Цифровая схемотехника часть 1 9785907206175, 9785907206182

Citation preview

В.А. Фролов

ЦИФРОВАЯ СХЕМОТЕХНИКА В четырех частях

Часть 1 Основы цифровой схемотехники Рекомендовано Экспертным советом Федерального учебно-методического объединения в системе среднего профессионального образования по укрупненной группе профессий, специальностей (ФУМО СПО по УГПС) 23.00.00 «Техника и технологии наземного транспорта» в качестве учебника для использования в учебном процессе образовательных организаций и учреждений, реализующих программы по специальности 27.02.03 «Автоматика и телемеханика на транспорте (железнодорожном транспорте)». Регистрационный номер экспертного заключения 112 от 17 октября 2019 г.

Москва 2020

УДК 621.38 ББК 32.85 Ф91 Р е ц е н з е н т : преподаватель Орловского филиала Петербургского государственного университета путей сообщения (ПГУПС) А.С. Одиноков

Фролов В.А. Цифровая схемотехника: учебник: в 4 ч. — М.: ФГБУ ДПО Ф91 «Учебно-методиче ский центр по образованию на железнодорожном транспорте», 2020. ISBN 978-5-907206-17-5 Ч. 1.: Основы цифровой схемотехники. – 292 с. ISBN 978-5-907206-18-2 В учебнике рассмотрены исторические основы и предпосылки развития цифровой схемотехники, а также основные положения теории и понятий в цифровой схемотехнике. Отражены функциональная взаимосвязь электронной и цифровой схемотехники и логика построения устройств цифровой схемотехники на основе математической логики, основные определения и понятия в цифровой схемотехнике. Также изложены понятие об информации, классификация информации, способы, формы и форматы представления информации, основные виды носителей информации и особенности логического выражения как основного понятия, объединяющего математические и логические операции. Рассмотрены основные понятия о данных через представление информации в электрических цепях. На примерах раскрыты основные правила преобразования чисел при переходе от одной системы счисления к другой, арифметические операции числами в позиционных системах счисления, а также виды, типы и форматы данных, применяемые для представления информации в цифровых системах обработки информации. Учебник предназначен для студентов техникумов и колледжей железнодорожного транспорта по специальности «Автоматика и телемеханика на транспорте (железнодорожном транспорте)» и других специальностей, может служить пособием для инженерно-технического персонала различных отраслей промышлен ности и студентов высших технических учебных заведений железнодорожного транспорта и всех лиц, интересующихся современной цифровой схемотехникой.

УДК 621.38 ББК 32.85 ISBN 978-5-907206-18-2 (ч. 1) ISBN 978-5-907206-17-5

© Фролов В.А., 2020 © ФГБУ ДПО «Учебно-методический центр по образованию на железнодорожном транспорте», 2020

Список сокращений

ИМС ИС МЗР СЗР ЦИМС

– интегральная микросхема – интегральная схе ма – младший знаковый разряд – старший знаковый разряд – цифровая интегральная микросхема

Введение

Цифровые технологии все больше наполняют окружающий нас мир, и этот процесс со временем только ускоряется. В повседневном обиходе любого из нас уже сегодня присутству присутствует ет большое число самых различных цифровых устройств. Каждое из них имеет характеристики и свойства, значение которых оказывается не всегда известным и понятным для потребителя. Многие ставшие абсолютно привычными электронные приборы, равно как и компьютерные программы, остаются для потребителя некими черными ящиками, устройство и принцип действия которых скрыто от глаз. Потребительская аудиоаппаратура, так же как и остальная аппаратура, постепенно и уверенно переходящая на цифровые рельсы, становится все сложнее, ее параметры – все запутаннее, а принцип действия – все менее ясным. Для этого необходимо разобраться с основными идеями, а также с теоретическими и практическими принципами, лежащими в основе современных цифровых технологий и устройств. Во второй половине ХХ в. объем и сложность работ работ,, связанных с регистрацией и обработкой информации, резко возросли, что потребовало приступить к разработке устройств для приема и обработки поступающей информации. Развитие электроники и микроэлектроники позволило создать устройства, схемные решения которых способны принимать и обрабатывать информацию любого по форме вида, как в аналоговой, так и дискретной (цифровой) форме. Положение с качеством приема и обработки информации резко изменилось с распространением микропроцессорной техники и вы4

числительных систем, что позволило использовать новые схемотехнические устройства для решения сложных математических и инженерных задач в работе управляющих машин в промышленности и военной технике, в сфере обработки информации. Цифровая электроника в настоящее время все более и более вытесняет традиционную аналоговую. Ведущие фирмы, производящие самую разную электронную аппаратуру аппаратуру,, все чаще заявляют о полном переходе на цифровую технологию. Причем это относится как к бытовой технике (аудио-, видеоаппаратура, средства связи), так и к профессиональной технике (измерительная, управляющая аппаратура, вычислительная). Ставшие уже привычными вычислительные устройства также полностью реализованы на цифровой электронике. Видимо, в ближайшем будущем аналоговым устройствам будет отведена вспомогательная роль: они будут применяться в основном для связи цифровых систем с аналоговыми датчиками и аналоговыми исполнительными элементами. Цифровая электроника существенно отличается от аналоговой не только видом используемых сигналов, но, что самое главное, приемами проектиро вания, требу требуемым емым стилем мышления разработчика, принципами построения слож ных систем. Развитие электронной вычислительной техники привело к ее широкому применению во всех сферах деятельности человека как составной части информационных систем. Это предъявляет высокие требования к специалистам по цифровой технике, которым в будущей деятельности необходимы знания, умения и навыки практического использования и эксплуатации различных цифровых устройств и систем, в том числе универсальных и специализированных, поскольку современное развитие на науки уки и техники характеризуется зу ется широким внедрением цифровых устройств в те области, где до этого функционировали аналоговые устройства (автоматические и автоматизированные системы управления, системы и средства связи и др.). В силу этого возрастает значение дисциплин, направленных на изучение аппаратных средств цифровой техники, которое должно начинаться с изучения элементов и узлов вычислительных систем. Широкое использование интегральных микросхем различ5

ной степени интеграции требу требует ет глубоких знаний, как цифровой элементной базы, так и основ и принципов построения цифровых узлов и устройств. В 19801980-е е гг гг.. в связи с интенсивным внедрением устройств автоматики, работающих с цифровой обработкой информации, возникла необходимость изучения элементов математической логики для объяснения логических принципов работы логических схем и устройств. Для обслуживания, ремонта и разработки устройств и систем цифровой схемо техники требуются специалисты, знающие не только принципы работы этих уст ройств и систем цифровой схемотехники, но и принципы функционирования базо вых элементов, на основе которых строятся эти устройства и системы. Также необ ходимы знания по типовым схемам включения и правилам взаимодействия цифро вых узлов устройств и систем и способам построения наиболее типичных цифровых устройств и систем. Специалист по цифровой схемотехнике должен хорошо знать алгебру логики работы и протоколы взаимодействия цифровых элементов, узлов и устройств, входящих в систему систему,, овладеть азбукой цифровой электроники. В соответствии с этим, в учебнике рассматриваются основы оцифровки сигналов и положения алгебры логики, работа базовых компонентов цифровой схемотехники, как ло гические элементы, триггеры, регистры, дешифраторы, муль мультитиплексоры, счетчики, сумматоры, оперативная и постоянная память и т.д. Кроме того, рассмотрены типовые схемы включения этих компонентов и правила их корректной работы. Также учебник позволяет изучить методы проектирования сравни тельно простых цифровых устройств, что является базисом при разработке новых цифровых устройств и анализе работы действующих устройств. Изучение дисциплины «Цифровая схемотехника» предполагает наличие у студентов знаний учебного материала по дисциплинам «Прикладная математика», «Электрон ная техника», «Электротехническое черчение», «Информатика», в которых рассмотрены азбука алгебры логики и ее основные методы, подходы и приемы, позволяющие доста точно глубоко понять методику исследования 6

работы цифровых устройств и систем, физические основы работы электронных схем, принципы схемных изображений устройств, информационные основы и т.д., что является основой успешного освоения учебного материала и приобретения навыков для проведения обслуживания и ремонта этих уст ройств и систем.

Гл ава 1. ОБЩИ Гла ЩИЕ Е СВ СВЕДЕ ЕДЕН НИЯ О ЦИФРОВОЙ СХЕ ХЕМ МОТЕ ТЕХНИ ХНИКЕ КЕ

1.1. Истори стория я с танов тановления ления цифровой сх схемо емотехн техник ики и История становления цифровой схемотехники как самостоятельного направления, связанного с исследованием методики логического обоснования построения электронных схем, тесным образом связана с попытками человека создать устройства, автоматизирующие обработку информации, представленную в цифровом виде, т.е. цифровую. Достижения в области создания и применения цифровых устройств определяют не только уровень развития промышленности и организацию различных процессов управления, но и возможности фундаментальных исследований в различных отраслях на науки. уки. Именно поэтому цифровая техника стала наиболее важным фактором технического прогресса и существенной частью производительных сил в ведущих странах мира. Перед Второй мировой войной (1939–1945 гг гг.) .) и 10 лет спустя цифровые устройства были главным образом основаны на релейных схемах. В 1935 г. советский физик В.И. Шестаков привел строгое доказательство того, что Булева алгебра, названная так в честь ее основателя, ирландского математика Джорджа Буля, может использоваться для анализа релейных схем. В основу доказательства была положена теория того, что состояние контактов можно обозначить цифрами 1 и 0, для замкнутого и разомкнутого состояния контакта соотвественно, а состояние реле – под током или без тока. В.И. Шестаков показал, что релейные схемы способны моделировать функции алгебры логики. Причем истинность и ложность высказываний моделируются замкнутыми или разомкнутыми контактами электрической цепи. 8

Американский инженер К.Э. Шеннон и японский ученый Накашима привели аналогичные доказательства в 1936–1938 гг гг.. Такой переход к цифровому обозначению позволил ввести и понятие о цифровой схемотехнике, что в дальнейшем, при развитии электроники и микроэлектроники, перешло к цифровой схемотехнике электронных устройств. Развитие электроники и микроэлектроники стимулировало создание и развитие теории построения схем цифровых устройств. Наиболее важным достижением 6060-х х гг гг.. было создание эффективной модели электронного цифрового устройства с памятью, которое стали называть цифровым автоматом. Модель конечного цифрового автомата стала фундаментальной частью метода синтеза в теории автоматов с памятью. Таким образом, теория построения схем релейных устройств переросла в теорию дискретных (цифровых) автоматов. Автоматы, широко применяемые в практике, подразделяются на два класса: автоматы Мили и автоматы Мура, названные так в честь американских ученых, исследовавших впервые эти типы автоматов. Широкое внедрение вычислительной техники и систем управления во все сферы человеческой деятельности и усложнение задач, решаемых этими системами, требуют разработки новых и совершенствования существующих методов логического проектирования цифровых устройств. Логическое проектирование при этом понимается в широком смысле, включая не только статику систем, т.е. их структуру и функциональные связи, но и анализ динамики как на уровне структуры, так и на уровне переходных процессов, связанных с изменением переменных и временными характеристиками элементов. Исследования, направленные на развитие методов логического проектирования цифровых устройств, обеспечивающих упрощение процедуры проектирования и улучшение основных характеристик цифровых устройств, а также на снижение времени и стоимости разработки, никогда не потеряют своей актуальности. Таким образом, можно говорить о формировании нового на научноучнотехнического направления – схемотехники, рассматривающей вопросы разработки и применения схемных решений как технически 9

реально выполненного устройства на основе математическо-логических расчетов. Рассматривая схемотехнику с исторических аспектов ее зарождения, можно утверждать, что на первоначальном этапе рассматривались только вопросы анализа, т.е. исследования, работы релейных схем с позиции логического обоснования на основе математическологических расчетов, что позволило создать теоретическую базу для разработки теории построения (синтеза) релейных схем. Существенное влияние на совершенствование теории цифровых автоматов связано с развитием электроники, интегральной микросхемотехники и изобретением компьютера. И здесь велика роль российских ученых: так академик В.М. Глушков внес большой вклад в развитие теории автоматов методом автоматического синтеза, особенно в применении к ЭВМ, в связи с этим многочисленные теоретические работы в области автоматического синтеза устройств ЭВМ связаны с его именем. Следует Следу ет отметить, что ру русские сские ученые занимают ведущие позиции в мире в области теории конечных автоматов. Так, на базе математической логики и обобщения опыта анализа и синтеза релейно-контактных схем советский ученый М.А. Гаврилов в цикле работ 1945–1949 гг гг.. заложил основы теории релейно-контактных схем и ее практического применения. Гаврилов выдвинул идею того, что инженерные задачи проектирования устройств релейной автоматики можно решать формальными методами с использованием аппарата математической логики. Он разработал практические методы синтеза схем и устройств, использующих контакты, управляемые с помощью реле, развивал методы автоматического проектирования дискретных управляющих устройств, а в 1950 г. опубликовал труд «Т «Теория еория релейно-контактных схем», ставший первой в мире книгой, посвященной логическим методам анализа и синтеза схем. Таким образом, была создана теория дискретных (цифровых) устройств, построенная на математическом аппарате алгебры логики, или булевой алгебры, в которой на первоначальном этапе дискретными (цифровыми) элементами в устройствах, выполняющих логические функции, являлись контакты реле и реле, а в дальнейшем за основу были взяты электронные цифровые логические эле10

менты. Дискретные элементы являются основными элементами систем автоматики, телемеханики и связи. Первая вычислительная машина для автоматического анализа и синтеза схем разработана П.П. Пархоменко и В.Н. Рогинским, логический язык для проектирования алгоритмов синтеза впервые в мире разработал А.Д. Закревский. К подобным работам относятся исследования по синтезу программных автоматов В.Г В.Г.. Лазарева, исследования по синтезу асинхронных автоматов Э.А. Якубайтиса, методы синтеза микропрограммных автоматов С.И. Баранова. Проблеме анализа и синтеза при логическом проектировании цифровых устройств посвящено большое число исследований, среди которых наиболее фундаментальными являются исследования, проведенные В.М. Глушковым, С.М. Вавиловым, А.А. Шалыто, А.Д. Закревским, С.И. Барановым, Д.А. Поспеловым, С.В. Новиковым, Е.П. Угрюмовым, В.В. Соловьевым, Ед. Вейчем, М. Карно, В. Квайном, Г. Милем, Е. Муром и рядом других ученых. Большинство из этих работ основано на представлении логических функций (ЛФ) в точках области их определения значениями лог лог.. 0 или лог лог.. 1. При проектировании логических схем и цифровых устройств в качестве математического аппарата применяется алгебра логики, или Булева алгебра, разработанная в середине ХІХ в. ирландским математиком Джорджем Булем, получила дальнейшее развитие и применение в 1910 г. в работах П.С. Эренфеста и в 1938 г. – К. Шеннона. В конце XIX – начале XX вв. были заложены основы так называемой математической, или символической, логики. Ее суть заключается в том, что для обнаружения истинностного значения выражений естественного языка можно применять математические методы. Именно использование символической логики отличает современную логическую на науку уку от традиционной. Огромный вклад в развитие символической логики внесли такие ученые, как Дж. Буль, О. де Морган, Г. Фреге, Ч. Пирс и др. В ХХ веке математическая логика оформилась в качестве самостоятельного направления в рамках логической на науки. уки. Начало ХХ в. ознаменовалось становлением идей неклассической логики, многие важные положения которой были предвосхищены и заложены Н.А. Васильевым и И.Е. Орловым. 11

В середине XX в. развитие вычислительной техники привело к появлению логических элементов, логических блоков и устройств вычислительной техники, что было связано с дополнительной разработкой таких областей логики, как проблемы логического синтеза, логического проектирования и логического моделирования логических устройств и средств вычислительной техники.

1. 2.

3. 4.

Вопросы и задания для самоконтроля Перечислите исторические предпосылки развития цифровой схемотехники. Назовите сновополагающие задачи, влияющие на развитие информационных технологий, и их значение в цифровой схемотехнике. Какие направления и проблемы решаются в цифровой схемотехнике? Опишите основные идеи и вклад ученых в развитие цифровой схемотехники.

1.2. Цифро Циф ровая вая сх схе емоте мотехника хника как напр направле авление ние функкциона фун ионал льной элект электрон рони ики Термин «схемотехника» появился в 19601960-хх гг гг.. в связи с разработкой уни фицированных схем, пригодных одновременно для многих применений. Понимание термина «схемотехника» в различных на научно-техниучно-технических направлениях рассматривается по-разному по-разному.. На первоначальном этапе развития схемотехники электрических схем устройств рассматривались только вопросы анализа работы устройств с позиции логического обоснования их функционирования, а в дальнейшем развитии направления была поставлена задача разработки цифровых устройств на основе логического подхода с применением математическо-логических расчетов функциональных возможностей проектиру проектируемых емых устройств. С развитием электроники стали рассматриваться вопросы синтеза и расчета принципиальных схем в интегральном исполнении, т.е. схемотехнику интегральных схем (ИС), как область электроники, связанную с проектированием и созданием интегральных микро12

схем (ИМС), которая получила название микроэлектроника, или схемотехническая микроэлектроника. Микроэлектроника – основное направление электроники, которое изучает проблемы конструирования, исследования, создания и применения электронных устройств с высокой степенью конструктивной (схемотехнической) и функциональной интеграцией, т.е. схемотехнику интегральных схем и других микроэлектронных изделий. Под конструктивной (схемотехнической) интеграцией интегральных схем понимают увеличе ние количества элементов и компонентов в изделии, а под функциональной интеграцией понимают увеличение числа реализу реализуемых емых (выполняемых) некоторым устройством функций. При этом изделие рассматри вается как единое целое, неделимое микроэлектронное изделие в виде принципиальной схемы. Микроэлектронное изделие, реализованное средствами интегральной техноло гии и выполняющее определенную функцию по преобразованию и обработке сигна лов, называется интегральной микросхемой (ИМС) или просто интегральной схе мой (ИС). Элементной базой для создания принципиальных схем электронных устройств в интегральном исполнении (микроэлектронное изделие) служат дискретные электро- и радиоэлементы и компоненты (резисторы, конденсаторы, диоды, транзисторы и т.д.). Помимо синтеза и расчета принципиальных электронных схем, микросхемотехника ИС решает также задачу разработки на основе электронных схем структуры, т.е. топологии ИС. Основные этапы разработки топологии: расчет геометрических размеров элементов ИС, рациональное размещение элементов на поверхности или в объеме подложки ИС, нахождение оптимальных соединений элементов (возможные критерии оптимальности – обеспечение минимальных длин проводников, либо числа их пересечений, либо взаимного влияния и т.д.). Так как создание новой ИС – комплексная проблема, то ее решают совместно специалисты по микросхемотехнике, физики, технологи, конструкторы, использу используя я комплексные опытно-теоретические методы, в том числе моделирование на ЭВМ, как самой электронной схемы, так и условий ее работы. Схемотехника ИС как область электроники находится на более высоком уровне абстракции, чем электроника, которая изучает только физические основы функционирования электронных 13

устройств, рассматривая достаточно «низкий» физический уровень, т.е. взаимодействие электронов с электромагнитными полями. В рамках электроники разрабатываются отдельные «детали» (резисторы, конденсаторы, диоды, транзисторы и т.д.), а в рамках схемотехники ИС эти детали только используются. При этом для схемотехники ИС совершенно не важно, как устроены электронные элементы и компоненты и какие физические принципы положены в основу их работы. Схемотехника ИС обычно рассматривает все электронные элементы и компоненты как «черные» ящики (подобно тому тому,, как мы успешно пользу пользуемся емся мобильными телефонами, не задумываясь об их внутреннем устройстве). Традиционная схемотехническая микроэлектроника ИС состоит из большого количества статических неоднородностей в ИС. Под статической неоднородностью понимается локальная область на поверхности или в объеме кристалла ИС с отличными от ее окружения свойствами, которая создается в резуль результате тате строго определенных технологических процессов. Состояние таких статических неоднородностей позволяет генерировать, управлять или хранить информацию, что и является схемотехнической микроэлектроникой, или электроникой статических неоднородностей, в которой устройства обработки и хранения информации реализуются на определенных схемотехнических решениях, изменение параметров которых невозможно, т.к. созданная структура содержит элементы и компоненты строго определенных параметров. В схемотехнической микроэлектронике носителем информации является электрическое состояние некоторой схемотехнической ячейки, а перемещение информации от одной ячейки к другой осуществляется последовательно путем многократных преобразований типа потенциал-заряд-ток-потенциал. Однако физические пределы в схемотехнике микроэлектронных изделий уже достигают своих критических значений, на что указывают предельные топологические нормы размещения элементов и компонентов в ИС, которые уже подошли к пределу (менее 0,1 мкм), т.е. достигнут физический предел степени интеграции в ИС, также быстродействие интегральных схем (ИС) уже недостаточно для решения задач обработки больших массивов информации. 14

В конце семидесятых годов ХХ в. возникла идея использовать динамические неоднородности в процессах обработки и хранения информации, а также физические принципы интеграции не только числа элементов, но, и что самое главное, числа функций, выполняемых микроэлектронным изделием (прибором), т.е. развитие функциональной интеграции как основы в микроэлектронике ИС. Изучение свойств и характеристик динамических неоднородностей как носителей информационного сигнала основных физических процессов и принципов обработки и хранения информационных массивов с помощью динамических неоднородностей, разработка приборов и устройств являются основополагающими в процессе формирования нового направления в микроэлектронике – функциональной электроники (микроэлектроники). В функциональной электронике (ФЭ) работа схемы осуществляется за счет использования различных физических явлений в средах. В функциональной электронике носителем информации является локальная неоднородность в некоторой протяженной однородной среде. Эти неоднородности называют динамическими, потому что они могут возникать в объеме твердого тела с помощью различных физических явлений, могут перемещаться, изменять форму форму,, состояние, взаимодействовать с другими неоднородностями. На их основе можно создать приборы, позволяющие обрабатывать информацию в цифровой или аналоговой форме. Одним из направлений твердотельной электроники, охватывающем вопросы использования разнообразных физических явлений в твердых средах, является интеграция различных схемотехнических функций в объеме одного твердого тела (функциональной интеграции) и создания электронных устройств с такой интеграцией. В отличие от схемотехнической интеграции функционально простых элементов (резисторов, конденсаторов, диодов, транзисторов и т.п.), которые локализованы в различных участках твердого тела и способны выполнять сложные схемотехнические функции лишь в совокупности, например в составе ИС, включающей в себя также элементы связи, при функциональной интеграции сложные схемотехнические функции и их комбинации могут реализоваться физическими процессами, протекающими во всем рабочем объеме твердого тела. 15

Переход от схемотехнической интеграции к функциональной интеграции позволит устранить значительную часть принципиальных и технологических трудностей, связанных с необходимостью формировать в одном кристалле множество мелкоструктурных элементов и соединений. В этой связи схемотехническую интеграцию называют также технологической, а функциональную интеграцию – физической. Функциональная (микро-) электроника – одно из современных направлений микроэлектроники, основанное на использовании физических принципов интеграции и динамических неоднородностей, обеспечивающих несхемотехнические принципы работы устройств. Функциональная интеграция обеспечивает работу прибора как единого целого. Разделение его на элементы приводит к нарушению функционирования. Особенностью первого этапа развития функциональной электроники является также то, что большинство устройств функциональной электроники рассчитано пока для работы с цифровыми устройствами микроэлектроники и поэтому требуется обязательное их сопряжение со схемотехническими устройствами, использующими двоичный код. По мере развития микроэлектроники, разработки больших ИС (БИС) – функциональных устройств, представляющих собой целые системы, одной из базовых основ которой вместе с аналоговыми ИМС рассматриваются и вопросы разработки цифровых интегральных микросхем (ЦИМС), положило начало разработке схемотехники микроэлектронных устройств. Микроэлектронное устройство – совокупность взаимосвязанных ИС, выпол няющих законченную достаточно сложную функцию (либо несколько функций) по обработке и преобразованию сигналов, которые являются компонентами. Микроэлектронное устройство может быть конструктивно оформлено в виде одной микросхемы с высокой степенью функциональной интеграции либо на нескольких ИМС. Под функциональной интеграцией микроэлектронного устройства понимают увеличение числа реализу реализуемых емых (выполняемых) устройством функций, при этом устройство рассматривается как единое целое, неделимое. Под конструктивной интеграцией пони16

мают увеличение количества компонентов, т.е. количество логических элементов в устройстве, рассматриваемом как единое целое. Примером микроэлектронного устройства с высокой степенью конструктивной и функциональной интеграции является микропроцессор, который, как правило, выполняется в виде одной «большой» ИМС. Схемотехника микроэлектронного устройства – это часть микроэлектроники, предметом которой являются методы построения функциональных схем устройств различного назначения на микросхемах широкого применения. Предметом же цифровой схемотехники являются методы построения (проектирования) функциональных схем микроэлектронного устройства только на цифровых ИМС. Цифровая схемотехника как часть микроэлектроники рассматривает анализ и синтез микроэлектронного устройства только с позиции функциональной интеграции для определения необходимой совокупности и взаимосвязей ЦИМС при создании функциональной схемы, выпол няющей законченную и достаточно сложную функцию. В связи с этим необходимо особо указать, что в круг задач цифровой схемотехники как части микросхемотехники не входит схемотехническое проектирование и исследование принципиальных схем ИС, а также разработка методов логического и электрического анализа ИС и обеспечения их надежности. В связи с этим, можно сказать, что задача схемотехники функциональных схем – это анализ и проектирование (синтез) реальных электронных устройств. При этом схемотехника опериру оперирует ет «схемой» как абстрактным представлением устройства в виде совокупности условных обозначений дискретных устройств, которыми являются логические элементы, без рассмотрения построения их принципиальных схем, т.е. схемотехники ИС, рассматривая логические элементы в качестве компонентов функциональной схемы, как «черные» ящики. Таким образом, в схемотехнике электронных устройств можно выделить два подхода – схемотехника принципиальных электронных схем (микроэлектронное изделие – ИС) и схемотехника функциональных электронных схем (микроэлектронное устройство – совокупность ИС), т.е. принципиальная и функциональная схемотехника. 17

В соответствии с этим, можно дать общее определение понятию «схемотехника», которое не рассматривает особенности схемотехнических решений микроэлектронного изделия и устройства. Схемотехника – на научно-техническое учно-техническое направление, охватывающее проблемы анализа и синтеза электронных устройств автоматики, связи, радиотехники, вычислительной техники и др. в целях обеспечения оптимального выполнения ими заданных функций и расчета параметров входящих в них элементов. Схемотехника рассматривает широкий круг вопросов, связанных с изучением, проектированием и применением цифровых элементов, узлов и устройств, микросхемы которых являются основой для реализации различных средств обработки информации, систем цифровой автоматики, телекоммуникаций, измерений и др. Наибольший интерес с позиции логического обоснования процесса функционирования электронного устройства представляет схемотехника функциональных схем цифровых логических устройств, элементной базой которых являются логические элементы, процесс функционирования которых можно описать на математическом аппарате алгебры логики, в то время как схемотехнику принципиальных схем нельзя описать на базе математической логики. Практика проектирования функциональных схем цифровых логических устройств поставила новые сложные задачи не только в области теории цифровых автоматов, но и в теории алгоритмов, теории информации и теории систем. Все это привело к дальнейшему развитию цифровых автоматов и перерастанию ее в раздел технической кибернетики. Использование в схемотехнике стандартных элементов, типовых функциональных узлов и микросхем программируемой логики, согласно прогнозам, в ближайшие годы произведут в цифровой схемотехнике такой же переворот переворот,, как микрокомпьютеры в 19701970-е е гг гг.. Цифровая схемотехника – на научно-техническое учно-техническое направление, охватывающее проблемы проектирования, исследования и применения узлов (блоков) и устройств автоматики, связи, вычислительной техники и др. областей техники, обеспечивающих выполнение определенных логических функций с цифровыми сигналами. Основная задача цифровой схе мотехники – синтез (определение структуры) и анализ (исследование структуры) электронных узлов 18

и устройств, схемотехнические решения которых выполнены на основе логических элементов, представленных в интегральном исполнении на ЦИМС, и являются основой для реализации (построения) различных средств обработки информации, систем цифровой автоматики, телекоммуникаций, измерений и др. Если оставить только ключевые слова из определения, то схемотехника – это на наука ука о проектировании и исследовании схем электронных устройств, а цифровая – указывает на то, что электронное устройство работает только с информацией, представленной цифровыми сигналами. Слова проектирование и исследование достаточно понятны и указывают в цифровой схемотехнике на два вида решаемых задач: 1. Задачи синтеза (объединения ранее разрозненных вещей) – создание (проектирование) функциональной схемы некоего цифрового электронного устройства из отдельных узлов или блоков. 2. Задачи анализа (расчленения целого на составные части) – исследование по ведения и свойств функциональной схемы узлов и устройств на основании информации о свойствах логических элементов, составляющих ее. Слово схема нуждается в отдельном пояснении. Предмет изучения схемотех ники – это схемы, и этот термин имеет два значения: – во-первых, электрическая схема – это условное графическое представление некоторой электрической цепи; в зависимости от назначения используются различ ные виды схем (принципиальная схема, функциональная схема, эквивалентная схема и др.). – во-вторых, схема – это сама электрическая цепь (принципиальная схема, интегральная схема и др.). Элементной базой схем цифровой схемотехники являются логические элементы, выполненные в интегральном исполнении как ЦИМС, но при этом цифровая схемотехника опериру оперирует ет «схемой» как абстрактным представлением устройства в виде совокупности условных обозначе ний логических элементов. В соответствии с тем, что цифровая схемотехника рассматривает реализацию (проектирование, исследование и применение) функциональных схем узлов (блоков) и устройств на основе применения интегральных микросхем, то можно считать, что цифровая схемо19

техника является частью микросхемотехники как одной из составляющих микроэлектроники, а устройства, построенные на их основе, являются микроэлектронными устройствами. Цифровая схемотехника, рассматривающая синтез и анализ функциональных схем на основе ЦИМС, так же как и схемотехника ИС, построенная на динамических неоднородностях, относится к одному из современных направлений микроэлектроники – функциональной (микро-) электронике. Микросхемотехнику,, в части определения для цифровой схемоМикросхемотехнику техники, необходимо рассматривать как область на науки уки и техники (раздел микроэлектроники – интегральная схемотехника), которая касается только вопросов применения ИС как элементной базы современной микроэлектронной аппаратуры (МЭА) и методов логического анализа работы ИС.

1. 2.

3.

4. 5. 6.

Вопросы и задания для самоконтроля Опишите функциональную взаимосвязь электронной и цифровой схемотехники и их принципиальное отличие. Определите понимание термина «схемотехника» в совокупности с определением «цифровая», как основу в развитии направления микросхемотехники. Дайте понятие микросхемотехники и цифровой схемотехники как структурных составляющих в построении вычислительных систем. Каковы основные направления цифровой схемотехники? Назовите основную задачу цифровой схе мотехники. В чем заключается логический смысл применения цифровых методов в проектировании и анализе цифровых устройств обработки информации?

1.3. Основные полож положени ения я т еории и пон понят ятия ия в ци цифрово фровой й схемо схемотех техн н ике На современном этапе развития информационной технологии носителями информации являются аналоговые сигналы (амплитуда и время непрерывны) и дискретные сигналы (амплитуда дискретна, время непрерывно или амплитуда и время дискретны), т.е. суще20

ствуют две формы представления информации – непрерывная (аналоговая) и дискретная (цифровая). В аналоговой форме величина информации, определяемая параметрами сигнала, представляется в виде одного сигнала, пропорционального величине информации, а при цифровой – в виде нескольких сигналов, каждый из которых соответству соответствует ет одной из цифр заданной величины информации. Аналоговый сигнал – сигнал, который может принимать любые значения в определенных пределах (например напряжение может плавно изменяться в преде лах от нуля до десяти воль вольт). т). Устройства, работающие только с аналоговыми сигна лами, называются аналоговыми устройствами. Название «аналоговый» подразуме вает вает,, что сигнал изменяется аналогично физической величине, т.е. непрерывно. Цифровой сигнал – это сигнал, который может принимать только два (иногда – три) значения, причем разрешены некоторые отклонения от этих значений. Например напряжение может принимать два значения: от 0 до 0,5 В (низкий уровень) или от 2,5 до 5 В (высокий уровень). Устройства, работающие исключительно с цифро выми сигналами, называются цифровыми устройствами. В цифровой схемотехнике, в современных устройствах обработки цифровой информации используются два класса переменных: числа и логические переменные. Числа несут данные о количественных характеристиках сигнала как информации, над ними можно производить арифметические действия, что составляет арифметические основы цифровых устройств, а логические переменные определяют состояние системы или принадлежность ее к определенному классу состояний, что составляют логическую основу цифровых устройств. Числа и логические переменные связаны друг с другом при решении задач управления и обработки информации. Форма представления информации называется сообщением. Дискретные (цифровые) сообщения (информации) состоят из множества элементов, которые называются буквами или символами. Конечный набор букв (символов) некоторого алфавита называется словом, а число букв в слове – длиной слова. Для передачи информации необходимы минимум два объекта (устройства): источник информации (или передатчик информации) 21

и приемник информации. А для этого нужно эту информацию записать цифровыми знаками. Для записи чисел цифровыми знаками существует система счисления – это совокупность приемов и правил записи чисел, их обозначение и наименование. В основе проектирования лежат методы и принципы схемотехники, базирующиеся на аппарате формальных преобразований алгебры логики, на теории цифровых автоматов, а также на неформальных инженерных решениях. Особенностью цифровой схемотехники является широкое применение для опи сания процессов функционирования устройств формальных либо формально-естественных языков и основанных на них формализованных методов проектиро вания. Формальными языками являются булева алгебра (алгебра логики, алгебра Буля) и язык «автоматных» логических функций – алгебра состояний и событий. Благодаря использованию формализованных методов достигается многовари антность в решении прикладных задач, появляется возможность оптимального вы бора схемотехнических решений по тем или иным критериям. Формальные ме тоды характеризуются высоким уровнем абстракции – отвлечения, пренебрежения частными свойствами описываемого объекта. Акцентируется внимание только на общих закономерностях во взаимных связях между компонентами объекта – его составными частями. К таким «закономерностям», например относятся правила арифметических действий в алгебре чисел (правила сложения, вычитания, умноже ния, деления). При этом отвлекаются от смысла чисел (количество ли это яблок либо столов и т.д.). Эти правила строго формализованы, формализованы и правила получения сложных арифметических выражений, а также процедуры вычислений по таким выражениям. В таких случаях говорят: формальными являются и синтаксис, и грамматика языка описания. Формальная логика – на наука ука о мышлении, предметом которой является исследование умозаключений и доказательств с точки зрения их формы (формы логической) и в отвлечении от их конкретного содержания. Формальная логика, известная еще как античная логи ка, основанная Аристотелем, название которой происходит от основного принципа логики как на науки, уки, который гласит гласит,, что правильность 22

рассуждения (умозаключения) определяется только его логической формой или структурой и не зависит от конкретного содержания входящих в него суждений. Логика (греч. logos – слово, рассуждение, понятие, разум) – наука о формах, законах и методах познавательной деятельности; способности правильно (логически) мыслить. Логика – способ доказательства без применения математики. Логика является наиболее общим или, как говорят, формальным условием правильного мышления. Логика играет, прежде всего, большую методологическую роль – как формальное средство (формальная логика) отыскания истины, т.е. истинного результата применительно к логической обработке цифровой информации. Логика изучает формы мышления с точки зрения их структуры, законы и правила получения некоторого знания. Формами мышления являются: понятие, суждение, умоза ключение. Понятие – форма мышления, отражающая существенные свойства предмета или класса однородных предметов. Харак теризу теризуется ется содержанием и объемом. Содержание понятия – те признаки предмета, которые позволяют отличить предмет от всех остальных. Объем понятия – множество предметов, каждому из которых принадлежат эти признаки. Суждение – форма мышления, в которой что-либо утвер ждается или отрицается о наличии предмета, его свойствах и действиях. Характеризуется рактеризу ется содержанием и формой. Со держанием суждения является его смысл. Форма – способ построения. Суждения бывают истинными и ложными. Умозаключение – форма мышления, в которой из одно го или нескольких суждений на основании определенных правил вывода получается новое суждение (вывод или за ключение). Алгебра логики возникла в середине XIX в. в трудах Джорджа Буля. Создание алгебры логики представляло со бой попытку решать традиционные логические задачи алгебраическими методами. Логика – очень древняя наука, еще в античные времена была известна формальная логика, позволяющая делать заключения о правильности какого-либо суждения не по его фактическому содержанию, а только по форме его построения. Иногда формальную логику путают с символической, или математической, логикой. 23

Математическая логика (теоретическая логика, символическая логика) – раздел математики, изучающий доказательства и вопросы оснований математики. Можно сказать, что математическая логика изучает основания математики, принципы построения математических теорий. Классическая логика – термин, использу используемый емый в математической логике по отношению к той или иной логической системе, для указания того, что для данной логики справедливы все законы (классического) исчисления высказываний, в том числе закон исключения третьего. В своем развитии логика прошла ряд этапов. Современную логику называют математической. Алгебра высказываний (алгебра логики) – раздел математической логики. Рассмотрев основные положения теории, определяющей цифровую схемотехнику как направление, связанное с логической обработкой информации, необходимо ознакомиться с основными понятиями, с которыми придется оперировать, изучая цифровую схемотехнику.. схемотехнику Основным в цифровой схемотехнике является логический элемент как элементная база, построенная на основе схемотехнических решений электронных схем, которые являются разновидностью электрических схем. Работа электронных схем основана на электрических процессах протекания тока в электрических цепях. В соответствии с этим, информация в устройствах цифровой схемотехники представлена электрическими параметрами цепи – напряжением и током в виде электрического сигнала, измеряемого в «вольтах» или «амперах». Наибольшее применение для контроля информации в устройствах при вводе и выводе сигнала находит единица измерения – «вольт», т.к. в воль вольтах тах измеряется напряжение, которое всегда первично в электрической цепи. Сигнал – это любая физическая величина (например температура, давление воздуха, интенсивность света, амплитуда напряжения, сила тока и т.д.), изменяющаяся со временем. Именно благодаря этому изменению сигнал может нести в себе какую-то информацию. В соответствии с этим, сигнал – это процесс изменения во времени некоторого физического параметра s(t) какого-либо объекта, служащий для отображения, регистрации и передачи сообщения. 24

Электрический сигнал – это электрическая величина (например напряжение, ток, мощность), изменяющаяся со временем. Вся электроника в основном работает с электрическими сигналами, хотя сейчас используются и световые сиг налы, которые представляют собой изменяющуюся во времени интенсивность света, которая при вводе в цифровые устройства для логической обработки также преобразуется преобразу ется в электрический сигнал. Цифровые схемы всегда оперируют двоичными сигналами, т.е. такими, в которых присутствуют 2 ярко выраженных уровня (отсюда и название – двоичный сигнал). Эти уровни называют логическим нулем (низкое напряжение) и логической единицей (высокое напряжение). Все остальные уровни являются «нерабочими». Конкретные напряжения лог лог.. нуля/единицы зависят от схемотехники цифровых элементов и могут отличаться для разных семейств микросхем. Направление тока в цифровых цепях обычно не рассматривается, т.к. оно не зависит от направления распространения информации и зависит лишь от логического уровня на выходе элемента и того узла, к которому этот выход подключен. Внутренняя схемотехника логических элементов, как правило, не рассматривается, т.к. в схемах часто учитываются и сознательно используются те или иные особенности, позволяющие точно выполнять логические функции.

1. 2. 3.

4. 5.

Вопросы и задания для самоконтроля Перечислите логические основы как теоретический базис, на котором построено направление цифровой схемотехники. Какова роль логического мышления в развитии устройств с цифровой обработкой информации? Назовите основные базовые понятия в цифровой схемотехнике и их взаимосвязь с фундаментальными направлениями в математике и электронике. Что вы знаете об информации и о ее представлении на основе математической логики для цифровых устройств? Приведите основные определения и понятия в цифровой схемотехнике: схемотехника, цифровой сигнал, цифровое устройство, цифровая логика, синтез, микропроцессор, микроЭВМ. 25

Глава 2. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ИНФОРМАЦИИ

2.1 2. 1. Поняти онятие е об инфо информ рмации ации,, к ла ласс ссификация ификация и сво свой йства В современном мире информация представляет собой один из важнейших ресурсов и, в то же время, одну из движущих сил развития человеческого общества. Информационные процессы, происходящие в материальном мире, живой природе и человеческом обществе, изучаются (или, по крайней мере, учитываются) всеми научными на учными дисциплинами – от философии до маркетинга. Впервые понятие «информация» как термин приводится в книге Н. Винера «Кибернетика», однако лишь в узком смысле – как «количество информации». В настоящее время термин «информация» используется весьма широко как в быту и на производстве, так и в на науке, уке, образовании, технической литературе и др. При этом смысл термина «информация» столь широк, что зачастую может прийти в противоречие с контекстным содержанием. Во многих публикациях делаются попытки дать фундаментальное, «универсальное» толкование этого термина, отображающего его мировоззренческий, философский смысл наряду с такими философскими категориями, как вещество и энергия. В первоначальном определении термина «информация», указывалось, что это сведения, передаваемые людьми устным, письменным или иным способом, и данное определение было вполне объективно, т.к. в этот период не рассматривались многие признаки оценки свойств информации. В философском смысле информация есть отражение реального мира. Это сведения, которые один реальный объект содержит о другом реальном объекте. Таким образом, понятие информации связывается с определенным объектом, свойства которого она отражает отражает.. 26

С точки зрения индивидуального человека информация – это то, что поступает в наш мозг из многих источников и во многих формах и, взаимодейству взаимодействуя я там, образу образует ет наши знания, а то, что раду радует ет нас, волнует волну ет,, печалит печалит,, заставляет переживать и др. – это наши ощущения. В обыденной жизни под информацией понимают всякого рода сведения, данные, знания и понятия о чем-либо в окружающем мире, которые передают и получают люди в виде сообщения. Сведения, данные, знания и понятия, которые накапливаются в нашем сознании, необходимы для ориентирования в окружающем мире и принятия решений о своих дальнейших действиях. Каждого человека в мире окружает море информации, которая существует существу ет в различных видах: в виде текстов, рисунков, чертежей, фотографий; в виде световых или звуковых сигналов; в виде радиоволн; в виде электрических и нервных импульсов; в виде магнитных записей; в виде жестов и мимики; в виде запахов и вку вкусовых совых ощущений; в виде хромосом, посредством которых передаются по наследству признаки и свойства организмов, и т.д. В литературе можно найти достаточно много определений термина «информация», отражающих различные подходы к толкованию этого понятия. Так в толковом словаре русского языка Ожегова приводится два определения слова «информация»: 1. Информация – сведения об окружающем мире и протекающих в нем процессах, воспринимаемые человеком или специальным устройством. 2. Информация – сообщения, осведомляющие о положении дел, о состоянии чего-нибудь. (На Научно-техническая учно-техническая и газетная информации, средства массовой информации – печать, радио, телевидение, кино.) Кроме этих определений, известно еще более четырехсот определений термина «информация», в качестве примера приведем некоторые из них. Информация – это содержание сообщения, сигнала, памяти, а также сведения, содержащиеся в сообщении, сигнале или памяти. Информация – сведения об объектах и явлениях окружающей среды, их параметрах, свойствах и состоянии, которые уменьшают имеющуюся о них степень неопределенности или неполноты зна27

ний при оценке процессов в окружающей среде, следовательно, не каждое сообщение является информацией. Информация – совокупность данных, зафиксированных на материальном носителе, сохраненных и распространенных во времени и пространстве; Информация – это понимание (смысл, представление, интерпретация), возникающее в аппарате мышления человека после получения им данных, взаимоувязанное с предшествующими знаниями и понятиями. Информация – сведения, передаваемые людьми, устным, письменным или другим способом с помощью условных сигналов, технических средств и т.д. В законе «Об информации, информатизации и защите информации» информация – это сведения о лицах, предметах и процессах независимо от формы их представления. Информация – это общена общенаучное учное понятие, включающее в себя обмен сведениями между людьми, человеком и автоматом, автоматом и автоматом, обмен сигналами между живой и неживой природой, обмен сигналами в животном и растительном мире и т.д. Последнее определение информации относится к концу ХХ века, когда сформировались наиболее четкие представления об информации, включающие в себя не только определение информации по отношению к человеку человеку,, но и по отношению к автоматам как автоматизированным системам, способным обмениваться информацией как с человеком, так и другими автоматами. При этом необходимо помнить, что информация возникает и существу существует ет лишь в мыслительном аппарате человека, и нигде более. Как только информация отчуждается от человека, т.е. попадает в автомат автомат,, информация превращается из сведений, несущих смысл и знания, в данные. И только когда данные вновь попадают к человеку человеку,, который знает закон (правила) интерпретации (придания смысла) данным, тогда у адресата данные преобразуются в смысл и знания, несущие информацию. Причем смысл у источника и адресата в общем случае чаще всего не совпадает совпадает.. Вышеприведенные определения основного понятия информации весьма сильно отличаются друг от друга, хотя почти везде постулируется, стулиру ется, что информация – это сведения, представленные в виде сообщения. 28

Сообщение – форма представления информации в виде речи, текста, изображения, цифровых данных, графиков, таблиц и других форм. Сведения – это знания, выраженные в сигналах, сообщениях, известиях, уведомлениях и т.д. Также в одном терминологическом ряду определений основного понятия информации вместе с постулатами о сведениях и сообщениях стоят и дополнительные составляющие, определяющие основное понятие информации – «данные», «знания» и «понятия». Данные – это зарегистрированные сигналы, которые несут в себе информацию о событиях, произошедших в материальном мире, поскольку они являются регистрацией сигналов, возникших в результате этих событий. Данные можно рассматривать как информацию, представленную в виде, пригодном для последующей обработки, хранения и передачи, когда данные соответствуют зарегистрированным фактам, характеризующих объекты, процессы и явления в предметной области реального мира, а также их свойства. В отличие от информации данные могут рассматриваться как признаки или записанные наблюдения, которые в данный момент не оказывают воздействия на принятие решений. Данные превращаются в информацию, если такое воздействие существу существует ет.. Данные можно собирать, хранить, изменять их форму форму,, но у них есть и отличительные особенности: данные могут создаваться и исчезать, стираться, терять точность и т.д. Учитывая эти особенности, данные можно охарактеризовать «циклом жизни». Итак, информация отражает разнообразие, присущее объектам и явлениям реального мира, когда природа информации объективно связана с разнообразием мира, и именно ее разнообразие является источником информации, расширяющим объективность в познании. Знания – это целостная систематизированная совокупность научных понятий о закономерностях природы общества и мышления накопленная человечеством в процессе активной преобразующей производственной деятельности и направленная на дальнейшее изменение и познание объектов мира, и отличается от данных большей сложностью, абстрактностью, полнотой и многосторонностью описания некоторой области деятельности. 29

Под знаниями в общем смысле следу следует ет понимать информацию, потенциально необходимую обществу или индивидууму для решения задач, принятия решений и совершенствования своих знаний об окружающем мире. Знания позволяют делать определенные выводы о состоянии физических параметров информации, представленной в виде данных, при проведении оценки полученной информации путем логических рассуждений. Знания, как и информация, предполагающая понимание, т.е. наличие интеллекта, делятся на три основные разновидности (категории): − системные знания – совокупность сведений о конкретной области изучения; − предметные знания – совокупность сведений о качественных и количественных характеристиках конкретных объектов; − алгоритмические, процедурные знания – знания, которые задают способ решения задачи. Несмотря на то что человеку постоянно приходится иметь дело с информацией, но нет строгого на научного учного определения, что же такое информация, люди пользуются для объяснения воспринимаемой информации определенными понятиями, позволяющими представить смысл информации по определенным признакам. Определенное понятие – это способ, уровень понимания чегонибудь на основе мышления, выделяющего и обобщающего предметы (явления, события, сигналы и т.д.) некоторого класса по определенным общим и в совокупности специфическим для них признакам. Исходя из определения термина «понятие», можно привести пример, указывающий на принципиальное отличие понятия как способа понимания информации от основных определений, касающихся информации. Разные люди при разных обстоятельствах могут вкладывать разный смысл в понимание информации по полученным данным при исследовании информации. Например математик рассмотрит полученные сведения при оценке информации с точки зрения понятий шире, включив при рассмотрении вместе с общими и специфическими признаками, характеризующими информацию на основе полученных данных, и те сведения, которые человек не получал, а создал сам с помощью собственных мышлений и умо30

заключений. Биолог же пойдет еще дальше и отнесет к информации для ее понятия и те данные, которые человек вообще не мог получить в качестве информации, а хранит в себе с момента рождения и до смерти, т.е., например генетический код, благодаря которому дети так похожи на родителей. В соответствии с этим, так же как и для основного термина «информация», можно сделать вывод о том, что в разных на научных учных дисциплинах и областях на науки уки и техники существуют и разные подходы к области понятий как способу и уровню понимания чего-нибудь на основе мышления. Основываясь на многообразии определений, касающихся такого основного понятия в информационном плане, как информация, можно сделать вывод о том, что в настоящее время не сложилось единого подхода к определению термина «информация». С точки зрения различных областей знаний определение для термина «информация» описывается своим специфическим набором признаков. При этом каждое из определений тракту трактует ет информацию, основываясь на собственном понимании данного термина с позиции области знаний, которая является объектом исследования для каждой на научучной дисциплины, определяя информацию в широком смысле как абстрактное понятие, имеющее множество значений, в зависимости от контекста (среды), а в узком смысле этого слова – как сведения (сообщения, данные), независимо от формы их представления. Информация является объектом исследования таких на научных учных дисциплин, как: − теория информации (математическая теория систем передачи информации); − кибернетика (на наука ука о связи и управлении в машинах и животных, а также в обществе и отдельных человеческих существах); − семиотика (наука о знаках и знаковых системах); − теория массовой коммуникации (исследование средств массовой информации и их влияния на общество); − информатика (изучение процессов сбора, преобразования, хранения, защиты, поиска и передачи всех видов информации и средств их автоматизированной обработки); − соционика (теория информационного метаболизма индивидуальной и социальной психики); 31

информодинамика (на наука ука об открытых информационных системах), – информациология (на наука ука о получении, сохранении и передаче информации для различных множеств объектов) и т.д. В информатике, как одной из дисциплин, изучающей основы информации, использу используется ется следующее определение этого термина: Информация (от лат лат.. informatio – сведения, разъяснения, изложение) – это осознанные сведения об окружающем мире (о фактах, концепциях, объектах, событиях, идеях, явлениях и их параметрах, свойствах, состоянии), которые являются объектом хранения, преобразования, передачи и использования. Применительно к направлению информационных технологий под информацией понимают сообщения, передаваемые некоторой последовательностью символов (букв, цифр, знаков, сигналов, закодированных графических образов и звуков и т.п.), не несущих смысловую нагрузку и представленных в понятном для информационных систем виде. Каждый новый символ в такой последовательности символов увеличивает информационный объем сообщения. Также с появлением электронно-вычислительных машин (ЭВМ) возникло и новое определение понятия информации – компьютерная информация как элемент автоматизированной информационной системы, в которой информацию также еще называют машинной информацией. Одно из первых определений компьютерной (машинной) информации принадлежит ученому Н. Винеру Винеру.. Машинная (компьютерная) информация – это информация, которая передается, обрабатывается и хранится с использованием электронно-вычислительной техники и может быть перенесена в пространстве, сохранена во времени, передана другому субъекту или техническому устройству и подвергнута иным операциям. Существуют также и другие определения для термина компьютерной (машинной) информации. Компьютерная, или машинная, информация – это: − сведения (данные) о лицах, предметах, фактах, событиях, явлениях и процессах, которые представлены в специальном, понятном машине, виде, пригодном для их автоматизированной обработки, хранения и передачи, находятся на машинном носителе, −

32

в памяти ЭВМ или циркулируют по каналам связи, объединяющим ЭВМ в единую систему или сеть, и имеют собственника; − сведения, знания или набор команд для использования в ЭВМ или управления ею, находящиеся в ЭВМ или на машинных носителях, идентифицируемый идентифициру емый элемент информационной системы, имеющий собственника, установившего правила ее использования; − сведения (данные) о лицах, предметах, фактах, событиях, явлениях и процессах, подлежащие вводу в ЭВМ, хранимые в ее памяти, обрабатываемые на ЭВМ и выдаваемые пользователям; − информация, представленная в специальном (машинном) виде, предназначенном и пригодном для ее автоматизированной обработки, хранения и передачи, находящаяся на материальном носителе и имеющая собственника, установившего порядок ее создания (генерации), обработки, передачи и уничтожения; − информация, зафиксированная на машинном носителе или передаваемая по телекоммуникационным каналам в форме, доступной восприятию ЭВМ; − документированная информация, хранящаяся в памяти ЭВМ или управляющая ею; − информация на машинном носителе, в ЭВМ, системе или сети ЭВМ; − информация, которая передается, обрабатывается и хранится с использованием электронно-вычислительной техники. Классификация информации, которая содержит в себе множество видов и типов знаний об информации, позволяет разобраться и понять назначение классификации информации как обобщенной структуры, рассматривающей информацию по определенным сведениям по отношению к конкретным объектам, предметам, фактам, явлениям или процессам, которые происходят в окружающем нас мире. Информацию можно классифицировать разными способами по различным признакам (критериям), которые позволяют определить формы и виды представления информации, а также свойства и характеристики информации. В соответствии с этим, разные научные направления делают это по-разному по-разному,, т.е. каждое направление в на науке, уке, занимающееся вопросами, связанными с информацией, может вводить свою систему классификации. 33

Рассмотрим классификацию информации в общена общенаучном учном понятии по следующим признакам (критериям): По отношению к окружающей среде (или к использующей ее среде): − входная информация – информация, которую система воспринимает от окружающей среды, т.е. вид информации по отношению к системе восприятия; − выходная информация – информация, которую система выдает в окружающую среду; − внутренняя, внутрисистемная информация – информация, которая хранится, перерабатывается и использу используется ется только внутри системы, т.е. по отношению только к данной системе. По способу восприятия: − визуальная – воспринимаемая органами зрения в виде видимых образов и символов; − аудиальная (звуковая) – воспринимаемая органами слуха в виде звуков; − тактильная – воспринимаемая тактильными рецепторами в виде ощущений; − органолептическая (обонятельная и вку вкусовая) совая) – воспринимаемая обонятельными и вку вкусовыми совыми рецепторами в виде запахов и вкусов; − машинная – воспринимаемая средствами вычислительной техники. По форме (виду) представления данных: − текстовая – в виде символов, предназначенных обозначать лексемы языка (способ представления речи человека специальными символами – буквами, причем разные народы имеют разные языки и используют различные наборы букв для отображения речи; особенно большое значение этот способ приобрел после изобретения бумаги и книгопечатания); − числовая – количественная мера объектов и их свойств в окружающем мире; особенно большое значение приобрела с развитием торговли, экономики и денежного обмена; аналогично текстовой информации для ее отображения использу используется ется способ представления информации специальными символами – цифрами и знаками, обозначающими математические действия, причем системы счисления могут быть разными; 34

−

−

− −

−

−

−

графическая или изобразительная – в виде изображений событий, предметов, графиков (первый вид, для которого был реализован способ хранения информации об окружающем мире в виде наскальных рисунков, а позднее – в виде картин, фотографий, схем, чертежей на бумаге, холсте, мраморе и др. материалах, изображающих картины реального мира); звуковая (музыкальная) – устная или в виде записи и передачи лексем языка аудиальным путем (мир полон звуков, и задача их хранения и тиражирования была решена с изобретением звукозаписывающих устройств в 1877 году; разновидность – музыкальная информация, для которой был изобретен способ представления специальными символами, что позволило сохранять ее аналогично графической информации); видео – в виде «живых» картин окружающего мира, появившаяся с изобретением кино. комбинированная – муль мультимедийная, тимедийная, многосредовая, представленная в виде совокупности нескольких физических форм представления информации; цветная графика сочетается со звуком и текстом, с движущимися видеоизображением и трехмерными образами и др. По общественному предназначению: массовая (общественная) – содержит тривиальные сведения и опериру оперирует ет набором понятий, доступных большей части социума, т.е. предназначена для любого желающего ею пользоваться, подразделяется на подвиды: обыденная, общественно-политическая, научно-популярная, новостная, эстетическая и т.д.; специальная – содержит специфический набор понятий, при использовании происходит передача сведений, которые могут быть непонятны основной массе социума, но необходимы и понятны в рамках узкой социальной группы лиц, занимающихся решением сложных специальных задач в области науки, техники, экономики, где используется данная информация, подразделяется на подвиды: производственная, управленческая, техническая и на научная. учная. секретная – передаваемая узкому кругу лиц и по закрытым (защищенным) каналам; 35

личная (приватная) – набор сведений о какой-либо личности, определяющих социальное положение и типы социальных взаимодействий внутри популяции, предназначенных для конкретного человека, – может определяться как знания, интуиция, умения или навыки. По функциональному назначению и типу знаний, полученных из информации: − декларативная – информация в форме данных, которыми представлены общеизвестные факты, характеризующие объекты, события, процессы, явления и свойства объектов, и доступны каждому для познания; − процедурная – информация в форме команд, которые определяют последовательность действий для достижения какой-либо цели или выполнения определенного задания, т.е. дают инструкции, которые чаще всего предоставляют возможность найти ответы на различные вопросы. По значению (значимости) информации: − актуальная – ценная в данный момент времени; − достоверная – полученная без искажений; − понятная – выраженная на языке, понятном тому тому,, кому она предназначена; − полная – достаточная для принятия правильного решения или понимания; − полезная – полезность определяется субъектом, получившим информацию в зависимости от объема возможностей ее использования. По истинности (достоверности) информации: − истинная; − ложная. По форме сигнала, в котором представлена информация: − аналоговая (непрерывная) – это величина, характеризующая процесс, не имеющий перерывов или промежутков (температура тела человека, скорость автомобиля на определенном участке пути и т.п.). − цифровая (дискретная) – это последовательность символов, характеризующая прерывистую, изменяющуюся величину (коли−

36

чество вагонов в составе, амплитуда напряжения, количество отказов устройств и т.п.). По отношению к конечному резуль результату тату использу используемой емой информации: − исходная – на стадии начала использования актуализации информации; − промежуточная – на стадии от начала до завершения актуализации этой информации; − резуль результирующая тирующая – после использования этой информации, завершение ее актуализации. По изменчивости информации при актуализации: − постоянная – не изменяемая никогда при ее актуализации; − переменная – изменяемая при актуализации; − смешанная – условно-постоянная или условно-переменная. Актуализация – метод получения информации с помощью активизации и инициализации смысла информации, т.е. перевод информации из статического (неактуального) состояния в динамическое (актуальное) состояние, но при этом все необходимые связи и отношения (открытой) системы с внешней средой должны быть учтены (сохранены). Активизация (от лат лат.. activation activation,, активация) – приведение в действие (запу запуск, ск, включение) процесса обработки данных для получения информации. Инициализация (от англ. initialization initialization,, инициирование) – создание, активация, подготовка к работе и определение параметров информации. Таким образом, при актуализации информации определяют ее актуальность, т.е. своевременность, и подготавливают информацию к восприятию в одной из форм представления информации, что делает информацию более активной, т.е. несущей смысловое значение. В соответствии с этим, можно утверждать, что информация может существовать в пассивной (неактуализированной) и активной (актуализированной) форме, а, соответственно, находиться в статическом (неактуальном) состоянии и в динамическом (актуальном) состоянии. При этом необходимо знать, что понятие «статическое состояние информации» указывает на то, что информация не определена по форме представления и актуальности, т.е. содержится только в виде данных. 37

Рассмотренная классификация информации достаточно полно охватывает основные разновидности информации, что позволяет иметь необходимые познания в области информационных технологий, однако при необходимости можно рассмотреть классификацию информации и по другим признакам. Любой вид информации, независимо от классификационных признаков, можно охарактеризовать с точки зрения ее основных свойств. Характерной отличительной особенностью информации от других объектов природы и общества является дуализм (от лат лат.. dualis – двойственный), т.е. сосуществование двух различных, несводимых к единству влияний: на свойства информации влияют как свойства исходных данных, составляющих ее содержательную часть, так и свойства методов, фиксирующих эту информацию. Свойства информации можно рассматривать и как ее качественные показатели, наиболее важными из которых с точки зрения информационности являются: объективность, достоверность, полнота, точность, актуальность и своевременность, полезность и ценность, понятность, доступность. 1. Объективность информации – существование информации независимо от человеческого сознания, т.е. информация объективна, если она не зависит от методов ее фиксации, чьего-либо мнения, суждения. 2. Достоверность информации – истинность отражения данных, т.е. информация достоверна, если содержит истинные данные; объективная информация всегда достоверна, но достоверная информация может быть как объективной, так и субъективной; достоверная информация помогает принять правильное решение; недостоверная информация может быть по следующим причинам: преднамеренное искажение (дезинформация) или непреднамеренное искажение субъективного свойства; искажение в резуль результате тате воздействия помех («испорченный телефон») и недостаточно точных средств ее фиксации. 3. Достаточность (полнота) информации – достаточность минимально полного набора показателей для понимания смыслового содержания информации и принятия определенных решений; неполная информация, т.е. информация, содержащая недостаточный набор показателей для понимания смыслового содер38

жания информации, может привести к ошибочному выводу или решению, при этом необходимо отметить, что избыточность информации снижает эффективность принимаемых пользователем решений. 4. Точность информации – степень близости информации к реальному состоянию объекта, процесса, явления и т.п. 5. Актуальность информации – важность информации для настоящего времени, злободневность, насущность, т.е. данные должны соответствовать настоящему положению дел и иметь ценность для их получателя к моменту решения какой-либо задачи. Только своевременно, т.е. вовремя, полученная информация может быть актуальна. 6. Надежность информации – некоторая характеристика, показывающая, в какой степени сходны резуль результаты, таты, полученные при неоднократных обращениях к источнику информации, т.е. характеризу характеризует ет технические возможности средств передачи и обработки информации. 7. Избыточность информации – дублирование информации, предусмотренное как полезное дублирование для определенной структуры данных или для исключения ошибок при передаче и обработке информации. 8. Полезность (ценность) информации – оценка информации по задачам, которые можно решить с ее использованием для достижения определенных целей; только вовремя полученная информация может быть полезна. 9. Доступность информации – возможность восприятия информации пользователем и выполнения соответствующих процедур с ней при получении и преобразовании. 10. Устойчивость информации – способность информации реагировать на изменение исходных данных без нарушения необходимой точности, что определяется методикой сбора информации. 11. Понятность информации – выражение информации на языке, доступном, т.е. понятном, пользователю, для которого она предназначена. Логичность, компактность, удобная форма представления облегчает понимание и усвоение информации. 39

Самая ценная информация – объективная, достоверная, полная и актуальная. Рассматривая основные понятия об информации, необходимо отметить, что сами по себе речь, текст текст,, числа как формы представления информации – не информация, а лишь носители информации. Информация содержится в речи людей, текстах книг книг,, колонках цифр, в показаниях часов, термометров и других приборов в виде сообщения, что является причиной увеличения знаний людей о реальном мире. Значит Значит,, информация отражает нечто, присущее реальному миру миру,, который познается в процессе получения информации, т.к. до момента получения информации что-то было неизвестно или, иначе, не определено, и благодаря информации неопределенность была снята, уничтожена. Рассмотрим пример. Пу Пусть сть нам известны четыре десятичные цифры из номера, состоящего из пяти десятичных цифр. В этом случае информация для определения номера в какой-то степени имеет определенность, которая невелика. Если же нам известны только три десятичные цифры из номера, состоящего из пяти десятичных цифр, то в этом случае степень неопределенности увеличивается, т.е. неопределенность достаточно велика. Этот пример наталкивает на мысль, что неопределенность связана с количеством возможностей, т.е. с разнообразием ситуаций. Чем больше разнообразие, тем больше неопределенность. Информация, снимающая неопределенность, существу существует ет постольку,, поскольку существует разнообразие. Если нет разнообрастольку зия, нет неопределенности, а следовательно, нет и информации. Все отрасли на науки уки и техники, имеющие дело с информацией, сходятся в том, что информацию можно: создавать, передавать и, соответственно, принимать, хранить и обрабатывать. Исторически сложилось так, что исследованием непосредственно информации занимаются две комплексные отрасли на науки уки – кибернетика и информатика. Понятие «кибернетика» впервые появилось в первой половине XIX в., когда французский физик Андре Мари Ампер, известный по закону Ампера, решил создать единую классификацию всех наук, на ук, как существовавших в то время, так и гипотетических (которые не существовали, но, по его мнению, должны были бы суще40

ствовать). Он предположил, что должна существовать некая на наука, ука, занимающаяся изучением иску искусства сства управления. Ампер не имел в виду управление техническими системами, поскольку сложных технических систем в те времена еще не было. Он имел в виду искусство ку сство управления людьми, т.е. обществом. Эту несуществующую науку на уку Ампер назвал кибернетикой от греческого слова кибернетикос (иску искусный сный в управлении). В Древней Греции этого титула удостаивались лучшие мастера управления боевыми колесницами. Впоследствии слово кибернетикос было заимствовано римлянами – так в латинском языке появилось слово губернатор (управляющий провинцией). Сегодня уже трудно догадаться, что слова «кибернетика» и «губернатор» имеют одно происхождение, но это так. С тех пор о кибернетике забыли более чем на сто лет лет.. В 1948 г. выдающийся американский математик Норберт Винер, труды которого по математической логике легли в основу зарождавшегося тогда программирования вычислительной техники, вновь возродил термин «кибернетика» и определил ее как на науку уку об управлении в живой природе и в технических системах. Это определение оказалось весьма спорным. Смешивание живой природы и технических систем в одной дисциплине привело к резкому неприятию такого определения учеными многих стран. Современная кибернетика – это отрасль на науки, уки, исследующая сверхсложные системы, такие как: человеческое общество (социальная кибернетика), экономика (экономическая кибернетика), живой организм (биологическая кибернетика), человеческий мозг и его функция – сознание (иску искусственный сственный интеллект). Информатика, сформировавшаяся как на наука ука в середине прошлого века, отделилась от кибернетики и занимается исследованиями в области способов получения, хранения, передачи и обработки информации. Обе эти отрасли используют несколько основополагающих научных теорий. К ним относятся непосредственно теория информации, а также ее разделы: теория кодирования, теория алгоритмов и теория автоматов. Теория информации – комплексная, в основном математическая теория, включающая в себя описание и оценки методов извлечения, передачи, хранения и классификации информации. 41

Основы этой теории заложил американский ученый Э. Хартли в 1928 г., который определил меру количества информации для некоторых задач в области связи. Позднее теория была существенно развита американским ученым К. Шенноном, российскими учеными А.Н. Колмогоровым, В.М. Глушковым и др. Вопросы и задания для самоконтроля 1. Определите понятие информации в общем смысле, в философии и с точки зрения информационного процесса. 2. Каковы составляющие информаци информации, и, отражающие различные подходы к толкованию этого понятия? 3. Опишите назначение информации в зависимости от ее свойств. 4. Назовите виды данных в информационном представлении информации. 5. Что вы можете сказать о знаниях и их взаимосвязи с информацией? Какие есть виды знаний? 6. Опишите информацию как объект исследования в на научных учных дисциплинах. 7. Определите понятие о машинной (компьютерной) информации. 8. Какова классификация информации по видам и типам знаний? 9. Какова классификация информации в общена общенаучном учном понятии? 10. Определите понятие об актуализации, активизации и инициализация в информации. 11. Определите понятие о свойствах информации с точки зрения информационности.

2.2. Спос пособы, обы, ви виды ды и форм ормы ы пре редст дста авлен лени ия инф нформ ормац аци ии Представление информации – способ воспроизведения (преподнесения) информации, в котором человеку подается материал для изучения или понимания, в том числе на материальном носителе информации. Важными характеристиками информации являются ее структура и формы. С древнейших времен человечество не только добывало знания, но и пыталось не потерять их, то есть обеспечить эффективное хранение накапливаемой информации. С момента зарождения письменности 42

было перепробовано множество носителей информации – от камня до воска, от тесьмы и до шкур животных. Изобретение в Средние века дешевого и долговечного носителя информации, бумаги, и, что очень важно, дешевого и эффективного способа записи на носитель – книгопечатание, вызвало настоящий информационный бум. Стремление зафиксировать, сохранить надолго свое восприятие информации было всегда свойственно человеку человеку.. Человек всегда стремился иметь возможность поделиться своей информацией с другими людьми и найти надежные средства для ее передачи и долговременного хранения. Для этого, воспринимая информацию с помощью органов чувств, человек стремился не только зафиксировать информацию, но и преподнести ее понятной другим, в той или иной форме, использу используя я различные способы представления информации. В связи с этим, было изобретено множество способов представления информации для хранения ее на внешних (относительно мозга человека) материальных носителях информации, передачи, восприятия и преобразования. Материальный мир состоит из физических тел и физических полей. Для того чтобы в материальном мире происходили обмен информацией, ее преобразование и передача, должны существовать необходимые средства: носитель информации, передатчик, канал связи, приемник и получатель информации – и определенные методы обработки информации. Канал связи представляет собой физическую среду среду,, в которой происходит передача информации. Канал связи объединяет источник и получателя информации в единую информационную систему (рис. 2.1). Информационная система – взаимосвязанная совокупность средств и способов (методов), использу используемая емая для сохранения, обработки и выдачи информации с целью решения конкретной задачи. Подобные информационные системы существуют как в технических системах, так и в человеческом обществе и живой природе. Информационные системы можно разделить на естественные и искусственные. ку сственные. К первым относятся все естественно возникшие системы – биологические организмы. Иску Искусственными сственными информационными системами являются информационные системы, созданные человеком. 43

Источник информации

Передатчик

Канал связи

Приемник

Получатель информации

Р ис. 2 .1. Ст Стру рукк т у ра и нф нформ ормац ацио ионн нной ой с ист истем емы ы

Носитель информации (от лат лат.. data medium т.е. носитель данных, информа ционный носитель) – материальный объект или физическая среда, непосредственно использу используемые емые для хранения, передачи и воспроизведения информации, т.е. способ ные достаточно длительное время сохранять (нести) в своей структуре занесенную в них информацию. Носителями информации являются живые существа, неживые объекты и структуры, сигналы, знаки, символы, несущие какую-либо информацию о себе и окружающих его предметах, т.е. носителем информации может быть любой материальный предмет (бумага, камень, дерево, металл, пластмасса, кремний и другие виды полупроводников и т.д.), волны различной природы (акустическая – звук, электромагнитная – свет свет,, радиоволна, гравитационная – давление, притяжение), особые состояния вещества (концентрация молекул в жидком растворе, температура и давление газа, расположение молекул в кристалле и др.), машинные носители информации – перфоленты, перфокарты, магнитные ленты, магнитные диски, оптические диски и т.д., которые менялись со временем. В общем же, а не только в утилитарном смысле, носителями информации могут являться любые объекты и системы материального мира. Материя проявляет себя нам либо в виде вещества вещества,, которое характеризуется теризу ется массой, либо в виде поля, которое характеризуется энергией. Вещество понимается как материя в состоянии покоя, а поле – как материя в состоянии движения. Масса и энергия, согласно теории относительности Альберта 2 . Эйнштейна, связаны между собой отношением E = mc Самый «популярный» носитель информации – электромагнитные волны, непосредственно воспринимаемые человеческими органами чувств как свет свет,, звук и тепло. Источниками информации для наших органов зрения являются исключительно электромагнитные волны, наше осязание кожей, кроме случаев опосредованного ощущения «тепло /холодно», про44

исходит в непосредственном контакте с другими вещественными предметами. Вещество способно стабильно хранить информацию, а поля способны быстро и далеко ее переносить. Предельная скорость распространения поля в вакууме равна скорости света (с ≈ 3 ×1010 см/сек). Процесс распространения полей есть волновой (колебательный) процесс. Основным носителем информации для человека является его собственная биологическая память (мозг человека). Собственную память человека можно назвать оперативной («быстрой») памятью. Собственную память еще можно назвать внутренней памятью, поскольку ее носитель – мозг мозг,, который находится внутри нас. Все прочие виды носителей информации можно назвать внешними (по отношению к человеку). Носители информации можно различать по разным показателям, т.е. классифицировать в зависимости от критериев, которые в полной мере характеризуют носители информации в соответствии с рассматриваемыми направлениями применения данного понятия. Основываясь на этом, классификацию носителей информации рассмотрим только по критериям, которые характеризуют их с точки зрения информационных технологий обработки информации, на основе применения комплекса технических средств, предназначенных для автоматической обработки информации: − по физической структуре – перфорационные (с отверстиями или вырезами – перфокарта, перфолента), магнитные (магнитная лента, магнитные диски), оптические (оптические диски CD, DVD, Blu-ra Blu-ray y Disc), магнитооптические (маг магнитооптический нитооптический компакт-диск – CD-MO), электронные – полупроводнико вые (используются эффекты полупроводников – карты памяти, флеш-память), диэлектрические, светочувствительные; − по материалу изготовления – традиционные: бумажные, пластмассовые (грампластинка), магнитные (лента в аудио- и видеокассетах), фотографические (фотопленка, фотопластина, фотоотпечаток, микроноситель) и т.п.; машиночитаемые: дискеты (гибкие магнитные диски), жесткие магнитные и компактные (оптические, лазерные, магнитооптические и иные) диски, флеш-карты и другие носители информации, предназначенные для использования в технических устройствах, комплексах, системах и сетях; 45

по форме представления данных – печатные и рукописные (на бумаге – книга, брошюра и т.п.), пластинка (грампластинка, фотопластинка), пленка (фото-, кинопленка, рентгенов ская пленка) аудиокассета, дискета, микроформа (фотопленка, микрофильм, микрофиша), видеокассета, магнитные (компактдиск (CD, DVD), перфорационные; − по конструктивному (геометрическому) исполнению – дисковые (магнитные диски, оптические диски, магнитооптические диски), ленточные (магнитные ленты, перфоленты), барабанные (магнитные барабаны), карточные (банковские карты, перфокарты, флеш-карты, смарт-карты); − по физической природе носителя (свойствам материи): вещественно-предметные (физические тела), характеризуемые массой и свойствами вещества, из которых изготовлены носители и воспринимаемые как материя в состоянии покоя (печатные или рукописные документы, фотографии, чертежи, перфокарты и перфоленты, магнитные диски и ленты, лазерные диски, видеодиски, базы данных в аппаратных запоминающих устройствах); энергетические (волново-полевые), характеризу характеризуемые емые энергией и материальными свойствами физического и звукового поля, имеющих волновой характер, и электрического тока, и воспринимаемые как материя в состоянии движения (поля и волны различной природы – аку акустические стические или звуковые, оптические, электрические, магнитные и электромагнитные в диапазоне видимого и инфракрасного света, в радиодиапазоне, и электрический ток в сетях коммуникации – постоянный, переменный). − по форме сигнала, использу используемого емого для записи данных, различают аналоговые и цифровые носители (цифровые носители информации – компакт-диски, дискеты, карты памяти и т.д.; аналоговые носители информации – магнитофонная и бабинная кассеты). − по виду субъекта, оперирующего с информацией при получении, преобразова нии, отображении, чтении, хранении и передаче – физические лица (человек) и физические устройства или конструкции (технические уст ройства); Также носители информации по отношению к окружающему миру разделяются на естественные и искусственные: так все, что создано природой, является естественным носителем информа−

46

ции. Например естественными носителями звуковой информации являются воздух и звуковые волны в нем (например эхо в лесу), естественными носителями информации являются молекулы ДНК, мозг человека и животного. Примерами иску искусственных сственных носителей для хранения звуковой информации являются грампластинка и магнитные диски, при воспроизведении звука с которых использу используется ется комбинация электромагнитного и звукового полей. При этом для записи-воспроизведения информации при использовании иску искуссственных носителей необходимы технические устройства, предназначенные для названных действий. Особое внимание необходимо обратить на классификацию носителей информации по физической природе носителя, из которой видно, что посредством вещественного носителя информации можно реализовать такое явление, как память, а энергетический носитель использовать при передаче информации. Информация записывается на вещественный носитель информации посредством изменения физических, химических или механических свойств вещества как материи, запоминающей физической среды, а в энергетических носителях – изменением энергии или материальных свойств физического поля либо комбинацией физических полей. Основываясь на том, что информация всегда связана с материальным носителем информации, как материальном объекте или средой, в которой информация может быть сохранена, можно рассматривать способы представления информации, позволяющие сохранять информацию, представленную в разных формах и разными способами, воспринимаемыми человеком. Способы представления информации – система действий, приемов для воспроизведения (преподнесения) информации определенными средствами, которыми человеку подается материал для изучения или понимания, в том числе на материальном носителе информации. Как известно, не для всех способов восприятия информации человеком разработаны способы представления информации, которые позволяли бы сохранять, и, соответственно, обрабатывать и передавать информацию. Отсутствуют способы представления тактильной информации, которая воспринимается тактильными рецепторами 47

в виде ощущений, органолептической информации (обонятельной и вку вкусовой), совой), воспринимаемой обонятельными и вку вкусовыми совыми рецепторами в виде запахов и вку вкусов, сов, и др. Из определения понятия «способы представление информации» можно сделать вывод о том, что оно довольно обширное из-за многообразия действий и приемов, использу используемых емых для преподнесения информации определенными средствами. Все это многообразие охватывает многие классификационные признаки, по которым можно классифицировать это понятие, однако остановимся только на основных признаках классификации способов представления информации, которые наибольшим образом связаны с уже рассмотренной выше классификацией информации. Рассмотрим классификацию способов представления информации, обеспечивающих ее хранение на внешних (относительно мозга человека) носителях информации и передачи ее на расстояние в общенаучном щена учном понятии по следующим признакам (критериям): По физическому восприятию информации: − знаковый письменный, состоящий из различных знаков, среди которых выделяются: символьный – в виде текста, чисел, специальных символов (например ноты, химические формулы); графический (например графики физических процессов); табличный (например таблица записи хода физического эксперимента); − жестовый (мимический) или сигнальный, состоящий из жестов (мимики) или сигналов (например сигналы регулиров щика дорожного движения); − устный или вербальный (от лат. лат. «verbalis verbalis» » – устный) в мысленном или разговорном словесном восприятии. По физической природе материального носителя информации: − молекулярный, доступный человеку через посредство приборов (микроскопы, рентгеноанализ и др.), рассматриваемый как микромир – вакуум, элементарные частицы, ядра, атомы, молекулы, клетки (например молекулы ДНК, которые хранят генетическую информацию); − бумажный – информация представлена на бумаге (тексты, изображения, перфолента – бумага с пробитыми по определенному правилу отверстиями, несущими закодированный текст) или на плотной бумаге – картоне (перфокарта); 48

магнитный – информация представлена на магнитных материалах (магнитные ленты и диски); − фотографический – информация представлена на фотопленке, кинопленке, фотопластине, как фотоотпечаток, микроноситель, на котором хранится графическая информация; − машинный – информация представлена на микросхемах памяти, магнитных и лазерных дисках, на которых хранятся программы и данные в вычислительных системах, и так далее. По доступности восприятия информации: − визуальный, воспринимаемый органами зрения в виде видимых образов и символов, в котором выделяются: вербальный (текст текст,, речь), графический (схемы, графики), символический (знаки, формулы) и предметно-образный (макеты, вещественные модели, фильмы и др.); − физический машинный (машинно-ориентированный), воспринимаемый средствами вычислительной техники и основанный на изменении состояния физической среды как элемента информационной составляющей в носителе информации, среди которых выделяются: магнитный – физическая среда представлена магнитной лентой, диском, барабаном и т.д. (например звуковая запись); электронный – физическая среда представлена электронными элементами или устройствами (например состояние транзистора, диода, триггера). Также необходимо указать, что кроме рассмотренных носителей информации, классифицированных по форме представления данных на основе информационных технологий обработки информации техническими средствами, ранее применялись и механические формы представления данных. Таким образом, способ представления информации зависит от многих критериев, указывающих на то, что одна и та же информация может быть представлена различными способами, в зависимости от цели, которая была поста влена для представления информации. Так, музыку музыку,, наигранную на музыкальных инструментах, можно представить звуковой информацией, способом записи на звуковых физических носителях (магнитные ленты, диски), а также на бумаге в письменной знаковой форме способом представления записи −

49

музыки специальными символами – нотами, как визуальная символическая форма. Образы как информация, на веянные, например мелодией, поэт может воплотить в виде стихотворе ния, которое может быть представлено в вербальной форме – устная словесная речь или письменный текст – в виде символов (букв), обозначающих лексемы языка. Хореограф, выражающий в танце события, чувства, эмоции в деталях танца как информацию, также может детали танца представить письменным способом при записи «хореографической партитуры» в форме графических символов деталей танцев, или визуально на видео, как фильм. Ху дожник, создающий художественное полотно, представляет его содержание в графической форме изобразительным способом как информацию картины реального мира, которую также можно представить другим изобразительным способом в виде фотографии. Аналогично можно рассмотреть подобные примеры, с которыми приходится сталкиваться при решении задач по математике, физике, химии и т.д., когда решение как информацию можно представить в разных формах и разными способами. Например решение за дачи: «Найти значение математического выражения у = 5х + 3, при х = ‒3; ‒2; ‒1; 0; 1; 2; 3» – можно представить в табличной форме, представив информацию знаковым письменным способом в виде символов (цифр и букв), или в графической (изобразительной) форме, т.е. способом представления информации графиком. При этом, используется зу ется визуальный способ пред ставления информации числами, таблицей, рисунком. В соответствии с этим, можно сделать вывод, что чертежи и музыкальные произведения, книги и картины, спектакли и кинофильмы – все это формы представления информации (рассказ, рисунок, статья и т.д.). При этом различными являются лишь способы представления, а сама информация остается неизменной. Различные способы представления информации позволяют описывать объективную действительность необходимыми для той или иной ситуации определенными средствами на разных носителях информации и в разных формах. Форма представления информации очень важна: если человек плохо слышит слышит,, то ему информация в звуковой форме непонятна, а если плохо видит видит,, то непонятной будет визуальная информация, и т.д. 50

В разные времена люди использовали разные формы представления информации, выбор которых зависит от цели, ради которой это осуществляется. Представление информации в определенной форме позволяет решить многие задачи, в том числе сокращение объема записи, шифрование, удобство обработки и восприятия и др. Формы представления информации могут быть различны в зависимости от способов и видов представления информации, а также носителей информации. Используя Использу я различные материальные объекты, информация хранится, передается и обрабатывается в символьной (знаковой) форме. Одна и та же информация, в зависимости от материального объекта как носителя информации может быть представлена в различной форме: − знаковой письменной символьной (текст текст,, знаки, числа, формулы, специальные символы); − знаковой письменной графической (схемы, графики, изображения – рисунки); − табличной (таблицы, диаграммы, криптограммы и др.); − в виде жестов или сигналов; − в устной (вербальной) словесной форме (текст текст,, речь, звуковая). Информация, в какой бы форме ни была предоставлена, является некоторым отражением реального или вымышленного мира и становится доступной, т.е. понятной, если представлена знаковым способом, т.е. в знаковой системе, которая понятна тем, для кого предназначена эта информация. Одним из главных достижений человечества стало создание письменности, когда окружающий мир стали описывать с помощью символов и знаков, что и положило начало созданию знаковых систем представления информации. Каждая знаковая система строится на основе определенного алфавита, который является основой языка, и правил выполнения операций над знаками в алфавите. Язык – определенная знаковая система представления информации, а общение на языках – это процесс передачи информации в знаковой форме. Человеческая речь и письменность тесно связаны с понятием «язык». Конечно, имеется в виду не орган речи, а способ общения между людьми. 51

В процессе развития человеческого общества люди выработали большое число языков, среди которых можно выделить: − разговорные языки (в настоящее время в мире их насчитывают более 2000); − язык мимики и жестов; − язык чертежей, рисунков, схем; − язык науки (математики, химии, физики, информатики и т.д.); искусства сства (живописи, музыки, скульптуры, архитектуры − язык иску и т.д.); − специальные языки (азбука Брайля для слепых, азбука Морзе, эсперанто, морской семафор и т.д.); − алгоритмические языки (блок-схемы, языки программирова ния). Существует Существу ет также язык глухонемых, где символы языка – определенные знаки, выражаемые мимикой лица и движениями рук. Таким образом, можно утверждать, что независимо от формы и способа представления информации, она всегда передается с помощью какого-либо языка. Среди них язык жестов и мимики, язык рисунков и чертежей, язык музыки и язык математики, разговорный язык, алгоритмический язык и т.д. Язык, как знаковая система, использу используется ется для целей коммуникации и познания. Основой любого языка является алфавит – набор однозначно оп ределенных знаков (символов), которые человек различает по их начертанию и из которых можно составлять слова и фразы данного языка. В языках в качестве знаков могут использоваться не только буквы и цифры, а и другие символы, например химические формулы, ноты, изображения элементов электрических или логических схем, дорожные знаки, точки и тире (азбука Морзе) и др. При этом знаки могут иметь различную физическую природу природу,, например для представления информации с использованием языка в письменной форме используются знаки, которые являются изображениями на бумаге или других носителях, в устной речи в качестве знаков языка используются различные звуки (фонемы), а при 52

обработке текста цифровыми устройствами знаки представляются в форме последовательностей электрических импульсов (кодов). Последовательности символов алфавита в соответствии с правилами грамматики образуют основные объекты языка – слова. Правила, согласно которым образуются предложения из слов данного языка, называются синтаксисом. Язык характеризу характеризуется: ется: − набором используемых используемых знаков (полное число символов алфавита принято называть мощностью алфавита); − правилами образования из этих знаков таких языковых конструкций, как «слова», «фразы» и «тексты» (в широком толковании этих понятий); − набором синтаксических, семантических и прагматических правил использования этих языковых конструкций. Таким образом, можно сделать вывод о том, что с помощью языка знаков, жестов, сигналов можно создать сообщение в одной из форм представления информации. Все языки можно разделить на естественные (разговорные) и формальные (иску искусственные). сственные). Естественными называются «обычные», «разговорные» языки, которые складываются стихийно и в течение долгого времени. История каждого такого языка неотделима от истории народа, владеющего им, т.е. имеют на циональный характер. В некоторых случаях разговорную (устную) речь могут заменить язык мимики и жестов, язык специальных знаков (например дорожных); В естественных языках грамматика и синтаксис формулируются с помощью большого количества правил, из которых существуют исключения. Естественный язык, имеющий устную и письменную формы и предназначенный, прежде всего, для повседневного общения и обмена информацией с другими людьми, имеет целый ряд своеобразных черт черт,, которые характеризуют неоднозначность определенности их словаря, правил образования выражений и правил придания им значений. В связи с этим, в естественных языках слова могут иметь не одно, а несколько значений, неточное и неясное содержание, распространены синонимы слов (разное звучание – одинаковый 53

смысл) и омонимы (одинаковое звучание – разный смысл), одни и те же предметы могут иметь несколько названий, и т.д. В таких языках и правила образования выражений и придания им значений допускают допу скают различные варианты их использования, что указывает на не строгое формулирование правил. Однако в настоящее время создаются иску искусственные сственные языки, в которых, в отличие от естественных, словарь, правила образования выражений и правила придания им значений имеют однозначную определенность, т.е. обладают набором определенных правил, которые строго сформулированны (формализованны). Такие языки применяются для специальных целей либо для определенных групп людей: язык математики, морской семафор, язык алгебры логики, язык программирования, и их называют формализованными или формальными, языками. Таким образом, кроме разговорных (естественных) языков, существуют и формальные языки – это языки, как правило, какойнибудь профессии или области знаний. В основе формального языка также лежит алфавит алфавит.. Формальные языки характеризуются точными правилами построения выражений и их понимания, и строятся в соответствии с четкими правилами, обеспечивая непротиворечивое, точное и компактное отображение свойств и отношений изучаемой предметной области (моделиру моделируемых емых объектов). В соответствие с этим можно сделать вывод, что основное отличие формальных языков от естественных состоит в наличии строгих правил грамматики и синтаксиса. Формальные языки – специальные языки для различных областей человеческой деятельности, которые характеризуются жестко зафиксированным алфавитом, более строгими правилами грамматики и синтаксиса. Это язык музыки (ноты), язык математики (цифры, математические знаки), системы счисления, языки программирования и т.д. Например математическую символику можно назвать формальным языком математики, нотную грамоту – формальным языком музыки, а системы счисления – формальные языки, имеющие алфавит (цифры) и позволяющие не только именовать и записывать объекты (числа), но и выполнять над ними арифметические операции по строго определенным правилам. 54

На уроках математики использу используется ется специальный язык, в основе которого – цифры, знаки арифметических действий и отношений, которые составляют алфавит языка математики. На уроках физики, химии при рассмотрении какого-либо физического явления используются характерные для данного языка специальные символы, из которых составляются формулы, которые являются словами на языке физики, химии и др. В электротехнике также использу используете ете определенные символы, знаки, объединенные в «слова» данного языка. Формальные языки широко применяются в на науке уке и технике. В процессе на научного учного исследования и практической деятельности формальные языки обычно используются в тесной взаимосвязи с естественным языком, поскольку последний обладает гораздо большими выразительными возможностями. В то же время формальный язык является средством более точного представления знаний, чем естественный язык, а следовательно, средством более точного и объективного обмена информацией между людьми. Формальные языки часто конструируются на базе языка математики. Веком бурного развития различных видов формальных языков можно считать ХХ век. С точки зрения информационных технологий среди формальных языков наиболее значительную роль играют формальный язык логики (язык алгебры логики) и языки программирования. Таким образом, можно сделать вывод о том, что человек сохраняет (представляет) информацию или обменивается ею с другими людьми на естественных и формальных языках, в графической форме: − текст на естественном языке в устной или письменной форме; − символы формального языка: числа, математические формулы, ноты, химические формулы, дорожные знаки и пр.; − графическая форма: рисунки, схемы, чертежи, карты, графики, диаг ди агра рамм ммы. ы. Информация, представленная с помощью естественных и формальных языков, а также информация в форме зрительных и звуковых образов, хранится в памяти человека. Однако для долговременного хранения информации, ее накопления и передачи из поколения в поколение используются носители информации. Самым распространенным носителем информации до недавнего времени была бумага, но время идет идет,, и качество бумажных носите55

лей перестало устраивать современное общество (малая емкость, расход древесины, сложность перезаписи и т.д.), озабоченное все возрастающим количеством информации, которое нужно сохранять и передать потомкам, и то, что хорошо для человека – не подходит для работы информационных автоматизированных систем обработки информации. При изобретении первых информационных систем и устройств, решающих самые разнообразные задачи, человеку пришлось искать новые, совершенно отличные от традиционных, способы передачи, записи и хранения информации. Как уже известно, информация о состоянии объекта или среды в информационной системе фиксируется в определенной форме в виде сообщения, которое может иметь самое различное содержание, но независимо от этого всегда представляется в виде сигналов, которые по природе физического процесса подразделяются на электромагнитные, в частности электрические (телефония, радио, телевидение, мобильная связь), звуковые (общение людей), световые, механические, пневматические, гидравлические и др. Сигнал – это изменение некоторой физической величины, т.е. физический процесс (например изменяющиеся во времени токи и напряже ния), который характеризиру характеризируется ется определенными параметрами и содержит в себе некоторую информацию. Любой сигнал можно описать математической функцией. Информация может представляться (отражаться) значением одного или нескольких параметров физического процесса (сигнала) либо комбинацией нескольких параметров физического сигнала, отражающих процесс. Если сигнал представлен несколькими параметрами, то одни из них информативные (несущие информацию), а другие – неинформативные (не несущие информацию) параметры. Например если информацию несет амплитуда гармонического сигнала, то частота и фаза этого сигнала будут неинформативными, а амплитуда – информативный параметр. В соответствии с тем, что зарегистрированные сигналы являются данными, для их регистрации с целью хранения и передачи необходим некоторый язык. Этот язык должен быть понятен как отправителю информации, так и ее получателю. Однако данные не тождественны информации, и для получения информации необходимо произвести 56

обработку данных, использу используя я известные способы представления информации для доступности и понимания, т.е. информация от полученных данных существу существует ет только в момент взаимодействия данных и адекватных им методов их обработки. В остальное время информация содержится в виде данных. Таким образом, во-первых, не существу существует ет информации самой по себе как некоторой самостоятельной сущности без ее носителя в виде некоторых материальных процессов, во-вторых, не существует информации безотносительно к субъекту субъекту,, способному извлекать ее из полученного сообщения. Из одних и тех же данных разные получатели могут извлечь разную информацию в зависимости от адекватности методов их обработки. В повседневной практике такие понятия, как информация и данные, часто рассматриваются как синонимы, но на самом деле между ними имеются различия. Данными называется информация, представленная в удобной для обработки форме. Форма данных – способ существования содержания информации. Данные могут быть представлены в форме (в виде) текста, числовых значений, графики, аудиовизуального (звуковая и видеоинформация) ряда, перфораций. Из этого следует следует,, что сообщение отображается некоторыми исходными сигналами любого вида и по содержанию зависит от исходных сигналов как данных, представленных в одной из форм и содержащих определенную информацию. В информационной системе все исходные сигналы, поступающие от объекта, можно разделить по стабильности физической величины во времени на два вида: − сигналы статические, которые отображают устойчивые устойчивые состояния некоторых объектов и могут быть представлены, например в виде определенного положения элемента, системы, текста в документе, определенного состояния электронного устройства и т.д.; − сигналы динамические, для которых характерно быстрое изменение во времени, отображающее, например изменения электрических параметров системы. Динамические и статические сигналы имеют свои области использования. Статические сигналы занимают существенное место при подготовке, регистрации и хранении информации. Динамиче57

ские сигналы используются в основном для передачи информации. Однако заметим, что это не всегда является обязательным. По характеру изменения сигналов во времени различают сигналы, отражающие физический процесс, – непрерывные и дискретные. Непрерывный сигнал отображается некоторой непрерывной функцией и физически представляет собой непрерывно изменяющиеся значения колебаний по амплитуде и во времени. Дискретный (прерывный) сигнал характеризу характеризуется ется конечным множеством значений и в зависимости от исходного состояния принимает значения, связанные с определенным состоянием системы, т.е. сигнал, который может принимать лишь конечное число значений в конечном числе моментов времени. Непрерывный сигнал (непрерывная величина) ассоцииру ассоциируется, ется, как правило, с графиком функции, а дискретная – с таблицей ее значений. В соответствии с тем, что информация фиксиру фиксируется ется в форме сообщения, представленного каким-либо сигналом как носителем информации, информацию так же, как и сигнал, можно разделить на четыре вида: − по стабильности физической величины во времени – статическая и динамическая информация; − по характеру изменения физической величины во времени – непрерывная и дискретная информация. Для запоминания информации исходные данные должны быть заданы в виде изменения физических, химических или механических свойств запоминающей среды или материального объекта, основанного на эффекте, обеспечивающем приведение запоминающей среды или материального объекта к двум или более устойчивым состояниям. В качестве некоторых примеров изменения свойств запоминающей среды или материального объекта можно привести: поворот или перемещение регулятора переменного резистора, намагничивание материала в виде магнитной ленты или диска, освещенность поверхности экрана (дисплея) при отображении символов, освещенность отверстий в перфолентах или перфокартах при вводе или выводе информации с помощью фотодатчиков. На первоначальном этапе, когда человечество не умело использовать электрические и магнитные явления, наиболее доступной, 58

а следовательно, и удобной была механическая форма представления информации для автоматизации процессов запоминания и обработки информации. В качестве примера можно рассмотреть механическое устройство – арифмометр. В 1820 г. француз Шарль Ксавье Томас де Кольмар (1785–1870 гг.) создал арифмометр, первый массово производимый калькулятор, который позволял производить умножение, используя принцип Лейбница, мог использоватья при делении чисел. Это была самая надежная машина в те времена, которая не зря занимала место на столах счетоводов не только Западной Европы. Арифмометр также поставил мировой рекорд по продолжительности продаж: последняя модель была продана в начале ХХ в. Память в арифмометре была построена на основе штифтов как механических источников сигнала, запоминающих правило переполнения в разрядной сетке при суммировании, т.е. с помощью штифтов осуществлялся перенос переполнения в разрядах при суммировании. Штифты (стержни) устанавливались на колесах, на которых по ободу были нанесены цифры от 0 до 9, т.е. каждое колесо хранит одноразрядное число. В исходном состоянии колес на них была видна только цифра 0, что соответству соответствует ет хранению нуля. При добавлении единицы младшее колесо поворачивается на одно деление, и видна следующая цифра, указывающая количество, что соответствует суммированию единицы. Когда младшее колесо сделает 10 поворотов по 36°, т.е. младшее колесо совершит полный оборот на 360° и переходит в исходное положение, что соответствует переполнению, следующее по старшинству колесо штифтом младшего колеса поворачивается на 36°. Поворот старшего колеса соответствует переносу единицы в старший разряд при переполнении в младшем разряде. Однако механические устройства громоздкие, дорогие и достаточно инерционные, что не позволяет построить универсальные и быстродействующие устройства обработки и хранения информации. Поэтому во всех современных устройствах обработки и хранения информации в качестве основных видов представления информации служат электрические сигналы (чаще всего – напряжение постоянного тока), но могут применяться магнитные, электромагнитные и оптические виды представления информации. Для передачи электрических сигналов необходимы лишь провода, и эти сигналы легко преобразовать с помощью электрических схем. 59

При использовании в качестве носителя информации постоянного напряжения возможны две формы представления числового значения какой-либо информации: – в виде одного сигнала – постоянного напряжения, которое сравнимо с какой-либо аналогичной для нее величиной. Например при величине информации А= А=1845 1845 единиц на устройство обработки и хранения информации можно подать напряжение 1,845 В, аналогичное величине информации А= А=1845 1845 единиц, представленное в масштабе 0,001 В/ед., или подать напряжение 9,225 В, аналогичное величине информации А= А=1845 1845 единиц, но представленное в масштабе 0,002 В/ед.; – в виде нескольких сигналов – нескольких напряжений постоянного тока, которые, например сравнимы с числом единиц, числом десятков, числом сотен и т.д. в заданном сигнале. Представление информации в виде одного сигнала в соответствующем масштабе называют аналоговой или непрерывной формой представления информации, т.е. в виде аналога сигнала по отношению к исходному значению информации, представленного в определенном масштабе беспрерывным сигналом. Таким образом, непрерывная (аналоговая) информация – функция x(t), которая может принимать любые вещественные значения в диапазоне изменения времени, как аргумента t. Величины информации, представленные в аналоговой форме, могут принимать любые значения в каком-то диапазоне и могут быть, в принципе, различимы. Количество значений, которые может принимать такая величина, бесконечно велико. Их бесконечно много даже в случае, когда величина информации изменяется в ограниченно малом диапазоне, например 0÷200 или 0÷0,001. Отсюда название – непрерывная величина и непрерывная информация. Слово непрерывность отчетливо выделяет основное свойство таких величин – отсутствие разрывов, т.е. промежутков между значениями, которые может принимать данная аналоговая величина. На основании вышеизложенного, можно дать определение понятия непрерывного – аналогового сигнала как непрерывной аналоговой формы представления информации. Непрерывный (аналоговый) сигнал, представленный функцией x(t), – это сигнал, амплитудные значения которого принимают лю60

бые значения в неограниченном диапазоне времени действия сигнала, т.е. время действия сигнала значительно больше времени его исследования – наблюдения за сигналом. Представление информации в виде нескольких сигналов называют дискретной или цифровой формой представления информации, т.е. в виде набора напряжений, каждое из которых соответству соответствует ет одной из цифр представленной величины информации. При таком способе представления информации, информационная величина может принимать не все возможные значения, а лишь вполне определенные – зафиксированные значения непрерывно изменяющейся величины, которые называются дискретными или прерывистыми, т.е. сигнал принимает конечное фиксированное количество значений, определяющих информацию. Таким образом, дискретная информация – функция x(t), которая может принимать набор фиксированных дискретных значений в заданные моменты времени. В соответствии с этим, можно сделать вывод о том, что дискретные сигналы – это зафиксированные величины непрерывного аналогового сигнала в определенных точках действия. В отличие от непрерывной величины, количество фиксированных значений дискретных величин всегда конечно. На основе этого можно дать определение понятия дискретного сигнала как дискретной формы представления информации. Дискретный (цифровой) сигнал, представленный функцией x(t), – это сигнал, амплитудные значения которого принимают фиксированные значения в заданные моменты или промежутки времени действия сигнала, т.е. время действия сигнала значительно меньше времени его исследования – наблюдения за сигналом. Таким образом, на современном этапе развития информационной технологии существуют две формы представления информации по виду сигнала – непрерывная (аналоговая) и дискретная (цифровая). В аналоговой форме величина информации представляется в виде одного сигнала, пропорционального величине информации, а при цифровой – в виде нескольких сигналов, каждый из которых соответствует соответству ет одной из цифр заданной величины информации. Видимо, чтобы не запутаться совсем, надо принять правило, что в тех случаях, когда рассматриваемая величина имеет настолько 61

большое количество значений во времени, что мы не в состоянии их различить (мгновенно фиксировать), то практически ее можно считать непрерывной. Слово «непрерывность» отчетливо выделяет основное свойство таких величин – отсутствие разрывов, промежутков между значениями, которые может принимать величина. Масса тела – непрерывная величина, принимающая любые значения от 0 до бесконечности. То же самое можно сказать о многих других физических величинах – расстоянии между точками, площади фигур, напряжении электрического тока. В качестве аналоговой (непрерывной) информации могут использоваться различные физические величины, принимающие различные значения на некотором интервале, например электрический ток, радиоволна и т.д. Примером непрерывного аналогового сообщения (информации) являются: аналоговый электрический сигнал, снимаемый с термопары, несущий информацию об изменении температуры, сигнал с микрофона с информацией об изменениях давления в звуковой волне, человеческая речь, передаваемая модулированной звуковой волной, в которой параметром сигнала в этом случае является давление, создаваемое этой волной в точке нахождения приемника – человеческого уха, и т.п. Также примером изображения непрерывной информации являются известные нам из курса математики графики непрерывных функций, выражающие аналоговую информацию. Например графики параболической и сину синусоидальной соидальной функции являются графиками непрерывной аналоговой функции. Также к аналоговой информации можно отнести и вольт-амперные характеристики, которые являются непрерывными функциями, аналогичными графикам математических непрерывных функций, но отображают процессы в электрической цепи. Аналоговая информация характеризу характеризуется ется плавным и непрерывным изменением ее параметров, как правило, амплитудных значений. На рис. 2.2 показано графическое изображение аналогового сигнала на примере графика непрерывной функции U=φ(t), отражающей зависимость напряжения от времени. Кроме непрерывных существуют иные величины, например количество людей в комнате, количество электронов в атоме и т.д. Такого рода величины могут принимать только целые значения, на62

U, В +4 +3 +2 +1 0 –1

1

2

3

4

5

6

7

t, c

–2 –3

Р ис. 2 .2. Гр Граф афи и че ческ ски и е и зо зоб б ра раж ж ен ени и я а на налог логов овог ого о си сигг на нала ла н а п ри ример мере е граф ик ико ов непр епрер ерывн ывно ой функ ции U=φ(t)

пример 0, 1, 2, ..., и не могут иметь дробных значений. Величины, принимающие не всевозможные, а лишь вполне определенные значения, называют дискретными. Для дискретной величины характерно, что все ее значения можно пронумеровать целыми числами 0, 1, 2, ..., т.е. принимать цифровые значения. Примерами дискретных величин могут быть геометрические фигуры (треугольник, квадрат квадрат,, окружность), процесс чтения книги, в которой информация представлена текстом, т.е. дискретной последовательностью отдельных значков – буквы алфавита, цвета радуги и т.д. Можно утверждать, что различие между двумя формами представления информации обу обусловлено словлено принципиальным различием природы величин. В то же время непрерывная и дискретная информация часто используются совместно для представления сведений об объектах и явлениях. Рассмотрим это на примере. В утверждении «Эта фигура является окружностью с радиу радиусом сом 8,25», слово «окружность» – дискретная информация, выделяющая определенную геометрическую фигуру из всего разнообразия фигур, а значение «8,25» – непрерывная (ана63

логовая) информация о радиу радиусе се окружности, который может принимать бесчисленное множество значений. Согласно строгому определению математического словаря, «дискретность» (от лат лат.. discretus – разделенный, прерывистый) – прерывность, что противопоставляется непрерывности. Например дискретное изменение какой-либо величины во времени – это изменение, происходящее через определенные промежутки времени (скачками). Таким образом, система целых чисел (в противоположность системе действительных чисел) является дискретной. Заметим, что в определении дискретности указано на связь дискретности с системой целых чисел, и это можно считать подтверждением положения о том, что дискретные значения можно пронумеровать. В резуль результате тате этих рассуждений можно сделать вывод о том, что дискретность – это случай, когда объект или явление имеет конечное (счетное) число разнообразий. Чтобы выделить конкретное из всего возможного, нужно каждому конкретному дать оригинальное имя (иначе, перечислить). Эти имена и будут нести в себе информацию об объектах, явлениях и т.п., а в качестве имен часто используют целые числа 0, 1, 2,.. Для большей наглядности дополним определение дискретности рядом примеров. Например именуются (нумеруются) страницы книги, дома вдоль улицы, риски на шкалах измерительных приборов. С помощью чисел можно перенумеровать все «разнообразия» реального мира. Дискретными являются показания цифровых измерительных приборов, например воль вольтметра тметра (сравните со «старыми», стрелочными приборами, в которых показание в виде аналогового сигнала). Очевидным (в самом изначальном смысле этого слова) образом дискретности является распечатка матричного принтера, а линия, проводимая графопостроителем, напротив, является непрерывной. Дискретным является растровый способ представления изображений, тогда как векторная графика по своей сути непрерывна. Дискретна таблица значений функции, но когда мы наносим точки из нее на миллиметровую бумагу и соединяем плавной линией, получается непрерывный график. Механический переключатель диапазонов в приемниках был сконструирован так, чтобы он принимал только фиксированные положения, а вот регулятор громкости 64

вращался плавно, т.е. непрерывно (возможно, не самый наглядный пример, т.к. сейчас, наверное, некоторые люди уже с трудом представляют себе иные регулировки, кроме цифровых). Таким образом, дискретная информация базиру базируется ется на ряде фиксированных уровней представления заданных параметров, взятых в определенных промежутках (точках) непрерывной аналоговой функции. Если этих точек фиксации уровней много, можно говорить о цифровом представлении информации, т.е. когда в определенные дискретные моменты, или точки фиксации, уровни принимают конкретные дискретные значения. Все приведенные выше рассуждения имеют непосредственное отношение к представлению и обработке информации в соответствии с тем, что существуют две формы представления информации – аналоговая и цифровая формы, каждая из которых по-разному представляет информацию. В этом случае, когда существуют две формы информации, создается сложность в использовании информации вычислительными системами с автоматизированными способами ее обработки. В первой половине ХХ в. при регистрации и обработке информации использовались, в основном, измерительные приборы и устройства аналогового типа, работающие в реальном масштабе времени, при этом даже для величин, дискретных в силу своей природы, применялось преобразование дискретных сигналов в аналоговые. Положение изменилось с распространением микропроцессорной техники и вычислительных систем. Дискретное представление информации оказалось более совершенным и точным, более универсальным, многофункциональным и гибким. Простота и объем обрабатываемой дискретной (цифровой) информации настолько преобладают над аналоговой, что преобразование аналоговых по природе сигналов в дискретную (цифровую) форму стало производственным стандартом, т.е. необходимостью. Именно такая цифровая – нумерованная форма представления информации использу используется ется в современной вычислительной технике. Преобразование любого аналогового сигнала, т.е. естественной формы представления информации, в дискретную цифровую форму выполняется за три основных операции: дискретизацию, квантование и оцифровку с кодированием. 65

Таким образом, для того чтобы сообщение было передано от источника к получателю, необходима некоторая материальная субстанция – носитель информации. Сообщение, передаваемое с помощью носителя информации, есть сигнал. В общем случае сигнал – это изменяющийся во времени физический процесс. Такой процесс может содержать различные характеристики (например при передаче электрических сигналов может изменяться напряжение и сила тока), но только характеристика, которая использу используется ется для представления сообщения, называется характеристикой параметров сигнала. В случае, когда параметр сигнала принимает последовательное во времени конечное число значений, и при этом все они могут быть пронумерованы, сигнал называется дискретным, а сообщение, передаваемое с помощью таких сигналов, – дискретным сообщением. Информация, передаваемая источником в этом случае, также называется дискретной. Если же источник вырабатывает непрерывное сообщение (соответственно, параметр сигнала – непрерывная функция от времени), то соответствующая информация называется непрерывной. К дискретной форме представления информации относятся текстовая и числовая формы физического представления информации, в которых отдельным знаком или совокупностью знаков, каждый из которых имеет смысл отдельного элементарного сведения, представлены буквы и символы алфавита, цифры и математические знаки – сложения, умножения, извлечение корня, вычисление логарифма и пр. Буквы и символы алфавита – это дискретные величины, образующие набор букв и символов, необходимый для представления текста. Такой набор вполне можно назвать алфавитом, а в алфавите все символы имеют свои фиксированные – дискретные позиции. Аналогично и для формальных языков, в основу которых также положены дискретные величины – цифры и математические знаки, составляющие так называемый математический (числовой) алфавит алфавит.. Таким образом, все сигналы, несущие текстовую, символическую и числовую информацию, дискретны. К аналоговой форме представления информации относятся графическая и звуковая формы физического представления информации, в которых информация представлена какой-либо непрерыв66

ной, как по аргументу аргументу,, так и по значениям, физической величиной (током, давлением, напряженностью электромагнитного поля, оттенками, яркостью и глубиной цвета, интенсивностью светового потока, тембром звука и т.д.). Также к аналоговой форме, как разновидность графической формы физического представления информации, относится и видеоинформация. Однако необходимо отметить то, что графическая информация может быть в некоторых случаях представлена и в дискретной форме, что зависит от источника информации. Так, например живописное полотно художника, цвета в котором изменяются непрерывно, не имея четких границ, представлено в аналоговой форме, а изображение этого живописного полотна, полученного при печати на струйном принтере, – дискретное, т.к. состоит из отдельных точек разного цвета. По своей природе звук также является непрерывным сигналом, а из курса физики известно, что звук – это колебания воздуха. Если преобразовать звук в электрический сигнал (например с помощью микрофона), то будет видно плавное изменение напряжения с течением времени, аналогичное изменению силы (громкости) звука. Исходя из физических форм представления информации, можно сделать вывод о том, что для перехода к дискретной цифровой форме представления информации требу требуется ется дискретизация только для графической и звуковой информации, т.к. только эти виды в основном представляются в аналоговой форме. Работа по дискретизации текстовой и числовой информации выполнена задолго до создания цифровых устройств обработки информации, задача которых оказалась относительно проста – поставить в соответствие каждой букве, символу символу,, знаку и числу цифровое значение. Это можно объяснить тем, что уже существуют готовые алфавиты, хотя бы и не совсем оптимальные с точки зрения удобства представления информации для перевода в дискретную цифровую форму форму.. В случае с алфавитом какого бы то ни было языка, задача упрощена тем, что к моменту перевода в дискретную цифровую форму элементов алфавитов программисты уже располагали конечным количеством элементов алфавита, и осталось только их пересчитать и определить, какое цифровое значение присвоить каждому дискретному элементу алфавита. 67

Вопросы и задания для самоконтроля 1. В чем физический смысл представления информации? 2. Назовите основные характеристики информации. 3. Перечислите способы представления информации. 4. Каковы основные виды носителей информации? 5. Дайте классификацию носителей информации с точки зрения информационных технологий обработки информации. 6. Дайте классификацию способов представления информации. 7. Какие существуют формы представления информации? 8. Что значит язык как знаковая система представления информации? 9. Дайте понятие о естественном и формальном языке как формы представления информации. 10. Дайте понятие о сигнале как одной из форм представления информации. 11. Каковы виды сигналов по стабильности физической величины во времени? 12. Дайте понятие о динамических и статических сигналах. 13. Дайте понятие о непрерывном и дискретном сигнале.

Глава 3. ИНФОРМАЦИОННЫЕ ОСНОВЫ ЦИФРОВОЙ ИНФОРМАЦИИ

3.1 3. 1. Общ Общие ие сведен сведения ия о сист системах емах счис счислени ления я Рассмотрев способы, виды и формы представления информации, отмечаем, что только дискретная цифровая форма представления информации, выраженная через числовые значения, является самой точной формой отображения информации. Такой вывод следу следует ет из того, что с числовой информацией можно проводить математические операции, позволяющие выполнять не только арифметические действия, но и логические сопоставления информации, определяя через числовые значения параметры информации. В соответствии с тем, что числовая форма представления информации позволяет отражать и количественное значение информационных данных, числа, с которыми в процессе обработки информации оперируют цифровые устройства, должны быть представлены в некоторой системе счисления. Таким образом, создание систем счисления преследовало основную цель – выработку наиболее удобного способа записи количественной информации, при этом любая система счисления, предназначенная для практического использования, должна обеспечивать: − возможность представления числа в заданном диапазоне чисел; − однозначность представления; − краткость и простоту записи чисел; − легкость овладения системой, а также простоту и удобство оперирования ею. Система счисления (от англ. numeral system или system of numeration) – символический метод, способ или совокупность приемов и правил наименования и изображения (записи обозначения) чи69

сел с помощью заданного набора специальных письменных знаковсимволов, имеющих определенные количественные значения. Таким образом, совокупность приемов как способ обозначения чисел – язык, алфавитом которого являются символы (цифры), а совокупность правил – синтаксис, позволяющий сформулировать запись чисел однозначно. В качестве символов в системах счисления используют определенный набор – алфавит знаков, цифр и букв, последовательное сочетание которых образу образует ет число. Число – основное понятие математики, используемое для количественной характеристики, сравнения, нумерации объектов и их частей. Набор отличных друг от друга символов, используемых для записи чисел в одной из систем счисления, составляет основу алфавита математического формального языка данной системы счисления. Знаки, цифры и буквы алфавита, которые используются для записи чисел в некоторой системе счисления, принято называть цифрами, которым однозначно сопоставляется их количественное значение. Количественное значение цифры (символа) – количество, выраженное цифрой (символом) в количественном эквиваленте, сопоставимым с числовым значением цифры (символа), принятым в данной системе счисления. Набор цифр, последовательное сочетание которых образу образует ет число в некоторых системах счисления, часто называют кодом числа. Количественное или числовое значение чисел – количество, выраженное набором цифр (символов) в количественном эквиваленте, сопоставимом с весовыми числовыми значениями (весовым соотношением) цифр (символов) для определения числового значения числа, и определяется индивидуально, в зависимости от системы счисления. Весовое числовое значение (весовое соотношение, коэффициент или вес) символа – часть количественного значения числа или доля (вклад), который символ вносит в числовое (количественное) значение числа. В соответствии с этим, применение системы счисления для отображения информации дает возможность представить множество чисел (целых и/или вещественных) и для каждого из чисел дает уни70

кальное представление (или по крайней мере стандартное представление), а также позволяет отображать алгебраическую и арифметическую структуру чисел. Системы счисления в зависимости от способа изображения чисел, определяющего количественные значения символа в изображении числа, подразделяются на: − позиционные (от англ. positional system system,, place-value notation notation); ); − непозиционные; − смешанные. Непозиционная система счисления – это система, в которой количественное значение символа не зависит от его места (позиции) в числе, т.е. количественное значение символа (весовое соотношение, или вес символа) не изменяется при изменении места символа в записи числа и равно числовому значению, выраженному в числовом эквиваленте символа. Непозиционные системы счисления могут иметь алфавит алфавит,, который содержит неограниченное количество символов, причем количественный эквивалент любой цифры постоянен и зависит только от ее начертания. Примеры непозиционных систем счисления – римская, старая и новая греческая, славянская. В качестве классического канонического примера «чистой» и фактически самой распространенной из непозиционных систем является римская система записи чисел, в которой в качестве цифр используются семь латинских букв, имеющих количественное значение: I обозначает 1, V – 5, X – 10, L – 50, C – 100, D – 500, M – 1000. Натуральные целые числа записываются при помощи повторения этих цифр. Например в числе ХХХII (тридцать два) цифра Х встречается три раза, и в каждом случае обозначает одно и то же количественное значение, равное 10 (десяти), а цифра I встречается в изображении числа два раза, и в каждом случае также обозначает одно и то же количественное значение, равное 1 (один). Для правильной записи больших чисел римскими цифрами в непозиционной системе счисления запись числа производится начиная запись числа тысяч, затем сотен, затем десятков и, наконец, единиц числа, в соответствии с правилами определения числового значения числа: 71

если цифры, имеющие одинаковое количественное значение, расположены рядом, то для определения числового значения числа необходимо суммировать количественные значения цифр, например для числа ХХХ числовое значение определяется как сумма цифр: 10( 10(Х) Х) + 10( 10(Х) Х) + 10( 10(Х) Х) = 30( 30(ХХХ); ХХХ); − если в записи числа цифра, имеющая большее количественное значение (старшая цифра), расположена слева от цифры, имеющей меньшее количественное значение (младшая цифра), то числовое значение числа определяется суммированием количественных значений всех цифр, например для числа ХV цифра Х расположена слева от младшей цифры V; для определения количественного значения числа ХV необходимо суммировать количественные значения цифр Х и V: 10( 10(X) X) + 5( 5(V) V) = 15( 15(ХV) ХV) – принцип сложения; − если в записи числа цифра, имеющая большее количественное значение (старшая цифра), расположена справа от цифры, имеющей меньшее количественное значение (младшая цифра), то числовое значение числа определяется вычитанием из количественного значения старшей цифры количественного значения младшей цифры, например для числа ХС цифра Х расположена слева от старшей цифры С; для определения количественного значения числа ХС необходимо из количественного значения цифры С вычесть количественное значение цифры Х: 100( 100(С) С) ‒ 10(Х) 10( Х) = 90( 90(ХС) ХС) – принцип вычитания, причем в этом случае младшая цифра перед старшей повторяться не может может,, например не может быть записано число XXС. Рассмотрим в качестве примера запись числа 1988, для которого можно выделить: одна тысяча – M (1000), девять сотен – 1000( 1000(М) М) ‒ 100(С) 100( С) = 900( 900(СМ), СМ), восемьдесят – 50( 50(L) L) + 10( 10(Х) Х) + 10( 10(Х) Х) + 10( 10(Х) Х) = 80(LХХХ) 80( LХХХ) и восемь – 5( 5(V) V) + 1( 1(I) I) + 1( 1(I) I) + 1( 1(I) I) = 8( 8(VIII), VIII), а совместная запись групп дает число MCMLXXXVIII в римской системе счисления. Для правильного определения числового значения больших чисел, записанных римскими цифрами в непозиционной системе счисления, необходимо число разделить на группы цифр справа налево по правилам: − в одной группе в записи числа может быть не больше трех повторений цифр M, C, X, I и только по одному разу цифр L, D, V; −

72

в одной группе в записи числа должно быть только одно из двух сочетаний младшего и старшего чисел – старшая цифра справа от младшей или слева от младшей цифры. Например для определения числового значения числа СCVIII, разделяем число на группы с числовыми значениями: VIII – 5( 5(V) V) + 1(I) 1( I) + 1( 1(I) I) + 1( 1(I) I) = 8( 8(VIII) VIII) и СC – 100( 100(С) С) + 100( 100(С) С) = 200( 200(СС), СС), при суммировании которых получаем числовое значение: 8( 8(VIII) VIII) + 200(СС) 200( СС) = 208( 208(СCVIII), СCVIII), или число 1996 будет записано в римской системе счисления как MCMX MCMXCVI. CVI. Основываясь на правилах записи чисел и правилах определения числового значения чисел, записанных в римской непозиционной системе, самое большое число, которое можно записать римской системе счисления, это число 3999 (MMMCMX MMMCMXCIX), CIX), а для записи еще больших чисел пришлось бы вводить дополнительно новые обозначения. Кроме этого, если попытаться выполнить одну из арифметических операций, не переводя числа из римской системы в привычную систему счисления, возникнут сложности. Таким образом, видно, что в непозиционных системах счисления нельзя записать сколь угодно большие числа, а запись и чтение чисел и определение числового значения числа связаны с большими трудностями преобразования и очень громоздки. Также в этих системах нельзя выразить отрицательные и дробные числа, и выполнение математических операций крайне затруднено. Все эти недостатки непозиционных систем ограничивают их применение при представлении числовых данных, применяемых в математическом представлении, а также исключают возможность их использования в вычислительной технике. В основном непозиционные системы счисления используют для наименования дат (год, век), томов, глав и т.д. Наиболее совершенными являются позиционные системы счисления, которые являются резуль результатом татом длительного исторического развития непозиционных систем счисления и были придуманы относительно недавно для того, чтобы сэкономить количество цифр, используемое использу емое для записи чисел, т.е. исключить громоздкость и трудоемкость записи чисел и определение их числового значения, а также создать возможность записывать любые числовые значения. −

73

Позиционная система счисления – это система, в которой количественное значение символа зависит от его места (позиции в последовательности цифр) в числе, т.е. количественное значение символа (весовое соотношение, или вес символа) изменяется при изменении места в записи числа, и равно позиционному числовому значению (весовому эквиваленту) символа. Позиционные системы счисления, в отличие от непозиционных систем, позволяют производить запись любых действительных (вещественных) чисел (от англ. real number – действительное или вещественное число), т.е. положительных и отрицательных чисел, которые могут быть в виде целых чисел, нуля и конечных или бесконечных периодических или непериодических дробей, отражая алгебраическую и арифметическую структуру чисел. Число в любой позиционной системе счисления записывается в общем виде как последовательность цифр. Особо необходимо отметить позиционную форму записи числа, представленного дробью, состоящей из целой части числа, которая стоит до позиционной запятой, и дробной части числа, стоящей после позиционной запятой, т.е. целая и дробная части числа разделяются запятой, которую в англоязычных странах заменяют точкой. В математических рассуждениях о позиционной форме записи действительных (вещественных) чисел как чисел, представляющих дробь, состоящую из целой и дробной части числа, разделенных запятой, допускается название – смешанные позиционные числа (дроби) дроби),, или сокращенно – смешанные числа (дроби). Так же как и в непозиционной системе счисления, запись числа в некоторой позиционной системе счисления называется кодом числа. В отличие от непозиционных систем, алфавит позиционных систем счисления содержит ограниченное количество символов, причем количественное значение каждой цифры (весовое соотношение, или вес символа) в числе определяется не только ее начертанием, но и находится в строгой зависимости от позиции в числе. Рассмотрим основные особенности записи чисел в позиционных системах счисления, позволяющие определенной совокупностью символов алфавита языка данной системы счисления представить число с любым числовым значением. 74

Позиционная форма записи чисел построена на принципе позиционного числового значения цифры, в котором один и тот же символ (цифра или буква) кроме своего числового значения, выраженного через числовой эквивалент символа, получает еще и позиционное числовое значение (весовой эквивалент) в зависимости от занимаемого места (позиции) в форме записи числа. Позиционное числовое значение цифры – весовое соотношение (весовой эквивалент) символа, выраженное через числовой эквивалент символа и номер позиции символа в числе и представленное в десятичной системе счисления. В соответствии с тем, что позиция цифры в числе влияет на количественное значение цифры в числе, позиции необходимо нумеровать, что позволит различать позиции между собой при определении весового коэффициента цифры. Принцип нумерации позиций в числе можно рассмотреть на примере записи любого числа (целого или дроби, положительного или отрицательного) в любой позиционной системе счисления, представленной в общем виде формулой, как последовательность цифр разделенных запятой (точкой), где слева от запятой располагается целая часть числа, а справа – дробная: Aq=±a 1a2... ...a aτ-2 , aτ-1, aτ, где A – число;q – индекс, указывающей вид позиционной системы счисления числа; ai – цифры позиционной системы счисления с номером позиции – i =1,2,3, … τ; τ– общее количество позиций (мест) в изображении числа. Из формулы видно, что нумерация позиций сплошная, т.е. без разделения позиций в целой и дробной части числа, и показана слева направо целыми числами, как номер i =1, 2, 3, …, τ в нижнем индексе цифр, и номер (i) крайней правой позиции соответству соответствует ет количеству позиций в записи числа (τ), т.е.τ i= τ. Положение запятой в формуле взято произвольно, т.к. положение запятой не влияет на нумерацию позиций. Отдельные позиции цифры в числе называются разряда ми ми,, а число разрядов в записи числа называется разрядностью числа и совпадает с его длиной. 75

Таким образом, разряд является «рабочим местом», т.е. позицией цифры в числе, а в соответствии с этим, порядковому номеру разряда должно соответствовать определенное весовое соотношение (весовой коэффициент коэффициент,, вес), выраженное через номер разряда, что также требу требует ет нумерации разрядов. Номер разряда (k) в любой позиционной системе счисления определяется количеством позиций в целой части числа (n) и номером позиции (i) по формуле: k=n–i. Например для числа A q= ±a 1a2a3a4, a5a6a7, в котором общее количество позиций в целой части числа n = 4, определим номера разрядов в каждой позиции: − для цифры1aс номером позиции i =1 k1=n–i=4–1=3; − для цифры2aс номером позиции i =2 k2=n–i=4–2=2; − для цифры3aс номером позиции i =3 k3=n–i=4–3=1; − для цифры4aс номером позиции i =4 k4=n–i=4–4=0; − для цифры5aс номером позиции i =5 k5=n–i=4–5=-1; − для цифры6aс номером позиции i =6 k6=n–i=4–6=-2; − для цифры7aс номером позиции i =7 k7=n–i=4–7= -3. Таким образом видно, что разряды числа целой части числа нумеруются целыми числами 0, 1, 2, 3, и т.д. справа налево, для дробной части числа – слева направо от нулевого разряда (0), называемого младшим разрядом, отрицательными числами –1, –2, –3, и т.д. Старшим разрядом дробной части числа является разряд, нумеру нумеруемый емый как –1 (единица с мину минусом). сом). В соответствии с этим, числу A q= ±a 1a2a3a4,a5a6a7, в котором показана нумерация позиций, соответствует числоq=A ±a 3a2a1a0, a-1a-2a-3 с нумерацией разрядов, из которого видно, что чем дальше располагается разряд от запятой, тем больше его номер. Также видно, что номер самого старшего разряда в целой части числа на единицу меньше количества позиций в целой части числа, а номер самого младшего разряда в дробной части числа равен количеству позиций в дробной части числа и записывается числом со знаком мину минус. с. В соответствии с этим, номер разряда можно определить и через количество позиций в целой (n) и дробной (m) части числа, при условии выполнения равенства τ=n+m, определяющего общее количество позиций в числе. Принцип определения номера разряда основан на том, что номер разряда в целой части числа определяется вычитанием единицы 76

из номера соседнего левого разряда, начиная от старшего, а в дробной части номер разряда определяется суммированием единицы к номеру соседнего правого разряда, начиная от младшего разряда. Например для числа A q=±a 1a2a3a4, a5a6a7, в котором количество позиций в целой n = 4 и дробной m = 3 части числа, определим номера разрядов (k) в каждой позиции (i): n–1=4–1=3 1=4–1=3 (на единицу меньше количе− для цифры1a k1=n– ства позиций в целой части числа – n = 4); 1=(n– n–1)–1=( 1)–1=(n– n–2)=4–2=2 2)=4–2=2 (вычитание − для цифры2a k2=k 1–1=( единицы из номера соседнего левого разряда цифры 1); a 1=(n– n–2)–1=( 2)–1=(n– n–3)=4–3=1 3)=4–3=1 (вычитание − для цифры3a k3=k 2–1=( единицы из номера соседнего левого разряда цифры 2); a 1=(n– n–3)–1=( 3)–1=(n– n–4)=4–4=0 4)=4–4=0 (вычитание − для цифры4a k4=k 3–1=( единицы из номера соседнего левого разряда цифры 3); a − для цифры7a k7 = –m = –3 (равен количеству позиций в дробной части числа – m = 3 и записан со знаком мину минус). с). m+1 1 = –3+1 = –2 (суммирование еди− для цифры6a k6 = –m+ ницы к номеру соседнего правого разряда цифры7);a m+2 2 = –3+2 = –1 (суммирование еди− для цифры5a k5 = –m+ ницы к номеру соседнего правого разряда цифры6);a В резуль результате тате таких исследований нумерации разрядов, можно записать форму числа qA= ±a 3a2a1a 0,a-1, a-2a-3 с нумерацией разрядов, используя использу я обозначение через количество позиций в целой (n = 4) и дробной (m = 3) части числа: Aq= ±a 3a2a1a0, a-1a-2a-3 = ±a n-1a n-2a n-3 a n-4, a-m+2 a-m+1 a-m. Таким образом, общая формула для записи числа с любым количеством разрядов в целой и дробной части числа имеет вид: Aq= ±a n-1a n-2 …a0, a-1 … a-m+1 a-m, из которого видно, что в позиционных системах счисления знак, так называемая дробная (позиционная) запятая, фиксиру фиксирует ет нулевой разряд целого числа, после которого идут дробные разряды, имеющие отрицательные степени основания. 77

Необходимо отметить, что в некоторых источниках номер позиции и номер разряда отождествляются между собой, что не совсем допустимо, допу стимо, и справедливость такого утверждения показана на примере определения номера разряда в зависимости от номера позиции и количества позиций в целой части числа. Недопустимость Недопу стимость отождествления номера позиции и разряда, также основано и на том, что номер позиции – число, получаемое при естественном счете (перечислении) предметов, т.е. при нумерации («первый», «второй», «третий»...) и обозначении количества, используя пользу я натуральные положительные числа (1, 2, 3,..), и наименьшим числом в натуральном ряду является число 1 (один, единица). В соответствии с тем, что ноль и отрицательные целые числа (0, –1, –2, ...), использу используемые емые в нумерации разрядов, не считаются натуральными (от англ. natural) числами, и при счете не используются, нумерация разрядов не может отождествляться с нумерацией позиций в числе, в которых используются натуральные положительные числа. Понятие разрядность числа является очень важным в связи с тем, что количество разрядов (позиций или знакомест) обеспечивает определенный набор возможных чисел, т.е. максимальное числовое значение, которое можно представить в позиционной форме, а также и определяет точность числового значения числа, что особенно важно при записи дробей. Порядковому номеру разряда соответствует его вес (весовое соотношение), выраженный множителем, на который надо умножить числовое значение цифры разряда в данной системе счисления. Диапазон числовых значений цифр (ak) для всех разрядов неизменен, т.е. одинаков в данной системе счисления. Числовое значение множителя (N), определяющего весовое соотношение разряда (вес цифры k-го разряда) в соответствии с номером разряда, определяется как основание системы счисления в степени, равной номеру разряда по формуле: Nk = qn–i =q k где q – основание системы счисления, определяющее количество цифр в системе счисления; i – номер позиции разряда; n – количество разрядов целой части числа; k – номер разряда. Рассмотрим для числа qA = ±a 3a2a1a0,a-1a-2a-3, представленного, например в некоторой позиционной системе счисления q, в кото78

ром определены номера разрядов в целой и дробной части числа, принцип определения множителя, как весовое соотношение разряда, для каждого разряда: – для цифры a3 с номером разряда k=3 n–qi =q 4–1=q k=q 3; – для цифры a2 с номером разряда k=2 n–qi =q k=q 2; – для цифры a1 с номером разряда k=1 n–qi =q k=q 1; – для цифры a0 с номером разряда k=0 n–qi =q k=q 0; – для цифры a-1 с номером разряда k=-1 nq–i =q k=q -1; – для цифры a-2 с номером разряда k=-2 nq–i =q k=q -2; – для цифры a-3 с номером разряда k=-3 nq–i =q k=q -3. Также весовое соотношение разряда, например для числа используя я принцип опреAq= ±a 1a2a3a4, a5a6a7, можно определить, использу деления номера разряда через количество позиций в целой (n = 4) и дробной (m = 3) части числа: – для цифры a1 с номером разряда k=n k=n− −1=4−1= 1=3 3 k=q n–1=q 4–1 =q 3; q – для цифры a2 с номером разряда k=n k=n− −2=4−2= 2=2 2 4–2 2 n – 2 qk=q =q =q ; – для цифры a3 с номером разряда k=n k=n− −3=4−3= 3=1 1 k=q n–3=q 4–3 =q 1; q – для цифры a4 с номером разряда k=n-4=4-4= 4=0 0 4–4 0 n – 4 qk=q =q =q ; – для цифры a5 с номером разряда k=-m+2=-3+2=-1 –m+2 =q –3+2 =q -1; qk=q – для цифры a6 с номером разряда k=-m+1=-3+1=-2 qk=q –m+1 =q –3+1 =q -2; – для цифры a7 с номером разряда k=-m k=-m==-3 3 3 – m qk=q =q . Рассмотрев принципы определения весового соотношения разряда как множителя, определяющего позиционное числовое значение цифры в числе, можно рассмотреть и принцип определения позиционного числового значения цифры в числе, которое определяется произведением числового значения цифры разрядаk) (a и множителя весового соотношения разряда k(),q выраженного через k номер разряда цифры в числе, по формуле: q=A±a kq . Количественное значение чисел для любой позиционной системы счисления определяется суммированием позиционных число79

вых значений цифр, представленных в десятичной системе, и выраженных в количественном эквиваленте, сопоставимом с весовым числовым значением (весовым соотношением) цифры в изображении числа. Например для числа A m+1 1 a-m, представленq= ±a n-1an-2 …a0, a-1 … a-m+ ного записью числа в некоторой позиционной системе счисления q, в которой номера разрядов представлены через количество позиций в целой (n) и дробной (m) части числа, количественное значение числа определяется суммированием позиционных числовых значений цифр числа, по формуле: Аq = ± (a n–1qn–1 +a n–2qn–2+…+a 0q0+a –1 q–1 +… +a-m+1q-m+1 +a –m q–m ), которая является развернутой формой записи числа как формулы разложения числа в общем виде или в коротком виде: kn= − 1

Аa q= ±

∑

k

qk ,

=− km

где q – основание системы счисления, определяющее количество цифр в системе счисления; k – номер разряда;k –q вес (весовое соотношение) k-го разряда (nq–1,qn–2,…q0,q–1 ,…q–m); ak – цифры (an–1 ,an–2,…a0,a–1,… a-m+1 ,a–m ) k-го разряда, разрешенные в данной системе счисления; n – количество разрядов целой части числа, от 0 до бесконечности, а при n = 0 – десятичная дробь; m – количество разрядов дробной части числа, от 0 до бесконечности, а при m = 0 – число целое. Рассмотрев общие принципы представления чисел в позиционных системах счисления, рассмотрим основные параметры, характеризующие все виды позиционных систем счисления, к которым можно отнести такие наиболее важные параметры, как основание, алфавит и базис систем счисления. Основание позиционной системы счисления – это количество цифр или других знаков алфавита, использу используемых емых в каждом из разрядов для записи чисел в данной системе счисления, что указывает на название системы счисления. За основание системы можно принять любое натуральное число ≥ 2 – два, три, четыре, восемь, шестнадцать и т.д. Следовательно, 80

возможно бесчисленное множество позиционных систем, таких как двоичная, троичная, четверичная, восьмеричная, шестнадцатеричная и т.д. Наиболее распространенными в настоящее время позиционными системами счисления являются десятичная, двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления, в состав которых входят,, соответственно, 10, 2, 8 и 16 символов, составляющих алфавходят вит системы счисления. Алфавит системы счисления – набор символов (цифр), используемых зу емых в позиционной системе счисления для записи чисел. Десятичная система счисления имеет алфавит алфавит,, состоящий из десяти арабских цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 – и основание, равное 10, двоичная – две цифры: 0 и 1 – и основание 2, восьмеричная – восемь цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 – и основание 8, шестнадцатеричная – десять цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 – и шесть первых заглавных букв латинского алфавита A, B, C, D, E, F, отображающих (заменяющих) десятичные числа с числовыми значениями 10, 11, 12, 13, 14, 15 и основание, равное 16. В алфавитах всех позиционных систем счисления, в отличие от алфавита непозиционных систем, помимо значащих цифр от 1 до 9 есть и ноль (0), который является незначащей цифрой. Использование специального знака – цифры ноль, особенно важно в записи многозначных чисел (двузначные, трехзначные и т.д.), и обу обусловсловлено необходимостью обозначения разряда, в котором отсутствуют значащие цифры и, соответственно, не определяется количественное числовое значение разряда (количественные единицы). Таким образом, обозначая в многозначных числах отсутствие количественных единиц в разряде нулем, сохраняется позиция в числе и разряд и не нарушается нумерация разрядов, а, соответственно, не нарушается эквивалентное весовое соотношение разрядов, содержащих значащие цифры. Базис позиционной системы счисления – последовательность чисел, каждое из которых определяет количественное значение цифры или вес позиции разряда, т.е. базис системы счисления составляет последовательность чисел, определяемых основанием системы счисления в степени, где показатель степени определяется номером разряда в числе. 81

Рассмотрим основные понятия на примерах некоторых позиционных систем счисления. Необходимо отметить, что числа в позиционной системе счисления рекоменду рекомендуется ется записывать в скобках (допу допускается скается запись и без скобок). Для того чтобы явно указать использу используемую емую систему счисления, особенно для их различения при одновременной работе с несколькими системами счисления, нижним индексом числа, который записывается в десятичной системе, обозначают основание системы счисления, также в записях чисел не показывают номера позиций и разрядов, что упрощает форму записи чисел. Десятичная система счисления является наиболее распространенной системой счисления в мире и в повседневной жизни в силу своей общедоступности. Десятичная система счисления пришла в Европу из Индии, где она появилась не позднее VI века н.э. Десятичная система счисления – это привычная и хорошо известная позиционная система счисления, и рассмотрим ее с позиций, которые помогут нам понять другие непривычные позиционные системы счисления. Итак, основанием системы является число десять (10), и для изображения чисел используется алфавит из десяти цифр: 0, 1, 2, 3, и т.д., что и определило название системы, также десятичной система называется потому потому,, что в ней десять единиц более низкого разряда составляют одну единицу разряда более высокого. Как известно из математических понятий, числа состоят из некоторого количества цифр, разделителя (точки или запятой) и знака числа – плюса или мину минуса. са. Цифры в числе, находящиеся до разделителя, формируют целую часть числа, а после разделителя – дробную часть числа. Число строится с учетом разрядов, в которых записана та или иная цифра, т.е. нужная цифра должна еще и занимать нужное место (позицию) в записи числа. Каждая позиция (место), соответствующая определенному номеру разряда, в десятичном числе выражает определенное количественное значение: так, слева от запятой позиции отражают количественные значения больше единицы, а справа от запятой – меньше единицы. Первая позиция слева от запятой, т.е. в целой части числа, обозначает количество единиц, а позиция слева от нее – десятков, еще левее – сотен, затем тысяч, десятков тысяч и т.д., а позиции справа от запятой – десятые, 82

сотые, тысячные доли единицы, в зависимости от удаления позиции от запятой. В соответствии с этим, разряды, соответствующие определенным позициям, кроме порядкового номера имеют свое наименование: разряд единиц, разряд десятков, разряд сотен, разряд единиц тысяч, разряд десятков тысяч и т.д., а каждые 3 разряда объединяются в класс: класс миллионов, класс тысяч, класс единиц, и названия классов используют при чтении чисел. Таким образом, рассматривая число, представленное в десятичной позиционной форме, можно сделать вывод о том, что цифры числа в зависимости от позиции разряда определяют количество единиц, десятков, сотен, тысяч и т.д., и долей единиц: десятых, сотых, тысячных и так далее. Рассмотрим для примера положительное число, записанное =(507,67) 507,67)10, где нижним индекв свернутой (сокращенной) форме qА=( сом с цифрой 10 указывается на запись числа в десятичной системе счисления. =(507,67) В приведенном примере для числаq=( А 507,67)10 в первой позиции слева от запятой цифра 7 обозначает количество единиц (7), цифра 0 – десятков (00), цифра 5 – сотен (500), а справа от запятой цифра 6 – десятую долю от 6 единиц (0,6), цифра 7 – сотую долю от 7 единиц (0,07), и общее количественное значение числа записывается как сумма единиц, десятков, сотен, тысяч и т.д., что для рассматриваемого примера соответству соответствует ет сумме: 500+00+7+0,6+0,07=507,67. Анализируя Анализиру я рассмотренные математические понятия о числах, =(507,67) =( 507,67)10, меняя позицию, т.е. разряд видно, что цифра 7 в числе qА в десятичной системе счисления, имеет разные по величине десятичные числа, например для рассматриваемого числа – это 7 и 0,07, которые, соответственно, обозначают количество единиц и сотую долю от единиц. Кроме этого, необходимо отметить важность незначащей цифры ноль (0) в числе, которая обозначает отсутствие в разряде количе=(507,67) ственного значения. Отсутствие нуля в числеq=( А 507,67)10 вносило бы искажение в количественное значение числа, т.к. позиционное числовое значение цифры 5 в отсутствии нуля обозначало бы коли=(57,67) =( 57,67)10, а не количество сотен, как это чество десятков в числе qА =(507,67) рассмотрено при наличии нуля в записи числаq=( А 507,67)10. 83

Рассмотрев основные положения математических понятий о числах, можно, использу используя я развернутую форму записи чисел как формулы разложения числа в общем видеq =А±(a n–1 qn–1+a n–2qn–2 +… +a 0q0+a –1 q–1 +… +a-m+1 q-m+1 +a –m q–m ), в которой все основные понятия отражены в функциональных взаимосвязях аргументов, представить в виде суммы позиционных числовых значений цифр многоразрядного числа: =(507,67) 507,67)10= (a n–1qn–1 +a n–2qn–2+a n–3qn–3 +a -m+1 q-m+1 +a –m q–m ) = А10 =( = (5 3–1 ×103–1+0 3–2×103–2+7 3–3 ×103–3+6 –2+1 ×10–2+1 +7 –2 ×10–2 ) = = (5 2×102+0 1×101+7 0×100+6 –1 ×10–1 +7 –2 ×10–2 ) = = (5 2×100+01×10+70×10+6 –1 ×0,1+7–2 ×0,01) = = (500+0+7+0,6+0,07) =( =(507,67) 507,67) 10. Как видно из примера, число в позиционной десятичной системе счисления записывается в виде суммы произведений цифр числа на соответствующие степени числа 10, определяя количественное значение числа, записанного в свернутой форме, при этом степень числа 10 определяет базисы десятичной системы счисления. В десятичной системе счисления базисы, представляющие количественное значение (весовое соотношение – вес) разряда в числе (N k =qk), как число 10 в степени номера разряда, равны: – в целой части: 100, 101, 102, 103, 104, ..., 10n или 1, 10, 100, 1000, 10000 и т.д.; – в дробной части: 10-1 , 10-2, 10-3, 10-4, ..., 10-m или 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001 и т.д. Базисы системы показывает показывает,, какой вклад вносит цифра в количественное значение числа (весовое соотношение или вес разряда), находящаяся в определенной позиции в изображении числа в данной системе счисления. Сравнивая базисы в десятичной системе счисления, видно, что количественное значение соседних базисов отличается друг от друга в 10 раз, т.е. на величину величину,, равную основанию системы счисления. В связи с этим можно сделать вывод о том, что основание системы счисления показывает показывает,, во сколько раз изменяется количественное значение цифры или «вес» (весовое соотношение) при перемещении на одну соседнюю позицию разряда в изображении числа. Также из вышеприведенных формул видно, что умножение или деление десятичного числа на 10 (величину основания) приво84

дит к перемещению запятой, отделяющей целую часть от дробной, на один разряд, соответственно, вправо или влево. Например: 507,67×10 = 5076,7 или 507,67:10 = 50,767. Двоичная система счисления – одна из позиционных систем, которая нашла широкое применение в представлении числовой информации для обработки автоматизированным способом. В двоичной системе счисления основание равно 2, а алфавит состоит из двух десятичных цифр: 0 и 1. Следовательно, числа в двоичной системе в развернутой форме записываются в виде суммы степеней основания 2 с коэффициентами, в качестве которых выступают цифры 0 или 1. Так же, как и в десятичной системе, для того чтобы не спутать систему счисления в записи числа, использу используется ется нижний индекс 2. Рассмотрим развернутую форму записи двоичного числа по формуле разложения числа в общем виде, представив в виде суммы позиционных числовых значений цифр многоразрядного числа, в котором количество разрядов в целой части числа n=4, а дробной – m=3: =(1011,101) 1011,101)2= (a n–1 qn–1+a n–2qn–2+a n–3 qn–3+a n–4qn–4 +a -m+2 q-m+2 + А10 =( +a-m+1 q-m+1 +a –m q–m ) = = (14–1 ×24–1+0 4–2×24–2 +1 4–3×24–3+1 4–4×24–4+ +1–3+2 ×2–3+2 +0 –3+1 ×2–3+1+1 –3×2–3 ) = = (13×23+0 2×22+1 1×21+1 0×20+1 –1 ×2–1 +0 –2 ×2–2 +1 –3 ×2–3 ) = = (13×8+02×4+10×2+10×1+1–1 ×0,5+0–2 ×0,25+1–3 ×0,125) = = (8+0+2+1+0,5+0+0,125) =( =(11,625) 11,625) 10. Таким образом, запись числа в виде суммы произведений цифр в разрядах числа на соответствующие степени числа 2 определяет количественное значение числа, в десятичной системе счисления в свернутой форме, при этом степень числа 2 определяет базисы двоичной системы счисления (1011,101) 2 = (11,625)10. Необходимо также отметить, что позиционные числовые значения цифр, как весовые соотношения цифр, в двоичной системе счисления равны весовым соотношениям разрядов (базисам), если в разряде числа единица (1), и равны нулю при нуле в разряде числа, что характерно только для двоичной системы, имеющей в алфавите одну значащую цифру – 1 (единицу). В двоичной системе счисления базисы, представляющие количественное значение разряда (весовое соотношение – вес) в числе, как цифра 2 в степени номера разряда, равны: 85

– в целой части: 20, 21, 22, 23, 24, ..., 2n или 1, 2, 4, 8, 16 и т.д.; – в дробной части: 2-1, 2-2 , 2-3, 2-4, ..., 2-m или 0,5; 0,25; 0,125; 0,0625 и т.д. В соответствии с этим, можно сделать вывод, что число в двоичной системе счисления записывается как сумма единиц, двоек, четверок, восьмерок и т.д. для целой части числа и как половины, четверти или восьмые и т.д. доли единицы для дробной части числа, т.е. соотношение количественных значений соседних разрядов равно 2. Используя Использу я данное свойство, выраженное в весе разряда, можно цифры алфавита десятичной системы счисления от 0 до 9 представить в двоичной системе счисления, проверив соответствие по формуле разложения для целой части числа: (0001)2 = (a n–1qn–1+a n–2qn–2+a n–3 qn–3 +a n–4 qn–4) = = (0×24–1+0×24–2+0×24–3+1×24–4 ) = = (0×23+0×22+0×2 1+1×20) = = (0×8+0×4+0×2+1×1) = (0+0+0+1) =( =(1) 1) 10; 3 2 1 0 (0010)2 = (0×2 +0×2 +1×2 +0×2 ) = (0×8+0×4+1×2+0×1) = = (0+0+2+0) = (2) 10; (0011)2 = (0×23+0×22+1×2 1+1×20) = (0×8+0×4+1×2+1×1) = = (0+0+2+1) = (3) 10; (0100)2 = (0×23+1×22+0×2 1+0×20) = (0×8+1×4+0×2+0×1) = = (0+4+0+0) = (4) 10; (0101)2 = (0×23+1×22+0×2 1+1×20) = (0×8+1×4+0×2+1×1) = = (0+4+0+1) = (5) 10; (0110)2 = (0×23+1×22+1×2 1+0×20) = (0×8+1×4+1×2+0×1) = = (0+4+2+0) = (6) 10; (0111)2 = (0×23+1×22+1×2 1+1×20) = (0×8+1×4+1×2+1×1) = = (0+4+2+1) = (7) 10; (1000)2 = (1×23+0×22+0×2 1+0×20) = (1×8+0×4+0×2+0×1) = = (8+0+0+0) = (8) 10; (1001)2 = (1×23+0×22+0×2 1+1×20) = (1×8+0×4+0×2+1×1) = = (8+0+0+1) = (9) 10. Необходимо отметить, что при проверке соответствия цифр в формуле были опущены номера разрядов цифр для упрощения записи, что вполне допустимо, и далее в записи чисел указываться не будут. Если сравнить одно и то же число, записанное в десятичной и двоичной системах счисления, то можно заметить разницу в количе86

стве разрядов чисел. Например равные числа (1011,101) =(11,625) 11,625)10, 2=( но имеют разное количество разрядов в записи числа, и количество разрядов меньше в числе, которое записано в системе счисления, имеющем большее основание, в данном примере – в системе счисления с основанием 10. Таким образом, некоторым неудобством или недостатком двоичной системы счисления можно считать быстрый рост количества разрядов, необходимых для записи чисел при увеличении числа, по сравнению с системами счисления, имеющими большее основание. Количество цифр двоичного изображения числа при мерно в 13,3 раза больше количества цифр в десятичном изображении того же числа. Однако двоичная система счисления имеет и преимущество по сравнению с системами, имеющими основание больше 2, в качестве которого можно назвать простоту выполнения арифметических действий с числами, представленными числовыми последовательностями только двух цифр – 1 и 0. Восьмеричная система счисления – одна из позиционных систем, которая используется программистами при составлении программ на языке машинных кодов для более короткой и удобной записи двоичных кодов команд, данных, адресов и операндов. Применение в информационных технологиях восьмеричной, а затем и шестнадцатеричной системы счисления, во многом было также связано с необходимостью сокращения процесса перехода к двоичному кодированию, которое лежит в основе автоматизированной обработки цифровой информации в цифровой схемотехнике. Основание восьмеричной системы счисления равно 8, т.к. алфавит состоит из 8 символов в виде десятичных цифр от 0 до 7, соответственно, и количественное значение числа в восьмеричной системе записывается в виде суммы степеней основания 8 с коэффициентами, в качестве которых выступают цифры алфавита системы. Также, для того чтобы не спутать систему счисления, в записи числа используется использу ется нижний индекс 8. Рассмотрим развернутую форму записи восьмеричного числа по формуле разложения числа в общем виде, представив число в виде суммы позиционных числовых значений цифр многоразрядного числа, в котором количество разрядов в целой части числа n=4, а дробной – m=3: 87

А8 = (2547,163)8= (a n–1 qn–1+a n–2qn–2+a n–3 qn–3+a n–4qn–4 +a -m+2 q-m+2 + +a-m+1 q-m+1 +a –m q–m ) = = (2×84–1+5×84–2+4×84–3+7×84–4+1×8–3+2 +6×8–3+1 +3×8–3 ) = = (2×83+5×82+4×81+7×80+1×8–1 +6×8–2 +3×8–3 ) = = (2×512+5 512+5× ×64+4 64+4× ×8+7 8+7× ×1+1 1+1× ×0,125+6 0,125+6× ×0,015625+3 0,015625+3× ×0,001953125) = = (1024+320+32+7+0,125+0,09375+0,005859375) = = (1383,224609375) 10 . Из записи восьмеричного числа в развернутой форме видно, что суммы произведений цифр в разрядах числа на основании системы счисления 8 в степени, равной номеру разряда, определяет количественное значение числа в десятичной системе счисления в свернутой форме, при этом степень числа 8 определяет базисы восьмеричной системы счисления (2547,163) =(1383,224609375) 1383,224609375)10. 8=( Таким образом, так же, как и в двоичной системе счисления, формула разложения позволяет представить любое восьмеричное число десятичным эквивалентом. Базисы восьмеричной системы счисления, представляющие количественное значение (весовое соотношение – вес) разряда в числе, как цифра 8 в степени номера разряда, равны: – в целой части: 80, 81, 82, 83, 84, ..., 8n или 1, 8, 64, 512, 4096 и т.д.; – в дробной части: 8-1, 8-2, 8-3,..., 8-m или 0,125; 0,015625; 0,001953125 и т.д. Таким образом, число в восьмеричной системе счисления записывается как сумма единиц, восьмерок, шестьдесят четверок и т.д. для целой части числа и как восьмые, шестьдесят четвертые и т.д. доли единицы дробной части числа, т.е. веса соседних разрядов различаются в 8 раз. Например восьмеричное число (100) 8 есть не что иное, десятичное число (64) 10, т.к. весовое соотношение одной единицы в разряде номер 2 равно 64 в десятичной системе счисления. Применение восьмеричной системы счисления в настоящее время ограничено, но основные принципы построения чисел, основанные на взаимном эквиваленте восьмеричных и двоичных чисел, находят широкое применение в шестнадцатеричной системе счисления, которая приходит на смену восьмеричной системе. Шестнадцатеричная система счисления – позиционная система, которая, как и восьмеричная система, используется программистами и в настоящее время заменяет восьмеричную систему при про88

граммировании, применяя еще более удобную и более компактную форму записи чисел, а также наиболее ускоренный вариант представления двоичных чисел, как кодов чисел, при кодировании команд, данных, адресов и операндов. Основание шестнадцатеричной системы счисления равно шестнадцати (16), и алфавит системы состоит из десяти цифр от 0 до 9, а поскольку основание больше десяти, и десяти цифр не хватает хватает,, то используются для обозначения этих недостающих цифр первые шесть букв латинского алфавита – от A до F. При таком алфавите системы, буквы от A до F изображают десятичные числа от 10 до 15, соответственно. По аналогии с рассмотренными позиционными системами, в шестнадцатерич ной системе счисления количественное значение числа записывается в виде суммы степеней основания 16 с коэффициентами, в качестве которых выступают цифры алфавита системы, и основание системы счисления в записи числа указывается нижним индексом 16. Рассмотрим развернутую форму записи шестнадцатеричного числа, по формуле разложения числа в общем виде, представив число в виде суммы позиционных числовых значений цифр многоразрядного числа, в котором количество разрядов в целой части числа n=4, а дробной – m=3: =(2547,163) 2547,163)16= (a n–1qn–1+a n–2qn–2 +a n–3qn–3+a n–4 qn–4+a -m+2 q-m+2 + А16 =( +a-m+1 q-m+1 +a –m q–m ) = = (2×164–1 +5×164–2 +4×164–3 +7×164–4 +1×16–3+2 +6×16–3+1 +3×16–3 ) = = (2×163+5×162+4×161+7×160+1×16–1 +6×16–2 +3×16–3 ) = = (2×4096+5×256+4×16+7×1+1×0,0625+6×0,00390625+ +3×0,000244140625) = = (8192+1280+64+7+0,0625+0,0234375+0,000732421875) = = (9543,08666992188) 10. Аналогично записи восьмеричного числа, шестнадцатеричное число в развёрнутой форме равно сумме произведений цифр в разрядах числа на основание системы счисление равное 16 в степени равной номеру разряда числа, и представлено в десятичном эквиваленте (2547,163) =(9543,08666992188) 9543,08666992188) 16=( 10, при этом степень числа 16 определяет базисы шестнадцатеричной системы счисления. 89

Базисы шестнадцатеричной системы счисления, представляющие количественное значение разряда (весовое соотношение – вес) в числе, как число 16 в степени номера разряда, равны: – в целой части: 160, 161, 162, 163, 164, ..., 16n или 1, 16, 256, 4096 и т.д.; – в дробной части: 16-1, 16-2, 16-3, ..., 16-m или 0,0625; 0,00390625; 0,000244140625 и т.д. Сравнивая запись одного и того же числа в шестнадцатеричной системе и в десятичной системе счисления, видно, что количество разрядов в числе, представленном в шестнадцатеричной системе счисления, меньше, чем в числе, представленном в десятичной системе счисления. В связи с этим можно сделать вывод о том, что емкость числа, представленного в шестнадцатеричной системе больше емкости числа, т.е. количественное значение числа, в десятичной системе счисления. При этом необходимо также отметить, что шестнадцатеричное число, представленное, как и восьмеричное число, одинаковыми цифрами, будет иметь количественное значение (емкость) больше, чем восьмеричное число. Например возьмем число 2547,163, которое рассматривали и в восьмеричной, и в шестнадцатеричной системе счисления, и сравним десятичные эквиваленты этого числа, представленного в восьмеричной и шестнадцатеричной системе: (2547,163)8=( =(1383,224609375) 1383,224609375) 10 и (2547,163)16 16 = = 9543,08666992188) 10. Сравнение десятичных эквивалентов числа 2547,163 10, представленного в восьмеричной и в шестнадцатеричной системе счисления, доказывает,, что шестнадцатеричная система позволяет представлять доказывает более компактную запись больших чисел, по сравнению с восьмеричной системой счисления, что является одной из причин для отказа в применении восьмеричной системы. Таким образом, рассмотренные примеры наглядно доказывают преимущество шестнадцатеричной системы по сравнению с восьмеричной системой счисления. Остановимся на особенностях восьмеричной и шестнадцатеричной системой счисления. Рассмотрев отдельные виды позиционных систем счисления, попробуем попробу ем рассмотреть функциональную взаимосвязь между си90

стемами через основные параметры систем счисления. Для двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной систем функциональную взаимосвязь можно определить по математическому соотношению оснований систем счисления, рассмотрев основание одной системы через функцию другой системы счисления. Математическое соотношение оснований восьмеричной и шестнадцатеричной систем можно представить целой степенью числа 2 как основание двоичной системы (8=23 и 16=24), где показатель степени соответству соответствует ет количеству разрядов двоичного числа (3 и 4), необходимых для представления восьмеричных и шестнадцатеричных цифр соответственно. Таким образом, взаимосвязь восьмеричной и шестнадцатеричной системы с двоичной системой представлена в эквивалентности замещения восьмеричных и шестнадцатеричных цифр группой трехразрядных и четырехразрядных двоичных чисел. Аналогичного соотношения между основаниями десятичной и двоичной системами счисления записать невозможно, т.к. число 10, как основание десятичной системы, не может быть представлено целой степенью числа 2. Соответствие трехразрядных и четырехразрядных двоичных чисел цифрам и числовым значениям в десятичной системе счисления, соответственно, для восьмеричной и шестнадцатеричной системы счисления, представлено в табл. 3.1. Принцип соответствия цифр от 0 до 9 двоичным числам рассмотрен при описании двоичных чисел, рассматривая запись двоичных чисел десятичным цифрам от 0 до 9 по формуле разложения. Таблица 3.1 Цифры шестнадцатеричной системы 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

A

B

C

D

E

F

Числовые значения цифр и символов в десятичной системе 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

Цифры восьмеричной системы Трехразрядные двоичные числа 000 001 010 011 100 101 110 111 0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111 Четырехразрядные двоичные числа 91

Поскольку в восьмеричной системе счисления только цифры от 0 до 7, то для представления этих цифр в двоичной системе достаточно трех разрядов, т.к. четвертый разряд имеет весовое соотношение, равное 8, и для цифр восьмеричной системы счисления, представленных двоичными числами, будет иметь нулевое значение. В соответствии с этим, в табл. 3.1 двоичные числа для цифр восьмеричной системы представлены трехразрядными. Для числовых значений в шестнадцатеричной системе от 10 до 15, обозначенных буквами латинского алфавита от A до F, соответствие их четырехразрядным двоичным числам можно проверить также по формуле разложения. Трехразрядные группы, или тройки двоичных чисел, называют триадами, или двоичными триадами, а четырехразрядные группы, или четверки двоичных чисел, – тетрадами, или двоичными тетрадами. Триада (от греч. trias – троица) – целое, состоящее из трех раздельных членов или частей. Тетрада (от греч. tetras – четверка) – целое, состоящее из четырех раздельных членов или частей, а в информатике – шестнадцатеричный разряд, равный четырем битам или половине байта. Применяя принцип взаимосвязи восьмеричной и шестнадцатеричной системы с двоичной системой, рассмотрим последовательность записи двоичных чисел цифрами восьмеричной и шестнадцатеричной системы счисления: − двоичное число разделяют на группы (триады или тетрады) по три (четыре) разряда (разбивается на тройки или четверки), начиная с младшего разряда в целой части числа и со старшего разряда в дробной части числа, т.е. число разбивается на группы вправо и влево от позиционной запятой; − если при разделении двоичного числа на триады (тетрады), крайняя левая в целой части числа и крайняя правая в дробной части числа группы неполные, т.е. оставшееся количество разрядов меньше трех (четырех), то необходимо для выделения триады (тетрады) дополнить неполную группу старшими незначащими разрядами, отметив их нулями до необходимого числа разрядов; − рассмотреть каждую группу триад или тетрад, выделенных в двоичном числе, как n-разрядное двоичное число, и заменить ее соответствующей цифрой в восьмеричной или шестнадцатеричной системе счисления. 92

Рассмотрим на примере запись двоичных чисел цифрами восьмеричной и шестнадцатеричной системы счисления методом эквивалентной замены: — двоичных триад цифрами восьмеричной системы счисления (1011101,1001101) ) (001 011 101,100 110 100) 2 = ( 1 011 101,100 110 12 = 2 = (135,464)8 1

3

5

4

6

4

— двоичных тетрад цифрами шестнадцатеричной системы счисления (1011101,1001101) 2 = ( 101 1101,1001 101 2 )= (0101 1101,1001 1010) 2 = (5D,9A) 16 5

D

9

A

Применяя метод эквивалентной замены в двоичном числе, выделенных триад или тетрад, цифрами, соответственно, восьмеричной и шестнадцатеричной системы счисления, запись числа получается более компактная, т.е. запись одного и того же двоичного числа, представленного в восьмеричной и шестнадцатеричной системе, будет,, соответственно, в 3 и 4 раза короче записи в двоичной системе дет счисления. При этом запись числа в шестнадцатеричной системе, по сравнению с записью в восьмеричной системе счисления, короче, что также доказывает и преимущество шестнадцатеричной системы счисления перед восьмеричной системой. Данные свойства систем используются программистами для представления числовых значений при написании программ, т.к. шестнадцатеричная система обеспечивает запись чисел при меньшем количестве разрядов. Аналогично рассмотрим обратный процесс записи восьмеричных и шестнадцатеричных чисел двоичными группами методом эквивалентной замены: — цифрами восьмеричной системы счисления двоичными триадами ( 3 0 5, 84)= (011 000 101, 100) 2 = (11000101,1) 2 011 000 101 100 — цифрами шестнадцатеричной системы счисления двоичными тетрадами (2 F 5, 16 4)= (0010 1111 0101, 0100) 2 = (001011110101,01) 2 0010 1111 0101 0100

Нули в последних старших разрядах целой и в младших разрядах дробной части двоичного числа не учитываются, т.е. не записываются 93

в числе при окончательной записи двоичного числа, т.к. эти нули незначащие. Данная методика также использу используется ется программистами, когда необходимо числовые данные, полученные в процессе программирования, представить двоичными числами, т.к. данная методика значительно сокращает количество действий, а, соответственно, и время, по сравнению с методикой, основанной на применении формулы разложения числа в виде суммы весовых соотношений цифр многоразрядного числа. Рассматривая структуру чисел, в которой цифры одной позиционной системы счисления записаны группами цифр другой системы счисления, можно сделать вывод о том, что структура таких чисел смешанная, соответственно, и систему счислений можно считать смешанной. Например, в записи равенства (2F5,4) =(0010 0010 1111 0101,0100) 16=( 2, каждая цифра шестнадцатеричного числа (2F5,4) 16 записана двоичным числом (группой двоичных цифр – тетрад): – цифра 2 двоичной тетрадой 0010 2; – цифра F двоичной тетрадой 1111 2; – цифра 5 двоичной тетрадой 0101 2; – цифра 4 двоичной тетрадой 0100 2. В соответствии с этим, структура записи числа (0010 0000 0101,0100)2, эквивалентная числу (2F5,4)16, является смешанной, т.к. каждая цифра алфавита шестнадцатеричной системы записана двоичным числом. Так как система счисления – это способ или совокупность приемов и правил записи чисел, то способ записи чисел, при котором числа из одной позиционной системы счисления записываются с помощью групп цифр другой системы счисления, называется смешанной системой, название которой определяется названием систем счисления, применяемых при эквивалентном замещении. Смешанной называется система счисления, в которой числа, заданные в некоторой системе счисления с основанием q – изображаются с помощью цифр другой системы счисления с основанием p, где p0 есть переполнение, т.к. числовое значение суммы больше основания системы счисления (р0 есть переполнение, т.к. то число число-вое значение суммы больше основания системы счисления (р b>0 0 нет переполнения, т.к. числовое значение суммы меньше основания системы счисления (р>Ng=kq+b), в разряде суммы записывается числовое значение суммы разряда, равное Ng, перенос в соседний старший разряд отсутствует (k=0). Количество единиц переноса (k) в соседний старший разряд и числовое значение остатка (b) для записи в данном разряде определяются делением числового значения резуль результата тата арифметических ) на основание системы счисления операций с цифрами в разряде (gN (p) по формуле Ng/q=k+b/р, но нацело с остатком (рис. 3.1), т.е. неполное частное при делении должно иметь целое значение при b

N2 = pk + b = 1 = 2 · 0 + 1 2 > N3 = pk + b = 1 + 1 + 1 = 3 = 2 · 1 + 1 2 > N4 = pk + b = 1 + 1 = 1 = 2 · 1 + 0 2 > N5 = pk + b = 1 = 2 · 1 + 1 1 1

(1011,1)2 + (1001,01)2 + (11001,11)2 = (100110,10)2 б 2 45 + 7 4 60

1 2 0, 2 4, 1 2, 3 7, 0

количество единиц переноса 6 8 48 78 18 8 > N–2 = pk + b = 6 + 4 + 7 = 17 = 8 · 2 + 1 8 = N–1 = pk + b = 2 + 2 + 1 + 3 = 0 = 8 · 1 + 0 8 < N0 = pk + b = 1 + 0 + 0 + 2 = 7 = 8 · 0 + 7 8 > N1 = pk + b = 5 + 7 +4 = 16 = 8 · 2 + 0 8 > N2 = pk + b = 2 + 4 = 6 = 8 · 0 + 6

(450,26)8 + (74,14)8 + (42,37)8 = (677,01)8

в 4 + 3 7

2 0 1 B E

1 E, C 216 7, 1 A16 D, 3 316

количество единиц переноса

2, 0 F16 16 > N–2 = pk + b = 2 + 10 + 3 = 15 = 16 · 0 + 15(F) 16 = N–1 = pk + b = 12 + 1 + 3 = 16 = 16 · 1 + 0 16 > N0 = pk + b = 14 + 7 + 13 = 34 = 16 · 2 + 2 16 < N1 = pk + b = 2 + 0 +1 +11 = 14 = 16 · 0 + 14(E) 16 > N2 = pk + b = 4 + 3 = 7 = 16 · 0 + 7 (40E, 40E,C C2)16 + (17,1A)16 + (4BD,33) 16 = (7E2,0F) 16

Р ис. 3.2 3.2.. При Прим мер еры ы вы по пол лнен нени и я слож ложен ени и я ч исе исел л в по пози зиц ц ион ионн ны х сис исттем ема ах счислен сч ислени и я: а — двои чн чных ых ч исел; б — восьме восьмерич рич ны ныхх чисел; в — шестна д цатеричн ы х чисел 133

Таблица 3.2 Сложение в двоичной системе

Таблица 3.3 Сложение в восьмеричной системе

+

0

1

+

0

1

2

3

4

5

6

7

0

0

1

0

0

1

2

3

4

5

6

7

1

0

10

1

1

2

3

4

5

6

7

10

2

2

3

4

5

6

7

10

11

3

3

4

5

6

7

10

11

12

4

4

5

6

7

10

11

12

13

5

5

6

7

10

11

12

13

14

6

6

7

10 11 12 13 14

7

7

10

11

12

13

14

15

15

16

Таблица 3.4 Сложение в шестнадцатеричной системе

134

+

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

A

B

C

D

E

F

0

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

A

B

C

D

E

F

1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

A

B

C

D

2

2

3

4

5

6

7

8

2

2

2

3

4

5

6

7

8

3

3

4

5

6

7

8

9

3

3

3

4

5

6

7

8

9

4

4

5

6

7

8

9

A

B

C

D

E

F

10

11

12

13

5

5

6

7

8

9

A

B

C

D

E

F

10

11

12

13

14

6

6

7

8

9

A

B

C

D

E

F

10 11 12

13

14

15

7

7

8

9

A

B

C

D

E

F

10

11

12

13

14

15

16

8

8

9

A

B

C

D

E

F

10

11

12

13

14

15

16

17

9

9

A

B

C

D

E

F

10

11

12

13

14

15

16

17

18

A

A

B

C

D

E

F

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

B

B

C

D

E

F

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

1A

C

C

D

E

F

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

1A 1B

D

D

E

F

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

1A 1B 1C

E

E

F

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

1A 1B 1C 1D

F

F

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

1A 1B 1C 1D 1E

E

F

10

для записи результата результата надо вычесть из результата результата сложения величину,, кратную 8 (в восьмеричной системе) или кратную 16 (в шестчину надцатеричной системе), и записать остаток, а к старшему разряду прибавить количество кратных единиц, как переполнение; − в записи результатов сложения могут быть использованы только цифры восьмеричного алфавита (0–7 в восьмеричной системе) или шестнадцатеричного алфавита (0–9, A–F в шестнадцатеричной системе). Сложение в смешанных системах счисления. В соответствии с тем, что правила сложения применимы к любой позиционной системе счисления, необходимо рассматривать эти правила применительно и к смешанным системам счисления, которые также имеют позиционные признаки, но отличаются формой представления числовых значений разрядов, которые выражены многоразрядными двоичными числами в виде триад или тетрад. Если рассматривать двоично-восьмеричную и двоично-шестнадцатеричную систему счисления, то правила сложения в этих системах соответствуют рассмотренным правилам сложения, применительно к двоичной системе счисления, т.к. числа в двоично-шестнадцатеричной и двоично-восьмеричной системе равны аналогичным числам в двоичной системе счисления. Необходимо только обращать внимание на то, что сумма, как и слагаемые, записывается триадами или тетрадами, определяющими количественные значения разрядов числа в смешанных системах счисления. В двоично-десятичной системе счисления, в которой, как известно, числа не равны аналогичным числам в двоичной системе счислениям, операция сложения также проводится по правилам сложения применительно к двоичной системе счисления, с учетом особенностей числового значения единицы межтетрадного переноса. Таким образом, применяя правило поразрядного суммирования в смешанных системах счисления, необходимо знать, что двоичные триады и тетрады – это разряды слагаемых, представляющие цифры соответствующей старшей системы счисления, а цифры в триадах и тетрадах – разряды в этих триадах и тетрадах, выражающие цифры разрядов слагаемых в младшей двоичной системе счисления. В соответствии с этим, поразрядное суммирование в смешанных системах выполняется по правилам сложения, применитель−

135

но к правилам счета в двоичной системе счисления (см. табл. 3.2), последовательно справа налево, начинается с младшей триады или тетрады, поразрядно справа налево, начиная с младшего разряда в каждой триаде или тетраде. Таким образом, если при поразрядном суммировании числовое значение суммы окажется равно и больше основания двоичной систем счисления – цифры 2, или, что одно и то же, больше 12, необходимо определять количество единиц переноса в старший соседний разряд в соответствии с правилами счета в двоичной системе (см. табл. 3.2). Для определения числового значения переноса и остатка в суммируемом миру емом разряде, как числового значения разряда, можно воспользоваться формулой N/q=k (остаток b), для которой числовое значение N, как сумму поразрядного суммирования, необходимо выразить в десятичной системе счисления, независимо от того, в какой системе взяты слагаемые числа, выполнить деление суммы на основание двоичной системы, также выраженное в десятичной системе цифрой 2, т.е. применить правила счета в десятичной системе счисления, определяя единицы переноса, как частного (k), и значащей цифры в разряде, как остатка от деления (b), для представления суммы в двоичной системе счисления. Например при суммировании двоичных чисел 11 2 и 012, выполняя поразрядное суммирование, начиная с младших разрядов, получаем в десятичной системе 1+1=2, и, применяя формулу N/q=k (остаток b), в которой N=2 и p=2, получаем k=2/2=1 (остаток (остаток 0). Основываясь на соответствии N={k, b} и числовых значениях k и b, можно записать сумму младших разрядов рассматриваемых двоичных чисел в двоичном счислении 12+1 2=102, где сумма представлена двухразрядным числом за счет единицы переноса, т.к. k=1. При суммировании старших разрядов (1 и 0) рассматриваемых чисел необходимо и суммировать единицу переноса 1+0+1, что также образу образует ет перенос в следующий старший разряд, и общая резуль результирующая тирующая сумма суммируемых чисел будет представлена уже тремя разрядами: 01 2=1002=4 10. 2+11 Рассматривая данный способ, необходимо отметить возможность его применения в любой смешанной системе счисления для определения единиц переноса и числового значения разряда суммы без рассмотрения триад и тетрад как разрядов в смешанных системах счисления. 136

Однако и при таком способе выполнения поразрядного суммирования в двоичных триадах или тетрадах слагаемых получаем соответственно, триаду или тетраду суммы как разряд числа в смешанной системе счисления. При этом необходимо отметить, что при суммировании старшего разряда в триадах или тетрадах также может образоваться перенос, который является переносом из триады или тетрады, т.е. переносом между разрядами в числах смешных систем счисления (межтриадным или межтетрадным переносом). Если рассматривать двоичные триады и тетрады, как, соответственно, трехразрядные и четырехразрядные двоичные числа, то переполнение числовых разрядов, соответственно, и перенос из старшего разряда триады или тетрады происходит при числовом значении триады больше 111 2=7 10, а тетрады – больше 1111 2=1510. В соответствии с этим, при числовом значении триады108=1 0002 и тетрады – 1610=1 00002, формиру формируется ется перенос в соседнюю старшую триаду или тетраду тетраду,, в которой единица переноса учитывается в младшем разряде триады или тетрады при поразрядном суммировании в старшей триаде или тетраде, как числовое значение переполнения триады или тетрады. Таким образом, числовое значение единицы переноса, при рассмотрении ее как самостоятельного разряда, полученного при переполнении триад и тетрад, равно весовому соотношению старшего разряда, соответственно, в четырехразрядном 1000 2 и пятиразрядном 100002 двоичном числе, что соответству соответствует ет числовым значениям10 8 и 1610. Это указывает на то, что в двоично-восьмеричных и двоичношестнадца теричных числах соотношение между триадами и тетрадами, определяющее числовое значение переноса, соответству соответствует ет соотношению между разрядами в восьмеричных и шестнадца теричных числах, соответственно, 8 и 16. В соответствии с этим, можно сделать вывод о том, что перенос между триадами и тетрадами при суммировании двоично-восьмеричных и двоично-шестнадца теричных чисел формируется при переполнении триад и тетрад, когда весовое соотношение триад и тетрад больше значений, соответственно,107=1112 и 1510=11112, что соответствует ответству ет переносу в восьмеричной и шестнадцатеричной системе. Таким образом, можно сделать вывод о том, при суммировании чисел в двоично-восьмеричной и двоично-шестнадца теричной си137

стеме счисления, перенос из старшего разряда триады или тетрады в младший разряд соседней старшей триады или тетрады, является переносом между разрядами двоично-восьмеричных или двоичношестнадца теричных чисел, т.к. числовое значение единицы переноса равно основанию старшей системы счисления. Также перенос между триадами и тетрадами можно рассматривать как перенос между двумя одиночными разрядами в двоичном числе, при котором числовое значение единицы переноса соответству соответствует ет основанию младшей системы счисления – 2. В двоично-десятичной системе каждый разряд, представленный тетрадой, имеет весовое соотношение, равное 10, т.к. максимальное числовое значение тетрады определяется основанием старшей десятичной системы в смешанной двоично-десятичной системе счисления., соответственно, и числовое значение единицы переноса между тетрадами должно равняться 10 10. Однако при поразрядном суммировании в тетраде по правилам сложения, применительно к двоичным числам, перенос возникает автоматически по правилам счета двоичных чисел только при числовом значении тетрады больше числового значения 1510=11112, перенося в соседнюю старшую тетраду единицу (1) с числовым значением, равным 16 10=100002. В резуль результате тате такого переноса, в тетраде числовое значение уменьшается не на 10, а на 16, что приводит к неверному формированию числового значения в тетраде, т.е. с разницей на 6 единиц меньше, а в тетраде, в которую был перенос, – на 6 единиц больше. В соответствии с этим, для исправления числового значения переноса, при котором единица переноса имеет числовое значение на 6 больше необходимого (больше 10), и возврата 6 единиц в тетраду,, из которой был сформирован перенос, при сложении двоичноду десятичных чисел водится правило коррекции суммы, как дополнение к правилам сложения в позиционных системах счисления. Коррекция двоично-десятичных чисел – операция нормализации числовых значений тетрад в соответствии с допу допустимыми стимыми числовыми значениями от 0000 2 до 1001 2. Правила коррекции суммы при суммировании двоично-десятичных чисел: − коррекция двоично-десятичных чисел производится способом увеличения двоично-десятичного числа на 6 единиц, т.е. сумми138

рованием двоичного кода числа (6) =(0110) 0110)2 с тетрадами двоич10=( но-десятичного числа, в которых автоматически сформировался межтетрадный перенос, и с тетрадами, имеющими числовые значения больше допу допустимого стимого числового значения 1001 2=9 10; − если после коррекции отдельные тетрады скорректированного результата резуль тата будут выражены запрещенными в двоично-десятичной системе счисления числовыми значениями от 1010 2 до 1111 2, то такие тетрады подвергают повторной коррекции. Примеры выполнения сложения чисел в смешанных системах счисления, в которых слагаемые представлены смешанными позиционными числами (дробями), показаны на рис. 3.3, рассматривая многие индивидуальные особенности выполнения сложения в смешанных системах счисления. При сложении двоично-десятичных чисел (см. рис. 3.3 а) показан только перенос из тетрады, сформированный при суммировании старших тетрад, как старших разрядов, слагаемых в двоично-десятичных числах, а межразрядные переносы, которые формируются между разрядами в тетрадах, не показаны. В соответствии с тем, что при сложении (см. рис. 3.3 а) в некоторых тетрадах суммы числовые значения имеют числовой эквивалент в десятичной системе счисления, равный и больше основания десятичной системы счисления, т.е. ≥10, и отсутствует перенос из этих тетрад, сумма считается условно двоичной и требу требуется ется выполнить ее коррекцию. Коррекция выполняется для тетрад с числовым значением, равным и больше основания десятичной системы счисления, и тетрад, из которой есть перенос. Таким образом, в полученной двоичной сумме (см. рис. 3.3 а) коррекция проведена для тетрад с номерами разрядов: 11-й, й, из которой был перенос, 00-й й и –22-й й разряды, в которых числовое значение в десятичном эквиваленте равно 10 10=10102, суммированием дополнительно 6 единиц, выраженных двоичным числом (0110 2=6 10). При коррекции в тетраду с номерами разряда 11-й й возвращается 6 единиц, уменьшая числовое значение единицы переноса до десяти (1010), а в тетрадах с номерами разрядов 00-й й и −22-й й формируется перенос с числовым значением, равным десяти 10 10 =10102. При выполнении коррекции межтетрадные переносы суммируются в тетра139

а

количество единицы переноса из тетрад

1 1000 1001

+ +

0111, 0101 0011, 0100

0010 2–10 1000 2–10

1 0001 0110 1 1000

1010, 1001 1010 2 0110, 0110 0000, 1010 0000 2

1 1000

0110 0001, 0000

+

0000 2–10

тетрада разряда с номером –1–(2а) двоичная сумма коррекция суммы двоичная сумма от коррекции повторная коррекция суммы двоично-десятичная сумма

(0001 1000 0001,0000 00002–10 ) = 17,5210 +83,4810 = 181,0010 б +

2 102

1 12

2 102

количество единиц переноса из тетрад числовое значение единиц переноса

2 1

2

1001 1110, 1100 1111 2–16

9 Е, С F16

0111, 0001 1100 2–16

7, 1 C16

0100 1011, 0101 1000 2–16 1111 0001, 0100 0011 2–16

4 B, 5 816 F 1, 4 316

+

(1111 0001,0100 00112–16 ) = (F1,43) 16 в

+

2 102

001 +

1 12

количество единиц 1 1 2 переноса из тетрад числовое значение + единиц переноса

2 102

110, 100 111 2–8 011, 001 100 2–8

100 110

010, 101 010 2–8 100, 100 101 2–8

1 6, 4 78 +

3, 1 48

4 2, 5 28 6 4, 4 58

(110 100,100 1012–8 ) = (64,45)8 Р ис. 3.3. При Приме меры ры в ыпо ыпол л нен нени и я с ложен ложени и я ч ис исел ел в см смеша ешан н ны ныхх сис систем тема ах счислен сч исления ия:: а — в двои д воич ч но но--деся десятт и ч ной сист си стеме; еме; б — в д во вои и чновосьмери во сьмеричной чной системе; в — д вои воично чно--шест шестн н ад адца цатери терич ч ной сис систем теме е 140

дах, в которые они поступают поступают,, по правилам сложения, применительно к двоичной системе счисления. Также при суммировании двоично-десятичных чисел рассмотрен случай, когда в резуль результате тате коррекции в некоторых тетрадах суммы от коррекции, числовые значения в тетрадах могут быть равны и больше основания десятичной системы счисления, что также требует бу ет коррекции. Например при суммировании (см. рис. 3.3 а) в тетраде с номером разряда минус один (−1), для числового значения, представленного двоичной тетрадой 1010 2, выполнена коррекция, которую можно считать повторной коррекцией. Таким образом, можно сделать вывод, что коррекция при суммировании двоично-десятичных чисел проводится до тех пор, пока числовые значения всех тетрад будут меньше основания десятичной системы счисления. При записи результата суммирования, единица переноса, из старшей тетрады суммы, дополняется нулями слева от нее для образования полной тетрады. Сложение двоично-восьмеричных и двоично-шестнадцатеричных чисел (см. рис. 3.3 б, в), выполнено аналогично суммированию двоичных чисел (см. рис. 3.2 а), но с раз делением по триадам или тетрадам, как разрядам чисел в смешанных системах счисления, без коррекции. Для проверки резуль результатов татов суммирования двоично-восьмеричных и двоично-шестнадцатеричных чисел, приведены варианты суммирования аналогичных чисел в восьмеричной и шестнадцатеричной системе счисления. В примерах, поясняющих сложение чисел в двоично-восьмеричной и двоично-шестнадцатеричной системах счисления, показано количество единиц переноса между разрядами двоичновосьмеричных и двоично-шестнадцатеричных чисел и числовые значения единиц переноса, что позволяет понять математический принцип суммирования при межразрядном переносе. При этом необходимо обратить внимание на то, что числовое значение единиц переноса показано только для двоично-восьмеричных и двоично-шестнадцатеричных чисел в двоичной системе счисления, т.к. количество единиц переноса представлено в десятичной системе счисления. 141

Таким образом, при количестве единиц переноса больше одной, например две единицы переноса, числовое значение единицы переноса выражается двухразрядным двоичным числом 210 , и на рис. 3.3 б, в показано, что числовое значение единицы переноса, представленное двоичным числом 10 2, переносится в два соседних разряда тетрады. В результате этого, при суммировании в первом разряде тетрады числовое значение единицы переноса равно нулю, а во втором слева разряде – единице. В примерах суммирования восьмеричных и шестнадцатеричных чисел количество единиц переноса и числовое значение единиц переноса – это равнозначное понятие, т.к. их можно представить цифрой, которая входит в алфавит всех позиционных систем счисления, кроме двоичной системы. 3.2.2. Вычитание в позиционных системах счисления Вычитание – арифметическая операция в позиционной q-й системе счисления, как математическое действие с двумя числами, одно из которых называются уменьшаемым, а другое – вычитаемым, в резуль результате тате действия с которыми находится новое число, называемое разностью уменьшаемого и вычитаемого чисел, обозначающей в числовом значении столько единиц, насколько их больше в уменьшаемом, чем в вычитаемом. Таким образом, вычитание является действием, обратным арифметическому сложению, т.е. нахождением одного из двух слагаемых, как разности, по сумме двух слагаемых, как уменьшаемого числа, и другому слагаемому слагаемому,, как вычитаемого числа, т.е. по двум числам отыскивается третье, дающее в сумме со вторым первое число. Правила вычитания чисел, определяющие алгоритм выполнения арифметической операции вычитание и определения числовых значений арифметических вычислений в позиционных системах счисления с учетом общих правил выполнения арифметических операций, включают в себя следующие требования: − уменьшаемое и вычитаемое записываются так, чтобы одноименные разряды, т.е. разряды с одинаковыми номерами каждого числа, находилось друг под другом; − поразрядное поочередное вычитание начинается с младших разрядов уменьшаемого и вычитаемого и заканчивается вычитанием в старших разрядах уменьшаемого и вычитаемого; 142

числовое значение разряда в разности, как резуль результат тат поразрядного вычитания, определяемый по правилам счета в соответствии с таблицами сложения для системы счисления, в которой проводится вычисление, определяется с учетом займа в разрядах и переноса занимаемых единиц в разряды уменьшаемого; − положение запятой в разности, при выполнении вычитания со смешанными позиционными числами (дробями), определяется по положению запятой в уменьшаемом и вычитаемом. Рассматривая правила выполнения операции вычитание, необходимо обратить внимание на такое понятие, как заем в разрядах уменьшаемого, т.к. это понятие связано с определением числового значения в разрядах разности. Заем в арифметике – прием, применяемый в операции вычитание, для дополнения числового значения разряда уменьшаемого определенным количеством единиц из старших разрядов, когда числовое значение цифры в разряде уменьшаемого меньше числового значения цифры в аналогичном разряде вычитаемого. Дополнение числового значения разряда уменьшаемого проводится за счет займа единицы в ближайшем слева старшем разряде уменьшаемого, в котором числовое значение не равно нулю (0), и переноса этой единицы в младший разряд уменьшаемого, числовое значение которого меньше аналогичного разряда вычитаемого. Таким образом, если числовое значение соседнего старшего разряда равно нулю, то необходимо рассматривать для займа следующий старший разряд, и так до разряда, в котором числовое значение не равно нулю. Принцип выполнения займа не из соседнего старшего разряда необходимо рассматривать как процесс последовательного займа между разрядами слева направо, начиная с разряда, в котором значение не равно нулю. При таком последовательном займе, занимаемая единица переносится из выбранного для займа старшего разряда, вначале в соседний справа разряд, из которого вновь занимается единица и переносится в следующий справа разряд, и так до рассматриваемого разряда, для которого производится заем. Таким образом, занимаемая единица последовательно переносится из старшего выбранного разряда слева направо через промежуточные разряды, числовые значения которых до выполнения займа были равны нулю. −

143

Занимаемая единица, при переходе в резуль результате тате переноса в младший разряд уменьшаемого, в который проводился заем, выражается числом, с количественным значением равным основанию позиционной системы счисления (q), в которой выполняется вычитание, и суммируется миру ется с числовым значением разряда. В соответствии с этим, число, определяющее количественное значение единицы переноса, должно быть выражено цифрами применяемой системы счисления, т.е. числами 8, 10 и 16, соответственно, в восьмеричной, десятичной и шестнадцатеричной системе счисления, а в двоичной системе счисления – числом 102=2 10, т.к. в алфавите двоичной системы нет цифры 2. В промежуточных разрядах уменьшаемого, числовые значения которых до займа были равны нулю, в резуль результате тате последовательного переноса, числовое значение увеличивается до значения на единицу меньше основания системы счисления (q), в которой выполняется вычитание (q−1). Это основано на том, что при последовательном переносе из занимаемого разряда единицы переноса в промежуточный разряд с числовым значением единицы переноса, равным основанию системы счисления (q), производится заем единицы для переноса в следующий соседний справа разряд, т.е. вычитание из числового значения, равного основанию системы счисления, занимаемой единицы, т.е. q−1. Таким образом, в резуль результате тате займа, числовое значение занимаемой единицы, при поступлении в соседний справа разряд уменьшаемого, будет равно основанию системы счисления (q), а в промежуточных разрядах, с числовым значением, равным нулю, на единицу меньше основания системы счисления (q−1). Процесс переноса единицы из старших разрядов в младший разряд при займе в вычитании, можно рассматривать как обратный перенос, по аналогии с процессом переноса в сложении, при котором единицы переносятся из младшего в старший разряд. В соответствии с тем, что при выполнении операции займа к числовым значениям разрядов уменьшаемого происходит добавление числовых значений, необходимо перед выполнением поразрядного вычитания выполнить суммирование числовых значений в разрядах уменьшаемого с числовыми значениями дополнений в разрядах, из полученной суммы произвести вычитание числового значения в разряде уменьшаемого. 144

Основываясь на том, что вычитание рассматривается как действие, обратное сложению, с помощью которого находится одно слагаемое, когда известна сумма и другое слагаемое, при вычитании можно пользоваться таблицами сложения (см. табл. 3.2, 3.3, 3.4) для нахождения одного слагаемого как разности при вычитании, если известна сумма как уменьшаемое, и другое слагаемое как вычитаемое. Например в восьмеричной системе счисления необходимо определить неизвестное слагаемое8, хесли известное слагаемое равное 8, 5 а сумма равна 10 соответствует ет уравнению суммы8+х5 8=10 8, ко8, что соответству торое можно заменить уравнением разности 10 8–5 8=х 8. Рассматривая оба равенства, видно, известное слагаемое соответству соответствует ет вычитаемому,, сумма – уменьшаемому му уменьшаемому,, а неизвестное слагаемое – разности. Применяя таблицу сложения для восьмеричной системы счисления (см. табл. 3.3), находим строку строку,, в крайней левой ячейке которой расположено известное слагаемое (в нашем примере это слагаемое равно 5), а затем в этой строке находим ячейку с известной суммой (в нашем примере сумма равна 10 числу,, 8). Искомое слагаемое определяется по числу находящемуся находящему ся в верхней ячейке столбца, в котором находится ячейка известной суммы, т.е. искомым слагаемым является число8, 3которое также и является искомой разностью при вычитании. Примеры выполнения вычитания чисел в разных позиционных системах счисления, кроме десятичной системы, как достаточно известной, рассмотрены для смешанных позиционных чисел (дробей) на рис. 3.4, с применением при определении числового значения разности таблиц сложения (см. табл. 3.2, 3.3 и 3.4), т.к. вычитание – это операция, обратная сложению. Для пояснения принципа получения числового значения разности в каждом разряде при поразрядном вычитании, на рис. 3.4 в сносках для каждого разряда показаны операции с числовыми значениями в данном разряде, в резуль результате тате которых и определяется числовое значение разряда. При этом необходимо отметить, что числовое значение единицы переноса при займе, как и числовое значение единицы при переполнении, равно основанию системы счисления, в которой проводится арифметическая операция. Например на рис. 3.4 а числовое значение в нулевом разряде разности определяется из равенства (10−1)+0−1=0, представленного в двоичной системе счисления с основанием, равным 2. 145

а

10 10 10 1 1 0 0, 0 12

числовое значение единицы займа 1 ⇒ 102 = 210

10 = 0 + 10

1 0 1 1, 12 преобразование – 1 1, 1 12 уменьшаемого 1 1, 1 12 после займа 1 0 0 0, 1 02 1 0 0 0, 1 02 1 1–1=0 (1100,01)2 – (11,11)2 = (1000,10)2 (1 – 1) = 0 (10 + 0) – 1 = 1 –

(10 – 1) + 0 – 1 = 0

(10 – 1) + 0 – 1 = 0 числовое значение единицы займа 1 ⇒ 810

б

12 = 5 + 8 –1 8=0+8

8 8 4 5 0, 2 68

, 2 6 преобразование– 3 7 4, 1 48 уменьшаемого 7 4, 1 48 после займа 3 5 4, 1 28 3 5 4, 1 28 (4 – 1) = 3 6–4=2 (8 – 1) +5 –7 = 5 2–1=1 (8 – 0) – 4 = 4 (450,26)8 – (74,14)8 = (354,12)8 –

в

0 + 16 16 11 = 12 –1 числовое значение 18 = 2 + 16 единицы займа 1 ⇒ 1610 16 16 3 E, B F16 4 0 Е, С 216 преобразование – – 1 7, 1 A16 уменьшаемого 1 7, 1 А16 после займа 3 F 7, A 816 3 F 7, A 816 (4 – 1) = 3 (16 + 2) – 10 = 8

(16 + 0) –1 =15 = F

(12 – 1 = 1 = 10 =A 14 – 7 = 7 (40E, 40E,C C2)16 – (74,1A)16 = (3F7, 3F7,A A8)16

Р ис. 3.4. При Прим м еры вы выпо пол л нен нени и я вы выч ч и т ан ани и я ч ис исел ел в по пози зиц ц ион ионн н ы х сис систт ема емахх счислен сч ислени и я: а — двоич ны ныхх чисел; б — восьм восьмерич ерич ных ч исел исел;; в — шестна д цатер цатери и чны х чисел

В равенстве, разность в скобках, состоящая из уменьшаемого 102=2 10, как числового значения единицы займа из соседнего старшего разряда, и вычитаемого 2,1 как единицы займа в соседний 146

справа разряд числа, определяет числовое значение, которое добавляется в данный разряд. Таким образом, в резуль результате тате займа из соседнего старшего разряда и переносе для займа в соседний младший разряд, в рассматриваемом нулевом разряде добавляется числовое значение 12−12=1 2). 2 (10 Остальные числа в рассматриваемом равенстве, это числовые значения в нулевых разрядах уменьшаемого и вычитаемого числа, соответственно, 0 и 1. Добавляемое числовое значение суммиру суммируется ется с нулевым значением (0) в разряде уменьшаемого, что приводит к изменению числового значения разряда уменьшаемого2(+10=1 2), т.е. числовое значение разряда уменьшаемого увеличилось, и теперь из этого числового значения можно вычитать числовое значение разряда вычитаемого. Необходимо отметить, что при выполнении займа числовое значение разрядов уменьшаемого может не только увеличиваться, но и уменьшаться. Так если в резуль результате тате переноса единицы займа в разряд, к числовому значению разряда уменьшаемого добавляется числовое значение, то при займе из разряда числовое значение разряда уменьшаемого уменьшается. Аналогично показано определение числовых значений в других разрядах уменьшаемого (правая часть рис. 3.4 а), где также представлено и преобразованное в резуль результате тате операций займа уменьшаемое, из которого теперь необходимо проводить вычитание. Примеры выполнения вычитания в восьмеричной и шестнадцатеричной системе показаны с аналогичными пояснениями и дополнениями, как и в двоичной системе, с учетом обозначения числовых значений в соответствующей системе счисления. Числовые значения единиц переноса при займе, при рассмотрении вычитания в восьмеричной и шестнадцатеричной системе (см. рис. 3.4 б, в), в отличие от двоичной системы счисления, представлены в десятичной системе счисления, хотя и в двоичной системе счисления числовое значение единицы переноса также можно рассматривать в десятичной системе счисления, как это уже рассматривалось при выполнении операции сложения. Вычитание в смешанных системах счисления. Вычитание в смешанных системах счисления выполняется так же, как и сложение 147

в смешанных системах счисления, – по правилам, применимым к позиционным системам счисления. Вычитание в смешанной двоично-восьмеричной и двоично-шестнадцатеричной системе счисления, в которых цифры в разрядах чисел представлены двоичными триадами или тетрадами, выполняется по правилам вычитания, применительно к двоичной системе счисления, т.к. двоично-шестнадцатеричные и двоично-восьмеричные числа равны аналогичным числам в двоичной системе счисления. Рассматривая операцию вычитания и сопутствующий с ней процесс займа с числами в двоично-восьмеричной и двоично-шестнадцатеричной смешанной системе счисления с позиции двоичной системы счисления, за понятие «разряд» в числах необходимо принимать не триады или тетрады, а цифры 0 и 1, как разряды двоичного числа. В соответствии с этим, при выполнении вычитания как с двоичными числами, занимаемая единица при переносе в занимаемый младший разряд представляется в количественном значении равном основанию двоичной системы счисления, и выражается двоичным числом 102=2 10. При этом в промежуточных старших разрядах, числовые значения которых до займа равны нулю, при последовательном переносе занимаемой единицы через эти разряды добавляется единица (1), что на единицу меньше основания двоичной системы счисления (102−012=012). Если рассматривать операцию вычитания и сопутствующий с ней процесс займа с двоично-восьмеричными и двоично-шестнадцатеричными числами с позиции восьмеричной и шестнадцатеричной системы счисления, то за разряд в этих числах принимаются, соответственно, триады или тетрады, как многоразрядные двоичные числа в числовом значении эквивалентные цифрам восьмеричной и шестнадцатеричной системы счисления. Такой вариант рассмотрения двоично-восьмеричных и двоично-шестнадцатеричных чисел при выполнении вычитания изменяет только принцип выполнения займа, при котором заем производится из триад или тетрад, как разрядов двоично-восьмеричных и двоично-шестнадцатеричных чисел, и числовое значение занимаемой единицы, при переходе в младший разряд уменьшаемого, равно основанию старшей системе счисления в смешанных системах счисления. Таким обра148

зом, для двоично-восьмеричных и двоично-шестнадцатеричных чисел количественное значение единицы переноса при поступлении в младший разряд соответству соответствует ет 8 и 16 единицам и представляется двоичными числами 10002=8 10 и 100002=1610. При этом в промежуточные старшие разряды – триады или тетрады, – числовые значения которых до займа равны нулю (000 2 или 00002), в резуль результате тате последовательного переноса через эти разряды занимаемой единицы добавляется числовое значение, которое на единицу меньше основания восьмеричной или шестнадцатеричной системы счисления (111 2 или 11112). Таким образом, такой двойной подход с позиции рассмотрения операции вычитания влияет только на числовое значение занимаемой единицы при переходе в младший разряд 210 или 100002 и на числовое значение в промежуточных старших разрядах, через которые происходит перенос занимаемой единицы2 1или 11112. Числовые значения единиц переноса при займе, как в младшем разряде, так и в промежуточных старших разрядах, числовые значения которых перед займом были равны нулю, необходимо суммировать с числовыми значениями этих разрядов перед выполнением поразрядного вычитания. Оба рассмотренных варианта выполнения займа при операции вычитание практически аналогичны и дают одинаковые резуль результаты таты выполнения арифметической операции вычитание для чисел, представленных в двоично-восьмеричной и двоично-шестнадцатеричной смешанной системе счисления. Таким образом, при вычитании в смешанных системах счисления заем производиться из старшего разряда, а число занимаемых единиц, равное основанию системы, представляется в этой же системе счисления, и заем осуществляется из первого отличного от нуля разряда (тетрады), для которого осуществляется заем, и все промежуточные разряды уменьшаемого в этом случае заменяются единицами. Примеры выполнения операции вычитание в двоично-восьмеричной и двоично-шестнадцатеричной смешанной системе счисления, в которых слагаемые представлены смешанными позиционными числами (дробями), показаны на рис. 3.5. Вычитание в двоично-восьмеричной и двоично-шестнадцатеричной системе счисления на рис. 3.5 а, б показано с позиции рас149

а 1

–

1000 011 100,

001 001

единицы займа

1 1000 100 101 2–8

111, 100 101 2–8 101, 010 111 2–8

1 ⇒ 10002 = 810 числовое значение 3 единицы займа – 1 1

1

1

8 8 4, 4 58 7, 1 68 5, 2 78

(001 101,010 1112–8 ) = (15,27) 8 б 1

–

1

1100

10000 0011,

10000 1010 0101 2–16

0011 1000

1100, 0111,

0100 0101

1101 2–16 1000 2–16

единицы займа

1

1

1 ⇒ 100002 = 1610 16 16 числовое значение С 3, A 516 единицы займа – 2 C, 4 D16 8 7, 5 816

(1000 0111,0101 10002–16 ) = (87,58)16 Рис. 3.5. При Прим мер еры ы выпо пол лнен ени и я вы выч чита ни я ч ис исе ел: а — в двоич новосьмери во сьмери ч ной сист системе еме сч счис ислен лени и я; б — в дво двоичн ичноо-ш шестнадца те тер ричн ично ой системе сист еме с ч ислен ислени ия

смотрения в качестве разрядов при выполнении займа, соответственно, триады или тетрады, как многоразрядные двоичные числа в числовом значении эквивалентные цифрам восьмеричной и шестнадцатеричной системы счисления. В соответствии с этим, в примерах (см. рис. 3.5 а, б) выполнения операции вычитания с двоично-восьмеричными и двоично-шестнадцатеричными числами для пояснения взаимосвязи числового значения с единицей займа показаны единицы займа из триад и тетрад и их числовые значения в двоичных числах. Для проверки результатов зуль татов в операции вычитания с двоично-восьмеричными и двоично-шестнадцатеричными числами выполнено вычитание этих же чисел в восьмеричной и шестнадцатеричной системе счисления, где также показаны единицы межразрядного займа с их числовыми значениями при переходе в младшие разряды. Принцип выполнения операции вычитания с двоично-восьмеричными и двоично-шестнадцатеричными числами, когда в ка150

честве разрядов при выполнении займа рассматриваются цифры двоичной системы счисления, т.е. без разделения на триады или тетрады, полностью соответству соответствует ет вычитанию в двоичной системе счисления (см. рис. 3.4 а). В двоично-десятичной системе счисления вычитание также выполняется по правилам вычитания в позиционных системах счисления, применительно к двоичным системам, но с учетом особенностей позиционности только в двоичных тетрадах, при отсутствии позиционности между тетрадами, как разрядами двоично-десятичного числа. Вычитание в двоично-десятичной системе, как и в двоично-восьмеричной и двоично-шестнадцатеричной системе счисления, можно также рассматривать как с позиции двоичной системы счисления, принимая за разряд в числах не тетрады, а цифры 0 и 1, как разряды двоичного числа, так и с позиции двоично-десятичной системы, принимая за разряд в числах двоичные тетрады. В соответствии с этим, числовые значения занимаемой единицы при переходе в младший разряд и числовые значения в промежуточных старших разрядах, через которых происходит перенос занимаемой единицы, при выполнении вычитания с двоично-десятичными числами, соответствуют рассмотренным числовым значениям при выполнении операции вычитание с двоично-шестнадцатеричными числами. Необходимо отметить, что независимо от подхода в рассмотрении операции вычитание в смешанных системах счисления, все вычисления выполняются по правилам применительно к двоичной системе счисления, т.к. в изображении числа используются цифры двоичной системы счисления, что позволяет построить типовой алгоритм выполнения арифметических операций с числами в смешанных системах счисления. Однако при выполнении операции вычитание в двоично-десятичной системе по правилам применительно к двоичной системе, выполняя заем как из отдельных разрядов тетрад, так и из всей тетрады, общее числовое значение единицы займа соответству соответствует ет шестнадцати 1610=100002, что на шесть единиц превышает весовое соотношение тетрады в двоично-десятичной системе счисления. Числовое значение единицы займа, как известно, соответству соответствует ет весовому 151

соотношению тетрады, как четырехразрядного двоичного числа, для которого переполнение, а, соответственно, и перенос, происходит при числовом значении, равном 16 10=100002. 10 Несоответствие весового соотношения тетрады в двоично-десятичном числе, числовому значению единицы переноса при займе, обу обусловлено словлено ограничением числовых значений тетрад от 0000 2 до 10012, исключая, как запрещенные значения больше 1001 . Т акие 2 ограничения числовых значений в тетрадах исключили позиционность между тетрадами в двоично-десятичном числе, в результате чего и числа в двоично-десятичной системе не равны этим числам, представленным в двоичной системе. В результате того, что весовое соотношение тетрады как четырехразрядного двоичного числа не равно весовому соотношению тетрады в двоично-десятичном числе, выполнение операции вычитание с двоично-десятичными числами приводит к неверному результату резуль тату.. Учитывая рассмотренное несоответствие, приводящее к неверному резуль результату тату при выполнении вычитания с двоично-десятичными числами, вводится правило коррекции разности, как дополнение к правилам вычитания чисел в позиционных системах счисления, по аналогии коррекции суммы при сложении. Арифметический смысл необходимости коррекции заключается в приведении числового значения занимаемой единицы к числовому значению займа, принятому в двоично-десятичной системе счисления, т.е. к значению 1010 2=1010. Правило коррекции разности при вычитании двоичнодесятичных чисел: − коррекция разности выполняется вычитанием шести единиц, представленных двоичным числом 0110 2, из тех тетрад результата вычитания, которые при выполнении операции вычитания получили межтетрадный заем в числовом значении равном 100002=1610, а также коррекция выполняется и для тетрад с числовым значением больше 1001 2=9 10. Примеры выполнения операции вычитание в двоично-десятичной системе счисления, в которой слагаемые представлены смешанными позиционными числами (дробями), показаны на рис. 3.6 и рассматривают все характерные индивидуальные особенности при 152

а

10 10 10 10 10 10 10 – –

10 10 10 10

0 0 1 0

0 0 0 0

0 1 0 0, 0 0 1 1

0 0 0 1 0 0 0 0

0 0 0 1 1 1 1 0

0 1 1 0, 0 1 0 0 1 1 0 1, 1 1 1 1

0 0 0 0

0 1 1 0 1 0 0 0

0 1 1 0, 0 1 1 0 0 1 1 1, 1 0 0 1

б

– –

0010 0010 0000 0000

0100, 0100, 1101, 0110, 0111,

1 0 02–101 уменьшаемое 0 0 12–101вычитаемое разность 0 1 21 двоичная 0 коррекция разности двоично-десятичная 0 1 12–100 разность числовое значение единицы займа 1 ⇒ 100002 = 1610

10000 10000 0000 0000 1110 0110 1000

10 10

числовое значение единицы займа 1 ⇒ 102 – 210

10000 0011 0011 1111 0110 1001

1001 2–10 уменьшаемое 1001 2–10 вычитаемое двоичная разность 0110 2 коррекция разности двоично-десятичная 0110 2–10 разность

Р ис. 3.6. П ри ример мер вы выпол полнен нени и я вы выч ч ит ита а н и я ч ис исел ел в д во вои и чно чно--дес десят яти и ч ной сист еме сч системе счислен ислени и я: а — без разделе ни ния я на тет рад ы при расс рассмот мот ре рен н ии зай ма; б — с ра раздел зделением ением на тетра ды при рассм рассмо о трении за займа йма

выполнении операции вычитание с числами в двоично-десятичной системе счисления. Вычитание с двоично-десятичными числами рассмотрено как с позиции двоичных чисел, не разделяя на тетрады (рис. 3.6 а), так и с позиции рассмотрения тетрад как разрядов двоично-десятичного числа (рис. 3.6 б). Пример вычитания с двоично-десятичными числами, когда числа рассматриваются без разделения на тетрады, представленный на рис. 3.6 а, выполняется аналогично примеру выполнения вычитания с двоичными числами (см. рис. 3.4 а) в части организации переноса при займе, когда числовое значение единицы переноса равно основанию двоичной системы счисления 10 2 и выражено двоичным числом 102=2 10. 153

Особо необходимо обратить внимание на то, что полученная при вычислениях разность не является двоично-десятичным числом, т.к. имеются тетрады с числовыми значениями больше допу допустимого стимого 10012=9 10 (тетрады 1110 2, 11012 и 11112 на рис. 3.6 а), т.е. разность, представленная такими двоичными числами, дает неверный резуль результат тат.. Для получения верного числового значения разности выполнена коррекция тетрад с числовыми значениями больше допу допустистимого 10012=9 10, способом вычитания шести единиц из этих тетрад 01102=6 10 по правилам вычитания применительно к двоичной системе счисления. 3.2.3. Умножение в позиционных системах счисления Умножение – арифметическая операция в позиционной p-й системе счисления с двумя числами, одно из которых называют множимым, или первым множителем, а другое – сомножителем, или вторым множителем, и резуль результат тат умножения называют произведением. Наиболее часто в математических операциях число, которое умножают,, т.е. первый множитель, называют множимым, а число, умножают на которое умножают умножают,, т.е. второй сомножитель, называют множителем, что несколько упрощает терминологию при объяснении деления и будет использоваться в дальнейшем в описании. Умножение как арифметическое действие основано на повторение множимого в качестве слагаемого столько раз, сколько разрядов содержится в множителе, и выполняется путем получения промежуточных произведений, при умножении каждого разряда множителя на множимое, и последующим их суммированием для получения результирующего зуль тирующего произведения. Необходимо отметить, что промежуточное произведение состоит из частичных произведений, полученных при умножении одиночных разрядов множимого и множителя. Правила умножения чисел, диктующие алгоритм выполнения арифметической операции умножение и определения числовых значений арифметических вычислений в позиционных системах счисления с учетом общих правил выполнения арифметических операций, включают в себя следующие требования: − множители (множимое и множитель) записываются, совмещая друг под другом младшие разряды чисел независимо от номера разряда; 154

−

−

−

−

−

−

−

поразрядное поочередное умножение начинается с младшего разряда множителя на каждый разряд множимого и заканчивается умножением старшего разряда множителя на каждый разряд множимого; поразрядное умножение можно проводить и начиная со старшего разряда множителя на все разряды множимого, заканчивая умножение младшего разряда сомножителя на каждый разряд множимого; числовые значения при умножении определяются по правилам счета в соответствии с таблицами умножения для системы счисления, в которой проводится вычисление; частичные произведения, как результат результат поразрядного умножения, с учетом возможных межразрядных переносов, формируют числовые значения, которые записываются под множителем начиная с младшего разряда множителя, который умножался на разряды множимого, образу образуя я промежуточное произведение; при поразрядном умножении, начиная со старшего разряда множителя, частичные произведения записываются под множителем начиная со старшего разряда; промежуточные произведения, количество которых равно количеству разрядов множителя, записываются друг под другом со сдвигом влево; при поразрядном умножении, начиная со старшего разряда множителя, промежуточные произведения записываются со сдвигом вправо; результирующее резуль тирующее произведение вычисляется суммированием промежуточных произведений по правилам счета в соответствии с таблицами сложения для системы счисления, в которой проводится вычисление, определяется с учетом переносов между разрядами; положение запятой в произведении при умножении смешанных позиционных чисел (дробей), определяется как сумма количества разрядов в дробных частях обоих множителей (множимого и множителя); при поразрядном умножении можно записывать только частичные произведения, полученные при умножении значащих цифр в разрядах множителя от 1 до 9, т.е. без записи частичных произведений для цифры ноль (0) в разрядах множителя, т.к. ноль является незначащей цифрой, и при умножении на любую цифру дает нулевое произведение. 155

Выполняя поразрядное умножение, получаем частичные произведения, каждое из которых в сумме с единицами межразрядных переносов в данный разряд из соседнего младшего разряда, опредеиз которых ляет резуль результирующее тирующее числовое значение в разрядахg),(N определяются числовые значения разрядов в промежуточном произведении, и единицы переноса в соседний старший разряд. Количество единиц переноса (k) из разрядов при поразрядном умножении определяется тогда, когда резуль результирующее тирующее числовое значение в разряде (N g) равно или больше основания применяемой системы счисления (q), применяя, как и при выполнении операции сложение, формулу разложения результирующего числового значения в разрядах Ng=kq+b. При этом b, как остаток при делении нацело Ng/q=k, выражает числовое значение в рассматриваемом разряде. Полученные числовые значения в разрядах записываются последовательно со сдвигом справа налево в строке под множителем начиная с разряда множителя поразрядного умножения на цифры множимого, и являются промежуточным произведением, как результат зуль тат умножения одного разряда множителя на все разряды множимого. Аналогично, последовательным умножением следующих разрядов множителя на все цифры разрядов множимого с учетом переносов, определяются следующие промежуточные частичные произведения, которые записываются в следующей строке под предыдущим промежуточным произведением со сдвигом влево, записывая младший разряд промежуточного произведения под разрядом множителя, который умножался на цифры множимого. Результат Резуль тат умножения чисел в позиционной системе счисления определяется суммированием полученных промежуточных произведений по правилам сложения, и если умножаемые числа были представлены смешанными позиционными числами (дробями), то в полученной сумме отделяется запятой, начиная от младшего разряда суммы промежуточного произведения, количество разрядов, рав ное сумме разрядов в дробной части множимого и множителя. Числовые значения частичных произведений определяются в соответствии числовыми значениями произведений, представленных в таблицах умножения одноразрядных цифр для каждой позиционной системы счисления (табл. 3.5, 3.6 и 3.7). 156

Таблица 3.5 Умножение в двоичной системе

Таблица 3.6 Умножение в восьмеричной системе

×

0

1

×

0

1

2

3

4

5

6

7

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

0

1

1

0

1

2

3

4

5

6

7

2

0

2

4

6

10

12

14

16

3

0

3

6

11

14

17

22

25

4

0

4

10

14

20

24

30

34

5

0

5

12

17

24

31

36

43

6

0

6

14 22 30 36 44

7

0

7

16

25

34

43

52

52

61

Таблица 3.7 Умножение в шестнадцатеричной системе

×

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

A

B

C

D

E

F

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

A

B

C

D

E

F

2

0

2

4

6

8

A

C

E

10

12

14

16

18

1A 1C 1E

3

0

3

6

9

C

F

12

15

18

1B 1E

21

24

27

2A 2D

4

0

4

8

C

10

14

18

1C

20

24

28

2C 30

34

38 3C

5

0

5

A

F

14

19

1E

23

28 2D 32

37 3C

41

46 4B

6

0

6

C

12

18

1E

24 2A 30

7

0

7

E

15

1C 23

2A

31

38

3F

8

0

8

10

18

20

30

38

40

48

9

0

9

12

1B

24 2D 36

3F

48

51

5A

63

6C 75

A

0

A

14

1E

28

46

50

5A 64

6E

78

82 8C 96

B

0

B

16

21

2C 37

63

6E

79

84

8F 9A A5

C

0

C

18

24

30 3C 48

60 6C

78

84

90 9C A8 B4

D

0

D

1A

27

34

41

4E 5B

68

75

82

8F 9C A9 B6 C3

E

0

E

1C 2A

38

46

54

70

7E 8C 9A A8 B6 C4 D2

F

0

F

1E 2D 3C 4B 5A

28

32 3C

42 4D 58 54

62 69

78

36 3C 42 48

87

4E

46 4D 54 50

58

60

54

5B 68

5A

62 70 7E

69 78 87

96 A5 B4 C3 D2 E1

157

Примеры выполнения умножения чисел в восьмеричной и шестнадцатеричной позиционной системе счисления, в которых множимое и множитель представлены смешанными позиционными числами (дробями), показаны на рис. 3.7. Поразрядное умножение в рассматриваемых примерах выполнено начиная с младшего разряда множителя на каждый разряд множимого, с записью резуль результатов татов умножения в виде промежуточных произведений со сдвигом справа налево. Выполняя арифметические действия в восьмеричной и шестнадцатеричной системе счисления, необходимо только помнить, что величина переноса в следующий разряд при умножении и сложении

Р ис. 3. 3.7 7. При Примеры меры вы выпо пол л нен нени и я у м ножен ножени и я ч и се сел л в по пози зиц ц и он онн н ы х сис систт ем ема ах счислен сч ислени и я: а — во вось сьмер мери и ч ны ныхх чисел; б — шестна дцатеричн ых ч исел 158

определяется величиной основания системы счисления, в которой выполняется действие. В примере выполнения умножения восьмеричных чисел на рис. 3.7 а, показан принцип определения числового значения в разрядах промежуточных произведений при умножении цифр разрядов множителя на множимое, с учетом переполнения из предыдущих разрядов и формирования единиц переноса в соседний старший разряд. Например при умножении цифры 6 в разряде множителя на цифру 7 множимого (6×7=42), получаем без переполнения из соседнего =42, из которого при делении на основание справа разряда число gN системы счисления q=8 нацело с остатком (k=N g/q=42/8=5 и b=2 остаток), определяется количество единиц переноса (k) в разряд слева и остаток b как числовое значение разряда, что на рис. 3.7 а представлено формулой разложения резуль результирующего тирующего числового значения в разрядах N g=kq+b=5×8+2. В примерах выполнения умножения чисел в восьмеричной и шестнадцатеричной системе на рис. 3.8 а, б показан для сравнения результат умножения одних и тех же чисел как в восьмеричной и шестнадцатеричной системе, так и в десятичной системе счисления. Рассматривая умножение двоичных чисел, необходимо обратить внимание на то, что ввиду чрезвычайной простоты таблицы умножения в двоичной системе, в которой множители представлены только цифрами 0 и 1, промежуточные произведения равны множимому множимому,, если в разряде множителя стоит единица (1), или равны нулю, если в разряде множителя стоит ноль (0). В соответствии с этим, и частичные произведения при умножении двоичных чисел равны цифрам разрядов множимого, и определяют числовые значения разрядов промежуточного произведения в соответствии с весовым соотношением, полученным при записи промежуточного произведения со сдвигом. При поразрядном умножении двоичных чисел не возникает переполнение в разрядах, что исключает необходимость рассмотрения межразрядных переносов и переполнения при определении числового значения в разрядах промежуточных произведений. Таким образом, умножение двоичных чисел заключается в последовательном сложении числовых значений промежуточных произведений, каждое из которых (в соответствии с таблицей умножения) равно множимому множимому,, и сдвинутых относительно разрядов множителя 159

а

числовое значение единицы 1-го 1го разряда множимого равно 2

единица 22-го го разряда множителя с весовым соотношением 4

1110 2 × 100 2 1110 002

числовые значения множимого числовые значения множителя числовые значения произведения

14 10 × 4 10 56 10

числовое значение единицы при сдвиге на 2 разряда равно 8 б

числовое значение единицы –1 -го разряда множимого равно 0,25 числовое значение единицы 1-го 1го разряда множимого равно 2 единица множителя 0-го разряда с весовым соотношением равным 1

числовое значение единицы –33-го го разряда 11-го го промеж. произведения равно 0,125, т.к. весовое соотношение единицы множителя –11-го го разряда равно 0,5

11,01 2 3,2 510 × × 1,1 1,5 10 2 ⇐11-е е промеж. произв.⇒ 1,10 1 1,625 10 + + 2-е е промеж. произв.⇒ 3,25 11,0 1 0 ⇐2100,111 2 4,875 10

числовое значение единицы 1-го разряда промеж. произведения 1-го равно 2, т.к. весовое соотношение единицы множителя 0-го разряда равно 1

числовое значение единицы –22-го го разряда 22-го го промеж. произведения равно 0,25, т.к. весовое соотношение единицы множителя 0-го разряда равно 1

Р ис. 3.8. При Пример мер,, поясн поясня я ющ ющи и й ч ис исловые ловые зн значени ачения я д вои воич ч н ы х ра разз ря рядов дов п ромеж ромежуу т оч очног ного о п рои роизве зведен дени и я п ри вы выпо пол л нен нени и и у м ножен ножени и я д в ои оич чных ч исел с п р оверкой у м ножен ножени и я в де десят сяти и ч ной сист системе еме с ч ислен ислени и я: а — целых ч ис исел ел;; б — сме смешан шан ны ныхх позиционных ч исел (др дробей обей))

между собой на соответствующее число разрядов, определяемое правилами поразрядного умножения. Сдвиг промежуточных произведений при умножении в двоичной системе счисления изменяет позицию единиц в двоичном числе, а, соответственно, и их весовое соотношение, изменяя при этом количественное значение промежуточного произведения в соответствии с количеством разрядов, на которое сдвинуто промежуточное произведение при записи под множителем. Исследуем Исследу ем взаимосвязь количественного значения произведений, полученных при выполнении умножения чисел, представленных в двоичной системе счисления, с весовым соотношением единиц в разрядах чисел множимого, множителя и произведения. В соответствии с определением умножения как арифметического действия, количественное значение произведений при выполнении умножения в позиционных системах счисления определяется сум160

мой, в которой слагаемыми являются повторяемое множимое, количество которых равно числовому значению цифры множителя. При умножении многоразрядных чисел, рассматривая количественные значения промежуточных произведений, рассматривать и частичные произведения как составляющие промежуточных произведений. Количественное значение частичных произведений определяется суммой числовых значений цифры в разряде множимого, количество которых равно числовому значению цифры в разряде множителя, по которой определялось частичное произведение, а количественное значение промежуточного произведения определяется суммой повторяемого множимого с количеством повторений, равным числовому значению цифры множителя. Если в этом же понятии определения произведений рассматривать резуль результирующее тирующее произведение, то количественное значение результирующего резуль тирующего произведения также определяется суммой, в которой слагаемыми являются повторяемое множимое, количество которых равно количественному числовому значению множителя. Таким образом, количественное значение всех видов произведений, рассматривая через умножение, определяется: − для частичного произведения – умножением цифры множителя и цифры множимого, в соответствии с числовым значением цифр; − для промежуточного произведения – умножением цифры множителя на все цифры множимого, в соответствии с числовым значением цифр; − для результирующего произведения – умно умножением жением множителя на множимое, как чисел, выраженных набором цифр, в соответствии с количественным значением множителя и множимого. Рассматривая умножение в двоичной системе счисления, где множитель представлен числом с набором цифр 0 и 1, из которых только цифра 1, как значащая цифра, можно, в соответствии с правилами умножения, при числовом значении цифры, равном единице в любом разряде множителя, представить произведения только как равные множимому множимому,, но со сдвигом. Однако рассматривая двоичную систему систему,, как позиционную систему,, необходимо учитывать, что числовое значение единицы, как цифму ры, определяется не только числовым значением цифры, но весовым соотношением цифры в числе (позиционным числовым значением), 161

которое зависит от ее позиции в числовом наборе числа. Основываясь на этом, количественные значения чисел, представляющих множимое, множитель и произведение, необходимо определять, учитывая весовые соотношения единиц, как цифр, в разрядах числа. В соответствии с особенностями двоичной системы счисления, с позиции определения количественного (числового) значения, как одиночных разрядов, так и двоичных чисел, через весовое соотношение единиц в числе, изменение количественного числового значения промежуточного произведения, представленного множимым со сдвигом, также можно определять по весовому соотношению единицы множителя, по которой определялось промежуточное произведение. При этом необходимо помнить, что весовое соотношение цифр в числе и количественное значение чисел всегда рассматриваются в десятичной системе счисления. Таким образом, при умножении чисел в двоичной системе, весовое соотношение единицы множителя, выраженное десятичным числом, показывает показывает,, во сколько раз изменится промежуточное произведение по отношению к множимому множимому,, если для определения промежуточного произведения взять эту единицу множителя. Определение количественного значения промежуточного произведения, представленного в двоичной системе счисления, через весовое соотношение разрядов, можно выполнять только с учетом сдвига промежуточного произведения, рассматривая номера его разрядов начиная отсчет с младшего разряда множителя, т.к. по номеру разряда определяется весовое соотношение разряда и позиционное числовое значение или весовое соотношение единицы. Количество разрядов, начиная с младшего разряда множителя и до младшего разряда промежуточного произведения, определяет количество разрядов, на которое выполнен сдвиг промежуточного произведения. Основываясь на том, что количественное значение промежуточного произведения в двоичной системе счисления определяется в зависимости от количества разрядов, на которое сдвигается при записи под множителем множимое, как промежуточное произведение, в двоичной системе счисления при выполнении умножения важно рассмотреть принцип определения количества разрядов сдвига. Примечание. Вопрос о количестве разрядов сдвига промежуточного произведения, рассматриваемый при представлении чисел двоичны162

ми символами 0 и 1, не рассматривался для других позиционных систем счисления, т.к. промежуточные произведения в них не равны множимому, а определяются частичными произведениями одиночных разрядов множителя и множимого. Количество разрядов, на которое при умножении двоичных чисел сдвигается промежуточное произведение при записи под множителем, определяется числовым значением разности, полученной математически при вычитании из номера разряда единицы множителя, для которой определяется промежуточное произведение, номера младшего разряда множителя. Например для двоичного числа (1110,1011) 2, представленного как множитель, количество разрядов, на которое необходимо сдвигать промежуточное произведение, для единицы множителя с разрядом номер ««-1», 1», определяется разностью между номером разряда ««-1», 1», для которого определяется промежуточное произведение, и номером младшего разряда числа ««-4», 4», и равно 3 (трем) (-1 (1 – ((-4)=3). 4)=3). Таким образом, если единица множителя находится в младшем разряде множителя, то промежуточное произведение записывается без сдвига, т.к. нет разности разрядов, а для всех остальных разрядов единиц в множителе необходимо определять количество разрядов, на которое необходимо сдвигать промежуточное произведение при записи под множителем. При умножении двоичных смешанных позиционных чисел (дробей), позиция запятой, как в промежуточных произведениях, так и в резуль результирующем тирующем произведении, определяется по правилам, как и для других позиционных систем счисления, т.е. суммой количества разрядов в дробных частях обоих сомножителей (множимого и множителя). Правило определения положения запятой в произведениях очень важно при определении числового значения каждого из произведений, т.к. числовое зна чение как отдельных разрядов, так и всего произведения, опреде ляется в соответствии с весовыми соотношениями разрядов в целой и дробной части числа. При записи двоичного числа со сдвигом влево, происходит сдвиг единиц в соседние слева разряды, в соответствии с чем числовое значение каждого разряда промежуточного произведения, а, соответственно, и общее числовое значение промежуточного произ ведения 163

может изменяться. Изменение числового значения определяется множителем равным числовому значению весового соотношения единицы в разряде множителя, для которой определялось промежуточное произведение. В соответствии с тем, что весовое соотношение единиц множителя при умножении двоичных смешанных позиционных чисел (дробей) выражены в целой части числа целыми числами (1, 2, 4, 8, и т.д.), а в дробной части – десятичными дробями (0,5; 0,25; 0,125 и т.д.), числовые значения произведений могут при сдвиге как увеличиваться, так и уменьшаться. Необходимо отметить, что при практическом выполнении умножения двоичных чисел сдвиг промежуточных произведений, а, соответственно, и изменение числового значения промежуточного произведения, выполняется автоматически, при соблюдении правил записи промежуточных произведений. Таким образом, когда не требуется математического обоснования сдвига и числа, определяющего множитель изменения, числовое значение промежуточного произведения при сдвиге, а также и числового значения промежуточного произведения, то в записи промежуточных произведений можно не указывать запятую. Такой вид записи умножения практику практикуется ется при умножении, выполняемом с наиболее распространенной в повседневном применении десятичной системы счисления. На рис. 3.8 показаны примеры, поясняющие математический способ определения количества разрядов, на которое сдвигается промежуточное произведение при умножении целых двоичных чисел (рис. 3.8 а) и смешанных позиционных чисел (дробей) (рис. 3.8 б). В приведенных примерах (см. рис. 3.8) также рассмотрены числовые значения отдельных разрядов множимого и промежуточных произведений в сравнении, что позволяет определить изменения числовых значений разрядов промежуточных произведений. Для сравнения числовых значений множимого и промежуточных произведений, рассмотрен вариант умножения этих же чисел, представленных в десятичной системе счисления (рис. 3.8), что ускоряет процесс сравнения, а также позволяет рассмотреть правила выполнения умножения применительно к десятичной системе счисления. 164

Например на рис. 3.8 а количество разрядов, на которое необходимо сдвигать промежуточное произведение, определяется разностью, полученной при вычитании из номера разряда единицы, для которой определяется промежуточное произведение, равного двум (2) в множителе (100)2, номера младшего разряда множителя, равного нулю (0). В соответствии с расчетом (2–0=2), сдвиг промежуточного произведения (выделено полужирным шрифтом) при записи под множителем выполнен на два (2) разряда по отношению к младшему разряду множителя. Для определения числового значения промежуточного произведения, которое в примере на рис. 3.8 а является и резуль результирующим тирующим произведением, т.к. множитель имеет только одну единицу единицу,, добавлены нули в разряды, на которые произведен сдвиг сдвиг,, т.е. справа от младшего разряда промежуточного произведения. В этом случае числовое значение резуль результирующего тирующего произведения, выраженное двоичным числом 111000 2, можно сравнить с числовым значением множимого 11102, представив оба числа в десятичной системе, применяя формулу развернутой формы записи позиционных чисел: − резуль результирующее тирующее (промежуточное) произведение (111000)2=1×25+1×24+1×23+0×22+0×21+0×20 =32+16+8+4+2+0= =(56) =( 56) 10; − множимое (1110)2=1×23+1×22+1×21+0×20 =8+4+2+0 =( =(14) 14) 10. Сравнение числовых значений резуль результирующего тирующего произведения (56)10 и множимого (14)10 показывает показывает,, что числовое значение произведения увеличилось при записи со сдвигом на 2 разряда в 4 раза (56 : 14=4), что соответству соответствует ет весовому соотношению 4 для единицы во 22-м м разряде множителя, для которой определено промежуточное произведение. Аналогично в 4 раза увеличилось числовое значение одиночных двоичных разрядов произведения, по сравнению с аналогичными единицами в разрядах множимого, что показано на рис. 3.8 а. При умножении смешанных позиционных чисел (дробей) (см. рис. 3.8 б) 11-е е промежуточное произведение (1,101) 2 = (1,625)10 записано без сдвига, т.к. умножаемая единица множителя, по которой определяется промежуточное произведение, находится в 00-м м разряде множителя. Запятая отделяет три разряда дробной части числа, что соответствует сумме разрядов в дробной части множимого и множителя. 165

В соответствии с положением запятой, числовое значение -33-го го разряда в 11-м м промежуточном произведении равно 0,125 10, что меньше числового значения 0,25 10 аналогичной единицы во -22-м м разряде множимого, равнозначного 11-му му промежуточному произведению, в 0,5 раза (0,125:0,25=0,5), несмотря на то, что промежуточное произведение записано без сдвига. Данный пример показывает,, что изменение числового значения единиц в разрядах показывает промежуточного произведения зависит не только от сдвига, но от весового соотношения единицы множителя, для которой определялось промежуточное произведение, и для 11-го го промежуточного произведения равно 0,5. Числовое значение 11-го го промежуточного произведения также уменьшилось в сравнении с множимым в 0,5 раза. Во 22-м м промежуточном произведении (11,010) =(3,25) 3,25) 10 запятая, 2=( так же как и в 11-м м промежуточном произведении, отделяет 3 разряда дробной части числа, а единица -22-го го разряда множимого, в -22-м м разряде 22-го го промежуточного произведения, имеет числовое значение, равное 0,2510 10, несмотря на то, что промежуточное произведение записано со сдвигом на один разряд. Аналогично на рис. 3.8 б показано числовое значение 11-го го разряда 22-го го промежуточного произведения 10 2=2 10, которое не изменилось, как не изменилось и числовое значение 22-го го промежуточного произведения в сравнении с множимым, т.к. весовое соотношение единицы множителя 00-го го разряда, по которому определено 22-е е промежуточное произведение, равно единице (1). Результирующее Резуль тирующее произведение (см. рис. 3.8 б), как сумма двух промежуточных произведений, соответству соответствует ет увеличению множимого в 1,5 раза, что соответству соответствует ет сумме весовых соотношений единиц в разрядах множителя (0,5+1=1,5) и равно в десятичной системе 4,875 10. Таким образом, рассмотренные примеры подтверждают подтверждают,, что числовые значения, как одиночных двоичных разрядов, так и промежуточных произведений, представленных этими двоичными разрядами, зависят как от количества разрядов сдвига множимого в записи промежуточного произведения, так и от весового соотношения единицы множителя, по которой определяется это промежуточное произведение. Обобщая особенности умножения в двоичной системе, можно сделать вывод о том, что числовое значение промежуточного про166

изведения, равнозначное множимому множимому,, «механически» умножается за счет сдвига множимого, как промежуточного произведения, на весовое соотношение единицы в разряде множителя, которая определяла рассматриваемое промежуточное произведение. Количество разрядов сдвига промежуточного произведения и весовые соотношения единиц множителя, для которых определены промежуточные произведения, представлены в табл. 3.8 для числа, как множителя, с номерами разрядов от –7 до 7. Количество разТаблица 3.8 количество разрядов сдвига промежуточного произведения и весовые соотношения единиц множителя Номер множимого разряда единицы множителя ……

Весовое соотношение множимой единицы множителя ……

Номер младшего разряда единицы множителя 0

–1

–2

–3

–4

–5

–6

–7

…… …… …… …… …… …… …… ……

–7

0,0078125

–

–

–

–

–

–

–

0

–6

0,015625

–

–

–

–

–

–

0

1

–5

0,03125

–

–

–

–

–

0

1

2

–4

0,0625

–

–

–

–

0

1

2

3

–3

0,125

–

–

–

0

1

2

3

4

–2

0,25

–

–

0

1

2

3

4

5

–1

0,5

–

0

1

2

3

4

5

6

0

1

0

1

2

3

4

5

6

7

1

2

1

2

3

4

5

6

7

8

2

4

2

3

4

5

6

7

8

9

3

8

3

4

5

6

7

8

9

10

4

16

4

5

6

7

8

9

10

11

5

32

5

6

7

8

9

10

11

12

6

64

6

7

8

9

10

11

12

13

7

128

7

8

9

10

11

12

13

14

……

…… …… …… …… …… …… …… ……

…… 10

1024

10

11

12

13

14

15

16

17

и т.д.

……

…… …… …… …… …… …… …… …… 167

рядов сдвига промежуточного произведения определяется в ячейке на пересечении столбца с номером младшего разряда множителя и строки, соответствующей номеру разряда множителя, в котором находится множимая единица для определения промежуточного произведения. Например если номер разряда множимой единицы множителя (строка таблицы), по которой определяется промежуточное произведениу произведениу,, равен –4, а номер младшего разряда множителя (столбец таблицы) равен –7, т.е. в дробной части числа семь разрядов, количество разрядов сдвига равно 3 (пересечение строки и столбца). В столбце с весовыми соотношениями разрядов множителя можно определить весовое соотношение множимого разряда множителя, в строке, соответствующей номеру разряда множимой единицы множителя, в рассматриваемом примере это число 0,0625 10. Также необходимо отметить, что, как указывалось в правилах, нулевое значение промежуточного произведения можно не записывать, что упростит форму записи выполняемой операции умножение во всех позиционных системах счисления. В примере умножения двоичных чисел (рис. 3.9), для пояснения понятия нулевого значения промежуточного произведения рассмотрен вариант вариант,, когда цифра в разряде множителя незначащая, т.е. ноль (0), определяет нулевое значение второго промежуточного произведения, которое не влияет на числовое значение резуль результирутирующего произведения, и соответственно, его можно не записывать в вычислении. аб 101 , 01 2 5, 25 10 × 10 ,1 × 2,5 2 10 10 , 101 промежуточные 2, 62 5 + + 000 , 0 0 произведения 10 , 5 0 1010 , 1 1 3,1 25 10 110 1, 001 2 1 + 2 = 310 6 + 5 = 1110 1 + 0 + 0 = 12 1 + 0 + 1 – 102 1 + 1 = 102 1 + 0 +0 + 0 = 12 (1101,001)2 = (13,125)10 Р ис. 3.9 3.9.. При Примеры меры вы вып п ол олн н ен ени и я у множ множен ени и я ч ис исе е л в поз пози и ц ион ионны ныхх сис систт ем ема ах счислен сч ислени и я: а — д воичн ы х чисел; б — десяти чн чны ы х чисел 168

аб

×

111110,101001 10101,10

62,640625 × 21,625

2

12

10 10

111,110101001 510 ⇐ 11-е е промеж. произв. 0,31320312 ⇐ 22-е е промеж. произв. 11111,0101001 1,2528125 0 ⇐ 33-е е промеж. произв. + 37,5843750 + 111110,101001 ⇐ 4-е 4е промеж. произв. 11111010,1001 62,640625 ⇐ 55-е е промеж. произв. 1111101010,01 1252,8125 0 10101001010,100110101 1354,603515625 2 10 результирующее произведение в

7,830078125 1-е е промеж. произв. 10 ⇐ 131,320312510 ⇐ 22-е е промеж. произв. 62,64062510 ⇐ 33-е е промеж. произв. 250,562510 ⇐ 44-е е промеж. произв. 1002,2510 ⇐ 55-е е промеж. произв.

( 10101001010,100110101

2 )=

( 1354,603515625 10 )

Р ис. 3. 3.10. 10. При Прим м еры вы выпо пол л нен нени и я у м н ожен ожени и я ч и се сел л в по пози зиц ц и он онн н ы х сис систт ем ема ах счислен сч ислени и я: а — д воичн ы х чисел; б — десяти чны х чисел; в — ч ис ислов ловые ые значени значен и я п р омеж омежуу т оч очн н ы х п рои роизведен зведени и й в деся десятт и ч ной сис системе теме сч счислен ислени ия

При выполнении умножения в качестве пояснения на рис. 3.9 рассмотрен принцип определения числового значения в разрядах результирующего резуль тирующего произведения при суммировании промежуточных произведений, показанный сноской возле разряда, где жирным шрифтом выделена цифра, определяющая числовое значение данного разряда резуль результирующего тирующего произведения, а невыделенная цифра суммы переносится в разряд слева. В примере умножения двоичных чисел на рис. 3.10 рассмотрены числовые значения промежуточных произведений, представленные в десятичной системе счисления (рис. 3.10 в), которые можно сравнить с аналогичными значениями, но представленными в двоичной системе (рис. 3.10 а). Во всех числовых значениях показаны позиции запятой, что позволяет правильно ориентироваться в весовых соотношениях одиночных разрядов и полных числовых значениях чисел. Для проверки резуль результатов татов умножения в двоичной системе рассмотрен вариант умножения этих же чисел, представленных в десятичной системе счисления (рис. 3.10 б). Если воспользоваться 169

формулой развернутой формы записи позиционных чисел, то представив двоичные числа в десятичном эквиваленте, можно провести сравнение резуль результатов татов умножения в двоичной и десятичной системе счисления. Умножение в смешанных системах счисления. Умножение чисел в смешанных системах счисления выполняется на основе правил умножения, применимых к двоичной позиционной системе счисления. Отличительной особенностью при умножении чисел в смешанных системах счисления является то, что количество промежуточных произведений определяется количеством одиночных разрядов множителя, представленных единицей (1), как это происходит при умножении двоичных чисел, а не количеством разрядов множителя, которые в смешанных системах представлены триадами или тетрадами. Каждое промежуточное произведение состоит из частичных произведений, по лученных как результат умножения единицы множителя на триаду или тетраду тетраду,, т.е. в промежуточных произведениях частичные произведения повторяют триады или тетрады множимого, т.е. представлены, соответственно, трехразрядными или четырехразрядными двоич ными числами, а не одноразрядными, как в позиционных несмешанных системах счисления. В связи с этим, при умножении чисел в смешанных системах счисления, так же как и в двоичной системе счисления, промежуточные произведения равны множимому, и цифры промежуточного произведения должны при записи занимать позиции в соответствии со структурой множимого с разделением на триады или тетрады, как на разряды чисел в смешанных системах счисления. Если младшая цифра множителя равна единице, то позиции цифр промежуточного произведения, а соответственно, и триад или тетрад, занимают позиции, соответствующие структуре триад или тетрад множимого, т.к. позиция младшей цифры промежуточного произведение совпадает с позицией младшей цифры как множимого числа, так и множителя. В соответствии с тем, что следующие промежуточные произведения формируются при поразрядном умножении цифр одиночных разрядов множителя, позиции которых не совпадают с позицией младшего разряда множителя, то промежуточные произведения записываются со сдвигом влево, размещая младший разряд каждого промежуточного произведения на позиции разряда множителя, который 170

применялся для формирования данного промежуточного произведения. При этом все остальные одиночные разряды промежуточного произведения сдвигаются также влево и записываются в соответствии с позициями одиночных разрядов и структурой размещения по триадам или тетрадам сомножителей, что изменяет структуру триад или тетрад по сравнению со структурой промежуточного произведения, записанной без сдвига. Сдвиг единиц в промежуточном произведении рассматривается как перенос между триадами или тетрадами, которыми представлены разряды в числах смешанных систем, или как перенос между одиночными разрядами в триадах или тетрадах. Если записать промежуточное произведение, копируя позиции аналогичных одиночных разрядов триад или тетрад множимого, основываясь на том, что промежуточное произведение равно множимому в смешанных системах счисления, то некоторые разряды триад или тетрад промежуточного произведения окажутся в межразрядных позициях и, соответственно, не будут входить ни в одну из триад или тетрад множимого. Пример, поясняющий данный случай, показан на рис. 3.11, где промежуточные произведения записаны в структуре одиночных разрядов множимого, что приводит к размещению старших разрядов триад в межразрядных позициях числа. Такой метод записи промежуточных произведений приводит к неверному результату при выполнении умножения, и в соответствии с этим не может применяться при выполнении операции умножения в смешанных системах счисления. правильная запись цифры промежуточного в межразрядных × 111 110, 1 012–8 произведения позициях 010 000, 01 1 2–8 111, 0 00 10 2–8 1 неправильные записи + промежуточных 111 110 10 1 произведений 111 110 10 1 111 11100 000001011112–8 цифры в межразрядных неверное результирующее позициях произведение Р ис ис.. 3.11. При Пример мер,, поясня ющ ющий ий ош ошибк ибки и п ри за записи писи промеж у точ точны ныхх п роиз роизведе ведени ний й п ри вып выпол олнен нения ия у м ножен ножени и я ч исе исел л в смеша смешан н ны ныхх сист система емахх счислени сч ислени я 171

В соответствии с этим, при выполнении умножения с числами в смешанных системах счисления, вводится правило записи промежуточных произведений как дополнение к правилам умножения в позиционных системах счисления. Правила записи промежуточных произведений при умножении чисел в смешанных системах счисления: − промежуточные произведения при умножении записываются под множителем, размещая младший разряд каждого промежуточного произведения на позиции разряда множителя, равного единице, по которому формиру формируется ется промежуточное произведение; − разряды промежуточного произведения сдвигаются влево и занимают позиции в соответствии со структурой сомножителей так, чтобы одиночные двоичные разряды промежуточного произведения не занимали межразрядные позиции в числах и составляли триады или тетрады в зависимости от смешанной системы счисления. При выполнении правил умножения, применительно к двоичной системе счисления, и правил записи промежуточных произведений при умножении чисел в смешанных системах счисления, умножение чисел в дво ично-восьмеричной и двоично-шестнадцатеричной системе счисления аналогично умножению двоичных чисел, т.к. двоично-восьмеричные и двоично-шестнадцатеричные числа равны аналогичным числам в двоичной системе. На основе того, что перенос одиночных двоичных разрядов в смешанных системах счисления рассматривается как между триадами или тетрадами, так и в триадах или тетрадах, числовое значение промежуточного произведения, записанного со сдвигом, необходимо рассматривать через числовые значения триад и тетрад, определяющих числовое значение промежуточного произведения в старшей системе счисления. Перенос единиц в записи промежуточного произведения со сдвигом в смешанных сис темах счисления зависит как от количества разрядов, на которое происходит сдвиг про межуточного произведения, так и правила, исключающего запись одиночных разрядов в межразрядных позициях, т.е. между триадами или тетрадами. Для выполнения всех требований при записи промежуточного произведения, при выполнении умножения чисел в смешанных сис темах счисления 172

перенос между триадами и тетрадами может быть осуществлен не только в 00-й й разряд соседней слева триады или тетрады, но и в другие разряды этой триады или тет рады, исключая 22-й й разряд триады или 33-й й разряд тетрады. Позиция, в которую при сдвиге переносится единица триады или тетрады промежуточного произведения, зависит от позиции единицы в триаде или тетраде множителя, так например при позиции единицы в 00-м м разряде младшей триады или тетрады множителя, сдвига в разрядах триад или тетрад промежуточного произведения, равнозначного множимому множимому,, не происходит происходит.. Если позиция единицы в тетраде (триаде) множителя соответству соответствует ет 11-му му,, 22-му му или 3-му 3му разряду тетрады (11-му му или 22-му му разряду триады) множителя, то происходит сдвиг разрядов в тетрадах (триадах) промежуточного произведения, соответственно, на 1, 2 или 3 разряда (на 1 или 2 разряда в триадах). В резуль результате тате сдвига одиночных разрядов в триадах и тетрадах промежуточного произведения происходит перенос одиночных разрядов из триад и тетрад, перемещая их в триады или тетрады, расположенные слева, сдвигая тем самым и разряды в этих триадах или тетрад влево. Таким образом, в промежуточном произведении может происходить последовательный сдвиг влево одиночных разрядов между соседними триадами или тетрадами при записи промежуточного произведения, выполнении умножения в смешанных системах счисления. Структура и алгоритм сдвига одиночных разрядов триад и тетрад в промежуточном произведении, в зависимости от номера разряда для единицы в триаде или тетраде множителя, по которой определяется промежуточное произведение, показан в табл. 3.9 для триад и в табл. 3.10 для тетрад. В таблицах показан сдвиг одиночных разрядов из младшей триады (см. табл. 3.9) и тетрады (см. табл. 3.10), как триады и тетрады, из которой выполняется перенос одиночных разрядов в старшую слева триаду и тетраду тетраду,, как триаду и тетраду тетраду,, в которую выполняется перенос при сдвиге промежуточного произведения справа налево. Аналогично выполняются переносы одиночных разрядов между другими соседними триадами и тетрадами. В таблицах 3.8 и 3.9 видно, что максимальный сдвиг одиночных разрядов из триады в триаду 173

Таблица 3.9 Структура и алгоритм сдвига одиночных разрядов триад Позиция единицы в триаде множителя

Промежуточное произведение Разряды старшей триады 2 1 0

Перенос разрядов Разряды триад между триадами младшей триады при сдвиге 2 1 0

001 (00-й й разряд) 010 (11-й й разряд)

100 (22-й й разряд)

0

0

0

0

0

0

0

0

0

Нет переноса из триад Перенос 22-го го разряда младшей триады в 00-й й разряд соседней старшей триады Перенос 22-го го и 11-го го разрядов младшей триады в 11-й й и 00-й й разряды соседней старшей триады

Таблица 3.10 Структура и алгоритм сдвига одиночных разрядов триад Промежуточное произведение Позиция Перенос разрядов единицы Разряды старшей Разряды младшей тетрад между тетрадав тетраде тетрады слева тетрады ми при сдвиге множителя 3 2 2 1 0 3 1 0 0001 (00-й й разряд)

0

0010 (11-й й разряд)

0100 (22-й й разряд)

1000 (33-й й разряд)

174

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0 Нет переноса из тетрад Перенос 33-го го разряда младшей тетрады в 00-й й разряд соседней старшей тетрады Перенос 33-го го и 22-го го разрядов младшей тетрады в 11-й й и 00-й й разряды соседней старшей тетрады Перенос 33-го, го, 22-го го и 1-го 1го разрядов младшей тетрады во 22-й, й, 11-й йи 0-й 0й разряды соседней старшей тетрады

слева, может происходить только на 2 позиции, т.е. включая 11-й й разряд соседней слева тетрады, а в тетрадах на 3 позиции, включая 22-й й разряд соседней слева тетрады. Такой максимальный сдвиг возможен для триад при номере разряда 2 в триаде множителя и для тетрад при номере разряда 3 в тетраде множителя. Примечание. Алгоритм сдвига одиночных разрядов младшей триады и тетрады в таблицах показаны серым цветом. Сдвиг одиночных разрядов старшей триады и тетрады, который также происходит при переносе в эту триаду или тетраду одиночных разрядов из младшей триады или тетрады, в таблицах 3.8 и 3.9 не показан. Таким образом, количество разрядов, на которое происходит сдвиг одиночных разрядов в триадах и тетрадах промежуточного произведения, зависит только от номера разряда единицы в триаде или тетраде множителя, и происходит во всех триадах или тетрадах промежуточного произведения. При этом необходимо помнить, что сдвиг (смещение) всего промежуточного произведения выполняется не только в зависимости от номера разряда единицы в триаде или тетраде множителя, но и от номера триады или тетрады как разряда в составе множителя. Особенность разделения одиночных двоичных разрядов в смешанных системах счисления по триадам или тетрадам требу требует ет и другого подхода для математического определения количества одиночных разрядов, на которое производится сдвиг промежуточного произведения, по отношению к множимому множимому,, при записи. Количество одиночных разрядов, на которое при умножении в смешанных системах счисления сдвигается запись промежуточного произведения под множителем, можно определить по аналогии определения количества разрядов сдвига в двоичной системе, принимая за номера разрядов множителя номера триад или тетрад, а не номера одиночных разрядов множителя. Номера триад и тетрад в смешанных системах счисления – это те же самые номера разрядов числа, т.к. триады и тетрады являются разрядами в смешанных системах счисления. Для определения разности номеров разрядов необходимо из номера младшей триады или тетрады множителя вычесть номера разряда триады или тетрады множителя, в которой берется единица, определяющая промежуточное произведение. Затем полученную 175

разность умножить на 3, если вычисление выполнятся для триад, или на 4 – для тетрад, и к полученному произведению прибавить номер разряда единицы в триаде или в тетраде множителя, в которой берется единица, определяющая промежуточное произведение. Например в смешанной системе счисления для числа (1000 0010,1011 0100) 2–16, представленного как множитель, количество разрядов, на которое необходимо сдвигать промежуточное произведение, для единицы 11-го го разряда в 00-й й тетраде 0010 множителя, определяется разностью номеров 00-й й и –22-й й тетрад, умноженной на 4, в сумме с номером разряда единицы в 00-й й тетраде. Результат вычислений, представленный математическим выражением (0–(–2))×4+1=9, определяет определяет,, что количество одиночных разрядов, на которое необходимо сдвигать промежуточное произведение, при позиции множимой единицы множителя в 11-м м разряде 00-й й тетрады равно 9 (девяти). Рассматривая такие смешанные системы счисления, как двоично-восьмеричная и двоично-шестнадца те ричная, числа которых равны таким же числам в двоичной системе счисления, количество одиночных разрядов сдвига можно определить рассматривая двоично-восьмеричные и шестнадцатеричные числа как двоичные числа, применяя методику методику,, рассмотренную для двоичной системы счисления (см. табл. 3.8). В этом случае берутся номера одиночных разрядов без разделения по триадам или тетрадам, представляя двоичновосьмеричные и двоично-шестнадца те ричные числа как двоичные. Как и при умножении в двоичной системе, математический подход к определению количества одиночных разрядов сдвига промежуточного произведения, в практике выполнения умножения не используется, пользу ется, но применяется в пояснениях процесса сдвига промежуточного произведения и в программировании. Однако при умножении чисел в смешанных системах счисления, даже и в практическом выполнении умножения, важным остается определение количества одиночных разрядов, на которое необходимо выполнить сдвиг одиночных разрядов в триадах и тетрадах. Это связано с тем, что при сдвиге в триадах и тетрадах может происходить перенос единиц как внутри триады и тетрады справа налево, так и справа налево между триадами или тетрадами, изменяя при этом числовые значения триад и тетрад, а соответственно, 176

и числовое значение промежуточного произведения, представленного в смешанной системе счисления. Изменение числового значения промежуточного произведения рассматривается по сравнению с числовым значением множимого, т.к. в системах счисления, где числа представлены цифрами 0 и 1, промежуточное произведение равнозначно множимому множимому.. Числовое значение единицы в смешанной системе счисления после сдвига определяется в соответствии с весовым соотношением единиц в триаде или тетраде, в которой находится сдвинутая единица. Таким образом, числовое значение сдвинутой единицы в триаде или тетраде промежуточного произведения может отличаться от числового значения этой же единицы в триаде и тетраде промежуточного произведения без сдвига, что зависит от разряда, занимаемого единицей в триаде или тетраде после сдвига. Рассматривая изменение числового значения триад и тетрад после сдвига в промежуточном произведении, необходимо понимать, что числовое значение триад и тетрад может как увеличиваться, так и уменьшаться, и не изменяется, если промежуточное произведение записано без сдвига. Числовое значение триад и тетрад не изменяется при сдвиге промежуточного произведения, если пози цией множимой единицы, по которой определяется промежуточное произведение, является 00-й й разряд любой тетрады множителя, т.к. в этом случае отсутству отсутствует ет сдвиг одиночных разрядов в триадах и тетрадах (см. табл. 3.9 и 3.10). Сдвиг промежуточных произведений при умножении чисел, представленных в смешанных сис темах счисления, может привести и к увеличению количества триад или тетрад в резуль результирующем тирующем произведении, что логически обосновано, при увеличении числового значения в смешанных сис темах счисления. Так как двоично-восьмеричные и двоично-шестнадца теричные числа равны аналогичным числам в двоичной сис теме счис ления, то числовые значения единиц при сдвиге в одиночный разряд слева увеличиваются в 2 раза, в соответствии с соотношением количественных значений соседних базисов в двоичной системе счисления. Основываясь на этом, можно рассматривать и числовое значение единицы пе реноса и из триад и тетрад, если учитывать, что перенос из триад возникает при числовом значении, равном 8, а из тетрад – 177

равном 16, что соответству соответствует ет числовому значению, соответственно, 4-го 4го разряда в пятиразрядном и 33-го го разряда в четырех разрядном двоичном числе. Также числовое значение произведений при умножении смешанных позиционных чисел (дробей), в смешанной системе счисления зависит от позиции запятой, т.к. весовые соотношения, определяющие позиционное числовое значение триад или тетрад в разрядах числа в целой части числа, выражены целыми числами, а в дробной части – дробями. Весовые соотношения триад или тетрад в целой и дробной части числа соответствуют числовым значениям базисов старшей системы, в зависимости от смешанной системы счисления, в которой представлены числа при выполнении арифметической операции. Позиция запятой определяется как сумма количества триад или тетрад в дробных частях множимого и множителя, т.к. триады и тетрады являются разрядами чисел в смешанных системах счисления. Числовое значение промежуточного и резуль результирующего тирующего произведения, при умножении двоично-восьмерич ных и двоичношестнадца те ричных чисел, можно определить в восьмерич ной и шестнадца те ричной системе по числовым значениям, соответственно, триад или тетрад, и в десятичной – по весовым соотношениям одиночных двоич ных разрядов, по формуле развернутой записи позиционных чисел для двоичной системы счисления. При этом необходимо понимать, что числовые значения триад и тетрад также определяются через весовые соотношения одиночных разрядов, но только в триадах или тетрадах, а не всего двоично-восьмеричного или двоично-шестнадца те ричного числа, представленного как двоичное. Учитывая особенности структуры чисел смешанных систем счисления, весовое соотношение одиночных разрядов необходимо определять с учетом весового соотношения одиночных разрядов в составе триад или тетрад и номера триад или тетрад в числе, а также основания младшей и старшей системы счисления в составе смешанной системы счисления, применяя формулу: p-q N =p k×qd. В соответствии с тем, числа в смешанных системах счисления представлены только цифрами 0 и 1, т.е. как и двоичные числа, изменение количественного значения промежуточного произведения 178

можно определять по весовому соотношению единицы множителя, по которой определялось промежуточное произведение. Таким образом, весовое соотношение единицы множителя покажет покажет,, во сколько раз изменится промежуточное произведение по отношению к множимому множимому,, если для определения промежуточного произведения взять эту единицу множителя. При этом необходимо помнить, что весовое соотношение цифр в числе и количественное значение чисел всегда рассматриваются в десятичной системе счисления. Примеры выполнения умножения чисел в двоично-восьмеричной и двоично-шестнадцатеричной системе счисления, в которых множимые представлены смешанными позиционными числами (дробями), показаны на рис. 3.12. а

б 1 11 1 10, 101 001 2–8 × 0 10 1 01, 10 2–81 ⇐ 11-е е промеж. произв. × 1 1 1, 110 1 01 001 7 6,5 81 2-е е промеж. произв. 11 1 11 , 0 1 0 1 00 1⇐ 22 5,5 8 + 3-е е промеж. произв. 1 11 1 10, 101 00⇐ 1 3+ 4 7 , 115 4-е е промеж. произв. 11 1 11 0 1 0, 1 00 1⇐ 4471,1 5 5-е е промеж. произв. 1 1 1 1 1 0 1 0 10, 01⇐ 51 7 52, 2 10 1 01 001 0 10, 100 110 12–8 01 2 5 12,46 58 результирующее произведение а

(0010 101 001 010, 100 110 101 101) 2–8)= (2512,465)8

1110 0 110, 1010 02–1 1060 б E 6 , A164 0100 0011, 0010 12–1 000 × 6 4 3 , 2168 1-е е промеж. произв. 11 1 , 00 11 0 1 0 1 0 0 1 0 0⇐ 17, 3 5 2 0 2-е е промеж. произв. 1 1 1 00, 1 10 1 0 1 00 10 0⇐ 2+ + 1 C, D 4 8 3-е е промеж. произв. 1110 0 110, 1010 0 10 0⇐ 32 B 3, E C 4-е е промеж. произв. 1 1 1 00 11 0 1 , 0100 10 0 ⇐ 43 9 A 9, 0 5-е е промеж. произв. 11 1 00 1 1 0 1 0 10 0 1 , 00 ⇐ 53 C 8 0, F 5 A 16 0 11 1100 1000 0000, 1111 0101 1 010 0000 2–1 6 а

×

результирующее произведение б

(0011 1100 1000 0000, 1111 0101 1010 000 0000 0)= (3C80, 3C80,F F5A0)16 2–16

Р ис. 3.1 3.12 2 . При Приме меры ры вы вып п ол олн н ен ени и я у м ножен ножени и я ч ис исе е л в с меш меша а н н ы х сис систт ем ема ах счислен сч ислени и я: а — д вои воич ч но но--во восьмери сьмерич ч ной; б — дво двоичноично- ше шестнадца стнадца тер тери и чн чной ой 179

Умножение чисел в двоично-восьмеричной и двоично-шестнадцатеричной системе (см. рис. 3.12), выполненное по правилам умножения применительно к двоичным числам, не требу требует ет каких-либо особых пояснений. В записях промежуточных произведений при умножении чисел в двоично-восьмеричной и двоично-шестнадцатеричной системе счисления, выполненных со сдвигом, показаны переносы единиц (на рис. 3.12 выделен полужирным шрифтом), в разные разряды триад и тетрад, изменяющие числовое значение тетрад. В рассмотренных примерах также видно, что числовое значение триад и тетрад изменяется и за счет сдвига единиц в самих триадах и тетрадах. Если рассмотреть числовые значения промежуточных произведений, записанных со сдвигом, и сравнить с числовым значением множимого, то можно математически проверить изменение числового значения промежуточного произведения по сравнению с числовым значением множимого в зависимости от сдвига и весового соотношения единицы множителя, по которой определялось промежуточное произведение. Например рассмотрим числовые значения множимого и 11-го го промежуточного произведения (см. рис. 3.12 б), в котором сдвиг в тетрадах выполнен на 3 разряда в соответствии 33-м м номером разряда множимой единицы в -22-й й тетраде множителя, и весовым соотношением множимой единицы в тетраде, равным 88-ми. ми. Числовые значения множимого и промежуточного произведения для сравнения представляем в десятичной системе счисления. Для определения в десятичной системе числового значения 11-го го промежуточ ного произведения 0111, 0011 0101 0010 2–16 и множимое 1110 0110,1010 0100 2–16, представленных двоично-шестнадцатеричными числами, применим формулу раз вернутой формы записи позиционных чисел, рассматривая двоично-шестнадцате ричные числа как двоичные числа: − промежуточное произведение (0111,0011 0101 0010) 2–16= =(111,00110101001) =( 111,00110101001) 2 (111,00110101001) =(1 1×2 2+1×21+1×20+1×2–3 +1×2–4 +1×2–6 +1×2–8 + 2=( =(4+2+1+0,125+0,0625+0,015625+0,00390625+ 4+2+1+0,125+0,0625+0,015625+0,00390625+ +1×2–11) =( +0,00048828125) =( =(7,20751953125) 7,20751953125) 10 − множимое (1110 0110,1010 0100) 2–16 = (11100110,101001) 2 180

(11100110,101001) =(1 1×27+1×26+1×25+1×22+1×21+1×2–1 + 2–16=( =(128+64+32+4+2+0,5+0,125+0,015625)= 128+64+32+4+2+0,5+0,125+0,015625)= +1×2–3 +1×2–6 ) =( =(230,640625) =( 230,640625)10 10. По числовым значениям 11-го го промежуточного произведения и множимого определим, во сколько раз изменилось числовое значение промежуточного произведения по отношению к множимому множимому,, разделив числовое значение промежуточного произведения на числовое значение множимого: (7,20751953125) 10 : (230,640625) 10= 0,03125. Вывод: Числовое значение промежуточного произведения уменьшилось в 0,03125 раза по сравнению с числовым значением множимого, что соответству соответствует ет весовому соотношению 0,03125 единицы 33-го го разряда в –22-й й тетраде 1000 2 множителя, по которой определялось 11-е е промежуточное произведение. Значение весового соотношения единицы множителя в 33-м м разряде –22-й й тетрады, можk d но проверить по формуле N p-q=p ×q , в которой основания младшей и старшей систем в составе смешанной 2–162–16-ичной ичной системы равны, соответственно, q=16 и p=2, а разряды в тетраде k=3 и разряд тетрады в числе d=–2: N2–16=p k×qd=2 3×16–2 =8×1/162=8×1/162=8×0,00390625=0,03125. На рассмотренном примере математически доказывается взаимосвязь число вого зна чения промежуточного произведения при сдвиге с позицией запятой и весо вым соотношением множимой единицы множителя в тетраде двоично-шестнадцате рич ных чисел, что также можно доказать и для триад двоично-восьмеричных чисел (см. рис. 3.12 б). Выполняя умножение двоично-восьмеричных и двоично-шестнадцате рич ных чисел в соответствии со всеми правилами, практически не требу требуется ется определять числовое значение промежуточного произведения, т.к. правильно выполненная запись промежуточного произведения автоматически задает его числовое значение в соответствии с позицией единицы множителя. Для проверки резуль результата тата умножения в примерах (см. рис. 3.12) выполнено умножение этих же чисел, представленных в восьмеричной и шестнадцатеричной системе счисления, резуль результаты таты которой соответствуют резуль результатам татам умножения в двоично-восьмеричной и 181

двоично-шестнадцатеричной системе счисления, если сравнивать числовые значения триад или тетрад с цифрами, полученными при умножении, соответственно, в восьмеричной или шестнадцатеричной системе. Рассмотрев умножение чисел, представленных в двоично-восьмеричной и двоично-шестнадцатеричной системе счисления, которое практически соответству соответствует ет умножению двоичных чисел, умножение чисел в двоично-десятичной системе необходимо рассматривать отдельно, т.к. представление чисел в двоично-десятичной системе не равно представлению аналогичных чисел в двоичной системе счисления. В соответствии с этим, в двоично-десятичной системе числовое значение единицы переноса из тетрады, при суммировании двоичных тетрад в двоично-десятичной системе должно быть равно десяти единицам 10 10=10102, а не шестнадцати – 16 10 10=1 00002, как 10 это происходит в двоично-шестнадцате ричной системе счисления, в которой разряды также представлены тет радами. Так же, как и в двоично-шестнадцатеричной системе, при сдвиге промежуточного произведения, представленного двоично-десятичным числом, единицы могут сдвигаться не только в 00-й й разряд соседней слева тетрады, но и в другие разряды тетрады, исключая 33-й й разряд тетрады, что может увеличить числовое значение тетрады больше чем девять (910=10012), которое недопу недопустимо стимо в двоично-десятичной системе. Для того чтобы при умножении двоично-десятичных чисел получить резуль результат тат в двоично-десятичной системе, необходимо вводить коррекцию как промежуточных произведений, так резуль результирующей тирующей суммы промежуточных произведений. Коррекция двоично-десятичных чисел при умножении производится анало гично с коррекцией, которая проводится при суммировании, способом суммирова ния 6 единиц, представленных двоичной тетрадой (0110) =(6) 6) 10, с тетрадами дво ично-десятичного числа, 2=( из которых выполнен перенос и с тетрадами, с числовым значением больше допу допустимого стимого числового значения тетрад в двоично-десятичной системе счисления, равного 1001 2=9 10. Например на рис. 3.13 рассмотрено умножение двоично-десятичных чисел с пояснением весового соотношения единиц в разрядах тетрад промежуточного произведения без сдвига и со сдвигом, рас182

единица 0-го разряда 1-й тетрады множителя единица 0-го разряда 1-й тетрады множимого с межтетрадным сдвигом в 1-ом промеж. произв. — весовое соотношение равно 16

единица 1-го разряда 0-й тетрады множителя

0101 10012 – 10 × 0001 00102 – 10 0 101 1 001 + 0110 0110 2-е промеж. произв., определяемое по единице 0-го разряда 1-й тетрады множителя 1 0001 1000 + 0101 100 1 0110 1010 1000 + 0110 0111 0000 1000 + 0 101 1 00 1 0110 0110 1 1000 1000 1000 2 – 10

единица 0-го разряда 0-й тетрады множимого со сдвигом в тетраде в 1-ом промеж. произв. — весовое соотношение равно 2 1-е промеж. произв., определяемое по единице 0-го разряда 0-й тетрады множителя единица 0-го разряда 0-й тетрады множимого с межтетрадным сдвигом во 2-ом промеж. произв. — весовое соотношение равно 1 корректирующее число 3-е промеж. произв., определяемое по единице 1-го разряда 1-й тетрады множителя

Р ис. 3. 3.1 13. При Приме мер р, поясн поясня я ющ ющи и й изменен изменение ие в ес есовог ового о со соо о т ношен ношени ия еди ед и н и ц ы п ри з а п иси с о с д ви вигг ом п р омеж омежуу т о ч ног ного о п р оизв оизвед еден ени и я, при пр и выпо ыполне лнении нии умно жения дво двоичноично- де десятичных сятичных чисе л, ра расс ссматр матривая ивая весов ве совые ые с оо оотт ношен ношени и я д вои воичн чны ы х ра разз ря рядов дов по те тетт р а д ам

сматривая весовые соотношения единиц по тетрадам, как и в двоично-шестнадцатеричной системе счисления. На рис. 3.13 видно, что в 11-м м промежуточном произведении сдвиг единиц, по сравнению с позициями этих же единиц в тетрадах множимого, на один разряд, т.к. 11-е е промежуточное произведение получено при умножении единицы 11-го го разряда 00-й й тетрады множителя на множимое (00-я я тетрада множимого выделена в промежуточных произведениях полужирным шрифтом). Во 22-м м промежуточном произведении нет сдвига единиц в тетрадах, т.к. 22-е е промежуточное произведение получено при умножении единицы 00-го го разряда 11-й й тетрады множителя на множимое, но при этом есть сдвиг промежуточного произведения на одну тетраду влево. Таким образом, промежуточные произведения, полученные при умножении единицы множителя в 00-й й позиции тетрад, начиная с 11-й й тетрады и равные множимому множимому,, сдвигаются на целые тетрады влево, не имея сдвига единиц в тетрадах. Числовое значение тетрад и промежуточного произведения в двоично-десятичной системе при сдвиге промежуточного произведения, равного множимому множимому,, и отсутствии сдвига единиц в тетрадах, изменяется по отношению к числовому значению множимого в количество раз равное весово183

му соотношению тетрады множителя, в которой находится единица 0-го 0го разряда множителя. Например 22-е е промежуточное произведение (см. рис. 3.13), полученное при умножении множимого 0101 1001 2–10=5910 на единицу в 00-м м разряде 11-й й тетрады множителя с весовым соотношением тетрады множителя в двоично-десятичной системе, равным 10 (десять), увеличивается в 10 раз и имеет числовое значение 0101 1001 00002–10=59010. На рис. 3.13 рассмотрены весовые соотношения единиц в разрядах для младших тетрад (выделены полужирным шрифтом) промежуточных произведений, в которых числовое значение единиц тетрады при сдвиге на один разряд увеличиваются в 2 раза. Так единица 00-го го разряда 00-й й тетрады множимого с весовым соотношением, до сдвига равным 1, после сдвига тетрады на один разряд влево в 11-м м промежуточном произведении имеет весовое соотношение, равное 2. Единица 33-го го разряда 0-й 0й тетрады множимого с весовым соотношением до сдвига равным 8, после сдвига тетрады на один разряд влево в 11-м м промежуточном произведении имеет весовое соотношение, равное 16. Рассмотрим изменение позиционного числового значения единицы при сдвиге внутри тетрады на один разряд, например из 00-го го разряда 00-й й тетрады множимого, равного промежуточному произведению, в 11-й й разряд 00-й й тетрады в записи 11-го го промежуточного произведения (см. рис. 3.13), применяя формулу для определения позиционного числового значения единицы в разрядах тетрады. Числовые значения: 0-го 0го разряда 00-й й тетрады множителя: аp=a kpk=а 2=1×20=1 1-го 1го разряда 00-й й тетрады 11-го го промежуточного произведения: аp=a kpk=а 2=1×21=2. Вывод: Позиционное числовое значение единицы при сдвиге влево на один разряд внутри тетрады увеличивается в 2 раза (см. рис. 3.13), что аналогично величине изменения весовых соотношений соседних разрядов для двоичной системы счисления. В соответствии с этим, можно сделать вывод о том, что сдвиг множимого при записи как промежуточного произведения, изменя184

ет позиционное числовое значение единиц внутри тетрад двоичнодесятичного числа в зависимости от количества разрядов сдвига: − сдвиг на один разряд – увеличение числовых значений единиц в 2 раза; − сдвиг на два разряда – увеличение числовых значений единиц в 4 раза; − сдвиг на три разряда – увеличение числовых значений единиц в 8 раз. Рассматривая изменение числового значения единицы при сдвиге внутри тетрады (см. рис. 3.13), за основу брали позиционные числовые значения единицы в разрядах тетрады, определяемые без учета номера тетрады, что не может быть применено при рассмотрении аналогичных изменений при сдвиге между тетрадами. В этом случае позиционные числовые значения одиночных разрядов необходимо определять с учетом номера разряда в тетраде (k) и номера тетрады (d), рассматривая позиционное числовое значение единицы в тетраде k d по формуле а p=a kp q , принимая за основание старшей системы счисления (q) основание шестнадцатеричной системы. Это связано с тем, что при межтетрадном сдвиге единиц, тетрады промежуточного произведения могут иметь запрещенные для двоично-десятичной системы комбинации от 10102 до 11112, но которые входят в двоично-шестнадцатеричную систему систему,, имеющую старшее основание, равное 16. Например на рис. 3.13, при умножении двоично-десятичных чисел 11-е е промежуточное произведение при записи со сдвигом и представленное числом 1011 0010 1-й й тетра2–16 с двумя тетрадами, имеет в 1де запрещенную для двоично-десятичных чисел комбинацию 1011 2, которая характерна для двоично-шестнадцатеричных чисел. Рассмотрим изменение позиционного числового значения единицы при межтетрадным сдвиге одиночного разряда из 33-го го разряда 0-й 0й тетрады множимого в 00-й й разряд 11-й й тетрады в записи 11-го го промежуточного произведения, представленного двоично-шестнадцатеричным числом 1011 0010 2–16 при выполнении умножения двоично-десятичных чисел: − позиционное числовое значение 33-го го разряда 00-й й тетрады множителя: 3 0 аp=a kpkqd =а 2=1×2 ×16 =8

185

−

позиционное числовое значение 00-го го разряда 11-й й тетрады 11-го го промежуточного произведения: аp=a kpkqd =а2=1×20×161=16.

Вычисления показывают показывают,, что межразрядный сдвиг единицы из старшего разряда тетрады в младший разряд тетрады слева аналогичен сдвигу единиц внутри тетрады, с увеличением числового значения в 2 раза при сдвиге на один разряд, в 4 раза при сдвиге на 2 разряда, и в 8 раз при сдвиге на три разряда. В соответствии с тем, что тетрады при межтетрадном сдвиге могут иметь запрещенные двоичные комбинации, т.к. при сдвиге единиц между тетрадами числовое значение тетрады, из которой выполнен перенос, уменьшается на 16, требу требуется ется выполнение коррекции переноса в арифметических операциях с двоично-десятичными числами. Сдвиг единиц в тетрадах промежуточного произведения рассматривается тогда, когда единица множителя находится не в 00-м м разряде тетрады множителя, что может приводить и к межтетрадным сдвигам единиц. Так как при межтетрадном сдвиге влево, сдвиг единиц может происходить не только в 00-й й разряд тетрады, но и в 11-й й и 22-й й разряды, что определяется количеством разрядов сдвига промежуточное произведение, сдвиг единиц в старшие разряды тетрад приводит к переносу большего количества единиц, чем при сдвиге только в 00-й й разряд тетрады. Увеличение количества единиц переноса при сдвиге единиц в старшие разряды тетрады связано с весовыми соотношениями этих разрядов, которые увеличиваются по сравнению с весовым соотношением 00-го го разряда в тетраде в соответствии с позицией одиночного разряда в числе, и для двоично-десятичной системы счисления межразрядное увеличение весового соотношения равно 2 (двум). В соответствии с тем, что при сдвиге единицы в 00-й й разряд тетрады слева, переносит в тетраду слева 16 единиц, а весовые соотношения соседних одиночных разрядов в тетраде отличатся между собой в 2 раза, количество единиц переноса определяется умножением 16 на весовое соотношение разряда в тетраде: − в 11-й й разряд с весовым соотношением, равным 2, перенос составляет – 16×2=32 единицы; 186

во 22-й й разряд с весовым соотношением, равным 4, перенос составляет – 16×4=64 единицы. Рассматривая коррекцию при межтетрадном сдвиге единиц в двоично-десятичном числе как операцию, предназначенную для приведения числа в соответствие с требованиями представления чисел в двоично-десятичной системе счисления, коррекцию при сдвиге необходимо проводить для каждой группы переноса из 16 единиц, возвращая 6 единиц в тетраду тетраду,, из которой был сдвиг единицы. Таким образом, если при переносе 16 единиц, при котором единица сдвигается в 00-й й разряд тетрады слева, коррекция тетрад, из которых происходит сдвиг единиц, выполняется суммированием 6 единиц один раз, то при переносе 32 единиц коррекцию необходимо выполнять суммируя 2 раза по 6 единиц, и при переносе 64 единиц – 4 раза. В результате этого можно сделать вывод о том, что количество коррекций в тетраде промежуточного произведения определяется числом, равным весовому соотношению разряда в тетраде слева, в котором находится единица после сдвига в эту тетраду из тетрады справа. Рассмотрев особенности умножения двоично-десятичных чисел, делаем вывод, что основным отличием от умножения чисел в других смешанных системах является коррекция числовых значений, позволяющая получить промежуточные и результирующие значения в двоично-десятичной системе счисления. Рассматривая умножение двоично-десятичных чисел в совокупности с выполнением арифметической операции сложение, коррекция выполняется в следующих случаях: − для тетрад разности с числовым значением больше 2=1001 9 10, суммируя суммиру я 01102=6 10. − для тетрад суммы, из которых при выполнении операции сложение происходит межтетрадный перенос, суммиру суммируя я 0110 2=6 10; − для тетрад промежуточного произведения произведения,, из которых выполнен сдвиг единиц: при сдвиге на один разряд в тетраду слева, вычитая 01102=6 10, при сдвиге на 2 разряда – вычитая 2 раза по 0110 2=6 10 и при сдвиге на 3 разряда – вычитая 4 раза по 0110 2=6 10. Коррекцию тетрад промежуточного произведения при наличии межтетрадного сдвига единиц можно выполнять непосредственно −

187

для промежуточного произведения или для суммы промежуточных произведений. Рассмотрим необходимость коррекции на примере 11-го го промежуточного произведения (см. рис. 3.13), полученного при умножении единицы множителя 11-го го разряда 00-й й тетрады на множимое 0101 1001 2–10. 2–10 Определяем позиционное числовое значение единицы 11-го го раз1 0 ряда 00-й й тетрады множителя, по формулер=аa kpkqd =1×2 ×16 =2, которое, как числовой множитель, определяет определяет,, во сколько раз изменится множимое при умножении его на числовой множитель, в рассматриваемом примере множимое должно увеличиться в 2 раза. В соответствии с тем, что числовое значение множимого равно в десятичной системе 59 (0101 1001 2–10=5910), то при умножении на 210 11-е е промежуточное произведение должно быть равно 118 10 (59×2=118), или в двоично-десятичной системе (0001 0001 1000) 2–10. Однако в примере на рис. 3.13 11-е е промежуточное произведение представлено числом 1011 0010 2–16, с числовым значением в десятичной системе счисления равным 178 10, что не соответствует числовому значению произведения, которое должно быть при умножении числа 5910 на 210. Для того чтобы числовое значение 11-го го промежуточного произведения соответствовало числовому значению произведения в двоично-десятичной системе, при умножении двоичнодесятичных чисел выполняем коррекцию тетрад промежуточного произведения, из которых был сдвиг единиц, и тетрад с числовыми значениями больше 1001 2. В рассматриваемом примере коррекцию выполняем способом суммирования к каждой из таких тетрад шести единиц, представленных двоичной тетрадой (на рис. 3.13 выделены курсивом): 1011 0010 – 11-е е промежуточное произведение без коррекции + 0110 0110 – две корректирующие цифры 0001 0001 1000 1-е е промежуточное про2–10 – скорректированное 1изведение. Коррекция младшей тетрады выполняется потому потому,, что из этой тетрады был сдвиг единицы в 00-й й разряд тетрады слева, а коррекция старшей тетрады выполняется, т.к. ее числовое значение больше допустимого числового значения, равного 1001 2=9 10. Числовое 188

значение скорректированного 11-го го промежуточного произведения, равное (0001 0001 1000) соответствует ет как представлению 2–10=11810, соответству числа в двоично-десятичной системе, так и произведению при умножении чисел 5910 и 210. Таким образом, промежуточное произведение, представляющее множимое, записанное со сдвигом, является произведением множимого, представленного в двоично-десятичной системе счисления, на позиционное числовое значение единицы в разряде тетрады множителя, и должно быть больше множимого в количество раз равное позиционному числовому значению единицы в разряде тетрады множителя. Рассмотрим позиционные числовые значения единиц в тетрадах скорректированного 11-го го промежуточного произведения в двоичнодесятичной системе счисления при p=2 и q=10: 0-го го разряда во 22-й й тетраде; аp=a kpkqd =1×20×102=100 – единица 00 1 k d 0-го го разряда в 11-й й тетраде; аp=a kp q =1×2 ×10 =10 – единица 03 0 3-го го разряда в 00-й й тетраде. аp=a kpkqd =1×2 ×10 =8 – единица 3Расчеты показывают показывают,, что тетрады, в зависимости от номера тетрады в двоично-десятичном числе, представляют в целой части числа влево от запятой – единицы, десятки, сотни и т.д., а в дробной части числа вправо от запятой – десятые, сотые, тысячные и т.д. доли числа. Числовые значения соседних тетрад отличаются между собой в 10 раз. Таким образом, для исключения искажения числовых значений промежуточных произведений при умножении двоично-десятичных чисел вводятся правила, дополняющие правила умножения чисел в позиционных системах счисления: − если при записи промежуточного произведения со сдвигом при выполнении умножения чисел в двоично-десятичной системе счисления есть межтетрадный сдвиг единиц, то требу требуется ется выполнить коррекцию тетрад промежуточного произведения, из которых был сдвиг сдвиг,, а также для тетрад, имеющих числовое значение больше 910=10012; − коррекция двоично-десятичных чисел выполняется суммированием шести единиц (0110 2) в тетрады, из которых произведен перенос единицы при сдвиге, а также в тетрады с числовым значением больше допу допустимого стимого числового значения, равного девяти 189

10012=9 10, которые образуются как в записи промежуточного произведения при сдвиге, так и при суммировании; − все виды коррекции выполняются для каждого промежуточного произведения способом последовательного суммирования предыдущего промежуточного произведения с рассматриваемым промежуточным произведением и одним из видов необходимой коррекции, рассматривая остальные необходимые виды коррекции при отдельном суммировании. Пример выполнения умножения чисел в двоично-десятичной системе счисления, в которой множимое и множитель представлены смешанными позиционными числами (дробями), показан на рис. 3.14. При выполнении умножения чисел в двоично-десятичной системе счисления (см. рис. 3.14) проведена проверка результата умножения, выполненная умножением этих же чисел в десятичной системе счисления, резуль результаты таты которой соответствуют резуль результатам татам умножения в смешанной системе счисления. Также показаны сносками наименования числовых значений при выполнении операции умножения с числами в двоично-десятичной системе счисления. В 11-м м промежуточном произведении, записанном со сдвигом на три разряда влево относительно младшего разряда множимого, жирным шрифтом выделены сдвинутые единицы. Также показана коррекция промежуточных произведений, выполненная способом суммирования шести единиц 0110 тетраду,, с пояснением условия, которое 2 в тетраду вызвало необходимость выполнения коррекции. Например первая коррекция проведена суммированием шести единиц 0110 2 в тетраду 10112, числовое значение которой больше допу допустимого стимого числового значения. Далее показаны коррекции, обу обусловленные словленные межтетрадным сдвигом единиц, которые чередуются с выполнением коррекции тетрад, числовые значения которых больше допу допустимого стимого числового значения, т.к. этот вид коррекции должен выполняться в первую очередь. При этом необходимо обратить внимание на коррекцию 2-й 2й тетрады 11-го го промежуточного произведения, которая проведена 3 раза, т.к. в тетраду слева есть сдвиг 22-хх единиц в 00-й й и 11-й й разряды тетрады, весовые соотношения которых равны 1 и 2, что и определяет в совокупности количество необходимых коррекций тетрады, равное 3 (трем). Коррекция 11-й й тетрады в 11-м м промежуточном про190

0010 0101, 0 111 2–1 0 × 0100, 1 000 2–1 0 001 0010, 1 011 1 ⇐ 11-е е промеж. произв. + 011 0 ⇐ коррекция при значении > 1001 2 0001 0 011, 0001 1000 + ⇐ 11-я я коррекция сдвига 11-го го пром. произв. 0110 0110 0110 0001 1 001, 0111 1 11 0 + ⇐ коррекция при значении > 1001 0110 2 0001 1 001, 1000 1 01 0 + ⇐ 22-я я коррекция сдвига 11-го го пром. произв. 0110 0110 0001 1 001, 1110 1010 + ⇐ коррекция при значении > 1001 0110 0110 2 0001 1 010, 0 101 000 0 + ⇐ коррекция при значении > 1001 011 0 2 0010 0 000, 0101 0000 + ⇐ 33-я я коррекция сдвига 11-го го пром. произв. 0110 ⇐ корректированное 11-е е пром. произв. 0010 0 000, 0101 0 110 + 00 10 0 1 0 10 1 11 ⇐ 11-е е промеж. произв. 25,710 × 0000 1011 0 110, 0 001 0 110 4,810 + ⇐ коррекция при значении > 1001 0110 2 2 0 , 56 + 0001 0 001 0110, 0 001 0 110 1 0 2, 8 + 011 0 ⇐ коррекция переноса 1 2 3, 3 610 0001 0 001 0110, 0 111 0 110 + ⇐ 11-я я коррекция сдвига 22-го го пром. произв. 0110 0110 0001 0 001 1100, 1 101 0 110 + ⇐ коррекция при значении > 1001 0110 0110 2 0001 0 010 0011, 0011 0110 2–1 0 2–1 результирующее произведение (0001 0010 0011, 0011 0110 0110) ) = (123,36)10 2–10 Р ис ис.. 3. 3.1 14. При Пример мер вы по пол лнен нени и я у множ ножен ени и я ч ис исе ел в д во вои ич но-де о-деся сяттич ной сист еме с ч ислен системе ислени и я с пр пров оверкой еркой р ез езул ульт ьтата ата в д еся есятт и чной сист системе еме сч счислен ислени ия

изведении выполнена 2 раза, т.к. из тетрады был сдвиг в 11-й й разряд 0-й 0й тетрады с весовым соотношением разряда, равным 2, а коррекция 00-й й тетрады проведена 1 раз, вследствие сдвига из этой тетрады единицы в 00-й й разряд 11-й й тетрады. Аналогично показаны коррекции 2-го 2го промежуточного произведения переноса. При этом необходимо отметить, что суммирование корректирующих чисел можно выполнять как отдельно с каждым промежуточным произведением, так и при суммировании промежуточных произведений. 191

Следует обратить внимание на 1Следует 1-е е скорректированное промежуточное произведение, сравнивая его числовое значение, представленное в двоично-десятичной и десятичной системе счисления (см. рис. 3.14), которые равны, что позволяет сделать вывод о правильном выполнении умножения. Также можно сравнить и резуль результирутирующие произведения умножения. Таким образом, коррекция, выполняемая при умножении двоично-десятичных чисел, приводит числовое значение промежуточного произведения к числовому значению в соответствие с позиционным числовым значением единицы множителя, которая определяла сдвиг промежуточного произведения, а, соответственно, и его числовое значение в двоично-десятичной системе счисления. 3.2.4. деление в позиционных системах счисления Деление – арифметическая операция в позиционной p-й системе счисления с двумя числами: одно число, которое делят делят,, называют делимым, а число, на которое делят делят,, называют делителем, и результат деления – частное и остаток. Деление – это обратная умножению математическая операция, посредством которой по произведению и одному множителю определяют второй множитель. Таким образом, если умножение – это последовательное сложение чисел, то деление – это последовательное вычитание чисел, т.е. математическое действие, посредством которого определяется, сколько раз одно количество (делитель) содержится в другом (делимом). Разделить одно число (делимое) на другое (делитель) – значит найти такое третье число (частное), которое при умножении на делитель дает делимое: 48:4=12, где 48 – делимое, 4 – делитель, 12 – частное, т.е. 12×4=48. Частное может быть полным или неполным; полное, если в результате деления получилось число без остатка – целое число или дробное, и неполным, если в резуль результате тате деления получился остаток, например: 130:5=26, где 26 – полное частное; 25:2=14 (остаток 1), где 14 – неполное частное. Деление как арифметическое действие, основанное на повторении делителя в качестве вычитаемого столько раз, сколько единиц 192

берется в частном, выполняется путем последовательного получения промежуточных произведений при умножении взятой цифры разряда частного на делитель и их вычитания из делимого. Промежуточные произведения при операции деление формируют из частичных произведений, получаемых при поразрядном умножении выбранных цифр частного последовательно на все цифры разрядов делителя начиная с младшего разряда. Правила деления чисел, определяющие алгоритм выполнения арифметической операции деление и определения числовые значения арифметических вычислений в позиционных системах счисления с учетом общих правил выполнения арифметических операций, включают в себя следующие требования: − если делимое и делитель выражены дробными числами, то делитель преобразовывают в натуральное число, исключая запятую из делителя, а запятую в делимом переносят вправо на такое количество знаков, сколько было обозначено в дробной части делителя, если есть необходимость, то в конце делимого дописывают нули; − деление можно выполнять, не обращая внимания на запятую в делителе, т.е. без преобразования делителя в натуральное число и без переноса запятой в делимом; − деление производится поразрядно начиная со старшего разряда делимого, сравнивая числовое значение разряда с числовым значением делителя, определяя неполное делимое; неполное делимое – часть делимого, рассматриваемая в сравнении с делителем при определении одиночного разряда в частном; − если числовое значение рассматриваемого разряда делимого меньше делителя, то в разряде частного записывается ноль (0) и добавляется для сравнения с числовым значением делителя следующий разряд делимого, записывая ноль в разряды частного до тех пор, пока суммарное числовое значение рассматриваемых разрядов делимого будет равно или больше числового значения делителя; − неполное делимое делится на делитель, для этого находят цифру (число), как частичное частное, при умножении которого на делитель получилось бы промежуточное произведение либо равное неполному делимому делимому,, либо меньше его, которое вычитается из неполного делимого, определяя частичный остаток; 193

−

−

−

−

−

−

−

−

−

промежуточное произведение записывается под неполным делимым, совмещая младший разряд промежуточного произведения с младшим разрядом неполного делимого; при равенстве числового значения неполного делимого с числовым значением делителя, искомая цифра в частном равна единице, и в разряде частного записывается единица (1), а частичный остаток равен нулю; при числовом значении неполного делимого больше числового значения делителя, выбирается (подбирается) в разряде частного, как частичное частное, цифра, при умножении которой на делитель получим промежуточное произведение либо равное неполному делимому делимому,, либо меньше его, и частичный остаток меньше делителя; для продолжения деления необходимо к каждому полученному частичному остатку снести (добавить) цифру следующего разряда делимого, определяя следующее неполное делимое, и повторять процесс деления, определяя цифры следующих разрядов частного; деление выполняется до последнего разряда в числовом значении делимого, определяя резуль результаты таты деления как частное и остаток от деления, или продолжать деление, добавляя по одному нулю к остатку остатку,, до получения точного резуль результата тата без остатка или с заданной точностью; если остаток при делении равен нулю, то деление называется – деление без остатка, а при числовом значении остатка больше нуля – деление с остатком; если частное – целое число, то деление выполнено нацело, или дробно, когда частное – дробь; если в процессе деления получаются бесконечные дроби, то необходимо выполнить деление с количеством разрядов после запятой в частном на единицу больше, чем количество разрядов, которые требуются для определения резуль результата тата частного с заданной точностью с последующим округлением по правилам округления; положение запятой в частном, разделяющей целую часть числа от дробной, при делении определяется окончанием деления целой части числа. числовые значения при выполнении операции деление, определяются по правилам счета, пользу пользуясь ясь таблицами сложения

194

и умножения для системы счисления, в которой проводится вычисление. Поразрядное умножение цифр в разрядах частного на делитель для формирования и вычитания промежуточных произведений из делимого, выполняются, соответственно, по правилам умножения и вычитания, применительно к системе счисления, в которой представлены числовые значения. Необходимо отметить, что при делении дроби на дробь, и целого числа на другое целое число, частное может быть как целым числом, при делении нацело, так и дробью, т.е. дробно, при этом деление может быть выполнено как без остатка, т.е. с полным частным точно, так и с остатком. Примеры выполнения деления чисел в разных позиционных системах счисления, в которых делимое и делитель представлены смешанными позиционными числами (дробями), показаны на рис. 3.15–3.17. В соответствии с тем, что в двоичной системе цифра частного при делении может быть только 0 или 1, деление выполняется особенно просто, ведь очередная цифра частного может быть только 0 или 1.

а

меньше делителя 1 0 1 0 0 1, 1 021 1 0 0, 12 – 1 001 0001001,0 1 2 10 меньше в 1 01 делителя – 1 01 1 1 0 1 0 0 1, 1 021= 41,625 1 001 1 00, 2 =1 4, 5 10 меньше 1 0 0 1, 0 1 9,2 5 10 100 2= делителя 1 001 – 1 001 0 1 0 1 0 0 1, 1 021: 100,12 = 0001001,012 = 1001,012

10

б 41, 62 510 4, 510 – 405 9,25 10 112 – 90 225 – 225 0

41, 62510 : 4,510 = 9,2510

Р ис. 3. 3.15. 15. При Прим м ер вы выпо пол л нен нени и я де делен лени и я в пози позиц ц и он онн н ы х с ист истем ема а х сч счис ислен лени и я: а — д в ои оич ч ног ного о ч ис исла; ла; б — дес деся я ти тичного чного числа, как п ровер роверкк а деле делен н ия в д в ои оич ч ной сис системе теме сч счис ислен лени и я; в — эквива ленты д воичн ых ч исел делимого , делит еля и част но ного го в десяти чной систе системе ме счисле счислен ния 195

1 × 3 = 38 1 × 4 = 48 7 5, 068 2, 18 – 2 × 3 = 68 63 3 48 , 62 × 4 = 8 = 8 × 1 + 08 218 × 38 = 638 218 × 48 = 1048 120 – произведение 10 4 произведение 146 1 × 6 = 68 – 146 2 × 6 = 12 = 8 × 1 + 48 0 218 × 68 = 1468 75, 068 : 2,18 = 34,68 произведение 61, 0937510: 2,12510 = 28,7510 Р ис. 3. 3.16. 16. Приме Пример р вы выпол полнен нени и я делен делени и я во восьмери сьмери чног чного о чис числа ла

14 × 8 = 112 = 16 × 7 + 016 аб – 80,9 16 8, 816 7F 8 F,16 2 1 1 1 10 – 1 10 0 остаток

14 × 8 = 112 + 7 =119 = 16 × 7 + 716 8816 × E 16 = 77016 7 D, C D 16 8, 816 – произведение 7 7, 0 E16, C 6 CD – 6 6 0 12 × 8 = 96 = 16 × 6 + 016 6D 12 × 8 = 96 + 6 =102 = 16 × 6 + 68 8816 × C 16 = 66016

80, 916 : 8,816 = F, F,2 2 16 128, 562516 : 8,516 = 15,12516

остаток

произведение 7D, CD 16 : 8,816 = E,C16 = 14,7510 ≈ 14,810 125, 810 : 8,510 = 14,810

Рис. 3. Рис. 3.1 17. Пр Пример имер выполне выполнен н и я деле делен н и я шестна дцатеричн ы х чисел: а — деление без остатк а (н улевой остаток остаток)); б — деление с остатком

Таким образом, при делении двоичных чисел произведения, полученные при умножении цифр в частном на делитель (рис. 3.15 а), равны делителю при единице (1) в частном, или нулю (0), если в разряде частного ноль (0), что исключает переполнение разрядов и межразрядный перенос в произведениях. В примере выполнения деления двоичных чисел (см. рис. 3.15 а) отмечены разряды и группы разрядов, числовые значения которых 196

меньше числового значения делителя, и, соответственно при рассмотрении операции деления с этими разрядами, в разрядах частного записаны нули. Проверка резуль результата тата деления двоичных чисел выполнена на примере деления этих же чисел, представленных в десятичной системе счисления (рис. 3.15 б), числовые значения которых в десятичной системе счисления эквивалентны числовым значениям двоичных чисел делимого, делителя и частного, показаны на рис. 3.15 в. В примере выполнения деления восьмеричного числа, представленного на рис. 3.16, рассмотрен принцип определения произведений при поразрядном умножении каждого разряда частного на все разряды делителя, где жирным шрифтом выделены цифры в разрядах произведений. Числовые значения разрядов произведений определяются, применяя разложение числового значения g(),N полученного при поразрядном умножении цифр частного на цифры делителя с учетом межразрядных переносов, по формуле N , g=qk+b в которой q – основание системы счисления; k – количество целых единиц переноса в старший разряд; b – цифра в рассматриваемом разряде промежуточного произведения. Выполнение деления шестнадцатеричных чисел рассмотрено для варианта деления без остатка (рис. 3.17 а) и с остатком (рис. 3.17 б), полученным при делении только заданного значения делимого без добавления нулей и заданной точности. Полученное числовое значение частного (E,C)16 при делении с остатком ограничивается одним разрядом в дробной части числа в соответствии с тем, что в делимом больше нет цифровых разрядов и не указана точность разрядов в дробной части числа. Так же, как и при выполнении деления восьмеричных чисел (см. рис. 3.16), рассмотрен принцип определения произведений при делении шестнадцатеричных чисел (см. рис. 3.17), отличительная особенность которых состоит в определении переноса в старшие разряды применительно к шестнадцатеричной системе счисления. Деление в смешанных системах счисления. Деление в смешанных системах счисления выполняется по правилам деления, применимым к двоичной позиционной системе счисления, т.к. цифры в смешанных системах представлены триадами или тетрадами в двоичной системе счисления. 197

В соответствии с тем, что в смешанной системе частное, как и в двоичной системе, состоит из частичных частных, представленных 0 и 1, произведение единиц как частичных частных на делитель равно делителю, представленному в смешанной системе счисления. Однако при деление чисел в смешанных системах счисления необходимо при поразрядном делении ориентироваться не только на отдельные числовые значения 1 и 0 в числе, но и на представление числовых разрядов триадами или тетрадами для получения числового значения частного в смешанной системе счисления. При определении неполного делимого, в смешанных системах рассматриваются числовые значения триад или тетрад делимого в сравнении с числовыми значениями триад или тетрад делителя, количество которых определяется из условия, что совокупность числовых значений триад или тетрад делимого образует неполное делимое, числовое значение которого должно быть равно или больше числового значения делителя. Выбрав неполное делимое, необходимо определять цифры в одиночных разрядах частного, сравнивая числовые значения неполного делимого и делителя, если числовые значения равны, то в частном записывается единица, и деление продолжается с определения следующего неполного делимого. В этом случае единица в одиночном разряде частного определяет позицию старшего 22-го го разряда триады или 33-го го разряда тетрады частного, а в остальных разрядах триады или тетрады частного записываются нули. При числовом значении неполного делимого больше делителя, проверяется возможность вычесть промежуточное произведение, полученное при умножении единицы частного на делитель, из неполного делимого, рассматривая запись промежуточного произведения под неполным множимым, начиная со старшего разряда старшей триады или тетрады неполного делимого. Если возможно получить разность, то в одиночном разряде частного записывается единица и определяется частичная разница. В противном случае в частном записывается нуль, и промежуточное произведение сдвигается вправо на один одиночный разряд по отношению к одиночным разрядам неполного делимого, размещая одиночные разряды промежуточного произведения по триадам или тетрадам в соответствии со структурой делимого. Сдвиг выполняется до тех пор, пока 198

можно будет получить разность от вычитания промежуточного произведения из неполного делимого, записывая для этого варианта в одиночном разряде частного единицу единицу.. В резуль результате тате этого, вычитание промежуточного произведения будет выполняться из части неполного множимого, оставляя остаток разрядов неполного множителя, которые для продолжения деления необходимо рассматривать в совокупности с разностью, полученной при вычитании промежуточного произведения из части неполного делимого. Позиция первого рассмотренного нуля или единицы отмечается в старшем 22-м м разряде триады или в 33-м м разряде тетрады частного, а все последующие цифры частного, полученные при рассмотрении неполного делимого, записывают последовательно справа, формируя ру я триаду или тетраду частного. К полученной разности сносятся поочередно цифры остатка из разрядов последней триады или тетрады неполного делимого, которые не входили в часть неполного делимого, из которого вычиталось промежуточное произведение. Числовое значение разности в совокупности с цифрой снесенного разряда из остатка неполного делимого сравнивается с числовым значением делителя, и если числовое значение делителя больше, то в одиночный разряд частного записывается нуль, и сравнения выполняются для следующих снесенных разрядов. При числовом значении разности вместе со сноской больше, чем числовое значение делителя, в одиночном разряде частного записывается единица. Младший разряд триады или тетрады в частном в смешанных системах счисления формиру формируется ется при рассмотрении разности, полученной при вычитании промежуточного произведения из неполного делимого, в совокупности с последним снесенным разрядом из остатка неполного произведения. Деление чисел в смешанных системах счисления, как и деление любого числа в позиционной системе счисления, может быть выполнено как без остатка, так и с остатком, а также нацело или дробно дробно.. В соответствии с особенностями представления чисел в смешанных системах счисления, для выполнения деления в смешанных системах счисления правила деления чисел в позиционных системах счисления имеют некоторые общие дополнения, которые учитывают особенности смешанных системах счисления: 199

деление производится поразрядно, начиная со старшей триады или тетрады делимого, сравнивая числовое значение с числовым значением делителя, определяя неполное делимое; − при числовом значении старшей триады или тетрады делимого меньше числового значения делителя, в частном записывается триада или тетрада с нулевым числовым значением (2–8 000 , 00002–16 или 00002–10), и для продолжения деления добавляется к рассмотрению следующая триада или тетрада делимого до числового значения неполного делимого, равного или больше делителя; − числовое значение частного определяется в соответствии с правилами деления применительно к двоичной системе счисления и с учетом особенностей смешанной системы счисления, в которой представлены числа для деления; − триады или тетрады частного при делении чисел формируются по структуре триад или тетрад делимого; старший разряд триады или тетрады частного формируется, когда старший разряд триады или тетрады делимого находится в одной позиции с младшим одиночным разрядом промежуточного произведения; младший разряд триады или тетрады частного формиру формируется, ется, когда младший разряд триады или тетрады делимого в одной позиции с младшим одиночным разрядом промежуточного произведения; − произведения, полученные при умножении цифр разрядов в частном на делитель, равны делителю, если в разряде частного стоит единица (1), или нулю, если в разряде множителя стоит ноль (0), и записываются под делимым как промежуточное произведение, размещая его младший разряд на позиции младшего одиночного разряда неполного делимого; − цифры промежуточного произведения, записанного под делимым, в смешанных системах счисления занимают позиции в соответствии со структурой делимого так, чтобы цифры произведения не занимали межразрядные (межтетрадные) позиции в числах и составляли триады или тетрады в зависимости от смешанной системы счисления. Деление двоично-восьмеричных и двоично-шестнадцатеричных чисел по пра вилам деления применительно к двоичным числам практически ничем не отлича ется от деления двоичных чисел, т.к. −

200

двоично-восьмеричные и двоично-шестнадца теричные числа являются производными от двоичных чисел и равны этим числам. В соответствии с этим, выполняя деление двоично-восьмеричных и двоично-шестнадцатеричных чисел, неполное делимое определяется количеством одиночных разрядов делимого начиная со старшего одиночного разряда, из которых вычитается промежуточное произведение. Однако для того чтобы правильно распределить одиночные двоичные разряды частного по триадам и тетрадам, неполное делимое необходимо рассматривать в совокупности триад или тетрад, из которых вычитается промежуточное произведение. Примеры выполнения деления чисел в смешанной двоичновосьмеричной и двоично-шестнадцатеричной системе счисления, в которых делимое и делитель представлены смешанными позиционными числами (дробями), показаны на рис. 3.18, 3.19 с делением без остатка дробно, и с остатком (рис. 3.20). Проверка резуль результатов татов деления двоично-восьмеричных и двоично-шестнадцате ричных чисел на рис. 3.18–3.20 выполнена делениаб 101 110, 011 111 011, 001 2–8 2–8 – 011 001 000 001 110, 46, 48437510 3, 125 2–8 111 10 – 010 101 0 31 25 14,875 – 10 01 100 1 15 234 в – 12 500 – 1 000 11 0 110 01 56,378 3, 18 – – 2 7343 0 010 101 1 31 16,7 2 5000 8 – 01, 100 1 25 3 – – 23437 01 001 01 22 6 21875 – 0 110 01 – 15625 – 2 57 0 001 001 2 5 7 15625 – 011 001 0 0 000 000 56, 378 : 3,18 = 16,78 46, 48437510 : 3,12510 = 14,87510 101 110, 011 111 2–8 : 011, 001 2–8 = 001 110, 111 2–8 = 16,72–8 Рис . 3. Рис. 3.1 18. Деле Деление ние чисел в разл ич ичны ныхх си системах стемах счисле ни ния я без остатк а: а — в д вои воич ч но-во но-восьмери сьмерич ч ной сис системе; теме; б — в в осьмери осьмерич ч ной сис системе; теме; в — в десят ичной системе 201

0100, 1101 2–16 2–16 – 1100 0100, 0110 1001 19 6, 4101 5625 4, 8125 0 1 001 1010 0010 1000, 10 10 2–16 111 – 0 0 010 1010 0 19 2 500 40,8125 1-e 1e промеж. 10 – 010 0110 1 3 9 10 15 произв. – 000 0011 1110 1 3 8 5000 – С 4, 6916 4, D16 010 0110 1 – – 0 60156 9A 28,D 28, 16D 0 01 1000 00 48125 – 2 A 6 01 0011 01 12 0312 – – 268 00 0100 1101 96250 – 3 E 9 0100 1101 240625 – – 3 E9 0000 0000 240625 0 0

C4,6916 : 4, 4,D D16 = 28, 28,D D 16 196, 41015625 10 : 4,812510 = 40,812510 1100 0100, 0110 1001 28,D D 16 2–16 : 0100,1101 2–16 = 0010 1000,1101 2–16 2–16 = 28, Рис . 3. Рис. 3.1 19. Деле Деление ние чисел в раз лич ны ныхх си системах стемах счисле ни ния я без остатк а: а — в д вои воич ч но-ше но-шесс т на над д ца цате тери рич ч но ной й сист си стеме; еме; б — в шес ш естт на над д ца цате тери рич ч но ной й системе сист еме;; в — в дес десят ятич ичн ной систем системе е

ем этих же чисел, представленных, соответственно, в восьмеричной или шестнадцатеричной, а на рис. 3.18, 3.19 и в десятичной системе счисления. Промежуточные произведения при делении двоично-восьмеричных и двоично-шестнадцатеричных чисел, равные делителю, могут отличаться от числовых значений делителя, и определяются соответствующим их расположением в записи под делимым. Числовое значение можно вычислить при умножении позиционного числового значения единицы в частном на числовое значение делителя, представив оба значения в десятичной системе, или определить в восьмеричной или шестнадцатеричной системе по числовым значениям триад или тетрад записанного промежуточного произведения. При определении числового значения по триадам или тетрадам необходимо указать позицию запятой в промежуточном произведении. Позиция запятой в промежуточном произведении определяется по позиции запятой в делимом, при этом необходимо отметить, что если при сдвиге промежуточного произведения крайние слева и справа триады или тетрады неполные, то их необходимо дополнить 202

а

111 101, 101 101, 111 2–8 2–8 – 75, 58 4, D8 101 1 11 001 010, 57 12,3 2–8 011 8 001 110 10 16 5 – – 1 011 11 13 6 0 010 111 00 – – 2 70 1 011 11 2 15 0 01 011 010 538 остаток – 101 111 0 101 011 2–8 остаток

–

б

1101 0100, 0101 2–16 1000, 1001 2–16 – D 4, 516 8, 916 1000, 1001 0001, 1000 1100 8 9 1,8C 2–16 16 0 100 1011 0 4 B 5 – – 100 0100 1 448 0 000 0110 1101 1 6D0 – – 10 0 0100 1 6 6C 010 1000 10 6 2–16 4 остаток – 10 0010 01 00 0110 2–16 0100 остаток

–

Рис. 3.2 Рис. 3.20. 0. Дел Деление ение чисел с остатком : а — в д во вои и ч но но--во вось сьмер мери и ч ной и в осьмери ч ной сист системе; еме; б — в двоичн оо-ш шестн естна а дца дцатеричн теричн ой и ше шест стна над д цат цатери ерич ч ной сис системе теме

нулями. На рис. 3.19 в 11-м м промежуточном произведении дополнение нулем в тетраде для пояснения выделено прямоугольником. Рассмотренные особенности поясним на примере деления двоично-шестнадцатеричного числа (см. рис. 3.19). Например определим числовые значения единицы в 11-м м разряде 1-й 1й тетрады частного 0010 1000,1101 2–16 и делителя 0100,1101 2–16, в десятичной системе счисления, при умножении которых получим числовое значение 11-го го промежуточного произведения (см. рис. 3.19): − единица 11-го го разряда 11-й й тетрады частного 0010 1000,1101 2–16 1 1 k d N2–16=p ×q =2 ×16 =2×16=32. − делитель 0100,11012–16=100,1101 2 2 –1 –2 (100,1101)2=( =(4+0,5+0,25+0,0625)= 4+0,5+0,25+0,0625)= =(1 1×2 +1×2 +1×2 +1×2–4 ) =( =(4,8125) =( 4,8125)10 − 11-е е промежуточное произведение (0000 1001 1010,0000) 2–16 = = (10011010,0)2 (10011010,0)2=( =(128+16+8+2) 128+16+8+2) =( =(154) 154) 10. =(1 1×27+1×24+1×23+1×22) =( 203

Для проверки определяем числовое значение единица 11-го го промежуточного произведения способом умножения позиционного числового значения единицы в 11-м м разряде 11-й й тетрады частного на числовое значение делителя: (32)10 × (4,8125)10 10= 154,010. Определяем числовое значение 11-го го промежуточного произведение, представленное в шестнадцатеричной системе числом169А (см. рис. 3.19) в десятичной и двоично-шестнадцатеричной системе счисления для сравнения с аналогичными числовыми значениями как исходными данными: 9А16=9×161+10×160=144+10=154,010; 9А16=1001 10102–16. Вывод: Числовое значение промежуточного произведения при умножении единицы в частном на числовое значение делителя изменяется в соответствии с позиционным числовым значением этой единицы в частном, а позиция единицы в частном определяет количество разрядов сдвига промежуточного произведения и одиночных разрядов, определяя числовое значение промежуточного произведения в двоично-шестнадцатеричной системе счисления. Таким образом, выполняя деление двоично-восьмеричных и двоично-шестнадцате рич ных чисел в соответствии со всеми правилами, практически не требу требуется ется определять числовое значение промежуточного произведения, т.к. запись промежуточного произведения автоматически задает его числовое значение в соответствии с позицией множимой единицы в частном. В записи промежуточного произведения со сдвигом и сдвиг единиц в одиночных разрядах триадах и тетрад, а также и межтриадные и межтетрадные сдвиги единиц формируют числовые значения триад и тетрад в соответствии с позицией единицы в частном, по которой определяется сдвиг промежуточного произведения. Деление двоично-десятичных чисел несколько отличается от деления двоично-восьмеричных и двоично-шестнадцате ричных чисел, т.к. двоично-десятичная система счисления – это всего лишь смешанная система представления десятичного числа цифрами двоичной системы счисления 0 и 1, но не равное ему числовое значение в двоичной системе счисления, как это характерно для дво204

ично-восьмеричных и двоично-шестнадцате ричных чисел. Это обусловлено тем, что разряды двоично-десятичного числа, представляющие цифры десятичной системы счисления от 0 до 9 в двоичном эквиваленте тетрадами от 0000 2 до 1001 2, используют не весь объем числовых значений тетрады, что особенно влияет на числовое значение тетрад при выполнении межразрядного (межтетрадного) займа и промежуточного произведения. В соответствии с этим, рассматривая деление двоично-десятичных чисел, необходимо контролировать числовые значения тетрад в промежуточном произведении, т.к. при записи промежуточного произведения со сдвигом, сдвиг одиночных разрядов в тетрадах и между тетрадами может привести к запрещенным числовым значениям тетрад от 1010 2 до 1111 2 в двоично-десятичных числах. Деление двоично-десятичных чисел проводится в соответствии с правилами деления чисел в позиционных системах счисления и с учетом дополнений для смешанных систем. Таким образом, так же, как и в других смешанных системах счисления, деление двоичнодесятичных чисел начинается с определения неполного делимого в сравнении с числовым значением делителя и определения позиции единицы в частном. Неполное делимое определяется как совокупность тетрад с совокупным числовым значением, равным или большим числового значения делителя. По позиции единицы в частном, множимой на делитель, определяется количество разрядов сдвига промежуточного произведения в записи под неполным делимым, т.к. единица в частном записывается тогда, когда разность при вычитании промежуточного произведения из неполного делимого меньше делителя. При этом необходимо отметить, что сдвиг единиц в промежуточном произведении рассматривается по отношению к их позициям, занимаемых в делителе, т.к. промежуточное произведение повторяет символы делителя (0 и 1). Сдвиг единиц в тетрадах происходит тогда, когда младший одиночный разряд промежуточного произведения не совпадает с позицией младшего одиночного разряда неполного делимого, т.е. сдвинут влево на количество разрядов сдвига промежуточного произведения, одновременно с этим может происходить и межтетрадный сдвиг единиц влево, что равнозначно межтетрадному переносу.. переносу 205

При межтетрадном сдвиге единиц влево, перенос единиц между тетрадами, в соответствии с правилами выполнении арифметический действий в двоичной системе счисления, переносит из 33-го го разряда тетрады в 00-й й разряд тетрады слева, т.е. между тетрадами 16 единиц, что на 6 единиц больше, чем должно быть в двоично-десятичной системе. Перенос 16 единиц между тетрадами аналогичен межтетрадному переносу в двоично-шестнадцатеричной системе счисления. Однако при сдвиге промежуточного произведения, сдвиг единиц может происходить не только в младший 00-й й разряд тетрады слева, но и в разряды 11-й й и 22-й, й, что определяется количеством разрядов, на которые сдвигается промежуточное произведение. В соответствии с этим, при сдвиге единицы в старшие разряды тетрады слева происходит перенос большего количества единиц, чем при сдвиге в 00-й й разряд, т.к. с увеличением номера разряда, в который сдвигается единица, увеличивается и весовое соотношение разряда, определяющее позиционное числовое значение единицы в разряде тетрады слева. Основываясь на том, что при сдвиге промежуточного произведения на один разряд сдвигаемая единица в 00-й й разряд тетрады слева переносит в тетраду слева 16 единиц, а весовые соотношения соседних одиночных разрядов в тетраде отличаются между собой в 2 раза, можно определить количество единиц переноса при сдвиге на 2 и 3 разряда. Количество единиц переноса определяем, умножая число 16 на весовое соотношение разряда в тетраде: − при сдвиге промежуточного произведения на 2 разряда в тетраду слева в 11-й й разряд с весовым соотношением, равным 2, перенос составляет – 16×2=32 единицы; − при сдвиге промежуточного произведения на 3 разряда в тетраду слева во 22-й й разряд с весовым соотношением, равным 4, перенос составляет – 16×4=64 единицы. Таким образом, чем больше количество разрядов сдвига промежуточного произведения в двоично-десятичной системе счисления, тем больше единиц может переноситься из тетрад в тетраду слева и внутри тетрад, искажая числовое значение промежуточного произведения. Для исправления числового значения промежуточного произведения при межтетрадном сдвиге единиц на один разряд вводится 206

коррекция тетрад, из которых происходит сдвиг в тетраду слева, вычитая 6 единиц при переносе 16 единиц, представив цифру 6 двоичной тетрадой 0110 2=6 10, т.е. по правилам коррекции при вычитании двоично-десятичных чисел. Аналогично, при сдвиге на 2 разряда с переносом 32 единиц, необходимо выполнить коррекцию, вычитая 2 раза по 6 единиц и вычитая 4 раза по 6 единиц при сдвиге на 3 разряда с переносом 64 единиц. Рассмотрев особенности деления двоично-десятичных чисел, делаем вывод, что основным отличием от деления чисел в других смешанных системах является коррекция числовых значений, позволяющая получить промежуточные и резуль результирующие тирующие значения в двоично-десятичной системе счисления. Рассматривая деление двоично-десятичных чисел в совокупности с выполнением арифметической операции вычитание, коррекция выполняется в следующих случаях: − для тетрад разности с числовым значением больше 2= 1001 9 10, вычитая 01102=6 10. − для тетрад разности, которые при выполнении операции вычитание получили межтетрадный заем, вычитая 0110 2=6 10; − для тетрад промежуточного произведения, из которых выполнен сдвиг единиц: при сдвиге на один разряд в тетраду слева, вычитая 01102=6 10, при сдвиге на 2 разряда – вычитая 2 раза по 0110 2=6 10 и при сдвиге на 3 разряда – вычитая 4 раза по 0110 2=6 10. Коррекцию тетрад промежуточного произведения при наличии межтетрадного сдвига единиц можно выполнять непосредственно для промежуточного произведения или для разности, полученной при вычитании промежуточного произведения из неполного делимого, что наиболее часто применяется на практике. При этом коррекцию в разности необходимо проводить для тетрад, которые аналогичны тетрадам промежуточного произведения. Особо необходимо обратить внимание на коррекцию тетрады при межтетрадном переносе (сдвиге), т.к. количество коррекций определяется цифрой, равной весовому соотношению разряда в тетраде слева, в котором находится единица из тетрады справа после сдвига промежуточного произведения. Таким образом, чем больше единиц сдвигается в тетраду слева, тем большее количество коррекций выполняется для тетрады справа, из которой сдвинуты единицы. 207

В соответствии с этим, выполняя запись промежуточного произведения и определяя частичное неполное делимое, из которого будет вычитаться промежуточное произведение, необходимо обращать внимание на межтетрадный сдвиг единиц, т.к. каждая сдвигаемая единица в тетраду слева требу требует ет также и вычитания соответствующего количества корректирующих чисел (0110 2=6 10) из этого же частично неполного делимого. Рассмотрим на практическом примере (рис. 3.21) особенности выполнения деления многоразрядных смешанных позиционных чисел (дробей), представленных в двоично-десятичной системе счисления (0001 0011 2–10=1310). Перед выполнением деления смешанных позиционных чисел (дробей) убираем запятую из делителя и затем переносим запятую направо в делимом на такое количество разрядов, представленных тетрадами, сколько было обозначено в дробной части делителя. На рис. 3.21 а делитель и делимое после переноса запятой выделены полужирным шрифтом, а в конце делимого дописаны нули, формируя ру я тетраду с нулевым числовым значением в дробной части числа, отмечая делимое как смешанное позиционное число, но с отсутствием числового значения в дробной части. Исключение запятой в делителе и перенос запятой в делимом позволяет рассматривать деление полученного делимого, которое может остаться и смешанным позиционным числом (дробью), как деление на натуральное число. Отметка положения запятой в делимом необходима только для определения запятой в частном, т.к. запятая ставится в частном тогда, когда закончено деление целой части делимого. Так как делитель состоит из 22-хх тетрад (см. рис. 3.21 а), то для определения неполного делимого берем две старшие тетрады делимого начиная слева направо, и выполняем сравнение совокупного числовое значение двух тетрад делителя 1001,0100 2–10 и делимого 0010 1001 2–10. В соответствии с тем, что числовое значение тетрад де2–10 лителя больше совокупного числового значения двух тетрад делимого (1001,01002–10 2–10>0010 1001 2–10), рассматриваемые тетрады делимого не могут быть неполным делимым, и необходимо рассматривать совокупное числовое значение 33-хх тетрад делимого, т.е. добавить еще одну тетраду делимого. 208

Рассматривая числовое значение 33-хх тетрад делимого 0010 1001,01102–10, которое больше числового значения делителя 1001,01002–10, определяем, что неполное делимое состоит из 33-хх тетрад делимого. а – – – – –

0010 1001, 0110 1001, 0100 2–10 2–10 1001 0100 0010 1001 0110, 0000 2–10 2–10 2–10 1 0010 100 0000 00111, 2–100001 0001 0110 1110 коррекция сдвига 0110 из 1-й тетрады в 1-м промеж, произв. 0001 0000 1110 коррекция займа в 0-ю тетраду г 0110при вычитании 1-го промеж, произв. 29, 610 0001 0000 1000 29,6 1001 0100 0000 0111 0100 коррекция займа в 1-ю тетраду 28 2 при вычитании 2-го промеж, произв. 0110 1 40 1-го го неполного делимого 0001 0100, 0000 остаток от 194 – 1001 0100 коррекция займа 410 160 0000 1010,1100 в 0-ю и –1-ю тетраду – 0110 0110 при вычитании 3-го промеж, произв. 0100, 0110 2-го го неполного делимого 2–10 остаток от 2-

9, 10 4 910 ,4 310,1

б

0010 1001, 0110 1001, 0100 2–10 2–10 1001 0100 0010 1001 0110, 0000 2–10 2–10 – 1-е 1е промеж. произв. 1 001 0100 0001, без сдвига, полученное 0001 0000 0010 при умножении единицы единицы 00-го го разряда 2–10 0-го разряда в тетраде в тетраде частного частного числовое значение разности больше числового значения делителя 0010 0000 0101 2–10 > 1001 0100 2–10

в

0010 1001, 0110 1001, 0100 2–10 2–10 1001 0100 0010 1001 0110, 0000 2–10 2–10 – 1-е 1е промеж. произв. 10 0101 00 0100, со сдвигом, полученное 0000 0100 0110 при умножении единицы 2–10 единицы 22-го го разряда 2-го разряда в тетраде в тетраде частного частного числовое значение разности меньше числового значения делителя 0000 0100 0110 2–10 < 1001 0100 2–10

Рис. 3.21. Пр Рис. Пример имер,, пояс поясня няющий ющий особенности выполнения деления м ного ногора разр зря я д ны ныхх ч исе исел л в д вои воич ч но-де но-десят сяти и ч ной сист системе еме сч счислен ислени ия 209

В соответствии с тем, что числовое значение неполного делимого больше числового значения делителя, запись промежуточного произведения необходимо сдвигать справа налево, начиная отсчет с младшего одиночного разряда неполного делимого, чтобы получить резуль результирующую тирующую разность, вычитая промежуточное произведение из неполного делимого меньше делителя. Если промежуточное произведение записать под неполным делимым без сдвига, то полученная разность будет с числовым значением больше делителя, что указывает на неправильный выбор позиции единицы в частном. Пояснение данного варианта записи промежуточного произведения рассмотрено на рис. 3.21 б. Для данного варианта записи промежуточного произведения позиция единицы в тетраде частного соответствует позиции младшего одиночного разряда в младшей тетраде промежуточного произведения, и в примере на рис. 3.21 б соответствует 00-му му разряду в тетраде частного с весовым соотношением разряда, равным 1. Сдвиг промежуточного произведения влево на два разряда, в примере на рис. 3.21 в, позволяет получить числовое значение разности меньше числового значения делителя, и позиция единицы в частном будет соответствовать 22-му му разряду в тетраде с весовым соотношением разряда равным 4. Однако при сдвиге промежуточного произведения на 2 разряда влево происходит как сдвиг единиц в тетрадах, так и межтетрадный сдвиг единиц, что потребует выполнения коррекции 00-й й и 11-й й тетрады разности, полученной от вычитания из неполного делимого промежуточного произведения. При этом коррекцию 11-й й тетрады разности необходимо проводить два раза, т.е. сдвиг единицы выполнен в 11-й й разряд 22-й й тетрады с весовым соотношением разряда, равным 2, а коррекцию 00-й й тетрады – один раз, т.к. межтетрадный сдвиг единицы выполнен в 00-й й разряд 11-й й тетрады с весовым соотношением разряда, равным 1. В соответствии с тем, что числовое значение 11-й й тетрады разности, равное 0100 2–10 не позволяет выполнить коррекцию, сдвиг промежуточного произведения на два разряда, так же как и запись без сдвига, приводят к неверному результату деления. Таким образом, остается рассмотреть вариант сдвига промежуточного произведения на один разряд. При записи промежуточного произведения со сдвигом влево на один разряд (см. рис. 3.21 а) выполняется сдвиг единицы из 11-й й 210

тетрады в 00-й й разряд 22-й й тетрады, с весовым соотношением разряда, равным 1, что требу требует ет проведение коррекции 11-й й тетрады один раз, которую можно выполнить, т.к. корректируемые тетрады в разности имеют достаточное числовое значение. Коррекции в рассматриваемом примере поясняется сносками с указанием причины, которая требует требу ет выполнения коррекции в тетрадах. Необходимо обратить внимание, что коррекция тетрад при межтетрадном сдвиге единиц в 11-м м промежуточном произведении выполнена для разности, а не непосредственно для промежуточного произведения. Коррекцию младшей тетрады разности необходимо рассматривать, выполнив сноску 0 и 1 из неиспользованных разрядов младшей тетрады неполного делимого (в рассматриваемом примере для первой разности сносим 0 из 00-го го разряда рис. 21 а), т.е. разрядов, из которых не вычиталось промежуточное произведение. Позиция единицы в 00-й й тетраде частного для промежуточного произведения, записанного со сдвигом влево на один разряд по отношению к неполному делимому делимому,, соответству соответствует ет 11-му му разряду тетрады с весовым соотношением, равным 2. Выполнив все необходимые коррекции первой разности в совокупности с разрядами сноски, продолжается деление, рассматривая сдвиг очередного промежуточного произведения вправо на один одиночный разряд. Если в резуль результате тате сдвига можно получить разность между неполным делимым и промежуточным произведением, то в частном записывается 1 и выполняется необходимая коррекция тетрад разности. Если разность нельзя получить или разность недостаточна для выполнения коррекции, то выполняют следующий сдвиг,, отмечая в разряде частного 0, и т.д. до младшего разряда несдвиг полного делимого, т.е. до рассмотрения всех одиночных разрядов младшей тетрады 11-го го неполного делимого. В примере на рис. 3.21 а числовое значение скорректированной разности (1001,0100 2–10) позволяет получить разность при вычита2–10 нии 22-го го промежуточного произведения (0001 0000,1000 2–10), числовое значение которого меньше скорректированной разности (0001 0000,10002–10>1001,01002–10), при записи промежуточного произведения без сдвига. В этом случае единица в частном записывается в 00-м м разряде 00-й й тетрады с весовым соотношением, равным 1, и суммарное весовое соотношение единиц в 00-й й тетраде частного равно 3. 211

Таким образом, при делении первого неполного делимого 0010 1001,01102–10 на делитель 1001,0100 2–10 частное равно 0000 0011, 00002–10, в котором нулевое числовое значение 11-й й тетрады обозначает,, что числовое значение 1чает 1-й й тетрады делимого меньше числового значения делителя. Проверку деления двоично-десятичных чисел можно рассмотреть на примере выполнения деления аналогичных чисел, представленных в десятичной системе счисления на рис. 3.21 г. Сравнивая деление на этапе 11-го го неполного делимого из трех аналогичных разрядов числа в двоично-десятичной и десятичной системе счисления, видно, что числовые значения, полученные при делении аналогичных чисел в двух системах счисления, дают одинаковый результат зуль тат в частном 0000 0011,0000 2–10=3,0 10 и остаток от деления 0001 0100,00002–10=14,010. Далее деление проводится, начиная с определения 22-го го неполного делимого и числового значения тетрады в частном, выполняя все действия аналогично, как и для 11-го го неполного делимого. Таким образом, весь процесс деления двоично-десятичных чисел можно разделить по циклам, в каждом из которых рассматривается очередное неполное делимое в сравнении с числовым значением делителя, формиру формируя я одиночные двоичные разряды тетрады частного. При выполнении каждого цикла формиру формируется ется одна тетрада в частном как разряд частного, который в совокупности с другими тетрадами представляет частное полным или неполным в зависимости от числового значения остатка. Таким образом, рассматривая деление двоично-десятичных чисел по циклам, можно сделать вывод о том, что деление может быть закончено на этапе выполнения любого количества циклов, т.к. количество выполненных циклов зависит только от того, какие условия поставлены перед выполнением деления и в каком виде необходимо получить резуль результат тат деления (нацело, дробно, точность). В рассматриваемом примере (см. рис. 3.21 а, г) деление выполнены, дробно с остатком и заданной точностью на один разряд в дробной части частного. При делении двоично-десятичных чисел может наравне с рассмотренным способом применяться и способ с предварительной коррекцией тетрад делимого, когда числовое значение старшей те212

трады делителя больше числового значения старшей тетрады в делимом. Математический смысл предварительной коррекции делимого заключается в преобразовании числового значения пары тетрад делимого из двоично-десятичной системы счисления в двоичную систему счисления, несмотря на то, что делимое имеет формат записи в виде тетрад. Коррекция выполняется для двух крайних тетрад в делимом слева способом вычитания шести единиц (0110 2=6 10) из тетрады, расположенной справа от старшей тетрады делимого. В резуль результате тате коррекции тетрад необходимо получить числовое значение корректируемых ру емых тетрад в двоичной системе с числовым значением, равным числовому значению этих тетрад в двоично-десятичном счислении. Например при коррекции двух тетрад делимого 0001 0011 2–10 − 0110 2– 10=11012 происходит возвращение из тетрады слева в тетраду справа десяти единиц, представляя эти тетрады делимого в двоичной системе счисления 0001 0011 2–10=0000 1101 2=1310, несмотря на то, что одиночные разряды числа разделены по тетрадам. Деление скорректированного двоично-десятичного числа выполняется с определения первого неполного делимого, записывая под неполным делимым промежуточное произведение для определения разности между ними. Числовое значение разности должно быть меньше числового значения делителя и допу допускать скать возможность выполнения необходимой коррекции разности. Отличительной особенностью деления двоично-десятичного числа со скорректированными тетрадами делимого является то, что коррекция в тетрадах разности, которые представлены в двоичной системе счисления, не проводится. Закончив цикл деления с первым неполным делимым, аналогично выполняются и следующие циклы деления двоично-десятичных чисел с предварительной коррекцией двух тетрад неполного делимого. В примере на рис. 3.22 показано деление двоично-десятичных чисел с предварительной коррекцией делимого, где числа, как делимое, так и делитель, аналогичны числам при рассмотрении деления без предварительной коррекции делимого на рис. 3.21 а. На этих примерах деления аналогичных чисел с разными способами коррек213

0010 1001, 0110 1001, 0100 2–10 2–10 0010 1001 0110, 000 1001 0100, 0000 – 0110 0000 0011, 0001 2–10 0010 0011 предварительная коррекция – 0110 1-го неполного делимого 0001 1101 0110 двоичное число, равное числу 0010 1001 – 2-10 1 0010 100 0000 1010 1110 коррекция займа в 0-ю тетраду – при вычитании 11-го го промеж. произв. 0110 1-го го неполного делимого 1010 1000 остаток от 1– двоичное число 0110 0100 0001 0100, 0000 предварительная коррекция – 0110 2-го неполного делимого 0000 1110 0000 – 2-10 0000 1001, 0100 двоичное число, равное числу 0001 0100 0000 0100, 1100 коррекция займа в 1-ю тетраду – 0110 при вычитании 3-го промеж. произв. 2-го го неполного делимого 0000 0100, 0110 2–10 остаток 20010 1001, 0101 2–10 : 1001 0100 2–10 = 0011, 00012–10 (остаток 0100, 0110 2–10) 29,610 : 9,410 = 3,110 (остаток 4, 6 10) Рис. 3.22. Пример выполнения деления м но Рис. ногоразря горазря дн дных ых ч исел в двоич нодесятт и ч ной сис деся системе теме сч счислен ислени и я с п ред редв в ари аритт ел ельной ьной коррек ц ией т ет етр рад дели дел и мог мого о

ции можно рассмотреть и понять особенности выполнения деления двоично-десятичных чисел. При делении двоично-десятичных чисел на рис. 3.22 применена коррекция двух тетрад в целой части числа, т.к. числовое значение старшей тетрады делимого меньше числового значения старшей тетрады делителя. Коррекция выполнена два раза для того, чтобы числовое значение тетрад, представленное в двоично-десятичной системе, представить в двоичной системе счисления, т.е. выразить двоичным числом: 0010 1001 2–10= 0001 1101 2=2910, несмотря на то, что одиночные разряды числа распределены по тетрадам. В резуль результате тате коррекции, первое неполное делимое 0001 1101,0110 представлено двумя составляющими, одно из которых в двоичной системе 0001 1101 2, а другое 0110 2–10 в двоично-десятичной систе2–10 ме счисления. При вычитании 11-го го промежуточного произведения 214

из 11-го го неполного делимого, получаем разность 1010,1110 2, в которой обе тетрады представлены запрещенными комбинациями для двоично-десятичной системы, но коррекция выполняется только для -11-й й тетрады, т.к. в эту тетраду при вычитании был произведен заем из тетрады слева. Коррекцию 00-й й тетрады в полученной разности проводить не нужно, т.к. тетрада перед операцией вычитания была представлена в двоичной системе счисления, как числовое значение тетрад в целой части числа. При вычитании 22-го го промежуточного произведения из остатка от 11-го го неполного делимого, получаем разность 0001,0100 2–10 , к которой добавляем тетраду с нулевым числовым значением для продолжения деления с заданной точностью, чтобы получить частное с одним разрядом в дробной части числа, т.е. с точностью до 10 0,1 . Таким образом, получаем 22-е е неполное делимое 0001,0100 0000 2–10, в котором выполняем предварительную коррекцию двух тетрад слева, т.к. числовое значение старшей тетрады получилось меньше числового значения старшей тетрады делителя, представляя эти тетрады неполного делимого в двоичной системе счисления. В разности, полученной при вычитании 33-го го промежуточного произведения из 22-го го скорректированного неполного делимого, проводим коррекцию младшей тетрады, компенсирую заем из тетрады слева при вычитании. Остаток при выполнении деления с остатком (см. рис. 3.22) представлен, как и частное, в двоично-десятичной системе счисления. Позиция запятой в частном и остатке определяется по позиции запятой в делимом. Анализируя Анализиру я различные способы деления двоично-десятичных чисел, можно заметить, что способ с предварительной коррекцией тетрад в неполном делимом упрощает процесс определения позиции записи промежуточного произведения со сдвигом, т.к. в этом способе существует только одна позиция промежуточного произведения при записи со сдвигом. Также в этом случае коррекция выполняется только при выполнении займа или при числовом значении тетрад без предварительной коррекции больше 1001 2. Способ выполнения деления двоично-десятичных чисел с предварительной коррекцией делимого находит практическое применение при программировании операций, связанных с переводом двоично-десятичных чисел в двоичные, а также арифметических операций с двоично-десятичными числами. 215

а – – – –

0010 1011, 0011 0100, 1001 2–10 2–10 0100 0001 0011 011,, 0000 0100 1001, 0000 2–10 2–10 010 0100 1 1000, 2–100100 0001 1100 1011 11-е е пром. произв. 0110 0110 коррекция займа 0001 0110 0101 0110 0110 11-я я коррекция сдвига 11-го го пром. произв. 0000 1111 1111 0110 0110 коррекция при значении > 1001 2 1001 1001 – 0110 0110 22-я я коррекция сдвига 11-го го пром. произв. 0011 0011 – 011033-я я коррекция сдвига 11-го го пром. произв. 0010 1101 – 0110 коррекция при значении > 1001 2 б 0010 0111 – 4 1, 310 4,10 9 0110 44-я я коррекция сдвига 11-го го пром. произв. 4 1 3,010 49,010 0010 0001 0000 – 39 2 810,4 01 0010 01 2-е 2е пром. произв. 2 1 0 0000 1110 1100 – 1 9 6 0110 0110коррекция займа 1,10 4 1000 0110 – 0110 011011-я я коррекция сдвига 22-го го пром. произв. 0010 0000 – 0110 22-я я коррекция сдвига 22-го го пром. произв. 0001 1010 – 0110коррекция при значении > 1001 2 остаток 0001 0100 2–10 0100 0001, 0011 2–10 : 0100, 1001 2–10 = 1000, 01002–10 (остаток 0001, 01002–10)

Ри с. 3.23. Прим Рис ример ер вып выполне олнения ния де деле лени ни я мн много огоразр разря я дных сме мешанных шанных позиц поз ицион ионн н ы х ч исе исел л ( др дроб обей ей)) д р обно с о ст стат атком: ком: а — в дв двои оич ч но-дес но-десят яти и ч ной системе сист еме сч счислен исления; ия; б — в деся десяти тичной чной системе счис счислени ления я

Примеры выполнения деления чисел в двоично-десятичной системе счисления, в которых делимое и делитель представлены смешанными позиционными числами (дробями), с делением без остатка и с остатком, нацело и дробно, показаны на рис. 3.23, 3.24. В примере на рис. 3.23 а рассмотрен вариант коррекции 00-й й тетрады разности, полученной при вычитании 11-го го промежуточного 216

а 0011 1001, 0110 0111, 0101 2–10 2–10 01 1101 01 0101 0010, 1000 2–10 0001 1100 0010 1-е 1е пром. произв. – б 0110 0110 39, 610 7,5 10 0001 0101 1100 – – 37 5 5,10 28 0110 0110 0000 1111 0110 – 2 10 – 0110 1 50 1001 0110 – 6 00 – 6 00 0111 0101 2-е 2е пром. произв. 0010 0001 0000 0 – 3-е 3е пром. произв. 0 1110 101 0001 0010 0110 – 0110 0110 2 единицы сдвига из 00-й й тетрады справа 0000 1100 0000 – 0110 0110 0000 0000 – 0 11 1010 1 44-е е пром. произв. 0010 0101 1000 – 0110 0110 коррекция займа 0001 1111 0010 – 0110 коррекция при значении > 1001 2 0001 1001 0010 – 0110 0110 1-я 1я коррекция сдвига 44-го го пром. произв. 0001 0010 1100 – 0110 2-я 2я коррекция сдвига 44-го го пром. произв. 1100 1100 – коррекция при значении > 1001 2 0110 0110 0110 0110 – 0110 0110 3-я 3я коррекция сдвига 44-го го пром. произв. 0000 0000 –

0011 1001, 0110 2–10 : 0111, 0101 2–10 = 0101, 0010 1000 2–10 Р ис ис.. 3.24. При Пример мер выпо выполнен лнени и я де делени ления я м ног ногора оразря зряд д ны ныхх см смешан ешанн н ых позиционны поз иционны х чисел (дробей дробей)) д роб робно но без остатка: а — в дв двои оичн чно-дес о-десят яти и ч ной системе сист еме сч счислен исления; ия; б — в деся десяти тичной чной системе счис счислени ления я

произведения, когда коррекция выполняется 4 раза, т.к. единица из 00-й й тетрады промежуточного произведения сдвинулась в тетраду слева в ее 22-й й разряд с весовым соотношением разряда, равным 4. Также параллельно с коррекцией 00-й й тетрады разности выполнена коррекция и 11-й й тетрады разности один раз. 217

В примере на рис. 3.24 а рассмотрен вариант коррекции тетрады разности, полученной при вычитании 44-го го промежуточного произведения, когда коррекция выполняется 3 раза, т.к. из нулевой тетрады промежуточного произведения сдвинулись в тетраду слева две единицы в разряды тетрады с весовым соотношением, равным 1 и 2, что в сумме равно 3. Для всех примеров выполнения деления двоично-десятичных чисел показано деление таких же чисел в десятичной системе счисления, что позволяет рассмотреть соответствие принципов выполнения арифметических операций для чисел в двоичной и двоичнодесятичной системе счисления. Вопросы и задания для самоконтроля 1. Перечислите основные законы математики, применяемые в арифметических операциях с числами, представленными в позиционных системах счисления. 2. Назовите особенности сложения чисел, представленных в позиционных системах счисления. 3. Назовите особенности сложения чисел, представленных в смешанных системах счисления. 4. Назовите особенности вычитания чисел, представленных в позиционных системах счисления. 5. Назовите особенности вычитания чисел, представленных в смешанных системах счисления. 6. Назовите особенности умножения чисел, представленных в позиционных системах счисления. 7. Назовите особенности умножения чисел, представленных в смешанных системах счисления. 8. Назовите особенности деления чисел, представленных в позиционных системах счисления. 9. Назовите особенности деления чисел, представленных в смешанных системах счисления. 10. Приведите понятие о переносе и займе при выполнении арифметических операций. 11. Поясните правила сложения многоразрядных двоичных чисел. 12. Объясните основные понятия о переполнении разрядной сетки при выполне нии арифме тических операциях с числами. 218

13. Поясните понятие переноса из числового модуля и из знакового разряда на резуль результат тат суммирования и знак суммы при выполнении арифметических операций с чис лами. 14. Объясните математический принцип необходимости проведения коррек ции суммы. 15. Объясните особенности проведения арифметического вычитания.

3.3.. Преобразова ние чисел из одной сист 3.3 системы емы счис счислени ления я в дру другг у ю В связи с применением в вычислительной технике различных позиционных систем счисления, возникает необходимость свободного оперирования с числами в различных системах счисления, что неразрывно связано с процессом преобразования, или что одно и то же, перевода чисел из одной системы счисления в другую. Существует Существу ет два метода (алгоритма) перевода чисел из одной системы счисления в другую, которые отличаются друг от друга правилами перевода чисел – целых и правильных дробей: − метод совместного перевода целых чисел и правильных дробей с использованием одинаковых правил и арифметических операций (действий) над числами в процессе перевода чисел из одной системы счисления в другую в новой системе счисления, в которую производится перевод чисел; − метод раздельного перевода целых чисел и правильных дробей с использованием разных правил и арифметических операций (действий) над числами в процессе перевода чисел из одной системы счисления в другую в исходной и в новой системе счисления. Метод совместного перевода целых чисел и правильных дробей и одинаковыми правилами перевода целых чисел и правильных дробей и использованием арифметики новой системы счисления, может быть реализован различными способами (последовательностями действий), правила которых одинаково применимы для перевода целых чисел и дробей: − способ представления чисел (целых и правильных дробей) в раз развернутой вернутой форме записи по формуле разложения in= − 1

( Аa q= ±

∑

i

qi ) в виде суммы весовых соотношений цифр числа

=− im

219

в новой системе счисления, получая количественное значение числа в десятичной системе счисления; − способ представления чисел с основанием q, удовлетворяющим k, т.е. представляющим целую стесоотношению по формуле q=2 пень числа 2, триадами (k=3) или тетрадами (k=4) в двоичной (новой) системе счисления, и наоборот наоборот,, восьмеричными или шестнадцатеричными цифрами, как цифрами новой системы счисления. Способ применения развернутой формы записи числа по формуле разложения подробно рассмотрен в процессе описания позиционных систем счисления при определении количественного значения числа для каждой системы счисления в виде суммы весовых соотношений цифр числа, получая количественное значение числа в десятичной системе счисления. Применение формулы разложения к числам позиционных систем счисления, когда резуль результат тат представлен в десятичной системе счисления, является удобным непосредственным способом перевода числа из любой позиционной системы счисления в десятичную систему,, используя непосредственно новую десятичную систему систему систему.. Однако применение данного способа перевода чисел из одной позиционной системы счисления в другую систему счисления ограниченное, т.к. позволяет проводить только преобразования в десятичную систему счисления: (124,63)10 = 1×102+2×101+4×100+6×10–1 +3×10–2 = (124,63)10 (101,01)2 = 1×22+0×21+1×20+0×2–1 +1×2–2 = (5,25)10 (137,25)8 = 1×82+3×81+7×80+2×8–1 +5×8–2 = (95,140625)10 10 (А43,12)16= 10×162+4×161+3×160+1×16–1 +2×16–2 = (2627,0703125)10. Способ представления чисел в двоичной системе счисления через триады и тетрады также подробно рассмотрен в описании особенностей восьмеричной и шестнадцатеричной системы счисления, позволяющих представить числа в смешанной двоично-восьмеричной и двоично-шестнадцатерич ной системе счисления. Представления чисел восьмеричной и шестнадцатеричной системы счисления в смешанной двоично-восьмеричной и двоичношестнадцатерич ной системе счисления, является удобным и быстрым способом перевода чисел из восьмеричной и шестнадцатеричной системы счисления в новую двоичную систему счисления, 220

используя непосредственно двоичное значение цифр систем, и обиспользуя ратно, использу используя я непосредственно значение цифр в двоичной системе счисления. Применение данного способа преобразования чисел также ограниченное, т.к. позволяет проводить перевод только между восьмеричными и шестнадцатеричными числами и двоичными числами: ( 237,5)8 = (010 011 111,101) 2–8 = (10011111,101) 2 (10101,01101) =(010 010 101,011 010) 2=( 2–8 = (25,32)8 (1DC,2E) 16 = (0001 1101 1100,0010 1110) 2–16 = (111011100,0010111) 2 (10111,00111) =(0001 0001 0111,0011 1000) 2=( 2–16= (17,38)16. Метод раздельного перевода целых чисел и правильных дробей является универсальным, позволяя выполнять перевод чисел между любыми позиционными системами счисления, с использованием арифметических операций (действий) над числами, как в исходной, так и в новой системе счисления. Универсальность метода состоит в том, что перевод между позиционными системами счисления можно выполнять независимо от соотношений между основаниями систем счисления, выраженных неравенствами со знаком больше q>p или меньше q