Wendehorst Bautechnische Zahlentafeln [31., vollst. überarb. u. akt. Aufl.] 978-3-519-55002-0;978-3-663-11831-2

Table of contents :
Front Matter ....Pages ii-xvi
Mathematik (Otto W. Wetzell)....Pages 1-52
Bauzeichnungen (Otto W. Wetzell)....Pages 53-88
Vermessung (Rainer Joeckel, Henning Natzschka)....Pages 89-116
Bauphysik (Herwig Baumgartner)....Pages 117-238
Lastannahmen, Einwirkungen (Otto W. Wetzell)....Pages 239-354
Statik und Festigkeitslehre (Gerhard Haße)....Pages 355-446
Stahlbeton- und Spannbetonbau nach DIN 1045-1 (Wolfgang Krings)....Pages 447-572
Beton nach DIN EN 206-1 (Wolfgang Krings)....Pages 573-602
Stahlbau (Wolfram Lohse)....Pages 603-737
Holzbau nach DIN 1052 (Helmuth Neuhaus)....Pages 739-899
Glasbau (Bernhard Weller, Silke Tasche)....Pages 901-932
Mauerwerk und Putz (Walther Mann, Wolfram Jäger)....Pages 933-976
Räumliche Aussteifung von Geschoßbauten (Gerhard Haße)....Pages 977-1015
Geotechnik (Johannes Feiser)....Pages 1017-1118
Wasserwirtschaft (Ekkehard Heinemann, Andreas Strohmeier)....Pages 1119-1257
Abfallwirtschaft (Ernst Biener)....Pages 1259-1292
Verkehrswesen (Henning Natzschka)....Pages 1293-1428
Back Matter ....Pages 1429-1443

Citation preview

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das ultimative Finite Elemente Programm ~

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für Stahl, Stahlbeton, Glas usw. Spannungsanalyse Stahlbetonbemessung Stäbe und Schalen in einem Modell Verschneidung von beliebigen Flächen Rotationsschalen

für Stahl-, Holz- und Stahlbetonbau Dynamische Analyse Seile und Seilnetze Biegedrillknicken Biegeknicken ~ Beulen Verbindungsnachweise Querschnittswerte "' CAD-Anbindung Nachweise el/el und el/pl Visualisierung DIN 18800 " DIN 1045-1 DIN 1052 Eurocodes

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Mathematik

Seite 1 bis 52

1

Bauzeichnungen

Seite 53 bis 88

2

Vermessung

Seite 89 bis 116

3

Bauphysik

Seite 117 bis 237

4

Lastannahmen, Einwirkungen

Seite 239 bis 354

5

Statik und Festigkeitslehre

Seite 355 bis 446

6

Stahlbeton- und Spannbetonbau nach DIN 1045-1

Seite 447 bis 572

7

Beton nach DIN EN 206-1

Seite 573 bis 602

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Stahlbau

Seite 603 bis 738

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Holzbau nach DIN 1052

Seite 739 bis 900

10

Glasbau

Seite 901 bis 932

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Mauerwerk und Putz

Seite 933 bis 976

12

Räumliche Aussteifung von Geschossbauten

Seite 977 bis 1016

13

Geotechnik

Seite 1017 bis 1118

14

Wasserwirtschaft

Seite 1119 bis 1258

15

Abfallwirtschaft

Seite 1259 bis 1292

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Verkehrswesen

Seite 1293 bis 1428

17

Sachverzeichnis

Seite 1429 bis 1439

18

Wendehorst Bautechnische Zahlentafeln Herausgegeben von Prof. Dr.-lng. Otto W. Wetzeil in Verbindung mit dem DIN Deutsches Institut für Normung e.V.

Die erste Beispielsammlung _ _ _ __ zu allen Bauthemen

Wetzeil (Hrsg.)

Wendehorst Beispiele aus der Bau-Praxis Br. 380 S., 26,90 € ISBN 3-519-00489-5

Diese neue Beispielsammlung ist die ideale Ergänzung zu den Bautechnischen Zahlentafeln und enthält zahlreiche Aufgaben aus der Baupraxis für das Studium und die tägliche Anwendung. So werden in diesem Werk Aufgaben zur neuen DIN 1052 für den Holzbau, DIN 1053-1 für den Mauerwerksbau und DIN 1054 im Abschnitt Geotechnik gerechnet. Vor jedem Abschnitt sind die wichtigsten Formeln und Regeln zusammengefasst und geben so einen schnellen Überblick ins Thema.

Teubner

Wendehorst Bautechnische Zahlentafeln 31., vollständig überarbeitete und aktualisierte Auflage 2004

Herausgegeben von Prof. Dr.-lng. Otto W. Wetzell, Fachhochschule Münster in Verbindung mit dem DIN Deutsches Institut für Normung e.V. Bearbeitet von: Prof. Dipi.-Phys. Herwig Baumgartner, Hochschule für Technik, Stuttgart Prof. Dr.-lng. Ernst Biener, Fachhochschule Aachen Prof. Dr.-lng. Johannes Feiser, Fachhochschule Aachen Prof. Dr.-lng. Gerhard HaBe, Fachhochschule Münster Prof. Dr.-lng. Ekkehard Heinemann, Fachhochschule Köln Prof. Dr.-lng. Wolfram Jäger, Technische Universität Dresden Prof. Dr.-lng. Rainer Joeckel, Hochschule für Technik, Stuttgart Prof. Dr.-lng. Wolfgang Krings, Fachhochschule Köln Prof. Dr.-lng. Wolfram Lohse, Fachhochschule Aachen Prof. Dipl.-lng. Henning Natzschka, Fachhochschule für Technik, Stuttgart Prof. Dr.-lng. Helmuth Neuhaus, Fachhochschule Münster Prof. Dr.-lng. Andreas Strohmeier, Fachhochschule Aachen Prof. Dr.-lng. Bernhard Weller, Technische Universität Dresden Prof. Dr.-lng. Otto W. Wetzell, Fachhochschule Münster

Beuth Berlin ·Wien· Zürich

Teubner

Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH

Die Deutsche Bibliothek- CIP-Einheitsaufnahme Ein Titeldatensatz für diese Publikation ist bei der Deutschen Bibliothek erhältlich.

Prof. Dr.-lng. Otto W. Wetzeil studierte Bauingenieurwesen an der Technischen Hochschule in Hannover und der Stanford University in Palo Alto, Kalifornien. Er promovierte an der TU Hannover und war Partner einer Ingenieurssozietät als Beratender Ingenieur und Gutachter tätig. Danach ging Prof. Wetzeil an die spätere Fachhochschule Münster. Seine Lehrgebiete waren Baustatik und Datenverarbeitung. Als Autor und Herausgeber veröffentlichte er zahlreiche Fachbücher und Aufsätze.

1. Auflage 1934 26. Auflage 1994 27. Auflage 1996 28. Auflage 1998 29. Auflage 2000 30. Auflage 2002 31., vollst. überarb. u. akt. Auflage Oktober 2004

Additional material to this book can be downloded from http://extras.springer.com. Alle Rechte vorbehalten © Springer Fachmedien Wiesbaden 2004

Ursprünglich erschienen bei B. G. Teubner Verlag I GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2004 Softcover reprint of the hardcover31st edition 2004 www.teubner.de Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlags unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die DIN-Normen sind wiedergegeben mit Erlaubnis des DIN Deutsches Institut für Normung e.V.. Maßgebend für die Anwendungen jeder Norm ist deren Fassung mit dem neuesten Ausgabedatum, die bei der Beuth Verlag GmbH, Burggrafenstr. 6, 10787 Berlin, erhältlich ist. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Waren- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Umschlaggestaltung: Ulrike Weigel, www.CorporateDesignGroup.de Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier.

ISBN 978-3-663-11832-9 DOI 10.1007/978-3-663-11831-2

ISBN 978-3-663-11831-2 (eBook)

Die 31. Auflage dieses seit siebzig Jahren in Studium und Praxis bewährten und inzwischen für jeden Bauschaffenden unentbehrlichen Standardwerks der Bautechnik wurde auf der Grundlage der neuasten Ausgaben aller relevanten Normen und technischen Regelwerke überarbeitet und zeigt den aktuellen Stand der Technik. Bauschaffende in Ingenieur- und Planungsbüros, in Bauämtern und Baufirmen ebenso wie Lernende und Lehrende an Universitäten bzw. Technischen Hochschulen, Fachhochschulen und Fachschulen finden auf 1460 Seiten und der beiliegenden CD alles, was sie für ihre berufliche Tätigkeit brauchen. Ganz neu aufgenommen wurde ein Abschnitt Glasbau im Vorgriff auf die derzeit entstehende DIN V 18008. Der Abschnitt Lastannahmen, Einwirkungen beschreibt Eigen- und Nutzlasten nach DIN 1055-3: 2002-10, Schneelasten nach E DIN 1055-4: 2003-08, Eislasten nach DIN 1055-5: 2003-08 und natürlich Windlasten nach E DIN 1055-4:2001-4. Neu aufgenommen wurden Erdbebenlasten auf Hochbauten nach E DIN 4149: 2002-10. Der Abschnitt Statik und Festigkeitslehre wurde überarbeitet, wobei die traditionelle Darstellung wieder stärker berücksichtigt wurde. ln den Abschnitt Stahlbeton wurde das neue Heft 525 des DafStB eingearbeitet. Der Abschnitt Holzbau wurde auf der Basis der neuen DIN 1052 (2004) neu geschrieben, ebenso der Mauerwerksbau auf der Basis der DIN 1053-100 (2004) und die Geotechnik auf der Basis der DIN 1054: 2003-1 bzw. 2003-10 (Berichtigung). Wie bisher wurde nicht nur auf inhaltliche sondern ebenso auf formale Qualität überall besonderer Wert gelegt. Leichtigkeit und Schnelligkeit des Zugriffs auf häufig gebrauchte Formeln und Algorithmen hatten bei der Darstellung des Stoffes wieder höchste Priorität. Die beiliegende CD stellt praxis-bewährte professionelle Anwenderprogramme aus der Baustatik, bereit. Speziell für Studierende gibt es dort auch ein kleines multimediales Grundbau-Tutorium. Der Wunsch vieler "Wendehorst"-Benutzer nach mehr Beispielen wurde dadurch erfüllt, dass dem "Wendehorst" ein neuer Band an die Seite gestellt wurde: "Wendehorst: Beispiele aus der Praxis': Hier findet etwa der Neuling auf dem jeweiligen Gebiet all die Dinge, die ihm die Einarbeitung in den Stoff erleichtern. Insbesondere Studierenden des Bauingenieurwesens sei dieser neue Band ans Herz gelegt. Der "Wendehorst" selbst konnte so weiterhin von Dingen freigehalten werden, die ein schnelles Auffinden gesuchter Informationen eher erschweren würden. Verlag und Autoren sind seit Jahren bemüht, den Umfang des Wendehorst auf ein vernünftiges Maß zurückzuführen. Warum das sehr schwer ist zeigt u. a. ein Blick auf die ständig wachsenden Seitenzahlen neu erscheinender Normen. Was dort neu hinzukommt, muss auch hier seinen Niederschlag finden. Herzlich gedankt sei allen Benutzern des "Wendehorst" für ihre konstruktiven Anregungen zur Fortentwicklung dieses traditionsreichen Werkes. Verlag und Autoren werden auch weiterhin jeden Hinweis auf Möglichkeiten zur Verbesserung des Werkes gern entgegennehmen und bei der Vorbereitung der nächsten Auflage gebührend berücksichtigen. Münster/Ostbevern, im Sommer 2004

Otto W. Wetzeil

Prof. Dipi.-Phys. Herwig Baumgartner studierte Physik an der Universität Freiburg und war anschließend in einem bauphysikalischen Beratungsbüro tätig. Später wurde er an die Fachhochschule Stuttgart - Hochschule für Technik in den Fachbereich Bauphysik berufen, in dem er derzeit Dekan ist. Seine Fachgebiete sind Bau- und Raumakustik, Schwingungstechnik sowie allgemeine Bauphysik. Prof. Dr.-lng. Emst Biener war nach Studium und Promotion an der RWTH Aachen zunächst für einen internationalen Baukonzern im Bereich der Umwelttechnik tätig. Seit 1989 ist er Professor für Umwelttechnik im Fachbereich Bauingenieurwesen der Fachhochschule Aachen. Er ist außerdem von der IHK Aachen ö. b. u. v. Sachverständiger für Deponietechnik sowie Erkundung, Beurteilung und Sanierung von Grundwasser- und Bodenverunreinigungen und Beratender Ingenieur (lngenieurkammer BauNW). Als Mitglied zahlreicher Berufsverbände (DGGT, ATV, VKS etc.) sowie Geschäftsführer der Ingenieurgesellschaft Umtec GbR ist er Autor zahlreicher Veröffentlichungen in nationalen und internationalen Fachmedien. Prof. Dr.-lng. Johannes Feiser studierte Bauingenieurwesen an der RWTH Aachen und promovierte am dortigen Institut für Grundbau mit einem Thema aus dem Bereich der Felsmechanik. Er war danach in einer Ingenieurgesellschaft für Geotechnik in Aachen beschäftigt, anschließend als Geschäftsführer eines Geotechnikbüros in Neuss tätig und eingetragener Sachverständiger für Erd- und Grundbau nach DIN 1054. Seit 1996 ist er Professor an der Fachhochschule Aachen und vertritt dort die Lehrgebiete Geotechnik, Erd- und Tunnelstatik sowie Spezialtiefbau. Daneben bleibt er als Beratender Ingenieur und Geotechnischer Gutachter weiterhin in der Praxis aktiv. Prof. Dr.-lng. Gerhard Haße studierte Bauingenieurwesen an der Technischen Universität Berlin. Er promovierte während seiner sechsjährigen Tatigkeit als wissenschaftlicher Assistent an der TU Berlin mit einem Thema über den Einfluss zeitabhängiger Formänderungen auf vorgespannte statisch unbestimmte Verbundtragwerke. Vor, während und im Anschluss an diese Tatigkeit war er sowohl selbstständig als auch für verschiedene Bauunternehmen tätig. Auf eine Verwendung als Gutachter bei der Oberfinanzdirektion Münster folgte schließlich der Dienst als Hochschullehrer an der Fachhochschule Münster. Seine Lehrgebiete waren Massivbau, Stahlbau, Baustatik und Datenverarbeitung. Als Autor war er an mehreren Fachbüchern beteiligt. Prof. Dr.-lng. Ekkehard Heinemann studierte an der Ingenieurschule Siegen und der Technischen Hochschule Aachen Bauingenieurwesen. Anschließend war er als wissenschaftlicher Assistent am Aachener Institut für Wasserbau und Wasserwirtschaft tätig und promovierte auf dem Gebiet von Wirbelströmungen. Viele Jahre wurde er von einer Ingenieurgesellschaft hauptsächlich für Auslandsprojekte der Wasserkraft- und Talsperrenplanung eingesetzt. Seit 1990 vertritt er an der Fachhochschule Köln die Gebiete der Wasserwirtschaft und des Wasserbaus. Als Autor beteiligte er sich an zahlreichen Fachbeiträgen und Büchern. Prof. Dr.-lng. Wolfram Jäger studierte Bauingenieurwesen an der Technischen Universität Dresden und an der Moskauer Bauhochschule (MISt) und promovierte in Dresden am Lehrstuhl für Baumechanik der Stabtragwerke und Bauwerksoptimierung. Professor Jäger hat viele Jahre als Beratender Ingenieur, als Prüfingenieur und Leiter eines größeren Bauunternehmens gearbeitet und - neben zwei Fachbüchern in englischer Sprache - mehr als sechzig wissenschaftliche Aufsätze veröffentlicht zu Themen aus dem Bauwesen, insbesondere dem Holz- und Mauerwerksbau. Er ist Mitglied in mehreren Fachausschüssen und -gremien des DIN und des Deutschen Instituts für Bautechnik sowie Mitglied des Redaktionsbeirates der Zeitschrift .,das Mauerwerk': Professor Jäger ist Inhaber des Lehrstuhls für Tragwerksplanung der Fakultät Architektur der TU Dresden. Prof. Dr.-lng. Rainer Joeckel studierte an der Universität Stuttgart Geodäsie. Nach der Assistentenzeit am Geodätischen Institut Stuttgart promovierte er über ein Thema der Messtechnik. Nach anschließender Tatigkeit in der Vermessungsverwaltung in Baden-Württemberg und bei der Stadt Stuttgart erfolgte die Berufung an die Fachhochschule Stuttgart - Hochschule für Technik. Seine Fachgebiete sind Vermessungskunde, Präzisionsmesstechnik, Elektronisches Messen und Geodätische Positionsbestimmung. Er ist Autor zahlreicher wissenschaftlicher Veröffentlichungen, Fach- und Lehrbücher.

Prof. Dr.-lng. W. Krings studierte nach einem Ingenieurschulstudium in Essen an der neu gegründeten Ruhr-Universität Bochum Bauingenieurwesen. Er promovierte dort mit einem Finite-Element Thema und war anschließend 15 Jahre bei einer großen Baufirma als Statiker, Entwicklungsingenieur, Abteilungsleiter und als Geschäftsführer einer Tochtergesellschaft tätig. Seit 1990 ist er an der Fachhochschule Köln, und er vertritt dort die Lehrgebiete Mechanik, Baustatik und Massivbau. Zahlreiche Veröffentlichungen über Dynamik, Finite Element Methoden, Schalenstatik, Altlastensanierung und Berechnungsmethoden im Massivbau. Seit 2001 Ehrenprofessor der Staatlichen Akademie für Architektur und Bauwesen in Wolgograd. Prof. Dr.-lng. Wolfram Lohse studierte an der Universität Karlsruhe Bauingenieurwesen und promovierte dort am Lehrstuhl für Stahl- und Leichtmetallbau über ein Thema aus dem Stahlbrückenbau. Während seiner Assistentenzeit entstanden u. a. zahlreiche wissenschaftliche Gutachten über Schadensfälle im Stahlbau und zur Restnutzungsdauer von Eisenbahnbrücken. Anschließend wechselte er in die Stahlbauindustrie als Technischer Leiter und Leiter des Verkaufs und ließ sich zum Schweißfachingenieur ausbilden. Ab 1985 ist er Professor für Stahlbau und Baustatik an der Fachhochschule Aachen und nebenberuflich tätig als Gutachter und Tragwerksplaner im eigenen lngenieurbüro. 1998 wurde er zum Prüfingenieur für Baustatik ernannt und zwei Jahre später auch zum Prüfer für bautechnische Nachweise im Eisenbahnbau. Diese nebenberufliche Tätigkeit übt er seit 2001 als geschäftsführender Gesellschafter in der Ingenieurgemeinschaft Genähr & Partner in Dortmund aus. Prof. Dipl.-lng. Henning Natzschka studierte Bauingenieurwesen an der Universität Fridericiana (TH) Karlsruhe und durchlief anschließend eine Referendarausbildung bei der Straßen- und Wasserbauverwaltung Baden-Württemberg, Abschluß Regierungsbaumeister. Langjährige Arbeit als Mitglied im Vorstand eines Straßenbauamtes und als Leiter der Neubauabteilung )/ogelfluglinie" des Landesamtes für Straßenbau Schleswig-Holstein haben ihn mit allen Fragen der Planung, Ausführung und Unterhaltung von Verkehrswegen und Verkehrswegebauten in engste Berührung gebracht. Professor Natzschka ist Leiter der Labore Bituminöser Straßenbau und Informatik im Bauwesen der Hochschule für Technik, Stuttgart, sowie des Josephvon-Egle-lnstituts. Außerdem leitet er ein Ingenieurbüro für Straßen- und Verkehrsplanung. Er ist Mitglied mehrerer Forschungsgremien, Verfasser des Lehrbuchs .. Straßenbau - Entwurf und Bautechnik" und Autor von mehr als vierzig wissenschaftlichen Veröffentlichungen in Fachzeitschriften. Prof. Dr.-lng. Helmuth Neuhaus studierte Bauingenieurwesen an der Ruhr-Universität Bochum. Er promovierte an der Ruhr-Universität Bochum mit einem Thema aus dem Holzbau. Danach war er in der Bauabteilung einer Anlagenbaufirma tätig. 1986 ging er an die Fachhochschule Münster. Seine Lehrgebiete sind Holzbau und Bauphysik. Als Autor und Mitautor veröffentlichte er zahlreiche Aufsätze und ein Fachbuch. Er ist öffentlich bestellter und vereidigter Sachverständiger der IHK Münster für das Sachgebiet Holzbau. Prof. Dr.-lng. Andreas Strohmeier studierte an der RWTH-Aachen Bauingenieurwesen. Dort promovierte er auch während seiner wissenschaftlichen Assistententätigkeit mit einem Thema zum Leistungsvermögen von Abwasserbehandlungsanlagen. Er war in verschiedenen international tätigen lngenierunternehmen beschäftigt, unter anderem über 7 Jahre in einem der weltweit größten Wasser- und Abwasseraufbereitungsunternehmen. ln Führungspositionen übernahm er praktische Ingenieurtätigkeiten aus dem Bereich der Wasser- und Abwassertechnik. Seit 1994 ist er Professor an der Fachhochschule Aachen im Fachbereich Bauingenieurwesen für das Lehrgebiet ..Wasserversorgung und Abwassertechnik': Parallel zu seinen Ingenieurtätigkeiten ist er Autor zahlreicher internationaler Fachaufsätze. Prof. Dr.-lng. Bemhard Weller studierte Bauingenieurwesen mit Vertiefung Konstruktiver Ingenieurbau an der Technischen Hochschule Aachen. Später war er als Beratender Ingenieur tätig mit anschließender Promotion. Nach seiner Professur für Tragwerksplanung an der Fachhochschule Frankfurt/Main ist er jetzt am Lehrstuhl für Baukonstruktionslehre an der Technischen Universität Dresden und dort seit 2002 außerdem Direktor des Instituts für Baukonstruktion. Prof. Dr. Otto W. Wetzeil studierte Bauingenieurwesen an der Technischen Hochschule in Hannover und an der Stanford University in Palo Alto, Kalifornien. Er promovierte an der TU Hannover mit einem Thema aus der Mechanik und war dann als Partner einer Ingenieursozietät als Beratender Ingenieur und Gutachter tätig. 1968 ging er an die spätere Fachhochschule Münster. Seine Lehrgebiete waren Baustatik und Datenverarbeitung. Als Autor und Herausgeber veröffentlichte er zahlreiche Fachbücher und Aufsätze.

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SI-Einheiten sind nur die Basiseinheiten (Tafel 1) und die daraus kohärent (mit dem Zahlenfaktor 1) abgeleiteten Einheiten (Beispieles. Tafel 2). Tafel 1 51-Basiseinheiten Basisgröße Name das das die das das das die

Länge Masse Zeit elektrische Stromstärke thermodynamische Temperatur Stoffmenge Lichtstärke

Basiseinheit Zeichen

Meter Kilogramm Sekunde Ampere Kelvin 1) Mol Candela

m kg

s

A

K mol cd

1) Bei Angabe von Celstus- Temperaturen wird der besondere Name CelSIUS (Etnheitenzeichen: 'C) anstelle von Kelvin benutzt. Tafel 2 Größe

Abgeleitete SI - Einheiten mit besonderem Namen und Zeichen SI-Einheit Beziehung Name Zeichen

ebener Winkel Raumwinkel Kraft Druck, mechanische Spannung Energie, Arbeit, Wärmemenge Leistung, Wärmestrom Lichtstrom Beleuchtungsstärke

der Radiant der Steradiant das Newton das Pascal das Joule das Watt das Lumen das Lux

rad sr N Pa J

w Im lx

1 rad=1 1 sr =1 1 N =1 1 Pa =1 1 J =1 1 W =1 1 Im =1 1 lx =1

m/m m2/m2 kg · m/s 2 N/m 2 N ·m=1 W-s J/s cd-sr lm/m 2

Tafel 3 Faktor

International festgelegte Vorsätze (SI - Vorsätze) Vorsatz Faktor Vorsatz Faktor Vorsatz Faktor Vorsatz Name Zeichen Name Zeichen Name Zeichen Name Zeichen 10 18 Atto a 10 6 Mikro 101 Deka 10 9 Giga da G IJ 1 o-1• Femto 10- 3 Milli m f 10 2 Hekto h 10 12 Tera T 1 o-12 Piko 10-2 3 15 p c p Zenti 10 Kilo k 10 Peta 10-1 106 18 1o·• Nano n d Dezi 10 Exa Mega M E

Das Vorsatzzeichen bildet zusammen mit dem Einheitenzeichen, mit dem es ohne Zwischenraum geschrieben oder gesetzt wird, das Zeichen einer eigenen Einheit. Tafel 4

Einheiten außerhalb des SI

Größe

Einheitenname

ebener Winkel

Vollwinkel Gon Grad Minute Sekunde

Volumen

Liter

Zeit

Minute Stunde Tag Gemeinjahr

Masse

Tonne

Druck

Bar

1) Ntcht mtt Vorsatzen verwenden.

Einheitenzeichen -

gon

}> "

L min) h 1) d a t bar

Definition 1 Vollwinkel=21t rad 1 gon= (n/200) rad 10 = (n/180) rad 1' =(1/60) 0 1" ={1/60)' 1L

=1 dm 3

1 min=60s 1 h =60min 1 d =24h 1 a =365 d=8760 h 1t

=10 3 kg=1 Mg

1bar=105 Pa

1 Mathematik Bearbeitet von Prof. Dr.-lng. Otto W. Wetzeil

Inhalt

Seite

Tafeln

3

1.1 1.2 1.3

Dekadische und natürliche Logarithmen Trigonometrische Funktionen (Argument in Gradmaß) Kreisabschnitt

3 4 6

2 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 2.10 2.11

Arithmetik Rechnen mit physikalischen Größen Potenzen Wurzeln Logarithmen Binomischer Satz Reihen Zinseszins- und Rentenrechnung Investitionsrechnung Gleichung zweiten Grades (quadratische Gleichung) Nullstellen von Polynomen n-ten Grades (Gleichung n-ten Grades) Horner-Schema

7 7 8 8 8 9 9 10 11 13 13 14

3

Lineare Algebra

14

3.1 3.2 3.3 3.4

Determinanten Vektoren Matrizen Lineare Gleichungssysteme

14 15 19 21

4

Trigonometrie

24

5

Geometrie

25

5.1 5.2

Geometrie der Ebene Geometrie des Raumes

25 27

6

Analytische Geometrie der Ebene

29

6.1 6.2 6.3 6.4

Punkt in verschiedenen Koordinatensystemen Zwei und mehr Punkte Gerade Kegelschnitte

29 30 31 31

7

Differenzialrechnung

32

7.1 7.2 7.3 7.4

Grundlagen Rechenregeln Ableitungen elementarer Funktionen Partielle Ableitungen

32 33 33 34

8

Integralrechnung

34

8.1 8.2 8.3

Bestimmtes Integral Unbestimmtes Integral Rechenmethoden der Integralrechnung

34 34 35

Fortsetzung s. nächste Seite

Mathematik Inhalt, Fortsetzung 8.4 8.5 8.6

Seite

Numerische Integration Grundintegrale Integrationsformeln

35 35 36

9

Anwendungen der Differenzial- und Integralrechnung

38

9.1 9.2 9.3 9.4 9.5 9.6 9.7 9.8

Tangente und Normale der Kurve einer Funktion Eigenschaften der Kurven von Funktionen Nullsteilen einer Funktion f(x) Krümmung, Krümmungsradius, Krümmungskreis Unbestimmte Ausdrücke Geometrische Größen Differenzieren und Integrieren in Polarkoordinaten Potenzreihen

38 38 38 38 39 39 41 41

10

Differenzialgleichungen

42

10.1 10.2 10.3 10.4 10.5

Begriffe Trennung der Veränderlichen Lineare DGI. mit konstanten Koeffizienten Differenzenverfahren Allgemeines Lösungsverfahren für lineare DGL

42 42

11

Statistik, Fehlerrechnung

46

11.1 11.2

Statistik Fehlerrechnung

46 51

43

44 44

Mathematische Zeichen nach DIN 1302 (12.99) =(#)

gleich (ungleich); "" identisch gleich

~("")

ähnlich, proportional; (rund, etwa) entspricht (kongruent) parallel (nicht parallel) rechtwinklig zu, senkrecht zu Dreieck (Winkel) kleiner als (größer als) Komma (und so weiter bis) Prozent, vom Hundert, 1 % = 10-2 f(x) Promille, vom Tausend, 1%o = 10-3 plus (minus); · x mal Iim Iim f(x) durch, geteilt durch, zu; in Formeln/ und : nur zur Platzersparnis./auch "je" x-a gelesen, z. B. MN/m 2 = Meganewton je Quadratmeter d

'"') II 1-ltl

-

j_

L'l (1:)


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+ (-) -/:

n

II X;

I: yr

Summe; Grenzbezeichnungen: n-te Wurzel aus i oder j imaginäre Einheit= v'=1 Logarithmus zur Basis a loga lg = log 10; ln =log.; lb = log 2 n Fakultät n! = 1 · 2 .. .n n!

(~)

Produkt über x; von i gleich 1 bis n

1=1

Jn LX;

i=1

n

I:

k=1

n über k fvon x; Funktion der Veränderl. x Limes, Grenzwert = b bedeutet: f(x) strebt gegen den Grenzwert b, wenn xsich in beliebiger Weise dem Wert a nähert Differenzialzeichen Integral; ff Doppelintegral Summe über x; von i gleich 1 bis n

Zahlenwerte einiger wichtiger Konstanten Konstante

Zahlenwert

Jt

Jt/180 n;/(60 ·180) Jt/(602 • 180) Jt/200 1)

2

= arc =arc = arc = arc

3,141592654 0,017453293 1° 1' 0,000290888 1" 0,000004848 1 gon 0,015707963

Kehrwert

Konstante

0,318309886 e 57,29577951 lg e 3437,7468 g') 206264,81 V9 63,66197723 nj"ßj

Zahlenwert

Kehrwert

2,718281828 0,434294482 9,80665 3,13156 1,00320

0,367879441 2,302585093 0,10197 0,31933 0,99681

Fallbeschleunigung in m/s 2 in Meereshöhe und 45° geographischer Breite

1 Tafeln

1 Tafeln Zur Interpolation in den Tafeln (äquidistante Stützstellen) benutze man die Interpolationsformel von Newton (Anfangsformel):

,__._, lineare Interpolation

quadratisches Korrekturglied

Y = Yo + u • (y, - Yo) + 0,5 · u · ( u- 1) · (Y2 - 2y, + Yo) Die letzte Ziffer des Ergebnisses ist unsicher. Beispiel

ln 5,56 = ?

u = 5 •56 - 5 •50 = o 6 0,1

~X 1-~=-'""~-6-x~

'

ln 5,56 = 1,70475 + 0,6 · 0,01802

X-Xn

+ 0,5. 0,6 . ( -0.4) . ( -0,00032)

u=~

6x

= 1,70475+0,01081 +0,00004= 1,71560

Bild 1

1.1

Dekadische und natürliche Logarithmen

X

lgx 0,00000 0,04139 0,07918 0,11394 0,14613 0,17609 0,20412 0,23045 0,25527 0,27875 0,30103 0,32222 0,34242 0,36173 0,38021 0,39794 0.41497 0.43136 0,44716 0.46240 0.47712 0,49136 0,50515 0,51851 0,53148 0,54407 0,55630 0,56820 0,57978 0,59106 0,60206

1,0 1,1 1,2 1,3 1.4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0 2,1 2,2 2,3 2.4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3,0 3,1 3,2 3,3 3.4 3,5 3,6 3,7 3,8 3,9 4,0

lnx 0,00000 0,09531 0,18232 0,26236 0,33647 0.40547 0.47000 0,53063 0,58779 0,64185 0,69315 0,74194 0,78846 0,83291 0,87547 0,91629 0,95551 0,99325 1,02962 1,06471 1,09861 1,13140 1,16315 1,19392 1,22378 1,25276 1,28093 1,30833 1,33500 1,36098 1,38629

X

4,0 4,1 4,2 4,3 4.4 4,5 4,6 4,7 4,8 4,9 5,0 5,1 5,2 5,3 5.4 5,5 5,6 5,7 5,8 5,9 6,0 6,1 6,2 6,3 6.4 6,5 6,6 6,7 6,8 6,9 7,0

lgx 0,60206 0,61278 0,62325 0,63347 0,64345 0,65321 0,66276 0,67210 0,68124 0,69020 0,69897 0,70757 0,71600 0,72428 0,73239 0,74036 0,74819 0,75587 0,76343 0,77085 0,77815 0,78533 0,79239 0,79934 0,80618 0,81291 0,81954 0,82607 0,83251 0,83885 0,84510

lnx 1,38629 1,41099 1.43508 1.45862 1,48160 1,50408 1,52606 1,54756 1,56862 1,58924 1,60944 1,62924 1,64866 1,66771 1,68640 1,70475 1,72277 1,74047 1,75786 1,77495 1,79176 1,80829 1,82455 1,84055 1,85630 1,87180 1,88707 1,90211 1,91692 1,93152 1,94591

X

7,0 7,1 7,2 7,3 7,4 7,5 7,6 7,7 7,8 7,9 8,0 8,1 8,2 8,3 8.4 8,5 8,6 8,7 8,8 8,9 9,0 9,1 9,2 9,3 9.4 9,5 9,6 9,7 9,8 9,9 10,0

lg X 0,84510 0,85126 0,85733 0,86332 0,86923 0,87506 0,88081 0,88649 0,89209 0,89763 0,90309 0,90849 0,91381 0,91908 0,92428 0,92942 0,93450 0,93952 0,94448 0,94939 0,95424 0,95904 0,96379 0,96848 0,97313 0,97772 0,98227 0,98677 0,99123 0,99564 1,00000

lnx 1,194591 1,96009 1,97408 1,98787 2,00148 2,01490 2,02815 2,04122 2,05412 2,06686 2,07944 2,09186 2,10413 2,11626 2,12823 2,14007 2,15176 2,16332 2,17475 2,18605 2,19722 2,20827 2,21920 2,23001 2,24071 2,25129 2,26176 2,27213 2,28238 2,29253 2,30259

Zur Ennittlung der dekadischen Logarithmen Alle Zahlen mit derselben Ziffernfolge haben dieselbe Mantisse. Die Kennziffer ist stets ganzzahlig; sie kann mit der Kennzifferregel ermittelt werden; diese lautet (b = Numerus): für b?. 1: Die Kennziffer ist um 1 niedriger als die Stellenzahl vor dem Komma, d. h.: 0 für b = 1 bis 9; 1 für b = 10 bis 99; 2 für b = 100 bis 999 usw. für b < 1: Die (negative) Kennziffer ist gleich der Anzahl der Nullen vor der ersten geltenden Ziffer, z. 8.: -4 für b = 0,000457 ... lnterpolationsfonnel Y= Yo+u· (y,- Yo) +0,5· U· (u-1) · (Y2 -2y, + Yo)

X-Xo U=--

/1x

3

Mathematik

1.2 X

Grad 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45

Trigonometrische Funktionen (Argument in Gradmaß) sinx

tan x

0,00000 0,01745 0,03490 0,05234 0,06976 0,08716 0,10453 0,12187 0,13917 0,15643 0,17365 0,19081 0,20791 0,22495 0,24192 0,25882 0,27564 0,29237 0,30902 0,32557 0,34202 0,35837 0,37461 0,39073 0,40674 0,42262 0,43837 0,45339 0,46947 0,48481 0,50000 0,51504 0,52992 0,54464 0,55919 0,57358 0,58779 0,60182 0,61566 0,62932 0,64279 0,65606 0,66913 0,68200 0,69466 0,70711

0,00000 0,01746 0,03492 0,05241 0,06993 0,08749 0,10510 0,12278 0,14054 0,15838 0,17633 0,19438 0,21256 0,23087 0,24933 0,26795 0,28675 0,30573 0,32492 0,34433 0,36397 0,38386 0,40403 0,42447 0,44523 0,46631 0,48773 0,50953 0,53171 0,55431 0,57735 0,60086 0,62487 0,64941 0,67451 0,70021 0,72654 0,75355 0,78129 0,80978 0,83910 0,86929 0,90040 0,93252 0,96569 1,00000

cosx

cotx

X

90 89 88 87 86 85 84 83 82 81 80 79 78 77 76 75 74 73 72 71 70 69 68 67 66 65 64 63 62 61 60 59 58 57 56 55 54 53 52 51 50 49 48 47 46 45 X

Grad

Grad 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90

sinx

tanx

0,70711 0,71934 0,73135 0,74314 0,75471 0,76604 0,77715 0,78801 0,79864 0,80902 0,81915 0,82904 0,83867 0,84805 0,85717 0,86603 0,87462 0,88295 0,89101 0,89879 0,90631 0,91355 0,92050 0,92718 0,93358 0,93969 0,94552 0,95106 0,95630 0,96126 0,96593 0,97030 0,97437 0,97815 0,98163 0,98481 0,98769 0,99027 0,99255 0,99452 0,99619 0,99756 0,99863 0,99939 0,99985 1,00000

1,00000 1,03553 1,07237 1'11061 1,15037 1,19175 1,23490 1,27994 1,32704 1,37638 1,42815 1,48256 1,53986 1,60033 1,66428 1,73205 1,80405 1,88073 1,96261 2,05030 2,14451 2,24604 2,35585 2,47509 2,60509 2,74748 2,90421 3,07768 3,27085 3,48741 3,73205 4,01078 4,33148 4,70463 5,14455 5,67128 6,31375 7,11537 8,14435 9,51436 11,43005 14,30067 19,08114 28,63625 57,28996

cosx

cotx

00

45 44 43 42 41 40 39 38 37 36 35 34 33 32 31 30 29 28 27 26 25 24 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

X

Bild 2

:n:

0

y=tan x

X

Bild4

y=col x

X

Grad BildS

Winkelumrechnungen 1 Vollwinkel = 6,28318 ... rad = 360° = 400 gon 1 gon = 15,70796 .... 1o- 3 rad = 0,9° 1o = 17,45329 ... ·10- 3 rad = 1,1 gon 1' = 290,8882 ... · 10-6 rad = 0,016° = 18,518 mgon 1" = 4,84813 .... 10-6 rad = 0,00027° = 0,308641 ... mgon 1 rad = 0,1591549 ... Vollwinkel = 63,6619 ... gon = 57,2957 ... = 3437,74 .. .1 = 206264,8 .. .11 0

4

27r

Bild 3

1 Tafeln Trigonometrische Funktionen (Argument in Gonmaß), Fortsetzung y=arcsinx

X

Bild 6

y=arccosx

,'1

i

X

:-1 / :

-+---

--+

:," 2 \ 1::3 --~ Bild 7

y=arctanx -------~

,,-

3-------

li ______ 2 2 1

_K ------2

-2

----

------3t~~~~---­

Bild 8

y=orccot x

-2 ' ..... ,

__

Bild 9

sin (-a) = -sin a cos(-a) =cosa tan (-a) = -tan a cot (-a) = -cot a

X

Gon

sinx

tanx

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

0,00000 0,01571 0,03141 0,04711 0,06279 0,07846 0,09411 0,10973 0,12533 0,14090 0,15643 0,17193 0,18738 0,20279 0,21814 0,23345 0,24869 0,26387 0,27899 0,29404 0,30902 0,32392 0,33874 0,35347 0,36812 0,38268 0,39715 0,41151 0,42578 0,43994 0,45399 0,46793 0,48175 0,49546 0,50904 0,52250 0,53583 0,54902 0,56208 0,57501 0,58779 0,60042 0,61291 0,62524 0,63742 0,64945 0,66131 0,67301 0,68455 0,69591 0,70711

0,00000 0,01571 0,03143 0,04716 0,06291 0,07870 0,09453 0,11040 0,12633 0,14232 0,15838 0,17453 0,19076 0,20709 0,22353 0,24008 0,25676 0,27357 0,29053 0,30764 0,32492 0,34238 0,36002 0,37787 0,39593 0,41421 0,43274 0,45152 0,47056 0,48989 0,50953 0,52947 0,54975 0,57039 0,59140 0,61280 0,63462 0,65688 0,67960 0,70281 0,72654 0,75082 0,77568 0,80115 0,82727 0,85408 0,88162 0,90993 0,93906 0,96907 1,00000

cosx

cotx

sin (rr =t= a) = ±sin a cos (rr =f a) = -cos a tan (rr 'f a) = 'ftan a cot (rr 'f a) = 'fCOt a

X

100 99 98 97 96 95 94 93 92 91 90 89 88 87 86 85 84 83 82 81 80 79 78 77 76 75 74 73 72 71 70 69 68 67 66 65 64 63 62 61 60 59 58 57 56 55 54 53 52 51 50 X

Gon

Gon

50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

sin x

tanx

0,70711 0,71813 0,72897 0,73963 0,75011 0,76041 0,77051 0,78043 0,79016 0,79968 0,80902 0,81815 0,82708 0,83581 0,84433 0,85264 0,86074 0,86863 0,87631 0,88377 0,89101 0,89803 0,90483 0,91140 0,91775 0,92388 0,92978 0,93544 0,94088 0,94609 0,95106 0,95579 0,96029 0,96456 0,96858 0,97237 0,97592 0,97922 0,98229 0,98511 0,98769 0,99002 0,99211 0,99396 0,99556 0,99692 0,99803 0,99889 0,99951 0,99988 1,00000

1,00000 1,03192 1,06489 1,09899 1,13428 1,17085 1,20879 1,24820 1,28919 1,33187 1,37638 1,42286 1,47146 1,52235 1,57575 1,63185 1,69091 1,75319 1,81899 1,88867 1,96261 2,04125 2,12511 2,21475 2,31086 2,41421 2,52571 2,64642 2,77761 2,92076 3,07768 3,25055 3,44202 3,65538 3,89474 4,16530 4,47374 4,82882 5,24218 5,72974 6,31375 7,02637 7,91582 9,05789 10,57889 12,70620 15,89454 21,20495 31,82052 63,65674

cosx

cotx

00

50 49 48 47 46 45 44 43 42 41 40 39 38 37 36 35 34 33 32 31 30 29 28 27 26 25 24 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 X

Gon

sin (2rr- a) = -sin a cos (2rr- a) = cos a tan (2rr- a) = -tan a cot (2rr- a) = -cot a

5

Mathematik

1.3

Kreisabschnitt

Bogenlänge b, Bogenhöhe h, Sehnenlänge 5 , Schwerpunktslage e, Fläche A, Öffnungswinkel a (Bogenmaß)

~ = ,:0. - (~ in Grad)

a

.

h=~- (1 2

5

{ii

= 4. arcsm VCi= 2 · arctan -cos !!..)

= d • si n !!.. = 2

=.2_· (d- Vd2- 52)

2 2 2 . v'"h--7( d.,.-_...,h""')"

d

\

: \

'f---------+---------~~-r

A

h

d

0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,10 0,11 0,12 0,13 0,14 0,15 0,16 0,17 0,18 0,19 0,20 0,21 0,22 0,23 0,24 0,25 0,26 0,27 0,28 0,29 0,30 0,31 0,32 0,33 0,34 0,35 0,36 0,37 0,38 0,39 0.40 0,41 0,42 0,43 0,44 0,45 0,46 0,47 0,48 0,49 0,50

6

a Grad 22,96 32,52 39,90 46,15 51 ,68 56,72 61,37 65,72 69,83 73,74 77,48 81,07 84,54 87,89 91,15 94,31 97,40 100.42 103,37 106,26 109,10 111,89 114,63 117,34 120,00 122,63 125,23 127,79 130,33 132,84 135,33 137,80 140,25 142,67 145,08 147,48 149,86 152,23 154,58 156,93 159,26 161,59 163,90 166,22 168,52 170,82 173,12 175,42 177,71 180,00

5

d 0,1990 0,2800 0,3412 0,3919 0,4359 0.4750 0,5103 0,5426 0,5724 0,6000 0,6258 0,6499 0,6726 0,6940 0,7141 0,7332 0,7513 0,7684 0,7846 0,8000 0,8146 0,8285 0,8417 0,8542 0,8660 0,8773 0,8879 0,8980 0,9075 0,9165 0,9250 0,9330 0,9404 0,9474 0,9539 0,9600 0,9656 0,9708 0,9755 0,9798 0,9837 0,9871 0,9902 0,9928 0,9950 0,9968 0,9982 0,9992 0,9998 1,0000

b

d

0,2003 0,2838 0,3482 0.4027 0,4510 0,4949 0,5355 0,5735 0,6094 0,6435 0,6761 0,7075 0,7377 0,7670 0,7954 0,8230 0,8500 0,8763 0,9021 0,9273 0,9521 0,9764 1,0004 1,0239 1,0472 1,0701 1,0928 1,1152 1,1374 1,1593 1,1810 1,2025 1,2239 1,2451 1,2661 1,2870 1,3078 1,3284 1,3490 1,3694 1,3898 1,4101 1,4303 1,4505 1,4706 1,4907 1,5108 1,5308 1,5508 1,5708

e

d 0,0040 0,0080 0,0120 0,0161 0,0201 0,0241 0,0282 0,0322 0,0363 0,0404 0,0444 0,0485 0,0526 0,0567 0,0608 0,0650 0,0691 0,0732 0,0774 0,0816 0,0857 0,0899 0,0941 0,0983 0,1025 0,1067 0,1110 0,1152 0,1195 0,1237 0,1280 0,1323 0,1366 0,1410 0,1453 0,1496 0,1540 0,1584 0,1628 0,1672 0,1716 0,1760 0,1805 0,1850 0,1895 0,1940 0,1985 0,2031 0,2076 0,2122

.

:~·-a(:.d~~n~a%sl~

Fa

co: !!..\

3 a-sina

2

5

d _ 2h

2)

=~-~12A

cos!!..

2

• d 5·h = 8d . (a- sma) = 4· (b- 5) +-2-

A (j2 0,00133 0,00375 0,00687 0,01054 0,01468 0,01924 0,02417 0,02944 0,03501 0,04088 0,04701 0,05339 0,06000 0,06683 0,07387 0,08111 0,08854 0,09613 0,10390 0,11182 0,11990 0,12811 0,1 3846 0,14494 0,15355 0,16226 0,17109 0,18002 0,18905 0,19817 0,20738 0,21667 0,22603 0,23547 0,24498 0,25455 0,28418 0,27386 0,28359 0,29337 0,30319 0,31304 0,32293 0,33284 0,34278 0,35274 0,36272 0,37270 0,38270 0,39270

2

h

d

0,51 0,52 0,53 0,54 0,55 0,56 0,57 0,58 0,59 0,60 0,61 0,62 0,63 0,84 0,65 0,66 0,67 0,68 0,69 0,70 0,71 0,72 0,73 0,74 0,75 0,76 0,77 0,78 0,79 0,80 0,81 0,82 0,83 0,84 0,85 0,86 0,87 0,88 0,89 0,90 0,91 0,92 0,93 0,94 0,95 0,96 0,97 0,98 0,99 1,00

a Grad 182,29 184,85 186,88 189,18 191,48 193,78 196,10 198.41 200,74 203,07 205,42 207,77 210,14 212,52 214,92 217.33 219,75 222,20 224,67 227,16 229,67 232,21 234,77 237,37 240,00 242,66 245,37 248,11 250,90 253,74 256,63 259,58 262,60 265,69 268,85 272,11 275.46 278,93 282,52 286,26 290,17 294,28 298,63 303,28 308,32 313,85 320,10 327,48 337,04 360,00

5

d 0,9998 0,9992 0,9982 0,9968 0,9950 0,9928 0,9902 0,9871 0,9837 0,9798 0,9755 0,9708 0,9656 0,9600 0,9539 0,9474 0,9404 0,9330 0,9250 0,9165 0,9075 0,8980 0,8879 0,8773 0,8660 0,8542 0,8417 0,8285 0,8146 0,8000 0,7846 0,7684 0,7513 0,7332 0,7141 0,6940 0,6726 0,6499 0,6258 0,6000 0,5724 0,5426 0,5103 0,4750 0,4359 0,3919 0,3412 0,2800 0,1990 0,0000

b

d

1,5908 1,6108 1,6308 1,6509 1,6710 1,6911 1,7113 1,7315 1,7518 1,7722 1,7926 1,8132 1,8338 1,8546 1,8755 1,8965 1,9177 1,9391 1,9606 1,9823 2,0042 2,0264 2,0488 2,0714 2,0944 2,1176 2,1412 2,1652 2,1895 2,2143 2,2395 2,2653 2,2916 2,3186 2,3462 2,3746 2,4039 2,4341 2,4655 2,4981 2,5322 2,5681 2,6061 2,8467 2,6906 2,7389 2,7934 2,8578 2,9413 3,1416

e

d 0,2168 0,2214 0,2261 0,2308 0,2355 0,2402 0,2449 0,2497 0,2545 0,2593 0,2842 0,2690 0,2739 0,2789 0,2839 0,2889 0,2939 0,2990 0,3041 0,3093 0,3144 0,3197 0,3250 0,3303 0,3357 0,3411 0,3466 0,3521 0,3577 0,3633 0,3691 0,3748 0,3807 0,3866 0,3927 0,3988 0,4050 0.4113 0,4177 0,4242 0,4308 0,4376 0,4445 0,4517 0,4590 0,4665 0,4743 0,4823 0,4908 0,5000

A (j2 0.40270 0,41269 0,42268 0,43266 0,44262 0,45255 0,46247 0,47236 0,48221 0,49203 0,50180 0,51154 0,52122 0,53085 0,54042 0,54992 0,55936 0,56873 0,57802 0,58723 0,59635 0,60538 0,61431 0,62313 0,63185 0,84045 0,64893 0,65728 0,66550 0,67357 0,68150 0,68926 0,69686 0,70429 0,71152 0,71856 0,72540 0,73201 0,73839 0,74452 0,75039 0,75596 0,761 23 0,76616 0,77072 0,77486 0,77853 0,78165 0,78407 0,78540

2

1 Arithmetik

2 Arithmetik 2.1

Rechnen mit physikalischen Größen

Eine physikalische Größe (kurz: Größe) beschreibt eine messbare Eigenschaft eines physikalischen Phänomens (Körper, Vorgänge, Zustände); ein spezieller Wert einer Größe ist ein Größenwert. Größenwert = Zahlenwert (Maßzahl) · Einheit Beispiel L= 5 m = {!}. [!] = Zahlenwertvon L. Einheit von L {!} = 5 [!] = m Eine physikalische Gleichung stellt eine Beziehung zwischen Größen oder Einheiten oder Zahlenwerten dar. Eine Größengleichung stellt eine Beziehung zwischen Größen dar und gilt unabhängig von der Wahl der Einheiten und sollte vorwiegend benutzt werden. Beispiel

v = sjt

M = q!2/8

f = FL 3 /(3 EI)

Eine Einheiteng I e i eh u n g gibt die zahlenmäßige Beziehung zwischen Einheiten an. Beispiel

1 m = 100 cm

1 kN = 1000 N

1 N = 1 kg m s- 2

Eine Za h I e nwe rtg I e i eh u n g gibt die Beziehung zwischen Zahlenwerten von Größen an und erfordert immer die Angabe der Einheiten, für die die Zahlenwerte gelten. Beispiel

{ v} = 3,6 ~ ~~

mit

v in km/h, s in m, t in s

Mit {s} = 450 und {t} = 30 wird v=54km/h

{v} = 3,6 450 =54 30

Das Auswerten von Größengleichungen erfordert im allgemeinen das Einsetzen der gegebenen Größenwerte in der Form: Zahlenwert · Einheit. Beispiel

Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks mit Grundseite g =3m und Höhe h = 400 cm. Allgemein: A = 0,5 g h = 0,5. 3 m. 400 cm = 600 m cm = 6 m 2 Einheitengerecht A = 0,5 g h = 0,5 · 3 m · 4 m = 6 m 2 Kurzform: A = 0,5 g h = 0,5. 3. 4 =6m 2 Bei der üblichen Kurzform wird einheitengerecht eingesetzt; Einheiten werden jedoch bei der Zwischenrechnung nicht geschrieben; Endergebnis hat Einheit.

Beispiel Auswertung der Größengleichung f = FL3 /(3 EI) mit F=20kN, !=3m, E=2,1·107 Njcm 2,I=2,517dm 4 . Einheitengerecht (N, cm): f=

2·104 N·33 ·10 6 cm 3 3. 2,1 ·107 Njcm 2 . 2,517 ·104 cm 4

2. 33 . 104+6-7-4 N cm3 cm2 = 3,41. 3 · 2,1 · 2,517 N cm 4

10-1

cm

Kurzform (N, cm): wie vor; Einheiten jedoch nur beim Endergebnis. Die Einheit des Ergebnisses kann man wie folgt überprüfen:

~

[!f_] ~ N cmcm3 cm 2

[f] ~ 3 EI ~

N

4

cm

Merke: Eine Größengleichung gilt unabhängig von der Wahl der Einheiten. Einheiten in eckiger Klammer zu schreiben ist nicht normgerecht

7

Mathematik

2.2

Potenzen

U·U·U·

. · a = a"

a 1 =a

a0

=1

Faktoren) a = Basis, n = Potenzexponent, a" =Potenz

(n

(a

op 0)

u-n

= _2_ a"

Rechenregeln mit m, n, a, b reell

a". b"

p. a" ± q. a" = (p ± q) a"

2.3

=

(a. b)"

Wurzeln

b = y'ä = a 11m, wenn bm = a und a > 0, m positiv ganz a =Radikand, m = Wurzelexponent, b =Wurzel Rechenregeln mit

a, b reell, n, m positiv ganz, a > 0

p V'i) ± q V'i) = (p

± q) V'i)

( y'a)" = \l(iii = afn

y'a. V'i)

=

Yfa6

y'a. y1a = mytam+n

y'a = mytan-m m!ifi. = myta = •J?a VIa V yU V yU .jji · j mit j = V=-1 = imaginäre Einheit

y'a = m@_ 'V'b ViJ

vCä = ...)a( -1) = .jji · J=-1 = j 2 = -1; j 3 = -j; = +1; allgemein j 4n+k = jk (n ganzzahlig; k = 0, 1,2,3).

t

2.4

Logarithmen

r = log 0 b, wenn a' = b und a, b > 0, a # 1; a = Basis, r = Exponent = Logarithmus, b = Numerus

a, b, n, m reell alog,b = b log 0 1 = 0 log 0 a = 1 log 0 0 = -oo log 0 ( cd) = log 0 c + log 0 d loga c" = n loga c 1019 b = b

Rechenregeln mit

log 0 (~) = log 0 c - log 0 d

log 0

Dekadische Logarithmen log 10 b

V'C = _2_ m

mit e = Iim (1 n--+oo

+ ~) n= n

Binärlogarithmen log 2 b

e 1"

b

= b

= lg b

lg (c-10") = lg c+ lg 10" = lg c+ n Natürliche Logarithmen Ioge b

log 0 c

lg (c·10-m) = lg c+ lg 10-m= lg c- m

= ln b

2,718281828

= lb b

Umrechnung der Logarithmen mit verschiedenen Blasen

lo

ga

b= log. b log 5 a

Es gilt ab=

8

eb·lna

1 loga b = Iogb a

mit

a

ln b lg b = 2,302585093 = 0,434294482 ln b

> 0 und b reell

1 Arithmetik

2.5

Binomischer Satz

k! = 1 · 2 · 3 · ... · k

k positiv ganz,

.,k-Fakultät"

k! :::::l (k/e)k v'2itk für k » 1 n)_n(n-1)(n-2)· ... ·(n-k+1) ( k!

k-

"n .. ber u

0! = 1

k"

=Binomialkoeffizient mit k positiv ganz und n reell

(gleich viele Faktoren in Zähler und Nenner).

(~)=(~)= 1

(7)=(n~1)=n

(Z) = 0 für k > n und k, n positiv ganz .. (kn) = (n _nk ) = k!(nn!_ k)! ur k , n pos1t1v ganz f ..

Binomischer Satz

(a + b)n = =

(für n positiv ganz und a, b reell)

(~)an+ (

7) an- b + ( ~) an-2 b 1

2

E (n) an-kbk k

+ ... + ( n

~ 1)

abn- 1 + (

~) bn

k=O

(a ± b) 2 = a 2

± 2ab+ b 2

(a ± b) 3 = a3

± 3a 2 b+3ab2 ± b 3

Näherungsformeln

(1 + x)n :::::l 1 + nx

wenn

1- :::::l1- nx wenn -(1 + x)n (a+ b)" :::::lan(1 + n

~)

« jnxj « jnxj

wenn

J1+X:::::l1 +x/2 wenn

1

1

--:::::l1-x/2 wenn

vn:x

1

jnbj

«1 jxj « 1

jxj

«a

Beispiele y'1 ,004"' 1 + 0,004/2 = 1,002

J9,27 =

y'9(1

+ 0,03) "'3 ·1,015 =

3,045

Teilbarkeit

2.6

Reihen

Arithmetische Reihe d = a;+ 1 - a; = Differenz zwischen 2 benachbarten Gliedern, a 1 = Anfangsglied, an= a 1 + (n + 1) d = Endglied, a; = (a;_ 1 +a;+ 1 )/2 = arithmetisches Mittel. Interpolation von m Gliedern zwischen a und b > a: d = (b- a)j(m + 1) Sn= a 1 + (a1 + d) + (a 1 + 2d) + ... + [a 1 + (n- 2) dJ + [a, + (n- 1) dJ

9

Mathematik Geometrische Reihe q = a;+ 1 (a; = Quotient zwischen 2 benachbarten Gliedern, a 1 = Anfangsglied, an= a 1 qn- = Endglied, a; = Ja;_ 1 · a;+ 1 = geom. Mittel.

Interpolation von m Gliedern zwischen a und b > a: q =

m+\(bf(i

Endliche geometrische Reihe ...2

Sn= a, +a,q+a,.., + ... +a,q

n-2

n-1

+a,q

n-l ; =I: a,q = a, i=O

Unendliche geometrische Reihe S= lim

n~oo

.f!--. n(n+1) t1 f=~-2~-

P otenzsummen

.f!-- .2

;:;,

1

=

Sn=~ 1- q

qn- 1 -1

q-

für jqj < 1

n(n+1)(2n+1) 6

Beziehung zwischen arithmetisches und geometrisches Mittel

(a+ b)/2 >

2.7

Vli5 a "# b a,b > 0

Zinseszins- und Rentenrechnung

Ist p = Zinsfuß in %, q = 1 + p/100 = Zinsfaktor, K0 = Anfangskapital = Barwert 8 0 , Kn = Kapital nach n Jahren = Endwert und R = jährliche Rate bzw. Rente, so gilt bei jährlicher Verzinsung:

Kn = K0 • qn

Aufzinsungsfonnel

Kn = R qn - 1

Rente nachschüssig Barwertformel

vorschüssig

q-1

qn -1 Kn=R·q-q- 1

8 0 = Kn/qn

Hieraus erhält man die jährliche Abschreibungssumme A = Reines nach n Jahren erlöschenden Wertes Kn (z. B. eines Baugerätes, Bauwerkes usw.) zu:

A

q-1 A q-1 = Kn 1 bzw. in Prozent des Neuwertes 100 · -Kn = 100 · 1. ~~-

Die Änderung von K0 durch Einzahlungen (+) bzw. Abhebungen (-) beträgt: nachschüssig: Kn = K0 • qn

± R qn -

1

Stetige Verzinsung Kn = K0 • e-&n

Beispiel

vorschüssig: Kn =

q- 1

Ko · qn ± R · q qn -

Wachstumsfunktion y = y0 • ekt (k = "Wachstumsrate'; t = Zeit)

Eine Anfangsschuld K0 = 10000 € soll in monatlichen Raten (= Annuität = Zinsen +Tilgung) R = 416 € (nachschüssige Verzinsung), Zinssatz p = 8,5 %, getilgt werden.

Ko · q"- R(qn -1)/(q-1) dabei ist q

=

0,

= 1 + p/12 = 1,0070833 (monatliche Abzahlung)

n = ln (R/[R- Ko(q- 1)]) = ln (416/(416- 10000 · 0,0070833)) ln q

K2s

=

Ko · q 26

-

ln 1,0070833

26.4

R(q2 6 -1)/(q-1)

= 12 014,36- 11 830,21 = 184,15 € 27. Rate: 184,15 . 1,0070833

10

1

q- 1

=

185.45 €

(Restschuld nach 26 Raten)

1 Arithmetik

2.8

Investitionsrechnung

Wirtschaftlichkeitsvergleiche bei der Planung von baulichen Anlagen erfolgen anhand einer statischen oder dynamischen lnvestitionsrechnung. Statische Investitionsrechnung aufgrund von Jahreskosten.

Jahreskosten J =

H

T+

p·H+ b

H Herstellkosten in € 8 Betriebskosten in €/a Lebensdauer in Jahren p Zinssatz, bezogen auf ein Jahr

in €ja

Die mit obiger Gleichung ermittelten Jahreskosten stimmen nicht mit den tatsächlichen Kosten überein: Jährliche Preissteigerungen der Betriebskosten bleiben unberücksichtigt; obwohl jährlich auch getilgt wird, werden Zinsen für die vollen Herstellkosten über die gesamte Lebensdauer berechnet; hat ein Teil der Anlage eine kürzere Lebensdauer als die Gesamtanlage, so wird angenommen, dass zum ursprünglichen Preis reinvestiert wird. Dynamische Investitionsrechnung aufgrund des Gegenwartswertes. Der Gegenwartswert G einer Zahlung Z, die erst in n Jahren fällig ist, wird mit der Barwertformal ermittelt:

G=Zjq"

mit

q=1+p=1+Zinssatz

Wird bei der Ermittlung des Gegenwartswertes einer Anlage berücksichtigt, dass im allgemeinen die laufenden Betriebskosten jährlich steigen und dass unter Umständen eine Reinvestition eines Teiles der Anlage erforderlich ist, wenn nämlich dessen Lebensdauer geringer ist als der Planungszeitraum, so wird: Herstellkosten bei Inbetriebnahme (t=O) in DM 8 Jährliche Betriebskosten bei Inbetriebnahme (t = 0) in € 9H Gegenwartswertfaktor der Herstellkosten ga Gegenwartswertfaktor der Betriebskosten H

Gegenwartswert einer Anlage

G=H·gH+B·ga

S)W·l (-1 q 9H =

(~Y- 1 +

r 9a=q

(')" q -

-1

!__1 q

(=in€)

sW·l(qn-w·l _ 1) qn L(ql -1)

q"-r" =rq"(q-r)

q Zinsfaktor (= 1 + Zinssatz) Jährlicher Steigerungsfaktor der Herstellkosten (5 = 1 für n s l) r Jährlicher Steigerungsfaktor der Betriebskosten

5

lim 9H =

s~q

w+

1 _ qW·l-n 1- q

1

lim 9B = n

r~q

Lebensdauer einer Anlage in Jahren

n Planungszeitraum in Jahren w [n/l] =Anzahl (ganzzahlig, abgerundet) der in n Jahren voll abgeschriebenen Erstinvestitionen und Reinvestitionen

11

Mathematik Beispielhaft sind in den beiden folgenden Tabellen

9~-r

und ga-Faktoren angegeben.

Gegenwartswertfaktoren 9H der Herstellkosten

n

L

a

a

30 15

30 20

30 25

30 35 30 40 45 50

s

q

1,04 1,05 1,06 1,07 1,08 1,04 1,05 1,06 1,07 1,08 1,04 1,05 1,06 1,07 1,08 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00

1,03 2,1560 2,3344 2,5383 2,7709 3,0361 1,6956 1,8423 2,0181 2,2285 2,4797 1,3349 1,4254 1,5391 1,6817 1,8602 1,0000 0,9122 0,8480 0,7994 0,7618

1,04 2,0000 2,1544 2,3307 2,5320 2,7614 1,5968 1,7227 1,8736 2,0540 2,2695 1,2850 1,3620 1,4588 1,5802 1,7321 1,0000 0,9265 0,8737 0,8346 0,8049

1,05 1,8663 2,0000 2,1528 2,3271 2,5259 1,5117 1,6196 1,7489 1,9037 2,0885 1,2418 1,3072 1,3893 1,4923 1,6212 1,0000 0,9388 0,8959 0,8649 0,8421

1,06 1,7515 1,8675 2,0000 2,1512 2,3236 1,4384 1,5309 1,6417 1,7742 1,9326 1,2047 1,2600 1,3295 1,4167 1,5258 1,0000 0,9494 0,9148 0,8906 0,8733

1,07 1,6527 1,7535 1,8686 2,0000 2,1497 1,3754 1,4546 1,5495 1,6630 1,7985 1,1728 1,2195 1,2782 1,3518 1,4440 1,0000 0,9584 0,9308 0,9121 0,8992

1,08 1,5677 1,6554 1,7555 1,8698 2,0000 1,3213 1,3891 1,4703 1,5674 1,6834 1,1456 1,1849 1,2344 1,2964 1,3740 1,0000 0,9660 0,9441 0,9297 0,9202

1,09 1,4944 1,5707 1,6579 1,7575 1,8709 1,2749 1,3328 1,4023 1,4854 1,5847 1,1224 1,1555 1'1971 1,2492 1,3145 1,0000 0,9723 0,9550 0,9442 0,9372

1,10 1,4311 1,4977 1,5737 1,6605 1,7594 1,2351 1,2847 1,3441 1,4151 1,5000 1,1028 1,1305 1,1654 1,2092 1,2640 1,0000 0,9775 0,9640 0,9558 0,9508

1'11 1,3764 1,4345 1,5009 1,5766 1,6630 1,2010 1,2434 1,2942 1,3550 1,4275 1,0861 1,1094 1,1386 1,1753 1,2212 1,0000 0,9818 0,9713 0,9651 0,9615

1,12 1,3290 1,3798 1,4378 1,5041 1,5795 1,1718 1,2081 1,2515 1,3035 1,3655 1,0721 1,0916 1,1160 1,1467 1,1852 1,0000 0,9853 0,9771 0,9726 0,9700

1,10 14,1115 15,7986 17.7775 20,1072 22,8595 26,1217 30,0000

1'11 12,7522 14,1961 15,8811 17,8550 20,1757 22,9135 26,1537

1,12 11,5926 12,8361 14,2799 15,9627 17.9315 20,2432 22,9666

Gegenwartswertfaktoren g 8 der Betriebskosten n

r

a

1,04 1,05 1,06 30 1,07 1,08 1,09 1,10

Beispiel

1,03 34,9686 40,9806 48,2739 57.1420 67,9467 81,1343 97.2545

1,04 30,0000 34,9162 40,8538 48,0430 56,7676 67.3767 80,2996

1,05 25,9533 30,0000 34,8649 40,7298 47.8178 56,4032 66,8228

1,06 22,6352 25,9881 30,0000 34,8147 40,6086 47.5980 56,0482

q 1,07 1,08 19,8960 17.6197 22,6925 19,9674 26,0224 22,7490 30,0000 26,0560 34,7654 30,0000 40,4900 34,7172 47.3835 40,3741

1,09 15,7153 17,6991 20,0378 22,8047 26,0891 30,0000 34,6699

Gegenwartswert einer Gesamtanlage, die aus den Teilanlagen A und 8 besteht. Planungszeitraum: 30 Jahre Zinsfaktor: q = 1,06 (Zinssatz 6%) Betriebskostensteigerungsfaktor: r= 1,08 (Zinssatz 8%) Herstellungskostensteigerungsfaktor: s = 1,07 (Zinssatz 7 %)

Teilanlage A

Herstellkosten in DM 150000

Teilanlage 8

100000

Betriebskosten in DM/a

Lebensdauer in a 20

Gegenwartswert Faktor Wert in DM 1,7742 266130 40,6086 324869

50

0,8733 40,6086

8000 4000

87330 162434 840763

12

1 Arithmetik

2.9

Gleichung zweiten Grades (quadratische Gleichung)

Ja~ - 4a2ao

-a1 ±

2a2

x1:2 = X1;2

Kontrolle: x 1 +x2 = -p =

2.10

=

J

-~± (~/ -q

-~ a2

Nullstallen von Polynomen n-ten Grades (Gleichung n-ten Grades)

Die Nullsteilen eines Polynoms n-ten Grades f(x) = anxn + an_ 1xn- 1 + · · · + a2x 2 + a1x + ao sind die Lösungen (Wurzeln) der Gleichung n-ten Grades

anxn + an_1xn- 1 + · · · + a2x 2 + a1x + a0 = 0 Jede algebraische Gleichung n-ten Grades hat genau n Wurzeln (reell oder komplex; eine s-fache Wurzel ist s-fach zu zählen). Sind x 1, x 2 , ... , Xn die Wurzeln einer Gleichung n-ten Grades, so ist (x- x 1) (x- x2) (x- X3) ... (x- Xn) = 0

(Zerlegung in Linearfaktoren)

Regula falsi Die Kurve der (stetigen) Funktion y = f(x)_'~~:!rd zwischen P1 und P2 durch die Sehne P1P2 ersetzt. Hat man durch Probieren zwei Werte x 1 und x 2 so gefunden, dass Y1 = f(x1) und y2 = f(x2 ) verschiedene Vorzeichen haben, dann ~t

_ x1 - x 2 x0 =x1 - - - - y1 eine bessere Annäherung an den wirklichen Wert der Nullsteile x 0 .

= cos x- x Nullsteile x0 = ? x0 > 0 Durch Probieren gefunden: 0,7 < x0 < 0,8 y(0,80000) = -0,10329 = y1 y(0,70000) = +0,06484 = y2 x 0 = 0,73857 y(0,73857) = +0,00086 = y1 y(0,80000) = -0,10329 = y2 x0 = 0,73908 y(0,73908) = +0,00001 ""0 d. h. x 0 = 0,739

Y; Y;

X; - 1

=X; -

f(x;) f'( x,·)

Für ein Polynom n-ten Grades wird

Xi+1

Pz Bild 11

y

Newton-Verfahren Hat man einen angenäherten Wert x; für die Nullsteile einer (beliebigen) Funktion y = f(x) ermittelt, so wird die Kurve durch die Tangente in P;(x;; y;) ersetzt. Einen besseren Wert für die Nullsteile erhält man mit

Xi+1 =

x, y

0

Y1- Y2

Beispiel

x

y

0

X

Bild 12

anx;" + an_ 1x;"- 1 + ... + a1x; + a0 nanx;" 1 +(n-1)an-1X;" 2 +···+a1

- X ; - --"-c:'--.-'-:--'-c-:---c:-o;-----

-

13

Mathematik Beispiel

y=

x"- 8x3 + 21x 2 -

Nullsteile x 0 ?

20x + 5

4J-8xr +21xf- 20x; +5 x;+, = x,- 4xr- 24xf + 42x;- 20

01

5

Geometrie

5.1

Geometrie der Ebene

Rechwinkliges Dreieck Fläche Pythagoras

A =~ab= ~ehe c2=a2+b2

Euklid

a 2 = cp

Höhensatz

h~ = pq

b 2 = cq

C

Bild 23

~

A

c

8

Bild 24

Dreieck

= bhb =ehe= rs = y' s(s- a) (s- b) (s- c) (s. Abschn. 4) 2 2 r = Radius des Inkreises s = a + ~ + c = halber Umfang

A =aha

2

Quadrat A = a2 Rechteck A = ab Parallelogramm A = ah Einflussfläche

a2 h A,=--·a+b 2

b2 h A2=--·a+b 2

Bild 25

25

Mathematik Trapez Schwe rp u n kta bstä nde

Fläche

A=a+b h 2

h a +2b a+ b

Ys

=3·

Xs

=

Xu- Xo Xu - - -3 -

a + 2b

· a+b

Regelmäßige Vielecke (n-Ecke) Der Flächeninhalt ist A = n 5

5~r

Bild26

oder mit

180° 180° = 2 sin - - R = 2 tan - - r und

n

n

1 180° r = - cot - - 5 2 n

A=

.'!. 4

= cos -180° - R n

cot 1800 s2 = n sin 1800 cos 1800 R2 = n tan 180o r 2

n

n

n

n

Bild 27

Zusammengesetzte Kreisbögen (Korbbogen)

h = Bogenhöhe, L= 2a = Bogenweite. Übergangspunkt Ü ist Schnittpunkt der Winkelhalbierenden im Dreieck ABC. c

= vfa2+IJ2 f =

R=

(a

ah h _ h(h+ c) a+h+c 1 -a+h+c

ahc

+ h+ c) (c-a)

r=

ahc (a + h+ c) (c- h)

Unregelmäßige Vielecke

Bild28

Zerlegen durch Diagonalen in Dreiecke oder durch Lote auf eine Grundlinie in Dreiecke und Trapeze. A = Summe der Einzelflächen Beliebiges n-Eck Flächenberechnung aus den Koordinaten der Eckpunkte s. Abschn. 6.2. rtd2

= n r2 = - 4 Kreisring A = n (R2 Kreis

A

U = 2nr r2 )

Bild 29

= nd

= n(R + r)( R -

r)

Kreisringstück gleicher Breite

na na 2 A = 3600 (R - r2 ) = 1800 Rmb = Rmb arc a Rm=R+r 2

Bild 30

rt

arc a =- 1800 a

Kreisringstück ungleicher Breite

nR2

nr2

A = 360 o a, - 3600 a2 -

mS

2

m= R- b- r

A =~ (R2 arc a 1 - r2 arc a 2 - mS) 5

26

= 2 v'h2(2r- hz)

S = 2 v'h1 (2R-h1 ) Bild 31

1 Geometrie Kreisausschnitt

A

= br = r 2 arc a 2

rrra

b = 1800 = r arc a

2

. a s = 2rsm 2

y = rcos

a

2

Schwerpunktabstand

3 .

a

a

2

2 s 2 r smvom Mittelpunkt e 1 = - r - =-. _ _ _ 2 3 b 3 A von der Sehne e2

.

3

r sm

a

2

= y- e, = r cos 2- 3 · --A--

Bild 32

Kreisabschnitts. Abschn. 1.4 Parabel quadratische Parabel 2 h 2 y=h b =/:)2X

kubische Parabel h b =])3X

(x)

3

x, =s b y,

=~

h

5

X2

y=h

=~ b

4 3 Y2 = 1Q h

(x)3

3

x, =~ b

X2

=~ b

=~

Y2

=~7

5

y,

7

h

5

X

Bild 33

h

Ellipse

A = rrab

U=!l(a+b)

f.l nach untenstehender Tafel

a-b .ic=-a+b

Zwischenwerte von A. und f.l geradlinig einschalten

Bild 34

1,0 4,0000

Beliebige Flächen Flächenberechnung mit der Trapezregel, Simpson-Regel oder Newton-Regel (s. Abschn. 8.4).

5.2

Geometrie des Raumes

Körper

Rauminhalt V

Oberfläche 0, Mantel M

Prisma allgemein Würfel Kreiszylinder

V=Ah V=a3 d2 V= rtr 2h = rt__h

0 = Summe aller Flächen 0= 6a 2 0=2rtr(r+h) M= 2nrh

Pyramide allgemein

V =2_Ah 3 1 V= 3 rt?h

0 = Summe aller Flächen 0 = rtr r+s M=rtrs S= r2 + h2 (Mantel Iinie)

Kreiskegel Pyramidenstumpf allgemein

4

h V=3(Au+JAuAo+Ao)

Kegelstumpf

V=rt3h (R2+Rr+r2)

0 = Summe aller Flächen M=rts(R+r)

s = V(R- r) 2 + h2 (Mantellinie)

Fortsetzung s. nächste Seite

27

Mathematik Geometrie des Raumes, Fortsetzung Oberfläche 0, Mantel M

Rauminhalt V

Körper Kugel Kugelabschnitt

~

4

V

3rr?

V

rrh' (r

rr cl'

0

rr d 2

0 = rr(2n 2 + h' ) M 2:trh = rr(n 2 .,. h' ) (Kappe oder Kalotte)

~) h' )

Kugelausschnitt Kugelschicht b

-X

dv = f'(x) dx = v'

Höhere Ableitungen Mittelwertsatz

32

---

Bild 41

< 0 Hyperbel = 0 Parabel > 0 Ellipse, wenn a,, D < 0; komplexe Kurve, wenn sgn D = sgn a 11

und

Sonde rf a II

7

+ 2a,ax + 2a2aV + aaa =

v' =

f'(x1 ) =

Y,

> dx

dv dx

f(b)b _ af(a) = f'(xm)

Bild42

v'"

=

~~ ...

Xm aus (a, b)

1 Differenzialrechnung 7.2

Rechenregeln d

Konstante

=0

(f1fz)' = t;f2 +

Produktregel

([}__) '=

Quotientenregel

f2

f,f~ =

t; f

2 -

dv dv du dx =du dx

Kettenregel

(cf)'

Konstanter Faktor

fi

(f, ± fz)'

Summe

= t; ± f~

f,f2(t+t)

f, f~

wenn

Implizit gegebene Funktion

= cf'

v

= f(x) = g(h(x))

mit

u

= h(x)

dh(v) -- dh. y' dx dv

Logarithmische Differentiation

Ist f1(x) > 0 undv = f1(x)1'(x), so folgt

v'

=

f1(x)1'(x)

[~:

i;i

f2(x) +

f~(x) ln f, (x)]

Aufgelöste Funktion

Ist x

= g(v)

7.3

gleichwertig mit v

= f(x),

so gilt

d~~) = dg1(V).

--cry-

Ableitungen elementarer Funktionen

(x")' =

nx"~ 1

(ex)'

ex

=

n reell

( arccos x)' =

-1

,.-----., v1 -x2

1 (arctan x)' = 1 + x 2

(ax)' = ax · ln a > 0

-1 (arccotx)' = 1 +x2

(xx)' = xx(1 + ln x)

(sinh x)' = cosh x

(lnx)'

(cosh x)' = sinh x

=_1_ X

(log 8 x)' = - 11 -

' 2 1 (tanh x) = 1 - tanh x = cosh 2 x

(sinx)'=cosx

' 2 1 (coth x) = 1- coth x =- sinh 2 x

x na

(cos x)' = -sin x

(arsinh x)' =

1 (tan x)' = 1 + tan 2 x = cos 2 x

~

vx2 +1

(arcosh x) ' = ../x21 _ 1

1 (artanh x)' = 1 _ x 2

lxl < 1

. )' (arcsm x = ..;1 _1 x 2

' -1 (arcoth x) = x 2 _ 1

lxl > 1

(ln sin x)' = cot x

(ln cos x)' = -tan x

2 (ln tan x)' = sin 2x

(ln cot x)' = sin 2x

(cotx)'

= -(1

+cos2 x)

1 = --.2-

sm x

-2

33

Mathematik

14

Partielle Ableitungen lim f(x

z = f(x, y)

von Funktionen von zwei (oder mehr) Variablen

+ !!..x, y)- f(x, y) = az = af(x, y) = fx !!..x

t.x~o

Iim f(x, y

+ !!..y) -

f(x, y)

!!..y

t.v~o

ax

ax

av

av

= az = Bf(x, y) = f.

v

Bei der Bildung höherer Ableitungen kann bei stetigen Funktionen und Ableitungen die Reihenfolge des Differenzierens vertauscht werden (z. B. fxv = fyx).

dz = fx dx + fy dy

Totales Differenzial

8

Integralrechnung

8.1 b

f a

Bestimmtes Integral f(x) dx = Iim

n

I:

n-+oo i=1

y; !!..x;

y = f(x) = Integrand; a und b = untere und obere lntegrationsgrenze; Intervall von a bis b = lntegrationsweg; x = lntegrationsvariable.

Mittelwertsatz b

f

a

Y,

0

f(x) dx = (b- a) f(xm)

a

Bild 43

Umkehrung des Integrationsweges b

a

a

b

f f(x) dx = - f f(x) dx

Zerlegung des Integrationsweges b

c

b

a

a

c

f f(x) dx = f f(x) dx + f f(x) dx

8.2

Unbestimmtes Integral

I(x) =

X

f f( u) du+ C = f f(x) dx

a

ist die Menge aller Stammfunktionen F(x) mit

F'(x) = f(x).

Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung dl(x)

--ciX =

f(x) ~ l(x) =

f f(x) dx

Differenzieren und Integrieren sind inverse Rechenoperationen. Ist F(x) =

34

b

f f(x) dx eine Stammfunktion, so gilt f f(x) dx = a

F(b)- F(a)

1 Integralrechnung 8.3

Rechenmethoden der Integralrechnung

Konstanter Faktor

f

cf(x) dx = c f f(x) dx

Integration einer Summe

J [f, (x) ±

f2(x)) dx =

f f, (x) dx ± f f2(x) dx

Produktintegration

f f, t; dx =

f,f2-

f f{f2 dx

Logarithmische Integration f'

ff

dx =in

lfl

Integration durch Substitution Mit f(x)

= g(h(x)) = g(u) und u = h(x) '* x = k(u) gilt

f f(x) dx = Jg( u) 8.4

dk(u) ~ du=

f g( u)

dx du du

Numerische Integration

Trapezregel b

f f(x) dx ~ hG Yo + y, + Y2 + ... + Yn-1 + ~ Yn)

a

(gleich breite Streifen)

Simpson-Regel (Beispiel hierzu s. Abschn. 9.6) b h J f(x) dx ~ 3 (Yo + 4y, + 2y2 + 4y3 + ... + 2Yn-2 a

+ 4Yn-1 + Yn)

(gerade Anzahl gleich breiter Streifen)

Newton-Regel b

f f(x) dx ~ ~

h(Yo

a

8.5

+ 3y, + 3y2 + Y3)

Grundintegrale xm+1

Jxmdx=m+ 1 dx

f x-= inx

(ohne lntegrationskonstante)

mrf-1

x >0

Jexdx=ex

ax

f ax dx = Ina

(3 gleich breite Streifen)

dx

f 1 + x 2 = arctan x f 1 dx _ x 2 = 21 in 111 +xl _ x = arctanh x f v' 1ctx _ x2

a # 1, a > 0

f sin xdx = -cosx

f

dx

. x = arcsm

~=in

vx2 -1

~

(x+ vx2 -1) = arcoshx

Jcosxdx = sin x

f ~ 2

Jsinh xdx = cosh x

f cosh x dx = sinh x

vx + 1

Ix I < 1

=in (x +

lxl > 1

JX2+1) = arsinh x 35

Mathematik

8.6

Integrationsformeln

(ohne lntegrationskonstante)

Rationale Integranden

f(ax+b)"dx=

(ax + b)"+ 1 a(n+ 1) fürn#1

f ax~: b =

arctan (

~

l

~ x)

dx 1 fax+b=alnlax+bl

für ab > 0

dx 1 f(ax+b) 2 =-a(ax+b)

dx - -1- In ~Viib-axl ----fax 2 -

b

Viib

Viib + ax

f''ur a b > 0

Im weiteren sei 0 = ac- b2

~ arctan ax +

Vl5

b

Vl5 1 ~~-b-axl ---ln

dx f ax2 +2bx+ c

~~

l~+b+ax

ax+b

f

0

>0

0+a2 dx=-~

dx=-2_1na+JX>+a2 a x a2 2

X

X

fv'a 2 - x 2 dx =- Ja2- x2 +- arcsin2

a

f x ../a2 _ x2 dx = -~(a2 _ x2)3/2 3

X)

X 2 -x2)312 +~( xJa2-x2+a2 arcsinfx 2 ../a2-x2dx=--(a 4 8 a

f 36

1

~

va2- x2

.

X

dx = arcsm a

f--x__ dx = -v'a2- x2 Ja2- x2

JX2+a2 X

1 Integralrechnung a2 x f Jx 2 - a 2 dx =- Jx2 -a2 - - ln (x + Jx2 -a2) 2

2

f x Jx2 - a2 dx =

~ (x 2 - a2)312

f

Jx2 -a 2

f - -X

3

1 ~ dx = ln(x +Vx2-a2) v x2 - a2

dx = Vx2 - a 2

a

a arccos -

-

X

f - - x__ dx = Jx 2 - a2 Jx2- a2

Transzendente Integranden

f fn X dx =

X

fn

f (in x)" dx = f u"e" du

X - X

xn+ 1

xn+ 1

f x" ln x dx = - - ln x - - - -2 (n + 1) n+ 1

u = ln x

mit

n ;o! - 1

dx

= ~2 J~dx X

(lnx) 2

f tan X dx =

-fn lcos xl

JSln· 2XdX =

-

1. 2 X

~~ Sln

f x ln x = ln lln xl f cot x dx = ln lsin x l + 2X

Jcos2 xdx =

~sin 2x +~

f tan 2 x dx = tan x - x f sin" x dx = - sinn- 1 x cos x + n- 1 f sinn- 2 x dx

n

n

cos"- 1 xsinx n - 1 n-fcos"- 2 xdx +n Jcos"xdx =

a

cos (a + b) x 2 (a + b )

b d _ . f son ax cos x x -

cos (a- b ) x 2 (a _ b )

f cosaxcos bx d x-_ sin2 (a(a-_ bb )) x + sin2 (a(a ++ bb)) x . b d _ sin (a- b ) x . f son ax sm x x 2 (a _ b ) dx = ln Itan -xl f-.2 son x f sin x cos x dx =

l

f cos (ax + b) dx = 2_ sin (ax + b ) a

f sin (ax + b) dx = _2_ cos (ax + b)

sin (a + b ) x 2 (a + b )

x

dx

f 1 + cos x = tan 2

= f~ COS X

ln ltan (~+~)I 2 4

. dx f Sln X COS X

~ sin 2 x

=-CO!~2 f~ - cosx 1

= ln lta n x l

f x" sin x dx = - x" cos x + n f x"- 1 cos x dx f x" cos x dx = x" sin x - n f x"- 1 sin x dx eax

e ax

f e•x cos bxdx = a 2 + b2 (acos bx + bsin bx) f e•x sin bx dx = a 2 + b2 (a sin bx - bcos bx)

(a eax e•x + a 2 + 4 b2 2 f e•x cos 2 bx dx = 2a

cos 2bx + b sin 2bx

e•x (a e•x a2 + 4 b2 2 f e•x sin 2 bx dx = 2a-

cos 2bx + b sin 2bx

f arcsin x dx = x arcsin x + v'1'=X2 1

f arctan x dx = x arctan x- 2 f arsinh x dx = x arsinh x -

ln (1 + x 2)

)

)

f arccos x dx = x arccos x -

V1 - x2 1

f arccot x dx = x arccot x + 2

) 1 + x2

f

1

f arcoth x dx = x arcoth x + 21

f artanh x dx = x artanh x + 2

ln (1 - x 2 )

ln (1 + x 2 )

arcosh x dx = x arcosh x - ~ ln (x2 - 1)

37

Mathematik

9

Anwendungen der Differenzial- und Integralrechnung

9.1

Tangente und Nonnale der Kurve einer Funktion

Tangente im Punkt (x,;

y,J

y = y1

Nom1ale im Punkt (x1; y1 )

9.2

y

+ f'(x1 ) · (x- x1 ) x-x1

=

y,- f'(x1)

Eigenschaften der Kurven von Funktionen y'

Maximum

= 0 undy''

Rechtskrümmung Wendepunkt Beispiel

Beispiel

0 =0

Krümmung

0 Linkskrümmung 12 < 0 Rechtskrümmung

Krümmungsradius Krümmungsmittelpunkt Beispiel

- 1-

w"

- EMI((xx))

(1 + w'2 ) 312

Nichtlinearisierte Differenzialgleichung der Biegelinie

Unbestimmte Ausdrücke

Sind f und g in x so gilt

= a differenzierbar und

lim f(x) = lim f'(x)

x~a

1 + y'2 YM = Y + ----y;t

y"

Die Krümmung 1/12(X) der Biegelinie w (x ) ist proportional zum Schnittbiegemoment M (x ) und umgekehrt proportional zur Biegesteifigkeit EI(x) (E = Elastizitätsmodul, I (x ) = auf die y-Achse bezogenes Flächenmoment 2. Grades des Trägerquerschnitts).

12(x)

9.5

1 + y'2

y --

XM =X -

g(x)

Beispiel

x~a

f (a)

= g (a) = 0

oder f (a)

--->

oo, g (a)

--->

oo,

Regel von de !'Hospital

g'(x)

~~ (r2 1n r ) =? Es wird auf den Ausdruck oo/oo umgeformt.

,-2 · ln r =

~~;, ;

lim (r 2 ln r ) = lim

r -oO -

r--0

f '( r ) = 1j r ;

f (r ) = ln r;

g' (r ) =

g(r ) = 1/ r2;

- 2/ ?

1//r = Iim ( - r> / 2) = 0 2 3

r

r-->0

y

9.6

Geometrische Größen

Fläche

A

=

f

A

s=

Bogenlänge

b

f

dA =

f

ydy

ds =

b

f v'f+Y'2 dx X

Volumen

V=

f

dV

Bild 47

V

Rotationskörper

Vx = n Vy

Beispiel

b

f

a

d

=n f c

y 2 dx x 2 dy

(x-Achse = Rotationsachsel b

= 1t f a

x 2 y' dx

Differenz u zwischen Messbandlänge s und Sehnenlänge (zu messende Länge); das Messband hängt entsprechend der Funktion y = hx 2 j( sj 2)' durch.

:.SJ:!i::

du = ds - dx = (~ - 1) dx "'(1 +

y' =

r;.- 1) dx = ~2 dx

'!!!. 2x = s2

+J'

- s/2

32h' x2 dx =

s"

0

ah' 3s

dCI ~dx

~·~n~----~~~2 ~1~~

t._

x

Bild 48

39

Mathematik Beispiel

Fläche zwischen der x-Achse und der Kurve der Funktion y = x 3 cm- 2 + 1 cm, begrenzt durch die Abszissen a = 5 cm und b = 8 cm.

A=

b

J (x' cm- 2 -

x 2 cm-1

b 4 - a4 cm- 2 4-

- -

x 2 cm- 1

+ 1 cm ) dx

a

= -

-

b3 -a3 cm- 1 3-

+ (b- a) cm

= 741,75 cm2

Beispiel Vergleich des Inhalts der Querkraftfläche Av,1- 2 mit dem Momentenzuwachs t.M 1_ 2 auf der Länge (x2 - x1 ). dAv = V(x) dx = -q

x2

2i dx

Bild49

t.M1_ 2

Beispiel

x] x~ q 3 = M (x2 )- M (x1 ) = -q 6t + q 6t = - 61 (4 - x1 )

Gesucht ist die Enddurchbiegung des Stahlbetonfreiträgers (Eb = 3 . 107 kNj m 2 ) ; Trägerbreite b = 0,30 m Arbeitsgleichung E 1 lc Eblc · llo = [ M (x ) M (x ) I (x ) dx

bdl Ic ="""12

_!_:___ _

" h strag .. h. = V erg le1c e1tsmoment

cJl _ (0,70

I (x )- d' (x )-

i

M (x ) = - qx2 j 2 Das Integral

m)

?.i (v~lu c

CD

t::

:&

"'cc :::1

:t:

Pendelflügel, zweiflügelig

IY1 {X}

.§

0

Pendelflügel. einflugelig

Drehfl ügel. zweiflügelig. gegeneinanderschlagend

LfL

E

~

.,c u. II)

."

c:

0

c:~

CD..X = X2 - X1

+ 1 · 10-a + 1 • 10-a

a entspricht der Stellenzahl, mit der gerechnet wird (z. B. a = 8 bei achtstelliger Genauigkeit).

200 tiY t [gon] = narctan tiX + 200- (1

+ sgn L'iX) · sgn ti Y ·100

(3)

oder für Taschenrechner mit voreingestellter Winkeleinheit "Gon":

L'iY

t [gon] = arctan L'iX + 200- (1

+ sgn L'iX) · sgn L'i Y · 100

(3a)

Die meisten Taschenrechner verfügen über die "Signum"-Funktion (sgn x), wobei gilt: sgn x = 1 sgn x = 0 sgn x = -1 Beispiele:

für x > 0 für x = 0 für x < 0

t.Y

t.X

t 51,216 gon

+50,15

+48,27

+27,83

-65,12

174,289 gon

-39,46

-47,74

243,973 gon

-62,39

+28,28

327,093 gon

93

3

Vermessung 2.2

Polarpunktberechnung Gegeben:

X

Standpunkt S(Ys,Xs) Anschlusspunkt A( YA, XA)

A

Gemessen: an,Sn Gesucht:

s

~--------------------. y Bild 4 Polarpunktberechnung

Lösung: YA- Ys

(4)

ts,A = arctan XA _ Xs ts,A muss im Intervall 0 ~ t

< 400 gon liegen (siehe 2.1 !) (5)

tn = ts,A +an falls tn

2: 400 gon

dann 400 gon abziehen.

(6) (7)

Yn = Ys + Sn · sin tn Xn = Xs + Sn · COS tn Beispiel:

Ys = 100,00 m YA = 150,00m ts,A = 50,000 gon Yn = 193,544 m

Xs = 100,00m

XA

150,00m tn = 77,000 gon Xn = 135,347 m =

an = 27,000 gon

Sn= 100,00m

Diese Aufgabe lässt sich auch umkehren: Punkte mit gegebenen Y, X-Koordinaten sollen polar abgesteckt werden. Dann ist gesucht: an und Sn Lösung: Yn- Ys

tn = arctan - X X n-

S

an= tn- ts,A Sn = V,(-Yn___y;_s_).,X_s--.,.)2 2 _+_(_X_n___

2.3

Höhenübertragung mit dem Tachymeter Zenit ~

Ziel

Bild 5

94

Trigonometrische Höhenübertragung

Gemessen: Zenitdistanz Schrägstrecke Instrumentenhöhe Zielhöhe

t

Gesucht: Höhenunterschied

t:..H

Z S i

Grundaufgaben Lösung:

f'o..H = S • cos Z + i - t

(8)

Für S > 200 m muss die Erdkrümmung und die Refraktion berücksichtigt werden:

52

f'o..H = S • cos Z + 2R • 0,87 + i - t

(9)

mit R = Erdradius = 6380000 m Beispiel: S = 295,15 m Z = 93,1 05 gon i = 1,355 m !J.H = 31,904 + 0,006 + 1,355- 1,585 = 31,680 m

t = 1,585 m

2.4 Transfonnationen Sehr oft werden Bauwerkskoordinaten in einem lokalen Koordinatensystem berechnet, das keinen Bezug zum übergeordneten Koordinatensystem der Vermessungsverwaltungen hat. Soll dieses Bauwerk dann vom übergeordneten Koordinatensystem aus abgesteckt werden, so muss eine Transformation erfolgen. Für eine Transformation von einem Ausgangssystem in ein Zielsystem sind in der Regel vier Transformationsparameter erforderlich. Diese vier Parameter müssen zuvor mithilfe identischer Punkte ermittelt werden. Identische Punkte sind in beiden Systemen koordiniert. Transfonnation mit zwei identischen Punkten: Um Punkte des Systems 1 (Ausgangssystem y, x) in das System 2 (Zielsystem Y, X) zu überführen, hat man vier Freiheitsgrade:

X X

Y0 Verschiebung parallel zur Y-Achse

Xo Verschiebung parallel zur X-Achse

a Drehung M Maßstabsänderung

Mit den folgenden Transformationsgleichungen lassen sich Punkte des Systems 1 in das System 2 transformieren:

Y = Y0 + M · sin a. x + M. cos a · y

X= X 0 + M · cos a · x- M · sin a. y

Bild 6 4-Parameter-Transformation

oder mit o = M · sin a und a = M · cos a folgt:

Y = Yo + o·x+a· y

(10)

X=Xo+a·x-o·y

(11)

Mit den Koordinaten von zwei identischen Punkten P 1 (y 1 , x,!Y,. X,) und P2(Y2• x 2/Y 2/X 2 ) ergeben sich die Parameter wie folgt: 0

=

a=

(x2- x,) (Y2- Y,)- (Y2- y,) (X2- X,) 2 2 (x2- x,) + (Y2- y,)

( 12 )

(x2

( 13)

-

x 1 ) (X2- X,)+ (Y2- y,) (Y2- Y,)

(xz- x,)

2

+ (Y2- y,) 2

95

3

Vermessung

Jaz + o2

(14)

a = arctan

(~)

(15)

Yo =

-a· Y1 a · x 1 + o · y1

(16)

bzw. M =

Y1- o·x1

X0 = X1 (17) Für die Transformation von System 2 in das System 1 (Rücktransformation) folgt:

a

o

y = M2 (Y- Yo)- M2 (X- Xo

18X

a x = M2 (X- Xo)

19X

Beispiel:

o + M2 (Y- Yo y

Punkt-Nr.

y

X

X

Identische Punkte

287

-24,02

30,93

492,95

755,49

288

60,32

-80,15

367,51

816,38

34,76

87,52

-

-

Neupunkt

350 0

= 0,452314

M =0,999763

a

= -0,891593

a = 370,1121 gon

Yo = 457,544 y350

X0 = 772,202

= 466,14

x3so = 678.45

Rücktransformation mit (18) und (19) ergibt wieder: X3so = 87,52 Y3so = 34,76 Transformationen mit mehr als zwei identischen Punkten (Helmert-Transformation)

Die Koordinaten der identischen Punkte P1 bis Pn werden hierfür auf den Schwerpunkt bezogen. 1 n 1 n

Ys =-n

2:

i=1

1 Ys =n

Xs=-l:x; n i=1 1 n Xs=-l:X; n i=1

Y;

n

2:

i=1

Y;

V;= Yi- Ys

Xj=Xi -Xs

X; =X; -X.

V;=Yi-Ys

Berechnung der Transformationsparameter: n

2:

0 - "'i=o-;;1, - - - - - - -

- f:

i=1

bzw. M =

n

(X;V;- V; X;)

(X;2

+ V;2)

J a2 + o2

a_

(20)

2:

(V;V;+ X; X;)

"'i-o-;;1:------

- f:

(X;2

+ V;2)

(21)

i=1

a = arctan

(~)

Yo = Ys- O·Xs -a· Ys

(22)

Xo=Xs-a·xs+o·vs

(23)

96

Grundaufgaben Formeln für die Transformation von System 1 in das System 2:

Y=Yo+o-x+a-y X=Xo+a-x-o-y

(24) (25)

Kontrolle bei der Helmert-Transformation: Werden auch die identischen Punkte mit den Gleichungen (24) und (25) transformiert, so erhält man die Verbesserungen Vy und Vx mit: Vy Vx

= Y - Y0

- o ·x - a· y = X - Xo - a · x + o · y

(26) (27)

Für die Verbesserungen der n identischen Punkte gilt: n

n

i=1

i=l

(28)

L:vv,=L:vx,=O

Aus diesen Verbesserungen lässt sich auch eine Standardabweichung für die Koordinaten im System 2 ableiten:

~ (v.2+v.2) XI VI

L....J i=1

(29)

2n-4

Für die Transformation von System 2 in das System 1 (Rücktransformation) gilt:

a(Y- Yo)- o(X- Xo) a2+o2

(30)

x = a(X- Xo) + o(Y- Y0 ) a2 + o2

(31)

Y=

Beispiel:

y

Punkt-Nr.

X

y

X

Identische Punkte

287

- 24,02

30,93

492,95

755,49

288

60,32

-80,15

367,51

816,38

209

-157,36

194,14

685,81

670,22

275

6,48

-9,26

447,58

777,51

34,76

87,52

-

-

Neupunkt

350 Ys = -28,645

x5

Ys

Xs= 754,900

=

498,462

33,915

y

Punkt-Nr.

x

y

X

4,625

-2,985

-5,512

288

88,965

-114,065

-130,952

61,480

209

-128,715

160,225

187,348

-84,680

35,125

-43,175

-50,882

-22,610

287

275 4

=

-

-

-

-

2::; (:X; Y;- Y;X,)

0,590

= 30002,097

i=1

4

2::

(Y; Y; +:X; X;)= -59135,883

i=1

4

2:: (xf +V.) =

i=1

66293,344

97

3

Vermessung 0 = 0,452566 a = -0,892034

Y0

=

457,561

M = 1,0002697 a = 370,1105 gon X 0 = 772,190

vy, = -0,036 m vy, = +0,029 m vy, = +0,017 m vy, = -0,010 m

Probe:

+0,020 m -0,007 m

Vx, = Vx, =

= -0,006 m v"' = -0,007 m

Vx3

L =0 Standardabweichung: Sx

= Sy = )0 • 0 ~306 = 0,028 m

Y3so

= 466,16

X3so

= 678,39

Rücktransformation dieser Koordinaten mit (30) und (31): Y350

= 34,76

X350

= 87,52

2.5 Achsenschnitte • Schnittzweier geradliniger Achsen

B

X

Gegeben:

A(YA,XA), B(Ys,Xs), C(Yc,Xc), D(Yo,Xo)

D

Gesucht:

S(Ys,Xs)

Lösung:

c A

'-----------+Y Bild 7

Schnitt Gerade-Gerade

Beispiel:

k, = Ys- YA Xs-XA k2 = Yo- Yc Xo-Xc X -X (Yc-YA)-k2(Xc-XA) s- A+ k,-k2 Ys = YA + k,(Xs- XA)

Punkt-Nr.

y

X

A

360,20

2934,77

B

480,19

2990,33

c

400,17

3000,19

D

484,79

2970,88

s

458,13

2980,11

k, k2

= =

(32)

(33) (34) (35)

2,15965 -2,88707

• Schnitt einer geradlinigen Achse mit Kreis Gegeben: A(YA, XA), 8( Ys, Xs), Kreismittelpunkt M( YM, XM), Radius r Gesucht: S,(Ys,,Xs,) bzw. S2(Ys,,Xs,) Lösung: Berechnung der Strecke AM und der Richtungswinkel tA,B und tA,M aus den gegebenen Koordinaten (siehe Abschnitt 2.1 ).

98

Festpunktverdichtung durch Polygonierung B

X

a = !tA,M- tA,B! h=AM-sina HS = HS1 = H$ 2 =

····••.•..

AH= VAM 2

-

(36) (37)

v' r2

-

h2

h2

(38) (39)

_../

.

....

··..................................···

A ~-------------------+V

Bild 8 Schnitt Gerade-Kreis ~=~-~

~~

~=~+~

(40)

Ys, = YA

bzw.

Ys, =

(41)

Xs, =

bzw.

Xs, =

+ AS, • sin tA,B XA + AS, · cos tA, B

+ ASz · sin tA,B XA + ASz · cos tA, 8 YA

(42)

ln der Regel kann der Bearbeiter aus der geometrischen Anordnung der Punkte klar entscheiden, welche der beiden Lösungen gesucht ist. Kontrolle: S, M = S2 M = r Beispiel:

Punkt-Nr.

y

X

A

391,70

713.51

B

514,56

680,94

500,66

738,08

M

r= 58,80 m

s,

3

460,29

695,33

514,55

680,94

a = 30,6165 gon AM= 111,696m

h = 51,670 m HS= 28,065 m AH = 99,026m AS 1 = 70,962 m AS2 = 127,091 m

Festpunktverdichtung durch Polygonierung

Reicht die Dichte des amtlichen Festpunktfeldes für die Absteckung eines Bauwerks nicht aus, so muss das Festpunktfeld durch Einschaltung weiterer koordinierter Punkte verdichtet werden. Dies kann z. B. mithilfe eines Polygonzuges geschehen. Vor allem für die Absteckung von Straßenachsen ist der Polygonzug zur Schaffung trassennaher Vermessungspunkte geeignet.

3.1

Der beidseitig angeschlossene Polygonzug

Die wichtigste Polygonzugsvariante ist der beidseitig angeschlossene Polygonzug. Hierbei können zwischen die beiden gegebenen Festpunkte P 1 und Pn die Neupunkte P2 bis Pn_ 1 durch Winkel- und Streckenmessung eingeschaltet werden (siehe Bild 9). Außerdem sind hierbei die Anschlusspunkte P0 und Pn+ 1 für die Anschlussrichtungen erforderlich.

99

3

Vermessung i 'i

pn+1

~D · to.,

~

I I I

Po,

'

'

:

l i

!

P, Bild 9 Polygonzug

Gegeben: Koordinaten der Anschlusspunkte Po, P,, P0 , Pn+l Gemessen: Brechungswinkel ß1 , ß2, ... ,ßn Strecken S,,2, S2,3, ... , Sn~l.n Gesucht: Koordinaten der Neupunkte P2 bis Pn~l Lösung: • Berechnung der An- und Abschlussrichtungswinkel ~.1 = arctan y,- Yo (43) tn,n+l -Xo

x,

= arctan

Yn+l- Yn Xn+l -Xn

(44)

Die Richtungswinkel t müssen im Intervall 0:;; t < 400 gon liegen (siehe 2.1) • Berechnung der Winkelabschlussverbesserung vß und der ausgeglichenen RichtungswinkeL Ausgehend vom Anschlussrichtungswinkel t 0 •1 können alle weiteren Richtungswinkel der Polygonseiten wie folgt berechnet werden:

= ~. , -200 gon + ß1(±400 gon)

t,, 2

= t1,2 -

t2,3

~.i+l

200 gon +

ß2 (±400 gon) (45)

= ti- 1, i -200gon+ßi(±400gon)

Ergibt sich ti, i+l ~ 400 gon, dann 400 gon abziehen! Ergibt sich ti,i+l < 0 gon, dann 400 gon dazuzählen! Der Richtungswinkel ti.i+l lässt sich auch aus dem Anschlussrichtungswinkel t 0 , 1 und der Summe der Brechungswinkel berechnen: t1,2

=

~. 1 - 200 gon +

ß1 (±400 gon) ß1 + .82(±400 gon)

t2,3 = '

~ ~ 01 0..0 •

ru

..>::

c

~~

g:_ g' 0,2

........_

~"2

E

~ ~

~ t 0,3

8 .____.___J.___J.__---:-'-----' 0,6 0.8 1,0 1.2 m1· KIW 1,6

-

~

Vl "'

0

0,6

0,8

1,0

Bild 10 Temperatur Bsw und spez. Temperaturabsenkung im Winkel Wand/Decke einer ringsum mit 60 mm PS-Hartschaum-040 gedämmten Attika in Abhängigkeit des Wärmedurchlasswiderstandes der Außenwand für 300 mm und 700 mm Aufkantungshöhe. Dicke der Wännedämmschicht (040) des Daches: 130 mm

1.4 Mindestanforderungen an den sommerlichen Wärmeschutz nach DIN 4108-2: 2003-07

1.4.1

Grundlagen und Anwendungsbereich

Nach DIN 4108-02 ist der sommerliche Wärmeschutz abhängig vom Sonneneintragskennwert der transparenten Außenbauteile und von der Bauart. Der Sonneneintragskennwert hängt von folgenden Größen ab: Gesamtenergiedurchlassgrad der Verglasung; Sonnenschutzeinrichtung; Anteil der Fensterfläche an der Fassade (Rohbaumaße); RahmenanteiL Die maximal zu erwartenden Innentemperaturen hängen zusätzlich von folgenden Randbedingungen ab: Klimaregion; - wirksame Wärmespeicherfähigkeit der raumumschließenden Flächen; - Fensterneigung und Orientierung. Um regionale Unterschiede der sommerlichen Klimaverhältnisse zu berücksichtigen, wird eine Differenzierung der Anforderungen nach drei Klimaregionen für das Gebiet der Bundesrepublik Deutschland vorgenommen. Die zugehörige Grenz-Raumtemperatur, die an nicht mehr als 10% der Aufenthaltszeit in Gebäuden überschritten werden soll, und die Einteilung der drei Klimazonen sind in der Tafel6 a dargestellt.

136

Wärmeschutz Im Hochbau Tafel Ga

Zugrunde gelegte Grenz-Raumtemperaturen für die Sommer-Klimaregionen sowie deren Definitionen

SommerKlimaregion

Merkmal der Region

GrenzRaumtemperatur in o C

Höchstwert der mittleren monatlichen Außentemperatur(! in oc

A

sommerkühl

25

e;;; 16,5

B

gemäßigt

26

16,5;;;e;;; 18,0

c

sommerheiß

27

(1~18,0

11

4

Anmerkung zu Tabelle 6a: Den Sommer-Klimaregionen sind folgende Referenzorte nach Tabelle A3 der DIN V 4108-6: 2000-11 zugeordnet: Klimaregion A (sommerkühl): Husum, Kiel, Hof, Freudenstadt, Garmisch-Partenkirchen, Oberstdorf. Klimaregion B (gemäßigt): Norderney, Hannover, Hamburg, Warnemünde, Potsdam, Schwerin, Teterow, Braunschweig, Dresden, Wittenberg, Erfurt, Harzgerode, Lüdenscheid, Essen, Köln, Münster, Kassel, Trier, Chemnitz, Cham, Stuttgart, Saarbrücken, München, Passau. Klimaregion C (sommerheiß): Geisenheim, Leipzig, Nürnberg, Würzburg, Frankfurt a.M., Mannheim, Freiburg, Konstanz.

Der Nachweis des sommerlichen Wärmeschutzes soll für ,.kritische" Räume bzw. Raumbereiche an der Außenfassade durchgeführt werden, die der Sonneneinstrahlung besonders ausgesetzt sind. Er soll grundsätzlich für alle Raumarten geführt werden, in denen sich Menschen aufhalten, also für Wohn-, Büro- und Verwaltungsgebäude, Schulen, Bibliotheken, Gaststätten, Warenhäuser, Betriebsgebäude, Gebäude für Sport- und Versammlungszwecke sowie für Gebäude mit gemischter Nutzung. Der weiter unten angegebene Nachweis kann nicht geführt werden für Räume in Verbindung mit Wintergärten, vorgelagerten Pufferzonen, Doppelfassaden oder transparenten Wärmedämmungen. Auf einen Nachweis kann verzichtet werden, wenn der Fensterflächenanteil f folgende Werte nicht übersteigt: Tafel Sb

Zulässige Werte des Fensterflächenanteils, unterhalb dessen auf einen Nachweis des sommerlichen Wärmeschutznachweises verzichtet werden kann Grundflächen bezogener Fensterflächenanteil 1 )

Neigung der Fenster gegenüber der Horizontalen

Orientierung der Fenster2 )

Über 60° bis 90°

Nordwest über Süd bis Nordost

10

alle anderen Nordorientierungen

15

von

oo

bis 60°

fAG

Alle Orientierungen

in%

7

Anmerkung: Den angegebenen Fensterflächenanteilen liegen Klimawerte der Klimaregion B nach DIN V 4108-6 zugrunde. 1 ) Der Fensterflächenanteil fAG ergibt sich aus dem Verhälnis der Fensterfläche (lichte Rohbaumaße) zu der Grundfläche des betrachteten Raumes. Sind beim betrachteten Raum mehrere Fassaden oder z. B. Erker vorhanden, so ist fAG aus der Summe aller Fenster zur Grundfläche zu berechnen. 2 ) Sind beim betrachteten Raum mehrere Orientierungen mit Fenster vorhanden, so ist der kleinere Grenzwert für fAG bestimmend.

137

Bauphysik Hinweis zur Ausgabe 2003-07: Bis zur Ausgabe 2002-02 (Entwurf) war der Fensterflächenanteil in dieser Tabelle auf die zugehörige Fassade bezogen. Die Zahlenwerte lagen damit um den Faktor 2 über den Zahlenwerten der aktuellen Fassung. Inhaltlich hat sich wenig geändert: bei einem quadratischen Raum mit 25 m 2 Grundfläche und einer Außenfassade nach Süden sind maximal 2.5 m 2 lichte Fensterfläche zulässig, während es bis zur Fassung 2002-02 bei normaler Raumhöhe 2.4 m 2 waren.

1.4.2

Randbedingungen

Dem Nachweis des sommerlichen Wärmeschutzes liegen folgende Randbedingungen zugrunde, die auch bei genaueren instationären dynamischen Gebäudesimulationen berücksichtigt werden müssen: • Soli-Raumtemperatur für Heizzwecke 20 oc; • Klimazonen nach Tafel 6a; • Luftwechselraten im Sommer maximal n = 3 h- 1, außerhalb der Aufenthaltszeit n = 0,3 h-1, außer wenn die Luftwechselrate gezielt erhöht werden kann. Dann darf n = 2 h- 1 angesetzt werden. • Als interne Wärmegewinne sind bezogen auf die jeweilige Netto - Grundfläche angerechnet: Wohngebäude: 120 Wh/(m 2 d) Nichtwohngebäude: 144 Wh/(m 2 d) • Die Nettogrundfläche Ac; wird aus den lichten Raummaßen ermittelt. Bei Räumen mit einseitiger Fensterfläche darf die Raumtiefe nur bis zur dreifachen lichten Raumhöhe angesetzt werden. Bei Räumen mit gegenüberliegenden Fenstern, deren Raumtiefe kleiner ist als das sechsfache der Raumhöhe, gibt es keine Begrenzung, andernfalls muss der Nachweis für jede der beiden Fensterflächen geführt werden. Die Wärmespeicherwirkung darf nur für das Raumvolumen berücksichtigt werden, welches sich aus der zulässigen Nettogrundfläche ergibt. • Das vereinfachte Verfahren gilt für Rahmenanteile von ca 30%.

1.4.3

Bestimmung des Sonneneintragskennwertes

Für den bezüglich sommerlicher Überhitzung zu untersuchenden Raum oder Raumbereich ist der Sonneneintragskennwert S nach folgender Gleichung zu ermitteln:

Aw. 1

I:;

Aw,j • fltotal,j

s = ..:.i_~,----­ AG

9totai.J

AG

Fensterfläche in der jeweiligen Himmelsrichtung (Summation über alle relevanten Fensterflächen in einem Raum) Gesamtenergiedurchlassgrad der Verglasung einschließlich aller Sonnenschutzmaßnahmen Nettogrundfläche des betrachteten Raumes oder Raumbereichs in m2.

Der Gesamtenergiedurchlassgrad der Verglasung einschließlich aller Sonnenschutzmaßnahmen ergibt sich vereinfacht nach der Gleichung Gesamtenergiedurchlaßgrad des Fensters bzw. der Verglasung nach DIN EN 410 Fe Abminderungsfaktoren für Sonnenschutzeinrichtungen nach Tafel Z

g gtotal

= g · Fe

Genauere Verfahren sind in DIN V 4108-6 angegeben.

138

Wärmeschutz: im Hochbau Tafel 7

Anhaltswerte für Abmindenmgsfaktoren F. von fest installierten Sonnenschutzeinrichtungen Beschaffenheit der Sonnenschutzvorrichtung

Ohne Sonnenschutzvorrichtung

Abminderungsfaktor

Fe 1,00

1)

Innenliegend und zwischen den Scheiben

4

2)

weiß oder reflektierende Oberfläche mit geringer Transparenz

0,75

helle Farben und geringe Transparenz

0,80

3)

dunkle Farben und höhere Transparenz

0,90

Außen liegend 0,25

drehbare Lamellen, hinterlüftet Jalousien, Stoffe geringer Transparenz

0,25

4)

Jalousien, allgemein

0.40

Rolladen, Fensterläden

0,30 0,50

Vordächer, Loggien Markisen, seitlich und oben

ventiliert4 )

0.40

Markisen, allgemein 4 ) 1)

2) 3) 4)

0,50

Die Sonnenschutzvorrichtung muss fest installiert sein. Übliche dekorative Vorhänge gelten nicht als Sonnenschutzvorrichtung. Für innen und zwischen den Scheiben liegende Sonnenschutzvorrichtungen ist eine genaue Ermittlung zu empfehlen, da sich erheblich günstigere Werte ergeben können. Eine Transparenz der Sonnenschutzvorrichtung unter 20% gilt als gering. Dabei muss näherungsweise sicher gestellt sein, dass keine direkte Besonnung des Fensters erfolgt (Vgl. Bild 11 ). Dies ist der Fall, wenn bei Südorientierung der vertikale Abdeckwinkel >50° ist; - bei Ost- und Westorientierung der seitliche Abdeckwinkel >85° beträgt.

s~ Bild 11

L1

~

~~

Anordnung von Verschattungseinrichtungen

1.4.4 Anforderungen Der nach Abschnitt 1.4.3 bestimmte Sonneneintragkennwert darf einen Höchstwert Szu 1 nicht übersteigen; es muss gelten s;:::; Szul mit Szul = E Sx Die Sonneneintragkennwerte Sx sind der Tafel 8 zu entnehmen.

139

Bauphysik Tafel 8

Anteilige Sonneneintragkennwerte zur Bestimmung des zulässigen Höchstwertes des Sonneneintragkennwertes Gebäudelage bzw. Bauart, Fensterneigung und Orientierung

Klimaregion 1 )

Bauart2 )

Anteiliger Sonneneintragskennwert Sx

Gebäude in Klimaregion A

0,04

Gebäude in Klimaregion B

0,03

Gebäude in Klimaregion C

0,02

leichte Bauart: Ohne Nachweis von Cwick/AG

0,06fgew 3 )

mittlere Bauart: 50 Wh/(Km 2 )

< Cwick/AG < 130 Wh/(m 2 K)

0, 10fgew 3 )

schwere Bauart: Cw"k/AG > 130 Wh/(m 2 K)

0, 115fgew3 )

Erhöhte NachtLüftlung 4 ) während der zweiten Nachthälfte n>1,5h- 1

bei mittlerer2 ) und leichter2 ) Bauart

+0,02

bei schwerer2 ) Bauart

+0,03

Sonnenschutzverglasung 5 )

g < 0,4

Fensterneigung

0'

< Neigung < 60' (gegenüber der Horinzontalen)

-0,12fneog 6 )

Orientierung

Nord- Nordost- und Nordwestorientierte Fenster, soweit die Neigung gegenüber der Horizontalen > 60' ist sowie Fenster, die dauernd vom Gebäude selbst verschattet sind

+0,10fnocd 7 )

1)

2)

+0,04

Höchstwerte der mittleren monatlichen Außentemperaturen nach Tafel 6a Im Zweifelsfall kann nach DIN V 4108-6 die wirksame Wärmespeicherfähigkeit für den betrachteten Raum bestimmt werden, um die Bauart einzuordnen; dabei ist folgende Einstufung vorzunehmen: leichte Bauart liegt vor, wenn Cw"k/AG < 50 Wh/(K m 2 ) mit Cw"k wirksame Wärmespeicherfähigkeit AG bezogene Nettogrundfläche mittlere Bauart liegt vor, wenn 50 Wh/(K m 2 ) < Cwick < 130 Wh/(K m 2 ) schwere Bauart liegt vor, wenn Cwick > 130 Wh/(K m 2 )

3)

fgew=(Aw+0,3AAw+0,1Ao)/~

mit

4)

5) 6) 7)

fgew gewichtete Außenflächen bezogen auf die Nettogrundfläche; die Gewichtungsfaktoren berücksichtigen die Relation zwischen dem sommerlichen Wärmedurchgang üblicher Außenbauteile. Aw,AAw,A0 : Fensterfläche einschließlich Dachfenster, Außenwandfläche, wärmeübertragende Dach- und Deckenflächen nach oben oder unten gegen Außenluft, Erdreich und unbeheizte Dach- und Kellerräume Bei Ein- und Zweifamilienhäusern kann in der Regel von einer erhöhten Nachtlüftung ausgegangen werden Als gleichwertige Maßnahme gilt eine Sonnenschutzvorrichtung, die die diffuse Strahlung permanent reduziert und deren g total < 0,4 erreicht fneig = Aw,neog/ AG fNocd = Aw,nocd/AG

140

Energiesparender Wärmeschutz: Beispiel

Ein Eckraum mit Südostorientierung und den Netto - Innenmaßen 5 x 5 m hat durchlaufende Fensterbänder mit einer Höhe von 2.2 m und einer Länge von je 3.3 m (Rohbaumaße) und Brüstungen mit 0.8 m Höhe. Die lichte Raumhöhe beträgt also 3m. Für A0 ist die gesamte Nettofläche anzusetzen. Als Fenster sind normale Metallfenster mit einem Rahmenanteil von ca 30% und einer Verglasung mit einem g-Wert von 0.58 vorhanden. Es sind leichte Trennwände vorhanden, weiterhin ein Hohlraumboden und Akustiksegel, die aber mit Raumluft hinterlüftet werden. Insgesamt handelt es sich um eine leichte Bauart. Das Bauwerk liegt in Stuttgart (Kiimaregion C). Erhöhte Nachtlüftung ist möglich. Es wird ein normaler Büroraum ohne Dachanteil untersucht. Der außen liegende Sonnenschutz besteht aus drehbaren, hinterlüfteten Lamellen. Innenliegend ist ein hochwertiger Blendschutz vorhanden, der jedoch nicht berücksichtigt wird.

Es ergeben sich folgende Kennwerte: Sonneneintragskennwert: 9total

5

= g

X

Fe= 0,58

X

0,25 = 0,145

= (2,2 X 3,3 + 2,2 X 3,3)

X

0,145/25

= 0,0842

Hilfsgrößen: fgew

= (2,2 X 3,3 X 2 + 0,3 X (5,0 X 0,8 X 2 + 2 X 1,7 X 3))/25 = 0,7992

Anteilige zulässige Sonneneintragkennwerte: -

für Klimaregion 8: für Bauart: für Nachtlüftung: sonstiges:

Sx = +0,02 5,. = 0,06 X 0,7992 Sx = +0,02

=

0,0480

entfällt.

Zulässiger Sonneneintragskennwert:

Szul = 0,02

+ 0,048 + 0,02 =

0,088 > 0,0842

Beurteilung: Anforderung eingehalten! Anmerkung: Gegenüber der Fassung DIN 4108-2: 2002-2 haben sich die Anforderungen an den sommerlichen Wärmeschutz erheblich verschärft. ln der genannten Fassung wäre der sommerliche Wärmeschutz auch dann eingehalten gewesen, wenn durchlaufende Fensterbänder mit je 5 m Länge vorhanden wären und wenn die Nachtlüftung entfallen wäre!

2 2.1

Energiesparender Wärmeschutz nach der Energieeinsparverordnung (EnEV) vom 16. November 2001 Unterschiede zu den bisherigen Wärmeschutzverordnungen (WSchV)

Während die bisherigen Wärmeschutzverordnungen entweder Anforderungen an den mittleren U-Wert der Gebäudehülle stellten (WSchV 1977 und 1984) oder den Jahresheizwärmebedarf begrenzten (WSchV 1994), begrenzt die EnEV vom 16. No-

141

4

Bauphysik vember 2001 den Jahresprimärenergiebedarf von Gebäuden. Dies hat zur Folge, dass neben der Erzeugung und Bereitstellung von Energie zur Deckung der Transmissions- und Lüftungswärmeverluste (wie bisher) auch der Bedarf zur Warmwasserbereitung, für raumlufttechnische Anlagen und zur Verteilung der Energie innerhalb der Systemgrenze mit berücksichtigt werden muss. Außerdem geht die Art des Energieträgers und die Art der Heizanlage in die sog. Aufwandszahl ein, mit der die Ausnutzung der eingesetzten Primärenergie beschrieben wird. Folgerichtig ist daher das Verschmelzen der Heizanlagenverordnung vom Mai 1998/0ktober 2001 mit der EnEV. Als weitere gravierende Neuerung gegenüber den bisherigen WSchV sind in der EnEV keine Algorithmen zur Berechnung des Jahresprimärenergieverbrauchs angegeben, mit Ausnahme eines vereinfachten Verfahrens für Wohngebäude mit einem Fensterflächenanteil von ~30%. Für alle übrigen Gebäude gelten die Rechenverfahren der DIN EN 832: 2001-02 in Verbindung mit DIN V 4108-6: 2001-11 und DIN 4701-10: 2001-02, die als Monats-Bilanzverfahren anzuwenden sind.

2.2

Begriffsbestimmungen

Über die bisher beschriebenen wärmetechnischen Begriffe hinaus verwendet die EnEV folgende Begriffe: erneuerbare Energien: Solarenergie, Umweltwärme, Erdwärme und Biomasse, die zu Heizzwecken, zur Warmwasserbereitung oder zur Lüftung von Gebäuden eingesetzt werden; Heizkesse I: ein aus Kessel und Brenner bestehender Wärmeerzeuger, der zur Übertragung der durch die Verbrennung freigesetzten Wärme an den Wärmeträger Wasser dient; Niedertemperatur-Heizkessel: Heizkessel, der kontinuierlich mit einer Eintrittstemperatur von 35 bis 40 oc betrieben werden kann und in dem es unter bestimmten Bedingungen zur Kondensation des in den Abgasen enthaltenen Wasserdampfes kommen kann; Brennwertkessel: Heizkessel, der für die Kondensation eines Großteils der in den Abgasen enthaltenen Wasserdampfes konstruiert ist.

2.3

Anforderungen an zu errichtende Gebäude mit normalen Innentemperaturen

Die EnEV 2002 stellt Anforderungen an Gebäude mit normalen Innentemperaturen (8; ~ + 19 oc; Heizzeit tH ~ 4 Monate/Jahr) und an Gebäude mit niedrigen Temperaturen (12 oc ~ 8; < + 19 oc; Heizzeit tH ~ 4 Monate/Jahr) einschließlich aller Anlagen, die zur Beheizung, zur Warmwasserbereitung und zu Lüftungszwecken dienen. Generell ausgenommen sind: Betriebsgebäude, die überwiegend zur Aufzucht oder Haltung von Tieren genutzt werden, Betriebsgebäude, soweit sie nach ihrem Verwendungszweck großflächig und lang anhaltend offengehalten werden müssen, Unterirdische Bauten, Unterglasanlagen und Kulturräume zur Aufzucht, Vermehrung und Verkauf von Pflanzen, Traglufthallen, Zelte und Gebäude, die dazu bestimmt sind, wiederholt aufgestellt und zerlegt zu werden, Kleine beheizte Gebäude, wenn deren beheiztes Gebäudevolumen 100m3 nicht übersteigt und die Wärmedurchgangskoeffizienten der Außenbauteile die Anforderungen an Altbauten erfüllen.

142

Energiesparender Wärmeschutz Auf Antrag können die nach Landesrecht zuständigen Behörden bei Baudenkmalen oder sonstigen besonders erhaltenswerten Gebäuden Ausnahmen von der Erfüllung der Anforderungen der EnEV 2002 gewähren. Neu zu errichtende Gebäude mit normalen Innentemperaturen sind so auszuführen, dass 1. bei Wohngebäuden der auf die Gebäudenutzfläche bezogene Jahres-Primärener-

giebedarf und 2. bei anderen Gebäuden der auf das beheizte Gebäudevolumen bezogene JahresPrimärenergiebedarf sowie der spezifische, auf die wärmeübertragende Umfassungsfläche bezogene Transmissionswärmeverlust die Höchstwerte nach Tafel 9 nicht übersteigt. Tafel 9

Höchstwerte des Jahres-Primärenergiebedarfs und des spezifischen Transmissionswärmever1ustes Jahres-Primärenergiebedarf

er,; in kWh/lm 2 a) bezogen auf die Gebäudenut2fläche Verhältnis AIV.

Spezifischer, auf die wärmeübertragende Umfassungsfläche

a;,

in kWh/ 1m3 a) bezogen auf das beheizte Gebäudevolumen

bezogener Transmissions-

Nicht-Wohnge- Nicht-Wohnbäude mit einem gebäudemit Fensterflächen- einem Fensteranteil ~30% und flächenanteil Wohngebäude ~30%

wärmeverlust

H'r in W/lm 2 K)

Wohngebäude außer solchen nach Spalte 3

Wohngebäude mit überwiegender Warmwasserbereitungaus elektrischem Strom

andere Gebäude

1

2

3

4

5

6

~0,2

66,00 + 2600/(100 +AN) 73,53 + 2600/(100 +AN) 81,06 + 2600/1100 +AN) 88,58 + 2600/(100 +AN) 96,11 + 2600/(100 +AN) 103,64 + 2600/(100 +AN) 111,17 + 2600/(100 +AN) 118,70 + 2600/(100 +AN) 126,23 + 2600/(100 +AN) 130,00 + 2600/(100 +AN)

88,00 95,53 103,06 110,58 118,11 125,64 133,17 140,70 148,23 152,00

14.72 17,13 19,54 21,95 24,36 26,77 29,18 31,59 34,00 35,21

1,05 0,80 0,68 0,60 0,55 0,51 0,49 0,47 0,45 0,44

1,55 1,15 0,95 0,83 0,75 0,69 0,65 0,62 0,59 0,58

0,3

OA

0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 ~1,05

Zwischenwerte sind nach folgenden Gleichungen zu ermitteln: Spalte Spalte Spalte Spalte Spalte

2.3.1

2: 3: 4: 5: 6:

Qp =

50,94 + 75,29 · A/Ve + 2600/(100 +AN) 72,94 + 75,29. A/ v. Qp = 9,9 + 24,1 · A/ v. Hr = 0,3 + 0,15/(A/Ve) HT = 0,35 + 0,24/(A/V.)

Qr =

in in in in in

kWh/(m 2 a) kWh/(m 2 a) kWh/(m 3 a) W/(m 2 K) W/(m 2 K)

Bezugsgrößen

Folgende Bezugsgrößen sind zu verwenden: Wärmeübertragende Umfassungsfläche A in m 2 : Die wärmeübertragende Umfassungsfläche ist so festzulegen, dass ein in DIN EN 832 beschriebenes geschlossenes Ein-Zonen-Modell entsteht, welches die beheizten Räume vollständig einschließt. Die Umfassungsflächen sind aus Außenabmessungen zu ermitteln.

143

4

Bauphysik Beheiztes Gebäudevolumen V.: Das beheizte Gebäudevolumen in m 3 ist das Volumen, das von der wärmeübertragenden Umfassungsfläche eingeschlossen wird. Verhältnis AIV.: Verhältnis zwischen wärmeübertragender Umfassungsfläche A und beheiztem Gebäudevolumen in m- 1 • Beheiztes Lüftungsvolumen: Das beheizte Luftvolumen errechnet sich aus dem Gebäudevolumen vereinfacht nach folgenden Formeln: V= 0,76 v. bei Gebäuden bis zu 3 Vollgeschossen V= 0,8 v. in allen übrigen Fällen. Gebäudenutzfläche AN: Diese errechnet sich bei Wohngebäuden aus AN= 0,32 Für andere Gebäude als Wohngebäude ist sie nicht definiert. Fensterflächenanteil f: Der Fensterflächenanteil f des gesamten Gebäudes ist wie folgt zu ermitteln:

v.

v.

f=

2.3.2

Aw

Aw+AAw

AN gesamte Fensterfläche AAw Fläche aller Außenwände. Bei beheizten Dachgeschossen sind die Dachflächenfenster in AN einzurechnen, die beheizte Dachschräge in AAw·

Besondere Anforderungen und Ausnahmen

Die Begrenzung des Jahresprimärenergieverbrauchs gilt nicht für Gebäude, die zu mindestens 70% durch Wärme aus Kraft-Wärmekopplung beheizt werden; zu mindestens 70% durch erneuerbare Energien aus selbstständig arbeitenden Wärmeerzeugern beheizt werden; überwiegend durch Einzelfeuerstätten oder sonstigen Wärmeerzeugern beheizt werden, für die keine Regeln der Technik vorliegen. Bei diesen Gebäuden ist der Transmissionswärmeverlust auf die Höchstwerte nach Tafel 9 Spalte 5 zu begrenzen.

2.4 Berücksichtigung der Warmwasserbereitung bei Wohngebäuden Bei Wohngebäuden muss der Energiebedarf für die Warmwasserbereitung berücksichtigt werden. Als Nutz-Wärmebedarf sind 12,5 kWh/m 2 a anzusetzen, wobei die Gebäudenutzfläche die Bezugsfläche darstellt.

2.5

Berücksichtigung von Wärmebrücken

Bei der Ermittlung des Jahres-Heizwärmebedarfs sind Wärmebrücken mit zu berücksichtigen. Dies kann auf folgende Arten geschehen: Berücksichtigung durch Erhöhung der Wärmeübergangskoeffizienten um I'>.Uws = 0,1 W /m 2 K für die gesamte wärmeübertragende Umfassungsfläche; Bei Anwendung der Planungsbeispiele nach DIN 4108 Beiblatt 2: 1998-08 gilt: I'>.Uw8 = 0,05 W /m 2 K für die gesamte Umfassungsfläche; exakte Rechnung.

2.6

Berechnung des Jahres-Primärenergiebedarfs

2.6.1 Vereinfachtes Verfahren für Wohngebäude 2.6.1.1 Berechnung des Jahres-Heizwännebedarfs und des Zuschlags für Wannwasserbereitung Bei Wohngebäuden, deren Fensterflächenanteil 30% nicht übersteigt, kann mit einem vereinfachten Jahresbilanzverfahren gerechnet werden. Der Jahres-Primäre-

144

Energiesparender Wärmeschutz nergiebedarf ergibt sich danach wie folgt:

0p=(OH+0w)·ep mit den Bedeutungen: Op: Jahres-Primärenergiebedarf QH: Jahres-Heizwärmebedarf Ow: Zuschlag für Warmwasserbereitung nach Abschnitt 2.4 ep: Aufwandszahl nach DIN V 4701-10 Nr. 4.2.6 in Verbindung mit Anhang C 5 (grafisches Verfahren}; darüber hinaus ausführliche Verfahren. Der Jahresheizwärmebedarf QH ist dabei nach den folgenden Tafeln 10 und 11 zu ermitteln. Tafel10

Vereinfachtes Verfahren zur Ermittlung des Jahres-Heizwärmebedarfs

Zu ermittelnde Größe Jahresheizwärmebedarf QH

Gleichung

a.. ~66(Hr+Hv)

- 0,95(0s +

Spezifischer TransmissionsWärmeverlust Hr

Hr ~

bezogen auf die wärmeübertragende Umfassungsfläche

H'r ~ Hr/A

Spezifischer Lüftungswärmeverlust Hv

Hv Hv

~ ~

a,)

2:: (F" U,A,) + 0,05A1 )

0,19 V, 0,163 V,

Solare Gewinne Os

QS ~ 2::; (Js)"Hp2:;0,567 g,A, 2 )

Interne Gewinne 0 1

Q,~22AN

1) 2)

3)

Zu verwendende Randbedingung

Temperatur-Korrekturfaktoren nach Tafel11

ohne Dichtheilsprüfung mit Dichtheilsprüfung Solare Einstrahlung: Orientierung I: (/s)"HP Südost bis Südwest: 270 kWh/(m 2 a) Nordwest bis Nordost 100 kWh/(m2 a) übrige Richtungen 155 kWh/(m 2 a) Dachflächenfenster 225 kWh/(m 2 a) mit Neigungen < 30°3 ) Gebäudenutzfläche

Die Wärmedurchgangskoeffizienten sind nach DIN EN ISO 6946 und nach DIN EN ISO 10077 zu ermitteln oder technischen Produkt-Spezifikationen zu entnehmen. Der Gesamt-Energiedurchlassgrad (für senkrechte Einstrahlung) ist technischen Produkt-Spezifikationen zu entnehmen oder nach DIN EN 410 zu ermitteln. Wintergärten oder Transparente Wärmedämmungen können beim vereinfachten Verfahren keine Berücksichtigung finden. Dachflächenfenster mit Neigungen > 30° werden wie senkrechte Fenster behandelt.

Tafel 11

Temperatur-Reduktionsfaktoren F.;

Wärmestrom nach außen über Bauteil i Außenwand, Fenster Dach (als Systemgrenze) Oberste Geschossdecke (Dachraum nicht ausgebaut)

Temperatur-Reduktionsfaktor Fx; 1 1 0,8

Abseitenwand (Drempelwand)

0,8

Wände und Decken zu unbeheizten Räumen Unterer Gebäudeabschluss: - Keilerdeekel-wände zu unbeheiztem Keller - Fußboden auf Erdreich - Flächen des beheizten Kellers gegen Erdreich

0,5 0,6

Zu beachten ist, dass der Temperatur-Reduktionsfaktor für Dächer nicht mehr 0,8 beträgt, sondern 1,0. Der Grund hierfür liegt darin, dass der Dämmstandard sowohl für Flach- wie Schrägdächer mittlerweile so hoch liegt, dass solare Gewinne nicht mehr ins Gewicht fallen. Ein Beispiel für die Anwendung des vereinfachten Verfahrens findet sich im Abschnitt 2.6.1.3.

2.6.1.2

Anlagenaufwandszahl nach Anhang C 5 zu DIN V 4701-10

in der DIN 4701-10 sind insgesamt 8 Heizanlagen grafisch erfasst, für die die Anlagenaufwandszahl als Funktion des flächenbezogenen Jahresheizwärmebedarfs und der Gebäudenutzfläche ohne aufwendige Berechnung direkt vorliegt.

145

4

Bauphysik Als Beispiel sind nachfolgend die Werte für zwei der häufigsten Anlagen für kleinere Wohngebäude angegeben. Anlage 7

Niedertemperaturkessel, AufstellungNerteilung innemalb thennischer Hülle

Trinkwassererwärmung

Heizung

Verteilung

Verteilung innerhalb thermischer Hülle, mit Zirkulation

Speicherung

indirekt beheizter Speicher, Aufstellung innerhalb thermischer Hülle

Erzeugung

zentral, Niedertemperaturkessel

Übergabe

Radiatoren, Anordnung im Außenwandbereich, Thermostatventile 1 K

Verteilung

horizontale Verteilung innerhalb thermischer Hülle, Verteilungsstränge innenliegend, geregelte Pumpen

Speicherung

keine Speicherung

Erzeugung

Niedertemperaturkessel 70/55 Hülle

oc innerhalb thermischer

Übergabe Verteilung

Lüftung

keine Lüftungsanlage

Erzeugung AN

q"

100

in m 2

120

150

170

200

250

300

350

400

450

500

in kWh/(m 2 a) Anlagenaufwandszahl e• (primärenergiebezogen)

40

1,64

1,60

1,55

1,53

1,50

1,47

1,44

1,43

1,42

1,41

1,40

50

1,57

1,54

1.49

1,47

1,45

1,42

1,40

1,39

1,38

1,37

1,36

60 70

1,52 1,48

1,49 1,45

1,45 1,42

1,43 1,40

1,41 1,38

1,39 1,37

1,37 1,35

1,36 1,34

1,36 1,34

1,35 1,33

1,34 1,32

80

1,45

1,42

1,39

1,38

1,36

1,35

1,33

1,33

1,32

1,31

1,31

90

1,42

1,40

1,37

1,36

1,35

1,33

1,32

1,31

1,31

1,30

1,30

Anlage 8

Brennwert-Kessel, AufstellungNerteilung innemalb thennischer Hülle

Trinkwassel'erwärmung

Heizung

Verteilung

Verteilung innerhalb thermischer Hülle, mit Zirkulation

Speicherung

indirekt beheizter Speicher, Aufstellung innerhalb thermischer Hülle

Erzeugung

zentral, Brennwertkessel

Übergabe

Radiatoren, Anordnung im Außenwandbereich, Thermostatventile 1 K

Verteilung

horizontale Verteilung innerhalb thermischer Hülle, Verteilungsstränge innenliegend, geregelte Pumpen

Speicherung

keine Speicherung

Erzeugung

Brennwertkessel 55/45

oc innerhalb thermischer Hülle

Übergabe Verteilung

Lüftung

keine Lüftungsanlage

Erzeugung AN

q"

in m 2

100

120

150

170

200

250

300

350

400

450

500 1,32

in kWh/(m 2 a) Anlagenaufwandszahl e. (primärenergiebezogen)

40

1,56

1,52

1,46

1,44

1,41

1,39

1,36

1,35

1,34

1,33

50

1,49

1,45

1,41

1,39

1,36

1,34

1,32

1,31

1,30

1,30

1,29

60

1,43

1,41

1,36

1,35

1,33

1,31

1,29

1,28

1,28

1,27

1,26

70

1,40

1,37

1,33

1,32

1,30

1,29

1,27

1,26

1,26

1,25

1,24

80

1,36

1,34

1,31

1,30

1,28

1,27

1,25

1,25

1,24

1,24

1,23

90

1,34

1,32

1,29

1,28

1,26

1,25

1,24

1,23

1,23

1,22

1,22

Für die übrigen Anlagen wird auf DIN V 4701-10 verwiesen.

146

Energiesparender Wärmeschutz 2.6.1.3

Beispiel: Einfamilien-Wohnhaus

Gegeben ist ein nicht unterkellertes, freistehendes Einfamilien-Wohnhaus mit einer Grundfläche von 8 x 10m. Es ist ein ausgebautes Dachgeschoss mit einem Satteldach mit 35° Neigung vorhanden . Da die Dachflächenfenster eine Neigung von > 30° aufweisen, werden sie wie senkrechte Fenster der jeweiligen Orientierung behandelt. Als Heizanlage ist ein Brennwertkessel nach Anlage Nr. 8 nach DIN V 470110 innerhalb der Systemgrenze vorhanden. Konstruktionen (nur wännetechnisch relevante Schichten): Außenwand : 175 mm Mauerwerk aus Kalksandvollsteinen mit 160 mm Wärmedämmverbundsystem WIG 040, Innen- und Außen putz; V = 0,25 Wf m 2 K Dach: Voll gedämmtes Sparrendach mit 200 mm Mineralwolle WIG 035 raumseitige Bekleidung mit Gipskartonplatten, mittlerer V-Wert v = 0,20 W f m 2 K Fußboden gegen Erdreich: 45 mm Zementestrich auf 120 mm PS-Hartschaum WIG 040, Abdichtung V = 0,31 W j m 2 K Fenster: Holzfenster der Rahmengruppe 1, Wärmeschutzverglasung mit Vv = 1,1 W/m 2 K nach Bundesanzeiger, Gesamtenergiedurchlassgrad 0,58, V-Wert des gesamten Fensters VF = 1,3 W j m 2 K Wärmegedämmte Tür ohne Glasanteile; Ur = 1,5 Wf m 2 K. Das Gebäude soll nach der Fertigstellung einer Dichtheitsprüfung unterzogen werden, sodass reduzierte Lüftungswärmeverluste angesetzt werden dürfen. Haustür:

Berechnung des Jahres-Primärenergiebedarfs nach dem vereinfachten Verfahren nach EnEV Anlage 1 Abschnitt 3 Beheiztes Gesamtvolumen: Gebäudenutzfläche: Spezifischer Transmissionswänneverlust Bauteil Außenwand Dachfläche Fußboden gegen Erdreich Haustür Fenster Süd Fenster Ost + West Fenster Nord Summe Wärmebrücken

Ht-

Fläche (m 2 )

U (W/m 2 K)

35,49 94,77 80,00 3,25 21 ,13 18,50 6,00

0,25 0,2 0,31 1,5 1,3 1,3 1,3

Korr.

1 1 0,6 1 1 1 1

H,-(W/K)

8,87 18,95 14,88 4,88 27,47 24,05 7,80 106,90

259,14

12,957

259,14 . 0,05

119,86

Gesamt

Verhältnis AIV.: lüftungswänneverluste: mit Dichtheitsprüfung! Interne Gewinne:

Fx i

Hv

0,738 m - 1 = 0,163.

v.

57,25W/K

0; = 22 · 0,32 · v. 2472,448 kWh/a

147

4

Bauphysik Solare Gewinne: Orientierung

Fläche

g-Wert

Sol. Einstr.:

a.

Süd Ost+ West Nord

21,13 18,50 6,00

0,58 0,58 0,58

270,00 155,00 100,00

1876,18 943,01 197.32 3016,50

Summe

Jahresheizwärrnebedarf nach der Formel OH= 66(Hr flächenbezogen:

+ Hvl -0,95(0s + 01l:

QH = 6474,30 kWh/a qH = 57,61 kWh/m 2 a

Aufwand für Warmwasser: Ow = 1404,8 kWh/a Aufwandszahl für Anlage Nr. 8 nach DIN V 4701-10 für qH 60 kWh/m 2 a und 110m 2 Nutzfläche: ep= 1,42 99,55 kWh/m 2 a Jahresprimärenergiebedarf: Anforderung nach EnEV Tabelle 1, Spalte 2:

a;=

a~,max = 50,94 + 75,29. A/V. + 2600/(100 +AN)= 118,74 kWhjm 2 a Beurteilung: Anforderung erfüllt! Nebenanforderung nach Tafel 9, Spalte 5: H~ = 0,3 + 0,15/(A/Ve) = 0,503 W/(m 2 K) Vorhanden: H~ = 119,86/259,14 = 0,463 W /(m 2 K)

Beurteilung:

Anforderung erfüllt!

Der zusätzliche Aufwand zur Berechnung des Jahres-Primärenergiebedarfs gegenüber der bisherigen WSchV hält sich nach dem vereinfachten Verfahren also in Grenzen. Im Beispiel ist die Anforderung um etwa 16% unterschritten. Die Anforderungen wären auch dann eingehalten, wenn die Dicke des Wärmedämmverbundsystems nur 120 mm und die Dicke der Dämmung im Dach nur 160 mm betragen würde. Dies liegt aber daran, dass die Lüftungswärmeverluste reduziert werden dürfen, da das Bauwerk auf Dicht· heit überprüft wird; andernfalls lägen sie um knapp 17% höher; eine sehr gute Heizanlage mit der geringsten Aufwandszahl ausgewählt wurde. Aber auch mit einem Niedertemperaturkessel mit Heizöl als Brennstoff (Aufwandszahl1,505) sind die Anforderungen gut eingehalten. Nicht eingehalten dagegen sind die Anforderungen nach Tafel 9 Spalte 2 an den Primärenergiebedarf, wenn eine Heizungsanlage verwendet wird, die außerhalb der Systemgrenze aufgestellt wird, z. B. in einem unbeheizten Kellerraum oder in einem unbeheizten Dach raum. Die Aufwandszahl steigt dann auf ep = 1,81, sodass der flächenbezogene Jahres-Primärenergiebedarf bei 126,7 kWh/(m 2 a) liegt und die Anforderung nicht mehr eingehalten ist.

2.6.2

Nach DIN V 4108-6

ln der Regel ist der Jahresprimärenergieverbrauch nach DIN V 4108-6 in Verbindung mit DIN EN 832 und DIN V 4701-10 zu berechnen. Der Jahresheizwärmebedarf ist nach dem Monals-Bilanzverfahren zu bestimmen. Vereinfachungen nach DIN V 4108-6 dürfen angewendet werden. Das Verfahren ist zu aufwändig, um von Hand durchgeführt werden zu können. Es gibt jedoch bereits mehrere kommerziell

148

Energiesparender Wärmeschutz erwerbbare Programme, aber auch Freeware, mit der die Berechnungen komfortabel durchgeführt werden können. Eine Demo-Version eines einfach zu handhabenden, sehr flexiblen kommerziellen Programms ist der CD zu diesem Buch beigelegt. Die Anzahl der Transmissionsflächen ist dabei aber begrenzt.

2.7

Reihenhäuser

Bei der Berechnung von aneinander gereihten Gebäuden mit gleichen Innentemperaturen werden die Gebäudetrennwände als nicht wärmedurchlässig angerechnet (adiabatischer Abschluss) und bei der Berechnung von A und A/V0 nicht berücksichtigt. Ist die Nachbarbebauung nicht sichergestellt, so muss für die Trennwand ein Mindest-Wärmedurchlasswiderstand von R~ 1,2 m 2 KJW eingehalten sein.

2.8

Änderung von Gebäuden

Die EnEV gibt im Anhang 3 sehr detaillierte Hinweise zu wärmetechnischen Maßnahmen, die bei der Änderung von Außenbauteilen bestehender Gebäude zu beachten sind. Nachfolgend sind sie in gekürzter Fassun9. für Gebäude mit Innentemperaturen > 19 oc wiedergegeben. Herausragende Änderungen gegenüber der WSchV vom 16. August 1994 sind fett gedruckt.

2.8.1

Außenwände

Wenn bei Außenwänden Bekleidungen in Form von Platten, plattenartigen Bauteilen, Verschalungen oder Mauerwerks-Vorsatzschalen angebracht werden, neue Dämmschichten eingebaut werden, bei einer bestehenden Wand mit V> 0,9 W/m 2 K der Außenputz erneuert wird, dann darf der V-Wert maximal Vmax = 0,35 W /m 2 K betragen. Werden - lnnendämmungen ausgeführt oder - bei Fachwerkbauten die Ausfachungen erneuert, dann darf der V-Wert maximal Vmax = 0.45 Wjm 2 K betragen. Anmerkung: Diese Anforderung ist für Fachwerkbauten bauphysikalisch falsch. Bei einer üblichen Dicke von ca. 140 mm wäre hierzu eine Wärmeleitzahl von ca. 0,07 W/m K erforderlich, was mit einer homogenen Ausmauerung nicht zu erzielen ist. Zudem sollte die Wärmeleitzahl der Ausmauerung nicht wesentlich unter oder über der Wärmeleitzahl des Holzes liegen (bei Eichenholz 0,16 W/m K), damit ein thermisch homogenes Mauerwerk erzielt wird. Bei zusätzlichen lnnendämmungen sollte die Dicke der Dämmschicht der Wlg 040 40 mm nicht übersteigen. Insgesamt können damit U-Werte von etwa 0,5 W/m 2 K erreicht werden. Bei Fachwerksanierungen sollte man daher eine Ausnahmegenehmigung einholen.

2.8.2

Fenster

Bei Fenstern wird unterschieden, ob das gesamte Bauteil erneuert wird oder lediglich die Verglasung. Zudem wird Rücksicht genommen auf besondere Anforderungen wie Schallschutz, Schaufenster, Türanlagen aus Glas und Sicherheitsanforderungen (durchschusshemmende Verglasung etc.). Weiterhin berücksichtigt die EnEV den Fall, dass vor vorhandene Fenster ein weiteres Fenster gesetzt wird.

149

4

Bauphysik Beim Ersatz von Fenstern darf der neue U-Wert maximal 1,7 W/m 2 K betragen, beim Ersatz der Verglasung alleine darf deren U-Wert 1,5 W/m 2 K nicht übersteigen. Bei Sonderverglasungen sind U-Werte bis 2,0 W/m 2 K zulässig. Bei Schaufenstern und Türanlagen aus Glas sind keine Anforderungen einzuhalten.

2.8.3

Steildächer

Bei beheizten Dachräumen sind bei Erneuerung der Dacheindeckung, bei Erneuerung oder Ersatz von inneren Bekleidungen oder beim Neueinbau von Dämmschichten die Wärmedämmaßnahmen so zu dimensionieren, dass ein U-Wert von Umax = 0,30 Wjm 2 K nicht überschritten wird. Bei Zwischensparrendämmungen ist mindestens der Stand der Technik einzuhalten {= Sparrenvolldämmung).

2.8.4

Flachdächer

Bei der Sanierung von Flachdächern ist ein maximaler U-Wert von Umax = 0,25 W jm 2 K einzuhalten. Bei Gefälledächern muss am tiefsten Punkt der Mindestwärmedurchlasswiderstand nach DIN 4108-2 eingehalten sein {R~ 1,1 m 2 K!W).

2.8.5

Wände und Decken gegen unbeheizte Räume und gegen Erdreich

Bei der Sanierung der genannten Flächen sind folgende maximale U-Werte einzuhalten: - gegen unbeheizte Räume: Umax = 0,40 W jm 2 K - gegen Erdreich: Umax = 0,50 Wjm 2 K. Bei der Dämmung von Fußbodenaufbauten gelten die Anforderungen als erfüllt, wenn ohne Änderungen der Türen die maximal mögliche Dämmschichtdicke der WIG 040 eingebaut ist.

2.9

Nachrüstung bei Anlagen und Gebäuden (§ 9 EnEV)

Heizkessel, die mit flüssigen oder gasförmigen Brennstoffen beschickt werden und vor dem 1. Oktober 1978 in Betrieb genommen wurden, müssen bis zum 31. Dezember 2006 außer Betrieb genommen und ersetzt werden. Für nachgerüstete Anlagen wird die Frist um zwei Jahre verlängert. Ausnahmen sind NiedertemperaturHeizwertkessel oder Brennwertkessel oder Anlagen, deren Nennwärmeleistung 400 kW beträgt. Ungedämmte, zugängliche Heizleitungen und Warmwasserleitungen sowie Armaturen, die sich nicht innerhalb der beheizten Räume befinden, müssen bis zum 31. Dezember 2006 nach Abschnitt 2.11 gedämmt werden. Bisher nicht gedämmte Geschossdecken von beheizten Räumen zu unbeheizten Dachgeschossen müssen bis zum 31. Dezember 2006 so gedämmt werden, dass der U-Wert Umax = 0,30 W jm 2 K nicht übersteigt.

2.10

Energiebedarfsausweis

Für neu zu errichtende Gebäude sowie für Gebäude mit normalen Innentemperaturen, die wesentlich verändert werden, ist ein Energiebedarfsausweis nach § 13 EnEV zu erstellen.

150

Energiesparender Wärmeschutz: Der Energiebedarfsausweis ist den nach Landesrecht zuständigen Behörden vorzuweisen und Mietern, Käufern und sonstigen Nutzungsberechtigten auf Verlangen zugänglich zu machen.

2.11

Begrenzung der Wänneabgabe von Wänneverteilungs- und Wannwasser1eitungen sowie von Armaturen

Bei Leitungen von Zentralheizungen in beheizten Räumen oder in Bauteilen zwischen beheizten Räumen eines Nutzers, deren Wärmeabgabe durch frei liegende Absperrvorrichtungen beeinflußt werden kann, werden keine Anforderungen an die Mindestdämmschichtdicke der Wärmedämmung gestellt. Dies gilt auch für Warmwasserleitungen bis zu einem Innendurchmesser von 22 mm, die weder in den Zirkulationskreislauf einbezogen noch mit einer elektrischen Begleitheizung versehen sind. Alle anderen Leitungen und Armaturen müssen nach den Anforderungen der nachfolgenden Tafel 12 gedämmt werden. Soweit Dämmstoffe mit einer anderen Wärmeleitzahl als 0,035 W/m K verwendet werden, sind die Mindestdicken entsprechend umzurechnen. Tafel12

Wännedämmung von Wänneverteilungs- und Wannwasserleitungen sowie Armaturen

Zeile

Art der Leitungen/Armaturen

Mindestdicke der Dämmschicht, bezogen auf eine Wärmeleitfähigkeitvon 0,035 W/(mk)

1

Innendurchmesser bis 22 mm

20mm

2

Innendurchmesser über 22 mm bis 35 mm

30mm

3

Innendurchmesser über 35 mm bis 100 mm

gleich Innendurchmesser

4

Innendurchmesser über 100 mm

100mm

5

Leitungen und Armaturen nach den Zeilen 1 bis 4 in Wand- und Deckendurchbrüchen, im Kreuzungsbereich von Leitungen, an Leitungsverbindungsstellen, bei zentralen Leitungsnetzverteilern

1/2 der Anforderungen der Zeilen 1 bis 4

6

Leitungen von Zentralheizungen nach den Zeilen 1 bis 4, die nach lnkrafttreten dieser Verordnung in Bauteilen zwischen beheizten Räumen verschiedener Nutzer verlegt werden

1/2 der Anforderungen der Zeilen 1 bis 4

7

Leitungen nach Zeile 5 im Fußbodenaufbau

6mm

2.12

Anforderungen an zu errichtende Gebäude mit niedrigen Innentemperaturen (Anhang 2 EnEV)

Bei Gebäuden mit niedrigen Innentemperaturen (12 oc~ 19; < +19 oc; Heizzeit tH ;::;4 Monate/Jahr) sind lediglich Anforderungen an den spezifischen, auf die wärmeübertragende Umfassungsfläche bezogenen Transmissionswärmeverlust gestellt. Die Anforderungen ergeben sich in Abhängigkeit vom Verhältnis AIV. nach der Gleichung

H~,max = 0,53 + 0,1 · V./A. Die Berechnung des spezifischen Transmissionswärmeverlustes erfolgt dabei gleich wie bei normal beheizten Gebäuden. Auch die Temperatur-Reduktionsfaktoren nach Tafel 11 finden Anwendung. Bei aneinander gereihten Gebäuden dürfen die Gebäudetrennwände als wärmeundurchlässig angenommen werden.

151

4

Bauphysik

3

Feuchteschutz

Die atmosphärische Luft enthält immer Wasserdampf. Dieser entsteht bei der Verdunstung des natürlich vorhandenen Wassers und erzeugt wie alle Gase einen Druck, den Wasserdampfdruck. Den Druck des in der Atmosphäre vorhandenen Wasserdampfes bezeichnet man als Wasserdampfteildruck. Luft kann allerdings bei gegebener Temperatur nur eine begrenzte Menge an Wasserdampf aufnehmen, die man als Wasserdampfsättigungsmenge oder als Wasserdampfkonzentration C8 im Sättigungszustand bezeichnet und die sehr stark von der Temperatur abhängig ist (s. Tafel 25). Im Sättigungszustand wird dann der Wasserdampfsättigungsdruck erreicht. Meistens ist Luft nicht mit Wasserdampf gesättigt, sondern enthält eine geringere Wasserdampfkonzentration als es der Sättigungskonzentration c. entspricht. Daraus abgeleitet wurde der Begriff der relativen Luftfeuchte rp als das Verhältnis der in der Luft vorhandenen Wasserdampfkonzentration c zur Wasserdampfkonzentration c. im Sättigungszustand.

rp = cjc. Da der Wasserdampfteildruck p proportional zur Wasserdampfkonzentration c in der Luft ist, gilt auch

'P = P/Ps wobei Ps der Wasserdampfsättigungsdruck ist (s. Tafel 22). Er kann auch näherungsweise nach der Zahlenwertgleichung Ps = a(b + 8L/100 °C)n in Pa berechnet werden, wobei für die Größen a, b und n folgende Zahlenwerte einzusetzen sind: Größen

-20:0:€h < 0

a in Pa b

n

o:s; el:;; 3o oc

oc

4,689 1,486 12,3

288,68 1,098 8,02

Die in einem Raum sich einstellende relative Luftfeuchte wird nicht nur von deren Wassergehalt, sondern auch von der Temperatur der Raumluft bestimmt. Änderungen des Wassergehaltes ergeben sich aus der Wasserdampfbelastung der Luft durch die Bewohner bzw. durch die Raumlüftung, wenn die Wasserdampfkonzentration der Raum- und Außenluft unterschiedlich groß ist. Im Winter wird durch Lüftung der Wassergehalt der Raumluft abgesenkt, weil bei tiefen Temperaturen die Wasserdampfkonzentration der Luft viel geringer ist als bei hohen Temperaturen. Der in der Luft enthaltene Wasserdampf kann zu Tauwasserniederschlägen auf der Oberfläche oder im lnnern von Bauteilen führen, die in ungünstigen Fällen Schäden verursachen.

3.1 3.1.1

Feuchteschutztechnische Größen Fonnetzeichen und Einheiten

Bedeutung Wasserdampfteildruck Sättigungsdruck des Wasserdampfes (Wasserdampfsättigungsdruck)

Formelzeichen

SI-Einheit')

p

Pa, N/m 2

Ps

Pa, N/m 2

relative Luftfeuchte

cp

1

Wasserdampf-Diffusionsstrom

I i Ll

kg/h

Wasserdampf-Diffusionsstromdichte Wasserdampf-Diffusionsdurchlasskoeffizient Fortsetzung s. nächste Seite

152

kg/(m 2 · h) kg/(m 2 · h · Pa)

Feuchteschutz Fortsetzung Bedeutung Wasserdampf-Diffusionsdurchlasswiderstand Wasserdampf-Diffusionsleitkoeffizient Wasserdampf-Diffusionswiderstandszahl wasserdampfdiffusionsäquivalente Luftschichtdicke flächenbezogene Wassermasse Wasseraufnahmekoeffizient 1)

Formelzeichen z 0

SI-Einheit') (m 2 · h · Pa)/kg kg/(m · h ·Pa) 1

fl Sct

w

w

m kg/m 2 kg/(m 2 · h'/2)

1 steht für die Verhältnisgröße zwei er gleicher Einheiten.

3.1.2

Rechengrößen

Wasserdampfdiffusionswiderstandszahl p. ft ist ein Stoffwert, der als Quotient aus dem Wasserdampf-Diffusionsleitkoeffizienten der Luft oL und dem Wert des betreffenden Stoffes bestimmt wird.

o

Wasserdampfdiffusionsäquivalente Luftschichtdicke sd und Wasserdampf - Diffusionsdurchlasswiderstand Z Das Produkt aus der Dicke einer Bauteilschicht in m und ihrer Diffusionswiderstandszahl ft ist zahlenmäßig gleich groß wie die Dicke einer Luftschicht, die den gleichen Wasserdampf - Diffusionsdurchlasswiderstand hat wie die Bauteilschicht. Besteht ein Bauteil aus N parallel verlaufenden Schichten der Dicken d; und Diffusionswiderstandszahlen ft;, so errechnet sich seine wasserdampfdiffusionsäquivalente Luftschichtdicke zu sd

=

N

I: tt; • d;

i=1

und der zugehörige Wasserdampf - Diffusionsdurchlasswiderstand zu

z=

1,5-106

N

•

I:

ft;. d;

i=1

Wasseraufnahmekoeffizient w. w ist eine Materialeigenschaft und gibt an, wie groß die kapillare Wasseraufnahme von Baustoffen ist. Sie wird nach DIN 52617 - Bestimmung der kapillaren Wasseraufnahme von Baustoffen und Beschichtungen bestimmt.

3.2 Taupunkttemperatur ln einem abgeschlossenen Luftvolumen der Temperatur feuchte cp beträgt der Wasserdampfteildruck

e

und der relativen Luft-

Die relative Luftfeuchte als Dezimalbruch einsetzen

P = ffJ • Ps

Wird eine Luftmenge, bei der ein Wasserdampfaustausch mit der Umgebung unterbunden ist und der Wasserdampfteildruck p deshalb konstant bleibt, abgekühlt, steigt die relative Luftfeuchte nach obiger Gleichung, da mit fallender Temperatur der Sättigungsdampfdruck Ps abnimmt (s. Tafel 20). Wenn die relative Luftfeuchte den Wert 100% erreicht, beginnt Wasserdampf als Tauwasser auszufallen. Die Grenztemperatur, bei der dieser Vorgang einsetzt, nennt man die Diese kann für die gegebenen Luft- und FeuchteverhältTaupunkttemperatur nisse aus der Tafel 21 abgelesen werden. Man kann jedoch auch die Taupunkttemperatur mithilfe des Wasserdampfsättigungsdruckes der Tafel 20 bestimmen.

e •.

e.

153

4

Bauphysik Beispiel zur Ennittlung von @ 5 Lufttemperatur: Sättigungsdruck (s. Tafel 20):

Wasserdampfteildruck: Taupunkttemperatur:

19 = 20 oc, relative Luftfeuchte

Lw,R, mi nd von massiven Treppenläufen und -podesten kann von den äquivalenten bewerteten Norm-Trittschallpegeln Ln,w ,eq,R nach Tafel 37 ausgegangen werden. Das erf. Trittschallverbesserungsmaß t..Lw.R,mind errechnet sich nach der GI. im Absch. 5.4.3.2. Tafel 37

Nonn-Trittschallpegel für verschiedene Ausführungen von massiven Treppenlaufen und Treppenpodesten (Dicke -~ 120 mm)

Treppe und Treppenraumwand

Ln,w,eq,R

Treppenpodest, fest verbunden - mit einschaliger Treppenraumwand (m' s 380 kg/m 2 ), - mit Treppenraumwand bei durchgehender Gebäudetrennfuge Treppenlauf mit einschaliger Treppenraumwand (m' s 380 kg/m 2 ) fest verbunden von einschaliger Treppenraumwand abgesetzt zusätzlich mit durchgehender Gebäudetrennfuge - zusätzlich auf Treppenpodest elastisch gelagert mit durchgehender Gebäudetrennfuge

-

5.4.4

L'n, w,R

66 ;;; 53

;;;so

61 58 ;:; 46 38

65 58 ;:; 43 42

70

Einfluss der Schaii-Längsleitung flankierender Bauteile auf die Luftschalldämmung von Trennwänden und -decken

Die Schaii-Längsleitung flankierender Bauteile (s. Bild 19 u. Abschn. 5.3.1) beeinflusst auch die Luftschalldämmung von Trennwänden und -decken. Berücksichtigt wird dieser Einfluss durch die Korrekturwerte KL 1 (mittlere Flächenmasse der flankierenden Bauteile) und KL, 2 (Anzahl der biegeweichen Vorsatzschalen der flankierenden Bauteile). Die in den Tafeln 29, 31, 34, 35, 37 und Bild 26 angegebenen Werte des bewerteten Schalldämm-Maßes R'w R von Trennwänden und -decken setzen voraus. dass die mittlere flächenbezogen~ Massen ml, mitteo der flankierenden Bauteile rund 300 kg/m 2 beträgt {R'w300 ).

R:V,R = R:V3oo

+ KL, 1 + KL,2

Korrekturwert KL.1: Je höher mL,mittel der flankierenden Bauteile ist, umso geringer ist die SchaiiLängsleitung und umso höher das bewertete Schalldämm-Maß R'w,R· Bei der Berechnung von mL,mittel wird vorausgesetzt, dass die flankierenden Bauteile zu beiden Seiten eines trennenden Bauteils in einer Ebene liegen {s. Bild 27.1). Ist dies nicht der Fall {s. Bild 27.2), ist für die Berechnung von m 'L, mittel anzunehmen, dass das leichtere Bauteil auch im Nachbarraum vorhanden ist, d. h. es ist an Stelle der Wand F~ mit der Wand F~ zu rechnen. Verkleidete Bauteile oder solche, die aus biegeweichen Schalen bestehen, werden in der Berechnung nicht beachtet Der Korrekturwert KL, 1 ist, je nach Ausführung des trennenden Bauteils, nach Tafel 38 oder 39 zu bestimmen. Bei Trennwänden und -decken aus biegesteifen Schalen ist: ' mittel = ml,

n1~ mu' L.....J i=1

mL, flächenbezogene Masse des i-ten Bauteils ohne Bekleidung

Bei Trennwänden und -decken aus biegeweichen Schalen bzw. bei Holzbalkendecken ist:

'

- [1ni~

ml, mittel -

n

' -2,5] ( ml,;)

- 0,4

Korrekturwert KL,2: Wenn trennende Bauteile mehrschalig und die flankierende Bauteile mit einer biegeweichen Vorsatzschale versehen sind oder aus biegeweichen Schalen bestehen

205

4

Bauphysik oder bei Decken ein schwimmender Estrich oder schwimmender Holzfußboden verlegt wurde, kommt die Korrektur KL.2 zur Anwendung, sofern die flankierenden Bauteile im Bereich des trennenden Bauteils unterbrochen sind. Die Korrektur KL, 2 in Tafel 40 hängt nur von der Anzahl der flankierenden Bauteile ab, die die obengenannten Kriterien erfüllen.

,,--

ih '

Nicht versetzt angeordnete flankierende Wände F1 und F2 Norrnalfall, den Korrekturwerten zugrundegelegt

1

Bild 27.1

Bild 27.2

Versetzt angeordnete flankierende Wände F\ und F~ Ausnahmefall, für die Berechnung der Korrekturwerte wird anstelle der Wand F~ die Wand F2 angenommen

Tafel 38

Korrekturwerte KL, 1 für das bewertete Schalldämm-Maß R'w R von biegesteifen Wänden nach Tafel 29, 31 und 34 und Decken nach Tafel 37 als trennende Bauteile bei flankierenden Bauteilen mit der mittleren flächenbezogenen Masse m'L Mittel Korrektur KL, 1 in dB für mittlere flächenbezogene Massen ntmittel in kg/m 2

Art des trennenden Bauteiles Einschalige, biegesteife Wände und Decken Einschalige, biegesteife Wände mit biegeweichen Vorsatzschalen und Massivdecken mit schwimmendem Estrich und/oder mit Unterdecke Tafel39

350

300

250

200

150

100

0

0

0

0

-1

-1

-1

0

-1

-2

-3

-4

+2

+1

Korrekturwerte KL, 1 für das bewertete Schalldämm-Maß R'w,R von zweischaligen Wänden aus biegeweichen Schalen nach Tafel 35 und von Holzbalkendecken nach Bild 26 als trennende Bauteile bei flankierenden Bauteilen mit der mittleren flächenbezogenen Masse mt,Mittel

R'w der Trennwand bzw. -decke für mL,Mottel = 300 kg/m2 in dB 50 49 47 45 43 41 Tafel40

400

KL, 1 in dB für mittlere flächenbezogene Massen mL,Mittel in kg/m 2

450 +4 +2 +1 +1 0 0

400 +3 +2 +1 +1 0 0

350 +2 +1 +1 +1 0 0

300 0 0 0 0 0 0

250 -2 -2 -2 -1 -1 -1

150 -7

-6 -6 -5 -4 -3

Korrekturwert KL.> für das bewertete Schalldämm-Maß R;,.,R trennender Bauteile mit biegeweicher Vorsatzschale, schwimmendem Estrich bzw. Holzfußboden oder aus biegeweichen Schalen in Abhängigkeit der Anzahl der flankierenden biegeweichen Bauteile oder solchen mit biegeweicher Vorsatzschale

Anzahl der flankierenden Bauteile

3

Korrekturwert KL. 2 der flankierenden Bauteile

Beispiele zur Anwendung der Korrekturwerte Ri",,R von trennenden Bauteilen.

206

200 -4 -3 -3 -2 -2 -1

+6 KL, 1

und

KL, 2

bei der Ermittlung von

Schallschutz Im Hochbau Beispiel1: Eine Wohnungstrennwand aus Betonschalungssteinen mit einer flächenbezogenen Masse von 490 kg/m 2 wird von folgenden Bauteilen flankiert: Leichthochlochziegel, m' ca. 200 kg/m 2 massive Gipswandbauplatte, m' ca . 90 kg/m 2 Stahlbetonplatte, Dicke 140 mm, m' ca. 320 kg/m 2 Stahlbetonmassivplatte mit schwimmendem Estrich. Dies stellt ein Bauteil mit Vorsatzschale dar und wird bei der Ermittlung von mL,mottel nicht berücksichtigt.

Außenwand: lnnenwand: obere Decke: untere Decke:

Bewertetes Schalldämmmaß der Trennwand: R'w, R,300

= 281og (490) - 20 = 55 dB;

mittlere flächenbezogene Masse der flankierenden Bauteile: mL,mottel = (200

Korrekturwert:

+ 90 + 320)/ 3 =

203 kg j m 2 ;

KL, 1 = - 1 dB;

bewertetes Schalldämmmaß der Trennwand in der konkreten Einbausituation: R'w,R

=55 - 1 = 54 dB .

Beispiel2: Eine Wohnungstrenndecke aus 180 mm Stahlbeton und schwimmendem Estrich wird von folgenden Bauteilen flankiert: Außenwand: 2 lnnenwände: Tragwand:

Leichthoch Iochziegei, m' ca . 200 kg/m 2 massive Gipswandbauplatte, m' ca. 90 kg/m 2 175 mm Ziegelmauerwerk, verput21, m' ca. 210 kg/m 2 .

Das bewertete Schalldämmaß der Trenndecke ergibt sich mit ihrer flächenbezogenen Masse von ca. 410 kg/m 2 einschließlich schwimmendem Estrich zu R'w,R,300

= 57 dB;

mittlere flächenbezogene Masse der flankierenden Bauteile: mL,mottel = (200 + 2 · 90

Korrekturwert:

+ 210)/4 =

147,5 kg j m 2 ;

KL, 1 = - 3 dB;

bewertetes Schalldämmmaß der Trenndecke in der konkreten Einbausituation: R'w,R

= 57 - 3 = 54 dB

(Bau rechtlich verbindliche Anforderung gerade erfüllt.)

5.4.5

Fenster

Die Schalldämmung von Fenstern hängt von der Fensterart (Einfach-, Verbundoder Kastenfenster), der Verglasung und von der Dichtheit der Fensterfugen ab. Tafel 41 enthält Schalldämmwerte verschiedener Fensterarten. Tafel41

Bewertetes Schalldämm-Maß

Rw.R verschiedener Fensterarten in dB

Fensterart

Verglasung

Rw,R

Einfachfenster

normale lsolierglasscheibe hochschalldämmendes lsolierglas

30 bis 40 bis 45

Verbundfenster

normale Ausführung hochschalldämmende Ausführung

35 bis 43 bis 48

Kastenfenster

je nach Verglasung und Rahmen

48 bis 55

207

4

Bauphysik Tafel 42

Bewertetes Schalldämm-Maß Rw von Tliren bewertetes Schalldämm-Maß in dB

Türausführungen einfache, leichte Zimmertüren, ohne besondere Dichtungsmaßnahmen

17 bis 25

schwer ausgeführte Zimmertüren mit zusätzlichen Falzdichtungen

25 bis 32

schalldämmende Türen, Spezialausführungen

32 bis 40

hochschalldämmende Türen (doppelschalige Stahlblechtüren)

40 bis 50

zwei einfache Einzeltüren, hintereinander geschaltet

40

5.4.6

Rollladenkästen

Bei Rollladenkästen wird die Schalldämmung oft als Normalschallpegeldifferenz Dn,w,P angegeben. Um diesen Wert mit der Schalldämmung des Fensters vergleichen zu können, muss daraus das Bauschalldämm-Maß Rw,R nach folgender Gleichung errechnet werden 2

Ao

Rw,R = Dn,w,P- 10 lg Ao/SPRÜ- 2 dB

SPRU

Dn,w,P

10 m (Bezug-Absorptionsfläche) lichte Einbaufläche des Elementes in der Prüfwand in m 2 im Prüfstand gemessener Wert.

Um eine hohe Schalldämmung des Rollladenkastens zu erreichen, muss der Rollkastendeckel möglichst schwer sein und muss dicht schließen. Außerdem sollte der Kastenhohlraum durch Schallabsorptionsmaterial gedämpft werden. Messwerte Dn,w,P von Rollladenkästen liegen zwischen Dn,w,P =50 dB und 60 dB.

5.4.7

Türen

Die Schallübertragung bei Türen erfolgt teils über das Türblatt, teils über Undichtheiten in den Fälzen und an der Türunterkante. Normale Türblätter besitzen eine niedrige flächenbezogene Masse und deshalb eine geringe Schalldämmung. Verbessert werden kann der Schallschutz, indem das Türblatt schwerer gemacht wird und die Fälze abgedichtet werden. Besondere Schwierigkeiten bereitet die Abdichtung der unteren Türkante. ln Tafel 42 wird eine Übersicht über die erreichbaren Schalldämm-Maße bei Türen gegeben.

5.4.8

Außenbauteile

Außenbauteile haben die Aufgabe, das Gebäudeinnere vor Außenlärm zu schützen. Maßgeblich ist daher ihr bewertetes Schalldämmmaß im direkten Schalldurchgang. Der in den zu schützenden Räumen zu erwartende Innenpegel hängt zusätzlich von der Größe des Empfangsraumes und von seiner Ausstattung ab (je höher die im Raum vorhandene äquivalente Absorptionsfläche, desto geringer sind die Störpegel).

Massive Außenwände mit Wännedämmverbundsystemen ln Massivbauten sind heute Wärmedämmverbundsysteme auf den Außenwänden weit verbreitet. Das Wärmedämmverbundsystem stellt ein Masse-Feder-System dar, wobei der Außenputz die Rolle der Masse und der Dämmstoff die Rolle der Feder übernimmt. Bei Mineralwolle mit stehenden Fasern und Dicken über 100 mm liegt die Resonanzfrequenz in der Regel bei etwa 100 Hz, bei PolystyrolHartschaum als Dämmstoff liegt sie zwischen 200 und 400 Hz. Da bei der Resonanzfrequenz eine Verschlechterung der Schalldämmung gegenüber dem Basis-

208

Schallschutz im Hochbau bauteil eintritt, oberhalb aber eine starke Verbesserung, erhöht sich das bewertete Schalldämmmaß bei Systemen mit Mineralwolle um 2 bis 6 dB, bei Systemen mit Polystyrol verschlechtert es sich um 2 bis 6 dB. So kann das bewertete Schalldämmmaß einer 175 mm dicken Wand mit einer flächenbezogenen Masse von 330 kg/m 2 im Bereich von 45 dB bis 57 dB schwanken. Die Einzahlangabe ist jedoch für den Schutz gegen Außenlärm nicht geeignet. Das Frequenzspektrum des Außenlärms ist meist sehr tieffrequent; hier ist die Schalldämmung der Mineralwolle-Systeme aber schlecht, die der Polystyrol-Systeme dagegen gut. Die Art des Wärmedämmverbundsystems hat auf den Innenpegel im zu schützenden Raum daher fast keinen Einfluss. Zur Bemessung kann das Schalldämmmaß der Basiswand herangezogen werden. Ebenfalls keinen Einfluss hat die Art des Wärmedämmverbundsystems auf das Schallängsdämmmaß des Außenbauteils. Dieses ergibt sich aus der Schalldämmung der Basiswand.

Außenwände in Holzbauweise und gedämmte Sparrendächer Die im Beiblatt 1 zur DIN 4109 angegebenen Beispiele entsprechen nicht mehr dem Stand der Technik (leichte Außenbauteile mit nur 60 mm Wärmedämmung aus Mineralfaser können heute aus Gründen des Wärmeschutzes nicht mehr ausgeführt werden). Die Schalldämmung leichter Außenbauteile hängt entscheidend von der Art der inneren Schale ab. Günstig sind Gipskartonplatten und Spanplatten, ungünstig Bretterschalungen, da diese akustisch nicht dicht sind. Voll gedämmte Sparrendächer mit ca. 200 mm Mineralwolle als Dämmung und einer raumseitigen Beplankung mit Gipskartonplatten weisen bewertete Schalldämmaße von etwa 50 dB auf. Werden die Gipskartonplatten durch eine Holzschalung ersetzt, können nur noch 42 bis 44 dB erreicht werden. Sparrendächer mit Hartschaum als Dämmung weisen bewertete Schalldämmmaße von nur 36 bis 40 dB auf.

5.4.9

Haustechnische Anlagen und Betriebe

Haustechnische Anlagen im Sinne der DIN 4109 sind die zu einem Gebäude gehörenden technischen Einrichtungen, bei deren Betrieb Schall entstehen und in Aufenthaltsräumen übertragen werden kann. Es sind dies

Ver- und Entsorgungsanlagen, Transportanlagen, fest eingebaute, betriebstechnische Anlagen, Gemeinschaftswaschanlagen, Schwimmanlagen, Saunen und dgl., Sportanlagen, zentrale Staubsauganlagen, Müllabwurfanlagen, Garagenanlagen. Betriebe sind Handwerks- und Gewerbebetriebe aller Art, auch Gaststätten und Theater. Um Menschen in Aufenthaltsräumen (schutzbedürftige Räume) vor starken Geräuschen zu schützen, werden festgelegt: Werte für den noch zulässigen Schallpegel der vorgenannten Geräusche in den schutzbedürftigen Räumen, Mindestwerte für die Luft- und Trittschalldämmung der Bauteile zwischen .. besonders lauten" Räumen und schutzbedürftigen Räumen.

209

4

Bauphysik Schutzbedürftige Räume sind Wohnräume einschließlich Wohndielen, Schlafräume einschließlich Übernachtungsräume in Seherbergungsstätten und Bettenräume in Krankenhäusern und Sanatorien, Unterrichtsräume in Schulen, Hochschulen und ähnlichen Einrichtungen, Büroräume (ausgenommen Großraumbüros), Praxisräume, Sitzungsräume und ähnliche Arbeitsräume. Besonders laute Räume sind Räume, in denen nutzungsbedingt der maximale Schallpegel des Luftschalls häufig den Wert von 75 dB übersteigt, Räume zur Aufstellung von Auffangbehältern von Müllabwurfanlagen, Gasträume von Gaststätten, Cafes usw. Räume von Kegelbahnen, Sporthallen, Küchenräume von Beherbergungs- u. Gaststätten, Krankenhäusern, Sanatorien, Theaterräume, Musik- und Werkräume. Bauteile. Um die in DIN 4109, Tab. 5 enthaltenen Anforderungen an die Luft- und Trittschalldämmung zwischen "besonders lauten" und schutzbedürftigen Räumen einzuhalten, bringt das Beiblatt 1 zu DIN 4109 in der Tab. 35 Ausführungsbeispiele für trennende und flankierende Bauteile und in der Tab. 36 Korrekturwerte zur Ermittlung des Trittschallschutzmaßes. Lüftungsschächte und -kanäle. Durch Schächte und Kanäle, die Aufenthaltsräume untereinander verbinden, kann die Luftschalldämmung des trennenden Bauteils durch Nebenwegübertragung verschlechtert werden. Damit die Anforderungen an den Schallschutz nach DIN 4109 durch den Schacht nicht verschlechtert wird, muss die bewertete Schachtpegeldifferenz folgender Bedingung genügen: erf.

~,w,R:::ert. R:_, -10 lg ~ + 20 dB

s s,

R:"

gefordertes bewertetes Schalldämm· Maß des trennenden Bauteils die Fläche des trennenden Bauteils die lichte Querschnittsfläche der Anschlussöffnung

Diese Bedingung gilt für den Fall, dass die Anschlußöffnungen mindestens 0,5 m von einer Raumecke entfernt liegen, andernfalls ist eine um 6 dB höhere Schachtpegeldifferenz Dk.w erforderlich. Wasserinstallation. Geräusche aus Wasserversorgungsanlagen entstehen bei der Wasserentnahme im wesentlichen in den Querschnittsverengungen innerhalb der Armaturen und nicht in den Rohrleitungen selbst. Eine strömungstechnisch besonders günstige Ausbildung der Rohrleitungen bringt deshalb bezüglich der Geräusche keine Vorteile. Der in den Armaturen erzeugte Wasserschall wandert in den Rohrleitungen nur wenig geschwächt weiter. Durch den Wasserschall werden die Rohrleitungen zu Schwingungen angeregt, die ihrerseits wieder Wände bzw. Decken in Schwingungen bringen, an denen die Leitungen befestigt sind. Die Abstrahlung in den angrenzenden Raum ist geringer, wenn die Zwischenwand schwer ist oder eine Vorsatzschale auf der Seite des schutzbedürftigen Raumes angebracht wird. Der Installationsgeräuschpegel L1n des in einen schutzbedürftigen Raum übertragenen Geräusches ist um etwa 10 dB (A) geringer, wenn ein Raum zwischen der Wand mit Rohrinstallation und dem schutzbedürftigen Raum liegt. Rohrsehelien-Isolierungen bei Rohren vor der Wand und Rohrummantelungen bei Rohren in der Wand sind als Maßnahmen gegen die Übertragung von Armaturengeräuschen auf das Bauwerk wirkungslos, wenn die Armaturen fest mit der Wand verbunden oder andere Schallbrücken vorhanden sind. Eine Geräuschminderung ist nur zu erreichen, wenn derartige Schallbrücken vermieden werden. Das Geräusch aus Wasserversorgungsanlagen wird um so größer, je größer der Fließdruck an der Armatur ist. Der Druck muss deshalb durch Druckminderer begrenzt werden.

210

Schallschut:z im Hochbau Bei Armaturen und Geräten der Wasserinstallation erfolgt der Eignungsnachweis durch Zuordnung zu Armaturengruppen (s. Tafel 43). Tafel 43 Annaturengruppen Armaturengeräuschpegel LAo für den kennzeichnenden Fließdruck nach DIN 52218-1 Auslaufarmaturen Auslaufvorrichtungen, die direkt an Armaturen angeschlossen werden und Geräte S15dB (A) ;::25 dB (A)

S20dB (A) ~OdB (A)

5.5 5.5.1

Armaturengruppe

4

I II

Anforderungen an den Schallschutz in Gebäuden Schutz von Aufenthaltsräumen gegen Schallübertragung aus einem fremden Wohn- oder Arbeitsbereich

Die Anforderungen nach DIN 4109 in Tafel 44 sind baurechtlich verbindlich. Ein Unterschreiten der Anforderungen führt in der Regel zu Beschwerden, in vielen Fällen zu Mietminderungen oder Schadenersatzansprüchen. Die in DIN 4109 angegebenen Schalldämmmaße beziehen sich auf den Schallschutz als Gebäudeeigenschaft, d. h. die Anforderungen müssen bei einer Nachmessung am Bau als bewertetes Schalldämmmaß zwischen zwei Räumen einschließlich aller Nebenwege eingehalten sein. Bei Türen und Fenstern gelten die Werte für die Schalldämmung bei alleiniger Übertragung über Türen und Fenster. Bestehen Verbindungen zwischen Räumen durch Schächte und Kanäle, so dürfen die in Tafel 44 genannten Werte durch Schallübertragung über die Schacht- und Kanalanlagen nicht unterschritten werden.

5.5.2

Schutz gegen Geräusch aus haustechnischen Anlagen

Maximale Schallpegel. Die durch haustechnische Anlagen verursachten Schallpegel dürfen in schutzbedürftigen Räumen die in Tafel 45 angegebenen Maximalwerte nicht überschreiten. Schallschutz von Bauteilen. Anforderungen an die Luft- und Trittschalldämmung von Bauteilen zwischen "besonders lauten" und schutzbedürftigen Räumen sind in Tafel 46 enthalten. Tafel 44 Erforderliche Luft- und Trittschalldämmung zum Schutz gegen Schallübertragung aus einem fremden Wohn- oder Arbeitsbereich Anforderungen Bauteile

erf. R:" lerf. in dB ~n,w m dB

Bemerkungen

1 Geschosshäuser mit Wohnungen und Arbeitsräumen

Decken

Decken unter allgemein nutzbaren Dachräumen, z. B. Trockenböden, Abstellräumen und ihren Zugängen

53

53

Bei Gebäuden mit nicht mehr als 2 Wohnungen betragen die Anforderungen erf. R'w = 52 dB und erf. L'n,w = 63 dB

..

Fortsetzung s. nachste Seiten, Fußnoten s. S. 218

211

Bauphysik Tafel 44,

Fortsetzung Anforderungen Bauteile

erf. R'w in dB

erf. L~w

Bemerkungen

in'dB Wohnungstrenndecken sind Bauteile, die Wohnungen voneinander oder von fremden Arbeitsräumen trennen.

Decken

Bei Gebäuden mit nicht mehr als 2 Wohnungen beträgt die Anforderung erf. R'w = 52 dB.

Wohnungstrenndecken (auch -treppen) und Decken zwischen fremden Arbeitsräumen bzw. vergleichbaren Nutzungseinheiten

54

53

Decken über Kellern, Hausfluren, Treppenhäusern unter Aufenthaltsräumen

52

53 1 )

Decken über Durchfahrten, Einfahrten von Sammelgaragen und ähnliches unter Aufenthaltsräumen

55

53 1 )

Weichfedernde Bodenbeläge dürfen bei dem Nachweis der Anforderungen an den Trittschallschutz nicht angerechnet werden.

Decken unter/über Spieloder ähnlichen Gemeinschaftsräumen

55

46

Wegen der verstärkten Übertragung tiefer Frequenzen können zusätzliche Maßnahmen zur Körperschalldämmung erforderlich sein.

Decken unter Terrassen und Loggien über Aufenthaltsräumen

-

53

Bezüglich der Luftschalldämmung gegen Außenlärm siehe aber Abschn. 5.5.3.

Decken unter Laubengängen

-

53 1 )

Decken und Treppen innerhalb von Wohnungen, die sich über zwei Geschosse erstrecken

-

53 1 )

Decken unter Bad und WC ohne/mit Bodenentwässerung

54

53 1 )

Decken Hausfluren

-

Fortsetzung s. nächste Seiten, Fußnoten s. S. 218

212

Weichfedernde Bodenbeläge dürfen bei dem Nachweis der Anforderungen an den TrittSchallschutz nicht angerechnet werden; in Gebäuden mit nicht mehr als 2 Wohnungen dürfen weichfedernde Bodenbeläge berücksichtigt werden, wenn die Beläge auf dem Produkt oder auf der Verpackung mit dem entsprechenden !lLw gekennzeichnet sind.

53 1 )

Weichfedernde Bodenbeläge dürfen bei dem Nachweis der Anforderungen an den Trittschallschutz nicht angerechnet werden. Bei Gebäuden mit nicht mehr als 2 Wohnungen beträgt die Anforderung erf. R'w = 52 dB und erf. L!n,w = 63 dB Weichfedernde Bodenbeläge dürfen bei dem Nachweis der Anforderungen an den Trittschallschutz nicht angerechnet werden.

Schallschutz im Hochbau Tafel44,

Fortsetzung Anforderungen Bauteile

Treppen

Wände

Türen

erf. R:" in dB

erf. L~w

Bemerkungen

in'dB

Treppenläufe und -podeste

-

58

Keine Anforderungen an Treppenläufe i. Gebäuden mit Aufzug und an Treppen in Gebäuden mit nicht mehr als 2 Wohnungen

Wohnungstrennwände und Wände zwischen fremden Arbeitsräumen

53

-

Wohnungstrennwände sind Bauteile, die Wohnungen voneinander oder von fremden Arbeitsräumen trennen.

Treppenraumwände und Wände neben Hausfluren

52

-

Wände neben Durchfahrten, Einfahrten von Sammalgaragen u. Ä.

55

-

Wände von Spiel- oder ähnlichen Gemeinschaftsräumen

55

-

Türen, die von Hausfluren oder Treppenräumen in Flure und Dielen in Wohnungen und Wohnheimen oder von Arbeitsräumen führen

27

-

Türen, die von Hausfluren oder Treppenräumen unmittelbar in Aufenthaltsräume - außer Flure und Dielen - von Wohnungen führen

37

-

Für Wände mit Türen gilt die Anforderung erf. R'w (Wand) = erf. Rw (Tür) +15 dB. Darin bedeutet erf. Rw (Tür) die erforderliehe Schalldämmung der Tür. Wandbreiten 90 cm bleiben dabei unberüCksichtigt.

Bei Türen gilt erf. Rw.

2 Einfamilien-Doppelhäuser und Einfamilien-Reihenhäuser

Decken

-

48 1 )

Decken

Treppenläufe und -podeste und Decken unter Fluren

-

53

Wände

Haustrennwände

57

-

Bei einschaligen Haustrennwänden gilt: Wegen der möglichen Austauschbarkeil von weichfedemden Bodenbelägen, die sowohl dem Verschiaiss als auch besonderen Wünschen der Bewohner unterliegen, dürfen diese bei dem Nachweis der Anforderungen an den Trittschallschutz nicht angerechnet werden.

Fortsetzung s. nächste Seiten, Fußnoten s. S. 221

213

4

Bauphysik Tafel 44,

Fortsetzung Anforderungen Bauteile

erf. Fr. in dBw

lerf.

L~,w

Bemerkungen

in dB

3 Seherbergungsstätten

Decken

Decken

54

53

Decken unter/über Schwimmbädern, Spieloder ähnlichen Gemeinschaftsräumen zum Schutz gegenüber Schlafräumen

55

46

Wegen der verstärkten Übertragung tiefer Frequenzen können zusätzliche Maßnahmen zur Körperschalldämmung erforderlieh sein.

Treppenläufe und -podeste

-

58

Keine Anforderung an TreppenIäufe in Gebäuden mit Aufzug.

53 1 )

Decken unter Fluren Decken unter Bad und WC ohne/mit Bodenentwässerung

54

53 1 )

Wände

Wände zwischen - Übernachtur:!gsräumen - Fluren und Ubernachtungsräumen

47

-

Türen

Türen zwischen Fluren und Übernachtungsräumen

32

-

54

53

Bei Türen gilt erf. Rw.

4 Krankenanstalte

Decken

Decken

Decken unter/über Schwimmbädern, Spieloder ähnlichen Gemeinschaftsräumen

55

46

Wegen der verstärkten Übertragung tiefer Frequenzen können zusätzliche Maßnahmen zur Körperschalldämmung erforderlieh sein.

Treppenläufe und -podeste

-

58

Keine Anforderungen an Treppenläufe in Gebäuden mit Aufzug.

Decken unter Fluren

-

53 1 )

Decken unter Bad und WC ohne/mit Bodenentwässerung

54

53 1 )

Wände zwischen - Krankenräumen, - Fluren und Krankenräumen, Untersuchungs- bzw. Sprechzimmern, - Flure und Untersuchungs- bzw. Sprechzimmern, - Krankenräumen und Arbeits- und Pflegeräumen

47

-

Wände zwischen - Operations- bzw. Behandlungsräumen, - Fluren und Operationsbzw. Behandlungsräumen

42

-

-

Wände

Fortsetzung s. nächste Seiten, Fußnoten s. S. 221

214

Schallschutz im Hochbau Tafel 44,

Fortsetzung Anforderungen erf. R'w in dB

erf.

Wände zwischen - Räume der Intensivpflege, - Fluren und Räume der Intensivpflege

37

-

Türen zwischen - Untersuchungs- und Sprechzimmern, - Fluren und Untersuchungs- bzw. Sprechzimmern

37

-

Türen zwischen - Fluren- und Krankenräumen, - Operations- bzw. Behandlungsräumen, - Fluren und Operationsbzw. Behandlungsräumen

32

Bauteile

Wände

Türen

L~w

Bemerkungen

in'dB

4

Bei Türen gilt erf. Rw.

-

5 Schulen und vergleichbare Unterrichtsbauten

Decken

Wände

Türen

Decken zwischen Unterrichtsräumen oder ähnIichen Räumen

55

53

Decken unter Fluren

-

53 1 )

55

46

Wände zwischen Unterrichtsräumen oder ähnlichen Räumen

47

-

Wände zwischen Unterrichtsräumen oder ähnlichen Räumen und Fluren

47

-

Wände zwischen Unterrichtsräumen oder ähnlichen Räumen und Treppenräumen

52

-

Wände zwischen Unterrichtsräumen oder ähnlichen Räumen und .,besonders lauten" Räumen (z. B. Sporthallen, Musikräumen, Werkräumen)

55

-

Türen zwischen Unterrichtsräumen oder ähnlichen Räumen und Fluren

32

-

Decken zwischen Unterrichtsräumen oder ähnlichen Räumen und .,besonders lauten" Räumen (z. B. Sporthallen, Musikräume, Werkräume)

Wegen der verstärkten Übertragung tiefer Frequenzen können zusätzliche Maßnahmen zur Körperschalldämmung erforderlieh sein.

Bei Türen gilt erf. Rw.

1 ) Die Anforderungen an die Trittschalldämmung gilt nur für die Trittschallübertragung in fremde Aufenthaltsräume, ganz gleich, ob sie in waagrechter, schräger oder senkrechter Richtung (nach oben) erfolgt.

215

Bauphysik Wasserinstallationen. Einschalige Wände, an denen Armaturen und Wasserleitungen befestigt werden, müssen eine flächenbezogene Masse von mindestens 220 kg/m 2 aufweisen. Bei anderen Wänden muss die Eignung durch eine Prüfung nachgewiesen werden. Die Zuordnung von Armaturen (s. Tafel 47) hängt davon ab, ob die Wände mit der Wasserinstallation direkt an schutzbedürftige Räume im selben Geschoss oder in den darüber oder darunter liegenden Geschossen angrenzen oder nicht (s. Bild 28). Stoßen Wände mit Wasserinstallation an Wände nach Bild 28.1 an, sind nur Armaturen der Gruppe I zulässig.

Gebäudetrennfuge

Trennwand, m'?:220 kg/m2 Wohnungs= trenndecke

II

SR

SR 28.1 Armaturengruppe I

G

28.2 Armaturengruppe II

Bild 28

Anordnung von Räumen mit Wasserinstallation und schutzbedürftigen Räumen (SR) und Zuordnung von Annaturengruppen

Tafel 45

Werte für die zulässigen Schallpegel in schutzbedürftigen Räumen von Geräuschen aus haustechnischen Anlagen und Gewerbebetrieben

Geräuschquelle

Art der schutzbedürftirn Räume Wohn- und Unterrichts- und Schlafräume Arbeitsräume Kennzeichnender Schallpegel in dB (A)

Wasserversorgungsanlagen

;";35 1 )

;";35 1 )

Sonstige haustechnische Anlagen

;";302 )

;"; 35 2 )

Betriebe tags 6 bis 22 Uhr

;";35

;"; 35 2 )

Betriebe nachts 22 bis 6 Uhr

;";25

;";35 2 )

1)

2)

Einzelne, kurzzeitige Spitzen, die beim Betätigen der Armaturen und Geräte der Wasserversorgungsanlagen (Öffnen, Schließen, Umstellen, Unterbrechen u. a.) entstehen, sind zzt. nicht zu berücksichtigen. Bei lüftungstechnischen Anlagen sind um 5 dB (A) höhere Werte zulässig, sofern es sich um Dauergeräusche ohne auffällige Einzeltöne handelt.

5.5.3

Schutz gegen Außenlänn

Maßgeblicher Außenlärmpegel. Grundlage für die Festlegung der erforderlichen Luftschalldämmung der Außenbauteile ist der .. maßgebliche Außenlärmpegel". Für Straßenverkehr kann er mittels des Normogrammes in Bild 29 bestimmt werden. Für die von der maßgeblichen Lärmquelle abgewandten Gebäudeseiten darf der .. maßgebliche Außenlärmpegel" ohne besonderen Nachweis - bei offener Bebauung um 5 dB (A), - bei geschlossener Bebauung bzw. bei Innenhöfen um 10 dB (A) gemindert werden. Bei Vorhandensein von Lärmschutzwänden oder -wällen darf der .. maßgebliche Lärmpegel" nach den Angaben in DIN 18005-1 reduziert werden. Für Außenbauteile von Aufenthaltsräumen sind unter Berücksichtigung der unterschiedlichen Raumarten die in Tafel 49 aufgeführten Anforderungen der Luftschalldämmung einzuhalten.

216

Schallschutz im Hochbau Die erforderlichen Schalldämm-Maße sind in Abhängigkeit vom Verhältnis der gesamten Außenfläche eines Raumes S 1w+Fl zur Grundfläche eines Raumes SG nach Tafel 50 zu erhöhen oder zu mindern. Für Wohngebäude mit üblichen Raumhöhen von etwa 2,5 m und Raumtiefen von etwa 4,5 m oder mehr darf ein Korrekturwert von -2 dB herangezogen werden. Für Außenbauteile unterschiedlicher Orientierung sind die Anforderungen der Tafel 49 separat anzuwenden. Tafel 46

Anforderungen an die Luft- und Trittschalldämmung von Bauteilen zwischen "besonders lauten" und schutzbedürftigen Räumen

Bewertetes SchalldämmMaß erf. R~ in dB Art der Räume

Bauteile

Schallpegel LAF

Schallpegel

=

LAF

75 bis 80dB (A) Räume mit "besonders lauten" Decken, Wände haustechnischen Anlagen oder Fußböden Anlageteilen

57

Betriebsräume von HandDecken, Wände werks-und Gewerbebetrieben; Fußböden Verkaufsstätten

57

=

81 bis 85 dB (A) 62

-

bewerteter Norm-Trittschallpegel erf. L~.w in dB

433 )

62

-

-

43

Decken, Wände

55

-

Gaststätten, Imbissstuben und dgl.

Fußböden

-

43

Küchenräume wie vor, jedoch auch nach 22 Uhr in Betrieb

Decken, Wände

Küchenräume der Küchenanlagen von Be herbergungsstätten, Krankenhäusern, Sanatorien,

Gasträume, nur bis 22 Uhr in Betrieb Gasträume (maximaler Schallpegel LAF ":; 85 dB (A)), auch nach 22 Uhr in Betrieb

Räume von Kegelbahnen

Gasträume (maximaler Schallpegel85 dB (A) 2 LAF 2 95 dB (A)), z. B. mit elektroakust. Anlagen

57')

-

Fußböden

-

33

Decken, Wände

55

-

Fußböden

-

43

Decken, Wände

62

-

Fußböden

-

33

Decken, Wände

67

-

Fußböden a) Keglerstube b) Bahn

-

33 13

Decken, Wände

72

-

Fußböden

-

28

Jeweils in Richtung der Lärmausbreitung. Die für Maschinen erforderliche Körperschalldämmung ist mit diesem Wert nicht erfasst; hierfür sind gegebenenfalls weitere Maßnahmen erforderlich. Ebenso kann je nach Art des Betriebes ein höheres erf. L~,w als das genannte notwendig sein, dies ist im Einzelfall zu über-

1) 2)

~rüfen.

) Nicht erforderlich, wenn geräuscherzeugende Anlagen ausreichend körperschallgedämmt aufgestellt werden; eventuelle Anforderungen nach Tafel 51 bleiben hiervon unberührt. 4 ) Handelt es sich um Großküchenanlagen und darüberliegende Wohnungen als schutzbedürftige Räume gilt für erf. R~ = 62 dB.

217

4

Bauphysik Anmerkung

Die in dem Nomogramm angegebenen Pegel wurden fur einige straßentypische Verkehrssituationen nach DIN 18005-1 Abschnitt 6, berechnet. Hierbei ist der Zuschlag von 3 dB gegenüber der Freifeldausbreitung berücksichtigt

Mittelungspegel LAm tn dB (Al--

A

Autobahnen und Autobahnzubnnger (25% Lkw-Anteil)

B

Bundes-. Landes-, Kre1s-, Gememdeverbindungsstraßen außerhalb des Ortsberei-

[

Gememde-(Stadt-)straßen. Hauptverkehrsstraßen (2 bis 6-stre1fig, 10% LkwAnteil)

0

l

l

_,.

U"l

~

""

l=r

""

U"l

u;

0

u;

I

~

..,

0 ,_

u;

0

""

u;

I

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U"l

0

0

I

,_

""

T U"l U"l

0 U"l

0

b

1

I "" I

U"l

U"l

ches, Straßen m Industrie- und Gewerbegeb1eten {20% Lkw-Anteil)

Gemeinde-( Stadt-)straßen, Wohn- und Wohnsammelstraßen (!i% Lkw-Antetl)

1

I0

r r 0

u;

Bild 29 Nomogramm zur Ermittlung des .maßgeblichen Außenlärmpegels" vor Hausfassaden für typische Straßenverkehrssituationen

Zu den Mittelungspegeln sind gegebenenfalls folgende Zuschläge zu addieren: +3 dB {A), wenn der Immissionsort an einer Straße mit beidseitig geschlossener Bebauung liegt, +2 dB {A), wenn die Straße eine Längsneigung von mehr als 5% hat, +2 dB {A), wenn der Immissionsort weniger als 100m vor der nächsten lichtsignalgeregelten Kreuzung oder Einmündung entfernt ist.

218

Schallschutz im Hochbau Tafel 47

Anforderungen an die Luftschalldämmung von Außenbauteilen

Lärmpegelbareich

Bettenräume in Krankenanstalten und Sanatorien

.,Maßgeblieher Außenlärmpegel"

Raumarten Aufenthaltsräume i.n Wohnungen, Ubernachtungsräume in Beherbergungsstätten, u,nterrichtsräume u. A.

Büroräume 1 ) u. Ä.

4

erf. R'w,,es des Außenbauteils in dB

in dB (A) I

bis 55

35

30

-

II

56 bis 60

35

30

30

111

61 bis 65

40

35

30

IV

66 bis 70

45

40

35

V

71 bis 75

50

45

40

VI

76 bis 80

2)

50

45

>80

2)

2)

50

VII 1)

2)

An Außenbauteile von Räumen, bei denen der eindringende Außenlärm der darin ausgeübten Tätigkeiten nur einen untergeordneten Beitrag zum Innenraumpegel leisten, werden keine Anforderungen gestellt. Die Anforderungen sind hier aufgrund der örtlichen Gegebenheiten festzulegen.

Tafel 48

Korrekturwert für das erforderliche resultierende Schalldämm-Maß nach Tafel 49 in Abhängigkeit vom Verhältnis S1w.F/SG

DA s(W+F)

StGI

Gesamtfläche des Außenbauteils eines Aufenthaltsraumes Grundfläche eines Aufenthaltsraumes in m 2 .

Für Räume in Wohngebäuden üblicher Raumhöhe von etwa 2,5 m und Raumtiefen von 4,5 modermehr und 10% bis 60% Fensterflächenanteil gelten die Anforderungen der Tafel 47 erfüllt, wenn die in Tafel 49 angegebenen Schalldämm-Maße R:.V,R für die Wand und Rw,R für das Fenster jeweils einzeln eingehalten werden. Tafel 49

Erforderliche Schalldämm-Maße erf. und Fenstern

erf. R:V,,•• in dB nach Tafel 49

R.v..... von Kombinationen von Außenwänden

Schalldämm-Maßefür Wand/Fenster in .. dB/.. dB bei folgenden Fensterflächenanteilen in %

10%

20%

30%

40%

50%

60%

30

30/25

30/25

35/25

35/25

50/25

30/30

35

35/30 40/25

35/30

35/32 40/30

40/30

40/32 50/30

45/32

40

40/32 45/30

40/35

45/35

45/35

40/37 60/35

40/37

45

45/37 50/35

45/40 50/37

50/40

50/40

50/42 60/40

60/42

50

55/40

55/42

55/45

55/45

60/45

-

Diese Tafel gilt nur für Wohngebäude mit üblicher Raumhöhe von etwa 2,5 m und Raumtiefe von etwa 4,5 m oder mehr, unter Berücksichtigung der Anforderungen an das resultierende Schalldämm-Maß erf. R'w,,es des Außenbauteiles nach Tafel 49 und der Korrektur von -2 dB nach Tafel 50, Zeile 2.

219

Bauphysik 5.6

Vorschläge für einen erhöhten Schallschutz und Empfehlungen für den Schallschutz im eigenen Bereich nach Beiblatt 2 zu DIN 4109

5.6.1

Vorschläge für den erhöhten Schallschutz bei fremden Wohn- und Arbeitsräumen

Nicht in jedem Fall ist die Einhaltung der baurechtlich verbindlichen Anforderungen nach DIN 4109 auch ausreichend. So ist es z. B. gängige Rechtsprechung, dass beim Verkauf von Eigentumswohnungen mit gehobenen Ansprüchen der erhöhte Schallschutz gefordert wird. Dasselbe gilt auch für den Schallschutz zwischen Reihenhäusern; wenn eine zweischalige Konstruktion ausgeführt wurde, so sind nach der Rechtssprechung der letzten 10 bis 15 Jahre die Anforderungen des erhöhten Schallschutzes zu erfüllen. Tafel 50

Vorschläge für erhöhten Schallschutz; Luft- und Trittschalldämmung von Bauteilen zum Schutz gegen Schallübertragung aus einem fremden Wohn- oder Arbeitsbereich

Vorschläge für erhöhten Schallschutz Bauteile erf. erf. R'w L~ w in'dB in dB Geschosshäuser mit Wohnungen und Arbeitsräumen

l

Decken

Decken unter allgemein nutzbaren Dachräumen, z. B. Trockenböden, Abstellräumen und ihren Zugängen

~55

~6

Wohnungstrenndecken (auch -treppen) und Decken zwischen fremden Arbeitsräumen bzw. vergleichbaren Nutzungseinheiten

~55

~6

Decken über Kellern, Hausfluren, Treppenräumen unter Aufenthaltsräumen

~55

~6')

Decken über Durchfahrten, Einfahrten von Sammelgaragen und ähnliches unter Aufenthaltsräumen

-

~6')

Decken unter Terrassen und Loggien über Aufenthaltsräumen

-

:::;46

Decken unter Laubengängen

-

~6')

Decken und Treppen innerhalb von Wohnungen, die sich über zwei Geschosse erstrecken

-

:::;46 1 )

~55

~6')

-

:::;46 1 )

Decken unter Bad und WC ohne/mit Bodenentwässerung Decken unter Hausfluren Treppen

Treppenläufe und -podeste

Fortsetzung und Fußnote s. nächste Seite

220

~6

Bemerkungen

Weichfedernde Bodenbeläge dürfen für den Nachweis an den Trittschallschutz angerechnet werden.

Weichfedernde Bodenbeläge dürfen für den Nachweis an den Trittschallschutz angerechnet werden. Bei Sanitärobjekten in Bad oder WC ist für eine ausreichende Körperschalldämmung zu sorgen

Schallschutz im Hochbau Tafel 50

(Fortsetzung)

Bauteile

Vorschläge für erhöhten Schallschutz erf. erf.

R'

Wohnungstrennwände und Wände zwischen fremden Arbeitsräumen

L~

w

inwdB

in'dB

;o::55

-

4

Treppenraumwände und Wände neben Hausfluren

;o::55

-

Für Wände mit Türen gilt R'w (Wand)= Rw,P (Tür) +15 dB. Darin bedeutet Rw,P (Tür) die erforderliche Schalldämmung der Tür (s. nächste Zeile) Wandbreiten 5:30 cm bleiben dabei unberüCksichtigt

Türen, die von Hausfluren oder Treppenräumen in Flure und Dielen von Wohnungen und Wohnheimen oder von Arbeitsräumen führen

;o::37

-

Bei Türen gelten die Werte für die Schalldämmung bei alleiniger Übertragung durch die Tür.

Wände

Türen

Bemerkungen

2 Einfamilien-Doppelhäuser und Einfamilien-Reihenhäuser

Decken

Wände

Decken

-

~38 1 )

Treppenläufe und -podeste und Decken unter Fluren

-

~46 1 )

Haustrennwände Wohnungstrennwände

;o::67

-

Weichfedernde Bodenbeläge dürfen für den Nachweis an den Trittschallschutz angerechnet werden.

3 Beherbergungsstätten, Krankenanstalten, Sanatorien

Decken

;o::55

~46

Weichfedernde Bodenbeläge dürfen für den Nachweis an den Trittschallschutz angerechnet werden. Bei Sanitärobjekten in Bad oder WC ist für eine ausreichende Körperschalldämmung zu sorgen.

Decken unter Bad und WC ohne/mit Bodenentwässerung

;o::55

~6')

Decken

Decken unter Fluren Treppenläufe und -podeste

-

~6')

Treppen

Wände zwischen Übernachtungs- bzw, Krankenräumen

;o::52

-

Wände zwischen Fluren und Übernachtungs- bzw. Krankenräumen

;o::52

-

Das R'w gilt nur für die Wand allein.

Türen zwischen Fluren und Krankenräumen

;o::37

-

Türen zwischen Fluren und Übernachtungsräumen

;o::37

-

Bei Türen gelten die Werte für die Schalldämmung bei alleiniger Übertragung durch die Tür.

Decken

Wände

Türen

~6')

1 ) Der Vorschlag für den erhöhten Schallschutz an die Trittschalldämmung gilt nur für die Trittschallübertragung in fremde Aufenthaltsräume, ganz gleich, ob sie in waagrechter, schräger oder senkrechter (nach oben) Richtung erfolgt

221

Bauphysik 5.6.2

Empfehlungen für den Schallschutz im eigenen Wohnoder Arbeitsbereich

ln besonderen Fällen können Schallschutzmaßnahmen im eigenen Wohn- oder Arbeitsbereich wünschenswert sein. Um dem Planer eine Orientierung für diese Aufgabe zu geben, werden in Tafel 51 Vorschläge für einen normalen und für einen erhöhten Schallschutz zum Schutz gegen Schallübertragung aus dem eigenen Wohn- oder Arbeitsbereich gemacht. Der Schallschutz einzelner oder mehrerer Bauteile nach diesen Vorschlägen muss ausdrücklich zwischen dem Bauherrn und dem Entwurfsverfasser vereinbart werden, wobei hinsichtlich Eignungs- und Gütenachweis auf die Regelungen in DIN 4109 Bezug genommen werden soll. Tafel 51

Empfehlungen für nonnalen und erhöhten Schallschutz; Luft· und Trittschalldämmung von Bauteilen zum Schutz gegen Schallübertragung aus dem eigenen Wohn· oder Arbeitsbereich

Bauteile

Empfehlungen für normalen Schallschutz

Empfehlungen für den erhöhten Schallschutz

erf. R:" in dB

erf.

lerf.

L~w

in"dB

R'w

in dB

lerf.

Bemerkungen

L~w

in"dB

1 Wohngebäude Decken in Einfamilienhäusern, ausgenommen Kellerdecken und Decken unter nicht ausgebauten Dachräumen

50

56

~55

~6

Treppen und Treppenpodeste in Einfamilienhäusern

-

-

-

;':53

Decken von Fluren in Einfamilienhäusern

-

56

-

~6

Wände ohne Türen zwisehen ",auten" und ",eisen" Räumen unterschiedlicher Nutzung, z. B. zwischen Wohn- und Kinderschlafzimmer

40

-

~47

-

..

Bei Decken zwischen Wasch- und Aborträumen als Schutz nur gegen Trittschallübertragung in Aufenthaltsräume. Weichfedernde Bodenbeläge dürfen angerechnet werden. Der Vorschlag für den erhöhten Schallschutz an die Trittschalldämmung gilt nur für die TrittschallÜbertragung in fremde Aufenthaltsräume, ganz gleich, ob sie in waagerechter, schräger oder senkrechter (nach oben! Richtung erfolgt. Weichfedernde Bodenbeläge dürfen angerechnet werden.

..

2 Buro- und Verwaltungsgebaude Decken, Treppen, Decken von Fluren und Trappenraumwände Fortsetzung s. nächste Seite

222

Weichfedernde Bodenbeläge dürfen angerechnet werden.

Schallschutz im Hochbau Tafel 51,

Fortsetzung

Bauteile

Wände zwischen Räumen mit üblicher Bürotätigkeit Wände zwischen Fluren und Räumen nach voriger Zeile

Empfehlungen für normalen Schallschutz

Empfehlungen für den erhöhten Schallschutz

erf. R'w in dB

erf.

erf.

erf.

indB

in dB

in"dB

37

-

~42

-

37

-

~42

-

L~.w

Wände von Räumen für konzentrierte geistige Tätigkeit oderzur Behandlung vertraulicher Angelegenheiten, z. B. zwischen Direktions- und Vorzimmer

45

-

Wände zwischen Fluren und Räumen nach voriger Zeile

45

-

Türen in Wänden mit erf R:_, = 37 dB

27

Türen in Wänden mit erf R:_, = 45 dB

37

5.7

R:_,

Bemerkungen

4

L~w

~52

-

~52

-

-

~32

-

-

-

-

Es ist darauf zu achten, daß diese Werte durch eine Nebenwegübertragung über Flur und Türen nicht verschlechtert wird.

Bei Türen gelten die Werte für die Schalldämmung bei alleiniger Übertragung durch die Tür.

Vorschläge für den erhöhten Schallschutz nach Entwurf DIN 4109-10, Juni 2000

Als neuer Normungsvorschlag für den erhöhten Schallschutz erschien im Rahmen der Überarbeitung der DIN 4109 im Juni 2000 der Entwurf DIN 4109-10, in dem das Beiblatt 2 und die frühere VDI4100, Schallschutz von Wohnungen, zusammengefasst sind (diese ist nun zurückgezogen}. Darin sind für den erhöhten Schallschutz die Schallschutzstufen (SSt) II und 111 definiert, die dem erhöhten Ruhebedürfnis Rechnung tragen sollen. Die bisherigen Mindestanforderungen werden darin als SSt I bezeichnet. Die Erfüllung der Anforderungen der Schallschutzstufen II und 111 erfordern von allen am Bau beteiligten, also Bauherrn, Architekten, Planern und Ausführenden besondere Sorgfalt. Die Einhaltung einer bestimmten Schallschutzstufe über die Mindestanforderungen hinaus muss daher zwischen dem Bauherrn und den übrigen Beteiligten ausdrücklich vertraglich vereinbart sein. ln den Leistungsverzeichnissen muss die verlangte Schallschutzstufe ebenfalls ausdrücklich erwähnt werden. Dies gilt auch für den Schallschutz im eigenen Bereich. Damit lässt sich der Schallschutz von Wohnungen dann eindeutig kennzeichnen, z. B.

Schallschutz DIN 4109-10 SSt II

+ EWA:

Schallschutz nach DIN 4109 Teil 10, Schallschutzstufe II und zusätzlich Schallschutz im eigenen Wohn- und Arbeitsbereich.

223

Bauphysik Tafel 52

Wahmehmung üblicher Geräusche aus Nachbarwohnungen und Zuordnung zu den drei Schallschutzstufen

Art der Geräuschemission

Wahrnehmung der Immission aus der Nachbarwohnung, abendlicher Grundgeräuschpegel von 20 dB (A) und üblich große Aufenthaltsräume vorausgesetzt SStl

Laute Sprache

verstehbar

SStll im allgemeinen verstehbar

SStlll im allgemeinen nicht verstehbar

Sprache mit angehobener Sprechweise

im allgemeinen verstehbar

im allgemeinen nicht verstehbar

nicht verstehbar

Sprache mit normaler Sprechweise

im allgemeinen nicht verstehbar

nicht verstehbar

nicht hörbar

Gehgeräusche

im allgemeinen störend

im allgemeinen nicht mehr störend

nicht störend

Geräusche aus haustechnischen Anlagen

unzumutbare Belästigungen werden gelegentlich im allgemeinen störend vermieden

nicht oder nur selten störend

Hausmusik, laut eingestellte Rundfunk- und Fernsehgeräte, Parlies

deutlich hörbar

im allgemeinen hörbar

Die Qualität des subjektiv empfundenen Schallschutzes bei den einzelnen Stufen wird in der Tafel 53 angegeben. Tafel 53

Kennwerte für Schallschutzstufen innerhalb des eigenen Wohnbereichs kennzeichnende akustische

Größe 5 )

Luftschallschutz

Trittschallschutz

Geräusche von

zwischen Aufenthaltsräumen

horizontal ) vertikal

R:,_

SSt! SSt!l

in dB

zwischen Aufenthaltsräumen oder zwischen Aufentvertikal, haltsräumen und horizontal L~,w in dB Erschließungs- bzw. oder diagonal Gemeinschaftsräumen Wasserinstallationen (Wasserversorgungs- und L,n in dB (A) Abwasseranlagen gemeinsam)

Geräusche von sonstigen haustechnischen Anlagen LAtmax in dB (A) Luftschallschutz gegen von außen eindringende R:.V,res in dB Geräusche

"'0

SSt IIl

48 55

48 55

46 1 )

46 1 )

302}.')

302),3)

::;: z

Ci

i3

l='

:c"' 'iii

IX)

6)

30 3)

25 3)

6)

7)

Gilt auch zwischen Aufenthaltsräumen und Treppen bzw. -podesten Werden Abwassergeräusche gesondert (ohne die zugehörigen Armaturengeräusche) wahrgenommen, sind wegen der erhöhten Lästigkeil dieser Geräusche um 5 dB (A) niedrigere Werte einzuhalten. 3 ) Nutzergeräusche sollten soweit wie möglich gemindert werden. 4 ) Wände ohne Türen 5 ) s. Begriffsdefinitionen in der Norm DIN 4109 6 ) R'w,ces nach der Norm DIN 4109 7 ) R'w,ces nach der Norm DIN 4109 + 5 dB 1)

2)

Während in der Schallschutzstufe I ISSt I) die Mindestanforderungen der DIN 4109 übernommen wurde, werden in der Schallschutzstufe II ISSt II) Werte angegeben, bei deren Einhaltung die Bewohner, übliche Wohngegebenheiten vorausgesetzt, im allgemeinen Ruhe finden und ihre Verhaltensweisen nicht besonders einschränken müssen, um Vertraulichkeit zu wahren. Angehobene Sprache in der Nachbarwohnung ist in der Regel in fremden Aufenthaltsräumen wahrnehmbar, aber nicht zu verstehen. Bei Einhalten der Kennwerte der Schallschutzstufe III ISSt III) können die Bewohner ein hohes Maß an Ruhe finden. Geräusche von außen sind kaum wahrzunehmen.

224

Schallschutz im Hochbau Der Schutz der Privatsphäre ist auch bei lauter Sprache weitestgehend gegeben. Angehobene Sprache aus der Nachbarwohnung wird nur halb so laut wahrgenommen wie bei Stufe II. Damit ist die Sicherheit des Nichtverstehans gegenüber Stufe II deutlich verbessert. Musikinstrumente können aber beim Nachbarn noch hörbar sein und damit unter Umständen stören. ln den Tafeln 54 und 55 werden die empfohlenen Kennwerte des einzuhaltenden baulichen Schallschutzes für die drei Schallschutzstufen angegeben. Zu beachten ist, dass die Anforderungen der SSt II und 3 bisher weder von den obersten Baubehörden der Länder noch vom Bundesministerium für Städtebau, Bauwesen und Raumordnung anerkannt werden. Sie sind vielmehr frei zu vereinbaren. Tafel 54

Kennwerte für Schallschutzstufen von Wohnungen in Mehrfamilienhäusern und von Doppel- und Reihenhäusern

Mehriamilienhäuser8 ) Geräuschübertragungswege und Geräuschquellen

Luftschallschutz

zwischen Aufenthaltsräumen und fremden Räumen

kennzeichSSt I SStll nende akustisehe Größe5)

horizontal vertikal

R''w

in dB

Trittschallschutz

Geräusche von Geräusche

zwischen Aufenthaltsräumen und fremden Treppenhäusern Wasserinstallationen (Wasserversorgungsund Abwasseranlagen gemeinsam) sonstigen haustechnischen Anlagen

SSt 111

SSt II

SSt 111

56

59

63

68

57

60

63

68

56

59

-

-

46

39

41

34

53

46

46

39

"' :;: 0

zwischen Aufenthaltsräumen und fremden Treppenhäusern bzw. Fluren zwischen Aufenthaltsräumen und fremden Räumen

z

15 . ."-..I

B

................. ..............

1'-'-t'-..

25

.~1 60

40

'"' 1'-.'

'

20

80

........

15 10

Bild 32

c

15

20

30

40

60

so

Bewertete Trittschallminderung bei schwimmend verlegten Estrichen aus Zement oder Calciumsulfat A bewertete Trittschallminderung 11Lw, in dB B flächenbezogene Masse der Estrichplatte, in kg m - 2 C flächenbezogene dynamische Steifigkeit der Dämmschicht, in MN/m 3

s

230

20

i',.l 00

Lärmschutz ll

I'-

-.......

JO

"-.... A

"-....

r-....

-......._

"-.... "-....

"-....

21

-.......

"-....

r-20

4 .....

-......._

--- --- ---

B

-.......

'

15

10

Bild 33

20

JO

-.......

-......._

---..

15

........

60

........

----

40

40

15

so

Bewertete Trittschallminderung für schwimmende Gussasphaltestriche oder schwimmend verlegte Trockenestrichkonstruktionen A bewertete Trittschallminderung AL... in dB B flächenbezogene Masse der Estrichplatte, in kg m - • C flächenbezogene dynamische Steifigkeit der Dämmschicht, in MN/m 3

s

Tafel 57

Korrekturfaktoren K für Flankenübertragung bei der Trittschalldämmung

Flächenbezogene Masse des trennenden

Bauteils in kgim 2

Mittlere flächenbezogene Masse der homogenen flankierenden Bauteile, die nicht mit Vorsatzkonstruktionen verbunden sind, in kg/m 2 100

150

200

250

300

350

400

450

500

1 1 2 2 3 3 4 4 4 5 5 6 6

0 1 1 1 2 2 2 3 3 4 4 4 5

0 0 1 1 1 1 2 2 2 3 3 4 4

0 0 0 1 1 1 1 2 2 2 3 3 3

0 0 0 0 1 1 1 1 1 2 2 2 3

0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 2 2 2

0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 2 2

0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 2

0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 2

100 150 200 250 300 350 400 450 500 600 700 800 900

6

Lärmschutz

Mehr als 2/3 der Bevölkerung der Bundesrepublik fühlt sich durch Lärmeinwirkungen gestört oder stark gestört. Dabei steht Straßenlärm an erster Stelle, gefolgt von Fluglärm, Schienenverkehrslärm, Nachbarschaftslärm und lndustrielärm. Neben der absoluten Höhe des Schalldruckpegels am Immissionsort sind die Frequenzzusammensetzung, die Dynamik (gleichbleibendes Geräusch oder stark schwankend), die Auffälligkeit und die Ortsüblichkeit von Bedeutung. Die Berechnung, Messung und Beurteilung von Verkehrslärm sind in der Richtlinie für den

231

Bauphysik Lärmschutz an Straßen 1990 (RLS 90) sowie in der DIN 18005 geregelt. Die Beurteilung von Fluglärm erfolgt nach dem Gesetz zum Schutz gegen Fluglärm. Industrieimmissionen werden nach der Technischen Anleitung Lärm (TA Lärm) in der Fassung vom 26. 08. 1998 berechnet und beurteilt.

6.1

Mess- und Bewertungsgrößen

Da Schallimmissionen zeitlich meist nicht konstant sind, wird aus den zeitlich schwankenden Messwerten ein Mittelungspegel gebildet. Er ergibt sich aus der Gleichung

Lm = 10 ·log

[~·I 10L(t)/IO dtl

T die Mess- bzw. Beurteilungszeit L(t) zeitlicher Verlauf der

in dB

Schallimmissionen

ln der Regel werden die Immissionspegel mit der Bewertungskurve .,/!>:' bewertet. Diese gibt hinsichtlich der Frequenzzusammensetzung des Geräusches die Hörempfindung des menschlichen Ohres annähernd richtig wieder. Die so ermittelten Pegel erhalten den Index A, also z. B. Lm,A· Neben der A-Bewertungskurve, die tieffrequente Geräuschanteile stark unterdrückt, gibt es die Bewertungskurve bei der dies weniger der Fall ist. Die Differenz zwischen A- und C-Bewertung in der Form Lm,c- Lm,A ist daher ein Maß für den Charakter des Geräusches. Beträgt diese Differenz mehr als 20 dB, so sind auf den Immissionspegel Zuschläge erforderlich. Die Messung der Immissionen erfolgt entweder mit der Zeitbewertung .,Fast" (energetisch richtige Messung) oder .,Impulse': Bei der letzteren wird an den jeweiligen Maximalpegel eine Impulsschleppe von 1,5 s Dauer angehängt, mit der die Trägheit des menschlichen Ohres gegenüber kurzzeitigen Geräuschspitzen nachgebildet wird. ln ähnlicher Weise arbeitet das Taktmaximalpegelverfahren; hierbei wird die Messzeit in 3 oder 5 s lange Takte unterteilt. Der Mittelungspegel wird gebildet, in dem für jeden Takt nur der dort vorhandene Maximalpegel berücksichtigt wird. Die so gemessenen Pegel tragen die Indizes F. I, Tm3 bzw. Tm5. Ein mit LAim bezeichneter Pegel bedeutet also: Mittelungspegel mit Frequenzbewertung A, Zeitbewertung I.

.,c·:

Zur Beurteilung von Schallimmissionen ist es erforderlich, aus den gemessenen oder berechneten Mittelungspegeln einen Beurteilungspegel zu bilden. Er ergibt sich nach der Formel

Ls = 10 ·log

[i ·I

T,

Beurteilungszeitraum

L(t) Mittelungspegel während des

10(L(t)+K(t)J/tO dt]

in dB

Beurteilungszeitraums

K(t) Zuschläge z. B. für Impuls-

und Tonhaltigkeit bzw. Zuschlag für besonders schutzwürdige Zeiten.

Für Industrielärm gelten dabei folgende Regelungen: Beurteilungszeitraum tags: besonders schutzwürdige Zeiten innerhalb des Tages: Beurteilungszeitraum nachts:

232

6.00-22.00 Uhr 6.00-7.00 Uhr und 19.00-22.00 Uhr, Zuschlag: K = +6 dB Lauteste Stunde zwischen 22.00 Uhr und 6.00 Uhr.

Brandschutz 6.2

Immissionsrichtwerte

Die Richtwerte betragen für Einwirkungsorte, in deren Umgebung a) nur gewerbliche Anlagen und ggf. ausnahmsweise Wohnungen für Inhaber und Leiter der Betriebe sowie für Aufsichts- und Bereitschaftspersonen untergebracht sind 70 dB (A) b) vorwiegend gewerbliche Anlagen untergebracht sind tags 65 dB (A) nachts 50 dB (A) c) weder vorwiegend gewerbliche Anlagen noch vorwiegend Wohnungen untergebracht sind tags 60 dB (A) nachts 45 dB (A) d) vorwiegend Wohnungen untergebracht sind tags 55 dB (A) nachts 40 dB (A) e) ausschließlich Wohnungen untergebracht sind tags 50 dB (A) nachts 35 dB (A) f) für Kurgebiete, Krankenhäuser, pflegeanstalten, sowie sie als solche durch Orts- und Straßenbeschilderung ausgewiesen sind tags 45 dB (A) nachts 35 dB (A) Kurzzeitige Geräuschspitzen sollen den Richtwert am Tage nicht mehr als 30 dB (A) überschreiten. Zur Sicherung der Nachtruhe sollen nachts auch kurzzeitige Überschreitungen der Richtwerte um mehr als 20 dB (A) vermieden werden.

7

Brandschutz

Brände in Gebäuden und ihre Auswirkung auf die Umgebung gefährden das Leben und die Gesundheit von Menschen. Um der Entstehung und Ausbreitung von Schadenfeuer vorzubeugen, werden Vorschriften zum Brandschutz erlassen; sie sind in den Landesbauordnungen enthalten und stimmen in allen Bundesländern weitgehend überein. Die dort festgelegten brandschutztechnischen Mindestauflagen betreffen die Ausführung der Bauteile, die Planung von Flucht- und Rettungswegen für den Brandfall und die Planung von Feuerwehrzufahrten. Maßnahmen zum baulichen Brandschutz finden ihren Niederschlag in der Auswahl der Baustoffe und Ausbildung der Bauteile. Als Bewertungsmaßstab für die bauaufsichtliehen Anforderungen an den Brandschutz dient die Klassifizierung der Baustoffe nach ihrem Brandverhalten (brennbare oder nicht brennbare Baustoffe) und die Einteilung der Bauteile in Feuerwiderstandsklassen. Darunter versteht man die Widerstandsdauer in Minuten bei Feuereinwirkung unter definierten Bedingungen. Eine Brandentstehung und die Ausbreitung des Feuers in einem Raum wird durch die Verwendung von nicht brennbaren oder schwer entflammbaren Baustoffen behindert. Leicht entflammbare Baustoffe sind nicht zugelassen, es sei denn, sie sind in Verbindung mit anderen Baustoffen nicht mehr leicht entflammbar. Die Brandweiterleitung in benachbarte Räume oder in andere Geschosse wird durch das Brandverhalten der Bauteile bestimmt. An deren Feuerwiderstand werden, je nach Gebäudeart und -höhe, unterschiedliche Anforderungen gestellt.

7.1

Brandschutztechnische Prüfungen

Wie die Baustoffe und Bauteile zur brandschutztechnischen Klassifizierung zu prüfen sind, ist in DIN 4102 - Brandverhalten von Baustoffen und Bauteilen - festgelegt. Die Norm besteht aus folgenden Teilen: -1 (5.98) Baustoffe; Begriffe, Anforderungen und Prüfungen -2 (9.77) Bauteile, Begriffe, Anforderungen und Prüfungen -3 (9.77) Brandwände und nichttragende Außenwände; Begriffe, Anforderungen und Prüfungen -4 (3.94) Zusammenstellung und Anwendung klassifizierter Baustoffe, Bauteile und Sonderbauteile -5 (9.77) Feuerschutzabschlüsse, Abschlüsse in Fahrschachtwänden, gegen Flugfeuer widerstandsfähige Verglasungen; Begriffe, Anforderungen und Prüfungen

233

4

Bauphysik -6 (9.77) Lüftungsleitungen; Begriffe, Anforderungen und Prüfungen -7 (7.98) Bedachungen; Begriffe, Anforderungen und Prüfungen -11 (12.85) Rohrummantelungen, Rohrabschottungen, Installationsschächte und -kanäle sowie Abschlüsse ihrer Revisionsöffnungen; Begriffe, Anforderungen und Prüfungen

7.2

Baustoffklassen

Tafel 58 Baustoffklassen und bauaufsichtliDie Baustoffe werden nach ihrem ehe Benennung Brandverhalten in Klassen eingeteilt. Diese sind gemeinsam mit den Klasse Benennung bauaufsichtliehen Benennungen in TaA, A 1 , A2 nichtbrennbare Baustoffe fel 58 aufgeführt. Baustoffe der Klasse A2 dürfen geringe B brennbare Stoffe B1 schwerentflammbare Baustoffe Mengen an organischen Bestandteilen B2 normalentflammbare Baustoffe enthalten, verhalten sich aber bei eiB3 leichtentflammbare Baustoffe nem Brand wie ein Baustoff der Klasse A 1. ln der Bauverordnung wird nicht zwischen A 1 und A2 unterschieden, die Baustoffe dieser Klassen werden bauaufsichtlich gleich behandelt. Baustoffklassen müssen durch Prüfzeugnis bzw. -zeichen nachgewiesen werden.

0 h n e Brandversuche können Baustoffe, die in DIN 4102-4 aufgeführt sind,

den dort angegebenen Baustoffklassen ohne jeden weiteren Nachweis zugeordnet werden. Bei allen anderen Baustoffen muss durch ein Prüfzeugnis oder ein Prüfzeichen auf Grundlage von Brandversuchen nach DIN 4102-1 bzw. durch allgemeine bauaufsichtliche Zulassung (Institut für Bautechnik in Berlin) der Nachweis geliefert werden. Für nichtbrennbare Baustoffe der Baustoffklasse A 1 genügt ein Prüfzeugnis, wenn sie keine brennbaren Bestandteile enthalten. Für nichtbrennbare Baustoffe der Baustoffklasse A2 sowie für brennbare Baustoffe der K I a s s e B 1 besteht Prüfzeichenpflicht. Für brennbare Baustoffe der Klasse B2 und B3 ist der Nachweis mit Prüfzeugnis ausreichend; diese können z. B. von amtlich anerkannten Materialprüfungsanstalten erstellt werden. Die folgende Tafel 59 gibt eine Übersicht zur Zuordnung von Baustoffen und Nachweisverfahren. Werden Verbundstoffe klassifiziert, so müssen sie als Gesamtheit geprüft werden. Wenn für den Nachweis die in DIN 4102 vorgesehenen Prüfungen nicht ausreichen, sind weitere Nachweise zum Beispiel im Rahmen der Erteilung einer allgemeinen bauaufsichtliehen Zulassung zu erbringen. Tafel 59 Baustoffklassen und Nachweisverfahren Klasse

zusätzliches Kriterium

Al

ohne brennbare Bestandteile

A2

mit brennbaren Bestandteilen

B1

B2

234

Nachweis durch genormte Baustoffe

DIN 4102-4

nicht genormte Baustoffe

Prüfzeugnis Prüfbescheid mit Prüfzeichen

nach bestimmten Normen

DIN4102-4

Sonstige

Prüfbescheid mit Prüfzeichen

genormte Baustoffe

Prüfzeugnis

nicht genormte Baustoffe

Prüfzeugnis

Brandschutz 7.3

Feuerwiderstandsklassen

Eine Zuordnung der Bauteile zu FeuerwiderstandskI a s s e n erfolgt nach Zeitdauer, die das Bauteil bzw. die Baukonstruktion beim Brandversuch dem Feuer Widerstand bietet. Feuerwiderstandsklassen F. Für Wand- und Deckenbauteile sowie Stützen, Unterzüge und sonstigen Tragwerke werden nach DIN4102-2 die Feuerwiderstands klasse n F, baurechtliehen Benennungen und Kurzbezeichnungen der Tafeln 60 und 61 unterschieden. Tafel 60

Feuerwiderstandsklasse F

Feuerwiderstandsklasse

F180

Feuerwiderstandsdauer in min

~180

Tafel 61

Benennung der Feuerwiderstandsklassen F und Kurzbezeichnung

Baurechtliche Benennung

Benennung nach DIN 4102

Kurzbezeichnung

feuerhemmend

Feuerwiderstandsklasse F30

F30-B

feuerhemmend und in den tragenden Teilen aus nicht brennbaren Stoffen

Feuerwiderstandsklasse F30 und in den wesentlichen Teilen aus nichtbrennbaren Stoffen

F30-AB

feuerhemmend und aus nichtbrennbaren Baustoffen

Feuerwiderstandsklasse F30 und aus nichtbrennbaren Baustoffen

F30-A

feuerbeständig

Feuerwiderstandsklasse F90 und in den wesentlichen Teilen aus nichtbrennbaren Baustoffen

F90-AB

feuerbeständig und aus nichtbrennbaren Baustoffen

Feuerwiderstandsklasse F90 und aus nichtbrennbaren Baustoffen

F90-A

Holzbauteile der Feuerwiderstandsklasse F30-B und F60-B werden im Abschn. Holzbau nach DIN 1052 S. 873ff. dieses Werkes aufgeführt. Weitere Feuerwiderstandsklassen sind: Fe u e rwi derstandsklasse W bei nichttragenden Außenwänden, Brüstungen und Stützen. Feuerwiderstandsklasse T bei Feuerschutzabschlüssen, z. B. Türen, Klappen, Rollläden und Toren. Sie müssen im eingebauten Zustand den Durchtritt eines Feuers durch Öffnungen in Wänden und Decken verhindern. Feuerwiderstandsklasse G bei Verglasungen. Diese verhindern den Flammen- und Brandgasdurchtritt, nicht jedoch den Durchtritt der Wärmestrahlung. Die Verglasungen müssen einschließlich ihrer Halterungen sowie Befestigungen und Fugen als Raumabschluss wirksam bleiben. Verglasungen der Feuerwiderstandsklasse F verhindern nicht nur den Flammen- und Brandgasdurchtritt, sondern auch den Durchtritt von Wärmestrahlung. Feuerwiderstandsklasse L und K bei Lüftungsleitungen und Absperrvorrichtungen. Die Übertragung von Feuer und Rauch durch Lüftungsleitungen soll verhindert werden.

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Bauphysik

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Lichttechnik und Tageslichtnutzung

Die Lichttechnik ist in erster Linie damit befasst, für Arbeits- und Wohnräume eine ausreichende, blendfreie Beleuchtung sicherzustellen. Dies kann sowohl über Tageslicht wie über Kunstlicht erfolgen, wobei im Sinne eines nachhaltigen Bauens der Anteil von Kunstlicht auf das unbedingt notwendige beschränkt werden muss (der durchschnittliche Anteil für künstliche Beleuchtung am Stromverbrauch lag 1998 in Verwaltungsbauten bei 36 %). Da das menschliche Auge an den sichtbaren Spektralbereich der Solarstrahlung optimal angepasst ist, ist eine Beleuchtung mit Tageslicht meist sehr viel effektiver als mit Kunstlicht Für die Berechnung des Tageslichtquotienten D (daylight coeffizient) wird auf DIN 5034 bzw. auf [13] verwiesen.

8.1

Begriffe

Lichtstrom: Lichtstärke: Leuchtdichte: Beleuchtungs· stärke:

Eingestrahlte Leistung (Solarstrahlung oder Kunstlicht), gewichtet mit der spektralen Empfindlichkeit des menschlichen Auges, Einheit Lumen (Im) Sie ist die lichttechnische Basiseinheit, definiert als Quotient aus Lichtstrom