АЛГЕБРА [1, 1 ed.]

Table of contents :
Лекция 1
Частные случаи СЛУ
Системы линейных уравнений. Определения.
Метод Гаусса исключения переменных.Теорема 1.
Приведение ступенчатой матрицы к улучшенному виду
Метод Гаусса исключения переменных.Теорема 2.
Лекция 2
Метод Гаусса исключения переменных.
Следствия из метода Гаусса.
Арифметические векторные пространства.
Лекция 3
Лемма о выражении через независимый набор.
Критерий единствеености выражения через набор векторов.
Определение подпространства. Примеры.
Линейная оболочка. Свойства.
Основная лемма о линейной зависимости
Базис. Определение и свойства.
Лекция 4
Фундаментальная система решений.
Линейные подмногообразия.
Ранг системы векторов.
Лекция 5
Теорема о нахождении строчного равнга матрицы.
Теорема о равенстве строчного и столбцового рангов матрицы.
Алгоритм нахождения базы системы векторов.
Теорема о размерности пространства решений однородной СЛУ.
Теорема о существовании для подпространства СЛУ, множеством решений которой является это подпространство.
Теорема Кронекера-Капелли (критерий совместности СЛУ).
Лекция 6
Критерий определённости СЛУ в терминах рангов.
Операции над матрицами.
Примеры умножения матриц.
Свойства умножения матриц.
Операция транспонирования. Свойства.
Лекция 7
Единичная и элементарные матрицы.
След матрицы. Обратная матрица.
Алгоритм нахождения обратной матрицы с помощью элементарных преобразований.
Перестановки.
Лекция 8
Обратная подстановка.
Разложение подстановки в произведение независимых циклов.
Транспозиция.
Инверсия.
Знак подстановки.
Понятие определителя.
Лекция 9
Примеры нахождения определителя.
Определитель верхнетреугольной матрицы.
Свойства определителя.
Теорема об эквивалентности неравенства нулю определителя.
Теорема о функции, ставящей в соответствие набору векторов число.
Лекция 10
Определитель с углом нулей. Определитель Вандермонда.
Миноры.
Разложение определителя.
Определитель произведения матриц.
Фальшивое разложение.
Присоединенная матрица. Формула для обратной матрицы.
Лекция 11
Формулы Крамера и теорема Крамера.
Теорема о ранге матрицы.
Бинарные операции. Понятие полугруппы. Примеры.
Моноиды. Группы. Абелевы группы. Примеры.
Лекция 12
Кольцо. Определение и примеры.
Обратимость элемента. Делители нуля.
Нильпотент. Определение и примеры.
Поле. Определение и примеры.
Характеристика поля.
Частный случай бинома Ньютона в поле с характеристикой p.
Лекция 13
Введение.
Понятие комплексного числа. Операции.
Тригонометрическая форма записи комплексного числа.
Извлечение корней.
Корни из 1.
Первообразные корни из 1 и их свойства.
Лекция 14
Многочлены от одной переменной.
Связь формального и функционального равенства.
Задача интерполяции.
Теорема о делении с остатком.
Корни многочлена.
Теорема Безу.
Лекция 15
Кратность корня многочлена.
Производная многочлена. Ее свойства в зависимости от характеристики поля.
Переразложение многочлена в точке.
Нахождение кратности корня.
Теорема о числе корней многочлена.
Теория делимости.
Лекция 16
Ассоциированность элементов.
Евклидовы кольца.
НОД и его свойства.
Простые и неприводимые элементы.
Обобщение основной теоремы арифметики.
Предисловие к основной теореме алгебры.
Лекция 17
Существование корня многочлена над C, основная теорема алгебры.
Сходимость на комплексной плоскости.
Лемма о возрастании модуля.
Лемма Даламбера.
Доказательство основной теоремы алгебры.
Теорема Руффини - Абеля.Отделение кратных корней.
Лекция 18
Неприводимые многочлены.
Неприводимые многочлены над C и R.
Неприводимые многочлены над Q .
Теорема Декарта.
Лекция 19
Предварительные замечания.
Поле дробей.
Поле рациональных дробей.
Многочлены от нескольких переменных.
Лекция 20
Симметрические многочлены.
Леммы о старшем члене симметрического многочлена.
Основная теорема о симметрических многочленах. Доказательство.
Теорема Виета.
Дискриминант многочлена от одной переменной.
Лекция 21
Свойства дискриминанта.
Результант. Его связь с дискриминантом.
Выражение результанта через определитель.
Понятие группы и подгруппы. Гомоморфизм.
Лекция 22
Изоморфизм групп.
Ядро и образ.
Примеры групп.
Циклическая подгруппа.
Подгруппы в циклических группах.
Лекция 23
Смежные классы.
Теорема Лагранжа.

Citation preview

МЕХАНИКА • СЛЕПКОВ АЛЕКСАНДР ИВАНОВИЧ

КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ ПРОФ. РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ. СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU.

МЕХАНИКОМАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА

АЛГЕБРА ЧАСТЬ 1 АРЖАНЦЕВ ИВАН ВЛАДИМИРОВИЧ МЕХМАТ МГУ

КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ ПРОФ. РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ. СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU. ЕСЛИ ВЫ ОБНАРУЖИЛИ ОШИБКИ ИЛИ ОПЕЧАТКИ, ТО СООБЩИТЕ ОБ ЭТОМ, НАПИСАВ СООБЩЕСТВУ VK.COM/TEACHINMSU.

БЛАГОДАРИМ ЗА ПОДГОТОВКУ КОНСПЕКТА СТУДЕНТКУ МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОГО ФАКУЛЬТЕТА МГУ КОЩЕЕВУ АННУ ВИТАЛЬЕВНУ

ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU

Ñîäåðæàíèå Ëåêöèÿ 1 ×àñòíûå ñëó÷àè ÑËÓ

7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Ñèñòåìû ëèíåéíûõ óðàâíåíèé. Îïðåäåëåíèÿ.

7

. . . . . . . . . . . . . . . . .

10

Ìåòîä Ãàóññà èñêëþ÷åíèÿ ïåðåìåííûõ.Òåîðåìà 1. . . . . . . . . . . . . . . .

12

Ïðèâåäåíèå ñòóïåí÷àòîé ìàòðèöû ê óëó÷øåííîìó âèäó

. . . . . . . . . . .

12

Ìåòîä Ãàóññà èñêëþ÷åíèÿ ïåðåìåííûõ.Òåîðåìà 2. . . . . . . . . . . . . . . .

14

Ëåêöèÿ 2

16

Ìåòîä Ãàóññà èñêëþ÷åíèÿ ïåðåìåííûõ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

Ñëåäñòâèÿ èç ìåòîäà Ãàóññà.

17

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Àðèôìåòè÷åñêèå âåêòîðíûå ïðîñòðàíñòâà.

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

Ëåêöèÿ 3

19

22

Ëåììà î âûðàæåíèè ÷åðåç íåçàâèñèìûé íàáîð.

. . . . . . . . . . . . . . . .

Êðèòåðèé åäèíñòâååíîñòè âûðàæåíèÿ ÷åðåç íàáîð âåêòîðîâ.

22

. . . . . . . .

22

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

Ëèíåéíàÿ îáîëî÷êà. Ñâîéñòâà. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

Îñíîâíàÿ ëåììà î ëèíåéíîé çàâèñèìîñòè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

Áàçèñ. Îïðåäåëåíèå è ñâîéñòâà.

26

Îïðåäåëåíèå ïîäïðîñòðàíñòâà. Ïðèìåðû.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Ëåêöèÿ 4

29

Ôóíäàìåíòàëüíàÿ ñèñòåìà ðåøåíèé. Ëèíåéíûå ïîäìíîãîîáðàçèÿ.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

Ðàíã ñèñòåìû âåêòîðîâ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

Ëåêöèÿ 5

35

Òåîðåìà î íàõîæäåíèè ñòðî÷íîãî ðàâíãà ìàòðèöû.

. . . . . . . . . . . . . .

35

Òåîðåìà î ðàâåíñòâå ñòðî÷íîãî è ñòîëáöîâîãî ðàíãîâ ìàòðèöû. . . . . . . .

36

Àëãîðèòì íàõîæäåíèÿ áàçû ñèñòåìû âåêòîðîâ.

38

. . . . . . . . . . . . . . . .

Òåîðåìà î ðàçìåðíîñòè ïðîñòðàíñòâà ðåøåíèé îäíîðîäíîé ÑËÓ.

. . . . .

38

Òåîðåìà î ñóùåñòâîâàíèè äëÿ ïîäïðîñòðàíñòâà ÑËÓ, ìíîæåñòâîì ðåøå. . . . . . . . . . . . . . .

39

Òåîðåìà Êðîíåêåðà-Êàïåëëè (êðèòåðèé ñîâìåñòíîñòè ÑËÓ). . . . . . . . .

íèé êîòîðîé ÿâëÿåòñÿ ýòî ïîäïðîñòðàíñòâî.

41

Ëåêöèÿ 6

43

Êðèòåðèé îïðåäåë¼ííîñòè ÑËÓ â òåðìèíàõ ðàíãîâ.

. . . . . . . . . . . . .

43

Îïåðàöèè íàä ìàòðèöàìè. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43

Ïðèìåðû óìíîæåíèÿ ìàòðèö. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

44

Ñâîéñòâà óìíîæåíèÿ ìàòðèö.

47

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Îïåðàöèÿ òðàíñïîíèðîâàíèÿ. Ñâîéñòâà.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Ëåêöèÿ 7

48

51

Åäèíè÷íàÿ è ýëåìåíòàðíûå ìàòðèöû.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

51

Ñëåä ìàòðèöû. Îáðàòíàÿ ìàòðèöà. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

52

3

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА

ФОНД

ВОЛЬНОЕ ДЕЛО

ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU

Àëãîðèòì íàõîæäåíèÿ îáðàòíîé ìàòðèöû ñ ïîìîùüþ ýëåìåíòàðíûõ ïðåîáðàçîâàíèé. Ïåðåñòàíîâêè.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

54

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

56

Ëåêöèÿ 8

58

Îáðàòíàÿ ïîäñòàíîâêà. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

58

Ðàçëîæåíèå ïîäñòàíîâêè â ïðîèçâåäåíèå íåçàâèñèìûõ öèêëîâ. . . . . . . .

58

Òðàíñïîçèöèÿ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

59

Èíâåðñèÿ.

60

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Çíàê ïîäñòàíîâêè.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

61

Ïîíÿòèå îïðåäåëèòåëÿ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

62

Ëåêöèÿ 9

63

Ïðèìåðû íàõîæäåíèÿ îïðåäåëèòåëÿ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

63

Îïðåäåëèòåëü âåðõíåòðåóãîëüíîé ìàòðèöû. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

64

Ñâîéñòâà îïðåäåëèòåëÿ.

65

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Òåîðåìà îá ýêâèâàëåíòíîñòè íåðàâåíñòâà íóëþ îïðåäåëèòåëÿ.

. . . . . . .

67

Òåîðåìà î ôóíêöèè, ñòàâÿùåé â ñîîòâåòñòâèå íàáîðó âåêòîðîâ ÷èñëî. . . .

68

Ëåêöèÿ 10

70

Îïðåäåëèòåëü ñ óãëîì íóëåé. Îïðåäåëèòåëü Âàíäåðìîíäà.

. . . . . . . . .

70

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

71

Ðàçëîæåíèå îïðåäåëèòåëÿ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

72

Îïðåäåëèòåëü ïðîèçâåäåíèÿ ìàòðèö. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

73

Ìèíîðû.

Ôàëüøèâîå ðàçëîæåíèå.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Ïðèñîåäèíåííàÿ ìàòðèöà. Ôîðìóëà äëÿ îáðàòíîé ìàòðèöû.

. . . . . . . .

Ëåêöèÿ 11

74 74

77

Ôîðìóëû Êðàìåðà è òåîðåìà Êðàìåðà.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

77

Òåîðåìà î ðàíãå ìàòðèöû. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

78

Áèíàðíûå îïåðàöèè. Ïîíÿòèå ïîëóãðóïïû. Ïðèìåðû.

. . . . . . . . . . . .

79

. . . . . . . . . . . . . . .

81

Ìîíîèäû. Ãðóïïû. Àáåëåâû ãðóïïû. Ïðèìåðû.

Ëåêöèÿ 12

84

Êîëüöî. Îïðåäåëåíèå è ïðèìåðû. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

84

Îáðàòèìîñòü ýëåìåíòà. Äåëèòåëè íóëÿ.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

85

Íèëüïîòåíò. Îïðåäåëåíèå è ïðèìåðû.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

87

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

87

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

89

×àñòíûé ñëó÷àé áèíîìà Íüþòîíà â ïîëå ñ õàðàêòåðèñòèêîé p. . . . . . . .

90

Ïîëå. Îïðåäåëåíèå è ïðèìåðû. Õàðàêòåðèñòèêà ïîëÿ.

Ëåêöèÿ 13 Ââåäåíèå.

92 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Ïîíÿòèå êîìïëåêñíîãî ÷èñëà. Îïåðàöèè.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Òðèãîíîìåòðè÷åñêàÿ ôîðìà çàïèñè êîìïëåêñíîãî ÷èñëà.

92 93

. . . . . . . . . .

94

Èçâëå÷åíèå êîðíåé. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

96

4

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА

ФОНД

ВОЛЬНОЕ ДЕЛО

ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU

Êîðíè èç 1.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Ïåðâîîáðàçíûå êîðíè èç 1 è èõ ñâîéñòâà.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Ëåêöèÿ 14

98

100

Ìíîãî÷ëåíû îò îäíîé ïåðåìåííîé.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Ñâÿçü ôîðìàëüíîãî è ôóíêöèîíàëüíîãî ðàâåíñòâà. Çàäà÷à èíòåðïîëÿöèè.

100

. . . . . . . . . . . . .

102

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

103

Òåîðåìà î äåëåíèè ñ îñòàòêîì.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

104

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

105

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

106

Êîðíè ìíîãî÷ëåíà. Òåîðåìà Áåçó.

97

Ëåêöèÿ 15

108

Êðàòíîñòü êîðíÿ ìíîãî÷ëåíà. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

108

Ïðîèçâîäíàÿ ìíîãî÷ëåíà. Åå ñâîéñòâà â çàâèñèìîñòè îò õàðàêòåðèñòèêè ïîëÿ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ïåðåðàçëîæåíèå ìíîãî÷ëåíà â òî÷êå.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

109 111

Íàõîæäåíèå êðàòíîñòè êîðíÿ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

112

Òåîðåìà î ÷èñëå êîðíåé ìíîãî÷ëåíà. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

113

Òåîðèÿ äåëèìîñòè.

114

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Ëåêöèÿ 16

115

Àññîöèèðîâàííîñòü ýëåìåíòîâ. Åâêëèäîâû êîëüöà.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

115

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

115

ÍÎÄ è åãî ñâîéñòâà.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Ïðîñòûå è íåïðèâîäèìûå ýëåìåíòû.

116

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

118

Îáîáùåíèå îñíîâíîé òåîðåìû àðèôìåòèêè. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

119

Ïðåäèñëîâèå ê îñíîâíîé òåîðåìå àëãåáðû. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

120

Ëåêöèÿ 17

122

Ñóùåñòâîâàíèå êîðíÿ ìíîãî÷ëåíà íàä

C,

Ñõîäèìîñòü íà êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè.

îñíîâíàÿ òåîðåìà àëãåáðû.

. . .

122

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

123

Ëåììà î âîçðàñòàíèè ìîäóëÿ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

124

Ëåììà Äàëàìáåðà.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

125

Äîêàçàòåëüñòâî îñíîâíîé òåîðåìû àëãåáðû. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

126

Òåîðåìà Ðóôôèíè - Àáåëÿ.Îòäåëåíèå êðàòíûõ êîðíåé.

128

. . . . . . . . . . .

Ëåêöèÿ 18

130

Íåïðèâîäèìûå ìíîãî÷ëåíû. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

130

Íåïðèâîäèìûå ìíîãî÷ëåíû íàä

131

Íåïðèâîäèìûå ìíîãî÷ëåíû íàä

C è R. Q. . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

132

Òåîðåìà Äåêàðòà. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

134

Ëåêöèÿ 19 Ïðåäâàðèòåëüíûå çàìå÷àíèÿ.

140 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

140

Ïîëå äðîáåé. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

140

Ïîëå ðàöèîíàëüíûõ äðîáåé. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

142

5

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА

ФОНД

ВОЛЬНОЕ ДЕЛО

ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU

Ìíîãî÷ëåíû îò íåñêîëüêèõ ïåðåìåííûõ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Ëåêöèÿ 20

146

149

Ñèììåòðè÷åñêèå ìíîãî÷ëåíû. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

149

Ëåììû î ñòàðøåì ÷ëåíå ñèììåòðè÷åñêîãî ìíîãî÷ëåíà.

. . . . . . . . . . .

151

Îñíîâíàÿ òåîðåìà î ñèììåòðè÷åñêèõ ìíîãî÷ëåíàõ. Äîêàçàòåëüñòâî. . . . .

152

Òåîðåìà Âèåòà.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

153

Äèñêðèìèíàíò ìíîãî÷ëåíà îò îäíîé ïåðåìåííîé. . . . . . . . . . . . . . . .

155

Ëåêöèÿ 21

156

Ñâîéñòâà äèñêðèìèíàíòà.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Ðåçóëüòàíò. Åãî ñâÿçü ñ äèñêðèìèíàíòîì.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Âûðàæåíèå ðåçóëüòàíòà ÷åðåç îïðåäåëèòåëü.

156 157

. . . . . . . . . . . . . . . . .

158

Ïîíÿòèå ãðóïïû è ïîäãðóïïû. Ãîìîìîðôèçì. . . . . . . . . . . . . . . . . .

159

Ëåêöèÿ 22

162

Èçîìîðôèçì ãðóïï. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

162

ßäðî è îáðàç.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

163

Ïðèìåðû ãðóïï. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

163

Öèêëè÷åñêàÿ ïîäãðóïïà. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

165

Ïîäãðóïïû â öèêëè÷åñêèõ ãðóïïàõ.

167

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Ëåêöèÿ 23

169

Ñìåæíûå êëàññû. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

169

Òåîðåìà Ëàãðàíæà. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

169

6

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА

ФОНД

ВОЛЬНОЕ ДЕЛО

ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU

Ëåêöèÿ 1 Ÿ1. Ñèñòåìû ëèíåéíûõ óðàâíåíèé Íà÷íåì ñ ðàññìîòðåíèÿ ÷àñòíûõ ñëó÷àåâ.

×àñòíûå ñëó÷àè ÑËÓ 1) Ñàìàÿ ïðîñòàÿ ñèñòåìà ëèíåéíûõ óðàâíåíèé - îäíî óðàâíåíèå è îäíî íåèçâåñòíîå. Çàïèøåì óðàâíåíèå â îáùåì âèäå:

ax = b; a, b ∈ R. Âîçìîæíû 2 ñëó÷àÿ:

1.1. Îáùèé: Òîãäà

b x= a

a 6= 0. - ðåøåíèå.

1.2. Âûðîæäåííûé:

a = 0. Çäåñü âèä ðåøåíèÿ òàêæå çàâèñèò îò âèäà êîýôôè-

b. b = 0, òîãäà x - ëþáîå (îáîçí. x ∈ R). b 6= 0, òîãäà ðåøåíèé íåò.

öèåíòà

a) b)

2) Ðàññìîòðèì òåïåðü ñèñòåìó, ñîñòîÿùóþ èç îäíîãî óðàâíåíèÿ ñ äâóìÿ íåèçâåñòíûìè.

a1 x1 + a2 x2 = b a1 6= 0. 1 x1 = (b − a2 x2 ), x2 ∈ R. a1

2.1. Ïóñòü Òîãäà

Êàçàëîñü áû, âîçíèêàåò êàêàÿ-òî íåñèììåòðèÿ. Âåäü îáùèé ñëó÷àé - ýòî êîãäà âñå êîýôôèèåíòû íå íóëåâûå. Íî à

x2

x1

íåêîòîðûì îáðàçîì âûðàæàåòñÿ ÷åðåç

x2 ,

- ëþáîå, õîòÿ ýòè íåèçâåñòíûå ðàâíîïðàâíû.

Ìû âûáðàëè ãëàâíûå íåèçâåñòíûå - â íàøåì ñëó÷àå òîëüêî

x1 ,

òî åñòü òàêèå,

êîòîðûå âûðàæàþòñÿ ÷åðåç îñòàëüíûå íåèçâåñòíûå. Òàêèå íåèçâåñòíûå êàê

x2

áóäåì íàçûâàòü ñâîáîäíûìè. Ìîæíî áûëî ñäåëàòü íàîáîðîò è òîæå ïîëó÷èòü ïðàâèëüíîå ðåøåíèå, íî çàïèñàííîå â äðóãîé ôîðìå.

Íå áóäåì ñåé÷àñ ïðîâîäèòü ïîëíûé ðàçáîð ñëó÷àåâ, ýòî áóäåò ñäåëàíî íà ñåìèíàðàõ. Ðàññìîòðèì åùå òîëüêî îäèí ñëó÷àé.

2.2.

a1 = a2 = b = 0,

x1 ∈ R, x1 ∈ R. 2.1, è â ñëó÷àå 2.2 x1

òîãäà

Âðîäå áû, è â ñëó÷àå

7

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА

ФОНД

ВОЛЬНОЕ ДЕЛО

- ëþáîå è

x2

- ëþáîå. Îäíàêî ýòè

ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU

"ëþáûå" - ðàçíûå. Ïî÷åìó?

2.2 x1 , x2

 ñëó÷àå

íåçàâèñèìû äðóã îò äðóãà è ïðîáåãàþò âñå âåùåñòâåííûå

çíà÷åíèÿ.

2.1 x2

 ñëó÷àå

ïðîáåãàåò âñå âåùåñòâåííûå çíà÷åíèÿ, íî, ïðè çàäàííîì

x2 , x1

íàõîäèòñÿ îäíîçíà÷íî.  òàêîì ñëó÷àå ãîâîðÿò, ÷òî â

2.1

îäíà ñâîáîäíàÿ íåèçâåñòíàÿ, à â

2.2

äâå

ñâîáîäíûõ íåèçâåñòíûõ. 3) Â ïðåäûäóùåì ïóíêòå ìû ðàññìîòðåëè ñèñòåìó ëèíåéíûõ óðàâíåíèé ñ îäíèì óðàâíåíèåì è äâóìÿ íåèçâåñòíûìè, ïóñòü òåïåðü íàîáîðîò - äâà óðàâíåíèÿ è îäíà íåèçâåñòíàÿ.

( a1 x = b 1 a2 x = b 2 Íà÷íåì ñ îáùåãî ñëó÷àÿ.

3.1.

a1 6= 0, a2 6= 0,

ïîëó÷àåì, ÷òî

x=

b2 b1 = . a1 a2

Òàêèì îáðàçîì, â îáùåì ñëó÷àå íåò ðåøåíèé, åñëè êîýôôèöèåíòû âûáðàíû íàóãàä, è

b1 b2 6= . a1 a2

Åñëè æå óðàâíåíèÿ ñèñòåìû ïðîïîðöèîíàëüíû, òî ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå

x=

b1 b2 = . a1 a2

Áîëåå äåòàëüíûé àíàëèç ýòîé ñèñòåìû â âûðîæäåííûõ

ñëó÷àÿõ áóäåò ñâîäèòüñÿ ê ïóíêòàì

1)

è

2).

4) Ðàññìîòðèì ïîñëåäíèé ÷àñòíûé ñëó÷àé - ñèñòåìó ñ äâóìÿ óðàâíåíèÿìè è äâóìÿ íåèçâåñòíûìè.

( a11 x1 + a12 x2 = b1 a21 x1 + a22 x2 = b2 . Çäåñü ïåðâûé èíäåêñ ó

aij

- ýòî íîìåð ñòðîêè, âòîðîé èíäåêñ - ýòî íîìåð

ñòîëáöà.

4.1.  îáùåì ñëó÷àå (òî åñòü êîãäà â õîäå ïðåîáðàçîâàíèé çíàìåíàòåëü íå îáðàùàåòñÿ â íîëü) ïîñëå ïðåîáðàçîâàíèé ïîëó÷èì:

x1 =

b1 a22 − b2 a12 ; a11 a22 − a12 a21

x2 =

b2 a11 − b1 a21 . a11 a22 − a12 a21

Âèäíî, ÷òî ÷èñëèòåëè çäåñü î÷åíü ïîõîæè, à çíàìåíàòåëè è âîâñå îäèíàêîâûå. Õîòèì ýòè âûðàæåíèÿ îáîçíà÷èòü îäíèì ñèìâîëîì.

8

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА

ФОНД

ВОЛЬНОЕ ДЕЛО

ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU

Ââåäåì ñëåäóþùóþ ôóíêöèþ, íàçûâàåìóþ "îïðåäåëèòåëü". Ýòî ôóíêöèÿ îò ÷åòûðåõ ïåðåìåííûõ, çàïèñàííûõ â âèäå ìàòðèöû



a11 a12 a21 a22



Îïðåäåëèòåëü ìàòðèöû ðàâåí:

  a11 a12 a a 11 12 a21 a22 = det a21 a22 = a11 a22 − a12 a21 Òàêèì îáðàçîì, ìû ñ êàæäîé êâàäðàòíîé ìàòðèöåé

- ýòî ÷èñëî.

2 × 2 ñâÿçàëè ÷èñëî, ïîëó-

÷åííîå ïî ñëåäóþùåìó ïðàâèëó: èç ïðîèçâåäåíèÿ ÷èñåë íà ãëàâíîé äèàãîíàëè âû÷ëè ïðîèçâåäåíèå ÷èñåë íà ïîáî÷íîé äèàãîíàëè.

Òåïåðü ìîæíî êðàòêî çàïèñàòü ôîðìóëû äëÿ ðåøåíèÿ ñèñòåìû

2×2

ñëåäóþ-

ùèì îáðàçîì:

b1 b2 x1 = a11 a21 a11 a21 x1 = a11 a21

a12 a22 ; a12 a22 b1 b2 . a12 a22

(1.1)

(1.2)

Çäåñü â çíàìåíàòåëå ñòîèò îïðåäåëèòåëü ìàòðèöû êîýôôèöèåíòîâ. Åñëè ìû èùåì ïåðâóþ íåèçâåñòíóþ, òî â ÷èñëèòåëå ñòîèò òîæå ìàòðèöà êîýôôèöèåíòîâ, â êîòîðîé ïåðâûé ñòîëáåö çàìåíèëè íà ñòîëáåö ñâîáîäíûõ ÷ëåíîâ. Åñëè æå ìû âûðàæàåì âòîðóþ íåèçâåñòíóþ, òî â ÷èñëèòåëå ñòîèò ìàòðèöà êîýôôèöèåíòîâ, â êîòîðîé, ñîîòâåòñòâåííî, âòîðîé ñòîëáåö çàìåíèëè íà ñòîëáåö ñâîáîäíûõ ÷ëåíîâ.

Ýòè ôîðìóëû â áîëåå îáùåì âèäå (äëÿ ñèñòåì

n × n ) áóäóò äîêàçàíû ïîçäíåå.

Èõ ïîëó÷èë øâåéöàðñêèé ìàòåìàòèê Ãàáðèýëü Êðàìåð (1704 - 1752).

Ïðîâåäåì áîëåå ïîëíûé àíàëèç íàøåé ñèñòåìû:

Åñëè çíàìåíàòåëü â ôîðìóëàõ íîå ðåøåíèå -

4.2

(1.1), (1.2) íå ðàâåí 0, òî ñóùåñòâóåò åäèíñòâåí-

(1.1), (1.2).

a11 = a12 = a21 = a22 = b1 = b2

- äâå ñâîáîäíûå íåèçâåñòíûå è áåñêîíå÷íî

ìíîãî ðåøåíèé.

4.3 Óðàâíåíèÿ ïðîïîðöèîíàëüíû, òîãäà èìååì îäíó ñâîáîäíóþ íåèçâåñòíóþ è 9

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА

ФОНД

ВОЛЬНОЕ ДЕЛО

ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU

áåñêîíå÷íî ìíîãî ðåøåíèé.

Òàêèì îáðàçîì, èç ðàâåíñòâà çíàìåíàòåëÿ íóëþ åùå íå ñëåäóåò îòñóòñòâèå ðåøåíèé.

Ñèñòåìû ëèíåéíûõ óðàâíåíèé. Îïðåäåëåíèÿ. Îïðåäåëåíèå 1.1.

m × n - ýòî ïðÿìîóãîëüíàÿ m ñòðîê è n ñòîëáöîâ.

Ìàòðèöà ïîðÿäêà

íåííàÿ ÷èñëàìè, ñîñòîÿùàÿ èç

òàáëèöà, çàïîë-

Çàïèøåì òàêóþ ìàòðèöó â îáùåì âèäå.

a12 a22

..

.

...

...

 . . . a1n . . . a2n   = (aij )  ...

a11  a21 A=  

am1 am2 . . . amn Îïðåäåëåíèå 1.2.

Îáùèé âèä ñèñòåìû ëèíåéíûõ óðàâíåíèé (ÑËÓ) ñëåäóþùèé:

 a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1n xn = b1    a x + a x + . . . + a x = b 21 1 22 2 2n n 2  ...    am1 x1 + am2 x2 + . . . + amn xn = bm çäåñü

ai,j

- êîýôôèöèåíòû,

bj

- ñâîáîäíûå ÷ëåíû,

xj

,

- íåèçâåñòíûå.

Ñ ýòîé ñèñòåìîé ñâÿçàíû äâå ìàòðèöû.

Ìàòðèöà êîýôôèöèåíòîâ:

a12 a22 ...

...

 . . . a1n . . . a2n    ...

a11  a21   

. ..

Îïðåäåëåíèå 1.3.

am1 am2 . . . amn

am1 am2 . . . amn Îïðåäåëåíèå 1.5.

Ðåøåíèå ÑËÓ - íàáîð ÷èñåë

 b1 b2   

...

. . . a1n . . . a2n ...

...

a12 a22

..

a11  a21   

.

Ðàñøèðåííàÿ ìàòðèöà ñèñòåìû:

...

Îïðåäåëåíèå 1.4.

bm (x01 , . . . , x0n ),

êîòîðûé ïîñëå ïîä-

ñòàíîâêè â ñèñòåìó îáðàùàåò âñå óðàâíåíèÿ â âåðíûå ðàâåíñòâà. Ðåøèòü ñèñòåìó - ýòî íàéòè âñå åå ðåøåíèÿ èëè ïîêàçàòü, ÷òî èõ íåò. 10

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА

ФОНД

ВОЛЬНОЕ ДЕЛО

ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU

Îïðåäåëåíèå 1.6.

1) ÑËÓ ñîâìåñòíà, åñëè îíà èìååò õîòÿ áû îäíî ðåøåíèå,

èíà÷å - íåñîâìåñòíà.

2) ÑËÓ îïðåäåëåíà, åñëè îíà èìååò ðîâíî îäíî ðåøåíèå. Åñëè ðåøåíèé áîëüøå, òî ñèñòåìà íå îïðåäåëåíà. 3) ÑËÓ îäíîðîäíà, åñëè

bk = 0

äëÿ âñåõ

k = 1, . . . , m.

Çàìåòèì, ÷òî îäíîðîäíàÿ ñèñòåìà ñîâìåñòíà, òàê êàê

(0, 0, . . . , 0)

- ðåøå-

íèå. 4) Äâå ñèñòåìû ýêâèâàëåíòíû, åñëè ìíîæåñòâà èõ ðåøåíèé ñîâïàäàþò. Öåëü: çàìåíèòü äàííóþ ñèñòåìó íà ýêâèâàëåíòíóþ, êîòîðóþ ëåãêî ðåøèòü. Âîçüìåì ïðîèçâîëüíóþ ñèñòåìó è áóäåì ïðîâîäèòü ïðåîáðàçîâàíèÿ, ïðèâîäÿùèå ê ýêâèâàëåíòíûì ñèñòåìàì, òî åñòü ñèñòåìàì ñ òàêèì æå ìíîæåñòâîì ðåøåíèé.  èòîãå ïðèäåì ê íàìíîãî áîëåå ïðîñòîé ñèñòåìå è ðåøèì åå, ðåøèâ òåì ñàìûì è èñõîäíóþ ñèñòåìó. Îïðåäåëèì ñíà÷àëà òðè òèïà ýëåìåíòàðíûõ ïðåîáðàçîâàíèé íàä ñòðîêàìè ìàòðèö.

Îïðåäåëåíèå 1.7.

Òðè òèïà ýëåìåíòàðíûõ ïðåîáðàçîâàíèé íàä ñòðîêàìè ìàò-

ðèöû: 1) Ïðèáàâëåíèå ê îäíîé ñòðîêå äðóãîé, óìíîæåííîé íà ÷èñëî;

2) Ïåðåñòàíîâêà äâóõ ñòðîê;

3) Óìíîæåíèå îäíîé ñòðîêè íà íåíóëåâîå ÷èñëî. Êàê ìû ñåé÷àñ óâèäèì, âñå ýòè ïðåîáðàçîâàíèÿ îáðàòèìû.

Îïðåäåëåíèå 1.8.

Ëèäåð (âåäóùèé ýëåìåíò) íåíóëåâîé ñòðîêè - ýòî åå ïåðâûé

íåíóëåâîé ýëåìåíò.

Îïðåäåëåíèå 1.9.

Ìàòðèöà íàçûâàåòñÿ ñòóïåí÷àòîé, åñëè

1) Íîìåðà ëèäåðîâ åå íåíóëåâûõ ñòðîê îáðàçóþò ñòðîãî âîçðàñòàþùóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü; 2) Âñå íóëåâûå ñòðîêè ñòîÿò ïîñëå âñåõ íåíóëåâûõ. Ïðèìåð:



0 0  0  0  0 0

0 0 0 0 0 0

∗ 0 0 0 0 0

∗ ∗ 0 0 0 0

∗ ∗ 0 0 0 0

∗ ∗ ∗ 0 0 0

∗ ∗ ∗ 0 0 0

11

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА

ФОНД

ВОЛЬНОЕ ДЕЛО

∗ ∗ ∗ 0 0 0

∗ ∗ ∗ 0 0 0

       

ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU

Îïðåäåëåíèå 1.10.

0

ïðè

Ìàòðèöà

A = (aij ) íàçûâàåòñÿ âåðõíåòðåóãîëüíîé, åñëè aij =

i > j.

Óïðàæíåíèå 1.1.

Äîêàçàòü, ÷òî ëþáàÿ ñòóïåí÷àòàÿ ìàòðèöà ÿâëÿåòñÿ âåðõ-

íåòðåóãîëüíîé, íî îáðàòíîå íå âåðíî! Äîêàæåì òåîðåìó, ñîñòàâëÿþùóþ ñóòü ìåòîäà Ãàóññà.

Ìåòîä Ãàóññà èñêëþ÷åíèÿ ïåðåìåííûõ.Òåîðåìà 1. Òåîðåìà 1.1.

Ëþáóþ ìàòðèöó ïóòåì ýëåìåíòàðíûõ ïðåîáðàçîâàíèé ìîæíî ïðè-

âåñòè ê ñòóïåí÷àòîìó âèäó. Äîêàçàòåëüñòâî. Åñëè ìàòðèöà

A

íóëåâàÿ (ïîëíîñòüþ ñîñòîèò èç íóëåé), òî îíà

ñòóïåí÷àòàÿ.

Èíà÷å, ïóñòü

j

- ýòî íîìåð ïåðâîãî íåíóëåâîãî ñòîëáöà.

Ïåðåñòàâèì â ìàòðèöå ñòðîêè, òàêèì îáðàçîì äîáüåìñÿ, ÷òîáû

a1j 6= 0.

Âû÷èòàÿ ïåðâóþ ñòðîêó èç ïîñëåäóþùèõ ñ ïîäõîäÿùèìè êîýôôèöèåíòàìè, îáíóëèì âñå ïðî÷èå ýëåìåíòû â



0 0  0  0  0 0

0 a1j 0 ∗ 0 ∗ 0 ∗ 0 ∗ 0 ∗

∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗

j -òîì ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗

∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ 

0 0  0 = 0  0 0

ñòîëáöå.

∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗

∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗

∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗





0 0       → 0 0    0  0

0 a1j 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗

∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗

∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗

∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗

∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗

       

 0 a1j ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗  0 0   0 0   0 0 A1   0 0 0 0

Äàëåå ïîâòîðÿåì ïðîöåäóðó ñ ìàòðèöåé

A1 .

Ðàññóæäàÿ ïî èíäóêöèè ïî ÷èñëó ñòðîê, ïðèâåäåì

Çàìå÷àíèå 1.1.

∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗

A

ê ñòóïåí÷àòîìó âèäó.

 ïðîöåññå ýòèõ ðàññóæäåíèé ìû èñïîëüçîâàëè òîëüêî òèï 1 è

òèï 2 ýëåìåíòàðíûõ ïðåîáðàçîâàíèé. Òèï 3 ïîêà íå ïîíàäîáèëñÿ.

Ïðèâåäåíèå ñòóïåí÷àòîé ìàòðèöû ê óëó÷øåííîìó âèäó Îïðåäåëåíèå 1.11.

Óëó÷øåííûé ñòóïåí÷àòûé âèä ìàòðèöû - ýòî åå ñòóïåí÷à-

òûé âèä ïëþñ: 1) Ëèäåðû âñåõ íåíóëåâûõ ñòðîê ðàâíû 1; 12

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА

ФОНД

ВОЛЬНОЕ ДЕЛО

ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU

2) Êàæäûé ëèäåð - åäèíñòâåííûé íåíóëåâîé ýëåìåíò ñâîåãî ñòîëáöà. Ëþáóþ ñòóïåí÷àòóþ ìàòðèöó ìîæíî ïðèâåñòè ê óëó÷øåííîìó ñòóïåí÷àòîìó âèäó.

Ïðîèëëþñòðèðóåì ýòî:

 0 0  0  0  0 0

0 0 0 0 0 0

∗ 0 0 0 0 0

∗ ∗ 0 0 0 0

∗ ∗ 0 0 0 0

∗ ∗ 0 0 0 0

∗ ∗ ∗ 0 0 0

∗ ∗ ∗ ∗ 0 0

∗ ∗ ∗ ∗ 0 0

       

Óìíîæàÿ êàæäóþ íåíóëåâóþ ñòðîêó íà ÷èñëî, îáðàòíîå ëèäåðó, ïðåâðàùàåì ëèäåðîâ êàæäîé íåíóëåâîé ñòðîêè â 1.



0 0  0  0  0 0

0 0 0 0 0 0

1 0 0 0 0 0

∗ 1 0 0 0 0

∗ ∗ 0 0 0 0

∗ ∗ 0 0 0 0

∗ ∗ 1 0 0 0

∗ ∗ ∗ 1 0 0

∗ ∗ ∗ ∗ 0 0

       

Òåïåðü ñäåëàåì ëèäåðà êàæäîé íåíóëåâîé ñòðîêè åäèíñòâåííûì íåíóëåâûì ýëåìåíòîì â ñâîåì ñòîëáöå.

Íà÷èíàåì ñ êîíöà.  íàøåì ïðèìåðå âîçüìåì 4 ñòðîêó è âû÷òåì åå èç âñåõ ñòðîê ñâåðõó ñ ïîäõîäÿùèìè êîýôôèöèåíòàìè, ïðåâðàòèì òàêèì îáðàçîì âñå ýëåìåíòû íàä ýòèì ëèäåðîì â íóëè.



0 0  0  0  0 0

0 0 0 0 0 0

1 0 0 0 0 0

∗ 1 0 0 0 0

∗ ∗ 0 0 0 0

∗ ∗ 0 0 0 0

∗ ∗ 1 0 0 0

0 0 0 1 0 0

∗ ∗ ∗ ∗ 0 0

       

Ïîâòîðÿÿ ïîñëåäîâàòåëüíî òàêóþ ïðîöåäóðó ñ òðåòüåé è âòîðîé ñòðîêàìè, ïîëó÷èì óëó÷øåííóþ ñòóïåí÷àòóþ ìàòðèöó.



0 0  0  0  0 0

0 0 0 0 0 0

1 0 0 0 0 0

0 1 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

∗ ∗ 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0

13

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА

ФОНД

ВОЛЬНОЕ ДЕЛО

0 0 0 1 0 0

∗ ∗ ∗ ∗ 0 0

       

ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU

Ìåòîä Ãàóññà èñêëþ÷åíèÿ ïåðåìåííûõ.Òåîðåìà 2. Îïðåäåëåíèå 1.12.

Òðè òèïà ýëåìåíòàðíûõ ïðåîáðàçîâàíèé íàä ÑËÓ:

1) Ïðèáàâëåíèå ê îäíîìó óðàâíåíèþ äðóãîãî, óìíîæåííîãî íà ëþáîå ÷èñëî; 2) Ïåðåñòàíîâêà äâóõ óðàâíåíèé; 3) Óìíîæåíèå îäíîãî óðàâíåíèÿ íà íåíóëåâîå ÷èñëî.

Òåîðåìà 1.2.

Åñëè îäíà ÑËÓ ïîëó÷åíà èç äðóãîé êîíå÷íîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ

ýëåìåíòàðíûõ ïðåîáðàçîâàíèé, òî ýòè ñèñòåìû ýêâèâàëåíòíû. Äîêàçàòåëüñòâî. Äîñòàòî÷íî äîêàçàòü, ÷òî åñëè

(x01 , . . . , x0n )

ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì

ÑËÓ, òî îíî îñòàåòñÿ ðåøåíèåì è ïîñëå ïðèìåíåíèÿ ýëåìåíòàðíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ. Äëÿ òèïà 1: Ïóñòü

(x01 , . . . , x0n )

ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì

i-òîãî

è

j -òîãî

óðàâíåíèé

ai1 x01 + . . . + ain x0n = bi ; aj1 x01 + . . . + ajn x0n = bj . Ïðèáàâèì ê

j -òîìó

óðàâíåíèþ

i-òîå,

óìíîæåííîå íà

λ

è ïîäñòàâèì

(x01 , . . . , x0n ).

Ïîëó÷èì

(aj1 + λai1 )x01 + . . . + (ajn + λain )x0n = bj + λbi òàêæå âåðíîå ðàâåíñòâî.

Äëÿ òèïîâ 2 è 3 - î÷åâèäíî.

Òåïåðü ïîéìåì, ïî÷åìó ðåøåíèå íîâîé ñèñòåìû âñå åùå ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì èñõîäíîé ñèñòåìû.

Çàìåòèì, ÷òî ýëåìåíòàðíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ îáðàòèìû. ÿâíî íàïèøåì îáðàòíîå ïðåîáðàçîâàíèå ê êàæäîìó òèïó.

Îáîçíà÷èì

(i) - i-òîå

óðàâíåíèå,

(j) - j -òîå

óðàâíåíèå.

1 òèï. Ïðÿìîå ïðåîáðàçîâàíèå:

(i) → (i) + λ(j). Îáðàòíîå ïðåîáðàçîâàíèå:

(i) → (i) − λ(j). Ò. å. ïðèáàâëÿåì ñòðîêó, óìíîæåííóþ íà

−λ.

2 òèï. Ïðÿìîå ïðåîáðàçîâàíèå:

(i) ↔ (j). 14

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА

ФОНД

ВОЛЬНОЕ ДЕЛО

ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU

Îáðàòíîå ïðåîáðàçîâàíèå:

(j) ↔ (i). Ò.å. ïðèìåíÿåì ýòî ïðåîáðàçîâàíèå åùå ðàç. 3 òèï.

Ïðÿìîå ïðåîáðàçîâàíèå:

(i) → λ(i). Îáðàòíîå ïðåîáðàçîâàíèå:

(i) → λ−1 (i). Ò.å. óìíîæàåì íà íåíóëåâîå ÷èñëî.

Çíà÷èò, åñëè ìû äîêàçàëè, ÷òî ðåøåíèå îñòàåòñÿ ðåøåíèåì ïîñëå ýëåìåíòàðíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ, òî äëÿ äîêàçàòåëüñòâà â îáðàòíóþ ñòîðîíó äîñòàòî÷íî ïðèìåíèòü îáðàòíîå ïðåîáðàçîâàíèå.

15

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА

ФОНД

ВОЛЬНОЕ ДЕЛО

ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU

Ëåêöèÿ 2 Ìåòîä Ãàóññà èñêëþ÷åíèÿ ïåðåìåííûõ. Øàã 1.

Ïðèâåñòè ðàñøèðåííóþ ìàòðèöó ñèñòåìû ê óëó÷øåííîìó ñòóïåí÷àòîìó âèäó.

. . . a1n



∗ 0 0 0

1 b1 0 → 0 bm 0

...



...



a11 ...



am1 . . . amn

0 1 0 0

∗ ∗ 0 0

∗ ∗ 0 0

0 0 1 0

 ∗ ∗  ∗ 0

Øàã 2.

Åñëè îäèí èç ëèäåðîâ ñòðîê ïîïàë â ñòîëáåö ñâîáîäíûõ ÷ëåíîâ, òî ñèñòåìà íåñîâìåñòíà. Íàïðèìåð,



1 0  0 0

∗ 0 0 0

0 1 0 0

∗ ∗ 0 0

∗ ∗ 0 0

0 0 1 0

 0 0  0 1

Ýòî íàçûâàåòñÿ ýêçîòè÷åñêèì óðàâíåíèåì. Ýêçîòè÷åñêîå óðàâíåíèå - ýòî óðàâíåíèå âèäà

0x1 + 0x2 + . . . + 0xn = b 6= 0. Ïîíÿòíî, ÷òî ó òàêîãî óðàâíåíèÿ ðåøåíèé íåò. À çíà÷èò íåò ðåøåíèé è ó âñåé ñèñòåìû.

Øàã 3.

Èíà÷å îáúÿâëÿåì ïåðåìåííûå, îòâå÷àþùèå ëèäåðàì ñòðîê, ãëàâíûìè, à ïðî÷èå ïåðåìåííûå - ñâîáîäíûìè è âûðàæàåì ãëàâíûå ÷åðåç ñâîáîäíûå "ñíèçó ââåðõ".  íàøåé ñèñòåìå



1 0  0 0 ïåðåìåííûå

x1 , x3 , x6

- ãëàâíûå,

∗ 0 0 0

∗ ∗ 0 0

0 1 0 0

x2 , x4 , x5

∗ ∗ 0 0

0 0 1 0

 ∗ ∗  ∗ 0

- ñâîáîäíûå.

Ðåøàåì óðàâíåíèå:

x6 = ∗; x3 = − ∗ x4 − ∗x5 + ∗; x1 = − ∗ x2 − ∗x4 − ∗x5 + ∗. x2 , x4 , x5 ∈ R

16

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА

ФОНД

ВОЛЬНОЕ ДЕЛО

ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU

Ýòî îòâåò.

Ïðèäàâàÿ ñâîáîäíûì ïåðåìåííûì íåçàâèñèìî äðóã îò äðóãà ïðîèçâîëüíûå çíà÷åíèÿ, íàõîäèì âñå ðåøåíèÿ ñèñòåìû.

Êàê óæå ãîâîðèëîñü ðàíåå, ñâîáîäíûå ïåðåìåííûå ìîæíî âûáèðàòü ðàçíûìè ñïîñîáàìè. Íàïðèìåð, åñëè ñèñòåìà ñîñòîèò èç îäíîãî óðàâíåíèÿ

x1 +x2 = 1, òî ìîæíî çàïèñàòü

îòâåò äâóìÿ ñïîñîáàìè: 1. 2.

x1 = 1 − x2 , x2 ∈ R. x2 = 1 − x1 , x1 ∈ R. Îáà ýòè îòâåòà áóäóò ïðàâèëüíûìè.

Çàìå÷àíèå 2.2.

Íà øàãå 2 îòñóòñâèå ðåøåíèé äîñòàòî÷íî î÷åâèäíî, íî âî âñåõ

ñëó÷àÿõ, êðîìå âòîðîãî, ðåøåíèå åñòü. Ïîëó÷àåòñÿ, ýêçîòè÷åñêîå óðàâíåíèå ÿâëÿåòñÿ åäèíñòâåííîé ïðè÷èíîé îòñóòñòâèÿ ðåøåíèé.

Ñëåäñòâèÿ èç ìåòîäà Ãàóññà. Îïðåäåëåíèå 2.13.

Ñòóïåí÷àòàÿ ìàòðèöà íàçûâàåòñÿ ñòðîãî ñòóïåíàòîé, åñ-

ëè ÷èñëî íåíóëåâûõ ñòðîê ýòîé ìàòðèöû ðàâíî ÷èñëó ñòîëáöîâ. Îáùèé âèä òàêîé ìàòðèöû:



∗ 0  0  0  0  0 0

∗ ∗ 0 0 0 0 0

∗ ∗ ∗ 0 0 0 0

∗ ∗ ∗ ∗ 0 0 0

∗ ∗ ∗ ∗ ∗ 0 0

         

Ó ýòîé ìàòðèöû âñå ñòóïåíüêè ñîîòâåòñòâóþò ïðîëåòàì äëèíû 1, è ñòðîê â íåé íå ìåíüøå, ÷åì ñòîëáöîâ.

Ñëåäñòâèå 2.1.

ÑËÓ ñîâìåñòíà

⇔

ïîñëå ïðèâåäåíèÿ ðàñøèðåííîé ìàòðèöû ê

⇔ íåò ýêçîòè÷åñêèõ

ñòóïåí÷àòîìó âèäó â ïîñëåäíåì ñòîëáöå íåò ëèäåðîâ ñòðîê ( óðàâíåíèé).

Ñëåäñòâèå 2.2.

ÑËÓ îïðåäåëåíà

⇔

îíà ñîâìåñòíà è ïîñëå ïðèâåäåíèÿ ê ñòóïåí-

÷àòîìó âèäó ìàòðèöà êîýôèöèåíòîâ ñòðîãî ñòóïåí÷àòà.

17

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА

ФОНД

ВОЛЬНОЕ ДЕЛО

ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU

Îáùèé âèä ñòðîãî ñòóïåí÷àòîé ìàòðèöû:



∗ 0  0  0  0  0 0

∗ ∗ 0 0 0 0 0

∗ ∗ ∗ 0 0 0 0

∗ ∗ ∗ ∗ 0 0 0

∗ ∗ ∗ ∗ ∗ 0 0

 ∗ ∗  ∗  ∗  ∗  0 0

Ñèñòåìà áóäåò èìåòü ðîâíî îäíî ðåøåíèå òîëüêî åñëè äëèíû âñåõ ñòóïåíåé áóäóò ðàâíû 1.  ïðîòèâíîì ñëó÷àå çà ñ÷åò áåñêîíå÷íî ìíîãî.

Ñëåäñòâèå 2.3.

(∗) 

ïîëó÷èì ñâîáîäíóþ ïåðåìåííóþ, è ðåøåíèé áóäåò

∗ 0  0  0  0  0 0

∗ ∗ 0 0 0 0 0

∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ (∗) ∗ 0 0 ∗ 0 0 0 0 0 0 0 0 0

 ∗ ∗  ∗  ∗  0  0 0

Ëþáàÿ ÑËÓ ëèáî íåñîâìåñòíà, ëèáî îïðåäåëåíà, ëèáî èìååò áåñ-

êîíå÷íî ìíîãî ðåøåíèé. Ò.å. ñèñòåìà ëèáî íå èìååò ðåøåíèé, ëèáî èìååò îäíî ðåøåíèå, ëèáî áåñêîíå÷íî ìíîãî ðåøåíèé. Ñèñòåìà íå ìîæåò èìåòü êîíå÷íîå ÷èñëî ðåøåíèé áîëüøå 1.

Ñëåäñòâèå 2.4.

Åñëè ÷èñëî óðàâíåíèé ìåíüøå, ÷åì ÷èñëî íåèçâåñòíûõ, òî ÑËÓ

ëèáî íåñîâìåñòíà, ëèáî èìååò áåñêîíå÷íî ìíîãî ðåøåíèé.  ÷àñòíîñòè, åñëè ó îäíîðîäíîé ñèñòåìû ÷èñëî óðàâíåíèé ìåíüøå ÷èñëà íåèçâåñòíûõ, òî ðåøåíèé áåñêîíå÷íî ìíîãî. Ò.å. â ýòîì ñëó÷àå ñèñòåìà íå ìîæåò áûòü îïðåäåëåíà.

Ïðåèìóùåñòâà ìåòîäà Ãàóññà: Îí ðåøàåò ëþáóþ ñèñòåìó. Äîñòàòî÷íî ëåãêî îïèñûâàåìûé àëãîðèòì. Íå î÷åíü òðóäîåìêèé ñ âû÷èñëèòåëüíîé òî÷êè çðåíèÿ. Îí ýôôåêòèâåí, è åãî ìîæíî ïðèìåíÿòü â ðåàëüíûõ âû÷èñëåíèÿõ.

Ïðèíöèïèàëüíûé íåäîñòàòîê:

Îí íå äàåò ÿâíîãî âèäà ðåøåíèé è õîðîø òîëüêî äëÿ ðåøåíèÿ êîíêðåòíîé ÑËÓ. Âî âðåìÿ äîêàçàòåëüñòâà òåîðåì áûâàåò íóæíî èññëåäîâàòü ñèñòåìû â îáùåì âèäå. Ìåòîä Ãàóññà ýòîãî íå äàåò.

18

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА

ФОНД

ВОЛЬНОЕ ДЕЛО

ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU

Ÿ2. Àðèôìåòè÷åñêèå âåêòîðíûå ïðîñòðàíñòâà

Àðèôìåòè÷åñêèå âåêòîðíûå ïðîñòðàíñòâà. Îïðåäåëåíèå 2.14. Rn = {(x1 , . . . , xn )|xi ∈ R} Ïî÷åìó ýòî ëîãè÷íî íàçûâàòü

Ðàññìîòðèì

R1 .

n-ìåðíûì

âåêòîðíûì ïðîñòðàíñòâîì?

Åãî ýëåìåíòû - ýòî íàáîðû èç îäíîãî ÷èñëà.  ãåîìåòðè÷åñêîé

èíòåðïðåòàöèè ýòî òî÷êè íà ÷èñëîâîé ïðÿìîé. Çíà÷èò, ãåîìåòðè÷åñêèé îáðàç

R1

-

÷èñëîâàÿ ïðÿìàÿ.

Ãåîìåòðè÷åñêèé îáðàç

R2

- êîîðäèíàòíàÿ ïëîñêîñòü. Çäåñü êàæäîé òî÷êå êîîðäè-

íàòíîé ïëîñêîñòè ñîîòâåòñòâóåò ñâîÿ ïàðà êîîðäèíàò

(x1 , x2 ).

Çäåñü òàêæå èìååì

âçàèìíî-îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå ìåæäó òî÷êàìè âåùåñòâåííîé ïëîñêîñòè è ïàðàìè âåùåñòâåííûõ ÷èñåë.

Â

R3

òî÷êè òðåõìåðíîãî ïðîñòðàíñòâà îäíîçíà÷íî îòîæäåñòâëÿþòñÿ ñ òðîéêàìè

âåùåñòâåííûõ ÷èñåë. Ïî àíàëîãèè, òî÷êàì ÷åòûðåõìåðíîãî ïðîñòðàíñòâà ññîòâåòñâóþò ÷åòâåðêè âåùåñòâåííûõ ÷èñåë

(x1 , x2 , x3 , x4 ).

Rn : Ñëîæåíèå: (x1 , . . . , xn ) + (y1 , . . . , yn ) = (x1 + y1 , . . . , xn + yn ). Óìíîæåíèå íà ñêàëÿð: λ(x1 , . . . , xn ) = (λx1 , . . . , λxn ).

Ââåäåì äâå îïåðàöèè íà 1. 2.

Çàôèêñèðóåì îáîçíà÷åíèå íóëåâîãî âåêòîðà: Îáîçíà÷åíèå:

n

v = (x1 , . . . , xn ) ∈ R

Îïðåäåëåíèå 2.15.

0 = (0, . . . , 0).

.

v1 , . . . , vk ∈ Rn è λ1 , . . . , λk ∈ R. Òîãäà ëèíåéíîé êîìáèíàöèåé âåêòîðîâ v1 , . . . , vk ñ êîýôôèöèåíòàìè λ1 , . . . , λk n çûâàåòñÿ âåêòîð λ1 v1 + λ2 v2 + . . . + λk vk ∈ R . Îïðåäåëåíèå 2.16.

Ïóñòü

Åñëè

λ1 = . . . = λk = 0,

íà-

òî ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ íàçûâàåòñÿ

òðèâèàëüíîé, èíà÷å - íåòðèâèàëüíîé.

Îïðåäåëåíèå 2.17.

Âåêòîðà

v1 , . . . , vk ∈ Rn

íàçûâàþòñÿ ëèíåéíî çàâèñèìûìè

(ËÇ), åñëè ñóùåñòâóåò íåòðèâèàëüíàÿ ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ âåêòîðîâ ðàâíàÿ

v1 , . . . , vk ,

0.

Èíà÷å ýòè âåêòîðà íàçûâàþòñÿ ëèíåéíî íåçàâèñèìûìè (ËÍ), ò.å. íå ñóùåñòóåò íåòðèâèàëüíîé ëèíåéíîé êîìáèíàöèè, ðàâíîé 0, è òîëüêî òðèâèàëüíàÿ ëèíåé-

⇔

íàÿ êîìáèíàöèÿ ðàâíà 0 (

åñëè

λ1 v1 + λ2 v2 + . . . + λk vk = 0,

19

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА

ФОНД

ВОЛЬНОЕ ДЕЛО

òî

λ1 = . . . = λk = 0).

ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU

Ïðèìåðû: 1. (

k = 1)

îäèí âåêòîð ËÇ

⇔

ýòîò âåêòîð íóëåâîé.

2. (k = 2) äâà âåêòîðà ËÇ ⇔ îíè ïðîïîðöèîíàëüíû. λ1 v1 + λ2 v2 = 0, òîãäà λ1 v1 = −λ2 v2 . Ýòî è îçíà÷àåò, ÷òî

âåêòîðà ïðîïîðöèîíàëüíû

è ëåæàò íà îäíîé ïðÿìîé. Åñëè

3. (

λ2 6= 0, k = 3)

òî

v2 = − λλ12 v1

- íåêèé ñêàëÿð, óìíîæåííûé íà

òðè âåêòîðà ËÇ

Ëåììà 2.1.

Âåêòîðà

⇔

v1 .

îíè êîìïëàíàðíû, ò.å ëåæàò â îäíîé ïëîñêîñòè.

v1 , . . . , vk ∈ Rn , k ≥ 2

ëèíåéíî çàâèñèìû

⇔

õîòÿ áû îäèí èç

ýòèõ âåêòîðîâ âûðàæàåòñÿ ÷åðåç îñòàëüíûå.

⇐) Ïóñòü ∃i = 1, . . . , k : vi = λ1 v1 + . . . + λi−1 vi−1 + vˆi + λi+1 vi+1 + . . . + λk vk (vˆi îçíà÷àåò, ÷òî âåêòîð vi ïðîïóùåí).

Äîêàçàòåëüñòâî. (

Òîãäà íàì íàäî äîêàçàòü, ÷òî ýòè âåêòîðà ëèíåéíî çàâèñèìû. Äëÿ ýòîãî íàïèøåì íåòðèâèàëüíóþ ëèíåéíóþ êîìáèíàöèþ, ðàâíóþ

Ïåðåíåñåì

vi

âïðàâî è ïîëó÷èì

0.

0.

0 = λ1 v1 + . . . + λi−1 vi−1 − vi + λi+1 vi+1 + . . . + λk vk . Ýòî íåòðèâèàëüíàÿ êîìáèíàöèÿ, ïîòîìó ÷òî íåçâèñèìî îò

λi

êîýôôèöèåíò ïåðåä

vi

íåíóëåâîé.

⇒)

(

Ïóñòü

λ1 v1 + . . . + λk vk = 0, è ýòà êîìáèíàöèÿ íåòðèâèàëüíà. ∃i : λi 6= 0. Òîãäà ìîæåì âûðàçèòü vi :

Ïîñêîëüêó îíà íåòðèâèàëüíà,

vi = −

Çàìå÷àíèå 2.3.

λ1 λi−1 λi+1 λk v1 − . . . − vi−1 − vi+1 − . . . − vk . λi λi λi λi

Ëèíåéíàÿ çàâèñèìîñòü âåêòîðîâ

v1 , . . . , v k ∈ R n

÷òî ëþáîé èç íèõ âûðàæàåòñÿ ÷åðåç îñòàëüíûå.

Ïðèìåð. Ðàññìîòðèì ïðîñòðàíñòâî

R2

è âåêòîðà

v1 = (1, 0); v2 = (0, 1); v3 = (0, 2). Ýòè âåêòîðà ëèíåéíî çàâèñèìû:

0v1 + 2v2 + (−1)v2 = 0. 20

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА

ФОНД

ВОЛЬНОЕ ДЕЛО

íå îçíà÷àåò,

ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU

Èç ýòîé ëèíåéíîé êîìáèíàöèè

v1

âûðàçèòü íåëüçÿ. Ìîæåò áûòü, ñóùåñòâóåò äðóãàÿ

ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ, èç êîòîðîé

v1

âûðàæàåòñÿ?

v1 6= λ2 v2 + λ3 v3 . λ2 v2 + λ3 v3 ïåðâàÿ êîîðäèíàòà

Ïîêàæåì, ÷òî ýòî íå òàê, ò.å. Â ëþáîé êîìáèíàöèè êàêèõ

λ2 , λ3

íå ïîëó÷èòñÿ.

21

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА

ФОНД

ВОЛЬНОЕ ДЕЛО

áóäåò

0,

è âåêòîð

v1

íè ïðè

ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU

Ëåêöèÿ 3 Ëåììà î âûðàæåíèè ÷åðåç íåçàâèñèìûé íàáîð. Ëåììà 3.2. Òîãäà âåêòîð

v1 , . . . , vk ∈ Rn , k ≥ 2 ëèíåéíî íåçàâèñèìû. w âûðàæàåòñÿ ÷åðåç v1 , . . . , vk ⇔ âåêòîðà v1 , . . . , vk , w ëèíåéíî

Ïóñòü âåêòîðà

çàâè-

ñèìû.

⇒)

Äîêàçàòåëüñòâî. (

Ïóñòü

w = λ1 v1 + . . . + λk vk

äëÿ íåêîòîðûõ

λi ∈ R.

Òîãäà íóæíî íàïèñàòü ëèíåéíóþ íåòðèâèàëüíóþ êîìáèíàöèþ, ðàâíóþ íóëþ. Ïåðåíîñèì

w

â äðóãóþ ñòîðîíó è ïîëó÷àåì:

w − λ1 v1 − . . . − λk vk = 0. Ïðè

w

êîýôôèöèåíò ðàâåí 1, çíà÷èò, ýòà êîìáèíàöèÿ íåòðèâèàëüíà.

⇐) Òåïåðü íàîáîðîò. Ïóñòü ñóùåñòâóþò òàêèå λ1 , . . . , λk , µ ∈ R ÷òî λ1 v1 +. . . λk vk + µw = 0 è íå âñå ÷èñëà λ1 , . . . , λk , µ íóëåâûå. (

λ1 v1 + . . . λk vk = 0 - íåòðèâèàëüíàÿ ëèíåéíàÿ êîìáèíöèÿ, ñëåäîâàòåëüíî, âåêòîðà v1 , . . . , vk Ñëó÷àé 1. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî

µ = 0.

Òîãäà ïîñëåäíåå ñëàãàåìîå

µw = 0

è

ëèíåéíî çàâèñèìû. Íî ýòî ïðîòèâîðå÷èò óñëîâèþ. Çíà÷èò,

µ 6= 0.

Ñëó÷àé 2. Ïóñòü

µ 6= 0.

Òîãäà ìîæíî âûðàçèòü

w=−

w:

λk λ1 v1 − . . . − vk . µ µ

Êðèòåðèé åäèíñòâåííîñòè âûðàæåíèÿ ÷åðåç íàáîð âåêòîðîâ. Ëåììà 3.3.

Ïóñòü âåêòîð

w

âûðàæàåòñÿ ÷åðåç âåêòîðà

Òîãäà ýòî âûðàæåíèå åäèíñòâåííî

⇔

âåêòîðà

v1 , . . . , v k

v1 , . . . , v k .

ëèíåéíî íåçàâèñèìû.

Äîêàçàòåëüñòâî.

w = λ1 v1 + . . . + λk vk . (

⇒) Îò ïðîòèâíîãî. Ïóñòü v1 , . . . , vk

(3.1)

ëèíåéíî çàâèñèìû. Çíà÷èò, åñòü íåòðèâèàëüíàÿ

ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ, ðàâíàÿ íóëþ:

µ1 v1 + . . . + µk vk = 0. Ïðèáàâèì

(3.1)

ê

(3.2),

ïîëó÷èì

(λ1 + µ1 )v1 + . . . + (λk + µk )vk = w. 22

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА

ФОНД

ВОЛЬНОЕ ДЕЛО

(3.2)

ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU

Ýòî äðóãîå âûðàæåíèå äëÿ

w, òàê êàê ñóùåñòâóåò µi 6= 0, çíà÷èò, λi 6= λi + µi

è õîòÿ

áû îäèí êîýôôèöèåíò â íîâîé êîìáèíàöèè îòëè÷àåòñÿ îò ñòàðîé.

(

⇐)

Îò ïðîòèâíîãî. Åñëè

w = λ1 v1 + . . . + λk vk = γ1 v1 + . . . + γk vk , òî, âû÷èòàÿ îäíî ïðåäñòàâëåíèå èç äðóãîãî, ïîëó÷èì

0 = (λ1 − γ1 )v1 + . . . + (λk − γk )vk . Ýòî íåòðèâèàëüíàÿ ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ, òàê êàê ñóùåñòâóåò òàêîå

i

÷òî

λi − γi 6=

0.

Îïðåäåëåíèå ïîäïðîñòðàíñòâà. Ïðèìåðû. Îïðåäåëåíèå 3.18.

Ïîäìíîæåñòâî

U ⊆ Rn

íàçûâàåòñÿ ïîäïðîñòðàíñòâîì, åñëè

âûïîëíåíû òðè óñëîâèÿ: 1)

0 ∈ U;

2) Åñëè

v1 , v2 ∈ U , λ1 , λ2 ∈ R,

òî

Âòîðîå ñâîéñòâî îçíà÷àåò, ÷òî

U

λ1 v1 + λ2 v2 ∈ U . çàìêíóòî îòíîñèòåëüíî âçÿòèÿ ëèíåéíûõ êîì-

áèíàöèé. Ïðèìåíÿÿ ýòî ñâîéñòâî íåñêîëüêî ðàç, âûâîäèì, ÷òî

U

çàìêíóòî îòíîñè-

òåëüíî âçÿòèÿ ëèíåéíûõ êîìáèíàöèé ëþáîé äëèíû.

Çàìå÷àíèå 3.4.

Çàìåòèì, ÷òî ïåðâîå ñâîéñòâî ñëåäóåò èç âòîðîãî.

 ñàìîì äåëå, ðàññìîòðèì ñëåäóþùóþ ëèíåéíóþ êîìáèíàöèþ: ïîëó÷èì, ÷òî

v1 + (−1)v1 = 0

è

0 ∈ U.

Òåì íå ìåíåå åãî íåîáõîäèìî óïîìÿíóòü, ÷òîáû ïîêàçàòü, ÷òî ìíîæåñòâî

U

íå

ïóñòî. Âåäü, ðàññìàòðèâàÿ ëèíåéíóþ êîìáèíàöèþ

v1 + (−1)v1 ,

ìû âîñïîëüçîâàëèñü òåì,

÷òî õîòÿ áû îäèí ýëåìåíò â íàøåì ìíîæåñòâå åñòü. Ïóñòîå ïîäìíîæåñòâî íå ñ÷èòàåòñÿ ïîäïðîñòðàíñòâîì.

Ïðèìåðû.

1) Íåñîáñòâåííûå ïîäïðîñòðàíñòâà:

U = {0}, U = Rn .

Âñå îñòàëüíûå ïîäïðîñòðàíñòâà - ñîáñòâåííûå. 2) Â

R1

íåò ñîáñòâåííûõ ïîäïðîñòðàíñòâ.

3) Â

R2

ñîáñòâåííîå ïîäïðîñòðàíñòâî - ëþáàÿ ïðÿìàÿ, êîòîðàÿ ïðîõîäèò ÷åðåç

íà÷àëî êîîðäèíàò. Äðóãèõ ñîáñòâåííûõ ïîäïðîñòðàíñòâ íåò. 4) Â

R3

ñîáñòâåííûå ïîäïðîñòðàíñòâà - ïëîñêîñòè è ïðÿìûå, ïðîõîäÿùèå ÷åðåç

íà÷àëî êîîðäèíàò. Äðóãèõ ñîáñòâåííûõ ïîäïðîñòðàíñòâ íåò. 23

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА

ФОНД

ВОЛЬНОЕ ДЕЛО

ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU

Ëèíåéíàÿ îáîëî÷êà. Ñâîéñòâà. Îïðåäåëåíèå 3.19.

Ïóñòü

A ⊆ Rn .

Ëèíåéíîé îáîëî÷êîé ïîäìíîæåñòâà

A

íàçû-

âàåòñÿ

< A >= {λ1 v1 + . . . + λk vk |vi ∈ A, λi ∈ R}. Çàìå÷àíèå 3.5.

Ëèíåéíàÿ îáîëî÷êà âñåãäà áåñêîíå÷íà, êðîìå òîãî ñëó÷àÿ, êîãäà

ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíîé îáîëî÷êîé íóëÿ.  îñòàëüíûõ ñëó÷àÿõ âìåñòå ñ ëþáûì âåêòîðîì îíà ñîäåðæèò è âñþ ïðÿìóþ.

Ëåììà 3.4.

Äëÿ ëþáîãî ïîäìíîæåñòâà

A ⊆ Rn , A 6= ∅

åãî ëèíåéíàÿ îáîëî÷êà

ÿâëÿåòñÿ ïîäïðîñòðàíñòâîì.

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðîâåðèì ñâîéñòâà èç îïðåäåëåíèÿ ïîäïðîñòðàíñòâà.

1)

∀v ∈ A 0 · v = 0 ∈< A >.

2) Íåîáõîäèìî ïðîâåðèòü:

∀v1 , v2 ∈< A >, ∀λ1 , λ2 ∈ R λ1 v1 + λ2 v2 ∈< A >. Ïî óñëîâèþ, v1 , v2 ∈< A >, ïîýòîìó v1 = µ1 u1 + . . . + µk uk , ãäå ui ∈ A, µi ∈ R, v2 = γ1 w1 + . . . + γs ws , ãäå wi ∈ A, γi ∈ R. Òåïåðü îñòàåòñÿ òîëüêî ðàñïèñàòü ñóììó

λ1 v1 + λ2 v2 ,

èñïîëüçóÿ ýòè ïðåäñòàâ-

ëåíèÿ.

λ1 v1 + λ2 v2 = λ1 (µ1 u1 + . . . + µk uk ) + λ2 (γ1 w1 + . . . + γs ws ) = (λ1 µ1 )u1 + . . . + (λ1 µk )uk + (λ2 γ1 )w1 + . . . + (λ2 γs )ws . Ýòî ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ âåêòîðîâ èç

A,

è îíà ïî îïðåäåëåíèþ ëåæèò â ëè-

íåéíîé îáîëî÷êå.

Îïðåäåëåíèå 3.20.

Åñëè

äàåò ïîäïðîñòðàíñòâî

Çàìå÷àíèå 3.6.

U =< A >,

òî ãîâîðÿò, ÷òî ïîäìíîæåñòâî

A

ïîðîæ-

U.

Òåïåðü ìû ãîòîâû ñòðîãî îáîñíîâàòü, ïî÷åìó â

R2

(äëÿ

R3

ðàñ-

ñóæäåíèÿ àíàëîãè÷íû) íåò äðóãèõ ñîáñòâåííûõ ïîäïðîñòðàíñòâ, êðîìå ïðÿìûõ, ïðîõîäÿùèõ ÷åðåç íà÷àëî êîîðäèíàò.

Ðàññìîòðèì êàêîå-òî ïîäïðîñòðàíñòâî â

R2 .

Åñëè îíî ñîñòîèò òîëüêî èç íóëÿ, òî îíî íåñîáñòâåííîå.

24

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА

ФОНД

ВОЛЬНОЕ ДЕЛО

ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU

Åñëè â íåì ëåæèò õîòÿ áû îäèí íåíóëåâîé âåêòîð, òî åãî ëèíåéíàÿ îáîëî÷êà òàêæå ëåæèò â ýòîì ïîäïðîñòðàíñòâå, à èìåííî íàòÿíóòàÿ íà ýòîò âåêòîð ïðÿìàÿ.

Åñëè êðîìå ýòîé ïðÿìîé â ïîäïðîñòðàíñòâå íè÷åãî áîëüøå íå ëåæèò, òî íàøå ïîäïðîñòðàíñòâî ñîâïàäåò ñ ïðÿìîé, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç 0.

Åñëè æå, êðîìå óïîìÿíóòîé ïðÿìîé, â ïîäïðîñòðàíñòâî ïîïàë íåêîëëèíåàðíûé åé âåêòîð ìîé è

w

w,

òî â ïîäïðîñòðàíñòâî òàêæå ïîïàäåò ëèíåéíàÿ îáîëî÷êà ýòîé ïðÿ-

- ïîëó÷èì ïëîñêîñòü, è ïîäïðîñòðàíñòâî ñîâïàäåò ñ

R2 .

Îñíîâíàÿ ëåììà î ëèíåéíîé çàâèñèìîñòè Ëåììà 3.5. Îñíîâíàÿ ëåììà î ëèíåéíîé çàâèñèìîñòè Åñëè ïîäïðîñòðàíñòâî

U

âåêòîðîâ â

U ⊆ Rn

m

ïîðîæäàåòñÿ

âåêòîðàìè, òî ëþáûå

k > m

ëèíåéíî çàâèñèìû.

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü Òîãäà, ïîñêîëüêó ÷åðåç âåêòîðû

wi

U =< v1 , . . . , vm >

è

w1 , . . . , w k ∈ U . < v1 , . . . , vm >,

ëåæàò â ëèíåéíîé îáîëî÷êå

îíè âûðàæàþòñÿ

vj .

Çàïèøåì ýòè âûðàæåíèÿ:

w1 = µ11 v1 + . . . + µ1m vm , ...

w2 = µ21 v1 + . . . + µ2m vm ,

wk = µk1 v1 + . . . + µkm vm , ãäå

µij ∈ R.

Õîòèì ïîêàçàòü, ÷òî âåêòîðà

wi , i = 1, . . . , k

ëèíåéíî çàâèñèìû.

Çàïèøåì íåêîòîðóþ èõ ëèíåéíóþ êîìáèíàöèþ

λ1 w1 + . . . + λk wk = = λ1 (µ11 v1 + . . . + µ1m vm ) + λ2 (µ21 v1 + . . . + µ2m vm ) + . . . + λk (µk1 v1 + . . . + µkm vm ) = = (λ1 µ11 + . . . + λk µk1 )v1 + . . . + (λ1 µ1m + . . . + λk µkm )vm = 0. λi , i = 1, . . . , k áûëè ðåøåíèÿìè   λ1 µ11 + . . . + λk µk1 = 0    λ µ + . . . + λ µ = 0 1 12 k k2     λ µ + . . . + λ µ = 0.

ñèñòåìû

...

Äëÿ ýòîãî äîñòàòî÷íî, ÷òîáû

1 1m

k km

m)

Ýòà ñèñòåìà îäíîðîäíàÿ è â íåé óðàâíåíèé (

Ìû çíàåì, ÷òî òàêàÿ ñèñòåìà èìååò íåíóëåâîå ðåøåíèå. ×òî è òðåáîâàëîñü. 25

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА

ФОНД

ВОЛЬНОЕ ДЕЛО

k

ìåíüøå, ÷åì íåèçâåñòíûõ ( ).

ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU

Áàçèñ. Îïðåäåëåíèå è ñâîéñòâà. Îïðåäåëåíèå 3.21.

Áàçèñ ïîäïðîñòðàíñòâà

ñèìàÿ ñèñòåìà âåêòîðîâ, ïîðîæäàþùàÿ

U ⊆ Rn

- ýòî ëþáàÿ ëèíåéíî íåçàâè-

U.

Ïðèìåð.

U = Rn , e1 = (1, 0, . . . , 0), e2 = (0, 1, . . . , 0), . . ., en = (0, 0, . . . , 0, 1)

- áàçèñ, êîòîðûé

íàçûâàåòñÿ ñòàíäàðòíûì. Ïðîâåðèì, ÷òî ýòî áàçèñ. Íóæíî ïðîâåðèòü äâà óñëîâèÿ.

1) Ëèíåéíàÿ íåçàâèñèìîñòü. Çàïèøåì ëèíåéíóþ êîìáèíàöèþ

λ1 e1 + . . . + λn en = 0. Äîêàæåì, ÷òî îíà òðèâèàëüíà.

λ1 e1 + . . . + λn en = = (λ1 , 0, . . . , 0) + (0, λ2 , 0, . . . , 0) + . . . + (0, . . . , 0, λn ) = = (λ1 , λ2 , . . . , λn ) = (0, . . . , 0), Ïîëó÷èëè, ÷òî

λi = 0, i = 1, . . . , n.

Òàêèì îáðàçîì, òîëüêî òðèâèàëüíàÿ êîìáèíàöèÿ ðàâíà íóëþ, çíà÷èò, âåêòîðà ëèíåéíî íåçàâèñèìû. 2)

Rn . n Ò.å. ëþáîé âåêòîð (x1 , . . . , xn ) ∈ R áèíàöèè âåêòîðîâ e1 , . . . , en . e1 , . . . , e n

ïîðîæäàþò

ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ëèíåéíîé êîì-

x1 e1 + . . . + xn en = = (x1 , 0, . . . , 0) + (0, x2 , 0, . . . , 0) + . . . + (0, . . . , 0, xn ) = = (x1 , . . . , xn ). Äîêàæåì íåñêîëüêî ñâîéñòâ áàçèñîâ.

Òåîðåìà 3.3.

1) Èç ëþáîãî êîíå÷íîãî ïîðîæäàþùåãî ïîäìíîæåñòâà

ñòðàíñòâà

U

A

ïîäïðî-

ìîæíî âûáðàòü áàçèñ;

2) Ëþáîå ëèíåéíî íåçàâèñèìîå ïîäìíîæåñòâî

v1 , . . . , vs

â

U

ìîæíî äîïîëíèòü

äî áàçèñà.  ÷àñòíîñòè, â ëþáîì ïîäïðîñòðàíñòâå ñóùåñòâóåò áàçèñ. Äîêàçàòåëüñòâî.

1) Åñëè

A

ëèíåéíî íåçàâèñèìî, òî îíî óæå áàçèñ.

Èíà÷å, åñëè îíî ëèíåéíî çàâèñèìî, ïî Ëåììå 2.1. îäèí èç âåêòîðîâ èç æåì,

v1 ,

ëèíåéíî âûðàæàåòñÿ ÷åðåç îñòàëüíûå.

26

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА

ФОНД

ВОЛЬНОЕ ДЕЛО

A,

ñêà-

ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU

Ïåðåéäåì îò ìíîæåñòâà ïîðîæäàåò

U

A

ê ìåíüøåìó ìíîæåñòâó

Îíî ïî-ïðåæíåìó

è ñîäåðæèò ìåíüøå ýëåìåíòîâ.

(Ïîÿñíèì ýòî. Ëþáîé èç âåêòîðîâ âåêòîðîâ èç

A\{v1 }.

A.

U

âûðàæàëñÿ êàê ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ

Åñëè â ýòîé ëèíåéíîé êîìáèíàöèè íå áûëî âåêòîðà

v1 ,

çíà-

÷èò âûðàæåíèå íàøåãî âåêòîðà îñòàåòñÿ ïðåæíèì. Åñëè æå â ýòîé ëèíåéíîé êîìáèíàöèè

v1

âñòðå÷àëñÿ, òî çàìåíèì

v1

íà åãî ëèíåéíîå âûðàæåíèå ÷åðåç

îñòàëüíûå. Ïîýòîìó ýòî ìåíüøåå ìíîæåñòâî òîæå ÿâëÿåòñÿ ïîðîæäàþùèì.)

Çà êîíå÷íîå ÷èñëî øàãîâ ïîëó÷èì áàçèñ, òàê êàê ìíîæåñòâî êîíå÷íî. 2) Åñëè

v1 , . . . , vs

ïîðîæäàþò

U,

òî îíè óæå áàçèñ.

U âûðàæàþòñÿ êàê èõ ëèíåéíûå êîìvs+1 ∈ U , êîòîðûé íå âûðàæàåòñÿ ÷åðåç

Åñëè íå ïîðîæäàþò (íå âñå âåêòîðà èç áèíàöèè), òî ñóùåñòâóåò òàêîé âåêòîð

v1 , . . . , v s . Òîãäà ïî Ëåììå 2.2. åñëè ê íàáîðó íàáîð

{v1 , . . . , vs , vs+1 }

{v1 , . . . , vs } äîáàâèòü vs+1 , òî ðàñøèðåííûé

òîæå áóäåò ëèíåéíî íåçàâèñèìûì.

Ëèáî ýòî áàçèñ, ëèáî ïðîäîëæàåì ïðîöåññ.

Ïî÷åìó ýòîò ïðîöåññ êîíå÷åí? Ïîòîìó ÷òî ïî îñíîâíîé ëåììå î ëèíåéíîé çàâèñèìîñòè âñå âåêòîðà â

U ⊆ Rn

âûðàæàþòñÿ êàê ëèíåéíûå êîìáèíàöèè âåêòîðîâ ñòàíäàðòíîãî áàçèñà. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ëþáûå áîëüøå ÷åì

n

âåêòîðîâ ëèíåéíî çàâèñèìû.

Ïî÷åìó â ëþáîì ïîäïðîñòðàíñòâå ñóùåñòâóåò áàçèñ? Ýòî ñëåäóåò èç ïåðâîé ÷àñòè 2).

Åñëè ïîäïðîñòðàíñòâî ñîñòîèò òîëüêî èç íóëÿ, òî ñ÷èòàåì áàçèñ ïóñòûì.

Åñëè æå â íåì åñòü õîòÿ áû îäèí íåíóëåâîé âåêòîð, òî îí îáðàçóåò ëèíåéíî íåçàâèñèìîå ïîäìíîæåñòâî, è åãî ìîæíî äîñòðîèòü, ïî ïåðâîé ÷àñòè 2), äî áàçèñà.

Òåîðåìà 3.4.

Âñå áàçèñû îäíîãî è òîãî æå ïîäïðîñòðàíñòâà

U ⊆ Rn

ñîäåðæàò

îäèíàêîâîå ÷èñëî âåêòîðîâ.

v1 , . . . , vm è w1 , . . . , wk U =< v1 , . . . , vm >=< w1 , . . . , wk >.

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü Òîãäà

Îò ïðîòèâíîãî: ïóñòü, íàïðèìåð,

- äâà áàçèñà ïîäïðîñòðàíñòâà

k > m.

Òîãäà ïî îñíîâíîé ëåììå î ëèíåéíîé çàâèñèìîñòè âåêòîðû âèñèìû. Ïðîòèâîðå÷èå ñ îïðåäåëåíèåì áàçèñà.

27

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА

U.

ФОНД

ВОЛЬНОЕ ДЕЛО

w1 , . . . , w k

ëèíåéíî çà-

ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU

Îïðåäåëåíèå 3.22. â áàçèñå

Ðàçìåðíîñòü ïîäïðîñòðàíñòâà

U ⊆ Rn

- ýòî ÷èñëî âåêòîðîâ

U.

Îáîçíà÷åíèå:

dim U .

Êîððåêòíîñòü ýòîãî îïðåäåëåíèÿ ñëåäóåò èç Òåîðåìû 3.4.

Ïðèìåð.

dim Rn = n,

òàê êàê â ñòàíäàðòíîì áàçèñå

Óïðàæíåíèå 3.2. Íàéäèòå

vij = ei − ej , dim < vij , i, j = 1, . . . , n >.

Òåîðåìà 3.5. Òîãäà

Ïóñòü

n

ãäå

âåêòîðîâ.

ei , ej

- âåêòîðû ñòàíäàðòíîãî áàçèñà.

W ⊆ U ⊆ Rn - ïîäïðîñòðàíñòâà. dim W ≤ dim U è dim W = dim U ⇔ W = U . Ïóñòü

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü

v1 , . . . , vs

- áàçèñ â

W.

Ïî Òåîðåìå 3.3 ï.2), åãî ìîæíî äîñòðîèòü äî áàçèñà â Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî

Òîãäà

dim W ≤ dim U

dim W = dim U

U.

ïî îïðåäåëåíèþ ðàçìåðíîñòè.

îçíà÷àåò, ÷òî äîáàâëåíèå áàçèñíûõ âåêòîðîâ íå ïîðòåáîâà-

ëîñü. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî Èòàê,

U =< v1 , . . . , vs >.

Íî

W =< v1 , . . . , vs >.

W = U.

28

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА

ФОНД

ВОЛЬНОЕ ДЕЛО

ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU

Ëåêöèÿ 4 Ôóíäàìåíòàëüíàÿ ñèñòåìà ðåøåíèé. Ëåììà 4.6.

Ìíîæåñòâî ðåøåíèé ÑËÓ

 a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1n xn = b1    a x + a x + . . . + a x = b 21 1 22 2 2n n 2  ...    am1 x1 + am2 x2 + . . . + amn xn = bm â

Rn

ÿâëÿåòñÿ ïîäïðîñòðàíñòâîì

⇒)

Äîêàçàòåëüñòâî. ( ëåæèò â

⇔

ñèñòåìà îäíîðîäíà.

Åñëè ìíîæåñòâî ðåøåíèé

U

- ïîäïðîñòðàíñòâî, òî

(0, . . . , 0)

U.

Ïîäñòàâèì â ÑËÓ, ïîëó÷èì, ÷òî

bi = 0, i = 1, . . . , m.

Çíà÷èò, ñèñòåìà îäíîðîäíà.

⇐)

Ïóñòü b1 = . . . = bm = 0. (0, . . . , 0) ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì è åñëè (x1 , . . . , xn ) è (y1 , . . . , yn ) ÿâëÿþòñÿ ðåøåíèÿìè ñèñòåìû, òî íóæíî ïðîâåðèòü, ÷òî äëÿ ëþáûõ λ1 , λ2 ∈ R âåêòîð (

Òîãäà

λ1 (x1 , . . . , xn ) + λ2 (y1 , . . . , yn ) = (λ1 x1 + λ2 y1 , . . . , λ1 xn + λ2 yn ) òîæå áóäåò ðåøåíèåì. Ïîäñòàâëÿåì ýòîò âåêòîð â

i-òîå

óðàâíåíèå:

ai1 (λ1 x1 + λ2 y1 ) + . . . + ain (λ1 xn + λ2 yn ) = = λ1 (ai1 x1 + . . . + ain xn ) + λ2 (ai1 y1 + . . . + ain yn ) = = λ1 0 + λ2 0 = 0. Ò.î. ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì

i-òîãî

óðàâíåíèÿ.

Ìíîæåñòâî ðåøåíèé îäíîðîäíîé ñèñòåìû ãåîìåòðè÷åñêè âûãëÿäèò ñëåäóþùèì îáðàçîì:

29

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА

ФОНД

ВОЛЬНОЕ ДЕЛО

ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU

Ýòî ïëîñêîñòü, ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç íà÷àëî êîîðäèíàò.

Îïðåäåëåíèå 4.23.

Ôóíäàìåíòàëüíîé ñèñòåìîé ðåøåíèé (ÔÑÐ) îäíîðîäíîé ñè-

ñòåìû ëèíåéíûõ óðàâíåíèé íàçûâàåòñÿ ïðîèçâîëüíûé áàçèñ â ïðîñòðàíñòâå ðåøåíèé ñèñòåìû.

Çàìå÷àíèå 4.7.

≤ n.

×èñëî ýëåìåíòîâ ÔÑÐ

Ò.î. ÔÑÐ - êîíå÷íûé íàáîð âåêòîðîâ, ïî êîòîðîìó íàõîäèì âñå îñòàëüíûå ðåøåíèÿ êàê ëèíåéíûå êîìáèíàöèè.

Ëåììà 4.7.

Ðàçìåðíîñòü ïðîñòðàíñòâà ðåøåíèé îäíîðîäíîé ñèñòåìû ëèíåéíûõ

óðàâíåíèé ðàâíà ÷èñëó ñâîáîäíûõ íåèçâåñòíûõ.  ÷àñòíîñòè, ÷èñëî ñâîáîäíûõ íåèçâåñòíûõ íå çàâèñèò îò ñïîñîáà èõ âûáîðà. Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü

xi1 , . . . , xik , 1 ≤ i1 < . . . < ik ≤ n

- ñâîáîäíûå íåèçâåñòíûå.

Ïîäñòàâèì âìåñòî íèõ êîîðäèíàòû ñòàíäàðòíîãî áàçèñà

(1, 0, . . . , 0),

...

(0, 1, . . . , 0),

(0, . . . , 0, 1) ∈ Rk . Ìû ïîëó÷èì

k

ðåøåíèé:

(x11 , . . . , x1n ), . . . , (xk1 , . . . , xkn ). Ïðîâåðèì, ÷òî ýòî ÔÑÐ.

(ÔÑÐ - ýòî áàçèñ â ïðîñòðàíñòâå ðåøåíèé, à çíà÷èò ìû äîêàæåì, ÷òî â ïðîñòðàíñòâå ðåøåíèé åñòü áàçèñ èç íî

k

k

ýëåìåíòîâ. Çíà÷èò, âñå áàçèñû ñîñòÿò èç

k

- ýòî ÷èñëî ñâîáîäíûõ ïåðåìåííûõ.)

1) Ëèíåéíàÿ íåçàâèñèìîñòü ðåøåíèé.

λ1 (x11 , . . . , x1n ) + . . . + λk (xk1 , . . . , xkn ) = 0. Õîòèì ïîêàçàòü, ÷òî òîãëà âñå

Ïðè

λ1 , . . . , λk

ðàâíû

0.

i1 -êîîðäèíàòå: 1λ1 + 0λ2 + 0λ3 + . . . + 0λk = 0, λ1 = 0.

Àíàëîãè÷íî, ïî

i2 -êîîðäèíàòå λ2 = 0, . . ., 30

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА

ФОНД

ВОЛЬНОЕ ДЕЛО

ïî

ik -êîîðäèíàòå λk = 0.

ýëåìåíòîâ,

ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU

2) ×åðåç ýòè ðåøåíèÿ âûðàæàþòñÿ âñå îñòàëüíûå. Ïóñòü

(x01 , . . . , x0n )

- ïðîèçâîëüíîå ðåøåíèå íàøåé îäíîðîäíîé ñèñòåìû.

Òîãäà íàäî ýòî ðåøåíèå

(x01 , . . . , x0n ) âûðàçèòü ÷åðåç (x11 , . . . , x1n ), . . . , (xk1 , . . . , xkn ).

(x01 , . . . , x0n ) = x0i1 (x11 , . . . , x1n ) + . . . + x0ik (xk1 , . . . , xkn ) - ïðîâåðèì, ÷òî ýòî ðàâåíñòâî âåðíî.  ëåâîé è â ïðàâîé ÷àñòè çíà÷åíèÿ êîîðäèíàò

i1 , . . . , i k

ñîâïàäàþò.

Íî åñëè ó äâóõ ðåøåíèé ÑËÓ ñîâïàäàþò çíà÷åíèÿ ñâîáîäíûõ íåèçâåñòíûõ, òî çíà÷åíèÿ ãëàâíûõ íåèçâåñòíûõ ïî íèì îïðåäåëþòñÿ îäíîçíà÷íî è ïîýòîìó òîæå ñîâïàäàþò.

Çíà÷èò, ýòè

k

ðåøåíèé îáðàçóþò áàçèñ ïðîñòðàíñòâà ðåøåíèé, ò.å. ÿâëÿþòñÿ ÔÑÐ.

Ëèíåéíûå ïîäìíîãîîáðàçèÿ. Îïðåäåëåíèå 4.24.

Ëèíåéíîå ïîäìíîãîîáðàçèå â

äëÿ êîòîðîãî íàéäåòñÿ âåêòîð

v ∈ Rn

Rn

- ýòî ïîäìíîæåñòâî

è ïîäïðîñòðàíñòâî

U ⊆ Rn ,

L ⊆ Rn ,

òàêèå ÷òî

L = v + U = {v + u, u ∈ U }

Ñîãëàøåíèå.

∅

ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíûì ïîäìíîãîîáðàçèåì.

Ïðåäëîæåíèå 4.1.

Äëÿ ëþáîé ÑËÓ ìíîæåñòâî åå ðåøåíèé ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíûì

ïîäìíîãîîáðàçèåì. Äîêàçàòåëüñòâî. Ñ êàæäîé ñèñòåìîé

 a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1n xn = b1    a x + a x + . . . + a x = b 21 1 22 2 2n n 2  . . .    am1 x1 + am2 x2 + . . . + amn xn = bm 31

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА

ФОНД

ВОЛЬНОЕ ДЕЛО

(4.1)

ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU

ñâÿæåì îäíîðîäíóþ ñèñòåìó

 a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1n xn = 0    a x + a x + . . . + a x = 0 21 1 22 2 2n n  ...    am1 x1 + am2 x2 + . . . + amn xn = 0

.

(4.2)

Ýòî íàçûâàåòñÿ àññîöèèðîâàííàÿ îäíîðîäíàÿ ñèñòåìà.

Åñëè ñèñòåìà

(4.1) íåñîâìåñòíà, òî òîãäà ìíîæåñòâî åå ðåøåíèé ïóñòî è äîêàçàíî

ïðåäëîæåíèå 4.1.

Åñëè æå ñèñòåìà

(4.1)

ñîâìåñòíà, òî çàôèêñèðóåì êàêîå-òî îäíî åå ðåøåíèå

v∈

Rn . Íàäî äîêàçàòü, ÷òî ðåøåíèå

(4.1) - ýòî â òî÷íîñòè v +U , ãäå U

- ìíîæåñòâî ðåøåíèé

(4.2). Íàäî ïðîâåðèòü: 1) Åñëè

u

- ðåøåíèå

Ïðîâåðêà:

u

(4.2),

òî

v+u

- ðåøåíèå ñèñòåìû

- ðåøåíèå

(4.2),

(4.1).

òî åñòü äëÿ ëþáîãî

i = 1, . . . , n

ai1 u1 + . . . + ain un = 0. v

- ðåøåíèå ñèñòåìû

(4.1),

òî åñòü äëÿ ëþáîãî

(4.3)

i = 1, . . . , n

âåðíî

ai1 v1 + . . . + ain vn = bi . Ñêëàäûâàÿ

(4.3)

è

(4.4),

âåðíî

(4.4)

ïîëó÷àåì

ai1 (v1 + u1 ) + . . . + ain (vn + un ) = bi + 0. Òàêèì îáðàçîì, ñóììà 2) Åñëè

w

v+u

- ðåøåíèå ñèñòåìû

Ïðîâåðêà:

w

- ðåøåíèå

(4.1),

- ðåøåíèå ñèñòåìû

òî

(4.1).

w−v

(4.1),

è

v

- ðåøåíèå

(4.2).

- ðåøåíèå ñèñòåìû

(4.1).

Âåðíî:

Âû÷èòàÿ

(4.5)

èç

(4.6),

ai1 v1 + . . . + ain vn = bi ,

(4.5)

ai1 w1 + . . . + ain wn = bi .

(4.6)

ïîëó÷èì

ai1 (w1 − v1 ) + . . . + ain (wn − vn ) = 0. w−v

- ðåøåíèå

(4.2).

Ÿ3. Ðàíã ìàòðèöû 32

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА

ФОНД

ВОЛЬНОЕ ДЕЛО

ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU

Ðàíã ñèñòåìû âåêòîðîâ. Îïðåäåëåíèå 4.25.

Ðàíã ñèñòåìû âåêòîðîâ

v1 , . . . , vs ∈ Rn

- ýòî ðàçìåðíîñòü èõ

ëèíåéíîé îáîëî÷êè. Îáîçíà÷åíèå:

rk {v1 , . . . , vs }

Îïðåäåëåíèå 4.26. n

R

Ìàêñèìàëüíûé ëèíåéíî íåçàâèñèìûé ïîäíàáîð íàáîðà

íàçûâàåòñÿ áàçîé íàáîðà

v1 , . . . , vs ∈

v1 , . . . , vs .

Ïðåäëîæåíèå 4.2. rk {v1 , . . . , vs } íåçàâèñèìîé ïîäñèñòåìå ñèñòåìû

ðàâåí ÷èñëó ýëåìåíòîâ â ìàêñèìàëüíîé ëèíåéíî

v1 , . . . , vs ∈ Rn .

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïî òåîðåìå 3.3 ï.1) èç âåêòîðîâ

v1 , . . . , v s

ìîæíî âûáðàòü áàçèñ

< v1 , . . . , vs >. vi1 , . . . , vik , k ≤ s, è ýòîò ïîäíàáîð ëèíåéíî íåçàâèñèì. vi1 , . . . , vik íå ÿâëÿåòñÿ ìàêñèìàëüíûì ëèíåéíî íåçàâèñèìûì íàáîðîì, òî ê ìîæíî äîáàâèòü âåêòîð vik+1 òàê ÷òî vi1 , . . . , vik , vik+1 ïî-ïðåæíåìó ëèíåéíî

ïîäïðîñòðàíñòâà Ïóñòü ýòî Åñëè íåìó

íåçâèñèìû. Íî

vik+1

âûðàæàåòñÿ ÷åðåç

vi1 , . . . , vik .

Ïî Ëåììå 2.2 ðàñøèðåííûé íàáîð ëèíåéíî çàâèñèì. Ïðîòèâîðå÷èå.

vi1 , . . . , vik - áàçà. k = dim < vi1 , . . . , vik >

Çíà÷èò, Èòàê,

Îáðàòíî, åñëè ëþáîé âåêòîð èç

ðàâíî ÷èñëó ýëåìåíòîâ â íåêîòîðîé áàçå.

vi1 , . . . , vik - ýòî íåêîòîðàÿ áàçà íàáîðà v1 , . . . , vs , v1 , . . . , vs âûðàæàåòñÿ ÷åðåç vi1 , . . . , vik .

òî ïî Ëåììå 2.2

v1 , . . . , vs âûðàæàåòñÿ ÷åðåç vi1 , . . . , vik . áàçèñ < v1 , . . . , vs >. Îí ëèíåéíî íåçàâèñèì ïî îïðåäåëåíèþ

Çíà÷èò, ëþáàÿ ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ À çíà÷èò

vi1 , . . . , vik

-

è

ìû äîêàçàëè, ÷òî ëþáóþ ëèíåéíóþ êîìáèíàöèþ ÷åðåç íåãî ìîæíî âûðàçèòü.

Îïðåäåëåíèå 4.27.

Íàáîðû

v1 , . . . , vs ∈ Rn

è

w1 , . . . , wk ∈ Rn

ýêâèâàëåíòíû, åñëè

ëþáîé âåêòîð èç ïåðâîãî íàáîðà ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíîé êîìáèíàöèåé âåêòîðîâ âòîðîãî íàáîðà, è íàîáîðîò. Äðóãèìè ñëîâàìè,

< v1 , . . . , vs >=< w1 , . . . , wk >.

Ïî îïðåäåëåíèþ ðàíãè ýêâèâàëåíòíûõ ñèñòåì ñîâïàäàþò.

Ïðåäëîæåíèå 4.3.

Ýëåìåíòàðíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ íå èçìåíÿþò ðàíã ñèñòåìû

âåêòîðîâ.

v10 , . . . , vs0 ïîëó÷åíû èç v1 , . . . , vs öåïî÷êîé ýëåìåíòàðíûõ ïðå0 0 îáðàçîâàíèé, òî v1 , . . . , vs - ýòî ëèíåéíûå êîìáèíàöèè v1 , . . . , vs . 0 0 Ïðèìåíÿÿ îáðàòíûå ýëåìåíòàðíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ, âûðàçèì v1 , . . . , vs ÷åðåç v1 , . . . , vs . Äîêàçàòåëüñòâî. Åñëè

Çíà÷èò, ñèñòåìû ýêâèâàëåíòíû, à ó ýêâèâàëåíòíûõ ñèñòåì ðàíãè ðàâíû. 33

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА

ФОНД

ВОЛЬНОЕ ДЕЛО

ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU

Îïðåäåëåíèå 4.28.

Ñòðî÷íûé ðàíã ìàòðèöû

åå ñòðîê êàê âåêòîðîâ â

Îïðåäåëåíèå 4.29.

R

n

.

Ñòîëáöîâûé ðàíã ìàòðèöû

ñòåìû åå ñòîëáöîâ êàê âåêòîðîâ â

Rm .

34

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА

A ðàçìåðà m×n - ýòî ðàíã ñèñòåìû

ФОНД

ВОЛЬНОЕ ДЕЛО

A

ðàçìåðà

m×n

- ýòî ðàíã ñè-

ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU

Ëåêöèÿ 5 Òåîðåìà î íàõîæäåíèè ñòðî÷íîãî ðàíãà ìàòðèöû. Òåîðåìà 5.6.

Ñòðî÷íûé ðàíã ìàòðèöû ðàâåí ÷èñëó íåíóëåâûõ ñòðîê â ñòóïåí-

÷àòîì âèäå. Äîêàçàòåëüñòâî. Ðàíã íå ìåíÿåòñÿ ïðè ýëåìåíòàðíûõ ïðåîáðàçîâàíèÿõ ñòðîê. Ïîýòîìó ñðàçó ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî ìàòðèöà ñòóïåí÷àòàÿ.

 0 0  0  0  0 0 Ïóñòü

v1 , . . . , vk

0 0 0 0 0 0

∗ 0 0 0 0 0

∗ ∗ 0 0 0 0

∗ ∗ 0 0 0 0

∗ ∗ 0 0 0 0

∗ ∗ ∗ 0 0 0

∗ ∗ ∗ ∗ 0 0

∗ ∗ ∗ ∗ 0 0

       

- âñå íåíóëåâûå ñòðîêè ñòóïåí÷àòîé ìàòðèöû.

Äîñòàòî÷íî äîêàçàòü, ÷òî îíè ëèíåéíî íåçàâèñèìû.

Ðàññìîòðèì ëèíåéíóþ êîìáèíàöèþ ýòèõ ñòðîê, ðàâíóþ 0:

λ1 v1 + . . . + λk vk = 0. Êàê îáû÷íî, õîòèì ïîêàçàòü, ÷òî òîãäà âñå

Ïóñòü

i1 , . . . , i k

Ðàññìîòðèì

(5.1)

λi = 0.

- íîìåðà ñòîëáöîâ, ãäå ñòîÿò ëèäåðû ñòðîê.

i1 -êîîðäèíàòó: λ1 ∗ +λ2 0 + . . . + λk 0 = 0, (ñì. (5.1))

çäåñü

Ïî

∗

- ëèäåð, ñëåäîâàòåëüíî, îíà íå

0.

Íî òîãäà

λ1 = 0.

i2 -êîîðäèíàòå: λ1 ∗ +λ2 ∗ +λ3 0 + . . . + λk 0 = 0,

ãäå

λ1 ∗ = 0,

ñëåäîâàòåëüíî,

Àíàëîãè÷íî,

λ2 ∗ = 0,

à

∗

- ëèäåð, ò.å. íå 0. Òîãäà è

λ2 = 0.

λ3 = . . . = λk = 0.

Òàêèì îáðàçîì,

v1 , . . . , vk

ëèíåéíî íåçàâèñèìû, è ñòðî÷íûé ðàíã ìàòðèöû ðàâåí

k. Ýòà òåîðåìà äàåò àëãîðèòì íàõîæäåíèÿ ðàíãà ìàòðèöû.

Íî àëãîðèòìà íàõîæäåíèÿ áàçû îíà íå äàåò, åãî ìû ïîëó÷èì ïîçæå.

35

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА

ФОНД

ВОЛЬНОЕ ДЕЛО

ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU

Òåîðåìà î ðàâåíñòâå ñòðî÷íîãî è ñòîëáöîâîãî ðàíãîâ ìàòðèöû. Òåîðåìà 5.7.

A ðàâåí ñòîëáöîâîìó ðàíãó A (è íàçûâàåòñÿ ïðîñòî

Ñòðî÷íûé ðàíã

ðàíãîì). Äîêàæåì ñíà÷àëà âñïîìîãàòåëüíûé ðåçóëüòàò.

Ïðåäëîæåíèå 5.4.

Ýëåìåíòàðíûå ïðåîáðçîâàíèÿ ñòðîê ìàòðèöû

A

íå èçìåíÿ-

þò ëèíåéíûõ ñîîòíîøåíèé ìåæäó ñòîëáöàìè. Ïåðåä òåì êàê äîêàçûâàòü ëåììó, ðàññìîòðèì ïðèìåð, ïîÿñíÿþùèé ýòî óòâåðæäåíèå. Ïðèìåð. Ðàññìîòðèì ìàòðèöó

  1 2 . 3 6 Îáîçíà÷èì åå ñòðîêè

v1 = (1 2), v2 = (3 6),

à ñòîëáöû

    1 2 w1 = , w2 = . 3 6

Ïîäâåðãíåì åå ýëåìåíòàðíîìó ïðåîáðàçîâàíèþ ñòðîê. Íàïðèìåð, âû÷òåì èç âòîðîé ñòðîêè ïåðâóþ, óìíîæåííóþ íà 3

    1 2 1 2 → . 0 0 3 6 0 Ïîëó÷èì íîâûå ñòðîêè v1

= (1

2), v20

= (0 0)

Ëèíåéíàÿ îáîëî÷êà ñòðîê íå èçìåíèëàñü, íóòàÿ íà âåêòîð

Ñòîëáöû

0 è íîâûå ñòîëáöû w1

< v1 , v2 >=< v10 , v20 >

    1 2 0 = . , w2 = 0 0

- ýòî ïðÿìàÿ, íàòÿ-

(1, 2).

w1 , w1

èñõîäíîé ìàòðèöû áûëè ñâÿçàíè ëèíåéíûì ñîîòíîøåíèåì

w2 =

2w1 . Îíî æå âåðíî è äëÿ íîâîé ìàòðèöû

w20 = 2w10 ,

÷òî è óòâåðæäàåòñÿ â ëåììå.

< w1 , w2 >6=< w10 , w20 >. < w1 , w2 > - ïðÿìàÿ, íàòÿíóòàÿ íà âåêòîð (1, 3), < w10 , w20 > - ïðÿìàÿ, íàòÿíóòàÿ óæå íà âåêòîð (1, 0), òî åñòü êîîðäèíàòíàÿ îñü. Ïðè ýòîì

à

Ïåðåõîäèì ê äîêàçàòåëüñòâó ëåììû.

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü

w1 , . . . , w n

- ñòîëáöû

A

è

λ1 w1 + . . . + λn wn = 0.

36

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА

ФОНД

ВОЛЬНОЕ ДЕЛО

(5.2)

ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU

Ýòî ðàâíîñèëüíî òîìó, ÷òî

λ1 , . . . , λn

- ðåøåíèå ÑËÓ ñ ìàòðèöåé

A.

...

  a11 λ1 + a12 λ2 + . . . + a1n λn = 0    a λ + a λ + . . . + a λ = 0 21 1 22 2 2n n     a λ + a λ + . . . + a λ = 0 m1 1

m2 2

mn n

A è óìíîæèòü íà λ1 , âçÿòü âòîn-òîãî ñòîëáöà, à ïîòîì ñëîæèòü, çàïèñàííîå ñîîòíîøåíèå (5.2).

Ýòà ÑËÓ îçíà÷àåò, ÷òî åñëè âçÿòü ïåðâûé ñòîëáåö ðîé ñòîëáåö

A

è óìíîæèòü íà

λ2 ,

è òàê äàëåå äî

òî ïîëó÷èòñÿ 0. Ò.å. ýòî áîëåå ïîäðîáíî

Íî ïðè ýëåìåíòàðíûõ ïðåîáðàçîâàíèÿõ ñòðîê ñèñòåìà çàìåíÿåòñÿ íà ýêâèâàëåíòíóþ, è ìíîæåñòâî åå ðåøåíèé íå ìåíÿåòñÿ. Òåì ñàìûì ëåììà äîêàçàíà.

Ñëåäñòâèå 5.5.

Ñâîéñòâî íàáîðà âåêòîðîâ

wi1 , . . . , wi1

ìàòðèöû

A

áûòü ëèíåéíî

çàâèñèìûìè èëè ëèíåéíî íåçàâèñèìûìè íå ìåíÿåòñÿ ïðè ýëåìåíòàðíûõ ïðåîáðàçîâàíèÿõ ñòðîê.

Ïðåäëîæåíèå 5.5.

Ïóñòü

A0

- ñòóïåí÷àòàÿ ìàòðèöà, è

i1 , . . . , i k

- íîìåðà ñòîëá-

öîâ, ãäå ñòîÿò ëèäåðû ñòðîê. Òîãäà ñòîëáöû ñ íîìåðàìè

i1 , . . . , ik

îáðàçóþò áàçó ñèñòåìû ñòîëáöîâ ìàòðèöû

0

A. Ïóñòü

A0

èìååò, íàïðèìåð, òàêîé âèä



0 0  0 0

1 0 0 0

Äîêàçàòåëüñòâî. Ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî

∗ ∗ 0 0

 0 0  1 0

∗ 0 0 0

0 1 0 0

A0

èìååò óëó÷øåííûé ñòóïåí÷àòûé âèä, ïî-

òîìó ÷òî ïåðåõîä îò ñòóïåí÷àòîé ìàòðèöû ê óëó÷øåííîé ñòóïå÷àòîé îñóùåñòâëÿåòñÿ ñ ïîìîùüþ ýëåìåíòàðíûõ ïðåîáðàçîâàíèé, à îíè íå ìåíÿþò ëèíåéíûå çàâèñèìîñòè ìåæäó ñòîëáöàìè.

Íî ó óëó÷øåííîãî ñòóïåí÷òîãî ñòîëáöû ñ íîìåðàìè áàçèñ â ïðîñòðàíñòâå

i1 , . . . , ik

- ýòî ñòàíäàðòíûé

Rk .

Ìû çíàåì, ÷òî âåêòîðà ñòàíäàðòíîãî áàçèñà, âî-ïåðâûõ, ëèíåéíî íåçàâèñèìû, âîâòîðûõ, ÷åðåç íèõ âûðàæàåòñÿ ëþáîé âåêòîð èç

Rk .

Ñëåäîâàòåëüíî, îíè îáðàçóþò áàçó ñèñòåìû ñòîëáöîâ ñòóïåí÷àòîé ìàòðèöû. Ïåðåéäåì ê äîêàçàòåëüñòâó Òåîðåìû 5.7.

37

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА

ФОНД

ВОЛЬНОЕ ДЕЛО

ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðèâåäåì

A

ê ñòóïåí÷àòîìó âèäó ýëåìåíòàðíûìè ïðåîáðàçîâà-

íèÿìè ñòðîê. Ýòî íå èçìåíèò íè ñòðî÷íûé, íè ñòîëáöîâûé ðàíã.

Ïîñëå ýòîãî ñòðî÷íûé ðàíã ðàâåí ÷èñëó íåíóëåâûõ ñòðîê, à ñòîëáöîâûé ðàíã ðàâåí ÷èñëó ñòîëáöîâ ñ ëèäåðàìè ñòðîê.

Ýòè äâà ÷èñëà ðàâíû.  ñàìîì äåëå, ÷èñëî íåíóëåâûõ ñòðîê - ýòî ÷èñëî ñòðîê ñ ëèäåðàìè (ïî îïðåäåëåíèþ ýòî ïåðâûé íåíóëåâîé ýëåìåíò ñòðîêè).  òî æå âðåìÿ áàçó ñèñòåìû ñòîëáöîâ îáðàçóþò òå ñòîëáöû, â êîòîðûõ ñòîÿò ëèäåðû ñòðîê. Òàêèì îáðàçîì, ñòðî÷íîé ðàíã ìàòðèöû ðàâåí ñòîëáöîâîìó ðàíãó.

rk A.

Îáîçíà÷åíèå:

Àëãîðèòì íàõîæäåíèÿ áàçû ñèñòåìû âåêòîðîâ. Àëãîðèòì íàõîæäåíèÿ áàçû ñèñòåìû âåêòîðîâ

Øàã 1. Âûïèñûâàåì êîîðäèíàòû âåêòîðîâ

v1 , . . . , vk

â

Rn .

ïî ñòîëáöàì (âàæíî!) â ìàò-

n × k. 

...

ðàçìåðà

...

A

...

ðèöó

v1 , . . . , vk



...

...

 v1 v2



...

0  0  . . . vk  →  0 0 

...



...

A ê ñòóïåí÷òîìó âèäó ýëåìåíòàðíûìè ïðåîáðàçîâàíèÿìè ñòðîê.

...

...

Øàã 2. Ïðèâîäèì

...

...

  v1 v2 . . . vk 

∗ 0 0 0

∗ 0 0 0

∗ ∗ 0 0

Øàã 3. Áàçà èñõîäíîãî íàáîðà - ýòî âåêòîðà

∗ ∗ ∗ 0

 ∗ ∗  ∗ 0

(íàïðèìåð)

vi1 , . . . , vis , ãäå i1 , . . . , is - íîìåðà v1 , v4 , v5 èñõîäíîé ìàòðèöû.)

ñòîëáöîâ ñ ëèäåðàìè ñòðîê. (Â íàøåì ïðèìåðå ýòî

Òåîðåìà î ðàçìåðíîñòè ïðîñòðàíñòâà ðåøåíèé îäíîðîäíîé ÑËÓ. Òåîðåìà 5.8. ãäå

n

Ðàçìåðíîñòü ïðîñòðàíñòâà ðåøåíèé îäíîðîäíîé ÑËÓ ðàâíà

- ÷èñëî íåèçâåñòíûõ,

A

- ìàòðèöà êîýôôèöèåíòîâ.

U - ïðîñòðàíñòâî ðåøåíèé íàøåé îäíîðîäíîé dim U ðàâíà ÷èñëó ñâîáîäíûõ íåèçâåñòíûõ.

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü Òîãäà ïî Ëåììå 4.7.

38

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА

n−rk A,

ФОНД

ВОЛЬНОЕ ДЕЛО

ñèñòåìû.

ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU

n − {÷èñëî ãëàâíûõ íåèçâåñòíûõ}, à ýòî ðàâíî n − {÷èñëî ëèäåðîâ íåíóëåâûõ ñòðîê â ñòóïåí÷àòîì âèäå}, ÷òî â ñâîþ î÷åðåäü ðàâíî n − {÷èñëî íåíóëåâûõ ñòðîê â ñòóïåí÷àòîì âèäå}.  ìåòîäå Ãàóññà ÷èñëî ñâîáîäíûõ íåèçâåñòíûõ ðàâíî

À ÷èñëî íåíóëåâûõ ñòðîê â ñòóïåí÷àòîì âèäå - ýòî è åñòü ðàíã ìàòðèöû.

Çàäà÷à.

Äîêàæèòå, ÷òî äëÿ ïðîèçâîëüíîé ÑËÓ ÷èñëî ñâîáîäíûõ íåèçåñòíûõ íå

çàâèñèò îò ñïîñîáà èõ âûáîðà.

Òåîðåìà î ñóùåñòâîâàíèè äëÿ ïîäïðîñòðàíñòâà ÑËÓ, ìíîæåñòâîì ðåøåíèé êîòîðîé ÿâëÿåòñÿ ýòî ïîäïðîñòðàíñòâî. Òåîðåìà 5.9. a)

Ïóñòü

U ⊆ Rn

îäíîðîäíàÿ ÑËÓ îò ïåðåìåííûõ

b)

Ïóñòü

L ⊆ Rn

- íåêîòîðîå ïîäïðîñòðàíñòâî. Òîãäà ñóùåñòâóåò

x1 , . . . , x n ,

ìíîæåñòâî ðåøåíèé êîòîðîé ðàâíî

- ëèíåéíîå ïîäìíîãîîáðàçèå. Òîãäà ñóùåñòâóåò ÑËÓ îò

íåèçâåñòíûõ, ìíîæåñòâî ðåøåíèé êîòîðîé ðàâíî Äîêàçàòåëüñòâî.

a)

U.

Ïóñòü

n

L.

U =< v1 , . . . , vk >, v1 , . . . , vk

- áàçèñ â

U.

v1 = (a11 , a12 , . . . , a1n ), ...

v2 = (a21 , a22 , . . . , a2n ),

vk = (ak1 , a12 , . . . , akn ). Çàïèøåì òàêóþ ñèñòåìó:

...

  a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1n xn = 0    a x + a x + . . . + a x = 0 21 1 22 2 2n n     a x + a x + . . . + a x = 0 k1 1 k2 2 kn n Ýòà ñèñòåìà åùå íå çàäàåò íàøå ïîäïðîñòðàíñòâî. Ðàññìîòðèì ÔÑÐ äëÿ ñèñòåìû

(5.3):

w1 = (c11 , c12 , . . . , c1n ), ...

w2 = (c21 , c22 , . . . , c2n ),

wm = (cm1 , cm2 , . . . , cmn ). Òîãäà

m = n − rk A

ïî Òåîðåìå 8,

rk A = k , m = n − k .

Ðàññìîòðèì ñèñòåìó 39

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА

ФОНД

ВОЛЬНОЕ ДЕЛО

(5.3)

ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU

  c11 x1 + c12 x2 + . . . + c1n xn = 0    c x + c x + . . . + c x = 0 21 1 22 2 2n n     c x + c x + . . . + c x = 0 ...

(5.4)

m1 1

è îáîçíà÷èì ÷åðåç

V

m2 2

mn n

ïîäïðîñòðàíñòâî ðåøåíèé ñèñòåìû

â

Rn .

(5.4). [ Åñëè â ñèñòåìó (5.4) ïîäñòàâèòü v1 = (a11 , a12 , . . . , a1n ), . . . , vk = (ak1 , a12 , . . . , akn ), ïîëó÷èì íóëè â ïðàâîé ÷àñòè, ïîòîìó ÷òî w1 = (c11 , c12 , . . . , c1n ), . . . , wm = (cm1 , cm2 , . . . , cmn ) - ðåøåíèå ñèñòåìû (5.3). Òîãäà ïî ïîñòðîåíèþ

 ñèñòåìå

v1 , . . . , vk

(5.4)

- ðåøåíèå ñèñòåìû

(5.4) ïðîèñõîäèò òî æå aij ìû ïîäñòàâèëè â

ôèöèåíòàìè, à 0.

cij

ñàìîå, òîëüêî òåïåðü, íàîáîðîò, êà÷åñòâå

x-îâ

ñòàëè êîýô-

è â ïðàâîé ÷àñòè òàêæå ïîëó÷èì

]

v1 , . . . , vk - ðåøåíèå ñèñòåìû (5.4) ⇒ U =< v1 , . . . , vk >⊆ V . [ V - ïîäïðîñòðàíñòâî, ïîýòîìó åñëè êàêèå-òî âåêòîðà â íåì ëåæàò, ëåæàþ âñå èõ ëèíåéíûå êîìáèíàöèè.] Ïîêà ìû äîêàçàëè òîëüêî

Ñ äðóãîé ñòîðîíû,

U ⊆V.

òî â íåì òàêæå

Òåïåðü ïîñ÷èòàåì ðàçìåðíîñòè.

dim V = n − rk C = n − m rk C = m.) Çäåñü

(Ïî îïðåäåëåíèþ ÔÑÐ

w1 , . . . , wk

-

ëèíåéíî íåçâèñèìû, è

c12 c12

 . . . c1n . . . c1n  . 

...

c11  c11 C=  

cm1 cm2 . . . cmn n − m = n − (n − k) = k = dim U = dim V . À åñëè îäíî ïîäïðîñòðàíñòâî ëåæèò äðóãîì, è èõ ðàçìåðíîñòè ñîâïàäàþò, òî ýòè ïðîñòðàíñòâà ñîâïàäàþò è V = U .

Èòàê, â

a)

Åñëè

L = ∅.

Òîãäà èñêîìàÿ ñèñòåìà ìîæåò áûòü, íàïðèìåð, òàêîé:

0x1 + 0x2 + . . . 0xn = 1 Ïóñòü òåïåðü

- òðåáóåìîå óðàâíåíèå.

L 6= ∅.

Òîãäà ïî îïðåäåëåíèþ ëèíåéíîãî ïîäìíîãîîáðàçèÿ

L = v + U , ãäå U ⊆ Rn

- ïîäïðî-

ñòðàíñòâî. Ïóñòü

...

  c11 x1 + c12 x2 + . . . + c1n xn = 0    c x + c x + . . . + c x = 0 21 1 22 2 2n n     c x + c x + . . . + c x = 0 m1 1

m2 2

mn n

40

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА

ФОНД

ВОЛЬНОЕ ДЕЛО

(5.5)

ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU

- îäíîðîäíàÿ ñèñòåìà ñ ìíîæåñòâîì ðåøåíèé

Ïîëîæèì

v = (α1 , . . . , αn )

U

(ñóùåñòâóåò ïî ï. à)).

bi = ci1 α1 + ci2 α2 + . . . + cin αn .

è

Òîãäà ñèñòåìà

(5.6)

...

  c11 x1 + c12 x2 + . . . + c1n xn = b1    c x + c x + . . . + c x = b 21 1 22 2 2n n 2     c x + c x + . . . + c x = b m1 1

m2 2

mn n

- ýòî ÑËÓ, ìíîæåñòâî ðåøåíèé êîòîðîé ðàâíî

[ { =

L

m

(èñêîìàÿ).

Ïî äîêàçàííîìó â ïðîøëîé ëåêöèè,

ìíîæåñòâî ðåøåíèé ñèñòåìû

v+U

=

(5.5) }

=

v + {ìíîæåñòâî

ðåøåíèé ñèñòåìû

(5.6) }

L. ]

Òåîðåìà Êðîíåêåðà-Êàïåëëè (êðèòåðèé ñîâìåñòíîñòè ÑËÓ). Òåîðåìà 5.10. Êðîíåêåðà - Êàïåëëè (êðèòåðèé ñîâìåñòíîñòè ÑËÓ â

òåðìèíàõ ðàíãîâ) Ñèñòåìà

...

  a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1n xn = b1    a x + a x + . . . + a x = b 21 1 22 2 2n n 2     a x + a x + . . . + a x = b m1 1

ñîâìåñòíà Çäåñü

A

m2 2

mn n

m

e. ⇔ rk A = rk A

- ìàòðèöà êîýôôèöèåíòîâ,

e A

- ðàñøèðåííàÿ ìàòðèöà.

e⇔ rk A = rk A           a11 a1n a11 a1n b1  a21  a  a  a  b   , . . . ,  2n  > = dim <  21  , . . . ,  2n  ,  2  >. dim <            ...

...

...

...

...

Äîêàçàòåëüñòâî.

am1

amn

am1

amn

bm

   a11 a1n  a21  a   , . . . ,  2n  > , =<  ,..., ,  > ⇔ ⇔ is .

×åòíîñòü ïîäñòàíîâêè

σ

- ýòî ÷åòíîñòü ÷èñëî èíâåðñèé â

σ. Ïðèìåð.

  1 2 3 4 5 2 5 4 1 3

Èíâåðñèè: âî âòîðîé ñòðîêå øå

2, 5, 4 ñòîÿò ðàíüøå 1; 4, 5 ñòîÿò ðàíüøå 3; 5 ñòîèò ðàíü-

4.

Âñåãî

ε

6

èíâåðñèé - ïîäñòíîâêà ÷åòíàÿ.

- ÷åòíàÿ ïîäñòàíîâêà.

Âîçüìåì â

ε

òðàíñïîçèöèþ äâóõ ñîñåäíèõ ýëåìåíòîâ

(i i + 1).

Ïîëó÷èì íå÷åòíóþ

ïîäñòàíîâêó (÷èñëî èíâåðñèé èçìåíèëîñü íà 1).

Òåïåðü âîçüìåì òðàíñïîçèöèþ äâóõ ëþáûõ ýëåìåíòîâ

(i j). Ïîëó÷èì òîæå íå÷åò-

íóþ ïîäñòàíîâêó. Äîêàæåì ýòî.

Ëåììà 8.13. Òîãäà

Ïóñòü

∀ σ ∈ Sn

(i j)

- ïðîèçâîëüíàÿ òðàíñïîçèöèÿ.

÷åòíîñòè ïîäñòàíîâîê

Äîêàçàòåëüñòâî.

σ

è

σ(i j)

ðàçëè÷íû.

Ñëó÷àé 1. (i j) = (i i + 1)



   1 2 ... i i + 1 ... n 1 2 ... i i + 1 ... n (i i + 1) = i1 i2 . . . k s . . . in i1 i2 . . . s k . . . in

- ÷èñëî èíâåðñèé èçìåíèëîñü íà îäíó.

k

Åñëè áûëè êàêèå-òî èíâåðñèè áåç ó÷àñòèÿ èíâåðñèè, çàòðàãèâàþùèå îäíîãî èç òîëüêî ïîëîæåíèå

k

è

s

k , s,

è

s,

òî îíè íå èçìåíèëèñü. Åñëè áûëè

òî îíè òîæå íå ïîìåíÿëèñü (èçìåíèëîñü

îòíîñèòåëüíî äðóã äðóãà, íî íå îñòíîñèòåëüíî äðóãèõ ýëå-

ìåíòîâ). Èòàê, åäèíñòâåííîå èçìåíåíèå â èíâåðñèÿõ - ìåæäó èëè

k è s (èëè +1 èíâåðñèÿ,

−1).

Åñëè ÷èñëî èíâåðñèé èçìåíèëîñü íà

Ñëó÷àé 2. (i j)

- ëþáàÿ,

1,

òî ÷åòíîñòü ýòîãî ÷èñëà ïîìåíÿëàñü.

i < j.

(i j) = (j − 1 j)(j j + 1) . . . (i + 1 i + 2)(i i + 1)(i + 1 i + 2) . . . (j − 1 j) 60

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА

ФОНД

ВОЛЬНОЕ ДЕЛО

(8.1)

ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU

Ñëåäñòâèå. Ëþáàÿ ïîäñòàíîâêà ðàâíà ïðîèçâåäåíèþ òðàíñïîçèöèé ñîñåäíèõ ýëåìåíòîâ. Ò.ê. ëþáóþ ïîäñòàíîâêó ìîæíî ïðåäñòàâèòü ïðîèçâåäåíèåì òðàíñïîçèöèé, à ëþáóþ

(8.1).

òðàíñïîçèöèþ ìîæíî ïðåäñòòàâèòü â âèäå

Â

(8.1) 2(j − i − 1) + 1

ñîìíîæèòåëåé - íå÷åòíîå.

Çíà÷èò, óìíîæåíèå íà òðàíñïîçèöèþ

Òåîðåìà 8.14. =

Â

n! (n ≥ 2). 2

Sn

(i j)

ìåíÿåò ÷åòíîñòü ïîäñòàíîâêè.

÷èñëî ÷åòíûõ ïîäñòàíîâîê = ÷èñëî íå÷åòíûõ ïîäñòàíîâîê

σ1 , . . . , σk - âñå ÷åòíûå ïîäñòàíîâêè σ1 (1 2), . . . , σk (1 2) - íå÷åòíûå.

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü Òîãäà ïîäñòàíîâêè

Åñëè

σ

- íå÷åòíàÿ, òî

σ(1 2)

äëèíû

n.

- ÷åòíàÿ.

Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî

σ = (σ(1 2))(1 2) = σ(1 2)2 = σε. Ëþáàÿ ÷åòíàÿ ïîäñòàíîâêà ïîëó÷àåòñÿ èç íå÷åòíîé óìíîæåíèåì íà

Ñðåäè

σ1 (1 2), . . . , σk (1 2)

(1 2).

âñòðåòÿòñÿ âñå íå÷åòíûå ïîäñòàíîâêè.

Âûâîä. Ìû óñòàíîâèëè áèåêöèþ ìåæäó ìíîæåñòâîì âñåõ ÷åòíûõ è ìíîæåñòâîì âñåõ íå÷åòíûõ ïîäñòàíîâîê. Çíà÷èò, ýòè ìíîæåñòâà ñîäåðæàò îäèíêîâîå ÷èñëî ýëåìåíòîâ.

Çíàê ïîäñòàíîâêè. Îïðåäåëåíèå 8.41.

Çíàê ïîäñòàíîâêè

( 1, åñëè σ ÷åòíàÿ, sgn (σ) = −1, åñëè σ íå÷åòíàÿ.

Òåîðåìà 8.15.

sgn (στ ) = sgn (σ) sgn (τ ), ∀σ, τ ∈ Sn . σ = σ1 . . . σk , τ = τ1 . . . τs sgn (τ ) = (−1)s .

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü Òîãäà

sgn (σ) = (−1)

k

,

- ïðîèçâåäåíèå òðàíñïîçèöèé.

στ = σ1 . . . σk τ1 . . . τs ⇒ sgn (στ ) = (−1)k (−1)s = (−1)k+s .

Ñëåäñòâèå 8.6.

sgn (σ) = sgn (σ −1 )

61

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА

ФОНД

ВОЛЬНОЕ ДЕЛО

ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU

Äîêàçàòåëüñòâî.

sgn (σ) sgn (σ −1 ) = sgn (σσ −1 ) = sgn (ε) = 1.

Óïðàæíåíèå 8.11.

×åòíîñòü öèêëà äëèíû

k

ðàâíà ÷åòíîñòè ÷èñëà

Ÿ6. Îïðåäåëèòåëè

Ïîíÿòèå îïðåäåëèòåëÿ. Îïðåäåëåíèå 8.42.

Ïóñòü

A = (aij )

- ìàòðèöà ðàçìåðà

Åå îïðåäåëèòåëåì íàçûâàåòñÿ

det A =

X

sgn (σ)a1σ(1) . . . anσ(n)

σ∈Sn

62

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА

ФОНД

ВОЛЬНОЕ ДЕЛО

n × n.

k − 1.

ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU

Ëåêöèÿ 9 Íàïîìèíàíèå:

Ïóñòü

A = (aij )

- ìàòðèöà ðàçìåðà

n × n,

òîãäà

det A =

P

sgn (σ)a1σ(1) . . . anσ(n) .

σ∈Sn Çäåñü ìû èñïîëüçîâàëè îáîçíà÷åíèÿ, íåñêîëüêî îòëè÷àþùèåñÿ îò ââåäåííûõ ðàíåå. À èìåííî äðóãóþ çàïèñü ïîäñòàíîâêè

 σ= Çäåñü

σ(i)

1 2 3 ... n i1 i2 i3 . . . in

- ðåçóëüòàò äåéñòâèÿ

σ



 =

 1 2 3 ... n . σ(1) σ(2) σ(3) . . . σ(n)

íà ýëåìåíò

i.

Ïðèìåðû íàõîæäåíèÿ îïðåäåëèòåëÿ. Ïðèìåðû: 1)

n=1 det a11 = a11 .

2)

n=2   a11 a12 det = a11 a22 − a12 a21 , a21 a22 òàê êàê â ýòîì ñëó÷àå

2

ïîäñòàíîâêè:

  1 2 1 2

 (÷åòíàÿ)

;

1 2 2 1

 (íå÷åòíàÿ)

.

Ýòî ïðîèçâåäåíèå ýëåìåíòîâ ãëàâíîé äèàãîíàëè ìèíóñ ïðîèçâåäåíèå ýëåìåíòîâ íà ïîáî÷íîé.

3)

n=3 Âûïèøåì âñå ïîäñòàíîâêè:



     1 2 3 1 2 3 1 2 3 ; ; 1 2 3 2 3 1 3 1 2

      1 2 3 1 2 3 1 2 3 ; ; 2 1 3 3 2 1 1 3 2 63

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА

ФОНД

ВОЛЬНОЕ ДЕЛО

- ÷åòíûå

.

- íå÷åòíûå

.

ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU



 a11 a12 a13 det a21 a22 a23  = a11 a22 a33 +a12 a23 a31 +a13 a21 a32 −a12 a21 a33 −a13 a22 a31 −a11 a23 a32 . a31 a32 a33 Çàïîìèíàòü êîìáèíàöèè ýëåìåíòîâ ìîæíî ñëåäóþùèì îáðàçîì:

Îïðåäåëèòåëü âåðõíåòðåóãîëüíîé ìàòðèöû. a11 ∗  0 a22 det  0 0 0 0

∗ ∗ .



..

Ëåììà 9.14.

0

 ∗ ∗   = a11 a22 . . . ann . ∗  ann

Äîêàçàòåëüñòâî. Ìàòðèöà âåðõíåòðåóãîëüíà

Ðàññìîòðèì

Ñëó÷àé 1.

⇔ aij = 0

ïðè

j > i.

a1σ(1) . . . anσ(n) .

1 ≤ σ(1), . . . n ≤ σ(n).

Òîãäà ñëîæèì èõ è ïîëó÷èì:

1 + . . . + n ≤ σ(1) + . . . + σ(n) = 1 + . . . + n. 1 = σ(1), . . . n = σ(n) ⇒   1 2 ... n σ= ⇒ ñëàãàåìîå a11 a22 . . . ann . 1 2 ... n

Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî

Ñëó÷àé 2.

∃ i : i > σ(i).

Ïî îïðåäåëåíèþ âåðõíåòðåóãîëüíîé ìàòðèöû

0. 64

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА

ФОНД

ВОЛЬНОЕ ДЕЛО

aiσ(i) = 0 ⇒ a1σ(1) a2σ(2) . . . anσ(n) =

ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU

Ñâîéñòâà îïðåäåëèòåëÿ. Åùå îäíà ôîðìà çàïèñè ìàòðèöû:

A1



...



A = (aij ) =   , An A1 , . . . , An

1)

- ñòðîêè ìàòðèöû

A.

Ïîëèëèíåéíîñòü. Åñëè

Ai = αA0i + βA00i ,

òî

A01





...



A001



...

ãäå

...

...

           0 det A = α det  Ai  + β det A00i          0 An A00n Äîêàçàòåëüñòâî.

det A =

X

sgn (σ)a1σ(1) . . . (αa0iσ(i) + βa00iσ(i) ) . . . anσ(n) =

σ∈Sn

=

X

α sgn (σ)a1σ(1) . . . a0iσ(i) . . . anσ(n) +

X

β sgn (σ)a1σ(1) . . . a00iσ(i) . . . anσ(n) =

σ∈Sn

σ∈Sn 0

= α det A + β det A00 .

Êîñîñèììåòðè÷íîñòü.

1 ≤ . . . ≤ i < j ≤ n.

Òîãäà

A1



...





A1



...

Ïóñòü

...

... ...

        A  A   i  j     det   = − det        Aj   Ai          ...

2)

An

An

Äîêàçàòåëüñòâî.

X

sgn (σ)a1σ(1) . . . aiσ(i) . . . ajσ(j) . . . anσ(n) =

σ∈Sn

=

X

sgn (σ)a1τ (1) . . . aiτ (i) . . . ajτ (j) . . . anτ (n) =

σ(i j)=τ ∈Sn 65

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА

ФОНД

ВОЛЬНОЕ ДЕЛО

ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU

(sgn σ = − sgn τ ) =

X

− sgn (τ )a1τ (1) . . . anτ (n) = − det A.

τ ∈Sn

Ñëåäñòâèå 9.7.

Åñëè äâå ñòðîêè ìàòðèöû

A

ïðîïîðöèîíàëüíû, òî

det A =

0. Äîêàçàòåëüñòâî.





A1





A1



...

...

A1 ...



...

...

...

...

...

...

            A  A  A   i  i  i       det   = λ det   = −λ det         λAi   Ai   Ai              An

An

An

λ det A = −λ det A. Îòñþäà

3)

det A = 0.

Òðàíñïîíèðîâàíèå. Íàïîìèíàíèå:

A = (aij ) AT = (aji ). det A = det AT

Äîêàçàòåëüñòâî.

det AT =

X

sgn (σ)aσ(1)1 . . . aσ(n)n =

σ∈Sn

      σ(1) σ(2) . . . σ(n) 1 2 ... n −1 σ= ; σ = ; σ(1) σ(2) . . . σ(n) 1 2 ... n =

X

sgn (σ)a1σ−1 (1) . . . anσ−1 (n) =

X

sgn (σ −1 )a1σ−1 (1) . . . anσ−1 (n) =

σ −1 ∈Sn

σ∈Sn

sgn (σ) = sgn (σ −1 ) X X = sgn (σ)a1σ−1 (1) . . . anσ−1 (n) = sgn (σ −1 )a1σ−1 (1) . . . anσ−1 (n) = det A. 

σ −1 ∈Sn

σ∈Sn

Ñëåäñòâèå 9.8.

Ïîëèëèíåéíîñòü è êîñîñèììåòðè÷íîñòü âûïîëíåíû òàêæå

ïî ñòîëáöàì. 66

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА

ФОНД

ВОЛЬНОЕ ДЕЛО

ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU

Ïðè òðàíñïîíèðîâàíèè ñòðîêè ïåðåõîäÿò â ñòîëáöû, ñëåäîâàòåëüíî, äëÿ íèõ ýòè ñâîéñòâà òîæå âûïîëíÿþòñÿ. 4)

Ïîâåäåíèå îïðåäåëèòåëÿ ïðè ýëåìåíòàðíûõ ïðåîáðàçîâàíèÿõ ñòðîê. (Äëÿ ñòîëáöîâ ïîñëå òðàíñïîíèðîâàíèÿ áóäåò òî æå ñàìîå.)

Òèï 1.

A0i = Ai + λAj i 6= j . A1



...



ïî ïîëèëèíåéíîñòè.

...

...

    A   j   0 det A = det A + λ det      Aj      An Âòîðîå ñëàãàåìîå ðàâíî 0, ïîýòîìó

det A0 = det A

- ïðè ýëåìåíòàðíîì ïðåîá-

ðàçîâàíèè 1 òèïà îïðåäåëèòåëü íå ìåíÿåòñÿ.

Òèï 2.

Ai ↔ Aj .

Ïî êîñîñèììåòðè÷íîñòè

det A0 = − det A.

Ýëåìåíòàðíîå ïðåîáðàçîâàíèå 2 òèïà ìåíÿåò çíàê îïðåäåëèòåëÿ.

A0i = λAi , λ 6= 0. 0 ïîëèëèíåéíîñòè: det A = λ det A.

Òèï 3. Ïî

Ñëåäñòâèå 9.9.

Ñâîéñòâî

det A = 0

èëè

det A 6= 0

íå èçìåíÿåòñÿ ïðè ýëå-

ìåíòàðíûõ ïðåîáðàçîâàíèÿõ.

Ñëåäñòâèå 9.10. det (λA) = λn det A.

Òåîðåìà îá ýêâèâàëåíòíîñòè íåðàâåíñòâà íóëþ îïðåäåëèòåëÿ. Òåîðåìà 9.16.

A

Ïóñòü

- ìàòðèöà ðàçìåðà

n × n.

ýêâèâàëåíòíû: 1)

det A 6= 0;

2) Ñòðîêè

A

3) Ñòîëáöû 4)

A

ëèíåéíî íåçàâèñèìû;

A

ëèíåéíî íåçàâèñèìû;

rk A = n);

íåâûðîæäåíà (

67

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА

ФОНД

ВОЛЬНОЕ ДЕЛО

Òîãäà ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ

ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU

5)

∃A−1 .

Äîêàçàòåëüñòâî.

(2) ⇔ (3) ⇔ (4)

ïî îïðåäåëåíèþ ðàíãà è ïî ðàâåíñòâó ñòðî÷íîãî

ðàíãà ñòîëáöîâîìó.

(4) ⇔ (5)

ïî òåîðåìå 7.12.

(1) ⇔ (4).

Îñòàåòñÿ äîêàçàòü, ÷òî

Ïðèâåäåì

Ìàòðèöà

A

A0

ê ñòóïåí÷àòîìó âèäó

ñòóïåí÷àòà

⇒

A0

ýëåìåíòàðíûìè ïðåîáðàçîâàíèÿìè ñòðîê.

âåðõíåòðåóãîëüíà, è åå îïðåäåëèòåëü ðàâåí ïðîèçâå-

äåíèþ äèàãîíàëüíûõ ýëåìåíòîâ.

det A 6= 0 ⇔ det A0 = 6 0 ⇔ ïðîèçâåäåíèå äèàãîíàëüíûõ ýëåìåíòîâ 6= 0 ⇔ 0 0 äèàãîíàëüíûå ýëåìåíòû 6= 0 ⇔ A ñòðîãî ñòóïåí÷àòà ⇔ rk A = rk A = n.

Òîãäà âñå

Òåîðåìà î ôóíêöèè, ñòàâÿùåé â ñîîòâåòñòâèå íàáîðó âåêòîðîâ ÷èñëî. Òåîðåìà 9.17.

Ïóñòü

ñî çíà÷åíèÿìè â

R,

F

- ôóíêöèÿ îò

n

âåêòîðíûõ àðãóìåíòîâ

v1 , . . . , vn ∈ Rn

ò.å.

F : Rn × Rn . . . × Rn → R.

Òîãäà

F

ïîëèëèíåéíà è êîñîñèììåòðè÷íà.

F (v1 , . . . , vn ) = F (e1 , . . . , en ) det A,

 ÷àñòíîñòè, åñëè

F (e1 , . . . , en ) = 1,

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü

vi =

n P

ãäå

òî

  v1 A =  . ...

Ïðåäïîëîæèì, ÷òî

vn F = det A.

aij ej = (ai1 , . . . , ain ).

j=1 Òîãäà â ñèëó ïîëèëèíåéíîñòè

F (v1 , . . . , vn ) =

X

a1j1 . . . anjn F (ej1 , . . . , ejn )

j1 ,...,jn

F (ej1 , . . . , ejn ) = 0,

åñëè êàêèå-òî äâà èç

j1 , . . . , jn

ñîâïàäàþò (ïî êîñîñèììåòðè÷íî-

ñòè).

 Ñ÷èòàåì, ÷òî

j1 , . . . , jn

ïîïàðíî ðàçëè÷íû

⇒ σ=

1 2 ... n j1 j2 . . . jn

 .

σ â ïðîèçâåäåíèå òðàíñïîçèöèé. F (ej1 , . . . , ejn ) ê F (e1 , . . . , en ) ïðîèñõîäèò çà ñ÷åò k òðàíñïîçèöèé ⇒ çíàê ïîìåíÿåòñÿ k ðàç ⇒ ïîëó÷èì çíàê ïîäñòàíîâêè σ .

Ðàçëàãàåì Ïåðåõîä îò ìåíòîâ

68

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА

ФОНД

ВОЛЬНОЕ ДЕЛО

àðãó-

ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU

Èòàê,

F (v1 , . . . , vn ) =

X

sgn (σ)a1σ(1) . . . anσ(n) F (e1 , . . . , en ) = F (e1 , . . . , en ) det A.

σ∈Sn

69

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА

ФОНД

ВОЛЬНОЕ ДЕЛО

ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU

Ëåêöèÿ 10 Îïðåäåëèòåëü ñ óãëîì íóëåé. Îïðåäåëèòåëü Âàíäåðìîíäà. Ïóñòü

  B D A= , 0 C

ãäå

B, C

- êâàäðàòíûå ìàòðèöû. Òîãäà

det A = det B det C Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðè ôèêñèðîâàííûõ ïîëèëèíåéíàÿ ôóíêöèÿ ñòðîê ìàòðèöû

B A,

è

D

det A êîñîñèììåòðè÷íàÿ ìàòðèöû C .

ôóíêöèÿ

ò.å. ñòðîê

Ïî òåîðåìå 9.17



 B D det A = det det C. 0 E 

B D F (e1 , . . . , ek ) := det 0 E

 .

D ïåðâûé ìíîæèòåëü - ýòî ïîëèëèíåéíàÿ êîñîñèììåòðè÷íàÿ ìàòðèöû B . Òîãäà     B D E D det = det det B = 1 det B. 0 E 0 E

Ïðè ôèêñèðîâàííîé ôóíêöèÿ ñòîëáöîâ

 èòîãå

det A = det B det C . Îïðåäåëèòåëü Âàíäåðìîíäà.

Åùå îäíî îáîçíà÷åíèå îïðåäåëèòåëÿ:

Ñëåäñòâèå 10.11.

Åñëè

x1 , . . . , x n

Y = (xj − xi ) j>i . . . xn−1 n ... ... ...

1 xn x2n

...

...

...

1 1 x1 x2 2 x22 V (x1 , . . . , xn ) = x1 xn−1 xn−1 1 2

det A = |A|.

- ïîïàðíî ðàçëè÷íûå ÷èñëà, òî

n: 1 1 x1 x2 = x2 − x1

V (x1 , . . . , xn ) 6= 0.

Äîêàçàòåëüñòâî. Èíäóêöèÿ ïî

n = 2.

Øàã:

- âåðíî.

n > 2.

Áóäåì âû÷èòàòü èç êàæäîé ñòðîêè ïðåäûäóùóþ, óìíîæåííóþ íà

x1 .

70

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА

ФОНД

ВОЛЬНОЕ ДЕЛО

...

...

...

1 1 ... 1 0 x2 − x1 ... x n − x1 = V (x1 , . . . , xn ) = 0 xn−2 (x − x ) . . . xn−2 (x − x ) 2 1 2 1 2 n

ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU

...

...

...

...

x2 − x1 1 ... 1 ... x n − x1 = (x2 − x1 ) . . . (xn − x1 ) = = |1| xn−2 . . . xn−2 xn−2 (x − x ) . . . xn−2 (x − x ) 2 1 2 1 2 2 n n = (x2 − x1 ) . . . (xn − x1 )V (x2 , . . . , xn ). Ïî ïðåäïîëîæåíèþ èíäóêöèè

(x2 − x1 ) . . . (xn − x1 )V (x2 , . . . , xn ) = (x2 − x1 ) . . . (xn − x1 )

Y

(xj − xi ) =

j>i>1

Y (xj − xi ). j>i

Ìèíîðû. Ïóñòü

A

- ìàòðèöà ðàçìåðà

n×n

Ðàññìîòðèì äâà íàáîðà èíäåêñîâ

è

1 ≤ k ≤ n.

1 ≤ i1 < i2 < . . . < ik ≤ n

è

1 ≤ j1 < j2 < . . .
r.

Ëþáûå

s×s

ðàâíû íóëþ, à ïîòîì ÷òî ñóùåñòâóåò ìèíîð ïîðÿäêà

Äîêàæåì, ÷òî âñå ìèíîðû ïîðÿäêà

s

r.

ðàâíû íóëþ.

s ñòðîê ìàòðèöû A ëèíåéíî çàâèñèìû. Òîãäà ñòðîêè â ëþáîé ïîäìàòðèöå

ëèíåéíî çàâèñèìû.

Åñëè "äëèííûå"

s

ñòðîê ìàòðèöû

A

áûëè ëèíåéíî çàâèñèìû, òî è óêîðî÷åííûå

ñòðîêè ïîäìàòðèöû áóäóò ëèíåéíî çàâèñèìû, òàê êàê ëèíåéíûå ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó îòäåëüíûìè ýëåìåíòàìè â ñòîëáöå ñîõðàíÿþòñÿ.

78

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА

ФОНД

ВОЛЬНОЕ ДЕЛО

ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU

Òîãäà îïðåäåëèòåëü ìèíîðà (ïîäìàòðèöû

s × s)

ðàâåí íóëþ, è ïåðâûé ïóíêò äî-

êàçàí.

r.

Ïåðåõîäèì ê äîêàçàòåëüñòâó ñóùåñòâîâàíèÿ íåíóëåâîãî ìèíîðà ïîðÿäêà Â ìàòðèöå

A

åñòü

r

ëèíåéíî íåçâèñèìûõ ñòðîê

Ai1 , . . . , Air .

 e= A

Ai1



...

Ðàññìîòðèì ìàòðèöó

.

A ir e ñóùåñòâóåò r A j1 , . . . , jr .

Ïî òåîðåìå î ñîâïàäåíèè ñòðî÷íîãî è ñòîëáöîâîãî ðàíãà â íåçàâèñèìûõ ñòîëáöîâ. Ïóñòü ýòî ñòîëáöû ñ íîìåðàìè

ëèíåéíî

Òîãäà ìèíîð

Di1 ,...,ir ,j1 ,...,jr 6= 0. Ïîòîìó ÷òî íà ïåðåñå÷åíèè ñòðîê ñ íîìåðàìè

j1 , . . . , jr

èñõîäíîé ìàòðèöû

ìàòðèöà ïîðÿäêà

A

i1 , . . . , ir

è ñòîëáöîâ ñ íîìåðàìè

îáðàçóåòñÿ íåîáõîäèìàÿ íàì íåâûðîæäåííàÿ ïîä-

r. Ÿ7. Îñíîâíûå àëãåáðàè÷åñêèå ñòðóêòóðû.

Áèíàðíûå îïåðàöèè. Ïîíÿòèå ïîëóãðóïïû. Ïðèìåðû. Îïðåäåëåíèå 11.48.

Áèíàðíàÿ îïåðàöèÿ íà ìíîæåñòâå

M

- ýòî îòîáðàæåíèå

M × M → M, (a, b) → a ◦ b. Êàæåòñÿ, ÷òî ìû íàêëàäûâàåì î÷åíü ìàëî îãðàíè÷åíèé íà îòîáðàæåíèå, íî, íà ñàìîì äåëå, ýòî íå òàê. Âî-ïåðâûõ, îíî äîëæíî ñîïîñòàâëÿòü ëþáîé ïàðå

M ×M

ýëåìåíò ìíîæåñòâà

Âîïðîñ. Ïóñòü

|M | = m.

M,

à âî-âîòîðûõ, ðîâíî îäèí.

Ñêîëüêî íà

M

ñóùåñòâóåò áèíàðíûõ îïåðàöèé?

79

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА

ФОНД

ВОЛЬНОЕ ДЕЛО

(a, b) ∈

ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU

Áèíàðíûå îïåðàöèè óäîáíî ñ÷èòàòü ñ ïîìîùüþ òàáëèö óìíîæåíèÿ:

aj

...

a1

. . . . . . a i ◦ aj

...

ai

. . . am

... ...

a1 . . .

am Ïîëó÷àåì, ÷òî âñåãî áèíàðíûõ îïåðàöèé

Îïðåäåëåíèå 11.49.

◦,

Ïîëóãðóïïà

(S, ◦)

mm

2

.

- ýòî ìíîæåñòâî

S

ñ áèíàðíîé îïåðàöèåé

óäîâëåòâîðÿþùåé òðåáîâàíèþ àññîöèàòèâíîñòè:

a ◦ (b ◦ c) = (a ◦ b) ◦ c, ∀ a, b, c ∈ S. Ïðèìåðû. 1)

(N, +).

2)

(N, ×).

3) Ìåíåå òðèâèàëüíûé ïðèìåð: Ïóñòü

S

- ìíîæåñòâî âñåõ îòîáðàæåíèé

M → M,

è ïóñòü

φ, ψ

- äâà òàêèõ

îòîáðàæåíèÿ. Òîãäà àññîöèàòèâíîé áèíàðíîé îïåðàöèåé äëÿ íèõ áóäåò êîìïîçèöèÿ:

φ ◦ ψ. 4) Âîçüìåì â êà÷åñòâå ìíîæåñòâà

S

êîìïîçèöèþ ñëåäóþùèì îáðàçîì:

ëþáîå ìíîæåñòâî

M

è îïðåäåëèì íà íåì

M

è îïðåäåëèì íà íåì

a ◦ b = a.

Ýòà îïåðàöèÿ àññîöèàòèâíà:

a ◦ (b ◦ c) = a ◦ b = a; (a ◦ b) ◦ c = a ◦ c = a. 5) Âîçüìåì â êà÷åñòâå ìíîæåñòâà

S

êîìïîçèöèþ ñëåäóþùèì îáðàçîì:

ëþáîå ìíîæåñòâî

a ◦ b = U ∈ M.

Òîãäà àññîöèàòèâíîñòü òîæå áóäåò âåðíà:

a ◦ (b ◦ c) = a ◦ U = U ; (a ◦ b) ◦ c = U ◦ c = U. 6) Ïðèâåäåì ïðèìåð íå àññîöèàòèâíîé îïåðàöèè. Âîçüìåì â êà÷åñòâå ìíîæåñòâà

S

ìíîæåñòâî íàòóðàëüíûõ ÷èñëåë

ëèì íà íåì áèíàðíóþ îïåðàöèþ êàê âîçâåäåíèå â ñòåïåíü:

2 ◦ (1 ◦ 3) = 2 ◦ 13 = 2 ◦ 1 = 21 = 2; (2 ◦ 1) ◦ 3 = 21 ◦ 3 = 2 ◦ 3 = 23 = 8. 80

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА

ФОНД

ВОЛЬНОЕ ДЕЛО

N è îïðåäåa ◦ b = ab . Òîãäà

ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU

Ìîíîèäû. Ãðóïïû. Àáåëåâû ãðóïïû. Ïðèìåðû. Îïðåäåëåíèå 11.50.

Ïîëóãðóïïà

(S, ◦)

íàçûâàåòñÿ ìîíîèäîì, åñëè â

âåò åäèíèöà èëè íåéòðàëüíûé ýëåìåíò, ò.å. òàêîé ýëåìåíò

S

ñóùåñò-

e ∈ S:

e ◦ a = a ◦ e = a, a ∈ S. Åñëè åäèíèöà ñóùåñòâóåò, òî îíà åäèíñòâåííà. Â ñàìîì äåëå, åñëè áû ñóùåñòâîâàëî äâå åäèíèöû

e1 , e2 ,

òî áûëî áû âûïîëíåíî:

e1 = e1 ◦ e2 = e2 . Ïðèìåðû. 1)

(N, +)

- ìîíîèä?

 Ðîññèè - íåò, âî Ôðàíöèè - äà.

Ýòî ñâÿçàíî ñ òåì, ÷òî â Ðîññèè íàòóðàëüíûìè ÷èñëàìè ñ÷èòàþò

N = {1, 2, . . .},

N = {0, 1, 2, . . .}. 0 âêëþ÷åí â ìíîæåñòâî íàòóðàëüíûõ ÷èñåë, òî îí ÿâëÿåòñÿ íåéòðàëüíûì

à âî ìíîãèõ åâðîïåéñêèõ ñòðàíàõ Åñëè

ýëåìåíòîì. 2)

(N, ×)

- ìîíîèä âñåãäà. Åäèíèöà çäåñü

Îïðåäåëåíèå 11.51.

(G, ◦) íàçûâàåòñÿ ãðóïïîé, åñëè ∀g ∈ G ñóùåñòâóåò òàêîé h ∈ G ÷òî g ◦ h = h ◦ g = e.

Ìîíîèä

îáðàòíûé ýëåìåíò, ò.å. Îáîçíà÷åíèå:

e = 1.

h = g −1 .

Îïðåäåëåíèå 11.52.

Ãðóïïà

(G, ◦)

íàçûâàåòñÿ êîììóòàòèâíîé (èëè àáåëåâîé),

åñëè

∀ a, b ∈ G a ◦ b = b ◦ a. Ñèñòåìà îáîçíà÷åíèé. Îïåðàöèÿ

◦

ìîæåò áûòü àääèòèâíîé èëè ìóëüòèïëèêàòèâíîé.

 àääèòèâíîì ñëó÷àå

◦ ≡ +,

â ìóëüòèïëèêàòèâíîì

◦ ≡ ·.

 àääèòèâíîì ñëó÷àå íåéòðàëüíûé ýëåìåíò îáîçíà÷àåì åäèíèöó êàê

0,

â ìóëüòèïëèêàòèâíîì

1.

Îáðàòíûé ýëåìåíò â àääèòèâíîì ñëó÷àå

−a,

â ìóëüòèïëèêàòèâíîì -

a−1 .

Ïðèìåðû ãðóïï. 1)

(Z, +)

- àáåëåâà ãðóïïà.

Òàê êàê ñëîæåíèå öåëûõ ÷èñåë êîììóòèòèâíî è àññîöèàòèâíî. Îáðàòíûé ýëåìåíò 2)

−a, a ∈ N.

(N, ×)

- íå ãðóïïà.

Íåéòðàëüíûå ÷èñëà ê íàòóðàëüíûì - äðîáè, êîòîðûå óæå íå ëåæàò â ìíîæåòâå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë. Ýòî çíà÷èò, ÷òî ñîçäàòü ìóëüòèïëèêàòèâíóþ ãðóïïó ìîæíî òîëüêî êàê ìèíèìóì ñ ìíîæåñòâîì ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë. 81

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА

ФОНД

ВОЛЬНОЕ ДЕЛО

ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU

3)

(Q>0 , ×)

- àáåëåâà ãðóïïà.

Óìíîæåíèå êîììóòàòèâíî è àññîöèàòèâíî, åäèíèöà - ÷èñëî ìåíò ê 4)

a ∈ Q>0

(Q\{0}, ×)

åñòü

1 a

1,

îáðàòíûé ýëå-

∈ Q>0 .

- àáåëåâà ãðóïïà.

Íîëü íå ìîæåò íàõîäèòüñÿ â ìóëüòèïëèêàòèâíîé ãðóïïå, òàê êàê äëÿ íåãî íå ñóùåñòâóåò îáðàòíîãî ýëåìåíòà. 5)

(R, +), (R\{0}, ×), (Rn , +)

- àáåëåâû ãðóïïà.

6) Ãðóïïà âû÷åòîâ ïî ìîäóëþ

n

òàêæå àáåëåâà:

(Zn = {0, 1, . . . , n − 1, +) Íåéòðàëüíûé ýëåìåíò -

0,

îáðàòíûé ýëåìåíò ê âû÷åòó

k

- ýòî âû÷åò

n − k.

Ñëîæåíèå âû÷åòîâ àññîöèàòèâíî è êîììóòàòèâíî.

Ó ýòîé ãðóïïû åñòü îòëè÷èòåëüíîå îò âñåõ ïðåäûäóùèõ ñâîéñòâî - îíà êîíå÷íà.

Ïðèìåðû íåàáåëåâûõ ãðóïï. 1) Ãðóïïà ïîäñòàíîâîê äëèíû

n (Sn , ◦), |Sn | = n!.

Ïðè

n≥3

- íåàáåëåâà.

Íåéòðàëüíûé ýëåìåíò - òîæäåñòâåííàÿ ïîäñòàíîâêà, îáðàòíàÿ ïîäñòàíîâêà îïðåäåëåíà äëÿ êàæäîãî ýëåìåíòà, êîìïîçèöèÿ àññîöèàòèâíà, ñëåäîâàòåëüíî, ýòî ãðóïïà.

Ïðè ýòîì êîìïîçèöèÿ íå îáëàäàåò ñâîéñòâîì êîììóòàòèâíîñòè, ïîýòîìó ãðóïïà íå áóäåò àáåëåâîé. 2) Êâàäðàòíûå ìàòðèöû ðàçìåðà

M at(n × n, ×)

n × n:

- ìîíîèä, íî íå ãðóïïà.

Åäèíèöà - åäèíè÷íàÿ ìàòðèöà. Îäíàêî ó ìàòðèö ñ íóëåâûì îïðåäåëèòåëåì íå ñóùåñòâóåò îáðàòíîãî ýëåìåíòà, ïîýòîìó òàêîé ìîíîèä íå ÿâäÿåòñÿ ãðóïïîé.

n × n: GLn (R) = {A ∈ M at(n × n, R), det A 6= 0} - ñ îïåðàöèåé

3) Êâàäðàòíûå íåâûðîæäåííûå ìàòðèöû

óìíîæåíèÿ ãðóïïà.

Åäèíèöà - åäèíè÷íàÿ ìàòðèöà, îáðàòíàÿ ìàòðèöà îïðåäåëåíà äëÿ âñåõ ýëåìåíòîâ, óìíîæåíèå ìàòðèö àññîöèàòèâíî.

Óìíîæåíèå ìàòðèö íå êîììóòàòèâíî, ïîýòîìó ãðóïïà íå àáåëåâà.

82

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА

ФОНД

ВОЛЬНОЕ ДЕЛО

ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU

4) Êâàäðàòíûå ìàòðèöû ñ åäèíè÷íûì îïðåäåëèòåëåì:

SLn (R) = {A ∈ M at(n × n, R), det A = 1}

- ñ îïåðàöèåé óìíîæåíèÿ òàêæå

áóäåò ãðóïïîé.

Áîëåå óçêàÿ ãðóïïà ìàòðèö, îáëàäàþùàÿ âñåìè ñâîéñòâàìè ïðåäûóùåãî ïðèìåðà.

83

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА

ФОНД

ВОЛЬНОЕ ДЕЛО

ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU

Ëåêöèÿ 12 Íàïîìíèì âçàèìíûå âêëþ÷åíèÿ àëãåáðàè÷åñêèõ ñòðóêòóð, îïðåäåëåííûõ íà ïðîøëîé ëåêöèè: Ïîëóãðóïïû

⊇

Ìîíîèäû

⊇

Ãðóïïû

⊇

Àáåëåâû ãðóïïû.

Íà ýòîé ëåêöèè ðàññìîòðèì îáúåêòû íåìíîãî äðóãîãî ñîðòà: êîëüöà è ïîëÿ (êîëüöà

⊇

ïîëÿ).

Óïðàæíåíèå 12.12. Äîêàæèòå, ÷òî

G

Ïóñòü

G

- ãðóïïà è

∀ g ∈ G gg = e.

àáåëåâà.

Êîëüöî. Îïðåäåëåíèå è ïðèìåðû. Îïðåäåëåíèå 12.53.

Êîëüöî - ýòî ìíîæåñòâî

(R, +, ·)

ñ äâóìÿ áèíàðíûìè îïå-

ðàöèÿìè. Îòíîñèòåëüíî ñëîæåíèÿ ýòî àáåëåâà ãðóïïà; È âûïîëíåíî ñâîéñòâî äèñòðèáóòèâíîñòè îòíîñèòåëüíî óìíîæåíèÿ:

a(b + c) = ab + ac, (b + c)a = ba + ca, ∀ a, b, c ∈ R. Ñëåäñòâèå 12.12.

0 · a = a · 0 = 0. Ýòî óòâåðæäåíèå êàæåòñÿ âïîëíå åñòåñòâåííûì, íî íàïîìíèì, ÷òî

0

- ýòî íåé-

òðàëüíûé ýëåìåíò ïî ñëîæåíèþ, à ìû èìååì äåëî ñ ïðîèçâîëüíûì ìíîæåñòâîì è ïðîèçâîëüíûìè áèíàðíûìè îïðåàöèÿìè íà íåì.

Òîãäà ñòàíîâèòñÿ íå âïîëíå î÷åâèäíûì, ÷òî óìíîæåíèå íà íåéòðàëüíûé ïî ñëîæåíèþ ýëåìåíò äàñò â ðåçóëüòàòå

0.

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïî îïðåäåëåíèþ

a + 0 = 0 + a = a, ∀ a ∈ R.

Âîñïîëüçóåìñÿ äèñòðèáóòèâíîñòüþ:

a · 0 = a · (0 + 0) = a · 0 + a · 0. Ïðèáàâëÿåì ê ëåâîé è ïðàâîé ÷àñòè

−a · 0

−a · 0 + a · 0 = −a · 0 + (a · 0 + a · 0). Ïðåîáàçóåì ëåâóþ è ïðàâóþ ÷àñòè ðàâåíñòâà, ïîëó÷èì

0 = (−a · 0 + a · 0) + a · 0 = a · 0. a · 0 = 0. Àíàëîãè÷íî, 0 · a = 0. Èòàê,

84

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА

ФОНД

ВОЛЬНОЕ ДЕЛО

ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU

Ó íàñ:

1) Êîëüöî àññîöèàòèâíî, ò.å. 2) Êîëüöî ñ åäèíèöåé, ò.å.

Îïðåäåëåíèå 12.54.

a(bc) = (ab)c, ∀ a, b, c ∈ R;

∃ 1 ∈ R : 1 · a = a · 1 = a, ∀a ∈ R.

Êîëüöî

R

êîììóòàòèâíî, åñëè

a · b = b · a, ∀a, b ∈ R.

Ïðèìåðû.

1)

(Z, +, ×)

- êîììóòàòèâíîå êîëüöî.

2)

(Q, +, ×)

- êîììóòàòèâíîå êîëüöî.

3)

(R, +, ×)

- êîììóòàòèâíîå êîëüöî.

4)

(M at(n × n), +, ×)

5)

(F (M, R))

- íåêîììóòàòèâíîå êîëüöî.

M - ïðîèçâîëüíîå ìíîæåñòâî, f : M → R. F (M, R) = {f : M → R}.

- êîëüöî ôóíêöèé. Çäåñü

Ðàññìîòðèì âñå òàêèå ôóíêöèè

Ââåäåì íà ýòîì ìíîæåñòâå áèíàðíûå îïåðàöèè:

(f1 + f2 )(m) = f1 (m) + f2 (m), ∀m ∈ M. (f1 · f2 )(m) = f1 (m) · f2 (m), ∀m ∈ M. ×òîáû ïîêàçàòü, ÷òî ýòî êîëüöî, íóæíî ïðîâåðèòü ñëåäóþùåå:

ìíîæåñòâî ôóíêöèé ñ îïåðàöèåé ñëîæåíèÿ - àáåëåâà ãðóïïà; óìíîæåíèå ôóíêöèé àññîöèàòèâíî è îáëàäàåò åäèíèöåé (çäåñü åäèíèöà - ýòî

f ≡ 1); òàêæå èç êîììóòàòèâíîñòè óìíîæåíèÿ äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë ñëåäóåò êîììóòàòèâíîñòü óìíîæåíèÿ ôóíêöèé.

Èòàê, êîëüöî ôóíêöèé - êîììóòàòèâíîå êîëüöî. 6)

(Zn , +, ×)

- êîíå÷íîå êîììóòàòèâíîå êîëüöî âû÷åòîâ.

Îáðàòèìîñòü ýëåìåíòà. Äåëèòåëè íóëÿ. Îïðåäåëåíèå 12.55. Îáîçíà÷åíèå:

R×

b=a

−1

Ýëåìåíò

a∈R

îáðàòèì, åñëè

.

- ìíîæåñòâî îáðàòèìûõ ýëåìåíòîâ.

 íàøèõ ïðèìåðàõ: 85

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА

ФОНД

ВОЛЬНОЕ ДЕЛО

∃b ∈ R : ab = ba = 1.

ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU

1)

Z× = {−1, 1},

òàê êàê äëÿ âñåõ îñòàëüíûõ ýëåìåíòîâ îáðàòíûå áóäóò äðîáíû-

ìè.

2)

Q× = Q\0.

3)

R× = Q\0.

4)

(M at(n × n))× = GLn (R) = {A : det A 6= 0}.

Ìàòðèöà îáðàòèìà

⇔

îíà íåâû-

ðîæäåíà.

5)

(F (M, R))× = {f : f (m) 6= 0, ∀m ∈ M }/,

6)

Z× n = {k : (k, n) = 1}.

Îïðåäåëåíèå 12.56.

∃b ∈ R, b 6= 0,

òàê êàê

f −1 (m) =

1 . f (m)

(Ïî òåîðåìå èç êóðñà òåîðèè ÷èñåë.)

Ýëåìåíò

a∈R

íàçûâàåòñÿ äåëèòåëåì íóëÿ, åñëè

a 6= 0

è

òàêîé ÷òî

ab = 0 (ëåâûé

,

äåëèòåëü íóëÿ)

ba = 0 (ïðàâûé

.

äåëèòåëü íóëÿ)

Äåëèòåëè íóëÿ: 1) Â

Z

íåò äåëèòåëåé íóëÿ, ò.ê. ïðîèçâåäåíèå ëþáûõ äâóõ íåíóëåâûõ ýëåìåíòîâ

íåíóëåâîå. 2) Â

Q

íåò äåëèòåëåé íóëÿ.

3) Â

R

òàêæå íåò.

4)

M at(n × n) A : det A = 0.

5)

F (M, R) : {0 6= f( : ∃m0 : f (m0 ) = 0}. Åñëè òàêóþ 0, m 6= m0 ; êàêóþ-òî g(m) = , òî ïîëó÷èì 0. c 6= 0, m = m0 .

6)

Zn : {0 6= k : (n, k) 6= 1}

Óïðàæíåíèå 12.13.

(Çàäà÷à.)

Ïîêàæèòå, ÷òî åñëè ýëåìåíò

äåëèòåëåì íóëÿ.

86

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА

ФОНД

ВОЛЬНОЕ ДЕЛО

ôóíêöèþ óìíîæèòü íà

a îáðàòèì, òî îí íå ÿâëÿåòñÿ

ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU

Íèëüïîòåíò. Îïðåäåëåíèå è ïðèìåðû. Îïðåäåëåíèå 12.57.

Ýëåìåíò

a∈R

íèëüïîòåíò, åñëè

a 6= 0

è

∃n : an = 0.

Ïðèìåðû: 1)

M at(2 × 2) :  2   0 1 0 0 = 0 0 0 0 Íà ñàìîì äåëå, ìîæíî ïðèäóìàòü ìàòðèöó, â êîòîðîé íåò íóëåé, íî îíà íèëüïîòåíò. (Óïðàæåíèå.)

2)

2

Z4 : 2 = 0. Çàäà÷à: ïðè êàêèõ

n

ñóùåñòâóþò íèëüïîòåíòû? Êàê îíè óñòðîåíû?

Ïîëå. Îïðåäåëåíèå è ïðèìåðû. Çàìå÷àíèå î òåðìèíîëîãèè. Íåò îäíîçíà÷íîãî îòâåòà íà âîïðîñ, ïî÷åìó îïèñàííûå ñòðóêòóðû íàçûâàþòñÿ èìåííî êîëüöàìè è ïîëÿìè. Îäíàêî ñóùåñòâóåò ñëåäóþùåå ïðåäïîëîæåíèå: êîëüöà è ïîëÿ ââîäèëèñü, â îñíîâíîì, â Ãåðìàíèè â XIX âåêå.  ýòî âðåìÿ ó íåìåöêîãî ñëîâà

K¨orper

(ñîâðåìåííîå çíà÷åíèå - ÷åëîâå÷åñêîå òåëî) ñóùåñòâîâàëî åùå îäíî

çíà÷åíèå, èç êîòîðîãî ïîçæå îáðàçîâàëîñü ñëîâî "êîðïîðàöèÿ" (ò.å. æåñòêàÿ óïîðÿäî÷åííÿ ñòðóêòóðà).

 ýòîì ñìûñëå êîëüöî ïîíèìàëîñü êàê áîëåå ñâîáîäíûé îáúåêò ñ ìåíüøèì êîëè÷åñòâîì îãðàíè÷åíèé, à ïîëå - êàê áîëåå æåñòêàÿ ñòðóêòóðà.

Îïðåäåëåíèå 12.58.

Ïîëå - ýòî êîììóòàòèâíîå êîëüöî, â êîòîðîì ëþáîé íåíó-

ëåâîé ýëåìåíò îáðàòèì. Îïðåäåëåíèå ïîëÿ ìîæíî ïîíèìàòü òàê: ýòî êîììóòàòèâíàÿ ãðóïïà, à ïî óìíîæåíèþ - ïî÷òè êîììóòàòèâíàÿ. Åñëè âûáðîñèòü èç ãðóïïû

0, ïîëó÷èì êîììóòàòèâíîå

óìíîæåíèå.

Ïðèìåðû. 1)

Z

2)

Q, R, C

Ïîñòðîèòü ïîëå çíà÷èòåëüíî ñëîæíåå, ÷åì êîëüöî.

- íå ïîëå. - ïîëÿ.

3) Èç ìàòðèö íåëüçÿ ïîñòðîèòü ïîëå, òàê êàê äàæå ïðè óñëîâèè, ÷òî ìû îñòàâèì, òîëüêî îáðàòèìûå ìàòðèöû, âîçíèêíåò ñëåäóþùàÿ ïðîáëåìà ñî ñëîæåíèåì:

A + (−A) = 0

- íåîáðàòèìàÿ ìàòðèöà. Èëè

      1 0 1 0 2 0 + = 0 1 0 −1 0 0 Êàæäàÿ èç ýòèõ ìàòðèö îáðàòèìà, à èõ ñóììà - íåò. 87

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА

ФОНД

ВОЛЬНОЕ ДЕЛО

ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU

Òåîðåìà 12.21. Zn

- ïîëå

⇔n

- ïðîñòîå.

Äîêàçàòåëüñòâî. Ñõåìà äîêàçàòåëüñòâà, îñíîâàííîãî íà óòâåðæäåíèè èç êóðñà òåîðèè ÷èñåë:

Êîììóòàòèâíîñòü î÷åâèäíà, íóæíî ðàçîáðàòüñÿ ñ îáðàòíûìè ýëåìåíòàìè.

Z× n = {k : (n, k) = 1}, òî èç {k : (n, k) = 1} = Zn \{0} ⇔ n - ïðîñòîå. (Ïîíÿòíî, âçàèìíî ïðîñòû ñ n òîëüêî åñëè n ïðîñòîå.) Åñëè ìû äîêàæåì, ÷òî

Óòâåðæäåíèå

Z× n = {k : (n, k) = 1}

ýòîãî áóäåò ñëåäîâàòü, ÷òî ÷òî âñå ÷èñëà, ìåíüøèå

n,

áûëî äîêàçàíî â êóðñå òåîðèè ÷èñåë.

Âòîðîé âàðèàíò äîêàçàòåëüñòâà:

(⇒)

Îò ïðîòèâíîãî: ïóñòü

n = k · s, 1 < k < n, 1 < s < n.

ks = 0.

Òîãäà

Åñëè áû ñóùåñòâîâàë âû÷åò, îáðàòíûé ê

k,

−1

òî

−1

s = k ks = k 0 = 0. Ïðîòèâîðå÷èå.

(⇐)

n = p - ïðîñòîå è a a1, a2, . . . , ap − 1. Âñå

Ïóñòü

Ðàññìîòðèì

íåíóëåâîé âû÷åò. îíè íåíóëåâûå è ðàçíûå.

ai äàâàëî 0 ïî ìîäóëþ p, òî ýòî áû íà p. Ò.ê. åñëè ïðîñòîå ÷èñëî äåëèò

Íåíóëåâûå: åñëè áû êàêîå-òî èç ïðîèçâåäåíèé èçíà÷àëî, ÷òî ïðîèçâåäåíèå ÷èñåë

ai

äåëèòñÿ

ïðîèçâåäåíèå, òî îíî äåëèò îäèí èç ñîìíîæèòåëåé. Òóò îáà ìíîæèòåëÿ ìåíüøå

Ðàçíûå: åñëè áû

p,

ïîýòîìó

p

íå ìîæåò äåëèòü íèêîãî èç íèõ.

as = al, òî a(s−l) = 0. Äàëüøå ðàññóæäàåì êàê â äîêàçàòåëüñòâå

òîãî, ÷òî ïðîèçâåäåíèÿ íåíóëåâûå.

p − 1 âû÷åòîâ, −1 òîãäà s = a .

Ðàç âñå âû÷åòû íåíóëåâûå è ðàçíûå, òî íàïèñàíî ñðåäè íèõ åñòü

1.

Ýòî çíà÷èò, ÷òî

∃s : as = 1,

à

ñëåäîâàòåëüíî,

Ïðîñòûõ ÷èñåë áåñêíå÷íî ìíîãî, ñëåäîâàòåëüíî, ìû òîëüêî ÷òî ïîñòðîèëè áåñêîíå÷íî ìíîãî ïðèìåðîâ êîíå÷íûõ ïîëåé.

Áûâàþò è äðóãèå êîíå÷íûå ïîëÿ, èõ ïîëíàÿ êëàññèôèêàöèÿ áóäåò äàíà â êîíöå 3 ñåìåñòðà.

Ïðèìåð äåëåíèÿ:

3 −1 (mod7) = 3 · 5 = 3 · 3 = 2. 5 Íàõîäèòü ÷àñòíîå ìîæíî ïåðåáîðîì èëè ñ ïîìîùüþ àëãîðèòìà Åâêëèäà (íàïîìèíàíèå èç êóðñà òåîðèè ÷èñåë). 88

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА

ФОНД

ВОЛЬНОЕ ДЕЛО

ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU

Õàðàêòåðèñòèêà ïîëÿ. Îïðåäåëåíèå 12.59. ÷èñëî

p

F - ýòî íàèìåíüøåå 0: 1| + 1 + {z. . . + 1} = 0.

Õàðàêòåðèñòèêà ïîëÿ

òàêîå, ÷òî ñóììà

p

åäèíèö ðàâíà

íàòóðàëüíîå

p

p íå ñóùåñòâóåò, Îáîçíà÷åíèå: char F . Åñëè òàêîãî

òî ãîâîðÿò, ÷òî õàðàêòåðèñòèêà ðàâíà íóëþ.

Ïðèìåðû. 1)

char Q = char R = 0.

2)

char Zp = p

Ñîçäàåòñÿ âïå÷àòëåíèå, ÷òî ó áåñêîíå÷íîãî ïîëÿ õàðàêòåðèñòèêà

0,

à ó êîíå÷íîãî

6= 0. Ýòî òîëüêî ÷àñòè÷íî âåðíî. Ëåãêî ïîêàçàòü, ÷òî ó êîíå÷íîãî ïîëÿ õàðàêòåðèñòèêà âñåãäà

6= 0, íî ìîæíî ïîñòðîèòü è áåñêîíå÷íîå ïîëå ñ íåíóëåâîé õàðàêòåðèñòèêîé.

Çàäà÷à*.

Ïðèâåñòè ïðèìåð áåñêîíå÷íîãî ïîëÿ ñ íåíóëåâîé õàðàêòåðèñòèêîé.

Ïðåäëîæåíèå 12.6.

Äëÿ ëþáîãî ïîëÿ

F

ëèáî

char F = 0,

ëèáî

char F = p,

ãäå

p

-

ïðîñòîå. Äîêàçàòåëüñòâî. Îò ïðîòèâíîãî:

char F = p = p1 p2 , p1 < p, p2 < p. Èçâåñòíî, ÷òî ñóììà

p

åäèíèö ðàâíî íóëþ:

1| + 1 + {z. . . + 1} = 0. p

Ïåðåïèøåì ýòî ðàâåíñòâî ñëåäóþùèì îáðàçîì:

(1| + 1 + {z. . . + 1}) + (1| + 1 + {z. . . + 1}) = 0. p1

p2

Óòâåðæäàåòñÿ, ÷òî

1| + 1 + {z. . . + 1} = a 6= 0, |1 + 1 + {z. . . + 1} = b 6= 0. p1

Ýòî âåðíî, ò.ê. è

p2

ìåíüøå

p

p2

- ìèíèìàëüíîå êîëè÷åñòâî åäèíèö, êîòîðûå â ñóììå äàþò

à

p1

p. ab = 0, íî â ïîëå íå ìîæåò áûòü äåëèòåëåé íóëÿ. a 6= 0, ñëåäîâàòåëüíî, ñóùåñòâóåò a−1 . Óìíîæèì ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî

Ïîëó÷èëè, ÷òî ïðîèçâåäåíèå  ñàìîì äåëå, íà

0,

a−1 . 0 = a−1 ab = (a−1 a)b = 1 · b = b 6= 0.

Ïðîòèâîðå÷èå.

89

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА

ФОНД

ВОЛЬНОЕ ДЕЛО

ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU

×àñòíûé ñëó÷àé áèíîìà Íüþòîíà â ïîëå ñ õàðàêòåðèñòèêîé p. Ïðåäëîæåíèå 12.7.

Åñëè

char F = p,

òî

(a + b)p = ap + bp , ∀a, b ∈ F .

Îòìåòèì, ÷òî ýòî âåðíî òîëüêî äëÿ ÷èñëà

p,

è äëÿ

p − 1,

íàïðèìåð, óòâåðæäåíèå

óæå íå âåðíî.

Äîêàçàòåëüñòâî.

(a + b)p = ap + Cp1 ap−1 b + Cp2 ap−2 b2 + . . . + Cpp bp èëè

p

(a + b) =

p X

Cpk ap−k bk .

k=0

k = 1, . . . , p − 1 Cpk p! k Ýòî âåðíî, ò.ê. Cp = . (p − k)!k! Çäåñü p! äåëèòñÿ íà p. Â ïðîèçâåäåíèè (p − k)!k! âñå ìíîæèòåëè çíàìåíàòåëü íà p íå äåëèòñÿ. Óòâåðæäàåòñÿ, ÷òî ïðè

äåëèòñÿ íà

ìåíüøå

p,

p.

ïðè ýòîì

p

ïðîñòîå. Çíà÷èò,

Îòñþäà ïðÿìî ñëåäóåò òðåáóåìîå óòâåðæäåíèå.

char F = p

Çàìå÷àíèå. Åñëè

Ïóñòü

m = s · p.

è

m

äåëèòñÿ íà

p,

òî

a . . + a} = 0, ∀a ∈ F . | + .{z m

Ïðåäñòàâèì ýòî ïðîèçâåäåíèå êàê

. . + a} + . . . + a . . + a} = |a + .{z | + .{z p p {z } | s





    a . . + 1} + . . . + 1| + .{z . . + 1} 1| + .{z =   p p | {z } s

= a(0 + . . . + 0) = 0. Âåðíåìñÿ ê ñóììå

p P

Cpk ap−k bk .

k=0 Çäåñü ïðè Ïðè ýòîì

1 ≤ k ≤ p−1 aba

p−k−1 k−1

b

èç êàæäîãî ïðîèçâåäåíèÿ

âõîäèò â ñóììó

p P

Cpk ap−k bk

ap−k bk

Cpk ðàç, à

ìîæíî âûäåëèòü

Cpk äåëèòñÿ íà

Èòàê, èç óòâåðæäåíèÿ è çàìå÷àíèÿ ñëåäóåò, ÷òî âñå ñëàãàåìûå ðàâíû íóëþ.

90

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА

ïðè

k=0

1 ≤ k ≤ p − 1. p−1

p

ab.

ФОНД

ВОЛЬНОЕ ДЕЛО

Cpk ap−k bk , 1 ≤ k ≤

ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU

Îñòàþòñÿ òîëüêî

(a + b)p = Cp0 ap−0 b0 + Cpp ap−p bp = ap + bp .

Óïðàæíåíèå 12.14.

(Ìàëàÿ òåîðåìà Ôåðìà)

p

∀a ∈ Zp , a = a.

91

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА

ФОНД

ВОЛЬНОЕ ДЕЛО

ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU

Ëåêöèÿ 13 Ÿ8. Êîìïëåêñíûå ÷èñëà.

Ââåäåíèå. Ïðîñëåäèì, êàê èñòîðè÷åñêè ðàçâèâàëîñü ïîíÿòèå ÷èñëà: ñíà÷àëà âîçíèêëè íàòóðàëüíûå ÷èñëà, èñïîëüçóåìûå ïðè ñ÷åòå, çàòåì ê íèì äîáàâèëè 0 è ïîëó÷èëè öåëûå íåîòðèöàòåëüíûå. Çàòåì öåëûå ÷èñëà, âîçíèêøèå èç ïîòðåáíîñòè âû÷èòàòü ëþáîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî èç ëþáîãî è ðàöèîíàëüíûå, íà êîòîðûõ óæå îïðåäåëåíî äåëåíèå ëþáîãî öåëîãî íà íåíóëåâîå öåëîå.

Âåùåñòâåííûå ÷èñëà, êðîìå ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë, ñîäåðæàò òàêæå âñåâîçìîæíûå ïðåäåëû ìîíîòîíûõ îãðàíè÷åííûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë. Íóæíî ëè äîïîëíèòåëüíî äîáàâëÿòü ïðåäåëû ìîíîòîííûõ îãðàíè÷åííûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé âåùåñòâåííûõ ÷èñåë? Íåò, âåùåñòâåííûå ÷èñëà ïîëíû îòíîñèòåëüíî ýòîé ïðîöåäóðû.

Îêàçûâàåòñÿ, âåùåñòâåííûå ÷èñëà ñîäåðæàòñÿ â åùå áîëüøåì ìíîæåñòâå êîìïëåêñíûõ ÷èñåë.

N ⊆ Z≥0 ⊆ Z ⊆ Q ⊆ R ⊆ C ⊆ H Êîìïëåêñíûå ÷èñëà âîçíèêàþò èç ïîòðåáíîñòè íàõîäèòü êîðíè óðàâíåíèé, òàêèõ êàê, íàïðèìåð,

x2 + 1 = 0.

Ïîçæå áóäåò äîêàçàíà îñíîâíàÿ òåîðåìà àëãåáðû, óòâåðæäàþùàÿ ñëåäóþùåå: ëþáîé ìíîãî÷ëåí ñòåïåíè

Îáîçíà÷èì

i

n

èìååò ðîâíî

- êîðåíü óðàâíåíèÿ

n

êîðíåé (ñ ó÷åòîì êðàòíîñòè).

x2 + 1 = 0.

Êàçàëîñü áû, ìíîãî÷ëåí âòîðîé ñòåïåíè èìååò 2 êîðíÿ, ïîýòîìó âòîðîé êîðåíü òîæå íåîáõîäèìî êàê-òî îáîçíà÷èòü. Íî åñëè îäèí èç êîðíåé -

i,

òî âòîðîé -

−i

(÷òî áû

ýòî íè çíà÷èëî).

Êðîìå

x2 + 1 = 0

ñóùåñòâåò åùå áåñêîíå÷íî ìíîãî óðàâíåíèé, íå èìåþùèõ âåùå-

ñòâåííûõ êîðíåé. Íåâîçìîæíî äàòü ñâîå îáîçíà÷åíèå êàæäîìó èõ êîðíþ. Íî â ýòîì è íåò íåîáõîäèìîñòè, ò.ê. ëþáîé òàêîé íå âåùåñòâåííûé êîðåíü âûðàæàåòñÿ ÷åðåç ÷èñëî

i

è âåùåñòâåííûå ÷èñëà. Âåùåñòâåííûå ÷èñëà ñ äîáàâëåííûì ê íèì ÷èñëîì

i

óæå îáëàäàþò ñâîéñòâîì, îïèñàííîì â îñíîâíîé òåîðåìå àëãåáðû.

Áûâàþò ëè ìíîæåñòâà áîëüøå, ÷åì ìíîæåñòâî êîìïëåêñíûõ ÷èñåë? Äà, êâàòåðíèîíû âêëþ÷àþò â ñåáÿ êîìïëåêñíûå ÷èñëà, ïîäðîáíåå êâàòåðíèîíû áóäóò ðàññìîòðåíû íà 2 êóðñå. Îäíàêî ýòî ìíîæåñòâî óæå íå áóäåò ïîëåì. Êîìïëåêñíûå ÷èñëà íåëüçÿ äîáàâëåíèåì êàêèõ-òî ýëåìåíòîâ ðàñøèðèòü òàê, ÷òîáû íîâîå ìíîæåñòâî áûëî êîíå÷íîìåðíûì íàä êîìïëåêñíûìè ÷èñëàìè ñ äåëåíèåì è êîììóòàòèâíîé îïåðàöèåé (òåîðåìà Ôðîáåíèóñà).

92

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА

ФОНД

ВОЛЬНОЕ ДЕЛО

ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU

Ïîíÿòèå êîìïëåêñíîãî ÷èñëà. Îïåðàöèè. Îïðåäåëåíèå 13.60.

Êîìïëåêñíûå ÷èñëà

C = {a + bi, a, b ∈ R}, i2 = −1.

Ñëîæåíèå/âû÷èòàíèå:

(a1 + b1 i) ± (a2 + b2 i) = (a1 ± a2 ) + (b1 ± b2 )i. Óìíîæåíèå:

(a1 + b1 i)(a2 + b2 i) = a1 a2 + a1 b2 i + b1 a2 i + b1 b2 (−1) = (a1 a2 − b1 b2 ) + (a1 b2 + b1 a2 )i. Äåëåíèå:

a1 + b 1 i (a1 + b1 i)(a2 − b2 i) (a1 a2 + b1 b2 ) + (b1 a2 − a1 b2 )i = = = a2 + b 2 i (a2 + b2 i)(a2 − b2 i) a22 + b22 a1 a2 + b 1 b 2 b 1 a2 − a1 b 2 + i a22 + b22 a22 + b22 (a2 , b2 ) 6= (0, 0). =

- ïðè óñëîâèè, ÷òî ïàðà

Ìíîæåñòâî

C

ñ ââåäåííûìè íà íåì îïåðàöèÿìè ÿâëÿåòñÿ ïîëåì.

z = a + bi- àëãåáðàè÷åñêàÿ ôîðìà çàïèñè. a = Re z - âåùåñòâåííàÿ ÷àñòü z ; b = Im z - ìíèìàÿ ÷àñòü z . Êîìïëåêñíûå ÷èñëà ñîäåðæàò â ñåáå âåùåñòâåííûå:

z = a ∈ R ⊂ C.

Ýòî ñîãëà-

ñîâíî ñ îïåðàöèÿìè. Åñëè íàïèñàòü îïåðàöèè ñëîæåíèÿ, óìíîæåíèÿ è äåëåíèÿ äëÿ

z = a + 0i, z = bi

ïîëó÷èì îïåðàöèè äëÿ âåùåñòâåííûõ ÷èñåë.

- ÷èñòî ìíèìîå ÷èñëî.

Êîìïëåêñíîå ñîïðÿæåíèå:

C → C, z = a + bi → z = a − bi. Ñâîéñòâà êîìïëåêñíîãî ñîïðÿæåíèÿ: 1)

z = z.

2)

z1 + z2 = z1 + z2 .

3)

z1 z2 = z1 z2 . Ïðîâåðÿåòñÿ ïðÿìîé ïîäñòàíîâêîé

4)

zz = a2 + b2 ∈ R≥0 .

5)

z + z = 2a ∈ R.

6)

z = z ⇔ z ∈ R.

7)

z = −z ⇔ z

zj = aj + bj i.

- ÷èñòî ìíèìîå. 93

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА

ФОНД

ВОЛЬНОЕ ДЕЛО

ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU

Òðèãîíîìåòðè÷åñêàÿ ôîðìà çàïèñè êîìïëåêñíîãî ÷èñëà. Êîìïëåêñíàÿ ïëîñêîñòü:

Ìîäóëü

z : |z| =

Àðãóìåíò

arg 0

√

a2 + b2 = r =

z : arg z = φ

√

zz .

- óãîë ìåæäó âåùåñòâåííîé îñüþ è ðàäèóñ-âåêòîðîì.

íå îïðåäåëåí.

Áóäåì ñ÷èòàòü, òî

φ ∈ [0, 2π)

èëè ÷òî

φ∈R

ïî

mod 2π .

×àùå áóäåì ïðèìåíÿòü

ïåðâûé âàðèàíò.

Âûðàæåíèÿ äëÿ âåùåñòâåííîé è ìíèìîé ÷àñòè â òðèãîíîìåòðè÷åñêîé ôîðìå:

a = r cos φ b = r sin φ z = r cos φ + r sin φi = r(cos φ + i sin φ)

Òðèãîíîìåòðè÷åñêàÿ ôîðìà çàïèñè êîìïëåêñíîãî ÷èñëà:

z = r(cos φ + i sin φ), r ∈ R≥0 , φ ∈ [0, 2π).

94

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА

ФОНД

ВОЛЬНОЕ ДЕЛО

ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU

Ôîðìàëüíî ãîâîðÿ, àðãóìåíò íóëÿ íå îïðåäåëåí, ïîýòîìó ó íóëÿ íåò òðèãîíîìåòðè÷åñêîé çàïèñè.

Ñëîæåíèå:

r1 (cos φ1 + i sin φ1 ) + r2 (cos φ2 + i sin φ2 ) Ñêëàäûâàòü êîìïëåêñíûå ÷èñëà â òðèãîíîìåòðè÷åñêîé ôîðìå äîâîëüíî íåóäîáíî ïîñëå ðàñêðûòèÿ ñêîáîê ïîëó÷èòñÿ äëèííîå âûðàæåíèå, ñ êîòîðûì ãîðàçäî ìåíåå óäîáíî ðàáîòàòü, ÷åì ñ àëãåáðàè÷åñêîé ôîðìîé çàïèñè.

Óìíîæåíèå:

r1 (cos φ1 + i sin φ1 )r2 (cos φ2 + i sin φ2 ) = = r1 r2 (cos φ1 cos φ2 − sin φ1 sin φ2 +i(cos φ1 sin φ2 + sin φ1 cos φ2 )) = {z } | {z } | cos (φ1 +φ2 )

sin (φ1 +φ2 )

= r1 r2 (cos (φ1 + φ2 ) + i sin (φ1 + φ2 )) Ò.å. ìîäóëè ïåðåìíîæàþòñÿ, à àðãóìåíòû ñêëàäûâàþòñÿ.

Ñëåäñòâèå 13.13.

z = r(cos φ + i sin φ) ⇒ z −1 = r−1 (cos (−φ) + i sin (−φ)) ò.ê.

1 = 1(cos 0 + i sin 0).

Ñëåäñòâèå 13.14.

(Ôîðìóëà Ìóàâðà)

z = r(cos φ + i sin φ) z n = rn (cos (nφ) + i sin (nφ)), n ∈ Z Ôîðìóëû äëÿ cos (nφ) è sin (nφ). Ïðèìåð.

n = 5, r = 1 (cos x + i sin x)5 = cos (5x) + i sin (5x)

Çàìå÷àíèå. Êàê áûñòðî ñ÷èòàòü

(cos x + i sin x)5 ?

Ñ ïîìîùüþ òðåóãîëüíêà Ïàñêàëÿ.

Ýòî òàáëèöà êîýôôèöèåíòîâ ïîñëå ðàñêðûòèÿ ñêîáîê. Çäåñü êàæäûé ýëåìåíò ðàâåí ñóììå äâóõ ýëåìåíòîâ, ñòîÿùèõ íàä íèì (åñëè òàêèå èìåþòñÿ).

95

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА

ФОНД

ВОЛЬНОЕ ДЕЛО

ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU

 íàøåì ñëó÷àå ïîëó÷èì:

(cos x + i sin x)5 = cos5 x + 5 cos4 x sin xi + 10 cos3 x sin2 xi2 + +10 cos2 x sin3 xi3 + 5 cos x sin4 xi4 + sin5 xi5 Âåðíåìñÿ ê âûðàæåíèþ

sin(5x)

è

cos(5x)

sin(5x) = 5 cos4 x sin x − 10 cos2 x sin3 x + sin5 x cos(5x) = cos5 x − 10 cos3 x sin2 x + 5 cos x sin4 x (Ïðîñòî âûäåëèëè äåéñòâèòåëüíóþ è ìíèìóþ ÷àñòü èç ðàçëîæåíèÿ ïî áèíîìó è ïðèðàâíÿëè ê ñîîòâåòñâóþùåé ÷àñòè ôîðìóëû Ìóàâðà.)

Èçâëå÷åíèå êîðíåé. √ n z = w ⇔ wn = z Íàøà çàäà÷à íàéòè âñå òàêèå

w.

Ïóñòü

z = r(cos φ + i sin φ) w = s(cos ψ + i sin ψ) √ n z = w ⇔ r = sn ; nψ = φ + 2πk, k ∈ Z ⇔ √ φ + 2πk , k = 0, 1, 2, . . . , n − 1. s = n r, ψ = n Îêîí÷àòåëüíàÿ ôîðìóëà:

√ n

z=

√ n

  φ + 2πk φ + 2πk r cos + i sin , k = 0, 1, 2, . . . , n − 1. n n

(13.1)

Ãåîìåòðè÷åñêàÿ èíòåðïðåòàöèÿ Ðàññìîòðèì íà ïðèìåðå Ïîäñòàâëÿåì

k = 0, 1, 2

√ 3 z

êàê ðàñïîëàãàþòñÿ êîðíè íà êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè.

â ôîðìóëó

(13.1):

z1 = r(cos

φ φ + i sin ); 3 3

φ + 2π φ + 2π φ 2π φ 2π + i sin ) = r(cos( + ) + i sin( + ); 3 3 3 3 3 3 φ + 4π φ + 4π φ 4π φ 4π z3 = r(cos + i sin ) = r(cos( + ) + i sin( + ). 3 3 3 3 3 3 Êîðíè z1 , z2 , z3 ÿâëÿþòñÿ âåðøèíàìè ïðàâèëüíîãî òðåóãîëüíèêà, âïèñàííîãî √ 3 îêðóæíîñòü ðàäèóñà r√ñ öåíòðîì â íà÷àëå êîîðäèíàò. n  îáùåì ñëó÷àå êîðíè z - ýòî âåðøèíû ïðàâèëüíîãî n-óãîëüíèêà, âïèñàííîãî √ n îêðóæíîñòü ðàäèóñà r. z2 = r(cos

96

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА

ФОНД

ВОЛЬНОЕ ДЕЛО

â

â

ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU

Êîðíè èç 1. 1 = 1(cos 0 + i sin 0) Ïî ôîðìóëå

(13.1) √ n

1 = cos

Íàïðèìåð, â ñëó÷àå

2πk 2πk + i sin = εk , k = 0, 1, . . . , n − 1. n n

n = 6

ïîëó÷èì ïðàâèëüíûé øåñòèóãîëüíèê, âïèñàííûé â

îêðóæíîñòü ðàäèóñà 1 ñ ïåðâûì êîðíåì â

Ëåãêî âèäåòü, ÷òî ïðè ôèêñèðîâàííîì

1.

n {εk , k = 0, . . . , n − 1} - ãðóïïà ïî óìíî-

æåíèþ ïîðÿäêà n. Åñëè åñòü 2 êîðíÿ ñòåïåíè ñòåïåíè

n

n

èç

1 εk , εl ,

òî èõ ïðîèçâåäåíèå òàêæå áóäåò êîðíåì

èç 1.

   2πk 2πk 2πl 2πl cos + i sin cos + i sin = n n n n = cos

2π(k + l) 2π(k + l) + i sin n n 97

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА

ФОНД

ВОЛЬНОЕ ДЕЛО

ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU

Îáðàòíûé ê

εk

òàêæå áóäåò êîðíåì ñòåïåíè

ε−1 k = cos

n

èç 1:

−2πk −2πk 2πk 2πk + i sin = cos − i sin n n n n

Ïîëó÷èì ÷èñëî, ñèììåòðè÷íîå îòíîñèòåëüíî ãîðèçîíòàëüíîé îñè.

Èòàê, ìíîæåñòâî êîðíåé èç 1 çàìíêíóòî îòíîñèòåëüíî óìíîæåíèÿ è îïåðàöèè âçÿòèÿ îáðàòíîãî ýëåìåíòà, ñëåäîâàòåëüíî, ÿâëÿåòñÿ ãðóïïîé.

Ïåðâîîáðàçíûå êîðíè èç 1 è èõ ñâîéñòâà. Îïðåäåëåíèå 13.61.

εm k 6= 1

ïðè

 ñëó÷àå

Êîðåíü

n=6 εm k

n

íàçûâåòñÿ ïåðâîîáðàçíûì, åñëè

ε1

è

ε5 .

 m 2πk 2πk 2πkm 2πkm cos + i sin + i sin = = cos 6 6 6 6 = cos 2πl + i sin 2πl, m < 6, l ∈ N.

k = 1 m = 6, l = 1,

Ïðè ýòîì

èç 1 ñòåïåíè

ïåðâîîáðàçíûìè êîðíÿìè áóäóò

Èëè

Äëÿ

εk

m < n.

äëÿ

2πkm = 2πl ⇔ km = 6l. 6 k = 5 m = 6, l = 5.

ε32 = 1, ε23 = 1, ε34 = 1.

Ïðåäëîæåíèå 13.8.

1)

εk

- ïåðâîîáðàçíûé êîðåíü ñòåïåíè

n ⇔ (n, k) = 1. n.

 ÷àñòíîñòè, ïåðâîîáðàçíûå êîðíè ñóùåñòâóþò äëÿ ëþáîãî

εk - ïåðâîîáðàçíûé n ∃m ∈ N : εs = εm k .

2) Åñëè

êîðåíü ñòåïåíè

n,

òî äëÿ ëþáîãî êîðíÿ

2πkm ∈ 2πZ ⇔ nkm. n n Íàèìåíüøåå m ñ òàêèì ñâîéñòâîì ýòî m = . (k, n) Ýòîò ìèíèìóì ðàâåí n ⇔ (k, n) = 1.

Äîêàçàòåëüñòâî.

1)

εm k = 1 ⇔

98

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА

ФОНД

ВОЛЬНОЕ ДЕЛО

εs

ñòåïåíè

ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU

2) Ïóñòü

εk

- ïåðâîîáðàçíûé êîðåíü, òîãäà

p Åñëè áû ε k

=

εlk , l

< k,

εk , ε2k , . . . , εnk

ïîïàðíî ðàçëè÷íû:

òî

εlk (εkp−l − 1) = 0.

= 1. Ïðîòèâîðå÷èå ñ ïåðâîîáðàçíîñòüþ: p è l εlk 6= 0 ⇒ εp−l k íåêîòîðûå ÷èñëà ≤ n, òîãäà èõ ðàçíîñòü < n, â òàêîì ñëó÷àå ïî îïðåäåëíèþ p−l ïåðâîîáðàçíîãî êîðíÿ ε 6= 1. k

Ïðè ýòîì

εk , ε2k , . . . , εnk ε0 , ε1 , . . . , εn−1 .

Èç ïîïàðíîé ðàçëè÷íîñòè ÷àþòñÿ âñå êîðíè

ñëåäóåò, ÷òî ñðåäè

99

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА

ФОНД

ВОЛЬНОЕ ДЕЛО

εk , ε2k , . . . , εnk

âñòðå-

ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU

Ëåêöèÿ 14 Ÿ9. Ìíîãî÷ëåíû îò îäíîé ïåðåìåííîé.

Ìíîãî÷ëåíû îò îäíîé ïåðåìåííîé. F è áóäåì ðàññìàòðèâàòü ìíîãî÷ëåíû F [x] - êîëüöî ìíîãî÷ëåíîâ íàä F .

Ôèêñèðóåì íåêîòîðîå ïîëå ìåííîé

x

íàä ýòèì ïîëåì.

îò îäíîé ïåðå-

f (x) = an xn + . . . + a1 x + a0 , n ∈ Z≥0 , ai ∈ F, an 6= 0 èëè f ≡ 0. F

Çäåñü âàæíî, ÷òî

- ýòî ïîëå. Îíî ìîæåò áûòü ïîëåì ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë, ïîëåì

äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë, ïîëåì êîìïëåêñíûõ ÷èñåë è ò.ä. Èìååò çíà÷åíèå, ÷òî êîýôôèöèåíòû ìîæíî äåëèòü: ëþáîé ýëåìåíò ïîëÿ ìîæíî ðàçäåëèòü íà ëþáîé íåíóëåâîé ýëåìåíò ýòîãî ïîëÿ. Íàïðèìåð, ìíîãî÷ëåíû ñ öåëî÷èñëåííûìè êîýôôèöèåíòàìè îáðàçóþò êîëüöî, íî óæå îáëàäàþò äðóãèìè ñâîéñòâàìè è èçó÷àþòñÿ îòäåëüíî. Ñâîéñòà ìíîãî÷ëåíîâ, êîòîðûå ìû áóäåò äîêàçûâàòü, áóäóò âûïîëíåíû íàä âñåìè ïîëÿìè.

Îïðåäåëèì ïîíÿòèå ðàâåíñòâà ìíîãî÷ëåíîâ.

Îïðåäåëåíèå 14.62.

f (x) =

P

ai x

i

è

g(x) =

i

Ôîðìàëüíîå ðàâåíñòâî ìíîãî÷ëåíîâ:

P

bj x j

ðàâíû, åñëè

ai = bi , ∀i ∈ Z≥0 .

j

Õîòÿ ìû ïðåäïîëàãàåì, ÷òî â ñóììå

P

ai x i

êîíå÷íîå ÷èñëî ñëàãàåìûõ, âñåãäà

i ìîæíî ñ÷èòàòü êîýôôèöèåíòû ïðè ñòåïåíÿõ, áîëüøèõ ðàâåíñòâî

ai = b i

n,

ðàâíûìè íóëþ, òàê ÷òî

ìîæíî çàïèñûâàòü äëÿ ëþáîãî öåëîãî íåîòðèöàòåëüíîãî

Îïåðàöèè 1) Ñëîæåíèå/âû÷èòàíèå.

f (x) + g(x) =

X

ai x i +

i

X j

bj x j =

X (ai + bi )xi i

2) Óìíîæåíèå.

f (x)g(x) = (an xn + . . . + a1 x + a0 )(bm xm + . . . + b1 x + b0 ) = . . . Îáû÷íîå ðàñêðûòèå ñêîáîê.

Åñòü

0 (f ≡ 0)

è

1 (f ≡ 1).

Òàêèì îáðàçîì,

F [x]

- êîììóòàòèâíîå êîëüöî.

100

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА

ФОНД

ВОЛЬНОЕ ДЕЛО

i.

ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU

Îòëè÷èòåëüíàÿ îñîáåííîñòü êîëüöà ìíîãî÷ëåíîâ, êîòîðîé ìîæåò íå áûòü â äðóãèõ êîëüöàõ, ýòî

ñòåïåíü ìíîãî÷ëåíà:

( n, an 6= 0, n − max; deg f = −∞, f ≡ 0. Ëåãêî âèäåòü, ÷òî 1)

deg(f g) = deg f + deg g; (an xn + . . .)(bm xm + . . .) = an bm xn+m + . . . ,

ò.ê.

an 6= 0, bm 6= 0

Èç ýòîãî ñâîéñòâà òàêæå ñëåäóåò, ïî÷åìó çà ñòåïåíü íóëåâîãî ìíîãî÷ëåíà íóæíî ïðèíÿòü

−∞. n > 0 íà íóëåâîé ìíîãîòåïåðü y - ñòåïåíü íóëåâîãî

Ïóñòü ìû óìíîæèëè íåêîòîðûé ìíîãî÷ëåí ñòåïåíè ÷ëåí è ïîëó÷èëè íóëåâîé ìíîãî÷ëåí. Îáîçíà÷èì ìíîãî÷ëåíà. Òîãäà ïî ñâîéñòâó

y+n=y Íèêàêîå öåëîå ÷èñëî íå óäîâëåòâîðÿåò òàêîìó ðàâåíñòâó, ïîýòîìó ïðèìåì

y=

−∞. 2)

deg (f + g) ≤ max deg f, deg g è åñëè

deg f 6= deg g ,

òî

deg (f + g) = max deg f, deg g  ïåðâîì ñëó÷àå ñòîèò íåðàâåíñòâî, ïîòîìó ÷òî, åñëè ñëîæèòü, íàïðèìåð, ìíîãî÷ëåíû âèäà

an xn + an−1 xn−1 + . . .

è

−an xn + −an−1 xn−1 + . . .

ñòåïåíü

ìíîãî÷ëåíà-ñóììû ìîæåò îêàçàòüñÿ ìåíüøå ñòåïåíè êàæäîãî èç ìíîãî÷ëåíîâ.

Ïðåäëîæåíèå 14.9.

⇐) f −1 (x) =

Äîêàçàòåëüñòâî. (

f (x)

Ìíîãî÷ëåí

îáðàòèì â

1 = a−1 0 a0

F [x] ⇔ f (x) = a0 6= 0.

(îí ñóùåñòâóåò, òàê êàê êîýôôèöèåíòû

îáðàçóþò ïîëå)

(

⇒) ∃g(x) ∈ F [x] : f (x)g(x) = 1 deg(f g) = deg f + deg g = deg 1 = 0 deg f ≥ 0, deg g ≥ 0 ⇒ deg f = deg g = 0. f = a0 6= 0.

Òàêèì îáðàçîì, â êîëüöå ìíîãî÷ëåíîâ íåëüçÿ ðàçäåëèòü ëþáîé ìíîãî÷ëåí íà äðóãîé íåíóëåâîé ìíîãî÷ëåí. Ýòî âîçìîæíî òîëüêî â ÷àñòíûõ ñëó÷àÿõ.

101

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА

ФОНД

ВОЛЬНОЕ ДЕЛО

ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU

Ñâÿçü ôîðìàëüíîãî è ôóíêöèîíàëüíîãî ðàâåíñòâà. Ðàññìîòðèì åùå îäèí òèï ðàâåíñòâà ìíîãî÷ëåíîâ.

Îïðåäåëåíèå 14.63.

Ôóíêöèîíàëüíîå ðàâåíñòâî ìíîãî÷ëåíîâ:

f (x) = g(x) ⇔ f (a) = g(a), ∀a ∈ F. Äâà ìíîãî÷ëåíà ôóíêöèîíàëüíî ðàâíû, åñëè îíè îïðåäåëÿþò îäíó è òó æå ôóíêöèþ.

Ðàâíîñèëüíû ëè ôóíêöèîíàëüíîå ðàâåíñòâî è ôîðìàëüíîå? Äëÿ âñåõ "åñòåñòâåííûõ" ïîëåé ýòî îäíî è òî æå, à äëÿ êîíå÷íûõ ïîëåé ýòè ðàâåíñòâà ðàçëè÷àþòñÿ.

Ïðèìåð.

F = Zp , f (x) = xp − x = 1xp + (−1)x

- ýòîò ìíîãî÷ëåí ôóíêöèîíàëüíî ðàâåí íóëþ.

Ýòî ñëåäóåò èç ìàëîé òåîðåìû Ôåðìà:

∀a ∈ Zp ap = a. Äîêàçàòåëüñòâî. Åñëè Ïóñòü

a 6= 0.

a = 0,

òî äîêàçûâàòü íå÷åãî.

Òîãäà

a = |1 + .{z . . + 1} a

Íà ïðîøëîé ëåêöèè áûëà äîêàçàíà òåîðåìà: êîãäà ïîëå èìååò õàðàêòåðèñòèêó

(a + b)p = ap + bp .

p,

Ïî èíäóêöèè ìîæíî ïðîäîëæèòü ýòî ñâîéñòâî íà ëþáîå ÷èñëî

ñëàãàåìûõ.

p

p

ap = (1 + . . . + 1)p = 1| + .{z . . + 1} = 1| + .{z . . + 1} = a. | {z } a

a

Òåîðåìà 14.22. Åñëè ïîëå

F

Ôîðìàëüíîå ðàâåíñòâî

áåñêîíå÷íî, òî è

⇐

⇒

a

ôóíêöèîíàëüíîå ðàâåíñòâî.

âåðíî.

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïåðâîå î÷åâèäíî. Äîêàæåì âòîðîå.

f (a) = g(a), ∀a ∈ F ⇔ (f − g)(a) = 0, ∀a ∈ F . Åñëè äîêàæåì, ÷òî âñå êîýôôèöèåíòû ìíîãî÷ëåíà f − g ìàëüíîå ðàâåíñòâî f è g . Ôèêñèðóåì ïîïàðíî ðàçëè÷íûå a0 , . . . , an ∈ F , ãäå Ïóñòü

ðàâíû íóëþ, ïîëó÷èì ôîð-

f − g = h = cn xn + . . . + c0 , deg h = n. Çäåñü ìû âîñïîëüçîâàëèñü áåñêîíå÷íîñòüþ ïîëÿ, âåäü â êîíå÷íîì ïîëå íå äëÿ âñåõ

n

íàéäóòñÿ ïîïàðíî ðàçëè÷íûå

a0 , . . . , a n .

Ïîñìîòðèì íà ñëåäóþùóþ ñèñòåìó

...

  c0 + c1 a0 + . . . + cn an0 = 0    c + c a + . . . + c an = 0 0 1 1 n 1     c + c a + . . . + c an = 0 0

1 n

n n

102

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА

ФОНД

ВОЛЬНОЕ ДЕЛО

ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU

Íàïîìíèì, ÷òî â êàæäîé ñòðîêå ñèñòåìû ïîëó÷àåòñÿ 0, ò.ê. ïî ïðåäïîëîæåíèþ ìíîãî÷ëåí

h

ðàâåí íóëþ íà âñåõ ýëåìåíòàõ ïîëÿ, â ÷àñòíîñòè, íà

a0 , . . . , a n .

Ïîñìîòðèì íà ýòî êàê íà îäíîðîäíóþ ñèñòåìó ëèíåéíûõ óðàâíåíèé ñ êîýôôèöèåíòàìè

1, ai , a2i , . . . , ani

è íåèçâåñòíûìè

c0 , . . . , cn .

Îïðåäåëèòåëü ìàòðèöû êîýôôèöèåíòîâ - ýòî îïðåäåëèòåëü Âàíäåðìîíäà

Q

(aj −

j>i

ai ) 6= 0 ⇒

ïî òåîðåìå Êðàìåðà íàøà êâàäðàòíàÿ ñèñòåìà îïðåäåëåíà, ïîýòîìó ó

íåå åñòü òîëüêî íóëåâîå ðåøåíèå, è âñå êîýôôèöèåíòû Òàêèì îáðàçîì, ìíîãî÷ëåíû

Óïðàæíåíèå 14.15. íåíóëåâîé ìíîãî÷ëåí

Ñëåäñòâèå 14.15.

F - ëþáîå h ≡ 0.

ïîëå

f

è

g

h

íóëåâûå.

ôîðìàëüíî ðàâíû.

Ïóñòü F - ïðîèçâîëüíîå êîíå÷íîå f (x) ∈ F [x] : f (a) = 0, ∀a ∈ F .

ïîëå. Òîãäà ñóùåñòâóåò

(ñëåäñòâèå èç äîêçàòåëüñòâà)

h(x) ∈ F [x], deg h = n

è

h(α0 ) = . . . = h(αn ) = 0, αi 6= αj ,

òîãäà

Çàäà÷à èíòåðïîëÿöèè. n + 1 ïîïàðíî ðàçëè÷íûõ ýëåìåíòà ïîëÿ F : α1 , . . . , αn ∈ F, αi 6= αj , j 6= i β0 , . . . , β n ∈ F . Íàéòè f (x) ∈ F [x]: f (α0 ) = β0 , . . . , f (αn ) = βn . Äàíû

è

Ò.å. õîòèì íàéòè òàêîé ìíîãî÷ëåí, ãðàôèê ôóíêöèè êîòîðîãî ïðîõîäèò ÷åðåç âñå óçëû èíòåðïîëÿöèè, ïðè÷åì ìíîãî÷ëåí ìèíèìàëüíîé ñòåïåíè.

Òåîðåìà 14.23.

Ïðè óñëîâèè

deg f ≤ n èíòåðïîëÿöèîííûé ìíîãî÷ëåí ñóùåñòâóåò

è åäèíñòâåíåí. Çàìå÷àíèå. Îò èíòåðïîëÿöèîííîãî ìíîãî÷ëåíà íåëüçÿ òðåáîâàòü, ÷òîáû îí áûë ñòåïåíè ðîâíî

n,

ò.ê. âèä ìíîãî÷ëåíà ñèëüíî çàâèñèò îò ðàñïîëîæåíèÿ óçëîâ èí-

òåðïîëÿöèè. Åñëè, íàïðèìåð, îíè ëåæàò íà êàêîé-òî ïðÿìîé, ìû äîëæíû ïîëó÷èòü ìíîãî÷ëåí 1 ñòåïåíè. 103

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА

ФОНД

ВОЛЬНОЕ ДЕЛО

ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU

Äîêàçàòåëüñòâî. Åäèíñòâåííîñòü: åñëè òî

f, g

- äâà èíòåðïîëÿöèîííûõ ìíîãî÷ëåíà,

h = f − g ðàâåí íóëþ â α0 , α1 , . . . , αn . deg f ≤ n, deg g ≤ n, deg h ≤ n ⇒ h ≡ 0.

Ïîñêîëüêó

Ñóùåñòâîâàíèå: Èíòåðïîëÿöèîííàÿ ôîðìóëà Ëàãðàíæà (Æîçåô Ëóè Ëàãðàíæ, 1736-1813, Òóðèí-Ïàðèæ)

f (x) =

n X

Q βi Q

i=0

= β0

(αi − αj )

=

j6=i

(x − α1 ) . . . (x − αn ) (x − α0 )(x − α2 ) . . . (x − αn ) + β0 + ...+ (α0 − α1 ) . . . (α0 − αn ) (α1 − α0 (α1 − α2 )) . . . (α0 − αn ) +βn

αi

(x − αj )

j=i

(x − α0 ) . . . (x − αn−1 ) (αn − α0 ) . . . (αn − αn−1 )

(14.1)

ïîïàðíî ðàçëè÷íû, ïîýòîìó çíàìåíàòåëè íèêîãäà íå îáðàùàþòñÿ â 0.

Ïîêàæåì, ÷òî ôîðìóëà Ëàãðàíæà äàåò èíòåðïîëÿöèîííûé ìíîãî÷ëåí. Ðàññìîòðèì îäíî ñëàãàåìîå èç ñóììû

(14.1)

(x − α0 ) . . . (x −ˆ αi ) . . . (x − αn ) ˆ αi ) . . . (αi − αn ) (αi − α0 ) . . . (αi − Òàêèì îáðàçîì, â ñóììå êðîìå ñîäåðæàùåãî

βj

(14.1)

βi : ( 0, j 6= i, = 1, j = i.

áåç êîýôôèöèåíòà

ïðè ïîäñòàíîâêå

αj

αj

âñå ñëàãàåìûå îáðàùàþòñÿ â 0,

- çíà÷åíèÿ èíòåðïîëÿöèîííîãî ìíîãî÷ëåíà â òî÷êå

Òåîðåìà î äåëåíèè ñ îñòàòêîì. Òåîðåìà 14.24.

î äåëåíèè ñ îñòàòêîì.

f, g ∈ F [x] è íå âñå ∃! q(x) è r(x) òàêèå

Ïóñòü

êîýôôèöèåíòû

g

ðàâíû íóëþ.

Òîãäà

÷òî

f = gq + r

è

deg r < deg g .

Ïðèìåð.

f (x) = x2 + 1, g(x) = x3 + 5 ⇒ q(x) = 0, r(x) = x2 + 1 x2 + 1 = (x3 + 5)0 + (x2 + 1) Äîêàçàòåëüñòâî. Ñóùåñòâîâàíèå.

Åñëè

deg f < deg g ,

òî

q = 0, r = f .

Åñëè

deg f ≥ deg g ,

òî "äåëèì â ñòîëáèê" :

f (x) = an xn + an−1 xn−1 + . . . + a1 x + a0 , g(x) = bm xm + bm−1 xm−1 + . . . + b1 x + b0 . 104

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА

ФОНД

ВОЛЬНОЕ ДЕЛО

αj .

ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU

f1 := f −

an n−m x g bm

Ýòà çàïèñü êîððåêòíà, ò.ê., âî-ïåðâûõ, ìû ñåé÷àñ ðàññìàòðèâàåì ñëó÷àé

n − m ≥ 0,

âî-âòîðûõ, ñòàðøèå êîôôèöèåíòû

an , bm 6= 0,

n≥m ⇔

è èõ ìîæíî äåëèòü äðóã

íà äðóãà.

deg f1 < deg f ,

ïîòîìó ÷òî ïîñëåäíèì âû÷èòàíèåì ìû óáðàëè ñòàðøèé ÷ëåí.

Ïðîäîëæàÿ ýòîò ïðîöåññ, ïîëó÷èì â èòîãå

f − q(x)g(x) = r(x). deg r < deg g. Íà êàæäîì øàãå âûïîëíÿåì àíàëîãè÷åíîå âû÷èòàíèå, åñëè ïîñëå ýòîé ïðîöåäóðû ñòåïåíü

r

ñòàíîâèòñÿ ìåíüøå ñòåïåíè

g,

çàêàí÷èâàåì ïðîöåññ, èíà÷å - ïðîäîëæàåì.

Ïðîöåññ áóäåò êîíå÷íûì, ò.ê. íà êàæäîì øàãå ñòåïåíü ìíîãî÷ëåíà ñòðîãî óìåíüøàåòñÿ, à ñòåïåíü èñõîäíîãî ìíîãî÷ëåíà - êîíå÷íîå öåëîå íåîòðèöèàòåëüíîå ÷èñëî

Èòàê,

n.

f = q(x)g(x) + r(x).

Åñäèíñòâåííîñòü. Îò ïðîòèâíîãî.

Ïóñòü

f = q1 g(x) + r1 = q2 g(x) + r2 .

Òîãäà

g(q1 − q2 ) = r2 − r1 . deg g > deg(r2 − r1 ) = deg g + deg(q1 − q2 ) Ñëó÷àé 1.

(14.2)

deg(q1 − q2 ) = −∞ ⇒ q1 = q2 ⇒ r2 − r1 = 0 ⇒ r1 = r2 ⇒

ïðåäñòàâëåíèå åäèíñòâåííî.

Ñëó÷àé 2.

deg(q1 − q2 ) ≥ 0.

Òîãäà ïðîòèâîðå÷èå ñ

(14.2).

Êîðíè ìíîãî÷ëåíà. Îïðåäåëåíèå 14.64. åñëè

Ýëåìåíò

α∈F

íàçûâàåòñÿ êîðíåì ìíîãî÷ëåíà

f (α) = 0

Èçâåñòíî, êàê íàõîäèòü êîðíè ìíîãî÷ëåíîâ íåáîëüøèõ ñòåïåíåé.

Äëÿ ìíîãî÷ëåíà ïåðâîé ñòåïåíè:

b ax + b = 0 ⇔ x = − . a Äëÿ ìíîãî÷ëåíà âòîðîé ñòåïåíè:

ax2 + bx + c = 0 ⇔ x1,2

√ −b ± D = , D ≥ 0. 2a

105

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА

ФОНД

ВОЛЬНОЕ ДЕЛО

f (x) ∈ F [x],

ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU

Äëÿ ìíîãî÷ëåíà òðåòüåé ñòåïåíè:

ax3 + bx2 + cx + d = 0 Ïðè ïîìîùè çàìåíû ïåðåìåííûõ

x = y−

b 3a

óðàâíåíèå ïðèâîäèòñÿ ê êàíîíè÷åñêîé

ôîðìå

y 3 + py + q = 0 ñ êîýôôèöèåíòàìè

p=

3ac − b2 2b3 − 9abc + 27a2 d ; q = 3a2 27a3

Ïî ôîðìóëå Êàðäàíî êîðíè êóáè÷åñêîãî ìíîãî÷ëåíà ðàâíû:

α+β α − β√ ±i 3 2 2 r r  p 3  q 2 q √ q √ 3 α = − + Q, β = 3 − − Q, Q = + . 2 2 3 2 y1 = α + β, y2,3 = −

ãäå

Äëÿ ìíîãî÷ëåíîâ ÷åòâåðòîé ñòåïåíè: Êîðíè ìíîãî÷ëåíà 4 ñòåïåíè íàõîäÿòñÿ ñ ïîìîùüþ ôîðìóëû Êàðíî, êîòîðóþ ìîæíî íàéòè â ñïðàâî÷íèêàõ.

Ìåòîäû ðåøåíèÿ óðàâíåíèé 3 è 4 ñòåïåíè, ïðèâåäåííûå çäåñü, äëèííûå è íå ñëèøêîì óäîáíûå, ïîýòîìó èìè îáû÷íî íå ïîëüçóþòñÿ è íàõîäÿò ðåøåíèÿ äðóãèìè ñïîñîáàìè.

Äëÿ ìíîãî÷ëåíîâ 5 ñòåïåíè è âûøå:  ïåðâîé ïîëîâèíå XIX âåêà áûëà äîêàçàíà òåîðåìà Àáåëÿ-Ðóôôèíè î òîì, ÷òî íà÷èíàÿ ñ ìíîãî÷ëåíîâ 5 ñòåïåíè íå ñóùåñòâåò ôîðìóë äëÿ ïîèñêà èõ êîðíåé.

Òåîðåìà Áåçó. Òåîðåìà 14.25.

∀α ∈ F

è

(Áåçó)

f (x) ∈ F

èìååì

f (x) = (x − α)q(x) + f (α) q(x). f (x) ⇔ (x − α)f (x).

Äëÿ íåêîòîðîãî íåïîëíîãî ÷àñòíîãî  ÷àñòíîñòè,

α

- êîðåíü

Äîêàçàòåëüñòâî. Ñíà÷àëà ðàññìîòðèì óòâåðæäåíèå "â ÷àñòíîñòè" . Ìíîãî÷ëåí

f (x)

äåëèòñÿ íà ìíîãî÷ëåí

(x − α)

â òî÷íîñòè êîãäà îñòàòîê îò äåëåíèÿ

ðàâåí íóëþ. À èìåííî

f (x) = (x − α)q(x) = 0

è

f (α) = 0q(x),

106

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА

ФОНД

ВОЛЬНОЕ ДЕЛО

ò.å.

α

- êîðåíü.

ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU

Äîêàæåì òåïåðü îñíîâíóþ òåîðåìó.

f (x) = (x − α)q(x) + r(x). deg r(x) < deg(x − α) = 1 ⇒ r(x) = const = r. Äåëåíèå ñ îñòàòêîì:

Ïîäñòàâèì â ëåâóþ è ïðàâóþ ÷àñòè

α:

f (α) = (α − α)q(α) + r = 0 + r. Èòàê,

f (x) = (x − α)q(x) + f (α).

107

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА

ФОНД

ВОЛЬНОЕ ДЕЛО

ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU

Ëåêöèÿ 15 Çàìå÷àíèå 15.12.

×èñëî êîðíåé íåíóëåâîãî ìíîãî÷ëåíà

α1 , α2 , . . . - êîðíè f (x). f (x) = (x − α1 )q(x). Äàëåå 0 = f (α2 ) = (α2 − α1 )q(α2 ) ⇒ ïî òåîðåìå f (x) = (x − α1 )(x − α2 ) . . . (x − αm )ˆ q (x). Òîãäà

f (x) íå ïðåâîñõîäèò deg f (x).

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü

Òîãäà

Áåçó

q(x) = (x − α2 )e q (x)

è ò.ä.

m = deg f − deg qˆ ≤ deg f.

Êðàòíîñòü êîðíÿ ìíîãî÷ëåíà. Îïðåäåëåíèå 15.65.

Êðàòíîñòü êîðíÿ

íåîòðèöàòåëüíîå ÷èñëî Äðóãèìè ñëîâàìè,

k

k

(x − α)

α

f (x) - ýòî òàêîå öåëîå (x − α)k+1 íå äåëèò f (x).

ìíîãî÷ëåíà

äåëèò

f (x),

íî

- ýòî ñàìàÿ áîëüøàÿ ñòåïåíü ëèíåéíîãî ìíîæèòåëÿ

êîòîðàÿ äåëèò ìíîãî÷ëåí

Ïîíÿòíî, ÷òî òàêîå

÷òî

k

k

ñóùåñòâóåò äëÿ ëþáîãî

α.

 ñàìîì äåëå, íå ìîæåò áûòü òàêîãî, ÷òî äëÿ ñêîëü óãîäíî áîëüøîêî

(x − α)

k

f (x),

äåëèò

(x − α),

f (x).

ïîòîìó ÷òî â òàêîì ñëó÷àå

k

ìíîãî÷ëåí

k

deg(x − α) ≤ deg f (x).

Çàìå÷àíèå 15.13.

k ≤ deg f (x) Ìîæåò áûòü òàê, ÷òî Åñëè Åñëè

k = 1, k ≥ 2,

òî òî

α α

k = 0.

Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî

α

- íå êîðåíü.

íàçûâàåòñÿ ïðîñòûì êîðíåì. íàçûâàåòñÿ êðàòíûì êîðíåì.

Êðàòíîñòü êîðíÿ α ìîæíî îïðåäåëèòü ñëåäóþùèì îáðàçîì: Ïîäñòàâëÿåì

f (α) = 0,

òî

α

α

â ìíîãî÷ëåí

Ïîäñòàâëÿåì

α

Åñëè

f (α) 6= 0,

òî

α

- íå êîðåíü, åñëè æå

- êîðåíü êðàòíîñòè êàê ìèíèìóì 1.

Ðàçäåëèì ìíîãî÷ëåí

òî

f (x).

α

â

f (x)

íà

(x − α): f (x) = (x − α)f1 (x).

f1 (x). Åñëè f1 (α) 6= 0, òî α

- êîðåíü êðàòíîñòè 1, åñëè

f1 (α) = 0,

- êîðåíü êðàòíîñòè êàê ìèíèìóì 2.

Ïðîäîëæàåì ïðîöåññ, ïîêà íå ïîëó÷èì

fi (α) 6= 0.

108

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА

ФОНД

ВОЛЬНОЕ ДЕЛО

Òîãäà

α

- êîðåíü êðàòíîñòè

i.

ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU

Ïðîèçâîäíàÿ ìíîãî÷ëåíà. Åå ñâîéñòâà â çàâèñèìîñòè îò õàðàêòåðèñòèêè ïîëÿ. Îïðåäåëåíèå 15.66.

a1 x + a0

Ôîðìàëüíàÿ ïðîèçâîäíàÿ ìíîãî÷ëåíà

f (x) = an xn + . . . +

- ýòî

f 0 (x) = nan xn−1 + (n − 1)an xn−2 + . . . + 2a2 x + a1 . (Ïî àíàëîãèè ñ îáûêíîâåííîé ïðîèçâîäíîé ìíîãî÷ëåíà) Çàìåòèì, ÷òî â íàøåì ñëó÷àå îáûêíîâåííîå îïðåäåëåíèå ïðîèçâîäíîé

f (x + ∆) − f (x) ∆→0 ∆

f 0 (x) = lim

íå ðàáîòàåò, ò.ê. ìû õîòèì ðàáîòàòü ñ ìíîãî÷ëåíàìè íàä ëþáûìè ïîëÿìè. Çíà÷èòåëüíàÿ ÷àñòü äîêàçûâàåìûõ óòâåðæäåíèé îñòàåòñÿ âåðíîé è äëÿ ìíîãî÷ëåíîâ íàä íåêîòîðûìè êîëüöàìè.

Åñëè, íàïðèìåð, íàøå ïîëå - ýòî ïîëå âû÷åòîâ ïî ìîäóëþ 2 (ñîñòîÿùåå èç äâóõ ýëåìåíòîâ), òî â íåì óæå íåëüçÿ ãîâîðèòü î êàêîì-òî ïðèðàùåíèè àðãóìåíòà, óñòðåìëÿòü åãî ê íóëþ, áðàòü ïðåäåëû. Ïî ýòîé ïðè÷èíå íàì íåîáõîäèìà íåêàÿ çàìåíà îáûêíîâåííîé ïðîèçâîäíîé, ïðèìåíèìàÿ ê ëþáîìó ïîëþ.

Ýêâèâàëåíòíîå îïðåäåëåíèå:

Îïðåäåëåíèå 15.67.

Ïðîèçâîäíàÿ - ýòî îòîáðàæåíèå

d : F [x] → F [x],

îáëàäàþ-

ùåå äâóìÿ ñâîéñòâàìè: 1)

d(αf (x) + βg(x)) = αdf (x) + βdg(x); 2)

d(f (x)g(x)) = d(f (x))g(x) + f (x)d(g(x))ïðàâèëî Îáîçíà÷åíèå:

d(f (x)) = f 0 (x).

Äîêàçàòåëüñòâî ýêâèâàëåíòíîñòè îïðåäåëåíèé Äîêàçàòåëüñòâî.

d(an xn + . . . + a1 x + a0 ) = an d(xn ) + . . . + a1 d(x) + a0 d(1) ïî ëèíåéíîñòè.

d(1) = d(1 · 1) = 1d(1) + d(1)1 = 2d(1) ⇒ d(1) = 0. Ïî èíäóêöèè äîêàæåì, ÷òî

d(xk ) = kxk−1 . 109

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА

ФОНД

ВОЛЬНОЕ ДЕЛО

.

Íüþòîíà-Ëåéáëèöà

ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU

Áàçà:

d(x) = 1.

Äîïóñòèì, ÷òî äëÿ

Ïîêàæåì, ÷òî äëÿ

k−1 k

âåðíî, ÷òî

âûïîëíåíî

d(xk−1 ) = (k − 1)xk−2 .

d(xk ) = kxk−1 .

Øàã: ïî ïðàâèëó Íüþòîíà-Ëåéáíèöà ïîëó÷àåì:

d(xk ) = d(x · xk−1 ) = d(x)xk−1 + xd(xk−1 ) = = 1 · xk−1 + x(k − 1)xk−2 = xk−1 + (k − 1)xk−1 = kxk−1 . Èòàê, ìû äîêàçàëè, ÷òî ïðîèçâîäíàÿ ìíîãî÷ëåíà â ñìûñëå âòîðîãî îïðåäåëåíèÿ

d(f (x)) = f 0 (x) = nan xn−1 + (n − 1)an xn−2 + . . . + 2a2 x + a1 åñòü ïðîèçâîäíàÿ â ñìûñëå ïåðâîãî îïðåäåëåíèÿ.

Çàìå÷àíèå 15.14.

Ïóñòü

char F = 0.

Òîãäà

f 0 = 0 ⇔ f = a0 = const. ×òî èçìåíèòñÿ â ïîëå ñ õàðàêòåðèñòèêîé

Ïó÷òü

p?

char F = p. Âîçüìåì ïðîèçâîäíóþ îò ìíîãî÷ëåíà f (x) = an xn +. . .+a1 x+a0 f 0 (x) = nan xn−1 + . . . + 2a2 x + a1 .

ak xk , k ≥ 1 ïåðåøåë â kak xk−1 . Âàæíî ïîíèìàòü, ÷òî k êàê ïîêàçàòåëü ñòåïåíè â ak x - ýòî íàòóðàëüíîå ÷èñëî, à âîò êîýôôèöèåíò kak - ýòî óæå ýëåìåíò ïîëÿ F , òàê ÷òî k êàê ïîêàçàòåëü ñòåïåíè è êàê êîýôôèöèåíò - ýòî ïðèíöèïèàëüíî Êàæäûé ÷ëåí

k

ðàçíûå îáúåêòû.

Íàïðèìåð, ðàññìîòðèì ìíîãî÷ëåíû íàä ïîëåì æå, ïðè ýòîì ìíîãî÷ëåíû

x2

è

x0

Ó÷èòûâàÿ ñêàçàííîå âûøå, çàìåòèì, ÷òî åñëè ìåíò ïîëÿ

an

ñ ñàìèì ñîáîé

n

Z2 . Â ïîëå Z2 2 è 0 - ýòî îäíî è òî

- àáñîëþòíî ðàçíûå ìíîãî÷ëåíû.

n

äåëèòñÿ íà

p,

òî, ñêëàäûâàÿ ýëå-

ðàç, ëåãêî ìîæåì ïîëó÷èòü 0 â ïîëå

F (nan = 0).

p f 0 = 0 ⇔ ïðè âçÿòèè 0 n−1 ïðîèçâîäíîé âñå êîýôôèöèåíòû ìíîãî÷ëåíà f (x) = nan x + . . . + 2a2 x + a1 ñòàíóò Èç ýòèõ ðàññóæäåíèé ñëåäóåò, ÷òî â ïîëå õàðàêòåðèñòèêè

ðàâíû íóëþ. À ýòî çíà÷èò, ÷òî âñå íåíóëåâûå êîýôôèöèåíòû èñõîäíîãî ìíîãî÷ëåíà

. . . + a1 x + a0

äîëæíû áûòü "óáèòû ïàäåíèåì ïîêàçàòåëÿ" , êîòîðûé

Ïîäûòîæèì íàøè ðàññóæäåíèÿ:

110

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА

ФОНД

ВОЛЬНОЕ ДЕЛО

f (x) = an xn + äåëèòñÿ íà p.

ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU

Çàìå÷àíèå 15.15.

 ïîëå

F

p

õàðàêòåðèñòèêè

f 0 = 0 ⇔ f = apk xpk + ap(k−1) xp(k−1) + . . . + ap xp = = apk (xp )k + ap(k−1) (xp )k−1 + . . . + ap xp = g(xp ). Ýòî çíà÷èò, ÷òî åñëè äî âçÿòèÿ ïðîèçâîäíîé êàêîé-òî êîýôôèöèåíò

m)

áûë íåíóëåâîé, òî ïîêàçàòåëü ñòåïåíè ïðè íåì (

Äàëåå ñ÷èòàåì

am

äîëæåí äåëèòüñÿ íà

ïðè

xm

p.

char F = 0.

Ðåøèì íåñêîëüêî çàäà÷ ñ ïîìîùüþ ïðîèçâîäíîé.

Ïåðåðàçëîæåíèå ìíîãî÷ëåíà â òî÷êå. f (x) = an xn + . . . + a1 x + a0 = bn (x − α)n + . . . + b1 (x − α) + b0 Ò.å. ïåðåíåñëè íà÷àëî êîîðäèíàò èç òî÷êè

bi ,

Çàäà÷à: íàéòè

çíàÿ

0

â òî÷êó

α.

ai .

Ýòî ìîæíî ñäåëàòü ñ ïîìîùüþ ôîðìóëû Òåéëîðà:

f (x) =

f 0 (α) f (n) (α) (x − α)n + . . . + (x − α) + f (α). n! 1!

Êðàòíàÿ ïðîèçâîäíàÿ:


0 0 f (n) = (f 0 (x)) . . . {z } | n ðàç

Òî åñòü

bk =

f (k) (α) k!

Äîêàçàòåëüñòâî.

f = bn (x − α)n + . . . + b1 (x − α) + b0 Ïðîäèôôåðåíöèðóåì ëåâóþ è ïðàâóþ ÷àñòè

k

ðàç è ïîäñòàâèì

x = α:

f (k) (α) = 0 + k!bk + 0 ×òî ïðîèñõîäèò ïðè äèôôåðåíöèðîâàíèè ñî âñåìè ÷ëåíàìè ñòåïåíè ìåíüøå

k?

Ïðè îäíîêðàòíîì äèôôåðåíöèðîâàíèè ñòåïåíü óìåíüøàåòñÿ íà 1, òî åñòü åñëè ïðî-

− α)m , m < k k ðàç, ïîëó÷èì = const, à äàëåå (const)0 = 0).

bm (x (m)

äèôôåðåíöèðîâàòü (ò.ê.

m

(bm (x − α) ))

Äëÿ ÷ëåíà ñòåïåíè

k.

bk (x − α)k


(k)

= k · (k − 1) · . . . · 2 · 1bk = k!bk 111

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА

0

ФОНД

ВОЛЬНОЕ ДЕЛО

ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU

Äëÿ ÷ëåíîâ ñòåïåíè áîëüøå Ïóñòü

m > k,

k.

òîãäà

(bm (x − α)m )(k) = m · (m − 1) · . . . · (m − k + 1)(x − α)(m−k) x=α

Ïðè ïîäñòàíîâêå â ýòî âûðàæåíèå

ïîëó÷àåì, ÷òî ïðàâàÿ ÷àñòü ðàâíà 0.

Èòàê,

f (k) (α) = k!bk ⇒ bk =

f (k) (α) . k!

Íàõîæäåíèå êðàòíîñòè êîðíÿ. Òåîðåìà 15.26. ìíîãî÷ëåíà

Ïóñòü

char F = 0.

α (k − 1)

Òîãäà åñëè

f (x), òî α - êîðåíü êðàòíîñòè k - ýòî òàêîå ïîëîæèòåëüíîå

 ÷àñòíîñòè,

- êîðåíü êðàòíîñòè ìíîãî÷ëåíà

k, k ≥ 1

0

f (x).

öåëîå ÷èñëî, ÷òî

f (α) = f 0 (α) = . . . = f (k−1) (α) = 0;

f (k) (α) 6= 0.

Äðóãèìè ñëîâàìè, ïðè äèôôåðåíöèðîâàíèè êðàòíîñòü êîðíÿ óìåíüøàåòñÿ íà 1 (êðîìå ñëó÷àÿ êîðíÿ êðàòíîñòè 0).

Äîêàçàòåëüñòâî. Äîêàæåì òîëüêî ïåðâîå, ïîòîìó ÷òî âòîðîå ñðàçó æå èç íåãî ñëåäóåò. Ïî îïðåäåëåíèþ êðàòíîñòè êîíÿ

f (x) = (x − α)k q(x), q(α) 6= 0. Ïðîäèôôåðåíöèðóåì ýòî ðàâåíñòâî. Âîñïîëüçóåìñÿ ïðàâèëîì Íüþòîíà-Ëåéáíèöà

f 0 (x) = k(x − α)k−1 q(x) + (x − α)k q 0 (x) = (x − α)k−1 (kq(x) − (x − α)q 0 (x)) Ïîäñòàâèì â ïîñëåäíåå âûðàæåíèå

x = α.

(α − α)k−1 (kq(α) − (α − α)q 0 (α)) = 0(kq(α) − 0) kq(α) 6= 0 Ýòî çíà÷èò, ÷òî

α

- êîðåíü êðàòíîñòè

Ïðèìåð.(Óòâåðæäåíèå

k−1

ìíîãî÷ëåíà

f 0 (x).

òåîðåìû íå áóäåò âûïîëíÿòüñÿ â ïîëå õàðàêòåðèñòèêè

p

char F = p, f (x) = x (x − 1). Êðàòíîñòü êîðíÿ x = 0 ðàâíà p. Òåïåðü ïðîäèôôåðåíöèðóåì f (x) f 0 (x) = pxp−1 (x − 1) + xp 1 Ïî ñâîéñòâó ïîëÿ õàðàêòåðèñòèêè Çíà÷èò,

0

p

f (x) = x , x = 0

p, pxp−1 (x − 1) = 0.

- ïî-ïðåæíåìó êîðåíü êðàòíîñòè 112

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА

ФОНД

ВОЛЬНОЕ ДЕЛО

p.

p)

ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU

Òåîðåìà î ÷èñëå êîðíåé ìíîãî÷ëåíà. Òåîðåìà 15.27.

F

Ïóñòü

- ïðîèçâîëüíîå ïîëå è

1) ×èñëî êîðíåé ìíîãî÷ëåíà

Äîêàçàòåëüñòâî.

F

1) Ïóñòü

èõ êðàòíîñòè

k1 , . . . , km

Òîãäà

f (x) ñ ó÷åòîì êðàòíîñòåé íå ïðåâîñõîäèò deg f (x); f (x)

2) ×èñëî êîðíåé ìíîãî÷ëåíà ðàçëàãàåòñÿ íàä ïîëåì

f (x) ∈ F [x].

ñ ó÷åòîì êðàòíîñòåé ðàâíî

deg f (x) ⇔ f (x)

íà ëèíåéíûå ìíîæèòåëè.

α1 , . . . , αm

- âñå ðàçëè÷íûå êîðíè ìíîãî÷ëåíà

f (x) , è

(áûâàþò, êîíå÷íî, ìíîãî÷ëåíû, ó êîòîðûõ íåò êîðíåé

íà äàííûì ïîëåì, íî äëÿ íèõ óòâåðæäåíèå âåðíî àâòîìàòè÷åñêè). Íàäî äîêàçàòü, ÷òî

k1 + . . . + km ≤ deg f .

Èìååì

f (x) = (x − α1 )k1 q1 (x), q1 (α1 ) 6= 0. Ðàçäåëèì

q1 (x)

íà

(x − α2 )

ìàêñèìàëüíî âîçìîæíîå ÷èñëî ðàç, ïîëó÷èì

q1 (x) = (x − α2 )s2 q2 (x), q2 (α2 ) 6= 0. Ïðîäîëæàÿ ïðîöåññ, ïîëó÷èì â èòîãå

f (x) = (x − α1 )s1 =k1 (x − α2 )s2 . . . (x − αm )sm qm (x), qm (αi ) 6= 0, i = 1, . . . , m. Òîãäà äëÿ äàííîãî

i "

f (x) = (x − αi )si

# Y (x − αj )sj qm (x) := (x − αi )si h(x), h(αi ) 6= 0. j6=i

Îòñäà ñëåäóåò, ÷òî

si = ki .

deg f =

m X

Òîãäà

si + deg qm =

i=1

m X

ki + deg qm ≥

i=1

m X

ki .

i=1

2)

f (x) = (x − α1 )s1 =k1 (x − α2 )s2 . . . (x − αm )sm qm (x), ãäå ó

qm (x)

íåò êîðíåé íàä ïîëåì

F,

ïîòîìó êàê

ÿâëÿþòñÿ, à åñëè áû ó íåãî âîçíèê äðóãîé êîðåíü ìíîãî÷ëåíà

f (x),

α1 , . . . , αm åãî êîðíÿìè íå β , òî β áûë áû êîðíåì è

à ìû èõ âñå óæå ïåðå÷èñëèëè.

f (x) ðàçëàãàåòñÿ íà ëèíåéíûå ìíîæèòåëè ⇔ qm (x) ðàâåí m P const ⇔ deg qm = 0 ⇔ deg f = ki .

Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî

i=1

113

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА

ФОНД

ВОЛЬНОЕ ДЕЛО

ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU

Òåîðèÿ äåëèìîñòè. Îïðåäåëåíèå 15.68.

Êîììóòàòèâíîå àññîöèàòèâíîå êîëüöî ñ åäèíèöåé íàçûâà-

åòñÿ öåëîñòíûì êîëüöîì èëè îáëàñòüþ öåëîñòíîñòè, åñëè â êîëüöå íåò äåëèòåëåé íóëÿ.

Ïðèìåðû.

1)

F

- ïîëå (â íåì ìû è òàê çíàåì, ÷òî äåëèòåëåé íóëÿ íåò). Òîãäà â

F [x]

òîæå

íåò äåëèòåëåé íóëÿ. Ïðè ïåðåìíîæåíèè ìíîãî÷ëåíîâ ñ èõ ñòåïåíÿìè ïðîèñõîäèò ñëåäóþùåå:

0 ≤ deg(f g) = deg f + deg g , | {z } | {z } ≥0

≥0

à ýòî çíà÷èò, ÷òî ïðîèçâåäåíèå äâóõ íåíóëåâûõ ìíîãî÷ëåíîâ íå ìîæåò áûòü íóëåì. 2)

R

- öåëîñòíî

⇒ R[x]

- öåëîñòíî.

Äîêàçàòåëüñòâî ðîâíî òàêîå æå êàê â ïåðâîì ïðèìåðå. 3)

Z; Z[i]

- ãàóññîâû ÷èñëà, ïîëó÷åíû ïðèñîåäèíåíèåì

i

ê öåëûì ÷èñëàì.

Ýòî êîëüöà áåç äåëèòåëåé íóëÿ, ïîýòîìó îíè ÿâëÿþòñÿ öåëîñòíûìè.

Çàäà÷à*.

Ïóñòü

R

- êîììóòàòèâíîå àññîöèàòèûíîå êîëüöî ñ åäèíèöåé, è

f (x) = an xn + an−1 xn−1 + . . . + a1 x + a0 , ai ∈ R. Òîãäà

R[x] ⇔ a0

1)

f (x)

2)

f (x)-

äåëèòåëü íóëÿ

3)

f (x)-

íèëüïîòåíò

îáðàòèì â

- îáðàòèì,

a1 , . . . , a n

⇔ ∃a ∈ R : a 6= 0, af (x) = 0;

⇔ a0 , . . . , a n

- íèëüïîòåíòû.

114

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА

- íèëüïîòåíòû;

ФОНД

ВОЛЬНОЕ ДЕЛО

ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU

Ëåêöèÿ 16 Àññîöèèðîâàííîñòü ýëåìåíòîâ. Ïóñòü

R

- öåëîñòíîå êîëüöî.

a ∈ R äåëèòñÿ Îáîçíà÷åíèå: a b èëè b a.

íà ýëåìåíò

b ∈ R,

åñëè

∃c ∈ R : a = bc.

...

Ãîâîðÿò, ÷òî

Îïðåäåëåíèå 16.69. åñëè

a = bc

è

c∈R

Ýëåìåíòû

a, b ∈ R

íàçûâàþòñÿ àññîöèèðîâàííûìè (

a ∼ b),

îáðàòèì.

Ýòî îòíîøåíèå ýêâèâàëåíòíîñòè (îòíîøåíèå ñî ñâîéñòâàìè ðåôëåêñèâíîñòè, ñèììåòðè÷íîñòè è òðàíçèòèâíîñòè).

Ðåôëåêñèâíîñòü: êàæäûé ýëåìåíò àññîöèèðîâàí ñàì ñ ñîáîé, Ñèììåòðè÷íîñòü: åñëè

a

àññîöèèðîâàí ñ

1 · a = a;

b, b

àññîöèèðîâàí ñ

a

â ñèëó îáðàòèìîñòè

a

àññîöèèðîâàí ñ

c,

òî

c, b = ac−1 ; a àññîöèèðîâàí c, a = a1 b, b = b1 c, a = a1 b1 c.

Òðàíçèòèâíîñòü: åñëè

ñ

b

è

a

àññîöèèðîâàí ñ

Çàìå÷àíèå 16.16.

a ∼ b ⇔ a b, b a. ⇒) a = bc

Äîêàçàòåëüñòâî. (

(

⇐) a = bc

è

è

b = ac−1 .

b = ad. a = adc, a(dc − 1) = 0

1)

a = 0 ⇒ b = 0; 0 ∼ 0.

2)

a 6= 0.

Íåò äåëèòåëåé íóëÿ, ïîýòîìó

dc − 1 = 0 ⇒ c

îáðàòèì

⇒ a ∼ b.

Åâêëèäîâû êîëüöà.  êóðñå òåîðèè ÷èñåë ðàññìàòðèâàëñÿ àëãîðèòì Åâêëèäà äåëåíèÿ ñ îñòàòêîì è ïðèìåíåíèå ýòîãî àëãîðèòìà äëÿ íàõîæäåíèÿ ÍÎÄ. Ìû ïîâòîðèì ýòîò àëãîðèòì, íî íå òîëüêî äëÿ öåëûõ ÷èñåë, à äëÿ áîëåå øèðîêîãî êëàññà êîììóòàòèâíûõ êîëåö. Äëÿ ýòîãî íóæíî êàê-òî îïðåäåëèòü àëãîðèì äåëåíèÿ ñ îñòàòêîì.

Äëÿ ñîâåðøåííî ëþáîãî êîëüöà ýòî ñäåëàòü íåëüçÿ, ò.ê. èç ñóùåñòâîâàíèÿ â êîëüöå àëãîðèòìà ïîñëåäîâàòåëüíîãî äåëåíèÿ ñ îñòàòêîì ñëåäóåò íàëè÷èå ó ýòîãî êîëüöà íåêîòîðûõ ñïåöèàëüíûõ ñâîéñòâ. Åñëè ýòè ñâîéñòâà íå áóäóò âûïîëíÿòüñÿ, àëãîðèòì Åâêëèäà íà òàêîì êîëüöå íå áóäåò âîçìîæåí â ïðèíöèïå.

Îïðåäåëèì òîò êëàññ êîëåö, äëÿ êîòîðûõ òàêîé àëãîðèòì âîçìîæåí.

115

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА

ФОНД

ВОЛЬНОЕ ДЕЛО

ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU

Îïðåäåëåíèå 16.70. êëèäîâûì, åñëè

∃

Öåëîñòíîå êîëüöî

R,

íå ÿâëÿþùååñÿ ïîëåì, íàçûâàåòñÿ åâ-

ôóíêöèÿ

n : R\{0} → Z≥0

(íîðìà)

ñî ñâîéñòâàìè: 1)

n(ab) ≥ n(a) ∀b ∈ R\{0};

2)

∀a, b ∈ R, b 6= 0, ∃q, r ∈ R : a = bq + r,

è ëèáî

r = 0,

ëèáî

n(r) < n(b).

Ëåììà 16.16.

n(ab) = n(a) ⇔ b îáðàòèì. ⇐)

Äîêàçàòåëüñòâî. (

Åñëè

b

Ñëåäîâàòåëüíî, â ýòîé öåïî÷êå âîçìîæíî

(

⇒)

n(a) ≤ n(ab) ≤ n(abb−1 ) = n(a). òîëüêî ðàâåíñòâî è n(a) = n(ab).

îáðàòèì, òî

b íå îáðàòèì, òî a íå äåëèòñÿ íà ab: åñëè a = abc, òî a(bc − 1) = 0. a 6= 0 (ñëåäóåò èç óñëîâèÿ ëåììû), bc = 1 è b îáðàòèì.

Åñëè

Ïîñêîëüêó

Çíà÷èò,

a

ìîæíî ðàçäåëèòü íà

ab

a = abq + r, r 6= 0, n(r) < n(ab). r = a − abq = a(1 − bq). n(a) ≤ n(r), à ñ äðóãîé ñòîðîíû n(r) < n(ab). ïîñëåäíèõ äâóõ íåðàâåíñòâ n(a) < n(ab).

Îòñþäà

Ïî ïåðâîé àêñèîìå Èç

Ïðèìåðû åâêëèäîâûõ êîëåö 1)

R=Z

ñ åñòåñòâåííûìè îïåðàöèÿìè ñëîæåíèÿ è óìíîæåíèÿ.

 êà÷åñòâå ôóíêöèè

n

âîçüìåì

n(a) = |a|.

Çäåñü äîñòàòî÷íî ïîíÿòíî, ïî÷åìó êîëüöî åâêëèäîâî. 2)

F [x],

F - ïîëå. n(f (x)) = deg f (x).

ãäå

Íîðìà:

Ýòî êîëüöî åâêëèäîâî ïî òåîðåìå î äåëåíèè ñ îñòàòêîì.

ÍÎÄ è åãî ñâîéñòâà. Îïðåäåëåíèå 16.71.

a, b)

ÍÎÄ(

=

(a, b)

- îáùèé äåëèòåëü, êîòîðûé äåëèòñÿ íà

âñå îñòàëüíûå îáùèå äåëèòåëè ýëåìåíòîâ

Çàìå÷àíèå 16.17.

a

è

b.

Åñëè ÍÎÄ ñóùåñòâóåò, òî îí åäèíñòâåíåí ñ òî÷íîñòüþ äî

àññîöèèðîâàííîñòè. (Åñëè åñòü äâà ÍÎÄà, òî ïåðâûé äåëèò âòîðîé, à âòîðîé äåëèò ïåðâûé.)

116

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА

ФОНД

ВОЛЬНОЕ ДЕЛО

ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU

Íàïðèìåð, â êîëüöå öåëûõ ÷èñåë îáðàòèìûå ýëåìåíòû - ýòî

±1, çäåñü ÍÎÄ îïðå-

äåëåí ñ òî÷íîñòüþ äî çíàêà. Äëÿ àáñîëþòíîé åäèíñòâåííîñòè ìîæíî ïîòðåáîâàòü, ÷òîáû ÍÎÄ áûë ïîëîæèòåëüíûì.

 êîëüöå ìíîãî÷ëåíîâ îáðàòèìûå ýëåìåíòû - ýòî íåíóëåâûå êîíñòàíòû, çäåñü ÍÎÄ îïðåäåëåí ñ òî÷íîñòüþ äî óìíîæåíèÿ íà íåíóëåâóþ êîíñòàíòó.  ýòîì ñëó÷àå äëÿ åäèíñòâåííîñòè ìîæíî ïîòðåáîâàòü, ÷òîáû ñòàðøèé êîýôôèöèåíò ó ÍÎÄà áûë ðàâåí 1.

Òåîðåìà 16.28.

 åâêëèäîâîì êîëüöå

R ∀a, b ∈ R\{0}

(a, b).

ñóùåñòâóåò ÍÎÄ

Äîêàçàòåëüñòâî. Íàïîìíèì àëãîðèòì Åâêëèäà:

a = bq1 + r1 ,

...

b = r1 q2 + r2 ,

rs = rs+1 qs+2 + rs+2 , rs+1 = rs+2 qs+3 + 0. Ïîÿñíèì, ïî÷åìó ýòîò àëãîðèòì ðàáîòàåò.

n(b) > n(r1 ) > n(r2 ) > . . . > n(rs+2 )

- ïðîöåññ çàêîí÷èòñÿ.

Òîãäà ðàññìîòðèì ïîñëåäíèé íåíóëåâîé îñòàòîê

rs+2 .

Óòâåðæäàåòñÿ, ÷òî

(a, b) =

rs+2 . Äëÿ ýòîãî

rs+2

äîëæåí áûòü îáùèì äåëèòåëåì è äîëæåí äåëèòüñÿ íà âñå îñòàëüíûå

äåëèòåëè.

Ïåðâîå: ïîíÿòíî, ÷òî

rs+2 rs+1

(èç ïîñëåäíåé ñòðîêè àëãîðèòìà) è

rs+2 rs

(èç

ïðåäïîñëåäíåé ñòðîêè àëãîðèòìà). Ïî èíäóêöèè çàêëþ÷àåì, ÷òî Èòàê,

rs+2

rs+2 b (èç âòîðîé ñòðîêè) è rs+2 a (èç ïåðâîé ñòðîêè).

- îáùèé äåëèòåëü.

Âòîðîå: åñëè

d a

è

d b,

òî

d r1

(ïî ïåðâîé ñòðîêå).

Äâèãàÿñü òåïåðü óæå âíèç ïî ñòðîêàì àëãîðèòìà, ïîëó÷èì, ÷òî

d rs+2 .

Íóæíî ðàññìîòðåòü îòåäåëüíî ñèòóàöèþ, êîãäà ïîñëåäíåãî íåíóëåâîãî îñòàòêà íåò. Ïåðâûé æå îñòàòîê ìîæåò îêàçàòüñÿ íóëåâûì.

r1 = 0 ⇒ b a ⇒ (a, b) = b.

117

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА

ФОНД

ВОЛЬНОЕ ДЕЛО

ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU

Ëåììà 16.17. Ïóñòü

R

(î ëèíåéíîì ïðåäñòàâëåíèè ÍÎÄ)

- åâêëèäîâî êîëüöî. Òîãäà

∀a, b ∈ R\{0} ∃u, v ∈ R :

au + bv = (a, b). Äîêàçàòåëüñòâî. Èç ïðåäïîñëåäíåé ñòðîêè àëãîðèòìà Åâêëèäà

(ab ) = rs+2 = rs − rs+1 qs+2 = rs − (rs−1 − rs qs+1 )qs+2 = = rs (1 + qs+1 qs+2 ) − rs−1 qs+2 Ïðîäâèãàÿñü òàêèì æå îáðàçîì ââåðõ ïî ñòðîêàì àëãîðèòìà Åâêëèäà, ïîëó÷èì â èòîãå

rs (1 + qs+1 qs+2 ) − rs−1 qs+2 = . . . = au + bv.

Ïðîñòûå è íåïðèâîäèìûå ýëåìåíòû. Îïðåäåëåíèå 16.72. åñëè

Ýëåìåíòû

a, b ∈ R\{0}

íàçûâàþòñÿ âçàèìíî ïðîñòûìè,

(a, b) = 1.

Çäåñü â êà÷åñòâå ÍÎÄ ìîæåò âûñòóïàòü ëþáîé ýëåìåíò, àññîöèèðîâàííûé ñ 1, ò.å. ëþáîé îáðàòèìûé ýëåìåíò. Íî óñëîâíî ïèøåì

 ýòîì ñëó÷àå

(a, b) = 1.

∃u, v ∈ R : au + bv = 1.

Äëÿ âçàèìíî ïðîñòûõ ýëåìåíòîâ ìîæíî ïîäîáðàòü ëèíåéíóþ êîìáèíàöèþ, êîòîðàÿ ðàâíà 1.

Îïðåäåëåíèå 16.73. òèìûé ýëåìåíò

Ïóñòü

x∈R

1) ïðîñòûì, åñëè

R

- îáëàñòü öåëîñòíîñòè. Òîãäà íåíóëåâîé íåîáðà-

íàçûâàåòñÿ

p ab ⇒ p a

2) íåïðèâîäèìûì, åñëè

èëè

p b,

p = p1 p2 ⇒ p1

îáðàòèì èëè

p2

îáðàòèì.

Äëÿ íåêîòîðûõ êîëåö ïîíÿòèÿ íåïðèâîäèìîãî è ïðîñòîãî ýëåìåíòîâ îäèíàêîâû, íî äëÿ íåêîòîðûõ êîëåö îíè ðàçëè÷àþòñÿ.

Ïðèìåð: ìíîãî÷ëåí èëè

const 6= f (x) ∈ F [x]

íåïðèâîäèì, åñëè

Çàìå÷àíèå 16.18. p  ñàìîì äåëå, è òîãäà

p1

ïðîñòîé

⇒p

p = p1 p2 ⇒ p p1

íåïðèâîäèìûé.

èëè

p p2 ⇒ p ∼ p 1

è òîãäà

p2

îáðàòèì èëè

p ∼ p2

îáðàòèì.

Ëåììà 16.18.

Ïóñòü

∃i : p ai . ÷àñòíîñòè, p

R

- åâêëèäîâî êîëüöî,

p

Òîãäà Â

f = f1 f2 ⇒ f1 = const

f2 = const.

ïðîñò. 118

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА

ФОНД

ВОЛЬНОЕ ДЕЛО

íåïðèâîäèì,

p a1 . . . an , ai ∈ R.

ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü

n = 2.

Òîãäà

Òîãäà íàøà öåëü - äîêàçàòü, ÷òî

(p, a1 ) = 1

è

Óìíîæèì ýòî

p a1 a2

íå äåëèò

a1 .

∃u, v ∈ R : pu + a1 v = 1. ðàâåíñòâî íà a2 : +

a2

n > 2.

a1 a2 v | {z }

= a2

äåëèòñÿ íà p

äåëèòñÿ íà p

Ïóñòü

p

p a2 .

pa2 u |{z}

ïîëó÷èì, ÷òî

è ïóñòü

p.

äåëèòñÿ íà

Òîãäà ïðîâåäåì èíäóêöèþ ïî

n.

p a1 . . . an ⇔ p a1 (a2 . . . an ) Ïðèìåíÿÿ ïðåäûäóùèé ñëó÷àé, ïîëó÷àåì, ÷òî

Åñëè

p a1 ,

Åñëè

p a2 . . . an ,

p a1

èëè

p a2 . . . an .

òî äîêàçàíî.

ïðèìåíÿåì ïðåäïîëîæåíèå èíäóêöèè.

Îáîáùåíèå îñíîâíîé òåîðåìû àðèôìåòèêè. Òåîðåìà 16.29.

 åâêëèäîâîì êîëüöå

R

âñÿêèé íåíóëåâîé íåîáðàòèìûé ýëåìåíò

ðàçëàãàåòñÿ íà ïðîñòûå ìíîæèòåëè, ïðè÷åì ðàçëîæåíèå îäíîçíà÷íî ñ òî÷íîñòüþ äî ïîðÿäêà ìíîæèòåëåé è àññîöèèðîâàííîñòè. Ýòî îáîáùåíèå îñíîâíîé òåîðåìû àðèôìåòèêè.

Ïðèìåð. Z, 6 = 2 · 3 = 3 · 2 = (−3)(−2). Êîëüöà ñ òàêèì ñâîéñòâîì íàçûâàþòñÿ ôàêòîðèàëüíûìè. UFD - unique factorization domain.

Äîêàçàòåëüñòâî. Ñóùåñòâîâàíèå. Îò ïðîòèâíîãî.

Ïóñòü

∃a ∈ R

Åñëè

a

Åñëè

a = bc

- íå ðàçëàãàåòñÿ. Ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî

íåïðèâîäèì, òî

è

b, c

a

ïðîñò è

a=a

ìèíèìàëüíà.

- òðåáóåìîå ðàçëîæåíèå.

n(b) < n(a)

- íåîáðàòèìû, òî

n(a)

è

n() < n(a),

íî òîãäà

b

è

c

ðàçëàãàþòñÿ íà ïðîñòûå.

a = (ðàçëîæåíèå - ïîëó÷èëè ðàçëîæåíèå äëÿ

a

äëÿ

b)(ðàçëîæåíèå

c)

- ïðîòèâîðå÷èå ñ òåì, ÷òî ñóùåñòâóåò ýëåìåíò, êîòî-

ðûé íå ðàçëàãàåòñÿ.

119

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА

äëÿ

ФОНД

ВОЛЬНОЕ ДЕЛО

ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU

Åäèíñòâåííîñòü. Ïóñòü

a = p1 . . . pn = q 1 . . . qm qi , pi

- ïðîñòûå. Íàäî äîêàçàòü, ÷òî

Çäåñü

σ

n=m

è

∃σ ∈ Sn : pi ∼ qσ(i) , i = 1, . . . , n.

èãðàåò ðîëü ïåðåíóìåðàöèè.

n = 1. a = p1 = q1 . . . qm Èç íåïðèâîäèìñòè

p1

ñëåäóåò, ÷òî

m=1

n > 1. p1 q1 . . . qm ⇒ ∃i : p1 qi ⇒ p1 ∼ qi . Ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî i = 1, ñîêðàùàåì

è

p1 = q1 .

ëåâóþ è ïðàâóþ ÷àñòè íà

p 1 = q1 .

p1 . . . pn = q1 . . . qm p1 (p2 . . . pn − q2 . . . qm ) = 0 p2 . . . pn − q 2 . . . qm = 0 Äàëåå ïî èíäóêöèè.

Óïðàæíåíèå 16.16.

1) Ïðèâåñòè ïðèìåð åâêëèäîâà êîëüöà, â êîòîðîì ðîâíî

îäèí êëàññ àññîöèèðîâàííîñòè ïðîñòûõ ýëåìåíòîâ. 2) Åñëè

F

- ïîëå, òî â

F [x]

÷èñëî íåïðèâîäèìûõ ìíîãî÷ëåíîâ áåñêîíå÷íî.

Ýòà çàäà÷à äåëèòÿ íà äâà ïîäïóíêòà:

a) êîãäà

F

áåñêîíå÷íî

â ýòîì ñëó÷àå îòâåò - âñå ëèíåéíûå ìíîãî÷ëåíû

b) êîãäà

F

x − α, α ∈ F .

êîíå÷íî.

Çäåñü, ïî ñóòè, íóæíî äîêàçàòü, ÷òî åñòü íåïðèâîäèìûå ýëåìåíòû ñêîëü óãîäíî âûñîêîé ñòåïåíè. Íàøà ñëåäóþùàÿ öåëü - îñíîâíàÿ òåîðåìà àëãåáðû:

Ïðåäèñëîâèå ê îñíîâíîé òåîðåìå àëãåáðû. Ëþáîé ìíîãî÷ëåí

f (x) ∈ C[x]

èìååò ðîâíî

n = deg f (x)

êîìïëåêñíûõ êîðíåé ñ

ó÷åòîì êðàòíîñòåé.

Ýòî óòâåðæäåíèå ðàâíîñèëüíî ñëåäóþùåìó: Ëþáîé ìíîãî÷ëåí

f (x) ∈ C[x]

ðàçëàãàåòñÿ íà ëèíåéíûå ìíîæèòåëè.

f (x) = λ(x − α1 )k1 . . . (x − αs )ks , 120

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА

ФОНД

ВОЛЬНОЕ ДЕЛО

ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU

k1 + . . . + ks = deg f (x). Òàêèì îáðàçîì, ïîëó÷àåì åùå îäíó ýêâèâàëåíòíóþ ôîðìóëèðîâêó:

Íåïðèâîäèìûå ìíîãî÷ëåíû íàä

Îïðåäåëåíèå 16.74.

Ïîëå

F

C

- ýòî â òî÷íîñòè ëèíåéíûå ìíîãî÷ëåíû.

íàçûâàåòñÿ àëãåáðàè÷åñêè çàìêíóòûì, åñëè äëÿ íåãî

âåðíà îñíîâíàÿ òåîðåìà àëãåáðû. Ïîêà ìû çíàåì òîëüêî îäèí òàêîé ïðèìåð - êîìïëåêñíûå ÷èñëà.

Ïîëÿ

Q, R

íå ÿâëÿþòñÿ àëãåáðàè÷åñêè çàìêíóòûìè, íàïðèìåð, èç-çà ìíîãî÷ëåíà

2

x + 1. Íèêàêîå êîíå÷íîå ïîëå òàêæå íå ÿâëÿåòñÿ àëãåáðàè÷åñêè çàìêíóòûì. Åñëè

{α1 , . . . , αk } = F ,

òî ïðèìåðîì ìíîãî÷ëåíà, íå ðàçëàãàþùåãîñÿ íà ëèíåéíûå

ìíîæèòåëè, áóäåò

(x − α1 ) . . . (x − αk ) + 1

121

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА

ФОНД

ВОЛЬНОЕ ДЕЛО

ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU

Ëåêöèÿ 17 Ñóùåñòâîâàíèå êîðíÿ ìíîãî÷ëåíà íàä C, îñíîâíàÿ òåîðåìà àëãåáðû. Íà ïðîøëîé ëåêöèè ìû ñôîðìóëèðîâàëè îñíîâíóþ òåîðåìó àëãåáðû. Íàïîìíèì åå ýêâèâàëåíòíûå ôîðìóëèðîâêè:

Òåîðåìà 17.30.

f (x) ∈ C[x] èìååò ðîâíî n = deg f (x) êîìïëåêñíûõ êîðíåé ñ ó÷åòîì êðàòíîñòåé. ⇔ Ëþáîé ìíîãî÷ëåí f (x) ∈ C[x] ðàçëàãàåòñÿ íà ëèíåéíûå ìíîæèòåëè.⇔ Íåïðèâîäèìûå ìíîãî÷ëåíû íàä C - ýòî â òî÷íîñòè ëèíåéíûå ìíîãî÷ëåíû. Ëþáîé ìíîãî÷ëåí

Ïåðåéäåì òåïåðü ê åå äîêàçàòåëüñòâó. Äîêàæåì ñíà÷àëà, íà ïåðâûé âçãëÿä, áîëåå ñëàáîå óòâåðæäåíèå:

Òåîðåìà 17.31. f (z) ∈ C[z]. f (z) 6= const ⇒ ∃z0 ∈ C : f (z0 ) = 0. Äîêàçàòåëüñòâî. (Äîêàçàòåëüñòâî çàìå÷àíèÿ) Ïóñòü ñóùåñòâóåò êîðåíü

Äàëåå èíäóêöèÿ ïî

Áàçà:

n = 1,

z0 ,

òîãäà ïî òåîðåìå Áåçó

f (z) = (z − z0 )g(z).

deg f = n.

î÷åâèäíà.

deg g = deg f − 1, ò.ê. îíè îòëè÷àþòñÿ íà ìíîæèòåëü ñòåïåíè 1. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî g èìååò n − 1 êîðåíü ïî ïðåäïîëîæåíèþ èíäóêöèè, òåëüíî, f èìååò n êîðíåé. Øàã:

ñëåäîâà-

Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû 17.30 íåîáõîäèìî ââåñòè íåêîòîðûå ïîíÿòèÿ ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà äëÿ êîìïëåêñíûõ ÷èñåë.

Âû÷èòàíèå è ñëîæåíèå äâóõ êîìïëåêñíûõ ÷èñåë êàê ðàäèóñ-âåêòîðîâ íà êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè âûãëÿäèò ñëåäóþùèì îáðàçîì:

122

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА

ФОНД

ВОЛЬНОЕ ДЕЛО

ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU

Âèäíî, ÷òî äëÿ ñòîðîí çàøòðèõîâàííîãî òðåóãîëüíèêà âûïîëíåíî ñëåäóþùåå íåðàâåíñòâî:

|z1 + z2 | ≤ |z1 | + |z2 |, ÷òî îçíà÷àåò, ÷òî äëèíà îäíîé ñòîðîíû òðåóãîëüíèêà ìåíüøå ñóììû äëèí äâóõ äðóãèõ.

Ëåãêî ïîëó÷èòü íåðàâåíñòâî è äëÿ âû÷èòàíèÿ âåêòîðîâ:

||z1 | − |z2 || ≤ |z1 − z2 |.

Ñõîäèìîñòü íà êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè. Îïðåäåëåíèå 17.75.

Ïóñòü

{zk , k ∈ N}

- ïîñëåäîâàòåëüñíîñòü êîìïëåêñíûõ ÷è-

ñåë.

zk → z, k → ∞ ⇔ |z − zk | → 0, k → ∞.

Òîãäà

Òåïåðü íà÷íåì äîêàçûâàòü òåîðåìó 17.30.

Ëåììà 17.19.

Ïóñòü

zk = xk + iyk ,

z = x + iy.

Òîãäà

zk → z ⇔ xk → x, yk → y. ⇒)

Äîêàçàòåëüñòâî. (

|zk − z| =

p (xk − x)2 + (yk − y)2 → 0,

p (xk − x)2 + (yk − y)2 < ε ⇒ |xk − x| < ε, |yk − y| < ε Òîãäà

xk → x, yk → y, k → ∞. (

⇐) |xk − x| < ε, |yk − y| < ε

Òîãäà

|zk − z| =

Ëåììà 17.20.

p √ √ (xk − x)2 + (yk − y)2 < ε2 + ε2 = 2ε.

1)

zk → z ⇒ |zk | → |z|; 2)

zk → z, wk → w Òîãäà

zk + wk → z + w; zk wk → zw 123

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА

ФОНД

ВОЛЬНОЕ ДЕЛО

ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU

Äîêàçàòåëüñòâî.

1)

||zk | − |z|| ≤ |zk − z| → 0 Ñëåäîâàòåëüíî,

|zk | → |z|.

2)

|(zk + wk ) − (z + w)| = |(zk − z) + (wk − w)| leq|zk − z| + |wk − w| |zk − z| → 0, |wk − w| → 0 ⇒ |(zk + wk ) − (z + w)| → 0.

|zk wk −zw| = |(zk −z)wk +z(wk −w)| ≤ |(zk −z)wk |+|z(wk −w)| = |zk −z|·|wk |+|wk −w|·|z|, |zk − z| → 0, |wk − w| → 0, |wk | → |w| = const, |z| = const.  èòîãå ïîëó÷àåì, ÷òî

|zk wk − zw| → 0.

Èòàê, åñëè

zk → z0 ,

òî

∀f (z) ∈ C[z]

f (zk ) → f (z0 ),

ò.ê. ïåðåõîä "óâàæàåò"

îïåðàöèè ñëîæåíèÿ è óìíîæåíèÿ, à âû÷èñëåíèå ìíîãî÷ëåíîâ - ýòî ìíîãîêðàòíàÿ êîìïîçèöèÿ ñëîæåíèÿ, óìíîæåíèÿ è óìíîæåíèÿ íà ñêàëÿð.

Ëåììà î âîçðàñòàíèè ìîäóëÿ. Ëåììà 17.21. î âîçðàñòàíèè ìîäóëÿ

f (x) ∈ C[x]\C |f (zk )| → ∞. Åñëè

ïîëîæèòåëüíîé ñòåïåíè, ò.å. íå êîíñòàíòà, è

Äîêàçàòåëüñòâî.

f (x) = an xn + . . . + a1 x + a0 , an 6= 0, n ≥ 1. a1 a0 n |f (zk )| = |zk | an + . . . + n−1 + n ≥ zk zk   a1 a0 ≥ |zkn | |an | − . . . − n−1 − n z z k

k

ïî íåðàâåíñòâó òðåóãîëüíèêà.

Çàìåòèì òåïåðü, ÷òî

è

ai |an | = const, n−i → 0, k → ∞. Òîãäà zk a1 a0 |an | − . . . − n−1 − n → |an | zk zk

  a0 a 1 |zkn | |an | − . . . − n−1 − n → ∞, k → ∞ zk zk

Òîãäà è

|f (zk )| → ∞, k → ∞. 124

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА

ФОНД

ВОЛЬНОЕ ДЕЛО

zk → ∞,

òî

ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU

Ëåììà Äàëàìáåðà. Ëåììà 17.22. Äàëàìáåðà (Æàí Ëåðîí Ä`Àëàìáåð, 1717-1783, Ïàðèæ)

f (x) ∈ C[x], deg f > 0 è f (z0 ) 6= 0 äëÿ íåêîòîðîãî z0 ∈ C. ∀ε > 0, ∀z ∈ C : |f (z)| < |f (z0 )| è |z − z0 | < ε.

Ïóñòü Òîãäà

Ãðàôèê êîìïëåêñíîãî ìíîãî÷ëåíà ñëîæíî ïðåäñòàâèòü, ò.ê. îí ñóùåñòâóåò â ÷åòûðåõìåðíîì ïðîñòðàíñòâå (äâóìåðíàÿ ïëîñêîñòü àðãóìåíòîâ è äâóìåðíàÿ ïëîñêîñòü çíà÷åíèé). Èçîáðàçèì òîëüêî îñü, ãäå îòêëàäûâàåì àðãóìåíòû. Êîìïëåêñíàÿ ïëîñêîñòü ïðîñòðàíñòâî àðãóìåíòîâ

z

C - ýòî

ìíîãî÷ëåíà.

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü

f (z) = 1 + cp (z − z0 )p + cp+1 (z − z0 )p+1 + . . . + cn (z − z0 )n . f (z0 ) òî, ÷òî âèä ìíîãî÷ëåíà, ïåðåðàçëîæåííîãî ïî ñòåïåíÿì

z − z0

áóäåò èìåííî òàêèì,

ñëåäóåò èç ôîðìóëû Òåéëîðà èëè òåîðåìâ Áåçó. Ñóùåñòâóåò åùå áîëåå ïðîñòîå îáîñíîâàíèå: åñëè ïîäñòàâèòü â ðàçëîæåíèå âûøå

z = z0 , òî âñå ÷ëåíû, êðîìå ñâîáîäíîãî, f (z0 ) ñâîáîäíûé ÷ëåí ñòàíåò ðàâåí 1.

òî÷êó íà

çàíóëÿòñÿ, à çíà÷èò ïîñëå äåëåíèÿ

Íóìåðàöèÿ êîýôôèöèåíòîâ íà÷èíàåòñÿ íå ñ 1, à ñ íåêîòîðîãî çóìåâàåòñÿ íîìåð ïåðâîãî íåíóëåâîãî êîýôôèöèåíòà,

Ïóñòü

p,

ãäå ïîä

p

ïîäðà-

cp 6= 0.

z = z0 + tz1 , t ∈ (0, 1), z1 ∈ C.

cp z1p = −1. z1 ñóùåñòâóåò: èç ëåâîãî êîìïëåêñíîãî ÷èñëà ìîæíî èçâëå÷ü êîðåíü p-òîé ñòåïåíè è r 1 p − . äðóãîå íåíóëåâîå êîìïëåêñíîå ÷èñëî z1 = cp Òîãäà ïî âûáîðó z1 , Íàëîæèì ñëåäóþùåå óñëîâèå: ïóñòü

cp (z0 + tz1 − z0 )p = cp tp z1p = cp tp 125

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА

ФОНД

ВОЛЬНОЕ ДЕЛО

−1 = −tp , cp

ëþáîãî íåíóðàçäåëèòü íà

ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU

èç âñåõ îñòàëüíûõ ÷ëåíîâ âûíåñåì çà ñêîáêè

(z − z0 )p+1 = tp+1

è ïîëó÷èì

f (z) = 1 − tp + tp+1 φ(t), φ(t) ∈ C[t], deg φ = n − p − 1. f (z0 ) Ïóñòü

C

- ìàêñèìóì ìîäóëåé êîýôôèöèåíòîâ ìíîãî÷ëåíà

φ(t).

Òîãäà

|φ(t)| ≤ A = (n − p)C.

(17.1)

|φ(t)| = |α0 + α1 t + . . . + αn−p−1 tn−p−1 | ≤ |α0 | + |α1 ||t| + . . . + |αn−p−1 ||t|n−p−1 ≤ ≤ |C|(1 + |t| + . . . + |t|n−p−1 ) t ∈ (0, 1),

ïîýòîìó

|C|(1 + |t| + . . . + |t|n−p−1 ) ≤ |C| (1 + . . . + 1) = C(n − p). {z } | n−p−1+1

Äîêàçàëè

(17.1). f (z) p p+1 p f (z0 ) ≤ 1 − t + t A = 1 − t (1 − At) < 1

Ñëåäîâàòåëüíî, ïðè òàêèõ

t

è ïðè

ïðè

t
0, M = inf |f (z)|. z∈C

Çàìåòèì, ÷òî

{|f (z)|, z ∈ C}

- ýòî íå ïîñëåäîâàòåëüíîñòü, à êîíòèíóàëüíîå ìíîæå-

ñòâî âåùåñòâåííûõ íåîòðèöàòåëüíûõ ÷èñåë. Èç ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà èçâåñòíî, ÷òî ó ëþáîãî íàáîðà âåùåñòâåííûõ íåîòðèöàòåëüíûõ ÷èñåë ñóùåñòâóåò òî÷íàÿ íèæíÿÿ ãðàíü.

Òîãäà ñóùåñòâóåò òàêàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü

{zk , k ∈ N}

÷òî

|f (zk )| → M, k → ∞

(òàêæå èç ìàò. àíàëèçà).

Åñëè

|zk |

íå îãðàíè÷åíû, òî èç ýòîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ìîæíî âûáðàòü ïîäïî-

ñëåäîâàòåëüíîñòü, ñòðåìÿùóþñÿ ê áåñêîíå÷íîñòè. Ïåðåõîäîì ê ýòîé ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòè äîáèâàåìñÿ òîãî, ÷òî

126

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА

ФОНД

ВОЛЬНОЕ ДЕЛО

|zk | → ∞.

ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU

Òîãäà ïî ëåììå î âîçðàñòàíèè ìîäóëÿ

|f (zk )| → ∞ - ïðîòèâîðå÷èå ñ òåì, ÷òî M 6= ∞.

Çíà÷èò, ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ìîäóëåé íå ìîæåò áûòü íåîãðàíè÷åíà.

|zk |

îãðàíè÷åíà, ò.å.

∃C : |zk | < C . ∀k : zk = xk + iyk .

Òîãäà

|xk | ≤ |zk | < C, |yk | ≤ |zk | < C. Ïî òåîðåìå Áîëüöàíî-Âåéåðøòðàññà èç ïîñëåäîâàòåëüíîñòè äÿùóþñÿ ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü. Äàëåå ñ÷èòàåì

xk

ìîæíî âûáðàòü ñõî-

xk → x0 .

Òåïåðü ïðèìåíèì òåîðåìó Áîëüöàíî-Âåéåðøòðàññà ê ýòîé ïîäïîñëåäîâàòåëüíî-

yk :

ñòè äëÿ

ïåðåõîäÿ ê ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòè, ñ÷èòàåì, ÷òî

Âàæíîå çàìå÷àíèå: ó íàñ åñòü äâå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè

yk → y0 .

|xk | ≤ |zk | < C

è

|yk | ≤

|zk | < C . Ïî òåîðåìå Áîëüöàíî-Âåéåðøòðàññà èç íèõ îáåèõ ìîæíî âûáðàòü ñõîäÿùóþñÿ ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü, íî ñäåëàòü ýòî íóæíî îäíîâðåìåííî.

xk

Âåäü ìîæåò îêàçàòüñÿ, íàïðèìåð, òàê, ÷òî èç ìåðàìè, à èç

yk

âûáðàëè ýëåìåíòû ñ ÷åòíûìè íî-

- ñ íå÷åòíûìè. Òîãäà èç íèõ íåâîçìîæíî áóäåò âûáðàòü îáùóþ

ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü, ÷òîáû îíè îáå èìåëè ïðåäåë.

Òîãäà ïî ëåììå 17.19

zk = xk + iyk → z0 = x0 + iy0 . Òîãäà

|f (zk )| → |f (z0 )|. zk : |f (zk )| → M, k → ∞. Ïîòîì ìû, ïðàâäà, ïåðåøëè ê ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòÿì, íî åñëè |f (zk )| → M , òî è ëþáàÿ ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü áóäåò ñõîäèòüñÿ ê M .

C äðóãîé ñòîðîíû, ìû âûáèðàëè

Îòñþäà

|f (zk )| → |f (z0 )| = M. Èòàê, ìû äîêàçàëè, ÷òî

inf |f (z)|

z∈C

äîñòèãàåòñÿ:

∃z0 ∈ C : f (z0 ) = inf |f (z)|. z∈C

|f (z0 )| = 0 ⇒ f (z0 ) = 0 ⇒ z0

Åñëè

M = 0,

Åñëè

M > 0, òî ïî ëåììå Äàëàìáåðà ∃z : |f (z)| < |f (z0 )| = M . Íî M

òî

íèæíÿÿ ãðàíü - ïðîòèâîðå÷èå.

127

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА

ФОНД

ВОЛЬНОЕ ДЕЛО

- êîðåíü.

- ýòî òî÷íàÿ

ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU

Òåîðåìà Ðóôôèíè - Àáåëÿ. Îòäåëåíèå êðàòíûõ êîðíåé. Òåîðåìà 17.32.

(Ðóôôèíè - Àáåëÿ)

Îáùåå óðàâíåíèå ñòåïåíè

≥5

íå ðàçðåøèìî â ðàäèêàëàõ.

Äîêàçàòåëüñòâî. Áåç äîêàçàòåëüñòâà. Ýòà òåîðåìà íå âõîäèò â ïðîãðàììó ýêçàìåíà. Ïîëó÷àåòñÿ, ÷òî ïî îñíîâíîé òåîðåìå àëãåáðû ó îáùåãî óðàâíåíèÿ ñòåïåíè

≥5

åñòü êîðåíü, íî ïî òåîðåìå Ðóôôèíè - Àáåëÿ íàéòè åãî íåëüçÿ.

Òåðìèí "îáùåå óðàâíåíèå " ìîæíî ïîíèìàòü äâóìÿ ñïîñîáàìè, è îáà áóäóò âåðíûìè äëÿ äàííîé òåîðåìû.

1) Äëÿ óðàâíåíèÿ

an xn + . . . + a1 x + a0 = 0 íå ñóùåñòâóåò ôîðìóëû, âûðàæàþùåé êîðåíü

x

÷åðåç êîýôôèöèåíòû

ai .

2) Ïóñòü êîýôôèöèåíòû â óðàâíåíèè

an x n + . . . + a1 x + a0 = 0 âûáðàíû ñëó÷àéíî. Òîäà ó ýòîãî óðàâíåíèÿ áóäóò êîðíè, îäíàêî îíè íå ëåæàò â òîì ìíîæåñòâå êîìïëåêñíûõ ÷èñåë, êîòîðîå ìîæíî ïîëó÷èòü èç ìíîæåñòâà êîýôôèöèåíòîâ, âû÷èòàÿ, ñêëàäûâàÿ, óìíîæàÿ, äåëÿ è èçâëåêàÿ êîðíè.

 äàëüíåéøåì ìû áóäåì ïûòàòüñÿ îáîéòè ýòî îãðàíè÷åíèå äëÿ ðàçëè÷íûõ ÷àñòíûõ ñëó÷àåâ.

Èìååò ëè ìíîãî÷ëåí

f (z) ∈ C[z]

êðàòíûå êîðíè?

Àëãîðèòì íàõîæäåíèÿ êðàòíûõ êîðíåé:

f, f 0 ).

Ñ ïîìîùüþ àëãîðèòñÿ Åâêëèäà íàõîäèì ÍÎÄ(

Åñëè ÍÎÄ(

f, f 0 )

ðàâåí êîíñòàíòå, òî êðàòíûõ êîðíåé íåò.

Èíà÷å åñòü.

Äîêàçàòåëüñòâî.

f (z) = α(z − z1 )k1 . . . (z − zs )ks , k1 + . . . + ks = n. (f, f 0 ) = β(z − z1 )k1 −1 . . . (z − zs )ks −1 (f, f 0 ) = const ⇔ k1 = . . . = ks = 1.

128

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА

ФОНД

ВОЛЬНОЕ ДЕЛО

ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU

Îòäåëåíèå êðàòíûõ êîðíåé:

Ïðåîáðàçóåì ìíîãî÷ëåí

f → fe = Ìíîãî÷ëåí

fe íàçûâàåòñÿ

f

ñëåäóþùèì îáðàçîì:

f (f, f 0 )

ìíîãî÷ëåíîì, ïîëó÷åííûì â ðåçóëüòàòå îòäåëåíèÿ êðàò-

íûõ êîðíåé.

Ñðàçó âèäíî, ÷òî ìíîãî÷ëåí

fe èìååò

òå æå êîðíè, ÷òî è

f,

íî êðàòíîñòè 1:

α fe = (z − z1 ) . . . (z − zs ) β Êîðíè ìíîãî÷ëåíà áîëüøîé ñòåïåíè ìîæíî ïðîáîâàòü èñêàòü ïðèáëèæåííî, äëÿ ýòîãî ñóùåñòâóþò àëãîðèòìû, ïîçâîëÿþùèå íàéòè ÷èñëà, ñêîëü óãîäíî áëèçêèå ê êîðíÿì.

×òîáû íàéòè òî÷íîå çíà÷åíèå êîðíÿ, ìîæíî ïîïðîáîâàòü íàéòè ÍÎÄ

(f, f 0 )

è îò-

äåëèòü êðàòíûå êîðíè. Åñòü âåðîÿòíîñòü, ÷òî ïîñëå ýòîãî ñòåïåíü ìíîãî÷ëåíà óìåíüøèòñÿ äî ìåíüøåé 5, è êîðíè ìîæíî áóäåò íàéòè ïî èçâåñòíûì ôîðìóëàì. Òîãäà ìû òàêæå íàéäåì âñå êîðíè ìíîãî÷ëåíà

f , à çàòåì è èõ êðàòíîñòè ñ ïîìîùüþ

ñõåìû Ãîðíåðà.

129

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА

ФОНД

ВОЛЬНОЕ ДЕЛО

ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU

Ëåêöèÿ 18 Íåïðèâîäèìûå ìíîãî÷ëåíû. Íàïîìíèì îïðåäåëåíèå íåïðèâîäèìîãî ìíîãî÷ëåíà: Ïóñòü

F

- ëþáîå ïîëå, òîãäà ìíîãî÷ëåí

p(x), deg p > 0 íàä ýòèì ïîëåì íåïðèâîäèì,

åñëè îí íå ðàçëàãàåòñÿ íà ìíîæèòåëè:

p(x) = p1 (x)p2 (x) ⇒ p1 (x) = const 6= 0 èëè p2 (x) = const 6= 0. Òàêæå áûëî äîêàçàíî, ÷òî â ëþáîì åâêëèäîâîì êîëüöå ðàçëîæåíèå íà íåïðèâîäèìûå ìíîæèòåëè îäíîçíà÷íî, çíà÷èò, â êîëüöå ìíîãî÷ëåíîâ ëþáîé ìíîãî÷ëåí îäíîçíà÷íî ðàçëàãàåòñÿ íà íåïðèâîäèìûå ìíîæèòåëè.

Êàê óñòðîåíû íåïðèâîäèìûå ìíîãî÷ëåíû íàä ïîëåì

F?

Íàä ìíîãèìè ïîëÿìè ýòà çàäà÷à íå èìååò ïðîñòîãî îòâåòà - îïèñàòü âñå òàêèå ìíîãî÷ëåíû áûâàåò äîâîëüíî ñëîæíî.

Âàæíàÿ íåïðàâèëüíàÿ òåîðåìà

f (x) ∈ F [x]

Ìíîãî÷ëåí

⇒)

Äîêàçàòåëüñòâî. (

íåïðèâîäèì

⇔ f (x)

íå èìååò êîðíåé íàä ïîëåì

F.

ïîéìåì, ïî÷åìó îíà íå âåðíà â ýòó ñòîðîíó.

Îáùèé âèä ëèíåéíîãî ìíîãî÷ëåíà ñ òî÷íîñòüþ äî àññîöèèðîâàííîñòè:

x − α. Ëèx = α.

íåéíûé ìíîãî÷ëåí íåïðèâîäèì íàä ëþáûì ïîëåì, îäíàêî âñåãäà èìååò êîðåíü

Ýòî èñêëþ÷åíèå ÿâëÿåòñÿ åäèíñòâåííûì äëÿ äàííîé èìïëèêàöèè ïî òåîðåìå Áåçó.

⇒)

Ò.å. (

(

⇐)

Ïóñòü

âåðíà, åñëè

deg f ≥ 2.

òåïåðü ïîêàæåì, ïî÷åìó íåâåðíà îáðàòíàÿ èìïëèêàöèÿ.

p(x)

- íåïðèâîäèìûé ìíîãî÷ëåí ñòåïåíè

Òîãäà ìíîãî÷ëåí

2

p (x)

Ïðèìåð. F = R

≥ 2.

ïðèâîäèì, íî êîðíåé íå èìååò.

èëè

Q, (x2 + 1)2

- ïðèìåð ìíîãî÷ëåíà, äëÿ êîòîðîãî òåîðåíà íå

âåðíà.

Çàäà÷à.

Âàæíàÿ íåïðàâèëüíàÿ òåîðåìà âåðíà, åñëè

deg f = 2, 3.

 ýòîì ñëó÷àå, åñëè ìíîãî÷ëåí f (x) ðàçëàãàåòñÿ íà ëèíåéíûå ìíîæèòåëè f (x) = f1 (x)f2 (x), òî ëèáî deg f1 = 1, ëèáî deg f2 = 1. Ýòî çíà÷èò, ÷òî ñóùåñòâóåò ëèíåéíûé ìíîæèòåëü. Òîãäà äëÿ ýòèõ ìíîãî÷ëåíîâ æèòåëü"

⇔

f (x)

íåïðèâîäèìûì

⇔

"íå îòùåïëÿòü ëèíåéíûé ìíî-

íå èìåòü êîðíÿ.

Ðàññìîòðèì êàê óñòðîåíû íåïðèâîäèìûå ìíîãî÷ëåíû íàä êîíêðåòíûìè ïîëÿìè.

130

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА

ФОНД

ВОЛЬНОЕ ДЕЛО

ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU

Íåïðèâîäèìûå ìíîãî÷ëåíû íàä C è R. Íàä C (íàä ëþáûì àëãåáðàè÷åñêè çàìêíóòûì ïîëåì). Íåïðèâîäèìûå ìíîãî÷ëåíû

⇔

ëèíåéíûå ìíîãî÷ëåíû

x − α.

Íàä R. Íåïðèâîäèìûå ìíîãî÷ëåíû

⇔

ëèíåéíûå ìíîãî÷ëåíû

x−α

è

x2 + bx + c, D < 0.

Äîêàçàòåëüñòâî. ßñíî, ÷òî òàêèå ìíîãî÷ëåíû íåïðèâîäèìû. Íóæíî äîêàçàòü, ÷òî âñå îñòàëüíûå ìíîãî÷ëåíû áóäóò ïðèâîäèìûìè, íàïðèìåð, äåëÿòñÿ íà îäèí èç òàêèõ (ëèíåéíûõ èëè êâàäðàòíûõ ñ îòðèöàòåëüíûì äèñêðèìèíàíòîì).

Ïóñòü

p(x) ∈ R[x]\R. Òîãäà (x − α) p(x).

ïî îñíîâíîé òåîðåìå àëãåáðû

∃α ∈ C : p(α) = 0,

ñëåäîâàòåëüíî,

Ñëó÷àé 1.

α ∈ R.

Ñëó÷àé 2.

α ∈ C\R.

Ñëåäñòâèå 18.16.

Òîãäà äîêàçàíî.

Ëþáîé ìíîãî÷ëåí íàä

ëèíåéíûõ è êâàäðàòíûõ (

D < 0)

R îäíîçíà÷íî ðàçëàãàåòñÿ â ïðîèçâåäåíèå

ìíîæèòåëåé

Äîêàçàòåëüñòâî.

Ëåììà 18.23. f (x) ∈ R[x], α ∈ C, f (α) = − ⇒ f (α) = 0. Äîêàçàòåëüñòâî. Äîêàçàòåëüñòâî ëåììû.

f (x) = an xn + . . . + a1 x + a0 , ai ∈ R. f (α) = an αn + . . . + a1 α + a0 = an αn + . . . + a1 α + a0 = = an αn + . . . + a1 α + a0 = an αn + . . . + a1 α + a0 = 0 = 0. | {z } =0

(x − α) p(x). Íî ìíîæèòåëè (x − α) è (x − α) - ðàçíûå íåïðèâîäèìûå ìíîæèòåëè (ïîêîëüêó α 6= α, îíè íå ïðîïîðöèîíàëüíû). 2 2 Òîãäà (x − α)(x − α) p(x), ïðè ýòîì (x − α)(x − α) = x + (−α − α)x + αα = x + bx + c - âåùåñòâåííûé ìíîãî÷ëåí ñ D < 0. Èòàê,

(x − α) p(x)

è

Áîëåå ïîäðîáíî: Ïóñòü

α = a + ib, α = a − ib. −α − α = −a − ib − a + ib = −2a ∈ R; αα = (a + ib)(a − ib) = a2 + b2 ∈ R. 131

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА

ФОНД

ВОЛЬНОЕ ДЕЛО

ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU

Ïðè ýòîì êîðíè óðàâíåíèÿ

x2 + bx + c = 0

êîìïëåêñíûå, ïîýòîìó

D < 0.

Ñëåäñòâèå äîêçààíî.

Ñëåäñòâèå 18.17. f (x) inR[x], deg f (x)

íå÷åòíà

f (x)

èìååò êîðåíü â

R.

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïåðâûé âàðèàíò äîêàçàòåëüñòâà.  ðàçëîæåíèè íà íåïðèâîäèìûå âñå ìíîæèòåëè íå ìîãóò áûòü êâàäðàòè÷íûìè. Òîãäà åñòü ëèíåéíûé ìíîæèòåëü

⇔

åñòü âåùåñòâåííûé êîðåíü.

Âòîðîé âàðèàíò äîêàçàòåëüñòâà.

f (x) = x2n+1 + a2n x2n + . . . + a1 x + a0 Óòâåðæäàåòñÿ, ÷òî ïðè

x → +∞ f (x) → +∞,

ïðè

x → −∞ f (x) → −∞.

Ïî òåîðåìå î ïðîìåæóòî÷íîì çíà÷åíèè íåïðåðûâíîé ôóíêöèè ìíîãî÷ëåí ïðèìåò çíà÷åíèå

0,

à ýòî è îçíà÷àåò èìåòü âåùåñòâåííûé êîðåíü.

Íåïðèâîäèìûå ìíîãî÷ëåíû íàä Q. Íàä Q. Êëàññèôèêàöèÿ ìíîãî÷ëåíîâ íàä

Ôàêò:

xn + 2

íåïðèâîäèì íàä

Q

- ñëîæíàÿ çàäà÷à.

Q ∀n ≥ 2.

Ýòîò ôàêò ñëåäóåò èç êðèòåðèÿ Ýéçåíøòåíà è áóäåò ðàññìîòðåí â 3 ñåìåñòðå.

Òåîðåìà 18.33.

Ïóñòü

f (x) ∈ Z[x],

ò.å.

f (x) = an xn + . . . + a1 x + a0 , ai ∈ Z. Òîãäà

x=

u , u, v ∈ Z, (u, v) = 1 v

ÿâëÿåòñÿ êîðíåì

132

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА

ФОНД

ВОЛЬНОЕ ДЕЛО

f (x) ⇒ u a0 , v an .

ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU

Ñëåäñòâèå 18.18.

(àëãîðèòì íàõîæäåíèÿ âñåõ êîðíåé

f (x) ∈ Q[x])

1)

f (x) ∈ Q[x] ⇒ g(x) ∈ Z[x] Ïåðåéòè îò ìíîãî÷ëåíà ñ ðàöèîíàëüíûìè êîýôôèöèåíòàìè ê ìíîãî÷ëåíó ñ öåëûìè êîýôôèöèåíòàìè, äîìíîæèâ íà ÍÎÊ çíàìåíàòåëåé ðàöèîíàëüíûõ êîýôôèöèåíòîâ. Ïîíÿòíî, ÷òî êîðíè îò ýòîãî íå èçìåíÿòñÿ.

2) Ïåðåáðàòü âñå ïàðû

(u, v) : u a0 , v an .

Ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî

a0 6= 0, an 6=

0. an 6= 0 êàê ñòàðøèé ÷ëåí. Åñëè a0 = 0, òî 0 ÿâëÿåòñÿ

êîðíåì. Ðàçäåëèâ óðàâíåíèå íà

x

â ïîäõîäÿùåé

ñòåïåíè, ïîëó÷èì óðàâíåíèå ñ íåíóëåâûì ñâîáîäíûì ÷ëåíîì, ëèáî êîðíÿìè óðàâíåíèÿ áóäóò òîëüêî íóëè.

Ìíîæåñòâî äåëèòåëåé

(u, v)

an

a0

è

êîíå÷íî, ñëåäîâàòåëüíî, è êîëè÷åñòâî ïàð

êîíå÷íî.

3) Ïîäñòàâèòü âñå äðîáè

u v

â

g(x)

è íàéòè êîðíè.

4) (ñõåìà Ãîðíåðà) Íàéòè êðàòíîñòè ïîëó÷åííûõ êîðíåé. Çàìåòèì, ÷òî åñëè ìû íàøëè âñå êîðíè ìíîãî÷ëåíà, ýòî åùå íå çíà÷èò, ÷òî ìíîãî÷ëåí ðàñïàëñÿ íà ëèíåéíûå ìíîæèòåëè. Âîçìîæíî, â ðàçëîæåíèè áóäåò ïðèñóòñòâîâàòü ìíîæèòåëü, êîòîðûé êîðíåé íàä äàííûì ïîëåì íå èìååò.

Ôàêò(ïîäðîáíåå

â ó÷. Âèíáåðãà)

Ñóùåñòâóåò àëãîðèòì (Äåäåêèíäè) ðàçëîæåíèÿ ìíîãî÷ëåíà âîäèìûå ìíîæèòåëè íàä

f (x) ∈ Q[x]

íà íåïðè-

Q.

Òåîðåìà 18.33 - ÷àñòü ýòîãî àëãîðèòìà, ïîçâîëÿþùàÿ íàéòè ëèíåéíûå ìíîæèòåëè ðàçëîæåíèÿ. Îñòàâøóþñÿ ÷àñòü òàêæå íóæíî ðàçëîæèòü íà íåïðèâîäèìûå ìíîæèòåëè áîëåå âûñîêèõ ñòåïåíåé, è àëãîðèòì Äåäåêèíäè îïèñûâàåò ýòîò ïðîöåññ.

Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 18.33:

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîäñòàâëÿÿ

u v

â

0 = an

f (x),

ïîëó÷àåì

un u + . . . + a1 + a0 , n v v 133

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА

ФОНД

ВОЛЬНОЕ ДЕЛО

ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU

0 = an un + . . . + a1 uv n−1 +a0 v n {z } | äåëèòñÿ íà u

u a0 v n . u a0 .

Îòñþäà Òîãäà

Íî

(u, v) = 1,

çíà÷èò,

(u, v n ) = 1.

Àíàëîãè÷íî

0 = an un + an−1 un−1 v . . . + a1 uv n−1 + a0 v n | {z } äåëèòñÿ íà v

Îòñþäà

v an u

n

⇒ v an .

Òåîðåìà Äåêàðòà. a0 , a1 , . . . , an

Ïóñòü

- ïîñëåäîâàòåëüíîñòü âåùåñòâåííûõ ÷èñåë. Ãîâîðÿò, ÷òî íà

ì ìåñòå â ïîñëåäîâàòåëüíîñòè èìååòñÿ ïåðåìåíà çíàêà, åñëè

ak 6= 0

è çíàê ÷èñëà

kak

ïðîòèâîïîëîæåí çíàêó ïîñëåäíåãî èç ïðåäøåñòâóþùèõ åìó íåíóëåâûõ ÷ëåíîâ ýòîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè. Åñëè

ak

- ïåðâûé íåíóëåâîé ýëåìåíò, òî ñìåíû çíàêà íà ìåñòå

k

íåò.

Ïðèìåð.

3 0 − 1 −2 0 3 0 Èäåì ñïðàâà íàëåâî è îòìå÷àåì ìåñòà ïåðåìåíû çíàêà. Ïîëó÷àåì, ÷òî ÷èñëî ïåðåìåí çíàêà ðàâíî äâóì.

Òåîðåìà 18.34. Äåêàðòà

(Ðåíå Äåêàðò, 1596 - 1650)

×èñëî ïîëîæèòåëüíûõ êîðíåé (ñ ó÷åòîì êðàòíîñòè) ìíîãî÷ëåíà

f (x) ∈ R[x]

íå

ïðåâîñõîäèò ÷èñëà ïåðåìåí çíàêà â ïîñëåäîâàòåëüíîñòè åãî êîýôôèöèåíòîâ è ñðàâíèìî ñ íèì ïî ìîäóëþ 2; åñëè âñå êîðíè

f (x)

âåùåñòâåííû, òî ýòè ÷èñëà ðàâíû.

Ïðåäèñëîâèå ê äîêàçàòåëüñòâó:

Áóäåì èñêàòü îòäåëüíî êîðíè ñðåäè ïîëîæèòåëüíûõ ÷èñåë, îòðèöàòåëüíûõ ÷èñåë è â íóëå.

Èñêàòü íóëåâûå êîðíè ëåãêî. Êðàòíîñòü íóëåâîãî êîðíÿ ðàâíà ìàêñèìàëüíîé ñòåïåíè

x, íà êîòîðóþ äåëèòñÿ ìíîãî÷ëåí (â ò.÷. íóëåâàÿ êðàòíîñòü, åñëè 0 íå ÿâëÿåòñÿ

êîðíåì).

134

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА

ФОНД

ВОЛЬНОЕ ДЕЛО

ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU

Åñëè ìû íàéäåì âñå ïîëîæèòåëüíûå êîðíè, òî íàéòè îòðèöàòåëüíûå òàêæå áóäåò íåñëîæíî. Äëÿ ýòîãî íóæíî çàìåíèòü

f (x) = an xn + . . . + a1 x + a0 íà

f (−x) = an (−x)n + . . . + a1 (−x) + a0 è ïîâòîðèòü òó æå ïðîöåäóðó íàõîæäåíèÿ ïîëîæèòåëüíûõ êîðíåé äëÿ ýòîãî ìíîãî÷ëåíà.

Íàéäåì ïîëîæèòåëüíûå êîðíè ìíîãî÷ëåíà

f (x) = an xn + . . . + a1 x + a0 . Ñ÷èòàåì, ÷òî

a0 6= 0,

òîãäà èìååì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü êîýôôèöèåíòîâ

an an−1 . . . a1 a0 . Ñóùåñòâóåò åùå áîëåå ñèëüíàÿ òåîðåìà. Åå ìû íå áóäåì äîêàçûâàòü, òîëüêî ñôîðìóëèðóåì ñóòü:

Òåîðåìà 18.35.

Øòóðìà (ó÷åáíèê Êîñòðèêèíà)

Ïóñòü äàí îòðåçîê

è ìíîãî÷ëåí

[a, b]

íà âåùåñòâåííîé ïðÿìîé

f (x) ∈ R[x].

Òîãäà òåîðåìà Øòóðìà ïîçâîëÿåò íàéòè òî÷íîå êî-

ëè÷åñòâî êîðíåé èç îòðåçêà

[a, b].

Ýòà òåîðåìà ïðàêòè÷åñêè óæå ïîçâîëÿåò äîêàçàòü òåîðåìó Äåêàðòà, ïîòîìó ÷òî ìîæíî ïðèíÿòü

a = 0,

à

b

îòîäâèãàòü íà ñêîëü óãîäíî áîëüøîå ðàññòîÿíèå.

Íà ñàìîì äåëå, âñåãäà ñóùåñòâóåò òàêîå

b,

ïðàâåå êîòîðîãî êîðíåé íå áûâàåò, ïî-

ýòîìó ïðàâàÿ ãðàíèöà îòðåçêà âñåãäà áóäåò êîíå÷íîé.

Äàëåå ìîæíî ðàçáèâàòü îòðåçîê

[a, b]

íà áîëåå ìàëåíüêèå, èññëåäîâàòü, â êàêèå

èç íèõ ïîïàäàþò êîðíè è íàõîäèòü èõ ñ áîëåå âûñîêîé òî÷íîñòüþ.

Èòàê, òåîðåìà Øòóðìà ïîçâîëÿåò ïðèáëèæåííî íàõîäèòü êîðíè ìíîãî÷ëåíà.

Ïåðåõîäèì òåïåðü ê äîêàçàòåëüñòâó òåîðåìû Äåêàðòà. Ñíà÷àëà ââåäåì íóæíûå îáîçíà÷åíèÿ è äîêàæåì íåñêîëüêî âñïîìîãàòåëüíûõ óòâåðæäåíèé.

Îáîçíà÷åíèå: N (f ) - ÷èñëî ïîëîæèòåëüíûõ êîðíåé ìíîãî÷ëåíà f (x). L(f ) - ÷èñëî ïåðåìåí çíàêà â ïîñëåäîâàòåëüíîñòè êîýôôèöèåíòîâ ìíîãî÷ëåíà f (x) : an = 1, a0 6= 0.

135

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА

ФОНД

ВОЛЬНОЕ ДЕЛО

ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU

Ëåììà 18.24.

N (f ) ≡ L(f )

mod 2

Äîêàçàòåëüñòâî.

f (x) = xn + an−1 xn−1 + . . . + a1 x + a0 , a0 6= 0. f (0) = a0 .

x → +∞ f (x) → +∞. ÷òî ïðè x >> 0 f (x) ïðèíèìàåò

Ïðè

Ýòî îçíà÷àåò,

òîëüêî ïîëîæèòåëüíûå çíà÷åíèÿ.

Ïðè äâèæåíèè âïðàâî ïðè ïðîõîæäåíèè êîðíÿ êðàòíîñòè íà

k

(−1)

k çíàê f (x) óìíîæàåòñÿ

.

Ñìåíà çíàêà ìîæåò ïðîèñõîäèòü òîëüêî êîðíÿõ, ò.ê. äëÿ ýòîãî ãðàôèêó íóæíî ïåðåñå÷ü îñü

Ox. Îäíàêî íå â êàæäîì êîðíå ïðîèñõîäèò ñìåíà çíàêà, à òîëüêî â êîðíÿõ

íå÷åòíîé êðàòíîñòè. Ðàññìîòðèì ãðàôèê ôóíêöèè

y = xk .

k.  îêðåñòíîñòè íóëÿ ìîæíî ïåðåðàçëîæèòü ìíîãî÷ëåí â òî÷êå x − α, òîãäà ëîêàëüíî k îí áóäåò âåñòè ñåáÿ òàê æå êàê x . Âèäíî, ÷òî ñìåíà çíàêà ïðîèñõîäèò òîëüêî ïðè íå÷åòíîì

N (f ) íå÷åòíî, åñëè a0 < 0. Ýòî ñëåäóåò èç âèäà ãðàôèêà ôóíêöèè f (x). Åñëè, íàïðèìåð, a0 > 0, òî ïðè x → +∞ Ïîýòîìó

N (f )

÷åòíî, åñëè

a0 > 0

è

136

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА

ФОНД

ВОЛЬНОЕ ДЕЛО

ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU

äîëæíî áûòü âûïîëåíåíî

f (x) → +∞, à ýòî çíà÷èò, ÷òî ÷èñëî ïåðåìåí çíàêà äîëæ-

íî áûòü ÷åòíûì.

Òî æå ñàìîå âåðíî äëÿ

L(f ).

Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü êîýôôèöèåíòîâ èìååò âèä

1 an−1 . . . a1 a0 . Çäåñü

1 > 0,

ñëåäîâàòåëüíî, ïðè

a0 > 0

÷èñëî ïåðåìåí çíàêà ÷åòíî, à ïðè

a0 < 0

-

íå÷åòíî.

 èòîãå ïîëó÷èëè:

N (f ) ≡ L(f ) mod 2.

Ëåììà 18.25.

N (f ) ≤ N (f 0 ) + 1

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïî òåîðåìå Ðîëëÿ ìåæäó ëþáûìè äâóìÿ êîðíÿìè ìíîãî÷ëåíà

f (x)

ëåæèò êîðåíü

f 0 (x).

Ïðè äèôôåðåíöèðîâàíèè êðàòíîñòü êîðíÿ ïàäàåò íà 1:

[αi , αi+1 ] åñòü õîòÿ áû îäèí êîðåíü f 0 (x). Îáùåå ÷èñëî êîðíåé k1 + . . . + ks − s + s − 1, ò.ê. ÷èñëî òàêèõ îòðåçêîâ s − 1.

Íà êàæäîì îòðåçêå ïðîèçâîäíîé ðàâíî

Ïîëó÷èëè, ÷òî åñëè íà êàæäîì îòðåçêå ïî îäíîìó êîðíþ, òî

N (f ) − 1 = N (f 0 ).

Íåðàâåíñòâî âîçíèêàåò, ïîòîìó ÷òî íà êàæäîì îòðåçêå ìîæåò îêàçàòüñÿ áîëüøå îäíîãî êîðíÿ ïðîèçâîäíîé.

Ëåììà 18.26.

L(f 0 ) ≤ L(f )

Äîêàçàòåëüñòâî. Ðàññìîòðèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòè êîýôôèöèåíòîâ:

f (x) : an an−1 . . . a1 a0 , f 0 (x) : nan (n − 1)an−1 . . . 2a2 a1 . Ïîýòîìó ñ òî÷êè çðåíèÿ ñìåíû çíàêà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü äëÿ ïðîèçâîäíîé - ýòî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü äëÿ ìíîãî÷ëåíà áåç ñâîáîäíîãî ÷ëåíà. Åñëè óáðàòü ïåðåìåí çíàêà ìîæåò òîëüêî óìåíüøèòüñÿ. 137

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА

ФОНД

ВОЛЬНОЕ ДЕЛО

a0 ,

÷èñëî

ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU

Ëåììà 18.27.

fe(x) = (−1)n f (−x). Òîãäà

L(f ) + L(fe) ≤ n.

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü êîýôôèöèåíòîâ äëÿ

f (x):

an an−1 . . . a1 a0 , Äëÿ

fe(x):

(−1)n (an − an−1 . . . − a1 a0 ).

Ïîäñòàâëÿÿ

−x â f (x), ìåíÿåì çíàêè ïðè íå÷åòíûõ ñòåïåíÿõ, à ïðè ÷åòíûõ ñòåïåíÿõ

çíàêè îñòàþòñÿ òàêèìè æå.

Ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî âñå

ai 6= 0.

Òîãäà ïðè êàæäîì

ai

ïðîèñõîäèò ðîâíî îäíà ïå-

ðåìåíà çíàêà ëèáî â ïåðâîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè, ëèáî âî âòîðîé.  ýòîì ñëó÷àå ïîëó÷èì

Åñëè ñðåäè

ai

L(f ) + L(fe) = n.

âñòðå÷àþòñÿ íóëè, òî

L(f ) + L(fe) ≤ n.

Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû Äåêàðòà Íàïîìíèì ôîðìóëèðîâêó: ×èñëî ïîëîæèòåëüíûõ êîðíåé (ñ ó÷åòîì êðàòíîñòè) ìíîãî÷ëåíà

f (x) ∈ R[x]

íå ïðåâîñõîäèò ÷èñëà ïåðåìåí çíàêà â ïîñëåäîâàòåëüíîñòè

åãî êîýôôèöèåíòîâ è ñðàâíèìî ñ íèì ïî ìîäóëþ 2; åñëè âñå êîðíè

f (x)

âåùåñòâåííû, òî ýòè ÷èñëà ðàâíû.

Äîêàçàòåëüñòâî. Äîêàçàíî, ÷òî

Äîêàæåì, ÷òî

L(f ) ≡ N (f ) mod 2.

N (f ) ≤ L(f ).

n. Áàçà. n = 0. N (f ) = L(f ) = 0. Øàã. n > 0. deg f = n − 1, òîãäà N (f ) ≤ N (f 0 ) + 1 ≤ L(f 0 ) + 1 Èíäóêöèÿ ïî

ïî ïðåäïîëîæåíèþ èíäóêöèè. Ïðè ýòîì

Íî

L(f 0 ) + 1 ≤ L(f ) + 1.

N (f ) = L(f ) + 1

èç-çà ÷åòíîñòè, ñëåäîâàòåëüíî,

N (f ) ≤ L(f ).

Ïåðâîå óòâåðæäåíèå äîêàçàíî.

Ïóñòü âñå êîðíè âåùåñòâåííûå (ñ÷èòàåì, ÷òî 0 íå êîðåíü). Òîãäà

n = N (f ) + N (fe) ≤ L(f ) + L(fe) ≤ n. Îòñþäà

N (f ) = L(f ). 138

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА

ФОНД

ВОЛЬНОЕ ДЕЛО

ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU

Ïðèìåð.

f (x) = x2 − x + 1 ×èñëî ïîëîæèòåëüíûõ êîðíåé

N (f ) = 0.

×èñëî ïåðåìåí çíàêà â ïîñëåäîâàòåëüíîñòè êîýôôèöèåíòîâ

L(f ) = 2.

N (f ) < L(f ). Âèäíî, ÷òî òåîðåìà Äåêàðòà íå ïîçâîëÿåò òî÷íî íàéòè êîëè÷åñòâî ïîëîæèòåëüíûõ êîðíåé.

139

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА

ФОНД

ВОЛЬНОЕ ДЕЛО

ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU

Ëåêöèÿ 19 Ïðåäâàðèòåëüíûå çàìå÷àíèÿ.  ïðåäûäóùèõ ëåêöèÿõ îáñóæäàëèñü ìíîãî÷ëåíû îò îäíîé ïåðåìåííîé íàä íåêîòîðûì ïîëåì êîýôôèöèåíòîâ. Áûëî äîêàçàíî, ÷òî ìíîãî÷ëåíû îò îäíîé ïåðåìåííîé îáðàçóþò åâêëèäîâî êîëüöî.  ÷àñòíîñòè, ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ìíîãî÷ëåíû ìîæíî áåç îãðàíè÷åíèé ñêëàäûâàòü, âû÷èòàòü, óìíîæàòü è äåëèòü ñ îñòàòêîì. Äåëèòü ìíîãî÷ëåíû íàöåëî, âîîáùå ãîâîðÿ, ïîëó÷àåòñÿ íå âñåãäà.

Àíàëîãè÷íàÿ ñèòóàöèÿ âîçíèêàåò è ñ äðóãèì åâêëèäîâûì êîëüöîì - êîëüöîì öåëûõ ÷èñåë.  ýòîì êîëüöå äåëåíèå òàêæå âîçìîæíî òîëüêî ñ îñòàòêîì, è äëÿ ïðåîäîëåíèÿ ýòîãî îãðàíè÷åíèÿ áûëè ââåäåíû ðàöèîíàëüíûå ÷èñëà. èç öåëûõ ÷èñåë îíè ñòðîÿòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:

∀r ∈ Q ; ∃m, n ∈ Z, n 6= 0 : r =

m , ò.å. r · n = m. n

Ðàâåíñòâî äðîáåé - ïðàâèëî ïðîïîðöèè

m m0 = 0 ⇔ m · n0 = m0 · n. n n Ïðåäñòàâëåíèå ðàöèîíàëüíîãî ÷èñëà â âèäå äðîáè íåîäíîçíà÷íî, îäíàêî äðîáè ðàçáèâàþòñÿ íà êëàññû ýêâèâàëåíòíîñòè, â êîòîðûõ äðîáè çàäàþò îäíî è òî æå ðàöèîíàëüíîå ÷èñëî. Ñëîæåíèå, âû÷èòàíèå, óìíîæåíèå è äåëåíèå îñóùåñòâëÿþòñÿ ïî èâåñòíûì ïðàâèëàì.

Ïðîöåäóðà ïåðåõîäà îò öåëûõ ÷èñåë ê ðàöèîíëüíûì ìîæåò áûòü îñóùåñòâëåíà áåç ñóùåñòâåííûõ èçìåíåíèé, åñëè êîëüöî öåëûõ ÷èñåë çàìåíèòü íà ëþáóþ îáëàñòü öåëîñòíîñòè.

Ïîëå äðîáåé. Ïóñòü

A

- ïðîèçâîëüíàÿ îáëàñòü öåëîñòíîñòè (ò.å. êîììóòàòèâíîå àññîöèàòèâíîå

êîëüöî ñ åäèíèöåé áåç äåëèòåëåé íóëÿ). Ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî

Ââåäåì íà

A × (A\{0})

A × (A\{0})

ïàð

(a, b),

ãäå

îòíîøåíèå ýêâèâàëåíòíîñòè:

(a, b) ∼ (a0 , b0 ),

åñëè

a · b0 = a0 · b.

Óáåäèìñÿ, ÷òî ýòî îòíîøåíèå ýêâèâàëåíòíîñòè: 1) Ðåôëåêñèâíîñòü î÷åâèäíà; 2) Ñèììåòðè÷íîñòü î÷åâèäíà; 140

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА

a, b ∈ A, b 6= 0.

ФОНД

ВОЛЬНОЕ ДЕЛО

ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU

3) Òðàíçèòèâíîñòü:

( a · b 0 = a0 · b (a, b) ∼ (a0 , b0 ) ∼ (a00 , b00 ) ⇒ a00 · b0 = a0 · b00

⇒

⇒ aa0 b0 b00 = a00 a0 b0 b ⇒ ab00 = a00 b ⇒ (a, b) ∼ (a00 , b00 ) Ïðè

a0 = 0

èìååì

( a · b0 = 0 a00 · b0 = 0 Ñëåäîâàòåëüíî,

ab00 = a00 b

ñîêðàòèì íà

è

b0 6= 0 ⇒ a = a00 = 0

(a, b) ∼ (a00 , b00 ).

Êëàññû ýêâèâàëåíòíîñòè ïàð íàçîâåì äðîáÿìè:

Ïðàâèëî ïðîïîðöèè:

a b

- êëàññ, ñîäåðæàùèé ïàðó

(a, b).

a0 a = 0 ⇔ a · b0 = a0 · b. b b

 ÷àñòíîñòè:

a ac = , c 6= 0. b bc Ìíîæåñòâî êëàññîâ ýêâèâàëåíòíîñòè A×(A\{0}) / ∼= Q(A) - ïîëå ÷àñòíûõ (ïîëå

äðîáåé).

Îïåðàöèè íà äðîáÿìè:

a c ad + bc + = b d bd ac a c · = b d bd Ïðîâåðêà êîððåêòíîñòè - ïðèìåð:

a a0 a0 c a0 d + b 0 c (a0 b)d + bb0 c ab0 d + bb0 c ad + bc a c = 0 ⇒ 0 + = = = = = + 0 0 0 b b b d bd bb d bb d bd b d Ò.î. åñëè ïðè ñëîæåíèè îäíó èç äðîáåé çàìåíèòü íà ðàâíóþ åé, òî è ðåçóëüòàò ïîëó÷èòñÿ ðàâíûé.

Ñâîéñòâà îïåðàöèé:

1) Êîììóòàòèâíîñòü, àññîöèàòèâíîñòü, äèñòðèáóòèâíîñòü. Âñå îíè ëåãêî ïðîâåðÿþòñÿ.

Èäåÿ äîêàçàòåëüñòâà: äðîáè ìîæíî ïðèâåñòè ê îáùåìó çíàìåíàòåëþ, òîãäà îñòàåòñÿ ïðîâåðèòü òîëüêî ñâîéñòâà îïåðàöèé íàä ÷èñëèòåëåì. 141

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА

ФОНД

ВОЛЬНОЕ ДЕЛО

ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU

2) Íóëåâîé ýëåìåíò:

Åäèíèöà:

1 1

0 ; 1

−a . b b b = , ∀a, b 6= 0. a

3) Ïðîòèâîâîïîëîæíûé ýëåìåíò:

Îáðàòíûé ýëåìåíò:

 a −1 b

Èòàê, ìû ïîêàçàëè, ÷òî

Q(A)

−

a

=

äåéñòâèòåëüíî ÿâëÿåòñÿ ïîëåì.

A ⊂ Q(A). Ìíîæåñòâî A íå ñîäåðæèòñÿ ôîðìàëüíî â ìíîæåñòâå äðîìîæíî â ïîëå Q(A) íàéòè ïîäêîëüöî, êîòîðîå ìîæíî îòîæäåñòâèòü ñ êîëü-

Âëîæåíèå áåé, íî öîì

A

(èçîìîðôíîå).

À èìåííî, ýëåìåíòó

a∈A

ñîïîñòàâèì äðîáü

a a : a → . 1 1

Ýòî äåéñòâèòåëüíî áóäåò âëîæåíèåì, ïîòîìó ÷òî ðàçíûì ýëåìåíòàì áóäóò ñîïîñòàâëÿòüñÿ ðàçíûå äðîáè:

a a0 = ⇒ a · 1 = 1 · a0 ⇒ a = a0 . 1 1 Âëîæåíèå òàêæå ñîãëàñîâàíî ñ àðèôìåòè÷åñêèìè îïåðàöèÿìè, ò.ê. ñëîæåíèå è óìíîæåíèå äðîáåé âèäà

a 1

ñâîäèòñÿ ê ñîîòâåòñâóþùèì îïåðàöèÿì íàä ÷èñëèòåëÿìè.

Çíà÷èò, ìîæíî îòîæäåñòâèòü ýëåìåíòû êîëüöà

a∈A

ñ äðîáÿìè

a . 1

∀q ∈ Q(A) ∃a, b ∈ A, b 6= 0 : q = a · b−1 .      −1 b a a 1 a = = = a · b−1 . ñàìîì äåëå, q = b 1 b 1 1

Òîãäà Â

Çàìå÷àíèå: äðîáíóþ ÷åðòó ìîæíî ïîíèìàòü êàê çíàê äåëåíèÿ.

Ïîëå ðàöèîíàëüíûõ äðîáåé. Ïðèìåðû 1)

A = Z, Q(A) = Q. 2)

A = F [x]

- êîëüöî ìíîãî÷ëåíîâ íàä ïîëåì

F , Q(F [x]) = F (x)

íàëüíûõ äðîáåé.

Ýëåìåíòû

F (x)

- ýòî ôîðìàëüíûå âûðàæåíèÿ âèäà

h(x) =

f (x) , f, g ∈ F [x], g 6= 0 g(x)

. 142

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА

ФОНД

ВОЛЬНОЕ ДЕЛО

- ïîëå ðàöèî-

ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU

Êîíå÷íî, ìîæíî áûëî áû ðàññìàòðèâàòü ôóíêöèè, ïîäñòàâëÿÿ âìåñòî êðåòíûå çíà÷åíèÿ èç ïîëÿ

F,

x

êîí-

F . Íî ýòà ôóíêöèÿ îïðåäåëåíà íå íà âñåì ìíîæåñòâå

à òîëüêî òàì, ãäå çíàìåíàòåëü íå îáðàùàåòñÿ â 0.

Ðàöèîíàëüíûå äðîáè ëó÷øå ðàññìàòðèâàòü êàê ôîðìàëüíûå âûðàæåíèÿ åùå è ïî ñëåäóþùåé ïðè÷èíå: Ìîæåò áûòü òàê, ÷òî äâå ðàçíûå (â ñìûñëå ïîëÿ äðîáåé, íå ðàâíûå ïî ïðàâèëó ïðîïîðöèè) äðîáè çàäàþò îäíó è òó æå ôóíêöèþ. Ýòî áûâàåò íàä êîíå÷íûìè ïîëÿìè. (Àíàëîãè÷íî ðàçíèöå ìåæäó ôîðìàëüíûì è ôóíêöèîíàëüíûì ðàâåíñòâîì ìíîãî÷ëåíîâ.) Íàøà ñëåäóþùàÿ öåëü - èçó÷èòü ñòðóêòóðó ðàöèîíàëüíûõ äðîáåé. Ðåçóëüòàòû, êîòîðûå áóäóò ïîëó÷åíû íèæå, èìåþò ïðèëîæåíèå, â îñíîâíîì, çà ïðåäåëàìè àëãåáðû (íàïðèìåð, â çàäà÷àõ ìàò. àíàëèçà). Òåì íå ìåíåå ýòè óòâåðæäåíèÿ ÷èñòî àëãåáðàè÷åñêèå, ïîýòîìó ðàññìàòðèâàþòñÿ â äàííîì êóðñå.

Îïðåäåëåíèå 19.76.

g

Ðàöèîíàëüíàÿ äðîáü

âçàèìíî ïðîñòû.

Ïðåäëîæåíèå 19.10.

f g

íàçûâàåòñÿ íåñîêðàòèìîé, åñëè

f

è

Ëþáàÿ ðàöèîíàëüíàÿ äðîáü ðàâíà íåêîòîðîé íåñîêðàòèìîé

äðîáè, îïðåäåëåííîé îäíîçíà÷íî ñ òî÷íîñòüþ äî óìíîæåíèÿ ÷èñëèòåëÿ è çíàìåíàòåëÿ íà êîíñòàíòó.

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü Òîãäà

f = f0 d, g = g0 d,

f ∈ F (x) è ÍÎÄ(f, g) = d. g ÍÎÄ(f0 , g0 ) = 1.

h=

ãäå

h= Åäèíñòâåíííîñòü. Ïóñòü

f0 d f0 = g0 d g0 f1 f0 = g0 g1

- íåñîêðàòèìàÿ äðîáü.

- òîæå íåñîêðàòèìàÿ äðîáü.

f0 g1 = g0 f1 f0 , çíà÷èò, è ïðàâàÿ ÷àñòü äåëèòñÿ íà f0 . Íî f0 ñëåäîâàòåëüíî, f1 äåëèòñÿ íà f0 .

Ëåâàÿ ÷àñòü äåëèòñÿ íà ïðîñòû,

f 1 = f 0 p.

è

g0

âçàèìíî

Ïîäñòàâèì ýòî âûðàæåíèå â ïðàâèëî ïðîïîðöèè:

f0 g1 = g0 f0 p ⇒ g1 = g0 p. Íî äðîáü

const.

f1 g1

íåñîêðàòèìà, ñëåäîâàòåëüíî, ó

Ïîëó÷àåì, ÷òî

èëè

Ðàöèîíàëüíàÿ äðîáü

f g

g1

íåò îáùèõ äåëèòåëåé. êðîìå

íàçûâàåòñÿ ïðàâèëüíîé, åñëè

f ≡ 0. 143

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА

è

p = const.

Îïðåäåëåíèå 19.77.

deg g

f1

ФОНД

ВОЛЬНОЕ ДЕЛО

deg f
deg r2 Ïîëó÷àåì ïðîòèâîðå÷èå ñ

(19.2) (çà èñêëþ÷åíèåì r2 = 0, q = q1 ).

ñëó÷àÿ, êîãäà â ëåâîé è ïðàâîé

÷àñòè ñòîÿò íóëè, ÷òî îçíà÷àåò

Èòàê,

q = q1 ,

r1 r = . g g1

Îïðåäåëåíèå 19.78.

F [x], k ∈ N,

Ïðîñòåéøàÿ äðîáü - ðàöèîíàëüíàÿ äðîáü âèäà

ïðè÷åì ìíîãî÷ëåí

p

íåïðèâîäèì è

deg h < deg p.

Ïðèìåðû 1)

F =C Ïðîñòåéøèå äðîáè:

2)

c , (x − z0 )k

ãäå

c, z0 ∈ C.

F =R Ïðîñòåéøèå äðîáè:

(x2

c , a, x0 ∈ R, k ∈ N; (x − x0 )k

dx + e , b2 − 4c < 0, b, c, d, e ∈ R, l ∈ N. + bx + c)l

144

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА

ФОНД

ВОЛЬНОЕ ДЕЛО

h , pk

ãäå

h, p ∈

ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU

Òåîðåìà 19.36. ãäå

p1 , . . . , p s

Äëÿ ëþáîé ïðàâèëüíîé äðîáè

F [x]

íåïðèâîäèìû â

f g

ñî çíàìåíàòåëåì

è ïîïàðíî íå ïðîïîðöèîíàëüíû,

g = pk11 . . . pks s , k1 , . . . , k s ∈ N ,

ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííîå ðàçëîæåíèå â ñóììó ïðîñòåéøèõ äðîáåé âèäà

f h11 h12 h1k h2k h21 h22 hs1 hs2 hsk = + 2 + . . . + k11 + + 2 + . . . + k22 + . . . + + 2 + . . . + kss g p1 p1 p2 p2 ps ps ps p1 p2 Äîêàçàòåëüñòâî.

Ëåììà 19.28. Òîãäà

f f1 = g g1

Ïóñòü

g = g1 g2 , g1

è

g2

âçàèìíî ïðîñòû.

- ïðàâèëüíûå äðîáè.

Äîêàçàòåëüñòâî. Äîêàçàòåëüñòâî ëåììû.

(g1 , g2 ) = 1 = u1 g1 + u2 g2 .

ÍÎÄ

Óìíîæèì íàøó ïðàâèëüíóþ äðîáü

f g

íà åäèíèöó, ïðåäñòàâëåííóþ â òàêîì âèäå:

f f (u1 g1 + u2 g2 ) f u1 g1 f u2 g2 f u1 f u2 = = + = + g g1 g2 g1 g2 g1 g2 g2 g1 Ïðåäñòàâèì êàæäóþ èç äâóõ ïîëó÷èâøèõñÿ äðîáåé â âèäå ñóììû ìíîãî÷ëåíà è ïðàâèëüíîé äðîáè:

f1 f2 f u1 f u2 + = q1 + + q2 + = q1 + q2 + | {z } g2 g1 g1 g2 ìíîãî÷ëåí

Íî âûðàæåíèå

(19.3),

ðàâíîå

è

f , g

f1 f2 + g1 g2 | {z }

(19.3)

ïðàâèëüíàÿ äðîáü

åñòü ïðàâèëüíàÿ äðîáü, ñëåäîâàòåëüíî,

q1 + q 2 = 0

f f1 f2 = + . g g1 g2

Ëåììà äîêàçàíà.

Ñëåäñòâèå 19.19.

ãäå

f1 f2 fs , k2 , . . . , ks k1 ps p1 p2

Ëåììà 19.29.

f1 f2 fs f = k1 + k2 + . . . + ks , g ps p1 p2 - ïðàâèëüíûå äðîáè.

Ïóñòü

p

- íåïðèâîäèìûé ìíîãî÷ëåí,

h pk

- ïðàâèëüíàÿ äðîáü.

Òîãäà ñóùåñòâóåò ðàçëîæåíèå â ñóììó ïðîñòåéøèõ äðîáåé

h h1 h2 hk = + 2 + ... + k. k p p p p

145

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА

ФОНД

ВОЛЬНОЕ ДЕЛО

ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU

Äîêàçàòåëüñòâî. Äîêàçàòåëüñòâî ëåììû. Èíäóêöèÿ ïî

Áàçà.

k=1

k. - äîêàçûâàòü íå÷åãî.

Øàã. Ïîäåëèì ñ îñòàòêîì

h = p·e h + hk , deg hk < deg p (èëèhk = 0). Òîãäà

h = pk

e h

+

pk−1 | {z }

ïðîñòàÿ äðîáü

hk pk |{z}

ïðîñòåéøàÿ äðîáü

Ê ïåðâîé äðîáè ìîæíî ïðèìåíèòü ïðåäïîëîæåíèå èíäóêöèè. Ëåììà äîêàçàíà. Ïåðåõîäèì ê äîêàçàòåëüñòâó òåîðåìû:

Ñóùåñòâîâàíèå ñëåäóåò èç ëåììû 19.29 è ñëåäñòâèÿ 19.19.

Åäèíñòâåííîñòü - áåç äîêàçàòåëüñòâà.

Ìíîãî÷ëåíû îò íåñêîëüêèõ ïåðåìåííûõ. Îïðåäåëåíèå 19.79.

Ìíîãî÷ëåí îò ïåðåìåííûõ

x1 , . . . , x n

íàä ïîëåì

F

- ýòî ôîð-

ìàëüíîå âûðàæåíèå âèäà

f (x) =

X k1 ,...,kn ∈Z≥0

ãäå

ak1 ,...,kn ∈ F

è

ak1 ,...,kn 6= 0

ak1 ,...,kn xk11 . . . xknn , | {z } | {z }

êîýôèöèåíòû îäíî÷ëåíû

ëèøü äëÿ êîíå÷íîãî ÷èñëà íàáîðîâ

(k1 , . . . , kn ).

Ìîæíî ñêàçàòü, ÷òî ìíîãî÷ëåí - ýòî ôîðìàëüíàÿ ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ îäíî÷ëåíîâ îò

n

ïåðåìåííûõ ñ êîýôôèöèåíòàìè èç èñõîäíîãî ïîëÿ

F.

Íàä òàêèìè ôîð-

ìàëüíûìè âûðàæåíèÿìè ìîæíî îñóùåñòâëÿòü îïåðàöèè ñëîæåíèÿ, óìíîæåíèÿ.

Ìíîãî÷ëåíû îò

n

ïåðåìåííûõ îáðàçóþò êîëüöî

Îïðåäåëåíèå 19.80.

Ñòåïåíü îäíî÷ëåíà

F [x1 , . . . , xn ].

u = xk11 . . . xknn

deg u = k1 + . . . + kn , degxi u = ki . Ñòåïåíü ìíîãî÷ëåíà

deg f

- ìàêñèìàëüíàÿ ñòåïåíü îäíî÷ëåíîâ, âõîäÿùèõ â

íåíóëåâûìè êîýôôèöèåíòàìè (àíàëîã÷èíî äëÿ

146

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА

ФОНД

ВОЛЬНОЕ ДЕЛО

degxi f ).

f

ñ

ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU

Îòëè÷èå ñòåïåíè ìíîãî÷ëåíà îäíîé ïåðåìåííîé îò ñòåïåíè ìíîãî÷ëåíà ìíîãèõ ïåðåìåííûõ ñîñòîèò â òîì, ÷òî â ïåðâîì ñëó÷àå ìîæíî âñå îäíî÷ëåíû ïî èõ ñòåïåíè îòëè÷èòü äðóã îò äðóãà; â ñëó÷àå æå ìíîãèõ ïåðåìåííûõ äâà ðàçíûõ îäíî÷ëåíà ìîãóò èìåòü îäèíàêîâûå ñòåïåíè. Ëåãêî ïðèâåñòè ïðèìåðû.

Òàêèì îáðàçîì, ñòåïåíü ÿâëÿåòñÿ ñëèøêîì ãðóáûì èíâàðèàíòîì äëÿ òîãî ÷òîáû õàðàêòåðèçîâàòü îòäåëüíûå îäíî÷ëåíû è óïîðÿäî÷èòü èõ.

Îïðåäåëåíèå 19.81.

Ëåêñèêîãðàôè÷åñêèé ïîðÿäîê íà îäíî÷ëåíàõ:

u = xk11 . . . xknn  v = xl11 . . . xlnn [u

ñòàðøå ÷åì

v],

åñëè

∃i ∈ {1, . . . , n} ∀j < i : kj = lj ,

íî

ki > li .

Ïðèìåð

u = x1 x22 x33 x24 x5  x1 x22 x23 x34 x45 = v deg u = 9, deg v = 12, degx3 u = 3, degx3 v = 2. Ýòî ïðèìåð ìíîãî÷ëåíà ìåíüøåé ñòåïåíè, êîòîðûé ñòàðøå. Èíîãäà ðàññìàòðèâàþò ìîäèôèêàöèþ ëåêñèêîãðàôè÷åñêîãî ïîðÿäêà, â êîòîðîé ìíîãî÷ëåíû ñíà÷àëà ñîðòèðóþòñÿ ïî ñòåïåíè, à óæå ïîòîì ëåêñêîãðàôè÷åñêè, îäíàêî íàì îíà íå ïîíàäîáÿòñÿ.

Ñâîéñòâà: 1) Äëÿ ëþáûõ äâóõ îäíî÷ëåíîâ

u, v

âûïîëåíåíî ðîâíî îäíî èç òðåõ:

ëèáî ëèáî ëèáî

u  v, u = v, u ≺ v.

2)

u  v  w ⇒ u  w. Äîêàçàòåëüñòâî.

k1 . . . . . . . . . kn

- íàþáð ñòåïåíåé äëÿ

u,

l1 . . . . . . . . . ln - íàþáð ñòåïåíåé äëÿ v , m1 . . . . . . . . . mn - íàþáð ñòåïåíåé äëÿ w. Ñìîòðèì îäíîâðåìåííî íà âñå íàáîðû ñëåâà íàïðàâî äî ïåðâîãî ðàçëè÷èÿ.

i-òîì ki < mi .

Ïóñòü ïåðâîå ðàçëè÷èå íà ñòâî ñòðîãîå. Îòñþäà

ìåñòå:

ki ≥ li ≥ mi ,

ãäå õîòÿ áû îäíî íåðàâåí-

3)

u  v ⇒ uw  vw Î÷åâèäíî, ò.ê. ïðè óìíîæåíèè íà

w

êî âñåì ïîêàçàòåëÿì ñòåïåíåé

áàâëÿþòñÿ îäíè è òå æå ÷èñëà. 147

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА

ФОНД

ВОЛЬНОЕ ДЕЛО

u

è

v

äî-

ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU

4)

u1  v1 ⇒ u1 u2  v1 v2 u2  v2 Äîêàçàòåëüñòâî.

u1 u2  v1 u2  v1 v2 Òîãäà

u1 u2  v1 v2 .

Åñëè îäíî èç

u1  v1 u2  v2 ñòðîãîå, òî è

u1 u2  v1 v2

Îïðåäåëåíèå 19.82.

ñòðîãîå.

fst ìíîãî÷ëåíà f ∈ F [x1 , . . . , xn ] f ñ íåíóëåâûì êîýôôèöèåíòîì.

Ñòàðøèé ÷ëåí

ñòàðøèé èç îäíî÷ëåíîâ, âõîäÿùèõ â

Ëåììà 19.30.

∀f, g ∈ F [x1 , . . . , xn ], f, g 6= 0 : f · g 6= 0, (f · g)st = fst · gst . ÷àñòíîñòè, F [x1 , . . . , xn ]

ïðè÷åì Â

- îáëàñòü öåëîñòíîñòè.

Äîêàçàòåëüñòâî.

f = a0 u0 + . . . + ak uk g = b0 v0 + . . . + bl vl u0  u1  . . .  uk v0  v1  . . .  vl , a0 , b0 6= 0. X fg = ai bj ui vj = a0 b0 u0 v0 + . . . , i = 0, . . . , k j = 0, . . . , l ui vj ≺ u0 v0 ïðè (i, j) 6= (0, 0). f · g 6= 0 è (f · g)st = fst · gst .

ïðè÷åì Òîãäà

148

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА

ФОНД

ВОЛЬНОЕ ДЕЛО

- ýòî ñàìûé

ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU

Ëåêöèÿ 20 Ñèììåòðè÷åñêèå ìíîãî÷ëåíû. Îïðåäåëåíèå 20.83.

Ìíîãî÷ëåí

f (x1 , . . . , xn ) ∈ F [x1 , . . . , xn ] íàçûâàåòñÿ ñèììåò-

ðè÷åñêèì, åñëè

f (xσ(1) , . . . , xσ(n) ) = f (x1 , . . . , xn ), ∀σ ∈ Sn . Ïðîùå ãîâîðÿ, ìíîãî÷ëåí íàçûâàåòñÿ ñèììåòðè÷åñêèì, åñëè ïðè ëþáîé ïåðåñòàíîâêå åãî àðãóìåíòîâ ìíîãî÷ëåí íå ìåíÿåòñÿ.

Ïðèìåðû 1)

Ïóñòü

f (x1 , x2 , x3 ) = x1 x2 + x2 x3   1 2 3 σ= = (1 2). Òîãäà 2 1 3

- íå ñèììåòðè÷åñêèé.

f (xσ(1) , xσ(2) , xσ(3) ) = x2 x1 + x1 x3 6= x1 x2 + x2 x3 . 2)

s 1 = x1 + . . . + xn sk = xk1 + . . . + xkn , k ∈ N. Ýòî ñèììåòðè÷åñêèå ìíîãî÷ëåíû (ñòåïåííûå ñóììû). Ïîëó÷èëè áåñêîíå÷íóþ ñåðèþ ñèììåòðè÷åñêèõ ìíîãî÷ëåíîâ. 3) Ýëåìåíòàðíûå ñèììåòðè÷åñêèå ìíîãî÷ëåíû:

σ1 = x1 + . . . + xn σ2 = x1 x2 + x1 x3 + . . . + xn−1 xn

...

σ3 = x1 x2 x3 + x1 x2 x4 + . . . + xn−2 xn−1 xn

X

σk =

xi1 . . . xik

...

1≤i1 i≥1 Ïîêàæåì, êàê óñòðîåíû ñèììåòðè÷åñêèå ìíîãî÷ëåíû.

Çàìå÷àíèå 20.19.

Åñëè

f1 (x1 , . . . , xn ), . . . , fk (x1 , . . . , xn )

G(y1 , . . . , yk ) - ïðîèçâîëüíûé ìíîãî÷ëåí, òî G(f1 (x1 , . . . , xn ), . . . , fk (x1 , . . . , xn )) - ñèììåòðè÷åñêèé

- ñèììåòðè÷åñêèå ìíîãî-

÷ëíåû è

ìíîãî÷ëåí.

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïåðâûé âàðèàíò: ßñíî, ÷òî ñóììà, ïðîèçâåäåíèå è óìíîæåíèå íà ñêàëÿð ñèììåòðè÷åñêèõ ìíîãî÷ëåíîâ äàåò ñíîâà ñèììåòðè÷åñêèé ìíîãî÷ëåí. Ïðè ýòîì âû÷èñëåíèå ìíîãî÷ëåíà - ýòî ïîñëåäîâàòåëüíîå âûïîëíåíåíèå îïåðàöèé ñëîæåíèÿ, óìíîæåíèÿ è óìíîæåíèÿ íà ñêàëÿð.

Âòîðîé âàðèàíò: Ëþáàÿ ïåðåñòàíîâêà àðãóìåíòîâ â

1, . . . , k ,

G ðàâíîñèëüíà ïåðåñòàíîâêå àðãóìåíòîâ â fi (x1 , . . . , xn ), i = G.

ñëåäîâàòåëüíî, íå ìåíÿåò ìíîãî÷ëåí

Òåîðåìà 20.37. (Îñíîâíàÿ òåîðåìà î ñèììåòðè÷åñêèõ ìíîãî÷ëåíàõ) Äëÿ ëþáîãî ñèììåòðè÷åñêîãî ìíîãî÷ëåíà áîå ïîëå,

∃ ! G(y1 , . . . , yn ) ∈ F [y1 , . . . , yn ]

H(x1 , . . . , xn ) ∈ F [x1 , . . . , xn ],

ãäå

F

- ëþ-

òàêîé ÷òî

H(x1 , . . . , xn ) = G(σ1 (x1 , . . . , xn ), . . . , σn (x1 , . . . , xn )), ò.å. ëþáîé ñèììåòðè÷åñêèé ìíîãî÷ëåí ìîæíî ïîëó÷èòü èç ýëåìåíòàðíûõ ñèììåòðè÷åñêèõ ìíîãî÷ëåíîâ.

Ïðèìåð

H = S2 = x21 + x22 + . . . + x2n = = (x1 + x2 + . . . + xn )2 − 2(x1 x2 + x2 x3 + . . . + xn−1 xn ) = σ12 − 2σ2 G = y11 − 2y2 150

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА

ФОНД

ВОЛЬНОЕ ДЕЛО

ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU

Ëåììû î ñòàðøåì ÷ëåíå ñèììåòðè÷åñêîãî ìíîãî÷ëåíà. xk11 xk22 . . . xknn ÿâëÿåòñÿ ñòàðøèì ÷ëåíîì íåêîòîðîãî ñèììíîãî÷ëåíà ⇔ k1 ≥ k2 ≥ . . . ≥ kn .

Ëåììà 20.31. ìåòðè÷åñêîãî

Îäíî÷ëåí

⇒)

∃ i : ki < ki+1 . ki+1 ki . . . xi xi+1 . . . xknn . ki ki+1 k1 Âî-ïåðâûõ, ýòîò ìíîãî÷ëåí ñòàðøå ÷åì x1 . . . xi xi+1 Äîêàçàòåëüñòâî. (

Îò ïðîòèâíîãî.

k1 Òîãäà ðàññìîòðèì îäíî÷ëåí x1

. . . xknn ;

âî-âòîðûõ, îí âõîäèò

â íàø ñèììåòðè÷åñêèé ìíîãî÷ëåí. Äâà ýòèõ íàáëþäåíèÿ äàþò ïðîòèâîðå÷èå.

(

⇐)

Ïóñòü

xk11 xk22 . . . xknn

- îäíî÷ëåí ñ ñâîéñòâîì

k1 ≥ k2 ≥ . . . ≥ kn .

Õîòèì ñêîí-

ñòðóèðîâàòü ñèììåòðè÷åñêèé ìíîãî÷ëåí, äëÿ êîòîðîãî îí áóäåò ÿâëÿòüñÿ ñòàðøèì.

xk11 xk22 . . . xknn →

X

n 2 1 . . . xkσ(n) xkσ(2) xkσ(1)

(20.1)

σ∈Sn  êà÷åñòâå èñêîìîãî ñèììåòðè÷åñêîãî ìíîãî÷ëåíà íóæíî âçÿòü çàïèñàííûé ìíîãî÷ëåí ñî ñòàðøèì êîýôôèöèåíòîì 1. Ýòî íåîáõîäèìî, ò.ê. â

(20.1)

íåêîòîðûå ÷ëåíû

ìîãóò ïîâòîðÿòüñÿ.

Íàïðèìåð,

x21 x22 → x21 x22 + x22 x21 = 2x21 x22 . Çà ñ÷åò òîãî ÷òî ìíîãî÷ëåí ñèììåòðè÷åñêèé, êîýôôèöèåíòû ïåðåä îäíî÷ëåíàìè ïîñëå ïðèâåäåíèÿ ïîäîáíûõ áóäóò îäèíàêîâûìè, è èõ âñå íóæíî ïðèðàâíÿòü ê 1.

Ñòàðøèé ÷ëåí â

(20.1)

èìåííî

xk11 xk22 . . . xknn

â ñèëó íåðàâåíñòâà

k1 ≥ k2 ≥ . . . ≥

kn . Ëåììà 20.32.

öåëûå íåîòðèöàòåëüíûå ÷èñëà

σ1l1 σ2l2 . . . σnln

xk11 xk22 . . . xknn , k1 ≥ k2 ≥ . . . ≥ kn ∃! l1 , l2 , . . . , ln òàêèå ÷òî ñòàðøèé ÷ëåí ìíîãî÷ëåíà

Äëÿ ëþáîãî îäíî÷ëåíà

ðàâåí

xk11 xk22 . . . xknn .

Äîêàçàòåëüñòâî. Ñòàðøèé ÷ëåí

σ1l1 σ2l2 . . . σnln

ðàâåí ïðîèçâåäåíèþ ñòàðøèõ ÷ëåíîâ

(σ1 )st = x1 , (σ2 )st = x1 x2 , . . . (σn )st = x1 . . . xn . À èìåííî

(x1 )l1 (x1 x2 )l2 . . . (x1 . . . xn )ln = xl11 +l2 +...+ln xl22 +l3 +...+ln . . . xlnn Îäíî÷ëåí

(20.2)

äîëæåí ñîâïàäàòü ñ

xk11 xk22 . . . xknn .

...

  l1 + l2 + . . . + ln = k1      l2 + l3 + . . . + ln = k2     ln−1 + ln = kn−1    ln = kn 151

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА

ФОНД

ВОЛЬНОЕ ДЕЛО

Ïîëó÷èì ÑËÓ

.

(20.2)

ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU

Åå ðåøåíèå

ln = kn ...

ln−1 = kn−1 − kn

li = ki − ki+1 Ðåøåíèå åäèíñòâåííî.

li

íåîòðèöàòåëüíû çà ñ÷åò íåðàâåíñòâ

ki ≥ ki+1 .

Îñíîâíàÿ òåîðåìà î ñèììåòðè÷åñêèõ ìíîãî÷ëåíàõ. Äîêàçàòåëüñòâî. Äîêàæåì òåîðåìó 20.37.

Äîêàçàòåëüñòâî.

1) Ñóùåñòâîâàíèå.

Õîòèì âûðàçèòü ñèììåòðè÷åñêèé ìíîãî÷ëåí

Åñëè

H ≡ 0,

òî ïîäõîäèò

H(x1 , . . . , xn ) êàê G(σ1 (x1 , . . . , xn ), . . . , σn (x1 , . . .

G ≡ 0.

针֌

Hst = axk11 xk22 . . . xknn , k1 ≥ k2 ≥ . . . ≥ kn . ∃! σ1l1 σ2l2 . . . σnln

òàêîé ÷òî

(aσ1l1 σ2l2 . . . σnln )st = Hst | {z } R

(H − R)st ≺ Hst . H1 = H − R - ñèììåòðè÷åñêèé.

Ðàññìîòðèì Ïóñòü

Ïîâòîðÿåì ýòó æå ïðîöåäóðó

(H1 − R1 )st ≺ (H1 )st

è ò. ä.

H − R − R1 − R2 − . . . = 0 è ýòî ïðîèçîéäåò çà êîíå÷íîå ÷èñëî øàãîâ. Åñëè ýòî íå òàê, òî

Hst  (H1 )st  (H2 )st  . . . áóäåò áåñêîíå÷íî óáûâàþùåé öåïî÷êîé îäíî÷ëåíîâ.  íàøåé ñèòóàöèè ýòî íå âîçìîæíî.

Hst = axk11 xk22 . . . xknn , k1 ≥ k2 ≥ . . . ≥ kn (Hi )st = bxr11 xr22 . . . xrnn , k1 ≥ r1 ≥ r2 ≥ . . . ≥ rn Òàêèõ îäíî÷ëåíîâ êîíå÷íîå ÷èëî.

Èòàê,

H = R + R1 + . . . + Rs = G(σ1 , . . . , σn ). 152

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА

ФОНД

ВОЛЬНОЕ ДЕЛО

ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU

Óïðàæíåíèå 20.17.

Äîêàçàòü, ÷òî íå ñóùåñòâóåò áåñêîíå÷íî óáûâàþùèõ

ëåêñèêîãðàôè÷åñêèõ öåïî÷åê îäíî÷ëåíîâ.

Çàìå÷àíèå 20.20.

x1  xm 2 , ∀m 2) Åäèíñòâåííîñòü. Äîêàçàòåëüñòâî îò ïðîòèâíîãî.

H(x1 , . . . , xn ) = G1 (σ1 , . . . , σn ) = G2 (σ1 , . . . , σn ). Ïóñòü K(σ1 , . . . , σn ) = G1 (σ1 , . . . , σn ) − G2 (σ1 , . . . , σn ) 6= 0 êàê σ1 , . . . , σ n . Òîãäà K = K1 + . . . + Kp - ñóììà îäíî÷ëåíîâ.

Ïðåäïîëîæèì,

ìíîãî÷ëåí îò

(K1 )st , . . . , (Kp )st ïî x1 , . . . , xn . Òîãäà (K1 )st , . . . , (Kp )st - íå ïðîïîðöèîíàëüíûå äðóã äðóãó îäíî÷ëåíû îò x1 , . . . , xn Ðàññìîòðèì

(ëåììà 20.32).

x1 , . . . , xn - ïóñòü ýòî (Ki )st . Òàêîé ÷ëåí íå ìîæåò ñîêðàòèòüñÿ ñ äðóãèìè ÷ëåíàìè Ki è ñ äðóãèìè ÷ëåíàìè Kj , j 6= i, ñëåäîâàòåëüíî, îí íå ñîêðàùàåòñÿ è K(σ1 , . . . , σn ) 6= 0 êàê ìíîãî÷ëåí îò x1 , . . . , xn . Ïðîòèâîðå÷èå. Ðàññìîòðèì ñàìûé ñòàðøèé èç ýòèõ îäíî÷ëåíîâ ïî

Òåîðåìà Âèåòà. Òåîðåìà 20.38. Âèåòà Ïóñòü

α! , . . . , α n

(Ôðàíñóà Âèåò, 1540 -1603)

- êîðíè ìíîãî÷ëåíà

an xn + an−1 xn−1 + . . . + a1 x + a0 , an 6= 0.

α1 + α2 + . . . + αn = −

an−1 an an−2 an

...

α1 α2 + α1 α3 + . . . + αn−1 αn =

an−k , k = 1, . . . , n an

...

σk (α1 , . . . , αn ) = (−1)k

α1 α2 . . . αn = (−1)n

153

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА

ФОНД

ВОЛЬНОЕ ДЕЛО

a0 an

Òîãäà

ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU

Äîêàçàòåëüñòâî.

f = an xn + an−1 xn−1 + . . . + a1 x1 + a0 = an (x − α1 )(x − α2 ) . . . (x − αn ) Îñòàåòñÿ ðàñêðûòü ñêîáêè è ïðèðàâíÿòü êîýôôèöèåíòû ïðè

X

an−k = an (−1)k

xn−k :

αi1 . . . αik = an (−1)k σk (α1 , . . . , αn ).

1≤11 i ãäå

αi

- êîðíè.

Ñâîéñòâà: 1)

D=0 ⇔

2)

D

ìíîãî÷ëåí èìååò êðàòíûé êîðåíü;

ÿâëÿåòñÿ ñèììåòðè÷åñêèì ìíîãî÷ëåíîì îò

æàåòñÿ ÷åðåç

a1 a0 an−1 ,..., , . an an an

α1 , . . . , αn , ñëåäîâàòåëüíî, âûðà-

Âûïèñàòü ÿâíóþ ôîðìóëó ýòîãî âûðàæåíèÿ - î÷åíü òðóäîåìêàÿ çàäà÷à, ïîýòîìó ÿâíîé ôîðìóëû äëÿ ëþáîãî

n

íåò.

(21.1) ïåðåä ïðîèçâåäåíèåì ñòîèò èìåííî an2n−2 . (αj − αi )2 ÷åðåç ýëåìåíòàðíûå ñèììåòðè÷åñêèå ìíîãî÷ëåíû, ïîëó-

3) Ïîéìåì, ïî÷åìó â

Q

Âûðàçèì

j>i ÷èì ìíîãî÷ëåí îò ýëåìåíòàðíûõ ñèììåòðè÷åñêèõ ìíîãî÷ëåíîâ. Ïðè ïîäñòàíîâêå â íåãî

an−1 a1 a0 ,..., , an an an

çíàìåíàòåëè ýòèõ äðîáåé îáðàçóþò

íîâûé êîýôôèöèåíò, êîòîðûé áóäåò ñòåïåíüþ ÷èñëà æèòåëü

a2n−2 n

an .

Òàêèì îáðàçîì, ìíî-

íåîáõîäèì, ÷òîáû ñîêðàòèòü ýòîò íîâûé êîýôôèöèåíò.

Äîêàæåì ýòî

Ïðåäëîæåíèå 21.12. D Äîêàçàòåëüñòâî. Äëÿ

- ìíîãî÷ëåí îò

σ1l1 . . . σnln

ñóììà

a1 a0 an−1 ,..., , . an an an

l1 + . . . + ln

ðàâíà ïîêàçàòåëþ ïðè

x1

â

ñòàðøåì ÷ëåíå

Íî

α1

âõîäèò â

xl11 (x1 x2 )l2 . . . (x1 . . . xn )ln = xl11 +l2 +...+ln (. . .). Q (αj − αi )2 â ñòåïåíè 2(n − 1) = 2n − 2. j>i

Íóæíî äîìíîæèòü íà

(−1)k

an−k an

a2n−2 , ÷òîáû ïîñëå ïîäñòàíîâêè âìåñòî σ1 , . . . , σn äðîáåé n

ñîêðàòèëñÿ çíàìåíàòåëü.

Ïðèìåð

a2 x 2 + a1 x + a0 156

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА

ФОНД

ВОЛЬНОЕ ДЕЛО

ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU

D = a2·2−2 (α2 − α1 )2 = a22 (σ12 − 4σ2 ) = 2 !  2 a a 1 0 = a22 − = a21 − 4a0 a2 . −4 a2 a2 Åñëè

an = 1,

òî

...

...

1 1 α1 α2 2 α22 D = α1 αn−1 αn−1 1 2

2 . . . αnn−1 ... ... ...

1 αn αn2

...

Çàìå÷àíèå 21.23.

Ðåçóëüòàíò. Åãî ñâÿçü ñ äèñêðèìèíàíòîì. Îïðåäåëåíèå 21.85.

f (x), g(x) ∈ F [x] Y Y (αi − βj ) = am g(αi ) = (−1)nm bnm f (βj ) n

Ðåçàóëüòàíò ìíîãî÷ëåíîâ

Y

n Res (f, g) = am n bm

i=1,...,n; j=1,...,m

i

j

f (x) = an xn + an−1 xn−1 + . . . + a1 x + a0 , an 6= 0, g(x) = bm xm + bm−1 xm−1 + . . . + b1 x + b0 , bm 6= 0, α1 , . . . , α n

- êîðíè

Ñìûñë. Res (f, g) = 0 ⇔ f

è

g

f (x), β1 , . . . , βm

- êîðíè

g(x).

èìåþò îáùèé êîðåíü.

g(x) = bm (x − β1 ) . . . (x − βm ) ⇒ Y Y n m am b (α − β ) = a g(αi ) i j n m n i=1,...,n; j=1,...,m

i

Àíàëîãè÷íî

n am n bm

f (x) = an (x − α1 ) . . . (x − αn ) ⇒ Y Y (αi − βj ) = (−1)nm bnm f (βj ) i=1,...,n; j=1,...,m

j

Èòàê, ðåçóëüòàíò äåéñòâèòåëüíî îòâå÷àåò íà âîïðîñ åñòü ëè ó ìíîãî÷ëåíîâ îáùèé êîðåíü. Âûðàæåíèå

am n

Q

g(αi )

îáðàùàåòñÿ â 0, åñëè õîòÿ áû îäèí êîðåíü

i

f (x)

ÿâëÿåòñÿ êîðíåì ìíîãî÷ëåíà

Òåîðåìà 21.39.

g(x).

0 D(f ) = (−1)nm a−1 n Res (f, f )

157

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА

ФОНД

ВОЛЬНОЕ ДЕЛО

αi

ìíîãî÷ëåíà

ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU

Äîêàçàòåëüñòâî.

f (x) = an

Y (x − αi ) i

XY f (x) = an (x − αj ) 0

i Ïðè ïîäñòàíîâêå

αk

j6=i

çàíóëÿþòñÿ âñå ïðîèçâåäåíèÿ, êðîìå îäíîãî

f 0 (αk ) = an

Y (x − αj ) j6=k

Òåïåðü, ïîëüçóÿñü ïðåäñòàâëåíèåì ðåçóëüòàíòà

Res (f, g) = am n

Q

g(αi )

i

Res (f, f 0 ) = ann−1

Y

f 0 (αi ) =

i

= an (−1)

n(n−1) 2

a2n−2 n

Y n(n−1) (αi − αj )2 = an (−1) 2 D(f ) j, ïîðîæäåííàÿ ýëåìåíòîì

Öèêëè÷åñêàÿ ïîäãðóïïà

ýòî

H = {g n , n ∈ Z} = {. . . , g −2 , g −1 , e, g, g 2 , . . .}. Çàìå÷àíèå 22.28.

Ýòî ñàìàÿ ìàëåíüêàÿ ïîäãðóïïà, ñîäåðæàùàÿ ýëåìåíò

òîì ñìûñëå ÷òî îíà ëåæèò â ëþáîé äðóãîé ïîäãðóïïå, ñîäåðæàùåé Äîêàçàòåëüñòâî. Åñëè â íåêîòîðóþ ïîäãðóïïó ïîïàë ýëåìåíò ïîäãðóïïà, â íåé òàêæå ñîäåðæèòñÿ ýëåìåíò óìíîæåíèÿ, ñëåäîâàòåëüíî, â íåé ëåæèò

g · g,

e.

G = (Z, +), g = 2

165

ФОНД

ВОЛЬНОЕ ДЕЛО

(â

òî òàê êàê ýòî

à çíà÷èò è âñå ñòåïåíè

< g >= 2Z

g

).

Ïîäãðóïïà çàìêíóòà îòíîñèòåëüíî

Ïðèìåð

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА

g,

g

g.

ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU

Îïðåäåëåíèå 22.96. íîå ÷èñëî

m,

g =e ord(g).

÷òî

Îáîçíà÷åíèå:

g ∈ G ýòî òàêîå íàèìåíüøåå òàêîãî m íå ñóùåñòâóåò.

Ïîðÿäîê ýëåìåíòà

m

èëè

∞,

åñëè

íàòóðàëü-

Ïðèìåð

G = (Z, +) ( 1, a = 0, ord a = ∞, a 6= 0. Äàëåå

(Z, +) ≡ Z.

Ëåììà 22.33.

ord(g) = | < g > | (ïîðÿäîê ýëåìåíòà ðàâåí ïîðÿäêó öèêëè÷åñêîé ïîäãðóïïû, èì ïîðîæäåííîé) Ò.å. ïîðÿäîê ýëåìåíòà (â ñìûñëå öåëîé ñòåïåíè) ñîãëàñîâàí ñ ïîðÿäêîì ïîäãðóïïû (â ñìûñëå ÷èñëà ýëåìåíòîâ â íåé).

Äîêàçàòåëüñòâî. Ñëó÷àé 1.

2

e, g, g , . . . , g ïîïàðíî ðàçëè÷íû. m k åñëè g = g , m > k , òî g m−k = e.

Òîãäà ýëåìåíòû Â ñàìîì äåëå,

m−k = {e, g, g 2 , . . . , g n−1 }. Ñëåäîâàòåëüíî,

| < g > | = n = ord g .

ord(g) = ∞. g n 6= g k , m 6= k .

Ñëó÷àé 2. Òîãäà

Åñëè áû ýòî áûëî íå òàê, òî

gm = gk

⇒ g m−k = e

-

ïðîòèâîðå÷èå ñ áåñêîíå÷íîñòüþ ïîðÿäêà. Ñëåäîâàòåëüíî,

| < g > | = ∞ = ord(g).

Îïðåäåëåíèå 22.97. ÷åñêîé ãðóïïû

Ãðóïïà

g íàçûâàåòñÿ G.

Òàêîé ýëåìåíò

G

öèêëè÷åñêàÿ, åñëè

∃g ∈ G,

÷òî

G =< g >.

ïîðîæäàþùèì èëè îáðàçóþùèì ýëåìåíòîì öèêëè-

Ïðèìåð

G = (Z, +) G =< 1 >=< −1 > Ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå îïèñûâàåò âñå öèêëè÷åñêèå ãðóïïû.

Ïðåäëîæåíèå 22.15. 2) Åñëè

G

1) Åñëè

G

- áåñêîíå÷íàÿ öèêëè÷åñêàÿ ãðóïïà, òî

- öèêëè÷åñêàÿ ãðóïàà ïîðÿäêà

n,

166

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА

ФОНД

ВОЛЬНОЕ ДЕЛО

òî

G∼ = Zn

G∼ = Z;

ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU

Äîêàçàòåëüñòâî.

1) Èçîìîðôèçì

Z → G =< g >, m → g m .

Ýòî îòîáðàæåíèå äåéñòâèòåëüíî èçîìîðôèçì, ò.ê. îíî ñîõðàíÿåò îïåðàöèþ (

m + l → g m g l ).

Èç äîêàçàòåëüñòâà ëåììû ñëåäóåò, ÷òî ðàçíûå ñòåïåíè ýëåìåíòà þò ðàçíûì ýëåìåíòàì ãðóïïû

G.

g

ñîîòâåòñâó-

Ñëåäîâàòåëüíî, ïîñòðîåííîå îòîáðàæåíèå -

áèåêöèÿ.

2) Èçîìîðôèçì

m

Zn → G =< g >, m → g m ; g n = e.

- ýòî öåëûé êëàññ ÷èñåë, êîòîðûå ïðè äåëåíèè íà

n

äàþò äàííûé îñòàòîê.

Íà ïåðâûé âçãëÿä íå î÷åíü ïîíÿòíî, êàê âîçâîäèòü ýëåìåíò íå â îäíó, à ñðàçó â ìíîãèå ñòåïåíè. Â

gm

÷èñëî

m

n: m = pn + r, 0 ≤ r < n. Ïðè îò ïðåäñòàâèòåëÿ m êëàññà m.

ïîäåëèòü ñ îñòàòêîì íà òåëüíî,

g

m

m, ò.ê. m ìîæíî p ýòîì g n = e, ñëåäîâà-

ìîæåò áûòü ëþáûì ïðåäñòàâèòåëåì êëàññà

íå çàâèñèò

Ñíîâà ïîëó÷èëè áèåêöèþ, ñîõðàíÿþùóþ îïåðàöèþ.

Óïðàæíåíèå 22.22. ord(g k ) =

n , (n, k)

ãäå

n = ord(g).

Ïîäãðóïïû â öèêëè÷åñêèõ ãðóïïàõ. 1) Öèêëè÷åñêàÿ ãðóïïà áåñêîíå÷íà: Ìû çíàåì, ÷òî âñå ïîäãðóïïû 2) Öèêëè÷åñêàÿ ãðóïïà êîíå÷íà:

Ïðåäëîæåíèå 22.16.

{ ïîäãðóïïû

Ïóñòü â

Z

G∼ = Z.

èìåþò âèä

dZ, d ∈ Z≥0 .

G∼ = Zn .

n ≥ 2.

Èìååòñÿ áèåêöèÿ

Zn } ↔ {íàòóðàëüíûå

äåëèòåëè ÷èñëà

n}

dZn ↔ d n Ïðè÷åì

n |dZn | = d

dZn ⊆ Zn - ïîäãðóïïà ∀d. n . Åñëè d n, òî dZn = {0, d, 2d, . . . , (k − 1)d}, ãäå k = d n Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî |dZn | = . d 0 0  ÷àñòíîñòè, dZn = d Zn ⇔ d = d . Äîêàçàòåëüñòâî. ßñíî, ÷òî

{0} 6= H ⊆ Zn dZn ⊆ H . Ïóñòü

- ïîäãðóïïà è

d

- ìèíèìàëüíûé ýëåìåíò â

167

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА

ФОНД

ВОЛЬНОЕ ДЕЛО

H.

Òîãäà

ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU

Åñëè

c = (n, d),

òî ïî ëåììå î ëèíåéíîì ïðåäñòàâëåíèè ÍÎÄ

∃n, v ∈ Z : c = dn + nv ⇒ c ∈ dZn ⊆ H. Îòñþäà

c=d

â ñèëó ìèíèìèàëüíîñòè

d

è

d n.

m ∈ H , òî m = qd + r. Îòñþäà r ∈ H . 0 ≤ r < d è d ìèíèìàëüíûé, ñëåäîâàòåëüíî, r = 0.

Åñëè

Èòàê,

H = dZn .

Ñëåäñòâèå 22.21.

Ïîäãðóïïà öèêëè÷åñêîé ãðóïïû öèêëè÷íà.

Äîêàçàòåëüñòâî.  ñëó÷àå 1) ëþáàÿ ïîäãðóïïà ïîðîæäàåòñÿ ÷èñëîì

d.

 ñëó÷àå 2) ëþáàÿ ïîäãðóïïà òàêæå ïîðîæäàåòñÿ îäíèì ýëåìåíòîì - âû÷åòîì

d.

Çàìåòèì, ÷òî öèêëè÷åñêàÿ ãðóïïà âñåãäà êîììóòàòèâíà. Êðîìå òîãî, ëþàÿ öèêëè÷åñêàÿ ãðóïïà íå áîëåå ÷åì ñ÷åòíà. Áûâàþò ëè êîììóòàòèâíûå ñ÷åòíûå ãðóïïû, êîòîðûå íå ÿâëÿþòñÿ öèêëè÷åñêèìè?

Óïðàæíåíèå 22.23.

Ïðèâåñòè ïðèìåð ñ÷åòíîé íå öèêëè÷åñêîãé êîììóòàòèâíîé

ãðóïïû. (èõ ìîæíî âûáðàòü èç ïðèìåðîâ ãðóïï â íà÷àëå ëåêöèè)

168

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА

ФОНД

ВОЛЬНОЕ ДЕЛО

ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU

Ëåêöèÿ 23 Ñìåæíûå êëàññû. Ïóñòü

G

H⊆G

-ãðóïïà è

Îïðåäåëåíèå 23.98.

- ïîäãðóïïà

g ∈ G

Ëåâûé ñìåæíûé êëàññ ýëåìåíòà

ïî ïîäãðóïïå

H

-

G

ýòî ïîäìíîæåñòâî â

gH = {gh h ∈ H}. Ýòî íå ïîäãðóïïà.

Çàìå÷àíèå 23.29. g, g 0

ëåæàò â îäíîì ñìåæíîì êëàññå ïî ïîäãðóïïå

H

⇔

−1 0

g g ∈H Îïðåäåëåíèå 23.99. ýòî ïîäìíîæåñòâî â

Ïðàâûé ñìåæíûé êëàññ ýëåìåíòà

g ∈G

ïî ïîäãðóïïå

H

-

G Hg = {hg h ∈ H}.

Ëåììà 23.34.

∀g, g 0 ∈ G

1)

ëèáî

gH = g 0 H ,

ëèáî

gH ∩ g 0 H = ∅.

Äðóãèìè ñëîâàìè, ðàçáèåíèå íà ñìåæíûå êëàññû - ýòî îòíîøåíèå ýêâèâàëåíòíîñòè. 2)

∀g ∈ G |gH| = |H|. gH ∩ g 0 H 6= ∅, 0 gH = g hh | {z } H = g H .

Äîêàçàòåëüñòâî. Òîãäà

1) Åñëè

òî

∃h, h0 ∈ H

òàêèå ÷òî

gh = g 0 h0 .

−1

0

∈H

gH = {gh h ∈ H}, òî |gH| ≤ |H|. gh = gh0 , òî óìíîæèì íà g −1 ñëåâà è ïîëó÷èì h = h0 .

2) Ïîñêîëüêó Åñëè

Îòñþäà

|gH| = |H|.

Îïðåäåëåíèå 23.100. ñîâ â

G

ïî ïîäãðóïïå

Îáîçíà÷åíèå:

Èíäåêñ ïîäãðóïïû

H⊆G

ýòî ÷èñëî ëåâûõ ñìåæíûõ êëàñ-

H.

[G : H].

Òåîðåìà Ëàãðàíæà. Òåîðåìà 23.41. Ëàãðàíæà

G - êîíå÷íàÿ ãðóïïà |G| = |H|[G : H].

Ïóñòü Òîãäà

è

H⊆G

- ïîäãðóïïà.

G ðàñïàäàåòñÿ íà [G : H] ïîïàðíî íå ïåðåñåêàþùèõñÿ ëåêàæäîì èç êîòîðûõ ïî |H| ýëåìåíòîâ.

Äîêàçàòåëüñòâî. Ãðóïïà âûõ ñìåæíûõ êëàññîâ, â

169

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА

ФОНД

ВОЛЬНОЕ ДЕЛО

ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU

Îòñþäà

|G| = |H|[G : H]. Äîêàæåì òåïåðü ïÿòü ñëåäñòâèé èç òåîðåìû Ëàãðàíæà.

Ñëåäñòâèå 23.22.

|H| |G| Íàïðèìåð, åñëè ãðóïïà ñîñòîèò èç 10 ýëåìåíòîâ, òî íåëüçÿ ââåñòè íà íåé òàêèå îïåðàöèè, ÷òîáû ìíîæåñòâî èç òðåõ ýëåìåíòîâ áûëî ïîäãðóïïîé.

Ñëåäñòâèå 23.23.

∀g ∈ G ord(g) |G|. Äîêàçàòåëüñòâî. Íà ïðîøëîé ëåêöèè áûëî äîêàçàíî, ÷òî

ord(g) = | < g > |.

Òîãäà ïî ñëåäñòâèþ 23.22 äîêàçàíî.

Ñëåäñòâèå 23.24.

∀g ∈ G g |G| = e.

Çàìåòèì, ÷òî çäåñü íå óòâåðæäàåòñÿ, ÷òî ïîðÿäîê ãðóïïû ÿâëÿåòñÿ ïîðÿäêîì ýëåìåíòà

g,

ò.ê. ÷èñëî

|G|

ìîæåò îêàçàòüñÿ íå ìèíèìàëüíûì ñ òàêèì ñâîéñòâîì.

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïî ñëåäñòâèþ 23.23

|G| = ord(g)k, k ∈ N.

g |G| = (g ord(g) )k = ek = e.

Ñëåäñòâèå 23.25. Ìàëàÿ òåîðåìà Ôåðìà Ïóñòü Òîãäà

p

- ïðîñòîå ÷èñëî è

a ∈ Zp .

p

a = a.

Äîêàçàòåëüñòâî.

G = (Zp \{0}, ×), |G| = p − 1. Òîãäà ïî ñëåäñòâèþ 23.24

∀a ∈ G a|G| = ap−1 = 1.

Äîìíîæàÿ ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî íà

a,

ïîëó÷àåì

ap = a, ∀a ∈ Zp . Çàìåòèì, ÷òî äîêàçàòåëüñòâî áûëî ïðîâåäåíî äëÿ  ñëó÷àå

a=0

âñå î÷åâèäíî. 170

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА

ФОНД

ВОЛЬНОЕ ДЕЛО

a 6= 0.

ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU

Ñëåäñòâèå 23.26.

G

Òîãäà

Ïóñòü

p

- ïðîñòîå ÷èñëî è

|G| = p.

öèêëè÷åñêàÿ, ïîðîæäåííàÿ ëþáûì ñâîèì íååäèíè÷íûì ýëåìåíòîì.

G∼ = Zp . ÷àñòíîñòè, G êîììóòàòèâíà.

Áîëåå òî÷íî, Â

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü Òîãäà

g ∈ G\{e}.

( 1 | < g > | |G|. |G| = p ⇒ | < g > | = p | < g > | ≥ 2,

Ïîëó÷èëè, ÷òî

G

- ãðóïïà,

H⊆G

- ïîäãðóïïà.

×èñëî ëåâûõ ñìåæíûõ êëàññîâ ðàâíî ÷èñëó ïðàâûõ ñìåæíûõ

êëàññîâ.

G

e 6= g ∈< g > .

| < g > | = p ⇒ < g >= G.

Çàìå÷àíèå 23.30. Åñëè

ò.ê.

.

êîíå÷íàÿ, òî îáû ÷èñëà ðàâíû

|G| . |H|

Äëÿ áåñêîíå÷íûõ ãðóïï - çàäà÷à.

Çàìå÷àíèå 23.31.

Ïðè ýòîì ðàçáèåíèÿ íà ëåâûå ñìåæíûå êëàññû è íà ïðàâûå

ñìåæíûå êëàññû ìîãóò íå ñîâïàäàòü. Åñëè

G

àáåëåâà, òî

gH = Hg, ∀g ∈ G.

Ïðèìåð G = S3 |G| = 6.

H = A3 Òóò ëåâûå è ïðàâå ñìåæíûå êëàññû ñîâïàäóò, ò.ê. ýòî ïîäãðóïïà èíäåêñà 2.

   1 2 3 H = e, =< (1 2) > 2 1 3 H = {e, (1 2)} g = (1 3), (1 3)(1 2) = (1 2 3) g = (2 3), (2 3)(1 2) = (1 3 2) Ëåâûå:

Ïðàâûå: H = {e, (1 2)} g = (1 3), (1 2)(1 3) = (1 3 2) g = (2 3), (1 2)(2 3) = (1 2 3)

171

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА

ФОНД

ВОЛЬНОЕ ДЕЛО

ÊÎÍÑÏÅÊÒ ÏÎÄÃÎÒÎÂËÅÍ ÑÒÓÄÅÍÒÀÌÈ, ÍÅ ÏÐÎÕÎÄÈË ÏÐÎÔ ÐÅÄÀÊÒÓÐÓ È ÌÎÆÅÒ ÑÎÄÅÐÆÀÒÜ ÎØÈÁÊÈ ÑËÅÄÈÒÅ ÇÀ ÎÁÍÎÂËÅÍÈßÌÈ ÍÀ VK.COM/TEACHINMSU

Êàðòèíêà:

Óïðàæíåíèå 23.24. Ïóñòü

G

(Îáðàòíîå óòâåðæäåíèå ê òåîðåìå Ëàãðàíæà íå âåðíî)

- êîíå÷íàÿ ãðóïïà è

Òîãäà â ãðóïïå

G

d

- íàòóðàëüíûé äåëèòåëü ÷èñëà

åñòü ïîäãðóïïà

H, |H| = d

- ïðèâåñòè êîíòðïðèìåð.

172

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА

ФОНД

|G|.

ВОЛЬНОЕ ДЕЛО

МЕХАНИКОМАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА