Цифровая схемотехника часть 2 9785907206175, 9785907206199

Citation preview

В.А. Фролов

ЦИФРОВАЯ СХЕМОТЕХНИКА В четырех частях

Часть 2 Представление информации в цифровых устройствах Рекомендовано Экспертным советом Федерального учебно-методического объединения в системе среднего профессионального образования по укрупненной группе профессий, специальностей (ФУМО СПО по УГПС) 23.00.00 «Техника и технологии наземного транспорта» в качестве учебника для использования в учебном процессе образовательных организаций и учреждений, реализующих программы по специальности 27.02.03 «Автоматика и телемеханика на транспорте (железнодорожном транспорте)». Регистрационный номер экспертного заключения 112 от 17 октября 2019 г.

Москва 2020

УДК 621.38 ББК 32.85 Ф91 Р е ц е н з е н т : преподаватель Орловского филиала Петербургского государственного университета путей сообщения (ПГУПС) А.С. Одиноков

Фролов В.А. Цифровая схемотехника: учебник: в 4 ч. — М.: ФГБУ ДПО Ф91 «Учебно-методиче ский центр по образованию на железнодорожном транспорте», 2020. ISBN 978-5-907206-17-5 Ч. 2.: Представление информации в цифровых устройствах. – 400 с. ISBN 978-5-907206-19-9 Во второй части учебника рассмотрены особенности представления отдельных видов информации (числовая, текстовая, графическая, аудио- и видеоин формация) через представление отдельных типов данных (числовые, логические, символьные и строковые) в числовой форме и в двоичном коде. Особое значение отведено формам внутреннего представления информации в памяти вычислительной системы в зависимости от видов информации. Также показаны основные принципы представления числовой информации в зависимости от типа данных — числовые, логические, символьные или строковые, а также и форматы их представления. Рассмотрена обработка различных видов информации для представления в числовом виде на примерах с текстовой, графической (растровая и векторная графика), видео- и звуковой информацией. Приведены примеры оцифровки аналоговой информации с рассмотрением конкретных объектов растровой и векторной графики, звукового сигнала с применением различных методов обработки объекта. Кроме того, отражены форматы для кодирования обработанной информации и приведены примеры кодирования обработанной информации в различных форматах. Учебник предназначен для студентов техникумов и колледжей железнодорожного транспорта по специальности «Автоматика и телемеханика на транспорте (железнодорожном транспорте)» и других специальностей, а также может служить пособием для инженерно-технического персонала различных отраслей промышленности и студентов высших технических учебных заведений железнодорожного транспорта и всех лиц, интересующихся современной цифровой схемотехникой.

УДК 621.38 ББК 32.85 ISBN 978-5-907206-19-9 (ч. 2) ISBN 978-5-907206-17-5

© Фролов В.А., 2020 © ФГБУ ДПО «Учебно-методический центр по образованию на железнодорожном транспорте», 2020

Список сокращений

АЦП – аналого-цифровой преобразователь ДДК – двоично-десятичные коды ИКМ – импульсно-кодовая модуляция ЦАП – цифро-аналоговый преобразователь FM-синтез – частотный синтез звуков MIDI – цифровой интерфейс музыкальных инструментов (англ. Musical Instrument Digital Interface) UCS – универсальный набор символов (англ. Universal Character Set) UTF – семейство кодировок (англ. Unicode Transformation Format)

Глава 4. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ О ФОРМАХ И ФОРМАТАХ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ИНФОРМАЦИИ В ЦИФРОВЫХ УСТРОЙСТВАХ

4.1 4. 1. Общ Общие ие сведен сведения ия о на назначении значении предс представ тавлени ления я информаци и Многообразие информации (числовая, текстовая, графическая, аудио- и видеоинформация и т.д.), которая может быть обработана цифровыми устройствами, преду предусматривает сматривает определенные типы данных для внутреннего машинного представления информации, как единое целое, и программы для обработки определенных типов данных, которыми представлена информация. В памяти вычислительных систем не существу существует ет принципиального различия между информацией различных типов. Над всеми видами данных, включая дополнительно и саму программу программу,, процессор способен производить арифметические, логические и прочие операции, которые содержатся в системе его команд. Форма внутреннего представления данных определяет определяет,, как тот или иной тип данных представлен в памяти вычислительной системы, от чего зависит и способ обработки, хранения и передачи информации. Рассмотренные основные типы данных – числовые, логические, символьные и строковые, представляющие на естественном или формальном языке все виды информации, входят в состав выражений, составляющих программу ввода и обработки данных вычислительными устройствами цифровой схемотехники. Программа, описывающая алгоритм ввода и обработки данных в цифровые устройства, состоит из выражений, в которых каждый тип данных представлен (описан) определенной структурой и формой 4

записи, в соответствии с видом операндов, т.е. константы или переменной, и видом операторов. При этом необходимо отметить, что в выражениях программы, кроме имен идентификаторов, присвоенных при объявлении переменной, вводятся идентификаторы, употребляемые как служебные ключевые слова (keywords), которые указывают тип данных. Служебные ключевые слова имеют специальное значение в программе и в совокупности с определенной структурой и формой записи каждого типа данных контролируют достоверность данных и операций, выполняемых с данными этого типа, а также определяется формат представление данных в памяти вычислительных устройств. Таким образом, вычислительный процесс работы цифровых устройств реализу реализуется ется с помощью программы и данных, использу используеемых или формиру формируемых емых программой. Однако и сама программа представляет собой совокупность данных, и поэтому можно считать, что все данные описывают любую информацию, в том числе и программную, с которой может работать вычислительная система. Из всех типов данных, представляющих информацию для обработки цифровыми устройствами, только числовые константы, которые, как правило, при программировании или при непосредственном вводе представляются в десятичной системе счисления, наиболее просто переводятся в двоичную систему счисления. Это заключение основано на том, что не все типы данных (числа, логические значения и наборы символов – текстовая информация), которые представляют числовую, текстовую, графическую, звуковую и видеоинформацию, представлены только числами, как числовые константы. В состав выражений при программировании и при непосредственном вводе данных входят не только числовые данные, но и знаки (знаки операций, буквы, специальные знаки и символы), входящие в символьно-текстовую форму представления целых или вещественных чисел и текста. Таким образом, в вычислительной технике данные числового типа, как константы, представленные при вводе данных через программы или непосредственно, как правило, в десятичной системе, можно довольно просто закодировать последовательностью двух знаков: 0 и 1, т.е. представить – кодировать в двоичной системе. Кодирование информации – это процесс формирования определенного представления данных, а в более узком смысле под 5

термином «кодирование» часто понимают переход от одной – исходной формы представления информации к другой – конечной, более удобной для хранения, передачи или обработки. В резуль результате тате кодирования происходит представление данных набором знаков, отличающимся от набора знаков, в котором были первоначально представлены данные. В этом случае отображаемый набор знаков называется исходным алфавитом, а набор знаков, который используется зу ется для отображения, – кодовым алфавитом, или алфавитом для кодирования. Совокупность знаков кодового алфавита, применяемых для кодирования одного знака исходного алфавита, называется кодовой комбинацией, или кодом знака. При этом кодовая комбинация может содержать и один знак кодового алфавита. Для автоматизации работы цифровых устройств с данными по принципу представления данных всех типов, в том числе и числовых переменных, в числовой форме, необходимо унифицировать их форму представления – для этого также используется прием кодирования, т.е. выражение данных одного типа через данные другого типа. Надо понимать, что данные любого типа – это так или иначе закодированная информация, но представлена в разных формах: в виде чисел, текста, рисунка и др. Для того чтобы кодировать любую информацию, необходимо однозначно выделить ее элементы. Это значит значит,, что все значения, предназначенные для кодирования, должны быть строго дискретны. В соответствии с тем, что все информационные языки имеют определенную знаковую систему представления информации, основанную на алфавите языка, отдельные символы (знаки) которого являются дискретными величинами, то можно сделать вывод о том, числовая и текстовая информация, представленная, соответственно, на естественном или формальном языке, является дискретной формой. Таким образом, не нуждаются в дискретизации целые числа и символы (текстовая информация), а вещественные числа, графическая и звуковая информация для ввода в вычислительные устройства требуют определенных процедур ввода, которые преобразуют эти виды информации в дискретную форму форму,, представленную в числовом формате. 6

Рассматривая процесс кодирования информации с позиции представления данных при вводе в вычислительные устройства и системы, делаем вывод о том, что кодирования – преобразования, представленной информации в числовую форму в двоичном коде. Числовая (цифровая) форма представления информации в виде двоичного кода облегчает унификацию операций преобразования информации на всех этапах ее обращения в вычислительных устройствах и системах. В настоящее время существуют разные способы кодирования и декодирования информации в компьютере. Выбор способа зависит от вида информации, которую необходимо кодировать: текст текст,, число, графическое изображение или звук. Рассмотрим особенности представления отдельных видов информации (числовая, текстовая, графическая, аудио- и видеоинформация) через представление отдельных типов данных (числовые, логические, символьные и строковые) в числовой форме и в двоичном коде.

1. 2.

3. 4.

Вопросы и задания для самоконтроля Дайте понятие основной формы внутреннего представления данных, как информации в цифровых устройствах. Что значит числовая информация как основа представления всех типов данных в цифровых устройствах обработки информации? Каковы основные типы данных, рассматриваемые для представления в цифровых устройствах? Назовите основное требование для представления любой информации в цифровых устройствах.

4.2. Осн Основн овны ые фор форм мы чис исло ловой вой инфор форма мац ции д л я п редс редстав тавлен лени и я в ц ифровы ифровыхх устройс устройств твах ах Числовая информация – это любая информация, связанная с числами и форму лами, т.е. математическая, использу используемая емая для проведения арифметических операций, а также физическая и статистиче7

ская информация как способ счета и обозначе ния количества (время, даты, весов, цен, коэффициентов и т.п.) в различных формах, представленная числовыми данными в различных системах счисления. Таким образом, числовые данные – это информация в виде цифр и знаков как атрибутов, представленная в какой-либо системе счисления, в том числе и языке программирования. Важным в определении формата представления числовых данных является то, как будут использоваться данные, представляющие числовую информацию: в тексте или в математических вычислениях, а также и в процессе ввода-вывода. В соответствии с вышеизложенным, отметим, что, рассматривая особенности представления числовых данных в цифровых устройствах, особое значение придается числовой информации, представленной числовыми данными, с которыми будут выполняться какиелибо математические операции, например сложение, вычитание, умножение и т.д., т.к. только в этом случае применяются особые принципы представления числовых данных. Если же числовые данные относятся к разряду данных, несущих статистическую информацию, например дата, время и др., то цифры и числа как числовые данные относятся к символьному типу данных, представление которых регламентируется аналогично представлению текстовой информации, рассматривая кодирование цифр как символов буквенно-цифрового формата. Таким образом, вопрос о представлении числовой информации, выраженной числовыми данными, с которыми в вычислительных устройствах не преду предусмотрено смотрено выполнять каких-либо математических операций, относится к вопросу рассмотрения представления тексто вой информации. Числовая информация может быть представлены различными видами чисел: натуральными – это положительные целые числа 1, 2, 3, 4…, которые употребляются при счете, и целыми отрицательными числами –1, –2, –3, –4, –, ..., противоположные натуральным, и числом 0. Также числовая информация может быть представлена действительными (вещественными) числами, состоящими из множеств рациональных и иррациональных чисел, которые отличаются тем, что рациональные числа представлены в виде конечных и бес8

конечных периодических дробей, а иррациональные числа – из бесконечных непериодических десятичных дробей. Каждый из видов чисел имеет свои особенности математической записи, а соответственно, и представления при вводе в цифровые устройства. Вопрос об особенностях представления числовой информации, предназначенной для выполнения математических операций, возникает по той причине, что в вычислительные устройства обработки информации нельзя, либо нерационально, вводить числа в том виде, в котором они изображаются человеком на бумаге, ввиду многообразия классификации чисел и представления их в записи, принятой в математике. Если рассматривать историю развития числовых способов представления информации, использу используя я алфавит цифр, то можно сделать вывод, что только создание позиционных систем счисления позволило записывать как целые числа, так и дробные числа. В соответствии с тем, что десятичную систему счисления можно рассматривать как основу создания позиционных систем счисления в современном мире, применение позиционного десятичного способа записи натуральных чисел стало также и основой представления числовой информации. Наряду с натуральными десятичными числами, которыми можно представлять только целые числовые значения, возникли потребности оперировать частями целого числа, что послужило основой представления чисел в виде последовательности цифр, разделенной запятой на целую и дробную части, а впоследствии и образование записи обыкновенных и десятичных дробей. Напомним, что дробная часть от целого десятичного числа, или десятичная дробь, есть резуль результат тат деления единицы на десять, сто, тысячу и т.д. частей. Таким образом, форма представления чисел в виде последовательности цифр, разделенных запятой на целую часть и дробную, наиболее распространенная в повседневной практике, называется естественной формой записи чисел, или числом с естественной запятой. Числа, представленные в такой форме, записываются в естественном натуральном виде и имеют вид, например, в десятичной системе счисления 12560 10 – целое число, 0,003572 10 – правильная дробь, 4,89760 10 – неправильная дробь (дробное число, состоящее 10 9

из целой и дробной части числа). Аналогично в естественном натуральном виде можно записать и числа в других позиционных системах счисления: 247 0,Е Е0D 16; 8; 3AF16; 10110 2 – целые числа, 0,107 8; 0, 0,011012 – правильные дроби, 5,603 3,Е Е0D 16; 10,011012 – непра8 ; C3, вильные дроби. В соответствии с тем, что с метафизической точки зрения дробные числа как совокупность целого и дробного числа позволяют выражать количественное значение измерений всех физических величин в соответствии с материальным вещественным планом бытия, дробные числа называют вещественными или действительными числами. При этом, обращая внимание на целые числа, которые также представляются в естественной форме записи числа, можно отметить их ограниченность в выражении количественного значения, вызванное невозможностью представлять части целого числа, что особенно важно при выполнении вычислений и измерений непрерывных величин с высокой точностью числового значения. Вещественное, или действительное, число является математическим объектом, возникшим из потребности измерения геометрических и физических величин окружающего мира, а также проведения вычислительных операций и исследований с высокой точностью данных. Действительные (вещественные) числа (англ. термин «real number» – перевод как «действительное число» или «вещественное число») – любое положительное, отрицательное число и нуль, т.е. все рациональные и иррациональные числа, которые могут быть записаны в виде совокупности целых чисел и конечных или бесконечных периодических или непериодических десятичных дробей. В резуль результате тате этого можно утверждать, что числа в числовых данных, с которыми преду предусматривается сматривается выполнение математических операций в цифровых вычислительных устройствах, классифицируются как две фундаментальные группы: целые числа и дробные, которые по виду чисел являются действительными (вещественными). Учитывая особенности каждой из групп чисел в отношении представления числовых значений, только целые или дробные, делаем вывод о необходимости рассмотрения форматов представления чисел в цифровых устройствах для каждой из группы чисел раздельно. При этом, независимо от того, какое это число, целое или дробное, необходимо учитывать, что число можкт быть положительным, от10

рицательным или равным нулю. Соответственно, для представления чисел в естественной форме используются не только цифры, но и различные дополнительные символы, как знак числа (положительное или отрицательное) и запятая (англ. термин radix point), отделяющая целую часть числа от дробной части. Особенностью естественной формы записи чисел с естественной запятой является то, что положение запятой для каждого конкретного число строго определено, т.е. зафиксировано, и изменение позиции запятой приведет и к изменению количественного значения числовых данных. Естественная форма с естественной запятой, положение которой строго устанавливается и неизменно для каждого числа, называется формой числа с фиксированной запятой. Для записи правильных дробей положение запятой – перед старшим разрядом, для смешанных дробей – в определенном месте, отделяя целую и дробные части числа, а для целых чисел – после младшего разряда. Рассматривая форму чисел с фиксированной запятой, когда числа могут содержать большой набор цифр, как, например: 0,0000345 или 10900000 (т.е., очень большие или очень маленькие числа), пришли к выводу выводу,, что такое представление чисел становится нечитае мым и трудно употребимым для решения задач, включающих разнообразные и обширные вычисления с такими чис лами. При такой записи чисел нетрудно потерять один или несколько нулей, что приведет к искажению числового значения и, соответственно, к неверному резуль результату тату вычислений. Рассматривая необходимость работы с очень большими или очень маленькими числами, которые в записи выражены достаточно небольшим количеством цифр, стало одной из причин, заставивших ученых настойчиво вводить экспоненциальную форму выражения чисел в практику выполнения вычислений с такими числами. Экспоненциальная форма – унифицированная форма записи действительного числа, записанного в естественной форме ±a 4a3 q=A …a0, a-1 … a-2, a-3, которая в эквивалентном ему экспоненциальном виде представляется следующим образом: Aq=±М×q (±р) , где A – записываемое число; M – мантисса, содержащая все цифры записываемого числа без учета порядка; ± – знака мантиссы, 11

определяет отрицательное или положительное число; q – основание системы счисления, определяющее основание показательной экспоненциальной части числа; р – порядок как целое число, выражающее степень (экспоненту) основания системы счисления числа, определяющее истинное положение (порядок) цифр в числе в естественной форме записи; ± – знака порядка, определяет смещение запятой («+» – при смещении порядка влево и «–» – при смещении вправо); q(±р) – характеристика числа (экспонента – порядок основания), на которое умножается мантисса. Мантисса (от лат лат.. mantissa – прибавка) – многозначный термин: дробная часть десятичного логарифма числа, например, lg lg300 300 = 2,4771, где 4771 есть мантисса для lg lg300, 300, т.е. цифры числа, выражающие значение числа без учета порядка… Экспонента (от лат лат.. exponent exponent)) – показатель степени (одно из названий показателя степени лат лат.. exponens, род. exponentis – показывающий), представленный числом, обозначающим степень, которое пишется в виде верхнего индекса справа от цифры, или символа, например, в выражении а4 экспонентой является 4, а а – основанием. Экспонента (порядок) основания – характеристика числа, в экспоненциальной форме записи числа (±qр) , представленная основанием системы счисления в некоторой целой степени (экспоненте), называемой порядком числа, определяющим положение запятой и, соответственно, порядок числа в соответствии с естественной формой записи числа. Порядок (р) – показатель, указывающий, на сколько разрядов сдвинута запятая, а знак – в какую сторону сдвинута запятая («–» – в сторону увеличения, а «+» – в сторону уменьшения). Экспоненциальную форму представления вещественных чисел специально не пришлось придумывать математикам и специалистам в области информационных систем обработки информации, т.к. в математике давно применяется способ развернутой формы записи числа для определения количественного значения числа через весовые соотношения цифр числа, выраженные в экспоненциальной форме. Из математики известно, что любое действительное числоq вАпозиционной системе счисления с основанием q записывается на бумаге в виде последовательности цифр, и такая форма записи числа 12

называется естественной формой чисел или числом с фиксированной запятой, представленной в соответствии с формулой: in= − 1

q= ± Аa

∑

i

i q =±a n-1a n-2 …a0, a-1 … a-m+1 a-m,

=− im

где an-1a n-2 …a0 – цифры целой части, в которой количество разрядов равно n, а a-1 … a-m+1 a-m – цифры дробной части числа, в которой количество разрядов равно m. Аналогично данную формулу можно представить, если выразить номера разрядов дробной части числа через количество разрядов в целой части и общего количества разрядов в числе. В соответствии с формулой общего количества разрядов в числе τ=n+m, количество разрядов в дробной части числа равно m= –τn. Подставляем m=τ–n в исходную формулу записи числа в естественной форме и получаем формулу числа, в которой номера разрядов всего числа выражены через количество разрядов в целой части и общего количества разрядов в числе: Aq=±a n-1 a n-2 …a0, a-1 … a-(τ –n) +1 a-(τ –n) . Рассмотрим теперь число 4372,654 10, представленное в естественной форме с фиксированной запятой. Как видно из записи числа, в нем нет обозначения номеров разрядов для каждой цифры, но в соответствии с правилами рассмотрения чисел, каждая цифра в числе десятичной системы обозначает определенное числовое значение в зависимости от ее положения относительно запятой. Например, рассматривая слева направо цифры в разрядах числа 4372,654 10, получим числовые обозначения цифр: 4 тысячи (4×1000), 3 сотни (3×100), 7 десятков (7×10), 2 единицы (2×1), 6 десятых (6×0,1), 5 сотых (5×0,01) и 4 тысячные (4×0,001). При этом вспомним, что числовые значения долей можно записать в экспоненциальной форме: 1000=103, 100=102, 10=101, 0,1=10-1 и т.д. Применение экспоненциальной формы записи чисел впервые нашло свое место в формуле развернутой формы записи числа. Развернутая форма записи числа, позволяющая определять количественное числовое значение числа в естественной форме записи, представляется формулой: -(τ –n) +1 + Аq = ± (a n–1 qn–1+a n–2qn–2+…+a 0q0+a –1 q–1 +… +a-(τ –n)+ )+1 1 q -(τ – n ) ), +a -(τ –n) q 13

в которой слагаемые выражены произведениямиn–1aqn–1, an–2qn–2, -(τ–n)+ )+1 1 , a-(τ–n) q-(τ–n) , определяющими весовое соa0q0, a–1 q–1 , a-(τ–n)+ )+1 1 q отношение цифр, являются примером экспоненциальной формы записи. Каждое произведение как экспоненциальная форма записи состоит из двух сомножителей, одни из которыхn–a1 , an–2, a0, a–1 , a-(τ–n) , a-(τ–n) , как цифры числа, называются мантиссой, а сомножители qn–1, qn–2, q0, q–1 , q-(τ–n) +1 , q-(τ–n) как весовые коэффициенты называются экспонентой основания. Рассмотрим развернутую форму записи числа 4372,654 10, представленного в естественной форме в десятичной системе счисления, применяя формулы разложения числа: 4372,65410 = (4×103)+( )+(3 3×10 2)+( )+(7 7×101)+( )+(2 2×100)+( )+(6 6×10 -1)+ +(5 +( 5×10-2)+( )+(4 4×10-3), из которой определяем количественное значение каждой цифры в разряде числа. Количественные значения цифр в числе 4372,654 10, которые определяются весовыми соотношениями цифр в числе, определяе± ki мыми по формулеaq , где ki – номер i-го разряда, равны: ±k 3 экспоненциальная форма ⇒ 4× =10 4×1000=400010 ⇐ естественная форма 2 экспоненциальная форма ⇒ 3×=10 3×100=30010 ⇐ естественная форма 1 экспоненциальная форма ⇒ 7×=10 7×10=7010 ⇐ естественная форма экспоненциальная форма ⇒ 2×0=10 2×1=2 10 ⇐ естественная форма экспоненциальная форма ⇒ 6×-110 =6×0,1=0,6 10 ⇐ естественная форма экспоненциальная форма ⇒ 5×-210 =5×0,01=0,0510 ⇐ естественная форма -3 экспоненциальная форма ⇒ 4×10 =4×0,001=0,00410 ⇐ естественная форма Рассматривая количественное значение цифр числа в естественной форме, представленного целыми и дробными числами, необходимо обратить внимание, что мантисса в экспоненциальной форме – это по сути своей цифры целой или дробной части числа в естественной форме, а порядок – число, определяющее величину i

14

смещения запятой относительно ее положения в естественной форме записи числа. Таким образом, порядок определяет показатель степени основания системы счисления для перехода от естественной формы записи тысяч, сотен, десятков и т.д. к экспоненциальной форме их записи, и наоборот наоборот.. Например, рассмотрим записи двух количественных значений: 4×103=4×1000=400010 и 4×10-3=4×0,001=0,00410. В каждой из рассматриваемых записей, в экспоненциальной форме записи числа мантиссы имеют одинаковые числа, равные 4, что соответству соответствует ет значащим цифрам в естественной форме чисел 400010 и 0,00410. При этом необходимо отметить, что характеристики двух чисел в экспоненциальной форме, представленные экспонентой основания 103 и 10-3, которые равны числам 1000 10 и 0,00110, имеют разные экспоненты – порядки 3 и –3. В соответствии с этим, при одинаковых мантиссах, но разных значениях порядка (экспоненты экспоненты)) числа, числа в естественной форме имеют разные числовые значения. Из этого следу следует ет,, что соотношение числовых значений чисел в экспоненциальной форме, при одинаковых значениях мантиссы и основаниях, и отличающиеся только экспонентой основания, необходимо определять через соотношение экспоненты оснований или порядков чисел в экспоненциальной форме записи. Например, для чисел 4000 10 и 0,00410, которые в экспоненциальной форме вы3 ражены числами 4×10 и 4×10–3 с мантиссой, равной 4, экспонен3 ты основания (характеристики), равные числам 10 и 10–3 , разные. Соотношение числовых значений этих чисел определяем делением 3 большей экспоненты основания на меньшее: 10 :10-3=106, которое показывает,, во сколько раз отличается одно число от другого. Анапоказывает логичный резуль результат тат можно получить, если рассматривать соотношение через естественную форму записи экспоненты основания 1000:0,001=1000000, но в котором много разрядов в записи числа, что не всегда бывает удобно при хранении и применении в вычислениях, по сравнению с аналогичными числами, представленными в экспоненциальной форме записи. Обращаясь к экспоненциальной форме записи числа на примере рассмотрения представления числа 4372,654 10 в развернутой форме, 15

в которой весовое соотношение цифр в числе представлено в экспоненциальной форме, необходимо понять, чем определяется экспонента основания, т.е. показатель степени основания, определяющий порядок числа. В соответствии с формулой развернутой формы записи позиционного числа, позволяющей разложить число на его составляющие по весовым соотношением цифр числа, весовое соотношение, представленное в экспоненциальной форме, определяется как основание системы счисления в степени, равной номеру разряда цифры в числе. Основываясь на том, что весовое соотношение и экспонента основания тождественны в экспоненциальной форме, понятия «порядок числа» и «номер разряда», которые в разных рассмотрениях представляют одну величину величину,, т.е. показатель степени (экспонента) основания, их можно идентифицировать, т.е. отождествлять. Определив основные понятия об экспоненциальной форме чисел, рассмотрим представление чисел, записанных в естественной форме, в экспоненциальной форме. Например, возьмем число 4372,654 10, которое в экспоненциальной 0 форме можно представить в виде записи 4372,654 10×10 , где экспонента, т.е. показатель степени основания, равная нулю (0), указывает на то, что мантисса равна числовому значению числа, т.к. экспоненциальная часть при нулевой экспоненте равна единице (010 =1). Однако такая экспоненциальная запись числа не является единственной. Рассмотрим этот вопрос, перемещая запятую в числе A10=±4372,654 на d разрядов влево, например, при d=2 получим новое число М10=±43,72654. Определим, во сколько раз изменилось количественное значение числа 10 Aпри переносе запятой на два разряда влево, т.е. определяем соотношение количественных значений чисел A10 и М 10, а для этого выполним деление мантиссы числа10A на мантиссу числа М10, представленные модулями: A10 : М10=│ 4372,654│: │43,72654│=100. Результат Резуль тат деления, равный 100 показывает,, что перенос запя10, показывает той в десятичном числе, записанном в естественной форме, на два разряда влево уменьшает количественное значение числа в 100 раз. 2 Если число 100 представить в экспоненциальной форме 100=10 , то экспонента (показатель степени) десятичного основания, равная 2, 16

укажет числовое значение изменения порядка при переносе запятой по отношению к первоначальному исходному положению запятой. Аналогично можно определить изменение числового значения числа при переносе запятой вправо, резуль результат тат которого покажет покажет,, что числовое соотношение уменьшится в количество раз, определяемое так же, как и при переносе запятой влево, экспонентой основания, но с отрицательной экспонентой как показателем степени. Числовое значение экспоненты (показатель степени основания – р) можно выразить формулой через количество разрядов в целой части числа до смещения запятой (n) и послеi),(nрассматривая весь диапазон возможного изменения позиции запятой. Диапазон изменения позиции запятой рассматривается от исходного нулевого разряда до старшего разряда в целой части числа (n–1) до младшего разряда в дробной части числа (– (τ–n)), в соответствии с нумерацией разрядов в формуле:q= A±a n-1a n-2 …a0, a-1 … a-(τ –n) +1 a-(τ –n) . Если в естественной форме числа старший номер разряда в целой части до смещения принять за (n–1), а при смещении за i–(n1), числовое значение экспоненты, определяемое разностью d=(n–1)– (ni–1)=(n–1–n i+1)=(n–n i), зависит от изменения количества разрядов в целой части числа. Аналогично рассмотрим относительно дробной части числа, принимая выражение (–(τ–n)) до смещения запятой, а (–(τ–n i)) – при смещении: d=( =(– –(τ–n)) ))– –(( ((– –(τ–n i))= показывают,, что числовое зна=(– =( –τ+n+τ–n i))=(n–n i). Оба примера показывают чение экспоненты как степени основания, определяющей порядок цифр в числе, равно разности между количеством разрядов в целой части до смещения и при смещении при неизменном общем количестве цифровых разрядов в числе. Это и логично, т.к. уменьшение количества разрядов в целой части, несомненно, ведет к увеличению количества разрядов в дробной части, при неизменном общем количестве цифровых разрядов числа. При этом знак перед показателем степени основания (порядком) определяется в зависимости от соотношения значений n и ni. Если n>ni, то знак плюс «+», указывающий минусс «–», указына сдвиг запятой справа налево, а если ni,