Umkehrung des Variationsproblems der ebenen Affingeometrie [Reprint 2019 ed.] 9783111410272, 9783111046617

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German Pages 8 [12] Year 1924

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Umkehrung des Variationsproblems der ebenen Affingeometrie [Reprint 2019 ed.] 9783111410272, 9783111046617

Table of contents :
Umkehrung des Variationsproblems der ebenen Affin-geometrie

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Sitzungsberichte der H e i d e l b e r g e r A k a d e m i e der W i s s e n s c h a f t e n Stiftung Heinrich. L a n z Mathematisch. -naturwissenschaftliche

Klasse

A b t e i l u n g A. • =

J a h r g a n g 1924.

2. A b h a n d l u n g .

i

(Mehrung des Variationsproblems der ebenen Affingeometrie. Von

Heinrich Liebmann in Heidelberg.

Hingegangen am 10. J a n u a r 1924.

Berlin

und

Leipzig

1924

W a l t e r d e G r u y t e r & Co. v o r m a l s G. .). G i i s c b e n ' s c b e V e r l a g s h a n d l u n g I J . G u t t e n t a g , V e r l a g s b n c l i h a n d l u n g / G e o r g K e i m e r / K a r l .1. T r ü b n e r I V e i t & C o m p .

=

Umkehrung des Variationsproblems der ebenen Affingeometrie. 1. Die Extremalen des affin-invarianten Variationsproblems 6J ( ^ f f dx = ö J (x'y" - y'x"Y dt = 0 sind bekanntlich die Parabeln. das heißt also: nimmt man

Nimmt man für t die „Afiinlänge",

x'y" — y'x" — 1, so erhält man die Darstellung At2,

x = x0-\- at At+^

(axb2-bxa2= y^yo+^At

+

1)

^At*.

Sind xo> y») a i> W gegeben, so sind damit alle von dem Krütnmuugselement

ausgehenden Parabeln dargestellt, und die Elimination von At ergibt . \ , (y - y«) «i - (* -

\i

At2

*b) h=~2

At2

(«A - M«) - ~2 •

Man sieht, daß der Ort der Endpunkte gleicher „Affinstrecken" At auf den von einem Krümmungselement ausgehenden Extremalen eine Gerade ist. Diese Beziehung bleibt bei Kollineation selbstverständlich erhalten. Um auf diese Tatsache näher einzugehen, transformieren wir zunächst das Integral J(x'y"-

dt

vermöge x:y:l = (anx + und erhalten:

+ «13) =

+ «22y + «as): (aaix + a^y + «3»)

4

HEINRICH

a

n

a

u13

l 2

.

a 2 i «22 rt23 a

31

LIEBMANN:

a

r

n

32

a31x

J

+

a

3 i

y +

am

dt "

33

Die Kxtrenialen werden dann die Kegelschnitte, die die Gerade

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