Zur Theorie der Siedlungsgrößenverteilungen: Ein kritischer Überblick [1. Aufl.] 978-3-211-81462-8;978-3-7091-4455-8

Table of contents :
Front Matter ....Pages 1-6
Siedlungsgrößenverteilungen: Problemstellung und Verteilungsmodelle (Christian Karsch)....Pages 7-42
Das Verständnis von Siedlungsgrößenverteilungen (Christian Karsch)....Pages 43-88
Versuch der Systematisierung einer Theorie von Siedlungs- bzw. Ranggrößenverteilungen (Christian Karsch)....Pages 89-98

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CHRISTIAN KARSCH

ZUR THEORIE DER SIEDLUNGSGROSSENVERTEILUNGEN Ein kritischer Überblick

Schriftenreihe der österreich ischen Gesellschaft für Raumforschung und Raumplanung

Band 23

Springer-Verlag Wien GmbH

KARSCH / ZUR THEORIE DER SIEDLUNGSGRÖSSENVERTEILUNGEN

BAND 23 SCHRIFTENREIHE DER ÖSTERREICHISCHEN GESELLSCHAFT FÜR RAUMFORSCHUNG UND RAUMPLANUNG

CHRISTIAN KARSCH

ZUR THEORIE DER SIEDLUNGSGRöSSENVERTEILUNGEN Ein kritischer Überblick

SPRINGER-VERLAG WIEN GMBH 1977

Herausgeber und Verleger: Österreichische Gesellschaft für Raumforschung und Raumplanung A-1040 Wien, Karlsplatz 13 ISBN 978-3-211-81462-8

ISBN 978-3-7091-4455-8 (eBook)

DOI 10.1007/978-3-7091-4455-8

I N H ALT 1. Teil: Siedlungsgrößenverteilungen: Problemstellung und Verteilungsmodelle Die Definitionen •••.••••••••••.••••••..•••••••••• 7 Die Problemstellung •••••••••••••••••••••••••••••• 10 Einige Einschränkungen ••••••••••••••••••.•••••••• 16 Die Abbildung Ansatz A (Häufigkeitsverteilungen im engeren Sinn) •...•.....•.............•....• 20

Ansatz B (Ranggrößenverteilungen) •••••••••••• 20 Die Verteilungsmodelle Einige Vorinformationen •••••••••••••••••••••• 25 Die wichtigsten linksschiefen statistischen Verteilungsmodelle ••••••••••••••••••••••••••• 28 Zur Zeta-Verteilung •••••••••••••••••••••• 32 Zur lognormalen Verteilung ••••••••••••••• 33 Zur Gamma-Verteilung •••••••.••••••••••••• 35 Zur Pareto-Verteilung •••••••••••••••••••• 35 Zur Zusammenfassung ••••••••••••.••••••••• 41 2. Teil: Das Verständnis von Siedlungsgrößenverteilungen Das Auerbach sehe Gesetz und die RanggrößenRegel .....................•..••...............•.. 43 HYpothesen zur Erklärung von Siedlungsgrößenverteilungen •.................................... 58 Stochastische Modelle •••••••••.•••••••••••••• 59 Hierarchische Modelle ••••.•••••••••••••.••••• 69 Disparitätsmodelle ••••••••••••••••••••••••••• 79 ZusaDlJIlehfas sung •••••.•••••.•••.•••••.•••.•.••••• • 88 3. Teil: Versuch der Systematisierung einer Theorie von Siedlungs- bzw. Ranggrößenverteilungen ••••••••••• 89

Der Autor dankt seinem akademischen Lehrer Adolf Nußbaumer für sein wissenschaftliches Interesse und für so manchen wertvollen Hinweis, welcher die Abfassung dieses Überblicks bereicherte. Außerdem schuldet er Herrn Univ.-Doz. Dr. Georg Winckler außerordentlichen Dank für dessen Unterstützung, die sich gleichermaßen in gezielter und fachlich-versierter Kritik wie uneigennützig kollegialem Rat äußerte.

1. TEIL Sie d 1 u n g s g r ö ß e n ver t e i l u n gen Pro b 1 e m s t e l 1 u n g m

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und

Ver t e i l u n g s -

d e 1 1 e

Die Definitionen Eine Abhandlung über Siedlungsgrößen- bzw. Gemeindegrößenbzw. Stadtgrößenverteilungen erfordert zunächst die Bestimmung der Begriffe Siedlung, Gemeinde und Stadt. Der Terminus "Siedlung" hat eine dreifache Bedeutung 1 ). Erstens im Sinne einer Siedlerstelle, zweitens im Sinne einer Ansammlung von Wohn- und Arbeitsstätten, drittens im Sinne der Tätigkeit des Besiedelns. Für die folgenden Ausführungen wird unter einer Siedlung eine räumliche Konzentration von Menschen und Bauwerken verstanden, die auf Dauer angelegt ist und sich wesentlich in Art und Intensität der Bodennutzung von ihrem Umland unterscheidet. Der Begriff "Gemeinde" ist enger gezogen als der Siedlungsbegriff. Eine Gemeinde ist eine selbständige, räumliche Verwaltungseinheit, deren Gebiet teilweise oder ganz Siedlungscharakter hat. Eine Gemeinde kann somit in ihrer Körperschaft mehrere Siedlungen haben, Teil einer ausgedehnteren Siedlung sein oder das Gebiet der Gemeinde kann sich mit der flächenmäßigen Ausdehnung der Siedlung decken. Eine Stadtregion zum Beispiel, wo mehrere (Stadt)Gemeinden ganz oder teilweise aneinander anschließen, ist durch die Einheitlichkeit des

1) Siehe dazu Konrad Meyer, Artikel: Siedlung, in: Handwörterbuch der Raumforschung und Raumordnung, Bd. 111, 2. Aufl., Hannover 1970, Sp. 2892

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Siedlungsgebietes gekennzeichnet 2 ). Die Definition "Stadt" als einer Siedlungsform mit hoher räumlicher Bevölkerungskonzentration, sehr komplexer Sozial-, Wirtschafts- und Baustruktur sowie funktioneller Vielseitigkeit 3 ), zeigt die Weiterführung des Siedlungsbegriffes. Stadt und Großstadt sind bestimmte Siedlungstypen und unterscheiden sich vom Dorf in erster Linie durch die andersartige Gestaltun~ der menschlichen Daseinsgrundfunktionen (-naCh D. Partzsch 4 -) in räumlicher, sozialer, wirtschaftlicher und kultureller Hinsicht. Eine Stadtgemeinde ist eine Gemeinde mit Stadtcharakter. Vergleicht man diese drei Begriffsbildungen, so stellt der Siedlungsbegriff die umfassendste und allgemeinste Definition dar. Er wird im folgenden immer dann verwendet werden, wenn generelle Zusammenhänge erläutert werden. Größe und Bedeutung von'Siedlungen, Gemeinden und Städten sind im Grunde mehrdimensionale Phänomene. Orten gleicher Flächen-

größe oder Einwohnerzahl muß keineswegs die gleiche kulturelle, politische oder wirtschaftliche usw. Bedeutung zukommen. Trotzdem wird zur Bestimmung der Größe einer Siedlung zumeist das 2) Indikatoren für diese Einheitlichkeit, nach welcher die Stadtregion flächenmäßig umrissen werden kann, sind der Anteil der landwirtschaftlichen Erwerbspersonen, der Anteil der Pendler in die City und die Bevölkerungsdichte. Siehe dazu Olaf Boustedt, Zur Konzeption der Stadtregion, ihrer Abgrenzung und ihrer inneren Struktur, dargestellt am Beispiel Hamburg, in: Zum Konzept der Stadtregionen, Hannover 1970, S. 13-42 3) Franz Satzinger, l\:eth~den zur Abgrenzung von Stadtregionen, in : Mitteilungen d. Osterr. Ges. f. Statistik u. Informatik, 4. Jg. (1974), s. 113. Auf Grund des komplexen Charakters des Phänomens "Stadt" ist eine vollständige und geschlossene Begriffsbildung nicht möglich; vielmehr muß man sich mit einer definitorisch offenen Kennzeichnung begnügen. Diese umfaßt üblicherweise die vorhin erwähnten Merkmale. Zur Problematik dieser Begriffsbildung siehe Hans Heuer, Sozioökonomische Bestimmungsfaktoren der Stadtentwicklung. Stuttgart etc. 1975, S.19-29 4) Dieter Partzseh, Artikel: Daseinsgrundfunktionen, in: Handwörterbuch der Raumforschung und Raumordnung,Bd. I, 2. AufI., Hannover 1970, Sp. 424-430

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- neben der Fläche - augenfälligste Kriterium herangezogen: die Einwohnerzah1 5 ). Denn im Gegensatz zur flächenmäßigen Ausdehnung einer Siedlung , respektive Gemeinde ist die Einwohnerzahl einerseits an sich ein guter Hinweis für das Ausmaß der sozialen, kulturellen und wirtschaftlichen Aktivität in einem Ort, andererseits aber auch eine Basis für entwickeltere Maßgrößen, wie etwa Bruttoinlandsprodukt bzw. Nettowertschöpfung pro Kopf, Umsatzvolumen pro Einwohner, materielles Infrastrukturkapital pro Einwohner (besser pro Erwerbstätigen), Kulturstättenbesuch/Kopf, Einwohnerdichte usw. Außerdem ist die Einwohnerzahl relativ leicht zu bestimmen. Es ist daher üblich, die Größe von Siedlungen, Gemeinden und Städten mittels ihrer Einwohnerzahl anzugeben. Auf die Einwohnerzahl abzustellen, kommt auch den Definitionen von Siedlung und Stadt entgegen, da für beide die räumliche Konzentration von Menschen prägend ist. Entsprechend der dreifachen Begriffsbildung (-Siedlung, Gemeinde, Stadt-) wird im folgenden von Siedlungsgrößen-, Gemeindegrößen- oder Stadtgrößenverteilungen gesprochen. Der Term "-verteilung" bezieht sich darauf, daß auf Grund von Angaben über die Einwohnerzahlen der Siedlungen statistische Objekte gebildet werden bzw. vorhanden sind, welche auf die ihnen entsprechenden Kategorien aufgeteilt werden. Es ist dabei zunächst noch offen und bleibt der jeweiligen Untersuchungsanordnung überlassen, wie Objekte und Kategorien operational definiert werden. So können die Objekte die einzelnen Siedlungen sein, die nach Größenklassenkategorien 5) Zur statistische Begriffsbildung siehe u.a. Elisabeth Pfeil, Großstadtforschung, 2. Aufl., Hannover 1972,S.4ff. Zur quantitativen Festlegung des Stadtbegriffes siehe auch die internationale Übersicht bei Olaf Boustedt, Grundriß der empirischen Regionalforschung, Teil 111: Siedlungsstrukturen, Hannover 1975, S. 42ff. Zur Bestimmung des Umfanges von Stadtregionen siehe den Überblicksartikel von Franz Satzinger, Methoden zur Abgrenzung von Stadtregionen, in: Mitteilungen d. Österr. Ges. f. Statistik und Informatik, 4. Jg. (1974), S.113- 129.

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verteilt werden; statt der Anzahl der Siedlungen können die Einwohnerzahlen selbst verwendet werden; an die Stelle der Größenklassen können Ränge treten, uSf. 6 )

Die Problemstellung Die Bevölkerung ist nicht gleichmäßig im Raum verteilt: 1. Es gibt dichter und weniger dicht bevölkerte Landstriche. 2. Manche Menschen wohnen vereinzelt und andere wohnen gemeinsam in Siedlungen. 3. Die Siedlungen sind nicht gleich groß. Manche haben viele Einwohner, andere weniger. 4. Die Siedlungen sind so im Raum angeordnet, daß größere und kleinere Siedlungen einander in unregelmäßiger Folge abwechseln, wobei es mehr kleinere als größere Siedlungen gibt. Diese Situationsbeschreibung ließe sich noch fortsetzen, doch das Phänomen ist bereits hinlänglich angedeutet: Es ist die Tatsache, daß es in fast allen Ländern viele keine, etwas weniger mittelgroße,einige große Siedlungen und nur eine Metropole gibt. Zu diesem Phänomen gibt es eine Reihe interessanter Überlegungen; und über einige dieser soll berichtet werden, ohne jedoch den unmittelbaren Bezug zu dem in den Siedlungsgrößenverteilungen aufgezeigten Kontext zu verlieren. Denn das hieße: auf Fragen einzugehen, warum es Siedlungen überhaupt gibt und die Bevölkerung nicht gleichmäßig dispers im Raum verteilt ist 1 ), 1) Von Seiten der Ökonomie her wird diese Frage mit dem Hinweis auf die Existenz raumdifferenzierender Faktoren beantwortet. Diese sind: die Existenz von Externalitätsn, die Existenz von Raumüberwindungskosten und die Existenz des knappen Produkt ions faktors Boden. 6) Genaueres über die Bildung der Verteilungen und die Verteilungsmodelle findet sich in den kommenden Abschnitten, vor allem S. 20 ff.

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ebenso wie dem Problem nachzuspüren wäre, worin die Schwierigkeiten bei der Formulierung eines mikro ökonomischen Totalmodells einer Siedlungsgrößenverteilung liegen 2 ). Desgleichen soll eine Erläuterung der sozioökonomischen Determinanten der Bildung und des Wachstums von Städten zurückgestellt werden 3 ). Ebenso ausgeschlossen aus dem Bericht sollen jene Überlegungen bleiben, die sich auf Bevölkerungsdichteunterschiede zwischen Landstrichen beziehen und jene, welche die flächenmäßige Anordnung 2) Edwin von Böventer nennt als eine der Hauptschwierigkeiten die faktische Unkenntnis über die Wirksamkeit der Externalitäten. Solange keine brauchbaren Ag- bzw. Deglomerationsfunktionen entwickelt wurden, ist die Formulierung derartiger Modelle wenig erfolgversprechend. E. v. Böventer, Die Struktur der Landschaft, Versuch einer Synthese und Weiterentwicklung der Modelle J.H. v. Thünens, W. Christallers und A. Löschs. In: Optimales Wachstum und Optimale Standortverteilung. Schriften des Vereins für Sozialpolitik, NF Bd. 27, Berlin 1962, S. 117 Daß diese Aussage noch immer Gültigkeit hat, zeigt eine kurze Reflexion des Standes der Agglomerationstheorie, wie sie von Harry W. Richardson vorgetragen wird. Richardson versucht eine Verbindung der beiden raumdifferenzierten Faktoren Entfernung und externe Effekte, indem er eine Agglomerationsfunktion mit dem Konzept des räumlichen (relativen)Potentials verbindet. Er weist dabei ausdrücklich darauf hin, daß er sich unklar ist, ob hinsichtlich der Agglomerationsfunktion eine multiplikative (1) oder additive (2) Verknüpfung angezeigt ist. (1) Multiplikative Verknüpfung der Agglomerationswirkungen: i,j = 1, ••• ,m Orte n = 1, ••• ,k Faktoren (2) Additive Verknüpfung der Agglomerationswirkungen: Zij

= ~ain ~fn(dij)

Z Agglomerationspotential a Agglomerationsfaktor f (d) Entfernungsfunktion Harry W. Richardson, Agglomeration Potential: A Genera~i­ zation of the Income Potential Concept. In: Journal of Regional Science, Vol. 14 (1974), p. 325-336 3) Siehe darüber die umfangreiche Darstellung von Hans Heuer, Sozioökonomische Bestimmungsfaktoren der Stadtentwicklung, Stuttgart, etc. 1975.

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von Siedlungen im Raum, also das Netz der Dörfer und Marktflecken, Gerichtsorte, Bezirkshauptorte, Viertelsstädte, Landeshauptstädte mit der Metropole betreffen. Stattdessen soll (kiar) die Schiefe der Siedlungsgrößenverteilungen herausgearbeitet werden. Die Tabelle 1 "Anzahl der Gemeinden und liVohnbevölkerung nach Gemeindegrößenklassen" zeigt eine solche empirische Gemeindegrößenklassenverteilung als Beispiel. Ohne auf eine Ausdeutung der Tabelle 1 eingehen zu wollen, sieht man, daß ab einer bestimmten Gemeindegröße (etwa zwischen 200 bis 500 Einwohnern) die Anzahl der Gemeinden mit steigender Größe abnimmt. Diese Beobachtung läßt sich für alle aufgezeigten Jahre machen. Daß die Abnahme der Anzahl der Gemeinden pro Größenklasse unregelmäßig erfolgt, darf nicht verwundern: Erstens haftet jeder Klasseneinteilung etwas Willkürliches an, sodaß durch eine Veränderung der Klassenbreite die Verteilung glatter oder ausgezackter gestaltet werden kann 4 ). Zweitens sollte diese Beobachtung ähnlich wie ein Trend verstanden werden; Abweichungen von dem Grundtypus 5 ) spiegeln spezifische Einflüsse wieder, die unregelmäßig das Bild des Grundtypus überlagern und in den Erklärungskontext des Grundtypus oft nur schwer hineinpassen. Ein weiteres Phänome~über das hier nicht berichtet werden soll, das aber immer wieder die Überlegungen zu Siedlungsgrößenverteilungen beeinflußt hat, ist das Phänomen des Verstädterungsprozesses. Der Zusammenhang ist einfach: je größer die Siedlung, desto städtischer ist sie im allgemeinen. Ein Ast einer Siedlungsgrößen- bzw. Siedlungsgrößenklassenverteilung - zum Beispiel der mit Gemeindeklassen über

4) Bezüglich der Festlegung der Klasseneinteilung siehe die Ausführungen auf S. 17. 5) Von einem "Trend" im eigentlichen Sinn und damit von einer Grundrichtung der zeitlichen Entwicklung einer Variablen kann hier nicht gesprochen werden, da keine Zeitreihe vorliegt. 12

Tabelle 1 ANZAHL DER GEmEINDEN UND WOHNBEVÖLKERUNG NACH GEMEINDEGRÖSSENKLASSEN Gemeincfegrößenklasse 100

bis

Zahl der Gemeinden Zahl der Einwohner

(Gebietsstand z~ Erhebungsdatum) .

1934

1951

1961

44 3.752 341 53.982 1.451 499.885 1.240 886.434 864 1.208.276 162 358.975 82 224 . .389 85 288.199 42 186.175 4.311 3.710.067

58 4.664 344 53.077 1.262 428.219 1.075 770.044 800 1.126.740 167 372.923 95 257.339 102 349.882 36 160.175

84 6.653 365 55.738 1. 182 395.317 1.028 733.014 790 1.114.627 186 412.749 85 230.951 119 407.319 41 181.879

1971 3

3.523.063

3.538.247

240 23 3.719 167 62.516 412 304.608 957 1.367.478 234 518.443 148 400.066 123 423.371 69 305.742 2.136 3.386.183

55 374.247 20 264.802 7 209.445 1 61.005 2 261. 772

64 427.628 19 225.556 11 319.654

75 505.587 26 329.092 12 362.230

646.412 43 527.765 14 401.137

519.383

641.867

4

183.649 4 695.416

Wien

1.874.169

1.760.784

1.627.566

1.614.841

Österreich insgesamt

4.397 6.760.233

4.039 6.933.905

3.999 7.073.807

2.656 7.456.403

101 -

200

201 -

500

501 -

1.000

1.001 -

2.000

2.001 -

2.500

2.501 -

3.000

3.001 -

4.000

4.001 -

5.000

bis

5.000

5.001 -

10.000

10.001 -

20.000

20.001 -

50.000

50.001 - 100.000 100.001-1.000.000

* Gebletsstand .

3.939

2

157.837

3

3.880

1

69.218

99

3

für die Werte für 1971 ist 1976 Quellen: Robert Ofner, Die Gemeindestruktur Österreichs. In: Strukturanalyse des Österreichischen Bundesgebietes,Bd.2, Wien 1970, S. 466 (Tabelle 2) 13 1971: Sonderauswertung d. Österr.Stat.ZA.Wien 1976

5.001 Einwohnern - zeigt somit die Stadtgrößenverteilung 6 ). Jede Analyse einer Siedlungsgrößenverteilung ist also gleichzeitig auch eine Analyse der Stadtgrößenstruktur. Es liegt daher nahe, den dynamischen Prozeß der Verstädterung u.a. auch im Übergang von einer Siedlungsgrößenverteilung in eine andere zu sehen. Tabelle 2 "Bevölkerungsentwicklung nach Gemeindegrößenklassen 1934 bis 1971 (Gebietsstand 1971)" gibt in Verbindung mit Tabelle 1 einen kurzen Überblick über den Verstädterungsprozeß in Österreich. So hat sich der Bevölkerungsanteil der Gemeinden mit mehr als 5.001 Einwohnern von knapp unter der Hälfte von 1934 bis 1971 auf knapp über die Hälfte verändert; die Anzahl der Gemeinden ist von 3.287 auf 2.508 gesunken. Während 1934 noch 4,83 %der Bevölkerung in zwei Gemeinden mit 100.001 bis 1,000.000 Einwohnern wohnten, waren es 1971 bereits 9,33 % in vier Gemeinden. Die Interpretation der Tabelle ließe sich fortsetzen, aber das ist nicht der Zweck dieser Untersuchung! Obwohl nicht auf die Überlegungen bzw. Theorien zur Verstädterung eingegangen werden soll, so muß doch auf einen Aspekt hingewiesen werden, der an Bedeutung gewinnt, sobald Gemeindegrößenverteilungen zur Analyse von Verstädterungsprozessen herangezogen werden sollen. Bei einer Analyse des Verstädterungsprozesses kommt es auf die Anteile der Bevölkerung an, die städtisch wohnen (siedeln). Ein städtisches Siedlungsgebiet muß aber nicht ident sein mit den administrativen Grenzen einer Stadtgemeinde (-insnweit ist Tabelle 2 etwas unzureichend-). Wenn man eine Analyse des Verstädterungsprozesses nach der Größe der Siedlungen anstrebt, so muß man - unter Außerachtlassun~ der administrativen Gemeindegrenzen - auf die jeweiligen Siedlungsgebiete abstellen, denn Verstädterungsprozesse bestehen oft im Überschreiten von Stadtgemeindegrenzen. 6) Statt 5.001 Einwohnern kann auch eine andere Grenze gewählt werden. Diesem Beispiel kommt keine definitorische Bedeutung zu, obwohl für Österreich üblicherweise dieser Wert als Schwelle genommen wird, ab wann eine Siedlung als '!3tädtisch" angesehen wird. 14

Erst dann paßt die Analyse einer Verteilung von Siedlungsgrößen exakt zu der der Verstädterung und umgekehrt. Die Problemstellung von Untersuchungen über Siedlungsgrößenverteilungen besteht darin, daß der Zusammenhang zwischen der Anzahl und der Größe der Siedlungen (statistisch) analysiert und/oder (regionalwissenschaftlich) interpretiert wird, wobei sowohl statistische Verteilungsmodelle wie regionalwissenschaftliche Raumordnungsmodelle und -theorien herangezogen werden. Tabelle 2 BEVÖLKERUNGSENTWICKLUNG NACH GEMEINDEGRÖSSENKLASSEN 1934 - 1971 (Gebietsstand 1971 ) Gemeindegrößenklassen bis 5.001 -

1934 absolut

%

5.000 3.460.844 51 ,19

1951 absolut

%

1961 absolut

%

1971 absolut

%

3.528.329 50,89

3.464.209 48,97

3.589.838 48,14

20.000

589.068 8,71

776,124 11,19

907.720 12,83

1.055.320 14,15

20.001 - 100.000

448.528 6,63

499.262 7,29

432.445 6, 11

500.988 6,72

100.001-1.000.000

326.183 4,83

514.065 7,41

641.867 9,07

695.416 9,33

Wien

1.935.610 28,63

1.616.125 23,31

1.627.566 23,01

1 .614.841 21,66

Österreich

6.760.233 100,00

6.933.905 100,00

7.073.807 100,00

7.456.403 100,00

Quelle: Franz Satzinger, Methoden zur Abgrenzung von Stadtregionen. In: rH tteilungsblätter - Österr. Gesellschaft für Statistik und Inf., 4. Jg. (1974), s. 114.

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Einige Einschränkungen Siedlungsgrößenverteilungen, egal ob in einem theoretischspekulativen oder einem empirisch-deskriptiven Kontext betrachtet, enthalten einige wesentliche Annahmen und Verkürzungen gegenüber der Realität. Eine wichtige Einschränkung gegenüber der Realität ist die, daß die Größe der Siedlungen von vornherein nicht in ihrer flächenmäßigen (d.h. räumlichen) Verteilung untersucht wird, sondern eine Reduktion auf die beiden Dimensionen Größe und Häufigkeit der Siedlungen erfolgt. Die dritte Dimension, Entfernung der Siedlungen zueinander, wird ausgeklammert. Mit dieser Einschränkung fallen auch alle die Besonderheiten der räumlichen Ordnung, wie naturräumliche Eigenheiten, administrative Beschränkungen etc., heraus. Die räumliche Dimension findet nur auf Umwegen Eingang in eine Siedlungsgrößenverteilung, etwa als eine Erklärung von Häufigkeiten. tiblicherweise wird unterstellt, daß Siedlungsgrößenverteilungen für ein Gebiet formuliert sind, das eine räumliche Einheit in sozialer, wirtschaftlicher und kultureller Hinsicht bildet 1 ); dazu gehört auch die vollständige Erfassung des Gebietes. Die Aussagekraft bzw. Interpretationsfähigkeit von Siedlungsgrößenverteilungen würde schwinden, wenn die H~g­ keiten der Verteilung nach freiem Belieben, unregelmäßig oder 1) Sieredazu die Bemerkungen von Ch.T.Stewart, The Size and Spacing of Cities. In: Readings in Urban Geography, ed.by H.M.Mayer and Cl.F.Kohn, Chicago and London 1959,p.240256. Ch.T.Stewart bezieht sich dabei auf Untersuchungen von G.K.Zipf und weist darauf hin, daß eine starke Außenhandelsverflechtung die Siedlungsgrößenverteilung vor allem in ihrem oberen Bereich nicht unbeeinflußt läßt (p.241). Eine, wenn auch vage, Verbindung zum ökonomischen Entwicklungsstand findet sich bei Walter B. Stöhr angemerkt. Exportorientierte Entwicklungsländer haben erfahrungsgemäß andere Siedlungsgrößenverteilungen als entwickelte Industriestaaten. 'Nalter B. Stöhr, New Towns and Growth Centres in National Urban Systems - Some Theoretical Spatial-Economic Consideration. In: Issues in the Management of Urban Systems, ed. H.Swain and Ross D. McKinnon, Schloß Laxenburg 1974, p.155-179, vor allem p. 158 16

unvollständig gebildet worden wären. Die Annahme der Einheitlichkeit des Gebietes gewinnt immer dann an Bedeutung,wenn Siedlungsgrößenverteiluneen für Gebiete aufgestellt werden, die starke Strukturveränderungen und/oder Umorientierungen ihrer Raumordnung erfahren haben. Eine weitere Annahme bezieht sich auf die Größe des Gebietes. Man geht davon aus, daß die Grundgesamtheit an erfaßten Siedlungen (-innerhalb eines Gebietes-) so groß ist, daß auf sie statistische Verfahren angewendet werden und statistische Gesetzmäßigkeiten zutreffen können. So wäre es wenig sinnvoll, eine Siedlungsgrößenverteilung für ein Gebiet aufzustellen, in dem es nur - zum Beispiel - vier Siedlungen insgesamt gibt. Diesen Größenaspekt kann man so fassen, daß üblicherweise unterstellt wird, daß die Grundgesamtheit einer Siedlungsgrößenverteilung so zahlreich ist, daß der Hinzutritt oder Wegfall einiger kleinerer Siedlungen das Erscheinungsbild der Verteilung nicht wesentlich ändert. In dieser Unterstellung liegt eine gewisse Asymmetrie, die sich aus der für Siedlungsgrößenverteilungen spezifischen Problemstellung ergibt, die von einer (-rapiden-) D~~ression der Häufigkeit mit der Größe der Siedlungen ausgeht • Ordnet man die Verteilung der Siedlung nach Größenklassen, so hat die Klasseneinteilung einen starken Einfluß darauf, wie glatt die Säulen der Histogramme der Häufiekeitsverteilung aneinander anschließen. Erfahrungsgemäß gibt es nur wenige sehr kleine Siedlungen, dafür aber viele kleine, sodaß die Verteilung ab einem Scheitelwert wieder absinkt 3 ). 2) Dem Aspekt, daß die Mächtigkeit der Grundgesamtheit wesentlichen Einfluß auf die Gestalt der Verteilungen haben kann, kommt auch in der Liguistik große Bedeutung zu. Siehe dazu G.Herdan, The Advanced Theory of Language as Choice and Chance, Berlin etc. 1966, p. 89. 3) Dieser Umstand wird von Peter Hagett als "uneelöstes Problem", das im Rahmen der Theorie der Siedlungserößen nicht beachtet wird, bezeichnet. Er verweist dabei auf eine Studie von K.A. Gunawardena, der u.a. diese Problematik für Ceylon aufgezeigt hat. K.A. Gunawardena, Service centers in Southern Ceylon, Univ.of Cambridge Ph. D. Thesis, 1964.Zitiert nach: Peter Hagett, I,ocational Analysis in Human Geography, London 1965, several reprints (1969), darin vor allem p.101-113. 17

Beginnt die unterste Klasse mit null Einwohnern und liegt ihre Obergrenze im oder jenseits dieser Scheitelwerte, so tritt gegenüber dem Bild der Verteilung in der Realität in ihrer klasseneeordneten Abbildung eine Verzerrung ein. 'vVill man die Kleinstsiedlungen nicht erfassen, was einerseits in einer Vereinfachung des Rechenaufwandes, andererseits an ihrer geringen Zahl und Bedeutung liegt, so beginnt die unterste Klasoomit dem Scheitelwert oder einem anderen höheren Schwellenwert einer bestimmten Einwohnerzahl (z.B. mit 3.001 (oder 5.001) Einwohnern). Für Österreich müßte eine Gemeindegrößenklassenverteilung, welche die Kleinstgemeinden ausschließen will, nach Tabelle 1 mit der Größenklasse 201 bis 500 Einwohner beginnen. Daß die meisten Siedlungsgrößenverteilungen unterschiedliche Klassenbreiten haben, hängt zunächst mit der großen Differenz zusammen, welche zwischen der Einwohnerzahl einer kleineren Siedlung (z.B. einer Dorfgemeinde mit 500 Einwohnern) und einer größeren Siedlune (z.B. einer Großstadt mit 250.000 Einwohnern) besteht. Die Klassenbreite kann nicht konstant gehalten werden, will man das in der Problemstellung erwähnte Phänomen gut sichtbar machen. Im Bereich der kleineren Siedlungen ist entsprechend der geringeren Einwohnerzahlen eine engere Klasseneinteilung erforderlich als im Bereich der größeren Siedlungen, wo die Klassen breit sein müssen, um eine klassenweise Zusammenfassung zu ermöglichen. Nas hier erfolgt, ist ein bewußtes Abgehen von einer gleichgewichtigen Beachtung der drei allgemeinen Forderungen, die seitens der Statistik an eine Gruppenbildung gestellt werden. Diese Forderungen sind: Gleichartigkeit, Geltung des Gesetzes der großen Zahl und Übersichtlichkeit. Im Fall der Siedlungsgrößenverteilungen wird die Forderung nach Gleichartigkeit zurückgestellt 4 ).

4) Die Anzahl der Gruppen (Klassen) läßt sich mit Hilfe der

Sturges'schen Formel abschätzen. Dieser Formel ließt eine Bernoulli-Reihe zugrunde a ). Kennt man die Anzahl der Klassen, so teilt man die Spannweite zwischen größter und kleinster Eerkmalsausprägung der statistischen masse durch die Anzahl der Klassen und erhäDt die (gleichbleibende)Klassenbreite. Siehe dazu Wilhelm l.Vinkler, Grundriß der Statistik, I,Theore-

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Die Forderung nach Geltung des Gesetzes der großen Zahl zielt darauf ab, die Anwendbarkeit statistischer Verfahren sicherzustellen, was - bezogen auf die Besetzungszahlen der oberen Klassen trotz Breiterwerden der Klassen - nicht immer gelingt. In die Realisierung der Forderung nach Übersichtlichkeit, welche die Wahl der unterschiedlichen Klassenbreiten bestimmt, fließen zudem wissenschaftliche Paradigmen ein. Als besonders anschaulich gelten das Pareto- und das Lognormale VerteilungsmodeU 5 ). Zu diesen statistischen Anforderungen an die Klasseneinteilung können noch verschiedene außerstatistische Determinanten treten, die speziell abgestufte Klassenbreiten erfordern: So korrespondiert in Österreich die Gemeindegrößenklassifikation weitgehend mit dem abgestuften Bevölkerungsschlüssel des Finanzausgleichs 6 ).

tische Statistik, Wien 1947, S. 98-105. a) Da die Sturges'sche Formel auf einem Bernoulli-Prozeß aufbaut, wäre ihre Anwendung auf eine Siedlungsgrößenverteilung auch methodisch höchst zweifelhaft, da Siedlungsgrößenverteilungen, wenn ihr Zustandekommen stochastisch erklärt wird, gerade kein Bernoulli-Prozeß unterstellt wird. Siehe dazu den Abschnitt über Stochastische Modelle von Siedlungsgrößenverteilungen. 5) Siehe dazu die Bemerkungen auf S. 33 ff. 6) Die gewählte Zerlegung ist vor allem im unteren Bereich der Klasseneinteilung feiner, doch so angelegt, daß sich die Einteilung des abgestuften Bevölkeruw,;sschlüssels leicht herstellen läßt. Zum abgestuften Bevölkerungsschlüssel siehe: § 8, Abs. 3, FAG 1973, BGB1. 446/1972

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Die Abbildung Die Darstellung der Beobachtung, daß es viele kleine, etwas weniger mittelgroße, einige große Siedlungen und nur eine Metropole gibt, in einer mathematisch-formalen, statistischen und/oder bildstatistischer Form kann in unterschiedlichen Untersuchungsanordnungen erfolgen, wobei auch die eingangs umrissene Problemstellung gewisse Transformationen erfährt. Diese Mehrheit der Untersuchungsanordnungen und die jeweils (leicht) veränderten Fragestellungen erschweren den Zugang zum Verständnis der aufgezeigten, grundlegenden Problematik und erwecken den Anschein, als ob unterschiedliche Phänomene vorlägen. Ein Aspekt,auf den in diesem Zusrumnenhang besonders hingewiesen werden muß, ist die Tatsache, daß eine andere Untersuchungsanordnung auch in einer Umkehr der Kausalitätsrichtung der Beziehungen bestehen kann. Im großen ganzen lassen sich zwei Richtungen, die grundlegende Problematik (s.o.) zu erfassen, unterscheiden: Ansatz A (Häufigkeitsverteilungen im engeren Sinn): Dieser Ansatz zerfällt selbst wiederum in verschiedene Anordnungen, das Problem zu fassen. So wird zwischen den Größenklassen der Siedlungen (angegeben in Einwohnerzahlen) und den absoluten, relativen, kumulierten absoluten oder kumulierten relativen Häufigkeiten der Anzahl der Siedlungen ein Zusammenhang hergestellt. Statt auf die Anzahl der Siedlungen wird auch auf die absoluten, relativen, kumulierten absoluten oder kumulierten relativen Einwohnerzahlen der Siedlungen abgestellt. Statt der Größenklassen werden oft die Größen selbst (das sind die absoluten Einwohnerzahlen der Siedlungen) in Beziehung gesetzt zu den kumulierten absoluten oder kumulierten relativen Häufigkeiten der Anzahl der Siedlungen oder den kumulierten absoluten oder kumulierten relativen Einwohnerzahlen. Ansatz B (Ranggrößenverteilungen): Die Größe bzw. "Bedeutung" einer Siedlung muß nicht durch ihre Einwohnerzahl direkt angegeben werden, sondern kann auch durch ihren Rang dargestellt

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werden. Den Rang erhält man, indem man die betrachteten Siedlungen ihrer Einwohnerzahl nach in (auf- oder) absteigender Ordnung ordnet 1 ). Die einwohnerstärkste Stadt erhält dabei den Rang Eins. Diese Rangordnung wird nun in Beziehung gesetzt zur absoluten, relativen, kumulierten absoluten oder kumulierten relativen Einwohnerzahl der Siedlungen. Hat man keine diskreten Einwohnerzahlen, sondern nur Einwohnerklassen, so wird die Klassenmitte zum Ort der Rangzahl; dadurch werden zwangsläufig fast alle Ränge mehrfach mit Siedlungen besetzt. Jeder Ranggrößenverteilung haftet ein kumulativer Charakter an, ähnlich einer kumulierten Häufigkeitsverteilung, da ja vom Rang 1 beginnend fortlaufend zugezählt wird. Vergleicht man eine Ranggrößenverteilung mit einer ffaufigkeitsverteilung nach Klassen, so muß man - abgesehen von Maßstabproblemen beachten, daß die Häufigkeiten Durchschnittseigenschaft haben, d.h. die ranggeordneten Werte werden in den Grenzen der Klassen um die Klassenmitte streuen. Die Gründe, statt einer Größenangabe nach Einwohnern eine Rangordnung zu verwenden, sind: (a) praktische Gründe (b) konzeptuelle Gründe ad (a): Zwischen den Einwohnerzahlen großer und kleiner Siedlungen besteht ein großer (absoluter) Abstand. Das führt dazu, daß die Einwohnerachse sehr lang ist. Man kann sich dadurch helfen, daß man sie in ihrem oberen Teil, dort wo die großen Siedlungen liegen, staucht, indem man zum Beispiel logarithmisch transformierte Daten verwendet; den gleichen Effekt hat eine Rangklassifikation. ad (b): Die Bedeutung (-egal wie immer sie definiert sein mag-) einer Siedlung kann als ein multikausal verursachtes und multi1) Da die Rangordnung auf den Einwohnerzahlen aufbaut, gelten die auf S. 9 gemachten Bemerkungen zur Einwohnerzahl ungeschmälert. Für Österreichs Städte (mit mehr als 15.000 Einwohnern) ergibt sicll die in Tabelle 3 gezeigte Rangordnung. 21

dimensionales Phänomen angesehen werden, als jenes Phänomen, welches die Größe einer Siedlung letztlich bestimmt. Es wird keineswegs mehr allein quantitativen Charakter haben t sondern eine Vielzahl qualitativer Aspekte mit einsch1ießen~)Wenn­ gleich die Einwohnerzahl ein gutes Indiz für die Bedeutung einer Siedlung ist, so muß die Einwohnergerade (Zahlengerade der Einwohner) keineswegs die entsprechende Skala für ein Bedeutungsmaß sein. Das gilt vor allem dann, wenn man "Bedeutung" in dem erwähnten, komplexen Sinn versteht. Eine Ordina1ska1a erlaubt nicht nur die Einbeziehung mehrerer Bedeutungs indikatoren im Sinne eines soziologischen Index 3 ), 2) (a) Nahezu das gleiche Problem stellt sich, wenn versucht wird, das Wirtschaftspotential oder die Wirtschaftskraft einer Region zu messen; auch hier geht es darum, eine Mehrzahl von Indikatoren zusammenzufassen. Sehr oft wird zur Informationsverdichtung die Faktorenanalyse herangezogen. Auf dieser kann man eine (kardinale) Rangklassifikation der Regionen aufbauen, wenn man letztere entsprechend ihren Faktorladungen reiht, wobei man für jeden Faktor eine Reihung erhält. Siehe dazu im Detail Heinz Pütz, Messung von Wirtschaftskraft und Wirtschaftsstruktur, Berlin 1975. (b) Durch die Einführung der Rangvariablen wird auch der Charakter der Verteilung betroffen. Die eindeutige Zuordnung des Wertebereichs zum Def.initionsbereich bleibt zwar erhalten, die Gestalt (der Graph) der (Vertei1ungs-)Funktion wird jedoch arbiträr. Es handelt sich hier um ein ähnliches (ökonometrisches) Problem wie jenes, welches zur Entwicklung des Spearman'schen Rangkorrelationskoeffizienten führte, welcher die Stärke des statistischen Zusammenhanges zweier qualitativer Variablen mißt. Der Spearman'sche Rangkorrelationskoeffizient ist ein nichtparametrischer oder verteilungsfreier Test. Er stellt also nicht auf eine ihm zugrunde gelegte Verteilung ab. Eine solche anzugeben, hätte auch keinen Sinn, weil hinsichtlich der Verteilung bzw. des Verteilungstyps der Zusammenhang von Rangvariablen mehrdeutig ist. Der Unterschied ist, daß beim Rangkorrelationskoeffizienten beide Variable ordina1 definiert sind, während es bei einer Ranggrößenverteilung nur eine Rangvariable gibt. (c) Parallele lassen sich ebenfalls zur ökonomischen Nutzentheorie ziehen, wo man auf Grund der Komplexität und des qualitativen Charakters des Phänomens "Nutzen" von einem kardinalen zu einem ordinalen Konzept überging. 3) Es handelt sich dabei um mehrdimensionale Indices, bei deren Konstruktion Skalierungsprobleme unterschiedlicher Schwierigkeit auftreten können. Siehe dazu u.a. Erwin K. Scheuch, Skalierungsverfahren in der Sozialforschung. In: Handbuch der empirischen Sozialforschung, herausgegeben von Rene König, I. Bd., Stuttgart 1967; vor allem S. 372 ff. und 376 ff •• 22

Tabelle 3 RANG- UND EINWOHNERZAHLEN DER STÄDTE MIT MEHR ALS 15.000 EINWOHNERN (Ordnungsbasis 1971) Rang 19 •• 71 61 51 34 1 2 3

4

5 6

7

8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

1 2 3

1971

Einwohner 1961 1951

Ort 1934

1 2 3

1 1.603.408 1.627.566 1.760.784 1.874.169 Wien 249.211 226.271 237.080 152.841 Graz 2 185.177 108.910 Linz 195.918 204.627 3 100.096 63.231 Salzburg 108.914 127.293 4 4 4 61.005 Innsbruck 115.293 100.695 94.599 5 5 5 29.671 Klagenfurt 74.618 69.218 62.792 6 6 8 16.288 Wels 41.060 47.081 38.078 7 8 15 36.247 St.pölten 40.710 40.338 43.229 877 22.512 Steyr 40.587 38.306 36.727 9 9 10 11.438 Leoben 10 10 23 35.122 36.259 35.319 16.650 Dornbirn 13 14 14 22.508 28.075 34.772 11 11 6 36.798 Wr.Neustadt 30.509 33.845 34.707 30.061 23.831 Villach 32.971 12 12 9 34.593 11.186 Kapfenberg 26.006 14 13 26 23.894 23.843 14.836 Bregenz 17 17 18 23.171 21.428 20.318 22.208 Baden 21.382 16 15 11 22.084 22.629 15 (x) 17 22.787 21.989 15.141 Klosternbg. 23.320 19 18 20 21.776 12.908 Feldkirch 15.045 17.343 18 16 19 21.408 21.643 14.587 Krems 20.359 16.026 20.838 22 38 63 9.648 5.437 Traun 20 (x) 12 18.792 17.274 17.076 18.736 Mödling 10.414 14.457 6.998 Braunau 11.559 23 20 (JOO 16.087 16.369 12.198 Bruck/Mur 14.709 21 20 22 12.582 15.413 10.303 8.733 Lustenau 29 32 37

(x) Mödling und Klosterneuburg werden im Stat. HB 51 nicht ausgewiesen; siehe Tabelle 111/2. (xx)Braunau wird im Stat. JB 38 nicht ausgewiesen; siehe Tabelle IV/13. Die Einwohnerzahlen für die Orte Braunau, Klosterneuburg und Mödling für die Fälle (x) und (xx) wurden entnommen: "Endgültige Ergebnisse über die Wohnbevölkerung nach Gemeinden, Tabellen Niederösterreich und Oberösterreich, Beiträge z.Stat., Heft 309/1, Wien 1971. Quellen: Für 1971 und 1961: Stat. HB f.d.Rep.Ö.1971,Tab.206 Für 1951 Stat. HE f.d.Rep.Ö.1951,Tab.III/2 Für 1934 Stat. JB f.Österr. 1938,Tab.IV/13.

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sondern sie ist auch ein Maßstab, welcher unempfindlich ist gegenüber asymmetrischen Abständen zwischen Elementen des empirischen relationalen Systems, da er nur die Ordnungsrelationder Elemente widerspiegelt. Asymmetrische Abstände sind gerade bei Siedlungsgrößenverteilungen nach der Einwohnerzahl gegeben, wobei die Größe des Abstandes keineswegs dem Bedeutungsunterschied der Siedlungen entsprechen muß. Der Übergang zu einer Ranggrößenverteilung erlaubt es, den Bogen der Hypothesen, die zur Erklärung des Problemes herangezogen werden, weiter zu spannen, da eben nicht mehr die Einwohnerzahl allein ins Kalkül gezogen werden muß, sondern andere Erklärungsmomente hinzutreten können. Daran ändert die Tatsache wenig, daß in der Praxis die Einwohnerzahl als alleiniger Indikator für den Rang einer Siedlung verwendet wird; - denn dadurch wird die Skalierung wesentlich vereinfacht.

24

Die Verteilungsmodelle Einige Vorinformationen Aus den bisherigen Ausführungen geht hervor, daß eine Siedlungs(Rang)größenverteilung sich als eine links-schiefe, diskrete Verteilung darstellen läßt. Man könnte die Untersuchungsanordnung auch so wählen, daß die Verteilung einen positiven Anstieg bekommt, afuer das ist unüblich. Beispiele von Siedlungs- bzw. Ranggrößenverteilungen werden ungefähr so aussehen wie in Abbildung 1a und 1b:

Anzahl der Gemeinden

Einwohner

~

t-

t-

r-

r

o

r- t-,-

lIh Grös~enl~laS5en

,

(Metropole)

Rang

Abb.la: Hypothetische Abb.lb: Hypothetische Ranggrös senverte il un g Häufig kei tsver tei lung Abb. 1a zeigt eine diskrete Siedlungsgrößenverteilung, in die man sich leicht eine kontinuierliche Verteilung eingeschrieben bzw. zugepaßt vorstellen kann (-etwa vom Typ einer log-normalen Verteilung-). Abb. 1b zeigt eine (diskrete) Ranggrößenverteilung. Auch bei den anderen Untersuchungsanordnungen 1 ) erhält man ähnliche, linksschiefe Verteilungen. 1) Siehe dazu den Abschnitt von Seite 16 bis 19.

25

Abb. 1a ist dem Ansatz A (Häufigkeitsverteilung im engeren Sinne) zuzurechnen; Abb. 1b dagegen dem Ansatz B (Ranggrößenverteilung). Unter Vorwegnahme der kommenden Ausführungen über Verteilungsmodelle lassen sich die Bildstatistiken etwa folgendermaßen formal anschreiben: 1a)

1b)

bzw.

=

-

ologX (lognormale Verteilung)

N

PR

y

=

10gPR

C

X•••• Klassenmitte (Einwohner) PR ••• Einwohnerzahl der R-rangigen Siedlung

Rq

= log

N•••• Anzahl der Siedlungen

C - qlogR

C•••• Konstante (Einwohnerzahl der Metropole)

In methodologischer Sicht kann man zu ein und demselben Verteilungstyp einer Siedlungsgrößenverteilung, z.B. einer lognormalen Verteilung oder einer Pareto-Verteilung, entweder auf induktivem oder deduktivem Weg gelangen. Im Fall einer induktiven Konzeption stellt sich die Frage, durch welche statistische Verteilungsmodelle die empirischen Verteilungen angenähert werden können bzw. in der Literatur üblicherweise angenähert werden. Es wird also versucht, empirisches Datenmaterial durch ein Verteilungsmodell zu repräsentieren, um dann mit diesem Verteilungsmodell (-das dann oft als "empirisches Gesetz" bezeichnet wird-) theoretisch weiterzuarbeiten. Diese Vorgangsweise entspricht weitgehend der des logischen Empirismus. So informativ die Betrachtung der manifesten Außenwelt, die sich als eine Vielzahl von Siedlungen darstellt, auch sein mag, für die Strukturierung der Beobachtungen liefert ein empiristischer Ansatz keine Hinweise. Siedlungsgrößenverteilungen bauen aber in erster Linie auf geordneten, gruppierten Daten auf. Im Fall einer deäuktiven Konzeption stellt sich das Problem, welche statistischen Verteilungsmodelle als Modellfälle und/oder Paradigmen für - auf theoretischen Überlegungen basierenden -

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Siedlungsgrößenverteilungen herangezogen werden können. Es wird also versucht, aus einem theoretischen Modell eine Verteilung zu entwickeln, die es dann durch empirisches Datenmaterial zu belege~ gilt. Diese Vorgangsweise entspricht einem aprioristischen und/oder entscheidungslogischen Herangehen an die Materie. Vom aprioristischen Standpunkt aus sind Siedlungsgrößenverteilungen grundsätzlich links-schief. Das folgt aus einer Wesenserkenntnis der Prinzipien, nach denen gesiedelt wird und die als vorweg gültig angesehen werden, will man Siedlungsgrößenverteilungen überhaupt untersuchen. Der entscheidungslogische Standpunkt tritt in allen jenen Modellen von Siedlungsgrößenverteilungen hervor, in denen die Siedl~ngsgrößenstruktur ein Resultat der Minimierung der Kosten der Distanzüberwindung ist. In der Theorie der Zentralen Orte z.B. sind der aprioristische mit dem entscheidungslogisehen Aspekt verwoben: dergestalt, daß funktionale Mannigfaltigkeit und Auf teilbarkeit als gegeben angesehen werden, während die räumliche Konfiguration der örtlichen Funktionserfüllungen aus einer Minimierung der Kosten der Entfernungsüberwindung folgt. Obwohl die induktive Methode wissenschaftstheoretisch eine grundsätzlich andere Konzeption als die deduktive Methode ist~) wird in der bestehenden Literatur zur Siedlungsgrößenverteilung einer Unterscheidung dieser beiden Konzepte bzw. ihrem Zusammenhang keine Bedeutung beigemessen 3 ). 2) Zum älteren Methodenstreit siehe als Überblick Gerhard Stavenhangen, Geschichte der Wirtschaftstheorie, Göttingen 1964, S. 203-207. Als Ergänzung dazu empfiehlt sich der Aufsatz von Raymond Boudon, Mathematical Models and Methods. In: Main Trends of Research in the Social and Human Sciences, Part One: Social Sciences, Mounton/Unesco, Paris. The Hague, MCMLXX, p. 529-577, vor allem p. 553. Eine gute wissenschaftstheoretische Reflexion der Ökonomie bietet die Studie von Michael Wagner, Ökonomische Modelltheorie, Forschungsberichte d. Inst. f. Höhere Studien, Nr. 100, Wien 1976. Darin wird auch über die modelltheoretischen Ansätze Empirismus, Entscheidungslogik und Apriorismus gehandelt (S. 8-66). 3) Meines Wissens wird in keinem (Überblicks-)Aufsatz oder einer anderen Literaturstelle zur Siedlungsgrößenverteilung einer Unterscheidung dieser Konzepte explizit Beachtung geschenkt, ausgenommen den Aufsatz von Kasimierz Dziewonski, The Role and Significance of Statistical Distributions in Studies of Settlement Systems. In:. Papers of the Regional Science Association, Vol. 34 (1975), p.145- 155.

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Von seiten der statistischen Methodik her werden sowohl im induktiven wie im deduktiven Fall die gleichen statistischen Verfahren verwendet, indem die Daten regressiert werden. Der Umstand, daß für beide Konzepte sowohl die gleichen Verteilungstypen wie die gleichen statistischen Verfahren herangezogen werden, trägt dazu bei, die wissenschaftstheoretisch unterschiedlichen Ausgangspunkte zu verdecken.

Die wichtigsten linksschiefen statistischen Verteilungsmodelle Der Umstand, daß Siedlungsgrößenverteilungen (sowohl Häufigkeitsverteilungen wie Ranggrößenverteilungen) linksschief sind, läßt sich durch verschiedene statistische Verteilungstypen darstellen. Ohne hier darauf eingehen zu können, sei darauf hingewiesen, daß seitens der statistischen Theorie immer wieder versucht wurde, eine allgemeine Bildungssystematik für Verteilungen zu entwickeln. 1 )2) 1) Siehe dazu z.B. Norman L. Johnson & Samuel Kötz, Continous Univariate Distributions-1, Boston etc. 1970. Vor allem p. 9-33 (Systems of Distributions) und die dort angegebene Literatur (so z.B. zum System von K. Pearson, Gram-Charlier usw.), sowie den Überblick über einschlägige Funktionen bei L. March, Urban Systems: A Generalized Distribution Function. In: Urban and Regional Planning, ed. by A.G. Wilson, London 1971, p. 157-170, vor allem p. 157-160. Der Versuch von L. March hat zum Ziel, eine verallgemeinerte Form einer Verteilungsfunktion zu finden. Aus einer Familie von neun, in der regionalen Analyse gebräuchlicheren Häufigkeitsverteilungen wird ein allgemeineres Verteilungsmodell entwickelt: y = x a exp (_x b ) Für die jeweilige Population steht y, x ist die Entferungsvariable, a und b sind positive oder negative Parameter (die bei bestimmten Verteilungstypen auch den Wert null annehmen; so etwa b=O bei einer lognormalen Verteilung). 2) Davon zu unterscheiden sind die Bemühungen, nichtlineare Funktionen durch Transformationen zu linearisieren. Eine derartige Transformationssystematik ist die sog. Goux-Klassifikation, die mehrere Funktionstypen umschließt a ): die GouxKlassifikation kennt - logarithmisch einfach transformierte Funktionen und - logarithmisch doppelt transformierte Funktionen. Sie baut auf folgender nichtliniearer Funktion auf, die als

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Die sich daraus ergebende Kenntnis der formalen Analytik der Verteilungen wäre bei einem Vergleich der verschiedenen Verteilungen sehr dienlich. Leider lassen sich die für Siedlungsgrössenverteilungen verwendeten Verteilungen nicht in ein und dieselbe Systematik einordnen, sodaß die einzelnen Verteilungstypen nur im losen Zusammenhang dargestellt werden können. Die Verteilungstypen, auf denen eine Analyse von Siedlungsgrößenverteilungen aufbaut, sind im wesentlichen die lognormale Verteilung und die Pareto-Verteilung; - rein theoretisch können auch andere linksschiefe Verteilungsmodelle, wie z.B. die GammaVerteilung, herangezogen werden; daß das nicht erfolgt, dürfte folgende Gründe haben: - historische; denn mit der Pareto-Verteilung wurde in den Sozialwissenschaften die Untersuchung einseitig schief verteilter Phänomene, von sog. Ungleichheiten, auf eine verbreiterte formale Basis gestellt; - paradigmatische; denn einerseits nahm man sich die Untersuchungen im paretianischen Stil zum Vorbild und Anknüpfungspunkt (s.o.) und andererseits offerierte eine lognormale Verteilung die Möglichkeit, eine Normalverteilung mit einer schiefen Verteilung zu kombinieren, also in den "Ungleichheiten" doch eine Normalverteilung zu finden 3 ). ein allgemeiner Modellansatz angesehen werden kann: I = k e- b g(d z ) z

Bei einfach logarithmierten Funktionen ist g (d z ) = d~, bei doppelt logarithmierten Funktionen ist g (d z ) = In d~. I z ' d z ••• Variable; z ••• Index; b ••• Parameter; m ••• Transformationsexponent; k ••• Konstante. Unterschiedliche Logarithmierungen und unterschiedliche Werte für den Transformationsexponent ergeben verschiedene Funktionstypen. a) J.NI. Goux, Structure de l'espace et mi'gration. In:Sutter, J. (Ed.), Human Dispacements. Measurement Methodological Spects, Monaco: Entretiens de Monaco en Sciences Humaines, Premiere Session (1962), p. 167-172. 3) Man darf nicht übersehen, daß selbst statistische Verteilungstypen normative Aufladungen erfahren können. Das wohl historisch bekannteste Beispiel ist der von Adolphe Quetelet entworfene "homme moyen", ein "homo statisticus", welcher als der " •.•• von der Natur angestrebte Normalfall aufge29

- interpretative; denn fast keine fachspezifische theoretische Interpretation (z.B. von einem Theorem der Regionalökonomie aus) ist so exakt, so scharf gefaßt, daß sie zu einer und nur einer genau bestimmten Funktionalform führte. Es kommt vielmehr auf den allgemeinen Zusammenhang an, d. h., daß es sich um eine linksschiefe Verteilung handelt. Ist jedoch die exakte Spezifizierung der Funktionalform arbiträr, so besteht wenig Anlaß, andere als die gewohnten Verteilungstypen zu wählen; das besonders dann, wenn die bisher verwendeten hinlängliche Anpassungen an die Daten lieferten 4 ). Im folgenden wird daher kurz auf nachstehende Funktionen hingewiesen: - die Zeta-Verteilung, - die lognormale Verteilung, - die Gamma-Verteilung und - die pareto-Verteilung 5 ). stellt ••• "b) wurde. Der Inhalt des Paradigmas ist das Harmoniepostulat der gleichgewichtigen Verteilung der Abweichungen. b) So Wilhelm Winkler, Grundriß der Statistik, I. Theoretische Statistik, 2. umgearb. AufI., Wien 1947, S. 143. 4) Siehe dazu auch die ähnlichen Überlegungen von Robert H. MacArthur, On the Relative Abundance of Bird Species. In: National Academy of Sciences, Proceedings 43 (1957),p.293295. Robert H. MacArthur weist auf die theoretische Erklärungsleere des Umstandes hin, daß " ••• if objects can be arranged according to size, beginning with the largest, some monotonieall, decreasing curve will describe the data. The fact that many of these curves are fairly weIl approximated by hyperbolas proves nothing, since an infinitely large number of curves resemble hyperbolas sufficiently closely to be identified as hyperbolas."(Zitiert nach Anatol Rapport, Rank Size Relations, in: Int. Encyclopedia of Social Sciences, Vol. 13, 1968, p. 319-323~ Erst die Interpretation einer bestimmten Kurve bzw. Klasse von Kurven kann befriedigen; - das setzt jedoch eine entsprechende exakt und konkret herausgearbeitete Theorie voraus. Ist diese nicht vorhanden, so bleibt die Wahl der Funktion arbiträr. 5) Die Besprechung folgt weitgehend den Ausführungen von Norman L. Johnson & Samuel Kotz, Discrete Distributions, Boston etc. 1969, dieselben, Continous Univariate Distributions-1, Boston etc. 1970. Das dritte Buch dieser Autoren, Continous Univariate Distributions-2, Boston etc. 1970, wurde nicht herangezogen. Die von S.K.Singh und G.S.Maddala aus einer Zufallsfehlerverteilung entwickelte linksschiefe Verteilung bleibt einer Darstellung zu einem späteren Zeitpunkt vorbehalten. S.K.Singh and G.S.Maddala, Afunction for size distributions of incomes. In: Econometrica , Vol. 44(1976), p. 963-970. 30

Offen bleibt die Frage nach zusammengesetzten Verteilungen. Man kann vermuten, daß vor allem zusammengesetzte Verteilungen eine gute Übereinstimmung mit der empirischen Siedlungsgrößenverteilung dann liefern, wenn entweder die untersuchte Siedlungsgrössenverteilung zwei oder mehreren Gebieten angehört, anstatt wie gefordert, einem, oder die Ursachen, die zur Herausbildung einer Siedlungsgrößenverteilung geführt haben, nur partiell für bestimmte Abschnitte der Verteilung wirksam waren 6 ). Werden die Daten regressiert, so erhält man die Regressionskurve aus den Teilregressionen, welche durch die einzelnen Abschnitte der zusammengesetzten Verteilung gelegt wurden. Was ebenfalls offen bleibt, ist das Problem der Transformation des empirischen Urmaterials in Hinblick auf dessen Anpassung an ein bestimmtes statistisches Verteilungsmodell. Einzig allein die logarithmische Transformation kommt am Beispiel der lognormalen Verteilung zur Sprache. Neben dieser gibt es noch andere Klassen von Transformationen, so z.B. affine Transformationen, mit deren Hilfe symmetrische in asymmetrische Verteilungen transformiert werden können7 ). 6) Zur Veranschaulichung sei auf die Abbildung bei R.J.Johnston, Spatial Structures, London 1973, p.28, fig.2.3.(c) verwiesen: Hier wird gezeigt, wie aus zwei ausgezackten Ranggrößenverteilungen eine glatte Verteilung zustandekommt. KtJmbination zweier hierar(/,. Vertei tu nge n

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Vergleiche dazu auch die HYpothesen von P. H0fstätter zur Begründung der Pareto-Verteilung aus mindestens zwei (ihrerseits lognormal verteilten) Partialkollektiven. P.Hofstätter, SozialpSYChOlogie, Berlin 1964, S. 142 f •• 7) Siehe dazu Roberto Bachi and Ester Samuel-Cahn, Applications of Parameters of Shape to Statistical Distributions. In: Regional Science and Urban Economics, Vol. 6 (1976), p.205227, vor allem 219ff ••

31

Die mit einer solchen Transformation bezweckte Adäquation einer empirischen Verteilung an ein Verteilungsmodell kann auch in Hinblick auf einen vorgegebenen Korrelationskoeffizienten erfolgen (der Bravais'sche Korrelationskoeffizient ist gegenüber linearen Transformationen invariant 8 ), 7)

Zur Zeta-Verteilung Die Zeta-Verteilung ist eine univariate, diskrete Verteilung, ihr kontinuierliches Analogon ist die Pareto-Verteilung. Die Zeta-Verteilung geht auf eine Näherungsformel zurück, mit welcher die Anzahl der Worte, welche mit einer bestimmten Häufigkeit in einem längeren Text aufscheinen, angegeben wird: (r

= 1,2, ••• ;p>0)

Die Anzahl der Worte ist n und r ist ihre Häufigkeit. Diese Näherungsformel geht auf die Beobachtung zurück, daß es nur wenig oft verwendete Worte gibt und umgekehrt. Daraus wurde die Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Zeta-Funktion entwickelt: w(x = r) = cr- ( p + 1 ) (r = 1, 2, ••• ; p> 0) -(p +l)] ; wobei c = [ r=lr ~ (.) steht für die Riemann'sche Zeta-Funktion. Zumeist liegen,

8) Vom statistischen (ökonometrischen) Standpunkt aus mag eine

derartige Vorgangsweise befriedigen, gelingt es doch, das empirische Datenmaterial durch ein entwickeltes und formal diskutiertes Verteilungsmodell zu repräsentieren. Der Regionalökonomie bleibt es überlassen, plausible inhaltliche Deutungen sowohl des Transformationsprozesses wie der dadurch ermöglichten Verteilungsmodelle zu geben; eine Aufgabe, die fast nie bewältigt wird. Sehr klar macht auf diese Problematik auch Heinz Gollnick aufmerksam: "Den theoretischen Plausibilitätserwägungen ist dabei auf jeden Fall die größere Bedeutung beizumessen, denn es nützt wenig, Kurvenformen mit der besten Anpassung an die Beobachtungspunkte einer Vergangenheitsperiode entwickelt zu haben, wenn ihre Form allgemeinen theoretischen Vorstellungen widerspricht und man diese Widersprüche nicht erklären kann." Heinz Gollnick, Einführung in die Ökonometrie, Stuttgart 1968, S. 30.

32

wie in verschiedenen Untersuchungen festgestellt wurde, die Werte für P leicht über eins; ist das der Fall, sind die Werte für P also relativ klein, so hat die Zeta-Verteilung ein lang hinausgezogenes rechtes Teilstück. Aus einer Unkorrektheit der Zeta-Verteilung heraus wurde die Yule-Verteilung entwickelt. Für x = r> 3 gab die Zeta-Verteilung eine gute Übereinstimmung mit den Originaldaten bei P ~ 1. Wenn jedoch r < 3 war, war das nicht der Fall. Für große Werte für r geht die Yule-Verteilung in die Zeta-Verteilung über. Die Zeta-Verteilung wurde deshalb erwähnt, weil sie der ParetoVerteilung vorgelagert ist. Siedlungsgrößenverteilungen sind im Original diskrete Verteilungen. Es schien daher gerechtfertigt, auch kurz einen diskreten Verteilungstyp zu erwähnen, mit dem Siedlungsgrößenverteilungen angenähert werden können, wenn die Analyse im diskreten Bereich bleibt. Zur lognormalen Verteilung Die lognormale Verteilung ist eine kontinuierliche, univariate Verteilung, wobei die Logarithmen der Variate normal verteilt sind. Im Vergleich zur Normalverteilung kann man sagen, daß diese durch eine additive, die lognormale Verteilung durch eine I multiplikative Verknüpfung des Ausgangsmaterials zustande kommt. Oder anders ausgedrückt: Eine hinlänglich große Anzahl von (voneinander unabhängigen) Fehlern ist normal verteilt, wenn man sie als Summe sieht, lognormalverteilt, wenn man sie als Produkt sieht 1 ). Eine Zwei-Parameter lognormale Verteilung eignet sich besonders gut zur Darstellung folgender Charakteristika wie Gewicht, Höhe, Dichte, Bevölkerungszahl, denn diese Merkmale können - sinnvollerweise - nicht negativ werden. Außerdem hat die 1) Dieser wichtige Hinweis zum Verständnis dieser Verteilung ist bei J. Aitchinson and J.A.C. Brown, The Lo~normal Distribution, Cambridge 1969, folgend formuliert (p. 1/3): "We may, indeed, go further and state our belief that the lognormal is as fundamental a distribution in statistics as is the normal, despite the stigma of the derivative nature of its name. It arise from a theory of elementary errors combined by a multiplicative process, just as the 33

lognormale Verteilung auf Grund der logarithmischen Transformation die Eigenschaft, die Varianz auszugleichen, wenn davon ausgegangen wird, daß die Standardabweichung zwar variiert, - etwa von Ort zu Ort -, der Koeffizient der Varianz aber konstant bleibt. Wenn e eine Zahl ist, sodaß Z = log(X - e) normalverteilt ist, so sagt man, daß X lognormalverteilt ist. Die Verteilung von X ist durch folgende Gleichung bestimmt: U

=y

+

olog(X - e)

wobei U die standardisierte Variable, Y, ound e Parameter sind. Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion lautet: Px(x)

=0

[(x - e)

f2IT] -1

exp [- ~

{y +

0 log(x -

e )} 2 J (x>

Es sei daran erinnert, daß jede Logfunktion in eine Exponentialfunktion übergeführt werden kann (-die logarithmische Funktion ist die Inverse zur Exponentialfunktion-). Die Erklärungen, wie lognormale Verteilungen aus stochastischen Prozessen entstehen, lassen sich auch auf eine Pareto-Verteilung ausdehnen. (Siehe dazu den entsprechenden Abschnitt über "Stochastische Modellen).

normal distribution arises from a theory of elementary errors combined by addition ••• ". Diesen Zusammenhang hat auch Robert Gibrat im Auge, wenn er in Hinblick auf die Normalverteilung schreibt: "Laplace's law might be called the law of constant effect". Dem stellt er das sog. "Law of proportional effect n gegenüber, das darin besteht, daß die Dogarithmen der Variablen normal verteilt sind. Die Veränderungen der Logarithmen einer Variablen sind aber nichts anderes als die relativen Veränderungen der Variablen selbst: d(logx) = dx x Robert Gibrat , On Economic Inequali ties. In: International .. Economic Papers, No. 7, London 1957, p. 51-70. (Englische Ubersetzung aus dem Französischen von Elizabeth Henderson.) 34

e)

Zur Gamma-Verteilung Die Gamma-Verteilung ist eine univariate, kontinuierliche Ver2 tei~ung und stellt eine Verallgemeinerung der x -Verteilung dar. Sie weicht besonders am Rand von der Pareto-Verteilung ab. Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion für die Standardform der Verteilung lautet: a -1 e -x x (x

~

0)

r(a)

Wenn der Parameter a = tialverteilung über 1 ).

ist, geht die Gamma- in eine Exponen-

Gamma-Verteilungen haben sich in der Praxis besonders bei der Annäherung quadratischer Formen multinormal verteilter Variablen bewährt.

Zur Pareto-Verteilung Im Gegensatz zur lognormalen Verteilung wurde die Pareto-Verteilung (-ebenfalls eine univariate, kontinuierliche linksschiefe Verteilung-) als eine Verteilung konzipiert, die nur Werte ab einem bestimmten Schwellenwert erfaßt. Ein Teil der Werte der originären Grundgesamtheit wird also einseitig weggestutzt. Der Schwellenwert ist im Prinzip beliebig wählbar. Bei der Analyse von Siedlungsgrößenverteilungen kommt der Pareto-Verteilung wie erwähnt eine paradigmatische Position zu; das deshalb, weil gerade zur Erklärung dieser Verteilung bzw. ihren Abweichungen von einer als Gleichverteilung normierten Verteilung besonders viel theoretische und empirische Vorarbeit geleistet wurde. Im Zentrum dieser Vorarbeiten stehen zwar Untersuchungen zur Einkommensverteilung, doch kann - zumindest 1) Die (unvollständige) G~mma-Funktion ist dabei wie folgt definiert: r (a) = ft a - 1 e- t dt x 0 Siehe dazu Norman L. Johnson & Samuel Kotz, Discrete Distributions, Boston 1969, p. 6.

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teilweise - auf diese Arbeiten zurückgegriffen werden. Die Pareto-Verteilung wurde aus der Beobachtung entwickelt, daß für die Verteilung vieler sozialer Phänomene, wenn ihre Logarithmen betrachtet werden, eine Geradengleichung zugepaßt werden kann 1 ): logN = log A - Cl log x A und Cl (Pareto-Konstante) sind Parameter und x ~ k; k ist der Schwellenwert. N ist der Wert, den die abhängige Variable annimmt. Eine Pareto-Verteilung kann auch als eine Zusammensetzung aus Exponential-Funktionen mi t gammaverteilten Parameter e -1 und den ursrrüngen im Nullpunkt des Koordinatensystems angesehen werden 2 • Umgekehrt geht eine Pareto-Verteilung dann in eine negative Exponential-Verteilung über, wenn folgende Transformation vorgenommen wird: Y =

e a In(~)

wobeiY negativ exponentialverteilt ist,·während X pareto-verteilt ist. 1) Diese Beobachtung wurde (-erstmals hinsichtlich des Einkommens-) von Vilfredo Pareto gemacht, der jedoch die Formel (logN = logA - Cllogx) als eine durch Aggregation reduzierte Form ansah. Siehe dazu Vilfredo Pareto, Cours D'Economie Politique, Tome Second, Lausanne et Paris 1897, p.305/306 und p. 310. Siehe dazu auch Wilhelm Winkler, Grundriß der Statistik, I. Theoretische Statistik, Wien 1947, p. 149ff. ebenso wie Josef Steindl, Random Processes and the Growth of Firms, New York 1965, p. 11; sowie viele andere Autoren. Desgleichen siehe Fußnote 1 auf S.33!., worin auf die Weiterentwicklung des Verständnisses linksschiefer Verteilungen Bezug genommen wird. Genaueres dazu findet sich im kommenden Abschni tt von S.43 an. 2) Siehe dazu die bei Norman L. Johnson & Samuel Kotz, Continuous Distributions-1, Boston etc. 1970, p. 233, zitierte Literatur.

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Ebenso wie log-normale Verteilungen können pareto-Verteilunyen als aus stochastischen Prozessen entstanden erklärt werden 3 • Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion für die Pareto-Verteilung lautet: (a>O, x~k>O) Die Verteilung der kumulierten Häufigkeiten (FX(x)) ist k>O, a>O;

x~k

Weitere Untersuchungen (so von B. Mandelbrot)4) haben dazu geführt, diesen Verteilungstyp dahingehend zu beurteilen, ob er "paretostark" oder "paretoschwach" ist. Im Fall von paretostarker Verteilung gilt, daß wenn

=

x~

k

wenn x< k

Im Fall von paretoschwachen Verteilungen gilt, daß wenn x

-+

00

Daraus ergibt sich, daß, wenn log {1 - FX(x)} gegen log x in einem Koordinatensystem eingetragen wird, der entstandene Graph eine Kurve ist, die sich asymptotisch einer Geraden mit der Steigung -a nähert. Sofern < a < 2 ist, werden diese Verteilungen auch als paretostabile Verteilungen bezeichnet, wobei sich für a = 2 die Normalverteilung ergibt.

°

Pareto-Verteilungen werden - ebenso wie lognormale Verteilunge~ - zur Disparitäts- bzw. Konzentrationsmessung herangezogen. Aus 3) Siehe dazu den separaten Abschnitt, der diesem Problem gewidmet ist; S. 59ff. 4) Zitiert und dargestellt nach Norman L. Johnson & Samuel Kotz, Continuous Distributions-1, Boston etc. 1970, p. 245. 5) Irwin H. Silberman, On Lognormality as a Summary Measure of Concentration. In: The American Economic Review, Vol. LVII (1967), p. 807-831.

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einer Pareto-Verteilung läßt sich über ihre inverse Verteilungsfunktion die Lorenzkurve bestimmen, aus der wiederum der GiniKoeffizient gewonnen werden kann 6 ). Dieser Aspekt sollte - als Hintergrundinformation - im Auge behalten werden, wenn später die Ranggrtßen-Regel, welche einen Gini-Koeffizienten von R = 0 hat, diskutiert wird. Bezogen auf eine Siedlungsgrößenverteilung steht in einer Pareto-Verteilung N für die Anzahl der Siedlungen, x für die Einwohnerzahl o A und a sind Parameter, wobei A dieselbe Dimension hat wie x; d.h. eine Einwohnerzahl ist 7 ). A ist nichts anderes als jene Einwohnerzahl, zu der die Einwohnerzahlen der anderen Siedlungen unter Bedachtnahme auf eine Regelmäßigkeit (das ist jene, welche sich im Funktionstyp bzw. im Parameter a äußert) in Bezug gesetzt werden. Der Parameter a ist die Elastizit~t der Funktion, sozusagen die Einwohnerelastizität der Siedlungshäufigkeit (bzw. des Ranges). e: =

d

a

(ln N) (ln x) =

Die Formel besagt, daß das Verhältnis einer Änderung von N (d.h. die prozentuelle Veränderung von N) für sehr kleine Veränderungen gleich dem a-fachen des Verhältnisses der umgekehrt gerichteten Änderung von x ist.

Am Beispiel der lfletropole soll dieser Zusrumnenhang erläutert werden: Nmet = 1, da es nur eine rvletropole gibt.

= Ax- a wenn a = -1, dann 1 =! me t = 1) -+x -+- A = x. Oder umgekehrt: wenn A = x -+- a = -1. Wenn (a -I -1) < 0 -+- A > x. Wobei erwartet werden kann, daß a nicht viel von 11 I abweicht, (N

6) Zur genauen Darstellung des Zusammenhanges siehe H. Piesch, Statistische Konzentrationsmasse, Tübingen 1975, vor allem s. 113ff., sowie eher als Einführung: Lyndhurst Collins, Industrial Size Distributions and Stochastic Processes. In: Progress in Geography, Vol. 5(1973), London, p.127ff. 7) Anstatt mit einer Häufigkeitsverteilung zu arbeiten, läßt sich auch eine Ranggrößenverteilung verwenden; die Ergebnisse sind sinngemäß dieselben.

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denn selbst eine Quadrierung von x würde bereits eine große absolute Differenz von x zu A bedeuten. Für alle übrigen (j) Siedlungen gilt, daß sie eine geringere Einwohnerzahl als die Metropoie haben. Ein Parameter 0. #0 ',111 gibt an, wie stark das reziproke Verhältnis von absolutem Glied (A) zu Einwohnerzahl (x j ) wodurch ja der Wert von Nj bestimmt wird - von einer proportionalen Beziehung abweicht. Die nachstehende Tabelle gibt einen Überblick über einen Teil der möglichen Beziehungen zwischen den Werten der Parameter (-Pareto-Konstante und absolutes Glied-) und der Siedlungsanzah1 8 ). Paramterwerte und Art der Beziehung

Fall

A

0.

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