Wirtschaftswachstum [Reprint 2014 ed.] 9783486789485, 9783486235357

Table of contents :
Inhaltsverzeichnis
Geleitwort
Vorwort
Einführung
Kapitel 1. Wachstumsmodelle mit exogener Sparquote (Das Solow-Swan-Modell)
Kapitel 2. Wachstumsmodelle des optimalen Konsums (Das Ramsey-Modell)
Kapitel 3. Die offene Volkswirtschaft, endliche Planungshorizonte und Anpassungskosten
Kapitel 4. Ein-Sektor-Modelle des endogenen Wachstums
Kapitel 5. Zwei-Sektoren-Modelle des endogenen Wachstums (unter besonderer Berücksichtigung der Rolle des Humankapitals)
Kapitel 6. Änderung der Technik: Modelle mit zunehmender Produktvielfalt
Kapitel 7. Änderung der Technik: Modelle mit Verbesserungen der Produktqualität
Kapitel 8. Die Diffusion der Technik
Kapitel 9. Arbeitsangebot und Bevölkerung
Kapitel 10. Daten zum Wirtschaftswachstum, Wachstumsrechnung
Kapitel 11. Empirische Analyse regionaler Daten
Kapitel 12. Empirische Analyse eines Querschnitts von Ländern
Anhang zu den mathematischen Methoden
Literaturverzeichnis
Verzeichnis der Autoren
Sachverzeichnis

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Wölls Lehr- und Handbücher der Wirtschafts- und Sozialwissenschaften Herausgegeben von

Universitätsprofessor Professor h.c. Dr. Dr. h.c. Artur Woll Bisher erschienene Werke: Aberle, Transportwirtschaft, 2. A. Barro, Makroökonomie, 3. A. Barro · Grilli, Makroökonomie - Europäische Perspektive Barro · Sala-i-Martin, Wirtschaftswachstum Blum, Volkswirtschaftslehre, 2. A. Branson, Makroökonomie, 4. A. Bretschger, Wachstumstheorie, 2. A. Brösse, Industriepolitik Büschges · Abraham · Funk, Grundzüge der Soziologie, 2. A. Cezanne, Allgemeine Volkswirtschaftslehre, 3. A. Fischer · Wiswede, Grundlagen der Sozialpsychologie Leydold, Mathematik für Ökonomen Rosen · Windisch, Finanzwissenschaft I Rush, Übungsbuch zu Barro, Makroökonomie, 3. A. Sachs · Larrain, MakroÖkonomik - in globaler Sicht Schneider, Grundlagen der Volkswirtschaftslehre, 3. A. Tirole, Industrieökonomik Varian, MikroÖkonomie, 3. A. Wachtel, MakroÖkonomik Wacker · Blank, Ressourcenökonomik I Wohltmann, Grundzüge der makroökonomischen Theorie, 2. A.

Wirtschaftswachstum Von

Robert J. Barro Harvard University und

Xavier Sala-i-Martin Yale University

R. Oldenbourg Verlag München Wien

Die Originalausgabe „Economic Growth" erschien 1995 bei McGraw-Hill, Inc., New York. Sie wurde von Universitätsprofessor Dr. Walter Buhr, Siegen, übersetzt.

Die Deutsche Bibliothek - CIP-Einheitsaufnahme Barro, Robert J.: Wirtschaftswachstum / von Robert J. Barro ; Xavier Sala-i-Martin. München ; Wien : Oldenbourg, 1998 (Wölls Lehr- und Handbücher der Wirtschafts- und Sozialwissenschaften) ISBN 3-486-23535-4

© 1998 R. Oldenbourg Verlag Rosenheimer Straße 145, D-81671 München Telefon: (089) 45051-0, Internet: http://www.oldenbourg.de Das Werk einschließlich aller Abbildungen ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlages unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere fur Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Bearbeitung in elektronischen Systemen. Gedruckt auf säure- und chlorfreiem Papier Gesamtherstellung: R. Oldenbourg Graphische Betriebe GmbH, München ISBN 3-486-23535-4

Über die Autoren Robert J. Barro ist Robert C. Waggoner Professor für Volkswirtschaftslehre der Harvard Universität. Er bersitzt den Grad Bachelor of Science (BS) in Physik vom California Institute of Technology und den Doktorgrad (PhD) in Volkswirtschaftslehre von der Harvard Universität; er ist vormals Fakultätsmitglied der Universitäten Rochester und Chicago sowie der Brown Universität gewesen. Er ist auch mitwirkender Herausgeber bei The Wall Street Journal, Fellow der Hoover Institution in Stanford und Research Associate des National Bureau of Economic Research. In den Jahren 1994-1995 ist er Houblon-Norman Research Fellow bei der Bank of England gewesen. Er ist mit Judy Anne Barro verheiratet und hat vier Kinder. Xavier Sala-i-Martin ist Associate Professor für Volkswirtschaftslehre der Yale Universität. Er hat den Grad Bachelor of Science (BS) von der Universität Autonoma de Barcelona und seinen Doktortitel (PhD) von der Harvard Universität erhalten. Er ist Faculty Research Fellow des National Bureau of Economic Research und Research Associate des Center for European Policy Research. In der Zeit 1994-1995 ist er Gastprofessor der Universität Pompeu Fabra (in Barcelona) und Berater des International Monetary Fund gewesen. Im Jahr 1992 haben ihn die Doktoranden an der Yale Universität mit dem Distinguished Teacher Award für seine Veranstaltungen zum Wirtschaftswachstum geehrt.

Meinem ersten Enkelkind - Robert J. Barro

Für Gubi und Schuxeta - Xavier Sala-i-Martin

Inhaltsverzeichnis

Geleitwort

xii

Vorwort

xiv

Einführung 1.1 1.2 1.3 1

Die Bedeutung des Wachstums Empirische Merkmale des Wirtschaftswachstums Ein Überblick über die moderne Wachstumstheorie

Wachstumsmodelle mit exogener Sparquote (Das Solow-Swan-Modell) 1.1 Die Grundlagen der Modelle 1.2 Das neoklassische Modell von Solow und Swan 1.2.1 Die neoklassische Produktionsfunktion 1.2.2 Die grundlegende Bewegungsgleichung für den Kapitalstock 1.2.3 Das langfristige Gleichgewicht 1.2.4 Die Goldene Regel der Kapitalakkumulation und dynamische Ineffizienz 1.2.5 Dynamik in der Übergangszeit 1.2.6 Wirtschaftspolitische Experimente 1.2.7 Ein Beispiel mit Cobb-Douglas-Technik 1.2.8 Absolute und bedingte Konvergenz 1.2.9 Konvergenz und Dispersion des Pro-Kopf-Einkommens . . 1.2.10 Technischer Fortschritt 1.2.11 Ein quantitatives Maß für die Geschwindigkeit der Konvergenz 1.3 Modelle des endogenen Wachstums 1.3.1 Das A/sT-Modell 1.3.2 Endogenes Wachstum im Übergang 1.3.3 Produktionsfunktionen mit konstanter Substitutionselastizität 1.3.4 Die Leontief-Produktionsfunktion und die Harrod-DomarKontroverse 1.3.5 Armutsfallen in Wachstumsmodellen Anhang: Beweise der verschiedenen Aussagen Zum Beweis wesentlicher Produktionsfaktoren in einer neoklassischen Produktionsfunktion Eigenschaften des Konvergenzkoeffizienten im Solow-SwanModell Zum Beweis der arbeitsvermehrenden Art des technischen Fortschritts

1 1 5 11

17 17 19 19 21 22 23 26 29 30 30 36 38 43 45 45 48 51 54 57 61 61 62 63

VIII

2

3

Inhaltsverzeichnis

Eigenschaften der CES-Produktionsfunktion Aufgaben

64 65

Wachstumsmodelle des optimalen Konsums (Das Ramsey-Modell)

68

2.1

Haushalte 2.1.1 Aufbau des Modells 2.1.2 Bedingungen erster Ordnung 2.2 Unternehmen 2.3 Gleichgewicht 2.4 Alternative Interpretationen des Modells 2.5 Das langfristige Gleichgewicht 2.6 Die Dynamik des Modells im Übergang 2.6.1 Das Phasendiagramm 2.6.2 Der Verlauf des stabilen Arms 2.6.3 Das Verhalten der Sparquote 2.6.4 Die Zeitpfade des Kapitalstocks und des Outputs 2.6.5 Geschwindigkeiten der Konvergenz Anhang 2A: Logarithmische Linearisierung des Ramsey-Modells . . . . Anhang 2B: Das Verhalten der Sparquote Anhang 2C: Beweis der monoton fallenden Wachstumsrate y-k für den

69 69 72 77 80 82 82 86 86 87 88 92 92 101 103

Startwert k(0) < k * Aufgaben

104 107

Die offene Volkswirtschaft, endliche Planungshorizonte und Anpassungskosten 111 3.1

3.2

3.3 3.4

Das Ramsey-Modell für eine offene Volkswirtschaft 111 3.1.1 Aufbau des Modells 111 3.1.2 Das Verhalten des Kapitalstocks und des Outputs einer kleinen Volkswirtschaft 113 3.1.3 Das Verhalten des Konsums und des Vermögens einer kleinen Volkswirtschaft 114 3.1.4 Das Gleichgewicht der Welt 115 Die Weltwirtschaft mit einer Beschränkung des internationalen Kredits 116 3.2.1 Aufbau eines Modells mit physischem Kapital und Humankapital 117 3.2.2 Die geschlossene Volkswirtschaft 118 3.2.3 Die offene Volkswirtschaft 119 Variationen der Parameter der Präferenzen 125 Ökonomisches Wachstum in einem Modell mit endlichem Planungshorizont 127 3.4.1 Wahlmöglichkeiten in einem Modell mit endlichem Horizontl27 3.4.2 Das Modell einer geschlossenen Volkswirtschaft mit endlichem Horizont 132

Inhaltsverzeichnis

Das Modell einer offenen Volkswirtschaft mit endlichem Horizont 3.5 Anpassungskosten der Investitionen 3.5.1 Das Verhalten der Unternehmen 3.5.2 Gleichgewicht für einen gegebenen Zinssatz 3.5.3 Gleichgewicht einer geschlossenen Volkswirtschaft mit gegebener Sparquote 3.6 Einige Schlußfolgerungen Anhang: Modelle der überlappenden Generationen Haushalte Unternehmen Gleichgewicht Das langfristige Gleichgewicht Die Goldene Regel und dynamische Effizienz Dynamik Altruismus, Nachlässe und unendliche Planungshorizonte Aufgaben

IX

3.4.3

4

Ein-Sektor-Modelle des endogenen Wachstums 4.1 Das Α/(f-Modell 4.1.1 Das Verhalten der Haushalte 4.1.2 Das Verhalten der Unternehmen 4.1.3 Das Gleichgewicht 4.1.4 Dynamik des Übergangs 4.1.5 Determinanten der Wachstumsrate 4.2 Ein Ein-Sektor-Modell mit physischem Kapital und Humankapital 4.3 Modelle mit learning-by-doing und Diffusion des Wissens . . . . 4.3.1 Technik 4.3.2 Gleichgewicht 4.3.3 Pareto-Ineffizienz und Implikationen für die Wirtschaftspolitik 4.3.4 Ein Beispiel mit Cobb-Douglas-Technik 4.3.5 Skaleneffekte 4.4 Staat und Wachstum 4.4.1 Das Modell öffentlicher Produktionsleistungen 4.4.2 Das Modell der Überlastung in der Produktion staatlicher Dienstleistungen 4.5 Die Dynamik des Übergangs in einem Modell des endogenen Wachstums 4.5.1 Ein Beispiel mit Cobb-Douglas-Technik 4.5.2 Ein Beispiel mit CES-Technik 4.6 Abschließende Bemerkungen Anhang: Bedingungen für endogenes Wachstum in dem Ein-SektorModell Aufgaben

135 138 138 142 146 147 148 149 151 151 153 154 156 157 160 163 164 164 164 165 166 167 168 170 170 173 174 175 176 177 178 184 187 188 192 194 194 197

χ

Inhaltsverzeichnis

5

Zwei-Sektoren-Modelle des endogenen Wachstums (unter besonderer Berücksichtigung der Rolle des Humankapitals) 200 5.1 Ein Ein-Sektor-Modell mit physischem Kapital und Humankapital 201 5.1.1 Das Grundmodell 201 5.1.2 Die Beschränkung der nichtnegativen Bruttoinvestitionen . 204 5.2 Unterschiedliche Techniken für Produktion und Bildung 209 5.2.1 Das Modell mit zwei Produktionssektoren 209 5.2.2 Das Uzawa-Lucas-Modell 213 5.2.3 Das verallgemeinerte Uzawa-Lucas-Modell 228 5.2.4 Das Modell mit umgekehrten Faktorintensitäten 229 5.3 Die Bedingungen für endogenes Wachstum 230 5.4 Zusammenfassende Bemerkungen 233 Anhang 5A: Die Übergangsdynamik im Ein-Sektor-Modell mit Ungleichungsbeschränkungen der Bruttoinvestitionen 234 Anhang 5B: Lösung des Uzawa-Lucas-Modells 237 Anhang 5C: Das Modell mit umgekehrten Faktorintensitäten 242 Aufgaben 244

6

Änderung der Technik: Modelle mit zunehmender Produktvielfalt 6.1 Modelle mit einer Vielfalt an Zwischenprodukten 6.1.1 Produktion mit einer gegebenen Anzahl von Zwischenprodukten 6.1.2 Zunehmende Produktvielfalt 6.1.3 Haushalte und Marktgleichgewicht 6.1.4 Determinanten der Wachstumsrate 6.1.5 Pareto-Optimalität 6.1.6 Verfall der Monopolmacht 6.1.7 Romers Modell des technischen Wandels 6.2 Modelle mit vielfältigen Konsumgütern 6.2.1 Varianten an Konsumgütern 6.2.2 Ein Vergleich der Auswahl an Konsumgütern mit der Auswahl an Zwischenprodukten 6.3 Abschließende Bemerkungen Aufgaben

7

247 248 248 250 254 255 256 260 264 268 269 275 276 277

Änderung der Technik: Modelle mit Verbesserungen der Produktqualität 280 7.1 Skizze des Modells 281 7.2 Das Verhalten der Unternehmen 282 7.2.1 Die Qualitätsniveaus in der Produktionstechnik 282 7.2.2 Der Anreiz zur Innovation 288 7.2.3 Das Verhalten des aggregierten Qualitätsindexes 293 7.2.4 Der Marktwert der Unternehmen 294 7.3 Haushalte und Marktgleichgewicht 295 7.4 Innovation durch den Marktführer 297

Inhaltsverzeichnis

7.4.1 Der Marktführer als monopolistischer Forscher 7.4.2 Forschung durch Außenseiter 7.5 Pareto-Optimalität 7.6 Zusammenfassende Bemerkungen zum Wachstum Aufgaben

XI

298 301 302 307 307

8

Die Diffusion der Technik 310 8.1 Ein Initiator-Imitator-Modell 311 8.1.1 Das Verhalten der Innovatoren im führenden Land 312 8.1.2 Das Verhalten der Imitatoren im nachfolgenden Land . . . 313 8.1.3 Variierende Kosten der Imitation 317 8.1.4 Empirische Implikationen für die Konvergenz 320 8.2 Wechselseitige Erfindungen und Imitationen 322 8.3 Direktinvestitionen 323 8.4 Rollenwechsel 326 8.5 Zusammenfassende Bemerkungen zur Diffusion und zum Wachstum328 Aufgaben 329

9

Arbeitsangebot und Bevölkerung 9.1 Wanderungen in Modellen des Wirtschaftswachstums 9.1.1 Wanderungen im Solow-Swan-Modell 9.1.2 Wanderungen im Ramsey-Modell 9.1.3 Das Braun-Modell der Wanderungen und des Wachstums . 9.2 Die Wahl der Geburtenrate 9.2.1 Ein Ansatz der überlappenden Generationen 9.2.2 Das Modell in stetiger Zeit 9.3 Die Wahl zwischen Arbeitszeit und Freizeit Anhang: Die Form der Nutzenfunktion mit Konsum und Arbeitsleistung Aufgaben

10 Daten zum Wirtschaftswachstum, Wachstumsrechnung 10.1 Paneldaten für die Länder 10.2 Langfristige Daten über das Bruttoinlandsprodukt 10.3 Regionale Datensätze 10.3.1 Daten für Staaten der USA 10.3.2 Daten für europäische Regionen 10.3.3 Daten für kanadische Provinzen 10.3.4 Daten für japanische Präfekturen 10.4 Wachstumsrechnung 10.4.1 Allgemeiner Aufbau 10.4.2 Diskrete Zeit und variable Faktorertragsquoten 10.4.3 Die Messung der Ertragsquoten und der Wachstumsraten der Inputs 10.4.4 Ergebnisse der Wachstumsrechnung

333 333 334 344 350 360 361 364 376 381 383 386 386 388 397 397 399 401 402 402 402 405 405 408

XII

Inhaltsverzeichnis

10.4.5 Erweiterungen zur Einbeziehung der Forschung und Entwicklung 10.4.6 Grenzen der Wachstumsrechnung 11 Empirische Analyse regionaler Daten 11.1 Zwei Konzepte der Konvergenz 11.2 Konvergenz der US-Staaten 11.2.1 ß- Konvergenz 11.2.2 Meßfehler 11.2.3 σ-Konvergenz 11.3 Konvergenz der japanischen Präfekturen 11.3.1 ^-Konvergenz 11.3.2 σ-Konvergenz der Präfekturen 11.4 Konvergenz der europäischen Regionen 11.4.1 ^-Konvergenz 11.4.2 σ-Konvergenz 11.5 Wanderungen zwischen den US-Staaten 11.6 Wanderungen zwischen den japanischen Präfekturen 11.7 Wanderungen zwischen den europäischen Regionen 11.8 Wanderungen und Konvergenz 11.9 Schlußfolgerungen

409 411 443 444 448 448 454 455 456 456 460 461 461 465 466 469 474 476 479

12 Empirische Analyse eines Querschnitts von Ländern 481 12.1 Die Verlierer und Gewinner der Jahre 1965 bis 1985 482 12.2 Die empirische Analyse der Wachstumsraten 488 12.2.1 Wirkungen der Zustandsvariablen 490 12.2.2 Kontroll- und Rahmenvariablen 491 12.3 Regressionsergebnisse für die Wachstumsraten 493 12.3.1 Eine grundlegende Regression 493 12.3.2 Test der Stabilität der Koeffizienten 507 12.3.3 Zusätzliche erklärende Variablen 507 12.3.4 Daten der Weltbank zum Bruttoinlandsprodukt 517 12.3.5 Ergebnisse einer einzelnen Querschnittsanalyse 519 12.4 Ursachen des Wachstums langsam und schnell wachsender Länder 520 12.5 Empirische Analyse der Investitionsquote 526 12.6 Empirische Analyse der Fruchtbarkeit und der Gesundheit 528 12.6.1 Ergebnisse für die Geburtenrate 528 12.6.2 Ergebnisse für die Gesundheit 530 12.7 Zusammenfassung und Schlußfolgerungen zum Wachstum 531 Anhang zu den mathematischen Methoden 1 Differentialgleichungen 1.1 Einführung 1.2 Gewöhnliche Differentialgleichungen erster Ordnung . . . 1.3 Systeme linearer gewöhnlicher Differentialgleichungen . .

538 539 539 541 548

Inhaltsverzeichnis

2

3

4 5

Statische Optimierung 2.1 Unbeschränkte Maxima 2.2 Klassische nichtlineare Programmierung: Nebenbedingungen als Gleichungen 2.3 Nebenbedingungen als Ungleichungen: Die Kuhn-TuckerBedingungen Dynamische Optimierung in der kontinuierlich erfaßten Zeit . . . 3.1 Einführung 3.2 Das typische Problem 3.3 Heuristische Ableitung der Bedingungen erster Ordnung . 3.4 Transversalitätsbedingungen 3.5 Das Verhalten der Hamilton-Funktion über die Zeit . . . . 3.6 Hinreichende Bedingungen 3.7 Unendlicher Zeithorizont 3.8 Beispiel: Das neoklassische Wachstumsmodell 3.9 Transversalitätsbedingungen in Problemen mit unendlichem Zeithorizont 3.10 Zusammenfassung des Verfahrens zur Bestimmung der Bedingungen erster Ordnung 3.11 Hamilton-Funktionen in bezug auf den Barwert und auf den Zeitwert 3.12 Mehrere Variablen Nützliche Ergebnisse des Matrizenkalküls: Eigenwerte, Eigenvektoren und Diagonalisierung der Matrizen Hilfreiche Ergebnisse aus der Analysis 5.1 Der Satz über implizite Funktionen 5.2 Der Satz von Taylor 5.3 Die Regel von l'Höpital 5.4 Partielle Integration 5.5 Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung . . . 5.6

Regeln zur Differentiation von Integralen

XIII

572 572 573 575 580 580 581 582 585 586 586 586 588 590 591 593 594 594 597 597 598 599 600 600 601

Literaturverzeichnis

603

Verzeichnis der Autoren

615

Sachverzeichnis

619

Geleitwort

Das Gebiet des Wirtschaftswachstums ist wiederbelebt worden. Als ich vor ungefähr zwei Dekaden mit dem Studium der Volkswirtschaftslehre begonnen habe, hat der Bereich des Wirtschaftswachstums brachgelegen. Die Vorlesungen, die ich in der MakroÖkonomik belegt habe, haben höchstens einen kurzen Abschnitt über das langfristige Wirtschaftswachstum enthalten; und selbst er ist am Ende der Vorlesung vorgesehen gewesen. Er hat zu dem Stoff gehört, für den der Professor, der immer gegenüber seiner Vöriesungsplanung zurückgelegen hat, nie die Zeit gefunden hat, ihn in der Vorlesung zu behandeln. Heute bildet das Wirtschaftswachstum den Kern der MakroÖkonomik. Die Ökonomen haben inzwischen verstanden, daß das langfristige Wachstum genauso wichtig wie die kurzfristigen Schwankungen ist - wenn nicht sogar wichtiger. Die Zeitung ist voll von Berichten über die monatlichen Änderungen der Industrieproduktion und über den Absatz des Einzelhandels. Aber diese kurzfristigen Änderungen besitzen einen relativ geringen Einfluß auf das ökonomische Wohlbefinden. Warum das Bruttoinlandsprodukt in den letzten drei Monaten um ein paar Prozent gestiegen oder gefallen ist, kann eine faszinierende Frage sein. Dennoch ist es wichtiger zu wissen, warum die Vereinigten Staaten so viel reicher als Nigeria sind oder warum das Wachstum des US-Einkommens im letzten Vierteljahrhundert geringer als das Wachstum im vorangegangenen Vierteljahrhundert gewesen ist. Die Wissenschaftler wählen jedoch ihre Studienschwerpunkte nach weiteren Gesichtspunkten als ausschließlich nach der Bedeutung des Themas aus. Zu einem großen Teil entscheiden sie sich für ihre Themen nach ihren Fähigkeiten, etwas Neues aussagen zu können. Aus diesem Grund hat das Gebiet des ökonomischen Wachstums zunächst darniedergelegen und ist anschließend wiedererwacht. Die Arbeiten zum Wirtschaftswachstum sind in den sechziger Jahren abgebrochen worden, weil die Ökonomen nichts Neues mehr beizutragen gehabt haben. Zwanzig Jahre später hat eine kleine Gruppe von Ökonomen begonnen, alternative Wege zu erkunden, um die großen Divergenzen im Einkommen zu erklären, wie sie zwischen den Ländern und über die Zeit zu beobachten sind. Die neue Wachstumstheorie hebt Gedanken hervor, die in der überlieferten Wachstumstheorie der Vergangenheit nur eine geringe Rolle gespielt haben. Steigende Skalenerträge, Humankapital, Forschung und Entwicklung, learning-by-doing und Externalitäten sind nun die Kernpunkte in der Diskussion des ökonomischen Wachstums. Gleichzeitig stehen nun neue Daten zum Wirtschaftswachstum für eine große Zahl von Ländern zur Verfügung. Diese Daten erlauben es der modernen Forschung, ein gesundes Zusammenspiel zwischen Theorie und Empirie einzubeziehen. Als mich die Herausgeber von McGraw-Hill gebeten haben, ihnen bei der Zusammenstellung einer Serie von fortgeschrittenen Textbüchern zur Ökonomik zu helfen, habe ich nicht gezweifelt, daß ein Buch über das Wirtschaftswachstum ganz oben auf der Prioritätenliste stehen sollte. Vieles ist in den akademischen Zeitschrif-

XVI

Geleitwort

ten gezeigt und berichtet worden. Aber es hat kein Buch existiert, das diesen Stoff den Studenten systematisch erklärt. Dieses Buch, das erste in der McGraw-Hill Serie, füllt die Lücke. Darüber hinaus wird diese Synthese von zwei der bedeutendsten Wissenschaftler dieses explodierenden Fachgebietes präsentiert. Das Wirtschaftswachstum wird zum großen Teil durch die Akkumulation des Wissens geschaffen. Dieses Wissen wird in Form von Lehrbüchern von einer zur nächsten Generation überliefert. In diesem Sinne handelt dieses wunderbare Buch von Robert Barro und Xavier Sala-i-Martin nicht nur vom Wirtschaftswachstum, es ist vielmehr ein Teil des Wachstumsprozesses. N. Gregory Mankiw Harvard University Juli 1994

Vorwort

Gibt es eine Maßnahme, die eine Regierung von Indien durchführen kann, so daß die indische Volkswirtschaft ähnlich wie die indonesische oder ägyptische Volkswirtschaft wächst? Wenn ja, um welche Maßnahme genau handelt es sich? Wenn nicht, wo liegen die Gründe im „Wesen Indiens", daß es keine derartige Maßnahme gibt? Die Konsequenzen für den Wohlstand der Menschen, die mit Fragen dieser Art verbunden sind, sind einfach verblüffend: Wenn man sich einmal mit ihnen beschäftigt hat, kann man nur schwerlich über etwas anderes nachdenken. (Lucas (1988)) Die Ökonomen haben immer in irgendeinem Sinne gewußt, daß Wachstum wichtig ist. Doch ist das Studium des Wirtschaftswachstums mit Bezug zum Kern des Gebietes seit den späten sechziger Jahren dahingesiecht. Dann nach einer Pause von beinahe zwei Jahrzehnten sind die Forschungen Mitte der achtziger Jahre wiederbelebt worden. Der bevorstehende zehnte Geburtstag dieser Wiederbelebung ist ein guter Anlaß, die jüngsten Untersuchungen zu bewerten und sie in den Kontext früherer Arbeiten zu stellen. Dieser vereinigende Ansatz stellt die Beiträge der alten und neuen Forschung heraus und hebt Bereiche hervor, in denen es an Wissen mangelt. In einigen Fällen wird versucht, die Löcher zu stopfen, in anderen Fällen werden vielversprechende Richtungen für die zukünftige Arbeit aufgezeigt. Die Forschung in der Mitte der achtziger Jahre hat mit Modellen zur Bestimmung des langfristigen Wachstums begonnen, ein Bereich, der heute als Theorie des endogenen Wachstums bezeichnet wird. Andere neuere Forschungen haben das ältere neoklassische Wachstumsmodell erweitert, insbesondere um zusätzliche empirische Implikationen der Theorie herauszustellen. Dieses Buch kombiniert die neuen Ergebnisse mit den Darlegungen der wichtigsten Forschungen, die zwischen den fünfziger und neunziger Jahren erschienen sind. Die Diskussion betont die empirischen Implikationen der Theorien und das Verhältnis dieser Hypothesen zu den Daten und den Tatbeständen der Realität. Diese Kombination von Theorie und empirischer Arbeit ist der anregendste Aspekt der Wiederaufnahme der Arbeiten über das ökonomische Wachstum. Die Einführung dieses Buches begründet die Studie, stellt einige zentrale empirische Gesetzmäßigkeiten des Wachstumspozesses heraus und liefert einen kurzen geschichtlichen Abriß der modernen Wachstumstheorie. Die Kapitel 1-3 behandeln das neoklassische Wachstumsmodell von Solow-Swan in den fünfziger Jahren über Cass-Koopmans (mit den Bezügen zu Ramsey) in den sechziger Jahren hin zu jüngeren Erweiterungen. Die Kapitel 4 und 5 decken die Versionen der Theorie des endogenen Wachstums ab, die sich auf konstante Skalenerträge der reproduzierbaren Produktionsfaktoren beziehen. Die Kapitel 6-8 untersuchen jüngere Modelle des technischen Fortschritts und der Forschung und Entwicklung, einschließlich der

XVIII

Vorwort

Erweiterungen bezüglich der Vielfalt und Qualität der Produkte sowie der Diffusion des Wissens. Das Kapitel 9 berücksichtigt eine endogene Bestimmung des Arbeitsangebotes und der Bevölkerung, wobei Modelle der Wanderungen, der Fruchbarkeit sowie der Wahl zwischen Arbeitszeit und Freizeit untersucht werden. Während das Kapitel 10 ausführlich auf die Art und die Verfügbarkeit der anwendbaren Daten eingeht, werden in den Kapiteln 11 und 12 einige empirische Ergebnisse diskutiert. Der Stoff ist als Lehrbuch für Studenten der Volkswirtschaftslehre im ersten Jahr nach ihrem (Diplom-)Examen gefaßt worden. Es eignet sich insbesondere für Kurse in der MakroÖkonomik, der Wachstumstheorie und der Entwicklungstheorie. Die Autoren haben das Manuskript für Wahlveranstaltungen im zweiten Jahr (nach dem Examen) über Wachstumstheorie entwickelt und benutzt. Teile des Stoffes sind für Pflichtkurse im ersten Jahr in MakroÖkonomik verwendet worden. Andere Professoren haben das Manuskript bereits erfolgreich in Veranstaltungen der MakroÖkonomik, der Wachstumstheorie und der Entwicklungstheorie eingesetzt. Die meisten Kapitel enthalten Probleme, die die Studenten von einfachen Übungen hin zu naheliegenden Erweiterungen der Modelle führen. Das Niveau der Mathematik schließt die Differentialgleichungen und die dynamische Optimierung ein, in die der mathematische Anhang am Ende des Buches einführt. Für Studenten, die vor ihrem (Diplom-)Examen das Niveau der Mathematik beherrschen, ist das Buch gut für eine fortgeschrittene Wahlveranstaltung geeignet. Der lebhafte Fortgang der theoretischen und empirischen Forschungen über das Wachstum bedeutet, daß diese Version des Buches nicht sehr lange den Stand der Forschung repräsentieren wird. Daher ist geplant, den Text später zu revidieren, um den wissenschaftlichen Entwicklungen auf dem Gebiet zu entsprechen. Vorschläge der Leser - einschließlich der Hinweise auf die Vernachlässigung wichtiger Beiträge - werden dankbar angenommen. Bei der Vorbereitung dieser ersten Auflage sind Kommentare zum Text und zu den damit verbundenen Aufsätzen von Nutzen gewesen. Sie stammen von Philippe Aghion, Minna S. Andersen, Gary Becker, Olivier Blanchard, Juan Braun, Paul Cashin, Daniel Cohen, Michelle Connolly, Oded Galor, Zvi Griliches, Gene Grossman, Elhanan Helpman, Dale Jorgenson, Ken Judd, Jinill Kim, Michael Kremer, Phil Lane, Norman Loayza, Greg Mankiw, Casey Mulligan, Kevin Μ. Murphy, Pietro Peretto, Torsten Persson, Jordan Rappaport, Sergio Rebelo, Paul Romer, Michael Sarel, Etsuro Shioji, Chris Sims, B. Anna Sjögren, Nancy Stokey, Robert Tamura, Merritt Tilney, Aaron Torneil, Jaume Ventura und Alwyn Young. Robert J. Barro Xavier Sala-i-Martin

Einführung

I.l

Die Bedeutung des Wachstums

Das reale Bruttoinlandsprodukt pro Kopf ist in den Vereinigten Staaten von 2 244$ im Jahr 1870 um den Faktor 8,1 auf 18 258$ im Jahr 1990 gestiegen, wobei die Werte in den Preisen von 1985 angegeben worden sind. Dieser Anstieg des realen Bruttoinlandsprodukts pro Kopf entspricht einer jährlichen Wachstumsrate von 1,75%. Diese Leistung hat den Vereinigten Staaten im Jahr 1990 das weltweit höchste Niveau des realen Bruttoinlandsprodukts pro Kopf beschert (vielleicht mit Ausnahme der Vereinigten Arabischen Emirate, ein Ölproduzent mit geringer Bevölkerungszahl). 1 Um die Konsequenzen der scheinbar geringen Differenzen in den Wachstumsraten richtig einzuschätzen, wenn man sie über einen langen Zeitraum anwendet, läßt sich die folgende Frage anführen. Welches Ergebnis stellt sich für die Vereinigten Staaten im Jahr 1990 ein, wenn ihr Bruttoinlandsprodukt seit 1870 mit einer Rate von 0,75 % pro Jahr - also einem Prozentpunkt weniger als ihrer tatsächlichen Rate - gewachsen wäre? Eine Wachstumsrate von 0,75% pro Jahr liegt nahe bei den gemessenen langfristigen Raten - von 1900 bis 1987 - für Indien (0,64% pro Jahr), Pakistan (0,88% pro Jahr) und die Philippinen (0,86% pro Jahr). Beginnen die Vereinigten Staaten im Jahr 1870 mit einem realen Bruttoinlandsprodukt pro Kopf von 2244$, das in den nächsten 120 Jahren mit einer Rate von 0,75% pro Jahr wächst, dann beträgt das reale Bruttoinlandsprodukt pro Kopf 5 519$ im Jahr 1990, also lediglich das 2,5-fache des Wertes von 1870 und nur 30% des tatsächlichen Wertes von 18 258$ im Jahr 1990. Anstatt den ersten Platz in der Welt im Jahr 1990 einzunehmen, würden die Vereinigten Staaten auf den 37. Platz bei 127 erfaßten Ländern verwiesen. Wenn die Wachstumsrate pro Jahr nur einen Prozentpunkt niedriger gewesen wäre, dann hätte das reale Bruttoinlandsprodukt pro Kopf 1990 in den Vereinigten Staaten nahe bei dem von Mexiko und Ungarn gelegen und hätte ungefähr 1 000$ weniger als in Portugal oder Griechenland betragen. Alternativ kann angenommen werden, daß das reale Bruttoinlandsprodukt pro Kopf der Vereinigten Staaten um 2,75% pro Jahr gestiegen wäre, also ein Prozentpunkt pro Jahr über dem tatsächlichen Wert. Diese höhere Wachstumsrate liegt nahe bei den langfristig beobachteten Raten von Japan (2,95% pro Jahr zwischen 1890 und 1990) und Taiwan (2,75% pro Jahr zwischen 1900 und 1987). Würden die Vereinigten Staaten wiederum im Jahr 1870 mit einem realen Bruttoinlandsprodukt pro Kopf von 2244$ beginnen, das in den nächsten 120 Jahren mit einer Rate von 2,75% pro Jahr wächst, dann wäre das reale Bruttoinlandsprodukt pro Kopf im Jahr 1990 auf 60841$ gestiegen - der 27-fache Wert von 1870 und das 3,3-fache des 'Die langfristigen Zeitreihen zum Bruttoinlandsprodukt sind in den Tabellen 10.2 und 10.3 des Kapitels 10 enthalten. Dagegen liefert die Tabelle 10.1 Informationen zu einem Vergleich zwischen den Ländern für die letzten Jahre. Zu den Quellen und Definitionen vgl. Kapitel 10.

2

Einführung

tatsächlichen Wertes von 18258$ im Jahr 1990. Allerdings ist ein reales Bruttoinlandsprodukt pro Kopf von 60 841$ außerhalb jeder historischen Erfahrung für alle Länder und wird wahrscheinlich unerreichbar bleiben. Dennoch kann man sagen, daß die Vereinigten Staaten, sofern sie weiterhin mit der langfristig beobachteten Wachstumsrate von 1,75% pro Jahr wachsen, nicht vor 2059 ein reales Bruttoinlandsprodukt pro Kopf von 60 841$ erreichen werden. Der Vergleich zwischen den Niveaus des realen Bruttoinlandsprodukts pro Kopf über ein Jahrhundert hinweg impliziert Vielfache von ungefähr 20. Beispielsweise ist 1990 das reale Bruttoinlandsprodukt pro Kopf in Japan ungefähr 20mal so hoch wie 1890 gewesen. Vergleicht man die Niveaus des realen Bruttoinlandsprodukts pro Kopf zwischen verschiedenen Ländern zu einem Zeitpunkt, dann treten sogar noch größere Vielfache auf. Die Abbildung 1.1 enthält ein Histogramm für die logarithmierten Daten des realen Bruttoinlandsprodukts pro Kopf für 118 Länder im Jahr 1960. Der Mittelwert des realen Bruttoinlandsprodukts pro Kopf entspricht einem Wert von 1 470$ (in Preisen von 1985). Die Standardabweichung der logarithmierten Daten des realen Bruttoinlandsprodukts pro Kopf - ein Maß für die relative Verteilung des realen Bruttoinlandsprodukts pro Kopf - ist 0,9. Diese Zahl besagt, daß eine Standardabweichung von eins um den Mittelwert den Bereich zwischen dem 0,41-fachen und dem 2,5-fachen des Mittelwertes einschließt. Das höchste reale Bruttoinlandsprodukt pro Kopf von 9 774$ in den Vereinigten Staaten entspricht dem 39-fachen Wert von 249$ für Äthiopien. Die Abbildung 1.2 zeigt ein vergleichbares Histogramm für das Jahr 1990 mit 129 Ländern. Der Mittelwert entspricht nun einem realen Bruttoinlandsprodukt pro Kopf von 2 737$, dem 1,9-fachen Wert von 1960. Die Standardabweichung der logarithmierten Daten des realen Bruttoinlandsprodukts pro Kopf beträgt 1,11 im Jahr 1990, was bedeutet, daß eine Standardabweichung von eins um den Mittelwert den Bereich zwischen dem 0,33-fachen und dem 3,0-fachen des Mittelwertes einschließt. Also hat sich die relative Verteilung des realen Bruttoinlandsprodukts pro Kopf zwischen 1960 und 1990 vergrößert. Der höchste Wert, 18 399$ für die Vereinigten Staaten, beträgt nun das 65-fache des niedrigsten Wertes, 285$ für Äthiopien. Wenn Äthiopien mit der langfristigen Wachstumsrate von 1,75% pro Jahr für die Vereinigten Staaten wachsen würde, dann müssen 239 Jahre vergehen, bis das Niveau des realen Bruttoinlandsprodukts pro Kopf für die Vereinigten Staaten im Jahr 1990 erreicht ist. Der benötigte Zeitraum wäre immer noch 152 Jahre lang, wenn Äthiopien sogar mit 2,75% pro Jahr, also mit der langfristigen Wachstumsrate von Japan, wachsen würde. Zwischen 1960 und 1990 hat die durchschnittliche Wachstumsrate des realen Bruttoinlandsprodukts pro Kopf für 114 Länder 1,8% pro Jahr betragen - also etwa dieselbe Rate wie die langfristige Wachstumsrate der Vereinigten Staaten - bei einer Standardabweichung von 1,8. Die Abbildung 1.3 enthält ein Histogramm dieser Wachstumsraten, wobei die Raten zwischen —2,1% pro Jahr für den Irak und 6,7% pro Jahr für Südkorea liegen. Über einen Zeitraum von 30 Jahren haben Differenzen in den Wachstumsraten von dieser Größenordnung enorme Auswirkungen auf den

1.1 Die Bedeutung des Wachstums

15,0

3

Ί

log (reales Bruttoinlandsprodukt pro Kopf, 1960)

Abbildung LI Histogramm für die logarithmierten Daten des realen Bruttoinlandsprodukts pro Kopf im Jahr 1960

Lebensstandard. Während Südkorea sein reales Bruttoinlandsprodukt pro Kopf um den Faktor 7,4 von 883$ im Jahr 1960 (Rang 83 von 118 Ländern) auf 6578$ im Jahr 1990 (Rang 35 von 129) erhöht hat, hat der Irak sein reales Bruttoinlandsprodukt pro Kopf um den Faktor 0,5 von 3 320$ im Jahr 1960 (Rang 23 von 118 Ländern) auf 1 783$ im Jahr 1990 (Rang 82 von 129) gesenkt. Einige andere Länder weisen zwischen 1960 und 1990 Wachstumsraten auf, die fast so hoch wie die von Südkorea sind; zu jenen Ländern mit einer jährlichen Wachstumsrate von mehr als 5% gehören Singapur mit 6,3%, Hongkong mit 6,2%, Taiwan mit 6,1%, Botswana mit 5,7%, Malta mit 5,4% und Japan mit 5,4%. Diese Länder haben ihr jeweiliges Niveau des realen Bruttoinlandsprodukts pro Kopf innerhalb einer einzigen Generation, das heißt innerhalb von 30 Jahren, um wenigstens das Fünffache erhöht. Dagegen haben 17 Länder neben dem Irak zwischen 1960 und 1990 negative Wachstumsraten des realen Bruttoinlandsprodukts pro Kopf. Die Liste beginnt mit der niedrigsten Rate: Tschad, Madagaskar, Mosambik, Somalia, Sambia, Uganda, Guyana, Zaire, Nicaragua, Benin, Zentralafrikanische Republik, Haiti, Burundi, Ghana, Venezuela, Mauretanien und Niger. Also dominieren die afrikanischen Länder südlich der Sahara die Gruppe mit den niedrigsten Wachstumsraten; die 39

4

Einführung

15,0Ί

12,5-

log (reales Bruttoinlandsprodukt pro Kopf, 1990)

Abbildung 1.2 Histogramm für die logarithmierten Daten des realen Bruttoinlandsprodukts pro Kopf im Jahr 1990

afrikanischen Länder südlich der Sahara, für die Daten vorliegen, weisen zwischen 1960 und 1990 lediglich eine durchschnittliche Wachstumsrate von 0,8% pro Jahr auf. Demnach wächst das reale Bruttoinlandsprodukt pro Jahr in einem typischen afrikanischen Land südlich der Sahara nur um das 1,3-fache in 30 Jahren. Wenn man verstehen möchte, warum die Länder so dramatisch in ihrem Lebensstandard (Abbildungen 1.1 und 1.2) abweichen, dann muß man begreifen, warum die Länder so stark divergierende langfristige Wachstumsraten (Abbildung 1.3) aufweisen. Selbst geringe Abweichungen in diesen Wachstumsraten, wenn sie über eine Generation oder mehr kumuliert werden, haben wesentlich größere Auswirkungen auf den Lebensstandard als die kurzfristigen Konjunkturschwankungen, denen in der Regel die meiste Aufmerksamkeit der MakroÖkonomen geschenkt wird. Versteht man, anders ausgedrückt, wirtschaftspolitische Optionen anzuwenden, die einen wenn auch geringen Effekt auf die langfristige Wachstumsrate besitzen, dann läßt sich wesentlich mehr für eine Verbesserung des Lebensstandards erreichen, als die gesamte Geschichte der makroökonomische Analyse zur antizyklischen Wirtschaftspolitik und zur Feinsteuerung bereitgestellt hat. Das Wirtschaftswachstum der Gegenstand dieses Buches - ist der Teil der MakroÖkonomik, auf den es wirklich ankommt.

5

1.2 Empirische Merkmale des Wirtschaftswachstums

15,0η

) ρ hwi| -0,025

I^vv^· 0,000

I.·,·,·,. |rmi ,Γ^Ί 0,025

0,050

jährliche Wachstumsrate des Bruttoinlandsprodukts pro Kopf, 1960-1990

Abbildung 1.3 Histogramm für die Wachstumsraten zwischen 1960 und 1990

1.2 Empirische Merkmale des Wirtschaftswachstums Kaldor (1963) hat eine ganze Reihe von stilisierten Tatbeständen aufgezählt, von denen er annimmt, daß sie den Prozeß des Wirtschaftswachstums charakterisieren: 1. Der Output pro Kopf wächst über die Zeit, und seine Wachstumsrate nimmt tendenziell nicht ab. 2. Der Einsatz des physischen Kapitals je Arbeiter nimmt über die Zeit zu. 3. Der interne Zinssatz des Kapitals ist nahezu konstant. 4. Der Quotient aus dem physischen Kapital und dem Output ist etwa konstant. 5. Die Anteile der Arbeit und des physischen Kapitals am Volkseinkommen sind beinahe konstant. 6. Die Wachstumsrate des Outputs je Arbeiter weicht erheblich zwischen den Ländern ab. 2 2 Kuznets (1973, 1981) erwähnt andere Charakteristika des modernen Wirtschaftswachstums. Er betont die hohe Rate der strukturellen Transformation, die Verlagerungen von der Landwirtschaft zur Industrie und dann zu den Dienstleistungen beinhaltet. Dieser Prozeß bringt die Verstädterung, die Übergänge

6

Einführung

Der Punkt 6 stimmt mit den Daten der Länder überein, die bereits diskutiert worden sind. Die Punkte 1 , 2 , 4 und 5 scheinen den langfristigen Daten der zur Zeit entwickelten Länder ziemlich gut zu entsprechen. Eine Diskussion der Stabilität des langfristigen Verhältnisses zwischen dem physischen Kapital und dem Bruttoinlandsprodukt in Japan, Deutschland, Italien, im Vereinigten Königreich und in den Vereinigten Staaten findet man in Maddison (1982, Kapitel 3). Hinweise auf die langfristige Stabilität der Anteile der Faktoreinkommen in den Vereinigten Staaten werden in Denison (1974, Anhang J) und Jorgenson, Gollop und Fraumeni (1987, Tabelle 9.3) gegeben. Wie Young (1994) festgestellt hat, sind die Faktoranteile von den frühen oder mittleren sechziger Jahren bis 1990 in vier ost-asiatischen Ländern - Hongkong, Singapur, Südkorea und Taiwan - annähernd stabil gewesen. Die Studien über sieben entwickelte Länder - Kanada, Frankreich, Deutschland, Italien, Japan, die Niederlande und das Vereinigte Königreich - zeigen, daß die Faktoranteile ähnlich denen in den Vereinigten Staaten gewesen sind (Christensen, Cummings und Jorgenson (1980) und Dougherty (1991)). In einigen lateinamerikanischen Ländern, die von Elias (1990) untersucht worden sind, scheinen die Kapitalanteile jedoch höher als in den Vereinigten Staaten zu sein. Der von Kaldor behauptete Tatbestand 3 hinsichtlich der Stabilität der realen Zinssätze scheint im wesentlichen von den Erfahrungen im Vereinigten Königreich beeinflußt zu sein; in diesem Fall scheint der reale Zinssatz keinen langfristigen Trend zu besitzen (vgl. Barro (1987, Abbildungen 4 und 7)). Allerdings legen die langfristigen Daten für die Vereinigten Staaten einen mäßigen Rückgang der realen Zinssätze nahe (Barro (1993, Tabelle 11.1)). Die realen internen Zinssätze sind in einigen schnell wachsenden Ländern wie Südkorea und Singapur bedeutend höher als die in den Vereinigten Staaten, haben aber über die Zeit abgenommen (Young (1994)). Demnach erscheint es angebracht, Kaldors Hypothese eines nahezu stabilen realen Zinssatzes durch die Hypothese zu ersetzen, daß der reale Zinssatz einer sich entwickelnden Volkswirtschaft tendenziell in einem Bereich fällt. Um die langfristigen Tendenzen der Wachstumsraten des realen Bruttoinlandsprodukts pro Kopf abzuschätzen, können die Daten aus dem Kapitel 10 benutzt werden. Die Tabellen 10.2 und 10.3 enthalten Angaben von Angus Maddison für 31 Länder über einen Zeitraum von nahezu einem Jahrhundert. Diese Zahlen schöpfen grundsätzlich alle verfügbaren Informationen über das Wachstum in sehr langen Zeiträumen aus. Die Tabelle 10.2 bezieht sich auf 16 der zur Zeit entwickelten Länder, die wichtigsten Länder in Europa sowie die Vereinigten Staaten, Kanada und Australien. Diese Daten zeigen eine durchschnittliche Wachstumsrate pro Kopf von 1,9% pro von der Heimarbeit zum Arbeitnehmerstatus sowie die wachsende Rolle der formalen Bildung mit sich. Er argumentiert auch, daß das moderne Wachstum eine zunehmende Rolle des Außenhandels impliziert und daß der technische Fortschritt zu einer reduzierten Abhängigkeit von den natürlichen Ressourcen führt. Schließlich diskutiert er die steigende Bedeutung des Staates: „ . . . the spread of modem economic growth placed greater emphasis on the importance and need for organization in national sovereign units . . . The sovereign state unit was of critical importance as the formulator of the rules under which economic activity was to be carried on; as a referee . . . ; and as provider of infrastructure . . . " (1981, S. 59).

1.2 Empirische Merkmale des Wirtschaftswachstums

7

Jahr über etwa ein Jahrhundert hinweg, wobei sich die einzelnen Perioden von 20 Jahren wie folgt darstellen:

Periode 1870-1890 1890-1910 1910-1930 1930-1950 1950-1970 1970-1990

Wachstumsrate (Prozent pro Jahr) 1,2 1,5 1,3 1,4 3,7 2,2

Zahl der Länder 13 14 16 16 16 16

Diese Zahlen stimmen mit Kaldors Vorstellung iiberein, daß die Wachstumsrate des realen Bruttoinlandsprodukts pro Kopf keine säkular fallende Tendenz besitzt; in der Tat weisen die Perioden nach dem Zweiten Weltkrieg Wachstumsraten auf, die eindeutig über dem langfristigen Durchschnitt liegen. Die Reduktion in den Wachstumsraten von jährlich 3,7% in den Jahren von 1950 bis 1970 auf jährlich 2,2% in den Jahren von 1970 bis 1990 entsprechen der häufig diskutierten Abnahme der Produktivität (productivity slowdown). Aus der Tabelle wird jedoch deutlich, daß die Wachstumsrate für 1970-1990 im Verhältnis zum langfristigen Geschehen relativ hoch ist. Die Tabelle 10.3 enthält Zahlen für 15 zur Zeit unterentwickelte Länder in Asien und Lateinamerika. In diesem Fall beträgt die durchschnittliche langfristige Wachstumsrate 1,4% pro Jahr zwischen 1900 und 1987, wobei sich die Einteilung in vier Teilperioden wie folgt ergibt:

Periode 1900-1913 1913-1950 1950-1973 1973-1987

Wachstumsrate (Prozent pro Jahr) 1,2 0,4 2,6 2,4

Zahl der Länder 15 15 15 15

Wiederum weist die Periode nach dem Zweiten Weltkrieg (hier also 1950-1987) Wachstumsraten auf, die deutlich über dem langfristigen Durchschnitt liegen. Die Tabelle 10.1 enthält Angaben über das reale Bruttoinlandsprodukt pro Kopf für über 100 Länder zwischen 1960 und 1990. Diese Daten lassen sich für eine Erweiterung der Zusammenstellung der stilisierten Tatsachen heranziehen, die von Kaldor angeführt worden sind. Ein Tatbestand in den Daten für einen Quervergleich der Länder ist, daß die Wachstumsrate des realen Bruttoinlandsprodukts pro Kopf von 1960 bis 1990 im wesentlichen mit dem Niveau des realen Bruttoinlandsprodukts pro Kopf im Jahr 1960 unkorreliert ist (vgl. Kapitel 12). In der Terminologie, die im Kapitel 1 entwickelt wird, ist auf die Tendenz zu verweisen, daß die armen

8

Einführung

Länder schneller als die reichen Länder wachsen, die als ^-Konvergenz bezeichnet wird. Die einfache Beziehung zwischen dem Wachstum und der Startposition zeigt also für einen breiten Querschnitt der Länder keine ß-Konvergenz auf. Diese Art der Konvergenz tritt auf, wenn das Augenmerk auf homogenere Gruppen von Volkswirtschaften gerichtet wird, wie die Vereinigten Staaten, Regionen mehrerer europäischer Länder und Präfekturen in Japan (vgl. Barro und Sala-i-Martin (1991, 1992a und 1992b) und Kapitel 11). In diesen Fällen tendieren die ärmeren Gebiete zu einem schnelleren Wachstum als die reicheren Regionen. Dieses Verhalten ist auch dann in den Quervergleichen der Länder zu beobachten, wenn die Stichprobe auf eine relativ homogene Gruppe von zur Zeit wohlhabenden Gebieten wie die der OECD-Länder eingegrenzt wird (vgl. Baumol (1986) und DeLong (1988)). Im Kapitel 1 wird von bedingter ß-Konvergenz gesprochen, wenn die Wachstumsrate des realen Bruttoinlandsprodukts pro Kopf negativ mit dem Startniveau des realen Bruttoinlandsprodukts pro Kopf korreliert ist, sofern einige andere Variablen wie das Anfangsniveau des Humankapitals, Maßnahmen der Wirtschaftspolitik, die Sparneigung, die Neigung, Kinder zu haben, und so weiter konstant gesetzt worden sind. Die breit angelegte Stichprobe für einen Quervergleich der Länder, das heißt die Datenmenge, die keine ^-Konvergenz im absoluten Sinn enthält, weist eindeutig ß-Konvergenz in diesem bedingten Sinne auf. (Vgl. (Barro (1991a), Barro und Sala-i-Martin (1992a) sowie Mankiw, Romer und Weil (1992)). Allerdings beträgt die Konvergenzrate lediglich ungefähr 2% pro Jahr. Also dauert es 35 Jahre, bis eine Volkswirtschaft die Hälfte der Differenz zwischen ihrem Anfangsniveau und ihrem langfristigen Niveau oder Zielniveau des realen Bruttoinlandsprodukts pro Kopf abgebaut hat. (Dieses Niveau wächst tendenziell über die Zeit.) Die Ergebnisse im Kapitel 12 zeigen, daß eine Reihe von Variablen signifikant mit der Wachstumsrate des realen Bruttoinlandsprodukts pro Kopf korreliert sind, wenn das reale Bruttoinlandsprodukt pro Kopf in der Ausgangslage konstant gesetzt wird. Zum Beispiel hängt das Wachstum in positiver Weise von der anfänglichen Menge des Humankapitals in der Form des Bildungsstandes und der Gesundheit ab, negativ vom staatlichen Konsum im Verhältnis zum Bruttoinlandsprodukt und von den Maßen der Marktverzerrungen und der politischen Instabilität. Die Bruttoinvestitionsquote ist eindeutig positiv mit der Wachstumsrate korreliert. Aber die Möglichkeiten der zeitlichen Zuordnung legen nahe, daß diese Beziehung zum großen Teil den umgekehrten Einfluß der Wachstumsaussichten auf die Attraktivität der Investitionen und weniger die günstige Wirkung exogener Änderungen der Sparneigung auf das Wachstum widerspiegelt. Ähnlich zeigen Coe und Helpman (1993) mit einer Stichprobe von 22 OECD-Ländern (eine Gruppe, die relativ zufriedenstellende Daten über die Ausgaben für Forschung und Entwicklung aufweist), daß die Investitionen in die Forschung und die Entwicklung erheblich mit dem Produktivitätswachstum korreliert sind. Allerdings ist die Richtung der Kausalität zwischen den Ausgaben für die Forschung und die Entwicklung und dem Wachstum bisher noch nicht festgestellt worden. Die Querschnittsdaten der Länder zeigen eine Reihe von Wegen auf, über die der Staat die Wachstumsrate einer Volkswirtschaft beeinflußt. Zu den negativen Einflüs-

1.2 Empirische Merkmale des Wirtschaftswachstums

9

sen zählen die Höhe der Konsumausgaben (und das zugehörige Niveau der Besteuerung), die Verzerrungen des internationalen Handels und die politische Instabilität. Die positiven Einflüsse umfassen die Erhaltung der Institutionen der Rechtspflege, wahrscheinlich auch die Maßnahmen, die die Entwicklung von Finanzinstitutionen fördern, und vielleicht die Ausgaben für einige Arten der öffentlichen Infrastruktur. In den meisten Fällen erlaubt die empirische Arbeit keine robusten Abschätzungen der Wirkungen spezifischer staatlicher Maßnahmen auf das Wachstum, aber sie zeigt, daß das gesamte Bündel staatlicher Maßnahmen einen erheblichen Einfluß besitzt. Demnach können die Aktivitäten des Staates, wie bereits erwähnt worden ist, bedeutende Konsequenzen für den Lebensstandard haben, indem sie die langfristigen Wachstumsraten beeinflussen. Folglich ist die Beziehung zwischen den staatlichen Maßnahmen und dem Wachstum eines der wesentlichen Gebiete der ökonomischen Forschung. Die Querschnittsdaten lassen außerdem Regelmäßigkeiten im Verhalten der Bruttoinvestitionsquote erkennen. Diese Quote ist positiv mit dem Humankapital in der Ausgangslage in der Form des Bildungsniveaus und der Gesundheit korreliert und steht außerdem in positiver Beziehung zum Niveau des realen Bruttoinlandsprodukts pro Kopf. Allerdings verschwindet die Korrelation mit dem realen Bruttoinlandsprodukt pro Kopf beinahe vollständig, sowie die Menge des Humankapitals konstant gesetzt wird. Diese Beobachtungen lassen vermuten, daß die Investitionsquote in einem Bereich tendenziell steigt, während sich ein Land entwickelt und sein Humankapital pro Kopf zunimmt. Man kann mehr über die Verläufe der Investitionsquote aus den langfristigen Zeitreihen erfahren. In Maddison (1992) werden langfristige Informationen über die Quotienten der Bruttoinvestition des Inlandes im Verhältnis zum Bruttoinlandsprodukt und der Bruttoinländerersparnis (die Summe aus heimischer Investition und Nettoauslandsinvestition) im Verhältnis zum Bruttoinlandsprodukt für einige wenige Länder zur Verfügung gestellt (vgl. die Abbildungen 10.5-10.15 und die Quellen, die im Kapitel 10 diskutiert werden). Für acht Länder, die ausreichend lange Zeitreihen aufweisen, sind die durchschnittlichen Investitionsquoten und Sparquoten über Zeiträume von 20 Jahren der folgenden Tabelle zu entnehmen. Die Tabelle läßt für die einzelnen Länder erkennen, daß sich die Zeitpfade der Investition des Inlandes und der Ersparnis der Inländer in der Regel ähneln. Allerdings ist die heimische Investition für Australien und Kanada zwischen 1870 und 1929, für Japan zwischen 1890 bis 1909, für das Vereinigte Königreich (U.K.) zwischen 1930 und 1949 und für Korea zwischen 1950 und 1969 (in der Tat bis in die frühen achtziger Jahre) wesentlich höher als die Ersparnis der Inländer gewesen, was einer hohen Kreditaufnahme im jeweiligen Ausland entspricht. Dagegen hat im Vereinigten Königreich von 1870 bis 1929 und in den Vereinigten Staaten (U.S.) von 1930 bis 1949 die Ersparnis der Inländer die Investition des Inlandes deutlich übertroffen, womit eine substantielle Kreditvergabe an das Ausland einhergeht.

10

Einführung Verhältnis der Bruttoinvestition des Inlandes und der Bruttoinländerersparnis zum Bruttoinlandsprodukt (%) Periode Austr. Kanada Frankr. Indien Japan Korea 1. Bruttoinvestition des Inlandes — — — 1870-1889 16,5 16,0 12,8 — — 13,7 17,2 1890-1909 14,0 14,0 — 17,4 1910-1929 19,8 6,4 16,6 5,1* — — 1930-1949 13,3 8,4 13,1 20,5 1950-1969 26,3 23,8 22,6 14,0 31,8 16,3+ 1970-1989 24,9 22,8 23,2 20,2 31,9 29,1 2. Bruttoinländerersparnis — — — 1870-1889 11,2 12,8 9,1 — — 12,2 1890-1909 14,9 12,0 11,5 — 1910-1929 13,6 16,0 6,4 17,1 2,3* — — 13,0 15,6 1930-1949 7,7 19,8 1950-1969 24,0 22,3 22,8 12,2 32,1 5,9+ 22,9 22,1 23,4 19,4 26,2 1970-1989 33,7

U.K.

U.S.

9,3 9,4 6,7 8,1 17,2 18,2

19,8 17,9 17,2 12,7 18,9 18,7

13,9 13,1 9,6 4,8 17,7 19,4

19,1 18,4 18,9 14,1 19,6 18,5

* 1911-1929 +

1951-1969

Anmerkung: Zu weiteren Ausführungen vgl. Kapitel 10.

Der herausragende Tatbestand in der Tabelle ist die anhaltende Stabilität der Bruttoinvestitionsquote sowie der Bruttosparquote in den Vereinigten Staaten. Die einzigen Ausnahmen mit relativ niedrigen Werten ergeben sich für die Periode zwischen 1930 und 1949, also die Zeit der Großen Depression und des Zweiten Weltkrieges. Allerdings stellen die Vereinigten Staaten einen Ausreißer in bezug auf die Stabilität der Bruttoinvestitionsquote und der Bruttosparquote dar; die Daten der übrigen sieben Länder zeigen einen deutlichen Anstieg dieser Quoten über die Zeit. Insbesondere übersteigen die Quoten in allen Fällen für die Zeit 1950-1989 die Quoten der Vorkriegszeit. Die langfristigen Daten deuten somit daraufhin, daß die Bruttoinvestitionsquote und die Bruttosparquote in gewissen Bereichen tendenziell steigen, während sich ein Land entwickelt. Diese Verläufe in den langfristigen Zeitreihen stimmen mit den Angaben überein, die bereits für den Ländervergleich von 1960 bis 1990 diskutiert worden sind. Die Annahme einer konstanten Bruttosparquote, von der das SolowSwan-Modell im Kapitel 1 ausgeht, trägt daher diesem empirischen Tatsbestand nicht Rechnung. Die Querschnittsdaten der Länder stellen außerdem einige Regelmäßigkeiten in bezug auf die Geburtenraten und damit auf die Raten des Bevölkerungswachstums heraus. In den meisten Ländern sinkt die Geburtenrate tendenziell bei einem Anstieg des realen Bruttoinlandsprodukts pro Kopf. Wie Malthus (1798) betont, kann die Geburtenrate jedoch in den ärmsten Ländern ansteigen, wenn sich das reale Bruttoinlandsprodukt pro Kopf erhöht. Zwischen dem Bildungsstand und der Geburtenrate bestehen sogar noch stärkere Beziehungen. Außer in den hochentwickelten Ländern ist die Schulbildung der Frauen negativ mit der Geburtenrate korreliert, wogegen die Schulbildung der Männer in positiver Beziehung zur Geburtenrate steht. Der Nettoeffekt beider Kräfte führt dazu, daß die Geburtenrate -

1.3 Ein Überblick über die moderne Wachstumstheorie

11

und damit die Rate des Bevölkerungswachstums - in einem Bereich tendenziell abnimmt, wenn sich ein Land entwickelt. Die Annahme einer exogenen, konstanten Rate des Bevölkerungswachstums - ein weiteres wesentliches Element des SolowSwan-Modells - widerspricht diesem empirischen Verlauf.

1.3 Ein Überblick über die moderne Wachstumstheorie Klassische Ökonomen wie Adam Smith (1776), David Ricardo (1871) und Thomas Malthus (1798) und viel später Frank Ramsey (1928), Allyn Young (1928), Frank Knight (1944) und Joseph Schumpeter (1934) haben viele der Grundlagen beigetragen, die in den modernen Theorien des Wirtschaftswachstums auftreten. Zu diesen Beiträgen gehören die grundlegenden Ansätze des Verhaltens bei Konkurrenz und des dynamischen Gleichgewichts, die Rolle abnehmender Produktivitäten und ihr Verhältnis zur Akkumulation des physischen Kapitals sowie des Humankapitals, das Zusammenwirken zwischen dem Pro-Kopf-Einkommen und der Wachstumsrate der Bevölkerung, die Effekte des technischen Fortschritts in der Form der zunehmenden Spezialisierung der Arbeit und der Entdeckung neuer Güter und Produktionsverfahren und schließlich die Rolle der Monopolmacht als ein Anreiz für den technischen Fortschritt. Der zentrale Teil des Buches beginnt mit diesen bereits geordneten Bausteinen und richtet das Augenmerk auf die Beiträge in der neoklassischen Tradition seit den späten fünfziger Jahren. Dabei orientiert sich das Vorgehen an der neoklassischen Methodik und Sprache, wobei solche Konzepte wie aggregierte Kapitalbestände, aggregierte Produktionsfunktionen und Nutzenfunktionen für repräsentative Konsumenten (die häufig einen unendlichen Planungshorizont besitzen) verwendet werden. Dabei wird auf moderne mathematische Methoden der dynamischen Optimierung und der Differentialgleichungen zurückgegriffen. Diese Hilfsmittel, die in einem Anhang am Ende des Buchs beschrieben werden, sind heute den meisten Studenten der Volkswirtschaftslehre im ersten Jahr nach ihrem (Diplom-)Examen vertraut. Aus chronologischer Sicht bildet der klassische Artikel von Ramsey (1928) den Startpunkt der modernen Wachstumstheorie, eine Arbeit, die ihrer Zeit mehrere Jahrzehnte voraus gewesen ist. Ramseys Behandlung des Haushalts, der sein Verhalten über die Zeit optimiert, geht weit über die Anwendung in der Wachstumstheorie hinaus. Sowohl die Konsumtheorie als auch die Preistheorie des Vermögens und sogar die Konjunkturtheorie kommen ohne jene Optimumbedingungen nicht mehr aus, die den Ökonomen von Ramsey (und Fisher (1930)) vorgestellt worden sind. Ramseys intertemporal separierbare Nutzenfunktion wird heute genauso häufig wie die Cobb-Douglas-Produktionsfunktion verwendet. Dennoch hat der Berufsstand der Ökonomen Ramseys Ansatz bis in die sechziger Jahre nicht akzeptiert oder zumindest nicht weitgehend verwendet. In der Zeit zwischen dem Beitrag von Ramsey und den späten fünfziger Jahren haben Harrod (1939) und Domar (1946) versucht, die keynesianische Analyse mit

12

Einführung

Elementen der Wachstumstheorie zu vereinen. Sie haben Produktionsfunktionen mit geringer Substituierbarkeit zwischen den Inputs verwendet, um darzulegen, daß das kapitalistische System aus sich heraus instabil ist. Da die Autoren ihre Arbeiten während oder kurz nach der Großen Depression veröffentlicht haben, sind ihre Argumente von vielen Ökonomen wohl wollend aufgenommen worden. Obwohl ein guter Teil der Forschung in dieser Zeit auf die angesprochenen Beiträge zurückgeht, spielen sie im heutigen Denken kaum noch eine Rolle. Die nächsten und wichtigeren Beiträge sind die von Solow (1956) und Swan (1956) gewesen. Den Kernpunkt des Solow-Swan-Modells bildet die neoklassische Form der Produktionsfunktion, eine Spezifikation, die von konstanten Skalenerträgen, von fallenden Grenzproduktivitäten für jeden Produktionsfaktor und von positiven und stetig bestimmbaren Elastizitäten der Substitution zwischen den Produktionsfaktoren ausgeht. Die Produktionsfunktion wird mit einer konstanten Sparquote kombiniert, um ein extrem einfaches allgemeines Gleichgewichtsmodell für die Volkswirtschaft zu erhalten. Eine Vorhersage aus diesem Modell, das erst in jüngerer Zeit ernsthaft als empirische Hypothese eingesetzt worden ist, ist die bedingte Konvergenz. Je geringer das Startniveau des realen Bruttoinlandsprodukts pro Kopf im Verhältnis zum langfristigen oder gleichgewichtigen Niveau ist, desto höher ist die Wachstumsrate. Diese Eigenschaft ergibt sich aus der Annahme abnehmender Kapitalproduktivitäten; die Volkswirtschaften, die weniger Kapital pro Arbeiter (im Verhältnis zu ihrer langfristigen Kapitalausstattung pro Arbeiter) besitzen, weisen tendenziell höhere interne Zinssätze und höhere Wachstumsraten auf. Die Konvergenz ist bedingt, weil die gleichgewichtigen Niveaus des Kapitals und des Outputs pro Kopf im Solow-Swan-Modell von der Sparquote, der Wachstumsrate der Bevölkerung und der Lage der Produktionsfunktion abhängen, wobei diese Charakteristika zwischen den Volkswirtschaften variieren können. Wie jüngere empirische Studien zeigen, sollten weitere Ursachen der Abweichungen zwischen den Ländern, insbesondere Unterschiede in der Wirtschaftspolitik und in den Beständen an Humankapital in der Ausgangslage, berücksichtigt werden. Der Hauptpunkt besteht darin, daß das Konzept der bedingten Konvergenz - eine zentrale Eigenschaft des Solow-SwanModells - einen beachtlichen Erklärungswert für das ökonomische Wachstum über alle Länder und Regionen hinweg besitzt. Eine weitere Vorhersage des Solow-Swan-Modells besteht darin, daß das ProKopf-Wachstum in der Abwesenheit von ständigen Verbesserungen der Technik schließlich aufhören muß. Diese Vorhersage, die denen von Mal thus und Ricardo ähnelt, ist ebenfalls durch die Annahme der abnehmenden Kapitalproduktivität impliziert. Dennoch ist bereits festgestellt worden, daß positive Wachstumsraten pro Kopf durchaus über mehr als ein Jahrhundert auftreten können, ohne daß eine eindeutige Abnahme der Wachstumsraten festzustellen ist. Diese Schwachstelle des Modells ist den Vertretern der neoklassischen Wachstumstheorie in den späten fünfziger und sechziger Jahren aufgefallen und in der Regel durch die Annahme überdeckt worden, daß der technische Fortschritt in exoge-

1.3 Ein Überblick über die moderne Wachstumstheorie

13

ner Weise auftritt. Dieser Baustein kann die Theorie mit der Existenz einer positiven und vielleicht langfristig konstanten Wachstumsrate pro Kopf versöhnen, während die Vorhersage der bedingten Konvergenz erhalten bleibt. Allerdings besteht die offensichtliche Unzulänglichkeit darin, daß die langfristige Wachstumsrate pro Kopf vollständig durch ein Element - die Rate des technischen Fortschritts - determiniert wird, das sich außerhalb des Modells befindet. (Die langfristige Wachstumsrate des Outputniveaus hängt außerdem von der Wachstumsrate der Bevölkerung ab, die ebenfalls in der Standardtheorie exogen gegeben ist.) Damit liegt ein Wachstumsmodell vor, das alles außer langfristigem Wachstum erklärt, eine offensichtlich unbefriedigende Situation. Cass (1965) und Koopmans (1965) haben Ramseys Analyse eines Haushalts, der sein Verhalten optimiert, in das neoklassische Wachstumsmodell eingeführt, so daß nun eine endogene Bestimmung der Sparquote möglich wird. Diese Erweiterung ergibt eine aussagefähigere Dynamik im Übergang, wobei die Hypothese der bedingten Konvergenz aber erhalten bleibt. Die endogene Erklärung der Ersparnis eliminiert auch nicht die Abhängigkeit der langfristigen Rate des Pro-Kopf-Wachstums vom exogenen technischen Fortschritt. Das Gleichgewicht des neoklassischen Wachstumsmodells in der Version von Cass-Koopmans kann durch ein dezentrales Modell der vollständigen Konkurrenz unterstützt werden, in dem die produktiven Faktoren Arbeit und Kapital entsprechend ihrer monetären Grenzproduktivität entlohnt werden. Wegen der Annahme, daß die Produktionsfunktion konstante Skalenerträge aufweist, wird das gesamte Produkt als Einkommen verteilt. Darüber hinaus sind die Ergebnisse des dezentralen Ansatzes Pareto-optimal. Die Berücksichtigung einer Theorie des technischen Fortschritts im neoklassischen Rahmen ist schwierig, weil sich die Standardannahmen der vollständigen Konkurrenz nicht aufrecht erhalten lassen. Technischer Fortschritt beinhaltet die Schöpfung neuer Ideen, die zum Teil nichtrivalisierendem Konsum unterliegen und daher Aspekte öffentlicher Güter aufweisen. Für eine gegebene Technik, das heißt für einen gegebenen Wissensstand, ist es vernünftig, von konstanten Skalenerträgen in bezug auf die üblichen rivalisierenden Produktionsfaktoren Arbeit, Kapital und Boden auszugehen. Mit anderen Worten: Für ein gegebenes Niveau technischen Wissens kann man sich vorstellen, daß es möglich ist, ein Unternehmen mit den gleichen Mengen an Arbeit, Kapital und Boden zu duplizieren, um die doppelte Menge an Output zu erzeugen. Aber dann werden die Skalenerträge tendenziell ansteigen, wenn nichtrivalisierende Tatbestände als Produktionsfaktoren einbezogen werden. Diese steigenden Skalenerträgen stehen im Widerspruch zur vollständigen Konkurrenz. Insbesondere die Kompensation der alten nichtrivalisierenden Beiträge nach ihren gegenwärtigen Grenzkosten der Erzeugung von null wird nicht die angemessene Entlohnung für die Forschungsbemühungen gewährleisten, die der Schaffung neuer Ideen zugrunde liegen. Arrow (1962) und Sheshinski (1967) haben Modelle konstruiert, in denen die Ideen als unbeabsichtigte Nebenprodukte der Produktion oder der Investition auf-

14

Einführung

gefaßt werden, ein Mechanismus, der als learning-by-doing beschrieben wird. In diesen Modellen stehen die Entdeckungen jedes einzelnen unmittelbar der gesamten Volkswirtschaft zur Verfügung. Ein unverzüglicher Diffusionsprozeß setzt ein, der technisch möglich ist, weil Wissen nicht rivalisiert. Wie Romer (1986) später gezeigt hat, kann der Rahmen der vollständigen Konkurrenz in diesem Fall beibehalten werden, um eine gleichgewichtige Rate des technischen Fortschritts zu bestimmen, wobei die resultierende Wachstumsrate in der Regel aber nicht Paretooptimal ist. Im allgemeinen bricht der Rahmen der vollständigen Konkurrenz jedoch zusammen, wenn Entdeckungen zum Teil von gezielten Anstrengungen im Bereich der Forschung und der Entwicklung abhängen und wenn die Innovationen des Wirtschaftssubjektes nur allmählich anderen Produzenten zur Verfügung stehen. In diesem realistischen Rahmen bedarf die dezentrale Theorie des technischen Fortschritts wesentlicher Änderungen im neoklassischen Wachstumsmodell, um Modelle der unvollständigen Konkurrenz einzubeziehen. 3 Diese Erweiterungen der Theorie stehen erst seit den späten achtziger Jahren durch die Forschungen von Romer (1987, 1990) zur Verfügung. Die Arbeiten von Cass (1965) und Koopmans (1965) haben das grundlegende neoklassische Wachstumsmodell vervollständigt. Danach hat die Wachstumstheorie übermäßig technische Züge angenommen und immer mehr den Kontakt zu empirischen Anwendungen verloren. Dagegen haben die Entwicklungsökonomen, die arme Länder beraten müssen, die Anwendungen im Auge behalten. Sie neigen dazu, technisch einfache, aber empirisch brauchbare Modelle zu verwenden. Die Bereiche der ökonomischen Entwicklung und des Wirtschaftswachstums haben sich immer weiter voneinander entfernt und haben sich beinahe vollkommen voneinander getrennt. Vielleicht ist die Wachstumstheorie als aktives Gebiet der Forschung wegen des Mangels an empirischer Relevanz in den frühen siebziger Jahren abgestorben, am Vorabend der Revolution durch die Theorie rationaler Erwartungen und der Ölkrisen. Etwa 15 Jahre lang hat sich die makroökonomische Forschung auf kurzfristige Konjunkturschwankungen konzentriert. Die wesentlichen Beiträge umfassen die Einbeziehung der rationalen Erwartungen in die Konjunkturmodelle, verbesserte Ansätze zur Bewertung der Wirtschaftspolitik und die Anwendung der allgemeinen Gleichgewichtsmethoden auf die reale Konjunkturtheorie. Mit den Arbeiten von Romer (1986) und Lucas (1988) hat die Erforschung des ökonomischen Wachstums in der Mitte der achtziger Jahre einen neuen Aufschwung erfahren. Die Motivation für diese Forschung liegt in der Beobachtung (oder Erinnerung), daß die Determinanten des langfristigen Wachstums wesentliche Themen darstellen, die viel größere Bedeutung als die Mechanik der Konjunkturschwankungen oder die antizyklischen Effekte monetärer oder fiskalischer Maßnahmen besitzen. Aber die Erkenntnis der Relevanz des langfristigen Wachstums stellt lediglich einen ersten Schritt dar; im nächsten Schritt muß man sich aus der Zwangsjacke des neoklassischen Wachstumsmodells befreien, in dem die langfristige Wachstumsrate 3 Ein anderer Ansatz besteht darin, daß die gesamte nichtrivalisierende Forschung - ein klassisches öffentliches Gut - durch den Staat mittels unfreiwilliger Steuern finanziert wird; vgl. Shell (1967).

1.3 Ein Überblick über die moderne Wachstumstheorie

15

pro Kopf durch die Rate des exogenen technischen Fortschritts festgelegt ist. Somit wird die langfristige Wachstumsrate in den jüngeren Beiträgen auf die eine oder andere Weise modellendogen determiniert; daher spricht man von Modellen des endogenen Wachstums. Die erste Welle neuerer Untersuchungen - Romer (1986), Lucas (1988), Rebelo (1991) - basiert auf den Arbeiten von Arrow (1962), Sheshinski (1967) und Uzawa (1965) und führt keine überzeugende Theorie des technischen Wandels ein. In diesen Modellen kann sich das Wachstum unendlich fortsetzen, weil die Erträge der Investitionen in eine weite Klasse von Kapitalgütern - die das Humankapital einschließt - nicht notwendigerweise abnehmen, während sich die Volkswirtschaften entwickeln. (Dieser Gedanke geht auf Knight (1944) zurück.) Die Diffusion des Wissens über die Produzenten und die externen Vorteile des Humankapitals sind Aspekte dieses Prozesses, allerdings nur weil sie helfen, die Tendenz zu fallenden Produktivitäten bei der Akkumulation des Kapitals aufzuheben. Die Einbeziehung von Theorien der Forschung und Entwicklung und von Ansätzen der unvollständigen Konkurrenz in den Rahmen des Wachstums beginnt bei Romer (1987, 1990) und umfaßt wesentliche Beiträge von Aghion und Howitt (1992) sowie Grossman und Helpman (1991, Kapitel 3 und 4). In diesen Modellen resultiert der technische Fortschritt aus zielgerichteten Aktivitäten in der Forschung und Entwicklung, wobei diese Aktivitäten durch eine Art von ex post Monopolmacht belohnt werden. Wenn eine Volkswirtschaft nicht Gefahr läuft, daß ihr die Ideen ausgehen, dann kann die Wachstumsrate auf lange Sicht positiv bleiben. Wegen der Verzerrungen, die sich aus der Art der Erschaffung neuer Güter und Produktionsmethoden ergeben, tendieren die Wachstumsrate und der zugrundeliegende Umfang der Erfindungen jedoch dazu, nicht Pareto-optimal zu sein. Unter diesen Rahmenbedingungen hängt die langfristige Wachstumsrate von staatlichen Maßnahmen ab, wie der Besteuerung, der Erhaltung von Recht und Ordnung, dem Angebot an Infrastrukturdiensten, dem Schutz geistigen Eigentums, der Regulierung des internationalen Handels, der Finanzmärkte und anderer Aspekte der Volkswirtschaft. Durch seinen Einfluß auf die langfristige Wachstumsrate besitzt der Staat ein großes Potential, das Wohl oder Wehe der Volkswirtschaft zu gestalten. Die neue Forschung schließt auch Modelle der Diffusion von Techniken ein. Während die Analyse der Entdeckungen in Beziehung zu der Rate des technischen Fortschritts in den führenden Volkswirtschaften steht, betreffen die Studien der Diffusion die Art, wie die folgenden Volkswirtschaften durch Imitation an diesen Fortschritten partizipieren. Weil die Imitation in der Regel billiger als die Innovation ist, sagen Diffusionsmodelle eine Form der bedingten Konvergenz vorher, die den Vorhersagen des neoklassischen Wachstumsmodells ähneln. Ein weiterer wesentlicher exogener Parameter des neoklassischen Wachstumsmodells ist die Wachstumsrate der Bevölkerung. Eine höhere Wachstumsrate der Bevölkerung senkt die gleichgewichtige Kapitalintensität und den gleichgewichtigen Pro-Kopf-Output und reduziert daher tendenziell die Wachstumsrate pro Kopf für ein gegebenes Ausgangsniveau des Pro-Kopf-Outputs. Allerdings berücksichtigt

16

Einführung

das Standardmodell nicht die Effekte des Pro-Kopf-Einkommens und der Lohnsätze auf das Bevölkerungswachstum - von Malthus betonte Effekte - und vernachlässigt ebenso die Ressourcen, die für die Aufzucht der Kinder verbraucht werden. Eine andere Richtung der modernen Forschung modelliert endogenes Bevölkerungswachstum, indem sie eine Analyse der Geburtenwahl in das neoklassische Modell einbezieht. Die Ergebnisse sind beispielsweise mit der empirischen Beobachtung konsistent, daß die Geburtenraten in dem wesentlichen Erfahrungsbereich tendenziell mit dem Pro-Kopf-Einkommen fallen, aber in den ärmsten Ländern durchaus mit dem Pro-Kopf-Einkommen steigen können. Weitere Arbeiten, die sich mit der endogenen Bestimmung des Arbeitsangebotes im Rahmen des Wachstums befassen, betreffen die Wanderungen und die Wahl zwischen der Arbeitszeit und der Freizeit. Der deutlichste Unterschied zwischen der Wachstumstheorie in den sechziger Jahren und der Wachstumstheorie in den achtziger und neunziger Jahren besteht darin, daß die jüngeren Untersuchungen den empirischen Implikationen und dem Verhältnis zwischen der Theorie und den Daten große Aufmerksamkeit schenken. Einige Aspekte dieser anwendungsbezogenen Sicht führen zu einer Erweiterung der empirischen Implikationen der älteren Theorie, insbesondere die Prognose der bedingten Konvergenz aufgrund des neoklassischen Wachstumsmodells. Andere Analysen beziehen sich direkter auf die jüngeren Theorien des endogenen Wachstums, die die Rolle der steigenden Skalenerträge, die Aktivitäten der Forschung und Entwicklung, das Humankapital sowie die Diffusion der Technik berücksichtigen. In diesem Buch wird versucht, die neuere Betonung des Wechselspiels zwischen Theorie und Anwendung zu überdenken. Somit werden die empirischen Implikationen der verschiedenen abgeleiteten Theorien herausgestellt. Außerdem enthält das Buch drei Kapitel, die sich ausschließlich mit den Daten und der empirischen Analyse beschäftigen. Die jüngere Wachstumsforschung hat das Interesse von Ökonomen aus einer Vielzahl von Tätigkeitsfeldern auf sich gezogen. An den Konferenzen über das Wachstum nehmen Spezialisten der MakroÖkonomik, der Entwicklung, der Außenwirtschaft, der Theorie, der Geschichte, der Ökonometrie und der Industrieökonomik teil. Die wirksame Kombination der Theorie mit der empirischen Arbeit wird vermutlich diesen breiten Anklang verstärken, so daß die Wachstumstheorie nunmehr als pulsierendes Forschungsgebiet überleben wird. Daß die Wachstumstheorie der neunziger Jahre das gleiche Schicksal wie die Wachstumstheorie der sechziger Jahre erleidet, ist nicht zu erwarten.

Kapitel 1 Wachstumsmodelle mit exogener Sparquote (Das Solow-Swan-Modell) 1.1

Die Grundlagen der Modelle

Alle Wachstumsmodelle, die in diesem Buch diskutiert werden, besitzen die gleiche grundlegende Struktur eines allgemeinen Gleichgewichtsmodells. Erstens sind die Haushalte (oder Familien) die Eigentümer der Produktionsfaktoren und des Vermögens der Volkswirtschaft einschließlich der Eigentumsrechte an den Unternehmen. Darüber hinaus wählen die Haushalte die Anteile, mit denen sie ihr Einkommen konsumieren oder sparen. Jeder Haushalt bestimmt, wie viele Kinder er haben will, ob und wieviel er bereit ist zu arbeiten. Zweitens erwerben die Unternehmen Faktorleistungen wie Kapital und Arbeit und benutzen sie, um Güter herzustellen, die sie an die Haushalte und andere Unternehmen verkaufen. Die Unternehmen haben Zugang zu einer Technologie, die sich über die Zeit entwickelt und die es ihnen erlaubt, Faktoren in Güter zu transformieren. Drittens existieren Märkte, auf denen die Unternehmen ihre Güter an die Haushalte und andere Unternehmen verkaufen und auf denen die Haushalte ihre Faktoren an die Unternehmen veräußern. Die angebotenen und nachgefragten Mengen bestimmen die relativen Preise der Produktionsfaktoren und der hergestellten Güter. Für dieses einführende Kapitel erweist es sich als hilfreich, einen vereinfachten Ansatz zu wählen, der die Märkte und die Unternehmen ausschließt. Als Ausgangspunkt dient eine zusammengesetzte Wirtschaftseinheit - ein Haushalt und Unternehmen wie Robinson Crusoe - , der die Faktormengen gehören und die die Technik nutzt, durch die die Faktoren in die Güter umgewandelt werden. Berücksichtigt man zwei Faktormengen, die eingesetzte Menge des physischen Kapitals K(t) und die Arbeitsmenge L(t), dann besitzt die Produktionsfunktion die folgende Form: Y(t) = F[K(t),L(t),t],

(1.1)

wobei Y(t) den zum Zeitpunkt t hergestellten Güterstrom (Momentanoutput) bezeichnet. Die Produktionsfunktion hängt von der Zeit t ab, um die Effekte des technischen Fortschritts zu erfassen. Dieselben Mengen Kapital und Arbeit erzeugen 1995 eine größere Gütermenge als 1895, wenn die 1995 angewendete Technik überlegen ist. Für den angenommenen einzigen Sektor wird eine Produktionstechnik vorausgesetzt, durch die ein homogenes Gut hergestellt wird, das sich konsumieren (C(r)) oder investieren ( I ( t ) ) läßt, um neue Einheiten physischen Kapitals K(t) zu erzeugen. Als Beispiel für die Veranschaulichung der Technik eines einzelnen Sektors läßt sich auf die Haltung landwirtschaftlicher Nutztiere hinweisen, die entweder geschlachtet oder zur Produktion weiterer Tiere eingesetzt werden können. Die

18

Kapitel 1. Wachstumsmodelle mit exogener Sparquote

Literatur über Wirtschaftswachstum stellt originellere Beispiele bereit, um - unter Verwendung solcher Ausdrücke wie Ton, Wachs (putty) oder Ektoplasma* - die einfache Umwandlung von Kapitalgütern in Konsumgüter und umgekehrt darzustellen. In diesem Abschnitt wird außerdem von einer geschlossenen Volkswirtschaft ausgegangen. Die Haushalte können weder ausländische Güter oder Vermögenstitel erwerben, noch heimische Güter oder Vermögenstitel an das Ausland verkaufen. (Das Kapitel 3 trägt der offenen Völkswirtschaft Rechnung.) In einer geschlossenen Volkswirtschaft entspricht die bewertete Gütermenge dem Einkommen, und die Investition stimmt mit der Ersparnis überein. Der gesparte Anteil der bewerteten Produktionsmenge, also die Sparquote, wird mit s bezeichnet, so daß 1 — s den konsumierten Anteil der bewerteten Produktionsmenge angibt. Rationale Haushalte wählen ihre Sparquote, indem sie die Kosten und den Nutzen des heutigen Konsums gegen die entsprechenden Größen des zukünftigen Konsums abwägen. Dieser Vergleich involviert Parameter der Präferenzstruktur und Variablen, die den Zustand der Volkswirtschaft beschreiben, also etwa das Vermögen und den Zinssatz. Im Kapitel 2, wo diese Entscheidung explizit modelliert wird, stellt sich heraus, daß 5 eine komplizierte Funktion ist, für die in der Regel keine geschlossene Darstellungsform existiert. Um die Analyse in diesem einführenden Kapitel zu vereinfachen, wird s als exogen gegeben vorausgesetzt. Die einfachste Funktion ist eine Konstante, s(·) = s > 0, wie sie bereits in den klassischen Artikeln von Solow (1956) und Swan (1956) unterstellt worden ist. In diesem Kapitel wird von der Spezifikation einer konstanten Sparquote ausgegangen, weil sich damit zahlreiche Ergebnisse auf einleuchtende Weise ableiten lassen. Der Kapitalbestand nimmt annahmegemäß mit dem konstanten Satz S > 0 ab. Zu jedem Zeitpunkt scheidet ein konstanter Anteil des Kapitalstocks verschlissen aus und kann damit nicht länger in der Produktion eingesetzt werden. (Im Beispiel der landwirtschaftlichen Nutztiere stirbt zu jedem Zeitpunkt ein konstanter Anteil der Tiere, was unabhängig vom durchschnittlichen Alter der Tiere unrealistisch ist.) Die Nettozunahme des physischen Kapitalstocks ist zu jedem Zeitpunkt gleich der Bruttoinvestition abzüglich der Abschreibung Κ — I — SK — sF(K, L, t) — SK,

(1.2)

wobei ein Punkt über einer Variablen, wie bei K, die Differentiation nach der Zeit bezeichnet, und 0 < s < 1 gilt. Die Gleichung (1.2) bestimmt das dynamische Verhalten von Κ für eine gegebene Technik und einen gegebenen Bestand an Arbeitskräften. In den ersten Teilen dieses Kapitels wird der technische Fortschritt vernachlässigt, das heißt, F ist unabhängig von t. Diese Annahme wird später aufgehoben. Der Bestand an Arbeitskräften L variiert im Zeitablauf aufgrund des Wachstums der Bevölkerung, der Änderungen der Erwerbsquoten und der Variationen der *Das Ektoplasma bezeichnet die äußere (vom Endoplasma deutlich unterscheidbare) kontinuierlich in das Endoplasma übergehende Zytoplasmaschicht vieler Einzeller (vgl. Meyers Enzyklopädisches Lexikon, Anmerkung des Übersetzers).

1.2 Das neoklassische Modell von Solow und Swan

19

Arbeitszeit eines typischen Arbeitnehmers. Das Bevölkerungswachstum wiederum resultiert aus der Entwicklung der Geburtenhäufigkeit, Sterblichkeit und Wanderungen. Im Kapitel 9 werden nicht nur die Wahl zwischen der Arbeitszeit und der Freizeit berücksichtigt, sondern auch die Effekte der Wanderungen, Geburtenhäufigkeit und Sterblichkeit auf die Bevölkerung betrachtet. In diesem Kapitel wird die vereinfachende Annahme getroffen, daß die Bevölkerung mit der konstanten, exogenen Rate L/L = n> 0 wächst und daß jede Erwerbsperson mit einer gegebenen Intensität arbeitet. Wenn man die Zahl der Arbeitnehmer zum Zeitpunkt null auf eins normiert und die Arbeitsintensität jeder Person ebenfalls auf eins setzt, dann sind die Größe der Bevölkerung und der Arbeitsmenge zum Zeitpunkt t gleich, L(/)=e"'.

(1.3)

Wenn L(r) durch (1.3) gegeben ist und kein technischer Fortschritt stattfindet, dann bestimmt (1.2) den Zeitpfad des Kapitals Κ und der Produktionsmenge Y. In den folgenden Abschnitten wird gezeigt, daß diese Aussage insbesondere von den Eigenschaften der Produktionsfunktion F abhängt. In der Tat reichen kleine Abweichungen in den Annahmen über F aus, um vollkommen unterschiedliche Theorien des ökonomischen Wachstums zu begründen.

1.2

Das neoklassische Modell von Solow und Swan

1.2.1

Die neoklassische Produktionsfunktion

Vernachlässigt man den technischen Fortschritt, dann besitzt die Produktionsfunktion (1.1) die Form Y = F(K, L).

(1.4)

Die Produktionsfunktion wird als neoklassisch bezeichnet, wenn sie den drei folgenden Eigenschaften genügt: Erstens weist F für alle Κ > 0 und L > 0 positive und fallende Grenzproduktivitäten in bezug auf jeden Faktor auf, 9F

>0

d2F

« · r dF äL>0· Zweitens hat F konstante Skalenerträge.

d F 9Z2

F(kK, XL) = λ F(K, L)

n

< 0

·

für alle

λ>0

(1.5b)

Drittens geht die Grenzproduktivität des Kapitals (beziehungsweise der Arbeit) gegen unendlich, wenn die eingesetzte Menge Kapital (beziehungsweise Arbeit) gegen

20

Kapitel 1. Wachstumsmodelle mit exogener Sparquote

null strebt. Umgekehrt strebt die Grenzproduktivität gegen null, wenn die Menge des entsprechenden Faktors unendlich groß wird. lim ( d F / d K ) = lim ( d F / d L ) = oo lim (dF/dK)

= lim ( d F / d L ) = 0

K—too

(1.5c)

£,->00

Die letzten Bedingungen heißen in Anlehnung an Inada (1963) die gen.

Inada-Bedingun-

Die Bedingung konstanter Skalenerträge impliziert, daß sich der Output darstellen läßt als Y = F(K, L) = L F(K/L,

1) = L f ( k ) ,

wobei k = K/L die Kapitalintensität ist, y = Y/L den Pro-Kopf-Output bezeichnet und die Funktion / als f ( k ) = F{k, 1) definiert ist. Damit kann die Pro-KopfProduktionsfunktion dargestellt werden als y = f(k).

(1.6)

Die Gleichung Y — L f ( k ) kann nun für gegebenes L nach Κ und anschließend für gegebenes Κ nach L differenziert werden. Damit lassen sich folgende Grenzproduktivitäten der Faktoren ermitteln: dY/dK =

f'(k),

3Y/dL= f ( k ) - k f ' ( k ) .

(1.7)

Die Inada-Bedingungen implizieren l i m ^ o [/'(&)] = oo und l i m ^ o o [/'(&)] = 0. Anhand der neoklassischen Eigenschaften (1.5a)-(1.5c) kann man zeigen, daß jeder Faktor für die Produktion wesentlich ist, das heißt F(0, L) = F(K, 0) = / ( 0 ) = 0. Die Eigenschaften implizieren außerdem, daß der Output unendlich groß wird, wenn eine der beiden Faktormengen gegen unendlich strebt. Zu den Beweisen dieser Aussagen vgl. den Anhang am Ende dieses Kapitels. Eine einfache Produktionsfunktion, der eine vernünftige Darstellung tatsächlicher Volkswirtschaften zugeschrieben wird, ist die Cobb-Douglas-Funktion Y=AKaLx~a,

(1.8)

wobei A > 0 das Niveau der Technik angibt und α eine Konstante mit 0 < a < 1 ist. Die Cobb-Douglas-Funktion kann in eine Pro-Kopf-Produktionsfunktion umgeschrieben werden. y = Aka

(1.9)

Dabei ist zu beachten, daß f'(k) = Aaka~l > 0, f"(k) = - A a ( l - a)ka~2 < 0, l i m ^ o o f'(k) — 0 und l i m ^ o f'(k) = oo gelten. Also genügt die Cobb-DouglasFunktion den Anforderungen an eine neoklassische Produktionsfunktion.

1.2 Das neoklassische Modell von Solow und Swan

1.2.2

21

Die grundlegende Bewegungsgleichung für den Kapitalstock

Nun läßt sich das dynamische Verhalten der Volkswirtschaft darlegen, die durch eine neoklassische Produktionsfunktion charakterisiert wird. Das resultierende Wachstumsmodell wird das Solow-Swan-Modell mit Bezug zu den wichtigen Arbeiten von Solow (1956) und Swan (1956) genannt. Die Veränderung des Kapitalstocks in der Zeit ist durch die Gleichung (1.2) gegeben. Dividiert man beide Seiten der Gleichung durch L, dann folgt K/L = sf(k) -

Sk.

Während die rechte Seite ausschließlich Pro-Kopf-Größen enthält, ist das für die linke Seite nicht der Fall. Allerdings läßt sich K/L als eine Funktion von k darstellen, i s

diKJV dt

=

k / L

_

n k

^

wobei η = L / L gesetzt ist. Substituiert man dieses Ergebnis in dem Ausdruck für K / L , dann lassen sich die Terme umstellen zu jfe = sf{k) ~{n + S)k.

(1.10)

Diese nichtlineare Differentialgleichung hängt lediglich von k ab und beschreibt die grundlegende Bewegungsgleichung des Solow-Swan-Modells. Der Koeffizient η + δ auf der rechten Seite von (1.10) läßt sich als effektiver Abschreibungssatz im Hinblick auf die Kapitalintensität k = K/L interpretieren. Wenn die Sparquote s gleich null ist, dann wird k zum einen aufgrund der Abschreibung von Κ mit der Rate 5 und zum anderen aufgrund des Wachstums von L mit der Rate η fallen. Die Abbildung 1.1 stellt die Wirkungsweise der Gleichung (1.10) dar. Die obere Kurve veranschaulicht die Produktionsfunktion f(k). DerTerm sf(k) in (1.10) entspricht der Produktionsfunktion f ( k ) bis auf die Multiplikation mit dem positiven Anteil s. Wie die Abbildung zeigt, beginnt die Kurve sf(k) im Ursprung (wegen / ( 0 ) = 0); sie besitzt eine positive Steigung (wegen f'(k) > 0), die mit steigendem k abnimmt (wegen f" (k) < 0). Die Inada-Bedingungen implizieren, daß die Kurve sf{k) für k = 0 vertikal ist; sie verläuft horizontal, sofern k unendlich groß wird. Der zweite Summand in (1.10), also (n + S)ky erscheint in der Abbildung 1.1 als Ursprungsgerade mit positiver Steigung η + 0 auf, dann entspricht die Bruttoinvestition pro Kopf, wie der Abbildung 1.1 zu entnehmen ist, der Höhe der sf(k) Kurve an dieser Stelle. Darüber hinaus stimmt der Pro-Kopf-Konsum c an dieser Stelle mit dem vertikalen Abstand zwischen den Kurven für f ( k ) und sf(k) überein.

22

Kapitel 1. Wachstumsmodelle mit exogener Sparquote

(n+i)*

Λ

*(0)

Abbildung 1.1 Das Solow-Swan-Modell. Die Kurve für die Bruttoinvestition sf (k) verläuft ähnlich wie die Produktionsfunktion f(k). Der Pro-Kopf-Konsum entspricht dem vertikalen Abstand zwischen f ( k ) und sf(k). Die effektive Abschreibung (mit Bezug zu k) ist durch die Ursprungsgerade (n + S)k gegeben. Die Veränderung von k wird durch den vertikalen Abstand zwischen sf(k) und (η + S)k bestimmt. Der gleichgewichtige Wert der Kapitalintensität k" ergibt sich aus dem Schnittpunkt der Kurve sf(k) mit der Ursprungsgeraden (n + S)k.

1.2.3 Das langfristige Gleichgewicht Das langfristige Gleichgewicht (steady state) ist als Zustand definiert, in dem verschiedene Größen mit konstanten Raten wachsen. Im Solow-Swan-Modell bezieht sich das langfristige Gleichgewicht auf k = 0 in der Gleichung (1.10), 1 das heißt auf den Schnittpunkt der Kurve s f ( k ) mit der Geraden (n + 8)k in der Abbildung 1.1} Der zugehörige Wert von k ist durch k* gekennzeichnet. (An dieser Stelle ist lediglich der Schnittpunkt für k > 0 von Interesse. Der Schnittpunkt bei k = 0 wird vernachlässigt.) Algebraisch erfüllt k* die Bedingung sf(k*)

= (n + 8)k*.

(1.11)

Da k im langfristigen Gleichgewicht konstant ist, müssen auch y und c Konstanten mit den Werten y* = f(k*) und c* = (1 — s) f{k*) sein. Also weisen 'Man kann zeigen, daß k im langfristigen Gleichgewicht konstant sein muß. Die Division beider Seiten von (1.10) durch k ergibt k/k — sf(k)/k-(n + &). Die linke Seiteist definitionsgemäß im langfristigen Gleichgewicht konstant. Da s, η und & Konstanten sind, muß auch f(k)/k im langfristigen Gleichgewicht konstant sein. Die Ableitung von f(k)/knach derZeit liefert -[[f(k)-kf'(k)]/k] (k/k). Weil die Grenzproduktivität der Arbeit f ( k ) — kf'(k) positiv ist, muß k/k = 0 für endliches k im langfristigen Gleichgewicht erfüllt sein. 2 Für positive k existiert ein Schnittpunkt; er ist eindeutig, denn / ( 0 ) = 0, η + S < lim^o [•?/'(£)] = oo, η + & > lim*.,.,,,, [sf'(k)] = 0 und f"{k) < 0.

1.2 Das neoklassische Modell von Solow und Swan

23

die Pro-Kopf-Größen k, y und c im langfristigen Gleichgewicht des neoklassischen Wachstumsmodells keine Veränderungen auf. Die Konstanz der Pro-Kopf-Größen ist gleichbedeutend mit der Aussage, daß alle Niveauvariablen - Κ, Y und C - im langfristigen Gleichgewicht mit derselben Rate η wachsen, mit der auch die Bevölkerung wächst. Alle Änderungen des Niveaus der Produktionstechnik, die durch eine Verschiebung der Produktionsfunktion / wiedergegeben werden, der Sparquote s, der Wachstumsrate der Bevölkerung η und des Abschreibungssatzes S beeinflussen die Niveaus der verschiedenen Pro-Kopf-Größen im Gleichgewicht. Beispielsweise führen in der Abbildung 1.1 eine proportionale Verschiebung der Produktionsfunktion nach oben oder eine Erhöhung von s zu einer entsprechenden Verschiebung der sf(k) Kurve nach oben, wodurch eine Erhöhung von k* hervorgerufen wird. Die Erhöhung von η oder 0. Diese Beziehung wird mit k*(s) bezeichnet, wobei d £ * ( i ) / d i > 0 ist. Das gleichgewichtige Niveau des Pro-Kopf-Konsums lautet c* — (1 — s) /[£*(i)]· Aus der Gleichung (1.11) folgt sf{k*) = (n + &)k*, so daß der Ausdruck für c* umgeschrieben werden kann zu c*(j) = / [ * * ( i ) ] - ( n + Ä)**(i).

(1.12)

Die Abbildung 1.2 stellt die durch (1.12) gegebene Beziehung zwischen c* und s dar. Der Wert von c* steigt mit s für geringe Niveaus von ί und fallt mit s für hohe Werte von s. Der maximale Wert von c* wird an der Stelle erreicht, wo die Ableitung gleich null ist, das heißt [ / ' ( * · ) - (n + 6)]dk*/ds = 0. Wegen dk*/ds > 0 muß der Ausdruck in den eckigen Klammern gleich null sein. Bezeichnet man den Wert von k*, der zum maximalen Wert von c* gehört, mit &goid, dann wird fcgoid determiniert durch /'(£goid) = η + δ .

(1.13)

24

Kapitel 1. Wachstumsmodelle mit exogener Sparquote

Sgold

Abbildung 1.2 Die Goldene Regel der Kapitalakkumulation. Auf der Ordinate wird das gleichgewichtige Niveau des Pro-Kopf-Konsums abgetragen, das der Sparquote s entspricht. Die Sparquote, die den Pro-KopfKonsum maximiert, heißt Goldene Sparquote und wird mit i g0 |,j bezeichnet.

Die korrespondierende Sparquote wird mit i go id bezeichnet, und das zugehörige Niveau des gleichgewichtigen Pro-Kopf-Konsums ist durch cgoid = /(^goid) — (n + 0, dann ist der erste Term auf der rechten Seite nichtpositiv, so daß 3y y /dk < 0 ist. Damit muß γ γ im Bereich für y* > 0 zwangsläufig fallen, wenn k (und damit y) steigt, wenn also k < k* erfüllt ist. Ist y* < 0 (k > k*), dann besitzt dYy/dk kein eindeutiges Vorzeichen für die allgemeine Form der Produktionsfunktion f{k). Wenn sich die Volkswirtschaft jedoch in der Nähe ihres langfristigen Gleichgewichtes befindet, dann wird Yk klein sein, so daß 3 Y y / d k < 0 sogar für k > k* erfüllt ist.

1.2 Das neoklassische Modell von Solow und Swan

29

Im Solow-Swan-Modell, das eine konstante Sparquote voraussetzt, ist die Höhe des Pro-Kopf-Konsums durch c = (1 — i)}> gegeben. Also gilt y c = y y in diesem Modell zu jedem Zeitpunkt. Damit weist der Konsum die gleiche Entwicklung wie der Output auf.

1.2.6

Wirtschaftspolitische Experimente

Nun wird angenommen, daß sich die Volkswirtschaft in einem langfristigen Gleichgewicht mit der Kapitalintensität k* befindet und der Staat eine Maßnahme durchführt, die die Sparquote permanent von i j auf si erhöht. Die Abbildung 1.5 zeigt, daß sich die Kurve s f ( k ) / k nach rechts verschiebt. Somit verlagert sich auch der Schnittpunkt mit der Geraden für η + erreicht.

Eine permanente Verbesserung im Niveau der angewandten Technik weist ähnliche zeitliche Effekte auf die Pro-Kopf-Wachstumsraten auf. Wird die Produkti-

30

Kapitel 1. Wachstumsmodelle mit exogener Sparquote

onsfunktion f ( k ) nach oben verlagert, dann verschiebt sich die sf{k)/k-Kurve wie in der Abbildung 1.5 entsprechend nach oben. Wiederum ergibt sich temporär ein positives γ k . Langfristig führt die Verbesserung der Technik zu höheren Niveaus von k und y, aber die Pro-Kopf-Wachstumsraten ändern sich nicht. Im Kapitel 4 wird berücksichtigt, daß verschiedene Arten wirtschaftspolitischer Maßnahmen zu Abweichungen in den Niveaus der Produktionsfunktion führen. Beispielsweise sind hohe Steuersätze auf das Kapitaleinkommen, ein unzureichender Schutz der Eigentumsrechte und verschiedene staatliche Regulierungsmaßnahmen gleichbedeutend mit einem reduzierten Niveau der Produktionstechnik. (Die Maßnahmen können auch die Sparquote s beeinflussen.) Also haben auch Änderungen dieser Maßnahmen temporäre, jedoch keine permanenten Auswirkungen auf die Wachstumsraten im Solow-Swan-Modell.

1.2.7

Ein Beispiel mit Cobb-Douglas-Technik

Die Ergebnisse lassen sich für den Fall einer Cobb-Douglas-Produktionsfunktion gemäß (1.9) veranschaulichen. Die gleichgewichtige Kapitalintensität ergibt sich aus der Gleichung (1.11) als k* = [ s A / ( n - M ) ] 1 / ( 1 - o ) .

(1.17)

Wie bereits graphisch für eine allgemeinere Produktionsfunktion / beobachtet worden ist, steigt k* bei einer Erhöhung der Sparquote s oder des Niveaus Α der Produktionstechnik. Dagegen fällt k* bei zunehmender Wachstumsrate der Bevölkerung η und erhöhtem Abschreibungssatz 0). Diese Ergebnisse über die Konvergenz und die Dispersion sind analog zu Galtons Trugschluß über die Verteilung der Körpergrößen in einer Bevölkerung (zur gemeint ist, daß von einer Volkswirtschaft, die hinter einer anderen Volkswirtschaft startet, zwingend angenommen wird, daß sie diese Volkswirtschaft in einem künftigen Zeitpunkt überholt. Dieser „Rollenwechsel" kann im neoklassischen Modell nicht auftreten, aber in einigen Modellen der technischen Anpassung vorkommen, die im Kapitel 8 diskutiert werden. 9 Das Modell läßt sich ausweiten, indem man temporäre Schockwirkungen auf oder größere Störungen wie Kriege oder Ölschocks zuläßt, die große Teilgruppen von Volkswirtschaften auf gleiche Weise beeinflussen. In diesem verallgemeinerten Modell kann die Dispersion von dem abgeleiteten deterministischen Pfad abweichen; beispielsweise kann D, in einigen Perioden steigen, selbst wenn DQ über dem gleichgewichtigen Wert liegt.

38

Kapitel 1. Wachstumsmodelle mit exogener Sparquote

Diskussion vgl. Quah (1993) und Hart (1994)). Die Beobachtung, daß sich die Körpergrößen in einer Familie tendenziell in Richtung auf den Mittelwert über die Generationen entwickeln (eine zum Konvergenzkonzept für das Pro-Kopf-Einkommen analoge Eigenschaft), impliziert nicht, daß die Streuung der Körpergrößen über die gesamte Bevölkerung (ein Maß, das der Dispersion des Pro-Kopf-Einkommens über die Volkswirtschaften entspricht) tendenziell über die Zeit abnimmt. Galtons Trugschluß wird vielleicht für die ordinale Rangordnung von Sportmannschaften in einer Liga am deutlichsten. Die Dispersion der Ränge ist definitionsgemäß konstant. Das vorgestellte Konzept der Konvergenz trifft hier auf die Tendenz zu, daß die schwachen Mannschaften zum Mittelfeld aufschließen und daß die Meister in die Mittelmäßigkeit zurückfallen. Dieses Konvergenzverhalten ist zwar wichtig für den Sport; doch ist offensichtlich, daß sich die Verteilung der Ränge nicht ändert, unabhängig davon, wie stark sich die Konvergenz auswirkt.

1.2.10

Technischer Fortschritt

KLASSIFIKATION DER ERFINDUNGEN. Bisher ist unterstellt worden, daß das Niveau der Technik über die Zeit konstant ist. Als Ergebnis hat sich herausgestellt, daß alle Pro-Kopf-Variablen langfristig konstant sind. Diese Eigenschaft des Modells ist zweifellos unrealistisch; beispielsweise ist die Pro-Kopf-Wachstumsrate in den Vereinigten Staaten länger als zwei Jahrhunderte positiv gewesen. Ohne technischen Fortschritt wäre es bei abnehmenden Produktivitäten der Faktoren unmöglich gewesen, ein derartiges Pro-Kopf-Wachstum lediglich durch die Akkumulation von mehr Kapital pro Arbeiter über einen so langen Zeitraum aufrechtzuerhalten. Die neoklassischen Ökonomen der fünfziger und sechziger Jahre haben dieses Problem erkannt und das grundlegende Modell dahingehend ergänzt, daß sie den technischen Fortschritt über die Zeit zulassen. Diese Verbesserungen wirken den fallenden Produktivitäten entgegen, so daß die Volkswirtschaft nun auch langfristig in den ProKopf-Größen wachsen kann. Die folgenden Ausführungen erklären, wie das Modell arbeitet, wenn derartiger technischer Fortschritt zugelassen wird. Obwohl einige Entdeckungen unbeabsichtigt durch Zufall hervorgebracht werden, entstammen die meisten technischen Neuerungen zielstrebigen Aktivitäten wie der Forschung und der Entwicklung (F&E), die in Universitäten und Forschungseinrichtungen der Großunternehmen oder des Staates durchgeführt werden. Diese Forschung wird zuweilen von privaten Institutionen und manchmal von staatlichen Organen wie der National Science Foundation finanziert. Da der Umfang der Ressourcen, die für die Forschung und die Entwicklung bereitgestellt werden, von ökonomischen Bedingungen abhängt, wird auch die Entwicklung der Technologie von diesen Bedingungen bestimmt. Diese Beziehung wird in den Kapiteln 6 - 8 der Gegenstand der Analyse sein. An dieser Stelle wird nur der einfachere Fall eines exogen gegebenen technischen Fortschritts betrachtet. Die erste Aufgabe besteht darin, den exogenen technischen Fortschritt in das Modell aufzunehmen. Dieser Fortschritt kann verschiedene Formen annehmen. Die Erfindungen können es den Produzenten ermöglichen, die gleiche Outputmenge

1.2 Das neoklassische Modell von Solow und Swan

39

entweder mit einer relativ geringeren Kapitalmenge oder einer relativ geringeren Arbeitsmenge herzustellen. Während der erste Fall kapitalsparender technischer Fortschritt genannt wird, spricht man im zweiten Fall von arbeitssparendem technischen Fortschritt. Die Erfindungen, die das Einsatzverhältnis der beiden Faktoren unverändert lassen, heißen neutral oder unverzerrt. Die Definition des neutralen technischen Fortschritts hängt von den exakten Bedeutungen der Kapitalersparnis oder der Arbeitsersparnis ab. Drei weit verbreitete Definitionen gehen auf Hicks (1932), Harrod (1942) und Solow (1969) zurück. Hicks sagt, daß eine technische Innovation neutral ist (Hicks-neutral), wenn das Verhältnis der Grenzproduktivitäten für eine gegebene Kapitalintensität unverändert bleibt. Diese Eigenschaft entspricht einer Umbenennung der Isoquanten, so daß eine Hicks-neutrale Produktionsfunktion als Υ = F{K, L, t) = T(t) F(K, L)

(1.22)

angegeben werden kann, wobei T{t) einen Index für den Stand der angewandten Technik mit T{t) > 0 bezeichnet. Harrod nennt eine Innovation neutral (Harrod-neutral), wenn das Verhältnis der Faktoreinkommen, Κ (dF/dK)/L(dF/dL), für einen gegebenen Kapitalkoeffizienten unverändert bleibt. Robinson (1938) und Uzawa (1961) haben gezeigt, daß diese Definition eine Produktionsfunktion der Form Y=F[K,LA(t)]

(1.23)

impliziert, wobei A(t) wiederum einen Index der Technik mit A(t) > 0 angibt. Diese Form heißt arbeitsvermehrender technischer Fortschritt, weil er den Output auf die gleiche Art wie eine Ausweitung der Arbeitsmenge erhöht. Schließlich bezeichnet Solow eine Innovation als neutral (Solow-neutral), wenn das Verhältnis der Faktoreinkommen, L (dF/dL)/Κ (dF/dK), für einen gegebenen Arbeitskoeffizienten unverändert bleibt. Für diese Definition läßt sich zeigen, daß eine Produktionsfunktion der Form Y= F[KB(t),L]

(1.24)

impliziert ist, wobei B(t) einen Index der Technik mit B(t) > 0 angibt. Derartige Produktionsfunktionen heißen kapitalvermehrend, weil die zugrundeliegende technische Verbesserung wie eine Erhöhung des Kapitalstocks wirkt.

D I E NOTWENDIGKEIT DES ARBEITSVERMEHRENDEN TECHNISCHEN FORT-

SCHRITTS. Falls der technische Fortschritt mit konstanter Rate stattfindet, dann ist im neoklassischen Wachstumsmodell lediglich arbeitsvermehrender technischer Fortschritt mit der Existenz eines langfristigen Gleichgewichtes, das heißt mit langfristig konstanten Wachstumsraten der verschiedenen Größen, vereinbar. Dieses Ergebnis wird im Anhang dieses Kapitels bewiesen.

40

Kapitel 1. Wachstumsmodelle mit exogener Sparquote

Wenn lediglich Modelle betrachtet werden, die ein langfristiges Gleichgewicht besitzen, dann muß ein technischer Fortschritt unterstellt werden, der der arbeitsvermehrenden Form genügt. Ein anderer Ansatz, der erheblich komplizierter ist, müßte Modelle behandeln, die keine langfristigen Gleichgewichte aufweisen, das heißt, in ihnen streben die verschiedenen Wachstumsraten langfristig nicht gegen Konstanten. Indes wird an dieser Stelle der einfachere Ansatz beibehalten, der ein langfristiges Gleichgewicht besitzt. Ein Grund liegt darin, daß die langfristigen Erfahrungen der Vereinigten Staaten und einiger anderer entwickelter Länder darauf hindeuten, daß die Pro-Kopf-Wachstumsraten über lange Zeiträume positiv und ohne erkennbaren Trend sein können (vgl. Kapitel 10). Dieses empirische Phänomen legt die Vermutung nahe, daß eine brauchbare Theorie vorhersagt, daß sich die ProKopf-Wachstumsraten langfristig Konstanten annähern; das heißt, das Modell besitzt ein langfristiges Gleichgewicht.

DAS SOLOW-SWAN-MODELL MIT ARBEITSVERMEHRENDEM TECHNISCHEN

FORTSCHRITT. Für die Produktionsfunktion wird nun unterstellt, daß sie einen arbeitsvermehrenden technischen Fortschritt wie in (1.23) verkörpert und daß der Term für die Technik A(t) mit der konstanten Rate χ wächst. Dann lautet die Bedingung für die Änderung des Kapitalstocks Κ = sF[K, LA{t)\

— SK.

Dividiert man beide Seiten der Gleichung durch L, so läßt sich ein Ausdruck für die Veränderung von k über die Zeit angeben. ic = sF[k, A(t)]-(n

+ S)k

(1.25)

Im Unterschied zu (1.10) hängt der Pro-Kopf-Output nun vom Niveau der Technik Λ(ί) ab. Die Division beider Seiten von (1.25) durch k liefert die Wachstumsrate Yk

= sF[k,A(t)]/k-(n

+ S).

(1.26)

Wie in (1.14) stimmt mit der Differenz zweier Ausdrücke überein, wobei sich der erste Ausdruck als das Produkt von s und der Durchschnittsproduktivität des Kapitals ergibt, und der zweite Term gleich η + 5 ist. Der einzige Unterschied bei gegebenem k besteht darin, daß die Durchschnittsproduktivität des Kapitals F[k, A(t)]/k nun wegen des Wachstums von A(t) mit der Rate χ über die Zeit wächst. Mit Bezug zur Abbildung 1.4 verschiebt sich die fallende sF/ k-Kurve kontinuierlich nach rechts, so daß sich auch das Niveau von k, das zum Schnittpunkt dieser Kurve mit der Geraden η + S gehört, kontinuierlich nach rechts verlagert. Nun läßt sich die Wachstumsrate von k im langfristigen Gleichgewicht ermitteln. Die gleichgewichtige Wachstumsrate y*k ist definitionsgemäß konstant. Da außerdem s, η und . Um die Dynamik des Modells mit technischem Fortschritt im Übergang zu analysieren, erweist es sich als hilfreich, das System im Hinblick auf jene Variablen umzuschreiben, die im langfristigen Gleichgewicht konstant bleiben. Da k und A (t) im langfristigen Gleichgewicht mit der gleichen Rate wachsen, kann das Verhältnis k = k/A(t) = K/[LA(t)} verwendet werden. Die Variable L = LA{t) - das rechnerische Produkt aus der physischen Arbeitsmenge L und dem Effizienzmaß A(t) - wird häufig als Arbeitsmenge in Effizienzeinheiten bezeichnet. (Der Begriff der Arbeitsmenge in Effizienzeinheiten ist angemessen, weil die Volkswirtschaft so funktioniert, als ob die eingesetzte Arbeitsmenge L wäre.) Die Variable k bezeichnet dann die Menge des eingesetzten Kapitals je effizienter Arbeitseinheit. Die Produktionsmenge pro effizienter Arbeitseinheit y = Y/[LA(t)} y = F(k,\)

= f(k)

ist durch (1.27)

gegeben. Wie zuvor kann die Produktionsfunktion in komprimierter Form angegeben werden, indem y und k durch y und k entsprechend ersetzt werden. Analog zur Herleitung der Gleichungen (1.10) und (1.14) läßt sich nun unter Berücksichtigung des Tatbestandes, daß A(t) mit der Rate χ wächst, die dynamische Gleichung für k angeben. Yi

= s f ( k ) / k - ( x + n + S)

(1.28)

Außer der Schreibweise Ο besteht der einzige Unterschied zu den Gleichungen (1.28) und (1.14) darin, daß der letzte Term auf der rechten Seite den Parameter χ enthält. Der Ausdruck Λ + η + ί ist nun der effektive Abschreibungssatz für k = K/L. Ist die Sparquote s null, dann nimmt k zum einen aufgrund der Abschreibung von Κ mit dem Satz 5 und zum anderen wegen des Wachstums von L mit der Rate x + n ab. Da die gleichgewichtige Wachstumsrate von k null ist, erfüllt der gleichgewichtige Wert k* die Bedingung sf(k*) = (x + n + 8)k*.

(1.29)

Die Übergangsdynamik von k ist qualitativ der von k im vorherigen Modell ähnlich. Inbesondere läßt sich eine Graphik wie die Abbildung 1.4 konstruieren, bei der

42

Kapitel 1. Wachstumsmodelle mit exogener Sparquote

auf der Abszisse k abgetragen wird; die fallende Kurve ist nun sf{k)/k und die horizontale Gerade lautet χ + η + S statt η + δ. Die neue Konstruktion wird in der Abbildung 1.10 dargestellt. Diese Abbildung kann auf die gleiche Weise wie zuvor die Abbildung 1.4 verwendet werden, um die Beziehung zwischen dem Startwert k(0) und der Wachstumsrate y-k zu diskutieren.

Abbildung 1.10 Das Solow-Swan-Modell mit technischem Fortschritt. Die Wachstumsrate des Kapitalstocks pro effizienter Arbeitseinheit (k = K/LA) ist durch den vertikalen Abstand zwischen der sf(k)/k-Kurve und der Geraden für den effektiven Abschreibungssatz x+n+S gegeben. Die Volkswirtschaft befindet sich in einem langfristigen Gleichgewicht, wenn k konstant ist. Da Α mit der konstanten Rate χ wächst, stimmt die gleichgewichtige Wachstumsrate der Kapitalintensität k auch mit der Rate χ überein.

Im langfristigen Gleichgewicht sind jetzt die modifizierten Variablen - k , y , c - konstant. Daher wachsen nun die Pro-Kopf-Variablen - k, y, c - im Gleichgewicht mit der exogenen Rate des technischen Fortschritts *. 1 0 Die Niveauvariablen - Κ, Y, C - wachsen dementsprechend im langfristigen Gleichgewicht mit der Rate η + x, also der Summe aus der Wachstumsrate der Bevölkerung und der Rate des technischen Fortschritts. Wie in der vorherigen Analyse, die den technischen Fortschritt vernachlässigt hat, beeinflussen Veränderungen in der Sparquote oder im Niveau der Produktionsfunktion die langfristigen Niveaus - k*, y*, c* - , aber nicht die langfristigen Wachstumsraten. Wiederum verändert diese Art der Störungen die Wachstumsraten während des Übergangs von einer Startposition £(0) zum langfristigen Gleichgewichtswert k*.

10 In jedem Fall gilt die Bedingung y-k = yk - x. Also impliziert y-k = 0 die Gleichheit y* = x, was sich ähnlich in bezug auf yy und yc ergibt.

1.2 Das neoklassische Modell von Solow und Swan 1.2.11

43

Ein quantitatives Maß für die Geschwindigkeit der Konvergenz

Für die Analyse ist es wichtig, die Geschwindigkeit der Übergangsdynamik zu kennen. Wenn sich die Konvergenz schnell vollzieht, dann kann man sich auf das Verhalten des Systems im langfristigen Gleichgewicht konzentrieren, denn in diesem Fall werden sich die meisten Volkswirtschaften typischerweise in der Nähe ihres langfristigen Gleichgewichtes befinden. Tritt umgekehrt die Konvergenz nur langsam ein, dann werden die Volkswirtschaften in der Regel weit von ihrem langfristigen Gleichgewicht abweichen; damit sind ihre Wachstums Vorgänge von der Dynamik im Übergang geprägt. An dieser Stelle wird eine quantitative Abschätzung der Geschwindigkeit der Konvergenz für den Fall einer Cobb-Douglas-Produktionsfunktion gemäß (1.9) vorgenommen. (Die Verallgemeinerung auf eine breitere Klasse von Produktionsfunktionen erfolgt später.) Unter Verwendung von (1.28) läßt sich die Wachstumsrate von k für den Cobb-Douglas-Fall wie folgt bestimmen: = sAk-(l~a)-(χ

yi

+ η + δ).

(1.30)

Für die weitere Analyse eignet sich eine log-lineare Annäherung der Gleichung (1.30) in einer Umgebung des langfristigen Gleichgewichts. Yi

=

dlogk/dt^-ß\og(k/k*),

ß = (1 -a)(x

(1.31)

+ n + 8)

Der Koeffizient ß, der sich aus der logarithmischen Linearisierung von (1.30) in einer Umgebung des langfristigen Gleichgewichts ergibt, bestimmt die Geschwindigkeit der Konvergenz von k in Richtung auf k*. Das Verfahren der Ableitung und eine weitere Diskussion des Konvergenzkoeffizienten sind dem Anhang am Ende des Kapitels zu entnehmen. Bevor die Implikationen von (1.31) betrachtet werden, wird gezeigt, daß diese Beziehung auch auf die Wachstumsrate von y zutrifft. Für eine Cobb-DouglasProduktionsfunktion gemäß (1.9) erhält man Yy=0iYi,

log(y/y*) = « l o g ( W · Durch Substitution dieser Ausdrücke in (1.31) folgt γ9 = - (1 - a)(x + η + S) l o g ( y / f ) ,

(1.32)

wobei diese Beziehung die gleiche Form wie (1.31) aufweist. Also ist der Konvergenzkoeffizient β für y derselbe wie für k. Der Term β — (1 — α)(χ + η + S) in (1.31) zeigt an, wie schnell sich der Output je effizienter Arbeitseinheit y in der Volkswirtschaft dem langfristigen Gleichgewichtswert y* annähert. Ist beispielsweise β = 0,05 pro Jahr, dann werden 5% der

44

Kapitel 1. Wachstumsmodelle mit exogener Sparquote

Lücke zwischen y und y* innerhalb eines Jahres überwunden. Die Halbwertszeit der Konvergenz - die Zeit, die benötigt wird, um die Hälfte der Lücke abzubauen liegt damit bei etwa 14 Jahren.11 Nach etwa 28 Jahren sind drei Viertel der Lücke verschwunden. Welche quantitativen Implikationen ergeben sich aus dem Konvergenzkoeffizienten β = (1 — a)(x + η + δ) in (1.31)? Zunächst beeinflußt die Sparquote s nicht die Geschwindigkeit der Konvergenz ß. Dieses Ergebnis spiegelt zwei Kräfte wider, die sich im Cobb-Douglas-Fall gegenseitig exakt aufheben. Zum einen führt eine höhere Sparquote s bei gegebenem k zu verstärkten Investitionen und damit zu einer größeren Geschwindigkeit der Konvergenz. Zum anderen bewirkt eine höhere Sparquote, daß die gleichgewichtige Kapitalintensität k* steigt und dadurch die Durchschnittsproduktivität des Kapitals in der Nähe des langfristigen Gleichgewichts fällt. Dieser Effekt verlangsamt die Geschwindigkeit der Konvergenz. Der Konvergenzkoeffizient β in (1.31) ist außerdem unabhängig vom Niveau der Produktionstechnik Λ. Unterschiede in Α besitzen wie die Abweichungen in s zwei entgegengesetzte Effekte auf die Geschwindigkeit der Konvergenz, die sich im Cobb-Douglas-Fall exakt aufheben. Um die quantitativen Implikationen der Parameter hervorzuheben, die in die Gleichung (1.31) eingehen, werden die Referenzwerte χ = 0,02 pro Jahr, η = 0,01 pro Jahr und δ — 0,05 pro Jahr unterstellt. Diese Werte erscheinen als vernünftig beispielsweise für die Volkswirtschaft der Vereinigten Staaten. Die langfristige Wachstumsrate des realen Bruttoinlandsprodukts, die bei etwa 2% pro Jahr liegt, entspricht dem Parameter χ in der Theorie. Die Rate des Bevölkerungswachstums beträgt in den letzten Jahrzehnten ungefähr 1% pro Jahr und der gemessene Abschreibungssatz auf das Anlagevermögen (overall stock of structures and equip-

ment) ist etwa 5% pro Jahr. Für gegebene Werte der Parameter χ, η und δ wird der Konvergenzkoeffizient β in (1.31) durch den Parameter α bestimmt, der die Kapitalertragsquote angibt. In der Regel beträgt der Anteil des Bruttoeinkommens, der auf das physische Kapital in einem engen Sinne entfällt (Anlagevermögen), etwa 1/3 (vgl. Denison (1962), Maddison (1982) sowie Jorgenson, Gollop und Fraumeni (1987)). Setzt man α = 1 /3, dann impliziert (1.31) den Wert β = 5,6% pro Jahr, womit eine Halbwertszeit von 12,5 Jahren verbunden ist. Liegt mit anderen Worten die Kapitalertragsquote bei 1 /3, dann sagt das neoklassische Modell eine relativ kurze Übergangszeit voraus. Die Kapitel 11 und 12 zeigen, daß diese vorhergesagte Geschwindigkeit der Konvergenz viel zu hoch ist, um mit den empirischen Erfahrungen übereinzustimmen. Ein Konvergenzkoeffizient β im Bereich von 1,5% bis 3,0% pro Jahr paßt 11

Die Gleichung (1.32) ist eine Differentialgleichung in log 5"(ί) mit der Lösung logiKr) = (1 - e"^') l o g f + e r * l o g y ( 0 ) .

Die Zeit t, zu der log y(t) in der Mitte zwischen log >(0) und log y* liegt, erfüllt die Bedingung = 1/2. Die Halbwertszeit ist daher (log 2)/β = 0 , 6 9 / β . Also beträgt die Halbwertszeit 14 Jahre für β = 0,05 pro Jahr.

1.3 Modelle des endogenen Wachstums

45

besser zu den Daten. Gilt beispielsweise β = 2,0% pro Jahr, dann liegt die Halbwertszeit bei 35 Jahren, und die Zeit, die benötigt wird, um drei Viertel der ursprünglichen Lücke zum langfristigen Gleichgewicht zu überwinden, beträgt etwa 70 Jahre. Mit anderen Worten implizieren die Geschwindigkeiten der Konvergenz, die mit den empirischen Daten vereinbar sind, einen Zeitraum in der Größenordnung von mehreren Generationen, um eine substantielle Konvergenz zu erreichen. Das neoklassische Modell erfordert einen wesentlich höheren Koeffizienten für die Kapitalertragsquote, um einer beobachteten Konvergenzrate von etwa 2% pro Jahr zu entsprechen. Beispielsweise resultiert aus einem Wert a = 0,75 zusammen mit den Referenzwerten für die übrigen Parameter, ein Wert von β — 2,0% pro Jahr. Obwohl eine Kapitalertragsquote von 0,75 für ein enggefaßtes Konzept des physischen Kapitals zu hoch ist, ist diese Quote brauchbar für ein erweitertes Konzept des Kapitals, das das Humankapital einschließt. Also kann das Solow-SwanModell mit einem weitgefaßten Konzept des Kapitals die empirisch beobachtbaren Konvergenzraten generieren.

1.3

Modelle des endogenen Wachstums

In der Mitte der achtziger Jahre hat eine Gruppe von Wachstumstheoretikern um Paul Romer (1986) die exogene Erklärung des langfristigen Produktivitätswachstums zunehmend kritisiert. Diese Unzufriedenheit hat zu der Formulierung einer Klasse von Wachstumsmodellen geführt, in denen die zentralen Determinanten des Wachstums modellendogen sind. Die Bestimmung des langfristigen Wachstums innerhalb des Modells anstatt durch exogen wachsende Variablen wie dem unerklärten technischen Fortschritt ist der Grund für die Bezeichnung endogenes Wachstum. In den Kapiteln 4 und 5 werden Modelle des endogenen Wachstums untersucht, in denen die Wirtschaftssubjekte eine optimale Wahl hinsichtlich des Umfangs der Ressourcen treffen, die sie konsumieren und sparen. Diese Ideen werden in den Kapiteln 6-8 ausgearbeitet, um optimierende Wahlentscheidungen über den Umfang der Ressourcen zuzulassen, die der Forschung und der Entwicklung und damit der Verbesserung der Technologie gewidmet sind. Im vorliegenden Abschnitt wird jedoch weiterhin eine konstante, exogene Sparquote unterstellt, und das Niveau der Produktionstechnik bleibt fixiert. Trotz dieser Einschränkungen ist es möglich, eine Version des einfachsten endogenen Wachstumsmodells mit konstanter Sparquote - das AK-Modell - zu untersuchen. Obwohl es sich um ein elementares Modell handelt, reicht es aus zu zeigen, wie die Beseitigung fallender Produktivitäten zu endogenem Wachstum führen kann.

1.3.1

Das Atf-Modell

Die wesentliche Eigenschaft der Modelle des endogenen Wachstums liegt in der Abwesenheit abnehmender Kapitalproduktivitäten. Die einfachste Version einer Pro-

46

Kapitel 1. Wachstumsmodelle mit exogener Sparquote

duktionsfunktion ohne abnehmende Kapitalproduktivitäten ist die AAT-Funktion12 Y = AK,

(1.33)

wobei Α eine positive Konstante ist, die das Niveau der Technik wiedergibt. Die globale Abwesenheit abnehmender Kapitalproduktivitäten mag als unrealistisch erscheinen, aber die Idee wird plausibler, wenn Κ im weiten Sinn auch Humankapital umfaßt. 13 Der Pro-Kopf-Output lautet y = Ak\ die Durchschnittsproduktivität sowie die Grenzproduktivität des Kapitals sind konstant auf dem Niveau A > 0. Setzt man f{k)/k

= Α in (1.14) ein, dann folgt Yk = sA - {n +

ό).

An dieser Stelle wird erneut der Fall ohne technischen Fortschritt, χ = 0, aufgegriffen, um zu zeigen, daß nun langfristiges Pro-Kopf-Wachstum sogar ohne exogenen technischen Fortschritt auftreten kann. Der wesentliche Unterschied in der graphischen Darstellung liegt darin, daß die in der Abbildung 1.4 fallende sf(k)/k-Kurve durch eine horizontale Gerade auf dem Niveau sA in der Abbildung 1.11 ersetzt wird. Damit entspricht y* dem Abstand zwischen den beiden horizontalen Geraden für sA und η + δ. Die Abbildung bezieht sich auf den Fall sA > η + S, so daß Yk > 0 ist. Da die beiden Geraden parallel sind, muß y* konstant sein; insbesondere ist yk unabhängig von k. Demnach wächst k jederzeit mit der gleichgewichtigen Rate γ* = sA - (η + δ). Wegen y = Ak stimmt außerdem yy zu jedem Zeitpunkt mit y*k überein. Darüber hinaus ist wegen c = (1 — i)>> auch die Wachstumsrate von c gleich Also wachsen alle Pro-Kopf-Größen in dem Modell mit derselben Rate, die gegeben ist durch K

=y* =

s

A-(n-M).

(1.34)

Man beachte, daß eine Volkswirtschaft, die durch eine A/^-Technik beschrieben wird, positives langfristiges Wachstum pro Kopf ohne jeden technischen Fortschritt entfalten kann. Darüber hinaus hängt die Wachstumsrate pro Kopf gemäß (1.34) von den Verhaltensparametern des Modells wie der Sparquote und der Wachstumsrate der Bevölkerung ab. Beispielsweise führt eine höhere Sparquote s im Unterschied zum neoklassischen Wachstumsmodell zu einer größeren Rate des langfristigen ProKopf-Wachstums γ*.14 Wenn sich auf ähnliche Weise das Niveau der Technik Α einmalig verbessert (oder wenn die Beseitigung einer staatlich bedingten Verzerrung A 12

Vermutlich hat von Neumann (1937) als erster Ökonom eine Produktionsfunktion der ΛίΓ-Form verwendet. 13 Knight (1944) hat den Gedanken herausgestellt, daß abnehmende Produktivitäten unter Umständen nicht auf ein breit angelegtes Konzept des Kapitals zutreffen. 14 Auf der Grundlage der Α A'-Produktionsfunktion kann niemals eine ineffiziente Überersparnis resultieren, die im neoklassischen Wachstumsmodell möglich ist. Verschiebt sich zu irgendeinem Zeitpunkt die Sparquote ί auf ein permanent höheres Niveau, dann fällt c zu diesem Zeitpunkt auf ein niedrigeres Niveau, aber die Wachstumsrate pro Kopf y* wird permanent erhöht, so daß ab einem bestimmten Zeitpunkt in der Zukunft höhere Niveaus von c resultieren. Diese Änderung kann nicht als ineffizient bezeichnet werden, denn sie kann erwünscht oder unerwünscht sein, je nachdem wie die Haushalte den zukünftigen absoluten Konsum diskontieren.

1.3 Modelle des endogenen Wachstums

47

sA Yk > 0 für alle k n+S

•

»

»

»·

k

AbbUdung 1.11 Das AÄ-Modell. Beschreibt AK die Technik, dann ist die Sparkurve sf(k)/k eine horizontale Gerade auf dem Niveau sA. Für sΑ > η + S resultiert, selbst ohne technischen Fortschritt, ein immerwährendes Wachstum von k.

wirksam erhöht), dann nimmt die langfristige Wachstumsrate zu. Auch Änderungen des Abschreibungssatzes 5 und der Wachstumsrate der Bevölkerung η weisen permanente Auswirkungen auf die Wachstumsrate pro Kopf auf. Anders als im neoklassischen Modell sagt das A/f-Modell keine absolute oder bedingte Konvergenz voraus, das heißt, für alle Größen von y gilt dyy/dy = 0. Diese Vorhersage ist eine substantielle Schwäche des Modells, weil die bedingte Konvergenz ein empirischer Tatbestand zu sein scheint (siehe Kapitel 11 und 12). Im folgenden wird eine Gruppe von Volkswirtschaften untersucht, die sich insofern strukturell ähneln, als ihre Parameter s, Α, η und S übereinstimmen. Die Volkswirtschaften unterscheiden sich lediglich hinsichtlich ihrer ursprünglichen Kapitalintensität k(0) und demnach auch in j ( 0 ) und c(0). Da das Modell aussagt, daß jede Völkswirtschaft unabhängig von der Startposition im langfristigen Gleichgewicht mit derselben Wachstumsrate pro Kopf γ* wächst, lautet die Prognose, daß alle Volkswirtschaften mit derselben Wachstumsrate pro Kopf y* wachsen werden. Diese Schlußfolgerung spiegelt die Abwesenheit abnehmender Kapitalproduktivitäten wider. Dieses Ergebnis läßt sich auch so herleiten, daß das ΛΑΓ-Modell als Cobb-Douglas-Modell mit einer Kapitalertragsquote von a = 1 interpretiert wird. Die Konvergenzanalyse des vorherigen Abschnitts hat gezeigt, daß die Geschwindigkeit der Konvergenz in (1.31) durch β = (1 — a)(x + η + δ) gegeben ist. Für a = 1 ergibt sich β = 0. Wie bereits erwähnt worden ist, läßt sich die Abwesenheit abnehmender Kapitalproduktivitäten in der AÄT-Produktionsfunktion so interpretieren, daß man ein

48

Kapitel 1. Wachstumsmodelle mit exogener Sparquote

weitgefaßtes Konzept des Kapitals betrachtet, das sowohl physisches Kapital als auch Humankapital umfaßt. Im Kapitel 5 werden Modelle beschrieben, die beide Arten des Kapitals berücksichtigen. Andere Ansätze sind verwendet worden, um die Tendenz fallender Erträge im neoklassischen Modell zu beseitigen. Im Kapitel 4 wird die Idee des learning-bydoing aufgegriffen, die Arrow (1962) eingeführt hat und die von Romer (1986) angewendet wird. In diesen Modellen tragen die in der Produktion oder mit Investitionen gesammelten Erfahrungen zur Produktivität bei. Darüber hinaus kann das Lernen eines Produzenten die Produktivität anderer Produzenten erhöhen, indem das Wissen durch einen Prozeß der Streuung (spillovers) von einem auf den anderen Produzenten übergeht. In diesen Modellen verbessert ein größerer Kapitalbestand der gesamten Völkswirtschaft (oder eine größere Kumulation der aggregierten Produktion in der Vergangenheit) das Niveau der Technik für jeden Produzenten. Folglich müssen abnehmende Kapitalproduktivitäten nicht auf das Aggregat zutreffen; sogar zunehmende Kapitalproduktivitäten sind möglich. In einer Situation zunehmender Erträge steigt die durchschnittliche Kapitalproduktivität f(k)/k jedes Produzenten tendenziell mit dem Wert von k für die gesamte Völkswirtschaft. Damit wird die sf(k)/ k-Kurve in der Abbildung 1.4 zumindest in gewissen Bereichen tendenziell nach oben verschoben, und die Wachstumsrate y* steigt mit k in diesen Abschnitten. Also prognostiziert diese Art von Modellen zumindest einige Bereiche des Pro-Kopf-Einkommens, in denen die Völkswirtschaften dazu neigen, sich auseinander zu entwickeln. Jedoch ist unklar, ob diese Divergenzintervalle in den empirischen Daten wiederzufinden sind. Eine andere wesentliche Vorstellung in der Literatur des endogenen Wachstums besteht darin, daß das Niveau der Produktionstechnik durch zielgerichtete Aktivitäten wie Ausgaben für die Forschung und die Entwicklung gesteigert werden kann. Dieses Potential endogenen technischen Fortschritts kann eine Abkehr von den fallenden Produktivitäten auf aggregiertem Niveau ermöglichen, insbesondere wenn alle Produzenten auf nichtrivalisierende Weise an den Verbesserungen der Technik teilhaben können. Diese Nichtrivalität ist plausibel für Fortschritte im Wissen, das heißt für neue Ideen. Derartige Modelle haben Romer (1990) sowie Aghion und Howitt (1992) eingeführt; sie werden in den Kapiteln 6 - 8 diskutiert.

1.3.2

Endogenes Wachstum im Übergang

Das Aif-Modell generiert dadurch endogenes Wachstum, daß es von fallenden Kapitalproduktivitäten langfristig absieht. Diese besondere Produktionsfunktion impliziert außerdem, daß die Grenzproduktivität und die Durchschnittsproduktivität des Kapitals immer konstant sind, so daß die Wachstumsraten nicht die Konvergenzeigenschaft aufweisen. Im folgenden wird ein Beitrag von Jones und Manuelli (1992) vorgestellt, der es möglich macht, den Tatbestand konstanter Kapitalproduktivitäten langfristig beizubehalten und damit die Konvergenzeigenschaft wiederher-

1.3 Modelle des endogenen Wachstums

49

zustellen. 15 Gemäß der Gleichung (1.14) lautet die Wachstumsrate von k Yk

= sf(k)/k-(n

+ S).

(1.14)

Wenn ein langfristiges Gleichgewicht existiert, dann ist die zugehörige Wachstumsrate YI definitionsgemäß konstant. Ein positiver Gleichgewichtswert y*k bedeutet, daß k ohne obere Schranke wächst. Nach (1.14) ist es notwendig und hinreichend für ein positives daß die Durchschnittsproduktivität des Kapitals f(k)/k oberhalb von (η + S)/s bleibt, sofern k gegen unendlich geht. Wenn mit anderen Worten die Durchschnittsproduktivität gegen einen Grenzwert strebt, dann ist lim^oo [f(k)/k] > (n + S)/s eine notwendige und hinreichende Bedingung für endogenes gleichgewichtiges Wachstum. Gilt f(k) —>• oo für k ->· oo, dann läßt sich durch die Anwendung der Regel von l'Höpital zeigen, daß die Grenzwerte der Durchschnittsproduktivität f(k)/k und der Grenzproduktivität f { k ) übereinstimmen, sofern k gegen unendlich geht. (Dabei wird angenommen, daß lim^oo [/'(&)] existiert.) Also lautet die wesentliche Bedingung für endogenes gleichgewichtiges Wachstum, daß eine untere Schranke veto f (k) hinreichend weit über null liegt. lim [f(k)/k]

= lim [ / ' ( * ) ] > (n + S)/s > 0

k—KX>

λ-»οο

Diese Ungleichung verstößt gegen eine der Standardbedingungen von Inada im neoklassischen Modell, nämlich lim^oo [/'(&)] = 0. Im ökonomischen Sinn bedeutet die Verletzung dieser Bedingung, daß die Tendenz zu immer weiter abnehmenden Kapitalproduktivitäten irgendwann aufhört. Die Produktionsfunktion kann mit anderen Worten fallende oder steigende Erträge mit Bezug zu k hervorrufen, sofern k klein ist. Aber die Grenzproduktivität des Kapitals muß nach unten beschränkt sein, wenn k größer wird. Ein einfaches Beispiel, in dem die Produktionsfunktion asymptotisch gegen die AÄT-Form konvergiert, ist Υ — F(K, L) = AK + BKaLl~a

,

(1.35)

wobei A > 0, Β > 0 und 0 < a < 1 gelten. Dabei ist zu beachten, daß die Produktionsfunktion aus einer Kombination der A/^-Funktion mit der Cobb-DouglasFunktion besteht. Sie weist konstante Skalenerträge und positive, aber abnehmende Grenzproduktivitäten der Arbeit und des Kapitals auf. Allerdings ist eine der Inada-Bedingungen verletzt, denn lirriAr->oo ( d F / d K ) = A > 0. Die Funktion läßt sich in Pro-Kopf-Größen umschreiben zu y = f{k)

=

Ak+Bka.

Damit ist die Durchschnittsproduktivität des Kapitals gegeben durch f(k)/k 15

= A +

Zu einer angrenzenden Diskussion siehe Kurz (1968).

ΒΓ°-α).

50

Kapitel 1. Wachstumsmodelle mit exogener Sparquote

Diese Durchschnittsproduktivität fällt in k, strebt aber gegen Α für k ->· oo. Die Dynamik des Modells läßt sich mit dem üblichen Ausdruck für yk nach (1.14) analysieren.

Vk = sf(k)/k-(n

+ S)

(1.14)

Die Abbildung 1.12 zeigt, daß die Kurve sf(k)/k fällt und daß die Gerade η + η + δ, wie in der Abbildung unterstellt wird, dann ist die gleichgewichtige Wachstumsrate y*k positiv.

m

Abbildung 1.12 Dynamik des endogenen Wachstums im Übergang. Lautet die Technik F(K, L) = AK + BK"L}~", dann fällt die Wachstumsrate von k für alle k. Gilt Λ A > n + S, strebt die Wachstumsrate von k gegen die positive Konstante sA - (n + S). Damit ist endogenes Wachstum mit Übergangszuständen vereinbar, für die die Wachstumsrate über die Zeit abnimmt.

Das Modell generiert endogenes gleichgewichtiges Wachstum und prognostiziert zudem - wie das neoklassische Modell - eine bedingte Konvergenz. Der Grund liegt darin, daß sich die Konvergenzeigenschaft aus der inversen Beziehung zwischen f{k)/k und k ergibt, wobei diese Beziehung auch im vorliegenden Modell erfüllt bleibt. Wenn zwei Volkswirtschaften entsprechend der Abbildung 1.12 nur in bezug auf ihre Startwerte k(0) voneinander abweichen, dann wächst die Volkswirtschaft mit der kleineren Kapitalintensität schneller in bezug auf die Pro-KopfGrößen.

51

1.3 Modelle des endogenen Wachstums

1.3.3

Produktionsfunktionen mit konstanter Substitutionselastizität

Als weiteres Beispiel läßt sich eine Produktionsfunktion (vgl. Arrow et al. (1961)) anführen, die eine konstante Elastizität der Substitution (CES) zwischen Arbeit und Kapital aufweist, Y = F(K, L) = A [a{bK)+ + (1 - a)[(l - b)Lf}yf

,

(1.36)

wobei 0 < α < 1, 0 < i> < 1 und ψ < \ gelten.16 Man beachte, daß die Produktionsfunktion konstante Skalenerträge für alle Werte von ψ aufweist. Die Elastizität der Substitution zwischen Arbeit und Kapital ist 1/(1 — ψ) (vgl. hierzu den Anhang). Aus ψ ->· — oc resultiert eine linear-limitationale Produktionsfunktion (die im nächsten Abschnitt diskutiert wird) Y = min {bK, (1 — b)L}, für die die Substitutionselastizität null ist. Für xfr 0 konvergiert die Produktionsfunktion gegen die Cobb-Douglas-Form Y = (Konstante) · KaLx~a\die Substitutionselastizität beträgt dann eins (vgl. den Anhang am Ende dieses Kapitels). Bei ψ = 1 ist die Produktionsfunktion linear, Y = A[abK + (1 — a)(l — b)L], so daß L und Κ perfekte Substitute sind (unendlich große Substitutionselastizität). Die Division beider Seiten von (1.36) durch L liefert einen Ausdruck für den Pro-Kopf-Output. y = f(k) = A[a(bk)* + (1 -

fl)(l

- b)*]X'*

Damit ergeben sich die folgenden Ausdrücke für die Grenzproduktivität und die Durchschnittsproduktivität des Kapitals: f'(k) = Aab+[ab+ + (1 - a)(l - b)* f(k)/k Also sind f'(k) und f(k)/k

= A[ab* + (1 - a)(l -

, b)+k~*]l/*.

positiv und fallen in k für alle Werte von ψ.

Das dynamische Verhalten einer Volkswirtschaft mit CES-Technik läßt sich rückblickend auf den Ausdruck für in (1.14) untersuchen. Yk

= s m / k - ( n + S)

(1.14)

Trägt man in einer Graphik die fallende sf(k)/k Kurve und die horizontale n + S Gerade gegen k ab, dann wird y* weiterhin durch den vertikalen Abstand zwischen der Kurve und der Geraden repräsentiert. Allerdings hängt das Verhalten der Wachstumsrate nun vom Parameter ψ ab, der die Elastizität der Substitution zwischen L und Κ bestimmt. 16 In der Standardformulierung fehlen die beiden Terme b und 1 - b. Damit konvergieren die Einkommensanteile der Arbeit und des Kapitals gegen 1 / 2 für ψ - * — oo. In der vorliegenden Form streben die Anteile der Arbeit und des Kapitals gegen b beziehungsweise 1 - b für ^ —• - o o .

52

Kapitel 1. Wachstumsmodelle mit exogener Sparquote

Im ersten Fall 0 < ψ < 1 liegt eine relativ hohe Elastizität der Substitution zwischen L und Κ vor. Die Grenzwerte der Grenzproduktivität und der Durchschnittsproduktivität des Kapitals lauten hier lim [/'(*)] = lim [ / ( * ) / * ] = Abel·1* > 0 ,

fc—»oo

k-+ oo

limι [ / ( * ) ] = limι [ / ( * ) / * ] = oo .

k-* 0

0

Also streben beide Produktivitäten für k oo gegen positive Konstanten statt gegen null. In diesem Sinn ähnelt die CES-Produktionsfunktion mit einer hohen Elastizität der Substitution zwischen den Faktoren (0 < ψ < 1) dem Beispiel in (1.35), in dem die fallenden Produktivitäten asymptotisch gegen null gehen. Damit ist zu erwarten, daß dieses CES-Modell ein endogenes gleichgewichtiges Wachstum generieren kann.

kW)

AbbUdung 1.13

Das CES-Modell mit 0 < ψ < 1 und sAba1/* > n + S. Weist die CES-Produktionstechnik eine hohe Substitutionselastizität (0 < ψ < 1) auf, dann ist endogenes Wachstum möglich, sofern die Parameter der Ungleichung sAba1^ > n + S genügen. Während der Übergangszeit fällt die Wachstumsrate von k.

Die Abbildung 1.13 stellt die Ergebnisse graphisch dar. Die Kurve sf{k)/k fällt und konvergiert asymptotisch gegen die positive Konstante sAbaWenn die Sparquote groß genug ist, so daß - wie in der Abbildung unterstellt wird sAbaι/ψ > n + S gilt, dann liegt die Kurve sf{k)/k vollständig oberhalb der Geraden η + S. In diesem Fall ist die Wachstumsrate pro Kopf immer positiv, und das Modell erzeugt endogenes gleichgewichtiges Wachstum mit der Rate y* = sAbaι/ψ

-(η +

δ).

Die Dynamik des Modells verhält sich ähnlich wie die in der Abbildung 1.12.17 17

Gilt 0 < ψ < 1 und sAba1/ψ

< η + S, dann schneidet die Kurve sf(k)/k die Gerade n + S

1.3 Modelle des endogenen Wachstums

53

Im zweiten Fall ψ < 0 erhält man eine relativ niedrige Elastizität der Substitution zwischen L und K. Die Grenzwerte der Grenzproduktivität und der Durchschnittsproduktivität des Kapitals sind gegeben durch lim [ / ' ( * ) ] = lim [ / ( * ) / * ] = 0 ,

k-* oo

ί-κ»

lim [ / ( * ) ] = lim [ / ( * ) / * ] = Abal/* < oo . Da beide Produktivitäten für k —> oo gegen null streben, ist die entscheidende Bedingung von Inada erfüllt; das Modell generiert kein endogenes Wachstum. Allerdings kann hier die Verletzung der Inada-Bedingung für k —> 0 Probleme hervorrufen. Angenommen, die Sparquote ist niedrig genug, so daß sAba1^ < n + S ist. In diesem Fall beginnt die sf(k)/k-KuTve in einem Punkt, der unterhalb von η + δ liegt, und die Kurve konvergiert gegen null für k —>· oo. Die Abbildung 1.14 zeigt dementsprechend, daß die Kurve nirgends die Gerade η + 8 schneidet, und somit kein langfristiges Gleichgewicht für einen positiven Wert von k existiert. Da die Wachstumsrate y* überall negativ ist, schrumpft die Volkswirtschaft mit der Zeit, und k, y und c konvergieren gegen null.18

n+S

Abbildung 1.14 Das CES-Modell mit ψ < 0 und sAba11* < n + S. Wenn die CES-Technik eine geringe Substitutionselastizität (ψ < 0) aufweist, dann ist die Wachstumsrate von k für alle Niveaus von k negativ, wenn

sAbaV* < n + S erfüllt ist.

Da die Durchschnittsproduktivität des Kapitals f(k)/k eine negative Funktion von k für alle Werte von ψ ist, ergibt sich auch die Wachstumsrate y^ als eine negaim langfristigen Gleichgewichtswert k* wie im üblichen neoklassischen Modell der Abbildung 1.4. In diesem Fall tritt kein endogenes Wachstum auf. 18 Gelten ψ < 0 und sAba1^ > n + S, dann schneidet die Kurve sf{k)/k die Gerade n + S wiederum im gleichgewichtigen Wert k*.

54

Kapitel 1. Wachstumsmodelle mit exogener Sparquote

tive Funktion von k. Demnach weist das CES-Modell in jedem Fall die Eigenschaft der Konvergenz auf: Für zwei Volkswirtschaften mit identischen Parametern und abweichenden Startwerten k{0) hat die Volkswirtschaft mit dem geringeren Wert von k(0) die größere Wachstumsrate y*. Weichen die Parameter zwischen den Volkswirtschaften voneinander ab, dann sagt das Modell, wie bereits erwähnt worden ist, eine bedingt Konvergenz vorher. Um eine Gleichung für den Konvergenzkoeffizienten in einer Umgebung des langfristigen Gleichgewichtes abzuleiten, läßt sich die Methode anwenden, die zuvor in bezug auf eine Cobb-Douglas-Produktionsfunktion entwickelt worden ist. Das Ergebnis für eine CES-Produktionsfunktion erweitert (1.33) auf 19 (1.37) Diese Gleichung reduziert sich im Cobb-Douglas-Fall mit ψ = 0 und α = α zu (1.31). Für ψ φ 0 hängt β entsprechend (1.37) nun auch von s und Λ ab. Gilt ψ > 0 (also eine hohe Substituierbarkeit zwischen L und K), dann fällt die Größe von β mit sA und umgekehrt für ψ < 0. Der Konvergenzkoeffizient β ist lediglich im Cobb-Douglas-Fall ψ = 0 unabhängig von s und A.

1.3.4

Die Leontief-Produktionsfunktion und die Harrod-Domar-Kontroverse

Vor der neoklassischen Produktionsfunktion hat Leontief (1941) eine Produktionsfunktion mit einem fixen Einsatzverhältnis der Produktionsfaktoren eingeführt, Y = F(K, L) = mir\{AK,

BL),

(1.38)

wobei A > 0 und Β > 0 Konstanten sind. Diese Spezifikation, die für ψ —• —oo der CES-Form in (1.36) entspricht, haben Harrod (1939) und Domar (1946) verwendet. Gilt für den verfügbaren Kapitalstock und die verfügbare Arbeitsmenge AK — BL, dann sind bei dem fixen Einsatzverhältnis sämtliche Arbeiter und Maschinen vollbeschäftigt. Implizieren L und Κ die Ungleichung AK > BL, dann wird lediglich die Kapitalmenge ( Β / A ) L eingesetzt und die übrigen Einheiten liegen brach. Umgekehrt ist für Λ if < ßLnurdie Arbeitsmenge (Α/Β) Κ beschäftigt, alle übrigen Arbeitskräfte sind arbeitslos. Die Annahme fehlender Substituierbarkeit zwischen Arbeit und Kapital führt bei Harrod und Domar zu der Vorhersage, daß kapitalistische Volkswirtschaften unerwünschte Ergebnisse in der Form aufweisen, daß die Zahl unbeschäftigter Arbeiter oder Maschinen ständig steigt. Unter Verwendung der bereits entwickelten Hilfsmittel erfolgt nun eine kurze Analyse des Harrod-Domar-Modells. "Vgl. Chua (1993), der eine weitergehende Diskussion bietet. Die Formel für β in (1.37) gilt nur für die Fälle, in denen das langfristige Gleichgewichtsniveau k* existiert. Falls 0 < ψ < 1 ist, dann trifft sie für bsΑα[,φ < χ + η + S zu. Gilt jedoch ψ < 0, dann läßt sich die Formel für bsAal/* > χ + η + S anwenden.

55

1.3 Modelle des endogenen Wachstums

Β

m

k B/A

Abbildung 1.15 Die Leontief-Produktionsfunktion in Pro-Kopf-Größen. Die Leontief-Produktionsfunktion läßt sich in Pro-Kopf-Größen umschreiben zu y — min [Ak, B). Für k < B/A lautet der Pro-Kopf-Output y = Ak. Für k > B/A ergibt sich ein Pro-Kopf-Output von y = B.

Um den Pro-Kopf-Output zu erhalten, werden beide Seiten von (1.38) durch L dividiert. y = min{A£, Β} Für k < B/A ist der Faktor Kapital vollbeschäftigt, und es gilt y = Ak. Somit zeigt die Abbildung 1.15, daß die Produktionsfunktion in diesem Bereich eine Ursprungsgerade mit der Steigung Α ist. Dagegen ist für k > B/A die Menge des eingesetzten Kapitals konstant, und Y entspricht einem konstanten Vielfachen Β von L. Also stimmt der Pro-Kopf-Output y mit der Konstanten Β überein, was in der Abbildung durch den horizontalen Abschnitt von f(k) veranschaulicht wird. Strebt k gegen unendlich, dann ist die Grenzproduktivität des Kapitals f'(k) gleich null. Also ist die entscheidende Inada-Bedingung erfüllt; es ist nicht zu erwarten, daß diese Produktionsfunktion ein endogenes gleichgewichtiges Wachstum erzeugt. Unter Verwendung des Ausdrucks für

in (1.14) folgt

Yk = s- min{AA:, B}/k - (n + S).

(1.39)

Die Abbildungen 1.16(a) und 1.16(b) zeigen, daß der erste Term s·min{ Ak,_B]/ k für k < k = Β/Α eine horizontale Gerade auf dem Niveau sA ist. Für k > k = B/A beschreibt der Ausdruck eine fallende Kurve, die für k —> σο gegen null strebt. Der zweite Term in der Gleichung (1.39) bezeichnet die übliche horizontale Gerade n + S.

Für niedrige Sparquoten derart, daß sA < n + S gilt, ergibt sich erstens die Darstellung in der Abbildung 1.16(a). Die Sparkurve sf(k)/k schneidet die Gerade

56

Kapitel 1. Wachstumsmodelle mit exogener Sparquote

n+S

n+S

Yk< 0

sf(k)/k

sf(k)/k k

k k

k

(a)

k* (b)

Abbildung 1.16 Das Harrod-Domar-Modell. In der linken Graphik (a), die s A < n + S unterstellt, ist die Wachstumsrate von k für alle k negativ. Also strebt die Volkswirtschaft gegen k = 0. Die rechte Graphik (b) gibt den Fall s A > n + S wieder, so daß die Wachstumsrate von k für k < k* positiv und für k > k* negativ ist, wobei k* den langfristigen stabilen Gleichgewichtswert bezeichnet. Da k* den Wert k = Β/ A übersteigt, bleibt ein Teil des Kapitalstocks immer unbeschäftigt. Darüber hinaus wächst die Menge des unbeschäftigten Kapitals ständig (wie auch Κ und L).

n+S an keiner Stelle, so daß kein positiver Gleichgewichtswert k* existiert. Darüber hinaus ist y* immer negativ, die Volkswirtschaft in Pro-Kopf-Größen schrumpft und alle Größen k, y und c streben gegen null. Daher endet die Völkswirtschaft links von B/A und hat eine permanente und zunehmende Unterbeschäftigung. Der zweite Fall wird in der Abbildung 1.16(b) gezeigt; er geht von einer hohen Sparquote aus, so daß sA > n + S. Weil die sf(k)/k Kurve für k —> oo gegen null strebt, schneidet die Kurve die Gerade n + S irgendwo in einem Punkt mit k* > k = B/A. Wenn die Volkswirtschaft in einer Situation k(0) < k < k* beginnt, dann stimmt mit der Konstanten sA — η — S > 0 überein, bis k den Wert k = B/A erreicht. In diesem Punkt fällt y*, bis y* = 0 für k = k* erreicht ist. Startet die Völkswirtschaft bei einem Anfangswert k(0) > k*, dann ist das ursprüngliche Yic negativ und strebt für k k* gegen null. Wegen k* > B/A weist das langfristige Gleichgewicht Überschußkapazitäten bei Vollbeschäftigung des Faktors Arbeit auf. Da k im Gleichgewicht konstant ist, wächst die Menge Κ wie auch L mit der Rate n. Daher muß aufgrund des konstanten Anteils an eingesetzten Maschinen auch die Menge nichtbeschäftigter Maschinen mit der konstanten Rate η wachsen. (Dennoch wird davon ausgegangen, daß die Haushalte eine konstante Sparquote beibehalten.) Die einzige Möglichkeit, ein langfristiges Gleichgewicht bei Vollbeschäftigung von Arbeit und Kapital zu erreichen, besteht darin, daß die Parameter des Modells die Bedingung sA = n + S erfüllen. Da alle vier Parameter der Bedingung exogen

1.3 Modelle des endogenen Wachstums

57

gegeben sind, besteht kein Grund, warum die Gleichung erfüllt sein sollte. Somit haben Harrod und Domar gefolgert, daß sich eine Volkswirtschaft schließlich aller Wahrscheinlichkeit nach in einem der beiden unerwünschten Endzustände befindet: ständig wachsende Arbeitslosigkeit oder ständig wachsende Überschußkapazitäten. Zusammenfassend kann festgehalten werden, daß die Argumentation von Harrod und Domar verschiedene nicht einleuchtende Annahmen enthält. Zum einen hat das Solow-Swan-Modell gezeigt, daß der Parameter Α bei Harrod und Domar - also die Durchschnittsproduktivität des Kapitals - bezeichnenderweise von k abhängt, und k paßt sich so an, bis im langfristigen Gleichgewicht die Gleichung s f { k ) / k = η + δ erfüllt ist. Zum anderen kann sich die Sparquote s so verändern, daß die genannte Bedingung erfüllt ist. Insbesondere wenn die Wirtschaftssubjekte ihren Nutzen maximieren (wie im nachstehenden Kapitel angenommen wird), ist es für sie nicht optimal, weiterhin mit der konstanten Quote s zu sparen, sofern die Grenzproduktivität des Kapitals null ist. Diese Anpassung der Sparquote schließt ein langfristiges Gleichgewicht mit permanenten Überschußkapazitäten aus.

1.3.5

Armutsfallen in Wachstumsmodellen

In der Literatur zur ökonomischen Entwicklung beschäftigt sich ein Bereich mit dem Thema der Armutsfallen.20 Eine Armutsfalle läßt sich als ein stabiles langfristiges Gleichgewicht interpretieren, das mit geringen Niveaus des Pro-Kopf-Outputs und des Kapitalstocks verbunden ist. Ein derartiges Resultat wird als Falle bezeichnet, denn wenn die Wirtschaftssubjekte versuchen, aus dem langfristigen Gleichgewicht auszubrechen, dann neigt die Volkswirtschaft dazu, zum langfristigen Gleichgewicht auf niedrigem Niveau zurückzukehren. In dem neoklassischen Modell ist beobachtet worden, daß die Durchschnittsproduktivität des Kapitals f ( k ) / k mit steigendem k abnimmt. Außerdem ist festgehalten worden, daß diese Durchschnittsproduktivität in einigen Modellen, die steigende Skalenerträge aufweisen, mit k steigen kann, zum Beispiel bei learning-by-doing und spillovers erfassenden Formeln. Eine Ursache für eine Armutsfalle besteht darin, daß die Volkswirtschaft fallende Durchschnittsproduktivitäten des Kapitals in einem gewissen Intervall hat, dem ein Bereich steigender Durchschnittsproduktivitäten folgt. (Armutsfallen treten außerdem in einigen Modellen mit nichtkonstanten Sparquoten auf; vgl. Galor und Ryder (1989)). Die Abbildung 1.17 stellt das bereits bekannte Diagramm mit der Kurve s f { k ) / k und der Geraden n+>(/ + T)/y(t)] abzuleiten, wobei Τ die Länge des Beobachtungszeitraums angibt! Welche Probleme treten bei der ökonometrischen Schätzung der Konvergenzrate auf, wenn die Niveaus der Technik zwischen den Ländern abweichen? 1.7 Verzerrungen im Solow-Swan-Modell (nach Easterly (1993)). Nehmen Sie an, daß der Output gemäß einer CES-Produktionsfunktion hergestellt wird, Υ = [(aFK}+

«%)*"> + ααΚ*]>/ψ .

Dabei bezeichnen Y den Output, KF das formelle Kapital, das der Steuer unterliegt, K, das informelle Kapital, das steuerfrei ist, und KG das öffentliches Kapital, das durch den Staat bereitgestellt wird und von allen Produzenten kostenlos genutzt werden kann. Für die Konstanten gilt aF , ah aa > 0, η < 1 und ψ < 1. Das eingesetzte formelle Kapital und das informelle Kapital weichen im Standort und in der Form der Eigentumsrechte und damit in ihrer Produktivität voneinander ab. Der Output kann gleichermaßen zu Konsumzwecken oder als Bruttoinvestition in die drei Arten von Kapital eingesetzt werden. Alle drei Arten des Kapitals werden mit dem Satz & abgeschrieben. Die Bevölkerungszahl ist konstant, und technischer Fortschritt findet nicht statt. Das formelle Kapital unterliegt dem Steuersatz τ im Zeitpunkt seiner Installation. Also beträgt der Preis des formellen Kapitals 1 + τ (in Einheiten des Outputs). Der Preis einer Einheit des informellen Kapitals beträgt eins. Die Bruttoinvestition in öffentliches Kapital ist durch den fixen Anteil sg am Steueraufkommen gegeben. Die nicht verwendeten Steuereinnahmen werden auf die Haushalte (in einer Art Kopfgeld) verteilt. Die Summe der Investitionen in die beiden Formen des privaten Kapitals ist gleich dem Anteil s am Nettoeinkommen, bei dem die Steuern und die Transfers berücksichtigt werden. Das existierende private Kapital läßt sich gleichermaßen in beide Richtungen zwischen formellem und informellem Kapital umwandeln. (a) Leiten Sie das Verhältnis von formellem zu informellem Kapital her, das sich bei gewinnmaximierenden Produzenten einstellt! (b) Im langfristigen Gleichgewicht wachsen alle drei Arten des Kapitals mit der gleichen Rate. Wie groß ist das Verhältnis des Outputs zum formellen Kapital im langfristigen Gleichgewicht? (c) Welche gleichgewichtige Wachstumsrate stellt sich für die Volkswirtschaft ein? (d) Numerische Simulationen zeigen für vernünftige Parameterwerte, daß der Graph der Wachstumsrate abgetragen gegen den Steuersatz r zu Beginn drastisch ansteigt, dann einen Spitzenwert erreicht und schließlich stetig fällt. Erklären Sie das nichtmonotone Verhalten zwischen der Wachstumsrate und dem Steuersatz!

Kapitel 2 Wachstumsmodelle des optimalen Konsums (Das Ramsey-Modell) Ein Mangel der im Kapitel 1 analysierten Modelle besteht in der exogen gegebenen und konstanten Sparquote. In diesem Kapitel wird statt dessen angenommen, daß der Pfad des Konsums und damit auch die Sparquote durch optimierende Haushalte und Unternehmen, die auf Märkten bei vollständiger Konkurrenz zusammenwirken, bestimmt werden. Insbesondere werden unendlich lang bestehende Haushalte betrachtet, die ihren Konsum und ihre Ersparnis so wählen, daß sie ihren Nutzen über mehrere Generationen unter der Nebenbedingung einer intertempöralen Budgetrestriktion maximieren. Diese Spezifikation des Konsumentenverhaltens ist ein wesentlicher Bestandteil des Ramsey-Wachstumsmodells, wie es Ramsey (1928) konstruiert hat und wie es von Cass (1965) und Koopmans (1965) erweitert worden ist. Ein Ergebnis wird sein, daß die Sparquote im allgemeinen nicht konstant ist, sondern vielmehr als eine Funktion des Pro-Kopf-Kapitalstocks k variiert. Damit wird das Solow-Swan-Modell in zwei Aspekten modifiziert. Zum einen wird die durchschnittliche Höhe der Sparquote bestimmt und zum anderen wird festgestellt, ob die Sparquote während der Entwicklung der Volkswirtschaft sinkt oder steigt. Die durchschnittliche Höhe der Sparquote ist besonders wichtig für die Bestimmung der Größe der Variablen im langfristigen Gleichgewicht. Insbesondere schließen die Optimumbedingungen des Ramsey-Modells jene Art der ineffizienten Überersparnis aus, die im Solow-Swan-Modell möglich ist. Ob die Sparquote während der ökonomischen Entwicklung steigt oder fällt, beeinfiußt die Dynamik in der Übergangszeit, zum Beispiel die Geschwindigkeit der Konvergenz zum langfristigen Gleichgewicht. Wenn die Sparquote mit k steigt, dann ist die Geschwindigkeit der Konvergenz geringer als die im Solow-Swan-Modell und umgekehrt. Jedoch wird gezeigt, daß die Konvergenzeigenschaft selbst für eine steigende Sparquote unter den relativ allgemeinen Bedingungen des RamseyModells erhalten bleibt. Das heißt, daß eine Volkswirtschaft wie zuvor um so schneller in bezug auf die Pro-Kopf-Größen wächst, je weiter sie von ihrem langfristigen Gleichgewicht entfernt ist. Wie sich ergibt, ist das Solow-Swan-Modell mit einer konstanten Sparquote ein Spezialfall des Ramsey-Modells. Darüber hinaus entspricht dieser Fall realistischen Werten für die Parameter, so daß es sich lohnt, mit dem Solow-Swan-Modell als eine brauchbare Approximation an das Optimierungskalkül zu beginnen. Jedoch legen die empirischen Daten die Vermutung nahe, daß die Sparquoten in der Regel mit dem Pro-Kopf-Einkommen während des Übergangs zum langfristigen Gleichgewicht steigen. Das Ramsey-Modell stimmt mit dieser Beobachtung überein; das Modell erlaubt es, die Implikationen dieses Sparverhaltens für die Übergangsdy-

2.1 Haushalte

69

namik abzuschätzen. Außerdem wird der Optimierungsansatz in späteren Kapiteln wichtig sein, wenn das Ramsey-Modell unter verschiedenen Aspekten erweitert wird und mögliche Aufgaben für die Wirtschaftspolitik berücksichtigt werden.

2.1

Haushalte

2.1.1

Aufbau des Modells

Die Haushalte der Volkswirtschaft bieten ihre Arbeitsleistungen gegen Lohneinkommen an, erhalten Zinseinkommen aus ihrem Vermögen, erwerben Konsumgüter und sparen durch die Bildung zusätzlichen Vermögens. In jedem Haushalt gibt es wenigstens einen Erwachsenen, der zur arbeitenden Bevölkerung der jetzigen Generation zählt. In den Haushaltsplänen berücksichtigen diese Erwachsenen den Wohlstand und die Ressourcen ihrer derzeitigen oder zukünftigen Nachkommen. Diese Zusammenhänge zwischen den Generationen werden in dem Modell erfaßt, indem man sich vorstellt, daß die gegebene Generation ihren Nutzen unter einer Budgetrestriktion für einen unendlichen Planungshorizont maximiert. Obwohl die Individuen endlich lange leben, wird eine unsterbliche in die Zukunft erweiterte Familie betrachtet. Dieser Ansatz ist angemessen, wenn altruistische Eltern Transfers an ihre Kinder bereitstellen, die ihrerseits wieder die eigenen Nachkommen versorgen und so weiter. Die unsterbliche Familie entspricht der Abfolge endlich lange lebender Individuen, die durch eine Kette beabsichtigter Transfers zwischen den Generationen verbunden sind, die auf Altruismus beruhen.1 Die gegenwärtig Erwachsenen erwarten, daß sich ihre erweiterte Familie mit der Rate η aufgrund der Nettoeinflüsse von Fruchtbarkeit und Sterblichkeit vergrößert. Im Kapitel 9 wird untersucht, wie rational handelnde Wirtschaftssubjekte ihre Fortpflanzung bestimmen, indem sie die Kosten gegen den Nutzen der Aufzucht von Kindern abwägen. An dieser Stelle wird die Analyse jedoch vereinfacht, indem ein exogen gegebenes und konstantes η unterstellt wird. Außerdem werden Wanderungen von Personen vernachlässigt, ein Aspekt, der im Kapitel 9 erörtert wird. Wenn die Anzahl der Erwachsenen zum Zeitpunkt null auf eins normiert wird, dann ist die Familiengröße zum Zeitpunkt t - also die Stärke der erwachsenen Generation gegeben durch n

L(t) = e '.

Wird der gesamte Konsum zum Zeitpunkt t mit C(f) bezeichnet, dann ist c(f) ξ C(t)/L(t) der Konsum je erwachsener Person. Jeder Haushalt versucht, den Gesamtnutzen U zu maximieren, der durch (2.1) 'Siehe Barro (1974). Von Eheschließungen, die Verbindungen zwischen Familien hervorrufen, wird abgesehen. Eine Diskussion findet sich in Bentheim und Bagwell (1988).

70

Kapitel 2. Wachstumsmodelle des optimalen Konsums

gegeben ist. Durch diese Formulierung wird unterstellt, daß der Nutzen des Haushalts zum Zeitpunkt null eine gewichtete Summe aller zukünftigen Nutzenströme u(c) ist. Die Funktion u(c) - oft auch Vorteilsfunktion genannt - stellt dem Strom des momentanen Nutzens pro Person die Menge des Pro-Kopf-Konsums c gegenüber. Dabei wird angenommen, daß u(c) in c steigt und konkav in c ist, u'{c) > 0, u"(c) < 0. 2 Die Annahme der Konkavität ruft den Wunsch hervor, den Konsum über die Zeit zu glätten. Die Haushalte bevorzugen einen relativ gleichförmigen Verlauf des Konsums, anstatt c in einigen Perioden sehr niedrig und in anderen Perioden sehr hoch zu wählen. Außerdem werden folgende Inada-Bedingungen für u(c) unterstellt: u'(c) -*• oo für c 0 und u'(c) -> 0 für c -*• oo. Die Multiplikation von u (c) gemäß (2.1) mit der Familiengröße L(t) = e"' führt zur Summe der Nutzeneinheiten aller zum Zeitpunkt t lebenden Familienmitglieder. Der andere Multiplikator e - p ' beinhaltet die Zeitpräferenzrate ρ > 0. Ein positiver Wert von ρ bedeutet, daß der Nutzen um so geringer bewertet wird, je weiter er in der Zukunft liegt.3 Außerdem wird ρ > η angenommen, so daß U entsprechend (2.1) beschränkt ist, wenn c über die Zeit konstant ist. Eine Begründung für einen positiven Wert von ρ besteht darin, daß die Nutzeneinheiten in ferner Zukunft dem Konsum späterer Generationen entsprechen. Ausgehend von einem Zeitpunkt, in dem der Konsum pro Person in jeder Generation gleich ist, wird angenommen, daß die Eltern eine Einheit ihres eigenen Konsums gegenüber einer Einheit des Konsums ihrer Kinder vorziehen. Dieser elterliche „Eigennutz" entspricht ρ > 0 in (2.1). In einer ausführlicheren Spezifikation wird man die Rate, mit der die Individuen ihre eigenen Nutzenströme zu verschiedenen Zeitpunkten diskontieren (so daß ρ = 0 zutrifft), von jener Rate unterscheiden, die sich auf die verschiedenen Generationen bezieht. In (2.1) wird aus Gründen der Nachvollziehbarkeit angenommen, daß die Diskontrate innerhalb der Lebenszeit einer Person nicht von der Diskontrate in bezug auf die verschiedenen Generationen abweicht. Außerdem wird von der plausiblen Annahme ausgegangen, daß die Eltern einen abnehmenden Grenznutzen bezüglich der Zahl ihrer Kinder haben. Dieser Effekt kann erfaßt werden, indem man berücksichtigt, daß die Zeitpräferenzrate ρ mit der Wachstumsrate der Bevölkerung η ansteigt.4 Da von einem exogen gegebenen 2

Die Ergebnisse bleiben bei einer positiven linearen Transformation der Nutzenfunktion unverändert, nicht jedoch bei einer willkürlichen positiven monotonen Transformation. Damit hängt die Analyse von einer beschränkten Form der kardinalen Nutzenfunktion ab. Vgl. Koopmans (1965) zur Diskussion dieser Aussage. 3 Ramsey (1928) unterstellt ρ = 0. Damit läßt sich der optimal handelnde Akteur eher als Planungsbehörde denn als Haushalt bei vollständiger Konkurrenz interpretieren. Die Planungsbehörde wählt den Konsum und die Ersparnis sowohl für die gegenwärtige Generation als auch für alle zukünftigen Generationen. Nach Ramsey ist die Diskontierung des Nutzens zukünftiger Generationen (p > 0) „ethisch unhaltbar". Ein Beispiel mit ρ = 0 wird im mathematischen Anhang behandelt. 4 In einem üblichen Fall der Literatur zur Wachstumstheorie wird angenommen, daß ρ direkt mit η steigt, das heißt p — p*+n, wobei p* die positive Zeitpräferenzrate ist, die ohne Bevölkerungswachstum zutrifft. In diesem Fall erscheint der Nutzen zum Zeitpunkt t in (2.1) als u(c)e~p'', der zwar vom Nutzen pro Kopf, aber nicht von der Familiengröße zum Zeitpunkt t abhängt. Diese Spezifikation ist beispielsweise von Sidrauski (1967) oder von Blanchard und Fischer (1989, Kapitel 2) benutzt worden.

2.1 Haushalte

71

η ausgegangen wird, verändert die Abhängigkeit der Größe ρ von η die Analyse nicht wesentlich. Jedoch wird dieser Effekt im Kapitel 9 betrachtet, so daß dort das Wachstum der Bevölkerung endogen bestimmt werden kann. Die Haushalte halten Vermögen in der Form von Rechten am Kapital (die später eingeführt werden) oder in der Form von Darlehen. Dabei stehen negative Kredite für Schulden. Die Annahme einer geschlossenen Volkswirtschaft wird beibehalten, so daß die Vermögenswerte nicht international gehandelt werden können. Zwar können Haushalte von anderen Haushalten Kredite aufnehmen oder an sie vergeben, aber der repräsentative Haushalt wird im Gleichgewicht keine Nettokredite aufnehmen. Da die beiden Vermögensformen Kapital und Darlehen als perfekte Substitute der Wertaufbewahrung angenommen werden, müssen sie denselben realen internen Zinssatz r(t) aufweisen. Das Reinvermögen pro Person eines Haushalts wird mit a(t) bezeichnet, wobei a(t) real, das heißt in Einheiten der Konsumgüter, gemessen wird. Die Haushalte unterliegen insofern der vollständigen Konkurrenz, als jeder Haushalt den Zinssatz r(f) und den Lohnsatz w(t) (ausgezahlt je Einheit Arbeitsleistung) als gegeben hinnimmt. Annahmegemäß bietet jeder Erwachsene vollkommen unelastisch eine Einheit Arbeitsleistung pro Zeiteinheit an. (Im Kapitel 9 wird eine Wahlmöglichkeit zwischen Arbeitszeit und Freizeit berücksichtigt.) Im Gleichgewicht ist der Arbeitsmarkt geräumt, und der Haushalt erhält die gewünschte Beschäftigungsmenge. Das heißt, das Modell vernachlässigt „unfreiwillige Arbeitslosigkeit". Da jede Person eine Arbeitseinheit pro Zeiteinheit zur Verfügung stellt, entspricht das Arbeitseinkommen pro erwachsener Person dem Wert w(t). Das gesamte Pro-Kopf-Einkommen eines Haushalts ist gleich der Summe aus dem Arbeitseinkommen w(t) und dem Zinseinkommen r{t)a{t) (das positiv oder negativ sein kann). Die Budgetrestriktion des Haushalts in bezug auf die Stromgrößen lautet ά = w + ra — c — na.

(2.2)

Die Zeitindizes werden in (2.2) und in der nachfolgenden Analyse immer dann vernachlässigt, wenn der Zusammenhang eindeutig ist. Die Gleichung besagt, daß das Vermögen pro Person mit dem Pro-Kopf-Einkommen w + ra steigt, mit dem ProKopf-Konsum c sinkt und wegen des Wachstums der Bevölkerung mit dem Term na abnimmt. (Die Gleichung (2.2) kann hergeleitet werden, indem man eine Budgetrestriktion zugrunde legt, die in Änderungen des Vermögensniveaus Α ausgedrückt ist. Dann wird gefordert, daß α ξ= A/L für ein gegebenes Α mit der Rate η aufgrund des Wachstums der Bevölkerung sinkt.) Wenn jeder Haushalt unbegrenzt Kredite zum aktuellen Zinssatz r(t) aufnehmen kann, dann hat er den Anreiz, eine Form des Kettenbriefes oder Ponzi-Spiels zu betreiben. Der Haushalt kann beispielsweise zur Finanzierung seines gegenwärtigen Konsums einen Kredit, zum Beispiel in Höhe von 1$, aufnehmen. Künftige Anschlußkredite dienen dazu, den Anfangskredit in die Zukunft zu übertragen und die Zinszahlungen zu tätigen. In diesem Fall wachsen die Schulden des Haushalts

72

Kapitel 2. Wachstumsmodelle des optimalen Konsums

mit dem Zinssatz r(t) immer weiter. Da kein Anfangskredit jemals zurückgezahlt wird, ist der heutige zusätzliche Konsum in Höhe von 1$ effektiv kostenlos. Damit ist ein Haushalt, der in dieser Weise Kredite aufnehmen kann, in der Lage, einen beliebig hohen Konsum fortwährend zu finanzieren. Um die Möglichkeiten im Sinne eines Kettenbriefs auszuschließen, wird angenommen, daß der Kreditmarkt nur begrenzt Kredite zur Verfügung stellt. Die angemessene Restriktion sieht vor, daß der Barwert des Vermögens asymptotisch nichtnegativ sein muß, das heißt (2.3) Die Restriktion verlangt, daß die Schulden pro Person eines Haushalts (negative Werte von a(t)) langfristig nicht so schnell wie mit der Rate r(f) — η wachsen können, so daß die Schuldenhöhe langsamer als mit der Rate r(t) wächst. Diese Bedingung schließt die oben beschriebene Art der Finanzierung durch einen Kettenbrief aus. Später wird gezeigt, daß sich die Kreditmarktrestriktion (2.3) aus dem Marktgleichgewicht von selbst ergibt. Das Optimierungsproblem des Haushaltes besteht in der Maximierung des Nutzens U gemäß (2.1) unter der Budgetrestriktion (2.2), unter der Nebenbedingung eines gegebenen Anfangsbestandes an Vermögen a(0) und unter der Kreditrestriktion (2.3). Die Nichtnegativitätsbedingung c(t) > 0 muß ebenfalls erfüllt sein. Wenn sich allerdings c(i) dem Wert null annähert, impliziert die Inada-Bedingung, daß der Grenznutzen des Konsums gegen unendlich strebt. Die Nichtnegativitätsbedingungen werden daher niemals wirksam werden, so daß man sie ohne weiteres vernachlässigen darf.

2.1.2

Bedingungen erster Ordnung

Die mathematischen Methoden für diese Art eines dynamischen Optimierungsproblems werden im mathematischen Anhang am Ende des Buches erläutert. Daher werden die Ergebnisse an dieser Stelle ohne weitere Herleitung verwendet. Zu Beginn ist die Hamilton-Funktion in bezug auf den Barwert J = u(c)

+ ρ · [ιυ -I- (r - n)a - c]

(2.4)

aufzustellen, wobei der Ausdruck in den eckigen Klammern mit ä aus (2.2) übereinstimmt. Die Variable ν bezeichnet den gegenwärtigen Schattenpreis des Einkommens und repräsentiert den Wert eines Einkommenszuwachses zum Zeitpunkt t in Einheiten des Nutzens zum Zeitpunkt null.5 Die Bedingungen erster Ordnung für 'Alternativ kann man den Schattenpreis u e ^ - " * ' ansetzen. Dieser Schattenpreis mißt den Wert eines Einkommenszuwachses zum Zeitpunkt t in Nutzeneinheiten zum Zeitpunkt t (vgl. hierzu die Diskussion im mathematischen Anhang am Ende des Buches).

2.1 Haushalte

73

ein Maximum von U lauten οI — = 0 = • ν = H / (c)e~ ( p _ " ) ', de dJ ν= =>• ν = —(r — n)v. da

(2.5) (2.6)

Die Gleichung (2.6) ist als Euler-Gleichung oder als Ramsey-Regel der optimalen Ersparnis bekannt. Schließlich läßt sich die Transversalitätsbedingung anführen: lim[v(f)fl(i)] = 0.

(2.7)

DIE EULER-GLEICHUNG. Wenn man (2.5) nach der Zeit differenziert und anschließend ν gemäß (2.5) und ν entsprechend (2.6) ersetzt, so ergibt sich die Grundbedingung für die Wahl des Konsums in der Zeit. r = ρ

du'/dt ρ- = ρ u'

u"(c)cc —- u'{c) c

(2.8)

Demnach wählen die Haushalte ihren Konsum so, daß der interne Zinssatz r mit der Zeitpräferenzrate ρ plus der Abnahmerate des Grenznutzens des Konsums u' aufgrund des steigenden Pro-Kopf-Konsums c übereinstimmt. Der Zinssatz r auf der linken Seite der Gleichung (2.8) ist der interne Zinssatz der Ersparnis. Die ganz rechte Seite kann als interner Zinsfuß oder Rückflußrate des Konsums angesehen werden. Die Wirtschaftssubjekte präferieren aus zwei Gründen den heutigen Konsum gegenüber dem zukünftigen Konsum. Erstens tritt die Größe ρ auf, weil die Haushalte ihren zukünftigen Nutzen mit dieser Rate diskontieren. Zweitens ist c heute im Verhältnis zu morgen niedrig, wenn c/c > 0 ist. Da die Wirtschaftssubjekte ihren Konsum - wegen u"(c) < 0 - über die Zeit glätten möchten, versuchen sie den Konsumstrom auszugleichen, indem sie einen Teil des zukünftigen Konsums in die Gegenwart verlagern. Der zweite Term auf der ganz rechten Seite greift diesen Effekt auf. (Dabei ist zu beachten, daß der Term für c/c < 0 negativ ist.) Bei optimalem Verhalten der Wirtschaftssubjekte besagt (2.8), daß sie die beiden internen Zinssätze angeglichen haben und daher im marginalen Bereich indifferent zwischen Konsum und Ersparnis sind. Eine weitere Möglichkeit, die Gleichung (2.8) zu interpretieren, besteht darin, daß die Haushalte einen flachen Verlauf des Konsumstroms mit c / c = 0 wählen, wenn r — ρ ist. Die Haushalte sind nur dann bereit, von diesem flachen Profil abzuweichen und einen Teil des heutigen Konsums zugunsten des zukünftigen Konsums zu opfern - also einen Wert von c/c > 0 zu tolerieren - , wenn sie dafür mit einem Zinssatz r entschädigt werden, der genügend weit über ρ liegt. Der Ausdruck [—u"(c) c/u'(c)] c/c auf der rechten Seite von (2.8) gibt den erforderlichen Ausgleichsbetrag an. Der Ausdruck in eckigen Klammern ist die Elastizität von u'(c) bezüglich c. Diese Elastizität, ein Maß für die Konkavität von u(c), bestimmt den

74

Kapitel 2. Wachstumsmodelle des optimalen Konsums

Wert, um den r die Zeitpräferenzrate ρ überschreiten muß. Je größer die Elastizität ist, desto größer ist der erforderliche Aufschlag auf r gegenüber ρ für einen gegebenen Wert von c/c. Der Wert für die Elastizität des Grenznutzens —u"(c) c/u'(c) wird manchmal auch als Kehrwert der intertemporalen Substitutionselastizität bezeichnet.6 Wie (2.8) zeigt, muß die Elastizität asymptotisch konstant sein, wenn man ein langfristiges Gleichgewicht finden will, in dem r und c/c konstant sind. Gemäß der üblichen Praxis wird daher die nachstehende funktionale Form mit θ > 0 angenommen: «(c) =

c 1 -" - 1 , ί _ θ

(2.9)

so daß die Elastizität des Grenznutzens mit der Konstanten — θ übereinstimmt.7 Die Substitutionselastizität dieser Nutzenfunktion ist gleich der Konstanten σ = 1/0. Daher wird diese Form als Nutzenfunktion mit konstanter intertemporaler Substitutionselastizität (CIES) bezeichnet. Je größer θ ist, desto rascher ist die proportionale Abnahme von u'(c) in bezug auf eine Erhöhung von c, und folglich sind die Haushalte um so weniger bereit, über die Zeit Abweichungen von einem gleichförmigen Verlauf von c zu akzeptieren. Strebt θ gegen null, dann nähert sich die Nutzenfunktion einer linearen Form in c an. Die Linearität bedeutet, daß die Haushalte gegenüber den Konsumzeitpunkten indifferent sind, sofern r — ρ ist. Die Form von u(c) gemäß (2.9) impliziert folgende Vereinfachung der Optimumbedingung (2.8): c/c

= (r — ρ)/θ.

(2.10)

Also bestimmt das Verhältnis von r und p, ob die Haushalte einen Verlauf des ProKopf-Konsums wählen, der in der Zeit steigt, konstant bleibt oder fällt. Eine geringere intertemporale Substitutionsbereitschaft (also ein höherer Wert von θ) impliziert eine verminderte Reagibilität von c/c auf Abweichungen zwischen r und p. 6 Die intertemporale Elastizität der Substitution zwischen dem Konsum zu den Zeitpunkten 11 und t j ist durch den Kehrwert einer proportionalen Veränderung der Steigung einer Indifferenzkurve in bezug auf eine proportionale Veränderung des Quotienten c(fi)/c(i 2 ) gegeben. Wenn diese Elastizität mit σ bezeichnet wird, ergibt sich

_ Γ °

C(ti)/c(t2)

L-«'[c(ii)]/«'[c(r 2 )] '

A{u'[c(t{)yu'[c(t2)])Tl

d[c(ri)/c(r 2 )]

J

'

wobei -u'[c(t\)]/u'[c(tj)] die Steigung der Indifferenzkurve angibt. Strebt r2 gegen (i, so erhält man die gegenwärtige Elastizität, a = -«'(c)/[cH"(c)], die mit der Inversen der Elastizität des Grenznutzens übereinstimmt. 7 Die Einbeziehung von - 1 in die Formel ist hilfreich, weil sie impliziert, daß u(c) gegen log(c) für θ —>• 1 strebt. (Dieses Ergebnis kann durch die Anwendung der Regel von l'Höpital bewiesen werden.) Der Term - 1 / ( 1 - 0 ) kann jedoch vernachlässigt werden, ohne die nachfolgenden Ergebnisse zu beeinträchtigen, da die Entscheidungen des Haushalts bei linearen Transformationen der Nutzenfunktion unverändert bleiben (siehe Fußnote 2).

2.1 Haushalte

DIE TRANSVERSALITÄTSBEDINGUNG.

75

Die Transversalitätsbedingung (2.7)

besagt, daß sich das Vermögen eines Haushaltes - die Menge a(t) multipliziert mit dem Schattenpreis v(f) - für t oo dem Wert null annähern muß. Wenn man die Unendlichkeit als das Ende des Planungszeitraums interpretiert, dann legt die Intuition nahe, daß die optimal handelnden Wirtschaftssubjekte kein wertvolles Vermögen am Ende des Planungszeitraums übrig behalten wollen. 8 Denn der Nutzen wird erhöht, wenn die Vermögenswerte, die effektiv verschwendet werden, dazu verwendet werden, den Konsum zu endlichen Zeitpunkten zu erhöhen. Der Schattenpreis ν entwickelt sich über die Zeit gemäß (2.6). Die Integration dieser Gleichung über die Zeit führt zu

Dabei ist υ(0) gleich dem Term M'[C(0)], der positiv ist, weil c(0) endlich ist (falls U endlich ist) und u'(c) für endliche c als positiv angenommen wird. Setzt man das Ergebnis für v(f) in (2.7) ein, dann läßt sich die Transversalitätsbedingung umschreiben in (2.11) Diese Gleichung impliziert, daß das Vermögen pro Person α asymptotisch mit einer niedrigeren Rate als r — η wächst oder alternativ daß das Niveau des Vermögens mit einer geringeren Rate als r wächst. Für die Haushalte ist es suboptimal, fortwährend ein positives Vermögen mit der Rate r oder einer höheren Rate zu akkumulieren, weil der Nutzen steigen wird, wenn dieses Vermögen statt dessen in endlicher Zeit konsumiert wird. Im Fall der Kreditaufnahme, in dem a(t) negativ ist, werden unendlich lange lebende Haushalte die Bedingung (2.11) gern verletzen, indem sie Kredite aufnehmen und zu keiner Zeit Rückzahlungen für das Grundkapital oder die Zinsen leisten. Daher wird die Beschränkung (2.3) benötigt, um die Finanzierung nach der Art der Kettenbriefe auszuschließen, das heißt also Finanzierungssysteme, bei denen die Schulden eines Haushalts in aller Zukunft mindestens mit der Rate r wachsen. Um so fortwährend Kredite aufnehmen zu können, müssen die Haushalte bereitwillige Kreditgeber finden; das heißt andere Haushalte, die bereit sind, ein positives Vermögen zu halten, das mindestens mit der Rate r wächst. Aus der Transversalitätsbedingung ist jedoch bereits bekannt, daß kein anderer Haushalt bereit sein wird, Vermögen asymptotisch mit einer derartig hohen Rate zu erwerben. Daher wird es im Gleichgewicht keinem Haushalt möglich sein, Kredite in Form der Kettenbriefe zu vergeben. Mit anderen Worten: die Ungleichung (2.3) ist nicht willkürlich gewählt worden; sie wird im Gleichgewicht durch den Kreditmarkt wirksam. In 8 Die Interpretation der Transversalitätsbedingung im Problem mit unendlichem Horizont als Grenzwert der entsprechenden Bedingung für ein Problem mit endlichem Horizont ist nicht immer korrekt. Vgl. hierzu den mathematischen Anhang am Ende des Buches.

Kapitel 2. Wachstumsmodelle des optimalen Konsums

76

Anbetracht dieser Restriktion ist es für optimierende Haushalte das beste, die Bedingung (2.11) zu erfüllen. Das heißt, die in (2.11) geforderte Gleichheit besteht unabhängig davon, ob a(t) positiv oder negativ ist. DIE KONSUMFUNKTION.

Der in (2.11) auftretende Ausdruck e x p [ - /„' r(v) d U]

ist ein Barwertfaktor, der eine Einkommenseinheit zum Zeitpunkt t in eine gleichwertige Einheit zum Zeitpunkt null umrechnet. Wenn r(v) gleich der Konstanten r ist, vereinfacht sich der Barwertfaktor zu e - r ' . Allgemeiner kann man sich einen durchschnittlichen Zinssatz zwischen den Zeitpunkten null und t vorstellen, der definiert ist als r(i) = ( 1 / 0 · / r(ti)dw.

(2.12)

Jo

Dabei ist der Barwertfaktor gleich Die Gleichung (2.10) determiniert die Wachstumsrate von c. Für die Bestimmung der Höhe von c - also der Konsumfunktion - muß die Budgetrestriktion in bezug auf die Stromgrößen (2.2) herangezogen werden, um die intertemporale Budgetrestriktion des Haushalts abzuleiten. Die Gleichung (2.2) kann als lineare Differentialgleichung erster Ordnung in α gelöst werden, um eine intertemporale Budgetrestriktion zu erhalten, die für jeden beliebigen Zeitpunkt Τ > 0 gilt,9 a{T)Q-[f(T)-n]T

+ Γ Jo

c(t)e-[m~n]t

dt = a(0)+

C Jo

w(t)c-[m~n]'dt,

wobei die Definition von r(t) gemäß (2.12) zu berücksichtigen ist. Wählt man den Grenzwert Τ σο, dann verschwindet der erste Ausdruck auf der linken Seite (aufgrund der Transversalitätsbedingung (2.11)), und die intertemporale Budgetrestriktion wird zu poo

/ Jo

roo

c(0e-[f(,)-nl'di = a ( 0 ) + /

w(t)t-im~n]'dt

Jo

= a( 0) + ώ(0).

(2.13)

Also ist der Barwert des Konsums gleich dem Gesamtvermögen, das als Summe aus dem Vermögen in der Ausgangslage a(0) und dem Barwert des Lohneinkommens ώ(0) definiert ist. Wenn (2.10) über dem Zeitintervall von null bis t integriert wird, dann erhält man für den Konsum unter Berücksichtigung der Definition von r(t) gemäß (2.12) c ( 0 = c(0) e i m m - r t . Die Substitution dieses Ergebnisses für c{t) in die intertemporale Budgetrestriktion (2.13) führt zur Konsumfunktion für den Zeitpunkt 0 c(0) = μ(0)[α(0) + ώ(0)], 9

(2.14)

Die Methoden zur Lösung linearer Differentialgleichungen erster Ordnung mit variablen Koeffizienten werden im mathematischen Anhang am Ende des Buches dargestellt.

2.2 Unternehmen

77

wobei die Konsumneigung μ(0) in bezug auf das Gesamtvermögen durch (2.15) bestimmt ist. Ein Anstieg der durchschnittlichen Zinssätze r(f) hat zwei Effekte auf die marginale Konsumneigung in (2.15), wenn das Gesamtvermögen gegeben ist. Zum einen steigern höhere Zinssätze die gegenwärtigen Konsumausgaben relativ zu den zukünftigen Konsumausgaben. Dieser intertemporale Substitutionseffekt motiviert die Wirtschaftssubjekte, Konsum der Gegenwart in die Zukunft zu verlagern. Zum anderen weisen höhere Zinssätze einen Einkommenseffekt auf, der den Konsum tendenziell zu allen Zeitpunkten erhöht. Der Nettoeffekt eines Anstiegs in r(t) auf μ(0) hängt davon ab, welche der beiden Kräfte überwiegt. Für θ < 1 nimmt μ(0) mit der Rate r(t) aufgrund der Dominanz des Substitutionseffekts ab. Intuitiv heißt das, daß sich die Haushalte bei einem niedrigen Wert von θ kaum um eine Glättung des Konsumverlaufs bemühen, so daß der intertemporale Substitutionseffekt groß ist. Dagegen steigt μ(0) mit r(t) für θ > 1 aufgrund des relativ schwachen Substitutionseffekts. Für θ = 1 (also eine logarithmische Nutzenfunktion) heben sich beide Effekte gegeneinander auf, μ(0) vereinfacht sich zu ρ — η und ist damit unabhängig von r(t). Man beachte dabei, daß ρ — η > 0 vorausgesetzt worden ist. Die Wirkungen von r(t) auf μ(0) lassen sich auf die Effekte auf c(0) übertragen, wenn der Ausdruck für das Gesamtvermögen α(0) + ώ(0) konstant gehalten wird. Tatsächlich sinkt jedoch w(0) mit r(t) für einen gegebenen Pfad von w(t). Dieser dritte Effekt verstärkt den zuvor erwähnten Substitutionseffekt.

2.2

Unternehmen

Die Unternehmen produzieren Güter und entlohnen die Produktionsfaktoren Arbeit und Kapital. Jedes Unternehmen hat Zugang zu der Produktionstechnik Y = F(K,

L, t),

wobei Y den Strom des Outputs, Κ den Kapitaleinsatz (in Gütereinheiten) und L den Arbeitseinsatz (in jährlichen Arbeitsstunden pro Person) bezeichnen. Schließlich repräsentiert t als chronologische Zeit den Effekt des exogenen technischen Fortschritts. Die Funktion F genügt den neoklassischen Eigenschaften, die im Kapitel 1 eingeführt worden sind. Insbesondere weist der Output Y konstante Skalenerträge in Κ und L auf, und jeder Produktionsfaktor ist durch positive und abnehmende Grenzproduktivitäten gekennzeichnet. Wie im Kapitel 1 gezeigt worden ist, existiert ein langfristiges Gleichgewicht bei einer konstanten Rate des technischen Fortschritts nur dann, wenn der Fortschritt in der arbeitsvermehrenden Form auftritt. Daher wird angenommen, daß die

78

Kapitel 2. Wachstumsmodelle des optimalen Konsums

Produktionsfunktion wie folgt angegeben werden kann, (2.16)

Y=F(K,L), wobei L = LA{t)

die Arbeitsmenge in Effizienzeinheiten ist und A{t) den Stand

der Technik bezeichnet, der sich mit der konstanten Rate χ > 0 verändert. Folglich gilt A(t)

— ext, wobei das Ausgangsniveau der Technik A ( 0 ) auf eins normiert ist.

Wie im Kapitel 1 erweist es sich als vorteilhaft, mit Variablen zu arbeiten, die im langfristigen Gleichgewicht konstant sind. Man betrachtet daher Größen pro effizienter Arbeitseinheit: y =

Y/L

und

*

Ξ

K/L.

Die Produktionsfunktion kann dann wie in (1.27) in Pro-Kopf-Form dargestellt werden, y = f(.k),

(2.17)

wobei / ( 0 ) = 0 ist. Bereits an dieser Stelle lassen sich die Grenzproduktivitäten der Faktoren berechnen10

dY/dL = [ f ( k ) - k f ( k ) ] c

x t

.

Die im Kapitel 1 eingeführten Inada-Bedingungen implizieren f'(k) 0 und f'(k) ->· 0 für k oo.

oo für k ->•

Die Unternehmen werden als Wirtschaftseinheiten verstanden, die Kapitalleistungen von den Haushalten als Kapitaleigentümern in Anspruch nehmen. (Keines der Ergebnisse wird verändert, wenn die Unternehmen selbst Kapital und die Haushalte Anteile an den Unternehmen besitzen.) Also lassen sich die Kapitalkosten der Unternehmen als laufende Kosten interpretieren, die sich proportional zu Κ verhalten. Diese Spezifikation impliziert, daß die Kapitalleistungen erhöht oder verringert werden können, ohne daß zusätzliche Ausgaben entstehen, wie zum Beispiel Anschaffungskosten für die Installation von Maschinen oder Kosten für die Durchführung anderer Veränderungen. Derartige Anpassungskosten werden im Kapitel 3 berücksichtigt. Wie im Kapitel 1 wird eine Volkswirtschaft mit einem Produktionssektor unterstellt, in dem eine Outputeinheit dazu verwendet werden kann, eine Einheit des Haushaltskonsums C oder eine Einheit zusätzlichen Kapitals Κ zu erzeugen. Solange sich die Völkswirtschaft nicht in einer Ecklösung befindet, in der der gesamte laufende Output konsumiert oder in neues Kapital investiert wird, kann der Preis für Κ in Einheiten von C auf eins fixiert werden. Da C im Gleichgewicht nicht gleich 10 Schreibt

man Y =

L f(k),

Grenzproduktivität dY/dK 3

dann ergibt die Differentiation von Y nach Κ bei festem L und t die

— f'(k).

Y/dL=[f(k)-kf'm n + (l — θ)χ.

(2.30)

Wenn ρ zu klein ist, um (2.30) zu genügen, dann ist das Optimierungsproblem des Haushalts unzureichend formuliert worden, da ein unendlicher Nutzen erreicht wird, wenn c mit der Rate χ wächst.16 Im folgenden wird daher angenommen, daß die Parameter die Bedingung (2.30) erfüllen. In der Abbildung 2.1 ist der Wert des langfristigen Gleichgewichts k* links von £goid eingezeichnet worden. Dieses Verhältnis der beiden Größen trifft immer zu, wenn die Transversalitätsbedingung (2.30) erfüllt ist. Der Wert des langfristigen 17 Gleichgewichts ist durch f'(k*) = S + ρ + θχ bestimmt, während sich der Wert im Sinne der Goldenen Regel aus /'(fcg0id) = χ + η + δ ergibt. Die Ungleichheit (2.30) impliziert ρ + θχ > x + n und damit f'(k*) > f'(kg0y). Das Ergebnis k* > itg0id folgt aus f"(k) < 0. Im Gegensatz zum Solow-Swan-Modell mit einer willkürlich gewählten, konstanten Sparquote läßt das Optimierungskalkül ein ineffizientes „Übersparen" nicht zu. Spart der typische, unendlich lange lebende Haushalt zuviel, dann handelt er nicht optimal, das heißt, er erfüllt die Transversalitätsbedingung nicht. Sobald der Haushalt sein suboptimales Verhalten bemerkt, wird er auf einen Wachstumspfad überwechseln, der geringere Ersparnisse mit sich bringt. Im umgekehrten Fall spart der optimierende Haushalt zu wenig, um den optimalen Wert im Sinne der Goldenen Regel £goid zu erreichen. Seine Ungeduld, die sich in der effektiven Diskontrate ρ + θχ widerspiegelt, läßt es nicht lohnend erscheinen, auf weiteren gegenwärtigen Konsum zu verzichten, um das Maximum von c - den optimalen Wert im Sinne der Goldenen Regel cgoid - im langfristigen Gleichgewicht zu erreichen. Die Wachstumsraten im langfristigen Gleichgewicht hängen weder von den Parametern der Produktionsfunktion / noch von den Präferenzparametern ρ und θ ab, die das Konsum- und Sparverhalten der Haushalte charakterisieren. Allerdings besitzen diese Parameter langfristige Effekte auf die absoluten Größen der Variablen. In der Abbildung 2.1 verschiebt eine erhöhte Sparneigung - wiedergegeben durch eine Verringerung von ρ oder θ - die Isokline c = 0 nach rechts und läßt die Isokline k = 0 unverändert. Diese Verschiebungen führen dementsprechend zu höheren Werten von c* und k* und damit auch zu einem höheren Wert von y*. Auf ähnliche Weise verlagert eine proportionale Verbesserung der Produktionstechnik oder eine Verringerung des Abschreibungssatzes 8 die Isokline k = 0 nach oben und die Isokline c = 0 nach rechts. Diese Verschiebungen erhöhen c*, k* und y*. Eine Zunahme von χ erhöht den Term der effektiven Zeitpräferenzrate ρ + θχ in (2.28) und vermindert außerdem den Wert von c*, der einem gegebenen k* in (2.29) 16 Im mathematischen Anhang am Ende des Buches werden einige Fälle untersucht, in denen ein unendlich großer Nutzen behandelt werden kann. 17 Diese Bedingung wird manchmal modifizierte Goldene Regel genannt.

86

Kapitel 2. Wachstumsmodelle des optimalen Konsums

entspricht. In der Abbildung 2.1 verschieben diese Änderungen die Isokline k = 0 nach unten und die Isokline c = 0 nach links und senken damit c*, k* und y*. (Obwohl c fällt, steigt der Nutzen, da die Zunahme von χ die Wachstumsrate von c relativ zur Wachstumsrate von c erhöht.) Schließlich ist der Effekt von η auf k* und y* null, wenn ρ konstant gesetzt wird. Dagegen impliziert (2.29), daß c* abnimmt. Wenn ein höheres η zu einer höheren Zeitpräferenzrate führt (aus zuvor diskutierten Gründen), dann verringert ein Anstieg von η die Werte von k* und y*.

2.6

Die Dynamik des Modells im Übergang

2.6.1

Das Phasendiagramm

Wie das Solow-Swan-Modell ist das Ramsey-Modells besonders interessant wegen seiner Vorhersagen über das Verhalten der Wachstumsraten und anderer Variablen entlang dem Übergangspfad von einer ursprünglichen Kapitalintensität £(0) zum langfristigen Gleichgewichtswert k*. Die Gleichungen (2.23), (2.24) und (2.25) bestimmen den Pfad von k und c für einen gegebenen Wert von k(0). Das Phasendiagramm in der Abbildung 2.1 zeigt die Art der Dynamik. (Eine Diskussion der Phasendiagramme befindet sich im mathematischen Anhang.) Wie bereits erwähnt worden ist, entspricht die vertikale Linie bei k* der Bedingung c = 0 in (2.24). Diese Gleichung impliziert außerdem, daß c für k < k* steigt (die Pfeile sind in dieser Region nach oben gerichtet) und für k > k* fällt (die Pfeile zeigen nach unten). Die hervorgehobene Kurve in der Abbildung 2.1 zeigt alle Kombinationen von k und c, die k = 0 in (2.23) erfüllen. Diese Gleichung impliziert außerdem, daß k fällt, wenn c Werte oberhalb der hervorgehobenen Kurve annimmt (die Pfeile zeigen in dieser Region nach links) und daß k steigt, wenn c unterhalb der Kurve liegt (die Pfeile zeigen nach rechts). Das System weist eine Stabilität entlang dem Sattelpfad auf. Man beachte insbesondere, daß das Pfeilschema in der Abbildung 2.1 so angeordnet ist, daß die Volkswirtschaft zum langfristigen Gleichgewicht konvergieren kann, wenn sie in zwei der vier Regionen startet, in die die beiden Isoklinen den Raum aufteilen. Diese Eigenschaft des Sattelpfades läßt sich alternativ beweisen, indem das System der dynamischen Gleichungen um das langfristige Gleichgewicht herum linearisiert wird. Anschließend ist festzustellen, ob die Determinante der charakteristischen Matrix negativ ist (zu den Details siehe den Anhang 2A). Dieses Vorzeichen der Determinante impliziert, daß die beiden Eigenwerte entgegengesetzte Vorzeichen haben, ein Zeichen für lokale Stabilität des Systems entlang dem Sattelpfad. Das dynamische Gleichgewicht folgt dem stabilen Sattelpfad, der durch die mit Pfeilen markierte Kurve c(k) dargestellt wird. Nimmt man zum Beispiel an, daß das Faktorverhältnis im Ausgangspunkt wie in der Abbildung 2.1 die Bedingung k(0) < k* erfüllt und daß das ursprüngliche Konsumverhältnis c(0) ist, dann folgt

2.6 Die Dynamik des Modells im Übergang

87

die Volkswirtschaft dem stabilen Pfad zu den Koordinaten (k*, £*) im langfristigen Gleichgewicht. Die beiden übrigen Möglichkeiten ergeben sich für einen Pro-Kopf-Konsum in der Ausgangslage, der c(0) überschreitet oder nicht erreicht. Wenn der Pro-KopfKonsum den Wert c(0) übersteigt, dann ist die anfängliche Sparquote zu gering, um die Volkswirtschaft auf dem stabilen Pfad zu halten. Die Trajektorie des Pro-KopfKonsums schneidet irgendwann die Isokline k = 0. Hinter dem Schnittpunkt steigt c zwar weiterhin an, aber k beginnt abzunehmen, bis der Pfad in endlicher Zeit auf die vertikale Achse trifft, wo k = 0 ist. 18 Die Bedingung / ( 0 ) = 0 impliziert y — 0, so daß c an diesem Punkt nach unten auf null springen muß. Da dieser Sprung die Bedingung erster Ordnung verletzt, die (2.24) zugrunde liegt, beschreiben diese Pfade - in denen der anfängliche Pro-Kopf-Konsum den Wert c(0) übersteigt keine Gleichgewichte. Schließlich liegt der Pro-Kopf-Konsum in der Ausgangslage unterhalb von c(0). Nun ist die anfängliche Sparquote zu hoch, um auf dem Sattelpfad zu bleiben, so daß die Volkswirtschaft schließlich die Isokline c — 0 überquert. Hinter diesem Schnittpunkt nimmt c ab, während k weiterhin steigt. Die Volkswirtschaft konvergiert zu jenem Punkt, bei dem die Isokline k = 0 die horizontale Achse schneidet. Man beachte insbesondere, daß k über den optimalen Wert im Sinne der Goldenen Regel £g0id steigt und sich asymptotisch einem höheren Wert von k nähert. Daher fällt f'(k) — k* in der Abbildung 2.1 startet. Dabei resultiert als einzige Komplikation, daß im Fall irreversiblen Kapitals (das nicht abgebaut und konsumiert werden kann) die Nichtnegativitätsbedingung für die Bruttoinvestition zu berücksichtigen ist. Die c < /(it) entsprechende Forderung impliziert k> - ( χ + η + α der plausible Fall ist.) Für θ = α ist c/k im Übergang konstant, so daß die Politikfunktion die einfache Lösung in der geschlossenen Form c = (Konstante) k aufweist, wobei sich herausstellt, daß die Konstante (S + ρ)/θ — ( 0 geschrieben werden als log[y(f)] - log[y(0)]

+ log(y*) (1 - e " " ) .

(2.33)

Damit entspricht log[y(f)] für jedes t > 0 dem gewichteten Durchschnitt des Ausgangswertes log[5>(0)] und des langfristigen Gleichgewichtswertes log(j>*), wobei sich die Gewichtung des Anfangswertes exponentiell mit der Rate β vermindert. Die Geschwindigkeit der Konvergenz β hängt von den Parametern der Technik und der Präferenzen ab. Für den Fall einer Cobb-Douglas-Technik lautet die Formel für den Konvergenzkoeffizienten (die aus der logarithmischen Linearisierung um die Lage des langfristigen Gleichgewichts herum resultiert) 2ß =

ζ2 + 4

δ + ρ + θχ - ( 0 durch (1/ T) · U>g[y(T)/y(0)] = λ +

1

^

· log[y*/y(0)]

(2.35)

gegeben ist. Hält man für einen Augenblick die Wachstumsrate χ im langfristigen Gleichgewicht, die Geschwindigkeit der Konvergenz β und das Intervall Τ zur Durchschnittsbildung fest, dann besagt (2.35), daß die durchschnittliche Wachstumsrate des Pro-Kopf-Outputs negativ mit dem Verhältnis von y(0) zu y* korreliert ist. Damit wird der Effekt des Anfangswertes y{0) wie im Solow-Swan-Modell von der Lage des langfristigen Gleichgewichts y* bestimmt. Mit anderen Worten prognostiziert auch das Ramsey-Modell eine bedingte Konvergenz statt einer absoluten Konvergenz. Der Koeffizient (1 — e~ßT)/T, der in (2.35) die Wachstumsrate von y in Beziehung zu logljViKO)] setzt, nimmt mit Τ für gegebenes β ab. Gilt y(0) < y*, so daß die Wachstumsrate über die Zeit abnimmt, dann bedeutet ein Anstieg von T, daß der Durchschnitt über eine größere Anzahl niedrigerer zukünftiger Wachstumsraten und die höheren Wachstumsraten der näheren Zukunft gebildet wird. Daher fällt die durchschnittliche Wachstumsrate mit steigendem T. Für Τ —> oo dominiert die

94

Kapitel 2. Wachstumsmodelle des optimalen Konsums

Wachstumsrate χ im langfristigen Gleichgewicht den Durchschnitt; infolgedessen nähert sich der Koeffizient (1 - e~ßT)/T dem Wert null, und die durchschnittliche Wachstumsrate von y in (2.35) geht gegen x. Für ein gegebenes Τ impliziert ein höherer Wert von β einen höheren Koeffizienten (1 - c~ßT)/T. (Für Τ —> 0 strebt der Koeffizient gegen ß.) Die Gleichung (2.34) drückt die Abhängigkeit der Größe β von den zugrundeliegenden Parametern aus. Zunächst wird der Fall des Solow-Swan-Modells betrachtet, in dem die Sparquote konstant ist. Wie zuvor festgestellt worden ist, trifft dieser Fall gemäß (2.31) bei einer Sparquote s* = 1 / 0 im langfristigen Gleichgewicht oder gleichbedeutend bei der Parameterkombination α (S + η) — ( (Θ — l)/0, dann folgt yz > 0 für alle t, so daß ζ niemals gegen einen konstanten Wert im langfristigen Gleichgewicht konvergieren kann. Aus dem gleichen Grund kann z(t) < (θ — \ )/θ ausgeschlossen werden, da die Ungleichung yz < 0 für alle t impliziert ist. Also stimmt ζ mit dem konstanten Wert (θ — 1)/θ überein, sofern s* — 1/0 erfüllt ist, so daß die Sparquote gleich der Konstanten 1 /0 ist. Analog impliziert ein Wert s* > 1/0 die Ungleichung ζ(t) < (0— l ) / 0 für alle t, während s* < 1/0 die Ungleichung z(t) > (0 — l ) / 0 für alle t impliziert. Die Differentiation von (2B.3) nach der Zeit liefert Yz - / " ( * ) £ · k ( 0 - (β - D/0] + f \ h yzz(t).

(2B.4)

Nun wird angenommen, daß s* > 1/0 ist, so daß z(t) < (0 — l ) / 0 für alle t gilt. Damit impliziert yz > 0 für irgendein t die Bedingung yz > 0 in (2B.4) (wegen

104

Kapitel 2. Wachstumsmodelle des optimalen Konsums

f"(k) < 0, f'(k) > 0 und k > 0). Also muß yz > 0 für alle t gelten, ein Ergebnis, das einer Annäherung der Volkswirtschaft an ein langfristiges Gleichgewicht widerspricht. Gilt s* > 1 /0, so folgt γζ < 0 und daher i > 0. Analog müssen die Bedingungen yz > 0 und s < 0 für s* < 1 / 0 erfüllt sein. Die Ergebnisse lassen sich wie folgt zusammenfassen und werden in der Abbildung 2.3 dargestellt. s* — 1/0 impliziert s{t) = 1/0, eine Konstante; s* > 1/0 impliziert s(t) > 1/0 und s(t) > 0; und j* < 1/0 impliziert ί ( ί ) < l / 0 u n d i ( f ) < 0. Benutzt man s* gemäß (2B.1), dann zeigt sich, daß s* > 1/0 die Ungleichung 0 > (ι5 + ρ + θχ)/[α (χ + η + 5)] > 1/α verlangt; wenn also 0 < l / α gilt, dann müssen sich die Parameter in jenem Bereich befinden, für den s < 0 erfüllt ist. Der intertemporale Substitutionseffekt ist mit anderen Worten für θ < 1 / α groß genug, um eine fallende Sparquote während des Übergangs sicherzustellen. Allerdings erfordert diese Ungleichung für den präferierten Wert von α in der Umgebung von 0,75 einen Wert von 0 < 1,33; damit ist es unwahrscheinlich, daß die Ungleichung zutrifft. Das Verhalten des Quotienten aus Konsum und Kapital cjk läßt sich auf ähnliche Weise analysieren. θ = α impliziert c/k = {8 + p ) / 0 — (5 + n), eine Konstante; 0 < α impliziert c/k < (8 + ρ)/θ — (δ + η), und c/k steigt in der Zeit; und 0 > a impliziert c/k > (S + ρ)/θ — ( 0 steigt. 26 Die Gleichungen (2.14) und (2.15) implizieren

j f c m w w d t

'

wobei r(t) gemäß (2.12) als durchschnittlicher Zinssatz zwischen den Zeitpunkten null und t definiert ist. Höhere Werte von r{v) für irgendein 0 < ν < t erhöhen r{t) und verringern damit den Zähler in (2C.1). Außerdem erhöhen größere 6

Für seine Hilfe bei diesem Teil des Beweises wird Olivier Blanchard gedankt.

Anhang

105

Werte von r(v) den Nenner in (2C.1), wenn θ < 1 ist. Also resultiert die gesuchte Beziehung unmittelbar aus θ < 1. Nun wird θ > 1 angenommen, so daß der Nenner mit einer Erhöhung von r(v) kleiner wird. Für θ > 1 ist bekannt, daß r(v) • (1 — θ)/θ — ρ/θ + η < 0 ist, da r(v) den Zinssatz im langfristigen Gleichgewicht ρ + θχ übersteigt, der seinerseits den Wert χ + η wegen der Transversalitätsbedingung überschreitet. Infolgedessen wird der Nenner in (2C.1) proportional um so empfindlicher gegenüber r(v) (in der negativen Richtung), je größer der Wert von θ ist. Wenn dementsprechend das Ergebnis für θ -> oo bewiesen wird, dann gilt es auch für alle θ > 0. Für θ oo vereinfacht sich (2C.1) zu jfc(0) + f ? w W e - W - ' - ^ d t ί φ )

=

Ce-I^-Ld,

'

(2C2)

Durch Umformung von (2C.2) ergibt sich

0 unter Anwendung der Bedingungen r(t) = f'[k(t)] - S, w(t) = f[k(t)] - HO / W O ] . HO > hO) und ifc > 0 gezeigt werden kann. Daher hat ein Anstieg in r(v) für 0 < ν < t, wodurch r(i) zunimmt, einen verhältnismäßig größeren negativen Effekt auf den Zähler in (2C.3) als auf den Nenner. Damit resultiert die gesuchte Beziehung: Der Nettoeffekt eines Anstiegs von r(v) auf c(0) ist negativ. Dieses Ergebnis kann herangezogen werden, um eine untere Schranke für c(0) anzugeben. Wegen r(0) > r(t) muß c(0) sinken, sofern r(0) für r(t) und ώ(0) für w(0 in (2C.1) eingesetzt werden. Man erhält27 C(0)

k( 0)

> [Γ(0)(1-θ)/θ

+

ρ/θ-ή\· i +

ώ(0)

(2C.4)

k • [r(0) — η — x]_

Auf diese Ungleichung wird an späterer Stelle zurückgegriffen. Die Wachstumsrate von k ist durch (2.23) gegeben als Y-k = f ( k ) ß - c / k - ( n + x + 8),

(2C.5)

wobei die Subskripte für die Zeit nun vernachlässigt werden. Die Differentiation von (2C.5) nach der Zeit liefert yi =

-(w/k)yi-d{c/k)/dt,

27 Das Ergebnis folgt aus der Integration der rechten Seite von (2C. 1) für r (0) (1 — θ)/θ+ρ/θ Falls dieser Ausdruck nicht positiv ist, muß unmittelbar auch die Ungleichung (2C.4) erfüllt sein.

η>

0.

106

Kapitel 2. Wachstumsmodelle des optimalen Konsums

wobei die Bedingung w = f ( k ) - k f'(k) zu beachten ist. Um zu zeigen, daß Y~k < 0 in der Übergangszeit erfüllt ist, für die k und c zunehmen, sind die Formeln für c aus (2.24) und für k aus (2.23) zu berücksichtigen. Yi = -(w/k)

n

+ (c/k) • [w/k + [f'(k) -δ](θ-

Wenn also c/k > w/k+[f'(k)-8] (θ - 1)/θ + ρ/θy-k > 0, q.e.d. Dementsprechend wird nun

1)/θ + ρ/θ-η-

c/k] (2C.6)

η ist, dann folgt yi < Oaus

c/k < w/k + [ f ( k ) - 5] (Θ - l)/6> + Ρ/Θ-Π

(2C.7)

vorausgesetzt. Wird c/k vor den eckigen Klammern in (2C.6) durch die rechte Seite der Ungleichung (2C.7) ersetzt, dann erhält man schließlich unter Berücksichtigung der Gleichung (2.C5) für y~k und nach Substitution von f(k)/k durch w/k + f'(k) die Bedingung y-k < -(w/k)

[ f ( k ) - δ - ρ - θχ]/θ+[ρ/θ

-n + [f'{k) - δ] {θ

+ [ρ/θ -η + [f'(k) -δ] (θ-

\)/θ] (w - c)/k.

-\)/θ]2 (2C.8)

Wenn ρ/θ - η + [f'(k) - δ] (θ - I)/θ < 0 ist, läßt sich unter Beachtung der Ungleichung (2C.7) die Aussage Yk < 0 nachweisen, q.e.d. Daher wird nun p/e-n

+ [f'(k) -δ](θ-

1)/θ>0

(2C.9)

angenommen. Ist (2C.9) gegeben, dann kann die untere Grenze für c/k aus (2C.4) in die Ungleichung (2C.8) eingesetzt werden; nach einigen Umformungen erhält man
0 gegeben ist, u(c) = -( 1/Ö)e" f c .

(1)

Die Unternehmen verhalten sich wie im Ramsey-Modell ohne technischen Fortschritt. (a) Welche Bedeutung hat θ in bezug auf die Konkavität der Nutzenfunktion und das Anliegen, den Konsum langfristig zu glätten? Berechnen Sie die intertemporale Substitutionselastizität! In welcher Beziehung steht die Elastizität zum Niveau des Pro-Kopf-Konsums c? (b) Geben Sie die Bedingungen erster Ordnung für einen repräsentativen Haushalt an, dessen Präferenzen durch (1) beschrieben werden! (c) Kombinieren Sie die Bedingungen erster Ordnung für den repräsentativen Haushalt mit den Bedingungen für die Unternehmen, um das Verhalten von c und k in der Zeit zu beschreiben! (Gehen Sie von einem Startwert k(0) aus, der unterhalb des langfristigen Gleichgewichtswertes liegt!)

108

Kapitel 2. Wachstumsmodelle des optimalen Konsums

(d) In welcher Form hängt die zeitliche Entwicklung in der Übergangsphase vom Parameter θ ab? Vergleichen Sie dieses Ergebnis mit dem Resultat für das im Text analysierte Modell! 2.5 Modell vom Untergang der Welt. Unterstellen Sie das im Text beschriebene RamseyModell, und zwar mit der Modifikation, daß jeder weiß, daß die Welt zum Zeitpunkt Τ > 0 mit Bestimmtheit untergehen wird! (a) Wie wirkt sich diese Modifikation auf die Übergangsgleichungen (2.23) und (2.24) für k und c aus? (b) Wie wird die Transversalitätsbedingung durch die Modifikation beeinflußt? (c) Verwenden Sie die Abbildung 2.1, um den neuen Zeitpfad in der Übergangszeit für die Volkswirtschaft zu beschreiben! (d) In welchem Verhältnis steht der neue Übergangspfad zum Pfad in der Abbildung 2.1, wenn Τ zunimmt? Was passiert, wenn Τ gegen unendlich strebt? 2.6 Stone-Geary-Präferenzen. Ausgehend von den üblichen Bedingungen des RamseyModells wird die Nutzenfunktion des repräsentativen Haushalts für jeden Zeitpunkt gemäß der Gleichung (2.9) modifiziert zu der Form von Stone-Geary,

"(C)=

1-Θ

'

wobei c > 0 das Existenzminimum des Pro-Kopf-Konsums bezeichnet. (a) Wie lautet die intertemporale Substitutionselastizität für die neue Form der Nutzenfunktion? Wie verändert sich die Elastizität mit steigendem c, wenn c > 0 gilt? (b) Wie verändert die revidierte Nutzenfunktion den Ausdruck für das Wachstum des Konsums in (2.10)? Stellen Sie eine begründete Vermutung über das neue Ergebnis an! (c) Wie beeinflußt die angegebene Modifikation der Nutzenfunktion die langfristigen Gleichgewichts werte k* und c*? (d) Welche Veränderungen werden vermutlich in bezug auf die Übergangsdynamik von k und c und damit in bezug auf die Konvergenzrate auftreten? (Das modifizierte System erfordert numerische Methoden, um exakte Ergebnisse hervorzubringen.) 2.7 Der Faktor Boden im Ramsey-Modell. Unterstellen Sie eine CES-Produktionsfunktion mit konstanten Skalenerträgen, die neben Arbeit L und Kapital Κ auch den Faktor Boden Λ umfaßt, Υ = Α [α (Κ"!,1-")* + (1 - a) Λ ψ ] l / , , , , mit A > 0, a > 0, 0 < a < 1 und ψ < 1. Technischer Fortschritt wird ausgeschlossen, und L wächst mit der konstanten Rate η > 0. Die Menge des Faktors Boden ist gegeben. Abschreibungen treten nicht auf. Neben den Zahlungen an das Kapital und die Arbeit umfaßt das Einkommen nun auch Grundrenteneinkommen aus Bodenbesitz. (a) Zeigen Sie, daß der gesamte Erlös wiederum vollständig auf die Produktionsfaktoren unter den Bedingungen der Konkurrenz verteilt wird!

Aufgaben

109

(b) Unter welchen Bedingungen für ψ ist die Höhe des Pro-Kopf-Outputs y im langfristigen Gleichgewicht konstant? Unter welchen Bedingungen nimmt y langfristig gleichmäßig ab? Was legen die Ergebnisse über die Rolle eines fixen Faktors wie Boden im Wachstumsprozeß nahe? 2.8 Alternative institutionelle Voraussetzungen. Das Ramsey-Modell ist unter der Annahme konkurrierender Haushalte und Unternehmen im Detail ausgearbeitet worden. (a) Zeigen Sie, daß sich die Ergebnisse nicht ändern, wenn die Haushalte selber produzieren und ihre Familienmitglieder als Arbeitskräfte einsetzen! (b) Nehmen Sie an, daß die Präferenzen einer Planungsbehörde mit den Präferenzen des repräsentativen Haushalts übereinstimmen, die in dem Modell vorgestellt worden sind! Zeigen Sie, daß sich die gleichen Ergebnisse einstellen wie in dem Modell mit konkurrierenden Haushalten und Firmen, wenn die Planungsbehörde die Wahlakte des Konsums über die Zeit vorgeben kann! Welche Implikationen ergeben sich in bezug auf die Pareto-Optimalität der dezentralen Ergebnisse? 2.9 Geld und Inflation im Ramsey-Modell (nach Sidrauski (1967), Brock (1975) und Fischer (1979)). Nehmen Sie an, der Staat gibt Papiergeld aus. Die Einheiten der Geldmenge Μ werden in Dollar angegeben; Μ wächst mit der Rate μ, die in der Zeit variieren kann. Neues Geld wird den Haushalten in der Form von Pro-Kopf-Transfers zur Verfügung gestellt. Die Haushalte können Vermögen in der Form von Kapitalrechten, Geld und heimischen Darlehen halten. Der Nutzen des Haushalts wird weiterhin durch die Gleichung (2.1) beschrieben, wobei jedoch k(c) durch u(c, m) ersetzt wird, mit m = M/ PL als realer Kassenhaltung und Ρ als Preisniveau (Dollar pro Gütereinheit). Die partiellen Ableitungen der Nutzenfunktion lauten uc > 0 und um > 0. Die Inflationsrate wird mit π = Ρ/ Ρ bezeichnet. Die Bevölkerung wächst mit der Rate n. Die Produktionsseite der Volkswirtschaft stimmt mit dem Standardmodell von Ramsey ohne technischen Fortschritt überein. (a) Wie lautet die Budgetrestriktion des repräsentativen Haushalts? (b) Wie lauten die Bedingungen erster Ordnung, die mit der Wahl von c und m verbunden sind? (c) Angenommen, μ ist auf lange Sicht konstant und m ist im langfristigen Gleichgewicht konstant. Wie beeinflußt eine Veränderung des langfristigen Wertes von μ die langfristigen Gleichgewichtswerte von c, k und y? Welche Veränderungen resultieren damit für die langfristigen Gleichgewichtswerte von π und m? Wie wird das im langfristigen Gleichgewicht erreichte Nutzenniveau w(c, tri) beeinflußt? Wie lautet der optimale langfristige Wert von μ ? (d) Unterstellen Sie nun, daß die Funktion u(c, m) separierbar in c und m ist! Wie beeinflußt der Verlauf von μ in diesem Fall die Übergangspfade von c, k und y? 2.10 Fiskalpolitik im Ramsey-Modell (nach Barro (1974) und McCallum (1984)). Gehen Sie bei dem Standardmodell von Ramsey von folgenden Voraussetzungen aus: Die Haushalte haben einen unendlichen Planungshorizont; ihre Präferenzen sind durch die Gleichungen (2.1) und (2.9) gegeben; die Bevölkerung wächst mit der Rate n; die Produktionsfunktion ist neoklassischer Natur und technischer Fortschritt findet mit der Rate χ statt. Der Staat erwirbt Güter und Dienstleistungen mit dem Betrag G, erhebt Kopfsteuern in der Höhe Τ und begibt Staatsanleihen im Volumen B. Die Größen G, Τ und

110

Kapitel 2. Wachstumsmodelle des optimalen Konsums

Β - die über die Zeit variieren können - werden in Gütereinheiten gemessen, und Β beginnt mit einem gegebenen Wert 5(0). Die Schuldverschreibungen werden nicht fällig, mit dem Zinssatz r vergütet und von den einzelnen Haushalten als perfekte Substitute für Kapitalrechte oder heimische Darlehen angesehen. (Nehmen Sie an, daß der Staat niemals mit der Tilgung seiner Schulden in Verzug gerät.) Der Staat kann öffentliche Dienstleistungen bereitstellen, die vom Pfad der Staatsausgaben G abhängen; allerdings wird in diesem Problem der Verlauf von G als gegeben unterstellt. (a) Wie lautet die Budgetrestriktion des Staates? (b) Wie lautet die Budgetrestriktion des repräsentativen Haushalts? (c) Hält der Haushalt weiterhin an der Optimumbedingung erster Ordnung für die Wachstumsrate von c gemäß (2.10) fest? (d) Wie lautet die Transversalitätsbedingung und in welcher Beziehung steht sie zum langfristigen Verhalten von 5? Wie läßt sich diese Beziehung interpretieren? (e) Wie beeinflussen Unterschiede in B(0) oder im Verlauf von Β und Τ die Übergangsdynamik und die Niveaus der langfristigen Gleichgewichtswerte der Variablen c, k, y und rl (Wenn keine Wirkungen existieren, genügt das Modell dem Ricardianischen Ä quivalenzprinzip.) 2.11 Staat und Wachstum im Ramsey-Modell. Betrachten Sie die Version des RamseyModells, in der die Haushalte die Funktion der Güterproduktion übernehmen. Der Staat besteuert den Output mit der Rate τγ und die Arbeit mit tL (eine Kopf-Steuer), stellt Transfers pro Kopf in der Höhe von ν bereit und erwirbt Güter und Dienstleistungen mit dem Pro-Kopf-Betrag g. In der Cobb-Douglas-Produktionsfunktion wird technischer Fortschritt ausgeschlossen. Damit maximieren die Haushalte ihren Nutzen (gemäß (2.1) und (2.9)) unter der Budgetrestriktion k =(1 — Ty)Aka — Tl — c — (η + δ) k + ν

(2)

für gegebenes k(0). Nehmen Sie an, daß der Staat seine Güter und Dienstleistungen dazu benutzt, Inseln im Pazifik in die Luft zu sprengen, also für Aktionen, die weder Nutzen stiften noch die Produktivität erhöhen. Alle dem Staat verbleibenden Steuereinnahmen werden den Haushalten in Form von Pro-Kopf-Transfers zurückerstattet. (a) Wie lautet die Budgetrestriktion des Staates? (b) Wie lauten die Optimierungsbedingungen erster Ordnung für den repräsentativen Haushalt unter der Annahme, daß der repräsentative Haushalt τ γ, xL, υ und g als gegeben annimmt? (c) Verwenden Sie ein Phasendiagramm im (k, c)-Raum, um zu zeigen, wie sich die Verläufe von k und c ändern, wenn der Staat die Bürger mit einer permanenten Erhöhung der Werte von τγ und g überrascht! Was passiert mit dem langfristigen Gleichgewichtswert von kl (d) Bearbeiten Sie den Teil (c) für den Fall, daß der Staat xL und g anhebt (ohne τγ zu verändern)! Was passiert mit dem langfristigen Gleichgewichtswert von kl Erklären Sie die Unterschiede zum Teil (c)! (e) Diskutieren Sie den Teil (c) für den Fall, daß der Staat r L und ν erhöht (ohne τγ und g zu verändern)! Was passiert mit dem langfristigen Gleichgewichtswert von kl Erklären Sie die Unterschiede zu den Ergebnissen aus den Teilen (c) und (d)!

Kapitel 3 Die offene Volkswirtschaft, endliche Planungshorizonte und Anpassungskosten In den Modellen der geschlossenen Volkswirtschaft, die in den Kapiteln 1 und 2 betrachtet werden, besitzen die Inländer den gesamten Kapitalstock. Also stimmt die Kapitalmenge pro Arbeiter kt in Land i mit dem Vermögen der Haushalte pro Person α, überein. Dieser Modellansatz wird nun zu einer offenen Volkswirtschaft erweitert. Die Modifikation des Ramsey-Modells ergibt sich unmittelbar aus der Berücksichtigung international mobiler Güter sowie aus der Aufnahme und der Vergabe internationaler Kredite. Allerdings führen diese Änderungen zu einigen paradoxen Schlußfolgerungen. Daher werden im Rest des Kapitels einige Erweiterungen - wie unvollständige Weltkreditmärkte, nichtkonstante Parameter der Präferenzen, endliche Planungshorizonte und Anpassungskosten für Investitionen - untersucht, die zu plausibleren Ergebnissen führen.

3.1 3.1.1

Das Ramsey-Modell für eine offene Volkswirtschaft Aufbau des Modells

Die Welt besteht nun aus mehreren Ländern. Aus Gründen der Zweckmäßigkeit wird das Land i als Inland betrachtet; die restlichen Länder bilden das Ausland. In allen Ländern besitzen die Haushalte und die Unternehmen die gleichen Formen der Zielfunktionen und der Nebenbedingungen wie im Ramsey-Modell des Kapitels 2. Inländische und ausländische Kapitalrechte (Forderungen) werden im Sinne der Wertaufbewahrung als perfekte Substitute behandelt, so daß jede Anlage den gleichen internen Zinssatz r aufweist. Da die Anleihen und die Kapitalrechte in jedem Land weiterhin als vollständige Substitute der Wertaufbewahrung betrachtet werden, bezeichnet die Variable r den einheitlichen Weltzinssatz. Im folgenden wird angenommen, daß die heimische Volkswirtschaft mit einem Vermögen pro Person α,· und einem Kapitalstock pro Person ki ausgestattet ist. Übersteigt k, den Wert a„ dann muß die Differenz fc, — α; den Nettoforderungen des Auslands gegenüber der heimischen Volkswirtschaft entsprechen. Wenn umgekehrt α, größer als ki ist, dann repräsentiert α, — ki die heimischen Nettoforderungen gegenüber dem Ausland. Definiert man dj als heimische Nettoverschuldung gegenüber Ausländern (ausländische Forderungen gegenüber der heimischen Volkswirtschaft abzüglich der heimischen Forderungen gegenüber dem Ausland), dann gilt

di

=

ki — at.

(3.1)

112

Kapitel 3. Die offene Volkswirtschaft

Äquivalent hierzu läßt sich das heimische Reinvermögen als heimisches Kapital (Sachvermögen) abzüglich der Nettoverschuldung gegenüber dem Ausland (Geldvermögen) auffassen, α, = £,· — d,·. Der Saldo der Leistungsbilanz entspricht der negativen Änderung der aggregierten Nettoverschuldung gegenüber dem Ausland D, = L,d,·, wobei L, sowohl die Bevölkerungszahl als auch die Zahl der Arbeitskräfte im Land i bezeichnet. Daher ist der Saldo der Leistungsbilanz pro Kopf im Land i gleich — (d, + n,d,), sofern Li mit der Rate n,· wächst.1 Das Modell enthält wie bisher ein Gut, allerdings können Ausländer den heimischen Output kaufen. Umgekehrt können auch Inländer die im Ausland hergestellte Gütermenge erwerben. Durch die Berücksichtigung des internationalen Handels wird in diesem Modell lediglich zugelassen, daß der heimische Produktionswert von den Ausgaben für Konsum und Investition abweichen kann. Das heißt mit anderen Worten, daß lediglich intertemporale Aspekte des internationalen Handels untersucht werden, wogegen die Auswirkungen auf die Spezialisierung in der Produktion vernachlässigt werden. Weiterhin wird angenommen, daß der Faktor Arbeit international immobil ist, das heißt, Inländer können nicht im Ausland arbeiten (oder auswandern) und Ausländer können nicht im Inland arbeiten (oder einwandern). Die Wanderungen werden im Kapitel 9 zugelassen. Analog zu (2.2) lautet die Budgetrestriktion eines repräsentativen Haushalts im Land i ά{ = Wj + (r — η,·) α, — c,·.

(3.2)

Dabei bezeichnet r jetzt den Zinssatz der Welt. Geht man von der gleichen Art der Präferenzen der Haushalte wie im Kapitel 2 aus (siehe (2.1) und (2.9)), dann ergibt sich die gleiche Bedingung erster Ordnung für den Konsum wie in (2.10), Ci/Ci = (r-

pi)/6i.

Ausgedrückt in Einheiten des Konsums pro effizienter Arbeitskraft folgt £i/ci = (r - ßi - θιΧί)/θ,

(3.3)

Die Transversalitätsbedingung verlangt wie zuvor in (2.11), daß a,-(f) asymptotisch mit einer Rate kleiner als r — tii wächst. Die Optimumbedingungen für die Unternehmen erfordern nach den Gleichungen (2.21) und (2.22) wiederum den Ausgleich zwischen den Grenzproduktivitäten l Da ö , die gesamte Auslandsverschuldung des Landes bezeichnet, stimmt - D , mit dem Saldo der Leistungsbilanz überein. Die Definition d, = D,·/L,· und die Bedingung L,/L, = n, implizieren daher

-Di/Li = -(Α + mdi).

3.1 Das Ramsey-Modell für eine offene Volkswirtschaft

113

und den Faktorpreisen: f(ki)

= r + Sh

[ f Ü c d - h f ' i h ) ] ^ " = wt.

(3.4) (3.5)

Ersetzt man ω, in (3.2) gemäß (3.5), dann läßt sich die Änderung des Vermögens je effizienter Arbeitseinheit unter Berücksichtigung von (3.4) bestimmen als at = f{ki) - ( r + ;c,· + w< vorausgesetzt, das heißt, der Weltzinssatz übersteigt jene gleichgewichtige Wachstumsrate, die für das Land i als geschlossene Völkswirtschaft ermittelt worden ist. Anderenfalls wird der Barwert der Löhne unendlich groß, so daß der erreichbare Nutzen unbeschränkt ist. Wenn r konstant ist, impliziert ( 3 . 4 ) ein konstantes £ / ( i ) , das mit ( £ * ) 0 f f e n bezeichnet wird und das die Bedingung / ' [ ( £ * ) 0 f f e n ] = r + Xi + rii.

> r

Gilt r = pi + 6>,'jt,, dann ist c\(t) konstant. Anderenfalls - also für r < p, + ö/jc, - strebt c,(i) asymptotisch gegen null. Die heimische Volkswirtschaft leiht sich Fremdmittel, um sich zu einem früheren Zeitpunkt ein höheres Konsumniveau leisten zu können - weil sie ungeduldig im Sinne von ρ,+θ,χ,· > r ist —, aber sie bezahlt später den Preis in der Form eines geringen Wachstums des Konsums. Dagegen ist für eine geschlossene Volkswirtschaft gezeigt worden, daß c, (i) asymptotisch konstant ist. Das Ergebnis einer für r < p,· + θ,χ, gegen null strebenden Variablen c, ist ein weiterer problematischer Aspekt des Ramsey-Modells für eine offene Volkswirtschaft. Die Gleichung (3.6) bezeichnet eine lineare Differentialgleichung erster Ordnung in äi(t). Diese Gleichung determiniert zusammen mit der Formel (3.7) für Cj(t) und dem gegebenen Anfangswert des Vermögens a,(0) den Pfad ä,(t) als äi(t) = äi( 0) +

(ώ·)οββη r - Xi- tu

(">*)offen r — xi — ri;

(3.8)

3.1 Das Ramsey-Modell für eine offene Volkswirtschaft

115

Der letzte Ausdruck auf der rechten Seite entspricht dem Barwert des Lohneinkommens, wobei sich r — xt — η,· > 0 aus der Bedingung r > *,· + ergibt. F ü r r = ρ,+θ,χ, ist r erfüllt ist. Gilt dagegen ρ , + θ , χ < r, dann nehmen c, ( 0 und äi(t) ständig zu, bis schließlich der Konsum des Landes i den Output der gesamten Welt übersteigt. Zuvor wird der Weltzinssatz nach unten angepaßt; insbesondere muß ρ, + GjX > r im langfristigen Gleichgewicht für alle Länder gelten. Als einzige Möglichkeit, bei der diese Bedingung erfüllt ist und bei der der Kapitalbestand der Welt irgend jemandem gehört (so daß der Kapitalstock der Welt mit dem Vermögen der Welt übereinstimmt), ergibt sich r = p\ + θ\χ, also der Ausdruck für das geduldigste Land. Das Land 1 besitzt asymptotisch das gesamte Vermögen im Sinne der Forderungen im Hinblick auf das Kapital und den Barwert der Lohneinkommen aller Länder. Die übrigen Länder besitzen (pro effizienter Arbeitseinheit) langfristig nichts. Der Konsum des Landes 1 wächst asymptotisch mit der Rate η + χ, also mit der gleichen Rate wie der Output der Welt. Der Quotient aus dem Konsum des Landes 1 und dem Output der Welt strebt gegen eine positive Konstante, während der Quotient für alle anderen Länder gegen null konvergiert. 2 2

Ähnliche Ergebnisse stellen sich für ein einzelnes Land ein, das Μ Familiendynastien mit unter-

116

Kapitel 3. Die offene Volkswirtschaft

Zusammenfassend ergeben sich für das Ramsey-Modell in der Version einer offenen Volkswirtschaft mehrere Ergebnisse, die der Realität widersprechen. Die Variablen k„ yt und wt konvergieren unmittelbar gegen ihre langfristigen Gleichgewichtswerte. Zusätzlich strebt c, für alle Länder außer dem geduldigsten Land gegen null, und α, wird schließlich negativ. Dagegen werden die Nettoauslandsforderungen und der Leistungsbilanzsaldo der ungeduldigsten Länder nicht nur negativ, sondern auch groß im Verhältnis zum Bruttoinlandsprodukt. Hierzu äquivalent entwickeln sich die Zeitpfade der heimischen Konsumausgaben und der Investition sehr unterschiedlich im Vergleich zum Pfad der heimischen Produktion. Ein Ansatzpunkt, einige der problematischen Ergebnisse zu überdenken, bezieht sich auf das Verhältnis zwischen der Zeitpräferenzrate p, + 9jX und dem Zinssatz r,, die für das Land i gelten. Im Modell der geschlossenen Volkswirtschaft des Kapitels 2 wird der Zinssatz rt angepaßt, bis er im langfristigen Gleichgewicht mit Pi + θ,χ übereinstimmt, wogegen r, in einer offenen Volkswirtschaft auf der Höhe des Weltzinssatzes r festgelegt wird. Gilt r, < ρ; + 0tx, dann strebt das Verhältnis von Konsum zu Output asymptotisch gegen null. Im anderen Fall mit r, > ρ, + θ,χ strebt die Konsumquote gegen unendlich. Bevor dieser Fall jedoch eintritt, besitzt das Land das gesamte Vermögen der Welt, und der Zinssatz der Welt wird angepaßt, bis er gleich ρ, + θ,χ ist. Dieses Ergebnis trifft für das geduldigste Land zu, während sich alle anderen Länder irgendwann in der Situation befinden, in der r; < p,· + OjX gilt, so daß die Konsumquote gegen null strebt. Um ein derartiges Ergebnis zu vermeiden, wird ein Mechanismus benötigt, der nicht nur im geduldigsten Land, sondern vielmehr in allen Ländern die Divergenz zwischen r; und p, + ö,x beseitigt. Demnach muß entweder r,· von r abweichen oder sonst muß die effektive Zeitpräferenzrate ρ, + OjX variieren. Die Untersuchung beginnt mit einem Modell, in dem sich r, und r unterscheiden.

3.2

Die Weltwirtschaft mit einer Beschränkung des internationalen Kredits

Der erste Versuch, die Vorhersagen des Wachstumsmodells der offenen Völkswirtschaft zu verbessern, bringt die Einführung einer Restriktion für die internationale Kreditnahme mit sich. Im vorangegangenen Abschnitt ist ein Gleichgewicht beschrieben worden, in dem eine offene Volkswirtschaft schließlich ihr gesamtes Kapital und Arbeitseinkommen verpfändet, während das Verhältnis des Konsums zum Bruttoinlandsprodukt gegen null strebt. Wie Cohen und Sachs (1986) beobachten, kann die Wohnbevölkerung der Völks wirtschaft in dieser Art des Gleichgewichts irgendwann ihren Verbindlichkeiten nicht mehr nachkommen. Solange die Verzugsstrafe auf einen bestimmten Anteil des heimischen Outputs oder des heimischen schiedlichen Werten für die Zeitpräferenzraten p ; + θ,χ umfaßt. Wiederum besitzt die geduldigste Familie asymptotisch am Ende alles. Allerdings wird das Ergebnis im Fall der Familien dadurch abgemildert, daß die Präferenzparameter nicht vollständig vererbt werden und die Familien untereinander heiraten können. Ähnliche Überlegungen lassen sich auf Länder übertragen, insbesondere wenn Wanderungen der Bevölkerung zugelassen werden.

3.2 Die Weltwirtschaft mit einer Beschränkung des internationalen Kredits

117

Kapitalstocks beschränkt ist, ziehen es die Einwohner (oder der Staat) zu einem gewissen Zeitpunkt vor, ihre Zahlungsunfähigkeit einzuräumen als auf dem Pfad zu verbleiben, auf dem die Konsumquote gegen null strebt. Da der unvermeidliche Zahlungsverzug von den Kreditgebern wahrscheinlich vorhergesehen wird, ist der zuvor beschriebene Pfad kein Gleichgewicht, selbst vor dem Verzugszeitpunkt nicht. Insbesondere die Einwohner eines ungeduldigen Landes erreichen schließlich einen Punkt, in dem sie nicht in der Lage sind, den gewünschten Betrag di(t) zum Zinssatz der Welt r zu leihen. Wenn die Einwohner einer offenen Volkswirtschaft nun Restriktionen in bezug auf ihre Kreditaufnahme unterliegen, muß ihr optimales Verhalten erneut untersucht werden.

3.2.1

Aufbau eines Modells mit physischem Kapital und Humankapital

Für die weitere Analyse erweist es sich als hilfreich, zwei Arten von Kapital zu unterscheiden. Eine der beiden Kapitalformen kann als Sicherheit für ausländische Kredite eingesetzt werden, die andere nicht. Beispielsweise wird das Humankapital in der Regel nicht als Sicherheit für Darlehen angesehen, während zumindest einige Arten des physischen Kapitals akzeptiert werden, weil der Gläubiger physische Objekte im Verzugsfall in Verwahrung nehmen kann. In der Produktionsfunktion y = f(k, h) = Akah"

(3.9)

werden nun zwei Kapitalformen erfaßt, wobei k das physische Kapital pro effizienter Arbeitseinheit und h das Humankapital pro effizienter Arbeitseinheit bezeichnet.3 Die Produktionsfunktion wird in der Cobb-Douglas-Form angesetzt, in der a die Ertragsquote des physischen Kapitals ist und η die Ertragsquote des Humankapitals angibt, wobei 0 < a < l , 0 < j j < l und 0 < α + η < 1. Die Bedingung 0 < α + η < 1 stellt fallende Grenzproduktivitäten in der Akkumulation des Kapitals im weiten Sinne sicher, das heißt für eine proportionale Veränderung des physischen Kapitals und des Humankapitals. Wie bisher wird von der Annahme einer Ein-Sektor-Produktionstechnik ausgegangen, bei der die Einheiten des Outputs gleichermaßen für den Konsum, für zusätzliches physisches Kapital oder für zusätzliches Humankapital eingesetzt werden können. (Das Kapitel 4 befaßt sich weiter mit dem Modell, und das Kapitel 5 führt einen separaten Bildungssektor ein, in dem neues Humankapital hergestellt wird.) In Fortsetzung zu (3.6) lautet die Budgetrestriktion ä = ic + h-d 3

= Αίαϊιη - (r + 8) (k + h - ä) - (n + χ + δ) ä - c,

(3.10)

Die Analyse ist Barro, Mankiw und Sala-i-Martin (1992) entlehnt. Ein alternatives Modell von Cohen und Sachs (1986) behält zwar eine Alt von Kapital bei, unterstellt aber, daß lediglich ein Kapitalanteil ν mit 0 < ν < 1 als Sicherheit für ausländische Kredite dient. Die Ergebnisse dieses alternativen Ansatzes sind ähnlich, aber nicht ganz so einfach wie die Resultate des Modells mit zwei Kapitalformen.

118

Kapitel 3. Die offene Volkswirtschaft

wobei ä = k + h — d gilt und der Länderindex i aus Gründen der Vereinfachung vernachlässigt wird. Außerdem wird vorausgesetzt, daß für beide Kapitalformen der gleiche Abschreibungssatz S zutrifft.

3.2.2

Die geschlossene Volkswirtschaft

Kehrt man für einen Augenblick zu einer geschlossenen Volkswirtschaft zurück, dann gelten d — 0 und a = k + h. Damit sind die Resultate in bezug auf den Wachstumsprozeß die gleichen, wie sie im Kapitel 2 erarbeitet worden sind. Allerdings werden nun durch die weitgefaßte Interpretation des Kapitals sowohl physisches Kapital als auch Humankapital explizit berücksichtigt. Die Investoren gleichen die Grenzproduktivitäten beider Kapitalformen dem Wert r + S an, wobei r den heimischen Zinssatz bezeichnet. Zusammen mit der Cobb-Douglas-Produktionsfunktion (3.9) impliziert diese Bedingung, daß das Verhältnis k/h auf dem Wert α/η fixiert ist.4 Im langfristigen Gleichgewicht entsprechen die Mengen der beiden Formen des Kapitals pro effizienter Arbeitseinheit den Konstanten k* und h*, wobei k*/h* = α/η ist. Beginnt man mit k{0) < k* und h(0) < h*, dann bringt der Übergang ein Wachstum von k, h, und y mit sich. Wie in der vorherigen Analyse fallen die Wachstumsraten während der Übergangszeit. Im Ramsey-Modell des Kapitels 2 hängt die Geschwindigkeit der Konvergenz zum langfristigen Gleichgewicht von der Kapitalertragsquote ab. Diese Quote ist in der Cobb-Douglas-Version des Modells mit einer Kapitalform gleich α und entspricht nun in dem Modell mit zwei Kapitalarten dem Wert α + η. Außer der Substitution von α durch α + η sind die Ergebnisse identisch mit den Resultaten des Kapitels 2. Insbesondere bleibt die Formel (2.34) für den Konvergenzkoeffizienten β im logarithmisch linearisierten Modell erhalten, sofern α durch α + η ersetzt wird. 2ß=

(ί2

+ 4 - —

η

- ( δ +

ρ +

θχ)

8 +ρ

+ θχ

α + η

- (η + λ: +

]} -,

δ)

(3.11) wobei ζ = ρ — n — (\ — θ) χ > 0 ist. Wenn man beispielsweise a = 0,30 und η = 0,45 unterstellt, dann stimmen die Ergebnisse über die Geschwindigkeit der Konvergenz mit den Resultaten des Kapitels 2 überein, die für den Fall einer Kapitalertragsquote von 0,75 ermittelt worden sind. Unter Berücksichtigung der Referenzwerte für die übrigen Variablen - also n = 0, 01 pro Jahr, χ = 0,02 pro Jahr, δ = 0,05 pro Jahr und ρ = 0,02 pro Jahr - ergibt sich bei θ = 3 eine Geschwindigkeit der Konvergenz von β = 0,015 pro Jahr. 4 Die Volkswirtschaft springt von jedem Startwert k(0) / Λ(0) auf α/η, wenn sich beide Investitionsformen beliebig umkehren lassen, so daß alle Einheiten von k unmittelbar in Einheiten von h umgewandelt werden können und umgekehrt. Wenn die Bruttoinvestition in jede Kapitalform nichtnegativ sein muß, dann ergibt sich eine kompliziertere Dynamik des Übergangs. Derartige Effekte werden im Kapitel 5 untersucht.

3.2 Die Weltwirtschaft mit einer Beschränkung des internationalen Kredits

3.2.3

119

Die offene Volkswirtschaft

Die Unterscheidung zwischen den beiden Kapitalformen wird interessanter, wenn man im Hinblick auf eine offene Volkswirtschaft die Restriktion für den Kreditmarkt einführt. Zu diesem Zweck wird angenommen, daß die Höhe der Verschuldung d gegenüber dem Ausland zwar positiv sein darf, aber den Wert des physischen Kapitals k nicht übersteigen kann. Im Gegensatz zum Humankapital und zur einfachen Arbeit kann das physische Kapital als Sicherheit für Auslandskredite eingesetzt werden. Implizit wird angenommen, daß die Inländer den physischen Kapitalstock besitzen, aber einen Teil der Finanzierung oder die gesamte Finanzierung dieser Kapitalmenge durch die Emission von Wertpapieren an die Ausländer bestreiten. Allerdings bleiben die Resultate unverändert, wenn man Direktinvestitionen des Auslands zuläßt, so daß den Ausländern unmittelbar ein Teil des physischen Kapitalstocks anstatt der Wertpapiere gehören. Die wesentliche Annahme besteht darin, daß die Inländer weder ihr Humankapital noch ihre einfache Arbeit beleihen können und daß die Ausländer kein heimisches Humankapital und keine einfache Arbeit besitzen. Die Kreditrestriktion läßt sich unter verschiedenen Aspekten begründen. Das physische Kapital kann einfacher als das Humankapital den Eigentümer wechseln, so daß es sich leichter durch Kreditaufnahme finanzieren läßt. Auch ist das physische Kapital zugänglicher für Direktinvestitionen aus dem Ausland, denn ein Wirtschaftssubjekt kann zwar eine Fabrik besitzen, aber nicht die laufenden Arbeitseinkommen eines anderen. Schließlich kann man die Unterscheidung zwischen dem „physischen Kapital" und dem „Humankapital" aufgeben und berücksichtigen, daß nicht alle Investitionen durch einen vollkommenen Kapitalmarkt finanziert werden können. Der wesentliche Unterschied zwischen k und h bezieht sich im vorliegenden Kontext nicht auf die physische Natur des Kapitals, sondern vielmehr darauf, ob die kumulierten Gütermengen als Sicherheit für die Kreditnahme am Weltmarkt akzeptiert werden oder nicht. Wie zuvor wird von einem konstanten Zinssatz r am Weltmarkt ausgegangen. Darüber hinaus wird jener Zinssatz angenommen, der sich im langfristigen Gleichgewicht einer geschlossenen Volkswirtschaft einstellt: r = ρ + θχ. Damit ist die heimische Volkswirtschaft genauso geduldig oder ungeduldig wie die Welt insgesamt. (Die Analyse läßt sich unmittelbar auf den Fall r < ρ + θχ erweitern.) Der Startwert des Vermögens pro effizienter Arbeitseinheit ist durch k(0) + h(0) — h* ist die Kreditrestriktion nicht wirksam, und die Volkswirtschaft springt in ihr langfristiges Gleichgewicht. Gilt dagegen £(0) + h(0) — d{0) < h*, dann greift die Restriktion - das heißt d = k - , so daß sich einige neue Ergebnisse einstellen, die im folgenden untersucht werden.5 5

Wenn r < ρ + θχ ist, wird die heimische Volkswirtschaft irgendwann von der Restriktion am Welt-

120

Kapitel 3. Die offene Volkswirtschaft

Da das physische Kapital als Sicherheit dient, stimmt die Nettogrenzproduktivität dieser Kapitalform /* - S zu jedem Zeitpunkt mit dem Zinssatz am Weltmarkt r überein, wobei die Grenzproduktivität des Kapitals bezeichnet. Im Fall der Cobb-Douglas-Produktionsfunktion (3.9) impliziert die Formel für f k daher k = cey/(r + 8).

(3.12)

Die Gleichung (3.12) stellt während des Übergangs zum langfristigen Gleichgewicht ein konstantes Verhältnis von physischem Kapital zum Bruttoinlandsprodukt, also k / y , sicher. Dagegen würde k / y während des Übergangs im Fall einer geschlossenen Volkswirtschaft ständig steigen. Die ungefähre Konstanz von k / y über die Zeit ist einer der wesentlichen Tatbestände, die Kaldor (1963) bei der Entwicklung von Volkswirtschaften beobachtet hat und die in der Einführung diskutiert worden sind. Die Konsistenz der Kreditmarktrestriktion im Modell einer offenen Volkswirtschaft mit dieser „Tatsache" ist daher bemerkenswert.6 Das Ergebnis (3.12) für k läßt sich mit der Produktionsfunktion (3.9) kombinieren, um y als Funktion von h auszudrücken, y = Bh\

(3.13)

wobei Β = Λ 1 / ( 1 - α ) · [ a / ( r + δ)] 0 ^ 1 -·*) und e ξ η / ( 1 - α ) gesetzt werden. Die Bedingung 0 < α + η < 1 impliziert 0 < e < a + r j < l . Also beschreibt die reduzierte Produktionsfunktion (3.13) y als Funktion von h , die eine positive und abnehmende Grenzproduktivität aufweist. Die Implikationen dieses Modells in bezug auf die Konvergenz sind daher ähnlich denen der geschlossenen Volkswirtschaft - beide Modelle implizieren die Akkumulation von Kapital unter den Bedingungen abnehmender Grenzproduktivitäten. Die Budgetrestriktion (3.10) kann mit der reduzierten Produktionsfunktion (3.13), mit der Kreditmarktrestriktion d = k (die a = h impliziert) und mit der Bedingung ( r + S ) k = a y aus (3.12) kombiniert werden, so daß man die revidierte Budgetrestriktion erhält:

h = ( l - a ) B h

(

~(x +n+S)h-c.

(3.14)

Dabei entspricht der Ausdruck a B h ( , der in der Gleichung von B h ( abgezogen wird, dem Strom der Nutzungsentgelte für das physische Kapital (r + ρ + θ χ wird schließlich die Annahme eines kleinen Landes verletzt, und r muß sich ändern. 6 Die exakte Konstanz von k / y hängt in dem Modell von der Fixierung des Weltzinssatzes r sowie von der Annahme einer Cobb-Douglas-Produktionsfunktion ab. Die Produktionsfunktion impliziert ein proportionales Verhältnis zwischen der Durchschnittsproduktivität y / k und der Grenzproduktivität des Kapitals. Weil die Grenzproduktivität des Kapitals abzüglich des Abschreibungssatzes mit dem fixierten Zinssatz am Weltmarkt r übereinstimmt, muß die Durchschnittsproduktivität y / k konstant sein.

3.2 Die Weltwirtschaft mit einer Beschränkung des internationalen Kredits

121

so daß er die Differenz zwischen dem Bruttosozialprodukt und dem Bruttoinlandsprodukt (pro effizienter Arbeitseinheit) angibt. Das Bruttoinlandsprodukt übersteigt das Bruttosozialprodukt, weil die Restriktion des internationalen Kreditmarktes für das betrachtete Land wirksam ist, so daß für seine positive Verschuldung gegenüber dem Ausland d = k gilt. Werden die Güter direkt von den Haushalten hergestellt, dann maximieren diese Haushalte ihren Nutzen (gemäß den Gleichungen (2.1) und (2.9)) unter der Budgetrestriktion (3.14) und einem gegebenen Anfangsbestand an Humankapital h(0) > 0. (Der Startwert h(0) stimmt mit dem gegebenen Anfangsbestand an Vermögen überein, der annahmegemäß kleiner als h* ist.) Die Optimierungsbedingung für den Konsum über die Zeit lautet

wobei für die Grenzproduktivität des Humankapitals fh — (1 — a) Beh€~l = Βηϊι(~ι gilt. Die Gleichung (3.15) entspricht der üblichen Form aus (3.3), sofern r in der Gleichung (3.3) als heimischer interner Zinssatz interpretiert wird, der gleich fh — S ist. Die Gleichungen (3.14) und (3.15) beschreiben zusammen mit der üblichen Transversalitätsbedingung vollständig die Übergangsdynamik dieses Modells. Aufgrund der Annahme r = p + θχ stellt sich das gleiche langfristige Gleichgewicht wie für eine geschlossene Volkswirtschaft mit physischem Kapital und Humankapital ein. Demnach beeinflußt die Möglichkeit, Kredite auf dem Weltmarkt aufzunehmen, das langfristige Gleichgewicht nicht. Lediglich die Geschwindigkeit der Konvergenz variiert.7 Das System aus (3.14), (3.15) und der Transversalitätsbedingung weist die übliche Übergangsdynamik auf. Daher lassen sich die Ergebnisse mit jenen Ergebnissen vergleichen, die sich aus dem Modell einer geschlossenen Volkswirtschaft mit den Kapitalgütern k und h ergeben haben, wobei der weitgefaßte Kapitalstock pro Arbeitskraft k + h ist und die Kapitalertragsquote durch α + η gegeben wird. Die einzigen Unterschiede bestehen darin, daß (3.14) den Ausdruck (1 — α) Β als konstanten Proportionalitätsfaktor in der Produktionsfunktion enthält, daß die Variable für den Kapitalstock h anstatt k+h ist und daß für den Exponenten des Kapitalstocks e = η/(1 — α) anstatt α + η gilt. Da sowohl e als auch α + η positiv und kleiner als eins sind - das heißt, beide Modelle weisen fallende Grenzproduktivitäten auf - , stimmt die Dynamik der beiden Modelle im wesentlichen überein. Die Gleichung für den Konvergenzkoeffizienten β entspricht (3.11) für eine geschlossene Volkswirtschaft. Lediglich der Parameter für den Kapitalanteil α + η muß durch e = η / ( \ — α) ersetzt werden. (Man beachte, daß das Niveau der Produktionstechnik keinen Einfluß auf die Konvergenzrate besitzt.) Somit ist der 'Unter der Annahme r < p+θχ - so daß die heimische Volkswirtschaft ungeduldiger als der Rest der Welt ist (vgl. Fußnote 5) - berührt die Verfügbarkeit von Fremdkapital auch die Lage des langfristigen Gleichgewichts. Die offene Volkswirtschaft weist in diesem Fall höhere gleichgewichtige Kapitalintensitäten k* und h* als die geschlossene Volkswirtschaft auf.

122

Kapitel 3. Die offene Volkswirtschaft

Konvergenzkoeffizient für die offene Volkswirtschaft mit einer Restriktion für den Kreditmarkt durch 2β=ψ

&

+-±Ε±^Α1-^{& {χ

+ ρ + θχ)·

+ η +

8 ) ψ -

ζ

(3.16)

gegeben, wobei ζ = ρ — η — (1— θ)χ > 0 ist. Der Koeffizient aus (3.16) nimmt den gleichen Wert an, der sich für eine geschlossene Volkswirtschaft einstellt, sofern die geschlossene Volkswirtschaft den Anteil des weitgefaßten Kapitals e anstatt α + η aufweist. Wegen e ξ η/(\ — α) ergibt sich e < α + η (wobei die Bedingung α + η < 1 zu beachten ist). Die offene Volkswirtschaft mit einer Restriktion ßr den internationalen Kreditmarkt verhält sich daher wie eine geschlossene Volkswirtschaft mit einem Anteil des weitgefaßten Kapitals, der kleiner als α + η ist. Dabei ist zu beachten, daß die Konvergenzrate in einem inversen Verhältnis zum Kapitalanteil steht (weil ein kleinerer Kapitalanteil mit schneller einsetzenden, fallenden Grenzproduktivitäten verbunden ist). Damit weist die restringierte offene Volkswirtschaft eine höhere Konvergenzrate als eine geschlossene Volkswirtschaft auf. Jedoch ist zu berücksichtigen, daß α + η 1 den Grenzwert e -» 1 impliziert, so daß in (3.16) -> 0 resultiert. Also generiert das Modell weiterhin keine Konvergenz, wenn das weitgefaßte Kapital keine abnehmenden Grenzproduktivitäten aufweist (α + η = l). 8 Die Erklärung, warum die teilweise offene Volkswirtschaft schneller als die geschlossene Volkswirtschaft konvergiert, ist in den tendenziell fallenden Grenzproduktivitäten zu suchen, während das Humankapital h* akkumuliert wird. Für gegebene Exponenten der Produktionsfunktion α und η liegt das Hauptproblem im Übergangs verhalten des Quotienten k/h. In der geschlossenen Volkswirtschaft bleibt k/h konstant (bei dem Wert α/η)·, dagegen fällt k/h in der offenen Volkswirtschaft während der Übergangszeit (siehe unten). Zu Beginn ist k in einer offenen Volkswirtschaft relativ hoch, weil die Verfügbarkeit ausländischer Finanzmittel den schnellen Erwerb physischen Kapitals vereinfacht. Fällt k/ h in der Zeit, dann setzen fallende Grenzproduktivitäten von h schneller als im anderen Fall ein; also ist die Geschwindigkeit der Konvergenz in der offenen Volkswirtschaft größer als in der geschlossenen Völkswirtschaft. Obwohl die restringierte offene Volkswirtschaft schneller als die geschlossene Volkswirtschaft konvergiert, ist die Geschwindigkeit der Konvergenz nun im Fall der offenen Volkswirtschaft endlich. Für die Werte a = 0,30 und η = 0,45 ergibt sich aus (3.16) zusammen mit den zuvor erwähnten Referenzwerten für die übrigen Parameter eine Geschwindigkeit der Konvergenz von 0,025 im Vergleich zu 0,015 für die geschlossene Volkswirtschaft. Dieser Wert von 0,025 wird von den empirischen Schätzungen des Konvergenzkoeffizienten in etwa bestätigt. s Für a = 0 existiert kein Kapital, das als Sicherheit für Kredite akzeptiert wird, so daß e = η resultiert. Außerdem entspricht β aus (3.16) dem Wert aus (3.11) für eine geschlossene Volkswirtschaft (mit einem Kapitalanteil von η). Wird umgekehrt das gesamte Kapital als Sicherheit akzeptiert, dann ergibt sich aus η = 0 die Bedingung e = 0; außerdem wird β aus (3.16) wie in der offenen Volkswirtschaft mit vollkommener Kapitalmobilität unendlich groß.

3.2 Die Weltwirtschaft mit einer Beschränkung des internationalen Kredits

123

Rückblickend ist bekannt, daß eine offene Volkswirtschaft mit vollkommener Kapitalmobilität mit einer unendlichen Rate konvergiert. Also entspricht das Verhalten einer offenen Volkswirtschaft bei teilweiser Kapitalmobilität eher einer geschlossenen als einer ganz offenen Volkswirtschaft. Obwohl das Ergebnis bis hierher lediglich für spezielle Parameter α und η abgeleitet worden ist, läßt sich das Resultat erheblich verallgemeinern. Erhöht man α/η für gegebene Werte von α + η, dann wird der Grad der Kapitalmobilität erhöht, so daß der Konvergenzkoeffizient β steigt. Für die Referenzwerte der übrigen Parameter (einschließlich a + η = 0,75) steigt β von 0,015 für α/η = 0 auf 0,030 für α/η = 1, auf 0,042 für α/η = 2 und auf 0,053 für α/η = 3. Unterstellt man unter Berücksichtigung der Referenzwerte für die übrigen Parameter, daß nicht mehr als die Hälfte des gesamten Kapitalstocks als Sicherheit für Auslandskredite zugelassen wird ( α / η < 1), dann fällt daher der vorhergesagte Konvergenzkoeffizient auf ein enges Intervall von 0,015 bis 0,030 pro Jahr, das von den empirischen Schätzungen bestätigt wird.9 Der Übergang zum langfristigen Gleichgewicht beinhaltet einen monotonen Anstieg des Humankapitals pro effizienter Arbeitseinheit h von seinem Anfangswert h(0) auf seinen langfristigen Gleichgewichtswert h*. Die Gleichung (3.13) impliziert eine Wachstumsrate von y in der Höhe von e multipliziert mit der Wachstumsrate von h, wobei e zwischen null und eins liegt. Somit steigt die Quote h/y während des Übergangs fortwährend. Dagegen impliziert (3.12), daß der Quotient k/y konstant bleibt. Also wächst k mit derselben Rate wie y, und das Verhältnis von Humankapital zu physischem Kapital h/k steigt während des Übergangs. Obwohl das physische Kapital vollständig als Sicherheit für Fremdkapital dient, steigt k dennoch kontinuierlich in Richtung auf seinen gleichgewichtigen Wert k*. Der Grund liegt in der Beschränkung der heimischen Ersparnis in bezug auf die Akkumulation des Humankapitals sowie in der Komplementarität zwischen h und k in der Produktionsfunktion. Für ein geringes h ergibt sich eine niedrige Grenzproduktivität des physischen Kapitals; also folgt k < k*, obwohl die heimischen Produzenten jede Anschaffung des physischen Kapital durch ausländische Kredite finanzieren können. Die graduelle Zunahme des Humankapitals wirkt sich positiv auf die Grenzproduktivität des physischen Kapitals aus und führt daher zu einer Ausweitung von k. Die Kreditaufnahme im Ausland betrifft nur die Darlehen, die durch physisches Kapital abgesichert sind, wobei der Zinssatz für diese Kredite auf dem Zinssatz r am Weltmarkt fixiert ist. Man kann auch einen heimischen Kreditmarkt zulassen, obwohl der Modellansatz mit einem repräsentativen heimischen Akteur sicherstellt, daß kein Wirtschaftssubjekt im Gleichgewicht Kredite aufnimmt. Der Schattenzinssatz auf dem heimischen Markt für Kredite, die durch physisches Kapital abgesichert sind, muß ebenfalls gleich r sein. Solange angenommen wird, daß das 9 Barro, Mankiw und Sala-i-Martin (1992) verallgemeinern die Produktionsfunktion (3.9) von einer Cobb-Douglas-Funktion zu einer Funktion mit konstanter Substitutionselastizität (CES). Der Grad der Substituierbarkeit beeinflußt den Wert von β - je weniger k und h gegeneinander in der Produktion substituiert werden können, desto größer wird ß. Jedoch bleibt β für die üblichen Referenzwerte mit α/ΐ) < 1 auf ein enges Intervall von 0,014 bis 0,035 beschränkt. Somit stimmen die theoretischen Vorhersagen selbst in dem allgemeineren Fall mit den empirischen Schätzungen für β überein.

124

Kapitel 3. Die offene Volkswirtschaft

Humankapital und die einfache Arbeit auch im Inland nicht als Sicherheit akzeptiert werden, ist der Schattenzinssatz auf dem heimischen Markt wie auf dem Weltmarkt für diese Form der Sicherheit unendlich groß (oder zumindest so groß, daß die gewünschte Kreditaufnahme gleich null wird). Statt dessen kann angenommen werden, daß das Humankapital und die einfache Arbeit zwar im Inland, aber nicht auf dem Weltmarkt als Sicherheit für Kredite dienen. Dieser Fall trifft zu, wenn das Rechtssystem Kreditverträge schützt, die auf dem Arbeitseinkommen basieren, solange der Kreditgeber Inländer ist, aber derartige Verträge verbietet, sofern der Kreditgeber aus dem Ausland kommt. 10 In diesem Fall stimmt der Schattenzinssatz für die heimische Kreditvergabe, bei der das Arbeitseinkommen als Sicherheit dient, mit der Nettogrenzproduktivität des Humankapitals überein. Dabei beginnt diese Nettogrenzproduktivität auf einem relativ hohen Niveau (entsprechend dem geringen Anfangswert des Humankapitals h{0)), und fällt dann allmählich auf den langfristigen Gleichgewichtswert r. Also nimmt der Abstand zwischen dieser Art des heimischen Zinssatzes und dem Zinssatz am Weltmarkt r während des Übergangs ab. Als Beispiel läßt sich der Freiverkehr für ungeregelte Kredite in Korea anführen (vgl. Collins und Park (1989, S. 353)). Der Abstand zwischen den Zinssätzen auf diesem Markt und dem Weltmarkt hat in den sechziger und siebziger Jahren 30 bis 40 Prozentpunkte betragen, ist aber in der Mitte der achtziger Jahre auf ungefähr 15 Prozentpunkte gefallen. Trotz der Existenz eines internationalen Kreditmarktes impliziert das Modell, daß die Konvergenzeigenschaften des Bruttosozialproduktes (BSP) und des Bruttoinlandsprodukts (BIP) übereinstimmen. Wie bereits erwähnt worden ist, lautet das Nettofaktoreinkommen aus dem Ausland (pro effizienter Arbeitseinheit) — (r + δ) k = —ay, so daß BSP (pro effizienter Arbeitseinheit) = y — ay = (1 — a) y

(3.17)

folgt. Da sich das Bruttosozialprodukt proportional zum Bruttoinlandsprodukt verhält, das mit y übereinstimmt, konvergieren sowohl das Bruttosozialprodukt als auch das Bruttoinlandsprodukt mit derselben Rate. Diese Aussage legt nahe, daß die Datensätze, die das Bruttoinlandsprodukt einbeziehen, wahrscheinlich ähnliche Konvergenzraten wie jene Daten erzeugen, die das Bruttosozialprodukt oder andere Maße des Volkseinkommens einschließen. Eine gewisse Bestätigung dieser Vorhersage liefert die Studie von Barro und Sala-i-Martin (1991) über die US-amerikanischen Staaten: Sowohl das Bruttoinlandsprodukt pro Kopf als auch das persönliche Einkommen (personal income) pro Kopf der einzelnen Staaten führen zu ähnlichen Konvergenzraten. Das Modell impliziert eine große Lücke zwischen dem Bruttoinlandsprodukt 10 Wenn die Kreditaufnahme im Ausland direkt durch den Staat des Inlandes vorgenommen wird, dann sind in den Sicherheiten die Bürgschaften des Staates enthalten. In diesem Fall eignet sich das heimische physische Kapital möglicherweise auch nicht gut als Sicherheit für ausländische Kredite - sofern der Staat sich nicht selbst zur Schuldentildung anhält obwohl es bei einer Kreditaufnahme im Inland durchaus als Sicherheit dienen kann (wenn der Staat private Kreditverträge auf dem heimischen Markt mit physischem Kapital als Sicherheit schützt).

3.3 Variationen der Parameter der Präferenzen

125

und dem Bruttosozialprodukt für eine restringierte offene Volkswirtschaft: etwa 2025% des Bruttoinlandsprodukts für die zuvor angenommenen Parameterwerte. Das Leistungsbilanzdefizit, das gleich der Änderung des physischen Kapitalstocks ist, ist dementsprechend groß. In der Regel lassen sich keine Entwicklungsländer angeben, die eine derartig große Abweichung zwischen dem Bruttoinlandsprodukt und dem Bruttosozialprodukt und ein so hohes Leistungsbilanzdefizit aufweisen.11 Man kann sich jedoch mit der Theorie abfinden, wenn man zwei Aspekte berücksichtigt. Erstens sind viele Entwicklungsländer zu unproduktiv, als daß eine Kreditrestriktion wirksam wird und zweitens sind die Sicherheiten für eine internationale Verschuldung wesentlich knapper als das physische Kapital. Wenn der Koeffizient α kleiner als 0,3 ist, sind die vorhergesagten Quoten für die Lücke zwischen dem Bruttoinlandsprodukt und dem Bruttosozialprodukt sowie für das Leistungsbilanzdefizit entsprechend kleiner. Die Einführung einer Kreditbeschränkung beseitigt einige der unrealistischen Vorhersagen des Modells einer offenen Volkswirtschaft mit vollkommener Kapitalmobilität, wobei insbesondere die Geschwindigkeiten der Konvergenz für den Kapitalstock sowie für den Output nicht länger unendlich groß sind. Dennoch läßt sich die Frage untersuchen, was passiert, wenn sich die Länder im Ausmaß ihrer Ungeduld unterscheiden, das durch die Kombination der Präferenzparameter ρ, + θ·,χ wiedergegeben wird. Bei vollkommenen Kapitalmärkten ist bereits gezeigt worden, daß alle Länder außer dem geduldigsten Land einem Pfad folgen, auf dem c gegen null strebt. In dem Modell mit einer Kreditrestriktion ergibt sich jedoch die Vorhersage, daß alle Länder außer dem geduldigsten Land schließlich eine Situation erreichen, in der die Einwohner auf dem internationalen Kreditmarkt effektiv einer Restriktion unterliegen (siehe Fußnote 5). Die Kreditbeschränkung impliziert, daß c sich einer positiven Konstanten nähert, also eine überzeugendere Asymptote als null. Dennoch verwundert es, daß alle Länder bis auf das geduldigste Land letztendlich der Kreditrestriktion unterliegen. Um dieses Ergebnis zu vermeiden, werden in den nachstehenden Abschnitten Modelle betrachtet, in denen die effektive Zeitpräferenzrate ρ, + θ,χ variiert.

3.3

Variationen der Parameter der Präferenzen

Nun wird untersucht, ob einige der störenden Implikationen des Ramsey-Modells einer offenen Volkswirtschaft beseitigt werden können, wenn die Präferenzparameter pi und 9i variieren dürfen. Die Idee, die von Uzawa (1968) stammt, basiert auf der Vermutung, daß die Zeitpräferenzrate und die Bereitschaft, den Konsum über die Zeit zu substituieren, vom Niveau des Vermögens eines Haushaltes oder dem Konsum abhängen und sich daher verändern, wenn α,· und c, variieren. Kehrt man zum Modell der offenen Volkswirtschaft ohne Kreditrestriktionen zurück, lautet die zentrale Eigenschaft dieses Modells, daß die Länder mit hohen 11 Als Gegenbeispiel läßt sich Singapur anführen, dessen Leistungsbilanzdefizit zwischen 10 und 20% des Bruttoinlandsprodukts in den siebziger Jahren betragen hat (International Monetary Fund (1991)).

126

Kapitel 3. Die offene Volkswirtschaft

Werten für die Zeitpräferenzrate p{ + 9jX > r einem Pfad folgen, auf dem ä,(t) negativ wird und c,(i) auf null fällt. Ein Weg, dieses unerfreuliche Ergebnis zu vermeiden, besteht in der Annahme, daß pt + θιχ abnimmt, wenn ά,(ί) und c,(f) fallen. Demnach müssen sich die Länder oder die Individuen geduldiger verhalten, sowie sie ärmer werden. Uzawa (1968) erhält das gewünschte Ergebnis, indem er unterstellt, daß p t eine positive Funktion von c,(f) ist. Die Aussage ist jedoch wenig überzeugend, weil sie der Intuition widerspricht, daß die Wirtschaftssubjekte ihre Zeitpräferenzrate erhöhen, wenn ihr Konsumniveau steigt.* Das gewünschte Ergebnis läßt sich ebenso durch die Annahme erreichen, daß die Wirtschaftssubjekte um so weniger bereit sind, eine intertemporale Substitution vorzunehmen - das heißt, 0, wächst - , je weiter das Konsumniveau steigt. In der Regel wird jedoch das Gegenteil angenommen. Wie in (2.8) gezeigt worden ist, enthält der Ausdruck für die effektive Zeitpräferenz die negative Elastizität des Grenznutzens —w"(c) • c/u'(c). In der bisher verwendeten Spezifikation ist die Größe der Elastizität konstant und stimmt mit ö,· überein. Jedoch wird die Form der Nutzenfunktion zuweilen modifiziert, um eine variable Elastizität durch die Berücksichtigung eines Existenzminimums in bezug auf den Konsum abzuleiten, u(Ci) =

(C

'~C~')'"e,~1, ι — Vi

(3.18)

wobei Cj > 0 das konstante Existenzminimum angibt. (Dieser Ansatz wird nach Stone (1954) und Geary (1950-51) als Stone-Geary-Form bezeichnet.) Die Gleichung (3.18) impliziert eine Elastizität des Grenznutzens in der Höhe von 0,-c,·/ (c, — c,), die für c, = 0 mit 0, übereinstimmt, aber für c, > 0 in c, fällt. Folglich impliziert die revidierte Formulierung des Nutzens, daß der Ausdruck für die effektive Zeitpräferenz in c, (f) fällt, das heißt, der Ausdruck bewegt sich unter dem Aspekt, die Schwierigkeiten in dem Modell einer offenen Volkswirtschaft zu beseitigen, in die falsche Richtung. Ansprechendere Resultate ergeben sich aus Modellen, in denen von konstanten Parametern p, und für jedes Land (oder jede Familie) ausgegangen wird, die aber die Wirkungen endlicher Planungshorizonte zulassen. Das erste Modell dieser Art, das von Samuelson (1958) und Diamond (1965) stammt, geht von der Annahme aus, daß die Wirtschaftssubjekte eine festgelegte Zahl diskreter Perioden leben, wie beispielsweise die Zeit der Kindheit und des Erwachsenseins. Dabei überlappt sich die Periode, in der die eine Generation erwachsen ist, mit der Kindheit der nächsten Generation. Man spricht daher von einem Modell überlappender Generationen. Die Individuen besitzen in diesen Modellen einen endlichen Planungshorizont - weil sie lediglich zwei Perioden lang leben und sich annahmegemäß nicht um das Wohlergehen ihrer Nachkommen kümmern - , während die Volkswirtschaft immer weiter *Wenn der Grad des Altruismus von der Zeit abhängt, die die Eltern mit ihren Kindern verbringen, dann sind, wie Mulligan (1993) argumentiert, Eltern mit einem hohen Lohneinkommen weniger altruistisch, weil ihre Opportunitätskosten des Zeitvertreibes mit ihren Kindern hoch sind. Demnach müssen reiche Personen hohe Diskontraten anwenden.

3.4 Ökonomisches Wachstum in einem Modell mit endlichem Planungshorizont 127

existiert. Obwohl der Ansatz überlappender Generationen die Effekte eines endlichen Planungshorizonts erfaßt, ergibt sich der Nachteil, daß die Gleichgewichtsbedingungen zu unhandlich werden, um viele der wünschenswerten Anwendungen der komparativen Statik zu verfolgen. Blanchard (1985) behält die Kernidee eines endlichen Horizontes in einem einfacher zu handhabenden Ansatz bei, indem er unterstellt, daß die Wirtschaftssubjekte entsprechend einem Poisson-Prozeß zufällig sterben. Für gegenwärtige Zwecke reicht hier das wichtige Ergebnis seines Modells aus, daß sich der aggregierte Konsum so verhält, als ob der Ausdruck der Zeitpräferenz jedes Individuums positiv mit α, (ί) korreliert ist. Die Resultate stellen sich allerdings aufgrund der Aggregation über die Individuen ein, die sich in bezug auf ihr Alter (und damit auch in bezug auf ihr Vermögen und ihren Konsum) unterscheiden, und nicht aufgrund einer Variation der Präferenzparameter der Individuen. Um diese Ergebnisse abzuleiten, wird zunächst das Modell von Blanchard vorgestellt, anschließend wird der Ansatz auf eine geschlossene Volkswirtschaft angewendet und schließlich wird die Analyse auf eine offene Volkswirtschaft erweitert. Der Anhang enthält eine Analyse der zugehörigen Modelle überlappender Generationen.

3.4

3.4.1

Ökonomisches Wachstum in einem Modell mit endlichem Planungshorizont Wahlmöglichkeiten in einem Modell mit endlichem Horizont

In der vorangegangenen Analyse ist unterstellt worden, daß die Familien von Generation zu Generation weiterleben, so daß die Haushalte mit einem unendlichen Horizont planen. Nun wird zugelassen, daß die Dynastie in endlicher Zeit ausstirbt. Dieses Ende der Familie kann den Tod von Erwachsenen bedeuten, die keine Nachkommen hinterlassen und sich daher nicht um die Angelegenheiten nach ihrem Tod kümmern. Alternativ kann es den Umstand beinhalten, daß Eltern, die eine endlich lange Zeit leben, eine Situation erreichen, in der sie nicht mehr mit ihren Kindern durch Transfers zwischen den Generationen verbunden sind. An dieser Stelle bedeutet der „Tod" das Ende einer Familiendynastie, obwohl dieser Tod nicht dem tatsächlichen Sterben einer Person zu entsprechen braucht. Mit ρ wird die Sterbewahrscheinlichkeit pro Zeiteinheit bezeichnet, so daß eine Person (oder ein Haushalt), die zum Zeitpunkt j geboren worden ist, zum Zeitpunkt t > j mit der Wahrscheinlichkeit e _ p ' ( , _ j ) lebt. Um die Aggregation vornehmen zu können, wird angenommen, daß ρ nicht mit dem Alter variiert. Obwohl diese Annahme in bezug auf den wirklichen Tod eines Individuums unrealistisch ist, bereitet sie weniger Probleme im Zusammenhang mit dem Ende einer Dynastie. Die Wahrscheinlichkeit, zum Zeitpunkt t gestorben zu sein, ist 1 — so daß die Wahrscheinlichkeitsdichte für den Tod zum Zeitpunkt t der Ableitung dieses Ausdrucks, also ρ e~ p d υ.

(3.28)

3.4 Ökonomisches Wachstum in einem Modell mit endlichem Planungshorizont 131

Da die Konsumneigung in bezug auf das Vermögen in (3.25) durch ρ + ρ gegeben ist und demnach nicht vom Alter j abhängt, stimmt die aggregierte Beziehung mit der Relation für ein Wirtschaftssubjekt überein, C(t)

= (p + p)[A(t)

+ W(t)].

(3.29)

Analog zur Gleichung (3.22), die die Änderung des individuellen Konsums über die Zeit bestimmt, läßt sich (3.29) für die Berechnung der aggregierten Größe einsetzen. Die Änderung des aggregierten Konsums über die Zeit C hängt von der zeitlichen Änderung des aggregierten Vermögens A + W ab. Durch Differentiation von (3.27) nach t kann Α berechnet werden. Das Resultat A = r(t) A(t) + w(t) e " ' - C ( t )

(3.30)

enthält mit w(t) e"' die zum Zeitpunkt t ausgezahlten aggregierten Löhne. Bei der Herleitung von (3.30) sind die individuelle Budgetrestriktion (3.21) und die Bedingung a(j, j) = 0 zu beachten, das heißt, alle Individuen werden ohne Vermögen geboren. Wie sich zeigt, entspricht die aggregierte Gleichung dem individuellen Ergebnis in (3.21) mit der Ausnahme, daß der interne Zinssatz für das gesamte Vermögen r ist, während das individuelle Vermögen (für alle Überlebenden) mit r+ ρ verzinst wird. Außerdem läßt sich die Änderung von W berechnen, indem (3.28) nach t differenziert wird. W = [r(t) + ρ + η] W(t) - w(t) e"'

(3.31)

Der letzte Ausdruck auf der rechten Seite stimmt mit den aggregierten Löhnen überein, die effektiv die Dividende für den Vermögensbestand W(t) darstellen. Der erste Term auf der rechten Seite gibt zum einen die Diskontierung der individuellen Löhne mit der Rate r(t) + ρ wieder (weil keine Lohnzahlungen nach dem Tod einer Person erfolgen) und enthält zum anderen die Wachstumsrate der Bevölkerung n. Unter Verwendung von (3.29)—(3.31) läßt sich die zeitliche Änderung des aggregierten Konsums C bestimmen. Das Ergebnis wird in bezug auf die Wachstumsrate des Pro-Kopf-Konsums ausgedrückt,13 c/c = r(t) - ρ - {ρ + η) (ρ + ρ) a(t)/c(t).

(3.32)

Dabei bezeichnet c(f) den aggregierten Konsum dividiert durch die aggregierte Bevölkerung und nicht den Konsum eines überlebenden Individuums. Die Entwicklung des Konsums einer überlebenden Person c(j, t) wird durch (3.22) beschrieben. Das wesentliche neue Element in (3.32) ist durch den Ausdruck (p + n) (p + p)· gegeben. Da ρ + ρ die Konsumneigung in bezug auf das Vermögen bezeichnet, liefert (p + p) a{t) den Pro-Kopf-Konsum, der sich aus a(t) ergibt. Neue

a(t)/c(t)

13

Für θ φ 1 läßt sich dieses Ergebnis verallgemeinern zu c/c = (r - ρ)/θ — [(ρ + η)/θ] [ρ + θρ — (1 - θ) r] a(l)/c(t), sofern r(t) mit der Konstanten r übereinstimmt.

132

Kapitel 3. Die offene Volkswirtschaft

Wirtschaftssubjekte treten in der Volkswirtschaft mit der Rate p + n hinzu. Da alle Personen ohne Vermögen geboren werden, verringert der Strom dieser Personen den durchschnittlichen Pro-Kopf-Konsum um den Wert (p + n) (p + p) a(t). Schließlich ergibt die Division durch c(f) den Beitrag dieses Ausdrucks zur Reduktion der Wachstumsrate des Pro-Kopf-Konsums c/c. Wie sich anhand der Diskussion zeigt, bildet die Ankunft neuer Wirtschaftssubjekte (ohne Vermögen) und nicht das Ausscheiden alter Personen die zentrale Eigenschaft des Ansatzes. Also bleiben, wie Weil (1989) betont, die wesentlichen Ergebnisse auch für eine unendliche Lebenszeit erhalten (p = 0), solange zusätzliche Personen geboren werden (n > 0). Entscheidend ist jedoch, daß sich die alten Leute nicht auf altruistische Weise, wie in dem Ansatz mit unendlichem Planungshorizont im Kapitel 2, um ihre Nachkommen kümmern. Damit lassen sich die neuen Einwohner als ungeliebte Kinder oder Einwanderer auffassen (wie in Weil (1989)). Die Einwanderer werden explizit im Kapitel 9 behandelt.

3.4.2

Das Modell einer geschlossenen Volkswirtschaft mit endlichem Horizont

Wenn man zu dem Modell mit der einzigen Kapitalform k zurückkehrt, gilt für eine geschlossene Völkswirtschaft a = k, f'(k) = r + 0 ist. Die gestrichelte Kurve in der Abbildung 3.1, die die Isokline c = 0 veranschaulicht, liegt daher irgendwo links von der vertikalen Linie. Da das Verhältnis von c zu k entlang der gestrichelten Kurve steigt, nimmt der Wert des Ausdrucks, der k/c enthält, immer weiter in Richtung null ab, so daß sich die gestrichelte Linie asymptotisch der vertikalen Linie nähert. Die langfristigen Gleichgewichtswerte für das Modell der geschlossenen Volkswirtschaft mit einem endlichen Planungshorizont, die durch die Schnittstelle der

3.4 Ökonomisches Wachstum in einem Modell mit endlichem Planungshorizont

133

Abbildung 3.1 Dynamik einer geschlossenen Volkswirtschaft mit einem endlichen Planungshorizont. Die Isokline k = 0 weist den üblichen inversen U-förmigen Verlauf auf. Auch die Isokline c = 0 geht durch den Ursprung, sie steigt jedoch progressiv und nähert sich asymptotisch der Vertikalen bei k = k*. Der stabile Arm verläuft ähnlich wie in dem Ramsey-Modell, so daß auch die Übergangsdynamik beider Modelle ähnlich ist.

durchgezogenen Kurven und der gestrichelten Kurve bestimmt werden, sind in der Abbildung 3.1 mit ^g nde und Cgnde bezeichnet. Eine wichtige Beobachtung besteht darin, daß eine höhere effektive Zeitpräferenzrate zu einer höheren Grenzproduktivität des Kapitals führt und daher eine niedrigere Kapitalintensität (in effizienten Arbeitseinheiten) impliziert, das heißt £g nde < k*. Dementsprechend ist der Zinssatz im langfristigen Gleichgewicht größer als in einer Volkswirtschaft mit unendlichem Planungshorizont, rg nde > r* = p + *, 14 während der Konsum je effizienter Arbeitseinheit geringer ist, Cgnde < c*. Der Übergang von einem Anfangswert £(0) auf &gnde verläuft ähnlich wie im Modell mit einem unendlichen Planungshorizont. Für £(0) < k^nde steigt k monoton entlang der durchgezogenen und mit Pfeilen gekennzeichneten Kurve in der Abbildung 3.1. Die Dynamik der übrigen Variablen - also c, r und die Wachstumsraten von k, y und c - verhält sich ebenfalls ähnlich wie in dem Modell mit unendlichem Planungshorizont. Aus £g nde < k* folgt £g nde < ^goid-siehe die Abbildung 3.1. 15 Also entfaltet das asymptotische Verhalten von k in dem Modell einer geschlossenen Volkswirtschaft 14 Unter Berücksichtigung der Formel in Fußnote 13 läßt sich zeigen, daß dieses Resultat auch für θ φ 1 mit r* = ρ + θχ gilt. Außerdem ist es möglich, rg nde η verwendet worden, um k* < ki0n sicherzustellen. Für das Modell mit endlichem Planungshorizont wird ebenfalls ρ > η angenommen.

134

Kapitel 3. Die offene Volkswirtschaft

mit endlichem Planungshorizont nicht jene Form der ineffizienten Überersparnis, wie sie in dem Solow-Swan-Modell mit einer beliebigen Sparquote auftreten kann. Diamond (1965) hat gezeigt, daß eine zu große Ersparnis in einem Zwei-PeriodenModell der überlappenden Generationen für eine geschlossene Volkswirtschaft auftreten kann. Wie die vorliegenden Ergebnisse (nach Blanchard (1985)) zeigen, läßt sich die Eigenschaft des Diamond-Modells, die die Möglichkeit der Überersparnis hervorruft, nicht durch den endlichen Planungshorizont der Individuen begründen. Die wesentliche Abweichung des vorliegenden Modells liegt vielmehr in der unterstellten Entwicklung des Lohneinkommens über den Lebenszyklus. In der Version des Modells überlappender Generationen von Diamond sind die Löhne in der ersten (Arbeits-)Periode positiv und in der zweiten (Ruhe-)Phase null. Also geht das Modell von einem plötzlich fallenden Lohneinkommen während der Lebenszeit aus, wogegen das untersuchte Modell mit endlichem Horizont ein vom Alter unabhängiges Lohneinkommen unterstellt. Durch ein in bezug auf das Alter fallendes Lohneinkommen wird eine zusätzliche Ersparnis hervorgerufen, so daß eine ineffiziente Überersparnis eintritt, falls dieser Effekt sehr stark ist. Das zuvor analysierte Modell mit einem endlichen Planungshorizont läßt sich dahingehend erweitern, daß eine fallende Produktivität während des Lebenszyklus berücksichtigt werden kann. (Eine Analyse dieser Situation ist in Blanchard (1985) zu finden.) Fallen die Lohnsätze mit dem Alter gemäß der Rate ω, dann muß (3.34) modifiziert werden zu έ/c = f'(k) - ( k*, sofern ω groß genug ist. Darüber hinaus weist das langfristige Gleichgewicht für einen noch höheren Wert von ω eine ineffiziente Überersparnis auf: k^nde > &goid· Obwohl in einer geschlossenen Völkswirtschaft mit einem endlichen Planungshorizont eine ineffiziente Überersparnis möglich ist, falls das Lohneinkommen während des Lebenszyklus fällt - also für genügend großes ω - , bleibt in der Praxis unklar, ob überhaupt ein positives ω unterstellt werden soll. Wenn man zur Zeit der ersten Beschäftigung eines Individuums beginnt - ungefähr mit 18 oder 21 Jahren - , steigt das Lohneinkommen mit dem Alter (und der Erfahrung) 25 Jahre lang substantiell an und nimmt dann in den nächsten 20-25 Jahren relativ wenig zu (vgl. Murphy und Welch (1990, S. 207)). In den ungefähr 10 bis 15 Jahren des Ruhestandes nimmt das Lohneinkommen substantiell ab. Demnach ignoriert das Zwei-Perioden-Modell überlappender Generationen das Intervall steigender Lohneinkommen und irrt sich außerdem in der Annahme, daß die Ruhephase ebenso lang wie die Arbeitsperiode ist. Beide Fehler wirken in Richtung auf eine Überschätzung des Sparanreizes, der sich im Lebenszyklus einstellt. Um ein vollständiges Bild zu erhalten, muß außerdem entschieden werden, wie die ersten 18-21 Jahre der Kindheit und Schulzeit zu behandeln sind. Wenn die Kinder als unabhängige Haushalte betrachtet werden, dann weisen die ersten 18-21

3.4 Ökonomisches Wachstum in einem Modell mit endlichem Planungshorizont

135

Lebensjahre ein Lohneinkommen auf, das deutlich unter dem Lebensdurchschnitt liegt. Der Fehlbetrag zwischen dem aktuellen Einkommen und dem erwarteten zukünftigen Einkommen beeinflußt die aggregierte Sparneigung negativ. Vermutlich ergibt sich dieser Effekt derart, daß die Kinder bei ihren Eltern Kredite aufnehmen, um ihren Konsum zu finanzieren. Vernünftigerweise werden minderjährige Kinder nicht als separate Haushalte behandelt.16 Allerdings führt die Periode mit einem geringen Lohneinkommen für Kinder bis zu einem Alter von 18 oder 21 Jahren bei gegebenem Lohneinkommen der Eltern zu einem geringeren Pro-Kopf-Einkommen der Familie, die abhängige Kinder aufweist. Daher ruft das geringe Lohneinkommen der Kinder einen geringeren Sparanreiz der Eltern hervor, als er in der Regel dem mittleren Alter der Eltern entspricht. Damit verbindet sich dieser Effekt mit dem Einfluß eines steigenden Lohneinkommens der Eltern während eines großen Teils ihrer Arbeitsperiode und kompensiert den positiven Effekt der Ruheperiode auf die Ersparnis. Als Fazit der Diskussion läßt sich ω & 0 - mit einem flachen Profil des ProKopf-Lohneinkommens der Familie - als eine erste akzeptable Approximation für die Analyse der aggregierten Sparneigung festhalten. In diesem Fall schließt die Analyse die Möglichkeit der Überersparnis in dem Modell einer geschlossenen Volkswirtschaft mit einem endlichen Planungshorizont aus. 3.4.3

Das Modell einer offenen Volkswirtschaft mit endlichem Horizont

Im folgenden wird das Modell einer offenen Volkswirtschaft mit einem endlichen Planungshorizont untersucht, wobei eine einzige Kapitalform k, aber keine Kreditrestriktion berücksichtigt wird. Zur Vereinfachung werden die Subskripte der Länder i vernachlässigt. Wenn der Zinssatz der Welt r(i) mit der Konstanten r übereinstimmt, dann ist das Verhältnis des Kapitals zu den effizienten Arbeitseinheiten im Inland gleich der Konstanten fc*ffen, wobei f'(k*ffen) = r + k für genügend ungeduldige Volkswirtschaften. In derartigen Situationen verwenden die Kreditnehmer einen Teil des Barwertes ihres Lohneinkommens als Sicherheit. Für ein gegebenes r und eine gegebene Menge von Parameterwerten für die Länder i = 1 , . . . , Μ läßt sich der zugehörige Bereich von α, anhand der Abbildung 3.2 bestimmen. Außerdem sind die Werte für kj gemäß der Bedingung /'(£,·) = r + (5, determiniert. In einem umfassenden langfristigen Gleichgewicht stimmt der Weltzinssatz r die Summe der α,· (gewichtet mit der effizienten Arbeitsmenge eines jeden Landes) auf die Summe der (ähnlich gewichtet) ab. Der Ansatz mit einem endlichen Planungshorizont ist deswegen so attraktiv, weil sich die Volkswirtschaften mit unterschiedlichen Parameterwerten einen gemeinsamen Kapitalmarkt ohne die Implikation teilen können, daß c, für alle Länder bis auf das geduldigste Land gegen null strebt. Jedoch impliziert das Modell endliche Konvergenzraten für k,· und y,. Um diese Schlußfolgerung zu vermeiden, kann das Modell mit einem endlichem Horizont mit der Analyse der Kreditrestriktionen aus dem vorangegangenen Abschnitt verbunden werden. Die modifizierten Resultate ergeben sich unmittelbar, wenn kj mit dem weitgefaßten Kapital kj + hj aus dem Modell mit einer Kreditrestriktion identifiziert wird. Für gegebene (£*)0ffeη bleiben die Volkswirtschaften mit hohen Gleichgewichtswerten für äj in der Abbildung 3.2 von der Restriktion auf dem Kreditmarkt verschont, wogegen die Restriktion auf jene Länder mit niedrigen Werten (und sicherlich jene Länder mit negativen Werten) für α,· zutrifft. Also werden die Länder mit relativ großen Weiten für p„ Xj, pit n, und 0, tendenziell auf dem Kreditmarkt beschränkt. Zusätzlich zu den ungeduldigen Ländern - mit hohen Werten für p, und Qj - sind solche Kandidaten von Kreditrestriktionen betroffen, die zum einen im langfristigen Gleichgewicht schnell wachsen (hohe xt und n,·) und zum anderen eine große Sterberate aufweisen (großes p,). Das Modell einer offenen Volkswirtschaft mit endlichem Planungshorizont und mit Kreditrestriktionen impliziert positive Werte für c, und ά, in allen Ländern. Au-

138

Kapitel 3. Die offene Volkswirtschaft

ßerdem sind nur einige Länder im langfristigen Gleichgewicht von der Kreditrestriktion betroffen. Wie im vorangegangenen Abschnitt gezeigt worden ist, sind die Geschwindigkeiten der Konvergenz von kj und yt in einer Umgebung des langfristigen Gleichgewichts in den restringierten Volkswirtschaften endlich. Dennoch bleiben die Geschwindigkeiten der Konvergenz von fc, und y,· in den unbeschränkten Volkswirtschaften unendlich groß. Dieses Ergebnis läßt sich vermeiden, wenn Anpassungskosten für Investitionen als weiterer Modellbaustein eingeführt werden.

3.5

Anpassungskosten der Investitionen

Im Kapitel 2 ist erwähnt worden, daß die Anpassungskosten der Investitionen tendenziell die Konvergenz der Volkswirtschaft zum langfristigen Gleichgewicht verlangsamen. Die Anpassungskosten sind mit der Installation neuen Kapitals verbunden. In einer offenen Volkswirtschaft impliziert die Existenz solcher Kosten, daß die Konvergenz des Kapitalstocks und des Outputs nicht unmittelbar erfolgt, selbst wenn vollkommene Kapitalmärkte vorliegen und die Haushalte unendliche Planungshorizonte besitzen. Damit vermeiden die Anpassungskosten einige der unrealistischen Resultate der Version des Ramsey-Modells für eine offene Volkswirtschaft. Unterscheidet man zwischen dem physischen Kapital und dem Humankapital, dann ist zu erwarten, daß die Anpassungskosten insbesondere bei der Vergrößerung des Humankapitals im Zuge der Bildung eine wichtige Rolle spielen. Lernerfahrungen erfordern grundsätzlich Zeit, und die Versuche, den Bildungsprozeß zu beschleunigen, rufen sehr wahrscheinlich rasch fallende Produktivitäten hervor. Um die Analyse zu vereinfachen, wird in diesem Abschnitt von einer einzigen Form von Kapitalgütern ausgegangen, die sich aus physischem Kapital und Humankapital zusammensetzt. Dennoch sollte man sich für die Abschätzung der Anpassungskosten merken, daß das Kapitalgut teilweise aus Humankapital besteht, dessen Bestand nur langsam geändert werden kann.

3.5.1

Das Verhalten der Unternehmen

Wie im Kapitel 2 wird eine neoklassische Produktionsfunktion unterstellt, Y = F(K, L),

(3.38)

wobei F den neoklassischen Eigenschaften (1.5a)—(1.5c) genügt und L — Lexl die Arbeitsmenge in effizienten Einheiten bezeichnet. Jedes Unternehmen i besitzt Zugang zu der Technik nach (3.38), wobei das Subskript i zur Vereinfachung vernachlässigt wird. In der Analyse erweist es sich als hilfreich, die Unternehmen als Eigentümer ihres Kapitalstocks Κ aufzufassen, anstatt davon auszugehen, daß sie den Kapitalstock

3.5 Anpassungskosten der Investitionen

139

von den Haushalten mieten. Die Haushalte besitzen statt dessen einen Anspruch auf den Netto-Cashflow des Unternehmens. Die Änderung im Kapitalstock des Unternehmens ist durch Κ = Ι-δΚ

(3.39)

gegeben, wobei I die Bruttoinvestition bezeichnet. Die Investitionskosten werden in Einheiten des Outputs gemessen. Dabei kostet jede Investitionseinheit annahmegemäß eine Outputeinheit plus die Anpassungskosten, die durch eine steigende Funktion φ von I im Verhältnis zu Κ beschrieben werden, Investitionskosten = / · [1 +

φ(Ι/Κ)].

(3.40)

Dabei wird φ(0) = 0, φ' > 0 und φ" > 0 unterstellt. Weiter wird vorausgesetzt, daß die Anpassungskosten von der Bruttoinvestition I und nicht von der Nettoinvestition / — δ Κ abhängen. Wie bisher zahlen die Unternehmen den Lohnsatz w für jede Arbeitseinheit L, wobei die Kosten bei einer Anpassung von L vernachlässigt werden. Folglich ist der Netto-Cashflow des Unternehmens durch Netto-Cashflow = F(K, L) — wL — / · [1 + φ(Ι/Κ)]

(3.41)

gegeben. Das Unternehmen hat eine gegebene Zahl von Stammaktien im Umlauf, und der Wert dieser Stammaktien zum Zeitpunkt null wird auf einem Aktienmarkt mit dem Wert V(0) festgelegt. (Wenn man die Zahl der Aktien auf eins normiert, dann bezeichnet V(0) den Preis einer Aktie zum Zeitpunkt null.) Unter der Annahme, daß der Netto-Cashflow aus (3.41) den Aktienbesitzern als Dividende ausgeschüttet wird,18 beschreibt V(0) den Barwert der Netto-Cashflows ab dem Zeitpunkt null bis unendlich diskontiert mit dem Marktzinssatz r{t). (Damit stellt sich für die Aktienbesitzer zu jedem Zeitpunkt eine Rendite in Höhe von r(t) ein.) Das Unternehmen trifft Entscheidungen im Sinne der Aktienbesitzer und versucht daher, V(0) zu maximieren. Wie zuvor in (2.12) wird r(t) als durchschnittlicher Zinssatz zwischen den Zeitpunkten null und t definiert, r(i) = ( l / r ) · f

r{v)dv.

Jο 18

Dieser Ansatz ist zufriedenstellend, wenn auch negative Dividenden - proportionale Abgaben der Aktienbesitzer - zugelassen werden, um einen negativen Netto-Cashflow zu finanzieren. Alternativ kann man unterstellen, daß die Unternehmen Kredite zu dem Zinssatz r(t) aufnehmen. Die Resultate unterscheiden sich jedoch von denen im Text nicht, wenn eine Kreditrestriktion eingeführt wird, die eine Finanzierung im Sinne von Kettenbriefen ausschließt. (Diese Restriktion ist die gleiche, wie sie bereits den Haushalten auferlegt worden ist.) Analog kann man zulassen, daß die Unternehmen ihren negativen Netto-Cashflow durch die Ausgabe neuer Stammaktien konsolidieren. Wiederum stellen sich die gleichen Ergebnisse ein, wenn man das Ziel des Unternehmens als Maximierung des Kurswertes der bereits ausgegebenen Aktien formuliert.

140

Kapitel 3. Die offene Volkswirtschaft

Damit besteht das Ziel des Unternehmens in der Wahl von L und I zu jedem Zeitpunkt, so daß noo

V(0) =

{ F { K , L ) - w L - Ι · { \ + φ(Ι/Κ)})&-ί(,)·,άί

(3.42)

Jo

unter der Bedingung (3.39) und dem Anfangswert K(0) maximiert wird. Dieses Optimierungsproblem läßt sich durch die Aufstellung der Hamilton-Funktion J = {F(K,

L) - wL - I ·

[1 + Φ(Ι/Κ)]

+ q - ( I - S K ) } e~m·

(3.43)

analysieren, wobei q der zu Κ — I — SK gehörende Schattenpreis ist. Für die Hamilton-Funktion in bezug auf den Zeitwert wird q in Gütereinheiten je Kapitaleinheit zum Zeitpunkt t angegeben, das heißt, q repräsentiert den laufenden Schattenpreis des installierten Kapitals in gleichzeitig produzierten Outputeinheiten. Der gegenwärtige Schattenpreis lautet nun qe-m·'.

v =

Die Maximierung erfordert die üblichen Bedingungen erster Ordnung dJ/dL = = 0 und ν = —3 J/dK sowie die Transversalitätsbedingung lim,^ 00 (vÄ') = 0. Die Bedingungen erster Ordnung lassen sich wie folgt angeben: dJ/dl

[ / ( * ) - * / ( * ) ] e x ' = w, q = 1 + φ(ΐβ)

(3.44)

+ (ϊ/k) φ'(ίβ),

(3.45)

(3.46)

q = (r + S) q - [ f ( k ) + ( i / k f 'W)],

wobei die Produktionsfunktion / in ihrer ausführlichen Form verwendet worden ist. Außerdem sind das Kapital und die Bruttoinvestition als Größen je effizienter Arbeitseinheit, k und i, gefaßt worden.19 Die Gleichung (3.44) spiegelt die übliche Bedingung wider, daß die Grenzproduktivität der Arbeit mit dem Lohnsatz übereinstimmt, wobei diese Aussage erfüllt ist, weil bei einer Änderung des Arbeitseinsatzes keine Anpassungskosten auftreten. Die Gleichung (3.45) verdeutlicht, daß der Schattenpreis des installierten Kapitals q für i > 0 wegen der Anpassungskosten den Wert eins überschreitet. Die Beziehung 20 von q zu i/k steigt monoton wegen ${i/k) > 0 und φ"{ί/ϊί) > Ο. Die Gleichung (3.46) läßt sich umschreiben in Γ = [/'(*) + ΰ / b

2

Φ'Φύ]/ς

- «5 +

q/q.

" F ü r gegebene w, r, q und q stellen (3.44H3 46) sicher, daß alle Unternehmen die gleichen Werte für k und / aufweisen. Die relative Größe aller Unternehmen Lj(t)/L(t) wird durch ihren Anfangswert L,(0)/L(0) festgelegt. Wegen der Installationskosten für neues Kapital treten im Zeitablauf insbesondere keine Änderungen in der relativen Größe auf (sofern unterstellt wird, daß diese Kosten auch dann auftreten, wenn ein Unternehmen gebrauchte Kapitalgüter kauft oder verkauft). 20 Das Ergebnis verlangt lediglich die schwächere Bedingung 2 φ'(i/k) + (i/k) φ" (i/k) > 0.

3.5 Anpassungskosten der Investitionen

141

Also wird der Marktzinssatz r auf den gesamten internen Zinssatz abgestimmt, der sich aus den Kosten q für den Einsatz einer Kapitaleinheit ergibt. Diese Grenzleistungsfähigkeit des Kapitals setzt sich aus verschiedenen Komponenten zusammen. Zur physischen Grenzproduktivität f'{k) wird die marginale Reduktion der Anpassungskosten (falls Κ für gegebenes I steigt) addiert, wobei f'(k) und (i/k)2 φ'(i/k) durch die Kapitalkosten q deflationiert werden, anschließend wird der Abschreibungssatz auf installiertes Kapital x + η gilt. Außerdem wird ein Spezialfall untersucht, in dem die Anpassungskosten proportional zum Anteil der Bruttoinvestition am Kapitalstock i/k sind, (i/k) = (b/2).(i/k),

(3.49)

so daß φ' {i/k) = b/2 > 0 ist. Der Parameter b drückt die Sensitivität der Anpassungskosten in bezug auf den investierten Gesamtbetrag aus. Höhere Werte von b implizieren höhere Anpassungskosten je Einheit i/k. Die lineare Spezifikation von φ ist im Hinblick auf die wesentlichen Ergebnisse nicht notwendig, vereinfacht jedoch die Ausführungen. Setzt man φ in dieser Form in (3.45) ein, dann ergibt sich eine lineare Beziehung zwischen i/k und q. i/k = if{q) = (q-\)/b

(3.50)

Anhand der Gleichungen (3.39) und (3.50) läßt sich die Änderung in k als Funktion von q ausdrücken. k = Ϊ-(x

+ n + S)k=[(q-l)/b-(x

+ n + S)]k

(3.51)

Substituiert man in (3.46) i/k gemäß (3.49) und (3.50), dann kann q in Beziehung zu q und k gesetzt werden: q=(r

+ S)q-

[/'(*) + {q - \f βb\

(3.52)

Die Gleichungen (3.51) und (3.52) bilden ein zweidimensionales System von Differentialgleichungen in der Zustandsvariablen k und dem Schattenpreis q. Unter Verwendung eines Phasendiagramms lassen sich das langfristige Gleichgewicht

3.5 Anpassungskosten der Investitionen

143

Abbildung 3.3 Das Phasendiagramm für das Modell mit Anpassungskosten (bei einem gegebenen Zinssatz). Das Phasendiagramm wird an dieser Stelle im (k, q)-Raum dargestellt, wobei q der Marktwert einer installierten Kapitaleinheit ist. Die Isokline έ = 0 ist eine horizontale Linie bei q*. Die Isokline q = 0 fällt in einer Umgebung des langfristigen Gleichgewichts. Für steigendes q wird die Isokline steiler, bis schließlich die Steigung für q > 1 + (r + S)b > q* positiv wird. Der stabile Arm fallt im gesamten Bereich. Also gilt q > q* für geringe Werte von k. In diesem Fall erhöht die Übergangsdynamik den Wert von k monoton, während q monoton fällt.

und die Übergangsdynamik des Systems analysieren. Die Abbildung 3.3 veranschaulicht das Phasendiagramm im (k, g)-Raum. Die Bedingung k = 0 impliziert für k φ 0 gemäß (3.51) q = q* = l + (x + n + S)b.

(3.53)

Also übersteigt der langfristige Gleichgewichtswert von q den Wert eins, weil im langfristigen Gleichgewicht Anpassungskosten für die Bruttoinvestition entstehen, die das Kapital ersetzt, das mit dem Satz S verschleißt. Weitere Abschreibungen des Kapitals in Effizienzeinheiten resultieren aus dem Tatbestand, daß L mit der Rate χ + η wächst. Die Gleichung (3.53) erscheint in der Abbildung 3.3 als Horizontale q — q*. Wie die Pfeile andeuten, impliziert (3.51) k > 0 für q > q* und k < 0 für q < q*. Die Relation q = 0 führt mittels (3.52) zu der Bedingung {q - 1 )2 - (r + S) 2bq + 2b f { k ) = 0.

(3.54)

Substituiert man q = q* gemäß (3.53), dann muß der langfristige Gleichgewichtswert k* der Bedingung f(k*)

= r + S+(x

+ n + S)b-[r+S-(x

+ n + x + η besagt (3.55), daß die Existenz von Anpassungskosten b > 0 den Wert f'(k*) über den Wert r +δ hebt, der sonst zutrifft. Folglich wird k* durch die Anpassungskosten reduziert. Die Steigung der Funktion q in Abhängigkeit von k entlang der Isokline q = 0 ist gemäß (3.54) durch dg dk

=

-bf"(k) (q-l)-(r+S)b

gegeben. Dabei ist der Zähler positiv, während der Nenner für q < 1 + (r + χ + η (siehe (3.53)) für den langfristigen Gleichgewichtswert q* erfüllt sein. Also fällt die Isokline q = 0 wie in der Abbildung 3.3 für q < q*.22 Für q > 1 + (r + S) b > q* ist die Steigung positiv. Die Gleichung (3.53) impliziert q < 0 für alle Wert von k, die links der Isokline q — 0 liegen, und q > 0 auf der rechten Seite. Die Pfeile in der Abbildung veranschaulichen diese Bewegungen von q. Das in der Abbildung 3.3 beschriebene System weist eine Stabilität entlang dem Sattelpfad auf. Wie die mit Pfeilen markierte Kurve zeigt, fällt der stabile Arm. Wenn die Volkswirtschaft also bei £(0) < k* startet, dann gilt q(0) > q*. Der hohe Marktwert des installierten Kapitals stimuliert ein großes (aber endliches) Investitionsvolumen, das heißt, i/k ist in Übereinstimmung mit (3.50) groß, sofern q groß ist. Der Anstieg in k über die Zeit läßt q fallen und reduziert damit i/k. Schließlich streben q gegen q*, i/k gegen χ + η + S und k gegen k*. Die Theorie sagt vorher, daß eine arme Volkswirtschaft (mit £(0) kleiner als k*) mit Zugang zu den Weltkreditmärkten einen hohen Wert des installierten Kapitals q und eine hohe Wachstumsrate des Kapitalstocks besitzt. Nun kann man die Implikationen der Geschwindigkeit der Konvergenz für das Kapital und den Output quantifizieren. Die beiden Differentialgleichungen (3.51) und (3.52) lassen sich durch ein lineares Gleichungssystem in log(&) und q in einer Umgebung des langfristigen Gleichgewichts approximieren. Außerdem werden neben einer Cobb-Douglas-Produktionsfunktion f ( k ) = Aka die bekannten Parameterwerte unterstellt: a = 0,75, χ = 0,02/Jahr, η = 0,01/Jahr und S = 0,05/Jahr. Darüber hinaus wird für die gesamte Welt ein Zinssatz von r = 0,06/Jahr angenommen, obwohl die Ergebnisse sich kaum ändern, wenn r etwas größer gewählt wird, beispielsweise r — 0,08/Jahr. Mit dieser Wahl der übrigen Parameter hängt der Konvergenzkoeffizient β für k und nur noch vom Parameter b in der Funktion für die Anpassungskosten (3.49) ab. Um einen vernünftigen Wert für diesen Parameter anzugeben, ist zu beachten, daß im langfristigen Gleichgewicht, wo (i/k)* = χ + η + S = 0,08/Jahr ist, die Kosten pro Kapitaleinheit 1 + 0,04 b betragen. Die Bedingung (3.53) impliziert außerdem q* = 1 + 0,08 b. Also resultiert aus b = 1 ein Wert von q* = 1,08 und ein 22

Man kann zeigen, daß diese Eigenschaft für jede Funktion der Anpassungskosten φ gilt, die Oerfüllt.

2 φ ' φ ί ) + (ϊ/'k) φ"(i/k) >

3.5 Anpassungskosten der Investitionen

145

Preis von 1,04 für jede zusätzliche Kapitaleinheit im langfristigen Gleichgewicht. Dagegen impliziert b — 10 den Wert q* = 1,80, und der Preis für zusätzliches Kapital beträgt nun 1,40. Im Verhältnis zu den Schätzungen von q durch Blanchard, Rhee und Summers (1993) erscheint der Wert q* = 1,80 als hoch; ihre Werte haben noch nie 1,5 überstiegen. In bezug auf das physische Kapital implizieren Parameterwerte für b in der Höhe von zehn somit unverständlich hohe Anpassungskosten, so daß sich große Werte für q* ergeben, die nicht zu beobachten sind. Da q > q* für k < k* zutrifft, verlangt das Modell für b in der Tat wesentlich kleinere Werte als zehn, um sicherzustellen, daß q > 1,5 während des Übergangs zum langfristigen Gleichgewicht nicht eintritt. Als Problem erweist sich, daß die Werte für b, die wesentlich kleiner als zehn sind, einen unrealistisch hohen Konvergenzkoeffizienten β implizieren. Für die zuvor erwähnten Parameterwerte fällt β von oo für b = 0 (wie im ersten Modell einer offenen Volkswirtschaft) auf 0,16 für b = 1, auf 0,11 für b = 2 und auf 0,09 für b = 3. Der Koeffizient β sinkt nicht eher auf 0,05, bis b den Wert sechs überschreitet, und er bleibt größer als 0,03 bis b gleich zwölf ist.23 Damit β für niedrigere Werte von b auf 0,03 fällt, muß ein Kapitalanteil α vorausgesetzt werden, der sogar großer als 0,75 ist. Beispielsweise reduziert sich β auf 0,03 für b = 6 und a = 0,90. Zwei mögliche Auswege aus dieser Schwierigkeit lassen sich anführen. Erstens kann argumentiert werden, daß die Anpassungskosten in bezug auf das Humankapital so groß sind, daß Werte für b von zehn oder noch größer - und dementsprechend hohe Werte für q - als plausibel erscheinen.24 Allerdings ist aufgrund der momentan verfügbaren Informationen über die Produktivität des Humankapitals nicht ersichtlich, wie diese Hypothese überprüft werden kann. Die zweite Möglichkeit, die zuvor verfolgt worden ist, besteht darin, die Annahme fallenzulassen, daß die Volkswirtschaft ihre gesamte Investition bei einem gegebenen Weltzinssatz r finanzieren kann. Das heißt, man kann die Analyse der Anpassungskosten für Investitionen mit dem Ansatz einer geschlossenen Völkswirtschaft kombinieren, der in den Kapiteln 1 und 2 verwendet worden ist. Als alternative Kombination mit der Analyse von Anpassungskosten bietet sich der Ansatz des vorliegenden Kapitels an, in dem lediglich das physische Kapital als Sicherheit für Kredite aus dem Ausland akzeptiert wird. Im nächsten Abschnitt werden diese Ergebnisse für den Fall ausgearbeitet, in dem das Solow-Swan-Modell um die Anpassungskosten für die Investitionen ergänzt wird. Somit liegt den Ausführungen wie im Kapitel 1 eine geschlossene Volkswirtschaft mit einer konstanten Bruttosparquote zugrunde. Die anderen Ansätze, die als Übungen empfohlen werden, haben analoge Implikationen. 23 Wenn b gegen unendlich geht, strebt β gegen 0,025, das heißt, die Geschwindigkeit der Konvergenz strebt nicht gegen null, wenn der Parameter für die Anpassungskosten beliebig groß wird. Dennoch strebt die Volkswirtschaft für ein beliebig großes b gegen einen langfristigen Gleichgewichtswert ΐ*, der gegen null geht. 24 Kremer und Thomson (1993) verwenden einen Ansatz mit überlappenden Generationen, in dem junge Arbeitskräfte aus der Zusammenarbeit mit alten, erfahrenen Arbeitskräften im Sinne eines SchülerLehrer-Verhältnisses profitieren. Ihr Ansatz bewirkt hohe Anpassungskosten für eine schnelle Erhöhung des Humankapitals.

146

Kapitel 3. Die offene Volkswirtschaft

3.5.3

Gleichgewicht einer geschlossenen Volkswirtschaft mit gegebener Sparquote

Die Ausgaben einschließlich der Anpassungskosten für die Bruttoinvestition pro effizienter Arbeitseinheit sind durch ϊ·[\+φ{ί/ί)]

gegeben. In einer geschlossenen Volkswirtschaft entsprechen diese Ausgaben der Bruttoersparnis je effizienter Arbeitskraft. Unterstellt man, daß diese Ersparnis einen konstanten Anteil s am Brutto-Output je Arbeitskraft f ( k ) ausmacht, dann folgt sf(k)/k=(i/k)-[l

+

4>(i/k].

Unter Anwendung der linearen Form für (i/k) gemäß (3.49) und dem korrespondierenden Ausdruck für i/k gemäß (3.50) vereinfacht sich das Ergebnis zu sf{k)ik={q2-\)ßb.

(3.56)

Durch die Verwendung der Cobb-Douglas-Produktionsfunktion f(k) = Aka läßt sich (3.56) nach q in Abhängigkeit von k auflösen. Anschließend wird das Ergebnis in den Ausdruck für k in (3.51) eingesetzt, so daß eine Differentialgleichung in k resultiert, k/k=

{[1 +2bsAka~l]lf2

- \)/b-

(x + n + S).

(3.57)

Dieses Ergebnis verallgemeinert das Resultat (1.30) des Solow-Swan-Modells unter Berücksichtigung der Anpassungskosten. Für b = 0 folgt unmittelbar das Ergebnis von Solow und Swan.25 Wie üblich kann der Konvergenzkoeffizient β durch logarithmische Linearisierung von (3.57) in einer Umgebung des langfristigen Gleichgewichts berechnet werden. Die resultierende Formel lautet

2

1 + (x + n +

ö)b

Also vereinfacht sich die Formel für β ohne Anpassungskosten (b = 0) zum Ergebnis (1.31) des Solow-Swan-Modells, (1 - α) (χ + η + S). Für b > 0 besagt (3.58), daß β in dem Modell mit Anpassungskosten kleiner als im Solow-Swan-Modell und außerdem eine fallende Funktion in b ist. Wenn b gegen unendlich strebt, dann konvergiert β gegen (1 — α) (x + η + S)/2, also den halben Wert, den das Solow-SwanModell vorhersagt. 25 Um zu zeigen, daß sich die Formel (3.57) für b l'Höpital anwenden.

0 zu (1.30) vereinfacht, kann man die Regel von

3.6 Einige Schlußfolgerungen

147

Verwendet man die gleichen Parameterwerte wie bisher (α = 0,75, χ = 0,02, η = 0,01, δ = 0,05) und betrachtet man Werte für den Koeffizienten der Anpassungskosten b, die weit unter zehn liegen, dann ergibt sich die wesentliche Beobachtung, daß Anpassungskosten keinen großen Einfluß auf die Geschwindigkeit der Konvergenz besitzen. Beispielsweise gilt für b = 0 (wie im Solow-Swan-Modell) β = 0,020/Jahr. Für b = 2 erhält man β = 0,019 und für b = 10 folgt β = 0,016. Obwohl die Existenz von Anpassungskosten die Konvergenz bremst, ist somit das Ausmaß des Effekts tendenziell gering. Um signifikantere Effekte zu erzeugen, müssen, wie bereits erwähnt worden ist, so große Koeffizienten für die Anpassungskosten unterstellt werden, daß der implizierte Wert von q* - und außerdem die Übergangs werte für q - alle empirisch beobachteten Werte (zumindest für das physische Kapital) übersteigt. Auf analoge Weise lassen sich die Anpassungskosten in das Ramsey-Modell einführen. 26 Anstatt eine konstante Bruttosparquote vorauszusetzen, ist nun die bekannte Optimumbedingung für die Haushalte c/c = (r — ρ)/θ anzuwenden. Diese Analyse ist schlüssig, aber mühsam und führt zu wenigen neuen Erkenntnissen. Inbesondere ist festzuhalten, daß die Gegebenheit von Anpassungskosten die Geschwindigkeit der Konvergenz relativ zu der des Ramsey-Modells (siehe (2.34)) reduziert. Aber die quantitativen Effekte sind wie im Solow-Swan-Modell klein, wenn man von einem Koeffizienten für die Anpassungskosten b ausgeht, der mit einem „vernünftigen" Verhalten des Schattenpreises q konsistent ist.

3.6

Einige Schlußfolgerungen

Die Analyse hat mit der scheinbar einfachen Aufgabe begonnen, das Ramsey-Modell für eine offene Volkswirtschaft dadurch zu erweitern, daß die Aufnahme und Vergabe internationaler Kredite berücksichtigt wird. Dennoch hat diese Erweiterung zu einigen unrealistischen Ergebnissen geführt. Die Geschwindigkeiten der Konvergenz für den Kapitalstock und den Output sind unendlich groß, der Konsum (pro effizienter Arbeitseinheit) strebt gegen null und das Vermögen wird negativ, abgesehen von dem geduldigsten Land. Asymptotisch besitzt das geduldigste Land alles und konsumiert nahezu den gesamten Output der Welt. Anschließend sind verschiedene Modifikationen des Ramsey-Modells betrachtet worden, um diese paradoxen Ergebnisse zu beseitigen. Bei unvollkommenen internationalen Kreditmärkten bleibt die Geschwindigkeit der Konvergenz von Kapital und Output in jenen Ländern endlich, die effektiv in ihren Möglichkeiten der Kreditaufnahme beschränkt sind. Darüber hinaus bleibt das Vermögen positiv, und der Konsum strebt in diesen Ländern nicht gegen null. Dennoch weist das spezielle untersuchte Modell die unrealistische Implikation auf, daß die Kreditrestriktion für. alle Länder bis auf das geduldigste Land schließlich wirksam wird. In einem Modell, in dem die Individuen endliche Planungshorizonte besitzen 26

Eine Analyse des Modells und der Aufgabe 3.3 findet man in Abel und Blanchard (1983).

148

Kapitel 3. Die offene Volkswirtschaft

und neue Individuen zur Volkswirtschaft hinzukommen, erhöht die Akkumulation des Vermögens nachhaltig die Zeitpräferenzrate eines Landes. (Dabei sind die Parameter der Präferenzen für die Individuen konstant. Das Resultat folgt aus der Aggregation über die Personen, die sich in bezug auf die Niveaus ihrer Vermögen und ihres Konsums unterscheiden.) Also motiviert eine Variation der effektiven Zeitpräferenzrate auch ohne Kreditmarktrestriktion das geduldigste Land, nicht das gesamte Vermögen der Welt zu akkumulieren. Aus einem ähnlichen Grund neigen die relativ ungeduldigen Länder nicht zu einem Zustand ohne Konsum. Kombiniert man den Ansatz des endlichen Planungshorizonts mit dem Modell unvollkommener Kreditmärkte, dann weist das langfristige Gleichgewicht eine Reihe von Ländern auf, die in ihrer Möglichkeit, Kredite aufzunehmen, keiner Beschränkung unterliegen, während andere Länder effektiv beschränkt sind. Die Resultate sind insofern attraktiv, als viele Länder - mit unterschiedlichen Parametern in ihren Präferenzen - auf dem internationalen Kreditmarkt nicht beschränkt werden. Zudem weisen die restringierten Länder endliche Geschwindigkeiten der Konvergenz für die Kapitalstöcke und die Outputs auf. Jedoch verbleibt das Problem, daß diese Geschwindigkeiten der Konvergenz für die unbeschränkten Länder immer noch unendlich groß sind. Im abschließenden Abschnitt sind Anpassungskosten für Investitionen eingeführt worden, also Kosten, die insbesondere in der Akkumulation des Humankapitals eine bedeutende Rolle spielen. Diese Kosten implizieren endliche Geschwindigkeiten der Konvergenz für das Kapital und den Output, selbst wenn die Weltkreditmärkte vollkommen und die Planungshorizonte unendlich sind. Dennoch läßt sich anführen, daß die Anpassungskosten allein nicht die empirisch beobachteten langsamen Geschwindigkeiten der Konvergenz erklären, da sie Werte für Brainards und Tobins q implizieren, die empirisch in dieser Höhe nicht zu beobachten sind. Darüber hinaus eliminiert das Modell mit Anpassungskosten nicht das rätselhafte Verhalten des Konsums und des Vermögens in dem Ansatz einer offenen Volkswirtschaft. Bei diesem Stand der Dinge kann man nicht der Meinung sein, daß die Ökonomen einen zufriedenstellenden Weg gefunden haben, das Ramsey-Modell auf eine offene Volkswirtschaft zu übertragen. Dennoch führen die verschiedenen vorgestellten Aspekte der Analyse näher an ein derartiges Modell heran. Insbesondere kann die Kombination dieser Teilstücke als Begründung für die beobachtete langsame Konvergenz von Kapitalstock und Output angeführt werden, während sich unrealistische Implikationen über das Verhalten von Konsum und Vermögen vermeiden lassen.

Anhang: Modelle der überlappenden Generationen Im Hauptteil dieses Kapitels wird ein Modell mit endlichem Horizont der Haushalte untersucht, das Blanchard (1985) entwickelt hat. Sein Modell stellt im we-

149

Anhang

sentlichen eine handhabbare Version der Modelle mit überlappenden Generationen dar, die von Samuelson (1958) und Diamond (1965) stammen. Dieser Anhang beschreibt die Struktur der Modelle der überlappenden Generationen und stellt einige Implikationen dieser Modelle heraus.

HAUSHALTE

Der bekannteste Ansatz überlappender Generationen geht von der Annahme aus, daß jedes Wirtschaftssubjekt nur zwei Perioden lang lebt und dann stirbt. In der ersten Periode, wenn die Personen jung sind, arbeiten sie, dagegen ruhen sie in der zweiten Periode aus, wenn sie alt sind. Um diesen Ansatz mit der Realität in Übereinstimmung zu bringen, kann man sich eine Periode von etwa 30 Jahren vorstellen, die eine Generation repräsentiert. Da die Bevölkerung in beiden Lebensphasen konsumiert, müssen die Menschen in der ersten Periode sparen, um den Konsum in der zweiten Periode bezahlen zu können (wobei Transferzahlungen des Staates oder von Mitgliedern anderer Generationen nicht zugelassen sind). Eine Kohorte mit dem Geburtszeitpunkt t heißt Generation t. Die Mitglieder dieser Generation sind in der Periode t jung und in der Periode t + 1 alt. Daher überlappt sich die junge Generation t während der Periode t mit der alten Generation t — 1. Zu jedem Zeitpunkt leben Mitglieder aus nur zwei Generationen. Die Rechtfertigung für diese Annahme besteht hauptsächlich in der Vereinfachung der Aggregation des Konsums und anderer Variablen.27 Jede Person maximiert ihren Nutzen, der vom Konsum in den beiden Lebensperioden abhängt, über die gesamte Lebenszeit. Darüber hinaus wird die wesentliche Annahme getroffen, daß sich die Leute keine Gedanken über die Zeit nach ihrem Tod machen; insbesondere verhalten sie sich gegenüber ihren Kindern nicht altruistisch und hinterlassen damit kein Erbe oder andere Transfers an Mitglieder der nachfolgenden Generation. Analog zum Ramsey-Modell wird die Zeit in der Lebenszeit-Nutzenfunktion in diskreter Form erfaßt, ,.1-s _ 1 " - ^ T R

cx~e - 1

1 + R

B

·

^

·

kg liegen kann. Im Fall einer logarithmischen Nutzenfunktion ( 0 = 1 ) und einer Cobb-Douglas-Technik ist die Kapitalintensität k* im langfristigen Gleichgewicht nach (3A. 19) gleich { ( 1 - α ) Λ / [ ( 1 + η ) (2+ρ)]} 1 / ( 1 - α ) . Dagegen lautet der Wert entsprechend der Goldenen Regel kgQ\i = [aA/{n + 0 des eigenen Kapitalstocks verschulden, so daß dj < Xki.

(1)

Aufgaben

161

Wegen d, = k, — α, gemäß (3.1) folgt aus der Gleichung (1) α,·>(1-λ)*,·.

(2)

Weiterhin wird unterstellt, daß die heimische Volkswirtschaft aus den bekannten Konsumenten mit unendlichem Horizont besteht, wobei p-, + > r ist. Außerdem startet das Land mit einem hinreichend großen Vermögen a,(0), so daß (2) zu Beginn nicht wirksam ist. (a) Wie lauten die Optimumbedingungen erster Ordnung, wenn (2) nicht wirkt? Setzen Sie die Bedingungen ins Verhältnis zu den vorgestellten Bedingungen des Abschnitts 3.1! (b) Begründen Sie, daß (2) für endlich lange Zeit in Gleichheit vorliegt! Verwenden Sie anschließend (3.6), um einen Ausdruck für k zu bestimmen, wenn (2) bindet! Wie lautet der Ausdruck für c/c, wenn (2) wirksam ist? Welche ökonomische Aussage nach der Intuition läßt sich für dieses Ergebnis anführen, sofern λ = 1, λ = 0 oder 0 < λ < 1 erfüllt ist? (c) Berechnen Sie den Wert von k im langfristigen Gleichgewicht! Wie hängt dieser Wert von λ und r ab? (d) Wie beeinflußt der Parameter λ die Dynamik im Übergang? 3.3 Anpassungskosten im Ramsey-Modell (nach Abel und Blanchard (1983)). Legen Sie das Modell mit Anpassungskosten aus dem Abschnitt 3.5 zugrunde und gehen Sie davon aus, daß die Konsumenten die üblichen Präferenzen im Sinne von Ramsey aufweisen! Anstatt der Voraussetzung eines konstanten Zinssatzes wird aber das Gleichgewicht einer geschlossenen Volkswirtschaft betrachtet. (a) Bestimmen Sie einen Ausdruck für q in Abhängigkeit von q, ijk, c/c und kl (b) Stellen Sie die Dynamik von i/k und k anhand eines Phasendiagramms dar! (Hinweis: Die Argumentation mit i / k ist einfacher als mit q.) 3.4 Modell II vom Untergang der Welt. Gehen Sie vom Ramsey-Modell des Kapitels 2 aus, wobei jedoch die Nutzenfunktion logarithmisch ist (Θ = 1) und alle glauben, daß die Welt mit der Wahrscheinlichkeit von ρ > 0 pro Zeiteinheit untergeht! Wenn also die Welt zu einem Zeitpunkt t existiert, dann wird sie auch zum späteren Zeitpunkt Τ mit der Wahrscheinlichkeit e~p (r~'> existieren. (a) Wie lauten die Übergangsgleichungen für k und c? In welcher Beziehung stehen diese Gleichungen zu (2.23) und (2.24) im Kapitel 2 und zu (3.33) und (3.34) im Modell von Blanchard (1985)? (b) Modifizieren Sie die Abbildung 3.1, um den Übergang der Volkswirtschaft zu beschreiben! (c) In welchem Verhältnis steht der Übergangspfad zu dem Pfad in der Abbildung 2.1, wenn ρ kleiner wird? Was geschieht, wenn ρ gegen null strebt? 3.5 Fiskalpolitik in einem Modell mit endlichem Horizont. Als Ausgangspunkt dient die Aufgabe 2.7, die nun auf das im Abschnitt 3.4.2 beschriebene Modell von Blanchard (1985) für eine geschlossene Volkswirtschaft zu übertragen ist! Unterstellen Sie η = x = G = 0 und beginnen Sie mit dem Fall, in dem Β eine Konstante mit dem Wert 5(0) ist!

162

Kapitel 3. Die offene Volkswirtschaft

(a) Wie beeinflussen Abweichungen in B(0) den Übergangspfad und das langfristige Gleichgewicht der Volkswirtschaft? (b) Angenommen, Β folgt irgendeinem Pfad, konvergiert aber schließlich gegen eine Konstante. Wie beeinflußt der Pfad von Β den Übergangspfad und das langfristige Gleichgewicht der Volkswirtschaft?

Kapitel 4 Ein-Sektor-Modelle des endogenen Wachstums Wie im Solow-Swan-Modell stimmt die Rate des Pro-Kopf-Wachstums im langfristigen Gleichgewicht des Ramsey-Modells mit der Rate des technischen Fortschritts χ überein. Da χ in beiden Ansätzen exogen gegeben ist, sind die Modelle für das Verständnis des langfristigen Wachstums des Pro-Kopf-Einkommens nicht hilfreich, obwohl sie interessante Grundlagen für die Untersuchung der Dynamik im Übergang bereitstellen. Im Kapitel 1 ist erwähnt worden, daß eine Möglichkeit zur Formulierung einer Theorie des endogenen Wachstums darin besteht, die langfristige Tendenz des Faktors Kapital zu abnehmenden Produktivitäten zu beseitigen. Als einfaches Beispiel ist das AÄ"-Modell diskutiert worden, in dem immer konstante Kapitalproduktivitäten vorliegen. Außerdem sind Techniken mit abnehmenden Kapitalproduktivitäten berücksichtigt worden, die sich jedoch asymptotisch einer positiven Konstanten nähern. In diesem Kapitel beginnt die Analyse mit einer Kombination der Α ^-Technik mit dem Verhalten optimierender Haushalte und Unternehmen. Dieser Ansatz generiert endogenes Wachstum; die Ergebnisse sind Pareto-optimal wie im RamseyModell. Allerdings steht diese Art von Ansatz im Widerspruch zu den empirischen Beobachtungen über die Konvergenz. Im Kapitel 1 ist festgestellt worden, daß sich das learning-by-doing und die Diffusion von Wissen auf aggregierter Ebene anhand einer Produktionsfunktion mit konstanten Skalenerträgen wiedergeben lassen. Diese Form der Technik kann endogenes Wachstum unterstützen, die Ergebnisse sind jedoch tendenziell nicht Paretooptimal, da die Diffusion eine Art Externalität darstellt. Trotzdem weisen die Modelle mögliche Implikationen in bezug auf wünschenswerte politische Maßnahmen auf. Außerdem werden Modelle untersucht, in denen der Staat öffentliche Güter bereitstellt, wobei gezeigt wird, daß sich analoge Implikationen für das Wachstum und die Wirtschaftspolitik ergeben. Am Ende des Kapitels wird die Dynamik der Modelle im Übergang analysiert, wobei die Technik durch abnehmende Kapitalproduktivitäten charakterisiert ist, die sich asymptotisch einer positiven Konstanten nähern. In diesen Modellen lassen sich die Charakteristika des endogenen Wachstums von Aif-Modellen mit dem Konvergenzverhalten des Ramsey-Modells kombinieren. Folglich stimmen die empirischen Beobachtungen über die Konvergenz eher mit diesen Modellansätzen des endogenen Wachstums überein.

164

Kapitel 4. Ein-Sektor-Modelle des endogenen Wachstums

4.1

Das Atf-Modell

4.1.1

Das Verhalten der Haushalte

Analog zum Kapitel 2 wird ein Ansatz betrachtet, in dem die Haushalte, die unendlich lange leben, ihren Nutzen

U =roo

1-0 _ ι

J0

-r^re~(p~n)'dt>

(4-D

maximieren, und zwar unter der Nebenbedingung ä — (r — n) a +

w -

(4.2)

c.

Dabei bezeichnen α das Vermögen pro Person, r den Zinssatz, w den Lohnsatz und η die Wachstumsrate der Bevölkerung. Wiederum ist die Restriktion zu berücksichtigen, die eine Finanzierung in der Form von Kettenbriefen ausschließt, Hm | α ( ί ) · exp

jf [ r ( v )

-

n]

d vj j > 0.

(4.3)

Wie zuvor liefern die Optimumbedingungen nicht nur yc

=

c / c =

(r

-

(4.4)

ρ)/θ,

sondern auch die Transversalitätsbedingung Hm | α ( ί ) · exp

[r(v) - n] d

J

= 0.

(4.5)

4.1.2 Das Verhalten der Unternehmen Im Unterschied zum Kapitel 2 besitzen die Unternehmen eine lineare Produktionsfunktion y =

f ( k ) =

Ak,

(4.6)

wobei A > 0 ist. Die Gleichung (4.6) unterscheidet sich von der neoklassischen Produktionsfunktion insofern, als die Grenzproduktivität des Kapitals nicht abnimmt ( / " = 0) und die Inada-Bedingungen verletzt sind, insbesondere gilt f'{k) — Α, wenn k gegen null oder unendlich strebt. Im Anhang am Ende des Kapitels wird verallgemeinernd gezeigt, daß die Verletzung der Inada-Bedingung Ηπ^-χ» [ / ' ( £ ) ] = 0 die wesentliche Ursache ist, auf der das endogene Wachstum basiert. Im Kapitel 1 ist festgestellt worden, daß die globale Abwesenheit abnehmender Produktivitäten des Kapitals in (4.6) zwar unrealistisch erscheinen mag, diese Vorstellung jedoch plausibler wird, wenn man ein weitgefaßtes Konzept des Kapitals

4.1 Das AK-Modell

165

Κ zugrunde legt, das Faktoren wie Humankapital, Wissen, öffentliche Infrastruktur und so weiter enthält. Diese Interpretationen werden in den nachfolgenden Abschnitten detaillierter untersucht. Die Bedingungen für ein Gewinnmaximum erfordern wiederum die Übereinstimmung der Grenzproduktivität mit dem Nutzungspreis des Kapitals R = r + S. Der einzige Unterschied besteht darin, daß die Grenzproduktivität des Kapitals durch die Konstante Α gegeben ist, woraus (4.7)

r — A —S

folgt. Da die Grenzproduktivität der Arbeit gleich null ist, muß auch der Lohnsatz w null sein. (Den Lohnsatz von null kann man als Lohnsatz für einfache Arbeit interpretieren, also für unerfahrene Arbeitskräfte, die über kein Humankapital verfügen.)

4.1.3

Das Gleichgewicht

Wie im Kapitel 2 wird eine geschlossene Volkswirtschaft unterstellt, so daß a = k gilt. Wenn a = k, r = A — δ und w = 0 in (4.2), (4.4) und (4.5) eingesetzt werden, erhält man ic = Vc

(A — S — n) k — c, =

(A -

δ -

(4.9)

ρ)/θ,

A { n

lim \k(t) e-< - - >'} /—•oo 1

(4.8)

= 0. '

(4.10)

Dabei ist in bezug auf (4.9) zu betonen, daß das Wachstum des Konsums unabhängig von der Kapitalintensität k ist. Mit anderen Worten, setzt man die Höhe des ProKopf-Konsums zum Zeitpunkt null gleich c(0), dann ist der Pro-Kopf-Konsum zum Zeitpunkt t durch c(t)

= c( 0)el(A-s~fi)/eit

(4.11)

gegeben, wobei das Konsumniveau in der Ausgangslage c(0) noch bestimmt werden muß. Im folgenden wird angenommen, daß die Produktionsverhältnisse genügend ergiebig sind, um ein Wachstum in c zu garantieren, aber nicht so produktiv, einen unbeschränkten Nutzen hervorzurufen, das heißt Λ

> ρ + δ >

(1

- θ ) ( Α - δ - ρ ) / θ + η + δ.

(4.12)

Der erste Teil dieser Bedingung impliziert yc > 0. Dagegen folgt aus dem zweiten Teil, der analog zu ρ -(- θχ > χ + η im Modell des Kapitels 2 aufgebaut ist, daß der erreichbare Nutzen nach oben beschränkt ist1 und daß die Transversalitätsbedingung erfüllt ist. 'Um dieses Ergebnis zu verifizieren, wird c(t) entsprechend (4.11) in die Nutzenfunktion eingesetzt,

166 4.1.4

Kapitel 4. Ein-Sektor-Modelle des endogenen Wachstums Dynamik des Übergangs

Der folgende Abschnitt zeigt, daß in dem Modell keine Dynamik im Übergang vorkommt. Die Wachstumsraten y* und yy sind also konstant und stimmen mit der Wachstumsrate yc in (4.9) überein. Wird c(t) aus (4.11) in (4.8) eingesetzt, so erhält man eine lineare Differentialgleichung erster Ordnung in k, ic =

(A

— S — n)k

— c(0) t

[ ( A

~

s

-

p ) m

.

Die allgemeine Lösung dieser Gleichung lautet2 k{t)

= (Konstante)

(A Ä n) e

- - '

+ [ φ ) / φ ]

(4.13)

mit φ = { Α - δ ) { θ - \ ) / θ + ρ / θ - η .

(4.14)

Dabei impliziert die Bedingung (4.12) insbesondere φ > 0. Wenn k{t) aus (4.13) in die Transversalitätsbedingung (4.10) eingesetzt wird, dann erhält man lim {Konstante + [c(0)/ (1 - θ) (A - S - ρ)/θ gilt. Um die zweite Ungleichung in (4.12) zu erhalten, wird 8 zu beiden Seiten addiert und der neue Ausdruck umgestellt. Im mathematischen Anhang werden einige Fälle berücksichtigt, in denen sich ein unbeschränkter Nutzen behandeln läßt. 2 Zur Diskussion derartiger linearer Differentialgleichungen erster Ordnung vgl. den mathematischen Anhang. 3 Man beachte, daß dieses Modell eine Politikfunktion in geschlossener Form für c erzeugt.

4.1 Das AK-Modell

167

verringert sie den Pro-Kopf-Konsum (siehe (4.14) und (4.15)). Veränderungen in A, ρ und θ beeinflussen die Wachstumsraten von c und k. Die Bruttosparquote ist gegeben durch K + SK 5 =

- γ -

Yk + η + δ =

— χ —

Λ - ρ + θη+ (θ - I ) δ = βλ

(4 17)

·

mit y* = (Α—δ—ρ)/θ. Die Bruttosparquote ist konstant und hängt-mit Ausnahme von η - von denselben Parametern ab, die die Wachstumsrate pro Kopf beeinflussen.

4.1.5

Determinanten der Wachstumsrate

Ein auffallender Unterschied zwischen dem AAf-Modell und dem neoklassischen Wachstumsmodell des Kapitels 2 besteht in der Bestimmung der langfristigen Rate des Pro-Kopf-Wachstums. Im AA'-Modell hängt die langfristige Wachstumsrate (die gleich der kurzfristigen Wachstumsrate ist) gemäß (4.16) von den Parametern ab, die die Sparneigung und die Produktivität des Kapitals determinieren. Niedrigere Werte von ρ und Θ, die die Sparneigung erhöhen, implizieren in (4.16) eine höhere Wachstumsrate pro Kopf und in (4.17) eine höhere Sparquote. Eine Verbesserung im Niveau der Technik Α erhöht die Grenzproduktivität und die Durchschnittsproduktivität des Kapitals; außerdem führt sie zu einer Erhöhung der Wachstumsrate und verändert die Sparquote. In einem späteren Abschnitt dieses Kapitels wird gezeigt, daß Änderungen in verschiedenen Formen der Wirtschaftspolitik zu Veränderungen von Α führen. Demnach läßt sich die Interpretation des Parameters Α über bloße Differenzen im Niveau der Produktionsfunktion hinausgehend verallgemeinern. Im Gegensatz zu den Effekten auf das langfristige Wachstum im Α/^-Modell impliziert das Ramsey-Modell im Kapitel 2, daß die langfristige Rate des Pro-KopfWachstums auf die exogene Rate des technischen Fortschritts χ festgelegt ist. Eine größere Sparneigung oder eine Verbesserung im Niveau der Technik macht sich zwar langfristig in höheren Niveaus des Kapitals und des Outputs pro effizienter Arbeitseinheit bemerkbar, aber nicht in einer Veränderung der Rate des Pro-KopfWachstums. Die unterschiedlichen Ergebnisse spiegeln die Wirkungen abnehmender Kapitalproduktivitäten im neoklassischen Modell und das Fehlen dieser abnehmenden Produktivitäten im AAT-Modell wider. Quantitativ hängt das Ausmaß des Unterschieds davon ab, wie rasch abnehmende Produktivitäten einsetzen, eine Eigenschaft, die im neoklassischen Modell bestimmt, wie schnell Volkswirtschaften zu ihren langfristigen Gleichgewichten konvergieren. Setzen abnehmende Produktivitäten langsam ein, so resultiert eine lange Konvergenzperiode. In einem solchen Fall beeinflussen Veränderungen in der Sparneigung oder in dem Niveau der Technik die Wachstumsrate in einem langen, wenn auch nicht unendlich langen Zeitraum. Damit besteht bei schneller Konvergenz ein wesentlicher Unterschied zwischen dem

168

Kapitel 4. Ein-Sektor-Modelle des endogenen Wachstums

neoklassischen Modell und dem Aif-Modell, der sich zunehmend verringert - was der Fall zu sein scheint je geringer die Konvergenz ist. Ist die Konvergenz extrem langsam, dann stellen die im ΑΛΓ-Modell auftretenden Wachstumseffekte eine ausreichende Approximation für die Effekte auf die durchschnittliche Wachstumsrate im neoklassischen Modell über einen großen Zeitraum dar. Im Kapitel 2 ist gezeigt worden, daß die Ergebnisse im Ramsey-Modell Paretooptimal sind. Dieses Resultat ist dadurch veranschaulicht worden, daß die Ergebnisse mit denen einer hypothetischen Planungsbehörde übereinstimmen, die die gleiche Zielfunktion wie der repräsentative Haushalt besitzt. Auch an dieser Stelle läßt sich die Pareto-Optimalität des Gleichgewichts im ΛΑ'-Modell mit Hilfe des angeführten Verfahrens nachweisen.4 Das Ergebnis der Pareto-Optimalität erscheint sinnvoll, da die Beseitigung abnehmender Produktivitäten in der Produktionsfunktion - das heißt die Substitution der neoklassischen Produktionsfunktion durch die ΛΑΓ-Form - keine Ursachen für Marktversagen in das Modell einführt.

4.2 Ein Ein-Sektor-Modell mit physischem Kapital und Humankapital Wie bereits erwähnt worden ist, besteht eine Möglichkeit der Interpretation des A KModells darin, das Kapital anhand eines weitgefaßten Konzepts zu bestimmen, so daß es sowohl physische als auch humane Komponenten enthält. Um diese Interpretation explizit zu behandeln, wird nun ein einfaches Modell mit Humankapital vorgestellt. Es wird angenommen, daß die Faktoren physisches Kapital Κ und Humankapital Η in die Produktionsfunktion eingehen, Y=F(K,

H),

(4.18)

wobei F die Standardeigenschaften einer neoklassischen Produktionsfunktion einschließlich konstanter Skalenerträge in Κ und Η aufweist. Eine ähnliche Produktionsfunktion ist im Kapitel 3 verwendet worden, wobei zuvor eine Cobb-DouglasForm mit abnehmenden Skalenerträgen in Κ und Η unterstellt worden ist. Unter Berücksichtigung der Bedingung konstanter Skalenerträge läßt sich die Produktionsfunktion in kompakter Form angeben, Y = K f ( H / K ) ,

wobei f'(H/K)

(4.19)

> Oist.

Jede Outputeinheit kann gleichermaßen für Konsumzwecke, für die Investition in physisches Kapital oder für die Investition in Humankapital eingesetzt werden. Also wird unterstellt, daß sich die Ein-Sektor-Technik sowohl für die Produktion "Die Planungsbehörde wählt einen Pfad für c, der U in (4.1) unter der Nebenbedingung (4.8), c(f) > 0 und dem gegebenen Anfangswert k(0) maximiert.

169

4.2 Ein Ein-Sektor-Modell mit physischem Kapital und Humankapital

von Humankapital - in der Form von Bildung - als auch für die Produktion von Konsumgütern und von physischen Kapitalgütern anwenden läßt. (Ein separater Bildungssektor wird im Kapitel 5 eingeführt.) Die Bestände an physischem Kapital und an Humankapital werden mit dem Satz δ κ beziehungsweise δΗ abgeschrieben. Außerdem wird die Größe der Bevölkerung L als konstant unterstellt, so daß Veränderungen in Η ausschließlich auf die Nettoinvestition in Humankapital zurückzuführen sind. Die Symbole RK und RH bezeichnen die Nutzungspreise, die von den Unternehmen bei vollständiger Konkurrenz für den Einsatz beider Kapitalformen zu entrichten sind. Wenn keine Zutrittsschranken für die Märkte vorliegen, reduziert der Wettbewerb der Unternehmen die Gewinne auf null. Folglich implizieren die Gewinnmaximierung und die Bedingung eines Nullgewinns (wie in der Diskussion des Kapitels 2), daß die Grenzproduktivität jedes Produktionsfaktors gleich seinem Nutzungspreis ist, 3Y/9K = f(H/K)

- (H/K)

dY/dH = f'(H/K)

= RH.

• f'(H/K)

= RK,

(4.20)

Da die beiden Kapitalformen als vollkommene Substitute zueinander und gegenüber den Konsumgütern auf der Produktionsseite angesehen werden, wird der Preis für beide Kapitalformen auf eins festgelegt. 5 Infolgedessen lauten die internen Zinssätze der jeweiligen Kapitaleigentümer RK — $K beziehungsweise RH — 8H- Außerdem müssen beide Zinssätze im Gleichgewicht mit dem Zinssatz r übereinstimmen. Unter Verwendung von (4.20) liefert eine Umstellung der Terme die Gleichheit der internen Zinssätze f ( H / K ) - f { H / K ) • (1 + H/K) = SK-

SH.

(4.21)

Diese Bedingung determiniert einen eindeutigen, konstanten Wert von H/K.6 Definiert man die Konstante Α Ξ f(H/K), dann impliziert (4.19) Y = AK. Also entspricht das Modell mit den beiden Kapitalformen im wesentlichen dem im vorangegangenen Abschnitt behandelten AAT-Modell. Aus der Analyse ist bekannt, daß die Wachstumsraten von C, Κ und Y im Gleichgewicht konstant und gleich groß sind. 7 (Da L konstant ist, sind diese Wachstumsraten gleich den Pro-Kopf5 Das Ergebnis stellt sich ein, wenn die Beschränkung der nichtnegativen Bruttoinvestition in jede Form des Kapitals unwirksam ist oder wenn alte Kapitaleinheiten unrealistischerweise konsumiert oder in die jeweils andere Form des Kapitals umgewandelt werden können. Derartige Beschränkungen werden im Kapitel 5 explizit berücksichtigt. 6 Bereits an dieser Stelle kann gezeigt werden, daß der Ausdruck auf der linken Seite in (4.21) monoton in H/K steigt. Außerdem erstreckt sich der angesprochene Ausdruck von - o o bis +oo, während Η / Κ von 0 bis oo läuft. Also existiert eine eindeutige Lösung für H / K . 7 Im vorliegenden Zusammenhang beträgt die Wachstumsrate

y = (/• - ρ)/θ = [f(H/K) - (H/K) f'(H/K) - δκ - ρ]/θ, die ungleich (A - SK - ρ)/θ ist, sofern man A =

(Η/Κ) f'(H/K) kleiner als Α - δκ ist.

f(H/K)

setzt, weil r dann um den Term

170

Kapitel 4. Ein-Sektor-Modelle des endogenen Wachstums

Wachstumsraten.) Weil H/K fixiert ist, wächst Η mit derselben Wachstumsrate wie die übrigen Variablen. Als wichtigste Schlußfolgerung für diesen einfachen Fall ist festzuhalten, daß man sich Κ als Näherungsgröße für eine Zusammenstellung von Kapitalgütern vorstellen kann, die die Komponenten physisches Kapital und Humankapital umfaßt. Wenn konstante Skalenerträge in bezug auf die beiden Kapitalarten als plausibel angesehen werden, dann bildet das ΛίΓ-Modell diesen allgemeineren Ansatz hinreichend genau ab. Im Kapitel 5 werden einige zusätzliche Effekte berücksichtigt, die auftreten, wenn man die Annahmen des Ein-Sektor-Modells aufgibt und unterstellt, daß sich die Produktionsfunktionen für die Bildung und für die Güter unterscheiden.

4.3 4.3.1

Modelle mit learning-by-doing und Diffusion des Wissens Technik

Der Schlüssel zum endogenen Wachstum im A if-Modell ist die Abwesenheit fallender Produktivitäten der Faktoren, die akkumuliert werden können. In dem Aufsatz, der die Literatur zur Wachstumstheorie in den achtziger Jahren wiederbelebt hat, verwendet Romer (1986) den Ansatz von Arrow (1962), um die Tendenz zu fallenden Produktivitäten durch die Annahme der Entstehung von Wissen als Nebenprodukt der Investition auszuschalten. Ein Unternehmen lernt bei der Vergrößerung seines physischen Kapitalstocks simultan, wie es effizienter produzieren kann. Dieser positive Effekt der Erfahrung auf die Produktivität wird als learning-by-doing oder in diesem speziellen Fall als leaming-by-investing bezeichnet. Die Ansatzpunkte lassen sich anhand einer neoklassischen Produktionsfunktion mit einer arbeitsvermehrenden Technik für das Unternehmen i beschreiben, Yi = F(Ki, A,L,),

(4.22)

wobei Li und Kt die üblichen Produktionsfaktoren darstellen und A, den Index des Wissens bezeichnet, das dem Unternehmen zur Verfügung steht. Die Funktion F genügt den im Kapitel 1 aufgeführten neoklassischen Eigenschaften (1.5a)-(1.5c): Sie weist positive und abnehmende Grenzproduktivitäten der Faktoren sowie konstante Skalenerträge auf und erfüllt die Inada-Bedingungen. Die Technik wird in der arbeitsvermehrenden Form angenommen, so daß ein langfristiges Gleichgewicht existiert, wenn A, mit einer konstanten Rate wächst. Anders als im Kapitel 2 wird hier jedoch nicht unterstellt, daß A; mit der exogenen Rate χ wächst. Außerdem wird die aggregierte Arbeitsmenge L als konstant angenommen, wobei eine Begründung an späterer Stelle erfolgt. In Anlehnung an Arrow (1962), Sheshinski (1967) und Romer (1986) werden zwei Annahmen über das Produktivitätswachstum gemacht. Erstens erfolgt das learning-by-doing über die Investitionstätigkeiten eines jeden Unternehmens. Insbesondere führt die Erhöhung des Kapitalbestandes eines Unternehmens zu einem

4.3 Modelle mit leaming-by-doing und Diffusion des Wissens

171

gleichläufigen Anstieg seines Wissens At. Dieser Prozeß gibt Arrows Idee wieder, daß Wissens- und Produktivitätszuwächse aus Investitions- und Produktionstätigkeiten resultieren. Diese Formulierung entstammt der empirischen Beobachtung großer positiver Lerneffekte auf die Produktivität im Flugzeugbau, Schiffsbau und in anderen Gebieten (vgl. Wright (1936), Searle (1946), Asher (1956) und Rapping (1965)). Allgemeiner wird dieser Tatbestand von Schmookler (1966) belegt: Er weist nach, daß die Zahl der Patente - als ein Maß für das Lernen - sehr eng mit der Investition in physisches Kapital verbunden ist. Die zweite grundlegende Annahme besagt, daß das Wissen eines jeden Unternehmens ein öffentliches Gut ist, das jedem anderen Unternehmen kostenlos zur Verfügung steht. Anders gesagt, erfolgt eine sofortige Diffusion einmal erlangten Wissens über die gesamte Volkswirtschaft. Diese Annahme impliziert, daß sich die Veränderungen im Technikterm A, eines jeden Unternehmens dem gesamten Lernprozeß der Volkswirtschaft mitteilen; sie verhalten sich daher proportional zur Veränderung des aggregierten Kapitalstocks K. Die Annahme der Diffusion des Wissens ist einerseits sinnvoll, da Wissen einen nicht-rivalisierenden Charakter hat: Wenn ein Unternehmen eine Idee anwendet, so hält es die anderen Unternehmen nicht von ihrer Nutzung ab. Andererseits haben die Unternehmen Anlaß, ihre Entdeckungen geheim zu halten oder ihre Erfindungen durch eine Patentanmeldung zu schützen. Daher werden Erkenntnisse über Verbesserungen der Produktivität nur nach und nach bekannt, so daß die Innovatoren einen Wettbewerbs vorteil für einen gewissen Zeitraum besitzen. In einem dezentralen Modellansatz ist dieser individuelle Vorteil tatsächlich entscheidend, um jeden Aufwand zur direkten Förderung von Entdeckungen zu rechtfertigen. Allerdings kann die Zusammenarbeit der Unternehmen, die in diesem Ansatz entsteht, durch die Standardmodelle der vollständigen Konkurrenz nicht angemessen beschrieben werden. Eine Betrachtung alternativer Ansätze wird erst in den Kapiteln 6 und 7 erfolgen. Hier wird die extreme Annahme zugrunde gelegt, daß alle Entdeckungen nichtintendierte Nebenprodukte der Investition sind und daß diese Erkenntnisse unmittelbar zu allgemein bekanntem Wissen werden. Mit dieser Spezifikation kann das Modell der vollständigen Konkurrenz beibehalten werden, obwohl sich herausstellen wird, daß die Ergebnisse nicht Pareto-optimal sind. Im folgenden wird unterstellt, daß die spillovers des Wissens auf gesamtwirtschaftlicher Ebene erfolgen. Alternative Annahmen gehen von einer Diffusion des Wissens innerhalb eines Industriezweiges, einer begrenzten geographischen Region, einem einzelnen politischen Zuständigkeitsbereich und so weiter aus. Das Ausmaß der Diffusion wird für die empirischen Implikationen des Modells entscheidend sein. Kombiniert man die Annahmen des leaming-by-doing und der spillovers des Wissens, dann kann A,· in (4.22) durch Κ ersetzt werden, und die Produktionsfunk-

172

Kapitel 4. Ein-Sektor-Modelle des endogenen Wachstums

tion für das Unternehmen i läßt sich in 8 Yi =

(4.23)

F{Ki,KLi)

umschreiben. Sind Κ und L, konstant, dann steht jedes Unternehmen - wie im neoklassischen Modell des Kapitels 2 - abnehmenden Produktivitäten für Kj gegenüber. Wenn jedoch jeder Produzent AT, erhöht, dann steigt im gleichen Zug Κ und bewirkt dabei einen Vorteil durch die Diffusion von Wissen, der die Produktivität aller Unternehmen erhöht. Darüber hinaus ist (4.23) für gegebenes L, homogen vom Grade eins in Ki und K; das heißt, auf gesamtwirtschaftlicher Ebene liegen konstante Kapitalerträge vor, wenn eine proportionale Erhöhung von AT, und Κ bei gegebenem L erfolgt. Diese konstanten gesellschaftlichen Kapitalerträge führen zu endogenem Wachstum. Der Gewinn eines Unternehmens läßt sich als L r i m , K)-(r

+

S)ki-w]

(4.24)

angeben, wobei / die Produktionsfunktion in Pro-Kopf-Größen (siehe (4.23)), r + S den Nutzungspreis des Kapitals und w den Lohnsatz bezeichnen. Wie bisher wird angenommen, daß jedes Unternehmen bei vollständiger Konkurrenz die Faktorpreise als gegeben hinnimmt. Ferner wird nun die Annahme eingeführt, daß jedes Unternehmen so klein ist, daß es seinen Beitrag zum aggregierten Kapitalstock vernachlässigen kann; also wird Κ als gegeben unterstellt. Die Gewinnmaximierung und die Bedingung des Nullgewinns (siehe Kapitel 2) implizieren dann tyi/dki = f\(ki, K) = dYi/dLi = f(kh

r+8,

Κ) - ki / , (ki, Κ) = w,

(4.25)

wobei fx - die partielle Ableitung von /(&,, K) nach dem ersten Argument die private Grenzproduktivität des Kapitals ist. Insbesondere vernachlässigt diese Grenzproduktivität den Anteil von ki an K, also den Beitrag zum aggregierten Wissen. Im Gleichgewicht treffen alle Unternehmen die gleichen Entscheidungen, so daß ki = k und Κ = kL gilt. Da / ( £ , , Κ) homogen vom Grade eins in k, und Κ ist, kann die durchschnittliche Kapitalproduktivität folgendermaßen geschrieben werden: f(kh

K)/ki = f(K/ki)

=

f(L).

(4.26)

Dabei erfüllt f(L) - die Funktion der Durchschnittsproduktivität des Kapitals - die Bedingungen f ( L ) > 0 und f"(L) < 0. Insbesondere hängt die Durchschnittsproduktivität nicht von k ab, da sowohl die Effekte des learning-by-doing als auch der Diffusion des Wissens die Tendenz zu abnehmenden Kapitalproduktivitäten beseitigen. Allerdings erhöht sich die Durchschnittsproduktivität mit einer Zunahme der 8

Irgendein Basiswissen der Produzenten zu einem Zeitpunkt, in dem noch kein Kapital produziert worden ist, wird vernachlässigt.

4.3 Modelle mit leaming-by-doing und Diffusion des Wissens

173

Arbeitsmenge L. Die letzte Eigenschaft ist ungewöhnlich und führt zu Skalenerträgen, die später diskutiert werden. Die private Grenzproduktivität des Kapitals kann durch Umformung von (4.26) als fx{ki,K)

= f{L)-Lf\L)

(4.27)

ausgedrückt werden. Also ist die private Grenzproduktivität des Kapitals geringer als die Durchschnittsproduktivität f(L) und unabhängig von k. Die Gleichung (4.27) impliziert ferner, daß die private Grenzproduktivität des Kapitals in L steigt (da f"(L) < 0 ist).

4.3.2

Gleichgewicht

Die Annahme einer geschlossenen Volkswirtschaft, in der unendlich lange lebende Haushalte ihren Nutzen nach der üblichen Methode maximieren, bleibt weiterhin bestehen. Infolgedessen sind die Budgetrestriktion durch (4.2), die Wachstumsrate des Pro-Kopf-Konsums durch (4.4) und die Transversalitätsbedingung durch (4.5) gegeben. Werden die Bedingung r = fχ (£,·, Κ) — S und die private Grenzproduktivität des Kapitals gemäß (4.27) herangezogen, dann läßt sich (4.4) zu Yc = [f(L) - L f{L)

- S - ρ]/θ

(4.28)

umschreiben. Diese Wachstumsrate ist wie im Α A'-Modell konstant (solange L konstant ist). Für die Parameter wird nun angenommen, daß sie eine positive Wachstumsrate implizieren, die ihrerseits nicht groß genug ist, einen unendlich großen Nutzen hervorzurufen: f(L) - Lf'(L)

>p + S>{\-9)

[f(L) — Lf'(L)

- «5 - ρ]/θ+ δ.

(4.29)

Diese Bedingung entspricht (4.12) im Λ A'-Modell. Gilt α = k und werden die Bedingungen erster Ordnung (4.25) in die Budgetrestriktion (4.2) eingesetzt, dann erhält man die Gleichung für die Akkumulation von k, ic = f(L)k-c-Sk.

(4.30)

Unter Anwendung dieser Gleichung kann zusammen mit der Transversalitätsbedingung gezeigt werden, daß das Modell keine Dynamik im Übergang aufweist: Die Variablen k und y wachsen immer gemäß (4.28) mit der Rate yc. Da die Analyse im wesentlichen mit der für das Λ A'-Modell (Abschnitt 4.14) übereinstimmt, wird der Nachweis als Übung empfohlen.

174

Kapitel 4. Ein-Sektor-Modelle des endogenen Wachstums

4.3.3

Pareto-Ineffizienz und Implikationen für die Wirtschaftspolitik

Um die Ergebnisse auf Pareto-Optimalität zu überprüfen, wird in diesem Abschnitt der übliche Vergleich einer dezentralen Lösung mit den Ergebnissen einer Planungsbehörde durchgeführt. Die Behörde maximiert die Nutzenfunktion (4.1) (« wird dabei gleich null gesetzt) unter der Restriktion der Akkumulationsgleichung (4.30). Der zentrale Aspekt dieser Optimierung läßt sich wie folgt zusammenfassen: Die Planungsbehörde erkennt im Gegensatz zum einzelnen Produzenten, daß ein Anstieg des Kapitalbestands eines jeden Unternehmens den aggregierten Kapitalstock vermehrt und somit zur Produktivität aller übrigen Unternehmen der Volkswirtschaft beiträgt. Die Planungsbehörde internalisiert mit anderen Worten die Diffusion des Wissens über die Unternehmen. Um die optimale Wahl von c und k bestimmen zu können, wird die HamiltonFunktion aufgestellt, J=

C

'1 β_~

1

β""

· [/(L) k - c - 6k].

Die Optimierung umfaßt die Standardbedingungen erster Ordnung für ein Maximum von U, Jc = 0 und ν = — u n d die Transversalitätsbedingung lim^oo vk = 0. Für die Herleitung der Wachstumsrate von c können die Bedingungen erster Ordnung herangezogen werden, Yc (Planungsbehörde) = [f(L) - δ - ρ]/θ.

(4.31)

Während die Planungsbehörde die Wachstumsrate des Konsums mit der Durchschnittsproduktivität des Kapitals f ( L ) abstimmt, bezieht sich die Wachstumsrate bei der dezentralen Lösung (4.28) auf die private Grenzproduktivität des Kapitals f(L) — L f'(L). Da die private Grenzproduktivität kleiner als die durchschnittliche Grenzproduktivität ist, wächst eine dezentrale Volkswirtschaft im Gleichgewicht zu langsam. Im vorliegenden Modell egalisieren die Effekte des learning-by-doing und der Diffusion des Wissens die abnehmenden Kapitalerträge, denen ein privater Produzent gegenübersteht. Die Erträge sind daher auf gesamtwirtschaftlicher Ebene konstant, und die gesellschaftliche Grenzproduktivität des Kapitals ist gleich der Durchschnittsproduktivität f(L). Da die Behörde die spillovers internalisiert, erscheint diese gesamtwirtschaftliche Grenzproduktivität als eine Determinante der Wachstumsrate in (4.31). Die dezentrale Lösung (4.28) erzwingt eine geringere Wachstumsrate, weil die einzelnen Produzenten die Diffusion nicht internalisieren, das heißt, sie stützen ihre Entscheidungen auf die private Grenzproduktivität / ( L ) — L f'(L), die unterhalb der gesellschaftlichen Grenzproduktivität liegt. In einer dezentralen Volkswirtschaft kann das gesamtwirtschaftliche Optimum durch Subventionierung des Erwerbs von Kapitalgütern (ein Investitionszuschuß (investment-tax credit)) erreicht werden. Alternativ kann der Staat das Optimum durch eine Subventionierung der Produktion herbeiführen. Beide Formen der Subvention lassen sich im Modell erfolgreich einsetzen, da sie den privaten internen

4.3 Modelle mit learning-by-doing und Diffusion des Wissens

175

Zinssatz der Investition erhöhen und somit die positive Differenz zwischen dem gesellschaftlichen und dem privaten Zinssatz tendenziell beseitigen. Um weitere Verzerrungen zu vermeiden, müssen die Subventionen des Kapitals oder der Produktion durch eine Kopfsteuer finanziert werden. Diese Steuerart ist in der Regel selten vertreten, allerdings läuft eine Konsumsteuer im vorliegenden Modell - das keine Wahl zwischen Freizeit und Arbeitszeit enthält - auf eine Kopfsteuer hinaus. 4.3.4

Ein Beispiel mit Cobb-Douglas-Technik

Wenn die Produktionsfunktion (4.23) in der Cobb-Douglas-Form vorliegt, dann ist der Output für das Unternehmen i durch Yi = AK" (KLi)l~a

(4.32)

mit 0 < α < 1 gegeben. Verwendet man y, = K,/L,, kj = Ki/Li und k = K/L und setzt anschließend yi = y und kt = k, so ergibt sich die Durchschnittsproduktivität des Kapitals y/k = f(L) = ALX~"

(4.33)

als Spezialfall von (4.26). Die Gleichung (4.33) genügt den allgemeineren Eigenschaften, daß y/k nicht mit k variiert und in L steigt. Die private Grenzproduktivität des Kapitals kann durch Differentiation von (4.32) nach Ki bestimmt werden, während Κ und L konstant gehalten werden. Für = k resultiert dYi/dKi = AaÜ~"

(4.34)

als Spezialfall von (4.27). In Übereinstimmung mit den zuvor diskutierten allgemeinen Eigenschaften verändert sich die private Grenzproduktivität des Kapitals (4.34) bei einer Änderung von k nicht, sie steigt in L und ist geringer als die Durchschnittsproduktivität (4.33), da 0 < α < 1 ist. Wenn (4.34) in (4.28) eingesetzt wird, dann ist die dezentrale Wachstumsrate durch9 yc = {Ααύ~α

- S - ρ)/θ

(4.35)

gegeben. Die für die Behörde geltende Wachstumsrate erhält man durch Substitution von (4.33) in (4.31), Yc (Planungsbehörde) = (ALl~a - S - ρ)/θ.

(4.36)

9 Unter der Annahme, daß die Parameter ein positives Wachstum und ein nach oben beschränktes Nutzenniveau gewährleisten, ergibt sich mit

Aal}"* > p + S > (1 -Θ) (AaLl~a — δ — ρ)/θ+ 8 ein Spezialfall von (4.29).

176

Kapitel 4. Ein-Sektor-Modelle des endogenen Wachstums

Wegen a < 1 ist die dezentrale Wachstumsrate kleiner als die der Planungsbehörde. In der dezentralen Volkswirtschaft kann das gesamtwirtschaftliche Optimum durch die Einführung eine Investitionszuschusses (investment-tax credit) mit der Rate 1 — α und dessen Finanzierung auf der Basis einer Kopfsteuer erreicht werden. Wenn die Käufer von Kapitalgütern nur den Anteil α der Kosten tragen müssen, dann stimmen die private und die gesellschaftliche Kapitalproduktivität überein. Außerdem kann gezeigt werden, daß die in einer dezentralen Volkswirtschaft getroffenen Entscheidungen denen der Behörde entsprechen. Alternativ erhält man das gleiche Ergebnis, wenn der Staat die Produktion mit der Rate (1 — α ) / α subventioniert.

4.3.5

Skaleneffekte

Das Modell impliziert insofern Skaleneffekte, als die Rate des Pro-Kopf-Wachstums für die dezentrale Volkswirtschaft (4.28) und für die Behörde (4.31) durch eine Vergrößerung der aggregierten Arbeitsmenge L erhöht wird. Diese Ergebnisse spiegeln den positiven Effekt von L auf die private Grenzproduktivität des Kapitals f(L) — Lf'(L) gemäß (4.27) und auf die Durchschnittsproduktivität f(L) gemäß (4.26) wider. Außerdem steigen auch die Raten des Pro-Kopf-Wachstums über die Zeit, wenn der Faktor Arbeit über die Zeit wächst. 10 Falls sich L als aggregierte Arbeitsmenge eines Landes identifizieren läßt, dann wird für Völkswirtschaften mit mehr Arbeitskräften ein tendenziell höheres Wachstum der Pro-Kopf-Ausdrücke prognostiziert. Die im Kapitel 12 diskutierten empirischen Ergebnisse für eine große Zahl von Staaten in der Periode nach dem Zweiten Weltkrieg zeigen, daß die Wachstumsrate des Bruttoinlandsprodukts pro Kopf schwach positiv mit der Größe der Erwerbsbevölkerung korreliert ist. (Diese Ergebnisse gelten, wenn das ursprüngliche Niveau des Bruttoinlandsprodukts pro Kopf, die durchschnittliche Ausbildung pro Kopf und einige andere Variablen konstant gehalten werden.) Mit dieser Erkenntnis lassen sich geringfügige Skaleneffekte nicht von der Hand weisen. Unter Umständen bezieht sich die Niveauvariable für die Diffusion L nicht genau auf die auf Landesebene gemessenen Aggregate. Beispielsweise kann die relevante Größe die der heimischen Volkswirtschaft übersteigen, wenn die inländischen Produzenten Nutzen aus dem Wissen ziehen, das in anderen Ländern erworben worden ist. Kremer (1993) argumentiert, daß sogar die Weltbevölkerung die angemessene Niveauvariable sein kann, und stützt sein Argument auf den Nachweis der positiven Korrelation der Weltbevölkerung mit dem Produktivitätswachstum im langfristigen Verlauf der Geschichte. Wenn jedoch alternativ die freie Übertragung von Ideen auf nahegelegene Nachbarn beschränkt ist (entweder geographisch oder in bezug auf Sektoren), dann kann die angemessene Bezugsgröße kleiner als die 10 Für yc stellt sich das Ergebnis unmittelbar ein, allerdings stimmen % und yy für wachsendes L nicht mehr mit y c überein. Außerdem wird die Bedingung eines beschränkten Nutzenniveaus (4.29) für ein genügend großes L irgendwann verletzt, sofern θ < 1 ist.

4.4 Staat und Wachstum

177

der heimischen Volkswirtschaft sein. Diese Vorbehalte verzerren die empirischen Implikationen des Diffusionsmodells und erschweren die Überprüfung des Modells anhand makroökonomischer Daten. Der Skaleneffekt ist aus einem Modell abgeleitet worden, das vom learning-bydoing und von den spillovers des Wissens ausgeht. Beide Elemente erzeugen einen Skaleneffekt in bezug auf die Wachstumsraten, weil sie konstante Erträge für Κ und steigende Skalenerträge in Κ und L auf gesamtwirtschaftlicher Ebene implizieren. Ein ähnlicher Skaleneffekt resultiert, wenn diese Faktorerträge auf andere Ursachen zurückzuführen sind. Das Modell des leaming-by-doing und der Diffusion des Wissens weist jedoch eine Besonderheit auf, denn es impliziert konstante Skalenerträge in den von den einzelnen Unternehmen gewählten Faktoren Kj und L,. Wenn steigende Skalenerträge auf dem Niveau einzelner Unternehmen auftreten, dann steht das Modell im Widerspruch zu der Annahme der vollständigen Konkurrenz, da die Unternehmen Anlaß haben, ihre Produktion beliebig auszudehnen, um von den Skaleneffekten zu profitieren. Derartige Implikationen lassen sich durch die Annahmen vermeiden, daß die Technik eines Unternehmens vom aggregierten Kapitalbestand Κ abhängt und daß jedes Unternehmen seinen eigenen Beitrag zu diesem Kapitalst^ck vernachlässigt. Mit dieser Spezifikation kann zwar die Annahme der vollständigen Konkurrenz beibehalten werden, aber sie impliziert, daß das Gleichgewichts bei vollständiger Konkurrenz nicht Pareto-optimal ist. Eine Möglichkeit, den Skaleneffekt zu beseitigen, liegt darin, daß der Term At in (4.22) vom gesamtwirtschaftlichen durchschnittlichen Kapital pro Arbeitnehmer K/L und nicht vom aggregierten Kapitalstock Κ abhängt. Lucas (1988) geht beispielsweise von der Annahme aus, daß das Lernen und die spillovers das Humankapital betreffen und somit jeder Produzent eher vom Durchschnittsniveau als vom Aggregat des Humankapitals der Völkswirtschaft profitiert. Anstatt also das akkumulierte Wissen oder die Erfahrung anderer Produzenten zu berücksichtigen, muß der Vorteil der (freien) Interaktion mit einer Durchschnittsperson, die durchschnittliche Fertigkeiten und durchschnittliches Wissen besitzt, zugrunde gelegt werden. Für die Analyse des Modells wird in (4.22) A; = K/L gesetzt und wie zuvor verfahren. Der einzige Unterschied in den Ergebnissen besteht darin, daß die Durchschnittsproduktivität und die private Grenzproduktivität des Kapitals nicht mehr von L abhängen. Zum Beispiel lautet die Durchschnittsproduktivität im Fall der CobbDouglas-Produktionsfunktion Α und nicht ALl~a wie in (4.33). Außerdem ergibt sich die private Grenzproduktivität Aa anstelle von AaLl~a gemäß (4.34). Da die gleiche formale Analyse wie zuvor durchzuführen ist, wird der Beweis der Ergebnisse als Übung nahegelegt.

4.4 Staat und Wachstum Im A/f-Modell wird die langfristige Pro-Kopf-Wachstumsrate durch alles beeinflußt, was das Niveau der Basistechnik Α verändert. In diesem Abschnitt wird gezeigt, daß verschiedene staatliche Aktivitäten Einfluß auf den Koeffizienten Α und

178

Kapitel 4. Ein-Sektor-Modelle des endogenen Wachstums

damit auf die Wachstumsrate besitzen. Die untersuchten Aktivitäten beinhalten die Bereitstellung der Infrastruktur, den Schutz der Eigentumsrechte und die Besteuerung wirtschaftlicher Aktivitäten. Da Modelle betrachtet werden, die endogenes Wachstum generieren, wird davon ausgegangen, daß die staatlichen Aktivitäten Auswirkungen auf die langfristigen Wachstumsraten haben. Die Wirkungen des Staates lassen sich auch in das SolowSwan-Modell des Kapitels 1 und in das Ramsey-Modell des Kapitels 2 einbeziehen. In diesem Zusammenhang laufen die Änderungen der staatlichen Aktivitäten auf Verschiebungen der Produktionsfunktion hinaus. Also beeinflussen die angesprochenen Veränderungen die Höhe des Pro-Kopf-Outputs im langfristigen Gleichgewicht und somit auch die Raten des Pro-Kopf-Wachstums während des Übergangs zum langfristigen Gleichgewicht.

4.4.1

Das Modell öffentlicher Produktionsleistungen

Im folgenden wird unterstellt, daß der Staat einen Teil des privaten Outputs erwirbt, um damit öffentliche Dienstleistungen herzustellen, die den privaten Produzenten unentgeltlich zur Verfügung gestellt werden.11 Im Gegensatz zu einer staatlichen Produktion impliziert diese Annahme, daß sich die staatliche Produktionsfunktion nicht von der Produktionsfunktion der Unternehmen unterscheidet. In Anlehnung an Samuelson (1954) beginnt die Analyse mit dem Standardansatz für öffentliche Güter, in der die Staatsausgaben G den Kriterien der Nichtrivalität und der Nichtausschließbarkeit genügen. Daher nutzt jedes Unternehmen den gesamten Betrag G; der Gebrauch des öffentlichen Gutes durch ein Unternehmen verringert nicht die Menge, die den anderen Unternehmen zur Verfügung steht. Obwohl allgemein von diesem Ansatz ausgegangen wird, scheint die Zahl der Aktivitäten, auf die das Kriterium der öffentlichen Güter zutrifft, sehr beschränkt zu sein. Ein eher unwichtiges Beispiel ist die Zufriedenheit der Briten über die Existenz der Königin von England (obwohl die Königin wahrscheinlich keinen Einfluß auf die Produktionsfunktionen ausübt). Ein ernster zu nehmendes Beispiel für ein bedeutendes öffentliches Gut ist das aus der staatlichen Forschungsförderung resultierende Wissen, zum Beispiel in den Vereinigten Staaten durch die National Science Foundation und die National Institutes of Health.

Obwohl die Grundlagenforschung eher eine Ausnahme darstellt, scheinen die meisten staatlichen Ausgaben kaum dem Kriterium eines öffentlichen Gutes zu genügen. Statt dessen dürfte ein relativ unüblicher Ansatz - der die Übernutzung staatlicher Dienstleistungen zuläßt - auf ein breiteres Spektrum von Aktivitäten zutreffen. Dieses alternative Modell wird im nächsten Abschnitt diskutiert, wobei sich zeigt, daß die Ergebnisse stark vom Standardmodell öffentlicher Güter bezüglich "Auch können öffentliche Dienstleistungen zu Konsumzwecken als ein Einfluß auf den Nutzen der Haushalte betrachtet werden. Wenn diese Dienstleistungen getrennt von c in die Nutzenfunktion eingehen, dann beeinflussen diese Aktivitäten das Wachstum in dem Modell nur, falls die öffentlichen Ausgaben durch eine verzerrende Steuer finanziert werden.

4.4 Staat und Wachstum

179

der Skaleneffekte und der Implikationen für die wünschenswerten öffentlichen Finanzierungsmaßnahmen abweichen. DIE DEZENTRALE VOLKSWIRTSCHAFT. Wie in Barro (1990b) dient eine CobbDouglas-Produktionsfunktion für das Unternehmen i Yi = AL\-"K?Gl-a

(4.37)

mit 0 < a < 1 als Ausgangspunkt der Analyse. Diese Produktionsfunktion weist für jedes Unternehmen konstante Skalenerträge in den privaten Faktoren L, und Ki auf. Die aggregierte Arbeitsmenge L wird als konstant unterstellt. Wie im RamseyModell des Kapitels 2 steht die Volkswirtschaft bei gegebenem G abnehmenden Produktivitäten der Akkumulation des aggregierten Kapitals Κ gegenüber. Sollte G jedoch mit Κ steigen, dann impliziert (4.37), daß abnehmende Produktivitäten nicht auftreten. Die Produktionsfunktion weist also für gegebenes L, konstante Skalenerträge in Kj und G auf.12 Daher kann in der Volkswirtschaft wie im zuvor untersuchten ΛΑΓ-Modell endogenes Wachstum auftreten. Die Form der Produktionsfunktion impliziert außerdem, daß öffentliche Dienstleistungen mit den privaten Inputmengen in dem Sinne komplementär sind, als ein Anstieg von G die Grenzproduktivitäten von Li und Ki erhöht. Falls in (4.37) der Exponent von G kleiner als 1 — α ist, dann kommt es zu abnehmenden Skalenerträgen in Kj und G, die ein endogenes Wachstum ausschließen. Wenn dagegen der Exponent größer als α ist, dann steigen die Wachstumsraten tendenziell über die Zeit. Daher wird nun das Augenmerk auf den Spezialfall gerichtet, in dem der Exponent von G gleich 1 — α ist, so daß aufgrund der konstanten Skalenerträge in Ki und G die Fähigkeit der Volkswirtschaft zu endogenem Wachstum resultiert. Dieser Ansatz entspricht der Produktionsfunktion des Romer-Modells in (4.32) bis auf die Tatsache, daß der aggregierte Kapitalstock Κ durch die Menge des öffentlichen Gutes G ersetzt worden ist. Im folgenden wird angenommen, daß der Staat sein Budget ausgleicht, indem er eine proportionale Steuer mit dem Satz r auf den aggregierten Brutto-Output erhebt, G = r Y.

(4.38)

Weiter wird vorausgesetzt, daß r und daher auch die Ausgabenquote G/ Y über die Zeit konstant sind. Der Gewinn des Unternehmens nach Steuern beträgt Li • [(1 - r) Ak^G l ~ a - w - (r + 8) wobei ki Ξ Ki/Li ist, w den Lohnsatz bezeichnet und r + δ den Nutzungspreis angibt. Also implizieren die Gewinnmaximierung und die Bedingung eines Nullgewinns, daß der Lohnsatz gleich der Grenzproduktivität der Arbeit nach Steuern 12 Die Formulierung von (4.37) geht davon aus, daß der Strom der Staatsausgaben G in die Produktionsfunktion einfließt. Ein alternativer Ansatz kann sich auf den akkumulierten öffentlichen Kapitalbestand beziehen.

180

Kapitel 4. Ein-Sektor-Modelle des endogenen Wachstums

und der Nutzungspreis gleich der Grenzproduktivität des Kapitals nach Steuern sein müssen. Wird = k gesetzt, so ist der Nutzungspreis durch r + S = (1 - r) dYi/dKi = (1 - r) aAk~(X-a)Gx-a

(4.39)

gegeben. Um einen Ausdruck für G zu erhalten, werden (4.37) und (4.38) herangezogen: G = (rAL)l/ak.

(4.40)

Substituiert man G anhand dieser Gleichung in (4.39), so folgt: r + S = (1 - τ) dYi/dKi = (1 - r) aAx/a (rL) ( 1 -°°/°.

(4.41)

Für konstante L und r ist die Grenzproduktivität nach Steuern - und daher auch der interne Zinssatz r - unabhängig von k; außerdem steigt sie in L. Diese Resultate entsprechen den Ergebnissen des Romer-Modells. Im Wachstumsprozeß spielt die Grenzproduktivität des Kapitals nach Steuern auf der rechten Seite von (4.41) die gleiche Rolle wie die Konstante Α im AKModell und wie die konstante private Grenzproduktivität des Kapitals im RomerModell. Es gibt keine Dynamik im Übergang; die Wachstumsraten von c, k und y stimmen mit der Konstanten γ überein. Diese Konstante kann mit Hilfe des Ausdrucks (4.4) für das Wachstum des Konsums festgelegt werden:13 γ = [(1 - τ) αΛ 1 / ο ( r L ) ( 1 - a ) / a - ρ und die zweite Bedingung - die der Transversalitätsbedingung entspricht - erfordert (θ - 1) [(1 - r) dYi/dKi - S]/0 + ρ/θ > 0. Der Wert für (1 - τ) dYi/dKi ist durch (4.41) gegeben.

4.4 Staat und Wachstum

181

Zur Interpretation wird die Grenzproduktivität der öffentlichen Dienstleistungen herangezogen, die sich aus (4.37) ergibt,14 dY/dG

= (1 - a) Y / G = (1 - α ) / τ .

Die Bedingung r = 1 — α entspricht daher der natürlichen Effizienzbedingung für die Größe des Staates, dY/dG = l. 15

Abbildung 4.1

Staat und Wachstum. Die Beziehung zwischen der Staatsquote χ = G/Y und der Rate des Pro-KopfWachstums γ verläuft U-förmig. Bei geringen Werten von t dominiert der positive Effekt von G/ Υ auf die Grenzproduktivität des Kapitals, infolgedessen steigt γ mit τ. Bei weiter ansteigendem τ gewinnt die nachteilige Einwirkung der verzerrenden Besteuerung an Bedeutung, so daß y schließlich einen Höhepunkt erreicht. Für noch größere Werte von τ dominiert der Steuereffekt, und γ fällt mit τ.

In diesem Modell versucht ein wohlwollender Staat, den Nutzen eines repräsentativen Haushalts zu maximieren. Obwohl die Bedingung dY/dG = 1 Teil einer erstbesten Lösung des Maximierungskalküls ist, gilt diese Bedingung nicht notwendigerweise für zweitbeste Lösungen, in denen Steuern verzerrend wirken. Außerdem stimmt die Nutzenmaximierung im allgemeinen nicht mit der Maximierung der Wachstumsrate γ überein. Allerdings zeigt sich für den Fall der Cobb-Douglas-Produktionsfunktion (4.37), daß einerseits die Nutzenmaximierung der Maximierung der Wachstumsrate entspricht und daß andererseits die Maximierung der Wachstumsrate äquivalent zu der Bedingung dY/dG = 1 ist. Diese Ergebnisse lassen sich beweisen, indem das Verhalten des Staates berücksichtigt wird, der den Nutzen des repräsentativen Haushalts maximiert. Die Gleichung (4.37) impliziert 3Y;/dG = (1 — or) Y j / G . Dagegen entspricht die gesellschaftliche Grenzproduktivität von G der Summe über alle Unternehmen i, das heißt dY/dG = (1 - a) Y / G . 15 Die gesellschaftlichen Kosten einer Einheit von G betragen eins, während der Nutzen durch dYjBG gegeben ist. Daher führt dY/dG = 1 zu einem Ausgleich von Grenzkosten und Grenznutzen. 14

182

Kapitel 4. Ein-Sektor-Modelle des endogenen Wachstums

Der Nutzen des repräsentativen Haushalts gemäß (4.1) kann in geschlossener Form berechnet werden, weil c gemäß (4.42) mit der konstanten Rate γ wächst. Unter Anwendung von c(t) = c(0) tY' erhält man durch Integration von (4.1) £/= — · ( [C(0)]1-* 1 - 0 \ρ-γ(1-θ)

- I i , ρ J'

(4.44) k

}

wobei ρ-γ(Ι-θ) > 0 aus der Transversalitätsbedingung resultiert (siehe Fußnote 13). Also steigt U in c(0) und γ. Der Grund, weshalb der Staat die Maximierung von γ nicht unbedingt als wünschenswert erachtet, liegt darin, daß c(0) sinkt, wenn γ steigt. Die ursprüngliche Höhe des Konsums beträgt C(0) = 7(0) - G{0) - /(0) mit I — Κ + SK. Darüber hinaus gelten die Beziehungen G(0) = r F(0) und 1(0) = (γ + S) K(0). Die Produktionsfunktion (4.37) impliziert unter Anwendung der Bedingung (4.40) für G(0) Y(0) = A L P H ' I C t O ) ] 1 - = Α*/" (TL)il-")/a

K(0).

Mit diesen Ergebnissen läßt sich die ursprüngliche Höhe des Pro-Kopf-Konsums angeben als c(0) = [(1 - r) Αλ'α ( τ Ι ) ( 1 ~ α ) / α - γ - 5] jfc(0).

(4.45)

Nun kann c(0) in den Ausdruck für U gemäß (4.44) eingesetzt werden. Wird die Relation zwischen γ und r aus (4.42) herangezogen, dann kann U als Funktion der Politikvariablen r bestimmt werden. In einem etwas handlicheren Ansatz wird der Term (1 — r) τ ( Ι _ α ) · / α entsprechend (4.42) als Funktion von γ angegeben. Setzt man das Ergebnis in die Formel für c(0), also (4.45), ein und substituiert das Resultat in (4.44), dann ergibt sich schließlich eine Gleichung für U, die zwar von γ, aber nicht getrennt von r abhängt. Nun kann einfach gezeigt werden, daß U monoton in γ steigt. Die Maximierung von U entspricht daher der Maximierung von γ. Da bereits gezeigt worden ist, daß die Maximierung von γ die Bedingung r = 1 — α impliziert, läßt sich schließen, daß τ = 1 — α den Nutzen des repräsentativen Haushalts maximiert. Allerdings hängt dieses Ergebnis von der Spezifikation der Produktionsfunktion in der Cobb-Douglas-Form (4.37) ab. Bisher ist lediglich gezeigt worden, daß τ = 1 — α die beste staatliche Politik darstellt, sofern die Wachstumsrate durch die dezentral getroffenen Entscheidungen der Haushalte und Unternehmen gemäß (4.42) bestimmt wird. Im Anschluß werden nun die Ergebnisse auf Pareto-Optimalität untersucht. Wie üblich läßt sich die Pareto-Optimalität anhand des Problems einer Planungsbehörde überprüfen. DAS PROBLEM EINER PLANUNGSBEHÖRDE. Die Behörde wählt die Zeitpfade G(i) und c(t) derart, daß U gemäß (4.1) maximiert wird. Dabei steht sie lediglich der Produktionsfunktion (4.37) sowie der Budgetrestriktion Υ = ALkaGx~a

= C+G+

K + SK

4.4 Staat und Wachstum

183

als Nebenbedingungen gegenüber. (Korrekterweise ist bereits angenommen worden, daß die Behörde jedem Unternehmen die gleiche Kapitalintensität k, = k zuordnet.) Nun kann unmittelbar die Hamilton-Funktion aufgestellt werden, um die notwendigen Bedingungen der dynamischen Optimierung für das Problem der Planungsbehörde abzuleiten. Da die formale Analyse analog zum Romer-Modell erfolgt, werden hier nur die Ergebnisse diskutiert. Die Planungsbehörde erfüllt die Bedingung 9K/3G = 1 und somit auch G/Y = 1 —a. Diese Bedingung für die effiziente Größe des öffentlichen Sektors trifft immer im Rahmen einer erstbesten Lösung zu, die die Behörde in jedem Fall erreicht. Die wesentliche Verzerrung im dezentralen Modell liegt in der Tatsache, daß die individuellen Investoren die private Grenzproduktivität des Kapitals (1 — r) dY-JdR, berücksichtigen, die aufgrund des Steuersatzes τ geringer als die gesellschaftliche Grenzproduktivität dYi/dKj ist. Diese Lücke zwischen der gesellschaftlichen und der privaten Grenzproduktivität führt gemäß (4.42) zu einer geringeren als der gesellschaftlich optimalen Wachstumsrate y, die dadurch ermittelt wird, daß man (1 - r) dV,/dK, durch dY,/dK, ersetzt. Analog wird der Term 1 - τ in (4.42) durch 1 substituiert. Wird auch G/Y = 1 — α gesetzt, dann ergibt sich die durch die Planungsbehörde gewählte Wachstumsrate X(Planungsbehörde) = [(1 - α) Λ 1/(1_0ί) (aL) a / ( 1 ~ a ) - S - ρ]/θ.

(4.46)

Diese Wachstumsrate - und die damit verbundenen erstbesten Lösungen - kann auch in einem dezentralen Ansatz abgeleitet werden. Zunächst geht der Staat von G/Y = 1 — α aus, um die richtige Menge des öffentlichen Gutes zu erhalten. Anschließend erhebt der Staat eine Kopfsteuer zur Finanzierung seiner Ausgaben, das heißt eine Steuer mit einer Grenzrate in bezug auf die Produktion von null. Im vorliegenden Zusammenhang läuft eine Konsumsteuer auf eine Art Kopfsteuer hinaus, da die Wahl zwischen der Arbeitszeit und der Freizeit nicht berücksichtigt wird. Im Modell des folgenden Abschnitts wird der generelle Vorzug einer Kopfsteuer jedoch in Frage gestellt.

SKALENEFFEKTE. Das Modell mit staatlichen Dienstleistungen als öffentlichen Gütern prognostiziert Skaleneffekte, die denen im Romer-Modell ähneln. Hier zieht die Volkswirtschaft ihren Nutzen aus einem größeren Produktionsniveau, weil die staatlichen Dienstleistungen im Sinne öffentlicher Güter kostenlos auf zusätzliche Benutzer verteilt werden können. Eine durch L repräsentierte Größensteigerung erhöht sowohl die Grenzproduktivität des Kapitals nach Steuern (4.41) als auch die gesellschaftliche Grenzproduktivität in der gleichen Weise. Ein höherer Wert von L führt dementsprechend zu höheren Werten der dezentralen Wachstumsrate (4.42) und der Wachstumsrate der Planungsbehörde (4.46). Da L aufgrund des Bevölkerungswachstums fortwährend zunimmt, resultieren steigende Raten des Pro-Kopf-Wachstums. Wie im RomerModell muß also zur Untersuchung langfristiger Gleichgewichte ein Bevölkerungswachstum von null angenommen werden.

184

Kapitel 4. Ein-Sektor-Modelle des endogenen Wachstums

Wie bereits erwähnt worden ist, zeigen die Daten beim Quervergleich der Länder eine schwach positive Beziehung zwischen der Rate des Pro-Kopf-Wachstums und der Größe der Erwerbsbevölkerung. (Wenn unterstellt wird, daß sich der Nutzen öffentlicher Güter nur über den politischen Zuständigkeitsbereich des Staates erstreckt, dann stellt ein Land die natürliche Beobachtungseinheit dar.) Der Mißerfolg, bedeutendere Skaleneffekte nachzuweisen, ist wahrscheinlich darauf zurückzuführen, daß die meisten staatlichen Dienstleistungen nicht die vorausgesetzte Eigenschaft der Nichtrivalität besitzen. Daher wird nun ein alternativer Ansatz betrachtet, in dem die staatlichen Dienstleistungen übermäßig genutzt werden. Dabei wird gezeigt, daß das Modell stark abweichende Implikationen für die Skaleneffekte und die wünschenswerte öffentliche Finanzwirtschaft beinhaltet.

4.4.2

Das Modell der Überlastung in der Produktion staatlicher Dienstleistungen

ÖFFENTLICHE DIENSTLEISTUNGEN ALS PRODUKTIONSFAKTOREN.

Viele

öffentliche Güter wie Straßen, Wassersysteme, Polizei, Feuerwehr und Gerichte können überlastet sein. Für eine gegebene Menge aggregierter Dienstleistungen G verringert sich die für ein Individuum zur Verfügung stehende Menge durch die Inanspruchnahme anderer Benutzer. Für staatliche Aktivitäten, die als Faktoren in die private Produktion eingehen, kann diese Überlastbarkeit (wie in Barro und Salai-Martin (1992c)) dargestellt werden, indem die Produktionsfunktion für den i'-ten Produzenten zu Yi = AKif{G/Y)

(4.47)

umgeschrieben wird, wobei / ' > 0 und / " < 0 gelten. Der Produktionsprozeß entspricht einer ΑΛΓ-Technik, modifiziert um einen Term, der öffentliche Dienstleistungen umfaßt. Ein Anstieg von G relativ zum aggregierten Output Y erhöht F, für gegebenes AT, . Aufgrund der Übernutzung verringert ein Anstieg von Y für gegebenes G die jedem Produzenten zur Verfügung stehenden öffentlichen Dienstleistungen und daher auch Yt. Der Formulierung entsprechend wird angenommen, daß G im Verhältnis zum gesamten Output Y steigen muß, um die öffentlichen Dienstleistungen auszuweiten, die jedem Benutzer zur Verfügung stehen. Alternativ kann man unterstellen, daß G im Verhältnis zum aggregierten Privatkapital Κ steigen muß, um den Umfang der Dienstleistungen zu erhöhen. Die Ergebnisse bleiben bei dieser Spezifikation im wesentlichen unverändert. Für gegebenes G und Y weist die Produktionsfunktion eines Unternehmens konstante Produktivitäten in bezug auf den privaten Faktor Kt auf. Daher ist der Nutzungspreis für Kapital bei vollständiger Konkurrenz gleich der Grenzproduktivität des Kapitals nach Steuern, und die für das Kapital zu entrichtenden Zahlungen zehren das gesamte Produkt nach Steuern auf. Wächst G mit derselben Rate wie Y, dann bleibt die Quote G/Y konstant und die konstanten Produktivitäten von Kt implizieren wie im AÄT-Modell, daß die Völkswirtschaft endogenes Wachstum generiert.

185

4.4 Staat und Wachstum

Wie in (4.38) wird angenommen, daß der Staat einen konstanten, proportionalen Steuersatz r auf den Output erhebt, so daß G/Y = τ gilt. Die Grenzproduktivität des Kapitals nach Steuern ist dann gemäß (4.47) als (1 -

r ) dYi/dKi

=

(1 - τ ) Α / ( τ ) = r + S

(4.48)

gegeben. Die Grenzproduktivität nach Steuern und damit auch der interne Zinssatz hängen im Gegensatz zum Modell der öffentlichen Güter nicht von der Niveauvariablen L ab. Die Wachstumsraten von c, k und y stimmen mit derselben Konstanten überein, die nach (4.4) zu γ =

[(1 - r) Λ / ( τ ) - «5 -

ρ]/θ

(4.49)

umformuliert wird. Wegen / ' > 0 und / " < 0 sieht die Beziehung zwischen γ und τ wie die in der Abbildung 4.1 aus; insbesondere steigt γ mit r bei niedrigen Werten von r und fällt für hohe Werte von r. Da die Grenzproduktivität des Kapitals nach Steuern bei Änderungen von L gemäß (4.48) konstant bleibt, ist auch die Wachstumsrate unabhängig von L. Die Gleichung (4.49) impliziert für die Wahl von r zur Maximierung von γ die notwendige Bedingung / ( τ ) = (1 — r) / ' ( τ ) . Anhand von (4.47) kann gezeigt werden, daß diese Bedingung die vertraute Effizienzbedingung dY/dG = 1 für die Größe des Staates impliziert.16 Außerdem ist dieses Ergebnis nun unabhängig von der spezifischen funktionalen Form von / . Um die Pareto-Optimalität der dezentralen Ergebnisse zu untersuchen, ist wiederum das Problem der Planungsbehörde zu analysieren. Da das Vorgehen bereits erörtert worden ist, erfolgt hier lediglich eine Diskussion der Ergebnisse. So überrascht es kaum, daß die Behörde die Effizienzbedingung dY/dG = 1 erfüllt. Allerdings stellt sich bei einem Vergleich der dezentralen Wachstumsrate γ aus (4.49) mit der Wachstumsrate der Planungsbehörde ein neues Resultat ein. Angenommen, der Staat setzt G/Y im dezentralen Ansatz so fest, daß γ maximal wird, das heißt dY/dG = 1, dann stimmen die Wachstumsrate der Planungsbehörde und die dezentrale Wachstumsrate γ überein, obwohl in der dezentralen Volkswirtschaft der proportionale Steuersatz r auf den Produktionswert erhoben wird. Anders als im Modell öffentlicher Güter, wo der Übergang zu einer Kopfsteuer Pareto-verbessernd wirkt, erzeugt die proportionale Steuer auf den Output nun ein sozialökonomisches Optimum. Überdies ist jeder Schritt hin zu einer Kopfsteuer eine Pareto-Verschlechterung: Die Volkswirtschaft weist in diesem Fall schließlich exzessives Wachstum auf. Die Ergebnisse lassen sich intuitiv einfach erfassen. Die Entscheidung eines einzelnen Produzenten, sein Kapital Kj und damit auch seinen Output K, zu vergrößern, 16 Die Gleichung (4.47) liefert folgende Grenzproduktivität öffentlicher Dienstleistungen: dY/dG = / ' ( r ) / [ / ( r ) + r / ' ( r ) ] . Falls / ' ( τ ) - > oo für r - > 0 und / ' ( r ) 0 für r - > 1 gelten, dann ist die Existenz einer inneren Lösung für τ garantiert, die das Wachstum maximiert.

186

Kapitel 4. Ein-Sektor-Modelle des endogenen Wachstums

trägt zum gesamten Output Y bei und erhöht damit auch die Überbeanspruchung eines gegebenen Aggregats öffentlicher Dienstleistungen G. Besteht eine Kopfsteuer, dann vernachlässigt der einzelne Produzent diese nachteiligen externen Effekte und hat daher ein zu großes Interesse an einer Erhöhung von AT, und Y,. Um die Verzerrung zu internalisieren, muß ein Produzent, der Yj erhöht, eine ausreichende Menge zusätzlicher Ressourcen bereitstellen, damit die für die übrigen Unternehmen zur Verfügung stehenden öffentlichen Dienstleistungen erhalten bleiben, das heißt, daß G/Y konstant gehalten wird. Die erforderliche Kompensation beträgt G/Y multipliziert mit der Änderung von Y. Ein Steuersatz τ in Höhe von G/Y stellt exakt den richtigen Anreiz für den einzelnen Produzenten dar und liefert daher ein gesellschaftliches Optimum (falls auch die Staatsquote G/ Y so gewählt worden ist, daß sie die Bedingung dY/dG = 1 erfüllt.)

EINFLUSS ÖFFENTLICHER DIENSTLEISTUNGEN AUF EIGENTUMSRECHTE.

Für öffentliche Dienstleistungen wie die Bereitstellung von Straßen oder Wasserund Elektrizitätssystemen bietet es sich an, G/ Y analog zu (4.47) direkt in die Produktionsfunktion einzuführen. 17 Die Aktivitäten, die die Eigentumsrechte schützen, also Dienstleistungen der Polizei, der Gerichte und der nationalen Verteidigung, können statt dessen als Einflüsse auf die Wahrscheinlichkeit angesehen werden, daß die Eigentumsrechte der Wirtschaftssubjekte erhalten bleiben, so daß sie einen Anreiz verspüren, Kapital zu akkumulieren und zu produzieren. Im folgenden wird angenommen, daß die Wahrscheinlichkeit p, das Eigentum am eigenen Output zu behalten, eine steigende Funktion von G/Y ist, das heißt ρ = ρ (G/Y) mit ρ' > 0 und p" < 0. Bezeichnet G beispielsweise die aggregierten Ausgaben für die Polizei, dann hängt die Höhe des Polizeischutzes für jedes einzelne Individuum davon ab, wie groß das Verhältnis von G zur gesamtwirtschaftlichen Aktivität Y ist, die die Polizei beschützen muß. In einigen Fällen ist es naheliegender, G durch Κ anstelle von Y zu dividieren; die Ergebnisse bleiben jedoch im wesentlichen unverändert. Wenn man die direkten Produktionseffekte der staatlichen Dienstleistungen vernachlässigt und davon ausgeht, daß die Produzenten lediglich am erwarteten internen Zinssatz der Investition interessiert sind, dann läßt sich (4.48) in (1 — τ) Λ ρ(τ) = r+ δ

(4.50)

umschreiben, und (4.49) wird zu18 γ = [(1-τ)Αρ(τ)-δ-ρ]/θ.

(4.51)

n D i e staatliche Beteiligung in diesen Bereichen läßt sich analog zur Argumentation für natürliche Monopole begründen. Sala-i-Martin (1992) führt an, daß Transferzahlungen auch die Produktivität unter bestimmten Gegebenheiten erhöhen können. 18 Ein alternativer Ansatz bezieht die Gegenwahrscheinlichkeit 1 - ρ auf den Kapitalstock und nicht auf den Strom des Outputs. In diesem Ansatz wird 1 - ρ effektiv zum Abschreibungssatz in (4.50) und (4.51) addiert, wobei sich die Ergebnisse nicht wesentlich von denen im Text unterscheiden.

4.5 Die Dynamik des Übergangs in einem Modell des endogenen Wachstums

187

(Hierbei wird unterstellt, daß der Steuersatz r nur auf den Teil des Brutto-Outputs erhoben wird, der nicht gestohlen worden ist.) In der Form entspricht (4.51) der Gleichung (4.49) - wobei p(r) die Funktion / ( r ) ersetzt; auch die Schlußfolgerungen bleiben die gleichen. Die Bedingung für ein maximales γ lautet ρ (τ) — (1 — τ) ρ'{τ), und der resultierende Wert für γ gemäß (4.51) ist Pareto-"öptimal.19 Kontrovers ist die Behandlung der nationalen Verteidigung - einem großen Anteil staatlicher Ausgaben - als eine Aktivität, die insofern der Überlastbarkeit unterliegt, als G im Verhältnis zu Υ oder Κ in die Wahrscheinlichkeit einfließt, daß die Eigentumsrechte geschützt werden. Dennoch argumentiert Thompson (1976), daß Υ und Κ die zu erringende Trophäe für potentielle ausländische Aggressoren darstellen. Bei steigendem Υ und Κ nimmt die ausländische Bedrohung zu, wenn G unverändert bleibt. Um den gegebenen Stand an nationaler Sicherheit aufrecht zu erhalten, muß der Staat G ungefähr proportional zu Υ und Κ erhöhen. Damit unterliegt die nationale Verteidigung auf die gleiche Weise der Überlastbarkeit wie heimische Dienstleistungen der Polizei, der Feuerwehr und so weiter. Interessante Einsichten liefert ein Vergleich des Stauungsmodells der staatlichen Dienstleistungen mit dem Romer-Modell des learning-by-doing mit der Diffusion des Wissens. Im Modell der Überlastbarkeit ist eine Steuer auf die Produktion wünschenswert, da sie die Übernutzung internalisiert. Das gleiche Ergebnis gilt im Modell mit spillovers, wenn man annimmt, daß die Diffusion einen negativen Nutzen (beispielsweise in der Form von Luft- oder Wasserverschmutzung) vermittelt. Da statt dessen jedoch unterstellt worden ist, daß durch die Produktion ein externer Nutzen (im wesentlichen eine negative Überlastung) verursacht wird, ist geschlossen worden, daß eine Subventionierung der Produktion gerechtfertigt ist. In der Empirie ist die Frage, ob Diffusionseffekte typischerweise positiv oder negativ sind, bisher ungelöst. Die wichtigsten empirischen Prognosen über den Staat und das Wachstum resultieren aus dem Graphen in der Abbildung 4.1, der eine Beziehung zwischen den betrachteten verschiedenen Arten der produktiven Staatsleistungen beschreibt. Die vorhergesagte Relation zwischen der Wachstumsrate γ und dem Anteil dieser Dienstleistungen G/ Υ am Bruttoinlandsprodukt ist nicht monoton. Wenn die Volkswirtschaft klein ist, steigt die Wachstumsrate mit G/ Y\ sie fällt jedoch mit G/ Y, wenn die Volkswirtschaft zu groß wird.

4.5

Die Dynamik des Übergangs in einem Modell des endogenen Wachstums

Alle bisher behandelten Modelle des vorliegenden Kapitels weisen keine Dynamik im Übergang auf. Insbesondere wird prognostiziert, daß die Raten des Pro-Kopf19

Die Ergebnisse sind gesamtwirtschaftlich optimal, wenn der Nutzen von Kriminellen unberücksichtigt bleibt oder wenn die von Kriminellen verbrauchten Ressourcen bei der Ausübung ihrer Straftaten gleich der gestohlenen Menge sind (wie es in einigen Modellen mit Aktivitäten der Vorteilsnahme (.rentseeking) vorkommt).

188

Kapitel 4. Ein-Sektor-Modelle des endogenen Wachstums

Wachstums unabhängig von den Ausgangsniveaus von k und y sind. Damit widersprechen die Modelle den empirischen Beobachtungen zur Konvergenz, wie sie in den Kapiteln 11 und 12 diskutiert werden. Im Kapitel 1 ist gezeigt worden, daß für die Modelle mit einer konstanten Sparquote die Möglichkeit besteht, ein Modell mit endogenem Wachstums zu konstruieren, das eine Dynamik im Übergang aufweist, in der die Konvergenzeigenschaft zutrifft. Diese Ergebnisse stellen sich ein, wenn die Technik so modifiziert wird, daß sie abnehmende Kapitalproduktivitäten aufweist, und außerdem unterstellt wird, daß die Grenzproduktivität des Kapitals für einen unendlich großen Kapitalbestand nach unten beschränkt ist. (Damit wird die Inada-Bedingung im Unendlichen verletzt.) In diesem Abschnitt wird gezeigt, wie sich diese Form der Technik mit der Optimierung des repräsentativen Haushalts im Ramsey-Modell kombinieren läßt. Die hier zu betrachtenden Techniken nehmen die von Jones und Manuelli (1990) eingeführte funktionale Form Y = F(K, L) = AK + Ώ(Κ, L)

(4.52)

an, wobei Ω (AT, L) den Eigenschaften einer neoklassischen Produktionsfunktion genügt: positive und abnehmende Grenzproduktivitäten, konstante Skalenerträge und die Inada-Bedingungen (1.5a)-(1.5c). Produktionsfunktionen der Form (4.52) sind nur deswegen nicht neoklassisch, weil sie eine der Inada-Bedingungen, nämlich lim^^ 0C [3y/3Ä'] = A > 0, verletzen. Der AK-Teil der Produktionsfunktion generiert endogenes Wachstum, während der Term Ω (A", L) das Konvergenzverhalten hervorruft. Um die dynamische Analyse durchführen zu können, wird die Diskussion auf einige spezifische funktionale Formen von Ω(Κ, L) begrenzt. 4.5.1

Ein Beispiel mit Cobb-Douglas-Technik

Zunächst wird die Produktionsfunktion (1.35) aus dem Kapitel 1 Y = F{K, L) = AK +

BKaLl~a

untersucht, mit A > 0, Β > 0 und 0 < a < l. 20 Diese Funktion kann in Pro-KopfAusdrücke umgeschrieben werden: y = f{k) = Ak+ Bka.

(4.53)

Dabei gilt lim^oo[/'(Jfc)] = A > 0. Die dynamischen Gleichungen für k und c entsprechen den beiden Gleichungen (2.23) und (2.24) mit χ = 0 für das Ramsey-Modell des Kapitels 2: Yk Yc 20

= f(k)/k

-c/k-(n

+ S) = A + Bka~l - c/k - (n + 8),

= [f'(k) - S - ρ]/θ = [Λ + « r -

1

- 8 - ρ]/θ.

(4.54) (4.55)

Alle Ergebnisse, die in diesem Abschnitt diskutiert werden, bleiben bestehen, wenn L durch L = Lei" ersetzt wird. Ein exogener technischer Fortschritt kann also in jenem Teil der Produktionsfunktion zugelassen werden, der abnehmende Produktivitäten aufweist. Falls der Parameter Λ über die Zeit ständig wächst, besitzt das Modell kein langfristiges Gleichgewicht.

4.5 Die Dynamik des Übergangs in einem Modell des endogenen Wachstums

189

Wenn das Modell endogenes Wachstum generiert - das heißt, > 0 dann folgt k ->· oo für t oo, so daß die Ausdrücke, die ka~x enthalten, asymptotisch bedeutungslos werden. Also stellt sich ein langfristiges Gleichgewicht analog zum ΑίΓ-Modell ein, und sämtliche Wachstumsraten von c, k und y sind im langfristigen Gleichgewicht nach (4.16) durch γ* = (A - S -

ρ)/θ

(4.56)

gegeben. Dabei wird A > S + ρ unterstellt, so daß y* > 0 folgt. 21 (Dagegen gilt γ* = 0 für A < S + p. Dieser Sachverhalt ist im Standardmodell von Ramsey im Kapitel 2 diskutiert worden.) Zunächst kann man versuchen, entsprechend der Abbildung 2.1 ein Phasendiagramm im (k, c)-Raum zu konstruieren. Diese Methode eignet sich jedoch nicht, weil k und c für γ* > 0 ständig wachsen. Ein erfolgreiches Verfahren enthält eine Transformation in die Variablen, die im langfristigen Gleichgewicht konstant sind. Zu diesem Zweck betrachtet man die Entwicklung der Durchschnittsproduktivität des Kapitals ζ = f(k)/k und das Verhältnis des Konsums zum Kapitalstock χ = c/k. Dabei verhält sich ζ (analog zu k) wie eine Zustandsvariable, weil sein Wert zu jedem Zeitpunkt durch die vorangegangenen Investitionen und die Entwicklung von L bestimmt ist. Wenn also die Investitionen endlich sind und L keine Sprünge aufweist, dann können sich auch ζ und k zu keinem Zeitpunkt sprunghaft verhalten. Dagegen ähnelt χ (wie auch c) einer Kontrollvariablen, da sein Wert zu jedem Zeitpunkt einen Sprung aufweisen darf. (Solche Sprünge werden in den hier betrachteten Gleichgewichten allerdings nicht optimal sein.) Anders als k und c nähern sich die beiden neuen Variablen ζ und χ konstanten Größen im langfristigen Gleichgewicht. Zur Herleitung eines dynamischen Systems bezüglich der transformierten Variablen ζ und χ können (4.54) und (4.55) herangezogen werden. Nach einigen algebraischen Umformungen stellen sich folgende Ergebnisse ein: ζ = —(1 — α) {ζ — Α) {ζ — χ — η — 5),

(4.57)

θ-α χ - Ψ — ( ζ - Α )

(4.58)

Χ =χ·

,

mit φ = (Α — δ) (θ — I)/θ + ρ/θ — η. Um die Transversalitätsbedingung zu erfüllen, wird φ > 0 gefordert. Diese Bedingung stellt außerdem ein endliches Nutzenniveau sicher, sofern c mit der Rate γ* aus (4.56) wächst. Aus (4.57) und (4.58) wird deutlich, daß ζ = χ = 0 mit z~ Α und χ = φ konsistent ist, wobei sich Λ und φ als langfristige Gleichgewichtswerte von ζ und χ herausstellen werden. (Die Relation ζ = Α bedeutet, daß der AÄ"-Teil der Produktionsfunktion den Teil B K a L l ~ a asymptotisch dominiert.) 21 Wie zuvor wird ρ > η angenommen, so daß A > 8 + ρ die Ungleichung A > S + η impliziert. Wird gegen die letzte Ungleichung verstoßen, dann ist der Nutzen unbeschränkt, sofern c über die Zeit konstant ist.

190

Kapitel 4. Ein-Sektor-Modelle des endogenen Wachstums

X

= c/k

z= 0

ζ=0

X(0) X* = Ψ

ζ* = A

z(0)

ζ

Abbildung 4.2 Übergangsdynamik in einem Modell des endogenen Wachstums (für F(K, L) = AK + BKal}~"). Das Phasendiagramm ist im (z, x)-Raum abgebildet worden, wobei z = f(k)/k die Bruttodurchschnittsproduktivität des Kapitals bezeichnet und χ = c/k gilt. Die Isokline χ = 0 ist eine Gerade mit positiver Steigung, die für θ > α kleiner als eins ist. Außerdem existieren zwei Bedingungen, die ζ = 0 erfüllen. Die erste Bedingung entspricht einer vertikalen Geraden bei ζ = Α, die andere einer ansteigenden Geraden mit der Steigung eins. Die zweite Gerade muß die vertikale Gerade bei Α und einem Wert von χ schneiden, der größer als χ* ist. Da ζ = f(k)/k = A + Bka~[ > Α ist, stellt der Punkt, in dem die Isokline χ = 0 die vertikale Gerade ζ = Α schneidet, das einzige langfristige Gleichgewicht dar. Ursprünglich gilt ζ > z*, so daß ζ und χ während des Übergangs monoton fallen. (Man beachte, daß das Resultat über den Pfad von χ von der Annahme θ > α abhängt.)

In der Abbildung 4.2 ist das Phasendiagramm im (z, x)-Raum dargestellt. Die Gleichung (4.58) impliziert, daß die Isokline χ = 0 (bis auf χ = 0) durch die Gerade χ = φ — Α (θ — α)/θ + ζ (θ — α)/θ beschrieben wird. Die Steigung ist kleiner als eins und positiv für θ > α. Ist θ < α, dann hat die Gerade eine negative Steigung. Dieser Fall erfordert einen unrealistisch hohen Grad der intertemporalen Substitution, da θ deutlich unter eins liegen müßte. Die Gleichung (4.57) impliziert die Isokline ζ = 0 für ζ = Α oder χ = z — n — S. Die erste Bedingung entspricht der vertikalen Geraden bei Α in der Abbildung 4.2. Die zweite Bedingung wird durch die Gerade mit der Steigung eins und dem negativen Achsenabschnitt wiedergegeben. Die Steigung dieser (z = 0)-lsokline muß größer als die der Isokline χ — 0 sein, die eine Steigung kleiner als eins aufweist. (Die Ungleichung A > p + S impliziert, daß die Isokline ζ = 0 die vertikale Gerade durch Α bei einem Wert von χ schneidet, der wie in der Abbildung größer als φ ist.) Da ζ = A + Bka~x > Α gilt, sind die Teile der Abbildung 4.2 mit ζ < A irrelevant. Die Analyse kann daher auf die Region mit ζ > Α beschränkt werden. Der Abbildung ist zu entnehmen, daß sich die Isoklinen ζ = 0 und χ = 0 in dieser Region lediglich bei ζ* = Α und χ* — φ schneiden, die die langfristigen Gleichge-

4.5 Die Dynamik des Übergangs in einem Modell des endogenen Wachstums

191

wichtswerte angeben. Ausgehend von einem Startwert z(0) > Α wird nun die Dynamik im Übergang betrachtet. In der Abbildung ist der stabile Arm dargestellt worden, der einem geeignet gewählten Startwert χ(0) entspricht. Entlang dem stabilen Arm fallen die Durchschnittsproduktivität des Kapitals ζ und das Verhältnis von Konsum zu Kapital χ monoton. 22 Die monotone Abnahme von ζ entspricht dem monotonen Anstieg von k. Die monotone Abnahme in χ ist durch die Annahme θ > α bedingt.23 Unterstellt man θ < α, dann steigt χ während des Übergangs monoton. (Wird θ = a zugrunde gelegt, dann gilt der langfristige Gleichgewichtswert χ = φ auch während des gesamten Übergangs.) Die Kapitalertragsquote ist durch Ak + aBka kf\k)/f{k) = Ak + Bka gegeben; sie ist für A = 0 gleich α und für Β = 0 gleich eins. Wenn A > 0 und Β > 0 sind, dann steigt die Kapitalertragsquote auf eins, und die Lohnquote fällt für unbegrenzt steigendes k auf null. Diese Implikation des Modells steht bei einer enggefaßten Interpretation des Kapitals, das Anlagen und Ausrüstungen einschließt, im Widerspruch zu den empirischen Daten; sie wird jedoch plausibler, wenn das Humankapital einbezogen wird. In diesem Fall besagt die Schlußfolgerung, daß der Anteil der einfachen Arbeitskräfte am Gesamtprodukt im Zuge der Entwicklung der Volkswirtschaft gegen null strebt. Der wichtigste Aspekt des erweiterten Modells ist die Wiederherstellung einer Dynamik im Übergang, in der die Durchschnitts- und Grenzproduktivität des Kapitals allmählich auf den langfristigen Gleichgewichtswert Α sinken. Die fallende Kapitalproduktivität erzeugt tendenziell eine Abnahme der Raten des Pro-KopfWachstums über die Zeit. Das Modell weist also wiederum die Konvergenzeigenschaft auf, die im Ramsey-Modell gegeben ist. Im Anhang 2C wird für das Ramsey-Modell gezeigt, daß die Wachstumsrate des Kapitals pro Kopf k/k während des Übergangs monoton fällt 2 4 Der Beweis stützt sich auf die abnehmende Grenzproduktivität des Kapitals f"(k) < 0 und nicht auf die Inada-Bedingung lim^oo [/'(£)] = 0. Die Konvergenzeigenschaft abnehmender Wachstumsraten des Pro-Kopf-Kapitals trifft daher unmittelbar für das hier diskutierte Modell zu, in dem die Produktionsfunktion durch (4.53) oder allgemeiner durch (4.52) gegeben ist. Mit Hilfe dieses Ansatzes lassen sich die 22

Die instabilen Pfade können von der üblichen Argumentation ausgeschlossen werden. Die Pfade, die gegen χ = 0 und ζ = Λ konvergieren, verletzen die Transversalitätsbedingung. Die Trajektorien, die χ - » oo und ζ —> oo implizieren, führen zum Verlust des Kapitals in endlicher Zeit und schließlich zu einem diskreten Sprung nach unten auf einen Konsum von null. 23 Wie im Anhang 2B für θ > α gezeigt wird, fallt c/k im Ramsey-Modell mit einer Cobb-DouglasTechnik monoton. Dieses Ergebnis bleibt auch für den aktuellen Fall bestehen, in dem die Produktionsfunktion zu f ( k ) = Ak+ BK* modifiziert worden ist. 24 Das Ergebnis trifft im Ramsey-Modell für jede Volkswirtschaft zu, die einen Anfangswert k( 0) < k* aufweist. Da im vorliegenden Fall k* unendlich groß wird, ist diese Ungleichung überflüssig.

192

Kapitel 4. Ein-Sektor-Modelle des endogenen Wachstums

langfristigen Eigenschaften des Wachstums im A£-Modells zusammen mit dem im Ramsey-Modell dargestellten Konvergenzverhalten herausstellen.

4.5.2

Ein Beispiel mit CES-Technik

In diesem Abschnitt wird gezeigt, daß ähnliche Ergebnisse für das endogene Wachstum und die Dynamik im Übergang abgeleitet werden können, wenn die Produktionsfunktion eine konstante Substitutionselastizität (CES) aufweist. Im Kapitel 1 ist dargelegt worden, daß endogenes Wachstum mit einer CES-Produktionsfunktion möglich ist, wenn die Elastizität der Substitution zwischen den Faktoren Κ und L groß ist. Die Technik wird nun wie folgt spezifiziert: Y = F(K, L) = A{a

ψΚΫ

+ (1 - a) [(1 - b) Lf)X'*,

(4.59)

wobei 0 < a < l , 0 < f e < l und 0 < ψ < 1 gelten, so daß die Substitutionselastizität 1/(1 — ψ) größer als eins ist. Die Produktionsfunktion kann in Pro-Kopf-Ausdrücken dargestellt werden. y

= f(k) = A-[a {bk)* + (1 - a) (1 -

b

(

4

.

6

0

)

Im Kapitel 1 ist gezeigt worden, daß neben den positiven und abnehmenden Grenzproduktivitäten und Durchschnittsproduktivitäten des Kapitals die folgenden Grenzwerte vorliegen: lim [ / ' ( * ) ] = lim [f(k)/k] = Bba1'*, k-* oo k-toο lim [ / ' ( * ) ] = l i m [ / ( * ) / * ] = oo. k->0 k-*0 Dabei wird insbesondere die zentrale Inada-Bedingung verletzt, da sich f'(k) einer positiven Konstanten nähert, falls k gegen unendlich strebt, so daß das Modell in der Lage ist, endogenes Wachstum zu generieren. Damit die Analyse parallel zu dem vorangegangenen Abschnitt durchgeführt werden kann, definiert man den Parameter Λ Ξ Bbal/*.

(4.61)

Mit dieser Definition stellt die CES-Produktionsfunktion (mit 0 < ψ < 1) einen Spezialfall von (4.52) dar. Wird Ω(ΛΤ, L) = F(K, L) - AK gesetzt, wobei F(K, L) die CES-Funktion aus (4.59) bezeichnet und Α gemäß (4.61) gegeben ist, dann erfüllt die Funktion Ώ(Κ, L) alle neoklassischen Eigenschaften (1.5a)-(1.5c) einschließlich der Inada-Bedingungen. Da Α den Grenzwert von f'{k) bezeichnet, legt die vorangegangene Analyse die Vermutung nahe, daß die Parameter des Modells zur Erzeugung des endogenen Wachstums der Bedingung A > 8 + ρ genügen müssen. Diese Ungleichung wird tendenziell erfüllt sein, wenn das Niveau der Technik Β hoch ist, wenn die durch ψ

4.5 Die Dynamik des Übergangs in einem Modell des endogenen Wachstums

193

beschriebene Substitutionselastizität groß ist und wenn die Parameter α und b groß sind (je höher die Werte von α und b sind, desto bedeutender ist der Faktor Kapital im Produktionsprozeß). Die dynamischen Gleichungen für k und c entsprechen wiederum (2.23) und (2.24) mit χ = 0, die im Ramsey-Modell des Kapitels 2 hergeleitet worden sind. Yk = f(k)/k-c/k-(n Yc

+ S)

= U'ik) - «5 - ρ]/θ

Wie im vorangegangenen Abschnitt werden ζ = f(k)/k und χ = c/k gesetzt, so daß sich die dynamischen Gleichungen für ζ und χ angeben lassen: z/z=[(z/A)-+-l](z-x-n-8), Χ/Χ = [ ( Z / Α Ϋ - 1] Α/θ - (ζ - Α) + (χ + φ), wobei wie zuvor φ Ξ (Λ — δ) (θ — 1)/θ + ρ/θ — η > 0 gilt. Weil f(k)/k niemals unter den Wert Α fallen kann, wird die Analyse wiederum auf den Bereich ζ > A beschränkt. Die Lage des langfristigen Gleichgewichts wird erneut durch ζ* = A und χ* — φ bestimmt.

Abbildung 4.3 Übergangsdynamik in einem Modell des endogenen Wachstums für eine CES-Produktionsfunktion (mit 0 < ψ < 1). Das Phasendiagramm ist wie die Abbildung 4.2 im (z, x)-Raum abgebildet, wobei θ > 1 — ι/r unterstellt wird. Die Isokline χ = 0 weist dann einen U-förmigen Verlauf auf und besitzt ein Minimum links von A. Die beiden Isoklinen ζ = 0 schneiden sich bei χ = A — & — η. Die Isokline χ = 0 schneidet die Gerade ζ = Α unterhalb von A — S — n. Dementsprechend ist das langfristige Gleichgewicht durch den Schnittpunkt der Isokline χ = 0 und der vertikalen Geraden ζ = Α gegeben. Da die Volkswirtschaft bei einem Wert ζ > z* startet, weist der Übergang monoton fallende Werte von ζ und χ auf. (Man beachte, daß das Ergebnis für den Pfad von χ von der Annahme θ > 1 - ψ abhängt.)

194

Kapitel 4. Ein-Sektor-Modelle des endogenen Wachstums

Zur Analyse der Dynamik des Modells wird in der Abbildung 4.3 ein Phasendiagramm im (z, x)-Raum konstruiert. Außer ζ = 0 existieren zwei Geraden, die ζ = 0 erfüllen: eine vertikale Gerade bei ζ = Λ und eine ansteigende Gerade mit der Steigung eins und dem Achsenabschnitt —(n + S). Beide Geraden schneiden sich bei ζ = Α und χ = A — S — η. Die Isokline χ = 0 ist (außer für χ = 0) durch die Kurve χ = —[{z/A)x~^ — 1 }Α/θ+(ζ — Α) + φ gegeben. Für kleine Werte von ζ weist diese Kurve eine negative Steigung auf und erreicht bei ζ = A · [(1 — ψ ) / θ γ / ψ ein Minimum. Wie die Abbildung zeigt, tritt dieses Minimum für θ > 1 — ψ links von Α auf. Weil 0 < •ψ < 1 gilt, muß diese Bedingung erfüllt sein, falls θ > 1. (Der Fall θ < \ — ψ wird als Übung empfohlen.) Strebt ζ gegen unendlich, dann nähert sich die Steigung der Isokline χ = 0 eins. Diese Kurve schneidet die vertikale Gerade ζ = Α unterhalb des Punktes A — δ — η (wenn annahmegemäß A>p + S>n + S gilt). Die Abbildung 4.3 zeigt den stabilen Sattelpfad, ausgehend von einem Startwert z(0) > A. Die Variablen ζ und χ fallen monoton während des Übergangs genau wie im Modell des vorangegangenen Abschnitts. Der Übergang weist wieder die Konvergenzeigenschaft auf, wobei γ* mit steigendem k fallt (und ζ gegen Α strebt).

4.6

Abschließende Bemerkungen

In diesem Kapitel ist gezeigt worden, daß endogenes Wachstum auftreten kann, wenn die Kapitalproduktivitäten langfristig nicht unter einen positiven Basiswert fallen. Die langfristige Wachstumsrate hängt dann vom Niveau der Technik und der Sparneigung ab. In einigen Modellen lassen sich die Effekte verallgemeinern, die vom Niveau der Technik ausgehen, so daß sie das Ausmaß der Diffusion des Wissens zwischen den Produzenten, die Skaleneffekte und die Einflüsse der öffentlichen Dienstleistungen und der Besteuerung umfassen. Die einfachsten Modellansätze des endogenen Wachstums - die wie das AKModell aussehen - stehen im Widerspruch zu den empirischen Beobachtungen über die Konvergenz. Dennoch kombinieren die erweiterten Modellversionen des endogenen Wachstums das Konvergenzverhalten des neoklassischen Wachstumsmodells mit den langfristigen Wachstumseigenschaften des AÄ%Modells. Diese Theorien stimmen besser mit den empirischen Beobachtungen über die Konvergenz überein.

Anhang: Bedingungen für endogenes Wachstum in dem Ein-Sektor-Modell In diesem Kapitel sind mehrere Modelle untersucht worden, die in der Lage sind, endogenes Wachstum zu generieren. Die wesentliche Eigenschaft dieser Beispiele ist die Abwesenheit abnehmender Produktivitäten zumindest in asymptotischer

195

Anhang

Form in dem Sinn, daß die Durchschnittsproduktivitäten und die Grenzproduktivitäten des Kapitals jeweils eine untere positive Schranke aufweisen. Dabei wird insbesondere die Inada-Bedingung l i m ^ o o t / ' M ] = 0 verletzt. Die Rolle dieser Bedingung in den Ein-Sektor-Modellen des endogenen Wachstums wird nun in allgemeinerer Form diskutiert. Als Ausgangspunkt dient ein Modell ohne exogenen technischen Fortschritt, in dem die dynamischen Gleichungen des Ramsey-Modells (2.23) und (2.24) gelten. yk = ic/k = f(k)/k-c/k

+ (n + 8)

yc = c/c = lf'(k) - δ - ρ]/θ

(4A.1) (4A.2)

Wenn sich f'(k) und asymptotisch endlichen Grenzwerten nähern, kann die Transversalitätsbedingung (2.25) zu lim [ / ' ( * ) - & ] > lim (yk + η) (->00 (->00

(4A.3)

umformuliert werden, das heißt, die asymptotische Kapitalrentabilität auf der linken Seite übersteigt die asymptotische Wachstumsrate des Kapitalbestands auf der rechten Seite. Das langfristige Gleichgewicht wird wie üblich als eine Situation definiert, in der die Wachstumsraten der verschiedenen Größen Κ, Y und C konstant sind. In den langfristigen Gleichgewichten, die im Kapitel 2 untersucht worden sind, betragen die Wachstumsraten der Größen pro effizienter Arbeitseinheit wie y-k und y^ null, so daß die Raten des Pro-Kopf-Wachstums yk und yc gleich χ und die Wachstumsraten der Niveaus γκ und yc gleich n + x sind. Da nun χ = 0 unterstellt wird, ergibt sich für die im Kapitel 2 betrachteten Wachstumsraten der Pro-Kopf-Größen null. Daher wird nun untersucht, welche Modifikationen der Technik langfristige Gleichgewichte zulassen, in denen die Wachstumsraten der Pro-Kopf-Größen für χ = 0 positive Konstanten sind. Angenommen, das Pro-Kopf-Wachstum ist im langfristigen Gleichgewicht positiv, so daß limf-coo^t) ξ y j > 0 gilt. Da k langfristig mit einer positiven Rate wächst, gilt lim,-»«,^) = oo; das heißt, k wächst unbegrenzt. Die Transversalitätsbedingung (4A.3) erfordert dann lim [/'(*)] > y £ + n + n + 0. lt->00

(4A.4)

Der Grenzwert auf der linken Seite der Gleichung bezieht sich auf k —»• oo, eine Situation, die für t —> oo zutrifft, wenn k langfristig mit einer konstanten, positiven Rate wächst. Durch die Standardbedingung von Inada l i m ^ o o t / ' (&)] = 0 wird die Ungleichheit in (4A.4) ausgeschlossen; aus diesem Grund tritt endogenes Wachstum nicht in Verbindung mit einer neoklassischen Produktionsfunktion auf. Das Modell kann dennoch in der Lage sein, ein positives langfristiges Wachstum von k zu erzeugen, wenn die Grenzproduktivität des Kapitals eine positive untere Schranke aufweist.

196

Kapitel 4. Ein-Sektor-Modelle des endogenen Wachstums

Die asymptotische Grenzproduktivität wird nun mit A > 0 bezeichnet; das heißt, man unterstellt lim [/'(/:)] = Λ > 0.

(4A.5)

00

Die Ungleichheit in (4A.4) impliziert, daß A > 0 keine hinreichende Bedingung dafür ist, daß k im langfristigen Gleichgewicht wächst. Eine notwendige Bedingung für ein positives yk lautet (4A.6)

Α > η + δ.

Der asymptotische interne Zinssatz für das Kapital Α — δ muß also die Wachstumsrate η des Kapitalstocks übersteigen, die sich im langfristigen Gleichgewicht für konstantes k ( w i e im Ramsey-Modell mit χ = 0) einstellt. Ist γ ΐ > 0, so daß lim,^.qo(A:) = oo und daher auch l i m ^ o J / ' i Ä : ) ] = Α gelten, dann impliziert ( 4 A . 2 ) (4A.7)

y; = (Α - δ - ρ)/θ. Also liefert γ* > 0 die Ungleichung

(4Α.8)

Α > δ + p.

Im Kapitel 2 ist gezeigt worden, daß die Transversalitätsbedingung für χ = 0 die Ungleichung ρ > η erfordert. Gilt die letzte Ungleichung annahmegemäß auch weiterhin, dann folgt ( 4 A . 6 ) aus der Ungleichung (4A.8). Wenn allerdings (4A.8) nicht mehr erfüllt ist, dann bleibt die Analyse des Kapitels 2 - einschließlich des Ergebnisses yk = 0 - gültig, obwohl die Technik ein ständig wachsendes k physisch erlaubt. In diesem Fall ist der asymptotische interne Zinssatz des Kapitals Α — δ zu gering, um yt* > 0 optimal werden zu lassen. Von nun an wird vorausgesetzt, daß ( 4 A . 8 ) erfüllt ist. Im folgenden wird gezeigt, daß y*k = y* gilt. Die Gleichung (4A.1) impliziert Y*k =

lim [ / ( * ) / * ] - lim (c/Jk) - ( η + δ ) . k-nx> k-* oo

Aufgrund der Regel von l'Höpital ist bekannt (wenn f(k)

für k ->• oo gegen unend-

lich strebt), daß l i m ^ o J / W / Ä : ] = l i m ^ o J / ' M ] = Α gilt. Daraus folgt Y*k = A-

lim (c/k) k-* oo

(4A.9)

- ( η + δ).

Im Widerspruch zu Y*k > 0 in (4A.9) gilt lim/,^oo(c/£) = oo für y* >

y*k.

Umge-

kehrt impliziert y* < y£ den Grenzwert l i m ^ o o i c / f c ) = 0, so daß y*k = A - η - & resultiert. Die äquivalente Bedingung Α - δ = y*k + η widerspricht der Transversalitätsbedingung (4A.3), so daß y* < yk ausgeschlossen werden kann.

Aufgaben

197

Als einzige Möglichkeit verbleibt unter Berücksichtigung von (4A.7) Yl = γ* = (A — 8 — ρ)/θ.

(4A.10)

Diese Lösung ist zulässig, wenn sie der Transversalitätsbedingung (4A.3) genügt, daß heißt, A - S muß größer als + η sein. Die Formel (4A.10) für y*k impliziert, daß die Transversalitätsbedingung zu φ=

(Α — δ) {θ — 1)/θ + ρ/θ — η > Ο

(4Α.11)

umgeformt werden kann. Diese Bedingung entspricht (4.12) im Text. Aus (4A.9)(4A. 11) folgt nun lim(c/ifc) = 0 > > O . k-+ oo

(4A.12)

Wenn Α als asymptotischer Wert von f'(k) interpretiert wird, dann erfüllen alle in diesem Kapitel diskutierten Modelle die Bedingungen, die im Anhang hergeleitet worden sind. Insbesondere ist die Rate des Pro-Kopf-Wachstums im langfristigen Gleichgewicht durch (4A.10) und das Niveau von c/k im langfristigen Gleichgewicht durch (4A.12) determiniert.

Aufgaben 4.1 Das AÄ-Modell als Grenzfall des neoklassischen Wachstumsmodells. Betrachten Sie das im Kapitel 2 diskutierte neoklassische Wachstumsmodell! Unterstellen Sie eine Cobb-Douglas-Produktionsfunktion y — Akf\ (a) Wie wirkt sich ein Anstieg in α auf die Übergangsgleichungen (2.23) und (2.24) für k und c aus? Wie werden die Isoklinen c = 0 und k = 0 in der Abbildung 2.1 daher durch die Erhöhung von α beeinflußt? Welche Auswirkungen hat der Anstieg auf die langfristigen Gleichgewichtswerte k* und c*? (b) Was passiert beispielsweise mit k*, wenn sich α eins nähert? In welcher Beziehung steht dieses Ergebnis zum AÄT-Modell, das in diesem Kapitel diskutiert worden ist? 4.2 Übersparen im A/f-Modell (nach Saint-Paul (1992)). Aus dem Kapitel 1 ist bekannt, daß in einer Volkswirtschaft übermäßig gespart wird, wenn sie sich einem langfristigen Gleichgewicht nähert, in dem der interne Zinssatz r größer als die Wachstumsrate ist. Unterstellen Sie eine Technik der Form Υ = AK\ des weiteren nähert sich der Quotient c/kdcT Konstanten (c/k)* im langfristigen Gleichgewicht. (a) Bestimmen Sie unter Verwendung von (4.8) die Wachstumsrate von Κ (und damit auch von Υ und C) im langfristigen Gleichgewicht! Kann diese Wachstumsrate im langfristigen Gleichgewicht den in (4.7) gegebenen Zinssatz r überschreiten? Ist die Überersparnis in einer Volkswirtschaft möglich, die sich einem langfristigen Gleichgewicht nähert und eine Technik der Form Υ = AK aufweist?

198

Kapitel 4. Ein-Sektor-Modelle des endogenen Wachstums

(b) Nehmen Sie an, daß die Α K-Technik mit dem Modell der Konsumenten mit einem endlichen Planungshorizont von Blanchard (1985) - wie es im Abschnitt 3.4 beschrieben worden ist - kombiniert wird! Ist die Überersparnis in diesem Modell möglich? Was passiert, wenn die AK-Technik mit einem Modell überlappender Generationen - wie es im Anhang des Kapitels 3 dargestellt worden ist - verbunden wird? 4.3 Dynamik im Übergang. Zeigen Sie, daß in dem Modell des leaming-by-doing mit der Diffusion des Wissens (Abschnitt 4.3) keine Übergangsdynamik existiert! Das heißt, der Output und das Kapital wachsen immer mit der konstanten Wachstumsrate des Konsums gemäß (4.28). 4.4 Diffusion des Wissens in bezug auf den durchschnittlichen Kapitaleinsatz pro Arbeitnehmer. Unterstellen Sie, daß der Produktivitätsparameter eines Unternehmens A, des im Abschnitt 4.3 vorgestellten Modells nicht vom aggregierten Kapitalstock K, sondern vom durchschnittlichen Kapitaleinsatz pro Arbeiter der Volkswirtschaft K/L abhängt! Wie zuvor wird von einer Cobb-Douglas-Produktionsfunktion ausgegangen. Yi = AK? [(K/L) Lj],1-0, Leiten Sie die Wachstumsraten für die dezentrale Volkswirtschaft und für die Planungsbehörde her! Begründen Sie, warum der im Abschnitt 4.3 diskutierte Skaleneffekt unter Anwendung der neuen Spezifikation nicht auftritt! 4.5 Überlastung öffentlicher Dienstleistungen (nach Barro und Sala-i-Martin (1992c)). Nehmen Sie an, daß der Output für das Unternehmen i im Modell der Überlastung, wie es im Abschnitt 4.4.2 diskutiert worden ist, durch Yi = AKj

f(G/K)

gegeben ist; das heißt, die Überlastung öffentlicher Dienstleistungen bezieht sich auf das Verhältnis von G zu Κ und nicht zu Y. Behalten Sie die Annahme bei, daß der Staat eine konstante, proportionale Steuer mit der Rate τ auf den Output erhebt! Wie verändern sich die Ergebnisse unter der revidierten Spezifikation der Überlastung? Betrachten Sie insbesondere die Wachstumsraten, die in der dezentralen Volkswirtschaft und in der Lösung der Planungsbehörde auftreten! 4.6 Anpassungskosten mit einer Α Äf-Technik (nach Barro und Sala-i-Martin (1992c)). Unterstellen Sie eine Α AT-Technik für die Unternehmen, wobei die Investitionen Anpassungskosten hervorrufen, wie sie im Abschnitt 3.5 beschrieben worden sind! Die Funktion der Anpassungskosten für eine Investitionsgütereinheit lautet $ ( / / £ ) = Φ/2) ( i / k ) , so daß die Gesamtkosten des Erwerbs und der Investition einer Kapitaleinheit 1 + (b/2) (i/k) betragen. Die Produzenten maximieren den Barwert des Cashflows gemäß

mit r = A — S. Die Maximierung erfolgt unter der Nebenbedingung Κ = 1 - SK. (a) Stellen Sie die Hamilton-Funktion und die Bedingungen erster Ordnung für das repräsentative Unternehmen auf! Ermitteln Sie die Beziehung zwischen dem Zinssatz und der Wachstumsrate des Kapitals! Ist diese Relation monoton? Erklären Sie den Sachverhalt!

Aufgaben

199

(b) Gehen Sie von der Annahme aus, daß die Konsumenten das übliche Ramsey-Problem mit unendlichem Planungshorizont lösen, so daß die Wachstumsrate des Konsums in einem positiven Verhältnis zum Zinssatz steht! Unterstellen Sie die Gleichheit der Wachstumsrate des Konsums mit der Wachstumsrate des Kapitalstocks! Legt diese Bedingung die Wachstumsrate fest? Wenn dieser Sachverhalt nicht gegeben ist, kann dann eine der Lösungen anhand der Transversalitätsbedingung ausgeschlossen werden? (c) Zeigen Sie, daß die Wachstumsrate des Konsums gleich der Wachstumsrate des Kapitalbestandes ist! Was impliziert dieses Ergebnis für die Übergangsdynamik des Modells? Erklären Sie die Implikationen! 4.7 Wachstum in einem Modell mit Diffusion (nach Romer (1986)). Unterstellen Sie folgende Form der Produktionsfunktion für das Unternehmen i, Yi =

AK°L\-"Kk,

m i t 0 < a < l , 0 < X < l und Κ als aggregiertem Kapitalstock. (a) Zeigen Sie, daß das Modell für λ < 1 — α und konstantes L eine dem RamseyModell ähnliche Dynamik im Übergang aufweist! Wie lauten in diesem Fall die Wachstumsraten von Υ, Κ und C im langfristigen Gleichgewicht? (b) Welche Wachstumsrate von Υ, Κ und C stellt sich im langfristigen Gleichgewicht ein, wenn λ < 1 — α ist und L mit der Rate η > 0 wächst? (c) Zeigen Sie, daß sich für λ = 1 — α und konstantes L das gleiche langfristige Gleichgewicht und die gleiche Übergangsdynamik wie im Λ K-Modell einstellen! (d) Was passiert, wenn λ = 1 — α ist und L mit der Rate η > 0 wächst?

Kapitel 5 Zwei-Sektoren-Modelle des endogenen Wachstums (unter besonderer Berücksichtigung der Rolle des Humankapitals) Im Kapitel 4 ist dargelegt worden, daß langfristiges Pro-Kopf-Wachstum ohne exogenen technischen Fortschritt möglich ist, wenn die Kapitalproduktivitäten asymptotisch konstant sind. Es ist argumentiert worden, daß die Abwesenheit fallender Produktivitäten zutreffen kann, wenn ein weitgefaßter Begriff des Kapitals zugrunde gelegt wird, der sowohl physisches Kapital als auch Humankapital einschließt. Den Gegenstand des vorliegenden Kapitels bilden Modelle, die zwischen physischem Kapital und Humankapital unterscheiden. Diese Modellstruktur kann allgemeiner auf verschiedene Arten des Kapitals einschließlich der in den Kapiteln 6 und 7 analysierten Arten des akkumulierten Wissens angewendet werden. Der zunächst angenommene Modellrahmen ähnelt dem Ansatz im Kapitel 3 zur Analyse einer offenen Volkswirtschaft, in dem physisches Kapital und Humankapital mit identischen Produktionsfunktionen hergestellt werden. In diesem Zusammenhang kann der mit der üblichen Ein-Sektor-Technik erzeugte Output gleichermaßen für den Konsum, für die Investition in das physische Kapital und für die Investition in das Humankapital verwendet werden. Allerdings erhält man neue Ergebnisse, wenn die Nichtnegativitätsbeschränkung für die Bruttoinvestition jeweils in physisches Kapital und in Humankapital berücksichtigt wird. Eine solche Beschränkung führt zu Wirkungen auf den Wachstumsprozeß, die aufgrund von Ungleichgewichten zwischen den Niveaus des physischen Kapitals und des Humankapitals entstehen: Die Wachstumsrate des Outputs ist um so höher, je größer die Abweichung des Verhältnisses des physischen Kapitals zum Humankapital von dem langfristigen Gleichgewichtswert dieses Verhältnisses ist. Im nächsten Schritt wird berücksichtigt, daß physisches Kapital und Humankapital mittels unterschiedlicher Techniken hergestellt werden. Speziell wird der empirisch relevante Fall betrachtet, in dem die Bildung - das heißt die Produktion von neuem Humankapital - den Faktor Humankapital relativ intensiv nutzt. Diese Eigenschaft gilt zum Beispiel für das von Uzawa (1965) entwickelte und von Lucas (1988) verwendete Modell, in dem das vorhandene Humankapital der einzige Input im Bildungssektor ist. Diese Modifikation der Produktionsstruktur erzeugt eine asymmetrische Wirkung der Ungleichgewichte zwischen physischem Kapital und Humankapital auf die Wachstumsrate. Die Ursache dieser Asymmetrie ist der positive Effekt des Verhältnisses des physischen Kapitals zum Humankapital auf den Reallohnsatz (pro Einheit des Humankapitals) und somit auf die Opportunitätskosten des für Bildungszwecke verwendeten Humankapitals. Unter diesen Umständen steigt die Wachstumsrate eines weitgefaßten Begriffs des Outputs zunehmend mit dem Ausmaß des Ungleichgewichts zwischen physischem Kapital und Humankapital, wenn das Humankapital relativ reichlich vorhanden ist; sie tendiert aber dazu,

5.1 Ein Ein-Sektor-Modell mit physischem Kapital und Humankapital

201

mit der Größenordnung dieses Ungleichgewichts zu fallen, wenn das Humankapital relativ knapp ist. Die Existenz des Humankapitals kann die Beschränkung abnehmender Produktivitäten in bezug auf einen weitgefaßten Begriff des Kapitals lockern und so zu langfristigem Pro-Kopf-Wachstum ohne exogenen technischen Fortschritt führen. Daher kann die Produktion von Humankapital eine Alternative zu technischen Verbesserungen sein, um langfristiges Wachstum hervorzubringen. Man muß allerdings einige Aspekte betonen, in denen sich die Akkumulation von Humankapital von der Schaffung des Wissens in der Form des technischen Fortschritts unterscheidet. Wenn man sich das Humankapital als die an einen Arbeitnehmer gebundenen Fähigkeiten vorstellt, dann schließt die Verwendung dieser Fähigkeiten in einer Aktivität ihre Verwendung in einer anderen Aktivität aus; daher ist Humankapital ein rivalisierendes Gut. Da die Menschen an ihren eigenen Fähigkeiten ebenso wie an ihrer Arbeitskraft Eigentumsrechte haben, ist das Humankapital auch ein ausschließbares Gut. Im Gegensatz dazu können Ideen oder Wissen nichtrivalisierend sein weil sie auf Aktivitäten beliebiger Niveaus willkürlich verteilt werden können - und unter bestimmten Umständen auch nichtausschließbar sein. Diese Unterscheidung bedeutet, daß sich die in den Kapiteln 6-8 dargestellten Theorien des technischen Fortschritts in grundlegenden Aspekten von den in diesem Kapitel dargestellten Modellen der Akkumulation des Humankapitals unterscheiden.

5.1

Ein Ein-Sektor-Modell mit physischem Kapital und Humankapital

5.1.1

Das Grundmodell

Gegeben ist eine Cobb-Douglas-Produktionsfunktion mit konstanten Skalenerträgen hinsichtlich des physischen Kapitals Κ und des Humankapitals H: Y = AKaH]~a,

(5.1)

wobei 0 < a < 1 gilt. Man kann sich das Humankapital Η als die Anzahl der Arbeitnehmer L multipliziert mit dem Humankapital h eines typischen Arbeiters denken. Es wird angenommen, daß die Anzahl der Arbeiter L und die Qualität der Arbeiter h perfekte Substitute in der Produktion in dem Sinne sind, daß nur die Kombination Lh für den Output von Bedeutung ist. Diese Spezifikation bedeutet, daß eine feste Anzahl von Arbeitern L keine Ursache für abnehmende Produktivitäten ist, da eine Verdoppelung von Κ und h bei festem L zu einer Verdoppelung von Y führt. Lediglich aus Gründen der Einfachheit wird angenommen, daß die gesamte Zahl der Arbeitskräfte L konstant ist und daß Η folglich nur aufgrund von Verbesserungen der durchschnittlichen Qualität der Arbeit h wächst. Man beachte, daß die Gleichung (5.1) jeden technischen Fortschritt ausschließt. Der Output kann für den Konsum oder für Investitionen in physisches Kapital oder Humankapital verwendet werden. Es wird angenommen, daß die Bestände an

202

Kapitel 5. Zwei-Sektoren-Modelle des endogenen Wachstums

physischem Kapital und Humankapital mit demselben Satz S abgeschrieben werden. Die Abschreibung des Humankapitals enthält die Kosten aufgrund des Verlernens von Fähigkeiten und der Sterblichkeit unter Anrechnung der Nutzen aus der Erfahrung. (Verschiedene Abschreibungssätze für physisches Kapital und Humankapital können eingeführt werden, erschweren aber die Algebra, ohne wesentliche zusätzliche Einsichten zu ermöglichen.) Die Ressourcenrestriktion der Volkswirtschaft lautet Y = AKaHl~a

= C + IK + IH,

(5.2)

wobei IK und IH die Bruttoinvestitionen in physisches Kapital beziehungsweise in Humankapital bezeichnen. Die Änderungen der beiden Kapitalstöcke sind gegeben durch k = i

K

- SK,

H = 1H-

(5.3) SH.

Im Kapitel 2 ist gezeigt worden, daß ein Modell, in dem die Haushalte und die Unternehmen unterschieden werden, äquivalent zu einem Modell ist, in dem die Haushalte auch produzieren. Verwendet man die Formulierung mit den Haushalten als Produzenten der Güter, so lautet die Hamilton-Funktion (ohne Bevölkerungswachstum) J = u(C) e - p ' +v · (IK -SK)

+μ

• (IH -

SH)

+ ω·(ΑΚαΗ1-"

- C - I

K

- IH),

(5.4)

wobei ν und μ die mit Κ beziehungsweise Η verbundenen Schattenpreise sind und ω den Lagrange-Multiplikator der Ressourcenrestriktion (5.2) bezeichnet. 1 Für die Nutzenfunktion wird die übliche Spezifikation verwendet:

"(C) = - r ^ r · Unter der vorläufigen Voraussetzung, daß die beiden Ungleichungsbeschränkungen IK > 0 und > 0 vernachlässigt werden, erhält man die Optimumbedingungen erster Ordnung auf die übliche Art und Weise, indem die ersten Ableitungen von J nach C, Ik und Ih gleich null und ν = -dJ/dK beziehungsweise μ = - 3 7 / 3 / / gesetzt werden und die Budgetbedingung (5.2) berücksichtigt wird. Vereinfacht man diese Bedingungen, so ergibt sich das bekannte Ergebnis für die Wachstumsrate des Konsums: Yc = [Aa • (Κ/ΗΓ(1~α)

- S - ρ]/θ,

(5.5)

'Die Hamilton-Funktion kann äquivalent als

J = u(C)e~f" +v • (ΑΚαΗ^~α -C-&K-

/„) + μ · (/« - SH)

geschrieben werden. Diese Formulierung enthält implizit die Bedingung Ιχ = AK" Hl~a den Lagrange-Multiplikator ω in (5.4) erforderlich macht.

- C - IH, die

Ein Ein-Sektor-Modell

wobei Aa • (K/H) ist.

(1 a)

203

- 8 die Nettogrenzproduktivität des physischen Kapitals

Die zweite Bedingung verlangt, daß die Nettogrenzproduktivität des Humankapitals A • (1 — a) (K/H)a — 8 mit der Nettogrenzproduktivität des physischen Kapitals übereinstimmt. Diese Bedingung Λα · ( K / H y

( i

-

a )

- δ = A • (1 - a ) (K/H)a

- δ

impliziert, daß das Verhältnis beider Kapitalstöcke durch K/H

= a / ( l — a)

(5.6)

gegeben ist.2 Aus diesem Ergebnis für Κ / Η folgt, daß der interne Nettozinssatz auf die Haltung des physischen Kapitals und des Humankapitals durch r* = Aaa (1 — α )

1-α

—δ

(5.7)

bestimmt ist.3 Dieser interne Zinssatz ist konstant, weil die Produktionsfunktion (5.1) konstante Produktivitäten in bezug auf den weitgefaßten Kapitalbegriff, der Κ und Η umfaßt, aufweist. Daher läßt sich die Annahme abnehmender Erträge nicht aufrechterhalten, wenn K/H konstant bleibt (Gleichung (5.6)), das heißt, wenn Κ und Η mit derselben Rate wachsen. Für ein konstantes Verhältnis K/H impliziert (5.5), daß yc konstant und gleich 1

y* = [Aa01 (1 - α) -" - δ - ρ]/θ

(5.8)

ist, wobei Κ / Η gemäß (5.6) substituiert worden ist. Im folgenden wird angenommen, daß die Werte der Modellparameter y* > 0 gewährleisten. Um die Beziehung dieses Modells zu einigen früher behandelten Ansätzen zu erkennen, wird die Gleichung (5.6) in die Produktionsfunktion (5.1) eingesetzt:

— (^r Das Modell ist demnach zu dem in Kapitel 4 analysierten Aif-Modell äquivalent. Mit den Methoden dieses Kapitels kann gezeigt werden, daß die Wachstumsraten von Κ, Κ und Η der Wachstumsrate von C entsprechen müssen, wenn die Transversalitätsbedingung gilt.4 Das heißt, alle Größen wachsen mit der konstanten Rate y* nach (5.8). 2 Die Nettogrenzproduktivitäten sind auch dann gleich, wenn-sich die Abschreibungssätze beider Kapitalstöcke unterscheiden. Dadurch wird auch in diesem Fall K/H bestimmt. Die Lösung kann aber im allgemeinen nicht als geschlossener Ausdruck der Parameter dargestellt werden. 3 Der interne Zinssatz r* ergibt sich auf einem Kreditmarkt bei vollständiger Konkurrenz, wenn ein solcher Markt in das Modell aufgenommen wird. 4 Die Transversalitätsbedingung lautet r* > y*. Aus den Gleichungen (5.7) und (5.8) folgt, daß diese Bedingung als ρ > (1 - θ) • [Λα" (1 - α ) 1 - " - Ä] ausgedrückt werden kann.

204

Kapitel 5. Zwei-Sektoren-Modelle des endogenen Wachstums

Die Ergebnisse für r* und γ* in (5.7) und (5.8) entsprechen im wesentlichen den Ergebnissen des Α AT-Modells im Kapitel 4. Bis jetzt ist also noch kein bedeutungsvoller Unterschied zwischen einem Modell mit zwei Formen des Kapitals, Κ und H, und einem Modell mit einer Art des weitgefaßten Kapitals gemacht worden.

5.1.2

Die Beschränkung der nichtnegativen Bruttoinvestitionen

Angenommen, die Startwerte der beiden Kapitalstöcke sind /ST(0) und H(0). Wenn das Verhältnis K(0)/H(0) von dem Wert α/(1 — α) aus der Gleichung (5.6) abweicht, dann erfordert die soeben gefundene Lösung diskrete Anpassungen beider Kapitalstöcke, um den Wert a / ( l — a ) unmittelbar zu erreichen. Diese Anpassung beinhaltet die Erhöhung eines der Kapitalstöcke in Verbindung mit der Senkung des anderen Kapitalstocks, so daß die Summe Κ + Η sich nicht ändert.5 Die Schwierigkeit dieser Lösung ist, daß sie von der Gegebenheit einer unendlich großen positiven Investitionsrate hinsichtlich eines der beiden Kapitalbestände und einer unendlich großen negativen Investitionsrate in bezug auf den anderen Kapitalbestand abhängt. Anders ausgedrückt verlangt die Lösung nach der Reversibilität der Investitionen, so daß die bestehenden Einheiten des physischen Kapitals oder des Humankapitals in den jeweils anderen Typ konvertiert werden können. Realistischer ist es, die Nichtnegativitätsbedingungen > 0 und /« > 0 zu berücksichtigen. Eine dieser Beschränkungen der Bruttoinvestitionen ist in der vorher abgeleiteten Lösung notwendigerweise verletzt, wenn K(0)/H(0) ungleich a / ( l — a) ist, da eine diskrete Änderung in der Zusammensetzung des Kapitals zur Zeit t = 0 eine negative Bruttoinvestition (mit einer unendlichen Rate) in einen der beiden Kapitalstöcke erfordert. Daher wird die Lösung des Modells im folgenden unter Berücksichtigung der Nichtnegativitätsbedingungen erneut analysiert. Die Darstellung im Text übergeht einige Details, die sich im Anhang 5A finden. Wenn K(0)/H(0) < α/(1 — a ) gilt - wenn also in der Ausgangslage Η im Verhältnis zu Κ relativ reichlich vorhanden ist - , erfordert die bereits abgeleitete Lösung eine Senkung von Η und eine Erhöhung von Κ im Zeitpunkt t = 0. Das Anliegen, Η um einen diskreten Betrag zu senken, impliziert, daß die Beschränkung Ih > 0 zum Zeitpunkt t = 0 (und für ein darauf folgendes endliches Intervall) wirksam wird. Bindet diese Beschränkung, so wählt der Haushalt = 0. Die Wachstumsrate von Η ist daher durch H / H = - δ gegeben, und Η folgt dem Pfad H(t) = H(0) e - s '

für t = 0 , . . .

(5.9)

Die Wirtschaftssubjekte erkennen, daß sie über zu viel Η im Verhältnis zu Κ verfügen. Da negative Bruttoinvestitionen in Η aber nicht zulässig sind, lassen sie Η gemäß dem exogen gegebenen Abschreibungssatz S verschleißen. 5 Die Summe Κ + Η kann in einem Zeitpunkt nur dann einen Sprung aufweisen, wenn C gleich plus oder minus unendlich ist. Diese extremen Werte von C sind mit den Optimumbedingungen erster Ordnung aufgrund der Inada-Bedingungen für die Nutzenfunktion (u'(c) -> 0 für c —>• oo und u'(c) —>· oo für c -*• 0) nicht vereinbar.

Ein Ein-Sektor-Modell

205

Für In = 0 kann das Optimierungsproblem des Haushalts mittels der vereinfachten Hamilton-Funktion J = u ( C ) e~pt + v • ( A K a H l ~

a

- C - S K )

(5.10)

dargestellt werden, wobei υ der Multiplikator des Ausdrucks für Κ ist (wenn /// = 0 gilt).6 Dieser Ansatz ist zu dem neoklassischen Standardmodell äquivalent, in dem die Haushalte den Konsum und die Investition in die einzig verfügbare Art des Kapitals Κ wählen, und zwar unter Beachtung des exogen gegebenen technischen Fortschritts, der die Menge des anderen Faktors, hier H, erhöht. Im Standardmodell wächst der zweite Faktor, Arbeit in Effizienzeinheiten, mit der Rate χ (ohne Bevölkerungswachstum). Im vorliegenden Modell wächst der Faktor Η mit der Rate -S.

Der grundlegende Unterschied zum neoklassischen Standardmodell liegt darin, daß K / H in der Zeit zunimmt und den Wert α / ( 1 —a) gemäß der Gleichung (5.6) in endlicher Zeit erreicht. Wenn dieser Wert realisiert wird, stimmen die Nettogrenzproduktivitäten des physischen Kapitals und des Humankapitals überein und daher ist die Nichtnegativitätsbeschränkung für die Bruttoinvestition in das Humankapital nicht mehr wirksam. Beide Kapitalstöcke wachsen ab diesem Zeitpunkt mit der Rate y* gemäß (5.8). Annahmegemäß gewährleisten die Parameterwerte y* > 0. Somit gleicht die dynamische Entwicklung während der Übergangszeit zwar derjenigen des neoklassischen Wachstumsmodells, doch ist die langfristige Wachstumsrate (auch ohne technischen Fortschritt) positiv, weil abnehmende Produktivitäten in bezug auf den weitgefaßten Kapitalbegriff nicht auftreten. Im langfristigen Gleichgewicht mit K / H = a / ( l — a) haben die Wachstumsraten von Η und Υ den Wert γ* > 0. Vor diesem Zeitpunkt gilt K / H < a / { \ — a ) und Ih = 0. Für diese Situation ist gezeigt worden, daß die dynamische Entwicklung von Κ und Υ mit der des neoklassischen Wachstumsmodells (mit einer CobbDouglas-Produktionstechnik) übereinstimmt. Die Analyse im Kapitel 2 impliziert daher, daß die Lösung die Konvergenzeigenschaft in dem Sinne aufweist, daß die Wachstumsraten γ κ = Κ / Κ und y y = Υ / Υ in der Zeit monoton fallen. Da sie gegen y* > 0 konvergieren, müssen sie während des Anpassungsprozesses positiv sein, aber abnehmen. Folglich steigt K / H monoton in der Zeit, zum Teil weil Η mit der Rate * = η gilt, und instabil (Byp/dp > 0), wenn α < η ist. (Für α = η ist das Modell zur Ein-Sektor-Version äquivalent; vgl. die Fußnote 13.) Für den empirisch wohl relevanten Fall α > η konvergiert der Preis ρ daher monoton gegen seinen langfristigen Gleichgewichtswert. Da (5.16) eine eineindeutige Beziehung zwischen ρ und vK/uH herstellt, impliziert die monotone Konvergenz von ρ für α > η auch die monotone Konvergenz von vK/uH gegen den langfristigen Gleichgewichtswert. Der Quotient vK/uH bestimmt die Grenzproduktivität des physischen Kapitals in der Güterproduktion. Somit konvergieren auch der Zinssatz r - der der Nettogrenzproduktivität des physischen Kapitals in der Güterproduktion entspricht - und die Wachstumsrate yc die durch (5.14) bestimmt ist - monoton gegen ihre langfristigen Gleichgewichtswerte. Der Rest des Modells ist für den allgemeinen Fall α > η > 0 schwierig zu analysieren. Aus diesem Grund wird mit dem Spezialfall η = 0 begonnen, der eine vollständige analytische Beschreibung der Übergangsdynamik ermöglicht. Im Anschluß werden einige Ergebnisse für den allgemeineren Fall α > η > 0 gebracht. Abschließend wird der Fall α < η betrachtet, obwohl diese Konfiguration der Parameter wenig plausibel erscheint.

5.2 Unterschiedliche Techniken für Produktion und Bildung 5.2.2

213

Das Uzawa-Lucas-Modell

DAS GRUNDMODELL. Das von Uzawa (1965) und Lucas (1988) analysierte Modell ist ein Spezialfall, in dem kein physisches Kapital in der Produktion des Humankapitals eingesetzt wird, das heißt, in (5.12) gilt η = 0. Dieser Ansatz ergibt den Extremfall, in dem der Bildungssektor das Humankapital relativ intensiv nutzt (η < α). Daher können durch einen Vergleich des Uzawa-Lucas-Modells mit dem Ein-Sektor-Modell - mit identischen relativen Faktorintensitäten in beiden Sektoren - die wichtigen Implikationen der Annahme über die relativen Faktorintensitäten abgeleitet werden. Der Anhang 5B enthält die Einzelheiten des Uzawa-LucasModells; hier werden die Ergebnisse lediglich skizziert. Zunächst wird der Fall betrachtet, in dem die Nichtnegativitätsbedingungen für die Bruttoinvestitionen in Κ und Η nicht wirksam sind. Die Annahme η = 0 impliziert ν — 1, das heißt, das physische Kapital Κ wird vollständig im Gütersektor verwendet, weil es im Bildungssektor nicht produktiv ist. Die Produktionsfunktionen (5.11) und (5.12) lassen sich deshalb vereinfachen zu Y = C+K

+ &K = AKa (uH)1'",

(5.19)

H + SH = Β- (1 -u)H.

(5.20)

Wie im Kapitel 4 stellt es sich als nützlich heraus, das System in Variablen auszudrücken, die im langfristigen Gleichgewicht konstant sind. Eine Spezifikation, die die dynamische Analyse erleichtert, beinhaltet die Verhältnisse ω = Κ/ Η und χ = C/K. Verwendet man diese Definitionen zusammen mit (5.19) und (5.20), so erhält man Ausdrücke für die Wachstumsraten von Κ und H: Yk = Λ « ' - α ω - ( 1 - α ) - χ - 5 ,

(5.21)

γΗ = Β · (1 - Μ) - δ.

(5.22)

Somit ist die Wachstumsrate von ω durch ΥΩ = YK — YH = A UL~A α Γ ( , - α ) -B-(l-u)-Χ

(5.23)

gegeben. Unter Verwendung der Optimumbedingungen erster Ordnung kann gezeigt werden, daß die Wachstumsrate des Konsums durch die bekannte Formel Yc — (r — ρ)/θ gegeben ist, wobei r der Nettogrenzproduktivität des physischen Kapitals α Α κ 1 _ α a>~ (1-ö) — δ in der Güterproduktion entspricht. Damit folgt für die Wachstumsrate des Konsums: Yc = [aA ul~a ω-(Χ~α) - δ - ρ] /θ.

(5.24)

Die Wachstumsrate von χ ergibt sich aus (5.24) und (5.21): Yx — Yc ~ Υκ —

•Au

α

ω

u

a)

+ χ

.

(5.25)

214

Kapitel 5. Zwei-Sektoren-Modelle des endogenen Wachstums

Im Anhang 5B wird gezeigt, daß (5.18) und (5.16) es ermöglichen, die Wachstumsrate von u zu bestimmen. yu = Β · (1 - a)/a + Bu - χ ANALYSE DES LANGFRISTIGEN GLEICHGEWICHTS.

(5.26) D e r A n h a n g 5 B zeigt,

daß die Variablen u, ω und χ im langfristigen Gleichgewicht konstant sind. Definiert man die Parameterkombination φ als φ=[ρ

+ δ·(1-θ)]/(ΒΘ),

(5.27)

dann sind die zu ά = ώ = χ = 0 gehörenden langfristigen Gleichgewichtswerte durch ω* = (aA/B)w~a) χ* = Β·(φ+ u* =

-[φ+(θ-

L)/0],

l/a-1/θ),

(5.28)

φ+(θ-1)/θ

gegeben. Der interne Zinssatz und die gemeinsame Wachstumsrate von C, Κ, Η, Y und Q in diesem langfristigen Gleichgewicht lauten r* = Β —

(5.29)

γ = (Β - S — ρ)/θ.

Die übliche Transversalitätsbedingung r* > γ* bewirkt, daß die Werte von ω*, χ* und u* in (5.28) positiv sind. Die Bedingung u* < 1 ist erfüllt, wenn γ* > 0 nach (5.29) gilt. ÜBERGANGSDYNAMIK. Das dynamische System in den Variablen ω, χ und u besteht aus den Gleichungen (5.23), (5.25) und (5.26). Es ist angebracht, mit einem transformierten System zu arbeiten, in dem ω durch die Bruttodurchschnittsproduktivität des physischen Kapitals in der Güterproduktion ζ ersetzt wird:14 z = Aul-aw-(l-a).

(5.30)

Die Βruttogrenzproduktivität des physischen Kapitals ist gleich az, und der interne Zinssatz ist gleich r = az — S. Später wird gezeigt, daß die Variable ζ im langfristigen Gleichgewicht in einer einfachen Beziehung zu ω steht, obwohl die Variable ζ eine Kombination aus der Zustandsvariablen ω und der Kontrollvariablen u ist. Insbesondere kann der Startwert z(0) mittels des Startwertes ω(0) bestimmt werden. Das durch (5.23), (5.25) und (5.26) gegebene System kann in ζ, χ und u als

14

Κ = -(1-α)·(ζ-ζ·).

(5.31)

Y x = ^ - - ( z - z * ) + (X-X*),

(5.32)

Yu = B-(u-u*)-(x-x*),

(5.33)

Man kann auch das Verhältnis υΚ/uH verwenden, das gleich (Λα/ζ) 1 / ( 1

α)

ist.

5.2 Unterschiedliche Techniken für Produktion und Bildung

215

geschrieben werden, wobei z* der langfristige Gleichgewichtswert von ζ ist. Nach (5.28) und der Definition von ζ in (5.30) ist dieser langfristige Gleichgewichtswert gegeben durch ζ* = B / a .

(5.34)

Dynamische Entwicklung der Durchschnittsproduktivität des physischen Kapitals, des internen Zinssatzes und des Lohnsatzes. Die Gleichung (5.31) ist eine gewöhnliche Differentialgleichung in einer Variablen, durch die der Zeitpfad der Bruttodurchschnittsproduktivität des physischen Kapitals ζ bestimmt wird. Die Lösung dieser Gleichung kann in geschlossener Form als Z

~ z* _ z(0) " z* e -(i-a)z't ζ z(0)

)

35

dargestellt werden, wobei z(0) der Startwert von ζ ist. Diese Gleichung zeigt, daß sich ζ für jeden Startwert z(0) monoton an den langfristigen Gleichgewichtswert z* anpaßt. Die Abbildung 5.3 veranschaulicht die Stabilität der Lösung graphisch.

Abbildung 5.3

Die Stabilität der BruttoduFChschnittsproduktivität des Kapitals z. Die Gleichung (5.31) des UzawaLucas-Modells ist eine lineare Differentialgleichung in z. Für ζ < z* ist die Wachstumsrate von ζ positiv und ζ wächst in Richtung seines langfristigen Gleichgewichtswertes. Für ζ > z* gilt die gleiche Aussage umgekehrt. Folglich ist der langfristige Gleichgewichtswert z* stabil.

Da der Zinssatz durch r = az — S gegeben ist, bestimmt das Verhalten von ζ das Verhalten von r. Insbesondere ist r(0) < r* für z(0) < z*, und r steigt in der Zeit monoton in Richtung des langfristigen Gleichgewichtswertes r*. Diese Eigenschaften gelten umgekehrt auch für z(0) > z*.

216

Kapitel 5. Zwei-Sektoren-Modelle des endogenen Wachstums

Der Lohnsatz w ist gleich der Grenzproduktivität des in der Güterproduktion eingesetzten Humankapitals uH. Die Produktionsfunktion (5.19) und die Definition von ζ in (5.30) implizieren, daß diese Grenzproduktivität als w = A · (1 - a) u~a ωα = Λ , / ( ' - α ) · (1 - α) ζ'αΙ(χ-α)

(5.36)

ausgedrückt werden kann. Für z(0) < z* gilt folglich w(0) > w*, und w fällt in der Zeit monoton in Richtung des langfristigen Gleichgewichtswertes. Die analogen Aussagen gelten umgekehrt auch für z(0) > z*.

Dynamische Entwicklung von χ = C/K. Die Entwicklung der Variablen χ hängt von der Parameterkombination a — θ ab, die γχ gemäß (5.32) beeinflußt. Wegen a < 1 und der üblichen Annahme θ > 1 ist die Ungleichung α < θ in der Realität wahrscheinlich erfüllt. In der Regel wird daher α < θ unterstellt. Die Gleichungen (5.31) und (5.32) können als zweidimensionales System in den Variablen ζ und χ behandelt werden, um ein Phasendiagramm im (z, x)-Raum zu konstruieren. (Man beachte, daß die Variable u in beiden Gleichungen nicht auftaucht.) Die vertikale Linie an der Stelle z* in der rechten Hälfte der Abbildung 5.4 entspricht ζ = 0 nach (5.31). Diese Gleichung impliziert auch, daß ζ für ζ > ζ* fällt und für ζ < z* steigt. Die Isokline ζ = 0 ist daher stabil, wie in der Abbildung dargestellt wird. Nach der Gleichung (5.32) erfüllt die Isokline χ = 0 die Bedingung Χ=Χ* + ^ - · ( ζ - ζ * ) .

(5.37)

Da θ > α ist, verläuft die Isokline linear mit positiver Steigung, wie auf der rechten Seite der Abbildung 5.4 gezeigt wird. Ihre Steigung ist ferner kleiner als eins, eine Eigenschaft, die später verwendet wird. Die Gleichung (5.32) impliziert, daß χ in Punkten wächst, die oberhalb der Isokline χ = 0 liegen, und sonst fällt. Das heißt, die Isokline ist instabil, wie die Abbildung zeigt. Die Konfiguration beider Isoklinen in der rechten Hälfte der Abbildung 5.4 impliziert, daß der stabile Arm χ(ζ) des Sattelpunktes wie in der Abbildung einen steigenden Verlauf aufweist. Daher ist χ(0) > χ*, und ζ und χ fallen monoton in der Zeit in Richtung ihrer langfristigen Gleichgewichtswerte, wenn z(0) > z* ist. Für z(0) < z* ist dagegen χ(0) < χ*, und ζ und χ steigen monoton in Richtung ihrer langfristigen Gleichgewichtswerte.

Dynamische Entwicklung des in der Güterproduktion verwendeten Anteils u am Humankapital. Die dynamische Entwicklung von u läßt sich ermitteln, indem die Isokline ü = 0 auf der Basis von (5.33) bestimmt wird: u = u* +

(x-x*)/B.

(5.38)

217

5.2 Unterschiedliche Techniken für Produktion und Bildung

X i = 0

X=ο

x(z)

r u

ζ u·

z"

Abbildung 5.4 Die dynamische Entwicklung von ζ, χ und u im Uzawa-Lucas-Modell (für et < θ). Auf der rechten Seite werden die Isoklinen ζ = 0 und χ = 0 sowie die dynamische Entwicklung von ζ und χ im (ζ, χ)Raum dargestellt. Der stabile Arm χ ( ζ ) weist einen steigenden Verlauf auf. Auf der linken Seite werden die Isokline ώ = 0 und die dynamische Entwicklung von u und χ im (u, χ)-Raum gezeigt. (Bewegungen nach links entsprechen in diesem Teil der Abbildung den höheren Werten von u.) Der stabile Arm u(x) hat einen steigenden Verlauf. Fürz(O) > z* gelten χ(0) > χ* (rechte Seite) und u(0) > u* (linke Seite). Während des Übergangs fallen ζ, χ und u monoton. (Man beachte, daß die Ergebnisse für χ und u von der Annahme α < θ abhängen.)

Diese Isokline ist eine Gerade mit positiver Steigung im («, x)-Raum, die in der Abbildung 5.4 auf der linken Seite dargestellt wird. (Bewegungen nach links entsprechen höheren Werten von u.) Der stabile Arm des Sattelpunktes für u wird in der Abbildung mit u(x) bezeichnet. Man beachte, daß für z(0) > z* und damit x(0) > χ* folgt, daß m(0) > u* ist. (Anhand der Abbildung läßt sich feststellen, daß sich u von u* wegbewegt, wenn «(0) < u* ist oder wenn u(0) links von der Isoklinen ü = 0 liegt.) Zusammenfassend ist für α < θ gezeigt worden, daß aus z(0) > z* die Ungleichungen χ(0) > χ* und w(0) > u* folgen, wobei ζ, χ und u monoton in Richtung ihrer langfristigen Gleichgewichtswerte fallen. Im umgekehrten Fall mit z(0) < z* gilt χ(0) < χ* und u{0) < u*, wobei ζ, χ und u monoton in Richtung ihrer langfristigen Gleichgewichtswerte steigen. Dynamische Entwicklung für α > θ. Derselbe Ansatz kann in den Fällen genutzt werden, in denen α > θ gegeben ist. Da diese Fälle empirisch nicht als relevant erscheinen, werden lediglich die Ergebnisse angegeben und die Ableitungen dem Leser als Übung überlassen. Wenn α > θ ist, kehren sich die für χ und u bisher gefundenen Ergebnisse um. Für z(0) > z* folgt beispielsweise χ(0) < χ* und

218

Kapitel 5. Zwei-Sektoren-Modelle des endogenen Wachstums

u(0) < u*. Die monotone Abnahme von ζ in der Zeit ist dann mit einem monotonen Anstieg von χ und u verbunden. Wenn α = θ ist, gilt χ(0) = χ* und u{0) = u*. In diesem Fall „auf des Messers Schneide" behalten die Variablen χ und u während des gesamten Übergangs von z(0) zu z* ihre langfristigen Gleichgewichtswerte bei. Die Beziehung zwischen der Bruttodurchschnittsproduktivität des physischen Kapitals ζ und der Zustandsvariablen ω == Κ/Η. Zurück zum Fall a < 9. Um die dynamische Analyse abzuschließen, muß das Verhalten von ζ - und damit von χ und u - zum Verhalten der Zustandsvariablen ω in Beziehung gesetzt werden. Insbesondere wird von der Startbedingung ω = ω(0) Gebrauch gemacht. Im Anhang 5B wird gezeigt, daß z(0) und ω(0) invers korreliert sind, mit z(0) ^ z*, wenn ω(0) 0 ω*. Mit anderen Worten ist die Bruttodurchschnittsproduktivitätz des physischen Kapitals zu Beginn groß, falls ω, der Quotient aus Κ und H, anfangs klein ist, und umgekehrt. Wenn der Startwert von ω zum Beispiel größer als der langfristige Gleichgewichtswert ist - wenn also das Humankapital im Verhältnis zum physischen Kapital knapp ist - , dann beginnen die Bruttodurchschnittsproduktivität ζ des physischen Kapitals und der interne Zinssatz r mit niedrigen Werten und steigen monoton in Richtung ihrer langfristigen Gleichgewichtswerte. In diesem Zusammenhang startet der Lohnsatz w oberhalb seines Gleichgewichtswertes und fällt dann, während χ und u unterhalb ihrer Gleichgewichtswerte anfangen und anschließend zunehmen. Das Verhalten von u bedeutet, daß in der Startsituation relativ wenig Humankapital in der Güterproduktion und relativ viel in der Bildung eingesetzt wird. In der Zeit verändert sich diese Allokation zugunsten der Güterproduktion. Alle Ergebnisse gelten umgekehrt, sofern ω unterhalb des langfristigen Gleichgewichtswertes startet.

Politikfunktionen für χ und u. Die Ergebnisse für χ und u können mit Hilfe der Politikfunktionen zusammengefaßt werden. In der Abbildung 5.5 sind die gewählten Werte von χ und u als fallende Funktionen von ω dargestellt.15 (Der Einfachheit halber wird hier nur eine Kurve für beide Variablen gezeigt.) Stellt man sich wieder ein Land vor, das am Ausgangspunkt über relativ wenig Humankapital verfügt (ω > ω*), so fällt ω in der Zeit, während χ und u steigen. Daher konsumiert dieses Land anfangs relativ wenig {χ = C/Κ ist niedrig), widmet aber der Bildung viel Zeit (1 - u ist groß). Übergangsverhalten der Wachstumsraten. Im folgenden wird der Zusammenhang zwischen dem dynamischen Verhalten von ω, ζ, χ sowie u und dem Übergangsverhalten der Wachstumsraten betrachtet. Insbesondere wird untersucht, ob 15 Die Abbildung 5.5 gilt für α < θ. Die Politikfunktionen haben für α > θ eine positive Steigung und verlaufen für α = θ flach.

5.2 Unterschiedliche Techniken für Produktion und Bildung

219

Abbildung 5.5 Politikfunktionen für u und χ (für α < θ). Die Politikfunktionen setzen die optimalen Werte der Kontroll variablen u und χ = Cj Κ in Beziehung zur Zustands variablen ω = Κ/Η. Für a < θ verlaufen beide Politikfunktionen fallend. (Der Einfachheit halber wird nur eine Kurve dargestellt.) Für α = θ verlaufen die Politikfunktionen flach und für α > θ steigend.

Ungleichgewichte zwischen Κ und Η - also Abweichungen von ω vom Gleichgewichtswert ω* nach oben oder nach unten - zu höheren oder geringeren Wachstumsraten der verschiedenen Modellgrößen führen.

Die Wachstumsrate des Konsums. Wenn die Volkswirtschaft mit relativ wenig physischem Kapital (ω < ω*) startet, fällt der Zinssatz r monoton in Richtung des langfristigen Gleichgewichtswertes Β — S. Diese Abnahme von r impliziert einen fallenden Wert yc• Umgekehrt steigen r und yc monoton für ω > ω* während des Übergangs. Trägt man yc gegen ω ab, so erhält man wie im oberen Teil der Abbildung 5.6 eine fallende Kurve. Man erinnere sich daran, daß die Beziehung zwischen yc und ω im Ein-SektorModell mit Ungleichungsbeschränkungen für die Bruttoinvestitionen durch eine Uförmige Kurve wie in der Abbildung 5.1 beschrieben worden ist. Ungleichgewichte zwischen Κ und Η in jedwede Richtung haben daher zu einer höheren Wachstumsrate des Konsums geführt. Dagegen gilt für das Uzawa-Lucas-Modell, in dem die Ungleichungsbeschränkungen für die Bruttoinvestitionen nicht wirksam sind, daß ein Ungleichgewicht mit relativ wenig physischem Kapital Κ (ω < ω*) zu einem höheren Wert von yc führt, während ein Ungleichgewicht mit relativ wenig Humankapital Η (ω > ω*) einen niedrigeren Wert von yc impliziert.

220

Kapitel 5. Zwei-Sektoren-Modelle des endogenen Wachstums

Die Wachstumsraten des Humankapitals und des physischen Kapitals. Das Übergangsverhalten der Wachstumsraten der übrigen Variablen ist komplizierter. Im Anhang 5B wird gezeigt, daß man durch Umformung der Gleichungen (5.31)— (5.33) für yz, γχ und yu unter Verwendung der Bedingung für y c nach (5.24) Ausdrücke für die Wachstumsraten von Η und Κ ableiten kann: Yh = Υ* — Β • (u — «*),

(5.39)

Υκ = Υ* + {ζ-ζ*)-{χ-χ*),

(5.40)

Dabei bezeichnet γ* die in (5.29) angegebene gleichgewichtige Wachstumsrate (B— δ - Ρ)/Θ.

Abbildung 5.6 Verschiedene Wachstumsraten im Uzawa-Lucas-Modell. Die Abbildung zeigt das Verhalten der Wachstumsraten des Konsums, des Humankapitals, des physischen Kapitals, der Güterproduktion (Y), des Anteils des Humankapitals, der in der Güterproduktion eingesetzt wird (u), und des weitgefaßten Outputs (Q). Sämtliche Variablen stehen in Beziehung zu ω ξ K / H . (Man beachte, daß das Minimum von yy sowohl rechts als auch links vom Gleichgewichtswert ω* liegen kann.)

Für den unterstellten Fall α < θ zeigt die Abbildung 5.5, daß u — u* monoton in ω fällt. Daher impliziert (5.39), daß yh in ω monoton steigt. Eine Zunahme der relativen Menge des physischen Kapitals erhöht die Wachstumsrate des Humankapitals. Diese Eigenschaft wird im zweiten Teil der Abbildung 5.6 dargestellt. Man bedenke, daß ζ — ζ*, also die Abweichung der Durchschnittsproduktivität des Kapitals von seinem langfristigen Gleichgewichtswert, mit ω monoton abnimmt. Damit fällt der Wert von γκ tendenziell in ω nach (5.40). Allerdings zeigt die Abbildung 5.5, daß auch χ — χ* monoton in ω sinkt. Dieser Effekt kompensiert die Neigung von γ κ abzunehmen.16 16

mit

Für α > θ steigt χ — χ* entweder monoton in ζ oder ist konstant. In diesem Fall nimmt γκ eindeutig

ω ab.

5.2 Unterschiedliche Techniken für Produktion und Bildung

221

Die Abbildung 5.7 liefert einen graphischen Ansatz zur Ableitung von γκ· Zunächst wird der stabile Arm χ(ζ) des Sattelpunkts mit Bezug zur rechten Seite der Abbildung 5.4 reproduziert. Man beachte, daß diese Kurve mit positiver Steigung, aber (zumindest in der Nähe des langfristigen Gleichgewichts) flacher als die Isokline χ = 0 verläuft. Darüber hinaus ist die Steigung der Isokline χ = 0 gemäß (5.37) positiv und kleiner als eins. Daher muß auch die Steigung von χ(ζ) in der Nähe des Gleichgewichts kleiner als eins sein.

Abbildung 5.7 Bestimmung der Wachstumsrate des physischen Kapitals γκ· In der Nähe des langfristigen Gleichgewichts verlaufen die Isowachstumslinien steiler als der stabile Arm χ(ζ) des Sattelpunktes. Die weiter rechts liegenden Isowachstumslinien entsprechen höheren Werten von Υκ· Daher ist γκ in der Nähe des langfristigen Gleichgewichts positiv mit ζ korreliert. Die inverse Beziehung zwischen ζ und ω impliziert, daß yk und ω invers korreliert sind.

Auf der Grundlage der Gleichung (5.40) können Isowachstumslinien konstruiert werden, auf denen die Koordinaten von ζ und χ liegen, für die γκ konstant ist. Nach der Gleichung verlaufen diese Linien linear mit einer Steigung von eins. Die Abbildung 5.7 zeigt mehrere Isowachstumsgeraden, wobei die weiter rechts liegenden - mit größeren Werten von ζ - höheren Werten von γκ entsprechen. Die Steigung dieser Geraden muß zumindest in der Nähe des langfristigen Gleichgewichts größer als die Steigung der Kurve χ(ζ) sein, weil hier die Steigung von χ(ζ) kleiner als eins ist. Die Abbildung 5.7 zeigt, daß γκ in der Nähe des Gleichgewichts positiv mit ζ korreliert ist. Daher steht γκ in diesem Bereich in negativer Beziehung zu ω. Mit anderen Worten, der Effekt einer Verringerung von ζ — ζ* auf γκ überwiegt den Effekt der Verringerung von χ — χ* auf γκ in (5.40), wenn ω(0) < ω* ist und ω in der Zeit steigt. Durch numerische Simulationen ist herausgefunden worden, daß die inverse Be-

222

Kapitel 5. Zwei-Sektoren-Modelle des endogenen Wachstums

ziehung zwischen γκ und ω für einen großen Wertebereich von ω um den langfristigen Gleichgewichtswert herum gilt (vgl. Mulligan und Sala-i-Martin (1993)). Das heißt, die Abnahme von ζ — ζ* überwiegt die Senkung von χ — χ* für einen großen Bereich von betrachteten Parameterwerten.17 Aus diesem Grund impliziert das Modell, daß ein höheres Verhältnis ω des physischen Kapitals zum Humankapital mit einer geringeren Wachstumsrate des physischen Kapitals γκ verbunden ist. Diese Eigenschaft wird im dritten Teil der Abbildung 5.6 dargestellt.

Die Wachstumsrate der Güterproduktion F. Gemäß (5.19) beträgt die Menge der produzierten Güter (in der Form von Konsumgütern und physischem Kapital) Υ — A K · ( u H ) ~ . Deshalb kann die Wachstumsrate von Υ unter Verwendung der Formeln für γη und γκ in (5.39) und (5.40) zusammen mit der Formel für yu in (5.33) bestimmt werden: a

l

a

γ

γ

=

γ*

+

α

.

{

ζ

-

ζ

* ) - (

χ

-

χ

* ) .

(5.41)

AbbUdung 5.8 Bestimmung der Wachstumsrate der Güterproduktion yY. In der Nähe des langfristigen Gleichgewichts können die Isowachstumslinien sowohl steiler als auch flacher als der stabile Arm χ(ζ) des Sattelpunktes verlaufen. Die Wachstumsrate yy steht daher nicht in eindeutiger Beziehung zu ζ und ω. Man beachte, daß die Kurve χ(ζ) von der rechten Seite der Abbildung 5.4 übernommen worden ist und für α < θ gilt. 17 Numerisch ist ermittelt worden, daß sich die inverse Beziehung zwischen γ κ und ω bei sehr hohen Werten von ω umkehren kann. Allerdings werden die Ungleichungsbeschränkungen für die Bruttoinvestitionen für sehr hohe (oder sehr niedrige) Werte ω wirksam (siehe unten). Betrachtet man nur den Bereich für ω, in dem diese Beschränkungen nicht binden, dann weisen die numerischen Ergebnisse darauf hin, daß γκ für alle verwendeten Parameterwerte mit ω fällt.

5.2 Unterschiedliche Techniken für Produktion und Bildung

223

Die Wachstumsrate γγ läßt sich mit einem Verfahren analysieren, das der Behandlung der Wachstumsrate γ κ entspricht. Die Gleichung (5.41) impliziert, daß die Isowachstumslinien für γγ im (z, x)-Raum mit einer Steigung von α < 1 linear verlaufen. Einige dieser Linien sind in der Abbildung 5.8 dargestellt worden, wobei die weiter rechts liegenden Linien höheren Wachstumsraten zugeordnet sind. Im Gegensatz zum vorhergehenden Fall verlaufen die Isowachstumslinien in der Nähe des langfristigen Gleichgewichts nicht notwendigerweise steiler als die Kurve χ(ζ). Damit ist die Beziehung zwischen γγ und ζ in der Nähe des langfristigen Gleichgewichtes nicht eindeutig. Der Schluß lautet, daß γγ mit ω sowohl steigen als auch fallen kann.18 Die numerischen Ergebnisse bestätigen diese Folgerungen und deuten wie im vierten Teil der Abbildung 5.6 auf eine U-förmige Beziehung zwischen γγ und ω hin. Das Minimum von γγ kann sowohl links als auch rechts vom langfristigen Gleichgewichtswert liegen, das heißt, γγ kann in der Umgebung des Gleichgewichts in ω sowohl steigen als auch fallen. Als Beispiel werden a = 0,5 und die schon früher benutzten Standardwerte für einige der Parameter (ρ = 0,02, η = 0,01, S = 0,05) gewählt sowie Β = 0,11 gesetzt, um einen gleichgewichtigen internen Zinssatz von Β — S = 0,06 zu erhalten. (Die gleichgewichtige Wachstumsrate (Β — δ — ρ)/θ ist dann für θ = 2 gleich 0,02.) Für diese Spezifikation der Parameter liegt das Minimum von γγ für θ = 3,5 beim langfristigen Gleichgewichtswert von ω, für θ > 3,5 links vom langfristigen Gleichgewichts wert und für θ < 3,5 rechts vom Gleichgewichts wert. (Man beachte, daß )ύ in der Nähe des Gleichgewichts in ζ steigt, wenn das Minimum von γγ links vom Gleichgewichtswert liegt, und umgekehrt.) Der Ungleichgewichtseffekt kann symmetrisch mit höheren Wachstumsraten des Outputs sein, wenn entweder Κ oder Η relativ knapp ist, oder er kann asymmetrisch sein, und zwar mit zunehmenden Wachstumsraten bei dem einen Typ des Ungleichgewichts und abnehmenden Raten bei dem anderen Typ des Ungleichgewichts in der Nähe des langfristigen Gleichgewichts.

Die Wachstumsrate des weitgefaßten Outputs Q. Das erweiterte Bruttoprodukt Q ist in (5.17) definiert worden (wobei jetzt η = 0 ist). Die Wachstumsrate von Q kann unter Verwendung der Formel für μ/ν aus (5.16) und der Ausdrücke für γγ aus (5.41), aus (5.39) und γα aus (5.33) als YQ =

Y r - Y u - ( l - « ) / ( l - a + au)

(5.42)

berechnet werden. Die Bestimmung von γγ ist bereits diskutiert worden. Um γρ zu analysieren, muß daher noch das Verhalten von γα betrachtet werden. Nach (5.33) verlaufen die Isowachstumslinien für γα linear und haben dieselbe Steigung wie die Isokline ti = 0, die auf der linken Seite der Abbildung 5.4 dargestellt worden ist. Die Abbildung 5.9 enthält mehrere dieser Isowachstumslinien, 18

ω.

Für α > θ steigt χ — χ* entweder in ω oder ist konstant. Daher fällt γγ in diesem Fall eindeutig in

224

Kapitel 5. Zwei-Sektoren-Modelle des endogenen Wachstums

wobei die weiter links liegenden (für höhere Werte von u) mit höheren Werten von Yu verbunden sind. Für z(0) > z*, was ω(0) < ω* entspricht, ist u(0) > u* und χ(0) > χ*. Die Volkswirtschaft bewegt sich abwärts entlang der Kurve u(x) in der Abbildung 5.9 in Richtung auf kleinere Werte von u und χ. Anhand der Abbildung ist auch zu erkennen, daß yu steigt, das heißt, bei fallendem ζ steigt yu ausgehend von einem negativen Wert in Richtung des langfristigen Gleichgewichtswertes in Höhe von null. Dieses Verhalten wird im fünften Teil der Abbildung 5.6 dargestellt.

Abbildung 5.9 Bestimmung von yu. In der Nähe des langfristigen Gleichgewichts verlaufen die Isowachstumslinien flacher als der stabile Arm u(x) des Sattelpunktes. Die weiter rechts oben liegenden Isowachstumslinien entsprechen niedrigeren Werten von yu. Daher steht yu in der Nähe des Gleichgewichts in negativer Beziehung zu χ und damit auch zu z. Die inverse Beziehung zwischen ζ und ω beinhaltet, daß yu positiv mit ω korreliert ist.

Im Hinblick auf yq gemäß (5.42) ist von Bedeutung, daß mit steigendem ω der Wert von yu steigt (was eben gezeigt worden ist), während u fällt. Der zweite Term auf der rechten Seite von (5.42) erzeugt daher in der Regel eine inverse Beziehung zwischen yg und ω. Die Formel für yq enthält auch yy, das wahrscheinlich in U-förmiger Beziehung zu ω steht (vgl. die Abbildung 5.6), wobei das Minimum links oder rechts vom langfristigen Gleichgewichtswert liegt. Den Ergebnissen der numerischen Simulation zufolge ist yq allerdings für einen großen Bereich von ω eine fallende Funktion von ω.19 Das heißt, der zweite Term auf der rechten Seite von (5.42) eliminiert die U-Förmigkeit für die betrachteten Parameterwerte. Der untere Teil der 19 In der Fußnote 17 ist bereits erwähnt worden, daß die Nichtnegativitätsbeschränkungen der Bruttoinvestitionen für sehr kleine oder sehr große Werte von ω wirksam werden. Für den Bereich, in dem diese Beschränkungen nicht binden, haben die numerischen Simulationen für alle betrachteten Parameterwerte ergeben, daß yq, wie auch γκ, in ω fallt.

5.2 Unterschiedliche Techniken für Produktion und Bildung

225

Abbildung 5.6 zeigt YQ folglich als monoton fallende Funktion von ω. Zusammenfassung der Dynamik des Uzawa-Lucas-Modells. Eine andere Sicht der Auswirkungen von Ungleichgewichten zwischen Κ und Η als das Ein-SektorModell ermöglicht das Uzawa-Lucas-Modell. Im Ein-Sektor-Modell erhöhen größere Ungleichgewichte zwischen Κ und Η in jede Richtung die Wachstumsraten des Outputs und des Konsums. Man beachte, daß der Output im Ein-Sektor-Modell die Konsumgüter und die beiden Arten des Kapitals enthält. Deshalb sollte die Wachstumsrate der Produktionsmenge im Ein-Sektor-Modell mit der Wachstumsrate des weitgefaßten Outputs im Uzawa-Lucas-Modell verglichen werden. Im Uzawa-Lucas-Modell befindet sich yc immer und yg tendenziell in inverser Beziehung zu ω (vgl. die Abbildung 5.6). Daher steigen diese Wachstumsraten tendenziell mit dem Ausmaß des Ungleichgewichts zwischen dem Humankapital und dem physischen Kapital, wenn das Humankapital im Verhältnis zum physischen Kapital relativ reichlich vorhanden ist (ω < ω*), fallen aber tendenziell, falls das Humankapital relativ knapp ist (ω > ω*). Diesem Modell zufolge erholt sich eine Volkswirtschaft schneller von den Auswirkungen eines Krieges, durch den hauptsächlich physisches Kapital zerstört wird, als von den Auswirkungen einer Epidemie, die im wesentlichen Humankapital vernichtet. Den neuen Ergebnissen liegt die Annahme zugrunde, daß der Bildungssektor das Humankapital relativ intensiv nutzt. Für ω > ω* ist zum Beispiel die Grenzproduktivität des Humankapitals im Gütersektor hoch, und man wird Wachstum vor allem aufgrund einer hohen Wachstumsrate des Humankapitals erwarten. Das hohe Niveau von ω impliziert allerdings einen hohen Lohnsatz und damit hohe Kosten im Bildungssektor, der das Humankapital relativ intensiv beansprucht. Mit anderen Worten motiviert dieser Effekt die Bevölkerung, das Humankapital in der Güterproduktion statt in der Bildung einzusetzen, die den relativ knappen Faktor Η produziert. Folglich verringert dieser Effekt tendenziell die Wachstumsrate der Volkswirtschaft, wenn ω > ω* ist.

Das Verhalten der Sparquote. Das Verhalten der Bruttosparquote im Ein-SektorRamsey-Modell ist im Kapitel 2 behandelt worden. Im Fall der Cobb-DouglasProduktionsfunktion hat sich gezeigt, daß die Sparquote während des Übergangs monoton fällt, konstant ist oder monoton steigt, je nachdem ob eine bestimmte Parameterkombination positiv, gleich null oder negativ ist (vgl. Anhang 2B). Außerdem ist festgestellt worden, daß unter der Annahme einer hohen Kapitalertragsquote von ungefähr 0,75 in bezug auf einen weitgefaßten Kapitalbegriff vernünftige Parameterwerte mit einer annähernd konstanten Bruttosparquote vereinbar sind. Eine ähnliche Analyse kann für das Uzawa-Lucas-Modell mit einer Cobb-Douglas-Produktionsfunktion für die Güter durchgeführt werden. Angenommen, die Bruttoersparnis wird als der Anteil an der Güterproduktion Y definiert, der nicht konsumiert wird. Das heißt, es werden enge Definitionen verwendet, die die Produktion des Humankapitals aus dem Output und der Ersparnis ausschließen. Dann

226

Kapitel 5. Zwei-Sektoren-Modelle des endogenen Wachstums

läßt sich (mittels eines analogen Vorgehens wie im Anhang 2B) zeigen, daß das Übergangsverhalten der Sparquote wie folgt bestimmt wird:

Ψ = - Β

1 - α

p + S - + «5- ^ r -

> 0

==» d i / d < y > 0,

= 0

=>

< ο

=

s= 1 - a . i z i , υ • d s / ά ω < 0.

(5.43)

Die Bedingung Ψ = 0 für eine konstante Sparquote ist jetzt schwierig zu erfüllen. Erstens bewirkt Ψ = 0 nach (5.43), daß αδ > Β • (1 — α) sein muß. Für die bisher unterstellten Parameterwerte δ = 0,05 und Β = 0,11 impliziert diese Bedingung a > 0,69. Da a sich jetzt ausschließlich auf das physische Kapital bezieht, ist es unwahrscheinlich, daß diese Ungleichung erfüllt ist. Zweitens kann anhand der Transversalitätsbedingung für das Modell - der langfristige Gleichgewichtswert des internen Zinssatzes Β — 8 muß größer als die gleichgewichtige Wachstumsrate ( Β — δ - ρ ) / θ sein - gezeigt werden, daß Ψ nur für (1/0) + ( Ι / α ) < 2 gleich null sein kann. Diese Bedingung erfordert insbesondere θ > l / a . Wenn also ein niedriger Wert von α in der ersten Ungleichung steht, verlangt eine konstante Sparquote einen hohen Wert von Θ. Wenn die Sparquote während des Übergangs konstant ist, dann ist ihr Wert s = 1 — a • ( θ — \ ) / θ sehr hoch, es sei denn, α liegt nahe bei eins und θ ist klein. Beispielsweise gilt s = 0,75 für a = 0,5 und θ = 2. Da das Sparen hier nur dem Teil der Güterproduktion entspricht, der zu physischem Kapital wird, nicht aber die Investition in das Humankapital umfaßt, ist dieser hohe Wert von s unrealistisch. Vernünftige Parameterwerte, die einen Wert von α deutlich unter eins einschließen, entsprechen Ψ < 0 und damit d s / ά ω < 0 nach (5.43). Man stelle sich ein sich entwickelndes Land vor, das über relativ wenig Humankapital verfügt, so daß ω > ω* ist. Dem Modell zufolge startet dieses Land mit einer geringen Bruttosparquote (definiert als nicht konsumierter Anteil der Güterproduktion), die während der Annäherung der Volkswirtschaft an das langfristige Gleichgewicht steigt. Dieses Verhalten stimmt mit einigen im Kapitel 12 beschriebenen empirischen Tatbeständen überein.

UNGLEICHUNGSBESCHRÄNKUNGEN DER BRUTTOINVESTITIONEN.

In d e m

im ersten Teil des Kapitels analysierten Ein-Sektor-Modell ist eine der Nichtnegativitätsbeschränkungen der Bruttoinvestitionen wirksam, wenn der Startwert von ω Ξ Κ / Η von seinem langfristigen Gleichgewichtswert abweicht. Insbesondere für ω < ω* ist die Bruttoinvestition in das Humankapital gleich null; für ω > ω* beträgt die Bruttoinvestition in das physische Kapital null. Im Uzawa-Lucas-Modell binden die Nichtnegativitätsbedingungen innerhalb eines bestimmten Bereichs um den Gleichgewichtswert nicht. Die bisher abgeleitete Dynamik des Modells ist dementsprechend in diesem Bereich gültig. Wenn der Startwert von ω allerdings hinreichend weit vom langfristigen Gleichgewichtswert entfernt ist, dann wird eine der Ungleichungsbeschränkungen wirksam.

5.2 Unterschiedliche Techniken für Produktion und Bildung

227

Falls annahmegemäß α < θ ist, stehen u und ω wie in der Abbildung 5.5 in inverser Beziehung zueinander. Wenn ω hinreichend kleiner als ω* ist, bindet die Beschränkung u < 1, das heißt, die Bruttoinvestition in Η ist gleich null, wenn Κ hinreichend knapp im Vergleich zu Η ist. In diesem Fall wächst Η mit der konstanten Rate —δ, und die Situation entspricht im wesentlichen dem üblichen Ein-SektorModell, in dem der Output entweder für C oder für Κ verwendet werden kann. Die Wachstumsraten von C, Κ und Y sind in diesem Bereich bekanntermaßen invers mit ω korreliert. Daher treffen die fallenden Kurven für yc und γκ und der fallende Teil der Kurve für γγ in der Abbildung 5.6 sogar zu, wenn ω so klein ist, daß die Beschränkung u < 1 wirkt. Wie weit ω unter ω* fallen muß, damit die Beschränkungen u < 1 und folglich Η + SH > 0 effektiv werden, kann numerisch bestimmt werden. Für die bereits genannten Parameterwerte unter Berücksichtigung von a = 0,5 und 0 = 2 muß ω auf 5% des Wertes von ω* fallen, um die Restriktion wirksam werden zu lassen. Wenn die Parameterwerte etwas von den bevorzugt unterstellten Werten abweichen, erhält man ähnliche Ergebnisse.20 Aufgrund dieser Ergebnisse kann die Beschränkung u < 1 für einen weiten Bereich von ω kleiner als ω* vernachlässigt werden. Bei einer hinreichenden Erhöhung von ω über ω* hinaus wird die Beschränkung Κ + SK > 1 wirksam. Das heißt, die Bruttoinvestition in Κ ist gleich null, wenn Κ relativ zu Η genügend reichlich vorhanden ist.21 In diesem Fall wächst Κ mit der konstanten Rate —6, und der gesamte Output wird konsumiert. Die einzige Entscheidung, die der Haushalt zu treffen hat, ist die Allokation von Η auf die Güterproduktion (H) und die Bildung (1 — κ). Dieser Ansatz läuft auf ein ZweiSektoren-Modell hinaus, in dem die Konsumgüter durch eine andere Produktionstechnik als das Kapital (Η) erstellt werden. Der einzige Unterschied zu den Standardmodellen dieses Typs (wie Uzawa (1964) und Srinivasan (1964)) besteht darin, daß im Konsumgütersektor abnehmende Produktivitäten und im Kapitalgütersektor (Η) konstante Produktivitäten vorliegen. Im Anhang 5B wird gezeigt, daß die Wachstumsraten von C und Y im UzawaLucas-Modell konstant sind, wenn die Restriktion Κ + SK > 0 wirkt. Wenn ω groß genug ist, um die Beschränkung der nichtnegativen Bruttoinvestition in das physische Kapital effektiv werden zu lassen, dann hängen yc. YY und ΓΚ nicht von ω ab. Also verlaufen die Graphen von yc. YY und Γ Κ in der Abbildung 5.6 für ein hinreichend großes ω horizontal. Das Verhalten der übrigen Wachstumsraten hängt von der dynamischen Entwicklung von u ab. Sogar im Fall α < θ muß die Politikfunktion für u nicht notwendigerweise in ω fallen (wie in der Abbildung 5.5), sofern die Beschränkung Κ + SK > 0 bindet. Wenn u im beschränkten Bereich in inverser Beziehung zu 20

Für α > θ wird die Beschränkung u < 1 niemals effektiv. Wenn α < θ ist, fällt u in ω, wie in der Abbildung 5.5 gezeigt wird. Eine hinreichende Erhöhung von ω führt dazu, daß die Beschränkung u > 0 effektiv wird. Die Beschrankung C > 0 bindet allerdings wegen u'(C) oo für C -> 0 niemals. Daher wird die Ungleichung Κ + SK > 0 bei steigendem ω vor der Beschränkung u > 0 wirksam. Numerisch ist ebenfalls ermittelt worden, daß die Restriktion Κ + SK > 0 sogar für α > θ bei genügend großem ω effektiv ist. 21

228

Kapitel 5. Zwei-Sektoren-Modelle des endogenen Wachstums

ω steht, dann steigen YH und YQ in ω in diesem Bereich. Steht u aber in positiver Beziehung zu ω, dann fallen γπ und YQ in ω. Das letzte Ergebnis gilt eindeutig, wenn θ < 1 ist. Für θ > 1 sind aber beide Möglichkeiten denkbar. Numerisch ist gezeigt worden, wie groß ω sein muß, damit die Nichtnegativitätsbeschränkung der Investition in das physische Kapital wirkt. Für die früher erwähnten Parameterwerte muß ω nahezu fünfmal so groß wie ω* sein. Auch wenn die Parameterwerte ein wenig von den bevorzugt unterstellten Werten abweichen, erhält man ähnliche Ergebnisse. Aufgrund dieser Resultate kann die Beschränkung Κ + SK < 0 für einen weiten Bereich, in dem ω größer als ω* ist, vernachlässigt werden. Für sinnvolle Parameterwerte erscheint der Bereich von ω, für den die Nichtnegativitätsbeschränkungen nicht relevant sind - zwischen 5% von ω* und fünfmal ω* für die hier bevorzugten Parameterwerte - , relativ groß, wenn man ihn mit dem empirisch wahrscheinlichen Bereich des Quotienten Κ / Η vergleicht. Daher erscheint es sinnvoll, sich auf die empirischen Implikationen zu konzentrieren, die sich aus den inneren Lösungen des Modells ergeben, wie sie in den Abbildungen 5.5 und 5.6 dargestellt werden.

5.2.3

Das verallgemeinerte Uzawa-Lucas-Modell

Im verallgemeinerten Uzawa-Lucas-Modell wird die Annahme beibehalten, daß die Bildung das Humankapital relativ intensiv nutzt (η < α), die Existenz des physischen Kapitals im Bildungssektor jedoch zugelassen wird (η > 0). Anhand von (5.16) und (5.18) ist für den Fall η < α bereits festgestellt worden, daß vK/uH - das Verhältnis des physischen Kapitals zum Humankapital im Gütersektor - monoton gegen seinen langfristigen Gleichgewichtswert konvergiert. Dieses Ergebnis impliziert, daß sich der interne Zinssatz r und die Wachstumsrate des Konsums yc ebenfalls monoton ihren langfristigen Gleichgewichtswerten annähern. Die Resultate stimmen also mit denen des Uzawa-Lucas-Modells (η = 0) überein. Der Unterschied zum vorher betrachteten Fall liegt darin, daß das dynamische System nicht auf zwei Variablen reduziert werden kann, so daß sich keine Phasendiagramme wie in der Abbildung 5.4 konstruieren lassen. Außerdem kann nicht allgemein gezeigt werden, daß die Politikfunktionen für χ und u in monotoner Beziehung zu ω stehen22 und daß sich die Wachstumsraten von Κ, Η, Y und Q qualitativ wie zuvor verhalten. Verschiedene Simulationsrechnungen mit a = 0,4 variieren den Parameter η zwischen 0 und 0,4. Dabei werden für die anderen Parameter die üblichen Werte unterstellt; ein typischer Fall ist S = 0,05, ρ = 0,02, n = 0,01 und θ = 3. Für η = 0 wird Β = 0,13 gewählt, so daß der Zinssatz und die Pro-Kopf-Wachstumsrate 22 Mit Hilfe von Simulationsrechnungen ist festgestellt worden, daß u in nichtmonotoner Beziehung zu ω = Κ/Η stehen kann, wenn auch für merkwürdige Werte der zugrundeliegenden Parameter. Für bestimmte eigenartige Parameterwerte kann die Politikfunktion für χ die umgekehrte Steigung der Politikfunktion für u haben, was im Fall η = 0 nicht möglich ist.

5.2 Unterschiedliche Techniken für Produktion und Bildung

229

im langfristigen Gleichgewicht 0,08 beziehungsweise 0,02 betragen. Die Verläufe der verschiedenen Wachstumsraten für η = 0 entsprechen dann denen in der Abbildung 5.6. Bei höheren Werten von η wird Β so angepaßt, daß der gleichgewichtige Zinssatz und die gleichgewichtigen Wachstumsraten erhalten bleiben.23 Die Simulationen zeigen, daß die Politikfunktionen für u und χ wie in der Abbildung 5.5 für den Fall η = 0 weiterhin in monotoner und inverser Beziehung zu ω stehen, wenn sich η an α annähert (man beachte allerdings die Fußnote 22). Das qualitative Verhalten der verschiedenen Wachstumsraten bleibt ebenfalls entsprechend der Abbildung 5.6 erhalten, abgesehen davon, daß γγ bei höheren Werten von η in der Nähe des langfristigen Gleichgewichts tendenziell steigt. Die numerischen Ergebnisse weisen somit daraufhin, daß die wesentlichen qualitativen Resultate des Uzawa-Lucas-Modells für vernünftige Parameterwerte wahrscheinlich gültig bleiben, sofern die unrealistische Annahme fallengelassen wird, daß der Bildungssektor kein physisches Kapital als Input verwendet (η = 0). Insbesondere bleibt die vorhergehende Diskussion der Auswirkungen von Ungleichgewichten zwischen Κ und Η wahrscheinlich gültig. Ein weiterer Unterschied des verallgemeinerten Modells im Vergleich zur Ausgangsversion besteht darin, daß der Bereich, für den die Ungleichungsbeschränkungen u < 1 und Κ + SK > 0 nicht wirken, kleiner wird, falls η in Richtung auf a zunimmt. Dieses Ergebnis ist sinnvoll, da schon aufgrund der vorhergehenden Analyse des Ein-Sektor-Modells bekannt ist, daß dieser Bereich verschwindet, wenn η = α ist. Für die zutreffende Annahme, daß η - selbst wenn es positiv ist - wesentlich kleiner als α ist, existiert weiterhin ein großer Bereich von Werten für ω um das Gleichgewicht, in dem die Ungleichungsbeschränkungen nicht wirksam sind. 5.2.4

Das Modell mit umgekehrten Faktorintensitäten

In allen bisher betrachteten Fällen setzt der Bildungssektor das Humankapital relativ intensiv ein, das heißt α > η > 0. In diesem Abschnitt werden die Implikationen umgekehrter Faktorintensitäten, α < η, kurz betrachtet. Diesem Fall wird wenig Aufmerksamkeit gewidmet, weil die Annahme, daß die Bildung relativ intensiv das physische Kapital nutzt, nicht plausibel ist. (Wenn man Κ und Η nicht als physisches Kapital und Humankapital interpretiert, können die umgekehrten Faktorintensitäten zutreffen.) Zuvor ist bereits festgestellt worden, daß die Gleichung (5.18) für α < η eine instabile Differentialgleichung in der Variablen ρ = μ/ν ist. (Die Gleichung trifft zu, wenn keine Nichtnegativitätsbeschränkungen der Bruttoinvestitionen effektiv sind.) Daher vergrößert sich jede Abweichung von ρ vom langfristigen Gleichgewichtswert. Dieses instabile Verhalten überträgt sich nach (5.16) auf das Verhältnis vK/uH. Man beachte, daß dieser Quotient die Grenzproduktivität des physischen Kapitals in der Güterproduktion und damit r und yc bestimmt. Entsprechend wirkt das instabile Verhalten von vK/uH auf r und yc- Da diese explosiven Ergebnisse im 23

Durchgehend wird Α auf eins normiert.

230

Kapitel 5. Zwei-Sektoren-Modelle des endogenen Wachstums

Gegensatz zur Optimierung des Haushalts stehen, wird im folgenden der Fall untersucht, in dem ρ in jedem Zeitpunkt gleich seinem langfristigen Gleichgewichtswert ist. Ein konstantes ρ impliziert nach (5.16) die Konstanz von vK/uH. Daher bleiben r und ye während des Übergangs zum langfristigen Gleichgewicht ebenfalls unverändert. Im Anhang 5C wird gezeigt, daß auch die Wachstumsrate YQ des weitgefaßten Outputs konstant und gleich YC ist. Damit erhält man das überraschende Ergebnis, daß die Wachstumsraten von C und Q konstant bleiben, wenn sich die Zustandsvariable ω = Κ/ Η ändert (in dem Bereich nicht wirkender Ungleichungsbeschränkungen). Mit anderen Worten gibt es bei umgekehrten Faktorintensitäten keinen Ungleichgewichtseffekt auf die Wachstumsraten. Aufgrund der Konstanz von vK/uH, YC und YQ ist die Dynamik der Variablen u, χ, YH und γκ leicht zu beurteilen. Im Anhang 5C wird gezeigt, daß jede dieser Variablen monoton gegen ihren langfristigen Gleichgewichtswert strebt, während die Zustandsvariable ω gegen ihren langfristigen Gleichgewichtswert konvergiert. Alle Veränderungen der Variablen in Abhängigkeit von ω sind eindeutig, und zwar negativ für u und χ, positiv für YH und negativ für γκ·

5.3

Die Bedingungen für endogenes Wachstum

In allen bisher verwendeten Modellen bestehen sowohl im Gütersektor als auch im Bildungssektor konstante Skalenerträge; das heißt, es sind Produktionsfunktionen der Form (5.11) und (5.12) unterstellt worden. (Das Uzawa-Lucas-Modell, das durch (5.19) und (5.20) ausgedrückt wird, stellt einen Spezialfall dar, in dem der Bildungssektor nur Humankapital als Input nutzt, das heißt η = 0.) Diese Produktionsfunktionen implizieren, daß keine abnehmenden Skalenerträge auftreten, wenn das physische Kapital und das Humankapital mit der gleichen Rate wachsen. Im langfristigen Gleichgewicht bleiben daher die internen Zinssätze konstant, und die Volkswirtschaft kann mit konstanter Rate wachsen. Im folgenden wird in Anlehnung an Mulligan und Sala-i-Martin (1993) untersucht, ob allgemeinere Produktionsfunktionen mit positivem Wachstum im langfristigen Gleichgewicht, also mit endogenem Wachstum, vereinbar sind. Die Gleichungen (5.11) und (5.12) werden wie folgt modifiziert: Y = C+ Κ + δΚ = A- (vK)°"

(uH)ai

Η + SH = Β · [(1 - ν) Κ]ηι [(1 - u) Η]ηι.

(5.44) (5.45)

Die Cobb-Douglas-Form der Produktionsfunktionen bleibt folglich erhalten, wobei aber die Summen ci\ + und η\ + ηι von eins abweichen dürfen, so daß keine konstanten Skalenerträge vorliegen müssen. Wenn ein Sektor abnehmende Skalenerträge aufweist, zum Beispiel αϊ + 0 2 < 1, so ist es möglich, den üblichen Ansatz der Konkurrenz beizubehalten, indem ein

5.3 Die Bedingungen für endogenes Wachstum

231

zusätzlicher Produktionsfaktor wie Arbeit oder Boden aufgenommen wird, der in gegebener aggregierter Menge verfügbar ist. Wenn dieser Faktor in der Produktionsfunktion einen Exponenten von \ — a\ — hat, dann ergeben sich konstante Skalenerträge auf einzelwirtschaftlicher Ebene. Die entscheidende Überlegung ist, daß bezüglich der Faktoren, die akkumuliert werden können, abnehmende Skalenerträge vorliegen (αϊ + αϊ < 1). Das Modell kann auch bei vollständiger Konkurrenz steigende Skalenerträge aufweisen, etwa mit et\ + cti > 1, wenn die im Kapitel 4 analysierten spilloverEffekte eingeführt werden. Zum Beispiel lassen sich die Inputs Κ und Η eines Unternehmens bei der Produktion von Y mit den Exponenten αϊ beziehungsweise 1 — αϊ in der Produktionsfunktion berücksichtigen, so daß konstante Skalenerträge für das einzelne Unternehmen vorliegen. Die für die Volkswirtschaft aggregierte Menge des Humankapitals Η kann nun (wie in Lucas (1988)) als zusätzlicher Input mit einem Exponenten von αϊ + αϊ — 1 in die Produktionsfunktion eingehen, wobei αι > 1 — αϊ ist. Die entscheidende Überlegung ist hier, daß bezüglich der Faktoren, die von der gesamten Volkswirtschaft akkumuliert werden, steigende Skalenerträge vorliegen (αϊ + l)· 24 Im folgenden wird ein langfristiges Gleichgewicht mit konstanten ν und u gesucht, in dem C, Υ, Κ und Η mit unveränderten, aber nicht unbedingt gleichen Raten wachsen. (Wenn sich u und υ nicht dem Wert Null nähern, sind keine konstanten Wachstumsraten dieser Variablen wegen der Beschränkungen 0 < υ < 1 und 0 < u < 1 zugelassen.) Dividiert man (5.45) durch H, logarithmiert die erhaltene Gleichung und leitet nach der Zeit ab, so folgt >?i>4 + ( > ? 2 - 1 ) ^ = 0,

(5.46)

wobei γ* die gleichgewichtige Wachstumsrate der durch den jeweiligen Index identifizierten Variablen bezeichnet. Wenn man (5.44) durch Κ dividiert und die logarithmierte Gleichung nach der 24 Im Kapitel 4 ist bemerkt worden, daß die Ergebnisse der vollständigen Konkurrenz bei der Existenz derartiger spillovers im allgemeinen nicht Pareto-optimal sind. Daher lassen solche Modelle tendenziell Raum für Interventionen der Regierung, insbesondere zur Subventionierung der Aktivitäten mit positiven spillovers. In Extremfällen mit sehr großen spillovers können mehrere Gleichgewichte existieren, die sich typisch nach dem Pareto-Kriterium ordnen lassen. Als Beispiel betrachte man den Fall, daß die Erträge eines Individuums aufgrund seiner Bildung positiv vom durchschnittlichen Bildungsniveau der Bevölkerung abhängen. Dann erhalten in einer Art des Gleichgewichts alle eine Ausbildung, denn wenn die meisten Leute gebildet sind, finden alle übrigen es ebenfalls vorteilhaft, ausgebildet zu werden. In einem anderen Gleichgewichtstyp erhält keiner eine Bildung, denn wenn die meisten Leute nicht ausgebildet werden, finden alle übrigen es erstrebenswert, nicht gebildet zu sein. Die Modelle mit mehreren Gleichgewichten werden nicht analysiert, weil das Ausmaß der spillovers, das erforderlich ist, um diese Mehrdeutigkeit erzeugen, unrealistisch groß zu sein scheint. Darüber hinaus sind die Modelle, die keine Auswahl zwischen den möglichen Gleichgewichten treffen, von einem positiven Standpunkt aus unvollständig. Zur Analyse dieser Art von Modellen - mit günstigeren Bewertungen - vgl. Krugman (1991), Matsuyama (1991), Benhabib und Farmer (1991), Boldrin und Rustichini (1993), Chamley (1992) und Xie (1992).

232

Kapitel 5. Zwei-Sektoren-Modelle des endogenen Wachstums

Zeit differenziert, so ergibt sich C/K

C/K+Y*K

+ S

• (Yc - Υκ) = («1 - 1) Υ*κ + «2Y*H-

(5.47)

Aufgrund der im Kapitel 4 verwendeten Argumente kann man zeigen, daß y*c = y*K ist. (Gilt y*c > y*K, strebt das nach (5.44) berechnete y*K gegen —oo. Wenn y*c < y*K ist, dann ist y*K gleich r, der Nettogrenzproduktivität von Κ im Gütersektor. Diese Gleichheit verletzt die Transversalitätsbedingung.) Die Relation (5.47) vereinfacht sich so zu (c*i - 1)γ*κ + α2γ*Η = 0.

(5.48)

Die durch (5.44) implizierte Bedingung γγ = α\γ*κ + oc2Yh kann in Verbindung mit (5.48) benutzt werden, um zu zeigen, daß y\ = y*K ist. Damit müssen die Variablen C, Κ und Y im langfristigen Gleichgewicht alle mit derselben Rate wachsen. Die Gleichungen (5.46) und (5.48) bilden ein System zweier linearer, homogener Gleichungen in den beiden Unbekannten γ*κ und y*H. Dieses System hat nur dann eine andere Lösung als y*K = y*H = 0, wenn die Determinante der Koeffizientenmatrix gleich null ist, die Parameter also der Bedingung «2^1 = (1 ~m)

· (1 - α ϊ )

(5.49)

genügen. Diese wesentliche Voraussetzung muß erfüllt sein, wenn das Modell endogenes Wachstum mit konstanten positiven Raten hervorbringen soll. Ein Beispiel, das (5.49) realisiert, liefert der bereits betrachtete Fall mit konstanten Skalenerträgen in beiden Sektoren: αϊ + oi2 = 1 und ηι + η2 = 1. In dieser Situation gilt y*H = y*K, so daß das Verhältnis K/H im langfristigen Gleichgewicht konstant ist. Die Gleichung (5.49) kann allerdings auch in anderen Fällen erfüllt sein. In dem von Uzawa (1965) und Lucas (1988) betrachteten Fall mit η\ = 0 und ηι = 1 gilt (5.49) für alle Werte von a\ und αι. Wenn also die Bildung linear in Η ist, können alle Variablen auch bei abnehmenden Skalenerträgen im Gütersektor (αϊ + ci2 < 1) im langfristigen Gleichgewicht wachsen. Lucas hebt einen spillover-Nutzen des aggregierten Humankapitals hervor, der zu a\ + > 1 führt (vgl. Fußnote 24). Die Ergebnisse hier zeigen, daß diese Bedingung konsistent mit endogenem Wachstum, aber dafür nicht notwendig ist. Für die ebenfalls von Lucas getroffene Annahme η ι — 0 und η2 = 1 kann das Modell auch ohne spillovers des Humankapitals endogenes Wachstum generieren. Die Gleichung (5.48) impliziert für αϊ φ 1

Daher gilt y*K ~ y*H, wenn a\ + a 2 ^ 1. Folglich erreichen die Quotienten K/H, Y/H und C/H keine konstanten Werte, außer für a\+a2= 1, obwohl alle Größen für = 0 und »72 = 1 mit konstanten Raten wachsen können.

5.4 Zusammenfassende Bemerkungen

233

Ein weiteres Beispiel geht von der Annahme α;, ηι > 0 für i = 1,2 aus. Für αϊ + α 2 < 1 kann (5.49) erfüllt sein, wenn η\ + η% > 1 ist. Analog läßt sich Dfi + «2 > 1 mit η\ + η2 < l kombinieren. Mit anderen Worten ist es möglich, abnehmende Skalenerträge in einem Sektor durch entsprechende steigende Skalenerträge im jeweils anderen Sektor zu kompensieren. Aus αϊ + α 2 < 1 folgt γ*κ < γ*Η und umgekehrt. Schließlich ist (5.49) auch für αϊ = 1 und α 2 = 0 erfüllt. Diese Spezifikation entspricht dem in Kapitel 4 analysierten AÄ"-Modell, in dem das Humankapital keinen Zweck erfüllt, da es nicht als Input in der Güterproduktion verwendet wird und auch nicht in der Nutzenfunktion erscheint. Daher werden rational handelnde Wirtschaftssubjekte den Kapitalbestand Η nicht akkumulieren und die gesamte zur Verfügung stehende Menge von Κ wird in der Güterproduktion eingesetzt (ν = 1 in (5.44) und (5.45)). Will man endogenes Wachstum bei gleichen Wachstumsraten von Κ und Η im langfristigen Gleichgewicht erhalten, so kann (5.49) nur gelten, wenn beide Sektoren konstante Skalenerträge mit αϊ + α 2 = 1 und η\ + ?j2 = 1 aufweisen, das heißt, wenn sie der Spezifikation von (5.11) und (5.12) entsprechen. In diesem Kapitel ist hauptsächlich unterstellt worden, daß in beiden Sektoren konstante Skalenerträge vorliegen, weil die Alternative mit ständig steigendem oder fallendem Quotienten Κ / Η nicht plausibel erscheint.

5.4 Zusammenfassende Bemerkungen Das Α/ίΓ-Modell aus dem Kapitel 4 ist auf zwei Sektoren erweitert worden, von denen einer Konsumgüter C und physisches Kapital Κ produziert und der andere das Humankapital Η erzeugt. Wenn die Faktorintensitäten in beiden Sektoren gleich sind, ergeben sich die essentiell neuen Resultate hinsichtlich des Wachstums aus der Beschränkung, daß die Bruttoinvestitionen in beide Arten des Kapitals nichtnegativ sein müssen. Diese Beschränkungen erzeugen einen Ungleichgewichtseffekt, durch den die Wachstumsrate der Produktion mit dem Ausmaß der Abweichung zwischen dem Verhältnis Κ/ Η und dem langfristigen Gleichgewichtswert dieses Verhältnisses steigt. Die Annahme übereinstimmender Faktorintensitäten vernachlässigt einen wesentlichen Aspekt der Bildung, die ausgebildete Personen als wichtigen Produktionsfaktor benötigt. Daher ist die Struktur des Modells dahingehend abgeändert worden, daß die Produktion des Humankapitals das Humankapital relativ intensiv nutzt. Diese Änderung beeinflußt die Schlußfolgerungen in bezug auf den Ungleichgewichtseffekt. Die Wachstumsrate des Outputs (der durch die Berücksichtigung der Produktion neuen Humankapitals weit definiert ist) steigt tendenziell mit dem Ausmaß des Ungleichgewichts, wenn das Humankapital relativ reichlich vorhanden ist, sinkt aber tendenziell mit dem Ausmaß des Ungleichgewichts, wenn das Humankapital relativ knapp ist. Diese Ergebnisse implizieren, daß sich eine Völkswirtschaft schneller von den Auswirkungen eines Krieges erholt, der hauptsächlich

234

Kapitel 5. Zwei-Sektoren-Modelle des endogenen Wachstums

das physische Kapital zerstört, als von den Auswirkungen einer Epidemie, die in erster Linie das Humankapital vernichtet.

Anhang 5A: Die Übergangsdynamik im Ein-Sektor-Modell mit Ungleichungsbeschränkungen der Bruttoinvestitionen In der Ausgangslage wird K(0)/H(0) > α / ( 1 — a) unterstellt. Man erinnere sich daran, daß der Haushalt in diesem Fall Κ um einen diskreten Betrag senken und Η um einen diskreten Betrag erhöhen möchte, so daß die Ungleichungsbeschränkung I K > 0 bindet. Daher gelten = 0 und K / K = —δ. Das Problem des Haushalts besteht nun darin, den Nutzen unter der Nebenbedingung dieses Pfades für Κ und der Beschränkung Η = Y — C — &H zu maximieren. Die Hamilton-Funktion des Problems lautet · [AKaHl~a

J = u(C) e'"'

-SH-

C],

(5A.1)

mitM(C) = (C 1_ö —1)/(1—0). Die Optimumbedingungen erster Ordnung dJ/dC = 0 und ν = —dJ/dH führen wie üblich zu der Bedingung γα = [Α·(1-α)(Κ/Η)α-δ-ρ]/θ

(5A.2)

für die Wachstumsrate des Konsums, wobei A • (1 — a) (K/H)a — δ die Nettogrenzproduktivität von Η ist. Diese Bedingung und die Budgetbeschränkung Η = AKaHl~a

— SH — C

bestimmen zusammen mit K(t) = K{0) e~St die Pfade von C, Η und K. Wie im Kapitel 4 können die beiden im langfristigen Gleichgewicht konstanten Variablen ω = Κ/ Η und χ = C/K definiert werden. Unter Verwendung der Bedingungen für C und Η lassen sich die Übergangsgleichungen für ω und χ ableiten: Υω = -Aüf Yx

+ χω,

(5A.3)

= [A • (1 - α) ωα - ρ + δ • (θ - \)}/θ.

(5Α.4)

Die Abbildung 5.10 stellt das Phasendiagramm im (ω, *)-Raum dar. Die Bedingung ώ = 0 ergibt die fallende Kurve χ = Αω~ ( '" α ) . Ein Wert von χ über (unter) dieser Kurve entspricht ώ > 0 (ώ < 0). Diese Bewegungsrichtungen werden durch die Pfeile angezeigt. Die Bedingung χ = 0 verlangt ω =

'ρ + δ· (1 - θ ) Λ • (1 — α)

I/o

= ω.

(5Α.5)

Anhang 5A: Die Übergangsdynamik im Ein-Sektor-Modell

235

x = c/K x=o

\r

1

\

L-

X' ώ=ο

J ώ

ω*=α/(\-α)

ω = Κ/ Η

AbbUdung 5.10 Das Phasendiagramm des Ein-Sektor-Modells für ω > ω*. Die in der Abbildung dargestellte dynamische Entwicklung gilt für ω = Κ/Η > ω* = ar/(l - α). Wenn ω > ω* ist, bewegt sich die Volkswirtschaft entlang dem stabilen Arm des Sattelpunktes in Richtung auf das „hypothetische Ziel" ώ. Während des Übergangs steigt χ = C/K monoton, während ω monoton fallt. Die Volkswirtschaft erreicht ω* in endlicher Zeit (bevor sie ώ erreicht). An dieser Stelle wird die Nichtnegativitätsbeschränkung der Bruttoinvestition in Κ überflüssig. Die Variablen Κ und Η wachsen dann zusammen mit einer konstanten und positiven Rate.

Im folgenden wird angenommen, daß ρ + 5 · (1 — θ) > 0 ist, so daß ώ wohldefiniert und nichtnegativ erscheint, obwohl diese Bedingung nicht erforderlich ist. In Übereinstimmung mit den Pfeilen in der Abbildung entspricht ein Wert von ω, der größer (kleiner) als ώ ist, einem Wert von χ > 0 (χ < 0). (Wenn p +15 · (1 — ö) < 0 gilt, ist χ > 0 für alle χ > 0.) In der Abbildung ist ώ kleiner ω* = α/(1 — α), dem Quotienten aus Κ und Η, der langfristig ohne wirksame Ungleichungsbeschränkungen der Bruttoinvestitionen zutrifft. Nach der Formel für ώ entspricht diese Bedingung ρ + S < Aaa (1 — α ) 1 - α , was wegen der Annahme y* > 0 aus (5.8) folgt. Die in der Abbildung 5.10 dargestellte dynamische Entwicklung gilt für ω > ω*, also die Bedingung, für die Ικ > 0 eine bindende Beschränkung wird. Die Abbildung zeigt, daß χ in diesem Gebiet entlang dem stabilen Arm des Sattelpunktes monoton steigt, während ω monoton fällt. Die Variable ω bewegt sich entlang dieses Pfades in Richtung auf das Ziel ώ, erreicht aber ω* in endlicher Zeit, bevor sie ώ nahekommt. An dieser Stelle wirkt die Nichtnegativitätsbeschränkung der Bruttoinvestition in Κ nicht mehr, und ω verharrt bei ω*, statt sich weiter entlang dem stabilen Arm zu bewegen. Für K{0)/H(0) < a/(l — a) erhält man analoge Ergebnisse. Die Bedingung In > 0 ist hier effektiv, so daß sich H/H = —δ ergibt. Die Übergangsgleichungen

236

Kapitel 5. Zwei-Sektoren-Modelle des endogenen Wachstums

für ω und χ lauten γω = Αω-(1~α) - χ, =

(5Α.6) + Χ+

(5Α.7)

Die Abbildung 5.11 stellt das Phasendiagramm für α < θ dar. Die Bedingung co = 0 gehört zu χ = θ hat die Isokline χ = 0 allerdings eine positive Steigung). Die beiden Isoklinen schneiden sich bei dem Wert ώ, der (wegen γ* > 0) größer als ω* — aj(1 - a) ist. x = c/K

Abbildung 5.11 Das Phasendiagramm des Ein-Sektor-Modells für ω < ω*. Die in dieser Abbildung dargestellte dynamische Entwicklung gilt für ω = Κ/Η < ω* = α / ( 1 - α). Wenn ω < ω* ist, bewegt sich die Volkswirtschaft entlang dem stabilen Arm des Sattelpunktes in Richtung auf das „hypothetische Ziel" ω. Während des Übergangs fällt χ = C/ Κ monoton, und ω steigt monoton. Die Volkswirtschaft erreicht ω* in endlicher Zeit (bevor sie ω realisiert). An dieser Stelle wirkt die Nichtnegativitätsbeschränkung der Bruttoinvestition in Η nicht mehr. Die Variablen Κ und Η wachsen dann zusammen mit einer konstanten, positiven Rate.

Die in der Abbildung 5.11 veranschaulichte dynamische Entwicklung gilt für ω < ω*. Die Abbildung zeigt, daß χ in diesem Gebiet entlang dem stabilen Arm des Sattelpunktes monoton fällt, während ω monoton steigt. (Für α > θ steigt χ monoton und für α = θ bleibt χ konstant.) Die Variable ω bewegt sich entlang diesem Pfad in Richtung auf das Ziel ώ, erreicht aber ω* in endlicher Zeit, bevor

Anhang 5B: Lösung des Uzawa-Lucas-Modells

237

sie ω nahekommt. Ab dieser Stelle bindet die Nichtnegativitätsbeschränkung der Bruttoinvestition nicht mehr, und ω bleibt bei ω*, statt sich weiter entlang dem stabilen Arm zu bewegen.

Anhang 5B: Lösung des Uzawa-Lucas-Modells Die Hamilton-Funktion für dieses Modell lautet 7 = 11(C) e'pt + v · [AKa (uH)l~a

- C - SK] + μ • [Β · (1 - u) Η -

δΗ]. (SB Λ)

Der Term in der ersten eckigen Klammer entspricht K, der Term in der zweiten eckigen Klammer ist gleich H. Definiert man ω = Κ/ Η und χ = C/K, dann sind die Wachstumsraten von Κ und Η durch yK = Aui-aarl*-a)-x-S,

(5B.2)

Yh = B - ( \ - U ) - &

(5B.3)

gegeben. Die Wachstumsrate von ω lautet demnach Y z* für alle t, und wenn z(0) < z*, ist ζ > 0 und ζ < z* für alle t. Als nächster Schritt werden die Eigenschaften des stabilen Arms des Sattelpunktes für χ und u, entlang dem χ gegen χ* und u gegen u* konvergieren, analysiert. Sei z(0) > z*, so daß ζ — ζ* in der Zeit monoton fällt. Die Gleichung (5B.14) kann 'dann als Χχ=(*-Χ*) + ^ · Ω ( ί )

(5B.18)

geschrieben werden, wobei Ω(ί) = ζ — ζ* eine in der Zeit monoton fallende Funktion angibt. Für α < θ ist der zweite Term auf der rechten Seite von (5B.18) negativ, fällt aber in der Zeit betragsmäßig. Wenn χ < χ* für ein endliches t gilt, dann impliziert die Gleichung χ < 0 für alle folgenden t. Da der Wert von χ asymptotisch größer als eine endliche untere Schranke ist, wird χ in diesem Fall von χ* weg streben und den Wert null in endlicher Zeit erreichen. Für alle t muß daher entlang dem stabilen Arm χ > χ* sein. Wenn χ > 0 für ein endliches t gilt, resultiert aus (5B.18) χ > 0 für alle folgenden t (weil der negative Term auf der rechten Seite betragsmäßig in der Zeit kleiner wird). Also divergiert χ gegen oo. Entlang dem stabilen Arm muß demnach χ < 0 für alle t vorliegen. Die Folgerungen für α > θ oder z(0) < z* sind analog. Die Spalten für χ — χ* und χ in der Tabelle 5.1 fassen die Ergebnisse zusammen. Tabelle 5.1 Übergangsverhalten von χ und u z(0) - z* > 0 > 0 = 0 0 > 0 0 < 0 = 0 < 0 = 0

ύ < 0

> = > =

0 0 0 0

240

Kapitel 5. Zwei-Sektoren-Modelle des endogenen Wachstums

Das Verhalten von u wird bei gegebener Entwicklung von χ durch (5B.15) bestimmt. Sei zum Beispiel z(0) > z* und α < θ, so daß χ > χ* und χ < 0 sind. Wenn u < u* für ein endliches t gegeben ist, dann impliziert die Gleichung (5B.15) li < 0 für alle folgenden t. Daher strebt u von u* weg und erreicht den Wert null. Folglich muß u > u* für alle t entlang dem stabilen Arm sein. Gilt ύ > 0 für ein t, dann ist ü > 0 für alle folgenden t, weil der Term —(χ — χ*) in (5B.15) negativ ist und in der Zeit betragsmäßig kleiner wird. Damit ergibt sich ύ < 0 für alle t. Das Verhalten von u — u* und ύ wird in der Tabelle 5.1 für verschiedene Vorzeichenkombinationen von z(0) — z* und a — θ festgehalten. Nun soll die Beziehung des Startwertes z(0) — z* zum Startwert der Zustandsvariablen ω dargestellt werden. Benutzt man (5B.14), um in der Formel (5B.13) für γω den Term χ — χ* zu ersetzen, so resultiert ya

=

c e - ( z - ζ*)/θ

— γ

χ

+

Β • (u — u*).

(5B.19)

Sei α < θ und z(0) > z*. In diesem Fall implizieren die Bedingungen ζ — ζ* > 0, χ < 0 und u — u* > 0 nach (5B.19), daß γω > 0 ist. Das System kann sich daher nur für ω(0) < ω* auf dem stabilen Arm befinden. Wegen γω > 0 steigt ω darüber hinaus von ω(0) aus monoton in Richtung ω*. Die monotone Abnahme von ζ entspricht daher einem monotonen Anstieg von ω. Dieses Ergebnis impliziert, daß ein niedrigerer Startwert ω* und die Gleichung z(0) = z* dem Fall ω(0) = ω* entspricht. Für den Fall α > θ wird u — u* in (5B.13) mittels (5B.15) ersetzt: Κα. = (z - z*) + Yu.

(5B.20)

Diese Gleichung kann für α > θ verwendet werden, um zu zeigen, daß der Fall z(0) > z* (z(0) < z*) zum Fall ω(0) < ω* (ω(0) > ω*) gehört. Für alle Konfigurationen von α und θ korrespondiert z(0) ^ z* folglich mit ω(0) ^ ω*. Darüber hinaus ist z(0) um so größer, je kleiner ω(0) ist. Ob der Startwert von ζ groß oder klein ist, hängt daher lediglich davon ab, ob das physische Kapital im Verhältnis zum Humankapital knapp oder reichlich vorhanden ist. Aufgrund dieser Folgerung in Verbindung mit den Resultaten in der Tabelle 5.1 können die Politikfunktionen für χ und u in Abhängigkeit von ω dargestellt werden. Die Ergebnisse finden sich in der Abbildung 5.5. Der interne Zinssatz r stimmt mit der Nettogrenzproduktivität des physischen Kapitals in der Güterproduktion überein, die gleich α ζ - & ist. Somit bewegt sich r wie ζ invers zu ω. Die Wachstumsrate von C ist nach der Gleichung (5B.9) durch YC = (az - 8 - ρ)/θ

(5B.21)

gegeben. Da die Wachstumsrate yc in positiver Beziehung zu ζ steht, verhält sie sich invers zu ω.

Anhang 5B: Lösung des Uzawa-Lucas-Modells

241

Die Wachstumsrate von Κ wird durch YK

= Vc ~ Yx = (az - δ - ρ)/θ - γχ

bestimmt, wobei γα durch (5B.21) substituiert worden ist. Ersetzt man y x gemäß (5B.18) und verwendet die Formeln z* = B/a und γ* — (Β — δ — ρ)/θ, ergibt sich unter Berücksichtigung von ΥΚ = Υ* + ( Ζ - Ζ * ) - ( Χ - Χ * )

(5B.22)

die Formel (5.40). Die Wachstumsrate von Η lautet YH

=

YK

— Κω-

Substituiert man γκ gemäß (5B.22) und γω gemäß (5B.20), dann folgt nach entsprechender Vereinfachung mit (5B.15) YH = Y*~ B- ( « - « * ) ,

(5B.23)

die Formel (5.39) im Text. Wegen Υ = AKa • (uH) x ~ a ist die Wachstumsrate des Outputs durch YY =

oc γκ + (1 - a) • (γ„ + γΗ)

gegeben. Substituiert man γκ gemäß (5B.22), yu nach (5B.15) und γπ gemäß (5B.23), erhält man die Gleichung (5.41): yy = γ* + α · (ζ - ζ*) - (χ - χ*).

(5Β.24)

Der Output im weitgefaßten Sinne ist Q = Υ + (μ/ν)

B(\-u)H=

AKa (uH)l~a + (μ/ν) • Β • (1 - u) Η,

wobei μ/ν, der Schattenpreis des Humankapitals in Gütereinheiten, aus der Gleichung (5B.6) resultiert. Ersetzt man μ/ν, so ergibt sich Q = Υ • (1 - a + au)/u. Daher beträgt die Wachstumsrate des Outputs im weiten Sinne γΰ = γγ-γα·(1-α)/(1-α

+ αΗ),

(5B.25)

wie sie in (5.42) angegeben wird. Alternative Analysen des Uzawa-Lucas-Modells finden sich in Faig (1991) sowie in Caballe und Santos (1993).

242

Kapitel 5. Zwei-Sektoren-Modelle des endogenen Wachstums

Anhang 5C: Das Modell mit umgekehrten Faktorintensitäten Die Produktionsstruktur der Gleichungen (5.11) und (5.12) wird jetzt unter der Bedingung α < η betrachtet. Sei ρ = μ/ν der Wert von Η in Gütereinheiten. Im Text ist bereits angemerkt worden, daß (5.18) eine instabile Differentialgleichung in ρ ist und daß angenommen wird, daß ρ immer seinem langfristigen Gleichgewichtswert entspricht, der durch (α-η)/(1-α+η) (5C.1)

· (γ^)

p — p* — gegeben ist, wobei Ψ

Die Gleichung (5.16) impliziert folglich, daß vK/uH ebenfalls immer gleich seinem langfristigen Gleichgewichtswert ist: vK ÜH

jl/d-or+r?) \uHj

Ψ

1

(5C.2)

1— α

Der Zinssatz und die Wachstumsrate des Konsums sind unter diesen Umständen konstant:

[®Ί

α-1

r = r* = a A •

Vc = y* = (r* -

(5C.3)

— 0 und I H > 0 effektiv sind! Wie beeinflussen diese Restriktionen die dynamische Entwicklung der Volksw i r t s c h a f t f ü r K(0)/H(0)




(K/H)"}

(c) Nehmen Sie jetzt bK < bH an! Wiederholen Sie den Teil (b) und kommentieren Sie die wesentlichen Unterschiede der Ergebnisse! 5.3 Externe Effekte des Humankapitals (nach Lucas (1988)). Die Produktionsfunktion für den i-ten Produzenten der Güter lautet YJ = A KF HF

HE,

mit 0 < α < 1 , 0 < λ < 1 und 0 < e < 1. Die Variablen Κ und //, bezeichnen die Mengen des physischen Kapitals und des Humankapitals, die das Unternehmen i zur Produktion der Güter YT verwendet. Der durchschnittliche Bestand an Humankapital in der Volkswirtschaft ist H\ der Parameter E zeigt die Größe des externen Effekts der durchschnittlichen Menge an Humankapital auf die Produktivität jeder einzelnen Unternehmung an. Der Output des Gütersektors kann für den Konsum C oder für die Bruttoinvestition in das physische Kapital Ικ verwendet werden. Der Abschreibungssatz für das physische Kapital ist gleich 8. Die Produktionsfunktion für das Humankapital lautet

(/„),· = BHJ,

246

Kapitel 5. Zwei-Sektoren-Modelle des endogenen Wachstums

wobei Hj die vom j-ten Produzenten des Humankapitals eingesetzte Menge des Humankapitals ist, das ebenfalls mit dem Satz

7=1

wobei w den Lohnsatz und Pj den Preis des Zwischenprodukts j bezeichnet. Die Produzenten des Endproduktes agieren unter den Bedingungen der vollständigen Konkurrenz und betrachten w und Pj daher als gegeben. Folglich erhält man die üblichen Gleichungen zwischen Faktorpreisen und Grenzproduktivitäten, und der resultierende Gewinn ist gleich null. Die Grenzproduktivität des ;'-ten Zwischenprodukts ist gemäß (6.1) gleich dYi/dXij

= Aa L)~a

.

(6.3)

Setzt man diese Grenzproduktivität mit Pj gleich, so folgt Xij = L , ' ( A a / P j ) W ^ K

(6.4)

Die Gleichheit von w und der Grenzproduktivität der Arbeit impliziert w = (1 -a)Yi/Li.

6.1.2

(6.5)

Zunehmende Produktvielfalt

Zu jedem Zeitpunkt können Ν Varianten der Zwischenprodukte mit der gegebenen Technik produziert werden. Die Erhöhung der Anzahl Ν erfordert einen technischen Fortschritt im Sinne einer Erfindung oder einer Anpassung, die die Produktion der neuen Variante des Zwischenproduktes erlaubt. Im folgenden wird angenommen,

6.1 Modelle mit einer Vielfalt an Zwischenprodukten

251

daß dieser Fortschritt eine gezielte Anstrengung in der Form der Forschung und der Entwicklung erfordert. Eine realistische Beschreibung dieses Forschungsprozesses berücksichtigt die Unsicherheit hinsichtlich der zur Entstehung einer Erfindung erforderlichen Menge an Produktionsfaktoren und des Erfolgs der Erfindung. Hier wird die Analyse durch die Vernachlässigung der Unsicherheit vereinfacht. (Im Kapitel 7 wird ein Modell betrachtet, in dem der Forschungsprozeß der Unsicherheit unterliegt.) Der deterministische Rahmen für die Erfindung neuer Produkte generiert letzten Endes einen glatten Pfad des aggregierten Wirtschaftswachstums. Durch die Zufälligkeit der Entdeckung neuer Produkte wird diese Glätte auf aggregiertem Niveau beseitigt, so daß sich Abweichungen der Wachstumsrate um den langfristigen Pfad herum ergeben. Diese Abweichungen ähneln den Schwankungen, die sich in den Modellen der realen Konjunkturzyklen ergeben. (Vgl. zum Beispiel Kydland und Prescott (1982) und McCallum (1989).) Da das Hauptinteresse hier den Determinanten des langfristigen Wachstums gilt, wird ein deterministischer Forschungsund Entwicklungsprozeß unterstellt, in dem keine zyklischen Elemente auftreten. Die Kosten der Schaffung einer neuen Zwischenproduktvariante werden als konstant gleich η Einheiten des Endprodukts Y unterstellt.3 Die Kosten sind also von der Anzahl Ν der bereits erfundenen Produkte unabhängig. Da eine Tendenz dazu besteht, daß neue Ideen ausgehen, liegt es nahe, daß die Kosten mit steigender Anzahl Ν zunehmen. Wenn aber die bereits entdeckten Produktkonzepte die Entwicklung neuer Ideen vereinfachen, können die Kosten mit Ν fallen.4 Hier wird angenommen, daß sich die beiden Effekte in etwa aufheben, so daß die Kosten der Erfindung neuer Produkte in der Zeit unverändert bleiben. Diese Voraussetzung stellt sich als mit einer konstanten Wachstumsrate der aggregierten Produktionsmenge verträglich heraus. Zur Motivation der Forschung müssen erfolgreiche Erfinder auf irgendeine Art und Weise honoriert werden. Das grundlegende Problem besteht darin, daß die Schaffung einer neuen Idee oder eines neuen Gebrauchsmusters, zum Beispiel für das Zwischenprodukt j, Kosten verursacht, im Gebrauch aber nichtrivalisierend ist, so daß es von allen potentiellen Produzenten des Zwischenproduktes j eingesetzt werden kann. Die Nutzung des Gebrauchsmusters durch einen Produzenten beeinflußt also nicht den Output, den andere das Gebrauchsmuster verwendende Produzenten bei gegebenen Inputmengen erstellen können. Zwar ist die kostenfreie Bereitstellung der gegebenen Erfindungen für alle Produzenten ex post effizient, doch versagt diese Vorgehensweise bei der Schaffung von ex ante Anreizen zu weiteren Erfindungen. Wie in der üblichen Analyse der Patente entsteht auch hier ein tradeoff 3 Mit anderen Worten werden hier die Annahmen des Ein-Sektor-Produktionsmodells auf die Nutzung des Outputs für die Forschung und die Entwicklung angewendet. Rivera-Batiz und Romer (1991) machen von dieser Spezifikation in einem ihrer Modelle Gebrauch. 4 Die Annahme abnehmender Kosten der Erfindung eines neuen Produkts ist äquivalent zu der Annahme, daß die Kosten zwar konstant sind, eine Einheit eines neuen Zwischenproduktes aber produktiver als eine Einheit der älteren Zwischenprodukte ist. Im Kapitel 7 wird ein Modell betrachtet, in dem die neuen Güter produktiver als die alten Produkte sind.

252

Kapitel 6. Modelle mit zunehmender Produktvielfalt

zwischen den Beschränkungen der Nutzung bestehender Ideen und der Entlohnung der erfinderischen Aktivität. Nachstehend wird angenommen, daß der Erfinder des Gutes j ein fortwährendes Monopolrecht auf die Produktion und den Verkauf des Gutes Xj behält, für das sein Gebrauchsmuster benutzt wird.5 Der Strom der Monopolrenten sorgt dann für die Anreize, Erfindungen zu machen. Die Monopolrechte können durch expliziten Patentschutz oder durch Geheimhaltung durchgesetzt werden. In beiden Fällen ist die Annahme realistisch, daß die monopolistische Position des Erfinders nur für einen endlichen Zeitraum besteht oder in der Zeit graduell abnimmt. Diese Erweiterung wird später in diesem Kapitel berücksichtigt. Die Produktion einer Einheit eines Zwischenproduktes der bereits erfundenen Variante j kostet annahmegemäß eine Einheit von 7. 6 Der Barwert der Erträge aus der Erfindung des y'-ten Zwischenproduktes ist dann oo

/

(Pi-l)Xie-i("''H(-,)di;,

(6.6)

wobei Xj die zu jedem Zeitpunkt produzierte Gesamtmenge bezeichnet und r(v, t) = [1 / ( υ — ί)] · f f r(ω) άω der durchschnittliche Zinssatz für den Zeitraum t bis ν ist. Wenn der Zinssatz konstant gleich r ist - was sich im Gleichgewicht als zutreffend erweist - vereinfacht sich der Barwertfaktor zu e _ r ( υ _ , ) . Die Gleichung zeigt, daß die Fixkosten η für die Erfindung eines neuen Gutes nur dann gedeckt werden können, wenn der Verkaufspreis Pj die Grenzkosten der Produktion in Höhe von eins zumindest für einen Teil des Zeitraums nach dem Zeitpunkt t übersteigt. Der Monopolist setzt den Preis Pj in jedem Zeitpunkt so, daß (Pj — 1) Xj maximiert wird, wobei x

X

'J = (Aoc/Pj)lHl-a)

j = Σ i

L

·^

i =

L

•

(Aa/Pj)^-a)

i

die über die Produzenten i gemäß (6.4) aggregierte Nachfragemenge ist. (Da auf der Produktionsseite keine Zustandsvariablen auftauchen und die Nachfragefunktion keine intertemporalen Elemente enthält, muß der Produzent von Xj lediglich Pj wählen, um den Strom der Monopolgewinne zu jedem Zeitpunkt zu maximieren.) Der zu maximierende Ausdruck lautet damit ( P j - \)L-

(Aa/Pj)l/il~a\

woraus man Pj = Ρ = ] / α > 1

(6.7)

5 Der Einfachheit halber wird angenommen, daß der Erfinder des j-ten Gebrauchsmusters auch der Produzent des j-ten Zwischenproduktes ist. Unter der alternativen Annahme, daß der Erfinder eine Patentgebühr für die Nutzung des Gebrauchsmusters von den Unternehmen erhebt, die unter den Bedingungen der vollständigen Konkurrenz handeln, erhält man die gleichen Ergebnisse. 6 Mit anderen Worten werden hier die Annahmen des Ein-Sektor-Produktionsmodells auf die Nutzung des Outputs als Zwischenprodukte angewendet.

6.1 Modelle mit einer Vielfalt an Zwischenprodukten

253

für den Monopolpreis erhält. Der Preis P j ist also in der Zeit konstant und für alle Zwischenprodukte j gleich hoch. Der Monopolpreis ergibt sich gemäß einer Zuschlagskalkulation durch Multiplikation der konstanten Grenzkosten der Produktion in der Höhe von eins mit dem Faktor 1 ja.

Da die Produktionskosten für alle Zwischenprodukte j gleich hoch

sind und jedes dieser Zwischenprodukte symmetrisch in die Produktionsfunktion (6.1) eingeht, ist der Preis für alle Zwischenprodukte gleich hoch. Setzt man Pj nach (6.7) in (6.4) ein, so läßt sich die aggregierte Produktionsmenge jedes Zwischenproduktes bestimmen: Xj = X = LAl'(X-a)a2'a-a).

(6.8)

Die Menge Xj ist für alle Zwischenprodukte gleich groß und in der Zeit konstant (wenn L konstant ist). Ersetzt man Pj und Xj in (6.6) durch (6.7) und (6.8) und zieht die Konstanten vor das Integral, so ergibt sich für den Netto-Barwert des Erfinders zum Zeitpunkt t V{t) = L A ' / ( 1 - a ) · —

α

· a2/(,-o) · Γ Λ

e ^ ' H " - ' ) d v.

(6.9)

Weiter wird angenommen, daß jedermann ohne Beschränkungen Erfinder derart werden kann, daß er die Kosten η der Forschung und Entwicklung aufbringt, um sich den Netto-Barwert V(t) gemäß (6.9) zu sichern. Wenn V(t) > η ist, dann wird eine unendliche Menge an Ressourcen in den Forschungs- und Entwicklungssektor zum Zeitpunkt t gelenkt; im Gleichgewicht ist daher V(t) > η nicht möglich. Für V(t) < η werden zum Zeitpunkt t keine Ressourcen in der Forschung und Entwicklung eingesetzt, so daß sich die Anzahl Ν der Zwischenprodukte in der Zeit nicht ändert.7 Der Schwerpunkt der folgenden Betrachtung liegt auf den Gleichgewichten mit positiven Forschungs- und Entwicklungsausgaben und damit wachsendem Ν in jedem Zeitpunkt. In diesen Fällen gilt V(t) = η in (6.9) für alle f, das heißt =

L A i/.

i z ü . «2/(1-«). f e ^ W H )

«

dl>>

Jt

Bis auf das Integral sind alle Terme in dieser Gleichung annahmegemäß konstant. Daher kann die Gleichung nur dann für alle t erfüllt sein, wenn auch das Integral konstant ist, was bedeutet, daß der Zinssatz r(t) unverändert gleich r sein muß.8 Das Integral vereinfacht sich so zu 1/r. Die Bedingung V(t) = η erfordert also r = (L/η) Α 1 / ( 1 - α ) · —

· a 2 >U~ a \

(6.10)

OL 7 Die Anzahl der Innovationen Ν ist irreversibel, das heißt, es ist nicht möglich, einige der bestehenden Gebrauchsmuster zu vergessen und dafür eine Rückzahlung auf die Forschungs- und Entwicklungskosten für die Entdeckung dieser Gebrauchsmuster zu erhalten. Wenn Ν in diesem Sinne reversibel wäre, müßte V( t) = η in jedem Zeitpunkt gelten. 8 Dieses Ergebnis kann durch Differentiation des Integrals I = e _ r ( " ' ' ) ' ( " _ , ) du nach t nachgewiesen werden. Es lautet 0 = d I/dt = — 1 + r{t) • l. Damit folgt r ( f ) = r und I = 1/r.

254

Kapitel 6. Modelle mit zunehmender Produktvielfalt

Die zugrundeliegende Technik und die Marktform legen den internen Zinssatz auf den in (6.10) bestimmten Wert fest (unter der Annahme, daß die zugrundeliegende Wachstumsrate von Ν positiv ist). Diese Situation entspricht daher derjenigen des A/if-Modells im Kapitel 4, wo die Technik und die Investitionsanreize den internen Zinssatz beim Wert Α — 0, zu einem Wettbewerbsgut. Wenn ein Gut zur Zeit t erfunden wird und anfänglich eine Monopolstellung besteht, ist also die Wahrscheinlichkeit, daß für das Gut im Zeitpunkt ν > t weiterhin eine Monopolstellung vorliegt, gleich q-p Xm.

(6.25)

Das Niveau des aggregierten Outputs kann mittels (6.1), (6.21) und (6.25) als Y = A ' / ( 1 - a ) α 2 «/' 1 -«) LN [1 + (Nc/N) • ( α - β / ( 1 - β ) - 1)] 16 17

(6.26)

Die Gleichung (6.23) gilt nur, wenn yc > 0 nach (6.24) erfüllt ist. Ansonsten ist yc = 0 und r = p. Wenn nach (6.24) yc < 0 ist, ergibt sich eine Randlösung mit yc = YN = YY = 0.

262

Kapitel 6. Modelle mit zunehmender Produktvielfalt

berechnet werden. Für gegebenes Ν übersteigt Y die Menge nach (6.13), wenn Nc > 0 ist (wegen 0 < a < 1). Darüber hinaus steigt Κ mit Nc/N für gegebenes N; dieser Effekt repräsentiert den statischen Gewinn aus dem Übergang vom Monopol zur Konkurrenz bei der Bereitstellung existierender Zwischenprodukte. Da jedes monopolisierte Gut mit der Wahrscheinlichkeit ρ pro Zeiteinheit ein Wettbewerbsgut wird, kann die Änderung von Nc in der Zeit (für große Werte von Ν - Nc) durch Nc)

p.(N-

(6.27)

approximiert werden. Das Modell wird schließlich durch die Budgetbeschränkung der Volkswirtschaft geschlossen, um das Niveau von C zu bestimmen. C = Υ — ηΝ — NCXC — (N — Nc) Xm;

(6.28)

der Konsum gleicht also dem Output Y abzüglich den Ausgaben für die Forschung und Entwicklung ηΝ, der Produktion kompetitiver Zwischenprodukte NCXC und der Produktion monopolisierter Zwischenprodukte (N — Nc) Xm. Das Modell enthält die beiden Zustandsvariablen Ν und Nc und weist eine Übergangsdynamik auf, bei der das Verhältnis Nc / Ν gegen seinen langfristigen Gleichgewichtswert ( N c / N ) * konvergiert. In dieser Hinsicht gleicht das Modell dem im Kapitel 5 diskutierten Zwei-Sektoren-Ansatz, in dem sich das Verhältnis der beiden Arten der Kapitalgüter K/H allmählich an (K/H)* anpaßt. Da die Analyse des Übergangs im vorliegenden Zusammenhang beschwerlich ist, wird die Aufmerksamkeit auf die Charakteristika des langfristigen Gleichgewichts beschränkt. Im langfristigen Gleichgewicht wachsen N, Nc, Y und C mit der Rate yc nach der Gleichung (6.24), das heißt, y* = yc ist die gleichgewichtige Wachstumsrate dieser Größen. Folglich impliziert die Gleichung (6.27) (.N c /N)* =

(6.29)

y* + ρ

Der Anteil der wettbewerblich produzierten Zwischenprodukte steigt also mit der Rate p, mit der die Zwischenprodukte kompetitiv werden, und fällt mit der Rate γ*, mit der neue (monopolisierte) Zwischenprodukte erfunden werden. Ersetzt man Nc/N in (6.26) durch die Gleichung (6.29), so ergibt sich der Output im langfristigen Gleichgewicht: Y* = ^ι/(ΐ-«) α 2α/(·-«)

ι + —

p

—

·

- 1)

(6.30)

(Man beachte, daß Y* mit derselben Rate wie Ν wächst.) Für ρ = 0 ergibt sich ( N c / N ) = 0 (vgl. (6.29)), so daß der Ausdruck für Y* demjenigen in der Gleichung (6.13) für das Modell des vollkommenen Monopols entspricht. Für ρ -> oo die Zwischenprodukte werden sofort kompetitiv produziert, so daß ( N c / N ) * = 1 ist - nähert sich die Formel für Y* dem entsprechenden Wert der Planungsbehörde

6.1 Modelle mit einer Vielfalt an Zwischenprodukten

263

gemäß (6.19) an. Das Problem besteht allerdings darin, daß ρ oo auch y* = 0 impliziert.18 Mit anderen Worten: wenn ρ immer unendlich gewesen wäre, wäre nie etwas erfunden worden, und Ν in (6.29) würde dem Startwert N(0) entsprechen, der jeder zweckdienlichen Forschungs- und Entwicklungsaktivität zeitlich vorangeht. Im Modell des vollkommenen Monopols ist gezeigt worden, daß das gesellschaftliche Optimum erreicht werden kann, wenn der Staat eine Pauschalsteuer erhebt, um eine Subvention mit der Rate 1 — α auf den Kauf der Zwischenprodukte zu finanzieren. Im vorliegenden Zusammenhang muß diese Subvention auf den Kauf monopolisierter Zwischenprodukte beschränkt werden. Die Auswahl der zu subventionierenden Güter ist im Modell zulässig - weil die Güter nach vollständig monopolisierten und vollständig kompetitiven Produkten unterschieden werden - , stellt aber in der Praxis ein Problem dar. In jedem Fall erreicht eine Subventionierung der monopolisierten Zwischenprodukte mit der Rate 1 — α nicht das gesellschaftliche Optimum, weil die Größe ρ weiterhin einen Abstand zwischen dem gesellschaftlichen internen Zinssatz (Gleichung (6.20)) und dem privaten Zinssatz (Gleichung (6.23) mit α 1 / ( 1 _ α ) statt α 2/α-οθ) beläßt. Um das gesellschaftliche Optimum zu erreichen, müßte die Regierung ebenfalls die Forschung subventionieren, um den privaten internen Zinssatz auf die Forschung und Entwicklung um den Betrag ρ anzuheben. Mit anderen Worten sind jetzt zwei Politikinstrumente erforderlich - eines zur Förderung der Produktion von monopolisierten Zwischenprodukten und eines zur Anregung der Forschung und Entwicklung. Der Staat kann den Parameter ρ auch direkt beeinflussen, indem er versucht, die Monopolmacht einzuschränken, etwa durch die Beschränkung der Konzernmacht oder durch eine Begrenzung des Patentschutzes. Eine Erhöhung von ρ beinhaltet den in den Modellen der optimalen Patentpolitik üblichen tradeoff zwischen dem statischen Gewinn durch mehr Wettbewerb und dem dynamischen Verlust durch eine zu geringe Wachstumsrate der neuen Produkte (vgl. zum Beispiel Reinganum (1989)). 19 Da diese Analyse Probleme der Zeitkonsistenz mit sich bringt, ist sie schwierig: Der Staat will alle bestehende Monopolmacht beseitigen - also alle Ν existierenden Produkte zum Konkurrenzpreis verfügbar machen - , aber gleichzeitig den Schutz der Eigentumsrechte für zukünftige Erfindungen versprechen. Derartige Versprechungen sind wahrscheinlich unglaubhaft. Eine mögliche Vorgehensweise besteht darin anzunehmen, daß die Regierung sich selbst dazu verpflichtet, die Wahrscheinlichkeit ρ für existierende Produkte nicht zu ändern, aber daß sie diese Wahrscheinlichkeit für noch zu erfindende Produkte wählen kann. Diese Analyse ist bisher noch nicht vollständig ausgearbeitet worden.

18 Ein

großer Wert ρ impliziert r < 0 in (6.23) und yc < 0 in (6.24). Das Gleichgewicht ist dann die

Randlösung, in der die Erfinder den Betrag null für die Forschung und Entwicklung anlegen (weil sie keinen negativen Betrag ausgeben können), so daß Ν konstant und y* = 0 ist. 19 Im

vorliegenden Fall bewirkt eine reduzierte Rate an Erfindungen einen gesellschaftlichen Verlust.

In anderen Zusammenhängen, w i e dem im Kapitel 7 betrachteten Modell, kann eine geringere Rate an Erfindungen wünschenswert sein.

264 6.1.7

Kapitel 6. Modelle mit zunehmender Produktvielfalt Romers Modell des technischen Wandels

Das Modell mit permanent monopolisierten Zwischenprodukten (ρ = 0) ähnelt zwar dem von Romer (1990), unterscheidet sich jedoch in der Spezifikation der Kosten für die Forschung und Entwicklung. 20 Hier ist ein Ein-Sektor-Produktionsmodell unterstellt worden, in dem die Forschung und Entwicklung eine der Verwendungen des Stroms des laufenden Outputs Y ist. Die Kosten der Forschung und Entwicklung entsprechen daher einem konstanten Betrag η in Einheiten von Y. Dem liegt die Annahme zugrunde, daß die Technik der Forschung zur Erschaffung neuer Produkte oder Ideen dieselben Faktorintensitäten wie die Techniken zur Erstellung von Konsumgütern und Zwischenprodukten aufweist. Rivera-Batiz und Romer (1991) beschreiben diese Spezifikation als das Modell der Laborausstattung für die Forschung und Entwicklung (lab-equipment model of R&D). Dagegen nimmt Romer (1990) an, daß die Erfindung eines neuen Produktes eine bestimmte Menge an Humankapital statt des Outputs Y erfordert, wobei die aggregierte Angebotsmenge des Humankapitals gegeben ist. Man erhält dieselben Ergebnisse, wenn man unterstellt, daß eine Erfindung eine bestimmte Menge der einfachen Arbeit L benötigt, deren aggregierte Angebotsmenge im vorliegenden Modell gegeben ist. Die Romers Ansatz zugrundeliegende Idee ist, daß der Forschungssektor das Humankapital relativ intensiv nutzt. Allerdings erscheint es naheliegend, daß die Zwischenprodukte Xj ebenfalls zur Forschung beitragen. Diese Zwischenprodukte umfassen zumal Computer und andere Anlagen der „Laborausstattung", die die Arbeit der Forscher produktiver machen. Die extreme Annahme, daß nur ein fixer Faktor wie L in der Forschung und Entwicklung verwendet wird, muß daher als eine vereinfachende Annäherung an den Gedanken angesehen werden, daß der Prozeß der Forschung und Entwicklung das Humankapital im Vergleich zur Produktion von Konsumgütern und Zwischenprodukten relativ intensiv nutzt. Wenn die Forschung und Entwicklung eine gegebene Menge von L erfordert, dann hängen die Kosten der Forschung und Entwicklung in Gütereinheiten vom Lohnsatz w ab. Dieser Lohnsatz ist nach (6.5) und (6.13) durch w = Α,/(1-α)(1 - α ) α 2 α / ( , - α ) Ν

(6.31)

gegeben. Daher führt das Wachstum von Ν mit der Rate γ zu einem Wachstum von w mit der Rate γ. Wenn für die Erfindung eines neuen Produktes eine gegebene Menge von L benötigt wird, dann impliziert das Wachstum von w mit der Rate γ, daß die Kosten η der Forschung und Entwicklung in Gütereinheiten mit der Rate γ wachsen. Diese Zunahme von η bedeutet, daß sich neue Erfindungen irgendwann nicht mehr lohnen, so daß Ν einen konstanten Wert und die Wachstumsrate γ den Wert null erreichen. Wenn man das vorliegende Modell also so modifiziert, daß die Kosten der 2 0 Romer (1990) behandelt die Zwischenprodukte nicht als Verbrauchsgüter, sondern als unendlich haltbare Gebrauchsgüter. Diese Unterscheidung beeinflußt die wesentlichen Ergebnisse nicht.

6.1 Modelle mit einer Vielfalt an Zwischenprodukten

265

Forschung und Entwicklung in Einheiten von L festgelegt werden, dann generiert es kein endogenes Wachstum mehr. Romers Modell (1990) erzeugt endogenes Wachstum aufgrund einer anderen Differenzierung in der Spezifikation als im hier vertretenen Ansatz. Er nimmt an, daß die Kosten der Erfindung eines neuen Produktes mit der gesellschaftlichen Akkumulation der Ideen, gemessen durch die Anzahl Ν der Produkte, abnehmen. Seine Annahme lautet explizit, daß die Kosten der Forschung und Entwicklung proportional zuw/N sind. Da w gemäß (6.31) proportional zu Ν ist, folgt daraus schließlich, daß die Kosten der Erfindung eines neuen Produktes in Gütereinheiten in der Zeit konstant bleiben. Daher ist dieser Ansatz mit einer konstanten Wachstumsrate γ von Ν und Υ vereinbar. Obwohl die Wachstumsrate im Gleichgewicht konstant ist, bringt die Bestimmung der Wachstumsrate in einer dezentralen Volkswirtschaft eine neue Art von Externalität mit sich: Die Entscheidung eines Individuums, Forschung und Entwicklung zu betreiben und damit Ν zu erhöhen, vermindert die für nachfolgende Erfindungen notwendige Menge an Arbeit. Die gegenwärtige Forschung beinhaltet damit einen positiven spillover auf die Produktivität der zukünftigen Forschung. Das Versagen der dezentralen Volkswirtschaft, die Forscher für diese positiven spiliover-Nutzen zu kompensieren, begründet eine andere Form der Verzerrung. Ein Wirtschaftspolitiker, der die dezentrale Volkswirtschaft führen will, muß daher den spiiiover-Effekt neben der monopolistischen Preisbildung für Zwischenprodukte in seine Überlegungen einbeziehen. Im folgenden werden die formale Struktur und die Lösung des Modells von Romer dargestellt. Da die analytischen Methoden im wesentlichen mit den früher in diesem Kapitel verwendeten Verfahren übereinstimmen, werden einige Details weggelassen. Die Produktionsfunktion des Unternehmens i ist wieder durch (6.1) gegeben; die Nachfragefunktion für X,, wird weiterhin gemäß (6.4) gebildet. Wenn η/Ν die zur Erfindung eines neuen Produktes erforderliche Arbeitsmenge ist, betragen die Kosten einer Erfindung in Gütereinheiten ι υ η / Ν , wobei w der Lohnsatz ist, der der Grenzproduktivität der Arbeit entspricht. Der Barwert V(t) für einen Erfinder zum Zeitpunkt t wird jetzt nicht gleich η, sondern gleich ι υ η / Ν gesetzt. Die monopolistische Preisbildung bestimmt weiterhin die Zuschlagskalkulation für Ρ gemäß (6.7). Die Menge eines jeden Zwischenproduktes nach (6.8) ändert sich zu X = (L — LR) A'/d-«) α 2 /« 1 -"),

(6.32)

wobei LR der Teil der aggregierten Arbeitsmenge L ist, der im Forschungssektor beschäftigt ist. Daher hängt X von der gesamten Arbeitsmenge L — LR ab, die in der Güterproduktion beschäftigt ist. Die Formel für X impliziert für den Barwert

266

Kapitel 6. Modelle mit zunehmender Produktvielfalt

eines Erfinders V(t) = (L-

LR) A1"1-*

•—

• a

a

2

^ / r .

Der Lohnsatz w ist gleich dY,/dLi und entspricht dem Ausdruck in der Gleichung (6.31). (Diese Formel gilt, obwohl X in (6.32) von L - LR statt von L abhängt.) Die Kosten einer Erfindung betragen daher wn/N = ηΑι/(1-α)

(1 - α) α 2 "/« 1 "·».

Die Bedingung V(t) = υιη/Ν, die gelten muß, wenn Ν für alle t wächst, impliziert dann r = α · (L - L ä )/ij.

(6.33)

Eine einzelne Erfindung erfordert η/Ν Arbeitseinheiten. Die Änderung von Ν ist dementsprechend durch N =

LRN/n

gegeben, also γ=Ν/Ν

= Lg/η.

(6.34)

Weil C und Ν weiterhin mit der gleichen Rate wachsen, kann die Bedingung γ = (r — ρ)/θ verwendet werden, um in Verbindung mit den Gleichungen (6.33) und (6.34) die Lösungen für die dezentrale Volkswirtschaft zu erhalten. γ = {aL/ηr =α·

ρ)/φ

+ α),

(Θ1,/η + ρ)/φ

LR = (aL-nP)/(9

+ α),

(6.35)

+ a).

Das Ergebnis für die Wachstumsrate γ ähnelt in vielerlei Hinsicht dem in (6.12) für den Fall einer dezentralen Volkswirtschaft abgeleiteten Ergebnis, in der die Kosten der Forschung und Entwicklung in Gütereinheiten statt in Arbeitseinheiten fixiert sind. Die Ähnlichkeiten sind erstens, daß γ größer ist, wenn die Haushalte eine höhere Sparneigung aufweisen (bei niedrigerem ρ oder θ)\ zweitens, daß γ größer ist, falls die Kosten der Forschung und Entwicklung η geringer sind; und drittens, daß γ größer ist, sofern L größer ist, das heißt, es gibt einen Skaleneffekt. In Romers Version des Modells muß L nicht als einfache Arbeit, sondern als Humankapital interpretiert werden. Im Unterschied zu den vorigen Ergebnissen hängt γ in (6.35) nicht vom Produktivitätsparameter Α ab, der in der Produktionsfunktion der Güter (6.1) auftaucht. Dieses Ergebnis folgt nur deshalb, weil der Forschungssektor annahmegemäß keine Zwischenprodukte als Inputs verwendet. Wenn Zwischenprodukte als Inputs im

6.1 Modelle mit einer Vielfalt an Zwischenprodukten

267

Forschungssektor eingesetzt werden (wenn auch weniger intensiv als im Gütersektor), steigt γ in A. Um die Verzerrungen in Romers Modell zu erklären, kann das Problem der Planungsbehörde betrachtet werden, die den Nutzen des repräsentativen Haushalts unter Beachtung der Beschränkungen Υ =

A • (L—

LA)1'" Ν =

NXA

= C +

NX,

NLN/Η,

zu maximieren wünscht. Die Kontrollvariablen sind C, X und L«; die Zustande variable ist N. Unter Verwendung der üblichen Optimumbedingungen erhält man die Lösungen X(Planungsbehörde)

= (L-

LR) Α 1 / ( 1 - α ) a 1 / ( 1 _ o ) ,

γ (Planungsbehörde) = (L/η - ρ)/θ,

(6.36)

LR (Planungsbehörde) = (L — ρη)/θ. Die Wahl von γ in (6.36) entspricht einem impliziten gesellschaftlichen Zinssatz in Höhe von L/Η. Die Wachstumsrate der Planungsbehörde in (6.36) überschreitet die Wachstumsrate der dezentralen Volkswirtschaft gemäß (6.35). Der Unterschied zwischen den beiden Wachstumsraten ergibt sich aus dem größeren Wert von LR, den die Planungsbehörde im Vergleich zum privaten Wert von LR wählt. Die ungeeignete Allokation der Arbeit auf die Produktion (L — LR) und die Forschung (LR) gibt die zugrundeliegenden Verzerrungen wieder: die monopolistische Preisbildung und die spillovers der Forschung. Um die Art dieser Verzerrungen zu verdeutlichen, kann man die Politiken betrachten, die dazu führen, daß die dezentralen Ergebnisse mit den Pareto-optimalen Wahlakten der Planungsbehörde übereinstimmen. Ein Wirtschaftspolitiker kann wiederum die direkte Auswirkung der monopolistischen Preisbildung durch Erhebung einer Pauschalsteuer zur Finanzierung der Subventionierung des Einkaufs von Zwischenprodukten mit der Rate 1 — α neutralisieren. Diese Subvention würde den privat gewählten Wert von X dem Wert der Planungsbehörde in (6.36) angleichen, wenn die Werte von LR gleich wären. Da diese Werte nicht gleich sind, werden die Festlegungen von X weiterhin nicht übereinstimmen. Die Subventionierung des Einkaufs von Zwischenprodukten mit der Rate 1 — α erhöht die dezentralen Werte des internen Zinssatzes und der Wachstumsrate über die Werte in (6.35) hinaus. 21 Die Erhöhung der Wachstumsrate entspricht 2

'Bei einer Subventionierung mit der Rate σ verändert sich die in der Gleichung (6.4) angegebene nachgefragte Menge des j-ten Zwischenproduktes zu Xj = (L — LR) • [Aa/P(\ — σ ) ] 1 " 1 - " ' . Setzt man die Formel Ρ = 1 /α für die monopolistische Preisbildung ein, so folgt, daß σ = 1 — α den Wert Xj dem Wert X der Planungsbehörde in (6.36) angleicht, wenn LR dem Wert der Planungsbehörde entspricht. D a · die Subventionierung den Wert Xj mit dem Satz 1 — α beeinflußt, verändert sie auch den Lohnsatz nach (6.31) zu u> = Λ 1 / ( 1 _ α ) (1 - a)a"IV~a) N. Setzt man die neuen Werte von X und w in die Bedingung V(t) = η des freien Markteintritts ein, so kann man die Wachstumsrate als γ = (L/η - p)/( 1 + Θ) bestimmen. Man kann zeigen, daß diese Wachstumsrate den Wert in (6.35) übersteigt und kleiner als der Wert der Planungsbehörde in (6.36) ist.

268

Kapitel 6. Modelle mit zunehmender Produktvielfalt

einer Steigerung von LR; trotzdem bleibt der Wert von LR unter dem der Planungsbehörde in (6.36). Dieser weiterhin zu geringe Wert von LR ist auf die spillovers der Forschung zurückzuführen, die noch zu internalisieren sind. Die Beseitigung der verbleibenden Verzerrungen erfordert eine andere Form der Subvention, die sich direkt auf die Forschung bezieht. Der benötigte Subventionssatz auf die Ausgaben für die Forschung und Entwicklung ergibt sich als [1 — (ρη/L)]/θ. Diese Subvention bewirkt einen ausreichenden Anreiz für die Forschung, so daß die dezentrale Wachstumsrate mit der Wahl der Planungsbehörde nach (6.36) übereinstimmt.22 Äquivalent dazu erhält der private interne Zinssatz den Wert r = L/η, also den Wert, den die Planungsbehörde implizit bei der Bestimmung von γ zugrunde legt. Die Forderung nach einer Subventionierung der Forschung aufgrund positiver spillovers ist analog zu dem Argument für eine Subventionierung der Einkäufe von Kapitalgütern oder Endprodukten in dem Modell mit positiven spillovers der Produktion im Kapitel 4 zu verstehen. Dort ist angemerkt worden, daß die spillovers der Produktion ebensogut negativ wie positiv sein können, so daß eine Steuer manchmal wünschenswerter als eine Subvention sein kann. Der Forschungssektor ist vielleicht überzeugender als Bereich mit typischerweise positiven und bedeutenden spillovers: Die Ideen sind grundsätzlich nichtrivalisierend und werden den Forschern ungehindert zuteil; die Entdeckungen bauen vielfach auf den Vorleistungen der Vorgänger auf. Eine erfolgreiche Subventionspolitik ist trotzdem schwierig zu implementieren, weil sie voraussetzt, daß der Staat vielversprechende Forschungsbereiche ausmacht, in denen bedeutende positive Diffusionsnutzen vorliegen, und daß die notwendige öffentliche Finanzierung keine verzerrenden Einflüsse hat, die den Nutzen aufgrund der Internalisierung der spillovers überwiegen. Das nächste Kapitel legt einen anderen möglichen Nachteil der Subventionierung der Forschung offen. Der private Nutzen aus einer Erfindung kann zu hoch sein, weil er den Transfer von Renten von einem bestehenden Monopol an den Erfinder einschließt. Ein derartiger Effekt kann auch in den Modellen entstehen, in denen Forscher im Wettbewerb um die Erfindung eines neuen Produktes oder Prozesses stehen (vgl. den Überblick in Reinganum (1989)).

6.2

Modelle mit vielfältigen Konsumgütern

Spence (1976) wendet sein Modell ursprünglich auf eine Vielzahl von Konsumgütern an. Diesen Ansatz benutzen Grossman und Helpman (1991, Kapitel 3) zur Analyse des technischen Fortschritts und des Wirtschaftswachstums. Analog zur 22 Wenn die Ausgaben für die Forschung und Entwicklung mit der Rate 0 ist. In diesem Fall ist Cj konstant gleich Cj = C/M = i7je/(l - c),

(6.45)

wobei C den aggregierten Konsum bezeichnet. (Die analoge Bedingung gilt in dem Modell mit Zwischenprodukten; vgl. (6.8) und (6.10).) Wenn Cj und die Bevölkerung konstant sind, muß der Konsum des Gutes j durch den Konsumenten i, = c,/M, ebenfalls konstant sein; daher ist die Wachstumsrate von Ci/M in (6.43) gleich null. Setzt man die rechte Seite dieser Gleichung gleich null und unterstellt θ + e φ 1, so folgt ein Ausdruck für die Wachstumsrate des aggregierten Konsums: C / C = M / M =

g

+

- i r - p ) .

(6.46)

272

Kapitel 6. Modelle mit zunehmender Produktvielfalt

Man beachte, daß das gesamte Wachstum von C auf die Erhöhung der Anzahl der Varianten Μ und nicht auf die Zunahme des Konsums der einzelnen Güterarten C/M zurückzuführen ist. Im folgenden wird θ + e > 1 unterstellt. (Wegen e > 0 ist diese Ungleichung für θ > 1 erfüllt.) In diesem Fall stellt die Gleichung (6.46) in gewohnter Weise eine positive Beziehung zwischen der Wachstumsrate des Konsums und r — ρ her. Der einzige Unterschied zum Standardmodell mit nur einer Art von Konsumgut besteht darin, daß der Koeffizient von r - p j e t z t e / ( ö + e - l ) statt 1/0 ist. Wenn e = 1 gilt — wenn also die Variantenvielfalt nicht von Bedeutung ist und nur der Gesamtkonsum Σ f=\ CU den Nutzen beeinflußt - , ist der Koeffizient wieder gleich 1 /Θ. Die Möglichkeiten für endogenes Wachstum hängen von der Produktionsseite des Modells ab. Im einfachsten Fall ist die aggregierte Produktionsmenge Y konstant. Das heißt, die Erwerbsbevölkerung L ist gegeben und die Produktivität ändert sich nicht durch die Akkumulation des Kapitals, den exogenen technischen Fortschritt oder die Ausweitungen der Bündel von Zwischenprodukten. Diese Volkswirtschaft kann nach der Modellkonstruktion kein Wachstum von Y hervorbringen; es soll aber untersucht werden, ob sie ein Wachstum von Μ aufrechterhalten kann. Wenn Μ im langfristigen Gleichgewicht mit einer positiven Rate wächst, steigt der Strom des Nutzens stetig an. Tatsächlich verringert die Ausweitung der Bündel die Kosten der Nutzeneinheiten in Gütereinheiten ständig. Der mit einem passenden Preisindex deflationierte Output - die Kosten der Nutzeneinheiten in Gütereinheiten - wächst dann, obwohl der Output im physikalischen Sinne konstant bleibt. Der gegebene Gesamtoutput Y kann auf die Ausgaben für die Forschung und Entwicklung η Μ oder den aggregierten Konsum C = Μ • (C/M) aufgeteilt werden, wobei C/M die von jeder Gütervariante produzierte Menge ist. Im langfristigen Gleichgewicht ist r und damit auch C/M konstant (vgl. (6.45)). Unter der Voraussetzung r > ρ wachsen C und Μ im langfristigen Gleichgewicht gemäß (6.46) mit der konstanten Rate γ > 0. Die Erhöhung von C bedeutet, daß weniger Ressourcen für die Forschung und Entwicklung zur Verfügung stehen, so daß M/M fallen muß, womit ein Widerspruch entsteht. Eine Situation mit r > ρ kann also kein langfristiges Gleichgewicht sein. Wenn die Volkswirtschaft mit einem im Verhältnis zu L geringen Wert von Μ startet, ist r > p, und wenn der für die Forschung und Entwicklung erforderliche Ressourceneinsatz nicht zu groß ist, gilt anfangs Μ > 0. Die Völkswirtschaft nähert sich dann einem langfristigen Gleichgewicht, in dem r = ρ ist, Μ konstant ist und die Aufwendungen für die Forschung und Entwicklung gleich null sind, so daß der gesamte Output Υ für den Konsum C verwendet wird. Dieses Modell kann daher kein positives Wachstum von Μ im langfristigen Gleichgewicht aufrechterhalten. Eine einmalige Erhöhung von L hat im vorliegenden Modell einen Skaleneffekt. Im langfristigen Gleichgewicht gilt r = ρ und C = Y. Das Verhältnis C/M ist auf den in (6.45) dargestellten Wert festgelegt. Die einmaligen Erhöhungen von L und Υ führen daher im langfristigen Gleichgewicht zu einer entsprechend großen Zunahme von M. Jeder Haushalt hat schließlich zwar denselben Gesamtkonsum C/L, doch

6.2 Modelle mit vielfältigen Konsumgütern

273

verändert sich die Zusammensetzung des Konsums in Richtung einer höheren Anzahl an Varianten Μ und einer geringeren Menge jeder einzelnen Güterart C/(LM). Die Form der Nutzenfunktion (Gleichungen (6.37) und (6.38)) impliziert, daß die Haushalte diese Veränderung schätzen, das heißt, das Nutzenniveau jedes einzelnen Haushalts steigt. Der Skaleneffekt hat dieselbe Ursache wie in dem Modell mit Zwischenprodukten. Ein höherer Wert von L bedeutet, daß die Fixkosten der Erfindung eines neuen Gutes auf einen größeren Markt verteilt werden können. Der Unterschied besteht darin, daß die Skalenvariable im langfristigen Gleichgewicht nicht die Wachstumsrate, sondern das Nutzenniveau beeinflußt. Bemerkenswert ist, daß die Ergebnisse des Modells trotz der monopolistischen Preissetzung für die Konsumgüter Pareto-optimal sind. Der Zuschlagssatz von 1/e auf die Grenzkosten für jedes Gut beeinflußt die relativen Preise der Güter nicht. Daher gibt es keine Verzerrungen, die die Zusammensetzung der Nachfrage beeinflussen;23 solche Verzerrungen entstehen, wenn einige der Güter unter Wettbewerbsbedingungen produziert werden. Da der Lohnsatz kompetitiv bestimmt wird, tangiert die monopolistische Preissetzung den Preis des Konsums im Verhältnis zur Freizeit. Da das Arbeitsangebot L aber annahmegemäß auf Preisänderungen nicht reagiert, entstehen dadurch im vorliegenden Zusammenhang keine Verzerrungen. Für einen gegebenen Gesamtoutput Y ist gezeigt worden, daß Μ im langfristigen Gleichgewicht nur wachsen kann, wenn die Kosten der Forschung und Entwicklung in Gütereinheiten in der Zeit fallen. Dieses Ergebnis kann zu dem Modell mit Zwischenprodukten in Beziehung gesetzt werden, indem die verschiedenen Kostengrößen in Nutzeneinheiten statt in Gütereinheiten gemessen werden. Es ist bereits festgestellt worden, daß Erweiterungen von Μ die Kosten der Nutzeneinheiten in Gütereinheiten senken, das heißt, die Volkswirtschaft kann die Nutzeneinheiten effizienter produzieren. Wenn die Kosten der Forschung und Entwicklung in Nutzeneinheiten statt in Gütereinheiten festgelegt werden, dann verringert eine Erhöhung von Μ die Kosten der Forschung und Entwicklung in Gütereinheiten. Folglich kann ein Wachstum von Μ im langfristigen Gleichgewicht auftreten. Die Spezifikation mit in Nutzeneinheiten gemessenen Kosten der Forschung und Entwicklung gleicht dem früher konstruierten ersten Modell zur Analyse der Zwischenprodukte. In jenem Fall bewirkt eine Erhöhung der Anzahl der Varianten N, daß die Volkswirtschaft Güter mit Arbeit effizienter produzieren kann. Da die Kosten der Forschung und Entwicklung η in Gütereinheiten gemessen werden, kann die Volkswirtschaft auch die Forschung mit dem Faktor Arbeit effizienter ausführen. Daher ist es zulässig, daß Ν im langfristigen Gleichgewicht wächst, obwohl das aggregierte Arbeitsangebot gegeben ist. Ähnlich kann Μ im vorliegenden Modell im langfristigen Gleichgewicht wachsen, wenn die Kosten der Forschung und Entwicklung in Nutzeneinheiten gegeben sind, obwohl der aggregierte Output kon23 Im Unterschied dazu beeinflußt die monopolistische Preisbildung in dem Modell mit Zwischenprodukten den Preis der Zwischenprodukte im Verhältnis zum Wert der Güterproduktion. Daher besteht in diesem Modell eine Verzerrung in bezug auf die Nachfrage nach Zwischenprodukten.

274

Kapitel 6. Modelle mit zunehmender Produktvielfalt

stant ist. Allerdings ist die Bedeutung der Festlegung der Kosten für die Forschung und Entwicklung in Nutzeneinheiten unklar. Grossman und Helpman (1991, Kapitel 3) erhalten in diesem Ansatz ein Wachstum von Μ im langfristigen Gleichgewicht, weil sie Romers (1990) spillover-Effekt in den Forschungssektor einführen. Eine Erhöhung der Variantenzahl Μ verringert die Kosten für die Erfindung des nächsten Gutes. Genauer ausgedrückt lautet ihre Annahme, daß die Kosten der Forschung und Entwicklung η/Μ Gütereinheiten betragen. Die Ergebnisse für diesen Fall werden im folgenden skizziert und die Details dem Leser als Übung überlassen. Im langfristigen Gleichgewicht ist M / M gleich der Konstanten y. Die Menge der zur Forschung eingesetzten Ressourcen ist in dieser Situation konstant. Der Strom neuer Güter Μ steigt zwar mit M, aber dieser Effekt wird durch die geringeren Ausgaben η/Μ pro erfundenem neuen Gut exakt ausgeglichen. Da der Gesamtoutput Y und die Ausgaben für die Forschung und Entwicklung konstant sind, ist der aggregierte Konsum C ebenfalls konstant. Das heißt, daß die von jeder Güterart konsumierte Menge C/M im langfristigen Gleichgewicht mit der Rate γ fällt. (Die Gleichung (6.45) gilt nicht, weil die Kosten der Forschung und Entwicklung - in der Gleichung durch η dargestellt - nicht konstant in der Zeit sind.) Jeder Konsument hat einen konstanten Gesamtkonsum C/L, erfährt aber eine ständige Erhöhung der Anzahl der Varianten M, so daß sein Nutzenstrom in der Zeit ansteigt. Daher wächst das Einkommen im Hinblick auf den damit erreichbaren Nutzen stetig, obwohl die Produktionsmenge im physikalischen Sinne konstant bleibt. Dieses Modell enthält dieselbe Art der Externalität im Forschungssektor wie sie in Romers Modell mit Zwischenprodukten vorkommt. Die Erreichung eines Pareto-Optimums erfordert daher eine Subventionierung der Forschung. Im Unterschied zum Modell mit Zwischenprodukten ist es nicht nötig, die Auswirkungen der monopolistischen Preisbildung der Konsumgüter zu beseitigen. Dieser monopolistische Zuschlag wirkt wegen der bereits diskutierten Gründe nicht verzerrend. Eine andere Möglichkeit, um Wachstum im langfristigen Gleichgewicht zu generieren, besteht in der Rückkehr zu dem Fall, in dem die Kosten der Forschung und Entwicklung η in Gütereinheiten fixiert sind, wobei aber erneut eine Produktionstechnik eingeführt wird, die ein andauerndes Wachstum des Outputs Y zuläßt. Unterstellt man beispielsweise eine Produktionsfunktion Y = AK, so stellt sich der interne Zinssatz bei r = A - S ein. Die Gleichung (6.45) bestimmt die konstante von jeder Variante produzierte Menge C/M\ die Gleichung (6.46) gibt die Wachstumsrate γ von C und Μ an. In dieser Situation wächst der aggregierte Konsum ausschließlich wegen der neuen Güter; die von jedem existierenden Gut konsumierte Menge bleibt in der Zeit konstant. Die Ergebnisse sind Pareto-optimal, weil es keine spillovers der Forschung gibt und die monopolistische Preisbildung der Konsumgüter keine Verzerrungen entstehen läßt. (Die monopolistische Preissetzung wirkt wie eine Verbrauchssteuer: Sie beeinflußt nicht die interne Verzinsung der Investitionen und damit auch nicht die Akkumulation des Kapitals.) Man kann schließlich auch das Modell der Zwischenproduktvarianten mit dem

6.2 Modelle mit vielfältigen Konsumgütern

275

der Varianten von Konsumgütern kombinieren. Das wesentliche Ergebnis für die Zwecke hier ist, daß das Modell mit Zwischenprodukten den langfristigen gleichgewichtigen Zinssatz r auf den in der Gleichung (6.10) dargestellten Wert festlegt. Dieser gegebene Wert von r bestimmt die gleichgewichtige Wachstumsrate γ nach (6.46) wie im A/if-Modell. Im langfristigen Gleichgewicht wachsen Y, C, Μ und Ν mit der Rate γ, das heißt, die verfügbaren Varianten der Konsumgüter und der Zwischenprodukte wachsen mit derselben Rate.24

6.2.2

Ein Vergleich der Auswahl an Konsumgütern mit der Auswahl an Zwischenprodukten

In einem grundlegenden Sinne ist der Strom des Nutzens das einzige Endprodukt; die Mengen der Produktionsgüter und der Konsumgüter kann man sich beide als Zwischenprodukte zur Erstellung dieses Endproduktes vorstellen. Daher müssen die Modelle der Erweiterung der Variantenvielfalt an Produktions- und Konsumgütern letztendlich ähnliche Ansätze zu den Ursachen des technischen Fortschritts darstellen. Die unterschiedlichen Ergebnisse der Modelle sind auf unterschiedliche Annahmen über die Struktur der Kosten zurückzuführen. Man kann allerdings folgern, daß die Einführung der Konsumgüterbündel wenig zum Verständnis des Wachstumsprozesses beiträgt. Wenn es auf der Produktionsseite keine Ursachen für Wachstum gibt, so findet nur dann eine andauernde Verbreiterung des Konsumgüterangebotes statt, wenn die Kosten der Forschung und Entwicklung in Gütereinheiten stetig abnehmen. Diese Annahme über die Technik der Forschung und Entwicklung erscheint wenig plausibel, und die Eigenschaften des sich ergebenden Gleichgewichts sind nicht einleuchtend. Insbesondere bleibt die Gesamtmenge der Konsumgüter konstant, die Menge jeder einzelnen Güterart nimmt ab und die Anzahl der Güterarten steigt. Dieses Bild stimmt nicht gut mit dem über lange Zeiträume beobachteten Wirtschaftswachstum überein. Es besteht zwar eine Ausweitung der Wahlmöglichkeiten, aber diese Art des Wachstums scheint mit der Zunahme der Mengen gegebener Güterarten einherzugehen. Läßt man Wachstum auf der Produktionsseite zu, so kann die verbesserte Auswahl auf der Konsumentenseite als ein Teil des Problems analysiert werden. Der allgemeine Charakter des Gleichgewichts ist dennoch demjenigen der Modelle mit nur einer Art von Konsumgut ähnlich. Die Möglichkeiten für Wachstum hängen von denselben Sachverhalten ab - insbesondere von der Vermeidung abnehmender Produktivitäten in der Produktion - , die in früheren Modellen betont worden sind. Daher ist es weiterhin notwendig, über den technischen Fortschritt in der Produktion oder die Möglichkeit der Akkumulation des Kapitals (im weitgefaßten Sinne) ohne 24 Dieses Modell enthält die beiden Zustandsvariablen Μ und N. Wenn der Startwert von M / N nicht dem langfristigen Gleichgewichtswert entspricht, so entsteht in der Volkswirtschaft ein Übergangsprozeß, bei dem die Wachstumsrate und der Zinssatz von ihren jeweiligen langfristigen Gleichgewichtswerten abweichen. Die Art der Dynamik ähnelt der Dynamik, die im Kapitel 5 für Modelle mit zwei Arten von Kapitalgütern erörtert worden ist.

276

Kapitel 6. Modelle mit zunehmender Produktvielfalt

abnehmende Produktivitäten, zumindest asymptotisch, nachzudenken. Die Möglichkeit einer erweiterten Vielfalt an Konsumgütern stellt keinen alternativen Weg zur Erklärung des langfristigen Wachstums der Produktion dar.

6.3 Abschließende Bemerkungen Der technische Fortschritt ist als Erweiterung der Auswahl der von den Produzenten verwendeten Zwischenprodukte modelliert worden. Die Forscher werden durch die Aussicht auf Monopolgewinne motiviert, Ressourcen für die Entdeckung neuer Güterarten einzusetzen. In dem hier betrachteten speziellen Ansatz - Produktion mit konstanten Grenzproduktivitäten in bezug auf die Anzahl der verschiedenen Güter und eine Kostenstruktur, die einen fixen Einsatz von Gütern für jede Erfindung erfordert - kann die Volkswirtschaft endogenes Wachstum generieren. Die Wachstumsrate hängt von den verschiedenen Charakteristika der Präferenzen und der Technik ab, einschließlich der Sparneigung, dem Niveau der Produktionsfunktion (das die Auswirkungen der Besteuerung und anderer wirtschaftspolitischer Maßnahmen beinhalten kann), den Kosten der Forschung und Entwicklung und der Größe der Volkswirtschaft (gemessen durch die Menge eines fixen Faktors wie zum Beispiel der einfachen Arbeit oder des Humankapitals). Die resultierende Wachstumsrate und die damit verbundene Wahl der in der Produktion eingesetzten Mengen der Zwischenprodukte sind im allgemeinen nicht Pareto-optimal. Die Möglichkeiten zur Verbesserung dieser Ergebnisse durch Steuern und Subventionen sind diskutiert worden. Obwohl diese Möglichkeiten im Modell existieren, ist es fraglich, ob diese Art der Industriepolitik in umfassenderen, realitätsnäheren Zusammenhängen funktioniert. Befriedigende Ergebnisse erfordern es in der Regel, daß der Staat zu viele Informationen haben muß (und daß er wohlwollend handeln muß). Die gleichgewichtige Wachstumsrate im Modell entspricht der exogenen Rate des technischen Fortschritts χ im Solow-Swan-Modell und im Ramsey-Modell der Kapitel 1 und 2. Die Analyse endogenisiert also den Parameter* und füllt damit eine wesentliche Lücke dieser Theorien. Wenn zum Beispiel die Diffusion der Ideen von einem Land zu einem anderen sehr schnell verläuft, erklärt das Modell, warum sich die Technik in allen Ländern verbessert. Damit kann das Modell erklären, warum die langfristige Wachstumsrate des realen Bruttoinlandsproduktes pro Kopf für die Welt positiv ist. Das Modell erklärt weniger gut, warum sich die Raten des technischen Fortschritts über die einzelnen Länder unterscheiden. Nimmt man an, daß die Ideen die internationalen Grenzen gar nicht überschreiten, dann sagt das Modell vorher, wie jede Volkswirtschaft ihre eigene Forschung und Entwicklung durchführt und ihre eigenen Entdeckungen macht. Man sagt dann einen bedeutenden Skaleneffekt für das Pro-Kopf-Wachstum vorher. Größere Länder sind erfolgreicher, weil sie die Fixkosten der Erfindungen (die dann in nichtrivalisierender Weise innerhalb des Landes

Aufgaben

277

verwendet werden können) leichter tragen können. Dieser prognostizierte Skaleneffekt steht nicht im Einklang mit den empirischen Beobachtungen; die vermutliche Ursache dieser Schwierigkeit ist die Annahme, daß das Wissen die internationalen Grenzen nicht überquert. Man kann die Querschnittsvorhersagen für mehrere Länder verbessern, indem positive, aber endliche Kosten berücksichtigt werden, die einem Land bei der Imitation oder dem Erlernen technischer Fortschritte entstehen, die in anderen Ländern gemacht worden sind. Diese Erweiterung wird im Kapitel 8 vorgenommen. In einigen vorangegangenen Kapiteln ist das Konvergenzverhalten ausführlich diskutiert worden, so daß es angebracht ist, die Konvergenzeigenschaften im vorliegenden Zusammenhang zu kommentieren. Wie das Modell formuliert worden ist, ähnelt es dem Α ^ - M o d e l l des Kapitels 4 und ist daher mit der Konvergenz nicht vereinbar; insbesondere hängt die Wachstumsrate nicht vom Niveau des Pro-KopfProduktes ab. Eine Erweiterung des Modells, die die langfristigen Eigenschaften des Wachstums aufrechterhält und Elemente der Konvergenz einbezieht, ist nicht schwierig. Unterstellt man zum Beispiel eine einzige isolierte Volkswirtschaft mit Zwischenprodukten in der Form von Gebrauchsgütern, wie das Kapital in früheren Modellen, so kann man vermuten, daß der interne Zinssatz und die Wachstumsrate tendenziell groß sind, wenn die Menge des Kapitals Κ im Verhältnis zu Ν (das das Niveau der Technik repräsentiert) gering ist. Das heißt, Konvergenzeffekte tauchen als negative Beziehung zwischen der Wachstumsrate und dem Verhältnis K/N auf. Diese Beziehung tritt tendenziell auch zwischen verschiedenen Ländern auf, wenn die Technik - also Ν - sich auf dem Niveau der Welt bestimmt, aber das Kapital nicht vollständig mobil ist. Der wesentliche Punkt ist, daß die empirische Evidenz über die Konvergenz den allgemeinen Ansatz zum technischen Fortschritt, der in diesem Kapitel entwickelt worden ist und im nächsten Kapitel erweitert wird, nicht widerlegt.

Aufgaben 6.1 Übergangsdynamik in dem Modell mit Güterbündeln. Im Text ist gezeigt worden, daß ein Gleichgewicht existiert, in dem Ν, Y und C mit derselben konstanten Rate wachsen und in dem der interne Zinssatz r konstant ist. (a) Zeigen Sie, daß es keine anderen Gleichgewichte gibt, daß also keine Übergangsdynamik in dem Modell existiert! (Hinweis: Betrachten Sie die Analyse einer ähnlichen Situation im Kapitel 4!) (b) Nehmen Sie an, daß die Wachstumsrate in der Gleichung (6.12) negativ ist! Wie lautet das Gleichgewicht in diesem Fall? Welche Bedingung für die zugrundeliegenden Parameter impliziert, daß diese Situation zutrifft? 6.2 Alternative Spezifikationen der Forschungs- und Entwicklungstechnik. Im ersten Modell im Text ist angenommen worden, daß die Kosten der Erfindung eines neuen Produktes aus einer fixen Menge η der Güter bestehen.

278

Kapitel 6. Modelle mit zunehmender Produktvielfalt

(a) Wie ändert sich die Analyse, wenn sich die Kosten einer Erfindung statt dessen aus einer fixen Menge an Arbeit L ergeben? Ist die Annahme plausibel, daß die Technik der Forschung und Entwicklung den Faktor L relativ intensiv nutzt? (b) Wie ändert sich die Analyse, wenn die Kosten einer Erfindung in Gütereinheiten η mit der Anzahl Ν der bereits entdeckten Güter fallen? Ist die Annahme sinnvoll, daß die Kosten der Erfindung mit höherem Ν sinken? Welche neue Verzerrung entsteht, wenn die Kosten der Erfindung mit Ν fallen? 6.3 Implikationen des Variantenmodells für die Wirtschaftspolitik. Betrachten Sie das erste Modell mit Varianten der Zwischenprodukte, für das die gleichgewichtige Wachstumsrate der Volkswirtschaft in der Gleichung (6.12) angegeben ist! (a) Zeigen Sie, daß die Regierung ein first-best-Gleichgewicht sicherstellen kann, wenn sie eine Pauschalsteuer zur Finanzierung der geeigneten Subventionierung der Zwischenprodukte erhebt! Welcher Subventionssatz ist erforderlich? Warum wäre es in einem umfangreicheren Modell schwierig, die erforderliche Politik durchzuführen? (b) Kann die Regierung durch die alleinige Subventionierung der Forschung und Entwicklung (wiederum durch eine Pauschalsteuer finanziert) eine first-best-Lösung sicherstellen? Erklären Sie die Antwort! Welche Änderungen des Modells lassen die Subventionierung der Forschung für die Regierung wichtig werden? 6.4 Zwischenprodukte als dauerhafte Güter. Unterstellen Sie, daß die Zwischenprodukte XtJ unendlich haltbare Inputs sind! Neue Einheiten dieser Güter können aus einer Einheit des Endproduktes hergestellt werden. Der Erfinder des Typs j des Zwischenproduktes erhebt den Nutzungspreis Rj, den die konkurrierenden Produzenten der Endprodukte als gegeben ansehen. (a) Wie wird R j bestimmt? (b) Wie groß ist die Menge Xj jeder Zwischenproduktvariante im langfristigen Gleichgewicht? (c) Wie lautet die gleichgewichtige Wachstumsrate der Volkswirtschaft? Wie unterscheidet sich diese Antwort von deijenigen im Text für den Fall, in dem die Zwischenprodukte als Inputs verderbliche Güter sind? (d) Welche dynamischen Effekte entstehen während des Übergangs zum langfristigen Gleichgewicht, wenn die Zwischenprodukte dauerhafte Güter sind? 6.5 Die Dauer der Monopolstellungen. Betrachten Sie das Modell, in dem die monopolisierten Zwischenprodukte mit der Wahrscheinlichkeit ρ pro Zeiteinheit unter Konkurrenzbedingungen angeboten werden! (a) Wie beeinflussen Unterschiede in ρ die Eigenschaften des Modells im langfristigen Gleichgewicht? (b) Welche Art der politischen Interventionen von selten des Staates führen zu einer first-best-Lösung in diesem Modell? Ist es insbesondere möglich, diese Lösung durch alleinige Subventionierung der Einkäufe der monopolisierten Zwischenprodukte zu erreichen? (c) Welche Implikationen hat das Modell in bezug auf wünschenswerte Maßnahmen, wenn die Regierung ρ durch verschiedene Instrumente (etwa Anti-Trust-Gesetzgebung oder Patentschutz) beeinflussen kann?

Aufgaben

279

6.6 Skaleneffekte. (a) Warum enthält das Variantenmodell des technischen Fortschritts einen Skaleneffekt in dem Sinne, daß die Wachstumsrate mit dem aggregierten Angebot an ungelernter Arbeit L steigt? Ist es sinnvoll, L empirisch mit der Bevölkerung eines Landes zu identifizieren? (b) Was geschieht in dem Modell, wenn die Bevölkerung L mit einer konstanten positiven Rate wächst? (c) Welche Änderungen des Modells würden die Skaleneffekte beseitigen?

Kapitel 7 Änderung der Technik: Modelle mit Verbesserungen der Produktqualität Die Modellierung des technischen Fortschritts im letzten Kapitel ist durch eine Zunahme der Anzahl unterschiedlicher Produktarten Ν gekennzeichnet. In diesem Kapitel wird Ν konstant gesetzt, allerdings sind Verbesserungen der Qualität oder der Produktivität eines jeden Produkttyps möglich. Man kann sich einen Anstieg von Ν als grundlegende Innovationen vorstellen, die zu völlig neuartigen Güterarten oder Produktionsmethoden führen. Im Gegensatz hierzu erfordern Qualitätssteigerungen bei bereits bestehenden Produkten einen kontinuierlichen Prozeß von Verbesserungen und Verfeinerungen der Güter und Produktionstechniken. Die Analyse dieses Kapitels vervollständigt somit die Diskussion des Kapitels 6. Die Abbildung 7.1 veranschaulicht den grundlegenden Ansatz. Die Zwischenprodukte existieren in Ν unterschiedlichen Varianten, die entlang der Abszisse dargestellt sind. Während Ν im Kapitel 6 im Zeitablauf ansteigen kann, wird Ν nun als konstante Größe betrachtet. Die Qualität jeder am Markt führenden Art des Zwischenproduktes ist gegenwärtig auf dem auf der Ordinate dargestellten Niveau. Die genaue Bedeutung der auf der Ordinate abgetragenen Stufenzahl wird später noch spezifiziert. Da sich der Prozeß der Qualitätsverbesserung in unterschiedlichen Raten (und in zufälliger Weise) ereignet, illustriert die Abbildung, daß die gegenwärtig erreichten Werte in unregelmäßiger Weise zwischen den Produktarten variieren. Bei der Analyse grundlegender Innovationen im Kapitel 6 ist davon ausgegangen worden, daß die neuen Arten an Zwischenprodukten als Inputs nicht unmittelbar mit den älteren Arten zusammenhängen. (In die dort verwendete Funktionsform nach Spence (1976)/Dixit-Stiglitz (1977) gehen diese Zwischenprodukte in additivseparabler Form ein.) Deshalb ist es durch die Einführung neuer Produkte nicht zur Verdrängung bereits existierender Güter gekommen. Wenn sich im Gegensatz hierzu ein Produkt oder eine Produktionstechnik verbessert, kommt es tendenziell zur Ersetzung des alten Gutes oder der alten Technik. Daher erscheint es als verständlich, die unterschiedlichen Qualitätsabstufungen eines Gutes bestimmten Typs als enge Substitute zu modellieren. Im folgenden wird die extreme Annahme unterstellt, daß die unterschiedlichen Qualitätsabstufungen einer bestimmten Zwischenproduktart perfekte Substitute darstellen; daraus folgt, daß die Entwicklung einer höheren Produktgüte zu einer vollständigen Beseitigung aller niedrigeren Güteklassen führt. Daher neigen erfolgreiche Wissenschaftler im Bereich der Qualitätsforschung dazu, die Monopolrenten der zuvor existierenden Produkte zu eliminieren. Dieses Phänomen haben Schumpeter (1934) und Aghion und Howitt (1992) mit dem Begriff der „kreativen Zerstörung" beschrieben. Im vorliegenden Kapitel stellt diese Eigenschaft des Modells das wesentliche Unterscheidungsmerkmal gegenüber dem im letzten Kapitel konstruierten Ansatz dar.

7.1 Skizze des Modells

3

4

5

281

Ν-1

Ν

Kennzahl des jeweiligen Produktes

Abbildung 7.1 Qualitätsskalen und Produktvielfalt Entlang der Abszisse ist die Anzahl der Produktvarianten abgetragen; die Ordinate gibt die gegenwärtig für jede Produktart (jeden Sektor) erreichte Qualitätsstufe

7.1

Skizze des Modells

Bevor die technischen Details des Modells diskutiert werden, erfolgt an dieser Stelle eine Skizzierung der Modellstruktur, anhand derer man Verbesserungen der Produktqualität analysieren kann. Die Produzenten des Endproduktes verwenden wieder Ν Varianten von Zwischenprodukten als Inputs, wobei Ν nun als konstant unterstellt wird. Jede Zwischenproduktart verfügt über eine Qualitätsskala, entlang derer sich Verbesserungen einstellen können. Die Verbesserungen bauen auf der gegenwärtig besten Technik auf und entstammen den Bemühungen der Forscher. Ein erfolgreicher Forscher behält exklusive Rechte an der Verwendung des von ihm verbesserten Zwischenproduktes. Zu jedem Zeitpunkt ist der erforderliche Wissensstand vorhanden, um eine Reihe von Qualitätsniveaus für jedes einzelne Zwischenprodukt zu erzeugen. Dennoch wird eine Art Gleichgewicht vorausgesetzt, das dadurch gekennzeichnet ist, daß für jede Produktart nur der beste Qualitätsstandard realisiert und von den Erzeugern des Endproduktes zur Produktion genutzt wird. Derjenige Forscher, der das Monopol über die Verwendung der aktuellen Technik besitzt, erhält einen Strom von Gewinnen. Zunächst wird ein Modell betrachtet, in dem die für die letzte Innovation verantwortliche Person nicht mit der für die vorletzte Innovation zuständigen Person übereinstimmt, so daß der Forschungserfolg den Strom der Gewinne des Vorgängers beendet. Daher analysieren die Unternehmer das Ausmaß und den Zeitbezug der zu erwartenden Gewinne, wenn sie den Einsatz der notwendigen Ressourcen für die Forschung betrachten. Die Zeitspanne

282

Kapitel 7. Modelle mit Verbesserangen der Produktqualität

des Gewinnstromes stellt eine Zufallsvariable dar, da sie von den unsicheren Ergebnissen der Forschungsaktivitäten der Konkurrenten abhängig ist. Die nur vorübergehend bestehende Monopolposition eines Erfinders bringt zwei Gesichtspunkte auf, die das gegenwärtige Modell von dem aus Kapitel 6 bekannten Modell mit fortwährenden Monopolrechten unterscheidet. Erstens, je kürzer die erwartete Zeitdauer der Monopolposition ist, desto geringer sind auch die antizipierten Einnahmen aus der Forschung und Entwicklung; dieser Sachverhalt stellt eine Verzerrung dar, weil die Fortschritte vom gesellschaftlichen Standpunkt aus betrachtet dauerhaft sind. (Diese Wirkung stellt sich auch in dem Modell des Kapitels 6 ein, wobei dort die Zwischenprodukte im Zeitablauf immer mehr unter Konkurrenzbedingungen erzeugt werden.) Zweitens stellt ein Teil der Belohnung für die erfolgreiche Forschungstätigkeit den Effekt der kreativen Zerstörung dar, der die Übertragung von Monopolrenten des gegenwärtig tätigen Erfinders auf den neu in den Markt eintretenden Erfinder zur Folge hat. Da dieser Transfer keinen gesellschaftlichen Wert darstellt, konstituiert die zweite Wirkung einen zu starken Anreiz zur Forschung und Entwicklung. Es wird sich herausstellen, daß das zweite Element bedeutender als das erste ist, da sich die beiden Aspekte im wesentlichen entsprechen, mit der Ausnahme, daß der zweite Gesichtspunkt sich zeitlich früher einstellt. Somit ist der Nettoeffekt ein Anstieg des privaten Ertrags der Forschungstätigkeit im Vergleich zum gesellschaftlichen Ertrag. In einem nachstehenden Abschnitt wird unterstellt, daß das führende Industrieunternehmen einen Kostenvorteil in der Forschung besitzt. Wenn dieser Kostenvorteil groß genug ist, wird das führende Unternehmen die gesamte Forschungstätigkeit ausführen, und die Ergebnisse ähneln denen im Kapitel 6. Insbesondere sieht das Unternehmen die Innovationen als dauerhaft an und schenkt der Enteignung seiner eigenen Monopolrenten keine Beachtung. Wenn der Kostenvorteil des führenden Industrieunternehmens in der Forschung geringer ist, wird es weiterhin die gesamte Forschungstätigkeit durchführen; die Intensität dieser Forschung ist dann so groß, daß potentielle Konkurrenten vom Markteintritt abgehalten werden. Der interne Zinssatz und die Wachstumsrate im Gleichgewicht stimmen dann mit den Werten überein, die bei einer Durchführung der Forschung von Außenstehenden realisiert werden. Am Ende dieses Kapitels werden die Implikationen für die Wirtschaftspolitik kommentiert.

7.2 Das Verhalten der Unternehmen 7.2.1

Die Qualitätsniveaus in der Produktionstechnik

Die Produktionsfunktion für das Unternehmen i aus der Gleichung (6.1) wird nun zu Ν (7.1)

7.2 Das Verhalten der Unternehmen

283

modifiziert, wobei L, wie bisher den Arbeitseinsatz beschreibt und 0 < a < 1 gilt. Das Neue an diesem Ansatz ist, daß Xij die qualitätsangepaßte Menge darstellt, die vom j-ten Typ des Zwischenproduktes eingesetzt wird. Die möglichen Güteklassen jedes Zwischenproduktes sind entlang einer Qualitätsskala abgetragen, deren Stufen einen proportionalen Abstand q > 1 haben. 1 Durch eine Normierung beginnt jedes Gut nach seiner Erfindung bei der Qualitätsstufe 1. Die folgenden Stufen stellen die Niveaus q, q1 und so weiter dar. Wenn sich also bisher *r; Verbesserungen der Qualität im Sektor j ereignet haben, dann sind die verfügbaren Qualitätsstufen in diesem Sektor 1, q, q1,... , qKj. Die Qualitätsverbesserungen der in einem Sektor zur Verfügung stehenden Güter - das heißt ein Anstieg in Kj - resultieren aus erfolgreichen Forschungsanstrengungen, die später näher erläutert werden. Diese Verbesserungen müssen sich nacheinander einstellen, eine Stufe pro Zeiteinheit. Die Variable Xy* stellt die durch das i-te Unternehmen verwendete Menge des y'-ten Typs des Zwischenproduktes der Qualitätsstufe k dar. Die Stufe k entspricht der Qualität qk, so daß sich k = 0 auf die Qualität 1, k = 1 auf die Qualität q und so weiter beziehen. Wenn also κ j das höchste verfügbare Qualitätsniveau im Sektor j darstellt, dann ist die qualitätsangepaßte Einsatzmenge aus diesem Sektor durch (7.2) gegeben. In der Gleichung (7.2) ist die Annahme enthalten, daß die Qualitätsstufen eines Sektors als Produktionsfaktoren perfekte Substitute darstellen. Die gesamte Einsatzmenge Xy aus einem Sektor ist deshalb gleich der mit der jeweiligen Qualität gewichteten Summe der Einsatzmengen qk Xy*, die von jeder Qualitätsstufe verwendet werden. Im Kapitel 6 sind Qualitätsverbesserungen nicht betrachtet worden, so daß KJ = 0 in jedem Sektor gegolten hat. In diesem Fall impliziert (7.2), daß Xy = Xyo ist, womit technische Verbesserungen in (7.1) ausschließlich durch Steigerungen der Größe Ν erreicht werden können. Da Ν jetzt konstant ist, wird implizit angenommen, daß alle vorhandenen Zwischenproduktarten irgendwann in der (fernen) Vergangenheit entdeckt worden sind. Allerdings wird berücksichtigt, daß sich Kj als Reaktion auf die Aufwendungen der Forschung und Entwicklung zur Qualitätsverbesserung des jeweiligen Sektors im Zeitablauf ändern kann. Die Abbildung 7.2 zeigt einen möglichen Entwicklungspfad der dominierenden Qualität im Sektor j. Die beste verfügbare Qualität zum Zeitpunkt ίο ist gleich eins, erhöht sich auf q (Stufe 1) zum Zeitpunkt t\, auf q2 (Stufe 2) zum Zeitpunkt t2, auf qk (Stufe k) zum Zeitpunkt f* und so weiter. Daher ist tk+\ — tk das Intervall, über dessen Länge qk für k — 0 , 1 , . . . , Kj — 1 die beste Qualität ist. Die Graphik zeigt Intervalle mit unterschiedlichen Längen für jeden Wert von k\ diese Längen werden in dem weiter unten entwickelten Modell als Zufallsvariablen dargestellt. 'Dieser Ansatz folgt den Modellen von Aghion und Howitt (1992) sowie Grossman und Helpman (1991, Kapitel 4).

284

Kapitel 7. Modelle mit Verbesserungen der Produktqualität

Jfc+1 --

'ο

'i

h

'3

h

h+\

Abbildung 7.2 Eine Qualitätsskala in einem einzelnen Sektor. Im Zeitablauf bleibt die Position in der Qualitätsskala in einem Sektor entweder konstant oder springt diskret auf die nächste Stufe. Der Zeitpunkt der Sprünge ist stochastisch, weil er von den unsicheren Ergebnissen der Forschungsbemühungen abhängt.

Der Forscher, der für jede Qualitätsverbesserung im Sektor j verantwortlich ist, behält ein Monopolrecht, um das j-te Zwischenprodukt auf diesem Qualitätsniveau produzieren zu können. Insbesondere ist der k-te Erfinder die einzige Person, die Zwischenprodukte mit dem Qualitätsniveau qk herstellen kann, wenn die Qualitätsstufen k = 1, . . . , Kj erreicht worden sind.2 Das Zwischenprodukt ist nicht dauerhafter Art und verursacht Grenzkosten in Höhe von eins (in Einheiten des Outputs Y). Das heißt, die Produktionskosten sind für alle Qualitäten qk mit k = 0 Kj identisch. Daher hat der letzte Neuerer einen Effizienzvorteil gegenüber den vorhergehenden Erfindern im jeweiligen Sektor, wird aber irgendwann gegenüber zukünftigen Innovatoren im Nachteil sein. Zunächst wird davon ausgegangen, daß nur die jeweils höchste Qualität des Zwischenproduktes j - mit dem Qualitätsniveau qK' - gegenwärtig für die Produktion verfügbar ist. (Es wird sich zeigen, daß die anderen Qualitätsniveaus im Gleichgewicht keine Verwendung finden.) Die Grenzproduktivität dieses Gutes kann aus (7.1) und (7.2) als dYi/dXijKj

= Aa L)~a qa*> Xfcj

(7.3)

berechnet werden. Wenn die Einheiten des führenden Gutes den Preis PjKj haben und darüber hinaus keine anderen Qualitätsniveaus des Gutes j zur Verfügung ste2

Da die Entdeckung einer Produktart in dem Modell nicht unmittelbar berücksichtigt wird, muß vorausgesetzt werden, daß die Güter des Qualitätsniveaus 1 (Stufe 0) von jedermann produziert werden können. Die Behandlung dieser Güter von geringster Qualität stellt kein Problem dar, wenn sich bereits wesentliche Verbesserungen in jedem Sektor eingestellt haben.

7.2 Das Verhalten der Unternehmen

285

hen, kann die implizierte Nachfragefunktion (der aggregierten gewinnmaximierenden Produzenten des Endprodukts) wie folgt geschrieben werden:

XjKj = L.[Aaq'"c'/PjKj]mi-a).

(7.4)

Dieses Ergebnis entspricht der Gleichung (6.4), wenn Kj — 0 ist. Der führende Güterproduzent verhält sich in diesem Umfeld als Monopolist, wobei die Gewinnmaximierung zu derselben Zuschlagskalkulation führt, wie sie bereits in (6.7) dargestellt worden ist: Monopolpreissetzung ==>· PjK. = Ρ = \/a.

(7.5)

Folglich ist der Monopolpreis wieder im Zeitablauf und in allen Sektoren konstant. Die aggregierte produzierte Menge des y'-ten Zwischenproduktes - mit jeweils führender Qualität - kann aus (7.4) bestimmt werden:

Monopolpreissetzung

XjlCj = LAl/a~a) a2/(}~a) ηκ'α/(1~α).

(7.6)

Da Kj — 0 im Modell des Kapitels 6 vorausgesetzt worden ist, ist diese Menge im Zeitablauf und in allen Sektoren konstant gewesen (vgl. (6.8)). Die zeitliche Entwicklung von kj in jedem Sektor und die Unterschiede von kj zwischen den Sektoren führen nun zu Variationen von XjKj in der Zeit und zwischen den Sektoren. Angenommen, die Güter der Qualitätsstufe unterhalb von kj stehen ebenfalls für die Produktion des Sektors j zur Verfügung. In diesem Abschnitt wird unterstellt, daß der Kj-te Innovator, der über die Rechte zur Produktion der besten Güterqualität verfügt, nicht auch der (Kj — l)-te Neuerer ist, der die zweitbeste Qualität herstellen kann. Wenn der qualitätsmäßig führende Produzent den Monopolpreis gemäß (7.5) verlangt und dieser Preis hoch genug ist, dann ist der Produzent der folgenden geringeren Güterqualität in der Lage, positive Gewinne durch seine Produktion zu erzielen. Man erinnere sich mit Bezug zu (7.2) daran, daß die unterschiedlichen Qualitätsniveaus vollkommene Substitute darstellen, die aber mit ihren individuellen Niveaus gewichtet werden. Somit ist jede Einheit des marktführenden Gutes äquivalent mit q > 1 Einheiten des nächstbesten Gutes. Daraus folgt, daß in einer Situation, in der das höchste Qualitätsniveau einen Preis von PjKj hat, das Gut mit dem nächsten niedrigeren Qualitätsniveau maximal zum Preis (1 /q) PjKj verkauft werden kann und dasjenige mit einem um eine weitere Stufe darunter liegenden Niveau zum Preis (l/ 1, daß sich die Monopolpreisbildung durchsetzt. Diese Ungleichung gilt, wenn der Abstand q zwischen den Qualitätsverbesserungen groß genug ist; die geringeren Qualitätsniveaus werden dann unmittelbar aus dem Markt gedrängt, obwohl das führende Gut zum Monopolpreis angeboten wird. In diesem Fall wird nur die beste zur Verfügung stehende Qualität KJ eines jeden Typs des Zwischenproduktes produziert und als Input von den Produzenten des Endprodukts verwendet. Der Preis und die Qualität des Typs j sind dann durch (7.5) und (7.6) gegeben. Wenn aq < 1 ist, kann man Grossman und Helpman (1991, Kapitel 4) folgen, indem man annimmt, daß sich die Anbieter der Zwischenprodukte eines bestimmten Typs im Sinne der Preis-Konkurrenz nach Bertrand verhalten. In diesem Fall verfolgt der Qualitätsführer eine Grenzpreisstrategie, das heißt, er setzt einen Preis, der hinreichend weit unterhalb des Monopolpreises liegt, um die Produktion des nächstbesten Qualitätsniveaus gerade unprofitabel zu machen.3 Dieser Grenzpreis ist durch Grenzpreissetzung = > PjKj = q

(Jl)

gegeben. Wenn der Marktführer den Preis auf q — e festsetzt, wobei e eine beliebig kleine positive Zahl darstellt, kann der Produzent der nächstbesten Qualität höchstens den Preis 1 —€/q setzen, der zu einem Verlust führt. Die Güter mit geringerer Qualität werden also auch hier aus dem Markt gedrängt. Ein Vergleich von (7.7) und (7.5) zeigt, daß für aq < 1 - also für den Fall der Grenzpreissetzung - der Grenzpreis nicht größer als der Monopolpreis sein kann. Die gesamte Produktionsmenge (des höchsten Qualitätsniveaus) bei Grenzpreisbildung ist durch Grenzpreissetzung

XjKj

= LAl/0~a)

(a/q)l/i^a)

ςκ'α/0~α)

(7.8)

gegeben. Nun erbringt ein Vergleich von (7.8) und (7.6), daß die Produktionsmenge bei Grenzpreissetzung für aq < 1 mindestens so groß wie die Menge ist, die im Monopolfall produziert wird. Die Formeln für das Monopol in (7.5) und (7.6) beziehen sich auf die Situation aq > 1, während die Formeln für die Grenzpreissetzung in (7.7) und (7.8) für die Situation aq < 1 gelten. In beiden Fällen ergibt sich der Preis durch einen Zuschlag auf die marginalen Produktionskosten, und nur die beste verfügbare Qualität eines jeden Typs des Zwischenproduktes wird tatsächlich in jedem Sektor produziert und durch die Hersteller der Endprodukte verwendet. Die nachfolgende Diskussion wird hauptsächlich auf die Situation aq > 1 abstellen, so daß die Formeln (7.5) und 3

Grossman und Helpman (1991, Kapitel 4) gehen tatsächlich von a = 0 aus, so daß die Nachfrageelastizität absolut den Wert eins annimmt und der Monopolpreis aus (7.5) gegen unendlich geht. Da in dieser Situation die Ungleichung aq < 1 gelten muß, kann die Monopolpreisbildung in ihrem Modell keine Anwendung finden.

7.2 Das Verhalten der Unternehmen

287

(7.6) für das Monopol Anwendung finden. Die wichtigsten Ergebnisse sind jedoch ähnlich, wenn aq < 1 ist, so daß sich die Grenzpreissetzung durchsetzt. 4 Die bisherigen Ergebnisse können dazu verwendet werden, die Produktionsfunktion (7.1) wie folgt umzuschreiben: Ν Yj = A L]-£* · ^^ qalc' ;=ι

,

(7.9)

wobei XijK der Input des y'-ten Zwischenproduktes der höchsten verfügbaren Qualitätsstufe Kj ist, der vom Unternehmen i eingesetzt wird. Mit anderen Worten kann man alle Güter mit einem geringeren als dem führenden Qualitätsniveau vernachlässigen. Ersetzt man die Menge XijICj durch den entsprechenden Ausdruck aus (7.6) (unter Verwendung von L, statt L) und aggregiert über alle Unternehmen i, so erhält man einen Ausdruck für die aggregierte Produktionsmenge: Ν ;=1 Da die Größen L und Ν konstant sind, stellen Verschiebungen der Qualitätsstufen κ j nach oben in den verschiedenen Sektoren den Schlüssel für das Wachstum von Y in diesem Modell dar. Man kann einen aggregierten Qualitätsindex Ν Qs^q**"/«-")

(7.11)

j=ι definieren, so daß man y

=

A

l/(l-«)a2«/(l-a)i/ö

(7.12)

erhält. Der Index Q ist eine Kombination der unterschiedlichen Werte kj, und Erhöhungen von Kj beeinflussen den aggregierten Output in dem Ausmaß, in dem sie Q erhöhen. Der Aggregation von (7.6) über die einzelnen Sektoren ist darüber hinaus zu entnehmen, daß sich die mit X bezeichnete gesamte Menge der produzierten Zwischenprodukte proportional zu Q verhält: X =

Al/d-a)

a2/(\-a) LQ

(713)

Im folgenden werden die Determinanten der Veränderungen der Werte der Kj betrachtet. 4 Die Grenzpreissetzung findet in jedem Fall nur dann Anwendung, wenn die aufeinander folgenden Innovatoren unterschiedliche Personen sind. Später wird argumentiert, daß der Qualitätsführer tendenziell alle Neuerungen durchführt; in diesem Fall sind die Ergebnisse der Grenzpreissetzung nicht relevant.

288

7.2.2

Kapitel 7. Modelle mit Verbesserungen der Produktqualität

Der Anreiz zur Innovation

DER STROM DES MONOPOLGEWINNS. Die Innovation in einem Sektor tritt in der Form einer Qualitätsverbesserung um ein Vielfaches q auf. Der Kj-te Innovator im Sektor j erhöht die Qualität von qK>~x auf qK>. Dieser Neuerer ist in der Lage, den Preis gemäß (7.5) zu setzen und die Menge an Zwischenprodukten nach (7.6) zu verkaufen. Der momentane Gewinn, der mit der Qualitätsstufe Kj verbunden ist, beträgt (Ρ — 1) XJK] und ist deshalb durch die folgende Gleichung gegeben. π,κ. = LAVd-) '

—

α 2/(1-α)

κ,α/σ-α)

U )

a

Der in (7.14) dargestellte Gewinn entsteht, wenn κ j die höchste Qualitätsstufe in einem Sektor ist; er wird daher vom Zeitpunkt tKj der «j-ten Qualitätsverbesserung an bis zum Zeitpunkt tKj+\ der nächsten Verbesserung durch einen Konkurrenten realisiert. (Zu beachten ist, daß der Kj-te und der [(Kj) nach (7.16) gilt. Der erwartete Ertrag pro Zeiteinheit für die Ausführung der (kj + 1)ten Innovation ist gleich pjKj E(VjKj+\). Somit beträgt der erwartete momentane Nettogewinn Π jKj aus der Forschung eines Sektors, der sich gegenwärtig auf der Qualitätsstufe Kj befindet, pjKj E{VjKj+\) — ZjKj, was gleichbedeutend ist mit 1

[

fy α

_(«rj+l)a/(l-a) / + Ρί,κ,+χ

(7.20)

Wiederum wird freier Eintritt in die Forschung unterstellt. Somit muß Π jK = 0 gelten, wenn ZJKj > 0 ist. Da nun die Größe ZjKj aus (7.20) wegfällt, ergibt sich als Bedingung für den freien Markteintritt r + Pj,Kj+l = LA'/»-«)

α 2/(1-«) φ { κ . }

^,+υα/α-αο.

(7-21)

Man beachte, daß der rechte Term von Kj abhängt, sich aber ansonsten zwischen den einzelnen Sektoren nicht unterscheidet. Die Gleichung (7.21) impliziert, daß die Wahrscheinlichkeit einer Erfindung aufgrund zweier gegensätzlicher Effekte allgemein mit kj variiert. Der Ausdruck q(K,+\)an\-a) e r s c heint, weil sich der erwartete Ertrag aus einer Innovation durch den Anstieg von Kj erhöht (vgl. (7.19)). Dieser Effekt entsteht, da sich die Menge der verkauften Zwischenprodukte (Gleichung (7.6)) mit zunehmender Qualität und folglich mit kj erhöht. Der zweite Term

(7.22)

wobei zu beachten ist, daß pjKj = ZjKj rp(Kj) gemäß (7.16) gilt. Der Parameter ξ > 0 repräsentiert die Kosten der Forschung; ein höheres ζ verringert die Erfolgswahrscheinlichkeit für gegebene Werte von ZjKj und Kj. Im Modell mit einer expandierenden Vielfalt an Zwischenprodukten im Kapitel 6 ist der Parameter η eine vergleichbare Maßeinheit für die Kosten der Forschung gewesen. Der Term q-ki+Ua/a-a) j n der Gleichung (7.22) beschreibt den negativen Effekt der Komplexität eines Projektes (repräsentiert durch Kj+i) auf die Erfolgswahrscheinlichkeit. Diese spezielle Form kürzt den weit rechts stehenden Term in (7.21) heraus. Aus diesem Grund ändert sich Pj,Kj+i nicht mit Kj. Setzt man (7.22) in (7.21) ein, so ergibt sich als Bedingung für den freien Markteintritt r + ρ = (L/ξ) A 1/,(I ~ o) —

a

a2«l~a\

(7.23)

wobei ρ = Pj,Kj+1 gesetzt worden ist, weil die Wahrscheinlichkeit nun einen konstanten Wert annimmt (über die einzelnen Sektoren hinweg und im Zeitverlauf für einen gegebenen Sektor). 8 Diese Formel stimmt (nachdem η durch ξ ersetzt worden ist) mit dem Ergebnis des Modells aus Kapitel 6 (Gleichung (6.23)) überein, in dem die Zwischenprodukte mit der Wahrscheinlichkeit ρ pro Zeiteinheit unter Konkurrenzbedingungen produziert werden. 9 Die rechte Seite der Gleichung (7.23) stellt den internen Zinssatz aus der Forschung dar (den erwarteten Strom des Gewinns pro Einheit des Forschungsaufwands). Der wesentliche Aspekt ist jedoch, daß ein erfolgreicher Forscher diesen Ertrag nur bis zum Zeitpunkt der nächsten Innovation erhält. Der interne Zinssatz muß deshalb den normalen Zinssatz r und die Prämie für die Wahrscheinlichkeit ρ pro Zeiteinheit umfassen, damit ein Konkurrent erfolgreich wird und dadurch den gegenwärtigen Anbieter aus dem Markt verdrängt. 8 Die Gleichung (7.21) bestimmt die Wahrscheinlichkeiten Pj,Kj+1, die der nächsten Qualitätsstufe eines jeden Sektors entsprechen. Im Gleichgewicht können sich die gegenwärtigen relativen Ausgaben für die Forschung und Entwicklung zwischen den Sektoren von dem Betrag, der dem konstanten ρ (vgl. die folgende Gleichung (7.24)) entspricht, durch einen Zufallsterm unterscheiden. 9 Für den Fall der Grenzpreissetzung (Gleichungen (7.7) und (7.8)) muß (7.23) zu

r + ρ = (L/ξ) Λ1/*1""" ( 9 - l )

(a/q)l'il->

modifiziert werden. Dieses Ergebnis gilt für aq < 1 und reduziert sich auf (7.23), wenn aq = 1 ist.

293

7.2 Das Verhalten der Unternehmen

Die Gleichung (7.23) impliziert, daß die Wahrscheinlichkeit einer Neuerung pro Zeiteinheit den Wert ρ = (L/ζ) Α1*™

—

a

α2/(1-α) - r

(7.24)

hat. Wenn sich r im Zeitablauf nicht verändert, dann ist auch ρ konstant (und für alle Sektoren gleich). Die Menge der für die Forschung und Entwicklung aufgewendeten Ressourcen in Sektor j beträgt Z j K j — p/(Kj). Ersetzt man (κ;) und ρ durch die Gleichungen (7.22) und (7.24), so resultiert ZjKt

=

g+i>«/

· ( l A

1

^

1

- ^ ^

a

V (

l

- < * ) _

.

^

Daraus folgt, daß fortschrittlichere Sektoren - mit höheren Werten von κ ; - größere Forschungsanstrengungen aufweisen. Die Erfolgswahrscheinlichkeit ist jedoch von Kj unabhängig, da (7.22) impliziert, daß entsprechend größere Forschungsaufwendungen in fortschrittlicheren Sektoren erforderlich sind, um die gleiche Wahrscheinlichkeit zu realisieren. Die aggregierten Ausgaben für die Forschung und Entwicklung betragen Ζ

Ξ

Zj*j

=

Q qa'

( X

~

a )

•

(LA1/(1-θ)

α2/(1-α)

_

_

(7 26)

wobei Q der in (7.11) dargestellte aggregierte Qualitätsindex ist. Daher verhält sich Ζ proportional zu Q für einen gegebenen Wert von r. 7.2.3

Das Verhalten des aggregierten Qualitätsindexes

Das Niveau des aggregierten Outputs Y in (7.12), die gesamten für Zwischenprodukte X aufgewendeten Mittel gemäß (7.13) sowie die gesamten Ausgaben Ζ für die Forschung und Entwicklung in (7.26) stellen alle konstante Vielfache des aggregierten Qualitätsindex Q dar. (Hier wird angenommen, daß r konstant ist, eine Bedingung, die im Gleichgewicht gilt.) Daher sind die Wachstumsraten dieser Größen alle gleich der Wachstumsrate von Q: Yy = Yx = Yz =

Yq-

Um das Wachstum in diesem Modell zu verstehen, müssen folglich die Veränderungen von Q im Zeitablauf erläutert werden. Man erinnere sich an die Definition von Q in (7.11): Ν Q =

J2qK'a/{1~a)· j=ι

(7-11)

294

Kapitel 7. Modelle mit Verbesserungen der Produktqualität

Wenn sich im Sektor j keine Neuerung einstellt, ändert sich der Ausdruck nicht, wohingegen er im Falle eines Forschungserfolges auf ^(Ό+ΐ) r gilt. Zweitens fällt r gemäß (7.42) in p, weil der private Ertrag einer Innovation temporär ist. Dieser Einfluß führt tendenziell zu re > r. Schließlich enthält (7.41) den Term [1 — ί7~α/(1_α>] < 1, da der Marktführer nur den Zuwachs an Barwert durch einen Forschungserfolg bewertet. Dieser Term führt tendenziell zu re < r. Wenn man (7.36) dazu verwendet, ρ in (7.42) zu ersetzen, erhält man den in (7.34) dargestellten Gleichgewichtswert für r. Gilt ξι = ζ, so daß der Marktführer keinen Kostenvorteil in der Forschung besitzt, kann anhand von (7.41) und (7.34) gezeigt werden, daß rt < r ist.17 Der Unterschied zwischen den internen Zinssätzen läßt sich auf zwei einander entgegengesetzte Kräfte zurückführen: Da die Enteignung der bestehenden Monopolrenten nicht gewichtet wird, ist tendenziell ri < r, aber da die Innovationen als permanent angesehen werden, ergibt sich eher ri > r. Der Nettoeffekt ist eindeutig, weil die beiden Kräfte im wesentlichen gleich groß sind, mit der Ausnahme, daß sie sich im Vorzeichen unterscheiden und die eine etwas früher als die andere einsetzt. Die Entnahme der Monopolrente stimmt mit dem Betrag überein, den er von dem Vorgänger übernommen hat. Die Behandlung einer Innovation als vorübergehend ist gleichbedeutend mit der Vernachlässigung der Renten, die von den folgenden Erfindern übernommen werden. Die Terme sind von der Größenordnung her gleich, abgesehen von zwei Überlegungen: Der letzte Term ist wegen des Wachstums der Völkswirtschaft mit der Rate γ größer; als Barwert ist er aufgrund der Abzinsung mit der Rate r jedoch kleiner. Die Transversalitätsbedingung r > γ impliziert, daß der erste Term überwiegt, so daß < r gelten muß. 16 Wenn r < rt ist, wobei rt durch (7.41) gegeben wird, ist die Ableitung von E(VjK.) nach pjKj positiv, so daß der Marktführer uneingeschränkt zu forschen bereit ist. Gilt r > ri, ist die Ableitung negativ, so daß keine Forschung betrieben wird und die Volkswirtschaft nicht wächst. Ein Gleichgewicht mit positivem Wachstum erfordert deshalb r = r(. 17 Für den Beweis wird die in der Fußnote 12 angegebene Transversalitätsbedingung r > γ benötigt.

7.4 Innovation durch den Marktführer 7.4.2

301

Forschung durch Außenseiter

Nun wird angenommen, daß sowohl der Marktführer als auch außenstehende Konkurrenten forschen können. Gilt ζ = ξι, implizieren die beiden Gleichungen (7.41) und (7.34), daß rt < r ist; das heißt, daß die Außenstehenden die Forschung vorteilhafter als der Marktführer bewerten. Die Erfolgswahrscheinlichkeit ρ und die erwartete Wachstumsrate der Qualität in jedem Sektor sind deshalb höher als die Werte, die durch einen Marktführer mit Exklusivrechten an der Forschung bestimmt werden. Diese Ergebnisse bedeuten nicht, daß die gesamte Forschung von Außenseitern durchgeführt wird. Bei gegebener Bereitschaft der Konkurrenten, ausreichend Forschung zu betreiben, um eine Erfolgswahrscheinlichkeit von ρ zu realisieren, muß der Marktführer diese Wahrscheinlichkeit einer Innovation als Restriktion akzeptieren, die durch die Existenz der von außen kommenden Konkurrenz gegeben ist. (Diese Nebenbedingung ist hier wirksam, weil die Marktführer sonst eine geringere Wahrscheinlichkeit bestimmen.) Für eine gegebene Erfolgswahrscheinlichkeit und damit eine gegebene erwartete Dauer der gegenwärtig führenden Technik - ist der interne Zinssatz der Forschung für den Marktführer genau so groß wie derjenige für die Außenseiter (für ξ — ξι). Obwohl der Marktführer die Entnahme der bestehenden Monopolrenten nicht als Bestandteil der Erträge aus der erfolgreichen Forschungstätigkeit betrachtet, zählt er die Vermeidung des Verlustes dieser Monopolrenten an einen außenstehenden Konkurrenten als einen Ertrag. Wenn also ξ = ξι gegeben ist, behalten die bisherigen Ergebnisse - für r in (7.34), γ in (7.35) und ρ in (7.36) - ihre Gültigkeit, aber es ist gleichgültig, ob die Forschung von den Marktführern oder von außenstehenden Konkurrenten durchgeführt wird.18 Nun wird von der realistischeren Annahme ξι < ξ ausgegangen, das heißt, die gegenwärtigen Anbieter haben einen Kostenvorteil bei der Verbesserung und Verfeinerung bestehender Arten von Produkten. Früher ist bereits bemerkt worden, daß rt < r gilt, wenn ξι = ξ ist. Die Gleichung (7.41) weist jedoch daraufhin, daß eine Verringerung von ξι einen Anstieg von rt bewirkt. Es gibt einen kritischen Wert ξ, so daß ξι < ξ die Bedingung ri > r impliziert. Wenn der Kostenvorteil des Marktführers in der Forschung in jedem Sektor groß genug ist, so daß ξι < ξ gilt, beschränkt die Existenz von außenstehenden Konkurrenten den Insider nicht bei der Wahl seiner Forschungsintensität. Daher verlangt die Bedingung ξι < ξ, daß der gleichgewichtige interne Zinssatz mit dem Wert ri aus (7.41) übereinstimmt und daß die Wachstumsrate entsprechend durch γι = (χι — ρ)/θ gegeben ist.19 Man beachte, daß in den Berechnungen, die diesen Ergebnissen für ri und γι zugrunde liegen, die Innovationen als andauernd behandelt werden und der Übernahme der gegebenen Monopolrenten kein Wert beigemessen wird. 18

Diese Aussage ist korrekt, wenn sich die Monopolpreissetzung in jedem Fall durchsetzt. Dieses Gleichgewicht determiniert die aggregierten Ausgaben für die Forschung und Entwicklung und die gesamtwirtschaftliche Wachstumsrate. Die Allokation der Forschung und Entwicklung über die Sektoren hinweg ist allerdings indeterminiert, da alle internen Zinssätze der Forschung durch die Marktführer gleich re sind und nicht vom investierten Betrag abhängen. Vgl. die Fußnote 8 hinsichtlich einer analogen Unbestimmtheit des Modells, in dem die Outsider die gesamte Forschungstätigkeit betreiben. 19

302

Kapitel 7. Modelle mit Verbesserungen der Produktqualität

Man betrachte nun den Bereich ζ < ζ( < ζ. In diesem Fall ist der Kostenvorteil für die Marktführer nicht groß genug, um die Konkurrenz durch Außenseiter zu vernachlässigen. Das Gleichgewicht ist dann analog zur Grenzpreissetzung zu sehen. Die Forschungsintensitäten und die entsprechende Erfolgswahrscheinlichkeit sind gerade groß genug, um Außenstehende vom Eintritt in die Forschung abzuhalten. Insbesondere nimmt die Grenzerfolgswahrscheinlichkeit den Wert ρ in (7.36) an. In diesem Gleichgewicht führen die Branchenführer zwar die gesamte Forschung durch, aber die Lösungswerte für r und γ stimmen mit denjenigen überein, die sich einstellen, wenn die gesamte Forschung durch außenstehende Konkurrenten durchgeführt wird (Gleichungen (7.34) beziehungsweise (7.35)).20 Folglich wird auf der einen Seite nicht mehr der ständige Rollenwechsel vorhergesagt, bei dem jede Innovation mit dem Austausch des Branchenführers durch einen Outsider einhergeht. Auf der anderen Seite stellen sich aber die gleichen Lösungswerte für r und γ wie in dem Modell mit ständigem Rollenwechsel ein. Die Ergebnisse erscheinen so, als ob die Forscher nach den Renten des gegenwärtigen Anbieters streben und erwarten, daß ihre Erfolge nur von vorübergehender Dauer sind.

7.5

Pareto-Optimalität

Die Pareto-Optimalität der dezentralen Gleichgewichte läßt sich wiederum bewerten, indem man sie mit der Lösung des Problems einer Planungsbehörde vergleicht. Die Planungsbehörde strebt an, den Ausdruck für den Nutzen in (7.31) unter der Ressourcenrestriktion der Volkswirtschaft Ν Υ = Al)~a

•Σ 7=1

Ν {qK> XjKj)a

= C+

Σ(Χ;

Κ ί

+ Z j ) = C+X

+ Z

(7.43)

Μ

zu maximieren. Der erste Teil dieser Gleichung besagt, daß der gesamte Output von den Qualitätsniveaus qK> und den eingesetzten Mengen XjKJ der in den jeweiligen Sektoren marktführenden Zwischenprodukte abhängt. (Hier ist bereits das Ergebnis berücksichtigt worden, daß die optimierende Planungsbehörde Zwischenprodukte mit geringerer als der führenden Qualität weder produziert noch verwendet.) Der nächste Teil der Gleichung zeigt, daß die Produktionsmenge für den Konsum C, für die Zwischenprodukte X und für die Forschung und Entwicklung Ζ verwendet werden kann. Das Problem der Planungsbehörde ist auch durch die Technik der Forschung und Entwicklung beschränkt. Für die Wahrscheinlichkeit eines Forschungserfolgs 20 Der einzige Unterschied zu den bisherigen Ausführungen ist darin zu sehen, daß die Forschungsausgaben Ζ kleiner sind, da sie von den Kosten der Forschung ξ ι der Marktfiihrer und nicht von denjenigen der außenstehenden Konkurrenten, also von ζ abhängen. Das Konsumniveau C in der Gleichung (7.33) ist entsprechend höher.

303

7.5 Pareto-Optimalität

im Sektor j, der die Qualitätsstufe κj erreicht hat, wird wieder die Gleichung (7.37) angenommen: Pj Kj = ( Z j K j n t ) q - < ' > + W U - ) .

(7.37)

Da die Planungsbehörde die Forschungsaktivitäten den Forschern mit den geringsten Kosten zuweist, werden die Forschungskosten ζι des Marktführers verwendet, von denen angenommen wird, daß sie nicht höher als die Kosten für die außenstehenden Konkurrenten sind. Vorteilhaft ist es, zunächst die Auswahl der XjKj durch die Planungsbehörde zu ermitteln - ein statisches Problem - und dann unter Verwendung dieses Ergebnisses eine vereinfachte Hamilton-Funktion zu formulieren. Man kann zeigen, daß die Bedingung erster Ordnung für die Maximierung von U in bezug auf XjKj XjKj (Planungsbehörde) = LAl/([~a)

α1/(1"α)

(7.44)

impliziert. Wie bereits gezeigt worden ist, lautet das Ergebnis in einer dezentralen Volkswirtschaft XjK] = LA^ 0 ist und (Kj) weiterhin gemäß (7.22) gegeben ist. Die Wahrscheinlichkeit, daß ein Forscher einen Erfolg pro Zeiteinheit hat, beträgt pjKj, multipliziert mit dem Anteil des Wissenschaftlers an den gesamten Aufwendungen der Forschung und Entwicklung im Sektor j. (a) Betrachten Sie die Bedingung des freien Markteintritts in die Forschung und Entwicklung im Sektor j\ Wie unterscheidet sich diese Bedingung von dem Ergebnis, das man erhält, wenn die Gleichung (7.20) gleich null gesetzt wird, wenn also e = 1 gilt? (b) Welche neue Art von Verzerrung ergibt sich für e < 1? (Hinweis: Betrachten Sie die Analogie zu einem Fischteich, der durch freien Zutritt und Überfüllung gekennzeichnet ist!) (c) Was geschieht, wenn e > 1 ist?

Aufgaben

309

(d) Diskutieren Sie, wie die gleichgewichtigen Forschungsintensitäten in jedem Sektor bestimmt werden, wenn e φ 1 ist! (Die technischen Einzelheiten dieses Problems sind bisher noch nicht ausgearbeitet worden.) 7.5 Alternative Beziehungen zwischen der Wahrscheinlichkeit eines Forschungserfolges und der Position auf der Qualitätsskala. Nehmen Sie an, daß die Gleichung (7.16) immer noch die Abhängigkeit der Wahrscheinlichkeit pjKj eines Forschungserfolges im Sektor j von den gesamten Forschungsbemühungen ZjKj dieses Sektors und der Position Kj auf der Qualitätsskala beschreibt! Unterstellen Sie jedoch, daß sich die Funktion 4>(kj) von deijenigen in (7.22) unterscheidet! (a) Wie verändern sich die Ergebnisse, wenn $'(*·,·) für alle Werte von Kj größer als der durch die Gleichung (7.22) gegebene Wert ist? (b) Wie verändern sich die Ergebnisse, wenn γ\ ist, die Menge der potentiellen Imitationen ausschöpft. Sind die Werte für A, und L, in beiden Ländern jeweils gleich, dann folgt aus der Bedingung ν < η, daß γι > γ\ ist (vgl. (8.6) und (8.12)). Das nachfolgende Land wächst dann schneller, weil die Imitation billiger als die Innovation ist. Allgemeiner gilt γι > Y\, sofern ν hinreichend kleiner als η ist; genauer formuliert ist Yi

>

Kl, wenn

ν/η


Y\ wächst die Anzahl N2 der im Land 2 bekannten Konstruktionspläne schneller als die Anzahl N\ der im Land 1 bekannten Entwürfe. Die Anzahl N2 erreicht irgendwann N\; anschließend kann das Land 2 durch eine Imitation der Innovationen des Landes 1 nicht mehr schneller als das Land 1 wachsen. (Einige Beobachter stellen fest, daß Japan als Land 2 diesen Punkt im Verhältnis zu den USA als Land 1 erreicht hat.) Die Änderung von N2 - durch Imitation - ist dann durch die Änderung von N\ beschränkt.3 Daher wachsen beide Länder mit der gleichen Rate, wenn das Land 2 alle Prototypen des Landes 1 übernommen hat. Im 3 Wenn die Imitatoren wissen, daß sie eine der Innovationen des Landes 1 durch die Zahlung von ν kopieren können, ist der interne Zinssatz der Imitation in dieser Situation zu hoch, um die Bedingung des freien Eintritts zu erfüllen. Man kann annehmen, daß J potentielle Imitatoren an einem Imitationswettlauf teilnehmen, bei dem jeder Teilnehmer den Betrag zahlt, um mit der Wahrscheinlichkeit 1 / 7 das Monopol fur die Verwendung der Kopie im Land 2 zu erhalten. Die Anzahl J wird sich dann so bestimmen, daß die Bedingung des freien Markteintritts erfüllt ist (wenn die Ganzzahligkeitsbeschränkung für J ignoriert wird). Bezeichnet y j die Wachstumsrate und ist r j der interne Zinssatz in diesem Gleichgewicht, dann liefert = (r\ - ρ)/θ= y\ die Beziehung r j = π (in (8.5) gegeben), sofern die Parameter ρ und θ in beiden Ländern gleich sind.

8.1 Ein Initiator-Imitator-Modell

317

Land 1 werden dann weiterhin Neuerungen durchgeführt, die das Land 2 unmittelbar imitiert. (Nimmt man an, daß die Imitation Zeit und Güter benötigt, so erfolgt die Nachahmung mit einer Verzögerung, und zwischen Land 1 und Land 2 bleibt immer eine technologische Lücke bestehen.4) Dieses Modell der Diffusion der Technik impliziert eine Art der Konvergenz, obwohl weder hinsichtlich der Innovation im Land 1 noch in bezug auf die Imitation im Land 2 abnehmende Produktivitäten auftreten. Das folgende Land mit N2 < N\ wächst mit einer größeren Rate als das führende Land, wenn die Ungleichung in (8.13) erfüllt ist. Die Ergebnisse liefern keine vollständige Beschreibung des Übergangs von einer hohen Wachstumsrate γζ > Yi - wobei Y2 nahezu konstant ist, wenn N2 weitaus kleiner als N\ ist - zu der geringeren Wachstumsrate γι =.γι, die für N2 = N\ gelten muß. Vermutlich beinhaltet das Gleichgewicht einen allmählich fallenden Pfad von γζ und allerdings ist diese Analyse noch nicht ausgearbeitet worden. Sind die Produktivitätsparameter A2 und A\ gleich, implizieren die Gleichungen (8.3) und (8.9) y2 < y\, wenn N2 < Ni ist. Der Lohnsatz W2 liegt entsprechend unterhalb von w\. Für A2 = A\ gilt >>2 = y\ und u>2 = w 1, sofern N2 = N\ ist. Ist dagegen A2 < A\, dann konvergieren yz und u>2 gegen Größen, die jeweils unterhalb von >>i und w\ liegen. (Allerdings begrenzt die Ungleichung in (8.13) das Ausmaß, in dem A2 kleiner als A\ sein kann, wenn das Land 2 während des Übergangs schneller als das Land 1 wachsen soll.) Falls A2 > A] ist, konvergieren y2 und u>2 gegen Niveaus, die jeweils oberhalb von y\ und w\ liegen. Das heißt, das imitierende Land kann im Hinblick auf das Pro-Kopf-Einkommen und den Lohnsatz irgendwann besser als das führende Land zurechtkommen. In jedem Fall müssen die beiden Länder nicht zu den gleichen Niveaus des Pro-Kopf-Outputs und des Lohnsatzes konvergieren, auch wenn sie dann mit der gleichen Rate wachsen.

8.1.3

Variierende Kosten der Imitation

Die bisherigen Ergebnisse hängen von der Annahme ab, daß bei der Innovation und bei der Imitation keine abnehmenden Produktivitäten auftreten. Die Konstanz der Produktivitäten der Innovation kann zum Beispiel durch das Argument verteidigt werden, daß die Anzahl der potentiellen Entdeckungen - hier also die der Güter unbegrenzt ist (vgl. die Diskussion bei Romer (1992)). Da eine unendliche Anzahl potentieller Erfindungen existiert, ist es zum einen möglich, daß der Beitrag jedes 4 Jovanovic und Lach (1991) konstruieren ein Modell mit einer Zeitverzögerung für die Imitation. Mansfield, Schwartz und Wagner (1981, S. 909) haben anhand ihrer Stichprobe mit 48 Innovationen herausgefunden, daß das Verhältnis der für eine Imitation notwendigen Zeit zu der für die Innovation erforderlichen Zeit durchschnittlich 70% ausmacht. Die Verzögerung, mit der Fortschritte in einer Branche bekannt werden, erscheint kurz. Zum Beispiel berichtet Mansfield (1985), daß 70% der Produktinnovationen den konkurrierenden Unternehmen innerhalb eines Jahres bekannt sind. Caballero und Jaffe (1993) ziehen aus ihrer Verwendung von Daten über Patentzitate (Hinweise in Patentdokumenten auf frühere Patente, auf denen die neue Entdeckung aufbaut) zur Messung der Zeit, die dafür nötig ist, daß vorhandene Ideen andere Forscher beeinflussen, ähnliche Schlußfolgerungen. Ihren Ergebnissen zufolge verläuft die Diffusion schnell mit einer mittleren Verzögerung von einem Jahr bis zwei Jahren.

318

Kapitel 8. Die Diffusion der Technik

neuen Produktes zum Output nicht mit der Anzahl der bereits entdeckten Produkte abnimmt, und zum anderen, daß die Kosten der Erfindung des nächsten Produktes nicht mit dieser Anzahl steigen. Für die Imitation stellt sich die Situation allerdings anders dar. Die Menge der Produkte, die durch einen Imitator kopiert werden können, wird in jedem Zeitpunkt durch die endliche Anzahl der durch die Initiatoren bereits entdeckten, aber noch nicht imitierten Produkte begrenzt. Berücksichtigt man Elemente der Heterogenität zwischen den Ländern, dann stellen sich manche Erfindungen des führenden Landes, hier das Land 1, als einfacher zu adaptieren und potentiell produktiver für das folgende Land 2 heraus. Daher sind die Erträge des vielversprechendsten Projektes, das sich imitieren läßt, tendenziell um so höher, je umfangreicher die Menge ist, aus der das folgende Land auswählen kann - das heißt, je größer die technologische Lücke zwischen dem Initiator und dem Imitator ist. Diese Idee kann formal dargestellt werden, indem die Kosten ν einer Imitation für das Land 2 als steigende Funktion des Verhältnisses von N2 zu N\ aufgefaßt werden: ν = ψ(Ν2/ΝΙ),

(8.14)

mit ψ > 0 und ψ ' > 0. Dabei wird angenommen, daß \jt{ 1) groß genug ist, um die vollständige Imitation zu verhindern - daß heißt, nicht alle Erfindungen werden im Gleichgewicht asymptotisch kopiert - , und daß ψ(Ό) klein genug ist, um eine positive Anzahl an Imitationen anzuregen (man beachte allerdings Fußnote 2). Die Wachstumsrate γι des Landes 2 nach (8.12) ist gleich der Wachstumsrate γ\ des Landes 1 nach (8.6), wenn die Kosten einer Innovation ν durch v* = n-(L2/Ll)-(A2/Al)1^

(8.15)

gegeben sind. Damit ist ν* = η, wenn Ai = A\ und Li = L\ gelten. Aufgrund der Eigenschaften der Funktion r/r kann das eindeutige Verhältnis von N2 zu N\, das mit den Kosten υ* nach (8.15) vereinbar ist, mittels (8.14) berechnet werden: (N2/N1)* = φ[η· (Li/Li)

• (Aa/Ai) 1 '»-" 0 ],

(8.16)

wobei φ die inverse Funktion von ψ aus (8.14) ist. Aus den Eigenschaften von ψ folgt φ' > 0, φ" < 0 und 0 < (N2/NI)* < 1. Für N2/N\ = {NI/N^Y sind beide Länder in einem langfristigen Gleichgewicht, in dem N2 und N\ mit derselben Rate (der Innovation beziehungsweise Imitation) wachsen. Weil das Verhältnis N2/N\ dann konstant bleibt, impliziert die Form von (8.14), daß υ konstant gleich v* ist. Die Gleichung (8.12) bestimmt daher die konstante Wachstumsrate γι = γ\ im Land 2. Damit impliziert der Prozeß der technischen Diffusion, daß das nachfolgende Land langfristig dieselbe Wachstumsrate wie das führende Land hat, selbst wenn die Produktivitätsparameter A, und die

8.1 Ein Initiator-Imitator-Modell

319

Landesgrößen Li unterschiedlich sind. Dieses Ergebnis gilt auch dann, wenn die Volkswirtschaften sich bezüglich ihrer Präferenzparameter p,· und 0; unterscheiden, die die Sparneigung festlegen. Für die bisherige Annahme p2 = ß\ und 02 = θ\ impliziert die Angleichung der Wachstumsraten im langfristigen Gleichgewicht auch die Entsprechung der internen Zinssätze, das heißt, der langfristige Wert von r-i nach (8.11) ist gleich dem Wert von r\ nach (8.5). 5 Die Diffusion der Technik führt also auch ohne einen internationalen Kapitalmarkt zu einem Ausgleich der Zinssätze im langfristigen Gleichgewicht. (Die internen Zinssätze stimmen allerdings nicht überein, wenn sich die Präferenzparameter p, und Θ, der Volkswirtschaften unterscheiden.) Für N 2 /N\ < (N2/N1)* impliziert (8.14), daß υ < ν* ist. Die geringeren Kosten der Imitation erhöhen ri tendenziell über r\ und damit die Wachstumsrate Y2 von N2 über γ\ hinaus. 6 Wenn also das Land 2 mit N2/N\ < (N2/N1)* startet, dann steigen Λ^/Νι und folglich auch ν tendenziell in der Zeit und γ2 neigt dazu, in Richtung des langfristigen Gleichgewichtswertes γ\ zu fallen. Wenn das Land 2 m i t A ^ / M > (N\/N2)* startet, verläuft der Prozeß umgekehrt. Das Modell liefert eine bekannte Art des Konvergenzverhaltens: Das Land 2 wächst um so schneller, je weiter es vom langfristigen Gleichgewicht nach unten abweicht, das heißt, je kleiner N2/N1 im Vergleich zu (N2/N1 )* ist. Dieses Ergebnis kann als log-lineare Näherung in der folgenden Form dargestellt werden: γ ι « y\ - μ log

N2/NI

L(JV2/WJ

(8.17)

Der positive Parameter μ, der die Geschwindigkeit der Konvergenz bestimmt, hängt von den Eigenschaften der Funktion ^r in (8.14) ab. Man beachte, daß γ2 = Y\ ist, wenn N2/N\ = (N2/N1)* gilt, und daß γ2 steigt, wenn N2/N\ für einen gegebenen Wert von (N2/NI)* fällt. Mittels (8.3) und (8.9) kann das Konvergenzergebnis in den Niveaus der ProKopf-Outputs ausgedrückt werden. Das Verhältnis der Pro-Kopf-Produkte ist durch yi/yi

= {A2/AXFL{X-A)

(Ν2/ΝΙ)

gegeben. Im langfristigen Gleichgewicht mit N2/N\

(8.18)

= (^2/^1)* erhält man

(yi/y 1)* = ( A 2 / A , ) ' / ( 1 - a ) (N2/Nl)*,

(8.19)

s Man erinnere sich daran, daß (8.11) aus einer Bedingung des freien Markteintritts abgeleitet worden ist, der die Annahme eines konstanten internen Zinssatzes zugrundeliegt. Daher ist diese Annahme für das Modell im langfristigen Gleichgewicht angemessen. 6 Mittels der Bedingung des freien Markteintritts für die Imitation kann gezeigt werden, daß r-ι = Tt2j/v + ( • (γ2 ~ Y i ) ist, wobei n i j den Strom der Monopolgewinne nach (8.10) und e die Elastizität von ν in bezug auf Ni/N\ angibt. Interpretiert man ν als Preis für die Rechte an einem Gebrauchsmuster, dann ist der erste Term in dem Ausdruck für r2 ein Analogon zu dem realen Strom der Dividenden aus diesem Anspruch, während der zweite Term dem Kapitalgewinn aufgrund der Veränderung von ν in der Zeit entspricht. Eine Erhöhung von N2/N1 steigert tendenziell ν und senkt damit tendenziell r^. Allerdings ist es nicht gelungen, hinreichende Bedingungen dafür abzuleiten, daß monoton fällt, wenn Nj/N\ zunimmt.

320

Kapitel 8. Die Diffusion der Technik

wobei (N2/NI)* nach (8.16) in LI/L\ und A2/A1 steigt. Das Verhältnis von N I / N \ zu (NifN\ )* in (8.17) kann durch das entsprechende Verhältnis der Pro-Kopf-Produkte ersetzt werden: (8.20) Die Gleichung (8.20) impliziert eine Art der bedingten Konvergenz: Die Wachstumsrate Y2 fällt mit yih\ für gegebene Werte von (yi/y\)* und γ\. Die Gleichungen (8.19) und (8.16) implizieren, daß (yz/yi )* eine steigende Funktion von A 2 /A\ und L2/L1 ist. Für gegebene Werte von yi/y\ und γ\ wächst damit eine nachfolgende Volkswirtschaft schneller, wenn Ai/A\ und L2/L1 größer sind, das heißt, wenn das Niveau der Technik und die Wirtschaftspolitik des folgenden Landes im Vergleich zum führenden Land vorteilhafter sind und das folgende Land relativ groß ist. Diese Effekte spiegeln die positiven Wirkungen von Ai und Li auf die Anreize wider, neue Produkte im Land 2 einzuführen. Alternativ kann man eine Gruppe von folgenden Ländern i = 2, 3 , . . . mit den zugehörigen Pro-Kopf-Einkommen )>,· betrachten. Wenn die Werte der A, und L, jeweils ungleich sind, wachsen die ärmeren Länder nicht unbedingt schneller, daß heißt, die absolute Konvergenz muß nicht eintreten. Die beobachteten Werte von y< müssen in Abhängigkeit von A,· und L, (oder von beobachtbaren Vertretern dieser Variablen) gesehen werden, um die vorhergesagte inverse Relation zwischen der Wachstumsrate und dem Startwert des Pro-Kopf-Einkommens isolieren zu können. Diese Ergebnisse über die bedingte Konvergenz hängen nicht von abnehmenden Produktivitäten des Kapitals oder der Innovation ab, erfordern aber eine Art abnehmender Produktivitäten der Imitation. Die wesentliche Annahme besteht darin, daß die Kosten einer Imitation für eine gegebene Menge an Erfindungen mit der Anzahl der bereits kopierten Güter steigen. 8.1.4

Empirische Implikationen für die Konvergenz

Eine wichtige Frage ist, ob die Art der bedingten Konvergenz, die in diesem Modell der Diffusion der Technik auftritt, empirisch von der Art der Konvergenz in den Standardmodellen einer geschlossenen Völkswirtschaft, wie etwa dem SolowSwan-Modell oder dem Ramsey-Modell in den Kapiteln 1 und 2, unterschieden werden kann. In den früheren Modellen impliziert die logarithmische Linearisierung um das langfristige Gleichgewicht, daß die Wachstumsrate des Pro-Kopf-Einkommens für das Land i näherungsweise gleich Y i & x - ß log(y,/y?)

(8.21)

ist, wobei χ die Rate des arbeitsvermehrenden technischen Fortschritts, β > 0 die Geschwindigkeit der Konvergenz, yi den Output pro effizienter Arbeitseinheit und y* den langfristigen Gleichgewichtswert von y, bezeichnen. In (8.21) wird angenommen, daß χ und β für alle Länder gleich sind. Die beobachtbare Variable y,

8.1 Ein Initiator-Imitator-Modell

321

steht zu yi in der Beziehung l o g ( y t ) = log(y ( ) - xt, wobei t die Zeit ist. Setzt man diese Formel in (8.21) ein, so folgt Yi = x-β

log ( y i ) + β log(y?) + β xt.

(8.22)

Für den Querschnitt über verschiedene Länder einer gegebenen Zeitperiode ist ßxt eine Konstante, die in (8.22) zu der Konstanten χ addiert wird. Angenommen, es liegen beobachtbare Variablen für jedes Land vor, die hinreichend genaue Näherungen für die Variationen von y* liefern. (Im Kapitel 12 werden Maße der Wirtschaftspolitik, demographische Faktoren, Investitionsquoten und andere Variablen verwendet.) Dann kann eine Regressionsgleichung in der Form von (8.22) ermittelt werden, um einen Schätzwert des Koeffizienten β zu erhalten. Die Gleichung (8.20) des Diffusionsmodells impliziert für die Wachstumsrate des folgenden Landes i Yt&Yi-

μ log(y,·) + μ log(yi) + μ

log(yi/yi)*,

(8.23)

wobei die Volkswirtschaft 1 das technisch führende Land der Welt ist. Allgemeiner kann das Land 1 für eine Anzahl führender Volkswirtschaften stehen, die die folgenden Länder in verschiedenen Sektoren kopieren können. Für einen Querschnitt von nachfolgenden Ländern sind γ\ und y\ Konstanten in einer gegebenen Zeitperiode. Angenommen, es liegen beobachtbare Variablen vor, die hinreichend genaue Näherungen für die Variationen von (yi/y\)* liefern; diese Variablen entsprechen operational denen, die bereits als Näherungsgrößen für Variationen von y* genannt worden sind. Dann läßt sich eine Regressionsgleichung in der Form von (8.23) angeben, um einen Schätzwert für den Koeffizienten μ zu berechnen. Diese Schätzung stimmt mit derjenigen für β nach (8.22) überein. Damit sind beide Modelle durch eine Querschnittsanalyse nicht zu unterscheiden. Eine Trennung beider Modelle kann aufgrund von Paneldaten durchgeführt werden, die Variationen von yi in der Zeit enthalten. Der Schlüssel zu der Unterscheidung liegt darin, daß nach (8.23) der Wachstumseffekt von log(;y,) durch den Wert des Initiators, log(yi), bedingt wird. Wenn das langfristige Gleichgewichtsverhältnis (yi/y\ )* konstant gehalten wird, führt eine Erhöhung von log(yi) bei gegebenem log(}>,) zu einer Verringerung der Wachstumsrate des Landes i. Im Gegensatz dazu hängt die Wachstumsrate des Landes i nach (8.22) nicht von log()>i) ab.7 Eine praktische Schwierigkeit besteht allerdings darin, daß (8.22) mit β xt einen weiteren Term enthält, der sich in der Zeit ändert. Dieser Ausdruck enthält die Effekte des exogenen technischen Fortschritts; die beobachtbare Variable log(;y,·) muß 7

Nach Chua (1993, Kapitel 2 und 3) können spillover-Effekte zwischen den Ländern dazu führen, daß die Wachstumsrate des Landes i von den Variablen des Landes j abhängt. Damit liefert er einen anderen Grund, warum y, von l o g ( ^ ) bestimmt wird. Allerdings stellt Chuas Analyse nicht die technischen Initiatoren der Welt heraus, die im Diffusionsmodell durch das Land 1 repräsentiert werden.

322

Kapitel 8. Die Diffusion der Technik

hinsichtlich dieses Effektes gefiltert werden, um den Konvergenzeffekt zu isolieren. Die Unterscheidung zwischen beiden Theorien erfordert in der Praxis daher die Trennung der zeitlichen Änderungen von log(;yi) in (8.23) von dem Zeittrend β xt in (8.22). Da log(yi) - identifiziert als der Logarithmus des Pro-Kopf-Outputs in einigen technisch führenden Ländern - in der Regel kein präziser Zeittrend sein dürfte, erscheint die Separation beider Theorien möglich. Bei der Anwendung dieses Gedankens entstehen mehrere Probleme. Erstens soll die Variable log(;yi) das Niveau der Technik in den führenden Ländern repräsentieren. Kurzfristige Schwankungen des Outputs - die auf Einflüssen beruhen, die nicht in den Wachstumsmodellen enthalten sind - machen die Isolation des zugrundeliegenden Niveaus der Technik aus den verfügbaren Daten schwierig. Darüber hinaus ist es nicht befriedigend, nur die fortschrittlichste Volkswirtschaft der Welt wie etwa die USA als Repräsentanten des Landes 1 zu betrachten. Zweitens ist die Annahme der Kapitel 1 und 2, daß der arbeitsvermehrende technische Fortschritt mit einer konstanten Rate χ auftritt, nur eine vereinfachende Voraussetzung. Selbst wenn technische Fortschritte exogen sind, gibt es keinen Grund, warum sie mit gleichmäßiger Rate auftreten sollten. Statt dessen entwickelt sich das kumulierte Niveau der Technik eher zufällig. In diesem Fall läßt sich aber der exogene Stand der Technik, das ohne weiteres in allen Volkswirtschaften entsteht (der Term xt), nicht von dem Niveau der Technik unterscheiden, das von den führenden Ländern erreicht worden ist (repräsentiert durch den Term l o g ^ i ) ) . Es scheint, daß jede Hoffnung, zwischen den Modellen unterscheiden zu können, auf der Theorie über die Entwicklung der Technik in den führenden Ländern basieren muß, wie sie in den Modellen der Kapitel 6 und 7 entwickelt worden ist. Potentiell lassen sich diese Implikationen von der Hypothese exogener technischer Verbesserungen unterscheiden. Allerdings ist dieser Ansatz ist noch nicht implementiert.

8.2 Wechselseitige Erfindungen und Imitationen Bisher ist angenommen worden, daß das Land 2 keine Innovationen hervorbringt und folglich das Land 1 nichts imitieren kann. Nun wird unterstellt, daß das Land 2 auch ein neues Produkt erfinden kann, wobei die Kosten der Erfindung wie im Land 1 gleich η sind. Für ν < η ist die Imitation für das Land 2 billiger als die Innovation. Ist also der Startwert von N2/Ni derart, daß ν < η nach (8.14) gilt, dann wird das Land 2 anfangs wie bisher nur imitieren. Wenn N2/N1 steigt, wächst ν in Richtung des Wertes v* gemäß (8.15). Falls ν* < η gilt, also (L2/LI) • ( Α 2 / Α ι ) ι ^ ~ α ) < 1, ist es für das Land 2 niemals vorteilhaft, etwas zu erfinden. Das Gleichgewicht hat daher dieselben Merkmale, wie sie zuvor angenommen worden sind, wobei das Land 1 immer der Initiator und das Land 2 immer der Imitator bleibt. Wenn ν* > η ist, also (L2/LI)

• (A2/Ax)V(X~a)

> 1, können Ν2/Νλ und damit

8.3 Direktinvestitionen

323

ν irgendwann so groß werden, daß es für die Forscher im Land 2 vorteilhaft wird, einen Teil ihrer Ausgaben für die Forschung und Entwicklung auf die Neuerungen zu konzentrieren. Nun wird angenommen, daß die im Land 2 entwickelten Produkte sich von den im Land 1 entdeckten unterscheiden. Die Abwesenheit von Duplikaten erscheint sinnvoll, wenn es wirklich eine unendliche Anzahl potentieller Produkte gibt. Die Innovationen des Landes 2 bilden eine Menge neuer Produkte, die vom Land 1 imitiert werden können. Eine gewisse Menge an Imitationen wird dann für das Land 1 attraktiv, weil die Kosten der Imitation gering sind, wenn noch keine Entdeckung des Landes 2 vom Land 1 kopiert worden ist. Daher werden beide Länder eine gewisse Zeit lang einen Teil ihres jeweiligen Budgets der Forschung und Entwicklung für die Imitation und den anderen Teil für die Innovation aufwenden. Die Bedingung (La/L\) • (Αι/Α\) λ / ( λ ~ α ) > 1 impliziert allerdings, daß das Land 2 Innovationen mit einer größeren Rate als das Land 1 hervorbringt. Die steigende Anzahl kopierbarer Produkte verringert irgendwann die Kosten der Imitation hinreichend, um die Forscher im Land 1 zu veranlassen, ihre gesamten Ausgaben für die Forschung und Entwicklung der Imitation zuzuwenden. Diese Reaktion verringert die Menge der verfügbaren Innovationen, die das Land 2 kopieren kann, so daß hier die Kosten der Imitation tendenziell steigen. Folglich lenken die Forscher im Land 2 ihre Ausgaben für die Forschung und Entwicklung in die Innovation. Langfristig tauschen die beiden Länder ihre Rollen: Das Land 2 wird der alleinige Initiator und das Land 1 der alleinige Imitator. Im allgemeinen wird das Land mit dem größeren Wert der Parameterkombination L, ~ a) langfristig die Rolle des Neuerers übernehmen. (In diesem Modell kann langfristig nur dann eine Mischung aus Innovation und Imitation in einem Land auftreten, wenn beide Länder dieselben Werte L, A ( 1/(1_o) aufweisen.)

8.3

Direktinvestitionen

Im folgenden wird die Bedeutung der Direktinvestitionen im Prozeß der Diffusion der Technik untersucht. Der Einfachheit halber wird wieder das erste Modell aufgegriffen, in dem das Land 1 als Initiator die konstanten Kosten η einer Innovation trägt und das Land 2 als Imitator die konstanten Kosten υ einer Imitation übernimmt, wobei 0 < ν < η gilt. (Man kann allerdings auch das Modell verwenden, in dem die Kosten einer Imitation von der Anzahl der Innovationen abhängen, die bereits im Land 2 durchgeführt worden sind.) Dabei wird angenommen, daß die Ungleichung in (8.13) vorliegt, so daß γι > γι und r 2 > r\ gelten, wenn N2 < Ni ist. In diesem Ansatz erhalten die Innovatoren im Land 1 keine Eigentumsrechte für die Nutzung ihrer Gebrauchsmuster im Land 2. Jetzt wird statt dessen unterstellt, daß die Neuerer aus dem Land 1 fortwährende Monopolrechte an der Nutzung ihrer Güter als Zwischenprodukte im Land 2 erhalten. Diese Situation trifft zu, wenn alle Länder das geistige Eigentum von Ausländern vollständig anerkennen, was einer der Hauptpunkte der derzeitigen Verhandlungen im Rahmen des GATT (Allgemei-

324

Kapitel 8. Die Diffusion der Technik

nes Zoll- und Handelsabkommen) ist. Im Modell verbieten diese geistigen Eigentumsrechte den Forschern im Land 2, Ressourcen für die Imitation aufzuwenden (ohne Gebühren an das Land 1 zu zahlen). Ferner wird hier angenommen, daß die Neuerungen aus der Sicht der Unternehmer im Land 2 nicht vorteilhaft sind. Daher entspringt jegliche Innovation und Adaptation den Bemühungen der Unternehmer im Land 1. Ein Innovator aus dem Land 1 muß über seine anfänglichen Ausgaben η für die Forschung und Entwicklung hinaus weitere Kosten tragen, um sein Produkt für die Nutzung in das Land 2 zu überführen und anzupassen. (Die bereits diskutierten Schätzungen der Kosten von Teece (1977) treffen genau auf diese Situation zu.) Man kann sich die Transferkosten als pauschale Eintrittsgebühr für Direktinvestitionen vorstellen, die im folgenden durch das Symbol υ, das vorher für die Kosten einer Imitation stand, repräsentiert wird. Die Kosten können geringer als bisher sein, weil der Neuerer für die Anpassung der Entdeckung zur Nutzung in anderen Ländern besser als andere Unternehmer geeignet ist. Ortsansässige Unternehmer haben zwar einige Vorteile in bezug auf die Kenntnisse der Sprache, der Gewohnheiten und so weiter, aber die Ausländer können, falls sie es wünschen, heimische Bewohner anstellen oder ihnen Lizenzen erteilen. Angenommen, das Land 2 hat vorher keine Direktinvestitionen zugelassen und nicht viele Produkte vom Land 1 imitiert. Wenn sich das Land 2 nun plötzlich für Direktinvestitionen öffnet, so übersteigt die Anzahl N\ der aus dem Land 1 bekannten Produkte bei weitem die Anzahl der im Land 2 verfügbaren Produkte. Der interne Zinssatz für die Direktinvestitionen - also für die Bearbeitung der Produkte zur Nutzung im Land 2 - ist dann durch ri gemäß (8.11) gegeben. Dieser Zinssatz übersteigt den Zinssatz der Innovation r\ nach (8.5). (Man beachte, daß die Ungleichung in (8.13) annahmegemäß erfüllt ist.) Da keine abnehmenden Produktivitäten der Adaptation oder Innovation vorausgesetzt worden sind, werden die Forscher aus dem Land 1 zu Beginn alle Ausgaben für die Forschung und Entwicklung den Direktinvestitionen im Land 2 widmen. Die verbleibende Menge an nicht bearbeiteten Produkten wird schließlich beseitigt, das heißt, Ni erreicht den Wert von N\, und der interne Zinssatz ri allein aus der Anpassung ist nicht mehr gültig. Die Forscher aus dem Land 1 sind dann motiviert, ihre Ausgaben für die Forschung und Entwicklung in die Entdeckung neuer Produkte zu lenken, also Ni zu erhöhen. Der Zinssatz auf die Innovation übersteigt nun jedoch den Wert r\ nach (8.5), weil ein Unternehmer weiß, daß ein erfolgreiches Produkt auch für die monopolistische Nutzung im Land 2 zu den Kosten ν bearbeitet werden kann. Wenn die Ungleichung in (8.13) gilt, ist diese Anpassung unmittelbar vorteilhaft. Der gesamte Strom der Monopolgewinne aus der Entdeckung eines neuen Produktes im Land 1 und der simultanen Bearbeitung dieses Produktes im Land 2 ist die Summe der Ströme in (8.4) und (8.10): (8.24)

8.3 Direktinvestitionen

325

Die (8.24) zugrundeliegende Annahme ist, daß die zur Güterproduktion im Land 1 verwendeten Zwischenprodukte gemäß der Produktionsfunktion (8.1) - mit Produktivitätsparameter Ai - eingesetzt werden, während die in der Güterproduktion im Land 2 benötigten Zwischenprodukte gemäß der Produktionsfunktion (8.7) - mit Produktivitätsparameter Ai - genutzt werden. Die Direktinvestitionen machen mit anderen Worten eine größere Menge an Zwischenprodukten im Land 2 verfügbar, beeinflussen aber nicht den Produktivitätsparameter, der den Produktionsprozeß im Land 2 steuert. Diese Annahme trifft zum Beispiel zu, wenn der Parameter k i die örtliche Politik des Staates - wie die Besteuerung, die Bereitstellung öffentlicher Dienstleistungen und die Aufrechterhaltung der Eigentumsrechte - repräsentiert, die für alle Produzenten gleichermaßen verbindlich ist. Ein Neuerer wendet nun die Gesamtkosten η + υ auf, um den Strom der Monopolgewinne gemäß (8.24) sicherzustellen. Die Bedingung des freien Markteintritts führt dementsprechend für den internen Zinssatz im Land 1 A\/(i-a)L]+Al2^-a)L2 a

η+ν

(8.25)

Die Ungleichung in (8.13) bedeutet, daß dieser Zinssatz den Wert r\ nach (8.5) übersteigt. Der konstante Zinssatz in (8.25) entspricht einem langfristigen Gleichgewicht, in dem die Größen N\, Y\, C\, N2, Y2 und alle mit der Rate γ\ wachsen, die wie bisher durch γ\ = (π — ρ)/θ gegeben ist. Dieses langfristige Gleichgewicht beinhaltet einen simultanen Strom neuer Produkte (N\) und angepaßter Versionen dieser Produkte, Νϊ = N\. Da r\ größer als vorher ist, übersteigt auch die Wachstumsrate den Wert γ\ gemäß (8.6), der in dem ursprünglichen Modell ohne Direktinvestitionen gilt. Die Direktinvestitionen - also die Eigentumsrechte an den Produktanpassungen zur Nutzung im Ausland - beseitigen einige Verzerrungen, die im ersten Modell auftreten. Erstens umgehen die Direktinvestitionen die Unvollkommenheit des Kapitalmarktes, die zu unterschiedlichen Zinssätzen r\ und rj in beiden Ländern führt.Tatsächlich gewährleisten die Eigentumsrechte an der Nutzung der Gebrauchsmuster in einem anderen Land die Sicherheiten für die Direktinvestitionen. Im ursprünglichen Modell ist implizit angenommen worden, daß die Haushalte im Land 1 nicht willens sind, Kapital an die Investoren im Land 2 auszuleihen, obwohl der interne Zinssatz Γ2, den diese Investoren zu zahlen bereit sind, den für die Sparer im Land 1 verfügbaren Zinssatz π übersteigt. Zweitens haben die Innovatoren des Landes 1 im ursprünglichen Modell den spiJiover-Nutzen vernachlässigt, den die Bereitstellung ihrer Entdeckungen für das Land 2 hervorruft, denn das Land 2 kann diese Entdeckungen (ohne Kompensation) für die eigene Nutzung bearbeiten. Dieser Effekt wird in dem Modell mittels der Direktinvestitionen internalisiert, weil die Innovatoren den Strom der Gewinne n^j berücksichtigen, den sie durch die Deckung der Anpassungskosten ν erhalten. Die Beseitigung einer derartigen Verzerrung bewirkt den Anstieg des internen Zinssat-

326

Kapitel 8. Die Diffusion der Technik

zes r\ und der Wachstumsrate γ\. Das Modell zeigt damit, warum die internationale Anerkennung der geistigen Eigentumsrechte einige wünschenswerte Auswirkungen haben kann. Das Gleichgewicht in dem Modell mit Direktinvestitionen ist Pareto-optimal, wenn die bekannte Verzerrung aufgrund der monopolistischen Preisbildung eliminiert wird. Im vorliegenden Fall erfordert die Beseitigung dieser Verzerrung eine Subventionierung der Beschaffung dauerhafter Inputs (oder der Produktion dieser Güter) in beiden Ländern. Die Durchführung einer solchen Subventionierung bringt die üblichen Schwierigkeiten mit sich, die mit den verzerrenden finanzpolitischen Maßnahmen und der Auswahl der technologischen Gewinner verbunden sind. Diese Schwierigkeiten werden jetzt noch dadurch gesteigert, daß Subventionen in mehr als einem Land gewährt werden müssen.

8.4

Rollenwechsel

Die in diesem und einigen anderen Kapiteln diskutierten Modelle beinhalten die Eigenschaft der Konvergenz in dem Sinne, daß anfangs zurückliegende Länder tendenziell schneller wachsen. Aus Sicht der Diffusion der Technik liegt der Konvergenz die Ursache zugrunde, daß die Kosten der Imitation, zumindest in einem bestimmten Bereich, geringer als die Kosten der Innovation sind. Außerdem ist die Möglichkeit erwähnt worden, daß ein zu Beginn technisch unterentwickeltes Land schließlich das Land wird, in dem die Innovationen durchgeführt werden. Dieses Ergebnis hängt allerdings von der Annahme ab, daß das anfangs zurückliegende Land zufällig einen höheren Produktivitätsparameter A, hat - vielleicht, weil die Wirtschaftspolitik die ökonomische Aktivität mehr fördert - oder größer ist (weil Li größer ist). Die Rückständigkeit an sich führt nicht zu der Vorhersage, daß das zurückgebliebene Land schließlich das führende Land wird. Darüber hinaus besagt das Modell nicht, daß die Position sich in der Zukunft erneut ändert, wenn der Imitator einmal der Initiator geworden ist. Einige Forscher sind der Meinung, daß der Nutzen aus der Rückständigkeit groß genug ist, daß er nicht nur einen Konvergenzeffekt bewirkt, sondern auch eine Tendenz zum wiederholten Rollenwechsel (vgl. Brezis, Krugman und Tsiddon (1993)). Ihre Hypothese beim Vergleich zweier Länder besagt, daß der anfängliche technische Imitator systematisch der Initiator in der Zukunft wird. Als Beispiele werden die Engländer, die die Holländer zu Beginn des 18. Jahrhunderts überholt haben, die Vereinigten Staaten und Deutschland, die England am Ende des 19. Jahrhunderts überlegen gewesen sind, und vielleicht Japan, daß die USA am Ende des 20. Jahrhunderts übertrifft, angeführt. 8 8 Eine interessante, ungelöste empirische Frage ist es, ob der Rollenwechsel auf professionelle Sportmannschaften zutrifft. Die Rekrutierung neuer Spieler bildet einen Vorgang, der in diese Richtung geht; in der Regel stellen die Mannschaften neue Spieler der Qualität nach in inverser Relation zur vorherigen Leistung der jeweiligen Mannschaft ein.

8.4 Rollenwechsel

327

Läßt man zufällige Störungen in ein Modell mit Konvergenzeffekten zu, so kann die Vorhersage hergeleitet werden, daß der Initiator irgendwann von jemandem übertroffen wird. Man unterstelle zum Beispiel, daß der Wachstumsprozeß für die Volkswirtschaft i in diskreten Zeiteinheiten (Jahre) durch log(Wy,- l f -i) = Konstante + (1 - e~ p ) log(y7y,·.,-i) + «/,

(8.26)

beschrieben wird, wobei angenommen wird, daß die Geschwindigkeit der Konvergenz β > 0 und der langfristige Gleichgewichtswert y* in allen Ländern gleich groß sind. Die Zufallsvariablen a (t haben den Erwartungswert null; sie besitzen in allen Volkswirtschaften die gleiche Varianz σ 2 und sind seriell und im Querschnitt unabhängig. Der deterministische Teil von (8.26) erzeugt die Art der absoluten Konvergenz, die im Solow-Swan-Modell und im Ramsey-Modell oder im Modell der Diffusion der Technik in diesem Kapitel auftreten kann. Durch den Zufallsterm wird dem Konvergenzprozeß eine Brownsche Bewegung hinzugefügt. Die Gleichung (8.26) sagt absolute Konvergenz (ein anfangs zurückliegendes Land wächst tendenziell schneller) und die Möglichkeit voraus, daß der anfängliche Initiator irgendwann von jemandem übertroffen wird (wegen der Zufallsterme). Für je zwei Völkswirtschaften i und j mit > yjo gilt für die Erwartungswerte jedoch E(yit) > E(yjt) für alle t > 0. Das heißt, die Nutzen aus der Rückständigkeit reichen für Implikation nicht aus, daß ein bestimmter Imitator systematisch den gegenwärtigen Initiator in der Zukunft überholt; in diesem Sinne sagt das Modell keinen Rollenwechsel voraus. Dieser einfache Ansatz legt auch nahe, daß der Verlust der Führerschaft für die Holländer, die Engländer und vielleicht die Amerikaner nicht hinreichend ist, um zu zeigen, daß ein Rollenwechsel existiert. Diese Vorgänge können lediglich eine Manifestation der Tatsache sein, daß der Initiator irgendwann von jemandem übertroffen wird, ein Ergebnis, das durch das Konvergenzmodell mit Brownscher Bewegung (8.26) vorhergesagt wird. In theoretischen Modellen kann ein Rollenwechsel erzeugt werden, wenn der führende Produzent Zugang zur gegenwärtig besten Produktionstechnik hat und potentielle andere Techniken existieren, die irgendwann produktiver eingesetzt werden können. Zum Beispiel nehmen Brezis, Krugman und Tsiddon (1993) an, daß das gegenwärtig technisch führende Land aufgrund seiner Erfahrung gelernt hat, eine hohe Produktivität mit den existierenden Techniken aufrechtzuerhalten. Dabei wird angenommen, daß die anderen Länder keinen Zugang zum Wissen des Initiators haben und daß die Produktivitäten der Erfahrung in jedem Land abnehmen. Gelegentlich treten grundsätzlich neue Techniken auf; diese neuen Ansätze bieten das Potential für eine höhere Produktivität, vorausgesetzt, daß learning-by-doing in beträchtlichem Umfang eintritt. Daher ist der gegenwärtige Initiator unter Umständen nicht motiviert, die neue Technik zu übernehmen, weil er die Möglichkeit hat, jetzt mit der alten Produktionsmethode eine hohe Produktivität zu erzielen. Für das zurückliegende Land kann die neue Technik direkt vorteilhaft sein. Da die neue Technik langfristig überlegen ist, wird der Imitator irgendwann zum Initiator; also ergibt sich der Effekt des Rollenwechsels.9 'Jovanovic und Nyarko (1994) entwickeln ein allgemeineres Modell des Lernens, in dem dieser Ef-

328

Kapitel 8. Die Diffusion der Technik

Ein Umstand, der einen Rollenwechsel weniger wahrscheinlich macht, ist die Vertrautheit des Initiators mit dem Stand der Technik, die die Schaffung technischer Verbesserungen erleichtert. (Diese Idee ist im Kapitel 7 genutzt worden, um zu zeigen, daß Qualitätsverbesserungen der existierenden Produktvarianten tendenziell von den Branchenführern gemacht werden.) Dieser Vorteil der technologischen Führerschaft wirkt sich eher bei schrittweisen technischen Erfolgen als bei grundlegenden Änderungen oder bei der Entdeckung völlig neuer Produkte aus. Daher nehmen Brezis, Krugman und Tsiddon (1993) an, daß „'normal' technical change is likely to proceed largely through learning by doing, and will tend to occur most rapidly in those countries with established advantages in technologically progressive sectors." Ferner unterstellen sie jedoch, daß dieser Vorteil der Führerschaft nicht auf grundsätzliche Durchbrüche zutrifft, die es erfordern, „that nations start fresh." In ihrem Modellrahmen nimmt der Rollenwechsel daher die Form fundamentaler Änderungen der Produktionsmethoden an. Ein alternative Sichtweise besagt, daß die mit den besten Techniken vertrauten Länder in der Grundlagenforschung besonders produktiv sind.10 Diese Perspektive erklärt vermutlich, warum fast alle bedeutenden technischen Durchbrüche in nur einigen der wichtigsten entwickelten Länder aufgetreten sind." Dieser Einfluß festigt tendenziell die Führungspositionen und macht den Rollenwechsel daher weniger wahrscheinlich.

8.5 Zusammenfassende Bemerkungen zur Diffusion und zum Wachstum Die Diffusion der Technik von führenden Volkswirtschaften zu den Imitatoren bringt Kosten der Imitation und der Anpassung mit sich. Hier wird angenommen, daß diese Kosten geringer als die Kosten der Innovation sind, wenn bisher wenig nachgeahmt worden ist, daß sie aber steigen, wenn die Menge der nichtkopierten Ideen geringer wird. Diese Kostenstruktur impliziert eine Art abnehmender Produktivitäten der Imitation und erzeugt damit eine Neigung zur Konvergenz. Nachfolgende Länder wachsen tendenziell um so schneller, je größer der Abstand zu den Initiatoren ist. Dieser Prozeß gilt allerdings insofern bedingt, als die Wachstumsrate für einen gegebenen technischen Rückstand von der Wirtschaftspolitik und anderen Variablen abhängt, die den internen Zinssatz der Imitation in einem folgenden Land beeinflussen. Im langfristigen Gleichgewicht wachsen die führenden und die folgenden Länder mit derselben Rate. Damit tritt die Angleichung der Wachstumsraten langfristig selbst dann auf, wenn sich die Länder bezüglich der Kosten der Forschung und Entfekt des Rollenwechsels auftreten kann. 10 Ohyama und Jones (1993) betonen, daß die wesentliche Frage darin besteht, ob der gegenwärtige technische Initiator einen komparativen Vorteil in der Forschung und Entwicklung hat. " i m Mittelalter ist China der dominante technische Initiator gewesen, vgl. Temple (1986). Eine Diskussion im Zusammenhang mit neueren Theorien des endogenen Wachstums findet sich in Young (1990).

Aufgaben

329

wicklung, der Produktivitätsniveaus und der Sparneigung unterscheiden. Wenn die Präferenzen in bezug auf das Sparen in den Ländern übereinstimmen (das heißt, wenn die Parameter p; und 0; jeweils gleich sind), impliziert der Ausgleich der Wachstumsraten die Entsprechung der Zinssätze im langfristigen Gleichgewicht. Daher kann die Diffusion der Technik auch ohne einen internationalen Kapitalmarkt zu einem langfristigen Ausgleich der Zinssätze über die verschiedenen Länder führen. In einigen Fällen ruft die technische Diffusion die Imitation von Produkten oder Ideen, die in anderen Ländern entwickelt worden sind, durch heimische Unternehmer hervor. Dieser Prozeß verursacht zwar Kosten, umgeht aber häufig die Zahlung von Gebühren an den Erfinder des Gutes oder der Produktionsmethode. In anderen Fällen erfolgt die Diffusion durch Direktinvestitionen. Diese ausländische Beteiligung beschleunigt tendenziell die Diffusion, wenn die Kosten der Bearbeitung eines Gutes oder einer Technik für diejenigen Wirtschaftssubjekte geringer sind, die mit der Handhabung der neuen Idee im Ursprungsland vertrauter sind. Darüber hinaus hilft die internationale Anerkennung des geistigen Eigentums bei der Konkretisierung der richtigen Anreize zur Entdeckung neuer Produkte und Techniken in den führenden Ländern. Aus diesem Grund erhöht die Institution dieser Rechte tendenziell die langfristigen Wachstumsraten in den führenden und in den nachfolgenden Volkswirtschaften.

Aufgaben 8.1 Pareto-Optimalität im Initiator-Imitator-Modell. Gegeben ist das im Abschnitt 8.1 dieses Kapitels beschriebene Initiator-Imitator-Modell. (a) Diskutieren Sie die Verzerrungen, die zu Pareto-ineffizienten Ergebnissen führen! Wie unterscheiden sich diese Verzerrungen von denjenigen in dem Modell der Güterbündel für ein Land im Kapitel 6? (b) Durch welche wirtschaftspolitischen Maßnahmen kann die Pareto-"Öptimalität erreicht werden? (c) Nehmen Sie an, daß im führenden Land ein dezentrales Gleichgewicht ohne Interventionen des Staates besteht! Kann es für die Regierung des nachfolgenden Landes jemals optimal sein, die Innovationen im führenden Land zu subventionieren? 8.2 Die internen Zinssätze im Initiator-Imitator-Modell. Betrachten Sie wiederum das im Abschnitt 8.1 dieses Kapitels beschriebene Initiator-Imitator-Modell! (a) Sind die Zinssätze in beiden Ländern konstant? Welcher Zinssatz ist höher? (b) Wie ändert sich die Lage, wenn beide Länder an einem gemeinsamen, vollkommenen Kreditmarkt beteiligt sind? 8.3 Konvergenz im Initiator-Imitator-Modell. (a) Diskutieren Sie, ob beide Länder im Modell des Abschnitts 8.1 zu den gleichen Niveaus des Pro-Kopf-Outputs und des Lohnsatzes konvergieren! Nähern sie sich einer gemeinsamen Wachstumsrate des Pro-Kopf-Einkommens an?

330

Kapitel 8. Die Diffusion der Technik

(b) Ist das Land mit anfänglich niedrigerem Pro-Kopf-Output in der Lage, das Land mit dem höheren Niveau des Pro-Kopf-Outputs zu werden? Ist ein weiterer Wechsel der relativen Niveaus der Pro-Kopf-Outputs später möglich? Welche Implikationen ergeben sich für den Rollentausch? (c) Ist ein Rollenwechsel der Länder in bezug auf Innovationen und Imitationen im Laufe der Zeit möglich? (d) Welche Implikationen hat das Modell in bezug auf die absolute und relative Konvergenz? 8.4 Das Modell mit variablen Kosten der Imitation. Betrachten Sie das Modell aus Abschnitt 8.1.3, in dem die Kosten der Imitation eine steigende Funktion des Verhältnisses der Anzahl N2 der im imitierenden Land bekannten Gebrauchsmuster zur Anzahl Ni der im innovativen Land bekannten Prototypen ist! (a) Diskutieren Sie die Bestimmung des gleichgewichtigen Quotienten (N2/NI)*\ Wie lauten die Wachstumsraten und die internen Zinssätze in dem langfristigen Gleichgewicht? (b) Wie verhalten sich der Zinssatz und die Wachstumsrate des Pro-Kopf-Outputs im Land 2 während des Übergangs zum langfristigen Gleichgewicht? (Diese Ergebnisse sind nicht vollständig ausgearbeitet worden.) (c) Welche Implikationen hat das Modell in bezug auf die absolute und die relative Konvergenz? 8.5 Unterschiedliche Theorien der Konvergenz. Vergleichen Sie die Ergebnisse zur Konvergenz von Seiten der Diffusionstheorien mit denjenigen des Ramsey-Modells! Ist eine empirische Unterscheidung der Theorien möglich und wenn ja, wie? 8.6 Direktinvestitionen. (a) Diskutieren Sie die Rolle der Direktinvestitionen im Zusammenhang mit Diffusionsmodellen! (b) Begünstigt die Möglichkeit von Direktinvestitionen im imitierenden Land 2 die Wirtschaftssubjekte des innovativen Landes 1? (c) Begünstigt die Möglichkeit von Direktinvestitionen die Wirtschaftssubjekte des imitierenden Landes 2? 8.7 Rollenwechsel. (a) Diskutieren Sie das Konzept des Rollenwechsels und zeigen Sie, wie es sich von der absoluten Konvergenz unterscheidet! (b) Schließt das (um technische Zufallsschocks erweiterte) Ramsey-Modell aus dem Kapitel 2 den Rollenwechsel aus? Ist dieses Modell mit der Beobachtung unvereinbar, daß eine anfangs bezüglich der technischen Kenntnisse rückständige Volkswirtschaft zu einem späteren Zeitpunkt die Position des Initiators übernimmt? 8.8 Innovationen und Technologietransfer (nach Krugman (1979)). Betrachten Sie eine Welt mit zwei Ländern (Norden und Süden) und Μ Arten der Konsumgüter! Diese Güter können nicht gelagert werden, sind aber handelbar zwischen den Ländern. In jedem Land gibt es L Konsumenten-Arbeiter mit den momentanen Nutzenfunktionen

Aufgaben

331

wobei 0 < θ < 1 ist und c,· die konsumierte Menge des Gutes i bezeichnet. Es gibt zwei Arten von Gütern, alte und neue. Zu einem Zeitpunkt sind M0 der Μ Güter alt und Mn = Μ — M0 sind neu. Die Produktionstechnik für die alten Güter ist Gemeineigentum, so daß diese Güter im Norden oder im Süden produziert werden können. Die Produktionstechnik für die neuen Güter ist im Norden frei zugänglich, aber im Süden nicht verfügbar. Zur Produktion einer Einheit eines beliebigen Gutes wird eine Arbeitseinheit benötigt; alle Güter werden unter den Bedingungen der vollständigen Konkurrenz produziert. Der Preis eines jeden alten Gutes wird auf eins normiert, und der Preis eines jeden neuen Gutes ist P„. (Man beachte, daß die Preise aller alten Güter und aller neuen Güter jeweils gleich sein müssen.) Die Lohnsätze im Norden und im Süden sind w N beziehungsweise ws- Die terms of trade des Nordens, also das Verhältnis der Preise der im Norden produzierten Güter zu den Preisen der im Süden produzierten Güter, sind gleich τ. (a) Wie wird τ von wN und ws bestimmt? Wie hängt das Verhältnis y des Pro-KopfEinkommens im Norden zum Pro-Kopf-Einkommen im Süden von wN und ws ab? (b) Sei σ = Mn/M0\ Bestimmen Sie die Spezialisierung der beiden Länder in Abhängigkeit von σ! Verwenden Sie dieses Ergebnis, um wN, ws, τ und y mit σ in Beziehung zu setzen! (c) Μ = iM beschreibt die Innovationsrate im Norden, wobei i exogen ist. Die Rate des Techniktransfers wird durch M0 = tMn gegeben, wobei t exogen ist. Ermitteln Sie den langfristigen Gleichgewichtswert von σ und sein Bewegungsgesetz! Wie ändert sich die Spezialisierung der Weltwirtschaft in der Zeit? Was geschieht mit y in der Zeit? (d) Definieren Sie die Menge der Anfangsbedingungen, für die Konvergenz, also y < 0, eintritt! Ist die Konvergenz in diesem Modell mit der langfristigen Angleichung der Pro-Kopf-Einkommen, also y* = 1, äquivalent? 8.9 Die Wahl der Technik und der Überholvorgang (nach Ohyama und Jones (1993)). Betrachten Sie ein Zwei-Länder-Modell mit einem einzigen nicht lagerfähigen Gut! In jedem Land gibt es L Konsumenten-Arbeiter mit linearen Präferenzen und einer Zeitpräferenzrate von ρ > 0. Die traditionelle Produktionstechnik wird durch qj = Ai • (1 - Θ,) für i = 1,2 charakterisiert, wobei 1 — Θ, der Anteil der Erwerbsbevölkerung ist, der im Land i unter Verwendung der traditionellen Produktionstechnik eingesetzt wird. Das Land 1 ist gegenwärtig der technische Initiator in dem Sinne, daß A^ > A2 ist. Zum Zeitpunkt 0 ergibt sich eine neue Produktionstechnik mit den folgenden Eigenschaften:

wobei Β und λ Konstanten mit 0 < Β < Α, und 0 < λ < ρ sind. Die neue Technik ist anfangs weniger produktiv (ß < Λ,·), beinhaltet aber leaming-by-doing (λ > 0). (a) Nehmen Sie an, daß die beiden Produktionstechniken sich innerhalb eines Landes jeweils gegenseitig ausschließen, so daß 0,· gleich eins oder gleich null ist! Unter

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Kapitel 8. Die Diffusion der Technik

welchen Bedingungen wird die neue Technik von welchem Land gewählt? Ist es möglich, einen Rollenwechsel zu beobachten? Wenn ja, berechnen Sie die Zeit T, die das Land 2 benötigt, um das Land 1 zu überholen! (b) Unterstellen Sie jetzt, daß beide Produktionstechniken in beiden Ländern jeweils gleichzeitig eingesetzt werden können, so daß 0 < 0, < 1 ist! Zum Zeitpunkt 0 wählt jedes Land einen Wert 0,·, den es dann für immer beibehalten muß. Ist eine partielle Aufnahme des neuen Produktionsverfahrens denkbar? Diskutieren Sie, ob der Rollenwechsel möglich ist und, wenn ja, charakterisieren Sie T\ (c) Setzen Sie nun voraus, daß beim Übergang von der traditionellen zur neuen Technik einmalige Kosten in Höhe von c(0,) = c0,/(l — 0,·) entstehen, wobei c > 0 eine Konstante ist! Unter welchen Umständen ist eine partielle Aufnahme des neuen Produktionsverfahrens zu beobachten? Diskutieren Sie, ob ein Rollenwechsel möglich ist und, wenn ja, charakterisieren Sie Tl (d) (Schwierig.) Nehmen Sie schließlich an, daß ö,· zu verschiedenen Zeitpunkten unterschiedlich gewählt werden kann! Nehmen Sie wieder an, daß beim Übergang von der alten zur neuen Technik keine Kosten entstehen! Beschreiben Sie die dynamische Entwicklung von 0,· und des Outputs! Diskutieren Sie, ob der Rollenwechsel möglich ist und, wenn ja, charakterisieren Sie 7! Wiederholen Sie die Analyse für den Fall, daß einmalige Kosten in Höhe von c(0,·) beim Wechsel der Produktionstechnik auftreten!

Kapitel 9 Arbeitsangebot und Bevölkerung In den vorhergehenden Kapiteln ist angenommen worden, daß die Bevölkerungszahl und die Zahl der Arbeitskräfte gemeinsam mit der exogenen Rate η wachsen. Diese Annahme wird jetzt in verschiedenen Hinsichten modifiziert. Erstens wird die Möglichkeit der Einwanderung und der Auswanderung als Reaktion auf die wirtschaftlichen Gegebenheiten betrachtet. Durch diesen Prozeß werden die Bevölkerungszahl und die Zahl der Arbeitskräfte bei gegebenen Geburten- und Sterberaten beeinflußt. Zweitens wird die Wahl der Geburtenrate und damit ein anderer Weg zur endogenen Bestimmung der Bevölkerung und der Menge der Arbeitskräfte eingeführt. Schließlich werden Änderungen in der Arbeitsleistung berücksichtigt. Dadurch wird die Gleichheit zwischen der Menge der Arbeitskräfte und der Bevölkerungszahl aufgehoben.

9.1

Wanderungen in Modellen des Wirtschaftswachstums

Die Wanderungen der Wirtschaftssubjekte sind ein Mechanismus zur Änderung der Bevölkerungsgröße und des Arbeitsangebotes einer Volkswirtschaft. Die Wanderung oder Arbeitsmobilität ist analog zu der im Kapitel 3 untersuchten Kapitalmobilität zu verstehen. Während das Kapital dazu neigt, von Gebieten mit geringen Zinssätzen zu Gebieten mit hohen Zinssätzen zu streben, bewegt sich die Arbeit tendenziell von Volkswirtschaften mit geringen Lohnsätzen oder anderen ungünstigen Merkmalen zu denjenigen mit hohen Lohnsätzen oder anderen günstigen Eigenschaften. Zuvor ist festgestellt worden, daß die Kapitalmobilität tendenziell die Konvergenz einer Volkswirtschaft gegen ihre langfristige Gleichgewichtslage beschleunigt; hier wird betont, daß die Arbeitsmobilität in der Regel ähnlich wirkt. Die Wanderungen unterscheiden sich in einigen Aspekten von den Änderungen des natürlichen Bevölkerungswachstums, also den Abweichungen zwischen der Anzahl der Geburten und der Anzahl der Sterbefälle. Erstens entsprechen im Falle der Wanderungen die Gewinne an Bevölkerung im Zielland den Verlusten des Ursprungslandes. Die Einwanderung und die Auswanderung müssen daher als zwei Seiten eines Prozesses betrachtet werden. Zweitens haben Umsiedler im Gegensatz zu neugeborenen Personen bereits Humankapital akkumuliert. Da der Umzug eines Wirtschaftssubjektes die Bewegung dieses Humankapitals beinhaltet, impliziert die Mobilität der Arbeit oder die Wanderung einen bestimmten Grad an Kapitalmobilität. Neugeborene unterscheiden sich auch dadurch von Einwanderern, daß sich die Einwohner einer Volkswirtschaft in der Regel um die Neugeborenen - ihre Kinder - kümmern, aber nicht um die Einwanderer. Diese verschiedenen Beziehungen zu der bestehenden Bevölkerung implizieren Abweichungen in der Art und Weise, wie das Bevölkerungswachstum

334

Kapitel 9. Arbeitsangebot und Bevölkerung

mit dem Sparverhalten und daher auch mit den Raten des wirtschaftlichen Wachstums zusammenhängt. Das Solow-Swan-Modell einer geschlossenen Volkswirtschaft mit exogener und konstanter Sparquote liefert einen naheliegenden Ausgangspunkt für die Analyse der Wanderungen im Rahmen des Wachstums. Die Erweiterung um die Wanderungen bedeutet zu einem gewissen Grad eine Öffnung der Volkswirtschaften; das heißt, der Wanderungsprozeß impliziert einen gewissen Grad der Mobilität der einfachen Arbeit und des Humankapitals. Obwohl die Analyse eine Rückkopplung vom Wirtschaftswachstum über die Lohnsätze zur Wanderungsrate ermöglicht, wird das zugrundeliegende Optimierungsproblem der wandernden Bevölkerung hier nicht betrachtet. Statt dessen wird eine bestimmte Form der Wanderungsfunktion einfach unterstellt. Anschließend wird die Analyse auf das Ramsey-Modell erweitert, in dem das Sparverhalten durch die Optimierung der Haushalte bestimmt wird. Dabei wird angenommen, daß der repräsentative Haushalt seinen Konsumpfad ohne die Berücksichtigung des Wohlstands der Einwanderer festlegt. Auch in diesem Modell wird eine spezielle Form der Wanderungsfunktion vorausgesetzt. Abschließend wird ein Modell dargestellt, das auch die Kapitalmobilität berücksichtigt und in dem die Wanderungsraten durch die Haushaltsoptimierung bestimmt werden. In diesem Zusammenhang kann untersucht werden, wie Änderungen der Kosten oder Nutzen des Umzugs die dynamischen Pfade der Wanderungen und des Wachstums beeinflussen. 9.1.1

Wanderungen im Solow-Swan-Modell

DAS MODELL MIT WANDERUNGEN. In diesem Abschnitt werden die Wanderungen in das Solow-Swan-Modell einer geschlossenen Volkswirtschaft integriert. Damit wird zwar die Mobilität der Wirtschaftssubjekte berücksichtigt, aber es wird unterstellt, daß die Volkswirtschaft hinsichtlich der ausländischen Güter und Vermögenstitel geschlossen ist; das heißt, es wird die unrealistische Annahme getroffen, daß die Menschen mobiler als das physische Kapital sind. Obwohl diese Voraussetzung extrem ist, klärt die Analyse einige Wirkungen der Wanderungen auf den Wachstumsprozeß. In einem späteren Abschnitt wird die Kapitalmobilität berücksichtigt. Der positive oder negative Strom der wandernden Bevölkerung in das Inland ist M(t); die Menge des von jedem Umsiedler mitgebrachten Kapitals beträgt κ(t). Da das Kapital annahmegemäß nicht selbst beweglich ist, wird durch die Kapitalmenge, die jeder Wandernde mit sich führt, ein gewisser Grad an Kapitalmobilität erzeugt. Die Umsiedler haben für gewöhnlich zwar nicht viel physisches Kapital (Maschinen und Gebäude) bei sich, aber unter Umständen eine beträchtliche Menge an Humankapital. Der Einfachheit halber wird hier nicht (wie in den Kapiteln 4 und 5) zwischen den verschiedenen Arten des Kapitals unterschieden, sondern ein einziges weitgefaßtes Konzept des Kapitals verwendet, das die Arten des physischen

9.1 Wanderungen in Modellen des Wirtschaftswachstums

335

Kapitals und des Humankapitals umfaßt. Daher bezieht sich κ auf die Menge dieses weitgefaßten Kapitals, die mit jedem Wandernden verbunden ist.1 Die heimische Bevölkerung und die entsprechende Menge an Arbeitskräften L ( t ) wachsen aufgrund der Geburten abzüglich der Todesfälle mit der konstanten Rate n . Die gesamte Wachstumsrate der heimischen Bevölkerung ist daher gleich L / L = n + M / L = n + m,

(9.1)

wobei m = M / L die Nettowanderungsrate angibt. Der Einfachheit halber wird die Zeitindizierung weggelassen. Die Änderung des heimischen Kapitalstocks ist durch Κ = s F ( K , L) - δ Κ + κ Μ

(9.2)

gegeben, wobei s die konstante Bruttosparquote bezeichnet. Das neue Element besteht hier darin, daß κΜ - das von den Einwanderern mitgebrachte oder von den Auswanderern mitgenommene Kapital - in Κ eingeht. Die Wachstumsrate des Kapitals pro effizienter Arbeitseinheit kann aus (9.1) und (9.2) bestimmt werden: Y'k = s f ( k ) / k - ( x + n + S ) - m - ( 1 - k / k ) .

(9.3)

Man erinnere sich daran, daß χ + η + δ der effektive Abschreibungssatz des Kapitals in den Modellen ohne Wanderungen ist, also die Rate, mit der k fällt, weil die effiziente Arbeitsmenge mit der Rate χ + η wächst und die Abschreibung des Kapitalbestands mit dem Satz δ stattfindet. (Vgl. zum Beispiel die Gleichung (1.30) im Solow-Swan-Modell.) Dieser effektive Abschreibungssatz wird jetzt durch den Wanderungsterm m · (1 — k/k) erweitert. Der gesamte Ausdruck entspricht daher dem der vorhergehenden Modelle, wenn m = 0 ist oder in jedem Zeitpunkt k = k gilt. Da die wandernde Bevölkerung wenig physisches Kapital mit sich führt, ist k < k , wenn die Umsiedler nicht erheblich mehr Humankapital pro Kopf als die Arbeiter in der heimischen Volkswirtschaft haben.2 Gilt k < k , wird der Wanderungsterm m • (1 — k / k ) für m > 0 zum effektiven Abschreibungssatz addiert und für m < 0 entsprechend subtrahiert. Verfügen die Wandernden über kein Kapital ( k = 0), wird die Wanderungsrate m in (9.3) direkt zur natürlichen Wachstumsrate der Bevölkerung η addiert. Dieses Ergebnis ist sinnvoll, sofern man η im Hinblick auf die Geburt von Kindern interpretiert, weil Kinder ihr Leben ohne Humankapital beginnen.3 'Die wandernde Bevölkerung kann in diesem Modell keine finanziellen Forderungen auf im Ausland erwirtschaftete Einkommen aufrechterhalten. Wandernde Personen geben das Kapital auf, das sie nicht mit sich führen können, oder sie konsumieren es. 2 Wenn m > 0 ist, muß das Kapital der Einwanderer mit dem der Wirtschaftssubjekte in der empfangenden Volkswirtschaft verglichen werden. Für m < 0 gilt der entsprechende Vergleich zwischen den Auswanderern und den Personen in der entsendenden Volkswirtschaft. 3 Im Gegensatz dazu bedeutet der Tod den Verlust des Humankapitals eines Menschen. Das Modell wird hier allerdings dadurch vereinfacht, daB die Abschreibung des physischen Kapitals und des Humankapitals als konstantes Vielfaches S der bestehenden Kapitalbestände behandelt wird.

336

Kapitel 9. Arbeitsangebot und Bevölkerung

Für m > 0 ist k das Kapital pro effizienter Arbeitseinheit, das jeder Einwanderer mitbringt. Diese Größe steht zu dem gesamten Kapital pro effizienter Arbeitseinheit im Ursprungsland des Einwanderers in Beziehung. Daher fällt k/k, wenn it steigt. (Die Möglichkeit, daß eine Änderung von k die Auswahl der Einwanderer im Hinblick auf ihr Kapital k ändert, wird vernachlässigt.) Wenn man weiterhin annimmt, daß sich das typische andere Land als Ausland in der Nähe seines langfristigen Gleichgewichtes befindet, ist k als in der Zeit nahezu konstant zu behandeln. Für m < 0 repräsentiert k das Kapital pro effizienter Arbeitseinheit eines jeden Auswanderers. 4 In diesem Fall ist k/k wahrscheinlich beinahe konstant, das heißt, k/k ändert sich nicht, wenn k steigt.

DIE WANDERUNGSFUNKTION. In einem späteren Abschnitt wird ein Modell ausgearbeitet, in dem die Wanderungsrate positiv auf den Gegenwartswert der heimischen Lohnsätze im Vergleich mit dem entsprechenden Gegenwartswert in anderen Volkswirtschaften reagiert. Für andernorts gegebene Bedingungen erhöht ein steigender Wert von k den heimischen Lohnsatz und damit tendenziell auch die Wanderungsrate m.s Wie in der Abbildung 9.1 wird hier eine positive Beziehung zwischen m und k unterstellt. Dahinter steht die Annahme, daß sich die Bedingungen, die die Lohnsätze pro effizienter Arbeitseinheit in anderen Ländern beeinflussen, nicht ändern, wenn k variiert. Ebenso werden alle heimischen oder ausländischen Annehmlichkeiten (amenities), die in die Nutzenfunktionen der Haushalte eingehen, konstant gehalten. Man beachte, daß der in der Abbildung mit k bezeichnete Wert einer Nettowanderung in Höhe von null entspricht. Ein zu betrachtendes Experiment ist eine Verschiebung der Wanderungsfunktion m(k). Die später zu behandelnde Wanderungstheorie verbindet diese Verschiebungen mit Veränderungen der mit dem Umzug verbundenen Kosten und Nutzen. Eine Verringerung der Lohnsätze oder der attraktiven Vorzüge des Auslands macht zum Beispiel eine Umsiedlung in das Inland vorteilhafter und verschiebt damit die Funktion m(k) nach oben. Die Steigung der Funktion hängt unter anderem von der Beziehung zwischen den Umzugskosten (des marginalen Umsiedlers) und dem Umfang der Wanderungen ab. Wenn diese Kosten mit der Anzahl der Wandernden schnell steigen, hat eine Änderung von k nur einen geringen Effekt auf die Wanderungen, das heißt, die Kurve m(k) verläuft relativ flach. Der gesamte Wanderungsterm auf der rechten Seite der Gleichung (9.3) wird 4

ES wird angenommen, daß die Einwanderung und die Auswanderung nicht gleichzeitig auftreten, so daß die Nettowanderung und die Bnittowanderung übereinstimmen. In einem allgemeineren Zusammenhang fuhrt die Heterogenic des Humankapitals oder anderer Variablen dazu, daß die Bruttoströme größer als die Nettoströme sind. 5 Ohne Kapitalmobilität reduziert ein höherer Wert von k allerdings auch den heimischen internen Zinssatz auf das Kapital, das das von den Einwanderein mitgebrachte Humankapital einschließt. Hier wird angenommen, daß die Wirkung des höheren Lohnsatzes dominiert.

9.1 Wanderungen in Modellen des Wirtschaftswachstums

337

k Abbildung 9.1 Die Wanderungsrate. Für gegebene Bedingungen in anderen Volkswirtschaften erhöht ein größerer Wert von k den heimischen Lohnsatz und damit tendenziell auch die Nettowanderungsrate m. Der Wert k bezeichnet die Menge des Kapitals pro effizienter Arbeitseinheit, die eine Nettowanderung von null ergibt.

durch die Definition m

= m(ifc) · (1 - k/k)

(9.4)

abgekürzt, so daß die Wachstumsrate von k durch y ^ s m / k - l x + n + S+ l-m

(9.5)

gegeben ist. Der effektive Abschreibungssatz χ + η + S + ξ(ί) enthält direkt den Term ξ(£). Der Teil m(k) von $(k) in (9.4) addiert sich zu der Wachstumsrate χ + η der Arbeit in Effizienzeinheiten. Der Teil —m(k) · {k/k) von £(£) ist der mit — 1 multiplizierte Wert der Wirkung, die das Humankapital der wandernden Bevölkerung auf die Wachstumsrate des heimischen Kapitalstocks ausübt. Dieser Zufluß an Humankapital verringert den effektiven Abschreibungssatz. Für m(k) > 0 ist bereits argumentiert worden, daß k nicht von k abhängt. In diesem Fall erhält man den Effekt von k auf £(&) gemäß (9.4) als f (jfc) = m'(jt) · (1 - k/k) + m(k) • k/k2. Daher folgt aus m'(k) > 0, k < k und m(k) > 0, daß %{k) > 0 ist. Für m{k) < 0 ist dargelegt worden, daß k/k als konstant angesehen werden kann. In diesem Fall ergibt sich ξ'(ί) > 0 wegen m'(k) > 0 und k < k aus (9.4). Daher wird angenommen, daß ξ'(Je) > 0 unabhängig davon gilt, ob die Wanderungsrate positiv oder negativ ist. Daraus folgt, daß ein höherer Wert von k den

338

Kapitel 9. Arbeitsangebot und Bevölkerung

Term der effektiven Abschreibung χ + η + 5 + ξ(ί) in (9.5) erhöht. Im Gegensatz dazu ist dieser Term in den vorher betrachteten Modellen unabhängig von k gewesen.

DAS LANGFRISTIGE GLEICHGEWICHT. Die Abbildung 9.2 ist die hier verwendete Standardform eines Wachstumsdiagramms. Die Kurve sf(k)/Je verläuft aufgrund der abnehmenden Durchschnittsproduktivität des Kapitals wie üblich fallend. Die horizontale Linie bei χ+η+δ ist jetzt durch die steigende Kurve x+n+S+%(k) ersetzt worden. Wenn k = ^ gilt, ist m(k) = 0 (vgl. die Abbildung 9.1) und ξ(ί) = 0 (vgl. die Gleichung (9.4)). Der Wert der Kurve für die effektive Abschreibung an der Stelle k ist daher gleich χ + η + S. Für k > k ist m{k) > 0, so daß die Kurve der effektiven Abschreibung oberhalb von χ + η + δ liegt. Ist k < k, verläuft die Kurve entsprechend unterhalb von χ + η + δ. Die Kurven in der Abbildung 9.2 sind so eingezeichnet worden, daß der Schnittpunkt bei einem Wert k* liegt, der größer als k ist.

AbbUdung 9.2 Das Solow-Swan-Modell mit Wanderungen. Die positive Reaktion der Nettowanderungen auf den Lohnsatz impliziert, daß die Wachstumsrate der Bevölkerung eine positive Funktion von k ist. Daher erhält der Term der effektiven Abschreibung im Solow-Swan-Modell eine positive Steigung. Das langfristige Gleichgewicht wird durch den Schnittpunkt der Sparkurve sf(k)/k mit der Kurve der effektiven Abschreibung * + η + k, so daß m* > 0 folgt und das Inland im langfristigen Gleichgewicht ein Einwanderungsland ist. Das heißt mit anderen Worten, im langfristigen Gleichgewicht bleibt die Volkswirtschaft ein ständiger Empfänger von Umsiedlern (oder

9.1 Wanderungen in Modellen des Wirtschaftswachstums

339

umgekehrt für k* < k).6 Anhand der Abbildung 9.2 können die Wirkungen verschiedener Parameteränderungen auf die langfristigen Gleichgewichtswerte abgeschätzt werden. Zum Beispiel führt eine Erhöhung von s oder eine bleibende Verbesserung der Produktionsfunktion zu einer Verschiebung der Kurve sf(k)/k nach oben und damit zu einer Steigerung von k* und m*. Der höhere Wert von m* ergibt sich, weil die Verlagerung den langfristigen Gleichgewichtswert des Lohnsatzes pro effizienter Arbeitseinheit erhöht und damit die heimische Völkswirtschaft für Ausländer attraktiver macht. Wenn sich die Bedingungen in anderen Volkswirtschaften verschlechtern, verschiebt sich die Wanderungsfunktion m(k) in der Abbildung 9.1 nach oben. Diese Änderung verlagert die Kurve der effektiven Abschreibung χ + η + S + %{k) in der Abbildung 9.2 auf die gleiche Art (vgl. den Ausdruck für ξ(Ιί) in der Gleichung (9.4)). Daher fällt k*, und m* steigt. Eine Erweiterung des Angebots an Einwanderern verringert also im Inland die Kapitalintensität im langfristigen Gleichgewicht. Dieses Ergebnis ist darauf zurückzuführen, daß die Einwanderer relativ wenig Kapital mitbringen.

ÜBERGANGSDYNAMIK UND KONVERGENZ. Um die durch (9.5) implizierte Geschwindigkeit der Konvergenz abzuschätzen, wird wie üblich eine Cobb-Douglas-Produktionsfunktion f(k) = Aka unterstellt. Die Funktion gemäß (9.4) wird log-linear approximiert: m

s m(k) · (1 - ic/k) = b log(*/*weit),

(9.6)

wobei b > 0 ist und £weit die durchschnittliche Kapitalintensität in den anderen Völkswirtschaften bezeichnet. Die Gleichung (9.6) impliziert £(&) = 0, wenn die heimische Völkswirtschaft dieselbe Kapitalintensität wie der Rest der Welt hat, weil dann kein Anreiz zur Wanderung besteht (wenn Unterschiede bezüglich der Annehmlichkeiten und der Produktionsfunktionen vernachlässigt werden). Die Variablefcweitwird als Konstante behandelt, das heißt, es wird unterstellt, daß sich die Welt (im Durchschnitt) im langfristigen Gleichgewicht befindet. Der wesentliche Tatbestand für die Konvergenzanalyse ist die Größe des Parameters b. Um die Bedeutung dieses Parameters zu erkennen, wird (9.6) nach log(fc) differenziert:7 b = 3f(*)/31og(ifc) = (1 - ic/k) • dm(k)/B\og(k)·

(9.7)

6 Die in einem späteren Abschnitt betrachtete Wanderungstheorie nimmt an, daß eine höhere Bevölkerungszahl zur Übemutzung eines fixen Faktors, etwa des Bodens, führt. Diese Übernutzung impliziert, daß die Wanderungsrate im langfristigen Gleichgewicht für jede Volkswirtschaft gleich null ist (wenn die natürliche Wachstumsrate der Bevölkerung η im langfristigen Gleichgewicht ebenfalls in jeder Volkswirtschaft gleich null ist). 7 Für m < 0 wird ic/k konstant gehalten, um (9.7) abzuleiten. Fixiert man fur m > 0 den Wert ic, dann taucht auf der rechten Seite der Gleichung zusätzlich der Term m(k) ic/k auf. Die Gleichung (9.7) ist dann eine befriedigende Approximation, wenn m{k) relativ klein ist.

340

Kapitel 9. Arbeitsangebot und Bevölkerung

Anhand dieser Gleichung wird deutlich, daß b für k < k positiv von der Sensitivität der Wanderungen in bezug auf log(fc) abhängt. Zuvor ist bereits bemerkt worden, daß die Kurve m(k) in der Abbildung 9.1 relativ flach verläuft, wenn die Umzugskosten (des marginalen Umsiedlers) mit der Anzahl der Wandernden schnell ansteigen. In diesem Fall ist der Koeffizient b klein. Für den Grenzfall, in dem die Kosten der Wanderung mit m extrem schnell steigen, ist b nahezu gleich null. Dann liegt auch in der Nähe von null und der Term der effektiven Abschreibung in (9.5) ist approximativ gleich χ + η + S, so wie in den früheren Modellen. Für eine gegebene Sensitivität der Wanderungen in bezug auf log(£) fällt der Koeffizient b, falls k/k steigt. Insbesondere ist b = 0, wenn k = k, so daß der Term der effektiven Abschreibung wiederum gleich χ + η + S ist. Bildet man die log-lineare Form der Differentialgleichung (9.5) um ihren langfristigen Gleichgewichtswert, so kann die Geschwindigkeit der Konvergenz zum langfristigen Gleichgewicht als ß = (l-a)-(x

+ n + 8) + b + b - ( l - a ) log(k*/ky,elt)

(9.8)

berechnet werden. Diese Formel ergibt für b = 0 den Wert des Solow-Swan-Modells (Gleichung (1.33)). Betrachtet man eine typische Volkswirtschaft mit k* = £weit und unterstellt b > 0, so erkennt man anhand von (9.8), daß die Möglichkeit der Wanderung den Konvergenzkoeffizienten β um den Betrag b über den Solow-Swan-Wert erhöht. Um die Größe von b abzuschätzen, werden einige empirische Ergebnisse zu den Determinanten der Wanderungen verwendet. Barro und Sala-i-Martin (1991) sowie Braun (1993) verwenden Daten für die Bundesstaaten der USA, die Regionen in Japan und für fünf europäische Staaten (Deutschland, Frankreich, Italien, Spanien und das Vereinigte Königreich), um die Sensitivität der Wanderungen innerhalb eines Landes in bezug auf die Unterschiede der Pro-Kopf-Einkommen zu schätzen. Der Regressionskoeffizient für die Nettowanderungsrate in Abhängigkeit vom Logarithmus des anfänglichen Pro-Kopf-Einkommens oder Produkts liegt bei durchschnittlich 0,012 pro Jahr (vgl. das Kapitel 11 zu den Details). Die Sensitivität der internationalen Wanderungen in bezug auf Einkommensunterschiede ist tendenziell kleiner als die für Regionen innerhalb eines Landes. Hatton und Williamson (1992) untersuchen zum Beispiel das Verhalten der Wanderungen aus elf europäischen Ländern in die Vereinigten Staaten in den Jahren von 1850 bis 1913. Ihre Regressionskoeffizienten, die auf der Reaktion der Einwanderung auf proportionale Unterschiede der Lohnsätze basieren, haben einen durchschnittlichen Wert von 0,008 pro Jahr. Um diese Ergebnisse zum Koeffizienten b in Beziehung zu setzen, kann man die Cobb-Douglas-Funktion log(;y) = log(A) + a log(&) zusammen mit der Gleichung (9.7) verwenden, um b = a- (1 -k/k)Bm/dlog(y)

(9.9)

9.1 Wanderungen in Modellen des Wirtschaftswachstums

341

zu erhalten. Die empirischen Schätzungen legen für 3m/31og(;y) einen Wert um 0,012 pro Jahr für Regionen innerhalb der Länder und einen Wert um 0,008 pro Jahr für verschiedene Länder nahe. Früher (in den Kapiteln 1 und 2) ist bereits argumentiert worden, daß ein Wert von α um 0,75 für ein weitgefaßtes Konzept des Kapitals sinnvoll ist. Damit muß noch das Verhältnis ic/k spezifiziert werden, um b gemäß (9.9) zu bestimmen. Dolado, Goria und Ichino (1993, Tabelle 2) untersuchen die Zusammensetzung der Einwanderungen für die Jahre 1960 bis 1987 in neun entwickelten Ländern Australien, Belgien, Deutschland, Kanada, Niederlande, Schweden, Schweiz, das Vereinigte Königreich und die Vereinigten Staaten. Sie beobachten, daß das Bildungsniveau der Einwanderer durchschnittlich etwa 80% des Bildungsstandes der Wohnbevölkerung beträgt, wobei angenommen wird, daß die Schulzeit der Einwanderer sich nicht systematisch von der durchschnittlichen Schulzeit in ihren Herkunftsländern unterscheidet. Chiswick (1978, Tabelle 1) findet anhand von Daten der Volkszählung im Jahr 1970 heraus, daß das Bildungsniveau der im Ausland geborenen Männer 91% des Niveaus der im Inland geborenen Männer beträgt. Borjas (1992, Tabelle 1.4) berichtet aufgrund von Daten der Volkszählungen in den USA, daß die Schulbildung der im Ausland geborenen Männer von 79% des Standes der im Inland geborenen Männer im Jahre 1940 auf 82% im Jahre 1950, 87% im Jahre 1960,94% im Jahre 1970 und 93% im Jahre 1980 gestiegen ist. Für die internationale Einwanderung wird hier 80% als typischer Wert für das Verhältnis des Humankapitals der Einwanderer zu dem der einheimischen Bevölkerung gewählt. Wenn die Einwanderer kein physisches Kapital mitbringen und wenn das Verhältnis des Humankapitals zum gesamten Kapital im Inland 5/8 beträgt der im Kapitel 5 spezifizierte Wert - , dann ist ic/k gleich 0,5 (0,8 mal 5/8). Für die Wanderungen innerhalb eines Landes ist der Quotient des Humankapitals der Einwanderer zu dem der Wohnbevölkerung wahrscheinlich höher als der für die internationalen Wanderungen. Zum Beispiel finden Borjas, Bronars und Trejo (1992) für die jungen US-amerikanischen Männer im Jahre 1986 heraus, daß die Einwanderer in einen Bundesstaat durchschnittlich eine um 3% längere Ausbildungszeit als der Durchschnitt der in dem jeweiligen Bundesstaat geborenen Männer haben.8 Nimmt man an, daß dieses Verhältnis 100% beträgt, so ist ic/k gleich 0,62. Im Zusammenhang mit den Regionen innerhalb eines Landes werden die Werte ic/k = 0,62 und dm/dlog(y) = 0,012 pro Jahr benutzt. Unter der Annahme a = 0,75 ergibt sich für b etwa der Wert 0,003 pro Jahr. Im internationalen Zusammenhang werden ic/k = 0,5 und 3m/31og(}>) = 0,008 pro Jahr verwendet. Nimmt man a — 0,75 an, so ergibt sich für b wiederum ein Wert um 0,003 pro Jahr. Die Ergebnisse sind deshalb in beiden Zusammenhängen gleich, weil der höhere Wert von 3m/31og(>>) im regionalen Fall durch den höheren Wert von ic/k ausgeglichen wird. 8

hat.

Diese Information ist einer ergänzenden Tabelle entnommen worden, die Steve Trejo bereitgestellt

342

Kapitel 9. Arbeitsangebot und Bevölkerung

Verwendet man die früher unterstellten Werte für die anderen Parameter (χ = 0,02, η = 0,01, & = 0,05), ist der Solow-Swan-Wert von β für a = 0,75 gleich 0,020. Der durch (9.8) implizierte Wert von β ist um b größer als der Solow-SwanWert; demnach erhält man einen Wert von β um 0,023 im regionalen und internationalen Zusammenhang. Die Berücksichtigung der Wanderungen führt damit erstens zu einer geringen Erhöhung der Geschwindigkeit der Konvergenz - um etwa 10% und zweitens dazu, daß die geschätzten Konvergenzkoeffizienten für die Regionen innerhalb der Länder sich nicht stark von denjenigen für verschiedene Länder unterscheiden. Diese Vorhersage paßt zu den Ergebnissen von Barro und Sala-i-Martin (1992a), die berichten, daß die geschätzten (bedingten) Raten der Konvergenz zwischen den Regionen der Länder nur wenig größer als die für verschiedene Länder sind. Ein geringerer Wert von k/k erhöht b in (9.9) und damit auch den Konvergenzkoeffizienten ß. Die Vorhersagen über die Konvergenz einer Völkswirtschaft, in die Wirtschaftssubjekte einwandern (m > 0), unterscheiden sich daher von denjenigen für eine Volkswirtschaft, aus der Personen auswandern im < 0). Da die aufnehmenden Länder tendenziell über höhere Kapitalintensitäten als die abgebenden Länder verfügen, ist der Wert von k/k für die Empfänger tendenziell kleiner. Daher erhöht die Wanderungsneigung die Geschwindigkeit, mit der die Bestimmungsländer ihre langfristigen Gleichgewichte im Vergleich zur Geschwindigkeit der Ursprungsländer erreichen. Später wird diskutiert, daß die Umsiedlung die Geschwindigkeit der Konvergenz der Ursprungsländer unter Umständen verringert. Die Möglichkeit der Wanderung erhöht die Geschwindigkeit der Konvergenz, weil b > 0 angenommen worden ist. Wenn die Wanderungsrate positiv auf das Einkommen reagiert, wenn also 3m/31og(>) > 0 ist, dann ist der Koeffizient b in (9.9) für k/k > 1 negativ. Dieser Fall kann eintreten, falls die Umsiedler über substantiell mehr Humankapital als der Durchschnitt in ihren Heimatländern verfügen. Für die Zielvolkswirtschaften, in denen m > 0 ist, erscheint die Bedingung k/k > 1 nicht plausibel. Die Einwanderer müßten nicht nur über mehr Humankapital als die durchschnittliche Person im Bestimmungsland verfügen; vielmehr müßte dieser Unterschied auch den Tatbestand überkompensieren, daß die Einwanderer keine nennenswerte Menge an Nicht-Humankapital mitbringen. Da Einwanderer, wie bereits bemerkt worden ist, tendenziell über weniger Humankapital als die einheimische Bevölkerung im Bestimmungsland verfügen, ist es unwahrscheinlich, daß diese Bedingung erfüllt ist. Für die Ursprungsländer, in denen m < 0 gilt, ist die Bedingung k/k > 1 zwar denkbar, aber immer noch unwahrscheinlich. In bezug auf die Wanderungen zwischen den Regionen eines Landes lautet die übliche Sichtweise, die sich zum Beispiel bei Greenwood (1975) findet, daß die gebildeteren Menschen eher wandern. Borjas, Bronars und Trejo (1992, Tabellen 2 und 4) quantifizieren diesen Effekt für junge Männer in den Vereinigten Staaten für das Jahr 1986. Ihre Zahlen implizieren, daß die Wandernden eine durchschnittlich um 2% längere Schulbildung als der Durchschnitt der Wohnbevölkerung ihres Ursprungsstaates haben. Dieser kleine

9.1 Wanderungen in Modellen des Wirtschaftswachstums

343

Überschuß an Humankapital wird allerdings durch das fehlende physische Kapital der Umsiedler überkompensiert (wenn weiterhin angenommen wird, daß das physische Kapital zwischen den Bundesstaaten der USA nicht vollkommen mobil ist). Hatton und Williamson (1992, S. 4) beobachten, daß europäische Auswanderer in den Jahren von 1850 bis 1913 in der Regel ungelernt gewesen sind, so daß die Bedingung k/k < 1 in diesen Fällen sogar für das Humankapital der Ursprungsländer gilt. Für die ärmeren Länder ist es plausibel, daß die Personen mit relativ viel Humankapital eher geneigt sind zu wandern, ein Phänomen, das häufig als brain drain beschrieben wird. Diese Situation gilt besonders für die Rückkehr von Siedlern aus zerfallenden Weltreichen, wie im Falle der Briten aus Indien, der Franzosen aus Algerien und der Portugiesen aus Mosambik. In einigen Fällen kann dieser Vorgang kräftig genug sein, um den Mangel an Nicht-Humankapital bei der wandernden Bevölkerung überzukompensieren. Die Möglichkeit zur Wanderung verringert daher in diesen Fällen die Geschwindigkeit der Konvergenz für Volkswirtschaften, aus denen Wirtschaftssubjekte auswandern. Ein neues Ergebnis für b > 0 ist, daß β gemäß (9.8) mit k* für gegebene Werte der anderen Parameter steigt, weil ein höherer Wert von k* eine größere Wanderungsrate m* im langfristigen Gleichgewicht und damit eine höhere Geschwindigkeit der Konvergenz in der Nähe des langfristigen Gleichgewichts impliziert. Man erinnere sich zum Beispiel daran, daß eine andauernde Verbesserung der Produktionsfunktion oder eine Erhöhung der Sparquote s im Inland k* erhöhen. Jetzt zeigt sich, daß diese Änderungen auch die Geschwindigkeit der Konvergenz β steigern. Im Gegensatz hierzu ist β im Solow-Swan-Modell unabhängig vom Niveau der Produktionsfunktion oder der Sparquote. Unterstellt man vollkommene Arbeitsmobilität - das heißt Kosten der Wanderung, die gegen null gehen - , dann wird dm/dlog(y) unendlich groß. Für k < k wird auch der Koeffizient b in (9.9) unendlich groß. Die Gleichung (9.8) impliziert demnach, daß β gegen unendlich strebt. Also ruft die vollkommene Arbeitsmobilität eine unendlich große Geschwindigkeit der Konvergenz hervor. Dieses Ergebnis entspricht der Auswirkung der vollkommenen Kapitalmobilität, die im Kapitel 3 untersucht worden ist. Abschließend wird die Wirkung der Kapitalertragsquote α auf die Geschwindigkeit der Konvergenz betrachtet. Üblicherweise impliziert eine Erhöhung von α eine geringere Neigung zu abnehmenden Produktivitäten des Kapitals. Deshalb fällt die Geschwindigkeit der Konvergenz und geht gegen null, wenn α gegen eins strebt. Das heißt, die Eigenschaft der Konvergenz tritt nicht in dem AÄf-Modell auf, das im Kapitel 4 untersucht worden ist. Die Art der Gleichung (9.8) für den Konvergenzkoeffizienten β beinhaltet die übliche inverse Beziehung zwischen β und α für einen gegebenen Koeffizienten b. (Hier wird k* = fcweit unterstellt, so daß der letzte Term auf der rechten Seite von (9.8) gleich null ist.) Die Gleichung (9.9) zeigt, wie b bestimmt wird. Für einen gegebenen Wert von 3m/31og(;y) steigt b mit α; dieser Effekt wirkt also der inversen Beziehung zwischen β und α entgegen. Allerdings muß auch der Einfluß

344

Kapitel 9. Arbeitsangebot und Bevölkerung

von α auf 9m/9 log(y) betrachtet werden. Im Cobb-Douglas-Fall beträgt der Lohnsatz pro effizienter Arbeitseinheit w = (1 — a) Akf"\ dieser Term ist zu y proportional. Wenn α steigt, fällt der Anteil des Einkommens, der durch die Löhne (für einfache Arbeit) repräsentiert wird. Man kann daher erwarten, daß dm/31og(y) ebenfalls abnimmt, weil der Nutzen eines Umzugs der ungelernten Arbeit von einem Gebiet zu einem anderen kleiner wird. Daher ist per Saldo nicht klar, ob b mit α steigt oder fällt. Geht allerdings α gegen eins, strebt w gegen null und auch dm/dlog(y) geht tendenziell gegen null (weil der Vorteil aus dem Umzug der einfachen Arbeit entfällt). Dieses Ergebnis bedeutet, daß b gegen null konvergiert, wenn α sich eins nähert, und daß damit der Koeffizient β in (9.8) ebenfalls gegen null strebt. Daher tritt die Eigenschaft der Konvergenz in diesem Modell auch bei Wanderungen nicht auf, wenn die Produktivitäten des Kapitals nicht abnehmen.

9.1.2

Wanderungen im Ramsey-Modell

Im Kapitel 2 ist der Ramsey-Ansatz der Haushaltsoptimierung verwendet worden, um das Solow-Swan-Modell durch eine variable Sparquote zu erweitern. Die wichtigste Änderung der Ergebnisse bezieht sich auf das Übergangsverhalten der Sparquote. Wenn die Sparquoten zum Beispiel im Verlauf der ökonomischen Entwicklung steigen, dann wird die Geschwindigkeit der Konvergenz im Vergleich zu der des Solow-Swan-Modells relativ geringer. Das Ramsey-Modell hat auch einige Implikationen für das Niveau der Sparquote und damit für die Größe der Variablen im langfristigen Gleichgewicht. Insbesondere kann die Möglichkeit einer ineffizienten Überersparnis, die im Solow-Swan-Modell besteht, im Ramsey-Ansatz nicht auftreten. Jetzt wird die Formulierung von Ramsey auf die Version des Solow-Swan-Modells mit Wanderungen angewendet. Die neuen Ergebnisse beinhalten die wechselseitigen Beziehungen zwischen den Wanderungen und der Wahl der Sparquoten. Diese Ergebnisse betreffen das Übergangsverhalten der Ersparnis und damit die Geschwindigkeit der Konvergenz; sie beziehen sich auch auf das Niveau der Sparquote und somit auf einige Eigenschaften des langfristigen Gleichgewichts. Die wichtigsten Ergebnisse über die Rolle der Wanderungen im Wachstumsprozeß unterscheiden sich allerdings nicht von denen, die bereits für das Solow-Swan-Modell dargestellt worden sind.

AUFBAU DES RAMSEY-MODELLS MIT WANDERUNGEN.

Der benutzte M o -

dellrahmen ist eine Modifikation zu Weils (1989) Erweiterung des Blanchard-Modells (1985) und ähnelt formal der Analyse der Haushalte mit endlichem Planungshorizont aus dem Kapitel 3. Allerdings wird jetzt angenommen, daß die Inländer wie im Ramsey-Modell unsterbliche Familien repräsentieren; das heißt im Zusammenhang mit dem Blanchard-Modell ρ = 0. Die Größe jeder Familie wächst mit der konstanten exogenen Rate n.

9.1 Wanderungen in Modellen des Wirtschaftswachstums

345

Die Wanderungsrate ist wieder m(t), und jeder Wandernde bringt die Menge κ(ί) an Kapital mit, mutmaßlich zum größten Teil in der Form von Humankapital. 9 Eine wesentliche Annahme besagt, daß sich die Einwohner um ihre eigenen Kinder, nicht aber um die Einwanderer kümmern. Also taucht deren Konsum nicht als Argument in den Nutzenfunktionen der Wohnbevölkerung auf. 10 Die gesamte heimische Bevölkerung L(t) zur Zeit t ist durch (9.10) gegeben, so daß der Wanderungsstrom zum Zeitpunkt t gleich m{t) L(t) ist. Die L(0) Einwohner zur Zeit t = 0 sind identische „Einheimische", die wie beim Oklahoma land rush in den neunziger Jahren des vorigen Jahrhunderts alle auf einmal angekommen sind. 11 Die Bevölkerung zu späteren Zeitpunkten besteht dann teilweise aus Nachkommen der Einheimischen und teilweise aus Einwanderern und deren Nachkommen. Im folgenden wird L(0) auf eins normiert (L(0) = 1). Die eingewanderten Haushalte werden durch das Jahr j > 0 ihrer Ankunft im Land indiziert. Für einheimische Familien wird j = 0— gesetzt, das heißt, sie sind irgendwann vor dem Zeitpunkt 0 eingetroffen.

OPTIMUMBEDINGUNGEN UND AGGREGATION DER ERGEBNISSE.

Die Haus-

halte eines jeden Jahrgangs j maximieren ihren Nutzen, der zur Zeit t durch (9.11) gegeben ist, wobei c(j, v) der Konsum pro Person der Haushalte des Jahrgangs j zur Zeit ν ist. Die logarithmische Form des Nutzens wird wie im Kapitel 3 unterstellt, um die Aggregation über die Einwanderer der verschiedenen Jahrgänge zu erleichtern. Wenn jeder Haushalt seinen Nutzen unter seiner Budgetrestriktion maximiert, impliziert die Analyse im Kapitel 2 die folgenden Bedingungen: Hj, t)/c(j,

t) = r(t) - p,

ά(;, 0 = [r(t) - n] a(j, t) + w(t) - c(j, f ) , c(j,t) 9

= (p — n) [a(j,t)

+

w(t)],

(9.12) (9.13) (9.14)

Die Umsiedler können wie bisher keine finanziellen Forderungen auf das im Ausland erwirtschaftete Einkommen erheben. 10 Die Analyse gilt auch für die Auswanderung (m(r) < 0), wenn sich die Wohnbevölkerung nicht um die Personen kümmert, die das Inland verlassen. Wenn die Wanderung zum Beispiel die Form des Weggangs einer gesamten Großfamilie annimmt, ist es naheliegend zu unterstellen, daß sich die verbleibenden Familien nicht um diese Familie kümmern. Das Problem ist komplizierter, wenn einzelne Familienmitglieder auswandern und dann Geld in die Heimat überweisen oder von den in der heimischen Volkswirtschaft verbleibenden Mitgliedern Zahlungen erhalten. "irgendwie muß der Startwert für die heimische Bevölkerung festgelegt werden. Für Zeitpunkte t > 0, die weit in der Zukunft liegen, ist die genaue Anfangssituation nicht besonders wichtig. Eine weitergehende Diskussion bietet Braun (1993).

346

Kapitel 9. Arbeitsangebot und Bevölkerung

wobei a(j, t) das Vermögen pro Person ist, w{t) den Lohnsatz (für alle Personen gleich) bezeichnet und w(t) der durch ü>(0 =

w(v) e"^-') e - f ( , | ' H - " d n

(9.15)

gegebene Barwert der. zukünftigen Löhne pro Kopf ist. Dabei gibt r(v, t) = [1/(υ — ί)] • J* r(v) d ν den durchschnittlichen Zinssatz für den Zeitraum zwischen t und ν an. Darüber hinaus gilt die übliche Transversalitätsbedingung, wonach der Barwert des Vermögens asymptotisch gegen null gehen muß. Die Methode zur Analyse des aggregierten Konsums und des Vermögens entspricht im wesentlichen derjenigen, die für die Volkswirtschaft mit endlichem Zeithorizont im Kapitel 3 verwendet worden ist. Daher werden die Darlegungen hier lediglich skizziert. Den aggregierten Konsum zur Zeit t erhält man durch Summation (Integration) über die Jahrgänge j (0 < j < t) der Einwanderer: C(t) = f [c(j, t) m(j) L(j) e n ( ' - ^ ] d j + c( 0 - , /) e' Jο = e"' jf ^c(j,t)m(j)

exp jf

(9.16) n

m(v)dujj d ; + c(0-,i)e ',

wobei m(j) L(j) die anfängliche Zahl der Einwanderer des Jahrgangs j ist. Für L(j) ist die Formel (9.10) verwendet worden, und der letzte Term repräsentiert den Konsum der einheimischen Familien. Das Ergebnis für das aggregierte Vermögen lautet ähnlich: A{t) = e"' · jf jaO', t) m(j) exp | j f ' m(v) d wj J d j + a( 0 - , t) e"'.

(9.17)

Der aggregierte Barwert der Lohneinkommen ergibt sich aus (9.15) als W(t) =

L(t)w(t)

= e"' exp [ j i ' m(v) d u j ·

w(v)

d υ.

(9.18)

Die Änderungen von A (t) und W(i) in der Zeit lassen sich durch Differentiation von (9.17) und (9.18) berechnen: Ä(t) =K(t) m(t) L(t) + r(f) A(t) - C(t) + u>(f)e"'· j l + jf m(j)-exp^m(v) W(t) = [r(0 + m(t)] W(t) - w(t) L(t).

duj dyj, (9.20)

Zur Ableitung von (9.19) sind die individuelle Budgetrestriktion der Familie in der Gleichung (9.13) und die Bedingung a{t, t) = κ(ί) benutzt worden; das heißt, Einwandererfamilien kommen mit dem Pro-Kopf-Vermögen/c(i) an.

9.1 Wanderangen in Modellen des Wirtschaftswachstums

347

Die Gleichung (9.14) impliziert C(f) = (p - n)[Ä(f) + W(t)]. Verwendet man (9.19), (9.20) und die Bedingung A(i) = K(t), so erhält man schließlich einen Ausdruck für die Wachstumsrate des Pro-Kopf-Konsums: Yc = r(t) - ρ - m(t) (ρ - η) [k(t) - K(t)]/c(t),

(9.21)

wobei c(f) = C(t)/L(t) ist. Für m(t) = 0 oder κ(ί) = k(t) reduziert sich diese Relation auf das Standardergebnis des Ramsey-Modells (mit logarithmischer Nutzenfunktion). Wenn m{t) > 0 und/c(r) < k(t) ist, reduziert der Zustrom der Umsiedler gemäß dem letzten Term auf der rechten Seite von (9.21) den Pro-Kopf-Konsum. In diesem Sinne wirkt eine verstärkte Einwanderung m(t) wie eine Erhöhung von p. Dieser Effekt gleicht dem des Zustroms an Kindern im Modell von Blanchard (1985) (der Term p + n in der Gleichung (3.32)), weil, wie Weil (1989) bemerkt, die Einwanderer den ungeliebten Kindern von Blanchard entsprechen.

LANGFRISTIGES GLEICHGEWICHT UND DYNAMIK DES MODELLS.

Wie im

Ramsey-Modell kann die dynamische Entwicklung mit Hilfe zweier Differentialgleichungen in k und c ausgedrückt werden. Die zur Gleichung (9.3) in der SolowSwan-Formulierung analoge Gleichung für die Wachstumsrate von k lautet / i = f(b/k

- c / k - ( x + n + 8)-m-(l-

ic/k).

(9.22)

- (χ + ρ + S) - m • (p - n) (k - ic)/c.

(9.23)

Aus (9.21) erhält man die Wachstumsrate von c: Ye = f'(k)

Für die Wanderungen wird die Spezifikation (9.6) aus dem Solow-Swan-Modell verwendet: m • (1 — ic/k) = b log(£/£weit).

(9.6)

wobeifcweitkonstant ist. Setzt man diesen Ausdruck in (9.22) und (9.23) ein, so kann mit den üblichen Methoden ein Phasendiagramm im (k, c)-Raum erstellt werden, mit dessen Hilfe sich das langfristige Gleichgewicht und die Übergangsdynamik analysieren lassen. Die Gleichungen (9.23) und (9.6) implizieren für c ^ 0, daß die Isokline c = 0 durch /'(*) = 5 + ρ + , +

(9.24) c/k

gegeben ist. Diese Bedingung unterscheidet sich durch den letzten Term auf der rechten Seite von dem Standardausdruck im Kapitel 2. Sei k* derjenige langfristige Gleichgewichtswert für das Modell, der Wanderungen ausschließt, also der Wert, der f'(k*) = & + p + x erfüllt. Dann hängt das Aussehen der Isokline c = 0 von der

348

Kapitel 9. Arbeitsangebot und Bevölkerung

Beziehung zwischen k* undfcweitab. Für k* = fcWeh, was in der typischen Volkswirtschaft vorliegt, falls &weit dem durchschnittlichen langfristigen Gleichgewichtswert der Welt entspricht, ist die Isokline eine vertikale Linie an der Stelle k*, wie sie im Teil (a) der Abbildung 9.3 dargestellt wird. In diesem Fall stimmt die Isokline mit der im Standardmodell ohne Wanderungen überein (vgl. die Abbildung 2.1).

(a) k* = Äweii

(b) k* > kWe„

(c) k* < *Wcη

AbbUdung 9.3 Der Verlauf der Isokline c = 0 im Ramsel-Modell mit Wanderungen. Die Form der Isokline c = 0 hängt von der Beziehung zwischen k* undfcweitab· Gilt k* = ifeweii. verläuft die Isokline vertikal, wie sie im Teil (a) dargestellt wird. Für k* > ifcweli wie in (b) steigt die Isokline und für k* < iwelt wie in (c) fallt sie.

Wenn die inländische Volkswirtschaft im langfristigen Gleichgewicht ohne Wanderungen für Einwanderer attraktiv ist - das heißt, wenn k* >fcweitist - dann verläuft die Isokline wie im Teil (b) der Abbildung 9.3. Insbesondere gilt: &weit < k < k*, c konvergiert gegen null, wenn k gegen £weit strebt, und c geht gegen unendlich, wenn k gegen k* konvergiert. Für k* < £weit sieht die Isokline wie im Teil (c) der Abbildung aus, wobei k* fc-weit dargestellt, so daß die Isokline c = 0 vertikal verläuft, wie sie im Teil (a) der Abbildung 9.3 gezeigt wird. Die Isokline k = 0 hat die übliche inverse {/-Form. Wegen k* = Ä\veu ist die Nettowanderung im langfristigen Gleichgewicht k* gleich null. Das Modell weist die übliche Stabilität entlang dem Sattelpfad auf. Wenn die Volkswirtschaft bei einem geringen Wert von k startet, steigen k und c während des Übergangs monoton. In diesem Übergang ist die Nettowanderung zwar negativ, erreicht aber asymptotisch den langfristigen Gleichgewichtswert in Höhe von null.

wegen (9.6) m* = 0 impliziert. Für die typische Volkswirtschaft wird die Kapitalintensität im langfristigen Gleichgewicht daher nicht durch die Möglichkeit der Wanderung beeinflußt, und die Wanderungsrate im langfristigen Gleichgewicht ist gleich null. Für k* >fcweit.wie im Teil (b) der Abbildung 9.3, schneidet die Isokline k = 0 un die Isokline c = 0 in einem Punkt, bei dem fcweit < ^wand < d m* > 0 gelten. Wenn die heimische Volkswirtschaft im langfristigen Gleichgewicht ohne Wanderungen für Einwanderer attraktiv ist, führt die Berücksichtigung der Wanderungen damit zu einem langfristigen Gleichgewicht mit positiver Einwanderung und folglich zu einer verringerten Kapitalintensität (weil die Einwanderer relativ wenig Kapital mitbringen). Diese Folgerungen kehren sich für k* 0 die Rate des exogenen arbeitsvermehrenden technischen Fortschritts in allen Volkswirtschaften ist. Neu in (9.27) ist der Input R, dessen Menge sich nicht verändert und der eine natürliche Ressource repräsentiert, zu der die Einwohner der heimischen Volkswirtschaft freien Zugang haben. Dieses Gut ist allerdings in dem Sinne übernutzbar, daß die Pro-Kopf-Größe R/L in die Produktionsfunktion eingeht. Für die Parameter gilt 0 < λ < 1 — α, so daß die Skalenerträge bezüglich Κ und L für festes R abnehmen, die gesellschaftliche Grenzproduktivität von L aber positiv ist.

352

Kapitel 9. Arbeitsangebot und Bevölkerung

Die Größe R in (9.27) läßt sich als Boden interpretieren, obwohl die Anreize zur Wanderung beeinflußt werden, wenn man einen kompetitiv bestimmten Nutzungspreis einführt, den die Nachfrager des Bodens zahlen müssen. Man kann R auch als durch den Staat bereitgestellte Dienstleistung interpretieren, die der Wohnbevölkerung in gegebener aggregierter Menge unentgeltlich zur Verfügung gestellt wird. Allerdings beeinflußt die Art der öffentlichen Finanzierung dann die Anreize zur Wanderung. Zum Beispiel vermindert eine Kopfsteuer oder eine Einwanderungsgebühr die Anreize zur Einwanderung für die Ausländer. Hier wird eine Situation analysiert, in der keine Steuern und Gebühren erhoben werden. Unter vollständiger Konkurrenz betrachtet ein Produzent R/L als gegeben (weil L in diesem Term die aggregierte Bevölkerung der Volkswirtschaft repräsentiert) und wählt die Inputmengen Κ und L unter Beachtung der üblichen Produktionsfunktion mit konstanten Skalenerträgen. Die Faktorpreise entsprechen daher der jeweiligen privaten Grenzproduktivität, und die Entlohnung der Faktoren schöpft das gesamte Inlandsprodukt aus. Der Lohnsatz ist gleich der privaten Grenzproduktivität der Arbeit und ergibt sich aus (9.27) als w = (1 - a) Aka (R/L)k

e",

(9.28)

wobei k = K/L ist. Der Nutzungspreis des Kapitals ist gleich r + 8, wobei r den realen Zinssatz auf dem Weltmarkt angibt, der nicht von den Wahlhandlungen in der kleinen heimischen Volkswirtschaft abhängt. Hier wird r als Konstante mit r > χ behandelt, das heißt, die Weltwirtschaft befindet sich in einem langfristigen Gleichgewicht, in dem die Transversalitätsbedingung erfüllt ist.12 Die Produzenten der inländischen Volkswirtschaft gleichen die aus (9.27) bestimmte private Grenzproduktivität des Kapitals dem Nutzungspreis an: αA I f

1

(R/L)k

=

r+S.

Durch diese Bedingung wird die Kapitalintensität im Inland bestimmt als -ι 1/u-u, OLA (R/L) λ k = r+ 0 unterstellt wird. Durch die Annahme η(0) = 0 wird die Analyse weiter vereinfacht. Das heißt, fixe Ausgaben für den Transport und damit verbundene Ausgaben werden vernachlässigt, und entsprechend wird angenommen, daß die Kosten pro Umsiedler gegen null gehen, wenn der Strom der Wandernden gegen null strebt (vgl. Braun (1993) hinsichtlich einer ausführlicheren Diskussion). Ziehen Wirtschaftssubjekte in die heimische Volkswirtschaft, dann fällt R/L und dementsprechend auch w gemäß der Gleichung (9.30). Wenn genügend Personen umgezogen sind, um w an wwek anzugleichen, wird der Anreiz zur Wanderung beseitigt. (Ist der inländische Technikparameter Α der gleiche wie im Rest der Welt, ergibt sich die Gleichheit der Lohnsätze, sofern der heimische Wert von R / L dem der Welt entspricht.) Bei gleichen Lohnsätzen befindet sich die inländische Volkswirtschaft in einem langfristigen Gleichgewicht, bei dem die Wanderungen null sind; die Bevölkerung L und die Kapitalintensität k sind konstant. Die Bedingung η(0) = 0 impliziert, daß das System tatsächlich dieses langfristige Gleichgewicht erreicht, weil Β > 0 für w > tuweit gilt, und die Menschen motiviert sind, bei Kosten von null umzuziehen. Also siedeln mehr Personen um, und die heimische Bevölkerung wächst, solange w > lüweit gilt. (Nimmt man η(0) > 0 an, dann bleibt eine positive Differenz zwischen dem heimischen Lohnsatz und dem Lohnsatz im Rest der Welt im langfristigen Gleichgewicht bestehen.) Da die Weltwirtschaft im langfristigen Gleichgewicht nicht entvölkert ist,14 werden einige der Bewohner der Welt nie in die heimische Volkswirtschaft umziehen, das heißt, einige dieser Menschen nehmen die Option zur Wanderung nicht wahr. Sofern die Personen alle gleich sind und sich optimal verhalten, können nur dann einige von ihnen im Gleichgewicht keinen Nettonutzen der Wanderung haben, wenn keiner einen Nettonutzen erfährt. Daher induziert das Gleichgewicht zu jedem Zeitpunkt genügend Wanderungen, so daß der Nutzen und die Kosten des Umzugs ausgeglichen werden: B{t)

= n[M(t)/L(t)]

·

mm

(9.35)

für alle t. Diese Gleichung gilt auch, wenn auf der linken Seite B(t) durch B(t) und auf der rechten Seite u>weit durch die Konstante u>weit ersetzt wird. 14 Diese Bedingung gilt, weil ein großer Rückgang der Weltbevölkerung den Wert R/L im Rest der Welt beträchtlich steigert und damit auch toWeU erhöht. Die Form der Gleichung (9.28) für den Lohnsatz, die entsprechend für den Rest der Welt gilt, impliziert, daß die Gleichheit von w und uiweli eintritt, bevor die Größe der Bevölkerung im Inland oder im Rest der Welt gleich null ist.

9.1 Wanderungen in Modellen des Wirtschaftswachstums

355

Der Wanderungsstrom zu jedem Zeitpunkt und damit die Wachstumsrate der heimischen Bevölkerung können durch die Inversion von (9.35) berechnet werden: γι = M(t)/L(t)

= MB(t)/w weit],

(9.36)

wobei (9.33) verwendet worden ist, und ψ die inverse Funktion von η in (9.34) bezeichnet. Wegen η' > 0 und η" > 0 ist die Funktion η bijektiv, so daß ψ wohldefiniert und ebenfalls bijektiv ist. Die Funktion ψ erfüllt die Bedingungen ψ > 0 und ψ" < 0. Die Annahme η(0) = 0 impliziert vHO) = 0. Bei der Diskussion des Solow-Swan-Modells und des Ramsey-Modells ist in der Abbildung 9.1 eine Wanderungsfunktion unterstellt worden, derzufolge die Wanderungsrate m = M/L positiv von w und damit von k abhängt. Dabei ist bemerkt worden, daß dieser Funktion die Annahme zugrunde liegt, daß in anderen Ländern die Bedingungen, die jetzt durch u>weit repräsentiert werden, konstant sind. Der wichtigste Unterschied zwischen der angenommenen Funktion und der hier verwendeten Funktion besteht darin, daß die erste Beziehung lediglich den gegenwärtigen Lohnsatz pro effizienter Arbeitseinheit w enthält, während die letzte Beziehung den gesamten Zeitpfad der effektiven Lohnsätze beinhaltet, da sie in den Ausdruck für den Nutzen der Wanderung B(t) eingehen.

DAS DYNAMISCHE SYSTEM, DAS LANGFRISTIGE GLEICHGEWICHT UND DIE

ÜBERGANGSDYNAMIK. Das dynamische System kann in den Variablen L und Β ausgedrückt werden, wobei L die einzige Zustandsvariable ist. Die beiden dynamischen Gleichungen sind (9.32) und (9.36): B = -(w-

iüweit) + (r - x)B,

Yl = f(B/u>weu),

(9.32) (9.36)

wobei u)weit und r konstant sind und w in Übereinstimmung mit (9.30) in inverser Beziehung zu L steht: w.

=

(1 - α) Α1'*1-«) α"/ ( 1 - α ) ( R / L ) ^ - ^ + ·

(9J7)

In der Abbildung 9.5 wird ein Phasendiagramm für (9.32) und (9.36) im (L, B)Raum konstruiert. Die Gleichung (9.36) und die Eigenschaften der Funktion ψ mit ψ(0) = 0 implizieren, daß L = 0 für L φ 0 der Achse 5 = 0 entspricht. Wegen ψ > 0 folgt aus dieser Gleichung auch, daß L für Β > 0 wächst und für Β < 0 fällt. Nach der Gleichung (9.32) repräsentiert Β = 0 eine positive, lineare Beziehung zwischen Β und w. Da ώ gemäß (9.37) in inverser Beziehung zu L steht, ist die Beziehung zwischen Β und L ebenfalls invers, wie sie in der Abbildung 9.5 dargestellt wird. Weil r > χ ist, implizieren Werte von Β oberhalb der Kurve, daß Β > 0 gilt; Werte unterhalb der Kurve bedeuten Β < 0.

356

Kapitel 9. Arbeitsangebot und Bevölkerung

Β B=

0

Γ 0

L

Abbildung 9.5 Das Phasendiagramm für den Fall, daß die Wanderung eine Entscheidungsvariable ist. Die Dynamik des Modells kann in dem Barwert des Nutzens aus der Umsiedlung Β und in der heimischen Bevölkerung L als Variablen ausgedrückt werden. Das System ist stabil entlang dem Sattelpfad, wobei der stabile Arm fällt. Damit ist eine geringe Bevölkerung in der Ausgangslage mit hohen Nutzen aus den Nettowanderungen in die heimische Volkswirtschaft und damit einer hohen Nettowanderungsrate m verbunden. Mit wachsender Bevölkerung wird der Nettonutzen aus der Umsiedlung geringer. Im langfristigen Gleichgewicht ist der Nettonutzen Β gleich null, und die Bevölkerung L bleibt konstant.

Die Abbildung zeigt, daß im langfristigen Gleichgewicht L konstant gleich L* ist und Β* — 0 gilt. Die Gleichung (9.32) beinhaltet w* = tt>Weit. und durch (9.37) wird der Wert L* bestimmt, der diese Gleichheit erfüllt. Insbesondere erhöht sich L* mit Α und steigt proportional mit R. Das System ist stabil entlang dem Sattelpfad; die Bewegungsrichtungen werden in der Abbildung 9.5 dargestellt. Wenn die heimische Volkswirtschaft bei L < L* startet, ist Β > 0 und L steigt in der Zeit. Die resultierende Verringerung von w führt zu einer Senkung von Β und damit einer Abnahme der Wanderungsrate. Sie fällt in der Zeit stetig in Richtung von null, während L gegen L* strebt. Die Geschwindigkeit der Konvergenz zum langfristigen Gleichgewichtswert hin kann in der Nähe des langfristigen Gleichgewichtes auf die übliche Weise durch Linearisierung bestimmt werden. In diesem Fall wird das System durch (9.32) und (9.36) beschrieben; die Linearisierung erfolgt in den Variablen Β (relativ zum Gleichgewichtswert 0) und log (L/L*). Die Wanderungsrate, die der Wachstumsrate von L entspricht, ist durch

M/L

= Y

L

^ ß log

(L/L*)

(9.38)

9.1 Wanderungen in Modellen des Wirtschaftswachstums

357

gegeben. Dabei erhält man den Konvergenzkoeffizienten β durch

2ß =

/2 • n2 , 4 λ ^ ( 0 ) " Γ (r — χ) Η—

1 - A

J

, , -(r-x).

(9.39)

Die Gleichung (9.39) zeigt, daß ψ'(0), die Sensitivität der Wanderungsrate in der Nähe des langfristigen Gleichgewichts in bezug auf den relativen Vorteil des Umzugs Bf liweit (vgl. (9.36)), die wesentliche Determinante der Geschwindigkeit der Konvergenz darstellt. Je größer diese Reagibilität ist, desto höher ist die Geschwindigkeit der Konvergenz. Man erinnere sich daran, daß die Funktion ψ die Umkehrfunktion von η bezeichnet, die in (9.34) die Umzugskosten mit der Wanderungsrate in Beziehung setzt. Die Steigung i / ( 0 ) gibt den Kehrwert von JJ'(O) an; je schneller die Umzugskosten mit dem Umfang der Wanderungen steigen, um so geringer fällt die Reaktion der Wanderungsrate auf den relativen Nutzen B/w aus und um so geringer ist folglich die Geschwindigkeit der Konvergenz. Die Geschwindigkeit der Konvergenz für y entspricht der Geschwindigkeit der Konvergenz für L. Diesen Tatbestand kann man unter Verwendung der Produktionsfunktion (9.27) und des Ausdrucks (9.29) für k erkennen, indem eine Formel für y abgeleitet wird: ^^ V

~~

A l/(l-oO a c,/(l-a)

(r

+

(Ä/Z/)V(l-a)

S)a/(l-aO

·

(9 40)

·

Diese Formel stimmt bis auf den Faktor 1 — α mit dem Ausdruck für w in (9.37) überein. Das Ergebnis für y liefert l o g C P / f ) = [ λ / ( 1 - α)] log(L*/L),

(9.41)

das heißt, y liegt oberhalb des langfristigen Gleichgewichtswertes, wenn L kleiner als der langfristige Gleichgewichtswert ist und umgekehrt. Die Gleichung (9.40) impliziert auch für die Wachstumsrate von y ^ = -[λ/(1-α)]η·

(9.42)

Unter Verwendung von (9.42), (9.41) und (9.38) erhält man eine bekannt erscheinende Konvergenzgleichung für y: γ9 = - ß log ( y / f ) .

(9.43)

Die Wachstumsrate von y steht daher in inverser Beziehung zur Größe von y\ die Geschwindigkeit der Konvergenz β ist durch (9.39) gegeben. Man erinnere sich an die zuvor diskutierten empirischen Ergebnisse über die Nettowanderungsraten. Diese Ergebnisse setzen die Wanderungsrate zu Unterschieden des Pro-Kopf-Einkommens oder des Pro-Kopf-Produktes in Beziehung. Die

358

Kapitel 9. Arbeitsangebot und Bevölkerung

Gleichung (9.38) kann in dieser Form geschrieben werden, wenn log(L*/L) mittels (9.41) durch log(;y/;y*) ersetzt wird: M/L = yL »

ß

'

( l

~

a)

• log(y/y*)

(9.44)

Man kann (9.43) und (9.44) als System zweier Gleichungen in der Wachstumsrate des Outputs und der Wanderungsrate auffassen. Angenommen, es wird eine Gruppe von Volkswirtschaften untersucht, für die unterstellt werden kann, daß die Parameter α und λ übereinstimmen. Dann haben diejenigen Gebiete einen höheren Wert β, für die der Wert größer ist, das heißt, die eine größere Sensitivität der Wanderungsrate in bezug auf den relativen Nutzen B/wweit und damit eine geringere Neigung zu Umzugskosten haben, die mit der Wanderungsrate steigen. Daher reagiert die Wanderungsrate auf Unterschiede im Pro-Kopf-Produkt gemäß (9.44) in diesen Gebieten stärker, und die Geschwindigkeit der Konvergenz in bezug auf den Output pro Kopf ist nach (9.43) höher. Braun (1993) testet die Hypothese, daß eine große Sensitivität der Wanderungsrate tendenziell mit einer hohen Geschwindigkeit der Konvergenz in bezug auf das Pro-Kopf-Einkommen oder das Pro-Kopf-Produkt einhergeht. Dabei hat er Informationen über die Wanderungen und die Konvergenz innerhalb eines Landes für die Bundesstaaten der USA sowie für die Regionen fünf europäischer Länder (Deutschland, Frankreich, Italien, Spanien und das Vereinigte Königreich) und Japan verwendet. Das heißt, er vergleicht sieben Schätzungen der Sensitivität der Wanderungsrate erfolgreich mit den entsprechenden sieben Schätzungen der Konvergenzkoeffizienten für das Pro-Kopf-Produkt oder das Pro-Kopf-Einkommen. Obwohl die Anzahl der Daten klein ist, liefern die Ergebnisse eine gewisse Unterstützung der zugrundeliegenden Theorie, weil die Gebiete mit größerer Sensitivität der Wanderungsrate tendenziell auch höhere Konvergenzraten haben. Eine Diskussion dieser empirischen Belege findet sich im Kapitel 11.

DYNAMIK DER WELTWIRTSCHAFT. In der bisherigen Analyse ist angenommen worden, daß sich die Weltwirtschaft in einem langfristigen Gleichgewicht mit konstantem Lohnsatz t£>weit pro effizienter Arbeitseinheit und einer damit verbundenen konstanten Kapitalintensität befindet, die mitfcweitbezeichnet wird. Dabei ist ein dynamischer Prozeß der Wanderungen beschrieben worden, durch den der effektive Lohnsatz ώ der heimischen Völkswirtschaft den konstanten Wert u>weit der Welt erreicht. Wenn die heimische Volkswirtschaft dasselbe Niveau der Technik A wie die Welt hat, dann tendiert k entsprechend gegen die Konstante fcweitAllgemeiner kann man eine Übergangsdynamik berücksichtigen, durch die fcweit den langfristigen Gleichgewichtswertfc^eitrealisiert. Für eine Volkswirtschaft i lassen sich die Änderungen von kj in der Zeit dann in zwei Teile aufspalten: erstens die Anpassung von fc, an &weit und zweitens die Anpassung vonfcweitan k^ e h . Braun (1993) arbeitet eine Analyse dieser Art aus, wobei die Welt aus nur zwei Regionen i = 1,2 besteht. Wanderungen zwischen beiden Regionen sind zu den in

9.1 Wanderungen in Modellen des Wirtschaftswachstums

359

der Gleichung (9.34) spezifizierten Kosten möglich. Für die Weltwirtschaft - das heißt, das Aggregat beider Regionen - verläuft die Entwicklung des Kapitalstocks fcweit und des Konsums pro effizienter Arbeitseinheit cweit ähnlich wie im RamseyModell des Kapitels 2. Dieser Prozeß impliziert eine allmähliche Anpassung von £weit an den langfristigen Gleichgewichtswert Die Geschwindigkeit der Konvergenz hängt von denselben Parametern ab, die im Ramsey-Ansatz von Bedeutung sind. 15 Gleichzeitig siedeln die Wirtschaftssubjekte in die Region mit dem höheren Lohnsatz um, wodurch der Pro-Kopf-Output tendenziell in der Region mit dem hohen Lohnsatz fällt und in der Region mit dem niedrigeren Lohnsatz steigt. Die Geschwindigkeit dieses Prozesses ist mit einem Konvergenzkoeffizienten verbunden, der wie in (9.39) bestimmt wird. Insbesondere impliziert ein größerer Wert von ψ'(0) - der Sensitivität der Wanderungsrate in bezug auf den Nutzen des Umzugs - eine größere Konvergenzrate. Wenn die zugrundeliegenden Technikparameter Ai in beiden Regionen gleich sind, führt der Wanderungsprozeß zur Konvergenz des Outputs pro effizienter Arbeitskraft in der Region i gegen das Weltniveau yweit· (Andernfalls konvergiert yi gegen einen Wert oberhalb oder unterhalb von yweit ) Die Wachstumsrate des Outputs pro effizienter Arbeitskraft in jeder Region läßt sich durch Y}i = - ß log^/^Wek)

- μ log(iwel(/i'we!t)

(9·45)

approximieren, wobei β durch (9.39) gegeben ist und μ durch ein Ramsey-Modell der Weltwirtschaft bestimmt wird. In der Gleichung (9.45) werden ein Querschnittseffekt, der die Beseitigung von Unterschieden zwischen den Volkswirtschaften beinhaltet, und ein Zeitreiheneffekt kombiniert, der die Anpassung der Weltwirtschaft an ihr langfristiges Gleichgewicht betrifft. Betrachtet man Querschnittsdaten einer einzigen Zeitperiode, dann hängen die relativen Wachstumsraten invers von den relativen Anfangspositionen yi/yweit ab und berücksichtigen den Koeffizienten ß. Untersucht man dagegen Zeitreihendaten der Weltvariablen yweit. dann variiert die Wachstumsrate invers mit yweit/^weit u n d hängt von dem Koeffizienten μ ab. In einem Ansatz mit Paneldaten wird die Wachstumsrate jeder Regionswirtschaft von 9i/yWeit und J'weit/i'weit bestimmt und bezieht sich auf beide Koeffizienten, β und

UNVOLLKOMMENE KAPITALMOBILITÄT. Im vorliegenden Ansatz hängt die Geschwindigkeit der Konvergenz einer Wirtschaft gegen die Weltwirtschaft vom 15 In der Nähe des langfristigen Gleichgewichtes ist die Konvergenzrate der Weltwirtschaft von den Parametern, die die Geschwindigkeit des Wanderungsprozesses bestimmen, unabhängig. Dieses Ergebnis gilt, weil sich die Lohnsätze im langfristigen Gleichgewicht angleichen; Umzüge der Wirtschaftssubjekte von einer Volkswirtschaft zur anderen haben daher in der Nähe des langfristigen Gleichgewichtes keinen EinfluB auf das Weltprodukt oder den internen Zinssatz. 16 Wenn eine Schätzung mit Paneldaten 0-1-Variablen für jede Zeitperiode enthält, wird der Term, der μ beinhaltet, durch diese Variablen berücksichtigt. In diesem Fall enthält der geschätzte Konvergenzeffekt nur den Koeffizienten ß.

360

Kapitel 9. Arbeitsangebot und Bevölkerung

Koeffizienten β in (9.39) ab, der lediglich die allmähliche Umsiedlung der Wirtschaftssubjekte widerspiegelt. Unterstellt man unvollkommene Kapitalmobilität, dann determinieren die Kräfte, die für die Konvergenz in einigen der vorhergehenden Modelle von Bedeutung sind, auch ß. Falls die Investitionen zum Beispiel Anpassungskosten erfordern oder die Kapitalmärkte unvollkommen sind, beeinflussen diese Tatbestände die Geschwindigkeit der Konvergenz. Die Berücksichtigung von Anpassungskosten der Investitionen ist einfach, wenn man den Rahmen vollkommener Kapitalmärkte beibehält. Diese Anpassungskosten lassen sich auf die im Kapitel 3 diskutierte Art einführen. Das wesentliche neue Ergebnis besagt, daß der Konvergenzkoeffizient β um so größer ist, je kleiner die Sensitivität der Anpassungskosten in bezug auf das Volumen der Investition ausfällt. Die Analyse wird für unvollkommene Kreditmärkte komplizierter. Dann unterscheidet sich der Zinssatz zwischen den Volkswirtschaften und die Entscheidung zur Wanderung gründet sich außer auf die verschiedenen Lohnsätze auch auf diese Abweichung. Daneben muß das Eigentum an Vermögen in unterschiedlichen Gebieten berücksichtigt werden, wodurch das Konsumverhalten komplizierter wird. Die früher aus dem Solow-Swan-Modell und dem Ramsey-Ansatz erhaltenen Ergebnisse gelten auch hier, sofern es keine Kapitalströme gibt, abgesehen vom Humankapital, das die Umsiedler mit sich führen.

9.2 Die Wahl der Geburtenrate Für Malthus (1798) sind die Auswirkungen ökonomischer Faktoren auf die Fruchtbarkeit und die Sterblichkeit ein zentrales Element der Theorie der ökonomischen Entwicklung gewesen. Seine Gedanken haben allerdings wenig Einfluß auf die modernen Theorien des Wirtschaftswachstums ausgeübt, was wahrscheinlich daran liegt, daß er fälschlicherweise vorhergesagt hat, daß steigender Wohlstand zwangsläufig zu einem größeren Bevölkerungswachstum führt. Die empirischen Belege weisen daraufhin, daß, außer in sehr armen Ländern oder Haushalten, Steigerungen des Pro-Kopf-Einkommens tendenziell die Geburtenrate verringern. Obwohl die empirischen Studien die spezifischen Prognosen von Malthus nicht bestätigt haben, sind durch sie wichtige Verbindungen zwischen ökonomischen Variablen - wie dem Pro-Kopf-Einkommen, den Lohnsätzen, den Bildungsniveaus der Frauen und Männer und der Verstädterung - sowie den Geburten- und Sterberaten festgestellt worden (vgl. Wahl (1985), Behrman (1990), Schultz (1989) sowie Barro und Lee (1994)). Die empirischen Ergebnisse weisen daher die Vorstellung, daß die natürliche Wachstumsrate der Bevölkerung in bezug auf das Wirtschaftswachstum exogen ist, mit Bestimmtheit zurück. Trotz der theoretischen Vorarbeit von Malthus und der empirischen Hinweise unterstellen die meisten modernen Theorien des Wirtschaftswachstums eine exogene, konstante Wachstumsrate der Bevölkerung. Zum Beispiel haben unterschiedliche Ansätze für die Wachstumsrate der Bevölkerung η in den Darstellungen des

9.2 Die Wahl der Geburtenrate

361

Solow-Swan-Modells und des Ramsey-Modells in den Kapiteln 1 und 2 zwar Auswirkungen auf den Wachstumsprozeß, aber die Rückwirkung des Wachstumsprozesses auf die Wachstumsrate der Bevölkerung wird vernachlässigt. In diesem Kapitel sind wohl endogene Reaktionen der Bevölkerung durch Wanderungen, aber noch keine Veränderungen der natürlichen Wachstumsrate der Bevölkerung berücksichtigt worden. In diesem Abschnitt wird ein Wachstumsmodell konstruiert, in dem die ökonomische Entwicklung die Entscheidungen der Familien über die Anzahl der Kinder und damit die Geburtenrate beeinflußt. Insbesondere wird ein Modell entwickelt, das einige der wichtigsten empirischen Ergebnisse reproduziert, vor allem die negative Relation zwischen der Fruchtbarkeit und dem Pro-Kopf-Einkommen, außer für sehr niedrige Niveaus des Pro-Kopf-Einkommens. Da in diesem Ansatz Wanderungen vernachlässigt werden und die Sterberate als exogene Konstante behandelt wird, entspricht die Theorie der Geburtenrate einer Theorie der Wachstumsrate der Bevölkerung. Die Analyse läßt sich durch Wanderungen wie im vorigen Modell erweitern; man kann auch die Rückwirkung des Wirtschaftswachstums auf den Gesundheitszustand und damit die Sterberaten berücksichtigen. Diese wichtigen Erweiterungen werden der zukünftigen Forschung überlassen. 9.2.1

Ein Ansatz der überlappenden Generationen

Zunächst wird der Ansatz von Becker und Barro (1988) sowie Barro und Becker (1989) dargestellt, in dem die Eltern und die Kinder durch Altruismus verbunden sind. Die Entscheidungen der Eltern über die Anzahl ihrer Kinder werden im Zusammenhang mit der Wahl des Konsums und der Transfers zwischen den Generationen getroffen. Kinder in die Welt zu setzen und großzuziehen, verursacht zwar Kosten, aber der zusätzliche Nutzen - aus der Sicht der Eltern - kann hinreichend groß sein, um diese Kosten zu rechtfertigen. Wenn der Grenznutzen der Kinder mit ihrer Anzahl abnimmt oder die Kosten der Kindererziehung mit ihrer Anzahl steigen, dann wird die Geburtenrate im Modell durch eine übliche Optimumbedingung erster Ordnung festgelegt. Die Wahl der Kinderzahl steht auch mit der Bestimmung der Lebensumstände der Kinder im Zusammenhang, die sich im Modell durch den Umfang des Konsums und des Kapitalbestands repräsentieren lassen, die jeder Person zugeteilt werden. Becker und Barro (1988) verwenden einen Ansatz der überlappenden Generationen, in dem die Menschen zwei Perioden lang leben, Kindheit und Erwachsenenzeit. (Vgl. zu einer Diskussion des Modells überlappender Generationen den Anhang zu Kapitel 3.) Eheschließungen werden nicht betrachtet; ein einzelner Erwachsener der Generation i h a t K i n d e r . Die Nutzenfunktion lautet Ui = u(a, /!,·) + τ ( m ) • mUi+ι,

(9.46)

wobei der Index i die Periode bezeichnet, in der eine Person erwachsen ist. Das Nutzenniveau eines Erwachsenen ist i/„ der Konsum pro Erwachsenem während

362

Kapitel 9. Arbeitsangebot und Bevölkerung

der Erwachsenenzeit ist c, und n, ist die Anzahl der Kinder pro Erwachsenem. Der Term K(C,, N,) repräsentiert die Nutzeneinheiten, die während des Erwachsenseins durch den Konsum und die Gegenwart der Kinder entstehen. (Durch diese Formulierung wird nicht zwischen dem Konsum der Kinder während ihrer Kindheit und dem Konsum der Eltern unterschieden.) Der letzte Term auf der rechten Seite von (9.46) repräsentiert die Nutzeneinheiten, die Erwachsene dadurch erhalten, daß sie das voraussichtliche Glück ihrer Kinder beachten, wenn die Kinder erwachsen werden. Der Nutzen, den jedes Kind als Erwachsener erreicht, ist (/,+ Dieser Nutzen wird ebenfalls durch (9.46) bestimmt, wobei alle Variablen um eine Periode fortgeschrieben werden. Dabei wird angenommen, daß alle Kinder identisch sind und durch ihre Eltern gleich behandelt werden, so daß alle denselben Nutzen {/,·+1 empfangen. (Die Gleichbehandlung trifft zu, wenn alle dieselbe Nutzenfunktion u haben und dieser Nutzen eine konkave Funktion der für jedes Kind bereitgestellten Ressourcen ist.) Die Funktion Τ (η,·) in (9.46) repräsentiert den Grad des Altruismus der Eltern in bezug auf den Nutzen jedes Kindes; daher wird der „aggregierte" von der nächsten Generation erreichte Nutzen η;ϊ/,·+1 mit Τ (η,·) multipliziert. Die unterstellten Eigenschaften der Funktion lauten Τ(«,·) > 0 (Eltern bewerten das Glück ihrer Kinder positiv), Ύ'(η,) < 0 (eine Art abnehmenden Grenznutzens der Kinder) und T ( l ) < 1. Die letzte Eigenschaft impliziert, daß die Eltern in dem Sinne eigennützig sind, daß sie, wenn die Anzahl der Kinder pro Erwachsenem gleich eins ist, eine Einheit von M(C,·, 1 ) höher als eine Einheit von U ( C ; + I , 1 ) bewerten.17 Becker und Barro (1988) unterstellen die Form mit konstanter Elastizität für die Altruismusfunktion T(n / ) = T - n - f ,

(9.47)

wobei e > 0 und 0 < Τ < 1 gelten. Der Parameter Τ repräsentiert den Grad des Altruismus zwischen den Eltern und ihren Kindern, der sich für η, = 1 einstellt. Die Vorstellung, daß die Eltern ihre Kinder mögen, wird durch Τ > 0 erfaßt, und der Gedanke des elterlichen Eigennutzes durch Τ < 1. Die Bedingung e > 0 ergibt einen nach der Kinderzahl abnehmenden Grenznutzen in dem Sinne, daß Τ (η,·) in η, fällt. Unter Verwendung von (9.46) und (9.47) kann t/,· als in die Zukunft gerichtete, gewichte Summe der u(cj, nj) für jede Generation ab der i-ten geschrieben werden: oo (9.48) wobei N j die Anzahl der erwachsenen Nachkommen in der Generation j angibt. Diese Anzahl ist gleich eins, wenn j = i gilt (das heißt, wenn man aus der Perspektive eines einzelnen Erwachsenen beginnt), und entspricht für j > i dem Produkt "Analog zur Diskussion des Altruismus im Anhang vom Kapitel 3 kombiniert der Term Τ die reine Zeitpräferenz (der Term, der ρ beinhaltet) mit der Einstellung zu Kindern. Man kann im vorliegenden Zusammenhang unterstellen, daß die bloße Rate der Zeitpräferenz ρ gleich null ist.

9.2 Die Wahl der Geburtenrate

363

der verschiedenen η y. i-1

Ni = 1;

Nj = Y [ n k

für

j = i + 1, i + 2 , . . .

(9.49)

k=i

In früheren Ansätzen ist für w(c) eine funktionale Form unterstellt worden, die eine konstante Elastizität des Grenznutzens u'(c) in bezug auf c impliziert. Jetzt wird die entsprechende Annahme getroffen, daß die funktionale Form von u(cj, nj) zu konstanten Elastizitäten der Grenznutzen bezüglich Cj und rij führt: u(Cj, nj) = ( c j n f j ^ / d - θ),

(9.50)

wobei φ > 0 und θ > 0 gelten. Ferner wird φ·(\ — φ) < 1 vorausgesetzt, um einen abnehmenden Grenznutzen von n ; zu erhalten. Definiert man ψ = ( ί - € ) / ( 1 - θ )

mit ψ > 0 18 und setzt (9.50) für u(cj, nj) in (9.48) ein, so folgt 1 —Θ υ< = Σ

•

(

N

1 cin*j)

-

1

/ ( I -θ).

(9.51)

Dabei ist zu beachten, daß e > 0 die Bedingung ψ • (1 — θ) < 1 beinhaltet. Durch die Subtraktion von 1 in den eckigen Klammern konvergiert der Ausdruck in der Summe gegen die logarithmische Nutzenfunktion, wenn θ gegen eins geht: 00

Ui = Σ

r>-'· · [t log (Nj) + log(c ; ) + φ log(n,·)].

(9.52)

(Die Gleichung (9.52) läßt sich für θ -*• 1 unter Verwendung der Regel von l'Höpital aus (9.51) ableiten.) Wie in Becker und Barro (1988) kann das Modell vervollständigt werden, indem man die Kosten der Kinder und deren Aufzucht spezifiziert und eine intergenerationale Budgetbedingung eingeführt. Diese Beschränkung setzt die Transfers eines Elternteils an jedes Kind mit dem anfänglichen Vermögen des Elternteils, dem Lohn- und Vermögenseinkommen sowie den Ausgaben für die Kindererziehung und den Konsum in Beziehung. Die Erwachsenen jeder Generation wählen dann den Konsum und die Kinderzahl, um unter Beachtung der intertemporalen Budgetbedingung den Nutzen i/, gemäß (9.51) zu maximieren. Wenn sich innere Lösungen für den intergenerationalen Transfer ergeben, das heißt, wenn sich die Eltern immer für positive Transfers entscheiden, ist die Analyse einfach. Man muß dann nicht 18 Die Bedingung ψ > 0 impliziert € < 1, wenn θ < 1 ist, so wie im von Becker und Barro (1988) betrachteten Fall. Die Formulierung hier ermöglicht auch e > 1, wenn θ > 1 ist. Für θ = 1 muß auch e = 1 sein, damit ψ endlich bleibt.

364

Kapitel 9. Arbeitsangebot und Bevölkerung

beachten, daß die Gegebenheiten wahrscheinlich negative Transfers in dem Sinne ausschließen, daß den Kindern Schulden hinterlassen werden. Die Details der Analyse werden hier nicht ausgeführt; statt dessen wird die Untersuchung einer Version des Modells in stetiger Zeit vorgezogen.

9.2.2

Das Modell in stetiger Zeit

Der Ansatz der überlappenden Generationen ist für eine Analyse der Wahl der Geburtenrate nützlich, weil die Länge der Periode eine wichtige Bedeutung hat. Sie repräsentiert den durchschnittlichen Abstand zwischen dem Alter der Eltern und demjenigen der Kinder, das heißt die Dauer einer Generation. Für Zwecke der aggregierten Analyse muß allerdings über Familien addiert werden, die Kinder unterschiedlichen Alters zu einem gegebenen Zeitpunkt haben. (In einem gewissen Umfang trifft die Altersverteilung der Kinder auch für eine einzelne Familie zu.) Darüber hinaus wird die Restriktion einer ganzzahligen Anzahl von Kindern, die für einen einzelnen Haushalt gilt, durch die Aggregation über heterogene Familien geglättet. Diese Überlegungen lassen vermuten, daß es nicht nützlich ist, das Wahlproblem einer einzelnen Familie in diskreter Zeit zu formulieren und die Ergebnisse dann direkt auf das Verhalten gesamtwirtschaftlicher Variablen anzuwenden. Die Resultate, die aus der zugrundeliegenden diskreten Zeit folgen - die eine Anlage zu Zyklen um das langfristige Gleichgewicht beinhalten können - spiegeln das Fehlen einer angemessenen Aggregation über die Haushalte wider. Daher muß die Aggregation entweder explizit durchgeführt werden, oder man muß eine Modellierung des Verhaltens des typischen Haushalts in stetiger Zeit als Approximation verwenden. Der Ansatz in stetiger Zeit ist auf der Ebene einer einzelnen Familie zwar unrealistisch - zum Beispiel werden Ganzzahligkeitsbeschränkungen für die Anzahl der Kinder vernachlässigt kann aber trotzdem für eine Untersuchung gesamtwirtschaftlicher Variablen zufriedenstellend sein. Die Ergebnisse des vorhergehenden Abschnitts werden jetzt verwendet, um das Modell in stetiger Zeit mit unendlich lang lebenden Haushalten zu modifizieren, das im Ramsey-Modell im Kapitel 2 eingeführt worden ist. Der Ansatz eines unendlichen Planungszeitraums leuchtet hier ein, weil er die altruistische Verbindung der Eltern mit ihren Kindern, den Enkelkindern und so weiter repräsentiert. Die Zeitpräferenzrate ρ > 0 des Ramsey-Modells entspricht dem Grad des intergenerationalen Altruismus Τ < 1 im Modell der überlappenden Generationen. Die beiden neuen Aspekte bestehen darin, daß die Zeitpräferenz auch von der Kinderzahl abhängt und daß die Kinderaufzucht Ressourcen verbraucht.

GEBURTEN UND TODESFÄLLE. Im Modell mit diskreten Perioden wird in jeder Periode eine neue Generation endlicher Größe geboren, und jede Person lebt zwei Perioden lang, die Kindheit und die Erwachsenenzeit. Bei der Formulierung in stetiger Zeit werden die Geburten und Sterbefälle dagegen als stetige Ströme behandelt.

9.2 Die Wahl der Geburtenrate

365

Sei η > 0 die Geburtenrate einer Familie, die zu jedem Zeitpunkt als Entscheidungsvariable behandelt wird; ferner gibt d > 0 die Sterberate an. Aus Gründen der Einfachheit wird unterstellt, daß d nicht von der Altersstruktur einer Familie bestimmt wird. Ebenso wird die Abhängigkeit der Größe d von den Ausgaben der Familie oder des Staates für die medizinische Versorgung und das Gesundheitswesen und so weiter vernachlässigt, obwohl die Berücksichtigung dieser Einflüsse auf die Sterberate eine bedeutende Erweiterung des Modells darstellt. Die Größe Ν der Familie ändert sich stetig gemäß Ν = (n - d) Ν.

(9.53)

Die Variable Ν kennzeichnet jetzt eine zusätzliche Zustandsvariable für die Haushalte.

DIE NUTZENFUNKTION. Für den Nutzen des Haushalts wird die Formulierung (9.48) aus dem Modell in diskreter Zeit verwendet, um die übliche Repräsentation in stetiger Zeit nach (2.1) wie folgt zu modifizieren:

u=

Γ

' ~

ά)Φ

^~θ ~ '

Τ^θ

dL

(9 54)

'

Der Term er p t entspricht dem Altruismus-Faktor T J - ' in (9.48). Die Gleichung (9.54) beinhaltet die Nettowachstumsrate der Bevölkerung η — d anstelle der Bruttogeburtenrate n. Interpretiert man d als die Kindersterblichkeit, bezieht sich η — d auf die überlebenden Kinder und ist damit diejenige Variable, die plausiblerweise in der Nutzenfunktion auftaucht.19

KOSTEN DER KINDERERZIEHUNG. Die Geburt und die Aufzucht eines jeden Kindes kosten einen Betrag η. Hier wird unterstellt, daß η zum Zeitpunkt der Geburt vollständig ausgegeben wird, obwohl ein realistischeres Modell berücksichtigen muß, daß diese Ausgaben über eine lange Periode der Entwicklung des Kindes entstehen. Ein Erklärungsversuch, diesen Mangel zu umgehen, liegt darin, sich η als eine einzige große Ausgabe vorzustellen, die den Barwert der Ausgaben für jedes Kind repräsentiert. Da nN die Anzahl der Geburten pro Zeiteinheit ist, stellt ηηΝ die gesamten Ausgaben für die Kindererziehung dar, und ηπ gibt den ausgegebenen Betrag pro Kopf an. Einen Kernpunkt bildet die Beziehung zwischen den Kosten η und anderen Variablen, wie etwa dem Wert der Zeit der Eltern und den Maßgrößen für die Lebensumstände des Kindes, die im Modell dem Konsum c und dem Kapitalstock k 19 Das Modell ist nicht umfassend genug, um die Abhängigkeit der Sterberate vom Alter zu berücksichtigen. Die Entscheidungen des Haushalts werden allerdings nicht beeinflußt, wenn ein multiplikativer Faktor wie d~' von N^c • (n — d)* in (9.54) aufgenommen wird, wobei ι > 0 ist. Dieser Faktor kann vielleicht den mit der Sterblichkeit der Erwachsenen verbundenen negativen Nutzen erfassen.

366

Kapitel 9. Arbeitsangebot und Bevölkerung

pro Person entsprechen.20 Repräsentiert η lediglich die Einkäufe von Gütern und Dienstleistungen am Markt, sinken die Kosten der Kindererziehung relativ zum Pro-Kopf-Einkommen, wenn die Volkswirtschaft wächst. In diesem Fall tendiert die Geburtenrate n - im Gegensatz zur Wirklichkeit - dazu, daß sie während der Entwicklung der Volkswirtschaft steigt. Becker (1991) und andere argumentieren, daß die Kindererziehung die Zeit der Eltern intensiv beansprucht, insbesondere die Zeit der Mutter in Gesellschaften, in denen sich die Frauen in erster Linie um die Kinder kümmern.21 Mit anderen Worten geht man davon aus, daß die Produktivitätsfortschritte, die sich auf marktfähige Güter und Dienstleistungen aufgrund der Akkumulation des Kapitals und des technischen Fortschritts beziehen, sich auf die Kinderaufzucht nicht sehr auswirken. In diesem Fall steigen die Kosten η tendenziell mit den Lohnsätzen der Eltern oder anderen Maßen der Opportunitätskosten der elterlichen Zeit. Eine höhere Bildung der Erwachsenen (insbesondere der Frauen) führt daher in diesem Fall tendenziell zu einer Erhöhung von η. Allgemeiner ausgedrückt, steigt η mit den Pro-Kopf-Mengen des Humankapitals und des physischen Kapitals, die im vorliegenden Modell durch die Variable k repräsentiert werden. Um eine Verbindung zwischen η und den Lohnsätzen der Eltern einzuführen, müssen alternative Verwendungen der elterlichen Zeit berücksichtigt werden. Ein Beispiel hierfür sind die Entscheidungen über die Verwendung der Zeit zur Güterproduktion oder zur Kinderaufzucht. (Im nächsten Abschnitt wird das ähnliche Problem der Wahl zwischen der Arbeitszeit und der Freizeit behandelt.) Diese Erweiterung führt zu technischen Schwierigkeiten in der Form von Nichtlinearitäten. Da der wesentliche Beitrag eine positive Beziehung zwischen η und k beinhaltet, wird hier einfach eine lineare Funktion n = b0 + bk

(9.55)

unterstellt, wobei bo > 0 und b > 0 sind. Der Teil bo repräsentiert die Güterkosten der Kindererziehung, der Ausdruck bk den Anteil der Kosten, der mit der Kapitalintensität steigt. Die Spezifikation (9.55) erweist sich als besonders einfach, wenn bo = 0 vorausgesetzt wird, weil sich die Kosten der Kindererziehung pro Kopf ηπ = bnk dann mit dem Term nk kombinieren lassen, der immer wieder als negativer Term in der Budgetbedingung des Haushalts auftaucht (vgl. (2.23)). Später werden einige Ergebnisse für die Fälle diskutiert, die die Güterkosten bo einschließen. 20 Die Kosten der Kindererziehung werden als proportional zur Anzahl der Kinder betrachtet. Die Anschaffungskosten einer Familie für die Ausstattung des ersten Kindes legen es nahe, daß die Kosten pro Kind mit der Anzahl der Kinder in einem gewissen Bereich fallen. Die Kosten werden allerdings schließlich mit der Anzahl der Kinder überlinear steigen, weil die Geburt zusätzlicher Kinder impliziert, daß der zeitliche Abstand zwischen den Geburten unzweckmäßig kurz wird oder daß die Eltern sehr alt sind, wenn sie Kinder bekommen. 21 Vgl. Galor und Weil (1993), die diesen Tatbestand im Zusammenhang mit Wachstumsmodellen kürzlich betont haben. Becker, Murphy und Tamura (1990) heben ebenfalls die Verbindung zwischen dem Humankapital und den Kosten der Kindererziehung hervor.

9.2 Die Wahl der Geburtenrate

367

DIE BUDGETBEDINGUNG DER FAMILIE. ES wird angenommen, daß jedes Mitglied der Familie denselben Lohnsatz w erhält. (Realistischer ist es, wenn eine Abhängigkeit des Lohnsatzes vom Alter berücksichtigt wird, so daß die Kinder nicht sofort einen Arbeitslohn verdienen.) Das Vermögen der Familie wird mit dem internen Satz r verzinst. Die Symbole c und k stellen den Pro-Kopf-Konsum und das Vermögen pro Kopf der Familie dar. (Der Einfachheit halber wird die Bedingung einer geschlossenen Volkswirtschaft verwendet, daß das Vermögen pro Kopf α gleich k ist.) Die Budgetbedingung kann dann als k = w + (r-n

+ d)k — bnk - c

(9.56)

ausgedrückt werden, wobei die Form der Kosten der Kindererziehung η gemäß (9.55) mit bo = 0 benutzt worden ist. Wie üblich wird angenommen, daß jeder Haushalt den Pfad des Lohnsatzes w und den Zinssatz r als gegeben ansieht.22 Der Unterschied zur Standardformulierung besteht in der Aufnahme der Pro-Kopf-Ausgaben bnk für die Kindererziehung. DIE OPTIMUMBEDINGUNGEN. Das Optimierungsproblem des Haushalts besteht darin, den Pfad der Kontrollvariablen c und n so zu wählen, daß U gemäß (9.54) maximiert wird. Die Nebenbedingungen des Problems umfassen das anfängliche Vermögen k(0), die durch (9.53) und (9.56) gegebenen Übergangsgleichungen für die beiden Zustandsvariablen Ν und k, die Ungleichungen c > 0 und n > 0 (die aufgrund der Form der Nutzenfunktion (9.54) nie wirksam werden) und die übliche Restriktion, die die Existenz von Kettenbriefen im Rahmen der Verschuldung (wenn k < 0 zugelassen wird) ausschließt. Die Hamilton-Funktion kann als

+ v[w

+ (r + d ) k - ( l + b)nk-c]

+ μ· ( n - d ) N ,

(9.57)

geschrieben werden, wobei υ und μ die mit den beiden Zustandsvariablen k und Ν verbundenen Schattenpreise sind. Da die Beschränkungen c > 0 und n > 0 nie wirken (weil die Grenznutzen für d > 0 jeweils gegen unendlich streben, wenn c gegen null oder n gegen d geht), erfüllt der Haushalt die üblichen Bedingungen erster Ordnung, die man aus 37/3c = dJ/dn = 0 und ϋ = -dJ/dk sowie μ — —dJ/dN erhält.23 Die Ergebnisse vereinfachen sich für den Fall der logarithmischen Nutzen22

Allerdings wird angenommen, daß die Kosten der Kinderaufzucht η vom eigenen Vermögen des Haushalts k statt von der gesamtwirtschaftlichen Kapitalintensität abhängen und daB die Beziehung zwischen η und k daher durch das Entscheidungsproblem des Haushalts internalisiert wird. Die Analyse ändert sich etwas, wenn η nur von gesamtwirtschaftlichen Größen abhängt, etwa aufgrund einer Beziehung zwischen η und dem Lohnsatz. 23 Ein mögliches Problem ergibt sich daraus, daß die mit der Zeugung der Kinder verbundenen Kosten so gering sein können, daß es vorteilhaft ist, sich genügend Mittel zu leihen, um n beliebig groß werden zu lassen. Diese Schwierigkeit entsteht nicht, wenn der Kostenparameter b groß genug ist, um sicherzustellen, daß die später definierte Variable Ω = (1 + b) k/c -φ/(πd) immer positiv ist.

368

Kapitel 9. Arbeitsangebot und Bevölkerung

funktion mit 0 = 1 erheblich; auf diese Situation konzentriert sich die Analyse. Die Bedingungen dJ/dc = 0 und ύ = -dJ/dk können wie üblich verwendet werden, um einen Ausdruck für die Wachstumsrate von c zu erhalten:24 c/c = { r - p - ( n - d)[ 1 - ψ · (1 - θ)] - nb + φ · (1 - θ) h/(n -

ά))/θ.

Im Fall der logarithmischen Nutzenfunktion mit 0 = 1 vereinfacht sich dieses Ergebnis zu c/c = r — p — (n — d) — bn.

(9.58)

Wenn θ = 1 ist, addiert sich die Wachstumsrate der Bevölkerung η — d direkt zur Rate der Zeitpräferenz ρ (Die Fußnote 24 liefert einen Vergleich mit dem Standardmodell von Ramsey). Darüber hinaus wird der Term bn von r abgezogen, weil ein höherer Wert von k die durch bnk gegebenen Kosten der Kindererziehung steigert. Es erweist sich als hilfreich, eine neue Variable Ω wie folgt zu definieren: Ω ξ (l +

b)k/c-ψμκ . (1 + b) ρ - ψχ J

(9.63)

0,35

0,5

V(1

0,4

0,45

ζ Abbildung 9.6 Das Phasendiagramm f ü r das Geburtemnodell im (z,x)-Raum. Das Geburtenmodell ist stabil entlang dem Sattelpfad. Im (z, x)-Raum verläuft der stabile Arm steigend. Wenn die Volkswirtschaft mit einer hohen Bruttodurchschnittsproduktivität ζ des Kapitals startet, fallen daher ζ und χ== c/k monoton während des Übergangs.

In der Abbildung 9.6 werden die Gleichungen (9.62) und (9.63) zur Konstruktion eines Phasendiagramms im (z, x)-Raum herangezogen. Die gezeigten Kurven

9.2 Die Wahl der Geburtenrate

371

entsprechen einer konkreten Spezifikation der zugrundeliegenden Parameter: a

= 0,75,

S

= 0,05, ρ = 0,02,

χ

= 0,02,

d = 0,01, b = 1, ψ = 0,2, φ = 0,2.

(9.64)

Die erste Zeile enthält bekannte Werte aus früheren Diskussionen. In der zweiten Zeile wird eine Sterberate d in Höhe von 0,01 angenommen. Die festgelegten Werte für b, ψ und φ sind willkürlicher; der Einfluß von Variationen dieser Parameter auf die Ergebnisse wird später erörtert. In jedem Fall reagiert das grundsätzliche Aussehen des Phasendiagramms nicht sehr empfindlich auf diese Parameterauswahl. Die Isokline χ = 0 ist gemäß (9.62) eine Gerade mit positiver Steigung und mit dem Ordinatenabschnitt p. Diese Isokline ist instabil, das bedeutet, χ/χ steigt für gegebenes ζ mit χ. Die Gleichung (9.63) impliziert, daß die Isokline ζ = 0 eine positive Steigung hat und stabil ist, das heißt, z/z fällt für gegebenes χ mit z. Die Beziehung zwischen χ und ζ entlang dieser Isokline ist die Lösung einer quadratischen Gleichung, die für einen „sinnvollen" Parameterbereich zwei reelle positive Wurzeln hat. Die größere Wurzel liegt immer oberhalb der Isokline χ = 0. Die in der Abbildung 9.6 dargestellte Isokline ζ = 0 entspricht der kleineren Wurzel. Der Schnittpunkt beider Isoklinen bestimmt die langfristigen Gleichgewichtswerte z* und χ*. Wenn diese Werte bekannt sind, kann man (9.60) verwenden, um n* zu berechnen. Den Zinssatz im langfristigen Gleichgewicht erhält man aus der Beziehung r* = az* -

S.

Die Abbildung 9.6 zeigt, daß der stabile Arm des Sattelpunktes im (ζ, χ)-Raum mit positiver Steigung verläuft. Wenn die Volkswirtschaft bei z(0) > z* startet (das heißt £(0) < k*), fallen ζ und χ monoton in Richtung ihrer langfristigen Gleichgewichtswerte.27 Die Gleichung (9.60) impliziert, daß η entlang dem Pfad des Übergangs in positiver Beziehung zu χ = c/k steht. Daher entspricht der fallende Pfad von χ in der Abbildung 9.6 einem fallenden Pfad von n. Die Abbildung 9.7 stellt die Abhängigkeit von η und ζ während des Übergangs dar. (Wenn man den Zusammenhang zwischen χ und ζ nach der Abbildung 9.6 kennt, läßt sich die Beziehung zwischen η und χ gemäß der Gleichung (9.60) verwenden, um η als Funktion von ζ zu bestimmen.) Während ζ abnimmt, fällt η monoton in Richtung seines langfristigen Gleichgewichts wertes. Das heißt, die Geburtenrate wird für eine gegebene Sterberate d stetig reduziert, während sich die Volkswirtschaft entwickelt. Das Ergebnis einer abnehmenden Fruchtbarkeit bei steigendem Pro-Kopf-Produkt stimmt mit den im Kapitel 12 diskutierten empirischen Ergebnissen für die 27 Man erinnere sich daran, daß χ im Ramsey-Modell während des Übergangs zum langfristigen Gleichgewicht monoton fallt, wenn θ > α ist (vgl. den Anhang zum Kapitel 2). Wegen θ = 1 überrascht die monotone Abnahme von χ im vorliegenden Zusammenhang nicht.

372

Kapitel 9. Arbeitsangebot und Bevölkerung

ζ*

ζ

Abbildung 9.7 Das Übergangsverhalten der Geburtenrate. Wenn die Volkswirtschaft mit einer hohen Bruttodurchschnittsproduktivität ζ des Kapitals startet, fällt die Geburtenrate η in Richtung ihres langfristigen Gleichgewichtswertes, während ζ entlang dem stabilen Arm des Sattelpunktes in der Abbildung 9.6 abnimmt. Für die unterstellten Parameterwerte gilt quantitativ, daß η bei 0,023 startet und dann allmählich in Richtung des langfristigen Gleichgewichtswertes 0,018 fällt, wenn der Startwert von ζ gleich 0,3 ist (was einem Zinssatz von 0,25 entspricht).

Länder überein. Die einzige Ausnahme in den Daten besteht darin, daß die Geburtenrate und das Bruttoinlandsprodukt pro Kopf bei extrem geringen Niveaus des Bruttoinlandsproduktes pro Kopf - bis zu 800$ (in US-Dollar von 1985) - in positiver Beziehung zu stehen scheinen. Dieses anfangs steigende Segment der Beziehung zwischen der Fruchtbarkeit und dem Pro-Kopf-Produkt zeigt sich auch in der Theorie, wenn man Güterkosten der Kindererziehung neben den linear mit k steigenden Kosten einführt. Die Güterkosten bringen einen Einfluß - einen Einkommenseffekt - zum Tragen, der eine positive Abhängigkeit zwischen der Geburtenrate und dem Pro-Kopf-Produkt erzeugt. Da die Güterkosten in armen Ländern relativ bedeutsamer sind, tritt die positive Beziehung zwischen der Geburtenrate und dem Pro-Kopf-Produkt per Saldo darüber hinaus tendenziell nur bei geringen Niveaus des Pro-Kopf-Produktes auf. Die Güterkosten der Kindererziehung lassen sich berücksichtigen, indem der Ordinatenabschnitt bo in (9.55) ungleich null gesetzt wird. Obwohl die bisherige analytische Vorgehensweise nicht anwendbar ist, wenn der Ausdruck für die Kosten der Kindererziehung einen positiven Ordinatenabschnitt enthält, kann die Dynamik dieses geänderten Modells mit numerischen Methoden analysiert werden. Detaillierte Ergebnisse werden speziell für den Fall bo = 50 abgeleitet. Behält man die Parameterwerte einschließlich b = 1 bei, die bei der Konstruktion der Abbildungen 9.6 und 9.7 verwendet worden sind, dann bedeutet der Wert bo = 50, daß die Güterkosten der Aufzucht eines Kindes etwa ein Sechzehntel des gesamten Outputs

9.2 Die Wahl der Geburtenrate

373

betragen (der Parameter Α der Produktionsfunktion wird gleich eins gesetzt), wenn η = 0,02 und k ein Zehntel von k* ist.

ζ Abbildung 9.8 Das Phasendiagramm im (ζ, χ)-Raum mit Güterkosten der Kindererziehung. Durch diese Abbildung wird die Abbildung 9.6 modifiziert, um die Güterkosten der Kindererziehung einzubeziehen. Wenn die Volkswirtschaft mit einer hohen Bruttodurchschnittsproduktivität des Kapitals ζ startet, dann fallen ζ und χ = c/k während des Übergangs weiterhin monoton.

Numerisch ist ermittelt worden, daß die Spezifikation η = 50+bk zu dem in der Abbildung 9.8 dargestellten Phasendiagramm im (z, x)-Raum führt.28 Die zugehörige Beziehung zwischen n und ζ erscheint in der Abbildung 9.9. Beim Vergleich der Abbildung 9.9 mit der Abbildung 9.7 ist interessant, daß n jetzt für sehr hohe Werte von ζ (das heißt für sehr niedrige Werte von k) mit fallendem ζ steigt. Das erweiterte Modell kann daher mit der Beobachtung im Einklang stehen, daß die Geburtenrate in sehr armen Volkswirtschaften mit dem Pro-Kopf-Produkt zunimmt, im wesentlichen Bereich der Erfahrung aber mit dem Pro-Kopf-Produkt abnimmt. Die Tabelle 9.1 bezieht sich wieder auf die Spezifikation mit bo = 0, um zu zeigen, wie die langfristigen Gleichgewichtswerte n* und r* von den Parameterwerten für φ, ψ, d und b abhängen. Für die Basisdaten lauten die Ergebnisse n* = 0,018 und r* = 0,067. Höhere Werte von φ oder ψ steigern den Nutzen von Kindern und erhöhen damit n*. Zum Beispiel steigt n* auf 0,030, wenn φ oder φ auf 0,4 her28 Diesen Ergebnissen liegt die Annahme zugrunde, daß die Güterkosten, die bei 50 starten, mit der Rate x = 0,02 pro Jahr gemeinsam mit dem exogenen technischen Fortschritt wachsen. Da * arbeitsvermehrenden technischen Wandel repräsentiert, verbessern sich die Lebensumstände der Kinder effektiv in der Zeit, auch wenn k konstant ist. Die Annahme, daß der Ordinatenabschnitt mit der Rate x wächst, bedeutet, daß die Güterkosten der Geburt eines Kindes in standardisierten Lebensverhältnissen über die Zeit konstant bleiben. Man beachte, daß die Güterkosten im Vergleich zu den von k abhängenden Kosten asymptotisch zu vernachlässigen sind, wenn statt dessen angenommen wird, daß der Ordinatenabschnitt bei 50 fixiert bleibt.

374

Kapitel 9. Arbeitsangebot und Bevölkerung

ζ*

ζ

Abbildung 9.9 Das Übergangsverhalten der Geburtenrate mit Gfiterkosten der Kindererziehung. Durch diese Graphik wird die Abbildung 9.7 modifiziert, um die Güterkosten der Kindererziehung einzubeziehen. Wenn die Volkswirtschaft mit einer hohen Bruttodurchschnittsproduktivität des Kapitals ζ startet, dann kann sich die Geburtemate jetzt auf nichtmonotone Art anpassen, während ζ entlang dem in der Abbildung 9.8 dargestellten stabilen Arm des Sattelpunkts abnimmt. Im Gegensatz zu der Abbildung 9.7 kann die Geburtenrate eine Zeitlang steigen und dann später fallen, um ihren langfristigen Gleichgewichtswert zu erreichen. Dieses Verhalten entspricht der Neigung der Geburtenraten, in den ärmsten Volkswirtschaften mit dem Pro-Kopf-Einkommen zuzunehmen, aber im wesentlichen Bereich der Erfahrung mit dem ProKopf-Einkommen abzunehmen.

aufgesetzt wird (diese genaue Entsprechung gilt nicht allgemein). Der Wert n* fallt auf 0,014, wenn φ auf 0,1 gesenkt wird, und auf 0,017, falls ψ auf 0,1 fällt. Wegen c/c = χ im langfristigen Gleichgewicht läßt sich die Gleichung (9.58) verwenden, um die Beziehung zwischen n* und r* zu betrachten. Für gegebene Werte von p, b und d bewegt sich r*, multipliziert mit dem Faktor 1 + b, in dieselbe Richtung wie n*. Daher verdeutlicht die Tabelle 9.1, daß eine Erhöhung von φ oder ψ zu einer Steigerung von r* führt. Für gegebenes c/k zeigt die Gleichung (9.60), daß η direkt von der Sterberate d beeinflußt wird. Da eine Erhöhung von d zu einem größeren Wert (c/k)* führt, ist der gesamte Effekt von d auf n* etwas größer als der direkte Einfluß. Wenn sich d zum Beispiel von 0,01 auf 0,02 erhöht, so ist der Tabelle 9.1 zu entnehmen, daß n* von 0,0183 auf 0,0291 steigt. Weil die Änderung der Wachstumsrate der Bevölkerung n* — d gering ist, impliziert die Gleichung (9.58), daß sich r*, ungefähr mit dem Faktor b multipliziert, weiterhin in dieselbe Richtung wie n* bewegt. Die Tabelle stellt dementsprechend dar, daß eine Erhöhung von d eine Steigerung von r* mit sich bringt. Eine Zunahme des Kostenparameters b läßt n* sinken. Die Tabelle 9.1 zeigt zum Beispiel, daß n* auf 0,015 fällt, wenn b auf 2 steigt, während sich n* auf 0,023

375

9.2 Die Wahl der Geburtenrate

erhöht, wenn b auf 0,5 sinkt. Da eine Erhöhung von b mit einer Verringerung von n* verbunden ist, legt die Gleichung (9.58) nahe, daß die Wirkung auf r* nicht eindeutig ist. Für den Bereich, der in der Tabelle betrachtet wird, stellt sich heraus, daß der Nettoeffekt von b auf r* positiv ist. Tabelle 9.1 Wirkungen der Parameteränderungen aof n* und r* r* Parameter-Spezifikation n* Basisdaten φ = 0,4

φ = 0,1 ψ = 0,4 ψ = 0,1 d = 0,02 d= 0 b = 0,5 b= 2 Anmerkungen:

0,0183 0,0300 0,0139 0,0300 0,0168 0,0291 0,0076 0,0226 0,0152

0,067 0,090 0,058 0,090 0,064 0,078 0,055 0,064 0,076

Die Basisdaten sind wie folgt spezifiziert: a = 0,75, S = 0,05, ρ = 0,02, χ = 0,02, d = 0,01, b = 1, ψ = 0,2 und φ - 0,2. Die Tabelle enthält die Effekte auf die Gleichgewichts werte n* und r*, wenn der betrachtete Parameter auf den angegebenen Wert verändert wird, während die übrigen Parameter konstant bleiben.

Bisher ist angenommen worden, daß ein fester Zusammenhang zwischen dem Arbeitsangebot und der Bevölkerung besteht; demnach sind Änderungen der Erwerbstätigkeit oder der Arbeitsstunden und der Leistung vernachlässigt worden. Im nächsten Abschnitt wird das Arbeitsangebot bei gegebener Bevölkerung variiert, indem die Wahl zwischen Arbeitszeit und Freizeit berücksichtigt wird. Die Änderungen des Arbeitsangebots repräsentieren in diesem Modell eine Kombination von Variationen der Erwerbstätigkeit, der Arbeitsstunden und der Arbeitsleistung; diese unterschiedlichen Komponenten des Arbeitsangebots werden aber durch die Analyse nicht getrennt. Die Untersuchung wird im Rahmen des Ramsey-Modells durchgeführt, indem die Freizeit als ein zusätzliches Argument der Nutzenfunktion berücksichtigt wird. Dabei verwendet man eine Spezifikation der Präferenzen, die zwar Variationen des Arbeitsangebots während des Übergangs zuläßt, aber sicherstellt, daß der Anteil der für die Arbeit verwendeten Zeit im langfristigen Gleichgewicht eine Konstante erreicht. Das Modell ermöglicht daher die Analyse des Übergangsverhaltens der Arbeitsleistung und der Wirkung verschiedener Parameteränderungen auf den Umfang der Arbeitsleistung im langfristigen Gleichgewicht. Die wichtigste Folgerung ist allerdings, daß die Erweiterung des Ramsey-Modells durch die Wahl zwischen Arbeitszeit und Freizeit die wesentlichen Folgerungen über die Art des Wachstumsprozesses nicht verändert.

376

Kapitel 9. Arbeitsangebot und Bevölkerung

9.3 Die Wahl zwischen Arbeitszeit und Freizeit Im folgenden muß die Bevölkerung N(t) vom Arbeitseinsatz L(t) unterschieden werden. Dabei wird wieder der Ansatz verwendet, in dem N(t) exogen mit der konstanten Rate η wächst. Hingegen kann L(t) nun für gegebenes N(t) variieren. Durch i(t) wird die Intensität der Arbeitsleistung einer typischen Person zur Zeit t definiert, so daß L(t) =

(9.65)

e(t)N(t)

gilt. Ist l (t) der Anteil der Zeit, der für die Arbeit angesetzt wird, dann kann er mit vorhandenen Daten gemessen werden und hat eine natürliche obere Grenze von 100 Prozent. Wenn t ( t ) dagegen Variationen der Arbeitsleistung berücksichtigt, was der Fall sein soll, dann ist es nicht direkt meßbar und hat keine offensichtliche obere Grenze. Zwischen einer Erhöhung von l(t), die eine Steigerung der Arbeitsleistung oder der Arbeitsstunden pro Jahr eines jeden Arbeiters widerspiegelt, und einer Erhöhung, die eine Ausdehnung der Erwerbstätigkeit repräsentiert, wird nicht unterschieden. Die Formulierung des Haushaltsnutzens gemäß (2.1) wird modifiziert, um das Leid der Arbeitsleistung zu erfassen: (9.66) Dabei sollen die partiellen Ableitungen die üblichen Konkavitätsbedingungen, unter anderem uc > 0, ue < 0, ucc < 0 und Uu < 0, erfüllen. 29 Wenn der Lohnsatz w der Betrag ist, der pro Einheit des Arbeitseinsatzes bezahlt wird, läßt sich die Budgetbedingung (2.2) des Haushalts wie folgt modifizieren: ά = w£ + (r — η) a — c.

(9.67)

Die zugehörige Hamilton-Funktion lautet: J = w(c, l ) e-("-n)'

+v • [wi + (r - n)a -

c].

Das Maximierungsproblem entspricht dem im Kapitel 2, abgesehen davon, daß der Grenznutzen des Konsums uc von i abhängen kann und daß dJ/dl = 0 als zusätzliche Bedingung erster Ordnung auftritt. 29 Bei dieser Formulierung wird vorausgesetzt, daß die Arbeitsleistung l negativ in die Nutzenfunktion eingeht. In einem anderen Ansatz von Becker (1965) wird unterstellt, daß sich die Zeit, die nicht für die marktorientierte Arbeit verwendet wird, für die Produktion im Haushalt nutzten läßt. Die wesentliche differenzierende Eigenschaft dieses alternativen Ansatzes ist, daß die Produktivität der Heimarbeit durch die Akkumulation des Kapitals und den technischen Fortschritt beeinflußt wird. Die Allokation der Zeit auf die Arbeit für den Markt und die Arbeit im Haushalt hängt dann von den relativen Trends der Produktivität und der Entwicklung der relativen Nachfrage nach Gütern ab, die für den Markt und für den Haushalt erstellt werden. Vgl. Greenwood und Hercowitz (1991) sowie Benhabib, Rogerson und Wright (1991), die diesen Ansatz in dynamischen Zusammenhängen verwenden.

9.3 Die Wahl zwischen Arbeitszeit und Freizeit

377

Die der Gleichung (2.7) des Ramsey-Modells entsprechende Bedingung erster Ordnung heißt r

Urr

C

= Ρ

Urt

i

(c/c) - — «C

• u/t).

(9.68)

«C

Man beachte, daß für u c t = 0 die Originalformel aus Kapitel 2 folgt. Ist u c i > 0, verringert ein größerer Wert von 1 / 1 effektiv die Rate der Zeitpräferenz p, weil die Haushalte es vorziehen, in der Zukunft viel zu konsumieren, wenn i groß ist, das heißt, wenn sie wenig Freizeit haben. Diese Wirkung kehrt sich im introspektiv plausibleren Fall um, für den der Konsum und die Freizeit Komplemente im Sinne von u c i < 0 sind. Die neue Bedingung erster Ordnung, die die Substitution zwischen Konsum und Freizeit zu einem Zeitpunkt wiedergibt, lautet - u t / ü c

=

(9.69)

w.

Die Gleichung (9.69) sollte mit der empirischen Beobachtung konsistent sein, daß die Arbeitsstunden pro Arbeiter - die als Näherung für l verwendet werden - in frühen Stadien der Entwicklung normalerweise abnehmen, sich aber schließlich auf einem bestimmten Niveau einpendeln (vgl. Barro (1993, Kapitel 2)). Insbesondere sollte das Modell ein langfristiges Gleichgewicht haben, in dem l konstant ist. Im langfristigen Gleichgewicht des Ramsey-Modells wachsen w und c mit derselben Rate x. Daher wird eine Form der Nutzenfunktion gewählt, für die (9.69) impliziert, daß i zumindest asymptotisch konstant ist, wenn w und c mit derselben Rate wachsen. Auch die Eigenschaft, daß das Modell ein langfristiges Gleichgewicht aufweist, in dem c mit einer konstanten Rate wächst, soll beibehalten werden. Im Anhang zu diesem Kapitel wird gezeigt, daß diese Bedingungen eine Nutzenfunktion erfordern, die asymptotisch die Form Λ-θ

u(c, l ) =

. Μ - θ ) ω ( Ι )

—-

Λ

(9.70)

hat, wobei θ > 0, ω'{ί) < 0 und ω"{1) < 0 gelten.30 Diese Formulierung entspricht den Ergebnissen von King, Plosser und Rebelo (1988a) sowie Rebelo (1991).31 Das Vorzeichen von uct hängt von der Größe von θ ab: uC( ^ 0, falls θ | 1. Die in (2.8) verwendete isoelastische Standardfunktion ist der Spezialfall mit ω{1) — 0. Diese Spezifikation ist allerdings mit der Wahl einer endlichen Arbeitsleistung nicht konsistent. 30

Diese Eigenschaften implizieren uc > 0, u< < 0 und ucc < 0. Die Bedingung « « < 0 erfordert + (1 - θ) • ίω'(Ι)]2 < 0, eine Ungleichung, die fur θ > 1 gelten muß. 31 Rebelo (1991, S. 513) zeigt, daß eine Alternative darin besteht, den Nutzen durch u(c, ik) zu spezifizieren, wobei u homogen von einem positiven Grad ist und k jetzt als Humankapital pro Person interpretiert werden sollte. Man kann den Term ik dann als geopferte Freizeit ansehen, die nach den Lebensumständen einer Person angepaßt worden ist. Diesen Ansatz verwenden Becker (1965) und Heckman (1976) in ihren Modellen. ω"(ί)

378

Kapitel 9. Arbeitsangebot und Bevölkerung

Verwendet man (9.70) zur Berechnung von ut und uc, so impliziert die Bedingung erster Ordnung (9.69) -oo'(l) = w/c.

(9.71)

Die Berechnungen für den Rest des Modells erweisen sich im Fall eines allgemein spezifizierten θ zwar als schwierig. Dock kann man die wichtigsten Ergebnisse ableiten, indem der Spezialfall θ = 1 betrachtet wird. Die Anwendung der Regel von l'Höpital auf (9.70) liefert den Grenzwert von u(c, l ) für θ 1 u(c, l ) = log(c) -(- ω(ί).

(9.72)

Wenn der Nutzen logarithmisch in c ist, muß die Funktion also separabel in c und l sein, so daß uci = 0 ist. Hat die Nutzenfunktion die Form (9.72), reduziert sich die Bedingung erster Ordnung in (9.68) auf den bekannten Ausdruck für die Wachstumsrate von c: Yc = r - p .

(9.73)

Jetzt werden die Variablen in effizienten Arbeitseinheiten definiert, um die Wirkung der variablen Arbeitsleistung l zu erfassen, das heißt k=K/

(lNtxt),

c = C/

{lNtx').

Setzt man eine geschlossene Volkswirtschaft voraus und führt Unternehmen auf die übliche Art und Weise ein, dann implizieren die Gleichung (9.73) und die Bedingungen r — f (Je) sowie a = k Yc = f'ib η = fih/k

-(S + p + x)-Yi,

(9.74)

-(x +n+ S)-c/k-

Y i

.

(9.75)

Diese Ergebnisse unterscheiden sich von jenen im Standardmodell (Gleichungen (2.23) und (2.24)) lediglich dadurch, daß die Wachstumsrate γι von i zu der Wachstumsrate des Arbeitseinsatzes in Effizienzeinheiten addiert wird; Weil im langfristigen Gleichgewicht yt = 0 gilt, entsprechen die Formeln für k* und c* denen im Ramsey-Modell. Im folgenden wird angenommen, daß die Produktionsfunktion vom Cobb-Douglas-Typ f ( k ) = Akf* ist und daß das Arbeitsleid die Form mit konstanter Elastizität ω{ί)

= -ζ ·

(9.76)

besitzt, wobei ζ > 0 und σ > 0 gelten. Weil der Lohnsatz im Cobb-Douglas-Fall durch w = (1 — a)Aka ext gegeben ist, wird aus (9.71) ξ • (1 + σ)ίι+σ

= (1 -

a)Aka/c.

(9.77)

379

9.3 Die Wahl zwischen Arbeitszeit und Freizeit

(Man beachte, daß die Ersetzung von c durch c auf der rechten Seite den zusätzlichen Faktor l auf der linken Seite nach sich zieht.) Da y proportional zu kf ist, impliziert die Gleichung (9.77), daß ein großer Wert von t - wenig Freizeit - mit einem kleinen Wert von c/y verbunden ist. (Diese Beziehung gilt für eine allgemeine Form von ω(£), sofern ω'(ί) > 0 und ω"{1) > 0 sind.) Für die Wachstumsrate von l führt (9.77) zu Yi = - r j - • Vi ~ • Yc1+ σ K 1 + σ

(9.78)

Verwendet man die Cobb-Douglas-Formen für f'(k) und f ( k ) sowie den Ausdruck für γι aus (9.78), dann führen (9.74) und (9.75) (nach einigen Umformungen) zu dem dynamischen System für k und c in Verbindung mit einem variablen Arbeitsangebot: η = Μ«"1 * γ£

ί— · [ac/k + (1 + σ)(χ + δ) + ρ + ση], (9.79) α+ σ " , 1 = αAka~l + [ac/k - (1 + σ)(χ + S) - (1 + α + σ)ρ + an], (9.80) α + σ

Für θ = 1 (um den hier unterstellten logarithmischen Nutzen zu erhalten) und σ oc (vgl. (9.75)) reduzieren sich diese Ergebnisse auf die Standardformeln (2.36) und (2.37). Ein unendlich großes σ verhindert jede Variation von l in der Zeit und reproduziert daher die Ergebnisse aus dem Modell mit festem Arbeitsangebot. Wie bereits erwähnt worden ist, sind die langfristigen Gleichgewichtswerte von k und c dieselben wie im Ramsey-Modell, was sich nachweisen läßt, indem (9.79) und (9.80) gleich null gesetzt werden. Diese langfristigen Gleichgewichtswerte können ausgedrückt werden als r* =aA-(k*)a~l-8

= p + x,

c*/k* = (p + S + x)/a -(n

+

x+8).

Diese Werte lassen sich in (9.77) eingesetzen, um das langfristige Gleichgewichtsniveau der Arbeitsleistung i* zu berechnen: =

Γ 1- α [ξ -(1+σ)

ρ + δ+ χ ' ρ + 5 + χ-α •(« + * + $)

i/Vi-|-α)

]

(9.81)

Die durch (9.79) und (9.80) implizierte Übergangsdynamik von k und c kann man wie üblich durch ein Phasendiagramm im (it, c)-Raum analysieren. Das System ist wiederum stabil entlang dem Sattelpfad; die Konstruktion des Phasendiagramms wird dem Leser als Übung überlassen. Wenn man die Gleichungen (9.79) und (9.80) auf die gewohnte Weise um das langfristige Gleichgewicht logarithmisch linearisiert, ergibt sich die Formel für die

380

Kapitel 9. Arbeitsangebot und Bevölkerung

Geschwindigkeit der Konvergenz gegen das langfristige Gleichgewicht: 2ß =

p-n-

4(1 - « ) ( ! + σ ) •(ρ + δ + χ) α+ σ

Diese Formel reduziert sich auf das Standardergebnis des Ramsey-Modells (Gleichung (2.34) mit θ — 1), wenn σ gegen unendlich geht. Verwendet man die Referenzwerte (a = 0,75, χ = 0,02, η = 0,01, δ = 0,05, ρ = 0,02), so folgt aus (9.82) für β der Wert 0,030, wenn σ = 0 ist. Wird σ größer als null, verringert sich β und nähert sich für σ oc dem Ramsey-Wert an, der für die unterstellten Parameterwerte gleich 0,025 ist. Die Berücksichtigung der Wahl zwischen Arbeitszeit und Freizeit erhöht also die Geschwindigkeit der Konvergenz, allerdings nur in einem bescheidenen Maße. Der Grund für den etwas größeren Konvergenzkoeffizienten bei variablem Arbeitsangebot ist, daß t während des Übergangs zum langfristigen Gleichgewicht monoton fällt; in diesem Modell arbeiten arme Wirtschaftssubjekte (die erwarten, später reicher zu sein) fleißiger als reiche Personen. Dieses Ergebnis kann bewiesen werden, indem γ j und γ^ in der Formel (9.78) für γι durch (9.79) und (9.80) ersetzt werden, um (nach Vereinfachung)

zu erhalten, wobei χ = c/k ist. Mit der im Anhang Β zu Kapitel 2 entwickelten Methode kann gezeigt werden, daß χ während des Übergangs monoton fällt und daher durchgehend χ > χ* gilt, wenn k(0) < k* ist. (Die Beweisführung wird dem Leser als Übung überlassen.) Dieses Ergebnis impliziert γι < 0, das heißt, l fällt monoton von seinem Startwert ί(0) aus in Richtung des langfristigen Gleichgewichtswertes i*. Das Modell stimmt daher mit der empirischen Beobachtung überein, daß die Arbeitsleistung während der frühen Phasen der wirtschaftlichen Entwicklung abnimmt. Die Ergebnisse lassen sich auch aus der Sicht der Gleichung (9.77) betrachten. Diese Beziehung zeigt, daß sich l invers zu c/y und damit in dieselbe Richtung wie die Bruttosparquote s bewegt. Im vorliegenden Modell mit θ = 1 ist festzuhalten, daß die Sparquote während des Übergangs monoton fällt; l sinkt mit der Sparquote. Das Ergebnis, daß die Sparquote während der Entwicklung einer Volkswirtschaft sinkt, ist eine Vorhersage, die den empirischen Belegen zu widersprechen scheint. Um diesen Konflikt zu beseitigen, muß die Annahme der logarithmischen Nutzenfunktion aufgegeben und eine geringere Neigung zur zeitlichen Substitution des Konsums unterstellt werden; das heißt, in (9.70) muß θ > 1 gelten. Das Problem besteht allerdings darin, daß ein hinreichend hoher Wert von θ für eine zunehmende Sparquote auch ein steigendes Verhalten von i erzeugt.

Anhang: Die Form der Nutzenfunktion

381

Wenn die Produktionsfunktion die Cobb-Douglas-Form aufweist, so daß w = A • (1 — a) ka ist, dann impliziert die Gleichung (9.71) - die für jeden Wert von θ gilt -t • ω'(ί) = Α · (1 - a) ka/c = A· (I - α)/(1 - s). (Wiederum bringt die Transformation von c zu c den Faktor t auf der linken Seite mit sich.) Die Bedingungen ω'(ί) < 0 und ω"{ί) < 0 implizieren, daß die linke Seite in l steigt und daß l somit in positiver Beziehung zu s steht. Wenn also ein Wert für θ gewählt wird, der groß genug ist, um s während des Übergangs steigen zu lassen, dann muß l ebenfalls zunehmen. (Dieser Zusammenhang gilt auch, falls die Produktionsfunktion nicht die Cobb-Douglas-Form hat, solange das Verhältnis ώ / c in monotoner Beziehung zu dem Quotienten y/c steht.) Um eine Übergangsdynamik zu erhalten, bei der l fällt und s steigt, muß während des Übergangs eine andere Form der Nutzenfunktion als (9.70) unterstellt werden. Man kann zum Beispiel ein Existenzminimum c des Konsums einführen (wie es im Kapitel 3 erwähnt worden ist), so daß in (9.70) c durch c — c ersetzt wird. (Da die ursprüngliche Form der Gleichung (9.70) weiterhin asymptotisch gilt, beeinflußt diese Änderung die Eigenschaften des langfristigen Gleichgewichts des Modells nicht.) Mit dieser revidierten Formulierung ist es möglich, einen Übergang zu erzeugen, in dem s steigt und l fällt.

Anhang: Die Form der Nutzenfunktion mit Konsum und Arbeitsleistung Hier wird die erforderliche Form der Nutzenfunktion u(c,Z) in dem Modell mit einer Wahl zwischen Arbeitszeit und Freizeit analysiert. Die Volkswirtschaft soll ein langfristiges Gleichgewicht besitzen, in dem yc und l Konstanten sind. Die Gleichung (9.68) impliziert demgemäß, daß die Elastizität des Grenznutzens in bezug auf den Konsum konstant sein muß (genauso wie im Ramsey-Modell): ^ uc

= -Θ = konst.

(9A.1)

Die Bedingung erster Ordnung in der Gleichung (9.69) kann als W C

—U( CUc

geschrieben werden. Gesucht wird ein langfristiges Gleichgewicht, in dem w und c mit der gleichen Rate wachsen, so daß w/c konstant ist. Daher erhält man durch Logarithmierung und Differentiation der rechten Seite nach der Zeit im langfristigen Gleichgewicht (Ulc C + Uli i)/Ul - («cc C + Ud i)/Uc - C/c = 0.

382

Kapitel 9. Arbeitsangebot und Bevölkerung

Da im allgemeinen Ϊ = 0 und c/c φ 0 gelten, kann diese Bedingung wie folgt umgeformt werden: £ifi£ ut

! + £if££ = 1 _ uc

=

(9A.2)

Schreibt man (9A.2) als due _ 1 -θ Ut de c und integriert über c, so folgt log(n ( £ ) + ^ ( c )

und die Funktion ψ(ο) muß mit dieser Gleichung vereinbar sein. Also unterliegt der Bedingung CT/f"(c) =

-θψ'(ε).

Integriert man diese Gleichung zweimal, so ergibt sich von multiplikativen und additiven Konstanten abgesehen ^(c)=c1_e,

wenn

θφ\,

^ ( c ) = log(c),

wenn

0=1.

Dieses Ergebnis für ψ(ο) kann man in die Gleichung (9A.3) einsetzen, um die erforderliche Form von u{c,l) zu erhalten. Eine Möglichkeit, das Ergebnis zu schreiben, ist «(C, l ) =

Λ-β (1 -θ)ω(1) ι —θ ,

(9A.4)

wie in (9.70). In dieser Form garantieren 0 > 0 und ω'(1) < 0, daß uc > 0, ut < 0 und ucc < 0 sind. Die Bedingung uu < 0 erfordert ω"{ί) + (1 - θ)[ω'(£)]2 < 0, was für ω"(1) < 0 und 0 > 1 erfüllt sein muß. Eine Anwendung der Regel von l'Hopital zeigt, daß die Funktion in (9A.4) gegen log(c) + ω{ί) strebt, wenn θ gegen 1 geht.

Aufgaben

383

Aufgaben 9.1 Wanderungen in neoklassischen Wachstumsmodellen. (a) Unter welchen Umständen erhöht die Möglichkeit der Wanderung die Geschwindigkeit der Konvergenz im Solow-Swan-Modell? Was gilt für das Ramsey-Modell? Welches sind die Ursachen für die Auswirkungen auf die Konvergenz? (b) Kann die Regierung eines Einwanderungslandes es vorteilhaft finden, die Anzahl der Einwanderer zu begrenzen? Kann die Regierung die Erhebung einer Gebühr für die Einwanderung für wünschenswert halten? Variiert diese Gebühr tendenziell mit der Menge des Humankapitals der Einwanderer? (c) Wiederholen Sie Teil (b) für den Fall eines Auswanderungslandes! 9.2 Ein Modell der Wanderungen zwischen ländlichen und städtischen Gebieten (nach Mas-Colell und Razin (1973)). Betrachten Sie eine Völkswirtschaft mit zwei produktiven Sektoren! Der ländliche oder landwirtschaftliche Sektor Α produziert nur für den Konsum. Der städtische oder industrielle Sektor I produziert für den Konsum und die Investition. Die Produktionsfunktionen haben die Cobb-Douglas-Form: YA = K°AL1A°;

Y, =

K)L)-\

wobei 0 < a < 1 und 0 < λ < 1 gilt. Es gibt keinen technischen Fortschritt. Jedes Wirtschaftssubjekt bietet eine Einheit Arbeit unelastisch an, und die gesamte Bevölkerung L = LA + LI wächst mit der konstanten Rate Η > 0. Die natürlichen Wachstumsraten der Bevölkerung sind in den ländlichen und städtischen Gebieten gleich groß. Das Kapital Κ = ΚΛ + K/ ist zwischen beiden Sektoren mobil, ohne Kosten zu verursachen. Die Wirtschaftssubjekte sind zwischen den Sektoren mobil, wobei aber Kosten entstehen. Die Rate der Wanderungen in den städtischen Sektor steht mit dem Unterschied in den Lohnsätzen in positiver Beziehung: μ/μ = b · (w/ — wA)/wA, wobei b > 0 ist und μ den Anteil der Bevölkerung bezeichnet, der im städtischen Sektor beschäftigt ist. Die Wirtschaftssubjekte sparen einen konstanten Anteil s ihres Einkommens und geben den Anteil η des Einkommens für industrielle Produkte zu Konsumzwecken aus. Das Kapital verschleißt nicht. Der Preis des Industriegutes in Einheiten des Agrarproduktes wird mit ρ bezeichnet. (a) Leiten Sie für jeden Zeitpunkt die Formeln für den Nutzungspreis des Kapitals R, die Lohnsätze wA und wt sowie den relativen Preis des industriellen Outputs ρ her! Wie groß ist der Anteil des gesamten Kapitals, der im städtischen Sektor beschäftigt ist? (b) Konstruieren Sie ein Phasendiagramm im (k, μΟ-Raum, wobei k ξ K/L ist! Wie lauten die langfristigen Gleichgewichtsniveaus k* und μ*? Ist das zugehörige langfristige Gleichgewicht stabil? (c) Unterstellen Sie, daß die Volkswirtschaft bei μ < μ* startet! Zeigen Sie, daß die Rate der Wanderungen in den städtischen Sektor abnimmt, während sich die Volkswirtschaft auf ihr langfristiges Gleichgewicht zubewegt! Charakterisieren Sie das Verhalten des relativen Preises ρ und der Wachstumsrate des Kapitals entlang dem Pfad des Übergangs! Weist das Modell eine Eigenschaft der Konvergenz auf?

384

Kapitel 9. Arbeitsangebot und Bevölkerung

9.3 Wachstum in einem Optimierungsmodell der Wanderungen (nach Braun (1993)). Betrachten Sie Brauns Modell der Wanderungen, das im Abschnitt 9.1.3 dargestellt worden ist! Gegen Ende dieses Abschnitts ist eine Erweiterung erwähnt worden, um die Dynamik der Weltwirtschaft zu berücksichtigen. Nehmen Sie an, daß der Modellrahmen des Abschnitts 9.1.3 einschließlich der Produktionsfunktion in (9.27) zutrifft, abgesehen davon, daß die Welt jetzt nur aus zwei Volkswirtschaften, Land 1 und Land 2, besteht! Die natürlichen Ressourcen R t und Rι in beiden Ländern sind gegebene Konstanten. Die Bevölkerungen beider Länder werden mit Li und L2 bezeichnet; L = Li + L2 ist die Weltbevölkerung. Die natürliche Wachstumsrate der Bevölkerung ist in jedem Land gleich null. Die Anfangsbedingungen sind derart, daß der Strom der Umsiedler von Land 2 nach Land 1 verläuft. Die Kosten des Umzugs von Land 2 nach Land 1 sind weiterhin durch (9.34) gegeben, wobei jedoch ivweit durch w2 ersetzt wird. Die Umzugskosten für jeden Umsiedler nähern sich wiederum null, wenn die Anzahl der Wandernden gegen null geht. Das Kapital ist zwischen den Volkswirtschaften vollkommen mobil. Der gesamte Kapitalbestand Κ = Κι + K2 wird so auf die Volkswirtschaften aufgeteilt, daß die Nettogrenzproduktivitäten des Kapitals zu jedem Zeitpunkt ausgeglichen sind. Der interne Zinssatz r auf dem Weltmarkt, der sich jetzt in der Zeit ändern kann, ist gleich der Nettogrenzproduktivität des Kapitals. Nehmen Sie vereinfachend an, daß es keinen technischen Fortschritt und keine Abschreibungen gibt! Die Konsumenten in jedem Land haben Präferenzen der Ramsey-Form mit einem unendlichen Planungshorizont wie im Kapitel 2. (a) Formulieren Sie ein dynamisches System in den Variablen k, L2, Β und c, wobei Β der Barwert des Nutzens aus einem permanenten Umzug von Land 2 nach Land 1 ist (analog zu der Gleichung (9.31)) und c = C/L der in bezug auf die Welt durchschnittliche Konsum einer Person! Beachten Sie, daß k und La die Zustandsvariablen des Systems sind; die Variable Li bestimmt für gegebenes L die Allokation der Bevölkerung zwischen beiden Ländern! (Hinweis: Die Personen, die anfangs im Land 1 leben, ziehen nie um; der Pfad des Konsums ci ist für alle Personen gleich. Für Leute, die anfangs im Land 2 leben, muß der Konsumpfad c2 unabhängig davon, wann oder ob sie überhaupt nach Land 1 umziehen, gleich sein. Diese Überlegungen bestimmen zusammen mit der üblichen Ramsey-Formel für das Wachstum des Konsums das Verhalten von c in Relation zum Zinssatz r.) (b) Wie lauten die langfristigen Gleichgewichtswerte von k, Li und S? (c) Betrachten Sie eine log-lineare Approximation des dynamischen Systems in der Nähe des langfristigen Gleichgewichts! (1) Beachten Sie, daß eine kleine Änderung von Li in der Nähe des langfristigen Gleichgewichts einen vernachlässigbaren Effekt auf die Lohnsätze in beiden Ländern, den Weltoutput und den internen Zinssatz hat! Verwenden Sie diese Tatsachen, um das vierdimensionale System in zwei getrennte Teile zu zerlegen: eines, das sich auf die Variablen k und c der Welt bezieht, und ein anderes, das die Wanderungsvariablen Li und Β betrifft! (2) Ermitteln Sie die Geschwindigkeit der Konvergenz β für die Variablen der Welt und setzen Sie die Antwort zur Lösung des Ramsey-Modells im Kapitel 2 in Beziehung! (3) Ermitteln Sie die Geschwindigkeit der Konvergenz μ für Li! Zeigen Sie, wie die Geschwindigkeit der Konvergenz für das Pro-Kopf-Produkt >1 in einem Land von β und μ abhängt (vgl. (9.45))!

Aufgaben

385

9.4 Endogene Sterblichkeit Betrachten Sie das Modell der Wahl der Geburtenrate im Abschnitt 9.2.2! Nehmen Sie an, daß die Sterberate d durch Ausgaben der Familie oder öffentliche Ausgaben für die Gesundheit beeinflußt werden kann! (a) Nehmen Sie an, daß d vom gegenwärtigen Strom der Ausgaben des Haushalts für die Gesundheit abhängt! Bestimmen Sie den optimalen Pfad für diese Ausgaben! Wie verändert sich d während der Entwicklung der Volkswirtschaft? Wie lauten die Implikationen für das Verhalten der Geburtenrate η und der Kapitalintensität kl (b) Nehmen Sie jetzt an, daß d von den öffentlichen Ausgaben für die Gesundheit pro Kopf abhängt! Unterstellen Sie, daß das Verhältnis dieser Ausgaben zum gesamten Output konstant gleich g ist und daß die Ausgaben durch eine Pauschalsteuer finanziert werden! Wie hängen die Pfade der Geburtenrate η und der Kapitalintensität k von der Wahl von g ab? Welches optimale g wählt die Regierung? Ist es vorteilhaft, Variationen von g in der Zeit zuzulassen? 9.5 Die Übergangsdynamik im Fall der Wahl zwischen Arbeitszeit und Freizeit. Im Abschnitt 9.3 sind die dynamischen Bedingungen für ein Modell mit der Wahl zwischen Arbeitszeit und Freizeit hergeleitet worden. Für den Fall des logarithmischen Nutzens und einer Cobb-Douglas-Produktionsfunktion sind die Gleichungen (9.79) und (9.80) für die Wachstumsraten von k und c angegeben worden. Die Gleichung (9.77) setzt die Wahl der Arbeitsleistung l mit den Variablen k und c in Beziehung. (a) Konstruieren Sie das Phasendiagramm im (k, c)-Raum! (b) Beschreiben Sie die Pfade des Übergangs für k, c und l im Fall k(0) < k*! (c) Weisen Sie nach, daß die Geschwindigkeit der Konvergenz β in der Nähe des langfristigen Gleichgewichts durch (9.82) gegeben ist! Warum ist die Geschwindigkeit der Konvergenz höher als im Standard-Modell von Ramsey (Gleichung (2.34))? (d) Wie hängt der dynamische Pfad von l von der Annahme des logarithmischen Nutzens ab? Ist es möglich, das Modell so zu modifizieren, daß l monoton fällt, während die Bruttosparquote s monoton steigt?

Kapitel 10 Daten zum Wirtschaftswachstum, Wachstumsrechnung In der empirischen Erforschung des Wirtschaftswachstums sind eine Reihe von Datensätzen benutzt worden, die sich auf Länder und auf Regionen von Ländern beziehen. In diesem Kapitel werden einige der wichtigsten verwendeten Daten vorgestellt. Im letzten Teil des Kapitels werden die Methodik der Wachstumsrechnung beschrieben und einige der wesentlichen Ergebnisse diskutiert.

10.1 Paneldaten für die Länder Die von Robert Barro und Jong-Wha Lee zusammengestellten Daten umfassen 138 Länder, in den meisten Fällen in Fünf-Jahres-Intervallen für die Periode von 1960 bis 1985 oder bis 1990. Für einige Variablen sind die Daten unvollständig. Eine detaillierte Beschreibung und eine Diskette mit den Daten sind bei Ms. Ingrid Sayied, Economics Department, Harvard University, Cambridge ΜΑ 02138 (e-mail: [email protected]), erhältlich. Der Datensatz ist in sieben Gruppen unterteilt: Konten der volkswirtschaftlichen Gesamtrechnung, Bildung, Bevölkerung, Staatsausgaben, Preisniveaus, politische Variablen und Handelspolitik. Das Material zu den nationalen Konten und den Preisniveaus enthält die von Robert Summers und Alan Heston bereitgestellten international vergleichbaren Daten (Versionen 5.5 und 4.0), die in Summers und Heston (1991) beschrieben werden. Die detaillierten Zahlen der Version 5.5 sind beim Publications Department, National Bureau of Economic Research, 1050 Massachusetts Avenue, Cambridge MA 02138 (e-mail: [email protected]), auf Diskette verfügbar. Das Verfahren von Summers und Heston beginnt mit detaillierten Preisvergleichen für die Länder in den Basisjahren für einige hundert Positionen. Die Studien der Basisjahre beziehen sich auf die Jahre 1970,1975, 1980 und 1985; Informationen aus dem Jahr 1990 werden derzeit hinzugefügt. Diese Zahlen entstammen dem International Comparison Project (ICP) der UN. Die detaillierten Werte sind in 150 standardisierte Kategorien der Güter und Dienstleistungen angegeben worden. Diese Kategorien sind in ungefähr 110 für den Konsum, 35 für die Investition und fünf für den Staatskonsum unterteilt worden. Die hauptsächliche Schwierigkeit in bezug auf die Gewährleistung der Vergleichbarkeit der Preise in den Ländern entsteht durch die Messung der Qualität der Dienstleistungen, insbesondere der öffentlichen Verwaltung, des Gesundheitswesens und der Bildung. Summers und Heston verwenden ferner Standard-Zeitreihendaten für die Aggregate der volkswirtschaftlichen Gesamtrechnung eines jeden Landes, wobei die Größen in realen inländischen Einheiten ausgedrückt sind. (In der Version 5.0 und

10.1 Paneldaten für die Länder

387

den folgenden Versionen werden die im Datensatz der Weltbank enthaltenen Daten der volkswirtschaftlichen Gesamtrechnungen benutzt.) Die Preise der Basisjahre für jedes Land werden mit den Informationen aus der volkswirtschaftlichen Gesamtrechnung kombiniert, um das Bruttoinlandsprodukt und seine vier weitgefaßten Komponenten - den privaten Konsum, die private und die öffentliche inländische Bruttokapitalbildung, den staatlichen Konsum und den Außenbeitrag - in internationalen Preisen des Jahres 1985 für die verfügbaren Basisjahre zu schätzen. Obwohl die Vereinigten Staaten für die endgültigen Zahlen als num6raire dienen, werden in dem Verfahren sinnvoll Gewichte der Welt zur Berechnung der realen Größen herangezogen. Bis zum Jahr 1985 haben 81 der 138 Länder an mindestens einer detaillierten Basisstudie teilgenommen. Für die Länder, für die diese Basiswerte nicht vorliegen, werden weniger genaue Übersichten zu den Preisvergleichen zugrunde gelegt. Die Standardzahlen der volkswirtschaftlichen Gesamtrechnung eines jeden Landes werden in Verbindung mit den Zahlen der Basisjahre dazu benutzt, um Zeitreihenschätzungen auf der Basis der internationalen Preise des Jahres 1985 für die vier weitgefaßten Komponenten des Bruttoinlandsprodukts zu erstellen. (Für Länder mit mehr als einer Basisstudie wird ein kompliziertes Verfahren angewendet, um die Vereinbarkeit mit den Angaben der Zeitreihen zu gewährleisten.) Die Komponenten des Bruttoinlandsprodukts werden anschließend aggregiert, um die Zeitreihen des gesamten Bruttoinlandsprodukts in internationalen Preisen des Jahres 1985 zu berechnen. Der Datensatz enthält Informationen über die Mengen und Preise des Bruttoinlandsprodukts und seiner vier Komponenten. Im Barro-Lee-Datensatz sind ebenfalls Angaben über das reale Bruttoinlandsprodukt in Werteinheiten des inländischen Basisjahres enthalten, die von der Weltbank herausgegeben werden. Diese Zahlen können mit den am Markt bestimmten Wechselkursen kombiniert werden, um Vergleiche zwischen den Ländern vorzunehmen. Die Bildungsdaten ergänzen die Zahlen der UN über die Einschulungsquoten, um die von Barro und Lee (1994) konstruierten Maße der Schulbildung einbeziehen zu können. Diese Daten betreffen 129 Länder, meistens in Fünf-Jahres-Intervallen von 1960 bis 1985. Die Daten beziehen sich auf die Schulbildung der erwachsenen Bevölkerung auf vier Ebenen: keine Schule, primäre (pnmary), sekundäre (secondary) und höhere (higher) Schule. Die Zensus/Umfrage-Ergebnisse repräsentieren in etwa 40 Prozent der insgesamt benötigten Angaben; die Daten über die Erwachsenenbildung liefern zusätzliche Schätzungen der Kategorie ohne Ausbildung. Die Daten über die Einschulung werden dann in einem System der Fortschreibung benutzt, um die fehlenden Daten zu ermitteln. Für die drei Ebenen der Schulbildung werden ebenfalls ungefähre Schätzungen des unvollständigen und des vollständigen Schulbesuches erstellt. Der Abschnitt über die Bevölkerung enthält Daten über die Gesamtbevölkerung, die Erwerbsbevölkerung und die nach Altersgruppen unterteilte Bevölkerung. Ferner sind Schätzungen der Geburtenraten, der Kindersterblichkeit und der Lebenser-

388

Kapitel 10. Daten zum Wirtschaftswachstum, Wachstumsrechnung

Wartung zum Zeitpunkt der Geburt angegeben. Die Zahlen über den staatlichen Konsum von Summers und Heston sowie von der Weltbank sind in dem Abschnitt über die Staatsausgaben enthalten. Andere Daten beziehen sich auf die gesamten Staatsausgaben, die Ausgaben für die nationale Verteidigung und für die Bildung sowie auf die öffentlichen Investitionen. Die politischen Variablen beinhalten Maße der politischen Stabilität, wie zum Beispiel die Anzahl der Revolutionen, der Putschversuche und der politischen Attentate. Ferner werden Daten für Indizes der politischen Freiheit und der Bürgerrechte nach Gastil (verschiedene Jahre) bereitgestellt. Der Abschnitt über die Außenhandelspolitik liefert Informationen über die Zollsätze und die nichttarifären Handelshemmnisse, Gebiete der Länder und Entfernungen von bedeutenden Exportländern sowie Schwarzmarktaufschläge auf die Wechselkurse. Ferner sind in diesem Abschnitt Daten über das Handelsvolumen, die Austauschverhältnisse (terms of trade) und die Wechselkurse enthalten. Die Tabelle 10.1 stellt einige Informationen für die 138 Länder aus einer Auswahl des Datenmaterials bereit. (In diesem Kapitel sind alle Tabellen auf den Seiten 412 ff. aufgeführt.) Die Angaben aus der Version 5.5 von Summers und Heston betreffen die durchschnittliche Wachstumsrate des realen Bruttoinlandsprodukts (BIP) pro Kopf von 1960 bis 1985, die Niveaus des realen Bruttoinlandsprodukts pro Kopf in den Jahren 1960, 1985 und 1990 und das durchschnittliche Verhältnis der realen Investition zum realen Bruttoinlandsprodukt für den Zeitraum von 1960 bis 1985. Ferner werden die Lebenserwartung zum Zeitpunkt der Geburt in den Jahren 1960 und 1985, die durchschnittliche Anzahl der Jahre der Schulbildung von Männern und Frauen in den Jahren 1960 und 1985, die Größen der Gesamtbevölkerung in 1960 und 1985 und die durchschnittliche Wachstumsrate der Gesamtbevölkerung von 1960 bis 1985 angeführt.

10.2 Langfristige Daten über das Bruttoinlandsprodukt Maddison (1991) gibt langfristige Daten über das Bruttoinlandsprodukt und die Bevölkerung für 16 entwickelte Länder an. Bei den Zahlen wird versucht, eine Anpassung an Veränderungen der nationalen Grenzen vorzunehmen. Eine unveröffentlichte Fortschreibung von September 1992 stellt jährliche Daten über das ProKopf-Bruttoinlandsproduktin US-Dollar des Jahres 1985 bereit. Die Umrechnung der Zahlen für das jeweilige inländische reale Bruttoinlandsprodukt basiert auf den Eurostat/OECD Basisstudien für 1985. Diese Arbeiten folgen der Methodik des International Comparison Project (ICP) der UN, das im Abschnitt 10.1 dieses Kapitels beschrieben wird. Ein Unterschied besteht jedoch darin, daß Maddison die relative Preisstruktur der Vereinigten Staaten benutzt - und die realen Größen in US-Dollar von 1985 ausdrückt - , wohingegen das ICP eine durchschnittliche relative Preisstruktur der Welt verwendet und die Mengenangaben in entsprechenden internationalen Dollar macht.

10.2 Langfristige Daten über das Bruttoinlandsprodukt

389

Die Zahlen für das reale Pro-Kopf-Bruttoinlandsprodukt beginnen im Jahr 1870 für 13 Länder (Australien, Belgien, Dänemark, Deutschland, Finnland, Frankreich, Italien, Kanada, Norwegen, Österreich, Schweden, das Vereinigte Königreich und die Vereinigten Staaten), im Jahr 1885 für Japan, im Jahr 1899 für die Schweiz und im Jahr 1900 für die Niederlande. Maddison (1991, Tabelle A.5) stellt Daten ausgewählter Jahre ab 1820 für die 16 Länder außer Kanada bereit, für das die Daten erst ab 1850 vorliegen. Diese Quelle enthält auch Daten für das Vereinigte Königreich in den Jahren 1700 und 1780 und für die Niederlande im Jahr 1700. In der Tabelle 10.2 sind die Zahlen für das Pro-Kopf-Bruttoinlandsprodukt in US-Dollar des Jahres 1985, das entsprechende Verhältnis zum Pro-Kopf-Bruttoinlandsprodukt der Vereinigten Staaten und die Größe der Bevölkerung ab 1870 in Intervallen von 20 Jahren abgebildet. Ferner enthält die Tabelle die durchschnittliche jährliche Wachstumsrate des realen Pro-Kopf-Bruttoinlandsprodukts und der Bevölkerung für jede 20-Jahres-Periode. Die Abbildungen 10.1-10.4 stellen eine graphische Beschreibung der Logarithmen des realen Pro-Kopf-Bruttoinlandsprodukts für diese 16 Länder dar. Maddison (1989) legt langfristige Daten für einige zusätzliche Länder vor. Die Daten über die Indizes des realen Bruttoinlandsprodukts werden in seinen Tabellen B-4 und B-5 für bestimmte Jahre ab 1900 und jährlich von 1950-1987 für neun asiatische Länder (Bangladesch, China, Indien, Indonesien, Pakistan, Philippinen, Südkorea, Taiwan und Thailand) und sechs lateinamerikanische Länder (Argentini-

10,0 π

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6,5 1870

1880

1890

1900

1910

1920

1930

1940

1950

1960

1970

Abbildung 10.1 Reales Pro-Kopf-Bruttoinlandsprodukt der USA, von Kanada, Australien und Japan

1980

1990

390

Kapitel 10. Daten zum Wirtschaftswachstum, Wachstumsrechnung

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Abbildung 10.2 Reales Pro-Kopf-Bruttoinlandsprodukt von Frankreich, Deutschland, Italien und dem Vereinigten Königreich

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1 1 9 9 0

Abbildung 10.3 Reales Pro-Kopf-Bruttoinlandsprodukt von Österreich, Belgien, den Niederlanden und der Schweiz

10.2 Langfristige Daten über das Bruttoinlandsprodukt

391

AbbUdung 10.4 Reales Pro-Kopf-Bruttoinlandsprodukt von Dänemark, Finnland, Norwegen und Schweden

en, Brasilien, Chile, Kolumbien, Mexiko und Peru) dargestellt. Die Bevölkerungszahlen sind in seinen Tabellen C-3 und C-4 abgebildet, und die Werte des realen Pro-Kopf-Bruttoinlandsprodukts erscheinen in seiner Tabelle A-l in internationalen Dollar des Jahres 1980. Auch für die UdSSR werden Zahlen gegeben, obwohl die jüngsten Erfahrungen nahelegen, daß diese Werte sehr ungenau sind. In der Tabelle 10.3 finden sich die Zahlen für neun asiatische und sechs lateinamerikanische Länder für 1900,1913,1950,1973 und 1987. Die Tabelle enthält das reale Pro-Kopf-Bruttoinlandsproduktin internationalen Dollar des Jahres 1980, das Verhältnis dieser Werte zum realen Pro-Kopf-Bruttoinlandsprodukt der Vereinigten Staaten und die Größe der Bevölkerung. Auch werden die durchschnittlichen jährlichen Wachstumsraten des realen Pro-Kopf-Bruttoinlandsprodukts und der Bevölkerung für jede Periode angegeben. Maddison (1992) beschreibt langfristige Daten über die Sparquoten und die Investitionsquoten für 11 Länder (Australien, Deutschland, Frankreich, Indien, Japan, Kanada, die Niederlande, Südkorea, Taiwan, das Vereinigte Königreich und die Vereinigten Staaten). In den Abbildungen 10.5-10.15 werden die Quoten der inländischen Bruttoinvestition und der Nettodirektinvestition in bezug auf das Bruttoinlandsprodukt in laufenden Marktpreisen dargestellt. Für Frankreich liegen die Daten seit 1820 vor, für Australien, Kanada, das Vereinigte Königreich und die Vereinigten Staaten seit 1870 und für die anderen Länder erst seit späteren Jahren. Für einige dazwischen liegende Jahre fehlen die Daten für manche Länder, was in den Abbildungen angedeutet wird.

392

Kapitel 10. Daten zum Wirtschaftswachstum, Wachstumsrechnung

40 π

ausländische

inländische

1870

1 1880

1 1890

1 1900

Abbildung 10.5 Investitionsquoten von Australien

Abbildung 10.6 Investitionsquoten von Kanada

1 1910

1 1920

1 1930

1 1940

1 1950

1 1960

1 1970

1 1980

393

10.2 Langfristige Daten über das Bruttoinlandsprodukt

inländische

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1980

AbbUdung 10.7 Investitionsquoten von Frankreich

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1925

1930

1935

1940

1945

AbbUdung 10.8 Investitionsquoten von Deutschland

1950

1955

1960

1965

1970

1975

1980

1985

394

Kapitel 10. Daten zum Wirtschaftswachstum, Wachstumsrechnung

Abbildung 10.9 Investitionsquoten von Japan

Abbildung 10.10 Investitionsquoten der Niederlande

10.2 Langfristige Daten über das Bruttoinlandsprodukt

395

Abbildung 10.11 Investitionsquoten des Vereinigten Königreiches

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1890

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1930

1940

1950

1960

1970

Abbildung 10.12 Investitionsquoten der USA

1— 1980

396

Kapitel 10. Daten zum Wirtschaftswachstum, Wachstumsrechnung

Abbildung 10.13 Investitionsquoten von Indien

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Abbildung 10.14 Investitionsquoten von Südkorea

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1

1 1 9 6 0

1

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1

1— 1 9 8 0

10.3 Regionale Datensätze

397

AbbUdung 10.15 Investitionsquoten von Taiwan

10.3 Regionale Datensätze Im folgenden werden Daten für die Bundesstaaten der USA, für die Regionen in acht europäischen Ländern (Deutschland, Italien, Frankreich, die Niederlande, Belgien, Dänemark, Spanien und das Vereinigte Königreich), für kanadische Provinzen und für japanische Präfekturen angegeben. Die Daten für die Regionen anderer Länder wie Argentinien, Indien, Mexiko und die UdSSR liegen ebenfalls vor. Zusätzliche Informationen über Städte und counties sind ebenfalls verfügbar; vgl. zum Beispiel Ades und Glaeser (1993).

10.3.1

Daten für Staaten der USA

Die Tabelle 10.4 zeigt eine Stichprobe der Daten für die US-Staaten (dargestellt auf der Karte der Vereinigten Staaten in der Abbildung 10.16). Die Zahlen über das nominale persönliche Einkommen (personal income) und über das nominale persönliche Einkommen pro Kopf sind seit 1929 für die jeweiligen Staaten beim U.S. Commerce Department erhältlich (Bureau of Economic Analysis (1989), Fortschreibungen erscheinen in den Ausgaben des U.S. Survey of Current Business). Das in diesen regionalen Berechnungen verwendete Konzept des persönlichen Einkommens entspricht dem in der volkswirtschaftlichen Gesamtrechnung. Die Zahlen werden jährlich vorgelegt; die Werte der Jahre vor 1965 basieren auf Interpolationen von Schätzungen, die auf der Basis von ungefähr fünfjährigen Intervallen ermittelt

398

Kapitel 10. Daten zum Wirtschaftswachstum, Wachstumsrechnung

Abbildung 10.16 Karte der kontinentalen US-Staaten. Die Daten für die US-Staaten sind in der Tabelle 10.4 enthalten.

worden sind. Die Daten liegen mit und ohne Transferzahlungen vor. Seit 1963 existieren jährlich erstellte Zahlen über die Bruttoprodukte der einzelnen Staaten (in den Ausgaben des U.S. Survey of Current Business). Verläßliche Daten über das Preisniveau sind auf der Ebene der Staaten nicht vorhanden, obwohl einige Angaben für die Städte existieren. Das Realeinkommen ist berechnet worden, indem die nominalen Werte des persönlichen Einkommens durch die nationalen Werte des Konsumentenpreisindex (1982-1984= 1,0) geteilt worden sind. (Für alle Einträge außer dem Zivilschutz (shelter) sind ab 1947 die Zahlen der Citibase verwendet worden. Den Jahren vor 1947 liegt der Gesamtindex des U.S. Commerce Department, 1975, Reihe El35, zugrunde.) Solange für jede Angabe eines jeden Staates derselbe Index zutrifft, beeinflußt der speziell gewählte Index die relativen Niveaus und Wachstumsraten der Staaten nicht. Frühere Einkommenswerte werden von Easterlin (1960a, 1960b) für 1920 (48 Staaten), 1900 (48 Staaten oder Territorien), 1880 (47 Staaten oder Territorien, ohne Oklahoma) und 1840 (29 Staaten oder Territorien) vorgelegt. In diesen Daten sind keine Transferzahlungen berücksichtigt und in den Zahlen für 1840 sind nicht alle Komponenten des persönlichen Einkommens erfaßt worden. Die Schätzungen des Konsumentenpreisindex für alle Güter (U.S. Commerce Department, 1975, Reihe Ε135) werden benutzt, um diese früheren Werte zu deflationieren.

10.3 Regionale Datensätze

399

Für die Erhebungsjahre seit 1930 können die Arbeitseinkommen (einschließlich derjenigen aus selbständigen Tätigkeiten) auf neun Sektoren aufgeteilt werden: Landwirtschaft; Bergbau; Bauwesen; Industrie (total manufacturing); Transport und öffentliche Versorgungsbetriebe; Groß- und Einzelhandel; Finanzwesen, Versicherungen, Immobilien; Dienstleistungen sowie öffentliche Verwaltung und Staatsunternehmen. Für die Perioden vor 1930 sind Daten über den Anteil des in der Landwirtschaft entstandenen Einkommens vorhanden. Die Bevölkerungsdichte ist das Verhältnis der Bevölkerungszahl zur Gesamtfläche (Land und Wasser); die Daten über die Flächen stammen vom Bureau of the Census (1990). Die Nettowanderungsströme können anhand der aus den Volkszählungen resultierenden Zahlen berechnet werden, indem von der Veränderung der Bevölkerung in einer Periode die Anzahl der Geburten abgezogen wird und die Anzahl der Sterbefälle hinzugezählt wird.

10.3.2

Daten für europäische Regionen

Die Tabelle 10.5 enthält eine Stichprobe der Daten für Regionen europäischer Länder (dargestellt auf der Karte der Abbildung 10.17.) Die Daten über das Bruttoinlandsprodukt, die Bevölkerung und damit zusammenhängende Variablen liegen für die Regionen von acht europäischen Ländern vor - Deutschland (11 Regionen), Italien (20), Frankreich (21), die Niederlande (4), Belgien (3), Dänemark (3), Spanien (17) und das Vereinigte Königreich (11). Für alle Länder außer Spanien sind die Daten über das Bruttoinlandsprodukt und die Bevölkerung für die Jahre 1950, 1960 und 1970 aus Molle, van Holst und Smit (1980) entnommen worden. Die Zahlen für 1966 (die für Frankreich und Dänemark fehlen), 1970 (ohne Dänemark), 1974,1980,1985 und 1990 (ohne Dänemark) stammen von Eurostat. Die Daten für Spanien über die regionalen Einkommen und das Bruttoinlandsprodukt sind für mehrere Jahre zwischen 1955 und 1987 von der Banco de Bilbao (mehrere Ausgaben) bereitgestellt worden. Die Zahlen über die Bevölkerung entstammen mehreren Ausgaben des INE, Anuario Estadistico de Espana. Ursprünglich haben sich diese Daten auf 50 Provinzen bezogen; sie sind zu den in der Tabelle 10.5 angeführten 17 Regionen aggregiert worden. Daten über die regionalen Preise liegen nicht vor. Hinzu kommt, daß die Zahlen über das Bruttoinlandsprodukt teilweise als Indizes bereitgestellt werden, die zwischen den Ländern nicht vergleichbar sind. Daher ist der Schwerpunkt auf die regionalen Werte des Bruttoinlandsprodukts gelegt worden, die als Abweichungen vom Durchschnitt der jeweiligen Länder ausgedrückt worden sind. Diese in der Tabelle 10.5 aufgeführten Daten lassen sich für Querschnittsanalysen der Regionen innerhalb der Länder einsetzen. Es ist auch möglich, Zeitreihendaten über das Bruttoinlandsprodukt der Länder zu verwenden (wie im Abschnitt 10.1 dieses Kapitels diskutiert wird), um Zahlen zu konstruieren, die über die Länder und über die Zeit aussagekräftig sind. Die zugrundeliegende Annahme ist allerdings, daß die Preise zwischen den Regionen innerhalb eines Landes nicht systematisch variieren.

400

Kapitel 10. Daten zum Wirtschaftswachstum, Wachstumsrechnung

Für die Länder außer Spanien stellen Molle, van Holst und Smit (1980) eine Aufteilung der Beschäftigung in drei Sektoren - Landwirtschaft, Industrie und Dienstleistungen - für die Jahre 1950, 1960 und 1970 bereit. Für die anderen Jahre liefert Eurostat eine Gliederung des Bruttoinlandsprodukts für dieselben drei Sektoren. Für Spanien ist die Unterteilung des Bruttoinlandsprodukts in diese drei Komponenten von der Banco de Bilbao (mehrere Ausgaben) für die verschiedenen Jahre

Abbildung 10.17 Karte der europäischen Regionen. Die den Zahlen zuzuordnenden geographischen Bezeichnungen und die Daten für die europäischen Regionen sind in der Tabelle 10.5 enthalten.

10.3 Regionale Datensätze

401

erhältlich. Für die fünf größeren Länder sind die Nettowanderungsströme anhand der Angaben über die Bevölkerung, die Geburten und die Sterbefälle berechnet worden. Die nationalen Quellen sind die folgenden. Deutschland: Statistisches Bundesamt, Statistisches Jahrbuch für die Bundesrepublik Deutschland, verschiedene Jahrgänge. Frankreich: INSEE, Statistiques et Indicateurs des Regions Frangaises, 1978; INSEE, Donnes de Demographie Regionale 1982,1986. Italien: ISTAT, Sommario Storice di Statistiche Sulla Populazzione: Anni 1951-1987, 1990. Spanien: INE, Anuario Estadistico de Espana, verschiedene Ausgaben. Vereinigtes Königreich: Population Trends 51, Frühling 1988.

10.3.3

Daten für kanadische Provinzen

Die in der Tabelle 10.6 aufgeführten Daten für die kanadischen Provinzen sind freundlicherweise von Frank C. Lee vom Department of Finance Canada bereitgestellt worden und werden in Coulombe und Lee (1993) diskutiert. Eine Karte der kanadischen Provinzen befindet sich in der Abbildung 10.18. Die meisten Daten stammen von der offiziellen Quelle CANSIM oder vom Canadian Conference Board.

enthalten.

402

Kapitel 10. Daten zum Wirtschaftswachstum, Wachstumsrechnung

Die jährlichen Zahlen über die Bevölkerung und verschiedene Einkommenskategorien sind seit 1926 jeweils für die einzelnen Provinzen vorhanden. (Die Daten für Neufundland liegen seit dem Beitritt zu Kanada im Jahr 1949 vor, für die Northwest Territories und Yukon existieren Einkommensdaten seit 1951.) Seit 1961 sind Informationen über die jeweiligen Bruttoprodukte der Provinzen, über die Konsumentenpreisindizes und die Preisindizes der Bruttoprodukte vorhanden. In der Tabelle 10.6 werden die Werte des persönlichen Einkommens der Jahre 1926 und 1992 angegeben, nachdem sie mit den nationalen Werten des Konsumentenpreisindex deflationiert worden sind. Angaben über die Wanderungen zwischen den Provinzen sind seit 1950 gegeben.

10.3.4

Daten für japanische Präfekturen

In der Tabelle 10.7 sind die Daten für die japanischen Präfekturen aufgeführt worden (eine Karte der Präfekturen ist in der Abbildung 10.19 enthalten). Die Zahlen über das Einkommen werden seit 1955 von der japanischen Economic Planning Agency (EPA) gesammelt. Die Berechnungen werden gemäß dem „Standardisierten System präfekturaler Berechnungen von 1983" durchgeführt, so daß sich alle Zahlen miteinander vergleichen lassen. Theoretisch stimmt daher das aggregierte Einkommen der 47 Präfekturen mit Japans Volkseinkommen überein. Die Daten werden jährlich erhoben und im Annual Report on Prefectural Accounts veröffentlicht. Für 1930 sind die Einkommensdaten für die jeweiligen Präfekturen von der National Economy Studies Association bereitgestellt worden. Für die einzelnen Präfekturen liegen keine Daten über die Preise vor; daher werden nationale Preisindizes verwendet, um das Einkommen jeder Region zu deflationieren. Die Bevölkerungsdaten stammen vom Statistics Bureau at the Managementand Coordination Agency. Die Hauptquelle dieser Zahlen ist die fünfjährig vom Statistics Bureau durchgeführte Volkszählung. Die Daten über die Wanderungen werden vom Statistics Bureau gesammelt. Diese Zahlen stammen aus den Basic Resident Registers und dem Statistical Survey on Legal Migrants. In diesen Daten sind Personen ohne japanische Staatsbürgerschaft nicht erfaßt.

10.4

Wachstumsrechnung

10.4.1

Allgemeiner Aufbau

In Anlehnung an die Pionierarbeit von Solow (1957) und seine in Griliches (1994) diskutierten Vorgänger ist das Ziel der Wachstumsrechnung, die Wachstumsrate des aggregierten Outputs in die Beiträge des Wachstums der Produktionsfaktoren, in der Regel Kapital und Arbeit, und des Wachstums der Technik aufzuteilen. Die Analyse

10.4 Wachstumsrechnung

403

AbbUdung 10.19 Karte der japanischen Präfekturen. Die den Zahlen zuzuordnenden geographischen Bezeichnungen und die Daten für die japanischen Präfekturen sind in der Tabelle 10.7 enthalten.

beginnt mit der üblichen neoklassischen Produktionsfunktion Y(t) = A(t) F[K(t), 1(f)],

(10.1)

wobei A(t) einen Index des Technikniveaus darstellt. In dieser Literatur wird Α als totale Faktorproduktivität (TFP) bezeichnet.1 Um die Wachstumsrate des aggregierten Outputs zu ermitteln, werden beide Seiten logarithmiert und nach der Zeit 1 Um die Algebra zu vereinfachen, wird angenommen, daß die Technik Hicks-neutral (oder outputvermehrend) und nicht Harrod-neutral (oder arbeitsvermehrend) ist. Vgl. das Kapitel 1 zu den Definitionen der verschiedenen Arten des technischen Fortschritts.

404

Kapitel 10. Daten zum Wirtschaftswachstum, Wachstumsrechnung

abgeleitet:

Der zweite Ausdruck auf der rechten Seite wird mit Kj Κ und der dritte Ausdruck entsprechend mit L/L multipliziert. Damit erhält man Y/Y = Ä,A

+

^ f . k , K

+

^ . L , L .

(10.2)

Herrscht auf den Faktormärkten vollständige Konkurrenz, dann stimmt die Grenzproduktivität eines jeden Faktors mit dem zugehörigen Faktorpreis überein, so daß AFk gleich dem Nutzungspreis des Kapitals R und Α Fi gleich dem Lohnsatz w ist. Der Term AFKK/Y stellt daher den Anteil der Zahlungen für das Kapital am Gesamteinkommen dar, der Ausdruck AF^L/Y den Anteil der Lohnzahlungen an die Arbeitnehmer am Gesamteinkommen. Unter der Annahme konstanter Skalenerträge addieren sich die Kapitalertragsquote und die Lohnquote zu eins. Bezeichnet man mit a(t) den Kapitalanteil,2 dann kann (10.2) umgeschrieben werden zu3 Y/Y = Al A + a(t) • K/K + [1 - α(ί)] L/L.

(10.3)

Mit anderen Worten ist die Wachstumsrate des aggregierten Outputs gleich der Wachstumsrate der totalen Faktorproduktivität A/A zuzüglich einem gewichteten Durchschnitt der Wachstumsraten der beiden Faktoren, wobei die Gewichte die entsprechenden Ertragsquoten sind. Angenommen, es liegen Daten über die Größen Υ, Κ und L sowie über die Faktorpreise R und w vor. Dann können die Faktorertragsquoten a(t) und 1 — a(t) ebenso wie die Wachstumsraten Y/Y, Κ / Κ und L/L berechnet werden. Der einzige Term in (10.3), der sich nicht direkt messen läßt, ist die Wachstumsrate der Technik λ / Α . Indirekt kann λ / Α gemessen werden, indem (10.3) umgestellt wird zu A/A = Y/Y-

{a(t) K/K + [1 - α(ί)] L/L}.

(10.4)

Anders ausgedrückt, die Wachstumsrate der totalen Faktorproduktivität - oder die Rate des technischen Fortschritts - kann als Residuum gemessen werden; von Y/Y wird der Teil dieser Wachstumsrate abgezogen, der auf die Wachstumsraten der Faktoren Κ und L zurückgeführt werden kann. Der verbleibende Teil, der eine Schätzung von A/A liefert, wird oft das Residuum genannt.4 2 Man beachte, daß die Kapitalertragsquote a(t) von der Zeit abhängt, so daß Veränderungen der Ertragsquoten des Kapitals und der Arbeit in der Zeit berücksichtigt werden können. Für eine CobbDouglas-Technik ¥ = AK"Ll~a sind die Ertragsquoten konstant gleich α beziehungsweise 1 — a . 3 Wenn die Produktionsfunktion im Unterschied zu (10.1) arbeitsvermehrenden technischen Fortschritt aufweist, so daß Y = F(K, AL) gilt, dann wird der Term A/A in (10.3) mit der Lohnquote 1 - a ( t ) multipliziert. Der Rest der Gleichung bleibt unverändert. 4 Dieses Verfahren folgt Solow (1957). Griliches (1994) beschreibt, wie sich das Konzept des Residuums in der Forschung vor Solow entwickelt hat.

10.4 Wachstumsrechnung

10.4.2

405

Diskrete Zeit und variable Faktorertragsquoten

Obwohl die Formel (10.4) mit kontinuierlicher Berücksichtigung der Zeit theoretisch nützlich ist, muß sie für empirische Zwecke modifiziert werden, damit sie sich für eine diskrete Zeitbetrachtung anwenden läßt. Thörnqvist (1936) mißt die Wachstumsrate zwischen zwei Zeitpunkten t und t + 1 anhand logarithmischer Differenzen; als Gewichte verwendet er die arithmetischen Mittel der Ertragsquoten zu den Zeitpunkten t und t + 1. Mit diesem Ansatz ergibt sich die Wachstumsrate der totalen Faktorproduktivität in diskreter Zeit als log[A(f + 1)/A(i)] = \og[Y(t +

\)/Y{t)}

- {ö(7) · log[K(t + l)/K(t)]

+ [1 -

· log[L(t+ 1 )/L(r)]},

(10.5)

wobei a(t) ξ [α(ί) + a(t + l)]/2 die durchschnittliche Kapitalertragsquote der Perioden t und t + 1 ist.5 10.4.3

Die Messung der Ertragsquoten und der Wachstumsraten der Inputs

KAPITAL. Idealerweise wird man die Leistungsströme des physischen Kapitals als Maß des Kapitaleinsatzes benutzen. Zum Beispiel möchte man die Anzahl der für den Produktionsprozeß in der Periode t verwendeten „Maschinenstunden" ermitteln. Da die verfügbaren Daten diese Messung in der Regel nicht zulassen, wird im verwendeten Verfahren die Menge des physischen Kapitals einer bestimmten Art berechnet und dann angenommen, daß der Strom der Leistungen proportional zum Kapitalbestand ist. Manchmal wird versucht, den gesamten Kapitalbestand von dem gegenwärtig in der Produktion verwendeten Anteil zu trennen. Die Angaben über den physischen Kapitalbestand resultieren aus den kumulierten Zahlen über die physische Bruttoinvestition und aus den Schätzungen der Abschreibungen der existierenden Kapitalbestände. Dieser als Methode der fortwährenden Inventur bezeichnete Ansatz verwendet die Relation K(t+1)

= K(t) + I(t)-8K(t),

(10.6)

wobei K(t) den physischen Kapitalstock zur Zeit t angibt, I{t) für den Strom der Bruttoinvestition in der Periode t steht und δ der konstante Abschreibungssatz ist.6 5 Wenn die Produktionsfunktion in der üblichen neoklassischen Form vorliegt, ist die Gleichung (10.5) nur eine Approximation. Diewert (1976) zeigt jedoch, daß (10.5) exakt gilt, wenn die Produktionsfunktion die Translog-Form hat:

V=

exp{a 0 +

aL log(L) + aK log(K) +

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2 Im Kapitel 4 ist allerdings gezeigt worden, daß die ^-Konvergenz zutrifft, wenn die ΛίΓ-TechnU asymptotisch gilt, aber fallende Kapitalproduktivitäten für endliches Κ auftreten. 3 Um die Gleichung (11.2) abzuleiten, wird log(j,,,_i) zu beiden Seiten der Gleichung (11.1) addiert die Varianz berechnet und die Bedingung ausgenutzt, daß die Kovarianz zwischen «,·, und log(y (i/ _i; null ist.

446

Kapitel 11. Empirische Analyse regionaler Daten

mitCTgals Varianz von log(j,'o). (Man kann unmittelbar zeigen, daß die Lösung (11.3) die Gleichung (11.2) erfüllt.) Die Gleichung (11.3) impliziert, daß σ 2 monoton gegen seinen langfristigen Gleichgewichtswert σ 2 = σ 2 / ( 1 — e - 2 ^ ) strebt, der mit σ\ steigt, aber mit dem Konvergenzkoeffizienten β fällt. Die Varianz σ 2 fällt (oder steigt) über die Zeit, wenn der Anfangswert größer (oder kleiner) als der Wert des langfristigen Gleichgewichts σ 2 ist. Folglich impliziert ein positiver Koeffizient β (also ^-Konvergenz) kein abnehmendes σ\ (σ-Konvergenz). Mit anderen Worten ist die ß-Konvergenz eine notwendige, aber keine hinreichende Bedingung für die σ-Konvergenz. Die Abbildung 11.1 zeigt den Zeitverlauf von of mit ajj oberhalb oder unterhalb von σ 2 . Der verwendete Konvergenzkoeffizient, β = 0,02 pro Jahr, entspricht den Schätzungen, über die in einem späteren Abschnitt berichtet wird. Mit diesem Wert von β wird vorhergesagt, daß die Varianz des Querschnitts mit einer langsamen Rate über die Zeit sinkt oder steigt. Insbesondere wennCTQwesentlich vom langfristigen Gleichgewichtswert σ 2 abweicht, dauert es etwa 100 Jahre, bis σ 2 in der Nähe von σ 2 liegt.

Jahre

Abbildung 11.1 Theoretisches Verhalten der Streuung. Die Abbildung zeigt die Streuung des Pro-Kopf-Produktes, die als die Varianz des logarithmierten Pro-Kopf-Produktes zwischen den Volkswirtschaften gemessen wird. Obwohl die ^-Konvergenz als gegeben angenommen wird, kann die Streuung fallen, steigen oder konstant bleiben, je nachdem, ob sie oberhalb, unterhalb oder bei dem langfristigen Gleichgewichtswert σ 2 beginnt. In der Abbildung wird ein Wert von β — 0,02 unterstellt.

Die Streuung von logCj,,) im Quervergleich reagiert empfindlich auf Schocks, die einen gemeinsamen Einfluß auf Untergruppen der Länder oder Regionen haben. Diese Arten von Störungen verletzen die Bedingung, daß m„ in (11.1) unabhängig von uj, für i φ j ist. In dem Ausmaß, in dem diese Schocks Regionen mit hohen oder niedrigen Einkommen tendenziell begünstigen oder benachteiligen (in

11.1 Zwei Konzepte der Konvergenz

447

dem Maße, in dem die Schocks mit der erklärenden Variablen korreliert sind), wird der Ausschluß solcher Schocks aus den Regressionen die Schätzungen von β verzerren. Beispiele sind Schocks, die Veränderungen der terms of trade in bezug auf die Güter hervorrufen. Für die Vereinigten Staaten ist der starke Verfall der relativen Preise für Agrargüter während der zwanziger Jahre ein solcher Schock gewesen. Diese Störung hat einen nachteiligen Effekt auf die Einkommen in den Agrarregionen im Verhältnis zu den Einkommen der Industrieregionen verursacht. Man kann sich ebenso an die beiden Ölpreisanstiege in den siebziger Jahren oder an die Preisreduktion in den achtziger Jahren erinnern. Diese Schocks haben gleichgerichtete Wirkungen auf das Einkommen der ölproduzierenden Regionen im Vergleich zu den Einkommen anderer Regionen aufgewiesen. Ein weiteres Beispiel für die Vereinigten Staaten ist der Bürgerkrieg. Dieser Schock hat einen sehr nachteiligen Einfluß auf die Einkommen der Südstaaten im Vergleich zu denen der Nordstaaten gehabt. Unter formalem Gesichtspunkt bezeichnet die Zufallsvariable St eine Störung der gesamten Völkswirtschaft in der Periode t. Beispielsweise gibt S, den relativen Ölpreis an, wie er auf den Weltmärkten bestimmt wird. Damit kann (11.1) zu \°%(yit/yi,t-\) = α - (1 - e - " ) · log(y,·,,_i) +

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(11.4)

umgeformt werden, wobei £> es ON COm es υ / — οs οin ο οο ο e ο Iοο ο 0 CS 3ΜΛ I Ο ο" ο ο ο ο ο ο ο" ο" ο' ο" •3 £ ο" ο" I •5

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12.1 Die Verlierer und Gewinner der Jahre 1965 bis 1985

485

Die erste Spalte jeder Tabelle weist daraufhin, ob das Land in der Regressionsstichprobe für das Wachstum, die später verwendet wird, Berücksichtigung findet: 12 der 24 langsam wachsenden Staaten sind für den Zeitraum 1965-1975 und 14 der 24 für 1975-1985 enthalten, wohingegen 21 der 24 schnell wachsenden Staaten in beiden Jahrzehnten vertreten sind. Die Schätzwerte für die Zeiträume 1965-1975 und 1975-1985 zeigen, in welchem Umfang die Wachstumsraten durch die auf die Jahrzehnte bezogenen Regressionen erklärt werden. Die in Klammern angegebenen Zahlen betreffen die Länder, die nicht in die Regressionen einbezogen worden sind; diese ermittelten Werte beruhen auf Schätzungen nicht vorhandener Daten über eine erklärende Variable oder über mehrere unabhängige Variablen. Für die zwanzigjährige Periode von 1965-1985 beträgt die durchschnittliche Wachstumsrate der langsam wachsenden Staaten —0,010 pro Jahr, und der Durchschnitt der Schätzwerte nimmt einen Wert von 0,001 pro Jahr an. Im Gegensatz dazu beträgt die durchschnittliche Wachstumsrate für die schnell wachsenden Länder 0,048 pro Jahr; der Durchschnitt der Schätzwerte ist 0,039 pro Jahr. (Es ist nicht verwunderlich, daß die Residuen der langsam wachsenden Länder in der Regel negativ sind, während die der schnell wachsenden Staaten in der Regel ein positives Vorzeichen aufweisen, da die Gruppen nach extremen Angaben der Wachstumsraten ausgewählt worden sind.) Das typische schnell wachsende Land ist deshalb um 5,8 Prozentpunkte pro Jahr schneller als der typische langsam wachsende Staat gewachsen, wobei durchschnittlich 3,8 Prozentpunkte dieser Differenz durch die Schätzwerte erklärt werden. Deshalb weisen die Schätzwerte einen großen Unterschied zwischen den langsam wachsenden und den schnell wachsenden Ländern auf und es ist lohnend, die Faktoren zu bewerten, die den Differenzen der Schätzwerte in den beiden Gruppen zugrunde liegen. (Für alle 87 Länder, die in die Regressionen der Jahre 1965-1975 und 1975-1985 einbezogen worden sind, besitzt die Korrelation zwischen den tatsächlichen und den geschätzten Wachstumsraten für den Zeitraum von 1965-1985 einen Wert von 0,80.) Die Tabellen 12.1 und 12.2 zeigen auch die geschätzten Wachstumsraten für die Jahre 1985-1995. Der Durchschnitt dieser Werte für die langsam wachsenden Staaten beträgt 0,004 pro Jahr, während der Durchschnittswert für die schnell wachsenden Länder einen Wert von 0,030 pro Jahr annimmt. Mit anderen Worten prognostiziert das Modell, daß sich die durchschnittliche Differenz zwischen den beiden Gruppen von 5,8 Prozentpunkten in den Jahren 1965 bis 1985 auf 2,6 Prozentpunkte in den Jahren 1985 bis 1995 verringert. Damit wird vorausgesagt, daß sich die Einteilung in langsam und schnell wachsende Staaten, die auf den Angaben der Jahre 1965-1985 basiert, hinsichtlich ihrer Besetzung zwar reduziert wird, aber in einem erheblichen Ausmaß bestehen bleibt.3 Die tatsächlichen Wachstumsraten für 1985-1990 betragen durchschnittlich —0,017 für die Verliererstaaten im Ver3 Für die 87 Länder, die in die Wachstumsregressionen für beide Jahrzehnte einbezogen worden sind, weist die Korrelation der Wachstumsrate für 1965-1975 mit der fiir 1975-1985 den Wert von 0,42 auf. Die Korrelation des Schätzwertes für 1985-1995 mit der Wachstumsrate für 1965-1985 beträgt 0,43. Bei 86 Ländern nimmt die Korrelation der Wachstumsrate für 1985-1990 mit der für 1975-1985 den Wert von 0,53 und mit der für 1965-1975 den Wert von 0,36 an.

486

Kapitel 12. Empirische Analyse eines Querschnitts von Ländern

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U~1 >n t> m 0 und a n > 0: Die Konstruktion des Phasendiagramms ergibt sich aus den folgenden Schritten: (a) Beginnt man in der Abbildung A.4a, läßt sich der geometrische Ort aller Punkte einzeichnen, in denen y\ gleich null ist. Die resultierende Kurve heißt Isokline (Kurve gleicher Steigung) für y\ = 0. In diesem Fall entspricht die Isokline allen Punkten, für die y(t) — 0 gilt, das heißt der vertikalen Achse. yi

>>1=0 / r

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Abbildung A.4a Der geometrische Ort für j^i = 0. Die Abbildung stellt für das System aus (A.20) mit α π > 0 die Isokline y\ = 0 dar (in diesem Beispiel die Ordinate). Die Pfeile zeigen in die Bewegungsrichtung von y\-

(b) Nun ist die Dynamik von y\ in den beiden Regionen zu analysieren, die durch die Isokline y\ = 0 erzeugt werden. Für positive yι (also rechts von der Isokline y\ = 0) ist y\ positiv wegen απ > 0 und y\ > 0. Also zeigen die Pfeile nach Osten. Links von der vertikalen Achse gilt das Gegenteil, denn in diesem Gebiet ist >>i durch das Produkt einer positiven Zahl a n > 0 und einer negativen Zahl )>] < 0 gegeben. Also zeigen die Pfeile nach Westen.

1 Differentialgleichungen

551

(c) Die gleiche Verfahrensweise ist für yi zu wiederholen. In dem vorliegenden Beispiel ergibt sich die Isokline yi = 0 als horizontale Achse, wie sie in der Abbildung A.4b dargestellt ist. Für positive yi ist yi gleich dem Produkt zweier positiver Zahlen und damit positiv. Also wächst y2, und die Pfeile zeigen dementsprechend nach Norden. Analog weisen die Pfeile für negative yi nach Süden. yr

> ^

Λ=0

Abbildung A.4b Der geometrische Ort für yi = 0. Die Abbildung stellt für das Gleichungssystem (A.20) mit an > 0 die Isokline >>2 = 0 dar (in diesem Beispiel die Abszisse). Die Pfeile zeigen in die Bewegungsrichtung von yi.

(d) Beide Graphiken sind in der Abbildung A.4c vereint. Die beiden Isoklinen zerlegen den Raum in vier Gebiete. (In diesem einfachen Beispiel entsprechen die vier Gebiete den vier Quadranten, ein Resultat, das in der Regel nicht gilt.) In dem ersten Quadranten zeigt ein Pfeil nach Osten und der andere nach Norden. Die Kombination beider Vektoren liefert einen Pfeil, der nach Nordosten zeigt. Diese Konstruktion bedeutet, daß dann }>i und yi wachsen, wenn sich die Volkswirtschaft in dieser Region befindet. Die kombinierten Vektoren für den zweiten, dritten und vierten Quadranten zeigen entsprechend nach Nordwesten, Südwesten und Südosten. Entlang der vertikalen Achse zeigen die Pfeile für positive yi nach Norden und für negative yi nach Süden. Dagegen weisen die Pfeile auf der horizontalen Achse für positive y\ nach Osten und für negative y\ nach Westen. Schließlich sind y\ und yi im Ursprung gleich null. Befindet sich die Volkswirtschaft also im Ursprung, dann verbleibt sie für immer dort. Dieser Punkt kennzeichnet das Gleichgewicht. Dabei ist das Gleichgewicht instabil, weil jede noch so kleine Abweichung der Startposition vom Ursprung in irgendeine Richtung impliziert, daß die Dynamik des Systems (also die Pfeile) die Volkswirtschaft vom Gleichgewicht wegführt. (e) Unter Verwendung der Randbedingungen läßt sich ermitteln, welcher der vielen in der Abbildung eingezeichneten Pfade die exakte Lösung bestimmt. Ange-

552

Anhang zu den mathematischen Methoden

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Abbildung A.4c Das Phasendiagramm in einem instabilen Fall. Die Ergebnisse aus den Abbildungen A.4a und A.4b generieren gemeinsam ein einfaches Phasendiagramm. Die Pfeile zeigen für α 11 > 0 und αγι > 0 in die Bewegungsrichtung von y\ und yi. Das System ist instabil.

nommen, im Zeitpunkt null nehmen yi den Wert eins und yi den Wert zwei an. (In diesem Fall sind die beiden Randbedingungen als Anfangsbedingungen zu verstehen. In anderen Fällen können jedoch eine Anfangsbedingung und eine Endbedingung oder zwei Endbedingungen vorliegen.) Die Anfangsbedingungen implizieren, daß das System im Punkt „0" in der Abbildung A.4c startet. Das weitere Verhalten von yi und y2 ist durch den Pfad gegeben, der gemäß der Abbildung A.4c durch den Punkt „0" geht. Fall 2, a\i < 0 und «22 < 0: Ähnliche Argumente wie in den vorangegangenen Ausführungen implizieren, daß die Isokline j i = 0 wiederum der vertikalen Achse entspricht und daß die Isokline j>2 = 0 erneut mit der horizontalen Achse übereinstimmt. Die gleichen Schritte wie zuvor liefern die Pfeile in der Abbildung A.5, die im ersten Quadranten nach Südwesten, im zweiten nach Südosten, im dritten nach Nordosten und im vierten nach Nordwesten zeigen. Das Gleichgewicht befindet sich im Ursprung, und im Gegensatz zum vorhergehenden Fall ist dieses Gleichgewicht stabil. Für beliebige Startwerte von )>i und yi führt die Dynamik des Systems zurück zum Gleichgewicht. Fall 3, a u < 0 und 022 > 0: Wie in den vorherigen Fällen entspricht die Isokline j i = 0 der vertikalen Achse, und die Isokline >>2 = 0 stimmt mit der horizontalen Achse überein. Die Dynamik in diesem dritten Fall, die durch die Abbildung A.6 veranschaulicht wird, ist jedoch komplizierter als bisher. Die Pfeile zeigen im ersten Quadranten nach Nordwesten, im zweiten nach Nordosten, im dritten nach Südosten und im vierten nach Südwesten. Entlang der horizontalen Achse weisen die Pfeile in Richtung Ursprung und entlang der vertikalen Achse

1 Differentialgleichungen

\

553

/ Gleichgewicht

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Abbildung A.5 Das Phasendiagramm in einem stabilen Fall. In diesem Beispiel gelten a\\ < 0 und 022 < 0 in dem System (A.20), so daß es stabil ist.

vom Ursprung weg. Wiederum bezeichnet der Ursprung das Gleichgewicht.

>1 = 1

Abbildung A.6 Das Phasendiagramm in einem Fall der Stabilität entlang dem Sattelpfad. In diesem Beispiel gelten a n < 0 und 022 > 0 in (A.20), so daß das System auf dem Sattelpfad stabil ist.

Als neues Element tritt hinzu, daß das System weder stabil noch instabil ist. Wenn das System im Gleichgewicht startet, so verharrt es dort. Beginnt es entlang der horizontalen Achse, dann führt die Dynamik des Systems zurück zum Gleich-

554

Anhang zu den mathematischen Methoden

gewicht. Wenn das System jedoch in irgendeinem Punkt abseits der horizontalen Achse beginnt, dann führt die Dynamik vom Gleichgewicht weg, unabhängig davon, wie nah der Startpunkt bei der horizontalen Achse liegt. Das System explodiert in dem Sinn, daß sich yi unendlich nähert, während t gegen unendlich strebt. Dieser Fall heißt stabil entlang dem Sattelpfad, wobei man sich bei dieser Bezeichnung von der Vorstellung leiten läßt, wie sich eine Murmel auf einem Sattel verhält. Auf dem Sattel gibt es genau einen Punkt, so daß sich die Kugel nicht bewegt, wenn sie dorthin gelegt wird. Dieser Punkt entspricht dem Gleichgewicht. Zudem existiert eine Trajektorie auf dem Sattel mit der Eigenschaft, daß die Murmel zum Gleichgewicht rollt, wenn sie auf irgendeinem Punkt der Trajektorie piaziert wird. Wird die Murmel jedoch auf irgendeinen anderen Punkt gelegt, dann fällt sie zur Erde. Zwei Eigenschaften der Trajektorien in der Abbildung A.6 sind es wert, hervorgehoben zu werden. Erstens schneidet kein Pfad einen anderen. Zweitens verlaufen nur zwei Pfade durch das Gleichgewicht. Einer der beiden Pfade entspricht dem bereits erwähnten Sattelpfad, und der andere ist der instabile Pfad, der mit der vertikalen Achse übereinstimmt. Diese Pfade werden jeweils der stabile und der instabile Arm genannt. Alle zweidimensionalen Systeme von Differentialgleichungen, die entlang dem Sattelpfad stabil sind, weisen einen stabilen und einen instabilen Arm auf, die beide durch das Gleichgewicht gehen. Die Abbildung A.6 veranschaulicht die Dynamik der Volkswirtschaft für alle möglichen Punkte. Der spezielle Pfad, dem die Volkswirtschaft folgt, hängt von zwei Randbedingungen ab, die festgelegt werden müssen. Dabei wird angenommen, daß die Anfangsbedingung y\(0) = 1 lautet und die Endbedingung durch Ηπι,-κχ,Ι^Ο)] = 0 gegeben ist. Die Anfangsbedingung besagt, daß die Volkswirtschaft irgendwo auf der vertikalen Linie yi = 1 startet (vgl. die Abbildung A.6). Unter allen möglichen Punkten auf dieser Linie, besitzt nur der Punkt auf der horizontalen Achse die Eigenschaft, daß y2 gegen null konvergiert, wenn die Zeit gegen unendlich strebt. Demnach stellt die Endbedingung sicher, daß der Startpunkt dieser Volkswirtschaft y2(0) = 0 ist und somit rechts auf dem stabilen Arm liegt. Der symmetrische Fall, für den au > 0 und ι ( ί ) - > 2 ( ί ) + 1 , 4 , y2(t) = —0,004 yi (/) + 0,04,

(A.21)

mit den Randbedingungen y\(0) = 1 und lim,_(.00[)'i (t) e °· 06 '] = 0. Der geometrische Ort für j i = 0 entspricht der steigenden Gerade y j = 1,4 + 0 , 0 6 y \ . Startet man in einem Punkt auf der Isokline yi = 0 und erhöht y\ ein wenig, dann steigt in (A.21) die rechte Seite in dem Ausdruck für y\. Also wird y\ positiv, und >>i nimmt in diesem Gebiet zu. Daher weisen die Pfeile in dieser Region nach Osten. Ein symmetrisches Argument impliziert, daß die Pfeile links von der Isokline y\ = 0 nach Westen zeigen. Die Isokline y% = 0 wird durch die vertikale Linie y\ — 10 beschrieben, das heißt, diese Isokline hängt nicht von yi ab. Der Ausdruck für yi in (A.21) impliziert, daß y>2 fällt, wenn y\ steigt. Also ist yi rechts von der Isokline = 0 negativ, und die Pfeile zeigen nach Süden. Auf der anderen Seite tritt der umgekehrte Fall ein. Die beiden Isoklinen zerlegen den Raum in vier Gebiete, die in der Abbildung A.7a mit 1 bis 4 bezeichnet sind. Das Gleichgewicht entspricht dem Punkt, in dem sich die beiden Isoklinen schneiden, also y* = 10 und y\ = 2 für das vorliegende Beispiel. In Region 1 zeigen die kombinierten Vektoren nach Südwesten, in 2 nach Nordwesten, in 3 nach Nordosten und in 4 nach Südosten.

)Ί(0) = 1

y* = io

Abbildung A.7a Das Phasendiagramm in einem nichtlinearen Beispiel mit Stabilität entlang dem Sattelpfad. Die Abbildung zeigt das Phasendiagramm für das System (A.21). Dieses System ist entlang dem Sattelpfad stabil.

Um die Stabilitätseigenschaften des Systems zu beurteilen, läßt sich folgende Frage stellen: In wie vielen der vier Regionen lassen die Vektoren es zu, daß sich

556

Anhang zu den mathematischen Methoden

das System auf das Gleichgewicht zubewegt? Lautet die Antwort zwei, dann ist das System entlang dem Sattelpfad stabil und der Sattelpfad liegt in diesen beiden Regionen. Die Abbildung A.7a zeigt, daß sich das System nur dann auf das Gleichgewicht zubewegen kann, wenn es in den Regionen 1 oder 3 startet. Daher ist das System stabil entlang dem Sattelpfad. Der Sattelpfad, der in den Regionen 1 und 3 liegt, geht durch das Gleichgewicht. Startet das System auf diesem Pfad, dann konvergiert es gegen das Gleichgewicht. Wenn das System jedoch nur wenig oberhalb des Sattelpfades in der Region 3 beginnt - also etwa im Punkt XQ der Abbildung A.7a - , dann folgt es den Pfeilen nach Nordosten für eine Weile. Irgendwann schneidet der Pfad die Isokline y\ = 0, und das System bewegt sich von nun an vom Gleichgewicht weg nach Nordwesten. Außerdem ist man nun in der Lage zu zeigen, daß sich das System vom Gleichgewicht entfernt, wenn es unterhalb des stabilen Arms in der Region 3 beginnt. In der Tat weicht das System immer weiter vom Gleichgewicht ab, wenn es in irgendeinem Punkt startet, der nicht auf dem stabilen Arm liegt. Der exakte Pfad, entlang dem sich das System entwickelt, hängt von den Randbedingungen ab. In diesem Beispiel wird eine Anfangsbedingung und eine Endbedingung spezifiziert. Dabei besagt die Anfangsbedingung, daß das System irgendwo auf der vertikalen Linie y\ = 1 beginnt. Die Endbedingung verlangt, daß das Produkt von yi und einem Term, der mit der Rate von 0,06 pro Jahr gegen null strebt, ebenfalls gegen null konvergiert, sofern t gegen unendlich geht. Endet das System im Gleichgewicht, dann ist y ι konstant und das Produkt einer Konstanten mit einem Term, der gegen null strebt, ist gleich null. Demnach wird die Endbedingung erfüllt sein, wenn y\ langfristig gegen eine Konstante strebt. Wenn das System nicht in das Gleichgewicht mündet, dann wird y\ mit ständig steigender Rate wachsen oder fallen. (Die Vektoren führen die Volkswirtschaft von der y\ = O-Achse weg, und y\ wächst absolut mit steigender Rate.) Weil das Produkt eines Faktors, der mit einer Rate von 0,06 pro Jahr abnimmt, mit einem Faktor, dessen absoluter Wert mit steigenden Raten zunimmt, nicht null ist, verlangt die Endbedingung, daß das System im Gleichgewicht endet. Da yi (0) nicht im Gleichgewicht ist, folgt nun, daß der zugehörige Wert )>2(0) mit dem Wert übereinstimmen muß, der das System nach der Abbildung A.7a auf den stabilen Arm piaziert. Durch Entfernung der orthogonalen Achsen und der Isoklinen yi = 0 und 3)2 = 0 ergibt sich die Abbildung A.7b. Lediglich der stabile Arm (auf dem die Pfeile in Richtung des Gleichgewichts weisen) und der instabile Arm (mit Pfeilen, die vom Gleichgewicht wegzeigen) bleiben übrig. Diese beiden Geraden zerlegen den Raum in vier Gebiete mit den zugehörigen Pfeilen, die die Dynamik repräsentieren. Dabei ist die Ähnlichkeit zwischen den Abbildungen A.7b und A.6 zu beachten. In der Tat läßt sich die Abbildung A.7b als verzerrte Version der Abbildung A.6 auffassen. Diese Sicht gestattet es, die analytische Lösung dieser Systeme zu interpretieren.

1 Differentialgleichungen

557

instabiler Arm

Abbildung A.7b D e r stabile A r m und der instabile A r m . Die Abbildung ist dadurch entstanden, daß die Isoklinen yi = 0 und y2 = 0 und die orthogonalen Achsen in der Abbildung A.7a entfernt worden sind. Übrig bleiben der stabile Arm und der instabile Arm.

Ein nichtlineares Beispiel. Dieser Abschnitt über Phasendiagramme endet mit einem nichtlinearen Beispiel. Dabei wird folgendes System untersucht: Jfc(r) = k(t)0·3 c(i) = c ( 0 [0,3 k(t)

- c(0,

(A.22)

-0,7

(A.23)

-0,06],

mit den Randbedingungen = 1 undlim,_ ) . oo [Ä:(i)e~ 0 ' 06 '] = 0. Der wesentliche Unterschied zwischen diesem System und den vorangegangenen Systemen besteht darin, daß die funktionalen Formen jetzt nichtlinear sind. Dennoch werden genau die gleichen Schritte wie zuvor befolgt, um ein Phasendiagramm für nichtlineare Systeme zu konstruieren. Die Isokline k = 0 ergibt sich aus (A.22) als c = k0·3. Trägt man k auf der horizontalen Achse und c auf der vertikalen Achse ab, dann entspricht diese Isokline, wie die Abbildung A.8 zeigt, einer ansteigenden und konkaven Kurve. Nun läßt sich ein Punkt ein wenig rechts der Isokline k = 0 untersuchen, das heißt mit geringfügig größerem k bei gleichem c. Die Gleichung (A.22) impliziert, daß der neue Punkt eine größere rechte Seite aufweist; also muß k positiv sein. Demnach steigt k auf der rechten Seite der k = O-Isokline, und die Pfeile zeigen nach Osten. Ein symmetrisches Argument impliziert, daß die Pfeile links der Isokline k = 0 nach Westen zeigen. Die Isokline c = 0 ergibt sich aus (A.23) als k = 10; sie ist also wie in der Abbildung A.8 eine vertikale Linie. Nun läßt sich ein Punkt rechts der Isokline c = 0 untersuchen, das heißt ein Punkt mit gleichem c, aber höherem k. Die Gleichung

558

Anhang zu den mathematischen Methoden

c

c* = 2

c( 0)

m

k* = 10

k

Abbildung A.8 Das Phasendiagramm für ein nichtlineares Modell. Die Abbildung stellt das Phasendiagramm für das System (A.22) und (A.23) dar. Dieses System ist entlang dem Sattelpfad stabil.

(A.23) impliziert c < 0, so daß die Pfeile nach Süden zeigen. Mit einem ähnlichen Argument läßt sich nachweisen, daß die Pfeile links der Isokline c — 0 nach Norden weisen. Nun läßt sich das dynamische Verhalten von k und c kombinieren. Das Gleichgewicht entspricht dem Punkt, in dem sich die Isoklinen k = 0 und c — 0 schneiden, eine Bedingung, die A:* = 10 und c* = 2 erfordert. Wie dem Pfeilschema in der Abbildung A.8 zu entnehmen ist, kann das System nur dann gegen das Gleichgewicht streben, wenn es in Region 1 oder 3 startet. Daraus läßt sich schließen, daß das System entlang dem Sattelpfad stabil ist. Der stabile Arm ist in diesem Fall keine lineare Funktion. Dennoch ist es weiterhin richtig, daß der stabile Arm in den Regionen 1 und 3 liegt und durch das Gleichgewicht geht. Dagegen bewegt sich der instabile Arm durch die Regionen 2 und 4. Wiederum können die Randbedingungen verwendet werden, um den Pfad zu bestimmen, dem das System folgt. In diesem Fall stellen die Randbedingungen sicher, daß das System auf dem stabilen Arm startet und daher über die Zeit gegen sein Gleichgewicht strebt.

ANALYTISCHE LÖSUNGEN VON LINEAREN HOMOGENEN SYSTEMEN.

Im

folgenden wird die analytische Lösung von Systemen aus linearen Differentialgleichungen untersucht. Da die Lösung des allgemeinen Falls sehr schreibaufwendig ist, beginnt die Analyse mit dem homogenen Fall. Also ist der Vektor x(t) in der

559

1 Differentialgleichungen

Gleichung (Α. 19) gleich null zu setzen, so daß das System y{t) = Ay{t)

(A.24)

lautet, wobei y(t) einen η χ 1-Vektor von Funktionen der Zeit bezeichnet; A ist eine η χ η-Matrix von konstanten Koeffizienten, und y(t) ist der zu y(t) korrespondierende Vektor der Ableitungen nach der Zeit. Im folgenden wird angenommen, daß es eine η χ η-Matrix V gibt, die folgende Eigenschaft aufweist. Multipliziert man Α von links mit V - 1 und von rechts mit V, dann resultiert eine η χ n-Diagonalmatrix V~x AV = D,

(A.25)

wobei D eine quadratische Matrix ist, deren Elemente abseits der Hauptdiagonalen gleich null sind. Der Abschnitt 1.4 zeigt, daß V und D existieren können. In diesem Fall bezeichnet V die Matrix der Eigenvektoren und D die zu Α gehörende Diagonalmatrix der Eigenwerte.3 Nun lassen sich die Variablen z(t) definieren:

z(t) =

V~ly(t).

Da V - 1 eine Matrix von Konstanten ist, gilt i(f) = V - 1 y(0· Das System (A.24) kann folglich mit Hilfe der Variablen z(t) transformiert werden.

i(t) = V~]y(t)

= V~]Ay(t)

= V-xAVV~xy{t)

= Dz(t)

(A.26)

Dieses System besteht aus η eindimensionalen Differentialgleichungen. zi(i) = a i z i ( r ) ,

ii{t)

=

a2Z2(t), (A.27)

Zn(t) =

anZn(t).

Bereits im Abschnitt 1.1.2 ist gezeigt worden, daß die Lösung jeder dieser Differentialgleichungen die Form z, (i) = e a , t annimmt, wobei jedes bj eine beliebige Integrationskonstante bezeichnet, die gemäß der Gleichung (A.ll) durch Randbedingungen determiniert wird. Dieses Ergebnis läßt sich in Matrizenschreibweise darstellen als z(t) = Eb,

(A.28)

wobei Ε eine Diagonalmatrix ist, deren /-tes Diagonalelement e0"' lautet, und b einen Spaltenvektor mit den Konstanten bj angibt. 3 Eine hinreichende Bedingung dafür, daß der Matrix Α eine Diagonalmatrix zugeordnet werden kann, besteht darin, daß alle Eigenwerte voneinander verschieden sind. In diesem Fall sind die Eigenvektoren linear unabhängig, so daß det(V) φ 0 ist und V - 1 existiert.

560

Anhang zu den mathematischen Methoden

Unter Berücksichtigung von y = Vz läßt sich die Lösung für die Variablen ζ zurücktransformieren in die Variablen y. Die Lösung lautet y = VEb oder ohne Verwendung der Matrizenschreibweise y,-(i) = wrt e"1' bx + Vj2 e"2' b2 + --- + vin ett"' bn.

(A.29)

Zusammenfassend ergibt sich die allgemeine Methode zur Lösung von Systemen von Differentialgleichungen in der Form (A.24): 1. Bestimme die Eigenwerte der Matrix Α und nenne sie a \ , . . . , a„! 2. Berechne die zugehörigen Eigenvektoren und ordne sie als Spaltenvektoren der Matrix V an! 3. Die Lösung nimmt die Form der Gleichung (A.29) an. 4. Verwende die Randbedingungen, um die willkürlichen Integrationskonstanten bt zu bestimmen!

D I E BEZIEHUNG ZWISCHEN DER GRAPHISCHEN UND DER ANALYTISCHEN

LÖSUNG. Nun läßt sich der graphische Ansatz mit dem analytischen Ansatz vergleichen. Dabei ist folgender Aspekt zu beachten, der sich bei der Konstruktion des Phasendiagramms ergeben hat. Vernachlässigt man die Achsen sowie die Isoklinen y = 0 und wirft man einen Blick in die restliche Graphik gemäß der Abbildung A.7b, dann ergibt sich eine verzerrte Version der Abbildung A.6, für die die Matrix Α diagonal gewesen ist. Auch in die analytische Lösung fließt eine Diagonalmatrix von Eigenwerten ein. Die Ähnlichkeiten beider Ansätze sind kein bloßer Zufall. Wird einer Matrix eine Diagonalmatrix zugeordnet, dann wird implizit eine Menge von Achsen (oder eine Basis) bestimmt, durch die der lineare Operator Α in eine Diagonalmatrix umgeschrieben werden kann (siehe den Abschnitt 1.4). Die neuen Achsen entsprechen den Eigenvektoren; die Elemente in der korrespondierenden Diagonalmatrix sind die Eigenwerte. Die graphische Lösung des Systems von Differentialgleichungen ist im wesentlichen der gleiche Sachverhalt. Der stabile und der instabile Arm entsprechen den beiden Eigenvektoren. Stellt man sich diese beiden Arme als neue Achsen vor - das heißt, die alten Achsen und die Isoklinen y, = 0 werden entfernt dann läßt sich die alte Matrix Α anhand der Diagonalmatrix der Eigenwerte darstellen. Folglich sieht das Phasendiagramm für den nichtdiagonalen Fall wie eine verzerrte Version des diagonalen Falls aus. STABILITÄT. Wie die Beispiele für die diagonalen Fälle gezeigt haben, hängen die Stabilitätseigenschaften von den Vorzeichen der Diagonalelemente ab. Daher

1 Differentialgleichungen

561

verwundert es nicht, daß die Stabilitätseigenschaften eines nichtdiagonalen Systems von den Vorzeichen seiner Eigenwerte bestimmt werden. Verschiedene Möglichkeiten können eintreten: (a) Die beiden Eigenwerte sind reell und positiv. In diesem Fall ist das System instabil. (b) Beide Eigenwerte sind reell und negativ. Das System ist nun stabil. (c) Die beiden Eigenwerte sind reell und weisen entgegengesetzte Vorzeichen auf. In diesem Fall ist das System entlang dem Sattelpfad stabil. Außerdem entspricht der stabile Arm in einem System, das entlang dem Sattelpfad stabil ist, jenem Eigenvektor, der dem negativen Eigenwert zugeordnet ist.4 Analog korrespondiert der instabile Arm mit dem Eigenvektor, der dem positiven Eigenwert zugehört. Wiederum besagt die Intuition, daß die mit der Diagonalmatrix verbundenen Achsen durch die Eigenvektoren gegeben sind. Wie die Beispiele für ein diagonales System zeigen, entspricht die Achse, die der negativen Komponente in der Diagonalmatrix zugeordnet ist, dem stabilen Arm. Umgekehrt ist der instabile Arm durch die Achse gegeben, die mit der positiven Komponente verbunden ist. »(d) Die zwei Eigenwerte sind komplex, wobei die Realteile negativ sind. Das System konvergiert in diesem Fall oszillierend gegen das Gleichgewicht (vgl. die Abbildung A.9a).

komplexe Wurzeln mit negativen Realteilen

Abbildung A.9a Stabile Oszillation. Sind die beiden Eigenwerte komplexe Zahlen mit negativen Realteilen, dann konvergiert das System oszillierend gegen das Gleichgewicht.

(e) Die beiden Eigenwerte sind komplex mit positiven Realteilen. Wie in der Abbildung A.9b dargestellt wird, ist das System instabil und oszilliert. 4 Im gesamten Buch wird der Ausdruck Eigenvektor abwechselnd für den zugehörigen negativen Eigenwert und den negativen Eigenvektor verwendet.

562

Anhang zu den mathematischen Methoden

komplexe Wurzeln mit positiven Realteilen

Abbildung A.9b Instabile Oszillation. Sind die beiden Eigenwerte komplexe Zahlen mit positiven Realteilen, dann divergiert das System oszillierend vom Gleichgewicht.

( f ) D i e b e i d e n E i g e n w e r t e sind komplex

und besitzen einen Realteil

von

null.

W i e in der A b b i l d u n g A . 9 c l i e g e n d i e Trajektorien dann in der F o r m v o n Ellipsen vor, d i e das G l e i c h g e w i c h t u m g e b e n .

komplexe Wurzeln mit verschwindenden Realteilen

Abbildung A.9c Oszillation. Sind die beiden Eigenwerte komplex, wobei die Realteile verschwinden, dann beschreibt die Trajektorie eine Ellipse um das Gleichgewicht. Für dieses System ist weder Konvergenz noch Divergenz zu beobachten.

( g ) D i e b e i d e n E i g e n w e r t e sind einander

gleich.

In d i e s e m Fall läßt sich d i e

Matrix der E i g e n v e k t o r e n nicht invertieren, und d i e vorgestellte analytische L ö s u n g

1 Differentialgleichungen

563

kann nicht mehr angewendet werden. Die Lösung nimmt dann die Form yi(t)

=

(bn+bi2t)eat

an, wobei bt\ und b a Funktionen der Integrationskonstanten und der Koeffizienten aus Α sind; α bezeichnet den eindeutigen Eigenwert. Für a < 0 ergibt sich eine stabile Lösung, für a > 0 ist die Lösung instabil. Außerdem soll erwähnt werden, daß in nichtlinearen Systemen ein weiterer Typ eines Gleichgewichts eintreten kann, der als Grenzzyklus bezeichnet wird. Konvergieren die Trajektorien gegen den Grenzzyklus, so heißt er stabil. Dementsprechend liegt ein instabiler Grenzzyklus vor, wenn die Trajektorien von diesem Zyklus wegführen. Die Stabilitätseigenschaften von Systemen höherer Ordnung sind ähnlich. Wenn alle Eigenwerte positiv sind, dann ist das System instabil. Bei negativen Eigenwerten ist das System stabil. Unterscheiden sich die Eigenwerte in ihren Vorzeichen, dann ist das System stabil entlang dem Sattelpfad. Da der stabile Arm, wie zuvor argumentiert worden ist, jenen Eigenvektoren entspricht, denen negative Eigenwerte zugeordnet sind, stimmt die Dimension des stabilen Arms mit der Anzahl negativer Eigenwerte überein. Beispielsweise ergibt sich der stabile Arm für ein 3 χ 3-System mit einem einzigen negativen Eigenwert als Gerade, die durch das Gleichgewicht geht und die dem negativen Eigenvektor entspricht. Bei zwei negativen Eigenwerten ist die stabile Mannigfaltigkeit eine Ebene, die durch das Gleichgewicht führt. Diese Ebene wird durch die beiden negativen Eigenwerte erzeugt. In einem η χ nSystem entspricht der stabile Arm (der auch stabile Mannigfaltigkeit genannt wird) einer Hyperebene, die durch die zugehörigen Eigenvektoren generiert wird und deren Dimension mit der Anzahl negativer Eigenwerte übereinstimmt.

ANALYTISCHE LÖSUNGEN VON LINEAREN INHOMOGENEN SYSTEMEN.

Im

folgenden wird das inhomogene System von Differentialgleichungen y ( 0 = Ay(f) + * W

(A.30)

untersucht, wobei y(t) ein η χ 1-Vektor von Funktionen der Zeit ist und y(t) den korrespondierenden Vektor der Ableitungen nach der Zeit bezeichnet. Die η χ ηMatrix Α besteht aus Konstanten, und x{t) liefert einen η χ 1-Vektor von bekannten Funktionen der Zeit, die konstant sein können. Das Verfahren für die Bestimmung der Lösungen von (A.30) entspricht demjenigen, das für den homogenen Fall eingesetzt worden ist. Wiederum wird mit der Matrix V begonnen, die sich aus den Eigenvektoren von Α zusammensetzt, so daß V~lAV eine Diagonalmatrix D generiert, die die Eigenwerte von Α enthält. Das System läßt sich transformieren, indem alle Terme von links mit V - 1 multipliziert werden. Unter Verwendung von ζ = V~xy erhält man ζ = V~ly = V'1 (Ay + χ) = V-1 AVV-ly

+ V~lx = Dz +

Υ~λχ.

564

Anhang zu den mathematischen Methoden

Durch diese Matrizengleichung wird ein System von η linearen Differentialgleichungen der Form Zi(t)

=

aizi(t)

+

V-1x(t)

definiert, wobei V " 1 die i-te Zeile von V - 1 angibt. Wie in dem Abschnitt 1.1.2 gezeigt worden ist, nimmt die Lösung jeder dieser linearen Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten die Form der Gleichung (Α. 11) an: Zi(t)

/ v . χ(τ)&~α'τάτ

=

+

i=

bt

1,...,«,

wobei bi wiederum eine beliebige Integrationskonstante ist. Diese Lösungen lassen sich in der Matrizenschreibweise zusammenfassen in z =

(A.31)

EX+Eb,

wobei Ε wie zuvor eine Diagonalmatrix mit den Termen e a , i bezeichnet. Der Spaltenvektor X enthält die Elemente f V~]x(t) e~ a , T d τ, und der Spaltenvektor b besteht aus beliebigen Konstanten. Nachdem der Zeitpfad von ζ ermittelt worden ist, läßt sich der Zeitpfad von y bestimmen, indem ζ von links mit V multipliziert wird. Als Beispiel wird das System von Differentialgleichungen (A.21) betrachtet. In Matrizenschreibweise läßt sich dieses System umschreiben zu yi(0"

0,06

-1

Mt)

-0,004

0

yz(t)

+

' 1,4 0,04

(A.32)

mit den Randbedingungen yi (0) = 1 und l i m ^ o o l j i (r) e - 0 · 0 6 ' ] = 0. Also bezeichnet χ in diesem Beispiel einen Vektor von Konstanten. In dem Abschnitt 1.4 wird gezeigt, wie die Eigenwerte und die Eigenvektoren der Matrix Α zu bestimmen sind. Damit lassen sich die Diagonalmatrix der Eigenwerte D und die Matrix der Eigenvektoren V berechnen. D

=

0,1 0

0 -0,4

wobei

Setzt man

Zl Z2

=

V

V"1 V

yi.

=

V =

1 -0,04

0,1/0,14 0,04/0,14

1 " 0,1_

-1/0,14' 1/0,14

, dann läßt sich das System in Abhängigkeit von

den neuen Variablen transformieren in Zi = 0,1 Z] + 10/14, z2 = - 0 , 0 4 2 2 + 9 , 6 / 1 4 .

1 Differentialgleichungen

565

Nach dem Abschnitt 1.1.2 ist bekannt, wie dieses System zweier Differentialgleichungen zu lösen ist: zi(i) = 100/14 + b\ e°' lf , z 2 (i) = 240/14 + fc2e"0·04', wobei b\ und b2 Integrationskonstanten sind, die anhand der Randbedingungen zu bestimmen sind. Die Lösung für z\ und z2 läßt sich in eine Lösung für yi und y 2 überführen, indem ζ von links mit V~x multipliziert wird: y,(i) = 10 + fci e 0,1 ' +b2 e - 0 , 0 4 ', y2{t) = 2 - 0,04fc,e

0,1

' + 0 , 1 b2 e

(A.33) -0,04

'.

(A.34)

Abschließend sind die Werte der Konstanten b\ und b2 zu ermitteln. Die Anfangsbedingung yι (0) = 1 impliziert b\ + b2 = —9. Multipliziert man beide Seiten der Gleichung (A.33) mit e - 0 · 0 6 ' und berechnet anschließend die Grenzwerte für t gegen unendlich, dann folgt unter Berücksichtigung der Endbedingung linWoolji ( 0 e - 0 ' 0 6 '] = 0 lim [ji (i) e - 0 , 0 6 '] = lim [10 ε " 0 · 0 6 ' e 0 · 0 4 ' + f c 2 e - ° · 1 ' ] = 0. ί-> OO 00 Der erste und der dritte Summand des mittleren Ausdrucks streben gegen null für t gegen unendlich; dagegen divergiert der zweite Summand gegen unendlich, es sei denn, b\ ist gleich null. Also ist b\ = 0 eine Bedingung dafür, daß der gesamte Ausdruck gegen null konvergiert, womit b2 = —9 impliziert ist. Die exakte Lösung des Systems von Differentialgleichungen lautet daher ji(i) = lO-ge"0·04', y2{t) = 2 — 0,9 e~ 0 , 0 4 '. Man beachte, daß y\(t) den Wert eins für t = 0 annimmt, über die Zeit wächst und gegen den gleichgewichtigen Wert y* = 10 konvergiert (siehe die Abbildung A. 10a). Die Variable y2 nimmt bei t = 0 den Wert 1,1 an; sie steigt im Laufe der Zeit und konvergiert gegen ihren gleichgewichtigen Wert y2 — 2 (vgl. die Abbildung A.lOb). Mit anderen Worten wählen die Randbedingungen den Startwert y2, der dazu führt, daß das System im Gleichgewicht endet. Im Sinne der Abbildung A.7a wird der Wert y 2 (0) so gewählt, daß sich das System auf dem stabilen Arm befindet. " 1" 9 Im Startpunkt ~y\(0)" zeigt der Vektor auf das Gleichgewicht oder 0,9 .>2(0) · . 1 der Vektor (der negative Eigenvektor) auf eins, wobei das erste Element auf 1

1

0,1

eins normiert ist. Wie bereits festgehalten worden ist, geht der stabile Arm durch das Gleichgewicht und entspricht dem Eigenvektor, der dem negativen Eigenwert zugeordnet ist.

566

Anhang zu den mathematischen Methoden

Abbildung A.lOa Lösung f ü r >1 (/). Die Abbildung zeigt die Lösung für >>i (f) in dem System (A.32).

Abbildung A.lOb Lösung f ü r >2>2(0 in dem System (A.32).

LINEARISIERUNG NICHTLINEARER SYSTEME. Viele Systeme von Differentialgleichungen, die in dem Buch auftreten, sind nichtlinear. In diesem Fall kann der vorgestellte Ansatz des Phasendiagramms verwendet werden. Alternativ lassen sich die Gleichungen durch eine Taylor-Reihenentwicklung linear approximieren.

1 Differentialgleichungen

567

Zu diesem Zweck wird folgendes System von Differentialgleichungen betrachtet: yiW^/'tyiW.-.-.y-W], y2(0 = /2[yi(0

y»(0J. (A.35)

yn(t) =

fn[yM,...,yn(t)],

wobei die Funktionen / ' , f2,..., / " nichtlinear sind. Um die Dynamik des Systems in einer Umgebung seines Gleichgewichts y* mit den Komponenten y*,..., y* zu untersuchen, wird eine Taylor-Reihenentwicklung durchgeführt. (Der Satz von Taylor wird in dem Abschnitt 1.5.2 vorgestellt.) Die Approximation erster Ordnung läßt sich als yi W = / ' ( f ) + fyi ( f ) · (yi - y i ) + · • • + / > * ) · (yn - y*n) + Ri, : MO

(A.36) = / " ( / ) + / ; , ( / ) · (yi - y*) + • • • + / ; „ ( / ) · (yn - y*n) + ä »

schreiben, wobei / j , . . . , /". die partiellen Ableitungen nach y, im Gleichgewicht angeben. Die Summanden Ä, sind die Taylorschen Restglieder. Befindet sich das System in der Nähe seines Gleichgewichtes, dann sind diese Residuen klein und können vernachlässigt werden. Der Vorteil der Linearisierung in einer Umgebung des Gleichgewichts besteht darin, daß die ersten Elemente jeder Gleichung /' (y*),..., f ( y * ) - aufgrund der Definition eines Gleichgewichtes verschwinden, das heißt, die gleichgewichtigen Werte für y sind für alle i gleich null. Das linearisierte System der Gleichungen (A.36) kann in Matrizenschreibweise geschrieben werden als y = A • (y - y*),

(A.37)

wobei die η χ η-Matrix Α aus Konstanten besteht, die den ersten partiellen Ableitungen (ausgewertet im Gleichgewicht) entsprechen. Dieses System ähnelt den Systemen der vorangegangenen Abschnitte. Erneut wird nun ein System nichtlinearer Differentialgleichungen betrachtet, das bereits graphisch untersucht worden ist. k = k0·3 - c, 07

c = c- (0,3 k~ · - 0,06),

(A.22) (A.23)

mit den Randbedingungen &(0) = 1 und lim,_*oo [ * ( 0 e " 0 0 6 '] = 0. Die gleichgewichtigen Werte lauten k* = 10 und c* = 2. Das System läßt sich folgendermaßen

568

Anhang zu den mathematischen Methoden

linearisieren: k = 0 , 3 · ( k * ) ~ 0 J ( k - k*) - (c - c*) = 0 , 0 6 J t - c + 1,4, (A.38) c = c* • [0,3(—0,7)(A:*)— · ](A: - k*) - 0 · (c - c*) = - 0 , 0 0 4 £ + 0,04. Die Lösungsmethode für dieses System ist bekannt, und in der Tat ist es bereits gelöst worden. Benennt man k und c in yi und yi um, dann resultiert das System (A.32). Für eine graphische Intuition ist es hilfreich, einen Blick auf das Phasendiagramm in der Abbildung A-8 zu werfen, das für das nichtlineare System der Gleichungen (A.22) und (A.23) konstruiert worden ist. Die Isoklinen k = 0 und c = 0 sind in dieser Abbildung nichtlinear. Allerdings verläuft die Isokline c = 0 in der Nähe des Gleichgewichtes vertikal, und die Isokline k = 0 weist eine positive Steigung auf. Beide Isoklinen lassen sich durch eine vertikale Gerade und eine steigende Gerade approximieren, die durch dasselbe Gleichgewicht gehen. Befindet sich das System in der Nähe des Gleichgewichtes, dann ist die Approximation gut. Die Approximation verschlechtert sich, wenn man sich vom Gleichgewicht entfernt, weil die Isokline für k = 0 streng konkav ist. Die Dynamik des nichtlinearen Systems ähnelt der Dynamik des linearisierten Systems in der Umgebung des Gleichgewichts. Im Gleichgewicht stimmen der nichtlineare stabile Arm und der negative Eigenvektor des linearisierten Systems sogar überein. Ein qualitativer Vergleich der Abbildungen A.7a und A.8 zeigt, daß beide Systeme ähnliche dynamische Eigenschaften aufweisen.

D I E M E T H O D E ZUR ELIMINATION DER Z E I T IN NICHTLINEAREN S Y S T E -

MEN. In dem Abschnitt 1.1.3 ist gezeigt worden, daß das Phasendiagramm eine Möglichkeit bietet, um eine qualitative Lösung für ein System nichtlinearer Differentialgleichungen zu erhalten. Als Nachteil dieses Ansatzes erweist sich, daß er keine quantitative Lösung des Modells zuläßt. Anschließend ist eine analytische Lösung für die linearisierte Version des Systems herausgearbeitet worden. Dieser Ansatz birgt den Nachteil, daß die quantitative Lösung nur als Approximation in einer Umgebung des Gleichgewichtes gültig ist. Dieser Abschnitt beschreibt nun ein Verfahren zur Berechnung globaler numerischer Lösungen für ein System von gewöhnlichen Differentialgleichungen. Diese Methode stellt exakte Ergebnisse für eine gegebene Konfiguration von Parametern bereit. Wiederum wird das System der nichtlinearen Gleichungen (A.22) und (A.23) zugrunde gelegt. ic(t) = k(t)0·3 -

c(t), 0 7

c(t) = c(t) [0,3 k ( t ) ~ · - 0,06],

(A.22) (A.23)

1 Differentialgleichungen

569

mit den Randbedingungen k(0) = 1 und lim^oo [k{t) e" 0 · 06 '] = 0. Das Phasendiagramm für dieses System ist der Abbildung A.8 zu entnehmen. Sind die Anfangswerte c(0) und k{0) bekannt, dann ermöglichen numerische Standardverfahren für die Lösung von Differentialgleichungen die Berechnung der gesamten Pfade für c und k, indem die Gleichungen (A.22) und (A.23) in bezug auf die Zeit integriert werden. 5 Das Problem ergibt sich daraus, daß c(0) unbekannt ist. Statt dessen ist die Transversalitätsbedingung gegeben, die den Startwert von c derart fixiert, daß er auf dem stabilen Arm liegt. Damit stellt sich die Aufgabe, diese Bedingung in einem Ausdruck anzugeben, der von dem benötigten Wert für c(0) abhängt. Die übliche Lösung bezieht sich auf eine Methode, die Schießen (shooting) genannt wird. Man beginne mit einer Schätzung für c(0) und berechne die Zeitpfade, die durch die Differentialgleichungen (A.22) und (A.23) impliziert sind. Anschließend wird kontrolliert, ob die Zeitpfade gegen das Gleichgewicht streben und damit der Transversalitätsbedingung genügen. Wenn die Pfade nicht zutreffen - was der Regelfall für die erste Schätzung sein wird - , dann divergiert das System irgendwann vom Gleichgewicht. In diesem Fall ist die Schätzung auf geeignete Weise anzupassen: Reduziere den vermuteten Wert für c(0), wenn der vorherige Wert zu hoch ist und umgekehrt. Eine Approximation des korrekten Wertes von c(0) läßt sich durch iterative Wiederholung erzielen. Mulligan und Sala-i-Martin (1991) haben eine weit effizientere Technik vorgestellt, die als Methode zur Elimination der Zeit bezeichnet wird. Der wesentliche Schritt dieser Methode besteht in der Elimination der Zeit aus den Gleichungen, wie sie bei der Konstruktion eines Phasendiagramms vorgenommen wird. So beschreibt in der Abbildung A.8 der stabile Arm c als Funktion von k. In der dynamischen Programmierung wird diese Funktion manchmal als Politikfunktion bezeichnet. Nimmt man für einen Moment an, daß eine geschlossene Lösung dieser Politikfunktion c = c(k) vorliegt, dann reicht die Gleichung (A.22) aus, um k als Funktion von k auszudrücken: k = k0·3 — c(k). Da k(0) bekannt ist, lassen sich numerische Standardverfahren für die Lösung dieser Differentialgleichung in k anwenden. Nachdem der Pfad für k bekannt ist, kann auch der Pfad für c unter Berücksichtigung der bekannten Politikfunktion c{k) bestimmt werden. Die Methode zur Elimination der Zeit stellt eine numerische Technik zur Verfügung, um die Politikfunktion c = c(k) zu ermitteln. Der Trick ergibt sich aus der Beobachtung, daß die Steigung dieser Funktion durch das Verhältnis von cmk gegeben ist. Unter Verwendung der Ausdrücke für k und c gemäß den Gleichungen 5 Wenn die Randbedingungen eines Problems eine Menge von Werten für sämtliche Variablen zu einem bestimmten Zeitpunkt liefern, spricht man von einem Anfangswertproblem. Beispielsweise geht das obige Problem in ein Anfangswertproblem über, wenn die Transversalitätsbedingung lim,_ >00 [A:(f)e _0 ' 06 '] = 0 durch einen Wert für c(0) ersetzt wird. Dagegen liegt ein Randwertproblem vor, wenn sich die Randbedingungen auf verschiedene Zeitpunkte beziehen. Also entspricht das obige System einem Randwertproblem, denn die Anfangsbedingung 4(0) = 1 gilt für t = 0 und die Endbedingung linv-yoo [fc(f) e - 0 0 6 '] = 0 bezieht sich auf t = oo. Anfangswertprobleme sind wesentlich einfacher numerisch zu lösen.

570

Anhang zu den mathematischen Methoden

(A.22) und (A.23) folgt

Die Zeit tritt in (A.39) nicht länger auf; aus dieser Tatsache ergibt sich der Name des Verfahrens. Man beachte, daß die Gleichung (A.39) eine Differentialgleichung in c ist, wobei sich die Ableitung de/ dk auf k statt auf t bezieht. Um diese Gleichung anhand von Standardverfahren numerisch zu lösen, wird eine Randbedingung benötigt, das heißt, es muß ein Punkt (c, k) bekannt sein, der auf dem stabilen Arm liegt. Obwohl kein Paar von Startwerten [c(0), k(0)] gegeben ist, weiß man, daß die Politikfunktion das Gleichgewicht (c*, k*) erfüllt. Daher kann man in diesem Punkt beginnen und dann (A.39) numerisch lösen, um den Rest der Politikfunktion zu bestimmen.6 Als Fazit ist festzuhalten, daß durch die Elimination der Zeit ein schwieriges Randwertproblem in ein wesentlich einfacheres Anfangswertproblem transformiert worden ist. Bevor diese Methode angewendet werden kann, ist ein weiteres Problem anzusprechen. Die Steigung der Politikfunktion im Gleichgewicht c'(k*) = c*/ic* entspricht einem Ausdruck der unbestimmten Form 0/0. Dieses Problem kann auf zwei Wegen gelöst werden. Der erste Weg zur Berechnung unbestimmter Ausdrücke benutzt die Regel von l'Höpital (siehe den Abschnitt 1.5.3). Im vorliegenden Beispiel liefert die Anwendung der Regel von l'Höpital die Formel c'{k*) = [c* · ( - 0 , 2 1 ) ( Γ ) - ' · 7 ] / [ 0 , 3 (k*y0J

-

c'(k*)],

die eine quadratische Gleichung in c'(k) impliziert. [c'(k*)]2 - [0,3 (k*)-0·7] c'(k*) - 0,21 c* · (Jfc·)"1·7 = 0 Damit erhält man zwei Lösungen für c'(k*). c'(k*) = [0,3 (/t*r 0 · 7 - {[0,3 (Γ)" 0 · 7 ] 2 - 4 · 0,21 c* · (fc*) _1 ' 7 } 1/2 ]/2

(A.40)

c'(k*) = [0,3 (k*)~0,1 + {[0,3 Ot*r 0 · 7 ] 2 - 4 · 0,21 c* · ( Γ ) - ' · 7 } 1 / 2 ] / 2

(A.41)

Es gibt zwei Lösungen, weil zwei Trajektorien durch das Gleichgewicht gehen, der stabile Arm und der instabile Arm. Das Phasendiagramm in der Abbildung A.8 legt nahe, daß der stabile Arm ansteigt und daß der instabile Arm fällt. Weil die 6 Man kann sich vorstellen, vom Gleichgewicht auszugehen und das ursprüngliche System der beiden Differentialgleichungen numerisch zu lösen, indem die Zeit rückwärts durchschritten wird. Diese Idee funktioniert jedoch nicht, weil im Gleichgewicht k und c gleich null sind. Beginnt man im Gleichgewicht, dann ist nicht bekannt, wie in der Zeit zurückzugehen ist, das heißt, es ist nicht möglich zu sagen, von woher der Zeitpfad kommt.

1 Differentialgleichungen

571

Steigung des stabilen Armes im Gleichgewicht positiv ist, muß er durch die Lösung in der Gleichung (A.41) gegeben sein. Der zweite Weg zur Berechnung des Gleichgewichtes nutzt die Erkenntnis, daß die Politikfunktion im Gleichgewicht dem negativen Eigenvektor entspricht. Mit anderen Worten stimmt die Steigung des negativen Eigenvektors mit der Steigung der Politikfunktion im Gleichgewicht überein. Unter Beachtung dieses Wertes als anfängliche Steigung läßt sich mittels der Gleichung (A.39) die gesamte Politikfunktion berechnen. Der Vorzug der Eigenwertmethode gegenüber der Regel von l'Höpital ergibt sich dadurch, daß a priori keine qualitative Information über das Vorzeichen der Steigung im Gleichgewicht benötigt wird. Die Methode zur Elimination der Zeit läßt sich unmittelbar auf Systeme aus drei Differentialgleichungen mit zwei Kontrollvariablen und einer Zustandsvariablen erweitern (vgl. Mulligan und Sala-i-Martin (1991, 1993)). Zur Veranschaulichung wird folgendes nichtlineare Gleichungssystem betrachtet c(f) =c[c(t),u(t),k(t) ü(t) = ic(t)

],

u[c(t),u(t),k(t)l

(A.42)

=k[c(t),u(t),k(t)l

in dem c(t) und u(t) Kontrollvariablen bezeichnen und k(t) eine Zustandsvariable ist. Angenommen, der Anfangswert k(0) und zwei Transversalitätsbedingungen (die für t = oo gelten) sind gegeben. Darüber hinaus werden die gleichgewichtigen Werte c*, u* und k* vorausgesetzt. Wiederum kann die Lösung für das System (A.42) durch Integration in bezug auf die Zeit ermittelt werden, sofern c(0) und w(0) gegeben sind. Die Schwierigkeit besteht jedoch gerade darin, daß c(0) und u(0) unbekannt sind. Unterstellt man, daß für die Politikfunktionen des Problems c(k) und u(k) Ausdrücke in geschlossener Form existieren, dann lassen sich die beiden Funktionen in die Gleichung für k einsetzen, so daß eine einzige Differentialgleichung in k entsteht. Da k{0) vorliegt, läßt sich der gesamte Zeitpfad für k(t) ermitteln, indem diese Gleichung in bezug auf die Zeit integriert wird. Ist erst einmal der Pfad für k(t) berechnet, dann lassen sich auch die Pfade für c und u bestimmen, indem k(t) in die beiden Funktionen c(k) und u(k) eingesetzt wird. Die Methode zur Elimination der Zeit stellt eine einfaches Verfahren bereit, um c(k) und u(k) numerisch zu bestimmen. Durch die Verwendung der Kettenregel läßt sich die Zeit aus dem System (A.42) eliminieren, indem folgende Steigungen von c(k) und u(k) berechnet werden: c[c(k),u(k),k] k[c(k),u(k),k]'

^ = '(k) = u

(A.43) u[c(k),u(k),k] ü/ic = k[c(k),u(k),kY

572

Anhang zu den mathematischen Methoden

Dieses System kann unter Berücksichtigung des Gleichgewichts (c*, u*,k*) als Anfangsbedingung numerisch gelöst werden. Die Steigungen im Gleichgewicht ergeben sich durch die Anwendung der Regel von l'Höpital oder durch die Berechnung der Steigung des Eigenvektors, der dem negativen Eigenwert zugeordnet ist.

2 2.1

Statische Optimierung Unbeschränkte Maxima

Eine univariate, reellwertige Funktion u besitzt ein lokales Maximum an der Stelle x, wenn für alle χ in der Umgebung von χ (das heißt für alle χ eines Intervalls [x — e, x + e] mit e > 0) die Ungleichung u(x) > u(x) erfüllt ist. Man sagt, daß u ein absolutes Maximum7 an der Stelle χ besitzt, wenn u(x) > u(x) für alle χ des Definitionsbereiches von u gilt. Angenommen, u ist auf dem abgeschlossenen Intervall [a, b] zweimal stetig differenzierbar und χ bezeichnet ein lokales Maximum im Inneren von [a, b], dann ergeben sich folgende notwendige Bedingungen dafür, daß χ ein inneres lokales Maximum liefert: Die erste Ableitung von u, ausgewertet an der Stelle ic, ist gleich null, das heißt u'(x) = 0, und die zweite Ableitung an dieser Stelle ist nichtpositiv, u"(x) < 0. Gilt u'(x) = 0 und u"(x) < 0, dann liefert χ ein inneres lokales Maximum. Wenn also die Zielfunktion streng konkav ist (mit einer negativen zweiten Ableitung), dann ist die notwendige Bedingung u'(x) = 0 auch hinreichend. Unter praktischen Gesichtspunkten berechnet man für die Bestimmung des Maximums einer Funktion auf einem Intervall zunächst die Ableitung der Funktion und ermittelt die Werte für x, die der Gleichung u'(x) = 0 genügen. Diese Bedingung liefert potentielle Punkte, die häufig als kritische Punkte bezeichnet werden. Anschließend wird die zweite Ableitung von u berechnet und an den kritischen Punkten ausgewertet. Ist das Ergebnis negativ, dann ist der kritische Punkt ein lokales Maximum. Abschließend sind die Werte u(x) mit den Funktionswerten an den Ecken α und b zu vergleichen. Das absolute Maximum von u auf dem Intervall [a, b] liegt an einer der Stellen χ, α oder b, je nachdem welcher Punkt dem größten Funktionswert entspricht. Der mehrdimensionale Fall ist ähnlich wie der beschriebene eindimensionale Fall zu behandeln. Bezeichnet u: Rn R eine zweimal stetig differenzierbare Funktion, dann ergibt sich folgende notwendige Bedingung für ein inneres lokales Maximum der Funktion u an der Stelle χ (wobei χ nun ein n-dimensionaler Vektor χ= ,..., xn) ist): Alle partiellen Ableitungen müssen an der Stelle χ verschwinden. Mit anderen Worten müssen die Funktionen wie im eindimensionalen Fall „an der Spitze flach" sein. 7 Eine Funktion u nimmt ein Minimum an der Stelle χ an, wenn —u ein Maximum an dieser Stelle hat. Also können statt der Minima einer Funktion u auch die Maxima der Funktion - u untersucht werden.

2 Statische Optimierung

573

Diese notwendigen Bedingungen sind jedoch nicht hinreichend, weil ihnen auch lokale Minima und Sattelpunkte genügen. Wie im eindimensionalen Fall lautet eine hinreichende Bedingung, daß die Funktion u im kritischen Punkt streng konkav sein muß. 8

2.2

Klassische nichtlineare Programmierung: Nebenbedingungen als Gleichungen

Im folgenden wird das Maximum der Funktion u: R" R unter der Nebenbedingung gesucht, daß der gewählte Punkt auf einer Ebene liegt, die durch g{x) — a gegeben ist, wobei g eine Funktion g: Rn -> R und χ einen n-dimensionalen Vektor χ = (JCI ,..., xn) bezeichnen. Damit lautet das zu lösende Problem: m a x u(xi,...,

x„),

x

"

u.d.N.

(A.44) g(xu...,xn)

= a.

Unterstellt man, daß u und g zweimal stetig differenzierbar sind, dann besteht eine einfache Möglichkeit der Lösung darin, die Nebenbedingung als implizite Funktion x\ = x\ (x2,... ,x„) aufzufassen. (Dabei wird vorausgesetzt, daß die Nebenbedingung ein eindeutiges Jti für gegebene Werte von X2,... ,x„ liefert.) Durch Substitution des Ergebnisses für x\ in u(x) ergibt sich eine unbeschränkte Funktion von *2. • · · . *n'· X2, . . • , Xn ] = Ü{X2, . . . , X„)

(A.45)

Wie bereits erwähnt worden ist, lautet die notwendige Bedingung für ein unbeschränktes Maximum einer Funktion, daß sämtliche Ableitungen verschwinden. Bei der Berechnung der partiellen Ableitungen von u bezüglich jeder einzelnen Variablen xit i = 2 , . . . , n, ist zu berücksichtigen, daß u durch die Beziehung zwischen X] und Xi sowohl direkt als auch indirekt von abhängt. Damit ergibt sich die notwendige Bedingung für ein beschränktes Maximum als dü/dxj

= (du/dxi)(dxi/dxj)

+ du/dxj

=

0

(A.46)

für i = 2 n. Berechnet man die partiellen Ableitungen dx\ /dx, anhand des Theorems über implizite Funktionen, dx\/dxi = —{dg/dxi)/(dg/dx\) (siehe den 8

Um die strenge Konkavität festzustellen, kann die Definitheit der Hesse-Matrix, also der Matrix der zweiten partiellen Ableitungen, bestimmt werden. Ist die Hesse-Matrix negativ definit, dann ist die Funktion u streng konkav. Dabei ist eine Matrix genau dann negativ definit, wenn ihre sämtlichen Eigenwerte streng negativ sind. Eine Matrix ist genau dann negativ semidefinit, wenn all ihre Eigenwerte nichtpositiv sind. Analog ist eine Matrix genau dann positiv definit, wenn all ihre Eigenwerte positiv sind. Schließlich ist die Matrix genau dann positiv semidefinit, wenn ihre Eigenwerte nichtnegativ sind. Besitzen die Eigenwerte wechselnde Vorzeichen, dann heißt die Matrix indefinit. Wie im vorangegangenen Abschnitt argumentiert worden ist, müssen die Vorzeichen der Eigenwerte nicht notwendigerweise berechnet werden. Ist beispielsweise im 2 χ 2-Fall die Determinante einer Matrix negativ, dann müssen die Eigenwerte entgegengesetzte Vorzeichen aufweisen, weil die Determinante der Matrix gleich dem Produkt der Eigenwerte ist.

574

Anhang zu den mathematischen Methoden

Abschnitt 1.5.1), dann folgt durch Substitution dieses Ausdrucks in die Gleichung (A.46) dg/dxi

du/dxj

dg/dx\

du/dxi

(A.47)

Diesen Bedingungen ist äquivalent, daß sich jede partielle Ableitung von g nach Xi proportional zur partiellen Ableitung von u nach JC, verhält, wobei der konstante Proportionalitätsfaktor μ für alle i gleich ist. In Matrizenschreibweise kann diese Menge von Bedingungen geschrieben werden als Vw(*) = μ • Vg(x),

(A.48)

wobei χ ein n-dimensionaler Vektor ist, und Vg beziehungsweise Vw Vektoren partieller Ableitungen von g und w bezüglich ihrer Argumente bezeichnen, das heißt Vg = (dg/dxi, ..., dg/dxn) und analog für Vw. Die Vektoren Vg und Vw heißen die Gradienten von g und w. Der Gradient einer Funktion w, ausgewertet an einer Stelle x, steht senkrecht auf einer Tangente der Funktion durch diesen Punkt (siehe die Abbildung A . l l ) . Die Gleichung (A.48) besagt, daß eine notwendige Bedingung für ein Maximum des beschränkten Problems an der Stelle χ erfüllt ist, wenn der Gradient der Restriktion proportional zum Gradienten der Zielfunktion an dieser Stelle ist. Dabei wird der Proportionalitätsfaktor μ in der Regel als LagrangeMultiplikator bezeichnet. Interpretiert man w als Nutzenfunktion und g ( j t i , . . . , x„) = α als Budgetrestriktion (die gesamten Ausgaben g für die Gütermengen x\,... ,xn entsprechen dem gesamten Einkommen a), dann liefert die Gleichung (A.48) die bekannte Übereinstimmung der Grenzrate der Substitution mit dem Verhältnis der Preise. Üblicherweise stellt man für die Ableitung dieser Bedingungen erster Ordnung die Lagrange-Funktion auf, die zu der Zielfunktion eine Zahl μ multipliziert mit der Nebenbedingung addiert: L(x i, . . . , * „ , μ ) = u(xu ...,χ„)

+ μ· [a- g(x ι , . . .,*„)].

(A.49)

Die Bedingungen erster Ordnung gemäß (A.48) ergeben sich aus den Ableitungen der Lagrange-Funktion nach ihren Variablen. Dabei ist zu beachten, daß die Ableitung nach dem Lagrange-Multiplikator μ die Nebenbedingung regeneriert. Für eine ökonomische Interpretation des Lagrange-Multiplikators wird die Änderung des Nutzennivaus w bei einer Änderung des Einkommens α untersucht. Die gesamte Änderung des Nutzens ist gegeben durch η da wobei dxj/dα die Änderung der optimalen Gütermenge x, bezeichnet, wenn die Nebenbedingung um den Betrag da gelockert wird. Unter Verwendung der Bedin-

2 Statische Optimierung

575

*2

V« (Gradient)

A

h

90°

—

x\

ä

\ Tangentialebene durch (x\, X2)

Abbildung A . l l

Lösung eines Maximierungsproblems mit einer Nebenbedingung als Gleichung. Die Abbildung veranschaulicht die Lösung der Gleichung (A.48), die den Lagrange-Multiplikator μ enthält.

gungen erster Ordnung gemäß der Gleichung (A.48) folgt ψ ΐ

= ± μ ψ ψ . ' dxt da 1=1

da

(A.50)

Differenziert man die Budgetrestriktion total nach a, dann resultiert dg (i)

da

=

γΛ

dg (χ)

t—1 i=l

dxj

_ da

Durch Substitution dieses Ergebnisses in die Gleichung (A.50) erhält man du(x)/da

= μ.

(A.51)

Der Lagrange-Multiplikator repräsentiert mit anderen Worten die Nutzensteigerung, die ein Haushalt erhält, wenn seine Nebenbedingung um eine Einheit erweitert wird. Daher wird der Lagrange-Multiplikator als Schattenpreis der Nebenbedingung bezeichnet. Diese wichtige Interpretation wird im gesamten Buch verwendet.

2.3

Nebenbedingungen als Ungleichungen: Die Kuhn-1\icker-Bedingungen

Angenommen, ein Wirtschaftssubjekt sieht sich einer Menge von m Ungleichungen der Form gi(x ... ,x„) < α, für i = l, ... ,m gegenüber. Wenn man unterstellt, daß alle Funktionen g, zweimal stetig differenzierbar sind und daß jedes α, konstant

576

Anhang zu den mathematischen Methoden

ist, dann läßt sich das Problem umschreiben zu m a x u(xi,

...,*„),

X\,...,Xn

u.d.N.

gi(*i, . . . , * „ ) < α ϊ , (A.52) gm(x 1,

...,x„) 0,

gilt. Die Bedingung (A.53a) bedeutet, daß der Gradient der Zielfunktion eine Linearkombination der Gradienten der Nebenbedingungen sein muß. Dabei entsprechen die Gewichte der Linearkombination den Lagrange-Multiplikatoren. In dem speziellen Fall einer einzigen Restriktion, m = 1, ist diese Bedingung äquivalent mit der Gleichung (A.48). Die Bedingung (A.53b) verlangt für ein Optimum an der Stelle je, daß die Nebenbedingungen erfüllt sind und daß nichtnegative Schattenpreise vorliegen. Also muß Vn(jc) in dem Kegel liegen, der durch die Gradienten Vg,(jr) erzeugt wird. Die Bedingung (A.53c) wird häufig auch als Bedingung vom komplementären Schlupf bezeichnet. Sie verlangt, daß das jeweilige Produkt aus dem Schattenpreis und der Nebenbedingung gleich null ist. Ist die Nebenbedingung g,-(x) — α, nicht bindend (liegt sie also nicht in strenger Gleichheit vor), dann muß der Schattenpreis gleich null sein. Damit erhält Vg/(i) kein Gewicht in der Linearkombination, die Vu(x) generiert. Wenn dagegen der Preis positiv ist, dann muß die zugehörige Nebenbedingung in Gleichheit vorliegen.10 Das Beispiel in der Abbildung A.12 enthält die beiden Nebenbedingungen gi < a\ und g2 < ö2· Die erste Restriktion beschränkt die Menge nichtnegativer, zulässiger Punkte auf den Bereich unterhalb der Kurve gi. Analog müssen alle zulässigen 'Eine zusätzliche Bedingung verlangt, daß die constraint qualification erfüllt ist. Diese Bedingung erfordert, daß die Gradienten der Nebenbedingungen linear unabhängig sind. 10 Unter ökonomischen Aspekten besagt die Bedingung vom komplementären Schlupf, daß die marginale Erweiterung einer nichtbindenden Nebenbedingung das erreichte Nutzenniveau unverändert läßt.

2 Statische Optimierung

577

Lösungen aufgrund der zweiten Nebenbedingung unterhalb der mit gi bezeichneten Kurve liegen. Die Zielfunktion läßt sich als eine Schar von Indifferenzkurven darstellen, die mit u, bezeichnet werden. Das Nutzenniveau steigt in nordöstlicher Richtung. Die Gradienten der beiden Nebenbedingungen (die jeweils senkrecht auf

Abbildung A.12 Lösung eines Maximierungsproblems mit Nebenbedingungen als Ungleichungen. Die Abbildung veranschaulicht die Lösung eines Maximierungsproblems in der Form (A.53) mit zwei Nebenbedingungen als Ungleichungen.

den zugehörigen Tangenten in dem speziellen Punkt χ stehen) sind durch Vgl und Vg2 bezeichnet worden. Wenn χ ein Optimum ist, dann muß der Gradient von u an der Stelle Je gemäß der Bedingung (a) eine Linearkombination der beiden Gradienten Vgl (x) und Vg2(*) sein. Wegen der Bedingung (A.53b) muß die Linearkombination nichtnegative Gewichte aufweisen, so daß der Gradient von u in einer Graphik im Kegel der Gradienten der beiden Nebenbedingungen liegt. Um die Bedeutung der Bedingung vom komplementären Schlupf zu verstehen, läßt sich auf die Präferenzen für ein Güterpaar verweisen, die analog zu der Abbildung Α. 13a die Form einer Glocke beschreiben. Die Indifferenzkurven entsprechen Kreisen, in deren Mittelpunkt der Nutzen maximal ist. (Über dieses Sättigungsniveau möchte der Haushalt unabhängig von den Preisen nicht hinausgehen.) Liegt die Budgetrestriktion wie in der Abbildung A.13b links vom Sättigungspunkt, dann würde der Konsument gerne mehr von beiden Gütern konsumieren, was die Budgetgerade verbietet. Also ist die Restriktion wirksam. Der Satz von Kuhn-Tucker besagt, daß der Gradient der Zielfunktion im Optimum proportional zum Gradienten der Nebenbedingung ist. Also liegt das Maximum in einem Tangentialpunkt, weil der Gradient senkrecht auf der Funktion steht. Welches Ergebnis wird sich einstellen, wenn der Sättigungspunkt wie in der Abbildung Α. 13c innerhalb der Budgetmenge liegt? Der Haushalt erreicht sein maximales Nutzenniveau offensichtlich, wenn er einen Punkt innerhalb seiner Budget-

578

Anhang zu den mathematischen Methoden

Präferenzen für zwei Güter. Hinsichtlich der Indifferenzkurven für angenommen.

und χι wird eine Glockenform

Abbildung A.13b Nutzenmaximierung bei einer bindenden Nebenbedingung als Ungleichung. In diesem Beispiel ist die Budgetrestriktion für x\ und X~L wirksam.

menge wählt. In anderen Worten, da die Restriktion nicht wirksam ist, verhält sich der Haushalt so, als ob er keiner Nebenbedingung unterliegt. Der Satz von KuhnTucker besagt, daß der Gradient der Zielfunktion im Optimum proportional zum Gradienten der Nebenbedingung ist. Zudem verlangt die Bedingung vom komplementären Schlupf, daß der Proportionalitätsfaktor gleich null ist, sofern die Neben-

2 Statische Optimierung

579

bedingung nicht wirkt. Folglich muß der Gradient der Zielfunktion gleich null sein, so daß er der Bedingung für ein unbeschränktes Maximum genügt. Die Bedingung vom komplementären Schlupf besagt also zusammenfassend, daß eine nichtbindende Nebenbedingung die optimale Wahl nicht beeinflußt.

Abbildung A.13c Nutzenmaximierung mit einer nichtbindenden Nebenbedingung als Ungleichung. In diesem Beispiel ist die Budgetrestriktion für x\ und χι nicht wirksam.

Die Kuhn-Tucker-Bedingungen lassen sich auf eine andere Weise interpretieren, wenn nachstehende Lagrange-Funktion aufgestellt wird: m

L(x 1, . . . , * „ ; μ ι , . . . , μ „ ) = u(xu •..,.*„) + μ , i=l

· [α; - gi(xι,...

,*„)]. (A.54)

Die notwendige Bedingung (A.53a) läßt sich nun wie folgt deuten: Das Maximum des beschränkten Problems wird an der Stelle χ realisiert, wenn die zugehörige Lagrange-Funktion an dieser Stelle (für gegebene μ ι , . . . , μ„) ihr Maximum erreicht. Die Bedingungen (A.53b) und (A.53c) besagen, daß die Lagrange-Funktion im Optimum ein Minimum in bezug auf den Vektor μ = (μι,..., μη) annimmt. (Die Bedingung (A.53b) impliziert, daß beide Komponenten in (A.53c) nichtnegativ sind, so daß das Minimum ihres Produktes null ist.) Zusammenfassend verlangen die notwendigen Bedingungen (A.53) für ein Optimum an der Stelle x, daß die Lagrange-Funktion an der Stelle (je, μ ) einen Sattelpunkt besitzt, das heißt, L nimmt ihr Maximum in bezug auf χ und ihr Minimum in bezug auf μ an. Die Bedingungen (A.53) bezeichnen die notwendigen Bedingungen des Satzes von Kuhn-Tucker: Wenn ein Optimum an einer Stelle angenommen wird, dann müssen sie dort erfüllt sein. Ist die Zielfunktion u darüber hinaus konkav und beschreiben die Nebenbedingungen eine konvexe Menge, dann sind die notwendigen

580

Anhang zu den mathematischen Methoden

Bedingungen auch hinreichend.11

3 3.1

Dynamische Optimierung in der kontinuierlich erfaßten Zeit Einführung

Die Mathematiker haben sich lange Zeit mit dynamischen Problemen geplagt. Gemeinhin wird angenommen, daß Bernoulli als erster 1696 eines dieser Probleme gelöst hat. Auch Euler und Lagrange haben sich mit dynamischen Problemen beschäftigt. Die meisten Anwendungen ihrer theoretischen Ergebnisse sind in der Physik vorgekommen, insbesondere in Verbindung mit dem Hamilton-Prinzip oder dem Prinzip der am wenigsten aufwendigen Handlung. Das ökonomische Interesse an dynamischen Problemen ist spätestens mit den Arbeiten von Hotelling und Ramsey in den zwanziger Jahren geweckt worden. Dennoch hat es bis zu den sechziger Jahren gedauert, bis die Techniken der dynamischen Mathematik allgemeinen Einzug in die Ökonomik, insbesondere in die Arbeiten zur neoklassischen Wachstumstheorie gehalten haben. Diese Verfahren stellen heute einen Teil des Instrumentariums der meisten modernen Ökonomen dar. Die Methodik, die die klassischen Mathematiker zur Lösung dynamischer Probleme verwendet haben, ist als Variationsrechnung bekannt. Dieser Ansatz ist in zwei Richtungen verallgemeinert worden. Zum einen hat der amerikanische Mathematiker Richard Bellman in den fünfziger Jahren die Methode der dynamischen Programmierung entwickelt. Dieses Verfahren eignet sich vor allem für diskrete Probleme und läßt sich besonders gut auf stochastische Probleme anwenden. Zum anderen hat eine von L. Pontryagin geführte Gruppe russischer Mathematiker ebenfalls in den fünfziger Jahren das Maximumprinzip der optimalen Kontrolle entwickelt. (Allerdings ist die erste englische Übersetzung erst 1962 erschienen.) In diesem Kapitel wird gezeigt, wie die Technik von Pontryagin anzuwenden ist. Das Maximumprinzip ist eine Verallgemeinerung der klassischen Variationsrechnung, weil es Probleme löst, in denen wenigstens eine Nebenbedingung die Ableitung einiger Zustandsvariablen enthält. Dieser Typ Nebenbedingung spielt in der ökonomischen Wachstumstheorie eine zentrale Rolle. Das Kapitel verfolgt nicht das Ziel, das Maximumprinzip zu beweisen, sondern vermittelt neben einer heuristischen Ableitung des Prinzips eine Beschreibung des Verfahrens, das zur Lösung angewendet wird. Dieser Ansatz stellt eine Reihe von Instrumenten zur Verfügung, die es gestatten, die verschiedenen dynamischen Modelle des Buches zu lösen.12 "Eine etwas weniger restriktive Menge hinreichender Bedingungen wird von Arrow und Enthoven (1961) angegeben; sie fordern eine quasi-konkave Zielfunktion, deren obere Niveaumengen konvex sind. 12 Ein vollständiger Beweis des Maximumprinzips befindet sich in Pontryagin et al. (1962).

3 Dynamische Optimierung in der kontinuierlich erfaßten Zeit

3.2

581

Das typische Problem

Das typische Problem, dessen Lösung gesucht wird, besitzt folgende Form: Der Akteur wählt oder kontrolliert eine Zahl von Variablen, die sogenannten Kontrollvariablen, 13 mit dem Ziel, den Wert einer Zielfunktion unter Berücksichtigung von Nebenbedingungen zu maximieren. Die dynamischen Restriktionen beschreiben anhand von Zustandsvariablen, wie sich der Zustand einer Volkswirtschaft über die Zeit entwickelt. Damit lautet das Problem (A.55) c(')

J0

u.d.N.

(α)

ic(t) = g[k(t), c(t), t],

(b)

k(0) = ko > 0

(c)

k(T)e~HT)

T

gegeben

,

>0,

wobei V(0) = f j v[k(t), c(f), f ] d i den Barwert der Zielfunktion zum Startzeitpunkt angibt. Daneben bezeichnet r(i) den durchschnittlichen Diskontfaktor für den Zeitraum zwischen den Zeitpunkten null und t\ Τ ist der endliche oder auch unendliche Planungshorizont. Auf den Unterschied zwischen einem endlichen und einem unendlichen Planungshorizont wird in dem Abschnitt 1.3.7 eingegangen. Die Variable k{t) - die in (A.55a) als gepunktete Größe auftritt - ist die Zustandsvariable, und c(t) ist die Kontrollvariable. Beide Variablen sind Funktionen der Zeit. Die Zielfunktion des Problems (A.55) ist das Integral der auf einen Zeitpunkt bezogenen Vorteilsfunktion14 ν auf dem Intervall von null bis T. Diese Vorteilsfunktionen hängen ihrerseits von der Zustandsvariablen k{t), von der Kontrollvariablen c(t) und von der Zeit t ab. Die Akkumulationsbedingung (A.55a) ist eine Differentialgleichung in k(t)\ diese Beschränkung beschreibt, wie sich die Wahl der Kontrollvariablen c(t) auf das Bewegungsmuster der Zustandsvariablen k(t) überträgt. Der Ausdruck für k(t) heißt daher transitorische Gleichung oder Bewegungsgleichung. Obwohl lediglich eine Bewegungsgleichung niedergeschrieben worden ist, existiert ein Kontinuum an Nebenbedingungen, das heißt eine Restriktion für jeden Zeitpunkt zwischen null und Γ. 15 Die Zustandsvariable k(t) beginnt gemäß der Anfangsbedingung (A.55b) bei einem gegebenen Wert ko. Die Endbedingung (A.55c) verlangt, daß der gewählte 13

Pontryagin et al. (1962) bezeichnen diese Kontrollvariablen als „Steuerungsvariablen". A1S Beispiele für Vorteilsfunktionen lassen sich Nutzenfunktionen der Konsumenten, Gewinnfunktionen der Unternehmen oder Zielfunktionen von Regierungen anführen. Um die Idee dieses Kapitels zu konkretisieren, werden sie hier als Nutzenfunktionen identifiziert. 15 Die Akkumulationsgleichung kann auch in eine Beschränkung als Ungleichung umgeformt werden, das heißt k(t) < g[k(t), c(t), /]. Allerdings wird es sich in der Regel für die Wirtschaftssubjekte als suboptimal herausstellen, die Nebenbedingung als strenge Ungleichung zu erfüllen, da es vorteilhaft ist, c(f) zu erhöhen, um den gegenwärtigen Nutzenstrom zu vergrößern, oder k(t) auszuweiten, um den künftigen Nutzenstrom zu verstärken. Die Restriktion wird daher als Gleichung beibehalten. 14

582

Anhang zu den mathematischen Methoden

Wert der Zustandsvariablen am Ende des Planungszeitraums k ( T ) , diskontiert mit der Rate r ( T ) , nichtnegativ sein muß. Für endliche Werte von Τ impliziert diese Nebenbedingung die Ungleichung k ( T ) > 0, solange die Diskontrate r ( T ) positiv und endlich ist. Repräsentiert k ( t ) das Reinvermögen einer Person, dann schließt die Nebenbedingung (A.55c) aus, daß die Person am Ende ihrer Lebenszeit Τ verschuldet stirbt. Bei einem unendlichen Planungshorizont kann das Reinvermögen negativ sein und für immer mit positiver Rate wachsen, solange die Wachstumsrate kleiner als r ( T ) ist. Damit schließt die Restriktion Kettenbriefreaktionen oder Ponzi-Schemata für die Verschuldung aus. Als ökonomisches Beispiel für ein dynamisches Problem dieser Art läßt sich ein Wachstumsmodell anführen, in dem ν den momentanen Nutzen in Abhängigkeit vom Konsumniveau beschreibt, wobei der momentane Nutzen mit der Zeitpräferenzrate diskontiert wird. v { k , c, t ) = u [ c ( t ) ] e - > "

(A.56)

In diesem Beispiel hängt υ nicht vom Kapitalstock k ( t ) ab; die direkte Abhängigkeit von ν von der Zeit ist nur durch den Diskontfaktor e~pI gegeben. Die Nebenbedingung beschreibt die Akkumulation der Variablen k ( t ) . Interpretiert man k ( t ) als physisches Kapital, dann liefert k = g [ k ( t ) , c(f), t ] = f [ k ( t ) , i] - c ( t ) - S k ( t )

(A.57)

ein Beispiel für eine derartige Nebenbedingung, wobei S den Anteil des Kapitalstocks bezeichnet, der zu jedem Zeitpunkt abgenutzt wird. Ein Anstieg des Kapitalstocks (Nettoinvestition) entspricht nach (A.57) der gesamten Ersparnis abzüglich der Abschreibungen. Die Ersparnis ist ihrerseits gleich der Differenz zwischen dem gesamten Output / und dem Konsum c. Die Abhängigkeit der Produktion von t für ein gegebenes k ( t ) läßt sich als Stand der Technik oder des Wissens zu einem gegebenen Zeitpunkt auffassen. 3.3

Heuristische Ableitung der Bedingungen erster Ordnung

Da ein formaler Beweis des Maximumprinzips den Umfang des Buches sprengen würde, wird lediglich eine heuristische Ableitung angeboten. Die Leser, die sich nur für das Verfahren zur Bestimmung der Bedingungen erster Ordnung interessieren, nicht aber für ihre Ableitung, können die Abschnitte 1.3.3-1.3.9 überspringen und direkt zu dem Abschnitt 1.3.10 übergehen. Den Startpunkt bildet die statische Methode zur Lösung nichtlinearer Optimierungsprobleme, der Satz von Kuhn-Tucker. Dieser Satz, der in dem Abschnitt 1.2.3 vorgestellt worden ist, legt eine Lagrange-Funktion in der folgenden Form nahe: L = + vk(T)c'HTyT,

(A.58)

3 Dynamische Optimierung in der kontinuierlich erfaßten Zeit

583

wobei μ(ί) den Lagrange-Multiplikator der Nebenbedingung (A.55a) und ν den analogen Multiplikator der Nebenbedingung (A.55c) bezeichnet.16 Da es ein Kontinuum an Restriktionen der Form (A.55a) gibt, das heißt eine Restriktion für jeden Zeitpunkt t zwischen null und T, muß ein korrespondierendes Kontinuum an Lagrange-Multiplikatoren μ(ί) existieren. Diese μ(ί) heißen Kozustandsvariablen oder dynamische Lagrange-Multiplikatoren. Parallel zum statischen Fall lassen sich die Kozustandsvariablen als Schattenpreise interpretieren: μ(ί) ist der Preis oder Wert einer zusätzlichen Einheit Kapital zum Zeitpunkt t in Einheiten des Nutzens zum Zeitpunkt null. Weil jede der Nebenbedingungen g(-) — k gleich null ist, muß auch jedes Produkt μ (t) • [g(-) — k] gleich null sein. Damit muß auch die „Summe" aller Nebenbedingungen verschwinden: fQ { m w ( g m , c(o, t] - m))

d t =• ο .

Dieser Ausdruck entspricht dem zweiten Summanden in der Gleichung (A.58). Um die Menge notwendiger Bedingungen erster Ordnung in einem statischen Problem zu bestimmen, muß L in bezug auf c(t) und k(t) für alle t zwischen null und Τ maximiert werden. Bei dieser Verfahrensweise tritt die Schwierigkeit auf, daß nicht bekannt ist, wie die Ableitung von k nach k zu bilden ist. Um dieses Problem zu vermeiden, wird die Lagrange-Funktion umgeschrieben, indem der Ausdruck μ{ί) k(t) partiell integriert wird.17

L=

f (wW0,c(0,f] + Ai(0i[*(0.c(0.f])df Jο + [ ß(t)k(t)At Jο

+ ß(0)ko - μ(Τ)^Τ)

+ ν^Τ)ε-ΚΤ)

Τ

(A.59)

Der Ausdruck unter dem ersten Integral heißt Hamilton-Funktion, H(k, c, t, μ) = v(k, c, t) + ßg(k,

c, t),

(A.60)

und läßt sich wie folgt interpretieren (vgl. Dorfman (1969)): Zu jedem Zeitpunkt konsumiert der Akteur c(t) und besitzt den Kapitalstock k(t). Beide Variablen beeinflussen den Nutzen auf zwei Wegen. Zum einen wird der direkte Beitrag des Konsums und vielleicht des Kapitals zum Nutzen durch den Summanden ν in der Gleichung (A.60) erfaßt. Zum anderen beeinflußt die Wahl des Konsums die Änderung des Kapitalstocks in Übereinstimmung mit der Bewegungsgleichung (A.55a) 16

Darüber hinaus gilt die Restriktion c(f) > 0, die jedoch bei üblichen Formen der Nutzenfunktion nicht wirksam ist. Also kann diese Ungleichungsrestriktion in der gegenwärtigen Diskussion vernachlässigt werden. 17 Die partielle Integration von f j ßkdt beginnt mit ( d / d t)(ßk) = fik + icß. Beide Seiten dieser Gleichung sind für den Zeitraum von null bis Τ zu integrieren, wobei / 0 T ( d / d t)(kß)i t = k(T) μ(Τ) k(0) μ(0) zu beachten ist. Von diesem Ausdruck ist das Integral von kji zu subtrahieren, so daß sich f j kßAt = k(T) μ(Τ) - k(0) μ(0) - f j ßkdt ergibt. Dieser Ausdruck ist für die Berechnung der Gleichung (A.59) verwendet worden. Zu weiteren Ausführungen vgl. die Abschnitte 1.5.4 und 1.5.5.

584

Anhang zu den mathematischen Methoden

für k. Der Wert dieser Änderung des Kapitalstocks ist der zweite Summand μ # der Hamilton-Funktion (A.60). Also erfaßt die Hamilton-Funktion für einen gegebenen Wert des Schattenpreises μ den gesamten Beitrag einer Wahl von c ( f ) zum Nutzen. Durch Umstellung der Lagrange-Funktion (A.59) folgt

L=

f

Jo

(H[k(t),c(t),t]

+fi(t)k(t))dt + μ ( 0 ) k 0 - μ(Τ)

k(T) + vk(T) Q-'r(T) T.

(A.61)

Nachstehend bezeichnen c(t) und k(t) die optimalen Pfade der Kontrollvariablen sowie der Zustandsvariablen. Wenn der optimale Pfad c(t) durch eine beliebige Störfunktion p\(t) verändert wird, dann kann ein benachbarter Pfad für die Kontrollvariable angegeben werden, c(t) = ö(t) + e P\(t)· Wenn c(t) auf diese Weise gestört wird, dann muß eine korrespondierende Störung für k(t) und k(T) existieren, so daß die Budgetrestriktion erfüllt ist: k(t) = l(t) + 6 k(T)

p2(t),

= k{T) + e

dk(T).

Wenn die ursprünglichen Pfade optimal sind, dann sollte 3 L / d e = 0 gelten. Bevor eine derartige Ableitung berechnet wird, ist es zweckmäßig, die LagrangeFunktion in Ausdrücke von e umzuschreiben. L(-, €)=

( Jo

( H [ k ( · , e), c(·, e)] + ßk(-,

e))dt

+ μ(0) ko - μ(Τ)

k(T, e) + vk{T, e)

T

Nun läßt sich die Ableitung der Lagrange-Funktion nach e angeben und gleich null setzen. dl/de

=

f Jo

(dH/de

+ μ dk/3e) d t + [υ - Μ Γ ) ] dk(T, e)/de

Die Kettenregel impliziert zum einen dH/de = (dH/dc) zum anderen dk(T, e)/de

= dk(T).

p\{t)+{dH/dk)

= 0 p2(t) und

Unter Verwendung dieser Ergebnisse können

die Terme in dem Ausdruck für 3 L / d e umgestellt werden zu

dL/de=

[ Jo

[(dH/dc)

px(t) + (dH/dk+

μ)

p2(t)]dt

+ [ v e ~ i : ( r ) ' T - / i . ( r ) ] d f c ( r ) = 0.

(A.62)

3 Dynamische Optimierung in der kontinuierlich erfaßten Zeit

585

Die Gleichung (A.62) kann nur dann für alle gestörten Pfade, die durch p\(t), Pi{t) und d k ( T ) beschrieben werden, erfüllt sein, wenn sämtliche Komponenten der Gleichung verschwinden, das heißt dH/dc = 0,

(A.63)

dH/dk + ii = 0,

(A.64)

F(T)T

ve~

= μ(Τ).

(A.65)

Bezeichnen c(t) und k(t) eine optimale Lösung des dynamischen Problems, dann besagt die Bedingung erster Ordnung in bezug auf die Kontrollvariable (A.63), daß die Ableitung der Hamilton-Funktion nach der Kontrollvariablen c zu jedem Zeitpunkt t gleich null ist. Dieses Ergebnis wird das Maximumprinzip genannt. Die Gleichung (A.64) verlangt, daß die partielle Ableitung der Hamilton-Funktion in bezug auf die Zustandsvariable mit dem negativen Wert der Ableitung des Multiplikators, also — μ, übereinstimmt. Dieses Resultat und die Bewegungsgleichung (A.55a) werden oft als Euler-Gleichungen bezeichnet. Schließlich fordert (A.65), daß die Kozustandsvariable im Endzeitpunkt ß(T) gleich dem mit der Rate r(T) diskontierten Wert von ν ist, wobei der statische Lagrange-Multiplikator ν der Nichtnegativitätsbedingung in bezug auf k zum Endzeitpunkt zugeordnet ist.

3.4

Transversalitätsbedingungen

Im Abschnitt 1.2.3 ist gezeigt worden, daß die notwendigen Kuhn-Tucker-Bedingungen erster Ordnung eine Bedingung vom komplementären Schlupf enthalten, die mit den Ungleichungen verbunden ist. Im statischen Fall verlangen diese Bedingungen, daß der jeweilige Schattenpreis gleich null ist, wenn die Restriktion nicht wirksam ist. Im aktuellen dynamischen Problem existiert eine Ungleichungsbedingung, die einen nichtnegativen Kapitalstock am Ende des Planungszeitraums, diskontiert mit der Rate r(T), verlangt, das heißt k(T) e~ r ( r ) r > 0. Die Optimumbedingung zu dieser Restriktion erfordert vk(T) e~r T = 0 mit ν > 0. Damit läßt sich die Bedingung vom komplementären Schlupf unter Berücksichtigung von (A.65) umschreiben zu ß(T)k(T)

= 0.

(A.66)

Diese Randbedingung ist auch als Transversalitätsbedingung bekannt. Sie besagt, daß der Preis des Kapitalstocks am Ende der Planungsperiode null sein muß, das heißt μ ( Τ ) = 0, sofern eine positive Kapitalmenge am Ende der Planungsperiode übrigbleibt, also k(T) > 0. Besitzt das Kapital im Endzeitpunkt einen positiven Wert, μ(Τ) > 0, dann darf der Akteur kein Kapital übrig lassen, k(T) = 0. Die Bedeutung der Transversalitätsbedingung (A.66) für einen unendlichen Planungshorizont wird später diskutiert.

586

Anhang zu den mathematischen Methoden

3.5

Das Verhalten der Hamilton-Funktion über die Zeit

Um das Verhalten des optimalen Wertes der Hamilton-Funktion über die Zeit zu verfolgen, wird zunächst die totale Ableitung von Η in bezug auf t angegeben. d H(k,c,ß,t)

d7

dH ; =

dH +

dH

BH +

I T

(A 67)

"

Die Bedingung erster Ordnung (A.63) impliziert für das Optimum dH/dc = 0, so daß der zweite Term auf der rechten Seite von (A.67) gleich null sein muß. Die Gleichung (A.64) erfordert 3 H / d k = —μ. Also heben sich der erste und der dritte Summand in der Gleichung (A.67) wegen 9Η/9μ = —k auf. Daher stimmt die totale Ableitung der Hamilton-Funktion dH/dt mit der partiellen Ableitung dH/dt überein. Liegt ein autonomes System vor - das heißt, weder die Zielfunktion noch die Nebenbedingungen hängen direkt von der Zeit ab - , dann ist die Ableitung der Hamilton-Funktion nach der Zeit gleich null. Mit anderen Worten ist die HamiltonFunktion eines autonomen Systems für jeden Zeitpunkt eine Konstante. Diese Resultate über das Verhalten der Hamilton-Funktion werden später verwendet.

3.6

Hinreichende Bedingungen

Die notwendigen Kuhn-Tucker-Bedingungen für ein statisches, nichtlineares Maximierungsproblem sind auch hinreichend, wenn die Zielfunktion konkav ist und die Nebenbedingungen eine konvexe Menge bilden. Mangasarian (1966) hat dieses Ergebnis auf dynamische Probleme erweitert und gezeigt, daß die notwendigen Bedingungen auch hinreichend sind, wenn die Funktionen υ und g des Problems (A.55) beide konkav in k und c sind. Obwohl dieses Ergebnis einfach anzuwenden ist, erscheint es als etwas restriktiv. Allgemeinere hinreichende Bedingungen sind in Arrow und Kurz (1970) zu finden. Definiert man H°(k, μ, t) als das Maximum von H(k, c, μ , t) bezüglich c für gegebene k, μ und t, dann besagt der Satz von Arrow-Kurz: Ist H°(k, μ, t) konkav in k für gegebene μ und t, dann sind die notwendigen Bedingungen auch hinreichend. Die Konkavität von ν und g ist zwar hinreichend, aber nicht notwendig für die Erfüllung der Arrow-Kurz-Bedingung. Der Nachteil des allgemeineren Ergebnisses besteht darin, daß es schwieriger ist, die Eigenschaften einer abgeleiteten Funktion wie H° nachzuweisen, als die Eigenschaften von ν und g zu überprüfen.

3.7

Unendlicher Zeithorizont

Die meisten Wachstumsmodelle, die in dem Buch behandelt werden, beziehen sich auf Wirtschaftssubjekte mit unendlichem Planungshorizont. Das typische Problem

3 Dynamische Optimierung in der kontinuierlich erfaßten Zeit

587

hat folgende Form: /•OO m a x / υ[£(ί), c ( f ) , i ] d f , 0.

Der einzige Unterschied zwischen den Problemen (A.68) und (A.55) besteht hinsichtlich des Planungshorizontes - also der oberen Grenze des Integrals. Statt Τ < oo behandelt das Problem (A.68) einen unendlichen Zeithorizont. Die Bedingungen erster Ordnung für das Problem mit unendlichem Zeithorizont stimmen mit den Gleichungen (A.63) und (A.64) für den endlichen Fall überein. Der entscheidende Unterschied ergibt sich für die Transversalitätsbedingung (A.66), die nur dann zutrifft, wenn Τ gegen unendlich strebt. Also lautet die Transversalitätsbedingung nun lim [μ(ί) (->00

k(t)]

= 0.

(A.69)

Die neue Bedingung läßt sich intuitiv erklären, wenn man beachtet, daß der Wert des Kapitalstocks asymptotisch gegen null streben muß, weil anderenfalls etwas Wertvolles übrigbleibt. Wenn die Menge k{t) asymptotisch positiv bleibt, dann muß der Preis μ(ί) asymptotisch gegen null streben. Wenn k(t) in der Zukunft mit einer positiven Rate wächst - wie es in einigen Modellen des Buches zutrifft - , dann muß der Preis μ ( ί ) mit einer größeren Rate gegen null streben, so daß das Produkt μ ( ί ) k(t) gegen null konvergiert. Obwohl sich die Bedingung (A.69) intuitiv als Grenzfall von (A.66) auffassen läßt, besteht Uneinigkeit über die Bedingungen, unter denen (A.69) tatsächlich notwendig für das Optimum des Problems (A.68) mit einem unendlichen Planungshorizont ist. Dabei ist zu beachten, daß als einziges Argument für die Gültigkeit von (A.69) die Analogie zur Transversalitätsbedingung im endlichen Fall angeführt worden ist. Einige Wissenschaftler haben jedoch Gegenbeispiele gefunden, in denen (A.69) keine notwendige Optimumbedingung darstellt. Eines dieser Beispiele wird im Abschnitt 1.3.9 diskutiert. Eine Transversalitätsbedingung, die immer zutrifft, ist von Michel (1982) gefunden worden. Er legt dar, daß die Transversalitätsbedingung verlangt, daß der Wert der Hamilton-Funktion gegen null konvergiert, während t gegen unendlich strebt. lim [//(f)] = Ο (-> oo

(A.70)

Diese Transversalitätsbedingung läßt sich ableiten, wenn man wie Michel den Fall des unendlichen Planungshorizonts als Bezugsrahmen nimmt, in dem der Akteur über den Endzeitpunkt Τ entscheidet. Wenn der Endzeitpunkt Τ in (A.61) durch € d Τ modifiziert wird, dann ist festzustellen, daß die Integrationsgrenze nun von e

588

Anhang zu den mathematischen Methoden

abhängt. Damit enthält die Ableitung der Lagrange-Funktion (A.62) nach e einen zusätzlichen Term H(T)dT. Dieser Ausdruck entspringt der Ableitung der Integrationsgrenze T(e) nach €. Wie alle übrigen Ausdrücke in (A.62) muß auch dieser Term im Optimum gleich null sein. Ist der Endzeitpunkt fixiert, so daß d Τ = 0 ist, dann kann H{T) irgendeinen Wert annehmen. Variiert der Endzeitpunkt jedoch, so daß d Τ ungleich null ist, dann muß H{T) verschwinden. Nun resultiert die Transversalitätsbedingung (A.70), indem der Grenzwert für Τ gegen unendlich berechnet wird. Diese Bedingung ist in den meisten der behandelten Modelle redundant, weil sie erfüllt ist, sofern (A.69) vorliegt. Also kann in den meisten Fällen auf (A.69) zurückgegriffen werden, so daß man (A.70) vernachlässigen darf.

3.8

Beispiel: Das neoklassische Wachstumsmodell

Angenommen, die Wirtschaftssubjekte wählen den Pfad für den Konsum c(t) und den für das Kapital k(t), so daß folgende Zielfunktion maximiert wird: (A.71) u.d.N.

(a)

k(t) = [jfc(f)]e - c(i) -

(b)

k( 0)

(c)

8k(t),

= 1,

lim [Jfc(f) e- ? ( , ) ·'] > 0,

wobei α eine Konstante mit 0 < α < 1 ist. Der Zinssatz r(t) stimmt mit der korrigierten Grenzproduktivität des Kapitals ak{t)a~x — S überein, und der durchschnittliche Zinssatz r(t) ist gleich ( 1 / f ) / 0 ' r ( r ) d τ. Damit beschreibt dieses Beispiel eine einfache Version des neoklassischen Wachstumsmodells, das in Kapitel 2 detailliert untersucht worden ist. Der Akteur läßt sich als Haushalt annehmen, der zugleich Produzent ist und der versucht, seinen Nutzen zu maximieren. Dabei wird der Nutzen als Barwert zukünftiger Vorteile angegeben, die sich in jedem Zeitpunkt einstellen. Diese Vorteile ergeben sich aus dem momentanen Konsumstrom, wobei die Vorteilsfunktion (A.71) eine logarithmische Form hat. Die Diskontrate ist ρ > 0. Der Akteur verfügt über eine Technik - die Cobb-Douglas-Form ist in Kapitel 1 dargestellt worden - , die das Kapital entsprechend y(t) = [£(/)] a in den Output transformiert. Die Akkumulationsbeschränkung (A.71a) besagt, daß der gesamte Output in den Konsum c(t), die Abschreibungen Sk(t) und die Kapitalakkumulation k(t) aufzuteilen ist. Der Kapitalstock ist gemäß der Anfangsbedingung (A.71b) zum Zeitpunkt null gleich eins. Schließlich verlangt die Restriktion (A.71c), daß der mit der durchschnittlichen Rate r(T) diskontierte Kapitalstock „am Ende der Planungsperiode" nichtnegativ sein muß. (Wenn k{t) das Bruttovermögen des Haushalts repräsentiert, dann schließt diese Nebenbedingung Kettenbriefstrategien aus, in denen die Verschuldung für alle Zukunft mit einer Rate wächst, die mindestens so groß wie der Zinssatz ist.)

3 Dynamische Optimierung in der kontinuierlich erfaßten Zeit

589

Für die Lösung des Optimierungsproblems ist die Hamilton-Funktion H(c, k, t, μ) = log(c) e~pl +μ • (ka - c - Sk)

(A.72)

aufzustellen. Die Gleichungen (A.63) und (A.64) führen zu den notwendigen Bedingungen erster Ordnung Hc = ( l / c ) e - " f - / i = 0 , a x

Hk = μ • (ak ~

- S) = -μ,

(A.73) (A.74)

neben denen gemäß (A.69) folgende Transversalitätsbedingung steht: l i m [ / i ( 0 * ( f ) ] = 0. f->00

(A.75)

Die Gleichung (A.74) und die Bewegungsgleichung (A.71a) bilden ein System von gewöhnlichen Differentialgleichungen, in denen μ und k von μ, k und c abhängen. Die Gleichung (A.73) setzt μ in Beziehung zu c, so daß eine der beiden Variablen aus dem Ansatz beseitigt werden kann. Eliminiert man μ, dann kann (A.73) logarithmisch differenziert werden,* so daß - p - c/c =

μ/μ

folgt. Dieses Ergebnis kann in (A.74) eingesetzt werden, um μ / μ zu eliminieren. c/c = ctka~l - ρ - oo ' = log(c*) · lim [e "'] + 0 · lim [μ(ί)] = 0 + 0 = 0 ί->οο (-> oo Obwohl (A.70) eine notwendige Bedingung für das Optimum angibt, ist sie bereits in den anderen Bedingungen enthalten. 3.9

Transversalitätsbedingungen in Problemen mit unendlichem Zeithorizont

Die Transversalitätsbedingung (A.75) wird nicht allgemein als eine notwendige Bedingung für das Problem mit unendlichem Planungshorizont akzeptiert. Halkin (1974) bietet ein Beispiel an, in dem das Optimum die Transversalitätsbedingung nicht erfüllt.18 Ein besseres Gegenbeispiel liefert das neoklassische Wachstumsmodell von Ramsey (1928). Im Unterschied zu dem Modell des vorangegangenen Abschnitts enthält das Originalmodell von Ramsey keine Diskontierung. Seine Version des Modells lautet: /•oo

max / C(') J0 u.d.N. (a) Cb) (c)

log[c(i)]di,

(A.78)

k(t) = [*(ί)Γ - c(f) - &k(t), *(0) = 1, lim [*(*)] > 0. (-> oo

Die einzige Abweichung zwischen den Problemen (A.78) und (A.71) besteht darin, daß ρ hier gleich null gesetzt ist. Damit entsteht in (A.78) unmittelbar die Schwierigkeit, daß der Nutzen nicht beschränkt ist, sofern c(f) (wie im vorangegangenen Problem) asymptotisch gegen eine Konstante strebt. Um dieses Problem zu lösen, hat Ramsey den Integranden als Abweichung vom Sättigungspunkt (bliss point) umgeschrieben. Diese revidierte Spezifikation führt zu einem beschränkten Nutzenniveau, wenn die Abweichung vom bliss point schnell genug gegen null strebt. In dem vorhergehenden Abschnitt ist ermittelt worden, daß der gleichgewichtige Konsum gegen eine Konstante c* = (k*)a — 8k* konvergiert, wobei k* die Gleichung ''Dieses Beispiel ist zunächst in Arrow und Kurz (1970, S. 46) vorgestellt worden. Allerdings erwähnen sie, daß die Idee von Halkin stammt, der das Ergebnis später in Econometrica veröffentlicht hat.

3 Dynamische Optimierung in der kontinuierlich erfaßten Zeit

591

a • (k* )a~] = ρ + δ erfüllt. Daher kann man mit der Vermutung beginnen, daß der gleichgewichtige Konsum im gegenwärtigen Modell durch c = ka — Sk gegeben ist, wobei k der Gleichung aka~x = S genügt. Die entsprechende Zielfunktion im Sinne von Ramsey lautet: J*

1/(0) = / Jο

oc (log[c(f)] — log[c]) d t.

(A.79)

Um das Problem der Maximierung von U(0) zu lösen, wird die Hamilton-Funktion aufgestellt. H(c, k, μ) = [log(c) - log(c)] + μ • (ka — c — Sk)

(A.80)

Die Bedingungen erster Ordnung Hc=l/c-μ

= 0, a l

Ηί = μ· (ak ~ - 8) =-μ

(A.81) (A.82)

entsprechen den Bedingungen (A.73) und (A.74). Strebt c gegen c für t gegen unendlich, dann impliziert (A.81) Μηι[μ(ί)] = l/c > 0. /-> 00

(A.83)

Wegen Ιύη,-χχ,^ί)] = k > 0 ergibt sich lim ( ^oo[^(i) fc(f)] φ 0. Also ist die allgemein angegebene Transversalitätsbedingung (A.75) verletzt. Die Literatur hat eine Reihe von Beispielen dieser Art hervorgebracht, in denen die gemeinhin genannte Transversalitätsbedingung keine notwendige Bedingung für ein Optimum ist. Wie Pitchford (1977) beobachtet, enthalten sämtliche bekannten Fälle keine Diskontierung. Weitzman (1973) hat gezeigt, daß eine zu (A.75) analoge Transversalitätsbedingung in Problemen mit diskreter Zeit notwendig ist, wenn diskontiert wird und die Zielfunktion konvergiert. Dieses Resultat gilt nach Benveniste und Scheinkman (1982) auch für den Fall mit kontinuierlicher Zeit. Da in diesem Buch alle behandelten Modelle durch eine Diskontierung und eine konvergierende Zielfunktion gekennzeichnet sind, wird davon ausgegangen, daß die Transversalitätsbedingung (A.75) notwendig für ein Optimum der Probleme mit unendlichem Planungshorizont ist.

3.10

Zusammenfassung des Verfahrens zur Bestimmung der Bedingungen erster Ordnung

Anstatt die gesamte Ableitung für jedes dynamische Problem zu wiederholen, wird das folgende „Kochrezept" angewendet.

592

Anhang zu den mathematischen Methoden

Erster Schritt: Stelle die Hamilton-Funktion auf, indem zur Vorteilsfunktion υ ein Lagrange-Multiplikator μ multipliziert mit der rechten Seite der Bewegungsgleichung addiert wird. Η = v(k, c, t) + ß(t) g(k, c, t)

(A.84)

Zweiter Schritt: Berechne die Ableitung der Hamilton-Funktion nach der Kontrollvariablen und setze sie gleich null. dH/dc = dv/dc + μ • dg/dc = 0

(A.85)

Dritter Schritt: Berechne die Ableitung der Hamilton-Funktion nach der Zustandsvariablen (also der Variablen, die als gepunktete Größte in der Bewegungsgleichung auftritt) und setze sie gleich der negativen Ableitung des Multiplikators nach der Zeit. dH/dk = öv/dk + μ • dg/dk = -μ Vierter Schritt

(A.86)

(Transversalitätsbedingung):

Fall 1: Bei einem endlichen Planungshorizont ist das Produkt aus Schattenpreis und Kapitalstock am Ende der Planungsperiode gleich null. μ(Γ)*(Γ) = 0

(A.87)

Fall 2: Bei einem unendlichen Zeithorizont mit Diskontierung lautet die Transversalitätsbedingung lim [μ(ί) (-•00

= 0.

(A.88)

Fall 3: Bei einem unendlichen Planungshorizont ohne Diskontierung zeigt das Gegenbeispiel von Ramsey, daß die Bedingung (A.88) nicht zutreffen muß. In diesem Fall wird Michels Bedingung angewendet. lim [ # ( / ) ] = Ο (-•00

(A.89)

Kombiniert man (A.85) und (A.86) mit der Bewegungsgleichung (A.55a), dann läßt sich ein System zweier Differentialgleichungen in den Variablen μ und k angeben. Alternativ kann (A.85) verwendet werden, um die Differentialgleichung für μ in eine Differentialgleichung für c zu transformieren. Damit das System determiniert ist, werden zwei Randbedingungen benötigt. Eine Anfangsbedingung ist durch den Startwert der Zustandsvariablen k(0) gegeben. Daneben resultiert eine Endbedingung aus der Transversalitätsbedingung (A.87), (A.88) oder (A.89), je nachdem welcher Art das Problem ist.

3 Dynamische Optimierung in der kontinuierlich erfaßten Zeit 3.11

593

Hamilton-Funktionen in bezug auf den Barwert und auf den Zeitwert

Die meisten Modelle, die in dem Buch behandelt werden, besitzen eine Zielfunktion der Art Τ rT v[k(t),c(t),t]dt = / u[k{t),c{t)]&-p'dt, (A.90) Jο

ί

wobei ρ eine konstante Diskontrate und t~ p l den Diskontfaktor bezeichnet. Nachdem der Diskontfaktor explizit berücksichtigt worden ist, hängt die auf den Zeitpunkt bezogene Zielfunktion nicht länger direkt von der Zeit ab. Gelten die gleichen Nebenbedingungen wie bisher, dann kann das Problem durch die Aufstellung der Hamilton-Funktion gelöst werden. Η = u(k, c) e~pt +μ g(k, c, t) In dieser Formel repräsentiert der Schattenpreis μ(ί) den Wert des Kapitalstocks im Zeitpunkt f, der in Einheiten des Nutzens zum Zeitpunkt null gemessen wird. Manchmal erweist es sich als hilfreich, das Problem in laufende Preise umzuschreiben, das heißt in Preise des Kapitalstocks zum Zeitpunkt t in Einheiten des Nutzens zum Zeitpunkt t. Zu diesem Zweck wird die Hamilton-Funktion umformuliert zu H=[u(k,c)

+

q(t)g(k,c,t)]c-fi·,

wobei q(t) = μ(ί) spt gesetzt wird. Die Variable q(t) bezeichnet den laufenden Schattenpreis, und die Hamilton-Funktion in bezug auf den Zeitwert Η = Η epl ist gegeben durch Η Ξ u(k, c) + q(t) g(k, c, i).

(A.91)

Wie zuvor lauten die Bedingungen erster Ordnung Hc = 0 und = —μ. Sie können auch mit Hilfe der Hamilton-Funktion in bezug auf den Zeitwert und in laufenden Preisen angegeben werden. H c = 0,

(A.92)

Hk = pq-q

(A.93)

Die Transversalitätsbedingung μ(Τ) k{T) = 0 läßt sich umschreiben zu q(T)k{T)e~pT

= 0.

(A.94)

Bemerkenswert ist, daß die Gleichung (A.93) wie eine Formel für die Bewertung eines Vermögensgegenstandes aussieht: q bezeichnet den Preis des Kapitals in Einheiten des laufenden Nutzens, Hk ist der Ertrag, den der Akteur erhält (der marginale Beitrag des Kapitals zum Nutzen), q ist der Kapitalgewinn (die Änderung des Anlagepreises) und ρ entspricht der Rentabilität einer alternativen Vermögensanlage (Konsum). Im Optimum ist der Akteur gemäß (A.93) indifferent zwischen den beiden Formen der Investition, weil der gesamte interne Zinssatz des Kapitals (Hk + q)/q mit der Rentabilität des Konsums ρ übereinstimmt.

594

3.12

Anhang zu den mathematischen Methoden

Mehrere Variablen

Im folgenden wird ein allgemeineres Problem der dynamischen Optimierung mit η Kontrollvariablen und m Zustandsvariablen untersucht. Die Pfade c\(f), C2(t),..., cn(t) sind derart zu bestimmen, daß folgende Zielfunktion maximiert wird. f u[ki(t), k2{t),..., Jο u.d.N.

km(t)·, cj (/), c2(t),...,

M i ) = g ' [ * i ( 0 . · · ·, ^ W ; ci(t) 2

ki(t) = g [ * i ( 0 , . . . , km(t); ci(t),...,

cn(t); t] dt, c„(t); r], c„(0; f], (A.95)

km(t) = gm[ki(t)

km(t);

Cl(t)

ki(0)>0,...,km(0)>0

gegeben,

k,(T)>0,...,km(T)>0

frei.

c„(t); t],

Die Lösung ist ähnlich wie die des Problems für eine Kontrollvariable und eine Zustandsvariable, das zuvor analysiert worden ist. Die Hamilton-Funktion lautet nun m Η = u[kx(t),...,

km(t); c i ( 0 , · · ·, cn(ty, t] +

(A.96) I=1

Neben den notwendigen Bedingungen erster Ordnung für ein Maximum dH/da(t)= dH/dki(t)

0, = -iiit

i = 1 , . . . , η,

(A.97)

i = l , . . . ,m,

(A.98)

i= 1

(A.99)

stehen jetzt die Transversalitätsbedingungen ßi(T) ki{T) = 0,

4

m.

Nützliche Ergebnisse des Matrizenkalküls: Eigenwerte, Eigenvektoren und Diagonalisierung der Matrizen

Als Ausgangspunkt dient eine n-dimensionale quadratische Matrix A. Es stellt sich die Frage, ob ein Skalar α und ein zugehöriger Spaltenvektor ν ungleich null existieren, so daß (Α — αϊ) ν = 0

(A.100)

4 Nützliche Ergebnisse des Matrizenkalküls

595

erfüllt ist, wobei / die n-dimensionale Einheitsmatrix bezeichnet. Man beachte, daß (A.100) ein System von η homogenen, linearen Gleichungen angibt (das heißt, der konstante Ausdruck auf der rechten Seite ist null für alle Gleichungen). Will man eine nichttriviale Lösung υ φ 0 erhalten, dann muß die Determinante von (A —aI) verschwinden. det(A - α ϊ ) = 0

(A.101)

Die Gleichung (A.101) definiert ein Polynom vom Grade η in α und heißt charakteristische Gleichung. In der Regel wird diese Gleichung η Lösungen aufweisen, die die charakteristischen Wurzeln oder Eigenwerte genannt werden. Durch Umstellung der Gleichung (A.101) ist dem Eigenwert α, ein (bis auf ein skalares Vielfaches eindeutiger) Vektor υ, zugeordnet, für den Avi = vidi,

i=l,..., η

(Α. 102)

gilt. Der Vektor υ, heißt charakteristischer Vektor oder Eigenvektor. Für jedes α, determiniert die Gleichung (A.102) einen η χ 1-Spaltenvektor (Α ist eine η χ nMatrix, v, ein η χ 1-Vektor und α, eine Zahl). Diese Spaltenvektoren lassen sich in einer η χ η-Matrix V so anordnen, daß AV=VD,

(A.103)

gilt, wobei V die η χ η-Matrix der Eigenvektoren bezeichnet und D eine η χ η-Matrix mit den Eigenwerten als Diagonalelementen angibt. Wenn det(V) φ 0 gilt, wenn also die Eigenvektoren linear unabhängig sind, dann kann V invertiert werden und (A. 103) läßt sich umschreiben zu V~lAV = D.

(A.104)

Demnach erhält man eine Diagonalmatrix mit den Eigenwerten als Diagonalelementen, wenn die Matrix Α von links mit der Inversen von V und von rechts mit V selbst multipliziert wird. Diese Verfahrensweise wird als Diagonalisierung der Matrix Α bezeichnet, wobei sich das Resultat für die Lösung von Differentialgleichungssystemen als hilfreich erweist. Intuitiv läßt sich die Diagonalisierung einer Matrix als Bestimmung einer Menge von Achsen (einer Vektorbasis) interpretieren, für die der lineare Operator Α als Diagonalmatrix ausgedrückt werden kann. Die neuen Achsen entsprechen dann den Eigenvektoren. Der lineare Operator in bezug auf die transformierten Achsen ist durch die Diagonalmatrix der Eigenwerte gegeben. Außerdem sind zwei hilfreiche Ergebnisse festzuhalten. Erstens ist die Matrix der Eigenwerte nichtsingulär, das heißt det(V) φ 0, wenn sich alle Eigenvektoren unterscheiden. In diesem Fall existiert V - 1 und damit läßt sich die Matrix A diagonalisieren.

596

Anhang zu den mathematischen Methoden

Ein zweiter interessanter Satz besagt, daß die Determinante und die Spur (also die Summe aller Elemente auf der Hauptdiagonalen) der Diagonalmatrix mit der Determinante und der Spur der ursprünglichen Matrix übereinstimmen. Dieses Resultat ist dann nützlich, wenn man die Vorzeichen der Eigenwerte ermitteln möchte. Bezeichnet Α beispielsweise eine 2 χ 2-Matrix, dann läßt sich wie folgt feststellen, ob beide Eigenwerte das gleiche Vorzeichen aufweisen: Wenn die Determinante von Α negativ ist, dann ist auch die Determinante von D negativ. Da D diagonal angelegt ist, ergibt sich ihre Determinante aus dem Produkt der beiden Eigenwerte. Somit müssen die beiden Eigenwerte entgegengesetzte Vorzeichen aufweisen. Als Beispiel werden die Eigenwerte, und die Diagonalmatrix •Ί II/, die Ull· Eigenvektoren X-Jlg^lj _ / 0,06 er e 5en untersucht, die sich für die Matrix A ^ (Ζ) S ' · Beginne mit dem ~ 0,004 Gleichungssystem (.A-aI)v

= r°'°n6-nr

- Ί Η - ο . 0 - a j |_V2j

-0,004

(A.io5)

Dann muß für eine nichttriviale Lösung, für die ν φ 0 ist, gelten 0,06 — a -1 = 0. -0,004 0 - a Diese Gleichung bestimmt die charakteristische Gleichung α 2 —0,06 α —0,004 = 0, die für zwei Werte von α erfüllt ist: αϊ = 0,1 und a 2 = —0,04. Also lautet die zu Α gehörende Diagonalmatrix D =

0,1 0

0 -0,04

Um den Eigenvektor zu finden, der zu dem positiven Eigenwert αϊ = 0 , 1 gehört, wird α ι in (Α. 105) eingesetzt. 0,06-0,1 -0,004

-1 ' -0,1

υπ V2l

= 0

Diese Gleichung spezifiziert zwei Bedingungen für das Verhältnis zwischen un und v2i, nämlich - 0 , 0 4 vn - v2l = 0 und - 0 , 0 0 4 - 0,1 v2\ = 0. Die zweite Gleichung ist von der ersten linear abhängig und kann daher ignoriert werden. Somit ist die Lösung für Du und v2\ eindeutig bis auf eine Multiplikation beider Werte mit einem beliebigen Skalar. Normalisiert man Du auf eins, dann folgt v2\ = —0,04. Der erste Eigenvektor lautet demnach

^

.

Wird diese Vorgehensweise für cc2 = —0,04 wiederholt, dann läßt sich eine Relation zwischen v\2 und v22 ableiten: 0,1 v\2 — v22 — 0. Normalisiert man v\2 auf eins, dann folgt v22 = 0 , 1 . und der zweite Eigenvektor lautet

^

. Beide

5 Hilfreiche Ergebnisse aus der Analysis

597

Eigenvektoren sind linear unabhängig; die Matrix der normalisierten Eigenvektoren lautet V =

1 -0,04

1 0,1

Damit läßt sich V 1AV — D überprüfen, indem man die Inverse von V berechnet V

=

0,1/0,14 0,04/0,14

Dann ist es einfach nachzuweisen, daß V matrix D übereinstimmt.

5 5.1

1

—1/00,14] 1/0 ,14 J"

AV mit der oben angeführten Diagonal-

Hilfreiche Ergebnisse aus der Analysis Der Satz über implizite Funktionen

Mit f{x\,xi) wird eine bivariate Funktion in den reellen Raum bezeichnet, die zweimal stetig differenzierbar ist. Gleichzeitig gibt φ{χ\, xj) = 0 eine Gleichung an, die x\ und χι nur über f(x\, χι) enthält und die xi implizit als Funktion von x\ definiert: X2 = xiixi)· Als Beispiel läßt sich φ(χ\, X2) = f(x\, X2) — α = 0 mit einer Konstanten α anführen. Der Satz über implizite Funktionen besagt, daß die Steigung der impliziten Funktion xz(x\) durch d*2 d*i

=

3/(*I,*2)/3si df(xux2)/dx2

(A.106)

gegeben ist. Diese Gleichung ist unabhängig davon gültig, ob für X2{x\) eine geschlossene Lösung existiert oder nicht. Als Beispiel dienen die Funktion f(x 1,^2) = 3x\ — xi und die Gleichung = 3X| — X 2 — 1 = 0. In diesem Fall kann eine explizite Funktion xi{x\) = — 1 angegeben werden. Wendet man den Satz über implizite Funktionen nach (A.106) an, dann folgt Φ(Χι»XI)

dJf 2 / djti = —6jci / (—1) = 6*1. In dem Beispiel wird der Satz über implizite Funktionen nicht benötigt, um d j?2/d Xi zu berechnen, denn die Differentiation von x2(xi) = — 1 liefert unmittelbar 6x\. Dennoch ist der Satz hilfreich, wenn für X2(X\) keine Lösung in geschlossener Form existiert. Ein weiteres Beispiel bietet f(x\, X2) = log(jcj ) + 3 xfx2+eX2 und die Gleichung Φ(χ\,χ2) = log(xi) + 3 x ^ 2 + eXl —17 = 0, die Χ2 implizit als Funktion von x\ definiert. Eine explizite Funktion X2{x\) läßt sich nicht angeben. Dennoch kann

598

Anhang zu den mathematischen Methoden

man unter Anwendung des Satzes über implizite Funktionen die Ableitung dieser Funktion berechnen. dx2

_

\/x\ +

d*i ~

6*1*2

3;tf + ex2

Auch eine multivariate Version des Satzes über implizite Funktionen steht zur Verfügung. Angenommen, f{x\,... ,x„) bezeichnet eine n-variate Funktion in den reellen Raum, die zweimal stetig differenzierbar ist. Durch φ(χ\ , . . . , * „ ) = 0 wird eine Gleichung angegeben, die x\,..., xn nur über f(xi, ... ,xn) enthält und die xn implizit als Funktion von x\,..., x„_i determiniert: xn = xn{x\,..., jc„_i). Der Satz über implizite Funktionen führt zu folgenden Ableitungen der impliziten F u n k t i o n xn(x\,...,

5.2

xn-\)'· dx„ _

df/dx,

dXi

df/dXn

t"=l,...,n-l.

(A.107)

'

Der Satz von Taylor

Mit f(x) wird eine univariate Funktion in den reellen Raum bezeichnet. Der Satz von Taylor besagt, daß diese Funktion um einen Punkt x* durch ein Polynom η-ten Grades wie folgt approximiert werden kann: f ( x ) = f(x*)

+ i +

· (df/dx)\x.• (x-x*) ± . ( d

2

f / d x % . - ( x - x * )

2

L-

(A.108)

+ -.(d //d* )|i. - ( χ - χ * Ϋ +

···

+ - - ( d

Rn,

3

n!

n

3

f / d x

n

) \ . - ( x - X * y + *

wobei (d" // d x n ) | die n-te Ableitung von / nach χ an der Stelle jc* bezeichnet, η! die Fakultät von η angibt (η! = n(n— 1)·.. .-21)und Rn das Restglied ist. Der Ausdruck in (A. 108) wird unter Vernachlässigung von Rn die Taylor-Reihenentwicklung von fix) um x* genannt. Die Existenz des Restgliedes Rn deutet an, daß die TaylorEntwicklung keinen exakten Wert für f(x) liefert. Der Satz beschreibt die Bedingungen, unter denen die Approximation um so besser wird, je größer η ist. Die Genauigkeit der Taylorschen Formel - also die Größe des Restgliedes Rn - läßt sich überprüfen, indem die Approximation eines Polynoms berechnet wird. Als Beispiel wird ein Polynom dritten Grades verwendet, um f{x) — x3 in der Umgebung von eins zu approximieren. Man erhält χ3

= l 3 + (3 · l 2 ) · ( * - 1) + (6 · 1) • (* - l) 2 /2 + 6 •

(JC

- l) 3 /6 + R3

= 1 + (3* - 3) + 3 · (x2 - 2x + 1) + (;t3 - 3x 2 + 3x - 1) + R3 =

x3.

5 Hilfreiche Ergebnisse aus der Analysis

599

In diesem Fall ist das Residuum Λ 3 gleich null. In einem weiteren Beispiel wird ein Polynom vierten Grades für die Approximation der nichtlinearen Funktion e* um den Punkt null gewählt. e* = e° + e° · * + e°-(ΛΓ 2 /2) + e° -(;C 3 /6) + e°-(JC 4 /24) +

R4

= l + x+ (X2/2) + (x 3 /6) + (jc 4 /24) + R4 Die Approximation (also die Vernachlässigung von Rn) wird um so besser, je weiter der Wert von η steigt. Verwendet man ein Polynom ersten Grades, um eine Funktion um einen Punkt x* zu approximieren, so spricht man von einer Linearisierung der Funktion um x*. Analog läßt sich eine Funktion f ( x ) logarithmisch linearisieren, indem die TaylorEntwicklung von log[/(;t)] um die Stelle log(jt*) gebildet wird. Logarithmische Linearisierungen werden in diesem Buch wiederholt angewendet und eignen sich häufig für empirische Analysen. Abschließend läßt sich die zweidimensionale Version des Satzes von Taylor anführen. Mit f ( x 1, X2) wird eine zweimal stetig differenzierbare, reellwertige Funktion bezeichnet. Diese Funktion läßt sich durch nachstehende Reihenentwicklung zweiter Ordnung um den Punkt ( i j , x^) approximieren. f ( xx,x2)

=

(A.109) Die lineare Approximation von / um (χ*, x^) ergibt sich aus den ersten drei Summanden auf der rechten Seite der Gleichung (A.109).

5.3

Die Regel von l'Hopital

Mit f ( x ) und g(x) werden zwei reellwertige Funktionen bezeichnet, die zweimal stetig differenzierbar sind und deren Grenzwerte beide null sind, sofern χ gegen x* strebt, das heißt lim x _>. x .[/(x)] = l i m j ^ . f g M ] = 0. Damit liefert der Quotient f(x)/g(x) einen unbestimmten Ausdruck der Form 0/0, sofern χ gegen x* strebt. Die Regel von l'Hopital besagt (A.110) falls der Grenzwert des rechten Ausdrucks existiert. Sollte der rechte Quotient wiederum einen Ausdruck der Form 0 / 0 ergeben, dann kann die Regel von l'Hopital

600

Anhang zu den mathematischen Methoden

erneut mit der Hoffnung angewendet werden, daß ein bestimmbarer Ausdruck erreicht wird. Die Regel von l'Höpital läßt sich nicht nur auf unbestimmte Ausdrücke der Form 0/0 anwenden, sondern gilt auch für den unbestimmten Fall oo/oo. Die Regel trifft jedoch nicht zu, wenn f(x)/g(x) gegen unendlich divergiert, sofern χ gegen x* konvergiert. Als Beispiel wird f ( x ) = 2x und g(x) = χ betrachtet. Strebt * gegen 0, dann ergibt sich der Grenzwert des Quotienten f(x)/g(x) aus x-0 \g(x)J

5.4

x^o \g'(x)J

1

Partielle Integration

Um eine Funktion partiell zu integrieren, ist folgende Gleichung zu berücksichtigen, die sich auf die Ableitung des Produktes zweier zeitabhängiger Funktionen ui (i) und vi(t) bezieht. d(uit>2) = v2dvi +

v\dv2,

wobei d υι = ι/, (i) d t und dv2 = 14(0 d t sind. Durch Integration beider Seiten dieser Gleichung erhält man V\V2 = j ν2dni + j

v\dv2-

Eine einfache Umstellung liefert die Gleichung für die partielle Integration. J v2dv\ = V\V2 — J v\dv2

(A.lll)

Als Beispiel wird das Integral / 1 e' d t berechnet. Setzt man = t und d v\ = e' d t, dann liefert die Integration von d vi: υ\ = e'. Durch Differentiation von vi folgt dv2 — 1 · d t. Schließlich resultiert unter Verwendung der Formel für die partielle Integration (A. 111), J tc'dt = fe' — J e ' d i = ( f - l ) e ' .

5.5

Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

Mit / ( 0 wird eine stetige Funktion auf a < t < b bezeichnet. Ist F(t) = f f ( t ) d t das unbestimmte Integral von f(t), so daß F'(t) = f ( t ) ist, dann gilt für das bestimmte Integral f f(t)dt= f F'{t)dt = F(b)~ F(a). (A.112) Ja Ja Ein bestimmtes Integral läßt sich als Fläche unter der Funktion f{t) zwischen den Punkten α und b interpretieren (vgl. die Abbildung A.14).

5 Hilfreiche Ergebnisse aus der Analysis

601

Abbildung A.14 Das bestimmte Integral. Das bestimmte Integral entspricht der Fläche unter der Kurve zwischen den Integrationsgrenzen.

5.6

Regeln zur Differentiation von Integralen

DIFFERENTIATION NACH DER INTEGRATIONSVARIABLEN.

Die Bedingung

F'{t) — f ( t ) impliziert, daß die Ableitung eines unbestimmten Integrals nach der Integrationsvariablen t die Funktion f ( t ) selbst liefert. |

y

/(i)dfj

=

i [ F ( f ) ] =

F'(t)

=

/(/)

(A.113)

L E I B N I Z - R E G E L ZUR DIFFERENTIATION VON BESTIMMTEN INTEGRALEN.

Mit der Funktion F(a, b, c) wird das bestimmte Integral von f{c, t) bezeichnet, wobei α und b die untere und obere Integrationsgrenze sind und c einen Parameter der Funktion / angibt: F ( a , b , c ) =

/(c,i)di.

ί Ja

(A.114)

Ferner wird angenommen, daß die Funktion f(c, t) eine stetige partielle Ableitung nach c besitzt, f c = d f / d c . Damit ist die Ableitung von F nach c durch 9F de

rh

=f

f

c

(A.115)

(c,t)dt

Ja

gegeben. Die Ableitungen von F nach den Integrationsgrenzen lauten a/r ~db

a Γ rb

= ^ [ j * /(c.

f) d i ]

= /(c,

t ) [=b

= f(c,

b),

(A. 116)

rb

ϊ

=

έ [jf /(c ' 0 d f ] = _/(c' ° L = _/(c·a) •

(A.117)

602

Anhang zu den mathematischen Methoden

Kombiniert man die Gleichungen (Α. 115)-(A. 117), so ergibt sich die Leibniz-Regel der Integration. Sind α und b Funktionen von c fb(c)

F(c)=

/

f ( c , t)dt,

(A.118)

Ja(c)

dann lautet die Leibniz-Regel dF(c)

de

fb(c) =

Ja(c) Ja(c)

f

c

( c , t ) d t + f [ c , b ( c ) ] b ' ( c ) - f [ c , a ( c ) ] a ' ( c ) .

(A.119)

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13,14,68 231* 51 341 6,408,442 54*, 321*, 515 305 8,410 116, 160 124 401 6, 408,442 D

DeLong, J. Β Denison, E. F. Diamond, P. Diewert, W. Ε Dixit, Α. Κ Dolado, J Domar, Ε. D Dougherty, C Dowrick, S

8,444, 503, 504* 6,44,406 126, 134,149 405* 248, 248*, 280 341 11, 54 6,408,442 444 Ε

Easterlin, R. A Easterly, W. Elias, V. J Ethier, W. J

398,444 67,492*, 514* 6,409,442 248,248*

F Faig, Μ Farmer, R. E. A Feenstra, R. C Fischer, S Fisher, 1 Fraumeni, Β. Μ Fürstenberg, G. Μ. von

241 231* 407 70*, 109 11 6, 44,407 141*

G Caballe, J Caballero, R. J

241 317*

t Seitenzahlen, die mit einem * versehen sind, weisen auf eine Fußnote auf der betreffenden Seite hin.

Galor, 0 Gastil, R. D Geary, R. C Glaeser, E. L Gollop, F. Μ

57, 366* 388,510,511,537 126 397 6,44, 407

616

Verzeichnis der Autoren

Goria, A 341 Greenwood, J 376* Greenwood, Μ. J 342 Griliches, Ζ 314, 402, 404*, 406, 408-410 Grossman, G. Μ 15, 268, 274, 283*, 286, 286*, 310* Gulhati, R 312

L

Η

Harrod, R. F. 11,39,54 Hart, P. Ε 38 Hatton, T. J 340, 343 Hayashi, F. 142 Heckman, J. J 377* Helpman, Ε 8, 15, 268, 274, 283*, 286, 286*, 310*, 410 Henderson, J. V. 470 Hercowitz, Ζ 376* Heston, A 31*, 386,481, 481*, 489, 500, 503, 504, 514, 517, 519, 533 Hicks, J 39 Hirshleifer, J 207 Holst, B. van 399,400 Howitt, P. 15,48, 280, 283*

Ichino, A Inada, K.-1

I

341 20

J Jaffe, Α. Β 317* Jones, L. Ε 48, 188 Jones, R. W. 328* Jorgenson, D. W. . . . 6, 44,406, 408,442 Jovanovic, Β 310*, 317*, 327* Judd, K. L 260* Judson, R 100

Kaldor, Ν Keefer, P. Kendrick, J. W. Kimball, M. S King, R. G 537 Knack, S Knight, F. Η

Koopmans, T. C 13, 14, 68, 70* Kremer, Μ 145*, 176, 256 Krugman, P. 231*, 297*, 310*, 326, 327, 330 Kurz, Μ 49* Kuznets, S 5* Kydland, F. Ε 251

Κ

5, 100, 120 511, 511*, 537 210 158 98, 100, 377, 515, 516, 511, 511*, 537 11,15,46*

Lach, S Lee, F. C Lee, J.-W.

310*, 317* 401 360, 387, 488,493, 510, 533, 537 Leontief, W. 54 Levine, R 503,515,516,537 Lewis, W. A 57* Lichtenberg, F. 410 Lipsey, R. Ε 504 Londregan, J. Β 506 Lucas, R. E. . .xiv, 14, 15, 177, 200, 213, 231,232,245 Μ Maddison, A. . . . 6, 9,44,100, 388, 389, 391 Malthus, T. R 10,11,360 Mankiw, N. G 8,62,66,117*, 123*, 500, 503 Mansfield, Ε 314, 315,317* Manuelli, R. Ε 48, 188 Markusen, J. R 407 Mas-Colell, A 383 Matsuyama, Κ 231* Mauro, P. 511* McCallum, Β. T. 109, 251 Minhas, B . S 51 Mody, A 511* Molle.W. 399,400 Mulligan, C. Β 96, 126*, 222, 230 Murphy, Κ. Μ 57*, 134, 366* Ν Nallari, R Nelson, R. R Neumann, J. von Nguyen, D. T. Nyarko, Y.

312 310*, 315,490 46* 444 327*

Verzeichnis der Autoren

Ο OECD Ohyama, Μ

32 328* Ρ

Park, W. A Perotti, R Phelps, Ε. S Plosser, C. 1 Poole, Κ. T. Prescott, E. C

124 492*, 506 24, 64, 310*, 315,490 377 506 251 Q

Quah, D

38

R Ramsey, F. 11,68,70* Rapping, L 171 Razin, A 383 Rebelo, S. .. 15, 98, 100, 209, 377, 377*, 492*, 514* Reinganum, J. F. 263, 268, 289* Renelt, D 503 Rhee, C 141*, 145 Ricardo, D 11 Rivera-Batiz, L. A 251*, 264 Roback, J 470 Robinson, J 39 Rogerson, R 376* Romer, D 8,62, 66, 500, 503 Romer, P. M. . . . 14, 15,45,48,170, 248, 248*, 251*, 264, 312, 317, 409* Rustichini, A 231* Rybczinski, Τ. Μ 160 Ryder, Η. Ε 57 S Sachs, J 116, 160 Saint-Paul, G 197 Sala-i-Martin, X. . .8, 62, 96, 117*, 123*, 124, 184, 186*, 222, 230, 340, 342, 444, 448*, 453,456 Samuelson, P A 126, 149, 178 Santos, Μ. S 241 Sarel, Μ 510 Sayied, 1 386 Schmookler, J 171 Schultz, Τ. P. 360, 528

617

Schumpeter, J. A 11,280 Schwartz, Μ 314, 315,317* Searle, A. D 171 Segerstrom, P S 310* Shell, Κ 14* Sheshinski, Ε 13,15,170 Shleifer, A 57*, 512* Sidrauski, Μ 70*, 109 Smit, Η 399,400 Smith, A 11 Solow, R. Μ 12, 18, 21, 39, 51, 64, 402,404*, 406 Spence, Μ 248, 248*, 268, 280 Spiegel, Μ. Μ 491,508 Srinivasan, Τ. Ν 209*, 227 Stein, J. L 444 Stephens, P. W. 528 Stiglitz, J. Ε 248, 248*, 280 Stone, R 126 Streissler, Ε 444 Summers, L. H. . . . 141*, 145, 503, 504* Summers, R. .. 31*, 386,481, 481*, 489, 500, 503, 504, 514, 517, 519, 533 Swan, T.W. 12,18, 21 Τ Tamura, R Teece, D. J Temple, R Thompson, Ε. A Thomson, J Thörnqvist, L Tobin, J Trejo, S. J Tsiddon, D

366* 314,315,324 328* 187 145* 405 141 341, 342 297*, 326, 327

U Uzawa, H. .. 15, 39,125, 126, 200, 209*, 213, 227, 232 V Ventura, J Vishny, R. W. Vu.M.T.

160, 209* 57*, 512* 528 W

Wagner, S Wahl, J. Β

314,315,317* 360

618

Verzeichnis der Autoren

Weil, D. Ν 8, 62, 66, 366*, 500, 503 Weil, P. 132, 158, 344, 347 Welch, F. 134 Weltbank 517-519 Wheeler, D 511* Williamson, J. G 340, 343 Wood, A 505* Wright, R 376* Wright, Τ. P. 171 Χ Xie, D

231*

Y Yaari, Μ. Ε 128 Young, Allyn 11 Young, Alwyn . . . 6, 311, 328*, 409,442 Ζ Zejan, Μ

504

Sachverzeichnis

A/iT-Modell 4 5 ^ 8 , 164-168 Staat und Wachstum 177-187 Allgemeines Zoll- und Handelsabkommen (GATT) 323 Altruismus 157-159 Analyse, empirische Daten, internationale 481-537 Daten, regionale 443-480 Anuario Estadistico de Espana 399 Arbeit Angebot 333-381 Effekt auf Bevölkerungswachstum 406-407 Menge in Effizienzeinheiten 41 Wahl zwischen Arbeitszeit und Freizeit 376-381 Armutsfallen 57-60 Auswanderung siehe Wanderungen Β β (beta) siehe Konvergenzkoeffizient Bevölkerung 333-382 Daten siehe Daten, internationale; Daten, USA Wachstum 509-510 Beweis der monoton fallenden Wachstumsrate y-k für den Startwert £(0) < l · 104-106 Bildung 501-502, 507-509 Ausgaben, öffentliche 503 Daten siehe Daten, internationale; Daten, USA BIP siehe Bruttoinlandsprodukt Boden im Ramsey-Modell 108 Braun-Modell Wanderungen und Wachstum 350-361 Bruttoinlandsprodukt (BIP) Daten der Weltbank 517-519 Daten, langfristige 388 Wachstum in verschiedenen Ländern 1-4 Bruttoprodukt des Staates 448*

Budgetrestriktion einer Familie Bürokratie, Qualität der

367 511

CES

siehe Produktionsfunktion mit konstanter Substitutionselastizität CIES siehe Nutzenfunktion mit konstanter intertemporaler Substitutionselastizität Citibase 398 Cobb-Douglas Funktion 20 Modell 47 Dynamik des endogenen Wachstums im Übergang 188-192 learning-by-doing und Diffusion von Wissen 175-176 Produktionsfunktion 11 Geschwindigkeit der Konvergenz 43-45 Technik 30 D Daten 386-402, 4 1 2 ^ 4 2 internationale 399^02 Analyse, empirische . ..481-537 Bevölkerung 416-427, 431-440 Bildung 416-420 Bruttoinlandsprodukt 389-391, 412-416, 421-427, 431-437 Einkommen 437-440 Investitionsquote 391-397, 412-416 Lebenserwartung 412-416 Wachstum 482-488 Wanderungen 431-436 regionale Analyse, empirische .. .443-480 USA 397-399 Bevölkerung 424,428-430 Bildung 417

620

Sachverzeichnis

Bruttoinlandsprodukt 389, 397, 399,413, 4 2 4 , 4 2 8 ^ 3 0 Einkommen 428-430 Investitionsquote 413 Lebenserwartung 413,417 Wanderungen 428-430 Wachstum 441-442 Wachstumsrechnung 441^442 Weltbank zum Bruttoinlandsprodukt 517-519 Demokratie 510 Devisen Schwarzmarktaufschlag 505 Diagonalisierung von Matrizen 594-597 Dienstleistungen, staatliche 184-186 Einfluß auf Eigentumsrechte 186-187 Differentialgleichungen 539-572 erster Ordnung 541-548 Systeme linearer 548-572 Direktinvestition 323-326 Dispersion 444-448 US-Staaten 456 Dynamik im Übergang . . 26-29, 86-100 AAT-Modell 166-167 Braun-Modell mit Wanderungen 355-358 Geschwindigkeit 43-45 Modell der Geburtenwahl 369-375 Modell des endogenen Wachstums 187-194 Modell überlappender Generationen 156-157 Ramsey-Modell mit Wanderungen 347-350 Solow-Swan-Modell mit Wanderungen 338-339 Ungleichungsbeschränkungen für die Bruttoinvestition 234-237 Uzawa-Lucas-Modell . . . . 214-226 Ε ectoplasm 18 Effizienz, dynamische Effizienz und Goldene Regel 154-155

Eigenvektoren 594-597 Eigenwerte 594-597 Ein-Sektor-Modell physisches Kapital und Humankapital 168-170, 201-208 Übergangsdynamik mit Ungleichungsbeschränkungen für die Bruttoinvestition 234-237 Wachstum, endogenes . . . 163-197 Einkommen Daten siehe Daten, internationale; Daten, USA Japan 456 pro Kopf, Konvergenz und Dispersion 36-38 US 449-451 Einwanderung siehe Wanderungen Enteignung 511 Erfindungen siehe auch Innovation, technischer Fortschritt Klassifikation 38-42 Ersparnis einer Volkswirtschaft 9 optimale siehe Ramsey-Regel Euler-Gleichung 73-74

F&E

siehe Forschung und Entwicklung Fiskalpolitik, Ramsey-Modell 110 Forschung und Entwicklung (F&E) . . . 8, 38 Bestimmung der Aufwendungen für 290-293 Fortschritt, technischer, arbeitsvermehrender . . 63-64 Fruchtbarkeit siehe Geburtenrate G Galtons Trugschluß 37 Geburten 364 Geburtenrate 10, 509-510 Analyse, empirische 528-531 Wahl der 360-375 Gesetze, Verbindlichkeit der . . . 511-512 Gesundheit, Analyse, empirische 528-531

621

Sachverzeichnis

Gleichgewicht A if-Modell 165 der Welt 115-116 langfristiges Braun-Modell mit Wanderungen 355-358 Definition 22-23 Modell der überlappenden Generationen 153-154 Modell der Geburtenwahl 369-375 Ramsey-Modell 82-86 Ramsey-Modell mit Wanderungen 347-350 Solow-Swan-Modell mit Wanderungen 338-339 Uzawa-Lucas-Modell 214 Modell der überlappenden Generationen 151-153 Modell mit leaming-by-doing und Diffusion des Wissens . . . 173 Ramsey-Modell 80-82 Zinssatz, gegebener 142-145 Gleichungen, scheinbar unabhängige (SUR) 493 Goldene Regel Effizienz, dynamische . . . 154-155 Ineffizienz, dynamische . . . . 23-26 modifizierte 85* Η Hamilton-Funktion 583 in bezug auf den Barwert .. 72, 593 in bezug auf den Zeitwert 593 Verhalten über die Zeit 586 Harrod-Domar-Kontroverse 54-57 Harrod-Neutralität 39 Haushalte 69-77 AK-Modell 164 Modell der überlappenden Generationen 149-150 Modelle mit technischem Fortschritt 254-255 Modelle mit Verbesserungen der Produktqualität 295-297 Hicks-Neutralität 39 Humankapital 117-118, 502-503 Ein-Sektor-Modell 168-170, 201-208

Zwei-Sektoren-Modelle des endogenen Wachstums 200-244 I ICP . . . . siehe International Comparison Project Imitation 313-317 und Innovation 322-323 variierende Kosten der . . . 317-320 Inada-Bedingungen 19-20 Inflation, Ramsey-Modell 109 Initiator-Imitator-Modell 311-322 Innovation Anreiz zur 288-293 Forschung und Entwicklung in der Wachstumsrechnung 409-410 und Imitation 322-323 Verhalten der Imitatoren im nachfolgenden Land 313-317 Verhalten der Innovatoren im führenden Land . . . . 297-302, 312-313 Instabilität, politische 505-506 Institutionen, politische, Qualität der 511-512 International Comparison Project 386-388 Investition Anpassungskosten 138-147 brutto, nichtnegative 204-208 Bruttoinvestition, Ungleichungsbeschränkungen im Uzawa-Lucas-Modell 226-228 Daten siehe Daten, internationale; Daten, USA irreversible, Ramsey-Modell . . 107 private und öffentliche . . . 513-514 Verhalten der Unternehmen 138-142 Investitionsquote 503-504 Analyse, empirische 526-528 Κ Kapital

622

Sachverzeichnis

Akkumulation, Goldene Regel der 23-26 Einfluß auf das Bevölkerungswachstum 405-407 physisches 117-118 Ein-Sektor-Modell .. . 168-170, 201-208 Wachstumsrate des 219-222 Kapitalbestand grundlegende Bewegungsgleichung 21 Verhalten in einer kleinen Volkswirtschaft 114-115 Zeitpfad 92 Kapitalertragsquote 28 Kapitalmobilität 359-360 Koeffizienten, Stabilität der 507 Konsum Verhalten in einer kleinen Volkswirtschaft . . . . 114-115 Wachstumsrate 219 Konsumfunktion, Ramsey-Modell 76-77 Konvergenz 443^448 absolute 30-36 bedingte 12, 30-36 β 8,444 der europäischen Regionen 461-465 der japanischen Präfekturen 456-460 der US-Staaten 448^*54 der europäischen Regionen 461-465 der japanischen Präfekturen 456-461 der US-Staaten 448^55 Dispersion des Pro-KopfEinkommens 36-38 Modell mit technischer Diffusion 320-322 Ramsey-Modell 96 σ 444 der europäischen Regionen 465 der japanischen Präfekturen 460-461 der US-Staaten 455

Solow-Swan-Modell mit Wanderungen und Wanderungen Konvergenzgeschwindigkeit log-lineare Approximation Konvergenzkoeffizient, β Korruption, der Verwaltung Kosten der Kindererziehung . . . Kredite, Ramsey-Modell Kriegsausgaben

339-344 476-478 43-45 . .92-95 62, 122 511 365-366 72 513

L Länder in den Regressionen der Wachstumsraten 533 leaming-by-doing 173-177 Lebenserwartung 502 Lebensstandard 3 Leontief-Produktionsfunktion 54-57 Linearisierung nichtlinearer Systeme 566-568 Lösungen, numerische, Ramsey-Modell 95-100 Μ Marktgleichgewicht 80-82 Modelle mit technischem Fortschritt 254-255 Modelle mit Verbesserungen der Produktqualität 295-297 Marktwert der Unternehmen 294 Methode zur Elimination der Zeit . . . 96, 568-572 Modell AK siehe A/f-Modell Änderung der Technik Verbesserungen der Produktqualität 280-307 zunehmende Produktvielfalt 247-277 Armutsfallen 57-60 Cobb-Douglas siehe Cobb-Douglas-Modell Ein-Sektor siehe Ein-Sektor-Modell Generationen, überlappender 126, 148-159 Initiator-Imitator siehe Initiator-Imitator-Modell

Sachverzeichnis

learning-by-doing und Diffusion des Wissens 170-177 neoklassisches 19-20 Planungshorizont, endlicher 127-138 Ramsey . . . . siehe Ramsey-Modell Romer siehe Romer-Modell Solow-Swan . ..siehe Solow-SwanModell Überlastungen in der Produktion staatlicher Dienstleistungen 184-187 Untergang der Welt 161 unterschiedliche Techniken für Produktion und Bildung 209-230 Uzawa-Lucas siehe UzawaLucas-Modell Vielfalt an Konsumgütern 268-276 Vielfalt an Zwischenprodukten 248-268 Volkswirtschaft geschlossene, endlicher Horizont 118 offene, endlicher Horizont 119-125 Wachstum, endogenes .. 15,45-60 Übergangsdynamik .. . 187-194 Wanderungen siehe Braun zwei Produktionssektoren 209-212 Zwei-Sektoren-Modelle des endogenen Wachstums 200-244 Monopolgewinn 288-290 Monopolist, Forscher, Marktführer als 298-302 Monopolmacht, Verfall der . . . . 260-263 Ν Nachlaß 157-159 Nutzenfunktion Form mit Konsum und Arbeitsleistung 381-382 Ramseys intertemporal separierbare 11 Substitutionselastizität, konstante intertemporale 74

623

Ο Optimalität.... siehe Pareto-Optimalität Optimierung, statische 572-580 Output Verhalten in kleinen Volkswirtschaften .. 113-114 Wachstumsrate 223-225 Zeitpfad 92 Ρ Pareto-Ineffizienz Modell mit leaming-by-doing und Diffusion des Wissens : 174-175 Pareto-Optimalität 302-306 Modelle mit technischem Fortschritt 256-260 Phasendiagramm 86-87 Ein-Sektor-Modell mit co < (o* 236 mit ω > ω* 235 Geburtenmodell 370 Modell des endogenen Wachstums 192 mit CES-Technik 194 Ramsey-Modell 84 mit Wanderungen 349 Volkswirtschaft geschlossene, endlicher Horizont 132 offene, Anpassungskosten .. 143 offene, endlicher Horizont .. 136 Wanderungen als Entscheidungsvariable . . . 356 Planungsbehörde Probleme der .. 182-183, 256-260, 302-306 wohlwollende 82 Planungshorizont, unendlicher 157-159, 586-588 Politikfunktion 88 Population Trends 401 Präferenzen, Variationen der Parameter 125-127 Produktionsfunktion Cobb-Douglas 11 Leontief 54-57 neoklassische 19-20, 61

624

Sachverzeichnis

Substitutionselastizität, konstante (CES) 51-54, 64-65 Dynamik des endogenen Wachstums im Übergang 192-194 Produktivität, Abnahme der 7 putty 18

q, durchschnittlich und marginal 141 Qualitätsindex, aggregierter .. . 293-294 R Ramsey-Modell Faktor Boden 108 Fiskalpolitik 110 Gleichgewicht 80-82 langfristiges 82-86 Inflation 109 Investitionen, irreversible 107 Konsum, optimaler 68-106 Konsumfunktion 76-77 Konvergenz 96 Kredit, beschränkter internationaler 116-125 Linearisierung, logarithmische 101-102 Lösungen, numerische . . . . 95-100 Pfade, dynamische 99 Schulden 71 Staat und Wachstum 110 Unternehmen 77-80 Verhalten der Sparquote 88-91 Volkswirtschaft, offene . . . 111-116 Wanderungen 344-350 Ramsey-Regel der optimalen Ersparnis 73 Regel von l'Höpital 599-600 Rollenwechsel 326-328 Romer-Modell des technischen Wandels 264-268 rule of law 511-512

Satz über implizite Funktionen von Taylor

597-598 598

Schwarzmarktaufschlag für Devisen 505 shmoos 18 Skaleneffekte 514-515 Modell mit learning-by-doing und Diffusion von Wissen 176-177 Modell öffentlicher Produktionsleistungen 183-184 Solow-Neutralität 39 S olow-S wan-Modell 17-60 Dynamik 26-29 Fortschritt, arbeitsvermehrender technischer 40-42 Konvergenzkoeffizient 62 Wanderungen 334-344 Sparquote exogene 17-65 gegebene, Gleichgewicht einer geschlossenen Volkswirtschaft mit 146-147 Verhalten der 103-104 Cobb-Douglas-Fall 91 Ramsey-Modell 88-91 Uzawa-Lucas-Modell 225-226 spillover-Effekte 515 Staat Modell öffentlicher ProduktionsJeistungen 178-184 Nichtanerkennung von Verträgen 511 und Wachstum AÄf-Modell 177-187 Ramsey-Modell 110 Staatskonsum 504 Statistisches Jahrbuch für die Bundesrepublik Deutschland 401 steady state siehe Gleichgewicht, langfristiges Stone-Geary-Form 126 Stone-Geary-Präferenzen 108 Subventionen 258-260 SUR siehe Gleichungen, scheinbar unabhängige Systeme, lineare homogene 558-560 inhomogene 563-565

Sachverzeichnis

Τ Technik 173-177 Änderung 38-42 Modelle mit Verbesserungen der Produktqualität 280-307 Modelle mit zunehmender Produktvielfalt 247-277 Romer-Modell 264-268 arbeitssparende 39 arbeitsvermehrende 39 Diffusion der 310-329 Führerschaft 297-302 kapitalsparende 39 kapitalvermehrende 39 terms of trade 506 Tod, Ende einer Familiendynastie . . . 364 Transversalitätsbedingung . ..75-76, 585 Horizont, unendlicher 590-591 ü Übergangsdynamik .. siehe Dynamik im Übergang Überlastungen in der Produktion staatlicher Dienstleistungen 184-187 Übersparen 197 Unternehmen Generationen, überlappende . . . 151 Marktwert 294 Verhalten Α K-Modell 164-165 Modelle mit Verbesserungen der Güterqualität 282-294 Ramsey-Modell 77-80 US-Daten siehe Daten, USA U.S. Survey of Current Business . . . . 397 Uzawa-Lucas-Modell 213-228 Lösung 237-241 mit umgekehrten Faktorintensitäten 229-230 verallgemeinertes 228-229

Varianten der Konsumgüter und der Zwischenprodukte Vergleich der 275-276 Vermögen, Bruttovermögen Verhalten in einer kleinen Volkswirtschaft . . . . 114-115

Verteidigungsausgaben Volkswirtschaft geschlossene offene

625 513 118 119-125

W Wachstum endogenes Bedingungen im Uzawa-LucasModell 230-233 Bedingungen im Ein-SektorModell 194-197 Dynamik im Übergang .. 48-50 Modelle 45-60 Gewinner und Verlierer . . 482-485 Konsequenzen kleiner Abweichungen, langfristige Merkmale, empirische 5 Ursachen langsam und schnell wachsender Länder 520-525 Wachstumsraten Determinanten ΛΑΓ-Modell 167-168 Modelle mit technischem Fortschritt 255-256 internationale empirische Analyse . . . 488^493 Regressionsergebnisse 493-519, 533-537 Wachstumsrechnung 402-410 Daten 441^442 Erweiterungen zur Einbeziehung der Forschung und Entwicklung 409-410 Wachstumstheorie Geschichte der 11-16 Wahl zwischen Arbeitszeit und Freizeit 376-381 Wald-Test 503 Wanderungen Braun-Modell 350-360 Daten siehe Daten, internationale; Daten, USA Funktion der 336-338 Modelle des ökonomischen Wachstums 333-360 Ramsey-Modell 344-350

626

Sachverzeichnis

Solow-Swan-Modell 334-344 und Konvergenz 476-478 zwischen den europäischen Regionen 474-476 zwischen den japanischen Präfekturen 469-474 zwischen den US-Staaten 466-468 Weltwirtschaft Dynamik im Braun-Modell 358-359 Kredit, beschränkter internationaler 116-125 Wirtschaftspolitik Effekt auf das Wachstum 8 Experimente 29-30 Implikationen in Modellen mit learning-by-doing und Diffusion des Wissens 174-175 Ζ Zinssatz, gegebener Gleichgewicht für Zollsatz

142-145 510