir d’un sommet de la figure, déterminer, à l’aide du compas, deux points P et Q sur la droite s.

P C Q A

B

s

À partir des points P et Q, tracer, avec la même ouverture de compas qu’à l’étape précédente, des arcs de cercle qui se coupent pour donner l’emplacement du point image.

Il ne resterait qu’à tracer la perpendiculaire.

P C′

C Q A

B

s

Recommencer l’étape 2 pour tous les sommets de la figure initiale.

C′

C

A′

A

B′ s

B

76

CHAPITRE 6

B

Explique pourquoi la méthode présentée dans l’encadré théorique nous permet de conclure que les triangles sont isométriques.

L’ISOMÉTRIE ET LA SIMILITUDE

1. Je « réflexionne », tu « réflexionnes », … Effectue les réflexions suivantes.

a)

s

b)

s

G

C F

2. Suite de s

E

d)

s

A B C D

3. Et quand c’est sécant…

Effectue d’abord la réflexion s1 du triangle ABC. À partir de l’image A′B′C′, effectue ensuite la réflexion d’axe s2. s1 B

s

c)

s2

A

a) Trace un triangle ABC et deux axes de réflexion s1 et s2 qui se coupent. b) Effectue les deux réflexions de façon consécutive. c) Quelle est la transformation équivalente à deux réflexions consécutives lorsque les axes de réflexion sont sécants ?

C

a) Que peux-tu affirmer à propos des axes s1 et s2 ? b) Aurait-il été possible d’effectuer une seule réflexion pour passer du triangle ABC au dernier triangle que tu as tracé ? Explique ta réponse. c) Quelle est la transformation équivalente à deux réflexions consécutives lorsque les axes de réflexion sont parallèles ?

L’ISOMÉTRIE

SECTION 1

77

4. Symétrique a) Situe l’axe de symétrie des images suivantes.

b) Quelle est la différence entre un axe de symétrie et un axe de réflexion ?

5. Figure mystère Sur une même feuille, effectue les transformations suivantes, l’une à la suite de l’autre. a) Une réflexion du triangle DEF selon l’axe DE b) Une rotation du triangle DEF de 180º, de centre E c) Une réflexion du triangle DEF selon l’axe EF

6. Réfléchir Mireille affirme que le triangle A′B′C′ est l’image par réflexion du triangle ABC par rapport à l’axe s. Vérifie si elle a raison. Justifie ta réponse à l’aide des propriétés de la réflexion.

A′

A

D

E

d) Quelle figure est formée des trois images et de la figure initiale ? Explique ta réponse.

78

CHAPITRE 6

L’ISOMÉTRIE ET LA SIMILITUDE

B′

B

F

C′

C

s

1. Ô, le vélo

2. Transformations au quotidien

a) Dans la situation illustrée ci-dessus, relève une ou des manifestations : 1) d’une translation ; 3) d’une réflexion. 2) d’une rotation ; b) Pour chacune des transformations que tu as relevées, spécifie tous les éléments qui permettent de la définir. c) Dessine une autre situation où les trois isométries que tu connais sont présentes. d) Échange ton dessin avec celui d’une ou d’un camarade de classe. Demande-lui d’identifier tes trois transformations géométriques.

Associe chacune de ces situations à l’isométrie qu’elle rappelle. a) Tourner une page d’un livre b) Patiner sur un lac gelé c) Faire un tour d’hélicoptère d) Tirer une flèche à l’aide d’un arc e) Apposer un tampon « Payé » sur une facture f ) Prendre les empreintes digitales de quelqu’un

3. 4 par 4 Les carrés suivants sont isométriques. A

B D′

A′ B′′

A′′ A′′′

B′′′

D

C C′

B′ C′′

D′′ D′′′

C′′′

Quelle transformation géométrique permet d’associer : a) la figure ABCD à la figure A′B′C′D′ ? b) la figure ABCD à la figure A′′B′′C′′D′′ ? c) la figure ABCD à la figure A′′′B′′′C′′′D′′′ ? d) la figure A’B’C’D’ à la figure A′′′B′′′C′′′D′′′ ?

BRIC À MATHS

SECTION 1

79

4. Porte vitrée

5. Réflexion ou rotation ?

Janie voit ceci sur une porte vitrée à l’entrée d’un magasin, en Suisse.

Immaculée affirme qu’une rotation de 180° équivaut à une réflexion. Elle a même fait ce schéma pour appuyer son affirmation.

s

Qu’est-ce que ça peut bien vouloir dire ?

B

A

E

O D

F

C

6. Je pense au carré… L’image d’un carré par réflexion a une aire de 64 cm2. Quel est le périmètre de la figure initiale ?

Comment savoir si le rectangle ABCD et le rectangle BEFC sont associés par une réflexion d’axe s ou une rotation de centre O de 180° ?

7. Robin des Bois Voici vingt flèches de translation. t1

t3

t2

t4 t5

t8

t6 t7

t9

t10

t12

t13

t11 t14 t15

t18

t17 t16

t20

a) Quelles sont les flèches ayant la même direction ? b) Quelles sont les flèches ayant la même longueur ? c) Identifie trois paires de flèches de même longueur, de même direction, mais de sens opposés.

80

CHAPITRE 6

L’ISOMÉTRIE ET LA SIMILITUDE

t19

8. Sur une île déserte Voici un schéma représentant un voilier ainsi que les cinq endroits où il peut accoster, notés A, B, C, D et E. Pour éviter les hauts-fonds, un cartographe a prévu un trajet en cinq déplacements, menant à un des endroits pour accoster. a) Selon ce trajet, à quel endroit de l’île accostera-t-il ? b) De combien de façons différentes peut-on effectuer les cinq déplacements t1 , t2 , t3 , t4 et t5 ? c) En supposant qu’il n’y ait pas de hauts-fonds, pourrait-on effectuer les déplacements dans un ordre différent de celui qui est prévu et arriver au même endroit ?

A

B

C

D

t1

E

t2 V

t3 t4 t5

9. Mots invariants Voici des mots pouvant sembler banals. CHOC WON BICHE

10. Triangles sextuplés

NON TOT TAMIA

SON

Ils possèdent toutefois une des particularités suivantes. Si on fait subir une rotation de 180° à la feuille, le mot est inchangé.

On a formé un hexagone régulier en faisant cinq rotations successives de 60° de centre A au triangle équilatéral ABC. B

Si on regarde la feuille dans un miroir, le mot est inchangé. Si on fait subir une rotation de 180° à la feuille et qu’on la regarde dans un miroir, le mot est inchangé.

A

C

Si on regarde la feuille dans un miroir, on peut lire un mot différent. Si on fait subir une rotation de 180° à la feuille, on peut lire un mot différent. a) Associe chaque mot à sa particularité. b) Pour chacune des particularités, trouve un autre mot qui la possède également.

Si le périmètre du triangle équilatéral est de 6 cm, quel est le périmètre de l’hexagone régulier ?

BRIC À MATHS

SECTION 1

81

La similitude Dans le langage courant, les mots « similaire » ou « semblable » désignent des objets qui se ressemblent, qui sont presque identiques. Le mot « semblable » est aussi utilisé pour désigner des organismes vivants de même espèce. Par exemple, lorsqu’on compare un loup à ses « semblables », cela signifie qu’on le compare à d’autres loups.

Deux visages semblables, dont aucun ne fait rire en particulier, font rire ensemble par leur ressemblance. ≤≥ BLAISE PASCAL

Même dans un contexte mathématique, le mot « semblable » a plusieurs significations. En algèbre, par exemple, tu as travaillé avec le concept de termes semblables. En géométrie, ce sont les figures que l’on peut qualifier de semblables. Évidemment, les critères permettant de considérer des figures comme semblables ne sont pas les mêmes que ceux qui concernent les termes algébriques. A

Selon toi, que sont des figures semblables ?

B

Selon toi, est-il possible qu’un triangle et un carré soient des figures semblables ? Explique ta réponse.

C

Selon toi, tous les triangles sont-ils semblables ? Explique ta réponse.

D

Selon toi, des figures isométriques sont-elles des figures semblables ?

Dans la séquence suivante, on présente une nouvelle transformation du plan. Les propriétés de cette transformation te permettront de déduire les critères que deux figures géométriques doivent respecter pour être semblables.

82

CHAPITRE 6

L’ISOMÉTRIE ET LA SIMILITUDE

2.1

L’homothétie Dans la section précédente, tu as eu l’occasion de te familiariser avec les propriétés de trois isométries du plan. Dans une isométrie, l’image, en plus d’être une figure semblable à la figure initiale, en est une reproduction exacte. On pourrait comparer l’isométrie à la reproduction d’une figure à l’aide d’un papier calque ou encore à l’image qu’on voit sur des téléviseurs de la même taille. Évidemment, lorsque les écrans sont de tailles différentes, les images qu’on y voit sont aussi de tailles différentes. Selon le type de téléviseur, ces images ont parfois exactement la même allure : on peut donc dire qu’elles sont semblables. Si on peut calquer une figure pour créer une reproduction exacte, cette stratégie n’est toutefois plus utile pour l’agrandir ou la réduire.

Pourvu que les téléviseurs soient au même poste !

Voici le travail de trois élèves à qui on a demandé d’agrandir cette étoile tout en conservant son allure. 3]

A

Qu’est-ce qui ne va pas avec leur travail ?

B

Comment procéderais-tu pour doubler le périmètre d’une figure sans changer son allure ?

LA SIMILITUDE

SECTION 2

83

1. Calque cette étoile, puis dessine une autre étoile qui a la même allure, mais dont le périmètre est deux fois plus grand. Comme si on l’avait agrandie en appuyant sur la touche 200 % d’un photocopieur.

2. Compare tes stratégies avec celles de tes camarades.

Il existe plusieurs techniques permettant de réduire ou d’agrandir une figure tout en conservant son allure. Par exemple, on peut utiliser une grille pour partager la figure en plusieurs petites parties.

Puisque les carreaux de la grille de droite sont plus grands, l’image qu’on y dessine est agrandie par rapport à la figure initiale.

Homothétie : Mot qui vient du grec homos : semblable, le même et thesis : position.

84

CHAPITRE 6

C

Selon toi, ces figures sont-elles semblables ? Explique ta réponse.

D

Calcule le rapport

E

Si on double la mesure du côté d’un carreau, double-t-on : 1)

F

son périmètre ?

longueur du museau sur la figure agrandie . longueur du museau sur la figure initiale

2)

son aire ?

Qu’est-ce qui n’a pas changé dans ces images ?

L’homothétie est une transformation du plan qui permet de réduire ou d’agrandir une figure à l’aide d’une règle graduée. Cette transformation permettra d’étudier les caractéristiques des figures semblables.

L’ISOMÉTRIE ET LA SIMILITUDE

Des instruments tels que le télescope ou le microscope permettent de produire des images semblables à une figure initiale en fonctionnant d’une façon qui s’apparente à une homothétie. De même, lorsqu’un vidéoprojecteur envoie une image sur un écran, les rayons lumineux sont issus d’une « source » lumineuse rappelant un point et ils suivent des « trajectoires » rappelant Trajectoire des droites. Source lumineuse

Suppose que l’étoile en pointillés est la figure initiale et que l’étoile jaune est l’image. G

La mesure des côtés de l’étoile a-t-elle été conservée ?

H

La mesure des angles de l’étoile a-t-elle été conservée ?

I

Utilise une règle pour déterminer de quel facteur l’étoile a été agrandie.

J

Que peut-on faire pour : 1) agrandir la taille de l’image de l’étoile ? 2) réduire la taille de l’image de l’étoile ?

Voici deux paires de triangles semblables. A′

E′ F′

A D B

C C′ B′

E

D′

F

K

Selon toi, le facteur d’agrandissement est-il le même dans les deux cas ? Explique ta réponse.

L

Qu’est-ce qui différencie ces deux paires de figures ?

M

Quelle paire de figures te rappelle davantage la situation du vidéoprojecteur ? Explique ta réponse.

LA SIMILITUDE

SECTION 2

85

Les triangles ABC et A′B′C′ sont associés par une homothétie. A′

A C′

C B

B′

1. Mesure les angles et les côtés des triangles. 2. Que remarques-tu à propos : a) de la mesure des angles ? b) de la mesure des côtés ? Imagine que les deux triangles ont été produits à l’aide du même vidéoprojecteur comme dans l’exemple de l’étoile de la page précédente. 3. Pointe l’endroit approximatif où devrait se trouver la source lumineuse. 4. Comment pourrais-tu procéder pour déterminer l’emplacement exact du point qui représente la source ? 5. Calque les triangles et détermine l’emplacement de ce point. Nomme-le O. 6. Quel est le rapport m OA′ ? m OA

7. Quel est le rapport des mesures des côtés des triangles ?

86

CHAPITRE 6

N

Selon toi, quels sont les éléments nécessaires pour définir une homothétie ?

O

Étant donné que l’homothétie associe des figures semblables, essaie de formuler une définition de « figures semblables ».

L’ISOMÉTRIE ET LA SIMILITUDE

Tracer l’image d’une figure par homothétie Pour tracer l’image d’une figure par homothétie, on définit d’abord un point du plan comme étant le centre d’homothétie. On choisit également un facteur d’agrandissement (ou de réduction) qu’on appelle le rapport d’homothétie. Par exemple, voici comment on détermine l’emplacement des sommets images A′, B′ et C′ par une homothétie de centre O et de rapport 2. Si la position du centre n’est pas donnée, choisir un emplacement. Tracer ensuite une demi-droite issue du centre et passant par le point dont on veut déterminer le point image.

C

O

A

B

Mesurer la longueur du segment OA.

m OA • rapport d’homothétie = m OA′ 6,7 • 2 = 13,4

Multiplier la mesure du segment OA par le rapport d’homothétie pour trouver la mesure du segment OA’. Placer le point A’ à la bonne distance par rapport au centre.

Recommencer les étapes 1 à 3 pour tous les sommets de la figure initiale.

C′

C

O

A A′ B

B′

P

Les mesures des angles du triangle sont-elles conservées ?

Q

Les mesures des côtés du triangle sont-elles conservées ?

R

Quel est le rapport des mesures des côtés homologues du triangle ?

S

Quel est le rapport des périmètres des deux triangles ?

T

Quel est le rapport des aires des deux triangles ?

LA SIMILITUDE

SECTION 2

87

Les propriétés de l’homothétie L’homothétie permet d’associer des figures semblables. Il est donc possible de déduire certaines propriétés des figures semblables à partir de cette transformation du plan. A

Selon toi, dans une homothétie : 1) les angles homologues sont-ils isométriques ? 2) les côtés homologues sont-ils isométriques ? 3) les côtés homologues sont-ils parallèles ?

À partir du carré DEFG dont le périmètre est de 4 cm, on a effectué trois homothéties de centre O. Les rapports sont 12 , 32 et 3.

O

E

D

F G

B

Les images sont-elles toutes des carrés ?

C

Que peut-on dire des images quand elles : 1) s’éloignent du centre d’homothétie ? 2) s’approchent du centre d’homothétie ?

D

Quel est le rapport d’homothétie qui associe la figure initiale : 1) à l’image ? 2) à l’image ? 3) à l’image ?

E

Trouve le périmètre : 1) de l’image ; 2) de l’image ; 3) de l’image .

F

Quel est le rapport : 1)

G

H

Trouve l’aire : 1) de l’image 2) de l’image 3) de l’image

CHAPITRE 6

2)

périmètre de l’image ? périmètre de la figure initiale

2)

aire de l’image ? aire de la figure initiale

; ; .

Quel est le rapport : 1)

88

périmètre de l’image ? périmètre de la figure initiale

aire de l’image ? aire de la figure initiale

L’ISOMÉTRIE ET LA SIMILITUDE

Voici trois figures associées au triangle MNP par des homothéties de rapport 0,4. Quelle est la différence entre ces trois homothéties ?

I

M¢¢¢ M

Pointe du doigt l’emplacement approximatif de chacun des centres.

J

K

Quelle relation observe-t-on entre les trois images ? périmètre d’une image périmètre de la figure initiale

M¢¢

P¢¢¢ M¢

P¢¢

L

Quel est le rapport

?

M

Selon toi, deux figures semblables sont-elles toujours associées par une homothétie ?

N¢¢ P¢



P

N

Exploration

L’homothétie L’homothétie, notée « h », est une transformation du plan qui associe des figures semblables. L’homothétie est définie par : 1) un centre d’homothétie (O) ; 2) un rapport d’homothétie (k). Exemple : Les triangles ABC et A′B′C′ sont associés par une homothétie, car :

O A

1)

C B

A′

N¢¢¢

h

2)

C′

les segments AA′, BB′ et CC′ sont supportés par des droites concourantes se coupant en un point (O) ; m OA′ m OB′ m OC′ = = = k. m OA m OB m OC

Relis ta description qui associe deux lézards dans l’Exploration. Propose une nouvelle description associant ces deux lézards en utilisant maintenant le vocabulaire relatif aux quatre transformations du plan que tu as étudiées dans ce chapitre.

Les triangles ABC et A′B′C′ sont donc semblables.

B′

Si k > 1, alors l’image est plus éloignée du centre d’homothétie et plus grande que la figure initiale. Si 0 < k < 1, alors l’image est plus près du centre d’homothétie et plus petite que la figure initiale. Si k = 1, alors l’image et la figure initiale sont isométriques et superposées. REMARQUES

Dans une homothétie : • l’orientation du plan est conservée ; • les côtés homologues sont parallèles et leurs mesures sont proportionnelles ; • les angles homologues sont isométriques.

LA SIMILITUDE

ATTENTION Il est possible de représenter une homothétie de centre O et de rapport k à l’aide d’une notation simplifiée, comme ceci : h(O, k) .

SECTION 2

89

Voici des figures associées par des homothéties de centre O. L’image est en bleu.

O

O

O

O

1. Sans calculer, classe les homothéties selon la grandeur de leur rapport. 2. Vérifie ton classement en calculant le rapport de chaque homothétie à partir de mesures. 3. Que deviennent les rapports que tu as calculés à la question 2 si la figure en bleu représente plutôt la figure initiale ?

Le rapport d’homothétie Le rapport d’homothétie (k) influence la taille et la position de l’image. Lorsque 0 < k < 1

O

O

L’image est plus petite et plus près du centre que la figure initiale.

90

Lorsque k = 1

CHAPITRE 6

L’image est isométrique à la figure initiale. Les deux figures sont superposées.

L’ISOMÉTRIE ET LA SIMILITUDE

Lorsque k > 1

O

L’image est plus grande et plus éloignée du centre que la figure initiale.

1. Deux centres a) Calque le triangle ABC ainsi que les points O et P suivants.

Calque les figures suivantes. Détermine l’emplacement du centre d’homothétie et le rapport de chaque homothétie. a) A′

A O

P

B

2. Trajectoire concourante

C

b) À partir du triangle ABC, effectue les deux homothéties suivantes de rapport 1,8. 1) L’homothétie de centre O pour tracer l’image A′B′C′. 2) L’homothétie de centre P pour tracer l’image A′′B′′C′′. c) Qu’arrive-t-il à l’image d’une homothétie lorsqu’on déplace le centre d’homothétie, mais qu’on conserve le rapport ? d) Quelle transformation géométrique lie les triangles A′B′C′ et A′′B′′C′′ ?

B′ F′ A B F

C′

E′ E

C

D′ D

b)

A

3. Un dans l’autre a) Quelle est l’image I du carré ABCD si J le rapport d’homothétie est de : A B 1) 2 ? F E 1 2) ? O 3 3) 1 ? G H b) Quel est le rapport C D d’homothétie si la figure initiale est le carré EFGH et que l’image est K L le carré ABCD ? c) Quel est le rapport d’homothétie qui associe la figure initiale EFGH à l’image IJKL ? Explique ta réponse. d) Qu’arrive-t-il au rapport d’homothétie si la figure initiale devient l’image et vice versa ?

B A′ C

B′

LA SIMILITUDE

SECTION 2

91

4. Le penseur Marc-Antoine propose un raisonnement en quatre étapes. Des figures isométriques sont des figures semblables dont le rapport de similitude est 1. L’homothétie ne peut donc pas faire correspondre des figures isométriques, car les droites qui relient les sommets homologues de deux figures isométriques placées côte à côte seront parallèles. Puisque des parallèles ne se coupent pas, il ne peut y avoir de centre d’homothétie. Sans centre d’homothétie, il n’y a pas d’homothétie. Penses-tu que le raisonnement de Marc-Antoine est valide ? Explique ta réponse à l’aide d’un exemple ou d’un contre-exemple.

5. Homothéotie Théo a tracé l’image du triangle équilatéral ABC par une homothétie de centre O. Le triangle ABC a un périmètre de 15 cm. Sur l’image de cette homothétie, il détermine que m A′C′ = 7,5 cm. De plus, il détermine que m OA′ = 9 cm.

6. Problème d’image Détermine si le triangle isocèle A′B′C′ peut être associé au triangle isocèle ABC par une homothétie. Explique comment tu as procédé.

Quelle distance sépare le point A du point A′ ?

A A′ 1,6 cm B′

1,2 cm

Présente ta démarche afin de bien montrer ton raisonnement.

C′

8 cm

B

C

6 cm

7. Petits et grands Calque chacune des figures suivantes et effectue les homothéties demandées. a) h(O, 3) b) h(O, 3) c) h(O, 2) 2 5 A

A

B

A O E

B

O

O

C

92

CHAPITRE 6

D

L’ISOMÉTRIE ET LA SIMILITUDE

B

C D

C

2.2

Les propriétés des figures semblables Dans la séquence précédente, tu as eu l’occasion de formuler ta propre définition de figures semblables à partir de contextes familiers, comme l’agrandissement de figures à l’aide d’un vidéoprojecteur. Dans cette séquence, tu seras en mesure de préciser le concept de figures semblables afin de l’utiliser en tant qu’outil de résolution de problèmes. Dans plusieurs situations de la vie courante, il est pratique de travailler avec des objets réduits ou agrandis par rapport à leur taille réelle. Les photographies en sont un bon exemple : certaines photos offrent une représentation agrandie de l’objet réel (microbes, virus, etc.) alors que d’autres photos présentent les objets en format réduit (photos de paysages, de l’espace, de personnes, etc.). A

Trouve d’autres situations où il est utile d’avoir : 1) une représentation réduite d’un objet réel ; 2) une représentation agrandie d’un objet réel.

B

Nomme des instruments qui permettent d’obtenir les représentations que tu as trouvées en A.

C

Selon toi, ces représentations sont-elles associées à l’objet réel par une homothétie ? Explique ta réponse.

GLOBULES ROUGES

PLANÈTE VÉNUS

CHUTES D’IGUAÇU (BRÉSIL)

LA SIMILITUDE

SECTION 2

93

Pour être utiles, les agrandissements ou les réductions d’objets doivent cependant respecter certaines conditions. Par exemple, une carte routière doit être à l’échelle pour représenter les rues d’une ville de façon adéquate. Comme dans le cas des figures associées par une homothétie, c’est la relation entre les angles homologues et la relation entre les côtés homologues qui permettent de déterminer si deux figures sont semblables.

La relation entre les angles homologues Thomas observe le coin de la feuille de son devoir à l’aide d’une loupe. Sa loupe permet de voir les objets comme s’ils étaient trois fois plus gros. A

Habituellement, quelle est la mesure de l’angle formé par le quadrillage d’une feuille ?

B

Quelle est la mesure de l’angle formé par le quadrillage de la feuille lorsqu’on le regarde avec la loupe ?

C

Que peut-on dire de la hauteur du chiffre 5 vu à la loupe par rapport à sa hauteur sur la feuille ?

D

Selon toi, le fait que deux figures aient des angles homologues isométriques est-il suffisant pour affirmer que ce sont des figures semblables ? Explique ta réponse.

Sur une feuille, trace un carré et un rectangle. 1. Les angles des deux quadrilatères que tu as tracés sont-ils tous isométriques ? 2. Selon toi, les deux quadrilatères que tu as tracés sont-ils semblables ? Explique ta réponse. 3. Selon toi, tous les rectangles tracés par tes camarades sont-ils semblables ? Explique ta réponse. 4. Selon toi, tous les carrés tracés par tes camarades sont-ils semblables ? Explique ta réponse. 5. Trace deux rectangles de tailles différentes : 1) qui ne sont pas semblables ; 2) qui sont semblables.

94

CHAPITRE 6

L’ISOMÉTRIE ET LA SIMILITUDE

La relation entre les côtés homologues On a donné un plan à l’échelle à Édouard afin qu’il installe une clôture sur un terrain. Il sait qu’il dispose de 90 m de largeur pour le devant de l’enclos.

15 cm 20 cm 45 cm 30 cm devant

90 m

A

Déduis les mesures manquantes sur le plan d’Édouard.

B

Quelle est l’échelle du plan d’Édouard ?

C

Quel concept mathématique utilise-t-on pour faire un plan à l’échelle ?

D

À l’aide de l’information trouvée en B, déduis les mesures de tous les côtés de l’enclos une fois qu’il sera construit.

E

Trace un plan de l’enclos à l’échelle 1 : 500.

F

Que peut-on dire du rapport : 1)

G

mesure d’un côté de la vraie clôture ? mesure du côté homologue sur le plan d’Édouard

2)

mesure d’un côté de la vraie clôture ? mesure du côté homologue sur ton plan

Selon toi, quelles sont les figures semblables dans cette situation ?

a) Lequel des deux triangles suivants est semblable au triangle isocèle ABC ? A M D 6

8

F

9

8

6

E

P

9

6

C

6

4

B

N

b) Donne les dimensions que pourrait avoir un triangle semblable à l’autre triangle. c) Énonce les conditions que doivent respecter deux figures pour être semblables. d) Compare ta réponse en c avec celles de tes camarades.

LA SIMILITUDE

SECTION 2

95

Les figures semblables C’est le contexte qui permet de dire si k représente le rapport de similitude ou le rapport d’homothétie.

Deux figures sont semblables si elles respectent les deux conditions suivantes. 1) Leurs angles homologues sont isométriques. 2) Les mesures de leurs côtés homologues sont proportionnelles. Le rapport des côtés homologues se nomme le rapport de similitude des deux figures. Ce rapport est représenté par la lettre k. mesure d’un côté de l’image

k = mesure du côté homologue de la figure initiale Exemple : Les deux rectangles suivants sont semblables, car leurs angles sont isométriques et les mesures de leurs côtés homologues sont proportionnelles. 6 cm

M¢ 4 cm

M



N

3 cm

2 cm

R

P

Le rapport de similitude est 1,5.





REMARQUES

• Pour désigner deux figures semblables, on utilise le symbole « ∼ », qui se lit « … est semblable à… ». • Deux figures isométriques sont semblables. • Deux triangles sont semblables si leurs angles homologues sont isométriques.

ATTENTION Des figures qui respectent seulement une des deux conditions ne sont pas semblables.

Exemples : Les rectangles suivants ne sont pas semblables, car bien que leurs angles soient isométriques, les mesures de leurs côtés homologues ne sont pas proportionnelles. 4 cm

E

F 4 cm

J

K

1 cm

2 cm

M H

L

G

Les quadrilatères suivants ne sont pas semblables, car bien que les mesures de leurs côtés homologues soient proportionnelles, leurs angles ne sont pas isométriques.

96

CHAPITRE 6

A

B

D

C

L’ISOMÉTRIE ET LA SIMILITUDE

P Q

S R

Les triangles semblables La plupart du temps, on ne peut pas conclure que deux figures sont semblables en comparant seulement la mesure de leurs angles homologues. A

Quelle autre contrainte deux figures doivent-elles respecter pour être semblables ?

B

Est-ce que tous les triangles sont semblables ? Explique ta réponse.

Contrairement aux autres polygones, un triangle possède toujours autant de côtés isométriques que d’angles isométriques.

«

»

Un triangle qui a deux angles isométriques a nécessairement deux côtés isométriques.

J’ai vu cette particularité l’an dernier !

Cette particularité s’avère très intéressante lorsque vient le temps de déterminer si deux triangles sont semblables.

1. Trace un segment et mesure-le. 2. Compare la mesure de ton segment avec celles de tes camarades. Vos segments sont-ils semblables ? Explique ta réponse. 3. À une extrémité de ton segment, trace un angle de 50°. 4. À l’autre extrémité, trace un angle de 70° pour former un triangle. 5. Sans le mesurer, détermine la mesure du troisième angle de ton triangle. 6. Les triangles tracés par tous tes camarades : a) sont-ils isométriques ? Explique ta réponse. b) sont-ils semblables ? Explique ta réponse. 7. Quelle information permet de conclure que deux triangles sont semblables ?

LA SIMILITUDE

SECTION 2

97

Les triangles semblables Deux triangles sont semblables si leurs angles sont isométriques. Puisqu’on peut déduire la mesure du troisième angle d’un triangle à partir des deux autres, il est possible de conclure que deux triangles ayant deux angles isométriques sont semblables.

1. Indique si les paires de triangles suivantes sont semblables ou non. Triangle 1

Triangle 2

a)

Un angle de 30° et un angle de 75°

Deux angles de 75°

b)

Équiangle

Isoangle

c)

Rectangle isocèle

Un angle de 45° et un angle droit

d)

Un angle de 100° et un angle de 50°

Deux angles de 50°

2. Compare tes réponses avec celles de tes camarades. 3. Voici les triangles semblables ABC et A′B′C′. B A′

5,4 c

cm

m 3,6

2,2

cm

B′

A 7,2 cm

C′

a) Ces triangles peuvent-ils être associés par une homothétie ? Explique ta réponse. b) Est-ce un agrandissement ou une réduction ? c) Quel est le rapport de similitude entre les deux triangles ? d) Comment le rapport de similitude confirme-t-il ta réponse en b ? e) Trouve la longueur de tous les côtés de l’image, puis calcule son périmètre. f ) Quel est le rapport des périmètres des deux triangles ? g) Formule une conjecture concernant le rapport des périmètres de deux figures semblables.

98

CHAPITRE 6

L’ISOMÉTRIE ET LA SIMILITUDE

C

Le rapport des aires de deux figures semblables Le rapport de similitude entre deux figures semblables fait référence au rapport des mesures de côtés homologues, au rapport de périmètres ou encore au rapport de hauteurs homologues. A

Selon toi, le rapport de similitude peut-il représenter aussi le rapport des aires de deux figures semblables ? Explique ta réponse.

Voici deux modèles de carreaux de céramique de forme carrée.

Carreaux de 5 cm de côté

0,20

Carreaux de 30 cm de côté

$

B

Est-ce que ces carreaux de céramique sont semblables ? Explique ta réponse.

C

Quel modèle de carreau de céramique te semble le plus économique pour recouvrir une certaine surface ?

D

Quel est le rapport de similitude entre les deux carreaux de céramique ?

E

Combien faut-il de petits carreaux pour couvrir la même surface qu’un grand carreau ?

F

Comment peux-tu répondre à la question E à partir de ta réponse à la question D ?

4,49

$

Voici deux triangles équilatéraux. 1. Quel est le rapport de similitude entre ces deux triangles ? 2. Combien de fois le petit triangle peut-il entrer dans le grand ?

1 cm

2 cm

3. Quel est le rapport des aires entre les deux triangles ? 4. Quel lien vois-tu entre le rapport de similitude et le rapport des aires ?

LA SIMILITUDE

SECTION 2

99

Le rapport des aires de deux figures semblables Le rapport de similitude entre deux figures est le rapport entre deux mesures de longueurs homologues. Il représente donc la comparaison d’une seule dimension des figures. Voici deux rectangles semblables où le rapport de similitude (k) est 3. C′ B′ A

2 cm

B

1 cm m

6c

D

C

D′ 3 cm

Pour calculer l’aire d’une figure, on multiplie deux dimensions. Arectangle initial = 2 • 1 = 2 cm2 Arectangle image = 6 • 3 = 18 cm2

A′

Pour calculer l’aire du rectangle image, on multiplie donc le rapport de similitude par lui-même. Arectangle image = 2 cm • 3 • 1 cm • 3 Arectangle image = 2 cm • 1 cm • 3 • 3 L’exposant du rapport de similitude, c’est le nombre de dimensions.

Arectangle image = 2 cm2 • 32 Arectangle image = Arectangle initial • 32 Le rapport des aires de deux figures semblables est donc égal au carré du rapport de similitude. Afigure image = Afigure initiale • k2 A

k2 = Afigure image figure initiale Afigure image = Afigure initiale • 32

Remplis le tableau suivant. Figure 1

Figure 2

3

3 4

k Pfigure initiale

20 cm

4 cm

Pimage Afigure initiale

24 cm2

Aimage

100

CHAPITRE 6

16 cm

L’ISOMÉTRIE ET LA SIMILITUDE

16 cm2

Figure 3

18 cm

Figure 4

Figure 6

5

5

36 cm

18 cm 20 cm2

Figure 5

50,3 cm 220 cm

93,4 cm2 14,9 cm2

5 cm 25,1 cm2

3025 cm2

1. Sans contexte

2. À ton avis A

Commente les affirmations suivantes.

9 cm D

a)

3,6 cm

«

1,8 cm

C

4,1 cm

B

E

b)

a) Les triangles CDE et CAB sont-ils semblables ? Explique ta réponse. b) Quel est le périmètre : 1) du triangle CDE ? 2) du triangle CAB ? périmètre du triangle CDE c) Quel est le rapport périmètre du triangle CAB ? d) Quelle est l’aire : 1) du triangle CDE ? 2) du triangle CAB ? e) Quel est le rapport des aires des deux triangles ?

«

Deux figures isométriques sont nécessairement des figures semblables.

»

Deux figures semblables sont nécessairement des figures isométriques.

»

3. Cent contextes a) Quelle est la taille de la fillette ?

b) Quelle est la hauteur du lampadaire ?

5m

3,5

x

1,9 m 1,3

m

x

1,6 m 2,5 m

10 m

LA SIMILITUDE

SECTION 2

101

4. Correspondants B

a) Est-ce que les triangles ABC et ADE sont semblables ? Explique ta réponse. b) Trouve m BD et m CE.

6 cm D

3,6 A

cm

3 cm

2 cm E

C

5. Au bureau de sa mère Josyane a fait trois photocopies de sa main en utilisant divers facteurs d’agrandissement et de réduction du photocopieur. Elle a appuyé sur les touches 200 %, 150 % et 75 % . Sur les photocopies, son index a une longueur de 4,5 cm, 9 cm et 12 cm. a) Quelle est la taille réelle de l’index de Josyane ? b) Le périmètre de la main de Josyane est de 65 cm. Quel est le périmètre de sa main : 1) sur la photocopie à 75 % ? 2) sur la photocopie à 150 % ? sur la photocopie à 200 % ? c) L’aire de la main de Josyane est de 50 cm2. Quelle est l’aire de sa main : 1) sur la photocopie à 75 % ? 2) sur la photocopie à 150 % ? 3) sur la photocopie à 200 % ? 3)

102

CHAPITRE 6

L’ISOMÉTRIE ET LA SIMILITUDE

1. Oui ou non ?

2. Origami

Remplis le tableau suivant en écrivant oui ou non dans les cases appropriées.

Découpe un triangle dans du papier. Par pliage, apporte chaque sommet sur un autre sommet et marque les plis.

conserve

l’orientation du plan

la mesure des côtés homologues

la mesure des angles homologues

La translation La rotation La réflexion

a) Que remarques-tu ? b) Selon toi, arriverais-tu au même résultat avec tous les triangles ? Formule une conjecture.

L’homothétie

3. Les deux sœurs

4. Pareils, pas pareils

Deux sœurs ont hérité d’un terrain triangulaire BAC, rectangle en A. Le côté AB mesure 84 m. Elles décident de partager équitablement le terrain à l’aide d’une barrière MN, qu’elles placent parallèlement au côté AC. À quel endroit précis doivent-elles placer la barrière pour que le terrain soit partagé de façon équitable ? Tu peux faire un schéma pour t’aider à répondre à cette question.

Voici trois rapports avec lesquels tu as travaillé cette année.

5. Miroir, mon beau miroir…

a) Trouve un point commun entre ces rapports. b) Propose un moyen de les distinguer.

Ariane affirme qu’elle peut évaluer la hauteur de l’érable, qui se trouve dans le parc près de chez elle. a) Comment procède-t-elle ? b) Pourquoi les triangles sont-ils semblables ?

Rapport d’homothétie Rapport de similitude Rapport (ou coefficient) de proportionnalité

Miroir

BRIC À MATHS

SECTION 2

103

6. Tri a) Identifie les triangles semblables parmi les triangles ci-dessous. 66° y

x

2,4 cm

2 cm 24°

y

24° 4,4 cm

75°

4,4 cm

x

66°

y

5 cm

3,5 cm 1,4 cm

81°

24°

81°

y

13°

4,8 cm

5,8 cm

x

66° x y

33° 4,1 cm

77° y 7,5 cm

b) Détermine la mesure des côtés x et des angles y sur ces figures.

7. Quel trafic ! Ce schéma représente une route sur laquelle la circulation est très dense. Elle est pourvue de bornes équidistantes.

Audréanne et Gabriel se situent d’un côté de la route. À l’aide d’un ruban à mesurer, comment peuvent-ils procéder pour déterminer la largeur de cette route sans la traverser ?

104

CHAPITRE 6

L’ISOMÉTRIE ET LA SIMILITUDE

1,8 cm

Certaines mesures sont arrondies.

8. Cinq par sept ou six par huit ? Zachary et Arnaud ont tous deux une photo de leur chienne, Mali. Zachary prétend que sa photo de Mali est semblable à celle d’Arnaud. Ce dernier n’est pas du même avis. 7

D’un point de vue mathématique, qui a raison ? Explique ta réponse.

8

5 6

9. Démesuré

10. L’intrus

Voici deux figures semblables.

Parmi les énoncés suivants, détermine lequel est faux. Tous les cercles sont semblables.

z O

y

4,9 cm

3 cm

1,4 cm

Tous les segments sont semblables.

O x 36°

Tous les carrés sont semblables.

2 cm

a) Sans mesurer, détermine x, y et z. b) Les deux figures peuvent-elles être associées par une homothétie ? Explique ta réponse.

Tous les pentagones sont semblables. Tous les angles de 60° degrés sont semblables.

11. Rebrousser chemin R′

Voici l’image obtenue par une homothétie de rapport 4 et de centre O. Dessine l’image qu’on aurait obtenue si le rapport d’homothétie avait plutôt été de 5.

S′

P′

O

T′

BRIC À MATHS

SECTION 2

105

12. Dans le vent Voici deux losanges semblables où m A′O = 4 cm, m B′O = 3 cm, m A′B′ = 5 cm et m AB = 1 cm. A′ a) Calcule le périmètre et l’aire des losanges. b) Quel est le rapport : 1) des deux périmètres ? 2) des deux aires ?

A O

D′

B′

B

D C

C′

13. En rapport avec l’algèbre Voici les rapports de mesure de côtés de deux quadrilatères associés par une homothétie. m A′B′ = 5 2 m AB

m B′C′ = 4 x m BC

m C′D′ = y 9 m CD

m D′A′ = z 3 m DA

a) Cette homothétie est-elle un agrandissement ou une réduction ? b) Peut-on calculer le périmètre des quadrilatères ? Si oui, quel est-il ? Sinon, pourquoi ? c) Peut-on calculer l’aire des quadrilatères ? Si oui, quelle est-elle ? Sinon, pourquoi ? d) Quel est le rapport des périmètres des deux quadrilatères ? e) Quel est le rapport des aires des deux quadrilatères ? f ) Pourquoi est-il possible de répondre à la question e même si on ne peut pas calculer l’aire des figures ?

14. Rapports en rafale a) Détermine le rapport des homothéties suivantes. O

A′

S′

A′

A A

Une homothétie qui associe un carré ayant un périmètre de 4 cm à une image ayant une aire de 16 cm2.

B

S

B′

b) Quel serait le rapport si, dans chaque cas, la figure image était plutôt la figure initiale ?

106

CHAPITRE 6

L’ISOMÉTRIE ET LA SIMILITUDE

Situation 1 Le concept de rotation se retrouve dans plusieurs situations de la vie courante. Par exemple, lorsque tu déverrouilles un cadenas, qu’il s’agisse d’un cadenas à clé ou à combinaison, tu fais intervenir le concept de rotation. Voici un cadenas à clé. a) Quels sont le centre, le sens et l’angle d’une rotation permettant d’ouvrir le cadenas ci-contre ?

Voici un cadenas à combinaison. Les trois rotations successives suivantes permettent d’ouvrir ce cadenas. À partir de zéro, tourner dans le sens des aiguilles d’une montre et arrêter à 10 après avoir fait deux tours complets ; Dans le sens inverse, tourner jusqu’à 24 après avoir fait un tour complet ; Tourner dans le sens des aiguilles d’une montre jusqu’à 8. b) Quel est l’angle associé à chaque rotation ?

Le sens des aiguilles d’une montre ? Celui que je vois quand je regarde le cadenas du dessus ou du dessous ?

Voici un autre type de cadenas à combinaison. La combinaison de ce cadenas est 5 – 6 – 9 – 1. Pour le déverrouiller, on tourne chaque roulette dans le sens des aiguilles d’une montre. c) Quel est l’angle de rotation associé à chaque roulette à partir de la position initiale 0 – 0 – 0 – 0 ? d) Quel est l’angle de rotation associé à chaque roulette à partir de la position initiale 0 – 0 – 0 – 0 si on tourne plutôt les roulettes dans l’autre sens ?

DANS LA VIE…

CHAPITRE 6

107

Situation 2 Voici le plan d’une cuisine. Des déménageurs doivent sortir les trois appareils électroménagers de cette cuisine. Chaque appareil électroménager occupe la même superficie sur le plancher. lave-vaisselle

cuisinière électrique

réfrigérateur

évier

On peut sortir la cuisinière électrique en lui faisant subir une translation de 8 carreaux de céramique vers la porte et parallèle au mur où se trouve l’évier. a) Propose une séquence de transformations qui permettent de sortir le réfrigérateur et le lave-vaisselle. Pour chaque transformation, indique toutes les caractéristiques la définissant. b) Pourquoi une réflexion n’est-elle pas logique dans ce contexte ? c) Compare tes réponses avec celles de tes camarades.

108

CHAPITRE 6

L’ISOMÉTRIE ET LA SIMILITUDE

Faire le point Complète le texte suivant. 1

Des figures isométriques sont des figures ayant tous leurs leurs isométriques.

2

Une translation est définie par une

3

Une rotation est définie par un

4

Une réflexion est définie par un

5

Contrairement à la translation et à la rotation, la réflexion ne conserve pas l’

6

Dans une translation, les côtés homologues de la figure initiale et de l’image sont , en plus d’être isométriques.

7

Dans une rotation, les côtés homologues de la figure initiale et de l’image sont isométriques, mais ne sont pas .

8

Dans une réflexion, les segments liant deux sommets homologues sont à l’axe de réflexion.

9

Une homothétie est définie par un

10

L’homothétie de rapport k ≠ 1 associe des figures

11

Dans une homothétie, les côtés homologues de la figure initiale et de l’image sont .

12

Plus le rapport d’homothétie grandit, plus l’image

13

Des figures semblables ont des angles homologues homologues dont les mesures sont .

14

Deux triangles sont semblables s’ils ont

, une

et tous

et un

, un

et un

. .

.

et un

.

. .

et s’éloigne du

.

et des côtés

angles homologues isométriques.

En t’inspirant des énoncés ci-dessus, organise maintenant tes connaissances en utilisant la méthode de ton choix, que ce soit un résumé, un tableau ou un réseau de concepts. Tu peux inclure d’autres concepts et processus que tu juges essentiels dans ta synthèse.

ESCALE

CHAPITRE 6

109

Activité d’intégration On peut utiliser les propriétés des figures isométriques pour résoudre des problèmes non seulement dans un cadre scolaire, mais aussi dans la vie courante. En construction, par exemple, on compte souvent le nombre de panneaux du plafond pour déduire les dimensions d’une pièce. Pour ce faire, on s’appuie sur le fait que le plafond est isométrique au plancher et que les panneaux du plafond sont isométriques entre eux. Bien que ce soit un peu plus complexe, on peut également se servir des propriétés des figures semblables pour mesurer divers objets qu’il serait difficile de mesurer avec une règle, comme la hauteur d’un arbre ou celle d’un édifice. C’est d’ailleurs ce que tu as fait, théoriquement, à l’activité de la page 101.

Tu vas maintenant utiliser cette technique de résolution de problèmes pour mesurer la hauteur de ton école. Tu verras que, contrairement à un problème dans un manuel scolaire, plusieurs facteurs peuvent influencer la démarche de résolution d’un problème dans la vie courante. 1. Trace un schéma qui montre comment tu pourrais procéder pour déterminer la hauteur de ton école à l’aide de triangles semblables. Tu n’as pas à indiquer de mesures sur ton schéma pour l’instant. 2. Avec une ou un camarade, va prendre toutes les mesures dont tu as besoin pour pouvoir calculer la hauteur de l’école. 3. Calcule la hauteur de l’école à partir des données que tu as recueillies. 4. Explique comment les valeurs calculées dans ta classe permettent d’arriver à une mesure relativement précise de la hauteur de l’école.

110

CHAPITRE 6

L’ISOMÉTRIE ET LA SIMILITUDE

Lorsqu’il fait soleil, on peut aussi y parvenir avec l’ombre.

Pour une bonne cause Que ce soit la lutte contre la pauvreté, la protection de l’environnement, la recherche d’un remède contre la leucémie ou encore le financement d’une équipe de sport, il existe de nombreuses causes auxquelles on peut contribuer. Certaines d’entre elles peuvent naturellement nous tenir plus à cœur, mais la publicité peut aussi jouer un rôle important dans l’intérêt qu’on porte à une cause. Dans une stratégie publicitaire, comme dans une campagne de sensibilisation, le logo et le slogan constituent des éléments importants. Est-ce que ces éléments captent ton attention lorsque tu regardes une publicité ?

Tâche

Ton mandat Créer un logo et trouver un slogan pour un organisme que tu aimerais un jour mettre sur pied.

1

a) Choisis une cause qui te touche et pour laquelle tu voudrais fonder un organisme. b) Trouve un nom accrocheur à ton organisme. c) Trouve un slogan original qui reflète bien ce que ton organisme représente.

Tâche

2

a) Dans un logiciel de géométrie dynamique, crée une image à partir de figures géométriques. Si tu as besoin d'aide, demande à ton enseignante ou à ton enseignant de te donner la fiche qui présente la marche à suivre. b) Pour créer le logo de ton organisme, reproduis plusieurs fois ton image à l'aide de transformations géométriques (translation, rotation, réflexion ou homothétie).

Tâche

3

a) Conçois une affiche pour présenter ton logo et ton slogan à tes camarades. b) En groupe, choisissez celle qui vous semble la meilleure, c’est-à-dire qui sert le mieux la cause. Discutez des éléments qui vous portent à faire ce choix.

OPTION PROJET

CHAPITRE 6

111

7

BECKHAMPTON, WILTSHIRE, ANGLETERRE, AOÛT 1998

112

CHERHILL, WILTSHIRE, ANGLETERRE,

JUILLET

1999

Les photos de la page ci-contre présentent des agroglyphes (ou cercles de récolte). Les agroglyphes sont des dessins, souvent des formes géométriques sophistiquées, qui apparaissent « mystérieusement » dans certains champs de céréales.

1. Reconnais-tu certaines transformations géométriques dans ces agroglyphes ? Si oui, lesquelles ?

2. Détermine toutes les mesures des angles qu’on retrouve dans l’agroglyphe de Beckhampton.

3. Qu’est-ce que tu as dû supposer pour trouver les mesures à la question 2 ?

4. Reproduis à l’échelle les deux grands pentagones

CLATFORD, WILTSHIRE, ANGLETERRE,

JUILLET

1999

et la grande étoile de l’agroglyphe de Beckhampton, de façon que le périmètre du plus grand pentagone soit égal à 30 cm.

• Polygones réguliers convexes – Segments et droites remarquables – Mesures d’angles • Recherche de mesures manquantes • Périmètre de polygones réguliers • Aire de polygones réguliers • Selon toi, comment sont formés les agroglyphes ? • Comment les médias influencent-ils l’opinion et les croyances des gens ?

ROCKVILLE, CALIFORNIE, ÉTATS-UNIS,

JUILLET

2003

SO MM AI RE Section 1 – La régularité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Section 2 – Le périmètre et l’aire de polygones réguliers . . Dans la vie... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Escale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Option projet – Génies du jardin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

114 135 152 154 156

113

La régularité Régulier : Dont la forme présente des proportions harmonieuses, équilibrées, égales. Mot qui vient du latin regularis, de regula : règle.

L’an dernier, tu as eu l’occasion de faire l’étude générale des polygones. Cette étude a conduit à une analyse des caractéristiques particulières aux polygones à trois et à quatre côtés. Ce chapitre traite également de polygones qui présentent des caractéristiques particulières, soit les polygones réguliers. Par ailleurs, l’étude des transformations géométriques t’a permis de constater qu’il est possible de transformer une figure tout en conservant plusieurs de ses caractéristiques ou même toutes ses caractéristiques. A

Décris, avec le plus de précision possible, la ou les transformations qu’on retrouve dans l’agroglyphe du centre de la page 112.

Agroglyphe : Mot qui vient du latin agros : champ, et gluphein : graver.

1.1

La nature fait bien les choses Le chapitre 3 sur les modèles mathématiques t’a permis de découvrir et d’apprécier le rôle important de la mathématique dans la compréhension du monde qui t’entoure. Les graines de la fleur de tournesol, la coquille du nautile et les cônes de pin sont de beaux exemples de la manifestation de la suite de Fibonacci dans la nature. Évidemment, en plus des manifestations des éléments de la suite de Fibonacci, on retrouve plusieurs autres contextes où la nature semble s’inspirer de la mathématique, ou vice-versa, comme en témoignent les images ci-dessous.

114

CHAPITRE 7

LES POLYGONES RÉGULIERS

A

Décris les caractéristiques communes aux objets de la page précédente.

B

Quel lien peut-on établir entre ces formes et un cercle ? Explique ta réponse.

C

Pour chacun de ces objets de la nature, décris avec le plus de précision possible la ou les transformations qu’on peut y retrouver.

Les formes des objets de la nature de la page précédente et celles des agroglyphes de l’Exploration peuvent être qualifiées de régulières. D

Inspire-toi des caractéristiques de tous ces objets et formule ta propre définition de « forme régulière ».

E

Compare ta définition avec celles de tes camarades.

Observe les objets ci-dessous.

1. Lesquels te rappellent des formes régulières ? 2. Pour chacun des objets nommés à la question 1 : a) dessine, à main levée, la figure géométrique à laquelle tu l’associes ; b) essaie de nommer cette figure. 3. Nomme d’autres objets qui ont ou qui peuvent avoir une forme régulière.

LA RÉGULARITÉ

SECTION 1

115

1.2

Des polygones aux polygones réguliers Cette séquence te permettra de revoir les concepts abordés l’an dernier sur les polygones en général et d’analyser les caractéristiques des polygones réguliers convexes qui font l’objet de ce chapitre. A

Sur une feuille, trace une figure : qui n’est pas un polygone ; 2) qui est un polygone convexe ; 3) qui est un polygone non convexe. 1)

B

Formule une définition de « polygone » et de « polygone convexe ».

L’Action ! qui suit te permettra de classifier différentes figures géométriques en fonction de leurs caractéristiques.

Voici 7 figures géométriques et un diagramme de Venn (page suivante) dont les régions correspondent à différentes caractéristiques de ces figures.

Dans les figures et , tous les angles et les côtés qui paraissent isométriques le sont.

116

CHAPITRE 7

LES POLYGONES RÉGULIERS

1. Reproduis le diagramme de Venn et inscris le numéro correspondant à chacune des figures géométriques dans la bonne région.

Figures géométriques

Polygones

2. Pour chacune des régions, trace une autre figure géométrique qui répond aux caractéristiques indiquées. 3. Y a-t-il des régions dans le diagramme pour lesquelles tu n’as pas réussi à tracer une figure ? Explique pourquoi. 4. À partir du travail que tu as réalisé dans cette Action !, formule une définition de « polygone régulier convexe ».

convexes

croisés

réguliers

Le polygone régulier convexe Un polygone régulier convexe est un polygone qui répond aux contraintes suivantes. Il est convexe, 2) Il est équilatéral, 3) Il est équiangle. 1)

Exemples :

Polygones réguliers

Équilatéral : Un polygone est équilatéral si tous ses côtés sont isométriques. Équiangle : Un polygone est équiangle si tous ses angles sont isométriques.

ATTENTION Contre-exemples :

Ce chapitre traite des polygones réguliers qui sont convexes. Pour simplifier, on n’écrira donc pas systématiquement le terme « convexe ». Celui-ci sera sous-entendu.

Polygones non réguliers

LA RÉGULARITÉ

SECTION 1

117

Le nom d’un polygone fait référence à son nombre d’angles (ou son nombre de côtés). Polygones réguliers Nombre de côtés

Nom

3

triangle équilatéral

4

carré

5

pentagone régulier

6

hexagone régulier

7

heptagone régulier

8

octogone régulier

9

ennéagone régulier

10

décagone régulier

11

hendécagone régulier

12

dodécagone régulier

Carré régulier, c’est comme « monter en haut » !

C

Selon toi, pourquoi le terme « équilatéral » est-il suffisant pour décrire un triangle régulier ?

D

Trouve un objet qui rappelle : 1) un pentagone régulier ; 2) un octogone régulier ;

3)

un hexagone régulier.

Les axes de symétrie des polygones réguliers À partir de plusieurs petits objets multicolores, un kaléidoscope peut produire, par réflexion, une infinité d’images de formes régulières. Voici une image provenant d’un kaléidoscope.

Kaléidoscope : Mot qui vient du grec kalos : beau, eîdos : aspect, et skopein : regarder.

A

118

CHAPITRE 7

LES POLYGONES RÉGULIERS

Comment ferais-tu pour dessiner une image semblable à celle observée à l’intérieur d’un kaléidoscope ?

Il est difficile de créer à la main un dessin aussi détaillé et précis que l’image observée à l’intérieur d’un kaléidoscope. De nos jours, il est toutefois possible de créer des kaléidoscopes virtuels à l’aide d’un logiciel de géométrie dynamique.

Question de

culture

Le kaléidoscope est un appareil cylindrique clos, généralement fait de carton ou de métal. L’intérieur est composé de miroirs et les bouts sont des verres blancs qui laissent pénétrer la lumière. À l’une des extrémités se trouvent plusieurs petits objets mobiles et de différentes couleurs. La réflexion de ces objets sur les miroirs produit une infinité d’images de formes régulières.

LA CONSTRUCTION DE L’IMAGE D’UN KALÉIDOSCOPE Voici une illustration des étapes de la construction de l’image d’un kaléidoscope dans un logiciel de géométrie dynamique.

1. Décris les étapes de la construction de l’image. 2. Donne un titre à chacune des étapes. Une médiatrice, c’est une droite 3. Combien de diagonales sont tracées qui est perpendiculaire à un dans le dodécagone régulier ? segment et qui passe par son milieu. 4. Combien de médiatrices différentes peut-on tracer dans un dodécagone régulier ? 5. Combien d’axes de symétrie le dodécagone régulier possède-t-il ? 6. Explique, à l’aide d’un exemple, la différence entre « axe de réflexion » et « axe de symétrie ».

Axe de symétrie : Droite qui partage une figure en deux figures isométriques, pouvant être superposées par pliage.

LA RÉGULARITÉ

SECTION 1

119

Voici 4 polygones réguliers.

1. Trace tous les axes de symétrie de ces polygones. 2. Combien d’axes de symétrie comporte chacun des polygones ? 3. Selon toi, combien d’axes de symétrie comporte un polygone régulier à n côtés ? 4. Quelle différence y a-t-il entre les axes de symétrie des polygones qui ont un nombre pair de côtés et ceux qui ont un nombre impair de côtés ? 5. Que peut-on affirmer au sujet du point d’intersection des axes de symétrie ? 6. Compare tes réponses avec celles de tes camarades.

Les particularités des polygones réguliers Un polygone régulier a autant d’axes de symétrie qu’il a de côtés ou de sommets. Si le nombre de côtés est pair, la moitié de ces axes sont les médiatrices du polygone ; l’autre moitié de ces axes sont les bissectrices des angles du polygone. Exemple : L’octogone régulier ci-contre possède huit axes de symétrie : – quatre axes sont les médiatrices des côtés ; – quatre axes sont les bissectrices des angles.

Si le nombre de côtés est impair, chaque axe de symétrie est à la fois une bissectrice et une médiatrice. Exemple : Le pentagone régulier ci-contre possède cinq axes de symétrie. Chacun de ces axes est la bissectrice d’un angle et la médiatrice du côté opposé à cet angle.

120

CHAPITRE 7

LES POLYGONES RÉGULIERS

1. Un cube ? Pierre-André a partagé cet hexagone régulier en trois losanges isométriques. a) Dessine un hexagone régulier partagé en : 1) deux trapèzes isocèles ; 2) six triangles isométriques. b) Classifie les six triangles de la question précédente. Explique ta réponse.

3. Ni plus ni moins a) Combien d’axes de symétrie possède : 1) un heptagone régulier ? 2) un dodécagone régulier ? 3) un polygone régulier à n côtés ? b) Quelle différence y a-t-il entre les axes de symétrie d’un polygone régulier ayant un nombre pair de côtés et ceux d’un polygone régulier ayant un nombre impair de côtés ?

2. Nécessairement, ou pas ? a) Un polygone équilatéral est-il nécessairement régulier ? Illustre ta réponse à l’aide d’un exemple. b) Un polygone équiangle est-il nécessairement régulier ? Illustre ta réponse à l’aide d’un exemple.

4. Toile d’araignée Comment pourrais-tu utiliser les axes de symétrie d’un polygone régulier pour effectuer une homothétie ?

5. Monnaie régulière Quelle figure géométrique te rappelle le dessus d’une pièce de 1 $ ?

LA RÉGULARITÉ

SECTION 1

121

1.3

Les angles des polygones réguliers Le travail que tu as réalisé jusqu’à maintenant sur les polygones t’a permis de découvrir certaines propriétés des angles dans les polygones convexes. Ces propriétés, jumelées aux caractéristiques des polygones réguliers, te permettront maintenant d’établir d’autres relations.

1. Voici 4 polygones réguliers.

a) Situe le centre de chacun de ces polygones. b) Pour chaque polygone, relie le centre à chacun des sommets. c) Que peut-on dire au sujet des segments reliant le centre aux sommets ? d) Formule une conjecture au sujet des polygones réguliers et du cercle. 2. En reliant le centre des polygones aux sommets, quel type de triangles as-tu formé ? 3. Ces triangles sont-ils isométriques ? Explique ta réponse. 4. Chacun de ces triangles comprend un angle dont le sommet est au centre du polygone régulier. a) Détermine la mesure de l’angle dont le sommet est au centre de chacun des polygones de la question 1. b) Pour un polygone régulier à n côtés, quelle expression correspond à la mesure de l’angle dont le sommet est au centre du polygone ? c) Compare tes réponses avec celles de tes camarades. 5. Utilise tes réponses aux questions 2 et 4a pour déterminer les mesures des angles intérieurs d’un polygone régulier qui a : a) 5 côtés ; c) 7 côtés ; b) 6 côtés ;

122

CHAPITRE 7

LES POLYGONES RÉGULIERS

d) n côtés.

Les angles intérieurs d’un polygone régulier Tout polygone régulier peut être inscrit dans un cercle. On dit qu’un polygone est inscrit dans un cercle ou qu’un cercle est circonscrit à un polygone si le cercle passe par tous les sommets du polygone. Le point d’intersection des axes de symétrie d’un polygone régulier est le centre du cercle circonscrit à ce polygone. Exemples :

En reliant le centre d’un polygone régulier à chacun des sommets, on le partage en n triangles isocèles isométriques dont un des angles est au centre du polygone. La mesure de cet angle se calcule de la façon suivante. 360° n

Exemple : L’angle qui est au centre d’un pentagone régulier mesure

72°

360° 5

= 72°.

72°

72°

72° 72°

Puisque la somme des mesures des angles intérieurs d’un triangle est de 180° et puisque les triangles sont isocèles et isométriques, on peut déduire une relation qui permet de calculer la mesure d’un angle intérieur d’un polygone régulier à n côtés. Mesure d’un angle intérieur d’un polygone régulier à n côtés = 180° − 360° n

Exemple : Dans un pentagone régulier, la mesure de l’angle intérieur se calcule de la façon suivante. 180° − 360° = 180° − 72° = 108° 5 108° 108°

108°

108°

108°

LA RÉGULARITÉ

ATTENTION Tu as vu l’an dernier que la relation permettant de calculer la somme des mesures des angles intérieurs d’un polygone régulier à n côtés est : (n − 2) • 180°.

SECTION 1

123

Les angles extérieurs Une couturière fixe un appliqué en forme de pentagone régulier sur un jean.

108°

C’est le même principe que l’an dernier, sauf que tous les angles extérieurs sont isométriques parce que le polygone est régulier.

A

Lorsqu’elle aura fait le tour de l’appliqué, de combien de degrés en tout aura-t-elle tourné la pièce ?

B

L’angle dans lequel elle doit tourner la pièce à chacun des coins correspond à un angle extérieur. Existe-t-il une relation entre le nombre de côtés de la pièce et la mesure d’un angle extérieur ? Explique ta réponse.

C

Détermine la mesure d’un angle extérieur : 1) pour cette pièce de tissu ; 2)

pour une pièce en forme d’hexagone régulier.

D

Quelle expression permet de calculer la mesure de l’angle extérieur pour un polygone régulier à n côtés ?

E

Quelle relation existe-t-il entre la mesure de l’angle extérieur et la mesure de l’angle intérieur ?

Les angles extérieurs d’un polygone régulier Dans un polygone, la somme des mesures des angles extérieurs est de 360°. Lorsque le polygone est régulier, tous les angles sont isométriques et la mesure de chacun des angles extérieurs peut donc se calculer de la façon suivante. Mesure de l’angle extérieur d’un polygone régulier à n côtés = 360° n

Exemple : Dans un pentagone régulier, la mesure d’un angle extérieur se calcule de la façon suivante. 360° = 72° 5

72° 72° 72° 72° 72°

124

CHAPITRE 7

LES POLYGONES RÉGULIERS

1. Avocat du diable

2. Le tour du centre

Indique si les énoncés suivants sont vrais ou faux. Explique tes réponses. a) L’angle intérieur et l’angle extérieur en un sommet d’un polygone convexe sont supplémentaires.

Détermine la mesure d’un angle extérieur d’un : a) triangle équilatéral ; b) heptagone régulier ;

b) Plus un polygone régulier a de côtés, plus la mesure de chaque angle intérieur est grande. c) Il est possible de tracer un polygone régulier dont les angles intérieurs mesurent 100°. d) La somme des mesures des angles extérieurs d’un polygone convexe dépend du nombre de côtés que possède le polygone. e) Un polygone régulier est nécessairement équiangle, mais un polygone équiangle n’est pas nécessairement régulier.

c) décagone régulier.

3. Dallage On trouve dans Internet des applets qui permettent de créer des dallages à partir de polygones réguliers. La figure ci-dessous a été réalisée à l’aide d’un de ces applets.

Applet : Petit programme s’exécutant à l’intérieur d’une autre application et conçu pour effectuer une tâche très précise.

Un dallage, c’est quand on dispose des polygones de façon qu’il n’y ait aucun espace entre les polygones, ni aucune superposition de figures.

a) Propose un autre dallage régulier que tu peux construire à l’aide de cet applet. b) Quelle condition un polygone régulier doit-il respecter pour qu’on puisse l’utiliser pour former un dallage régulier ? c) À partir des polygones proposés dans l’applet, trace un dallage avec : 1) deux types de polygones ; 2) trois types de polygones.

Dallage régulier : Dallage construit avec des polygones réguliers isométriques.

LA RÉGULARITÉ

SECTION 1

125

4. Dallage 3D Voici le développement d’un dodécaèdre régulier. Détermine la mesure de l’angle ABC.

Dodécaèdre régulier : Polyèdre régulier dont les douze faces sont des pentagones réguliers isométriques.

A C

B

5. Angle recherché ABCDEF est un hexagone régulier et EFGH est un parallélogramme. Sans utiliser ton rapporteur, détermine la mesure de l’angle EHG. Justifie les étapes de ton raisonnement. C

D

E

B

6. Qui est-ce ? Identifie le polygone régulier qui a : a) des angles extérieurs : 1) de 45° ; 2) de 120° ; b) des angles intérieurs : 1) de 120° ; 2) de 144° .

H

7. Un pour deux A

F

G

Détermine la mesure de l’angle extérieur d’un polygone régulier dont un angle intérieur mesure x °.

8. Stella L’étoile ci-contre est régulière. Détermine la mesure de l’angle ACE. Justifie toutes les étapes qui t’ont permis de déterminer cette mesure.

B

F

A

G

J

C

H I

E

126

CHAPITRE 7

LES POLYGONES RÉGULIERS

D

1.4

Les constructions Exploration Dans l’Exploration, tu devais reproduire certains éléments d’un agroglyphe. 1. Si tu avais à recommencer la reproduction que tu as réalisée dans l’Exploration, quelles propriétés des polygones réguliers pourraient faciliter ta tâche ? 2. Selon toi, est-ce que tous les polygones réguliers se dessinent de la même façon ?

1. Trace quatre cercles sur une feuille. Pour chacun des cercles, indique clairement le centre. Essaie de placer : a) trois points sur le premier cercle pour former un triangle équilatéral ; b) quatre points sur le deuxième cercle pour former un carré ;

Question de

culture

LES AGROGLYPHES Mystérieuse, l’origine des agroglyphes est controversée. Certains agroglyphes sont, de toute évidence, d’origine humaine puisque leurs auteurs révèlent la manière dont ils ont créé leurs motifs spectaculaires. Cependant, plusieurs estiment que certains agroglyphes ne peuvent être d’origine humaine car, selon eux, leur fabrication nécessiterait trop de temps et des techniques qui nous sont inconnues. Certaines personnes stipulent donc que ces agroglyphes sont d’origine naturelle (par exemple, causés par les vents) ou même d’origine extraterrestre.

c) cinq points sur le troisième cercle pour former un pentagone régulier ; d) six points sur le quatrième cercle pour former un hexagone régulier. 2. As-tu utilisé des méthodes différentes pour placer les points sur chacun des cercles ? 3. Décris une méthode qui pourrait servir à construire tout polygone régulier.

LA RÉGULARITÉ

SECTION 1

127

Tracer des polygones réguliers : à partir de la mesure du rayon du cercle circonscrit Plusieurs méthodes permettent de tracer des polygones réguliers. La méthode à privilégier dépendra, entre autres, des mesures dont on dispose. Par définition, un polygone régulier est équiangle et équilatéral. Ces deux propriétés font en sorte que tout polygone régulier est inscriptible dans un cercle. Cette propriété du polygone régulier en facilite le traçage. Lorsque le rayon du cercle circonscrit au polygone régulier doit avoir une mesure précise, on commence le traçage avec cette mesure. Par exemple, voici comment on trace un pentagone régulier inscrit dans un cercle dont le rayon mesure 3 cm. Tracer un cercle de la grandeur voulue. 3 cm

À l’aide du rapporteur, tracer un angle au centre de la mesure voulue. 360° = 72° 5

Fixer l’ouverture du compas à la distance entre les points d’intersection des côtés de l’angle au centre et du cercle.

72°

Reporter cette mesure sur le cercle pour marquer les sommets. Tracer les côtés du pentagone à l’aide d’une règle.

1. Trace un ennéagone régulier inscrit dans un cercle dont le rayon mesure 5 cm. 2. Trace un carré dont la diagonale mesure 8 cm.

128

CHAPITRE 7

LES POLYGONES RÉGULIERS

Tracer des polygones réguliers : à partir de la mesure du côté Lorsque les côtés d’un polygone doivent avoir une mesure précise, on commence le traçage avec cette mesure. Par exemple, voici comment on trace un pentagone régulier dont les cotés mesurent 3 cm. Tracer un côté du polygone régulier de la longueur voulue. Utiliser la mesure de l’angle au centre pour déterminer la mesure et construire les angles à la base d’un des triangles isocèles du polygone.

A

3 cm

54°

À l’aide du compas, tracer le cercle qui passe par les extrémités du segment et dont le centre est l’autre sommet du triangle isocèle. Fixer l’ouverture du compas à la longueur d’un côté du polygone.

360° = 72° 5 180° − 72° = 54° 2

O

A

B

54°

B

O

A

Reporter cette mesure sur le cercle pour marquer les sommets. Tracer les côtés du polygone régulier à l’aide d’une règle.

B

O

A

B

1. Trace un ennéagone régulier dont les côtés mesurent 3 cm. 2. Trace un hexagone régulier dont les côtés mesurent 3 cm. A

Selon toi, pourrait-on arriver à tracer un polygone régulier sans avoir recours au cercle circonscrit ? Explique ta réponse.

B

À partir de l’hexagone que tu as tracé dans l’Action ! précédente, détermine quelles sont les caractéristiques particulières à l’hexagone qui facilitent son traçage.

LA RÉGULARITÉ

SECTION 1

129

Les cas particuliers Le cercle circonscrit facilite le traçage d’un polygone régulier. Il est même possible, dans certains cas, de tracer des polygones réguliers sans mesurer quoi que ce soit. Par exemple, il est facile de tracer un triangle équilatéral.

A

Inspire-toi du triangle équilatéral ci-dessus pour tracer un hexagone régulier sans mesurer quoi que ce soit.

DU SEGMENT AU POLYGONE RÉGULIER À l’aide d’un logiciel de géométrie dynamique, on peut construire un pentagone régulier à partir d’un segment, de deux rotations et de deux réflexions aussi appelées « symétries axiales ». À l’aide de l’outil Nombre, inscrire 72 360° 5 . À l’aide de l’outil Segment, tracer un segment. À l’aide de l’outil Rotation, appliquer une rotation au segment en désignant : le segment comme objet initial, le nombre 72 comme l’angle de rotation et un des deux points à l’extrémité du segment comme centre. Utiliser des isométries pour compléter la construction des segments. À l’aide de l’outil Segment, tracer le pentagone régulier. 1. Décris une méthode qui permet de construire, à l’aide d’isométries, un octogone régulier à partir d’un segment. 2. Vérifie, dans un logiciel de géométrie, si ta méthode est valable. 3. Compare ta méthode avec celles de tes camarades. 4. Quelles méthodes comportent le moins d’étapes ? 5. Propose une suite de transformations qui permet de construire, à partir d’un segment, un hexagone régulier sans avoir recours à l’outil Segment.

130

CHAPITRE 7

LES POLYGONES RÉGULIERS

1. Origami 101 Dans une feuille de papier, découpe une bande rectangulaire de 2 cm de largeur. Fais un nœud simple avec la bande de papier et aplatis le nœud pour bien définir les plis. Quel polygone régulier les plis forment-ils ?

2. Un triangle suffisant 3. Les polygones font des petits Reproduis les polygones réguliers suivants et utilise-les pour tracer respectivement un hexagone, un octogone et un décagone réguliers sans mesurer quoi que ce soit.

4. Bissectrice de l’angle droit Trace un polygone régulier dont l’angle extérieur mesure 45°.

Voici un des triangles isocèles d’un polygone régulier. a) Reproduis-le, puis complète le tracé du polygone. b) Nomme le polygone régulier que tu as tracé.

5. Homothétie Calque le pentagone suivant, puis agrandis-le de façon à obtenir un pentagone dont les côtés mesurent 3,5 cm.

6. Partie manquante Une partie du polygone régulier suivant a été effacée. a) Calque la partie qui reste, puis complète le polygone avec tes instruments de géométrie. b) Nomme le polygone régulier que tu as tracé.

7. 10 • 3 = 30 a) Trace un décagone régulier de 3 cm de côté. b) Explique le titre de l’activité.

LA RÉGULARITÉ

SECTION 1

131

1. Qui suis-je ?

2. Rapports par rapports Indique si les rapports suivants sont proportionnels. a) Le rapport entre le nombre de côtés d’un polygone régulier et la mesure de son angle extérieur. b) Le rapport entre le nombre de côtés d’un polygone régulier et la mesure de son angle intérieur. c) Le rapport entre le nombre de côtés et le nombre d’angles extérieurs.

4. Combien de degrés ? Dans la figure ci-dessous, le triangle et l’hexagone sont réguliers. Détermine la mesure de l’angle ABF.

Pour chaque caractéristique ci-dessous, nomme le polygone régulier qui la possède. a) La mesure de l’angle extérieur est de 10°. b) La mesure de l’angle intérieur est de 150°. c) La somme des mesures de trois angles intérieurs est de 480°. d) La mesure de l’angle extérieur est de 36°. e) La somme des mesures de deux angles extérieurs est de 10°.

3. Conjecture ? Voici ce qu’affirme Charlène. Toute médiatrice d’un côté d’un polygone régulier est un axe de symétrie de ce polygone. Donc, dans tout polygone régulier, il y a autant d’axes de symétrie que de médiatrices.

Charlène a-t-elle raison ? Explique ta réponse.

F

A

E

B

D C

132

CHAPITRE 7

5. Remplir des trous Complète les phrases suivantes. a) Un pentagone régulier a côtés, des angles intérieurs de degrés et des angles extérieurs de degrés. b) Le polygone régulier qui possède 12 côtés se nomme un . Dans ce polygone, les angles intérieurs mesurent degrés et les angles extérieurs mesurent degrés. c) Le est un polygone régulier à côtés dont les angles intérieurs mesurent et les angles extérieurs mesurent 36°.

LES POLYGONES RÉGULIERS

6. Pentagramme

7. Double sens

Dans le pentagone régulier ci-contre, déduis la mesure de :

Commente les affirmations suivantes. Tout polygone régulier a) peut être inscrit dans un cercle. b) Tout polygone inscrit dans un cercle est un polygone régulier.

a) l’angle a ; b) l’angle b ; c) l’angle c.

a c

b

8. Laisser sa trace Voici les traces de construction d’un hexagone régulier.

« «

»

»

9. Deux fois plus dedans que dehors Quel est le nom du polygone régulier dont la mesure de l’angle intérieur est deux fois plus grande que celle de l’angle extérieur en chaque sommet ?

Dans tes propres mots, explique comment on a procédé.

10. Le carreleur Un carreleur dispose de carreaux de formes polygonales régulières de 4 cm de côté : des triangles, des carrés, des pentagones, des hexagones, des octogones et des décagones. a) Peut-il proposer le motif ci-contre à ses clients ? Explique ta réponse. b) Quels motifs de carrelage peut-il proposer à ses clients ?

BRIC À MATHS

SECTION 1

133

11. La démo Louis a démontré la conjecture suivante. Dans un pentagone régulier ABCDE, on trace les diagonales AC et BD. Ces diagonales se coupent en T. Le segment AT a la même A longueur qu’un des côtés du pentagone.

B

T

E

C

D

Ses explications ont été perdues, mais les étapes de sa démarche ont été retrouvées. Observe attentivement cette démarche et reformule, dans tes propres mots, comment il a pu prouver la conjecture ci-dessus.

tape 1

tape 4

134

CHAPITRE 7

LES POLYGONES RÉGULIERS

tape 2

tape 5

tape 3

tape 6

Le périmètre et l’aire de polygones réguliers Depuis le primaire, tu as eu l’occasion d’explorer des situations où les concepts de périmètre et d’aire sont requis. Dans cette section, en plus de développer des relations permettant de calculer le périmètre et l’aire de polygones réguliers, tu auras l’occasion d’améliorer ta compréhension de ces deux concepts. A

Selon toi, deux polygones réguliers qui ont le même périmètre ont-ils nécessairement la même aire ? Explique ta réponse.

Même si le concept de périmètre est relativement simple, son étude a permis de faire naître un concept mathématique beaucoup plus complexe : les fractales.

Question de

culture

À LA LOUPE Comment mesure-t-on le périmètre d’une île ? Tout dépend de l’échelle à laquelle on l’observe. En effet, plus on regarde le littoral de près, plus les détails sont visibles et plus le calcul du périmètre apparaît complexe. En parcourant la côte, on s’aperçoit que certains détails ne sont pas visibles sur une carte. Le périmètre devient alors plus grand qu’on avait pu l’imaginer. On peut donc envisager que le périmètre serait encore plus grand si on observait la côte avec un microscope. La nature contient plusieurs figures dont l’agrandissement permet de discerner des détails qui n’étaient pas visibles de prime abord. Les poumons, les nuages et les fougères n’en sont que quelques exemples. Ces formes sont longtemps passées inaperçues chez les spécialistes de la mathématique jusqu’à ce que le Français Benoît Mandelbrot leur accorde un véritable statut dans les années 1970. En effet, ce mathématicien a créé une nouvelle branche de la mathématique, qu’il a nommée la « géométrie fractale ».

Les nuages ne sont pas des sphères, les montagnes ne sont pas des cônes, les découpes géographiques d’un littoral ne sont pas des cercles, pas plus que l’écorce n’est uniforme, ou qu’un éclair ne traverse le ciel en droite ligne. ≤≥ BENOÎT MANDELBROT

LE PÉRIMÈTRE ET L’AIRE DE POLYGONES RÉGULIERS

SECTION 2

135

La suite de figures suivante a été développée par un mathématicien suédois nommé Helge von Koch (1870-1924).

, LES

,

,

QUATRE PREMIÈRES FIGURES DE LA SUITE DE FLOCONS DE

,… KOCH

Dans les figures de cette suite, les angles et les segments qui semblent isométriques le sont. 1. Dans tes propres mots, décris comment on forme chaque figure à partir de la figure précédente. 243, c’est 35 !

2. Si le périmètre de la première figure est de 243 unités, quel est le périmètre : a) de la deuxième figure ? c) de la quatrième figure ? b) de la troisième figure ? d) de la cinquième figure ? 3. Quel est le rapport : périmètre de la deuxième figure

a) périmètre de la première figure ?

périmètre de la troisième figure

b) périmètre de la deuxième figure ?

4. Selon toi, si on suit le même procédé pour former d’autres figures, le périmètre augmentera-t-il toujours selon le même rapport ? 5. Dans cette suite de figures, qu’est-ce qui augmente le plus rapidement : le périmètre ou l’aire ? Explique ta réponse. Dans l’Action ! précédente, tu as pu réaliser qu’on peut sans cesse augmenter le périmètre d’un polygone sans pour autant augmenter son aire de façon significative. Pour ce faire, les polygones doivent être non convexes. Dans l’Action ! de la page suivante, les polygones doivent plutôt être convexes. En imposant cette contrainte supplémentaire, on aura une meilleure idée des concepts de périmètre et d’aire dont il est question dans cette section.

136

CHAPITRE 7

LES POLYGONES RÉGULIERS

1. Sur une feuille quadrillée, essaie de tracer un polygone convexe ayant un très grand périmètre tout en ayant une aire de 16 carreaux. 2. En te basant sur les polygones de tes camarades et sur le tien, quel est, selon toi, le plus grand périmètre possible pour une aire de 16 carreaux ? 3. Sur la même feuille, essaie maintenant de tracer un polygone convexe ayant un très petit périmètre et toujours une aire de 16 carreaux. 4. En te basant sur les polygones de tes camarades et sur le tien, quel est, selon toi, le plus petit périmètre possible pour une aire de 16 carreaux ?

2.1

Le périmètre de polygones réguliers Une caractéristique fondamentale des polygones réguliers facilite considérablement l’étude de leur périmètre. Par ailleurs, cette étude servira au calcul de l’aire de polygones réguliers. Voici un polygone formé de huit cure-dents identiques. A

Comment peux-tu réaménager les cure-dents pour former un octogone régulier ?

B

Le réaménagement que tu proposes a-t-il une incidence sur : 1) le périmètre du polygone ? Explique ta réponse. 2)

C

l’aire du polygone ? Explique ta réponse.

Quel est le périmètre d’un polygone qu’on peut former avec : 1) trois cure-dents identiques ? 3) cinq cure-dents identiques ? 2) quatre cure-dents identiques ? 4) n cure-dents identiques ?

D

Parmi les polygones de la question C, combien sont nécessairement réguliers ? Pourquoi ?

E

Dessine un polygone formé de six segments isométriques : 1) qui n’est pas régulier ; 2) qui est régulier.

F

À quelle forme ressemble un polygone régulier formé de n segments isométriques lorsque n est très grand ?

LE PÉRIMÈTRE ET L’AIRE DE POLYGONES RÉGULIERS

Au lieu de mesurer un cure-dents, je donne ma réponse en cure-dents.

SECTION 2

137

1. Calcule le périmètre des polygones réguliers suivants. a)

c) 3,5 cm

3 cm

b)

6 cm

d)

b

2. Trois polygones réguliers ont des côtés de 4 cm. Quel est le périmètre de celui dont : a) les angles intérieurs mesurent 120° ? b) les angles extérieurs mesurent 60° ? c) les angles intérieurs mesurent 108° ? 3. Détermine la mesure d’un côté des polygones réguliers suivants à partir de leur périmètre (P ). a) c) P = 16 cm P = 12,6 cm

b)

d) P = 15 cm

P = 3 cm

4. Lorsque c’est possible, réponds aux questions suivantes. Si c’est impossible, indique pourquoi. a) Quel polygone régulier a un périmètre de 4 cm et des côtés de 1,5 cm ? b) Quelle est la mesure du côté d’un hexagone régulier ayant un périmètre de 1 cm ? c) Quel est le nom du polygone régulier ayant un périmètre de 15 cm et des cotés de 1 cm ?

138

CHAPITRE 7

LES POLYGONES RÉGULIERS

Le périmètre d’un polygone régulier La définition d’un polygone régulier facilite considérablement le calcul de son périmètre. En effet, dans un polygone régulier, tous les côtés sont isométriques. Par conséquent, on obtient le périmètre en multipliant la mesure du côté par le nombre de côtés.

P=n•c nombre de côtés du polygone

mesure du côté du polygone

Exemple :

2 cm

Poctogone régulier = 8 • 2 cm = 16 cm un octogone régulier a 8 côtés isométriques

mesure d’un côté

G

Comment peut-on trouver la mesure du côté d’un hexagone régulier ayant un périmètre de 42 cm ?

H

Quel est le nom du polygone régulier ayant un périmètre de 33 cm et des côtés de 3 cm ?

I

Selon toi, est-il possible de trouver la mesure du côté d’un polygone régulier ayant un périmètre de 24 cm ? Explique ta réponse.

J

Formule une règle qui permet : 1) de trouver la mesure du côté d’un polygone régulier à partir de son périmètre et de son nombre de côtés ; 2) de trouver le nombre de côtés d’un polygone régulier à partir de son périmètre et de la mesure de son côté.

LE PÉRIMÈTRE ET L’AIRE DE POLYGONES RÉGULIERS

SECTION 2

139

1. Souvenirs d’algèbre Quelle expression algébrique réduite représente le périmètre des polygones réguliers suivants ?

2. Icosagone Voici un polygone obtenu par la juxtaposition de quatre polygones réguliers ayant des côtés isométriques entre eux.

a)

3x + 4

b)

a) Nomme les quatre polygones réguliers juxtaposés pour former ce polygone. b) Si on ajoutait un cinquième polygone régulier selon le même procédé, quel serait le nombre de côtés du nouveau polygone ? 9x + 4y

c)

3. Varia

d)

e)

2x + 3( x − 4 )

a) Quel est le nom du polygone régulier dont le périmètre est de 94,9 cm et dont la mesure d’un côté est de 7,3 cm ? b) Quelle est la mesure du côté du polygone régulier dont le périmètre est de 336 cm et dont la mesure d’un angle intérieur est de 156° ? c) Combien de côtés possède un polygone régulier dont le double du périmètre est de 18,2 cm et dont le triple de la mesure d’un côté est de 3,9 cm ? d) Quelle est la mesure du côté d’un polygone régulier dont le périmètre est de 50 cm et dont la mesure d’un angle extérieur est de 18° ?

3x − (x + 2 )

4. Autant de côtés que d’angles !

x−y+2

140

CHAPITRE 7

Quel est le périmètre du polygone régulier dont l’angle extérieur en chaque sommet mesure environ 7,8° et dont le côté mesure exactement 7,8 cm ?

LES POLYGONES RÉGULIERS

2.2

L’aire de polygones réguliers Pour calculer l’aire de figures géométriques, il est possible d’utiliser au moins deux méthodes différentes. Avant d’aborder l’aire des polygones réguliers, essayons d’appliquer chacune de ces méthodes pour calculer l’aire d’une « croix » formée de cinq rectangles isométriques.

Même si la croix n’est pas un polygone régulier, elle permet d’illustrer les deux méthodes pour mieux les différencier.

Pour calculer l’aire de la croix, il est possible de la partager en rectangles, de calculer l’aire d’un des rectangles, puis de multiplier cette aire par cinq.

Acroix = 5 • Arectangle Il est également possible de réaménager la croix de façon à former un seul rectangle. À ce moment, l’aire du rectangle équivaut à l’aire de la croix.

Acroix = Arectangle

A

Quelle méthode préfères-tu pour calculer l’aire de la croix ?

STRATÉGIE L’utilisation de la notation en indice permet de transmettre un message mathématique clair et concis. Ainsi, au lieu d’écrire « Aire d’un octogone régulier » au long, tu peux écrire simplement Aoctogone régulier .

LE PÉRIMÈTRE ET L’AIRE DE POLYGONES RÉGULIERS

SECTION 2

141

On pourrait donc résumer ainsi les deux méthodes qui facilitent le calcul de l’aire de figures complexes. Partager en figures plus simples.

Réaménager en une figure plus simple.

Ces méthodes sont très utiles pour calculer l’aire de polygones réguliers. Cependant, il faut partager ou réaménager les polygones de façon efficace. B

Selon toi, comment peux-tu utiliser chacune de ces méthodes pour calculer l’aire d’un polygone régulier ?

1. À l’aide de ton compas, trace un hexagone régulier inscrit dans un cercle. 2. Découpe l’hexagone régulier. 3. Essaie de : a) partager l’hexagone régulier en figures plus simples ; b) réaménager l’hexagone régulier en une figure plus simple. 4. Compare ton partage et ton réaménagement de l’hexagone avec ceux de tes camarades. 5. De quelles mesures as-tu besoin pour calculer l’aire des figures plus simples que tu as créées à la question 3 ? 6. Que représentent ces mesures par rapport à l’hexagone ? 7. Quelle pourrait être une relation permettant de calculer l’aire de l’hexagone ? Les relations qui permettent de calculer l’aire de diverses figures géométriques sont toutes basées sur la multiplication de mesures perpendiculaires souvent appelées « base » et « hauteur ». Le partage en figures plus simples permet en quelque sorte de déterminer une hauteur qui servira au calcul de l’aire. Par exemple, après avoir partagé le pentagone régulier ci-dessous en triangles isocèles, la hauteur de ces triangles apparaît essentielle au calcul de l’aire.

142

CHAPITRE 7

C

Est-il toujours possible de partager un polygone régulier en triangles isocèles isométriques ?

D

Comment ce partage facilite-t-il le calcul de l’aire d’un polygone régulier ?

LES POLYGONES RÉGULIERS

Le réaménagement en une figure plus simple permet également de déterminer une hauteur qui servira au calcul de l’aire.

E

Aurait-on pu faire un parallélogramme avec un seul pentagone ?

F

Quelle mesure relative au pentagone correspond à : 1) la longueur de la base du parallélogramme ? 2) l’apothème (a) des triangles isocèles qui forment le parallélogramme ?

G

Comment ce réaménagement facilite-t-il le calcul de l’aire d’un polygone régulier ?

L’aire d’un polygone régulier : le partage en figures plus simples Une des méthodes permettant de calculer l’aire d’un polygone régulier consiste à partager ce polygone en autant de triangles isocèles qu’il a de côtés. Par conséquent, on peut calculer l’aire du polygone en multipliant l’aire d’un triangle par le nombre de côtés. Par exemple, voici comment on calcule l’aire d’un octogone régulier de 3 cm de côté et dont l’apothème mesure environ 3,6 cm. L’octogone est formé de huit triangles isocèles isométriques. Aoctogone = 8 • Atriangle isocèle 3 cm

≈ 3,6 cm

Aoctogone ≈ 8 • (3 •23,6) Aoctogone ≈ 8 • (5,4)

Apothème : Nom parfois donné à la hauteur d’un triangle isocèle.

ATTENTION Il est rare que la mesure du périmètre d’un polygone régulier et la mesure de l’apothème soient toutes deux des nombres décimaux. On donne donc souvent une mesure arrondie ou approximative de l’apothème.

Aoctogone ≈ 43,2 cm2 On a donc la relation suivante.

Apolygone régulier à n côtés = n • Atriangle isocèle *

LE PÉRIMÈTRE ET L’AIRE DE POLYGONES RÉGULIERS

SECTION 2

143

L’aire d’un polygone régulier : le réaménagement en une figure plus simple On peut également réaménager deux polygones réguliers isométriques en un seul parallélogramme. L’aire du parallélogramme équivaut donc au double de l’aire d’un des polygones réguliers. Par exemple, voici comment on calcule l’aire d’un octogone régulier de 3 cm de côté et dont l’apothème mesure environ 3,6 cm à l’aide de deux octogones réguliers isométriques. Les octogones peuvent être réaménagés en un parallélogramme.

Aparallélogramme 2 •a P = octogone 2

Aoctogone = Aoctogone

• 3,6 Aoctogone ≈ 24 2 Aoctogone ≈ 43,2 cm2

On a donc la relation suivante.

Apolygone régulier =

H

(Ppolygone régulier • a) 2

Comment peut-on déterminer : 1) l’apothème d’un polygone régulier à partir de son aire et de son périmètre ? 2) le périmètre d’un polygone régulier à partir de son aire et de son apothème ? 3) la mesure du côté d’un polygone régulier à partir de son aire et de son apothème ?

Détermine l’aire des polygones réguliers suivants. a) Un heptagone régulier de 4 cm de côté et dont l’apothème mesure environ 4,2 cm b) Un triangle équilatéral dont le périmètre est de 9 cm et dont l’apothème mesure environ 0,9 cm c) Un hexagone régulier dont l’apothème mesure environ 2,6 cm, inscrit dans un cercle ayant un rayon de 3 cm

144

CHAPITRE 7

LES POLYGONES RÉGULIERS

Des segments supportés par les axes de symétrie Il est également possible de calculer l’aire de polygones réguliers à partir d’autres mesures, comme celles des segments supportés par les axes de symétrie du polygone. Les axes de symétrie des polygones réguliers déterminent des segments remarquables qui s’apparentent à certains segments remarquables des triangles. Par exemple, voici un hexagone régulier et un pentagone régulier dans lesquels certains axes de symétrie déterminent les segments AD, MN et GR. M

B

Parmi les segments AD, MN et GR, 1) lequel correspond au diamètre du cercle dans lequel le polygone peut être inscrit ?

C

2)

A

A

F

E D

N

G K

B

Comment pourrais-tu décrire la longueur du segment GR en utilisant des mots comme « diamètre », « rayon » ou « apothème » ?

C

Selon toi, comment la mesure des segments remarquables peut-elle faciliter le calcul de l’aire d’un polygone régulier ?

D

Si on connaît la mesure du segment GR ainsi que le rayon du cercle dans lequel le pentagone régulier GHIJK peut être inscrit, comment peut-on déterminer la mesure de l’apothème du pentagone ?

H

J

R

I

lequel correspond au double de l’apothème du polygone ?

La mesure des segments supportés par les axes de symétrie de polygones réguliers La parité du nombre de côtés d’un polygone régulier détermine le type de segments supportés par les axes de symétrie du polygone. Dans un polygone régulier ayant un nombre pair de côtés, ces segments ont deux mesures différentes. Exemple : M

B

La mesure du segment AD correspond au double de la mesure du rayon du cercle dans lequel l’hexagone régulier peut être inscrit.

C

La mesure du segment MN correspond au double de la mesure de l’apothème de l’hexagone régulier.

A

F

E D

N

La parité, c’est le fait que le nombre de côtés soit pair ou non.

Dans un polygone ayant un nombre impair de côtés, les segments supportés par les axes de symétrie sont isométriques. G K

H

J

R

La mesure du segment GR correspond à la somme des mesures de l’apothème et du rayon du cercle dans lequel le pentagone régulier peut être inscrit.

I

LE PÉRIMÈTRE ET L’AIRE DE POLYGONES RÉGULIERS

SECTION 2

145

Calcule l’aire des polygones réguliers suivants. A a) c)

A N

F

B E

Tous les segments tracés dans les polygones sont supportés par un des axes de symétrie du polygone.

M

N

E

C

B O

D

C

D

m MN = 3 cm m AD ≈ 3,5 cm

b)

m DN ≈ 4,9 cm m BC = 3,2 cm m OE ≈ 2,7 cm

d)

A

A

B

C

H O

O C

N

B

m OA = 2,7 cm m AN ≈ 4 cm Ptriangle ABC ≈ 14 cm

1. Dodécalcul

D

G N F

M

E

Poctogone = 16 cm Pcerf-volant EMON ≈ 6,8 cm

2. Sans mesure

Calcule l’aire de ce dodécagone régulier ayant un périmètre de 108 cm et dont le segment AB, supporté par un axe de symétrie, mesure environ A 33,6 cm.

Le point M est le point milieu du côté BC de l’octogone régulier ABCDEFGH. Quel pourcentage de l’aire de l’octogone est occupé par le quadrilatère ABMO ?

A

M H

C O

G

D

F

B

146

CHAPITRE 7

LES POLYGONES RÉGULIERS

B

E

4. Devinette

3. Bien entouré Voici un triangle équilatéral MNP ayant une aire de 900 mm2 inscrit dans un cercle de centre O. Le périmètre du triangle est d’environ 138 mm. a) Quelle est la mesure : N 1) du segment OA ? 2) du segment ON ? 3) du segment AB ? O 4) du segment OM ? M

P

A

L’apothème et l’aire d’un polygone régulier mesurent environ 3,8 cm et 61,5 cm2. Un côté du polygone mesure 4 cm. Quel est le nom de ce polygone ?

b) Quelle distinction existe-t-il entre la hauteur et l’apothème d’un triangle équilatéral ?

B

5. Rapporte des croissants Commente l’affirmation suivante.

«

Plus le nombre de côtés d’un polygone régulier augmente, plus le rapport

mesure du côté décroît. mesure de l’apothème

»

6. Calcul stratégique Un octogone régulier est formé d’un rectangle et de deux trapèzes isocèles.

50 cm ≈ 21 cm

a) Quelle est l’aire d’un des trapèzes isocèles ? b) Quelle est la hauteur des trapèzes isocèles ?

LE PÉRIMÈTRE ET L’AIRE DE POLYGONES RÉGULIERS

SECTION 2

147

1. C’est « hexag » !

2. Question de dimensions

Calcule l’aire de l’hexagone régulier ci-dessous si son périmètre est de 30 mm et si la mesure du segment PR, supporté par un axe de symétrie, est d’environ 8,7 mm.

Commente les affirmations suivantes. a)

b)

P

« «

Si on double le côté d’un polygone régulier, on double aussi son apothème.

» »

Si on double l’apothème d’un polygone régulier, on double aussi son aire.

3. Qui dit vrai ? a) Parmi les relations suivantes, indique celles qui permettent de calculer l’aire d’un carré.

R

P•a 2

4. Question de… clôture Joseph achète 12 morceaux de clôture rigide de 10 m chacun. Il désire clôturer la plus grande aire de terrain possible avec ses 12 morceaux. Propose-lui une figure. Explique ton choix.

(B + b) • h 2

b) Vérifie tes réponses en calculant l’aire d’un carré de 5 cm de côté avec chaque relation. c) Pourquoi est-il possible d’utiliser tant de relations pour calculer l’aire d’un carré ?

5. Tout un défi ! Dans l’hexagone régulier ci-contre, la somme des mesures des segments AB et CD, supportés par des axes de symétrie, est de 17,1 cm et la différence entre leurs mesures est de 1,6 cm. Détermine le périmètre et l’aire de l’hexagone.

148

CHAPITRE 7

b•h

LES POLYGONES RÉGULIERS

A C

D B

6. Dans la mire Une cible a la forme d’un heptagone régulier. Pour obtenir des points, il faut lancer une fléchette dans une des régions jaunes. Toutes les régions sont limitées par des côtés de l’heptagone et des segments supportés par des axes de symétrie. a) Quel pourcentage de l’aire de la cible représente une région où l’on obtient des points ? Zoé a lancé une fléchette qui a atteint la cible. b) Quelle est la probabilité qu’elle ait atteint la cible dans une des régions jaunes ?

7. En vrac a) Quelle est la mesure de l’apothème d’un triangle équilatéral dont l’aire est d’environ 189,7 cm2 si sa base mesure 21 cm ? b) Quelle est l’aire d’un décagone régulier dont le périmètre est de 67 cm et dont l’apothème mesure environ 10,3 cm ? c) Quelle est la mesure du côté d’un pentagone régulier dont l’aire est de 500 cm2 et dont l’apothème mesure environ 11,7 cm ?

8. D’une autre façon Quelle est l’aire de cet octogone régulier ? 6 cm

4,2 cm

9. Triangle en trois temps Voici un triangle équilatéral dont l’aire est de 30,4 cm2 et la base mesure environ 8,4 cm. a) Quelle est la mesure de l’apothème de ce triangle ? b) Quelle est la hauteur de ce triangle ? c) Quelle est la mesure du rayon du cercle dans lequel on peut inscrire ce triangle ?

BRIC À MATHS

SECTION 2

149

10. En rappel

11. Prendre l’aire

Quel est le périmètre du polygone régulier dont l’angle extérieur en chaque sommet mesure environ 6,1° et dont le côté mesure 6,1 cm ?

Pose une équation qui permet de trouver la valeur de x dans les polygones réguliers suivants, puis résous-la. a) Aennéagone ≈ 58,9 cm2

c) Apentagone ≈ 4,1 cm2

L’apothème de ce polygone estil plus grand ou plus petit que 6,1 cm ? Explique ta réponse. 6 cm

( 3x + 4 ) cm

b) Adodécagone ≈ 25,7 dm2

4 dm

3( x − 1 ) dm

1,5 cm

(4x − x + 2) cm

d) Ahexagone ≈ 6,9 m2

2m

(5x − 12) m

12. Carmen au parc

13. Clef

Carmen se promène dans le sentier du parc Octogonal. En marchant à une vitesse de 4 km/h, elle fait 2 fois le tour du parc en 30 minutes. Si ce sentier forme un octogone régulier, quelle est la mesure d’un côté, en mètres ?

Le périmètre de cette clé polygonale est de 84 cm et est constitué de 17 segments. Parmi ces segments, 15 sont isométriques et la mesure des deux autres est trois fois plus grande.

150

CHAPITRE 7

Quel est le périmètre des écrous que cette clé permet de dévisser ?

LES POLYGONES RÉGULIERS

14. Losanges Voici un dodécagone formé de 6 losanges isométriques ayant des diagonales de 3 cm et d’environ 1,8 cm. a) Trouve un argument permettant d’affirmer que l’hexagone ABCDEF est régulier. b) Quel est le périmètre de cet hexagone ?

A F

E c) Quelle est la mesure de l’apothème de cet hexagone ? D d) Sur quelle propriété du losange as-tu appuyé tes réponses en b et en c ? e) Calcule l’aire de l’hexagone de deux façons différentes.

B

C

15. Cerfs-volants a) Voici un dodécagone formé de 6 cerfs-volants isométriques ayant des diagonales de 2 cm et de 4,5 cm. 1) Quelle mesure manque-t-il pour pouvoir calculer l’aire de l’hexagone régulier KLMNPR ? R K 2) Calcule l’aire de l’hexagone si la mesure manquante que tu as identifiée en 1 L P est d’environ 1,7 cm. N

M

16. Régulier ou non Pourquoi un décagone ayant un périmètre égal à 200 unités a-t-il une plus grande aire s’il est régulier que s’il ne l’est pas ?

17. La dernière On a formé un hexagone régulier avec 24 de ces triangles équilatéraux.

b) Imagine qu’on replie le dodécagone selon ces pointillés. 1) Quelle forme géométrique tridimensionnelle obtient-on ? 2) Quelle est l’aire de toutes R K les faces de cette forme géométrique tridimensionnelle ? L P 3) Obtiendrait-on ce même type de forme géométrique N M si on repliait les losanges de l’activité 14 de la même façon ? Explique ta réponse.

2 cm ≈ 1,8 cm

a) Quelle est la mesure de l’apothème de l’hexagone régulier ? b) Quel est le périmètre de l’hexagone ? c) Quelle est son aire ?

BRIC À MATHS

SECTION 2

151

Situation 1 Voici une illustration d’une scène de la vie courante où l’on retrouve beaucoup d’objets dont la forme rappelle des polygones de toutes sortes. Classifie-les selon qu’ils rappellent des polygones : a) qui sont nécessairement réguliers ; b) qui sont possiblement réguliers ; c) qui sont nécessairement non réguliers.

152

CHAPITRE 7

LES POLYGONES RÉGULIERS

DANS LA VIE…

CHAPITRE 7

153

Faire le point Complète le texte suivant. 1

Dans un polygone régulier, les côtés et les angles sont

.

2

Un polygone régulier à n côtés est décomposable en n

3

Un polygone régulier a autant d’axes de symétrie qu’il a de ou de .

4

Le point d’intersection des axes de symétrie d’un polygone régulier correspond au centre du cercle à ce polygone.

5

La mesure d’un angle extérieur d’un polygone régulier à n côtés est égale au quotient de et de .

6

Le

7

Le périmètre d’un polygone régulier à n la mesure de son côté.

8

La hauteur d’un triangle isocèle peut aussi s’appeler

9

Pour calculer l’aire de figures complexes, on peut les en figures plus simples.

10

Il est toujours possible de réaménager deux polygones réguliers isométriques en un .

11

La relation permettant de calculer l’aire d’un polygone régulier est : la moitié du produit du et de .

12

Dans un polygone régulier ayant un nombre de côtés, tous les segments supportés par les axes de symétrie sont isométriques.

.

permet de tracer plus facilement un polygone régulier. est n fois plus grand que . ou les

En t’inspirant des énoncés ci-dessus, organise maintenant tes connaissances en utilisant la méthode de ton choix, que ce soit un résumé, un tableau ou un réseau de concepts. Tu peux inclure d’autres concepts et processus que tu juges essentiels dans ta synthèse.

154

CHAPITRE 7

LES POLYGONES RÉGULIERS

Lille

PARIS

Caen

Activité d’intégration La ville de Nîmes, au sud de la France, possède plus de deux mille années d’histoire. On y retrouve un grand monument romain dans les jardins de la Fontaine : le temple de Diane. Dans les ruines du monument, on peut apercevoir une partie d’un pavé de mosaïque. Le dodécagone qu’on y retrouve Savais-tu que la France est appelé « rosace du temple est aussi appelée de Diane ». « L’Hexagone » ?

Strasbourg

Orléans

Rennes

Lyon Bordeaux

Toulouse

Nîmes Montpellier

Marseille

1. Reproduis cette rosace de façon que les côtés des carrés mesurent 3 cm. 2. Les triangles compris entre deux carrés sont-ils équilatéraux ? Justifie ta réponse. 3. Détermine le périmètre et l’aire de la rosace que tu as tracée.

ESCALE

CHAPITRE 7

155

Génies du jardin Le beau temps s’en vient et tu as sûrement mille et un projets en tête pour les vacances d’été. Lorsqu’on est propriétaire d’une maison, on profite souvent du beau temps pour effectuer quelques rénovations ou améliorations à notre propriété. Certains font appel à des paysagistes pour élaborer un plan de leur cour arrière afin de bénéficier d’un endroit agréable pour pouvoir se détendre ou manger en famille.

Ton mandat Réaliser le plan d’un patio de forme polygonale ainsi que son aménagement.

Tâche

1

a) Choisis un polygone régulier ayant au moins 5 côtés ou une combinaison de polygones réguliers. Indique les raisons pour lesquelles tu as choisi ce polygone ou cette combinaison. b) Fais un croquis de ton patio. c) Détermine les dimensions du patio. Tiens compte des dimensions des planches de bois qu’on peut acheter en magasin (longueur et largeur). Assure-toi de ne pas gaspiller trop de bois.

156

CHAPITRE 7

LES POLYGONES RÉGULIERS

Tâche

2

a) Trace le plan à l’échelle du patio en y indiquant toutes les dimensions ainsi que les mesures d’angle. b) Calcule la quantité de bois nécessaire à la fabrication du patio. Sur ton plan, trace les lignes afin de visualiser les planches de bois. c) Pour chacune des planches nécessaires, indique quel en sera l’angle de coupe.

Tâche

3

Détermine le coût en bois pour la fabrication du patio.

Tâche

4

Présente ton plan à tes parents ou à des adultes de ton entourage. Qui sait, peut-être voudront-ils l’utiliser pour construire leur patio ?

OPTION PROJET

CHAPITRE 7

157

8 L 1

L B

2

3

B

L

158

Échelle 1 : 1200

À quoi servent les exercices d’évacuation en cas d’incendie ?

Lors d’un incendie, une fois l’édifice évacué, les gens doivent normalement rester au-delà d’une certaine distance du bâtiment pour des raisons de sécurité et pour ne pas nuire au travail des pompiers.

1. À partir d’une reproduction du plan de l’École

secondaire des Prairies et de ses environs, détermine le plus précisément possible les zones où on ne peut pas se retrouver si on doit respecter les consignes de sécurité suivantes. a) Se tenir à une distance d’au moins 25 mètres de l’école. b) Puisque les lampadaires fonctionnent à l’électricité, se tenir à plus de 10 mètres de chacun d’eux. c) Se tenir à au moins 15 mètres des bornesfontaines.

2. Décris les frontières des zones interdites. 3. Le périmètre de sécurité exact peut-il être formé exclusivement de lignes droites ? Explique ta réponse.

LÉGENDE 1 Porte de l’administration 2 Porte des élèves 3 Porte des enseignants

• Cercle, disque et secteur – Rayon, diamètre, corde, arc – Angle au centre • Angle et arc, en degrés • Circonférence

• Aire de disques et de secteurs • Aire de figures décomposables en disques

L Lampadaire

SO MM AI RE B Borne-fontaine

Section 1 – Une forme naturelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Section 2 – La circonférence et l’aire . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dans la vie… . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Escale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Option projet – PoésIe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

160 172 198 199 201

159

Une forme naturelle Jusqu’à maintenant, les formes géométriques que tu as étudiées comportaient des segments, des angles et des sommets. Pourtant, la plupart des formes qu’on retrouve dans la nature ne sont pas si angulaires. A

Trouve une forme naturelle qui comporte des angles ou des segments.

B

Trouve une forme naturelle qui ne comporte pas d’angles, ni de segments.

Il suffit de penser aux trajectoires ou aux formes des planètes, aux gouttes de pluie, aux ondes qui se propagent à la surface d’un lac lorsqu’on y lance une pierre, ou encore aux tunnels que creusent certains animaux pour s’apercevoir que des formes plus lisses, plus fluides, sont tout autour de nous. En tant qu’outil de modélisation de la nature, la mathématique s’intéresse donc aussi à ces formes « rondes » et aux lignes courbes qui les délimitent. C

Selon toi, pourquoi retrouve-t-on tant de formes rondes dans la nature ?

D

Selon toi, quelles caractéristiques devrait posséder une forme ronde « parfaite » ?

Ce chapitre te permettra d’en apprendre davantage sur cette forme géométrique fascinante qu’est le cercle, en commençant par sa structure.

160

CHAPITRE 8

E

Sur le sable d’une plage, comment procéderais-tu pour tracer : 1) un cercle ? 2) un carré ?

F

Comment procéderais-tu pour tracer un cercle à l’aide : 1) d’un compas ? 2) d’une règle rigide ? 3) d’un bout de ficelle ?

G

Qu’est-ce qui est constant dans un cercle ?

H

Trouve quelques exemples de cercles qu’on retrouve dans la vie courante.

LE CERCLE

1.1

Le cercle Il est facile de reconnaître un cercle quand on en voit un. Cependant, il est plus difficile de le définir de façon concise, claire et précise. C’est en observant les « irrégularités » de certaines formes rondes qu’on peut arriver à identifier les propriétés du cercle et ainsi en formuler une définition. A

Que faudrait-il corriger dans chacune des formes suivantes pour qu’elles « deviennent » des cercles ?

Question de

1. Essaie de tracer un cercle à main levée. 2. Essaie d’en tracer un autre : a) qui est très petit ; b) qui est très grand.

Le mien n’entre même pas sur la feuille !

3. Quelles « instructions » essaies-tu de donner à ta main pour tracer un cercle ? 4. Utilises-tu les mêmes instructions pour tracer un grand cercle et pour tracer un petit cercle ? 5. À partir de ces instructions, essaie de formuler deux définitions différentes du cercle.

culture

UN CERCLE DIVIN Le peintre italien Giotto di Bondone (1266-1337) est connu pour ses nombreuses toiles d’inspiration religieuse. On raconte que le pape Benoît XI, qui voulait engager Giotto, aurait envoyé un messager chercher une de ses œuvres. Pour montrer son talent extraordinaire, Giotto aurait plutôt préféré dessiner, devant le messager, d’un seul mouvement de la main, un cercle parfait avec de la peinture rouge.

6. Compare tes définitions avec celles de tes camarades.

UNE FORME NATURELLE SECTION 1

161

Retour sur les éléments du cercle Une bonne partie du vocabulaire associé au cercle t’a été présenté au primaire. Tu trouveras, dans l’encadré théorique ci-dessous, un rappel des principaux éléments du cercle, ainsi que le vocabulaire qui te sera utile cette année et au deuxième cycle.

Les éléments du cercle

B

Cercle Ensemble des points d’un plan situés à égale distance d’un autre point du plan qu’on appelle le centre. Sur la circonférence, le commencement et la fin sont communs. ≤≥ HÉRACLITE

C

A

D O

J

Circonférence Ensemble des points qui forment un cercle ; longueur d’un cercle.

H

E G F

Diamètre Corde ou mesure d’une corde qui passe par le centre d’un cercle. Exemple : JD et BF sont des diamètres. Rayon Segment ou mesure d’un segment qui relie un point du cercle à son centre. Exemple : OB et OD sont des rayons. Corde Segment qui relie deux points de la circonférence. Exemple : GF et AC sont des cordes. Angle au centre Angle formé par deux rayons du cercle. Exemple : L’angle COD et l’angle COF sont des angles au centre.

Angle inscrit Angle dont le sommet est situé sur le cercle et dont les côtés interceptent un arc de ce cercle. Exemple : L’angle GFB et l’angle ACE sont des angles inscrits. Arc de cercle Portion de cercle délimitée par deux points de la circonférence.





Exemple : GF et AG sont des arcs. REMARQUES

Par convention, lorsqu’on fait référence à l’arc AB d’un cercle, il s’agit du plus petit des deux arcs possibles. A

162

CHAPITRE 8

B

Pour éviter toute confusion, on peut également nommer un arc par trois points : l’arc ANB, par exemple. A

N

B

A

Parmi les définitions ci-dessus, lesquelles sont nouvelles pour toi ?

B

À quels contextes de la vie courante peux-tu associer certains éléments du cercle ?

LE CERCLE

La mesure des arcs En langage courant, on peut parler d’un arc ou d’une corde sans nécessairement faire référence aux éléments d’un cercle. En fait, c’est par analogie que ces termes ont été empruntés au langage courant pour leur donner un sens mathématique. L’arc de cercle possède une particularité très intéressante : il peut être mesuré de deux façons différentes. A

Que penses-tu de l’affirmation suivante ?

«

»

La circonférence d’un cercle est un arc de 360 degrés.

B

Pourquoi un tour complet compte-t-il 360 degrés ?

Dans la section suivante, tu vas calculer la longueur d’arcs de cercle. Pour ce faire, il est d’abord nécessaire d’établir un lien important entre la mesure d’un angle au centre et la mesure en degrés de l’arc correspondant. A En mathématique, on utilise le verbe intercepter pour associer un angle au centre à l’arc auquel il correspond. Par exemple, dans le cercle ci-contre, l’angle au centre AOB intercepte l’arc AB. C

B O

Si la mesure de l’angle au centre augmente, qu’arrive-t-il à la mesure de l’arc qu’il intercepte ?

En fait, la corde AB intercepte aussi l’arc AB.

Intercepter, c’est « prendre entre »… Donc, l’arc est « pris entre » les côtés de l’angle.

Intercepter : Mot qui vient du latin inter : entre, et capere : prendre.

1. Quelle est la mesure de l’angle au centre qui intercepte : a) la moitié de la circonférence ? b) 25 % de la circonférence ?

3

c) les 5 de la circonférence ? 13

d) les 360 de la circonférence ? 2. Quelle est la mesure, en degrés, de l’arc intercepté par un angle au centre : a) de 180° ? b) de 37° ? c) de 720° ? d) de n° ? 3. Quelle relation peux-tu établir entre la mesure d’un angle au centre et la mesure, en degrés, de l’arc qu’il intercepte ?

UNE FORME NATURELLE SECTION 1

163

1. Pile ou face ? Indique si les énoncés suivants sont vrais ou faux. Donne un contre-exemple pour chaque énoncé que tu juges faux. a) Il est impossible qu’un arc mesure plus de 360°. b) Un angle au centre qui intercepte le quart de la circonférence est un angle droit. c) Il est possible qu’un angle inscrit soit un angle rentrant.

3. Angle inscrit Trace un cercle et un diamètre AB. a) Quelle est la mesure, en degrés, de l’arc AB ? b) Marque trois points sur le cercle et nomme-les K, L et M. c) À l’aide de ton rapporteur, mesure les angles AKB, ALB et AMB. d) Formule une conjecture qui décrit la relation entre la mesure d’un angle inscrit et la mesure, en degrés, de l’arc qu’il intercepte ?

164

CHAPITRE 8

LE CERCLE

2. Jeu d’associations Anne a tracé plusieurs segments de droite dans un cercle de centre O. Elle a aussi identifié en rouge une partie du contour de ce cercle. a) Essaie d’associer les objets géométriques qu’on y retrouve avec le nom qu’on leur donne dans ce contexte. Objet géométrique 1)

Vocabulaire relatif au cercle

Le segment OC

Diamètre

2)

Le segment DE

Angle inscrit

3)

Le segment BA

Rayon

4)

L’angle EDF

Corde

5)

L’angle DOC

Arc

6)

La portion de cercle GH

Angle au centre

7)

Le contour du cercle

Circonférence

B

C

A D

E

O

G J

F H

b) Trouve une autre manifestation de chaque élément relatif au cercle (angle au centre, diamètre, arc, rayon, circonférence, corde et angle inscrit) dans le cercle. c) Dans tes propres mots, définis chaque mot de vocabulaire relatif au cercle. d) Compare tes définitions avec celles de tes camarades.

4. Diamétralement variées Voici des définitions du diamètre d’un cercle retrouvées dans les notes de cours de quelques élèves. Plus grande corde d’un cercle Axe de symétrie d’un cercle Corde d’un cercle qui intercepte un arc de 180° Deux rayons formant un angle plat Segment partageant un cercle en deux demi-cercles

a) Ces définitions sont-elles toutes acceptables ? Explique ta réponse. b) Parmi les définitions que tu juges acceptables, laquelle décrit le mieux le diamètre d’un cercle, selon toi ? c) Compare tes réponses avec celles de tes camarades. Quelle définition a recueilli le plus grand nombre de « votes » ?

1.2

Situer le centre d’un cercle Si tu demandes à quelqu’un à quoi sert un compas, tu risques de te faire répondre « à tracer des cercles ». Pourtant, la principale utilité du compas consiste à conserver une distance afin de pouvoir la reporter ailleurs. Puisque tracer un cercle revient en quelque sorte à reporter une distance autour d’un point, le compas peut donc servir aussi à tracer des cercles, ou des arcs de cercle. A

Comment s’appelle la distance qu’on reporte autour d’un point quand on trace un cercle ?

B

Comment s’appelle le point autour duquel on reporte une distance ?

Le compas sert notamment à reporter plusieurs fois une même longueur (ou distance) sans avoir à la mesurer chaque fois. Il permet également de tracer ou de repérer dans un plan des points situés à la même distance d’un autre point du plan.

Voici un carré, un hexagone régulier, un heptagone régulier et un cercle.

C

Propose un moyen de situer précisément le centre : 1) du carré ; 2) de l’hexagone régulier ; 3) de l’heptagone régulier ; 4)

du cercle.

D

Quels points du périmètre de chaque figure as-tu utilisés pour situer le centre ?

E

Pour quelle figure est-ce plus difficile de situer le centre ? Explique ta réponse.

UNE FORME NATURELLE SECTION 1

165

Quelques points suffisent La structure régulière d’un cercle permet de le définir et d’en situer le centre à partir de quelques points d’un plan, un peu comme deux points sont suffisants pour déterminer une droite. A

Selon toi, combien de cercles peuvent passer par deux points d’un plan ?

B

Combien de points d’un plan sont nécessaires pour déterminer un seul cercle ?

C

Est-ce qu’il est toujours possible de faire passer une droite par trois points ? Explique ta réponse.

D

Un cercle peut-il passer par trois points alignés du plan ? Explique ta réponse.

Exploration Le conseil d’établissement de l’École secondaire des Prairies vient d’approuver l’achat d’un lampadaire pour éclairer les portes d’entrée.

L 1

L B

LÉGENDE 1 Porte de l’administration 2 Porte des élèves 3 Porte des enseignants

2

L Lampadaire

3

B Borne-fontaine B

L

Puisqu’il y a plusieurs portes, on doit placer ce nouveau lampadaire à un endroit stratégique. Propose quelques endroits où l’on peut placer le lampadaire pour qu’il soit situé à égale distance des portes : des élèves et des enseignants ; des élèves et de l’administration. Où faut-il installer le lampadaire si on veut qu’il soit à égale distance des trois portes ?

E

166

CHAPITRE 8

Quel est le lien entre le travail que tu viens de réaliser et l’élaboration d’une stratégie permettant de situer le centre d’un cercle ?

LE CERCLE

Situer le centre d’un cercle À l’aide d’un compas, il est possible de situer le centre d’un cercle qui passe par trois points du plan. À partir des points A, B et C d’un plan… Construire la médiatrice du segment AB, c’està-dire l’ensemble des points du plan situés à égale distance des points A et B.

A C B

A C B REMARQUE

Les points qui forment la médiatrice A de AB sont les centres de tous les cercles qui passent par les points A et B.

C B

Répéter la première étape pour le segment BC. A C B

Réaliser que le point d’intersection des médiatrices est le centre du cercle qui passe par les points A, B et C.

A C B

F

Formule une autre définition de médiatrice qui contient les mots « centre » et « cercle ».

LA CONSTRUCTION D’UN CERCLE En plus de permettre de situer le centre d’un cercle, les logiciels de géométrie dynamique permettent aussi de voir les relations qui existent entre les divers éléments de cette construction.

UNE FORME NATURELLE SECTION 1

167

1. Cercle d’amis a) Avec ton compas, trace un arc de cercle sur une feuille. Prends bien soin de ne pas faire de trou dans la feuille, puis ferme ton compas. b) Demande à quelqu’un de compléter le tracé de ton cercle pendant que tu complètes le tracé du sien.

2. Du français mathématique a) Combien d’énoncés (vrais ou faux) peut-on former en associant les compléments de phrase aux propositions suivantes ? Compléments de phrase

Propositions

1)

Par un point

passent une infinité de droites.

2)

Par deux points

passe une seule droite.

3)

Par trois points

passent une infinité de cercles.

4)

Par quatre points

passe un seul cercle. ne passe pas nécessairement une droite. ne passe pas nécessairement un cercle.

b) De ce nombre, combien d’énoncés sont vrais ? Écris-les.

3. Être à la même distance Trace une droite d et un point P qui n’est pas sur la droite. a) Détermine l’emplacement de trois points du plan qui sont situés à égale distance de la droite d et du point P. b) Compare ta réponse avec celles de tes camarades.

168

CHAPITRE 8

LE CERCLE

4. Bien situé ? Trouve la position exacte d’un restaurant situé à égale distance de la route, de la voie ferrée et de la rivière.

5. En cavale Aux échecs, un cavalier se déplace toujours d’un même nombre de cases. On a identifié avec un « x » trois des huit destinations possibles d’un cavalier situé sur une certaine case. a) Détermine les coordonnées : 1) de la position initiale du cavalier ; 2) des cinq autres destinations du cavalier ; de la case de l’échiquier située à égale distance des cases H7, C2 et C8 ; 4) du point d’un plan cartésien situé à égale distance des points A(8, 7), B(3, 2) et C(3, 8). 3)

b) Sur un échiquier, y a-t-il toujours une case située à la même distance de trois autres cases ? Explique ta réponse. c) Sur un plan cartésien, y a-t-il toujours un point situé à égale distance de trois autres points ? Explique ta réponse.

6. Dénombrement Voici des points qui répondent aux critères suivants. Les points A, B, C et D sont les sommets d’un carré.

A E

Les points C, B et E sont alignés.

a) Combien de cercles différents passent par au moins trois de ces points ? b) De tous les cercles de la question a, par quels points passe : 1) le cercle qui a le plus petit rayon ? 2) le cercle qui a le plus grand rayon ? c) Compare tes réponses avec celles de tes camarades.

D

B

F

C

UNE FORME NATURELLE SECTION 1

169

1. Concentriques

2. Contraignant

a) Trace trois cercles concentriques. b) Que peux-tu dire des mesures des trois arcs interceptés par un angle au centre ? c) Compare tes réponses avec celles de tes camarades.

Trace un cercle où l’on retrouve les quatre éléments suivants. Le rayon OS L’angle inscrit ABS L’arc de 180° AS Le triangle inscrit ASR

3. Quatre angles droits Ludovic inscrit un rectangle dans un cercle. a) Est-ce que les diagonales du rectangle sont des diamètres du cercle ? b) Donne des arguments pour convaincre une personne sceptique de ta réponse en a.

a) Est-il possible que AS ne soit pas un diamètre du cercle ? Explique ta réponse. b) Est-il possible que le triangle ASR ne soit pas un triangle rectangle ? Explique ta réponse. c) Est-il possible que BR soit un diamètre du cercle ? Explique ta réponse. d) Compare tes réponses avec celles de tes camarades. Essaie d’expliquer les différences.

4. Vrai ou pas ? Indique si les énoncés suivants sont vrais ou faux. Donne un contre-exemple pour chaque énoncé que tu juges faux. a) Dans un cercle, toutes les cordes sont des axes de symétrie. b) Dans un cercle, tous les axes de symétrie sont des cordes.

5. Algèbre circulaire

6. Les énoncés circulaires

Quelle expression algébrique représente : a) le tiers du rayon d’un cercle ayant un diamètre de x cm ? b) la mesure, en degrés, de l’arc intercepté par un angle inscrit de y ° ? c) le double de la mesure, en degrés, de l’arc intercepté par un angle au centre de 2n ° ?

a) Complète les énoncés suivants de façon à les rendre vrais. 1) Tous les diamètres d’un cercle sont . 2) Dans un cercle, la mesure du est égale à la demi-mesure du . 3) Trois points déterminent un et un seul cercle. 4) Toutes les des cordes d’un cercle se rencontrent au centre de ce cercle. 5) Dans un cercle, l’angle a la même mesure en degrés que celle de l’arc compris entre ses côtés. b) Demande à une ou à un camarade de vérifier ton travail.

170

CHAPITRE 8

LE CERCLE

7. De retour au pôle Sud

Océan Indien Océan Pacifique

Un explorateur en expédition au pôle Sud s’est égaré. Son dernier message radio précisait qu’il se trouvait à égale distance de Vostok et du cercle polaire antarctique.

Pôle •

Sud

R CE CL

Utilise la fiche reproductible qu’on t’a remise. a) Indique sur la carte l’endroit exact où pouvait se trouver l’explorateur lorsqu’il a transmis son message. b) Son message radio permettra-t-il d’envoyer une équipe de secours au bon endroit ?

Vost ok •

E

PO LA IR EA Océan NTA RCT Atlantique IQUE

8. Triangle inscrit Jérôme a inscrit un triangle équilatéral dans un cercle. a) Quelle est la mesure de chacun des angles de ce triangle ? b) Quelle est la somme des mesures des arcs interceptés par les angles BAC, ABC et ACB ? c) Quelle est la mesure, en degrés, de chacun des arcs interceptés par ces angles ? Explique ta réponse. d) Formule une conjecture permettant d’exprimer la mesure d’un arc à partir de la mesure de l’angle inscrit qui l’intercepte. Jasmine, elle, a inscrit un triangle scalène dans un cercle. e) Quelle est la somme des mesures des arcs interceptés par les angles EDF, DEF et DFE ? f) Comment peux-tu utiliser ta réponse en e pour prouver que la somme des mesures des angles intérieurs d’un triangle est de 180° ?

A

O B

C

D E O F

9. La chèvre de monsieur Séguin Attachée à une corde de 18 m fixée à un piquet, une chèvre broute dans un pré clôturé de 80 m sur 55 m. Chaque jour, la chèvre broute tout le gazon auquel elle a accès. Il faut donc changer l’emplacement du piquet quotidiennement. a) Dessine le pré à l’échelle. b) Place le piquet de façon stratégique et hachure le gazon brouté par la chèvre lors du premier jour. c) Où placerais-tu le piquet le lendemain ? d) Combien de jours cela pourra-t-il durer étant donné que la chèvre doit toujours avoir la même quantité de gazon à brouter ?

BRIC À MATHS

SECTION 1

171

La circonférence et l’aire Cette section te permettra de réinvestir le travail réalisé au chapitre précédent où tu as calculé le périmètre et l’aire de polygones réguliers. A

Quel est le périmètre d’un octogone régulier dont le côté mesure 3 cm ?

B

Selon toi, quelle est la circonférence d’un cercle dont le diamètre mesure 4 cm ?

Contrairement à la relation qui existe entre la mesure du côté d’un polygone régulier et celle de son périmètre, la relation qui lie la mesure du rayon ou du diamètre d’un cercle et celle de sa circonférence est beaucoup plus difficile à déterminer. C’est d’ailleurs en tentant de déterminer la circonférence à partir du diamètre d’un cercle, avec les moyens dont ils disposaient à leur époque, que plusieurs mathématiciens ont écrit certaines des plus belles pages de l’histoire de la mathématique.

1. Trace un cercle avec ton compas. Trace ensuite un diamètre de ton cercle. 2. Trouve un moyen de mesurer le plus précisément possible : a) la longueur du diamètre ; b) la longueur de la circonférence. 3. Quel est le rapport

circonférence (C) diamètre (d)

de ton cercle ?

4. Compare ta réponse avec celles de tes camarades. Calcule la moyenne de tous les rapports. La moyenne que tu as calculée dans l’Action ! précédente est sans doute très près de la « vraie » valeur du rapport entre la circonférence et le diamètre de tous les cercles ( Cd ). Ce n’est cependant pas la valeur exacte de ce rapport. Voici les premières positions décimales de ce rapport, qui ont été calculées au fil du temps. C d

= 3,141592653589793238462643383279...

Tu pourras y revenir pour évaluer la précision des rapports que les mathématiciens ont proposés au fil du temps. C

Vois-tu une régularité dans le développement décimal de ce rapport ?

La séquence suivante te permettra de participer, à ta façon, à plus de 4000 ans d’histoire.

172

CHAPITRE 8

LE CERCLE

2.1

L’histoire du rapport Cd Presque tous les mathématiciens de l’histoire ont, à un certain moment, consacré du temps au calcul ou à l’étude du rapport Cd . Par exemple, sur le papyrus de Rhind, datant de plus de 3700 ans, Ahmes propose cette valeur du rapport Cd : 256 81 . Quelle est la notation décimale de 256 ? 81 B Combien de positions décimales sont exactes : 1) dans le rapport proposé par Ahmes ? 2) dans la moyenne des rapports que tu as calculée dans l’Action ! précédente ? A

ATTENTION

Alors que des gens essayaient en vain de calculer la valeur exacte de Cd , cette question a gagné de l’importance. Selon l’époque où ils vivaient et selon les travaux de leurs prédécesseurs, ce travail a pris un sens différent. Au début, chacun voulait être le premier à trouver la valeur exacte du rapport. À partir du moment où l’on a déterminé qu’on n’y arriverait jamais, l’objectif a été de trouver des moyens plus efficaces de calculer une valeur de plus en plus précise.

Pour déterminer le nombre de positions décimales exactes d’un rapport dC , on le compare avec la valeur du rapport dC qu’on connaît aujourd’hui. Par exemple, dans la valeur 3,14259, il y a seulement deux positions décimales exactes (le 1 et le 4) puisqu’on arrête de compter dès qu’une décimale ne correspond pas à la valeur 3,14159265...

Aujourd’hui, le calcul de ce rapport permet d’étudier d’autres concepts comme le hasard, les régularités, etc. L’histoire du calcul du rapport Cd peut se répartir en trois grands chapitres selon les moyens utilisés pour le calculer, comme l’indique le tableau suivant. Moyens

Époque

Objectifs

Géométrie (polygones réguliers)

Jusqu’au 17e siècle

Trouver la valeur exacte

Formules mathématiques, calcul à la main

Du 17e au 20e siècle

Accroître la rapidité, l’efficacité du calcul

Formules mathématiques, calcul par des ordinateurs

Depuis le 20e siècle

Définir la théorie des nombres, préciser le concept de hasard, évaluer les processeurs, etc.

Ça ressemble à un travail d’équipe qui dure depuis 4000 ans !

LA CIRCONFÉRENCE ET L’AIRE

SECTION 2

173

La méthode basée sur les polygones réguliers Archimède (vers 287-212 av. J.-C.), inventeur, mathématicien et physicien, a été l’un des premiers à s’intéresser au calcul du rapport Cd avec une méthode utilisée pendant près de 2000 ans par la suite. Sa méthode consistait à faire une approximation de la circonférence ou de l’aire d’un cercle en calculant le périmètre ou l’aire d’un polygone régulier comportant un très grand nombre de côtés. Pour ce faire, Archimède doublait successivement le nombre de côtés d’un hexagone régulier pour arriver à des polygones réguliers à 96 côtés. A

Selon toi, pourquoi Archimède a-t-il choisi un hexagone régulier ?

B

Combien de fois faut-il doubler le nombre de côtés d’un hexagone régulier pour obtenir un polygone régulier à 96 côtés ?

Voici trois polygones réguliers inscrits dans des cercles isométriques. Hexagone régulier

Dodécagone régulier

Polygone régulier à 24 côtés

Effectue une recherche dans Internet pour trouver le nom d’un polygone régulier à 24 côtés. 1. Prends les mesures nécessaires avec ta règle et calcule le rapport périmètre mesure de la grande diagonale : a) de l’hexagone ; b) du dodécagone ; c) du polygone à 24 côtés. 2. Combien de positions décimales sont exactes dans chacun des rapports que tu as calculés dans la question précédente ?

174

CHAPITRE 8

LE CERCLE

Voici maintenant un dodécagone régulier inscrit dans un cercle, lui-même inscrit dans un dodécagone régulier. 3. Prends les mesures nécessaires avec ta règle et calcule périmètre le rapport mesure de la grande diagonale : a) du grand dodécagone ; b) du petit dodécagone. 4. Calcule la moyenne des rapports que tu as obtenus à la question 3. 5. Combien de positions décimales sont exactes dans le rapport que tu as calculé à la question 4 ?

Jusqu’au 17e siècle, les mathématiciens ont utilisé des polygones réguliers avec de plus en plus de côtés pour obtenir des valeurs de plus en plus précises du rapport Cd . Certains calculaient l’aire des polygones réguliers alors que d’autres calculaient leur périmètre, mais la stratégie était la même : plus le nombre de côtés périmètre des polygones augmente, plus le rapport mesure de la grande diagonale se rapproche du rapport Cd . Voici les rapports calculés par quatre mathématiciens avec cette méthode. Nom, pays

C

Année

Nombre de côtés des polygones utilisés

C

Valeur de d déduite

Aryabhata, Inde

vers 530

384

3,14140096...

Tsu Chung-chih, Chine

vers 450

24576

355/113

Viète, France

1579

393 216

entre 3,1415926535 et 3,1415926537

van Ceulen, Allemagne

1610

60

× 229

Tout ça, sans calculatrice !

35 positions décimales exactes

Combien de positions décimales de C sont exactes : d 1) dans la valeur d’Aryabhata ? 3) dans la valeur de Viète ? 2) dans la valeur de Tsu Chung-chih ?

Question de

culture

LE NOMBRE DE LUDOLPH Ludolph van Ceulen (1540-1610), originaire d’Allemagne, a passé une importante partie de sa vie à calculer la valeur du rapport Cd . Il a pu calculer les 35 premières décimales de cette constante en utilisant, à la manière d’Archimède, des polygones réguliers de plus de 32 milliards de côtés. Van Ceulen a passé les 14 dernières années de sa vie à calculer les 33e, 34e et 35e décimales du rapport Cd . Les 35 décimales qu’il a calculées figurent d’ailleurs sur sa pierre tombale, à Leyde, en Hollande. En son hommage, dans certaines régions de l’Allemagne, on réfère parfois au rapport Cd comme étant le « nombre de Ludolph ».

LA CIRCONFÉRENCE ET L’AIRE

SECTION 2

175

Place aux formules mathématiques On a alors commencé à chercher des méthodes plutôt que des décimales.

Les travaux de van Ceulen ont fait comprendre qu’on avait atteint la limite de la méthode basée sur les polygones réguliers. Le moment était donc venu de concentrer les efforts à développer des méthodes de calcul plus efficaces. C’est à cette époque que certains mathématiciens ont commencé à utiliser divers symboles pour représenter le rapport Cd . Par exemple, en 1689, un mathématicien bavarois a utilisé la lettre e. En 1734, Euler a utilisé la lettre p, puis, à partir de 1739, le symbole π, qui se lit « pi ». Depuis, la communauté mathématique s’entend pour utiliser la seizième lettre de l’alphabet grec, π, pour désigner le rapport de la circonférence d’un cercle et de son diamètre. Ainsi, Cd = π. En 1655, le cryptographe et mathématicien anglais John Wallis a été l’un des premiers à développer une formule pour calculer une approximation de la valeur de π. Voici sa formule exprimée avec π pour simplifier la notation.

2 × 2 × 4 × 4 × 6 × 6 × 8 × 8 …= π 2 1 3 3 5 5 7 7 9

1. Décris la formule de Wallis dans tes propres mots. 2. Sans utiliser de calculatrice, détermine la valeur de π correspondant au produit des huit premiers facteurs de la formule de Wallis présentée ci-dessus. 3. Combien de positions décimales sont exactes dans la valeur que tu as calculée à la question 2 ? JOHN WALLIS (1616-1703)

1. À l’aide d’une calculatrice ou d’un tableur, calcule la valeur de π correspondant à cette partie de la formule : 2 × 2 × 4 × 4 × … × 100 ≈ π 1 × 3 × 3 × 5 × … × 99 2

2. Combien de positions décimales sont exactes dans la valeur que tu as trouvée à l’aide de la calculatrice ou du tableur ?

176

CHAPITRE 8

LE CERCLE

Au 18e siècle, plusieurs mathématiciens, dont James Gregory, Gottfried Wilhelm Leibniz et Leonhard Euler, ont développé des formules beaucoup plus efficaces que celle de Wallis. C’est aussi à cette époque que deux mathématiciens, Johann Heinrich Lambert (en 1761) et Adrien Marie Legendre (en 1794), ont prouvé, à leur façon, que π est un nombre irrationnel.

A

Question de

culture

LES NOMBRES IRRATIONNELS Le mot « rationnel » vient du latin rationnalis qui signifie « raisonnable ». Un nombre irrationnel serait-il donc un nombre qui n’est pas raisonnable ? Si on s’intéresse au sens mathématique du mot « raison », qui signifie « rapport », on comprend mieux pourquoi ces nombres sont dits irrationnels. En effet, par opposition aux nombres rationnels, un nombre irrationnel est un nombre qui ne peut pas s’exprimer comme un rapport entre deux entiers. Puisque le développement décimal des nombres irrationnels est illimité et non périodique, on les représente souvent à l’aide de lettres, comme π, ou à l’aide de radicaux, comme 2.

Commente l’affirmation suivante.

«

»

Un jour, on trouvera la dernière décimale de π.

La technologie au service du calcul de π La capacité de calcul des supercalculateurs actuels, qui s’évalue en téraflops, permet de repousser continuellement les limites du calcul de π. A

Téraflops : Mot formé du préfixe téra signifiant 1012, et de l’acronyme FLOPS formé à partir de l’expression anglaise « Floatingpoint Operations Per Second » (opérations en virgule flottante par seconde). Un téraflops signifie mille milliards d’opérations par seconde.

Selon toi, à quoi sert de continuer à calculer des positions décimales de π si on sait qu’il n’y a pas de fin au développement décimal ?

Que ce soit par curiosité, par passion ou simplement pour aller plus loin et plus vite que leurs prédécesseurs, des gens continuent à calculer de plus en plus de positions décimales de π. Le tableau suivant résume l’évolution de la valeur de π calculée grâce aux diverses technologies disponibles. Ordinateur, année (scientifique, pays)

Nombre de positions décimales calculées

Temps mis à effectuer le calcul

ENIAC, 1949

2037

70 heures

NORC, 1955

3089

13 minutes

IBM 7600, 1973 (Guilloud et Bouyer, France)

1 000 000

23 heures

Hitachi S-820, 1988 (Kanada, Japon)

201 326 000

6 heures

1996 (frères Chudnovsky, É.-U.)

8 000 000 000 environ

indéterminé

Hitachi SR-2201, 1997 (Kanada et Takahashi, Japon)

51 539 600 000 environ

29 heures environ

Hitachi, 2002 (Kanada, Japon)

1 240 000 000 000 environ

400 heures environ

LA CIRCONFÉRENCE ET L’AIRE

Explorer π, c’est comme explorer l’univers. ≤≥

DAVID CHUDNOVSKY

SECTION 2

177

1. Suppose qu’on écrive toutes les décimales de  calculées par l’ordinateur de Kanada et Takahashi en 1997, les unes à la suite des autres, sur une seule ligne, dans la police de caractères utilisée dans ce manuel. Sans calculer, indique l’expression, parmi les suivantes, qui représente le mieux la distance entre la première et la 51,5 milliardième décimale. Près de cinq kilomètres Près de trois fois la distance entre Montréal et Québec Près de deux fois la longueur du Canada, d’un océan à l’autre Près de trois fois la circonférence de la Terre, à l’équateur 2. Vérifie ton estimation. Base-toi sur la distance entre la 1re et la 30e décimale de la valeur de π indiquée à la page 172.

Et ceci représente 0 % de l’écriture de ce nombre !

3. Suppose maintenant que M. Kanada envisage de publier ces 51,5 milliards de décimales en plusieurs tomes. De plus, il a choisi d’écrire plus petit, un peu comme dans un dictionnaire. En moyenne, ses tomes compteront 1500 pages contenant 12 000 caractères chacune. Sans calculer, estime le nombre de tomes nécessaires pour publier les décimales parmi les réponses suivantes. Un seul tome, et il ne sera pas plein Un peu plus de 100 tomes Environ cinq tomes Près de 3000 tomes 4. Vérifie ton estimation.

1. Subtil

2. Dans tes propres mots

Que j’aime à faire apprendre ce nombre utile aux sages !

a) Quel est le lien entre cette phrase et le nombre π ? b) Lorsque tu as trouvé le lien, compose une autre phrase selon le même principe.

178

CHAPITRE 8

LE CERCLE

a) Selon toi, quel est le point culminant de l’histoire de π ? b) Explique, en environ 50 mots, comment la valeur utilisée pour π a évolué au fil du temps. Affiche ton résumé dans la classe.

3. Euler et les autres

4. Le grec a ses limites

Au 18e siècle, des centaines de formules ont servi au calcul de π. Leonhard Euler, à lui seul, en a développé plus d’une dizaine. Voici, par exemple, des formules développées par trois mathématiciens. Leonhard Euler π = 3 • 5 • 7 • 11 • 13 • 17 • 19 • 23 • … 2 2 6 6 10 14 18 18 22

Sir Isaac Newton •3 1 •3•5 1 π = 1 + 1 1 +1 +1 +… 2 • 4 5 • 25 2 • 4 • 6 7 • 27 6 2 2 3 • 23

(

)

(

)

(

)

Abraham Sharp π = 2 3 • [1 − ( 3 1• 3 ) + ( 321• 5 ) + ( 331• 7 ) + …]

a) Essaie de poursuivre l’écriture de chaque formule. b) Calcule la valeur de π correspondant : 1) au produit des dix premiers facteurs Avec un tableur, de la formule d’Euler ; c’est plus facile ! 2) à la somme des cinq premiers termes de la formule de Newton ; 3) à la somme des cinq premiers termes de la formule de Sharp.

DES FAITS π-TTORESQUES Le caractère mystérieux, mythique et scientifique du nombre π fait en sorte que plusieurs faits divers lui sont associés. Voici quelques exemples. 1. π a une date d’anniversaire. Quelle est-elle ?

Voici une limite de vitesse un peu spéciale… a) Exprime cette limite sans utiliser π. b) Selon toi, cette limite de vitesse est-elle : plus facile à respecter qu’une limite de 100 km/h ? moins facile à respecter qu’une limite de 100 km/h ? impossible à respecter ? c) Explique ta réponse.

2. Des gens s’amusent à mémoriser le plus grand nombre de décimales possible. Quel est le nombre record de décimales mémorisées ? 3. On peut retrouver plusieurs numéros de téléphone quelque part dans le développement décimal de π. Peut-on y retrouver le tien ? 4. Trouve un autre fait pittoresque associé au nombre π.

LA CIRCONFÉRENCE ET L’AIRE

SECTION 2

179

2.2 STRATÉGIE On peut utiliser π dans les calculs et même laisser cette constante dans les résultats.

La circonférence et les arcs Les aspects historiques présentés à la séquence précédente révèlent bien la relation qui existe entre le diamètre d’un cercle et sa circonférence. L’énoncé suivant résume bien cette séquence.

«

A

Dans un cercle, le rapport de la circonférence au diamètre est une constante que l’on note π.

»

Comment peut-on calculer la circonférence d’un cercle à partir de : son diamètre ? 2) son rayon ? 1)

ATTENTION

Quand le contexte exige une réponse numérique, on peut utiliser diverses valeurs comme approximations de π : π ≈ 3,14 π ≈ 3,1416 π ≈ 22

B

Est-il possible de calculer la circonférence exacte d’un cercle à partir de son diamètre ?

Pour la plupart des applications courantes, une valeur arrondie de π est amplement suffisante. Cela a plusieurs implications sur le calcul de certains éléments du cercle, particulièrement lorsqu’il faut présenter une réponse numérique. Voici deux exemples où l’on calcule la circonférence d’un cercle ayant un diamètre de 4 cm.

7 355 π ≈ 113

Tu peux aussi utiliser directement la valeur de π programmée dans ta calculatrice. À toi de choisir.

Si on remplace π par une valeur numérique, on remplace le signe d’égalité par le signe d’approximation (≈). C = πd C ≈ 3,14 • 4 C ≈ 12,56 cm

1. Calcule la circonférence des cercles suivants. a) b) 5 cm

d) Un cercle ayant un rayon de 4π cm

180

CHAPITRE 8

LE CERCLE

7 cm 8

e) Un cercle ayant un diamètre de n cm

Si on utilise π, on conserve la relation d’égalité. C = πd C=π•4 C = 4π cm

c) 3,5 cm

f ) Un cercle ayant un rayon de x dm

2. Détermine le diamètre des cercles suivants. a) Un cercle ayant b) Un cercle ayant une circonférence une circonférence de 16π cm de 314 cm d) Un cercle ayant e) Un cercle ayant une circonférence un rayon de 3 cm de 355 dm

c) Un cercle ayant une circonférence 2 de 113 m f ) Un cercle ayant une circonférence de 628π mm

3. Détermine le rayon des cercles suivants. a) b)

c)

Circonférence : 7,5 cm

d) Un cercle ayant une circonférence de 14π dm

Circonférence : 135 cm

e) Un cercle ayant une circonférence de 100 m

STRATÉGIE Tu peux souvent valider un résultat en travaillant à rebours. Par exemple, déterminer la circonférence à partir du rayon que tu as calculé constitue un moyen de validation efficace.

Circonférence : 37,7 cm

f ) Un cercle ayant une circonférence de 6 dm

La circonférence d’un cercle Dans un cercle, le rapport de la circonférence au diamètre est représenté par la constante π. π= C d On peut donc déduire une relation permettant de calculer la circonférence à partir du diamètre. C = πd

En se basant sur la relation présentée dans l’encadré théorique et sur le fait que le diamètre d’un cercle mesure le double du rayon, on peut déduire d’autres relations. C

Dans un cercle, quelle relation permet de calculer : 1) la circonférence à partir du rayon ? 2) le diamètre à partir de la circonférence ? 3) le rayon à partir de la circonférence ?

LA CIRCONFÉRENCE ET L’AIRE

SECTION 2

181

La longueur d’un arc Tu auras maintenant l’occasion de réinvestir tes connaissances sur la proportionnalité afin de déduire comment déterminer la longueur d’un arc de cercle. A

Selon toi, est-il possible qu’un arc de cercle de 50° soit moins long qu’un arc de 20° ? Explique ta réponse.

Voici trois arcs de 120°.

D

A B

F E C

B

Ces arcs ont-ils tous la même longueur ?

C

Dans un cercle donné, les arcs de 120° ont-ils tous la même longueur ?

D

Qu’est-ce qui influence la longueur d’un arc ?

J’ai pédalé deux millions de degrés !

1. Quelle portion de la circonférence d’un cercle représente un arc : a) de 180° de ce cercle ? b) de 60° de ce cercle ? c) de 45° de ce cercle ? d) de 1080° de ce cercle ? e) de π ° de ce cercle ? f ) de n° de ce cercle ? 2. Réponds aux 25 questions suivantes. 180°

une circonférence de 100 cm. une circonférence de 9π cm.

90° Détermine la longueur d’un arc de

40°

dans un cercle ayant

un diamètre de 3 cm.



un rayon de 10 cm.



une circonférence de x m.

3. Explique à quelqu’un comment tu détermines la longueur d’un arc : a) à partir de la circonférence ; b) à partir du diamètre ou du rayon.

182

CHAPITRE 8

LE CERCLE

La longueur d’un arc Dans un cercle, la mesure de longueur d’un arc est proportionnelle à la mesure de l’angle au centre qui l’intercepte. Pour déterminer la longueur d’un arc, il suffit de considérer que la circonférence est un arc de 360° et d’établir une proportion. Exemple : On cherche la longueur d’un arc de 80° d’un cercle ayant une circonférence de 225 cm. On trouve le terme manquant de la proportion suivante pour déterminer la longueur de l’arc.

225 cm x

80°

360° 80°

Avec le retour à l’unité 225 cm

Avec le produit croisé

360°

÷ 360

÷ 360

0,625 cm



× 80

× 80

x

100 % de la circonférence, c’est 360° !

80°

225 cm x = 360° 80° 360x 360x

x

x = 50 cm

x

= 225 • 80 = 18 000 18 000 = 360 = 50 cm

Pour calculer la circonférence ou l’angle qui intercepte l’arc dont on connaît la longueur, on établit aussi une proportion. C’est le terme manquant qui change. Circonférence =

360° • mesure de longueur de l’arc mesure en degrés de l’arc

Mesure d’un arc en degrés = 360° • mesure de longueur de l’arc circonférence

1. Détermine la mesure de l’angle au centre qui intercepte un arc de 7 cm dans un cercle ayant un rayon de 5 cm. 2. Détermine la circonférence du cercle dans lequel un arc de 34 cm est intercepté par un angle au centre de 15°.

LA CIRCONFÉRENCE ET L’AIRE

SECTION 2

183

1. π après ?

2. Promenade du dimanche

Détermine la mesure du rayon d’un cercle ayant une circonférence : a) de 24 cm ;

Chaque semaine, M. Lissade parcourt environ 250 km en voiture. Les roues de sa voiture ont un rayon de 15 cm. Combien de tours chaque roue fait-elle par semaine ?

b) de 24π dm ; π m; c) de 2 d) de x cm.

3. Cent commentaires Commente les deux affirmations suivantes. a) La circonférence, c’est environ 14 % de plus que le triple du diamètre. b) La circonférence, c’est environ le triple de 105 % du diamètre.

4. Grands cercles nautiques Pour aller de Boston à Dakar en bateau, il faut parcourir environ 5546 km.

5546 km Boston

Dakar

Boston

Dakar 49,9°

184

CHAPITRE 8

LE CERCLE

a) Quelle est la circonférence de la Terre ? b) Quel est le rayon de la Terre si tu utilises : 1) 3,14 comme valeur de π ? 2) 3,1416 comme valeur de π ?

Question de

culture

ÉRATOSTHÈNE Mathématicien, astronome et philosophe grec, Ératosthène a réussi à calculer la circonférence de la Terre il y a plus de 2200 ans. En mesurant l’angle d’élévation du soleil à midi dans deux villes d’Égypte et en établissant une proportion avec la distance entre ces deux villes, il proposa une valeur de 252 000 stades pour la circonférence. En convertissant sa mesure en kilomètres, on obtient une valeur d’environ 39 690 km. Cette mesure diffère de moins de 1 % de la « vraie » valeur de la circonférence d’un « cercle » passant par les deux pôles.

5. Arrivera ce qui arrivera Qu’arrive-t-il à la circonférence d’un cercle si : a) on augmente son rayon de 10 % ? b) on augmente son diamètre de 10 % ?

6. En rafale Quelle est la circonférence d’un cercle dont : a) le rayon mesure 4 cm ? b) le diamètre mesure 3π cm ? c) 50 % du rayon mesure 16 cm ? d) un arc de 40° mesure 36 cm ? e) un arc de 36° mesure 40 cm ? f ) un arc de 1440° mesure 25 cm ? g) le tiers du quart de la circonférence mesure 16π cm ?

8. π, as-tu l’heure finalement ?

7. Mi-portion Quelle expression algébrique représente le périmètre d’une assiette ayant la forme d’un demi-cercle de rayon r ?

En combien de temps l’extrémité de l’aiguille des minutes d’une horloge aura-t-elle parcouru une distance de 21,5 cm si cette aiguille mesure 5 cm ?

9. Rouler sa monnaie Madelyn a remarqué qu’en faisant rouler une pièce de 25 cents, celle-ci doit faire exactement 4 tours pour franchir une distance de 30 cm. Pour une pièce de 10 cents, c’est 5 14 tours, environ. a) Au dixième de millimètre près, trouve le diamètre : 1) d’une pièce de 25 cents ; 2) d’une pièce de 10 cents. b) Quelle est la mesure d’un arc : 1) de 1440° d’une pièce de 25 cents ? 2) de 1890° d’une pièce de 10 cents ?

Vérifie tes réponses sur le site Internet de la Monnaie royale canadienne.

LA CIRCONFÉRENCE ET L’AIRE

SECTION 2

185

2.3

Les disques et les secteurs Disque : Ensemble des points d’un plan situés à une distance inférieure ou égale à un autre point du plan qu’on appelle le centre.

L

A G

B E C

Depuis le début du chapitre, tu as exploré diverses caractéristiques du cercle. Dans cette séquence, tu vas découvrir une relation qui permet d’en calculer l’aire. En fait, pour être plus précis, on dira plutôt qu’on calcule l’aire d’un disque. A

Selon toi, quelle est la différence entre un cercle et un disque ?

B

Formule une autre définition d’un disque.

La relation base • hauteur qui permet de calculer l’aire de certaines figures fait nécessairement référence à un angle droit. Il a d’ailleurs fallu réaménager les triangles, les quadrilatères et les polygones réguliers afin de voir « apparaître » au moins un angle droit, pour ensuite déduire une relation qui permet de calculer leur aire. C

Quelle formule permet de calculer l’aire d’un rectangle ?

D

Comment peux-tu réaménager un polygone régulier : 1) en parallélogramme ? 2) en rectangle ?

E

Quelle dimension du rectangle correspond alors à l’apothème du polygone régulier ?

F

Où retrouve-t-on un angle droit dans un disque ?

1. Découpe un disque dans du carton. 2. Essaie de découper ton disque de façon à pouvoir le réaménager en une figure dont tu peux calculer l’aire. 3. Selon toi, est-il possible de réaménager un disque en rectangle ? Explique ta réponse.

186

CHAPITRE 8

LE CERCLE

Au chapitre précédent, tu as vu qu’un moyen efficace de déduire une relation pour calculer l’aire de polygones réguliers consiste à réaménager deux polygones réguliers isométriques en un parallélogramme.

G

Quelle est la relation qui permet de calculer l’aire du parallélogramme ?

H

Dans les pentagones, quelle mesure correspond : 1) à la hauteur du parallélogramme ? 2) à la base du parallélogramme ?

I

Quelle est la relation qui permet de calculer l’aire d’un pentagone régulier ?

J

Commente l’affirmation suivante.

«

Un cercle, c’est comme un polygone régulier ayant une infinité de côtés.

»

Il est possible de réaménager des disques isométriques selon le même procédé. Voici quelques exemples.

K

Que se passe-t-il à mesure que le nombre de secteurs des disques augmente ?

L

Selon toi, pourra-t-on réaménager les secteurs en rectangle si on en découpe suffisamment ?

M

Dans les disques de la troisième rangée, quelle mesure correspond : 1) à la hauteur du « parallélogramme » ? 2) à la base du « parallélogramme » ?

N

Comment calculerais-tu l’aire du « parallélogramme » de la troisième rangée à partir de mesures prises sur les disques ?

LA CIRCONFÉRENCE ET L’AIRE

SECTION 2

187

L’aire d’un disque On peut déduire une relation qui permet de calculer l’aire d’un disque exactement de la même façon qu’on déduit une relation pour calculer l’aire d’un polygone régulier. Plus on découpe de secteurs, plus on s’approche d’un rectangle.

Rayon d’un disque Circonférence d’un disque

Arectangle = C • r L’aire du « rectangle » correspond à l’aire des deux disques. Pour obtenir l’aire d’un seul disque, il faut donc diviser par 2. Adisque = C 2• r REMARQUE

On peut également réaménager cette relation pour faire apparaître le nombre π. Adisque = C 2• r Adisque = 2π 2r • r Adisque = 2π 2r • r Adisque = π r • r Adisque = π r2

1. À partir de chacune des données ci-dessous, détermine l’aire du disque correspondant. a) Rayon : 4 cm c) Circonférence : 13 cm b) Diamètre : 6 cm d) Circonférence : 2π dm 2. À partir de chacune des données ci-dessous, détermine le rayon du disque correspondant. a) Aire : 49 cm2 b) Aire : 49π cm2 c) Aire : x cm2 3. Comment procèdes-tu pour déterminer le rayon d’un disque à partir de son aire ? 4. Quelle est la circonférence d’un disque ayant une aire de 50,27 cm2 ?

188

CHAPITRE 8

LE CERCLE

L’aire d’un secteur Précédemment, tu as utilisé le concept de proportionnalité pour calculer la mesure d’un arc à partir de la circonférence. Il est possible de procéder de la même façon pour calculer l’aire de certaines parties de disques : les secteurs. Comme dans le cas d’un arc, on peut associer deux mesures distinctes à un secteur : 1) La mesure en degrés de l’angle au centre qui l’intercepte ; 2) La mesure de sa surface : son aire. A

Selon toi, est-ce que tous les secteurs de 40° ont la même aire ? Explique ta réponse.

B

Selon toi, est-il possible qu’un secteur de 120° occupe une plus petite surface qu’un secteur de 60° ? Explique ta réponse.

Secteur : Portion de disque délimitée par deux rayons et l’arc intercepté par ces rayons.

Voici deux pointes de pizza.

C

Quel est le point commun de ces pointes de pizza ?

D

Quelle est la plus grosse pointe de pizza ?

E

Dans une même pizza, les pointes de 60° sont-elles toutes de la même grosseur ?

F

Quels sont les deux facteurs qui influencent la grosseur d’une pointe de pizza ?

G

Quels sont les deux facteurs qui influencent l’aire d’un secteur ?

1. Quelle fraction de l’aire d’un disque représente un secteur : a) de 90° de ce disque ? b) de 40° de ce disque ? c) de n° de ce disque ? 2. Réponds aux 16 questions suivantes. 180° Trouve l’aire d’un secteur de

45° 1° n°

une aire de 100 cm2. dans un disque ayant

une aire de 64π cm2. un rayon de 4 cm. une aire de x m2.

3. Explique à quelqu’un comment tu détermines l’aire d’un secteur d’un disque : a) à partir de l’aire du disque ; b) à partir de la mesure du rayon du disque.

LA CIRCONFÉRENCE ET L’AIRE

SECTION 2

189

L’aire d’un secteur Dans un disque, l’aire d’un secteur est proportionnelle à la mesure de l’angle au centre qui l’intercepte. Pour calculer l’aire d’un secteur, il suffit de considérer qu’un disque est un secteur de 360° et d’établir une proportion. Exemple : Quelle est l’aire d’un secteur de 150° d’un disque ayant une aire de 48 cm2 ?

48 cm2 x

360° 150°

Voici deux façons de trouver le terme manquant de la proportion pour obtenir l’aire du secteur.

Avec le retour à l’unité 48 cm2

360°

0,13 cm2



÷ 360

Avec le produit croisé

÷ 360

× 150

x

150°

× 150

2

x = 20 cm

48 cm2 x = 360° 150° 360x

= 48 • 150

360x

= 7200

x = 7200 360 x = 20 cm2

Pour calculer l’aire du disque ou la mesure de l’angle qui intercepte le secteur dont on connaît l’aire, on établit aussi une proportion. C’est le terme manquant qui change. Aire =

360° • aire du secteur mesure en degrés du secteur

Mesure en degrés du secteur = 360° • aire du secteur aire du disque

1. Détermine la mesure de l’angle au centre qui intercepte un secteur de 45 cm2 dans un disque ayant un rayon de 6 cm. 2. Détermine l’aire d’un disque dans lequel un angle au centre de 35° intercepte un arc de 75 cm2. 190

CHAPITRE 8

LE CERCLE

1. En rafale, deuxième partie Quelle est l’aire d’un disque dont : a) le rayon mesure 3 cm ? b) le diamètre mesure 11 cm ? c) d) e) f)

40 % du rayon mesure 1,6 cm ? un secteur de 27° a une aire de 57 cm2 ? un secteur de 57° a une aire de 27 cm2 ? la moitié du triple de l’aire est de 150 cm2 ?

2. Oui, je le veux ! Trouve l’aire du quart de la région colorée si le diamètre du grand disque est de 14 cm et si celui du petit est de 7 cm.

3. En parallèle Quel parallèle peut-on établir entre la relation permettant de calculer l’aire d’un polygone régulier et celle permettant de calculer l’aire d’un disque ?

4. π-scine

5. Bouton à deux trous

La famille Villeneuve vient de faire l’acquisition d’une piscine hors terre circulaire ayant un diamètre de 6 mètres. Autour de la piscine, on disposera un anneau de gravier d’une largeur de 1 mètre. a) Dessine un plan vu de haut de la piscine et de l’anneau de gravier. Indique toutes les mesures. b) Si un sac de gravier couvre une surface de 2 m2, combien de sacs de gravier sont nécessaires pour former l’anneau ?

Voici une figure formée de trois disques.

La cour arrière des Villeneuve a une superficie de 400 m2. c) Quel pourcentage de l’aire de la cour sera occupé par la piscine et le gravier ?

Trouve le rayon du plus grand disque si les rayons des deux autres disques sont de 2 cm et de 5 cm et que l’aire de la région verte est de 227π cm2.

6. Algéométrie Qu’arrive-t-il à l’aire d’un disque si on double son rayon ? Donne une preuve algébrique de ta réponse.

LA CIRCONFÉRENCE ET L’AIRE

SECTION 2

191

1. On connaît l’aire…

2. Disques tangents

Trace un disque qui a une aire d’environ 50 cm2.

a) Trois disques identiques ont leur centre sur chacun des sommets d’un triangle équilatéral de 4 cm de côté et de 3,464 cm de hauteur. Quelle fraction de l’aire du triangle n’est pas recouverte par les disques ?

3. Trois rayons et trois circonférences a) Détermine le rayon du disque dont : 1) l’aire est de 34 cm2 ; 2) un secteur de 40° a une aire de 4 cm2 ; 3) la circonférence est de 42 cm. b) Détermine la circonférence du disque dont : 1) l’aire est de 21 cm ; 2) le tiers du diamètre est de 3 cm ; 3) un secteur de 30° a une aire de 5 cm2.

b) Trouve le rayon des quatre disques tangents isométriques si l’aire du carré qui n’est pas recouverte par les disques est de 16 cm2. Le centre de chaque disque correspond à un sommet du carré.

Disques tangents : Disques ayant un seul point commun.

4. Circonscrit

5. Périmètre économe

a) Calcule la différence entre le périmètre du carré et la circonférence du cercle. b) Calcule la différence entre l’aire du carré et l’aire du disque.

Voici trois figures ayant le même périmètre.

O

10 cm

a) Détermine l’aire de chacune des figures. Tu peux utiliser une règle. b) Formule une conjecture à partir de tes résultats.

192

CHAPITRE 8

LE CERCLE

6. π-tonnons

7. Questions d’r

a) Un secteur de 125° a une aire de 45 cm2. Quelle est la longueur de l’arc correspondant ?

Le rayon d’un disque est donné par l’expression algébrique suivante : 4r − 10. Quelle est la valeur de r si : a) la circonférence du disque est de 35 cm ? b) l’aire du disque est de 36π cm2 ? c) un secteur de 45° de ce disque a une aire de 18π cm2 ?

b) Quelle est l’aire d’un secteur de 34° dans un cercle dont un arc de 43° mesure 56 cm ? c) Quel est le diamètre d’un disque ayant une aire de 67,55 cm2 ? d) Dans un cercle donné, un angle au centre de 25° intercepte un arc de 78 mm. Quel est le diamètre du cercle ? e) Dans un disque donné, un secteur de 42° a une aire de 32 dm2. Quel est le rayon du disque ? f ) Quel est le diamètre d’un disque ayant une aire de 72,55 cm2 ? g) Quelle est l’aire d’un disque ayant une circonférence de 24 m ? h) Dans un cercle donné, un angle au centre de 31° intercepte un arc de 78 mm. Quel est le diamètre du cercle ? i ) Dans un disque donné, un secteur de 42° a une aire de 23 dm2. Quel est le rayon du disque ?

9. Cordial Laurie a une corde de 10 cm. a) Donne-lui des instructions afin qu’elle dispose sa corde pour former un arc d’un cercle dont le rayon est :

8. Soustr-aire Quelle est la différence entre l’aire d’un disque et l’aire d’un carré ayant tous deux : a) un périmètre de 37 mètres ? b) un périmètre de n mètres ?

le plus grand possible ; 2) le plus petit possible. b) Calcule la mesure des deux rayons. c) Compare tes réponses avec celles de tes camarades. 1)

10. Différentiel Pendant un virage, en voiture, les roues ne tournent pas toutes à la même vitesse. En effet, dans un virage à droite, les roues de droite (situées plus près du centre de rotation) tournent moins vite que les roues de gauche (situées plus loin du centre de rotation).

Trajectoire des roues extérieures

Suppose que la voiture ci-contre a une largeur de 120 cm. Quelle est la différence entre la distance parcourue par les roues intérieures et les roues extérieures lorsque la voiture fait un demi-tour de rayon intérieur de 560 cm ? Trajectoire des roues intérieures

Rayon intérieur

BRIC À MATHS

SECTION 2

193

11. Surprenant Suppose qu’il soit possible d’entourer précisément chacun des objets suivants avec de la ficelle et qu’ils soient tous parfaitement circulaires.

Diamètre 28 mm

Diamètre 50 cm Rayon ≈ 6350 km

Une pièce de 2 $

Une table ronde

L’équateur de la Terre

a) Quelle longueur de ficelle est nécessaire dans chaque cas ? b) Estime la longueur supplémentaire de ficelle qui est nécessaire si on veut qu’il y ait une distance de 1 cm entre la ficelle et l’objet, dans chaque cas. c) Vérifie tes estimations en b à l’aide de calculs.

1 cm

12. Simulation de tir à l’arc Nhat a créé une simulation informatique d’une séance de tir à l’arc où la cible est formée de quatre disques concentriques de rayons 2, 4, 6 et 8. L’ordinateur détermine la position où les flèches frapperont la cible, et ce, de façon aléatoire. Évidemment, l’ordinateur ne peut pas « lancer » une flèche à l’extérieur de la cible. Voici les dimensions ainsi que les valeurs (en points) de chaque région.

13. Une question radieuse Détermine la mesure en degrés d’un arc qui a la même longueur que le rayon d’un cercle.

Région

Points

rouge

10

verte

5

grise

2

bleue

1

a) Combien de fois la région bleue est-elle plus grande que la région rouge ? b) Si l’ordinateur « lance » trois flèches, quelle est la probabilité que le résultat soit : 1) de moins de 3 points ? 3) d’exactement 30 points ? 2) de plus de 30 points ? 4) d’exactement 15 points ?

194

CHAPITRE 8

LE CERCLE

14. Pneu mouillé

15. Étape par étape

Une bicyclette passe dans une flaque d’eau. La roue arrière laisse les traces suivantes.

On a inscrit un cercle dans un triangle équilatéral, puis un triangle équilatéral dans le cercle, de façon que les deux triangles soient associés par une homothétie. Le point A est le centre du cercle et le point B est le point milieu de l’apothème AC du grand triangle.

Quelle est la longueur du rayon d’une roue de cette bicyclette si l’échelle de l’image est de 1 : 100 ? A B

16. Quatre quarts de cercle a) Détermine l’aire de chacune de ces figures formées avec 4 arcs de 90° isométriques, sachant qu’elles ont toutes un périmètre de 12,56 cm.

C

Quel est le rapport des aires des deux triangles ?

17. Le plus grand

b) Compare ta procédure avec celles de tes camarades.

a) Trace un cercle ayant une circonférence de : 1) 24 cm ; 2) 16π cm. b) Estime la circonférence du plus grand cercle que tu peux tracer sur une feuille. c) Calcule le plus précisément possible la circonférence que tu as estimée en b.

BRIC À MATHS

SECTION 2

195

18. Archimède

19. La ligne rouge

Trouve une expression algébrique qui représente la différence entre la circonférence d’un cercle et le périmètre de l’hexagone régulier qu’on peut y inscrire.

Détermine la longueur de la ligne rouge dans les figures suivantes. a)

b) A

B

m AB = 3 cm Dans les figures, les centres des cercles sont en vert.

c)

Phexagone régulier = 12 cm d)

A

A

B B

La diagonale AB de l’hexagone régulier mesure 12 cm.

D

C

m BC = 4 cm m DC ≈ 5,7 cm

20. Octo-cercle

21. Dans le mille !

Élodie est paysagiste. Elle désire planter 8 arbres à 20 mètres du centre d’un parc circulaire. Elle veut également que les 8 arbres soient les sommets d’un octogone régulier.

La cible de certains jeux de fléchettes est formée de cercles concentriques. a) Selon toi, à quel endroit est-il le plus difficile de lancer une 5 20 1 fléchette, sur cette cible ? 12 18 Explique ta réponse. 9 4 b) Reproduis cette cible de 14 13 façon que le plus grand 11 6 cercle ait un rayon de 5 cm. Au besoin, prends 8 10 des mesures pour que ta 16 15 reproduction soit la plus 7 2 fidèle possible. 19 3 17 c) Détermine l’aire de toutes les régions délimitées par un trait jaune. d) Comment les aires que tu as calculées en c te permettent-elles de vérifier ta réponse en a ?

Trace un plan à l’échelle de l’emplacement des arbres qu’Élodie plantera.

196

CHAPITRE 8

LE CERCLE

22. Varia

23. Drôle de cible

a) Représente les situations à deux variables suivantes dans un plan cartésien. Dans chaque plan cartésien, place la variable rayon en abscisse. 1) La circonférence d’un cercle selon son rayon 2) L’aire d’un disque selon son rayon b) Laquelle des deux situations est proportionnelle ?

Quelle est la probabilité qu’une fléchette lancée dans l’hexagone régulier ci-dessous se retrouve dans la partie verte de l’hexagone ? A

B

F

24. Une mesure rationnelle a) Quel est le diamètre des disques suivants ? 1) Un disque ayant une aire de 4 cm2 2) Un disque ayant une circonférence de 16 cm 3) Un disque ayant une aire de 25π cm2 4) Un disque ayant une circonférence de 40π cm b) Quel type de mesure de la circonférence ou de l’aire d’un disque trouves-tu plus pratique pour déterminer son diamètre ?

C

E

D

25. Sans prétention Maxime affirme qu’en additionnant 4 cm à la mesure du rayon de n’importe quel cercle, la circonférence augmente toujours d’environ 25 cm. Béatrice affirme qu’en additionnant 4 cm à la mesure du rayon de n’importe quel disque, l’aire augmente toujours d’environ 50 cm2.

26. 2 • rayon + marc

Qui a raison ?

Trouve le périmètre d’un secteur : a) de 60° d’un disque ayant un rayon de 3 cm ; b) de 4 cm2 d’un disque ayant un rayon de 2 cm ; c) de 45° d’un disque ayant une circonférence de 36 cm ; d) de 10 cm2 d’un disque ayant une aire de 50 cm2.

BRIC À MATHS

SECTION 2

197

Situation 1 Voici la partie du menu d’un restaurant qui présente le prix des pizzas selon leur taille et le type d’ingrédients qu’on y retrouve. a) Dans ce menu, est-ce que la taille donnée représente le contour, le diamètre ou le rayon de la pizza ? b) Dans cette situation, détermine quelles variables, parmi les suivantes, devraient être proportionnelles. Explique ta réponse. Diamètre et prix 2) Prix et nombre de personnes 3) Aire et prix 4) Aire et nombre de personnes 1)

c) Parmi les couples de variables présentés à la question b, lesquels sont réellement proportionnels dans le menu ci-contre ?

Situation 2

d) Détermine quel format de pizza toute garnie est le plus économique.

Le monde des technologies est en pleine expansion depuis plusieurs années déjà. Les divers moyens de stocker des données constituent un bon indicateur de l’évolution très rapide de ce domaine.

ATTENTION Un pouce (po) est approximativement égal à 2,54 cm.

720 Ko 1 5 4 po

Disquette souple

144 Mo

700 Mo

4,5 Go

1 3 2 po

12 cm

12 cm

Disque compact

DVD

Disquette rigide

Combien de fois la capacité de stockage de chaque centimètre carré de la surface d’un DVD est-elle plus grande que celle d’un centimètre carré : a) de la disquette souple ? b) de la disquette rigide ? c) du disque compact ?

198

CHAPITRE 8

LE CERCLE

Faire le point Complète le texte suivant. 1

Le

d’un cercle s’appelle aussi la plus grande

de ce cercle.

2

La mesure d’un arc en degrés est qui l’intercepte.

3

On appelle « angle » un angle dont le sommet est situé sur le cercle et dont les côtés traversent le cercle.

4

Le rapport

5

La circonférence d’un cercle est

6

π représente un nombre , c’est-à-dire qu’on ne peut l’exprimer comme un rapport entre deux entiers.

7

On peut utiliser la valeur pour la plupart des calculs courants qui nécessitent une valeur numérique de π.

8

On peut déduire une relation permettant de calculer l’aire d’un disque en le réaménageant en .

9

La mesure de la longueur d’un ou l’aire d’un à la mesure de l’angle au centre qui l’intercepte.

que celle de l’angle au centre

est représenté par la lettre grecque π. fois plus grande que son rayon.

est proportionnelle

En t’inspirant des énoncés ci-dessus, organise maintenant tes connaissances en utilisant la méthode de ton choix, que ce soit un résumé, un tableau ou un réseau de concepts. Tu peux inclure d’autres concepts et processus que tu juges essentiels dans ta synthèse.

ESCALE

CHAPITRE 8

199

Activité d’intégration Voici une forme qui rappelle un œuf. Cette figure est constituée de quatre arcs de cercle. Un arc de 180°, un arc de 90° et deux arcs isométriques de 45°. 1. Sur la feuille que te distribue ton enseignante ou ton enseignant, situe le centre des quatre cercles à partir de trois points situés sur chacun des arcs. 2. Écris une procédure permettant de construire une figure semblable en utilisant seulement un compas. 3. Construis une réplique de cette figure où le rayon de l’arc de 180° est de 5 cm. 4. Détermine : a) le périmètre de ta réplique ; b) l’aire de ta réplique.

ŒUFS

Tu peux déduire toutes les mesures dont tu as besoin pour répondre à la question 4 à partir des traces de ta construction.

DE POULE

ŒUF D’AUTRUCHE ŒUFS

200

CHAPITRE 8

LE CERCLE

DE CAILLE

PoésIe Combien de décimales du nombre π crois-tu pouvoir mémoriser ? On connaît aujourd’hui environ 1 240 000 000 000 (plus de 1200 milliards !) de décimales du nombre π.

3,14159… … 54246939526.

Plusieurs moyens existent afin de retenir un grand nombre de chiffres. On peut, entre autres, mémoriser une séquence de mots dont le nombre de lettres représente les différents chiffres de la séquence. Le 18 février 1995, Hiroyuki Goto, alors âgé de 21 ans, établissait un nouveau record en récitant les 42 195 premières décimales de π. Il a accompli cet exploit en 9 heures et 21 minutes.

Ton mandat Composer un poème qui te permettra de mémoriser au moins les 50 premières décimales du nombre π.

Tâche

1

Trouve les 100 premières décimales de π.

Tâche

2

Rédige un poème d’au moins 50 mots en respectant les consignes suivantes. 1)

Le nombre de lettres de chaque mot de ton poème doit correspondre, dans l’ordre, à la séquence de chiffres qu’on retrouve dans le développement de π. Exemple : Le nombre 252 515 pourrait être représenté par « Ah ! comme la neige a neigé ! » (extrait de Soir d’hiver du poète Émile Nelligan).

2)

Ton poème doit être le plus fluide et imagé possible. Si tu le souhaites, tu peux aussi y incorporer des rimes.

Tâche

3

Afin d’apprécier les œuvres des autres élèves, il serait intéressant d’afficher les poèmes ou encore de faire un récital de poésie. a) Parmi les créations de tes camarades, lesquelles te semblent les plus poétiques ? b) Quelles astuces a-t-on trouvées pour représenter le chiffre 0 ?

OPTION PROJET

CHAPITRE 8

201

9 Centre AON

izeh G e d e d i m a r y Grande p • Périm ètr • Haute e de la base : ur : 346 240 m m

912 m de la base : • Périmètre 39 m • Hauteur : 1 0m triangles : 18 es d r u te au •H

202

• Donne un exemple d’une œuvre éphémère, c’est-à-dire une œuvre qui ne dure qu’un court laps de temps. • Selon toi, pourquoi certains artistes choisissent-ils de présenter des œuvres éphémères plutôt que des œuvres qui pourraient durer des centaines ou des milliers d’années ?

Christo et Jeanne-Claude sont des artistes contemporains hors du commun. Ils utilisent notamment des tissus pour envelopper des monuments ou même des bâtiments en entier, de façon à modifier temporairement l’apparence d’un paysage. 1. « Envelopper un bâtiment », est-ce que ça fait référence à l’aire ou au volume ? Imagine que pour réaliser leur prochaine œuvre, Christo et Jeanne-Claude ont choisi deux des plus grands bâtiments à base carrée du monde : la grande pyramide de Gizeh, au Caire, et le centre Aon, à Chicago. 2. Quelle est la principale différence entre ces deux bâtiments ? 3. Selon toi, lequel de ces bâtiments nécessite la plus grande quantité de tissu pour être « enveloppé » ? 4. Essaie de déterminer la quantité de tissu minimale requise pour envelopper la grande pyramide de Gizeh et le centre Aon. 5. Compare ta procédure avec celles de tes camarades.

• • • • •

Développements possibles d’un solide Prismes droits Pyramides droites Cylindres droits Aire latérale ou totale de prismes droits, de cylindres droits ou de pyramides • Solides décomposables • Aire latérale ou totale de solides décomposables en prismes droits, en cylindres droits ou en pyramides droites

SO MM AI RE Section 1 – Une classification des solides . . . . . . . . . . . . . . 204 Section 2 – L’aire des solides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233 Dans la vie… . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254 EMBALLAGE

PONT-NEUF PARIS (1985)

DU

À

Escale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256 Option projet – Et que le spectacle commence ! . . . . . . . . 258

203

Une classification des solides Une partie du travail effectué jusqu’à présent en géométrie a consisté à classifier les objets géométriques selon leur nombre de dimensions. Dimension : Chacune des grandeurs qui permettent de décrire des figures géométriques. Mot qui vient du latin dimetiri : mesurer en tout sens.

En observant le monde qui nous entoure, on peut facilement reconnaître des objets dont les formes ressemblent à des droites, à des polygones ou à des cercles. Ces objets géométriques unidimensionnels ou bidimensionnels sont les parties constituantes d’un objet en trois dimensions. Par exemple, lorsqu’on fait référence aux alvéoles « hexagonales » construites par les abeilles, on s’intéresse à une seule face de l’alvéole. En fait, une alvéole est un objet tridimensionnel. A

Selon toi, à quoi ressemblent les autres faces d’une alvéole ?

B

Selon toi, comment nomme-t-on l’objet géométrique tridimensionnel que rappelle une alvéole ?

Certains cristaux rappellent aussi des objets géométriques tridimensionnels. Voici, par exemple, des cristaux recueillis à Madagascar.

QUARTZ

204

CHAPITRE 9

GRENAT

TOPAZE

C

Quels objets géométriques vois-tu dans ces cristaux ?

D

Dans ces cristaux, qu’est-ce qui rappelle : 1) un point ? 2) une droite ou un segment de droite ? 3) un plan ou une partie de plan ?

LES SOLIDES

AMÉTHYSTE

1.1

Les objets géométriques tridimensionnels La mathématique permet de modéliser ce qu’on retrouve dans la nature afin d’en faciliter l’étude en utilisant, par exemple, un vocabulaire précis. Cette séquence te permettra, entre autres, de te familiariser avec ce vocabulaire, notamment pour classifier les objets tridimensionnels. Il peut être difficile de représenter les trois dimensions d’un objet sur un plan, puisque celui-ci n’en possède que deux. Voici trois représentations d’un cube.

A

Quelle représentation traduit le moins bien les trois dimensions du cube ?

B

Selon toi, pourquoi a-t-on tracé certains « segments » en pointillés ?

C

Essaie de représenter une pyramide en traçant certains segments en pointillés.

Les solides La signification attribuée au mot « solide » diffère selon le contexte dans lequel on l’utilise. Par exemple, en langage courant, le mot « solide » signifie « robuste » ou « rigide ». A

Trouve au moins une autre signification du mot « solide ».

En mathématique, les solides sont des objets à trois dimensions limités par une frontière. C’est d’ailleurs l’aspect de cette frontière qui permet de faire la différence entre deux classes de solides, comme tu le verras dans l’Action ! suivante.

1. Établis un critère qui permet de regrouper les solides suivants en deux classes distinctes.

2. Donne un nom à chaque classe. 3. Compare tes réponses avec celles de tes camarades.

UNE CLASSIFICATION DES SOLIDES

SECTION 1

205

Les polyèdres et les corps ronds Polyèdre : Mot qui vient du grec polus : nombreux et hedra : face.

On distingue deux classes de solides : les polyèdres et les corps ronds. Dans un polyèdre, toutes les faces sont des polygones. Exemples :

Ce solide est un polyèdre, car toutes ses faces sont des carrés.

Ce solide est un polyèdre, car toutes ses faces sont des triangles.

Ce solide est un polyèdre, car toutes ses faces sont des polygones : des hexagones réguliers et des pentagones réguliers.

Ce solide est un polyèdre, car toutes ses faces sont des polygones.

Dans un corps rond, au moins une face n’est pas un polygone. Exemples :

B

206

CHAPITRE 9

LES SOLIDES

Quelle est la différence entre le polyèdre de l’encadré théorique et un ballon de soccer ?

Les composantes des polyèdres Les faces des polyèdres sont des polygones. Ces faces sont donc des surfaces planes, des objets géométriques bidimensionnels que tu as classifiés et étudiés depuis le primaire. Par ailleurs, l’idée d’intersection permet de définir d’autres composantes des polyèdres. A

Quel objet géométrique peut être défini par : 1) l’intersection de deux plans ? 2) l’intersection de deux droites ?

Voici trois polyèdres. B

Dans ces polyèdres, qu’est-ce qui rappelle : 1) une droite ou un segment de droite ? 2) un point ?

C

Selon toi, comment appelle-t-on : 1) les « segments » qu’on retrouve dans un polyèdre ? 2) les « points » qu’on retrouve dans un polyèdre ?

Les composantes des polyèdres Dans un polyèdre : les faces sont des polygones ; les segments formés par l’intersection de deux faces s’appellent les arêtes ; les points formés par l’intersection d’au moins trois arêtes s’appellent les sommets. Exemple :

D

A E F

B

C Dans ce polyèdre, on compte : • 5 faces : les triangles ABC et DEF et les rectangles CFDA, BEDA et CFEB ; • 9 arêtes : AC, AB, BC, DF, DE, EF, AD, CF et BE ; • 6 sommets : A, B, C, D, E, F.

REMARQUE

Dans un polyèdre, les faces peuvent être parallèles, perpendiculaires ou sécantes.

D

Dans le polyèdre de l’encadré théorique, essaie d’identifier : 1) des faces parallèles ; 2) des faces sécantes ; 3) des faces perpendiculaires.

UNE CLASSIFICATION DES SOLIDES

SECTION 1

207

1. Observe les solides ci-contre, puis reproduis et remplis le tableau. 2. Quelle relation peux-tu déduire du nombre de faces, d’arêtes et de sommets d’un polyèdre ? Je me rappelle qu’il faut additionner « 2 » à un des nombres.

Nombre de faces Nombre de sommets Nombre d’arêtes

LE VISAGE DE LA 3D Grâce aux ordinateurs, il est possible de créer des solides virtuels très complexes. Les Québécois sont très réputés dans le domaine des logiciels 3D. Il y a d’ailleurs plusieurs mathématiciens québécois qui travaillent dans ce domaine. Voici un exemple de visage créé à partir d’un logiciel 3D. Image 1

Image 2

Image 3

maillage

transformation

rendu

Pour créer un objet 3D, il faut commencer par effectuer le maillage. C’est l’infographiste 3D qui s’occupe de cette tâche. Même si les arêtes du maillage (image 1) peuvent sembler courbes, le maillage est constitué exclusivement de polygones. Il est possible de créer des objets très complexes à partir de figures plus simples. Par exemple, ce visage est constitué de triangles, de quadrilatères et de pentagones. 1. Pourquoi la surface du solide semble-t-elle courbe si elle est uniquement formée de polygones ? Dans le monde de l’imagerie, les arêtes se nomment « lignes de contrôle » et les sommets se nomment « nœuds ». 2. Comment pourrait-on calculer l’aire totale du visage ? C’est le logiciel 3D qui s’occupe de transformer le maillage en « rendu » (images 2 et 3), selon des paramètres choisis par l’infographiste 3D. Par exemple, l’infographiste décide de la position de l’éclairage, et l’ordinateur calcule ensuite les zones claires et les ombrages sur la surface 3D. Ce paramètre est donc variable, puisqu’on peut lui donner différentes valeurs. 3. Selon toi, quels autres paramètres peuvent être modifiés pour le rendu du visage ?

208

CHAPITRE 9

LES SOLIDES

Question de

culture

LA RELATION D’EULER En plus de ses travaux de pionnier sur le concept de variable et de sa contribution au calcul de π, Euler a démontré une relation importante entre le nombre de sommets (S), le nombre de faces (F) et le nombre d’arêtes (A) des polyèdres convexes :

1. La relation d’Euler

S+F=A+2

a) Combien chacun des trois polyèdres ci-dessus possède-t-il : 1) de faces ? 2) de sommets ? 3) d’arêtes ? b) Vérifie tes réponses en a à l’aide de la relation d’Euler.

Encore aujourd’hui, plus de 200 ans après la mort d’Euler, cette relation est étudiée dans la plupart des écoles du monde.

2. Des relations entre des droites et des plans Voici deux polyèdres. H E

G F

D A

F A

E

B H

C B

J

G

C

I

D

Dans chacun de ces polyèdres, quelles faces semblent : a) isométriques ? b) parallèles ? c) perpendiculaires ? d) sécantes ?

UNE CLASSIFICATION DES SOLIDES

SECTION 1

209

3. Intrus Voici six dés à jouer. a) Combien de faces chacun de ces dés a-t-il ? b) En lançant le dé bleu, le dé brun et le dé vert en même temps, quelle est la probabilité d’obtenir un « 1 » sur chacun des dés ? c) Trouve un critère qui permettrait de considérer un de ces dés comme un intrus par rapport aux cinq autres.

4. Vrai ou faux ? Détermine si les énoncés suivants sont vrais ou faux. Explique ta réponse. a) Deux faces perpendiculaires sont nécessairement sécantes.

«

b)

«

»

Deux faces sécantes ne sont pas nécessairement perpendiculaires.

»

5. Intersection en deux dimensions L’illustration ci-contre montre une partie d’un plan qui coupe un cube pour former un rectangle. Dessine un cube coupé par un plan pour former : a) un carré ; b) un triangle scalène ; c) un triangle équilatéral.

6. Un polyèdre qu’on vexe Voici un polyèdre convexe et un polyèdre non convexe. a) Propose une définition de polyèdre non convexe. b) Essaie de dessiner : 1) un polyèdre convexe ayant cinq faces et cinq sommets ; 2) un polyèdre convexe ayant six faces et douze arêtes ; 3) un polyèdre convexe ayant dix sommets et quinze arêtes.

Polyèdre convexe

c) Comment la relation d’Euler peut-elle aider à dessiner des polyèdres convexes ? Polyèdre non convexe

210

CHAPITRE 9

LES SOLIDES

1.2

Le développement de polyèdres Développer un polyèdre revient à le découper selon certaines arêtes, puis à le déplier de façon que toutes ses faces se retrouvent sur un même plan. Le développement de polyèdres sur une surface plane permet de les classifier selon le type de polygones qui forment leurs faces. Cette procédure est doublement avantageuse, car en plus de faciliter la classification des polyèdres, elle s’avère très utile pour le calcul de l’aire, qui sera abordé à la section suivante. A

Selon toi, est-il possible de développer des corps ronds ? Explique ta réponse.

Voici comment on peut développer un cube.

B

Selon toi, existe-t-il d’autres façons de développer un cube ?

C

Selon toi, les six carrés ci-dessous constituent-ils un développement du cube ? Explique ta réponse.

D

Selon toi, quelles contraintes devrait-on imposer à une figure plane pour qu’on puisse la qualifier de « développement » d’un polyèdre ?

UNE CLASSIFICATION DES SOLIDES

SECTION 1

211

Voici huit polygones formés de six carrés chacun.

1. Ces polygones ont-ils tous : a) le même périmètre ? b) la même aire ? 2. Quels polygones peuvent se replier pour former un cube ? 3. Essaie de dessiner un développement du cube qu’on ne retrouve pas dans cette Action !

212

CHAPITRE 9

LES SOLIDES

Il y a 11 façons différentes de développer un cube.

Le développement d’un polyèdre Le développement d’un polyèdre est la représentation, sur un plan, de toutes les faces du polyèdre.

STRATÉGIE En raison de la perspective, il peut être difficile de classifier les polygones qui forment les faces d’un polyèdre. En développant le polyèdre sur un plan, on contourne cette difficulté.

Pour qu’une représentation soit un développement, toutes les faces doivent être reliées par au moins une arête. Ceci n’est donc pas un développement du polyèdre.

Il existe plusieurs développements différents pour un polyèdre. Cependant, pour que deux développements soient considérés comme différents, on ne doit pas pouvoir les associer par une isométrie du plan. Exemples :

ATTENTION

Ces développements sont différents, car on ne peut pas les associer par une isométrie du plan.

Ces développements ne sont pas différents, car ils sont associés par une réflexion.

REMARQUE

Le développement d’un polyèdre s’appelle parfois le « patron » du polyèdre.

UNE CLASSIFICATION DES SOLIDES

Les symboles d’isométrie et d’angles droits n’ont pas été indiqués sur le développement des polyèdres pour ne pas alourdir ces figures assez complexes. Exceptionnellement, tu pourras te fier à l’apparence des polygones pour les classifier.

SECTION 1

213

Une classification de base On classifie les polyèdres sensiblement de la même façon que les polygones, c’està-dire en considérant les relations de parallélisme, de perpendicularité et d’isométrie qu’on y retrouve. On s’intéresse cependant aux relations entre les faces du polyèdre, en plus de celles entre les côtés ou les angles des polygones qui le forment.

Parfois, on dirait que le développement n’est pas sur un plan, mais il l’est !

Voici le développement de six polyèdres.

1. Établis un critère qui permet de regrouper ces polyèdres en deux classes distinctes. 2. Donne un nom à chaque classe. 3. Dessine chacun de ces polyèdres à main levée ; utilise des pointillés pour représenter les arêtes cachées. 4. Propose un autre développement pour chacun des polyèdres. 5. Compare tes réponses avec celles de tes camarades. L’Action ! précédente t’a permis de faire la différence entre deux classes de polyèdres : les prismes et les pyramides.

Prisme

CHAPITRE 9

Dans tes propres mots, explique la différence fondamentale entre un prisme et une pyramide.

B

Selon toi, comment pourrait-on définir : 1) les bases d’un prisme ? 2) la base d’une pyramide ? 3) la hauteur d’un prisme ? 4) la hauteur d’une pyramide ?

Nous étudierons les caractéristiques des prismes et des pyramides à la séquence suivante.

Pyramide

214

A

LES SOLIDES

1. Développement artistique

2. Ce cher Euler !

a) Parmi les développements suivants, lequel correspond au prisme représenté ci-dessous ?

Vérifie la relation d’Euler pour le polyèdre dont voici le développement.

b) Dessine un autre développement du prisme.

3. Développer pour envelopper Voici une boîte-cadeau ayant la forme d’un prisme à base rectangulaire.

17 cm

8c

m

m

9c

Quelle longueur de ruban faut-il pour décorer cette boîte, en sachant qu’il faut 30 cm pour le nœud ?

UNE CLASSIFICATION DES SOLIDES

SECTION 1

215

4. Ça cartonne Pour fabriquer une certaine boîte, on utilise un carton rectangulaire duquel on découpe certaines parties. A

B

D

C

a) Si la boîte a une longueur de 34 cm, une largeur de 23 cm et une hauteur de 30 cm, quelles sont les dimensions du rectangle ABCD ? b) Quel pourcentage du carton rectangulaire est utilisé pour construire la boîte ?

5. Dés cubiques Voici quatre patrons différents du même dé cubique.

a) Reproduis ces patrons et complète le dessin des « points » sur chaque face de façon que lorsqu’on replie le patron pour former le dé, il y ait un total de 7 points sur les faces opposées du dé. b) Vérifie tes réponses en découpant, puis en repliant chaque patron.

216

CHAPITRE 9

LES SOLIDES

1.3

Les prismes et les pyramides À partir de leurs développements, il est possible de dégager certaines caractéristiques qui sont propres aux prismes et aux pyramides pour ainsi s’entendre sur une façon claire et précise de nommer ces polyèdres. A

Selon toi, quelles caractéristiques des prismes et des pyramides doivent être mentionnées lorsqu’on les nomme ?

B

Essaie de nommer les pyramides et les prismes suivants de façon qu’on les différencie les uns des autres.

Les faces latérales d’un prisme sont des parallélogrammes et les faces latérales d’une pyramide sont des triangles. Cette caractéristique est au cœur de la définition du prisme et de la pyramide. Un rectangle, c’est aussi un parallélogramme.

Le prisme C’est en joignant deux polygones isométriques à l’aide de parallélogrammes qu’on forme un prisme. Les polygones isométriques s’appellent les bases du prisme. Les parallélogrammes, quant à eux, constituent les faces latérales du prisme. A

Désigne les bases et les faces latérales des prismes suivants. A

B

B

A

B A

D D

E

E

F

G

G

F

G

H

F J

I H

J

D

C

E

C

C

I

H

UNE CLASSIFICATION DES SOLIDES

SECTION 1

217

Nommer un prisme Pour nommer un prisme de façon claire et précise, on doit tenir compte de trois caractéristiques : • le type de parallélogramme qui forme les faces latérales ; • le fait que les polygones qui forment les bases sont réguliers ; • le nom des polygones qui constituent les bases. Exemples :

• Les faces latérales sont des rectangles → le prisme est droit. • Les polygones qui forment les bases sont réguliers → le prisme est régulier. • Les polygones qui forment les bases sont des hexagones → le prisme est à base hexagonale. On a donc un prisme droit régulier à base hexagonale.

• Les faces latérales sont des parallélogrammes → le prisme est oblique. • Les polygones qui forment les bases ne sont pas réguliers → le prisme n’est pas régulier. • Les polygones qui forment les bases sont des pentagones → le prisme est à base pentagonale. On a donc un prisme oblique à base pentagonale. REMARQUES

• Un prisme dont toutes les faces sont des carrés est un cube. • Si on ne mentionne pas qu’un prisme est régulier, c’est qu’il ne l’est pas. • La hauteur d’un prisme est la distance entre ses deux bases : si le prisme est droit, cette hauteur est donc isométrique à une arête latérale.

218

CHAPITRE 9

LES SOLIDES

1. Nomme les prismes suivants. a)

b)

c)

d)

2. Compare tes réponses avec celles de tes camarades.

Question de

culture

PRISME OPTIQUE En optique, on peut utiliser un prisme droit à base triangulaire pour réfracter, réfléchir ou décomposer la lumière. En effet, lorsqu’un faisceau de lumière blanche traverse un prisme transparent, il se disperse en plusieurs couleurs. Avant Isaac Newton, on croyait que les nouvelles couleurs étaient créées par le prisme. Newton a démontré que c’est la lumière blanche elle-même qui est composée de différentes couleurs. En utilisant un deuxième prisme, il a recomposé la lumière blanche à partir des couleurs de l’arc-en-ciel obtenues avec le premier prisme.

A

Les pyramides C’est en joignant les sommets d’un polygone à un point situé en-dehors du plan qu’on forme une pyramide. Le polygone s’appelle la base de la pyramide. Les faces latérales de la pyramide sont des triangles. A

Désigne les bases et les faces latérales des pyramides ci-contre.

B

Combien de sommets chacune des pyramides compte-t-elle ?

C

Y a-t-il un sommet qui te semble « différent » des autres ? Explique ta réponse.

D

En te basant sur la façon de nommer les prismes, essaie de nommer chacune de ces pyramides.

E

B

D

C R

W

S T

V U

UNE CLASSIFICATION DES SOLIDES

SECTION 1

219

Nommer une pyramide Dans une pyramide, le point de rencontre des faces latérales s’appelle l’apex. Pour nommer une pyramide de façon claire et précise, on doit tenir compte de trois caractéristiques : • le type de triangle qui forme les faces latérales ; • le fait que le polygone qui forme la base est régulier ; • le nom du polygone qui constitue la base. Exemples :

• Les faces latérales sont des triangles isocèles → la pyramide est droite. • Le polygone qui forme la base est régulier → la pyramide est régulière. • Le polygone qui forme la base est un pentagone → la pyramide est à base pentagonale. On a donc une pyramide droite régulière à base pentagonale.

• Au moins une face latérale est un triangle scalène → la pyramide est oblique. • Le polygone qui forme la base n’est pas régulier → la pyramide n’est pas régulière. • Le polygone qui forme la base est un pentagone → la pyramide est à base pentagonale. On a donc une pyramide oblique à base pentagonale. REMARQUES

• Une pyramide droite régulière à base triangulaire s’appelle un tétraèdre régulier. • Si on ne mentionne pas qu’une pyramide est régulière, c’est qu’elle ne l’est pas. • La hauteur d’une pyramide est un segment perpendiculaire à la base qui rejoint l’apex.

220

CHAPITRE 9

LES SOLIDES

Question de

culture

LES SOLIDES DE PLATON Pour Platon, un philosophe grec, le monde est composé de cinq éléments essentiels : le feu, l’air, l’eau, la terre et l’univers. À chaque élément, il associe un polyèdre dont chaque face est le même polygone régulier. Seuls ces cinq polyèdres possèdent de telles propriétés.

Le tétraèdre régulier symbolise le feu. Ses 4 faces sont des triangles équilatéraux.

L’hexaèdre régulier symbolise la terre. Ses 6 faces sont des carrés.

Un hexaèdre régulier, c’est un cube.

Le dodécaèdre régulier symbolise l’univers. Ses 12 faces sont des pentagones réguliers.

L’octaèdre régulier symbolise l’air. Ses 8 faces sont des triangles équilatéraux.

L’icosaèdre régulier symbolise l’eau. Ses 20 faces sont des triangles équilatéraux.

Les cinq polyèdres réguliers sont aussi appelés les « solides de Platon ».

1. Deux conjectures Vérifie les conjectures suivantes. a) b)

« «

Deux rectangles isométriques peuvent constituer les bases d’un prisme droit régulier à base hexagonale.

»

Deux rectangles isométriques peuvent constituer les bases d’un prisme droit à base carrée.

»

UNE CLASSIFICATION DES SOLIDES

SECTION 1

221

2. Droit ou pas ? a) Parmi les développements suivants, lesquels permettent de former un prisme droit ? Explique ta réponse.

3. Pyra-cube Combien de pyramides à base triangulaire différentes ont comme sommets quatre sommets de ce cube ? D

C B

A

H E

G F

b) Nomme chaque polyèdre.

4. Fais-moi un dessin Dessine les polyèdres suivants en essayant de bien rendre le fait qu’ils sont en trois dimensions. Tu peux utiliser des couleurs, des ombres ou tout autre moyen que tu juges approprié. a) Un prisme droit régulier à base octogonale b) Un prisme non convexe à base pentagonale c) Une pyramide droite régulière à base pentagonale d) Une pyramide non convexe à base hexagonale

222

CHAPITRE 9

LES SOLIDES

5. Avec cinq polygones a) Identifie les patrons d’une pyramide droite à base carrée.

b) Dessine un patron d’une pyramide droite à base carrée qu’on ne retrouve pas dans cette activité.

6. Mille et un sommets a) Combien de faces et d’arêtes possède un prisme droit qui a : 1) 10 sommets ? 3) 1000 sommets ? 2) 24 sommets ? 4) n sommets ? b) Quels polygones forment les bases des prismes de la question a ? c) Y a-t-il une seule réponse possible à la question b ? Explique ta réponse. d) Combien de faces et d’arêtes possède une pyramide droite qui a : 1) 10 sommets ? 3) 1000 sommets ? 2) 24 sommets ? 4) n sommets ? e) Quel polygone forme la base des pyramides de la question d ? f ) Y a-t-il une seule réponse possible à la question e ? Explique ta réponse.

UNE CLASSIFICATION DES SOLIDES

SECTION 1

223

1.4

Le cylindre En plus des polyèdres, il est possible de développer certains corps ronds comme le cône et le cylindre. Comme dans le cas des polyèdres, ce développement est utile pour calculer l’aire de ces corps ronds. Cylindre : Mot qui vient du grec kulindros : rouleau.

Dans cette séquence, le corps rond que nous étudierons plus particulièrement est le cylindre. Plusieurs objets usuels sont de forme à peu près cylindrique. On n’a qu’à penser à un tuyau rigide, à un rouleau d’essuie-tout, à certains verres, à un rouleau à pâte, etc.

A

Trouve un autre exemple d’objet qui rappelle un cylindre.

Daphné enlève l’étiquette d’une boîte de conserve cylindrique pour y lire une recette au verso. 1. Dessine la forme de cette étiquette lorsqu’elle est à plat (en supposant qu’elle est demeurée intacte). 2. Dessine la forme du couvercle de cette boîte de conserve. 3. Dessine la forme du fond de cette boîte de conserve. 4. Dans les formes que tu as dessinées, désigne les longueurs qui doivent « correspondre » pour que la boîte puisse se refermer. 5. Qu’est-ce qui diffère dans ce développement par rapport à celui d’un polyèdre ?

224

CHAPITRE 9

LES SOLIDES

On peut anticiper ce à quoi ressemblerait le développement d’un cylindre en observant les développements des prismes droits réguliers suivants à mesure qu’augmente le nombre de côtés des polygones qui forment leurs bases.

Prisme droit à base carrée

Prisme droit régulier à base octogonale

Prisme droit régulier à base pentadécagonale

Un cylindre s’apparente à un prisme en ce sens qu’il a deux bases isométriques et parallèles. Ces bases ne sont cependant pas des polygones, mais des faces courbes, comme des cercles, par exemple. B

Combien de faces compte un cylindre ?

C

Selon toi, comment définit-on la hauteur d’un cylindre ?

1. Essaie de dessiner un développement pour chacun des cylindres suivants. a)

c)

Exploration Quelle serait la forme du morceau de tissu qui permettrait à Christo et à Jeanne-Claude d’envelopper la tour de Pise, en Italie ?

b)

2. En te basant sur la façon de nommer les prismes, essaie de nommer les cylindres ci-dessus. 3. Compare tes réponses avec celles de tes camarades.

UNE CLASSIFICATION DES SOLIDES

SECTION 1

225

Nommer un cylindre Pour nommer un cylindre avec précision, on doit tenir compte de deux caractéristiques : • le fait que les bases sont alignées ou non ; • le fait que les bases sont des disques ou non. Lorsque les bases d’un cylindre sont alignées, le cylindre est droit. Exemples :

Cylindre droit

Cylindre droit

Peut-on dire un cylindre à base discoïdale ?

Lorsque les bases d’un cylindre sont des disques, il s’agit d’un cylindre à base circulaire. Exemples :

Cylindre à base circulaire

Cylindre droit à base circulaire

REMARQUES

• Les cylindres qui ne sont pas droits sont des cylindres obliques. • Dans le langage courant, à moins qu’on ne mentionne le contraire, les bases d’un cylindre sont des disques. • La hauteur d’un cylindre est la distance entre ses deux bases.

D

226

CHAPITRE 9

Dans l’encadré théorique, quelle est la différence entre : 1) les cylindres et ? 2) les cylindres et ?

LES SOLIDES

1. Pense à l’étiquette

2. Un dans l’autre

Est-il possible que le développement d’un cylindre soit formé de deux disques et d’un parallélogramme, plutôt que d’un rectangle ? Explique ta réponse.

a) Dessine un cube. b) Trace deux cercles inscrits dans deux faces opposées du cube. c) Complète le cylindre. d) Décris l’intersection de la face latérale du cylindre avec les faces du cube.

3. Rondelles en série Dessine une rondelle de hockey selon ces trois points de vue. a) Un spectateur situé quelque part dans l’aréna b) Une caméra située directement au-dessus de la rondelle c) Une caméra située sur le devant du patin d’un joueur qui fonce vers la rondelle

4. Le svelte et le trapu a) Dessine un développement d’un cylindre à base circulaire de 5 cm de hauteur et de 1 cm de rayon. Indique toutes les mesures sur le développement. b) Dessine un développement d’un cylindre à base circulaire de 1 cm de hauteur et de 5 cm de rayon. Indique toutes les mesures sur le développement.

UNE CLASSIFICATION DES SOLIDES

SECTION 1

227

1. Jeu d’enfant Voici le plan codé d’un édifice vu du dessus. Les chiffres désignent le nombre d’étages. N

2. À vol d’oiseau Tu passes en hélicoptère au dessus de la grande pyramide de Gizeh et des environs, près du Caire. Représente la vue que tu as de la pyramide alors que : a) tu t’en approches ; b) tu es au-dessus de son apex.

a) b) c) d)

1

1

2

1

3

Dessine la vue du côté sud. Dessine la vue du côté est. Dessine la vue du côté ouest. Peut-on dire que cet édifice est un polyèdre ? Pourquoi ?

e) Combien cet édifice possède-t-il : 1) d’arêtes ? 2) de faces ?

3)

de sommets ?

f ) Vérifie la relation d’Euler pour cet édifice.

Question de

culture

GARDIEN DU TEMPS Les pyramides du site de Gizeh sont surveillées par un gardien bien particulier. Ce monstre fabuleux, formé d’un corps de lion et d’une tête d’homme sculptés dans le roc, se nomme le Sphinx. Long d’environ 75 mètres et haut d’une vingtaine de mètres, le Sphinx se trouve au centre de la grande carrière qui fournissait des blocs destinés à la construction de la grande pyramide de Gizeh. Il représente le pharaon Khéphren qui a régné il y a plus de 4500 ans dans l’Ancien Empire égyptien. Le temps a beaucoup abîmé le Sphinx. Son corps est aujourd’hui recouvert de « vagues » causées par l’érosion du sable. Au 14e siècle, des coups de canon lui ont cassé le nez et la barbe. La barbe est conservée au British Museum à Londres et on n’a jamais retrouvé le nez.

228

CHAPITRE 9

LES SOLIDES

3. Un seul coup de couteau Le morceau de beurre suivant rappelle un prisme droit à base carrée.

4. Arrête !

a) Dessine un morceau de beurre qu’on a coupé de façon que la partie coupée présente une face étant : 1) un triangle scalène ; 4) un rectangle ; 2) un triangle équilatéral ; 5) un trapèze ; 3) un carré ; 6) un quadrilatère quelconque.

a) Dessine un développement du cube ci-dessous. b) Sur ton développement, dessine de la même couleur les segments qui forment la même arête. c) Propose un moyen de vérifier ton résultat sans replier le développement.

b) Décris comment on peut couper un morceau de beurre de façon que les deux morceaux soient : 1) un prisme droit à base triangulaire et un prisme droit à base pentagonale ; 2) des prismes à base triangulaire ; 3) des prismes isométriques ; 4)

des polyèdres qui ne sont pas des prismes.

5. Cube décoré Sophie a colorié des segments sur certaines faces de ce cube en verre. B

A

C E D

6. Quelle est la différence ? Quelle est la différence entre : a) une pyramide droite régulière à base triangulaire et un tétraèdre régulier ? b) un prisme droit à base pentagonale et un prisme régulier à base pentagonale ?

A, B, C et D sont les points milieux de quatre arêtes, alors que E est un sommet. Représente deux développements différents de ce cube où l’on voit les segments coloriés par Sophie.

BRIC À MATHS

SECTION 1

229

7. Associations a) Associe chaque cube à son développement. 1)

2)

3)

8. L’illusion du barbier Dessine la face latérale de ce cylindre qu’on trouve devant certains salons de barbier.

b) Quel est le symbole manquant de chaque cube ?

9. Avec quatre dés Voici quatre dés à jouer identiques. Il s’agit de dés conventionnels où la somme du nombre de points des faces opposées est de 7.

Les dés ont été placés de telle sorte que deux faces ayant le même nombre de points ne se touchent jamais. Quel est le nombre de points sous le dé inférieur gauche ?

230

CHAPITRE 9

LES SOLIDES

10. Des cubes

11. Du polygone au cercle

Voici le développement de quatre cubes.

B

B

Nomme le solide que l’on peut reconstituer à partir de chacun des développements suivants. a)

B

B a) Reproduis ces développements et complète l’écriture du mot « CUBE » de façon que lorsqu’on replie le cube, on puisse lire ce mot sur les faces latérales. b) Vérifie tes réponses en découpant, puis en repliant les développements.

b)

c)

12. Prismaïde a) Dessine un prisme dans lequel : on retrouve cinq rectangles ; 2) on retrouve deux triangles ; 3) on retrouve quatre parallélogrammes (qui ne sont pas des rectangles). b) Dessine un développement pour chacun des prismes que tu as dessinés en a. c) Dessine une pyramide dans laquelle : 1) on retrouve six triangles isocèles isométriques ; 2) on retrouve un rectangle ; 3) toutes les faces sont isométriques. d) Dessine un développement pour chacune des pyramides que tu as dessinées en c. 1)

BRIC À MATHS

SECTION 1

231

14. Affirmations Commente les affirmations suivantes. a) Il est impossible que plus de 25 % des faces d’un prisme soient des pentagones. b) Il est impossible qu’un prisme ait exactement cinq paires de faces parallèles. c) Il est impossible qu’un prisme ait exactement six paires de faces parallèles.

13. Question de dimension a) Dessine le développement d’un cylindre où : 1) l’aire du rectangle est beaucoup plus petite que l’aire des bases ; 2) l’aire du rectangle est beaucoup plus grande que l’aire des bases. b) Quelle dimension du rectangle est associée à l’aire des bases ?

d) Il est impossible qu’une pyramide droite ait des faces perpendiculaires.

15. Solidement artistique Voici une sculpture qui se trouve devant une école montréalaise. Elle est formée de panneaux de tôle « carrés » et isométriques, attachés entre eux grâce à trois boulons à toutes les arêtes.

a) Combien de panneaux carrés isométriques compte cette sculpture ? b) En tout, combien de boulons a-t-on utilisés ? c) La mesure du côté d’un panneau est de 50 cm. Quelle est l’aire des faces extérieures de cette sculpture ?

232

CHAPITRE 9

LES SOLIDES

L’aire des solides Jusqu’à présent, tu as vu des développements de solides dans lesquels on ne retrouvait pas de mesures. Dans cette section, on considérera les mesures des faces lorsqu’on développera un solide. A

Selon toi, est-ce qu’on peut calculer : 1) le périmètre d’un solide ? 2) l’aire d’un solide ? 3) le volume d’un solide ?

B

Selon toi, lorsqu’on parle de l’aire des solides, parle-t-on de l’aire de toutes les faces ou seulement de celle des faces latérales ?

C

Selon toi, en quoi le développement des solides est-il utile pour calculer leur aire ?

Christo et Jeanne-Claude ne pourraient pas envelopper la base de la pyramide.

Dans certaines situations, comme lorsqu’on veut déterminer la surface de papier nécessaire à la fabrication d’une étiquette de boîte de conserve, on s’intéresse à l’aire de la face latérale du cylindre. D

Trouve une situation où l’on pourrait vouloir déterminer l’aire latérale d’un prisme.

Dans d’autres situations, comme lorsqu’on veut déterminer la quantité de papier nécessaire pour emballer un cadeau, on s’intéresse à l’aire de toutes les faces du prisme. E

Trouve une situation où l’on pourrait vouloir déterminer l’aire totale d’un cylindre.

Voici un prisme droit régulier à base rectangulaire. a) Dessine le développement de ce prisme en y indiquant toutes les mesures.

10 cm

b) Quelle est l’aire totale du prisme ?

4 cm 5 cm

L’AIRE DES SOLIDES

SECTION 2

233

2.1

L’aire des prismes droits C’est à partir du développement d’un prisme droit qu’on peut déduire une procédure simple et efficace permettant de calculer son aire latérale ou son aire totale. Voici un cube et un prisme droit à base carrée.

4 cm 2 cm

A

Quelle est l’aire d’une face du cube ?

B

Quelle est la somme des aires de toutes les faces du cube ?

C

Quelle est l’aire d’une face latérale du prisme ?

D

Quelle est la somme des aires de toutes les faces du prisme ?

2 cm

L’aire latérale d’un prisme droit Voici deux développements du prisme droit à base carrée ci-dessus. 2 cm

2 cm

4 cm

4 cm

234

CHAPITRE 9

LES SOLIDES

A

Quel développement te semble le plus utile pour calculer l’aire de toutes les faces latérales du prisme ? Explique ta réponse.

B

Quel polygone peut-on former avec toutes les faces latérales de ce prisme ?

C

Selon toi, peut-on former le polygone que tu as nommé en B avec les faces latérales de n’importe quel prisme droit ? Explique ta réponse.

1. Dessine un développement pour chacun des prismes droits suivants. Indique les mesures des côtés de tous les polygones de ton développement. a)

b)

2 cm 3 cm

3 cm

3 cm

4 cm

6 cm 2 cm

Régulier à base pentagonale

3 cm

2 cm

À base hexagonale

2. Détermine l’aire latérale de chacun des prismes. 3. Propose une procédure pour calculer l’aire latérale d’un prisme droit. 4. Compare ta procédure avec celles de tes camarades.

L’aire latérale d’un prisme droit Les faces latérales d’un prisme droit sont des rectangles. Exemple : 3

2

3 3 4

2

2

3

2

3

2

2

3

L’aire latérale d’un prisme droit peut être interprétée de deux façons. C’est la somme des aires de chacun des rectangles qui forment les faces latérales. 4 2

3

3

2

2

3

Alatérale Alatérale Alatérale Alatérale

= = = =

Somme des aires de tous les rectangles 2•4+3•4+2•4+3•4+2•4+3•4 8 + 12 + 8 + 12 + 8 + 12 60 cm2

C’est l’aire d’un seul rectangle dont la base est le périmètre de la base du prisme. 4

Alatérale = Pbase • hauteur Alatérale = 15 • 4 Alatérale = 60 cm2

15

L’AIRE DES SOLIDES

SECTION 2

235

L’aire totale d’un prisme droit régulier Pour calculer l’aire totale d’un prisme, on doit ajouter l’aire des bases à l’aire latérale. C’est l’occasion de réinvestir tes connaissances sur l’aire des polygones réguliers. A

De quelles mesures a-t-on besoin pour calculer l’aire d’un polygone régulier ?

ATTENTION Pour alléger les schémas, on n’écrit pas le symbole « ≈ » devant certaines mesures qui sont approximatives.

1. Calcule l’aire des bases du prisme droit régulier à base pentagonale ci-contre. 2. Quelle est l’aire totale du prisme ? 3

2,1 4

L’aire totale d’un prisme droit régulier On détermine l’aire totale d’un prisme en additionnant son aire latérale à l’aire de ses bases. Atotale = Alatérale + Abases Dans un prisme régulier, les bases sont des polygones réguliers isométriques. Cette relation devient donc : Atotale = Alatérale + 2 • Abase Atotale = Pbase • h + 2 • Pbase2 • a A =P • h + 2 • Pbase • a totale

Apothème : Nom qu’on donne parfois à la hauteur d’un triangle isocèle.

base

où h représente la hauteur du prisme et a, l’apothème de la base.

2

Atotale = Pbase • h + Pbase • a

Luc-André propose la relation suivante pour calculer l’aire totale d’un prisme droit régulier.





Atotale = P h + P a Atotale = P(h + a)

236

CHAPITRE 9

B

Que penses-tu de la relation proposée par Luc-André ?

C

Formule une expression en mots qui permet de calculer l’aire totale d’un prisme droit régulier.

LES SOLIDES

1. À chacun son tableau

2. Prisme algébrique

Reproduis les tableaux suivants et remplis-les. Prisme droit à base triangulaire a

a (cm)

b (cm)

c (cm)

h (cm)

7

5

6

10

3

2

a (cm)

h (cm)

5

8

Pbase (cm)

Alatérale (cm2)

h c

b

Prisme droit à base carrée a

h

Pbase (cm)

5

10

Alatérale (cm2)

Abase (cm2)

La hauteur d’un prisme droit est de 20 cm. Chaque base est un rectangle dont l’une des dimensions est de 4 cm. L’aire totale de ce prisme est de 544 cm2. Quelles sont les dimensions et l’aire de chacune des deux bases ?

Atotale (cm2)

3. Cubisme 9,6

48

Trouve la mesure de l’arête d’un cube dont l’aire totale est de 8,64 m2.

4. Prismes en vrac a) La hauteur d’un prisme droit régulier à base octogonale est de 10 cm, alors que le périmètre de sa base est de 24 cm. Trouve l’aire latérale de ce prisme. b) Calcule l’aire latérale d’un prisme droit régulier à base hexagonale de 0,8 m de hauteur et dont un côté de la base mesure 0,25 m. c) Quelle est la hauteur d’un prisme droit régulier à base triangulaire si cette hauteur est isométrique au côté de la base et que l’aire latérale du prisme est de 6,75 cm2 ?

L’AIRE DES SOLIDES

SECTION 2

237

5. Joyeux anniversaire ! a) Quelle est la quantité de papier nécessaire pour emballer ces cadeaux ?

5 cm

12 cm

20 cm 14 cm

12 cm

Chaque disque a une épaisseur de 1 cm. Le disque triple a une épaisseur de 2 cm.

Ajoute 5 % pour les endroits où le papier doit être superposé. 20 cm

25 cm

40 cm

b) Quelle quantité de papier économises-tu en emballant les disques ainsi plutôt qu’en les emballant individuellement ?

2.2

L’aire des pyramides droites régulières Comme pour les prismes droits, c’est à partir du développement d’une pyramide droite qu’on arrivera à déduire une procédure simple et efficace pour calculer son aire latérale ou son aire totale. Voici une pyramide droite à base carrée. 5 cm

A

Quelle est l’aire d’une face latérale de cette pyramide ?

Les faces latérales des pyramides droites sont des triangles isocèles. La mesure des arêtes n’est donc pas suffisante pour calculer l’aire latérale de la pyramide. 3 cm

B

De quelle autre mesure as-tu besoin ?

C

Comment s’appelle cette mesure dans les triangles isocèles qui constituent la pyramide ?

PYRAMIDE DE CAIUS CESTIUS ROME (ITALIE)

238

CHAPITRE 9

LES SOLIDES

Les apothèmes dans une pyramide droite régulière Dans une pyramide droite régulière, ce sont des triangles isocèles qui forment la base et qui constituent les faces latérales. On retrouve par conséquent deux apothèmes. La hauteur des triangles isocèles isométriques formant les faces latérales de la pyramide s’appelle l’apothème de la pyramide. La hauteur des triangles isocèles isométriques formant la base de la pyramide s’appelle l’apothème de la base.

Voici un tétraèdre régulier et une pyramide droite régulière à base pentagonale.

2,6 cm 3 cm

5 cm

2 cm

1. Dessine un développement de chaque pyramide. 2. Sur chaque développement, indique en vert l’apothème de la pyramide et en rouge l’apothème de la base. 3. Quelle est l’aire d’une face du tétraèdre régulier ? 4. Quelle est la somme des aires de toutes les faces du tétraèdre ? 5. Quelle est l’aire d’une face latérale de la pyramide ? 6. Quelle est la somme des aires de toutes les faces de la pyramide ? PYRAMIDE DU LOUVRE PARIS (FRANCE)

L’AIRE DES SOLIDES

SECTION 2

239

L’aire latérale d’une pyramide droite régulière Tu peux réinvestir la stratégie que tu as développée à la séquence précédente pour calculer l’aire latérale d’une pyramide droite régulière. Voici le développement d’une pyramide droite régulière à base heptagonale. A

Quelle est l’aire de chaque face latérale de ce développement ?

B

À quelle mesure correspond la somme des mesures des bases de toutes les faces latérales ?

C

Quelle procédure permet de calculer l’aire latérale d’une pyramide droite régulière ?

2 cm 5 cm

L’aire latérale d’une pyramide droite régulière Les faces latérales d’une pyramide droite régulière sont des triangles isocèles isométriques. L’aire latérale d’une pyramide droite régulière est donc la somme des aires de chacun de ces triangles isocèles. Exemple :

3 cm

L’aire latérale peut aussi être calculée en multipliant l’aire d’un triangle isocèle par le nombre de triangles.

5 cm

Alatérale = 4 • Atriangle isocèle c•a 2 3•5 = 4 • 2 = 30 cm2

Alatérale = 4 • Alatérale

Puisque 4 • c représente le périmètre de la base de la pyramide, on retrouve également la relation suivante. c•a 2 P•a = 2

Alatérale = 4 • Alatérale

240

CHAPITRE 9

LES SOLIDES

Puisque les faces latérales sont des triangles, on divise par deux.

1. Développe chacune des pyramides droites régulières suivantes. Indique toutes les mesures dans ton développement. a) b) c)

7 cm 2 cm

6 cm

y x x

2. Détermine l’aire latérale de chacune des pyramides.

L’aire totale d’une pyramide droite régulière Qu’il s’agisse de prismes ou de pyramides, le concept d’aire totale demeure le même. Puisqu’une pyramide ne compte qu’une base, il suffit d’ajouter l’aire de cette base à l’aire des faces latérales pour obtenir l’aire totale. Comme dans le cas des prismes, il sera toujours question de réinvestir le concept d’aire de polygones réguliers.

L’aire totale d’une pyramide droite régulière On obtient l’aire totale d’une pyramide droite régulière en additionnant son aire latérale à l’aire de sa base. Atotale = Alatérale + Abase Atotale =

A

Pbase • ab Pbase • ap + 2 2

où ap représente l’apothème de la pyramide et ab , l’apothème de la base.

En te basant sur la relation proposée par Luc-André à la page 236, suggère une relation simplifiée permettant de calculer l’aire totale d’une pyramide droite régulière.

PYRAMIDE DE KHÉPHREN GIZEH (ÉGYPTE)

L’AIRE DES SOLIDES

SECTION 2

241

1. À chacun son tableau Reproduis le tableau suivant et remplis-le.

Pyramide droite à base rectangulaire

m (cm)

n (cm)

a (cm)

7

4

7,5

Pbase (cm)

Alatérale (cm2)

32

160

Abase (cm2)

Atotale (cm2)

a m

n

10

2. Calcul Calcule l’aire totale de cette pyramide droite régulière à base hexagonale.

8 cm 5,2 cm 6 cm

3. Avec l’apothème a) Calcule l’aire latérale d’une pyramide droite régulière à base hexagonale dont un côté de la base mesure 40 cm et dont l’apothème a une longueur égale au demi-périmètre de la base. b) Une pyramide droite à base carrée a un apothème d’une longueur de 8 cm. Quelle est l’aire latérale de cette pyramide si l’aire de la base est de 64 cm2 ? c) Un tétraèdre régulier a un apothème de a cm et une arête de b cm. Quelle expression algébrique représente son aire totale ?

PYRAMIDE DE CHICHEN ITZÁ (MEXIQUE)

242

CHAPITRE 9

LES SOLIDES

2.3

Le cylindre droit C’est aussi à partir du développement d’un cylindre droit qu’on arrivera à déduire une procédure simple et efficace pour calculer son aire latérale ou son aire totale.

A

Selon toi, comment peut-on calculer : 1) l’aire latérale d’un cylindre droit ? 2) l’aire totale d’un cylindre droit ?

Décidément, ça valait la peine de développer des solides !

Puisque le cylindre compte une seule face latérale qui se développe en un rectangle, le calcul de l’aire latérale se trouve simplifié. En fait, comme la hauteur du cylindre correspond à la hauteur de sa face latérale, il ne reste plus qu’à déduire la mesure de l’autre dimension du rectangle. Voici un cylindre droit et son développement. 2 cm 2 cm

5 cm

5 cm

B

Selon toi, comment peut-on déterminer l’autre dimension du rectangle ?

C

Quelle est l’aire : 1) des bases de ce cylindre ? 2) de la face latérale de ce cylindre ?

L’AIRE DES SOLIDES

SECTION 2

243

1. Dessine le développement de chacun des cylindres droits suivants. Indique aussi les mesures appropriées dans chacun des développements. 2 cm 2,5 cm a) b) 2 cm c) 1 cm 6 cm

x

2. Détermine l’aire latérale de chacun des cylindres. 3. Détermine l’aire des bases de chacun des cylindres. 4. Détermine l’aire totale de chacun des cylindres.

L’aire latérale et l’aire totale d’un cylindre droit On obtient l’aire latérale du cylindre droit en calculant l’aire du rectangle qu’on retrouve dans son développement. Exemple : 3 cm

4 cm

hauteur

circonférence de la base

Alatérale = Circonférence de la base • hauteur Alatérale = 2π r • h Alatérale = 2π (3) • 4 = 24π cm2 On obtient l’aire totale du cylindre droit en additionnant l’aire des bases à l’aire latérale. Atotale = Alatérale + 2 • Abase Atotale = 2π r • h + 2 • π r2 Atotale = 2π (3) • 4 + 2 • π (3)2 Atotale = 24π + 18π = 42π cm2 REMARQUE

Le rayon d’un cylindre est le rayon des disques qui forment la base.

244

CHAPITRE 9

LES SOLIDES

1. À chacun son tableau

2. Six silos

Reproduis le tableau suivant et remplis-le. Cylindre droit r

r (cm)

h (cm)

4

8

C (cm)

Alatérale (cm2)

15,7

125,6

Abase (cm2)

Atotale (cm2)

h

Un fermier engage des étudiants afin de leur faire peindre la surface latérale de silos cylindriques durant l’été. Chaque silo a un rayon de 2,8 m et une hauteur de 7 m. a) Calcule l’aire de la surface à peindre sur chaque silo. b) Un contenant de peinture contient 1 L et couvre 12 m2. Combien le fermier devra-t-il débourser en peinture pour six silos si un contenant coûte 7,50 $ ?

3. Chaîne de montage Une entreprise fabrique des étiquettes pour des boîtes de conserve. Quelle quantité de papier est nécessaire pour la fabrication des étiquettes destinées aux bons de commande suivants si on doit ajouter une bande verticale de 1 cm de largeur pour coller l’étiquette ? Bon de Nombre commande d’étiquettes

Dimensions de la boîte de conserve

a)

500

hauteur : 115 mm

rayon de la base : 4,9 cm

b)

5000

hauteur : 17 cm

aire de la base : 56 cm2

c)

20 000

hauteur : 0,16 m

circonférence de la base : 31 cm

d)

x

hauteur : a cm

rayon de la base : b cm

La réponse du bon de commande d, c’est en fait la marche à suivre pour calculer toutes les commandes !

L’AIRE DES SOLIDES

SECTION 2

245

4. Un tuyau Quelle est l’aire totale de l’enveloppe isolante de ce tuyau ? 6 cm enveloppe isolante

5. Pas de conclusions hâtives

6 cm tuyau

Quelle hauteur doit avoir un cylindre dont le rayon mesure 4 cm afin qu’il ait la même aire totale que le cylindre suivant ?

2 cm

2 cm

6. Des chiffres et des lettres 4 cm

a) Trouve la hauteur d’un cylindre dont l’aire totale est de 145 cm2 et dont le rayon mesure 4 cm. b) Trouve la hauteur d’un cylindre dont l’aire totale est de x cm2 et dont le rayon mesure r cm. c) Trouve le rayon d’un cylindre dont la hauteur est de 5 cm et dont l’aire latérale est de 55 cm2. d) Trouve le rayon d’un cylindre de hauteur h cm dont l’aire latérale est de y cm2.

7. À la base L’aire latérale du cylindre droit suivant est de 100 cm2.

8. Questionne-aire Donne les dimensions d’un cylindre où : a) l’aire totale est le double de l’aire latérale ; b) l’aire latérale est égale à l’aire d’une base.

246

CHAPITRE 9

LES SOLIDES

Le périmètre d’une base de ce cylindre est de 25 cm. a) Détermine la hauteur du cylindre. b) Si l’aire totale de ce cylindre est de (150 + 3x) cm2, détermine l’aire d’une base de ce cylindre.

2.4

Les solides décomposables Dans la vie de tous les jours, on trouve peu d’objets qui rappellent uniquement un prisme, une pyramide ou un cylindre. En fait, la plupart des objets tridimensionnels sont des solides décomposables en solides plus simples.

A

Quels solides plus simples retrouve-t-on dans ces nichoirs ?

B

Pour peindre ces nichoirs, doit-on appliquer de la peinture sur toutes les faces de tous les solides qui les composent ? Explique ta réponse.

C

Selon toi, comment le développement d’un solide décomposable peut-il faciliter le calcul de son aire totale ?

Solide décomposable : Solide obtenu par l’assemblage de solides plus simples.

1. Un de ces nichoirs est constitué d’un prisme et d’une pyramide. Lequel ? 2. a) Schématise ce nichoir. b) Dessine un développement de chaque solide de ton schéma. 3. Hachure les faces de tes développements qui sont invisibles lorsque le nichoir est construit.

L’AIRE DES SOLIDES

SECTION 2

247

L’aire totale d’un solide décomposable Certaines faces des solides qui forment un solide décomposable ne doivent pas être considérées dans le calcul de l’aire totale de celui-ci. Il est donc utile de considérer un solide décomposable comme étant formé de solides plus simples afin de bien définir toutes ses faces et d’exclure certaines d’entre elles du calcul de l’aire totale. Exemple : Solide décomposable

Schématisation

Solides plus simples

Développements

Ce solide décomposable est formé : • d’un quart de cylindre droit ; • d’un prisme droit à base carrée ; • d’un prisme droit à base triangulaire. Bien que les faces bleues forment aussi ces solides, elles sont cachées dans le solide décomposable. On ne doit donc pas en tenir compte dans le calcul de son aire totale.

248

CHAPITRE 9

LES SOLIDES

1. Solides décomposables

2. À chaque oiseau son nichoir

Calcule l’aire totale des solides décomposables suivants. Laisse les traces de ta démarche.

Voici un nichoir qui a une particularité intéressante : toutes ses arêtes mesurent 15 cm.

1 cm

3,7 cm 3 cm

2 cm

5,5 cm

2 cm 4 cm 1 cm 3 cm

3 cm

4 cm 3 cm

0,5 cm 3 cm

3 cm

3 cm 3 cm

3 cm

a) Nomme les solides qui forment ce nichoir. b) Quelle mesure te manquet-il pour pouvoir calculer l’aire totale de ce nichoir ? c) Remplace la mesure identifiée en b par x et propose une expression algébrique qui représente l’aire totale du nichoir.

3. Sauver les meubles a) Décris les solides qui composent les meubles suivants. b) Schématise chaque meuble à l’aide de solides plus simples. c) Dessine le développement des solides qui composent les meubles.

L’AIRE DES SOLIDES

SECTION 2

249

1. Trois fois, calculera

2. À l’algèbre ! Quelle expression algébrique permet de calculer l’aire totale : a) d’un cube ayant une arête de x cm ? b) d’un cylindre ayant un rayon de b cm et une hauteur de a cm ?

a) Calcule la hauteur d’un prisme régulier dont la base est un hexagone de 3 cm de côté et dont l’aire latérale est de 81 cm2. b) Calcule la mesure d’un côté de la base d’une pyramide régulière à base pentagonale dont l’apothème mesure 14 cm et dont l’aire latérale est de 154 cm2. c) Calcule le rayon d’un cylindre dont la hauteur est de 21,2 cm et dont l’aire latérale est de 466,21 cm2.

3. Mettre le paquet Un paquet a la forme d’un prisme droit à base carrée. Pour le ficeler selon la manière il faut une ficelle de 220 cm.

,

Pour le ficeler selon la manière 180 cm suffisent.

,

Chaque fois, on compte 20 cm pour le nœud. Trouve les dimensions de ce paquet.

4. Chambre cubique chocolatée a) Guillaume veut peindre les murs de sa chambre, qui mesure 4 m sur 5 m. La hauteur est de 2,2 m. Combien de litres de peinture doit-il acheter si 1 L de peinture couvre 8 m2 ? b) Myriam désire fabriquer une boîte à bijoux cubique dont l’arête mesure 19,2 cm. Détermine quelle surface de papier décoratif lui permettra de recouvrir toutes les faces de la boîte, sauf le dessous. c) Une boîte de chocolats a la forme d’un prisme droit régulier à base carrée ayant une hauteur de 25 cm. Quelle est l’aire latérale de cette boîte si l’aire de chaque base est de 25 cm2 ?

250

CHAPITRE 9

LES SOLIDES

5. Développement fondant Voici le développement d’un cube ayant une arête de 6 cm. On veut placer six morceaux de glace isométriques (un sur chaque carré) de façon qu’en repliant le cube, tout l’espace à l’intérieur soit rempli de glace. a) Dessine un de ces morceaux de glace. Écris le plus de mesures possible sur ton schéma. b) Si l’espace occupé par le cube est de 216 cm3, quel est l’espace occupé par chaque morceau de glace ?

6. Mesures manquantes a) Trouve la mesure du rayon d’un cylindre de 0,5 m de hauteur dont l’aire latérale est de 1 m2. b) Trouve la hauteur d’un cylindre dont l’aire totale est de 2,45 m2 si la circonférence des bases est de 0,94 m.

7. Je vous en prisme

8. À l’ordre !

a) Dessine le développement : 1) d’un cube de 35 mm d’arête ; 2) d’un prisme droit à base rectangulaire dont les dimensions sont de 3 cm, de 4 cm et de 5 cm ; 3) d’un prisme droit dont la base est un triangle équilatéral. Le côté du triangle mesure 35 mm, et la hauteur du prisme est de 50 mm ; 4) d’un cylindre dont la hauteur est de 6 cm, et le diamètre, de 4 cm ; 5) d’une pyramide dont la base est un carré de 45 mm de côté et dont l’apothème mesure 5 cm. b) Calcule l’aire totale de tous les solides de la question a.

Place les solides suivants par ordre croissant d’aire totale. Un prisme droit à base carrée de côté a et de hauteur h

Un prisme droit à base rectangulaire de dimensions a a et 2 et de hauteur h

Un cylindre de rayon a et de hauteur h

BRIC À MATHS

SECTION 2

251

9. Une colle

10. Surfaces planes

Quelle est la hauteur d’un cylindre dont l’aire totale est le triple de l’aire d’une base ?

Voici les développements de quelques prismes droits.

4 cm 3 cm

0,9 cm 3 cm

7 cm

2 cm

3 cm

11. Xtrême

2 cm

1,4 cm

3 cm 4 cm x

a) Nomme chacun de ces prismes. b) Calcule l’aire latérale de chaque prisme. c) Calcule l’aire totale de chaque prisme.

Si l’aire totale de cette boîte est de 79 cm2, quelle est la valeur de x ?

12. Cylindre de révolution a) Quelle est l’aire latérale des cylindres qu’on « crée » en faisant fonctionner une perceuse électrique à laquelle on accroche les rectangles suivants ? 10 cm 5 cm

7 cm

8c

8 cm

b) Est-il possible de former un prisme ou une pyramide selon ce procédé ? Explique ta réponse.

252

CHAPITRE 9

LES SOLIDES

13. Développement platonique Voici un développement d’un icosaèdre régulier.

a) Dessine un autre développement d’un icosaèdre régulier. b) Dessine un développement : 1) d’un octaèdre régulier ; 2) d’un dodécaèdre régulier. c) Compare tes développements avec ceux de tes camarades.

14. Boîte à fleurs a) Dessine la forme que peut prendre un seul morceau de tapisserie qui recouvrirait exactement toutes les faces (intérieures et extérieures) de cette boîte. Représente les arêtes de la boîte avec des pointillés et indique toutes les mesures possibles. 15 cm

2 cm

15 cm

40 cm

b) Quelle est l’aire du morceau de tapisserie que tu as dessiné ?

15. Fourmi a) Quelle devrait être la trajectoire d’une fourmi qui marche sur le dé ci-contre pour se rendre le plus rapidement possible au grain de sucre (S) situé au milieu d’une arête si cette fourmi part du point milieu d’une autre arête (F) ? b) Comment peux-tu convaincre quelqu’un que tu as identifié la trajectoire la plus courte ?

BRIC À MATHS

SECTION 2

253

Situation 1 Les contenants de jus sont de formes variées. Plusieurs facteurs entrent en ligne de compte lorsqu’un fabricant choisit une forme pour un contenant. Le coût d’emballage est certainement un des facteurs considérés. Prenons, par exemple, cet emballage de trois boîtes de jus de format individuel.

10,5 cm

4 cm

6,5 cm

a) Quel polyèdre cet emballage te rappelle-t-il ? b) Quelle est l’aire minimale de pellicule plastique nécessaire pour emballer ensemble ces trois boîtes ? c) Propose une disposition différente des trois boîtes qui ferait diminuer la quantité de pellicule plastique utilisée. Calcule le pourcentage de pellicule plastique que ta disposition permettrait d’économiser. d) Compare ta disposition avec celles de tes camarades. e) Selon toi, pourquoi les fabricants ne choisissent-ils pas la façon la plus économique d’emballer leurs boîtes de jus ?

254

CHAPITRE 9

LES SOLIDES

Situation 2 La plupart des chauffe-eau domestiques sont de forme cylindrique et se présentent dans un des deux formats suivants : 60 gallons (environ 225 litres) et 40 gallons (environ 150 litres). Un chauffe-eau est recouvert d’une enveloppe métallique. Un chauffe-eau cylindrique de 225 litres a une hauteur de 150 cm et un rayon de 30 cm. Ces dimensions incluent l’enveloppe isolante ainsi que toutes les composantes à l’intérieur du chauffe-eau. En fait, environ 50 % de l’espace à l’intérieur du cylindre est rempli d’eau. a) Quelle est l’aire de l’enveloppe métallique du chauffe-eau ? Voici deux chauffe-eau d’allures différentes qui auraient la même capacité totale qu’un chauffe-eau domestique en incluant l’espace nécessaire à l’enveloppe isolante et aux diverses composantes.

b) Selon toi, l’aire totale des chauffe-eau et est-elle la même que celle du chauffe-eau ? Vérifie ta réponse en calculant leur aire totale. c) Si les fabricants de chauffe-eau adoptaient le format qui a une plus petite aire totale, ils feraient certainement des économies en matériaux. Selon toi, pourquoi ne le font-ils pas ?

DANS LA VIE… CHAPITRE 9

255

Faire le point Complète le texte suivant. 1

Plusieurs stratégies permettent de représenter un solide sur une surface plane. Par exemple, l’utilisation des ou des .

2

Développer un solide, c’est

3

Dans un développement, toutes les faces doivent avoir au moins une commune.

4

Pour que deux développements d’un même solide soient différents, on ne doit pas pouvoir les associer par une .

5

Dans un polyèdre, toutes les faces sont des

6

Les faces latérales d’un prisme sont des d’une pyramide sont des .

7

Dans un prisme régulier, les deux bases sont des

8

Dans une pyramide droite régulière, les faces latérales sont des

9

Dans un cylindre droit, la face latérale est un

10

L’apothème d’une pyramide droite régulière correspond à la hauteur des qui forment les .

En t’inspirant des énoncés ci-dessus, organise maintenant tes connaissances en utilisant la méthode de ton choix, que ce soit un résumé, un tableau ou un réseau de concepts. Tu peux inclure d’autres concepts et processus que tu juges essentiels dans ta synthèse.

256

CHAPITRE 9

LES SOLIDES

toutes ses faces sur une surface

.

. et les faces latérales

. .

.

11

L’apothème de la base d’une pyramide régulière correspond à la hauteur des qui forment la .

12

L’aire totale d’un prisme, d’une pyramide ou d’un cylindre est calculée en additionnant l’aire à .

Activité d’intégration Dans un magasin où l’on vend du matériel d’art, on offre des ateliers où il est possible de construire des boîtes de rangement du format dont on a besoin. Les faces des boîtes qu’il est possible de construire sont en bois et sont représentées par les trois polygones suivants.

1,5 dm

1,5 dm

1,5 dm

3 dm

triangle équilatéral → 1,00 $

carré → 2,25 $

rectangle → 4,50 $

Le prix de chaque face en bois comprend la peinture ou la teinture nécessaire ainsi que toutes les pièces servant à l’assemblage et au dispositif permettant à la boîte de s’ouvrir. 1. Initialement, la personne responsable des ateliers voulait offrir la possibilité de construire des boîtes cylindriques en proposant aussi des faces circulaires. Selon toi, qu’est-ce qui a fait en sorte qu’elle n’a pas offert cette possibilité, finalement ? 2. Selon toi, combien de boîtes différentes est-il possible de construire dans cet atelier ? 3. Quel est le coût associé aux boîtes de rangement suivantes ? a) Un cube de 3 dm de côté b) Un prisme à base triangulaire ayant une hauteur de 1,5 dm où les bases ont un périmètre de 9 dm c) Un prisme régulier à base hexagonale ayant une hauteur de 6 dm et où les bases ont un périmètre de 9 dm d) Un tétraèdre régulier ayant une arête de 3 dm 4. Dessine le développement d’une boîte de rangement qu’on pourrait appeler prisme droit à base trapézoïdale. 5. Quel est le coût de la boîte que tu as dessinée à la question 4 ? Compare ta réponse avec celles de tes camarades. 6. Dessine le développement d’une boîte dont le coût est le plus près possible de 50 $, sans dépasser cette somme.

ESCALE

CHAPITRE 9

257

Et que le spectacle commence ! Au cinéma comme au théâtre, pour qu’une scène soit vraiment réussie, chaque détail doit être planifié. Les décors, par exemple, sont d’abord conçus en miniature ou à l’ordinateur pour avoir une idée concrète de ce qu’ils auront l’air une fois construits. Au théâtre, la personne qui conçoit les décors est une ou un scénographe. Au cinéma, on appelle cette personne « architecte-décoratrice » ou « architecte-décorateur ».

Ton mandat Créer la maquette d’un décor de cinéma ou de théâtre en utilisant des solides, dont au moins un solide de Platon.

Tâche

1

Fais le croquis d’un décor de théâtre ou de cinéma. Rappelle-toi d’inclure au moins un solide de Platon. Au besoin, réfère-toi à la Question de culture de la p. 221 de ton manuel pour en savoir plus sur les solides de Platon.

Tâche

2

Trace le développement de chaque solide qui compose ton décor.

258

CHAPITRE 9

LES SOLIDES

Tâche

3

a) Construis la scène (planchers et mur) à l’aide du matériel fourni par ton enseignante ou ton enseignant. b) Crée les différents solides dont tu as besoin à partir des développements que tu as tracés à la tâche 2. c) Amuse-toi à mettre le plus de détails possible.

Tâche

4

À partir de ton décor, imagine une scène de film ou de pièce de théâtre qui pourrait s’y dérouler. Fais une brève description de l’action qui se déroule dans cette scène et des éléments de décor qu’on y retrouve.

Tâche

5

Afin de présenter ton travail à tes camarades, conçois une affiche sur laquelle on trouve une brève description de ta scène et de l’action qui s’y déroulerait. Si tu le souhaites, tu peux même y intégrer quelques répliques de personnages.

OPTION PROJET

CHAPITRE 9

259

Index Note : Les folios en gras indiquent la page où tu trouveras une définition du terme ou un encadré théorique portant sur le concept ou le processus.

A agroglyphe, 114 aire d’un disque, 188 d’un polygone régulier le partage en figures plus simples, 143 le réaménagement en une figure plus simple, 144 d’un secteur, 190 latérale d’un cylindre droit, 244 d’un prisme droit, 235 d’une pyramide droite régulière, 240 totale d’un cylindre droit, 244 d’un prisme droit régulier, 236 d’un solide décomposable, 248 d’une pyramide droite régulière, 241 angle(s) au centre, 162 de rotation, 69 extérieurs d’un polygone régulier, 124 inscrit, 162 intérieurs d’un polygone régulier, 123 apex, 220 apothème, 143 dans une pyramide droite régulière, 239 de la base, 239 applet, 125 arbre de probabilités, 35 arc de cercle, 162 longueur d’un –, 183 Archimède, 174 arêtes, 207 axes de symétrie, 119

B base de figures géométriques, 142 bissectrice d’un angle de polygones réguliers, 120

260

C calcul d’une probabilité, 21 centre d’un cercle, 167 de rotation, 66, 69 cercle(s), 162 arc de –, 162 circonférence d’un –, 162 éléments du –, 162 situer le centre d’un –, 167 circonférence, 162, 181 compas, 165 composantes des polyèdres arêtes, 207 faces, 207 sommets, 207 corde, 162 corps ronds, 206 cylindre, 224 nommer un –, 226 cylindre droit aire latérale et aire totale d’un –, 244 développement d’un –, 243

D dallage régulier, 125 dépendance, 16 description en extension, 8 développement d’un cylindre, 243 d’un polyèdre, 213 diagonales des polygones réguliers, 120 diagramme en arbre, 11 diamètre, 162 dimension, 204 disque(s), 186 aire d’un –, 188 tangents, 192 dodécaèdre régulier, 126

E éléments du cercle angle au centre, 162 angle inscrit, 162 arc de cercle, 162 circonférence, 162, 181 corde, 162

diamètre, 162 rayon, 162 équiangle, 117 équilatéral, 117 Ératosthène, 184 estimer, 29 étapes d’une expérience aléatoire composée dépendantes, 16 indépendantes, 16 Euler, Leonhard, 209 événement(s) certain, 22 compatibles, 40, 42 complémentaires, 40, 42 dépendants, 37 élémentaire, 22 impossible, 22 incompatibles, 40, 42 indépendants, 37 probable, 22 relation entre deux –, 40 expérience aléatoire, 8 composée, 10 étapes dépendantes d’une –, 16 étapes indépendantes d’une –, 16 modes de représentation d’une – (voir modes de représentation) résultats possibles d’une –, 8, 15, 27, 35 simple, 7 univers des possibles d’une –, 8

F Fermat, Pierre de, 52 figures géométriques base de –, 142 hauteur de –, 142 figures semblables, 96 rapport des aires de deux –, 100 fréquence, 29

G grille, 11

H hauteur de figures géométriques, 142 homologue, 59 homothétie, 84, 89 rapport d’ –, 87, 90 tracer l’image d’une figure par –, 87

I indépendance, 16 intercepter, 163 isométrie, 58, 59

K kaléidoscope, 118

L Lambert, Johann Heinrich, 177 Legendre, Adrien Marie, 177 Leibniz, Gottfried Wilhelm, 177 loi des grands nombres, 33 longueur d’un arc, 183

M Mandelbrot, Benoît, 135 médiatrice, 119, 120 modes de représentation diagramme en arbre, 11 grille, 11 réseau, 11

N nombre palindrome, 20

P Pascal, Blaise, 52 périmètre d’un polygone régulier, 139 plan, 57 transformation géométrique du –, 59 Platon, solides de –, 221 polyèdre(s), 206 composantes des – (voir composantes des polyèdres) développement d’un –, 213 polygone(s) régulier(s) aire d’un –, 143, 144 angles extérieurs d’un –, 124 angles intérieurs d’un –, 123 axes de symétrie de –, 120, 145

bissectrice d’un angle de –, 120 convexes, 117 équiangle, 117 équilatéral, 117 diagonales des –, 120 médiatrices des –, 120 mesure des segments supportés par les axes de symétrie de –, 145 particularités des –, 120 périmètre d’un –, 139 tracer des – (voir tracer des polygones réguliers) prisme nommer un –, 236 prisme droit aire latérale d’un –, 235 aire totale d’un –, 236 probabilité(s), 21 arbre de –, 35 calcul d’une –, 21 d’événements complémentaires, 42 expérimentale, 30 fréquentielle, 30 règle de la multiplication des –, 35 théorique, 26 pyramide apex d’une –, 220 nommer une –, 220 pyramide droite aire latérale d’une –, 240 aire totale d’une –, 241 apothèmes dans une –, 239

R rapport d’homothétie, 87, 90 de similitude, 96 des aires de deux figures semblables, 100 rayon, 162 réflexion, 75 tracer l’image d’une figure par –, 76 règle de l’addition, 27 de la multiplication, 15 régulier, 114 relation d’Euler, 209 entre deux événements indépendants, 40 entre deux figures, 57 réseau, 11

résultats équiprobables, 27 modes de représentation d’une expérience aléatoire composée, 11 possibles d’une expérience aléatoire, 8, 15, 27, 35 rotation, 69 angle de –, 69 centre de –, 66, 69 sens de –, 69 tracer l’image d’une figure par –, 70

S secteur, 189, aire d’un –, 190 sens de rotation, 69 simuler, 32 situer le centre d’un cercle, 167 solide(s) de Platon, 221 décomposable, 248 aire totale d’un –, 248 sommets, 207

T tirage avec ou sans remise, 37 tracer l’image d’une figure par homothétie, 87 par réflexion, 76 par rotation, 70 par translation, 64 tracer des polygones réguliers à partir de la mesure du côté, 129 à partir de la mesure du rayon du cercle circonscrit, 128 transformation géométrique du plan, 59 translation, 62 tracer l’image d’une figure par –, 64 triangles semblables, 98

U univers des possibles, 8

V Van Ceulen, Ludolph, 175

W Wallis, John, 176

261

Graphisme, notation et symboles a2

Le carré de a ou a exposant 2

A

Aire

a3

Le cube de a ou a exposant 3

P

Périmètre

a b

La fraction a sur b ou la division de a par b

C

Circonférence

a:b

Le rapport de a à b

b

Base

a = c b d

Le rapport de a à b est égal au rapport de c à d

h

Hauteur

r

Rayon

d

Diamètre

t

Translation

r

Rotation

La droite AB

s

Réflexion

La droite d

h

Homothétie

a × 10

n

Notation scientifique

x

Moyenne arithmétique

(x, y)

Couple de coordonnées cartésiennes

A

Le point A

A

B

d A

B

La demi-droite AB

A

B

Le segment AB ou AB

a

π

La racine carrée positive de a Le rapport C/d. π ≈ 3,1416

AB

L’arc d’extrémités A et B

m AB

La mesure du segment AB

//

... est parallèle à...



... est perpendiculaire à...



... est semblable à...

º

Degré

P(E)

Probabilité de l’événement E

∠ABC

L’angle ABC

A∩B

L’ensemble des éléments qui appartiennent à la fois à A et à B

ΔABC

Le triangle ABC A∪B

L’ensemble des éléments qui appartiennent à A ou à B

Angle droit

262

Infini Ω

L’ensemble des résultats possibles d’un expérience aléatoire

A′

L’ensemble complémentaire de l’ensemble A

E = {a, b, c} L’ensemble E défini en extension

Sources Légende P : page c : centre

h : haut g : gauche

b : bas d : droite

P. 50 : GODIN, Maurice. « Mercure : des eaux empoisonnées », Archives de Radio-Canada, reportage diffusé le 13 août 1975.

Photographies P. 2-3 : Hoo Pei Ling/Shutterstock. • P. 9 : Libre de droits/Corbis. • P. 10 : Ivan Roth/Istockphoto. • P. 12 : Digital Stock. • P. 13 : Jerry McElroy/ Istockphoto. • P. 16 : cd. Mark/Shutterstock ; bd. Victor Moni/Shutterstock. • P. 19 : Libre de droits/Istockphoto. • P. 21 : Doug Nelson/Istockphoto. • P. 22 : Angelo Gilardelli/Istockphoto. • P. 24 : Stéphanie Colvey. • P. 25 : Tom Robbrecht/Shutterstock. • P. 33 : Hadi Djunaedi/Istockphoto. • P. 38 : hg. Michael Gatewood/Istockphoto. • P. 43 : Stéphanie Colvey. • P. 45 : bd. Martin von Pfaler/Istockphoto. • P. 50 : Rene Johnston/Toronto Star/ Firstlight. • P. 53 : © Charles Orrico/SuperStock. • P. 54 : M.C. Escher Company. • P. 54-55 : PhotoDisc. • P. 56 : Reproduit avec la permission du Service météorologique du Canada, Environnement Canada. • P. 57 : bd. Bonita Hein/Istockphoto. • P. 58 : (1 et 2) M.C. Escher Company ; (3) Art Resource, NY. • P. 61 : M.C. 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263

(2) Lyle Koehnlein/Istockphoto ; (3) Panagiotis Mouzakis/Shutterstock. • P. 251 : hd. Eva Serrabassa/Istockphoto. • P. 253 : bd. Philip Puleo/ Istockphoto. • P. 254 : c. Stéphanie Colvey ; bg. (texture derrière le verre de jus) Haibei Ren/Istockphotocd ; bg. (verre de jus) Olga Lyubkina/ Istockphoto. • P. 255 : cg. Stéphanie Colvey ; bd. Tina Rencelj/Istockphoto. • P. 257 : Andrea Tani/Istockphoto. • P. 258 : kkgas/Istockphoto. • P. 259 : h. George Bebawi/Istockphoto ; bd. Joseph Jean Rolland Dubé/Istockphoto.

Bibliographie Pour nourrir leurs réflexions lors de l’écriture des manuels de la collection À vos maths !, les auteurs ont consulté les ressources suivantes. BARUK, Stella (1992). Dictionnaire des mathématiques élémentaires, Paris, Seuil, 1324 pages. BECKMANN, Petr (1976). {A History of} π, New York, St Martin’s Press, 208 pages. BLATNER, David (1997). The Joy of π, Londres, Penguin Books, 256 pages. DE CHAMPLAIN, Denis, Pierre Mathieu, Paul Patenaude et Hélène Tessier (1996). Lexique mathématique : Enseignement secondaire, Beauport, Les Éditions du Triangle d’or. DUBOIS, Jean, Henri Mitterand et Albert Dauzat (2005). Grand dictionnaire étymologique et historique du français, Paris, Larousse, 1254 pages. GUILLEN, Michael (1995). Invitation aux mathématiques : des ponts vers l’infini, Paris, Seuil, 250 pages. MANKIEWICZ, Richard (2001). L’histoire des mathématiques, Paris, Seuil, 192 pages. Mensa Mighty Mind Benders, San Francisco, Chronicle Books, ISBN 0811828190. PAULOS, John Allen (1988). Innumeracy : Mathematical Illiteracy and its Consequences, New York, Hill and Wang, 135 pages. PAULOS, John Allen (1991). Beyond Numeracy, New York, Vintage Books, 304 pages. PAULOS, John Allen (1995). A Mathematician Reads the Newspaper, New York, Anchor Books, 224 pages. PAULOS, John Allen (1999). Once Upon a Number, New York, Basic Books, 214 pages. QUÉBEC, MINISTÈRE DE L’ÉDUCATION (2004). Programme de formation de l’école québécoise, enseignement secondaire, premier cycle, Québec, le Ministère, 612 pages. RENÉ de COTRET, Sophie (1991). Étude de l’influence des variables « indice de proportionnalité du thème » et « nombre de couple de données » sur la reconnaissance, le traitement et la compréhension de problèmes de proportionnalité chez des élèves de 13-14 ans, thèse de doctorat de l’Université Joseph Fourier, Grenoble, 276 pages. SINGH, Simon. (1999) The Code Book, New York, Anchor Books, 411 pages.

264

La collection propose une démarche claire et flexible pour l’apprentissage de la mathématique au premier cycle du secondaire. Elle amène l’élève à s’engager pleinement dans le développement de ses compétences en interaction avec ses pairs et son environnement. À partir de situations-problèmes et de questionnements, l’élève pourra mettre en œuvre son raisonnement logique afin de comprendre les concepts et les processus à l’étude. La collection

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, c’est aussi :

l’Exploration , qui propose une situation-problème riche et signifiante où l’élève est à même d’activer ses connaissances antérieures ; de nombreuses activités (rubrique Action!, sections Activités et Bric à maths), qui offrent à l’élève autant d’occasions variées et stimulantes de construire et de consolider ses apprentissages ; l’Option projet, qui permet à l’élève de faire preuve de créativité et d’autonomie en réalisant une tâche complexe ; Dans la vie..., qui présente des situations mathématiques observées dans le quotidien ; l’Escale, qui permet à l’élève de faire le point sur ses apprentissages et de les réinvestir dans une tâche intégratrice ; des rubriques, qui éveillent l’élève à des aspects culturels en lien avec les situations présentées ; des encadrés TIC, qui favorisent l’exploitation des technologies.

Les composantes de la collection

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ISBN 2-7652-0013-0

CHENELIÈRE ÉDUCATION