Vielfältige Zugänge zum Mathematikunterricht: Konzepte und Beispiele aus Forschung und Praxis [1. Aufl.] 978-3-658-24291-6;978-3-658-24292-3

Table of contents :
Front Matter ....Pages I-XI
Front Matter ....Pages 1-1
Experimentell zum Funktionalen Denken – auch in der Grundschule? (Sandra Ganter)....Pages 3-17
Fermi-Aufgaben in Vergleichsarbeiten in Klasse 8 – Kriterien und Ergebnisse (Gilbert Greefrath)....Pages 19-32
Auf rationale Weise zur Irrationalität (Lisa Hefendehl-Hebeker)....Pages 33-45
Durchgängige Kontextorientierung in allen Unterrichtsphasen des Mathematikunterrichts (Stephan Hußmann)....Pages 47-60
Grundvorstellungen versus Concept Image? Gemeinsamkeiten und Unterschiede beider Theorien am Beispiel des Funktionsbegriffs (Marcel Klinger)....Pages 61-75
Wahrscheinlich oder wahrscheinlich nicht? Aufbau eines vorstellungsorientierten Wahrscheinlichkeitsbegriffs in der Primarstufe und den Sekundarstufen (Heinz Laakmann, Florian Schacht)....Pages 77-90
Kriteriengeleitetes Arbeiten – ein Aufgabenformat zur Förderung von selbstreguliertem Lernen im Mathematikunterricht (Annegret Nydegger)....Pages 91-103
Ein erster Zugang zur Scheduling-Theorie – paradigmatisch erschlossen (Günter Törner)....Pages 105-118
Front Matter ....Pages 119-119
Technology-supported classrooms: New opportunities for communication and development of mathematical understanding (Lynda Ball, Kaye Stacey)....Pages 121-129
„Der Computer zwingt uns zum Nachdenken“ – Beispiele aus der Analysis (Sebastian Bauer, Andreas Büchter, Erwin Gerstner)....Pages 131-145
Ergebnisse aus Stundenprotokollen im niedersächsischen Projekt CALiMERO zum CAS-Einsatz in der Sekundarstufe I (Guido Pinkernell, Regina Bruder)....Pages 147-162
Head in the clouds, feet on the ground – A realistic view on using digital tools in mathematics education (Paul Drijvers)....Pages 163-176
Der Rechner als Erzeuger von Phänomenen für das Entdecken und Beschreiben mathematischer Muster (Andreas Eichler)....Pages 177-190
Think Big! – Funktionales Denken mit Big Data (Ulrich Kortenkamp)....Pages 191-203
Mathematikunterricht mit digitalen Werkzeugen – Eine persönliche Bilanz von 25 Jahren Einsatz im Unterricht (Hubert Langlotz, Sibylle Stachniss-Carp, Hubert Weller)....Pages 205-218
Mathematik erkunden und verstehen mit unterrichtsintegrierten Lern-Apps – Fachdidaktische Kriterien für die kognitive Aktivierung und Verstehensunterstützung (Timo Leuders)....Pages 219-231
Digitale Werkzeuge im Mathematikunterricht – Konzepte, empirische Ergebnisse und Desiderate (Jürgen Roth)....Pages 233-248
Wie digitale Medien funktionales Denken unterstützen können – Zwei Beispiele (Hana Ruchniewicz, Lisa Göbel)....Pages 249-262
Front Matter ....Pages 263-263
Grundlagen algebraischen Denkens beim Übergang von der Arithmetik in die Algebra – Entwicklung und Erprobung einer Lehrerfortbildung (Maike Abshagen, Judith Blomberg, Matthias Glade)....Pages 265-279
Der Herausforderung der Digitalisierung im Mathematikunterricht in Fortbildungen begegnen (Patrick Ebers, Joyce Peters-Dasdemir, Daniel Thurm, Oliver Wagener)....Pages 281-294
Problemlösestrategien lehren lernen – Wo die Praxis Probleme beim Problemlösen sieht (Raja Herold-Blasius, Lars Holzäpfel, Benjamin Rott)....Pages 295-309
Fortbildungsdidaktische Kompetenz ist mehr als unterrichtsbezogene plus fortbildungsmethodische Kompetenz (Susanne Prediger)....Pages 311-325
Inklusiver Mathematikunterricht – Herausforderungen bei der Gestaltung von Lehrerfortbildungen (Petra Scherer)....Pages 327-342

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Andreas Büchter Matthias Glade Raja Herold-Blasius Marcel Klinger Florian Schacht Petra Scherer Hrsg.

Vielfältige Zugänge zum Mathematikunterricht Konzepte und Beispiele aus Forschung und Praxis

Vielfältige Zugänge zum Mathematikunterricht

Andreas Büchter · Matthias Glade · Raja Herold-Blasius · Marcel Klinger · Florian Schacht · Petra Scherer (Hrsg.)

Vielfältige Zugänge zum Mathematikunterricht Konzepte und Beispiele aus Forschung und Praxis

Hrsg. Andreas Büchter Fakultät für Mathematik Universität Duisburg-Essen Essen, Deutschland

Matthias Glade Fakultät für Mathematik Universität Duisburg-Essen Essen, Deutschland

Raja Herold-Blasius Fakultät für Mathematik Universität Duisburg-Essen Essen, Deutschland

Marcel Klinger Fakultät für Mathematik Universität Duisburg-Essen Essen, Deutschland

Florian Schacht Fakultät für Mathematik Universität Duisburg Essen Essen, Deutschland

Petra Scherer Fakultät für Mathematik Universität Duisburg-Essen Essen, Deutschland

ISBN 978-3-658-24292-3  (eBook) ISBN 978-3-658-24291-6 https://doi.org/10.1007/978-3-658-24292-3 Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.d-nb.de abrufbar. Springer Spektrum © Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2019 Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung, die nicht ausdrücklich vom Urheberrechtsgesetz zugelassen ist, bedarf der vorherigen Zustimmung des Verlags. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Bearbeitungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von allgemein beschreibenden Bezeichnungen, Marken, Unternehmensnamen etc. in diesem Werk bedeutet nicht, dass diese frei durch jedermann benutzt werden dürfen. Die Berechtigung zur Benutzung unterliegt, auch ohne gesonderten Hinweis hierzu, den Regeln des Markenrechts. Die Rechte des jeweiligen Zeicheninhabers sind zu beachten. Der Verlag, die Autoren und die Herausgeber gehen davon aus, dass die Angaben und Informationen in diesem Werk zum Zeitpunkt der Veröffentlichung vollständig und korrekt sind. Weder der Verlag, noch die Autoren oder die Herausgeber übernehmen, ausdrücklich oder implizit, Gewähr für den Inhalt des Werkes, etwaige Fehler oder Äußerungen. Der Verlag bleibt im Hinblick auf geografische Zuordnungen und Gebietsbezeichnungen in veröffentlichten Karten und Institutionsadressen neutral. Springer Spektrum ist ein Imprint der eingetragenen Gesellschaft Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH und ist ein Teil von Springer Nature Die Anschrift der Gesellschaft ist: Abraham-Lincoln-Str. 46, 65189 Wiesbaden, Germany

Festschrift zum 60. Geburtstag von Prof. Dr. Bärbel Barzel

Vorwort

Vielfalt ist für den Mathematikunterricht eine Kategorie, die fachdidaktisch auf unterschiedlichen Ebenen wissenschaftlich bearbeitet wird. Für die Entwicklung und Erforschung von Lernkontexten stellt sich etwa die Frage, wie und mit welchen Kontexten und Zugängen sinnstiftende Lernprozesse initiiert werden können, sodass sie den individuellen Voraussetzungen der Lernenden gerecht werden. Für die Auswahl geeigneter Medien im Unterricht stellt sich die Frage, mit welchen – digitalen oder nicht digitalen – Werkzeugen sich die jeweiligen Anforderungen und Problemstellungen des Unterrichts adäquat bearbeiten lassen. Und auch für die Gestaltung von Lehrerfortbildungen stellt sich zunehmend die Frage, wie sich aus der Vielfalt der Ansätze solche identifizieren lassen können, die nicht nur geeignete Konzepte an die Lehrpersonen vermitteln, sondern die sich in produktiver Weise auf die Unterrichtsentwicklung und die Unterrichtswirklichkeit auswirken. Bärbel Barzel, für die dieser Band im Rahmen einer Festschrift anlässlich ihres 60. Geburtstages entstanden ist, betätigt sich in allen drei Feldern – und zwar immer in der Verknüpfung von wissenschaftlicher und unterrichtspraktischer Perspektive auf die Entwicklung und Erforschung von Mathematikunterricht. Auch wenn sich daher die wissenschaftliche und unterrichtspraktische Beschäftigung mit Vielfalt noch für weitere Bereiche beschreiben ließe, so setzt der vorliegende Band mit Blick auf das Schaffen von Bärbel Barzel einen Schwerpunkt entlang der folgenden drei Themenbereiche: 1. 2. 3.

Kontexte für ein sinnstiftendes Mathematiklernen Mit digitalen Werkzeugen Mathematik erlebbar machen Mit Lehrerfortbildungen Mathematikunterricht zeitgemäß gestalten

Im Rahmen des ersten Abschnitts werden vielfältige Kontexte für ein sinnstiftendes Mathematiklernen diskutiert. Die Beiträge geben dabei z. T. sehr praktische Anregungen, wie sich Sinnstiftung im Mathematikunterricht realisieren lässt, beleuchten zum Teil aber auch die Rolle von Kontextorientierung aus curricularer und struktureller Perspektive und leisten in diesem Zusammenhang auch Beiträge zur Theoriebildung, wie sie Bärbel Barzel z. B. im Rahmen des KOSIMA-Projektes mit angestoßen hat.

VII

VIII

Vorwort

Der zweite Abschnitt adressiert Vielfalt im Zusammenhang mit der Erlebbarmachung digitaler Werkzeuge im Mathematikunterricht. Die Beiträge decken auch hier eine inhaltliche Bandbreite ab, die sich von konkreten Umsetzungsbeispielen über die Beschreibung gegenwärtiger Trends bis hin zur Dokumentation von Herausforderungen im Zusammenhang mit dem verstärkten Einsatz digitaler Werkzeuge stellt, mit denen sich Bärbel Barzel z. B. im Rahmen des Lehrerfortbildungsnetzwerkes Teachers Teaching with Technology (T3) auseinandersetzt. Im dritten Abschnitt steht Vielfalt im Zusammenhang mit der zeitgemäßen Gestaltung von Lehrerfortbildungen für den Mathematikunterricht im Mittelpunkt. Neben der Beschreibung konkreter Fortbildungsmaßnahmen sowie begleitender Forschungsprojekte werden hier Herausforderungen in Praxis und Theoriebildung bezüglich Lehrerfortbildungen diskutiert, wie sie Bärbel Barzel im Deutschen Zentrum für Lehrerbildung Mathematik (DZLM) als Verantwortliche für Programmentwicklung begleitet. Auf diese Weise werden im vorliegenden Band drei Themenbereiche bearbeitet, die nicht nur in Bärbel Barzels Schaffen eine wichtige Rolle spielen, sondern gleichzeitig wichtige Aspekte von aktuellen fachdidaktischen Forschungs- und Entwicklungsfeldern in ihrer Vielfalt spiegeln. Die Herausgeberinnen und Herausgeber dieses Bandes wünschen bei der Lektüre vielfältige Anregungen. Das Herausgeberteam dankt allen Autorinnen und Autoren, die durch Ihre Beiträge diese Festschrift überhaupt erst ermöglichen und so vielfältig machen. Außerdem danken wir dem Springer Verlag – hier insbesondere Frau Schmickler-Hirzebruch und Frau Gerlach – für die Möglichkeit der Veröffentlichung dieser Festschrift. Andreas Büchter, Matthias Glade, Raja Herold-Blasius, Marcel Klinger, Florian Schacht, Petra Scherer

Inhaltsverzeichnis

Teil I

Kontexte für ein sinnstiftendes Mathematiklernen

1

Experimentell zum Funktionalen Denken – auch in der Grundschule?  . . . . . 3 Sandra Ganter

2

Fermi-Aufgaben in Vergleichsarbeiten in Klasse 8 – Kriterien und Ergebnisse .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Gilbert Greefrath

3

Auf rationale Weise zur Irrationalität. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 Lisa Hefendehl-Hebeker

4 Durchgängige Kontextorientierung in allen Unterrichtsphasen des Mathematikunterrichts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 Stephan Hußmann 5

Grundvorstellungen versus Concept Image? Gemeinsamkeiten und Unterschiede beider Theorien am Beispiel des Funktionsbegriffs. . . . . . . . . 61 Marcel Klinger

6

Wahrscheinlich oder wahrscheinlich nicht? Aufbau eines vorstellungsorientierten Wahrscheinlichkeitsbegriffs in der Primarstufe und den Sekundarstufen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 Heinz Laakmann und Florian Schacht

7

Kriteriengeleitetes Arbeiten – ein Aufgabenformat zur Förderung von selbstreguliertem Lernen im Mathematikunterricht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 Annegret Nydegger

8

Ein erster Zugang zur Scheduling-Theorie – paradigmatisch erschlossen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 Günter Törner IX

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Inhaltsverzeichnis

Teil II Mit digitalen Werkzeugen Mathematik erlebbar machen 9 Technology-supported classrooms: New opportunities for communication and development of mathematical understanding . . . . . . . 121 Lynda Ball und Kaye Stacey 10 „Der Computer zwingt uns zum Nachdenken“ – Beispiele aus der Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 Sebastian Bauer, Andreas Büchter und Erwin Gerstner 11 Ergebnisse aus Stundenprotokollen im niedersächsischen Projekt CALiMERO zum CAS-Einsatz in der Sekundarstufe I . . . . . . . . . . . . . . . . 147 Regina Bruder und Guido Pinkernell 12 Head in the clouds, feet on the ground – A realistic view on using digital tools in mathematics education . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 Paul Drijvers 13 Der Rechner als Erzeuger von Phänomenen für das Entdecken und Beschreiben mathematischer Muster . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 Andreas Eichler 14 Think Big! – Funktionales Denken mit Big Data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 Ulrich Kortenkamp 15 Mathematikunterricht mit digitalen Werkzeugen – Eine persönliche Bilanz von 25 Jahren Einsatz im Unterricht . . . . . . . . . . . 205 Hubert Langlotz, Sibylle Stachniss-Carp und Hubert Weller 16

Mathematik erkunden und verstehen mit unterrichtsintegrierten Lern-Apps – Fachdidaktische Kriterien für die kognitive Aktivierung und Verstehensunterstützung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219 Timo Leuders

17 Digitale Werkzeuge im Mathematikunterricht – Konzepte, empirische Ergebnisse und Desiderate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233 Jürgen Roth 18 Wie digitale Medien funktionales Denken unterstützen können – Zwei Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249 Hana Ruchniewicz und Lisa Göbel

Inhaltsverzeichnis Teil III

XI

Mit Lehrerfortbildungen Mathematikunterricht zeitgemäß gestalten

19 Grundlagen algebraischen Denkens beim Übergang von der Arithmetik in die Algebra – Entwicklung und Erprobung einer Lehrerfortbildung .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265 Maike Abshagen, Judith Blomberg und Matthias Glade 20 Der Herausforderung der Digitalisierung im Mathematikunterricht in Fortbildungen begegnen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281 Patrick Ebers, Joyce Peters-Dasdemir, Daniel Thurm und Oliver Wagener 21 Problemlösestrategien lehren lernen – Wo die Praxis Probleme beim Problemlösen sieht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295 Raja Herold-Blasius, Lars Holzäpfel und Benjamin Rott 22

Fortbildungsdidaktische Kompetenz ist mehr als unterrichtsbezogene plus fortbildungsmethodische Kompetenz – Zur notwendigen fortbildungsdidaktischen Qualifizierung von Fortbildenden am Beispiel des verstehensfördernden Umgangs mit Darstellungen .. . . . . . . . . . . . . . . . 311 Susanne Prediger

23 Inklusiver Mathematikunterricht – Herausforderungen bei der Gestaltung von Lehrerfortbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327 Petra Scherer

Teil I Kontexte für ein sinnstiftendes Mathematiklernen

Experimentell zum Funktionalen Denken – auch in der Grundschule?

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Sandra Ganter

Zusammenfassung

Experimente werden als hilfreich bei der Entwicklung des Funktionsbegriffs angesehen (Vollrath 1978, 1989), insbesondere hinsichtlich der Wahrnehmung und Ausbildung relevanter Grundvorstellungen zum Funktionalen Denken (Beckmann 2007; Barzel 2009; Ganter 2013): Funktion als Kovariation, als Zuordnung und als Objekt. Im Rahmen einer Interventionsstudie wurde eine positive Wirkung der Integration von realen Experimenten in den Begriffsbildungsprozess zum Funktionalen Denken im Fach Mathematik in der Hauptschule Jahrgangsstufe 7 mit qualitativen und quantitativen Methoden nachgewiesen (Ganter 2013). Beim Experimentieren wurden dabei viele Lernprozesse und eigenständige Ideen und Gedanken zu Abhängigkeiten zwischen Größen ausgelöst, sowie in vielfältiger Weise kommuniziert, argumentiert und reflektiert. Es zeigte sich, dass die Versuche mit den jeweiligen Lerninhalten auch später noch in Verbindung gebracht wurden und vor allem graphische und tabellarische Zusammenhänge vielfältig gedeutet werden konnten. Diese Studie zeigte, dass auch in der Hauptschule ein kognitiv aktivierender und handlungsorientierter Unterricht möglich ist und die Experimente einen positiven Einfluss auf die Lernmotivation hatten. Es stellte sich deshalb die Frage, ob das große Potential von experimentellen Tätigkeiten nicht auch schon in der Grundschule genutzt werden kann, um Grundvorstellungen zu Funktionen auch schon früh in ihrer Komplexität aufzubauen und bekannten Fehlvorstellungen entgegenzuwirken. Dieser Beitrag berichtet nun über eigene erste Unterrichtserfahrungen vom Einsatz der erprobten Experimente zum Einstieg in das Funktionale Denken in der Grundschule.

Sandra Ganter * Denzlingen, Deutschland E-Mail: [email protected]

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2019 A. Büchter et al. (Hrsg.), Vielfältige Zugänge zum Mathematikunterricht, https://doi.org/10.1007/978-3-658-24292-3_1

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S. Ganter

1.1 Einleitung Mathematik mit allen Sinnen erfahren – auch in der Sekundarstufe war Bärbel Barzel stets ein großes Anliegen, weil ihr die große Bedeutung der Handlungsorientierung im Rahmen mathematischer Begriffsbildung bewusst war. Geprägt durch Freudenthal sah sie die Mathematik stets auch als pädagogische Aufgabe und forderte, Mathematik erlebbar zu machen. „Gewiss, man kann auch das Zahlenreich erforschen, man kann auch rechnend denken lernen, aber Entdeckungen, die man mit Augen und Händen macht, sind überzeugender und überraschender.“ (Freudenthal 1973, S. 380)

Bärbel Barzel erkannte früh das große Potential von experimentellen Tätigkeiten, wenn es um die Förderung des Funktionalen Denkens ging. Über Jahrzehnte beschäftigte sie sich mit den Schwierigkeiten des Funktionsbegriffs und erforschte verschiedene Möglichkeiten zur Förderung des Funktionalen Denkens im Unterricht. Sie bereicherte die didaktische und unterrichtspraktische Diskussion mit einer thematischen Vielfalt an Beiträgen und war überzeugt, dass Funktionen zum Anfassen und Erleben Ausgangspunkt mathematischer Begriffsbildung sein können. Mathematik mit Erfahrungen zu verbinden, war ihr stets wichtig, weil Erkenntnisse, die aus einem aktiven Erleben erwachsen, nachhaltiger im Gedächtnis bleiben. Als ein effektiver Weg, in das Funktionale Denken einzusteigen, bot sich für uns deshalb das Schülerexperiment an, weil die kognitiven Tätigkeiten beim Experimentieren denen bei der Entwicklung des Funktionalen Denkens sehr ähnlich sind und das Spezifizieren unabhängiger und abhängiger Variablen sowohl für den Funktionsbegriff als auch für das Experimentieren zentral ist (Barzel & Ganter 2012; Ganter 2013). Außerdem kann es nur von Vorteil sein, wenn Schülerinnen und Schüler in konkreten Situationen experimentieren und im Rahmen realer Erfahrungen die Abhängigkeit zwischen Größen erkunden und erleben können, bevor der Funktionsbegriff algebraisch und symbolisch wird (Beckmann 2006). Im Rahmen meiner Dissertation konnte ich die positive Wirkung von Schülerexperimenten auf Lernmotivation und Lerneffekte im Mathematikunterricht der Hauptschule mithilfe einer Interventionsstudie empirisch belegen und zeigen, dass durch experimentelle Tätigkeiten der Graph-BildIrritation entgegengewirkt werden kann (Ganter 2013). Dies führte mich zu der Frage, ob Experimente zum Funktionalen Denken nicht auch schon in der Grundschule eingesetzt werden können, um Grundvorstellungen zu Funktionen schon früh aufzubauen. Nachdem die erprobten handlungsorientierten Experimente zum Funktionsbegriff besonders lernschwächere Hauptschülerinnen und Hauptschüler gefördert hatten, waren Bärbel Barzel und ich überzeugt, dass auch ein Einsatz in der Grundschule möglich und sinnvoll ist. Als ich bei einem Schulausflug mit einer 3. und 4. Grundschulklasse aus Baden-Württemberg im Experimentiermuseum „Le Vaisseau“ in Straßbourg auf mein Lieblingsexperiment „Ich bin eine Funktion“ traf und die Schülerinnen und Schüler mit großer Freude die

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Experimentell zum Funktionalen Denken – auch in der Grundschule?

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Zusammenhänge von Weg und Zeit erfolgreich intuitiv erforschten, veranlasste mich dies, Experimente endlich in meinen Grundschulmathematikunterricht zu integrieren, weil sie vielseitige Möglichkeiten bieten, Mathematik zu erforschen, zu entdecken und zu hinterfragen. Durch die experimentellen Aktivitäten werden auch Schülerinnen und Schüler der Grundschule bei der Entwicklung des Funktionalen Denkens unterstützt und haben die Chance, Mathematik mit Erfahrungen nachhaltig zu verbinden und Phänomene zu entdecken. In diesem Beitrag möchte ich über meine ersten eigenen positiven Erfahrungen aus der Grundschule berichten und Empfehlungen für zukünftige empirische Studien geben. Exemplarisch werden hier zwei Experimente „Geburtstagskerze“ und „Bewegung aufzeichnen“ vorgestellt, die sich auch als Einstieg in Funktionales Denken in der Grundschule eignen, da konkrete Erfahrungen zu Beziehungen zwischen Größen gesammelt werden können. Weitere Beispiele, Tipps und Ideen finden sich bei Barzel (2009), Beckmann (2006) und Ganter (2013) sowie auf Internetseiten (z. B. Sontag o. J.; HDKF o. J.). Der folgende Artikel lehnt sich an die eigene Veröffentlichung Barzel und Ganter (2010, 2012) und Ganter (2013) an und bezieht sich einerseits auf die Literaturrecherche und Forschungsergebnisse, die im Rahmen der Dissertation durchgeführt wurden und andererseits auf erste persönliche Unterrichtserfahrungen aus der Grundschule.

1.2

Potentielle Schwierigkeiten mit dem Funktionalen Denken

Eine Funktion ist im Grunde etwas ganz Einfaches, dennoch gehört der Funktionsbegriff bis heute noch immer zu den schwierigsten mathematischen Begriffen der Sekundarstufe, obwohl sich die Mathematikdidaktik schon seit langem um eine erfolgreiche Vermittlung des Funktionsbegriffs bemüht (Vollrath 1989; Höfer 2008). Viele Untersuchungen weisen darauf hin, dass der traditionelle, meist kalkülorientierte Mathematikunterricht im Bereich des Funktionalen Denkens zu einem eingeschränkten Verständnis von Funktionen führt (vgl. Ganter 2013). Für diese Misere werden unterschiedliche Gründe angeführt, z. B. • • • •

die Komplexität des Funktionsbegriffs mit seinen verschiedenen kognitiven Ebenen, welche nicht alle im Unterricht berücksichtigt werden, die nur beschränkte Nutzung unterschiedlicher Repräsentationen, die kognitive Aktivität, die sich in der üblichen Unterrichtsform eher auf das Nachvollziehen von Gedanken reduziert als auf aktives, genetisches Entwickeln neuer Themenaspekte, der hohe Stellenwert von Syntax und Kalkülorientierung (Formales), der oft losgelöst von inhaltlichen Vorstellungen ist.

Deshalb bleiben für viele Schülerinnen und Schüler Funktionen oft rein abstrakte Objekte, mit denen meist Formeln und Gleichungen, vielleicht noch Wertetabellen und Graphen, aber selten reale Zusammenhänge oder konkrete Handlungen assoziiert werden. Zahlreiche

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S. Ganter

Eigenschaften von Funktionen, wie z. B. die Eindeutigkeit der Zuordnungen, werden nicht verinnerlicht und nicht mit konkreten Vorstellungen verbunden. Des Weiteren führt die fehlende Verknüpfung mit realen Situationen und Zusammenhängen dazu, dass Graphiken nicht in ihrer Fülle gedeutet und Informationen vielfach unvollständig und nicht korrekt herausgelesen werden (Barzel 2009). Auftretende Fehlvorstellungen in diesem Bereich sind Skalierungsfehler, Verwechslung von Ordinatenwerten und Steigungen (Hadjidemetriou & Williams 2002) und der Graph-als-Bild-Fehler (Tinker & Mokros 1987; Clement 1989; Hoffkamp 2011; Ganter 2013; Klinger 2018). In der Literatur werden weitere Schwierigkeiten genannt, die hier nicht weiter aufgegriffen werden können, jedoch in der übersichtlichen Zusammenstellung von Hadjidemetriou und Williams (2002) zu finden sind. Beim Skalierungsfehler wird die Skalierung der Achsen oft nicht berücksichtigt, obwohl das für die Interpretation der Sachsituation ausschlaggebend ist. Auch ist häufig zu beobachten, dass Ordinatenwerte statt Steigungen betrachtet werden. Bei der sogenannten GraphBild-Irritation (Graph-als-Bild-Fehler) wird der Graph als fotografisches Abbild einer Realsituation missdeutet. Beispielsweise wird eine Ort-Zeit-Funktion eines Autos gerne fälschlich als Linkskurve angesehen (Schlöglhofer 2000). Spannenderweise wird bei einem ähnlich aussehenden Graphen, der das Wachstum einer Bakterienkultur (z. B. von Mikroorganismen) darstellt, in der Regel nicht missinterpretiert, weil Linkskurven im Kontext „Mikroorganismen“ keinen Sinn ergeben (Barzel & Ganter 2010). Über Schwierigkeiten von Schülerinnen und Schülern mit dem Funktionsbegriff und im Bereich des Funktionalen Denkens gibt es zahlreiche Studien und Arbeiten (Ganter 2013; Klinger 2018). Um den Gefahren der genannten Fehlvorstellungen zu begegnen, ist es wichtig, dass der Arbeit mit Funktionen als Modelle für Realsituationen genügend Raum gegeben wird. Es ist förderlich, wenn Schülerinnen und Schüler in konkreten Situationen, Experimenten und im Rahmen realer Erfahrungen die Abhängigkeiten zwischen Größen erleben und erkunden können, bevor der Funktionsbegriff algebraisch und symbolisch beschrieben wird. Die Förderung des Funktionalen Denkens bis hin zur Entwicklung zum „Denken in funktionalen Zusammenhängen“ beginnt nicht erst, wenn Funktionen in der Sekundarstufe systematisch betrachtet werden, sondern schon in der Grundschule. Hier können bereits erste Grundlagen für Funktionales Denken gelegt werden. Daher sollten zukünftig möglichst früh Lerngelegenheiten angeboten werden, in denen funktionale Zusammenhänge von den Schülerinnen und Schülern der Grundschule identifiziert und erkannt werden. Experimente in der Grundschule könnten hierfür ein gangbarer Weg sein.

1.3

Zentrale Aspekte des Funktionsbegriffs

Die relevanten Grundvorstellungen zu Funktionen bzw. zum Funktionalen Denken lassen sich mit folgenden zentralen Aspekten beschreiben (Vollrath 1989; Malle 2000), die sich in der deutschen didaktischen Forschung etabliert und bewährt und sich in ähnlicher Form international durchgesetzt haben (z. B. Sfard 1991; Dubinsky & Harel 1992).

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Experimentell zum Funktionalen Denken – auch in der Grundschule?

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1.3.1 Grundvorstellungen von Funktionen Zuordnungsaspekt Nach Vollrath (1989, S.  7) werden durch Funktionen Zusammenhänge zwischen Größen beschrieben oder gestiftet, d. h. „einer Größe ist dann eine andere zugeordnet, so daß die eine Größe als abhängig gesehen wird von der anderen. Dieser Aspekt betont also einerseits die eindeutige Zuordnung und andererseits die Abhängigkeit von Größen. Dies drückt sich in Schreibweisen wie x → y und y = f(x) aus. In senkrecht notierten Tabellen wird hiermit der ,waagerechte Zusammenhang' zwischen x und y angesprochen.“ Somit wird eine Funktion unter der Perspektive gesehen, dass jedem Wert eines Bereiches ein bestimmter anderer Wert zugeordnet wird. Der einfachen Zuordnung entspricht die Aufnahme von Einzeldaten, z. B. hat beim Experiment „Geburtstagskerze“ die Kerze zu einem bestimmten Zeitpunkt eine bestimmte Länge oder beim Experiment „Bewegungen aufzeichnen“ kann jedem Zeitpunkt eine Entfernung zum Gerät zugeordnet werden. Kovariationsaspekt (Änderungsverhalten) Nach Vollrath (1989, S.  12) wird durch Funktionen erfasst, „wie Änderungen einer Größe sich auf eine abhängige Größe auswirken. Dieser Aspekt drückt sich in Beziehungen aus wie: Je größer x wird, desto größer wird y. Bei der Darstellung einer Funktion durch eine senkrechte Tabelle interessiert man sich damit auch für ‚senkrechte Zusammenhänge‘“. Somit wird eine Funktion unter der Perspektive des gemeinsamen Änderungsverhaltens zweier Werte betrachtet. So wurde bspw. in meiner Studie viel Wert daraufgelegt, dass verschiedene Daten einer Messreihe verbunden und in einer Tabelle und in einem Graphen präsentiert werden, um eine funktionale Beziehung zu finden. Der Aspekt der kontinuierlichen Kovariation wird z. B. beim Experiment „Bewegung aufzeichnen“ bei der Beobachtung der veränderten Laufgeschwindigkeiten bewusst erlebt. Aber auch im Kerzenexperiment wird der Kovariationsaspekt durch die Zwischenvermutung „Wie könnte die Messreihe weitergehen?“ angeregt. Objektaspekt (Sicht als Ganzes) Nach Vollrath (1989) wird ein gegebener oder erzeugter Zusammenhang als Ganzes mit Funktionen betrachtet. Dabei werden nicht nur einzelne Wertepaare, sondern die Menge aller Wertepaare bzw. die Zuordnung als neues Objekt betrachtet. In diesem Sinne wird eine Funktion mit ihren Eigenschaften zu einem neuen Objekt gekapselt, mit dem weitere Manipulationen ausgeführt werden können (Sierpinska 1992). Die funktionale Beziehung wird als Ganzes erlebt und durch einen charakteristischen Graphen, durch eine Tabelle, symbolisch als Term oder Funktionsname sowie durch eine Situation beschrieben und für Voraussagen benutzt (Barzel & Ganter 2010, 2012; Ganter 2013). Für das Einsteigen ins Funktionale Denken sind vor allem der Zuordnungs- und Kovariationsaspekt von zentraler Bedeutung, und es können beim Einstieg in das Experimentieren bzw. in das Funktionale Denken allenfalls erste Erfahrungen zum Objektaspekt gesammelt werden. Mit der Unterscheidung der genannten drei Aspekte können die

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S. Ganter

verschiedenen Ebenen beim Lernprozess zum Funktionalen Denken besser erfasst werden. Der Blick wird für die didaktische Erforschung pointierter, auch wenn diese Aufteilung doch eher theoretischer Natur ist. Denn die drei Aspekte hängen eng zusammen: Bei funktionalen Zusammenhängen treten immer alle Aspekte auf, auch wenn jeweils die Schwerpunkte differieren können. Zusammenfassend lässt sich feststellen, dass ohne die Ausbildung dieser Grundvorstellungen den Schülerinnen und Schülern das Fundament für einen flexiblen, problemlösenden Umgang mit funktionalen Zusammenhängen fehlen wird. Grundvorstellungen vermitteln zwischen Mathematik und Realität und dienen oft als mentales Modell für mathematische Begriffsbildung (Duval 2002). Neben diesen Grundvorstellungen spielen für die Entwicklung von Funktionalem Denken auch die verschiedenen Gesichter der Funktionen eine bedeutsame Rolle (Barzel et al. 2005).

1.3.2 Darstellungsformen von Funktionen Die Gesichter von Funktionen bezeichnen die Darstellungsform von Funktionen (vgl. Barzel et al. 2005). Sie lassen sich situativ-verbal, mithilfe von Graphen, mit Funktionstermen oder mit Tabellen beschreiben (Vollrath 1994). Neben der Ausbildung von verschiedenen Grundvorstellungen ist für die flexible Nutzung von Funktionen von großer Bedeutung, dass man die verschiedenen Darstellungen einer Funktion kennt und diese variabel einsetzen kann (Swan 1986; Barzel et al. 2005). Die erfolgreiche Interpretation, Verwendung und Manipulation dieser unterschiedlichen Repräsentationen eines Objektes wird als Gelingensbedingung von mathematischer Begriffsbildung verstanden (Duval 2002). Entscheidend hierfür ist insbesondere die Fähigkeit, zwischen den verschiedenen Darstellungsformen funktionaler Zusammenhänge flexibel zu wechseln und sie, je nach Problem und Situation, adäquat zu nutzen (Leuders & Prediger 2005).

1.4

Mathematisches Experimentieren in der Grundschule fördert die Entwicklung des Funktionalen Denkens

Das Experimentieren zählt zu den fundamentalen Denk- und Arbeitsweisen in den Naturwissenschaften und ist eine wichtige Methode des Erkenntnisgewinns, die sich auch beim Mathematiklernen in der Grundschule einsetzen lässt, da es viele Parallelen zwischen mathematischem und naturwissenschaftlichem Experimentieren gibt. Auch in der Mathematik sind für den Erkenntnisgewinn Kernaspekte wie Entdecken und Begründen zentral. Besonders das reale mathematische Experimentieren ist dem naturwissenschaftlichen Experimentieren durch seinen konkreten Realitätsbezug sehr nah. Zudem gibt es viele Analogien zwischen mathematischen und experimentellen Tätigkeiten, die sich vor allem auch beim Funktionalen Denken explizieren lassen, denn sowohl für das

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Experimentell zum Funktionalen Denken – auch in der Grundschule?

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Funktionale Denken als auch für das Experimentieren ist das Spezifizieren von unabhängigen und abhängigen Variablen zentral. Die Gemeinsamkeit von Funktionalem Denken und Experimentieren geht aber noch über die unabhängige Variable und abhängige Variable hinaus. Deshalb bieten sich reale mathematische Schülerexperimente im Hinblick auf das selbstständige Lernen und das eigenständige Erkunden von mathematischen Zusammenhängen an. Die Schülerinnen und Schüler lernen das Aufstellen eigener Fragestellungen und Hypothesen zu mathematischen Sachverhalten und überprüfen diese experimentell. Es können neue Zugänge und Beispiele gefunden und neue Zusammenhänge erfahren werden. Die Schülerinnen und Schüler lernen, genau zu beobachten und erhalten eine unmittelbare Rückmeldung, welche die aufgestellten Hypothesen stützt oder schwächt. Beim gemeinsamen Experimentieren wird argumentiert und diskutiert, v. a. wenn Hypothesen und Strategien ausgehandelt werden. Gleichzeitig kommen naturwissenschaftliche Arbeitsweisen zur Anwendung: In authentischen Kontexten lernen die Schülerinnen und Schüler Messungen durchzuführen, Daten zu erheben und angemessen darzustellen sowie Berechnungen durchzuführen und zu überprüfen. Experimentelle und mathematische Tätigkeiten sind sich also sehr ähnlich, teilweise sogar identisch und überschneiden sich in vielen Bereichen. Dabei ist das Experimentieren in der Mathematik sowie in den Naturwissenschaften in der Regel zyklisch, da je nach Ergebnis weitere experimentelle Untersuchungen folgen können, die zum Beispiel neue Hypothesen untersuchen und dabei verschiedene Experimentierphasen zyklisch durchlaufen werden (Ganter 2013). Der Funktionsbegriff ist nicht nur einer der wichtigsten Begriffe in der Mathematik, er spielt auch im alltäglichen Leben – wie auch das Funktionale Denken – eine wichtige Rolle. So können, z. B. viele Abhängigkeiten und insbesondere zeitliche Abläufe, wie etwa Bewegungen, Temperaturverläufe oder wirtschaftliche Entwicklungen durch Funktionen beschrieben werden. Die Entwicklung des Funktionalen Denkens ist ein langer Prozess, der über Jahre hinweg kontinuierlich angelegt werden sollte und nicht erst in der Sekundarstufe, sondern schon in der Grundschule beginnt. Bereits vor der Einschulung und während der Grundschulzeit werden Funktionale Zusammenhänge in Situationen intuitiv erlebt. Diese Erfahrungen sollten genutzt werden, wenn aus den Bildungsplänen der Grundschule der stark verankerte Themenbereich „Größen und Messen“ behandelt wird. Die Schülerinnen und Schüler lernen hier Größen wie Zeit, Weg, Gewicht (Masse), Preis, Länge kennen und wenden die Darstellungsformen Tabelle und Diagramm an. Dennoch werden Größen in der Regel eher unabhängig voneinander betrachtet, obwohl auch in der Grundschule für die mathematische Begriffsbildung das Betrachten von Zusammenhängen zwischen den Größen wünschenswert wäre. Eine Chance bietet hierbei das Sachrechnen, weil häufig eine Größe (z. B. Zeit) mit einer zweiten Größe (z. B. Länge) zusammenhängt oder inhaltlich sogar in Abhängigkeit steht. Besonders häufig treten proportionale Zuordnungen im Alltag und in der Grundschule (z. B. Menge und Kosten) auf, während nicht-proportionale Zuordnungen häufig vernachlässigt werden. Um aber den oben genannten Fehlvorstellungen (z. B. Graph-Bild-Irritation) entgegenwirken zu können, ist es wichtig, auch nicht-proportionale Zuordnungen in realen Sachsituationen im Unterricht

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zu berücksichtigen (Büchter 2011). Denn für das Verstehen des Funktionsbegriffs ist die reale Welt sehr bedeutsam, weshalb es nahe liegt, durch Modelle und Experimente aus der realen Welt den Erwerb des Funktionsbegriffs zu unterstützen (Vollrath 1978; Dubinsky & Harel 1992; Michelsen & Beckmann 2007). Ein mögliches Experiment wäre hier das Experiment „Gefäße füllen – Form und Inhalt von Gefäßen“ aus Ganter (2013), welches etwas abgewandelt mithilfe der Praxisanregungen der Stiftung „Haus der kleinen Forscher“ in der Grundschule durchgeführt wurde (HDKF o. J). Generell ist Funktionales Denken aber nicht nur auf das Sachrechnen begrenzt, sondern auch in der Arithmetik oder Geometrie möglich (Jansen 2008; Ganter 2013). „Mathematik mit allen Sinnen erfahren!“ ist eine Idee, Mathematik aus einem zu engen Korsett des Abstrakten, Formalen, Algebraischen zu befreien und sie durch konkrete Erfahrungen zugänglicher und verständlicher zu machen. Der spätere Zugang zum mathematischen abstrakten Modell soll über den Weg der Auseinandersetzung mit konkreten Phänomenen erleichtert werden. Experimente bieten die Chance, die verschiedenen Funktionsaspekte und Grundvorstellungen einer Funktion vernetzt zu erleben und wahrzunehmen und mit bestimmten Handlungen in Verbindung zu bringen (Barzel 2009). Barzel (2009) und Beckmann (2007) betonen, dass hinsichtlich der Entwicklung des Funktionalen Denkens genau diese kognitiven Tätigkeiten beim Experimentieren zu den verschiedenen fachdidaktisch geforderten Funktionsaspekten und Grundvorstellungen führen. „Beim Experimentieren untersuchen Schülerinnen und Schüler mathematische Objekte beziehungsweise Zusammenhänge oder reale Phänomene mit Blick auf eine vorgegebene oder erarbeitete Fragestellung. Dabei planen sie die Untersuchung so, dass sie aufgrund von Beobachtungen Vermutungen aufstellen, konkretisieren oder schon überprüfen können.“ (Barzel et al. 2007, S. 70)

In diesem Sinne bietet das Experimentieren den Rahmen, die genannten Phänomene, die Vollrath (1989) für die Entwicklung des Funktionalen Denkens für wichtig erachtet, praktisch im Unterricht zu realisieren, weil Beziehungen zwischen Größen, die funktional beschrieben werden können, durch eigene Erfahrungen aus dem Alltagsleben erfasst werden können. Somit eignen sich Experimente zur Einführung in das Funktionale Denken. Aber auch die Mathematik kann ihren Beitrag leisten, wenn es um die Einführung in die Methode des Experimentierens geht. Für den Einstieg in das mathematische Experimentieren in der Grundschule bieten sich vor allem Messungen an, weil z. B. Messdaten aus dem Alltag oder Sachunterricht (Temperaturdaten, Wachstumsdaten tabellarisch oder als Liniendiagramm dargestellt) genutzt werden können, um Beziehungen zwischen Größen, die funktional beschrieben werden können, konkret zu beobachten, zu erkennen, zu erfahren und nachzuvollziehen. Diese funktionalen Beziehungen erfordern sowohl eine Betrachtung einzelner Werte (Zuordnungsaspekt einer Funktion) als auch die Betrachtung der Veränderung (Kovariationsaspekt einer Funktion). Beide Sichtweisen, statisch und dynamisch, sind wichtig, um

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Experimentell zum Funktionalen Denken – auch in der Grundschule?

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die Bedeutung einer Funktion zu erfassen. Somit können die Schülerinnen und Schüler das Spezifische von verschiedenen Funktionstypen in realen Kontexten erleben und kennenlernen.

1.5

Zwei Experimente zur Anbahnung Funktionalen Denkens

Beim Einstieg in das Funktionale Denken geht es zunächst um einen phänomenologischen Zugang, erst später werden die Phänomene und gesammelten Erfahrungen mit entsprechenden Fachbegriffen in Verbindung gebracht, um eine Grundlage für das funktionale Denken zu schaffen. Wichtige Ideen sind dabei das gleichmäßige Wachsen bzw. eine konstante Änderungsrate einer Größe sowie die Steigung der Geraden, und außerdem der unterschiedliche Anfangs- oder Startwert einer Geraden (y-Achsenabschnitt). Wegen der Parallelitäten in den kognitiven Aktivitäten beim Funktionalen Denken und beim Experimentieren werden im Folgenden zwei Realexperimente exemplarisch vorgestellt, welche die Entwicklung der Grundvorstellungen des Funktionalen Denkens begünstigen und fördern sollen.

1.5.1

Experiment Geburtstagskerze: Wie lange brennt die Kerze?

Der Einstieg in das Funktionale Denken fand in Klasse 3 und 4 mit einem Demonstrationsexperiment statt, dem Kerzenexperiment (s. Abb. 1.1). Die Höhe einer kleinen Geburtstagskerze wurde nach bestimmten Zeiteinheiten gemessen und die Vermutungen im Klassenverbund besprochen. Einerseits stand im Mittelpunkt das Kennenlernen einer Situation, die durch eine lineare Funktion beschrieben werden kann, anderseits war auch das Kennenlernen der Arbeitsweisen und das Verinnerlichen unterschiedlicher Experimentierphasen hier Hauptanliegen. Dies war vor allem wichtig, weil dies das erste Mal war, dass in der Grundschule im Mathematikunterricht an Stationen experimentiert und protokolliert wurde. Die Schritte des Experimentierens Vermuten, Planen (Vorgehen), Durchführen (Messwerte erheben), Auswerten der Ergebnisse wurden eingeführt und anhand eines Protokollbogens explizit besprochen und bearbeitet. Diese Vorübung war wichtig, da den Schülerinnen und Schülern erfahrungsgemäß das Verschriftlichen individueller Gedanken schwerfällt. Somit sollte ihnen das Protokollieren erleichtert werden. Der Protokollbogen half beim Experimentieren, eigene Gedankengänge zu verschriftlichen, den individuellen Bearbeitungsprozess zu reflektieren und sich so intensiv mit der Thematik auseinanderzusetzen (Gallin & Ruf 1991). Ziel war, das Erfahren von kontinuierlicher Veränderung mit konstanter Änderungsrate und klar bestimmbarem Anfangswert. Die Schülerinnen und Schüler bestimmten im Klassenplenum die Höhe einer abbrennenden Kerze vor dem Entzünden und in bestimmten

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Zeitabständen. Sie erfassten im angeleiteten Klassengespräch die Messwerte tabellarisch und graphisch und wurden dann gebeten, die Höhe nach einer bestimmten Brenndauer zu prognostizieren, um zu beschreiben, wie die Messreihe weitergehen könnte. Abb. 1.1 Experiment Geburtstagskerze

Übergeordnete Ziele waren das Kennenlernen der wissenschaftlichen Arbeitsweise des Experimentierens (u. a. Messen, Bedeutung von Messfehlern, abhängige und unabhängige Variable, Protokoll führen) sowie das Reden über Mathematik, da Ideen ausgetauscht, Lösungswege besprochen, Irrwege überdacht sowie Vor- und Nachteile in der Gruppe abwogen werden sollen.

1.5.2 Experiment Bewegung aufzeichnen: Wie sieht der Graph zu meiner Bewegung aus? Um Funktionen zu beschreiben, gibt es viele Möglichkeiten. Beispielsweise kann man einen Funktionsterm bestimmen, eine Wertetabelle aufstellen oder ein Pfeildiagramm zeichnen (vgl. Abschn. 1.3.2). Die übersichtlichste Darstellung ist aber meist ein Funktionsgraph. Er öffnet den Blick für die Funktion als Ganzes. Jedoch entsteht oft bei dieser Veranschaulichung das Problem, dass die Verbindung zum eigentlichen Sachverhalt aus dem Blick gerät. Hier setzt das Experiment „Bewegung aufzeichnen“ an. Für das Experiment benötigt man entweder einen Taschenrechner oder einen PC, an den ein Bewegungsmessgerät angeschlossen werden kann. Mithilfe einer Projektionsmöglichkeit oder eines Bildschirms kann die Person, deren Bewegung aufgezeichnet wird, die Erzeugung des Graphen mitverfolgen. Zu Beginn sollten sich die Schülerinnen und Schüler zunächst in Kleingruppen mit dem Gerät vertraut machen, ihre Bewegungen aufzeichnen lassen, sodass jeder einmal einen „Graphen gehen“ konnte. Im Anschluss sollten die Schülerinnen und Schüler gemeinsam überlegen und planen, wie man gehen muss, um bestimmte Graphen zu erzeugen, etwa die von anderen „gelaufenen“ Graphen zu replizieren. Denn um den Graphen erfolgreich nachzulaufen ist es hilfreich, sich einige Eigenschaften der Funktion klarzumachen. Folgende Fragen könnten sie sich stellen:

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Wo ist der Startpunkt? Durch den y-Achsenabschnitt des Graphen wird die Entfernung angegeben, wo gestartet werden muss. Welche Größen sind auf welcher Achse eingetragen? Wie groß sind die Einheiten der Achsen? Auf der x-Achse ist die Zeit in Sekunden und auf der y-Achse in Metern abgetragen. Wohin muss ich laufen? Bei einem ansteigenden Kurvenabschnitt muss man sich vom Abstandsmesser entfernen, bei einem abfallenden annähern, und bei einem waagerechten Abschnitt des Graphen muss man stehen bleiben. Wie schnell muss ich laufen? Die Geschwindigkeit wird durch die Steigung des Funktionsgraphen vorgegeben. Je steiler der Graph desto schneller muss man laufen, je flacher der Graph ist umso langsamer.

• • •

In diesem Experiment werden sowohl statische wie auch dynamische Sichtweisen vernetzt. Am Graphen sollen markante Punkte interpretiert werden, gleichzeitig soll aber auch der Verlauf stets im Blick behalten werden. In den Fokus wird hier ebenso das Geschehen als Ganzes genommen, da die Messung nach einer bestimmten Zeit abbricht und der Graph als Ganzes angezeigt wird. Im Unterschied zu anderen Experimenten wird hier nicht die Bewegung eines Objektes beobachtet und aufgenommen, sondern die eigene Bewegung. Dies bedeutet eine wichtige zusätzliche Erfahrung, weshalb sich der technische Aufwand bei diesem Experiment in jedem Fall lohnt. Häufig sind solche Messgeräte sowieso in den Physiksammlungen einer Schule vorhanden oder können von anderen weiterführenden Schulen ausgeliehen werden. Wegen dieses ausgeprägten „Selbsterfahrungscharakters“ ist dieses Experiment wohl auch als Exponat unter dem Namen „Ich bin eine Funktion“ im Mitmachmuseum „Le Vaisseau“ in Straßburg sowie in der Mathematikausstellung in Gießen aufgenommen worden (s. Abb. 1.2). Hier gibt es die besondere Möglichkeit, Mathematik „am eigenen Leib“ und durch unmittelbares Interagieren zu erleben, während man ihr sonst nur über das Sehen oder über das Agieren mit Objekten begegnet. Das direkte Feedback ist beim Experiment wesentlich, da die eigene Bewegung direkt als Graph dargestellt wird – also Absicht und Ergebnis direkt aufeinandertreffen. Somit haben die Schülerinnen und Schüler hier die Möglichkeit, die Bewegung in Abhängigkeit von der Zeit betrachten zu können.

Abb. 1.2 Experiment Bewegungen aufzeichnen im „Le Vaisseau“ in Straßburg

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Im Vordergrund steht beim Einsatz in der Grundschule beim „Vertraut-werden mit dem Gerät“ das Interpretieren der eigenen Bewegung anhand des Graphen – es geht also um eine Rückschau auf die getätigte Bewegung. Beim Versuch, vorgegebene Graphen durch gezielte Bewegungen zu erzeugen, handelt es sich um eine Vorschau, da die Graphen hinsichtlich möglicher Bewegung interpretiert werden sollen. Beide Sichtweisen sind wichtig, um die Wechselbeziehung zu erfassen und die wichtige Fähigkeit, einen Graphen zu erstellen und zu interpretieren, auf spielerische, experimentelle Art und Weise intuitiv zu schulen.

1.5.3 Erfahrungen mit der Durchführung Die beiden vorgestellten Experimente wurden in einer früheren Studie (Ganter 2013) bereits im Kontext Hauptschule umfassend evaluiert und nun für den Kontext Grundschule adaptiert. Zur Einführung in das Funktionale Denken im Unterricht in der Grundschule wurden sie in den Klassen 3 und 4 eingesetzt. Dabei wurden die Experimente unter Anleitung hintereinander als einzelne Experimente innerhalb einer Mathematikdoppelstunde, z. B. in Partner- oder Gruppenarbeit durchgeführt, weil dies so im Fachunterricht leichter zu organisieren war. Die Experimente waren aufgrund der unkomplizierten, bereits sorgfältig ausgearbeiteten, Materialien, des einfachen Aufbaus mit geringem Aufwand umsetzbar. Als Ergänzung zum Experimentieren im Fachunterricht wurden im Rahmen einer Exkursion im Le Vaisseau in Straßburg einige mathematische Exponate ausprobiert und im Anschluss im Fachunterricht rückwirkend analysiert. Zu jedem Experiment gab es ein Arbeitsblatt, auf dem das Experiment beschrieben wurde, sowie einen Protokollbogen zum Notieren der Hypothesen und Beobachtungen (s. Abb. 1.1). Um Schwierigkeiten beim Protokollieren von Ergebnissen und Beobachtungen zu vermeiden, wurde als Einstieg in das Experimentieren ein Demonstrationsexperiment (Wie schnell brennt die Kerze ab?) im Klassenverbund zentral vorgeführt. Hierbei wurden das Vorgehen und das Ausfüllen der Protokollbögen besprochen und geübt. Anschließend führten die Schülerinnen und Schüler die beiden Experimente in Teams (Partner- oder Gruppenarbeit) hintereinander durch. Nach Abschluss der Einheit präsentierte jedes Team ein Experiment seiner Wahl als Poster im Klassenplenum. Dabei konnte es vorkommen, dass es mehrere Posterpräsentationen zu einem Experiment gab. Die anderen Schülerinnen und Schüler gaben dazu Rückmeldungen und konnten gegebenenfalls ergänzen. Die gewonnenen Erkenntnisse und Erfahrungen wurden im Plenum zusammengetragen, gemeinsam ausgewertet und reflektiert. Diese Kommunikation über das Experiment und die Zusammenhänge mit dem Alltag haben sich als sehr förderlich für die Begriffsbildung herausgestellt. Es zeigte sich bei den Experimenten große Neugierde und Forschungseifer. Alle Gruppen diskutierten viel, probierten ernsthaft aus und waren stolz, einiges herausgefunden zu haben. Obwohl das Lesen, Aufschreiben und Protokollieren der eigenen Erfahrungen sehr mühsam war und noch große Schwierigkeiten bereitete, wurden doch Erlebnisse und Erfahrungen wiedergegeben, mathematische Begründungen stichhaltig formuliert und somit das eigene Regelwerk erweitert. Man bemühte sich, die Phänomene der Experimente zu

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verstehen und nach Erklärungen zu suchen: „Warum ist das denn so?“ „Ach so, das ist immer so, wenn …“ Dabei wurden auch Grenzfälle betrachtet: „Was ist, wenn ich noch schneller gehe … ?“, „Was passiert, wenn ich hüpfe bzw. herausspringe?“. Hilfreich dabei waren die vorstrukturierten Protokollbögen (vgl. Abb. 1.1), um die Hypothesen, Ideen, Vorgehensweisen, Argumente und Kommentare und Ergebnisse samt Interpretation aufzunehmen.

1.6

Fazit

Experimentieren als Zugang zum Funktionalen Denken lohnt sich auch in der Grundschule. Es wurden in der Erprobung viele Lernprozesse und eigenständige Gedanken zu Abhängigkeiten zwischen Größen ausgelöst und dabei viel kommuniziert, argumentiert und modelliert. Es zeigte sich, dass trotz großer Schwierigkeiten beim Protokollieren nach längerer Zeit die Schülerinnen und Schüler immer noch in der Lage waren, die Versuche mit den jeweiligen Lerninhalten in Verbindung zu bringen und vor allem tabellarische und graphische Zusammenhänge vielfältig zu deuten. Die Ergebnisse und ersten Erfahrungen aus der Grundschule deuten darauf hin, dass Experimente auch in der Grundschule eine positive Wirkung auf die Entwicklung des Funktionalen Denkens und Lernmotivation haben können. Deshalb wäre eine empirische Untersuchung in der Grundschule zur Beurteilung der Wirkung von mathematischen Experimenten auf Lern- und Motivationseffekte im größeren Rahmen wünschenswert. Es ist zu empfehlen, weitere Experimente, die für den Zugang zum Funktionalen Denken Relevanz haben, zu sichten und zu klassifizieren und im Rahmen einer pädagogischen Interventionsstudie eine theoriebasierte und empiriegestützte wissenschaftliche Unterrichtseinheit für die Grundschule zu entwickeln, um die Wirkung der Integration von Experimenten in den Begriffsbildungsprozess in dieser Zielgruppe untersuchen zu können.

1.7

Zum Abschluss

Liebe Bärbel, es gibt vieles, was uns verbindet – die Vergangenheit an der Pädagogischen Hochschule Freiburg, Projekte wie ExMNU und KOSIMA, die Leidenschaft für die Fachdidaktik und Lehre, die Freude am Unterrichten, an der Musik, am Tanzen und vieles mehr. Als deine erste Doktorandin möchte ich mich für die vielen interessanten Diskussionen und Anregungen, die mich in meinem wissenschaftlichen Denken auf neue Wege geführt haben, von Herzen bedanken. Danke auch für die sehr gute Zusammenarbeit und die fachliche sowie persönliche Unterstützung während meiner Doktorarbeit. In der mathematikdidaktischen Landschaft bist du auf vielen Ebenen aktiv. Es ist dir und uns zu wünschen, dass das noch lange so bleibt. Wir bleiben im Kontakt.

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Fermi-Aufgaben in Vergleichsarbeiten in Klasse 8 – Kriterien und Ergebnisse

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Gilbert Greefrath

Zusammenfassung

Auf Basis theoretischer Überlegungen sowie in der Literatur häufig genannter zentraler Eigenschaften und Kriterien für Modellierungsaufgaben wird ein Kriterienkatalog zur Entwicklung und Evaluation von Testaufgaben mit Realitätsbezug entwickelt. Diese Kriterien werden speziell auf Fermi-Aufgaben in Tests angewendet, konkret werden Aufgaben aus Vergleichsarbeiten in Klasse 8 (VERA 8) ausgewählt. Auf dieser Basis werden Unterschiede und Gemeinsamkeiten von Fermi-Aufgaben in Vergleichsarbeiten herausgearbeitet und vor dem Hintergrund der jeweiligen Itemschwierigkeit diskutiert. Die untersuchten Fermi-Aufgaben zeigen einerseits eine gewisse Homogenität als bestimmte Modellierungsaufgaben. Andererseits zeigt sich auch eine große Bandbreite bezüglich der Itemschwierigkeit, die möglicherweise mit der Anzahl der für die Lösung erforderlichen Größen zusammenhängt. Fermi-Aufgaben können ein großes Leistungsspektrum abdecken und stellen eine gute Möglichkeit dar, authentische Situationen in Testaufgaben zu berücksichtigen.

Gilbert Greefrath * WWU Münster Münster, Deutschland E-Mail: [email protected]

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2019 A. Büchter et al. (Hrsg.), Vielfältige Zugänge zum Mathematikunterricht, https://doi.org/10.1007/978-3-658-24292-3_2

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G. Greefrath

2.1 Einführung In Deutschland gibt es seit 2006 eine Gesamtstrategie der Kultusministerkonferenz zum Bildungsmonitoring. Sie dient dazu, die Kompetenzorientierung im Bildungssystem zu stärken. Neben verschiedenen Schulleistungsstudien gibt es im Fach Mathematik auch Vergleichsarbeiten (VERA). Diese Tests, werden u. A. in den achten Klassen aller allgemeinbildenden Schulen durchgeführt und untersuchen, welche Kompetenzen Schülerinnen und Schüler zu einem bestimmten Zeitpunkt erreicht haben. Dabei wird auch die allgemeine Kompetenz Modellieren in den Blick genommen. Die Gestaltung von Testaufgaben mit Anwendungsbezug ist eine besondere Herausforderung, wenn nicht nur eingekleidete Aufgaben, sondern offene authentische Aufgaben verwendet werden sollen, die Diagnose ermöglichen. Hier ist insbesondere der Einfluss von zentralen Testaufgaben auf die Verwendung von Aufgaben im Unterricht zu beachten. In jedem Fall sollten außermathematische Kontexte und zugehörige Fragestellungen auch in Tests stimmig, grundsätzlich glaubwürdig und den Lernenden bekannt sein. Nur so ist sichergestellt, dass Lernende die Kontexte und die Verwendung von Mathematik in diesen Kontexten ernst nehmen und als sinnvoll betrachten. Ein Ansatz für die Entwicklung solcher Testaufgaben ist die Verwendung von Fermi-Fragen bzw. Fermi-Aufgaben. Nach einem Blick auf Aufgaben in Tests und Fermi-Aufgaben werden Kriterien für Fermi-Aufgaben in Tests entwickelt, die anschließend auf Fermi-Aufgaben aus Vergleichsarbeiten angewendet und diskutiert werden.

2.2

Aufgaben in Tests

Aufgaben unterscheiden sich häufig abhängig vom Zweck, für den sie erstellt worden sind. Es gibt eher offene Aufgabenformate, die für den Lernprozess erstellt worden sind. Hier werden meist nicht genau die erforderlichen Informationen zur Lösung vorgegeben, und die Schülerinnen und Schüler sollen zunächst eigenständig auswählen und recherchieren. Sind Aufgaben für eine Klassenarbeit oder für einen Test konzipiert, so kann der Fokus auf möglichst eindeutigen und einfachen Korrekturmöglichkeiten liegen. Ein Ziel ist dann die genaue und zuverlässige Feststellung der Leistung der Lernenden. Bei der individuellen Diagnose dagegen liegen die Interessen von Lehrerinnen und Lehrern im Auffinden von Schwächen und Stärken der Lernenden mit dem Ziel der individuellen Förderung. Diagnoseaufgaben haben insbesondere das Ziel herauszufinden, was Schülerinnen und Schüler bereits können (Scherer 1999, S. 170). Für die Diagnose sollten Aufgaben für die Lehrerinnen und Lehrer besonders informativ sein und beispielsweise ausreichend Möglichkeiten und Anreize für individuelle Erläuterungen und ausführliche Begründungen sowie Nebenrechnungen zur Verfügung stehen. So können etwa Aufgaben durch Variationen von Formulierungen, durch die Veränderung der Darstellungsform oder durch die Aufforderung, die Vorgehensweise zu erklären, für die Lehrerinnen und Lehrer

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Fermi-Aufgaben in Vergleichsarbeiten in Klasse 8

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informativ werden und so eine individuelle Diagnose ermöglichen. Dabei ist es stets das Ziel, dass die Schülerinnen und Schüler in möglichst hohem Maße Eigenproduktionen erzeugen und auf diese Weise nicht nur deutlich wird, ob eine Schülerin oder ein Schüler eine Aufgabe gelöst hat, sondern auch, an welcher Stelle und auf welchem Niveau Schwierigkeiten aufgetreten sind (Sundermann & Selter 2006, S. 79ff.; Leuders 2006). Eine Möglichkeit, solche Eigenproduktionen zu motivieren, ist der Einsatz von Aufgaben, die mit authentischem Material arbeiten und auffordern, vorhandene Widersprüche oder Fehler zu finden und richtig zu stellen. Des Weiteren sollten Diagnoseaufgaben im Hinblick auf die zu untersuchende Kompetenz oder Teilkompetenz valide sein und diese nicht mit anderen Aspekten vermischen (Büchter & Leuders 2005, S. 173; Abel et al. 2006). Insbesondere die Gestaltung von Testaufgaben mit Anwendungsbezug ist problematisch, wenn nicht nur eingekleidete Aufgaben, sondern offene authentische Aufgaben verwendet werden sollen, die Diagnose ermöglichen. Die vielfältigen Anforderungen an Testaufgaben führen in Aufgaben mit Anwendungssituationen und Modellierungen zu besonderen Herausforderungen, die häufig zu eingekleideten Sachaufgaben statt echten Anwendungen in Prüfungen führen. Diese Problematik kann z. B. so gelöst werden können, dass Anwendungssituationen in Testaufgaben nur vorkommen, soweit sie einen authentischen Mathematikgebrauch darstellen oder wenn sie Vorteile bei der Problemerschließung bieten. Aufgaben für die Prüfung werden in der Regel kleinschrittiger aufgebaut sein als Aufgaben für den Unterricht. Daher ist es schwierig, wirklich authentische Anwendungen in Testaufgaben zu verwenden. Insofern werden meist nur Teilschritte des Modellierungskreislaufs in Testaufgaben aufgenommen. In jedem Fall sollten außermathematische Kontexte und zugehörige Fragestellungen auch in Tests stimmig, grundsätzlich glaubwürdig und den Lernenden bekannt sein. Der Aufwand durch das Lesen des Aufgabentextes sollte in einem angemessenen Verhältnis zum Aufwand beim Modellieren und beim mathematischen Arbeiten stehen. Im Unterricht kann hingegen das volle Spektrum von Kompetenzen und Teilkompetenzen des Modellierens auf allen Anforderungsbereichen behandelt werden, auch umfassende Modellierungsprozesse (Kaiser & Leuders 2016).

2.3 Fermi-Aufgaben Fermi-Aufgaben können als bestimmte Modellierungsaufgaben charakterisiert werden (Kaiser & Stender 2016). Zur Förderung der Modellierungskompetenz können auch Fermi-Aufgaben in Unterricht und Tests verwendet werden. Fermi-Aufgaben sind unterbestimmte offene Aufgaben mit klarem Endzustand aber unklarem Anfangszustand sowie unklarer Transformation, bei denen die Datenbeschaffung – meist durch mehrfaches Schätzen – im Vordergrund steht. Sie gehen auf den Kernphysiker und Nobelpreisträger Enrico Fermi (1901-1954) zurück. Er war für schnelle Abschätzungen von Problemen bekannt, für die praktisch keine Daten vorliegen.

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G. Greefrath

Das klassische Beispiel für eine Fermi-Aufgabe ist die Frage nach der Zahl der Klavierstimmer in Chicago. Hier liegen zunächst keine Informationen vor. Man kann aber die Größenordnung schrittweise durch sinnvolle Annahmen über die Einwohner von Chicago, die Größe eines Haushalts, den Anteil von Haushalten mit Klavier, den Zeitraum zwischen zwei Klavierstimmungen, die Dauer des Klavierstimmens und das Arbeitspensum eines Klavierstimmers auf etwa 100 schätzen und so die Frage sinnvoll beantworten. Die Antwort wird also durch geeignete Auswahl und sinnvolles Schätzen von Zwischenangaben bestimmt. Fermi-Aufgaben zeichnen sich außer durch ihre Offenheit auch durch Realitätsbezug und eine besondere Zugänglichkeit aus. Sie sind herausfordernd und können nicht nur weitere Fragen, sondern auch die Verwendung von Mathematik in der Welt anregen. Der Begriff Fermi-Aufgaben wird auch im weiteren Sinne für offene Aufgaben verwendet, bei denen die Aufgabenstellung nur aus einer Frage oder wenigen Informationen sowie ggf. einer Abbildung besteht. Wir bezeichnen Fermi-Aufgaben wie die Frage nach der Zahl der Klavierstimmer in Chicago, die ohne eine Abbildung und durch Schätzen von Zwischenangaben gelöst werden, als Fermi-Aufgaben im ursprünglichen Sinne. Beim Einsatz von Fermi-Aufgaben im Mathematikunterricht steht weniger das Rechnen im Vordergrund als die anderen Schritte im Modellierungskreislauf wie das Vereinfachen und das Validieren. Speziell der Umgang mit Ungenauigkeit, der häufig keinen großen Raum im Mathematikunterricht einnimmt, kann mit Hilfe von Fermi-Aufgaben thematisiert werden. So werden durch eine Fermi-Aufgabe im ursprünglichen Sinne das Schätzen und die Arbeit mit ungenauen Angaben besonders gefördert. Auch das Mathematisieren zu (möglichst einfachen) Modellen spielt eine wichtige Rolle. Durch FermiAufgaben im weiteren Sinne können außerdem das Recherchieren und Experimentieren sowie das Finden verschiedener Wege in den Mittelpunkt gestellt werden. Schülerinnen und Schüler lernen außerdem selbst Fragen zu stellen und so mit heuristischen Strategien zu arbeiten. Sie verwenden Alltagswissen und rechnen mit Größen (Büchter et al. 2006; Leuders 2001, S. 104; Herget & Klika 2003).

2.4

Kriterien für Fermi-Aufgaben in Tests

Wir beginnen mit allgemeinen Kriterien für Aufgaben im Mathematikunterricht und in Tests. Diese können nicht nur für Anwendungs- und Modellierungsaufgaben, wie etwa Fermi-Aufgaben, verwendet werden, sondern sind generell für Mathematikaufgaben anwendbar. Fermi-Aufgaben können ein breites Spektrum mathematischer Inhalte der Sekundarstufe abdecken. Daher ist es sinnvoll, Aufgaben nach den mathematischen Sachgebieten zu gliedern, die im Unterricht der Sekundarstufe vorkommen (z. B. Stochastik, Arithmetik und Algebra, Geometrie). Es gibt jedoch auch Beispiele für Aufgaben, die über verschiedene Sachgebiete hinweg klassifiziert werden können.

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Fermi-Aufgaben in Vergleichsarbeiten in Klasse 8

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Die Aufteilung in mathematische Leitideen basiert, anders als die Gliederung nach Sachgebieten, auf dem Modell der Bildungsstandards. Diese fünf Leitideen sind Zahl, Messen, Raum und Form, funktionaler Zusammenhang sowie Daten und Zufall. Obwohl die Leitideen sich auf Sachgebiete der Mathematik beziehen, sind sie nicht identisch mit ihnen. Die Betonung grundlegender Ideen soll dagegen deutlich machen, dass mathematische Phänomene wie Zählen oder Messen zur Entwicklung mathematischer Fachgebiete geführt haben. Es kann interessant sein, nicht nur die Sachgebiete und die Leitideen, sondern auch die Prozesse zu betrachten. Obwohl die Bearbeitung von Aufgaben von vielen Faktoren abhängt, nicht nur von der Aufgabenstellung selbst, kann man sich beim Erstellen von Aufgaben auf den erwarteten Lösungsprozess konzentrieren. Hier können die allgemeinen Kompetenzen als Kriterien verwendet werden, nach denen mathematische Prozesse strukturiert werden können (mathematisch argumentieren, Probleme mathematisch lösen, mathematische Darstellungen verwenden, technisches arbeiten, mathematisch kommunizieren). Auch das mathematische Modellieren gehört zu dieser Kategorie. Darüber hinaus ist die Offenheit von Aufgaben ein allgemeines Kriterium, das nicht nur für Aufgaben mit Realitätsbezug sinnvoll ist. Offene Aufgaben sind solche, die beispielsweise mehrere Lösungen oder Lösungswege ermöglichen. Es gibt verschiedene Klassifizierungen von offenen Aufgaben. Offene Aufgaben werden in der Regel nach der Klarheit des Anfangs- und Endzustands sowie nach der Klarheit und Mehrdeutigkeit der Transformation klassifiziert (Bruder 2000). Die Einteilung unter Verwendung der Begriffe klar und unklar beschreibt die Situation nur sehr grob. Diese Begriffe beinhalten eine subjektive und eine objektive Komponente. Die subjektive Komponente bedeutet die Abhängigkeit von den Fähigkeiten des jeweiligen Lernenden. Die objektive Komponente bezieht sich darauf, ob in der Aufgabe einzelne Informationen fehlen und möglicherweise nur mit begrenzter Genauigkeit abgegriffen werden können. Die Offenheit von Anfangszustand und ggf. Transformation ist typisch für Fermi-Aufgaben. Zusätzlich zu diesen allgemeinen Kriterien gibt es auch spezielle Kriterien, die nur für Aufgaben mit einem realen Kontext, wie etwa Fermi-Aufgaben, nützlich sind. Aufgabentexte können Informationen enthalten, die zum Ausführen der Aufgabe nicht erforderlich sind. In diesem Fall spricht man von einer überbestimmten Aufgabe. Ebenso ist der umgekehrte Fall denkbar, bei dem die Aufgaben nicht alle für die Lösung benötigten Informationen enthalten. In solchen Fällen spricht man von einer unterbestimmten Aufgabe. Dann müssen die fehlenden Informationen ermittelt werden, zum Beispiel durch alltägliche Kenntnisse, Schätzungen oder Nachforschungen. Denkbar ist auch eine Kombination beider Arten. Wenn beispielsweise Informationen, die nicht benötigt werden, in einer Aufgabe spezifiziert sind, während gleichzeitig erforderliche Informationen nicht verfügbar sind und erforscht, geschätzt oder auf andere Weise erhalten werden müssen, dann wird dies eine kombinierte unterbestimmte und überbestimmte Aufgabe genannt.

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G. Greefrath

Neben dieser Charakterisierung kann der Realitätsbezug von Aufgaben auch präziser durch Begriffe wie Authentizität definiert werden. Eine authentische Aufgabe ist glaubwürdig für die Schüler und gleichzeitig realistisch in Bezug auf die Umwelt. Authentizität bedeutet sowohl die Authentizität des außermathematischen Kontexts als auch den Einsatz von Mathematik in dieser Situation. Der außermathematische Kontext muss echt und nicht spezifisch für das mathematische Problem sein. Der Einsatz von Mathematik in dieser Situation muss auch sinnvoll und realistisch sein und nicht nur im Mathematikunterricht stattfinden. Bei authentischen Aufgaben können die Schüler davon ausgehen, dass es sich um Dinge handelt, die tatsächlich in der Realität existieren, und dass die formulierte Aufgabe oder das Problem daher ein echtes Problem darstellt, das auch außerhalb des Mathematik-unterrichts gerechtfertigt ist. Authentische Modellierungsaufgaben sind Probleme, die wirklich zu einem bestehenden Feld oder Problembereich gehören und von den dort arbeitenden Personen akzeptiert werden (Niss 1992). Authentizität hilft den Schülern, die Aufgabe ernst zu nehmen und so oberflächliche Ersatzstrategien für das Bearbeiten zu vermeiden, wie sie bei eingekleideten Aufgaben auftreten (Palm 2007). Die Authentizität von Aufgaben bedeutet nicht, dass Lernende tatsächlich die entsprechenden Anwendungen benötigen oder dass diese Aufgaben für ihr gegenwärtiges oder zukünftiges Leben wichtig sind. Wir betrachten daher auch die Relevanz von Aufgaben für die Lernenden. Eine Aufgabe ist relevant, wenn sie für das aktuelle oder zukünftige Leben von Lernenden wichtig ist. Wenn eine Aufgabe aus Sicht der Lernenden aktuell bereits als wichtig erachtet wird, sprechen wir von Schülerrelevanz. Auf der anderen Seite, wenn eine Aufgabe nur in zukünftigen Situationen für Schülerinnen und Schüler relevant wird, sprechen wir von Lebensrelevanz. In diesem Zusammenhang lässt sich in der deutschen Tradition zwischen eingekleideten Aufgaben, Textaufgaben und Sachproblemen unterscheiden (Radatz & Schipper 1983). Diese Aufgabentypen liefern Aussagen über die Relevanz des verwendeten Sachkontextes für den Lernenden. Während sich eingekleidete sowie Textaufgaben durch einen schwachen Realitätsbezug und die Austauschbarkeit der Sache charakterisieren lassen, steht bei Sachproblemen ein tatsächliches Problem aus der Umwelt im Vordergrund. In Modellierungskreisläufen wie von Blum & Leiss (2005) werden außerdem Teilprozesse in Modellierungsaktivitäten berücksichtigt. Man kann die Fähigkeit, einen solchen Teilprozess durchzuführen, als Teilkompetenz des Modellierens betrachten (Kaiser 2007; Maaß 2004). Diese Teilkompetenzen könnten charakterisiert werden als verstehen, vereinfachen, mathematisieren, mathematisch arbeiten, interpretieren, validieren, vermitteln. Wenn andere Modellierungskreisläufe zugrunde gelegt werden, sind unterschiedlich akzentuierte Teilkompetenzen der Modellierung denkbar (Greefrath et al. 2017). Maaß (2010) betrachtet in ihrem umfangreichen Klassifikationsschema verschiedene der genannten Kriterien, unter anderem die Art der Beziehung zur Realität, die Offenheit und den Fokus auf die Modellierungsaktivität.

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Fermi-Aufgaben in Vergleichsarbeiten in Klasse 8

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Tab. 2.1 Kriterien für Fermi-Aufgaben in Tests Kriterium

Konkretisierung

Sachgebiet

Zu welchem Sachgebiet gehört die Aufgabe schwerpunktmäßig? (Stochastik, Arithmetik und Algebra, Geometrie)

Leitidee

Zu welcher Leitidee gehört die Aufgabe schwerpunktmäßig? (Zahl, Messen, Raum und Form, funktionaler Zusammenhang, Daten und Zufall)

Prozess

Welchen Prozess regt die Aufgabe schwerpunktmäßig an? (mathematisch argumentieren, Probleme mathematisch lösen, mathematisch modellieren, mathematische Darstellungen verwenden, technisches arbeiten, mathematisch kommunizieren)

Offenheit

Hat die Aufgabe einen unklaren Anfangs- oder Zielzustand/eine unklare Transformation?

Information

Ist die Aufgabe überbestimmt, unterbestimmt, über- und unterbestimmt? (überbestimmt, unterbestimmt, über- und unterbestimmt, weder über- noch unterbestimmt)

Authentizität

Ist die Problemstellung authentisch bezogen auf den realweltlichen Bezug/die Verwendung von Mathematik? (authentische Situation, authentische Mathematikverwendung)

Relevanz

Ist die Problemstellung aktuell für Schülerinnen und Schüler relevant (Schülerrelevanz)/für das Leben relevant (Lebensrelevanz)?

Teilkompetenzen des Modellierens

Welche Teilkompetenzen des Modellierens werden bei der Bearbeitung der Aufgaben schwerpunktmäßig angesprochen? (verstehen, vereinfachen, mathematisieren, mathematisch arbeiten, interpretieren, validieren, vermitteln)

Schätzgrößen

Welche und wie viele Größen werden durch Schätzen ermittelt? (Länge, Anzahl, etc.; eine, zwei, drei …)

Stützpunktvorstellungen

Welche Stützpunktvorstellungen von Größen sind erforderlich? (Körpergröße, Türhöhe, Milchpackungsvolumen …)

Darstellung

Ist die Schätzgröße durch einen Gegenstand, ein Bild oder nur durch Text dargestellt?

Konkret für Fermi-Aufgaben ist es darüber hinaus interessant, welche Größen durch Schätzen ermittelt werden sollen. Schätzen wird zur Ermittlung von Näherungswerten für reale Daten verwendet. Im Unterschied zum Raten, bei dem Größen ohne Vergleich mit bekannten Größen willkürlich genannt werden, wird beim Schätzen ein gedanklicher Vergleich mit bekannten Größen durchgeführt. Solche bekannten Größen sind die Stützpunktvorstellungen der Schülerinnen und Schüler. Hier ist auch die Art der Größe interessant, da das Schätzen von Anzahlen und Längen vermutlich vertrauter ist, als z. B. das von Gewichten. Auch die Anzahl der zu schätzenden Größen charakterisiert die Aufgabe. Ebenfalls schauen wir auf die Anzahl weiterer Größen, die für die Lösung der Aufgabe benötigt werden, jedoch nicht durch Schätzen ermittelt werden, sondern z. B. im Aufgabentext gegeben sind. Auch die Darstellung der Schätzgröße hat bei Fermi-Aufgaben eine besondere Bedeutung (Barzel et al. 2005). Für die Darstellung der Schätzgröße gibt es im Prinzip die Möglichkeiten, dass sie als Gegenstand, als Bild oder nur gedanklich, also im Text beschrieben, vorliegt. Die Art der Darstellung der Schätzgrößen ist ein möglicher

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G. Greefrath

schwierigkeitsgenerierender Faktor. Im Regelfall wird die Darstellung als Gegenstand oder als Foto zugänglicher sein, als wenn die Schätzgrößen nur gedanklich vorliegen (Maaß 2010; Greefrath 2018). Auf Basis der vorangegangenen Überlegungen sowie in der Literatur häufig genannter zentraler Eigenschaften für Modellierungsaufgaben (Bruder 1988; Greefrath & Vorhölter 2016; Maaß 2004) werden im Folgenden ausgewählte Kriterien für Fermi-Aufgaben zusammengefasst (s. Tab. 2.1).

2.5

Fragestellung und Methode

Ziel der Vergleichsarbeiten (VERA) in Deutschland in den Klassen 3 und 8 ist es, zu untersuchen, welche Kompetenzen Schülerinnen und Schüler zu einem bestimmten Zeitpunkt erreicht haben, und Lehrkräften bezogen auf die Bildungsstandards eine differenzierte Rückmeldung darüber zu geben, welche Anforderungen ihre Schülerinnen und Schüler bewältigen. In den deutschen Vergleichsarbeiten in Klasse 8 (VERA 8) werden regelmäßig auch Fermi-Aufgaben eingesetzt. Es stellt sich die Frage, ob Fermi-Aufgaben in Tests bestimmten Kriterien genügen und ob ggf. die Qualität dieser Testaufgaben verbessert werden kann, wenn weitere Kriterien berücksichtigt werden. Darüber hinaus ist interessant, ob der Schwierigkeitsgrad der Aufgaben auch mit bestimmten Kriterien in Verbindung gebracht werden kann. Daher sind folgende Fragestellungen hier relevant 1. Welchen Kriterien genügen die in den Vergleichsarbeiten in Klasse 8 eingesetzten Fermi-Aufgaben? 2. Inwieweit kann ein Zusammenhang zwischen den Kriterien für Fermi-Aufgaben und dem Schwierigkeitsgrad hergestellt werden? Zur Beantwortung der Fragen werden die in den Jahren 2015–2018 für die Vergleichsarbeiten in Klasse 8 entwickelten neun Fermi-Aufgaben nach den in Abschn. 2.4 beschriebenen Kriterien untersucht. Dazu werden die Items einzeln betrachtet und hinsichtlich der genannten Kriterien beurteilt (vgl. Mayring 2010, S.  65). Anschließend werden die Lösungsquoten und geeignete Kriterien im Zusammenhang diskutiert. Die verwendeten Testaufgaben für Vergleichsarbeiten werden unter Leitung des Instituts zur Qualitätsentwicklung im Bildungswesen (IQB) von Lehrkräften aus den Bundesländern entwickelt. In einem mehrstufigen Überarbeitungsprozess werden die Aufgaben dann nach Beratung und Begutachtung von Fachdidaktikerinnen und Fachdidaktikern an Universitäten überprüft und optimiert. Vor dem Einsatz in Vergleichsarbeiten werden die Aufgaben in einer Pilotierung mit mehreren hundert Schülerinnen und Schülern überprüft. Für den tatsächlichen Einsatz in den Vergleichsarbeiten werden nur Aufgaben verwendet, die aus fachdidaktischer und statistischer Hinsicht geeignet sind (vgl. www. iqb.hu-berlin.de/vera).

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Fermi-Aufgaben in Vergleichsarbeiten in Klasse 8

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Abb. 2.1 Beispielaufgabe Schokolinsen (Mathematikum Gießen)

Die in den Jahren 2015–2018 für VERA 8 entwickelten neun Fermi-Aufgaben wurden detailliert untersucht. Die Kategorisierung erfolgte nach den Kriterien aus Tab. 2.1 Zusätzlich wurde die Itemschwierigkeit erhoben. Ein Beispiel für eine der verwendeten Aufgaben ist in Anlehnung an eine Schätzaufgabe aus dem Mathematikum in Gießen entstanden. Dort kann man mit Hilfe verschiedener vorgegebener Figuren (Dreieck, Kreis, Rechteck, Quadrat) die Anzahl der auf dem Bild gezeigten Schokolinsen schätzen (vgl. Abb. 2.1). Dies wurde in der entsprechenden Aufgabe für die Vergleichsarbeiten so umgesetzt, dass auf einer Abbildung mit Schokolinsen die vier genannten Figuren eingezeichnet wurden. Dazu wurde die Aufgabe gestellt: „Schätze wie viele Schokolinsen auf diesem Foto abgebildet sind. Dafür kannst Du eine der abgebildeten Figuren verwenden“. Neben der Anzahl der Schokolinsen sollten die Schülerinnen und Schüler auch ihr Vorgehen beschreiben. Für die Auswertung war einerseits ein Intervall vorgegeben, in dem die Lösung der Schülerinnen und Schüler liegen musste und andererseits wurde eine Beschreibung erwartet, in der auf einen geeigneten Repräsentanten verwiesen wurde und aus der die angegebene Anzahl folgerichtig hervorgeht. In diesem Beispiel kann die Aufgabe dem Sachgebiet Arithmetik zugeordnet und der Leitidee Messen zugeordnet werden, da für die Lösung der Aufgabe die Anzahl der Schokolinsen auf dem Foto mit Hilfe von Vorstellungen über die jeweils verwendete Figur geschätzt werden soll. Dazu werden zunächst die Schokolinsen innerhalb der Figur gezählt. Für die Lösung dieser Aufgabe ist die allgemeine Kompetenz des mathematischen Modellierens erforderlich, da die Realsituation in ein mathematisches Modell übertragen werden muss, in dem dann gearbeitet

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G. Greefrath

wird. Die Ergebnisse müssen schließlich wieder in die Realsituation übersetzt werden. Für die Bearbeitung der Aufgabe müssen zunächst die Schokolinsen innerhalb der Figur ermittelt werden. Dies ist nicht ganz eindeutig. Ebenso stehen auf der Basis der verschiedenen gegebenen Figuren mehrere Lösungswege zur Verfügung. Daher kann von einem offenen Anfangszustand und einer mehrdeutigen Transformation ausgegangen werden. Die Aufgabe ist aber weder unter- noch überbestimmt, da alle erforderlichen Informationen durch die Abbildung gegeben sind. Der verwendete Kontext ist authentisch, aber es ist nicht vorstellbar, dass Experten dieses Problem mit diesen mathematischen Methoden bearbeiten würden. Für die Schülerinnen und Schüler ist das Zählen von Schokolinsen auf diese Weise kein Problem, dass für sie in ihrem gegenwärtigen oder zukünftigen Leben relevant sein könnte. Teilkompetenzen des Modellierens sind für die Bearbeitung dieser Aufgabe erforderlich. Da ein vollständiger Modellierungskreislauf durchlaufen werden muss, um die Aufgabe zu lösen, sind vereinfachen, mathematisieren, mathematisch arbeiten und interpretieren angesprochen.

2.6 Ergebnisse Eine Auswertung der neun Fermi-Aufgaben zeigt, dass alle Items dem Sachgebiet Arithmetik zugeordnet werden können und die zugehörige Leitidee in der Regel die Leitidee Messen ist. Als allgemeine Kompetenz wird in fast allen Fällen das mathematische Modellieren als wichtigster Prozess festgehalten. Die Offenheit der Aufgabe ist in der Regel (nur) durch einen unklaren Anfangszustand gegeben. Diese Offenheit basiert meist auf im Aufgabentext fehlenden Informationen. Daher ist die Informationslage in vielen Fällen – zumindest etwas – unterbestimmt. Es gibt aber auch drei Aufgaben, die weder als unter- noch als überbestimmt zu bezeichnen sind. Die bei fast allen Aufgaben vorhandene Authentizität wird durch eine authentische Situation erreicht. In einem Fall ist allerdings ein eher hypothetisches Problem gegeben (ob der Schulweg aller Schüler einer Schule länger sein kann als die Entfernung von der Erde zum Mond), so dass in diesem Beispiel nicht von einem authentischen Kontext gesprochen werden kann. In fast keinem Fall kann auch die Mathematikverwendung als authentisch angesehen werden. Relevant für die Lernenden ist aktuell keine der verwendeten Aufgaben. Als lebensrelevant können zwei Aufgaben gesehen werden, die sich mit der Verwendung von Parfum und mit dem Volumen einer Mülltonne beschäftigen. Zur Lösung der meisten Aufgaben ist es erforderlich, einen gesamten Modellierungskreislauf zu durchlaufen. Daher kommen in fast allen Bearbeitungsprozessen jeweils alle Teilkompetenzen des Modellierens vor. Lediglich eine Aufgabe zielt nur auf das Schätzen der Länge einer Biene mit Hilfe eines Fotos. Hier kann davon ausgegangen werden, dass kein vollständiger Modellierungskreislauf durchlaufen wird, sondern lediglich Vereinfachungen zum erfolgreichen Schätzen erforderlich sind. Ergebnisse zur Lösungshäufigkeit und zu Schätzgrößen sind in Tab. 2.2 dargestellt.

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Fermi-Aufgaben in Vergleichsarbeiten in Klasse 8

Tab. 2.2 Fermi-Aufgaben in Vergleichsarbeiten Kontext

Itemschwierigkeit

Darstellung Schätzgrößen

Schätzgrößen

Stützpunktvorstellungen

Weitere Größen

Länge Biene

0,02

Bild

Länge 1 Größe

-

keine

Anzahl Schokolinsen

0,36

Bild

Anzahl 2 Größen

-

keine

Länge Nashorn

0,48

Bild, Text

Länge 1 Größe

-

1 Größe

Höhe Schulgebäude

0,5

Bild, Text

Länge 1 Größe

-

1 Größe

Höhe Figur

0,66

Bild

Länge 2 Größen

Körpergröße

keine

Parfümverbrauch

0,67

Text

Anzahl 1 Größe

-

1 Größe

Anzahl Schlösser

0,67

Bild

Anzahl 2 Größen

-

keine

Länge Schulweg

0,78

Text

Länge, Anzahl 2 Größen

Schulweglänge

1 Größe

Volumen Mülltonne

0,87

Bild

Länge 3 Größen

Körpergröße

keine

2.7 Diskussion Die untersuchten Fermi-Aufgaben scheinen einerseits eine recht homogene Gruppe bezüglich des Sachgebiets, der Leitidee und der angesprochenen allgemeinen Kompetenzen zu sein. Auch Offenheit und Informationslage sind ähnlich und hängen auch zum Teil voneinander ab. Erfreulich häufig sind ebenfalls die in vielen Aufgaben vorhandene Authentizität und die Notwendigkeit den gesamten Modellierungskreislauf zur Bearbeitung des Problems zu durchlaufen. Andererseits zeigt sich auch eine große Bandbreite bezüglich der Itemschwierigkeit. Fermi-Aufgaben können offenbar von sehr geringer bis zu sehr hoher Itemschwierigkeit sein. Die beschriebene Homogenität der Aufgaben ist vermutlich einerseits darauf zurückzuführen, dass es sich um Testaufgaben handelt. Aus diesem Grund ist eine gewisse Standardisierung erfolgt, die sich etwa auf Bearbeitungszeit, Aufgabenformat und Passung zu den Anforderungen der Bildungsstandards bezieht. Darüber hinaus wirken hier auch die typischen Eigenschaften von Fermi-Aufgaben normierend. Daher sind Offenheit und Realitätsbezug sowie Authentizität bei allen Aufgaben ähnlich. Diese Eigenschaften haben offenbar weniger Einfluss auf die Itemschwierigkeit als die Anzahl der zu schätzenden

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G. Greefrath

Größen bzw. auch die Anzahl der weiteren in der Aufgabe zu verarbeitenden Größen. Trägt man die Anzahlen der Größen mit aufsteigender Itemschwierigkeit auf, so kann man hier einen Zusammenhang vermuten (s. Abb. 2.2).

Abb. 2.2 Anzahl der Größen mit aufsteigender Itemschwierigkeit

Für weitergehende Aussagen müssten mehr Fermi-Aufgaben mit vorliegenden Itemschwierigkeiten untersucht werden. Es ist zu erwarten, dass weitere – nicht für Modellierungs- oder Fermi-Aufgaben typische – Kriterien eine wichtige Rolle spielen. So wurden etwa im Rahmen des COACTIV-Projekts auch Grundvorstellungen, Umgang mit Texten und Argumentationen als Kriterien betrachtet (Jordan et al. 2006). Darüber hinaus entwickelten beispielsweise Maier et al. (2010) ein allgemeindidaktisches Kategoriensystem zur Analyse des kognitiven Potenzials von Aufgaben, das unter anderem Offenheit und Repräsentationsformen beinhaltet. Hier zeigt sich, dass insbesondere die sprachlogische Komplexität eine wichtige Rolle für die Schwierigkeit von Aufgaben haben kann. Vor diesem Hintergrund und unter Berücksichtigung der Ergebnisse für die vorliegenden Aufgaben ist zu erwarten, dass die auf Fermi-Aufgaben und Realitätsbezüge bezogenen Kriterien für mögliche Zusammenhänge zum Schwierigkeitsgrad eine eher untergeordnete Rolle spielen. Dies eröffnet aber auch die Chance, tatsächlich authentische und relevante Aufgaben für Tests zu konstruieren, die unterschiedlichen Schwierigkeitsgrad besitzen. Da in den Vergleichsarbeiten die gesamte Bandbreite der Bildungsstandards für den mittleren Schulabschluss berücksichtigt wird, nehmen Fermi-Aufgaben nur einen kleinen

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Fermi-Aufgaben in Vergleichsarbeiten in Klasse 8

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Raum ein. Auf Grund der dargestellten positiven Eigenschaften und der tatsächlich vorhandenen großen Bandbreite des Schwierigkeitsgrades ist aber die Nutzung von FermiAufgaben für Vergleichsarbeiten und Unterrichtsentwicklung sehr wünschenswert.

2.8 Fazit Fermi-Aufgaben können in Vergleichsarbeiten in Klasse 8 verwendet werden und stellen eine gute Möglichkeit dar, authentische Situationen auch in Prüfungsaufgaben zu berücksichtigen. Test- und Prüfungsaufgaben können so stärker offene und auch für Schülerinnen und Schüler relevante Kontexte enthalten. So können Modellierungskompetenzen gefördert und dieser Aspekt in die Unterrichtsentwicklung eingebracht werden. Dies ist auf verschiedenen Schwierigkeitsgraden möglich, die möglicherweise von der Anzahl der verwendeten Größen abhängig sind. Die in diesem Beitrag verwendeten Testaufgaben wurden unter Federführung des Instituts zur Qualitätsentwicklung im Bildungswesen länderübergreifend erarbeitet und empirisch überprüft.

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32

G. Greefrath

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3

Auf rationale Weise zur Irrationalität Lisa Hefendehl-Hebeker

Zusammenfassung

Die Entdeckung der irrationalen Größenverhältnisse in der griechischen Antike hat das damalige mathematische Weltbild grundlegend erschüttert. Dabei gelangt man zu dieser Entdeckung ganz rational, wenn man das Wort „rational“ in seiner weit gefassten Bedeutung des verstandesmäßigen Vorgehens und exakten logischen Schließens versteht. Das mathematische Phänomen der irrationalen Zahl (wobei dieser Fachbegriff die enger gefasste Bedeutung von „keine Verhältniszahl“ hat) zeigt aber, dass die Mathematik sich trotz aller ihren Methoden innewohnenden Strenge der Illusion einer schlechthinnigen Verfügbarkeit immer wieder entzieht. Mit solchen Betrachtungen kann man zumindest interessierten Schülerinnen und Schülern den Blick für Grundlagenfragen öffnen und damit eine Facette der Mathematik erschließen, die manchmal etwas kurz kommt.

Lisa Hefendehl-Hebeker * Universität Duisburg-Essen Essen, Deutschland E-Mail: [email protected]

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2019 A. Büchter et al. (Hrsg.), Vielfältige Zugänge zum Mathematikunterricht, https://doi.org/10.1007/978-3-658-24292-3_3

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34

3.1

L. Hefendehl-Hebeker

Die Entdeckung des Irrationalen und ihre historischen Folgen

Die Entdeckung der irrationalen Größenverhältnisse geschah in der Zeit der Pythagoreer um 450 v. Chr. Genau kann man die Ursprünge bzw. die Reihenfolge der Entdeckungsschritte wohl nicht ausmachen. Ziemlich sicher ist aber, dass diese Entdeckung zunächst im geometrischen Gewand der Inkommensurabilität erfolgte. Forscher nehmen hierfür drei mögliche Wege an (Bigalke 1983; vgl. Artmann 1999, S. 230): 1. Die Entdeckung im Zusammenhang mit der pythagoreischen Musiktheorie, die auf die Einteilung eines Intervalls mit Hilfe des harmonischen oder des geometrischen Mittels führte und zu der Erkenntnis gelangte, dass eine solche Einteilung zwar geometrisch konstruierbar, aber nicht immer durch ein Verhältnis ganzer Zahlen darstellbar ist. 2. Die Entdeckung am Quadrat, bezogen auf Seite und Diagonale, mit der Erkenntnis, dass das Verfahren der Wechselwegnahme nicht abbricht, es somit kein gemeinsames Maß für diese Strecken gibt und damit keine ganzen Zahlen, die das Längenverhältnis ausdrücken. 3. Eine entsprechende Entdeckung für Seite und Diagonale am regulären Fünfeck. Die Entdeckung des Inkommensurablen war durch eine philosophische Festlegung begleitet, durch die Annahme „Alles ist Zahl.“ Diese unterstellte, die Welt sei von Zahlprinzipien durchwirkt und die realen Dinge und ihre Verhältnisse seien nach den Verhältnissen der ganzen Zahlen geformt, alles habe somit einen logos (lateinisch: ratio). Dieser griechische Begriff, der eine viel weiter reichende Bedeutung annehmen sollte, hat hier einen ganz speziellen Sinn. Ein Verhältnis a : b war ein logos, eine Verhältnisgleichung a : b = c : d eine analogia (Perilli 2013, S. 6). Die Entdeckung, dass Seite und Diagonale im regulären Fünfeck keinen logos haben, ihr Verhältnis also alogon ist, stellte das bestehende Weltbild in Frage und erforderte, dass die auf Mathematik gegründete Philosophie und Weltdeutung überdacht werden musste. Innerhalb der Mathematik wurde das entstandene Dilemma durch ein erweitertes Verständnis, durch die Unterscheidung zwischen Zahlen und Größen und einer zugehörigen je eigenen Proportionenlehre gelöst, wie in den Elementen des Euklid dargestellt. Außerhalb löste sich die Philosophie von der Mathematik. Die Entdeckung der Inkommensurabilität erweiterte aber nicht nur den mathematischen Wissensbestand. Forscher sind sich auch darin einig, dass der Auslöser durch ein neues Verhältnis zur Mathematik bedingt war. Es äußerte sich im Reflektieren über die aus der Praxis gewonnenen Erkenntnisse und im Bedürfnis des Erklärens und Begründens, das wir als den Ursprung des wissenschaftlichen Denkens mit weitreichenden Folgen ansehen (Mittelstraß 2014, S. 275), eines Denkens, mit dem die griechische Philosophie klare Ziele verband (Nestle 1975, Perilli 2013):

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3

Auf rationale Weise zur Irrationalität

•

die Wirklichkeit in vernünftiger Rede, im begrifflichen Ausdruck zutreffend wiedergeben, dabei Strukturen und innere Beziehungen erfassen, aus Sichtbarem und aus der Erfahrung Werkzeuge machen, mit deren Hilfe man zum Unbekannten vordringen kann.

• •

Aristoteles (384–322 v. Chr.) rühmt in seiner Metaphysik die Inkommensurabilität als Prototyp einer wissenschaftlichen Entdeckung, die aus dem reinen Streben nach Erkenntnis gewonnen ist, und zeigt, dass Menschen ihr Wissen allein durch schlussfolgerndes Denken erweitern können (Artmann 1999, S. 229 f.). Die Möglichkeiten des Denkens selbst waren also wesentlich an dem Fortschritt beteiligt: „Entscheidend für den Fortschritt der griechischen Mathematik war die ausgeprägte Logik. Die Schlussform ‚reductio ad absurdum’ (Beweis durch Widerspruch) erlaubte die ersten Unmöglichkeitsbeweise und die ersten exakten Aussagen über das ‚Unendliche’. Nach Hermann Weyl wird die Mathematik bei den Griechen zum ersten Mal zur ‚Wissenschaft vom Unendlichen.’“ (Ebbinghaus et al. 1983, S. 26).

Artmann (1999) sieht in den Elementen des Euklid, die den betreffenden Wissensstand wiedergeben und nach der Methodologie des Aristoteles geschrieben sind (Alten et al. 2008, S. 54), die wichtigste frühe Quelle für eine Auffassung von Mathematik, die für mehr als zweitausend Jahre prägend war. „While presenting geometry and arithmetic Euclid teaches us essential features of mathematics in a more general sense. He displays the axiomatic foundation of mathematical theory and its conscious developments towards the solution of a specific problem. We see how abstraction works and enforces the strictly deductive presentation of a theory. We learn what creative definitions are and how a conceptual grasp leads to the classification of the relevant objects. Euclid creates the famous algorithm that bears his name for the solution of specific problems in arithmetic, and he shows us how to master the infinite in its various manifestations. One of the greatest powers of scientific thinking is the ability to uncover truths that are visible only ‘to the eyes of the mind’, as Plato says, and to develop ways and means to handle them. This is what Euclid does in the case of the irrational, or incommensurable, magnitudes …” (ebd. Vorwort).

In den bisherigen Ausführungen wurde der griechische Wortstamm logos in zwei auf den ersten Blick weit auseinanderliegenden Bedeutungen gebraucht: zunächst im engeren Sinne als Zahlenverhältnis, dann im weiteren Sinne als Vermögen und menschlichen Denkens. Dem inneren Zusammenhang dieser Verwendungen wird der folgende Abschnitt nachgehen.

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L. Hefendehl-Hebeker

3.2

Der Logos – das durchwirkende Prinzip

Das Wort logos ist im Verlauf seiner Bedeutungsgeschichte „nicht nur zu umfassender und weit verzweigter Bedeutung gelangt, sondern in mannigfacher geschichtlicher Umbildung ein Begriff geworden, den man fast symbolisch nennen könnte für griechisches Welt- und Daseinsverständnis überhaupt.“ (Kleinknecht 2013, S. 262). Etymologisch betrachtet ist logos das Substantiv zu legein und damit in seiner Grundbedeutung das Sammeln und Lesen, verstanden im kritischen Sinne von Auswählen, Auslesen, Gruppieren. Übertragen auf geistige Tätigkeiten meint logos ursprünglich das Zählen, Rechnen, Explizieren und gewinnt von hier aus eine weit aufgefächerte Bedeutung (ebd., S. 262 ff.): • • • • •

Das Aufzählen, die Er-Zählung (im Gegensatz zum Mythos auf Sachliches bezogen), den Rechenschaftsbericht. Die Rechnung, die Berechnung, das Rechnungsergebnis, dann auch der aus dem Denken und Rechnen hervorgehende Grund und die Begründung, die Erklärung. Als Fachbegriff der Mathematik die Proportion, das Verhältnis, die Beziehung. Im Zusammenhang mit Philosophie bekommt logos dann als die vernünftige Beziehung der Dinge zueinander die allgemeine Bedeutung von Sinn, Ordnung, Maß. Schließlich umfasst logos auch das menschliche Denkvermögen, „und wird als die im Menschen angelegte, rationale Kraft der Rede, des Denkens und des Sprechens verstanden.“ (ebd., S. 268).

Zur Genese des Begriffs logos stellt Perilli (2013, S. 11) zusammenfassend fest: „Dem Begriff kam zentrale Bedeutung zu in dem Moment, als sich das Bewusstsein der wissenschaftlichen Methode herauszubilden begann: Er bedeutet, Sinn zu verleihen, indem man die Dinge miteinander in Beziehung setzt.“ Damit entsteht aber ein auf den ersten Blick paradox erscheinender Befund: Der logos als das Bestreben, Beziehungen herzustellen, bringt das Phänomen ans Licht, dass es Dinge gibt, die keinen logos haben. Die Paradoxie löst sich auf, wenn man bedenkt, dass der erste Wortgebrauch ein allgemeinerer und der zweite ein speziellerer im Sinne eines terminus technicus ist. Der aus dem Wort logos abgeleitete Begriff „Logik“ ist ebenfalls ein weiter Begriff. „Philosophisch ist Logik die Lehre vom richtigen Denken, von den Begriffen und Urteilen. Für den Mathematiker ist Logik mathematische Logik, die die formale Grundlage des mathematischen Sprechens und Beweisens beschreibt und mathematische Theorien untersucht.“ (Bedürftig & Murawski 2015, S. 314). So betrachtet war die Entdeckung der Inkommensurabilität, des alogon, eine logische Folge eingeschlagener mathematischer Denkwege.

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Auf rationale Weise zur Irrationalität

3.3

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Die Rationalität in der Entdeckung des Irrationalen

Dem griechischen Begriff logos entspricht der lateinische Begriff ratio. „Durch die ratio … erkennt er [der Mensch] die Ursachen und Folgen der Ereignisse, unterscheidet und vergleicht er, bringt er einen Zusammenhang in den Ablauf des Geschehens, der ihm Behauptungen auch über das Zukünftige ermöglicht.“ (Schwemmer 1995, S. 462). Deshalb wird Rationalität als Vermögen zu begrifflichem, schlussfolgerndem Denken und damit als Grundlage wissenschaftlichen Forschens betrachtet. Auch hier gibt es die mathematische Spezialbedeutung von ratio als Zahlenverhältnis, von der sich der Fachbegriff „rationale Zahl“ herleitet. Durch schlussfolgerndes Denken wurde entdeckt, dass es Streckenlängen gibt, die keine ratio in diesem speziellen Sinne haben. Die Entdeckung des Irrationalen in der Mathematik erfolgte also auf ganz rationale Weise im allgemeinen, erkenntnistheoretisch gefassten Verständnis des Begriffs. Allerdings taten sich durch diese Entdeckung neue philosophische Grundlagenfragen auf, für die man im 19. Jahrhundert schließlich einen pragmatischen Umgang gefunden hat, die aber kaum abschließend beantwortet werden können: „Es ist die Frage nach mathematischen Begriffen wie die der Zahl und der Größe. Es ist das Problem des klassischen Kontinuums, der heutigen Auffassung des Kontinuums als Menge von Elementen und der Identifikation von Punkten und Zahlen. Es ist die Frage nach den Axiomen und der axiomatischen Methode. Und es ist überhaupt die Frage des Verhältnisses der Mathematik und ihrer Begriffe zur Wirklichkeit. Welchen Status haben mathematische Begriffe? Was sind Zahlen? Was ist ihr Ursprung?“ (Bedürftig & Murawski 2015, S. 4)

3.4

Schritte und Hindernisse auf dem Weg zur Zahlwerdung

Trotz aller Leistungen der Antike, die zur Entdeckung und zum Studium inkommensurabler Größen führten, mussten bis zur Anerkennung des Irrationalen als Zahl noch Jahrhunderte vergehen. Das Irrationale war nicht nur die Verneinung des Rationalen, es war zugleich das „Unaussprechliche, Unbegreifliche, Bildlose“ (Sonar 2011, S. 47) oder Unbestimmbare, wie es in dem griechischen Adjektiv arrhaetos und seinem lateinischen Pendant surdus zum Ausdruck kommt. So bezeichnet Euklid im zehnten Buch seiner Elemente eine Strecke, deren Länge in Zahlen darstellbar ist, und die hierzu kommensurablen Strecken mit dem Adjektiv rhaetos (nennbar), die zur Ausgangsstecke inkommensurablen Strecken mit dem Adjektiv alogon (nicht anzugeben, nicht im darstellbaren Zahlenverhältnis stehend). In lateinischen Übersetzungen aus dem 15. und 16. Jahrhundert erscheinen hierfür die Adjektive rationalis und irrationalis, die in der deutschen Übersetzung von Heiberg (1884) als rational und irrational übernommen werden1. Plato verwendet dagegen im Dialog Hippias I. das 1

Quellen in: Deutsche Nationalbibliothek; http://d-nb.info/1141060485

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Adjektiv arrhaetos. In einer auf Schleiermacher zurückgehenden Übersetzung ist zu lesen (Eigler 2016, S. 519): „… sowie wenn zwei Dinge zusammen gerade sind, doch jedes von ihnen ungerade sein kann als gerade, und wenn von zwei Dingen jedes einzeln unbestimmbar ist, doch beide zusammen sowohl bestimmbar sein können als auch ebenfalls unbestimmbar …“

Diesen Sprachgebrauch übernimmt noch Newton in seiner Arithmetica universalis (1707), in der sich bereits ein umfassender Zahlbegriff abzeichnet: „Unter ‚Zahl’ verstehen wir nicht sowohl eine Menge von Einheiten, sondern vielmehr das abstrakte Verhältnis irgendeiner Größe zu einer anderen Größe derselben Gattung, die als Einheit angenommen wird. Sie ist von dreifacher Art: ganz, gebrochen und irrational [estque triplex; integer, fractus & surdus]; ganz, wenn eine Einheit sie mißt, gebrochen, wenn ein Teil der Einheit, dessen Vielfaches die Einheit ist, sie mißt, irrational, wenn die Einheit mit ihr inkommensurabel ist.“ (Newton 1707, S. 2; Übersetzung nach Gericke 1970, S. 72).

In den beiden Jahrhunderten zuvor „haben sich nicht nur die Brüche und irrationalen Zahlen, sondern auch die Null, die negativen und die komplexen Zahlen in der Algebra durchgesetzt, und sie werden auch alle als Zahlen behandelt, d.h. man führt mit ihnen die üblichen Rechenoperationen durch.“ (Gericke 1970, S. 68). Die Frage, mit welchem Recht man sie Zahlen nennen kann, bleibt aber noch lange virulent. Über diese Frage hat sich M. Stifel in seiner Arithmetica integra (Stifel 1544) im ersten Kapitel des zweiten Buches bezogen auf die irrationalen Zahlen (De essentia numerorum irrationalium) Gedanken gemacht (Stifel 1544, S. 103; Übersetzung nach Gericke 1970, S. 69): „Mit Recht wird bei den irrationalen Zahlen darüber disputiert, ob sie wahre Zahlen sind oder nur fingierte ( ficti). Denn bei Beweisen an geometrischen Figuren haben die irrationalen Zahlen noch Erfolg, wo uns die rationalen im Stich lassen, und sie beweisen genau das, was die rationalen Zahlen nicht beweisen konnten, jeweils mit den Beweismitteln, die sie uns bieten. Wir werden also veranlaßt, ja gezwungen, zuzugeben, daß sie in Wahrheit existieren, nämlich auf Grund ihrer Wirkungen, die wir als wirklich, gewiß und feststehend empfinden. Aber andere Gründe veranlassen uns zu der entgegengesetzten Behauptung, daß wir nämlich bestreiten müssen, daß die irrationalen Zahlen Zahlen sind. Nämlich wenn wir versuchen, sie der Zählung zu unterwerfen und sie mit rationalen Zahlen in ein Verhältnis zu setzen, dann finden wir, daß sie uns fortwährend entweichen, so daß keine von ihnen sich genau erfassen läßt. Wir bemerken das bei der Auflösung von ihnen, wie ich unten anpassender Stelle zeigen werde. Es kann aber nicht etwas eine wahre Zahl genannt werden, bei dem es keine Genauigkeit gibt und was zu wahren Zahlen kein bekanntes Verhältnis hat. So wie eine unendliche Zahl keine Zahl ist, so ist eine irrationale Zahl keine wahre Zahl, weil sie sozusagen unter einem Nebel der Unendlichkeit verschwindet.“

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Stifel stellte sich unter irrationalen Zahlen nur Wurzelausdrücke vor und unter „Auflösung“ deren näherungsweise numerische Berechnung (Gericke, ebd.). Bis zur Entdeckung, dass unter den irrationalen Zahlen nur abzählbar viele algebraisch, aber überabzählbar viele transzendent sind, sollte es noch vierhundert Jahre dauern. Man merkt Stifels Ausführungen aber an, wie sehr ihn der Zwiespalt zwischen der sich abzeichnenden unabweisbaren mathematischen Bewährung der irrationalen Zahlen einerseits und der bleibenden Rätselhaftigkeit ihrer Gestalt andererseits umtreibt. Ihre mathematische Bewährung, zum Beispiel bei der theoretischen Fundierung der Analysis, hat den irrationalen Zahlen mittlerweile einen unangefochtenen Platz in der Architektur des Zahlensystems gesichert. Und doch gilt, dass ihre Entdeckung „selbst bis zum heutigen Tag auf nachdenkliche Köpfe wie eine Herausforderung wirkt“ (Courant & Robbins 1992, S. 48). Diese Herausforderung besteht in dem von Stifel so eindrücklich geschilderten Doppelcharakter: Einerseits sind irrationale Zahlen sowohl Gegenstände wie Werkzeuge tiefliegender Beweise, andererseits entziehen sie sich dort, wo Arbeitstitel wie 2 , e oder π nicht ausreichen, einer genauen „Bezifferung“, sie werden unaussprechlich, unbestimmbar und verschwinden unter einem Nebel der Unendlichkeit. Sinnfällig wird dies an der Kreiszahl π, deren Omnipräsenz in der Mathematik immer wieder zum Staunen bringt. Und doch haben hat keine noch so intensiven Bemühungen es bislang vermocht, das Geheimnis ihrer Dezimalbruchentwicklung zu entschlüsseln.

3.5

Bedeutungswandel des Begriffes „Irrationalität“ in der Philosophie

Das Adjektiv „irrational“ mit seinen Substantivierungen „das Irrationale“ bzw. „die Irrationalität“ entstand, wie oben gezeigt, zunächst als mathematischer Sprachgebrauch mit der geschilderten speziellen Bedeutung. Als Übertragung in die Philosophie taucht es erst um 1800 auf. In der Auseinandersetzung mit Kant bezeichnet es einen dem Verstand nicht zugänglichen Bereich der Erkenntnis (Rücker 1976, S. 583 f.). So schreibt Fichte an Jacobi: „… daß dem Wissen immer etwas vom Begriff nicht zu Druchdringendes, ihm Inkommensurables und Irrationales übrig bleibe …“ Für Fichte und auch für Hegel beginnt dort, wo für die deduktiv verfahrenden Wissenschaften Rationalität an ihre Grenzen stößt, das Terrain philosophischer Vernunft. Irrationalität in diesem Sinne meint etwas dem Verstande, nicht aber der Vernunft Entgegengesetztes. Dabei ist Vernunft seit Kant als ein die rationale Verstandestätigkeit umfassendes Denkvermögen zu verstehen. Dilthey schreibt zum Verstehen als methodisches Prinzip in den Geisteswissenschaften: „So ist in allem Verstehen ein Irrationales, wie das Leben selber ein solches ist; es kann durch keine Formeln logischer Leistung repräsentiert werden.“ (Zitate in diesem Absatz nach Rücker 1976, S. 583 f.). Aus diesen Überlegungen spricht ein differenziertes Bewusstsein über Möglichkeiten und Grenzen des rationalisierenden Denkens und über weitergehende

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Erkenntnismöglichkeiten, das Anlass zu kontroversen Standpunkten gibt. Im weiteren Verlauf wird das, was als irrational bezeichnet wird, zunehmend vom jeweils zugrunde liegenden Rationalitätsbegriff abhängig. Eine allgemeine Definition des Begriffs „Irrationalität“ und eine präzise Verwendung werden dadurch immer schwieriger. Dies führt schließlich dazu, dass das Urteil „irrational“ vor allem pauschal-polemisch verwendet wird. Zum neueren Begriffsgebrauch zieht Rücker (1976, S. 587) deshalb das Fazit: „Irrational denken und des Irrationalismus schuldig sind – die anderen.“

3.6

Irrationale Zahlen im Mathematikunterricht – eine Bildungschance?

Der Stellenwert des Themas „irrationale Zahlen“ im Mathematikunterricht der Sekundarstufen hat sich deutlich verändert. So stellt Bigalke (1983, S. 307) noch fest: „In fast allen Lehrplänen für die Sekundarstufe I an Realschulen und Gymnasien tritt eine der Vokabeln ‚Irrationalität’ oder ‚Inkommensurabilität’ an irgendeiner Stelle auf.“ Der Erweiterung von den rationalen zu den reellen Zahlen wurde in den Gymnasien in der Regel eine ausführliche Unterrichtseinheit gewidmet. Das PISA 2012 Mathematical Framework (OECD 2013) subsumiert unter „mathematical content knowledge“ noch „relevant aspects of irrational numbers”, in den aktuellen Bildungsstandards für den mittleren Schulabschluss (KMK 2004) kommen die Begriffe „reelle Zahl“ und „irrationale Zahl“ nur noch indirekt vor. Zur Leitidee Zahl heißt es, „die Schülerinnen und Schüler begründen die Notwendigkeit von Zahlbereichserweiterungen an Beispielen“ (ebd., S. 10), womit die Möglichkeit einer Thematisierung der irrationalen Zahlen immerhin offen gehalten wird. In den Bildungsstandards im Fach Mathematik für die allgemeine Hochschulreife (KMK 2012) wird zur Leitidee Algorithmus und Zahl gefordert: „Die Leitidee erweitert … die Vorstellungen von den reellen Zahlen durch Approximation mittels infinitesimaler Methoden“ (ebd., S. 22), wobei aber vor allem an die Bedeutung der Approximation für die Bildung der Grundbegriffe der Analysis gedacht ist. Weitere Erwähnungen findet der Begriff „reelle Zahl“ nicht. Die länderspezifischen Lehrpläne für die Gymnasien behandeln das Thema mit unterschiedlicher Intensität. Im Kernlehrplan für das Gymnasium – Sekundarstufe I (G8) in Nordrhein-Westfalen (2007) wird für den Anforderungsbereich Arithmetik und Algebra am Ende der Jahrgangsstufe 9 recht lapidar gefordert: • •

„Sie [die Schülerinnen und Schüler] rechnen mit natürlichen, ganzen, rationalen und reellen Zahlen, nutzen Rechengesetze und systematisches Zählen. Sie unterscheiden rationale und irrationale Zahlen.“

Im aktuellen bayerischen Lehrplan für die Klasse 9 des Gymnasiums (ISB 2004) heißt es detaillierter und mit Bezug auf die Wissenschaftsgeschichte: „Die Schüler erkennen,

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dass die Menge der rationalen Zahlen sich zur Lösung bestimmter Problemstellungen als nicht ausreichend erweist. Beim Übergang zur Zahlenmenge der reellen Zahlen werden Probleme angesprochen, die bereits in der Mathematik und Philosophie der griechischen Antike […] eine große Rolle spielten.“ In mathematikdidaktischen Publikationen wird unabhängig von Lehrplankonstellationen immer wieder auf den tiefen und facettenreichen Bildungsgehalt des Themas „irrationale Zahlen“ hingewiesen (z. B. Barzel & Hefendehl-Hebeker 2006), so auch in einem neuen Themenheft der Zeitschrift mathematik lehren (Weigand 2018). Dort heißt es im Vorwort: „Mit dem Begriff ‚irrational‘ verbinden wir im ‚normalen Leben‘ etwas Unvernünftiges, etwas, das der Vernunft widerspricht. Auch wenn die mathematische Bedeutung des Begriffs eine andere ist (nämlich die Nicht-Darstellbarkeit einer Zahl als Bruchzahl), so bleibt mit den irrationalen Zahlen doch etwas Geheimnisvolles verbunden. Diese Zahlen entziehen sich einer exakten numerischen Darstellungsweise, sie sind Objekte der Mathematik, die sich nur symbolisch durch Buchstaben darstellen lassen – wie e oder π – oder es sind erklärungsbedürftige Zeichen – wie etwa 2 . Sie kommen in der Umwelt vor – wie beim DIN-Format oder beim Goldenen Schnitt – und lassen sich doch nicht durch eine ‚herkömmliche Zahl‘ (Bruchzahl) repräsentieren. Dabei bilden sie die Grundlage vieler mathematischer Gebiete, wie etwa der Analysis, ohne die die Mathematik nicht in der Form möglich wäre, wie wir sie heute kennen.“

In dieser Zusammenfassung wird deutlich, wie sehr eine Behandlung der irrationalen Zahlen im Unterricht das Bild des Faches Mathematik und seiner Bedeutung bereichern kann. Die historischen Betrachtungen (siehe oben) haben aber auch gezeigt, dass die Verflechtungen des Themas mit grundlegenden mathematischen Inhalten und Vorgehensweisen sehr stark sind, so dass die Tragweite in einer kurzen, isolierten Unterrichtseinheit kaum zur Geltung gebracht werden kann. Vielmehr müsste wohl die mit der Entdeckung der Irrationalität gewachsene reflektierende und nach Begründungen suchende Haltung gegenüber der Mathematik durchgehend im Unterricht gepflegt und die mit der Irrationalität verbundenen grundlegenden Inhalte müssten auch in anderen Zusammenhängen thematisiert und immer wieder untereinander vernetzt werden. Zumindest zwei mit der Irrationalität verbundene grundlegende Ideen können schon früh angebahnt werden. •

•

Der Umgang mit dem Unendlichen: Dieser beginnt bereits in der Grundschule mit der Feststellung, dass die Reihe der natürlichen Zahlen nicht abbricht. Das Mittel, diese Reihe dennoch symbolisch verfügbar zu halten, ist das dezimale Stellenwertsystem, das mit nur zehn Zeichen zumindest im Prinzip Zahlen beliebiger Höhe darzustellen gestattet. In der Bruchrechnung kommt die Erfahrung hinzu, dass Unendlichkeit in der Mathematik nicht unendliche Weite bedeuten muss, sondern dass man in ein begrenztes Intervall unendlich viele Bruchzahlen einschachteln kann. Die Idee der Approximation: Auch diese lässt sich bereits in der Bruchrechnung verfolgen. Die Folge der Stammbrüche nähert sich beliebig der Zahl Null. Mit dieser

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L. Hefendehl-Hebeker Entdeckung lassen sich Näherungsfolgen zu jeder anderen Zahl konstruieren. So, wie man durch fortlaufendes Verdoppeln (Verdreifachen …) unbegrenztes Wachstum erzeugen kann, führt fortlaufendes Halbieren (Dritteln …) schließlich zu unbegrenzten Verkleinerungen. Später wird die Idee der Approximation in der Geometrie relevant, vor allem für die Inhaltsberechnung (Kreis, Kugel, Pyramide).

Mit dem Auftrag „Findet eine Bruchzahl, deren Quadrat zwei ist“ habe ich schon mal eine siebte Klasse so gefesselt, dass die Schülerinnen und Schüler mit dem Probieren gar nicht mehr aufhören wollten. Die Arbeit entwickelte sich zu einer Form des produktiven Übens im Sinne von H. Winter (1984), da engagierte Schülerinnen und Schüler gezielt immer bessere Näherungen zu finden suchten. Schließlich musste ich fast schuldbewusst eingestehen, dass es für die Aufgabe keine exakte Lösung gibt und dass man dazu neue Zahlen kennen lernen müsse, was zuerst ungläubiges Staunen und dann die neugierige Frage auf den Plan rief: „Was für Zahlen kennen Sie denn noch?“ Für die direkte Thematisierung der irrationalen Zahlen ist dann später die Frage nach der Länge der Diagonale im Einheitsquadrat ein kanonischer Einstieg. Er gestaltet sich einfacher als Betrachtungen am regulären Fünfeck. Zwei Einsichten sind zunächst wesentlich: • •

Die Diagonale hat eine wohl bestimmte Länge, die auch auf der Zahlengeraden abgetragen werden kann. Es gibt jedoch keine Bruchzahl, die diese Länge genau beschreibt.

Die Nichtexistenz einer rationalen Lösung für die Gleichung x2  = 2 kann nur durch einen Widerspruchsbeweis gezeigt werden. Oft begegnen Lernende dieser Schlussform hier erstmalig. Sie benötigt im gegebenen Kontext arithmetisch-algebraisches Denken und kann mit unterschiedlicher Strenge durchgeführt werden. Wenn es eine rationale Lösung p gäbe, könnte diese als gekürzter Bruch dargestellt werden. Somit hätten Zähler und q Nenner keine gemeinsamen Primfaktoren. Da im Vorgang des Quadrierens keine neuen ⎛ ⎞ Primfaktoren hinzukommen, wäre dann auch ⎜⎜⎜⎝ qp ⎟⎟⎟⎟⎠ nicht weiter zu kürzen und könnte nicht 2 ergeben. Eine strengere Argumentation weist nach, dass aus p2  = 2q2 notwendig folgt, dass p und q beide den Teiler 2 enthalten, und macht auf diese Weise den Widerspruch explizit dingfest. Diese Überlegungen sind Manifestationen der Beherrschung des Unendlichen (siehe 3.1). Durch eine endliche Argumentation umgeht man die nicht ausführbare Aufgabe, unendlich viele Brüche als potentielle Lösungskandidaten durch- und dann auszumustern. Hier ist ein Anlass zum Innehehalten. Offenbar gibt es auf der Zahlengeraden Punkte, die durch das bisherige Zahlensystem nicht beschrieben werden können und somit im Sinne der Altvorderen unbestimmbar sind. Dies gilt, obwohl man erfahren hat, dass die Bruchzahlen dicht liegen, aber dicht ist offenbar nicht lückenlos. Dies ist eine Entdeckung, 2

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die nur noch „mit dem geistigen Auge“ (siehe 3.1) gemacht werden kann. Dabei sollte klar bleiben, was A. Kirsch (1994, S. 90) so formuliert hat: „Die Einführung der reellen Zahlen lässt sich nicht aus praktischen Meßaufgaben rechtfertigen. In realen Situationen, insbesondere bei Messungen, treten irrationale Zahlen niemals direkt auf. Die Entscheidung, ob eine Maßzahl oder eine Gleichungslösung rational ist oder nicht, kann nicht experimentell-empirisch erfolgen, auch nicht durch Ausrechnen mittels Computer, sondern nur mittels theoretischer Argumentation. Der Übergang von den rationalen zu den reellen Zahlen ist eine aus theoretischen Gründen zweckmäßige Erweiterung des Zahlbereichs. Durch sie wird gesichert, daß für gewisse geometrische und algebraische Probleme … anschaulich vorhandene Lösungen auch in der Theorie als wohlbestimmte Objekte existieren.“

Der Versuch, die anschaulich vorhandene Lösung der Gleichung x2 = 2 mit Hilfe des dezimalen Stellenwertsystems genau zu beschreiben, führt auf eine neue Begegnung mit dem Unendlichen. Wieder sind zwei Aspekte wichtig: • •

Das Ergebnis kann kein periodischer Dezimalbruch sein, denn ein solcher würde einer Bruchzahl entsprechen. Diese Möglichkeit wurde aber bereits ausgeschlossen. Deshalb kann die gesuchte Darstellung niemals mit absoluter Exaktheit, sondern nur als sich entwickelnde Näherung bis zu einem gewünschten Grad der Genauigkeit angegeben werden. Der Rest verschwindet im Sinne von M. Stifel „unter einem Nebel der Unendlichkeit“.

So erleben Schülerinnen und Schüler Gemütsbewegungen nach, die die Entdeckung des Irrationalen begleitet haben, und erfahren, dass der „betrachtende Verstand“ (Courant & Robbins 1992, S. 1), der das mathematische Denken steuert, auch auf Phänomene stoßen kann, die sich seiner vollen Verfügbarkeit entziehen. Immerhin kann man irrationale Zahlen konstruieren, die nach einem Muster aus wachsenden Blöcken gestaltet sind wie 0,101001000100001 … (Kirfel 2018) und auf diese Weise einigermaßen vertraut erscheinen.

3.7

Nachbetrachtung: ein aktueller lebensweltlicher Bezug des Themas

Wie schon vor 40 Jahren zu beobachten war, hat das Prädikat „irrational“ außerhalb der Mathematik eine Entwicklung genommen, die vor allem zu einer pauschal-polemischen Verwendung führte (siehe hierzu 3.5). Ein Blick in aktuelle politische Diskussionen erweckt den Eindruck, dass sich dieser Trend seitdem noch erheblich verschärft hat. Deshalb kommt es kaum von ungefähr, dass die Katholische Akademie in Bayern eine Tagung

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mit dem Thema „Irrationalität – Die andere Seite des Homo sapiens“ auf ihr Programm (11.–13. Oktober 2018) gesetzt hat2. Im Programmheft heißt es: „In Zeiten von ‚Fake News‘, ‚alternativen Fakten‘ und angesichts von Politik-Stilen, die den Rat von Experten geradezu mutwillig in den Wind schlagen, scheint Irrationalität Konjunktur zu haben. Sind das Bild vom Homo sapiens und der Glaube an den langfristigen Vormarsch der Vernunft also zu revidieren? Und wofür steht dieses schillernde Wort ‚irrational‘ eigentlich? Für Widervernünftiges, in seinen Gründen und Folgen zu wenig Durchdachtes, so möchte man antworten – aber gibt es neben derlei ‚Irrationalem‘ vielleicht auch ‚A-Rationales‘, das sich dem Verstand entzieht und dennoch seine Berechtigung hat? Und wie hat das Wort ‚irrational‘, das eigentlich aus der Mathematik stammt, überhaupt seine philosophische Karriere genommen?“

Wie dieser Beitrag hoffentlich gezeigt hat, kann der Mathematikunterricht hier sogar zur Klärung eines gesellschaftlich brisanten Begriffsproblems beitragen. Dies setzt aber voraus, dass das Thema „Irrationalität“ mit den geschilderten Facetten in der Aus- und Fortbildung von Lehrkräften einen angemessenen Stellenwert bekommt. Zu leicht fällt es in den Studiengängen unter den Tisch, weil es in den Fachveranstaltungen meist vorausgesetzt wird und in den übrigen Studienanteilen nicht immer einen festen Platz findet. Ich habe aber die Erfahrung gemacht, dass es Lehramtsstudierende sehr faszinieren und ihr Mathematikbild sehr bereichern kann.

Literatur Alten, H.-W., Djafari Naini, A., Folkerts, M., Schlosser, H., Schlote, K.-H. & Wußing, H. (2003). 4000 Jahre Algebra. Geschichte – Kulturen – Menschen. Berlin: Springer. Artmann, B. (1999). Euclid – The Creation of Mathematics. New York: Springer. Barzel, B. & Hefendehl-Hebeker, L. (2006). „Irre oder irrationale Zahlen“ ein Stationenzirkel zum Einstieg. Praxis der Mathematik, (11), 22–28. Bedürftig, Th. & Murawski, R. (2015). Philosophie der Mathematik. 3. Auflage. Berlin/ Boston: de Gruyter. Bigalke, H.-G. (1983). Rekonstruktionen zur geschichtlichen Entwicklung der Inkommensurabilität. Journal für Mathematik-Didaktik, 4(4), 307–354. Courant, R. & Robbins, H. (1992). Was ist Mathematik? 4., unveränderte Aufl. Berlin, Heidelberg: Springer. Ebbinghaus, H.-D., Hermes, H., Hirzebruch, F., Koecher, M., Mainzer, K., Prestel, A. & Remmert, R. (1983). Zahlen. Berlin, Heidelberg: Springer. Eigler, G. (Hrsg.) (2016). Platon Werke. Band 1. 7. Aufl. Darmstadt: WBG. Gericke, H. (1970). Geschichte des Zahlbegriffs. Mannheim: Bibliographisches Institut AG https://www.kath-akademie-bayern.de/veranstaltungen/veranstaltungen/veranstaltung/2018irrationalitaet.html, abgerufen am 6.9.2018 2

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ISB (Staatsinstitut für Schulqualität und Bildungsforschung München) (2004). Lehrplan des achtjährigen Gymnasiums. http://www.isb-gym8-lehrplan.de/. Zugriff 28.08.2018. Kirfel, Ch. (2018). Tauchfahrt in die Unvernunft. Irrationale Zahlen leicht gemacht. Mathematik lehren, 208, 9-11. Kirsch, A. (1994). Mathematik wirklich verstehen. 2., verb. Auflage. Köln: Aulis Deubner. Kleinknecht, H. (2013). Der Logos im Griechentum und Hellenismus. In L. Perilli (Hrsg.), Logos. Theorie und Begriffsgeschichte (S. 263–278). Darmstadt: WBG. KMK (2012). Bildungsstandards im Fach Mathematik für die Allgemeine Hochschulreife (Beschluss der Kultusministerkonferenz vom 18.10.2012). KMK (Hrsg.). (2004). Bildungsstandards im Fach Mathematik für den Mittleren Schulabschluss – Beschluss der Kultusministerkonferenz vom 4.12.2003. München: Wolters Kluwer. Ministerium für Schule und Weiterbildung des Landes Nordrhein-Westfalen (Hrsg.) (2007). Kernlehrplan für das Gymnasium – Sekundarstufe I in Nordrhein-Westfalen. Mathematik. Frechen: Ritterbach Verlag. Mittelstraß, J. (2014). Die griechische Denkform. Von der Entstehung der Philosophie aus dem Geiste der Geometrie. Berlin/Boston: De Gruyter. Nestle, W. (1975). Vom Mythos zum Logos. Die Selbstentfaltung griechischen Denkens. Stuttgart: Kröner. Newton, I. (1707). Arithmetica universalis. Cambridge. Perilli, L. (2013). Logos. Das Bauzeug der Welt. In L. Perilli (Hrsg.), Logos. Theorie und Begriffsgeschichte (S. 1–18). Darmstadt: WBG. Rücker, S. (1976). Irrational, das Irrationale, Irrationalismus. In J. Ritter & K. Gründer (Hrsg.), Historisches Wörterbuch der Philosophie, Band 4 (S. 583-588). Basel: Schwabe & Co (Lizensausgabe der WBG). Schadewaldt, W. (1979). Die Anfänge der Philosophie bei den Griechen. Frankfurt: Suhrkamp. Schwemmer, O. (1975). Ratio. In J. Mittelstraß (Hrsg.), Enzyklopädie Philosophie und Wissenschaftstheorie, Band 3 (S. 462). Stuttgart, Weimar: Metzler. Sonar, Th. (2011). 3000 Jahre Analysis. Berlin, Heidelberg: Springer. Stifel, M. (1544). Arithmetica integra. Nürnberg: Johan Petreium. Weigand, H.-G. (Hrsg.) (2018). Irrationale Zahlen. Mathematik lehren, 208, 2–8. Winter, H. (1984). Begriff und Bedeutung des Übens im Mathematikunterricht. Mathematik lehren, 2, 4–16.

Durchgängige Kontextorientierung in allen Unterrichtsphasen des Mathematikunterrichts

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Stephan Hußmann

Zusammenfassung

Eine der großen Herausforderungen des Mathematikunterrichts und der Mathematikdidaktik ist es, mathematische Aktivitäten so auszugestalten, dass sie mathematisch authentisch sind und Fragen und Vorstellungen der Schülerinnen und Schülern aufgreifen, wodurch sich ihnen die Sinnhaftigkeit der Mathematik zeigt. Eine Antwort auf diese Herausforderung ist Sinnstiftung durch Kontextorientierung. In diesem Verständnis fungiert ein Kontext nicht lediglich als nettes Eingangsbeispiel, sondern bietet über eine ganze Unterrichtseinheit eine tragfähige Rahmung. Der Artikel beschreibt zentrale Aspekte einer nachhaltigen Kontextorientierung über die beiden Unterrichtsphasen Erkunden und Ordnen hinweg und illustriert dies mit Beispielen aus unterschiedlichen Themenbereichen.

Stephan Hußmann * Institut für Entwicklung und Erforschung des Mathematikunterrichts Technische Universität Dortmund Dortmund, Deutschland E-Mail: [email protected]

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2019 A. Büchter et al. (Hrsg.), Vielfältige Zugänge zum Mathematikunterricht, https://doi.org/10.1007/978-3-658-24292-3_4

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S. Hußmann

Kontextorientierung gehört zu einem der zentralen Arbeitsfelder der Mathematikdidaktik der letzten Jahrzehnte und es gibt zahlreiche Argumente für eine Situierung mathematischer Aktivitäten in substantiellen, attraktiven und realistischen Kontexten (z. B. Freudenthal 1983; Treffers 1987; Barzel, Prediger, Leuders & Hußmann 2011). Kontextorientierung ist so bedeutsam, weil mit Kontexten eine Antwort darauf gegeben werden soll, wie Mathematikunterricht sinnstiftend gestaltet werden kann. Man lernt anhand von Aktivitäten in spezifischen Kontexten mathematische Werkzeuge sinnvoll und adäquat zu nutzen und dabei die Mathematik zu verstehen. Doch ist das leichter gesagt als getan. Es tun sich viele Fragen auf: •

•

•

Führt das Lernen in Kontexten tatsächlich zu einem nachhaltigen Mathematikverständnis? Denn: Ein Kontext ebnet nicht nur den Weg, er will auch verstanden sein, insbesondere in seiner Rolle für den mathematischen Gegenstand. Welche Kontexte sind überhaupt geeignet? Denn: Wenn die Kontexte aus der Lebenswelt der Lernenden stammen, sind sie nicht notwendig geeignet für den mathematischen Lerngegenstand; sind sie der Berufswelt entnommen, mögen sie für einige Lernende nicht hinreichend zugänglich sein. Welche Funktion nimmt der Kontext im Rahmen des Lehr-/Lernarrangements ein? Denn: Als Eingangsbeispiel hat er eine andere Rolle als wenn er als Merkhilfe oder als Anwendungsbeispiel am Ende der Lerneinheit dient.

Dies sind nur einige Fragestellungen, die sich um die Frage nach einer adäquaten Kontextorientierung ranken. Gemein ist den Fragen die Perspektive auf eine Einordnung von Kontextorientierung in einen Mathematikunterricht als Ganzes. Denn Kontexte können nur dann mathematisch nachhaltig wirken, wenn sie nicht nur der Motivierung der Lernenden zu Beginn zuarbeiten, sondern auch im Laufe einer ganzen Lerneinheit zu den mathematischen Kernideen führen, d. i. der inhaltliche Kern des jeweiligen mathematischen Konzepts. Dieser Beitrag diskutiert den (Mehr-)Wert einer über alle Lernphasen durchgängigen Kontextorientierung. Dazu werden Erfahrungen berichtet, die im Projekt KOSIMA (Kontexte für sinnstiftendes Mathematiklernen) entstanden sind. Ein Projekt, das mich gemeinsam mit Bärbel Barzel, Timo Leuders und Susanne Prediger die letzten Jahre intensiv begleitet hat. Die Beispiele sind aus dem Schulbuch Mathewerkstatt, das aus dem Forschungs- und Entwicklungsprojekt KOSIMA entstanden ist. Nach einer Klärung, was in diesem Beitrag unter einem Kontext verstanden wird, werden zentrale Aspekte von Kontextorientierung vorgestellt und entlang der Kernprozesse bzw. Unterrichtsphasen Erkunden, Ordnen und (ganz kurz) Vertiefen diskutiert und mit Beispielen illustriert. Am Ende werden die zentralen Aspekte zur Rolle des Kontextes in den einzelnen Kernprozessen tabellarisch zusammengefasst.

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Durchgängige Kontextorientierung in allen Unterrichtsphasen

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4.1 Kontexte Unter einem Kontext werden in diesem Beitrag spezifische Aspekte verstanden, die charakterisierend sind für eine Klasse von Situationen. Der Kontext stellt einen Zusammenhang zwischen den Situationen her, indem er markiert, was an den Situationen relevant ist. Dadurch wird den Situationen eine Bedeutung in einem spezifischen Kontext gegeben. Die Situationen sind bzgl. der charakterisierenden Aspekte authentisch sowohl hinsichtlich des Kontextes als auch hinsichtlich des fachlichen Gegenstandes. Kontexte bieten damit ein Sinnangebot, welches Möglichkeiten konkreten innerfachlichen und außerfachlichen Handelns aufzeigt, das sowohl Kernaspekte des Kontextes als auch der mathematischen Ideen enthält (vgl. Leuders, Hußmann, Barzel & Prediger 2011). Die Auswahl eines Kontextes ist damit immer gegenstandsspezifisch (Fischer & Malle 1985, S. 10 ff.) und gelingt nur durch eine Annäherung von beiden Seiten: Kontext und Mathematik. Der Kontext Tiere z. B. ist solange unspezifisch, bis ein gegenstandsbezogener Fokus auf bestimmte Aspekte gelegt wird, z. B. auf Tiergrößen. Mit Blick auf den mathematischen Gegenstandsbereich ‚Größen‘ rücken all die Situationen ins Blickfeld, in denen es darum geht, Dinge der Größe nach zu vergleichen, Messverfahren bzw. Größenumrechnungen kennenzulernen. Der Kontext „Zwerge und Riesen im Tierreich – Wie lang, wie schwer, wie alt?“ richtet den noch unspezifischen Kontext der Tierwelt auf einen gegenstandsfokussierenden Kontext aus. In diesem Kontext gibt es viele Situationen, in denen sich authentische mathematische Aktivitäten durchführen lassen, wie z. B. Messen durch Vergleichen mit Hilfe eines Vergleichsobjektes oder von Basiseinheiten. Zugleich ist der Kontext auch authentisch. In der Tierwelt lässt sich etwa lernen, wie Tiere (im Vergleich zum Menschen) mit Hilfe von Basiseinheiten messen: Ameisen beispielsweise scheinen ihre Schritte zu ‚zählen‘ und messen Entfernungen, in dem sie ihre Schrittgröße als Basiseinheit verwenden (weitere schöne Beispiele in Barzel & Leuders 2012). Dies ist ein Beispiel, an dem man etwas über den Kontext einzelner Tiere lernen kann und aus dem sich gleichermaßen eine mathematisch authentische Aktivität entwickeln lässt, nämlich die Verwendung von Basiseinheiten. Insofern lassen sich Situationen, in denen die Auseinandersetzung mit Körpergrößen von Tieren eine Rolle spielt, als möglicher Kontext für Größen identifizieren. Eine andere Art der Auseinandersetzung würde andere Spezifikationen des Kontextes festlegen. Beispielsweise kann man Tiergrößen auch aus der Perspektive der Biologie (Überlebensvorteil durch Körpergröße) betrachten. Aus der Sicht der Mathematik (oder auch der Biologie) könnte man sich mit Tiergrößen auseinandersetzen, um den Zusammenhang von Oberfläche und Volumen von Körpern zu thematisieren. Insofern ist die Perspektive auf einen Kontext immer auch fach- und gegenstandsspezifisch.

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Darüber hinaus ist er auch immer spezifisch hinsichtlich der aktuellen oder zukünftigen Interessenlage der Schülerinnen und Schüler1 und deren außerschulischen und unterrichtlichen Vorerfahrungen. Tiere sind ein Teil der Lebenswelt, die den Lernenden gut bekannt sind und mit dem sie sich gerne auseinandersetzen. Zur Lebenswelt gehören aber nicht nur der unmittelbare Alltag, sondern auch ‚konsolidierte Erfahrungen im Umgang mit Mathematik‘ (Leuders et al. 2011, S. 4). Dazu gehört z. B. der Umgang mit Rechenoperationen im Bereich der natürlichen Zahlen als Grundlage für die verschiedenen Zahlbereichserweiterungen. Damit lassen sich drei Kernaspekte von Kontextorientierung formulieren (ebda., S. 4) die im Folgenden entlang der Unterrichtsphasen ausdifferenziert werden: K1. Authentizität der am Kontext gewonnenen Erkenntnisse und notwendigen Aktivitäten K2. Authentizität der durch den Kontext initiierten mathematischen Aktivitäten K3. Orientierung an Vorstellungen und Vorerfahrungen der Lernenden In Barzel et al. (2011) ist dargestellt, wie die Kernprozesse Erkunden, Ordnen und Vertiefen die Rahmung für einen ganzheitlichen Mathematikunterricht bereitstellen. Daran anknüpfend werden im Folgenden nach einer kurzen Charakterisierung der einzelnen Phasen die Rolle der Kontextorientierung für den einzelnen Kernprozess diskutiert.

4.2

Kontextorientierung während des Erkundens

In der Unterrichtsphase des Erkundens erhalten Schülerinnen und Schüler inner- oder außermathematische Kontextprobleme, die Ausgangspunkt für horizontale Mathematisierungsprozesse (Treffers 1987) sind. Die Lernenden entwickeln in ihrer Sprache eigene Ideen, die die Grundlage für mathematische Begriffe und Verfahren bilden, um die Probleme zu bearbeiten und Phänomene und strukturelle Zusammenhänge zu artikulieren. Damit sie ihre Vorerfahrungen und Vorstellungen aktivieren können, ist es hilfreich, Kontexte aus der Lebenswelt der Schülerinnen und Schüler zu nutzen, in denen der mathematische Gegenstand eine Rolle spielt oder schon erlernte mathematische Begriffe und Verfahren fruchtbar gemacht werden. Um einen Kontext zu finden, der für den Einstieg in den Lerngegenstand der negativen Zahlen geeignet ist, liegt es nahe, Objekte und Situationen aus dem Alltag zu nutzen, in denen negative Zahlen Verwendung finden. Das Thermometer mit seiner Skala aus negativen und positiven Zahlen ist ein potentieller Kandidat für ein solches Objekt, z. B. für den Kontext ‚Temperaturen messen und beschreiben‘. Da in der Temperaturskala die Trennung von zwei Zahlbereichen (negative und positive Zahlen) aufgehoben wird, Anforderungen an Kontexte lassen sich auf weiteren Ebenen vornehmen, z. B. hinsichtlich allgemeiner Bildungsziele oder Verwertbarkeit für Beruf und Gesellschaft (vgl. z. B. Birkmeyer, Combe, Gebhard, Knauth & Vollstedt 2015; Stuckey, Hofstein, Mamlok-Naaman & Eilks 2013; van den Heuvel-Panhuizen 2005). 1

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repräsentiert die Skala eine Kernidee der ganzen Zahlen: die Erweiterung des Zahlbereichs der natürlichen Zahlen, indem eine fest gewählte Vergleichsmarke (z. B. Normalnull) genutzt wird, um Größen in Relation zu dieser Marke zu messen. Auch für die Addition und Subtraktion ganzer Zahlen kann der Temperatur-Kontext tragfähig sein, jedoch muss kritisch die Frage gestellt werden, ob zu dem Kontext hinreichend viele Situationen existieren, die für eine ganze Unterrichtseinheit tragen und ob der Kontext paradigmatisch ist für den Umgang mit ganzen Zahlen in der Lebenswelt der Lernenden. Zudem wird es bei der Multiplikation schwierig, die Rechenzeichen und Zahlzeichen im Kontext authentisch und angemessen zu interpretieren. Hier (spätestens) stellt sich neben der Frage nach einem anderen geeigneteren Kontext die Frage, ob der Lerngegenstand der negativen Zahlen tatsächlich kontextgestützt und nicht besser formal eingeführt werden sollte, z. B. über das Permanenzprinzip. Für eine formale Einführung der negativen Zahlen spricht, dass diese schneller zum fachlichen Kern vordringt und die mathematischen Konventionen klar benennt, die nötig sind, um „ein System in sich stimmiger Operationsregeln“ (Steinbring 1994, S. 278) zu schaffen. Gegen eine formale Einführung negativer Zahlen spricht, dass der Bezug von negativen Zahlen zur Alltagswelt im Dunklen bleibt, weil keine tragfähigen Deutungen z. B. der Rechen- und Zahlzeichen aufgebaut werden (Hußmann & Schindler 2014, S. 28 f). Der rein formale Weg birgt die Gefahr, dass der Zusammenhang ‚Minus mal Minus gleich Plus’ auf den reinen Kalkül reduziert wird. Nun sind die beiden Zugänge nicht gegeneinander auszuspielen. Es ist auch denkbar, die konzeptuellen Wissensfacetten des Begriffs kontextgestützt und darauf aufbauend die prozeduralen Wissensfacetten strukturorientiert einzuführen. Man stellt den Kontextproblemen im Erkunden so genannte Strukturprobleme an die Seite, die die Untersuchung struktureller Zusammenhänge und „die Exploration von Möglichkeiten der Übertragung bereits bekannter Operationen oder Prozesse der Schematisierung, z. B. die Entwicklung eines Kalküls im Umgang mit den Objekten“ (Barzel et al. 2011, S. 72) initiieren. Auf diese Weise werden die horizontalen Mathematisierungsprozesse um die sogenannten vertikalen Mathematisierungsprozesse erweitert (Freudenthal 1983). Dies ist von Bedeutung, um die Mathematik auch als eine in sich geordnete Welt mit eigenen Gesetzen zu sehen (vgl. Winter 1995). Dennoch, solange ein tragfähiger Kontext existiert, der authentisch ist und den mathematischen Ideen und Begriffen Bedeutung verleiht, sollte im Kernprozess des Erkundens diesem Vorrang vor einer rein formal gestützten Begriffsentwicklung eingeräumt werden. Dies gilt gleichermaßen für konzeptuelle und für prozedurale Wissensfacetten. Für die negativen Zahlen wäre dies z. B. der Kontext von Schulden und Guthaben in zeitlicher Entwicklung (Winter 1991; Hußmann & Schindler 2013). Dieser Kontext bietet die Grundlage, den Rechen- und Zahlzeichen eine adäquate Bedeutung zu geben, aber auch die kontextuelle Basis für das Permanenzprinzip bereitzustellen. Daraus ergibt sich eine bedeutsame Anforderung an Kontexte: sie sollten nicht nur einen Teil des jeweiligen Inhaltsbereichs zugänglich machen, sondern auch kohärent und tragfähig für alle Teile eines zusammenhängenden mathematischen Lerngegenstands sein.

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Leisten Kontexte dies nicht, stehen die Lernenden vor der Schwierigkeit, den Lerngegenstand immer wieder umdeuten zu müssen, was zudem für die Verwendung eines einzigen Kontextes über eine überschaubare Lerneinheit spricht. In der Gestalt als Rahmung für eine ganze Lerneinheit hat der Kontext die Funktion Begriffsbildungsprozesse zu motivieren und zu orientieren. Er bildet aber auch die Folie für tragfähige Deutungen des mathematischen Lerngegenstands. Der Kontext bereitet somit den Weg zu den zentralen mathematischen Kernideen eines Lerngegenstands. Orientierungshilfe liefern sogenannte Kernfragen, die die Vorschauperspektive der Lernenden (Gallin & Ruf 1998; Leuders et al. 2011) darstellen und nah am Kontext sind. Aus der Rückschauperspektive werden Kernfragen durch Kernideen beantwortet, die wiederum nah am mathematischen Gegenstand verortet sind. Eine Kernfrage zur Einführung der negativen Zahlen lautet z. B. ‚Wie kann ich rechnen, wenn ich mehr wegnehme, als ich habe?’ und führt zu der Kernidee ‚Mit Hilfe von ganzen Zahlen kann man beschreiben und rechnen, wenn man mehr wegnimmt als man hat‘. Oder eine Kernfrage zur Einführung der Größen lautet z. B. ‚Wie kann ich große und kleine Dinge vergleichen?‘ und führt zu der Kernidee ‚Mit Größen kann man große und kleine Dinge vergleichen‘. Sollte es nicht möglich sein, einen authentischen Kontext für einen Lerngegenstand zu finden, so bieten sich innermathematische Aktivitäten an, die die Struktur des Lerngegenstands fokussieren. Als ein Beispiel wäre die Bruchaddition zu nennen. Abgesehen von der Addition von einfachen Brüchen ist es nicht leicht, einen authentischen Kontext zu finden. Eine Antwort auf diese Herausforderung ist die gerade genannte Strukturorientierung. Bei der Addition von Brüchen wird das für das konzeptuelle Verständnis zentrale Darstellungsmittel der Bruchstreifen (Prediger 2011) genutzt, um die innermathematisch ausgerichtete Kernfrage ‚Wie kann ich Anteile zusammenfassen?‘ (Glade, Prediger & Schmidt 2012) zu beantworten. Erst wird der Bruchstreifen mittels eines authentischen Kontextes (‚Vergleichen von Anteilen‘) eingeführt: zum Vergleich von Ergebnissen in einer Wettbewerbssituation, bei der die Gesamtgrößen unterschiedlich sind (vgl. Abb. 4.1, Aufgabe 2). Dann wird der Bruchstreifen zum Vergleichen und Addieren von Zeitanteilen mit Hilfe von Tagesstreifen genutzt. Auf dieser Grundlage wird der Fokus auf strukturelle Aspekte der Addition gelegt (vgl. Abb. 4.1, Aufgabe 11). Auf diese Weise werden die Darstellungen nicht unvermittelt eingeführt, sondern bilden die Brücke zwischen Kontexten, in denen die Darstellungen für die Lernenden in der Vorschauperspektive sinnhaft eingeführt werden, und mathematischer Strukturierung. Neben Lerngegenständen, bei denen die Aktivitäten im Kontext in strukturorientierte Aktivitäten überführt werden, gibt es auch Lerngegenstände, zu denen es sehr schwierig ist, einen außermathematischen Kontext zu finden, wie z. B. bei Termumformungen oder Äquivalenzumformungen. In diesen Fällen bieten sich innermathematische Kontexte an, die direkt auf die Struktur des Gegenstands fokussieren. Doch auch in diesen Fällen sind die bedeutungstragenden Darstellungen (wie auch die entsprechenden sprachlichen Mittel) das Fundament für ein nachhaltiges Verständnis. Es zeigt sich, dass eine konsequente Kontextorientierung (K1) zwar eine Zielsetzung sein kann, aber für jeden einzelnen Lerngegenstand abgewogen werden muss, und

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Abb. 4.1 Bruchstreifen im Kontext (Aufgaben 2,10) und dekontextualisiert (Aufgabe 11) (Quelle: Glade et al. 2012, S. 46, 51)

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gegenüber den anderen Aspekten Lernendenvorerfahrungen (K3) und mathematische Authentizität (K2) sorgsam abgewogen werden muss. Gleichermaßen zeigen die Beispiele, dass mit den Kontexten mathematische Werkzeuge, insbesondere Darstellungsmittel, vorbereitet werden, die für das Verstehen der jeweiligen Kernideen essentiell sind. Die Verbindung zwischen Kontext und strukturierter mathematischer Darstellung gelingt besonders zugänglich, wenn der Kontext in Gestalt von Spielen zur Verfügung gestellt wird, da Spiele so gestaltet werden können, dass sie die notwendigen Darstellungen als Spielelemente bereitstellen. Für den Kontext ‚Guthaben und Schulden‘ beispielsweise wird in der Mathewerkstatt ein Spiel bereitgestellt, mit dem man pro Runde eine Haushaltssituation mit Einnahmen und Ausgaben, Guthaben und Schulden simuliert. Ziel ist es, durch geschicktes Agieren eine bestimmte Haushaltssituation zu erreichen. Die Spielsituation enthält gängige monatliche Einnahmen und Ausgaben wie Miete, Einkommen o. ä. Die Züge werden auf einer Kontostandsleiste durchgeführt und die Bewegungen pro Zug mit Ausgabe- und Einnahmepfeilen dargestellt. Eine Spielsituation erlaubt es nicht nur mathematische Darstellungsmittel (Zahlengerade) vorzubereiten, sondern durch die Reflexion des eigenen spielerischen Handelns wird das Systematisieren der eigenen Erfahrungen und Handlungen vorbereitet, die dann im nächsten Kernprozess des Ordnens genutzt werden, um die konsolidierte Mathematik (z. B. Addition und Subtraktion negativer Zahlen) zu behandeln (vgl. Abb. 4.2). Abb. 4.2 Schülerprodukt zum Erkunden der negativen Zahlen aus der Erprobung der Mathewerkstatt

4.3

Kontextorientierung während des Ordnens

Das Ordnen ist die Phase des Systematisierens und Sicherns, in der die Erfahrungen aus dem Erkunden reflektiert werden, das fachmathematische Instrumentarium entwickelt wird, Gelerntes vernetzt und dokumentiert wird, und all das mit möglichst vielen, aktiven Aneignungshandlungen auf Seiten der Lernenden (Barzel et al. 2011; Prediger, Barzel, Leuders & Hußmann 2011).

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Abb. 4.3 Systematisieren der Bruchaddition (Quelle: Glade et al. 2013, S. 59)

Der Schritt vom Erkunden zum Ordnen ist der Schritt, bei dem es darum geht, die im Erkunden aufgebauten Erfahrungen einem nachhaltigen, konsolidierten Wissensbestand zuzuführen, mit dem die reguläre Mathematik so aufbereitet wird, dass sie für die Ver Verwendung in anderen Situationen und Kontexten zur Verfügung steht. Mit dem Kernprozess des Ordnens eng verbunden sind die Fragen, wie es gelingen kann, aus dem kontextuellen Wissen mathematisches Wissen zu gewinnen und wie der Transfer auf andere Kontexte vorbereitet wird. Eine Antwort auf diese Fragen wurde am Ende des Abschnitts zum Erkunden schon gegeben. Kontextuelle Aktivitäten sollten mit den mathematischen Aktivitäten über bedeutungstragende mathematische Darstellungsmittel verknüpft sein. Diese Darstellungen sind im Idealfall so aufgebaut, dass man von ihnen alle kontextuellen Informationen abstreifen kann, ohne dass sie dabei ihren inhaltlichen Kern verlieren. Das ist kein Prozess, der von selbst funktioniert, sondern im Kontext angelegt ist und bei verschiedenen Abstraktions- oder Transferschritten aktiv und eigentätig durch die Lernenden vollzogen werden muss. In Abb. 4.1 sieht man beispielsweise den Transfer des Bruchstreifens im Kontext ‚Anteile vergleichen‘ von der Situation ‚Vergleich von Wurfergebnissen‘ auf die Situation ‚Vergleich von Tagesanteilen‘. Danach werden die kontextbezogenen Streifen durch die strukturorientierte Aufgabe 11 schrittweise vom Kontext gelöst, denn zur Bear Bearbeitung der Aufgabe benötigt man vor allen Dingen die Streifen, aber weniger den Kontext. Der Kontext fungiert hier nur als potentielle Unterstützung. Im daran anschließenden

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Ordnen wird sich weiter vom Kontext gelöst, um die reguläre Mathematik zu etablieren und so aufzubereiten, dass sie als Werkzeug für andere Kontexte zur Verfügung steht (vgl. Abb. 4.3). Und auch hier steht der Kontext potentiell bereit, den Objekten und Handlungen Bedeutung zu verleihen. Auch im Kontext zu den negativen Zahlen wird mit der Zahlengerade ein Darstellungsmittel genutzt, das nicht kontextspezifisch, sondern übergreifend als mathematisches Werkzeug verwendet werden kann. Etwas schwieriger fällt in diesem Beispiel das völlige Abstreifen des Kontextes, da die Funktion des Kontextes zum Verständnis des Begriffs der negativen Zahl, insbesondere der Subtraktion ganzer Zahlen, enger an den Kontext gebunden ist, als dies in dem Beispiel zur Bruchaddition der Fall ist. Die Schülerlösung in Abb. 4.2 zeigt, welche Bedeutung der Kontext für die Beschreibung der Addition und Subtraktion ganzer Zahlen besitzt. Die Zahlzeichen werden als Besitz bzw. als Schulden interpretiert, die Rechenzeichen als zeitliche Veränderung, z. B. wird, um den Besitz vor einem Monat zu bestimmen subtrahiert. Um die Zahlengerade zur Darstellung von Addition und Subtraktion zu nutzen, muss sowohl der Veränderungswert (Zahlzeichen) als auch die zeitliche Richtung, unter der die Veränderung betrachtet wird (Rechenzeichen), in der Darstellung identifiziert werden (vgl. Abb. 4.4 oben). Dazu muss man einen Startpunkt festlegen. Abhängig davon, ob an dem Startpunkt die Pfeilspitze oder das Pfeilende positioniert ist, ist es eine Subtraktion oder eine Additionsaufgabe. Damit erhält man bei der Deutung einer Darstellung an der Zahlengerade immer zwei Aufgaben, abhängig von der Festlegung des Startpunktes (vgl. Abb. 4.4 unten). Die Stärke des Kontextes ist es hier, dem Startpunkt, der Qualität der Änderung und der Richtung, unter der die Veränderung betrachtet wird, eine für das Ver Verständnis tragende Bedeutung zu geben.

Abb. 4.4 Subtrahieren und Addieren ganzer Zahlen an der Zahlengerade und im Kontext (Quelle: Hußmann et al. 2013, oben: S. 76, unten S. 81)

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In beiden Beispielen wird deutlich, dass der Weg vom Kontext zu den mathematischen Begriffen über zentrale Darstellungen vollzogen wird, die durch den Kontext Bedeutung bekommen und zugleich den mathematischen Kern tragen. Inwieweit die Lösung vom Kontext, die im Erkunden vorbereitet wird, im Ordnen tatsächlich vollständig vollzogen werden kann, hängt vom Kontext, aber vor allen Dingen vom jeweiligen mathematischen Gegenstand und den vermittelnden Darstellungen ab. Da bei den Rechenoperationen mit negativen Zahlen sowohl Rechenzeichen und Zahlzeichen, Status und Veränderung als auch unterschiedliche Rechenoperationen unterschieden werden müssen, handelt es sich um ein relativ komplexes Konzept, das nicht leicht in einer Darstellung zu kondensieren ist. Daher liegt es hier nahe, die Operationen weiterhin auch kontextbezogen zu stützen.

4.4

Abschließende Diskussion

Um mathematisches Wissen verstehensorientiert aufzubauen und nachhaltig zur Verfügung zu haben, ist ein Kontext verbunden mit einer Kernidee, der als roter Faden die Phasen des Erkundens und Ordnens strukturiert und über eine schrittweise Abstrahierung die mathematischen Konzepte etabliert, eine gute Basis. Dabei helfen mathematische Darstellungen als Gelenkstelle zwischen Kontext und fachlichem Gegenstand. Damit kontextuelles Denken zu mathematischem Denken wird, sind Elemente der Reflexion und der Automatisierung notwendig. Die Reflexion hilft das Allgemeine im konkreten Kontext zu identifizieren, aber auch die reinen mathematischen Aktivitäten mit Bedeutung zu versehen, indem sie wieder an den Kontext rückangebunden werden. Die Reflexion hilft zudem, die Grenzen des Kontextes zu erfahren und einen Transfer auf andere Kontexte zu ermöglichen. Automatisierungsprozesse sind notwendig, um die Darstellungen als mathematische Werkzeuge zu nutzen, ohne sie in allen Situationen immer an den Kontext zu binden. Während die Reflexion in allen drei Kernprozessen ein zentrales Element ist, hat das Automatisieren seinen Platz im Vertiefen. Das Vertiefen ist der Kernprozess, in dem u. a. Verstehenshürden thematisiert, die gelernten Konzepte geübt, reflektiert und weitergedacht werden und der Transfer auf andere Kontexte vollzogen wird. Damit wird eine Lerneinheit maßgeblich durch einen Kontext getragen, der in allen Unterrichtsphasen durchgängig seine Wirkung entfaltet (vgl. Tab. 4.1). Durchgängige Kontextorientierung meint aber auch, dass nicht nur für eine abgeschlossene Lerneinheit ein zentraler Kontext tragend ist, sondern dass dieser auch im Hinblick auf die Anschlussfähigkeit an schon gelernte und anknüpfende Lerninhalte ausgewählt wird. Dies bedeutet u. a., dass mit jeder neuen Lerneinheit die für die neuen Begriffe zuvor gelernten Konzepte für den neuen Kontext nutzbar gemacht werden. Dies wiederum ist eine Anforderung an die Darstellungen und mathematischen Werkzeuge: sie müssen möglichst kontextunspezifisch sein und sich für unterschiedliche Lerngegenstände nutzen lassen.

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Tab. 4.1 Aspekte durchgängiger Kontextorientierung in verschiedenen Unterrichtsphasen Unterrichtsphasen

Aspekte

Zentrale Aussagen

Erkunden

Kontextauthentizität

Die Logik des Kontextes ist nicht selten eine andere als die des mathematischen Gegenstands. In der Phase des Erkundens steht die Logik und die Authentizität des Kontextes im Vordergrund. Ein Kontext muss nicht notwendig außermathematisch sein. In innermathematischen Kontexten ist es das Ziel, spezifische Muster zu entdecken.

Anknüpfen an Vorerfahrungen der Lernenden

Die Kontextauswahl orientiert sich an den Interessen aus der Lebenswelt der Lernenden. Es werden kontextspezifische Situationen bereitgestellt, in denen lebensweltliche Vorstellungen weiterentwickelt und mathematische Ideen und Konzepte angebahnt werden können. Auch mathematische Kontexte können genutzt werden, um Vorerfahrungen zu aktivieren, individuelle Interessen zu verfolgen und mathematische Ideen zu entwickeln.

Strukturorientierung

Sensibilisierung für mathematische Strukturen und Muster wird durch eine entsprechende Kontextstrukturierung angeregt. Im besten Fall ist die Strukturierung des Kontextes an die Strukturierung des mathematischen Gegenstands angelehnt. Dies wird durch das Zusammenspiel von Kernfragen und Kernideen gestützt.

Orientierung an Kernfragen

Eine Situation hinsichtlich eines Kontextes zu erschließen gelingt durch Kernfragen, welche man an den Kontext stellt und welche zu den relevanten mathematischen Kernideen führen. Kernfragen sind aus der Vorschauperspektive der Lernenden gestellt und leiten problemgenetisch die Erarbeitung mathematischer Konzepte.

Reflexion

Das Erkunden mündet in Reflexionen über die Kontextaktivitäten und dient als Angebot zur Restrukturierung der eigenen Ideen und der ersten Möglichkeit, über den Kontext hinausreichende mathematische Ideen zu formulieren.

Reichhaltigkeit

Ein Kontext muss reichhaltig sein, um Lernende mit ihren unterschiedlichen Interessen und Leistungsvermögen zur Auseinandersetzung mit dem mathematischen Lerngegenstand zu aktivieren.

Mathematische Authentizität

Die mathematischen Aktivitäten während des Erkundens und während des Systematisierens sind aus den Kontextaktivitäten abgeleitet und fachlich substantiell.

Darstellungsorientierung

Aus den Kontextaktivitäten werden mathematische Darstellungen gewonnen, die ohne Kontext fachlich substantiell bearbeitet werden könnten. Die Darstellungen sollten in der Regel aus dem Kontext hervorgehen, aber auch ohne diesen im Sinne der Kernidee des mathematischen Lerngegenstandes verwendbar sein.

Abstraktion vom Kontext

In der Phase des Systematisierens und Sicherns wird auf den Kontextaktivitäten und deren Reflexion aufgebaut, zugleich werden auch die kontextspezifischen Merkmale zu mathematischen Ideen und Konzepten abstrahiert.

Reflexion

Das Ordnen nutzt die Reflexionen im Erkunden als Basis, um die über den Kontext hinausreichenden mathematischen Ideen zu entwickeln.

Systematisieren und Sichern

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Durchgängige Kontextorientierung in allen Unterrichtsphasen

Vertiefen

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Transfer und Reflexion

Die mathematischen Ideen werden in neuen Kontexten fruchtbar gemacht. Dabei werden auch die Grenzen des übergreifenden Kontextes und der mathematischen Werkzeuge reflektiert.

Automatisierung

Der Umgang mit den entwickelten mathematischen Ideen, Werkzeugen und insbesondere den Darstellungen wird im und ohne Kontext geübt und weitergedacht. Eine Rückanbindung an den Kontext sollte insbesondere bei Verstehensschwierigkeiten genutzt werden.

Durchgängige Kontextorientierung holt die Schülerinnen und Schüler in ihrer Lebenswelt und bei ihren Fragen ab, sie verleiht den mathematischen Aktivitäten einen für die Lernenden nachvollziehbaren Sinn. Durchgängige Kontextorientierung heißt aber auch Orientierung hin zu den zentralen mathematischen Ideen und Konzepten, die dann wiederum Zugänge zu neuen Kontexten eröffnen.

Literatur Barzel, B., Prediger, S., Leuders, T. & Hußmann, S. (2011). Kontexte und Kernprozesse – Ein theoriegeleitetes und praxiserprobtes Schulbuchkonzept. In R. Haug & L. Holzäpfel (Hrsg.), Beiträge zum Mathematikunterricht (S. 71–74). WTM Verlag: Münster. Barzel, B. & Leuders, T. (2012). Zwerge und Riesen im Tierreich – Wie lang, wie schwer, wie alt? In B. Barzel, S. Hußmann, T. Leuders & S. Prediger (Hrsg.), Mathewerkstatt – Klasse 5 (S. 65–94). Cornelsen-Verlag: Berlin. Birkmeyer, J., Combe, A., Gebhard, U., Knauth, T. & Vollstedt, M. (2015). Lernen und Sinn. Zehn Grundsätze zur Bedeutung der Sinnkategorie in schulischen Bildungsprozessen. In U. Gebhard (Hrsg.), Sinn im Dialog (S. 9–33). Springer Fachmedien: Wiesbaden. Fischer, R. & Malle, G. (1985). Mensch und Mathematik. Eine Einführung in didaktisches Denken und Handeln. BI Wissenschaftsverlag: Mannheim/Wien. Freudenthal, H. (1983). Didactical phenomenology of mathematical structures. Dordrecht: Kluwer. Gallin, P. & Ruf, U. (1998). Dialogisches Lernen im Mathematikunterricht. Kallmeyer: Seelze-Velber. Glade, M., Prediger, S. & Schmidt, U. (2012). Freizeit von Mädchen und Jungen – Anteile vergleichen und zusammenfassen. In S. Prediger, B. Barzel, S. Hußmann & T. Leuders (Hrsg.), Mathewerkstatt – Klasse 6 (S. 43–78). Cornelsen Schulverlag: Berlin. Hußmann, S.  & Schindler, M. (2013). „Raus aus den Schulden“ – Ganze Zahlen. In B. Barzel, S. Hußmann, T. Leuders & S. Prediger (Hrsg.), Mathewerkstatt. Klasse 7 (S. 71–102). Cornelsen Schulverlag: Berlin. Hußmann, S. & Schindler, M. (2014). Ein Kontext für die Multiplikation negativer Zahlen – auch für die Multiplikation. Mathematik lehren, (183), 28–32.

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S. Hußmann

Leuders, T., Hußmann, S., Barzel, B. & Prediger, S. (2011). Das macht Sinn! Sinnstiftung mit Kontexten und Kernideen. Praxis der Mathematik, (37), 2–9. Prediger, S. (2011). Vorstellungsentwicklungsprozesse initiieren und untersuchen. Einblicke in einen Forschungsansatz am Beispiel Vergleich und Gleichwertigkeit von Brüchen in der Streifentafel. Der Mathematikunterricht, 57(3), 5–14. Prediger, S., Barzel, B., Leuders, T. & Hußmann, S. (2011). Systematisieren und Sichern. Nachhaltiges Lernen durch aktives Ordnen. Mathematik lehren, (164), 2–9. Steinbring, Heinz (1994). Symbole, Referenzkontexte und die Konstruktion mathematischer Bedeutung – am Beispiel der negativen Zahlen im Unterricht. Journal für Mathematik-Didaktik, 15(3/4), 277–309. Stuckey, M., Hofstein, A., Mamlok-Naaman, R. & Eilks, I. (2013). The meaning of 'relevance' in science education and its implications for the science curriculum. Studies in Science Education, 49, 1–34. Treffers, A. (1987). Three dimensions: a model of goal and theory description in mathematics instruction – The Wiskobas project. Dordrecht: Kluwer. Van den Heuvel-Panhuizen, M. (2005). The role of contexts in assessment problems in mathematics. For the Learning of Mathematics, 25(2), 2–9. Winter, H. (1991). Entdeckendes Lernen im Mathematikunterricht. Vieweg: Braunschweig. Winter, H. (1995). Mathematikunterricht und Allgemeinbildung. Mitteilungen der Gesellschaft für Didaktik der Mathematik, 61, 37–46.

Grundvorstellungen versus Concept Image? Gemeinsamkeiten und Unterschiede beider Theorien am Beispiel des Funktionsbegriffs

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Marcel Klinger

Zusammenfassung

Sowohl bei der Grundvorstellungs- als auch bei der Concept-Image-Theorie handelt es sich um Theorien, die zu erklären versuchen, wie wir mathematische Konzepte nutzen und welche Vorstellungen wir dabei mit ihnen verbinden. Während die Grundvorstellungsidee in der deutschsprachig geprägten Stoffdidaktik von besonderer Bedeutung ist, steht der Concept-Image-Begriff vor allem in englischsprachiger Tradition. Beide Theorien besitzen zweifelsohne Gemeinsamkeiten, verfolgen sie doch letztlich ähnliche Ziele. Andererseits liefe eine auf den Begrifflichkeiten basierende fachdidaktische Diskussion bei einem Gleichsetzen der Begriffe Gefahr, an Präzision zu verlieren. Vor diesem Hintergrund sind auch die mitunter den verschiedenen Forschungstraditionen geschuldeten Unterschiede zu berücksichtigen. Entsprechend geht der vorliegende Artikel auf beide Theoriekonstrukte ein und stellt Unterschiede wie Gemeinsamkeiten dar. Die geführte Diskussion wird hierbei vor allem an einem mathematischen Begriff veranschaulicht, dem sich im Rahmen beider Theorien bereits umfangreich gewidmet wurde: dem Funktionsbegriff. Der Beitrag illustriert den Zusammenhang beider Theorien u. a. anhand der Antworten von etwa 100 Studierenden auf die Frage „Was verbinden Sie mit einer Funktion?“ und zeigt dabei exemplarisch für Anwender auf, wie die verschiedenen Perspektiven beider Theorien im Zusammenspiel einen Mehrwert ergeben können und interessante Fragen aufbringen. Marcel Klinger * Universität Duisburg-Essen Essen, Deutschland E-Mail: [email protected]

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2019 A. Büchter et al. (Hrsg.), Vielfältige Zugänge zum Mathematikunterricht, https://doi.org/10.1007/978-3-658-24292-3_5

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M. Klinger

5.1 Einleitung Zu Beginn ihrer Veranstaltung „Algebra und Funktionen in der Sekundarstufe I“ stellt Bärbel Barzel ihren Studierenden meist die Frage „Was verbinden Sie mit einer Funktion?“. Unter den vielen Reaktionen findet sich meist nicht die Antwort, dass es sich bei Funktionen um linkstotale, rechtseindeutige Relationen handelt. Stattdessen nennen Studierende meist einzelne Aspekte oder Eigenschaften des Funktionsbegriffs. Natürlich war klar, dass ich diese Tradition übernehmen würde, als ich im Sommersemester 2018 erstmals diese Veranstaltung an der Universität Duisburg-Essen verantworten durfte. Per Audience Response System Pingo (s. pingo.upb.de) bat ich etwa einhundert Studierende um Rückmeldung. Ich erhielt Eingaben wie Graph, Zuordnung, Nullstelle, Ableitung, Wendepunkt, Term, Parabel oder schlicht „f  (x)“, aber auch in drei Fällen individuelle Begriffsdefinitionen. Studierende nennen also vielfältige Bezeichnungen aus dem Umfeld des Funktionsbegriffs, mit denen sie möglicherweise Bilder, Vorstellungen, Ideen oder auch Emotionen verbinden. Diese Art von kognitiven Strukturen lassen sich mit unterschiedlichen mathematikdidaktischen Theorien beschreiben. Der vorliegende Beitrag greift zwei solcher Theorien auf, namentlich die vor allem in deutschsprachiger Tradition stehende Grundvorstellungstheorie (vom Hofe 1992, 1995) sowie die eher im englischen Sprachraum geprägte Theorie von Concept Image und Concept Definition (Vinner & Hershkowitz 1980; Tall & Vinner 1981). Letzteres Begriffspaar ist innerhalb der deutschsprachigen Literatur auch oft unter den Bezeichnungen Begriffsbild und Begriffsdefinition auffindbar (z. B. Weigand & Sträßer 2011). Zunächst soll auf beide Theorien im Einzelnen eingegangen werden, bis schließlich beide einander gegenübergestellt werden, um Unterschiede und Gemeinsamkeiten aufzuzeigen. Als mathematisches Inhaltsgebiet, dem sich bereits aus Perspektive beider Theorien genähert wurde, eignet sich vor allem die Funktionenlehre bzw. der in ihrem Zentrum stehende Funktionsbegriff.

5.2 Grundvorstellungen Beim Begriff Grundvorstellungen sind insbesondere die Arbeiten vom Hofes (1992, 1995) zu nennen. Der Autor motiviert diese vor allem mit der „Sinnlosigkeit“ (vom Hofe 1992, S. 345), die Schülerinnen und Schüler mit mathematischen Inhalten zu verbinden scheinen. Dieses Empfinden der Sinnlosigkeit begründet sich dabei weniger im „grundsätzlichen Desinteresse gegenüber mathematischen Zusammenhängen oder ihren Anwendungen [...], sondern häufig bereits in dem ungenügenden Verständnis der elementaren mathematischen Begriffe und Verfahren“ (vom Hofe 1992, S. 345). Entsprechend ist für die mathematische Wissensvermittlung essentiell, „was Menschen sich unter mathematischen Inhalten vorstellen, welche inhaltliche Bedeutung sie damit verbinden“ (Blum et al. 2004, S. 145, Hervorhebungen im Original).

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Grundvorstellungen versus Concept Image?

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Ausgehend von ersten Verwendungen des Begriffs Grundvorstellungen in der deutschen Rechendidaktik, widmete sich vom Hofe (1992, 1995) im Rahmen seiner Dissertation der systematischen Aufarbeitung dieses und ähnlicher Begriffe. Hierzu zählen u. a. „Anschauungen“, „Vorstellungen“ und „Verinnerlichungen“ (vgl. vom Hofe 1995, S. 23). In seiner Dissertation arbeitet vom Hofe (1995) den historischen Hintergrund dieses Begriffsnetzes auf und erarbeitet dabei wesentliche Gemeinsamkeiten, welche er unter dem Begriff der „Grundvorstellungsidee“ subsummiert und wie folgt beschreibt: „Die Grundvorstellungsidee beschreibt Beziehungen zwischen mathematischen Inhalten und dem Phänomen der individuellen Begriffsbildung. In ihren unterschiedlichen Ausprägungen charakterisiert sie mit jeweils unterschiedlichen Schwerpunkten insbesondere drei Aspekte dieses Phänomens: • Sinnkonstituierung eines Begriffs durch Anknüpfung an bekannte Sach- oder Handlungszusammenhänge bzw. Handlungsvorstellungen, • Aufbau entsprechender (visueller) Repräsentationen bzw. ‚Verinnerlichungen‘, die operatives Handeln auf der Vorstellungsebene ermöglichen, • Fähigkeit zur Anwendung eines Begriffs auf die Wirklichkeit durch Erkennen der entsprechenden Struktur in Sachzusammenhängen oder durch Modellieren des Sachproblems mit Hilfe der mathematischen Struktur.“ (vom Hofe 1995, S. 97 f., eigene Hervorhebungen; vgl. Blum et al. 2004)

Der Begriff befindet sich somit an der Schnittstelle zwischen mathematischen Strukturen, individuell-psychologischen Prozessen und realen Sachzusammenhängen und beschreibt Beziehungen zwischen diesen. Vom Hofe verdichtet dies kurz auf „Beziehungen zwischen Mathematik, Individuum und Realität“ (vom Hofe 1992, S. 347). Der Begriff lässt sich dabei in einer das Individuum wie auch die mathematischen Begriffe fokussierenden Weise auffassen: Grundvorstellungen dienen einerseits als „individuelles Erklärungsmodell des Schülers, das in das System seiner Erfahrungsbereiche eingebunden und entsprechend aktivierbar ist“ (vom Hofe 1992, S. 358), andererseits als „didaktische Kategorie des Lehrers, die im Hinblick auf ein didaktisches Ziel aus inhaltlichen Überlegungen hergeleitet wurde und Deutungsmöglichkeiten eines Sachzusammenhangs bzw. dessen mathematischen Kerns beschreibt“ (vom Hofe 1992, S. 358). Der Autor spricht in diesem Zusammenhang von einer deskriptiven und einer normativen Dimension. Während der normative Aspekt unter der Leitfrage steht, welche Grundvorstellungen zur Lösung eines Problems oder zur Bearbeitung einer Aufgabe adäquat bzw. sinnvoll sind und somit in gewisser Weise den Soll-Zustand in den Blick nimmt, beschreibt der deskriptive Aspekt den Ist-Zustand auf Seiten der Lernenden. Hier wird nach individuellen Vorstellungen gefragt, welche sich etwa an einer konkreten Schülerbearbeitung einer Aufgabe oder einer spezifischen Interview-Situation erkennen lassen (vgl. vom Hofe 1992,

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S. 353).1 Die normative Dimension versucht man hingegen meist über stoffdidaktische Analysen zu erschließen, welche anschließend im allgemeinen mathematikdidaktischen Diskurs konsolidiert werden. Die Grundannahme seiner Theorie verbindet beide Dimensionen: So nimmt vom Hofe an, „daß sich durch die Umsetzung der didaktischen Kategorie [normative Dimension] entsprechende individuelle Erklärungsmodelle ausbilden lassen [deskriptive Dimension], die – bei allen subjektiven Schattierungen – einen gemeinsamen Kern haben, oder kurz: daß sich Grundvorstellungen ausbilden lassen“ (vom Hofe 1992, S. 358). Hierbei nimmt er also an, dass ein an den Grundvorstellungen der mathematischen Inhalte ausgerichteter Unterricht prinzipiell dafür sorgen kann, dass sich Schülerinnen und Schüler diese ebenfalls im Rahmen ihres Lernprozesses als Teil der eigenen individuellen Vorstellungen zu eigen machen. Weiterhin betont vom Hofe (2003), dass es sowohl aus deskriptiver wie auch normativer Perspektive nicht eine Grundvorstellung eines mathematischen Inhalts gibt. Stattdessen werden zu einem mathematischen Begriff in der Regel mehrere Grundvorstellungen beschrieben (vgl. vom Hofe 2003). Blickt man etwa in stoffdidaktische Arbeiten zum Funktionsbegriff, zeigt sich eine im Wesentlichen einheitliche Beschreibung von i. d. R. drei Grundvorstellungen funktionaler Zusammenhänge: Gemeinhin werden hierbei die drei Vorstellungen • • •

Zuordnungsvorstellung (eine Funktion als Zuordnung einzelner Werte), Kovariationsvorstellung (eine Funktion als Wechselspiel zweier Größen) und Objektvorstellung (eine Funktion als eigenständiges mathematisches Objekt)

voneinander abgegrenzt (z. B. Vollrath 1989; Malle 20002; vom Hofe 2003). Weiterhin unterscheidet vom Hofe (2003) zwischen primären und sekundären Grundvorstellungen. Erstere reichen bis in die Vorschulzeit zurück und begründen sich durch konkrete gegenständliche Handlungserfahrungen. Im Laufe der Schulzeit werden diese sukzessive durch sekundäre Grundvorstellungen ergänzt, welche zunehmend auf mathematischen Repräsentationsmitteln wie Zahlenstrahl, Koordinatensystem oder Graphen basieren (vgl. vom Hofe 2006; vom Hofe & Blum 2016). So können Kinder etwa erste Vorstellungen zur eindeutigen Zuordnung einer Funktion entwickeln (natürlich ohne diesen mathematischen Begriff explizit zu kennen), etwa beim Aufhängen ihrer Jacken an Der Autor nennt gleichsam noch eine weitere Dimension, die sog. konstruktive Dimension, die hier jedoch nicht näher betrachtet werden soll. Diese versteht er gewissermaßen als Differenz des normativen und deskriptiven Aspekts. Die mit der Dimension assoziierte Leitfrage richtet sich entsprechend nach etwaigen Differenzen zwischen den intendierten Grundvorstellungen und den bei einer Schülerin oder einem Schüler tatsächlich ausgeprägten Vorstellungen in Bezug auf einen mathematischen Begriff. Weiterhin ist die Frage nach einem Weg, wie sich etwaige Divergenzen beheben lassen, von Bedeutung (vgl. vom Hofe 1992, S. 353 f.). 1

Malle (2000) beschränkt sich jedoch noch auf die ersten beiden genannten Vorstellungen und vernachlässigt somit die Objektvorstellung. 2

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den für sie individuell vorgesehenen Haken. Erst mit dem Beginn der Funktionenlehre in der Schule werden sich elaboriertere Vorstellungen zum Funktionenbegriff entwickeln, die auf mathematischen Darstellungsformen wie einem Graphen im Koordinatensystem fußen (vgl. Roth & Siller 2016). In späteren Veröffentlichungen bindet vom Hofe die begriffliche Unterscheidung zwischen primären und sekundären Grundvorstellungen nicht mehr unmittelbar an die persönliche begriffsgenetische Entwicklungsphase der Lernenden. Stattdessen beschreiben vom Hofe und Jordan (2009) primäre Grundvorstellungen als solche, die für das Übersetzen zwischen Mathematik und Realität erforderlich sind, während sekundäre Grundvorstellungen das Operieren zwischen unterschiedlichen innermathematischen Darstellungsarten ermöglichen, etwa wenn bei der Untersuchung einer Funktion zwischen verschiedenen Darstellungsformen wie Graph und Term gewechselt werden muss (vgl. vom Hofe & Jordan 2009, S. 5; vom Hofe & Blum 2016, S. 233 f.). Aus deskriptiver Perspektive betrachtet vom Hofe (1992) den Begriff Grundvorstellung als „individuelles Erklärungsmodell des Schülers, das in das System seiner Erfahrungsbereiche eingebunden und entsprechend aktivierbar ist“ (vom Hofe 1992, S. 358). Den Begriff Erfahrungsbereich bezieht er dabei vor allem auf die Theorie subjektiver Erfahrungsbereiche Bauersfelds (1983) (vgl. vom Hofe 1995, S. 126 ff.). Der Theorie liegt die Annahme der sog. Bereichsspezifität aller gedanklichen Strukturen zugrunde (vgl. vom Hofe 1995, S. 109): „Begriffliche Strukturen und Systeme implizieren nie eine unbeschränkte Generalität [...] Jedes individuelle kognitive System ist seinem Wesen nach beschränkt auf die Situationen, in denen es erarbeitet wurde [...].“ (Seiler 1973, S. 266)

Diese Bereichsspezifität mathematischen Wissens und somit auch mathematischer Vorstellungen lässt sich etwa anhand der Rechenaufgabe 8 : 4 = ? verdeutlichen. So wird häufig beobachtet, dass Schülerinnen und Schüler, die Probleme zeigen diese Aufgabe zu lösen, dazu sehr wohl fähig sind, sobald sich der Kontext ändert. So kann etwa die Aufforderung, sich vorzustellen acht Bonbons an vier Kinder zu verteilen, dazu führen, dass sie ohne Schwierigkeiten zur korrekten Lösung gelangen (vgl. vom Hofe 1995, S. 109). Im konkreten Beispiel scheint gerade die Hinzunahme eines Kontextes die Aufteilungsvorstellung zur Division natürlicher Zahlen zu aktivieren, die hier gerade die Rolle eines Türöffners zur Lösung des entsprechenden Problems einnimmt (vgl. Padberg & Benz 2011, S. 153 f.). Ein ähnliches Beispiel entstammt der Funktionenlehre bzw. der frühen Analysis: In der entsprechenden Studie sollten über 3000 Schülerinnen und Schüler gegen Ende des ersten Oberstufenjahres den Scheitelpunkt einer in Form ihrer Funktionsgleichung gegebenen quadratischen Funktion bestimmen. Das Item erwies sich mit einer Lösungsquote von 26,3 Prozent für die Lernenden als vergleichsweise schwer zu lösen. Obwohl die Differentialrechnung den stofflichen Mittelpunkt des entsprechenden Unterrichtsjahres ausmacht, zogen lediglich 14,0 Prozent der Probanden den Ableitungskalkül zur Lösung

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heran (vgl. Klinger 2018, S. 289). Dies lässt sich möglicherweise dadurch begründen, dass die Begriffe „Scheitelpunkt“ und der Ableitungskalkül sowie der unterrichtlich oft nahe Begriff „lokaler Extrempunkt“ bei vielen Schülerinnen und Schülern unterschiedlichen subjektiven Erfahrungsbereichen zugeordnet sind. Für die Lernenden handelt es sich entsprechend um zwei grundverschiedene Aufgaben, die in unterschiedlichen „Welten“ angesiedelt sind. So entstammt die erste Variante im ersten Beispiel der „Zahlenwelt“, während die zweite innerhalb der „Geldwelt“ angesiedelt ist (vgl. vom Hofe 1995, S. 110). Im zweiten Beispiel konkurrieren die Welten „Quadratische Funktionen und Parabeln der Sekundarstufe I“ sowie „Differentialrechnung der Oberstufe“ miteinander. Phänomene wie dieses lassen sich nach Bauersfeld (1983) darauf zurückführen, dass Schülerinnen und Schüler in diesem Fall auf zwei voneinander getrennte unterschiedliche subjektive Erfahrungsbereiche (SEB) zurückgreifen. SEB sind für ihn dabei kein starres Konzept: Sie haben „Prozeßcharakter und daher eine je eigene Wandlungsgeschichte ihrer Zustände vom Entstehen bis zum möglichen Verfall (Vergessenwerden)“ (Bauersfeld 1983, S. 2). Hieraus lässt sich ein weiterer wichtiger Aspekt des Grundvorstellungskonzepts ableiten: Grundvorstellungen sind hinsichtlich der deskriptiven Perspektive nicht als stabiles und vollends fixiertes und für alle Zeiten gültiges gedankliches Werkzeug zu verstehen (vgl. vom Hofe 2003, S. 6). Vielmehr handelt es sich um die Ausbildung eines Netzwerks, welches sich durch sukzessiven Zugewinn neuer Aspekte „zu einem immer leistungsfähigeren System mentaler mathematischer Modelle entwickelt“ (vom Hofe 2003, S. 6, Hervorhebung im Original). In späteren Arbeiten spricht vom Hofe auch von sog. Grundvorstellungsumbrüchen, wenn nicht länger anschlussfähige individuelle Vorstellungen zu Gunsten eines breiteren Bildes aufgegeben werden müssen (vgl. vom Hofe & Wartha 2004): So ist etwa denkbar, dass ein Lernender eine Funktion bereits als mathematisches Modell zweier kovariater Größen erfasst, jedoch implizit von einer gewissen Stetigkeit des Wechselspiels beider Variablen ausgeht. Spätestens wenn im Rahmen der Oberstufe oder eines etwaigen Hochschulstudiums auch unstetige Zusammenhänge betrachtet werden, muss diese Vorstellung „umgebrochen“ werden. Geschieht dies nicht, besteht die Gefahr, dass sich Fehlvorstellungen entwickeln, wenn nicht mehr legitim verwendbare Vorstellungen dennoch zur Anwendung gebracht werden (vgl. Padberg & Wartha 2017, S. 4 f., 241 f.).

5.3

Concept Image und Concept Definition

Eine Veröffentlichung zur zweiten betrachteten und insbesondere im englischen Sprachraum verbreiteten Theorie erschien erstmals 1980 in Form eines Konferenzbeitrags von Vinner & Hershkowitz (1980). Später prägten vor allem Tall & Vinner (1981) mit ihrem Artikel „Concept image and concept definition in mathematics with particular reference to limits and continuity“ die innerhalb ihrer Theorie zentralen Begriffe Concept Image und Concept Definition. Sie verstehen unter Ersterem alle kognitiven Strukturen, die mit einem

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Begriff (engl. „concept“) verbunden sind, was sich insbesondere auf alle mentalen Repräsentationen sowie zugehörige Eigenschaften und Prozesse bezieht. In ihrer Definition des Begriffs heben sie außerdem den langfristigen Entwicklungscharakter des Concept Image hervor: „We shall use the term concept image to describe the total cognitive structure that is associated with the concept, which includes all the mental pictures and associated properties and processes. It is built up over the years through experiences of all kinds, changing as the individual meets new stimuli and matures.” (Tall & Vinner 1981, S. 152)

Das Concept Image verdeutlichen die Autoren am Beispiel der Subtraktion, welche typischerweise zunächst für natürliche Zahlen eingeführt wird. In dieser Phase machen Kinder die Erfahrung, dass eine Subtraktion stets die vorliegende Anzahl verringert. Diese Beobachtungen verfestigen sich somit als Teil des Concept Image, was im späteren Bildungsverlauf zu Problemen führen kann, etwa bei der Subtraktion negativer Zahlen (vgl. Tall & Vinner 1981, S. 152). Bereits 1983 setzt sich Vinner vor dem Hintergrund der Concept-Image-Begrifflichkeit auch mit dem Funktionsbegriff auseinander: In der entsprechenden Studie wurden Schülerinnen und Schüler gebeten Funktionen zu finden, die Bedingungen derart genügen, dass es nur schwer möglich ist, entsprechende Funktionsterme aufzustellen. Viele Probanden verneinten die Frage, ob eine entsprechende Funktion überhaupt existiere. Aufgrund ihres im Laufe ihrer Schullaufbahn bisher gebildeten Concept Image betrachten viele Lernende offenbar nur solche Funktionen als legitim, die sich durch eine geschlossene Termdarstellung beschreiben lassen (vgl. Vinner & Dreyfus 1989; Sierpinska 1992). Erst wenn etwa abschnittsweise definierte Funktionen im Kontext von Stetigkeitsuntersuchungen eingeführt werden, geraten Lernende mit einem entsprechend restringierten Concept Image in Konflikte. Die Autoren schließen daraus: „all mental attributes associated with a concept, whether they be conscious or unconscious, should be included in the concept image; they may contain the seeds of future conflict.” (Tall & Vinner 1981, S. 152) Insbesondere fassen sie das Concept Image als eine dynamische kognitive Struktur auf, welche ständigen Einflüssen unterworfen ist und in einem Prozess des lebenslangen Lernens sukzessive Erweiterungen, Umbrüche und Wandlungen erfährt. Es wird weiterhin betont, dass das Concept Image einer Person zu einem gewissen Begriff im Verlauf solcher Veränderungen nicht zu allen Zeiten kohärent sein muss, vielmehr können unterschiedliche Stimuli verschiedene Teile des Concept Image aktivieren, während andere im Verborgenen bleiben. Auf diese Weise kann ein Gesamtbild entstehen, dass nicht notwendigerweise ein widerspruchsfreies Ganzes formt. In diesem Zusammenhang sprechen Tall & Vinner auch vom sog. Evoked Concept Image (bzw. bei Vinner 1983 Temporary Concept Image), welches solche Teile des generellen Concept Image bezeichnet, die zu einem spezifischen Zeitpunkt aktiviert sind. Nur wenn gleichzeitig sich

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widersprechende und somit zueinander in Konflikt stehende Aspekte des Concept Image gleichzeitig aktiviert werden, entsteht der Eindruck eines Konflikts oder einer Verwirrung bei der entsprechenden Person. Zwei sich derart potentiell widersprechende Teile des Concept Images bezeichnen Tall & Vinner als Potential Conflict Factor. Erst wenn beide Teile wie beschrieben simultan genutzt werden, also gleichzeitig vom Evoked Concept Image erfasst werden, und dies zu einem Konflikt des Individuums führt, sprechen die Autoren von einem Cognitive Conflict Factor (vgl. Tall & Vinner 1981, S. 153 f.). Als zweite begriffliche Säule der Arbeiten Tall und Vinners steht neben des Concept Images auch die Definition eines mathematischen Begriffs im Fokus – die sog. Concept Definition. Die Autoren gehen insbesondere auf die Rolle einer solchen Definition für mathematische Vermittlungsprozesse ein. So kann für eine ausgebildete Mathematikerin oder einen ausgebildeten Mathematiker etwa eine andere Definition zweckmäßig sein als für Lernende der Oberstufe. Dass die Qualität einer mathematischen Definition auch und insbesondere davon abhängt, an wen sie adressiert ist, erkannte bereits Poincaré: „What is a good definition? For the philosopher or the scientist, it is a definition which applies to all the objects to be defined, and applies only to them; it is that which satisfies the rules of logic. But in education it is not that; it is one that can be understood by the pupils.” (Poincaré 1914, S. 117)

Tall & Vinner definieren die Concept Definition schlicht wie folgt: „We shall regard the concept definition to be a form of words used to specify that concept.” (Tall & Vinner 1981, S. 152) Bei der Concept Definition handelt es sich also im engeren Sinne um eine verschriftlichte bzw. verbalisierte Definition eines Begriffs. Von besonderem Interesse für Tall & Vinner ist vor allem das Wechselspiel von Concept Image und Concept Definition. So beschreibt der Begriff der Concept Definition in einem weiteren Sinne auch die persönliche (Re-)Konstruktion einer Schülerin oder eines Schülers von einem zuvor erlernten mathematischen Konzept. Wenn gerade diese persönliche Prägung einer formulierten Definition begrifflich betont werden soll, sprechen Tall & Vinner auch von einer sog. Personal Concept Definition (vgl. Tall & Vinner 1981, S. 152). Es handelt sich dann um einen Ausdruck in Form von Wörtern des eigenen (Evoked) Concept Image zum spezifischen Zeitpunkt der Verbalisierung bzw. Verschriftlichung der Definition. Aus diesem Grund ist eine persönlich geprägte Concept Definition unter Umständen von einer formal-gültigen Concept Definiton, welche sich dadurch auszeichnet, dass sie in der breiten mathematischen Fachwelt Akzeptanz erfährt, zu unterscheiden (vgl. Tall & Vinner 1981, S. 152). Als Beispiel hierfür kann erneut die Studie von Vinner (1983) herangezogen werden, der Lernende auch darum bat, eine persönliche Definition des Funktionsbegriffs zu verschriftlichen. Hingegen zielt eine Nachfrage, wie sie in der Einleitung erwähnt wurde, was Studierende mit einer Funktion verbinden, vor allem auf das persönliche Concept Image der Studierenden ab. In meiner eigenen zu Beginn genannten Erhebung nahmen insgesamt drei Studierende zudem eine Definition des Begriffs vor. Eine Antwort lautete beispielsweise: „Ein Term bestehend aus Variablen und Zahlen, der einen Verlauf einer Linie in einem

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Koordinatensystem beschreibt.“ Auch bei diesem Studierenden finden offenbar nur solche Zuordnungen als Funktionen Anerkennung, wenn sich diese als geschlossene Funktionsterme und überdies auch als Graph darstellen lassen. Umgekehrt ruft für Tall & Vinner jede Concept Definition in einem Individuum ihrerseits ein eigenes Concept Image hervor, welches wiederum Teil des gesamten Concept Image der entsprechenden Person wird oder bereits ist (vgl. Greefrath et al. 2016, S. 102 f.). Hierbei berücksichtigen die Autoren ausdrücklich auch ein leeres bzw. beinahe nicht existentes Concept Image, welches durch eine Concept Definition induziert wird (vgl. Tall & Vinner 1981, S. 153). In seiner Konsequenz bedeutet dies, dass Definitionen derart formuliert werden sollten, dass sie der Erweiterung des Begriffsbildes in gewünschter Form zuträglich sind. Das Wechselspiel zwischen Concept Definition und Image lässt sich bereits bei populären Mathematikern der Geschichte beobachten. So definiert beispielsweise Leonhard Euler in seinem einflussreichen Werk „introductio in analysin infinitorum“ im Jahr 1748 den Funktionsbegriff zunächst wie folgt: „Eine Function einer veränderlichen Zahlgrösse ist ein analytischer Ausdruck, der auf irgend eine Weise aus der veränderlichen Zahlgrösse und aus eigentlichen Zahlen oder aus constanten Zahlgrössen zusammengesetzt ist.“ (Euler 1983, S. 4, Hervorhebungen im Original)

Sieben Jahre später ist es Euler selbst, der in seinem zweiten großen Werk – der „institutiones calculi differentialis“ – das Bild des Funktionsbegriffs mit folgender Definition verallgemeinert: „Sind nun Größen auf die Art voneinander abhängig, daß keine davon eine Veränderung erfahren kann, ohne zugleich eine Veränderung in der anderen zu bewirken, so nennt man diejenige, deren Veränderung man als die Wirkung von der Veränderung der anderen betrachtet, eine Funktion von dieser, eine Benennung, die sich so weit erstreckt, daß sie alle Arten, wie eine Größe durch eine andere bestimmt werden kann, unter sich begreift.“ (Heuser 2008, S. 154)

Während Euler, ähnlich wie der oben genannte Studierende, eine Funktion zunächst noch als geschlossenen Ausdruck verstand, weitete er sein Bild des Begriffs schließlich auf allgemeine einander kovariate Größen (vgl. Klinger 2018, S. 44 f.). In der Zusammenschau seiner Werke wird somit die Erweiterung des Concepts Images eines der bekanntesten Mathematiker gewissermaßen anhand der von ihm formulierten Personal Concept Definitions konserviert. Umgekehrt ist es aber auch nicht verwunderlich, dass ein Lernender, dem mittels Eulers erster Definition das Funktionskonzept begreiflich gemacht wird, dieses vor allem auf geschlossene Ausdrücke bezieht oder gar beschränkt. Neben der Formulierung der Definition selbst nehmen auch zahlreiche andere Faktoren Einfluss auf die Entwicklung des Concept Image von Lernenden. So stellen etwa Bingolbali & Monaghan (2008) fest, dass insbesondere die organisatorische Zugehörigkeit und unterschiedliche vermittlungstechnische Aspekte zu berücksichtigende Einflussgrößen hinsichtlich der Entwicklung des Concept Images darstellen. In ihrem Artikel berichten

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die Autoren am Beispiel des Ableitungskonzepts davon, dass ingenieurwissenschaftliche Studierende dazu neigen besonders die Vorstellung der Ableitungsfunktion als Änderungsrate innerhalb ihres Conept Images zu zentrieren, während Studierende mit fachmathematisch ausgerichtetem Studienschwerpunkt die Vorstellung einer Ableitungsfunktion als Steigung der Tangente an den Graphen in den Mittelpunkt rücken (vgl. Bingolbali & Monaghan 2008, S. 20). Während das Concept Image bis hierher also im Wesentlichen als Eigenschaft eines Individuums zu verstehen war, nimmt es in diesem Kontext vor allem die Rolle eines Begriffs ein, der die individuellen Vorstellungen einer ganzen Lerngruppe kollektiv beschreibt. In diesem Sinne ließe sich also auch von einem kollektiven Concept Image sprechen.

5.4

Zusammenhang beider Theorien

Sowohl bei der Grundvorstellungstheorie als auch bei der Theorie von Concept Image und Definition handelt es sich um Theorien, die zu erklären versuchen, wie wir mathematische Begriffe nutzen und welche Vorstellungen wir dabei mit ihnen verbinden. Beide Theorien weisen zweifelsohne Ähnlichkeiten auf. Gemein ist beiden Konzepten der konstruktivistisch-dynamische Blick auf den Aneignungsprozess mathematischer Begriffe und mit ihnen verbundener Vorstellungen: Beide Theorien gehen davon aus, dass Grundvorstellungen bzw. individuelle Concept Images im Laufe des Lernprozesses sukzessive ausgebildet werden und dabei ggfs. Umbrüchen, Anpassungen und Erweiterungen unterworfen sind. Hierbei werden neue Wissenselemente in die vorhandene kognitive Struktur integriert oder bestehende abgeändert (vgl. Hafner 2012, S. 28 f.). Begrifflich unterscheidet sich hierbei jedoch, dass Tall & Vinner (1981) beispielsweise auch explizit falsche Vorstellungen als Bestandteil des Concept Images erlauben, während innerhalb der Grundvorstellungstheorie höchstens von nicht anschlussfähigen Grundvorstellungen, die einen Grundvorstellungsumbruch erforderlich machen, gesprochen wird. Bleibt dieser aus und resultieren daraus Fehler des Lernenden, ist meist von Fehlvorstellungen, nicht aber von „falschen“ Grundvorstellungen oder Ähnlichem die Rede (z. B. Padberg & Wartha 2017, S. 241 f.). Eine weitere Gemeinsamkeit zeigt sich auch in der Bereichsspezifität mathematischer Vorstellungen wie sie Seiler (1973) postuliert. Diese findet sich bei vom Hofe (1995) in dem Bezug auf Bauersfelds (1983) Theorie der subjektiven Erfahrungsbereiche (SEB) wieder. So kann es sein, dass Schülerinnen und Schüler in einer gegebenen Situation nicht ihr volles Potential entfalten, da jene Teile ihres Wissens, die zur Lösung des Problems dienlich wären, in unterschiedlichen und nicht gleichzeitig aktivierten SEB vorgehalten werden. Bei Tall & Vinner (1981) verdeutlicht sich dieser Zusammenhang im Begriff des Evoked Concept Image. So kann es auch hier vorkommen, dass nur Teile des gesamten Concept Images eines Individuums aktiviert werden, so dass auch hier das vollständige Potential nicht zur Verfügung steht.

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Trotz vieler Parallelen setzen beide Theorien jedoch durchaus unterschiedliche Akzente: Während vom Hofe (1995) dem Begriff Grundvorstellung eine explizit deskriptive, normative (und konstruktive) Dimension zuweist, beschränken sich Tall & Vinner (1981) im Wesentlichen auf eine deskriptive Ebene, um Erklärungen für das Verhalten von Schülerinnen und Schülern beim Umgang mit mathematischen Begriffen zu finden (vgl. Rembowski 2016, S. 173; vom Hofe & Blum 2016, S. 237). Hierbei spielt insbesondere die Concept Definition eine wichtige Rolle, die bei vom Hofe weniger Berücksichtigung erfährt. Ein entscheidender Unterschied beider Theorien ist aber auch folgender: Grundvorstellungen beziehen sich vorrangig auf den Zusammenhang zwischen mathematischen Begriffen, dem Individuum und der Realität. Ein wichtiger Aspekt von dreien, die vom Hofe in diesem Zusammenhang nennt, ist hierbei der Aufbau entsprechender mentaler Repräsentationen der mathematischen Begrifflichkeiten. Gerade dieser Aspekt bildet aber den im Wesentlichen alleinigen Fokus der Concept-Image-Theorie, denn die Gesamtheit aller mit einem mathematischen Begriff verbundenen kognitiven Struktur beruht zweifelsohne auf mentalen Repräsentationen (vgl. Davis 1984, S. 203; Klinger 2018, S. 25 ff.). Grundvorstellungen können daher aus der deskriptiven Perspektive als Teil – wenn nicht sogar als fundamentaler Kern – des Concept Images aufgefasst werden (vgl. Hafner 2012, S. 28 f.; Weigand 2015, S. 262 f.; Greefrath et al. 2016, S. 103). Die bei einem Individuum ausgebildeten Grundvorstellungen – hier findet der Begriff also wieder hinsichtlich seiner deskriptiven Dimension Anwendung – und ihre gegenseitige Vernetzung bezeichnet vom Hofe (2003) in Anlehnung an Oehl (1970) auch als Grundverständnis, so dass dieser Begriff schlussendlich am ehesten das begriffliche Analogon der Grundvorstellungstheorie zum Concept Image darstellt. Wie eingangs erläutert, fragte ich zu Beginn des Sommersemesters 2018 an der Universität Duisburg-Essen etwa 100 Studierende, was sie mit einer Funktion verbänden. Mehrfachantworten waren möglich, so dass ich insgesamt 129 Antworten erhielt. Die Studierenden hatten zu diesem Zeitpunkt zumindest formal an der Hochschule noch keine Veranstaltung aus dem Themenfeld der Funktionenlehre belegt, wenngleich auch ein gewisser Anteil wiederholender Studierender in der Veranstaltung zugegen gewesen sein dürfte. Die Antworten wurden der besseren Übersichtlichkeit halber hinsichtlich der Schreibweise vereinheitlicht und innerhalb eines Codesystems kategorisiert. Das Resultat ist in Abb. 5.1 dargestellt. Abgesehen von einer Kategorie Sonstiges wurden die Antworten von mir in sechs Oberkategorien unterteilt: Definitionen, Darstellungen, Oberbegriffe und Symbole, Eigenschaften von Funktionen, Funktionstypen sowie Grundvorstellungen. Sie enthalten daher im Wesentlichen keine unmittelbaren Codings, sondern lediglich die entsprechenden Unterkategorien. Das gesamte Codesystem stellt zumindest Fragmente der Concept Images der einzelnen Umfrageteilnehmerinnen und -teilnehmer dar. Insgesamt lässt es sich, wie oben bereits kurz angerissen, als kollektives Concept Image der befragten sozialen Gruppe auffassen. Im Gegensatz etwa zur Studie von Vinner (1983) wurden die Studierenden

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nicht unmittelbar aufgefordert, eine Definition „in eigenen Worten“ vorzunehmen, jedoch machten insgesamt drei Studierende Eingaben, die im weitesten Sinne als Personal Conept Definition angesehen werden können (Auf eine davon wurde bereits oben eingegangen.). Diese sind im oberen Teil der Grafik abgebildet und Bestandteil des Concept Images. Antworten, die unmittelbar Bezug auf eine der drei Grundvorstellungen nehmen, wurden in der Kategorie Grundvorstellungen subsummiert.3 Als Auszug der Grundvorstellungen der Studierenden, d. h. aus der deskriptiven Perspektive betrachtet, bilden die entsprechenden Antworten den Kern des kollektiven Concept Images und sind in ihrer Gesamtheit gleichbedeutend zum Begriff des Grundverständnisses (vgl. vom Hofe 2003, S. 6). Die hier präsentierten Daten halten den Ansprüchen einer wissenschaftlichen Studie insofern nicht vollends stand, als dass etwa fraglich ist, ob entsprechende Studierende die jeweiligen Grundvorstellungen tatsächlich hinreichend ausgeprägt haben oder Wörter wie „Kovariation“ lediglich in Form leerer Begriffshülsen aus einem früheren Turnus der Veranstaltung kennen. Dennoch wird illustriert, wie die Nomenklatur der

Abb. 5.1 Gebildetes Kategoriensystem mit den jeweiligen Häufigkeiten (d. h. Nennungen in der Abfrage) der entsprechenden Begriffe in Klammern

3

Hierbei ließ jedoch keine Antwort unmittelbar auf die Objektvorstellung schließen.

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deutschsprachig-geprägten Grundvorstellungstheorie ein gemeinsames Gefüge mit der der englischsprachigen Literatur entliehenen Concept-Image-Theorie bildet. Zwar nehmen beide Theorien stellenweise unterschiedliche Schwerpunkte ein, jedoch sind vor allem auch ihre Gemeinsamkeiten sichtbar geworden. Nicht zuletzt können beide Theorien durch Entlehnungen ihrer wesentlichen Ideen voneinander profitieren: So kann man etwa die Frage nach einem normativen Concept Image – etwa des Funktionsbegriffs – stellen, also nach dem, was sich Schülerinnen und Schüler unter dem Begriff vorstellen sollen. Ebenso stellt sich beispielsweise die Frage, welche individuellen Grundvorstellungen als Teil des Concept Image einer Person durch eine spezifische Formulierung einer Definition wesentlich induziert werden. Beide Theorien sollten daher keinesfalls als ausschließendes Oder begriffen werden – Im Gegenteil: Gerade ihre Symbiose wirft interessante Fragen auf und liefert gleichzeitig ein hilfreiches Begriffsnetz zur Beschreibung dessen, was man sich unter mathematischen Begriffen vorstellen kann. Hierbei lassen sich nicht zuletzt auch begriffliche Lücken durch die kombinierte Anwendung beider Theorien schließen (etwa das normative Concept Image als Oberbegriff aller normativ gewünschten Grundvorstellungen). Also: Grundvorstellungen versus Concept Image? Ein klares Nein. Anmerkung Die obigen Ausführungen basieren wesentlich auf einer Literaturrecherche, die im Rahmen meiner Dissertation durchgeführt wurde, so dass sich einige Textpassagen dort mitunter in ähnlicher oder sogar wörtlicher Form finden (siehe Klinger 2018, insb. Abschnitt 2.3). Ferner diente die Vorlage dieses Beitrags im Sommersemester 2018 als Diskussionsgrundlage im Rahmen des Forschungskolloquiums der Arbeitsgruppen zur Didaktik der Mathematik an der Universität Duisburg-Essen. Die konstruktiven Rückmeldungen und die positive Resonanz haben mich dazu veranlasst, diesen Text in überarbeiteter Fassung in der vorliegenden Form zu veröffentlichen. Ich bedanke mich außerdem bei den Reviewenden sowie meiner Mitherausgeberin Raja Herold-Blasius für den jeweils kritisch-konstruktiven Blick auf diesen Beitrag.

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Grundvorstellungen versus Concept Image?

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Wahrscheinlich oder wahrscheinlich nicht? Aufbau eines vorstellungsorientierten Wahrscheinlichkeitsbegriffs in der Primarstufe und den Sekundarstufen

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Heinz Laakmann und Florian Schacht

Zusammenfassung

Für den Mathematikunterricht hält der Wahrscheinlichkeitsbegriff vielfältige Herausforderungen bereit: Einerseits bedarf es einer vorstellungsorientierten und gleichzeitig mathematisch präzisen und authentischen Begriffsbildung, andererseits ist der Wahrscheinlichkeitsbegriff auch ein umgangssprachliches Konzept, mit dem Lernende z. T. sehr individuelle Erfahrungen und Situationen verbinden. Kinder sprechen ganz selbstverständlich etwa von Regenwahrscheinlichkeit oder der Gewinnwahrscheinlichkeit bei einem Fußballspiel. Doch was meint es eigentlich genau, dass es morgen mit einer Wahrscheinlichkeit von 70 % regnen wird? Welche (mathematische) Begriffsbildung steckt hinter einem solchen ganz alltäglichen und relevanten Konzept und inwiefern beeinflusst der so zugrunde liegende Wahrscheinlichkeitsbegriff unsere Entscheidungen? Der vorliegende Beitrag diskutiert einen vorstellungsorientierten Zugang zur Stochastik aus einer übergreifenden Perspektive Primarstufe-Sekundarstufe. Dabei werden einerseits unterschiedliche Aspekte des Wahrscheinlichkeitsbegriffs beleuchtet und andererseits die Potentiale digitaler Werkzeuge für die Erfahrung von Mustern und Strukturen auf lange Sicht mittels Simulationen diskutiert.

Heinz Laakmann * Dortmund, Deutschland E-Mail: [email protected] Florian Schacht Universität Duisburg-Essen Essen, Deutschland E-Mail: [email protected] © Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2019 A. Büchter et al. (Hrsg.), Vielfältige Zugänge zum Mathematikunterricht, https://doi.org/10.1007/978-3-658-24292-3_6

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6.1

H. Laakmann und F. Schacht

Vorstellungen zur Wahrscheinlichkeit

Der Wert der Extremstelle von f (x) = 3x 2 − x und die Wahrscheinlichkeit, beim Würfeln eine 6 zu erhalten, betragen beide 1/6. Die Vorstellungen, die dahinterstehen, sind jedoch höchst unterschiedlich und stellen für Schülerinnen und Schüler eine neue Lernhürde dar. Während die Extremstelle x =  1/6 auch in Anwendungssituationen (bis auf Messungenauigkeiten) genau bestimmbar ist und eine exakte Zahl darstellt, ist P(6) ein rein theoretischer Wert. Was immer unter der Wahrscheinlichkeit, eine 6 zu würfeln, verstanden wird, ist im praktischen Handeln unkonkret. In realen Situationen schwanken die Erfahrungen zur Wahrscheinlichkeit, sie sind mit Unsicherheiten behaftet und nicht exakt erfahrbar. Seine Bedeutung erhält P(6) =  1/6 erst als theoretisches Konstrukt, nicht in einer konkreten Spielsituation. Man wird einem Würfel nicht nachweisen können, dass die Wahrscheinlichkeit für das Würfeln einer 6 gleich 1/6 ist, es ist und bleibt ein theoretisches Konstrukt. In den unterschiedlichen Deutungen der Zahlen, hier exakte Lösung einer Gleichung, die auch in Anwendungssituationen von Nutzen ist, dort Beschreibung für das Eintreffen eines Ereignisses, das in konkreten Spielsituationen keine Vorhersagen liefert, liegen viele Schwierigkeiten für Lernende im Verständnis des Wahrscheinlichkeitsbegriffs. Die nachhaltige Entwicklung eines mathematischen Begriffsverständnisses erfordert eine vorstellungsorientierte, an die Lebenswelt der Lernenden angebundene Vorgehensweise, die gleichzeitig mathematisch präzise und authentisch ist. Außerdem ist für einen tragfähigen Begriffsaufbau die Auseinandersetzung mit den umgangssprachlichen Konzeptbildungen bedeutsam, mit denen Lernende z. T. sehr individuelle Erfahrungen und Situationen verbinden. Diesen Herausforderungen hat sich der Stochastikunterricht in allen Schulstufen – von der Grundschule bis zum Abitur – zu stellen. Aspekte des Wahrscheinlichkeitsbegriffs Zukünftige zufällige Vorgänge quantitativ korrekt einschätzen zu können, bildet in vielen Fällen die Basis wirtschaftlicher und gesellschaftlicher Entscheidungen. Wie wird sich in den nächsten Jahren das Klima verändern? Wie wird sich die Zahl der Geflüchteten weltweit und regional entwickeln? Dies sind nur zwei Beispiele, in denen eine exakte Vorhersage schwierig ist und bei der sich wirtschaftliche und soziale Auswirkungen ergeben. Auch im Privaten basieren unsere Entscheidungen häufig auf stochastischen Überlegungen. Unsere Einschätzung, in welchem Maße der Partner zuverlässig ist oder ob unser Lieblingsverein am nächsten Sonntag das Fußballspiel gegen den Lokalrivalen gewinnen wird, beruhen auf stochastischen Überlegungen, sind jedoch konzeptionell anders fundiert als Wahrscheinlichkeitsaussagen beim Würfelspiel oder beim Reißzweckenwerfen. Konkret unterscheidet man drei verschiedene Aspekte des Wahrscheinlichkeitsbegriffs. Bei subjektiven Wahrscheinlichkeiten (i) werden Einschätzungen von Erfahrungen und Informationen herangezogen, z. B. etwa bei der Frage, ob der Lieblingsverein am Wochenende gegen den Lokalrivalen gewinnt. Sind zufällige Ereignisse beliebig häufig wiederholbar, z. B. beim Werfen von Reißzwecken, so können frequentistische Aspekten (ii) des

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Wahrscheinlich oder wahrscheinlich nicht?

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Wahrscheinlichkeitsbegriffs angeregt werden. Das frequentistische Modell nutzt dazu das empirische Gesetz der großen Zahlen, wonach sich die relativen Häufigkeiten eines Ereignisses mit zunehmender Anzahl an Wiederholungen eines Experimentes stabilisieren. Die relativen Häufigkeiten werden dabei als Schätzer für eine unterstellte objektive Wahrscheinlichkeit interpretiert. Sie sind umso bessere Schätzer, je länger die Versuchsreihe andauert. In kurzen Versuchsreihen unterliegen sie großen Schwankungen und haben nur eine geringe Aussagekraft. Theoretische Aspekte (iii) des Wahrscheinlichkeitsbegriffs werden dann aktiviert, wenn in einem Zufallsexperiment die Versuchsausgänge gleichwahrscheinlich sind, z. B. beim Werfen eines Würfels oder einer Münze (Laplace-Modell). Zugänge zu den Wahrscheinlichkeitsbegriffen

Abb. 6.1 Unterschiedliche Modellierungen für Wahrscheinlichkeiten (vgl. Laakmann & Schnell 2015, S. 5)

Abb. 6.1 veranschaulicht die grundsätzlichen Ideen der oben beschriebenen Modellierungen und ihrer Verschränkungen. Eine unterstellte objektive Wahrscheinlichkeit kann nicht direkt beobachtet oder gemessen werden, vielmehr wird sie aufgrund subjektiver, empirischer oder theoretischer Überlegungen abgeschätzt. Zum Verständnis des Wahrscheinlichkeitsbegriffs sind alle drei Modellierungen und ihre Verschränkungen notwendig. So können erste subjektive Einschätzungen über Wahrscheinlichkeiten beim Reißzweckenwurf gefestigt oder widerlegt werden durch in Versuchsserien erzielte relative Häufigkeiten, die sich mit zunehmender Anzahl der Wiederholungen stabilisieren. Demgegenüber können

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H. Laakmann und F. Schacht

Unterschiede zwischen theoretisch gewonnenen Erkenntnissen und in Versuchsserien ermittelten Werten die Annahme der Gleichwahrscheinlichkeit von Ereignissen in Frage stellen. Von besonderer Bedeutung ist dabei die Entwicklung einer Vorstellung, welche frequentistischen Muster zu den theoretischen Erkenntnissen passen. Besonders im Vergleich der Ergebnisse aus frequentistischer und theoretischer Sicht ergeben sich Rückschlüsse auf die notwendige Länge der Versuchsreihen und auf die Aussagekraft der theoretisch gewonnenen Wahrscheinlichkeitswerte. Andererseits wird durch den Vergleich die scheinbar exakte Angabe einer Wahrscheinlichkeit in der Aussagekraft in realen Situationen relativiert. „Der Zufall ist im Einzelfall nicht kalkulierbar. Auf lange Sicht hat er jedoch in gewissem Sinn Methode. Diese Einschätzung zu präzisieren gehört zu den Aufgaben einer Einführung in die Stochastik.“ (Hefendehl-Hebeker 2003, S. 13) Curriculare Perspektive In diesem Abschnitt wird eine curriculare Perspektive auf den Umgang mit Wahrscheinlichkeiten von der Grundschule bis in die Sekundarstufe I eingenommen. Um dabei ein möglichst breites Spektrum abzubilden, orientieren wir uns an den Kompetenzen, wie sie in den Bildungsstandards für die Grundschule (KMK 2005) sowie für den Mittleren Schulabschluss (KMK 2004) formuliert sind. Da wir im vorliegenden Beitrag die begriffliche Entwicklung wahrscheinlichkeitsorientierter Zugänge genauer betrachten, wird der Umgang mit Daten im Sinne einer statistischen Grundbildung (vgl. Krüger 2016) bzw. statistical literacy (Gal 2002) zugunsten einer auf den Umgang mit Wahrscheinlichkeit orientierten Perspektive nicht weiter berücksichtigt. In den Bildungsstandards heißt es dazu im Einzelnen: Tab. 6.1 Übersicht der curricular ausgewiesenen Kompetenzen zum Umgang mit Wahrscheinlichkeiten zum Ende der Grundschulzeit (KMK 2005) bzw. für den Mittleren Schulabschluss (KMK 2004) Grundschule (KMK 2005)

Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen in Zufallsexperimenten vergleichen … Grundbegriffe kennen (z.B. sicher, unmöglich, wahrscheinlich) … Gewinnchancen bei einfachen Zufallsexperimenten (z. B. bei Würfelspielen) einschätzen

Mittlerer Schulabschluss (KMK 2004)

Die Schülerinnen und Schüler beschreiben Zufallserscheinungen in alltäglichen Situationen. Die Schülerinnen und Schüler bestimmen Wahrscheinlichkeiten bei Zufallsexperimenten.

Bereits im Mathematikunterricht der Grundschule spielt der Aufbau tragfähiger Vorstellungen zum Wahrscheinlichkeitsbegriff eine zentrale Rolle. Dabei ist es zunächst eine wichtige Aufgabe, ein sicheres Gespür für die wahrscheinlichkeitsbezogenen Grundbegriffe zu bekommen. Ob gewisse Ereignisse eintreten, kann etwa sicher, unmöglich oder wahrscheinlich sein. Für einen tragfähigen Vorstellungsaufbau ist es in diesem Zusammenhang von zentraler Bedeutung, auch an umgangssprachliche Konzeptualisierungen anzuknüpfen (vgl. etwa Krüger et al. 2015 und Abschnitt 6.2). Mit der alltagsbezogenen Bedeutung des Wahrscheinlichkeitsbegriffs ist häufig gemeint, dass ein Ereignis sehr

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wahrscheinlich eintritt. Bei der Aussage Es wird wahrscheinlich regnen, nimmt man besser einen Schirm mit. So empfehlen etwa Krüger et al. (2015, 69), dass mit der Unterscheidung von sehr und wenig wahrscheinlich die subjektive Erwartung deutlich besser und vor allem präziser ausgedrückt werden kann. In diesem Zusammenhang zeigen Fishbein et al. (1991), dass Lernende im Alter von 9 bis 14 Jahren – also beim Übergang von der Grundschule zur weiterführenden Schule – Schwierigkeiten mit den Konzepten von sicheren, möglichen oder unmöglichen Ereignissen haben. Neben den subjektiven Erwartungen ist dann der qualitative Vergleich von Wahrscheinlichkeiten zentral für den Aufbau eines tragfähigen Wahrscheinlichkeitskonzeptes, was schließlich mit einer Wahrscheinlichkeitsskala auch quantifiziert bzw. (an)geordnet werden kann: „Dieser Knotenpunkt in der Entwicklung des Wahrscheinlichkeitsbegriffs bei den Schülern wird auch als Normierung des Erwartungsgefühls bezeichnet.“ (Krüger et al. 2015, 72) Insofern ist die Kenntnis der wahrscheinlichkeitsbezogenen Grundbegriffe eine ganz wesentliche Voraussetzung für den Umgang mit Zufallsexperimenten und damit verbundenen Wahrscheinlichkeiten oder Gewinnchancen. Genau an dieses intuitive Verständnis wird in der Sekundarstufe I inhaltlich angeknüpft. Aus Sicht eines schulstufenübergreifenden Ansatzes, wie ihn dieser Artikel verfolgt, kann die Bedeutung der wahrscheinlichkeitsbezogenen Grundbegriffe für die inhaltliche Auseinandersetzung mit den Gegenständen der Sekundarstufe I gar nicht hoch genug eingeschätzt werden. Dazu sollen die folgenden beiden Aussagen verglichen werden, in denen die Grundbegriffe eine Rolle spielen: • •

Aussage 1: Dortmund wird wahrscheinlich gegen Bremen gewinnen. Aussage 2: Die Reißzwecke wird beim Werfen sehr wahrscheinlich auf der Nadel landen.

Beide Aussagen sind im Sinne subjektiver Wahrscheinlichkeitsmodelle vor den jeweiligen Ereignissen denkbar. Ist man etwa Fan des BVB und hat dieser aktuell eine gute Spielphase, so kann man zu der persönlichen Einschätzung kommen, dass die Gewinnwahrscheinlichkeit für Dortmund als deutlich größer betrachtet wird als die für Bremen. Ob man Recht hat, wird sich dann nach dem Spiel herausstellen. Eine ganz ähnliche Betrachtung lässt sich für die zweite Aussage vornehmen. Bei der zweiten Aussage besteht allerdings ein entscheidender Unterschied. Der Reißzweckenwurf lässt sich empirisch überprüfen. Er ist beliebig häufig wiederholbar und hier kann – im Gegensatz zum Fußballspiel – auch das frequentistische Modell herangezogen werden. Dies ist – auch mit Blick auf die Sekundarstufen I & II – eine zentrale Eigenschaft von Zufallsexperimenten. Versuchsserien, bei denen die Lernenden wiederholt Reißzwecken werfen und die Ergebnisse (fällt auf Nadel oder Kopf) auswerten, lassen einen systematischen Einblick „hinter“ das Einzelphänomen zu und geben den Blick auf das mathematische Muster frei. Das Aufstellen einer Ausgangshypothese, die dann im Folgenden bestätigt oder – begründet – revidiert werden muss, ist für diesen Vorgang zentral. Es

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sollte daher gerade in der Sekundarstufe I immer wieder darauf geachtet werden, zunächst vorstellungsorientierte Zugänge zu wählen, die dann durch quantifizierende Betrachtungen systematisch ergänzt werden.

6.2 Didaktische Überlegungen und Rolle des Rechners und der Sprache Eine der zentralen Erfahrungen zum Wahrscheinlichkeitsbegriff besteht im Übergang von der lokalen Betrachtung einzelner Ereignisse hin zur Betrachtung von Versuchsreihen, die mit wahrscheinlichkeitstheoretischen Methoden genauer untersucht werden können und deren zugrunde liegende mathematische Phänomene genauer quantifiziert werden können. In diesem Abschnitt diskutieren wir dafür zwei zentrale unterrichtsrelevante Aspekte – die Rolle des Rechners und die Rolle der Sprache. Rolle des Rechners Beim Würfelspiel lässt sich der einzelne Wurf nicht vorhersagen. Auch das Ergebnis (die relative Häufigkeit) einer kleinen Anzahl von Würfen hängt noch sehr stark vom Zufall ab. So ist es für Lernende ein ganz wesentliches Lernziel, dass etwa nach sechs Würfen mit einem regulären Spielwürfel nicht notwendig jede Zahl einmal gewürfelt sein muss bzw. die Wunschzahl nun spätestens im sechsten Wurf in jedem Fall fällt. Jeder einzelne Wurf hängt vom Zufall ab, er ist nicht vorhersehbar. Im Gegenteil: Der Zufall hat erst auf lange Sicht Methode. Gerade bei ersten Quantifizierungen in der Sekundarstufe I sollten sich Lernende intensiv mit konkreten Spielsituationen auseinandersetzen, die wahrscheinlichkeitsbezogene Grunderfahrungen bei der Betrachtung von Versuchsserien ermöglichen (vgl. etwa das Beispiel des Spiels Wettkönig in Hußmann & Prediger 2009). Die Lernenden erfahren so im Kontext von Spielsituationen das empirische Gesetz der großen Zahlen, nach dem die relativen Häufigkeiten sich zunehmend stabilisieren, je öfter ein Vorgang wiederholt wird. Ein solcher Übergang vom lokalen Ereignis hin zur Betrachtung von Versuchsserien legt den Blick auf die zugrunde liegenden mathematischen Strukturen frei, denn nach dem empirischen Gesetz der großen Zahlen ist die so ermittelte relative Häufigkeit ein guter Näherungswert für die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses. Der so erfahrene Perspektivwechsel vom Einzelereignis auf eine ganze Versuchsreihe ermöglicht neben der Entdeckung der zugrundeliegenden Strukturen (hier die Stabilisierung der relativen Häufigkeiten) auch eine differenziertere Sicht auf die gewonnenen Daten selbst: So stabilisieren sich zwar die relativen Häufigkeiten bei hohen Wurfzahlen, die absoluten Häufigkeiten tun dies hingegen nicht. Im Gegenteil: Je öfter man würfelt, desto geringer werden zwar die Unterschiede zwischen den relativen Häufigkeiten, aber desto größer werden die Unterschiede zwischen den absoluten Häufigkeiten der gewürfelten Zahlen. Ein solches scheinbares Paradoxon sollte von den Schülerinnen und Schülern zunächst in Spielsituationen selbst erfahren werden, um es schließlich durch längere Versuchsreihen genauer

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zu quantifizieren. Lange Versuchsreihen händisch zu erstellen ist jedoch mühevoll und zeitaufwändig. Hier kommt der Rechner ins Spiel. Mit dem Rechner wird das Würfeln nicht mehr konkret durchgeführt, sondern nur noch simuliert. Das eigentliche Spiel rückt dadurch in den Hintergrund, die Daten und deren strukturelle Zusammenhänge stehen nun im Fokus. Mit dem Rechner können schnell sehr viele Daten generiert werden, die als Ergebnisse von konkreten Spielsituationen interpretierbar sind. Diese Daten können nun, mit dem Rechner oder per Hand, dargestellt und ausgewertet werden. Der Rechner stellt nicht nur eine zeitliche Entlastung dar, er verschiebt auch den Schwerpunkt der Arbeit von der Erzeugung und Darstellung der Daten auf die Auswertung von Datensätzen, auf die Suche nach den zugrundeliegenden Mustern und damit auf den eigentlichen Kern des frequentistischen Modells. Aus mathematikdidaktischer Perspektive sollte eine wahrscheinlichkeitsbezogene Konzeptbildung im Unterricht daher zunächst mit händischen Zufallsspielen beginnen, um dann – mittels digitaler Werkzeuge – die Anzahl von Spielwiederholungen zu steigern und erst im letzten Schritt rechnerische Betrachtungen im Sinne des theoretischen Modells vorzunehmen. Rolle der Sprache Im letzten Abschnitt wurde bereits hervorgehoben, dass es für einen tragfähigen Vorstellungsaufbau von zentraler Bedeutung ist, die mathematischen Konzeptualisierungen dem alltagssprachlichen Verständnis gegenüberzustellen und diese miteinander zu vergleichen. Ein solcher Konzeptwechsel von alltagsbezogenen Konzeptualisierungen hin zu den entsprechenden Fachkonzepten gilt zwar prinzipiell für jedes mathematische Themenfeld, ist aber für die Wahrscheinlichkeitstheorie besonders zentral. So betonen etwa Tietze et al. (2002), dass die „Vermittlung einer adäquaten Vorstellung vom Zufall noch schwieriger ist als die Aufgabe der Vermittlung von anderen nicht definierbaren Grundbegriffen der Mathematik, wie z. B. dem der ‚Geraden’.“ (Tietze et al. 2002, 149) Ein ganz wesentlicher Grund dafür liegt in den sprachlich vermittelten Alltagserfahrungen, die häufig nur sehr bedingt bzw. gar nicht mit den entsprechenden Fachkonzepten übereinstimmen (vgl. dazu auch Borovcnik 1992; Fishbein et al. 1991). Von daher werden in diesem Abschnitt zunächst einige wahrscheinlichkeitsbezogene sprachliche Hürden thematisiert, die sich aus einer schulstufenübergreifenden Perspektive ergeben, um danach Möglichkeiten zu diskutieren, wie diese im Mathematikunterricht adressiert werden können. In dem Zusammenhang benennen Guckelsberger & Schacht (2018) vier sprachliche Merkmale für einen sprachbewussten Stochastikunterricht, die besondere sprachliche und konzeptuelle Hürden darstellen. Zum unauffälligen Fachwortschatz zählen solche Begriffe, die scheinbar aufgrund ihrer Nähe zur Alltagssprache leicht erfassbar sind. Hier besteht demnach eine Gefahr des Schein-Verstehens, was für den Umgang mit Wahrscheinlichkeiten von besonderer Bedeutung ist. Schon Konzepte wie sicher, wahrscheinlich oder Gewinnchance, die alle explizit in den Bildungsstandards Grundschule genannt sind, machen deutlich, wie hoch die sprachliche Nähe zu Alltagskonzepten ist. Demgegenüber

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H. Laakmann und F. Schacht

gehört es im Verlauf der Präzisierung des Wahrscheinlichkeitsbegriffs zu einer zentralen Erkenntnis, dass es im Rahmen quantifizierender Betrachtungen durchaus vorkommen kann, dass die Wahrscheinlichkeit für ein bestimmtes Ereignis gleich Null oder gleich Eins ist, es ist also unmöglich oder es ist sicher. ((1) Im Sommer geht die Sonne in Essen nicht unter. (2) Im Sommer geht die Sonne am Nordpol nicht unter. Tab. 6.2 Sprachliche Hürden bei der Wahrscheinlichkeitstheorie in Anlehnung an Guckelsberger/Schacht (2018) Sprachliche Merkmale

Beispiele

Sprachliche Besonderheiten

„unauffälliger“ Fachwortschatz benennt Konzepte der Wahrscheinlichkeitstheorie mit aus der Alltagssprache scheinbar bekannten Wörtern

Wahrscheinlichkeit, sicher, zufällig möglich, stets, selten, Gewinnchance, Zufallsereignis, simulieren

Gefahr des Schein-Verstehens, da diese Begriffe in anderer Bedeutung oder weniger präzise auch im Alltag genutzt werden.

Sprachmittel der Bruchrechnung

6 von 15 Mädchen 2/5 der Würfe

Für den Umgang mit absoluten und relativen Häufigkeiten sowie Wahrscheinlichkeiten spielen fachlich die Begriffe der Bruchrechnung – dabei insbesondere die Bestimmung von Anteilen und Verhältnissen – eine übergeordnete Rolle.

Präpositionen bringen Beziehungen zwischen Mengen zum Ausdruck

bei den Jungen, 2 von 10 unter 4 Losen genau ein Gewinnlos drei Beutel mit je vier Kugeln

Die spezifische Bedeutung der aus der Alltagssprache bekannten Präpositionen ist für den Kontext der Wahrscheinlichkeitsrechnung neu zu erschließen. Z. B. wird die primäre Bedeutung von „unter“ (z. B. „unter dem Tisch“) durch eine abstrakte abgelöst („unter 25 Schülern“).

Subjunktoren bringen spezifische mathematische Relationen zum Ausdruck (z. B. Bedingungen, Begründungen, Gegensätze)

konditional: wenn (… dann); uneingeleitete Konditionalsätze: „zieht man … , gewinnt man …“ kausal: da; denn adversativ: während modal: indem; je … desto/umso

Ein genaues Verständnis der Subjunktoren ist wichtig für Texterfassung, da sie spezifische, mathematisch relevante Relationen ausdrücken. In der Mathematik spielen v. a. Bedingungen und Begründungen eine wichtige Rolle.

Bei der Quantifizierung des Wahrscheinlichkeitskonzeptes spielt neben der unauffälligen Fachsprache die genauere Bestimmung der absoluten und relativen Häufigkeiten eine zentrale Rolle. In diesem Zusammenhang ist die Bruchrechnung von entscheidender Bedeutung. Die Auseinandersetzung mit Verhältnissen, die Bezugnahme zu einem bzw. mehreren Ganzen und der Übergang von absoluten zu relativen Häufigkeiten fußt ganz wesentlich auf fachlichen und sprachlichen Mitteln der Bruchrechnung. Als dritte Kategorie spielen Präpositionen eine entscheidende Rolle, weil diese Beziehungen zwischen Mengen zum

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Wahrscheinlich oder wahrscheinlich nicht?

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Ausdruck bringen. So bringt etwa die Präposition „unter“ den Bezug zur Gesamtmenge zum Ausdruck (unter 10 Kindern sind 2 mit Brille), „von“ beschreibt das Verhältnis von Teil- und Gesamtmenge (2 von 10 Kindern tragen eine Brille) und „je“ verweist auf die Verteilung in unterschiedlichen Teilmengen (je ein Junge und ein Mädchen tragen eine Brille). Schließlich bringen Subjunktoren die spezifischen mathematischen Relationen zum Ausdruck (vgl. Tab. 6.2). Diese wenigen Beispiele machen deutlich, wie variantenreich die gleiche Situation betrachtet und damit auch mathematisch konzeptualisiert werden kann. Alle hier beschriebenen sprachlichen Herausforderungen sind gerade aus schulstufenübergreifender Perspektive von besonderer Relevanz für die Wahrscheinlichkeitstheorie. Ansätze zur Sprachförderung, die in den unterrichtlichen Umsetzungen im nächsten Abschnitt entlang der konkreten Beispiele noch genauer diskutiert werden, bestehen insbesondere darin, unterschiedliche Darstellungen miteinander zu vernetzen (vgl. dazu auch Eichler & Vogel 2010). Dies erfolgt schon von Beginn an, etwa wenn in der Grundschule konkrete Ereignisse (verbale Ebene) auf der Wahrscheinlichkeitsskala verortet werden bzw. wenn im weiteren Verlauf erste Quantifizierungen (symbolische Ebene) wie etwa 50 : 50 vorgenommen werden. Eine solche Vernetzung ist durchgängig wichtig für einen tragfähigen Konzeptaufbau, etwa wenn bei bedingten Wahrscheinlichkeiten die zugrunde liegenden Zusammenhänge im Rahmen einer Vierfeldertafel, mit (doppelten) Baumdiagrammen, symbolisch oder mit Hilfe des Einheitsquadrates dargestellt werden. Aus fachlicher und sprachlicher Sicht ist es dabei nicht nur zentral, jede dieser Darstellungen einmal zu verwenden, sondern auch die jeweiligen Stärken und Grenzen einer jeden Darstellung genauer zu benennen oder Beispiele den jeweiligen Darstellungen zuzuordnen (Guckelsberger & Schacht 2018).

6.3

Unterrichtliche Umsetzung in der Primarstufe und der Sekundarstufe I

In diesem Abschnitt werden unterrichtliche Umsetzungen zum Aufbau eines tragfähigen Wahrscheinlichkeitsbegriffs diskutiert. Dabei wird zunächst kurz in das Beispiel eingeführt, danach wird es beschrieben und das didaktische Potential diskutiert sowie die Rolle des Rechners und der Sprache vertiefend betrachtet. Konzeptualisierungen in der Grundschule Beim Aufbau tragfähiger Vorstellungen zum Wahrscheinlichkeitsbegriff kommt dem Mathematikunterricht der Grundschule – gerade mit Blick auf die anschließenden Konzepte der Sekundarstufen I & II – eine entscheidende Bedeutung zu. Dies bezieht sich insbesondere auf Vorstellungen zu den Begriffen stets, sicher, wahrscheinlich, selten und nie. Hierzu sind vielfältige unterrichtsbezogene Vorschläge vorhanden, insbesondere aus dem Bereich der Kombinatorik (Eichler & Vogel 2009; Gasteiger 2007). Im Folgenden soll ein Lerndesign vorgestellt werden, bei dem zunächst weniger gezielte kombinatorische

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H. Laakmann und F. Schacht

Fragen im Mittelpunkt stehen, sondern bei dem die Kinder selbst mitgebrachte Zufallsgeräte genauer untersuchen, um deren Beschaffenheit, deren Unterschiedlichkeit und schließlich auch deren wahrscheinlichkeitsbezogene Eigenschaften zu hinterfragen und qualitativ zu erkunden.

Abb. 6.2 Unterschiedliche Zufallsgeräte, Fotos: Erwin Gerstner

Spielsituation 1) Bringt eigene Spiele, in denen der Zufall eine Rolle spielt, von zu Hause mit und sammelt die Geräte, mit denen der Zufall erzeugt wird zunächst alle nebeneinander. 2) Untersucht nun die Zufallsgeräte genauer: Ordnet die Zufallsgeräte zunächst in Gruppen an: Welche sind jeweils ähnlich und warum? Wählt pro Gruppe 5 Zufallsgeräte aus: Wie unterscheiden sie sich und was ist gleich? Welche Zufallsgeräte erscheinen euch besonders riskant, welche besonders sicher? Begründet. Wählt ein Zufallsgerät aus, das möglichst viele verschiedene Ergebnisse erzeugt. Verändert es so, dass es nun weniger Ergebnisse sind. Wie seid ihr vorgegangen? Ordnet konkrete Ergebnisse, die sich mit unterschiedlichen Zufallsgeräten erzeugen lassen, auf der folgenden Skala an: nie – nicht wahrscheinlich – fifty-fifty – sehr wahrscheinlich – sicher. Beschreibt dann zu jedem Zufallsgerät, warum ihr es dort angeordnet habt. 3) Beschreibt zu jeder Aussage, was mit wahrscheinlich gemeint ist. Es ist genauso wahrscheinlich eine gerade Zahl zu würfeln wie eine ungerade. Es ist wahrscheinlich, dass ich eine 6 würfeln werde, da 6 meine Lieblingszahl ist.

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Didaktisches Potential Im Rahmen der oben beschriebenen Situationen machen die Lernenden erste qualitative Erfahrungen mit den Zufallsgeräten von eigenen Spielen. Dabei ist es ein erster wichtiger Schritt der Begriffsbildung, die Zufallsgeräte überhaupt zu gruppieren und entsprechende Kategorien zu finden. Diese können im ersten Zugang sehr unterschiedlich sein: So können Zufallsgeräte nach Qualität der Ergebnisse kategorisiert werden (z. B. Farben, Zahlen, Ereignisse), nach Art der Beschaffenheit (z. B. Slot-Machine, Würfel, Karten), nach Art der Ausführung (z. B. zum Drehen, zum Würfeln, zum Legen) oder nach Quantität (z. B. sortiert nach Anzahl der Ergebnisse). Auf diese Weise werden die von den Lernenden selbst gefundenen Kategorien im Unterricht thematisiert und miteinander verglichen. In diesem Zusammenhang ist es eine zentrale Erkenntnis, dass die Zufallsgeräte sich überhaupt miteinander vergleichen lassen und sich zum Teil deutlich unterscheiden. Erst im zweiten Schritt sollte eine explizite Ordnung entlang einer vorgegebenen Skala erfolgen. In diesem Zusammenhang ist gerade die Begründung dafür, dass und wie konkrete Ereignisse auf der Wahrscheinlichkeitsskala angeordnet werden, von besonderer Bedeutung. So ist etwa aus Symmetriegründen die Wahrscheinlichkeit für Zahl bei einer Münze fifty-fifty, aber es scheint auf den ersten Blick nicht wahrscheinlich, dass ein Schweinchen beim Würfeln auf den Beinen landet, weil die Figur auch auf dem Rücken oder den anderen vier Seiten landen könnte. Derlei Begründungen halten für Lernende besondere sprachliche Schwierigkeiten bereit. Auch wenn etwa der Bruchzahlbegriff noch kein Thema ist, so nutzen die Lernenden hier entsprechende Präkonzepte (z. B. 1 von 6 Seiten). Auch die Tatsache, dass hinter den auf der Wahrscheinlichkeitsskala notierten unauffälligen Fachbegriffen eine Ordnung steht, entlang derer sich Ereignisse in eine Reihenfolge bringen lassen, muss fachlich und sprachlich erarbeitet werden. Hier kann die Nutzung der zusätzlichen Repräsentationsebene (Wahrscheinlichkeitsskala) einen unterrichtspraktischen Anlass bieten, um sprachliche Hürden zu adressieren. Dies geschieht auch im dritten Aufgabenteil, bei dem die Lernenden den Wahrscheinlichkeitsbegriff und zugrundeliegende subjektive bzw. frequentistische Konzeptualisierungen explizit zum Reflexionsgegenstand auf qualitativer Ebene machen. Konzeptualisierungen in der Sekundarstufe I Die qualitativen Einschätzungen für das Eintreffen zufälliger Ereignisse aus der Grundschule werden in der Sekundarstufe I zunehmend durch Quantifizierungen gefestigt. Das Tetraederwürfeln verdeutlicht die Vorgehensweise. Gespielt wird mit zwei Tetraedern. Der erste Würfel trägt die Zahlen 1,1,1,4, der zweite Würfel die Zahlen 0,1,2,3. Für die Durchführung des Spiels müssen die Würfel nicht neu beschriftet werden. Es reicht die folgende Interpretation • •

Erster Würfel: Die Zahlen 1,2,3 werden als 1 gewertet, die 4 bleibt 4. Zweiter Würfel: Die Zahl 4 wird als 0 gewertet, alle anderen Zahlen behalten ihren Wert.

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Abb. 6.3 Tetraederwürfeln

Es wird mit beiden Tetraederwürfeln geworfen und das höhere Ergebnis gewinnt. Aufgabe: Mit welchem Würfel hat man die größeren Chancen zu gewinnen? Didaktisches Potential Dieses Spiel lässt die Verschränkungen der drei Wahrscheinlichkeitsmodelle erlebbar werden. Die subjektive Sichtweise sollte unbedingt am Anfang eingenommen werden. Die Lernenden sollen ihr Gefühl artikulieren, welcher Würfel die größeren Chancen hat und durch händisches Experimentieren (mehrfaches Würfeln der Tetraeder und Wurfergebnisse notieren und auswerten) ihr Gefühl bestärken oder revidieren. Da die Wahrscheinlichkeiten sehr nahe beieinander liegen, werden unterschiedliche Ergebnisse im Klassenverband erzielt, die einer Lösung der gestellten Aufgabe mit dem subjektiven Modell im Wege stehen. Will man weiterhin durch aktives Handeln entscheiden, welcher Würfel die größeren Chancen hat, kann der frequentistische Modellansatz gewählt werden. Jetzt werden händisch oder mit dem Rechner viele Experimente durchgeführt, um (möglicherweise) ein Muster zu erkennen. Mit dem Rechner wird das Würfeln nicht mehr praktiziert, sondern nur noch simuliert. Das eigentliche Spiel tritt in den Hintergrund, die Daten und ihre Auswertung treten in den Fokus. Die Auswertung zeigt deutlich erkennbar größere Schwankungsbreiten der relativen Häufigkeiten bei kurzen Versuchsreihen (unter 100), die Stabilisierung bei mittleren Reihenlängen aber immer noch mit Schwankungen (bei 500 Versuchen) und die Verfestigung der Ergebnisse bei sehr langen Versuchsreihen (mehr als 2000), ohne jedoch zu einem exakten Wert zu gelangen. Die nachfolgende theoretische Modellierung entkoppelt die Aufgabe von dem konkreten Wurf der Tetraederwürfel. Wir benötigen keine tatsächlich durchgeführten Experimente mehr, auch keine Simulationen, sondern lösen die Aufgabe durch theoretische Überlegungen, die auf der Gleichwahrscheinlichkeit der Einzelereignisse beruhen. So lassen sich z. B. mit einem Baumdiagramm oder mit einer Ereignistafel die möglichen Ereignisse darstellen und im Sinne der Aufgabenstellung auswerten (vgl. Tab. 6.3

6

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Wahrscheinlich oder wahrscheinlich nicht?

und 6.4). Mit diesem theoretischen Ansatz werden die „exakten“ aber nur rein theoretischen Werte P (1. Würfel) = 7/16 und P (2. Würfel) = 6/16 berechnet. Tab. 6.3 Ereignistafel zum Tetraederwürfeln W1/W2

0

1

2

3

1

W1

U

W2

W2

1

W1

U

W2

W2

1

W1

U

W2

W2

4

W1

W1

W1

W1

Tab. 6.4 Gewinnwahrscheinlichkeiten zum Tetraederwürfeln

6.4

k

P (X = k)

W1

7/16

W2

6/16

U

3/16

Ausblick in die Sekundarstufe II

In der Sekundarstufe II sollen die stochastischen Vorstellungen der Sekundarstufe I ausgeweitet und vertieft werden. Dies umfasst „die Untersuchung, Nutzung von Verteilungen sowie einen Einblick in Methoden der beurteilenden Statistik, auch mithilfe von Simulationen und unter Verwendung einschlägiger Software“ (KMK 2015, S. 22). In der Sekundarstufe I erwerben die Lernenden die Vorstellung, dass Wahrscheinlichkeitsaussagen in konkreten Situationen mit Unsicherheiten behaftet sind. Die Unsicherheit und Genauigkeit der Ergebnisse z. B. im Rahmen von Hypothesentests zu begründen, ist Aufgabe des Stochastikunterrichts in der Sekundarstufe II. Es ist der Weg von der beschreibenden zur beurteilenden Statistik. Die Lernenden erfahren hier, dass sie auch die Größe der Ungenauigkeiten der beschreibenden Statistik quantitativ bestimmen können, zwar nicht exakt, aber mit einer vorgegebenen Sicherheit.

6.5

Zusammenfassung und Ausblick

Die hier entfaltete schulstufenübergreifende Perspektive macht deutlich, wie wichtig qualitative Erfahrungen zum Wahrscheinlichkeitsbegriff sind, um tragfähige Vorstellungen aufzubauen. Ein zentrales Moment bei der Wahrscheinlichkeitsrechnung ist die sich verändernde Rolle der Präzision: Während mathematische Ergebnisse sich üblicherweise ganz konkret belegen und nachvollziehen lassen, sind Wahrscheinlichkeiten theoretische Werte,

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H. Laakmann und F. Schacht

die aufgrund der Abhängigkeit vom Zufall gerade in Spielsituationen so nicht präzise nachvollzogen werden können. Hier bleibt ein Unsicherheitsfaktor, der von den Lernenden erfahren werden muss. Die hier diskutierten Beispiele sollen solche qualitativen Erfahrungsräume skizzieren. Für die Quantifizierung und die Erzeugung von Datensätzen spielt schließlich der Einsatz des Rechners eine entscheidende Rolle.

Literatur Borovcnik, M. (1992). Stochastik im Wechselspiel von Intuitionen und Mathematik. Mannheim: Bibliographisches Insitut. Eichler, A., & Vogel, M. (2009). Leitidee Daten und Zufall. Von konkreten Beispielen zur Didaktik der Stochastik. Wiesbaden: Vieweg+Teubner. Eichler, A., & Vogel, M. (2010). Die (Bild-)Formel von Bayes. PM Praxis der Mathematik, 52, 25–30. Fischbein, E., Nello, M., Sainati, M., & Sciolis, M. (1991). Factors affecting probalistic Judgements in Children and Adolescents. Educational Studies in Mathematics, 22, 523–549. Gal, I. (2002). Adults‘ Statistical Literacy: Meanings, Components, Responsibilities. International Statistical Review, 70(1), 1–25. Gasteiger, H. (2007). Die Kunst des Mutmaßens – Aspekte von Zufall und Wahrscheinlichkeit. lernchancen, 55, 22–27. Guckelsberger, S., & Schacht, F. (2018). Bedingt wahrscheinlich? Perspektiven für einen sprachbewussten Stochastikunterricht. mathematik lehren, 206, 29–33. Hefendehl-Hebeker, L. (2003). Didaktik der Stochastik I. Wahrscheinlichkeitsrechnung. Vorlesungsausarbeitung. Duisburg. Hußmann, S., & Prediger, S. (2009). Je größer die Wurfanzahl, desto sicher die Wette – Mit dem Spiel Wettkönig den Zufall auf lange Sicht erkunden. Praxis der Mathematik in der Schule, 25, 24–29. Kultusministerkonferenz (KMK) (2005). Bildungsstandards im Fach Mathematik für den Primarbereich. München: Wolters Kluwer. Kultusministerkonferenz (KMK) (2004). Bildungsstandards im Fach Mathematik für den Mittleren Schulabschluss. München: Wolters Kluwer. Kultusministerkonferenz (KMK) (2015). Bildungsstandards im Fach Mathematik für die Allgemeine Hochschulreife. Köln: Wolters Kluwer. Krüger, K., Sill, D., & Sikora, C. (Hrsg.) (2015). Didaktik der Stochastik in der Sekundarstufe I. Heidelberg: Springer. Krüger, K. (2016). Statistische Grundbildung fördern. mathematik lehren, 197, 2–7. Laakmann, H., & Schnell, S. (2015). Mit Zufall durch die Schule – Wahrscheinlichkeit. PM Praxis der Mathematik in der Schule, 66/57, 2–9. Tietze, U., Klika, M., & Wolpers, H. (Hrsg.) (2002). Mathematikunterricht in der Sekundarstufe II. Band 3: Didaktik der Stochastik. Braunschweig: Springer Vieweg.

Kriteriengeleitetes Arbeiten – ein Aufgabenformat zur Förderung von selbstreguliertem Lernen im Mathematikunterricht

7

Annegret Nydegger

Zusammenfassung

Es gilt als gesichert, dass Metakognition ein wichtiger Erfolgsfaktor beim Mathematiklernen ist. Insbesondere ist die Selbstregulation von Denkprozessen bedeutsam. Eine gezielte Förderung der Selbstregulation ist ein Qualitätsmerkmal von gutem Mathematikunterricht. Mit dem Aufgabenformat ‚kriteriengeleitetes Arbeiten‘ liegt ein Vorschlag vor, wie Selbstregulation im Unterricht angeleitet werden kann: Die Lernenden bearbeiten eine offene Aufgabe und wählen dabei aus einer vorgegebenen Liste Kriterien aus, die sie bewertet haben wollen. Die Aufgabenstellung und die Kriterienliste stützen sich auf erste Fragen und Ideen der Lernenden. Die Unterrichtsmoderation lehnt sich stark an das Format des dialogischen Lernens an, indem wiederholte Austausch- und Reflexionsprozesse angeregt werden. Auf diese Weise wird systematisch eine Selbstregulation im Lernprozess angelegt.

Annegret Nydegger-Haas * Pädagogische Hochschule Bern Bern, Schweiz E-Mail: [email protected]

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2019 A. Büchter et al. (Hrsg.), Vielfältige Zugänge zum Mathematikunterricht, https://doi.org/10.1007/978-3-658-24292-3_7

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A. Nydegger

7.1 Selbstregulation In der Bildungsforschung vermag man einen immer stärker werdenden Konsens erkennen, dass Lernen als konstruktiver, interaktiv-dialogischer, verstehensorientierter, idealerweise selbstregulierter Prozess verstanden wird (Reusser 2009, S. 300). Roth beschreibt Lernen als aktive Bedeutungserzeugung und weist darauf hin, dass dieser Prozess in jedem Gehirn viel unterschiedlicher abläuft, „als wir alle wahrhaben wollen“ (Roth 2004, S. 502). Lernen1 ist ein aktiver Vorgang, das heißt, dass er durch die lernende Person gesteuert bzw. reguliert wird. Reusser nennt selbstreguliertes Lernen u. a. eine Basis zur Ausbildung von Lernstrategien (Reusser 2009, S. 300). Wir Menschen sind in der Lage, über das eigene Denken und Lernen nachzudenken, also diese zu ändern und zu steuern. „Je besser uns das gelingt, desto klarer, beweglicher, stabiler und transferfähiger erweisen sich die daraus hervorgehenden Wissensstrukturen und Kompetenzen“ (Reusser 2009, S. 300). Selbstregulation von Denk- oder Lernprozessen respektive selbstreguliertes Lernen läuft individuell im Kopf jedes Einzelnen ab. Mögliche Denkhandlungen finden sich in Tab. 7.1: Tab 7.1 Handlungen im Bereich der Selbstregulation von Denk- oder Lernprozessen (angelehnt an Bruder 2003). Bezogen auf die Aufgabenbearbeitung (kurze Phase) Lernende regulieren ihr Denken resp. Lernen, wenn sie …

Bezogen auf die Steuerung des Lernens (längere Phase) Lernende regulieren ihr Lernen, wenn sie …

• • • •

• • •

• • • • • • …

1

Fragen an die Sache stellen Vorwissen und Vorerfahrungen aktivieren nach einer geeigneten Struktur suchen nach Vereinfachungen, Konkretisierungen, Generalisierungen suchen nach relevanten Angaben in einem Kontext suchen sich überlegen, ob die Problemstellung lösbar ist sich für einen Lösungsweg entscheiden, einen Lösungsweg verlassen, andere Lösungswege ins Auge fassen verschiedene Lösungswege vergleichen sich entscheiden, die Darstellungsebene zu wechseln (eine Skizze machen, Zahlen strukturiert in einer Tabelle festhalten, mit Material etwas nachbauen, …) die Arbeit selbständig kontrollieren, sei es durch vorgegebene Lösungsschlüssel oder durch ein vertieftes Überprüfen der eigenen Denkschritte

• • • • • • …

Gelerntes zusammenfassen Gelerntes vernetzen sich aus einer Gesamtschau vergewissern, wo Unsicherheiten bestehen sich eine Übersicht über Gelerntes verschaffen sich Gedanken über verwendete Strategien machen gezielt Hilfe holen sich Merksätze notieren mathematische Inhalte in größere Zusammenhänge stellen formulieren, was klar und was noch unklar ist

In diesem Artikel bezieht sich der Begriff Lernen auf explizites Lernen (Stern 2009).

7 Kriteriengeleitetes Arbeiten

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Verschiedene Studien weisen darauf hin, dass eine Förderung der Fähigkeiten im Bereich der Steuerung von Lern- und Denkprozessen (Selbstregulation) für den Lernerfolg in Mathematik bedeutsam ist: •

•

•

Zimmermann (1977) weist nach, dass erfolgreiche Problemlöser bei Aufgaben systematischer vorgehen. Sie begeben sich auf eine Metaebene und suchen nach Strukturen. Das bedeutet, dass sie ihr Vorgehen in einem bestimmten Maß kontrollieren (in Rott 2014, S. 261). Ufer legt dar, dass Lernen ein gewisses Maß an Vorwissen braucht. Dieses bietet entsprechende Anknüpfungspunkte. Das Abrufen von Vorwissen und Strategien und die entsprechende Verarbeitung wird durch die Selbstregulation ermöglicht (Ufer et al. 2015, S. 421–423). Auch Rott weist in seiner Studie nach, dass die Selbstregulation eng mit dem Erfolg der Problembearbeitung verbunden ist (Rott 2014, S. 251–282).

Es gilt, je vielfältiger die Palette der Lernstrategien und der Selbstregulation der Schülerinnen und Schüler ist, desto leichter wird es ihnen gelingen, Problembearbeitungen (kürzere Bearbeitungsphasen) und ihr Lernen (längerfristiger Aufbau) zielgerichtet zu regulieren. So stellt sich die Frage, wie Selbstregulation im Mathematikunterricht gefördert werden kann. Diesbezüglich ist die Videostudie zu TIMSS (Reusser et al. 2010) interessant. Darin wird untersucht, inwiefern die Unterrichtsstruktur für die Unterrichtsqualität entscheidend ist. Konkret wird der Frage nachgegangen, ob ein Unterricht mit offenen Lehrformen (z. B. Wochenplan- oder Werkstattunterricht) erfolgreicher ist als ein traditioneller Mathematikunterricht. Es zeigte sich, dass die untersuchten Lehrpersonen, die mit offenen Lehrformen arbeiteten, im Unterricht zwar einen größeren Anteil an selbständigem Lernen ermöglichten, jedoch weder eine qualitativ bessere Aufgabenkultur hatten noch höherwertige Denk- oder Problemprozesse anregten. Fazit: Zwischen den beiden Unterrichtsstrukturen lassen sich keine Fachleistungsunterschiede feststellen. Es liegt primär nicht an den Lehrformen, ob ein Unterricht gut ist. Der Schlüssel liegt zumindest auch in der fachlichen Tiefe der Prozesse und der Förderung der Metakognition, insbesondere der Selbstregulation. Neben dem konstruktivistischen Aspekt, der Selbstregulation erfordert, ist aber auch der sozial-kulturelle Aspekt relevant: Lernen findet immer auch im sozialen Raum statt (Reusser 2009, S. 300; Breuer 2000). „Völlig fremdgesteuertes Lernen ist nicht möglich, da im Lernprozess der Lernende externe Einflüsse kognitiv verarbeitet, die seine Lernaktivität nicht vollständig determinieren können. (…) Völlig selbstgesteuertes Lernen ist nicht möglich, da der Lernprozess immer in sozio-kulturell geprägten Umgebungen stattfindet“ (Breuer 2000, S. 88). Das bedeutet, dass auch kooperative Lernformen die Steuerung des Lernprozesses durch gezielt initiierte Kommunikation unterstützen können.

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A. Nydegger

Die Aussage, dass die Förderung von Selbstregulation nicht allein durch eine bestimmte Lehrform zu erreichen ist (Reusser 2009, S. 305), ist insofern zu konkretisieren, dass Instruktion und Konstruktion als auf einander bezogen und sich gegenseitig ergänzend gedacht werden müssen. In irgendeiner Form wird (meist von außen) Neues aufgenommen, ob es vorgetragen, durch Nachahmung erfasst oder durch eigene Experimente aufgebaut wird. Dieses Neue wird als Input aufgenommen und dann soweit verarbeitet, dass eine Bedeutungserzeugung möglich wird (Roth 2004, S. 496). Sowohl während der Aufnahme als auch bei der Verarbeitung spielt die Selbstregulation in Lernprozessen eine wichtige Rolle. Realisiert ist ein solches sozial-konstruktivistisches Konzept z. B. im Modell des dialogischen Lernens (Gallin & Ruf 1998, 1999). Dies ist ein Unterrichtskonzept, das versucht, eine bedeutungsvolle individuelle Auseinandersetzung mit Mathematik zu initiieren, um einen echten Dialog mit dem Fach und kooperatives Lernen zu ermöglichen. Dabei ist das Konzept der „Kernidee“ zentral. Eine Kernidee steht zu Beginn einer Auseinandersetzung mit einem Lerngegenstand. Der Sachverhalt (Grundlage für die Kernidee) wird von der Lehrperson vorgestellt. Ausgehend davon werden bei den Lernenden Beobachtungen, Feststellungen oder Fragen ausgelöst. Die Sache selbst animiert zu Fragen. Die Lernenden sollen selber „mit dem Stoff reden“ und die Erkenntnisse darüber mit anderen austauschen. Diese subjektiven Auseinandersetzungen sind, so Gallin und Ruf, „Quellen des Verstehens“ (Gallin & Ruf 1998, S. 25). Die Entwicklung von Kernideen ist für viele Lehrpersonen schwer umzusetzen (Gallin & Ruf 1998, S. 109). Das neu entwickelte Aufgabenformat ‚kriteriengeleitetes Arbeiten‘ bietet dazu eine Hilfestellung, indem es die individuelle Auseinandersetzung mit mathematisch bedeutsamen Fragen und Situationen durch die Vorgabe von Kriterien ein Stück weit reguliert, so dass bewusster konkrete Lernziele verfolgt werden.

7.2

Kriteriengeleitetes Arbeiten

Kriteriengeleitetes Arbeiten beschreibt ein Aufgabenformat, das darauf zielt, im Rahmen eines dialogischen Ansatzes Selbstregulation anzuregen. Konkret sieht das Format wie folgt aus: In einer offenen Startphase wird eine mathematisch bedeutsame Sachsituation präsentiert, die die Lernenden anregen soll, sich auf eine Auseinandersetzung einzulassen. So wird der Kernidee ‚Raum gegeben‘. Die Identifikation mit dem Lerngegenstand und die Klärung des eigenen Standpunktes stehen für die Lernenden im Zentrum. Die Lehrperson erarbeitet dann, gestützt auf die Fragen der Lernenden, eine offene Aufgabenstellung mit Bearbeitungskriterien. Diese Kriterien beschreiben Lösungserwartungen. Sie helfen den Lernenden, den Arbeitsprozess zu steuern. Während oder am Ende der Arbeitsphase wählen die Lernenden fünf Bearbeitungskriterien aus. Diese gelten dann als Grundlage zur Bewertung der Arbeit. Auf diese Weise machen sich die Lernenden vertieft Gedanken über die Qualität ihrer Arbeit. Durch eine Vorgabe von Bearbeitungskriterien wird die offene Aufgabe fokussiert auf bestimmte Inhalte des Faches (Gallin & Ruf 1998, S. 110).

7 Kriteriengeleitetes Arbeiten

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Auf diese Weise wird es möglich, dass nach der individuellen Arbeit die Ergebnisse in der Klasse diskutiert werden können. Ein Unterrichtsbeispiel zur Illustration Im Folgenden wird die Struktur des kriteriengeleiteten Arbeitens detaillierter ausgeführt (grau eingefärbt) und mit einer konkreten Unterrichtssituation illustriert. Das Aufgabenformat ist so angelegt, dass der erste Schritt (ca. 15 min. Zeitaufwand) in einer ersten Lektion (Unterrichtsstunde) bearbeitet wird. Schritt 2 bezieht sich auf die Vorbereitung der Lehrperson. Sie stellt die Ergebnisse des ersten Schrittes zusammen und lenkt das weitere Vorgehen. Die Schritte 3–5 werden in der nächsten Mathematiklektion ausgeführt (ca.  40–60 min Zeitaufwand). Das Aufgabenbeispiel wurde in zwei Klassen des 7. Schuljahres mit unterschiedlichen Leistungsniveaus durchgeführt. Der Sachverhalt zielt auf die mathematischen Inhalte Quadervolumen und Dichte. Die Schülerinnen und Schüler kennen bereits die Volumenberechnung von Quadern. In diesem Sinn ist dieser Teil eine Vertiefung. Die Dichte wird, im Sinne einer Vorschau, propädeutisch thematisiert. Schritt 1 Lernende kognitiv aktivieren mit einem Sachverhalt mit ‚Potential’





Die Lehrperson stellt der Klasse eine Sachsituation vor, die mathematisch reichhaltig ist. Die Schülerinnen und Schüler werden aufgefordert, zuerst alleine, dann im Austausch mit dem Partner Feststellungen und Fragen aufzuschreiben. Die Fragen werden in dieser Startphase nicht von der Lehrperson gestellt, sondern aus der Sache entwickelt. Die Ergebnisse werden gesammelt und im Plenum diskutiert. Dieser Schritt wird nach dem Modell des dialogischen Lernens ICH-DU-WIR moderiert (Gallin & Ruf 1998, 1999). Die Lehrperson sammelt die Produkte ein.

Die Situation ist offen und zielt im konkreten Unterrichtsbeispiel auf die mathematischen Inhalte Volumen, Hohlmaß – Volumenmaß und Dichte einerseits und andererseits auf die Handlungsaspekte ‚Operieren und Benennen’, ‚Mathematisieren und Darstellen’, ‚Erforschen und Argumentieren’ (deutsch-schweizerischer Lehrplan 21). A Papiertaschen, Messbecher und Tabellen zu Dichteangaben liegen auf dem Tisch. Gemeinsam werden die verschiedenen Skalen auf dem Messbecher betrachtet. Die Diskussion führt hin zu Aussagen wie: „Messbecher sind Hilfsmittel zum Abmessen. Wer verwendet Messbecher? In welcher Situation? Becher lassen sich nicht so leicht herstellen. In einigen Fällen geht es auch mit Papiertüten. Was muss man sich überlegen, wenn man eine ‚Messtasche’ herstellen will?“ B Die Lernenden arbeiten zuerst alleine, notieren sich erste Überlegungen (Abb. 7.1) und tauschen anschließend mit dem Partner aus.

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A. Nydegger

Abb. 7.1 Fragen, Feststellungen und Aufgabenstellungen der Lernenden

C

Feststellungen, Aufgabenstellungen oder Fragen stellen die Lernenden im Plenum vor. Beispiele dazu: • Papiertasche faltbar bauen und Anleitung schreiben. • Wie oft muss man das Papier falten? • Marken setzen zum Abmessen und Rechnungsweg angeben. • Tüte mit einer Skala von Hafer für 1 kg bei einer Füllhöhe von 8 cm. Lösungsweg. • Netz von Tasche zeichnen • Ein Messgefäß aus Papier herstellen, das eine andere Form hat.

Schritt 2 Die Lehrperson entwickelt, gestützt auf die Schülerarbeiten, eine Aufgabenstellung und entsprechenden Bearbeitungskriterien Die vorliegenden Schülerideen und -fragen sind die Grundlage für die Vorbereitung der nächsten Mathematiklektion. Die Lehrperson entwickelt davon ausgehend eine Aufgabenstellung. Diese ist offen formuliert und wird mit 8–10 Bearbeitungskriterien im Sinne von Lösungserwartungen ergänzt (vgl. Tab. 7.2). Durch das Festlegen von Bearbeitungskriterien hat die Lehrperson die Möglichkeit, die Lerninhalte innerhalb der offenen Sachsituation zu steuern. Es können mathematische Inhalte, die Teil des Curriculums sind, gewichtet werden. Die Aufgabenstellung und die Bearbeitungskriterien berücksichtigen die Heterogenität der Klasse und stoßen verschiedene mathematische Denkhandlungen an, wie beispielsweise einen Transfer in unterschiedliche Darstellungsformen oder das Mathematisieren eines Sachverhaltes. Aufgabenstellung: Stelle verschiedene Messtaschen her, mit welchen sich unterschiedliche Materialien abmessen lassen.

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7 Kriteriengeleitetes Arbeiten Tab. 7.2 Kriterien mit Auswahl- und Bewertungsspalten Bearbeitungskriterien

ê

Deine Tasche ist nach demselben Prinzip gebaut wie die vorgegebenen Taschen. Sie ist faltbar. Die Litermarke deiner Tasche ist korrekt aufgezeichnet oder korrekt beschrieben. Die Marken für ½ und ¼ Liter sind korrekt eingezeichnet. Der Rechenweg ist nachvollziehbar und korrekt. Dein Vorgehen ist verständlich dokumentiert. Eine Messskala für ein weiteres Lebensmittel ist korrekt aufgezeichnet. Bei einer weiteren Tasche liegt die 1 Litermarke genau bei 8 cm. Deine Maßangaben zu dieser Tasche sind korrekt. Die Begründung zum Berechnen der Taschengröße bei 1 Liter auf 8 cm ist korrekt. Die 1 kg-Marke für Hafer liegt genau bei 8 cm. Deine Maßangaben zu dieser Tasche sind korrekt. Skizzen und Beschreibung zu einem weiteren Papier-Gefäß sind verständlich. Die Skalen sind korrekt.

Schritt 3.1 Aufgabenstellung und Bearbeitungskriterien klären und offene Aufgabe bearbeiten In einer Folgelektion legt die Lehrperson die Aufgabenstellung vor. Diese ist den Schülerinnen und Schülern in Ansätzen bekannt, hatten sie sich doch in der Startphase bereits mit dieser Thematik auseinandergesetzt und gleiche oder ähnlichen Fragestellungen entwickelt. Dadurch wird die Identifikation mit dem Lerngegenstand gestärkt. Die Bearbeitungskriterien helfen, Lösungserwartungen zu klären. Die Lenkung hin zu einer gemeinsamen Aufgabenstellung macht es möglich, im Sinne des kooperativen Lernens, angepeilte mathematische Inhalte gemeinsam zu diskutieren (siehe Schritt 4). Die Lernenden setzen sich mit der Aufgabenstellung auseinander und erstellen Produkte (Beispiele dazu Abb. 7.2).

Abb. 7.2 Schülerprodukte zur Aufgabenstellung

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A. Nydegger

Schritt 3.2 Kriterien zur Bewertung der Arbeit wählen



Während des Arbeitsprozesses wählen die Lernenden fünf Kriterien aus, mit welchen ihre Arbeit bewertet werden soll (Bewertungskriterien siehe Tab. 7.2). Dadurch dass die Lernenden entscheiden können, welche Kriterien zur Bewertung ihrer Lösungen gelten sollen, denken sie nochmals vertieft über die Qualität ihrer Arbeit nach. Um gut abzuschließen, werden sie diejenigen Kriterien wählen, bei welchen sie überzeugt sind, dass ihre Lösung korrekt ist.



Während des Arbeitsprozesses kontrollieren die Schülerinnen und Schüler ihre Arbeit mithilfe der Kriterien. Was habe ich schon gemacht, welche Kriterien könnte ich noch angehen? Beispielsweise lässt eine Schülerin die ersten Kriterien zur Bewertung weg, weil sie nicht gerne mit Material arbeitet. Ein Schüler, der sich noch überfordert fühlt bei Anwendungen zur Dichte, wählt das Kriterium ‚Füllhöhe von einem kg Hafer bei 8 cm‘ nicht. Schritt 4 Gegenseitige Kontrolle (Peerkontrolle) und Reflexion Gegenseitig werden die Arbeiten in Gruppen ausgetauscht und anhand der ausgewählten Kriterien kontrolliert. Alle Schülerinnen und Schüler erhalten eine Rückmeldung zu ihrer Arbeit, bezogen auf die ausgewählten Kriterien (Peerrückmeldung). Die Lehrperson steht bei Unsicherheiten zur Verfügung und überprüft die Kontrollen. In Gruppen werden aus der Arbeit resultierende mathematische Erkenntnisse gesammelt. Im Plenum legt dann jede Zweiergruppe Merksätze und Feststellungen vor, die sie aufgrund dieser Arbeit gewichten möchte. Auf diese Weise wird eine Vielfalt von Erkenntnissen zusammengetragen, die Grundlage ist für eine individuelle Zusammenfassung wesentlicher Einsichten. Die Lehrperson klärt dabei ungenaue oder fehlerhafte Aussagen.

Die Beiträge zeigen auf, dass nicht isoliertes Wissen, sondern vernetztes Denken im Zentrum dieser Arbeit steht (Beispiele dazu siehe Abb. 7.3 und Abb. 7.4).

Abb. 7.3 Einsichten, die nach der Bearbeitung festgehalten werden



7 Kriteriengeleitetes Arbeiten

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Schritt 5 Selbstreflexion und Eintrag im individuell geführten Theorieheft Jede Schülerin, jeder Schüler hält die Erkenntnisse fest, die ihr bzw. ihm zu diesem Thema sinnvoll und wichtig scheinen. Diese werden in Darstellungen und eigenen Worten individuell im eigenen Theorieheft festgehalten. Die Eintragungen sind stark mit den Erfahrungen des persönlichen Lernprozesses vernetzt. Die Lehrperson kontrolliert diese Eintragungen (s. Abb. 7.4).



Abb. 7.4 Einträge im Merkheft, Schülerbeispiele

7.3

Kriteriengeleitetes Arbeiten – ein Format, die Selbstregulation zu stärken

Die einzelnen Bearbeitungsschritte werden in einer Rückschau nochmals didaktisch und theoretisch begründet. Es wird aufgezeigt, inwiefern die Selbstregulation mit dem Format des kriteriengeleiteten Arbeitens gefördert resp. gestützt wird. Schritt 1 Lernende kognitiv aktivieren mit einem Sachverhalt mit ‚Potential’ Um der Selbstregulation von Lernen Raum zu geben, sind Lernsettings hilfreich, welche eine hohe kognitive Aktivierung auslösen. Die Lehrperson wählt einen geeigneten Sachverhalt, der zum Denken anregt und verschiedene Vorgehensweisen zulässt. Lernende sollen damit „[…] zu eigenen elaborierenden Gedankengängen über den Unterrichtsgegenstand angeregt werden“ (Ufer et al. 2015, S. 420). Der Unterrichtsgegenstand ist Ausgangspunkt zur Entwicklung einer Kernidee im Sinne von Gallin und Ruf (Gallin & Ruf 1999). Er ist offen und wirft bei den Lernenden Fragen auf, die von der Lehrperson zu einer Kernidee verdichtet werden. Die Auseinandersetzungen mit der Kernidee knüpfen am individuellen Vorwissen der Lernenden an und ermöglichen auf unterschiedlichen Lernniveaus einzusteigen. Zwei Ebenen müssen bei der Kernidee als Zieldimension zusammengebracht

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A. Nydegger

werden: Einerseits soll ein Phänomen oder ein Vorgang, meist verortet im außerschulischen Kontext (Alltagsbezug), im Zentrum stehen. In diesem Beispiel sind es Papiertüten und Messbecher. Andererseits müssen damit mathematische Grundvorstellungen, beispielsweise bestimmt durch das Curriculum, auf- und ausgebaut werden können. Die Lernenden setzen sich mit dem Sachverhalt auseinander und generieren Feststellungen oder Fragestellungen. Daraus leiten sie konkrete Aufgabenstellungen ab. Gestützt auf eigene Erfahrungen, die die Lernenden an dieser Stelle aktivieren, werden nach und nach bereits bekannte mathematische Muster mit dem Untersuchungsgegenstand vernetzt. Das Ergründen einer Sache braucht Zeit und bietet Raum, die Selbstregulation des Lernens zu entwickeln. In der ICH-Phase (dialogisches Lernen) können die Lernenden im eigenen Arbeitstempo ihr Vorwissen aktivieren und ihre Gedanken zur Sache zusammentragen. In Partnerarbeit tauschen sie ihre Überlegungen aus (DU-Phase). Auf diese Weise findet die Annäherung an den Lerngegenstand statt. Das Lernen startet bewusst vom eigenen Standpunkt aus. Hier setzen erste Regulierungsschritte ein: geeignete Strukturen finden, Fragen an die Sache stellen, Vorwissen aktivieren, (s. Tab. 7.1) sind dabei durchzuführende Denkhandlungen. Schritt 2 Die Lehrperson entwickelt gestützt auf die Schülerarbeiten eine Aufgabenstellung und entsprechende Bearbeitungskriterien Die Lehrperson nimmt die Ergebnisse der Lernenden auf und erarbeitet eine offene Aufgabenstellung mit entsprechenden Kriterien. Die Kriterien grenzen das freie Arbeiten ein, sie helfen aber auch, den Fokus auf bestimmte Denkhandlungen zu richten. Die Offenheit von Aufgaben kann Lernende in der Fähigkeit, den Lernprozess zu regulieren, überfordern. Die Kriterien sind ein Lenkungsinstrument, welches die Möglichkeit bietet, bei offenen Aufgaben bestimmte Lernaktivitäten zu fokussieren. Schritt 3 Aufgabenstellung und Bearbeitungskriterien klären, offene Aufgabe bearbeiten und Kriterien zur Bewertung wählen Die mit Kriterien versehenen Fragestellungen mögen etwas eng anmuten und scheinen sich von traditionellen Mathematikaufgaben kaum zu unterscheiden. Dem ist jedoch nicht so: Dadurch dass die Lernenden bei der Entwicklung der Fragestellungen beteiligt waren, hat die Aufgabenstellung eine andere Qualität. Die Kriterien präzisieren Lösungserwartungen, die sonst bei offenen Fragestellungen nicht vorgegeben sind. Die Kriterien ermöglichen die Überprüfung der eigenen Arbeit. Die Lernenden versichern sich – während und am Ende der Arbeit – mithilfe der Kriterien, ob sie sich im Rahmen der Vorgaben bewegen. Die Selbstkontrolle wird dadurch gestärkt, dass die Lernenden, bevor sie ihre Arbeit abschließen, entscheiden müssen, welche Kriterien für die Bewertung relevant sein sollen. Diese Entscheidung verlangt ein hohes Maß an Selbstreflexion. Die Lernenden müssen sich vergewissern, was klar oder noch nicht klar ist. Sie kontrollieren und überprüfen die eigenen Denkschritte (s. Tab. 7.1).

7 Kriteriengeleitetes Arbeiten

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Schritt 4 Gegenseitige Kontrolle (Peerkontrolle) und Reflexion Das Diskutieren der unterschiedlichen Lösungswege wird mit einer Peerkontrolle verbunden. Die Schülerinnen und Schüler untersuchen gegenseitig in Partnerarbeit die Lösungsschritte der Mitschülerinnen und Mitschüler (DU-Phase). Sie versuchen diese nachzuvollziehen und entscheiden, ob diese richtig sind. Die Korrektur fordert eine vertiefte Auseinandersetzung mit unterschiedlichen Lösungswegen. Die Lernenden vergleichen Lösungswege oder machen sich Gedanken über verwendete Strategien (s. Tab. 7.1). Sie müssen die Perspektive wechseln, sich in andere Aufgabenbearbeitungen hineindenken. Dadurch wird ihr Wissen bezüglich des untersuchten Lerngegenstandes vertieft und ihr Denken beweglich. Die Einsichten aus der Korrekturarbeit werden zusammengetragen. Die Lernenden erarbeiten gemeinsam Grundlagen für Schritt 5, das persönliche Festhalten von Erkenntnissen. Dabei müssen sie rückblickend entscheiden, welche Erkenntnisse zum Aufbau von Strategien oder mathematischer Inhalte wichtig waren, wo Fehler entstanden und warum. Sie formulieren, was klar oder noch nicht klar ist (s. Tab. 7.1). Einsichten, Merksätze und verschiedene Lösungswege werden ausgetauscht. Im Plenum werden Erkenntnisse zu Inhalt und Strategien vorgestellt (WIR-Phase). Diese beziehen sich auf ihre eigene oder auf die kontrollierte Arbeit. Auch hier ist wiederum Selbstregulation gefordert. Im Austausch haben die Schülerinnen und Schüler nochmals die Gelegenheit, sich eine Übersicht über ihr Gelerntes zu verschaffen und allfällige Unsicherheiten auszuräumen (s. Tab. 7.1). Schritt 5 Selbstreflexion und Eintrag im individuell geführten Theorieheft In dieser Phase wird noch einmal auf den gesamten Arbeitsprozess zurückgeschaut. Nun setzt sich jede Schülerin, jeder Schüler persönlich mit den erarbeiteten Erkenntnissen auseinander und entscheidet, welche für sie resp. für ihn wichtig und hilfreich sind (s. Tab. 7.1). Demzufolge werden die Phasen des dialogischen Lernens ICH, DU, WIR mit einer abschließenden ICH – Phase ergänzt (ICH-DU-WIR-ICH).

7.4 Fazit Das vorgestellte Aufgabenformat hebt sich in zwei Bereichen von anderen Aufgabenformaten ab. 1) Dem Einstieg in die Problemstellung wird Raum gegeben. Erste Auseinandersetzungen mit einem Sachverhalt werden zuerst alleine, dann zu zweit erarbeitet. Das Stellen von Fragen an den Unterrichtsgegenstand ist Teil des Aufgabenformates. Die Sache selbst soll Fragen auslösen. Bevor Neues mit Bestehendem verknüpft werden kann, muss die persönliche Position gesichert und der eigene Standpunkt geklärt werden. Jeder und jede muss, weil Lernen ein individueller Prozess ist, selber seine Lernschritte regulieren (Gallin & Ruf 1999). „Relevantes Vorwissen bzw. Vorerfahrungen wieder in Erinnerung rufen, ist Voraussetzung für kumulative Lernprozesse. Entsprechend wird

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A. Nydegger

eine Aktivierung von Vorwissen als zentrale Voraussetzung kognitiver Aktivierung gesehen“ (Ufer et al. 2015, S. 418). Eigenes Vorwissen aktivieren und Relevantes aus einem Kontext herausschälen sind wichtige Komponenten einer Selbstregulation von Denkprozessen (s. Tab. 7.1). Aufgabenstellungen im traditionellen Unterricht geben diesen Aktivitäten nach meiner Erfahrung oft nicht genügend Raum und werden in den Lehrmitteln kaum angeregt. 2) Die Lehrperson formuliert Kriterien zur Bewertung der Arbeit. Sie sind einerseits Hilfsmittel, um den Arbeitsprozess zu steuern und die fachliche Tiefe der Prozesse sicherzustellen. Andererseits wählen die Lernenden die Kriterien, die bewertet werden sollen. Dies verlangt von ihnen, dass sie ihre Arbeit während des Arbeitsprozesses kontrollieren. Woran arbeite ich jetzt genau? Gefällt mir das oder gibt es ein Kriterium, das mich mehr anspricht? Kann ich  dieses Kriterium erfüllen oder soll ich ein anderes wählen? Am Ende der Arbeit unterstützen die Kriterien das unmittelbare Zurückschauen auf die gemachte Arbeit. Die Lernenden entscheiden, ob die Arbeit zufriedenstellend erfüllt ist und ob sie mit dem Ergebnis zufrieden sind oder ob eine weitere Überarbeitung sinnvoll ist (s. Tab. 7.1). Das Format kriteriengeleitetes Arbeiten ist als Ergänzung zu den herkömmlichen Aufgabenformaten gedacht, um die Selbstregulation in Lernprozessen zu fördern und die fachliche Tiefe der Prozesse sicherzustellen. (Dazu ist eine Publikation erschienen mit dem Titel: Produkte im Mathematikunterricht begleiten und bewerten (Jundt & Nydegger 2018).

Literatur Breuer, J. (2000). Selbstgesteuertes Lernen, kooperatives Lernen, komplexes Lernen und Internet. In F.H. Esser, M. Twardy & K. Wilbers (Hrsg.), e-Learning in der Berufsbildung. Telekommunikationsunterstützte Aus- und Weiterbildung im Handwerk (S. 84–171). Markt Schwaben: Eusl. Bruder, R. (2003). Methoden und Techniken des Problemlösenlernens. Material im Rahmen des BLK-Programms „Sinus“ zur „Steigerung der Effizienz des mathematischnaturwissenschaftlichen Unterrichts“. Kiel: IPN. Gallin, P. & Ruf, U. (1998). Sprache und Mathematik in der Schule. Seelze: Kallmeyer. Gallin, P. & Ruf, U. (1999). Dialogisches Lernen in Sprache und Mathematik. Seelze: Kallmeyer. Jundt, W. & Nydegger. A. (2018). Produkte im Mathematikunterricht begleiten und bewerten. 7. Bern: Schulverlag plus. Jundt, W. & Wälti, B. (2011). Mathematische Beurteilungsumgebungen. 7. Schuljahr. Zug: Klett und Schulverlag.

7 Kriteriengeleitetes Arbeiten

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Reusser, K. (2009). Von der Bildungs-und Unterrichtsforschung zur Unterrichtsentwicklung – Probleme, Strategien, Werkzeuge und Bedingungen. Beiträge zur Lehrerinnenund Lehrerbildung, 27(3), 295–312. Reusser, K., Pauli, C. & Waldis, M. (2010). Unterrichtsgestaltung und Unterrichtsqualität. Ergebnisse einer internationalen und schweizerischen Videostudie zum Mathematikunterricht. Münster: Waxmann Verlag. Roth, G. (2004). Warum sind Lehren und Lernen so schwierig? Zeitschrift für Pädagogik, 50(4), 496–506. Rott, B. (2014). Mathematische Problembearbeitungsprozesse von Fünftklässlern – Entwicklung eines deskriptiven Phasenmodells. Journal für Mathematik-Didaktik, (35), 251–282. Stern, E. (2009): Implizite und explizite Lernprozesse bei Lehrerinnen und Lehrern. In K. Beck & O. Zlatkin-Troitschanskaia (Hrsg.), Lehrerprofessionalität. Bedingungen, Genese, Wirkungen und ihre Messung (S. 355–364). Weinheim: Beltz. Ufer, S., Heinze, A. & Lipowsky, F. (2015). Unterrichtsmethoden und Instruktionsstrategien. In R. Bruder, L. Hefendehl-Hebeker, B. Schmidt-Thieme & H.-G. Weigand (Hrsg.), Handbuch der Mathematikdidaktik (S. 411–434). Berlin: Springer.

Ein erster Zugang zur Scheduling-Theorie – paradigmatisch erschlossen

8

Günter Törner

Zusammenfassung

Fachdidaktische Unterrichtsprinzipien werden in der Literatur zumeist über schulische Kontexte verdeutlicht, obgleich sie in vielen Fällen nicht auf diese beschränkt sind und auch auf andere Lernkontexte anwendbar sind. Vor 40 Jahren war es Hans Freudenthal (1978), der die Rolle von paradigmatischen Beispielen herausstellte. Nur noch selten findet man Referenzen auf diesen interessanten Gedanken; gleichwohl verweist allerdings eine jüngere Publikation (Leuders et al. 2011) mit der Kollegin als Koautorin, der dieser Aufsatz gewidmet ist, auf dieses fachdidaktische Prinzip. Die vorliegende Arbeit hat sich zum Ziel gesetzt, mit solch einem paradigmatischen Vorgehen auf eine nicht vielen bekannte, hoch anwendungsträchtige Theorie der Diskreten Mathematik, nämlich die Scheduling-Theorie, aufmerksam zu machen. Gleichzeitig sollen mit dieser paradigmatischen Herangehensweise zentrale mathematische Charakteristiken dieser Disziplin beleuchtet werden, die viele fachspezifische Aspekte dieser Theorie verdeutlichen, die ansonsten dem Uneingeweihten eher fremd erscheinen. Danksagung: Der Autor dankt Britta Berndtsen für die Mithilfe bei der Fertigstellung des Artikels.

Günter Törner * Universität Duisburg-Essen, Essen, Deutschland E-Mail: [email protected]

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2019 A. Büchter et al. (Hrsg.), Vielfältige Zugänge zum Mathematikunterricht, https://doi.org/10.1007/978-3-658-24292-3_8

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8.1

G. Törner

Was man über Scheduling-Theorie wissen sollte

Scheduling-Theorie ist eine relativ junge Disziplin. Vor vierzig Jahren – das ist in der Mathematik eigentlich vorgestern – zählte Scheduling noch zu einem neu zu propagierenden Forschungsgebiet, wie es L. A. Steen (1978) herausstellte. Dieser Zweig der Diskreten Mathematik hat sich enorm weiterentwickelt und wird dem Gebiet Operations Research zugeordnet. Der Mathematics Subject Classification Index (MSC) weist dem Gebiet die Signatur 90B35 zu, dem stochastischen Scheduling als Pendant die Signatur 90B36. Inzwischen haben sich schon mehr als ein Dutzend Lehrbücher etabliert, prominent (und empfehlenswert) ist das in der fünften Auflage erschienene Buch von Pinedo (2016), das der Autor in seinen Vorlesungen benutzte. Allerdings sind Inhalte der Scheduling-Theorie nur an wenigen mathematischen Fakultäten in Deutschland ein obligatorischer Lehrstoff, zum Teil öfters in Ingenieurwissenschaften und Wirtschaftswissenschaften zu finden. Grob beschrieben geht es in der Scheduling-Theorie um Fragestellungen der Diskreten Mathematik an der Schnittstelle zum Gebiet Optimierung; insofern wird hier in der Regel Endlichkeit unterstellt. Die allgemein akzeptierte und letztlich universelle Grundmetapher für Probleme dieser Disziplin liest sich einfach: Endliche viele Maschinen (evtl. mit unterschiedlichen Merkmalen) bearbeiten endlich viele Jobs unter zumeist vorgegebenen Restriktionen bezogen auf die Jobs oder Maschinen. Prozesse kosten Zeit, die es zu kalkulieren gilt resp. die als bekannt vorausgesetzt wird. Gängige Restriktionen sind z. B. Reihenfolgenvorgaben, Rüstzeiten, Maschinenfreigabetermine, Verbot von Unterbrechungen oder Beschränkung von Wartezeiten. Unterbrechungen können von Fall zu Fall erlaubt resp. verboten sein, zum Beispiel beim Stahlkochen. Der gesamte Prozess unterliegt – und das ist zentral – einem näher festzulegenden, der Situation angepassten Optimierungsziel, z. B. mit einer kürzest möglichen Fertigstellungszeit des Bearbeitens aller Jobs oder mit einer minimalen aufgelaufenen Verspätungszeit, unter der geringsten Zahl von Verspätungsvorgängen, bei einer minimalen Inanspruchnahme von Ressourcen usw. Dutzende von Zielfunktionen werden in der Literatur in Abhängigkeit vom Kontext diskutiert. Über das unmittelbare Alltagsverständnis hinaus sind ,Maschinen‘ und ‚Jobs‘ grundlegende Begriffe der fachgebietsspezifischen Terminologie, und es liegt in der Hand des Bearbeiters, was er im jeweiligen Modellierungskontext darunter verstehen will; natürlich wird der Leser an irgendwelche (realen) Maschinen denken, die irgendwelche Jobs (Aufträge oder Operationen) bearbeiten. Bald wird man Beispiele kennenlernen, wo die beiden Begriffe auch austauschbar und dual benutzbar sind. In einem ersten Bearbeitungsschritt geht es um das Auffinden von Lösungen, die als zulässig bezeichnet werden, wenn sie den (technologischen) Vorgaben entsprechen. Weil in Scheduling-Problemen zumeist optimale Lösungen verlangt werden, ergibt sich dadurch eine zusätzliche Anforderung. Da wir uns in einem endlichen Raum von Alternativen bewegen, existieren zwar immer optimale Lösungen, nicht selten sehr viele, was uns möglicherweise weitere Handlungsoptionen eröffnet. Diese jedoch zu finden und zu identifizieren, ist keineswegs einfach, manchmal sehr schwierig, nicht selten selbst mit

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sogenannten Branch-and-Bound-Abzählmethoden der Diskreten Mathematik hoffnungslos. Die Ursache liegt wesentlich in der Komplexität des Problems (im Sinne der Komplexitätstheorie der Informatik). Insofern ist der Problembearbeiter oft gefordert, diese Komplexität zu eruieren. Es ist bekannt, dass in der Diskreten Mathematik nicht wenige Probleme hoch komplex sind (z. B. Traveling Salesman Problem (TSP), das Knapsackproblem). Sehr oft kann man zeigen, dass viele Scheduling-Probleme weitgehend isomorph zu klassischen Fragestellungen sind. Wie auch immer: Das Finden von zulässigen, insbesondere optimalen Lösungen, ist ein zentrales Problem. Da es in der Regel keine Heuristiken für die Lösungsgenerierung gibt, muss man sich an diese ‚herantasten‘. Die Vorgehensweise ist selten kanonisch. Damit wird eine immer wieder auftretende zentrale Forschungsfrage evident: Wie nahe sind wir mit einer (als zulässig unterstellten oder überprüften) Lösung beim Optimum? In einem vor einigen Jahren durchgeführten Kooperationsprojekt des Autors mit dem Industriekonzern thyssenkrupp Steel entschied sich nachvollziehbar an dieser Abschätzung die Güte der Bearbeitung. Es würde den Umfang dieses Aufsatzes sprengen, würden wir hier eine lange Liste von weiteren Beispielen beschreiben. Oftmals begnügt sich der Auftraggeber mit einer hinreichend guten Lösung, weil weitere Verbesserungen sehr teuer werden können, ein Aspekt, der in der Vorlesungsmathematik nur selten angesprochen wird. Aufgabenstellungen der Scheduling-Theorie kommen im Anwendungsalltag überall vor, z. B. die Algorithmen eines Prozessors in unserem Computer oder auch die Organisation von Gate-Zuordnungen auf Flugplätzen. Auf den Internetseiten des MatheonForschungszentrums in Berlin1 finden sich weitere Beispiele. Natürlich hat es, seitdem die ersten Probleme der Scheduling-Theorie auftauchten (vgl. z. B. das Buch von Conway et al. 1967), beachtliche Erkenntnisfortschritte gegeben, allerdings ist nicht zu übersehen, dass viele Probleme eine eigene Theorieentwicklung erforderlich machen und schon minimale Aufgabenvariationen zu gänzlich neuen Problemen führen. Was wir hier im Folgenden beschreiben werden, sind Aspekte der deterministischen Scheduling-Theorie, weil die oft zahlreichen Parameter der Probleme in der Regel im Vorhinein festliegen. Doch in Anwendungssituationen sind die relevanten Daten vielfach stochastischer Natur. Wenn jedoch z. B. Bearbeitungszeiten, Freigabezeiten von Maschinen, Verspätungsparameter, Rüstzeiten nur stochastisch bekannt sind, also Verteilungen unterliegen, muss man die komplexe (und noch nicht sehr weit entwickelte) stochastische Scheduling-Theorie bemühen. Diese Aspekte bleiben hier ausgespart. Es mag deutlich geworden sein, dass es mühsam bis unmöglich ist, diesen hoch aktiven Bereich in einem Artikel umfassend und zugleich kurz darzustellen. Also bedienen wir uns eines paradigmatischen Vorgehens im Sinne von Freudenthal und erläutern quasi en passant mit einem Beispiel, was ‚paradigmatisch wichtig‘ in dieser Theorie ist. In Abschn. 8.4 fassen wir diese Aspekte noch einmal zusammen und listen damit auf, was als paradigmatisch in einer höheren Elementarmathematik angesehen werden kann. 1

https://www.matheon.de/transfer/transport

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8.2

Ein paradigmatisches Beispiel zur Scheduling-Theorie nach French (1982)

Eine einzige Aufgabe des Mathematikers Simon French in seinem heute antiquiert erscheinenden Lehrbuch aus dem Jahr 1982 macht die zentrale Metapher der Scheduling-Theorie schnell deutlich: Es sind n Jobs mit m Maschinen unter naheliegenden (evtl. in Frage zu stellenden) Randbedingungen optimal zu bearbeiten. Was optimal bedeutet, legt der Problemsteller fest, indem er über eine (zu spezifizierende) Zielfunktion entscheidet. Die hier vorgestellte Aufgabe wurde von den Namen her und den zu lesenden Zeitschriften eingedeutscht. Anne (A), Bernd (B), Claudia (C) und Dirk (D) leben in einer Wohngemeinschaft (WG). Jeden Samstag bekommen sie vier Tageszeitungen geliefert: Frankfurter Allgemeine (FAZ), die Welt (WeLT), das Handelsblatt (HBl) und die Süddeutsche Zeitung (SZ). Jede/r einzelne pflegt seinen/ihren Stil, die Zeitungen in der ihm/ihr eigenen Reihenfolge zu lesen; mithin sehen wir die Personen als ‚Maschinen‘ an, die Zeitungen als die von ihnen ‚bearbeiteten Jobs‘; die Randbedingungen lesen sich wie folgt: • • • •

Anne beginnt mit der FAZ; das Lesen dauert 1 Stunde, dann schaut sie sich die WeLT für 30 Minuten an, blättert 2 Minuten im HBl und beendet ihren Lesevorgang für 5 Minuten mit der SZ. Bernd bevorzugt für 1 Stunde 15 Minuten das Lesen der WeLT, danach greift er für 3 Minuten nach dem HBl, bei der FAZ verweilt für 25 Minuten, und die SZ kostet ihn zum Schluss noch 10 Minuten. Claudia beginnt mit dem HBl (5 Minuten), dann folgt die WeLT (15 Minuten), die FAZ (10 Minuten) und die SZ (30 Minuten). Schließlich nimmt sich Dirk zunächst die SZ für 1 Stunde 30 Minuten vor, die FAZ kostet ihn 1 Minute, gleiches gilt für die WeLT und das HBl.

Diese Aufgabenstellung muss als Grundgerüst angesehen werden, die sich variationsreich erweitern lässt, zum Beispiel: Wir stellen uns vor, dass unsere vier WG-Mitglieder zu unterschiedlichen Zeitpunkten in den Leseraum treten, in der Sprache des Problems: Den Maschinen werden unterschiedliche Freigabetermine (release dates) zugewiesen. Anne taucht exakt um 8:30 Uhr auf, Bernd und Claudia folgen ihr um 8:45 Uhr und Dirk erscheint erst um 9:30 Uhr auf der Bühne. Das vollständige Beenden dieses Lesespektakels wollen wir als Zielfunktion ansehen; diesen Zeitpunkt gilt es zu optimieren. Tab. 8.1 fasst die vorgegebenen Daten überblicksartig zusammen. Der/die Leser/in mag beim ersten Durchlesen diese scheinbar unrealistische ‚Schulbuchaufgabe‘ kritisch sehen, doch bei paradigmatischen Aufgaben sind solche Einschätzungen unerheblich, weil es um die grundsätzliche Struktur geht, die durch diese Situation modelliert wird.

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Ein erster Zugang zur Scheduling-Theorie

Tab. 8.1 Die Ausgangsdaten des Problems Leser

Beginn

Lesereihenfolge (Zeit in Minuten)

Anne

8:30

FAZ (60)

WeLT (30)

HBl (2)

SZ (5)

Bernd

8:45

WeLT (75)

HBl (3)

FAZ (25)

SZ (10)

Claudia

8:45

HBl (5)

WeLT (15)

FAZ (10)

SZ (30)

Dirk

9:30

SZ (90)

FAZ (1)

WeLT (1)

HBl (1)

Der/die Leser/in erkennt schnell das Grundmuster des Problems: Wir haben vier Maschinen (= die genannten Personen Anne (= 1), Bernd (= 2), Claudia (= 3 ) und Dirk (= 4)); die Zahlen in den Klammern ‚beziffern‘ die Personen resp. Maschinen. Auch die Zeitungen nummerieren wir durch: FAZ (= 1), WeLT (=  2), HBl (=  3) und SZ (=  4). Das Lesen der jeweiligen Zeitungen verstehen wir als Jobs, sehr oft spricht man bei solch atomaren Jobs auch von einer Operation, die mit einem Doppelindex bezeichnet wird: So ist ijk eine Operation, bei der die Maschine j (Erstindex) sich mit der Zeitung k (Zweitindex) beschäftigt. Fast in allen Lehrbüchern steht der erste Index für die Maschinennummer, der zweite Index steht für die Nummer des Jobs; weil es wenige genau anders herum machen, muss man sich im Kontext des jeweiligen Fachbuches über die Festlegungen des Autors vergewissern. Die Operation i34 kodiert z. B. das Lesen der SZ durch Claudia usw. Das Beispiel enthält implizit Verabredungen, die als solche konstituierend für die hier diskutierte Beispielklasse aus der Scheduling-Theorie sind: • •

Jede Person kann zu einem festen Zeitpunkt nur eine Zeitung lesen. Jede Zeitung kann zu einem festen Zeitpunkt nur von einer Person gelesen werden.

Wir übersetzen in die Scheduling-spezifische Sprechweise: • • • • •

Eine Maschine kann zu einem festen Zeitpunkt nur jeweils einen Job bearbeiten. Bei der Bearbeitung eines Jobs zu einem festen Zeitpunkt hat nur eine Maschine Zugriff. Es gibt jeweils festgelegte Reihenfolgen, mit denen die Maschinen die Jobs (als Operationen) bearbeiten. Die Bearbeitung eines Jobs wird nicht unterbrochen (no preemptions). Die Maschinen werden zu unterschiedlichen Zeitpunkten freigegeben.

Nochmals zur Zielfunktion: Es ist naheliegend, dass wir unterstellen, den (zeitaufwendigen) Leseprozess zum frühest möglich Zeitpunkt abzuschließen, weil beispielsweise die Vierer-Gruppe gemeinsam mit einem Taxi zu einem anderen Termin aufbrechen will. Diese oben beschriebenen Charakteristiken definieren sogenannte Job-Shop-Probleme (vgl. Kapitel 7 in Pinedo 2016), eine zentrale Problemklasse in der SchedulingTheorie, die noch lange nicht ausdiskutiert ist. Sie ist insofern interessant, weil sie in

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größeren Kontexten als Teilproblem auftritt. Was in der Diskreten Mathematik insbesondere von Belang ist, ist die quantitative Größe der Probleme. Im Pinedo-Lehrbuch finden wir den Hinweis, dass vor mehr als 20 Jahren Testinstanzen für Job-Shop-Probleme (rund 10 Maschinen, rund 10 Jobs) ungelöst bleiben mussten (Hoorn 2018). Es ist offensichtlich, dass es zu präzisieren gilt, was wir unter einer ‚Lösung‘ dieses mathematischen Problems verstehen. Wir sprechen von einer zulässigen Lösung, wenn die Randbedingungen (technological constraints) nicht verletzt sind (vgl. Tab. 8.2). Optimale Lösungen sind zulässige Lösungen, die auch die Minimalitätsbedingung erfüllen. Tab. 8.2 Möglicher Fahrplan einer Lesereihenfolge (Lese-Schedule) 1.

2.

3.

4.

FAZ

Anne

Dirk

Claudia

Bernd

WeLT

Bernd

Claudia

Anne

Dirk

HBl

Claudia

Bernd

Anne

Dirk

SZ

Dirk

Anne

Claudia

Bernd

Dieser Lese-Schedule legt fest, wie man die Zeitschriften zwischen den Leser/n/innen herumreichen möchte: Anne beginnt mit der FAZ, bevor sie an Dirk geht; danach hat sie Claudia in den Händen, und diese reicht sie weiter an Bernd. Weil uns aber weitere Daten vorliegen, nämlich die individuellen Lesezeiten (processing time), können wir einen Zeitplan generieren, wobei wir unterstellen, dass die (nachfolgenden) Personen die Zeitungen zum frühest möglichen Zeitpunkt in die Hand nehmen. Abb. 8.1 veranschaulicht die Daten als ein sogenanntes Gantt-Diagramm, das das ‚Bearbeiten‘ (Lesen) der Zeitungen gegenüber der Zeitachse aufträgt. Mit der Bezeichnung wird an Henry Laurence Gantt (1861–1919), einem Pionier im Operations Research, erinnert. Es ist ein job-orientiertes Diagramm, weil es auf der vertikalen Achse nach den Jobs (zu lesenden Zeitschriften) spezifiziert. In gleicher Weise lässt sich ein maschinen-orientiertes Diagramm (vgl. Abb. 8.2) erstellen, das maschinen-spezifisch aufzeigt, welche Jobs jeweils von den Leser/n/innen (Maschinen) in Beschlag genommen werden. Entscheidend ist die oben vorgegebene Lesereihenfolge. Wie auch immer, wir lernen, dass unter den obigen Annahmen der Leseprozess um 11:51 Uhr beendet ist, wenn Bernd als letzter die SZ aus der Hand gegeben hat. Abb. 8.1 macht die Grundschwierigkeiten deutlich: Es drängt sich auf zu diskutieren, wie die Nicht-Bearbeitungszeiten, also das Nicht-Lesen einer Zeitschrift möglicherweise besser zu organisieren ist. Der Nachweis, dass ein Lese-Schedule nicht-zulässig ist, kann aufwändig sein. Wir überlassen diese zum Teil aufwändigen Argumentationen dem/der Leser/in für die nachfolgend vorgegebene Lesereihenfolge (Tab. 8.3).

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Ein erster Zugang zur Scheduling-Theorie

Abb. 8.1 Job-orientiertes Gantt-Diagramm für die Lesereihenfolge aus Tab. 8.2

Tab. 8.3 Nicht zulässiger Lese-Schedule 1.

2.

3.

4.

FAZ

Dirk

Bernd

Anne

Claudia

WeLT

Dirk

Claudia

Bernd

Anne

HBl

Dirk

Bernd

Claudia

Anne

SZ

Anne

Dirk

Claudia

Bernd

Wir halten fest, dass in dieser Elementarmathematik Rechtfertigungen über eine längere Kette von Argumenten erforderlich sind. (Optimale) Problemlösung ist somit jeder zulässige Lese-Schedule, der festlegt, wie die Zuordnungen kompatibel vorzunehmen sind und dessen Fertigstellungszeit dabei minimal ist. Aufgrund der Endlichkeit des Lösungsraums existiert eine solche Lösung, doch sie zu spezifizieren, ist in der Regel enorm schwierig.

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Abb. 8.2 Maschinen-orientiertes Gantt-Diagramm für die Lesereihenfolge aus Tab. 8.2

8.3

Bearbeitungsschritte für die Aufgabenlösung

Doch wie gelangen wir letztlich zu einer Lösung des Problems, insbesondere zu einer optimalen? Man könnte Heuristiken kreieren, die beschreiben, wie Zeitungszuweisungen zu erfolgen haben. Ob man bei strikter Einhaltung dieser Vorgaben allerdings immer zu einer zulässigen Lösung gelangt, wäre nachzuweisen. Wer sich intensiv mit Scheduling-Theorie beschäftigt hat, lernt, dass in vielen Fällen scheinbar plausible Algorithmen und darauf basierende Heuristiken in der Regel nicht zielführend sind. Dies gilt insbesondere für die Problemklasse der Job-Shop-Fragestellungen.

8.3.1 Endlich heißt nicht immer überschaubar Gehen wir von einem Lese-Schedule aus. Jeder der Zeitungen hat ihre eigene Lesereihenfolge, wir haben es also mit Permutationen zu tun, und bei 4 Personen und 4 Zeitungen kommen damit bis zu 4! * 4! * 4! * 4! = 331.776 Möglichkeiten zusammen, nicht alle sind

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Ein erster Zugang zur Scheduling-Theorie

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allerdings zulässig. Die Parameter dieses Problems sind klein, nicht jedoch die Optionen, die sämtlich zu bewerten sind. Das mag für einen PC letztlich unkritisch handhabbar sein; laden wir allerdings nur einen Gast in diese Wohngemeinschaft ein, so sind wir schon bei mehr als 108 Fällen, die zu evaluieren sind, und dieses Problem muss als ‚klein‘ eingestuft werden; in der Realität sind die Parameter selten einstellig. Entsprechend größer ist die Zahl der zu diskutierenden Fälle. Der Eingeweihte mag vorschlagen, ob man nicht Branch-and-Bound-Algorithmen verwenden sollte. ‚Paradigmatisch‘ erklärt, verzichten wir bei diesem Vorgehen auf das Durchmustern von Fällen, die offensichtlich schlechtere zeitliche Lösungen verursachen als andere – die in einem Entscheidungsbaum in Zweigen liegen und dabei generell ungünstigere Bearbeitungszeiten aufweisen. Aber man hat es nicht in der Hand: Auch bei einem solchen Vorgehen kann es passieren, dass wir uns letztlich alle kombinatorischmöglichen Fälle anschauen müssen, wir sparen möglicherweise nichts.

8.3.2 Abschätzungen helfen uns weiter Es erscheint auf den ersten Blick trivial, aber es lohnt sich, diese Aussage hervorzuheben: Die einzelnen Personen verbringen unterschiedlich viel Zeit mit dem Lesen von Zeitungen, was beim Entwurf eines Planes nicht übersehen werden sollte: •

Anne (97 Minuten), Bernd (113 Minuten), Claudia (60 Minuten) und Dirk (93 Minuten)

Hinzu kommt, dass diese Personen zu unterschiedlichen Zeitpunkten mit dem Lesen beginnen, Dirk eine Stunde später als Anne; folglich kann er frühestens um 11:03 Uhr seine letzte Zeitung schließen, wenn man ihm einen freien Zugang zu den Zeitungen – zum rechten Zeitpunkt – ermöglichen würde. Mit anderen Worten: Ein frühester Fertigstellungstermin mit 11:03 Uhr kann nicht unterboten werden! Wir haben damit eine erste untere Schranke gefunden! Ein oft angewandter Lösungsansatz besteht in einer – um den Fachterminus zu benutzen – Relaxation, nämlich im Ignorieren von Vorgaben, wodurch sich das Problem in der Regel vereinfacht. Wir könnten uns vorstellen, dass ein Leser das Lesen der Zeitung kurzzeitig unterbricht – wir haben es hier implizit nicht zugelassen – und die Papierseiten an einen neuen ‚wartenden‘ Leser weiterreicht. Nach geraumer Zeit erhält er sie wieder zurück. Vielleicht könnte man somit ein längeres Warten vermeiden und die Gesamtlesezeit verkürzen; die zahlreichen Lücken in den Lese-Schedule regen ein solches Vorgehen an und man erhielte zumindest neue untere Abschätzungen: Beispielsweise beginnt Anne um 8:30 Uhr mit dem Lesen der FAZ, wofür 60 Minuten veranschlagt sind. Der um 8:45 Uhr erscheinende Bernd würde gerne die FAZ erst um 10:03 Uhr beanspruchen wollen, allerdings die auch um 8:45 Uhr erscheinende Claudia würde schon um 9:05 Uhr für 10 Minuten nach der FAZ greifen wollen, obgleich Anne

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noch 25 Minuten bräuchte. Der Zugriff auf die FAZ entpuppt sich als Flaschenhals. Sogenannte ‚Bottleneck‘-Analysen sind in der Scheduling-Theorie ein oft benutztes Werkzeug. Warum sollten wir Anne nicht um 9:15 Uhr die FAZ zurückgeben, die sie dann um 9:40 Uhr abhaken kann. Danach mag sie ein wenig pausieren, hat sie doch nur noch 37 Minuten Lesezeit vor sich. Soviel sei hier herausgestellt: Es gibt manche heuristischen Lösungsansätze für JobShop-Probleme, die plausibel erscheinen, doch in diesem Problem keine universellen Lösungsstrategien. Natürlich existiert eine Lösung, da wir uns im Bereich der (endlichen) Diskreten Mathematik befinden. Insofern könnten wir diese durch wenig intelligentes Suchen finden, wenn wir genügend Zeit hätten. Doch schnell erkennen wir auch die Paradigmen der mathematischen anwendungsnahen Forschung, weil wir diese unsere Lebenszeit übersteigende Zeit nicht haben und eruieren notgedrungen vernünftige Heuristiken. Doch vernünftig allein reicht in der Mathematik nicht, zielführende Algorithmen sind gefragt und unter diesem Aspekt sind noch nicht alle Forschungsfragen für Job-Shop-Probleme – unsere Aufgabe ist ein solches – beantwortet. Übrigens, jede minimale Veränderung der Aufgabenparameter definiert schnell ein neues Problem und Erkenntnisse der Komplexitätstheorie müssten herangezogen werden. Mit einer anderen vorgeschriebenen Lesereihenfolge kippt die bisherige Lösung, insofern ist es klug, über geeignete Lesereihenfolgen nachzudenken. Aus Platzgründen verkürzen wir den nicht-trivialen Diskussionsprozess. Wir modifizieren die kompakte Argumentation von French (1982) leicht, um darzulegen, wie man von vorneherein zu einer (gesuchten) optimalen Lösung gelangt: Unter den Zeitungen ist die SZ diejenige, die zeitlich am meisten nachgefragt wird, nämlich 125 Minuten, während es die WeLT nur auf 121 Minuten bringt. Die SZ-bezogenen Jobs stellen daher einen Engpass (bottleneck) dar, und es liegt auf der Hand, dass man das Lesen der SZ so früh wie möglich initiieren sollte, um diesen Engpass zu ‚weiten‘. Insofern diskutieren wir zunächst einmal (disjunkte) Fallunterscheidungen, je nachdem, wer zuerst die SZ in die Hand nimmt: Anne, Bernd, Claudia oder Dirk. Um es noch einmal zu unterstreichen, dem Aufspüren von Engpässen bei der Lösung von Job-Shop-Problemen kommt eine zentrale Bedeutung zu. Engpässe können sich auf der Seite der Maschinen abzeichnen, in gleicher Weise können auch bei der Job-Bearbeitung solche Flaschenhals-Situationen auftreten, zum Beispiel, weil auf die SZ in besonderer Weise zugegriffen werden soll. Um zum Beispiel zurückzukehren, Anne kann frühestens um 10:02 Uhr mit dem Lesen der SZ starten, weil aufgrund der Randbedingungen für sie die SZ die letzte Zeitung ist und andere Zeitungen zunächst Priorität genießen. Für Bernd, Claudia und Dirk lauten die entsprechenden Startzeitpunkte 10:28 Uhr, 9:15 Uhr bzw. 9:30 Uhr. Das Lesen der SZ erfordert allerdings insgesamt 2:15 Stunden (vgl. Tab. 8.1); insofern ergeben sich folgende frühest mögliche Zeitpunkte für die vier Fallunterscheidungen, nämlich 12:17 Uhr, 12:43 Uhr, 11:30 Uhr resp. 11:45 Uhr. Diese Zeitpunkte sind untere Schranken für die

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Ein erster Zugang zur Scheduling-Theorie

Gesamtfertigstellungszeit. Wenn man etwa Anne den ersten Zuschlag geben würde, wäre dennoch nicht um 12:17 Uhr der Gesamtleseprozess beendet, weil evtl. weitere Zeitungen noch gelesen werden müssten. Überdies haben wir bereits eine Lösung gefunden, die um 11:51 Uhr abgeschlossen werden kann. Positiv gewendet zeigt jedoch Abb. 8.3 auf, dass um 11:30 Uhr alles beendet sein kann, wenn man Claudia den erwähnten ersten Zuschlag gibt. Dirk tritt um 9:30 Uhr auf die Bühne und würde gerne auf die SZ zugreifen, das geht erst um 9:45 Uhr; diesen Lesevorgang beendet er um 11:15 Uhr, und es verbleiben noch drei einmütige Blicke auf FAZ, WeLT und HBl. Anne steht schon um 8:30 Uhr in den Startlöchern und will die FAZ lesen, die jedoch erst um 9:15 Uhr frei wird; danach kann sie sich endlich 60 Minuten lang der FAZ widmen. Bernd ist um 8:45 Uhr im Leseraum erschienen und will zur WeLT greifen, diese wird um 9:05 Uhr von Claudia freigegeben, und somit kann er sich bis 10:20 Uhr der WeLT widmen. Anschließend greift er zum HBl und gibt dieses um 10:23 Uhr wieder frei. Um 10:23 Uhr widmet er sich 25 Minuten lang der FAZ. Um 11:15 Uhr wird für ihn die SZ zugänglich, die ihn 10 Minuten in Beschlag nimmt; anschließend reicht er sie an Anne weiter, die weitere 5 Minuten darin blättert. Das kurze, einminütige Durchblättern von FAZ, WeLT und HBl durch Dirk könnte zwischendurch erfolgen. Die Wohngemeinschaft stellt fest, dass sie um 11:30 Uhr aufbrechen kann. Unsere Fall-zu-Fall-Argumentationen fließen in das job-orientierte Gantt-Diagramm (Abb. 8.3) ein. Tab. 8.4 zeigt uns die optimale Lesereihenfolge, die im Unterschied zum ersten Beispiel nicht von uns im Vorhinein festgelegt worden war, sondern die sich en passant ergibt. Tab. 8.4 Optimale Lesereihenfolge 1.

2.

3.

4.

FAZ

Claudia

Anne

Bernd

Dirk

WeLT

Claudia

Bernd

Anne

Dirk

HBl

Claudia

Bernd

Anne

Dirk

SZ

Claudia

Dirk

Bernd

Anne

Diese Argumentation ist scheduling-typisch. Es werden Schranken begründet, zugleich aber wird auch aufgezeigt, dass es – in diesem Fall – genau eine optimale Lösung gibt. Allerdings kann man erahnen, dass die Argumentationen bei größeren Beispielen erheblich größeren Differenzierungsbedarf erforderlich machen. Bei diesem Beispiel haben wir eine besondere Erfahrung gemacht, die wir herausstellen sollten: Unsere optimale Lösung ist dadurch gekennzeichnet, dass einige Jobs nicht zum frühest möglichen Zeitpunkt in Angriff genommen werden, sondern dass man zugewartet

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hat. In der Regel zögert man, weil dieses Vorgehen gegen den gesunden Menschenverstand geht, ‚gleich loszulegen‘. Optimale Heuristiken richten sie nach anderen Kriterien und jeder Bearbeiter muss lernen, solche Gutmeinungen zunächst einmal auszuschalten.

8.4

Was konstituiert ‚paradigmatische Beispiele‘?

Es hat den Anschein, dass es zuerst Freudenthal (1978) war, der ‚paradigmatische Beispiele‘ und ‚paradigmatisches Vorgehen‘ explizit thematisiert hat, auch wenn vieles in der Geschichte der Mathematik im Nachhinein als ein ‚paradigmatisches Handeln‘ bezeichnet werden kann (Bruder et al. 2015). Später hat insbesondere Ziegenbalg (2018, o. J.) mehrfach die Bedeutung dieses Prinzips als essentiell herausgestellt. Um Missverständnisse auszuräumen, es ist mehr als nur ein ‚exemplarisches Vorgehen‘. Freudenthal (1978) motivierte sein Vorgehen, wie er die Produktregel für zweistufige Prozesse vermitteln kann und illustrierte die Situation sehr spezifisch: Für eine Nahrung suchende Maus ist ein Stück Käse hinter zwei nacheinander geschalteten Barrieren mit zwei resp. drei Durchlässen versteckt. Gibt es 2 + 3 oder richtigerweise 2 x 3 Wege zum Käse? Freudenthal (1978) führt aus: „Die Wirkung des Paradigmas beruht darauf, dass es einen weiten Bereich der Isomorphie besitzt und dass diese Isomorphie zweckgerechtes Handeln ermöglicht“ (ibid., S. 195). Gleichzeitig betont er implizit, dass mathematisch isomorphe Beispiele auf der Vermittlungsebene nicht alle gleich ‚gut‘ sind. Insofern müssen die als paradigmatisch bezeichneten Prototypen – es mag ja mehrere geben – universell angelegt sein. Die Rechtfertigungen sind im Einzelnen zumeist umfangreich. Die – vielleicht künstlichen wie im Freudenthal’schen Beispiel – Einbindungen in die Realität sollten nicht überbewertet werden, sie brauchen nur angedeutet zu sein, zu viel Detailreichtum stört eher. Ist dies vielleicht der Vorzug mancher der oft kritisierten Schulbuchaufgaben? Paradigmatische Beispiele sind somit durch eine Balance zwischen Realitätsnähe, Konkretheit und der Charakteristik des mathematischen Strukturtyps ausgezeichnet, ohne sich nur blank auf das mathematische Skelett zu reduzieren. Eine vertretbare Reduktion schafft dann neue Freiräume für wichtigere didaktische Überlegungen. Gleiches gilt auch für die Maschine-Job-Metapher, die wir oben in diesem Artikel über Scheduling-Theorie herausgestellt haben. Unser Beispiel macht deutlich, dass durch die Reduktion auf eine universelle Metapher Freiräume in dem Mathematikkontext entstehen. Hier in der Scheduling-Theorie sind wir weit weg von dem Herausstellen einer Lösungsformel wie in dem Freudenthal’schen Beispiel für die Produktregel; zahlreiche fachspezifische Aspekte können nun angemerkt werden. Wir listen wenige Aspekte summarisch auf: •

In der Scheduling-Mathematik haben wir es oft – im Unterschied zu anderen mathematischen Gebieten – fast nie mit einer einzigen Lösung zu tun. Hier geht es zunächst

8

• •

•

Ein erster Zugang zur Scheduling-Theorie

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um zulässige Lösungen, eventuell optimale Lösungen oder auch nur Näherungslösungen, die mehr oder weniger brauchbar sind. Diese Qualitäten nachzuweisen, ist zumeist nicht trivial. Die zentrale Frage lässt sich oftmals nicht beantworten: Wie können finale Lösungen generiert und gerechtfertigt werden? Numerische Parameter entscheiden darüber, ob finale Lösungen noch in unserer Lebenszeit zu erwarten sind. Endlichkeit kann sehr groß sein (Schwartz 2014). Aufgaben in der Scheduling-Theorie sind in der Regel skalierbar; sie weisen viele Stellschrauben auf, die zu modifizierten Problemen führen können und schnell Lösungsansätze zum Kippen bringen. Die Variationen von Komplexität sind nicht einfach zu durchschauen. Anwendungskontexte und ihre Bewältigung durch die Fachwissenschaft lassen sich oft paradigmatisch beschreiben.

8.5

Schlussfolgerungen

Weniger ist mehr, lautet ein gängiger Slogan im Alltag. Wenn man den Anforderungskanon der in der Schule vermittelten Mathematikinhalte betrachtet und diesen nur wenige Jahre nach Beendigung der Schulzeit in zwanglosen Gesprächen ‚abtestet‘, ist jede(r) realistische Mathematikerin oder Mathematiker oder auch Didaktikerin oder Didaktiker über das verbliebene Wissen schnell ernüchtert. Nur selten überlebt dabei selbst die oft beschworene (überbetonte) ‚Mitternachtsformel‘, also die Lösungsformel für quadratische Gleichungen, die ersten Nachschuljahre. Das Kurzzeitgedächtnis hat in der Regel bereits für andere, aktuellere Informationen Platz gemacht. Was bleibt somit übrig von einem langen Katalog der hoch gelobten Kompetenzen im Curriculum? Von Lösungsformeln weiß man nichts in der Scheduling-Theorie, sie sind dem Arbeiten in diesem Teil der Mathematik nicht angemessen, weil sie nicht existieren(!), so wenig die Suche nach allgemeinen Nullstellenformeln für Polynome vom Grad größer oder gleich 5 angeraten ist. Wenn es nur um ein erstes Bekanntmachen mit zunächst unbekannten, mathematischen Inhalten geht, ist ein paradigmatisches Erschließen angesagt, ja bildungsökonomisch gerechtfertigt. Gleichwohl muss ein solcher Zugang als solcher wirklich paradigmatisch angelegt sein. Unsere Vermittlung soll sich immer durch Nachhaltigkeit (sustainability) auszeichnen, diese Einsicht haben wir in den letzten zwanzig Jahren bei Projektbeantragungen an der Universität verinnerlicht. Möglicherweise hängt dies auch mit der Tiefe der Prägespuren auf unserer mentalen Festplatte zusammen, auf der im Nachhinein oft nur ‚Kratzer‘ ausgemacht werden können. Nach dieser vom Seitenaufkommen begrenzten Abhandlung scheint der Freudenthal’sche Ansatz eines ‚paradigmatischen Vorgehens‘ enorm hilfreich und noch lange nicht ausdiskutiert zu sein. Hier wäre der gesamte tradierte Kanon der fachlichen Mathematiklehrerausbildung ins Blickfeld zu nehmen, der selten Horizontalwissen (vgl. Törner

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2018) eröffnet. Ausblicke über Inhalte, die nicht im Kerncurriculum sind, könnten möglicherweise paradigmatisch erschlossen werden. Diskussionen über diesen Aspekt findet man in der Literatur nur sporadisch.

Literatur Bruder, R., Hefendehl-Hebeker, L., Schmidt-Thieme, B. & Weigand, H.-G. (Hrsg.) (2015). Handbuch der Mathematikdidaktik. Berlin: Springer. Conway, R.W., Maxwell, W.L. & Miller, L.W. (1967). Theory of Scheduling. Mineola: Dover Publications. French, S. (1982). Sequencing and Scheduling – An Introduction to the Mathematics of the Job-Shop. Chichester: Ellis Horword. Reprinted 1986, 1987 and 1990. Freudenthal, H. (1978). Vorrede zu einer Wissenschaft vom Mathematikunterricht. München: Oldenbourg. Hoorn, van J. J. (2018), The Current state of Bounds on Benchmark instances of the jobshop scheduling problem. Journal of Scheduling, 21(1), 127–128. Leuders, T., Hußmann, St., Barzel, B. & Prediger, S. (2011) „Das macht Sinn!“ Sinnstiftung mit Kontexten und Kernideen. Praxis der Mathematik, 53(37), 1–9. Pinedo, M. Th. (2016). Theory, Algorithms, Systems. Fifth Edition. Heidelberg: Springer. Schwartz, R. E. (2014). Really big numbers. Providence, R.I.: Brown University. Steen, L. A. (1978). Mathematics Today – Twelve Informal Essays. Berlin (u. a.): Springer. Törner, G. (2018). Problemfelder der gymnasialen fachlichen Mathematiklehrerinnen und -lehrerausbildung in Deutschland. In P. Posch, F. Rauch & St. Zehetmeier (Hrsg.), Das Lernen von Lehrerinnen und Lehrern, Organisationen und Systemen, (S. 261–276). Münster: Waxmann. Ziegenbalg, J. (2018). Figurierte Zahlen. Wiesbaden: Springer Spektrum. Ziegenbalg, J. (o.  J.). Fachdidaktische Facetten. Elemente einer auf den Mathematikunterricht bezogenen fachdidaktischen Analyse. Pädagogische Hochschule Karlsruhe. http://www.ziegenbalg.ph-karlsruhe.de/materialien-homepage-jzbg/Manuskripte/ Fachdidaktische-Facetten-w.pdf. Zugriff 19.11.2018.

Teil II Mit digitalen Werkzeugen Mathematik erlebbar machen

Technology-supported classrooms: New opportunities for communication and development of mathematical understanding

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Lynda Ball and Kaye Stacey

Abstract

This chapter provides an overview of some themes which have emerged over two decades of Bärbel Barzel’s work related to the teaching and learning of school mathematics with technology. The themes which are discussed include technology supporting mathematical communication, technology supporting cognitive activities and technology supporting an open classroom. Overall, the focus is on the potential for technology-supported classrooms to promote students’ understanding in secondary school mathematics. Four papers are used to illustrate Barzel’s contribution.

Lynda Ball * MGSE, The University of Melbourne Melbourne, Australia E-Mail: [email protected] Kaye Stacey MGSE, The University of Melbourne Melbourne, Australia E-Mail: [email protected] © Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2019 A. Büchter et al. (Hrsg.), Vielfältige Zugänge zum Mathematikunterricht, https://doi.org/10.1007/978-3-658-24292-3_9

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9.1

L. Ball and K. Stacey

Introduction: Technology provides opportunities

Bärbel Barzel has produced a large corpus of work, predominantly written in German, focussed on research into teaching and learning with technology. Barzel has a clear vision for the implementation of technology into school mathematics, predicated on the notion that there is the opportunity to deepen students’ mathematical understanding through meaningful integration of technology. Teaching and learning with technology has been the subject of much research over the last three decades (see for example Berry, Monaghan, Kronfellner & Kutzler, 1997; Ball, Drijvers, Ladel, Siller, Tabach & Vale, 2018; Blume & Heid, 2008; Hoyles & Lagrange, 2010), with many studies investigating the potential offered through access to technology. Technology offers opportunities of several different types. Pierce and Stacey (2010) classified the range of pedagogical opportunities made possible through access to mathematics analysis software (e. g. a TI-Nspire). For example, they identified the capacities to change classroom dynamics, to build metacognition and overview, to explore regularity and variation and to link representations as opportunities afforded by technology. These and other opportunities highlight the potential for technology to impact the way that students do mathematics. For example, students may have a choice between using pen-and-paper or an inbuilt solve feature to solve an equation, capitalising on the ‘explosion of methods’ observed by Artigue (2002). These pedagogical opportunities also highlight the potential of technology to impact the way that classrooms operate, including the types of discussions and the roles of the teachers and students in the classroom. A major contribution of Barzel’s work is that she has carefully researched the ways in which these opportunities can be translated into realities, in the classrooms of a wide spectrum of teachers and students. Examples of this are discussed below. Barzel’s work has investigated a vision of classrooms with a strong social constructivist underpinning and a strong focus on students’ self-regulated learning, where students have significant control over their learning paths. Many of her studies support students to work in groups, supported by a teacher and with expected access to technology. There is a clear message that technology has the potential to increase the range of approaches available to both teachers and students. Therefore we might anticipate more diversity and exploration in the approaches used by students. Barzel’s work investigates the possibilities across a range of settings from early learning of algebra in lower secondary school to senior secondary mathematics, thus providing an overview of the potential for technology to transform teaching and learning across the secondary school years.

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Technology-supported classrooms

9.2

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Technology supports mathematical communication

A key aspect of Barzel’s research studies is the importance placed on the use of a social constructivist approach for developing students’ understanding. Mathematics is viewed as being developed through communication fostered by rich tasks and technology displays (Ball & Barzel, 2018; Barzel, 2007). The study of communication in mathematics education is not new, with researchers such as Yackel (2002) and Yackel and Cobb (1996) highlighting the importance of communication as students solved problems and justified their solutions, thus contributing to the development of productive socio-mathematical norms in the classroom. What is new in the work of Barzel and colleagues is consideration of the role of technology and the communication fostered through the new types of tasks enabled by technology. With technology providing instant feedback in the form of displays of graphs, solutions of equations, dynamic representations, output of symbolic solutions, etc., students have the opportunity to develop mathematical understanding through discussion of such displays. Consideration of technology displays can promote inquiry learning (Fuglestad, 2009) and this is supported by the findings of Barzel and Möller (2001). They conducted a study where a group of 15 and 16 year-old students investigated power functions using a discovery approach with technology. One task showed students a screendump of a picture, made of graphs of functions, including the window settings. Students were asked the open question “Which functions create the following picture and how do they connect?” (p. 3). To solve the problem students had to use knowledge of the graph of a given function, say f (x) and know how to reflect the function around an axis, etc. Technology could be used to explore the mathematics here, through enabling students to enter functions and observe if they were correct and it also supported communication as students worked in groups to find the functions. The very positive findings from this early study revealed an enthusiastic response from students to working in this new way in the classroom and to having more control over the path of their learning, and a desire by teachers to transfer the new method of working and its technology to other topics. For the researchers, the study underlined the need to be able to provide teachers with well-researched ‘reassuring support’ for these changes. Communication is a key theme in the work of Barzel, with a focus on having students discuss technology inputs and outputs (i. e. displays) to promote mathematical understanding. To elaborate on the different ways that technology can promote collaboration, Ball and Barzel (2018) discuss communication through, with and of technology. ‘Communication through technology’ describes situations where technology is the medium used for communication, such as when students in different locations use a social network for collaborative problem solving or where data is collected from students within a classroom and displayed to the class to promote discussion. ’Communication with technology’ is the communication needed to produce mathematical results, for example, entering correct syntax into a CAS to solve an equation; in this case the student needs to move from mathematical conventions

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L. Ball and K. Stacey

to machine conventions to get the technology to produce the required result. Finally, ‘communication of technology displays’ is where a technology display prompts communication. A dynamic geometry worksheet prompting students to discuss a conjecture is one example; having many symbolic or numeric results produced quickly to enable mathematical exploration is another. When students use technology displays as a prompt for mathematical discussion, there is also the potential to build conceptual understanding, for example, in the use of an applet to promote understanding of the base ten place value system. The classification of communication through, with and of technology is useful for thinking about the different roles that technology can play in mediating classroom communication, but these are often intertwined, as students are going to need to enter syntax (i. e. ‘communicate with technology’), in order to produce a result which can prompt ‘communication of technology’ and this result might be displayed using a data projector (i. e. ‘communication through technology’). Ball and Barzel highlight the importance of considering the different types of communication so that teachers can consider the affordances of any given technology. Communication to foster conceptual understanding and metacognition can be promoted by teachers in their choice of tasks. Barzel (2007) describes the types of tasks included in the material developed in her research project. One focus was the inclusion of openended tasks where a range of representations was used to motivate students to discuss the findings. Discussion to deepen mathematical understanding was also supported by explicit comments in teaching material. Examples such as “What are the benefits and problems of different representations” (Barzel, 2007, p. 78) and “Which functions create the following picture and how do they connect?” (Barzel & Möller, 2001, p. 3) drive communication of mathematical ideas. In the second example, students were provided with a screen capture of several functions graphed on one set of axes, as well as the window settings for the screen display. In this case ‘communication of technology displays’ prompted students to discuss key features of functions. Each group of students presented their findings as a poster, so they had to agree on what to present about the key features of the functions. In this way, the activity supported mathematical communication, both verbal and in written form. Students presented two types of posters; the first type contained a list of functions and the second contained assumptions made by students, as well as any questions. In the study the students and teachers gave positive feedback about the use of the social constructivist approach. Over a number of studies, Barzel and colleagues have cleverly crafted classroom materials to encourage students’ communication about the mathematics produced by technology. Barzel (2007) provides one example, where students are presented with 13 cards (each showing a graph) and students are asked “Which belong together?”(p. 82)? Students need to find three sets of graphs from within the thirteen cards, where each set has a function, as well as its derivative and second derivative of the function. Barzel reports two students working on this task where “communication becomes more intensive and incorrect ideas are mutually corrected” (p. 82). One good design feature of this task is that there is more than one set of cards which “belong together”, so students have to provide reasoning for their choices of cards which make each of the three sets. They also need to decide which

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Technology-supported classrooms

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graphs do not fit into any of the sets. This design of rich tasks has been a key feature of Barzel’s studies. The tasks provide researchers, professional development providers and teachers with access to novel tasks that capitalize on availability of technology to promote mathematical understanding. Careful reporting of both the tasks used and the focus on promotion of students’ communication, provides real insight into task features that can promote technology as a mediator of mathematical work.

9.3

Technology promotes cognitive activities

Zbiek, Heid, Blume & Dick (2007) highlighted the overarching role that technology can play in mediating the relationships between the student, teacher, mathematical activity and curriculum content. This idea of technology mediating the work in the mathematics classroom is central in the work of Barzel and colleagues. In a classroom where a social constructivist perspective drives development of teaching materials and where teaching materials require student discussion and the provision of reasoning to explain findings or displays from technology, the technology takes a mediating role by facilitating communication. The ability to use technology to foster cognitive activities such as discussing, explaining and structuring (Ball & Barzel, 2018) can motivate student communication about mathematics. An example of a task used by Barzel (2007) to promote cognitive discussions is the use of a motion detector to display a graph of a student walking or where a student has to walk a given graph. Analysis of graphs produced by a student walking or trying to replicate a given distance-time graph can promote cognitive discussions which help students to develop conceptual understanding of the notion of a derivative. Barzel’s studies often have a broad focus, such as the use of real problems, communication and cognitive activities. For example, the study by Zeller and Barzel (2010) looked at whether the use of CAS (TI-Nspire) was beneficial for students learning algebra in early secondary school, with a focus on both symbol sense (Arcavi, 1994) and the syntactical skills required to work with algebra. Syntactical skills were needed to communicate mathematics, whereas symbol sense related to students’ conceptual understanding of algebra and the ability to use algebra in a flexible way. In the study the teachers were provided with teaching material, a common approach in the work of Barzel. The teaching material involved exploration of matchstick patterns and real-life problems, with students having to develop familiarity with different representations. Discovery was the cognitive activity here. Students could choose when and how to use technology. Because they had some technical skill and familiarity with their technology devices, they did not have to learn a new technology alongside learning new algebra. The study included control groups (who had TI-Nspire non-CAS calculators containing graphing, dynamic geometry and spreadsheet capabilities) and one experimental group (who had TI-Nspire CAS calculators, with all features of the TI-Nspire non-CAS calculators plus symbolic capabilities). The groups used a similar teaching sequence, which enabled investigation of any benefit in using a

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L. Ball and K. Stacey

CAS calculator (i. e, having access to a technology with symbolic capabilities) in development of early algebraic understanding. The research focussed on the influence of CAS on students’ perceptions of algebra, students’ use of algebra compared to other representations and the influence on cognitive activities and conceptual understanding. Students’ mathematical work was found to be influenced by the technology they had access to, with nonCAS students avoiding algebra. It was hypothesised that the non-CAS students might have more difficulty in making connections between arithmetic and algebra as the calculator did not work with algebra and thus “algebra takes a special position” (Zeller & Barzel, 2010, p. 782); and indeed, it was found that CAS supported a move from arithmetic to algebra. This could be a good argument for using CAS calculators, rather than graphics calculators for introductory algebra. In this study the CAS students recognised that algebraic expressions could be treated in flexible ways; the commands evident in the CAS supported development of an understanding that algebraic expressions can be dealt with in many different ways. CAS students accepted an algebraic expression as useful when working on a problem. The available technology impacted both students’ perceptions of algebra as well as their view of the relationship of algebra to arithmetic. If the type of technology impacts a student’s understanding of, and inclination to use, algebra then there is an argument for teachers to choose technologies that support the use of algebra. Empirical studies such as this prompt reflection on choices about use of technology in classrooms. This study has important implications for teachers who are inclined to avoid technology with symbolic capabilities. The study showed that there is some advantage in allowing discovery learning with CAS. However, the advantage relies on using tasks that help students make these gains. One key feature of Barzel’s studies is the provision of carefully constructed teacher material that has been empirically shown to do this. There are definite implications for curriculum writers, teachers and continuing professional development providers in the findings of this work. Barzel has taken up this challenge to impact on practice through decades of teacher professional development and production of materials for teachers, including textbooks.

9.4

Technology supports an open classroom

Barzel’s studies implement a philosophy that students can develop mathematical understanding through exploration of targeted teaching materials and discussion with peers, with a high degree of self-regulation. This has been a consistent approach, with Barzel (2001) highlighting the benefits of having students explore connections between graphs and functions with technology. One key element of the empirical studies of Barzel and colleagues has been the design of teaching materials, incorporating real life problems and exploration, to be used in an open classroom situation. The focus of an ‘open classroom’ is on students working through material in groups, socially constructing mathematical meaning through communication and collaboration. This contrasts with a classroom where teacher

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Technology-supported classrooms

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exposition is the main approach used to develop students’ understanding. Paramount to success of an open classroom approach is the availability of good material which can promote development of key mathematical ideas, as well as a teacher with the pedagogical content knowledge necessary to ensure that the discussion, both within groups and as a class, fosters development of the key mathematical ideas. An important contribution of Barzel and colleagues is their investigation of open classrooms with technology, focussing on communication as a key element of development of understanding. Of note is the size of some studies. For example, Barzel (2007) reported a study with 45 classes and approximately 12 000 students. In this study students worked through a ‘learning workshop’, consisting of a set of modules, in groups of 4 to 6 for approximately six weeks. The modules were designed so that students could complete the modules in any order. There were points in the learning workshop that focussed on comparison of different representations and the advantages or disadvantages of particular representations. However, having technology meant that students could access different representations at different times, rather than be constrained to a particular sequencing of tasks. The tasks were open-ended, promoted discussion, considered different representations to cater for different student preferences for learning, included a focus on experimentation and were relevant to students’ lives. The learning workshop provided an organisational structure for the teacher to use to integrate technology into teaching and learning, thereby supporting orchestration in the sense of Trouche (2004). Having pre-prepared material where students work in groups promotes a classroom where communication is important in developing understanding. Barzel has been instrumental in providing leadership in continuing professional development in Germany, enabling her research findings to have direct impact on what is happening in mathematics classrooms across the country.

9.5 Conclusion This chapter highlights the important contribution of Barzel to the work on technology in secondary school mathematics. In particular her innovative work, developing and using teaching material in an open-classroom situation, provides a way of conceptualising teaching and learning with technology where students take a very active role in their learning. Barzel has made a significant contribution to considerations about technology-active tasks, through research projects, textbooks and professional development materials. All materials include examples and problems that prompt students to make connections and resolve cognitive conflict, underpinned by a social constructivist approach. Barzel’s large classroom studies provide findings which are transferable to many different teaching situations. This issue of ‘scaling up’ is an important one for educational systems aiming to integrate technology into mathematics education and Barzel’s work provides both teaching materials and guidance on classroom organisation supported by empirical evidence. The foci on transferring findings from research into resources for teachers and on supporting teacher

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professional growth highlights the potential for researchers to influence what occurs in classrooms, with the goal of making students’ mathematical experiences richer. Barzel’s commitment to producing textbooks and leading professional development has ensured that there is a synergy between research and the work of teachers. Our wish is for more publications in English, as the papers already in English have fuelled our desire to read more about her ground-breaking work.

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Technology-supported classrooms

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„Der Computer zwingt uns zum Nachdenken“ – Beispiele aus der Analysis

Sebastian Bauer, Andreas Büchter und Erwin Gerstner

Zusammenfassung

Taschenrechner und Computer sind – etwas verkürzt betrachtet – Maschinen, die in endlichen vielen Schritten mit endlich vielen Zahlen Berechnungen vornehmen. Daher liegt die Frage nahe, welche Rolle sie in der Analysis spielen können, in der es vor allem um infinitesimale Prozesse geht. Vor allem durch den nahezu flächendeckenden Einsatz von graphikfähigen Taschenrechnern in Bundesländern wie Nordrhein-Westfalen wird die Anwendung numerisch-arithmetischer Vorgehensweisen forciert. Ausgehend von einem Schulbuchbeispiel und numerischen Artefakten beim Einsatz von Taschenrechnern wird diskutiert, wie in einem allgemeinbildenden Mathematikunterricht numerischarithmetische Methoden im Verhältnis zu algebraisch-analytischen in Erscheinung treten sollten und warum eine Aufklärung der Vorgehensweisen der Taschenrechner im Sinne des White-Box/Black-Box-Prinzips in einem verstehensorientierten Unterricht unabdingbar ist.

Sebastian Bauer * Universität Duisburg-Essen Essen, Deutschland E-Mail: [email protected] Andreas Büchter Universität Duisburg-Essen Essen, Deutschland E-Mail: [email protected] Erwin Gerstner Universität Duisburg-Essen Essen, Deutschland E-Mail: [email protected] © Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2019 A. Büchter et al. (Hrsg.), Vielfältige Zugänge zum Mathematikunterricht, https://doi.org/10.1007/978-3-658-24292-3_10

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S. Bauer et al. „Der Computer zwingt uns zum Nachdenken über Dinge, über die wir auch ohne Computer längst hätten nachdenken müssen.“ (Hans Schupp, auf der GDM-Tagung im Frühjahr 1992)

Dieser viel zitierte Ausspruch von Hans Schupp ist heute mindestens so aktuell wie zu Beginn der 1990er-Jahre. Zwar sind heute im deutschen Schulsystem graphikfähige Taschenrechner (GTR) oder Geräte mit Computer-Algebra-Systemen (CAS) in der gymnasialen Oberstufe nahezu flächendeckend verbreitet, in der Praxis etablierte mathematikdidaktisch tragfähige Konzepte für deren Einsatz fehlen aber nach wie vor weitgehend. Daher bleibt die Beantwortung der Frage, wie leistungsfähige Taschenrechner als integrale Bestandteile in einen verstehensorientierten Mathematikunterricht eingebaut werden können, essentiell. Ansatzpunkte bilden hier zahlreiche mathematikdidaktische Veröffentlichungen zum Computer- bzw. Taschenrechnereinsatz, in denen Konzepte zu unterschiedlichen Bereichen des Mathematiktreibens konkret und unterrichtsnah entfaltet sind. Insbesondere Bärbel Barzel hat hier in kontinuierlicher Auseinandersetzung mit der Thematik viele Beiträge geleistet (vgl. z. B. Barzel 2005, 2006, 2012; Barzel & Greefrath 2015; Barzel & Weigand 2008; Barzel et al. 2005). Wie alle anderen Werkzeuge und Hilfsmittel nehmen auch Computer bzw. Taschenrechner Einfluss auf die mathematischen Tätigkeiten. Hieraus resultieren in der Regel sowohl Gefahren als auch Chancen. Bei einer nicht hinreichend reflektierten Nutzung kann etwa passieren, dass mit dem Rechner nur unverstandene Verfahren ausgeführt werden, aber nicht Mathematik gelernt wird, oder dass sogar Fehlvorstellungen entwickelt werden. Andererseits kann z. B. eine kritische Reflexion des Rechnereinsatzes oft das Verständnis des zugrundeliegenden mathematischen Inhalts erhöhen und eine tiefergehende mathematische Theoriebildung provozieren. Daher bleibt zu prüfen, inwieweit mathematikdidaktische Überlegungen tatsächlich auch den Unterricht erreichen. Einen guten Indikator hierfür stellt die Berücksichtigung des Rechnereinsatzes in Schulbüchern dar. Wir werden im Folgenden Beispiele aus dem Bereich der numerischen Methoden in der Analysis, die in dieser Form regelmäßig in der gymnasialen Oberstufe eine Rolle spielen, vertieft untersuchen. Da einige Phänomene, die wir betrachten, in ihrer konkreten Ausformung vom jeweiligen Rechner abhängen, beziehen wir uns auf einen GTR (GTR sind die verbindliche Mindestausstattung in NRW), konkret auf den weit verbreiteten GTR TI-Nspire CX (ohne CAS) von Texas Instruments. Gleiche oder vergleichbare Phänomene treten aber auch bei allen Taschenrechnern mit ähnlichen Funktionalitäten von anderen Herstellern auf, sodass die Betrachtungen als solche nicht gerätespezifisch sind. Wir werden sogar weitergehend zeigen, dass bestimmte Phänomene prinzipiell mit dem Einsatz numerischer Methoden verbunden sind. Bei unseren Betrachtungen gehen wir zunächst von einem Schulbuchbeispiel zur Einführung der Ableitung aus, identifizieren potenzielle Schwachstellen und geben konkrete Hinweise zur Anreicherung des Unterrichts, bevor wir numerische Artefakte beim Integrieren und beim Lösen von Gleichungen zusammen mit möglichen Konsequenzen für den Unterricht diskutieren.

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„Der Computer zwingt uns zum Nachdenken“

10.1

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Grenzwerte durch Einsetzungen „bestimmen“?

Die Einführung in die Differenzialrechnung erfolgt traditionell an „einfachen“ Beispielen wie etwa den Funktionen mit den Gleichungen 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥 ! oder 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥 ! an einer Stelle 𝑥𝑥! , z. B. mit 𝑥𝑥! = 1 oder 𝑥𝑥! = 2.. Während etwa in der „grauen Ausgabe“ der Schulbuchreihe „Lambacher Schweizer“ (Baum et al. 2000), die ungefähr bis zum Jahr 2008 in vielen Schulen beschafft wurde, der Differenzenquotient sofort algebraisch so umgeformt wird, dass das Grenzverhalten aus der neuen Darstellung „direkt“ ablesbar ist, werden in neueren Schulbüchern Grenzwerte zunächst mit sogenannten Testeinsetzungen numerisch approximiert. Seit der Einführung des GTR, der auch über ein Tabellenkalkulationsprogramm verfügt, nimmt dieser Aspekt bei der Herleitung der Ableitung einen zunehmend größeren Raum ein. Hier wird sich zunutze gemacht, dass eine Vielzahl gleich strukturierter Berechnungen mit einem solchen Gerät in kürzester Zeit erfolgen kann. Die für die Analysis üblichen Argumentationen mit dem Funktionsterm werden hingegen marginalisiert, d. h. zumeist erst deutlich nachgelagert thematisiert und in geringerem Umfang aufgegriffen. Wir werden das am Beispiel eines aktuellen Bands der Schulbuchreihe „Neue Wege“ für die Einführungsphase in Nordrhein-Westfalen (Körner et al. 2014) nachvollziehen. Wir haben dieses Buch zur Illustration herangezogen, weil es die Möglichkeiten des GTR intensiv und konsequent nutzt. Ähnliche Beobachtungen lassen sich aber auch in den meisten anderen gängigen Schulbüchern machen. Im Einführungskapitel „Von der durchschnittlichen zur momentanen Änderungsrate“ wird zunächst die durchschnittliche Änderungsrate in Verbindung mit dem Differenzenquotienten etwas breiter behandelt, bevor der Übergang von der durchschnittlichen Änderungsrate zur momentanen Änderungsrate bzw. vom Differenzenquotient zur Ableitung vollzogen wird. Im zugehörigen roten Kasten, der das Basiswissen des Kapitels zusammenfasst, wird dann der Grenzwert der Funktion mit der Gleichung 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥 ! an der Stelle 𝑥𝑥! mit 𝑥𝑥! = 1 über Testeinsetzungen als drei identifiziert (Abb. 10.1). Es wird also an dieser Stelle nicht mehr davon geredet, dass der Grenzwert durch den Differenzenquotienten approximiert wird, sondern „offensichtlich“ ist er gleich drei. In der sich anschließenden „durchgerechneten Musteraufgabe“ wird entsprechend verfahren (Abb. 10.2). In diesem Zusammenhang wird die, nur an dieser Stelle und in der folgenden Aufgabe benutzte, Redewendung von dem „besten Näherungswert der Steigung“ ohne eine weitere Erläuterung eingeführt. Anscheinend soll der „beste“ Näherungswert der Grenzwert sein. Im Basiswissen und in der Musteraufgabe wird suggeriert, dass der Grenzwert durch Einsetzungen in den Differenzenquotienten bestimmbar sei. An deutlich weniger prominenter Stelle wird dieser Eindruck durchaus relativiert: Zwischen dem roten Kasten zum Basiswissen und der Musteraufgabe werden die Fragen aufgeworfen, ob der Grenzwertprozess immer ein Ergebnis liefert und ob das Ergebnis durch Ausprobieren exakt anzugeben ist. Die Auseinandersetzung des Buchs mit diesen Fragestellungen (die u. E. keine

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S. Bauer et al.

Abb. 10.1 „Basiswissen zum Grenzwert“ (𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥 ! und 𝑥𝑥! = 1), Quelle: Körner et al. 2014, S. 90 (Mit freundlicher Genehmigung ©Westermann Gruppe)

Abb. 10.2 „Bestimmung eines Grenzwerts“ ( 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 4 − 𝑥𝑥 ! und 𝑥𝑥! = 0,5), Quelle: Körner et al. 2014, S. 91 (Mit freundlicher Genehmigung ©Westermann Gruppe)

hinreichende Aufklärung liefert) findet in einem als Exkurs gekennzeichneten Kasten statt und gehört damit ausdrücklich nicht zum Kern der Unterrichtseinheit. Nach vier weiteren Übungsaufgaben folgt für eine andere Beispielfunktion die algebraisch-analytische Behandlung mit der sogenannten „h-Methode“ (Abb. 10.3).

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„Der Computer zwingt uns zum Nachdenken“

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Abb. 10.3 „Die ‚h-Methode‘“( 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 4 − 𝑥𝑥 ! und 𝑥𝑥! = 2 ), Quelle: Körner et al. 2014, S. 92 (Mit freundlicher Genehmigung ©Westermann Gruppe)

Der Vorteil dieser Methode ist laut Buch, dass man den Grenzwert „auf einen Blick“ sehen könne. Es wird verschwiegen, dass man ihn überhaupt erst jetzt sehen kann und die Einsetzungsmethode lediglich Indizien dafür liefert, dass er in der Nähe liegen muss. Im Buch erscheint die algebraisch-analytische Methode lediglich als alternative Methode. Dieser Eindruck wird dadurch verstärkt, dass sie gemäß der Gestaltungsvorgaben des Buchs nicht zum „Basiswissen“ gehört, sondern lediglich zu den „gelben Karten“, die „Sätze und Sachverhalte enthalten, die das Basiswissen ergänzen“. Kurz darunter wird ausgeführt, „wo die ‚h-Methode’-versagt“, nämlich angeblich bei den Exponential- und trigonometrischen Funktionen. Das ist natürlich insofern richtig, als dass es für diese Funktionen keine algebraischen Umformungen gibt, die die Definitionslücke des Differenzenquotienten bei h = 0 heben. Die Abfolge der Argumente in dem Buch kann jedoch den Eindruck erwecken, als seien jetzt nur noch numerisch-arithmetische Einsetzungen nötig und möglich und algebraisch-analytisch-geometrische Methoden unmöglich, aber auch unnötig. Dieser Eindruck wird in späteren Kapiteln bestärkt, wenn die Ableitungen der trigonometrischen Funktionen lediglich optisch durch Vergleich mit Sekantensteigungsfunktionen für kleine h „gefunden“ werden, aber keine Bemühungen mehr unternommen werden, diese Tatsache mit den bekannten geometrischen Methoden zu begründen (ebd., S. 100, Aufgabe 9), oder wenn der „Tipp“ gegeben wird, dass „wenn die ‚h-Methode‘ versagt, das Verfahren der Sekantensteigungsfunktion funktioniert“ (ebd., S. 110). Es sei zumindest die Frage aufgeworfen, ob solch ein Vorgehen das Label „verstehensorientiert“ verdient.

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S. Bauer et al.

Wir denken, dass an dieser Stelle eine explizite Aufklärung über die tatsächlichen Möglichkeiten der numerischen-arithmetischen Herangehensweise fehlt (auf S. 94 werden in Aufgabe 24, der letzten Aufgabe des Kapitels 4.2 Probleme angesprochen, aber nicht aufgeklärt). Sie kann natürlich einen möglichen Hinweis auf den Grenzwert liefern und ihn ggf. (aber nicht mit dem GTR wie wir unten sehen werden) auch approximieren. Es wird aber nicht das Potenzial der algebraisch-analytischen Herangehensweise, ggf. unter Einbeziehung von geometrischen Sachverhalten, thematisiert, die tatsächlich in der Lage ist, über die Existenz und in vielen, wenn auch nicht allen, Fällen den exakten Wert des Grenzwert aufzuklären. Wir wollen im Folgenden zunächst Aufklärungsschritte vorschlagen, bevor wir auf Artefakte mit dem GTR beim numerischen Integrieren und beim numerischen Lösen von Gleichungen eingehen.

10.2

Ein genetischer Weg von Testeinsetzungen zur „h-Methode“

Ein genetischer Weg von Testeinsetzungen zur „h-Methode“ kann mit einer zu den Schulbuchbeispielen in den Abbildungen 10.1 und 10.2 vergleichbaren Aufgabe beginnen: „Bestimme die momentane Änderungsrate der Funktion 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥 ! an der Stelle 4 so genau wie möglich. Nutze dazu das TK deines GTR oder ein anderes TK!“ Die Schülerinnen und Schüler werden versuchen, die Werte für h so klein wie möglich werden zu lassen, und erhalten Ergebnisse wie in Abb. 10.4. In Spalte E sieht man das Verhalten des Differenzenquotienten für kleiner werdende Werte für h: Während sich in den ersten Schritten der Differenzenquotient dem Grenzwert acht immer weiter nähert, entfernt er sich ab Zeile 12 wieder, bis man ab Zeile 18 konstant den etwas verstörenden Wert null erhält. Betrachtet man die gesamte Tabelle, so ist jetzt höchstens „offensichtlich“, dass der Grenzwert vermutlich in der Nähe von 8 liegt und numerische Artefakte bei zu kleinen Werten für h einen verschwindenden Grenzwert vortäuschen. Eine White-Box-Phase im Sinne des White-Box/Black-Box-Prinzips (vgl. Buchberger 1990; Heugel et al. 1996), in der erörtert wird, wie der Rechner intern vorgeht, scheint hier also angezeigt zu sein. Um das Verhalten des GTR zu verstehen muss man jetzt über Mantissenlängen, Rundungen und „Subtraktionskatastrophen“ sprechen. Eine auch für Schülerinnen und Schüler der gymnasialen Oberstufe gut lesbare Einführung in diese Problematik geben Schuppar und Humenberger (2015). Dass diese Beschäftigung auch einen ganz praktischen Nutzen hat, zeigen viele „Katastrophenbeispiele“ aus dem wirtschaftlich-technischem Umfeld. So stürzte z. B. im Juni 1996 eine Ariane 5 Rakete aufgrund unzureichender GleitkommaArithmetik ohne weiteres ab – Menschen kamen dabei zum Glück nicht ums Leben, da die Ariane 5 unbemannt war. Der Sachschaden wurde damals aber auf immerhin ungefähr 2 Mrd. US-Dollar geschätzt (vgl. Coy 2009).

10

„Der Computer zwingt uns zum Nachdenken“

137

Abb. 10.4 Einsetzungen mit dem TK

Untersucht man die Differenzen im Zähler genauer (wie es in den Spalte B bis D geschieht), so erkennt man, dass es ab ℎ = 10!!" zu einer „Subtraktionskatastrophe“ kommt: Das TK kann die auftretenden Differenzen nicht mehr von null unterscheiden! Hat man die Differenzenbildung im Zähler als Ursache erkannt, schließt sich die folgende Frage an: „Können wir den Differenzenquotienten traktionskatastrophe auftritt?“

4 + ℎ ! − 4! so umformen, dass keine Subℎ

Das naheliegende Auflösen der Klammer und anschließende Zusammenfassen des Terms im Zähler ergibt den differenzenfreien Term

ℎ! + 8ℎ und in Spalte H ist erkennℎ

bar, dass sich der Differenzenquotient nun numerisch besser bei acht stabilisiert. Aber damit geben wir uns natürlich nicht zufrieden, weil es nun naheliegt, h im Zähler auszuklammern und anschließend durch h zu kürzen. Dies führt auf den Term 8 + ℎ , den man zwar auch mit dem TK für einige Werte von h berechnen lassen kann, aber man erkennt auch so, dass der Grenzwert offensichtlich acht sein muss, man jetzt also das TK gar nicht mehr braucht! Die Formalisierung dieser Vorgehensweise ist die sogenannte „h-Methode“. Wir halten dieses Beispiel für paradigmatisch, da ausgehend vom kritischen Hinterfragen der numerischen Ergebnisse die algebraisch-analytische Methode entwickelt wird. Die schon beschriebene Gefahr eines vermeintlich gleichberechtigten Nebeneinanders von Testeinsetzungen und h-Methode bleibt aus. Zudem sind die Schülerinnen und Schüler

138

S. Bauer et al.

nun dahingehend sensibilisiert, dass man in Fällen, bei denen das einfache Umformen nicht funktioniert (z. B. Exponentialfunktionen), den Grenzwert durch Testeinsetzungen höchstens mehr oder weniger gut approximieren kann und eine exakte Bestimmung folgen muss.

10.3

Testeinsetzungen mit einem „Arbitrary-Precision-Rechner“

Wie sieht die Situation nun aus, wenn wir statt eines GTR einen Rechner benutzen, der die Mantissenlänge flexibel je nach Bedarf festlegt, so dass er zumindest theoretisch mit beliebiger Genauigkeit rechnen kann, also einen sogenannten Arbitrary-PrecisionRechner (APR)? Die meisten CAS verfügen darüber. Sicherlich kann ein APR bei einem geeigneten Approximationsverfahren den Grenzwert bis auf beliebig viele Nachkommastellen genau angeben. Das Problem ist aber, dass man ihm diese Genauigkeit vorher mitteilen muss, sonst würde der Prozess nie enden. Das heißt, selbst der beste Rechner könnte durch bloßes numerisch-arithmetisches Arbeiten nie den Grenzwert acht für die Beispielaufgabe aus Abschn. 10.2 exakt bestimmen, während das doch mit den elementaren algebraischen Umformungen recht einfach möglich war. Diese Überlegenheit der algebraisch-analytischen über die numerisch-arithmetische Methode sollte in einem allgemeinbildenden Mathematikunterricht explizit gemacht werden, damit die Schülerinnen und Schüler ein stimmiges Bild von Mathematik entwickeln können. Ein entsprechender Einsatz des Rechners liefert damit einen genetischen Zugang zum fachlich aktuell präferierten Grenzwertbegriff, wenn wir dieselbe Frage stellen, die wir auch an den Rechner stellen: Wie klein muss h sein, damit wir den Grenzwert bis auf die n-te Nachkommastelle fixiert haben. Der Unterschied besteht darin, dass wir dem Rechner das n vorher mitteilen müssen, während die algebraisch-analytischen Methoden eine für alle natürlichen Zahlen n gültige Antwort finden.

10.4

Grenzwerte mithilfe spezieller Folgen untersuchen

Wir haben im vorherigen Abschnitt erläutert, dass die Einsetzung von endlich vielen Werten in keinem Fall Konvergenzfragen klären kann. Wie sieht es dann mit der Einsetzung unendlich vieler Werte aus? Häufig werden Konvergenzfragen schulisch durch die Einsetzungen spezieller, in der Regel möglichst einfach gebildeter monotoner (aber unendlicher) Folgen untersucht. Unterschiedliche Erwägungen können es wünschenswert erscheinen lassen, auch diese Fehlvorstellung zu unterminieren, dass eine solche Betrachtungsweise hinreichend sein könnte. Einfach geht das, wenn wir z. B. einen Grenzwert der Funktion mit der Gleichung 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = sin (𝜋𝜋 ∙ 𝑥𝑥) für 𝑥𝑥 ⟶ ∞ betrachten. Setzen wir in die Sinusfunktion die Folge

10 𝑛𝑛

139

„Der Computer zwingt uns zum Nachdenken“ !∈ℕ

ein, so erhalten wir konstant den Wert null; naiv würde man also als Grenzwert

den Wert null vermuten. Benutzen wir jedoch die Folge konstant den Wert eins an und bei der Folge

3 + 2𝑛𝑛 2

1 + 2𝑛𝑛 2

!∈ℕ

!∈ℕ

nimmt die Funktion

den Wert –1.

Hieran anschließend ließe sich die Frage diskutieren, welche Eigenschaft einer Funktion nötig ist, damit die Konvergenz und der Grenzwert längs speziell gebildeter Folgen hinreichend für die Konvergenz der Funktion ist; gedacht ist hier natürlich an die Monotonie. Die Konstruktion eines Gegenbeispiels an einer endlichen Stelle, nennen wir sie 𝑥𝑥! mit 𝑥𝑥! = 0 , ist schwieriger, weil die betrachtete Funktion in einer Umgebung um null kein festes Monotonieverhalten vorweisen darf. Möglich wäre die Betrachtung der aus bekannten Schulfunktionen durch Verkettung zusammengesetzten Funktion mit der Gleichung 𝜋𝜋 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = sin für x > 0, zusammen mit der Frage, ob ein Grenzwert für x → 0 existiert. 𝑥𝑥 1 Die Auswertung längs der Folge liefert konstant den Wert null, würde also den 𝑛𝑛 !∈ℕ Grenzwert null suggerieren. Hingegen liefert die Auswertung längs der Folge 1

1

2 + 2 ∙ 𝑛𝑛

!∈ℕ

konstant den Wert eins, man könnte also also den Grenzwert eins vermuten. Tatsächlich lässt sich, mit oder ohne Rechnerunterstützung, das Verhalten als unendlich schnelles Oszillieren bei null identifizieren.

10.5

Funktionen, die der Rechner nicht unterscheiden kann

Um die Möglichkeiten und Grenzen eines Rechners herauszukristallisieren sind geeignete Beispiele nötig. Ein sehr eindrückliches Beispiel liefert die Dirichlet-Funktion, die an allen rationalen Stellen den Wert 0 und an allen irrationalen Stellen den Wert 1 annimmt. Diese Funktion passt gut in jeden Unterrichtsgang, der den Funktionenbegriff zum Inhalt hat, lässt sich mit dieser Funktion doch gut der Umfang des schulüblichen Funktionsbegriffs („Funktion als eindeutige Zuordnung“) illustrieren. Insbesondere wird deutlich, dass bereits der schulübliche Funktionsbegriff auch Funktionen umfasst, die sich entsprechend der gewöhnlichen Konventionen nicht zeichnerisch darstellen lassen. Für den Rechner ist diese Funktion aber einfach die Nullfunktion, da er irrationale Zahlen gewissermaßen nicht wahrnehmen kann. (Im Sinne der Lebesgue-Funktionen ist die Dirichlet-Funktion allerdings äquivalent zur Einsfunktion.)

140

S. Bauer et al.

10.6

Artefakte beim numerischen Integrieren

Nachdem die bisherigen Betrachtungen vom Einstieg in die Differenzialrechnung ausgegangen sind, untersuchen wir nun zunächst, was beim Einsatz numerisch-arithmetischer Methoden in der Integralrechnung passieren kann, bevor wir im nachfolgenden Abschnitt noch kurz das Lösen von Gleichungen betrachten. Für die Tätigkeit des elementaren Integrierens, d. h. des Integrierens elementarer transzendenter Funktionen (sprich alle Funktionen, die sich aus Variablen, endlich vielen arithmetischen Operationen, Logarithmen und Exponentialfunktionen zusammensetzen), existiert ein implementierbares Verfahren: Der Algorithmus von Risch (1970) entscheidet, ob eine elementare transzendente Funktion eine eben solche Stammfunktion hat und produziert diese falls überhaupt möglich. Buchberger (1990) spricht hier von einer „Trivialisierung“ und stellt deshalb die Frage, ob man überhaupt noch Integrationsregeln lernen sollte. Für nicht elementar integrierbare Funktionen – die z. B. in der Gestalt der Gauß-Funktion durchaus schon im Mathematikunterricht der gymnasialen Oberstufe auftreten – werden jedenfalls numerische Verfahren und damit die Auseinandersetzung mit deren Genauigkeit auch in Zukunft unverzichtbar bleiben. In diesem Zusammenhang und im Zusammenhang mit der permanenten Verfügbarkeit des GTR ist die folgende Episode aus der Unterrichtspraxis eines der Autoren, bei der ein numerisches Integrationsergebnis eine Rolle spielt, äußerst relevant: In einem Mathematik-Grundkurs wurde gefragt, welchen Wert das bestimmte Integral !

𝑓𝑓 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑 der ungeraden Funktion 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥 ⋅ 𝑥𝑥 − 1 ⋅ 𝑥𝑥 + 1 hat. Die Intention bei

!!

der Aufgabenstellung war natürlich, dass die Schülerinnen und Schüler aufgrund der Symmetrie direkt, d. h. ohne Rechnung, den Wert null ermitteln. Einzelne Schülerinnen und Schüler benutzten jedoch ihren GTR und erhielten das Ergebnis in Abb. 10.5 (links). Das gelbe Ausrufezeichen weist laut Handbuch (TI-Nspire) auf eine „zweifelhafte Genauigkeit“ hin, wobei leider nicht genauer spezifiziert wird, wie zweifelhaft die Genauigkeit ist. Die Schülerinnen und Schüler – wenig geschult in der Interpretation von Genauigkeiten numerischer Verfahren – waren verwirrt, zumal auch das Integral mit äquivalentem, lediglich ausmultipliziertem Integranden „ein völlig anderes Ergebnis“ lieferte (Abb. 10.5, Mitte). Bei der ersten Betrachtung dieser merkwürdigen numerischen Ergebnisse liegt die Vermutung nahe, dass es sich um einen seltenen Sonderfall handelt. Schnell findet man jedoch heraus, dass es sich um ein systematisches Problem handelt. Entsprechende Beispiele lassen sich in beliebiger Anzahl konstruieren (Abb. 10.5, rechts). Geradezu verstörende Ergebnisse erhält man auch, wenn man über Polstellen hinwegintegriert (Abb. 10.6). Hier stellen die numerischen Ergebnisse nicht ansatzweise tragfähige Approximationen der exakten dar: 33,0663 ist „sehr weit“ von ∞ entfernt und –543,751 „sehr weit“ von –∞. Und offenbar ist 5,3481 · 1013 nicht dasselbe wie 2 · 5,3481 · 1013.

10

„Der Computer zwingt uns zum Nachdenken“

141

Abb. 10.5 Ergebnis der numerischen Integration mit einem GTR (links), Ergebnis mit ausmultipliziertem Integranden (Mitte) und weitere Beispiele für „zweifelhafte Genauigkeiten“ bei äquivalenten Integranden (rechts)

Abb. 10.6 Gravierende Unstimmigkeiten beim numerischen Integrieren uneigentlicher Integrale mit dem GTR

Wie können Schülerinnen und Schüler, die nicht hinreichend in den elementaren Regeln der Integration geschult sind mit solchen „Ergebnissen“ umgehen? In einem Unter Unterrichtsgang gemäß dem White-Box/Black-Box-Prinzip (vgl. Buchberger 1990; Heugel et al. 1996) sollte hier mindestens eine Methode der numerischen Integration behandelt werden, bevor man numerisch mit dem GTR integriert. Dann wären die Schülerinnen und Schüler auf damit potenziell bzw. in der Regel einhergehende Ungenauigkeiten vorbereitet und könnten die Validität der Ergebnisse verständiger einschätzen. Beizeiten – insbesondere dann, wenn der Rechner numerisch merkwürdige Ergebnisse liefert – muss man eben den GTR zur Seite legen, um herauszufinden, ob man durch Überlegen und Anwenden des Gelernten auf die „richtige Lösung“ kommt. Dies wäre in allen Beispielen durch verständiges Anwenden der elementaren Regeln des Integrierens, durch Symmetrieargumente oder eine saubere Analyse der uneigentlichen Fälle für Schülerinnen und Schüler ohne weiteres möglich.

142

10.7

S. Bauer et al.

Phänomene beim numerischen Lösen von Gleichungen

Als letztes numerisches Beispiel gehen wir noch auf das numerische Lösen von Gleichungen mit dem GTR ein. Gesucht seien die Nullstellen der Funktion mit der Gleichung 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑒𝑒 ! ⋅ 𝑥𝑥 − 5 + 5 (vgl. Heugl et. al. 1996). Plottet man die Funktion mit dem GTR (Abb. 10.7), könnte man vermuten, dass 𝑥𝑥! = 5 eine Nullstelle ist, was sich durch Einsetzen schnell widerlegen lässt ( 𝑓𝑓 5 = 5 ).

Abb. 10.7 Geplottete Funktion mit der Gleichung 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑒𝑒 ! ⋅ 𝑥𝑥 − 5 + 5

Auf Nullstellensuche kann man sich mit dem Befehl nSolve machen, der Gleichungen numerisch löst. 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 0 findet hier die Nullstelle 𝑥𝑥! = 0. Zum Auffinden der zweiten Nullstelle kann man das Suchintervall einschränken (dabei hilft das Schaubild zur Funktion) und man erhält 𝑥𝑥! = 4,96511 .…Die Probe zeigt, dass das Ergebnis schon recht genau ist, dass aber 𝑓𝑓 𝑥𝑥! nicht genau null ist (Abb. 10.8).

Abb. 10.8 Nullstellensuche mit dem Befehl nSolve

10

„Der Computer zwingt uns zum Nachdenken“

143

Hier tritt zwar kein „falsches“ Ergebnis auf, wir sind aber dennoch der Meinung, dass es auch hier nach dem White-Box/Black-Box-Prinzip angezeigt wäre, ein numerisches Verfahren, etwa das Newton-Verfahren, vor der Verwendung von nSolve zu behandeln. Eine Vorstellung davon, wie der Rechner an seine Werte kommt, erhöht natürlich die Akzeptanz des Werkzeugs deutlich, lässt Schülerinnen und Schüler stärker in dessen Ergebnisse vertrauen bzw. hilft ihnen bei der Bewertung, wenn die Werte einmal „merkwürdig“ sein sollten. Übrigens lässt sich – hat man nur einmal das Newton-Verfahren thematisiert – im Tabellenfenster des GTR damit schnell die Lösung verstehensorientiert reproduzieren (Abb. 10.9).

Abb. 10.9 Nullstellensuche mit dem Newton-Verfahren – mit GTR oder TK

Aufgaben, die auf potenziell irreführende numerische Ergebnisse führen, lassen sich aber auch hier leicht produzieren: nSolve liefert z. B. für 𝑔𝑔 𝑥𝑥 = 𝑒𝑒 ! ⋅ 𝑥𝑥 − 30 + 30 das numerische Ergebnis 30 (Abb. 10.10), das zwar keinen schlechten Näherungswert darstellt, für Schülerinnen und Schüler aber oberflächlich eine Exaktheit suggeriert, die nicht gegeben ist. Auf den zweiten Blick können natürlich auch die Schülerinnen und Schüler leicht klären, dass 30 keine Lösung der Gleichung ist. Kennt man das Newton-Verfahren, so kann man verstehen, dass das Verfahren aufgrund der exorbitanten Steilheit von g in der Nähe der zweiten Nullstelle hier schnell auf 30 iteriert.

Abb. 10.10 Vermeintlich exakt – tatsächlich falsch

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S. Bauer et al.

10.8 Fazit Die verbindliche Einführung von GTR in vielen Bundesländern ermöglicht es, im Mathematikunterricht in kürzester Zeit eine Vielzahl gleich strukturierter Berechnungen durchzuführen. Zusammen mit geringeren curricularen Anforderungen bei der Klärung des Grenzwertbegriffs, die unscharf als „propädeutischer Grenzwertbegriff“ (MSW NRW 2013) formuliert sind, führt dies bei aktuellen Schulbüchern teilweise zu einer Dominanz von numerisch-arithmetischen Methoden. Im Sinne des auch im Lehrplan geforderten allgemeinbildenden Mathematikunterrichts (vgl. ebd.) gehört zu einem stimmigen Bild von Mathematik aber auch, dass Schülerinnen und Schüler die prinzipielle Überlegenheit algebraisch-analytischer Methoden beim für die Analysis charakteristischen Umgang mit infinitesimalen Prozessen erfahren. Anhand geeigneter Beispiele haben wir gezeigt, dass entsprechende Betrachtungen auch heute noch vom Mathematikunterricht der gymnasialen Oberstufe aus zugänglich sind. Die etwa im nordrhein-westfälischen Kernlehrplan geforderte Kompetenz „[Schülerinnen und Schüler …] reflektieren und begründen die Möglichkeiten und Grenzen mathematischer Hilfsmittel und digitaler Werkzeuge“ (ebd.) erzwingt dabei geradezu eine Reflektion der möglichen Rolle des GTR insbesondere beim Erkenntnisgewinn in der Analysis (und darüber hinaus). Die angeführten Beispiele für Artefakte beim numerischen Integrieren bzw. numerischen Lösen von Gleichungen mit dem GTR zwingen dann im Sinne des White-Box/ Black-Box-Prinzips und des Eingangszitats von Hans Schupp endgültig zum Nachdenken über die Möglichkeiten und Grenzen numerisch-arithmetischer Methoden in diesem Bereich. Dies lässt sich in einem Unterricht, in dem der GTR permanent verfügbar ist, nicht umgehen, da Schülerinnen und Schüler von sich aus – wie die Unterrichtsepisode gezeigt hat – auf Artefakte stoßen, denen sie ohne eine derartige Aufklärung weitgehend hilflos ausgeliefert sind. Das Nachdenken führt wiederum zu vertieften theoretischen Klärungen, etwa dem Heranziehen von Eigenschaften der Integrandenfunktionen zum Berechnen der Werte von (bestimmten oder unbestimmten) Integralen, sofern diese existieren. Verstehensorientierung als aktuelles mathematikdidaktisches Prinzip geht letztlich unter den aktuellen Rahmenbedingungen über das Verständnis der mathematischen Begriffe, Zusammenhänge und Verfahren hinaus und umfasst auch das Verständnis für die Prozesse, auf deren Basis der GTR numerische Ergebnisse liefert. Insgesamt kann der Analysisunterricht dann auch einer wichtigen Lehrplanforderung gerecht werden: „Der Unterricht soll Schülerinnen und Schüler bei der verständnisorientierten Auseinandersetzung mit Mathematik unterstützen, ihr Interesse an mathematikhaltigen Fragestellungen wecken und ihnen positive Erlebnisse im Umgang mit Mathematik ermöglichen.“ (ebd.)

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Ergebnisse aus Stundenprotokollen im niedersächsischen Projekt CALiMERO zum CAS-Einsatz in der Sekundarstufe I

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Guido Pinkernell und Regina Bruder

Zusammenfassung

Im niedersächsischen Modellprojekt CAliMERO ging es um die Umsetzung und Evaluation eines Konzeptes zum Einsatz von Computer-Algebra-Systemen (CAS) ab der Klassenstufe 7. Der Schwerpunkt des Forschungsinteresses lag auf den langfristig zu beobachtenden Effekten eines CAS-Einsatzes auf die Denk- und Kompetenzentwicklung und das Mathematikinteresse sowie auf den Vorstellungen über Mathematik der Schülerinnen und Schüler. Mit verschiedenen Instrumenten wurden im Laufe des Projekts Veränderungen der Vorstellungen bezüglich Mathematik und Unterricht der beteiligten Lehrkräfte und Lernenden analysiert, die Leistungsentwicklung der Schülerinnen und Schüler beobachtet und das „Rechnerlernpotenzial“ der Unterrichtsthemen und relevanten Aufgaben untersucht. In diesem Beitrag werden die jeweils für den Zeitraum von drei bis vier Wochen zu einem Unterrichtsthema eingesetzten Stundenprotokolle von Schülerinnen und Schülern thematisiert, die Auskunft geben über gestalterische Elemente der Unterrichtsstunden, Interaktionen zwischen den Lernenden und der Lehrkraft sowie zu Umfang und Art des Technologieeinsatzes, was auch in den von Bärbel Barzel in Barzel (2011) zusammengefassten Ergebnissen von Studien zum CAS-Einsatz von Bedeutung ist. Aus den Analysen dieser Stundenprotokolle lassen sich jetzt auch Zusammenhänge zwischen Art des Methodeneinsatzes und Testergebnissen vermuten. Guido Pinkernell * Pädagogische Hochschule Heidelberg Heidelberg, Deutschland E-Mail: [email protected] Regina Bruder Technische Universität Darmstadt Darmstadt, Deutschland E-Mail: [email protected] © Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2019 A. Büchter et al. (Hrsg.), Vielfältige Zugänge zum Mathematikunterricht, https://doi.org/10.1007/978-3-658-24292-3_11

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G. Pinkernell und R. Bruder

11.1 Ziele und Inhalte sowie Forschungsinteressen des Projekts CAliMERO CAliMERO (Computer-Algebra im Mathematikunterricht: Entdecken, Rechnen, Organisieren) bezeichnet ein Modellprojekt des Landes Niedersachsen zum Einsatz von Taschencomputern im Mathematikunterricht. Das Projekt wurde 2005 an sechs Gymnasien mit dem vollständigen siebten Jahrgang (29 Klassen) gestartet und 2010 bezüglich Materialentwicklung und Evaluation für die Sekundarstufe I abgeschlossen. Die Materialien für Schüler_innen und Lehrkräfte wurden in neun Bänden publiziert (Bruder & Weiskirch 2007 ff). Ziel des vom Land Niedersachsen und von Texas Instruments unterstützten Projekts war die Entwicklung, materialbasierte Umsetzung und Erprobung eines nachhaltig wirksamen Unterrichtskonzepts in Verbindung mit einem Computer-Algebra-System (CAS) auf Taschencomputern. Die wissenschaftliche Begleitung des Modellprojektes oblag der AG Fachdidaktik Mathematik an der TU Darmstadt unter Leitung von Regina Bruder. Für die Etablierung einer dem Einsatz von CAS angemessenen Unterrichtskultur im Sinne von Stacey (2003) fanden zum Projektstart Fortbildungsveranstaltungen mit Vertreter_innen der beteiligten Schulen und niedersächsischen Expert_innen statt. Dabei wurden Unterrichtselemente und -methoden diskutiert, die im CAS-gestützten Unterricht eine mathematische Kompetenzentwicklung entsprechend den Anforderungen der Bildungsstandards fördern können. Das gemeinsam mit den beteiligten Lehrkräften umgesetzte Unterrichtskonzept will das vielschichtige Potenzial eines CAS zum Entdecken von mathematischen Zusammenhängen ausnutzen und es für effektive Übungsprozesse mit Verständnisförderung einsetzen. Gleichzeitig sollten vernetzte Anwendungen technologiegestützt im Unterricht etabliert werden. Dazu sollten die Lernenden auch die notwendige Werkzeugkompetenz erwerben, um das CAS sicher beim Lösen mathematischer Problemstellungen einsetzen zu können. Folgende methodischen Elemente zur Operationalisierung von grundsätzlichen Anforderungen an eine hohe Unterrichtsqualität, wie effektive Klassenführung, kognitive Aktivierung und konstruktive Unterstützung der Lernenden (vgl. Klieme et al. 2006), wurden für das Unterrichtskonzept zum CAS-gestützten Mathematikunterricht ausgewählt: •

• •

Mit dem Einsatz von Semantischen Netzen (vgl. Bruder 2010) und Kontrollfragen zur Selbsteinschätzung in Form von Checklisten sollte Zielklarheit insbesondere auch im Umgang mit dem CAS gefördert und die Übernahme von Verantwortung für den eigenen Lernprozess im Mathematikunterricht unterstützt werden. Wahlmöglichkeiten bei den Unterrichtseinstiegen und in den Übungsmaterialien mit CAS-Einsatz sollten die Lehrkräfte unterstützen, die Besonderheiten der jeweiligen Lerngruppe zu berücksichtigen. Die Lernenden konnten in den Übungsphasen selbstständig bestimmen, wann sie den Rechner einsetzen und mit welcher der zur Verfügung stehenden Darstellungsformen sie arbeiten wollen. Auf diese Weise sollten multiple Lösungswege gefördert werden.

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Ergebnisse aus Stundenprotokollen im niedersächsischen Projekt CALiMERO 149

•

Durch vielfältige optional einsetzbare Unterrichtsmethoden wie Gruppenpuzzle, Stationenlernen oder auch Spiele sollte eine individuell fördernde Unterrichtskultur geschaffen werden. Regelmäßige vermischte Kopfübungen zum Wachhalten von Grundwissen und Grundkönnen (ohne Rechnereinsatz) (vgl. dazu Bruder & Pinkernell 2011) und das Bewusstmachen von Strategien zum Problemlösen (vgl. u. a. Bruder 2002) wurden ebenfalls ganz bewusst in das Konzept eingebaut.

•

Für jede Unterrichtseinheit der Klassen 7 bis 10 des Kerncurriculums in Niedersachsen wurden die genannten Elemente des Unterrichtskonzepts von einer Gruppe aus Lehrkräften, Fachleitungen und Fachberater_innen als Unterrichtsbausteine in jeweils mehrtägigen Treffen ausgearbeitet, evaluiert und überarbeitet. Die Unterrichtsbausteine wurden in einem Aufgabenheft für die Lernenden und detaillierten didaktisch-methodischen Hinweisen für die Lehrkräfte dokumentiert (Bruder & Weiskirch 2007 ff und entsprechende Reflexionen aus der Projektgruppe in Pinkernell 2009). Der Schwerpunkt des Forschungsinteresses lag auf den langfristig zu beobachtenden Effekten eines CAS-Einsatzes auf die Denk- und Kompetenzentwicklung und das Mathematikinteresse der Lernenden sowie auf deren Vorstellungen über Mathematik. Die Forschungsfragen im Rahmen der begleitenden Evaluation betrafen die Entwicklung der Mathematikleistung und Wahrnehmung des Unterrichts durch die Schülerinnen und Schüler sowie die Akzeptanz und Umsetzung des Unterrichtskonzeptes durch die Lehrkräfte. Ergebnisse für die Klassen 7 und 8 liegen mit der Dissertation von Maria Ingelmann (2009) vor. In diesem Beitrag konzentrieren wir uns auf die Frage der Umsetzung und Wahrnehmung des verabredeten Unterrichtskonzeptes (siehe oben). Zur Erhebung entsprechender Daten kam neben klassischen Akzeptanzbefragungen von Lehrkräften und Lernenden zu Beginn und zum Ende jedes Schuljahres auch ein sogenanntes Stundenprotokoll als standardisierter Fragebogen unterrichtsbegleitend zum Einsatz. Dieses Stundenprotokoll wurde jeweils im Anschluss an die vergangene Unterrichtsstunde durch eine Schülerin oder einen Schüler ausgefüllt. Es stellt damit eine besondere Form der Schülerbefragung dar, die trotz Bedienung durch die Lernenden selbst einen hinreichenden Anspruch auf valide Erfassung des Unterrichtsgeschehens im für CAliMERO intendierten Sinne beanspruchen kann, wie im folgenden Abschnitt diskutiert wird.

11.2 Schülerbeobachtung von Unterricht in der Unterrichtsforschung Unter den Methoden der Unterrichtsforschung ist die Datenerhebung durch beteiligte Schülerinnen und Schüler etabliert. So findet man etwa in PISA, TIMSS, aber auch bei Schulinspektionen Befragungen von Lernenden unter dem üblichen Instrumentarium. Die

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G. Pinkernell und R. Bruder

Vorteile liegen auf der Hand (Wagner 2008): Der Erhebungsaufwand ist verhältnismäßig gering, das zu beobachtende Geschehen kann mehrfach erfasst werden, die Reliabilität ist bei Aggregation der Daten recht gut, und auch die prädiktive Validität wird als relativ hoch angegeben. Allerdings ist die Güte des Datenmaterials von verschiedenen Voraussetzungen abhängig, etwa dem Grad der Inferenz des gewählten Beobachtungssystems oder Merkmalen der Beobachtenden selbst. Niedrig inferente Beobachtungssysteme unterscheiden sich von hoch inferenten durch Merkmale wie das Untersuchungsziel (Beschreibung von Unterrichtsgestaltung vs. Bewertung von Unterrichtsqualität) oder Art der Datengewinnung (Erfassen quantitativer Eigenschaften von Unterrichtsereignissen vs. Schätzen von Merkmalsausprägungen) (Lotz, Gabriel und Lipowsky 2013). Dabei gilt z. B. das Erfassen von Sozialformen als weniger inferent als das Einschätzen des Unterrichtsklimas. Neben dem Grad der Inferenz beeinflussen auch Eigenschaften der Beobachtenden die Datengüte. Man darf annehmen, dass die Validität der Beobachtungsdaten in hoch inferenten Systemen dann sinkt, wenn ungeschulte Beobachter_innen eingesetzt werden. So weisen Waldis et al. (2010) Wahrnehmungen von Lernenden dann eine eingeschränkte oder geringe Validität zu, wenn didaktische Konzepte Gegenstand der Beobachtung und Bewertung sind. Dagegen sprechen sie ihnen eine hohe Validität zu, wenn etwa Auskunft über ihnen bekannte Unterrichtsroutinen gegeben werden soll. Auch bzgl. der Übereinstimmung von Beobachtungsdaten Lernender auf Klassen- bzw. Schulebene zeigt sich ein differenziertes Bild. Gärtner (2010) sieht bei Merkmalen der Unterrichtsqualität unterschiedliche Grade der Übereinstimmung: Während Konstrukte wie Differenzierung oder angstfreies Üben relativ geringe Übereinstimmung aufweisen, ist dies z. B. bei Angaben zu Auswahl und Einsatz von Aufgaben weitaus deutlicher feststellbar. Es ist zu vermuten, dass bei Ersteren die individuellen Befindlichkeiten die Einschätzung beeinflussen, bei Letzteren dagegen die Beobachtbarkeit höher ist. In einer Reanalyse von Daten der PISA-Schüler_innenbefragung zur Unterrichtsqualität stellen Wenger, Lüdtke und Brunner (2018) ebenfalls für Erhebungen auf lokaler Ebene (hier Schulebene) akzeptable bis gute Übereinstimmungen fest, und zwar für deutsche Schulen bzgl. der Konstrukte kognitive Aktivierung oder Lehrersteuerung, während Konstrukte wie Unterstützung und Feedback relativ geringe Übereinstimmungen innerhalb einer Schule aufweisen (Wenger et al. 2018). Auch hier erscheint der Übereinstimmungsgrad abhängig von der Inferenz, die ein Beobachtungsmerkmal zulässt. Solange also Schülerinnen und Schüler zu ihnen bekannten oder klar identifizierbaren Unterrichtsroutinen in ihrer vertrauten Lernumgebung Auskunft geben, kann den erhobenen Daten eine mindestens akzeptable Qualität zugeschrieben werden.

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Ergebnisse aus Stundenprotokollen im niedersächsischen Projekt CALiMERO 151

11.3 Das Stundenprotokoll zum Mathematikunterricht im Projekt CAliMERO Abb. 11.1 zeigt das für CAliMERO entwickelte Stundenprotokoll. Der Aufbau des Instruments für den erstmaligen Einsatz in der 8. Klasse wird in Ingelmann (2009, S.  127 ff) ausführlich erläutert und begründet. Es lassen sich Items von unterschiedlichem Inferenzgrad feststellen: Insbesondere die Items 1.b, 1.c und 1.d zielen auf die subjektive Bewertung der Stunde durch die einzelne Schülerin bzw. den einzelnen Schüler ab und werden daher in den nachfolgenden Auswertungen nicht berücksichtigt. Auch die Items der Gruppe 4 werden aus denselben Gründen ausgenommen. Alle anderen Items erfragen bekannte und klar identifizierbare methodische Elemente der Unterrichtsgestaltung. Wir wollen daher davon ausgehen, dass diese für die Erfassung des Unterrichtsgeschehens in Verbindung mit einem CAS Daten hinreichender Güte liefern. Die Entscheidung für das Stundenprotokoll als projektbegleitendes Instrument zur Erfassung des Unterrichtsgeschehens aus Sicht von Lernenden war 2005 alternativlos für das über vier Jahre laufende Projekt mit mehr als 20 Schulklassen. Regelmäßige Videografien des Unterrichts waren bereits aus Aufwands- und Kostengründen in dieser Größenordnung gar nicht möglich. Die Stundenprotokolle wurden ab der 8. Klasse eingeführt, als die Projektklassen schon erste Erfahrungen mit dem neuen Konzept und den Evaluationsinstrumenten in der 7. Klasse gesammelt hatten. Jede Schulklasse führte jeweils nur zu maximal zwei Themengebieten im Schuljahr das Protokoll, um den Aufwand für die Schülerinnen und Schüler möglichst gering zu halten. Jede Stunde wurde von einer anderen Person protokolliert, so dass pro Schüler_in maximal zwei Protokolle pro Themengebiet ausgefüllt werden mussten. Zur Auswertung wurden alle Protokolldaten einer Lerngruppe über ein Themengebiet (Unterrichtsreihe) aggregiert. Über die Ergebnisse von 404 Stundenprotokollen aus Klasse 8 zu den Unterrichtseinheiten „Lineare Zusammenhänge“ und „Stochastik“ finden sich in Ingelmann (2009) entsprechende Angaben. In 54 % der dokumentierten Stunden wurde mit dem Taschencomputer gearbeitet. Dabei wurde der Rechner in dem überwiegenden Teil der Stunden (81 %) von den Lernenden selbst benutzt. In 15 % der Stunden wurden konzeptkonform rechnerfreie Kopfübungen integriert, was dem intendierten Rhythmus eines wöchentlichen bis vierzehntägigen Einsatzes solcher Kopfübungen entspricht. Es zeigte sich, dass es in den beiden ausgewerteten Unterrichtsbausteinen eine deutliche Abkehr vom klassischen Frontalunterricht gegeben hatte und die Lernenden im Mathematikunterricht jetzt stärker miteinander arbeiteten und lernten. Die von den Lernenden dokumentierte Nutzung des Taschencomputers im Unterricht ließ weiterhin den Schluss zu, dass sich das freie Ausprobieren und Experimentieren mit dem Taschencomputer im Unterricht ansatzweise etabliert hatte. Allerdings zeigte sich bereits eine gewisse Heterogenität sowohl in den Einsatzszenarien zu den entwickelten Unterrichtsbausteinen als auch in den Leistungen der einzelnen Klassen an den beiden Projektschulen. Hier deuteten sich Zusammenhänge an, die weniger mit dem CAS-Einsatz als solchem in Verbindung gebracht werden konnten sondern mit einem grundsätzlichen

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G. Pinkernell und R. Bruder

Abb. 11.1 Der standardisierte Fragebogen für Schülerinnen und Schüler zur Erfassung methodischer Elemente einzelner Unterrichtsstunden

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Ergebnisse aus Stundenprotokollen im niedersächsischen Projekt CALiMERO 153

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G. Pinkernell und R. Bruder

methodischen Unterrichtsstil, der sich in einer gewissen Variabilität des Vorgehens (Methodeneinsatzes) zeigt. Ein Technologieeinsatz, der die Potenziale des Werkzeugs sinnvoll nutzt, erfordert auch eine gewisse Breite methodischer Szenarien. In Klasse 9 wurde das Stundenprotokoll dann systematisch eingesetzt, um festzustellen, welche Elemente des intendierten Unterrichtskonzepts erkennbar umgesetzt wurden. Hier wurden von 23 Projektklassen insgesamt 420 Stundenprotokolle ausgefüllt, die sich über die einzelnen Themengebiete dieser Jahrgangsstufe verteilen. Ferner wurden von drei Kontrollklassen insgesamt 53 Stundenprotokolle bereitgestellt. Diese Kontrollklassen wurden von ausgewiesenen Lehrkräften anderer Schulen ohne die CAliMERO-Materialien unterrichtet, setzten grafikfähige Taschenrechner ein und hoben sich durch recht gute Testergebnisse bereits zu Projektbeginn hervor. Über die Daten aus den Jahrgangsstufen 9 und 10 haben wir an anderer Stelle kurz berichtet (Bruder und Pinkernell 2011). Die Stundenprotokolle erlauben in aggregierter Form jeweils einen Einblick in die methodische Variabilität des Unterrichtsgeschehens einer Klasse über einen Zeitraum von drei bis vier Wochen, so dass insbesondere auch die Leistungsentwicklung der Schülerinnen und Schüler in einen Zusammenhang mit der tatsächlichen methodischen Gestaltung gebracht werden konnte.

11.4 Ergebnisse der Stundenprotokolle Klasse 9: Methodenvielfalt erfassen Methodenvielfalt ist ein häufig genanntes Merkmal eines qualitativ guten Unterrichts (z. B. Weinert 1997, Meyer 2004) und steht in engem Bezug zur Forderung nach einem kognitiv aktivierenden Unterricht. Wodurch sich eine sinnvolle Methodenvielfalt auszeichnet, dazu findet man bei Meyer (2004), Wiechmann (2002) und anderen unterschiedliche Systematiken. In der Regel werden hierunter Sozialformen wie Frontalunterricht, Gruppen-, Stationen- und Wochenplanarbeit subsummiert, aber auch Instruktionsformen wie die direkte Instruktion oder das selbststrukturierende, entdeckende Lernen. Auch ein situationsangemessener Medieneinsatz gehört dazu. Mit Blick auf den Mathematikunterricht sei hierzu insbesondere auf Publikationen von Bärbel Barzel und Kollegen verwiesen (u. a. Barzel et al. 2007). Die Daten des Stundenprotokolls erlauben nun Aussagen über die Häufigkeit der in jeder Lerngruppe zum Einsatz gekommenen Methoden und Sozialformen. Zwar darf man Helmke (2009) zufolge keine Metrik zur Bestimmung eines Optimums an instruktionaler Variation erwarten, denn guter Unterricht lässt sich nicht allein anhand des Methodeneinsatzes bemessen. Für die folgende Untersuchung haben wir allerdings versuchsweise einen Index entwickelt, der eine dichotome Klassifizierung der Projektklassen erlaubt. Die Indexformel beruht auf dem aus der Informationstechnologie für die Messung der Biodiversität adaptierten Shannon-Index (Voleske et al. 2007), den wir für unsere Zwecke modifiziert haben. Wie beim Biodiversitätsindex werden zur Erfassung von Methodenvielfalt des Unterrichts einzelne Merkmale (Methoden) nicht als besser oder schlechter

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Ergebnisse aus Stundenprotokollen im niedersächsischen Projekt CALiMERO 155

gegeneinander abgewogen. So wird etwa die Gruppenarbeit nicht anders gewichtet als z. B. ein Lehrervortrag. Außerdem führen in beiden Indizes ein sehr geringes und ein sehr häufiges Vorkommen eines Merkmals zur Abwertung. In anderen Punkten unterscheidet sich unser Index aber vom Biodiversitätsindex: Auch das Fehlen eines erwarteten Merkmals geht in die Berechnung des Index ein. Außerdem wird das Vorkommen jedes Merkmals über mehrere Messzeitpunkte aggregierend erfasst. Auch führt ein sehr häufiges Vorkommen eines Merkmals zwar zur Abwertung, aber nicht zur Nullgewichtung. Denn anders als bei einer einmaligen Messung in einem abgegrenzten Ökosystem herrscht bei 100%iger Präsenz einer Unterrichtsmethode zu allen Messzeitpunkten keine Monokultur vor, sondern andere Methoden können gleichzeitig zum Einsatz gekommen sein. Auf Basis dieser Überlegungen wurde der Shannon-Index zunächst wie folgt verändert: ! 𝐻𝐻 =

!!!

𝑚𝑚! ⋅ 𝑒𝑒 !!⋅!!

,

wobei N die Anzahl der erwarteten Methoden und mi die relative Häufigkeit jeder Methode an der Gesamtzahl aller erfassten Unterrichtsstunden angibt. Der Parameter p beeinflusst die Gewichtung der Häufigkeiten im Index, die mit größerem p geringer ist. Zur Bestimmung von p wurden mittels einer Expertenbefragung unter Befolgung der oben erwähnten theoretischen Setzungen eine Rangliste von 15 fiktiven Methodenprofilen bestimmt, die sich hinsichtlich der mi unterscheiden. Nun wurde p so angepasst, dass diese Rangliste mittels H nahezu reproduziert werden konnte. Es ergab sich schließlich als ein mögliches Rechenmodell die folgende Indexformel für die Methodenvielfalt: 𝐻𝐻 =

! !!!

𝑚𝑚! ⋅ 𝑒𝑒 !!⋅!!

Dieser Indexformel zufolge würde ein Unterricht dann die Höchstbewertung bekommen, wenn jede erwartete Methode in 50 % der protokollierten Stunden vorkommt. An dieser Stelle sei noch einmal betont, dass der Index kein Optimum an Methodenvielfalt identifizieren soll. Er dient hier lediglich als Kriterium für eine dichotome Klassifizierung der erfassten Klassen in „methodenreiche“ und „methodenarme“ Lerngruppen, wie im Folgenden dargestellt wird. Für 19 Projekt- und drei Kontrollklassen der Jahrgangsstufe 9 lagen Protokolldaten vor. Für jede dieser Klassen wurde ein Indexwert berechnet. In die Berechnung des Wertes flossen aus den Items der Gruppe 2 der Stundenprotokolle (vgl. Abb. 11.1) Häufigkeitsangaben zu den folgenden sieben methodischen Aspekten der Unterrichtsgestaltung ein: • • •

Unterrichtsgespräch Selbstständiges Arbeiten (jeder für sich) Gruppenarbeit

156 • • • •

G. Pinkernell und R. Bruder Stationenlernen Wiederholung länger zurückliegenden Stoffes Kopfübungen (ohne Rechner) Unterschiedliche Aufgaben für leistungsstarke und schwache Schüler

Alle diese Methodenelemente sind in den Projektmaterialien mit CAS für die Unterrichtsreihen der Klassen 9 und 10 vorgesehen. Sie legen also die erwarteten Methoden im Sinne des Methodendiversitätsindex fest. Die 22 Indices nahmen Werte zwischen 0,3 und 0,6 an. Weil kein Richtwert für die Attributierung „methodenarm“ bzw. „methodenreich“ vorliegen konnte, wurde zur Klassifizierung die Verteilung der Indexwerte herangezogen: Die höchsten 11 Werte waren größer oder gleich 0,5, die übrigen 8 waren kleiner oder gleich 0,4. Erstere wurden per definitionem als Hinweis auf einen relativen Methodenreichtum gewertet, letztere auf relative Methodenarmut. Nachdem außerdem 4 Klassen mit weniger als 10 protokollierten Unterrichtsstunden aus der Wertung herausgenommen wurden, umfasste die Gruppe methodenreicher Klassen zehn Lerngruppen und die Gruppe methodenarmer Klassen fünf Lerngruppen. Erstellt man nun für jede dieser beiden Gruppen sowie für die drei Kontrollklassen ein Häufigkeitsprofil über die erwarteten Methoden, dann ergibt sich das in Abb. 11.2 dargestellte Bild.

Abb. 11.2 Methodenprofile der methodenarmen und -reichen CAliMERO-Lerngruppen sowie der Kontrollklassen. Die vertikale Achse gibt die Häufigkeit der jeweiligen Methode in allen protokollierten Stunden aller Klassen an.

11

Ergebnisse aus Stundenprotokollen im niedersächsischen Projekt CALiMERO 157

Der Index weist solche Klassen als methodenreich aus, in denen in nahezu jeder Unterrichtsstunde ein Unterrichtsgespräch stattfindet. Das erscheint selbstverständlich, aber das Profil der methodenarmen Klassen zeigt, dass dies nicht immer der Fall sein muss. Außerdem wurde in den methodenreichen Klassen in etwa der Hälfte der Stunden Gelegenheit für selbständiges Arbeiten gegeben, wobei jeder für sich alleine arbeitet. In den methodenarmen Klassen liegt der entsprechende Median zwar darüber, die Streuung ist dabei weitaus größer. Deutlich häufiger als bei den methodenarmen Klassen findet hier auch Gruppenarbeit statt oder werden Kopfübungen durchgeführt; letztere etwa mit der im CAliMERO-Unterrichtskonzept empfohlenen Häufigkeit. Man findet in den methodenreichen Klassen in durchschnittlich etwa jeder zehnten Stunde eine Stationenarbeit. Bei den methodenarmen Klassen wurde diese Unterrichtsform (bis auf einen Ausreißer) gar nicht registriert. Und auch der Wiederholung länger zurückliegenden Stoffes wurde in allen methodenreichen Klassen in etwa 20 % der Stunden entsprechender Raum geboten. In methodenarmen Klassen liegt die Frequenz solcher Lernangebote im Schnitt etwas tiefer und variiert deutlicher. Im Übrigen fällt auf, dass das Methodenprofil der methodenreichen Projektklassen näher an dem Profil der erfassten Kontrollklassen liegt als an dem der methodenarmen. Es sieht also so aus, dass der Index in der Tat zu einer Differenzierung der Projektklassen hinsichtlich einer Vielfalt der in CAliMERO erwarteten Unterrichtsmethoden verhilft.

11.5

Zusammenhang zwischen Methodenvielfalt und Leistung

Es soll nun untersucht werden, inwieweit die Klassifizierung hinsichtlich Methodenreichtum bzw. -armut mit den Leistungen im Mathematiktest und dem rechnerfreien Grundwissentest zusammenhängen. Wir beschränken uns dabei aus Platzgründen auf die Darstellung nur der Daten des Grundwissenstests und machen jeweils auch Aussagen zu den Ergebnissen des Mathematikleistungstests. Die Graphik zeigt ein deutlich höheres Leistungsniveau der methodenreichen Lerngruppen gegenüber den methodenarmen. Sie befinden sich nun auf einem gleichen Niveau wie die in Abschn. 11.2 als konstant leistungsstärker identifizierten Kontrollgruppen. Eine ANOVA mit Messwiederholung bestätigt den Unterschied in der Leistungsentwicklung als signifikant1. Gleiches gilt auch für den Zusammenhang zwischen der Methodenvielfalt und der Leistung im Mathematiktest. Es scheint also einen Zusammenhang zwischen der methodischen Gestaltung des Unterrichts und der Mathematikleistung zu geben.

1

Die Daten der Kontrollklassen flossen in diese Berechnung nicht ein.

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G. Pinkernell und R. Bruder

11.6 Zusammenhang zwischen Rechnereinsatz bzw. Kopfübungen und Leistung Ebenfalls in den Stundenprotokollen erfasst war, ob in der protokollierten Stunde der CASRechner eingesetzt wurde oder nicht. Auf der Grundlage dieser Angaben wurde eine Klassifizierung der Projektgruppen vorgenommen in solche, die den Rechner vergleichsweise häufig eingesetzt hatten, und solche, bei denen der Rechner weniger häufig zum Einsatz kam. Zur Klassifizierung wurden nur die Lerngruppen berücksichtigt, in denen die Protokollierung in Unterrichtseinheiten mit hohem Einsatzpotential für den CAS-Rechner erfolgte. Dies waren im Wesentlichen Einheiten zu funktionalen Zusammenhängen. Die Häufigkeit des Rechnereinsatzes war in allen Lerngruppen hoch. Die Klassifizierung erfolgt so, dass in jeder Gruppe etwa dieselbe Zahl an Lerngruppen enthalten war. Hieraus resultiert eine Gruppe mit N = 78 Schülerinnen und Schülern, in deren Unterricht der CASRechner „immer“ eingesetzt wurde, d. h. in mehr als 90 % der protokollierten Stunden. Die andere Gruppe umfasst N = 45 Schülerinnen und Schüler. Abb. 11.4 zeigt von Anfang der neunten Klasse an einen deutlichen Leistungsunterschied zwischen beiden Gruppen. Die Leistungsdifferenz verringert sich im Laufe der beiden Schuljahre ein wenig. Eine ANOVA mit Messwiederholung bestätigt eine signifikant bessere Leistungsentwicklung der Schülerinnen und Schüler, bei denen der CASRechner nahezu immer zum Einsatz kam. Auch hier scheint ein Zusammenhang zwischen der Einsatzhäufigkeit des Rechners und der Mathematikleistung zu bestehen, wobei die didaktische Einsatzqualität des Rechners (entsprechend dem Unterrichtskonzept) nicht genauer untersucht werden konnte. Die regelmäßigen Kopfübungen sind eines der methodischen Elemente des Unterrichtskonzepts, das den didaktisch-methodischen Rahmen für die Ausarbeitung der Unterrichtsmaterialien für die Projektgruppen gegeben hatte. Empfohlen wurde, etwa jede zweite Woche Kopfübungen durchzuführen. Wie häufig die Kopfübungen in einer Lerngruppe tatsächlich durchgeführt wurden, ließ sich für den Zeitraum des protokollierten Unterrichts anhand der Stundenprotokolle feststellen. Die erfassten Projektgruppen wurden dahingehend klassifiziert, ob sie die empfohlene Frequenz von etwa 20 % der Unterrichtsstunden (bei drei Wochenstunden Mathematik in der Klasse 9) einhielten oder nicht. Für N = 68 Schülerinnen und Schüler war das der Fall, für N = 81 nicht. Abb. 11.5 zeigt bei etwa gleichem Start zu Beginn der Klasse 9 einen höheren Leistungszuwachs bei den Schülerinnen und Schülern, in deren Klassen Kopfübungen in empfohlener Häufigkeit protokolliert wurden. Der Unterschied zwischen den Leistungen beider Gruppen wird im Laufe der Klasse 10 größer. Auch hier bestätigt eine ANOVA mit Messwiederholung die signifikant bessere Leistungsentwicklung. Anders als bei den anderen beiden Untersuchungen zur methodischen Gestaltung zuvor beginnen die beiden Gruppen auf etwa gleichem Leistungsniveau in Klasse 9. Es scheint, dass sich in diesem Fall der Effekt besserer Leistungen im rechnerfreien Grundtest erst bei Durchführung der regelmäßigen Kopfübungen einstellt. Bestätigt wird diese Einschätzung auch dadurch,

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Ergebnisse aus Stundenprotokollen im niedersächsischen Projekt CALiMERO 159

Abb. 11.3 Leistungsentwicklung in der 9. Klasse (links) und der 10. Klasse (rechts) nach methodenreichen und -armen Projektklassen sowie Kontrollklassen differenziert. Die vertikale Achse gibt den Durchschnitt der Erfüllungsraten in den rechnerfreien Vor- und Nachtests des jeweiligen Schuljahres an.

Abb. 11.4 Leistungsentwicklung in der 9. Klasse (links) und der 10. Klasse (rechts) nach Häufigkeit des Rechner-einsatzes differenziert. Die vertikale Achse gibt den Durchschnitt der Erfüllungsraten in den rechnerfreien Vorund Nachtests des jeweiligen Schuljahres an.

dass ein solcher wachsender Leistungsunterschied beim Mathematikleistungstest, bei dem technische Hilfsmittel erlaubt sind, nicht beobachtbar ist. Der Einsatz regelmäßiger Kopf Kopfübungen scheint also gezielt das (hilfsmittelfreie) Grundwissen zu unterstützen.

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G. Pinkernell und R. Bruder

Abb. 11.5 Leistungsentwicklung in der 9. Klasse (links) und der 10. Klasse (rechts) nach Häufigkeit der Kopfübungen in den Projektklassen und Kontrollklassen. Die vertikale Achse gibt die Durchschnitte der Erfüllungsraten in den rechnerfreien Vor- und Nachtests des jeweiligen Schuljahres an.

11.7

Ergebnisse der Stundenprotokolle: Zusammenfassung und Fazit

Dass die verbesserten Leistungen im rechnerfreien Grundwissentest durch einen regelmäßigen Einsatz von Kopfübungen erklärt werden kann, ist naheliegend. Dem Befund steht also ein unmittelbar einsichtiges Erklärungsmodell zur Seite. Zumindest für das methodische Element der Kopfübungen zeigt sich die Wirksamkeit des Unterrichtskonzepts. Dies ist in den anderen beiden Fällen anders. Die nach Methodenvielfalt und CAS-Rechnereinsatz klassifizierten Gruppen wiesen anders als bei denen nach Kopfübungeneinsatz von Anfang an deutliche Leistungsunterschiede auf. Man muss also davon ausgehen, dass beide Klassifikationskriterien auf eine versteckte Variable hindeuten, die man als „generelle Leistungsfähigkeit“ einer Klasse bezeichnen könnte. Es erscheint naheliegend, sowohl die Frequenz des Rechnereinsatzes als auch die erfasste Methodenvielfalt durch die Leistungsfähigkeit der Klasse beeinflusst zu sehen. Es ist nicht ungewöhnlich, dass Lehrkräfte von offenen Unterrichtsformen deshalb Abstand nehmen, weil sie es angesichts mangelnder Leistungsfähigkeit oder gar Leistungswillen ihrer Klasse ihren Schülerinnen und Schülern nicht zutrauen, diese auch effektiv und gewinnbringend zu nutzen (vgl. auch Arbaugh, Lannin, Jones, Park-Rogers 2006). Standardisierte Stundenprotokolle können als valides Instrument für die Unterrichtsbeobachtung betrachtet werden, solange sie sich auf bekannte und gewohnte Elemente der

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Ergebnisse aus Stundenprotokollen im niedersächsischen Projekt CALiMERO 161

methodischen Unterrichtsgestaltung beschränken. Als solche liefern sie eine gute Datengrundlage für ein wichtiges Merkmal guten Unterrichts: eine ziel- und inhaltskonforme Methodenvielfalt. Hierzu wurde ein Methodendiversitätsindex entwickelt, der auf Basis der Daten eine Unterscheidung der untersuchten Klassen in „methodenarme“ und „-reiche“ erlaubt. In der Tat wurden bei einer entsprechend differenzierten Betrachtung der Leistungsentwicklung deutliche Unterschiede zwischen beiden Gruppen erkennbar. So konnten positive Effekte des CAliMERO-Konzepts von seiner methodischen Vielfalt her auf die Leistungsentwicklung der Projektklassen sichtbar gemacht werden.

Literatur Arbaugh, F., Lannin, J., Jones, D. L., & Park-Rogers, M. (2006). Examining instructional practices in Core-plus lessons: Implications for professional development. Journal of Mathematics Teacher Education, 9(6), 517–550. Barzel, B. (2012). Computeralgebra im Mathematikunterricht. Münster: Waxmann Verlag. Barzel, B., Büchter, A. & Leuders, T. (2007). Mathematik Methodik. Handbuch für die Sekundarstufe I und II. Berlin: Cornelsen Scriptor. Bruder, R. (2002). Lernen, geeignete Fragen zu stellen. Heuristik im Mathematikunterricht. mathematik lehren, (115), 4–8. Bruder, R. (2010). Mindmaps & Co. Planungshilfen für viele Gelegenheiten. mathematik lehren, (158), 57–59. Bruder, R. & Weiskirch, W. (Hrsg.) (2007ff): CAliMERO – Computer-Algebra im Mathematikunterricht. 9 Bände: T³ Deutschland. Bruder, R., & Pinkernell, G. (2011). Förderung rechnerfreier mathematischer Grundfertigkeiten im Projekt CAliMERO. In T. Krohn, E. Malitte, G. Richter, K. Richter, S. Schöneburg, & R. Sommer (Hrsg.), Mathematik für alle – Wege zum Öffnen von Mathematik; Festschrift für Wilfried Herget. Hildesheim: Franzbecker. Gärtner, H. (2010). Wie Schülerinnen und Schüler ihre Lernumwelt wahrnehmen: Ein Vergleich verschiedener Maße zur Übereinstimmung von Schülerwahrnehmungen. Zeitschrift für Pädagogische Psychologie, 24(2), 111–122. Helmke, A. (2009). Unterrichtsqualität und Lehrerprofessionalität. Seelze: Kallmeyer. Ingelmann, M. (2009). Evaluation eines Unterrichtskonzepts für einen CAS-gestützten Mathematikunterricht in der Sekundarstufe I. Logos: Berlin. Klieme, E., Lipowsky, F., Rakoczy, K. & Ratzka, N. (2006). Qualitätsdimensionen und Wirksamkeit von Mathematikunterricht: Theoretische Grundlagen und ausgewählte Ergebnisse des Projekts „Pythagoras“. In M. Prenzel & L. Allolio-Näcke (Eds.), Untersuchungen zur Bildungsqualität von Schule. Abschlussbericht des DFGSchwerpunktprogramms (S. 127–146). Münster: Waxmann.

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G. Pinkernell und R. Bruder

Lotz, M., Gabriel, K., & Lipowsky, F. (2013). Niedrig und hoch inferente Verfahren der Unterrichtsbeobachtung. Analysen zu deren gegenseitiger Validierung. Zeitschrift für Pädagogik, 59(3), 357–380. Meyer, H. (2004). Was ist guter Unterricht? Berlin: Cornelsen Scriptor. Pinkernell, G. (Hrsg.) (2009). MU mit einem Computer-Algebra-System. Der Mathematikunterricht, (4). [Themenheft] Stacey, K. (2003). Using Computer Algebra Systems in Secondary School Mathematics: Issues of Curriculum, Assessment and Teaching. In W.-C. Yang, S.-C. Chu, T. de Alwis, & M.-G. Lee (Hrsg.), Proceedings of the 8th ATCM (S. 40–45). ACTM. Voleske, P., Schachtel, G., & Köhler, W. (2007). Biostatistik. Berlin: Springer. Wagner, W. (2008). Methodenprobleme bei der Analyse der Unterrichtswahrnehmung aus Schülersicht – am Beispiel der Studie DESI (Deutsch Englisch Schülerleistungen International) der Kultusministerkonferenz. Universität Koblenz-Landau, Koblenz, Landau. Waldis, M., Grob, U., Pauli, C., & Reusser, K. (2010). Der schweizerische Mathematikunterricht aus Sicht von Schülerinnen und Schülern und in der Perspektive hochinferenter Beobachterurteile. In K. Reusser, C. Pauli & M. Waldis (Hrsg.) Unterrichtsgestaltung und Unterrichtsqualität: Ergebnisse einer internationalen und schweizerischen Videostudie zum Mathematikunterricht (S. 171–208). Münster: Waxmann. Weinert, E. F. (1997). Notwendige Methodenvielfalt: Unterschiedliche Lernfähigkeit der Schüler erfordern variable Unterrichtsmethoden. Friedrich-Jahresheft 15, 50–52. Wenger, M., Lüdtke, O., & Brunner, M. (2018). Übereinstimmung, Variabilität und Reliabilität von Schülerurteilen zur Unterrichtsqualität auf Schulebene: Ergebnisse aus 81 Ländern. Zeitschrift für Erziehungswissenschaft, 21(5), 929–950. Wiechmann, J. (2002). Methodenvielfalt für die Schulpraxis. Pädagogische Rundschau, 56(4), 393–409.

Head in the clouds, feet on the ground – A realistic view on using digital tools in mathematics education

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Paul Drijvers

Abstract

Throughout the last three decades, mathematics educators have expressed high expectations of the benefits of using digital technology in mathematics education. In retrospect, however, we admit that this integration has not always been as successful and as smooth as we hoped for. What were the main phases in this period of drastic changes with respect to tool development and availability, theoretical foci and frameworks, and classroom implementation? To answer this question, I will attempt to summarize relevant publications in the field over the past decades, with a bias towards publications by the main person in this book. I will try to identify main trends, and to synthesize what we have learnt so far, both from an academic “head-in-the-clouds” perspective and from a “feet-on-the-ground” classroom teaching perspective. As an overall conclusion, the claim is that a successful integration of digital tools in mathematics education is a still promising, but subtle matter. Tool use in mathematics education is still waiting for its full exploitation, which will require close collaboration between teachers and researchers.

Paul Drijvers * Utrecht University Utrecht, the Netherlands E-Mail: [email protected]

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2019 A. Büchter et al. (Hrsg.), Vielfältige Zugänge zum Mathematikunterricht, https://doi.org/10.1007/978-3-658-24292-3_12

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12.1

P. Drijvers

The first adopters’ optimism

The first time I met Bärbel Barzel was at the International School on the Didactics of Computer Algebra in the spring of 1992 in Krems, Austria. For both of us, it was the first international conference we attended. It was a small conference, just over twenty participants, many of whom were mathematics teachers, and all of whom were fascinated by the opportunities a recently developed computer algebra system (CAS), called Derive, could offer to (upper secondary) math education. This was a tool that really could do mathematics! This small “Derive community” consisted of enthusiastic first adopters, very skilled in using the software, creative in designing educational applications, and optimistic about the mathematical horizons that could be opened up to students. Now that calculational and algebraic drudgery could be outsourced to the software, exploration, construction and conceptual understanding would be at the heart of our mathematics teaching. Many of the contributions to this conference had a spirit of “Look how I can teach this-and-this subject to my mathematics students”. As an example, Barzel (1992) described the exploration of Taylor series with Derive. Fig. 12.1 impressively shows how the increasing grade of the Taylor approximation leads to the graph better following the “swings” of the sine curve. In a similar approach, we published a booklet on linear algebra with Derive (Barzel & Drijvers, 1993). Indeed, there was inspiration in the air!

Fig. 12.1 Graphing Taylor approximations of the sine (Barzel, 1992)

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Head in the clouds, feet on the ground

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Because of the practice-oriented background of many of the participants, most contributions to this conference were rooted in teaching practice and, in this sense, the participants had their “feet on the ground”. In a way, however, we also had “our heads in the clouds”, as we were not aware of our own expertise or of the gap between our ways of thinking on the one hand, and what was happening and would be feasible in the nearby future in most regular classrooms on the other. Also, from an academic perspective, we should acknowledge that most contributions, as they appeared in the conference proceedings, would nowadays not be accepted in scientific journals for research in mathematics education. From an academic perspective, we were just beginners. In short, we were fascinated, optimistic, but maybe also somewhat naive.

12.2

Handheld graphing and computer algebra tools

A new, important player entered the scene of ICT-rich mathematics education in the early 90s: the graphing calculator (GC). In its original form, i.e., without CAS features, it soon became quite popular and widespread, in particular in the USA. In retrospective, Trouche and Drijvers (2010) provided four main reasons to explain this popularity: • • • •

Thanks to the GC’s handheld format, the implementation of technology in mathematics teaching was no longer inhibited by infrastructural conditions, such as the availability of a computer lab; The initiative to use the technology was handed over to the students, who could decide themselves on when and how to use it, which made lesson preparation less laborious for teachers; Integrating technology into assessment, an important concern if assessment is to reflect teaching, became feasible; Student appreciation for the GC, because of its user friendliness, permanent availability, personal ownership, and familiarity, which led students to feel confident using it.

However, l’histoire se répète: in spite of the optimism, the didactical potential that graphing calculators offer was only exploited to a limited extent in teaching practice. In the Netherlands, rather than using the GC for exploring graphs and setting up conjectures that lead to proof and conceptual understanding, the most common use of the device seemed to involve outsourcing procedural tasks such as finding intersection points to solve equations or finding normal probabilities through the GC rather than through a probability table. Fig. 12.2 presents a simple taxonomy for the didactical functionalities of digital technology (Drijvers, 2018b), and in terms of this model, the graphing calculator was mainly used to outsource work while doing mathematics (the upper branch). Only to a lesser extent was it used to explore, discover, and develop concepts, as would have been more in line with the first adopters’ views.

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P. Drijvers

Even though there were people who engaged in both communities (like Bärbel Barzel and myself), the CAS/Derive community and the GC-community were different. Both communities shared the optimistic views expressed above, but the GC-community, centred around Texas Instruments and its professional development initiative Teachers Teaching with Technology1, was bigger and more close-to-practice. Remember that CAS originally was developed for purely mathematical purposes, whereas the design of the GC had educational intentions from the start. Even if the GC was not as rich as CAS software from a mathematical point of view, its practical assets led to a much broader movement in the educational field than computer algebra did. OK, so why not integrate the full capacity of computer algebra in the format of a handheld calculator? I remember suggesting this as a next step to David Stoutemeyer, one of the designers of Derive, on the occasion of a conference in Honolulu in 1995. I was not aware that this was already being developed in a secret collaboration between the Soft Warehouse and Texas Instruments: symbolic CAS calculators, such as the TI-92 and the TI-89, soon saw the light. In terms of sales, however, the CAS calculators were not as big a success as the non-CAS devices, maybe with France and Germany as exceptions. Explanations for this may be the increasing complexity, and the assessment legislations in many countries, that restricted CAS use during national examinations (Drijvers, 2009). In short, the GC had a big impact on teaching practices in classrooms in terms of democratizing and “vulgarizing” access to digital tools for mathematics education in a down-to-earth way: digital technology became widespread, normal, and was accessible to every student. Students were in the lead in deciding how and when to use it. In terms of “head-in-the-clouds” new ways of teaching and learning, the effects, at least in the Netherlands, seemed to be limited.

Fig. 12.2 Three didactical functionalities of digital technology in mathematics education (Drijvers, Boon, & Van Reeuwijk, 2011; Drijvers, 2018b)

1

See, for example, https://www.t3deutschland.de/de/t3-europe/about/team.

12

Head in the clouds, feet on the ground

12.3

167

In search for theoretical lenses

Gradually, it became evident that the optimism of the first adopters was not enough to ensure a fruitful integration of digital technology in regular mathematics teaching. To do justice to the apparent complexity of this integration and to the diversity of available tools (which included graphing calculators and CAS, but also dynamic geometry systems, spreadsheets, statistical software, and applets), we needed a vision on its opportunities and constraints, as well as theoretical lenses to underpin these views, and research to explore, confirm and validate these lenses. As for the vision, Noss and Hoyles (1996) elaborated the seminal work by Papert and others into a strong argument in favour of a constructionist approach to the use of digital tools in mathematics education, which “allows learners to take some ownership of the construction process which, potentially at least, leads to their engagement, confidence and empowerment” (Hoyles, 2018, p. 210). With respect to theoretical approaches, instrumentation theories in my opinion best capture complexity and subtlety of tool use in general, and for us, of mathematics education in particular. Since Vygotsky (1978) and Rabardel (1995), we know that tools stand between people and activities. They mediate, in our case, between the student and the mathematical task. They form a kind of extended cognition and enlarge the student’s scope: like the use of a hammer extends my bodily power to hit a nail, a CAS calculator extends my power to, say, factorize polynomials. Using a mathematical tool, however, involves not only technical skills but also conceptual understanding. Learning mathematics using digital technology, therefore, comes down to the co-emergence of techniques and schemes, in which mathematical understanding and technical skills come together. This is the core of instrumentation theories: learning to use a mathematical tool and developing mathematical insight go hand in hand (Artigue, 2002). The appropriation of a mathematical tool for a specific purpose requires the co-emergence of technical and conceptual knowledge, the subtle development of which is at the heart of instrumental genesis. These and other theoretical approaches increasingly received attention in the research community and are reflected in overview publications (e.g., see Ball et al., 2018; Barzel, Drijvers, Maschietto, & Trouche, 2006; Drijvers et al., 2016; Monaghan, Trouche, & Borwein, 2016; Trgalová, Clark-Wilson, & Weigand, 2018). The theory and research perspectives inevitably have a somewhat more academic “head-in-the-clouds” character, and I guess many teachers would not recognize their practices if they were to attend the scientific conference where these frameworks are presented and discussed. The gap between theory and practice is not an easy one to bridge. Still, these theoretical and scientific lenses were, and still are, needed to move beyond naive idealism with respect to tool use in mathematics education, and to find solid fundamentals for, and evidence of, fruitful uses in teaching practice. In the meantime, it is possible, and it is in my opinion part of the responsibilities of a researcher in our field, to transform these theoretical ideas into more concrete and accessible resources for mathematics teachers. As an example of an attempt to do so, Drijvers

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P. Drijvers

and Barzel (2011) published a paper in Mathematik Lehren, a journal for German mathematics teachers, in which different ways to solve equations using different digital tools are presented. The article’s main message is that each digital tool comes with its own opportunities and constraints, that affect students’ concept image and skill mastery and invite specific conceptual development. Fig. 12.3 shows an example on solving a parametric equation using a CAS, in this case TI Nspire. To understand what happens, it should make sense to the student that the solutions are no longer numeric, but algebraic expressions. Also, the second equation shows that the result is quite different if one changes the unknown from x into b: ‘solving with respect to x’ comes down to ‘expressing x in terms of b’ or ‘isolating x’. This means that the students’ concept image (Tall & Vinner, 1981) of solving equations needs to be extended: solving also can mean expressing one variable in term of others, and solutions in this case are no longer numbers, but algebraic expressions (Arcavi, Drijvers, & Stacey, 2017). In this paper, we tried to address the subtle co-emergence of techniques and schemes for this case, without explicitly mentioning the underlying instrumentation theory. This approach, I believe, is how we should try to connect the “heads in the clouds” to the “feet on the ground”.

Fig. 12.3 Solving equations with computer algebra (from Drijvers & Barzel, 2011)

12.4

How about teachers?

As indicated in the previous section, the increased attention to theory and research in the field of using digital technology in mathematics education has a danger to it, namely that the gap between theory and practice, between researchers and teachers, is getting bigger and that teachers are neglected in their need for support. However, it soon became evident that teachers are the key stakeholders in the success of implementing digital tools. In the first three explanations for the popularity of graphing calculators mentioned in Section 12.2, for example, teachers play a central role. Also, teachers are faced with different questions when integrating digital technology, such as: do the curriculum goals remain unchanged? What to do with paper-and-pen work? How to address it in assessment? Which activity

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Head in the clouds, feet on the ground

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formats to use in a computer lab? They need answers to these questions and need to develop their didactical approaches to using digital technology in their teaching. How can research support teachers, not just the first adopters but also their mid-adopting colleagues? To address the latter question, two theoretical models were developed. The first one is the framework consisting of technology, pedagogy and content knowledge, abbreviated as TPACK (Mishra & Koehler, 2006). It acknowledges teachers needing specific knowledge and skills to find ways to successfully integrate digital resources in their teaching and provides a kind of Venn diagram that depicts the intersections of the different TPACK components. The model turned out to be helpful in identifying teachers’ strong and weak points, for example in locating professional development needs. A second model, in line with the instrumental approaches mentioned in the previous section, is that of instrumental orchestration (Trouche, 2004). An instrumental orchestration is the teacher’s intentional and systematic organization and use of the various artefacts available in a – in this case computerized – learning environment in a given mathematical task situation, in order to guide students’ instrumental genesis. According to this model, an instrumental orchestration consists of three elements: a didactic configuration of the teaching setting, its exploitation mode, and the teacher’s ad hoc didactical performance (Drijvers et al., 2010). The results of research using these models show that teachers can indeed benefit from the TPACK model to monitor their professional development (Drijvers et al., 2013). Also, a start has been made on setting up an inventory of different orchestration types teachers use while integrating different digital tools in their teaching, and to relate these choices to their didactical intentions and views. Fig. 12.4 shows a diagram of such a categorization. It is self-evident that such an inventory is never complete, and very context-specific; still, it offered some concrete working formats to teachers and proved to be helpful in teacher professional development courses. For researchers, setting up such diagrams may be a way to put the feet back on the ground.

Fig. 12.4 Towards a taxonomy of instrumental orchestrations (from Drijvers et al., 2013)

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P. Drijvers

In short, the importance of the roles of teachers has been acknowledged: their TPACK skills, their orchestration modes, and, in addition to that, their beliefs and their attitudes towards using digital technology in their teaching. Despite these important theoretical developments, implementation still is a challenge.

12.5

Implementation is hard

In spite of possible helpful results from research, such as the orchestration typology in the previous section, the large-scale implementation of new digital tools in regular mathematics teaching is far from straightforward. One reason for this is the crucial role of the teacher, which has already been addressed briefly. Teachers are considering how to best integrate digital technology in their lessons; doing so requires new teaching formats and new teaching skills. Providing teacher professional development courses, as well as attention for this issue in pre-service teacher education, might be helpful to address teachers’ needs, in addition to support in schools and collaboration within school teams or lesson study teams. To implement ICT-rich mathematics teaching, a teacher needs to decide on which resources to use. Many current text book series come with additional digital resources, such as pdf files of the books to display on interactive whiteboards, and online environments to practice skills. In addition to textbook-related online content, there are also many online resources which offer explanatory videos, such as the ones by Kahn Academy (https:// www.khanacademy.org/math), which have become popular among students. And, finally, there are complete online courses. As an example of the latter category, the Freudenthal Institute designed a course for a mathematics elective subject that schools find hard to organize themselves, due to limited student numbers (see Fig. 12.5). The challenge for teachers in implementing ICT-rich education is how to choose among the available resources and to align them, and to integrate them into a coherent course. First adopters find a way out and create their own resource system through a process called documentational genesis (Gueudet & Trouche, 2009). For mid-adopting teachers, however, who are central in large-scale implementations, this process is not straightforward and might need support. It is with respect to the support needed that teacher professional development comes into play. Professional development courses not only may provide support to teachers in addressing the challenges they are facing, it also provides means to bridge the gap between research and teaching practice. From my own experience, I can witness that taking part in teacher professional development activities is very insightful for researchers as well. Also, new formats such as Lesson Study allow for professional development approaches which capitalize on existing expertise and build on an exchange between colleagues. With her background as “Fachleiterin”, Bärbel Barzel has always been very active in the field of teacher professional development, not only in the German Centre for Mathematics

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Fig. 12.5 Screen shot from an online course in mathematics delivered by the Freudenthal Institute https://youtu.be/cEIF6Npu9w8

Teacher Education DZLM and in the German Teachers Teaching with Technology project, but also as a researcher (e.g., see Thurm, Klinger, & Barzel, 2015). This is an emerging research topic, which clearly deserves more attention in future. A final important factor in implementing ICT-rich mathematics education is formative and summative assessment. For formative assessment, online resources offer sophisticated intelligent feedback and adaptive features, that may help students to improve the mastery of skills efficiently. Fig. 12.6 shows an example of such feedback, generated by a so-called domain reasoner feedback service, that include the rules of a particular mathematical topic, as well as the ‘buggy rules’ that students might use. For example, simplifying 3(x+4) as 3x+4, or (a+b)2 into a2+b2 are examples of buggy rules that might be included in a domain reasoner for algebra. Together, the rules and buggy rules may provide very sophisticated feedback based on these interpretations (Heeren & Jeuring, 2014). Fig. 12.6 shows an implementation in the Digital Math Environment. In spite of these developments, however, many online environments are very limited with respect to intelligent interpretation of student work and the delivery of fine-grained feedback, for example on stepwise solutions. For summative assessment, things are even more complex. In many countries, this is a matter of national policies in which governmental bodies play a central role, and in which political forces are decisive. Policies on assessment differ: some countries, such as Finland, set two-stage national examinations. Students use only paper and pen in the first part and use digital technology (in some countries including internet

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P. Drijvers

access) in a second part. In other countries, such as the Netherlands, only the use of (nonCAS) graphing calculators is allowed. Whatever the national policy is, it is beyond any doubt that it heavily affects the implementation of digital technology in teaching practice. Teaching practices are very much guided by assessment strategies, particularly in the case of national and centralized final examinations.

Fig. 12.6 The Ideas domain reasoner on linear equations in the Digital Math Environment (from Drijvers, 2018a)

12.6

The future is now

So far, we have seen that while ICT for mathematics education raised enthusiasm amongst first adopters, it may lead to confusion amongst others because of the questions raised with respect to curriculum, teaching and assessment. It is generally acknowledged that the omnipresence of ICT in society and in professional life stresses the need for higherorder thinking skills, and that education should prepare for that. From this perspective, technological developments question the mathematics curricula, which should focus on, for example, problem solving and mathematical thinking in addition to basic knowledge. In the meantime, the availability of ICT has the potential of changing education to address these needs, so digital technology does not only raise questions, but at the same time offers means to find new educational solutions to tackle them. Teachers, however, may feel unprepared or ill-equipped for this. Borrowing the old sixties slogan “Today is the first day of the rest of your life”, we now wonder what sensible next steps might be taken. How can research support practice, and how can issues that emerge in practice guide research? First, I feel that some existing issues are still waiting to be addressed. As a main point, more needs to be known about

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Head in the clouds, feet on the ground

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how activities with digital tools mediate the learning in a fruitful way, so that such potential can be fully exploited. This point, already very present in the ICMI study group (Hoyles & Lagrange, 2010), remains unanswered, and, as a consequence, clear guidelines for teachers are lacking. In addition, I would like to mention two topics that are relevant for the research agenda (Drijvers, 2018b). The first one concerns assessment, both formative and summative, and, in particular, the ways in which online student work can be interpreted, commented on and eventually graded through intelligent mathematical software. The previous section contains an example of this. In addition, combinations of this type of ‘intelligence’ with learning curve analysis to provide students with an integrated view of their knowledge in a certain domain may also be powerful tools for both teachers and students, but need further investigation (Tacoma, Sosnovsky, Boon, Jeuring, & Drijvers, 2018). My second addition to the agenda concerns notions of embodiment. While using digital technology in education, there is a danger of neglecting the bodily experiences in which mathematical experiences are rooted. This also holds for traditional teaching resources such as text books and paper, but maybe technology can be used to overcome this limitation. The question is how to foster coherence between the use of digital tools, gesture, and embodiment (e.g., see Duijzer, Shayan, Bakker, van der Schaaf, & Abrahamson, 2017). As an example, in “The Digital Turn in Epistemology” project at my university, Rosa Alberto, Arthur Bakker, Peter Boon and myself work on activities on trigonometry using multi-touch technology (Alberto, Bakker, Walker-van Aalst, Boon & Drijvers, 2019). Fig. 12.7 shows an applet within the Digital Math Environment (http://www.numworx.nl/), in which a student simultaneously moves two fingers: one over the unit circle, and the other over the sine graph. The challenge is to coordinate the two movements, which will be rewarded by achieving a green frame around the graphs.

Fig. 12.7 Coordinating hand movements in a multi-touch environment for trigonometry (Alberto et al., 2019)

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P. Drijvers

To finish this contribution, in retrospect it can be concluded that the successful integration of digital tools in mathematics education is a promising, but subtle matter. Tool use in mathematics education is still waiting for its full exploitation, and the limited success so far can at least partially be caused by the boundaries between research and teaching practice. Bridging this gap requires close collaboration between teachers and researchers, with the shared aim of fostering student engagement and success in mathematics education as a starting point. As a mathematics education community, we should connect the “headin-the-clouds” visionary views with the “feet-on-the-ground” experiences and establish communities – that might for example centre around teacher professional development initiatives – in which both worlds have a voice. The work by Bärbel Barzel, in which she combines research activity with practice-oriented work such as the design of the Mathewerkstatt text book series, serves as an inspiring example here!

Literature Alberto, R., Bakker, A., Walker-van Aalst, O., Boon, P., & Drijvers, P. (2019). Embodied Instrumentation: An eye-tracking case study in trigonometry. Paper presented at the Eleventh Congress of the European Society for Research in Mathematics Education, Utrecht, the Netherlands, 6–10 February, 2019. Arcavi, A., Drijvers, P., & Stacey, K. (2017). The teaching and learning of algebra: ideas, insights and activities. London: Routledge. Artigue, M. (2002). Learning mathematics in a CAS environment: The genesis of a reflection about instrumentation and the dialectics between technical and conceptual work. International Journal of Computers for Mathematical Learning, 7, 245–274. Ball, L., Drijvers, P., Ladel, S., Siller, H.-S., Tabach, M., & Vale, C. (Eds.) (2018). Uses of technology in primary and secondary mathematics education: Tools, topics and trends. Cham: Springer. Barzel, B. (1992). Taylor Series with Derive. In J. Böhm (Ed.), Teaching Mathematics with Derive (pp. 52–58). Bromley: Chartwell-Bratt. Barzel, B. & Drijvers, P. (1993). Lineare Algebra. Matrizen mit Derive. Mathematik betrifft uns 1(5). Barzel, B., Drijvers, P., Maschietto, M., & Trouche, L. (2006). Tools and technologies in mathematical didactics. In M. Bosch (Ed.), Proceedings of the Fourth Congress of the European Society for Research in Mathematics Education (pp. 927–938). Barcelona, Spain: Universitat Ramon Llull. Drijvers, P. (2009). Tools and tests: technology in national final mathematics examinations. In C. Winslow (Ed.), Nordic Research on Mathematics Education, Proceedings from NORMA08 (pp. 225–236). Rotterdam: Sense. Drijvers, P. (2018a). Digital assessment of mathematics: opportunities, issues and criteria. Mesure et Évaluation en Éducation, 41(1), 41–66.

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Head in the clouds, feet on the ground

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P. Drijvers

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Der Rechner als Erzeuger von Phänomenen für das Entdecken und Beschreiben mathematischer Muster

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Andreas Eichler

Zusammenfassung

Der Rechner kann vieles, beispielsweise die Begriffsbildung durch verschiedene interaktiv verknüpfte Repräsentationen unterstützen, den Problemlöseprozess durch Rechenleistung begleiten oder auch als Kontrollinstanz vorheriger Arbeiten dienen. In diesem Beitrag soll eine weitere und relativ selten dargestellte Funktion des Rechners thematisiert werden. So kann der Rechner Ausgangspunkt für mathematische Erkundungen sein, wenn man (mathematische) Phänomene in hoher Stückzahl erzeugt und versucht, mathematische Muster zu beschreiben. Diese Funktion wird an verschiedenen Beispielen elementarer mathematischer Fragestellungen verdeutlicht.

Andreas Eichler * Universität Kassel Kassel, Deutschland E-Mail: [email protected]

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2019 A. Büchter et al. (Hrsg.), Vielfältige Zugänge zum Mathematikunterricht, https://doi.org/10.1007/978-3-658-24292-3_13

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A. Eichler

13.1 Einleitung Dass der Rechner das Lernen von Mathematik bereichern und verändern kann, ist kaum noch bestreitbar (Barzel 2012). Stets wird dabei als gewinnbringende Eigenschaft die Möglichkeit genannt, mathematische Objekte in verschiedenen Repräsentationen interaktiv verknüpft darzustellen (z. B. Weigand & Weth 2010). Je nach Art der Zusammenfassung kommen die Entlastung von Routinen in komplexen Rechenaufgaben oder Modellierungen hinzu (Barzel, Hußmann & Leuders 2009), eine Kontrollfunktion (Tall, Smith & Piez 2008) und die Verarbeitung großer Datenmengen oder Simulationen (Eichler & Vogel 2013). Zudem wird fast durchweg als Anforderung, bei der ein Rechner helfen kann, auch die Bearbeitung von mathematischen Problemen genannt (Barzel et al. 2009). Innerhalb dieses zuletzt genannten Aspekts gibt es einen Teilaspekt, der in der rechnerorientierten Literatur kaum erwähnt wird und in diesem Beitrag diskutiert werden soll, nämlich den Rechner als Ausgangspunkt für das Experimentieren (Philipp 2013) und das Erkennen und Beschreiben mathematischer Strukturen zu nutzen. Die Lernenden und Nutzer des Rechners können in diesem Beitrag exemplarisch Studierende des Lehramts, aber auch Schülerinnen und Schüler sein. An einigen Stellen werden Produkte der Lernenden und in diesem Fall der Studierenden zitiert, um Vorgehensweisen bei Beispielen zu illustrieren. Die Produkte der Lernenden basieren dabei auf der Dokumentation von realen oder interaktiven Tafelbildern sowie auf Aufgabenbearbeitungen mit Zettel und Stift.

13.2 Erkennen und Beschreiben von Strukturen als Betreiben von Mathematik Für Mathematik gibt es keine allgemeingültige Definition. Dennoch wird bei Definitionsversuchen von Mathematik immer wieder die Suche nach und die Beschreibung von Mustern und Strukturen genannt (z. B. Courant & Robbins 2010). Für Lernende scheint dies aber häufig verborgen zu bleiben und Mathematik sich eher durch die Anwendung vorgegebener und damit fremdbestimmter Muster und Strukturen (beispielsweise Invarianten eines variablen mathematischen Objekts) auszuzeichnen, während die Suche und Beschreibung der Muster und Strukturen anderen vorbehalten bleibt. Eine Möglichkeit, einen Schritt auf das mathematische Tun im Sinne des Entdeckens und Beschreibens von Mustern und Strukturen zu machen, kann dabei durch den Rechner unterstützt werden. So ermöglicht der Rechner dieses dadurch, dass er zu diversen Situationen eine Vielzahl von Phänomenen bzw. Beispielen erzeugen kann, in denen sich potentiell Muster zeigen. Dabei ergibt sich sowohl bei Schülerinnen und Schülern als auch bei Studierenden des Lehramts, dass alle Schritte vom Erzeugen von Beispielen über das Erkennen substantieller Muster bis hin zum Beschreiben derselben nicht selbstverständlich, sondern vielmehr Lerninhalt sind. Dabei steht hier nicht das Produkt in Form eines

13

Der Rechner als Erzeuger von Phänomenen mathematischer Muster

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spezifischen mathematischen Satzes im Vordergrund, sondern der Prozess, der zu solch einem Satz führt. Dieser Prozess vom Erzeugen bis zum Beschreiben von Mustern mit Hilfe des Rechners wird im Folgenden an verschiedenen Beispielen illustriert.

13.2.1 Das Muster Mittenviereck Als Problem wird in einer Dynamischen Geometriesoftware (DGS) das Mittenviereck gegeben (Abb. 13.1).

Abb. 13.1 Problem Mittenviereck

Lerninhalt ist bei dieser Aufgabe nicht das Produkt, d. h. ein Faktenwissen, dass das Mittenviereck ein Parallelogramm ist, sondern hauptsächlich der Prozess. Dazu gehören zunächst die Ausgestaltung des Wortes „Untersuchen“. Zu dieser Ausgestaltung gehört • •

die Variation eingehender Größen, die hier in der Veränderung der Punkte besteht und die Beschreibung von Mustern, also von Eigenschaften der Figur, die bei der Variation eingehender Größen entweder invariant bleiben oder in einem bestimmten Muster variabel sind.

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A. Eichler

Am Beispiel des Mittenvierecks soll anhand von Studierendenäußerungen ein Ablauf der Mustersuche deutlich gemacht werden. Nach einer häufig notwendigen Aufforderung zur Variation der eingehenden Größen in solch einer vorgefertigten Geometrieumgebung (hier etwa: „Ziehen Sie an den Punkten A, B, C oder D“) sind verschiedene Äußerungen zu Invarianten möglich. Dazu gehören zunächst der Verweis auf Variablen wie die Lage von Punkten oder die Größe des Flächeninhalts, die in sich aber kein beschreibbares Muster aufweisen. Ein Bezug zu Invarianten besteht etwa in der Beobachtung, dass das „Mittenviereck ein Viereck bleibt“, was nicht falsch, aber auch nicht überraschend ist. Weiterhin werden Invarianten genannt wie „Zwei gegenüberliegende Winkel/Seiten sind gleich groß“, die zwar etwas Entscheidendes aufgreifen, aber nur einen Teil des möglichen Musters beschreiben. Und schließlich gibt es auch unterschiedliche Formulierungen zum Muster wie „Parallelogramm“ oder „die gegenüberliegenden Seiten sind jeweils gleich lang“. Es ist also (erwartungsgemäß) eine Verarbeitung sehr unterschiedlicher Vermutungen zu einem Muster notwendig. Dazu gehört die Trennung von Invarianten und variablen Phänomenen oder die Erweiterung von Teilaspekten eines Musters. Schließlich gehört auch das Identifizieren von äquivalenten Beschreibungen des Musters des Mittenvierecks als Parallelogramm zu der Verarbeitung der Phänomene in Richtung eines Musters dazu – hier der Satz zum Mittenviereck. In manchen Kursen mit Lehramtsstudierenden gab es ein weiteres Ziel zu dieser Aufgabe, nämlich die Formulierung der Musterfindung in Richtung eines mathematischen Satzes zu präzisieren. Dazu gehört zunächst die Trennung in Voraussetzung und Folgerung, die den Lernenden nicht zwingend klar ist. Gegeben wurde das Viereck ABCD und das in dieses hineinkonstruierte Mittenviereck. An dieser Stelle zeigt sich in der Regel, dass ohne eine vorbereitende Definition des Mittenvierecks und eine Bezeichnung der Punkte des Vierecks die Formulierung allein der Voraussetzungen ausufert oder unklar bleibt. Wird dann das Mittenviereck mit den Punkten Ma, Mb, Mc und Md definiert, wobei a, b, c und d die Seiten des Ausgangsvierecks ABCD sind, so ist die Formulierung des Satzes in Form eines Wenn-Dann-Satzes möglich: „Wenn MaMbMcMd das Mittenviereck zum Viereck ABCD ist, dann ist MaMbMcMd ein Parallelogramm.“ Schließlich kann noch ergänzt werden, welcher Typ von Aussage (Allaussage) für welche Grundmenge vorliegt: „Für alle Vierecke ABCD gilt …“. Die sich in der Regel anschließende Begründung für die Wahrheit des Satzes wird hier wie auch bei den folgenden Beispielen nur angedeutet (Beweis mit Hilfe der Strahlensätze, vgl. z. B. Krauter & Bescherer 2013), da der Schwerpunkt auf der Sammlung von Phänomenen, um Muster zu beschreiben, liegt. Ausgangspunkt der mathematischen Tätigkeit des Suchens und Beschreibens von Mustern ist dabei der Rechner, der über die Erzeugung vieler Beispiele erst sichtbar macht, dass in den vielen Beispielen ein Muster im Sinne einer Invariante steckt. In dieser Möglichkeit steckt ein Mehrwert des Rechnergebrauchs, der nicht oder höchstens sehr mühsam mit Zettel und Stift erreicht werden kann.

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Der Rechner als Erzeuger von Phänomenen mathematischer Muster

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Verwendet man weiter die Nennung der Grundmenge für den mathematischen Satz („Für alle Vierecke ABCD gilt …“) , so ist auch unmittelbar eine Form der Variation (Schupp 2002) der Phänomene und damit des Prozesses ihrer Beschreibung möglich, in dem man anstatt Vierecken nun n-Ecke nimmt mit entsprechenden Mitten-n-Ecken. Sind die Grundfertigkeiten mit dem Rechner bzw. einem DGS vorhanden, so lässt sich die Erzeugung von Phänomenen und die Beschreibung von Mustern schnell vervielfachen, wobei dies beim Dreieck schnell zu Ergebnissen führen, beim Fünfeck aber schon unklar werden kann (Abb. 13.2).

Abb. 13.2 Mittendreieck und Mittenfünfeck

13.2.2 Muster mit und ohne Bedeutung für den Theorieaufbau Gerade in der Geometrie lassen sich mit Hilfe von DGS eine Vielzahl von Situationen erzeugen, in denen Muster entdeckt und beschrieben werden können. Dabei müssen es nicht nur solche sein, die zu einem bekannten Satz wie dem vom Mittenviereck führen, sondern zu – mathematisch gesehen – Randerscheinungen. Diese können den Vorteil haben, dass man sie nicht über eine schnelle Recherche finden kann. Ein Beispiel dafür ist die in Abb. 13.3 (oben) dargestellte Mustersuche. Die Variation eingehender Größen bezieht sich hier auf die Lage des Punktes P. Variiert man diese Lage, so stößt man auf das Phänomen, dass die Lage des Punktes M invariant bleibt. Ein Vorteil an der Aufgabe ist die Tatsache, dass man an der Invariante fast nicht vorbeikommt. Nachteil mag sein, dass die Formulierung in einem Satz, falls man diese anstrebt, sperrig ist, weil als Voraussetzung eine mehrschrittige Konstruktion steht (Für alle Punkte P der Ebene gilt: Wenn ABC die Ecken eines Dreiecks sind und M der Mittelpunkt der Strecke PS ist, wobei , dann gilt S ist fix). Beweisen lässt sich das mit dem Wissen um die Verknüpfung von Punktspiegelungen als Verkettung

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Abb. 13.3 Beschreibung von Mustern mit und ohne Bedeutung für die mathematische Theorie

A. Eichler

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zweier Geradenspiegelungen an orthogonal stehenden Geraden und der schrittweisen Reduktion von Geraden, woraus sich M als Zentrum einer einfachen Punktspiegelung ergibt. Bei dieser Aufgabe handelt es sich um ein mathematisches Problem, dessen Ergebnis für den Aufbau der Mathematik unbedeutend ist. Hier steht also das Problemlösen selbst und nicht der Inhalt im Vordergrund. Das gerade angesprochene Wissen lässt sich ebenfalls entdecken, d. h. die Suche und Beschreibung von Mustern lässt sich an Phänomenen entwickeln, die für einen lokalen Theorieaufbau bedeutsam sind. Entwickelt man beispielsweise aus den Verkettungen von Geradenspiegelungen Stück für Stück die Definition von Kongruenzabbildungen, zeigt sich, dass man alle Verkettungen auf die einfachen Geradenspiegelungen, Verschiebungen, Drehungen und Schubspiegelungen zurückführen kann. Wichtig in diesem Aufbau ist beispielsweise die mögliche Ersetzung der doppelten Geradenspiegelung an zwei parallelen Geraden, die unabhängig von der Lage der Geraden in der Ebene (bei gleichem Abstand und Parallelität zu einer Anfangsfigur) ist. Gerade in solch einem Beispiel kann der Rechner Einsicht erzeugen, indem die parallelen Geraden systematisch in ihrer Lage (parallel zu einer der Ausgangsgeraden) variiert werden (Abb. 13.3, unten).

13.2.3 Arithmetische Muster Die Entdeckung und Beschreibung von Mustern ist nicht auf die Geometrie beschränkt, sondern lässt sich etwa auch an arithmetischen Beispielen verdeutlichen. Dabei kann der Einsatz einer Tabellenkalkulation hilfreich sein, wenn zum Beispiel endliche Abschnitte einer Folge oder einer Reihe als Folge von Partialsummen betrachtet werden. Variiert wird dabei eine eingehende Größe in Form einer Natürlichen Zahl, beispielsweise die Anzahl der Summanden einer Partialsumme. Hier kann der Rechner zunächst allein ein Vorbild an systematischer (und strukturierter) Erzeugung von Beispielen werden. Das eine strukturierte Darstellung von Beispielen in einer Problemlösung keine per se vorhandene Strategie bei Lernenden ist, zeigt das Foto aus einer Veranstaltung zur Arithmetik (Abb. 13.4).

Abb. 13.4 Unsystematisches Ausprobieren bei der Suche nach einem Muster

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A. Eichler

Abb. 13.5 Muster in Partialsummen

Die Verwendung von Tabellenkalkulation zeigt im ersten Beispiel (Abb. 13.5, links) zwar die systematische Variation der eingehenden Natürlichen Zahl, ein Muster ist in diesem Beispiel nicht einfach zu erkennen. Hier hilft die Ergänzung mit der umgekehrten Teilfolge besser, die sich aber mit dem Rechner nicht natürlich ergibt. Bei sehr vielen Beispielen hilft dagegen die systematische Erzeugung von Phänomenen mit dem Rechner, Muster zu erkennen, wie die Beispiele in Abb. 13.5 zeigen. Im mittleren Beispiel fällt die Eigenschaft der Quadratzahlen in der Regel schnell auf und kann anschließend beschrieben werden: Für alle natürlichen Zahlen n gilt: Wenn Sn die Summe der ersten n ungeraden Zahlen ist, so gilt . Im rechten Beispiel muss man das Muster in der Beziehung zweier Spalten entdecken und kann dies durch folgenden Satz beschreiben: Für alle natürlichen Zahlen n gilt: Wenn Sn die Summe der ersten n ungeraden Zahlen ist, so gilt , wobei f n die n-te Fibonacci-Zahl ist. Wiederum kann die Wahrheit der Sätze anschließend begründet werden, wobei hier das Spektrum von generischen Beweisen mit figurierten Zahlen (Summe der ungeraden Zahlen) bis zur vollständigen Induktion (Summe der Fibonacci-Zahlen) reichen kann. Im Gegensatz zu den geometrischen Beispielen kann prinzipiell die Serie der Phänomene bei den arithmetischen Beispielen auch händisch erzeugt werden. Wenn die Muster aber auf den ersten Blick nicht sichtbar sind und evtl. Differenzenbildung o. ä. als weitere Strategie eingesetzt werden kann, ist hier der Rechner auch im Sinne der Entlastung von Routinen

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sinnvoll einsetzbar. Als Variation der Aufgabenstellung lassen sich dabei beispielsweise die Summen der zuvor gebildeten Summen verwenden, wie es etwa auch bei der Untersuchung des Pascal’schen Dreiecks in Leuders (2010) angedeutet ist.

13.2.4 Muster in Daten Ein Beispiel, in dem die Phänomene, die ein Muster aufweisen, schrittweise in einer Form erzeugt werden, die ohne den Rechner nicht möglich ist, bezieht sich auf den Bereich Daten und Zufall in der Schule. Hier kann die wesentliche Erkenntnis, dass die Streuung von relativen Häufigkeiten bei kleinen Fallzahlen hoch (Variabilität oder Chaos im Kleinen), dagegen bei hohen Fallzahlen gering ist (Muster im Großen; Eichler & Vogel 2013), mit dem Rechner unterstützt werden.

Abb. 13.6 Simulation von je 50 (links) bzw. 200 (rechts) Würfen mit einem Würfel

In der Simulation in Abb. 13.6 werden als eingehende Größe die Anzahl von Wurfwiederholungen in einer Gruppe variiert und die Würfe eines Würfels simuliert, wobei die Anzahl der Sechsen gezählt wird. Ein Datenpunkt repräsentiert dabei die Anzahl der Sechsen in einer Gruppe mit einem Umfang der variabel über einen Schieberegler eingegeben werden kann. Dabei besteht ein Phänomen in den unterschiedlichen Ergebnissen der verschiedenen Gruppen (Variabilität statistischer Daten). Ein Muster zeigt sich dann schrittweise, wenn die Gruppengröße variiert wird. Zwei Variationen sind in Abb. 13.6 zu sehen. Links werden Würfe eines Würfels bezogen auf die relative Häufigkeit für „6“ in Gruppen mit Umfang 50 simuliert und rechts in Gruppen mit Umfang 200.

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A. Eichler

Das Muster ließe sich hier zunächst qualitativ ausdrücken: Für alle Natürlichen Zahlen n gilt: Wenn n die Anzahl von Wurfwiederholungen eines Würfels ist, dann streuen die relativen Häufigkeiten um so weniger, je größer n ist. Dieser noch nicht mathematische Satz könnte später im Wurzel-1-durch-n-Gesetz quantifiziert und präzisiert werden. Auf der Rechnerebene ließe sich das Phänomen selbst variieren, indem andere eingehende Wahrscheinlichkeiten und damit andere Zufallsgeneratoren in gleicher Weise untersucht werden.

13.2.5 Muster in Funktionen Als Ergänzung sollen zwei Beispiele aus dem Bereich funktionaler Zusammenhang dienen. Diese sind im Sinne der an Schulthemen orientierten Lehramtsausbildung relevante Themen. Das erste Beispiel ist quasi ein Produkt der Rechnerverwendung, wenn nämlich der Einfluss von Parametern auf die Form von Repräsentanten einer Funktionsklasse untersucht werden soll. Als erstes einfaches Beispiel wird dann in der Regel die Klasse der quadratischen Funktionen gewählt und als Parameter werden die Koeffizienten a, b und c bei der Darstellung der Funktionsgleichung in der Normalform ( ) verwendet. Nun können die einzelnen Parameter als eingehende Größen variiert werden. Untersucht man zunächst den Einfluss der Parameter a und c, so ergibt sich in der Beziehung der Einzelphänomene miteinander die Streckung und Stauchung bzw. die Verschiebung in Richtung der y-Achse als Muster. Bei der Veränderung des Parameters b ergibt sich auch ein Muster, das in der Regel so nicht erwartet wurde und vorsichtig als Parabel-Ähnliches vermutet wird. In solch einem Fall lässt sich ein Muster mit einem DGS auch über den Spurmodus sichtbar machen, wie in Abb. 13.7 zu sehen ist. Anschließend kann dieses Muster mit den allgemeinen Koordinaten des Scheitelpunkts beschrieben werden. Für alle reellen Zahlen b gilt: Wenn die Gleichung einer quadratischen Funktion ist, so liegen ihre Scheitelpunkte auf der Parabel mit der Gleichung . Tatsächlich erzeugt hier der Rechner nur qualitativ die Phänomene. Die formale Beschreibung mit einer Gleichung ist die Leistung der Lernenden. Verwendet man anstatt der Normalform die Scheitelpunktsform der quadratischen Gleichung ( ), so ergibt sich ein anderes Muster beim Verändern von b, nämlich die Verschiebung der Parabel in x-Richtung. Mit der Scheitelpunktsform ließe sich auch in Richtung der einfachen Ableitungsregeln das Muster erkennen, dass das Verändern des absoluten Glieds im Funktionsterm keine Veränderung der Ableitungsfunktion nach sich zieht. Prinzipiell ließe sich beim zweiten Beispiel das Muster auch ohne Rechner deutlich machen. Dennoch kann die Rechnerverwendung die einfachen Ableitungsregeln auch bei der Veränderung der anderen beiden Parameter anschaulich werden lassen. In beiden Beispielen könnten variierte Aufgabenstellungen darin bestehen, andere Klassen von Funktionen zu wählen.

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Abb. 13.7 Lage der Scheitelpunkte der Parabel beim Verändern des Parameters b und Veränderung der Ableitung beim Verändern von Parametern

13.2.6 Muster in Matrizen Abschließend soll ein Beispiel aus dem Bereich der Linearen Algebra aufzeigen, dass auch über die Schulmathematik hinaus der Rechner beim Erzeugen von Phänomenen, die sich zu Mustern ausbauen lassen, helfen kann: Matrizen mit Elementen aus den reellen Zahlen lassen sich auch im Sinne linearer Abbildungen interpretieren, bei denen Eigenwerte und Eigenvektoren charakteristische Eigenschaften darstellen. Die Existenz solcher Eigenvektoren und qualitativ auch der zugehörigen Eigenwerte lassen sich anschaulich mit dem Rechner entdecken. In Abb. 13.8 beschreibt a die Abbildungsmatrix einer linearen Abbildung vom in den . Alle Vektoren mit der Länge 1 lassen sich in einem Koordinatensystem als Verbindung von Ursprung und einem Punkt auf dem Einheitskreis deuten (blau), die auf einen anderen Vektor (rot) abgebildet werden, wobei sich im allgemeinen die Richtung und auch die Länge der Vektoren ändert (Abb. 13.8, o. links). Als eingehende Größen werden hier also die abzubildenden Vektoren variiert. Dabei entdeckt man als besonderes Muster, dass für bestimmte Vektoren Bilder entstehen, die sich in der Richtung maximal im Vorzeichen und möglicherweise in der Länge vom Urbild unterscheiden (Abb. 13.8, o. rechts und unten). Die Beschreibung der Eigenvektoren, die offenbar die Eigenschaft haben (wobei λ eine reelle Zahl ist), kann sich an die Beobachtung und Beschreibung dieses Musters anschließen.

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Abb. 13.8 Visualisierung von Eigenvektoren und Eigenwerten

A. Eichler

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13.3 Diskussion Für alle der eingangs genannten Szenarien, in denen der Rechner potentiell einen Mehrwert darstellen kann, sollte für die spezifischen Lernumgebungen hinterfragt werden, ob der Mehrwert tatsächlich entsteht. Argumente für den Mehrwert des Rechners für das Entdecken und Beschreiben mathematischer Muster sollen hier abschließend diskutiert werden. Das Nachvollziehen mathematischen Tuns ist Grundbestandteil des Lernens von Mathematik. Neben dem Rechnen gehört hier auch das Definieren, Sätze formulieren und Beweisen dazu. Während das Beweisen einen Stellenwert beim Lernen von Mathematik in der Schule und Anfangsveranstaltungen der Hochschule hat (z. B. Brunner 2014), scheint das mit dem Formulieren von Definitionen und Sätzen weit weniger der Fall zu sein. Daher wird das Nachvollziehen des Entstehens eines Satzes, das hier auf dem Herausarbeiten von Mustern aus einer Sammlung von Phänomenen basiert, als Beitrag für ein Verständnis von Mathematik angesehen. Diese Einschätzung bleibt auch bei der notwendigen Einschränkung für die Schule der Fall, dass es sich bei den wie in diesem Beitrag vorgefertigten Umgebungen immer um ein Nachvollziehen und nicht eigenständiges Tun handelt. Basiert die Entdeckung eines Musters auf der Synthese vieler Phänomene, so ist die Frage, ob und wie sich diese Phänomene herstellen lassen können. Selbst wenn manche Phänomene prinzipiell auch händisch erzeugbar sind, ermöglicht der Rechner dieses sehr viel schneller mit unvergleichlich größerer Anzahl und sehr viel variabler als es jemals von Hand möglich ist. Der Rechner ermöglicht hier etwas, das sonst höchstens im Geiste möglich ist und stellt so im eigentlichen Sinne ein „cognitive tool“ dar (Pea 1987) und kann dabei für die Mehrzahl von Schülerinnen und Schüler aber auch Studierenden in der Eingangsphase eine Hilfestellung bieten. In dem Fall, das hinter den zu entdeckenden und zu beschreibenden Mustern auch noch mathematisch tragfähige Begriffe stehen, wie bei dem Wurzel-1-durch-n-Gesetz oder dem Paar Eigenvektor-Eigenwert, so ist der Rechner ein anschauliches Mittel um Begriffe in ihrer Aussage und auch ihrem Umfang deutlich zu werden. Das ist eine andere wesentliche Eigenschaft der Verwendung des Rechners (Barzel et al. 2009).

Literatur Barzel, B. (2012). Computeralgebra im Mathematikunterricht: Ein Mehrwert – aber wann? Münster: Waxmann. Barzel, B., Hußmann, S., & Leuders, T. (Hrsg.). (2009). Neue Medien im Fachunterricht. Computer, Internet & Co. im Mathematik-Unterricht (5. Aufl.). Berlin: CornelsenScriptor. Brunner, E. (2014). Mathematisches Argumentieren, Begründen und Beweisen. Berlin, Heidelberg: Springer.

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A. Eichler

Courant, R., & Robbins, H. E. (2010). Was ist Mathematik? Berlin, Heidelberg: Springer. Eichler, A., & Vogel, M. (2013). Leitidee Daten und Zufall: Von konkreten Beispielen zur Didaktik der Stochastik (2., akt. Aufl. 2013). Wiesbaden: Springer. Krauter, S., & Bescherer, C. (2013). Erlebnis Elementargeometrie: Ein Arbeitsbuch zum selbstständigen und aktiven Entdecken. Mathematik Primarstufe und Sekundarstufe I + II. (2., erw. Aufl.). Heidelberg: Spektrum Akademischer Verlag. Leuders, T. (2010). Erlebnis Arithmetik: Zum aktiven Entdecken und selbstständigen Erarbeiten. Mathematik Primarstufe und Sekundarstufe I + II. Heidelberg: Spektrum Akademischer Verlag. Pea, R. (1987). Cognitive technologies for mathematics education. In A. H. Schoenfeld (Ed.), Cognitive Science and Mathematics Education (S. 89–122). Hillsdale, NJ: Lawrence Erlbaum. Philipp, K. (2013). Experimentelles Denken: Theoretische und empirische Konkretisierung einer mathematischen Kompetenz. Wiesbaden: Springer Spektrum. Schupp, H. (2002). Thema mit Variationen oder Aufgabenvariation im Mathematikunterricht. Hildesheim: Franzbecker. Tall, D., Smith, D., & Piez, C. (2008). Technology and calculus. In G. W. Blume & M. K. Heid (Eds.), Research on technology and the teaching and learning of mathematics: v. 1. Research syntheses (S. 207–258). Charlotte, N.C, Reston, Va.: National Council of Teachers of Mathematics. Weigand, H.-G., & Weth, T. (2010). Computer im Mathematikunterricht: Neue Wege zu alten Zielen. Mathematik Primar- und Sekundarstufe. Heidelberg: Spektrum Akademischer Verlag.

Think Big! – Funktionales Denken mit Big Data

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Ulrich Kortenkamp

Zusammenfassung

„Big Data“ ist ein neuer Trend, der mit der zunehmenden Digitalisierung aller Lebensbereiche in die Lebenswelt von Schülerinnen und Schülern gerückt ist, ja geradezu gedrängt wird. Es wird immer wichtiger, auch große Datenmengen mathematisch verarbeiten zu können, so dass der Mathematikunterricht auf diese Aufgabe vorbereiten muss. Gleichzeitig bietet es sich aber durch den Einsatz digitaler Werkzeuge auch an, bei der Verarbeitung großer Datenmengen andere Themen des Mathematikunterrichts besser zu durchdringen. Naheliegend sind hierfür Inhalte, die die Leitidee Daten und Zufall mit dem Funktionalen Zusammenhang verknüpfen. In diesem Artikel möchte ich einen Bogen von der Ausgangsfrage, was überhaupt „big“ ist, über die Anwendung von Funktionen auf einzelne und auf viele Daten zum Verschlüsseln und Entschlüsseln bis hin zur Frage, wie damit grundlegende Fragestellungen aus dem Bereich der Medienkompetenz im Mathematikunterricht erreicht werden, schlagen. Dabei werden die schon fast übertrieben zu nennenden Rechenfähigkeiten der Grafik-Prozessoren, wie sie heutzutage nicht nur in Desktop-Computern, sondern auch in Smartphones und Tablets zu finden sind, mit der einfachen Scriptsprache CindyScript genutzt. Diese macht die maschinelle Rechenkraft zu einem Werkzeug in der Hand der Schülerinnen und Schüler.

Ulrich Kortenkamp * Universität Potsdam Potsdam, Deutschland E-Mail: [email protected]

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2019 A. Büchter et al. (Hrsg.), Vielfältige Zugänge zum Mathematikunterricht, https://doi.org/10.1007/978-3-658-24292-3_14

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14.1

U. Kortenkamp

Was heißt denn hier „big“?

„Big Data“, wörtlich übersetzt „große Daten“, bezeichnet ein Phänomen, welches erst in den letzten Jahren durch die zunehmende Vernetzung von verschiedensten Datenquellen entstanden ist. Es kommt hierbei nicht primär auf die (1) Größe an, sondern auch, dass die Daten (2) sehr schnell generiert werden und (3) aus verschiedensten Datenquellen kommen – im Englischen werden hierfür die drei V volume, velocity und variety angeführt. Für die Nutzung dieser Daten besteht die Herausforderung, dass sie sich durch die schnelle Änderung und ihre massive Größe, die den Speicherplatz einzelner Computer durchaus um mehrere Größenordnungen überschreiten kann, der einfachen algorithmischen Behandlung entziehen. Es müssen also Strategien zur Verarbeitung der Daten gefunden werden, die sowohl sehr schnell arbeiten als auch mit der verteilten Natur der Daten umgehen können. Nur so können in zunächst unstrukturierten Daten, bedingt durch die Sammlung aus verschiedenen und oft zunächst gar nicht miteinander in Beziehung stehenden Quellen, Muster erkannt werden, die es erlauben, Schlüsse zu ziehen. Hinter dem Begriff Big Data stehen also mehrere informatisch-mathematische Herausforderungen: Wie kann man Algorithmen so gestalten, dass sie mit großen Datenmengen vollautomatisch umgehen können, und wie kann man aus scheinbar unstrukturierten Daten doch noch Struktur extrahieren, so dass Rückschlüsse auf größere Zusammenhänge entstehen? Hinzu kommt aber auch eine gesellschaftliche Perspektive: Welche Rückschlüsse kann man aus Daten ziehen, die scheinbar anonymisiert sind? Welche Informationen lassen sich aus Daten gewinnen, die nur dadurch entstehen, dass wir wirklich viele Daten haben? Wie relevant dies wirklich ist, wurde Anfang 2018 klar, als aus anonymisierten Fitness-Tracker-Daten Informationen über die Lage von U.S. Militärbasen gewonnen werden konnte, und diese sogar ent-anonymisiert werden konnten (Loughran 2018, Burgess 2018). Dieses klare Sicherheitsproblem ist eine Konsequenz aus der Sammelleidenschaft, die große Teile der technologisierten Weltbevölkerung befallen hat. Es zeigt aber auch, dass Schülerinnen und Schüler an den Umgang mit Big Data schon allein deshalb herangeführt werden müssen, damit sie sich der Konsequenzen ihrer eigenen Datenspuren bewusst werden können. Teile der sich ergebenden Fragestellungen werden in der Stochastik in der Schule behandelt. So sollte am Ende der Oberstufe klar sein, wie man aus Datenreihen eines Zufallsexperiments Rückschlüsse auf die Beschaffenheit des Zufallsgeräts gewinnen kann. Mit Hypothesentests kann man mit gewisser Sicherheit aus genügend Daten die (Nicht-) Wirksamkeit von Medikamenten überprüfen. Doch meistens arbeitet man hier nur mit Small Data, selbst dann, wenn man genügend Daten für sehr sichere Hypothesen sammelt: Es handelt sich meist höchstens um einige tausend, eventuell eine Million Datensätze, die sich auch im Folgenden nicht mehr ändern. Selbst wenn wir eine Million als „high

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volume“ klassifizieren – von „high velocity“ kann hier nicht die Rede sein. In diesem Artikel soll es darum gehen, wie man im Unterricht überhaupt Zugang zum Umgang mit vielen und schnellen Daten bekommen kann.

14.2

Das digitale Werkzeug

Die meisten Daten im Internet werden heutzutage durch Video erzeugt. 2016 betrug der Anteil von Videodaten im globalen Internetverkehr 73 %, für 2021 wird erwartet, dass dieser Anteil sogar auf 82 % steigt (Cisco 2017). Videodaten erfüllen nicht nur den Anspruch, dass es viele Daten sind, sondern sie fallen sehr schnell an – ein normaler Videostream erzeugt problemlos eine Million Farbinformationen pro 1/50 Sekunde. Außerdem sind diese Daten zunächst nicht besonders strukturiert: Für jeden Bildpunkt gibt es eine Zahl, mehr erfahren wir nicht. Ob es sich um ein Katzenvideo, eine Telekolleg-Folge oder eine Episode Better Call Saul handelt können wir ohne zusätzliche Meta-Informationen zunächst nicht (maschinell) feststellen. Hier stehen wir direkt vor einem relevanten Problem: Wie identifiziert man Kopien eines urheberrechtlich geschützten Videos, welches zum Beispiel in einer anderen Auflösung oder mit leichten Farbänderungen oder Beschnitt auf einer FilesharingPlattform illegal zum Download angeboten wird? Videodaten sind also big – und praktischerweise auch leicht verfügbar. Man kann nicht nur Videos (auch legal) auf allerlei Plattformen finden, sondern man kann sie auch selbst produzieren. Für Schülerinnen und Schüler ist es heutzutage völlig normal, Videos herzustellen, gut die Hälfte aller Jugendlichen geben für die JIM-Studie 2017 sogar an, mindestens gelegentlich selbst Fotos oder Videos zu „posten“ (Feierabend et al. 2017). Da fast jeder Laptop, jedes Tablet und jedes Smartphone heutzutage eine Kamera eingebaut hat, ist es selbst in der Schule einfach, einen Live-Videostream als Datenquelle zur Verfügung zu stellen. Es fehlt also nur eine Umgebung, in der die mathematische Behandlung – also das Rechnen mit den Daten und der Ablauf von Algorithmen – für Schülerinnen und Schüler leicht zu bewerkstelligen ist. Basierend auf der Script-Sprache CindyScript des DGS Cinderella (Richter-Gebert et al. 2012) wurde im CindyJS-Projekt (von Gagern et. al. 2016) eine Möglichkeit geschaffen, CindyScript-Programmcode direkt auf dem Grafikchip auszuführen (Montag et al. 2016). Inzwischen ist es zusätzlich möglich, diesen Code nicht nur für Bildschirmpixel auszuführen, sondern als Eingabe den Videostream – der raschen Folge von Einzelbildern – der eingebauten Kamera des Laptops, Tablets oder Smartphones zu verwenden. Der eigentliche Programmcode ist dabei relativ einfach (Abb. 14.1), birgt aber kaum Erkenntnisgewinn. Die eigentlich spannende Stelle ist die Definition einer eigenen Funktion f, die den Grauwert eines Bildpunktes des Eingabebildes, gegeben als ganze Zahl zwischen 0 und 255, in den Grauwert des Bildpunktes des Ausgabebildes umrechnet. Das Ergebnis wird auf eine ganze Zahl gerundet und der Rest bei Division durch 256 genommen, damit alle berechneten Werte wieder ganze Zahlen zwischen 0 und 255 darstellen.

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Damit Schülerinnen und Schüler mit diesen Funktionen experimentieren können, wurde die Definition der Funktion als editierbares Textfeld in die Webseite eingebettet (Abb. 14.2).

Abb. 14.1 CindyScript-Programm (Auszug) zur Anwendung einer Funktion auf das Bild der eingebauten Kamera. Das Bild wird einmal unverändert („input“) und einmal nach Anwendung der Funktion f auf dem Bildschirm ausgegeben („output“).

Abb. 14.2 Ausführen des CindyScript-Programms aus Abb. 14.1 im Browser, mit Anwendung einer durch den Benutzer änderbaren Funktion (hier: f mit f(x) = x + 128) auf jeden Bildpunkt anwendet. Gut sichtbar ist, dass helle Bildpunkte durch das Rechnen modulo 256 in dunkle Bildpunkte gewandelt werden. Dunkle Bildteile werden aufgehellt. Quelle: Eigene Produktion unter Verwendung von https://cinderella.de/files/MfA18/1.html

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Think Big! – Funktionales Denken mit Big Data

14.3

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Ein Bild von Cäsar

Wenden wir uns zuerst einem anderen Thema zu, welches wir später mit diesem Werkzeug weiter beleuchten wollen: Das Verschlüsseln von Texten zur Geheimhaltung von Daten ist nicht nur ein aktuelles und wichtiges Thema in der derzeitigen Digitalisierungsdebatte, sondern schon seit vielen Jahren ein immer wieder vorgeschlagenes Thema für den Mathematikunterricht. Zum Beispiel anhand der sogenannten Cäsar-Codierung kann das zugrundeliegende Prinzip mit der Erstellung von Wertetabellen und damit mit einem grundlegenden Zugang zu Funktionen und funktionalem Denken erschlossen werden. Bei dieser Codierungsform wird jedem Buchstaben ein anderer Buchstabe eindeutig zugeordnet, normalerweise über eine Verschiebung des Alphabets. Algebraisch kann dies durch die Addition einer Zahl dargestellt werden, die die Anzahl der Stellen beschreibt, um die verschoben werden muss. Hier wird ein operativer Zugang (im Sinne Wittmanns, 1985) zum Funktionsbegriff idealerweise unterstützt, weil geklärt werden muss, wie die Verschlüsselung auf einzelne Buchstaben wirkt, wie die Entschlüsselung die Operation des Verschlüsselns umkehrt, und weil den Schülerinnen und Schülern auch einfach die Möglichkeit gegeben werden kann, diese Operationen an geeignetem Material selbst auszuführen. Die in Abb. 14.3 dargestellte Scheibe birgt hierbei noch eine weitere Besonderheit, da das Zielalphabet umgedreht wird, was durch die Negation der Ordnungszahl eines Buchstabens algebraisch erreicht werden kann.

Abb. 14.3 Beispielhafte Cäsar-Codierung mit Darstellung der Kodierungsscheibe als Wertetabelle und algebraisch als Funktion. Eigene Darstellung unter Verwendung einer durch Hubert Berberich erstellten gemeinfreien Abbildung einer Kodierungsscheibe (https://de.wikipedia.org/wiki/Caesar-Verschlüsselung#/ media/File:CipherDisk2000.jpg).

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Die Cäsar-Codierung ist allerdings völlig ungeeignet, wenn es wirklich notwendig ist, Geheimnisse zu bewahren. Mit statistischen Methoden kann man ohne weiteres schon anhand der Häufigkeit eines Zeichens feststellen, um welchen Buchstaben es sich ursprünglich handeln muss. Nur: Diese Erfahrung bleibt den Schülerinnen und Schülern normalerweise verborgen, da die zu verschlüsselnden Texte nur „small data“ sind, viel zu wenig, um überhaupt von Häufigkeiten zu reden. Mit dem oben eingeführten digitalen Werkzeug können wir aber die Cäsar-Verschlüsselung auch auf „big data“ anwenden – wie in Abb. 14.2 schon geschehen! Es ist dort schon klar sichtbar, dass eine Verschiebung des Alphabets (welches hier den Grauwert beschreibt) das eigentliche Bild nicht wirklich geheim hält. Das Motiv ist immer noch erkennbar, und die Umkehrfunktion kann einfach gefunden werden. Dies ist ein guter Grund, um weitere umkehrbare Funktionen auszuprobieren bzw. die Schülerinnen und Schüler ausprobieren zu lassen. Naheliegend ist dabei die Multiplikation. Erste Versuche zeigen, dass die Verdoppelung oder Verdreifachung immer noch Strukturen sichtbar lässt. Eine Multiplikation mit 17 führt aber zum Erfolg, wie man in Abb. 14.4 erkennen kann – jedenfalls kann man nicht mehr ganz offensichtlich das Motiv im Ursprungsbild erkennen. Doch die (ja eigentlich wohlbekannte) Umkehrfunktion

zu

schafft es nicht, das Bild zu dekodieren. Das „Geheimnis“ liegt darin, dass wir nur ganzzahlig und modulo 256 rechnen, und dann lässt sich die Multiplikation nicht mehr einfach durch die Division umkehren.

Abb. 14.4 Die Multiplikation (modulo 256) schafft es, die Bildinformationen des linken Bildes wenigstens nicht mehr ganz offensichtlich lesbar zu verschlüsseln (mittleres Bild). Doch die Entschlüsselung über die Umkehrfunktion funktioniert nicht mehr vernünftig, wie das rechte Bild zeigt. Quelle: Eigene Produktion unter Verwendung von https://cinderella.de/files/MfA18/2.html

Schon nach diesen ersten Schritten bleiben zwei grundlegende Erkenntnisse, die zur Medienbildung gehören: Die Verschlüsselung von großen Datenmengen kann zwar durch das Anwenden einer Funktion auf jedes einzelne Datum, jeden einzelnen Buchstaben

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bzw. Pixel, sehr schnell durchgeführt werden, doch diese Art der Verschlüsselung ist bei der Verwendung einfacher Funktionen wie der Addition eines festen Wertes ganz offensichtlich nicht besonders sicher. Und: Das ganzzahlige Rechnen modulo 256 (oder einer anderen Zahl) führt zu Effekten, die es zu verstehen gilt, wenn man bessere Verschlüsselungen benötigt.

14.4

Der Funktionsgraph als weitere Darstellungsebene

Bisher zeichnete sich das Werkzeug dadurch aus, dass wir eine Funktion sowohl algebraisch als auch in ihrer Wirkung auf die bildhafte Information beobachten konnten. In Abb. 14.4 wurde dann noch die Verkettung zweier Funktionen sichtbar, so dass man Funktionspaare, die zueinander invers sind, genauer untersuchen kann. Der Schlüssel zum Verständnis der zuvor geschilderten Problematik, dass Multiplikation und Division keine Umkehroperationen modulo 256 zueinander sind, liegt in der Hinzunahme einer weiteren Darstellungsebene, dem Funktionsgraphen (in grau/schwarz, ohne Koordinatenachsen). Abb. 14.5 zeigt, dass eine zuerst ausgeführte Division doch (visuell) umkehrbar ist, allerdings nur mit einem Informationsverlust. Dieser wird dadurch verursacht, dass je 17 aufeinanderfolgende Werte auf den gleichen Wert abgebildet werden: Die Division in den ganzen Zahlen modulo 17 ist nicht injektiv.

Abb. 14.5 Die Multiplikation mit 17 (modulo 256) ist eigentlich umkehrbar, doch die Division ist es nicht. Dividiert man zuerst, dann erhält man das Originalbild mit reduzierter Information, die Auflösung der Grauwerte wurde durch 17 geteilt. Quelle: Eigene Produktion unter Verwendung von https://cinderella.de/files/ MfA18/3.html

Es ist also gar nicht die fehlende Umkehrbarkeit der Multiplikation, sondern die fehlende Umkehrbarkeit der Division, die uns hier zu schaffen macht. Das schöne, regelmäßige Muster des Graphen von verteilt die 256 Werte um, und es ist problemlos möglich, diese Funktion umzukehren. Dazu müssen wir gar nicht rechnen oder algebraische Umformungen durchführen, sondern wir können – je nach Darstellungsweise – einfach den Graphen an der Diagonalen spiegeln oder die Spalten der Wertetabelle (nicht im

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Bild) vertauschen. Eine solche automatische Inversion kann ebenfalls über ein digitales Werkzeug bereitgestellt werden. In Abb. 14.6 ist die Multiplikation mit 17 und ihre automatische Dechiffrierung zu sehen.

Abb. 14.6 Links die automatisch invertierte Multiplikation mit 17, recht der misslungene Versuch für die Multiplikation mit 16. Quelle: Eigene Produktion unter Verwendung von https://cinderella.de/files/MfA18/4.html

Diese automatische Entschlüsselungsfunktion lässt sich prima für die Multiplikation mit 17 oder jeder anderen zu 256 teilerfremden Zahl (also jede ungerade Zahl) bestimmen. Für andere Werte, zum Beispiel bei der Multiplikation mit 16, geht dies aber furchtbar schief – und zwar, weil der Graph eben nicht „schief“ ist. Die Multiplikation mit einer Zahl n ist nur dann injektiv modulo m, wenn n und m teilerfremd sind. Damit ergeben sich aus der Beschäftigung mit dem digitalen Werkzeug Überlegungen zu Grundfragen der Teilbarkeitslehre, die selbst wieder die Grundlage für „echte“ algorithmische Verschlüsselung und Entschlüsselung von Daten sind. Dieses gegenseitige Befruchten von mathematischen und informatisch-algorithmischen Inhalten steht für die bedeutende Rolle der Mathematik und des Mathematikunterrichts bei der Bewältigung der „gesellschaftliche[n] und wirtschaftliche[n] Veränderungsprozesse der Gesellschaft“ (KMK 2016).

14.5

Eine für alle – alle für eine

Bisher haben wir mit einer Funktion gearbeitet, die auf jeden einzelnen Bildpunkt angewandt wurde. Dies ist die Hauptaufgabe von spezialisierten Grafikprozessoren in Computern: Für jede mögliche Eingabe (den Wert des Bildpunkts) den gleichen Algorithmus ablaufen lassen (d. h. die gleiche Berechnung durchführen). Die hohe Geschwindigkeit von Computern ist entscheidend für ihre Bedeutung für unsere Entscheidungen, und diese wird hauptsächlich dadurch hervorgerufen, dass komplexe Szenarien nicht in ihrer Gesamtheit betrachtet werden, sondern über parallelisierte Verfahren mit vielen gleichartigen Programmen (in Hardware oder Software) abgearbeitet werden. Kurz: Computer können am besten Daten bearbeiten, wenn sie sie in viele Teile aufteilen können, die sie alle gleichartig behandeln können.

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Eigentlich möchten wir aber etwas über die Gesamtheit der gelieferten Daten herausfinden. Dies spielt zum Beispiel eine Schlüsselrolle bei der Identifizierung von Duplikaten und stellen damit eine Grundlage zur Beantwortung der in Abschn. 14.2 aufgeworfenen Frage dar. So interessiert uns, wie wir schnell das Maximum, Minimum oder den Durchschnitt einer großen Menge von Daten finden, denn so reduzieren wir eine große Datenmenge in einige wenige statistische Kenndaten. Ein dafür geeignetes algorithmisches Prinzip ist Divide-and-Conquer, oder „Teile und herrsche“ (lat. „divide et impera“). Wir stellen hier kurz dar, wie man den Durchschnittsfarbwert eines Bildes über diese Technik in Echtzeit finden kann. Die Grundidee ist, dass die Berechnung des mittleren Farbwertes von vier Punkten wieder eine einfach zu parallelisierende Funktion ist. Wir können so in einem Schritt von jeweils vier Punkten den mittleren Farbwert berechnen und erhalten ein Bild mit halber Auflösung in x- und y-Richtung. Auf dieses Bild wenden wir den gleichen Algorithmus an und erhalten wiederum ein neues Bild mit mittleren Farbwerten, nun mit einem Viertel der Auflösung in beide Richtungen. Wiederholen wir diesen Prozess, dann erreichen wir nach wenigen Schritten ein Bild, welches nur noch aus einem Bildpunkt besteht, der die mittlere Farbe des gesamten Ursprungsbildes hat. Wenige Schritte heißt hier – durch die Halbierung der Auflösung in jedem Schritt – dass wir bei einem Bild mit maximal n Pixeln Auflösung in horizontaler oder vertikaler Richtung nur log2(n) Schritte (aufgerundet) brauchen. Für ein 4K-UHD-Videobild mit 3.840·2.160 = 8.294.400 Bildpunkten sind dies also nur 12 Schritte, von denen jeder maximal so aufwändig ist wie das Anwenden einer Funktion auf jeden Bildpunkt.

Abb. 14.7 Wiederholte Berechnung des Mittelwerts von vier Bildpunkten reduziert die Auflösung in jedem Schritt auf die Hälfte in jede Richtung, so dass der Durchschnitt von 64=43 Punkten in 3 Schritten gefunden werden kann. Quelle: Eigene Darstellung

Neben der Berechnung des mittleren Farbwertes eines Bildes kann der Algorithmus einfach auf die Berechnung des Minimums oder Maximums geändert werden. Prinzipiell wäre es auch möglich den Median eines Bildes schnell parallelisiert zu bestimmen (Cole & Yap, 1985), doch die hierfür benötigten Methoden gehen über den naiven divide-andconcquer-Ansatz hinaus und eignen sich im Gegensatz zur gerade vorgestellten Methode nicht für den Mathematikunterricht.

200

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Wie in Abb. 14.8 zu sehen, können wir also live die mittlere Farbe eines Bildes berechnen. Dies ist ein erster Schritt hin zur automatischen Bilderkennung – zumindest kann hiermit leicht erkannt werden, ob ein neues, andersfarbiges Objekt in das Bild gekommen ist, wie man auch mit Schülerinnen und Schülern vor der Kamera ausprobieren sollte.

Abb. 14.8 Live-Berechnung der mittleren Farbe des Kamera-Bildes. Zu sehen sind von links nach rechts und oben nach unten die jeweils halb so auflösenden Bilder. Als Hintergrundfarbe um alle Videobilder ist die mittlere Farbe (ein warmes Beige) des Gesamtbildes zu sehen. Quelle: Eigene Produktion unter Verwendung von https://cinderella.de/files/MfA18/5.html

Damit „können“ wir nun zwei Dinge: Sehr schnell eine Funktion auf alle Bildpunkte anwenden, und sehr schnell den Mittelwert aller Bildpunkte berechnen. Interessant ist natürlich, dass der Mittelwert eines Bildes sehr unempfindlich gegen bestimmte Veränderungen des Bildes ist, zum Beispiel kann man ausprobieren, dass ein Objekt, welches vor einem einheitlichen Hintergrund bewegt wird, die mittlere Farbe nicht verändert. Das ist, denkt man darüber nach, nicht weiter verwunderlich – falls man darüber nachdenkt! Hier gibt es einen guten Ansatzpunkt für die Diskussion über Invarianten von (geometrischen) Objekten.

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Think Big! – Funktionales Denken mit Big Data

14.6

201

Alle für eine – eine für alle – alle für eine

Jedes Konzept möchte gerne mehrfach angewandt werden, um seine wahre Stärke zu zeigen. Wir nutzen nun in einem letzten Schritt die bisherigen Bausteine mehrfach, um das wichtige, aber oft unklare Konzept der Varianz experimentell erforschbar zu machen. Die Varianz (oder Streuung) einer Stichprobe beschreibt, „wie verschieden“ die Daten sind. Dabei wird die Verschiedenheit eines Datums als quadrierte Abweichung vom Mittelwert der Gesamtheit der Daten definiert. Für unser digitales Werkzeug bedeutet das, dass wir zur Bestimmung der Farbvarianz zunächst die mittlere Farbe, dann die quadrierte Abweichung jedes Bildpunktes von dieser Farbe und dann den Mittelwert dieser Abweichungen berechnen müssen. In Abb. 14.9 ist dies für das Kamerabild zu sehen.

Abb. 14.9 Live-Berechnung der Varianz des Kamera-Bildes. In der ersten Zeile verkürzt die Schritte zur Berechnung des mittleren Farbwertes wie in Abb. 14.8, in der zweiten Zeile links die quadratische Abweichung jedes Pixels vom Mittelwert und Teile der schrittweisen Berechnung des Mittelwerts dieses Bildes. Quelle: Eigene Produktion unter Verwendung von https://cinderella.de/files/MfA18/6.html

Diese Abweichung ist für normale Datenmengen meist schwierig zu erfassen. Mit unserem digitalen Werkzeug können wir aber einen direkten Zugang schaffen. Insbesondere kann man versuchen, Bilder zu erzeugen, die zwar den gleichen Farb-Mittelwert haben, aber eine andere Streuung. In Abb. 14.9 ist dies natürlich schon für das ganz linke und das ganz rechte Bild der oberen Zeile der Fall, ein noch sichtbarerer Unterschied kann aber über selbst generierte Ausdrucke hergestellt werden, die vor die Kamera gehalten werden. Dazu kann man zum Beispiel ein dreifarbiges Muster generieren, bei dem in einer zweiten Variante zwei der drei Farben miteinander gemittelt werden. Abb. 14.10 zeigt den Effekt solcher Muster vor der Kamera.

202

U. Kortenkamp

Abb. 14.10 Experiment mit verschiedenen ausgedruckten Farbmustern. Das linke Muster besteht aus drei Farben, rot, blau und grün. Deutlich zu sehen ist die starke Abweichung des Rot-Wertes vom Mittelwert. Im rechten Bild wurden rot und blau vor dem Ausdruck gemittelt, wodurch ein grau-brauner-Farbton entsteht. In der Wiedergabe hier ist nicht gut zu erkennen, dass der Varianz-Wert (zweite Zeile, ganz rechts) im linken Bild höher ist als im rechten Bild. Hierzu wird empfohlen, das Werkzeug selbst live am Bildschirm auszuprobieren. Quelle: Eigene Produktion unter Verwendung von https://cinderella.de/files/MfA18/6.html

14.7

Fazit

Große Datenmengen können heute problemlos direkt aus den Kamerabildern von Smartphones oder Tablets erzeugt werden. Mit geeigneten Programmen, zum Beispiel mit CindyScript, kann dann mit diesen Daten experimentiert werden und Zugänge zu funktionalen Zusammenhängen gefunden werden. Dieser Ansatz ist nicht neu (siehe z. B. Oldenburg, 2006 und Oldenburg, o.D., Kern et al., 2015). Neu ist hier allerdings die enorme Geschwindigkeit, die durch die Parallelisierung der Berechnung auf dem Grafikprozessor entsteht. Dadurch werden ganz neue Möglichkeiten geschaffen, die Verarbeitung von Daten in Echtzeit zu erleben. Die durchgeführten Veränderungen bleiben dabei in der Hand der Schülerinnen und Schüler. Weiterhin gibt es so auch die Möglichkeit, schülernah Techniken vorzustellen, die für die Verarbeitung großer Datenmengen über geeignete Parallelisierung eingesetzt wer werden können. Durch die Berechnung nicht nur von der gleichen Funktion für jeden Pixel, sondern von einer Funktion für alle Pixel, können nicht nur einfache Begriffe aus der deskriptiven Statistik wie der Mittelwert, sondern auch komplexere Konzepte wie die Varianz exploriert werden.

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Think Big! – Funktionales Denken mit Big Data

203

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Mathematikunterricht mit digitalen Werkzeugen – Eine persönliche Bilanz von 25 Jahren Einsatz im Unterricht

15

Hubert Langlotz, Sibylle Stachniss-Carp und Hubert Weller

Zusammenfassung

Seit 1993 wurden von der Autorengruppe digitale Werkzeuge im Unterricht eingesetzt. Wir hatten die Chance, mit Bärbel Barzels Unterstützung neue Wege (zu alten Zielen) auszuprobieren und im Unterricht umzusetzen. Dabei ging es um die Fragen: Wie wird bzw. muss sich der Mathematikunterricht vor dem Hintergrund der Existenz von neuen Werkzeugen (CAS, DGS, TK, TC … ) verändern? Wie lassen sich didaktische Prinzipien wie Realitätsorientierung, selbständiges Lernen, Modellierung usw. besser realisieren? Nach den ersten eigenen Unterrichtserfahrungen konnten wir uns mit Hilfe der bundesweiten Organisation Teachers Teaching with Technology (nachfolgend T3 genannt) vernetzen, Workshops und Tagungen organisieren, Materialien erstellen und veröffentlichen. Insbesondere die überregionalen Tagungen waren durch den intensiven Gedankenaustausch mit Kolleginnen und Kollegen aus verschiedenen Bundesländern sehr bereichernd. Wie sieht unsere Bilanz nach 25 Jahren Einsatz der neuen Werkzeuge im Unterricht aus? Die „Highlights“ unserer Unterrichtsideen und -konzepte stellen wir kurz vor. Anschließend ziehen wir ein Resümee und wagen einen Blick in die Zukunft.

Hubert Langlotz * Wutha-Farnroda, Thüringen E-Mail: [email protected] Sibylle Stachniss-Carp Lahntal, Hessen E-Mail: [email protected] Hubert Weller Lahnau, Hessen E-Mail: [email protected] © Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2019 A. Büchter et al. (Hrsg.), Vielfältige Zugänge zum Mathematikunterricht, https://doi.org/10.1007/978-3-658-24292-3_15

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H. Langlotz et al.

15.1

Erste Begegnungen mit digitalen Werkzeugen

Anfang der 90er Jahre kam das Computeralgebrasystem DERIVE auf den Markt. Mit der Verfügbarkeit dieses vielfältigen Werkzeugs für die Schule begann eine Entwicklung des Mathematikunterrichts, die wir seit dieser Zeit begleitet und auch mitgestaltet haben. Anfangs gab es große organisatorische Probleme zu überwinden, wenn eine Nutzung der PCs im Unterricht geplant war. Die Autorengruppe berichtet aus der eigenen Erfahrung: „Ich war damals in der Situation, dass unsere Schule einen Neubau bezogen hatte, der über mehrere Computerräume verfügte. So konnte der Mathematikunterricht meines Leistungskurses seit 1993 immer im PC-Raum stattfinden, wir konnten jederzeit auf die Rechner zugreifen (oder auch nicht) und DERIVE nutzen. Bärbel Barzel habe ich zum ersten Mal 1995 bei den Derive Days Düsseldorf, die von ihr organisiert worden waren, kennen gelernt. Seit dieser Zeit haben wir regelmäßig in verschiedenen Zusammenhängen zusammengearbeitet. Besonders gerne denke ich an die mit ihr gemeinsam durchgeführten Moderatorenfortbildungen zurück.“ (Hubert Weller) „Ich lernte Bärbel Barzel in Weilburg 1998 kennen bei einer Lehrerfortbildung zu Neuen Medien im Mathematikunterricht – eine Woche lang jeden Tag ein neuer Referent. Sie erzählte begeistert von ihrem aktuellen Mathematik-Leistungskurs mit TI-92-Rechnern, ich hatte gerade mein erstes Gerät gekauft und einen Leistungskurs vor mir. Nach dieser Tagung habe ich Himmel und Hölle in Bewegung gesetzt und konnte meinen Kurs mit TI-92-Rechnern ausstatten. Die DERIVE-Kollegen waren sehr skeptisch gegenüber den kleinen schwarzen Kisten! Aber es ging weiter an unserer Schule, das Abitur lief gut, beim nachfolgenden Grundkurs machte ein Kollege mit und schließlich wurde ein Schulkonzept entwickelt, das den Kauf von Taschencomputern mit kombinierter Ausleihe und den verbindlichen Einsatz über die gesamte Oberstufe hinweg vorsah.“ (Sibylle Stachniss-Carp) „Die Tage vom 2. bis 6. Juli 1996 zur Internationalen Derive und TI-92 Konferenz im Schloss Birlinghoven in Bonn werden mir aus mindestens zwei Gründen immer in Erinnerung bleiben. Zum einen konnte ich erstmals Bärbel Barzel als Chairperson neben Leo Klingen kennenlernen und an so spannenden Workshops teilnehmen, dass ich mich mit einem Kollegen dazu entschied, 1998 an der Internationalen Derive-Konferenz in Gettysburg teilzunehmen – etwas ganz Besonderes für „normale“ Lehrer! Diese beiden Veranstaltungen waren sicherlich ein ganz wichtiger Schritt hin zur Zusammenarbeit des Landes Thüringen mit T3. Während der T3-Tagung 1999 in Münster führten Wolfgang Moldenhauer und ich viele Gespräche mit Bärbel Barzel und Detlef Berntzen, um die Zusammenarbeit mit T3 ins Leben zu rufen.“ (Hubert Langlotz)

Diese Episoden sollen beispielhaft zeigen, wie stark uns Bärbel Barzel motiviert und inspiriert hat, in unserem Unterricht neue Wege zu gehen. Die didaktische Diskussion zur Veränderung des Mathematikunterrichts nach den TIMMS und PISA-Studien um das Jahr 2000 sowie um den Einsatz von digitalen Werkzeugen wurde schon vorher intensiv geführt. Stellvertretend für die umfangreiche Thematik stehen hier die Titel von drei Tagungsbänden des Arbeitskreises Mathematikunterricht und Informatik in der Gesellschaft für Didaktik der Mathematik (GDM): Mathematikunterricht im Umbruch? (Hischer, 1991); Wieviel Termumformung braucht der Mensch? (Hischer, 1992); Neue Ziele oder neue Wege zu alten Zielen? (Hischer, 1993).

15

Mathematikunterricht mit digitalen Werkzeugen

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Die Gründung von T³-Deutschland im Jahr 1996 schuf einen organisatorischen Rahmen für Fortbildungen, Diskussionen und Austausch von Ideen und Forschungsergebnissen. Mit dem T³-Netzwerk wurde auch für „Praktiker“ der Blick über den Tellerrand möglich sowohl über Bundeslandgrenzen (z. B. auf den jährlichen T³-Pfingsttagungen in Münster) als auch über die nationalen Grenzen (z. B. Mathematik-Tage in Spittal 2001 oder Konferenzen in Dallas, Columbus, Chicago, Paris und Dublin) hinweg. Wir waren überzeugt, dass der Einsatz digitaler Medien genau die nach TIMMS und PISA geforderte Neuausrichtung des Mathematikunterrichts unterstützen und erleichtern würde. So fingen wir an, selber Workshops in Münster zu halten, zunächst zur Analytischen Geometrie und Linearen Algebra, kombiniert mit DERIVE und TI-92, später zu allen möglichen anderen mathematischen Themen mit digitalen Werkzeugen. Eigene Regionaltagungen in Hessen und Thüringen, oft mit Bärbel Barzel als Referentin, folgten. Die Netzwerke und Freundschaften aus dieser Zeit tragen bis heute. Für unser berufliches Leben war T³ richtungsweisend. Neben den Fragen zur Unterrichtsgestaltung hatten wir natürlich auch die Abiturprüfung mit CAS im Blick. 2006 und 2009 erschienen die Hefte Abiturprüfung mit CAS (Moldenhauer 2006) und Zentralabitur mit CAS – Stand und Perspektiven (Moldenhauer & Stachniss-Carp 2009), die aus Tagungen in Bad Berka beim ThILLM (Thüringer Institut für Lehrerfortbildung, Lehrplanentwicklung und Medien) hervorgegangen sind. Das Thema Zentralabitur mit CAS, und vor allem die Erstellung guter CAS-Aufgaben für das Abitur, versuchten wir voranzubringen, einmal als Mitglieder der für das Landesabitur Hessen zuständigen Gruppe, aber auch in einer T³-Mathematik-AG 2006/07 mit Teilnehmern aus 8 Bundesländern. 2010/11 beschäftigte sich diese AG mit den hilfsmittelfreien Teilen einer Abiturprüfung. Die Fragen nach den Grundlagen der Schulmathematik wurden intensiv diskutiert – auch, was ohne Hilfsmittel gekonnt werden muss. Aktuell arbeiten wir an dem Thema „Abitur mit CAS“ in einer AG, indem wir die vom IQB (Institut zur Qualitätsentwicklung im Bildungswesen) vorgegebenen Aufgaben im Rahmen eines länderübergreifenden Zentralabiturs analysieren und im Hinblick auf CAS versuchen zu optimieren.

15.2

Praktische Umsetzung im Unterricht – Einige unserer „Highlights“

In einem Vortrag aus dem Jahr 2004 postulierte S. Stachniss-Carp die folgenden Forderungen an den Mathematikunterricht: • • • • • •

Mehr Grundlagen – weniger Rechentechnik Mehr Kreativität fördern Mehr Anwendungen und Modellbildung Mehr offene Aufgaben Mehr Selbsttätigkeit von Schülerinnen und Schülern Mehr Variation der Unterrichtsmethoden

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H. Langlotz et al.

In unserem Unterricht haben wir uns bemüht, diese Forderungen aufzunehmen und dabei festgestellt, dass ein sinnvoller Einsatz digitaler Werkzeuge das Erreichen dieser Ziele in starkem Maße erleichtert und befördert – sofern man als Lehrperson bereit ist, sich zurückzunehmen und seine Rolle neu zu reflektieren. Dabei genügt es allerdings nicht „schöne“ Aufgaben an die Hand zu bekommen, auch ein didaktisches Wissen über den Wert des Rechnereinsatzes (Rechenwerkzeug oder Lernwerkzeug?) ist unumgänglich. Bei unserer Arbeit war es zudem ein Ziel, bei den Schülerinnen und Schülern eine Werkzeugkompetenz zu entwickeln, die sie befähigt, je nach Bedarf das passende Hilfsmittel auszuwählen. Im Folgenden wollen wir einige unserer Projekte und Aufgaben, die für uns wichtig waren, kurz vorstellen.

15.2.1

Die Parabelwerkstatt – Stationenlernen mit DGS/GTR/CASEinsatz

Die vielfältige Verflechtung von Parabeln im Mathematikunterricht lässt sich u. E. erst durch digitale Werkzeuge angemessen darstellen. Die Grenzen zwischen Geometrie und Algebra können damit aufgebrochen werden. Mit der Zielsetzung, den Begriff „Parabel“ mit möglichst vielen Sinnen zu erfassen, entstand ein Aufgabenpool, in dem man je nach Intention Material für Projekttage findet, für Lernzirkel zur Einführung, zum Üben, zur Vertiefung, für die Gestaltung des Wahlpflichtunterrichts bis hin zur anspruchsvollen Weiterführung in der Oberstufe. Dabei sind oft geometrische Konstruktionen mit Papier und Bleistift und/oder mit dynamischer Geometrie gefordert. Es kann und soll experimentiert und gemessen werden, es werden Parameter variiert, gerechnet oder eine Formel entwickelt und oft steht ein Anwendungsbezug am Anfang der Überlegungen (StachnissCarp 2001). Ein Beispiel soll dies verdeutlichen.

Abb. 15.1 Solar-Stirlingmotor, ermittelte Daten mit passendem Funktionsgraph und geometrische Konstruktion, Quelle: Stachniss-Carp

Der solarbetriebene Stirlingmotor (Jg. 9) Die parabolische verspiegelte Schale aus Abb. 15.1 wird vermessen und zu den Messdaten eine möglichst gut passende Funktion gesucht. Mit dieser (quadratischen) Funktion können mittels dynamischer Geometriesoftware die einfallenden Sonnenstrahlen sowie

15

Mathematikunterricht mit digitalen Werkzeugen

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deren Reflexion im Spiegel konstruiert und so der Brennpunkt grafisch ermittelt werden. Auch ein rechnerischer Lösungsansatz kann hergeleitet werden. Ausgehend von einer realen Fragestellung („Wo liegt der Brennpunkt?“) erfolgt eine Modellbildung. Das Modell liefert mithilfe von Geometrie und Algebra eine Lösung, die wiederum mit der Realität abgeglichen werden kann.

15.2.2 Das ABC der ganzrationalen Funktionen – Eine Lernwerkstatt mit GTR/CAS-Einsatz Über zwei Jahre hinweg haben wir (Bärbel Barzel, Ines Fröhlich und Sibylle StachnissCarp) eine Lernwerkstatt erstellt, bestehend aus einem Schülerheft und einem Lehrerheft mit Tipps zur Umsetzung und didaktischen Hinweisen (Barzel et al. 2003). Grundlegend war die Idee, dass Schülerinnen und Schüler mit geeignetem Material und digitalen Hilfsmitteln in die Lage versetzt werden können, sich selbstständig neue Inhalte zu erarbeiten, also sowohl inhalts- wie auch prozessbezogene Ziele zu erreichen. Konkret geht es hier um die Elemente der „klassischen“ Kurvendiskussion, wobei die Bedeutung der Ableitung als lokale Änderungsrate vorausgesetzt wird. Die Begriffe Ableitungsgraph, Extremwerte, Wendepunkte, Krümmung, Nullstellen und Symmetrie bei ganzrationalen Funktionen werden in einzelnen „Bausteinen“ behandelt und dokumentiert. Dazwischen geschaltet sind Spiele, Check-ups und Präsentationen. Dabei arbeiten die Schülerinnen und Schüler selbstständig in einem Schülerheft in von der Lehrperson festgelegten Kleingruppen über einen Zeitraum von ca. 6 Wochen hinweg – auch an selbst gewählten Lernorten im Schulgebäude. Die Lehrperson gestaltet den Einstieg, organisiert das Lernumfeld, „besucht“ die einzelnen Kleingruppen, steht für Fragen zur Verfügung, gibt Anregungen und macht sich Notizen zur mündlichen Beurteilung. Die Lösungen zu den einzelnen Aufgaben werden zentral ausgelegt. Um die Ergebnisse zu vergleichen und einen gemeinsamen Kenntnisstand zu schaffen, werden nach ca. 3 Wochen die wichtigsten Themen im Plenum präsentiert und besprochen. Eine Klausur schließt die Unterrichtseinheit ab. Bärbel Barzel hat die Arbeit mit der Lernwerkstatt im Rahmen ihrer Dissertation wissenschaftlich begleitet (Barzel 2006). Die Ergebnisse ihrer Studie zeigten, dass die curricularen Vorgaben in der gleichen Zeit erreicht werden, wie im normalen Unterricht, dass aber zusätzlich eine Vielfalt kognitiver und metakognitiver Tätigkeiten angeregt und gefördert werden.

15.2.3

Mathematik auf dem Bahnhof – Begriffsbildung

Bei dieser Lernumgebung wurde zur Einführung des Steigungsbegriffs eine reale Alltagssituation im Unterricht verwendet: Ein Schüler hatte im Bahnhof die Ausfahrt eines ICE beobachtet, dabei hatte er mit Hilfe seiner Stoppuhr auf dem Mobiltelefon die Durchfahrtszeiten ermittelt. Dabei stand er an der Spitze des stehenden Zuges. Als dieser losfuhr, hat

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H. Langlotz et al.

er jedes Mal, wenn ein Wagenende an ihm vorbei kam, auf seine Stoppuhr gedrückt. Diese Daten brachte er mit in den Unterricht und fragte: „Wie schnell ist eigentlich der ICE, wenn der letzte Wagen an mir gerade vorbeigefahren ist?“ Das Arbeiten mit den realen Daten wurde erst mit dem Einsatz des Rechners ermöglicht. Im Internet recherchierten wir die technischen Daten eines ICE 1, insbesondere brauchten wir die Länge der Wagen. Der ICE 1 hat zwei Triebköpfe und zwölf Mittelwagen, Länge eines Triebkopfes: 20,56 m, Länge eines Mittelwagens: 26,4 m, Gesamtlänge: 357,92 m. So hatten wir eine präzise Information über die zurückgelegten Wege und konnten eine Tabelle für die in den gemessenen Zeiten zurückgelegten Wege erstellen, sowie die Punkte in einem s-t-Diagramm darstellen (Abb. 15.2, links).

Abb. 15.2 Aus den Messdaten ermitteltes Weg-Zeit-Diagramm sowie die mathematische Bearbeitung, Quelle: Weller

Nach einer Diskussion und Experimenten über die zu diesen Daten passende geeignete Funktion hatten wir uns im Unterricht schnell auf eine quadratische Funktion geeinigt, und mit dem Rechner die am besten passende quadratische Funktion bestimmt. Wir (sowohl Schülerinnen und Schüler als auch der Lehrer) waren überrascht, dass die am Bahnhof ermittelten Werte so gut auf einer Parabel lagen. Mit dieser Funktionsgleichung f (x) = 0,204x 2 − 0, 787x wurde dann im Folgenden weiter gearbeitet. Wir diskutierten die Begriffe Durchschnittsgeschwindigkeit, Momentangeschwindigkeit und Beschleunigung und überlegten, wie die Daten zur Berechnung der Geschwindigkeit des Zuges genutzt werden könnten. Es war schnell klar, dass wir Wegdifferenzen und zugehörige Zeitdifferenzen ermitteln und dividieren mussten. Die Begriffe Steigungsdreieck, Sekantensteigung und Tangentensteigung wurden eingeführt und der Übergang von der Durchschnitts- zur Momentangeschwindigkeit thematisiert. Dieser Übergang wurde mit einem Schieberegler visualisiert (Abb. 15.2, rechts).

15

Mathematikunterricht mit digitalen Werkzeugen

211

Damit hatten wir an diesem konkreten Beispiel den Ableitungsbegriff vorbereitet und erste Erfahrungen mit Grenzwerten an einer Problemstellung aus dem Erfahrungsbereich der Schülerinnen und Schüler gesammelt. Ohne Rechnereinsatz wäre dieses Vorgehen nicht möglich gewesen.

15.2.4

Das Weizenbierglas – Modellbildung

Im Unterricht sollte das Berechnen des Volumens von Rotationskörpern wiederholt werden. Für das Lösen von Gleichungssystemen, das Auswerten von Integralen und die arithmetische Berechnung des Volumens stand ein CAS zur Verfügung. So konnte die Beziehung zwischen Mathematik und dem „Rest der Welt“ (Realitätsbezüge) stärker berücksichtigt werden. Zur Vorbereitung des Unterrichts hatte der Lehrer eine Reihe unterschiedlicher Gläser von zu Hause mitgebracht und einige Messschieber sowie einen Messzylinder bereitgestellt. Die Schülerinnen und Schüler sollten in Gruppen das Volumen berechnen und mit dem tatsächlichen Volumen vergleichen. Absoluter „Renner“ unter den Gläsern war ein Weizenbierglas (Weller 1996). Zunächst diskutierte die Gruppe die Form der Randkurve und einigte sich darauf, sie durch eine ganzrationale Funktion dritten Grades zu approximieren. Mit dem Messschieber wurden dann an vier exponierten Punkten Messwerte ermittelt. Dabei wurde intensiv über Messgenauigkeit und Glasstärke diskutiert. Eine Bearbeitung der realen Daten war nur mit Hilfe des den Schülerinnen und Schülern vertrauten und verfügbaren Werkzeugs DERIVE möglich. Mit dem CAS wurde die Funktionsgleichung bestimmt und das Volumen (bis zur Eichmarke) berechnet. Mit dem Ergebnis (567,3 cm³) waren wir zunächst nicht zufrieden, da die Abweichung vom Normwert doch erheblich war. Erst ein Nachprüfen mit dem Messzylinder lieferte den tatsächlichen Inhalt des Glases bis zur Eichmarke (550 cm³). Dieselbe Aufgabenstellung kann auch zur Einführung des Rotationsvolumens genutzt werden. Die Schülerinnen und Schüler arbeiteten in Kleingruppen und ermittelten das gesuchte Volumen über unterschiedliche Approximationen mit Zylindern und Kegelstümpfen. Eine Gruppe fand eine Regressionsfunktion für den Rand des Glases und hatte die Idee, die Fläche unter der Randkurve rotieren zu lassen. Diese verschiedenen Ansätze und Rechnungen wurden vorgestellt und diskutiert und führten mit geringen Hilfen von Seiten des Lehrers zur formalen Lösung.

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H. Langlotz et al.

15.2.5 Matrizen in der Analytische Geometrie Wie kommt der Turm auf den Bildschirm? In der Analytischen Geometrie halten wir es für unabdingbar, „objektorientiert“ vorzugehen, um sinnstiftendes Lernen zu ermöglichen und der fundamentalen Idee von Raum und Form gerecht zu werden. Im Unterricht standen am Anfang reale Objekte (die man auch „begreifen“ konnte), und es ging um das Zusammenspiel von Geometrie und Algebra. Die geometrischen Objekte wurden mithilfe von Zahlen beschrieben, mit Papier, Bleistift und Lineal wurden Zeichnungen angefertigt, Bewegungen wurden durch mathematische Methoden erfasst und die Zusammenhänge algebraisch untersucht. Bei der Nutzung von Computern ist die Frage „Welche Mathematik benötigen wir, um Bilder auf dem Bildschirm zu erzeugen?“ von großer Bedeutung und sie ist zusätzliche Motivation im Unterricht. Die Computergraphik ist ohne Mathematik nicht möglich. Insbesondere bei bewegten Bildern sind unterschiedliche geometrische Abbildungen von großer Bedeutung. Jede Darstellung eines räumlichen Objekts, sei es mit Bleistift und Lineal auf einem Blatt, mit Kreide auf der Tafel oder auf dem Bildschirm ist nichts anderes als eine Abbildung des dreidimensionalen Raums in den zweidimensionalen Raum. Um das Schrägbild eines Körpers mit dem Computer darstellen zu können, mussten die Raumkoordinaten geeignet in 2D-Koordinaten transformiert (umgerechnet) werden. Dies ist natürlich abhängig von dem zur Darstellung verwendeten Koordinatensystem (Abb. 15.3). Die Abbildung zeigt zunächst links das verwendete Koordinatensystem, dann die zeichnerische Umsetzung der Abbildung, die mithilfe von Matrizen mathematisch beschrieben werden muss, um die einzelnen Punkte des Turmes zu zeichnen. Wenn das geleistet ist, müssen die Bildpunkte nur noch miteinander verbunden werden (Weller 2013).

Abb. 15.3 Transformation von 3D- auf 2D-Koordinaten, Quelle: Weller

Jeder Schritt in Richtung der (räumlichen) x-Achse (nach vorne) ist im 2D-Koordinatensystem ein halber Schritt nach links und ein Viertel Schritt nach unten (Abb. 15.3, Mitte):

(x

y z

) → ( −0,5⋅ x + y

−0,25x + z

)

15

Mathematikunterricht mit digitalen Werkzeugen

213

Jeder Bildpunkt lässt sich durch eine Multiplikation mit der „Projektions-Matrix“ berechnen: ⎛ ⎞ ⎛ x ′ ⎞ ⎛ −0,5 1 0 ⎞ ⎜ x ⎟ ⎟ ⋅⎜ y ⎟ ⎜ ⎟ =⎜ ⎝ y ′ ⎠ ⎝ −0,25 0 1 ⎠ ⎜ ⎝ z ⎟⎠ Auf dem Computerbildschirm entsteht so das Schrägbild eines Turms (Abb. 15.3, rechts). Licht und Schatten Die üblichen Gerade-Ebenen-Schnitte-Berechnungsaufgaben („Hieb- und Stichaufgaben“ nach Kroll (2005)) wurden ersetzt durch Berechnungen an realen Problemstellungen: „Wie sieht der Schatten aus, wenn die Sonne aus einer bestimmten Richtung scheint?“ (Abb. 15.4). Auch hier sind diese Fragen mit Rechnereinsatz gut realisierbar.

Abb. 15.4 Zwei Pyramiden mit Schatten, Quelle: Weller

Abbildungen mithilfe von Matrizen Geometrische Abbildungen wie Spiegelungen, Streckungen und Drehungen sind ein Teil des Oberstufenlehrplans. Sie werden algebraisch mit Matrizen beschrieben. Die Bearbeitung dieser Abbildungen mit dem Computer erlaubt mit der Erstellung von ansprechenden Grafiken eine Anwendung dieses Themas. Die Eckpunkte einer Figur, hier einer „Kirche“, werden durch Matrizenmultiplikation einer Drehstreckung unterworfen und die Bildpunkte entsprechend dargestellt. Dieser Vorgang lässt sich beliebig wiederholen – eine Grafik entsteht (Abb. 15.5).

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H. Langlotz et al.

Abb. 15.5 Visualisierung einer Drehstreckung, Quelle: Weller

Um die Sechseck-Grafik in Abb. 15.6 zu erstellen, wurde zunächst der Einheitsvektor (1|0) mehrmals um 60° gedreht, um das Sechseck zu erzeugen Das Sechseck wurde um 30° gedreht und mit Faktor sin(60°) gestaucht (Abb. 15.6 Mitte). Mehrmaliges Wiederholen des Vorgangs lieferte die End-Grafik.

Abb. 15.6 Drehen und Stauchen eines Sechsecks sowie fertige Sechseck-Grafik, Quelle: Weller

15

Mathematikunterricht mit digitalen Werkzeugen

15.2.6

215

Neue Formate in der Lehrerfortbildung – Webinare

Ab 2016 beschäftigten sich Kollegen des T3-Netzwerkes mit der Idee, durch Webinare den Einsatz digitaler Werkzeuge zu propagieren und auch auf diesem Weg Erkenntnisse der letzten 25 Jahre weiter zu geben. Auch hier zeigte sich wieder Bärbel Barzels Ideenreichtum und Interesse neue Methoden und Wege zu gehen, um den Mathematikunterricht weiter zu entwickeln. Das erste Webinar zum Thema „Potential des Rechnereinsatzes im Mathematikunterricht am Beispiel ausgewählter Aufgaben zur Funktionenlehre“ stand unter Bärbel Barzels Leitung. Die folgende Aufgabe aus diesem Webinar (Abb. 15.7) ist ein Beispiel, wie kognitive Aktivierung erfolgen kann: f sei eine ganzrationale Funktion 3. Grades mit den Nullstellen 2, 4 und 5. Zeichnen Sie den Graphen f und die Tangente an den Graphen im Punkt (3; f(3)). Stellen Sie eine Vermutung auf und überprüfen Sie diese für andere Fälle. (Henn 2004). Diese Aufgabe bietet Potential für Differenzierung bzw. Öffnung. Man kann z. B. folgende weiterführende Fragen stellen: • •

Können Sie Ihre Vermutung verallgemeinern? Was passiert, wenn der Graph der kubischen Funktion nur zwei oder eine Nullstelle hat?

Abb. 15.7 Bild zur WebinarAufgabe, Quelle: Langlotz

Mittlerweile werden monatlich am „MINTy Tuesday“ Webinare zu verschiedenen Themen des Einsatzes digitaler Werkzeuge angeboten und Bärbel Barzel ist oft dabei. Die Themen reichen von „Die ersten Schritte beim Einsatz eines digitalen Werkzeuges“ bis hin zu Fragen sinnvoller Dokumentationen beim Einsatz solcher Werkzeuge im Abitur.

216

H. Langlotz et al.

15.3

Ein Land entscheidet sich, CAS verbindlich bis zum Abitur einzusetzen

Seit Beginn des Schuljahres 1999/2000 wurde in Thüringen der Einsatz des TI-89 im mathematisch-naturwissenschaftlichen Unterricht der gymnasialen Oberstufe erprobt. Möglich wurde dies auch, weil T3 dieses Projekt in den Anfangsjahren mit Referenten aus dem T3-Netzwerk aktiv unterstützte. Die Schülerinnen und Schüler der beteiligten Schulen legten erstmals 2002 ein „CASZentralabitur“ ab. Die Abiturergebnisse in den Projektschulen fielen etwas besser aus als die der Schulen, die nicht am Projekt beteiligt waren (Moldenhauer 2007). Der Erfolg der Erprobung führte zu einem Rundschreiben des Thüringer Kultusministeriums im April 2002 an die Gymnasien, Gesamtschulen, Kollegs und beruflichen Gymnasien, das allen Schulen die Möglichkeit bot, den Einsatz eines CAS-Rechners beantragen zu können. Bis zum Schuljahr 2007 wuchs die Zahl der beteiligten Schulen auf etwa ein Drittel aller Thüringer Gymnasien und blieb dann nahezu konstant. Es stellte sich die Frage, wie es gelingen könnte, für alle Schülerinnen und Schüler einen verpflichtenden Einsatz eines CAS-Rechners zu erreichen. In enger Zusammenarbeit des Landesinstitutes ThILLM, dem Kultusministerium und der CAS-Gruppe konnte eine Veranstaltung am 20.01.2011 in Erfurt durchgeführt werden, bei der Bärbel Barzel eine „Expertise zum Einsatz von CAS“ vorstellte. Darin formuliert sie u. a. fünf Gelingensbedingungen für den Einsatz von CAS: • • • • •

CAS sollte verpflichtend im Curriculum eingebunden sein. CAS sollte verbindlich im Abitur verankert sein. Lehrerbildung muss gestärkt werden als Motor der Veränderung. Stärkende Netzwerke für Eltern, Lehrer und Schüler müssen aufgebaut werden. Strukturelle Rahmenbedingungen müssen geklärt werden. (Barzel 2012)

Diese Veranstaltung war wohl der Auslöser dafür, dass ab dem Schuljahr 2012 alle Thüringer Gymnasiasten einen CAS-Rechner bis zum Abitur verbindlich nutzen müssen. Insgesamt konnten einige der Empfehlungen auch in anderen Bundesländern in die Realität umgesetzt werden. Leider blieb Thüringen bislang das einzige Bundesland, das verpflichtend CAS einsetzt.

15.4 Fazit Mit dem Einsatz von Dynamischer Geometriesoftware, Grafikprogrammen, Tabellenkalkulation und Computeralgebrasystemen verändern sich Unterrichtsformen und Unterrichtsinhalte des Mathematikunterrichts. Verschiedene Darstellungsformen für Probleme

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Mathematikunterricht mit digitalen Werkzeugen

217

werden parallel und gleichwertig verwendet, unerwartete und kreative Schülerlösungen sind möglich, für Anwendungsaufgaben genügen oft graphische oder numerische Lösungen – die Lehrkraft muss offen sein für unterschiedliche Lösungswege. Allerdings gilt: Für zentrale Prüfungen muss die Erwartung an die Prüflinge deutlich werden, d. h. Operatoren müssen klar benannt und bundeseinheitlich (Zentralabitur) definiert werden. Analytische Geometrie wird sehr viel anschaulicher mit digitalen Möglichkeiten, eine Re-Geometrisierung der Analytischen Geometrie wird unterstützt, weg von der bloßen Berechnung von Schnittgebilden („Hieb- und Stichaufgaben“). Angestoßen wurde diese Renaissance von verschiedenen Didaktikern, wie z. B. Kroll (2005), Schupp (2000), Schmidt (2009). Auch die Kompetenz-Debatte empfanden wir als „Wasser auf unseren Mühlen“. Trotzdem haben wir den Eindruck, dass sich im Schulalltag relativ wenig verändert hat. Viele Kolleginnen und Kollegen scheuen die Einbeziehung neuer digitaler Medien in den Unterricht. Zum Teil wurden und werden aberwitzige Diskussionen um das Für und Wider des Rechnereinsatzes geführt. Wichtiger jedoch ist die Diskussion um das, „was trägt“ im Mathematikunterricht, und die muss weiterhin geführt werden. Heute wird von allen Seiten die Digitalisierung der Schule propagiert (u. a. Otto (2018) zum Digitalpakt der Bundesregierung), Smartphones und Tablets werden als Lehrmittel zugelassen samt W-LAN für alle. Aber welche Funktion hat der Rechnereinsatz für das Mathematiklernen? Was soll mit der Technik gemacht werden? Die Abb. 15.8 zeigt die verschiedenen Möglichkeiten.

Abb. 15.8 Unterschiedliche Funktionen des Rechners im Mathematikunterricht

Ein methodisch-didaktisch sinnvoller Einsatz von digitalen Medien im Mathematikunterricht sollte schon an der Universität verpflichtend für alle Lehramtsstudierenden thematisiert werden. Gerade für den Aspekt „Mathematik besser verstehen lernen“ bieten digitale Werkzeuge ein großes Potential. Die Einstellungen und Überzeugungen der Lehrpersonen sind entscheidend für ein gutes Gelingen des Technologieeinsatzes. Die Technik alleine vollbringt keine Wunder, die Werkzeuge sind wertlos, wenn man die dahinter stehende Mathematik nicht versteht. Hoffen wir, dass die träge Dampflock Schule langsam in Fahrt kommt und vielleicht zum ICE wird!

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H. Langlotz et al.

Literatur Barzel, B., Fröhlich, I. & Stachniss-Carp, S. (2003). Das Abc der ganzrationalen Funktionen – Eine Lernwerkstatt im 11. Jahrgang. Schülerheft. Stuttgart: Klett. Barzel, B. (2006). Mathematikunterricht zwischen Konstruktion und Instruktion – Evaluation einer Lernwerkstatt im 11. Jahrgang mit integriertem Rechnereinsatz. Dissertation, online verfügbar unter: http://duepublico.uni-duisburg-essen.de/servlets/ DerivateServlet/Derivate-14643/DissertationBarzel.pdf. Barzel, Bärbel (2012). Computeralgebra – Mehrwert beim Lernen von Mathematik – aber wann? Münster: Waxmann Verlag. Henn, H.-W. (2004). Computer-Algebra-Systeme – Junger Wein oder neue Schläuche? Journal für Mathematik-Didaktik, 25(4), 198–220. Hischer, H. (Hrsg.) (1991). Mathematikunterricht im Umbruch? Hildesheim: Franzbecker. Hischer, H. (Hrsg.) (1992). Wieviel Termumformung braucht der Mensch? Hildesheim: Franzbecker. Hischer, H. (Hrsg.) (1993). Mathematikunterricht und Computer – neue Ziele oder neue Wege zu alten Zielen? Hildesheim: Franzbecker. Kroll, W. (Hrsg.) (2005). Raumkurven im Mathematikunterricht. Der Mathematikunterricht, 51(6). Moldenhauer, W. (Hrsg.) (2006). Abiturprüfung Mathematik mit CAS. ThILLM, (125). Moldenhauer, W. (2007). Die Zukunft ist anders! Zum Einsatz von Computeralgebrasystemen im mathematisch-naturwissenschaftlichen Unterricht in Thüringen. Zeitschrift TLV- Thüringer Lehrerverband 10/2007, 11–12 Moldenhauer, W. & Stachniss-Carp, S. (Hrsg.) (2009). Zentralabitur mit CAS, Stand und Perspektiven. Westfälische Wilhelms-Universität, Münster: Zentrum für Lehrerbildung. Otto, J. (2018). Hier beginnt das Ende der Kreidezeit, ZEIT Nr. 24, online abrufbar unter:  https://www.zeit.de/2018/24/digitale-schule-bildung-digitalisierung-zukunft-gymnasium. Zugriff 15.12.2018. Schmidt, G. (2009). Analytische Geometrie unter Betonung der Leitidee Raum und Form mithilfe von Objektstudien. Der Mathematikunterricht, 55(3), 5–15. Schupp, H. (2000). Geometrie in der Sekundarstufe II. Journal für Didaktik der Mathematik, 21(1), 50–66. Stachniss-Carp, S. (2001). Parabel-Werkstatt, mathematik lehren, 105, 68–69. Weller, H. (1996). Das Weizenbierglas, mathematik lehren, 77, 67. Weller, H. (2013). Wie entsteht das Bild des Turms auf dem Bildschirm? Praxis der Mathematik, 49(55), 42–46.

16

Mathematik erkunden und verstehen mit unterrichtsintegrierten Lern-Apps – Fachdidaktische Kriterien für die kognitive Aktivierung und Verstehensunterstützung Timo Leuders

Zusammenfassung

Apps als thematisch fokussierte und flexibel nutzbare Programme können als „Lern-Apps“ mit unterschiedlichen Funktionen in den Mathematikunterricht eingebunden werden. Im Entwicklungsforschungsprojekt KOSIMA wurden solche Lern-Apps vor allem in Form von interaktiven Simulationen in Erkundungsphasen entwickelt und erprobt. Dabei zeigt sich, wie solche Lern-Apps nicht nur hinsichtlich technischer, methodischer und allgemeindidaktischer Aspekte, sondern auch hinsichtlich fachdidaktischer Aspekte durchdacht werden müssen, damit sie zur Qualität der Prozesse und Ergebnisse der Lernumgebungen beitragen können. Für das KOSIMA-Unterrichtskonzept geht es dabei vor allem um die kognitive Aktivierung und Verstehensunterstützung beim Erkunden auf eigenen Wegen innerhalb genetischer, sinnstiftender Lernumgebungen. In diesem Beitrag werden drei konkrete Beispiele analysiert: Potenzdarstellungen in der wissenschaftliche Schreibweise, Modellierung mehrstufiger Zufallsversuche und der Satz des Pythagoras.

Timo Leuders * Pädagogische Hochschule Freiburg Freiburg, Deutschland E-Mail: [email protected]

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2019 A. Büchter et al. (Hrsg.), Vielfältige Zugänge zum Mathematikunterricht, https://doi.org/10.1007/978-3-658-24292-3_16

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16.1

T. Leuders

Einführung

Computergestütztes Lernen ist schon seit Jahrzehnten ein zentrales Feld für Forschung und Entwicklung, insbesondere für den Mathematikunterricht, denn hier ergeben sich viele fach- und gegenstandsspezifische Fragen (Barzel 2012, Drijvers et al. 2016). Dabei hat sich der Bereich des schulischen und außerschulischen computergestützten Lernens noch einmal dynamisiert, angetrieben durch die rasanten technischen Entwicklungen. Ein markantes Beispiel ist die überbordende Fülle so genannter Lern-Apps, die auf Smartphones und Tablets die schulischen Lernkulturen beeinflussen – ob nun die Lehrkraft sie im Rahmen ihres Unterricht einsetzt, oder Schüler und Eltern sie auswählen und nutzen. In diesem Beitrag soll es um solche Apps gehen, die einerseits dem schulischen Lernen dienen (Lern-Apps) und andererseits ihr Potenzial erst durch die Einbindung in den Unter Unterricht entfalten (unterrichtsintegrierte, oder kurz integrierte Lern-Apps). Charakteristisch für den Softwaretyp App ist nicht der jeweilige Gerätetyp, sondern (1) eine inhaltliche enge Fokussierung in der Funktion, (2) eine flexible mobile Einsatzmöglichkeit und (3) eine relativ intuitive Zugänglichkeit und Bedienbarkeit. Lern-Apps sind in der Regel ohne größere Hürden für jeden einzelnen Lernenden verfügbar und nutzbar, was aber noch nicht impliziert, dass damit eine maximale Individualisierung und Digitalisierung angestrebt wird. Im Gegenteil: als Qualitätskriterien für Lern-Apps wird angesehen, dass diese eine Verbindung mit der Realität und Interaktionen zwischen Personen fördern (Hirsh-Pasek et al. 2015). In dem hier beschriebenen Sinne gab es im Mathematikunterricht immer schon Apps, anfangs als spezielle Computersoftware, seit vielen Jahren dann auf der Basis bestehender Computerwerkzeuge (z. B. Excel-Apps oder Geogebra-Apps) und mittlerweile in Form von Tablet- und Smartphone-Apps. Will man die Qualität von Lernsoftware allgemein und Lern-Apps im Speziellen einschätzen, oder will man didaktisch hochwertige Produkte entwickeln, so kommt man nicht umhin, die in Abb. 16.1 skizzierten Entscheidungsfelder einzubeziehen.

Abb. 16.1 Entscheidungsfelder für Entscheidung über eine App-Qualität (bei der Entwicklung oder Bewertung)

Im technischen Entscheidungsfeld finden rasante Enzwicklungen statt, hinsichtlich der rechnerischen Leistungsfähigkeit (z. B. für Visualisierungen) oder bei den Nutzerschnittstellen (z. B. Gestensteuerung), was langfristig die stärkere Einbindung virtueller Realität ermöglicht. Ebenfalls entwickeln sich die Geräteunabhängigkeit oder die Möglichkeiten

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Mathematik erkunden und verstehen

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der Geräteinteraktion weiter. Diese Entwicklungen bieten Optionen für die anderen Entscheidungsfelder, manchmal machen sie sich allerdings selbstständig und technische Möglichkeiten und ökonomische Faktoren bestimmen die Entwicklung. Die lerntheoretischen Grundlagen sind dann mitunter auf die subjektiven Lerntheorien der Programmierenden reduziert, eine begleitende Forschung mit Blick auf die kurzen Entwicklungszyklen eher minimalistisch. (ebd., S. 5) Im methodischen Entscheidungsfeld geht es um die Organisation des Einsatzes von app-fähigen Geräten an der Schule und im Unterricht. Hier gibt es große Herausforderungen zu bewältigen, Schulen haben sich mit Be ginn der Einführung des iPad kreativ auf den Weg gemacht. Diese Entwicklung und die begleitende Forschung konzentriert sich allerdings noch überwiegend auf die äußeren Umsetzungsformen (Sichtstrukturen) und die Zufriedenheit der Akteure (Bastian & Aufenanger 2016). Die Wahl und der Einsatz der Apps beruht oft ausschließlich auf Einschätzungen der Lehrkräfte. Im (allgemein-)didaktischen Entscheidungsfeld geht es um die Struktur der Lehr-Lernprozesse. Eine stärkere Eigenverantwortung und Individualisierung werden als wesentliche Vorzüge der Digitalisierung in den Blick genommen, inwieweit veränderte Lernkulturen auch eine höhere Qualität der Lernprozesse und Lernergebnisse bedingen ist noch weitgehend offen. Allerdings hat die Medienpsychologie bereits vielfältige Aspekte untersucht und kann allgemeine Prinzipien formulieren (z. B. Clark & Mayer 2016). Man muss also fragen, welche Formen des Lehrens und Lernens auf welche Weise von einer bestimmten Lern-App profitieren können: Geht es z. B. um ein kognitiv aktivierendes gemeinsames Erkunden, geht es um ein effektives individuelles Erarbeiten, geht es um das Verwalten einer gemeinsamen Wissensbasis oder geht es um adaptives individualisiertes Üben? Im fachdidaktischen Entscheidungsfeld geht es vor allem um die inhaltliche Qualität des Lernangebots. Passen die durch Lern-Apps ermöglichten Lernwege zu den zentralen inhaltlichen Zielen und fördern sie ihre Erreichung? Unterstützt z. B. eine Lern-App Problemlöseprozesse, oder verhindert sie sie durch zu viel Steuerung? Werden die zentralen Verstehenselemente eines Themas geeignet repräsentiert? In solchen fachdidaktischen Fragen entscheiden sich die Tiefenstrukturen des Lernens und hier gibt es noch viel Forschungsbedarf. In diesem Sinn wurde in den letzten Jahren im Rahmen der Entwicklungsforschung im Projekt KOSIMA (Hußmann et al. 2011) auch die Rolle von Lern-Apps in den Blick genommen.

16.2

Simulationen für das kognitiv aktivierende Erkunden in sinnstiftenden Kontexten

Die Entwicklung und Untersuchung von Lern-Apps ist im KOSIMA-Projekt kein Selbstzweck, sondern eingebettet in ein theoretisch ausdifferenziertes Unterrichtskonzept. Seine Kernelemente bestimmen auch die Formate und Qualitätskriterien der entwickelten Apps. Dabei waren in den vier Entscheidungsfeldern die folgenden Überlegungen leitend.

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T. Leuders

Tab. 16.1 Typen von computerbasierten Elementen von Lernumgebungen (mit zunehmender Offenheit von links nach rechts). Der Schwerpunkt der Lern-Apps bei KOSIMA liegt auf den Animationen und Simulationen Hypertext

Animationen

Simulationen

Modellierungswerkzeuge

Multimediale Verbindungen von Bild Ton und Text, mit flexibler Navigation

Dynamische, visuelle Darstellungen von Situationen mit Prozesscharakter, mit der Möglichkeit der Beeinflussung weniger Freiheitsgrade, insbesondere der zeitlichen Abläufe und der Wahl der Darstellung

Komplexere Systeme, deren Verhaltensweisen durch eine größere Zahl von Parametern interaktiv beeinflusst werden können. Hier geht es vor allem um die offene Exploration mathematischer Zusammenhänge

Offene Systeme, bei denen mit gegebenen Bausteinen und Werkzeugen eine Vielzahl variierender Situationen erstellt und dann untersucht werden können (z. B. DGS).

KOSIMA-Apps für das Erkunden

Allgemeindidaktisches Entscheidungsfeld: Der Unterricht im KOSIMA-Konzept ist gegliedert in Phasen des Orientierens (durch Kernprobleme und Kernfragen), des Erkundens auf eigenen Wegen, des Systematisieren und Sichern in eigens entwickelten Ordnenaufgaben (Barzel et al. 2013), des Vertiefens durch Produktives Üben und Vernetzen, und des Reflektierens des Lernstands durch Kompetenzen (Prediger et al. 2014). In allen diesen Phasen können Lern-Apps im Prinzip eine Funktion erfüllen, z. B. durch eine Unterstützung der Selbstorganisation oder durch ein adaptives individuelles Üben. Wir haben einen Schwerpunkt der Entwicklung von Lern-Apps allerdings auf die Phase des Erkundens gelegt: Neben den universellen Werkzeugen des Mathematikunterrichts (z. B. Tabellenkalkulation, DGS) bestand hier bei vielen Themen die Notwendigkeit, die offenen Erkundungen durch interaktive Simulationen gezielt zu unterstützen und dabei fokussiert kognitiv anzuregen (Renkl 2014, Leuders & Holzäpfel 2011). Eine Simulation soll dabei verstanden werden als eine computergestützte (hier App-basierte) Erkundungsumgebung, die im Spektrum zwischen statischen Bild-Ton-Text-Darstellungen (z. B. einem Erklärvideo) und universellen mathematischen Werkzeugen (z. B. einem CAS) eine mittleren bis hohen Grad von Offenheit hat (vgl. Plötzner et al. 2009): Fachdidaktisches Entscheidungsfeld: Das KOSIMA-Konzept basiert auf dem Prinzip der genetischen Entwicklung mathematischer Begriffe in sinnstiftenden Kontexten und unter Berücksichtigung inhaltlicher Vorstellungen (ausführlich bei Hußmann et al. 2011). Die hierzu entwickelten Lernumgebungen gehen daher von konkreten Kernfragen aus, zu deren Beantwortung die Lernenden individuell oder in Gruppen, auf jeden Fall aber zunächst auf eigenen Wegen die mathematischen Zusammenhänge erkunden. Für die Lern-Apps

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Mathematik erkunden und verstehen

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als die computergestützten Elemente der Lernumgebungen ergeben sich daraus u. a. als Anforderungen: •

•

•

Sie müssen eingebunden sein in konkrete, orientierende Fragestellungen, d. h. in die nach fachdidaktischen Kriterien konzipierten Aufgabenstellungen der Lernumgebung („genetisches Lernen durch Erkundung dynamischer Prozesse“). Sie sollten Elemente des sinnstiftenden Kontextes, in didaktisch jeweils passendem Realitätsgrad bzw. Abstraktionsgrad visuell oder interaktiv repräsentieren („kognitive Aktivierung in Animationen und Simulationen“). Sie müssen für jeden Lerngegenstand die zentralen Verstehenselemente geeignet repräsentieren („Aufbau inhaltlicher Vorstellungen durch geeignete Visualisierungen und Prozesse“).

Methodisches Entscheidungsfeld: Hier macht das KOSIMA-Unterrichtskonzept keine engen Vorgaben, setzt aber einen dialogischen Unterricht in der Klasse mit flexibler Binnendifferenzierung voraus (Leuders & Prediger 2016). Die Apps müssen daher flexibel (je nach Themenbereich) in der Hand einzelner Lernender oder Kleingruppen genutzt werden können. Je nach Ausstattung können das Gruppenlaptops oder Tablets sein. Erwünschte Austausch- und Kooperationsprozesse müssen unterstützt und nicht behindert werden. Die kognitive Aktivierung geht also nicht allein von der Lern-App aus, sondern ergibt sich nur in der Verbindung mit der Aufgabenstellung und dem Unterrichtsrahmen. Technisches Entscheidungsfeld: Das KOSIMA-Konzept braucht einen Rahmen, der es erlaubt, für jeden Inhalt spezifische Applikationen zu erstellen und dabei die Möglichkeiten der Visualisierung und Interaktivität des Geräts auszuschöpfen. Hier haben wir uns für die Software Cinderella entschieden, die zusammen mit der integrierten Programmiersprache CindyScript eine leistungsfähige universelle Simulationsumgebung darstellt (Kortenkamp & Richter-Gebert 1999).

16.3

Beispiele aus den KOSIMA-Apps

Die hier vorgestellten Beispiele (aus einer Sammlung von über 30 Apps für die Schuljahre 6-10) wurden unter Cinderella entwickelt und funktionieren im Zusammenhang mit der Software an allen Computersystemen. Mittlerweile sind sie auch plattformunabhängig, und damit auch auf Tablets einsetzbar. Sie können erreicht bzw. heruntergeladen werden unter www.ko-si-ma.de → Produkte. Es wird empfohlen die jeweiligen Apps neben dem Text anzuschauen, da viele Aspekte in Text und Bild allein nicht plastisch werden.

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Beispiel 1: Zehnhoch – Riesiges und Winziges in Zeitraffer durchschreiten

Abb. 16.2 Die App erlaubt einen schnellen Durchgang durch Größenordnungen und zeigt unterstützende Darstellungen (Mit freundlicher Genehmigung © Cornelsen Verlag)

Lernkontext: Gegenstand des Kapitels „Von den Quarks bis ins Universum – Mit riesigen und winzigen Größen umgehen“ sind mathematische Darstellungen von Zahlen und Größen mit Potenzen als mathematisches Handwerkszeug (Leuders & Neumann 2016). Wesentliches didaktisches Prinzip ist aber, dies in einem sinnstiftenden Kontext zu tun, in dem die Lernenden erkennen können, auf welches Problem diese mathematischen Notationen eine Antwort sind: Potenzdarstellungen bieten zum einen eine kompakte und effiziente,

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Mathematik erkunden und verstehen

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das Dezimalsystem nutzende und erweiternde Darstellung, zum zweiten die Möglichkeit des effizienten Umgangs mit Einheiten über viele Größenordnungen hinweg. Wir haben es also mit der didaktischen Herausforderung zu tun, dass die Lernenden zwar ihren alltäglichen Erfahrungsbereich verlassen müssen, dass aber auch in einem solchen virtuellen Umfeld nicht nur symbolische Probleme bearbeiten, sondern auch Handlungen und Vorstellungen aktiviert werden. Fachdidaktische Entscheidungen: Die Möglichkeiten der Visualisierung und Dynamisierung wurden genutzt, um die Potenzdarstellung mit verschiedenen verstehensfördernden Vorstellungen zu verbinden: Die im Symbolischen prägnante durchgehende Systematik der Zehnerpotenzschritte wird geometrisch durch die Darstellung verschachtelter Quadrate mit der jeweiligen Seitenlänge deutlicher, allerdings erst über mehre Größenordnungen wahrnehmbar, wenn man die Möglichkeit hat, schnell durch diese herein und heraus zu zoomen. Dabei wird zugleich deutlich, dass die diskreten Zehnerstufen einen kontinuierlichen Übergang strukturieren. Durch die jeweils eingeblendeten verschiedenen Objekte, die Lernenden aus Unterricht und Medienwelt bekannt sein sollten, und die ebenfalls in der Natur ineinander verschachtelt sind, verbinden sich die sonst getrennten Größenbereiche. Die Objekte können zugleich als Stützpunktvorstellungen dienen. Die in Abb. 16.2 dargestellte Aufgabe macht deutlich, wie die Problemsituation zudem kognitiv aktiviert und auf die genannten Aspekte fokussiert. Die Lern-App allein hat durch ihre wenigen Freiheitsgrade der Interaktion eher den Charakter einer Animation, sie wird erst durch die Aufgabenstellungen, die mit ihr bearbeitet werden, kognitiv aktivierend. Beispiel 2: Der Wahrscheinlichkeitserkunder – Zufallsversuche konstruieren und explorieren Lernkontext: In der Wahrscheinlichkeitsrechnung werden in der Klasse 10 stochastische Situationen mit mehrstufigen Zufallsversuchen und bedingten Wahrscheinlichkeiten modelliert (Leuders et al. 2017). Für die Umsetzung in einem sinnstiftenden Kontext wurde nicht ein Glücksspiel, sondern die Frage der Konstellationen von Mädchen- oder Jungen in Mehrkinderfamilien (bei gleicher Geburtswahrscheinlichkeit) gewählt. Ein frequentistischer Zugang über die Simulation der Geburtenfolge durch Simulation mit Münzen und dem Computer wird gefolgt von Modellierungen verschiedener mehrstufiger Zufallsversuche. Fachdidaktische Entscheidungen: Als passende Unterstützung wird eine Lern-App zur Simulation von vielfach durchgeführten Wiederholungen zur Aktivierung frequentistischer Vorstellungen angeboten (hier nicht abgebildet). Dabei ist denkbar, dass Lernende dabei auch selbst Zufallsversuche mit einem universellen Werkzeug wie Excel generieren und anhand der Konstruktion die Struktur der Zufallssituation besser verstehen. Dies würde

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Abb. 16.3 Ein Modellierungswerkzeug zur Konstruktion und Erkundung mehrstufiger Zufallsversuche (Mit freundlicher Genehmigung © Cornelsen Verlag)

sich allerdings nur lohnen, wenn die nötigen technischen Fähigkeiten des Umgang mit der Generierung und Auswertung von Zufallsimulationen auch wieder genutzt würden. Für die Lernumgebung dieses Kapitels wurde stattdessen der Schwerpunkt auf die Entwicklung einer Lern-App gelegt, die flexibel zur Konstruktion und Exploration von mehrstufigen Zufallsversuchen genutzt werden kann. Kernelement ist ein Werkzeug zur Baumkonstruk Baumkonstruktion: Per drag-and-drop werden Astsysteme zu Bäumen kombiniert. Sie können jederzeit strukturell umgebaut oder optisch optimiert werden. Je nach Aufgabenstellung können bedingte und totale Wahrscheinlichkeiten, Häufigkeiten und sogar Erwartungswerte angezeigt werden. Diese Lern-App soll den Lernenden nicht das Rechnen abnehmen, sondern ihnen ermöglichen, Wahrscheinlichkeitssituationen flexibel zu variieren und zu explorieren. Dies erlaubt unter anderem eine Aufgabenstellungen des operativen Durcharbeitens konzeptueller Aspekte („Was ändert sich, wenn...“). Zusätzlich zur Baumdarstellung wird

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ein Flächendiagramm angezeigt, das die Situation strukturanalog darstellt und in der Form verändert werden kann. Sofern die technische Ausstattung es ermöglicht, können Lernende mit diesen Darstellungen in physischen oder digitalen Lerntagebüchern arbeiten. Auch ein Einsatz an einem interaktiven Smartboard ist mit dieser App durchführbar. Die LernApp hat bereits eher den Charakter eines Modellierungswerkzeuges als einer vorgefertigten Simulation. Forschungsbezüge: Im hier angedeuteten Kapitel werden durchgehend konkrete Anzahlen und die doppelte Darstellungen als Flächenbild und als Baum genutzt. Im Rahmen des KOSIMA-Konzeptes bettet sich das Flächenbild in eine vom 5. Schuljahr an genutzte vorstellungsaufbauende Darstellung von multiplikativen Situationen (insbesondere Anteile von Anteilen, vgl. Prediger et al. 2011) ein. Zur didaktischen Strategie, zunächst absolute Häufigkeiten zu betonen, gibt es mittlerweile eine breiten Befundstand, der dieses Vorgehen als verstehensunterstützend nahelegt (Johnson & Tubau 2015). Flächenbilder sind hingegen weniger beforscht, hier findet man aber auch bereits empirische Hinweise, dass die Flächendarstellung nicht nur zu Größenvorstellung von Wahrscheinlichkeiten beiträgt, sondern auch das für mehrstufige Wahrscheinlichkeitssituation wichtigen Verständnis einer geschachtelten Struktur unterstützt (Böcherer-Linder et al. 2018). Da die App aufgrund ihrer Universalität eine relativ hohe Bedienkomplexität hat, wurde in einer qualitativen Begleitforschung sichergestellt, dass Lernende hiermit angemessen umgehen können. Beispiel 3: Pythagorasrechner – Der Satz des Pythagoras als praktisches Problem Lernkontext: Der Satz des Pythagoras ist eine zentrales und vielfach beforschtes Thema des Mathematikunterrichtes, bei dem unterschiedlichste Zugänge möglich sind (DrollingerVetter 2011). Im Rahmen des KOSIMA-Projektes, das genetischen Zugängen eine hohen sinnstiftende Funktion beimisst, wurde entschieden, dass die letztlich häufigste praktische Nutzung des Satzes zur Berechnung unbekannter Längen auch schon zu Beginn im Zentrum steht, konkret im Kontext der Planung eines Abenteuerspielplatzes (Barzel et al. 2016). Mit Blick auf Lern-Apps gibt es vielfältige Möglichkeiten, den Satz des Pythagoras computergestützt zu entdecken, zu visualisieren oder zu beweisen. Für die konkrete Realisierung des hier angedeuteten Kapitels war das Ziel eine einzelne Lern-App zu entwickeln, die zugleich die Funktion haben sollte, im Anwendungskontext die Längenberechnung zu unterstützen, die Aufmerksamkeit auf die konzeptuellen Verstehenselemente des Satzes zu lenken und zugleich auf einen Beweis vorzubereiten (sog. latente Beweisidee, Meyer & Voigt 2008). Fachdidaktische Entscheidungen: Die genannten Funktionen sind in der Lern-App „Pythagorasrechner“ vereint. Sie stellt schrittweise einen konkreten Rechenweg zur Bestimmung einer Hypotenusenlänge aus einstellbaren Kathetenwerten dar. Damit ist sie

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Abb. 16.4 Der „Pythagorasrechner“ ermöglicht das Bestimmen von Hypotenusenlängen und enthält bereits eine latente Beweisidee für den Satz des Pythagoras (Mit freundlicher Genehmigung © Cornelsen Verlag)

über viele Aufgaben hinweg als Rechenwerkzeug nutzbar. Aus der mehrfachen Nutzung der Lern-App kann man dann die Idee einer allgemeinen Durchführung mit Variablen entwickeln (je nach Klasse mit mehr oder weniger Anleitung, ausführlicher bei Leuders 2018). Die Umsetzung als Lern-App hat also die Funktion der Unterstützung des Lernwegs, von der konkreten Anwendung bis zur allgemeinen Darstellung des Satzes. Die wichtigsten konzeptuellen Schritte (z. B. die Umformung des Rechenterms zum Pythagoras-Satz in vertrauter Form) sollten allerdings weiterhin im Dialog im Unterricht vollzogen werden.

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16.4

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Fazit und offene Fragen

Der hier vorgestellte Typus von Lern-Apps für das Erkunden mathematischer Situationen hat sich in KOSIMA neben den hier vorgestellten Beispielen in noch vielen weiteren Themengebieten bewähren müssen. Besonders augenfällig wurden bei der Entwicklung und Umsetzung dabei drei Phänomene: •

• •

Es gibt keine Lösungen „von der Stange“, jeder Gegenstandsbereich erfordert neue fachdidaktische Designentscheidungen und Erprobungen. Relevant für die Qualität ist schließlich nicht die technische Machbarkeit, sondern die Passung zum didaktischen Konzept der Lernumgebung. Es ist günstig, wenn die organisatorische und methodische Umsetzung in der Praxis nicht zu eng vorgegeben wird, da hier die Bedingungen und Arbeitsweisen zwischen Schulen und Lehrkräften erheblich variieren. Voraussetzung auf der technischen Seite ist weniger die Hardware (hier werden Lösungen mit der Zeit ohnehin immer plattformunabhängiger), sondern die Qualität und Mächtigkeit der Software. Cinderella inklusive seiner Programmiermöglichkeiten hat sich als mathematisch fundierter, universeller und beinahe unbegrenzter Simulationsbaukasten erwiesen.

Für künftige Entwicklungen von Lern-Apps, die an die KOSIMA-Erfahrungen anknüpfen, bleiben noch viele Entwicklungsziele und Forschungsfragen offen, z. B.: Wie können Lernumgebungen und Lern-Apps noch stärker in computerbasierte digitale Lernumgebungen integriert werden – ohne allerdings die kommunikativen Aspekte aufzugeben? Welche weiteren App-Formate müssen entwickelt werden, die sich jenseits des Erkundens, z.B. für eine Wissensorganisation oder ein adaptives Üben eignen? Aber auch: Was sollten Lehrkräfte können und tun, um die Lehrangebote angemessen einzusetzen?

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Mathematik erkunden und verstehen

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Renkl, A. (2014). Lernaufgaben zum Erwerb prinzipienbasierter Fertigkeiten: Lernende nicht nur aktivieren, sondern aufs Wesentliche fokussieren. Ralle B. u.a. (Hrsg.): Lernaufgaben entwickeln, bearbeiten und überprüfen – Ergebnisse und Perspektiven fachdidaktischer Forschung. Reihe: Fachdidaktische Forschungen Bd, 6, 12–22. Richter-Gebert, J., & Kortenkamp, U. H. (1999). The interactive geometry software Cinderella. Berlin: Springer.

Digitale Werkzeuge im Mathematikunterricht – Konzepte, empirische Ergebnisse und Desiderate

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Jürgen Roth

Zusammenfassung

Die mathematikdidaktische Auseinandersetzung mit dem Einsatz digitaler Werkzeuge im Mathematikunterricht ist so alt wie die Verfügbarkeit von digitalen Werkzeugen. Diese Auseinandersetzung hat verschiedene Phasen durchlebt, an denen Bärbel Barzel in vielfältiger Weise mitgearbeitet hat. Diese Phasen werden hier retrospektiv zusammengestellt und ihre Bedeutung für die fachdidaktische Forschung sowie den Mathematikunterricht in Form von Einsatzszenarien für digitale Werkzeuge diskutiert. Dazu werden einige wesentliche Fragen bezüglich des Einsatzes digitaler Werkzeuge benannt und mit dem didaktischen Tetraeder ein Modell zur Analyse des Einsatzes digitaler Werkzeuge im Mathematikunterricht vorgestellt. Auf dieser Basis werden Konzepte zur Gestaltung und zum Einsatz digitaler Werkzeuge im Rahmen von Lernumgebungen erläutert. Abschließend werden eigene Forschungsergebnisse bzgl. der Effektivität des Einsatzes digitaler Werkzeuge im Mathematikunterricht zusammengestellt und bezugnehmend auf die zu klärenden Fragen noch bestehende Forschungsdesiderate aufgezeigt.

Jürgen Roth * Universität Koblenz-Landau Landau, Deutschland E-Mail: [email protected]

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2019 A. Büchter et al. (Hrsg.), Vielfältige Zugänge zum Mathematikunterricht, https://doi.org/10.1007/978-3-658-24292-3_17

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Ziele und Bedingungen eines erfolgreichen Einsatzes digitaler Werkzeuge im Mathematikunterricht

Digitale Werkzeuge sind für den Mathematikunterricht im Wesentlichen Tabellenkalkulationsprogramme, Computer-Algebra-Systeme, dynamische Geometrie-Systeme und als deren Integration dynamische Mathematik-Systeme (auch Multi-Repräsenta­tions-Systeme genannt). Wichtig im Zusammenhang mit dem Einsatz digitaler Werkzeuge im Mathematikunterricht sind auch auf der Basis von digitalen Werkzeugen gestaltete Applets. Dies gilt unabhängig von der Art des Geräts (Taschenrechner, Smartphone, (Tablet-)Computer … ) auf denen diese laufen. Mit Blick auf den Einsatz digitaler Werkzeuge im Mathematik­ unterricht ist zunächst die fundamentale Frage zu beantworten, inwiefern deren Nutzung das Erreichen der Ziele des Mathema­tikunterrichts nachhaltig unterstützt. Freudenthal hat im Jahr 1981 diese Frage als Problem 10 in seine Liste der elf größten Probleme der Mathematikdidaktik aufgenommen und wie folgt formuliert: „How can calculators and computers be used to arouse and increase mathematical understanding?“ (Freudenthal 1981, S.  146). Wesentlich ist also die Frage, inwiefern der Einsatz digitaler Werkzeuge die Entwicklung mathematischen Verständnisses anregen und fördern kann. Wenn digitale Werkzeuge beim Erwerb mathematischer Kompetenzen sowie der Aneignung grundlegenden mathematischen Wissens und Könnens, etwa im Zusammenhang mit mathematischen Begriffen, unterstützen sollen, spielen eine Reihe von weiteren Fragen eine wesentliche Rolle: 1. Welche inhaltlichen Ziele des Mathematikunterrichts lassen sich mit digitalen Werkzeugen besser erreichen als ohne? 2. Welche (mathematikbezogenen) kognitiven Prozesse werden besonders gut durch eine geeignete Nutzung digitaler Werkzeuge unterstützt? 3. Wie müssen ggf. die zugehörigen Lernumgebungen gestaltet sein, damit die bessere Zielerreichung sowie die Unter­stützung kognitiver Prozesse wirklich eintritt? 4. Inwiefern hängen die ersten drei Fragen von individuellen Voraussetzungen bei Schülerinnen und Schülern sowie Lehrpersonen ab? 5. Welche Interaktionsformen zwischen mathematischen Inhalten, Schülerinnen und Schülern, Lehrpersonen und digita­len sowie analogen Werkzeugen sind zielführend? Dies sind nur einige der zentralen Fragen im Zusammenhang mit dem Einsatz digitaler Werkzeuge im Mathematikunterricht. Sie alle implizieren ein Zusammenspiel zwischen mathematischen Inhalten, Lehrpersonen, Schülerinnen und Schülern, sowie (digitalen) Werkzeugen. Um dieses Zusammenspiel analysieren und für die Gestaltung von geeigneten Lernumgebungen sinnvoll strukturieren zu können, kann das im folgenden Abschnitt dargestellte didaktische Tetraeder nützlich sein.

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Digitale Werkzeuge im Mathematikunterricht

17.2

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Didaktisches Tetraeder – Ein Modell zur Analyse des Einsatzes digitaler Werkzeuge

Das didaktische Tetraeder (vgl. Trgalová, Clark-Wilson & Weigand 2018; Tall 1986 und Abb. 17.1) hat vier Eckpunkte, nämlich • • • •

die Schülerin die bzw. den Schüler, der den (mathematischen) Inhalt verste­hen möchte, den (mathematischen) Inhalt, der verstanden werden soll, die Lehrperson, die den Verstehensprozess unterstützen möchte, und das (digitale) Werkzeug, das als Mittler zwischen den anderen drei Eck­punkten fungiert und nicht nur digitale Werkzeuge, wie etwa dynamische Mathematik-Systeme, sondern auch analoge Werkzeuge wie z. B. das Geo­dreieck umfasst.

Verstehens- oder Problemlöseprozesse im Mathematikunterricht laufen in aller Regel im Zusammenspiel aller vier Eckpunkte des didaktischen Tetraeders ab. Trotzdem kann es für Analyse- und Reflexionszwecke sinnvoll sein, auf spezifische Beziehungen und Prozesse zu fokussieren. Dies soll nun beispielhaft anhand der vier Flächen des didaktischen Tetraeders erläutert werden, die in Abb. 17.2 jeweils farbig hervorgehoben und nummeriert wurden. 1. Die Grundfläche (1) des didaktischen Tetraeders (vgl. Abb. 17.2, Bild (1)) bezieht sich auf die Prozesse, die zwischen Schülerinnen und Schülern, dem mathematischen Inhalt und der Lehrperson ablaufen. Aus der Perspektive der Lehrperson geht es hier um die Frage, wie Lern- bzw. Problemlöseprozesse so gestaltet werden können, dass der Mathematikunterricht möglichst wirksam ist, seine Ziele also möglichst umfassend erreicht. Dazu ist der Unterricht von ihr an den Kernideen des jeweiligen mathematischen Inhalts sowie an den Schülerinnen und Schülern auszurichten (vgl. Roth 2018). Aus der Perspektive der Schülerinnen und Schüler geht es darum, die Intentionen und Aufgabenstellungen der Lehrperson zu er­fassen und die mathematische Situation zu verstehen, bzw. das mathematische Problem anzugehen. Des Weiteren können sie sich ggf. Hilfestellungen von der Lehrperson und/oder den Mitschülerinnen und -schülern holen, bzw. mit diesen zu­sammenarbeiten, um das (selbst-)gesteckte mathematische Ziel zu erreichen. 2. Die hintere Fläche (2) des didaktischen Tetraeders (vgl. Abb. 17.2, Bild (2)) kann auf zwei Arten gedeutet werden: Zum einen kann es sich um den Prozess handeln, in dem die Lehrperson sich selbst mit mathematischen Inhalten ausein­andersetzt und versucht die damit verbundenen Probleme mit Hilfe (digitaler) Werkzeuge zu lösen bzw. sich die Inhalte im Zusammenspiel mit (digitalen) Werkzeugen zu erarbeiten und verständlich zu machen. Zum anderen kann es hier darum gehen, dass die Lehrperson sich überlegt, wie der mathematische Inhalt sich mit Hilfe des (digitalen) Werkzeugs gut darstellen und erfassen lässt und auf dieser Basis eine Lernumgebung zum mathematischen Inhalt unter Einbeziehung des (digitalen) Werkzeugs konzipiert. Die in Abschnitt 1 formulierte Frage (3) lässt sich auf diese Fläche des didaktischen Tetraeders beziehen.

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Abb. 17.1 Didaktisches Tetraeder

Abb. 17.2 Die vier Seiten des didaktischen Tetraeders

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3. Die rechte Fläche (3) des didaktischen Tetraeders (vgl. Abb. 17.2, Bild (3)) bezieht sich auf die Lern- und Problem­löseprozesse der Schülerinnen und Schüler, die versuchen mit Hilfe von (digitalen) Werkzeugen mathematische Inhalte zu durchdringen und zu verstehen, sowie mathematische Probleme zu lösen. Dabei entwickelt sich das (digitale) Werkzeug im Idealfall, im Sinne der Instrumental Genesis, im Zusammenspiel mit der Aufgabe, dem mathematischen Inhalt und den mentalen Schemata der an der Aufgabe arbeitenden Lernenden zum jeweils individuellen, persönlichen Instrument (Ra­bardel 2002, Verillon & Rabardel 1995), das zielgerichtet genutzt werden kann. 4. Die vordere Fläche (4) des didaktischen Tetraeders (vgl. Abb. 17.2, Bild (3)) umfasst das Zusammenspiel von Lehr­person, Schülerinnen und Schülern sowie den (digitalen) Werkzeugen. Aus der Perspektive der Lehrperson geht es darum, wie sie Schülerinnen und Schüler dabei unterstützen kann, die (digitalen) Werkzeuge zum persönlichen Instrument zu ma­chen. Dies kann etwa dadurch geschehen, dass Bedienungs-, Problemlöse- und Reflexionsstrategien für das Arbeiten mit (digitalen) Werkzeugen im Sinne von Barzel und Roth (2018) explizit thematisiert werden. Daneben geht es um Kom­munikation zwischen Schülerinnen und Schülern sowie der Lehrperson, bei der das (digitale) Werkzeug als Medium im Wortsinn verwendet wird. Die in Abschnitt 1 aufgeworfene Frage (5) ist eng mit dieser Fläche des didaktischen Tetraeders verbunden. Die Symmetrie des didaktischen Tetraeders visualisiert, dass Kommunikations- und Orchestrationsprozesse über das (digitale) Werkzeug nicht nur von der Lehrperson mit Blick auf die Lernenden, sondern auch umgekehrt von den Schülerinnen und Schülern mit Blick auf die Lehrperson und die Mitschülerinnen und -schüler stattfinden können und werden.

17.3

Ansätze zur Gestaltung des Einsatzes digitaler Werkzeuge

Die dritte Seite des didaktischen Tetraeders (vgl. Abb. 17.2, Bild (3)) bezieht sich auf die selbstständige Auseinanderset­zung von Schülerinnen und Schülern mit mathematischen Inhalten unter Verwendung von digitalen Werkzeugen. In diesem Abschnitt geht es um die Frage, wie dabei die Gestaltung eines selbsttätigen und sinnvollen Einsatzes von digitalen Werk­zeugen durch die Schülerinnen und Schüler aussehen kann. Diese Frage wird hier schwerpunktmäßig aus der Perspektive dynamischer Mathematik-Systeme beantwortet. Die spezifische Perspektive von Computer-Algebra-Systemen lässt sich in der entsprechenden Expertise von Bärbel Barzel (2012) nachlesen.

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17.3.1 Grundsätzliche Einsatzszenarien für die selbstständige Nutzung von digitalen Werkzeugen durch Schülerinnen und Schüler Betrachtet man die Literatur zum Einsatz digitaler Werkzeuge im Mathematikunterricht der letzten 20 Jahre, so lassen sich grob drei Ansätze ausmachen, die sich in dieser Reihenfolge entwickelt haben und zum Teil zeitgleich propagiert wurden und werden: • • •

Nutzung von digitalen Werkzeugen ohne Vorstrukturierung, Arbeiten mit vorgefertigten Konfigurationen (Applets bzw. interaktive Arbeitsblätter), Arbeiten im Rahmen von digitalen Lernumgebungen.

Das gemeinsame Ziel aller Ansätze besteht darin, die Schülerinnen und Schüler mittelfristig dazu zu befähigen, ein digitales Werkzeug selbstbestimmt und selbstständig zum Mathematiklernen und mathematischen Problemlösen zu verwenden. In den hier vorgestellten Ansätzen spiegeln sich verschiedene Wege zu diesem Ziel, die alle beschritten wurden und werden. In der Analyse dieser Zugänge wird man flexibel zwischen den verschiedenen Seiten des didaktischen Tetraeders wechseln. Auf diese Weise kann es gelingen einerseits jeweils spezifische Perspektiven intensiv zu beleuchten und andererseits nicht aus den Augen zu verlieren, dass es sich beim didaktischen Tetraeder um ein Ganzes handelt, dessen vier Aspekte, nämlich Lehr­person, Schülerinnen und Schüler, (mathematischer) Inhalt und (digitales) Werkzeug sehr eng verzahnt sind und nicht losgelöst voneinander betrachtet werden sollten. Nutzung von digitalen Werkzeugen ohne Vorstrukturierung Der ursprüngliche Ansatz bestand in der Nutzung von digitalen Werkzeugen ohne Vorstrukturierung durch die Schülerinnen und Schüler. Das heißt, man ließ Schülerinnen und Schüler digitale Werkzeuge von Anfang an selbstständig nutzen und sie ggf. notwendige Konfigurationen von Grund auf selbst produzieren. Zu diesem Ansatz gibt es viele Beispiele aus der Anfangszeit des Computereinsatzes, die hier nicht alle aufgelistet werden können. Eines der letzten Beispiele, bei denen bereits der Einstieg in das Arbeiten mit einem digitalen Werkzeug ohne Vorstrukturierung erfolgt, findet sich bei Kittel (2007). Diese Zugangs­weise hat sich nicht durchgesetzt, weil der Einstieg in das Arbeiten mit dem jeweiligen digitalen Werkzeug auf diese Weise unter Umständen zur reinen und insbesondere mathematikfreien „Produktschulung“ gerät. Im Mittelpunkt sollten aber die mathematischen Inhalte sowie die Entwicklung mathematischer Kompetenzen und nicht das digitale Werkzeug stehen. Weitere Gründe dafür, dass es sich als schwierig erweist, diesen Zugang flächendeckend im Mathematikunterricht umzusetzen, können die fehlende Werkzeugkompetenz vieler Lehrpersonen sein, die sich oft nicht zutrauen, den Schülerinnen und Schülern in einem derart offenen Setting adäquate Hilfestellungen anzubieten, aber auch die mangelnden infrastrukturellen Voraussetzung­en an Schulen (vgl. etwa ifib 2007, 2011). Die Erfahrung, dass gerade der Einstieg in das selbstständige Arbeiten mit digitalen

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Werkzeugen oftmals misslang und entweder als zu schwierig oder zu wenig mathematikorientiert erschien (vgl. Elschenbroich 2001, S.  33), führte zu einem neuen Ansatz, dem Arbeiten mit vorgefertigten Konfigurationen, sogenannten interaktiven Ar­beitsblättern. Arbeiten mit vorgefertigten Konfigurationen (Applets bzw. interaktive Arbeitsblätter) Interaktive Arbeitsblätter werden den Lehrpersonen sowie ihren Schülerinnen und Schülern an die Hand gegeben. Sie bestehen in der Regel aus einer Internetseite, auf der sich ein Applet (ein im Browser lauffähiges Programm) auf der Basis eines dynamischen Geometrie-Systems (DGS) oder dynamischen Mathematik-Systems (DMS) und zugehörige Aufgabenstellungen befinden (vgl. etwa Schumann 1998; Elschenbroich und Seebach 1999; Elschenbroich 2001; Heintz 2001; Gawlick 2003; Wegerle 2003; Baptist 2004; Meier 2009). Die Konfigurationen werden zusammen mit entsprechenden Arbeitsaufträgen von Mathematikdidaktikerinnen und -didaktikern oder erfahrenen Lehrpersonen produziert und dienen als Experimentier- und Erkundungsumgebungen für spezifische Fragestellungen des Mathematikunterrichts. Dabei werden zwei Ziele verfolgt: Einer­seits soll durch die kostenlose, leicht verfügbare Bereitstellung geeigneter Materialien im Internet die Hemmschwelle zur Nut­zung von digitalen Werkzeugen bei Lehrpersonen reduziert werden und der Zugriff für Schülerinnen und Schüler darauf jederzeit möglich sein. Andererseits soll so erreicht werden, dass Schülerinnen und Schüler digitale Werkzeuge von Anfang an selbstständig zum zielgerichteten mathematischen Arbeiten nutzen und nicht mathematikfrei am Produkt geschult werden. Ein erhoffter Nebeneffekt ist, dass Schülerinnen und Schüler durch das Arbeiten mit interaktiven Arbeitsblättern quasi nebenbei die Grundlagen des Umgangs mit dem entsprechenden digitalen Werkzeug erlernen. Dadurch sollen sie immer unabhängiger von interaktiven Arbeitsblättern werden und das Werkzeug schließlich selbstständig und ohne Vorgaben verwenden können. Im Hinblick auf Lehrpersonen dienen von erfahrenen Nutzern (Lehrpersonen, Didaktikerinnen und Didaktikern … ) zur Verfügung gestellte interaktive Arbeitsblätter auch dazu, aufzuzeigen, wie und für welche Zwecke digitale Werkzeuge im Unterricht eingesetzt werden können. Letztlich wollen sie Lehrpersonen Anregungen für die eigene Gestaltung interaktiver Arbeitsblätter geben. Manchen Sammlungen im Internet, wie etwa die des Autors unter www.juergen-roth.de/dynama/, sind aus diesem Grund nur zum Teil als interaktive Arbeitsblätter ausgearbeitet. Daneben gibt es auch reine Applets auf der Basis von dynamischen Geometrie-Systemen oder dynamischen Mathematik-Systemen, für die die Arbeitsaufträge, die sie zu interak­tiven Arbeitsblättern machen, von der jeweiligen Lehrperson mit Blick auf ihre jeweilige Klasse selbst erstellt werden müssen. Analog wird auch auf der Seite www.geogebra.org vorgegangen, die eine große Sammlung von interaktiven Arbeitsblättern und Applets auf Basis des dynamischen MathematikSystems GeoGebra zur Verfügung stellt. Dies ist einerseits ein Zwischen­schritt auf dem Weg zu komplett selbsterstellten interaktiven Arbeitsblättern und eröffnet andererseits die

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Möglichkeit die Materialien auf die eigene Unterrichtspraxis und die jeweilige Klasse abzustimmen. Interaktive Arbeitsblätter bleiben aber in der Regel ein Angebot für einen kurzzeitigen und überschaubaren Computereinsatz. Arbeiten im Rahmen von digitalen Lernumgebungen Sehr bald wurden interaktive Arbeitsblätter zu digitalen Lernumgebungen erweitert, die grundsätzlich nichts anderes sind als über eine HTML-Umgebung miteinander verknüpfte und aufeinander bezogene interaktive Arbeitsblätter. Diese können sowohl über das Internet als auch offline im Browser oder in einer App bearbeitet werden. Die Idee des Arbeitens im Rahmen von digitalen Lernumgebungen besteht darin, dass sich Schülerinnen und Schüler auf diese Weise selbstständig und in ihrem eigenen Arbeitstempo mit einem mathematischen Thema auseinandersetzen. Anders als bei einzelnen interaktiven Arbeits­ blättern, wird hier darauf abgezielt, dass Schülerinnen und Schüler im Rahmen dieser digitalen Lernumgebungen selbstständig aufeinander aufbauende Erkenntnisse gewinnen und diese miteinander vernetzen. Dazu sind auch Bilder und zum Teil Hilfe­stellungen zur Benutzung der Applets sowie die Aufforderung zur Dokumentation der Ergebnisse integriert. Entsprechendes findet man etwa bei Baptist (2004) sowie Miller und Ulm (2006). Digitale Lernumgebungen werden in der Regel über das Internet zur Verfügung gestellt. Es gibt eine Reihe von Kriterien für digitale Lernumgebungen, die im Folgenden zusammengestellt werden. Wie alle Lernum­gebungen sollten sie einigen, bei Vollrath und Roth (2012, S.  156) angegebenen, Bedingungen genügen, die bei der Ent­wicklung und Beurteilung zu beachten sind: Lernumgebungen für den Mathematikunterricht • sind auf das selbstständige Arbeiten von Lerngruppen oder individuellen Lernenden abgestellt und sollen entdecken­des Lernen ermöglichen, • sind inhaltlich durchdacht aufgebaut, fachlich korrekt und bieten vielfältige Zugänge zu einem mathematischen Phä­nomen, • umfassen geeignete Medien, Materialien sowie Aufgabenstellungen, die hinreichend offen sind, um differenzierend zu wirken, • setzen einen methodischen und sozialen Rahmen, • fordern zur Kommunikation und Reflexion über das Erarbeitete heraus, • enthalten Aufforderungen zur Dokumentation der Ergebnisse und • bieten bei Bedarf individuell abrufbare Hilfestellungen an. Zu diesen Kriterien treten bei digitalen Lernumgebungen weitere hinzu (vgl. etwa Heintz und Wittmann 2002): Digitale Lernumgebungen für den Mathematikunterricht • ermöglichen eine Lernerfolgskontrolle durch die Schülerinnen und Schüler selbst, • nutzen das digitale Werkzeug möglichst nicht als einziges Medium, sondern beziehen idealerweise auch gegenständ­liche Materialien mit ein und

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•

nutzen bei der Gestaltung insbesondere die Möglichkeiten der dynamischen Darstellung und der Interaktivität.

Ein Spezialfall digitaler Lernumgebungen sind digitale Lernpfade. Diese erfüllen die oben genannten Kriterien für digitale Lernumgebungen, weisen darüber hinaus aber noch weitere Spezifika auf. Beispiele für derartige Lernpfade finden sich unter www.juergenroth.de/lernpfade/. In Roth (2015) werden die Konzeption digitaler Lernpfade ausführlich dargestellt und diese wie folgt definiert: „Ein Lernpfad ist eine internetbasierte Lernumgebung, die mit einer Sequenz von aufeinander abgestimmten Arbeits­aufträgen strukturierte Pfade durch interaktive Materialien (z.  B. Applets) anbietet, auf denen Lernende handlungsorien­tiert, selbsttätig und eigenverantwortlich auf ein Ziel hin arbeiten. Da die Arbeitsaufträge eine Bausteinstruktur aufwei­sen, können die Lernenden jeweils für ihren Leistungsstand geeignete auswählen. Durch individuell abrufbare Hilfen und Ergebniskontrollen sowie die regelmäßigen Aufforderungen zum Formulieren von Vermutungen, Experimentieren, Argu­mentieren sowie Reflektieren und Protokollieren der Ergebnisse in den Arbeitsaufträgen wird die eigenverantwortliche Auseinandersetzung mit dem Lernpfad explizit gefördert.“ (Roth 2015, S.  8)

17.3.2 Einige Gestaltungsprinzipien und Einsatzmethoden zur Nutzung digitaler Werkzeuge im Rahmen von Lernumgebungen Insbesondere wenn über Gestaltungsprinzipien und Einsatzmethoden zur Nutzung digitaler Werkzeuge im Rahmen von Lernumgebungen nachgedacht wird, lohnt sich die Nutzung des didaktischen Tetraeders als Reflexionshilfe. Bruder und Roth (2017, S.  8) konstatieren: „Abhängig von den jeweiligen inhaltlichen Unterrichtszielen ist ein geeignetes Zusammenspiel von Medien bzw. Repräsentationen, deren Gestaltungsprinzipien und spezifischen Einsatzmethoden erforderlich.“ Sie beziehen sich dabei insbesondere auch auf den Einsatz digitaler Werkzeuge. Wenn es zu Beginn der curricularen Auseinandersetzung mit funktionalen Zusammenhängen z. B. darum geht, tragfähige Grundvorstellungen zum Änderungsverhalten funktionaler Zusammenhänge zu erarbeiten, dann sind insbesondere Applets auf der Basis von dynamischen-Mathematik-Systemen wie etwa GeoGebra gewinnbringend (vgl. Lichti & Roth 2018). Dies gilt allerdings nur dann, wenn sie inhaltsadäquat gestaltet und methodisch gut in den Unterrichtsprozess eingebunden werden. Art der Arbeitsaufträge Wenn die Ziele klar und die entsprechenden Applets inhaltlich und visuell gut gestaltet sind, geht es darum, die Aufgaben so zu formulieren, dass wirklich ein selbstständiges Arbeiten der Schülerinnen und Schüler am Rechner stattfindet. In jedem Fall sollen die Schülerinnen und Schüler vor dem Einsatz des digitalen Werkzeugs aufgefordert werden, sich gedanklich mit dem Problem oder der Situation auseinanderzusetzen und Vorhersagen

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bzgl. deren Veränderungen schriftlich festzuhalten. So kann das später mit dem Applet beobachtete Verhalten der Situation bei Änderungen mit den eigenen Vorhersagen verglichen werden. Das Festhalten der Vorhersagen kann in Form eines kurzen Textes geschehen, durch das Skizzieren eines passenden Funktionsgraphen usw. Wichtig ist, hier jeweils eine Begründung einzufordern, weil allein schon das Suchen nach einer Begründung die kognitive Auseinandersetzung mit dem zu Grunde liegenden (mathematischen) Phänomen vertiefen kann. Erst auf dieser Basis sollte mit dem digitalen Werkzeug gearbeitet werden. Dieses Vorgehen führt einerseits zu einer Vorstruk­turierung, die hilft, beim Arbeiten mit dem digitalen Werkzeug Wesentliches zu erkennen. Andererseits hilft diese Vorarbeit dabei, innerhalb der Umgebung des digitalen Werkzeugs wirklich systematische Variationen vorzunehmen (Roth 2008b). Systematische Variation bedeutet u. a. das bewusste Aufsuchen von Grenzfällen, um Möglichkeiten auszuloten und evtl. neue Erkenntnisse zu gewinnen. Die Lernenden steuern dabei also die Stellen, zu denen sie Vorhersagen getroffen haben, bewusst an. Sie variieren die Situation um diese Stellen herum kleinräumig und langsam und schauen dabei genau hin. Ein weiterer bewährter Aufgabentyp ist, die in einer angebotenen Repräsentation erkannten Aspekte in einer anderen Repräsentation (z. B. zugehöriger Funktionsgraph) begründen zu lassen und umgekehrt. Die dazu notwendigen vernetzten Reflexionen über Reprä­sentationen können – bei geeigneter Unterstützung durch Fokussierungshilfen – Verstehensprozesse vertiefen. Es hat sich als wesentlich herausgestellt, die Lernenden ihre Vorgehensweisen und Ergebnisse im Heft oder auf einem Arbeitsblatt schriftlich festhalten und letztere auch begründen zu lassen. Diese – bei Lernenden zunächst oft unbeliebte Tätigkeit – führt nachweislich zu einer intensiveren Auseinandersetzung der Schülerinnen und Schüler mit den erarbeiteten Inhalten. Bei der gemeinsamen Diskussion darüber, was nun wie festzuhalten ist, kommt es häufig zu neuen Erkenntnissen bei den beteiligten Schülerinnen und Schülern, die im Erarbeitungsprozess selbst noch gar nicht vorhanden waren (vgl. Roth, Schumacher & Sitter 2016). Fokussierungshilfen als wesentliches Gestaltungselement Damit die Lernenden die wesentlichen mathematischen Aspekte und Zusammenhänge im Blick haben und bei der Ver­knüpfung verschiedener Darstellungsformen unterstützt werden, ist es wichtig, die Aufmerksamkeit durch Fokussierungshilfen (vgl. Roth 2017) zu lenken. Diese sind bei der Entwicklung der Lernumgebung durch die Lehrperson zu konzipieren und in die den Schülerinnen und Schülern zur Verfügung gestellten Applets zu integrieren. So fällt es den Schülerinnen und Schülern leichter, sich auf Analyse- und Argumentationsprozesse zu konzentrieren. Fokussierungshilfen können z. B. durch Farbge­ bung, Linienstärken, Mitführen von Messwerten, unterstützende Hilfslinien u. ä. gegeben werden. Das Beispiel in Abb. 17.3 zeigt ein GeoGebra-Applet zum funktionalen Zusammenhang zwischen der Füllmenge (in ml) und der Füllhöhe (in cm) einer Vase. Das Applet vernetzt die Situation, in diesem Fall eine dynamische Visualisierung der Befüllung einer Vase mit Wasser, mit dem zugehörigen Funktionsgraphen. Dies wird insbesondere

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durch den Einsatz von Fokussierungshilfen, etwa der gestrichelten blauen Linie von der Flüssigkeitsoberfläche bis zum aktuellen Funktionswert (Füllhöhe) im Funktionsgraphen, unterstützt. Dadurch fällt es den Lernenden leichter, den Zusammenhang zwischen der dar­gestellten Situation und dem zugehörigen Funktionsgraphen zu erfassen und diese beiden Darstellungen wechselseitig zu inter­pretieren. Wenn Lernende erfahrener sind, kann man die Fokussierungshilfen in den Lernumgebungen schrittweise verringern. Letztlich ist das Ziel, dass die Lernenden die zu untersuchenden Situationen in einem dynamischen Mathematik-System komplett selbst erzeugen sowie Fokussierungshilfen selbstständig planen und umsetzen. Oder sie nutzen das digitale Werkzeug zur Kontrolle ihrer vorher ohne Rechner angestellten Überlegungen. Eine solche selbstständige Nutzung des digitalen Werkzeugs ist das Ziel eines langfristigen, sich über mehrere Jahre erstreckenden Prozesses.

Abb. 17.3 GeoGebra-Applet zum funktionalen Zusammenhang zwischen der Füllmenge (in ml) und der Füllhöhe (in cm) einer Vase (vgl. www.geogebra.org/m/VqVxutUB und Lichti 2019)

Ich-Du-Wir-Prinzip als sinnvolle methodische Rahmung Es zeigt sich, dass die zieladäquate Nutzung digitaler Werkzeuge im Mathematikunterricht einen spezifischen Methodenein­satz erfordert (vgl. Bruder & Roth 2017). Um eine intensive kognitive Aktivierung der Lernenden zu erreichen, ist die Ich-Du-Wir-Methode besonders gut geeignet, muss in diesem Fall aber mit einer passgenauen Mediennutzung in jeder Phase einher­gehen: In der Ich-Phase, also während der individuellen mentalen Auseinandersetzung mit der beschriebenen Situation, bietet sich ein Bild der Situation wie links in Abb. 17.3 als unterstützende Repräsentation an. Lernende können sich damit leichter in die Situation hineinversetzen und Änderungen hineindenken. Das GeoGebra-Applet regt

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dazu an, sich die Veränderung der Füllhöhe beim gleichmäßigen Einfüllen von Wasser in die Vase vorzustellen und einen Funktionsgraphen zum Zusammenhang zwischen Füllmenge und Füllhöhe zu skizzieren. Auch wenn es nicht allen Schülerinnen und Schülern gelingt, die Aufgabe zu ihrer eigenen Zufriedenheit zu bearbeiten, sind sie so dennoch gut darauf vorbereitet, in der nächsten Phase eigene Argumen­tationen einzubringen, solche ihrer Mitschüler besser zu verstehen, und zielgerichtet mit dem GeoGebra-Applet umzugehen. In der Du-Phase tauschen sich zwei Lernende über ihre Überlegungen zum Phänomen aus. Dadurch sind sie gezwungen ihre Denkaktivitäten zu verbalisieren, diese noch einmal zu reflektieren, sich auf die Argumentation des Partners einzulassen und auch diese zu erfassen. Je nachdem, wie weit sie durch diesen Austausch kommen, kann das verfügbare GeoGebra-Applet zwei Zwecken dienen: (1) Entweder wird es am Ende dieses Prozesses als Kontrollinstanz benutzt, um die Ergebnisse der gemeinsamen Überlegungen zu kontrollieren und zu validieren, oder es wird (2) nach einer Weile dazu verwendet, die Situa­tion mit Blick auf die dynamische Abbildung und den damit gekoppelten Funktionsgraphen genauer zu erkunden und die Beobachtungen zu erforschen und zu verstehen. In jedem Fall ist es hierbei besonders wichtig, dass die Schülerinnen und Schüler die Simulation selbst systematisch variieren, also etwa besondere Stellen gezielt anfahren und dabei beide (alle) verfügbaren Repräsentationen beobachten, diese zueinander in Beziehung setzen und die Beobachtungen wechselseitig begrün­den. Hierauf folgt die Wir-Phase, in der die Schülerpaare ihre Ergebnisse vorstellen und diese im Rahmen eines durch die Lehrperson moderierten Unterrichtsgesprächs und anhand des projizierten GeoGebra-Applets systematisiert und gesichert werden.

17.4 Ausgewählte empirische Ergebnisse und Forschungsdesiderate zum Einsatz digitaler Werkzeuge im Mathematikunterricht Wenn die oben genannten Konzepte zur Gestaltung von Lernumgebungen zum selbstständigen Lernen von Schülerinnen und Schülern mit digitalen Werkzeugen eingehalten werden, dann erreichen Schülerinnen und Schüler bessere Ergebnisse bei Leistungstests, als Schülerinnen und Schüler, die nicht mit digitalen Werkzeugen gearbeitet haben. Dies konnte etwa im Inhaltsbereich funktionale Zusammenhänge in mehreren Studien der Arbeitsgruppe des Autors von Roth (2005, 2008a), Rolfes (2018) und Lichti und Roth (2018) bzw. Lichti (2019) gezeigt werden. Damit ist allerdings die Frage 3 aus Abschnitt 1 noch nicht geklärt, nämlich die Frage, wie Lernumgebungen gestaltet sein müssen, damit Lernziele des Mathematikunterrichtes mit digitalen Werkzeugen besser erreicht werden als ohne den Einsatz dieser Werkzeuge. Gezeigt ist damit nur, dass die genannte Zusammensetzung von Maßnahmen zur Zielerreichung führt, nicht aber, welche dieser Maßnahmen welchen Beitrag zu einer besseren Zielerreichung leistet und welche kognitiven Prozesse dabei genau unterstützt werden. Hier gibt es also noch erhebli­chen Forschungsbedarf.

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In einer Studie von Roth (2005, 2008a) ging es um die Frage, ob bewegliches Denken, dass sich aus drei im Folgenden genann­ten Komponenten zusammensetzt, durch entsprechenden Unterricht mit intensivem Einsatz von digitalen Werkzeugen geför­dert werden kann. Die Komponenten des Beweglichen Denkens sind (1) in eine Situation eine Veränderung hineinsehen und damit argumentieren können, (2) bei realen oder hineingesehenen Veränderungen die Auswirkungen auf die Gesamtsituation erfassen und analysieren können und (3) das Änderungsverhalten erfassen und beschreiben können. Ein wesentliches Ergebnis der Studie war, dass insbesondere die (mathematikbezogenen) kognitiven Prozesse gut durch eine geeignete Nutzung digitaler Werkzeuge unterstützt werden können, die dynamische bzw. dynamisierbare Situationen betreffen. In dieselbe Richtung weist eine Studie von Rolfes (2018) der zeigen konnte, dass dynamische Repräsentationen, die auf der Grundlage digitaler Werkzeu­ge erzeugt wurden, für das Lernen funktionalen Denkens nach Vollrath (1989) effizienter sind als statische Repräsentationen. Dies ist ein Ergebnis, das sich auf die rechte Fläche (3) des Didaktischen Tetraeders (vgl. Abb. 17.2, Bild (3)) bezieht, nämlich auf das Zusammenspiel zwischen Schülerin bzw. Schüler, (mathematischem) Inhalt und (digitalem) Werkzeug. Ohne eine Schulung des Umgangs mit interaktiv-dynamischen Repräsentationen, in die der Nutzer selbstständig steuernd ein­greifen kann, sind diese, so ein weiteres Ergebnis der Studie, allerdings genauso lernwirksam, wie linear-dynamische Reprä­sentationen, die wie ein Film nur gestartet werden können und selbstständig ablaufen. Hier fehlt noch eine Untersuchung zur Frage, ob interaktiv-dynamische Repräsentationen nach einer entsprechenden Schulung evtl. noch lern-effizienter sind als line­ar-dynamische. Insbesondere eine Schulung von Strategien beim Arbeiten mit digitalen Werkzeugen, wie von Barzel und Roth (2018) zusammengestellt, könnte hier sinnvoll und zielführend sein. Diese Frage der Strategie-Schulung zur Nutzung digitaler Werkzeuge ist eng mit der vorderen Fläche (4) des didaktischen Tetraeders (vgl. Abb. 17.2, Bild (4)) verbunden. Lichti und Roth (2018) bzw. Lichti (2019) gingen in einer Studie der Frage nach, ob durch Schülerexperimente mit gegen­ständlichen Materialien oder Schülerexperimente mit interaktiv-dynamischen Repräsentationen, nämlich Applets auf der Basis von GeoGebra, das funktionale Denken besser gefördert werden kann. Es stellte sich heraus, dass Experimentieren mit interak­tiv-dynamischen Repräsentationen deutlich stärkere Leistungssteigerungen bei Testaufgaben zum funktionalen Denken be­wirkt. Genauere Analysen zeigten, dass diese größere Leistungssteigerung insbesondere auf eine deutlich bessere Bearbeitung der Items zum Änderungsverhalten zurückzuführen ist. Dies bestätigt wieder die Erkenntnis, dass der Einsatz digitaler Werk­zeuge insbesondere dynamische Denkprozesse fördert. Zu einem ähnlichen Ergebnis kommt auch eine Untersuchung von Göbel, Barzel und Ball (2017). Wie die Studie von Roth (2005) zeigt, ist diese Förderung bei entsprechend gut gestalteten Applets auf der Basis digitaler Werkzeuge nahezu unabhängig von der Intelligenz der Schülerinnen und Schüler und, wie die Studie von Lichti (2019) zeigt, auch unabhängig davon, wieviel Vorerfahrungen die Schülerinnen und Schüler mit digitalen Werk­zeugen haben. Es wäre allerdings noch wesentlich zu identifizieren, von welchen anderen individuellen Variablen der Schüler­innen und Schülern diese Ergebnisse abhängen

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(vgl. Frage 4 in Abschnitt 1). Offen ist aktuell auch noch, inwiefern (mathematikbezogene) kognitive Prozesse gefördert werden können, die sich auf statische Situationen beziehen, die nicht dynamisiert werden können. Wäre diese Frage empirisch geklärt, könnte man genauer vorhersagen, welche mathematischen Inhalte und Denkprozesse gut und welche weniger gut mit Hilfe von digitalen Werkzeugen gefördert werden können (vgl. Frage 2 in Abschnitt 1) und welche Aspekte von zugehörigen Lernumgebungen in welcher Weise Einfluss auf die Lerneffekti­vität von digitalen Werkzeugen haben (vgl. Frage 3 in Abschnitt 1). Es besteht also noch Forschungsbedarf zu vielfältigen Fragen im Zusammenhang mit dem Einsatz von digitalen Werkzeugen im Mathematikunterricht.

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Digitale Werkzeuge im Mathematikunterricht

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Wie digitale Medien funktionales Denken unterstützen können – Zwei Beispiele

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Hana Ruchniewicz und Lisa Göbel

Zusammenfassung

Die Ausbildung funktionalen Denkens ist ein zentrales Ziel des Mathematikunterrichts. Besonders der Aufbau von Grundvorstellungen (Zuordnung, Kovariation, Objekt) sowie ein flexibler Umgang mit Repräsentationen sind dazu zentral. Obwohl Lernende ab der Sekundarstufe vielfach mit Funktionen konfrontiert werden, haben viele Probleme funktionale Abhängigkeiten zu erkennen, zu interpretieren und darzustellen. Um an dieser Stelle zu unterstützen, bieten digitale Medien neue Chancen. Sie können einen Verständnisaufbau nicht zuletzt fördern, indem multiple oder dynamische Darstellungen genutzt werden. Wir stellen Beispiele aus zwei Dissertationsprojekten vor und erörtern, wie der Technologieeinsatz funktionales Denken unterstützen kann. In einer Entwicklungsforschungsstudie wird der Umgang von Lernenden mit einem digitalen Tool zum formativen Selbst-Assessment bezüglich des situativ-graphischen Darstellungswechsels evaluiert. Die Analyse aufgabenbasierter Interviews zeigt, wie bestimmte Designelemente das funktionale Denken von Studierenden beeinflusst. In einer Interventionsstudie werden statische und dynamische Visualisierungen bei der Erkundung von Parametern quadratischer Funktionen verglichen. Dabei hilft die Technologie Zusammenhänge leichter zu entdecken und Hypothesen zu überprüfen.

Hana Ruchniewicz * Universität Duisburg-Essen Essen, Deutschland E-Mail: [email protected] Lisa Göbel Universität Duisburg-Essen Essen, Deutschland E-Mail: [email protected] © Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2019 A. Büchter et al. (Hrsg.), Vielfältige Zugänge zum Mathematikunterricht, https://doi.org/10.1007/978-3-658-24292-3_18

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18.1

H. Ruchniewicz und L. Göbel

Warum funktionales Denken fördern?

Zahlreiche Alltagsphänomene, wie beispielsweise das Messen der Temperatur an einer Wetterstation über einen gewissen Zeitraum, lassen sich funktional erfassen und mithilfe des Funktionsbegriffs modellieren. Aufgrund dieser Anwendungsvielfalt und Bedeutung für die Mathematik und andere (Natur-)Wissenschaften, ist die Auseinandersetzung mit funktionalen Zusammenhängen fest in den KMK Bildungsstandards für den Mittleren Schulabschluss im Fach Mathematik als eine von fünf inhaltlichen Leitideen verankert (KMK 2004). Funktionales Denken ist aber nicht nur in der Sekundarstufe I, wo der Funktionsbegriff zum ersten Mal konkret wird, relevant, sondern „das Denken in Zuordnungen und Veränderungen durchzieht die gesamte Mathematik vom Kindergarten bis zur Universität“ (vom Hofe et al. 2015, S.  149).

18.2

Theoretischer Hintergrund

18.2.1 Funktionales Denken Das didaktische Konzept des funktionalen Denkens beschreibt, welche Vorstellungen Lernende beim Umgang mit Funktionen, ihren Darstellungen und Anwendungen beim Problemlösen sowie Modellieren für ein umfangreiches Begriffsverständnis ausbilden und nutzen müssen. Vollrath (1989, S.  6) definiert: „Funktionales Denken ist eine Denkweise, die typisch für den Umgang mit Funktionen ist.“ Dies wird konkretisiert, indem er das „Typische“ für das Arbeiten mit Funktionen durch die Nennung dreier Aspekte charakterisiert. Diese Aspekte, welche heute als Grundvorstellungen (GVen) aufgefasst werden (vom Hofe 1995), erlauben jeweils die Einnahme einer eigenen Sichtweise auf Funktionen (Vollrath 1989, S.  8 ff.): 1. Zuordnung: Eine Funktion wird als Zuordnungsvorschrift einzelner Werte in dem Sinne verstanden, dass jedem x genau ein f  ( x ) zugeordnet wird. Damit wird sowohl die Eindeutigkeit der Funktion als auch die Abhängigkeit der beteiligten Größen betont. Es wird eine statisch lokale Sichtweise auf den funktionalen Zusammenhang eingenommen. 2. Kovariation: Eine Funktion beschreibt wie sich eine Größe in Abhängigkeit von einer anderen Größe verändert. Diese dynamische Vorstellung bezieht sich auf das Änderungsverhalten der beteiligten Variablen. 3. Objekt: Eine Funktion wird global als eigenständiges mathematisches Objekt betrachtet.

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Wie digitale Medien funktionales Denken unterstützen können

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Obwohl diese Grundvorstellungen unabhängig von der Darstellungsform für alle Funktionen gelten, können sie in den verschiedenen Repräsentationsarten (situativ, numerisch, graphisch, symbolisch) unterschiedlich auftreten (vom Hofe et al. 2015, S.  165). Die Zuordnungsvorstellung ist z. B. hervorgehoben, wenn man einen einzigen Punkt eines Graphen fokussiert. Dagegen wird der Kovariationsaspekt bei Betrachtung des Änderungsverhaltens des Graphen auf einem Intervall unterstrichen. Zudem betont jede Repräsentation unterschiedliche Eigenschaften der dargestellten Funktion (Duval 2006, S.  114). Daher ist für das funktionale Denken relevant, verschiedene Darstellungsarten kennenzulernen und flexibel zwischen ihnen wechseln zu können. Dies ermöglicht es Lernenden, ein konzeptionelles Funktionsverständnis aufzubauen (Duval 2006, S.  128). Zudem ist für die Ausbildung funktionalen Denkens die Konzeptualisierung von Variablen und Parametern zentral. Daher müssen Grundvorstellungen zu Variablen (oft auch als Rollen oder Aspekte bezeichnet) aufgebaut werden. Diese Grundvorstellungen wurden vielseitig beschrieben und verglichen (vgl. Specht 2009). Häufig wird zwischen Variable als Unbekannte, als allgemeine Zahl und als Veränderliche unterschieden. Malle (1993) nennt daneben auch Aspekte, die den Umgang mit Variablen beschreiben. Mit ihnen können etwa Rechnungen ausgeführt (Kalkülaspekt) oder allgemeine Zusammenhänge beschrieben (Gegenstandsaspekt) werden (Barzel & Holzäpfel 2017, S.  4). Parameter werden als eine Variablenrolle oder als Meta-Variable mit eigenen Rollen aufgefasst. Drijvers (2003) unterscheidet zwischen Parameter als Platzhalter, Generalisierte Zahl, Veränderliche und Unbekannte. Die verschiedenen Wahrnehmungen von Parametern (Variablenrolle oder Meta-Variable) führen aufgrund ihrer paradoxen Natur oftmals zu Verständnisschwierigkeiten bezüglich Parametern und Variablen (Drijvers 2003, S.  66 ff). Weitere typische Fehlvorstellungen bei der Ausbildung funktionalen Denkens sind vielfach in der Literatur beschrieben. Lernende interpretieren etwa Graphen als photographische Abbilder der modellierten Realsituation (Graph-als-Bild) oder übergeneralisieren Funktionstypen und -eigenschaften, so dass sie z. B. lineare Zusammenhänge in unpassenden Situationen annehmen (illusion-of-linearity) (z. B. Hadjidemetriou & Williams 2002; Leinhardt et al. 1990). Um solchen Fehlvorstellungen zu begegnen, bietet der Einsatz digitaler Medien neue Möglichkeiten. Schmidt-Thieme und Weigand (2015) stellen heraus, dass sie gegenüber traditionellen Lernmedien die Chance „des schnellen Erzeugens von Darstellungen, der Dynamisierung und des interaktiven Veränderns dieser Darstellungen [bieten und ermöglichen, dass] sich verschiedene Darstellungsformen (fast) gleichzeitig erzeugen und interaktiv miteinander verknüpfen [lassen], so dass wechselseitige Abhängigkeiten zwischen ihnen dynamisch erkundet und erlebt werden können“ (ebd., S.  469 f).

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18.2.2 Digitale Medien Digitale Medien können im Unterricht als Vermittler zwischen den Lernenden und dem mathematischen Begriff dienen. Man unterscheidet digitale Werkzeuge, wie z. B. Funktionenplotter (FP), die universell als Hilfsmittel für vielfältige Probleme einsetzbar sind, und digitale Lernumgebungen. Letztere verfolgen ein bestimmtes fachliches Ziel und finden im Unterricht eher für einen spezifischen Inhalt Verwendung (Barzel et al. 2005, S.  30). Ob der Technologieeinsatz die Leistungen von Lernenden verbessern kann, wurde in vielen Studien untersucht. In einem „ICME survey“ fassen Drijvers et al. (2016) für Lernende der Sekundarstufe I zusammen: „[t]he overall image is that the use of technology in mathematics education can have a significant positive effect, but with small effect size“ (ebd., S.  5). Die Autoren schließen, dass man, obwohl Hinweise für die Verbesserung von Lernleistungen durch den Technologieeinsatz existieren, die Frage nach dem warum noch nicht gänzlich beantworten kann (Drijvers et al. 2016, S. 5 ff). Dazu ist es erforderlich, die Potentiale digitaler Medien zum Mathematiklernen näher zu betrachten und gegenüber möglichen Gefahren abzuschätzen. Folgende Aspekte, die zum einen Argumente für den Technologieeinsatz zur Unterstützung funktionalen Denkens darstellen und zum anderen Designprinzipien zur Gestaltung digitaler Lernumgebungen liefern, sind beim Einsatz digitaler Medien im Kontext des funktionalen Denkens relevant: 1. Entlastung von Kalkül: Komplexe oder routinemäßige Rechnungen und Konstruktionen können an den Computer abgegeben werden, so dass der Fokus stärker auf das Entdecken, Argumentieren, Problemlösen oder Reflektieren der Inhalte gelegt wird (Barzel et al. 2005, S.  38). Die Effizienz und Zielgerichtetheit des Lernens soll so gesteigert werden (Haug 2012, S.  17). Dennoch ist im Unterricht darauf zu achten, dass händische Grundfertigkeiten wie das Zeichnen von Graphen nicht durch einen übermäßigen Einsatz digitaler Werkzeuge verloren gehen (Barzel et al. 2005, S.  38). 2. Schnelle Verfügbarkeit von Darstellungen: Schnell verfügbare Darstellungen bieten viel Raum zum Erkunden funktionaler Zusammenhänge, Generieren von Beispielen sowie zum Aufstellen und Überprüfen von Hypothesen (Barzel et al. 2005, S.  40; Haug 2012, S. 11). Trotzdem kann diese Darstellungsvielfalt und Geschwindigkeit unreflektiertes Handeln hervorrufen (Barzel et al. 2005, S.  40). Cavanagh und Mitchelmore (2000) identifizieren etwa die Tendenz „to accept whatever was displayed in the initial window without question“ als eine von drei typischen Fehlvorstellungen von Zehnt- und Elftklässlern, die Graphen von linearen und quadratischen Funktionen auf einem GTR Bildschirm interpretieren sollten (S.  118). Die Lernenden beziehen sich ohne kritische Überlegungen ausschließlich auf die visuellen Darstellungen und setzten diese nicht mit den eingegebenen numerischen Funktionsformeln in Verbindung (Cavanagh & Mitchelmore 2000, S.  117 f).

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Wie digitale Medien funktionales Denken unterstützen können

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3. Simultane Anzeige multipler Darstellungen: Das Argument der schnellen und einfachen Verfügbarkeit von Darstellungen spielt besonders dann eine Rolle, wenn verschiedene Darstellungsarten ein und derselben Funktion gleichzeitig angezeigt werden. Ihre simultane Visualisierung kann sowohl das in Beziehung setzen von Darstellungen als auch den Wechsel zwischen Repräsentationen anregen, was wiederum zur Begriffsbildung beiträgt (van Someren et al. 1998, S.  2 f). 4. Dynamisierung: Digitale Medien bieten durch Dynamisierung die Chance, Veränderungen von mathematischen Objekten oder Situationen direkt zu beobachten. Dadurch kann besonders die Kovariationsvorstellung angeregt werden (Doorman et al. 2012, S.  1249). Zudem wird die Ausbildung eines „Beweglichen Denkens“ unterstützt, welches das „Hineinsehen“ von Veränderungen in statische Abbildungen ermöglicht (Roth 2005, S.  14). 5. Interaktivität und Verknüpfung von Darstellungen: Digitale Medien ermöglichen „not simply to display representations but especially to allow for actions on those representations“ (Ferrara et al. 2006, S.  242). Funktionsdarstellungen werden interaktiv veränderbar. Zudem besteht die Möglichkeit, Repräsentationen miteinander zu verknüpfen, so dass die Variation einer Darstellung automatisch in einer anderen reflektiert wird und Lernende unmittelbar ein Feedback zu den Auswirkungen ihres Handelns erhalten. Funktionale Beziehungen können so leicht untersucht werden (Barzel et al. 2005, S.  39; Zbiek et al. 2007, S.  1174). Obwohl die Dynamisierung und Interaktivität von Darstellungen großes Potential zur Unterstützung funktionalen Denkens mit sich bringt, birgt die technische Beschleunigung auch die Gefahr, dass Lernende durch schnelle Veränderungen überfordert oder zu einem unreflektierten Handeln veranlasst werden können (Zbiek et al. 2007, S.  1177). Dieser Gefahr kann, wie im Folgenden beschrieben, durch das Design digitaler Medien begegnet werden. 6. Einschränkung des Handelns: Schließlich erlauben es digitale Medien durch ihre Gestaltung, das Handeln der Lernenden zu beeinflussen. Soll etwa ein Graph gezeichnet werden, kann durch die Software bereits ein Koordinatensystem festgelegt werden. Kaput (1992) spricht von einer „Einschränkungs-Unterstützungs-Struktur (constraint-support structure)“, da es vom Zusammenspiel zwischen den intendierten Handlungsmöglichkeiten und der vom Benutzer ausgeführten Handlung abhinge, ob es sich bei diesen Eigenschaften digitaler Medien um Lernchancen oder -hindernisse handelt (ebd. S.  526  f). Empirische Untersuchungen müssen diese Argumente und Designprinzipien bei der Analyse von Lernprozessen überprüfen. Daher stellen wir zwei Dissertationsprojekte zum Einsatz digitaler Medien zur Unterstützung funktionalen Denkens vor.

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18.3

H. Ruchniewicz und L. Göbel

Beispiel 1: Darstellungswechsel von Situation zu Graph mit verlinkten Simulationen sowie multiplen Darstellungen anregen

Das erste Beispiel entstammt einer fachdidaktischen Entwicklungsforschungsstudie, die auf das Design und die Evaluation des „Selbst-Assessment für Funktionales Denken eleklek lektronischen“ (SAFE) Tools abzielt. Dieses unterstützt Lernende beim formativen SelbstAssessment. Daher kann es zum Wiederholen und Wiedererarbeiten von Basiskompetenzen genutzt werden. Lernziel des (bisher) entwickelten Tools ist der Wechsel von der situativen zur graphischen Funktionsdarstellung. Während bei vielen digitalen Angeboten zur Selbstdiagnose Schülerlösungen automatisch durch die Software beurteilt werden, agieren Lernende im Umgang mit den fünf Teilen des SAFE Tools selbstbestimmt. Sie lösen die Test-Aufgabe, bei der ein Zeit-Geschwindigkeits-Graph zu folgender Situation gezeichnet werden soll: „Niklas setzt sich auf sein Fahrrad und fährt von zu Hause los. Dann fährt er mit gleichbleibender Geschwindigkeit die Straße entlang, bevor es einen Hügel hinauf hinaufgeht. Oben auf dem Hügel bleibt er ein paar Minuten stehen, um die Aussicht zu genießen. Danach fährt er wieder herunter und bleibt unten am Hügel stehen.“ Dann überprüfen sie ihre Lösung mithilfe der Musterlösung in Form einer mit einem Graphen verlinkten Simulation ((Abb. 18.1 a) und einem Check. Dieser gibt Checkpunkte vor, für die jeweils entschieden werden muss, ob sie auf die eigene Lösung zutreffen. Zudem werden eine Skizze der Situation sowie der eigene Graph und die Musterlösung gemeinsam in einem Koordinatensystem angezeigt (Abb. 18.1 b). Die Lernenden entscheiden aufgrund dieser Selbstdiagnose, welche Fördermaßnahmen des Tools in Form von zusätzlichen Informationen (Info) und Übungsaufgaben (Üben und Erweitern) sie bearbeiten. Das SAFE Tool stellt verschiedene Visualisierungen und Musterlösungen sowie eine Hyperlinkstruktur zur Verfügung, generiert aber kein Feedback bezüglich der Antworten der Lernenden. Dadurch müssen sie ihren Diagnoseprozess selbst überprüfen und steuern, was ein individuelles und selbstreguliertes Arbeiten ermöglicht (Ruchniewicz 2017).

Abb. 18.1 a) Verlinkte Simulation und Graph als Musterlösung der Test-Aufgabe, b) Ayses Bearbeitung des Checks

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Abb. 18.2 a) Pauls und b) Ayses Lösung und Argumentation zur Test-Aufgabe

Zur Evaluation des SAFE Tools werden Fallstudien in Form von aufgabenbasierten Inter Interviews videographiert, transkribiert und durch qualitative Inhaltanalysen ausgewertet. Im zyklischen Forschungsprozess wird daraufhin das Tool weiterentwickelt und erneut getestet. Drei Probandengruppen werden untersucht: Lernende der Jahrgangsstufen 8/9, da sie im Unterricht bereits mit dem Funktionsbegriff in Berührung gekommen sind, aber noch als Novizen gelten; Lernende der Jahrgangsstufe 10, da sie Inhalte der Sekundarstufe I für die zentralen Abschlussprüfungen wiederholen müssen; Studierende im 2. Semester des Lehramtsstudiums Mathematik für Haupt-, Real-, Sekundar- und Gesamtschulen, da sie erfahren im Umgang mit Funktionen sind, aber im Übergang Schule-Hochschule oft Wiederholungsbedarf des Schulstoffs besteht. Folgende Beispielszenen stammen aus dem dritten Erhebungszyklus. Sie zeigen wie die Selbst-Assessment Prozesse zweier Studierender (Paul und Ayse) durch zwei Designelemente des SAFE Tools beeinflusst werden. Einerseits nutzen die Lernenden eine dynamisch verknüpfte Simulation, die die Situation in der Test Aufgabe (Fahrradfahrt) darstellt und mit einem Lösungsgraphen verbindet (Abb. 18.1 a). Andererseits betrachten sie zum Überprüfen der eigenen Antwort zur Test-Aufgabe eine multiple, statische Darstellung, die eine Situationsskizze sowie den eigenen Lösungsgraphen und die Musterlösung anzeigt (Abb. 18.1 b). Paul und Ayse lösen die Test-Aufgabe und begründen im Interview wie sie zu ihrer Lösung gekommen sind (Abb. 18.2). Dann betrachten sie durch Abspielen der Simulation in der Musterlösung, wie ein möglicher Lösungsgraph in Verbindung zur Bewegung des Fahr Fahrrads entsteht. Dabei kann die Simulation jederzeit angehalten und wieder gestartet werden ( (Abb. 18.1 a). Paul betrachtet die Simulation, stoppt diese als das Fahrrad den Berg hinauffährt und äußert: „Also das Erste, was ich gesehen habe, ist, dass jetzt angenommen wird, dass nicht, (Zeigt auf den Koordinatenursprung des Graphen.) also dass er nicht direkt mit

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gleicher Geschwindigkeit losfährt (Zeigt entlang des ersten steigenden Abschnitts des Graphen.), sondern – Das von zu Hause Losfahren ist auch ein eigener (.) äh, ein eigener Zeitabschnitt. Das heißt, dass, ähm, das man das, ähm, hm, also man muss das mit berechnen, dass er erst anfahren muss und nicht direkt auf einer Geschwindigkeit ist.“ Demnach regt ihn die Simulation zur Reflexion der eigenen Lösung an. Paul identifiziert einen Fehler, indem er erkennt, dass er den ersten Teil der Situation (das Losfahren) zuvor nicht modelliert hat (Abb. 18.2 a). Dann startet er die Simulation wieder und stoppt sie erneut, als das Fahrrad oben auf dem Hügel anhält: „Okay, und dann wird auch wieder, ähm, wenn der den Hügel hochfährt, dass er nicht direkt auf der Geschwindigkeit ist, wo er den Hügel, äh, ja, wo er quasi hochfährt, sondern, ähm, dass er, dass die Geschwindigkeit versetzt langsamer wird. Also ist nicht direkt, äh, also ist nicht konstant wie er den Hügel hochfährt.“ Hier reflektiert Paul einen Teil seiner Lösung (das Hochfahren) durch Vergleich mit dem Mustergraphen. Er erkennt, dass die Geschwindigkeit nicht abrupt abfällt, sondern mit der Zeit langsamer wird. Zudem hat er während der Aufgabenbearbeitung einen eher prototypischen Verlauf des Graphen mit ausschließlich konstanten Steigungen angenommen (Abb. 18.2 a). In der Reflexion thematisiert Paul eine nicht-lineare Verringerung der Geschwindigkeit beim Hochfahren des Hügels. Auch wenn er nicht realisiert, dass sein Graph die Eindeutigkeit der dargestellten Funktion missachtet, regt die verlinkte Simulation (Aspekt 5) ihn an, die Kovariation der Größen des funktionalen Zusammenhangs genauer zu betrachten. Schließlich nutzt Paul für seine Reflexion die „Einschränkungs-Unterstützungs-Struktur“ des SAFE Tools (Aspekt 6), da er die Simulation mehrfach anhält und neu startet, um unterschiedliche Aspekte seines Graphen zu evaluieren. Ayse betrachtet die Simulation vollständig und geht direkt zum Check über. Sie liest den zweiten Checkpunkt vor: „Ich habe richtig erkannt, wann der Graph steigt, fällt oder konstant bleibt.“ Diesbezüglich schätzt Ayse ihre eigene Leistung wie folgt ein: „Im Prinzip schon (.), aber (.) ähm, die Dauer! Also mit der Variablen mit der Zeit, also ich hätte viel länger (Zeigt auf die Stelle der Graphen, die das Anhalten auf dem Hügel modelliert.) entlang der Null- ähm, entlang der x-Achse gehen müssen, als er ein paar Minuten stehen bleibt.“ Daher verneint Ayse die Aussage des zweiten Checkpunkts bezogen auf ihre Lösung (Abb. 18.1 b, 18.2 b). Die zuvor gesehene verlinkte Simulation (Aspekt 5) und der Check regen Ayse an, die eigene Lösung zu reflektieren und einen Fehler bezüglich der Steigung ihres Graphen zu erkennen: während sie das Anhalten auf dem Hügel nur als Punkt dargestellt hat, zeigt die Musterlösung, dass es sich hier um einen konstanten Abschnitts des Graphen handeln muss. Ihre Reflexion zeigt, dass Ayse bei der Aufgabenbearbeitung zwar den Wert und die Veränderung der Geschwindigkeit, nicht aber die Veränderung der unabhängigen Variable Zeit berücksichtigt hat. Das digitale Tool lenkt ihre Aufmerksamkeit somit stärker auf die Kovariation beider Größen. Dabei nutzt Ayse sowohl die „Beschränkungs-Unterstützungs-Struktur“ des SAFE Tools (Aspekt 6) in Form des vorgegebenen Checkpunkts als auch die multiple Funktionsdarstellung im Check (Aspekt 3).

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Wie digitale Medien funktionales Denken unterstützen können

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Insgesamt zeigen die beiden Fallbeispiele, dass das SAFE Tool Lernende bei ihrem formativen Selbst-Assessment sowie ihrem funktionalen Denken unterstützen kann. Die Designelemente einer multiplen Repräsentation (Aspekt 3), verlinkten Simulation (Aspekt 5) und der „Beschränkungs-Unterstützungs-Struktur“ (Aspekt 6) werden von Paul und Ayse zur Reflexion der eigenen Lösung einer diagnostischen Aufgabe genutzt. Dabei identifizieren die Lernenden ihre Fehler selbst. Zudem werden sie dazu motiviert, beim Darstellungswechsel von der Situation zum Graphen stärker auf die Kovariation beider Größen des funktionalen Zusammenhangs zu achten.

18.4

Beispiel 2: Parameter quadratischer Funktionen mit statischen und dynamischen Darstellungen konzeptualisieren

Das zweite Beispiel entstammt einer Interventionsstudie im Kontrollgruppendesign mit drei Experimental- und einer Kontrollgruppe. Sie identifiziert Potentiale und Gefahren verschiedener technischer Visualisierungen und Features von Funktionenplottern bei der Konzeptualisierung von Parametern quadratischer Funktionen (Göbel et al. 2017). In einer technologiegestützten 90-minütigen Intervention im Rahmen einer Guided-Discovery untersuchten Schülerinnen und Schüler (N = 383) der Jahrgangsstufe 9 an Gymnasien den Einfluss der Parameter a, b, c auf den Graphen der quadratischen Funktion der Form  f  ( x ) = a · ( x  –  b )2 + c. Dazu bearbeiteten alle Lernenden die gleiche Aufgabenserie, jedoch unterschieden sich die eingesetzten Visualisierungsmöglichkeiten je nach Experimentalbzw. Kontrollgruppe. Die drei Experimentalgruppen (FP-Gruppe, ZU-Gruppe, SR-Gruppe) nutzten verschiedene Features des dokumentenbasierten Systems TI-Nspire CX CAS auf iPads oder Handhelds, die Kontrollgruppe (KG-Gruppe) hatte keine technische Visualisierung der Graphen zur Verfügung. Die FP-Gruppe nutzte ein leeres Dokument des Funktionenplotters und konnte beliebig eine oder simultan mehrere Funktionen plotten und die zugehörigen Wertetabellen einblenden lassen, dabei sollten keine dynamischen Möglichkeiten wie das Einfügen eines Schiebereglers oder das direkte Manipulieren genutzt werden. Die ZU-Gruppe nutzte ein vorgefertigtes Dokument auf dem TI-Nspire CX CAS in dem bereits die Normalparabel und der dynamisch verlinkte Funktionsterm, d. h. der Funktionsterm der angezeigten veränderten Parabel und Wertetabelle angezeigt wurden. Der Graph konnte direkt durch Ziehen und Verschieben mit der Maus oder dem Finger verändert werden. Dahingegen nutzte die SRGruppe zwar auch ein vorgefertigtes Dokument auf dem TI-Nspire CX CAS, jedoch fand dort die Manipulation des Graphen mit Hilfe dreier Schieberegler statt, die jeweils einen der Parameter a, b, c kontrollierten. Auch hier gab es eine dynamisch verlinkte Wertetabelle, der Funktionsterm wurde jedoch immer nur in der allgemeinen Form f  ( x ) = a · ( x  –  b )2 + c angezeigt, d. h. die numerischen Werte der Parameter waren nicht in die Funktionsgleichung eingesetzt.

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Die in der Intervention eingesetzte Aufgabenserie wurde in mehreren Schritten entwickelt und die Entwicklungsstufen jeweils mit Schülerinnen und Schülern oder Studierende des Lehramtes ausprobiert und anhand der auftretenden Schwierigkeiten angepasst. Ziel ist es, die Lernenden durch Guided-Discovery, darin zu unterstützen den Einfluss der Parameter zu entdecken und zu begründen. Die finale Fassung der Aufgabenserie der Intervention umfasst vier Teile. Dabei vergleichen die Lernenden zunächst die Graphen einer Normalparabel und transformierten Parabel, und untersuchen dann den Einfluss der einzelnen Parameter, dazu wurde als mögliche Vorstrukturierung angeboten, die Parameter einzeln zu betrachten zunächst c, dann a und letztlich b. Schließlich sollten die Lernenden Begründungen für die Einflüsse finden und zuletzt ein Merkblatt mit allen Erkenntnissen erstellen. Dieses dient als Sicherung der Erkenntnisse und wurde zu zweit erstellt (Beispiel s. Abb. 18.3).

Abb. 18.3 Exemplarisches Merkblatt zweier Schüler/innen

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Wie digitale Medien funktionales Denken unterstützen können

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Als Datengrundlage für die Auswertung liegen die Merkblätter von 353 Schülerinnen und Schülern, sowie Videos von 13 während der Intervention fokussierten Schülerpaaren vor. Für die Analyse der Merkblätter wurde ein Kodiermanual auf Grundlage einer qualitativen Inhaltsanalyse entwickelt. Die Videos wurden transkribiert und Fallbeispiele ausgewählt. Im Folgenden sollen ausgewählte Ergebnisse vorgestellt werden (weitere Ergebnisse siehe Göbel et al. 2017). Ergebnisse der Merkblattanalyse zeigen, dass in allen vier Gruppen eine Konzeptualisierung der Parameter zu einem gewissen Grad stattfindet. Es zeigt sich aber, dass die dynamischen Gruppen (ZU- und SR-Gruppe) einen Vorteil gegenüber den statischen Gruppen haben. Den Einfluss des Parameters c erkennen noch 70,4 % der Lernenden aus der KG-Gruppe tragfähig. Tragfähig bedeutet in diesem Fall, dass die Lernenden entweder bereits den Einfluss korrekt erkennen oder ein teilweises Erkennen ohne Fehlvorstellungen auftritt. So wurde die Aussage „c verändert den y-Achsenabschnitt“ als tragfähig kodiert, die Aussage „c ist der y-Achsenabschnitt“ jedoch als nicht tragfähig, da dies bei einer auch horizontal verschobenen Parabel nicht korrekt ist. Egal welchen numerischen Wert b oder a haben, bewirkt eine Veränderung von c aber eine Veränderung des y-Achsenabschnittes. Die Anzahl der tragfähig erkannten Einflüsse von c in der KG-Gruppe stellt keinen signifikanten Unterschied zu den beiden dynamischen Gruppen dar (ZU76,5 % und SR 73,8 %). Bei der Verschiebung durch den Parameter b erkennen jedoch nur 52,1% der KG-Gruppe den Einfluss tragfähig. Dies ist ein signifikanter Unterschied zu den beiden dynamischen Gruppen (ZU 68,2 % und SR 72,3 %). In beiden Fällen erkennen deutlich weniger Lernende aus der zweite statischen FP-Gruppe, also Lernende die einen einfachen Funktionenplotter nutzen, die beiden Einflüsse tragfähig (46,3 % für Parameter c, 40,3 % für Parameter b). Erste Ergebnisse einer tiefergehenden Analyse der Argumentationen auf den Merkblättern zeigen, dass die Lernenden je nach Gruppe mit unterschiedlichen Ansätzen ihre Erkenntnisse beschreiben und unterstützen. So scheinen die dynamischen Gruppen auch eher dynamisch zu argumentieren und die Parameter als Veränderliche zu sehen, wohingegen die Kontrollgruppe und FP-Gruppe die Parameter eher als Platzhalter wahrnehmen. Beispielsweise ist die Aussage „c bestimmt den y-Wert des Scheitelpunktes“ aus der KGGruppe eher statischer Natur, während die Aussage „verändert man c, verschiebt sich der Scheitelpunkt parallel zur y-Achse“ aus der SR-Gruppe eher dynamischer Natur ist. Dies bedeutet, dass die unterschiedlichen Visualisierungen vermutlich unterschiedliche Aspekte des funktionalen Denkens stärker ausbilden. Die ersten Videoanalysen zeigen, dass die Lernenden in allen Experimentalgruppen die Technologie zum Gewinnen von Erkenntnissen durch eigene Exploration sowie für das Überprüfen eigener Hypothesen und Beobachtungen einsetzen (Göbel et al. 2017). Insgesamt zeigen die Ergebnisse, dass technologiegestützte Guided-Discovery die Konzeptualisierung der Parameter und damit die Ausbildung von funktionalem Denken unterstützt. Dabei wurden im Projekt alle Argumente und Designprinzipien zum Einsatz digitaler Medien im Design der technischen Visualisierungen der verschiedenen Experimentalgruppen

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H. Ruchniewicz und L. Göbel

unterschiedlich stark genutzt. Bei der FP-Gruppe steht die Entlastung von Kalkül sowie die schnelle Verfügbarkeit von graphischen und tabellarischen Darstellungen (Aspekte 1–3) durch den Einsatz des Funktionenplotters im Fokus. Dagegen nutzten die ZU- und SR-Gruppen auch dynamische und verlinkte Visualisierungen (Aspekte 3–6) durch den Einsatz von Schiebereglern oder der direkten Manipulation des Graphen. Die Ergebnisse lassen vermuten, dass die in den dynamischen Gruppen (ZU- und SR-Gruppe) vorhandene Dynamisierung und Interaktivität zu einem besseren Verständnis des Einflusses der Parameter auf die quadratische Funktion führen. Dies zeigt sich beispielsweise daran, dass der Einfluss von Parameter b signifikant häufiger von den dynamischen Gruppen tragfähig erkannt wurde.

18.5 Fazit Insgesamt zeigen beide Studien, warum digitale Medien funktionales Denken unterstützen können. Zudem geben die Beispiele in diesem Kontext Hinweise für das Design digitaler Lernumgebungen. In der ersten Studie nutzen Lernende multiple sowie interaktiv verlinkte Darstellungen zur Reflexion eigener Aufgabenlösungen und zum formativen Selbst-Assessment. Dadurch wird insbesondere die Grundvorstellung der Kovariation funktionalen Denkens unterstützt. In der zweiten Studie erweisen sich dynamische und interaktiv verlinkte Darstellungen als besonders hilfreich bei der Konzeptualisierung von Parametern quadratischer Funktionen. Die Lernenden nutzen diese zum Entdecken von Zusammenhängen und Überprüfen selbst aufgestellter Hypothesen. Digitale Medien können Lernende daher nicht nur durch die Entlastung von Kalkül, die schnelle Verfügbarkeit von Visualisierungen und die Vorgabe einer „EinschränkungsUnterstützungs-Struktur“ unterstützen, sondern bieten insbesondere durch die Dynamisierung und die Möglichkeit zur interaktiven Verlinkung mathematischer Repräsentationen einen Mehrwert für die Ausbildung eines funktionalen Denkens von Schülerinnen und Schülern aller Altersstufen.

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Teil III Mit Lehrerfortbildungen Mathematikunterricht zeitgemäß gestalten

Grundlagen algebraischen Denkens beim Übergang von der Arithmetik in die Algebra – Entwicklung und Erprobung einer Lehrerfortbildung

19

Maike Abshagen, Judith Blomberg und Matthias Glade

Zusammenfassung

Schwierigkeiten und konkrete Fehler von Schülerinnen und Schülern nicht ausschließlich zu benennen, sondern auch Fördermaßnahmen zu kennen, ist nicht nur in der Algebra herausfordernd. In diesem Beitrag wird die Entwicklung eines Fortbildungsmoduls zur elementaren Algebra in der Sekundarstufe I vorgestellt, welches als Reaktion auf diese Schwierigkeiten im Rahmen einer professionellen Lerngemeinschaft (PLG) auf Fortbildnerebene entwickelt wurde. Neben der konkreten Planung geht es auch darum, sichtbar zu machen, wie eine Fortbildung systematisch mit einem adaptierten Planungsschema entwickelt werden kann. Zentrales Ziel der Fortbildung ist, Lehrpersonen darin zu unterstützen, Algebra verstehensorientiert und damit nachhaltig zu unterrichten. Das gesamte Fortbildungsmodul umfasst vier Bausteine, von denen in diesem Beitrag die Planung, Durchführung und Evaluation des ersten Bausteins näher beschrieben wird. Dieser fokussiert den Übergang von der Arithmetik zur Algebra. Maike Abshagen * IQSH Kronshagen, Deutschland E-Mail: [email protected] Judith Blomberg WWU Münster Münster, Deutschland E-Mail: [email protected] Matthias Glade Universität Duisburg-Essen Essen, Deutschland E-Mail: [email protected] © Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2019 A. Büchter et al. (Hrsg.), Vielfältige Zugänge zum Mathematikunterricht, https://doi.org/10.1007/978-3-658-24292-3_19

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M. Abshagen et al.

19.1 Ursprung der professionellen Lerngemeinschaft zur Fortbildungsentwicklung Im Rahmen einer Fortbildung des KOSIMA-Netzwerkes sorgten Aha-Erlebnisse zur Didaktik der Algebra unter den teilnehmenden Multiplikatorinnen und Multiplikatoren für viele Diskussionen und Ideen. Zentral in den Gesprächen war die überraschende Selbsterkenntnis, dass auch bei erfahrenen Multiplikatorinnen und Multiplikatoren noch Wissenslücken in diesem für den Unterricht so zentralen Bereich vorliegen. Diese Erkenntnis schlug sich daraufhin direkt in produktiven Überlegungen zu möglichen Inhalten und Strukturen für Lehrerfortbildungen nieder. So bildete sich in der Folge eine professionelle Lerngemeinschaft (PLG) auf Multiplikatorenebene, die maßgeblich von Bärbel Barzel unterstützt wurde. Ausgehend von Problemen der erlebten, beobachteten oder wissenschaftlich dokumentierten Praxis im Algebraunterricht wurden sukzessive vier Fortbildungsbausteine zur Didaktik der elementaren Algebra entwickelt und wiederholt erprobt. Zielgruppe der Fortbildung sind Lehrpersonen der Sekundarstufe I.

19.2 Fortbildungsentwicklung Das Vorgehen der Fortbildungsentwicklung wird im Folgenden anhand eines Planungsschemas beschrieben, welches auf einem Schema zur Planung von Unterricht (Abshagen 2016) basiert. Dazu werden alle Schritte zur Planung von Unterricht auf die Planung einer Fortbildung übertragen und so eine Modellebene höher angesiedelt (vgl. Abb. 19.1). Analog zur Unterrichtsplanung werden die Lernvoraussetzungen der fortzubildenden Lehrpersonen in einer Bedarfsanalyse erfasst, um die Ziele der Fortbildung an den spezifischen Lernvoraussetzungen und Perspektiven der Teilnehmenden auszurichten. Diese Voraussetzungen lassen sich auf verschiedenen Ebenen betrachten: fachliche, fachdidaktische und die diagnostische Kompetenz betreffende Aspekte sind genauso zu beachten wie Aussagen zum Lernerfolg der durch die Lehrpersonen unterrichteten Schülerinnen und Schüler (vgl. Abb. 19.1). Konkret ergeben sich die Ziele für die Fortbildung aus der Gegenüberstellung der Bedarfsanalyse und der fachlichen und fachdidaktischen Klärung. Die Formulierung und Anordnung der Ziele ist der Schritt der didaktischen Strukturierung (vgl. Abb. 19.1). Der Weg zur Erreichung dieser Ziele, also die kognitiven Aktivitäten von Teilnehmenden, wird zunächst in den zentralen Schritten (Tiefenstruktur) bewusst ohne methodische Umsetzung oder Aufgaben gedacht. Erst dann erfolgt eine Konkretisierung durch Arbeitsmaterialien, -aufträge und Methoden (Sichtstruktur). Diese Abfolge der Planungsschritte ermöglicht ein strukturiertes und nachvollziehbares Vorgehen.

19 Grundlagen algebraischen Denkens

267

Abb. 19.1 Modell zur Planung von Fortbildungen (in Anlehnung an Abshagen 2016, S. 233)

Die Entscheidungen zur Fortbildungsplanung und -gestaltung orientierten sich darüber hinaus an den vom DZLM formulierten Gestaltungsprinzipien für Fortbildungen: der Kompetenz- und Teilnehmendenorientierung, der Kooperationsanregung, der Lehr-LernVielfalt, dem Fallbezug und der Reflexionsförderung (Barzel & Selter 2015, S. 268 f).

19.2.1 Didaktik der elementaren Algebra – Fachliche und fachdidaktische Klärung Im obigen Planungsmodell – ebenso auch in der Entstehung der PLG – besteht zu Beginn ein fachlicher und fachdidaktischer Klärungsbedarf. Was sollen Schülerinnen und Schüler in der elementaren Algebra lernen, und wie lernen sie das am besten? Für die elementare Algebra ist es wesentlich, „Beziehungen zwischen Zahlen bzw. Größen darzustellen und zu manipulieren“ (Hefendehl-Hebeker 2007, S.  150). Die Zahlbeziehungen können durch Anwendungssituationen oder innermathematisch (z. B. durch figurierte Zahlen) gegeben sein. In Form von Termen und Gleichungen mit Variablen können sie allgemein beschrieben werden. Der zweite wesentliche Nutzen formal-symbolischer Ausdrücke besteht in der Möglichkeit des kalkülhaften Operierens, also eines regelgeleiteten, rechnerischen Umgangs mit den Ausdrücken. Wenn dies gelingt, wird die kalkülhafte Ableitung weiterer symbolischer Ausdrücke (z. B. durch Term- oder Äquivalenzumformungen) und damit neuer Einsichten in Zahlbeziehungen ermöglicht. Das

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M. Abshagen et al.

zentrale Mittel zur allgemeinen Darstellung von Zahlbeziehungen ist die Variable, die situationsabhängig als eine konkrete Unbekannte, allgemeine Zahl oder Veränderliche gedacht werden kann (vgl. Malle 1993; Barzel & Holzäpfel 2017). Damit Lernende elementare Algebra verstehen und nutzen können, sollen zunächst inhaltliche Aktivitäten (also das Verallgemeinern und das Beschreiben z. B. von (Sach-) Situationen mit Termen) angeregt und erst anschließend kalkülhafte Aktivitäten durchgeführt werden (vgl. z. B. Malle 1993). Erfahren nämlich Lernende zu Beginn des Lernprozesses diese „Beschreibungsfunktion“ von Termen, gewinnen die abstrakten Zeichen durch Bezug auf die beschriebenen Situationen einen Sinn. Kalkülregeln können dann sukzessive als entlastender Ersatz für inhaltliche Überlegungen entwickelt werden, so dass die Rolle kalkülhafter Rechenwege adäquat erfasst werden kann (vgl. Prediger 2009; Krämer 1988, S. 181). Ein Rückbezug auf inhaltliche Überlegungen (Wie sieht ein Bild dazu aus? Stimmt es, wenn ich konkrete Zahlen einsetze?) ermöglicht Lernenden zu einem späteren Zeitpunkt die Validierung von Ansätzen und Ergebnissen. Sowohl beim inhaltlichen Denken als auch beim kalkülhaften Arbeiten ist das Strukturieren der symbolisch-formalen Ausdrücke zentral: Strukturieren durch inhaltliches Denken findet statt, wenn die Passung der Struktur des Terms zur Struktur einer Situation oder eines Bildes herausgearbeitet wird (vgl. z. B. Marxer 2012). Formales Strukturieren findet statt, wenn die Struktur der symbolisch-formalen Ausdrücke bewusst sprachlich beschrieben (Ist es eine Summe oder ein Produkt?) oder in der Beziehung zu allgemeineren formalen Ausdrücken analysiert wird (Ist es A · B = C und was ist A und was ist B?) (vgl. z. B. Hoch & Dreyfus 2005). Für einen erfolgreichen und sinnhaften Unterricht in elementarer Algebra in der Sekundarstufe I erscheint das Wissen um all diese Aspekte, also um die Verschiedenheit der Tätigkeiten in der elementaren Algebra, um die Rollen, die Variablen einnehmen (Unbekannte, allgemeine Zahl oder Veränderliche), um das Zusammenspiel zwischen inhaltlichem Denken und Kalkül und um die Relevanz bewussten Strukturierens algebraisch-symbolischer Zeichen, fundamental. Es könnte helfen, die Nutzung verkürzender Pseudomodelle (Rechnen mit Äpfeln und Birnen, „Fruchtsalat-Algebra“) zu vermeiden (vgl. z. B. Barzel & Holzäpfel 2017, S.  4). Probleme entstehen auch beim Übergang von der Arithmetik zur Algebra durch die Verwendung abstrakter Variablen und durch die breitere Nutzung des Gleichheitszeichens (nicht mehr nur „rechne aus“, sondern auch „forme um“ und „löse die Gleichung“). Diesen Problemen sollte mit gezielter Propädeutik angemessen begegnet werden (vgl. z. B. ebenda, S. 6–8).

19.2.2 Bedarfsanalyse Die Bedarfsanalyse fokussiert sowohl das fachdidaktische Wissen und Können der Lehrpersonen als auch die Kompetenzen der Lernenden. Exemplarische relevante Befunde sind:

19 Grundlagen algebraischen Denkens

269

Fachliches und fachdidaktisches Wissen und Können der Lehrpersonen (allgemein) • •

Die „klassische“ Kalkülorientierung des Mathematikunterrichts in Deutschland scheint nicht vollständig verschwunden (vgl. z. B. Kunter et al. 2006, S.  188; DrükeNoe 2014, S.  243). Lehrpersonen benötigen diagnostische Fähigkeiten zur Planung von Unterricht und insbesondere zur Förderung, scheinen diese aber vor allem zu Beginn der Lehrtätigkeit nicht ausreichend ausgebildet zu haben (vgl. Busch et al. 2015, S.  319).

Fachliches und fachdidaktisches Wissen und Können der Lehrpersonen (in Bezug auf die konkrete Fortbildungsgruppe) Im Vorfeld der Fortbildungen durchgeführte Erhebungen zeigten meist die zu erwartende Heterogenität der Teilnehmenden in Bezug auf die Ziele des Algebraunterrichts. Im Folgenden sind exemplarisch konkrete Einzelergebnisse dargestellt, die diese Heterogenität deutlich werden lassen: Eine Lehrperson scheint deutlich kalkülorientiert, insofern alle Antworten diese Zieldimension betreffen: (1) Was sollen Lernende können: „angemessene Schreibweise, Beherrschung des Kalküls“, (2) Wo haben Lernende Probleme: „Klammern auflösen, Ausmultiplizieren von Termen“, (3) Was geht gut: „den Taschenrechner bedienen“. Eine andere Lehrperson scheint deutlich mehr auf verschiedene kognitive Tätigkeiten und Verständnis im Umgang mit Variablen zu zielen: (1) Was sollen Lernende können: „Ein Verständnis der Variablenstruktur mit ihren verschiedenen Facetten“, (2) Wo haben Lernende Probleme: „Das Verständnis der Bedeutung der Terme mit Variablen und die daraus zum Teil resultierenden fehlerhaften Umformungen“, (3) Was geht gut: „Aus Kontexten Terme aufstellen. Terme mit konkreten Zahlen berechnen. Kurzfristig Termumformungen mit Variablen“. Kompetenzen der Lernenden Auch die Kompetenzen der Lernenden sind Indizien für die Lehrkompetenzen der Lehrpersonen. So zeigen Lernende Probleme beim Übergang von der Arithmetik zur Algebra, wenn Arithmetik nur in der Durchführung von Operationen besteht und keine Strukturen, z. B. Beziehungen zwischen Aufgaben und Eigenschaften von Operationen thematisiert werden (z. B. Schoenfeld 2008, S.  489). Dieser Bedarf ist die Grundlage für die folgende Planung.

19.2.3 Didaktische Strukturierung Auf Grundlage der Gegenüberstellung der erkennbaren Voraussetzungen der konkreten und abstrakten Teilnehmenden der Fortbildung in der Bedarfsanalyse mit der fachlichen und fachdidaktischen Klärung wurden zu erwerbende Kompetenzen für die Bausteine der

270

M. Abshagen et al.

Fortbildungen formuliert und in eine Reihung gebracht. Im ersten Fortbildungsbaustein geht es darum, insbesondere einer einseitigen Kalkülorientierung entgegenzuwirken, die z. B. Kalkülregeln auf verkürzende Pseudoerklärungen à la „Äpfel und Bananen zusammenfügen“ gründet („Fruchtsalat-Algebra“, vgl. Barzel & Holzäpfel 2017). Dazu müssen die verschiedenen Bedeutungen von Variablen und die Beschreibungsfunktion von Termen und Gleichungen geklärt werden. So soll bewusst gemacht werden, dass Variablen nicht nur zum Rechnen und Einsetzen, sondern auch zum Beschreiben erfunden wurden. Dazu gehört auch, dass breiter für Tätigkeiten sensibilisiert wird, die auf inhaltliches Denken und eine intensive Vernetzung von Darstellungen zielen. Um den gedanklichen Umbruch zwischen einer operativ verstandenen Arithmetik und einer auf Strukturen zielenden Algebra für Lernende zu entschärfen, müssen die Lehrpersonen den Nutzen einer die Strukturen fokussierenden Arithmetik für den Algebraunterricht erkennen. Im Sinne der zuvor genannten Ziele erscheint insbesondere das Konzept des arithmetischen Modellierens (Marxer 2012) passend, um beiden Zielperspektiven – inhaltliches Denken und Fokussierung von Strukturen – gerecht zu werden. Und auch jenseits des Übergangs von der Arithmetik in die Algebra soll die Fortbildung breit für inhaltliches Denken im Bereich der Algebra motivieren. So soll z. B. zunehmend auch die passende Prozessperspektive, also die Entwicklung von Kalkül auf der Basis inhaltlicher Vorstellungen, konkreter thematisiert werden. Konkret wurden die folgenden Ziele für das gesamte Fortbildungsmodul formuliert: • • • • • •

Erarbeiten der Bedeutungen von Variablen, Termen und Gleichungen Identifizieren von Verstehenshürden, die Lernende überwinden müssen Kennen und Nutzen von Aufgabenformaten zur inhaltlichen und formalen Strukturierung von Termen und Gleichungen Kennen und Nutzen mathematikdidaktischer Prinzipien zur Gestaltung von Lernprozessen (inhaltliches Denken vor Kalkül, Darstellungswechsel, Spiralprinzip ... ) Identifizieren von geeigneten Aufgabenformaten Diagnostizieren von Schülerfehlern und Benennen geeigneter Fördermaßnahmen

19.2.4 Entwicklung der Tiefenstruktur Welche kognitiven Aktivitäten und Problemstellungen in welcher Abfolge erscheinen geeignet, um die oben explizierten Ziele zu erreichen? Orientiert an einem sukzessiven Aufbau algebraischer Kompetenzen in der Schule gliedert sich das Modul in vier Bausteine (Tab. 19.1), die abwechselnd inhaltliches Denken und Aspekte kalkülhaften Arbeitens bzw. die Kalkülentwicklung thematisieren, wie es den in Abschn.  19.2.3 formulierten Zielsetzungen entspricht. Zwischen den Einzelfortbildungen liegen Phasen, in denen die erarbeiteten Konzepte erprobt werden.

19 Grundlagen algebraischen Denkens

271

Tab. 19.1 Die vier Bausteine des Fortbildungsmoduls „Algebra: Vielfältig. Verstehensorientiert. Nachhaltig.“ Baustein 1

Grundlagen algebraischen Denkens – Zum Übergang von der Arithmetik zur Algebra Ziele: verschiedene Rollen von Variablen (allgemeine Zahl, Veränderliche, Unbekannte) in Aufgaben identifizieren; Aufgaben zu den Rollen von Variablen vorrangig für die Klassenstufen 5–7 entwickeln

Baustein 2

Gleichwertigkeit von algebraischen Termen Ziele: verschiedene Arten von Gleichwertigkeit (beschreibungsgleich, einsetzungsgleich, umformungsgleich) unterscheiden; Modelle in Bezug auf Möglichkeiten der Kalkülentwicklung und Tragfähigkeit kritisch bewerten

Baustein 3

Der Weg zu den Gleichungen Ziele: funktionales Denken als Zugang zu Gleichungen kennen; verschiedene Bedeutungen des Gleichheitszeichens sowie die Bedeutung der Lösung erfassen

Baustein 4

Gleichungen lösen – Der Weg zum Kalkül Ziele: typische Fehler beim Lösen von Gleichungen identifizieren und geeignete Fördermaßnahmen benennen; verschiedene Wege – insbesondere Modelle – zur Lösung von Gleichungen kennen und deren Nutzung an verschiedenen Stellen im Lernprozess reflektieren

Auf der Ebene der jeweiligen Bausteine wurde die Stufung der Aktivitäten grundsätzlich in der Struktur des KOSIMA-Konzepts als Anknüpfen – Erkunden – Systematisieren – Vertiefen gedacht (vgl. Prediger et al. 2013). Im Folgenden wird die Entwicklung des ersten Bausteins „Grundlagen algebraischen Denkens“ (vgl. Tab. 19.1) fokussiert. Für diesen ergeben sich demnach die folgenden anzuregenden kognitiven Aktivitäten, die die Tiefenstruktur ausmachen: •

•

• • •

Anknüpfen: exemplarische Probleme von Lernenden untersuchen und so Grenzen verkürzender und nicht auf Verstehen zielender Vorgehensweisen zur Einführung von Variablen reflektieren. Diese Phase soll helfen, verkürzende Vorgehensweisen und damit potenziell das eigene Vorgehen kritisch zu hinterfragen sowie die Relevanz eines tragfähigen Verständnisses von Variablen zu erkennen. Die erste Analyse von Schülerfehlern und die Orientierung an Praxiserfahrungen hat außerdem das Ziel, die direkte Umsetzbarkeit der Fortbildungsinhalte zu ermöglichen. Erkunden und Systematisieren I: die Breite der Rollen und Verwendungssituationen von Variablen im Hinblick auf die damit verbundenen Schülerschwierigkeiten erkunden und systematisieren allgemeine und aufgabenspezifische Anforderungen mit Hilfe der Variablenrollen unterscheiden. Vertiefen I: Beispiele für die verschiedenen Rollen von Variablen untersuchen. Erkunden und Systematisieren II: alternative Konzepte am Beispiel des arithmetischen Modellierens kennenlernen, um Handlungsalternativen zur Einführung und Vorbereitung der elementaren Algebra zu entwickeln. Vertiefen II: die Entwicklung des Variablenkonzepts vor dem Hintergrund der erarbeiteten Unterscheidungen im Unterricht planen; dazu geeignete propädeutische Lernanlässe entwickeln mit z. B. den folgenden Aktivitäten: Terme aufstellen, Terme

272

• •

M. Abshagen et al. interpretieren und visualisieren, die Offenheit der Beziehung zwischen Term und beschriebener Situation erfahren, operative Veränderungen untersuchen, Vorwärtsund Rückwärtsrechnen. Systematisieren III: den eigenen Lernprozess reflektieren, Rückmeldung geben zur Veranstaltung. Vertiefen III: das Gelernte im Unterricht erproben.

19.2.5 Entwicklung der Sichtstruktur (Baustein 1) Bei der Planung auf der Ebene der Sichtstruktur werden Methoden, Medien und Materialien ausgewählt, die zu den Teilnehmenden passen und sie zu einer vertieften kognitiven Auseinandersetzung mit den Problemen und Inhalten führen. Damit wird die Tiefenstruktur konkret umgesetzt (Tab. 19.2). Bei der Gestaltung wurde auf eine Lehr-Lern-Vielfalt geachtet, die methodische Variationen beinhaltet, und dennoch den Teilnehmenden ausreichend Zeit für aktive Lernprozesse sowie Gestaltungsspielräume gibt (Teilnehmendenorientierung). Die Kooperation untereinander wird sowohl in einzelnen Arbeitsphasen als auch über die Fortbildung hinaus angeregt und unterstützt. Zur Veranschaulichung ist die Aufgabe für die erste Erarbeitungsphase abgebildet (Abb. 19.2). Ausgehend von den verschiedenen Typen von Gleichungen sollen u. a. die verschiedenen Variablenrollen erarbeitet werden. Aus Pilotierungen des Bausteins ist bekannt, dass nicht allen Lehrpersonen vorab diese Unterschiede bewusst sein müssen. Durch die Fragen werden die Teilnehmenden dazu angeregt, an ihr Vorwissen anzuknüpfen, die Unterschiede bewusst wahrzunehmen und für diese Unterschiede Bezeichnungen zu finden bzw. kennenzulernen. Die Murmelphase ermöglicht einen Austausch der Erkenntnisse und ein erstes Aushandeln von Begriffen in geschütztem Rahmen. Die Plenumsphase dient dem wertschätzenden Aufgreifen und der Diagnostik von Vorwissen und stellt sicher, dass die benötigte gemeinsame Grundlage für die nächste Arbeitsphase gelegt wird. 13 + Δ = 75 • • • • •

¤ · 23 = 

Δ +  = + Δ

Worin unterscheiden sich die Gleichungen? Welche Bedeutung hat die Variable in den Gleichungen? Welche typischen Aufgaben aus dem Mathematikunterricht verbinden Sie mit den verschiedenen Gleichungstypen? Ab welcher Jahrgangsstufe werden die Lernenden mit den jeweiligen Gleichungen konfrontiert? Sind Ihren Schülerinnen und Schülern diese Unterschiede klar?

Abb. 19.2 Beispiel für die Umsetzung der ersten Erarbeitungsphase (vgl. Blomberg & Marxer 2017, S.  14)

273

19 Grundlagen algebraischen Denkens Tab. 19.2 Elemente der Sichtstruktur des Fortbildungsbausteins „Grundlagen algebraischen Denkens – Zum Übergang von der Arithmetik zur Algebra“ Zeit

Phase

Tätigkeiten

Methodische Umsetzung

15‘

Einstieg – Anknüpfen an Vorwissen

Analyse von Problemen in der Algebra, aufbauend auf Berichten der Teilnehmenden und/oder auf Schülerfehlern, Überblick über das Modul

Präsentation der Ergebnisse der Vorabbefragung, Moderiertes Gespräch im Plenum

15‘

Erarbeitung

Symbolgleichungen werden gegeben, die Teilnehmenden sollen die Unterschiede herausfinden Ziele: Variablenrollen (Unbekannte, Veränderliche, allgemeine Zahl) und Bedeutungen des Gleichheitszeichens als inhaltliche und sprachliche Basis für die Weiterarbeit

Moderiertes Gespräch im Plenum (zunächst Murmelphase)

10‘

Sicherung/ Vertiefung

Ergebnisse werden noch einmal strukturiert dargestellt und mit Beispielen illustriert

Vortrag

40‘

Erarbeitung

Aufgaben werden hinsichtlich der angesprochenen Variablenrollen und Aufgabenmerkmale untersucht und sich gegenseitig vorgestellt Ziel: Vielfältige Vorbereitung algebraischen Denkens in der Arithmetik, auch schon vor Klasse 7/8

„Aufgabenpanini“ (Barzel et al. 2007, S. 136): Analyse einzelner Aufgaben in Einzelarbeit, paarweises Vorstellen, Austauschen und Sammeln von Aufgaben

20‘

Sammeln und Sichern

Ergebnisse werden im Plenum präsentiert und Aufgabenmerkmale festgehalten

Präsentation durch Teilnehmende, Sicherung durch Fortbildnerin oder Fortbildner

30‘

Vertiefung

Aufgaben für den eigenen Unterricht (weiter-) entwickeln Ziele: Vertiefung der Variablenrollen, Anwendung der Aufgabenmerkmale

Partner-/ Kleingruppenarbeit

30‘

Ergebnispräsentation

Präsentation der Gruppenergebnisse, sowie Reflexion der Aufgabenentwicklung

Präsentation durch Teilnehmende, Austausch im Plenum

15‘

Kooperationsanregung

Gemeinsame Vereinbarung von Zielen und Arbeitsschwerpunkten, z. B. Sammeln geeigneter Aufgaben mit Schülerlösungen, Sammeln von Schülerfehlern, …

Plenum

5‘

Reflexion Evaluation

Reflexion des eigenen Lernprozesses Evaluation der Fortbildung

Einzelarbeit

274

19.3

M. Abshagen et al.

Evaluation und Reflexion des ersten Bausteins

Durch die wiederholte Durchführung einzelner Elemente und auch des gesamten Bausteins wurde dieser sukzessive weiterentwickelt. Im Folgenden wird die Evaluation des letzten Durchlaufs des ersten Bausteins dargestellt, der im Wesentlichen wie oben beschrieben durchgeführt wurde. An der Fortbildung in der Westfälischen Wilhelms-Universität Münster im Juni 2018 nahmen 12 Lehrpersonen verschiedener Schulformen (Realschule, Sekundarschule, Gesamtschule, Gymnasium) und zwei Lehramtsstudierende kurz vor Referendariatsbeginn teil. Die Fortbildung bildet den Auftakt einer Fortbildungsreihe, die halbjährlich fortgesetzt wird.

19.3.1 Evaluation des Bausteins 1 Die abschließende Evaluation der Fortbildung erfolgte anonym und bestand aus einem Fragebogen mit insgesamt 26 Items. Diese bezogen sich auf den Umfang und die Anforderungen der eingesetzten Lehr-Lern-Formate, auf die Fortbildungsumsetzung und -gestaltung sowie auf die Fortbildungsinhalte und deren Umsetzung im Unterricht. Darüber hinaus beantworteten die 14 Teilnehmenden acht offene Fragen. Im Folgenden werden ausgewählte Ergebnisse kurz dargestellt und diskutiert. Die Zahlen in den Klammern geben die Anzahl der Befragten an, deren Antworten in den offenen Fragen in die entsprechende Kategorie fallen. Fast alle Teilnehmenden (12) sehen die zentrale Botschaft der Fortbildung in stoffdidaktischen Aspekten (verschiedene Rollen der Variablen und des Gleichheitszeichens sowie die daraus resultierenden Schülerschwierigkeiten). Dies spiegelt sich auch in den von den Teilnehmenden formulierten Aha-Effekten wider: 7 von 10 Antworten betonen die Variablenrollen und Gleichungsbedeutungen. Hieraus wird deutlich, dass der theoretische Hintergrund zu Variablenrollen und Gleichungsarten nicht als bekannt bzw. als vollständig in seiner Relevanz durchdrungen angesehen werden kann. Die Relevanz wird von einem Teilnehmenden auf den Punkt gebracht: Sein Aha-Erlebnis sind die „Begriffe und damit (die) Möglichkeit zum Sprechen über Schwierigkeiten“. Die von den Teilnehmenden formulierten konkreten Vorsätze zum Ausprobieren von Elementen der Fortbildung sind vielfältiger: Verbalisiert werden die auf die Algebra bezogenen Kernkategorien (6), die Entwicklung von Aufgaben (7), die (stärkere) Beachtung von Repräsentationswechseln (5) und die Verbalisierung sowohl in Form von Rechengeschichten als auch hinsichtlich der Lösungswege der Lernenden (3). Auf die Frage, was den Teilnehmenden an der Fortbildung besonders gut gefallen hat, werden insbesondere die Praxisnähe (9), der theoretische Hintergrund (6) sowie das Zusammenspiel von Theorie und Praxis (4) genannt. Dies kann sowohl auf die eingesetzten Schulbuchaufgaben als auch auf die empfundene Praxisrelevanz zurückgeführt werden.

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19 Grundlagen algebraischen Denkens

Anregungen zur Weiterentwicklung der Fortbildung bzw. zu Inhalten der Folgemodule umfassen vor allem Impulse zur konkreten Unterrichtsgestaltung (5), weitere Beispiele zur Analyse von Schülerfehlern (4) sowie den Übergang vom inhaltlichen Denken zum Kalkül (2), die für die Folgemodule bereits eingeplant sind. Während die offenen Items – vor allem in Bezug auf praktische Implikationen, Lob und Wünsche – naturgemäß bunter ausfallen, zeigt die geschlossene Befragung ein hohes Maß an Zustimmung in fast allen Bereichen. Insbesondere in den inhaltlichen Kernbereichen Propädeutik durch Strukturblick in der Arithmetik, Rollen von Variablen und inhaltliches Denken (Tab. 19.3) stimmen die Teilnehmenden in hohem Maße mit den Zielsetzungen überein, wenngleich sich aufgrund der Itemformulierung nicht alle geäußerten Einstellungen allein auf die Fortbildung zurückführen lassen. Tab. 19.3 Evaluation „Inhaltliche Kernbereiche“ (Werte zwischen 0 und 1, vgl. Fußnote 1) (0 – trifft nicht zu, …, 1 – trifft zu)

Mittelwert

Standardabweichung

Im Workshop wurde ich von der gezielten Vorbereitung algebraischen Denkens im Arithmetikunterricht überzeugt.

.93

.14

Ich finde es wichtig, den Strukturblick auf Terme bereits im Arithmetikunterricht zu fördern.

.98

.09

Durch die Fortbildung kann ich die verschiedenen Rollen der Variablen jetzt besser erläutern.

.86

.22

Die Tätigkeit des Beschreibens von Bildern/Situationen mit Termen finde ich wichtig.

1.00

.00

Die Praxisrelevanz der Fortbildungsinhalte bewerten die Teilnehmenden in einem geschlossenen Item im Mittel mit .92. Dies zeigt eine sehr hohe Zustimmung. Ebenso wird die Umsetzbarkeit der Fortbildungsinhalte (M = .82) als hoch eingestuft. Die Auswertung der geschlossenen Items zeigt auch, dass die Struktur der Fortbildung insgesamt als gut bis sehr gut bewertet wird. Exemplarisch sind Ergebnisse zu dem DZLM-Qualitätskriterium der Reflexionsförderung dargestellt (vgl. Tab. 19.4). So äußern die Teilnehmenden, zu einer Reflexion der eigenen Praxis angeregt worden zu sein (M = .92). Die dafür in Anspruch genommenen Zeitanteile in der Fortbildung werden dabei als annähernd passend empfunden. Lediglich das Item „Ich habe von den Sichtweisen und Erfahrungen der anderen Teilnehmenden profitiert.“ zeigt mit einem Mittelwert von .64 (0 – trifft nicht zu, ..., 1 – trifft zu) Möglichkeiten einer verbesserten Kooperationsanregung. Die Einschätzungen der Lehrpersonen differieren bei diesem Item relativ stark. Dies kann an dem Niveau der

Die Items wurden auf einer 4- bzw. 5-stufigen (die letzten beiden Items von Tab. 19.4) Likertskala beantwortet und die Ergebnisse normiert, so dass alle Werte zwischen 0 und 1 liegen. 1

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M. Abshagen et al.

persönlichen Vorerfahrungen liegen, so dass einige mehr und andere weniger von dem Austausch profitieren. Eine weitere Erklärung könnte die unterschiedliche Zusammensetzung in Untergruppen während der Arbeitsphasen liefern, in denen z. T. Lehrpersonen einer Schule unter sich blieben und z. T. schulübergreifend gearbeitet wurde. Tab. 19.4 Reflexionsförderung in der Fortbildung (Werte zwischen 0 und 1, vgl. Fußnote 2) Mittelwert

Standardabweichung

Die Veranstaltung regte mich an, meine eigene Praxis zu reflektieren (0 – trifft nicht zu, …, 1 – trifft zu).

.92

.15

Die Zeit zum eigenen Reflektieren war… (0 – zu gering, …, 0.5 – passend, …, 1 – zu hoch).

.43

.12

Die Zeit zum gemeinsamen Reflektieren war … (0 – zu gering, …, 0.5 – passend, …, 1 – zu hoch).

.41

.12

19.3.2 Mögliche Implikationen Auf der Basis der Rückmeldungen und der Reflexionsnotizen der Fortbildnerin (Judith Blomberg) wurden unter PLG-Mitgliedern mögliche Implikationen diskutiert: •

•

•

Sollten in schulübergreifenden Fortbildungen immer bewusst schulübergreifende Untergruppen gebildet werden, um bestehende Kommunikationsstrukturen unter Lehrpersonen einer Schule zu durchbrechen und Einblicke in neue Sichtweisen zu gewährleisten? Wie initiieren wir in schulübergreifenden Gruppen eine nachhaltige Kooperation? Welches Zusammenspiel aus offenen und geschlossenen Lerngelegenheiten ist in Abhängigkeit von den Anforderungen und Zielen der einzelnen Phasen sinnvoll realisierbar, so dass eine kognitive Aktivierung der Teilnehmenden erzielt wird, ohne sie mit der selbstständigen Gestaltung des eigenen Lernprozesses zu überfordern (Kompetenzorientierung)? Wie gelingt eine Fokussierung auf die zentralen Aspekte der Fortbildung, wenn beispielsweise Lehrpersonen in die Analyse von Aufgaben neben deren Potenzial für die Vorbereitung algebraischen Denkens verstärkt eigene Aspekte (sprachliches Niveau, Kontext … ) einbeziehen?

Die Reflexion in der PLG war immer wieder das Mittel, die eigenen Erfahrungen in einen größeren Kontext zu stellen und nicht vorschnell Schlüsse im Sinne eines „weiter so“ oder „jetzt aber ganz anders“ zu ziehen, sondern grundsätzlicher Alternativen zu diskutieren und auch einmal gleichberechtigt nebeneinander stehen zu lassen. Die Items wurden auf einer 4- bzw. 5-stufigen (die letzten beiden Items von Tab. 19.4) Likertskala beantwortet und die Ergebnisse normiert, so dass alle Werte zwischen 0 und 1 liegen. 2

19 Grundlagen algebraischen Denkens

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19.4 „Hilft das Schülerinnen und Schülern?“ – Diskussion und Ausblick Die im Rahmen der Fortbildung angebotenen Aktivitäten sind gut begründbar: Sie besitzen eine theoretische Stimmigkeit im Sinne der Passung der Ziele zu grob erfassten Bedarfen sowie theoretischen Modellen und Desiderata. Zudem wurden sie in einem durch das Planungsmodell kontrollierten und reflektierten Prozess gewonnen und überarbeitet. Das genutzte Modell zur Planung von Unterricht erwies sich dabei mit der Übertragung auf Fortbildungen und den dargestellten Modifikationen als geeignet, Planungsschritte und Reflexion strukturiert zu vollziehen und erscheint uns geeignet, andere Fortbildende bei der Planung zu unterstützen. In Bezug auf die Fortbildungsbausteine zur Elementaren Algebra wurden im Rahmen der Überarbeitungen anfangs Anpassungen in der didaktischen Strukturierung und der Tiefenstruktur und in jüngerer Zeit ausschließlich auf der Ebene der Sichtstrukturen vorgenommen. Dies weist eine gewisse Plausibilität auf und spricht für die Qualität der Planung, kann aber natürlich auch kritisch hinsichtlich der Qualität der Reflexion und der Methoden der Validierung hinterfragt werden. Die Ausrichtung wird für in der Mathematikdidaktik Erfahrene keine neuen Schwerpunkte aufweisen. Aus unserer Perspektive hat sich für diesen Inhaltsbereich die Thematisierung der explizierten stoffdidaktischen Konzepte (Rollen und Verwendungsweisen von Variablen, Deutungen von Termen, Gleichungen und insbesondere des Gleichheitszeichens) und allgemeinen fachdidaktischen Konstrukte (Kalkül, inhaltliches Denken, kognitive Aktivitäten, Darstellungswechsel) bewährt, um die von vielen Lehrpersonen erlebte Komplexität und Problemhaltigkeit des Unterrichts im Inhaltsbereich elementare Algebra zu fassen und Lösungsansätze zu sehen. Die Komplexität freilich bleibt und wird Lernende und Lehrende im Unterricht weiter beschäftigen. Die Frage einer Fortbildungsteilnehmerin „Hilft das Schülerinnen und Schülern?“ weist überdies auf den Forschungsbedarf hin, der sich aus dem Projekt ergibt: • • •

Wie setzen die Teilnehmerinnen und Teilnehmer die erarbeiteten Konzepte im Unterricht um? Wie entwickelt sich die Leistung der Lernenden nach einer Fortbildungsteilnahme der Lehrpersonen? Welche Schlussfolgerungen lassen sich daraus für die Fortbildungen ziehen?

Aber auch grundsätzlicher: • •

Wie verlaufen die Interaktionsprozesse in PLGen von Fortbildenden? Welchen Einfluss haben die Interaktion in der PLG und die individuellen Kompetenzen der Teilnehmenden auf das Produkt?

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M. Abshagen et al.

Die Arbeit in der PLG auf Fortbildendenebene – das gemeinsame Ringen um Inhalte, Schwerpunkte und Vorgehensweisen, aber auch das gemeinsame Reflektieren, Weiterentwickeln und das Einbringen individueller Stärken – war und ist eine sowohl auf inhaltlicher und fortbildungsdidaktischer als auch auf menschlicher Ebene gewinnbringende Erfahrung. Vielen Dank an Bärbel Barzel für die Unterstützung.

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Der Herausforderung der Digitalisierung im Mathematikunterricht in Fortbildungen begegnen Patrick Ebers, Joyce Peters-Dasdemir, Daniel Thurm und Oliver Wagener

Zusammenfassung

Im folgenden Artikel wird ein Überblick über vier mathematikdidaktische Projekte an der Universität Duisburg-Essen gegeben, die sich mit Fortbildungen im Bereich der Digitalisierung beschäftigen. Dabei werden zunächst zwei Projekte vorgestellt, welche die konkrete Gestaltung und Beforschung von Lehrerfortbildungen in den Blick nehmen. Hier wird einerseits die Wirkung einer Fortbildungsreihe zum digitalen Werkzeugeinsatz betrachtet, andererseits wird der Mehrwert der Digitalisierung in Aus- und Fortbildung von Lehrpersonen am Beispiel des videofallbasierten Lernens aufgezeigt. Anschließend werden zwei Projekte vorgestellt, welche sich auf Multiplikatorinnen und Multiplikatoren als Anbieter und Gestalter von Fortbildungen beziehen. Im Fokus steht hier die Entwicklung von Instrumenten zur Erfassung der Kompetenzen von Multiplikatorinnen und Multiplikatoren. Patrick Ebers * Universität Duisburg-Essen Essen, Deutschland E-Mail: [email protected] Joyce Peters-Dasdemir Universität Duisburg-Essen Essen, Deutschland E-Mail: [email protected] Daniel Thurm Universität Duisburg-Essen Essen, Deutschland E-Mail: [email protected] Oliver Wagener Universität Duisburg-Essen Essen, Deutschland E-Mail: [email protected] © Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2019 A. Büchter et al. (Hrsg.), Vielfältige Zugänge zum Mathematikunterricht, https://doi.org/10.1007/978-3-658-24292-3_20

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P. Ebers et al.

20.1 Einleitung Mit einem klaren Fokus auf mathematische Lernprozesse können digitale Werkzeuge einen Mehrwert für den Mathematikunterricht generieren (Barzel 2012). Eine Vielzahl an Studien zeigt zudem, welche Bedingungen zum gelingenden Einsatz digitaler Medien allgemein (Hillmayr et al. 2017) und digitaler Mathematikwerkzeuge im Speziellen (Barzel 2012) beitragen können. In der Praxis lässt sich jedoch eine Diskrepanz zwischen den curricularen Anforderungen und der unterrichtlichen Realität feststellen. Trotz der Befunde zum Potenzial des Einsatzes digitaler Medien im Mathematikunterricht zeigt eine repräsentative Befragung (Schule digital – der Länderindikator) unter Sekundarstufen-Lehrpersonen der MINT-Fächer, dass die Nutzung hinter den Erwartungen zurückbleibt (Lorenz et al. 2017). Neben einer nur schleppenden Entwicklung der technischen Ausstattung in den Schulen liegt dies vor allem daran, dass sich Lehrpersonen der Chancen des Medieneinsatzes nicht bewusst sind und selten kooperativ an einer Umsetzung der Innovationen gearbeitet wird (Lorenz et al. 2017). Es zeigt sich, dass die Integration digitaler Werkzeuge in den Unterricht ein komplexer Prozess ist, welche im Besonderen von den Kompetenzen der Lehrperson abhängt (Clark-Wilson et al. 2014). Diese Kompetenzen umfassen neben der reinen Bedienkompetenz auch die Fähigkeit, geeignete Aufgaben für einen gewinnbringenden Einsatz digitaler Werkzeuge auszuwählen und Unterrichtsprozesse so zu gestalten, dass Lernende das Werkzeug reflektiert nutzen (Barzel 2012). Wichtige Impulse für die Weiterentwicklung dieser Kompetenzen können beispielsweise Lehrerfortbildungen liefern, denen in diesem Zusammenhang eine entscheidende Rolle zugesprochen wird (KMK 2016). Daher fokussiert dieser Beitrag zunächst zwei Projekte zur Professionalisierung von Lehrpersonen beim Technologieeinsatz. Abschn. 20.2 thematisiert die Wirkung von Fortbildungen in Bezug auf Überzeugungen der Lehrpersonen zum Werkzeugeinsatz und Abschn. 20.3 präsentiert ein Projekt, welches Videofälle in Fortbildungen integriert, um Lehrpersonen beim Einsatz digitaler Werkzeuge zu unterstützen. Damit Fortbildungsinhalte breitenwirksam und nachhaltig in den Mathematikunterricht getragen werden, bedarf es neben einer guten Fortbildungsgestaltung auch qualifizierter Multiplikatorinnen und Multiplikatoren, die neue forschungsbasierte Konzepte, wie z. B. videofallbasiertes Lernen, in ihren Fortbildungen integrieren (Borko et al. 2017). Dementsprechend spielen auch die Kompetenzen der Multiplikatorinnen und Multiplikatoren eine entscheidende Rolle, zu denen allerdings bisher nur wenige Studien existieren. Die Qualifizierung der Multiplikatorinnen und Multiplikatoren als Anbieter und Gestalter von Lehrerfortbildungen rückt daher in Abschn. 20.4 und Abschn. 20.5 in den Fokus. Abschn. 20.4 betrachtet die Entwicklung eines Testinstruments basierend auf einem Kompetenzmodell für Multiplikatorinnen und Multiplikatoren im Fach Mathematik, mit Hilfe dessen die Professionalisierungsprozesse im Kontext einer entsprechenden Qualifizierungsmaßnahme beschrieben werden können. Dabei werden neben den benötigten Kompetenzen, die für das professionelle Handeln in Fortbildungen notwendig sind, auch

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Der Herausforderung der Digitalisierung im Mathematikunterricht begegnen

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Kompetenzen zum Einsatz digitaler Werkzeuge berücksichtigt. Der Beitrag schließt mit einem Projekt in Abschn. 20.5, welches die Entwicklung eines Fragebogens zur Erfassung spezieller Kompetenzen im Umgang mit digitalen Werkzeugen im Unterricht und in Fortbildungen zum Ziel hat.

20.2 Wirksamkeit von Fortbildungen zum Einsatz digitaler Werkzeuge Trotz der Bedeutung, die Fortbildungen zum Einsatz digitaler Werkzeuge zugesprochen wird, ist bisher noch kaum untersucht, inwiefern diese Professionalisierungsmaßnahmen tatsächlich dazu führen, dass Lehrpersonen ihre Kompetenzen erweitern und digitale Werkzeuge im Mathematikunterricht verstärkt einsetzen. So finden sich nur vereinzelt Studien, die Fortbildungen zum Werkzeugeinsatz im Mathematikunterricht auf ihre Wirksamkeit hin untersuchen (z. B. Tharp et al. 1997; Chamblee et al. 2008). Vor allem gibt es nur sehr wenige Studien, in denen die Wirkungen in einem Experimental-Kontrollgruppendesign untersucht werden. In diesem Fall können mögliche Effekte jedoch nicht eindeutig der Intervention zugeordnet werden. Aufgrund der häufig nur ansatzweisen Beschreibung der Fortbildungsgestaltung können die Ergebnisse zudem nur schwer mit der Konzeption der Maßnahme in Verbindung gebracht werden. Ebenso besteht eine Forschungslücke bezüglich der Gestaltung entsprechender Maßnahmen. So sind zwar allgemeine Gestaltungsprinzipien für Fortbildungen (z. B. Barzel & Selter 2015) und spezifische Hinweise für Fortbildungen zum Medieneinsatz (z. B. Ertmer & Ottenbreit-Leftwich 2010) beschrieben, konkrete Prinzipien und Empfehlungen zur Gestaltung von Fortbildungen zum Einsatz digitaler Werkzeuge im Mathematikunterricht sind aber kaum vorhanden. Insgesamt besteht somit zur Gestaltung und Wirksamkeit von Fortbildungen zu digitalen Werkzeugen ein großer Forschungsbedarf. Um dieser Forschungslücke zu begegnen, wurde im Rahmen der verbindlichen Einführung des grafikfähigen Taschenrechners in der gymnasialen Oberstufe in NRW das Projekt „GTR-NRW“ (Thurm et al. 2015) initiiert. Ziel des Projekts war die wissenschaftliche Gestaltung und Beforschung einer prototypischen Lehrerfortbildung zum Einsatz digitaler Werkzeuge. Im Zuge dessen wurde in Zusammenarbeit mit dem Deutschen Zentrum für Lehrerbildung Mathematik (DZLM), der Universität Duisburg-Essen, der Westfälischen Wilhelms-Universität Münster und dem Ministerium für Schule und Weiterbildung des Landes Nordrhein-Westfalen die Fortbildungsreihe „GTR kompakt“ (Klinger et al. 2018) konzipiert. Die Fortbildung erstreckte sich über ein halbes Jahr und bestand aus vier eintägigen Fortbildungsmodulen mit dazwischenliegenden Erprobungsphasen. Im ersten Modul wurden die Lehrpersonen anhand einfacher Aufgaben mit dem graphikfähigen Taschenrechner (GTR) vertraut gemacht und es wurde der fachdidaktische Hintergrund des Werkzeugeinsatzes, wie etwa die Unterstützung vielfältiger Repräsentationswechsel

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P. Ebers et al.

thematisiert. Das zweite Modul fokussierte den Einsatz digitaler Werkzeuge zu Modellierungszwecken in unterschiedlichen Inhaltsbereichen, bevor im dritten Modul der Schwerpunkt auf die Gestaltung von Unterrichtsprozessen gelegt wurde. Hier sollten die Lehrpersonen erkennen, dass der Einsatz digitaler Werkzeuge in unterschiedlichen Unterrichtsphasen erfolgen und insbesondere auch zum Anfang des Lernprozesses vorgenommen werden kann. Im abschließenden Modul erfolgte die Thematisierung des Einsatzes digitaler Werkzeuge in Prüfungen. Im Teilprojekt, welches die Wirksamkeit der Fortbildung betrachtete (Thurm et al. 2015), wurden über Fragebögen die Selbstwirksamkeitsüberzeugungen bezogen auf das Unterrichten mit digitalen Werkzeugen, die technologiebezogenen Überzeugungen, die Lehr-Lernüberzeugungen, das Mathematikbild sowie die Einsatzhäufigkeit digitaler Werkzeuge zu Beginn und am Ende der Fortbildung quantitativ erhoben. Insgesamt wurden von n = 39 Lehrpersonen, die bisher überwiegend keine Vorerfahrung im Unterrichten mit digitalen Werkzeugen hatten, Daten zum Pre- und Posttestzeitpunkt erfasst und mit einer Kontrollgruppe, die an keiner Fortbildungsveranstaltung zum Werkzeugeinsatz teilnahm, verglichen. Um eine Vergleichbarkeit zwischen Experimental- und Kontrollgruppe zu gewährleisten, wurde dabei das Verfahren des Propensity-Score-Matchings genutzt. Mit diesem Verfahren kann aus einem Pool von potentiellen Kontrollgruppenprobanden eine Subgruppe ausgewählt werden, welche der Experimentalgruppe in relevanten Merkmalen ähnlich ist. Die Ergebnisse der Analyse zeigen, dass Lehrpersonen ohne Fortbildungsunterstützung stärker ablehnende Überzeugungen zu digitalen Werkzeugen entwickeln. Dies könnte daran liegen, dass der Integrationsprozess digitaler Werkzeuge als problembehaftet erlebt wird und die Potenziale des Werkzeugeinsatzes nicht realisiert werden konnten. Im Gegensatz hierzu bleiben die Überzeugungen in der Experimentalgruppe stabil auf dem Ausgangsniveau zu Beginn der Fortbildung. Zudem lässt sich beobachten, dass in der Kontrollgruppe der Einsatz digitaler Werkzeuge als Lernwerkzeug gering bleibt und digitale Werkzeuge vor allem in Phasen des Übens genutzt werden. In der Experimentalgruppe zeigt sich darüber hinaus jedoch ein verstärkter Einsatz digitaler Werkzeuge zur Unterstützung von Repräsentationswechseln. Die Ergebnisse belegen insgesamt, dass gerade für Novizen Professionalisierungsmaßnahmen einen wichtigen Effekt haben können. In einigen Bereichen lassen sich jedoch keine Veränderungen feststellen. So bleiben etwa Überzeugungen zum Verlust händischer Fertigkeiten in beiden Gruppen sehr ausgeprägt und eine signifikant häufigere Nutzung zum entdeckenden Lernen oder zur Unterstützung individueller Zugänge findet nicht statt. Auch zeigen sich keine Effekte der Fortbildung auf die Selbstwirksamkeitsüberzeugungen. Da sich Selbstwirksamkeitsüberzeugungen vor allem durch erfolgreiche unterrichtliche Erfolgserlebnisse bei der Werkzeugnutzung ausbilden, wäre zu untersuchen, ob Fortbildungen einen stärkeren Fokus auf die Begleitung von konkreten Implementationsschritten legen müssen. In diesem Sinne scheinen vor allem situierte Formate wie etwa Coaching vielversprechend. Allerdings sind solche Fortbildungsformate in der Regel sehr ressourcenintensiv:

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„However, these approaches can be challenging, especially as it takes more time to individually design technology uses and professional development that cater to the needs of individual teachers“ (Ertmer & Ottenbreit-Leftwich 2010, S.  273). Vor diesem Hintergrund werden im folgenden Abschnitt videofallbasierte Angebote genauer diskutiert.

20.3 Videofallbasiertes Lernen in Fortbildungen Selbstwirksamkeits- und technologiebezogene Überzeugung von Lehrpersonen im Umgang mit digitalen Medien lassen sich nicht nur durch eigene Erfahrungen verändern. Schon das Beobachten oder Berichten vom erfolgreichen Einsatz digitaler Medien kann die eigene Selbstwirksamkeit erhöhen. Erfolgreiche Lehrpersonen sind Vorbilder und motivieren zur eigenen Umsetzung im Unterricht (Ertmer & Ottenbreit-Leftwich 2010, S.  269). Damit nicht jede Lehrperson bei anderen Lehrpersonen hospitieren muss, kann es ein ökonomischerer Weg sein, diese Unterrichtsbeobachtungen in Form realer Unterrichtsvideos in Lehrerfortbildungen zu integrieren. Der Einsatz von Videos kann in Fortbildungen dabei sehr vielfältig sein. So dienen sie als Einstieg in problemorientiertes Lernen (Reusser 2005), als Diskussionsgrundlage, zur Vermittlung von Theoriewissen an einem Fall, dem Erwerb von Analyse- und Diagnosefähigkeiten oder der Reflexion und Überarbeitung des eigenen Unterrichts. Eingebettet in eine Lernumgebung unter Anreicherung mit didaktischen Konzepten und Kommentaren der beteiligten Personen wird von Videofallarbeit oder videofallbasiertem Lernen gesprochen (Goeze 2016). Einige der Vorteile, wie die Realitätsnähe oder die wiederholbare Einsetzbarkeit, liegen dabei auf der Hand. Für Unterrichtssituationen bietet sich ferner eine Aufnahme mit mindestens zwei Kameras aus Sicht der Lehrperson und aus Sicht des Plenums an, sodass ein Perspektivenwechsel auch optisch vorgenommen werden kann. Das Setzen von Zeitmarken und das erneute Abspielen bestimmter Stellen erleichtert die Analyse der gezeigten Sequenzen und hilft bei einer Bearbeitung ohne Zeitdruck (Goeze 2016). Genau dies unterstreicht die Vorteile der Nutzung von Videos in Fortbildungen. Eine Bedingung für die Arbeit mit Videos ist der konstruktive und wertschätzende Umgang der Fortbildungsteilnehmenden mit den Personen im Video (Krammer et al. 2008, S.  180). Daher kann es ein guter Einstieg sein, wenn man sich im Kontext einer Fortbildung zuerst mit fremden Videos auseinandersetzt, um so die innerliche Hürde zu überwinden, seinen eigenen Unterricht videographieren zu lassen (Krammer et al. 2008, S.  188). Ergebnisse anderer Studien zeigen, dass Probanden bei der Analyse fremder Videos tendenziell kritischer sind und umfassendere Handlungsalternativen entwickeln als bei eigenen Videos (Goeze 2016, S.  55 f). Schlussendlich hängt die Wahl zwischen einem eigenen und fremden Video vom intendierten Ziel ab. Im schulinternen Rahmen eignen sich eher eigene Fälle für eine Unterrichtsreflexion, da beispielsweise konkrete Probleme in Form einer kollegialen Fallberatung aufgearbeitet werden können.

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P. Ebers et al.

Der Einsatz von Videofällen kann von Best Practice über alltäglichen Unterricht bis hin zu Worst Case Szenarien reichen (Krammer 2014, S.  166). Jede Entscheidung für den Einsatz des jeweiligen Videos lässt sich in einer Fortbildung begründen und lässt sich durch Arbeitsaufträge konstruktiv einsetzen (Krammer et al. 2008, S.  181). Entscheidend bei der Gestaltung ist, ob es sich um eine Selbstlernphase oder ein durch einen Moderator gelenktes Plenumsgespräch handelt. Ebenso werden die Entscheidungen durch die Zielgruppe beeinflusst, so ergeben sich Unterschiede, ob sich die Fortbildung an Novizen oder erfahrene Lehrpersonen richtet (Goeze 2016). Zusammenfassend zeigt sich, dass es sich beim videofallbasierten Lernen um eine vielfältige und vielversprechende Methode handelt, die bereits Einsatz in vielen Disziplinen (Medizin, Jura, Soziale Arbeit uvm.) (Reusser 2005) inklusive der mathematikdidaktischen Forschung findet (Krammer et al. 2012). Unter dem Projekttitel Entwicklung von Videofällen für die Lehrerprofessionalisierung zum Einsatz digitaler Medien im Mathematikunterricht werden Sequenzen aus realem Unterricht aufbereitet, um sie anschließend in Fortbildungen einzusetzen. Dazu werden alltägliche Schulstunden, in denen digitale Medien zum Einsatz kommen, videographiert. Für die Generierung eines Falles eignen sich besonders die Passagen, die vielen Lehrpersonen im unterrichtlichen Handeln Probleme bereiten. Es lassen sich der spontane Umgang mit Fehlern, Probleme bei der Bedienung oder der Einsatz offener Aufgabenformate nennen. Für die Pilotierung wurde eine Stunde ausgewählt, in der Schülergruppen selbstständig mit dynamischer Geometriesoftware eine kognitiv aktivierende Aufgabe zur Förderung des Aufbaus konzeptuellen Wissens bearbeiten. Der entwickelte Fall umfasst sowohl die Bearbeitung einer Geometrieaufgabe durch eine Gruppe Schülerinnen als auch die Intervention des Lehrers. Dieser interveniert in dem Augenblick, als die Schülerinnen eine nicht der Erwartung zuträgliche Konstruktion vollzogen haben. Diese Situation steht exemplarisch für jene, in denen die Lehrpersonen die Bearbeitung ad hoc analysieren und ein spontanes Feedback geben müssen. Zusammen mit Kommentaren der Lehrperson und der Schülerinnen und Schüler, sowie der Einbindung von didaktischen Konzepten orientiert sich die Gestaltung der Videofälle an der Vorlage zur Videofallarbeit des Deutschen Instituts für Erwachsenenbildung (DIE) (Goeze et al. 2013). Ziel des Projektes ist die Beantwortung der Forschungsfragen: Welche Aspekte lassen sich zur Professionalisierung von Mathematiklehrpersonen auf den Ebenen der Verstehensorientierung, des spontanen Lehrerhandelns und der Werkzeugnutzung aus dem Fall ziehen? Wie lassen sich daran Impulse für Lehrerfortbildungen generieren? Dazu werden die ausgewählten Videosequenzen zu Videofällen inklusive Fallmaterial und entsprechendem Fallsetting aufbereitet und anschließend sowohl hinsichtlich gestalterischer als auch inhaltlicher Elemente in mehreren Design-Zyklen erprobt. Hierzu wurde der pilotierte Fall beispielsweise mit Expertinnen und Experten diskutiert und in einer Lehrerfortbildung sowie in Seminaren der Lehrerausbildung eingesetzt. Dabei konnten Erkenntnisse zur Gestaltung, zum Einsatz und zur Optimierung für diesen und weitere Fälle gezogen werden. Lehrpersonen nennen in Gruppendiskussionen inhaltliche Aspekte, die als

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Anregung für die Konzeption neuer Fälle dienen können. Dies ist z. B. der Umgang mit Situationen, in denen Schülerinnen und Schüler im Umgang mit der Technik besser als die Lehrperson sind. Die beiden vorhergehenden Abschnitte machen deutlich, dass die Planung und Durchführung von Lehrerfortbildungen zum Einsatz digitaler Werkzeuge besonderer Kompetenzen bedarf. So müssen Multiplikatorinnen und Multiplikatoren wissen, wie sich die in Abschn. 20.3 beschriebene Videofallarbeit gewinnbringend nutzen lässt. Ebenfalls sollten sie sich bewusst sein, dass, wie in Abschn. 20.2 beschrieben, unterschiedliche Überzeugungsebenen bei den Lehrpersonen existieren, die sich teilweise nur schwer verändern lassen und damit besonderer Aufmerksamkeit benötigen. Grundlegend kann man festhalten, dass Multiplikatorinnen und Multiplikatoren somit über erweitertes Wissen und andere Fertigkeiten als Lehrpersonen verfügen sollten (z. B. Borko et al. 2014). Vor diesem Hintergrund werden in den folgenden Abschnitten zwei Projekte vorgestellt, die die Kompetenzen von Multiplikatorinnen und Multiplikatoren genauer beleuchten.

20.4

Beschreibung der Professionalisierungsprozesse von Multiplikatorinnen und Multiplikatoren

Die Qualifizierung von Multiplikatorinnen und Multiplikatoren und deren Unterstützung steht im Fokus der Arbeit des DZLM. Es existieren zwar einige Studien zu den Tätigkeitsfeldern von Multiplikatorinnen und Multiplikatoren (z. B. Borko et al. 2014; Beswick & Chapman 2012; Zaslasvsky 2008), dennoch gibt es bislang keine bundesweiten Qualitätsstandards für die oftmals sehr engagierten Lehrpersonen, die andere fortbilden (DZLM 2015). Zur Professionalisierung der Multiplikatorinnen und Multiplikatoren müssen ihre verschiedenen Rollen berücksichtigt sowie ihre Kompetenzen, über die sie verfügen müssen, herausgearbeitet werden. Verschiedene Studien haben bereits die Rollen der Multiplikatorinnen und Multiplikatoren (Lehrer/-in, Mentor/-in, Türöffner/-in ... ) näher beleuchtet und die daraus resultierenden allgemeinen Anforderungen in Kompetenzlisten ausdifferenziert (z. B. Zaslasvky 2008). Multiplikatorinnen und Multiplikatoren müssen zum einen über gleiches Wissen wie Lehrpersonen verfügen (Borko et al. 2014). Z. B. wird am Modell professioneller Lehrerkompetenz von Baumert und Kunter (2011) ersichtlich, dass viele der Kompetenzen der Lehrpersonen auch auf Multiplikatorinnen und Multiplikatoren übertragbar sind, wie beispielsweise das Fachwissen und fachdidaktische Wissen. Andererseits benötigen Multiplikatorinnen und Multiplikatoren im Gegensatz zu Lehrpersonen keine Detail-Kenntnisse zu Schulcurricula oder Hintergrundwissen über die einzelnen Schülerinnen und Schüler (Beswick & Chapman 2012, S.  3). Letztlich müssen Multiplikatorinnen und Multiplikatoren auch über erweitertes Wissen und andere Fertigkeiten als Lehrpersonen verfügen.

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Das benötigte erweiterte Wissen resultiert daraus, dass Multiplikatorinnen und Multiplikatoren vor der Herausforderung stehen, Angebote für Lehrpersonen so zu entwickeln, dass diese sowohl fachlich als auch fachdidaktisch fundiert sein müssen, eine nachhaltige Wirkung für das Lernen und Lehren anregen sollten, Lehrpersonen aktiv einbeziehen und eine effektive Unterrichtsentwicklung anstoßen. So weisen z. B. die sechs DZLM-Gestaltungsprinzipien für Fortbildungen einen Weg, mathematikspezifische Professionalisierungsprozesse nachhaltig, teilnehmerorientiert, kooperativ und kompetenzorientiert zu initiieren (Barzel & Selter 2015). In der US-amerikanischen Studie von Lesseig und Kollegen (2016) zeigt sich außerdem, dass für die Ausbildung von Multiplikatorinnen und Multiplikatoren die Fokussierung auf die Lernziele der Lehrpersonen, spezifische Aufgaben für Lehrpersonen zur fachdidaktischen Analyse und exemplarische Videofallstudien aus Fortbildungen als Kernelemente zu benennen sind.

Abb. 20.1 Das GRETA-Modell (Lencer et al. 2016, S. 7)

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Der Herausforderung der Digitalisierung im Mathematikunterricht begegnen

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Es wird deutlich, dass eine ganze Bandbreite an Kompetenzen erforderlich ist, um Fortbildungen effektiv zu gestalten und Lehrpersonen entsprechend zu fördern. Die vielen verschiedenen Anforderungen an Multiplikatorinnen und Multiplikatoren gilt es, für eine geeignetere Qualifizierung und damit verbundene genauere Beforschung, zu bündeln. Das DIE hat unter der wissenschaftlichen Projektleitung von Schrader im Rahmen des BMBF-Projekts „Grundlagen zur Entwicklung eines trägerübergreifenden Anerkennungsverfahrens für die Kompetenzen Lehrender in der Erwachsen-/Weiterbildung“ (GRETA) ein Kompetenzmodell (Abb. 20.1) basierend auf einer Delphi-Befragung in einem mehrstufigen Prozess des intensiven Austauschs und Dialogs mit Erwachsenenbildungsexperten entwickelt (Lencer et al. 2016, S.  4). Dabei umfasst das Modell ein ganzheitliches Kompetenzverständnis nach Weinert (2001, S.  27). Dieses Modell ist zunächst für die allgemeine Erwachsenenbildung gedacht, soll aber für die Aus- und Weiterbildung von Erwachsenen in allen Arbeitsbereichen nutzbar sein (Lencer et al. 2016, S.  3). Das dargestellte GRETA-Kompetenzmodell eignet sich zudem nicht nur für einen Abgleich mit den in der Qualifizierungsmaßnahme angesprochenen Kompetenzen und als Orientierung für die Forschung, sondern bildet Grundlage des sogenannten PortfolioPlus, welches dazu dient eine Kompetenzbilanz durch einen geschulten Gutachter an Lehrende zurückzumelden. Der gesamte Prozess zielt darauf ab, Kompetenzentwicklungen anzustoßen sowie zu unterstützen und soll eine trägerübergreifende Anerkennung für Lehrende ermöglichen (Lencer et al. 2016). Für Multiplikatorinnen und Multiplikatoren hat sich jedoch gezeigt, dass mathematikspezifische Konkretisierungen vorgenommen werden müssen. Daher wird das GRETA-Modell in einem noch nicht abgeschlossenen internen Austauschprozess des DZLM unter Berücksichtigung der mathematikspezifischen Modelle adaptiert. Im Projekt Multi-Professional – Beschreibung von Professionalisierungsprozessen von Multiplikatorinnen und Multiplikatoren in Mathematik geht es daher um die Konzipierung eines mathematikspezifischen Portfolios als Testinstrument, das zur Beschreibung von Professionalisierungsprozessen genutzt wird. Dazu wird das vom DIE entwickelte PortfolioPlus unter Berücksichtigung des adaptierten Kompetenzmodells fachspezifisch konkretisiert und eingesetzt, um die professionellen Kompetenzen von Multiplikatorinnen und Multiplikatoren vor und nach einer Fortbildung sowie begleitend zu erheben. Zur Klärung, welche Modifizierungen und Operationalisierungen vorgenommen werden müssen, wurde bisher unter anderem im Rahmen interner Expertengespräche eine erste Fassung des Testinstruments erstellt. Dabei wurde die Struktur in Anlehnung an das PortfolioPlus übernommen und die Items auf Passung im Feld ausgewählt. Die neuen und modifizierten Items weisen nun eine fachspezifische Konkretisierung mit einer teilweisen Schwerpunktsetzung auf digitale Werkzeuge auf, da das Testinstrument vor und nach einer Qualifizierungsmaßnahme mit dem Fokus auf Digitalisierung eingesetzt werden soll. Eine komprimierte Online-Fassung des Testinstruments ist für eine erste Pilotierung zur Grundlagenqualifizierung zum Thema Sprachbildung und Digitalisierung bei der Bezirksregierung Münster eingesetzt worden. Hierdurch konnte aufgezeigt werden,

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P. Ebers et al.

dass das Testinstrument einer weiteren Überarbeitungsphase bedarf. Beispielsweise müssen Formulierungen hinsichtlich der Interpretation der Teilnehmerinnen und Teilnehmer überprüft werden. Dazu sollen in weiteren Interviews die „Think-aloud-Technik“ und Nachfragetechniken („Probing“) genutzt werden (Fowler 1995). Im Anschluss an die Überarbeitungsphase wird das finalisierte Testinstrument in der Qualifizierungsmaßnahme mit dem Schwerpunkt Digitalisierung eingesetzt, um mögliche Professionalisierungsprozesse aufzuzeigen.

20.5 State of the art – Wo stehen aktive Multiplikatorinnen und Multiplikatoren hinsichtlich des Einsatzes digitaler Werkzeuge im Mathematikunterricht? Mit spezifischem Blick auf die Digitalisierung ist es bedeutsam, die Bereiche des fachund feldspezifischen Wissens sowie die professionellen Werthaltungen und Überzeugungen im GRETA-Modell detaillierter zu betrachten. Im Zentrum des Projektes Wissen und Überzeugungen von Multiplikatorinnen und Multiplikatoren steht die Entwicklung eines Fragebogens, der den aktuellen Wissenstand und die Überzeugungen der Multiplikatorinnen und Multiplikatoren zum Fortbildungskomplex Einsatz digitaler Werkzeuge im Mathematikunterricht abbildet. Unter digitalen Werkzeugen werden dabei Funktionenplotter, Tabellenkalkulation und dynamische Geometriesoftware verstanden (Barzel 2012). Im vorherigen Abschnitt konnte herausgestellt werden, dass es Kompetenzbereiche bei Multiplikatorinnen und Multiplikatoren gibt, die sich mit denen der Lehrpersonen decken. Im Bereich Einsatz digitaler Werkzeuge kann das TPACK-Modell (Mishra & Koehler 2006) als Grundlage genutzt werden. Das TPACK-Modell erweitert das bekannte PCK-Modell für Lehrerwissen um eine Technologiekomponente. Im Zentrum steht dabei die Veränderung des pädagogischen, fachlichen und fachdidaktischen Wissens von Lehrpersonen beim Einsatz neuer technologischer Ressourcen und die Wechselwirkung ihres technologischen Wissens mit den anderen beiden Wissensbereichen. Von diesen Wissensbereichen werden einige in Tab. 20.1 dargestellt. Dieses Modell ist aber nur für eine Anwendung auf Lehrerebene angelegt und berücksichtigt nicht das erweiterte Wissen, über das Multiplikatorinnen und Multiplikatoren verfügen sollten. In Abschn. 20.3 wurde beispielsweise gezeigt, dass das videofallbasierte Lernen im Kontext von Fortbildungen zur Digitalisierung gewinnbringend eingesetzt werden kann. Dabei spielt die kritische Beurteilung der fachlichen, pädagogischen und fachdidaktischen Möglichkeiten sowie der Konstruktion passender Lerngelegenheiten für die Fortbildungsteilnehmenden entsprechend der angestrebten Lernziele eine wichtige Rolle. Daher strebt das Projekt an, weitere Items zu entwickeln, mit denen das erweitere Wissen von Multiplikatorinnen und Multiplikatoren erfasst werden soll. Des Weiteren werden Items aus bestehenden Messinstrumenten zum TPACK-Modell genutzt. Da Überzeugungen als „Brücke zwischen Wissen und Handeln“ (Felbrich et al. 2010, S.  297)

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Der Herausforderung der Digitalisierung im Mathematikunterricht begegnen

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angesehen werden, müssen auch die Überzeugungen der Multiplikatorinnen und Multiplikatoren erfasst werden. Dazu fließen die Fragebögen des in Abschn. 20.2 vorgestellten Forschungsprojektes (Thurm et al. 2015) mit ein. Tab. 20.1 Kurzbeschreibung der technologiebezogenen Wissensbereiche im TPACK-Modell nach Mishra und Koehler (2006) Wissensbereiche

Kurzbeschreibung

TK Technological Knowledge

Wissen über • Standardtechnologien (Bücher, Kreide, Tafel … ) • fortgeschrittene Technologie (Computer, Internet, digitale Videos … ) • ihre Nutzung und Handhabung

TCK Technological Content Knowledge

Wissen über • den Zusammenhang und die Wechselwirkung von Technologie und Fachinhalt • mögliche Veränderungen von Inhalten durch die Verwendung von Technologie

TPK Technological Pedagogical Knowledge

Wissen über • die Existenz, die Komponenten und die Fähigkeiten verschiedener Technologien • den Einsatz dieser in Lehr- und Lernsituationen • die Veränderung von Unterricht durch die Verwendung bestimmter Technologien

TPACK Technological Pedagogical and Content Knowledge

Wissen über • Herausforderungen und Veränderungen im Unterricht beim Einsatz von Technologie • das, was Fachkonzepte leicht oder schwer erlernbar macht • Überwindungsmöglichkeiten von Lernschwierigkeiten durch den Einsatz von Technologie • die Basis für einen sinnvollen, fundierten Unterricht mit Technologie

Der entwickelte Fragebogen soll zunächst im T³-Lehrernetzwerk (Teachers Teaching with Technology) erprobt und anschließend weiterentwickelt werden. Die Ergebnisse einer eventuellen folgenden landesweiten Befragung können dann die Grundlage für weitere Professionalisierungsmaßnahmen für Multiplikatorinnen und Multiplikatoren bilden.

20.6

Fazit und Ausblick

Bei der Digitalisierung im Bereich der Bildung wird sich insbesondere von den MINTFächern eine Vorreiterrolle erhofft. Damit der Medieneinsatz so gestaltet wird, dass die Lernprozesse der Schülerinnen und Schüler sinnvoll unterstützt werden sind jedoch qualifizierte und motivierte Lehrpersonen nötig. Daher kommt „mit Blick auf das lebenslange

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Lernen und auf die rasante technologische und konzeptionelle Entwicklung im Bereich der digitalen Medien […] der Lehrerfortbildung eine besondere Bedeutung zu.“ (KMK 2016, S.  29) Empirisch gesicherte Erkenntnisse zu Fortbildungen im Bereich der Digitalisierung sind bisher nur kaum vorhanden. Die dargestellten Projekte leisten daher einen Beitrag, Erkenntnisse zu generieren, um Professionalisierungsmaßnahmen so zu gestalten, dass die Potenziale digitaler Medien im Mathematikunterricht ausgeschöpft werden können. Die Beiträge machen dabei die große Komplexität und Vielfalt der Lehrerprofessionalisierungsforschung im Bereich digitaler Medien deutlich. In Bezug auf Lehrpersonen wurde ein Projekt zur Erkenntnisgewinnung bezüglich Fortbildungskonzepten zu digitalen Werkzeugen und ein Projekt zur Erprobung einer neuen Methode zur Professionalisierung vorgestellt. Bezüglich Multiplikatorinnen und Multiplikatoren wurden Projekte zur Entwicklung von Testinstrumenten und zur Erfassung der Kompetenzstände diskutiert. Die Herausforderung wird sein, die Erkenntnisse der Projekte in konkrete Fortbildungen zu integrieren und entsprechend gestaltete Fortbildungen vor allem auch auf breiterer Basis zu disseminieren.

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Der Herausforderung der Digitalisierung im Mathematikunterricht begegnen

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Problemlösestrategien lehren lernen – Wo die Praxis Probleme beim Problemlösen sieht

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Raja Herold-Blasius, Lars Holzäpfel und Benjamin Rott

Zusammenfassung

Problemlösen ist eine zentrale Kompetenz beim Aufbau mathematischer Bildung und ist deswegen wesentlicher Bestandteil in den Bildungsplänen für das Fach Mathematik. Allerdings haben Lehrkräfte immer wieder Bedenken und Befürchtungen, wenn es um die konkrete Umsetzung von mathematischem Problemlösen im Unterricht geht. In verschiedenen Lehrerfortbildungen wurden diese teilweise kritischen Haltungen beobachtet und gesammelt. In diesem Beitrag werden häufig gestellte Fragen und Bedenken zum Problemlösen im Mathematikunterricht aus der Sicht der Praxis zusammengetragen und diskutiert. Aus der Perspektive der Forschung werden mögliche Antworten darauf gegeben. Raja Herold-Blasius * Universität Duisburg-Essen Essen, Deutschland E-Mail: [email protected] Lars Holzäpfel Pädagogische Hochschule Freiburg Freiburg, Deutschland E-Mail: [email protected] Benjamin Rott Universität zu Köln Köln, Deutschland E-Mail: [email protected]

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2019 A. Büchter et al. (Hrsg.), Vielfältige Zugänge zum Mathematikunterricht, https://doi.org/10.1007/978-3-658-24292-3_21

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21.1 Einleitung Das Problemlösen hat im Mathematikunterricht seit jeher eine große Bedeutung. Unter einem Problem wird dabei eine Aufgabe verstanden, für die dem jeweiligen Bearbeiter/der jeweiligen Bearbeiterin kein Lösungsschema bzw. kein Algorithmus zur Lösungsfindung bekannt ist. Demgegenüber steht die sogenannte Routineaufgabe, bei der der Bearbeiter/die Bearbeiterin prinzipiell weiß, wie vorzugehen ist, und ein bekanntes Schema zur Lösung anwenden kann – auch wenn eine Lösung der Aufgabe komplex und/oder aufwändig ist (Rott 2013, Holzäpfel et al. 2018). Und sicherlich kann genau hier auch der Knackpunkt liegen: Wenn einem Schüler oder einer Schülerin diese Schemata nicht mehr in Erinnerung sind, ist die entsprechende Aufgabe für ihn/sie ein Problem bzw. wird als ein solches empfunden. Aber das ist hier nicht gemeint. In diesem Beitrag geht es also um Aufgaben mit einem „wirklichen“ Problemcharakter (d. h. die nicht einfach nur schwierig sind). In der psychologischen und fachdidaktischen Literatur wird beim Bearbeiten von Aufgaben häufig von der Überführung eines gegebenen (unerwünschten) Anfangszustands in den (erwünschten) Zielzustand gesprochen. Diese Überführung wird beim Problemlösen allerdings durch eine Barriere behindert (z. B. Dörner 1979; Edelmann 1994; Rott 2013). Solche Barrieren hängen vom jeweiligen Vorwissen und der jeweiligen Erfahrung des/der Lernenden ab und sind damit individuell verschieden. Als prozessbezogene Kompetenz wird Problemlösen seit dem sogenannten „PISASchock“ im Jahr 2000 auch im Curriculum explizit gefordert (KMK 2005). Folgt man einer Sammlung von Eindrücken aus Lehrerfortbildungen, so deutet sich an, dass das Problemlösen im Mathematikunterricht noch immer recht stiefmütterlich behandelt wird. Das könnte nicht zuletzt daran liegen, dass sich einige Lehrkräfte bezüglich dieses Themas unsicher sind bzw. es ihnen an Unterrichtskonzepten und -ideen für die Umsetzung fehlt. Dies hängt sicherlich auch damit zusammen, dass sie sich noch nicht ausreichend auf diese Herausforderung vorbereitet fühlen. In ihrer eigenen Schulzeit haben sie diesen Bereich der Mathematik in der Regel kaum erlebt und während ihres Studiums mussten sie zwar mathematische Probleme lösen, haben dabei aber kaum auf einer Metaebene verschiedene Strategien reflektiert (Kuzle & Rott 2018; Rott 2015). Aber auch in der zweiten und dritten Phase der Lehrerbildung wird das Problemlösen noch zu wenig thematisiert (Rott 2015). Im Schulunterricht, den die Lehrkräfte nun gestalten, wird verlangt, dass sie ihren Schülerinnen und Schülern helfen, Problemlösekompetenzen zu erwerben, obwohl sie es selbst kaum erlebt bzw. erlernt haben. Das bringt einige Schwierigkeiten mit sich. Deswegen verspüren die Lehrkräfte Unsicherheiten und haben zu Recht zahlreiche Bedenken und Fragen und nicht zuletzt oft eine recht kritische Haltung, wenn es um die konkrete Umsetzung von Problemlösen im Mathematikunterricht geht. In diesem Beitrag sollen Schwierigkeiten und Ängste beim Unterrichten von (mathematischem) Problemlösen diskutiert werden, wie sie sich in der Literatur finden (vgl. hierzu auch Sawada 1997, Möller & Rott 2018) und wie sie uns in zahlreichen Lehrerfortbildungen immer wieder begegnet sind. Es geht dabei einerseits um eine Sensibilisierung

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Problemlösestrategien lehren lernen

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für die kritischen Stellen; sprich ein Bewusstsein dafür, welche Schritte hierbei noch zu bewältigen sind und worauf dabei zu achten ist. Andererseits geht es um Überlegungen, wie damit konstruktiv umgegangen werden kann.

21.2

Häufig gestellte Fragen und Lösungsansätze zum Problemlösen im Mathematikunterricht

Wer Lehrerfortbildungen für Lehrkräfte verschiedener Schulstufen durchführt, kennt sie, die typischen Bedenken und Argumente gegen das Problemlösen: Die Spannweite reicht von grundlegenden, allgemeinen Äußerungen wie „Problemlösen? – Was ist das überhaupt?“ bis hin zu konkreten Schwierigkeiten, die im Unterricht aufkommen wie z. B. „Solche Aufgaben gibt es nicht in meinem Schulbuch“. Sicherlich sind manche Bedenken nicht von der Hand zu weisen; andererseits gibt es Lösungsvorschläge, wie diesen Herausforderungen begegnet werden kann. Kommunikationspsychologisch stecken hinter solchen Bedenken häufig Botschaften auf verschiedenen Ebenen, auch wenn nur die Sachebene angesprochen oder vielleicht sogar vorgeschoben wird (vgl. Schulz von Thun 2011). Einige dieser Botschaften werden nachfolgend näher betrachtet und diskutiert: Bezogen auf das Curriculum werden Bedenken geäußert, die sich dem „Dabei-lernt-mannicht-genug-Mathe-Problem“ (Formulierung in Anlehnung an Renkl & Beisiegel, 2003) zuordnen lassen. Konkrete Äußerungen sind hierbei z. B.: • •

„Meine Schülerinnen und Schüler lernen mit Problemlösen im Unterricht nicht genug Inhalt. So bekomme ich meinen Stoff nicht durch.“ „Was hat Problemlösen mit dem Mathematikunterricht zu tun? Das ist ja recht und schön, aber der Fokus beim Unterrichten liegt auf den Inhalten. Schließlich hilft das nicht für die Abschlussprüfung, und die muss ja bestanden werden.“

Bezogen auf die Schülerinnen und Schüler lassen sich die Bedenken unter dem „Das-istnur-was-für-die-Guten-Problem“ zusammenfassen. Diese äußern sich beispielsweise in folgenden Aussagen: •

• •

„Meine (schwachen) Schülerinnen und Schüler verstehen normale Textaufgaben ja schon gar nicht. Da brauchen wir mit Problemlösen gar nicht erst anzufangen. Wie kann ich Problemlöseaufgaben also so stellen, dass meine Schülerinnen und Schüler sie verstehen?“ „Problemlösen können nur meine guten Schülerinnen und Schüler. Was soll ich in der Zeit mit den anderen machen? „Die Schwachen brauchen eine klare, kleinschrittige Anleitung – sonst kommen sie nicht mehr mit.“

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•

„Den Schülerinnen und Schülern fällt selbstständiges Arbeiten schwer – wenn sie vor einem Problem stehen, das sie nicht gleich lösen können, schalten sie ab und fangen an zu stören. Dann muss ich im Klassenzimmer an allen Ecken und Enden gleichzeitig sein.“ „Meine Schülerinnen und Schüler fühlen sich nach dem Problemlöseprozess noch unsicherer als vorher. Bei so vielen Lösungsmöglichkeiten wissen sie jetzt gar nicht mehr, wie Mathe geht.“

Bezogen auf die Rahmenbedingungen und Voraussetzungen lassen sich ebenfalls Bedenken identifizieren, die sich dem „Das-lässt-sich-im-Unterricht-nicht-realisieren-Problem“ zuordnen lassen. Adressiert werden dabei die folgenden Punkte: • • •

•

„Recht und gut – aber die Voraussetzungen für gutes Problemlösen sind gar nicht gegeben!“ „Wie soll ich Problemlösen denn unterrichten? Ich weiß überhaupt nicht, wie ich anfangen soll.“ „Ich fühle mich auf das Unterrichten mit Problemlöseaufgaben im Mathematikunterricht nicht gut genug vorbereitet. Ich kann mir im Vorfeld einfach nicht vorstellen, was meine Schülerinnen und Schüler alles antworten werden.“ „Wenn ich Problemlösen nicht bewerten kann, brauche ich das im Unterricht auch nicht zu thematisieren.“

Nicht zuletzt gibt es noch den Aspekt: „Problemlösen – das mach‘ ich doch schon“, der beispielsweise durch diese Botschaften geäußert werden kann: • •

„Meine Schülerinnen und Schüler lösen ständig Probleme – immer dann, wenn ihnen Aufgaben zu schwierig erscheinen, haben sie ein Problem.“ „Problemlösen ist nichts Neues. Rätselbücher bringe ich immer mal mit in den Unterricht.“

„Problemlösen? – Das mach’ ich doch schon!“ Bei dieser Aussage geht es möglicherweise um die Ansicht, dass jegliches Bearbeiten von (schwierigen) Aufgaben schon Problemlösen sei. In diesem Fall hätte die Lehrkraft ein anderes Verständnis von Problemlösen als wir in diesem Beitrag zugrunde legen. Dadurch könnte es passieren, dass „echtes“ Problemlösen (im oben beschriebenen Sinne) im Unterricht dieser Lehrkräfte gar nicht vorkommt und damit ein wesentliches Bildungsziel nicht erreicht würde. Wichtige Kernprozesse wie z. B. die Planung des Vorgehens, die Anwendung von Strategien oder das Reflektieren des eigenen Lösungswegs werden dann vernachlässigt und im Unterricht nicht systematisch und zielgerichtet thematisiert.

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Problemlösestrategien lehren lernen

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Ziel des Problemlösens im Mathematikunterricht ist es, Problemlösefähigkeiten zu schulen, die als Teil der Grund- und Allgemeinbildung angesehen werden können (Winter 1995). Zu den Problemlösefähigkeiten zählen u. a. der Umgang mit Frustration und der Einsatz von Problemlösestrategien (Heurismen). Diese häufig allgemeinen, also auf viele verschiedene Aufgaben(typen) anwendbaren Strategien, wie das Finden von Beispielen, das systematische Probieren oder das Erstellen von Skizzen, sind nicht nur in der Mathematik, sondern auch in anderen Unterrichtsfächern von Relevanz. Der Mathematikunterricht erfüllt dabei eine wichtige Funktion über die Fächergrenzen hinweg. Er unterstützt hinsichtlich übergreifender schulischer Bereiche und mit Blick auf die späteren berufsbezogenen Anforderungen eine grundlegende Kompetenzentwicklung. In der Rolle eines Fortbildners bzw. einer Fortbildnerin lohnt sich also, einmal abzugleichen, welches Verständnis von Problemlösen bei der jeweiligen Lehrkraft zugrunde liegt.

„Dabei lernt man nicht genug Mathe“ Die Bearbeitung eines Problems dauert in der Regel länger als die Bearbeitung einer Routineaufgabe. Während man in 20  Minuten vermutlich mindestens zehn oder mehr Routineaufgaben bearbeiten kann, schafft man in dieser Zeit vielleicht nur ein Problem. Das bedeutet aber nicht zwangsläufig, dass die Schülerinnen und Schüler dadurch weniger lernen. Im Gegenteil, es gibt viele Studien (siehe dazu Edelmann & Wittmann 2012; Lefrancois 2006), die nachweisen, dass „besser“, d. h. vernetzter und nachhaltiger, gelernt wird, wenn Lernende (auch) mit Problemen arbeiten. Lernende sollten infolgedessen also nicht nur noch mit mathematischen Problemen konfrontiert werden – eine gewisse Automatisierung bestimmter Fertigkeiten ist wichtig für das Lernen von Mathematik. Trotzdem müssen Lernende auch anders gefordert werden, als nur durch die Anwendung von Routineschemata. Es kann durch das Praktizieren von Problemlösen z. B. auch die Frustrationstoleranz erhöht werden. Wir wollen hier grob zwei Unterrichtsphasen unterscheiden, in denen Problemlösen im Mathematikunterricht sinnvoll und als Ergänzung zum Einsatz von Routineaufgaben eingesetzt werden kann: (1) Problemlösen in Einstiegsphasen und (2) Problemlösen in Übungsphasen (siehe dazu detailliert Holzäpfel et al. 2018, Kap. 8). Diese Unterscheidung kann und sollte auch auf Phasen innerhalb einzelner Unterrichtsstunden übertragen werden. (1) Das Problemlösen in Einstiegsphasen. Nicht jeder Unterrichtsstoff eignet sich gleichermaßen für eine problemorientierte Einführung. So gibt es im Mathematikunterricht immer wieder Stellen, die auch eine instruktive Wissensvermittlung nahelegen. In diesen Fällen – insbesondere bei der Einführung von Konventionen oder vorgegebenen Verfahren (z. B. dem Algorithmus für das schriftliche Dividieren) – ist die Reichhaltigkeit des problemorientierten Arbeitens begrenzt. Insgesamt gibt es eher wenige Stellen im Mathematikunterricht,

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die ausschließlich eine instruktive Wissensvermittlung implizieren. Oftmals kann problemorientiert gearbeitet werden und dabei können sinnstiftende, verstehensorientierte Lernanlässe angeboten werden. Dass dies mehr Zeit in Anspruch nimmt als eine reine „Wissensvermittlung“, braucht nicht weiter diskutiert zu werden. Jedoch muss die Frage gestellt werden, an welchen Stellen im Lernprozess (alle Lernphasen eingenommen) letztlich welche Verstehens- und welche Festigungsprozesse erfolgen. Insofern handelt es sich hier im Grunde genommen um eine andere Akzentuierung der Lernprozesse: So wird zunächst mehr Zeit auf das tiefere Durchdringen der Kernfragen und Prinzipien gelegt (im Gegensatz zum ersten, ggf. oberflächlichen Kennenlernen eines Inhalts). Anschließend wird in eine (automatisierende) Übephase übergegangen. Die Zeit für die gesamte Lerneinheit bleibt im Vergleich unverändert (Möller & Rott 2017). Das tiefere Durchdringen erleichtert den Schülerinnen und Schülern später, sich an die Zusammenhänge und den zuvor erlernten Inhalt zu erinnern. Ein Beispiel für eine Problemaufgabe stellt das „Münzwurf-Spiel“ dar (siehe Abb. 21.1).

„Zwei (oder mehr) Spieler werfen Münzen. Wer am dichtesten an einer Linie wirft, gewinnt. Nebenstehend sieht man das Ergebnis des Wurfs von Spieler A (grau) und B (weiß).“ (in Anlehnung an „the money game task“ von Eichler & Vogel 2012, S. 844)



Abb. 21.1 Eine exemplarische Aufgabe zum Problemlösen, die für Einstiegs- und Übungsphasen geeignet ist

Dieses Wurfexperiment könnte von Schülerinnen und Schülern natürlich auch selber durchgeführt und aufgezeichnet oder fotografiert werden. Es bleibt die Frage, wer nun gewonnen hat. Die Gewinnbedingung ist bewusst offen gelassen – es gibt also keine Regel, die angewendet werden kann. Diese muss von den Schülerinnen und Schüler eigenständig erarbeitet werden. Hat A (graue Münzen) gewonnen, weil eine seiner Münze am dichtesten an (bzw. auf) der Linie liegt? Oder gewinnt B (weiße Münzen), weil er viel konstanter geworfen hat? Mit dieser Aufgabe kann man eine Präzisierung der Gewinnbedingungen (der beste Wurf zählt oder alle Würfe zählen) sowie die Erarbeitung eines Maßes für den Mittelwert und sogar für Streuungen einleiten. Diese Aufgabe könnte in diesem Sinne sowohl als Einführung in die Arbeit mit Daten als auch in einer Übungsphase zur Festigung und intensiven Interpretation der Begriffe genutzt werden.

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Problemlösestrategien lehren lernen

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(2) Das Problemlösen in Übungsphasen. Es gibt viele Probleme und offene Aufgaben, die sich zum Einüben und Vertiefen bestimmter mathematischer Inhalte eignen bzw. durch einfache Variation von Aufgaben kann man aus Routineaufgaben spannende Probleme erzeugen (Holzäpfel et al. 2016; Rott 2018). Beispielsweise kann man – anstelle von Routineaufgaben zu Bruchadditionen – die folgende Frage stellen: „Welche Zahlen lassen sich als Summe zweier Stammbrüche (Brüche mit dem Zähler 1) darstellen? Notiere deine Überlegungen und erkläre, wie du vorgehst.“ Diese Problemaufgabe regt dazu an, systematisch zu probieren, Hypothesen zu formulieren und sie zu überprüfen. Mehr zu diesem Problem findet sich weiter unten. Zurück zur Ausgangsfrage: Es wird also deutlich, dass sich die Gewichtung von Unterrichtsphasen innerhalb einer Unterrichtseinheit durch das mathematische Problemlösen verschieben kann. Inhaltlich muss jedes mathematische Themengebiet für sich analysiert werden, um dann prüfen zu können, wie sich das Problemlösen integrieren lässt. Denn nicht alle Themengebiete eignen sich gleichermaßen. Mit Blick auf die gesamte Unterrichtseinheit kann das Problemlösen meist aber doch häufiger in verschiedenen Unterrichtsphasen integriert werden als ursprünglich gedacht.

„Das ist nur was für die Guten“ Nimmt man die Bildungspläne ernst, so muss man auch bei den prozessbezogenen mathematischen Kompetenzen die Anforderungsniveaus berücksichtigen. Insofern muss besonders darauf geachtet werden, dass die Förderung der Problemlösekompetenz für alle Leistungsniveaus angeboten wird. Es muss also auch „einfache“ Probleme geben, damit nicht das passiert, was in folgender Äußerung zum Vorschein kommt: „Meine Schülerinnen und Schüler verstehen normale Textaufgaben ja schon gar nicht. Da brauchen wir mit Problemlösen gar nicht erst anfangen.“ Problemaufgaben sind nicht zwangsläufig Aufgaben, die besonders kompliziert sind, oder deren Aufgabenstellung (bewusst) verklausuliert und deshalb schwer zu begreifen ist. Im Gegenteil, manche „Textaufgabe“ mit einem einfachen, den Lernenden bekannten Lösungsverfahren, besitzt einen besonders undurchsichtigen Text, damit das Verfahren nicht sofort ersichtlich ist. Dem gegenüber stehen Aufgaben, beispielsweise im Bereich der Prozentrechnung, die sprachlich dadurch anspruchsvoll werden, eine Erhöhung „um 120 %“ von einer Erhöhung „auf 120 %“ unterscheiden zu können. Aufgrund dieser sprachlichen Komplexität fällt es Schülerinnen und Schülern dann schwer, die passende Mathematisierung auszuwählen (Pöhler 2018). Eine mathematische Problemaufgabe kann hingegen mit einem sehr einfachen, leicht verständlichen Text geschrieben sein: „Wie viele Quadrate lassen sich auf einem Schachbrett finden?“ Sobald geklärt ist, dass auch größere Quadrate, z. B. solche, die aus vier Feldern bestehen, gemeint sind, ist die Aufgabenstellung sehr verständlich. Die Bearbeitung eines solchen Problems ist allerdings nicht so einfach – aber genau so soll es beim Problemlösen ja auch sein.

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Die Aufgabe der Lehrkraft besteht nun darin, Problemstellungen zu finden, die auf einem angemessenen sprachlichen Niveau formuliert und mathematisch anspruchsvoll für die jeweilige Altersstufe sind. Dazu bieten sich für unterschiedliche Altersstufen verschiedene Aufgabensammlungen oder Fachzeitschriften an (z. B. für die Grundschule: Schnabel & Trapp 2015; Häring 2016; oder für die weiterführende Schule: Bruder & Collet 2011; Bruder et al. 2018; Holzäpfel et al. 2016; Holzäpfel et al. 2018). Um die Heterogenität einer Klasse beim Problemlösen im Mathematikunterricht angemessen zu berücksichtigen, können verschiedene Maßnahmen zur Unterstützung beachtet werden: (1) Aufgabenauswahl, (2) Wahl der Sozialformen und (3) Wahl der Hilfsmittel. (1) Aufgabenauswahl: Idealerweise werden schon im Vorfeld Aufgaben ausgesucht, die auch niederschwellig bearbeitet werden können. Insgesamt sind viele gute Probleme selbstdifferenzierend, d. h. unterschiedlich starke Lernende können damit arbeiten und jeweils unterschiedlich viel daraus ziehen. Man betrachte z. B. das bereits oben angedeutete Problem: „Welche Zahlen lassen sich mithilfe von zwei Stammbrüchen 1 1 + darstellen?“ Schwache Lernende trainieren mit diesem Problem die Addition ! ! 1 1 von Brüchen, indem sie Brüche wie und gleichnamig machen und zusammen7 9

zählen. Starke Lernende, die ein solches Training nicht mehr benötigen, können sich

Gedanken über die zugrunde liegenden Strukturen machen, beispielsweise über wiederkehrende Muster bei der Addition „benachbarter“ Stammbrüche wie oder allgemein

1 1 1 1 + , + 4 5 8 9

1 1 + . Zusätzlich können alle Lernenden Problemlösestrategien n n +1

wie das systematische Probieren kennenlernen und anwenden (solche Herangehensweisen finden sich ausführlich bei Bruder & Collet 2011 oder Holzäpfel et al. 2018). (2) Sozialformen: Hier bieten sich verschiedene Szenarien an. In Einzelarbeit können die Schülerinnen und Schüler erste Ideen verfolgen. Allerdings bleiben sicher auch einige Lernende stecken und wissen nicht weiter. Eine Partnerarbeit oder die Arbeit in Dreiergruppen bietet sich hier an. Das häufig verwendete Ich-Du-Wir Prinzip hat sich unserer Erfahrung nach insofern als schwierig erwiesen, als dass sich Schülerinnen und Schüler insbesondere jüngerer Altersklassen leichter tun, Strategien gemeinsam zu erarbeiten, als sich zu einem späteren Zeitpunkt in der Du-Phase in die Strategien des Partners bzw. der Partnerin hineinzudenken, weil das Sprechen über Strategien vielen Lernenden schwer fällt (Herold-Blasius & Rott 2018). Auch bei der Sozialform ist es letztlich aber immer eine Frage des Trainings. In jedem Fall ist das mathematische Problemlösen am Ende besonders gewinnbringend durch den gemeinsamen Austausch und das gemeinsame Erleben von Erfolgserlebnissen – den Heureka-Effekt (Bruder & Collet 2011). (3) Hilfsmittel: Je nach Problem können verschiedene Materialien oder Werkzeuge – auch differenziert, also nicht von vornherein für alle Lernenden – eingesetzt werden.

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Bei vielen geometrischen Aufgaben bietet es sich an, Figuren aus Papier oder Karton auszuschneiden und damit zu hantieren. Tabellen könnten mithilfe entsprechender Software angelegt, verwaltet und manipuliert werden. Und Rechnungen könnten mithilfe von Taschenrechnern durchgeführt werden, um Ergebnisse zu kontrollieren oder Rechenaufwand zu reduzieren und die gewonnene Zeit anders zu nutzen. Bei der „Stammbruch“-Aufgabe oben könnten die Additionen beispielsweise mithilfe von Rechnern erledigt werden, um mehr Zeit für die Suche nach Mustern und Strukturen zu haben.

„Das lässt sich im Unterricht nicht realisieren“ Die Realisierung von Problemlösen im (regulären) Unterricht hängt von einigen Faktoren ab. An dieser Stelle sollen drei der am häufigsten genannten Herausforderungen angesprochen werden: (a) die Frage, wie ein solcher Unterricht überhaupt geplant werden kann, (b) die Frage, wie man einsteigen kann und (c) die Frage, wie man einen Problembearbeitungsprozess bewerten kann. (a) „Ich fühle mich auf das Unterrichten mit Problemlöseaufgaben im Mathematikunterricht nicht gut genug vorbereitet. Ich kann mir im Vorfeld einfach nicht vorstellen, was meine Schülerinnen und Schüler alles antworten werden.“ Es hilft sehr, die Aufgabe zuerst selbst zu bearbeiten und sich dabei gut zu beobachten – auch mögliche Irrwege, die dabei entstehen, sollten gesammelt werden. Löst ein Kollege oder eine Kollegin die Aufgabe ebenfalls, dann liegen bereits zwei (ggf. verschiedene) Lösungswege vor. Systematisch können drei Bereiche im Vorfeld betrachtet werden: mögliche Lösungswege, Schwierigkeiten und Anforderung sowie (zielführende und nichtzielführende) Lösungsstrategien. Am Beispiel der Aufgabe „Eine Tüte Smarties“ (Abb. 21.2 a) liegt die Hauptschwierigkeit im Finden einer geeigneten Strategie. Das reversible Denken, d. h. eine beschriebene Handlungsabfolge muss gedanklich umgekehrt werden, und die damit einhergehende Strategie des Rückwärtsarbeitens wäre hier ein tragfähiger Ansatz. In diesem Fall beginnt man mit sechs Smarties und geht die einzelnen Schritte rückwärts – also Tag 2: (6 + 1) ∙ 2 = 14, Tag 1: (14 + 1) ∙ 2 = 30. Zu Beginn waren also 30 Smarties in der Tüte. Alternativ könnte man auch eine Tabelle erstellen oder den Ablauf der Geschichte in einer Skizze bzw. informativen Figur (Bruder & Collet 2011) darstellen. Auch das klassische Vorwärtsarbeiten wäre möglich. In diesem Fall denkt sich der Problemlöser bzw. die Problemlöserin eine Startzahl aus und geht dann schrittweise die Tage durch. Bleiben am Ende genau sechs Smarties übrig, stimmt die Startzahl (Herold-Blasius, Rott & Leuders 2017). In der Unterrichtsstunde kommt es letztlich darauf an, möglichst flexibel auf Lösungswege zu reagieren und zunächst alle Lösungsideen zuzulassen. Wie zielführend eine Lösungsidee tatsächlich ist oder war, kann in einem weiteren Schritt geprüft werden. Wichtig ist, dass die Lehrkraft die eingesetzte Problemaufgabe erst Schritt für Schritt

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a

b

Abb. 21.2 Exemplarische Aufgaben zur Einführung und Verwendung der Strategieschlüssel in der Grundschule (a: Aßmus 2010; b: Besser, Leiss & Blum 2015)

kennen lernen muss. Eine fachliche und fachdidaktische Analyse kann hierbei helfen. Nur durch vielfältige Überlegungen im Vorfeld können im Unterricht vielfältige Lösungswege aufgegriffen werden. Und trotzdem wird es beim ersten Mal sicherlich einige Überraschungen im Unterricht geben. Bei einer wiederholten Durchführung wird der Umgang mit solchen Überraschungen sicherer. Schließlich gehören unerwartete Situationen im Unterricht einfach dazu – man sollte sich darauf einstellen; das ist ganz normal. (b) „Wie soll ich Problemlösen denn unterrichten? Ich weiß überhaupt nicht, wie ich anfangen soll.“ Implizite Einführung und Generierung von Heurismen in der Reflexion: Eine implizite Möglichkeit Schülerinnen und Schülern das mathematische Problemlösen näher zu bringen, besteht in einem Problem der Woche oder des Monats. Dann wird pro Woche

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oder Monat ein mathematisches Problem im Klassenraum ausgehangen. Lösungen können in einem Briefkasten eingeworfen werden. Eine Unterrichtsstunde pro Woche oder Monat könnte dann zur Besprechung verschiedener Lösungen oder/und Lösungsstrategien verwendet werden. Niederschwelliges Anbieten von Heurismen: Ein niederschwelliger, eher impliziter Einstieg ins Problemlösen in der Grundschule oder Sekundarstufe I kann mit sogenannten „Strategieschlüsseln“ gelingen. Strategieschlüssel sind ein leicht in den Unterricht integrierbares Material (s. Abb. 21.3), bestehend aus neun Schlüsseln, wobei auf jedem Schlüssel eine in Schülersprache formulierte Problemlösestrategie und ein dazu passendes Bild aufgeführt werden, z. B. „Male ein Bild“ oder „Erstelle eine Tabelle“ (Herold-Blasius, Rott & Leuders 2017). Die Anzahl der Strategieschlüssel kann je nach Klassenstufe variiert werden. Abb. 21.3 Strategieschlüssel als Schlüsselbund

Eine Einführung des Schlüsselbundes kann beispielsweise in drei Phasen erfolgen: Assoziations-, Gruppenarbeits- und Reflexionsphase. Zuerst präsentiert die Lehrkraft die Strategieschlüssel in der Klasse und fragt nach möglichen Assoziationen (Assoziationsphase): Wann können die Schlüssel eingesetzt werden? Mit welchem Schlüssel kann ich was machen? An dieser Stelle geht es darum, die Strategieschlüssel vielfältig zu denken, sie also in keiner Form einzuschränken. So kann z. B. der Schlüssel „Verwende verschiedene Farben“ eingesetzt werden, um sich relevante Informationen im Text zu markieren, aber auch um in eine unübersichtliche Menge von Beispielen eine gewisse Übersicht zu bringen. Eine „richtige“ Interpretation dieses Schlüssels gibt es in dem Sinne also nicht. In der Gruppenarbeitsphase werden den Schülerinnen und Schülern hinreichend schwere

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Aufgaben angeboten (für die Grundschule s. Abb. 21.2), die sie in Gruppen lösen sollen. Treffen sie Hürden an, sollen sie die Strategieschlüssel als Hilfestellung verwenden. Während der Bearbeitung wird das Vorgehen notiert. In einer Reflexionsphase werden dann verschiedene Lösungswege der gleichen Aufgabe verglichen. Dabei wird intensiv darüber reflektiert, welche Strategieschlüssel wann und wie geholfen haben oder welche Strategieschlüssel zielführend waren. Dadurch sollen die Schülerinnen und Schüler erkennen, dass ihnen die Strategieschlüssel helfen können, aber nicht immer jeder Schlüssel zum Ergebnis führt. In der weiterführenden Schule ab Klasse 5 können die Strategieschlüssel mit schwierigeren Problemaufgaben eingeführt werden. Erprobt wurden die Strategieschlüssel bisher mit Schülerinnen und Schülern der Klassenstufen 3 bis 7 (Details zur Einführung der Strategieschlüssel in Herold-Blasius & Rott 2018). Explizites, fokussierendes Training einzelner Heurismen: Eine andere Möglichkeit Problemlösen zu unterrichten, bietet ein explizites Heurismentraining. Schülerinnen und Schüler durchlaufen dazu insgesamt vier Phasen: (1) Gewöhnen an Heurismen, (2) Bewusstmachen heuristischer Elemente und Einsicht in deren Wirksamkeit, (3) zeitweilige bewusste Übung und Anwendung und (4) schrittweise bewusste Kontexterweiterung für den Einsatz der Heurismen und zunehmend unterbewusste Nutzung (Bruder & Collet 2011, S.  114). Bei diesem Vorgehen werden Problemlösestrategien einzeln eingeführt und an dafür geeigneten Aufgaben geübt. (c) „Wenn ich Problemlösen nicht bewerten kann, brauche ich das im Unterricht auch nicht zu thematisieren.“ Sicherlich ist es günstig, wenn Dinge, die im Unterricht behandelt werden, auch in die Bewertung mit einfließen, denn das trägt dazu bei, dass die Schülerinnen und Schüler (und auch die Lehrkräfte) den Inhalt ernst nehmen. In vielen Abschlussprüfungen wird Problemlösen gar nicht oder zumindest nicht explizit verlangt; daher kommt es in Fortbildungen auch oft zu der Äußerung, dass die Bearbeitung von Problemen im Unterricht Zeitverschwendung sei. Schließlich gelte es, die Lernenden auf die Prüfung vorzubereiten. Aber gerade hier kann das Problemlösen hilfreich sein. So kann man argumentieren, dass man gerade dann, wenn man in der Abschlussprüfung an einer schwierigen Aufgabe „hängt“, Strategien verfügbar haben sollte, um weiterzukommen und nicht einfach da zu sitzen und nichts zu tun. Es ist ohne Weiteres möglich, Ergebnisse von Problemlöseaufgaben zu bewerten. Es sollten dann zur Bewertung von Problemlöseprozessen der Prozess selbst sowie das Ergebnis der Schülerinnen und Schüler herangezogen werden. Ein einfaches richtig-undfalsch-Schema genügt jedoch nicht. Es ist deswegen unbedingt nötigt, dass die Schülerinnen und Schüler ihren Lösungsweg dokumentieren. Hierbei sollten dann aber nicht nur Rechenwege, sondern auch alle angewandten Strategien – wie das Zeichnen von Skizzen oder das Verwenden von verschiedenen Farben zur Systematisierung – als ggf. richtige Vorgehensweisen gewertet werden.

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Ein recht einfach handhabbares Schema besteht in einem vierstufigen System (Rott 2013). Darin werden null Punkte vergeben, falls der Schüler/die Schülerin keinen Lösungsansatz gefunden hat. Ein Punkt wird vergeben, wenn ein einfacher Ansatz gefunden wurde; zwei Punkte werden für einen erweiterten und drei Punkte für einen richtigen Ansatz gegeben. Das heißt konkret, dass sich die Lehrperson für jede Problemlöseaufgabe überlegen sollte, was für sie ein einfacher, erweiterter und korrekter Ansatz ist. Am Beispiel der LegosteineAufgabe (Abb. 21.2 b) könnte das folgendermaßen aussehen (Tab. 21.1): Tab. 21.1 Bewertungsraster für die Legosteine-Aufgabe Ohne Berücksichtigung der Reihenfolge der Legosteine

Mit Berücksichtigung der Reihenfolge der Legosteine

Kein Ansatz (0 Punkte)

Kein oder ein Beispiel: Der Schüler/ die Schülerin hat keine Lösung gefunden oder gibt genau ein Beispiel an. Im zweiten Fall wurde die Problemstellung nicht erfasst.

Einfacher Ansatz (1 Punkt)

Mehrere Beispiele: Der Schüler/ die Schülerin schreibt einzelne Beispiele auf, geht dabei aber unsystematisch vor und findet dadurch nicht alle Lösungen.

Erweiterter Ansatz (2 Punkte)

Mehrere Beispiele und Strategie: Der Schüler/ die Schülerin schreibt Beispiele auf und geht dabei systematisch vor. Dennoch wurden nicht alle Lösungen gefunden.

Korrekter Ansatz (3 Punkte)

Alle Beispiele: Der Schüler/ die Schülerin findet die vollständige Anzahl von Lösungen. a) 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 4 b) 3 + 3 + 3 + 4 + 6 c) 3 + 4 + 6 + 6 d) 3 + 4 + 4 + 4 + 4 Die Lösungen b) und c) können durch das Zusammenfassen von 3-er Steinen in 6-er Steinen generiert werden.

Mit Berücksichtigung der Reihenfolge ergeben sich insgesamt 43 Möglichkeiten. 6! 5! 5! 4! + + + = 5! 3! 4! 2! = 6 + 20 + 5 +12 = 43

Die Schülerinnen und Schüler haben bei dieser Aufgabenbearbeitung also die Möglichkeit, beispielsweise in einer Klassenarbeit Punkte zu generieren – selbst wenn sie die Aufgabe mit Berücksichtigung der Reihenfolge der Legosteine betrachten und die Aufgabe so vermeintlich falsch verstehen. Durch ein Bewertungsraster wie in Tab. 21.1 ist eine differenziertere, schnell umsetzbare und gleichzeitig sehr transparente Bewertung auch in Prüfungssituationen möglich (Alternative Möglichkeiten zur Bewertung können bei Wälti (2014) eingesehen werden).

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21.3 Fazit In diesem Beitrag wurden Unsicherheiten, Bedenken und Fragen von Lehrkräften zusammengetragen und aus Sicht von Lehrerfortbildnern beantwortet. Es wurde dabei deutlich, dass es eine Vielzahl von (vermeintlichen) Gründen geben mag, das mathematische Problemlösen nicht in den Unterricht einzubinden. Wir haben aber versucht aufzuzeigen, dass es für jeden Beweggrund gegen das Problemlösen gute (Gegen-)Argumente gibt, die das Problemlösen im Mathematikunterricht vielleicht doch möglich werden lassen. Unserer Erfahrung nach beruhen die meisten Unsicherheiten, Bedenken und Fragen von Lehrkräften auf Unerfahrenheit auf diesem Gebiet. Daneben spielen aber auch zahlreiche andere Aspekte eine bedeutsame Rolle für das Gelingen von mathematischem Problemlösen im Unterricht, so z. B. die Auswahl geeigneter Probleme, das Classroommanagement oder die Methodenwahl. Wir möchten Mathematiklehrkräfte deswegen ermutigen, das mathematische Problemlösen immer wieder auszuprobieren. Je häufiger die Lehrkräfte – aber auch ihre Schülerinnen und Schüler – damit in Berührung kommen, desto routinierter wird ihr Umgang mit vielfältigen Strategien und Lösungsansätzen. Wir wünschen viel Freude dabei!

Literatur Aßmus, D. (2010). Fähigkeiten im Umkehren von Gedankengängen bei mathematisch begabten Grundschulkindern. In Lindmeier, A. & Ufer, St. (Hrsg.), Beiträge zum Mathematikunterricht 2010 (S. 137–140). Münster: WTM. Besser, M., Leiss, D. & Blum, W. (2015). Theoretische Konzeption und empirische Wirkung einer Lehrerfortbildung am Beispiel des mathematischen Problemlösens. Journal für Mathematik-Didaktik, (36)2, 285–313. Bruder, R. & Collet, Ch. (2011). Problemlösen lernen im Mathematikunterricht. Berlin: Cornelsen Scriptor. Bruder, R., Grave, B., Krüger, U. & Meyer, D. (2018). LEMAMOP – Lerngelegenheiten für Mathematisches Argumentieren, Modellieren und Problemlösen. Problemlösen. Schülermaterial. Braunschweig: Westermann. Edelmann, W. & Wittmann, S. (2012). Lernpsychologie. 7. vollständig überarbeitete Auflage Weinheim & Basel: Beltz. Eichler, A. & Vogel, M. (2012). Basic modelling of uncertainty – young students’ mental models. ZDM – Mathematics Education, 44(7), 841–854. Friedrich, H. F. & Mandl, H. (1992). Lern- und Denkstrategien – ein Problemaufriß. In H. Mandl & H. F. Friedrich (Hrsg.), Lern- und Denkstrategien. Analyse und Intervention (S. 3–54). Göttingen: Hogrefe. Häring, G. (Hrsg.) (2016). Problemlösen lernen. Grundschule Mathematik 50. Herold-Blasius, R. & Rott, B. (2018). Strategieschlüssel als Werkzeug beim mathematischen Problemlösen. MNU Journal, 71(1), 57–62.

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Fortbildungsdidaktische Kompetenz ist mehr als unterrichtsbezogene plus fortbildungsmethodische Kompetenz Zur notwendigen fortbildungsdidaktischen Qualifizierung von Fortbildenden am Beispiel des verstehensfördernden Umgangs mit Darstellungen Susanne Prediger

Zusammenfassung

Viele Qualifizierungen für fortbildende Multiplikatorinnen und Multiplikatoren sind fokussiert auf Fortbildungsmethodik (Moderieren, Beraten, Coachen, Begleiten), während gegenstandsbezogene fortbildungsdidaktische Aspekte oft noch unterbelichtet sind, auch in den zugrundeliegenden Konzeptionen: Was müssen Fortbildende darüber wissen, wie ein bestimmter Fortbildungsgegenstand gelehrt und gelernt werden kann? Der Beitrag diskutiert, welche fortbildungsdidaktische Kompetenz die unterrichtsbezogene fachinhaltliche und fachdidaktische Kompetenz ergänzen muss, um die Prinzipien der Kompetenzorientierung, Reflektionsanregung, Lehr-Lern-Vielfalt und Teilnehmendenorientierung fallbezogen und treffsicher umsetzen zu können. Als exemplarischer Fortbildungsgegenstand wird der Umgang mit Darstellungen zum Aufbau von Prozentverständnis bei mathematisch schwachen Lernenden herangezogen. Durch Einblicke in ein Fortbildungs-Forschungsprojekt und ein synthetisiertes Fallbeispiel einer Fortbildnerin wird verdeutlicht, welche Kompetenzen Fortbildende im Umgang mit solchen Fortbildungsgegenständen brauchen, die über unterrichtsbezogene plus fortbildungsmethodische Kompetenz hinausgehen.

Susanne Prediger * Technische Universität Dortmund Dortmund, Deutschland [email protected]

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2019 A. Büchter et al. (Hrsg.), Vielfältige Zugänge zum Mathematikunterricht, https://doi.org/10.1007/978-3-658-24292-3_22

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S. Prediger

Da die professionelle Kompetenz von Lehrkräften für fachdidaktische Unterrichtsqualität ausgesprochen wichtig ist (Kunter et al. 2013), wird auch den Fortbildenden und ihrer Qualifizierung zunehmend mehr Aufmerksamkeit geschenkt.1 In den meisten Bundesländern werden sie inzwischen systematisch qualifiziert und in ihrer Arbeit unterstützt. Zwischen Fortbildungsdidaktik und Fortbildungsmethodik wird dabei allerdings nach wie vor kaum unterschieden. Die allermeisten Projekte zur Fortbildungsforschung und zu Qualifizierungen für Fortbildungen werden rein generisch, unabhängig vom konkreten Fortbildungsgegenstand durchgeführt (vgl. Prediger et al. 2015 für eine kritische Übersicht). Allerdings haben sich Fortbildungen mit konkretem Fachbezug als wirksamer herausgestellt als übergreifende (Lipowsky & Rzejak 2017). Daher ist auch für Qualifizierungen zu vermuten, dass die gegenstandsunabhängige Thematisierung allein nicht ausreichen könnte. Dieser Grundgedanke soll im Folgenden ausgeführt werden. Dazu wird in Abschn. 22.1 der Unterschied zwischen Fortbildungsdidaktik und Fortbildungsmethodik erläutert. In Abschn. 22.2 werden für den exemplarischen Fortbildungsgegenstand „Verstehensfördernder Umgang mit Darstellungen“ die fortbildungsdidaktisch notwendigen Aspekte konkretisiert. In Abschn. 22.3 werden daraus Konsequenzen für Qualifizierungen gezogen. Durch alle Abschnitte hindurch wird zum einen auf Einsichten aus dem Fortbildungs-Forschungsprojekt MATILDA zugegriffen, zum anderen als Stilelement ein aus mehreren realen Begebenheiten zusammengesetztes Fallbeispiel einer Fortbildnerin genutzt. Das Fallbeispiel wurde synthetisiert, um Überlegungen auf Unterrichts-, Fortbildungs- und Qualifizierungsebene verdichten zu können.

22. 1 Fortbildungsdidaktik und Fortbildungsmethodik 22.1.1 Fallbeispiel zum Einstieg: Paula Mais erste Fortbildungen Die neue Fortbildnerin, sie wird hier Paula Mai genannt, ist fachinhaltlich und mathematikdidaktisch auf Unterrichtsebene sehr gut ausgebildet und verfügt über reichhaltige Unterrichtserfahrungen. Zum Einstieg in ihre neue Position als Fortbildnerin hat sie den in ihrem Bundesland üblichen fachübergreifenden Qualifizierungskurs für Fortbildende zum

Mit Bärbel Barzel verbindet mich nicht nur eine tolle Freundschaft mit vielen unverzichtbaren SaunaGesprächen, sondern auch 14 Jahre großartige und lehrreiche Zusammenarbeit: Seit 2005 im Projekt KOSIMA in der Forschung, Entwicklung und Implementation auf Unterrichtsebene, seit 2012 zunächst im Projekt KOSIMA und dann im DZLM (dem Deutschen Zentrum für Lehrerbildung Mathematik) in Forschung, Entwicklung und Implementation auf Fortbildungs- und Qualifizierungsebene. Die Vielfalt der Themen, an denen wir gemeinsam gearbeitet haben, können auf den acht Seiten dieses Festschriftbeitrags keinesfalls abgebildet werden, deswegen beschränke ich mich hier auf einen Teilaspekt unserer gemeinsamen Arbeit in der Entwicklungsabteilung des DZLM zur Fortbildungs- und Qualifizierungsebene und präsentiere ihn an einem Unterrichtsbeispiel aus Bärbel Barzels zentralen Themen auf Unterrichtsebene, dem Umgang mit Darstellungen. 1

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Fortbildungsdidaktische Kompetenz

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Abb. 22.1 Designprinzipien für Fortbildungen (nach Barzel & Selter 2015)

Moderieren, Beraten, Coachen, Begleiten absolviert. Beim Nachlesen in der fachspezifischen Literatur zur Qualität von mathematikdidaktischen Fortbildungen (Barzel & Selter 2015; Lipowsky & Rzejak 2017) stellt sie erfreut fest, dass die Designprinzipien für die Planung von Fortbildungen zu denen aus der fachübergreifenden Qualifizierung gut passen: Kompetenzorientierung, Teilnehmendenorientierung, Lehr-Lern-Vielfalt, Fallbezug, Kooperationsanregung und Reflektionsanregung (vgl. Abb. 22.1). All diese Prinzipien kann sie nun durch entsprechende fortbildungsmethodische Ansätze füllen. Nun soll sie ihre erste Fortbildung halten zum Thema „Umgang mit Mathematikschwierigkeiten“. Dieser Fortbildungsgegenstand liegt ihr, denn dazu hat sie sowohl Unterrichtserfahrung als auch konsolidiertes fachdidaktisches Wissen. Doch selbst zu wissen, wie man eine unterrichtliche Herausforderung bewältigt, reicht nicht für die Planung einer Fortbildung aus. Sie merkt schnell, dass ihr die Planung der Fortbildung sehr schwer fällt, weil die allgemeinen Prinzipien eher geeignete Planungsfragen mit sich bringen als Antworten bieten (Rösike et al. 2016): •

•

Gemäß dem Prinzip der Kompetenzorientierung (Barzel & Selter 2015; Lipowsky & Rzejak 2017) sollen explizit formulierte Lernziele die Planung leiten. Doch das Lernziel „Umgang mit Mathematikschwierigkeiten“ ist zu breit, um daraus Planungsentscheidungen abzuleiten. Was genau müssen Lehrkräfte dazu eigentlich lernen? Sie entscheidet sich für den Teilbereich „Verstehensfördernder Umgang mit Darstellungen“. Für diese Auswahlentscheidung greift sie auf ihre unterrichtsbezogene fachdidaktische Kompetenz zurück. Gemäß dem Prinzip Fallbezug will sie die Fortbildung an einer konkreten Unterrichtseinheit und entsprechenden Lernendenprodukten aufziehen. Sie wählt dazu die Prozentrechnung aus, denn dafür steht ihr passendes Unterrichtsmaterial zur Verfügung,

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•

•

S. Prediger sowohl aus der Mathewerkstatt (Barzel et al. 2014) als auch aus Mathe sicher können (Pöhler et al. 2018). Unsicher ist sie allerdings, mit welchen Aufgaben und Lernendenprodukten sie genau ihre Fortbildungsziele am besten umsetzen kann, und wie die Arbeit an diesen Fällen zu inszenieren ist. Gemäß dem Prinzip der Teilnehmendenorientierung (Barzel & Selter 2015; Clarke 1994) will sie Vorerfahrungen der Lehrkräfte einbeziehen. Doch was kann sie von ihnen zum konkreten Fortbildungsgegenstand erwarten, und wie kann sie mit diesen Vorerfahrungen dann konstruktiv weiterarbeiten? Sie entscheidet sich schnell dafür, mit einer Kartenabfrage zu starten, weil sich diese Methode gut eignet zum Erheben von Vorerfahrungen. Doch welche Frage eignet sich genau inhaltlich für diese Abfrage, welche Aspekte der Vorerfahrungen sind für das konkrete Thema die wichtigsten? Gemäß den Prinzipien der Lehr-Lern-Vielfalt und der Reflektionsanregung möchte Paula Mai die Lehrkräfte mit unterschiedlichen Arbeitsaufträgen aktivieren und zum Reflektieren anregen. Im Sinne der Selbsterfahrung kann dies mit der Bearbeitung mitgebrachter Aufgaben beginnen. Doch sie sucht weitere Arbeitsaufträge jenseits der Ebene der Schülerinnen und Schüler, denn Lernendenaktivitäten allein sind zu weit weg vom späteren didaktischen Handeln der teilnehmenden Lehrkräfte. Doch welche Arbeitsaufträge initiieren für den konkretisierten Fortbildungsgegenstand „Verstehensfördernder Umgang mit Darstellungen zu Prozenten“ reichhaltige und bedeutungsvolle Aktivitäten für Lehrkräfte, und über welche Aspekte sollten sie dabei genau reflektieren?

Abb. 22.2 Drei-Tetraeder-Modell mit Analogien auf Unterrichts-, Fortbildungs- und Qualifizierungsebene (Prediger et al. 2017, S. 160)

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Auf diese fortbildungsdidaktischen Fragen zur gegenstandsbezogenen Durcharbeitung der Prinzipien Teilnehmendenorientierung und Lehr-Lern-Vielfalt fühlt sich Paula Mai nicht gut vorbereitet. Sehr groß erscheint ihr der Sprung von der Unterrichtsebene zur Fortbildungsebene, zu viele Aspekte in dem didaktischen Tetraeder der Fortbildungsebene sind ihr noch unklar, bevor sie Lernende, Lehrende, Lerngegenstand und Material treffsicher aufeinander beziehen kann (vgl. das Drei-Tetraeder-Modell in Abb. 22.2 aus Prediger et al. 2017, das im weiteren Artikel genauer erläutert wird).

22.1.2 Unterschied zwischen Fortbildungsdidaktik und Fortbildungsmethodik und der notwendige gegenstandsbezogene Fokus auf die Teilnehmenden Was fortbildungsmethodische von fortbildungsdidaktischer Kompetenz unterscheidet, wird durch die Analogie von Fortbildungs- und Unterrichtsebene deutlich, die im Drei-Tetraeder-Modell in Abb. 22.3 dargestellt wird: Um auf Unterrichtsebene erfolgreich unterrichten zu können, ist neben fachinhaltlicher Kompetenz zum mathematischen Lerngegenstand nicht nur unterrichtsmethodische Kompetenz notwendig (die auf der hinteren Seitenfläche des Tetraeders angesiedelt ist, vgl. Abb. 2 und 3), sondern auch fachdidaktische Kompetenz (pedagogical content knowledge, Shulman 1986). Diese umfasst neben den curricularen Aspekten der relevanten Lernziele auch Wissen über typische Lernendenvorstellungen und Lernwege sowie verschiedene Strukturierungsmöglichkeiten des Lerngegenstands, also alles, was das gegenstandsbezogene Lehren und Lernen des Unterrichtsgegenstands betrifft (und durch die drei verbleibenden Seitenflächen des Tetraeders charakterisiert ist, vgl. Abb. 22.2). Mit dieser fachdidaktischen Kompetenz lassen sich unterrichtliche Prinzipien wie Kompetenzorientierung und Lernendenorientierung nicht nur auf unterrichtsmethodischer Ebene umsetzen (also in der hinteren, gegenstandsunabhängigen Seitenfläche, z. B. mit Kompetenz-Checklisten und Abfragen der Lernvoraussetzungen), sondern auch fachdidaktisch treffsicher für die jeweiligen mathematischen Lerngegenstände ausarbeiten. Gerade das gegenstandspezifische Wissen über Lernendenperspektiven spielt dabei für die Lernendenorientierung eine zentrale Rolle (Carpenter et al. 1988): Wer typische Vorstellungen, Strategien und Fehler von Lernenden zu einem mathematischen Gegenstand kennt, kann sie in der Unterrichtsplanung bereits antizipieren und in der Unterrichtsdurchführung gezielt aktivieren und darauf aktiv aufbauen bzw. sie umbauen (ebd.). Zudem gehören zum fachdidaktischen Wissen über geeignete Strukturierungen des Lerngegenstands insbesondere die Sequenzierung der Inhalte in Lernpfade und ihre materiale Realisierung in Aufgaben, digitalen Werkzeugen und anderen Medien. Analog für die Fortbildungsebene wird sich Paula Mai im Fallbeispiel bewusst, dass sie zwar über inhaltliche Kompetenz zum unterrichtsbezogenen Fortbildungsgegenstand und fortbildungsmethodische Kompetenz zur gegenstandsübergreifenden Gestaltung von

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Abb. 22.3 Analogisierung und Schachtelung der Kompetenzbereiche von Fortbildenden

Lehr-Lern-Prozessen auf Fortbildungsebene verfügt, jedoch über zu wenig fortbildungsdidaktische Kompetenz zum Fortbildungsgegenstand selbst. Diese umfasst analog zur fachdidaktischen Kompetenz auf Unterrichteebene alle Aspekte des gegenstandsbezogenen Lehrens und Lernens. Zur fortbildungsdidaktischen Kompetenz zum Fortbildungsgegenstand „Umgang mit Darstellungen bei Prozenten“ gehören insbesondere folgende Aspekte auf den Seitenflächen des Fortbildungs-Tetraeders in Abb. 22.2: • in der unteren Seitenfläche, der vorderen Kante zwischen Fortbildungsgegenstand und Lehrkräften: Einsichten in typisches Wissen, typische Vorstellungen und Strategien, die Lehrkräfte zum Fortbildungsgegenstand bereits mitbringen (dies ist für die Teilnehmendenorientierung unabdingbar); • in der unteren Seitenfläche zwischen Fortbildungsgegenstand, Fortbildungsmaterialien und Lehrkräften: Einsichten in typische Lernwege von Lehrkräften: Was sind typische Verläufe von Lernwegen der Lehrkräfte, welche Hürden sind typischerweise zu erwarten? (daraus lassen sich Strategien und Schwerpunktsetzungen für Kompetenzorientierung und Reflektionsanregung ableiten); • in der linken Seitenfläche zwischen Fortbildenden, Materialien und Gegenstand: Wissen über geeignete Materialien, Medien und Aktivitäten, um den Fortbildungsgegenstand zu erarbeiten (die ist hilfreich, um Reflektionsanregung und Lehr-Lern-Vielfalt nicht nur methodisch vielfältig, sondern auch treffsicher zu gestalten);

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in der rechten Seitenfläche zwischen Lehrkräften, Fortbildenden und Gegenstand: Ansätze für geeignete gegenstandsunabhängige und gegenstandsspezifische Lernunterstützung, z. B. Impulse und Reflektionsfragen für den Umgang mit inhaltlichen Irritationen oder Hürden im Lernweg der Lehrkräfte (für eine zugleich teilnehmendenorientierte und kompetenzorientierte Moderation).

Um die Tiefe dieses möglichen Wissens aufzuzeigen, wird im nächsten Abschnitt das Fallbeispiel fortgesetzt, nachdem zunächst der unterrichtsbezogene fachdidaktische Kenntnisstand dazu skizziert wird.

22.2 Bezüge verschiedener Kompetenzbereiche zueinander – am Beispiel „Verstehensfördernder Umgang mit Darstellungen für Prozentverständnis“ 22.2.1 Unterrichtsebene: Bezug von generischem und gegenstandsspezifischem fachdidaktischem Wissen zum verstehensfördernden Umgang mit Darstellungen Auf Unterrichtsebene ist fachdidaktisches Wissen nicht immer gegenstandsspezifisch, es gibt auch fachspezifisches, aber gegenstandsübergreifendes Wissen, das also generisch auf verschiedene mathematische Gegenstände übertragbar ist. In Bezug auf den Umgang mit Darstellungen gehören dazu etwa folgende Einsichten und Prinzipien: •

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Das Prinzip des Darstellungswechsels gilt bereits seit 50 Jahren als verstehensförderliches Prinzip (Bruner 1966): Die Aktivierung von graphischen, gegenständlichen, symbolischen, tabellarischen und textlichen Darstellungen fördert demnach das Verständnis mathematischer Konzepte; dies wurde für verschiedene Lerngegenstände systematisch angewandt, z. B. für Brüche (Lesh 1979) oder Funktionen (Duval 2006; Barzel & Hußmann 2006). Neue Darstellungen können ein wichtiges Lernmedium und ein gewinnbringendes Denkwerkzeug darstellen. Zunächst bilden sie oft jeweils einen neuen Lerngegenstand, den die Lernenden erst deuten und nutzen lernen müssen. Initial kann der Wechsel zwischen Darstellungen insbesondere für schwächere Lernende eine Hürde sein. Diese Dualität von Lernmedium und Lerngegenstand gilt nicht nur für die symbolische, sondern auch für gegenständliche und graphische Darstellungen (Dreher & Kuntze 2015). Nicht allein das Nebeneinanderstellen von Darstellungen ist im Lernprozess entscheidend für die Verstehensförderung, sondern die gezielte Verknüpfung zwischen den Darstellungen (Duval 2006; Renkl et al. 2013). Deswegen haben Prediger und Wessel (2011) das Wort Darstellungsvernetzung statt -wechsel eingeführt.

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Abb. 22.4 Aktivität zum Vergleich verschiedener Darstellungen hinsichtlich ihrer möglichen Funktionen

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Gerade weil Darstellungen stets erst zu lernen sind, gilt insbesondere für schwächere Lernende nicht „viel hilft viel“, sondern für gegenständliche und graphische Darstellungen das Prinzip der Sparsamkeit und Durchgängigkeit der Darstellungsmittel. Wenn verschiedene mathematische Aktivitäten und Einsichten über mehrere Unterrichtseinheiten hinweg am gleichen Darstellungsmittel vollzogen werden können, dann lohnt die Investition um so mehr. Darstellungen können bei langfristiger Nutzung demgemäß auch zum Spiralprinzip beitragen.

All diese Einsichten wurden zwar an spezifischen mathematischen Gegenständen gewonnen, doch zeigten sie sich übertragbar auf verschiedene mathematische Konzepte, sowohl in der elementaren Arithmetik als auch für Brüche, Prozente, Funktionen usw. Diese zwar mathematikspezifischen, aber gegenstandsübergreifenden Einsichten klären allerdings nicht, welche Darstellungen für welchen Gegenstand die wichtigsten und verstehensförder verstehensförderlichsten sind und welche Hürden in der Vernetzung jeweils auftreten können. In Bezug auf den exemplarisch gewählten Themenbereich Prozente sind einerseits Kreisbilder als meist genutzte Darstellung von Anteilen verbreitet, andererseits eher tabellarische Darstellungen zur Dreisatz-Berechnung (vgl. Überblick in Pöhler 2018). Empirisch bewährt sich allerdings der Prozentstreifen (vgl. Abb. 22.4) am stärksten: Er wurde in aufwendigen, langfristigen Entwicklungsforschungsstudien entwickelt (van den

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Heuvel-Panhuizen 2003) und hat sich in Interventionsstudien bewährt (Pöhler 2018), auch konkurrierend zur Dreisatztabelle (Thiede 2019). Seine empirisch nachgewiesene Überlegenheit lässt sich dadurch erklären, dass er nicht nur Anteile und die proportionalen Zusammenhänge veranschaulichen, sondern auch die relevanten strukturellen Bezüge der verschiedenen Größen am besten darstellen und als Problemlösemittel dienen kann.

22.2.2 Fortbildungsebene: Quellen fortbildungsdidaktischen Wissens aus der Professionsforschung zu Lehrkräfte-Perspektiven auf den Umgang mit Darstellungen Welches Wissen kann die fachbezogene Professionsforschung über typische Perspektiven von Lehrkräften zum Umgang mit Darstellungen bereitstellen? Nur wenige Studien haben die Perspektiven von Lehrkräften auf den verstehensfördernden Umgang mit Darstellungen bislang untersucht. Die frühen Studien stellten eine geringe Priorisierung graphischer Darstellungsformen fest, die sich in den letzten Jahren jedoch anscheinend verändert hat (Presmeg 2006). Gleichwohl scheinen Lehrkräfte im Unterricht immer noch diejenigen Darstellungsformen zu priorisieren, die ihnen persönlich am geeignetsten vorkommen (zusammenfassend in Presmeg 2006). Dreher und Kuntze (2015) zeigen, dass die Nutzung von graphischen Darstellungen relativ unkritisch erfolgt und Lehrkräfte insbesondere für mögliche Hürden in der Nutzung von Darstellungen nur begrenzt sensibel sind. Konkret in Bezug auf die Prozentrechnung zeigen Unterrichtsbeobachtungsstudien (Nebenbefunde der Studie von Bohl et al. 2012) nach wie vor eine Priorisierung der Prozentformeln und der Dreisatztabellen gegenüber graphisch gestützten Bearbeitungswegen. Diese Studien nutzten relativ typische Zugänge in der Professionsforschung: Professionelle Kompetenz von Lehrkräften wird meist durch Wissenstests oder durch Erfassung von unterrichtlichen Praktiken erhoben. Diese Zugänge tendieren oft zur Beschränkung auf defizitorientierte Sichten auf die Lernstände. Wenig bekannt ist dagegen über lernförderliche Anknüpfungspunkte in den bestehenden Perspektiven, mögliche Lernverläufe und typische Hürden in diesen (zur Kritik über Forschungslücken vgl. Goldsmith et al. 2014; Prediger et al. 2015). Daher wird dies im 2017 angelaufenen Projekt MATILDA zur gegenstandsbezogenen Fortbildungsforschung untersucht.

22.2.3 Einblicke in Lernwege von Lehrkräften aus dem Forschungs-Projekt MATILDA In den Vorerhebungen zum Fortbildungs-Forschungs-Projekt MATILDA haben wir erste (noch methodisch präziser zu erfassende) Einsichten in die Lernwege der Lehrkräfte gewonnen bzgl. deren Umgang mit dem Prozentstreifen in der zur Verfügung gestellten Unterrichtseinheit (Pöhler et al. 2018): Der Prozentstreifen war den meisten Lehrkräften

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unvertraut, sie begegneten ihm aber mit Neugier und waren bereit, durch ihn die Kreisbilder zu ersetzen. Einige hatten die symbolische Darstellung der Prozentformel sowieso schon länger für den Jahrgang 7 abgeschafft, weil sie nicht gut verstanden und zu schematisch genutzt werde. Andere wollten sie nach der Fortbildung auch ausklammern. Die allermeisten artikulierten, sie haben mit der Dreisatztabelle gute Erfahrungen gemacht, einige fügten einschränkend Folgendes hinzu: „Auch wenn die Schüler nicht immer wissen, was sie wo hin schreiben sollen, damit können sie sicher rechnen.“ Als die Unterrichtsreihe dann durchgeführt wurde, stiegen einige jedoch trotz des ursprünglichen Vorhabens, bei dem Prozentstreifen zu bleiben, schnell auf die sonst immer eingesetzte Dreisatztabelle um. Als Begründung wurde angeführt, „Das Zeichnen der Streifen kostet zu viel Zeit“ oder „Die Kids wollten lieber die Dreisatztabelle.“ In einer Schule hatten zwei der vier Lehrkräfte eine so große Skepsis gegenüber dem stark verstehensorientierten Unterrichtsmaterial, dass sie komplett ausstiegen und die beiden verbleibenden Lehrkräfte überredeten, in der parallel geschriebenen Klassenarbeit den Umgang mit dem Prozentstreifen zwar zu erlauben, aber den Umgang mit Dreisatztabelle dennoch verpflichtend abzuprüfen. Hinweise auf Forschungsergebnisse zur höheren Lernwirksamkeit des Prozentsteifens (Thiede 2019) fruchteten bei den Lehrkräften nicht. Während diese Klassenarbeit bei allen vier Klassen etwa gleich gut ausfiel, zeigte sich in der nächsten Klassenarbeit, in der strukturell komplexere Prozentrechenaufgaben (zum Beispiel mit vermindertem Grundwert) vorkamen, erhebliche Leistungsvorsprünge der Klassen, die beim verstehensorientierten Unterrichtskonzept mit Prozentstreifen geblieben waren. Nun erst waren die skeptischen Kollegen bereit, die Vorteile der neuen Unterrichtsmaterialien genauer zu beleuchten. Nicht die empirische Evidenz aus kontrollierten Forschungsprojekten, sondern die „lokalisierte Evidenz“ vor Ort konnte die Kollegen überzeugen, dass ein verstehensfördernder Zugang zu Prozenten mit Prozentstreifen besser zu gewährleisten ist und sich dieser auch als Problemlösemittel bei strukturell komplexeren Aufgaben bewährt. Verhandelt wurden in diesem Kollegium nicht nur der Prozentsteifen an sich, sondern auch allgemein die Vorteile verstehensorientierter Unterrichtskonzepte. Für den nächsten Fortbildungsdurchgang haben wir aus diesen Erfahrungen mehrere Konsequenzen gezogen: •

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Verstehensorientierung an sich muss in dem Fortbildungskonzept breit thematisiert werden, weil dieses Prinzip gerade im Umgang mit schwächeren Lernenden im Zentrum stehen muss (Moser Opitz 2007). Tiefsitzende, implizite Überzeugungen der Lehrkräfte zum Lernen von Schwächeren tendieren immer noch zur Kalkülorientierung. Diese Überzeugungen sind zu hinterfragen und weiter zu entwickeln (à Anreicherung des Fortbildungsgegenstands im Hinblick auf Kompetenzorientierung; zur Kompetenz gehören auch Überzeugungen). Damit das schnelle Wechseln zwischen vielfältigen Darstellungen im Hinblick auf Lernhürden reflektiert werden kann, wird das Prinzip der Sparsamkeit und

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Durchgängigkeit der Darstellungen für Schwächere thematisiert und auch als zeitökonomischere Strategie begründet (anknüpfend an Zeit als kritischer Faktor jeder Planung). Lernförderliche Anknüpfungspunkte in den Perspektiven der Lehrkräfte liegen darin, dass viele bereits die Prozentformel als unverstandenes Schema ablehnen. Dies bildet einen interessanten Ausgangspunkt, um gerade für die schwachen Lernenden eine unverstandene Kalkülorientierung zu problematisieren (à teilnehmendenorientierte Strukturierung des Fortbildungsgegenstands ausgehend von Vorerfahrungen der teilnehmenden Lehrkräfte). Einen lernförderlichen Anknüpfungspunkt bietet auch die Beobachtung einiger Lehrkräfte, dass die Dreisatztabelle zwar einen sicheren Rechenweg bietet, aber nur für diejenigen, die herausbekommen, was in der Textaufgabe gesucht und was gegeben ist. Dieser Arbeitsschritt wird dagegen vom Prozentstreifen besser unterstützt. Diese Ausdifferenzierung der jeweils unterstützten Lern- und Arbeitsschritte ist Ausgangspunkt für eine explizitere Thematisierung der verschiedenen Funktionen der unterschiedlichen Darstellungen für Prozente (à Ausdifferenzierung des Fortbildungsgegenstands für Prozente als fokussierte Reflektionsanregung).

Auf dieser Basis wurden im nächsten Zyklus zwei Aktivitäten für die Fortbildung neu entwickelt: Zum einen die Analyse von Videos im Hinblick auf die Funktion, die der Prozentstreifen im Lernprozess zweier schwacher Schüler spielt (Lernmedium zur Klärung der strukturellen Bezüge). Zum anderen ein Vergleich verschiedener Darstellungsmittel hinsichtlich ihrer Funktionen (vgl. Abb. 22.4), die gezielte Reflexionen zu den Stärken der einzelnen Darstellungen ermöglichen. Die Lehrkräfte dieses angereicherten Zyklus haben mit Hilfe dieser Aktivitäten den Prozentstreifen als zentrale Darstellungsform angenommen und in seinen wichtigsten Funktionen in der Klasse auch angemessen unterstützt. Die Ergänzung um weitere Darstellungen (Dreisatztabelle und auch Prozentformel) wurde als Differenzierung nach oben mitgeführt, aber nicht für alle Lernenden. Interessant war, das wiederum lokalisierte Evidenz notwendig war, denn eine nicht unerhebliche Zahl von Lehrkräften formulierte am Ende der Reihe, „Ich war überrascht, wie gut die Lernenden durch den Prozentstreifen zurechtkamen“. Die eigene Erfahrung von Lernerfolgen der Kinder bleibt die wichtigste Antriebfeder und ist damit wichtiger über die Überzeugungen der Lehrkräfte als alle empirischen Ergebnisse (Clarke 1994). Gezielt gestaltete Unterrichts- und Fortbildungsmaterialien können allerdings diese Erfahrungen einfacher ermöglichen. Insgesamt konnte so am Beispiel Prozente das Prinzip der Verstehensorientierung durch konsequente Nutzung und Vernetzung von Darstellungen (z.B. Texte und Prozentstreifen) erarbeitet und erprobt werden, das einen wichtigen Beitrag zum Umgang mit Schwierigkeiten in Mathematik leistet. Die Wirksamkeit für das Prozentverständnis der Lernenden wurde bereits in einer Implementationsstudie nachgewiesen (Pöhler 2018), die Daten des letzten Zyklus aus den Klassen der beteiligten Lehrkräfte befinden sich derzeit noch in der Auswertung.

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22.2.4 Fortsetzung des Fallbeispiels von Paula Mai Wie kann nun Paula Mai, die Fortbildnerin aus dem synthetisierten Fallbeispiel, von den skizzierten Einsichten und Entwicklungsergebnissen der gegenstandsbezogenen Fortbildungsforschung profitieren? •

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Im schlechtesten Fall überhaupt nicht, und zwar, wenn sie keinen Zugang zu den Ergebnissen erhält und deshalb nur auf Basis ihrer Unterrichts- und Fortbildungserfahrungen ganz allein ein Fortbildungskonzept entwickeln muss. Diese Situation der vollkommenen Trennung von Forschung und Fortbildung trifft viele Fortbildende in Deutschland bei vielen Fortbildungsgegenständen, nicht zuletzt, weil Forschung immer eine gewisse Zeit braucht, der Handlungsdruck bei aktuellen Herausforderungen jedoch kein Warten zulässt. Im etwas besseren Fall hat Paul Mai zumindest Zugriff auf unterrichtspraktische Literatur, in denen die Didaktikerinnen und Didaktiker sowohl Forschungsergebnisse als auch ihre persönlichen Erfahrungen mit Fortbildungen verarbeitet haben. Dabei handelt es sich zumeist um Artikel, die die Lehrkräfte bei ihren Perspektiven abholen und zu den relevanten zusätzlichen Aspekten hinführen. Diese didaktisierten Artikel können für Fortbildende einiges an Orientierung geben zu wichtigen Argumenten und Hürden, sie müssen allerdings von einem reinen Instruktionstext in ein kognitiv aktivierendes Fortbildungskonzept umgearbeitet werden. Im noch besseren Fall hat Paula Mai Zugriff auf disseminierbare Fortbildungsbausteine, in denen die iterativ entwickelten Fortbildungsmaterialien inkl. Videobeispielen, Aktivitäten und Hintergründen so aufgearbeitet sind, dass sie damit direkt arbeiten kann. Natürlich wird sie die Fortbildungsbausteine nicht unverändert übernehmen, sondern für ihre Kontextbedingungen und Teilnehmendengruppen adaptieren. Die Materialien können dafür eine sehr große Hilfe sein. Wie treffsicher und von welcher Qualität ihre Adaptionen dann sind, wird allerdings davon abhängen, wie gut das Material die zugrundeliegenden fortbildungsdidaktischen Überlegungen expliziert, so dass die Fortbildenden beim Adaptieren informierte Entscheidungen treffen können. Im besten Fall hat Paula Mai allerdings Gelegenheit, nicht nur Fortbildungsbausteine entgegenzunehmen und allein zu adaptieren, sondern in einer gegenstandsbezogenen fortbildungsdidaktischen Qualifizierung die Hintergründe kennen zu lernen und mit weiteren Fortbildenden kooperativ weiter zu entwickeln. Diese bestmöglichen Bedingungen können wir im DZLM in Zusammenarbeit mit einigen Bundesländern bereits für einzelne Fortbildungsgegenstände realisieren, träumen aber noch davon, dies in größerer Breite umsetzen zu können. Die Notwendigkeit von gegenstandsbezogenen fortbildungsdidaktischen Qualifizierungen wird jedenfalls international immer wieder betont (z. B. Jaworski & Huang 2014), auch wenn das deutsche System erst wenige Schritte in diese Richtung gemacht hat.

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22.3 Fazit für fortbildungsdidaktische Qualifizierung von Fortbildenden Fortbildungsdidaktische Kompetenz ist mehr als unterrichtsbezogene plus fortbildungsmethodische Kompetenz. Dies lässt sich bereits aus der Analogisierung der Fortbildungsebene zur Unterrichtsebene rein theoretisch ableiten (vgl. Abb. 22.2 und 22.3). Zur genaueren Begründung jenseits dieser Analogie hat der Artikel an Fallbeispielen aufgezeigt, was Fortbildende verpassen könnten, wenn ihnen insbesondere Wissen über die gegenstandsbezogenen Perspektiven von Lehrkräften fehlt. Zwar kann man dieses Wissen auch durch langjährige Fortbildungserfahrung gewinnen, eine effiziente Vorbereitung der Fortbildenden kann diese Prozesse allerdings abkürzen. Daher plädiert dieser Artikel dafür, dass Qualifizierungen nicht nur die Weiterentwicklung der fortbildungsmethodischen und unterrichtsbezogenen inhaltlichen Kompetenz, sondern auch der fortbildungsdidaktischen Kompetenz ermöglichen und adressieren sollten. Diese ist nicht nur strukturell analog zur fachdidaktischen Kompetenz auf Unterrichtsebene, sondern muss auch das unterrichtsbezogene Wissen der Fortbildenden für fortbildungsdidaktische Aspekte auffalten: Welche Aspekte in den Perspektiven der Lehrkräfte können zu lernförderlichen Anknüpfungspunkten werden, und für welchen Perspektivwechsel sind weitere Argumente und Aktivitäten erforderlich? Solche Überlegungen in die Qualifizierung einzubeziehen, könnte erhebliche Beiträge zur höheren Treffsicherheit der Fortbildungen leisten. Dank. Die Arbeit ist gewachsen aus der Kooperation mit Bärbel Barzel und anderen im DZLM, dem Deutschen Zentrum für Lehrerbildung Mathematik (2011–2020 gefördert durch die Deutsche Telekom Stiftung). Das Fortbildungsforschungsprojekt MATILDA wird finanziert durch das BMBF (Förderkennzeichen 01NV1704, Projektleitung Prediger & Kuhl, 2017–2020) und gemeinsam mit Jan Kuhl, Christian Büscher, Judith Strucksberg und Claudia Ademmer und anderen durchgeführt. Die skizzierten Einsichten stammen aus Vorstudien mit Judith Strucksberg und Claudia Ademmer, von deren sehr genauem Blick auf die Prozesse dieser Artikel sehr profitiert hat.

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S. Prediger

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Inklusiver Mathematikunterricht – Herausforderungen bei der Gestaltung von Lehrerfortbildungen

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Petra Scherer

Zusammenfassung

Im Mathematikunterricht aller Schulstufen stellt der Umgang mit Heterogenität die Lehrpersonen vor besondere Herausforderungen. Dabei wird das Heterogenitätsspektrum durch die Umsetzung von Inklusion erweitert, und die Berücksichtigung und Unterstützung aller Schülerinnen und Schüler erfordert eine Weiterwicklung des Unterrichts. Erforderliche Lehrerfortbildungen für den inklusiven Fachunterricht können sowohl als getrennte oder auch gemeinsame Angebote für Lehrpersonen der Regelschule und Sonderpädagoginnen und Sonderpädagogen konzipiert werden. Dabei sind deren heterogene Voraussetzungen und Bedarfe bei der Gestaltung und Umsetzung derartiger Maßnahmen zu berücksichtigen, wenn etwa die Teilnehmenden als fachfremd Unterrichtende im inklusiven Mathematikunterricht tätig sind. Im Beitrag werden Überlegungen zur Konkretisierung für Fortbildungsangebote vorgestellt, die verschiedene Zielsetzungen verfolgen können, wie bspw. die Vermittlung fachlicher und fachdidaktischer Grundlagen oder die Gestaltung geeigneter unterrichtlicher Settings. Darüber hinaus wird exemplarisch eine konkrete Fortbildungsmaßnahme mit diesbezüglichen Erfahrungen und Erkenntnissen vorgestellt.

Petra Scherer * Universität Duisburg-Essen Essen, Deutschland E-Mail: [email protected]

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2019 A. Büchter et al. (Hrsg.), Vielfältige Zugänge zum Mathematikunterricht, https://doi.org/10.1007/978-3-658-24292-3_23

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P. Scherer

23.1 Einleitung Der Anteil der Schülerinnen und Schüler mit sonderpädagogischem Unterstützungsbedarf, die inklusiv beschult werden, stieg in den vergangenen Jahren kontinuierlich an, wenngleich die Datenlage in den verschiedenen Bundesländern und Schulstufen recht unterschiedlich ist und teilweise auch wieder rückläufige Zahlen zu beobachten sind (Klemm 2018). Zur Frage einer geeigneten Professionalisierung von Lehrpersonen für einen inklusiven Fachunterricht zeigt ein genauerer Blick zunächst einmal eine große Diversität in Aus- und Fortbildung: Es finden sich universitäre Ausbildungsstandorte mit und ohne Sonderpädagogik. Für angehende Lehrpersonen der Regelschule existiert dabei eine vielfältige Struktur, u. a. mit unterschiedlichen Studienumfängen für die einzelnen Schulformen bzw. -stufen sowie Unterschiede für die einzelnen Fächer. Für das Land Nordrhein-Westfalen ist aktuell bspw. für angehende Lehrpersonen der Grundschule neben verpflichtenden inklusionsrelevanten Fragestellungen in allen Fächern das Studium des Fachs Mathematik verpflichtend (vgl. LABG 2016), während in anderen Bundesländern gar keine oder nur minimale Studienanteile für dieses Fach vorgesehen sind (vgl. auch Eichholz 2018, S.  54 ff.). Auch für angehende Sonderpädagoginnen und Sonderpädagogen existieren diverse Ausbildungsmodelle bzgl. der Auswahl der Unterrichtsfächer und Schulstufen sowie der sonderpädagogischen Fachrichtungen bzw. Förderschwerpunkte. Beim späteren Einsatz im inklusiven Unterricht kann eine solche Spezialisierung bzgl. der Schulstufen, Fächer oder Fachrichtungen dann aber nicht unbedingt berücksichtigt werden. Für die Lehrerbildung bestehen hinsichtlich der Gestaltung eines inklusiven Unterrichts daher sowohl fachübergreifende als auch fachspezifische Herausforderungen. So müssen etwa ablehnende Haltungen, die die Bereitschaft zur Inklusion negativ beeinflussen können, aufgebrochen werden oder die beteiligten Akteure (u. a. Lehrpersonen der Regelschule, Sonderpädagoginnen und Sonderpädagogen, Integrationshelferinnen und -helfer) im Rahmen von Inklusion zusammenfinden (vgl. Monitor Lehrerbildung 2015, S.  10). Entsprechend werden als allgemeine Empfehlungen für die Lehrerbildung bspw. die Stärkung des Praxisbezugs oder der Einbezug der verschiedenen Phasen der Lehrerbildung gegeben (ebd., S.  14 f.). Als Forderungen, auch für die fachbezogene Lehrerbildung, werden u. a. formuliert: eine generelle Stärkung des Schwerpunkts Inklusion, sonderpädagogische Basiskompetenzen für alle Lehrpersonen, daneben aber auch eine vertiefte fachliche und fachdidaktische Aus- und Fortbildung für Sonderpädagoginnen und Sonderpädagogen (vgl. Heinrich et al. 2013; Wolfswinkler et al. 2014; auch GKLB 2017). Gerade für das Fach Mathematik ist festzuhalten, dass viele Sonderpädagoginnen und Sonderpädagogen, die im inklusiven Mathematikunterricht tätig sind, über keine mathematische bzw. mathematikdidaktische Ausbildung verfügen: Sie unterrichten fachfremd, sodass der Lehrerfortbildung eine zentrale Bedeutung zukommt. Im folgenden Beitrag werden zunächst theoretische Überlegungen zur Gestaltung von Fortbildungsmaßnahmen zum inklusiven Mathematikunterricht gegeben, um anschließend exemplarische Erfahrungen und weitere Perspektiven zu diskutieren.

23 Inklusiver Mathematikunterricht

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23.2 Überlegungen zur Fortbildungsgestaltung Mit Blick auf Lehrerfortbildungen im Bereich Inklusion betonen Amrhein und Badstieber (2013, S.  8), dass sowohl „eine kontinuierliche und anhaltende Unterstützung“ ermöglicht werden soll als auch „die tatsächlichen, individuellen Bedarfe in Schule“ berücksichtigt und „an bereits bestehende Ressourcen“ angeknüpft werden soll. Für einen erfolgreichen inklusiven Fachunterricht scheinen dabei nicht allein sonderpädagogische Kompetenzen, sondern auch fachliche und fachdidaktische Kompetenzen sowie grundlegende Überzeugungen bedeutsam zu sein (Gasterstädt & Urban 2016; Heinrich et al. 2013; Wolfswinkler et al. 2014). Dabei wird die Qualifikation der beteiligten Akteure für die jeweiligen Unterrichtsfächer vielfach noch als Problem identifiziert, und eine spezifische Lücke zeigt sich in Bezug auf die Professionalisierungsprozesse in fachspezifischen Fragen (Heinrich et al. 2013; Korff 2015). Handelt es sich um fachfremd Unterrichtende, dann kann eine Fortbildung sicherlich nicht die Ausbildungsinhalte eines kompletten Fachstudiums nachholen (vgl. auch Eichholz 2018, S.  64 ff.), und die Frage stellt sich, welche Inhalte und methodischen Umsetzungen sich für die Professionalisierung für einen inklusiven Mathematikunterricht eignen. Die jeweiligen Zielsetzungen einer Fortbildung können sehr unterschiedlich sein, und das Design ist immer auch abhängig von den Rahmenbedingungen, die stark variieren können. Dennoch erscheinen einige Aspekte zentral, die bei der Gestaltung von Fortbildungsmaßnahmen Berücksichtigung finden sollten und die im Folgenden kurz beleuchtet werden. Dabei sind die einzelnen Aspekte nicht losgelöst voneinander zu betrachten, sondern sind vielmehr auf verschiedene Weise miteinander vernetzt.

23.2.1 Berücksichtigung von zentralen Gestaltungsprinzipien Für die methodische Konzeption von Fortbildungen sind verschiedene Gestaltungsprinzipien zentral, die den nationalen und internationalen Forschungsstand aufgreifen und als Qualitätsfaktoren für effektive Fortbildungen gelten (z. B. Lipowsky & Rzejak 2012). Im Deutschen Zentrum für Lehrerbildung Mathematik (DZLM) wurden die folgenden sechs Prinzipien herausgearbeitet, die in Fortbildungsmaßnahmen Berücksichtigung finden sollten: Kompetenzorientierung, Teilnehmendenorientierung, Kooperationsanregung, Fallbezug, Lehr-Lern-Vielfalt und Reflexionsförderung (vgl. Barzel & Selter 2015; Barzel et al. 2018). Je nach Maßnahme können einzelne Prinzipien schwerpunktmäßig behandelt werden oder auch in bestimmten Phasen einer Fortbildung im Vordergrund stehen. Einige der Prinzipien werden in den folgenden Abschnitten 23.2.2 bis 23.2.4 konkretisiert, einige weitere seien hier ergänzt. Zur Sicherstellung einer kompetenzorientierten Fortbildungsmaßnahme sind die angestrebten Kompetenzen zu operationalisieren und während der Fortbildung durch geeignete Umsetzungen, bspw. auch gezielte Arbeitsaufträge zu fördern und in der Evaluation zu überprüfen (vgl. auch DZLM 2015).

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Kooperationsanregung kann, wie unten aufgezeigt wird, in sogenannten Professionellen Lerngemeinschaften (PLGen) in besonderer Weise umgesetzt werden, kann aber auch in Präsenzveranstaltungen durch Partner- oder Gruppenarbeiten erfolgen. Die Lehr-Lern-Vielfalt kommt bspw. bei mehrteiligen Fortbildungen mit Präsenz- und Distanzphasen im Sinne eines Sandwichmodells zur Anwendung. In der Regel wird ein Inhalt in der Abfolge Präsenz- (Impuls), Distanz- (z. B. eine vertiefte Auseinandersetzung im Selbststudium oder als Erprobung) und einer weiteren Präsenzphase (Reflexion) behandelt, wobei die Mehrteiligkeit und der Wechsel von Präsenz- und Distanzphasen eine wichtige Voraussetzung für die Wirksamkeit einer Fortbildung darstellen (vgl. z. B. Lipowsky & Rzejak 2012). So können Teilnehmende nach einem theoretischen Input zu einem neuen Inhalt (z. B. Hintergründe zu strukturgleichen Aufgaben; vgl. auch Abschn.  23.2.4) in der Distanzphase eigene Erprobungen durchführen und diese bei der darauffolgenden Präsenzveranstaltung gemeinsam diskutieren und reflektieren, sodass im Besonderen auch die Gestaltungsprinzipien Fallbezug sowie Reflexionsförderung zur Anwendung kommen (vgl. Abschn. 23.2.2 und die beispielhafte Fortbildungsmaßnahme in Abschn. 23.3).

23.2.2 Zeitlicher Umfang einer Maßnahme Für den Erfolg einer Maßnahme wird die Langfristigkeit von Fortbildungen als zentrales Merkmal hervorgehoben (vgl. Barzel et al. 2018, S.  17 ff.). Handlungsroutinen, Überzeugungen und subjektive Theorien können durch kurzfristige Interventionen kaum verändert werden. Für die Veränderung des Unterrichts sind daher langfristig angelegte Fortbildungen sinnvoll, die mehrphasig aus mehreren aufeinanderfolgenden Fortbildungsteilen bestehen. Im Format einer halb- oder eintägigen Fortbildung oder lediglich eines 90-minütigen Workshops können Teilnehmende i. d. R. nur einen Einblick in ein bestimmtes Thema gewinnen und sich weniger intensiv damit auseinandersetzen, während bei zeitlich umfangreicheren Formaten bspw. eigene Erprobungen zu einem Thema durchgeführt und entsprechende Reflexionsprozesse in Gang gesetzt werden können. Hier bietet sich die Möglichkeit, die Gestaltungsprinzipien Teilnehmendenorientierung und Fallbezug umzusetzen (vgl. Abschn. 23.2.1), indem die Teilnehmenden an einem folgenden Präsenztermin eigene Fallbespiele diskutieren und reflektieren können. Auch eine Fortbildungsmaßnahme zur Anregung bzw. Begleitung sogenannter PLGen ist auf eine langfristige Zusammenarbeit angelegt und soll Kooperations- sowie (Selbst-)Reflexionsfähigkeiten fördern, um eine nachhaltige Weiterentwicklung des Unterrichts zu sichern (vgl. auch Abschn. 23.2.3). Nicht immer sind aber mehrteilige Fortbildungsveranstaltungen umzusetzen, sodass in Abhängigkeit der Rahmenbedingungen auch die folgenden Punkte zu berücksichtigen und auszuwählen sind.

23 Inklusiver Mathematikunterricht

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23.2.3 Zielgruppen einer Maßnahme Für erfolgreichen inklusiven Unterricht ist eine gelingende Kooperation der beteiligten Akteure in sogenannten multiprofessionellen Teams zentral (vgl. Heinrich & Werning 2013; Lütje-Klose 2011, S.  17). Anzutreffen sind jedoch vielfach unklare Aufgaben und Rollen bzw. divergente Professionserfahrungen von Lehrpersonen der Regelschule und Sonderpädagoginnen und Sonderpädagogen, die zu einem unterschiedlichen Verständnis von Inklusion führen können, sodass Barrieren in der Kommunikation und Kooperation der Lehrpersonen über die Ausgestaltung des inklusiven Unterrichts entstehen (z. B. Döbert & Weishaupt 2013). Mit Blick auf die geforderte Arbeit in multiprofessionellen Teams zur Gestaltung des Fachunterrichts wären daher auch gezielte gemeinsame Fortbildungsangebote für Lehrpersonen der Regelschule und für diejenigen der Förderschule wünschenswert. Jedoch kann unter einer bestimmten Zielsetzung, etwa einer grundlegenden fachlichen Qualifizierung für fachfremd unterrichtende Sonderpädagoginnen und Sonderpädagogen, auch die Fokussierung auf eine spezifische Zielgruppe sinnvoll sein (vgl. Abschn. 23.3). Für gezielte gemeinsame Fortbildungsangebote kommt gerade für den inklusiven Mathematikunterricht auch der Einrichtung von PLGen (vgl. Barzel et al. 2018, S.  27 ff.) eine besondere Bedeutung zu. Hierbei könnten regelmäßige Sitzungen zur Planung und Reflexion des eigenen (alltäglichen) Mathematikunterrichts stattfinden und hinsichtlich zentraler Aspekte der Gestaltung gemeinsamer Lernsituationen reflektiert werden, bspw. Gestaltung von Lernumgebungen, Lehrerhandeln, Schüler-Lehrer-Interaktion (vgl. auch Scherer et al. 2013). Ein solches vertieftes Verständnis der Lern- und Unterrichtsprozesse im inklusiven Mathematikunterricht könnte langfristig zur Verbesserung des inklusiven Fachunterrichts beitragen. Auch bezogen auf die verschiedenen Schulstufen ist die Berücksichtigung der Zielgruppe einer Fortbildung zentral. So können bspw. die strukturellen Bedingungen mit Blick auf Inklusion im Primar- und Sekundarbereich sehr unterschiedlich sein (vgl. z. B. Sturm 2010): Während bzgl. des Umgangs mit Heterogenität im Sekundarbereich die äußere Differenzierung prominent zur Umsetzung kommt, ist dies in der Grundschule i. d. R. nicht der Fall. Separierende Förderungen im Sinne einer äußeren Differenzierung könnten aber im Zuge von Inklusion zur Anwendung kommen (vgl. auch Abschn. 23.4). U. U. ist der Habitus der Akteure von diesen strukturellen Bedingungen beeinflusst und im Primar- und Sekundarbereich unterschiedlich. Mitunter entsteht auch eine Widersprüchlichkeit zwischen institutionellen Rahmenbedingungen und dem eigenen Anspruch in Bezug auf den Umgang mit Heterogenität (vgl. Sturm 2010, S.  94 f.). An dieser Stelle wird wiederum deutlich, dass begleitend zu inhaltlichen Überlegungen einer Fortbildung immer auch an Einstellungen und Haltungen gearbeitet werden sollte. Inklusiver Fachunterricht mit der Berücksichtigung ganz unterschiedlicher Heterogenitätsdimensionen und spezifischer Förderschwerpunkte zeigt oftmals, dass nicht mehr unbedingt die klassischen Schulstufen mit den jeweiligen mathematischen Inhalten zur

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Anwendung kommen: Für Schülerinnen und Schüler mit dem Förderschwerpunkt Lernen oder geistige Entwicklung in der Sekundarstufe sind oftmals Grundschulinhalte von besonderer Relevanz, sodass auch hier mit Blick auf die Zielgruppen einer Fortbildungsmaßnahme gemeinsame Angebote etwa für Lehrpersonen der Sekundarstufe und des Primarbereichs sowie der Sonderpädagoginnen und Sonderpädagogen bedacht werden sollten. Für bestimmte Themen und Zielsetzungen einer Fortbildung sollten erforderliche Übergänge zwischen den Schulstufen geprüft und entsprechend umgesetzt werden.

23.2.4 Auswahl der Inhalte Hinsichtlich der inhaltlichen Gestaltung einer Fortbildungsmaßnahme ist zunächst die Zielsetzung genauer zu prüfen, ob bspw. schwerpunktmäßig zunächst eine fachliche und fachdidaktische Fundierung erreicht werden soll und erst im Anschluss daran die Gestaltung von Lernangeboten für inklusive Settings verfolgt wird. Dies könnte etwa mit Blick auf fachfremd Unterrichtende sinnvoll sein (vgl. auch das Beispiel in Abschn. 23.3). Es kann jedoch auch die integrative Verfolgung dieser beiden Bereiche geplant werden. Beide Varianten erscheinen sinnvoll und sind immer vor dem Hintergrund der jeweiligen Rahmenbedingungen einer bestimmten Maßnahme zu sehen. Fokussiert eine Fortbildungsmaßnahme auf fachliche Inhalte, etwa für fachfremd unterrichtende Sonderpädagoginnen und Sonderpädagogen, dann findet sich i. d. R. eine klare Orientierung am Fach und weniger an sonderpädagogischen Aspekten. Dennoch sollten diese mitbedacht werden und im Sinne der Teilnehmendenorientierung Berücksichtigung finden. Bei fachdidaktisch orientierten Fortbildungsmaßnahmen sind vorliegende sonderpädagogische Ansätze in jedem Fall miteinzubeziehen. Wenn es etwa thematisch um die Gestaltung inklusiver Settings im Mathematikunterricht und den Möglichkeiten gemeinsamer Lernsituationen geht, dann können aus fachdidaktischer Perspektive substanzielle Lernumgebungen, offene Aufgaben oder strukturgleiche Aufgaben herangezogen werden (vgl. z. B. Krauthausen & Scherer 2014; Nührenbörger & Pust 2006; Scherer 2015). In diesem Zusammenhang erscheint es sinnvoll, auch sonderpädagogisch orientierte Aspekte wie etwa das Universal Design for Learning (UDL) zu berücksichtigen (vgl. z. B. Schlüter et al. 2016), um einerseits die Verbindung verschiedener Konzepte zu verdeutlichen, aber auch entsprechende Abgrenzungen vorzunehmen. Bei der Vorstellung dieser Konzepte sollte möglichst das Gestaltungsprinzip Fallbezug zur Anwendung kommen (vgl. Abschn. 23.2.1), im Idealfall nicht nur durch Schülerdokumente der jeweiligen Referentin bzw. des Referenten, sondern durch die Teilnehmenden selbst. Die konkreten Beispiele sollten aber immer auch fachlich und fachdidaktisch beleuchtet werden (vgl. z. B. Scherer 2017), um nicht nur als Einzelbeispiel zu fungieren, sondern auch die charakteristischen fachdidaktischen Merkmale zu verdeutlichen und den Transfer auf weitere Inhalte und Beispiele des Mathematikunterrichts zu sichern.

23 Inklusiver Mathematikunterricht

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Weitere zentrale Themen für Fortbildungsmaßnahmen für den inklusiven Mathematikunterricht sind etwa ‚Diagnose & Förderung’ oder auch ‚Differenzierung’. Beim erstgenannten Thema ist bspw. in einer für Lehrpersonen der Regelschule und Sonderpädagoginnen und Sonderpädagogen konzipierten Fortbildungsmaßnahme im Sinne der Teilnehmenden- und Kompetenzorientierung das vorhandene Professionswissen zu prüfen: So gehört das Thema Diagnose als klassisches sonderpädagogisches Thema für viele Sonderpädagoginnen und Sonderpädagogen zu ihrem vorhandenen Repertoire (vgl. auch Abschn. 23.3), allerdings müssen diese Kenntnisse nicht unbedingt fachbezogen sein und können sich nur auf bestimmte Formate, z. B. standardisierte Instrumente, beziehen und weniger auf informellere und unterrichtsnahe diagnostische Möglichkeiten (vgl. Hoffmann & Scherer 2017). Bei Lehrpersonen der Regelschule sind u. U. die Kenntnisse bzgl. standardisierter Diagnoseinstrumente begrenzt und müssten in einer Fortbildung Berücksichtigung finden. Auch zum Thema Differenzierung wären im Sinne der Teilnehmenden- und Kompetenzorientierung die verschiedenen Terminologien, sowohl aus unterschiedlichen Disziplinen als auch verschiedenen Schulstufen aufzugreifen und fachdidaktisch zu klären (vgl. Krauthausen & Scherer 2014). Mit Blick auf den inklusiven Fachunterricht mit dem Ziel, gemeinsame Lernsituationen zu ermöglichen, wären Formen der inneren Differenzierung fachdidaktisch mit ihren Grenzen und Möglichkeiten zu beleuchten (z. B. Scherer 2017). Wie eine entsprechende Fortbildungsmaßnahme gestaltet werden kann und welche Erfahrungen hierzu vorliegen, wird im folgenden Abschnitt skizziert.

23.3 Exemplarische Ergebnisse einer DZLM-Fortbildungsmaßnahme Im DZLM wurde eine Fortbildungsmaßnahme für fachfremd unterrichtende Sonderpädagoginnen und Sonderpädagogen im inklusiven Mathematikunterricht (vorrangig Primarbereich) entwickelt (vgl. Scherer & Nührenbörger 2017; Scherer et al. eingereicht), die bislang in leicht veränderter Form drei Mal durchgeführt wurde. Die Veränderungen bei der zweiten Durchführung bezogen sich auf die Reihenfolge der Inhalte sowie die inhaltliche Ergänzung des Themas „Halbschriftliches und schriftliches Rechnen“ bei gleichzeitiger Reduktion des Themas „Sachrechnen“. Die dritte Durchführung wurde von externen Multiplikatorinnen vorgenommen, die zuvor bei der zweiten Maßnahme hospitiert hatten und sowohl methodische als auch inhaltliche Adaptionen vorgenommen haben (vgl. Scherer et al. eingereicht). Berichtet wird im Folgenden über das Konzept und die Erfahrungen der ersten Maßnahme. Ziel der Maßnahme ist die Vertiefung fachlicher und fachdidaktischer Kompetenzen sowie die Thematisierung von Lehr- und Lernprozessen. Konkret sollen die Teilnehmenden •

grundlegende mathematische und mathematikdidaktische Kompetenzen zu zentralen Themen der Grundschulmathematik erwerben, um mathematische Aufgabenstellungen wie auch Schülerbearbeitungen fachgerecht zu analysieren,

334 • •

P. Scherer grundlegende fachdidaktische Prinzipien zur Gestaltung eines inklusiven Mathematikunterrichts und zur produktiven Förderung von Kindern mit Lernschwierigkeiten kennenlernen, um diese im Unterricht umzusetzen und kritisch zu reflektieren, typische Fehler sowie diagnostische Instrumente zur unterrichtsnahen Erhebung von Lernschwierigkeiten und unterschiedlichen Lernprozessen kennenlernen und im eigenen Unterricht erproben.

Die Fortbildungsmaßnahme ist für fünf Präsenztage geplant, die auf einen variablen Zeitraum verteilt werden können. Der Gesamtumfang der Maßnahme beträgt 80  h und umfasst neben der aktiven Teilnahme an den Präsenztagen auch das Selbststudium, die Bearbeitung von ‚Hausaufgaben’ und praxisbezogene Erprobungen in den Distanzphasen. Methodisch berücksichtigt die Maßnahme alle der in Abschn. 23.2.1 genannten DZLM-Gestaltungsprinzipien (vgl. Barzel & Selter 2015; Barzel et al. 2018). Inhaltich sind als zentrale Themen der Grundschulmathematik ausgewählt: „Ziele und geeignete Lernangebote im inklusiven Mathematikunterricht“, „Zahlvorstellungen“, „Operationsvorstellungen“, „Sachrechnen“ sowie „Diagnose und Förderung“. Im Schuljahr 15/16 wurde die Maßnahme erstmalig von DZLM-Projektmitgliedern durchgeführt, und es nahmen 18 Sonderpädagoginnen und Sonderpädagogen teil. Die Maßnahme startete nach den Herbstferien und endete vor den Osterferien, sodass ca. alle 4 bis 6 Wochen ein Präsenztermin stattfand. Empirisch begleitet wurde die Maßnahme durch Eingangs- und Abschlussbefragungen, die Einstellungen und Beliefs der Teilnehmenden zum inklusiven Mathematikunterricht sowie auch die Selbsteinschätzung zur persönlichen fachdidaktischen Kompetenzentwicklung erhoben. Die Teilnehmenden der Maßnahme hatten allenfalls ein didaktisches Grundlagenstudium absolviert und waren ansonsten fachfremd. Nur eine Person berichtete bei der Abfrage von Fortbildungserfahrungen der letzten drei Jahre über eine fachspezifische Fortbildung Mathematik. Die weiteren Teilnehmenden berichteten über andere Fächer oder aber über fachübergreifende Fortbildungen zu relevanten Themen wie Heterogenität, Inklusion oder Diagnostik. In der Abschlussevaluation der ersten Maßnahme beurteilten alle Teilnehmenden die Fortbildung insgesamt als gut bis sehr gut und stimmten auch entsprechenden Aussagen zur Umsetzung der DZLM-Gestaltungsprinzipien Lehr-Lern-Vielfalt, Fallbezug, Kompetenzorientierung, Kooperationsanregung und Reflexionsförderung zu. Des Weiteren sollte in der Abschlussbefragung retrospektiv die eigene Kompetenzentwicklung zu den thematischen Schwerpunkten der Maßnahme beurteilt werden, u. a. auch mit Bedeutung für den inklusiven Mathematikunterricht. In diesen Selbsteinschätzungen, die als vergleichsweise valide gelten (vgl. Nimon et al. 2011), zeigten sich bei den Teilnehmenden zum Thema ‚Zahlvorstellungen’ deutliche Veränderungen, auch hinsichtlich der Bedeutung des Themas für den inklusiven Mathematikunterricht (Abb. 23.1). D.  h. die Teilnehmenden schätzten am Ende der Maßnahme ihre eigene Kompetenzentwicklung zu diesem Thema als vergleichsweise groß ein.

23 Inklusiver Mathematikunterricht

335

Abb. 23.1 Retrospektive Einschätzung der eigenen Kompetenzentwicklung bzgl. des Themas Zahlvorstellungen (N = 17)

Abb. 23.2 Retrospektive Einschätzung der eigenen Kompetenzentwicklung bzgl. des Themas Diagnose und Förderung (N= 17)

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Diese Selbsteinschätzungen mögen nicht überraschen: Der Facettenreichtum der Zahlaspekte sowie eine vertiefte Reflexion bzgl. unterschiedlicher Repräsentationen für den Mathematikunterricht war für fachfremd Unterrichtende nicht unbedingt als sicheres Wissen vorhanden (vgl. hierzu auch Jandl & Moser Opitz 2017) und entwickelte sich im Verlauf der Fortbildung. Auch die Bedeutung für den inklusiven Unterricht gerade für Schülerinnen und Schüler mit Unterstützungsbedarf wurde nun explizit gesehen. Vergleichend dazu fällt die eingeschätzte Kompetenzentwicklung beim Thema ‚Diagnose und Förderung’ nicht so deutlich aus (Abb. 23.2): Zu diesem klassischen Thema der Sonderpädagogik bringen die Sonderpädagoginnen und Sonderpädagogen bereits vielfältige Expertise mit (vgl. auch Abschn. 23.2.4). Gleichwohl nehmen auch hier die Teilnehmenden selbst eine deutliche Kompetenzentwicklung wahr und sehen nun auch eine gesteigerte Bedeutung für den Mathematikunterricht. Dies mag nicht zuletzt darauf zurückzuführen sein, dass die vor der Fortbildung vorhandenen diagnostischen bzw. förderdiagnostischen Kompetenzen nicht unbedingt mathematikspezifisch waren oder sich eher auf standardisierte Diagnoseinstrumente bezogen und nicht auf die in der Fortbildung thematisierten und erprobten unterrichtsnahen Diagnoseansätze.

23.4 Ausblick Die in Abschn. 23.2 ausgeführten theoretischen Überlegungen zur Gestaltung von Fortbildungsmaßnahmen für einen inklusiven Fachunterricht haben die Heterogenität der potenziellen Teilnehmenden sowie die vielschichtigen Anforderungen verdeutlicht. Fortbildungsmaßnahmen können nur eine Auswahl treffen und exemplarisch arbeiten, allerdings mit der Zielsetzung, dass andauernde und nachhaltige Reflexions- und Professionalisierungsprozesse in Gang gesetzt werden. Dies kann bspw. durch die Einrichtung von PLGen aus Regelschullehrpersonen und Sonderpädagoginnen und Sonderpädagogen an einer Schule erreicht werden, die sich die Weiterentwicklung des inklusiven Fachunterrichts zum Ziel setzen und etwa regelmäßige Unterrichtsplanungen, -hospitationen und -reflexionen durchführen (vgl. Abschn. 23.2.3; auch Scherer et al. 2013). Sinnvoll ist daneben auch die Einrichtung schulübergreifender Arbeitsgruppen oder Netzwerke zum inklusiven Mathematikunterricht oder zur Vernetzung verschiedener Fächer. Die hier beispielhaft vorgestellte Fortbildungsmaßnahme hatte die Vertiefung fachlicher und fachdidaktischer Kompetenzen zum Ziel. Die Arbeit bzw. Reflexion über bestehende Einstellungen und Haltungen zum Themenbereich Inklusion der Teilnehmenden war nicht im Fokus der Maßnahme. Zudem sind Einstellungen und Haltungen i. d. R. stabil, und es ist nach einem Zeitraum von ca. 6 Monaten nicht unbedingt eine Veränderung zu erwarten. Alle Lehrpersonen der hier berichteten Maßnahme waren bereits im inklusiven Unterricht tätig und haben freiwillig an dieser Maßnahme teilgenommen, sodass zunächst einmal von einer positiven Einstellung zur Inklusion ausgegangen werden kann. An dieser

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23 Inklusiver Mathematikunterricht

a

b

Abb. 23.3 Item zur Einstellung aus der Eingangsbefragung (N = 16) (a) und Abschlussbefragung (N = 14) (b)

Stelle sei nur ein Item herausgegriffen, das sich insbesondere auf kognitive Faktoren bzw. den fachlichen Gegenstand bezieht „Der Besuch der Regelschule fördert die fachlichen und methodischen Kompetenzen von Kindern mit Behinderungen“ (vgl. Meyer 2011). Bereits in der Eingangsbefragung äußern sich die Teilnehmenden überwiegend positiv zu diesem Statement (Abb. 23.3 a) und bestätigen dies auch in der Abschlussbefragung (Abb. 23.3 b). Hier kann die Orientierung der Maßnahme an grundlegenden fachlichen und fachdidaktischen Inhalten zur Bestätigung dieser Vorabeinschätzung beigetragen haben. Möglicherweise sehen die Teilnehmenden auch angesichts der aktuellen Beschäftigungssituation im inklusiven Fachunterricht dieses wichtige Ziel bestätigt. Hinsichtlich der verschiedenen Dimensionen, die für die Qualifizierung von Lehrerpersonen für einen inklusiven Fachunterricht relevant sind, besteht weiterhin Forschungsbedarf: „Über die Modalitäten und Bedingungen der Verknüpfung von fachlichem, fachdidaktischem und sonderpädagogischem Wissen für die Planung und Umsetzung eines qualitativ hochwertigen Unterrichts in inklusiven Lerngruppen liegen bisher keine fundierten Forschungsergebnisse vor“ (Heinrich et al. 2013, S.  85). Speziell auf der Ebene von Lehrerfortbildungen zur Inklusion gibt es bislang kaum systematische Angebote, die den Fokus auf das Unterrichtsfach Mathematik legen und zugleich sowohl Sonderpädagoginnen und -pädagogen als auch Regellehrkräfte gemeinsam qualifizieren. Dies wäre ein wichtiges Ziel für die Gestaltung weiterer Fortbildungsmaßnahmen.

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