The Collected Works of Rudolf Carnap, Volume 1: Early Writings 019874840X, 9780198748403

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The Collected Works of Rudolf Carnap Volume 1

The Collected Works of Rudolf Carnap Richard Creath, General Editor Arizona State University

EDITORIAL BOARD Steve Awodey Carnegie Mellon University

Erich Reck University of California, Riverside

Bernd Buldt Indiana Purdue University, Fort Wayne

Alan Richardson University of British Columbia

A. W. Carus Ludwig-Maximilians-Universität München

Thomas Ricketts University of Pittsburgh

Michael Friedman Stanford University

Georg Schiemer Universität Wien

Greg Frost-Arnold Hobart and William Smith Colleges

Dirk Schlimm McGill University

Gottfried Gabriel Friedrich-Schiller-Universität Jena

Sven Schlotter Friedrich-Schiller-Universität Jena

Warren Goldfarb Harvard University

Thomas Uebel University of Manchester

Wolfgang Kienzler Friedrich-Schiller-Universität Jena

Pierre Wagner Université Paris 1 Panthéon-Sorbonne

Hannes Leitgeb Ludwig-Maximilians-Universität München

Sandy Zabell Northwestern University

Sebastian Lutz Uppsala Universitet

Richard Zach University of Calgary

The Collected Works of

Rudolf Carnap Richard Creath, General Editor

Volume 1: Early Writings Edited by A. W. Carus, Michael Friedman, Wolfgang Kienzler, Alan Richardson, and Sven Schlotter

With editorial assistance from Steve Awodey, Dirk Schlimm, and Richard Zach

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Great Clarendon Street, Oxford, OX2 6DP, United Kingdom Oxford University Press is a department of the University of Oxford. It furthers the University’s objective of excellence in research, scholarship, and education by publishing worldwide. Oxford is a registered trade mark of Oxford University Press in the UK and in certain other countries c the Rudolf Carnap Heirs Original Carnap text  c A.W. Carus, Michael Friedman, Editorial material  Wolfgang Kienzler, Alan Richardson, and Sven Schlotter 2019 c David B. Malament 2019 Mathematical and Physical Background to 1925a  The moral rights of the authors have been asserted First Edition published in 2019 Impression: 1 All rights reserved. No part of this publication may be reproduced, stored in a retrieval system, or transmitted, in any form or by any means, without the prior permission in writing of Oxford University Press, or as expressly permitted by law, by licence or under terms agreed with the appropriate reprographics rights organization. Enquiries concerning reproduction outside the scope of the above should be sent to the Rights Department, Oxford University Press, at the address above You must not circulate this work in any other form and you must impose this same condition on any acquirer Published in the United States of America by Oxford University Press 198 Madison Avenue, New York, NY 10016, United States of America British Library Cataloguing in Publication Data Data available Library of Congress Control Number: 2018962517 ISBN 978–0–19–874840–3 Printed and bound by CPI Group (UK) Ltd, Croydon, CR0 4YY The image of Rudolf Carnap on the jacket is reproduced by permission of the Archives of Scientific Philosophy, Hillman Library, University of Pittsburgh Links to third party websites are provided by Oxford in good faith and for information only. Oxford disclaims any responsibility for the materials contained in any third party website referenced in this work.

Contents Foreword

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Acknowledgements

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Chronology of Carnap’s Life

xiii

Information for the Reader

xix

Introduction

xxiii

1918a Völkerbund — Staatenbund

3

League of Nations — League of States

1921a Wer erzwingt die Geltung des Naturgesetzes?

11

Who Forces Laws of Nature to Hold?

1922a Der Raum: Ein Beitrag zur Wissenschaftslehre

21

Space: A Contribution to the Theory of Science

1923a Über die Aufgabe der Physik und die Anwendung des Grundsatzes der Einfachstheit

209

On the Task of Physics and the Application of the Principle of Maximal Simplicity

1924a Dreidimensionalität des Raumes und Kausalität: Eine Untersuchung über den logischen Zusammenhang zweier Fiktionen Three-Dimensionality of Space and Causality: An Investigation of the Logical Connection Between Two Fictions v

247

1925a Über die Abhängigkeit der Eigenschaften des Raumes von denen der Zeit

297

On the Dependence of the Properties of Space on those of Time

1926a Physikalische Begriffsbildung

339

Physical Concept Formation

Textual Notes

441

Bibliography

445

Index of Names

469

Foreword

The Collected Works of Rudolf Carnap contains all the works that Carnap authorized for publication during his lifetime. This volume contains all of Carnap’s published works from 1918 through 1926. Rudolf Carnap (1891–1970) ranks as one of the most influential philosophers of the twentieth century, engaging with — among many others — Frege, Husserl, Russell, Wittgenstein, Gödel, and Quine. As W. V. O. Quine wrote of his “teacher and friend”: “Carnap is a towering figure. I see him as the dominant figure in philosophy from the 1930s onward.” Carnap made substantial contributions to the philosophy of science and to the philosophy of logic, and in particular to the long-standing question of what role philosophy, logic, and mathematics are to play in the scientific enterprise. He systematically addressed a remarkable range of issues, including objectivity, the limits of intelligibility, empiricism, the role of the physical in psychology, convention, the unity of science, semantics, modality, meaning, ontological commitment, probability and confirmation, as well as both the observational and theoretical discourse of science. And he worked tirelessly on behalf of an ideal of science and philosophy that he saw as a cooperative and international enterprise. It is not too much to say that many of Carnap’s ideas were revolutionary, a fact that was sensed both by those who revered him in his lifetime and by those who vehemently rejected those ideas. Carnap worked indefatigably to improve, clarify, and elaborate his views, producing a body of work impressive in its volume as well as in its scope and influence. A brief chronology follows this foreword; what it does not show is that by the late 1920s Carnap was a leading figure of the Vienna Circle, rapidly publishing a stream of papers and books that attained the status of classics. His pivotal work, Logische Syntax der Sprache of 1934, ushered in a revolution in philosophy. And following his move to the United States the tide of important publications lifted analytic philosophy to the central position it occupies throughout the world today. His work displays a high degree of coherence and continuity, but its sheer volume makes the broad outlines of its development hard to discern, especially because many of his publications have long been virtually unobtainable. Making this coherence more visible was one motive behind the present effort to make his works available in an accessible, vii

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Foreword

comprehensive, and definitive form. This edition will contain the tools needed for a more thorough and balanced understanding of Carnap’s work, and for the requirements of a new scholarly interest in the historical development of analytic philosophy. The series includes all of the books and papers Carnap authorized for publication in his lifetime. They appear in the language of their original composition, and all in English as well. Where those languages are different, the original and an English translation are on facing pages. Some of the originals have never before been translated into English, and even where they have been, most translations in this Collected Works are new or revised. All the texts are reset, re-edited, and provided with introductions and editorial notes to make this body of work accessible to the contemporary reader. In undertaking this project we have had before us the invaluable example of the edition of Kurt Gödel’s Collected Works. The five volumes of that collection contain all of Gödel’s published writings and a generous selection of the unpublished ones, including manuscripts and correspondence. Even though the present collection is much larger, only Carnap’s published works could be included. Parallel efforts have been under way, however, to bring out various selections of Carnap’s unpublished notes, manuscripts, and correspondence. This project has been made possible in part by a resurgence of interest in Carnap’s work led by a dedicated group of philosopher-historians, many of whom are on the editorial board or otherwise involved in the editorial process. Their high level of scholarship has made it reasonable to begin such a project, and their unselfish efforts are bringing it to fruition. Their work has in turn made this Collected Works more urgently needed. As Carnap’s ideas are more widely discussed in books, journals, and university classes, both students and professionals need to have available the full range of Carnap’s writing, so that they can see for themselves the systematic and dramatically new conception of philosophy that Carnap developed. The editors are acutely aware that over the many years of work on the project we have accumulated many debts, as we shall no doubt continue to do, and more than we can hope to repay. The project was initiated by Open Court Publishing Company and its Chairman, André Carus; without this initial support and commitment, the project would not have got off the ground. We are delighted and grateful that Oxford University Press took up the project when Open Court was no longer able to continue and when it seemed that our efforts might otherwise fail. Our editor there, Peter Momtchiloff, has been extremely supportive (and patient) through all the remaining stages, which we greatly appreciate. Carnap’s daughter, Hanneliese Carnap Thost, conveyed the original rights to publish these materials. Her support for the project, and that of other members of the Carnap family, has been a source of inspiration and encouragement over the years. We note with sadness her passing in November of 2016. Her daughter Erika Carnap Thost, who vividly remembers her grandfather from her teenage years, has continued to support our work. Many other individuals and institutions have been generous as well. In 2000–2001 the National Science Foundation provided a grant for me to con-

Foreword

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duct a feasibility study on the project. For the next five years the College of Liberal Arts and Sciences at Arizona State University supported a research assistant to help turn Carnap’s works into an electronic form where they could be edited and reset. Preparing the German text, which involved its own special problems, was made possible by successive two-year grants for 2005–07 and 2007–09 from the Deutsche Forschungsgemeinschaft (German Research Foundation) to a team at the Friedrich-Schiller-Universität Jena headed by Gottfried Gabriel and Wolfgang Kienzler that also included Sven Schlotter (Grant-Nr. KI 1103/1-1 and KI 1103/1-2). In addition, the Fulbright program provided a scholarship to Steve Awodey to support his work in Jena, and the National Endowment for the Humanities provided a Collaborative Research Grant for the same and for editorial assistance. Richard Zach was awarded a University of Calgary Special Projects Grant for his work on the edition. He and Dirk Schlimm received a grant from the Social Sciences and Research Council of Canada as well. These grants allowed their recipients to assume the substantial burden of assembling the text of this first volume and of resolving the enormous number of technical and substantive issues that arise in a venture of this magnitude and complexity. Along the same lines, Richard Zach has been primarily responsible for developing the “Carnap Project Style Manual”. This is a huge in-house document that readers never see, even though they benefit from it on every line of every volume. Finally, I want to add my personal thanks to those who have worked so hard on this volume and to those who are still engaged in preparing future volumes. Some of the names appear in alphabetical order on the various title pages, and some are members of the Editorial Board. They have given unstintingly of their time, efforts, and advice, both as editors of individual volumes and in overseeing the project as a whole. Special thanks are owed for the skillful assistance of Brigitta Arden at the Archives of Scientific Philosophy at the University of Pittsburgh, as well as for that of Brigitte Parakenings of the Philosophisches Archiv at the University of Constance Department of Philosophy. A large team of research assistants has also been invaluable to the overall project; it included Edward Dean, Rodney Gomez, Darin Harootunian, Leslie Hudson, Hans-Christoph Kotzsch, Mia McNulty, Daniel Richter, John Stopple, Dominic Tilbury, June Wagner, and Sandra Woien. Research assistants who worked on a particular volume are thanked in the respective volume’s editors’ acknowledgements. All of the editors acknowledge and thank each of them for their work, without which this project would have been impossible. And on behalf of the entire Carnap Project, our sincere thanks to all and to our colleagues, students, and families who have been patient and helpful as well. The support we have received from individuals, universities, and granting agencies in several countries has made this a truly cooperative and international enterprise. Carnap would have been pleased.

Richard Creath

Acknowledgements

The editors of this volume are grateful to the many people who have helped bring it to completion and improve its quality. Above all, these include the LaTeX experts on the editorial board who have made it possible to accommodate our editorial intentions in LaTeX within the original series design — Steve Awodey, Dirk Schlimm, and Richard Zach. Their technical and editorial assistance has been indispensable, from the overall architecture down to the minutest details. We were fortunate that Gottfried Gabriel joined the editorial board of the Carnap edition, since he immediately took on the project of putting together an editorial team — and repeatedly finding funding for it — to establish a definitive German text for all of Carnap’s writings in the first five volumes of the edition. We are extremely grateful for Gottfried’s role in this component of the edition, which has especially benefited this volume. We are grateful to David Malament, who contributed an article-length note on the mathematical and physical background to Carnap’s paper (1925a) in this volume, thereby making it possible for readers to see Carnap’s efforts in the early 1920s from a broader perspective encompassing insights from recent projects broadly similar to the early Carnap’s. We are grateful to the many other colleagues who responded to queries and helped to improve the translations and notes with specialized knowledge about particular aspects of Carnap’s work, including Steve Awodey, Erik Curiel, David Malament, Erich Reck, Dirk Schlimm, Howard Stein, Clinton Tolley, Pierre Wagner, and Richard Zach. We are grateful to Richard Creath, the General Editor of this edition, for contributing editorial notes for Carnap’s booklet (1926a), and for his thorough and conscientious review of the entire volume when it was nearly complete. We are particularly grateful to Pierre Wagner for organizing a workshop on Der Raum, Carnap’s (1922a) doctoral dissertation, perhaps the most substantial text in this volume, in the Palais Clam-Gallas on the Währingerstraße in Vienna, which then housed the French Cultural Institute. This workshop, held under the auspices of his project “Logiscience” funded by the French Agence Nationale de la Recherche, took place on 1–2 June 2010 with the parxi

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Acknowledgements

ticipation of Steve Awodey, André Carus, Jeremy Gray, Jeremy Heis, Thomas Mormann, Erich Reck, Alan Richardson, Dirk Schlimm, Erhard Scholz, Clinton Tolley, and Pierre Wagner. The main focus of the discussion were an early draft of Michael Friedman’s editorial notes on Der Raum and a detailed commentary on some of these notes by Howard Stein (who was not able to attend). We are grateful to Howard and all the participants and especially to the two historians of mathematics, Jeremy Gray and Erhard Scholz, not only for their specific contributions to the editorial notes on Der Raum, acknowledged in the relevant passages, but for their willingness to impart their broad perspective on relativity theory and early twentieth-century mathematics in generous detail. We benefited immensely from the expertise of Brigitta Arden and Brigitte Parakenings, the archivists in Pittsburgh and Konstanz, respectively, who helped us read the marginal notes Carnap had written in his copies of the publications in this volume, mostly in his personalized version of Stolze-Schrey shorthand. We are grateful to the Archives of Scientific Philosophy at the Hillman Library, University of Pittsburgh for their support and their permission to reproduce quotations from documents in their collection of Carnap Papers, to which they hold the copyright. Finally we are grateful to the research assistants who contributed specifically to this volume, Edward Dean, Hans-Christoph Kotzsch, and Daniel Richter, as well as to the members of the editorial and production group at Oxford University Press responsible for shepherding this unruly project through their system with such assured and patient competence: Peter Momtchiloff, April Peake, Caroline Quinnell, Jonathan Rowley, and Manuela Tecusan. A. W. Carus Michael Friedman Wolfgang Kienzler Alan Richardson Sven Schlotter

Chronology of Carnap’s Life

1891 Born on 18 May in Ronsdorf, now part of Wuppertal, in Northwest Germany. 1898 Father (Johannes Sebulon Carnap) dies. Carnap is home-schooled until the age of ten by his mother Anna Dörpfeld Carnap. 1901

Enrolls at the Gymnasium in Barmen (now also part of Wuppertal).

1909 Moves with family to Jena, where they live in the house of Anna’s brother Wilhelm Dörpfeld, a famous archaeologist; Carnap finishes secondary school. 1910–14 Studies at the University of Jena and takes courses with Gottlob Frege on logic and the foundations of mathematics. During this period Carnap also becomes involved with, and takes a leadership role in, the local manifestation of the German Youth Movement, Eugen Diederichs’s “Sera Group”. 1911–12 Spends a semester in Freiburg im Breisgau, where among other things he attends Rickert’s lectures (possibly together with Heidegger) and gives lectures to the local “Free Students” (the university wing of the Youth Movement) on various subjects, including “Religion and the Church”. 1914

Embarks on doctoral work in experimental physics.

1914 World War I breaks out in August and Carnap enlists in the army. Initially assigned to the Carpathians because of his skiing ability, he is transferred to the western front in 1916, where he sees some of the bloodiest action. He also continues to follow the Youth Movement press and enthusiastically reads Einstein’s papers on general relativity. 1917 Wounded in action and awarded the Iron Cross. Transferred to Berlin for research on wireless technology. Hears Einstein’s lectures on physics. Marries Elisabeth Schöndube, and they move to her parents’ house in Buchenbach near Freiburg im Breisgau, where nearly all the texts in this volume are written. xiii

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Chronology

1918 Carnap continues his studies at Jena from Buchenbach. Circulates newsletters containing items from the foreign press critical of the German government, with his own critical commentary. Some months before the armistice, Carnap joins the anti–war Independent Socialist Party (USPD). 1919–20 Completes master’s-level dissertations in physics and in philosophy (the latter on the foundations of geometry), and obtains the secondary teaching certificate. 1921 Completes his doctoral dissertation in philosophy, Der Raum, under the supervision of Bruno Bauch. Carnap writes to Russell for help obtaining a copy of Principia Mathematica, and receives instead a lengthy letter containing the main development in longhand. 1922 Reads Russell’s Our Knowledge of the External World early in the year, which supplies a key idea for Carnap’s envisaged constitution system of all concepts; he writes the first sketch of the Aufbau, a manuscript called “Vom Chaos zur Wirklichkeit”. 1922 Der Raum is published in the series of monograph supplements to the Kant-Studien. 1923 Organizes first conference of scientific philosophy in Erlangen, attended by Hans Reichenbach, Kurt Lewin, Heinrich Behmann, and a number of others. Carnap presents “Vom Chaos zur Wirklichkeit” there but finds that no one understands it. 1923–24 Contact with Edmund Husserl and his group at the University of Freiburg. 1925 Writes first draft of the book later published as Der logische Aufbau der Welt, and gives a talk in Vienna that is based on it. 1926 Moves to Vienna for “Habilitation” under Moritz Schlick and becomes Privatdozent in philosophy at the University. Physikalische Begriffsbildung published. 1927 Begins work on the major project Untersuchungen zur allgemeinen Axiomatik. Carnap and other Vienna Circle members meet privately with Wittgenstein. Carnap later excluded by Wittgenstein. 1928 Der logische Aufbau der Welt and Scheinprobleme in der Philosophie published. 1928–29 Kurt Gödel attends Carnap’s course on “metalogic” (officially “The Philosophical Foundations of Arithmetic”) in the winter semester.

Chronology

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1929 Gives a popular lecture “Von Gott und Seele [[On God and the Soul]]” at the Ernst Mach Society. Carnap is advised by colleagues not to publish this as it will make it impossible for him to get a job at a philosophy department anywhere in Germany. In October, Carnap gives a series of lectures at the Bauhaus in Dessau. The “manifesto” of the Vienna Circle, the pamphlet Wissenschaftliche Weltauffassung, written by Carnap, Neurath, and Hahn, is published to mark the founding of the Ernst Mach Society. Publishes Abriss der Logistik, a logic textbook largely written in 1921–23 as an exposition of Russell’s letter of 1921. Carnap makes his divorce from Elisabeth official; separated since 1925, they remain friends. 1930 In February, Alfred Tarski visits Vienna; in private conversations he convinces Carnap that the Allgemeine Axiomatik project is misconceived. In August, Gödel informs Carnap that he has proved the incompleteness of the usual axiom systems for arithmetic; at a conference in Königsberg in September Gödel announces his discovery, which is published early the following year. 1930–40

Co-edits Erkenntnis with Hans Reichenbach.

1931 During a sleepless night on 21 January, Carnap conceives of the “syntax” approach that appears to save the Vienna Circle’s doctrines from the discoveries of Gödel and Tarski. In June, Carnap presents his new approach to the Vienna Circle. In the autumn he moves to Prague as professor of Naturphilosophie (philosophy of science) at the German University, and embarks on a book-length exposition of the “syntax” approach. Before moving he marries Ina Stöger, with whom he had been living. 1932 “Überwindung der Metaphysik durch logische Analyse der Sprache” and “Die physikalische Sprache als Universalsprache der Wissenschaft” appear in Erkenntnis. The latter is the first publication applying the new “syntax” approach. Wittgenstein accuses Carnap of plagiarism. Quine visits early in the year as the first draft of Logische Syntax der Sprache is being typed by Ina Carnap. Correspondence with Gödel regarding the first draft of the Syntax. In the autumn, after a vacation in the Tyrol with Feigl and Popper, Carnap adopts the “principle of tolerance”, first evident in “Über Protokollsätze”, which appears in Erkenntnis late in the year. 1933 The Nazi seizure of power in January ends any hope Carnap might have for a job in Germany, given his known political and social views. He begins to look for opportunities in the United States. 1934

Logische Syntax der Sprache published.

1935 At the International Congress of Scientific Philosophy in Paris, Carnap defends Tarski’s semantics. At the same conference, plans for an encyclopedia

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Chronology

are laid, with Otto Neurath. In Erkenntnis, Carnap gives Popper’s Logik der Forschung a largely positive review. 1936 Moves to Chicago to become professor of philosophy at the University of Chicago, after having turned down an offer from Princeton. “Wahrheit und Bewährung”, the first publication to reflect Carnap’s new embrace of semantics, appears in the proceedings of the Paris conference. 1936–37

“Testability and Meaning” published in Philosophy of Science.

1938–62 Co-edits The International Encyclopedia of Unified Science with Neurath and Charles Morris. 1939 Carnap’s own contributions to the Encyclopedia is published, including Foundations of Logic and Mathematics. Russell visits the University of Chicago, where he and Carnap engage in lively debates at a joint seminar. 1939–41 On leave from Chicago, Carnap visits Harvard University, where he meets regularly for discussions with Quine, Russell, Tarski, and others. Also, Carnap hears a lecture by Richard von Mises that re-kindles his interest in probability. 1940 Begins work on inductive logic, a project that would continue to be at the forefront of Carnap’s attention and to take up the bulk of his time until the end of his life. 1942

Introduction to Semantics published. Becomes a US citizen.

1943

Formalization of Logic published.

1945 First publications on inductive logic: “On Inductive Logic” in Philosophy of Science and “The Two Concepts of Probability” in Philosophy and Phenomenological Research. 1947

Meaning and Necessity published.

1950 Logical Foundations of Probability published; “Empiricism, Semantics, and Ontology” appears in the Revue internationale de philosophie. 1951 Quine gives colloquium talk in Chicago confronting Carnap with the wide-ranging critique soon to be published in “Two Dogmas of Empiricism” and other papers. Feigl first approaches Schilpp about devoting a volume of the by now well-established Library of Living Philosophers to logical empiricism. Carnap and Reichenbach are to be the main target figures of the volume. 1952 Carnap moves to the Institute for Advanced Study at Princeton, New Jersey, where he devotes considerable time to a project on entropy that, to

Chronology

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his frustration, the physicists there hardly engage with. The Continuum of Inductive Methods published. 1953 After Reichenbach’s sudden death in April, Schilpp persists with the plan for a volume in the Library of Living Philosophers, now to be focussed solely on Carnap. By the end of the year, the contributors are agreed on and the papers commissioned. 1954 Most of the papers for The Philosophy of Rudolf Carnap are written, and Carnap begins his replies. Carnap moves to Los Angeles as Hans Reichenbach’s successor at the UCLA philosophy department. 1956 Finally begins work on the autobiography for The Philosophy of Rudolf Carnap, and continues to work on the replies to critics. 1958 The autobiography and replies for The Philosophy of Rudolf Carnap are sent off to Schilpp, who asks for substantial cuts. In the autumn quarter at UCLA, Martin Gardner sits in on Carnap’s seminar “Philosophical Foundations of Physics” and tape-records the sessions as raw material for a popular book. 1960 After repeatedly delaying the Carnap volume, the publisher of the Library of Living Philosophers, Tudor Publishing Company, terminates its contract with Schilpp. Open Court Publishing Company agrees to publish the series. 1961

Officially retires from UCLA but continues to teach.

1961

Second edition of Logical Foundations of Probability.

1963

The Philosophy of Rudolf Carnap published by Open Court.

1964 Ina Carnap commits suicide. Carnap’s youngest daughter, Hanneliese Carnap Thost, comes to Los Angeles from Germany with her daughter Erika, to look after him. He seriously considers moving back to Germany. 1965 Carnap defends his views on inductive logic against Popper at a conference in London organized by Imre Lakatos, who also edited the proceedings, published in 1968. 1966 The book resulting from Martin Gardner’s redaction of Carnap’s UCLA seminar, Philosophical Foundations of Physics: An Introduction to the Philosophy of Science, is published by Basic Books. (Later editions appear under the subtitle.) 1970 Carnap dies on 14 September in Santa Monica, California, near Los Angeles.

xviii

Chronology

1971 The first part of a new and revised exposition of Carnap’s ideas on inductive logic is published in the book Studies in Inductive Logic an Probability, volume I (edited by Carnap and Richard C. Jeffrey). 1977 Carnap’s efforts to articulate his conception of physical entropy in the mid-1950s are published under the title Two Essays on Entropy (edited by Abner Shimony). 1980 The second part of Carnap’s restatement of his conception of inductive logic is published in the book Studies in Inductive Logic and Probability, volume II (edited by Richard C. Jeffrey).

Information for the Reader

The Texts. The texts included in this volume comprise all of Carnap’s publications through 1926. For the most part, only minimal changes have been made to the published texts; those we have made are explained in the “Textual Notes” at the end of the volume. Each text is set with the original German on the verso, and an English translation on the facing recto pages. The only exception is the stand-alone bibliography to 1922a. Setting this on facing pages would have resulted in essentially the same text on both sides. We have opted instead to include translations of the sparse German-language comments in [[double square brackets]]. As explained in the next section, double square brackets are also used to mark editorial insertions into the text. Editorial and Textual Notes. Each text is followed by a section giving bibliographic information, information on the translation, editorial notes to the text, and sometimes other background. The notes are lettered, and indicated in the margin alongside the main text (when there are more than 26 editorial notes, letters are doubled, i.e. the 27th note is labeled “aa”). These notes are of two kinds: explanatory notes by the editors, and notes recording marginal annotations in Carnap’s personal copies of the texts. Carnap’s personal copies are held in the Carnap Collection, Archives of Scientific Philosophy (ASP), Special Collections Department, Hillman Library, University of Pittsburgh, and are referenced by box, folder, and item number. Carnap’s annotations are usually in shorthand, and were transcribed by Brigitta Arden at the Hillman Library. Changes incorporated into the texts, whether Carnap’s or the editors’, are recorded in the “Textual Notes”. To avoid confusion with Carnap’s own use of square brackets, all editorial insertions, translations, and similar comments in the editorial notes and introduction are set in [[double square brackets]]. Interpolations in the translations from Carnap’s texts are in [single square brackets]. Page References. Page references in Carnap’s texts have not been changed; they refer to the original pagination, which is recorded in this edition by giving the original page number in the inside margin. This also applies to the page numbers listed in the original tables of contents and indices within Carnap’s xix

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Information for the Reader

texts. In the editorial notes, however, page references to the Carnap text they annotate, and also to any other Carnap item in this volume, are to the pagination of this volume, not to the original pagination. The position in the original text (in this volume, the German text) where a page break occurs is indicated by a vertical bar, unless the corresponding page break occurs between paragraphs or just before a heading. The page number of the first page is omitted. Bibliographical References. Carnap’s bibliographical references have generally been maintained as in the original; this includes the bibliographies for 1922a, 1925a, and 1926a. In some cases Carnap’s references are incomplete or incorrect, and these are left unchanged. A separate volume bibliography at the end of the volume gives uniform, complete, and corrected bibliographic information for all items cited in Carnap’s texts and the editorial materials. If there is more than one item by a single author in a given year, letter suffixes are appended to make the references unique. In the case of Carnap’s texts only, letter suffixes are always added, and are in correspondence with the yearnumber system of the bibliography by Benson (1963), so that, for example, Carnap 1922a here corresponds to item 1922–1 in the Benson bibliography. Archival References. The introduction and editorial notes occasionally refer to archival documents preserved in two places: the Special Collections Department at the Young Research Library, University of California at Los Angeles, manuscript collection No. 1029 (abbreviated UCLA); and the Archives of Scientific Philosophy in the Special Collections Department of the Hillman Library, University of Pittsburgh (abbreviated ASP). Documents at UCLA are referred to by box and folder number, and sometimes also by page number. The documents at ASP are referred to by numbers separated by hyphens (e.g. ASP 001–02–03, where 001 is the box number, 02 is the folder number, and 03 is the document number). Some documents referred to more often are given special abbreviations, which are explained in the text or footnotes. Index. The index of names covers the main texts and the editorial introductions and notes, with the exception of occurrences of names listed in the bibliographies of 1922a and 1926a, and the separate index to 1926a. To avoid the needless duplication in the Index of Names resulting from German and English text being set on facing pages, the entries there refer only to the German text. Spelling and Punctuation. The German texts are standardized to the German spelling used in Germany (though not in Switzerland) until 1996 (revised in 2006), now known as alte Rechtschreibung, as this standard required the fewest changes to Carnap’s own German usage. The English texts use standard American spelling and punctuation, with one important exception: following Carnap’s own personal preference, in sentences containing quotations (that do not themselves include final punctuation), final punctuation that American usage puts inside quotation marks (periods and commas), is here placed outside the closing quotation mark (as standard in UK usage, which, however, uses

Information for the Reader

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single quotation marks or “inverted commas” in place of the double quotation marks standard in American). The punctuation of entire quoted sentences remains inside the quotation marks. Further details can be found in the section on punctuation in the introductory remarks to the textual notes on p. 441. Typesetting. The volume has been prepared using Donald Knuth’s TEX typesetting system, with Leslie Lamport’s LATEX format, Peter Wilson’s memoir class, and style files by Dirk Schlimm, adapted by Steve Awodey, Dirk Schlimm, and Richard Zach, based on a design by John Grandits. Additional TEX code for preparing the index, textual notes, and typesetting the texts on facing pages was contributed by Richard Zach. The running text is set in ITC Bodoni, the math and symbolic passages in Fourier, and the heads in Monotype Gill Sans. Collaborative editing of the texts has been significantly facilitated by the use of the Subversion, and later Git revision control systems running on a server at Carnegie Mellon University administered by Joseph Ramsey.

Introduction

The apparently very heterogeneous essays gathered in this first volume of Carnap’s published writings actually fall quite neatly into three distinct groups, which can each be discussed separately, but which, as we will see, dovetail surprisingly closely: (1) Carnap’s utopian conception of the role of knowledge and ideas in society; (2) approaches toward a conception of a system of science or system of knowledge; (3) the Aufbau project. Group (1) is represented, in the published writings of this period, only by a brief review article, “League of Nations — League of States?” (1918a), in a political newsletter that appeared irregularly during the German revolution and in the closing weeks of the war. It was to have been followed by a more substantial piece that Carnap wrote soon afterwards (or was working on simultaneously with the published review) about Germany’s defeat in the war. In this article, which remained unpublished, Carnap reveals something of the motivation for his early philosophical ideas. Group (2) comprises most of the items in this volume, including a review of a book by the physicist and philosopher Hugo Dingler (1921c), Carnap’s dissertation, Der Raum [[Space]], his first published philosophical paper, “The Task of Physics” (1923a), a further paper, “On the Dependence of the Properties of Space on those of Time” (1925a), and a booklet for general readers Physical Concept Formation (1926a). Group (3), finally, includes only the paper “Three-Dimensionality of Space and Causality: An Investigation of the Logical Connection between Two Fictions” (1924a). But this again, as in the case of the single representative of group (1), is the tip of a much larger iceberg. We will discuss each of these groups separately. Given the chronology, however, there will be five steps rather than three: first, group (1); then, two sections on group (2): one on the earliest writings and one on Der Raum. A section on group (3) follows, on the initiation of the Aufbau project in early 1922. We conclude with a section on the background to Physical Concept Formation, where we see some continuities with the earlier representatives of group (2), but now against the background of the Aufbau project and the changes it underwent in 1924. The first draft of the book later to be entitled xxiii

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Introduction

The Logical Construction of the World was after all written immediately before Physical Concept Formation.1

1.

The Young Carnap and his Utopian Dreams

Before World War I, Carnap had been very active in the German Youth Movement,2 whose aim, Carnap wrote many decades later, “was to find a way of life which was genuine, sincere, and honest, in contrast to the fakes and frauds of traditional bourgeois life; a life guided by our own conscience and our own standards of responsibility and not by the obsolete norms of tradition.” And though the Youth Movement “did not leave any externally visible achievements, the spirit that lived in this movement, which was like a religion without dogmas, remained a precious inheritance for everyone who had the good luck to take an active part in it. What remained was more than a mere reminiscence of an enjoyable time; it was rather an indestructible living strength which forever would influence one’s reactions to all practical problems of life”.3 During the war, Carnap remained in touch with the Youth Movement press, particularly the parts of the movement that had responded to the war by becoming more politically engaged, especially in the direction of socialism. In the summer of 1918 Carnap joined the USPD, the breakaway wing of the German social democratic party that had in 1917 repudiated that party’s support for the war. He also circulated excerpts from the foreign press to friends, some of whom were in active combat, and was caught by the authorities shortly before the regime change in October (which saved him). During this time, he was also working together with a Youth Movement acquaintance, Karl Bittel, to start a left-wing political newsletter specifically aimed at those who had been active in the Youth Movement. His contribution to the first issue of this newsletter (called Politische Rundbriefe) is the brief review published here. It was to have been followed by a much longer and more general reflection on “Germany’s Defeat”, which however remained unpublished. This text provides a good overview of Carnap’s political world view at this time — which underlies, or is at least intimately connected with, his philosophical world view. Of particular importance is his vision of the role of the intellectual in the reconstruction of society. Carnap takes for granted that Germany was the primary cause of the war: “Our generation and the next have a heavy burden of penance to bear”,4 since “the frame of mind in Europe that made the world war inevitable and then 1 On the chronology of Carnap’s early writings see (Carus 2016) and Ch. 1–5 of (Carus

2007). 2 The “Sera Group” in Jena that Carnap belonged to represented a specific local variant of the wider German Youth Movement. It is described in its local as well as in its broader intellectual and cultural context by Werner (2003). 3 Young Research Library, University of California at Los Angeles, Special Collections Department, Manuscript Collection No. 1029, Rudolf Carnap Papers (henceforth UCLA), Box 2, CM3, second folder, pp. B34–5. 4 Archives of Scientific Philosophy, Hillman Library, University of Pittsburgh, Carnap Papers (henceforth ASP), 110-01-04, p. 14.

Introduction

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made its termination impossible until now” draws its “principal nourishment from Germany” (ibid., p. 16). The academics and intellectuals bear a special responsibility for this, Carnap says, because of their reluctance to dirty their hands with politics, due to their failure to find the right balance between the active and the contemplative life. Addressing the Youth Movement readership of Bittel’s Rundbriefe, Carnap goes on to pose the question: And what is our share in Germany’s guilt? We do feel a solidarity with the entire German people, i.e., we feel an inner sharing of fate and guilt. But in a more specific sense we feel connected to those among the people who sympathize with us in mode of life, attitudes, and convictions — with people who share the life of the mind. What is their share in [[Germany’s]] guilt? Their indifference toward political life has various grounds. Of the two polar forces of mental life — action and contemplation, which somehow have to find a yet unknown synthesis — the second, quietist, mystical one has perhaps exercised too strong an influence on German people. At this point we ourselves don’t know how to find the right balance between these two forces, and yet we must reach the damning verdict: disharmony [[in this respect]] is [[a grave]] fault [[Disharmonie ist Schuld ]]. (Ibid., pp. 15–16) This imbalance “belongs to the most fundamental problems whose solution must urgently concern us [[deren Lösung uns am Herzen liegen muß]]”. (Ibid.) But we who are involved in the life of the mind have also failed, Carnap goes on, to combat those tendencies in our own ranks — within the human sciences [[Geisteswissenschaften]] — that complacently accept the past stages of the human race as prescriptive for present and future. That such irresponsible ideas are preached not only by politicians but even by leading professors of the human sciences “is an especially heavy burden on our — the intellectuals’ — balance sheet of guilt and our responsibility for the future” (Ibid., pp. 16–17). What should be our response? Above all, we should not fall into complacency. We must roll up our sleeves and get to work: The greater the fault, the more urgent the task. Let us not evade the sense of guilt nascent [[aufkeimend ]] in us! But let us also not collapse into bitterness or resignation. There is neither sufficient reason nor enough time for this. The time is upon us, for the next years will be decisive in every respect for shaping the world-system and for shaping the reconstruction of peoples. In particular, we must get used to the unfamiliar (to us) idea of political involvement — but Carnap means “political” in a very broad, almost universal sense: The experience of recent years has led us to give one particular relation a special significance, i.e., that of politics, in the broadest sense. If we believe that this is where we must now apply the lever,

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Introduction

we have no fear that by doing so our sphere of activity will be too narrowly circumscribed or too one-sided. For everything belongs to politics, in our view, that has some connection with the public social life of people [[mit dem öffentlichen Gemeinschaftsleben der Menschen]], not only the spirit that animates the society but also its structure. . . So all vocations — education and maintenance of bodies and minds, research into the interconnections of nature, mind, and world events, shaping of things or human relations according to inner conviction, production and distribution of the objects that body and mind require for life — are specialized functions according to their kind, but by their effects they are contributions to the same project. (Ibid., pp. 17–18) “Politics” in this sense meant “everything. . . that has some connection with the public social life of people”, i.e., practically all human activities. But — and here is the key to this conception of “political involvement” — for all these activities to work together, it was essential to arrive at a “form of community [[Gemeinschaftsgestalt ]]” that could serve to coordinate them so as “to remove [[these tasks]] from the realm of chaotic whim and subordinate them to goaloriented reason [[der chaotischen Willkür zu entziehen und der zielbewußten Vernunft zu unterwerfen]]” (ibid., p. 18). Carnap’s view here offers some striking parallels to Auguste Comte’s response, a century before, to another cataclysmic political event, the French Revolution. While Carnap had probably not read Comte himself, we know that he was influenced in his youth by the writings of Wilhelm Ostwald, the Nobel-Prize-winning physical chemist who was the head of the German Monist Society during Carnap’s student years. Ostwald explicitly identified the “system of the sciences” at the basis of his Naturphilosophie with that of the positivist tradition descended from Comte. Ostwald’s enthusiasm went far beyond the borrowing of ideas; he became so fascinated with Comte himself that he wrote a biography of him (Ostwald 1914b), and also translated and edited the early essay Comte referred to as his opuscule fondamentale, the “Plan of the Scientific Work Necessary for the Reorganization of Society” (Comte 1914). The passage quoted above, then, echoes the scientific positivist “engineering attitude” descended from the Enlightenment via Comte and Ostwald. And this passage is repeated almost verbatim in the conclusion of the 1923 paper “The Task of Physics”. While this underlying motivation for Carnap’s early philosophical stance is hardly close to the surface and became even less visible after he came to the United States in the mid-1930s, it is arguably of fundamental importance in understanding his later views (Carus 2007).

2.

The System of the Sciences

The first step in developing a “form of community” that could coordinate all the activities in a society to “remove them from the realm of chaotic whim”

Introduction

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and “subordinate them to goal-oriented reason” was to establish a “system of knowledge”: just as in Comte and Ostwald, a rational systematization and interrelation of all the knowledge available to humankind was a prerequisite for the rational organization of a society that could optimize the welfare of its members using that knowledge. But Carnap, having been taught by Frege, approached this task in a more rationalist or Leibnizian spirit than the positivist tradition. This was reinforced by the scientifically oriented brand of neo-Kantianism of his teacher Bruno Bauch at Jena, and especially by the highly rationalistic version of the “Marburg school” (which included Paul Natorp and Ernst Cassirer). Rather than conceiving of the relations among the different parts of knowledge as corresponding to different human cognitive capacities or faculties — as in positivism, the Encyclopédie, and Bacon before them — he wants the new “comprehensive map” of knowledge to be logically consistent and unified in a single system. He wants a “system of knowledge [[System der Wissenschaft ]]” with “logically consistent foundations and systematic construction of concepts” that is also “capable of comprising all the insights of the special sciences and of presenting them with the greatest possible simplicity and unity” (ASP 081-47-01, p. 3). But how can the relation between sense experience and mathematical formalism be conceived of as logical? This problem is so fundamental and obvious that it had convinced the entire empiricist tradition to ignore or avoid such a Leibnizian approach. The closest they had come to bridging the gap between sense experience and mathematics was the attempt to assimilate or reduce mathematical formalism — perhaps as a matter of “relations of ideas”, perhaps in Mill’s style, as an extremely secure kind of empirical knowledge — to the empirical realm. Frege had, of course, cast doubt on this assimilation, and Carnap, as we saw, took Frege’s critique on board, rejecting Machian empiricism: “The goal”, says an early draft of one of the papers in this volume (1923a), “is above all to erect a clear demarcation [[Abgrenzung ]] vis-à-vis the empirical standpoint claiming that physics can be built up on the basis of experimental results alone, without positing non-experiential principles”. Against that it is to be emphasized that. . . stipulations must be undertaken that are subject to our free choice; that, more precisely, are in no way forced on us by empirical findings and thus can subsequently neither be confirmed nor refuted by them. (ASP 110-05-07, p. 1) The influence of Poincaré is evident, but it was mediated in Carnap’s case not only by neo-Kantians such as Natorp, but also by Hugo Dingler, an odd figure who has not been much discussed in recent literature.5 Dingler had begun as a disciple of Mach, and indeed published an introduction to Mach’s thought (Dingler 1924). Mach, in turn, had endorsed Dingler in the preface to a late edi-

5 Torretti (1978a) gives a convenient overview of Dingler’s philosophy of physics; see

also the collection edited by Janich (1984).

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Introduction

tion of The Science of Mechanics.6 It was only after Mach’s death that Dingler began to develop a more radically conventionalist view, expressed succinctly in the “principles” set out in the The Foundations of Physics (1919a).7 First is the “principle of stipulation [[Prinzip der Festsetzung ]]”, i.e., “There is no other way to guarantee the general validity of a law other than its stipulation by the will” (Dingler 1919a, p. 13). And the “principle of synthesis [[Prinzip der Synthese]]” said that in the construction of science “as much as possible. . . is to be achieved by stipulations arrived at by ourselves and as little as possible by other sources”. Like Poincaré, Dingler stressed that there are conventional as well as empirical elements in our knowledge; but he also held, unlike Poincaré, that, since the empirical parts are contingent and uncertain, and since we have full control of the conventional parts, we should minimize the role of evidence and maximize that of conventions8 (ibid., p. 10). When Carnap in later recollections acknowledges that he was “influenced by Poincaré and especially by Dingler”,9 he is also careful to stress that he “did not share Dingler’s radical conventionalism and still less his rejection of Einstein’s general theory of relativity” (Carnap 1963c, p. 15). Initially Carnap had seen Dingler’s view as close to his own, and “The Task of Physics” was planned as a collaboration. But “Dingler and I gave up the earlier plan of a joint publication when we noticed, at a thorough discussion (September [[1921]] in Jena), that despite agreement in important fundamental questions our standpoints are after all too far apart” (ASP 081-48-04). In the first piece of Carnap’s philosophical writing to have survived, an early master’s-level dissertation on the philosophical significance of the problem of the “Foundations of Geometry”,10 Carnap discusses at some length the idea ‘that (a) physical presuppositions, (b) physical observations, and (c) the geometrical system are mutually determined by functional relations’ (ibid., pp. 20–21). Einstein is seen as taking the path of changing (c) and requiring a non-Euclidean geometry “if one regards one and the same measuring rod independently of its place and its orientation as a realization of the same distance” (Einstein 1916, quoted by Carnap in UCLA 1920a, pp. 19–20). Dingler, on the other hand, acknowledges all the same evidence and takes the path of changing (a): . . . he chooses — in the full consciousness of free choice — the Euclidean spatial system and decides to keep it no matter what 6 “At age 74 years, struck down by severe adversity, I will no longer foment a revolution.

But I hope for substantial progress from a younger mathematician, Dr. Hugo Dingler, who has. . . retained his free, unprejudiced sense for both sides of science [[the empirical and the ‘empirio-critical’]]” (Mach 1912, p. xxxi). 7 This is the larger treatise to which the book Carnap reviews in (1921a) is a sequel or parergon. When representing Dingler’s views there, he draws not only on the book under review (Dingler 1921c), of course, but also on the earlier books and papers listed in the bibliography to Der Raum. 8 In which he included the laws of logic, e.g., the law of contradiction: “the application of the law of contradiction rests on my free will. . . and this is just what we called a stipulation [[Festsetzung]]” (Dingler 1919a, pp. 14–15). 9 UCLA, Box 2, CM3, first two folders, sections 2–11 (henceforth UCLA 1957a), p. D28. 10 UCLA, Box 3, CM12, only item (henceforth UCLA 1920a).

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experiences occur; this then determines the form of the natural laws. He opposes relativity theory from this standpoint, but only from the principle of simplicity, because it applies its corrections at the “foundation of the building” (the Euclidean spatial system) rather than at the “third floor” (the physical assumptions). (UCLA 1920a, p. 20) Although he rejected Dingler’s conclusions, it seems that Carnap was inspired by the example Dingler set of discussing and appraising science from the viewpoint of a general Wissenschaftslehre. “The Task of Physics” is an expansion of the above contrast between Einstein’s path and Dingler’s as two different ways of interpreting the “demand for maximal simplicity [[Forderung der Einfachstheit ]]” — as applied either to the basic laws or axioms themselves, or to the whole of the resulting description of nature. The point of this paper is to show that there is a trade-off between these alternatives, and that simplicity of the axioms (i.e., Dingler’s choice) leads to a vastly more complicated overall description.11 Despite these disagreements, Carnap asked Dingler whether it might be possible to write a dissertation under his direction at the physics department in Munich. He lists some examples of possible subjects to write about: The dependence of physics on the axiom of measurement. The point of, and justification for, the application of non-Euclidean geometry in physics. The axiom of congruence in physics; or: The methodological significance of the rigid body in physics. The relation between kinematics and experience. The axioms of physics. On the synthetic (in the sense of: non-empirical) method in physics. The a priori character of the laws of physics. The empirical and non-empirical moments in the law of the conservation of energy. In what sense does the law of the conservation of energy have unconditional validity independently of all future experience? On the relation between the theory of relativity and experience. What grounds are ultimately decisive in deciding about the justification of a physical theory, with special reference to the theory of relativity?12 11 In his notes for a 1934 Prague lecture course “Current Trends in Natural Philoso-

phy”, he says of Dingler: “Exaggeration of a healthy basic idea [[eines gesunden Grundgedankens]]. One can stick to chosen basic laws; but that would be highly impractical [[unzweckmäßig]]” (ASP 085-66-02, p. 7). 12 Letter to Dingler of 14 November 1920, Dingler archive at the Hofbibliothek Aschaffenburg, photocopy available at ASP, signature HD-02.

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Carnap was clearly preoccupied, during this period, with exactly the problems that his Leibnizian approach to the design of a “system of knowledge” would have led us to expect: On the one hand, how can purely formal theories be applied to observation (how can they — in Kantian terms — be “schematized”)? And on the other, how do we (and how should we) distinguish what is purely empirical in our knowledge from the “rational ingedients” that (as he had learned from Poincaré and Dingler) suffuse it everywhere? Only when these have been clearly and unambiguously distinguished can we take the further step of attempting to determine just how they are related, and how that relation could be seen as “logical”. One of Carnap’s first ventures in this direction, his original proposal for his dissertation, was an axiomatization of relativistic space–time kinematics. The idea here was to show that the whole of (relativistic) physics could be constructed using just two empirical relations — coincidence (of world-lines) and temporal ordering. These are implicitly defined in a series of axioms, from which all the relativistic properties of space and time are deduced; apart from the relations of coincidence and temporal order, these axioms are “purely formal”, that is, contain only logical signs. In particular, Carnap claimed to be able to deduce all the properties of (physical) space from just a temporal ordering and the relation of coincidence, neither of which explicitly involves “space”. He here uses techniques now familiar from “the causal theory of space-time” — where we begin from the relation of causal–connectibility (connectibility by a time–like curve) and define other spatio–temporal relations (including specifically spatial relations) on this basis.13 This system was first proposed in a handwritten summary of June 1920 that Carnap presented to Max Wien at the Jena physics department and to various members of the philosophy faculty as a dissertation topic (ASP 08106-01). As he describes in his autobiography (1963c, p. 11), it was rejected by the physicists as too philosophical and the philosophers as too scientific. Carnap then pursued a different subject for his dissertation (see the following section, below), but nonetheless developed the axiom system in some detail in a 100-page typescript (ASP 081-02-07) completed in 1924 but never published. The project was briefly summarized in the paper reprinted and translated here as “On the Dependence of the Properties of Space on those of Time”, while the axiomatization itself was later used as an example in Carnap’s logic textbooks (1929b; 1954c).

3.

Der Raum

When his first proposal for a dissertation topic (the axiomatization just discussed) was turned down, Carnap fell back on the earlier dissertation about the foundations of geometry he had written for the philosophy department in 13 For a modern exposition of this approach, see Winnie (1977). For a modern rigorous

proof, within this approach, of what is essentially Carnap’s result see Malament (1977). Malament himself discusses these and other results on pp. 328–338 of this volume in his “Mathematical and Physical Background to 1925a”.

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1920, and worked it out in more detail. This became his doctoral dissertation and his first published book, Der Raum: Ein Beitrag zur Wissenschaftslehre [[Space: A Contribution to the Theory of Science]]. It was largely written in late 1920 and submitted in January 1921 — about nine months after the previous dissertation. On the surface, though Carnap completely re-wrote the text, the two dissertations seem quite similar. Der Raum is about twice as long as its predecessor, with more elaborately worked-out examples, but the basic framework is maintained. The confusion about the “foundations of geometry”, Carnap maintains, is due to the many different meanings of the word “space”. He therefore distinguishes three meanings, which in Der Raum he calls formal space, intuitive space, and physical space. And the conclusion is the same: in both dissertations, the arguments among mathematicians, philosophers, and physicists are dissolved by showing that when they use the word “space” (or “geometry”) they are talking about different concepts. Also common to the two dissertations is the Kantian conclusion that a certain very abstract n -dimensional structure of intuitive space is declared to be “the condition of the possibility of any object of experience whatever” (1922a, p. 67; UCLA 1920a, p. 38). However, there are differences as well. There is a difference of terminology; where Carnap had previously talked about three kinds of geometry, he now discusses three kinds of space. And the space corresponding to what had been called “pure geometry [[reine Geometrie]]” in the earlier text is now called “intuitive space [[Anschauungsraum]]”. The structure of intuitive space accorded the status of “the condition of the possibility of any object of experience whatever” has changed; in early 1920, following Russell (1897) and Felix Klein, it had been (pure) projective space of n dimensions; in Der Raum it has become (intuitive) topological space of n dimensions — which now, somewhat confusingly, shares this status with formal topological space of n dimensions. And despite the similarity of the conclusions, there is evidently some change of emphasis; in early 1920, the general form of pure/intuitive space that is “the condition of the possibility of any object of experience whatever” enjoys that status by virtue of being “the transcendental–logical function of the a priori form of intuition” (UCLA 1920a, p. 38), while in Der Raum the grounds for this conclusion are much more carefully stated. Underlying these shifts is the development of Carnap’s overall conception of logic during the intervening months, when, among other things, he first read through the entire Principia Mathematica and took detailed notes (ASP 081-39-03). The 1920 dissertation begins by stressing that, while its starting point will be deductive logic (“as represented in algebraic form — on the basis of an idea of Leibniz — by Peano, Russell, Couturat, Frege, and Schröder, among others”), this part of logic certainly does not . . . comprise the whole of logic, which after all must specify the laws of deductive procedure in the first place, and which investigates the laws according to which “any possible object of science forms itself into an object to begin with.” Deductive logic

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presupposes the objects as already given, so it can’t be a primary sector of logic, but can only be erected on the solution to that primary task. (Ibid., pp. 1–2) The period of about five years after this statement — during which all but the first of the texts collected in this volume were written — saw a process of continual development, from the standpoint expressed here to a quite different one, in which Carnap had unequivocally arrived at the conclusion that the “objects of science” could indeed be constructed by deductive logic alone and that a properly scientific philosophy confines itself to such construction, eschewing non-logically “inferred entities” wherever possible.14 In this process of development, Der Raum represents the first step, in which Husserlian phenomenology (absent in 1920) was pressed into service as the “pure logic [[reine Logik]]” (or, as Hans Driesch had put it, the “pre-logic [[Vor-Logik]]”)15 that could not only “investigate the laws according to which ‘any possible object of science’ forms itself into an object to begin with” but could also function as the transcendental logic “which after all must specify the laws of deductive procedure in the first place”. The launch of the Aufbau project was the next step, in which the ideal of “rational reconstruction” is proposed as the route to identifying the objects of science, though at this stage phenomenology still played a major role. In the final phase of this five-year development, as we will see in section 4 of this introduction, phenomenology is jettisoned in favor of a thoroughgoing extension of logical construction right down to the basis of the system. The introduction of phenomenology, then, is one major difference between the dissertations of 1920 and 1921. In particular, Carnap now explains the “intuition” involved in intuitive space in terms of Husserlian “essential insight [[Wesenserschauung ]]”. It would be tempting to suppose, given this replacement (and also given the later use of phenomenology in the initial phases of the Aufbau project, as discussed in section 4 of this introduction), that intuitive space was intended to play an epistemologically foundational role with respect to physical space. One might then think, in other words, that our a priori intuitive knowledge of the structure of intuitive space was supposed to provide an a priori basis for our knowledge of physical space — that our knowledge through phenomenological discernment of the topological structure of intuitive space allows us to infer a priori that physical space has this same structure. As we shall see in a moment, however, this is not in fact Carnap’s view. 14 As suggested in the motto to the Aufbau. This does not mean that Carnap thought de-

ductive logic “self-sufficient”, but it would be much longer before he figured out how to conceive of a legitimate form of meta-perspective for the language of science; Wittgenstein’s Tractatus, of course, denied any such possibility and created an additional obstacle; only in the “syntax” period of the early 1930s was the solution found. 15 Driesch’s vitalism appears in Carnap’s later writings (e.g., 1966a, pp. 13–16) as a classic example of pseudo-explanation. But in the Aufbau period, Driesch’s Ordnungslehre (1912) had been one of the examples of a structural characterization of objects that Carnap had considered.

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So what is the point of intuitive space if it does not play such a foundational role? In the first place, it is one of exploring how formal space can relate to perceptual experience — it addresses the problem of “schematization” of the purely formal that so preoccupied Carnap during this period, as we have seen. In a 1921 letter to Bertrand Russell (his first), that accompanied a copy of the typescript, Carnap says: What may interest you most in the present essay is probably the distinction between “formal space” and “intuitive space” as two quite different objects of a science of space. I believe I have shown here that although geometry can restrict itself entirely to treating a “complex of relations” (geometry as the theory of formal space), on the other hand there is also a different geometry (i.e., as the theory of intuitive space) that cannot fully be derived from formal logic. (ASP 102-68-34, p. 1) What did Carnap believe that he had “shown”? A subset of Hilbert’s axioms (some of them reinterpreted) could, he said, be taken as describing the Wesenserschauung of our perceptual experience of objects in a local space. Depending on the conventions we adopt about the global extension of these principles, we obtain various different Riemannian metric geometries. These geometries are arrived at differently from their counterparts in “formal space”; they are not constructed from basic notions of logic (as formal geometry is), but deduced from intuitive axioms. On the basis of such axioms alone, though, we are unable to single out a single Riemannian geometry. We can see them all as special cases of a higher-dimensional structure,16 or of more general — projective and topological — spaces of three dimensions. And using the results of formal geometry for this special case of intuitive geometry, we can combine these directions of generalization and arrive at topological intuitive space of n dimensions, “the most general structure built from intuitive components. . . the most comprehensive intuitive space, which carries within it — partly as components [[Teile]] and partly as specializations [[Besonderungen]] (constraints [[Spezialisierungen]]) by means of further basic structures and basic relations — all other possible intuitive spaces” (1922a, p. 31). It is obviously a stretch to call such a space intuitive,17 but it can be regarded as a kind of lowest common denominator of spaces that are derived from intuitive axioms (ibid., p. 62). This, then, is what Carnap meant by saying that he had shown there to be “another geometry (i.e., as the theory of intuitive space) that cannot fully 16 Such as, in the first instance, four-dimensional metric space. This of course exceeds

the power of human intuition to conceive. “But since four-dimensional structures of such regions are built up from intuitively given three-dimensional structures with the help of conceptual relations, a way of imagining them that is related to intuitive grasping, a composite of the intuitive and the conceptual, is possible here.” (1922a, p. 30). 17 Carnap acknowledges the difficulty: “Even this structure will be called an intuitive space, despite the impossibility of comprehending its figures in intuition, insofar as they are of more than three dimensions, since firstly, all intuitable figures that we know in [[three-dimensional metric intuitive space]] occur in [[n -dimensional metric intuitive space]], and secondly because those higher-dimensional figures are also assembled from intuitive components” (ibid.).

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be derived from formal logic”. An application instance of formal geometry could be arrived at by a different, axiomatic route. And if its axioms codified certain attributes of intuition, the chosen axiomatic geometry could claim to provide a “schematization” of formal geometry. The choice of axioms for intuitive space made it locally (from a technical viewpoint, infinitesimally) Euclidean, but this did not, without further conventions, require space to be globally Euclidean. The intention was evidently to make intuitive geometry dovetail with the needs of physical geometry, specifically with the requirement that physical geometry be locally Euclidean but globally of variable curvature. In this way, in particular, Carnap appears to be adapting Kant’s notion of a form of (spatial) intuition to the needs of Einstein’s general theory of relativity. Indeed, when discussing “the mutual relations among formal, intuitive, and physical space” in chap. IV, Carnap asserts (p. 61): “The relation of R 0 [[topological space]] to R 00 [[physical space]] is that of a form of intuition to a structure with this form made up of real objects of experience.” Moreover, in the following paragraph Carnap asserts that “the point and purpose” of constructing intuitive space “lies in R 00 [[physical space]]”, and in his pointer to the literature to this passage he cites “the Kantian conception of R 0 [[intuitive space]] . . . as synthetic lawfulness of the order of experience, and thus of R 00 [[physical space]]” as the “purest expression of this relationship” (p. 85). So it is not as if Carnap were using phenomenological discernment (essential insight) to determine a priori the (topological) properties of intuitive space and then to conclude, on this basis, that physical space, too, must be locally Euclidean. Rather, we now know from general relativity that a full (global) Euclidean structure does not necessarily belong to physical space; and so this structure, in turn, cannot possibly perform the “transcendental function” that Kant had ascribed to it (p. 67): “It has already been explained more than once, from both mathematical and philosophical points of view, that Kant’s contention concerning the [[‘transcendental’]] significance of space for experience is not shaken by the theory of non-Euclidean spaces, but must be transferred from the three-dimensional Euclidean space, which was alone known to him, to a more general structure.” Einstein’s use of a non-Euclidean space of variable curvature for physical space represents the culmination of this process, and Carnap’s conception of the “experience-constituting” role of topological intuitive space (including his conception of our essential insight into this space) is developed mainly to meet the requirements of the new physical space. In any case, a consequence of Carnap’s approach in Der Raum was to make observations geometrically determinate only up to their topological relations. The relative locations of particular events or facts belonging to the “observational basis” [[Tatbestand ]] could only be characterized in topological terms, not projective or metrical ones (p. 39). In keeping with his neo-Kantian outlook at this time, Carnap describes this distinction as one between the “necessary” form in which the observational basis presents itself and various “optional” [[wahlfrei ]] forms this basis could then be put into by various metrical geometries and other conceptual tools. As we shall see, however, Carnap

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gradually discarded this way of articulating the distinction between experienced chaos and constructed reality (topological and metrical structure), and began to reframe his epistemological outlook in terms of formal logic alone. The modified and attenuated form of Kantianism still present in Der Raum gave way, step by step, to a new purely logical viewpoint inspired by Russell.

4.

The Aufbau Project

Central to the over-arching project of a “system of the sciences”, for Carnap, was the idea of developing a “total system of all concepts”, and from the summer of 1921, after writing up Der Raum and “The Task of Physics”, he devoted more attention to this task; “I worked on many special problems, always looking for new approaches and improved solutions”, he later recollected of this period. “But in the background there was always the ultimate aim of the total system of all concepts. I believed that it should be possible, in principle, to give a logical reconstruction of the total system of the world as we know it” (UCLA 1957a, p. E4). But what, at the time, did Carnap mean by “logical”? We have already seen that phenomenology had played a role, for Carnap, in the “schematization” of purely formal structures to make them available to perceptual experience and applicable to the physical world. This idea acquired a new importance in the context of Carnap’s task of constructing a “total system of all concepts”, for it gave him a key to what he saw at this point as one of the main obstacles to such a system. This obstacle presented itself to Carnap in the terms articulated by the neo-Kantian philosopher Hans Vaihinger in his book The Philosophy of As If (1911). Vaihinger took an extreme positivist view of what we actually know: it is only the “chaos” of our immediately present sensations that we have direct access to. The “reality” we construct on this basis, whether in science or in everyday life, is not genuine knowledge but a tissue of useful fictions that we invent to get things done in the world and to serve our various needs. It was essentially a pragmatist position, as Vaihinger acknowledged, though he thought that James was wrong to make utility the standard of truth; there is genuinely true knowledge, Vaihinger maintained, however limited in scope, while the fictions, though useful, are not true. They are to be judged by practical results, not by cognitive standards. Vaihinger called his position “positivist idealism”, and in letters written during the second half of 1921 Carnap refers to, and argues for, his own “idealistic conception” (ASP 081-48-04) along similar lines. Carnap was convinced, however, that the realm of genuine knowledge could be extended beyond the narrow boundaries Vaihinger had confined it to. He agreed with Vaihinger that it took fictions to construct a “reality” — a “secondary world”, as he then called it — but he also thought that these could be (reduced to a more orderly minimum and) chosen rationally,18 and, most importantly, that a far more extensive “primary world” could be extrapolated 18 “The choice of stipulations is not, however, a matter of whim, but proceeds according

to methodological principles” (ASP 110-05-07, p. 1).

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from the meager evidence of our immediately present sensations (which would in turn make the choice of fictions for construction of “secondary worlds” easier). “Logic”, for Carnap in the early 1920s, was anything that could be used as a tool for such extrapolation, including both deductive logic and phenomenology; and it was the latter that gave Carnap his answer to the question of how to identify what he would later call the basis of the system. What qualifies as logic has a different and more secure status than the fictions required for the construction of a “secondary world” (the world of everyday objects, or of relativistic physics) — among which are the two fictions in the title of “Three-dimensionality and Causality”. The burden of the paper (as the subtitle says) is to display the “logical” connection of these two fictions (and thus to show that three-dimensionality reduces to causality); “logic”, in this case, is not restricted to deductive logic, but also includes, among other things, phenomenological discernment. Carnap was still prepared to see the distinction between the unique and determinate “primary world” and various possible “secondary worlds” in neoKantian terms at this point; it is the same distinction we met above, in Der Raum, as that between the “necessary” (topological) form of the observational basis [[Tatbestand ]] and the various “optional” metrics that could be imposed on it. He distinguishes between the famous Marburg school conception of “experience” [[Erfahrung ]], which he calls “second-level experience”, and the “first-level” experience constituting the “primary world”. In “ThreeDimensionality and Causality” he writes: The neo-Kantian philosophy does not recognize the primary world, as its conception that the forms of second-level experience are necessary and unique [[eindeutig ]] prevents it from discerning the difference between the primary and the secondary world. But its genuine achievement, which was to demonstrate the object-creating function [[gegenstandserzeugende Funktion]] of thought, remains intact, and underlies our conception of the secondary world as well. (Carnap 1924a, p. 108) But a significant turning point in Carnap’s career had occurred between his exploration of an “idealistic conception” in late 1921 and the initial draft of “Three-dimensionality and Causality” in early 1922. In the intervening winter Carnap had read a book that changed his life and set him on a new course: Russell’s Our Knowledge of the External World as a Field for Scientific Method in Philosophy. The “principle of abstraction”, in the form Russell states it here,19 gave Carnap the critical hint he needed to solve the immediate 19 “When a group of objects have that kind of similarity which we are inclined to at-

tribute to possession of a common quality, the principle [[of abstraction]] shows that membership of the group will serve all the purposes of the supposed common quality, and that therefore, unless some common quality is actually known, the group or class of similar objects may be used to replace the common quality, which need not be assumed to exist” (Russell 1914, pp. 44–45). This principle, introduced by Russell in Principles to support the reality of relations, and absent from The Problems of Philosophy, became something quite different in the 1914 lectures; it became, in fact, the

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obstacles to the “total system of all concepts”. The main problem was that the positivist strategy of Mach and Avenarius — “analysis of sensations” or deduction of qualities or higher-level entities from basic elements of senseperception — was not working. Several sets of notes from 1920 and 1921 (ASP 081-05-04, 081-05-06, 081-05-05) show that Carnap tried various kinds of “logic” (including an improvised symbolic fuzzy logic) to extend the “primary world” beyond the holistic chaos Vaihinger had portrayed — but with little success. Russell gave him the idea that the way to extend genuine knowledge was not by analysis of experience but by construction, gathering similar experiences into equivalence classes and using these in place of the qualities — essentially the procedure of “quasi-analysis” familiar from the Aufbau. And this finally answered the perennial question we saw him preoccupied with from the beginning, of how to understand the relation between sense experience and mathematical formalism as logical. Carnap’s first sketch of the Aufbau system, called From the Chaos to Reality, essentially sets out this Russellian strategy of construction; the “primary world” of “first-level experience” is extended far beyond the initial chaos by quasi-analysis, then a “reality” is constructed on this basis using just two fictions, corresponding to Kant’s categories of causality and substance: a principle of induction (or uniformity of nature) and a principle of “continuity”, as Mach had called it — which states that a certain complex of perceptions grouped together into, say, a “physical object”, is to be regarded as continuous if the perceptions are interrupted and resume identically (or within a specified range of similarity) before and after the interruption. This step greatly expanded the scope, within the realm of what counted as logic, of purely deductive logic; in contrast to what Carnap had written in 1920 (quoted on p. xxxi of this introduction), the “objects of science” could now be constructed by deductive logic. That task was no longer left entirely to a “primary” part of logic to which deductive logic was subordinate. But this did not yet require the elimination of phenomenology, which on the contrary played a critical role in the discernment of certain features of the original undifferentiated chaos on which logic could operate. Most critically, in From the Chaos to Reality, a phenomenological distinction between “living” and “dead” experiences (essentially Hume’s “impressions” and “ideas”, respectively) serves as the basis for the construction of a temporal ordering of remembered and present experience. In “Three-Dimensionality of Space and Causality” phenomenological discernment also plays a major role, especially in the argument (1924a, pp. 113–117) that the observational material supplied by each sense modality is two-dimensional.20 The central argument of the paper, concluding central tool of philosophical analysis. It could, Russell now says, “equally well be called ‘the principle which dispenses with abstraction’ ”, and “clears away incredible accumulations of metaphysical lumber” (Russell 1914, p. 51). Interestingly, this idea, which represented such a momentous breakthrough for Carnap, had been suggested to Russell by Whitehead just as he was writing Our Knowledge of the External World, and is presented there only as a bare, somewhat confused sketch. 20 Actually, it is argued that each sense modality is (2 + 1)-dimensional; the time dimension is added to the two spatial ones without discussion. In principle, of course, this

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that “The fiction of the three-dimensionality of space (equivalent to the fourdimensionality of the world) is a logical consequence of the law-governed-ness of events” (p. 106) is hard to classify; it employs a combination of physical arguments, logical inference, and phenomenology. In any case, it illustrates that what Carnap means by “logical consequence” at this point is not restricted to deductive logical inference but still retains a much broader sense. Even in the Aufbau itself, of course, the conception of logic is not quite the modern one, as can be seen, most obviously perhaps, in the proposal to regard the notorious requirement of “foundedness” (for relations employed in the constitution system) as a “basic principle of logic” (Carnap 1928a, § 154, p. 207). In principle, however, the position of the Aufbau is unequivocally that of the post-Wittgenstein Vienna Circle. The idea of an antecedently or inherently fixed “primary world” of completely unprocessed perception is entirely banished; it not only plays no foundational role, as it had residually in From the Chaos to Reality, but is completely absent. The fiction of an undifferentiated chaos has been jettisoned, along with the phenomenological exercise of discerning structure within it so as to provide the “primary world” with a temporal ordering. So the whole distinction between first- and secondlevel experience (between “primary” and “secondary” worlds), fundamental to the 1922 conception, has been dropped,21 and with it went the notion of a purely given world requiring no construction. Carnap specifically rejects, for instance, his 1924 phenomenological argument for the two-dimensionality of primary experience. Arguments along these lines are “in error”, he says, in supposing “that the two-dimensionality of the visual field has to be regarded as ultimately given [[ursprünglich]]. In our constitution theory we have recognized that we must regard the twodimensional order to be every bit as derived as the three-dimensional one, and that it thus presents a problem of its constitution” (1928a, § 124, p. 164). And indeed, the two-dimensional visual field is constructed in the Aufbau (in § 89 and § 117, with alternative approaches considered in § 92); it is not taken as given.22 dimension would also have to be constructed from the undifferentiated chaos, as Carnap does from the phenomenological distinction between “living” and “dead” experience in From the Chaos to Reality; he evidently relies here on that previous argument, assuming that it would soon be in print. 21 It survives vestigially in the transition from two to three dimensions and in the projection of qualities onto world-points, in § 126; this is also where construction by explicit definition stops and optimization subject to constraints takes over. Note that the “Forderungen” in §§ 126–7 correspond closely to the earlier “tendencies” that Carnap had regarded as analogous to the categories of substance and cause. 22 It should also be noted in this connection that in the constitution of space, the “intuitive space” of Der Raum drops out; only abstract (mathematical) space and physical space remain. “Qualitative spatiality” has been expunged: “In the constitution system the peculiar quality of spatiality, though such an essential feature of the external world in experience, makes no appearance as a quality, any more than other qualities do: colors, pitches, feelings, etc. For the constitution system concerns itself only with the structural, which in the case of space means only with the formal features of this configuration. But nothing knowable, i.e., conceptually capturable, is thereby lost to the constitution system. For the non-structural cannot, according to the thesis of the constitution theory, be the object of a scientific statement.” (Ibid., § 125, p. 166).

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It was apparently some time in 1924 that Carnap made the transition from the earlier view to this one. By January of 1925, when he had given a talk on the project at the University of Vienna, the starting point of From the Chaos to Reality had already been abandoned. The fiction of the original chaos had been dropped, along with the distinction between a fixed primary world that could be regarded as foundational and the many optional secondary worlds of “reality”. So phenomenological discernment had no job to do any more; no pre-existing structure (arising, say, from a distinction between “live” impressions and “dead” ideas) needed to be discerned in an antecedent “chaos”. The construction proceeded without such an introductory step. Indeed, the elimination of subjectivity had become a top priority for Carnap at this point, as we can see from the three “theses” Carnap started the talk with. The first two are familiar from 1922 (“unity of the object realm [[des Gegenstandsbereiches]]” and “methodological solipsism”), but the third was new: “overcoming subjectivity: transition from material to structure” (ASP 081-05-03, 081-05-02). This is the context in which we find the idea — now explicitly brought to bear on the system basis — of the “possibility of designation by purely structural statements”. The idea of a “structural designation” had been there in 1922, as we saw, but it had then been assumed that phenomenological discernment could identify the “structures” within the “material” of perception, before “structural designation” goes to work on it. The phenomenological exercise of stripping away, in imagination, all “externally imposed” structure from a fictive “original chaos” (and then imaginatively discerning in that undifferentiated mental content two distinguishable “aspects” of experience) was to be followed by further, structural characterization of objects in terms of this phenomenologically provided basis. Now, in 1925, the idea of “purely structural designation”, which had been there from the beginning, was applied more comprehensively and systematically. Step by step, as we have seen, he had left behind the “transcendental logic” he had accepted at the beginning of 1920, as well as the assumption that the “objects of knowledge” had to be identified and constituted independently of deductive logic (in a “primary” sector of “logic”), until he arrived at the conviction that the objects of knowledge can indeed be constituted completely structurally.23

5.

Rational Reconstruction

This step-by-step transformation in Carnap’s conception of logic also brought with it a change in his view of the “system of knowledge”. Although his sympathies, as we saw, lay with a rationalist, Leibnizian account of knowledge from the beginning, he was unsure how to implement such a program until Russell had given him the tools to launch the Aufbau project. At that point, he began to see this project — the “structural theory of the object of knowledge” [[Strukturtheorie des Erkenntnisgegenstandes]] — as an application of a more 23 More details on this fundamental change in the design of Carnap’s Aufbau project

over the years 1923 and 1924 can be found in (Carus 2016).

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general discipline, the “study of structures” [[Ordnungslehre]]. But the “rational reconstruction” of our knowledge, enabling us to get our bearings on the terrain of knowledge more generally and to understand how it all fit together, was not only a matter of this abstract study of structures; it was complemented by the “study of science [[Wissenschaftslehre]]” the analysis of existing knowledge to determine its internal workings and to see how these fit into various possible structures. Together, these two complementary successor disciplines to philosophy promised to be the vehicles for developing the “system of knowledge” Carnap needed for the highly abstract intellectual “politics” he had resolved to pursue after 1918. He saw all his work to date as contributing to this effort; in a letter to Heinrich Scholz in 1922, he classifies Der Raum and “The Task of Physics” as belonging to Wissenschaftslehre, while From the Chaos to Reality, “Three-Dimensionality of Space and Causality”, and a draft of the Abriß der Logistik were classified as Ordnungslehre. He also makes clear that he plans to focus primarily on the latter study in the immediate future (ASP 102-72-10). In another document from this period, Carnap describes the enterprise of rational reconstruction (here called “structural reconstruction”) in a pair of theses: I. The sense [[Sinn]] of every scientific statement consists in this: that a particular formal structure is ascribed to a particular piece of reality [[Wirklichkeitsstück]]. II. An object within reality [[Ding der Wirklichkeit ]] is identified and encompassable [[erfaßbar ]] within a scientific statement only when its [[conceptual]] neighborhood [[Gebiet ]] is put in correspondence with a constellation of a particular structure (“structural reconstruction”) and it is itself put in correspondence with a particular element of this constellation. (ASP 091-17-12, p. c1[r]) He acknowledges that these two theses seem mutually circular; each refers to the other. His tentative solution to the apparent circularity is to suggest a structural criterion for the whole of knowledge, in which the later Aufbau idea of “purely structural description” (as exemplified in the railway map example of § 14) is already evident: The circularity that appears to reside in the mutual reference of these two theses to each other is to be resolved as follows: science, insofar as it treats of reality, initially has the task of putting every sphere of reality [[Wirklichkeitssphäre]] into correspondence with a sufficiently differentiated constellation, i.e., one in which no two members are structurally similar when the corresponding elements of reality are not identical. When that is the case for all elements of a sector of reality, then the demands of the two theses are met and thus the first task of science, the identification of its objects, achieved. (Ibid.)

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And “in place of the Kantian dictum that wants to restrict science to the mathematically quantitative”, Carnap suggests that “every science is a science only insofar as the study of structures [[Strukturlehre]] is contained in it” (ASP 09117-12, p. a2). The conception of rational reconstruction, then, had already advanced beyond his actual practice, in which (non-“structural”) phenomenological discernment still played a significant role. Two or three years later, as we saw above, the practice had caught up and Carnap was well on his way to the final Aufbau, which appears to have been substantially written in 1925. Immediately afterwards, Carnap wrote one of two small pamphlets he had been asked to contribute to a series of popular expositions of scientific and philosophical subjects for a lay public, Physical Concept Formation [[Physikalische Begriffsbildung ]].24 It conveys a clear picture of Carnap’s overall conception of rational reconstruction in the brief period between the time he had arrived at the (more or less) final form of the Aufbau and his encounter with the Tractatus when he moved to Vienna the following year (1926). What is most striking about this conception is that the two parts of rational reconstruction — Wissenschaftslehre and Ordnungslehre — fit seamlessly together. The simplest qualities and the most abstract theoretical sentences are entirely intertranslatable. The encounter with Wittgenstein would soon destroy this complacently harmonious unity. Carnap, along with the rest of the Vienna Circle, understood the Tractatus as promulgating a finitist — what he would later (Carnap 1936j) call a “molecular” — language for science, in which there is no unrestricted quantification over an infinite universe of discourse. Also, the Vienna Circle thought of atomic sentences as recording particular observations, and there could only ever be a finite number of these even if unrestricted quantification were possible. Theoretical physics, then, could not be expressed within such a Wittgensteinian language. This was a fundamental challenge that Carnap spent years attempting to overcome. Meanwhile, however, the idea of a “theoretical language” went into retreat. “This abstract conception of the system of physics”, Carnap wrote retrospectively about Physical Concept Formation, “was later elaborated in my work on the theoretical language” (Carnap 1963c, p. 16); and many ideas from the earlier book reappear in the popular book Philosophical Foundations of Physics (Carnap 1966a). But nearly three decades would pass before that thread was picked up again.

A. W. Carus and Michael Friedman 24 The other was to have been Theorie und Erfahrung in der Physik [[Theory and Expe-

rience in Physics]], for which Carnap actually signed a contract; and he suggested Feigl as a substitute only when he ran out of time at the last moment. He may well have had some ideas for it that he passed on to Feigl, who certainly acknowledges Carnap’s help in the preface. In his autobiography, Carnap mentions that Poincaré’s and Duhem’s influence “on my philosophical thinking” (emphasis added) is evident “in the two small companion volumes on physics by myself and by Feigl written when we were in Vienna” (1963c, pp. 77–8). In 1926 Carnap sketched a talk to be given in Prague that consists almost entirely of ideas spelled out in the Feigl book (ASP 110-07-16A).

The Collected Works of Rudolf Carnap Volume 1

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1918a Völkerbund — Staatenbund League of Nations — League of States

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ZUR VERWIRKLICHUNG DES RECHTS in der Welt erstreben wir eine überstaatliche Organisation. Das Ziel pflegen wir als Völkerbund zu bezeichnen, obwohl die Organisationsform, von der gewöhnlich die Rede ist, Staatenbund genannt werden müßte. Der einschneidende Unterschied zwischen den beiden Begriffen wird durch die Gegenüberstellung folgender beider Schriften deutlich (allerdings gebrauchen beide den Ausdruck Völkerbund; darum auch wir, ohne aber die Begriffe zu verwechseln): 1. M. Erzberger, Der Völkerbund, der Weg zum Weltfrieden. Verlag Reimar Hobbing, Berlin 1918. (3.– Mk.). [[Erzberger 1918]] 2. Vorentwurf für eine Verfassung des Welt-Völkerbundes. Veröffentlicht vom Schweizer Komitee für Vorbereitung des Völkerbundes, Bern. Verlag Paul Haupt, Bern, Erlachstraße 23; 1918. (3.– Mk.). [[Vor-Entwurf 1918]] Die wichtigsten Aufgaben und Wirkungen des Bundes, die mit Notwendigkeit aus seinem Zweck hervorgehen, sind natürlich nach beiden Entwürfen die gleichen: Gewährleistung der Territorien; Gewährleistung der Unabhängigkeit der Staaten im Innern (beides mit gewissen Einschränkungen); Vereinbarung über die Kolonien (Verteilung oder Zusammenlegung); obligatorisches Schiedsgericht (mit Sicherung gegen Majorisierung); Bundesexekutive gegen Friedensstörer durch Absperrung, nötigenfalls durch Waffengewalt; Abrüstung der Einzelstaaten; Freiheit der Zolltarife, aber gegenseitige allgemeine Meistbegünstigung; Neutralisierung der Seewege; Institution zur Ermöglichung freiwilliger Vereinbarungen über sozialpolitische und kulturpolitische Maßnahmen. Der wesentliche Unterschied zwischen den beiden Entwürfen zeigt sich in den Bestimmungen über das Zustandekommen des Bundes und über Art und Rechte der höchsten Behörde. Erzbergers Völkerbund, der in Wirklichkeit ein Staatenbund ist, entsteht durch den Willen der Regierungen der einzelnen Staaten. Diese ernennen je einen Delegierten; die Volksvertretungen haben hierbei nur das Bestätigungsrecht. Der Bund gilt als zustandegekommen, wenn die Großmächte ihre Zustimmung erklärt haben. Die Entstehung des Bundes ist offenbar erst nach Friedensschluß möglich. Der Schweizer Entwurf dagegen geht von den Volksvertretungen der verschiedenen Länder aus: diese entsenden noch während des Krieges Vertreter zu einer interparlamentarischen Konferenz, um einen vorläufigen Entwurf des Völkerbundes festzusetzen, der geeignet ist, in den Einzelparlamenten die Zustimmung einer Mehrheit zu finden. Sobald diese Mehrheiten die Bestätigung des Entwurfs durch ihre Staaten herbeigeführt haben, werden die Feindseligkeiten eingestellt und die endgültige Verfassung des Völkerbundes vereinbart. — Die Initiative zur Organisation der Welt liegt also im ersten Falle in der Hand der Regierungen, im letzteren bei den Völkern selbst. Der gleiche Unterschied findet sich bei der Behörde, die an der Spitze des Bundes stehen soll. Bei Erzberger bilden die erwähnten Regierungsdelegierten das „Internationale Bureau“, das nur die Verwaltungsgeschäfte besorgt und als Vermittlungszentrale zwischen den Einzelregierungen dient. Nach dem 4

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TO ACHIEVE JUSTICE in the world, we are working toward a transnational organization. This goal is often called a league of nations, although the form of organization usually discussed should really be called a league of states. The critical difference between the two concepts becomes clear in comparing the following two texts (both of which use the term “league of nations”; we shall therefore do the same, but without confusing the two concepts): 1. M. Erzberger, Der Völkerbund, der Weg zum Weltfrieden. Verlag Reimar Hobbing, Berlin 1918. (3.– Mk.). [[Erzberger 1918]] 2. Vorentwurf für eine Verfassung des Welt-Völkerbundes. Veröffentlicht vom Schweizer Komitee für Vorbereitung des Völkerbundes, Bern. Verlag Paul Haupt, Bern, Erlachstraße 23; 1918. (3.– Mk.). [[Vor-Entwurf 1918]] The most important tasks and effects of the league, following necessarily from its purpose, are of course the same under both conceptions: safeguarding of territory; guaranteeing the independence of the member states in domestic affairs (both with certain restrictions); agreements regarding colonies (distribution or consolidation); binding arbitration (with safeguards for minorities); federal executive measures to counter disrupters of the peace by exclusion, or by military force if necessary; disarmament of the individual states; freedom to determine tariffs, though generally with mutual most-favored-nation status; neutralization of shipping waterways; an institution to facilitate voluntary agreements on social and cultural matters. The essential difference between the two conceptions is evident in the conditions for the formation of the league, and for the form and rights of its top administration. Erzberger’s league of nations, which is actually a league of states, comes into being through the will of the governments of the individual states. These each nominate one delegate; the representative bodies have only the right of confirmation. The league is officially established when the major powers have given their assent. The establishment of the league is clearly only possible once peace has been made. The Swiss plan, on the other hand, is based on the representative bodies of the people of the different nations: even during the war, these are to send their representatives to an inter-parliamentary congress in order to settle on a preliminary draft of the league of nations, one that can achieve the support of a majority in the individual parliaments. As soon as these majorities have induced the respective states to ratify the draft, hostilities will cease and the final constitution of the league will be agreed upon. — The initiative for organizing the world is taken in the first case by the governments, in the second by the people themselves. The same contrast is found in the administration that is to be put at the head of the league. Under Erzberger’s plan, the delegates mentioned above comprise the “International Office”, which deals only with administrative business and serves as a center for communication between the individual governments. Under the Swiss plan, by contrast, a “World Council” is elected

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Völkerbund — Staatenbund (1918a)

Schweizer Entwurf dagegen wird ein „Weltrat“ von den Bevölkerungen aller beteiligten Staaten durch direkte Proportionalwahl gebildet. In seiner Hand sind Verwaltung, Gesetzgebung und Exekutive vereinigt, er setzt Schiedsgerichte und Fachministerien ein; (dabei sind zur Sicherung gegen parteiische Verwaltung, Überstimmung bei der Gesetzgebung, Vergewaltigung und Interessenjustiz besondere Bestimmungen vorgesehen). Den Regierungen der Einzelstaaten bleibt nur die Sorge für die innerstaatliche Verwaltung, Rechtsprechung usw. — Nach dem ersten Entwurf bleiben also die Zügel zur Lenkung der Welt in den Händen der heutigen Staatsregierungen; abgesehen von solchen Zwangsvereinbarungen, die zur Vermeidung von Kriegen unerläßlich sind, hängt alles von ihrem Willen ab; die Zentralstelle vermittelt nur, hat selbst keine Beschlußkraft. Nach dem Schweizer Entwurf wird eine neue, machtvolle Behörde geschaffen, die sich mit Übergehung der Einzelregierungen auf die Völker selbst stützt. Zur deutlicheren Veranschaulichung können wir die geplante Weltverfassung mit unserer Reichsverfassung vergleichen. Mit gewissen Einschränkungen entspricht dann Erzbergers Internationales Bureau dem deutschen Bundesrat, der Weltrat des Schweizer Planes dem Reichstag. Die Frage, ob die Regierungen oder die Bevölkerungen der Einzelstaaten in einer Zentralbehörde vertreten sein sollen, ist im Deutschen Reiche durch Einsetzung beider Behörden gelöst worden, wobei die Exekutive bei der einen (in gewissem Sinne auch bei beiden), die Gesetzgebung bei beiden liegt und die Rechtsprechung (wie bei den beiden Völkerbundentwürfen) unabhängig von beiden ist. So könnte nach der Analogie des Bundesstaates auch beim Völker- (bzw. Staaten-)bund an die Einsetzung zweier Behörden gedacht werden. Das ergäbe zu den beiden vorliegenden Entwürfen noch etwa eine dritte Möglichkeit. Welchen Wert hat für uns die Erörterung dieser Verfassungsfragen einer überhaupt noch nicht existierenden Organisation? In einer Eingabe mehrerer Vereinigungen an den Reichskanzler (Hertling) im September 1918, die die Einsetzung einer „Reichskommission zum Studium der Fragen des | Völkerbundes“ anregte, wurde gesagt, es sei kein Zweifel mehr, daß der Völkerbund mit dem Friedensschluß Gestalt annehmen werde; es frage sich nur noch, ob mit Deutschland oder ohne und gegen Deutschland. Die Frage ist gelöst: wie die Zeitungen kürzlich bekannt gaben, ist diese Kommission inzwischen eingesetzt worden. Wir wissen also: Deutschland wird bei der Bildung des Völkerbundes mithelfen. Und jetzt fragt es sich nur noch: wie wird er werden? Wenn die Verhandlungen zur Organisation der Welt einsetzen werden, – sicherlich unter lebhafter Anteilnahme der öffentlichen Meinung besonders von Amerika und England –, dann wollen wir doch nicht mit der Gleichgültigkeit, die man bisher in Deutschland diesen Fragen entgegengebracht hat, ahnungs- und ziellos dastehen, wie ein unmündiges Volk, dem eine Verfassung aus Gnaden geschenkt wird. Sondern wir, d. h. die politisch interessierten Freideutschen, müssen diese Probleme eingehend durchdenken und besprechen, um das bevorstehende weltgeschichtliche Ereignis (das doch ungleich bedeutungsvoller ist als die Frage der Zugehörigkeit von Elsaß-Lothringen), mit Bewußtsein und grundsätzlicher Klarheit erleben zu können.

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League of Nations — League of States (1918a)

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by the populations of the member states directly, under proportional representation. Administrative, legislative, and executive functions are unified in the hands of the Council, establishing judicial and ministerial authority (special constraints ensure against partisan administration, disproportional legislation, executive abuses and judicial bias). All that is left for the individual governments to deal with are domestic administration, legal systems, etc. — Under the first plan, the reins of power over the world remain in the hands of the current state governments; apart from the obligatory agreements required to prevent wars, everything depends on their will; the Central Office only facilitates, it has no decision-making authority. The Swiss plan creates a new and powerful authority, circumventing the individual governments and supported directly by the people of the nations themselves. A comparison of the planned world constitution with our own national constitution is illuminating. Erzberger’s International Office then corresponds, roughly, to our own council of ministers, while the world parliament of the Swiss plan corresponds to our parliament. The question whether the governments or the peoples of the individual states are to be represented in the central authority is resolved in Germany by the institution of both governing bodies, whereby the executive function resides with the first (and to some extent with both), the legislative with both, and the judicial function (as in both plans for the league of nations) is independent of both. Drawing on the analogy of a federal state, one could thus consider instituting two governing bodies in the league of nations (or states). This could perhaps give rise to a third possibility, in addition to the current two proposals. What is the point of considering these constitutional questions for an organization that does not even exist yet? In September 1918 several organizations petitioned the Chancellor (Hertling) urging the formation of a “national commission to study the question of a league of nations”. It was stated that there is no longer any doubt that a league of nations will be formed once peace is made; the only question is, will it happen with Germany, or without and against Germany? This question has been answered: as was recently reported in the newspapers, that commission has now been established. We now know that Germany will cooperate in the formation of the league of nations. The only question remaining is, what form will it take? When the negotiations begin for the organization of the world — accompanied surely by lively public debate especially in America and England — let us not sit by, ignorant and aimless, with the indifference that has been shown these questions in Germany in the past, like an immature nation mercifully granted a constitution from on high. Instead we, i.e., the politically interested Free German Students, must thoroughly examine and discuss these problems in order to experience this impending world-historical event (which is, of course, incomparably more important than the question of Alsace-Lorraine) with full awareness and fundamental clarity.

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Völkerbund — Staatenbund (1918a)

Zu solcher Klärung gehört allerdings mehr als dilettantische Diskussion aus Augenblicksgefühlen heraus. Ich schlage deshalb vor, zuvor im allgemeinen der grundsätzlichen Diskussion über den Völkerbund in diesen Rundbriefen Raum zu geben, aber die schwierigen Verfassungsfragen, darunter auch das angeschnittene Problem: Völkerbund oder Staatenbund, erst einmal einzeln oder im engeren Kreise an Hand der Literatur und mit Unterstützung der Juristen und Nationalökonomen unter uns zu studieren. Auf der Grundlage der Kenntnis sowohl der historisch gegebenen Tatsachen der Außenwelt, als auch der juristischen Möglichkeiten wird dann eine kritische Erörterung fruchtbar werden können.

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Kernberger

League of Nations — League of States (1918a)

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Of course, such clarification requires more than a naive discussion based on momentary emotions. I therefore propose that, first of all, space be devoted in this Political Circular to the general discussion of the league of nations in principle; but also that, moreover, the difficult constitutional questions — including the one mentioned here: league of nations, or of states — first be studied individually or in smaller groups, drawing on the literature and expertise of the legal scholars and economists among us. Based on this knowledge both of the historically given facts of the outside world, and of the legal possibilities, a critical discussion can then bear fruit.

Kernberger

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Editorial Notes

Information on the Text Originally published in: 1. Politischer Rundbrief (5 October 1918), p. 4 and 4. Politischer Rundbrief (23 October 1918), p. 15–16. Translation by Steve Awodey. The text appeared in two parts in the Politische Rundbriefe [[Political Circulars]], published by Karl Bittel. Part one (1. Politischer Rundbrief ) concludes with the remark “Fortsetzung folgt. [[To be continued.]]”. Part two (4. Politischer Rundbrief ) begins with “Leider verspätete Fortsetzung. Nochmal Seite 4 lesen! [[Unfortunately late continuation. Please reread page 4!]]”. In Carnap’s papers there is a manuscript (ASP 089-72-04) dated October 1918 entitled “Deutschlands Niederlage. Sinnloses Schicksal oder Schuld? [[Germany’s Defeat. Blind Fate or Guilt?]]”, which was intended for the Politische Rundbriefe, but which remained unpublished.

Editorial Notes a. [p. 5] “This goal is often called a league of nations, although the form of organization usually discussed should really be called a league of states.” The German term “Völkerbund” used here was in fact later used for the actual League of Nations, but Carnap has in mind here its literal meaning “league of peoples”. b. [p. 5] “Der Völkerbund, der Weg zum Weltfrieden.” “The League of Nations, the Path to World Peace.” c. [p. 5] “Vorentwurf für eine Verfassung des Welt-Völkerbundes. Veröffentlicht vom Schweizer Komitee für Vorbereitung des Völkerbundes, Bern.” “Draft of a Constitution for the World League of Nations. Published by the Swiss Committee for the Advancement of the League of Nations in Berne.” d. [p. 7] “Instead we, i.e., the politically interested Free German Students, must thoroughly examine and discuss these problems in order to experience this impending world-historical event (which is, of course, incomparably more important than the question of Alsace-Lorraine) with full awareness and fundamental clarity.” The term Freideutschen [[free Germans]] here refers to the university students who did not belong to the traditional “corporations” or fraternities; these unincorporated “free students” in effect represented the university branch of the German Youth Movement and it was to past and current members of this group that Bittel’s Politische Rundbriefe were addressed. e. [p. 9] “Kernberger” [[signature]]. The pseudonym “Kernberger” derives from the “Kernberge”, the hills southeast of Jena, at the foot of which Carnap’s family lived at this time, in a villa owned by Carnap’s uncle, the archaeologist Wilhelm Dörpfeld, and located on the Kernbergstraße.

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1921a Wer erzwingt die Geltung des Naturgesetzes? Who Forces Laws of Nature to Hold?

EINE MÜSSIGE FRAGE. Da es jetzt nicht mehr der liebe Gott tut, so tuts halt die Natur. Aber nein, wir sind ja heute noch aufgeklärter: wir wissen, man darf es höchstens als dichterische Umschreibung gelten lassen, daß die Natur Gesetze gebe und ihre dauernde Erfüllung durchsetze; das ist ja Anthropomorphismus; in Wirklichkeit handelt es sich gar nicht um Gesetze im Sinne von Willensakten; sondern die Natur läuft in ganz bestimmter Weise ab, ihre einzelnen Vorgänge sind eindeutig bedingt, und dadurch schreibt sie uns vor, wie wir die Naturgesetze zu fassen haben, um jene Zusammenhänge darzustellen. Aber wie wars doch mit Kants „kopernikanischer Wendung“? Hieß es da nicht im Gegenteil: „der Verstand ist selbst der Quell der Gesetze der Natur“? Und das bedeutet: nicht die Natur schreibt uns die Form der Gesetze vor, sondern es sind die unserm Erkenntnisvermögen zugrundeliegenden Denkformen, die das Material der Erfahrung ordnen und damit überhaupt erst zur „Natur“ machen. Also nicht eine schon in sich geordnete Natur, wie jene Empiristen glauben, schreibt uns vor, wie wir die Naturgesetze aufzustellen haben, sondern das ist durch die nicht weiter zurückführbare, einfach hinzunehmende Art unseres Erkenntnisvermögens bedingt und bestimmt. Dort die gegebene Beschaffenheit der Natur, hier die gegebene Beschaffenheit des „reinen Verstandes“, die die allgemeinen Naturgesetze bedingt. Von einem frei entscheidenden Willen, der diese Gesetze aufstelle und ihre Geltung kraft eines Beschlusses durchführe, kann hier wie dort offenbar keine Rede sein. Und wenn nun einer käme und behauptete, uns selbst, dem die Natur Erkennenden, dem Physiker, sei diese freie Entscheidung in die Hand gegeben? Das wäre doch widersinnig; der will wohl einen neuen lieben Gott erdichten und gar gleich sich selbst an dessen Stelle setzen! Wir wollen uns einmal die Frage und vor allem diese seltsame Antwort an Hand des soeben erschienenen Buches Physik und Hypothese1 des Münchener Universitätsprofessors Hugo Dingler näher überlegen. Da heute, besonders veranlaßt durch die Relativitätstheorie, die Grundlagen der Physik von den verschiedensten Seiten her einer kritischen Nachprüfung unterworfen werden, so ist die Frage nach Ursprung und Geltungsgrund der Naturgesetze von größter Bedeutung. Sie wird aber in den Erörterungen über jene Theorie meist nicht aufgeworfen und noch weniger einer befriedigenden Lösung zugeführt. Und doch ist das unumgänglich nötig, wenn die Frage nach der Berechtigung jener Theorie überhaupt einen faßbaren Sinn haben soll. Und jene Antwort, daß nämlich der Physiker nach freier Wahl die Grundgesetze aufstelle, aus denen alle Einzelnaturgesetze sich rein logisch ableiten lassen, ist nicht nur ernstlicher Nachprüfung wert, sondern erscheint als ganz unabweislich, wenn der zugrundeliegende Sachverhalt einmal klar erkannt ist. Es handelt sich da im Grunde um ganz einfache Zusammenhänge. Überlegen wir zunächst einmal an einem Beispiel, inwiefern in irgend einem speziellen Naturgesetz frei gewählte Festsetzungen stecken, oder ob es etwa doch völlig durch den Beobachtungsbefund bedingt erscheint. Der Satz: „Kupfer 1 Hugo Dingler, Physik und Hypothese. Versuch einer induktiven Wissenschaftsleh-

re nebst einer kritischen Analyse der Fundamente der Relativitätstheorie. Vereinigung wiss. Verleger, B. u. L. 1921. Preis 39 M. [[Dingler 1921c]]

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AN IDLE QUESTION. Since the dear Lord no longer takes care of it, nature must be doing it. But no, we’re even more enlightened than that these days: we know that it’s at best a poetic figure of speech that nature makes laws and forces them always to hold. It’s just an anthropomorphism; in reality, there are no such laws in the sense of acts of will; instead, nature goes along in a certain way, its various processes uniquely determined, and thereby dictates how we must formulate the laws of nature to represent those processes. But what about Kant’s “Copernican Revolution”? Wasn’t the point of that, on the contrary, that “the understanding itself is the source of the laws of nature”? And that means that nature doesn’t dictate the form of the laws, but rather it’s the forms of thought underlying our capacity for knowledge that organize the material of experience into “nature” in the first place. So it’s not an intrinsically organized nature, as those empiricists believe, that dictates how we are to formulate the natural laws, but instead, this is determined by our capacity for knowledge, which is itself not further reducible, but must simply be accepted. There the given constitution of nature, here the given constitution of “pure reason” determining the general laws of nature. There is clearly no room, here or there, for a freely deciding will to set up the laws and decide to make them hold. But what if someone came along and claimed that this free decision was entirely up to us, the students of nature, the physicists? Wouldn’t that be preposterous? He would be making up a new God, and putting himself in His place at the same time! Let us consider this question, and above all this strange answer, more carefully with reference to the just published book Physik und Hypothese1 by Professor Hugo Dingler of the University of Munich. The question of the origin and validity of the laws of nature is of the utmost importance, as the foundations of physics are currently being critically examined from all sides, especially as a result of the theory of relativity. That question is rarely posed in the discussions of that theory, however, let alone brought toward a satisfactory solution. But this is indispensable if the question of that theory’s justification is even to have any discernable sense. And this particular answer, namely that the physicist is free to choose the fundamental laws, from which all the individual laws of nature can then be derived by pure logic, not only deserves serious consideration, but indeed seems entirely compelling once the underlying facts are clearly understood. Basically, the situation is really quite simple. Let us begin by considering an example, to see whether, and to what extent, a particular natural law includes elements that are freely stipulated, or if it does seem to be entirely determined by the results of observation. The proposition “When heated from 20◦ to 30◦ , copper expands in length by a factor of 0.00016” relies on mea-

1 Hugo Dingler, Physik und Hypothese. Versuch einer induktiven Wissenschaftslehre

nebst einer kritischen Analyse der Fundamente der Relativitätstheorie. Vereinigung wiss. Verleger B. u. L. 1921, 39 M. [[Dingler 1921c]]

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dehnt sich bei Erwärmung von 20◦ auf 30◦ um 0,00016 seiner Länge aus“ beruht auf Längenmessungen mittels eines nicht miterwärmten Maßstabes und auf Thermometerablesungen. Diese bestehen in der Feststellung: das Ende des Quecksilberfadens stand zuerst bei der Marke 20 auf der am Glase angebrachten Skala, dann bei der Marke 30. Hieraus schließen wir auf eine entsprechende Verlängerung des Quecksilberfadens und daraus auf eine entsprechende Erwärmung. Diesen Schluß können wir aber nicht ziehen ohne die Voraussetzung, daß die Glasskala während des Versuches keine unbekannte Längenveränderung erlitten habe. Und das können wir wieder nur durch Vergleich mit unserem (nicht erwärmten) Maßstab feststellen. Auf dessen Unveränderlichkeit beruht also der ganze Versuch und das spezielle Gesetz als sein Ergebnis. Und diese Unveränderlichkeit? Die stellen wir durch Vergleich mit einem Normalmaßstab fest. Aber da wiederholt sich die gleiche Frage; und so müssen wir schließlich zu einer Behauptung über die Unveränderlichkeit, „Starrheit“ eines Körpers kommen, die wir nicht mehr auf Beobachtungen, sondern nur auf Festsetzung stützen können. Keine physikalische Bestimmung ist möglich, wenn nicht zuvor ein „starrer Körper“ festgesetzt ist. Dessen Wahl läßt uns die Natur frei. Denn wir können nie beobachten, daß ein Körper starr ist, sondern immer nur, ob zwei Körper sich im Verhältnis zueinander ändern oder nicht. Wenn die Physiker auch selbst glaubten, den in unserer Physik zugrundegelegten starren Körper rein empirisch gefunden zu haben, wie er in der Natur vorgebildet sei, so haben sie doch, wie Dingler zeigt, in der Tat ihn durch eine Festsetzung bestimmt, nämlich so, daß bei seiner Zugrundelegung alle Raummessungen in Übereinstimmung mit der euklidischen Geometrie sein sollen. Daß wir nicht nur dieses geometrische System, sondern auch je nach dem gewählten Maßverfahren eins der sogenannten nichteuklidischen in der Natur verwirklicht finden können, hat Henri Poincaré gezeigt. Sein „Konventionalismus“ wird bei Dingler zum „kritischen Konventionalismus“: Wahlfreiheit ist nicht Willkür; die Wahl des geometrischen Systems wird durch den Grundsatz der Einfachstheit eindeutig zu Gunsten des euklidischen entschieden; und es wird gezeigt, wie das gewählte System dann widerspruchslos in der Physik durchzuführen ist. Aber Dingler macht noch einen andern, weit bedeutungsvolleren Schritt über Poincaré hinaus. Er zeigt nämlich, daß auch das Grundgesetz der Abhängigkeit der Vorgänge von einander, das oberste Naturgesetz, von dem alle niederen sich herleiten, allein auf Festsetzung beruht. Diese These dürfte wohl zunächst wegen ihres schroffen Widerspruches zu unsrer Denkgewohnheit trotz der klaren Begründung, die sie erfährt, mehr Gegner als Freunde finden, während die Überzeugung von der Wählbarkeit des geometrischen Systems seit Poincaré schon viele Anhänger gefunden hat und kaum mehr gegen ernstliche Widerlegungsversuche zu kämpfen braucht. Auch hier bei der Wahl des Wirkungsgesetzes folgt Dingler dem Grundsatz der Einfachstheit und kommt dadurch auf das bekannte Newtonsche Anziehungsgesetz: Je zwei Körper ziehen sich an mit einer Kraft, die ihren Massen proportional und dem Quadrat ihres Abstandes umgekehrt proportional ist. Wie kann nun ein solcher Satz durch Beschluß zum allgemeinen Naturge-

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surements of length by means of an unheated measuring rod, together with thermometer readings. The latter consist of the statement: the top of the column of mercury was first at the 20◦ mark on the scale on the glass, and then at the 30◦ mark. From this, we infer a corresponding increase in the length of the mercury column, and from that, a corresponding warming up. But we cannot make this inference without assuming that the scale on the glass has not undergone some unknown change of length during the experiment. And that again we can only determine by comparing it with our (unheated) measuring rod. The entire experiment, and the resulting particular law, thus rests on this unchangeable length. And this unchangeability? We determine it by comparison with a standardized measuring rod. But here the same question arises again, and so we must finally arrive at an assertion of the unchangeability or “rigidity” of a body, which we can no longer base on observation, but only on stipulation. No physical determinations are possible without first positing a “rigid body”. And this, nature leaves us free to choose. For we can never observe that a body is rigid, but only whether or not two bodies change with respect to each other. Even if the physicists themselves believed they had discovered the rigid body on which our physics rests purely empirically, as it occurs in nature, they have in fact, as Dingler shows, determined it by a stipulation — specifically, [to proceed] in such a way that in basing our spatial measurements on it, these measurements are always to agree with Euclidean geometry. The fact that we can find not only this geometric system realized in nature, but also one of the so-called non-Euclidean geometries, according to the respective choice of measurement procedures, was shown by Henri Poincaré. Poincaré’s “conventionalism” becomes Dingler’s “critical conventionalism”: the free choice is not arbitrary; rather, the choice is uniquely determined in favor of the Euclidean geometric system by the principle of maximal simplicity. Moreover, it is then shown how the chosen system can be consistently employed in physics. Dingler also takes another, much more significant step beyond Poincaré. For he shows that the basic law according to which all events depend on each other — the supreme law of nature from which all lower ones are derived, rests entirely on stipulation. Despite the clear justification given for it, this thesis may well meet with more foes than friends, due to its glaring opposition to our customary way of thinking — in contrast to the widespread acceptance of the idea that we can choose among geometrical systems, which has meanwhile found many supporters and hardly needs to be defended against serious attempts to refute it. In his choice of causation principle, Dingler again relies on the principle of maximal simplicity, which here leads him to the familiar Newtonian law of gravitation: two bodies attract each other with a force proportional to their mass, and inversely proportional to the square of their distance. Now how can such a proposition be elevated by fiat to the status of a general law of nature?

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setz erhoben werden? Nachdem einmal ein starrer Körper gewählt und allen Messungen zugrundegelegt ist, muß sich doch einfach durch Beobachtungen zeigen, ob die Bewegungen der Körper das Newtonsche Gesetz erfüllen oder nicht. Wo bleibt da Raum für freie Festsetzung? Aber überlegen wir einmal: wie geschieht denn die Bestimmung der Massen von Körpern, z. B. in der Astronomie? Nur auf Grund des Newtonschen Gesetzes, und zwar nicht nur für die Planeten, sondern auch für unsichtbare Fixsternbegleiter. Verfolgen wir diesen Gedankengang weiter, so sehen wir, daß zunächst einmal jede Körperbewegung auf Grund des angenommenen Gesetzes erklärt werden kann, wofern man nur die erforderlichen, wenn auch unter Umständen unsichtbaren Massen, die die Rechnung ergibt, als wirklich setzt; und weiterhin ebenso auch jeder zunächst nicht als Körperbewegung erscheinende Vorgang, indem man ihn — wie z. B. für die Wärme schon in der bisherigen Physik — auf die Bewegung bestimmt gelagerter Massenteile zurückführt. Kurz: Massen sind nicht meßbar, wenn wir nicht ein Massenwirkungsgesetz zugrundelegen; und wenn wir das tun, so können die Bewegungen der auf seiner Grundlage errechneten Massen ihm offenbar nicht widersprechen. Damit ist die These bestätigt. Wir wählen die obersten Naturgesetze — Raumgesetz und Wirkungsgesetz —, ohne daß die Natur uns eine Wahl aufzwingen oder unseren Festsetzungen nachträglich widersprechen könnte. Dies sind die zunächst befremdlichen, genau besehen aber höchst einfachen Grundgedanken, die in Dinglers Buch ausführlich und klar dargelegt und derart von verschiedenen Seiten her begründet werden, daß den möglichen Einwänden und Bedenken schon von vornherein begegnet wird. Die hier besprochene grundsätzliche Frage nach dem Ursprung der physikalischen Theorie und ihre Beantwortung im Sinne des kritischen Konventionalismus bilden den Hauptinhalt des Buches. Daran wird dann noch als Folgerung eine Ablehnung der Relativitätstheorie geknüpft. Mindestens vom Standpunkt dessen, der die Relativitätstheorie anerkennt, erscheint diese Verbindung bedauerlich: es könnten sich hierdurch Anhänger der Relativitätstheorie von der näheren Prüfung des weit wichtigeren, grundsätzlichen Teiles des Buches abschrecken lassen. Es läßt sich aber zeigen, daß man von der These der freien Verfügbarkeit über die obersten Naturgesetze ausgehend, einen andern Weg einschlagen kann, der im Gegensatz zu Dingler gerade zur Relativitätstheorie führt. Jedenfalls ist mit dieser These überhaupt erst der Boden geklärt, auf dem die weitere Erörterung über die Grundlagen der Physik und insbesondere über die Relativitätstheorie fußen kann.

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Once a rigid body has been chosen and is used to determine all measurements, it should be apparent simply by means of observation whether or not a body moves according to Newton’s law. Where is there room here for free stipulation? But consider: how do we determine the mass of a body, say in astronomy? On the basis of Newton’s law alone, and of course, not only for the planets, but also for the so-called dark companions of fixed stars. Continuing this line of thought, first of all, we see that we can explain the motion of any body in terms of the assumed law just by assuming the existence of masses, possibly invisible, as required by the calculations; and then, moreover, we similarly explain processes that are not apparently motions of bodies by reducing them to motions of quantities of mass in certain positions — as is already done, e.g., for heat in conventional physics. Briefly: we cannot measure mass without assuming a law of causation for masses; and once we do so, the motions of the masses so determined obviously cannot contradict that law. This confirms the thesis. We choose the primary laws of nature — the spatial and causal laws — and nature can neither impose a particular choice, nor ever contradict our stipulations. These are the basic ideas; strange as they may seem at first, they are actually quite simple on closer examination. In Dingler’s book, they are carefully developed and clearly presented, justified from various perspectives, with possible objections and reservations anticipated and answered. The basic question discussed here regarding the origins of physical theory, and its answer according to critical conventionalism, form the main contents of the book. There follows a rejection of the theory of relativity, which is presented as a consequence. From the point of view of one who accepts that theory, this connection seems regrettable: it may well discourage proponents of relativity theory from a closer examination of the far more important, systematic part of the book. It can be shown, however, that given the thesis that the supreme laws of nature can be freely chosen, one can take a different course than Dingler’s and arrive instead precisely at relativity theory. In any case, this thesis [of Dingler’s] thesis clears the ground on which an examination of the foundations of physics, and in particular the theory of relativity, could rest.

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Editorial Notes

Information on the Text Originally published in: Münchner Neueste Nachrichten 74, no. 310 (26 July 1921), Abendausgabe. Translation by Steve Awodey. Carnap’s original article was prefaced by the remark: In dem folgenden beachtenswerten Aufsatze ist eine Auffassung vertreten, die der im Artikel des gestrigen Abendblattes dargelegten entgegengesetzt ist. Dies mag unseren Lesern nicht unwillkommen sein, um sich den freien Blick auf die Probleme wahren zu können. Die Schriftleitung.

The following remarkable essay represents an opposing viewpoint to that which was presented in the article from yesterday evening’s paper. This may be not unwelcome to our readers, so that they can keep a clear view of the problems. The Editor.

The remark refers to an article by Dr. Julius Mainzer, published on 25 July 1921 (no. 308) entitled “Kant und Einstein [[Kant and Einstein]]”. In it, Mainzer stresses the essential, categorial difference between the empiricalphysical-mathematical concept of space (of Newton and Einstein) and the philosophical or metaphysical one (of Kant). He thus acknowledges Einstein’s conception of space and time as progress in physics, which however is fully independent of Kant’s doctrine of the forms of intuition of space and time. This excludes the possibility of a conflict between Kant and Einstein: “One can compare Einstein’s space, Einstein’s time, with other forms of space and time subject to mathematics and physics, such as Newton’s, but not with the space and time of the psychologist or transcendental philosopher.” This conception has some points of agreement with Carnap’s (in Der Raum [[Carnap 1922a]]). The contrast referred to by the editors seems to refer rather to the fact that in Mainzer’s presentation space and time are treated as objectively “given”, if themselves essentially different, as opposed to having the conventional aspect stressed by Carnap in this article. According to Wolters (1985, p. 100), the plan to write 1921a had its origins in a meeting between Carnap and Hugo Dingler in Munich in June 1921. In his pamphlet Relativitätstheorie und Ökonomieprinzip [[Dingler 1922]], Dingler singles out Der Raum as an exceptional contribution and extensively discusses particular points of disagreement. In conclusion, he emphasizes that he is “very pleased about many points of agreement” (p. 76). Dingler’s views remained a preoccupation of Carnap’s during the early 1920s, and an important component of the background to Der Raum, which is addressed in more detail in the following editorial notes to Der Raum in this volume below: s. (pp. 188–189), v. (p. 191), w. (pp. 192–193), bb. (p. 194), hh). (pp. 198–199), and ll. (pp. 201–202).

Editorial Notes a. [p. 17] “Briefly: we cannot measure mass without assuming a law of causation for masses; and once we do so, the motions of the masses so determined obviously cannot contradict that law.”

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The German term Massenwirkungsgesetz that Carnap uses here is equivalent to the English “law of mass action” familiar in chemistry (it states that the rate of a chemical reaction is directly proportional to the product of the activities or concentrations of the reactants) and related fields. In this context, however, Carnap is evidently using the term in a looser and broader sense to mean a Wirkungsgesetz [[causal law]] for masses, in the present context the gravitation law that permits the indirect calculation of masses of heavenly bodies from their trajectories.

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1922a Der Raum: Ein Beitrag zur Wissenschaftslehre Space: A Contribution to the Theory of Science

Inhalt Einleitung. Die drei Bedeutungen des Raumes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 I. Der formale Raum (R ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Seine Bedeutung. Urteil. Begriff. Beziehung (Seite 7). — (Mathematische Funktion). Beziehungslehre. Anzahl. Reihe. Ordnungszahl. Kontinuum (10). — Mehrstufige Reihe: der Raum. R 3t , R 3p (13). — Übersicht der Raumarten (15). — Beispiele: Farben; Urteile; Punkte und Geraden; Kreise und Kreisbüschel (17). II. Der Anschauungsraum (R 0 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Wesenserschauung. Beschränktheit des Anschauungsgebietes. Die Grundsätze (22). — Erweiterung zum Gesamtgefüge. Die For0 derungen (26). — Krümmungsmaß; die Arten des R 3m (27). — Ver0 0 0 allgemeinerung: R nm , R 3t , R nt (30). III.Der physische Raum (R 00 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 Die physische Gerade. Geradensetzung. Maßsetzung; M1 , M0 00 00 (32). — R 3t , R 3m . Tatbestand (38). — Wahl der Maßsetzung, danach 00 R bestimmt. Beispiel: Ausmessung der Fläche f (40). — Wahl von R 00 , danach Maßsetzung bestimmt. Beispiel: Erde als Ebene (46). — Gegenseitige Abhängigkeit von Raumart, Maßsetzung und Tatbestand. Möglichste Einfachheit für R oder M ? Beides nicht, sondern für Gesamtdarstellung. Beispiel: Relativitätstheorie (56). IV. Das gegenseitige Verhältnis von formalem, Anschauungs- und physischem Raum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 Einsetzung und Unterordnung. Logik — Größenlehre — Physik. Zweck des Aufbaues der Raumarten. V. Die Beziehungen zwischen Raumerkenntnis und Erfahrung . . . . . . . . . 63 a) Die Quellen der Erkenntnis vom Raume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .63 Die Erkenntnisquellen der drei Raumbedeutungen. Kant: synthetische Sätze apriori. Quellenformeln. b) Der Raum als Bedingung der Erfahrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 Welche Raumbestimmungen sind erfahrungbegründend? Nur die topologischen, und zwar des Anschauungsraumes, und damit des formalen. Eindeutigkeit; daraus folgt weder: euklidischer Raum, 0 noch: dreistufiger Raum. Ergebnis: R nt und damit auch R nt enthalten die Möglichkeitsbedingungen des Erfahrungsgegenstandes. Anhang I: Literatur-Verzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 Anhang II: Literatur-Hinweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

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Contents Introduction. The three meanings of space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 I. Formal Space (R ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Its meaning. Judgment. Concept. Relations (p. 7). — (Mathematical functions). Theory of relations. Number. Series. Ordinal numbers. Continuum (10). Multi-leveled series: Space. R 3t , R 3p (13). — Overview of the kinds of space (15). — Examples: Colors; judgments; points and lines; circles and pencils of circles (17). II. Intuitive Space (R 0 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Immediate grasp of essences. Restriction of the domain of intuition. The axioms (22). — Expansion to a comprehensive system. 0 The postulates (26). — Measure of curvature; the types of R 3m 0 0 0 (27). — Generalization: R nm , R 3t , R nt (30). III.Physical Space (R 00 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 Physical straight lines. Straightness stipulation. Metric stipula00 00 tion; M1 , M0 (32). — R 3t , R 3m . Factual basis (38). — Choice of met00 ric stipulation, whereby R is determined. Example: measurement of surface f (40). — Choice of R 00 , whereby the metric stipulation is determined. Example: the earth’s surface as plane (46). — Mutual relations of dependence between kind of space, metric stipulation, and factual basis. Simplest possible R or M ? Neither; rather simplest possible overall representation. Example: General theory of relativity (56). IV. The Mutual Relations among Formal, Intuitive, and Physical Space . . 60 Substitution and subordination. Logic — theory of magnitude — physics. The point of constructing the kinds of space. V. The Relations Between Knowledge of Space and Experience . . . . . . . . . 63 a) The Sources of Knowledge of Space. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .63 The cognitive sources of the three meanings of space. Kant: Synthetic a priori propositions. Source-formulas. b) Space as a Condition of Experience . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 Which spatial features are foundations of experience? Only the topological ones, specifically those of intuitive space — and thereby those of formal space. Uniqueness, which eliminates both Eu0 clidean space and three-dimensional space. Result: R nt and thereby also R nt contain the conditions of possibility of the objects of experience. Appendix I: Bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 Appendix II: Pointers to the Literature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 25

Einleitung

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Die Antworten des letzten Jahrhunderts auf die Frage nach der Erkenntnisquelle, der Art des Gegenstandes und dem Geltungsbereich der Raumlehre stehen bekanntlich in sehr auffälligen Widersprüchen zu einander. Sowohl von philosophischer, wie von mathematischer und physikalischer Seite ist diesen Fragen eine besondere Aufmerksamkeit zuteil geworden, da einerseits die allgemeine Erkenntnisfrage eng mit ihr verknüpft ist, andrerseits der Aufbau der mathematischen Wissenschaften vom Raume auf gesicherter Grundlage eine Beantwortung unumgänglich erfordert. Daß jene Widersprüche sich gerade in den Auffassungen der hervorragendsten Vertreter der genannten Wissenschaften finden, dürfte die Vermutung nahelegen, daß in diesem Falle doch wohl nicht „die Wahrheit in der Mitte liegt“, was ja genau genommen die Falschheit aller streitenden Ansichten bedeutet. Und in der Tat lehrt die nähere Untersuchung der Frage, daß der Anschein des Widerspruches nur dadurch entstanden ist, daß auf den verschiedenen Seiten von sehr verschiedenen Gegenständen die Rede ist. Um den Sachverhalt zu klären, sollen deshalb hier die verschiedenen Bedeutungen des Raumes und die bei jeder Bedeutung auftretenden Raumarten in einer Übersicht dargestellt werden, und zwar nicht nach ihren geschichtlichen, sondern nach den sachlichen Zusammenhängen. Auf drei verschiedenen Gebieten werden bestimmte Gefüge als „Raum“ bezeichnet, und zwar nicht durch die Zufälligkeit des Sprachgebrauchs, sondern wegen enger Verwandtschaft, die später hervortreten wird. Wir unterscheiden den formalen, den Anschauungsraum und den physischen Raum. Verstehen wir unter einem allgemeinen Ordnungsgefüge ein solches von Beziehungen nicht zwischen bestimmten Gegenständen eines sinnlichen oder nichtsinnlichen Gebietes, sondern zwischen durchaus unbestimmten Beziehungsgliedern, über das nur bekannt ist, daß aus der Verknüpfung bestimmter Art auf | die Verknüpfung einer andern Art im gleichen Bereich zu schließen ist, so ist der formale Raum ein allgemeines Ordnungsgefüge besonderer Art. Bei ihm handelt es sich also nicht um die Gebilde, die gewöhnlich als räumlich bezeichnet werden, Dreiecke, Kreise oder dergleichen, sondern um bedeutungslose Beziehungsstücke, an deren Stelle die verschiedenartigsten Dinge (Zahlen, Farben, Verwandtschaftsgrade, Kreise, Urteile, Menschen usw.) treten können, wofern zwischen ihnen Beziehungen bestehen, die bestimmten formalen Bedingungen genügen. Unter Anschauungsraum dagegen wird das Gefüge der Beziehungen zwischen den im üblichen Sinne „räumlichen“ Gebilden verstanden, also den Linien-, Flächen- und Raumstücken, deren bestimmte Eigenheit wir bei Gelegenheit sinnlicher Wahrnehmung oder auch bloßer Vorstellung erfassen. Dabei handelt es sich aber noch nicht um die in der Erfahrungswirklichkeit vorliegenden räumlichen Tatsachen, sondern nur um das „Wesen“ jener Gebilde selbst, das an irgendwelchen Artvertretern erkannt werden kann. Jene Tatsachen wiederum, also z. B. der Erfahrungsbefund, daß diese Kante dieses Körpers zu jener Kante des andern Körpers in dieser bestimmten 26

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Introduction The answers given in the past hundred years to questions about the source of geometrical knowledge, the nature of its object, and the domain of its validity are well known to contradict each other sharply. These questions have elicited special attention not only from philosophers, but also from mathematicians and physicists, since on the one hand the general problem of knowledge is closely entwined with them, and on the other hand they urgently need to be answered if the mathematical sciences of space are to be constructed on a secure basis. The contradictory views, precisely among the most prominent representatives of these sciences, lend credence to the suspicion that the truth here is not “somewhere in the middle” — which, taken literally, would entail the falsity of all the competing views. And in fact a closer inspection reveals that the appearance of contradiction results only because the different sides are actually talking about very different things. To clarify the situation, the various meanings of space, and the kinds of space associated with each meaning, will here be presented in a survey that places them in their conceptual rather than their historical contexts. There are three different areas of study in which certain systems are called “space” — not by an accident of usage, it turns out, but because of an intimate kinship; we thus distinguish formal, intuitive, and physical space. Formal space is a general order-structure of a certain kind. By “general orderstructure” we mean a system of relations — not between certain objects of a sensible or non-sensible domain, but between entirely indeterminate relata about which we only need to know that one kind of link entails a different kind of link in the same domain. So formal space deals not with the figures usually considered spatial, such as triangles or circles, but with meaningless relata whose place may be taken by an enormous variety of things (numbers, colors, degrees of kinship, judgments, people, etc.). By intuitive space, in contrast, we mean the system of relations among “spatial” figures in the usual sense, i.e., the line segments, planar areas, and spatial volumes whose particular character we grasp when perceiving something by the senses or just imagining it. This is not yet a matter of the spatial facts evident in experienced reality, but just of the “essence” of those systems, which can be recognized in any particular representatives. Those facts, in turn, amount to the system of physical space, e.g., the empirical finding that this edge of this body has some particular spatial relation

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räumlichen Beziehung steht, bilden das Gefüge des physischen Raumes. Er setzt zu seiner Erkenntnis die des Anschauungsraumes voraus, und dieser wiederum findet in dem formalen Raum die reine Form seines Gefüges vorgebildet und hat ihn daher zur denkmäßigen Voraussetzung. Nach der Darstellung dieser drei verschiedenen Bedeutungen des Raumes und ihrer Zusammenhänge wird auch zu erkennen sein, worauf sich die Erkenntnis vom Raum gründet, und insbesondere, ob und inwieweit sie von der Erfahrung abhängig ist.

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to that edge of another body. Knowledge of physical space presupposes that of intuitive space, which in turn finds the pure form of its structure prefigured in formal space and therefore presupposes it in thought. After the presentation of these three meanings of space and their interconnections, we will also find out what the knowledge of space is based on, especially whether and to what extent it depends on experience.

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Der formale Raum

Seit Euklid ist es das Bestreben der Geometrie, eine rein deduktive Wissenschaft zu sein: der Beweis eines jeden Satzes soll sich nur auf die den Grundstock des Lehrgebäudes bildenden Grundsätze und die allgemeinen Gesetze der Logik stützen, nicht aber auf Anschauung, Erfahrung oder stillschweigend als selbstverständlich angenommene Sätze. Euklid hat der Raumlehre dieses Ziel gewiesen, hat auch ein bedeutendes Stück des Weges zurückgelegt, selbst aber das Ziel nicht erreicht. Erst den Forschungen der letzten Jahrzehnte über die Grundlagen der Geometrie ist es gelungen, die Gesamtheit der erforderlichen Grundsätze aufzustellen. Dabei hat sich gezeigt, daß es nicht notwendig ist, für die Grundgebilde (Punkt, Gerade, Ebene) Begriffsbestimmungen zu geben; Euklid hatte solche zwar an den Anfang seines Lehrgebäudes gestellt, sie aber später bei keinem Beweise benutzt. Sondern es werden nur bestimmte Beziehungen zwischen den Grundgebilden (das Liegen eines Punktes auf einer Geraden oder in einer Ebene, die Gleichheit zweier Strecken usw.) durch die Grundsätze festgelegt, z. B.: „zu irgend zwei Punkten gibt es stets eine und nur eine Gerade, auf der sie liegen“, „zu irgend drei Punkten gibt es stets eine und nur eine Ebene, in der sie liegen“ usw. Aus den Grundsätzen werden dann die Lehrsätze erschlossen, ohne irgendwelche Rücksicht darauf zu nehmen, welche anschauliche Bedeutung jene Gebilde und Beziehungen haben. Es wird demnach gar nicht der ganze Bedeutungsgehalt, den die Grundsätze für denjenigen haben, dem die Begriffe Punkt, Gerade, Ebene, Liegen auf . . . schon bekannt sind, auch logisch wirksam für den auf ihnen zu errichtenden Wissenschaftsbau. Wirksam ist nur ihre logische Form, falls wir hierunter den Bedeutungsanteil verstehen wollen, den sie auch bei der Umwandlung etwa in folgende allgemeinere Gestalt bewahren: von den Dingen dreier Klassen P , G und E und der Beziehung i gelten folgende Voraussetzungen: „zu irgend zwei Dingen der Klasse P gibt es stets ein und nur ein Ding der Klasse G , | zu dem jene beiden in der Beziehung i stehen“, „zu irgend drei Dingen der Klasse P gibt es stets ein und nur ein Ding der Klasse E , zu dem jene drei in der Beziehung i stehen“, und entsprechend für die weiteren Grundsätze. Denken wir uns auch alle Lehrsätze in diese allgemeinere Form gebracht, so haben wir an Stelle der eigentlichen Geometrie, nämlich der der Punkte, Geraden und Ebenen, eine „reine Beziehungslehre“ oder „Ordnungslehre“, d. h. eine Wissenschaft von unbestimmten Dingen und unter ihnen geltenden ebenso unbestimmten Beziehungen, für die einige wenige Grundsätze vorausgesetzt und auf Grund davon Lehrsätze in unbeschränkter Zahl abgeleitet werden. Als Gegenstand dieser Wissenschaft tritt so anstelle des Raumes, d. h. des durch die geometrischen Grundsätze bestimmten Gefüges der Punkte, Geraden und Ebenen, der dann zur Unterscheidung „Anschauungsraum“ genannt werden wird, ein durch jene formalen Grundsätze bestimmtes „Beziehungs- oder Ordnungsgefüge“. Da dieses die formale Bauart jenes Raumgefüges darstellt und durch Einsetzung der räumlichen Grundgebilde anstelle der unbestimmten Beziehungsglieder sich wieder in jenes verwandelt, wird es auch Raum genannt, und zwar „formaler Raum“.

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Formal Space

Geometry has ever since Euclid sought to be a purely deductive science. The proof of each proposition is to rest only on the axioms that form the foundation of the system and on the general laws of logic, not on intuition, experience, or propositions tacitly assumed as self-evident. Euclid pointed the way to this goal for geometry, and advanced along it a considerable distance, but did not reach the goal himself. Only the research of recent decades on the foundations of geometry has succeeded in laying down the required axioms in full. In the course of this research it has turned out that it is unnecessary to supply definitions of the basic elements (point, line, plane). Though Euclid had begun his system with such definitions, he never actually used them in any proof. Only relations among the elements (the location of a point on a line or in a plane, the equality of two line segments) are specified by the axioms, e.g., “there is always one and only one line through any two points”, “for any three points there is always one and only one plane in which they lie”, etc. Theorems are then derived from the axioms with no regard whatever for the intuitive meaning of these elements and relations. So the full extent of what the axioms mean to someone who is already acquainted with the concepts point, line, plane, or lies on is not put to work logically in the construction of the edifice to be erected on them. Only their logical form is put to work, by which we mean the component of meaning that would be preserved even if they were transformed, say, into the following more general form: “The following conditions hold of objects belonging to the three classes P , G , E and the relation i : ‘for every two objects in class P there is always one and only one object of class G to which they have the relation i ’, ‘for every three objects in class P there is always one and only one object of class E to which they have the relation i ’, and correspondingly for the remaining axioms.” If we think of all the theorems as put into this more general form, then instead of geometry proper (that of points, lines, and planes) we have a “pure theory of relations” or “theory of orders”, i.e., a theory of indefinite objects and of the equally indefinite relations holding among them. For this theory a small number of axioms is presupposed and on that basis an unlimited number of theorems is derived. The object of this discipline is not space, i.e., the system of points, lines, and planes determined by geometrical axioms (which we call “intuitive space” to distinguish it), but a “relational or structural system” determined by the formal axioms. As this represents the formal design of the spatial system, and turns into the spatial system again when spatial elements are substituted for indeterminate relata, it too will be called “space”: “formal space”.

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Der Vorzug dieses formalen Gefüges liegt einerseits in seiner logischen Geschlossenheit und Strenge, da es von nichtlogischen (anschauungs- oder erfahrungsmäßigen) Bestandteilen frei ist, andrerseits in seiner großen Fruchtbarkeit gerade auch für die eigentlich geometrische Forschung, da die Unbestimmtheit seiner Beziehungsglieder es nicht nur auf Punkte, Geraden und Ebenen, sondern auf die verschiedensten Arten von Grundgebilden anwendbar macht. Dadurch wird die Betrachtung von Gebilden, die von Punkten und Geraden aus sehr umständlich zu entwickeln sind, häufig beträchtlich vereinfacht. Diese Vielfachheit der Übertragung, sowie überhaupt das Verhältnis des formalen Raumes zum Anschauungsraum wird später genauer aufgewiesen werden. Der Aufbau des formalen Raumes kann aber nicht nur in der angedeuteten Weise durch Aufstellung bestimmter Grundsätze über Klassen und Beziehungen vorgenommen werden, sondern auch auf einem andern Wege: von der formalen Logik, der allgemeinen Klassen- und Beziehungslehre, werden die (Ordnungs-)Reihen und als Sonderfall die stetigen Reihen entwickelt. In den stetigen Reihen höherer Stufe (Reihen von Reihen) ist dann der allgemeinste Fall des formalen Raumes mit mehreren (insbesondere drei) Abmessungen erreicht, aus dem durch bestimmte Besonderungen der (formale) pro|jektive Raum und die verschiedenen Arten der (formalen) metrischen Räume hervorgehen. Nur dieser Weg ist imstande, zum vollständigen Bau des formalen Raumes zu führen, der alle Unterarten umfaßt. Er werde daher im folgenden in kurzem Überblick angedeutet. Da jedoch der erstgenannte Weg, der unmittelbar zu irgend einer Sonderart des (formalen) Raumes führt, der bisher in der Wissenschaft allein vollständig durchgeführte ist, so wird auch auf ihn später kurz hinzuweisen sein. Den Aufbau der formalen Logik beginnen wir mit den undefinierten Grundbegriffen „wahr“ und „falsch“. Wir nennen alles das, was entweder wahr oder falsch ist, ein Urteil. Eine Zusammenstellung von Zeichen, insbesondere Schriftzeichen, die ein Urteil bezeichnet, heißt (vollständiger) Satz. Nehmen wir aus einer solchen Zusammenstellung einen Bestandteil mit selbständiger Bedeutung unter Bezeichnung der leergemachten Stelle heraus, so bezeichnet ein solcher „unvollständiger Satz“ kein Urteil mehr. Er ist aber von besonderer Wichtigkeit für die Logik. Aus ihm können sich unter Umständen mehrere vollständige Sätze ergeben, wenn andre Zeichen an die leergemachte Stelle gesetzt werden; diese Stelle heißt deshalb Einsatzstelle (Argumentstelle), das vom eingesetzten Zeichen Bezeichnete: Einsatz (Argument). Die dadurch gebildeten vollständigen Sätze können dann wahre oder auch falsche Urteile bezeichnen. So zeigt sich, daß der unvollständige Satz, wenn er auch kein Urteil bezeichnet, so doch Urteile gewissermaßen der Möglichkeit nach (potentiell), und zwar in Abhängigkeit vom Einsatz, enthält, also nicht bedeutungslos ist; wir sagen, er bezeichne einen „Begriff “. Von dem Einsatz sagen wir, er falle unter den Begriff oder falle nicht darunter, je nachdem der durch die Einsetzung gebildete Satz ein wahres oder falsches Urteil bezeichnet. Der Kürze 9 Urteile. Begriffe.

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The advantage of this formal construction is to be found, on the one hand, in its logical unity and cohesion, since it is free of non-logical (intuitive or experiential) components, and, on the other, in its great fruitfulness, not least for geometrical research proper, as the indeterminacy of its relata makes it applicable not just to points, lines, and planes, but also to a large variety of other basic forms. This makes it far easier to consider frameworks that are very awkward to develop starting from points and lines. This multiplicity of interpretation, as well as the relation of formal to intuitive space more generally, will be exhibited in more detail below. The construction of formal space can also be undertaken in a different way, though, not just by the above route of setting up certain axioms about classes and relations: by deriving (ordered) series and, as a special case, continuous series from formal logic, the general theory of classes and relations. In continuous series of higher order (series of series), the most general case of formal space of multiple (esp. three) dimensions is then obtained, from which, via certain specializations, (formal) projective space and the various kinds of (formal) metric space result. Only this path makes the complete construction of formal space possible, comprising all the special cases, so it will be sketched here briefly. But since the first path, which leads directly to certain special cases of (formal) space, is the only one that has been carried out in detail in science, we will briefly return to it below. We begin the construction of formal logic with the undefined basic concepts “true” and “false”. Anything that is either true or false we call a judgment. A concatenation of signs, especially written signs, that signifies a judgment is a (complete) proposition. If we remove an independently meaningful component from such a concatenation, marking the gap that results, this “incomplete proposition” no longer signifies a judgment. But it does have a special importance for logic. Various complete propositions can sometimes result from it when other signs are inserted into the gap. This gap is therefore called the insertion place (argument place), and what is signified by the inserted sign is called the insert (argument). The resulting complete propositions can then designate true or false judgments. We thus see that the incomplete proposition, though not designating a judgment, possibly (or potentially) contains, so to speak, various judgments, depending on what is inserted into the gap, and so is not meaningless. We say it designates a “concept”. We say of an insert that it falls or does not fall under the concept depending on whether the proposition formed by the insertion designates a true or a false judgment. For

Judgments. Concepts.

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halber wollen wir in übertragener Weise auch vom Satz sagen, er sei wahr oder falsch. 1. Beispiel. Aus dem vollständigen Satz „2 + 3 = 5“ bilden wir den unvollständigen „2 + ( ) = 5“; dieser bezeichnet den Begriff „was zu 2 addiert 5 gibt“. Unter diesen Begriff fällt nur die Zahl Drei. Denn nur durch Einsetzung von Zeichen dieser Zahl („3“ oder „2 + 1“ oder „ 62 “ usw.) werden wahre Sätze gebildet; für andre Einsätze („4“, „+“, „Haus“) ergeben sich falsche Sätze (bei genügend genauer Begriffsbestimmung der arithmetischen Zeichen nicht sinnlose). 2. Beispiel. Aus „2 + 3 = 5“ können wir auch den unvoll|ständigen Satz bilden „2 + 3 ( ) 5“, der den Begriff „Beziehung zwischen 2 + 3 und 5“ bezeichnet. Unter diesen Begriff fallen: Gleichheit, Zusammengehörigkeit zur gleichen (beliebigen) Klasse (z. B. der der positiven ganzen Zahlen). Denn es ergeben sich wahre Sätze durch Einsetzung von „=“ oder „ist eine positive ganze Zahl, wie auch“. Falsche Sätze entstehen dagegen durch Einsetzung von: 6= , < , 5 usw. 3. Beispiel. Aus „Hamburg ist eine Stadt“ bilden wir den unvollständigen Satz „( ) ist eine Stadt“. Dieser bezeichnet den Begriff „was eine Stadt ist“, kurz: den Begriff „Stadt“. Ebenso wie ein unvollständiger Satz mit einer Einsatzstelle einen Begriff, bezeichnet ein solcher mit zwei Einsatzstellen eine Beziehung. Die beiden Stellen müssen von einander unterschieden werden; wir bezeichnen sie deshalb mit ( 1 ) und ( 2 ) und sagen dann: der erste Einsatz steht zu dem zweiten in der betreffenden Beziehung. 1. Beispiel. Aus „2 + 3 = 5“ bilden wir „2 + ( 1 ) = ( 2 )“. In der hierdurch bezeichneten Beziehung stehen zueinander: 3 und 5 (nicht aber 5 und 3), 4 und 6, usw. 2. Beispiel. Aus „Odysseus ist Vater von Telemach“ bilden wir „( 1 ) ist Vater von ( 2 )“. Dieser unvollständige Satz bezeichnet die Vaterbeziehung. 3. Beispiel. Da die natürliche Sprache meist mehr dem Bedürfnis der Kürze als dem der Zergliederung Rechnung trägt, muß der sprachliche Ausdruck zuweilen umgeformt werden. Um im vorigen Beispiel die Bezeichnung der Vaterschaft in eine Einsatzstelle zu verwandeln, wäre der Satz etwa so auszudrücken: „O. steht in der Verwandtschaftsbeziehung Vater zu T.“, woraus dann gebildet werden können: a) der unvollständige Begriffssatz „O. steht in der Verwandtschaftsbeziehung ( ) zu T.“, der den Begriff „Verwandtschaftsbeziehung zwischen O. und T.“ bezeichnet, b) der unvollständige Beziehungssatz „O. steht in der Verwandtschaftsbeziehung ( 1 ) zu ( 2 )“, der die Beziehung zwischen Verwandtschaftsarten und den durch diese mit O. verknüpften Menschen bezeichnet. 4. Beispiel. Alle mathematischen Funktionen (einer reellen, unabhängigen Veränderlichen) sind hiernach als Beziehungen zwischen dem Wert der Veränderlichen und dem zugehörigen Wert (oder mehreren) der Funktion aufzufassen. Die Sinusfunktion z. B. wäre, um beide Einsatzstellen zu zeigen, in der Form auszudrücken: „( 1 ) = sin( 2 )“.

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the sake of brevity we say of the proposition itself, by analogy, that it is true or false. First Example. From the complete proposition “2 + 3 = 5” we form the incomplete one “2 + ( ) = 5”; the latter designates the concept “what adds up to 5 when you start with 2”. Only the number three falls under this concept. For only when signs for this number (“3” or “2 + 1” or “ 62 ” etc.) are inserted are true propositions formed. Other inserts (“4”, “+”, “house”) result in false propositions (not meaningless ones, if the arithmetic signs are defined with sufficient precision). Second Example. From “2 + 3 = 5” we can also form the incomplete proposition “2 + 3 ( ) 5”, which designates the concept “relation between 2 + 3 and 5”. What falls under this concept? Equality, or co-membership of the same (arbitrarily chosen) class (e.g., the class of positive whole numbers). For true propositions result from inserting “=” or “is a positive whole number, just like”. False propositions result from inserting “6=”, “ b und b > c immer a > c ; ebenso aus a = b und b = c immer a = c ; die Beziehungen „>“ und „=“ sind also übergreifend. Eine Beziehung heißt eindeutig, wenn es zu jedem ersten Einsatz nur einen zweiten gibt; es folgt dann also aus B (a, b) und B (a, c) immer b = c , was a auch immer sei. Beispiel: „Vater des ( 1 ) ist ( 2 )“ (im sprachlichen Ausdruck: die „Beziehung zum Vater“). Im andern Falle heißt die Beziehung mehrdeutig. Beispiel: „( 1 ) ist Vater von ( 2 )“ (im sprachlichen Ausdruck: die „Beziehung des Vaters“). Die Umkehrung einer Beziehung kann mehrdeutig sein, während sie selbst eindeutig ist: mehr-eindeutige Beziehung (z. B. Beziehung zum Vater). Im umgekehrten Falle heißt sie ein-mehrdeutig (z. B. Vaterbeziehung). Eine Beziehung heißt ein-eindeutig, wenn sowohl sie selbst als ihre Umkehrung eindeutig ist. Beispiel: Die Beziehung „( 1 )+1 = ( 2 )“ ist ein-eindeutig. Wir gehen nun zu einer Verknüpfung zwischen Begriff und Beziehung über. Besteht zwischen den Gegenständen eines Begriffes einerseits und denen eines andern andrerseits eine ein-eindeutige Beziehung, die „Zuordnungsbeziehung“, derart daß jeder Gegenstand des ersten Begriffs zu einem des zweiten in dieser Beziehung steht, und zu jedem des zweiten einer des ersten, so sagen wir: die beiden Begriffe sind gleichmächtig (äquivalent). Die Gleichmächtigkeit ist danach eine gleichseitige übergreifende Beziehung zwischen zwei Be|griffen. Auf ihr baut sich die Lehre von den Klassen oder Begriffsumfängen auf und ein mit dieser im Grunde übereinstimmender Teil der mathematischen Mengenlehre, die Lehre von den Mächtigkeiten; nur hat diese eine Entwicklung aus mathematischen Gesichtspunkten heraus unter vorwiegender Behandlung der unendlichen Mengen genommen und daher auch eine andre Bezeichnungsweise. Aus dieser gleichen begrifflichen Quelle geht die

11 Beziehungen.

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Certain properties distinguishing different kinds of relations will now be introduced. To be able to discuss them with greater generality, we designate relations by B ( 1 , 2 ), or more briefly B . If a , b , c , d designate particular objects, then B (a, b), B (c, d ) are complete propositions. If we are discussing a number of different relations, we distinguish them by subscripts, so B 1 (a, b) and B 2 (a, b) are two different complete propositions. By the converse of a relation B 1 ( 1 , 2 ) we mean the relation B 2 ( 1 , 2 ) whose argument places are reversed with respect to B 1 ( 1 , 2 ); therefore, whenever B 1 (a, b) is true then B 2 (b, a) is also true, whatever a and b may be. Example: If a is a descendant of b , then b is always an ancestor of a ; therefore the ancestor relation is the converse of the descendent relation. A relation is called symmetric if it is identical to its converse; hence if B (b, a) follows from B (a, b) and vice versa. Example: being of the same age. A relation is called transitive if B (a, c) always follows from B (a, b) and B (b, c). Example: In arithmetic a > c always follows from a > b and b > c ; similarly a = c always follows from a = b and b = c , so the relations “>” and “=” are transitive. A relation is called single-valued if there is only one second argument for each first argument; in this case b = c always follows from B (a, b) and B (a, c), whatever a may be. Example: “the father of ( 1 ) is ( 2 )” (in words, the relation to the father). In all other cases the relation is called many-valued. Example: “( 1 ) is the father of ( 2 )” (in ordinary language, the relation of being the father). The converse of a relation may be many-valued while the relation itself is single-valued: such a relation is called many-one (e.g., the relation to the father); the converse type is called a one-many relation (e.g., the relation of being the father). A relation is called one-one if both it and its converse are single-valued. Example: the relation “( 1 ) + 1 = ( 2 )” is one-one. We now proceed to connect the ideas of concept and relation. If there is a relation of coordination, i.e., if there is a one-one relation between the objects of one concept and those of another such that every object of the first concept has this relation to an object of the second, and every object of the second to one of the first, then we say that the two concepts have the same power (are equivalent). Equivalence is therefore a symmetric, transitive relation between concepts. On the basis of this relation we can construct the theory of classes or extensions of concepts, as well as a basically equivalent part of mathematical set theory, the theory of powers — which, however, developed, for mathematical reasons, mainly from the treatment of infinite sets, and therefore used a different terminology. The theory of numbers (arithmetic of

Relations.

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Lehre von den Anzahlen (Arithmetik der Kardinalzahlen) hervor, indem unter Anzahl der Begriff von Begriffen, die gleichmächtig sind, verstanden wird. Besteht zwischen den Gegenständen eines Begriffes (z. B. den Schülern einer Klasse) eine ungleichseitige, übergreifende Beziehung (z. B. „älter als“), derart daß irgend zwei dieser Gegenstände entweder in dieser Beziehung oder in ihrer Umkehrung zueinander stehen, so sagen wir: die Gegenstände bilden eine Reihe auf Grund jener „reihenbildenden Beziehung“. Hierzu komme ein andrer, dem ersten gleichmächtiger Begriff (z. B. die Mantelhaken der Schulklasse; ein-eindeutige Zuordnungsbeziehung: „der Haken ( 1 ) gehört dem Schüler ( 2 )“). Auch die Gegenstände des zweiten mögen eine Reihe bilden (z. B. reihenbildende Beziehung: weiter rechts). Sind dann die beiden reihenbildenden und die zuordnende Beziehung so beschaffen, daß, wenn in der ersten Reihe irgend zwei Gegenstände in der dort reihenbildenden Beziehung zu einander stehen, auch immer die ihnen in der zweiten Reihe zugeordneten Gegenstände in der hier reihenbildenden Beziehung zu einander stehen, so heißen die beiden Reihen ähnlich. (Beispiel: Wenn für irgend zwei Schüler immer gilt, daß der Haken des älteren weiter rechts hängt, so heißt die Reihe der Haken ähnlich der Reihe der Schüler.) Die Ähnlichkeit ist danach eine gleichseitige, übergreifende (auf Grund einer Zuordnungsbeziehung bestehende) Beziehung zwischen zwei Reihen. Auch die reihenbildenden Beziehungen nennt man in diesem Falle ähnlich. (Im Beispiel: die Beziehung „weiter rechts in der Hakenreihe“ steht zu der Beziehung „älter in dieser Schülerklasse“ in der Beziehung der Ähnlichkeit.) Den Begriff der zu einer bestimmten Beziehung ähnlichen Beziehungen nennen wir ihre Ordnungszahl (Ordinalzahl); (den Begriff, nicht die darunter fallenden Beziehungen!). Hierauf baut sich die Lehre von den Ordnungstypen als zweiter Hauptteil der Mengenlehre auf. Die Bestimmungen der wichtigsten Ordnungstypen seien hier kurz angegeben, da sie die weiteren Schritte zu unserm Ziel, dem Aufbau des formalen Raumes, bilden. Alle diejenigen Reihen (in andrer Ausdrucksweise: ihre reihenbildenden Beziehungen) sind ähnlich zu einander, die folgende Bedingungen erfüllen: im Sinne der reihenbildenden Beziehung gibt es einen ersten Gegenstand („Anfangsglied“); zu jedem Gegenstand gibt es einen, der ihm als erster folgt, und zu jedem, außer jenem Anfangsglied, einen, der ihm als letzter vorhergeht, also im Ganzen keinen letzten Gegenstand. Solche Reihen heißen Progressionen (in der Mengenlehre: Ordnungstypus ω). Um alles das, was von diesen einander ähnlichen Reihen gilt, kürzer ausdrücken zu können, sagen wir es von einem formalen Vertreter aus, den wir uns für sie zu diesem Zwecke schaffen. Diesen formalen Vertreter der Progressionen nennen wir „Reihe der natürlichen (Ordnungs-)Zahlen“. Genau genommen ist dieser Vertreter der Progressionen nichts andres als ihr Begriff (in unserm Sinne dieses Wortes). Ferner sind alle Reihen, die folgender Bedingung genügen, einander ähnlich: die Reihe ist gleichmächtig mit einer Progression; im Sinne der reihenbildenden Beziehung gibt es kein erstes und kein letztes Glied; für irgend 13 Reihen. Zahlen. Kontinuum.

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cardinal numbers) also springs from this conceptual source, where by number we understand the concept of concepts of the same power. If there is an asymmetric, transitive relation (e.g., “older than”) among the objects of a concept (e.g., the students in a class), such that any two of them have either that relation or its converse, we say that the objects form a series on the basis of this “series-forming relation”. Introduce another concept of the same power as the first (e.g., the coathooks in a schoolroom and a one-one coordination such that “hook ( 1 ) belongs to student ( 2 )”). Let these objects also form a series (e.g., by the series-forming relation “to the right of”). Then, if the two series-forming relations and their coordination have the property that whenever any two objects in the first series have the first series-forming relation, the coordinated objects in the second series have the second series-forming relation, then the two series are called similar. (In the example: If for any two students it is always the case that the older student’s hook is to the right, then we call the series of hooks similar to the series of students.) Similarity is therefore a symmetric, transitive relation (based on a coordination) between two series. In such a case we also call the series-forming relations similar. (In the example, the relation “further right in the row of hooks” bears the relation of similarity to the relation “older in this class of students”.) The concept of the relations similar to a given relation we call its ordinal number (the concept, not the relations falling under it!). On this basis we construct the theory of order-types as the second main part of set theory. The most important order-types will now briefly be specified, since they take us further towards our goal of constructing formal space. All series (or — another way of putting it — their series-forming relations) that fulfill the following conditions are similar to each other: there is a first object (“initial term”) with respect to the series-forming relation; for every object there is one that immediately follows it and, except for the initial term, another that immediately precedes it; thus, in the whole series there is no last object. Such series are called progressions (in set theory, they are said to have order-type ω). To express more briefly what holds for these mutually similar series, we assert it of a single formal representative of them that we construct for this purpose. This formal representative of the progressions we call “the series of natural (ordinal) numbers”. Strictly speaking, this representative of the progressions is simply their concept (in our sense of the word). Moreover, all series that satisfy the following condition are similar to each other: the series has the same power as a progression; with respect to the series-forming relation there is no first and no last term; for any two objects of

Series. Numbers. Continuum.

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g

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zwei Gegenstände der Reihe gibt es immer (mindestens) ein drittes, das zu dem zweiten und zu dem das erste in der reihenbildenden Beziehung steht (Ordnungstypus η). Den formalen Vertreter dieser Reihen nennen wir „Reihe der Bruchzahlen“ (Rationalzahlen). In ähnlicher Weise, jedoch umständlicher, und daher hier nicht in Kürze auseinanderzusetzen, können die Bedingungen für Reihen angegeben werden, deren formalen Vertreter wir „Reihe der reellen Zahlen“ nennen (Ordnungstypus λ). Diese Reihen sind stetig. Damit ist in rein formalem Fortgange, ohne Bezugnahme auf Anschauung, das Kontinuum aufgebaut. Die Gegenstände eines Begriffes können auch, anstatt wie bisher in einer Reihe, in Reihen von Reihen („Reihen zweiter Stufe“) geordnet werden. Z. B. können die Schüler einer Schule nach Klassen, die von der ersten zur letzten eine Reihe bilden, und innerhalb jeder Klasse nach der Größe geordnet werden; oder die möglichen Töne eines Klaviers nach der Höhe, und alle gleichhohen Töne nach der Stärke. Diese Reihen zweiter Stufe bilden den Gegenstand der Lehre von den Zahlpaaren (Arithmetik der komplexen Zahlen mit zwei Einheiten), die sich danach aus dem Bisherigen auch wiederum rein formal entwickeln läßt. In entsprechender Weise werden die Reihen dritter und beliebiger weiterer Stufen, allgemein n ’ter Stufe, aufgebaut und in der Lehre | von den Zahldreiern oder höheren Zahlenmengen behandelt. Eine solche stetige Reihe 3. bzw. n . Stufe nennen wir einen formalen Raum von 3 bzw. n Abmessungen, obwohl von räumlichen Gebilden bisher noch nicht die Rede gewesen ist. Später wird deutlich werden, daß zwischen diesem „Raum“ und dem, der sonst so genannt wird, eine enge Verwandtschaft besteht. Aus diesem Grunde werden nun auch mit diesem formalen Raum von n bzw. 3 Abmessungen, den wir mit R nt bzw. R 3t bezeichnen wollen, Besonderungen (Spezialisierungen) vorgenommen, die ihren eigentlichen Sinn erst durch die spätere Anwendung auf die eigentlichen räumlichen Gebilde erhalten. Denn hier haben wir es ja immer noch mit bloß formalen Beziehungen zu tun, ohne daß vorausgesetzt wird, was für Gegenstände in diesen Beziehungen zu einander stehen. Man nennt deshalb die verschiedenen R auch Gefüge von Ordnungsbeziehungen (Systeme von Ordinalbeziehungen), kurz Ordnungsgefüge. Durch engere Bedingungen für die reihenbildenden Beziehungen in diesen Gefügen entsteht aus dem R nt , der dann zur Unterscheidung topologischer Raum genannt wird, der projektive Raum R np und weiterhin der metrische Raum R nm , die sich also zu jenem wie Art und Unterart zur Gattung verhalten (nicht wie Einzelding zur Art). In entsprechender Weise geht aus dem topologischen Raum mit drei Abmessungen R 3t der projektive R 3p und der metrische R 3m hervor, sowie noch weitere Unterarten. (Vgl. nebenstehende Übersicht.) Es hat sich nun gezeigt, daß die so entstehenden Ordnungsgefüge (z. B. der R 3p ), wenn sie für sich allein (d. h. ohne Rücksicht auf den R 3t oder R nt ) untersucht werden sollen, einfacher aufzubauen sind, wenn man sie unmittelbar darstellt als Gefüge gewisser einfacher Beziehungen, deren formale Eigenschaften angegeben werden; anstatt den Umweg über die stetigen Rei-

14

Space: A Contribution to the Theory of Science (1922a)

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the series there is always (at least) a third such that the series-forming relation holds between one of the two and the third as well as between the third and the other of the two. (Order-type η.) The formal representative of these series we call “the series of fractions” (rational numbers). In a similar but more roundabout way, not amenable to brief explanation here, the conditions for series can be given whose formal representative we call “the series of real numbers” (order-type λ). These series are continuous. Thus the continuum is constructed by a purely formal development, without reference to intuition. The objects of a concept can also be ordered in series of series (“series of the second level”) rather than in a single series, as described up to now. The students in a school, for instance, can be ordered according to classes that form a series from first to last, and, within each class, according to height. Or the possible sounds of a piano can be ordered by pitch, and all sounds of the same pitch can be ordered by loudness. These series of the second level constitute the subject matter of the theory of number pairs (arithmetic of complex numbers with two units), which can be developed purely formally from the above. Similarly, series of the third and arbitrarily higher levels — in general, series of the n -th level — can be constructed and treated in the theory of number triples or n -tuples. A continuous series of the third (or n -th) level is called a formal space of three (or n ) dimensions, although there has been no mention, as yet, of spatial elements. It will become clear later that there is an intimate kinship between this “space” and what we ordinarily use that word for. For this reason, we will now impose further specifications (specializations) on this formal space of n (or three) dimensions — designated by R nt (R 3t ) — whose true significance will only become apparent in their subsequent application to properly spatial figures. For we are here still dealing with merely formal relations, without any assumptions about what sort of objects have these relations to each other. The different R ’s are therefore also called systems of order-relations (systems of ordinal relations), briefly, order-structures. When even more restrictive conditions are imposed on the series-forming relations in these systems, projective space R np and then metrical space R nm arise from R nt (now called topological space, to distinguish it). Projective and metrical space are thus related to R nt as species and subspecies to a genus (not as individuals to a species). Similarly, from topological space with three dimensions R 3t we get projective space R 3p and metrical space R 3m , as well as further subspecies. (See the following tabular overview.) Now, it has emerged that the resulting order-structures (e.g., R 3p ), if they are to be investigated on their own (i.e., without reference to R 3t or R nt ), are simpler to construct if they are presented directly as structures of certain simple relations whose formal properties are given — rather than by taking the circuitous route via continuous series of the first, and then of the third, level

e

f

g

42

Der Raum: Ein Beitrag zur Wissenschaftslehre (1922a)

Übersicht der Raumarten

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(Die Einteilung ist die gleiche für den formalen Raum R , den Anschauungsraum R 0 , den physischen Raum R 00 .) Der Raum mit 3 Abmessungen (Kontinuum 3. Stufe)

Der Raum mit beliebig vielen Abmessungen (Kontinuum n. Stufe)

topologischer Raum R 3t

topologischer Raum R nt

projektiver Raum R 3p

projektiver Raum R np

metrischer Raum R 3m

metrischer Raum R nm

(gekennzeichnet durch das Krümmungsmaß k )

seine Unterarten: isotrope Räume:

nicht isotrope Räume:

(in jedem Punkt 3 gleiche Werte für k )

nicht homogene Räume:

Ri

Ru (allgemeinster Fall: alle Werte von k ungleich)

Ru5 , (k 5 0)

Unterarten: Ru= , R uS (k = 0)

(k S 0) (Einstein)

homogene Räume: (in allen Punkten dieselben 3 Werte für k )

Ri h

Rh

(Raum konstanter Krümmung; Kongruenzraum)

Unterarten: R i h


(k < 0)

(k = 0)

(k > 0)

(Lobatschefskij)

(Euklid)

(Riemann)

hyperbolischer Raum

parabolischer Raum

elliptischer Raum (Abart: sphärischer Raum)

(Winkelsumme im Dreieck: < 180◦

= 180◦

> 180◦ )

Space: A Contribution to the Theory of Science (1922a)

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Overview of the Kinds of Space (The classification is the same for formal space R , intuitive space R 0 , and physical space R 00 .) Space with three dimensions (continuum of third level)

Space with arbitrarily many dimensions (continuum of the n -th level)

topological space R 3t

topological space R nt

projective space R 3p

projective space R np

metrical space R 3m

metrical space R nm

(with curvature k )

its subtypes: isotropic spaces:

non-isotropic spaces:

(3 equal values of k at each point)

non-homogeneous spaces:

Ri

Ru (general case: all values of k unequal)

Subtypes: Ru5

Ru=

(k 5 0)

(k = 0)

R

uS

(k S 0) (Einstein)

homogeneous spaces: (the same 3 values of k at all points)

Ri h

Rh

(spaces of constant curvature; congruence spaces)

Subtypes: R i h


(k < 0)

(k = 0)

(k > 0)

(Lobatchevsky)

(Euclid)

(Riemann)

hyperbolic space

parabolic space

elliptical space (special case: spherical space)

(sum of angles in a triangle: < 180◦

= 180◦

> 180◦ )

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h

Der Raum: Ein Beitrag zur Wissenschaftslehre (1922a)

hen erster, dann dritter Stufe und die einschränkenden Bestimmungen zu machen. Dies werde hier nicht für alle genannten Raumarten, sondern nur für den R 3p gezeigt, da dabei das Gesagte zur Genüge deutlich wird. Das durch folgende Bestimmungen (bei deren Angabe hier mehr auf Kürze und Verständlichkeit, als auf Genauigkeit und Vollständigkeit gesehen ist) umgrenzte Gefüge ist gleicher Art, wie das aus R 3t durch Besonderung zu entwickelnde Gefüge R 3p . Ein Begriff P , unter den die Gegenstände P 1 , P 2 . . . fallen, erfülle folgende Bedingungen: es gibt einen Begriff G , unter den nicht Gegenstände, sondern Begriffe g 1 , g 2 . . . fallen, derart daß unter jeden g -Begriff nur P -Gegenstände fallen, und zwar mindestens drei, | unter keinen aber alle; für irgend zwei P Gegenstände gibt es immer einen und nur einen g -Begriff, unter den beide fallen (ihr „gemeinsamer“ g -Begriff); es gilt allgemein, welche P -Gegenstände auch immer gewählt werden mögen: fallen P 1 , P 3 , P 20 unter den g -Begriff g 1 , P 2 , P 3 , P 10 unter den andern g 2 , so gibt es erstens einen Gegenstand P 4 , der sowohl unter den gemeinsamen g -Begriff von P 1 und P 10 , als auch unter den von P 2 und P 20 fällt; und zweitens einen g -Begriff g 3 , unter den zwar P 1 , aber kein Gegenstand von g 2 fällt. Das hierdurch bestimmte Gefüge ist der formale projektive Raum R 3p . Als Beispiel der für ihn geltenden Lehrsätze, die aus den genannten Bestimmungen abgeleitet werden, sei der folgende genannt, in dessen unanschaulicher Gestalt der für die projektive Geometrie so wichtige Satz des Desargues kaum wiederzuerkennen ist; erst in den untenstehenden Anwendungsbeispielen werden die Bestimmungen des Gefüges und der Lehrsatz anschaulich, und dann auch durch Figuren darstellbar. Lehrsatz. Sind in dem genannten Gefüge neun Gegenstände P 1 , P 2 , P 3 , 0 0 0 P 10 , P 20 , P 30 , P 1,2 , P 2,3 , P 3,1 und sieben g -Begriffe g 1,2 , g 1,2 , g 2,3 , g 2,3 , g 3,1 , g 3,1 , g 4 gegeben von der Art, daß P1, P 10 , P2, P 20 , P3, P 30 , P 1,2 ,

P2 P 20 , P3, P 30 , P1, P 10 , P 2,3 ,

und „ „ „ „ „ und

P 1,2 P 1,2 P 2,3 P 2,3 P 3,1 P 3,1 P 3,1

unter „ „ „ „ „ unter

g 1,2 , 0 g 1,2 , g 2,3 , 0 g 2,3 , g 3,1 , 0 g 3,1 , g4

fallen,

aber weder P 1 , P 2 , P 3 noch P 10 , P 20 , P 30 einen gemeinsamen g -Begriff haben, so gibt es in dem Gefüge einen Gegenstand (P 1,2,3 ), der sowohl unter den gemeinsamen g -Begriff von P 1 und P 10 , als auch unter den von P 2 und P 20 , als auch unter den von P 3 und P 30 fällt. Daß ein solches formales Gefüge nicht auf Dinge bestimmter Art beschränkt ist, werde jetzt dadurch deutlich gemacht, daß gewisse Mengen verschiedenartigster Gegenstände aufgezeigt werden, von denen bei Voraussetzung der genannten Bestimmungen des R 3p auch alle Lehrsätze der projektiven Geometrie gelten, so z. B. der genannte Satz des Desargues. Die Beispiele sind

16

Space: A Contribution to the Theory of Science (1922a)

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subject to certain limiting conditions. This will not be shown here for all the kinds of space mentioned but only for R 3p , since that will make the idea clear enough. The system restricted by the following conditions (which are presented here with a view to brevity and comprehensibility rather than precision and completeness) is of the same kind as the system R 3p to be developed through specialization from R 3t . Let a concept P , under which the objects P 1 , P 2 , . . . fall, fulfill the following conditions: (1) there is a concept G , under which fall not objects but concepts g 1 , g 2 , . . . , such that under each g -concept only P -objects fall — in fact, at least three such — but no g -concept comprises all P -objects; (2) for any two P -objects, there is always one and only one g -concept under which both fall (their “common” g -concept); (3) no matter which P -objects may be chosen, the following holds in general: if P 1 , P 3 , P 20 fall under the g -concept g 1 , P 2 , P 3 , P 10 under g 2 , then, firstly, there is an object P 4 that falls under both the common g -concept of P 1 and P 10 and that of P 2 and P 20 , and, secondly, there is a g -concept g 3 comprising P 1 but no object falling under g 2 . The system thereby defined is the formal projective space R 3p . Let the following be an example of the theorems that hold in it and can be derived from the above conditions; in its unintuitive form it is scarcely recognizable as Desargues’s Theorem, so central to projective geometry. Only in the applications below will the features of this system and the theorem become intuitive, and thus also representable in figures. Theorem. If, in the aforementioned structure, there are nine objects P 1 , 0 0 P 2 , P 3 , P 10 , P 20 , P 30 , P 1,2 , P 2,3 , P 3,1 , and seven g -concepts g 1,2 , g 1,2 , g 2,3 , g 2,3 , g 3,1 , 0 g 3,2 , g 4 such that P1, P 10 , P2, P 20 , P3, P 30 , P 1,2 ,

P2 P 20 , P3, P 30 , P1, P 10 , P 2,3 ,

and „ „ „ „ „ and

P 1,2 P 1,2 P 2,3 P 2,3 P 3,1 P 3,1 P 3,1

fall under „ „ „ „ „ fall under

g 1,2 , 0 g 1,2 , g 2,3 , 0 g 2,3 , g 3,1 , 0 g 3,1 , g4,

but neither P 1 , P 2 , P 3 , nor P 10 , P 20 , P 30 have a common g -concept, then there is an object (P 1,2,3 ) in the structure that falls under the common g -concept of P 1 and P 10 , the common g -concept of P 2 and P 20 , and the common g -concept of P 3 and P 30 . To make clear that such a formal system is not restricted to things of any particular kind, we adduce certain collections of the most various objects, of which, assuming the above characterization of R 3p , all the theorems of projective geometry hold as well — including e.g. the above theorem of Desargues. These examples are not subspecies of the space-type R 3p (like R 3m ), but par-

h

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Der Raum: Ein Beitrag zur Wissenschaftslehre (1922a)

nicht (wie der R 3m ) Unterarten der Raumart R 3p , sondern Einzelfälle; ein jedes stellt einen bestimmten projektiven dreistufigen Raum (im formalen Sinne) dar. 1. Beispiel. Ein Gefüge F3p von Farben erfülle folgende Bedingungen: die Farben kommen in gewissen Zusammenstellungen, Farbstreifen genannt, vor; jeder Streifen trägt mindestens drei verschiedene Farben, kein Streifen aber alle auf den übrigen Streifen vorkommenden. Wählen wir zwei beliebige der Farben, so gibt es stets einen und nur einen Streifen, der beide trägt; er heißt ihr gemeinsamer Träger. Ferner soll für beliebige Wahl gelten: fassen wir irgend drei Farben f 1 , f 3 , f 20 eines Streifens s 1 , und f 2 , f 3 (mit jenem f 3 identisch), f 10 eines andern Streifens s 2 ins Auge, so hat erstens der gemeinsame Träger von f 1 und f 10 mit dem gemeinsamen Träger von f 2 und f 20 eine Farbe f 4 gemeinsam, und zweitens gibt es dann einen Streifen s 3 , der die Farbe f 1 , aber keine auf dem Streifen s 2 vorkommende trägt. Für dieses Farbgefüge gelten nun alle Sätze über den R 3p , also auch jener Lehrsatz: Sind neun Farben f 1 , f 2 , f 3 , f 10 , f 20 , f 30 , f 1,2 , f 2,3 , f 3,1 so gegeben, daß folgende Farbdreier auf je einem Streifen vorkommen: ( f 1 , f 2 , f 1,2 ), ( f 2 , f 3 , f 2,3 ), ( f 3 , f 1 , f 3,1 ), ( f 10 , f 20 , f 1,2 ), ( f 20 , f 30 , f 2,3 ), ( f 30 , f 10 , f 3,1 ), ( f 1,2 , f 2,3 , f 3,1 ), dagegen weder für f 1 , f 2 , f 3 ein gemeinsamer Träger vorhanden ist, noch für f 10 , f 20 , f 30 , so gibt es eine Farbe ( f 1,2,3 ), die sich sowohl mit f 1 und f 10 auf einem gemeinsamen Streifen findet, als auch mit f 2 und f 20 , als auch mit f 3 und f 30 . 2. Beispiel. Um ganz verschiedenartige Gegenstände zu nehmen, werde als nächstes Beispiel ein Gefüge U3p von Urteilen gewählt, und zwar von Urteilen, für die nur bestimmte formale Beziehungen vorausgesetzt werden, deren Gegenstände jedoch unbestimmt sind. Dieses formale, projektive, dreistufige Urteilsgefüge U3p ist nicht zu verwechseln mit der formalen projektiven Geometrie, die ja auch ein formales Urteilsgefüge ist, oder einem Gefüge, das aus der projektiven Geometrie durch irgend welche Umbildung (z. B. Besonderung oder Verallgemeinerung) gebildet ist. U3p geht nicht aus der projektiven Geometrie, sondern aus ihrem Gegenstande R 3p durch Einzelfallbildung hervor: R 3p ist ein Gefüge nicht von Urteilen, sondern von unbestimmten Dingen P (Gliedern, „Termen“); für diese P werden nun Urteile eingesetzt (substituiert) und dadurch U3p gebildet. Hier besteht also nicht nur die Raumlehre, sondern der „Raum“ selbst aus Urteilen! Von dem, was wiederum Gegenstand dieser Urteile sei oder sein könnte, wird überhaupt nicht die Rede sein. Von zwei Urteilen (oder zwei Urteilsgruppen) sagt man, sie seien gleichwertig (äquivalent), wenn das eine unter denselben Bedingungen | gültig ist wie das andre, so daß also der Schluß von jedem auf das andre erlaubt ist. Z. B. sind die Urteile „dieses Dreieck ist gleichseitig“ und „dieses Dreieck ist gleichwinklig“ gleichwertig; jedes läßt sich aus dem andern schließen; sie sind entweder beide wahr oder beide falsch. Ebenso ist die Urteilsgruppe der Grundsätze einer bestimmten (z. B. der euklidischen) Geometrie der Gruppe

17 Beispiele von Ordnungsgefügen.

17

18

Space: A Contribution to the Theory of Science (1922a)

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ticular instances; each one presents a particular three-dimensional projective space (in the formal sense). First Example. Let a system F3p of colors fulfill the following conditions: the colors are found in certain configurations called color strips; each strip bears at least three different colors, but no strip bears all the colors that appear on the remaining strips. If we choose any two of the colors, then there is always one and only one strip that bears both; it is called their common carrier. Moreover, the following is to hold generally: if we imagine any three colors f 1 , f 3 , f 20 of a strip s 1 and f 2 , f 3 (identical with the former f 3 ), f 10 of a strip s 2 , then firstly the common carrier of f 1 and f 10 and the common carrier of f 2 and f 20 have a color f 4 in common; and, secondly, there is then a strip s 3 that bears the color f 1 but none of the colors borne by the strip s 2 . Now all propositions governing R 3p hold for this color structure, including our theorem: If there are nine colors f 1 , f 2 , f 3 , f 10 , f 20 , f 30 , f 1,2 , f 2,3 , f 3,1 such that the 0 following color triples each occur on a common strip: ( f 1 , f 2 , f 1,2 ), ( f 2 , f 3 , f 2,3 ), 0 0 0 0 0 0 ( f 3 , f 1 , f 3,1 ), ( f 1 , f 2 , f 1,2 ), ( f 2 , f 3 , f 2,3 ), ( f 3 , f 1 , f 3,1 ), ( f 1,2 , f 2,3 , f 3,1 ), whereas there is no common carrier either for ( f 1 , f 2 , f 3 ), or for ( f 10 , f 20 , f 30 ), then there is a color ( f 1,2,3 ) that has a common strip with f 1 and f 10 , with f 2 and f 20 , and with f 3 and f 30 . Second Example.To pick some entirely different objects, we next choose a system U3p of judgments, ones for which only certain formal relations are presupposed, i.e. whose objects are still undetermined. This formal projective three dimensional judgment system U3p is not to be confused with formal projective geometry, also a formal system of judgments, or with a system derived from projective geometry by any sort of transformation (e.g., specialization or generalization). U3p does not arise from projective geometry, but from its object R 3p : it arises from R 3p by instantiation. And R 3p is a system not of judgments, but of undetermined things P (components, “terms”); for these P judgments are now inserted (substituted), and U3p is thereby constructed. So here not only the theory of space, but the “space” itself consists of judgments! What the objects of these judgments are or might be is not at issue. One says of two judgments (or two classes of judgments) that they have the same value (are equivalent) if one holds under the same conditions as the other, so that an inference from one to the other (and vice versa) is permitted. For example, the judgments “this triangle is equilateral” and “this triangle is equiangular” are equivalent; each can be inferred from the other; they are either both true or both false. Similarly, the class of axioms of a particular

Examples of Order-Configurations.

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Der Raum: Ein Beitrag zur Wissenschaftslehre (1922a)

der Lehrsätze gleichwertig; wenn die eine gültig ist, so auch die andre; und jede folgt aus der andern. Wir wollen nun (nur für dieses Beispiel) eine Gruppe von drei oder mehr Urteilen dann zusammengehörig nennen, wenn irgend zwei ihrer Urteile stets der ganzen Gruppe gleichwertig sind. (So sind z. B. alle diejenigen von einander unabhängigen, linearen Gleichungen in x und y , die für x = 3 und y = 4 befriedigt sind, zusammengehörige Urteile; denn wenn irgend zwei von ihnen als wahr angenommen werden, so folgt ja daraus x = 3 und y = 4, also sind dann alle übrigen auch wahr.) Ferner heiße (nur hier) ein Urteil „mit zwei oder mehr Urteilspaaren (U1 , U2 ; U10 , U20 ) verträglich“, wenn es mit jedem einzelnen Paar zusammengehörig ist. Es sei nun U3p eine nicht zusammengehörige Menge von Urteilen (U1 ,U2 , . . .), unter denen zusammengehörige Gruppen bestehen. Für irgend zwei Urteile sei immer noch ein mit ihnen zusammengehöriges in der Menge vorhanden. Ferner soll für beliebige Wahl gelten: sind U1 , U3 , U20 zusammengehörig, ebenso U2 , U3 , U10 unter sich, aber nicht mit jenen, so gibt es erstens ein Urteil U4 , das mit den Urteilspaaren (U1 , U10 ; U2 , U20 ) verträglich ist, und zweitens eine zusammengehörige Urteilsgruppe, zu der wohl U1 , aber keins der Urteile gehört, die mit U2 und U20 zusammengehörig sind. Hier lautet nun der Lehrsatz des Desargues: Sind sechs Urteile U1 , U2 , U3 , U10 , U20 , U30 von U3p so beschaffen, daß die drei Urteile, die beziehungsweise mit (U1 , U2 ; U10 , U20 ), mit (U2 , U3 ; U20 , U30 ) und mit (U3 , U1 ; U30 , U10 ) verträglich sind, zusammengehörig sind, so gibt es ein Urteil, das mit den drei Paaren (U1 , U10 ; U2 , U20 ; U3 , U30 ) verträglich ist. 3. Beispiel. Nehmen wir als weiteres Beispiel ein Gefüge von Punkten und Geraden des Raumes im eigentlichen, anschaulichen Sinne dieses Wortes, so ist das für uns besonders bedeutungsvoll, da es die Beziehung zwischen dem formalen Raum und dem weiterhin zu besprechenden Anschauungsraum erkennen läßt. Von den Punkten und Geraden des Raumes seien folgende Grundsätze vorausgesetzt: Ist eine beliebige Gerade gegeben, so gibt es | auf ihr mindestens drei Punkte, und außerhalb mindestens einen Punkt. Durch zwei Punkte geht immer eine und nur eine Gerade. Es gilt bei beliebiger Wahl: liegen P 1 , P 3 , P 20 auf einer Geraden, P 2 , P 3 , P 10 auf einer andern, so gibt es erstens einen Punkt P 4 , der sowohl auf der durch P 1 und P 10 gehenden Geraden liegt, wie auch auf der durch P 2 und P 20 gehenden; zweitens eine Gerade, die durch P 1 geht und mit der durch P 2 und P 20 gehenden Geraden keinen Punkt gemeinsam hat. Bei diesem Beispiel können wir uns endlich die Voraussetzungen anschaulich machen durch eine Figur (1), die für die andern Beispiele und den R 3p selbst eine Versinnbildlichung bedeuten kann; ebenso den folgenden Lehrsatz durch Figur 2. Lehrsatz des Desargues: Liegen die Schnittpunkte je zweier entsprechender Seiten der beiden Dreiecke P 1 , P 2 , P 3 und P 10 , P 20 , P 30 (die nicht in derselben

19 Beispiele.

19

Space: A Contribution to the Theory of Science (1922a)

49

geometry (e.g., Euclidean geometry) is equivalent to the class of theorems; if one is valid so is the other; and each follows from the other. We shall now (for this example only) call a class of three or more judgments associated if any pair of judgments from the class is always equivalent to the whole class. (Thus, for example, all mutually independent linear equations in x and y that are satisfied for x = 3 and y = 4 are associated judgments; for if any two of them are taken to be true it of course follows that x = 3 and y = 4 and thus that all the rest are also true.) Further, let a judgment (here only) be called “compatible” with two or more judgment pairs (U1 , U2 ; U10 , U20 ) if it is associated with each individual pair. Now let U3p be a non-associated class of judgments (U1 ,U2 , . . .), among which there are associated subclasses. For any two judgments, suppose there is another one in the class that is associated with them. Moreover, suppose that for arbitrary choices of associated U1 , U3 , U20 and associated U2 , U3 , U10 (but neither of these associated with the other), there is, firstly, a judgment U4 that is compatible with the pairs of judgments (U1 , U10 ; U2 , U20 ), and, secondly, an associated subclass to which U1 belongs, but to which no judgments belong that are associated with U2 and U20 . Desargues’s Theorem now says, in this case: if there are six judgments U1 , U2 , U3 , U10 , U20 , U30 of U3p such that the three judgments that are compatible with (U1 , U2 ; U10 , U20 ), (U2 , U3 ; U20 , U30 ), (U3 , U1 ; U30 , U10 ) respectively are associated, then there is a judgment that is compatible with the three pairs (U1 , U10 ; U2 , U20 ; U3 , U30 ). Third Example. If we take as our next example a system of points and lines in space, in the proper, intuitive sense of this word, then this example is especially significant for us, since it allows us to see the relationship between formal space and the intuitive space that is due for discussion later. We assume the following axioms for points and lines in space: If an arbitrary line is given, then there are at least three points on the line and at least one point not on the line. Through two points there is always one and only one line. The following holds generally: if P 1 , P 3 , P 20 lie on one line, P 2 , P 3 , P 10 on another, there there is, first, a point P 4 that lies on both the line through P 1 and P 10 and the line through P 2 and P 20 , and, secondly, a line through P 1 that has no point in common with the line through P 2 and P 20 . In this example we can finally make our presuppositions intuitive in a figure (Figure 1), which can also serve as a symbolic representation for the other examples and for R 3p itself. Similarly, we can make the following theorem intuitive in Figure 2. Desargues’s Theorem: if the points of intersection of any two of the corresponding sides of the two triangles P 1 , P 2 , P 3 and P 10 , P 20 , P 30 (which need not

Examples.

50

Der Raum: Ein Beitrag zur Wissenschaftslehre (1922a) 19

P2

P 20

P4

P3 P 10 g2

P1 g1 g3

Figur 1

i

j

Ebene zu liegen brauchen) auf einer Geraden, so schneiden sich die drei Verbindungsgeraden je zweier entsprechender Ecken in einem Punkte. 4. Beispiel. Um die Fruchtbarkeit des formalen Raumes in seiner vielfachen Anwendbarkeit auf den Anschauungsraum deutlich | werden zu lassen, mögen an Stelle von Punkten und Geraden die Kreise K und Kreisbüschel B einer Ebene als Glieder des Gefüges genommen werden. Von ihnen gelten nämlich die den früheren genau entsprechenden Voraussetzungen: ist ein beliebiges Büschel gegeben, so gibt es in ihm mindestens drei Kreise und außerhalb mindestens einen Kreis. Zwei Kreise haben immer ein und nur ein gemeinsames Büschel. Es gilt bei beliebiger Wahl: gehören die Kreise K 1 , K 3 , K 20 zu einem Büschel, K 2 , K 3 , K 10 zu einem andern, so gibt es erstens einen Kreis K 4 , der sowohl zu dem die Kreise K 1 und K 10 enthaltenden Büschel gehört, als auch zu dem K 2 und K 20 enthaltenden; zweitens ein Büschel, zu dem K 1 gehört, aber keiner der Kreise des K 2 und K 20 enthaltenden Büschels. Für diese zusammengesetzten Gebilde, Kreise und Kreisbüschel, die an sich eine umständliche Behandlung erfordern würden, können jetzt ohne besonderen Beweis alle für den formalen Raum geltenden Lehrsätze einfach übertragen werden. So lautet hier der Satz des Desargues: Liegen in einer Ebene sechs Kreise K 1 , K 2 , K 3 ; K 10 , K 20 , K 30 , von denen weder die drei ersten, noch die drei letzten ein gemeinsames Büschel haben; haben ferner die durch K 1 und K 2 , K 10 und K 20 bestimmten Büschel einen Kreis K 1,2 gemeinsam, ebenso die durch K 2 und K 3 , K 20 und K 30 bestimmten einen Kreis K 2,3 , und die durch K 3 und K 1 , K 30 und K 10 bestimmten Büschel einen Kreis K 3,1 gemeinsam, und gehören K 1,2 , K 2,3 und K 3,1 zu einem Büschel, so haben die drei durch K 1 und K 10 , K 2 und K 20 , K 3 und K 30 bestimmten Büschel einen Kreis K 1,2,3 gemeinsam.

21 Anwendung auf den Anschauungsraum.

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P2

P 20

51

P4

P3 P 10 g2

P1 g1 g3

Figure 1 lie in the same plane) lie on a line, then the three lines connecting any two of the corresponding angles meet in a point. Fourth Example. To convey a clear sense of the fruitfulness of formal space in its multiple applicability to intuitive space, the circles K and pencils of circles B in a plane may be taken as the terms of our system in place of points and lines in space. Assumptions precisely corresponding to our earlier ones now hold for these new objects: for any given pencil, there are at least three circles in it and at least one not in it. Two circles always have one and only one common pencil. The following holds generally: if K 1 , K 3 , K 20 belong to one pencil, K 2 , K 3 , K 10 to another, then there is firstly a circle K 4 belonging to both the common pencil of K 1 and K 10 and the common pencil of K 2 and K 20 , and secondly a pencil to which K 1 belongs, but none of the circles in the common pencil of K 2 and K 20 . Though these composite systems, circles, and pencils of circles would otherwise require a cumbersome separate treatment, we now can simply carry over all the theorems governing our formal space with no special proofs. Desargues’s Theorem now goes like this: If there are six circles K 1 , K 2 , K 3 ; K 10 , K 20 , K 30 lying in a plane, such that neither the three first nor the three last have a common pencil, and such that the pencils determined by K 1 , K 2 , and K 10 , K 20 respectively have a common circle K 1,2 , the pencils determined by K 2 , K 3 and K 20 , K 30 respectively have a common circle K 2,3 , and the pencils determined by K 3 , K 1 , and K 30 , K 10 respectively have a common circle K 3,1 , then, if K 1,2 , K 2,3 , K 3,1 belong to a common pencil, the three pencils determined by K 1 , K 10 , K 2 , K 20 , and K 3 , K 30 respectively have a circle K 1,2,3 in common.

Application to Intuitive Space.

i

j

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Der Raum: Ein Beitrag zur Wissenschaftslehre (1922a) 20

P 1,2,3

0 g 1,2

g 1,2 P 1,2

0 g 3,1

P1

P3

P 3,1 P2

g 3,1 P 10

P 30 0 g 2,3

P 2,3

P 20

g 2,3

g3 g1

g2

Figur 2 Die beiden letzten Beispiele zeigen zwei von den unendlich vielen Möglichkeiten, den Anschauungsraum als Einzelfall der durch den formalen Raum bestimmten Gattung, und zwar in diesem Falle den projektiven 0 Anschauungsraum R 3p als Einzelfall der Gattung R 3p aufzufassen.

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P 1,2,3

0 g 1,2

g 1,2 P 1,2

0 g 3,1

P1

P3

P 3,1 P2

g 3,1 P 10

P 30 0 g 2,3

P 2,3

P 20

g 2,3

g3 g1

g2

Figure 2 These two last examples show two of the infinitely many possibilities of regarding intuitive space as an instance of the genus determined through 0 formal space: in this case, the projective intuitive space R 3p as an instance of the genus R 3p .

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II.

k

Der Raum: Ein Beitrag zur Wissenschaftslehre (1922a)

Der Anschauungsraum

Der Anschauungsraum ist ein Ordnungsgefüge, von dem wir wohl die formale Art begrifflich umgrenzen können, aber wie bei allem Anschauungsmäßigen nicht sein besonderes Sosein. Hier läßt sich nur auf Erlebnisinhalte hinweisen, nämlich auf die anschaulich-räumlichen Gebilde und Beziehungen: Punkte, Linienstücke, Flächenstücke, Raumstücke; das Liegen eines Punktes auf einer Linie, in einem Raumstück, das Sich-Schneiden zweier Linien usw. Die psychologische Frage nach der Entstehung solcher Vorstellungen wird hier nicht gestellt, wohl aber die nach der logischen Begründung der Erkenntnisse über den Anschauungsraum, genauer: der Grundsätze, da die weiteren Sätze aus diesen formal-begrifflich abgeleitet werden. Erfahrung gibt nicht den Rechtsgrund für sie ab; die Grundsätze sind erfahrungsunabhängig, genauer (Driesch): unabhängig vom „Quantum der Erfahrung“, d. h. ihre Erkenntnis wird nicht, wie bei Erfahrungssätzen, durch die mehrfach wiederholte Erfahrung immer gesicherter. Denn es handelt sich hier, wie Husserl gezeigt hat, gar nicht um Tatsachen im Sinne der Erfahrungswirklichkeit, sondern um das Wesen („Eidos“) gewisser Gegebenheiten, das in seinem besondern Sosein schon durch einmaliges Gegebensein erfaßt werden kann. So wie ich bei nur einmaliger Wahrnehmung, ja auch bloßer Vorstellung von drei bestimmten Farbtönen Tiefgrün, Blau und Rot feststellen kann, daß der erste seiner besonderen Art nach dem zweiten verwandter ist als dem dritten, so finde ich bei Vorstellung von Raumgebilden, daß durch zwei Punkte mehrere Linien gehen, daß auf jeder noch weitere Punkte liegen; daß ein einfaches Linienstück, aber nicht ein Flächenstück durch einen darauf liegenden Punkt in zwei Stücke zerteilt wird, usw. Weil wir hierbei nicht auf die einzelhafte Tatsache eingestellt sind, es uns z. B. nicht um den jetzt hier gesehenen Farbton geht, sondern nur um seine zeitlose Art, sein „Wesen“, kann es von Wichtigkeit sein, diese Erfassungsweise von der Anschauung im engeren Sinne, die auf die Tatsache selbst geht, durch die Benennung | „Wesenserschauung“ (Husserl) zu unterscheiden, wo Verwechslung möglich erscheint. Im Allgemeinen mag aber der Ausdruck Anschauung auch die Wesenserschauung mit umfassen, da er in diesem weiteren Sinne auch schon von Kant her gebräuchlich ist. Es ist nun zu untersuchen, welche Grundsätze über Räumliches unter Berufung auf die Anschauung aufstellbar sind. Nur die Grundsätze brauchen aus der Anschauung entnommen zu werden. Die daraus abgeleiteten Sätze können wir zwar auch noch, wenigstens einige Schritte weit, der Anschauung entnehmen. Um aber mit Rücksicht auf den Grundsatz der wissenschaftlichen Sparsamkeit das Lehrgebäude auf nur soviele Voraussetzungen zu stützen, wie unbedingt erforderlich sind, entnehmen wir der Anschauung möglichst wenige Sätze, aber so viele, daß das räumliche Gefüge eindeutig bestimmt ist, d. h. einem bestimmten formalen Ordnungsgefüge eingeordnet werden kann. Die Verwertung von Anschauungsaussagen über nichteinfache Gebilde ist auch aus dem Grunde zu vermeiden, weil die Aussagen mit steigender Zusammen23 „Wesenserschauung“.

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II.

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Intuitive Space

Intuitive space is an order-structure whose formal character we can delimit conceptually, but — as in the case of anything intuitive — not the particular way it is. For that, one can refer only to contents of experience, specifically to figures and relations in spatial intuition: points, line segments, areas, or volumes, the location of a point on a line or in a particular volume, the intersection of two lines, etc. The psychological question as to how such representations come into being will not be raised here, but we do consider the question regarding the logical justification of knowledge about intuitive space or, more precisely, of knowledge about the axioms (from which the further theorems are formally and conceptually derived). Experience does not supply the justification for them; the axioms are independent of experience. More precisely, they are independent of the “quantity of experience” (as Driesch puts it), i.e. knowledge of them does not, as in the case of empirical statements, become progressively more secure with repeated experience. For as Husserl has shown, this is not a question of facts in the sense of empirical reality, but rather a question of the essence (“eidos”) of certain items given to us, an essence that can be immediately grasped in its particular character even from a single instance. So just as I can determine from a single perception (even an imagined perception) of specific shades of dark green, blue, and red that the first resembles the second more closely than the third, so I discover when imagining spatial figures that a number of curves go through two points, that on any such line there are additional points, that a simple line segment — but not an area — is separated into two segments by a point lying on it, and so on. The particular fact is not what we are focussed on here, so it is not e.g. the shade of color seen here and now that we are after, but only its atemporal character, its “essence”. So it can be important to distinguish this kind of grasp from intuition in the narrower sense, focussed on the fact itself, by calling the former “immediate grasp of essences” (in Husserl’s sense) when confusion seems possible. In general, though, the term “intuition” can include immediate grasp of essences, as it has been customary since Kant to use it in this broader sense. We now seek to find out which axioms about spatiality can be based on an appeal to intuition. It is only the axioms that need to be drawn from intuition. We can also obtain derived propositions from intuition, at least for the first few steps. But if, following the principle of scientific economy, we are to rest our theory only on assumptions that are indispensably necessary, we will draw from intuition only the fewest possible propositions, just enough to determine the spatial system uniquely, i.e. to ensure that it can be subsumed under a certain formal order-structure. We should also avoid invoking intuitive statements about spatial figures that are not simple, since such claims rapidly become less

“Immediate Grasp of Essences”.

k

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l

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gesetztheit der Gebilde sehr rasch unsicherer und inhaltlich unbestimmter werden. Wollte man z. B. den Satz des Pythagoras nicht aus einfachen Grundsätzen erschließen, sondern unmittelbar der Anschauung entnehmen, so würde man wohl nur eine Ungleichung über die Seiten und eine abschätzungsweise Gleichung über die Quadrate aussprechen können. Die Anschauung bezieht sich immer nur auf ein beschränktes Raumgebiet. Daher lassen sich ihr auch nur Erkenntnisse über räumliche Gebilde von beschränkter Größe entnehmen. Dagegen haben wir inbezug auf das Gesamtgefüge, das wir aus diesen Grundgebilden aufbauen, freie Hand. Wenn z. B. die Art eines Gebildes es gestattet, ein zweites der gleichen Art in bestimmter Weise daran zu fügen, so können wir fordern, daß dieses Anfügen ohne Ende weiter möglich sein soll. Auf diese Weise können wir aus der geraden Strecke den Begriff der endlosen Geraden aufbauen; und in einem gewissen, übertragenen Sinne auch die Anschauung, nämlich als ein auf das Wissen der Regel der Verknüpfung gegründetes Bewußtsein der Möglichkeit der Erfassung jeder Strecke der Geraden in der Anschauung. Aber dem so gewonnenen Begriff entspricht dann nicht nur die unendliche Gerade, sondern auch die endliche, aber endlose, geschlossene Gerade des elliptischen Raumes. Zwischen beiden entscheidet weder die Anschauung, noch jene Forderung. Anschauung und Forderung zusammen helfen uns so zwar über das Endliche hinaus, lassen aber trotzdem | bestimmte Fragen über das Unendliche offen. Diese Verhältnisse sollen näher untersucht werden. Wir stellen zuerst die der Anschauung entnehmbaren Grundsätze zusammen, erörtern dann die Forderungen, die hieran zu knüpfen sind, um ein räumliches Gesamtgefüge zu erhalten, und haben dann zu untersuchen, welche Arten solcher Gefüge sich daraus ergeben. Wegen der erwähnten Unmöglichkeit, die Bedeutung der Grundbegriffe, sowohl der Grundgebilde (Punkte, Geraden, Winkel, usw.), als auch ihrer Beziehungen (Liegen auf, Schneiden, Gleichheit) hier im Gebiet der Anschauung begrifflich zu umgrenzen, dürften sie nur durch Hinweis auf einige anschauungsmäßige Merkmale verständlich gemacht werden. Dies ist der Sinn der Begriffsbestimmungen bei Euklid. Hier scheinen sie nicht erforderlich. Der bekannte Hilbertsche Aufbau der Raumlehre aus Grundsätzen, die genau alle für die späteren Beweise erforderlichen Voraussetzungen enthalten (was für die Grundsätze Euklids bekanntlich nicht gilt), werde daraufhin durchgesehen, welche Grundsätze der Anschauung eines beschränkten Gebietes entspringen. Diese seien hier in kurzer Form zusammengestellt. A. In einem beschränkten Raumgebiet gelten folgende Grundsätze (Hilbert I, 1–8, II, 1–4, III, 1–4): Grundsätze der Verknüpfung: 1. Durch zwei Punkte geht stets (mindestens) eine Gerade. 2. Durch zwei Punkte geht nur eine Gerade. 3. Auf jeder Geraden liegen mindestens zwei Punkte, in jeder Ebene mindestens drei nicht auf einer Geraden gelegene Punkte.

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certain and their content gets vaguer as the degree of complexity in the figures [they refer to] increases. If one sought, for instance, to derive the Pythagorean theorem from intuition directly, rather than deriving it from simpler axioms, one could claim little more than an inequality between the sides and a roughly estimated equality of their squares. Intuition always pertains only to a limited spatial region. So it yields knowledge only about spatial figures of a certain limited size. Regarding the global framework we construct from these figures, on the other hand, we have a free hand. So if e.g. the character of a figure permits another figure of the same character to be joined to it in a certain way, we can postulate that it be possible to repeat this joining operation without end. By this procedure we can construct the concept of the infinite straight line from the straight segment, and in a certain derived sense also the intuition [of it] — specifically as a conscious awareness, founded on knowledge of the connection rule that any segment of the [infinite] line can be grasped in intuition. The concept so obtained corresponds not only to the infinite straight line, though, but also to the finite but unbounded closed line in elliptical space. Neither intuition nor the above postulate can choose between these two. Intuition and postulate together do get us beyond the finite but leave open certain questions about the infinite. We will now look at these issues more closely. First, we list the axioms that can be drawn from intuition. Then we will consider the additional postulates required to obtain an overall spatial system. Finally we will need to consider what kinds of overall spatial system result from this. Since, as we noted, it is impossible here, in the realm of intuition, to specify conceptually the meaning of the basic concepts — the basic figures (points, lines, angles, etc.) as well as their relations (lying on, intersection, equality) — they can presumably be made comprehensible only by reference to various intuitive criteria. This is the point of Euclid’s definitions; here they seem superfluous. Let us go through Hilbert’s well-known development of geometry from premisses that contain precisely what is needed for all later proofs (which is notoriously not the case for Euclid’s axioms) and see which axioms arise from the intuition of a limited region. We assemble them here in abbreviated form: A. In a limited spatial region the following axioms hold (Hilbert I, 1–8; II, 1–4; III, 1–4): Axioms of incidence: 1. Through any two points there is always (at least) one line. 2. Through two points there is only one line. 3. On any straight line there are at least two points; in any plane there are at least three points not all on one line.

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4. Durch drei Punkte, die nicht auf einer Geraden liegen, geht stets (mindestens) eine Ebene. 5. Durch drei Punkte, die nicht auf einer Geraden liegen, geht nur eine Ebene. 6. Liegen in einer Ebene zwei Punkte einer Geraden, so auch alle übrigen. 7. Haben zwei Ebenen einen Punkt gemeinsam, so auch noch mindestens einen andern. 8. Es gibt mindestens vier nicht in einer Ebene gelegene Punkte. Grundsätze der Anordnung: 9. Liegt ein Punkt auf einer Geraden zwischen A und B , so auch zwischen B und A . 10. Wenn A und C zwei Punkte einer Geraden sind, so gibt es stets wenigstens einen Punkt B , der zwischen A und C liegt, und wenigstens einen Punkt D , sodaß C zwischen A und D liegt. 11. Unter irgend drei Punkten einer Geraden gibt es stets einen und nur einen, der zwischen den beiden andern liegt. 12. Liegen in einer Ebene eine Gerade und drei nicht auf ihr gelegene Punkte, und schneidet die Gerade eine der drei durch die Punkte bestimmten Strecken, so auch eine der beiden andern Strecken. Grundsätze der Kongruenz: 13. Zu einer jeden gegebenen Strecke gibt es auf irgend einer Geraden von irgend einem Punkte aus nach jeder Seite stets eine und nur eine kongruente Strecke. Jede Strecke ist sich selbst kongruent. 14. Sind zwei Strecken einer dritten kongruent, so auch unter einander. 15. Zwei Strecken sind kongruent, wenn sie aus je zwei kongruenten Teilstrecken bestehen. 16. Zu einem jeden gegebenen Winkel gibt es in irgend einer Ebene an irgend einem Halbstrahl nach jeder Seite stets einen und nur einen kongruenten Winkel. Jeder Winkel ist sich selbst kongruent. Bemerkungen. Zu 3 und 8: Die entsprechenden Anschauungsbefunde besagen offenbar noch viel mehr als dieses Vorhandensein von zwei, drei, bzw. vier Punkten; da sich aber zeigt, daß das Vorhandensein weiterer Punkte aus den übrigen Grundsätzen (insbesondere 10) geschlossen werden kann, so muß diese möglichst inhaltsarme Form der Grundsätze 3 und 8 gewählt werden, um der Forderung der gegenseitigen Unabhängigkeit der Grundsätze Genüge zu tun. Zu 7: Hieraus folgt, daß das Raumgebiet der Anschauung auf drei Abmessungen beschränkt ist. Während die Grundsätze 13–16 nur die formalen Eigenschaften des Begriffs der Gleichheit (Kongruenz) bestimmen, folgen nun zwei Grundsätze, die Inhaltliches über Gleichheit bestimmter Strecken bzw. Winkel aussagen. Dem Umstand entsprechend, daß das für Anschauung nur inbezug auf benachbarte 25 Die Grundsätze.

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4. Through any three points not all on one line there is always (at least) one plane. 5. Through three points not all on one line there is only one plane. 6. If two points of a line lie in a plane, then so do all the remaining [points of that line]. 7. If two planes have one point in common, then they have at least one other in common. 8. There are at least four points not all lying in one plane. Axioms of order: 9. If a point lies on a line between A and B , then it also lies between B and A . 10. If A and C are any two points on a line, then there is always at least one point B between A and C , and at least one point D such that C lies between A and D . 11. Among any three points on a line there is always one and only one between the other two. 12. If a line and three points not on that line are all in a plane, and if the line intersects one of the three segments determined by the points, then it also intersects one of the other two segments. Axioms of congruence: 13. On any line there is always, from any point on it in either direction, one and only one segment congruent to any given segment. Every segment is congruent to itself. 14. If two segments are congruent to a third, then they are congruent to each other. 15. Two segments are congruent if they consist of pairs of congruent subsegments. 16. For any given angle, in any plane, on either side of any ray, there is always one and only one congruent angle. Every angle is congruent to itself. Remarks. On 3 and 8: The intuition behind these axioms obviously conveys a good deal more than this existence of two, three, or four points. But since it turns out that the existence of further points can be inferred from the other axioms (10 in particular), we must choose this form — with the least content possible — for axioms 3 and 8 to do justice to the principle of mutual independence of the axioms. On 7: It follows from this that the spatial region of intuition is limited to three dimensions. Whereas axioms 13–16 fix only the formal properties of the concept of equality (congruence), two axioms now follow that convey actual content about certain segments and angles. In view of the fact that this is possible for intuition only with respect to neighboring figures (indeed, strictly speaking intuition says

The Axioms.

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Gebilde möglich ist (ja genau genommen die Anschauung nur die Übereinstimmung von Gebilden, die zur Deckung gebracht werden, aussagt), müssen anstelle der | Hilbertschen Grundsätze III, 5 (Dreieckskongruenz) und IV (Parallelengrundsatz) für unsern Zweck folgende verwandt werden:

m

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17. Stimmen zwei benachbarte Dreiecke in je zwei Seiten und dem von ihnen eingeschlossenen Winkel überein, so auch in den beiden andern Winkeln. 18. Schneiden zwei benachbarte Geraden einer Ebene einander nicht, so sind zwei gleichliegende Winkel, unter denen irgend eine andre Gerade sie schneidet, gleich. Aus 18 folgt, in Verbindung mit 16, die Einzigkeit der (benachbarten) Parallelen. Auf Grund dieses Befundes der Anschauung, der sich nur auf ein beschränktes Gebiet bezieht, ist nun ein vollständiges Gefüge aufzubauen, dessen unbeschränkte Geltung forderungsmäßig aufgestellt wird. Wir bezeichnen 0 es mit R 3m . Um Vollständigkeit und Widerspruchslosigkeit sowohl in sich selbst als auch mit jenen Anschauungsaussagen zu verbürgen, sind hierbei folgende Forderungen zu erfüllen. 0 B. Forderungen zum Aufbau eines unbeschränkten Gefüges (R 3m ). 1. In jedem beschränkten Teilgebiet sollen die Grundsätze A 1–18 gelten. 2. Die Grundsätze A 1 und 4 sollen überdies auch für das Gesamtgebiet gelten. 3. Das Abtragen einer Strecke auf einer Geraden von einem Punkte aus ist nach beiden Seiten hin beliebig oft wiederholbar. 4. Durch solche Abtragungen kann stets eine Strecke erreicht werden, auf der ein beliebig gegebener Punkt der Geraden liegt. 5. Die durch A 13–16 bestimmten formalen Eigenschaften der Gleichheitsbeziehungen zwischen Strecken und zwischen Winkeln sollen ihre Gültigkeit im erweiterten Gefüge beibehalten. 6. Die in A 17, 18 für benachbarte Lagen ausgesprochenen Gleichheitsbeziehungen sollen für nicht benachbarte Lagen so erweitert werden, daß anstelle der Gleichheit eine Beziehung tritt, die, in Abhängigkeit von der gegenseitigen Lage der betreffenden Gebilde, bei deren Annäherung sich stetig der Grenze der Gleichheit nähert (in sinnbildlicher Darstellung: limL 2 =L 1 f (L 2 ) = f (L 1 )).

Bemerkungen. Zu 3: Hieraus folgt nicht, daß die Verlängerung zu immer neuen Punkten führe. Zu 4: Archimedischer Grundsatz | (Hilbert V, 1). Zu 5: Dies ist nicht durch 1 schon ausgedrückt. Es ist genau zu unterscheiden zwischen der Geltung eines Satzes in jedem beschränkten Teilgebiet und der Geltung für das Gesamtgebiet.

27 Gesamtraum. „Krümmungsmaß“.

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only that figures agree if they coincide), the following axioms must be used for our purposes in place of Hilbert’s axioms III, 5 (congruence of triangles) and IV (parallel axiom): 17. If two neighboring triangles agree in any two sides and in the angle they enclose, then they also agree in the other two angles. 18. If two neighboring lines in a plane do not intersect, then two correspondingly situated angles produced by any line that intersects them both are equal. From 18, taken together with 16, the uniqueness of (neighboring) parallels follows. On the basis of this tally of intuitive findings, which pertain only to a limited region, we now proceed to build up a complete system whose unlimited 0 validity is achieved by postulation. We call it R 3m . To guarantee its completeness and consistency — both in itself and with the above-listed findings of intuition — the following postulates are to be fulfilled. 0 B. Postulates for the construction of an unlimited system (R 3m ): 1. In every limited partial region axioms A 1–18 are to hold. 2. Moreover, axioms A 1 and A 4 are to also hold for the entire region. 3. Extending a segment on a line from a point can be repeated arbitrarily often in both directions. 4. By such extension a segment can always be reached that contains an arbitrarily given point on the line. 5. The formal properties of the equality relations between segments and angles determined by A 13–16 are to retain their validity in the extended system. 6. The equality relations expressed in A 17, 18 for neighboring positions are to be extended for non-neighboring positions so that, in place of equality, a relation obtains that depends on the mutual positions of the respective figures, and continuously approaches equality in the limit as the places in question approach one another (figuratively represented: limL 2 =L 1 f (L 2 ) = f (L 1 )).

Remarks. On 3: It does not follow from this that the extension always leads to new points. On 4: Archimedean axiom (Hilbert V,1). On 5: This is not already expressed in 1. The case of a proposition holding in every limited region is to be precisely distinguished from that where it holds in the entirety of the region.

Global Space. “Measure of Curvature”.

m

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n

o

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Aus B 1 folgt, daß diejenigen Grundsätze, die nur über das beschränkte Teilgebiet selbst etwas aussagen, auch für das erweiterte Gefüge allgemeine Geltung behalten. Dies sind die Grundsätze A 3, 7–10. Außerdem bleiben nach B 2 und 5 in Geltung: A 1, 4, 13–16. Die übrigen Grundsätze dagegen (A 2, 5, 6, 11, 12) gelten zwar nach B 1 in jedem beschränkten Teilgebiet, aber nicht allgemein. Greifen wir irgend ein sehr kleines Teilgebiet heraus, was heißen soll, daß nur benachbarte Gebilde (im Sinne von A 17, 18) darin enthalten sind, so gilt die Forderung B 4 für das Gesamtgefüge offenbar erst recht für dieses Teilgebiet. Für ein solches gelten ferner A 1–18 ohne Einschränkung. Diese zusammen bilden nun Hilberts Grundsätze, von denen er nachweist, daß sie zum Aufbau der euklidischen Geometrie genügen (den hier nicht verwandten Grundsatz V, 2 hat auch Hilbert selbst nicht zum Aufbau benutzt; s. § 8 Schluß). Unser Gesamtgefüge ist also so beschaffen, daß überall im Kleinen die euklidische Geometrie gilt. Riemann, der diese Eigenschaft „Ebenheit in den kleinsten Teilen“ nennt, hat zuerst gezeigt, welche verschiedenen Möglichkeiten des Gesamtgefüges mit dieser Eigenschaft vereinbar sind. Das Kennzeichnen0 de dieser verschiedenen Arten des R 3m ist eine gewisse dreiwertige Funktion des Ortes, d. h. eine Zuordnung von je drei Zahlen zu jedem Punkt des Raumes (das „Krümmungsmaß“ für drei Flächenrichtungen in diesem Punkte). Die Bedeutung dieser Zahlen im Zusammenhang mit unsern Forderungen werde jetzt erläutert. Unsre Forderungen verlangen, daß das beschränkte Raumgebiet, dessen räumliche Eigenschaften durch die Anschauung gegeben und in den Grundsätzen A 1–18 ausgesprochen sind, nach allen Seiten erweitert werde. Die Eigenschaften der erweiterten Räume sind am besten dadurch zu kennzeichnen, daß angegeben wird, welche Eigenschaften die in ihnen gelegenen Ebenen haben. Die Untersuchung zeigt, daß in allen solchen Ebenen die Grundsätze A 1, 3, 9, 10, 13–16 gültig bleiben. Im Übrigen können sich aber die räumlichen Verhältnisse in den verschiedenen möglichen Ebenen so sehr von einander unterscheiden, wie die auf den gekrümmten Flächen. Bei letzteren werden sie in bekannter Weise durch Angabe ihres Gauß’|schen Krümmungsmaßes für jeden Punkt gekennzeichnet. Sollen nun die räumlichen Verhältnisse in irgend einem Gebiet einer unserer erweiterten Ebenen gekennzeichnet werden, so kann dies auch durch Zuordnung von Zahlen zu den einzelnen Punkten geschehen. Hierdurch wird dann angedeutet, daß an dieser Stelle der Ebene dieselben inneren Verhältnisse gelten, wie in demjenigen Gebiet einer krummen Fläche, dessen Punkten dieselben Zahlen als Krümmungsmaß zugeordnet sind. Diese die Maßverhältnisse innerhalb der Ebene (nicht das Verhältnis zu außerhalb gelegenen Punkten) kennzeichnenden Zahlen, von denen jedem Punkt je einer zugewiesen ist, nennt man nun auch, wie bei der krummen Fläche, (Riemannsches) Krümmungsmaß der Ebene in dem betreffenden Punkte. Das ist aber nicht so mißzuverstehen, als handele es sich hier um eine in dem 0 erweiterten Raum R 3m krumm liegende Fläche. Sondern die durch solche Krümmungszahlen gekennzeichnete Ebene ist durchaus in dem Sinne eine Ebene, als es für zwei beliebige ihrer Punkte stets eine Verbindungsgerade

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It follows from B 1 that those axioms that only assert something about the limited partial region itself also hold generally in the extended system. These are axioms A 3, 7–10. It also follows from B 2 and 5 that the following continue to hold: A 1, 4, 13–16. On the other hand, the remaining axioms (A 2, 5, 6, 11, 12) hold, in accordance with B 1, in each limited partial region, but not generally. If we choose any very small region — meaning that only neighboring figures (in the sense of A 17, 18) are contained in it — then postulate B 4 for the entire system will a fortiori hold in this partial region. Further, A 1–18 hold without limitation in such a region. Now these together comprise Hilbert’s axioms, which, he establishes, suffice for the construction of Euclidean geometry (the one axiom not employed here, V, 2, is not used by Hilbert in his construction, either; see the conclusion of § 8). So our global system has the property that Euclidean geometry holds everywhere in the small. Riemann, who calls this property “planeness in the smallest parts”, first showed what a variety of different possibilities for the global system are consistent with 0 this property. What characterizes [each of] these different types of R 3m is a certain three-valued function of spatial position: i.e., a coordination of three numbers to every point of space (the “measure of curvature” for three surface directions at this point). The significance of these numbers in the context of our postulates will now be explained. Our postulates require that the limited spatial region whose spatial properties are given by intuition and expressed in axioms A 1–18 be extended in all directions. The properties of the extended spaces can best be characterized by stating the properties of the planes lying within them. Investigation shows that axioms A 1, 3, 9, 10, 13–16 continue to hold in all such planes. Beyond that, however, the spatial relations in the various possible planes can be as different from each other as those on curved surfaces. On these, the spatial relations can be characterized in a well-known way by giving their Gaussian curvature at every point. So, if the spatial relations in any given region of one of our extended planes are to be characterized, this can also be done by coordinating numbers to the individual points. This indicates that at this position in the plane the same inner relations hold as in the region of a curved surface whose points correspond to the same numbers as their measure of curvature. These numbers, which characterize the metrical relations within the plane (not the relations to points lying outside it) and are assigned one to each point, are thus also called, as in the case of the curved surface, the (Riemannian) measure of curvature of the plane at the point in question. But this should not be misunderstood; it is not a matter of a curved surface lying within the extended space 0 R 3m . Rather, the plane characterized by such measures of curvature is unquestionably a plane in the sense that there is always a connecting straight line,

n

o

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gibt, die ganz in der Ebene liegt. So sind dann unter „Geraden“ gekrümmte Linien verstanden, zumal da ja auch von geschlossenen Geraden endlicher Länge die Rede ist? Nein, obwohl auch jedem Punkt einer solchen Geraden eine Zahl als „Krümmung“ zugeordnet ist. Sie ist insofern eine Gerade, als jede kleine Strecke AB von ihr kürzer ist als jedes andre Stück irgend einer Linie unsres Raumes zwischen A und B ; während doch bei einer krummen Linie eine Sehne stets kürzer ist als der zugehörige Kurvenbogen. Der dreistufige Raum ist in seinen Maßverhältnissen dann vollständig gekennzeichnet, wenn für jeden Punkt dieses Flächenkrümmungsmaß für drei verschiedene Flächenrichtungen gegeben ist, wir wollen z. B. annehmen, für drei auf einander senkrecht stehende Flächenrichtungen. Gelten nun für jeden Punkt des Raumes dieselben drei Zahlen, so herrschen auch an jeder Stelle des Raumes dieselben Maßverhältnisse wie an jeder andern. Der Raum heißt in diesem Falle homogen. Eine jede Ebene dieses Raumes hat dann in allen ihren Punkten gleiches Krümmungsmaß („Ebene konstanter Krümmung“), das aber nicht für alle Ebenen dasselbe zu sein braucht. Sind andrerseits in jedem Punkte des Raumes die drei dort geltenden Zahlen einander gleich, so sind dort alle Richtungen des Raumes gleichartig. Der Raum heißt in diesem Falle isotrop. Sind beide Bedingungen erfüllt, so sind alle Punkte und alle Richtungen gleichartig; alle Kennzahlen dieses homogenen und isotropen Raumes | sind einander gleich: das Krümmungsmaß des „Raumes konstanter Krümmung“. In diesem Falle sind alle Ebenen des Raumes nicht nur Ebenen konstanter Krümmung, sondern auch alle untereinander gleichartig; die Krümmung ist für alle gleich, und zwar gleich der des Raumes. (Vgl. die Übersicht der Raumarten, S. 15.) Die Ebenen konstanter Krümmung werden, je nachdem diese negativ, gleich Null oder positiv ist, als hyperbolisch, parabolisch (oder euklidisch) bzw. elliptisch bezeichnet. Die räumlichen Verhältnisse in beschränkten Gebieten dieser Ebenen sind dieselben wie die auf folgenden Flächen des üblichen (euklidischen) Raumes: 1) der sogenannten Pseudosphäre, einer überall sattelförmigen Fläche, 2) der euklidischen Ebene, 3) der Kugel. In allen drei Arten von Ebenen gilt der Kongruenzsatz (anstelle des eingeschränkten Grundsatzes A 17): Stimmen zwei beliebige Dreiecke in je zwei Seiten und dem von ihnen eingeschlossenen Winkel überein, so auch in den beiden andern Winkeln. Daher heißen diese Raumarten auch Kongruenzräume. Die drei Fälle unterscheiden sich durch die Winkelsumme im Dreieck, die kleiner, gleich bzw. größer als zwei Rechte ist; ferner durch die Anzahl der Parallelen: es gibt in einer Ebene zu einer Geraden durch einen Punkt mehrere, eine bzw. keine Gerade, die jene nicht schneidet. Im ersten und zweiten Falle sind die Geraden, die Ebenen und der ganze Raum unendlich; dagegen im elliptischen Raum sind diese drei Gebilde zwar unbegrenzt (d. h. sie haben nirgends ein Ende), aber von endlicher Größe, weil in sich geschlossen; ebenso ist es bei einer Abart des elliptischen Raumes, dem sphärischen, bei dem nicht immer durch zwei Punkte nur eine Gerade geht; in den Teilgebieten dieser beiden 29 Nichteuklidische Raumarten.

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lying entirely within the plane, between any two of its points. So by “straight lines” do we actually mean curved lines — since after all closed lines of finite length have been mentioned? No, even though every point on such a line also has a number coordinated to it as “curvature”. It is a straight line in the sense that any small segment AB on it is shorter than any other interval on any line of our space between A and B — while for a curved line a chord is always shorter than the corresponding arc of the curve. Three-dimensional space is exhaustively characterized in its metrical relations when this measure of surface curvature is given at every point in three different surface directions, let us assume, for instance, in three mutually orthogonal surface directions. Now if the same three numbers hold for every point in the space, then the same metrical relations hold at every position in the space as at every other position. In this case the space is called homogeneous. Every plane of this space then has, in each of its points, the same curvature (“plane of constant curvature”), which need not, however, be the same for all planes. If on the other hand the three numbers that hold at each point are equal to one another, then all directions in the space are equivalent. In this case the space is called isotropic. If both conditions are satisfied, then all points and all directions are equivalent; all characteristic numbers of such a homogeneous and isotropic space are equal to one another: the curvature of the “space of constant curvature”. In this case, not only are all planes in the space of constant curvature, but each one is equivalent to all the others; the curvature is the same for all and, in fact, the same as that of the space itself. (Cf. our overview of space types, p. 15.) The planes of constant curvature are respectively called hyperbolic, parabolic (or Euclidean), and elliptic, depending on whether the curvature is negative, zero, or positive. The spatial relations in limited regions of these planes are the same as those on the following surfaces in ordinary (Euclidean) space: (1) the so-called pseudo-sphere, an everywhere saddle-shaped surface, (2) the Euclidean plane, (3) the sphere. In all three types of plane the [following] congruence theorem holds (in place of the limited axiom A 17): if two arbitrary triangles agree in any two sides and in the angle they enclose, then they also agree in the other two angles. So these space-types are also called congruence spaces. The three cases are distinguished by the sum of the angles in a triangle, which is smaller than, equal to, or greater than two right angles respectively. They also differ in the number of parallels: in a plane there are respectively several, one, or no lines through a point that do not intersect a given line. In the first and second cases the lines, planes, and the entire space are infinite. In elliptic space, however, these three figures are indeed unbounded (i.e. they have no terminus anywhere), but of finite magnitude, since they are closed. The same is true of a special case of elliptic space, spherical space, in which there is not always only one line passing through two points. In the local

Types of Non-Euclidean Space

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p

q

Der Raum: Ein Beitrag zur Wissenschaftslehre (1922a)

Räume gelten dieselben Verhältnisse, sie unterscheiden sich nur durch ihren Zusammenhang im Ganzen. Wir haben aus den Tatsachen, die uns die Anschauung für ein beschränktes Raumgebiet liefert, mit Hilfe der Aufstellung gewisser Forderungen die verschiedenen Arten vollständiger Raumgefüge gefunden, in deren beschränkten Gebieten überall jene Anschauungstatsachen zutreffen. Der Grund, warum wir nicht engere Forderungen aufgestellt haben, durch die wir nur auf das einfachste jener erweiterten Gefüge, nämlich den ungekrümmten euklidischen Raum gekommen wären, wird erst bei der Erörterung des physischen Raumes ersichtlich werden. Hier sei nur schon festgestellt, daß dies gewiß möglich wäre, z. B. durch die Forderung, daß die Grundsätze A 1–18 nicht nur in beschränkten Teilgebieten, sondern auch im ganzen Ge|samtgefüge gelten sollten, und ferner A 17 und 18 nicht nur für benachbarte Gebilde, sondern allgemein. 0 Das betrachtete Gefüge R 3m , der dreistufige Anschauungsraum, ist nun noch in verschiedener Weise der Verallgemeinerung fähig und von bestimmtem Gesichtspunkt aus auch bedürftig. Die mathematische Behandlung der 0 verschiedenen erwähnten Unterarten des R 3m , deren unvermitteltes Nebenund Außereinanderstehen als Entweder-Oder vom Gesichtspunkt der wissenschaftlichen Einheitlichkeit höchst unbefriedigend war, hat zu der Erkenntnis 0 geführt, daß es möglich ist, ein vierstufiges Gefüge R 4m aufzubauen, das diese 0 verschiedenen Arten des R 3m als Teile enthält , aber nicht als Teile in dem Sin0 ne, wie der R 3m dreistufige Raumstücke als Teile enthält, sondern so, wie der 0 R 3m Ebenen, Kugeln und die verschiedensten andern Flächen enthält. Die An0 schauung allerdings vermochte ja nicht einmal den R 3m als Ganzes zu erfassen, 0 geschweige den R 4m , ja von diesem nicht einmal beschränkte Teilgebiete. Doch da vierstufige Gebilde solcher Gebiete aus den anschauungsgegebenen dreistufigen Gebilden mit Hilfe begrifflicher Beziehungen aufgebaut sind, so ist doch eine der anschauungsmäßigen Erfassung verwandte Vorstellungsweise, die sich aus Anschauungs- und Begriffsmäßigem zusammensetzt, hier möglich. In den früher besprochenen formalen Gefügen R 4m und weiterhin R 5m . . . R nm ist schon der Rahmen gebaut, in den hier die anschauungsmäßigen Glieder nur 0 eingefügt zu werden brauchen. Auf diese Weise können wir vom R 4m weiter 0 0 hinaufsteigen zum R 5m usw. und schließlich zum R nm , dem Anschauungsraum mit beliebig vielen Abmessungen. Anschauungsraum soll auch dieses Gefüge noch heißen, trotz der Unmöglichkeit, seine Gebilde, soweit sie selbst mehr als drei Abmessungen haben, in der Anschauung zu erfassen, weil erstens 0 0 auch alle Anschauungsgebilde, die wir im R 3m kennen, im R nm vorkommen, und zweitens auch jene höherstufigen Gebilde aus anschauungsgegebenen Gliedern zusammengefügt sind. Dieser Aufstieg zu höherstufigen Räumen ist der eine Weg zur Verallge0 meinerung des R 3m und damit Vereinigung seiner verschiedenen Unterarten. Der andre Weg bleibt bei dreistufigen Gefügen stehen, geht aber dadurch zu übergeordneten Gattungen weiter, daß nur diejenigen räumlichen Eigenschaften ins Auge gefaßt werden, die nicht auf den Maßverhältnissen beruhen. Gerade in den letzteren, ausgesprochen durch die Grundsätze A 13–18,

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regions of these two spaces the same relations hold; they differ only in their global interconnection. From the facts provided by intuition concerning limited spatial regions, we have identified, by way of assuming certain postulates, the various kinds of complete spatial system in whose limited regions all the facts of intuition hold good. The reason we have not assumed tighter postulates, by which we could have arrived at only the simplest of these extended systems — namely, flat Euclidean space — will only become evident when we discuss physical space. Let it merely be noted here that this would certainly be possible: e.g., via the postulate that axioms A 1–18 should hold not only in limited partial regions, but also in the global system and, further, that A 17 and 18 hold not only for neighboring figures but in general. 0 The system we are considering, R 3m or three-dimensional intuitive space, is capable of generalization in various ways and, from a certain point of view, is also in need of it. The mathematical treatment of these various subspecies of 0 R 3m , whose jumbled incoherence and apparent mutual exclusivity were highly unsatisfactory from the viewpoint of scientific uniformity, led to the realization 0 that it is possible to construct a four-dimensional structure R 4m that contains 0 these different types of R 3m as parts. It contains them not in the sense in 0 which R 3m contains three-dimensional regions as parts, but rather in the sense 0 in which R 3m contains planes, sphere surfaces, and a wide variety of other 0 surfaces. Intuition, however, was not even able to grasp R 3m as a whole, let 0 alone R 4m or even limited regions of it. But since four-dimensional figures in such regions are constructed from intuitively given three-dimensional figures with the help of conceptual relations, a type of imaginative representation akin to intuitive grasp — one combining intuitive and conceptual elements — is nonetheless possible here. In the previously discussed formal systems R 4m as well as R 5m , . . . , R nm the frame is already constructed into which the intuitive 0 0 elements need only be inserted. In this way, we can ascend from R 4m to R 5m , 0 etc. and finally to R nm : the intuitive space with arbitrarily many dimensions. We persist in calling even this system intuitive space, despite the impossibility of grasping its figures intuitively where they have more than three dimensions. For in the first place all the intuitive structures we are acquainted with in 0 0 R 3m also occur in R nm and, secondly, these higher-dimensional forms are put together from intuitively given components. 0 This ascent to higher-dimensional spaces is one way of generalizing R 3m and thereby unifying its different subspecies. The other way remains at the level of three-dimensional systems but proceeds to more general categories by attending only to spatial properties that do not depend on metrical relations. These, as stated in axioms A 13–18, are precisely what distinguishes

p

q

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r

Der Raum: Ein Beitrag zur Wissenschaftslehre (1922a)

0 unterscheiden sich die Unterarten des R 3m . Ein räumliches Gefüge, das auf den Grundbegriffen Punkt, Gerade und Ebene und ihren Beziehungen des Auf|einanderliegens aufgebaut ist, ohne die Beziehungen der Strecken- und Winkelgleichheit zu verwenden, läßt sich daher so gestalten, daß jene Unter0 schiede hier wegfallen. Ein solches Gefüge heißt projektiver Raum R 3p . Das ihm entsprechende formale Gefüge R 3p ist schon erwähnt und durch mehrere Beispiele verdeutlicht worden, von denen das dritte gerade die Anwendung 0 0 auf diesen R 3p darstellte (S. 18). Ein noch allgemeineres Gefüge ist der R 3t , der topologische Anschauungsraum. Bei seinem Aufbau wird auch auf die Grundbegriffe Gerade und Ebene verzichtet und außer dem Punkt nur die allgemeineren Begriffe Linie und Fläche verwendet und ihre Beziehungen des Aufeinanderliegens und ihre Zusammenhangsverhältnisse untersucht. 0 0 In derselben Weise, wie hier der dreistufige metrische Raum R 3m zum R 3p 0 und dann R 3t verallgemeinert worden ist, läßt sich auch der metrische Raum 0 0 mit beliebig vielen Abmessungen R nm zum projektiven R np und topologischen 0 R nt verallgemeinern. Auch dies geschieht durch bloßes Einsetzen der anschauungsmäßigen Raumgebilde in die entsprechenden formalen Gefüge R np und R nt . Wie der R nt das allgemeinste Gefüge formaler Ordnungsbeziehungen, 0 so stellt der R nt das allgemeinste aus anschauungsmäßigen Gliedern gebaute Gefüge dar, den umfassendsten Anschauungsraum, der alle andern möglichen Anschauungsräume teils als Teile, teils als Besonderungen (Spezialisierungen) durch weitere Grundgebilde und -beziehungen in sich trägt. (S. die Übersicht S. 15.)

31 Projektiver, topologischer, mehrstufiger Raum.

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0 the different subspecies of R 3m . A spatial system built up from the primitive concepts point, line, plane and their relations of lying in or on one another — without using the relations of segment and angle equality — can therefore be so constructed that these these [metrical] differences drop out. Such a sys0 tem is called projective space R 3p . The corresponding formal system R 3p has already been mentioned and illustrated by several examples — of which the 0 third was precisely the application to the present R 3p (p. 18). An even more 0 general system is R 3t , topological intuitive space. In the construction of the latter we forego even the primitive concepts of line and plane; besides the concept of point we use only the more general concepts of curve and surface, and we investigate their relations of lying in or upon one another and their interrelations. 0 Just as three-dimensional metrical space R 3m has been generalized here 0 0 to R 3p and then R 3t , we can also generalize the metrical space with arbitrar0 0 0 ily many dimensions R nm to projective R np and topological R nt . This, too, proceeds by simply inserting the intuitive spatial configurations into the corresponding formal systems R np and R nt . Just as R nt is the most general system 0 of formal order-relations, so R nt isthe most general system constructed from intuitive terms: the most comprehensive intuitive space, which comprises all other possible intuitive spaces — some as parts, and some as particularizations (specializations) by means of further primitive figures and relations (see the overview on p. 15).

Projective, Topological, Multi-Dimensional Space.

r

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III.

Der Raum: Ein Beitrag zur Wissenschaftslehre (1922a)

Der physische Raum

Bei den uns durch die Erfahrung gegebenen Vorgängen, der „Natur“, stellen wir außer Beziehungen andrer Art auch solche fest, die in üblicher Sprache räumlich genannt werden: die Beziehungen vor, innerhalb, zwischen, nahe, entfernt usw. Diese Beziehungen sollen hier physisch-räumlich heißen. Die Lehre vom physischen Raum hat also die Aufgabe, festzustellen, welche dieser Beziehungen für die bestimmten, in der Erfahrung vorliegenden Dinge gelten. Die Möglichkeiten der Lösung dieser Aufgabe sollen hier untersucht werden. Es ist seit jeher darauf hingewiesen und neuerdings auch in mathematischen Untersuchungen häufig berücksichtigt worden, daß die räumlichen Gebilde, deren Namen wir zur Bezeichnung der physisch-räumlichen Beziehungen anzuwenden pflegen, z. B. die Gerade, der Kreis, der rechte Winkel, sich in der Natur gar nicht finden, und wenn sie vorhanden wären, nicht mit voller Genauigkeit festgestellt werden könnten. Da nun im Folgenden von einer andern Unmöglichkeit, gewisse physisch-räumliche Verhältnisse festzustellen, die Rede sein soll, so könnte die Verwechslung entstehen, als meinten wir jene Unmöglichkeit, die teils auf der unregelmäßigen Gestalt der Naturkörper, teils auf der notwendig beschränkten Genauigkeit unsrer technischen Hilfsmittel beruht. Um diese Verwechslung zu vermeiden, machen wir die erdichtete Annahme, der Fehler, der der Herstellung regelmäßig begrenzter Körper (z. B. einer geraden Kante) bzw. der Messung anhaftet, könne nach Belieben auf jedes vorgeschriebene Maß herabgedrückt werden. Da die folgende Untersuchung zeigen soll, wie wenig man über die physisch-räumlichen Verhältnisse auf Grund der Beobachtung auszusagen vermag, so kann diese Annahme nicht zu falschen Folgerungen führen. Wir werden also auch einfach von „Punkten“ im physischen Raume sprechen, ohne dabei zu berücksichtigen, daß jede irgendwie bezeichnete oder auch nur kenntliche Stelle im physischen Raum eine wenn auch noch so kleine, von | der Genauigkeit unsrer Beobachtungsmittel abhängige Ausdehnung haben muß. Auch die Schwierigkeit, daß die Gebilde des physischen Raumes als stetig behandelt werden, während die Physik den unstetigen Aufbau der Körper aus getrennten Teilen lehrt, sei hier nicht erörtert, da sie die Lehre vom physischen Raum nach unsrer bisherigen Kenntnis nicht wesentlich beeinflußt. Daß dies jedoch in Zukunft einmal stattfinden könnte, darf nicht als unmöglich erklärt werden. Zuerst sei untersucht, ob und wie eine Gerade im physischen Raum feststellbar ist. Es werde z. B. die Kante eines Körpers vor uns hingestellt oder ein Lichtstrahl aufgewiesen (z. B. durch einige verschiedene Stellen, an denen auf einem beweglichen Schirm die Ecke eines Schattens aufgefangen wird) oder auch nur drei oder mehr Punkte gezeigt; und die Frage lautet: sind diese Linien gerade bzw. liegen die drei Punkte auf einer Geraden? Die Feststellung pflegt dadurch zu geschehen, daß man entweder an der zu prüfenden Linie „entlangsieht“ oder ein Lineal daranhält oder dergleichen. Es wird al33 Die physische Gerade.

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III.

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Physical Space

In the processes given to us in experience — i.e. “nature” — we discern, apart from relations of other kinds, some that are called spatial in customary language: the relations in front of, within, between, near, distant, etc. These relations will here be called physico-spatial. The theory of physical space therefore has the task of establishing which of these relations hold for the particular things present in experience. The possibilities of solving this problem will be investigated here. It has long been noticed, and lately often allowed for in mathematical investigations, that the spatial figures whose names we tend to use for identifying physico-spatial relations, e.g., the straight line, the circle, the right angle, are never found in nature, and that if they were on hand they could not be identified as such with complete accuracy. Now, since in what follows we will discuss a different impossibility of establishing certain physico-spatial relations, [there is the danger that] a confusion could result, [and it could appear] as if we meant the former [impossibility], which is due partly to the irregular shapes of natural bodies and partly to the necessarily limited precision of our technical aids. In order to avoid this confusion, we make the fictitious assumption that errors unavoidable in devising regularly defined bodies (e.g., a straight edge), or in measurement, can be reduced at will to any prescribed level. Since the following investigation is intended to show how little we are able to say about physico-spatial relations on the basis of observation, this assumption cannot lead to false conclusions. We shall therefore also speak simply of “points” in physical space, without worrying that any identified or even recognizable location in physical space must have an extension, however tiny, that depends on the precision of our tools for observing it. The complication that the figures in physical space are treated as continuous. while physics portrays a discrete composition of bodies from separate parts, will also not be considered here, since it has no essential relevance to the theory of physical space, as far as we currently know. We cannot exclude the possibility, though, that this could change. First we consider whether and how a straight line in physical space can be identified. For example, let the edge of a body be presented to us, or a light ray be exhibited (e.g., through a few different places at which the edge of a shadow is intercepted on a moving screen), or even just three or more points be indicated. The question is: are these lines straight, do these points lie on a straight line? One normally establishes this by either “sighting along” the line to be tested, or by laying a ruler along it or something equivalent. It is

The Physical Line.

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Der Raum: Ein Beitrag zur Wissenschaftslehre (1922a)

so entweder vom Lichtstrahl oder von der Linealkante schon vorausgesetzt, daß sie gerade sind. Damit ist offenbar die Frage nicht gelöst, sondern nur zurückgeschoben; denn nun ist weiter zu fragen: woher ist bekannt, daß diese Vergleichslinien, Lichtstrahl und Linealkante, zu denen auch noch der Faden eines ruhenden Fadenpendels und anderes mehr zu zählen wären, gerade sind? Es ist grundsätzlich unmöglich, dies festzustellen, wenn man sich nur an das hält, was eindeutig aus der Erfahrung hervorgeht, ohne freigewählte Festsetzungen über Erfahrungsgegenstände zu treffen. Solche Festsetzungen, die forderungsmäßig aufgestellt werden, ohne daß sie jemals durch Erfahrung bestätigt oder widerlegt werden könnten, und die die Möglichkeit geben sollen, die physischen Linien daraufhin zu prüfen, ob sie gerade sind oder nicht (genauer: ob sie als gerade gelten sollen oder nicht), können von zweierlei Art sein. Entweder es wird unmittelbar festgesetzt, daß eine Klasse von Linien, die durch irgendwelche bestimmten Naturgegenstände oder -vorgänge dargestellt werden, als gerade gelten soll; dies heiße eine „Geradensetzung“. Die Bedingungen, denen jene Klasse von Linien hierfür genügen muß, seien hier nicht erörtert, da dieser Fall der weniger wichtige ist. Der zweite Weg besteht in der „Maßsetzung“. Ungenau ausgedrückt: es wird ein Körper bestimmt, der als starr gelten soll; genau: es wird ein bestimmter Körper und auf ihm zwei bestimmte Punkte gewählt und sodann festgesetzt, welche Maßzahl dem Abstand | dieser Punkte unter den jeweiligen Umständen (Temperatur, Ort, Richtung, Druck, elektrische Ladung usw.) zugeordnet sein soll. Beispiel einer Maßsetzung: es wird festgesetzt, daß die beiden Marken auf dem Pariser Normalmeterstab eine Strecke von 100 · f (T ; ϕ, λ, h; . . . ) cm darstellen; oder: von so und so vielen Fuß oder Yard usw.; mit anderen Worten: es muß auch eine Einheit gewählt werden; darum geht es uns hier aber nicht, sondern nur um die Festsetzung des Körpers selbst und der Funktion f (T, . . . ). Die Prüfung einer physischen Linie auf Geradheit hin ist nun auf Grund einer solchen Maßsetzung in sehr verschiedener Weise möglich. Z. B. kann durch Ausmessung mit Hilfe des festgesetzten Maßkörpers untersucht werden, ob das zu prüfende Linienstück kürzer ist als alle andern Verbindungslinien seiner Endpunkte. Oder man stellt mit Hilfe des Maßkörpers fest, daß zwei andre Körper starr sind, d. h. daß alle Abstände zwischen je zwei Punkten ihrer Oberfläche gleich bleiben (es brauchen hierfür aber nicht alle, sondern nur eine bestimmte Anzahl der Abstände geprüft zu werden). Wenn dann drei oder mehr Punkte des einen ebensoviele Punkte des andern berühren, und der eine läßt sich inbezug auf den andern so bewegen, daß alle diese Berührungen erhalten bleiben, so liegen alle diese Punkte auf einer Geraden. Ferner sind Ausmessung in einem Koordinatensystem und noch andre Verfahren möglich. Es scheint der Einwand nahe zu liegen, daß eine solche Maßsetzung gar nicht frei wählbar sei, sondern auf Erfahrungstatsachen beruhe. Es ist doch aus Erfahrung bekannt, daß z. B. ein Eisenstab bei Erwärmung um 1◦ (um hier nur diesen wichtigsten Einfluß zu berücksichtigen) um 0,000011 seiner Länge zunimmt. Daraus ist zu entnehmen, daß zwei auf ihm bestimmte Punkte, deren Abstand bei der Temperatur T0 a Einheiten beträgt, bei seiner jeweiligen Temperatur T stets den Abstand a(1 + 0,000011 (T − T0 )) haben. Wenn

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therefore already taken for granted that either the light ray or the edge of the ruler in question is straight. The problem is obviously not solved in this way, but merely pushed back, for we now have to ask further: how do we know that the lines used for comparison — light rays and ruler edges (among which we should also count the thread of a resting plumb line and other such things) — are themselves straight? This is impossible to decide in principle if one relies only on what comes unambiguously from experience, without deciding on some freely chosen stipulations about objects of experience. Such stipulations, arrived at by postulation without it ever being possible to confirm or refute them by experience, make it possible to test whether physical lines are straight or not (more precisely, whether they should count as straight or not). The stipulations can be of two kinds. Either it is directly stipulated that a class of lines represented by certain natural objects or processes is to count as straight; call this a “straightness stipulation”. The conditions that such a class of lines must satisfy will not be discussed here, since this case is the less important one. The second way consists in “metric stipulation”. Roughly speaking: a body is specified that is to count as rigid; more precisely: a certain body and two particular points on it are chosen, and it is then stipulated which numerical measure is to be coordinated with the interval between these points under various conditions (temperature, place, direction, pressure, electric charge, etc.). Example of a metric stipulation: it is stipulated that the two marks on the standard meter bar in Paris present a segment of 100 · f (T, ϕ, λ, h; . . .) cm; or of so many feet, yards, etc. In other words, a unit must also be chosen — but this is not what concerns us here, which is just the stipulation of the body itself and the function f (T, . . .). A physical line can be tested for straightness, on the basis of such a stipulated metric, in a great variety of ways. By measuring with the stipulated ruler, for instance, one can determine whether the line segment to be tested is shorter than all other lines connecting its end points. Or one establishes with the ruler that two other bodies are rigid: i.e., that all intervals between any two points on their surfaces remain equal (though one does not need to test all of the intervals for this, but only a certain number of them). If three or more points of one such rigid body are in contact with just as many points of the other, and the former can be so moved relative to the latter that all these points of contact are undisturbed, then all these points lie on a straight line. Measurement in a coordinate system and yet other procedures are also possible. The objection might seem obvious that such a metric cannot be freely chosen at all but rests on facts of experience. It is known through experience, for example, that heating an iron bar by 1◦ (to consider here only this most important influence) expands its length by 0.0011%. One may thence infer that two specific points on such a bar having an interval of a units at temperature T0 will always have an interval of a(1 + 0.000011(T − T0 )) units at temperature T . If I now take other bodies made of iron or any other material and insert the

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ich andre Körper aus Eisen oder andern Stoffen nehme und die entsprechenden Ausdehnungszahlen einsetze, so kann ich alle diese Maßsetzungen als gleichbedeutend ansehen, denn von ihnen ausgehend komme ich ja immer zu der gleichen Maßzahl für irgend eine physische Strecke. Diese gleichwertigen Maßsetzungen seien deshalb nur als eine gezählt und mit M1 bezeichnet. Wo bleibt nun die freie Wählbarkeit; wo sind die andern möglichen Maßsetzungen, durch die man zu andern Messungsergebnissen als jenen physikalisch üblichen geführt wird, ohne doch in Widerspruch zu bestimmten Erfahrungstatsachen zu geraten? Zunächst ist daran zu erinnern, daß eine andre Maßsetzung üblich war, als man den Einfluß der Erwärmung auf die Maßstäbe noch nicht zu berücksichtigen pflegte. Da lautete die Maßsetzung (M0 ): als dauernd gleich gilt der Abstand dieser beiden Marken auf diesem Eisenstab A (also unabhängig von der Temperatur). Man machte dann die Erfahrung der Wärmeausdehnung, d. h. man fand, daß der Abstand zweier Punkte eines andern Körpers B , an dem man keinerlei sonstige Veränderung bemerkte, sich bei verschiedenen Messungen als nicht gleich ergab, nämlich immer dann als kürzer, wenn der Maßstab A warm war. Es wäre trotzdem möglich gewesen, die Maßsetzung M0 beizubehalten, indem man das Ergebnis so ausdrückte: die markierte Strecke auf dem Körper B verändert mit der Zeit ihre Länge, auch wenn alle bekannten Zustandsgrößen von B selbst (Temperatur, chemische Zusammensetzung, elektrische Ladung usw.) unverändert bleiben, wenn nur ihr Temperaturabstand von A sich ändert; also eine Fernwirkung, grundsätzlich nicht widersinniger, als die elektrostatische und die der Schwerkraft, mit denen man sich auch lange zufrieden gegeben hat. Aber es war doch ein wichtiger Grund dafür vorhanden, die Maßsetzung M0 nicht beizubehalten, sondern statt dessen M1 , die die Temperaturabhängigkeit enthält, aufzustellen. Alle Erfahrungstatsachen wären zwar auch mit der Maßsetzung M0 zu bewältigen gewesen, d. h. in Gestalt von Naturgesetzen ohne gegenseitige Widersprüche darzustellen; aber diese Naturgesetze hätten eine sehr viel weniger einfache Gestalt angenommen, als es die üblichen der Wärmeausdehnung sind, durch die auf Grund von M 1 die Tatsachen dargestellt werden. Um die Maßsetzung zu finden, die zu der einfacheren Form der Naturgesetze führt, braucht nicht in jedem solchen Falle die ganze Reihe der möglichen Maßsetzungen versuchsweise aufgestellt und daraus die Naturgesetze entwickelt zu werden. Sondern die Auswahl geschieht häufig gewissermaßen instinktmäßig, in vielen Fällen aber, und dahin geht stets das Streben, bewußt nach Grundsätzen des wissenschaftlichen Verfahrens. Diese Grundsätze selbst allerdings sind noch kaum in eine für die verschiedenen Fälle gültige Form gebracht worden, sondern sind, auch wo die Auswahl der Maß- oder andern Setzung bewußt geschieht, meist stillschweigend in der Begründung enthalten. In unserm Beispiel liegt die Sache so: Bei der Messung verschiedener Körper B , die im Temperaturgleichgewicht sind, mit dem erwärmten Maßstab A zeigt sich, noch bevor man überhaupt daran denken kann, jene Wirkung in ein Naturgesetz zusammen|zufassen, der auffällige Um35 Maßsetzung.

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corresponding coefficients of expansion, I can regard all the resulting metrics as equivalent, because in proceeding from them I always arrive at the same numerical measure for any physical segment. Let these equivalent metrics be therefore counted as identical and designated as M1 . But now what has become of our freedom of choice? Where are the other possible metrics by which one is led to measurement results distinct from those customary in physics, yet without contradicting certain facts of experience? First of all, keep in mind that a different metric was indeed customary when it was still usual to disregard the influence of heating on measuring rods. In those days the metric (M0 ) was stipulated as follows: the interval between these two marks on this iron bar A shall always be considered the same (and thus independent of temperature). Then heat expansion was discovered: i.e., it was found that the interval between two points on another body B — in which no other alteration whatsoever was noticed — did not prove equal on different measurements. Rather, it always came out shorter if the measuring rod A was warm. It would nevertheless have been possible to retain the metric M0 by expressing the result as follows: the segment marked on body B alters its length with time — even if all known state-magnitudes of B itself (temperature, chemical composition, electrical charge, etc.) remain unaltered, provided only that the temperature difference between B and A changes — an action at a distance, in principle no more absurd than electrostatic and gravitational forces, which were put up with for a long time. Yet there was still a very important reason for not sticking with M0 and instead adopting M1 , which incorporates the dependence on temperature. All facts of experience could still have been handled with M0 as well, i.e., represented in the form of natural laws without mutual contradiction. But these natural laws would have taken on a very much less simple form than the usual laws of heat expansion by which the facts are represented on the basis of M1 . To find the metric leading to the simpler form of natural law, it is unnecessary in every such case to try out the entire series of possible metrics and develop the natural laws from them. The choice, rather, is usually made by instinct, but in many cases also — and this is what is always striven for — by deliberately following principles of scientific procedure. Such principles, however, have themselves hardly been given an appropriate form for the different [possible] cases but are usually, even when the choice of metric or other stipulation is made consciously, included tacitly in the reasons for making it. Here is how it looks in our example: in measuring different bodies B that are in thermal equilibrium with the heated measuring rod A , it turns out (even before we can have any idea of expressing the effect in a natural law) not only that there is an action at a distance affecting all bodies B but also,

Metric Stipulation.

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stand, daß nicht nur bei allen Körpern B jene Fernwirkung eintritt, sondern daß sie sogar zahlenmäßig bei allen die gleiche ist, gleichgültig aus welchem Stoff sie bestehen. Hier kommt folgender Grundsatz des wissenschaftlichen Verfahrens zur Geltung: Zeigen inbezug auf einen Vergleichskörper die andern Körper bei aller sonstigen Verschiedenheit in irgend einer Beziehung ein zahlenmäßig gleiches Verhalten, so ist zur Vereinfachung der gesetzmäßigen Darstellung zu versuchen, diese Übereinstimmung als nur scheinbar hinzustellen, dadurch daß dem Vergleichskörper das entgegengesetzte Verhalten beigelegt wird. Dieser Grundsatz, ein Sonderfall des Machschen Grundsatzes der wissenschaftlichen Sparsamkeit, ist es, der den Auffassungen der Erddrehung, der Erdbewegung um die Sonne, der Bewegung der Sonne inbezug auf die Fixsterne gegenüber den älteren, entgegengesetzten Auffassungen den Vorzug gibt. Derselbe Grundsatz in andrer Wendung hat auch, angesichts der Tatsache der gleichen Fallbeschleunigung für alle Körper, zum Einsteinschen Äquivalenzprinzip der Schwerkraft geführt. Dieser Grundsatz nun veranlaßt uns, die Maßsetzung M1 der M0 vorzuziehen. Aber, und darauf liegt hier unser Augenmerk, die Erfahrungstatsachen können uns nicht dazu zwingen. In diesem Sinne ist die Wahl der Maßsetzung frei und unabhängig von der Erfahrung; nicht aber ist die Wahl willkürlich, sondern sie wird durch Grundsätze ähnlich dem angeführten geleitet und kann dabei die Erfahrungstatsachen berücksichtigen. Wichtig für unsere Untersuchung ist die Frage, innerhalb welcher Grenzen die Wahl der Maßsetzung überhaupt möglich ist, abgesehen von der Frage, welche bei den besonderen vorliegenden Erfahrungstatsachen die zweckmäßigste sei; es wird also nur verlangt, daß die Maßsetzung zu einer in sich widerspruchsfreien Darstellung führt. Bei näherer Betrachtung (die hier nicht durchgeführt werden kann) ergibt sich, daß die Maßsetzung irgend zwei Punkte auf der Oberfläche eines beliebigen Naturkörpers wählen darf, mag dieser nach üblicher Betrachtungsweise auch beliebige Gestaltveränderungen erleiden, falls nur die Bedingung erfüllt ist, daß die beiden Punkte sich nie berühren. Nehmen wir z. B. einen Gummikörper C , der vielfach seine Gestalt wechseln mag, wobei aber die beiden Maßpunkte auf ihm sich nie berühren sollen. Ist nun die Maßsetzung (M2 ): „Diese beiden Punkte auf C haben immer den gleichen Abstand“ mit einer Erfahrungstatsache im Widerspruch? Gewiß nicht. Zwar werden die | auf Grund von M2 angestellten Messungen sehr merkwürdige Ergebnisse liefern; alle andern Körper werden gewaltige Gestaltveränderungen erleiden, die mit den üblichen Naturgesetzen nicht in Einklang zu bringen sind, sondern andre erfordern. Sind diese Gestaltveränderungen dann stets in einen gesetzmäßigen Zusammenhang zu bringen, oder werden etwa solche auftreten, die dem Grundsatz „unter gleichen Umständen geschieht Gleiches“ widersprechen? Das kann nicht vorkommen. Denn dieser Grundsatz ist ja erfüllt, wenn M1 als Maßsetzung gilt (d. h. in der gewöhnlichen Physik); hier wird also nach jenem Grundsatz der Abstand der beiden Maßpunkte auf 37 Freiheit der Maßsetzung.

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remarkably, that this effect is in fact numerically the same in all of them, no matter what material they are made of. But here the following principle of scientific procedure comes into play: if, relative to a reference body, the other bodies exhibit numerically identical behavior no matter what their individual differences, then, in order to simplify the representation of laws, one should try to portray this agreement as merely apparent by attributing the opposite behavior to the original reference body. It is this principle, a special case of Mach’s principle of scientific economy, that gives preference to the conception of the earth’s rotation, the earth’s orbiting around the sun, and the sun’s motion relative to the fixed stars over the older conception to the contrary. This same principle, in another form, has also led us from the fact that all bodies fall with the same acceleration to Einstein’s principle of equivalence for gravitational force. This principle now prompts us to prefer M1 to M0 as well. But — and this is what we are focusing on here — the facts of experience cannot force this choice on us. In this sense, the choice of metric is free and independent of experience. It is not arbitrary, however, but is guided by principles such as the one cited above, and can take the facts of experience into account. The question about the limits within which the metric can be chosen is important for our investigation, quite apart from the [further] question as to which [of these] is the most expedient given the particular facts of experience we have to work with. So the requirement is just that the metric should result in a representation that does not contradict itself. On closer examination (which cannot be carried out here) it turns out that a metric may choose any two points on the surface of any natural body, which may, following the usual way of thinking about this, undergo arbitrary changes of shape, subject only to the condition that the two points never touch. Suppose, for example, that we choose a rubber body C , which may change its shape in many ways, although the two measure points on it are never to touch each other. Is the metric stipulation (M2 ),“These two points on C are always the same distance apart”, contradicted by any fact of experience? Certainly not. To be sure, the measurements made on the basis of M2 will yield very peculiar results: all other bodies will undergo tremendous changes of shape that cannot be brought to agree with the customary laws of nature, so other laws will be needed. Can these changes of shape, then, be always brought into a law-governed system, or will there perhaps be some that contradict the principle: “the same things occur under the same circumstances”? This cannot happen. For this principle is of course satisfied if M1 is adopted as the metric (i.e. in the customary physics); so here, by that principle, the interval between

Freedom of the Metric Stipulation.

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C sich nur dann ändern, wenn irgendwelche andern Umstände sich ändern, die dann Ursache jener Abstandsänderung auf C genannt werden. Gilt nun M2 , wird also der Punktabstand auf C als unveränderlich aufgefaßt, so erleiden die andern Körper, soweit sie inbezug auf M1 als starr gelten, gerade dann und

nur dann Gestaltänderungen, wenn jene Umstände eintreten. Diese werden jetzt als Ursache der Änderung der andern Körper aufgefaßt. Ursachlose Veränderung kommt also auch bei Geltung von M2 nicht vor. Aber wie können die erheblichen „tatsächlichen“ Gestaltveränderungen von C geleugnet werden? Sie sind nicht „tatsächlich“, wenn sie nicht feststellbar sind. Und sie sind feststellbar nur durch Abmessen mit einem andern Körper, etwa einem eisernen Maßstab D . Diesen können wir aber nur dann als zur Messung tauglich ansehen, wenn wir in einer frei gewählten Maßsetzung den Abstand der beiden Maßpunkte auf D als unveränderlich erklären; die Tatsachen zwingen uns, wie wir gesehen haben, nicht hierzu; sie widersprechen also auch nicht, wenn D auf Grund von M2 als nicht starr erklärt wird. Wir fassen das Ergebnis der bisherigen Überlegung zusammen. Die Frage, ob drei oder mehr gegebene physische Punkte in gerader Linie liegen, ist aus den Erfahrungstatsachen allein ohne eine gewisse Festsetzung, deren Wahl uns freisteht, nicht zu lösen und daher ohne Bezug auf eine solche Festsetzung sinnlos. Die hier erforderliche Festsetzung geschieht entweder durch Geradensetzung oder durch Maßsetzung. Im letzteren Falle wird der Abstand zweier beliebiger physischer Punkte, die sich aber nie berühren dürfen, irgend einer Zustandsfunktion gleichgesetzt. Die Maßsetzung liefert mehr als die Geradensetzung: nicht nur das Mittel zur Entscheidung über Geradheit von physischen Linienstrecken, sondern auch über ihre Größenverhältnisse. Dieses Ergebnis setzt uns in den Stand, die Bedingungen zur Aufstellung 0 physisch-räumlicher Gefüge zu erkennen. Im R 3t hatten | wir ein Gefüge des Anschauungsraumes, das ohne die Begriffe der Geraden und der Strecken00 gleichheit aufgebaut war. Das ihm entsprechende Gefüge R 3t , den (dreistufigen) topologischen, physischen Raum, können wir demnach aufbauen, ohne über Geradheit und Größenverhältnisse der physischen Linien entscheiden zu müssen, also ohne Geradensetzung und Maßsetzung. Die einzigen Beziehungen, die zur Einordnung der erfahrungsgegebenen physisch-räumlichen Gebilde in ein solches Gefüge erforderlich sind, sind die Beziehungen des Ineinanderliegens (Inzidenz) von Punkten, Linien, Flächen, Raumstücken. Diese Beziehungen für physisch-räumliche Gebilde können ohne Übereinkunft über irgend eine gewählte Festsetzung der Erfahrung entnommen werden. Da keine bisherige Erfahrung uns nötigt, ein höheres als dreistufiges Ge00 füge zu wählen, so bleibe der R nt hier außer Betracht. Daß es keine physischen Raumgebilde von mehr als drei Abmessungen gibt, ist aber keine unbedingte Gewißheit, sondern nur Erfahrungswahrscheinlichkeit. Noch viel weniger ist die Dreistufigkeit etwa Bedingung zur Möglichkeit eines Erfahrungsgegenstandes überhaupt. Denn es kann leicht angegeben werden, welche (grundsätzlich denkbaren, nur bisher nicht vorgekommenen) Erfahrungstatsachen vorliegen müßten, damit wir sie als Gebilde von vier Abmessungen auffassen würden.

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the two measure points on C will therefore change only if some other circumstances change as well, which are then called the causes of such a change of interval on C . Now, if M2 is adopted instead, and the point interval on C is conceived of as unchanging, then the other bodies, insofar as they are counted as rigid according to M1 , will undergo changes of shape precisely when and only when these circumstances occur. The latter will now be conceived of as causes of the change in the other bodies. Thus, causeless change does not occur even when M2 is adopted. But how can we deny the obvious “factual” changes of shape of C ? They are not “factual” if they cannot be detected, and they can be detected only by means of measurement with another body, such as an iron ruler D . This ruler can be viewed as suitable for measurement, however, only if we have, by a freely chosen metric stipulation, declared the interval between the two measure points on D to be unchanging. The facts, as we have seen, do not force this on us; so no contradiction arises even if D is declared to be non-rigid on the basis of M2 . We now summarize the results of the discussion to this point. The question whether three or more given physical points lie on a straight line cannot be answered on the basis of the facts of experience alone without a certain stipulation that we are free to choose, and hence it is meaningless without reference to such a stipulation. The required stipulation is effected either by a straightness stipulation or by a metric stipulation. In the latter case the interval between two arbitrary physical points (which, however, are never to come in contact) is set equal to some function of [physical] state [variables, e.g. temperature, etc.]. The metric stipulation gives us more than the straightness stipulation: not only the means of deciding about the straightness of physical line-segments, but also about their relations of magnitude. This result puts us in a position to find the conditions for specifying 0 physico-spatial systems. In R 3t we found a system of intuitive space that was constructed without using the concepts of straight line or segment congru00 ence. We can therefore construct the corresponding structure R 3t , (threedimensional) topological, physical space, without having to decide about the straightness or relations of magnitude of physical lines, i.e. without straightness stipulations or metric stipulations. The only relations required for the ordering of physico-spatial elements given by experience in such a structure are the relations of lying in or upon one another (incidence) of points, lines, surfaces, and volumes. These relations between physico-spatial elements can be gathered from experience without an agreement on any choice of stipulation. Since nothing we have so far experienced obliges us to choose a struc00 ture of more than three dimensions, R nt will not be considered here. But the fact that there are no physical spatial figures of more than three dimensions is not an absolute certainty, only an experiential probability. Still less is three-dimensionality a condition for the possibility of an object of experience in general. For it is easy to specify what facts of experience (conceivable in principle, but not yet in evidence) there would have to be for us to interpret them as four-dimensional figures.

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Wir sahen, daß nur der topologische Raum (worunter wir jetzt immer den 00 dreistufigen R 3t verstehen wollen) das in der Erfahrung Vorliegende eindeutig 00 wiedergibt. Dagegen ist schon der projektive Raum R 3p nicht eindeutig, da wir zu seinem Aufbau eine Geradensetzung wählen und aufstellen müssen, wozu verschiedene Möglichkeiten vorliegen. Und noch weniger sind wir für 00 den Aufbau eines metrischen Raumgefüges R 3m eingeschränkt; hier gibt es unendlich viele verschiedene Arten. Von welcher Art das aufgebaute Gefüge wird, ist von der Maßsetzung, die wir wählen, abhängig. Dieser Zusammenhang zwischen der freigewählten Maßsetzung und dem sich daraus ergebenden physischen Raumgefüge bildet einen Kernpunkt der ganzen Frage und bedarf noch eingehender Erörterung. Dazu müssen wir eine wichtige Unterscheidung einführen. Es handelt sich um die Zerlegung des in der fertigen Erfahrung Vorliegenden in zwei Bestandteile, die zwei verschiedenen Quellen entspringen. Die beabsichtigte Zerlegung ist der in Stoff und Form der Erfahrung verwandt, aber nicht gleich. Denn die letztere Zerlegung teilt nicht den Bestand der fertigen Erfahrung in zwei Teile, sondern benennt | zwei Teilkräfte (Komponenten, Faktoren), durch deren Zusammenwirken jedes Einzelglied der fertigen Erfahrung überhaupt erst möglich ist; eine Einzelaufweisung ist nicht möglich: ungeformter Stoff ist nicht aufzeigbar, sondern eine bloße Denkabspaltung. Wir wollen anstatt dessen den Schnitt innerhalb des Gebietes der Form machen zwischen notwendiger und wahlfreier Form. Der zwar nicht ungeformte, aber nur in der notwendigen Form erscheinende Stoff heiße „Tatbestand“ der Erfahrung. Dieser kann noch einer weiteren Formung in wahlbestimmter Form unterworfen werden. Um eine Erfahrungsaussage daraufhin zu prüfen, ob sie eine Tatbestandsaussage ist oder nicht, und in letzterem Falle, was in ihr den Tatbestand betrifft und was von der wahlbestimmten Form abhängt, ist zu untersuchen, ob die Erfahrungsaussage für alle möglichen Formungen, hier für unsre Untersuchung: für alle möglichen Arten von Raumgefügen, gültig bleibt. Mathematisch ausgedrückt ist dies dann der Fall, wenn der Inhalt der Erfahrungsaussage unveränderlich (invariant) ist gegenüber ein-eindeutigen, stetigen Raumumbildungen (Transformationen). Dies trifft nun zu für alle topologischen Aussagen und nur für diese, d. h. für die Aussagen über Ineinanderliegen und Zusammenhang der Raumgebilde, und damit für alle Aussagen inbezug auf den topologischen physischen Raum 00 00 R 3t und nur inbezug auf diesen. Dagegen sind alle Aussagen inbezug auf R 3p 00 und R 3m nicht unveränderlich gegenüber jenen Raumumbildungen, gelten also nicht für alle möglichen Formungen, die sich aus den verschiedenen Maßsetzungen ergeben. Sie sind deshalb keine reinen Tatbestandsaussagen, sondern von wahlbestimmter Form abhängig. Und zwar gehört alles das nicht 00 zum Tatbestand, was den Begriff der Geraden und der Ebene für den R 3p , und 00 für den R 3m dazu noch die Begriffe der Strecken- und Winkelgleichheit enthält. Tatbestandsaussagen sind z. B.: „dieser Porzellankörper wird von diesem Glaskörper allseitig umgeben“ oder „die Berührungsfläche dieses Körpers (Tisch) mit diesem Körper (Fußboden) besteht aus drei getrennten Teilen“; 39 Der „Tatbestand“ der Erfahrung.

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We have seen that only topological space (by which we shall now always 00 mean three-dimensional R 3t ) unambiguously reproduces what lies before us 00 in experience. Even projective space R 3p is ambiguous, in contrast, since its construction requires that we choose and specify a straightness stipulation from the different possibilities available. Even fewer limits are imposed on us 00 in the construction of a metrical spatial system R 3m ; here the number of kinds [to choose from] is infinite. Which of these is realized in our completed system depends on the metric we choose. This connection between a freely chosen metric and the physical spatial system it results in lies at the heart of this entire question and requires a more detailed discussion. We need to introduce an important distinction in this regard. It is a matter of dividing what is evident in actual experience into two components that arise from two different sources. The intended separation is related to that between content and form of experience, but it is not quite the same. For this latter distinction does not divide the evidence of actual experience into two parts, but names two partial components (or factors) by whose product each element of actual experience becomes possible to begin with; they cannot manifest themselves individually — unformed content cannot be exhibited, but is split off only in thought. So instead of that we will place the boundary within the realm of form, between necessary and freely choosable form. The content that is — not unformed, but — available only in the necessary form will be called the “factual basis” of experience. It can be subjected to further, freely choosable formation. To find out whether an experiential statement belongs to the factual basis or not, and in the latter case to find out what aspects concern the factual basis and which ones depend on the freely choosable form, we investigate whether the experiential statement continues to hold under all possible deformations — i.e., for the purposes of our investigation, all possible kinds of spatial system. Mathematically speaking, this is the case when the content of the experiential statement remains unchanged (invariant) under one-one and continuous spatial transformations. Now this holds for all topological statements and for these only, i.e. for statements concerning incidence and connection of spatial forms, and thus for all statements with 00 respect to the topological space R 3t and with respect to this only. On the other 00 00 hand, all statements with respect to R 3p and R 3m are not unchangeable under these spatial transformations, and so do not hold for all possible formations resulting from the various metrics. They are therefore not pure statements of factual basis, but depend on form determined by choice. In particular, every00 thing contained in the concepts of straight line and plane for R 3p , as well as 00 in the concepts of segment and angle congruence for R 3m , does not belong to the factual basis. Statements of factual basis are, for example “this porcelain body is surrounded on all sides by this glass body” or “the contact surface of this body (table) with this body (floor) consists of three separated parts” — for

The “Factual Basis” of Experience.

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denn sie bleiben immer gültig, nach was für einer Maßsetzung man auch die Körper ausmessen mag. Dagegen ist die Erfahrungsaussage „diese beiden Punkte dieses Körpers haben den gleichen Abstand wie jene beiden sie jetzt nicht berührenden eines andern Körpers“ keine Tatbestandsaussage, sondern von wahlbestimmter Form abhängig; würde ich etwa die Maßsetzungen unsrer früheren Beispiele (M0 , M1 , M2 ) verwenden, so brauchte die Aussage gewiß nicht immer gültig zu bleiben; sie bezieht sich nur auf eine | bestimmte Gruppe 00 von Maßsetzungen und damit auf bestimmte Unterarten des R 3m . Der Begriff des Tatbestandes, als des Gesamtinhaltes solcher Tatbestandsaussagen, ermöglicht es, genauer zu erkennen, wie sich aus der Wahl einer Maßsetzung ein bestimmter metrischer Naturraum, eine bestimmte Unterart 00 00 00 des R 3m ergibt. Diese Gefüge R 3m sind, wenn auch der R 3t den Vorzug vor ihnen hat, sich aus dem Tatbestand eindeutig zu ergeben, doch unvergleichlich viel wichtiger für Naturwissenschaft und Leben, weil es hier auf Messung ankommt. Wir wählen also eine Maßsetzung, z. B.: „Diese beiden Punkte A und B auf diesem Stück Eisen sollen als Maßpunkte gelten.“ Damit ist gesagt, daß der Abstand der Punkte als dauernd gleich aufgefaßt werden soll und daher als Maßstab dienen kann. Die Gründe zur Wahl gerade dieses Körpers und der beiden Punkte A und B sind hier nicht von Belang; sie werden später erörtert werden; hier ist nur das Ergebnis unsrer früheren Überlegung wichtig, daß die Aufstellung dieser Maßsetzung nie zu Widersprüchen mit der Erfahrung führen kann; wir können uns jetzt genauer ausdrücken: mit dem Tatbestand der Erfahrung. Wir stellen jetzt Versuche an, die uns lehren sollen, welcher Art 00 dasjenige physisch-räumliche Gefüge R 3m ist, das mit der gewählten Maßsetzung und dem Tatbestand der Erfahrung vereinbar ist. Dabei achten wir darauf, daß wir ja keine anderen Voraussetzungen benutzen, als die genannte Maßsetzung und von der Erfahrung nur die Tatbestandsaussagen, also insbesondere nicht unvermerkt ein Wissen um euklidische Geometrie hineinbringen. Das Verfahren der Versuche, die wir anstellen wollen, ist grob und um0 ständlich; die Lehrsätze der Geometrie des R 3m (die für alle seine Unterarten gelten und daher hier angewandt werden dürfen, ohne dadurch eine bestimmte Unterart, etwa die euklidische, schon vorausgesetzt zu haben) könnten uns 00 einfachere Verfahren zur Bestimmung des R 3m liefern; wir legen hier aber größeren Wert auf die Durchsichtigkeit als auf die Sparsamkeit des Verfahrens und wählen deshalb eines, das eins der früher angegebenen unterscheidenden 00 Merkmale der Unterarten von R 3m benutzt, nämlich die Winkelsumme im ebenen Dreieck. Um bei der Anstellung der Versuche einer Mehrdeutigkeit zu entgehen, ist noch der folgende wichtige Umstand zu beachten. Was wir hier als physischen Raum R 00 bezeichnen, ist selbst nicht die Form räumlichen Geschehens, sondern vielmehr nur eine dreistufige | Projektion dieser Form, nämlich der vierstufigen Raum-Zeit-Mannigfaltigkeit. Nun können aus letzterer in verschiedener Weise dreistufige Projektionen gebildet werden durch Wahl von 41 Ausschaltung der Zeitbestimmung.

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these always remain valid no matter which metric may be used for measuring the bodies. On the other hand, the experiential statement “these two points of this body have the same interval as those two points of this other body not in contact with the first” is not a statement of factual basis, but depends on form determined by choice. If I were to apply the metrics in our earlier examples (M0 , M1 , M2 ), this statement would not necessarily continue to hold; it is valid only with respect to a specific group of metrics and thereby with respect to 00 particular subspecies of R 3m . The concept of factual basis, as that of the entire content of all such statements of factual basis, makes it possible to see more precisely how a particular 00 metric space for nature, a particular subspecies of R 3m , results from the choice 00 of a metric stipulation. Although R 3t has the advantage over them of emerging 00 uniquely from matters of fact, the systems R 3m are still incomparably more important for both natural science and everyday life, where measurement is at issue. We therefore choose a metric stipulation, e.g., “these two points A and B on this piece of iron are to serve as measure points”. We thereby assert that the interval between the points is to be conceived of as remaining always the same and can therefore serve as a measuring rod. The reasons for choosing this particular body and these particular points A and B are not important here — they will be discussed later. Here all that matters is the result of our earlier argument: the adoption of this metric can never lead to a contradiction with experience, [or, as] we can now express it more precisely, with the factual basis of experience. We shall now undertake some experiments to tell us which 00 kind of physico-spatial structure R 3m is consistent with the chosen metric and the factual basis of experience. We take care to use no other presuppositions than the above metric stipulation and, as far as experience is concerned, only statements of factual basis, especially so as to avoid slipping in unnoticed what we know about Euclidean geometry. The procedure for the experiments we want to undertake is coarse and 0 cumbersome. The theorems of the geometry of R 3m (which hold for all of its subspecies and can therefore be applied here without already presupposing a particular subspecies such as the Euclidean) could offer us simpler procedures 00 for determining R 3m . But transparency matters more here than economy, so we choose a procedure that employs one of the previously given distinguishing 00 characteristics for the subspecies of R 3m : namely, the angle-sum of a plane triangle. In order to avoid an ambiguity in undertaking the experiments, note the following important consideration. What we here call physical space R 00 is not itself the form of spatial occurrence, but rather only a three-dimensional projection of this form, i.e. of the four-dimensional space–time manifold. Now, three-dimensional projections can be constructed from the latter in various ways through the choice of three axial directions. Under certain circumstances

Elimination of Time Determination.

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drei Achsenrichtungen. Unter bestimmten Bedingungen (wenn nämlich keine der drei Achsen in den Minkowskischen „Vor- und Nachkegel“ fällt) ist eine solche Projektion als Raum aufzufassen. So sind mehrere Raumgefüge möglich, die verschiedenen Bestimmungen der Gleichzeitigkeit zweier Ereignisse an verschiedenen Punkten entsprechen. Von dieser Mehrdeutigkeit können wir uns aber frei machen, wenn wir uns die Beschränkung auf solche Raumverhältnisse auferlegen, die von der Bestimmung der Gleichzeitigkeit unabhängig sind. Das geschieht dadurch, daß wir bei den folgenden Messungsversuchen die Lage zweier räumlicher Gebilde zu einander nur bei gegenseitiger Ruhe feststellen. Soll z. B. die „gleichzeitige“ Berührung der Punkte A , B , C eines Körpers mit je einem der Punkte A 0 , B 0 , C 0 eines andern Körpers festgestellt werden, so darf dies nicht bei nur augenblicksweiser Berührung geschehen, sondern ist so vorzunehmen: ein Beobachter begibt sich (gleichgültig, mit welcher Geschwindigkeit) von A über B , C , A , B nach C ; drei andre Beobachter bleiben in A , B bzw. C , und jeder von ihnen stellt fest, daß die Berührung mit dem entsprechenden Punkt A 0 , B 0 bzw. C 0 dauernd erhalten bleibt zwischen den beiden Zeitpunkten, in denen der erste Beobachter an ihm vorbeikommt. Damit ist für alle Möglichkeiten der Gleichzeitigkeitsbestimmung ein gleichzeitiges Stattfinden der drei Berührungen A A 0 , B B 0 , CC 0 nachgewiesen. Da andre Feststellungen als solche über Punktberührungen bei den folgenden Versuchen nicht vorkommen, so haben wir uns durch diese Vorsichtsmaßregel für die Feststellungen der Eigenschaften des physischen Raumes von der sonst unumgänglich erforderlichen Rücksicht auf die Zeitbestimmung freigemacht. Wir beginnen jetzt die Messungen mit Hilfe des in der Maßsetzung bestimmten Eisenkörpers, der die beiden Maßpunkte A , B trägt. Wir haben ein (physisches) Flächenstück f , etwa die obere Fläche einer Tischplatte, gefunden oder hergestellt, das folgende Bedingungen 1–5 erfüllt. 1) A und B , sowie zwei andre Punkte C und D des Eisenkörpers lassen sich stets zur gleichzeitigen Deckung bringen mit den vier Punkten A 1 , B 1 , C 1 , D 1 auf f . Durch wiederholte Versuche zeigt sich: so oft die drei Punkte A , B , C oder A , C , D oder B , C , D sich mit den ihnen entsprechenden decken, ist stets auch das vierte | Punktpaar in Berührung. Ferner lassen sich A und B stets in gleichzeitige Deckung mit B 1 und C 1 bringen; ebenso auch mit C 1 und D 1 , und auch mit D 1 und B 1 . Wir wollen nun eine Punktmenge, ein Linien-, ein Flächenstück oder einen Körper „starr“ inbezug auf eine bestimmte Maßsetzung nennen, wenn inbezug auf sie der Abstand je zweier Punkte der Menge dauernd gleich bleibt. Nach dieser Begriffsbestimmung ist also zunächst, wenn wir jetzt immer unsre Maßsetzung ( A , B ) voraussetzen, das Punktpaar A , B starr; ferner nach dem Versuch auch die mit diesem stets zur Deckung zu bringenden Paare A 1 , B 1 ; B 1 , C 1 ; C 1 , D 1 ; D 1 , B 1 . Daraus folgt wiederum nach dem ersten Versuch die Starrheit des Punktpaares C , D ; und weiterhin die der vier Punkte A 1 , B 1 , C 1 , D 1 und danach auch der Punkte A , B , C , D . 2) Wir bringen A , B , C , D mit vier andern Punkten A 2 , B 2 , C 2 , D 2 auf f zur Deckung; die wiederholten Versuche zeigen auch hier das gleiche Ergebnis. Also sind auch A 2 , B 2 , C 2 , D 2 starr. So finden wir weiter bei allen Punktmengen von je vier Punkten A n , B n , C n , D n auf f , die mit A , B , C , D zur Deckung ge-

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(when none of the three axes, that is, falls within the Minkowskian “lightcone”), such a projection is to be regarded as space. So it is possible for multiple spatial systems to correspond to different determinations of the simultaneity of two events at different points. But we can free ourselves from this ambiguity by restricting ourselves to those spatial relations that are independent of the determination of simultaneity. This is done by determining the position of two spatial figures relative to each other, in the following measurement experiments, only when they are mutually at rest. If, for example, the “simultaneous” contact of the points A , B , C , of one body with one each of the points A 0 , B 0 , C 0 of another body is to be established, then this must not take place on merely momentary contact. Rather, the following is to be assumed: an observer transports himself (with no matter what velocity) from A by way of B , C , A , B , to C ; three other observers remain at A , B , C , respectively, and each of them establishes that the contact with the corresponding point A 0 , B 0 , or C 0 remains continually in effect between the two instants at which the first observer passes by him. For all possible determinations of simultaneity, a simultaneous occurrence of the three contacts A A 0 , B B 0 , CC 0 is thereby demonstrated. Since we need not determine anything other than coincidences in the following experiments, this cautionary rule for establishing the properties of physical space suffices to free us from the otherwise unavoidably required reference to time determinations. We now begin to make measurements with the help of the iron body specified in our metric stipulation, which carries the two measure points A , B . We have found or produced a (physical) surface area f , perhaps the upper surface of a table top, which satisfies the following conditions (1)–(5). (1) A and B , as well as two other points C and D on the iron body, can always be brought into simultaneous contact with the four points A 1 , B 1 , C 1 , D 1 , on f . Through repeated experiments it appears that, whenever any of the three points A , B , C or A , C , D or B , C , D coincide with their corresponding points, the fourth pair of points also coincide. Further, A and B can always be put into simultaneous coincidence with B 1 and C 1 , and also with C 1 and D 1 , and also with D 1 and B 1 . We shall now call a point-set, a linear or surface element, or a body “rigid” relative to a certain metric stipulation if the interval between any two points in the set always remains the same. According to this definition it follows that, firstly, if we always presuppose our metric stipulation (A, B ), the pair of points A , B is rigid, and further, according to the experiment, so are the pairs A 1 , B 1 ; B 1 ,C 1 ; C 1 , D 1 ; D 1 , B 1 , which can always be made to coincide with A, B . It follows also by the first experiment that the pair C , D , is rigid, and so also is the quadruple A 1 , B 1 , C 1 , D 1 , and therefore the quadruple A , B , C , D. (2) We now bring A , B , C , D into coincidence with four other points A 2 , B 2 , C 2 , D 2 , on f ; repeated experiments here yield the same results as above. So the quadruple A 2 , B 2 , C 2 , D 2 is rigid as well. Moreover, in all point-sets we find the same result for any quadruple A n , B n , C n , D n on f that can be brought into coincidence with A , B , C , D and on which we perform the same experiment

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bracht werden können, und mit denen wir die gleichen Versuche anstellen wie mit A 1 , B 1 , C 1 , D 1 , dasselbe Verhalten. Es findet sich kein solcher Punktvierer, der nicht als starr befunden würde. Die ganze Fläche f ist demnach starr. Dies Verhalten wird während der folgenden Versuche zwischendurch immer wieder nachgeprüft und dauernd bestätigt gefunden. 3) Während nach dem ersten Versuch die Berührungen je dreier der vier Punktpaare A A 1 , B B 1 , CC 1 , DD 1 stets die des vierten mit sich führten, falls dies vierte nicht das Paar CC 1 war, trifft das in diesem letzteren Falle nicht zu: wir beobachten, daß A , B , D die entsprechenden Punkte berühren, C aber zwar anfangs, dann jedoch nicht mehr, während noch jene drei Berührungen erhalten geblieben sind. Die beiden starren Punktmengen A , B , C , D und A 1 , B 1 , C 1 , D 1 haben sich also inbezug auf einander bewegt, wobei drei Punktpaare in Berührung geblieben sind. Dies ist das Kennzeichen der physischen Geraden; auf einer solchen liegen demnach A , B , D , und ebenso A 1 , B 1 , D 1 . 4) Wir bringen A mit A 1 zur Berührung, und gleichzeitig B nacheinander mit verschiedenen dann noch möglichen Punkten B 10 , B 100 , . . . Dann kommt es nie vor, daß nicht auch D mit einem Punkt von f in Berührung ist; diese Punkte seien D 10 , D 100 , . . . Dann liegen A 1 , B 10 , D 10 auf einer Geraden, ebenso A 1 , B 100 , D 100 usw. 5) Diesen gleichen Versuch stellen wir, wie in A 1 , so auch in A 2 , A 3 usw. an, und beobachten in jedem beliebigen Punkt von f das gleiche Verhalten. Daraus schließen wir, daß die Fläche f in jedem Punkt in allen Richtungen gerade Strecken trägt. Also ist f eben. Nun wollen wir die räumlichen Verhältnisse in dieser physischen Ebene untersuchen. Als Prüfmittel verwenden wir die Winkelsumme im Dreieck. Mit ihr hängen, wie schon erwähnt, die die Maßverhältnisse in der Ebene kennzeichnenden Zahlen (Krümmungsmaße) in gesetzmäßiger Weise zusammen. Je nachdem an einer Stelle der Ebene das Krümmungsmaß gleich, kleiner oder größer als Null ist, ist dort die Winkelsumme eines (kleinen) Dreiecks gleich, kleiner oder größer als 180◦ , also ein Winkel eines gleichseitigen Dreiecks gleich, kleiner oder größer als 60◦ . Sechs um einen Punkt herumliegende gleichseitige Dreiecke schließen sich also in den drei Fällen bzw. gerade aneinander oder lassen einen Winkel frei oder überdecken sich teilweise. Wir suchen deshalb auf f um A 1 herum sieben Punkte B 1 , B 2 , B 3 , B 4 , B 5 , B 6 , B 7 derart auf, daß AB nacheinander mit A 1 , B 1 , mit A 1 , B 2 , . . . und mit A 1 , B 7 zur Deckung gebracht werden kann; ferner auch mit B 1 , B 2 , mit B 2 , B 3 , . . . und mit B 6 , B 7 . Dann sehen wir zu, ob B 7 mit B 1 zusammenfällt oder nicht; im ersten Falle hat die Ebene f an der Stelle A 1 die Krümmung Null, im zweiten ein positives oder negatives Krümmungsmaß (man sagt dann auch kurz: sie ist hier gekrümmt; dabei gelten aber wieder die früheren Bemerkungen über die Bedeutung dieser übertragenen Ausdrücke, vgl. S. 28). Um nicht nur das Bestehen der Krümmung, sondern auch ihre Maßzahl feststellen zu können, müssen wir aus unsrer Maßsetzung ein Verfahren zur Messung von Strecken ableiten. Wir stellen zu diesem Zwecke einen Körper 43 Ausmessung auf Grund einer Maßsetzung.

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as on A 1 , B 1 , C 1 , D 1 . We find no such quadruple that is not rigid; therefore, the entire surface f is rigid. This property is intermittently tested during the following experiments and is invariably found to be confirmed. (3) Whereas in the first experiment the coincidence of any three of the four pairs A A 1 , B B 1 , CC 1 , DD 1 always led to coincidence for the fourth as well, except when the fourth pair was CC 1 , in this latter case that does not hold: we observe that A , B , D coincide with their corresponding points, and though C also does initially, it then no longer does, while the other three points of coincidence are preserved. The two rigid point-sets A , B , C , D and A 1 , B 1 , C 1 , D 1 have therefore moved relative to one another in such a way that three point pairs have remained in coincidence. This is the criterion for a physical straight line; hence A , B , D lie on such a line, and so do A 1 , B 1 , D 1 . (4) We bring A into contact with A 1 , and, at the same time, we successively bring B into contact with various other possible points B 10 , B 10 , . . . . It then never happens that D is not also in contact with a point on f : let these points be D 10 , D 100 , . . . . Then A 1 , B 10 , D 10 lie on a straight line, and so do A 1 , B 100 , D 100 , etc. (5) We do this same experiment, as with A 1 , also with A 2 , A 3 , etc. and observe the same results for any arbitrary point on f . From this we conclude that the surface f carries straight lines in all directions at every point. Therefore f is planar. We now wish to investigate the spatial relations on this physical plane. We employ the sum of the angles in a triangle as our test. As already mentioned, the numbers that characterize the metric relations in a plane (measures of curvature) are related to this angle sum in a law-governed way. Depending on whether the curvature at a point on the plane is equal to, less than, or greater than zero, the angle-sum of a (small) triangle there is equal to, less than, or greater than 180◦ — and thus the angle of an equilateral triangle is equal to, less than, or greater than 60◦ . Six equilateral triangles surrounding a point will therefore, in the three cases, fit exactly, leave an angle free, or partially overlap. Around A 1 on f we therefore seek seven points B 1 , B 2 , B 3 , B 4 , B 5 , B 6 , B 7 such that AB can be successively brought into coincidence with A 1 B 1 , A 1 B 2 , . . . , and A 1 B 7 , and likewise also with B 1 B 2 , B 2 B 3 , . . . , and B 6 B 7 . We then check whether or not B 7 coincides with B 1 . In the first case the plane f has zero curvature at point A 1 , in the second case it has a positive or negative curvature (in that case one can also say, for short: it is curved at this point; however, our earlier remarks about the meaning of these metaphorical expressions again apply; cf. p. 28). In order to be able not only to establish the fact of curvature but also its numerical value, we must derive from our metric stipulation a procedure for measuring line segments. For this purpose we produce a body on whose surface

Measurement Based on Metric Stipulation.

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her, auf dessen Oberfläche ein einfach zusammenhängendes Linienstück g sich durch folgende Versuche als starre, gerade Kante zeigt. Wir prüfen die Punkte von g mit den beiden Punkten A , B unsres Maßkörpers in ähnlicher Weise, wie wir die Fläche f geprüft haben. Entsprechend dem Versuch 1 zeigen wir zuerst, daß die Endpunkte P 0 und P 10 von g ein starres Punktpaar bilden, und zwar, daß sie denselben Abstand wie A und B haben. Darauf wird durch Vergleich mit der starren Ebene f entsprechend den Versuchen 1 und 3 gezeigt, daß für einen Punkt Q auf g die drei Punkte P 0QP 10 starr sind und auf einer Geraden liegen. Wird dann in weiteren Versuchen dies für jeden beliebigen Punkt P von g immer bestätigt gefunden, dann ist damit g als starre, | gerade Kante nachgewiesen. Nun markieren wir, um etwa in üblicher Weise mit Zehnteln der Einheitsstrecke AB = P 0 P 10 messen zu können, neun Punkte P 1 . . . P 9 auf g derart, daß die zehn Punktpaare P 0 P 1 , P 1 P 2 , . . . P 9 P 10 sich als abstandsgleich erweisen, indem sie nacheinander mit einem Punktpaar M N auf f zur Deckung gebracht werden. Ebenso können wir auch jede Teilstrecke wieder in zehn gleiche Teile teilen, und so fort, soweit die Genauigkeit der mit diesem Maßstab vorzunehmenden Messungen es verlangt bzw. die Beobachtungsgenauigkeit es gestattet. Der Abstand irgend zweier Punkte K , L eines andern Körpers, der kleiner ist als der Abstand AB (sonst müßten wir in leicht ersichtlichem Verfahren einen längeren Maßstab herstellen), kann jetzt mit dem Maßstab g gemessen werden: wir legen den Maßstab so an, daß K mit P 0 , und L auch mit einem Punkt von g sich deckt. Liegt letzterer z. B. in der Teilstrecke P 6 P 7 , so ist der Abstand K L mit der durch diese Teilung bestimmten Genauigkeit gleich 0,6, wobei AB als Maßeinheit genommen ist. Um genauer zu messen, muß die Unterteilung der Strecke P 6 P 7 berücksichtigt werden. Von grundsätzlicher Bedeutung ist hier, daß diese Überlegung zeigt: zur Streckenmessung werden, nachdem auf Grund der Maßsetzung ein Maßstab hergestellt ist, lediglich topologische Eigenschaften festgestellt, also nur „Tatbestandsaussagen“, nämlich das Sichberühren von Punkten und das Liegen eines Punktes auf einer Strecke. Mit dem so hergestellten Maßstab kehren wir zur Fläche f zurück. Wir hatten um den Punkt A 1 herum die Ecken gleichseitiger Dreiecke gezeichnet, ohne aber mit den bisherigen Hilfsmitteln auch die Seiten feststellen zu können. Dies geschieht nun in einfacher Weise mit Hilfe der Kante g . Wir bringen P 0 P 10 nach einander mit A 1 B 1 und B 6 B 7 zur Deckung und markieren dabei alle diejenigen Punkte auf f , die sich mit den Punkten von g berühren. Dann stellen wir fest, ob die Strecken A 1 B 1 und B 6 B 7 einen Punkt gemeinsam haben. In diesem Falle ist das Krümmungsmaß entweder gleich Null, wenn nämlich die zusammenfallenden Punkte B 1 und B 7 sind, oder positiv, wenn andre Punkte zusammenfallen. Haben die beiden Strecken keinen gemeinsamen Punkt, so ist das Krümmungsmaß negativ. (Die Fälle außerordentlich starker Krümmung, Krümmungsmaß etwa ± 1, mögen hier außer Betracht bleiben, da sie nichts grundsätzlich andres enthalten; es kommen nur andre Strecken zum Schnitt, und die spätere Berechnung ändert sich.) Nun messen

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a simply connected line segment g is shown to be a rigid straight-edge via the following experiments. We test the points of g with two points A , B of our metric body in the same way in which we tested the surface f . Corresponding to experiment (1) we show, firstly, that the end points P 0 and P 10 of g constitute a rigid point pair and, indeed, that they have the same interval as A and B . Then, by comparison with the rigid plane f , it is shown, corresponding to experiments (1) and (3), that for a given point Q on g the three points P 0QP 10 are rigid and lie on a straight line. If in further experiments this is always found to be confirmed for any arbitrary point on g , the latter is thereby shown to be a rigid straight-edge. Now, in order to be able to measure in something like the usual way with tenths of the unit segment AB = P 0 P 10 , we mark nine points P 1 , . . . , P 9 on l such that the ten point-pairs P 1 P 2 , P 2 P 3 , . . . , P 9 P 10 prove to be equidistant — by being successively brought into coincidence with a point pair M N on f . Similarly, we could also divide each of these segments in turn into ten equal parts, and so forth, depending on the precision required of the measurements to be made with this ruler, and permitted by the degree of observational accuracy. The distance between any two points K , L smaller than the distance AB (otherwise we would have to set up a longer measuring rod using a straightforwardly obvious procedure), can now be measured with the ruler g : we apply the ruler so that K coincides with P 0 and L with a second point on g ; if, for example, the latter lies in the partial segment P 6 P 7 , then the interval K L is equal to 0.6 with the precision determined by this division, where AB is taken as the unit of measurement. To measure more precisely, one must refer to a subdivision of the segment P 6 P 7 . What is of fundamental importance here is that these considerations show that, once a measuring rod is set up on the basis of the metric stipulation, only topological properties are identified when segments are measured, and thus only “statements of factual basis”: the mutual contact of points and the location of a point in a segment. With the measuring rod fabricated in this way, we now return to the surface f . We had drawn around point A 1 the vertices of equilateral triangles, without also being able to determine the sides by the means so far available. We can now do this simply with the help of the straight-edge g . We bring P 0 P 10 successively into contact with A 1 B 1 and B 6 B 7 and mark all those points on f that come into contact with these points of g . We then establish whether the segments A 1 B 1 and B 6 B 7 have a point in common. In this case the curvature is either zero, if B 1 and B 7 coincide, or positive, if other points coincide. If the two segments have no common point, the curvature is negative. (The cases of extraordinarily pronounced curvature — curvature around ±1 — may be left out of consideration here, since they contain nothing fundamentally different; it will merely be the case that other segments will intersect and the later calculations will be changed.) We now measure the interval a of

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wir den Abstand a der Punkte B 1 und B 7 mit dem Maßstab g , also in | Bruchteilen der Einheitsstrecke AB ; wir geben dann der Maßzahl a positives oder negatives Vorzeichen, je nachdem sich durch das genannte Kennzeichen das Krümmungsmaß als positiv oder negativ herausgestellt hat. Die so gefundene Zahl ± a könnten wir nun unmittelbar als Krümmungsmaß auffassen. Wir können aber auch, um mit der üblichen Bezeichnungsweise in Übereinstimmung zu bleiben, das Gauß-Riemannsche Krümmungsmaß k berechnen, das für nicht allzu starke Krümmung zu a proportional ist: k = p23 a . Wir haben somit das Krümmungsmaß des Ebenenstücks f an der Stelle A 1 bestimmt. Um die Maßverhältnisse im ganzen Gebiet f zu bestimmen, müssen dieselben Versuche an verschiedenen andern Punkten angestellt werden. Wieviele Punkte hierzu zu nehmen sind, ist keine grundsätzliche Frage, sondern hängt davon ab, welche Genauigkeit für die Darstellung der gesamten Maßverhältnisse von f erreicht werden soll, und wird sich auch danach richten, ob starke Unterschiede des Krümmungsmaßes für verschiedene Orte gefunden werden. Sind die Feststellungen für f geschehen, so muß in der gleichen Weise der ganze übrige Raum durchmessen werden: es sind überall Platten herzustellen, die ebenso wie f als starr und eben nachgewiesen werden müssen, und auf diesen ist das Krümmungsmaß zu bestimmen. Und zwar muß dies in jedem Punkt des Raumes für drei Flächenrichtungen geschehen. Wenn wir das ganze Weltall so durchmessen haben, so ist eindeutig der besondere metrische 00 Raum, ein ganz bestimmter Unterfall von R 3m , gefunden, der mit dem Tatbestande der Erfahrung und der gewählten Maßsetzung in Übereinstimmung ist. Wählen wir irgend eine andre Maßsetzung, so finden wir auch durch das gleiche Verfahren eindeutig ein bestimmtes, im Allgemeinen anderes physisches Raumgefüge. Die Darstellung dieses Versuchsverfahrens hat lediglich den Zweck, zu zeigen, daß erstens die Feststellung der Maßverhältnisse des physischen Raumes nur einen Sinn hat, wenn eine frei wählbare Maßsetzung aufgestellt worden ist, und daß zweitens diese Feststellung dann aus der Erfahrung nur den Tatbestand benutzt, d. h. nur topologische Eigenschaften der physischen Raumgebilde beobachtet und verwertet, ohne Voraussetzungen über Geradheit irgend welcher physischer Linien, etwa der Lichtstrahlen, über Parallelität, über Homogeneität des Raumes (in dem früher angegebenen Sinne) und dergleichen zu machen. Damit ist der häufig erhobene Einwand widerlegt, daß | die Feststellung der Maßverhältnisse des physischen Raumes durch Versuche einen Zirkelschluß enthalte, da sie Voraussetzungen mache, die sie erst beweisen wolle. Dies die grundsätzliche Bedeutung des Verfahrens. Die wirkliche Ausführung der Versuche dagegen würde sich ganz anders gestalten, einerseits erleichtert, andrerseits erschwert werden. Wir können jenes äußerst umständliche und in größeren Gebieten technisch gar nicht durchführbare Verfahren bedeutend vereinfachen: wie wir mit den Maßpunkten A , B die Fläche f geprüft haben, können wir auch die Eigenschaften der Lichtstrahlen prüfen und 45 Die Raumart wird durch Versuche bestimmt.

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the points B 1 and B 7 with the measuring rod g , thus in fractions of the unit segment AB ; we then give the number a positive or negative sign depending on whether the curvature has been established as positive or negative by our criterion. We could now interpret the number ±a directly as the measure of curvature. But, in order to conform to the usual notation, we can also calculate the Gauss–Riemann curvature k , which is proportional to a when the curvature is not extreme: k = p23 a . We have thereby determined the curvature of the plane area f at position A 1 . In order to determine the metrical relations in the entire region f we must carry out the same experiments at various other points. How many points are chosen for this purpose is not a matter of principle, but depends on the degree of precision aimed at in presenting the global metrical relations of f , and will also take into account whether large differences of curvature are found for different places. Once the findings for f are completed, all the rest of space must be measured in the same way: flat panels are to be fabricated everywhere that have to be proved rigid and plane just like f , and the curvature is to be determined from them. And this must be done for three different directions at every point in space. When the entire universe has been so measured, then we have unambiguously found the specific metrical space, a particular 00 subspecies of R 3m , that agrees with the factual basis of experience as well as with the chosen metric stipulation. If we choose any other metric stipulation, then by the same procedure we also find, unambiguously, a certain definite, but in general different, physico-spatial structure. The [above] presentation of this experimental procedure has only the purpose of showing, firstly, that the specification of metrical relations in physical space has a meaning only when a freely chosen metric stipulation has been adopted and, secondly, that, as far as experience is concerned, only the factual basis is employed in such a specification of metrical relations, i.e. only the topological properties of the physico-spatial structure are observed and evaluated, and no assumptions are made about the straightness of any physical lines (such as light rays), about parallelism, about the homogeneity of space (in the sense given earlier), and the like. We thereby overcome the frequently raised objection that the experimental establishment of metrical relations of physical space is circular, since it makes assumptions that it then attempts to prove. This is the fundamental significance of the procedure. The actual execution of the experiments would of course take quite a different form, simpler in some respects, more difficult in others. We can significantly simplify our extremely cumbersome procedure, which in larger regions is technically quite impossible to carry out: just as we tested the surface f with the measurepoints A , B , we can also test the properties of light-rays and use these rays as

The Kind of Space as Determined by Experiment.

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die Strahlen dann in bequemerer Weise zum Aufbau der Figuren verwenden. Als solche brauchen wir auch nicht die sechs gleichseitigen Dreiecke mit dreizehn abzutragenden und einer zu messenden Strecke zu nehmen, sondern können einfachere Figuren benutzen. Es zeigt sich als möglich und besonders geeignet, eine recht große Figur zu wählen, an der nur sehr kleine Strecken zu messen sind. Dies ist z. B. der Fall, wenn ein großes, aus Lichtstrahlen gebildetes Dreieck gewählt wird, dessen Winkel dadurch bestimmt werden, daß an Meßgeräten, die in den Ecken aufgestellt sind, gewisse Strecken gemessen werden. Dies Verfahren hat Gauß angewandt, mit Hilfe des Dreiecks Inselsberg — Brocken — Hoher Hagen. Zu der Verwendung von Lichtstrahlen ist jedoch zu bemerken, daß in diesem Falle die Außerachtlassung der Zeitbestimmung nicht zulässig ist, da die früher genannten Vorsichtsmaßregeln, die uns das Recht dazu gaben, dann nicht anwendbar sind. Die Schwierigkeiten, die sich andrerseits bei der wirklichen Durchführung solcher Versuche ergeben, beruhen darauf, daß (die übliche Maßsetzung M 1 vorausgesetzt) das Krümmungsmaß sich überall entweder als Null oder doch als äußerst klein herausstellt, sodaß das Verfahren mit dem herumbewegten Eisenstück viel zu ungenau wäre, und nur solche Verfahren, die große Gebiete zu durchmessen gestatten, also wohl nur solche mit Lichtstrahlen, Aussicht auf Erfolg bieten. Das gegenseitige Abhängigkeitsverhältnis zwischen Tatbestand, Maßsetzung und Art des physischen Raumes haben wir bisher so betrachtet, daß die Maßsetzung gewählt, und danach die Eigenschaften des physischen Raumes gefunden wurden. Jetzt wollen wir umgekehrt vorgehen und zeigen, wie es auch möglich ist, die Maßverhältnisse des physischen Raumes in freier Wahl zu bestimmen, und wie sich dann eine Maßsetzung findet, die auf | Grund des Tatbestandes die gewählte Raumart ergibt, und sich danach die Gestalt der einzelnen Naturgesetze richtet. Wie wir im obigen Beispiel bei der Darstellung der Versuche, um das Grundsätzliche deutlicher hervortreten zu lassen, viel stärkere Krümmungen annahmen, als sie sich bei der wirklichen Ausführung der Versuche zeigen, so wollen wir auch jetzt ein Raumgefüge wählen, das von dem üblichen sehr stark abweicht. Das Grundsätzliche, die Wählbarkeit der Raumart, wird hierdurch klarer, als wenn wir etwa den ungekrümmten (euklidischen) Raum R i00h = wählen wollten. Ihn würde man in Wirklichkeit vermutlich stets nehmen, wenn man von der Wahl des Raumes ausgeht, weil er der einfachste ist. Im Gegensatz zu obigem Beispiel verwenden wir aber jetzt nicht erdachte Versuchsergebnisse, sondern die der bestehenden Physik. Dies ist besonders an den Stellen zu beachten, wo infolge andrer Deutung der physikalischen Beobachtungen ganz andre Maßverhältnisse von den Dingen, z. B. der Erde, ausgesagt werden als in der Physik; die topologischen Verhältnisse, die einzigen, die die physikalische Beobachtung tatsächlich feststellen kann, sollen stets mit der Physik in Einklang bleiben.

47 Die Raumart wird frei gewählt.

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a more convenient way of constructing figures. Nor do these need to be the six equilateral triangles with thirteen segments to be extended and one to be measured; we can use simpler figures. It proves to be possible, and especially suitable, to choose a quite large figure on which only very small segments need to be measured. This is the case, for example, if we choose a large triangle constructed from light rays whose angles are determined by measuring certain segments with surveying instruments set up at each corner. This procedure was applied by Gauss with the help of the triangle determined by [the mountains] Inselsberg, Brocken, and Hoher Hagen. Regarding the use of light rays in this way, however, it should be pointed out that the neglect of the time dimension is not permissible, since the above-mentioned cautionary procedures that entitled us to neglect it are not applicable in this case. On the other hand, the difficulties that emerge in the actual execution of such experiments rest on the fact that (if we presuppose the customary metric M1 ) the curvature proves to be everywhere either zero or extremely small, so that the procedure with the the iron rod moving around would be far too imprecise and only such procedures as permit the measurement of large regions, presumably only those using light rays, offer any prospect of success. Up until now we have considered the reciprocal relations of dependence between matter of fact, metric stipulation, and kind of physical space by choosing a metric stipulation and then finding the properties of physical space. We now want to proceed in the opposite direction and show how it is also possible to specify the metric relations of physical space by freely choosing them and how a metric stipulation is [thereby uniquely] determined that, in conjunction with the factual basis, yields the desired kind of space, and in conformity to which the form of individual laws of nature is adjusted. In presenting the experiments in the above example, we assumed much stronger curvatures than occur when the experiments are actually performed, so as to make the matter of principle stand out more clearly. In the same way we now also choose a spatial system that diverges significantly from the usual one. The matter of principle, the optional character of the kind of space, is thereby made clearer than if we were to choose, say, the flat (Euclidean) space R i00h= . This one would always be chosen in practice, presumably, if we were starting from a choice of space, since it is the simplest. In contrast to the above example, however, we shall now employ, not the results of imaginary experiments, but those of actual physics. This should be borne in mind especially at those points where, owing to a different interpretation of physical observation, completely different metrical relations are asserted of things, such as the earth, from those in the usual physics; topological relations — the only ones that physical observation can actually establish — are always to remain in harmony with physics.

The Kind of Space as Freely Chosen

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Um ein anschauliches Beispiel zu nehmen, werde bestimmt: die Erdoberfläche E soll als Ebene gelten. Da E , auf Grund der üblichen Maßsetzung M1 vermessen, sich als Kugel herausstellt (der Einfachheit halber lassen wir die Abplattung außer Betracht), so wird sich hier eine andre Maßsetzung als erforderlich erweisen. Aber die Wahlfreiheit inbezug auf das Raumgefüge ist mit der Festsetzung jener Bestimmung noch nicht zu Ende. Es steht uns nämlich noch frei, zu bestimmen, welches Krümmungsmaß die Ebene E an den verschiedenen Punkten haben und wie der übrige Raum beschaffen sein soll. Wir können also z. B. bestimmen, E solle überall das Krümmungsmaß Null haben. Dann würde die Erdoberfläche als unendlich groß aufgefaßt werden können und überall auf ihr die euklidische Geometrie der Ebene gelten. Der Kürze halber wollen wir hier nicht darauf eingehen, diese seltsam erscheinende Auffassung durchzuführen und nachzuweisen, daß sie tatsächlich mit keiner physikalischen Erfahrung, also auch nicht mit den Ergebnissen der geodätischen Messungen optischen oder mechanischen Verfahrens in Widerspruch steht, wofern nur diese anders gedeutet werden als üblich, nämlich nicht auf Grund der Maßsetzung M1 , sondern einer andern Me . Me müßte dabei etwa folgende Form haben: „Diese beiden Punkte A , B auf diesem Eisenkörper stellen einen Abstand dar, der | nicht als dauernd gleich gelten, sondern (außer von Temperatur, Magnetisierung usw. in dem und dem Maße) vor allem von dem Ort auf E , an dem sich der Körper befindet, in der und der Weise abhängig sein soll.“ Dabei müßte diese Abhängigkeit so angegeben werden, daß dabei irgend ein Punkt von E , z. B. der Ort, an dem sich gerade jetzt der Eisenkörper befindet, oder der Nordpol, in bestimmter Weise bevorzugt erscheint. Wollen wir nicht, daß in der Maßsetzung eine solche Bevorzugung eines Punktes von E auftritt, so müssen wir bestimmen, daß E als Ebene mit überall positivem Krümmungsmaß gelten soll, das dem Betrage nach dem Krümmungsmaß gleich ist, das E auf Grund von M1 als Kugel hat. Dann wird die Maßsetzung keine Abhängigkeit vom Ort auf E mehr enthalten. Jetzt können wir noch über die Werte des Krümmungsmaßes für das ganze übrige Weltall verfügen. Wir wollen das einfachste Gefüge wählen, das mit den schon getroffenen Bestimmungen in Einklang gebracht werden kann: der Raum soll homogen und isotrop sein, also in allen Punkten und in jeder Flächenrichtung dasselbe Krümmungsmaß haben. Da dieses schon für E als positiv bestimmt ist, so ist damit die Wahl auf einen R i00h > gefallen. Nun ist zu untersuchen, welche Maßsetzung zu diesem gewählten Raumgefüge gehört. Anstatt der Ableitung sei gleich das Ergebnis genannt, und dann geprüft, ob es mit jenem Raumgefüge und dem Tatbestand der physikalischen Erfahrung, also insbesondere mit allen astronomischen und irdischen Raummessungen in Einklang zu bringen ist. Die Maßsetzung (M s ) lautet: „Diese beiden Punkte A , B auf diesem Eisenkörper stellen einen Abstand dar, der zwar als unabhängig von dem Ort auf E , aber (außer von Temperatur, Magnetisierung usw. in demselben Maße wie bei M1 ) als abhängig von der Höhe h s über E gelten soll: l = l 0 (1 − sin h s ).“ Über Einheiten und Zahlenwerte später. Zunächst sehen wir, daß M s mit M 1 genau übereinstimmt, soweit es die Verhältnisse auf E selbst angeht. In-

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To give a vivid example, let us regard the earth’s surface E as a plane. Since E turns out to be a sphere when measured on the basis of the customary metric M1 (for simplicity we ignore oblation), a different metric will prove to be required here. But the freedom to choose with respect to the spatial structure is not yet exhausted by the choice of metric. For we are still free to decide what curvature the plane E is to have at the various points and how the rest of space is to be configured. We can decide, for example, that E is to have zero curvature everywhere. We could then regard the earth’s surface as infinitely large, with the Euclidean geometry of the plane holding everywhere upon it. For the sake of brevity, we will skip the task of working out this apparently bizarre idea and showing that, in fact, it conflicts with no physical experience, including the results of geodetic measurement by optical or mechanical means, provided only that the latter are interpreted differently from what is customary, i.e. not on the basis of the metric M1 , but on the different one Me . For this purpose Me would have to take something like the following form: “these two points A , B on this iron body represent an interval that is not to count as always the same but (aside from temperature, magnetization, etc. in such and such a degree) is to depend above all on the place on E at which the body is located in such and such a manner”. This dependency would have to be so stated that some one particular point on E , e.g., the place at which the iron body is found just now, or the North pole, say, appears privileged in a certain way. If we do not wish such preference for a point on E to appear in our metric, then we have to determine that E is to be considered as a plane with positive curvature everywhere whose magnitude is equal to that which E has as a sphere on the basis of M1 . Our metric will then no longer contain any dependence upon the location on E . Now we can still decide on the values of the curvature for the whole rest of the universe. We want to choose the simplest system that can be made consistent with the decisions already made: space is to be homogeneous and isotropic and is thus to have the same curvature at all points and in every surface direction. Since this has already been determined as positive on E , our choice has thereby fallen upon a species of R i00h> . Our task now is to investigate which metric is appropriate to this chosen spatial system. In place of a derivation, let us state the result at once, and then test it to see whether it can indeed be harmonized with both the spatial structure and the factual basis of physical experience — and thus, in particular, with all astronomical and terrestrial spatial measurements. The metric (M s ) runs as follows: “these two points A , B on this iron body represent a distance that is to be independent of its location on E , but (aside from temperature, magnetization, etc., just as for M1 ) dependent on the height h s above E : l = l 0 (1 − sin h s )”. Units and numerical values come later. For now, we note that M s agrees precisely with M1 so far as conditions on E itself are concerned. It follows

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folgedessen sind alle Strecken auf E , die in der Physik als gleich gelten, auch hier als gleich anzusehen. Nach M1 sind nun die Hauptkreise der Erdkugel die kürzesten Linien auf E . Folglich sind sie es auch nach M s . Und da hierbei, wie noch durch Messungen außerhalb von E bestätigt werden soll, E eine Ebene ist, so sind die gleichen Linien hier die Geraden. Wegen der Übereinstimmung inbezug auf M1 und M s auf E gelten die physikalischen cm-Maßstäbe, soweit sie auf E angewandt werden, auch für die M s -Messung. Wir wollen aber, um einfachere Formeln für die Ver|hältnisse im ganzen Raum zu bekommen, nicht 1 cm oder 1 m als Längeneinheit wählen, sondern 6370 km. In dieser Einheit wird die Gesamtlänge jeder Geraden, z. B. des Äquators oder der Meridiane, gleich 2π. Wie leicht zu übersehen, geht durch irgend zwei Punkte von E im Allgemeinen zwar nur eine Gerade; sind diese Orte aber Gegenpole (z. B. Nordund Südpol, oder Beobachtungsort und Gegenfüßlerort), so gehen durch sie unendlich viele Geraden. Dadurch ist die Ebene E als besondere Abart der elliptischen Ebene („sphärische Ebene“) gekennzeichnet. Wegen der für unsern Raum bestimmten Homogeneität ist er selbst damit auch als „sphärischer Raum“ festgelegt; die ihn ergebende Maßsetzung und die danach gemessenen Strecken seien deshalb mit M s , l s , h s bezeichnet. Alle Geraden in diesem Raum haben die Länge 2π. Die größte Entfernung, die irgend zwei Punkte von einander haben können, ist π; der größte Abstand eines Punktes von einer Ebene π2 ; dies ist also auch der Höchstwert von h s . Der Raum selbst ist zwar unbegrenzt, d. h. jede irgendwo befindliche gerade Strecke kann stets nach beiden Seiten verlängert werden, aber nicht unendlich; sein Gesamtrauminhalt beträgt 2π2 . Er wird durch jede Ebene in zwei Hälften zerlegt; so auch durch E : sowohl der Erdkörper, als auch der Raum außerhalb der Erde hat also den Inhalt π2 (oder 400 Millionen km3 ). Wir gehen zur Maßsetzung M s zurück und wollen prüfen, was aus ihr über die Maßverhältnisse außerhalb von E folgt, und insbesondere, ob sich durch die Messungen, wenn wir sie nach M s ausdeuten, E als Ebene bestätigt. Die Maßeinheit für die in M s vorkommenden Strecken ist schon bestimmt. Aber M s enthält scheinbar einen Zirkel: die Bestimmung des Maßes außerhalb von E wird abhängig gemacht von h s , und diese Höhe kann doch erst gemessen werden, wenn wir ein Maß haben. Der Zirkel verschwindet aber bei näherem Zusehen; die Angabe ist durchaus eindeutig, denn sie besagt: eine physische Strecke, die sich ebenso verhält wie die in M s genannte Maßstrecke, und die auf E gemessen die Länge a hat, hat senkrecht in die Höhe gerichtet die Länge x s , die mit a verknüpft ist durch die Gleichung xs

Z 0

49

dx = a. 1 − sin x

Denn nach der Angabe der Maßsetzung hat jedes Stück d x des aufgerichteten Stabes, das sich in der Höhe x befindet, auf den Erd|boden gebracht die Länge dx 1 a 2+a 1−sin x . Die Integration ergibt a = tg x s + cos x s − 1; hieraus folgt: tg x s = 2 · 1+a (im 1. oder 4. Quadranten zu nehmen, je nachdem a positiv oder negativ, 49 Beispiel: Die Erdoberfläche als Ebene.

50

Space: A Contribution to the Theory of Science (1922a)

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that all segments on E that count as equal in physics are also to be viewed as equal here. According to M1 the great circles on the terrestrial sphere are the shortest lines on E ; it follows that they also are according to M s . And since, as we intend to confirm by measurements outside E , the latter is thereby a plane, these same lines are also the straight lines here. On account of the agreement between M1 and M s on E , physical meter bars, so far as they are applied to E , are also valid for M s measurement. However, in order to obtain simpler formulas for relations in the whole of space, we shall choose units of length of 6,370 km rather than 1 cm or 1 m. In these units the total length of every straight line on E — e.g., the equator or the meridians — equals 2π. One can easily see that through any two points on E there passes, in general, only one straight line; but if these points are opposing poles (e.g., the north and south pole, or an observation point and its antipode), then there are infinitely many straight lines passing through them. The plane E is thereby characterized as a special subspecies of the elliptical plane (“spherical plane”). Since we have determined the entire space to be homogeneous, it is thereby itself also a “spherical space”; so let the generating metric and the segments thereby measured be designated M s , l s , h s . All straight lines in this space have the length 2π. The greatest distance that can separate two points is π; the greatest interval between a point and a plane is π2 ; this is therefore also the greatest possible value for h s . Although the space itself is unbounded, i.e., any straight segment anywhere can always be extended in both directions, it is not infinite: its total volume is 2π2 . It is divided into two halves by any plane and, therefore, by E : both the body of the earth and the total space outside the earth therefore have the volume π2 (or 400 million km3 ). We now return to our metric M s . We wish to test what follows from it about the metric relations outside E and, in particular, whether E is confirmed as a plane by measurements interpreted according to M s . The unit of measurement for segments within M s is already determined. But M s contains an apparent circularity: the determination of a measure outside E is made to depend on the height h s , and this height can itself only be measured if we already have a measure. However, the circularity vanishes on closer examination. The specification is completely unambiguous, for it says: a physical segment that acts in the same way as the measuring segment referred to in M s and has the length a as measured on E will have the length x s when perpendicular, where a is related to x s via the equation: xs

Z 0

dx = a. 1 − sin x

For, according to our stipulation, every element d x of such a perpendicular dx rod located at a height x , will have the length (1−sin x) if brought to earth. Inte1 gration yields a = tan x s + cos x s − 1; from which it follows that tan x s = a2 · 2+a 1+a (where one chooses the first or fourth quadrant depending on whether a is Example: The Earth’s Surface as a Plane.

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Der Raum: Ein Beitrag zur Wissenschaftslehre (1922a)

d. h. je nachdem die Strecke von E aus nach außen oder ins Erdinnere hinein aufgerichtet wird). Damit ist also die Länge einer senkrecht gestellten Strecke, deren Länge, wenn sie auf E liegt, gemessen ist, eindeutig bestimmt. Die Entfernung eines im Zenit stehenden Sternes, die nach M1 noch so groß sein mag, bleibt so nach M s kleiner als π2 . Die aus den astronomischen Messungen zu schließende Tatbestandsaussage, daß man viele Billionen Ei1 senstäbe, von denen jeder auf E als 1 m (also in unsern Einheiten 6730000 ) gemessen ist, senkrecht aufeinander stellen müßte, um bis zu jenem Stern zu gelangen, ist nach M s so zu deuten: die aufeinander gestellten Stäbe erleiden alle eine Verkürzung, die bei den nahe an E befindlichen sehr gering ist, mit wachsender Entfernung aber immer beträchtlicher wird, und dadurch eine sehr große „scheinbare Länge“ der Strecke vortäuscht. So hat z. B. der Mond die „scheinbare“ Entfernung 59,3 von E ; die Entfernung nach M s beträgt π 2 − 0,0335. Nähert sich die Entfernung nach M s immer mehr dem größten Wert π2 (= 10000 km), so wächst die „scheinbare“ Entfernung ins Unendliche. Eine noch so große, durch astronomische Messung festgestellte Entfernung bildet also keinen Widerspruch zu den Eigenschaften unsres endlichen Raumes. Aus M s geht hervor, daß der Abstand der beiden Maßpunkte und folglich auch jede andre physische Strecke, die sich ebenso verhält wie diese Maßstrecke, ins Erdinnere gebracht an Stelle einer Verkürzung eine Verlängerung erleidet, während die „scheinbare“ Länge der Strecke (nämlich die nach M1 gemessene) unverändert bleibt. So hat z. B. die Strecke zwischen zwei Gegenfüßlerorten, also ein Durchmesser des Erdkörpers, die Länge π anstelle der „scheinbaren“ Länge 2. Hiernach können wir nun auch eine Probe darauf machen, ob sich E durch die Messungen nach M s als Ebene bestätigt. Nach M1 könnte z. B. durch folgenden Versuch nachgewiesen werden, daß E keine Ebene ist, sondern eine krumme Fläche, deren hohle Seite zum Erdinnern gerichtet ist: es werden irgend zwei Orte auf E einerseits | durch die kürzeste Verbindungslinie über E hin, andrerseits durch einen geradlinigen Tunnel verbunden; der Tunnel wird dann stets kürzer als die Verbindungslinie auf E gefunden. Dieses Ergebnis, das zwar nicht einer unmittelbaren Messung entspringt, aber nach M1 aus den geodätischen Messungen eindeutig erschlossen werden kann, muß nach M s so gedeutet werden: der Tunnel ist nur scheinbar kürzer, nämlich infolge jener Verlängerung der Stäbe, die nach M1 als Maßstäbe benutzt werden. Die Berechnung ergibt, daß, wenn die Maßsetzung M s angewandt wird, der Tunnel stets länger ist, als jene kürzeste Verbindung der beiden Orte auf E . Die nähere Untersuchung zeigt auch, daß nicht nur jener Tunnel (der deshalb nach M s auch keine Gerade ist), sondern auch jede beliebige andre Verbindungslinie der beiden Orte, mag sie außerhalb oder innerhalb des Erdkörpers verlaufen, nach M s stets länger ist als die kürzeste Verbindung auf E . Letztere Verbindungslinie ist dadurch als gerade Strecke und, da das Gleiche für jede beliebige Stelle von E gilt, E als Ebene nachgewiesen, und damit gezeigt, daß M s in 51 Beispiel: Die Erdoberfläche als Ebene.

51

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positive or negative, i.e., on whether the segment is directed outward from E or into the earth). So with that the length of a perpendicular segment, whose length is measured when lying on E , is thus uniquely determined. The distance of a star at the zenith — which, according to M1 , may be arbitrarily large — remains always smaller than π2 according to M s . The statement of matter of fact to be inferred from astronomical measurements, that one must place many billion iron rods each measuring 1 m on E (thus in our 1 units 6,370,000 ) perpendicularly one upon another in order to reach such a star, is interpreted as follows according to M s : the rods placed one upon another all undergo a contraction that is very small in the neighborhood of E but becomes ever greater with increasing distance, and thereby simulates a very great “apparent length” of the segments. Thus, for example, the moon has an “apparent” distance of 59.3 from E ; but the distance according to M s is π2 − 0.0335. As the distance approaches the maximum value π2 (= 10,000 km) according to M s , the “apparent” distance increases to infinity. An arbitrarily great distance established through astronomical measurements therefore creates no contradiction with the properties of our finite space. It also follows from M s that the distance between two measurement points, and thus every other physical segment acting just like this measuring segment, undergoes an expansion when brought into the earth’s interior instead of a contraction, while the “apparent” length of the segment (namely, the length measured according to M1 ) remains unchanged. Thus, for example, the segment between two antipodes, and therefore the diameter of the earth, has the length π instead of the “apparent” length 2. Hence we can now test whether E is confirmed as a plane through measurements using M s . According to M1 it could be shown, e.g., by the following experiment, that E is not a plane, but a curved surface whose concave side is directed towards the earth’s interior: any two locations on E are, on the one hand, to be connected by the shortest possible line on E and, on the other hand, by a straight tunnel; the tunnel is then always found to be shorter than the connecting line on E . This result, which does not in fact arise from a direct measurement but can be unequivocally inferred from geodetic measurements on the basis of M1 , must be interpreted as follows according to M s : the tunnel is only apparently shorter, resulting from the expansion of the rods that are used as rulers according to M1 . Calculation shows that, if the metric M s is used, the tunnel is always longer than a shortest possible line connecting the two points on E . Closer examination also shows that not only such a tunnel (which is therefore not a straight line according to M s ), but also any other arbitrary line connecting the two points — whether it runs outside or inside the earth — is always longer according to M s than the shortest connection on E . This latter connecting line is therefore shown to be a straight segment, and, since the same holds for any point on E , E is shown to be a plane; and it is thereby shown

The Earth’s Surface as a Plane.

100

dd

Der Raum: Ein Beitrag zur Wissenschaftslehre (1922a)

dieser Beziehung den für den gewählten Raum aufgestellten Forderungen entspricht. Der Einwand, daß das Verhalten der Lichtstrahlen (Auftauchen von Gegenständen am Horizont, Kreisschatten der Erde bei Mondfinsternis, u. a.) die Kugelgestalt der Erde eindeutig erkennen lasse, ist nach unsern Überlegungen leicht zu widerlegen. Denn die genannten Schlüsse beruhen ja auf der Voraussetzung der Geradheit der Lichtstrahlen. Wir wissen aber, daß die Geradheit irgendwelcher physischer Linien immer nur für bestimmte Maßsetzungen gilt. Nun wird freilich die Geradheit der Lichtstrahlen inbezug auf M1 durch eine Menge von Erfahrungstatsachen, schon im täglichen Leben, bezeugt. Auf Grund der gleichen Tatsachen aber sind die Lichtstrahlen inbezug auf M s nicht als Geraden aufzufassen, sondern als krumme Linien, und zwar, wie die nähere Untersuchung zeigt, als Kreise, die alle durch den „Zenitpunkt“ Z gehen. Die nach M s auf E senkrecht stehenden Geraden, die alle auch nach M 1 gerade sind und auf E senkrecht stehen, die also in jedem Ort von E die Zenitrichtung angeben, schneiden sich nach M s nicht nur in der Entfernung π 2 im Mittelpunkt der Erde, sondern auch in der gleichen Entfernung von E in dem außerhalb des Erdkörpers gelegenen „Zenitpunkt“ Z , der danach Gegenpol des Erdmittelpunkts ist. Auch hier sehen wir wieder, daß inbezug auf M s E sich nach beiden Seiten hin, ins Erdinnere und nach außen, gleichartig verhält, was für keine andre Fläche als | eine Ebene der Fall ist. Nach M1 ist zwischen irgend zwei Punkten nur ein für den Lichtstrahl möglicher Weg vorhanden, nämlich die Gerade; diese Eindeutigkeit bleibt bei M s bestehen; für irgend zwei Punkte gibt es nur einen Kreis, der auch durch Z geht. Bei der Maßsetzung M s müssen wir offenbar zu andern Naturgesetzen kommen, als den üblichen, die auf Grund von M1 aufgestellt sind. Die erforderlichen Änderungen sind auf den verschiedenen Gebieten nicht gleich groß. Die nach M s geltende kreisförmige Gestalt der Lichtstrahlen z. B. gestattet die Beibehaltung der Wellentheorie des Lichts, insbesondere auch der elektromagnetischen Theorie und damit aller optischen Gesetze; nur sind wir genötigt, dem sogenannten leeren Raum nicht überall das Brechungsverhältnis 1 zuzu1 schreiben, sondern ein von der Entfernung von E abhängiges: n s = 1−sin hs . Wie nach der gewählten Maßsetzung M s die Naturgesetze eine andre als die übliche Form anzunehmen haben, sei noch am Beispiel des Energiesatzes in der Mechanik (des „Satzes von der Erhaltung der lebendigen Kraft“) gezeigt, da hier eine naheliegende Überlegung zunächst zu dem Ergebnis zu führen scheint, daß dieser grundlegende Satz inbezug auf die nach M s vorgenommenen Messungen nicht aufrecht erhalten werden könne. Denken wir uns eine Vorrichtung, mit deren Hilfe eine kleine Kugel durch die Spannungsenergie einer zusammengedrückten Spiralfeder fortgeschleudert werden kann. Die Energie der genannten Feder ändert sich nicht, wenn ich die Vorrichtung an irgend einen andern Ort bringe. Sie teilt daher auch, so lehrt die Physik, gleichgültig wo der Versuch angestellt wird, der Kugel jedesmal die gleiche Bewegungsenergie mit, was nach der üblichen Begriffsbestimmung dadurch gemessen wird, daß die Kugel überall mit gleicher Anfangsgeschwindigkeit, nehmen wir an: 10 m/sek, fortfliegt. Messen wir aber nach der Maßsetzung

52

Space: A Contribution to the Theory of Science (1922a)

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that in this respect M s corresponds precisely to the postulates we have set up for the chosen space. The objection that the behavior of light rays (objects emerging on the horizon, the circular shadow of the earth during lunar eclipses, etc.) allows us to know the curved shape of the earth definitely and unambiguously can be easily refuted following the above account. For the conclusions referred to depend of course on presupposing the straightness of light rays. We know, however, that the straightness of any physical lines holds only with respect to certain metrics. Of course the straightness of light rays relative to M1 is witnessed by many facts of experience, even in everyday life. On the basis of these same facts, however, light rays are not to be conceived of as straight relative to M s , but as curved lines; and, indeed, as closer examination shows, as circles that all go through the “zenith point” Z . The straight lines perpendicular to E according to M s , which are all straight and perpendcular to E according to M1 as well, and which thus point towards the zenith at every point on E , therefore all intersect, according to M s , not only at the distance π2 at the center of the earth, but also at the same distance from E at the “zenith point” Z outside the earth. Z is therefore the antipode of the earth’s center. Here again we see that, relative to M s , E behaves exactly the same in both directions, toward the interior and toward the exterior of the earth, which is the case for no other surface but a plane. According to M1 there is only one possible path for a light ray between any two points, and that is the straight line. On M s there is a similar uniqueness: for any two points there is only one circle, one that also goes through Z . Using the metric M s we must obviously arrive at different natural laws from the customary ones, which are based on M1 . The required changes are not of equal magnitude in the different branches of physics. Thus, for example, the circular form of light-rays according to M s allows us to retain the wave theory of light and, in particular, the electromagnetic theory and, accordingly, all the laws of optics. We are merely obliged to attribute to so-called empty space not the refractive index of 1 at all points, but a value dependent on the 1 distance from E : n s = 1−sin hs . Let us also show, using the example of the energy principle for mechanics (the “principle of the conservation of vis viva”), how the laws of nature have to take a form other than the customary one when the metric M s is chosen. For in this case a natural train of thought seems at first to reach the conclusion that this fundamental principle cannot be maintained with respect to the measurements following M s . Think of an apparatus used to fling a small sphere by means of the compressed energy in a spiral spring. The energy of this spring does not change when I take the apparatus somewhere else. So it will also impart the same kinetic energy to the sphere every time, as physics tells us, regardless of where the experiment occurs. This is measured, on the customary definition, by the fact that the sphere takes off with the same initial velocity, say 10 m/sec, wherever the apparatus is set up. However, if we measure according

dd

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Der Raum: Ein Beitrag zur Wissenschaftslehre (1922a)

M s , so finden wir nicht überall die gleiche Geschwindigkeit, denn die Strecke, die nach M1 10 m lang ist, wird ja nach M s als 10 · (1 − sin x s ) m gemessen, wenn sie sich in der Entfernung x s von E befindet; auf dem höchsten Berg der Erde z. B. als 9,986 m, auf dem Mond nur noch als 0,55 cm. Würde also die Bewegungsenergie L s einer Masse m s , die die Geschwindigkeit v s hat, bestimmt als 12 m s v s2 , so wäre die Bewegungsenergie der Kugel, in die sich die überall gleiche Spannungsenergie der Feder umsetzt, in großen Höhen kleiner als auf E , der Energiesatz also nicht erfüllt. Die durch dieses Beispiel angedeutete Überlegung führt bei genauerer Durchführung zu dem Ergebnis, daß entweder die Sätze der gewöhnlichen Mechanik bei der Maßsetzung M s ungültig werden, oder die Grundbegriffe der Mechanik teilweise andre Begriffsbestimmungen erhalten müssen. Ziehen wir den zweiten Weg vor, so können anstelle der nach M1 gemessenen Größen: Länge l , Zeit t , Masse m , Geschwindigkeit v , Beschleunigung b , Kraft K , Arbeit A , Bewegungsenergie („lebendige Kraft“) L , und Potential V , die nach M s gemessenen: l s , t s , m s , usw. so bestimmt werden, daß die begriffsbestimmenden Gleichungen (in denen wir hier zur Einfachheit anstatt des Vektors oder der drei Komponenten nur eine schreiben) für v s , b s , A s , Vs den üblichen genau entsprechen: vs =

d ls , d ts

bs =

d 2l s d t s2

,

As = Ks · ls ,

−

∂Vs = Ks . ∂l s

Aber anstelle der Begriffsbestimmung K = m · b muß treten: Ks =

ms · bs , (1 − sin x s )2

und anstelle von L = 12 mv 2 : Ls =

v s2 1 ms · . 2 (1 − sin x s )2

Hierdurch wird erreicht, daß, wenn ein bestimmter Vorgang sowohl nach M1 als auch nach M s beobachtet und gemessen wird, nicht nur Zeit und Masse, sondern auch Arbeit, Bewegungsenergie und Potential in beiden Messungen die gleiche Maßzahl erhalten: es ist dann nämlich t s = t , m s = m ; A s = A , L s = L , Vs = V . Für Länge, Geschwindigkeit, Beschleunigung und Kraft ergeben dagegen die beiden Messungen verschiedene Zahlen: l s = l · (1 − sin x s ), K v s = v · (1 − sin x s ), b s = b · (1 − sin x s ); K s = 1−sin x s . Besonders wichtig sind die Gleichungen L s = L und Vs = V . Aus ihnen folgt, daß sowohl der Energiesatz der Mechanik gültig bleibt: L s + Vs = const ., als auch ein andrer für die Mechanik grundlegender Satz, das Hamiltonsche Prinzip: Z

t s,1 t s,0

δ(L s − Vs )d t s = 0.

53 Abhängigkeit der Naturgesetze von der Raumart.

53

Space: A Contribution to the Theory of Science (1922a)

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to M s , we do not find the same velocity everywhere, for a segment that is 10 m long according to M1 will of course be measured as 10 · (1 − sin x s ) according to M s if it is found at a distance x s from E : for example, as 9.986 m on the highest mountain on earth, and as only 0.55 cm on the moon. Thus, if the kinetic energy L s of a mass m s having velocity v s is determined as 12 m s v s2 , then the kinetic energy of our sphere will be smaller at great heights than on E , even though it absorbs the same compressed energy from the spring. Therefore, the energy principle is not satisfied. The reasoning suggested by this example leads, when it is worked through more precisely, to the conclusion that either the principles of the customary mechanics do not remain valid under the metric M s or the basic concepts of mechanics must, to some extent, be given other definitions. If we prefer the second way then, in place of the magnitudes measured according to M1 : length l , time t , mass m , velocity v , acceleration b , force K , work A , kinetic energy (“living force”) L , and potential V , we can define the magnitudes measured according to M s : l s , t s , m s , etc. in such a way that the defining equations for v s , b s , A s , Vs correspond precisely to the usual ones: vs =

d ls , d ts

bs =

d 2l s d t s2

,

As = Ks · ls ,

−

∂Vs = Ks ∂l s

(where for simplicity we have given only one component of the relevant vectors). However, instead of the definition K = m · b we must put Ks =

ms · bs (1 − sin x s )2

and, instead of L = 12 mv 2 : v s2 1 L s = ms · . 2 (1 − sin x s )2

By doing this we ensure that, if a certain process is observed and measured following both M1 and M s , then not only time and mass but also work, kinetic energy, and potential energy are given the same values in both measurements, i.e. t s = t , m s = m , A s = A , L s = L , Vs = V . For length, velocity, acceleration, and force, on the other hand, different values result from the two measureK ments: l s = l · (1 − sin x s ), v s = v · (1 − sin x s ), b s = b · (1 − sin x s ), K s = (1−sin xs ) . The equations L s = L and Vs = V are especially important; from these it follows that not only the energy principle of mechanics, L s + Vs = const., remains valid but also another fundamental principle of mechanics, Hamilton’s principle: Z

t s,1 t s,0

δ(L s − Vs )d t s = 0.

Dependence of the Laws of Nature on the Kind of Space.

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Der Raum: Ein Beitrag zur Wissenschaftslehre (1922a)

Nach diesen Gesetzen werden, wenn das Schwere-Potential einer Masse m s inbezug auf die Erde gefunden ist als Vs = V = −

ee

ff gg

54

mg m s g · cos x s =− , r 1 + sin x s

alle unter dem Einfluß der Erdschwere verlaufenden Vorgänge: schiefer Wurf, Pendelbewegung, (monatliche) Bewegung des Mondes usw. mit denselben Ergebnissen berechnet, wie sie beobachtet werden, obwohl die bei diesen Vorgängen gemessenen Größen zum Teil erheblich von den üblichen, nach M 1 gemessenen abweichen: der Mond kreist z. B. als Kugel vom Durchmesser 1,92 km um den Zenitpunkt Z im Abstand von 213 km herum. Wir verlassen hiermit dieses Beispiel. Daß das hier gewählte Raumgefüge zur Darstellung der Erfahrungstatsachen durchaus nicht zweckmäßig ist und daher nie ernstlich gewählt werden wird, ist sicher. Aber hier handelt es sich nicht um die Frage der Zweckmäßigkeit, die später erörtert werden wird. Sondern die Bedeutung des Beispiels liegt darin, die grundsätzliche Möglichkeit der Wahl eines ganz andern als des üblichen Gefüges für den physischen Raum zu zeigen, das aber ebenso alle Erfahrungstatsachen widerspruchslos darzustellen imstande ist. Wir haben jetzt das zwischen dem Tatbestand der Erfahrung T , der Maßsetzung M und dem metrischen Raumgefüge R (nämlich der bestimmten Art 00 des R 3m ) bestehende Abhängigkeitsverhältnis nach zwei verschiedenen Seiten hin betrachtet. Das frühere Beispiel (Ausmessung der Fläche f ) zeigte, wie sich nach Wahl von M ein bestimmter R aus T ergab. Im letzten Beispiel (E als Ebene) wurde umgekehrt vorgegangen: es wurde R gewählt, und dann ergab sich, daß es ein bestimmtes M gab, das den Tatbestand T in die Form des gewählten Gefüges brachte. Beides zusammenfassend können wir also sagen: T , R und M stehen in einem derartigen Funktionalverhältnis zu einander, daß, wenn zwei von ihnen gegeben sind, die dritte Bestimmung dadurch eindeutig mitgegeben ist; R = f 1 (M , T ); M = f 2 (R, T ). Denn auch der dritte Fall T = f 3 (M , R) trifft zu: durch M und R ist T eindeutig gegeben. Hierauf beruht ja die wissenschaftliche Darstellung des räumlichen Tatbestandes: es wird angegeben, daß bei einem bestimmten M die physischen Raumgebilde in einem bestimmten Maßgefüge R geordnet sind, und durch diese Angabe ist der Tatbestand T der Erfahrung inbezug auf räumliche Verhältnisse vollständig beschrieben. Doch unterscheidet sich dieser dritte Fall sehr wesentlich von den andern durch den Umstand, daß zwar entweder R oder M frei gewählt werden darf, nicht aber T : der Tatbestand ist eindeutig gegeben. Hier erhebt sich nun eine für das wissenschaftliche Verfahren der Darstellung von T durch R und M wichtige Frage. Wir können ja entweder R oder M frei wählen, wonach dann die betreffende andre Bestimmung sich mit Rücksicht auf T eindeutig ergibt. Welchen dieser beiden Wege sollen wir nun einschlagen? Und wenn wir einen davon nehmen, nach welchen Gesichtspunkten soll dann die Wahl von R bzw. M getroffen werden? Die zweite Frage ist 55 Funktionalverhältnis von Tatbestand, Raumart und Maßsetzung.

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Space: A Contribution to the Theory of Science (1922a)

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From these laws it follows that, if the gravitational potential of a mass m s relative to the earth is found to be Vs = V = −

mg m s g · cos x s =− , r 1 + sin x s

then all processes influenced by the earth’s gravity — projectile motion, pendulum motion, (monthly) motion of the moon, and so on — are calculated with the same results as they are observed to have, even though the magnitudes measured in these processes sometimes deviate considerably from the usual ones measured according to M1 : thus, for example, the moon orbits around the zenith point Z at a distance of 213 km from it and appears as a sphere of diameter 1.92 km. With that, we move on from this example. Certainly the spatial system chosen here is not at all convenient for representing the facts of experience and will therefore never be chosen seriously. But here we are not dealing with the question of convenience, which will be discussed later. Rather, the significance of the example is that it shows the possibility, in principle, of choosing a system for physical space that is quite different from the customary one, but is equally capable of representing all the facts of experience without contradiction. We have now considered the relation of dependence that holds among the factual basis of experience T , the metric stipulation M , and the metrical spa00 tial structure R (namely, the particular subspecies of R 3m ) from two different points of view. Our earlier example (measurement of the surface f ) showed how a particular R results from T by means of a choice of M . In the latter example (E as plane) we proceeded the other way around: R was chosen, and it then turned out that there was a certain M that brought the factual basis T into the form of the chosen structure. Putting both together, we can therefore say: T , R , and M have a functional relationship to one another such that, if two of them are given, the third is thereby also uniquely given: R = f 1 (M , T ); M = f 2 (R, T ). The third case T = f 3 (M , R) then also holds: T is uniquely determined by M and R . This, in fact, is what the scientific representation of the factual basis regarding space rests on: it is specified that, for a particular M , physico-spatial forms are arranged in a particular metric structure R according to a certain M ; and by this statement the factual basis of experience T is completely described as far as spatial relations are concerned. Still, this third case differs profoundly from the others in that, while either R or M may indeed be freely chosen, T may not: the factual basis is uniquely given. An important question now arises for the scientific procedure of presenting T by means of R and M . We can freely choose either R or M , and the other is thereby uniquely determined with respect to [fixed] T . Which of these two paths are we now to follow? And, if we go down one of them, from what points of view should the choice of R or M then be made? The second question is easier

Functional Relationship of Matters of Fact, Kind of Space, and Metric Stipulation.

ee

ff

gg

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Der Raum: Ein Beitrag zur Wissenschaftslehre (1922a)

leichter zu lösen als die erste, obwohl sie zwischen vielen Möglichkeiten entscheiden soll. Es zeigt sich nämlich, daß sowohl unter den Möglichkeiten für R als unter denen für M sich je ein Fall befindet, der sich deutlich als der einfachste erweist. Wollten wir also wirklich eins der beiden Bestimmungsstücke frei wählen, ohne Rücksicht auf das sich dadurch ergebende andre und die hieraus hervorgehende Darstellung von T , so würde die Entscheidung nicht zweifelhaft sein: bei der Wahl von R würden wir dem R i00h = , dem euklidischen Raumgefüge, den Vorzug geben; andrerseits bei der Wahl von M der schon genannten Maßsetzung M0 (Metallstab ohne Rücksicht auf Temperatur und andre Einflüsse) als der einfachsten. Sind nun die in der Geschichte aufgetretenen Lehrgebäude der Physik teils vom R i00h = , teils von M0 ausgegangen? Nein; das erstere ist zwar meist geschehen, gewöhnlich unausgesprochen; das letztere dagegen niemals, seitdem der inbezug auf M1 als Wärmeausdehnung bezeichnete Tatbestand bekannt ist. Und auch in den Fällen, wo ein andres Raumgefüge als der R i00h = aufgestellt (Einstein) oder als möglich ins Auge gefaßt worden ist (Gauß, Riemann, Helmholtz, Schwarzschild), ist niemals M0 als Maßsetzung verwandt worden. Diese Tatsache muß Bedenken darüber hervorrufen, ob das richtige Verfahren der Wissenschaft darin bestehen darf, einen dieser beiden Wege: freie Wahl des einfachsten R oder des einfachsten M , einzuschlagen. Besinnen wir uns darauf, daß die für das Verfahren der wissenschaftlichen Darstellung geltende Forderung nach Einfachheit sich auf die Gesamtdarstellung des Tatbestandes bezieht, so erkennen wir, daß nur insoweit möglichste Einfachheit für die unabhängig vom Tatbestand wählbaren Bestimmungen zu fordern ist, als hierdurch für den auf Grund dieser Bestimmungen erfolgten Aufbau größere Einfachheit erzielt wird. Das Letztere bleibt immer Maßstab: Einfachheit des Baues geht vor Einfachheit des Bauens und seiner Hilfsmittel. Es soll also weder R noch M ohne Rücksicht auf T frei gewählt werden, wenn auch an der denkmäßigen Möglichkeit dieser Wahl | immer festgehalten werden muß. Sondern es ist gewissermaßen ein vermittelnder Weg einzuschlagen, der weder vom einfachsten R noch vom einfachsten M ausgeht, und der seine Berechtigung erst am Ziel erweist, indem er zu dem einfachsten aus den jeweiligen Erkenntnissen bestehenden Aufbau führt. Über die Abhängigkeit des Raumgefüges von der Erfahrung, genauer: des 00 metrischen Gefüges R 3m vom Tatbestand T , ist also zu sagen: R ist nicht durch T selbst bestimmt, also in diesem Sinne nicht erfahrungsabhängig, wohl aber, wenn wir zu T noch einen zwecksetzenden, das Verfahren betreffenden Gesichtspunkt (teleologisches und methodisches Prinzip) hinzunehmen, nämlich den der Einfachheit. Durch diesen allein ist R auch nicht bestimmt, sondern nur durch ihn und T zusammen; und zwar eindeutig, wenn es möglich ist, über die Erfüllung jener Forderung der Einfachheit im einzelnen Fall nach allgemeingültigen Regeln zu entscheiden. Nehmen wir die Einfachheitsforderung als zur Begriffsbestimmung der Wissenschaft gehörig, so dürfte das Verhältnis zwischen R und T vielleicht so ausgedrückt werden: R ist denkmäßig wahlfrei und erfahrungsunabhängig, aber wissenschaftlich durch T bestimmt, oder besser: zu bestimmen; um hierdurch zum Ausdruck zu bringen, daß nicht

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to answer than the first, even though it requires a choice among many options. For it turns out that among the options for both R and M there is always one case [for each] that clearly proves to be the simplest. So, if we really wished to choose one of the two component parameters freely, without worrying about the other parameter that results from this choice or about the corresponding representation of T , then there would be no doubt about the decision: for the choice of R , we would prefer the Euclidean spatial structure R i00h= ; for the choice of M , we would prefer the above mentioned metric stipulation M0 (metal rod with no dependence on temperature or other influences) as the simplest. Have the systems of physics that emerged in history proceeded from either R i00h= or from M 0 ? No. The first has often been chosen, it is true, but usually without making the choice explicit. The latter, though, has never been chosen since the [portions of the] factual basis we called temperature expansion, in the discussion of M1 , have been known. And even in cases where a different spatial system from R i00h= has been either established (Einstein) or conceived of as possible (Gauss, Riemann, Helmholtz, Schwarzschild), M0 has never been used as a metric stipulation. This fact has to raise worries about pursuing either of these two paths — free choice of the simplest R or of the simplest M — as the correct scientific procedure. If we keep in mind that the demand for simplicity that governs the procedure of scientific representation pertains to the overall presentation of the factual basis, we realize that the greatest possible simplicity is to be required of the optional parameters that can be chosen independently of the factual basis only insofar as this requirement leads to greater simplicity in the [overall] system [thereby] constructed on the basis of those choices. This always remains the criterion: simplicity of the building [itself] takes precedence over simplicity of the construction process and its tools. Neither R nor M is to be freely chosen without reference to T , then, even though the conceptual possibility of such a choice must always be maintained. Rather, a kind of middle way is to be followed, which proceeds neither from the simplest R nor from the simplest M , but whose warrant is evident only on reaching the goal, since it leads to the simplest construction from the knowledge we start with. Regarding the dependence of the spatial system on experience — more 00 precisely, of the metrical structure R 3m on the factual basis T — the following may be said: R is not determined by T itself, and so in this sense is not dependent on experience; it is, though, if we conjoin to T a regulative viewpoint governing the procedure (a teleological and methodological principle), that of simplicity. Nor is R determined by this principle alone, but only by it and T together — and, in fact, uniquely, if it is possible to decide by general rules whether this postulate of simplicity is satisfied in an individual case. If we take the postulate of simplicity as belonging to the conceptual characterization of science, then the relation between R and T might be expressed as follows: in principle R is freely chosen and independent of experience, but in scientific practice it is decided by T ; or, better, it is to be so decided — to make explicit

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im Tatbestand T ein gewisser R schon eingeschlossen liegt, sondern erst auf Grund jener Forderung aufgestellt werden soll. Da nur jener vermittelnde Weg zum Ziel führt, ist mit Recht die einfachere Maßsetzung M0 zugunsten der weniger einfachen M1 aufgegeben worden, sobald bestimmte Tatbestandserkenntnisse vorlagen (Wärmeausdehnung). Ebenso würde aber auch anstelle des euklidischen Raumgefüges ein andres treten müssen, wenn hierdurch der Gesamtaufbau vereinfacht würde. Dieser Forderung wird auch zustimmen, wer der Ansicht ist, daß diese Bedingung nie verwirklicht werde. Diese Auffassung vertrat z. B. noch Poincaré. Nach den heute vorliegenden Erkenntnissen dürfte allerdings nicht ohne nähere Untersuchung die Unerfüllbarkeit der Bedingung behauptet werden. Vor die Frage, die von einer solchen Untersuchung zu lösen wäre, sind wir durch die allgemeine Relativitätstheorie gestellt. Sie soll hier nicht beantwortet, sondern nur als deutliches Entweder-Oder aufgestellt werden. Die durch die vorangehende Erörterung geklärten Begriffe setzen uns nämlich in den Stand, die mit dieser Theorie verknüpfte Frage der Berechtigung der nichteuklidischen Geometrie in der Physik genauer zu fassen. Die Theorie selbst soll hierbei nicht geprüft, sondern in dem Sinne als richtig vorausgesetzt | werden, als stehe keine Erfahrungstatsache im Widerspruch zu ihr. Diese Voraussetzung erscheint einerseits nach der mehrfachen Bestätigung durch Beobachtungen als begründet, andrerseits als zweckmäßig, da bei der Behandlung der Relativitätstheorie von Seiten der Philosophie und Wissenschaftslehre die Aufmerksamkeit sich mit Recht in höherem Grade der weiteren Frage zuwendet, in welcher Form das Lehrgebäude darzustellen sei. Für uns kommen hier die darin enthaltenen Behauptungen nur soweit in Betracht, als sie räumliche Verhältnisse betreffen. Dabei ist aber wieder daran zu erinnern, daß ihre gesonderte Betrachtung eine denkmäßig erlaubte, aber inbezug auf die Beobachtungen selbst (den „Tatbestand“) nicht eindeutige Loslösung aus dem einheitlichen Raum-Zeit-Gefüge bedeutet, die im Allgemeinen nur für eine bestimmte Begriffsfestsetzung über die Gleichzeitigkeit einen Sinn hat. In besonderen Fällen ist es aber möglich, zu eindeutigen, d. h. von der Begriffsbestimmung der Gleichzeitigkeit unabhängigen Aussagen über räumliche Verhältnisse zu gelangen, wenn wir nämlich die oben bei der Ausmessung der Fläche f (S. 41) besprochene Vorsichtsmaßregel anwenden, indem wir uns auf solche Aussagen über lang andauernde Punktberührungen beschränken, die in der beschriebenen Weise durch mehrere Beobachter festgestellt werden. Der Kürze halber verwenden wir zwar einfach die Ausdrucksweise: nach der Maßsetzung Mn finden wir für die zwei Punkte A , B den und den Abstand, oder stellen wir fest, daß die drei Punkte A , B , C auf einer Geraden liegen. Doch soll dabei immer darauf geachtet werden, daß diese Aussagen stets derart sind, daß sie sich (wie bei der Ausmessung von f geschehen) auf Punktberührungen zurückführen lassen und daß die hierbei vorkommende Gleichzeitigkeit verschiedener Punktberührungen den früher beschriebenen Sinn hat.

57 Einfachheit der Gesamtdarstellung.

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that a particular R is not already built into the factual basis T , but needs to be chosen on the basis of that postulate [simplicity]. Since only this middle way leads to the goal, the simpler metric M0 was rightly abandoned in favor of the less simple M1 as soon as certain items of factual basis (i.e. temperature expansion) came to light. Yet, in just this way, a spatial system different from the Euclidean would have to take its place if that would simplify the overall construction. Even those who are of the opinion that such a condition will never be realized can agree to this requirement; Poincaré, for instance, still held this view. According to the knowledge presently available, moreover, the unrealizability of this condition can hardly be claimed without closer investigation. The question that such an investigation would have to resolve has been forced upon us by the general theory of relativity. We shall not answer it here, but merely present the alternatives clearly. The concepts clarified in the foregoing discussion put us in a position to state more precisely the question, connected with this theory, about the justification of non-Euclidean geometry in physics. The theory itself is not to be tested here; we shall assume, rather, that it is correct in the sense that no facts of experience contradict it. This assumption appears, on the one hand, to be supported by numerous observational confirmations and, on the other, to be useful, since in the treatment of relativity theory by philosophy and theory of science attention has rightly been rightly directed, for the most part, to the wider problem of the form in which the theoretical system is to be presented. For us, the claims contained in it will be considered only in so far as they concern spatial relations. We should again remember, though, that, while considering these separately is a conceptually permissible abstraction from the unified space–time structure, it is ambiguous with respect to the observations themselves (the “factual basis”), since it only makes sense, in general, if there is also a certain conceptual stipulation concerning simultaneity. Yet it is possible in special cases to arrive unambiguously, i.e., independently of the definition of simultaneity, at statements about spatial relations: if, that is, we apply the cautionary procedures mentioned above (p. 41) in the measurement of surface f and limit ourselves to such assertions about long-lasting point-coincidences as are established in the described fashion by several observers. For brevity, we shall simply use the following mode of expression: according to the metric Mn we find such-and-such an interval for the two points A , B , or we establish that the three points A , B , C lie on a straight line. But it should always be kept in mind that these assertions can be traced back to point-coincidences (as in measurement of surface f ) and that the simultaneity of different point-coincidences that occurs here is meant in the sense described earlier.

Simplicity of the Total System.

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Die beiden Formen, in denen unter Voraussetzung der allgemeinen Relativitätstheorie die räumlichen Verhältnisse in einem Schwerefeld, z. B. in der Umgebung der Sonne, dargestellt werden können, sind nun (neben unendlich vielen andern, weniger einfachen) folgende: 1. Wir wählen als Maßsetzung wieder M1 , wie bisher in der Physik üblich. Die Beobachtungen auf Grund von M1 ergeben, daß die Länge eines jeden Stabes zwar abhängig von Temperatur, Magnetisierung, elastischen Beanspruchungen usw., aber nicht von Ort oder Richtung im Schwerefeld ist. Die entsprechend der beschriebenen Ausmessung von f vorzunehmende Ausmessung des Raumes im Schwerefeld (wobei wir wieder von der nicht grundsätzlichen, sondern | nur technischen Schwierigkeit infolge des sehr kleinen Krümmungsmaßes absehen) würde ergeben, daß hier nicht überall das Krümmungsmaß Null ist, sondern z. B. auf einer Ebene durch den Mittelpunkt der Sonne bei Annäherung von außen an die Oberfläche der Sonne immer stärker negativ wird, und zwar ringsherum im gleichen Abstand von der Sonne in gleicher Weise. 2. Die früheren Überlegungen haben gezeigt, daß sich immer eine Maßsetzung finden läßt, auf Grund deren der Tatbestand in die Form des euklidischen Raumgefüges R i00h = gebracht werden kann. Es muß also auch eine solche Maßsetzung Me geben, die zu einem euklidischen Gefüge für das Verhalten der Körper im Schwerefeld gelangt. Dazu ist allerdings erforderlich, daß in die Maßsetzung nicht nur, wie bei M1 , die Temperatur (T ) und andre physikalische Zustandsgrößen hineingenommen werden, sondern auch Ort und Richtung, genauer: die Entfernung (r ) vom Mittelpunkt der das Schwerefeld erzeugenden Masse (m ) und der Winkel ϕ zwischen Maßstrecke und r . Daß dieses Vorkommen einer Längenbestimmung (r ) in der Maßsetzung nicht auf einen Zirkelschluß hinausläuft, ist oben in einem ähnlichen Beispiel (M s ) gezeigt worden; ebenso steht es mit der Bestimmung des Winkels ϕ, wovon man sich leicht überzeugt, wenn man die Winkelmessung auf Längenmessung zurückführt. Während M1 , wenn wir zur Einfachheit von den physikalischen Zustandsgrößen hier nur die Temperatur anführen und uns auf die einfachste Gestalt der Abhängigkeitsbeziehung beschränken, etwa lautet: „Diese beiden Punkte A , B dieses Eisenstabes sollen als Maßpunkte gelten; ihr Abstand stellt bei der Temperatur T die Strecke l = l 0 (1+β(T −T0 )) dar“, so lautet Me : „Diese beiden Punkte A, B dieses Eisenstabes sollen als Maßpunkte gelten; ihr Abstand stellt bei der Temperatur T , in der Entfernung r von der Masse m , unter dem Winkel 2 ϕ gegen r die Strecke dar: l = l 0 (1 + β(T − T0 ))(1 − C ( m r · cos ϕ)); hierbei ist −29 C eine unveränderliche Größe (im cm-gr-sek-Maß 3,72 · 10 )“. Messen wir auf Grund dieser Maßsetzung, so zeigt sich wie bei M1 eine Ausdehnung aller festen Körper bei Erwärmung, und zwar je nach dem Stoff verschieden; dann aber im Gegensatz zu M1 eine Verkürzung aller Körper in Richtung der Verbindungslinie zum Mittelpunkt von m , aber nicht quer zu dieser Richtung. Und zwar ist diese Verkürzung bei der gleichen Entfernung von m für alle Körper dieselbe, unabhängig vom Stoff. Wird ein (sehr langer) Stab auf Grund von Me

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The two forms (among infinitely many others that are less simple) in which, if the general theory of relativity is assumed, spatial relations in a gravitational field, e.g., in the neighborhood of the sun, can be represented are as follows: (1) We again choose M1 as our metric, as has always been usual in physics. Observations based on M1 yield the result that while the length of any rod depends on temperature, magnetization, elastic stresses, etc., it does not depend on location or orientation in the gravitational field. The measurement of space to be undertaken in the gravitational field, corresponding to the measurement of f described above (where we again abstract from merely technical difficulties due to the small curvature, which are not difficulties in principle), would yield the result that here the curvature is not everywhere null, but, for example, becomes more and more strongly negative on a plane through the center of the sun as we approach the surface of the sun from outside, in fact all around the sun at the same distance in the same way. (2) Our earlier discussions have shown that a metric stipulation can always be found as a groundwork for bringing the factual basis into the form of a Euclidean spatial structure R i00h= . So there must also be a metric stipulation Me that leads to a Euclidean structure for the behavior of bodies in the gravitational field. However, for this purpose it is necessary to include in the specification of the metric not only, as in M1 , the temperature (T ) and other physical state magnitudes, but also location and orientation, more precisely: the distance (r ) from the center of the mass (m ) generating the gravitational field and the angle ϕ between the measuring segment and r . That this dependence on a determination of length (r ) in the metric does not lead to a circular argument has been shown above for a similar example (M s ); precisely the same holds for the determination of the angle ϕ, as one can easily convince oneself by reducing angular measurement to the measurement of length. Whereas M1 runs as follows: “these two points A , B of this iron rod shall be measure points; at temperature T their interval represents the segment l = l 0 (1 + β(T − T0 ))” (where for simplicity we introduce only temperature among the state magnitudes and restrict ourselves to the simplest form of dependence), Me takes the form: “these two points A , B of this iron rod shall be measure points; at temperature T and distance r from mass ¡m at angle ϕ from ¡ ¢¢ r , their interval presents the segment: l = l 0 (1 + β(T − T0 )) 1 −C mr · cos2 ϕ , where C is a constant (in cm-gr-sec units C = 3.72 · 10−29 ).” If we measure according to this metric stipulation there is, just as in M1 , an expansion of all rigid bodies on heating and, indeed, one that differs according to their composition; unlike in M1 , however, there is also a contraction of all bodies in the direction of the line connecting the body in question to the center of m (but not at right angles to this direction). Furthermore, this contraction is the same for all bodies at the same distance from m , independent of their composition. If a (very

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als gerade festgestellt, so bleibt er bei Änderung von Ort oder | Richtung im Allgemeinen nicht gerade, sondern nimmt eine Krümmung an. Die Krümmung der Lichtstrahlen ist hier absichtlich nicht erwähnt, weil ihre Ausmessung unter den Vorsichtsmaßregeln, die uns hier die Nichtberücksichtigung der Zeit erlauben, nicht möglich ist. Die Frage, in welcher räumlichen Form der Tatbestand im Schwerefeld dargestellt werden soll, läuft also auf die Wahl zwischen den beiden Maßsetzungen M1 und Me hinaus. Hier beschränken wir uns darauf, die Sachlage durch dieses Entweder-Oder zu kennzeichnen, ohne die Entscheidung in dieser nicht die Wahrheit, sondern die wissenschaftliche Zweckmäßigkeit angehenden Frage treffen zu wollen. Es sei nur darauf hingewiesen, daß für die Entscheidung die früher (S. 36) genannte Regel des wissenschaftlichen Verfahrens in Betracht kommt, zahlenmäßig gleiches Verhalten der verschiedensten Körper nach Möglichkeit als scheinbar darzustellen, nämlich als Folge einer entsprechenden Eigenschaft dessen, worauf jenes Verhalten bezogen ist, hier also der Maßsetzung des Raumgefüges. Auch sei noch einmal daran erinnert, daß wir hier den Raum aus dem Gesamtgefüge Raum-Zeit losgelöst haben; soll die Entscheidung nicht nur für diesen Ausschnitt, die räumlichen Verhältnisse, gültig sein, sondern für den Gesamtaufbau des Gefüges der Naturvorgänge, so kann sie dies nur durch Untersuchung der Frage, ob sich für das vierstufige Raum-Zeit-Gefüge aus der einen oder der andern der beiden Maßsetzungen die einfachere Form ergibt. Wir fassen die Ergebnisse der Untersuchung des physischen Raumes kurz zusammen. Im Tatbestand der Erfahrung ist uns der dreistufige, topologische 00 Raum R 3t gegeben, dagegen nicht ein metrischer Raum. Ein solcher ergibt sich erst auf Grund einer Maßsetzung, wobei wir entweder diese selbst oder das metrische Raumgefüge frei wählen können, am besten aber so vorgehen, daß wir weder das eine noch das andre tun, sondern die Maßsetzung und das zu ihr gehörige Raumgefüge so bestimmen, daß auf Grund davon der Tatbestand möglichst einfach dargestellt werden kann.

59 Beispiel: die allgemeine Relativitätstheorie.

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long) rod is designated as straight according to Me , then it does not in general remain straight when it changes place or direction, but acquires a curvature. We deliberately refrain from discussing the curvature of light rays here, because it is not possible to measure them using the cautionary procedures that allow us here to ignore time. The question regarding the spatial form in which the factual basis should be presented in a gravitational field therefore comes down to a choice between the two metric stipulations M1 and Me . We limit ourselves here to characterizing the situation by way of these alternatives, without wishing to make a decision on this question, which is not one of truth but of scientific convenience. It should be pointed out, though, that this decision involves the above-mentioned rule (p. 36) of scientific procedure: if possible, numerically identical behavior of the most diverse bodies is to be presented as merely apparent, namely, as a consequence of a corresponding property of that to which this behavior is related — in this case, the metric or spatial system. Let it also be recalled once more that we have here abstracted space from the overall space–time system; if the decision is to be valid not only for this residue, the spatial relations, but also for the total construction of the structure of natural processes, then it can only be valid by virtue of investigating the question whether one or the other of the two metrics yields the simpler form for the four-dimensional space–time system. We now briefly summarize the results of our investigation of physical 00 space. Three-dimensional topological space R 3t is given to us in the factual basis of experience; a metrical space, however, is not. A metrical space results only from a metric stipulation, so that either the latter itself or the metrical spatial system can be freely chosen. The best way to proceed, however, is neither in one of these ways nor in the other, but rather to choose the metric stipulation and the associated spatial system in such a way that the factual basis can be represented as simply as possible.

Example: the general theory of relativity.

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IV.

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Der Raum: Ein Beitrag zur Wissenschaftslehre (1922a)

Das gegenseitige Verhältnis von formalem, Anschauungs- und physischem Raum

Bei der Erörterung der verschiedenen Arten von Gefügen, die sich für jede der drei Raumbedeutungen in gleicher Weise ergeben, sind die zwischen diesen Bedeutungen bestehenden Beziehungen schon an verschiedenen Stellen deutlich geworden, sodaß wir hier den Zusammenhang nur noch einmal kurz zu überblicken brauchen. Wir betrachten die drei Sätze: 1) Eine Zahl mit einer zweiten multipliziert ergibt das Gleiche, wie die zweite mit der ersten multipliziert. 2) 3 Gruppen zu je 4 Dingen enthalten ebensoviele Dinge, wie 4 Gruppen zu je 3 Dingen. 3) Die Anzahl dieser Kästen hier ist 3, die Anzahl der Kugeln in jedem ist 4; dort sind 4 Kästen und in jedem 3 Kugeln; folglich sind hier ebensoviele Kugeln wie dort. Sowohl das Verhältnis von 1) zu 2), wie das von 2) zu 3) ist das einer allgemeinen Regel zu ihrer Anwendung, aber in verschiedenem Sinne: dort Einschränkung der begrifflich-allgemeinen Regel auf einen Sonderfall, dem aber noch gegenüber der Wirklichkeit Allgemeinheit zukommt; hier Anwendung dieser eingeschränkten Allgemeinheit auf einen Einzelfall der Wirklichkeit, in dem keine Allgemeinheit mehr liegt. Dieser Unterschied sei durch die Ausdrücke Einsetzung (Substitution) und Unterordnung (Subsumtion) bezeichnet, da im ersten Falle für unbestimmte Beziehungsglieder Bestimmtes eingesetzt, im zweiten das Erfahrungswirkliche der bestimmten Regel untergeordnet wird. Mit Hilfe dieser Begriffsbestimmungen läßt sich jetzt das Verhältnis der Geometrien fassen. Zwischen der Lehre vom formalen und der vom Anschauungsraum besteht das Verhältnis der Einsetzung, zwischen dieser und der Lehre vom physischen Raum das der Unterordnung. Es gilt auch allgemein für Logik (im Sinne der Ordnungslehre), Größenlehre (nicht nur räumliche) und Physik das gleiche | dreigliedrige Verhältnis, das von grundlegender Bedeutung für die Wissenschaftslehre ist. Es entspricht (in Husserls Ausdrucksweise) dem stufenweisen Fortgange: formale Ontologie (Leibniz’ „mathesis universalis“), regionale Ontologie, Tatsachenwissenschaft; und in der Ostwaldschen Wissenschaftslehre den ersten Stufen der Wissenschaftspyramide. Beispiele für engere Wissenschaftsgebiete, die in solchem Verhältnis zu einander stehen, sind etwa: allgemeine Beziehungslehre, allgemeine Verwandtschaftslehre, geschichtliche Geschlechterkunde; oder: allgemeine Mathetik, mathetische Farbenlehre, physikalische Farbenlehre (so von Ostwald bezeichnet und aufgebaut); so auch die Geometrien. Dem Verhältnis der drei Wissenschaftsgebiete entspricht das Verhältnis ihrer Gegenstände, hier also des Raumes in den drei Bedeutungen R , R 0 , R 00 . Sowohl das Verhältnis von R zu R 0 , wie das von R 0 zu R 00 ist das der Gattung 61 Drei Stufen der Wissenschaft.

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Space: A Contribution to the Theory of Science (1922a)

IV.

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The Interrelations among Formal, Intuitive, and Physical Space

In our discussion of different kinds of system that result in the same way in each of the three meanings of space, the relations that hold among among these meanings have already become clear at various points; so a brief review of the big picture will suffice here. We consider the three propositions: (1) Multiplying a number by a second number yields the same result as multiplying the second by the first. (2) Three groups of any four things comprise precisely as many things as four groups of any three things. (3) Here are three boxes, the number of balls in each is four; there are four boxes with three balls in each; so there are just as many balls here as there. Both the relation of (1) to (2) and that of (2) to (3) are cases of the relation between a general rule and its application, but each in a different sense. The former is a restriction of a general conceptual rule to a special case, but a case that is still general vis-à-vis reality, while the latter is an application of this restricted generality to a particular case of reality in which no further generality resides. This distinction is indicated by using the terms insertion (substitution) and subordination (subsumption), since in the first case definite relational terms are substituted for indefinite ones, while in the second case experienced reality is subordinated to the more definite rule. The relations among geometries may now be articulated with the help of these definitions. The relation of substitution holds between the theory of formal and that of intuitive space; the relation of subordination holds between the latter and the theory of physical space. The same three-termed relation, which is of fundamental importance for the theory of science, also holds generally between logic (in the sense of the theory of order), the theory of magnitude (not only spatial), and physics. It corresponds (in Husserl’s terminology) to the step-wise progression: formal ontology (Leibniz’s “mathesis universalis”), regional ontology, factual science; and also to the first steps of the scientific pyramid in Ostwald’s theory of science. Examples of particular realms of science in this successive relation are: general theory of relations, general theory of kinship, historical genealogy; general formal science, formal theory of color, physical theory of color (as discussed and developed by Ostwald); and so too with the geometries. Corresponding to the relations among the three realms of science are the relations among their objects — and so, here, among spaces in the three meanings R , R 0 , R 00 . Both the relation of R to R 0 and that of R 0 to R 00 are cases of the relation between a species and an individual, but in two different senses.

The Three Levels of Science.

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zum Einzelding, aber in verschiedenem Sinne. Auch hier können die Beziehungen als Einsetzung und Unterordnung bezeichnet werden, da diese beiden Ausdrücke (bzw. Substitution und Subsumtion) nicht nur in der Urteilslehre, sondern auch (in andrer, aber genau entsprechender Bedeutung) in der Klassenlehre angewandt werden. Das Verhältnis von R zu R 0 ist das der Gattung von Gefügen bestimmter Ordnungseigenschaften aber unbestimmter Gegenstände zu einem Gefüge dieser selben Eigenschaften, aber bestimmter Gegenstände, nämlich der anschaulich räumlichen Gebilde. Das Verhältnis von R 0 zu R 00 ist das einer Anschauungsform zu einem Gefüge dieser Form von erfahrungswirklichen Gegenständen. Hieraus wird nun auch erkenntlich, aus welchem Grunde die verschie0 denen Arten von R 0 , besonders die verschiedenen Unterarten von R 3m , und die entsprechenden Arten von R aufgebaut werden. Zweck und Ziel dieser Aufstellungen liegt im R 00 . Die räumlichen Beziehungen der Erfahrung sollen in ein widerspruchsloses Gefüge R 00 gebracht werden; für dieses wird die allgemeine Form R 0 vorgebaut, und für diese wiederum die noch allgemeinere begriffliche Form R . Da nun für R 00 sich je nach der Wahl der Maßsetzung 00 die verschiedenen Arten des R 3m als möglich erweisen, so müssen die ihnen 0 entsprechenden Arten des R aufgebaut werden, die dann in früher erläuterter 0 0 0 Weise zu den umfassenden Gefügen R nm oder R 3t und schließlich zum R nt verallgemeinert und zugleich zusammengefaßt werden. Und für diese Gefüge werden die formalen Gerüste der entsprechenden R bis zum allgemeinsten, dem R nt , aufgebaut.

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The relations can once again be called substitution and subordination, for these two expressions are used not only in the theory of judgment but also (in another, exactly corresponding sense) in the theory of classes. The relation of R to R 0 is that of the species of structures with determinate order properties but undetermined objects to a structure with these same order-properties but determinate objects, i.e. intuitively spatial forms. The relation of R 0 to R 00 is that of a form of intuition to a system with this form made up of real objects of experience. From this it can now also be seen why the different kinds of R 0 — espe0 cially the different subspecies of R 3m — and the corresponding types of R were constructed. The point and purpose of these constructions lies in R 00 . The spatial relations of experience are to be brought into a consistent system R 00 ; for this, the general form R 0 is constructed first, and for this, in turn, the still 00 more general conceptual form R . Now, since the different kinds of R 3m prove 00 to be possible for R , depending on the choice of metric, the corresponding types of R 0 must also be constructed. As previously explained, these are then generalized to, and at the same time brought together in, the comprehensive 0 0 0 systems R nm or R 3t and finally R nt . And for these systems we in turn construct the formal framework of the corresponding R up to the most general one, R nt .

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V.

Die Beziehungen zwischen Raumerkenntnis und Erfahrung

a)

Die Quellen der Erkenntnis vom Raume

Nach dem so gewonnenen Überblick über die drei verschiedenen Bedeutungen des Raumes und die bei jeder dieser Bedeutungen vorliegenden Arten von Raumgefügen, insbesondere das topologische und das metrische Gefüge, kann die Frage nach der Abhängigkeit der Raumerkenntnis von der Erfahrung und allgemeiner nach den Quellen dieser Erkenntnis beantwortet werden. Die Lehre vom formalen Raum bildet eine Weiterführung eines besonderen Gebietes der Beziehungslehre; ihre Sätze sind ebenso wie die der Zahlenlehre aus den Grundgesetzen der deduktiven Logik abgeleitet und von der Erfahrung gänzlich unabhängig. Beim Anschauungsraum liegt die Sache nicht so einfach. Die Lehrsätze werden hier rein begrifflich aus gewissen Grundsätzen abgeleitet; die Frage ist also nur noch, worauf sich die Erkenntnis dieser Grundsätze gründet. Hier haben wir unterschieden zwischen den Grundsätzen im engeren Sinne und den Forderungen. Jene bilden den Befund einer bestimmten Art der „Wesenserschauung“ (im Husserlschen Sinne) und sind daher wie alle Erkenntnisse dieser Quelle nicht auf Häufung von Erfahrungstatsachen angewiesen, daher nicht als Erfahrungserkenntnisse zu bezeichnen, aber auch nicht unabhängig von jeder Erfahrung, insofern sie an irgendwelchen Vertretern der betreffenden Art von Gegenständen gewonnen werden. Die Forderungen dagegen sind nicht Erkenntnisse, sondern Festsetzungen, die getroffen werden, um ein geschlossenes Gesamtgefüge „Raum“ aus jenen Erkenntnissen zu gewinnen, die ihrem Wesen nach auf ein nicht vollständiges Gebiet beschränkt erscheinen. Für diese Erweiterungen zum vollständigen Gefüge zeigten sich verschiedene Möglichkeiten. Der topologische Raum stellt das ihnen allen gemeinsame dar und ist deshalb als Form des in der Wesenserschauung des Räumlichen Faßbaren anzusehen. Die metrischen Anschauungsräume dagegen sind auch noch von der Wahl jener Festsetzungen abhängig; | daher fehlt ihnen die dem topologischen Anschauungsraum wie allen dieser Quelle entstammenden Erkenntnissen zukommende Eigenschaft der unbedingten Gültigkeit. Die Erkenntnis vom Gefüge des physischen Raumes ist Erfahrungserkenntnis: sie ist gegründet auf den „Tatbestand“ der Erfahrung und wird durch Induktion gewonnen, d. h. durch Sammlung und Verarbeitung von Erfahrungstatsachen, und kann daher auch unbedingte Gewißheit nie selbst erreichen, sondern nur sich ihr als einem Grenzwert immer weiter nähern. Auf Grund des Tatbestandes ergibt sich so die Erkenntnis des topologischen Raumes, während die Verwandlung dieses in eines der metrischen Gefüge nur durch Hinzunahme der frei wählbaren Maßsetzung möglich ist. Wir haben bisher die Kantischen Ausdrücke der apriorischen und empirischen Erkenntnisse und der analytischen und synthetischen Urteile absichtlich 63 Die Quellen der Raumerkenntnis. Kant.

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V.

The Relations Between Knowledge of Space and Experience

a)

The Sources of Knowledge of Space

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From the view thus obtained of the three different ways of understanding space, and the kinds of spatial systems that emerge from each, especially the topological and the metrical systems, the question about the dependence of our spatial knowledge on experience can be answered, as well as, more generally, the question about the sources of this knowledge. The theory of formal space is an extension of a special domain of the theory of relations; its propositions, just like those of number theory, are derived from the basic laws of deductive logic and are wholly independent of experience. The case is not so simple for intuitive space. Here the theorems are derived purely conceptually from certain axioms, so the remaining question is what the knowledge of these axioms is based on. We have distinguished here between axioms in the narrower sense and postulates. The axioms report the findings of a certain “immediate grasp of essences” (in Husserl’s sense) and therefore, like all knowledge from this source, they do not depend on the accumulation of experiential facts, and so are not to be called experiential knowledge. Yet they are also not independent of all experience, insofar as they are obtained from one or another representative of the type of object in question. The postulates, by contrast, are not knowledge at all, but stipulations laid down in order to obtain a complete global system, “space”, from items of knowledge that appear to be essentially restricted to an incomplete domain. Various possibilities emerged for these extensions to the complete system. Topological space represents what is common to all of them and is therefore to be regarded as the form of what can be comprehended through an immediate grasp of spatial essences. The metrical intuitive spaces, on the other hand, depend also on the choice of those postulates; they therefore lack the property of unconditional validity that characterizes topological intuitive space, just as [it characterizes] all knowledge arising from this source. The knowledge of the system of physical space is experiential knowledge: it is founded on the “factual basis” of experience and is obtained through induction, i.e. by assembling and processing facts of experience, and can therefore never itself arrive at unconditional certainty, but can merely approach ever more closely to it as a limiting value. Knowledge of topological space is thus built on the foundation of the factual basis, while its transformation into one of the metrical structures is possible only by adjoining a freely choosable metric. So far we have intentionally avoided the Kantian terminology of a priori and empirical knowledge, and of analytic and synthetic judgments — partly

The Sources of Knowledge of Space. Kant.

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vermieden, teils weil sie nicht von allen Seiten in gleicher Weise gedeutet und angewandt werden, teils auch, weil mit Hilfe der andern gegebenen Begriffsbestimmungen der Sachverhalt in unsrer Frage schärfer ausdrückbar scheint. Um aber die Stellung zu Auffassungen, die sich jener Begriffe bedienen, insbesondere zur Frage der synthetischen Urteile apriori, deutlich zu machen, sei kurz angeführt, wie sich die Ergebnisse der vorstehenden Untersuchungen zu diesen Begriffen verhalten. Auch hier ist wieder nur die Frage nach den Grundsätzen der Raumlehre zu stellen, da die Lehrsätze aus ihnen ohne Mithilfe der Anschauung noch der Erfahrung abgeleitet werden. Die Grundsätze über den formalen Raum sind offenbar apriori. Sie sind nicht synthetisch, sondern analytisch, da sie sich lediglich aus den logischen Grundsätzen ableiten und daher von jedem in ihnen vorkommenden Begriff eines „Raumgebildes“ (in dem formalen Sinne) nur das durch seine Begriffsbestimmung schon Gesetzte aussagen. Die Grundsätze des Anschauungsraumes sind gleichfalls apriori. Nach der bekannten Unterscheidung Kants zwischen dem „der Erfahrung Entspringen“ und dem „Anheben mit der Erfahrung“ bedeutet dies ja nicht: ohne Erfahrung erfaßbar, sondern: „unabhängig von der Menge der Erfahrung“ (Driesch) und steht deshalb nicht im Widerspruch dazu, daß zu der Wesenserschauung das Gegebensein von Erfahrung, entweder unmittelbar in der Wahrnehmung oder mittelbar in der Vorstellung, erforderlich ist. In diesen Grundsätzen des Anschauungsraumes haben wir die von Kant behaupteten synthetischen Sätze apriori vor uns. Dasselbe gilt aber nicht all|gemein für die aus ihnen abgeleiteten Lehrsätze, sondern nur, soweit sie den topologischen Raum betreffen; denn diejenigen, die sich auf einen der metrischen Räume beziehen, sind nicht nur von den Grundsätzen, sondern auch von den Forderungen abhängig, auf Grund deren das vollständige Gefüge des Anschauungsraumes sich ergibt, also von Bestimmungen, die nicht Erkenntnisse apriori sind, weil überhaupt nicht Erkenntnisse, sondern Festsetzungen. Kants Behauptung ist also zwar richtig, aber nicht für den ganzen Bereich derjenigen Sätze gültig, auf die er selbst sie bezog. Schließlich sind die Sätze über den physischen Raum ebenfalls synthetisch, aber sicherlich nicht apriori, sondern aposteriori, nämlich auf Induktion beruhend. Abgesehen von den durch wahlfreie Setzungen hinzukommenden Bestimmungen sind also die Sätze über den formalen, den physischen Raum und den der Anschauung beziehungsweise analytische Sätze apriori, synthetische aposteriori, synthetische apriori. Die seit langer Zeit geführten Auseinandersetzungen zwischen Mathematikern, die Kants Behauptung bestritten, und Philosophen, die sie verteidigten, haben offenbar deshalb zu keinem Ergebnis führen können, weil auf beiden Seiten nicht von dem gleichen Gegenstande die Rede war. Die ersteren hatten teils den formalen Raum (z. B. Couturat), teils den physischen (Riemann, Helmholtz, Poincaré) im Auge, die letzteren den Anschauungsraum. Somit hatten beide Teile Recht und hätten sich leicht einigen können, wenn über die drei verschiedenen Bedeutungen des Raumes Klarheit geherrscht hätte. Um anstelle der Unterscheidung apriori-aposteriori wieder auf unsre Begriffsbestimmungen zurückzugreifen, können wir die denkmäßigen (d. h.

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because these terms are not construed and applied in the same way by all sides, partly also because it seems possible to articulate the issues involved in our question more precisely with the aid of the other concepts [used in place of the Kantian ones]. However, to clarify our view regarding conceptions that do employ these concepts, especially regarding the question of synthetic a priori judgments, let us briefly indicate what bearing the results of the present investigations have on them. Here, too, only the question about the axioms of the theory of space is worth asking, since the theorems are derived from them without help from either intuition or experience. The axioms governing formal space are obviously a priori. They are not synthetic but analytic, since they derive solely from logical axioms and therefore assert of every concept of a “spatial configuration” (in the formal sense) occurring in them only what is already posited in its definition. The axioms of intuitive space are likewise a priori. Following Kant’s well-known distinction between “arises from experience” and “begins with experience”, this does not indeed mean: comprehensible without experience, but rather: “independent of the amount of experience” (as Driesch puts it) — and therefore does not contradict the fact that experience must be given, for immediate grasp of essences, either immediately, in perception, or mediately, in imagination. In these axioms of intuitive space we have before us the synthetic a priori propositions claimed by Kant. However, the same does not hold generally for the theorems derived from them, but only insofar as they pertain to topological space; for those that relate to one of the metrical spaces depend not only on the axioms, but also on the postulates that underlie the complete system of intuitive space — and thus on rules that are not a priori knowledge, because they are not knowledge at all but stipulations. So Kant’s claim is indeed correct, but does not hold for the entire range of propositions to which he applied it. The propositions governing physical space, finally, are likewise synthetic, but certainly not a priori; rather, they are a posteriori, for they rest on induction. Apart from the rules added by freely chosen stipulations, therefore, the propositions governing formal, physical, and intuitive space are analytic a priori, synthetic a posteriori, and synthetic a priori respectively. The longrunning controversies between mathematicians, who disputed Kant’s claim, and philosophers, who defended it, could obviously not have reached any resolution, since the two sides were not talking about the same thing. The former had in mind either formal space (e.g., Couturat) or physical space (Riemann, Helmholtz, Poincaré), the latter intuitive space. So both parties were right and could easily have reached agreement if clarity had prevailed concerning the three different meanings of space. To return from the a priori/a posteriori distinction to our own concepts, we can express the intellectual sources of a piece of knowledge (i.e., those that

pp

qq

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Begründung angebenden) Quellen einer Erkenntnis durch eine Formel ausdrücken, wobei durch W1 , S 1 bzw. T1 ausgedrückt werden soll, daß die betreffende Erkenntnis auf Wesenserschauung, wahlfreier Setzung bzw. dem Tatbestande der Erfahrung beruht, und durch W0 , S 0 , bzw. T0 , daß die Erkenntnis frei von diesen Bestimmungen ist. Die Sätze über die verschiedenen Raumarten haben dann folgende Quellenformeln: R nt , R 3t , (R 3m ) R 3m (s. u.) 0 R 3t 0 R nt 0 R 3m 00 R 3t 00 R 3m

: : : : : : :

W1 S 0 T 0 W1 S 1 T 0 W1 S 0 T 0 W1 S 0 T 0 W1 S 1 T 0 W1 S 0 T 1 W1 S 1 T 1 .

W tritt überall auf, ist aber nur in den letzten Fällen eigentlich „räumlicher“,

rr

in den beiden ersten dagegen formaler Art (Husserl: „formale Ontologie“). Von S ist R 3m dann frei, wenn dieses Gefüge aus R 3t abgeleitet ist und dadurch ununterbrochene Verbindung mit den logischen Grundgesetzen hat, dagegen nicht, wenn seine Grundsätze selbständig aufgestellt werden als auf frei wählbaren Festsetzungen beruhende formale Bedingungen eines Beziehungsgefüges. Daß letzteres Verfahren in der Regel angewandt wird, ist oben besprochen 0 worden (S. 14). Daß R 3t frei von S ist, obwohl mit Hilfe der nach freier Wahl festgesetzten Forderungen aufgebaut, beruht darauf, daß dieses Gefüge nur diejenigen räumlichen Bestimmungen enthält, die bei jeder der verschiedenen möglichen Festsetzungen sich ergeben, also nicht abhängig von der Wahl der Festsetzungen ist.

b)

Der Raum als Bedingung der Erfahrung

Nach Kant ist der Raum die Bedingung zur Möglichkeit jeder (äußeren) Erfahrung überhaupt. Gilt dies für die räumlichen Bestimmungen aller von uns unterschiedenen Gefüge? Um das zu entscheiden, ist zu überlegen, welche räumlichen Bestimmungen notwendig in jeder (äußeren) Erfahrung anzutreffen sind, also auch dann, wenn diese noch nicht auf Grund der frei gewählten Bestimmungen in eine über die notwendige hinausgehende, besondere räumliche Form gebracht worden ist. Nun haben wir die Erfahrung, soweit sie nur in der eindeutigen, notwendigen Form vorliegt, die keinerlei frei gewählte Festsetzung enthält, „Tatbestand“ genannt. Demnach können nur die im Tatbestand enthaltenen räumlichen Bestimmungen Bedingung zur Möglichkeit der Erfahrung sein. Und das sind, wie wir gesehen haben, nur die topologischen, nicht aber die projektiven und vor allem nicht die metrischen Beziehungen. Man hat die Umformung einer Tatbestandsaussage von einer metrischen Raumform in eine andere, z. B. von der euklidischen in eine der nichteuklidischen, treffend mit der Übersetzung eines Satzes von einer Sprache in eine 65 Formeln der Erkenntnisquellen.

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supply grounds for it) by a formula, in which W1 , S 1 , or T1 are to mean that the knowledge in question rests on immediate grasp of essences, arbitrary stipulation, or the factual basis of experience and W0 , S 0 , or T0 that the knowledge is free of these respective grounds. Propositions concerning the various kinds of space then have the following source formulas: R nt , R 3t , (R 3m ) R 3m (see below) 0 R 3t 0 R nt 0 R 3m 00 R 3t 00 R 3m

: : : : : : :

W1 S 0 T 0 W1 S 1 T 0 W1 S 0 T 0 W1 S 0 T 0 W1 S 1 T 0 W1 S 0 T 1 W1 S 1 T 1 .

W occurs throughout, but is properly “spatial” only in the latter cases; in the first two, on the other hand, it is formal in nature (in the sense of Husserl’s “formal ontology”). R 3m is free of S if this system is derived from R 3t and thus entirely traceable back to logical axioms, but is not so if its axioms are postulated on their own, as formal conditions — arrived at by freely chosen stipulation — on a relational system. We noted above that this latter procedure is 0 customarily applied (p. 14). That R 3t is free of S , even though constructed with the help of postulates stipulated by free choice, rests on the fact that this system contains only the spatial features that result from each of the various possible stipulations, and is therefore not dependent on the choice of stipulation.

b)

Space as a Condition of Experience

According to Kant, space is the condition for the possibility of any (outer) experience whatever. Is this true for the spatial features of all the systems we have distinguished? To decide this, consider which spatial features are necessarily encountered in every (outer) experience, even when it has not yet, on the the basis of freely chosen stipulations, been given a particular spatial form that goes beyond the necessary form. Experience, insofar as it is represented only in the unambiguous necessary form containing no arbitrary stipulation whatever, we have called the “factual basis”. Only the spatial features inherent in the factual basis, then, can be conditions for the possibility of experience. And these, as we have seen, are only the topological, not the projective, and above all not the metrical relations. The transformation of a statement belonging to the factual basis from one metrical spatial form into another — e.g., from the Euclidean into one of the non-Euclidean — has been aptly compared to the translation of a sen-

Formulas of the Sources of Knowledge.

rr

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ss

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andre verglichen. Wie nun der eigentliche Sinn des Satzes nicht seine Darstellung in einer dieser Sprachformen ist, wonach dann seine Darstellung in den andern Sprachen als abgeleitet und weniger ursprünglich erscheinen müßte, sondern nur das an ihm, was bei der Übersetzung unverändert bleibt; so ist auch der Sinn jener Tatbestandsaussage nicht eine ihrer metrischen Darstellungen, sondern das, was allen diesen gemeinsam ist (die | „Invarianten der topologischen Transformationen“), und das ist eben ihre Darstellung in der bloß topologischen Form. Bei der Behandlung dieser Frage ist häufig mit Recht darauf hingewiesen worden, daß jene „transzendentale Funktion“ des Raumes, die Erfahrungsbegründung, nur einer eindeutigen Raumform zugeschrieben werden könne und daß daher die nichteuklidischen Raumformen hierfür nicht in Betracht kommen könnten. Aus dieser richtigen Behauptung darf aber nicht der Schluß gezogen werden, daß folglich nur der euklidische Raum jene Stelle einnehmen könne. Denn dieser Raum ist jenen nebengeordnet, und ihm kommt ebenso wenig oder ebenso viel Eindeutigkeit zu wie einem einzelnen der nichteuklidischen Räume, etwa dem mit dem überall gleichen Krümmungsmaß −20. Der richtige Schluß aus jenem Vordersatz kann vielmehr nur auf den topologischen Raum gehen, denn nur dieser ist sowohl jenen übergeordnet, als auch vollkommen eindeutig: der Tatbestand der Erfahrung kann nicht in mehreren verschiedenen topologischen Formen erscheinen. Die topologischen Raumverhältnisse, die die Bedingung der Möglichkeit jedes Erfahrungsgegenstandes bilden, können nicht die des physischen Raumes sein, da dieser nicht unabhängig vom Tatbestande der Erfahrung ist, sondern den nicht notwendigen, nur wirklichen Befund zur Darstellung bringt: dieses bestimmte physisch-räumliche Gebilde steht zu jenem in einer bestimmten topologischen Beziehung (des sich Berührens, des Zusammenhangs, des Eingeschlossenseins usw.). Die Bestimmungen des topologischen Anschauungsraumes, in ihrer Erfahrungsunabhängigkeit und in der auf Grund ihrer Erkenntnisquelle ihnen zukommenden Allgemeingültigkeit, und infolgedessen auch die des formalen topologischen Raumes, jenes allgemeinen Beziehungsgefüges unbestimmter Dinge, von dem der topologische Anschauungsraum einen bestimmten Einzelfall bildet, können allein jene erfahrungstiftende Geltung haben. Die vielumstrittene Frage, ob die Dreistufigkeit des Raumes mit zu diesen Bestimmungen gehöre, die Bedingung jedes Erfahrungsgegenstandes sind, ist zu verneinen. Wie wir beim Aufbau des Anschauungsraumes gesehen haben, stellt sich als Ergebnis der Anschauung heraus, daß die räumlichen Gebilde des Anschauungsbereiches bis zu drei Abmessungen haben. Bei der Erweiterung dieses Bereiches zum Gesamtraum zeigt sich aber, daß, wenn ein Gebilde von k Abmessungen vorliegt, zwar der Schluß möglich ist, daß das Gesamtgefüge, dem es angehört, mindestens k Abmessungen hat, aber die | obere Grenze der Zahl der Abmessungen des Gesamtgefüges nicht erschlossen werden kann. Aus jenem Anschauungsbefund folgt also nur, daß der Gesamtanschauungs0 ,R . 67 Die erfahrungstiftende Raumgesetzlichkeit: R nt nt

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tence from one language into another. Now, just as the genuine sense of the sentence is not its representation in one of these linguistic forms (for then its representation in the other languages would have to be regarded as derived and less basic), but, rather, only what they all have in common, so too the sense of a statement belonging to the factual basis is not one of its metrical representations, but what they all have in common (the “invariants of topological transformations”) — and that is precisely its representation in merely topological form. In treating this question it has often been correctly pointed out that this “transcendental function” of space — the grounding of experience — can be attributed only to an unambiguous spatial form, and that therefore the nonEuclidean spatial forms could not be considered for this role. From this correct assertion it may not, however, be concluded that only Euclidean space can therefore assume this role. For it is on a par with the others and possesses as little or as much uniqueness as any of the non-Euclidean spaces, such as the one with a constant curvature of −20. The correct inference from that premise can arrive only at topological space, for it alone is both superordinate to those others and completely unambiguous: the factual basis of experience cannot appear in several different topological forms. The topological spatial relations that form the condition of the possibility of every object of experience cannot be those of physical space, since it is not independent of the factual basis of experience but represents only the actual, not the necessary, findings [of observation]: e.g., this particular physico-spatial figure has a particular topological relation to that one (of contact, connection, inclusion, etc.). The features of topological intuitive space, in their independence from experience and in the universal validity attributable to them by virtue of their cognitive source — and consequently also those of formal topological space, that general relational structure of undetermined things, of which topological intuitive space forms a particular special case — can alone have this experience-constituting validity. The much disputed question whether the three-dimensionality of space belongs among these features that are the condition of every object of experience is to be answered in the negative. As we have seen in our construction of intuitive space, it emerges as a datum of intuition that the spatial figures of the intuitive realm have up to three dimensions. However, in the extension of this realm to global space, it turns out that, if we have a figure of k dimensions, although it can be concluded that the global structure to which it belongs has at least k dimensions, the upper limit to the number of dimensions of the global system cannot be inferred. From this finding of intuition it thus follows only

0 ,R . The Determination of Space-Constituting Experience. R nt nt

ss

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raum mindestens drei Abmessungen hat. Noch weniger ist sicherlich aus der Erkenntnis des physischen Raumes, die ja keine Notwendigkeit, sondern nur Erfahrungswahrscheinlichkeit besitzt, oder aus der des formalen Raumes, für den ja offenbar die Zahl der Abmessungen nicht beschränkt ist, der Schluß möglich, daß es Bedingung zur Möglichkeit eines jeden Erfahrungsgegenstandes sei, höchstens drei Abmessungen zu haben. Auch die Auffassung, daß dieser Schluß daraus zu ziehen sei, daß nur durch die Dreistufigkeit der räumlichen Gebilde die Eindeutigkeit der Erfahrungsbestimmung gewährleistet werde, trifft nicht zu. Vielmehr ist gerade umgekehrt bei Zulassung einer oberen Grenze der Anzahl der Abmessungen die Raumbestimmung vieldeutig, entsprechend der Vielheit der Möglichkeiten solcher Grenze; und zur Vermeidung dieser Vieldeutigkeit ist die unbeschränkte Anzahl der Abmessungen als möglich zu fordern, sodaß beliebig viele Abmessungen des Erfahrungsgegenstandes mit seiner Möglichkeit als eines solchen verträglich sind. Es ist von mathematischer und philosophischer Seite schon mehrfach dargelegt worden, daß jene Behauptung Kants über die Bedeutung des Raumes für die Erfahrung durch die Lehre von den nichteuklidischen Räumen nicht erschüttert wird, aber von dem dreistufigen, euklidischen Gefüge, das Kant allein bekannt war, auf ein allgemeineres übertragen werden muß. Auf die Frage, welches dieses nun sei, lauten die Antworten aber teils unbestimmt, indem nur einzelne Merkmale des dreistufigen, euklidischen Gefüges als verallgemeinerungsbedürftig hingestellt werden, teils widersprechend, hauptsächlich infolge Nichtunterscheidung der verschiedenen Raumbedeutungen und nicht genügender Klarheit über das begriffliche Verhältnis der Raumarten selbst, insbesondere das Verhältnis der metrischen zu dem übergeordneten topologischen. Nach den vorstehenden Überlegungen muß der Kantischen Auffassung beigepflichtet werden, und zwar ist dasjenige Raumgefüge, das anstelle des von Kant gemeinten die erfahrungstiftende Bedeutung besitzt, genau anzugeben als der topologische Anschauungsraum mit unbeschränkt 0 vielen Abmessungen (R nt ); damit werden nicht nur die Bestimmungen dieses Gefüges, sondern gleichzeitig auch die seiner Ordnungsform, des R nt , zu Bedingungen der Möglichkeit eines jeden Erfahrungsgegenstandes überhaupt erklärt.

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that the global intuitive space has at least three dimensions. Even less can it be safely concluded — from the knowledge of physical space, which possesses no necessity but only experiential probability, or from that of formal space, for which the number of dimensions is obviously not limited — that it is a condition of the possibility of any object of experience to have at most three dimensions. And the view that this latter conclusion can be arrived at by arguing that only the three-dimensionality of spatial forms guarantees the unique identification of experience is likewise off the mark. Rather, the situation is precisely the reverse: spatial determination becomes ambiguous, corresponding to the many different possibilities for such limits, if we allow an upper limit to the number of dimensions. And, to avoid this equivocation, the unlimited number of dimensions has to be postulated as a possibility, so that arbitrarily many dimensions for an object of experience are consistent with its possibility as such an object. It has been frequently discussed, by mathematicians as well as by philosophers, that Kant’s contention concerning the significance of space for experience is not shaken by the theory of non-Euclidean spaces but must be transferred from the three-dimensional Euclidean system, the only one known to him, to a more general one. But to the question of which one this is to be, the answers are either indeterminate, as only isolated properties of the three-dimensional Euclidean structure are proposed as requiring generalization, or contradictory, chiefly because of a failure to distinguish the different meanings of space and because of insufficient clarity about the conceptual interrelations among the kinds of space themselves — especially the relation of the metrical to the superordinate topological ones. According to the above reflections, the Kantian conception must be endorsed. The spatial system possessing experience-constituting significance, in place of that suggested by Kant, can be precisely specified as topological intuitive space 0 with indefinitely many dimensions (R nt ). With that, not only the attributes of this system, but at the same time those of its order framework, R nt , are declared to be conditions of the possibility of any object of experience whatever.

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34. 34a.

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40.

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Der Raum: Ein Beitrag zur Wissenschaftslehre (1922a)

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139. 140. 141. 142. 143. 144.

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207. 208. 209. 210. 211. 212.

213. 214.

215.

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Der Raum: Ein Beitrag zur Wissenschaftslehre (1922a)

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Der Raum: Ein Beitrag zur Wissenschaftslehre (1922a)

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Der Raum: Ein Beitrag zur Wissenschaftslehre (1922a)

Anhang II. Literatur-Hinweise „[50] 200“ bedeutet: Seite 200 in Nr. 50 des vorstehenden LiteraturVerzeichnisses.

I.

Der formale Raum

(Zu Seite 7). Allgemeines. Die Behandlung des formalen Raumes geht ursprünglich auf Leibniz zurück: [147], [149], [152], s. auch [146], vgl. [6] II 93 ff., [22] 105 ff. Die formale Geometrie galt Leibniz als Sonderfall der von ihm geplanten „mathesis universalis“, einer allgemeinen Lehre, die das Formgesetz jeder inhaltlich besonderten Lehre darstellt: [151], vgl. Couturat [30] 283–322, 388–430, Husserl [118] 219 ff., 247 ff. und Cassirer [24] II 60 ff., [25] 120 ff. Wesentliche Schritte zu diesem Ziel sind aber erst in den letzten Jahrzehnten gemacht worden, durch Aufbau der formalen Beziehungs- oder Ordnungslehre mittels eines dem mathematischen nachgebildeten Verfahrens, s. Royce [216] 136, Gätschenberger [75] 110–128. Vgl. hierzu die folgenden Werke und die zu den einzelnen untenstehenden Punkten genannten. Eine gute Übersicht gibt vor allem Couturat [31], der über die Arbeiten von Russell [218], Whitehead [268] u. a. berichtet; noch kürzer die Besprechung der Hauptfragen aus [31] und [218] bei Cassirer [23]. Whitehead und Russell [270] ist das grundlegendste Werk über den Aufbau der formalen Logik, Beziehungs-, Reihen-, Zahlen- und Größenlehre; Bd. IV über Geometrie noch nicht erschienen. Das Werk ist anscheinend in Deutschland weit weniger bekannt als die älteren [218] und [268], auf deren Vorarbeit es aufgebaut ist; doch bleibt daneben [268] wegen der ausführlichen Anwendungen auf Geometrie und Mechanik, und vor allem [218] wegen seiner grundsätzlichen, logischen Erörterungen wichtig. [31], [218] und [270] sind auch zu allen folgenden Abschnitten über den formalen Raum in erster Linie heranzuziehen. Hilbert [110] kann als Behandlung des formalen Raumes gelten; so aufgefaßt in [25] 123, [40] 6, [260] 116; siehe jedoch auch unter II, Anschauungsraum. Über die Unterscheidung der beiden Gesichtspunkte vgl. die Kritik von Frege [73]. Graßmann [84], [85], [86], dazu [169], [222], [30] 529 ff., Riemann [215], Vahlen [252], Peano [193], [194], [195], Whitehead [269], Veronese [254], Wellstein [260] 33–123, Husserl [118] 248 ff., Cassirer [23] 27 ff., [25] 88– 132, Schlick [223] 30 ff. Ferner: [232], [96] 209 ff., [88] 100–368, [89], [175] 377 ff., [176], [177], [73], [143], [174], [263], [262] 64 ff., [219], [55] 8 ff., 18 ff., [182] 13–40, 127–147, [198] 195, [106] 23. Über die Zurückführung von Arithmetik und Geometrie auf Logik und Beziehungslehre vgl. aber auch die kritischen Bemerkungen: Jakowenko [123], Poincaré [206] 128–180 und die Anmerkungen von Lindemann dazu, [205] 8–25, Klein [136] II 405 f., Geißler [80], Aster [2] 252 ff.

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145

Appendix II. Pointers to the Literature “[50] p. 200” means: page 200 in No. 50 of the preceding bibliography.

I.

Formal Space

(Regarding p. 7) In general. The treatment of formal space goes back originally to Leibniz ([147], [149], [152]); see also [146] and compare [6], Vol. 2, Chap. I, §§ 11, [22], Part I, Chap. 1. Leibniz considered formal geometry as a special case of his planned “mathesis universalis” — a universal theory that presents the formal law of any contentful particular theory ([151]): compare Couturat [30], Chap. VII, Chap. IX; Husserl [118], § 60, § 69; Cassirer [24], Book 5, Chap. 7, § II, [25], Chap. III, § III. But essential steps toward this goal have been taken only in recent decades, through construction of the formal theory of relations or order by means of a procedure imitating the mathematical; see Royce [216], § 23; Gätschenberger [75], Chap. 11. Here compare the following works and those mentioned in connection with particular points below. Couturat [31] above all provides a good overview; it reports on the works of Russell [218], Whitehead [268], and others. Cassirer [23] provides a much briefer discussion of the main questions from [31] and [218]. Whitehead and Russell [270] is the most fundamental work on the construction of formal logic and on the theories of relations, series, numbers, and magnitudes; Volume 4 on geometry has not yet appeared. This work is apparently much less well known in Germany than the older [218] and [268], on whose preliminary work it is constructed; nevertheless [268] still remains important for its detailed applications to geometry and mechanics, and [218] above all remains important for its discussion of fundamental, logical considerations. [31], [218], and [270] are also relied upon in the first instance in all following paragraphs on formal space. Hilbert [110] can be considered as a treatment of formal space; it is so conceived of in [25], Chap. III, § III; [40], Chap. 1, § 1; [260], § 13; however, see the discussion also in § II below on intuitive space. On the distinction of the two points of view compare Frege’s criticism [73]. Graßmann [84], [85], [86], as well as comments in [169], [222], [30], Appendix V (§§ 1, 2); Riemann [215]; Vahlen [252]; Peano; [193], [194], [194]; Whitehead [269]; Veronese [254]; Wellstein [260], §§ 8–13; Husserl [118], § 69; Cassirer [23] § IV, [25] Chap. III, § I–III; Schlick [223], § 7. See further: [232], [96], Chap. 7, § 1, [88], pp. 110–368, [89], [175], § 4, [176], [177], [73], [143], [174], [263], [262], pp. 64 ff., [219], [55], pp. 8 ff., 18 ff., [182], pp. 13–40, 127–147, [198], § 85, [106], p. 23. On the reduction of arithmetic and geometry to logic and the theory of relations, compare also, however, the following critical remarks: Jakowenko [123]; Poincaré [206], Book II, Chap. III–V (and Lindemann’s notes to the German translation), [205], Part 1, Chap. 1; Klein [136], Vol. 2, Part 3, Chap. II, § 2, #3 (“Modern geometric theory of axioms”); Geißler [80]; Aster [2], Chap. IV, § 10.

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Der Raum: Ein Beitrag zur Wissenschaftslehre (1922a)

(Zu allen folgenden Abschnitten des Kapitels I auch [31], [218] und [270]!). (S. 9). Urteile. Couturat [34], [33] 139–158, Schröder [231], [232] II, [233], Peano [193] 7 ff., [197] § 1, Cohn [29] 48 ff., 53, Mally [163]. (S. 9). Begriffe. Unsre Ableitung in Anlehnung an Frege [71] I 8, [69], [70], auch [73]; s. auch Bauch [4]. Unsre Begriffslehre entspricht daher der „Klassenlehre“: Couturat [34], [33] 158–162, Schröder [233], Peano [197] § 1, Mally [163] 3 ff., Royce [216] 104 ff., König [141] 33 ff., Russell [219] 249 ff. Hier ist nur die eine Seite des Begriffes, nämlich seine Umfangsfunktion, verwendet. Diese Klassenlehre muß daher ihre notwendige Ergänzung entweder in der schon weit ausgebildeten Urteilslehre (s. o.) oder auch in einer besonderen Lehre vom Begriffsinhalt, d. h. von den Gegenstandsbestimmungen, finden; vgl. hierzu z. B. Husserl [117], Mally [163] 77, Dingler [43], Gätschenberger [75] 110 ff.; aber auch: Couturat [30] 387. (S. 10). Beziehungen. Schröder [232] III, [233], Frege [71] I 8, Couturat [33] 172–182, Royce [216] 95 ff., Russell [221] 47 ff., [219] 251 ff., Cassirer [23] 4–10, [25] 48 ff., Cohn [29] 119 ff., 125 ff., Ostwald [185] 250 ff., [184] 70–95, Dingler [41] 7 ff., Gätschenberger [75] 43, 114 ff. (S. 12). Anzahl. Dedekind [36], Frege [71] I, besonders 57 f., [72], [68], Schröder [232] I, Couturat [33] 180, Russell [219] 256 ff., Hausdorff [96] 45 ff., Klein [136] I 26 ff., Weber [257] 3 ff., Kerry [127] 38 ff., Voss [256] 33 ff. — Natorp [179] 103 ff., [178] 131 ff., Cassirer [25] 53 ff., Cohn [29] 158 ff., Driesch [50] 95 ff. Zur Kritik vgl.: Husserl [116] 103–137, Weyl [263]. Ableitung nicht aus der Beziehungslehre, sondern aus eigenen Grundsätzen: Stolz [247] 14 ff., Peano [196], [197] § 2, Hilbert [111], [112]. (S. 12). Reihen. Frege [67a] 55 ff., [71] 59 ff., Veronese [254] 19 ff., Kerry [127] 22 ff., Russell [219] 259. — Natorp [179] 98 ff., [175] 354 ff., Cassirer [25] 49 ff., König [141] 45 ff., Royce [216] 111 ff., Ostwald [185] 265 ff. (S. 12). Ordnungszahlen. Frege [71], Hausdorff [96] 73 ff., Kerry [127] 70 ff. — Natorp [179] 103 ff., Cassirer [25] 50 ff., König [141] 248 ff. Kritik der rein logischen Ableitung der Zahlenlehre: Rickert [211], Nelson [180] 413 ff., Hartmann [94]. (S. 12 ff.). Mengenlehre. Begründet von Cantor [20], [21]. Umfassende Zusammenstellung: Schoenflies [229], [230]; das beste Lehrbuch: Hausdorff [96]; besondere Berücksichtigung logischer Fragen: Hessenberg [108], Fraenkel [67], Couturat [31] 231–240. Vgl. auch: Schoenflies [228], Klein [136] I 548 ff., Voss [256] 65 ff., Cassirer [23] 21 ff., [25] 55 ff., König [141]. Kritische Bemerkungen. Natorp [179] 165 ff., Weyl [263], [265], Ziehen [275], Geißler [80] 96 ff., Cohn [29] 188 ff., Bergmann [9]. Vgl. dazu aber auch:

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(For all following sections of Chapter I see also [31], [218], and [270]!) (p. 9) On judgments see Couturat [34], [33], §§ I–II; Schröder [231], [232], Vol. 2, [233]; Peano [193], § 1, [197], § 1; Cohn [29], Part I, Chap. II, § 3; Mally [163]. (p. 9) For concepts, our derivation depends on Frege [71], Vol. 1, § 3, [69], [70], and also [73]; see also Bauch [4]. Our theory of concepts therefore corresponds to the “theory of classes”: Couturat [34], [33], § III; Schröder [233]; Peano [197], § 1; Mally [163], pp. 3 ff.; Royce [216], § 19; König [141], Chap. 2, §§ 11–12; Russell [219], § VII. Here only one side of the concept, its extension, is used. This theory of classes must therefore find its necessary completion either in the already constructed theory of judgment (see above) or also in a special theory of the content of concepts, i.e., a theory of the determination of objects. Here compare, e.g. Husserl [117]; Mally [163], p. 77; Dingler [43]; Gätschenberger [75], Chap. 11; but also Couturat [30], Chap. VIII, § 29. (p. 10) On relations, see Schröder [232], Vol. 3, [233]; Frege [71], Vol. 1, § 4; Couturat [33], § IV; Royce [216], § 18; Russell [221], Chap. II, [219], §§ VII, VIII; Cassirer [23], §§ I, II.1, [25], Chap. II, § II; Cohn [29], Part I, Chap. III, § 6; Ostwald [185], § 107, [184], pp. 70–95; Dingler [41], pp. 7 ff.; Gätschenberger [75], Chap. 7, Chap. 11. (p. 12) On number, see Dedekind [36]; Frege [71], Vol. 1, especially §§ 38– 42, [72], [68]; Schröder [232], Vol. 1; Couturat [33], § IV; Russell [219], § IX; Hausdorff [96], Chap. 4, §§ 1, 2; Klein [136], Vol. 1, Part One, Chap. I, § 3; Weber [257], §§ 1, 2; Kerry [127], Chap. 3; Voß [256], Chap. 5. See also Natorp [179], Chap. 3, § 2, [178], § 22; Cassirer [25], Chap. II; Cohn [29], Part II, Chap. IV, § 9; Driesch [50], Chap. II, § 4a. For criticism, compare: Husserl [116], Chap. 6; Weyl [263]. For derivation from proper axioms rather than from the theory of relations, see Stolz [247], Chap. II, § 3; Peano [196], [197], § 2; Hilbert [111], [112]. (p. 12) On series, see Frege [67a], Part III, [71], Vol. 1, §§ 43–46; Veronese [254], Introduction, Chap. 2, § 2; Kerry [127], Chap. 2; Russell [219], § X. See also: Natorp [179], Chap. 3, § 1, [175], § 2; Cassirer [25], Chap. II, § II; König [141], Chap. 3, §§ 1, 2; Royce [216], § 20; Ostwald [185], §§ 111, 112. (p. 12) On ordinal numbers, see Frege [71]; Hausdorff [96], Chap. 4, §§ 1, 2; Kerry [127], Chap. 3. See also: Natorp [179], Chap. 3, § 2; Cassirer [25], Chap. II, §§ I, II; König [141], Chap. 9, §§ 1,2. For criticism of the purely logical derivation of the theory of numbers, see Rickert [211]; Nelson [180], § 21; Hartmann [94]. (p. 12 ff.) Set theory originates with Cantor [20], [21]. Schoenflies [229], [230] presents a comprehensive account; the best textbook is Hausdorff [96]. For particular consideration of logical questions, see Hessenberg [108]; Fraenkel [67]; Couturat [31], pp. 231–240. Compare also Schoenflies [228]; Klein [136], Vol. 1, Supplement, Chap. II; Voß [256], Chap. 5; Cassirer [23], § III, [25], Chap. II, § 4; König [141].

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Der Raum: Ein Beitrag zur Wissenschaftslehre (1922a)

Bernstein [11]. Über die sogenannten Paradoxien und ihre Lösung: Russell [219], Zermelo [274]. (S. 13). Stetigkeit, Kontinuum, (irrationale Zahlen). Dedekind [35], Cantor [20] § 9, 10, [21] 510 ff., Frege [71] II, Bolzano [14] 72 ff., Du BoisReymond [12] 178 ff., Stolz [248] 19 ff., 46 ff., Kerry [127] 135 ff., Klein [136] I 77 ff., 557 ff., [134] 234 ff., Veronese [254] 182 ff., Peano [197] § 3, 94, Voss [256] 42 ff. — Hessenberg [107] 177 ff., [108] 531 ff., Hausdorff [96] 90 ff., Fraenkel [67] 30 ff., Weber [257] 74 ff., Russell [221] 127–152. — Cassirer [23] 12 ff., [25] 73 ff., Herbertz [105] 16 ff., Henry [104] 57 ff. Zur Kritik der formalen Ableitung der Stetigkeit: Weyl [265], [266], Natorp [179] 172–193, [178] 38 ff., Driesch [50] 102 ff., Cohn [29] 255 ff., Isenkrahe [120] 99 ff., [121], Schmied-Kowarzik [225] 111 ff., Sigwart [240] § 66, 15, Hankel [92] 46, 59, Bergmann [9] 78 ff., Wernicke [262] 66 ff., Henry [104] 64 ff., Schmitz-Dumont [227] 116 f. (S. 13). Mehrstufige Zahlengefüge: Weierstraß [258]. Der Raum als Gefüge komplexer Zahlen: Riemann [214], Hankel [92] 99 ff., Stolz [248] 277 ff., Burkhardt [19], Wellstein [260] 83 ff., Couturat [31] 141 ff., Natorp [175] 377, [177], Hilbert [110] 34 ff. — Vgl. aber auch: Cohn [29] 212 ff., Stallo [243] 256 ff., Wundt [273] 513 f., Geißler [80] 55 ff. (S. 14). R nt (vgl. auch unter: II, Begriff der Topologie, S. 82): Riemann [215], Tietze [250], R. Graßmann [90] (aber nicht: H. Graßmann [84]). Hierzu die Lehre von den Punktmengen: Schoenflies [229], [230], Hausdorff [96] 209 ff. R np (vgl. auch unter II: Begriff der projektiven Geometrie, S. 81): Pieri [158]. R nm : Hausdorff [72] 287. (S. 14 ff.). R 3t : Enriques [57]. R 3p : Veblen [253], Wellstein [205] 153 ff., Whitehead [269]. R 3m : Graßmann, H. jr. [64]. (S. 16 ff.). Für die vielfache Anwendbarkeit des formalen Raumes auf die geometrischen Gebilde (des Anschauungsraumes) gibt Wellstein [260] eine ganze Reihe von Beispielen; ihm ist unser Beispiel 4 (S. 19) entnommen; s. auch Müller [174] 11 ff. Die Anwendung des formalen Raumes auf nichträumliche Gegenstände kommt in der Literatur nicht vor; sie soll hier (Beispiel 1 und 2) nur die völlige Unbestimmtheit der Beziehungsglieder eindringlicher veranschaulichen. Vgl. auch Frege [73] und dazu Korselt [143].

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Space: A Contribution to the Theory of Science (1922a)

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For critical remarks, see Natorp [179], Chap. 4, § 4; Weyl [263], [265]; Ziehen [275]; Geißler [80], pp. 96 ff.; Cohn [29], Part II, Chap. 4, § 11; Bergmann [9]. Here, however, compare also Bernstein [11]. On the so-called paradoxes and their solution, see Russell [219] and Zermelo [274]. (p. 13) On continuity and the continuum (irrational number), see Dedekind [35]; Cantor [20], §§ 9, 10, [21], § 11; Frege [71], Vol. 2; Bolzano [14], § 38; Du Bois-Reymond [12], § 47; Stolz [248], Chap. II, § 5, Chap. III, §§ 6, 7; Kerry [127], Chap. 6; Klein [136], Vol. 1, Part One, Chap. II, § 3, and Supplement, Chap. II, § 2, [134], pp. 234 ff.; Veronese [254], Introduction, Chap. 6, § 10; Peano [197], §§ 3, 94; Voß [256], Chap. 5. See also: Hessenberg [107], § VIII, [108], Part 2, Chap. IX, §§ 26–29; Hausdorff [96], Chap. 4, § 5; Fraenkel [67], § 5; Weber [257], § 24; Russell [221], Chap. V. See further: Cassirer [23], § II.2, [25], Chap. II, § IV; Herbertz [105], pp. 16 ff.; Henry [104], Part II, § 4. For criticism of the formal derivation of continuity, see Weyl [265], [266]; Natorp [179], Chap. 4, §§ 3–6, [178], § 26; Driesch [50], Chap. II, § 4 c; Cohn [29], Part 2, Chap. VI, § 15; Isenkrahe [120], pp. 99 ff., [121]; SchmiedKowarzik [225], Part I, Chap. 3; Sigwart [240], §§ 66, 15; Hankel [92], §§ 12, 16; Bergmann [9], §§ 10, 11; Wernicke [262], pp. 66 ff.; Henry [104], Part II, § 4; Schmitz-Dumont [227], pp. 116 ff. (p. 13) For multi-leveled number structures, see Weierstraß [258]. For space as a structure of complex numbers see: Riemann [214]; Hankel [92], § 28; Stolz [248], Chap. X, §§ 1, 2; Burkhardt [19]; Wellstein [260], § 12; Couturat [31], Chap. VI.A; Natorp [175], § 4, [177]; Hilbert [110], Chap. II. But compare also: Cohn [29], Part II, Chap. V, § 13; Stallo [243], Chap. XIV; Wundt [273], Part III, Chap. 3, § 4; Geißler [80], pp. 55 ff. (p. 14) For R nt (compare also II, below, note to p. 31 on the concept of topology) see: Riemann [215]; Tietze [250]; R. Graßmann [90] (but not H. Graßmann [84]). Here see the theory of point-sets: Schoenflies [229], [230]; Hausdorff [96], Chap. 7, § 1. For R np (compare also II below, note to p. 31 on the concept of projective geometry), see Pieri [201]. For R nm see Hausdorff [96], Chap. 8, § 5, Example IV. (p. 14 ff.) For R 3t , see Enriques [57]. For R 3p , see Veblen [253]; Wellstein [260], § 15; Whitehead [269]. For R 3m , see H. Graßmann, jr. [87]. (p. 16 ff.) With respect to the multiple applicability of formal space to geometrical structures (of intuitive space), Wellstein [260] gives a large number of examples (our example 4 below is taken from him); see also Müller [174], pp. 11 ff. The application of formal space to non-spatial structures does not appear in the literature; it should here (examples 1 and 2) only more forcefully illustrate the complete indeterminateness of the relational terms. Compare also Frege [73] and Korselt [143].

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II.

Der Raum: Ein Beitrag zur Wissenschaftslehre (1922a)

Der Anschauungsraum

Anschauung, Wesenserschauung: Husserl [119] besonders 10 ff., Aster [2] 181 ff.; im übrigen s. u. V a, 1) synthetische Urteile apriori Hilbert [83] 1 „logische Analyse der räumlichen Anschauung“, vgl. aber oben: formaler Raum. Gegensatz zum formalen Raum: Graßmann [61] S. XXIII und 15: „Geometrie — Ausdehnungslehre, formale Wissenschaft“; Wernicke [206] 9 f.: „Mathematik des Extensiven — allgemeine Mathematik als Formenlehre“; Riehl [212] 169: „räumliche Mannigfaltigkeit — Mannigfaltigkeiten überhaupt“; Enriques [57] 239: „spazio intuitivo (visivo) — spazio analitico“; Stallo [243] 278, König [140] 89 f., Korselt [143]; Geyser [82] 287: „Raumbestimmtheiten der sinnfälligen Anschauung — mathematisches Stellenordnungssystem einer Zahlmenge“; Schlick [223] 211: „System anschaulich räumlicher Gebilde — System reiner Urteile und Begriffe“; Henry [104] 96, Sellien [238] 46 f. Über die Beziehungen der Mathematik zu beiden Gebieten vgl. Klein [133a]. Unterschied zur empirischen Anschauung: Nelson [180] 378 f., [181]. Vom „Anschauungsraum“ zu unterscheiden ist der „physiologische Sehraum“, vgl. z. B. Sterneck [246]: der diesem Sehraum („space of sight“) bei Russell [220] 48 f. gegenübergestellte „physikalische Raum“ („physical space“) entspricht dem Ordnungsgefüge R mit besonderer Rücksicht auf seine Anwendung auf R 0 und R 00 ; die gleiche Bedeutung haben bei Schlick [223] 215 ff. „Gesichtsraum“ — „physikalisch-objektiver Raum“. Ferner ist auch mit unserm „Anschauungsraum“ nicht gleichbedeutend der von Veronese [254] 225 so bezeichnete Raum, der unserm physischen Raum R 00 entspricht. (S. 23). Ungenauigkeit der Anschauung: Klein [132] XXXVII, 571, [133a] 85, [134] 7 f., 18 f., 39 ff., [135], Hölder [113] 66, Wellstein [260] 130, Enriques [58] 273 ff., Study [249] 64, Christiansen [27] 31. Dagegen: Nelson [180] 407, [181] 103 ff., Geißler [80] 39. Beschränktheit des Anschauungsgebietes: Klein [136] II 389, [135], Pasch [190] 18 f. (hier ist unter „empirischer Beobachtung“ Anschauung verstanden; denn obwohl als Erkenntnisquelle fälschlich die Erfahrung angesehen wird, ist doch nicht vom physischen Raum die Rede), Schmied-Kowarzik [225] 132, Voss [256] 90. (S. 24). Unmöglichkeit der Begriffsbestimmung: Wellstein [260] 22, Pasch [190] 16 f., Couturat [31] 133, Driesch [50] 109, Veronese [254] S. XVII, Mollerup [170] 3, Wernicke [262] 73, Schlick [223] 213, [224] 78. Dagegen: Geißler [80] 18 f., 30 ff. (S. 24). Die Grundsätze. In erster Linie: Hilbert [110]; vgl. hierzu Frege [73] und Korselt [143]. Euklid [65], [67] 6–14, Pasch [190], Killing [128a] 1 ff., [128b] 128 ff., Lie [153] besonders 461, Whitehead [269] 7 ff., Schur [235] 2 ff., Mollerup [170] 4 ff., Klein [134] 15, Veronese [254] 15 ff., Enriques [59] 10 ff., Couturat [31] 192, Veblen [253] 376 ff., Geißler [79]. — Poincaré [204] 49 ff., Cohn [29] 208 ff., 228 ff., Husserl [119] 135, Nelson [180] 381 ff.,

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II.

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Intuitive Space

On intuition, essential insight, see Husserl [119], especially §§ 3–5; Aster [2], Chap. 4, § 2. For the rest see Va, 1) below, note to p. 63 concerning synthetic a priori judgments. See the Introduction to Hilbert [110] on “logical analysis of spatial intuition”, but compare also above, vis à vis formal space. On the contrast with formal space, see Graßmann [84], Introduction, § A.3, Part 1, Chap. 1, § A.13 (“geometry — the theory of extension, formal science”); Wernicke [261], pp. 9 ff. (“mathematics of extension — general mathematics as theory of forms”); Riehl [212], Chap. 2, § 8 (“spatial manifold — manifolds in general”); Enriques [57], p. 239 (“intuitive space (visual) — analytic space”); Stallo [243], Chap. XIX; König [140], Chap. 5, § 2; Korselt [143]; Geyser [82], Book 2, Part 2, Chap. 13, § 2 (“spatially determinate elements of sensible intuition — mathematical order system of places in a number aggregate”); Schlick [223], § 29 (“system of intuitive spatial structures — system of pure judgments and concepts”); Henry [104], Part II, § 7; Sellien [238], Part II, Chap. I. On the relations of mathematics to both domains compare Klein [133a]. On the difference between this and empirical intuition, see Nelson [180], §§ 3, 4, [181]. The “physiological space of sight” is to be distinguished from “intuitive space” — compare, e.g., Sterneck [246]. The “physical space” contrasted with this “space of sight” by Russell ([220], Chap. III) corresponds to the order structure R with particular reference to its application to R 0 and R 00 . The same holds for Schlick’s ([223], § 29) “visual space” — “physical–objective space”. Moreover, our “intuitive space” is not equivalent to the space so designated by Veronese ([254], Part I, Book 1, Chap. 1, § 1), which corresponds rather to our physical space R 00 . (p. 23) On the imprecision of intuition, see Klein [132], Vol. 37, § 4, [133a], p. 85, [134], pp. 7 f., 18 f., 39 ff., [135]; Hölder [113], endnote 64; Wellstein [260], § 14; Enriques [58], Chap. 4 A, § 7; Study [249], Chap. 4; Christiansen [27], p. 31. On the other hand, see: Nelson [180], § 19, [181], Part II, §§ 8, 9; Geißler [80], p. 39. On the limitedness of the domain of intuition, see Klein [136], Vol. 2, Part Three, Chap. II, § 2.5 (“Significance of non-Euclidean geometry from standpoint of philosophy”), [135]; Pasch [190], § 1 (what is meant here by “empirical observation” is intuition — for, although experience is incorrectly viewed as the cognitive source, physical space is not yet in question); SchmiedKowarzik [225], Part II, Chap. 1; Voß [256], Chap. 6. (p. 24) On the impossibility of definition, see Wellstein [260], § 6; Pasch [190], § 1; Couturat [31], Chap. VI; Driesch [50], Chap. II, § 6a; Veronese [254], Preface; Mollerup [170], before § 1; Wernicke [262], p. 73; Schlick [223], § 29, [224], § X. On the other hand, see Geißler [80], pp. 18 f., 30 ff. (p. 24) On the axioms, see, in the first place, Hilbert [110]; compare here Frege [73] and Korselt [143]. See also: Euclid [65], [56], pp. 6–14; Pasch [190]; Killing [128a], § 1, [128b], pp. 128 ff.; Lie [153], especially Part V, § 95;

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Hessenberg [106], Ostwald [185] 373 ff., Wernicke [261] 25 ff., [262] 73 ff., Gerstel [81], Henry [104] 30 ff. (S. 26). Zur Frage der Erweiterung des Raumgebietes: Killing [128a] 14 ff., [129] I, s. besonders 80 ff., 349, Pasch [190] 19, Kerry [127] 82 ff., Driesch [50] 109 ff. (S. 27). Im Kleinen gilt die euklidische Geometrie: Riemann [215] 12, Killing [128a] 13. Inbezug auf den physikalischen Raum der allgemeinen Relativitätstheorie (s. u. III 3 b): Weyl [267] 25 ff., Cassirer [25] 144, Reichenbach [209] 30. (S. 27). Das Riemannsche „Krümmungsmaß“ des Raumes. Riemann [215] 13 f., Helmholtz [99] 17 f., Killing [128a] 13 f. Das Krümmungsmaß wird sehr häufig mißverstanden als Richtungsänderung, so z. B.: Lotze [160] 263, Pietzker [202] 15 und überall, Kirschmann [130] z. B. 354, 362, Riehl [212] 176 ff., Schmitz-Dumont [227] 150, Geißler [80] 58, Driesch [49] 40 f., Medicus [164] 23 Anm., [165] 12 f., Natorp [179] 296, 300, Weinstein [259] 36, Isenkrahe [120] 32 ff., [122] 74, 114 f., Cornelius [29a] 219. Vgl. hierüber: Helmholtz [102] 393, Christiansen [27] 139, Hartmann [93] 376 f., Born [17] 229. (S. 28 f.). Die metrischen Raumarten (nichteuklidische Geometrie). Besonders: Wellstein [260] 60 ff., Klein [132], [133], Killing [128a], [129], Liebmann [154]. Ferner Vahlen [252] 237–298, Mollerup [171], Veronese [254] 413 ff., 482 ff., Simon [241], vgl. auch das Schema bei Heymans [109] 176. Grundsätzliches: Helmholtz [99] 18 f., Poincaré [204] 36 ff., Klein [136] II 390 ff., Study [249] 93 ff., 105 ff., Russell [217], Geiringer [78]. Von uns nicht behandelte Raumarten: Hausdorff [95], Killing [129]. Zur geschichtlichen Entwicklung: Bonola [15], [16], Engel [56]. Euklid [65], Simon [242], Lobatschefskij [157], [158], Bolyai [13], Gauß [77], [76] 157–268. Der Irrtum, als könne die nichteuklidische Geometrie nur unter Bezugnahme auf die euklidische definiert werden, ist weit verbreitet, s. z. B.: Delboeuf [18] 69, Kirschmann [130] 354, 362, Riehl [212] 178 f., Sigwart [240] 81, Geißler [80] 52 f., 84, König [140] 89, Medicus [165] 12 f., Aster [2] 242, Cornelius [29a] 218, Driesch [50] 115. Dagegen: Russell [217] 109, Wellstein [260] 152, Voss [256] 91, Christiansen [27] 138 f. (S. 29). Homogeneität und Isotropie; Kongruenzräume, (konstante Krümmung). Riemann [215] 14 f., Helmholtz [97] 219 f., Poincaré [204] 34, 40 ff., auch 65 f., Lindemann Anm. 34 dazu [204] 288. (Eine engere, nicht übliche Bedeutung der Homogeneität: Cohn [29] 247, Delboeuf [18] 63, 70, hier unterschieden von Isogeneität = Homogeneität in unserm Sinne; eine weitere, auch für einen Raum ungleichen Krümmungsmaßes geltende Bedeutung: Reichenbach [209] 28 f.).

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Whitehead [269], §§ 4–6; Schur [235], Introduction; Mollerup [170], § 1; Klein [134], p. 15; Veronese [254], Introduction, Chap. 1, § 9; Enriques [59], § 1; Couturat [31], Chap. VI.C; Veblen [253], § 9; Geißler [79]. See further: Poincaré [204], Chap. III; Cohn [29], Part 2, Chap. V, §§ 13, 14; Husserl [119], § 72; Nelson [180], §§ 5–7; Hessenberg [106]; Ostwald [185], § 153; Wernicke [261], pp. 25 ff., [262], pp. 73 ff.; Gerstel [81]; Henry [104], Part II, § 1. (p. 26) On the question of the expansion of the spatial domain, see Killing [128a], § 11, [129], Vol. 1 — see especially Chap. 1, § 24, Chap. 4, § 10; Pasch [190], § 1; Kerry [127], Chap. 4; Driesch [50], Chap. II, §§ 6 a, 6 b. (p. 27) On the validity of Euclidean geometry in the small, see Riemann [215], § II.2; Killing [128a], § 10. With reference to the physical space of general relativity (see III 3(b), note to p. 56 ff. below) see: Weyl [267], § 6; Cassirer [26], Chap. VI; Reichenbach [209], Chap. III. (p. 27) On the Riemannian “measure of curvature” of space, see Riemann [215], § II; Helmholtz [99]; Killing [128a], § 10. The measure of curvature is very frequently misunderstood as change of direction — see, for example Lotze [160], § 136; Pietzker [202]; Kirschmann [130], e.g., Part I, § IV; Riehl [212], Chap. 2, § 8; Schmitz-Dumont [227], p. 150; Geißler [80], p. 58; Driesch [49], Chap. B.2; Medicus [164], p. 23n, [165], pp. 12 f.; Natorp [179], Chap. 6, § 5; Weinstein [259], p. 36; Isenkrahe [120], pp. 32 ff., [122], Chap. VII, Chap. XII; Cornelius [29a], Part 2, Chap. III.D. On this point compare: Helmholtz [102]; Christiansen [27], p. 139; Hartmann [93], Part II, Book I; Born [17], Chap. VII.7. (p. 28 f.) On the metrical space-types (non-Euclidean geometry), see especially Wellstein [260], § 11; Klein [132], [133]; Killing [128a], [129]; Liebmann [154]. See also: Vahlen [252], pp. 237–298; Mollerup [171]; Veronese [254], Part I, Book 2, Chap. 3, § 1; Simon [241]; and compare the schema in Heymans [109], § 46. The most fundamental treatments are: Helmholtz [99]; Poincaré [204], Chap. III; Klein [136] II 390 ff.; Study [249] 93 ff., 105 ff.; Russell [217]; Geiringer [78]. For space-types not treated by us see: Hausdorff [95]; Killing [129]. On the historical development, see Bonola [15], [16]; Engel [56]. Also Euclid [65]; Simon [242]; Lobatchevsky [157], [158]; Bolyai [13]; Gauß [77], [76], pp. 157–268. The error of supposing that non-Euclidean geometry can only be defined with reference to Euclidean geometry is very widespread; see, for example Delboeuf [18], Chap. I.2; Kirschmann [130], Part I, Chap. IV; Riehl [212], Chap. 2, § 8; Sigwart [240], § 67; Geißler [80], pp. 52 f., 84; König [140], Chap. 5, § 2; Medicus [165], pp. 12 f.; Aster [2], Chap. IV, § 9; Cornelius [29a], Part 2, Chap. III.D; Driesch [50], Chap. II, § 6b. See on the other hand: Russell [217], § 97; Wellstein [260], § 15; Voß [256], Chap. 6; Christiansen [27], pp. 138 f. (p. 29) On homogeneity and isotropy, congruence-spaces (constant curvature), see Riemann [215], § II.4; Helmholtz [97], § 4; Poincaré [204], Chap. III. IV (and Lindemann’s note 34 in the German translation). (Some narrower, nonstandard meanings of homogeneity are found in Cohn [29], Part 2, Chap. V,

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Der seltsame Irrtum, als sei nur der euklidische Raum homogen, ist auf philosophischer Seite sehr häufig anzutreffen: Lotze [160] 266 f. (s. hierzu: Russell [217] 107), Pietzker [202] 29, König [140] 29, Natorp [179] 307 f., Cassirer [25] 143 f., [26] 104, 113, Driesch [50] 113, 91. (S. 30). Aufstieg von den dreistufigen, metrischen zu allgemeineren Raumarten. 0 (S. 31). R 3p . Begriff der projektiven Geometrie. Die projektive Geometrie als reine Lagegeometrie geht zurück auf Leibniz’ Plan einer Analysis Situs [150], [144] 69 ff., [148], [149], vgl. Couturat [30] 388–430, Cassirer [24] 65 ff.; hier werden keine Maßbegriffe benutzt, wohl aber die Begriffe Gerade und Ebene. Deshalb ist die projektive Geometrie als Verwirklichung des Leibnizschen Planes anzusehen, nicht die häufig auch Analysis Situs genannte Topologie (s. u.); vgl. hierzu: Couturat [31] 146, [30] 429. — Steiner [245], Staudt [244], Reye [210], Pasch [190] 4–100, Vahlen [252] 55–169, Killing [129] I 97 ff., II 73 ff., Russell [218] 381 ff., [217] 117–147, Klein [131] 10 ff., Enriques [59] 70 ff., Veblen [253], Wellstein [260] 152 ff. Projektive Geometrie als Verallgemeinerung der metrischen: Killing [128a] 112, Wellstein [260] 152 f., Vahlen [252] S. VI f., Lindemann Anm. 24 zu [204] 278; Cassirer [25] 99 ff., 115 ff. (in diesen wichtigen Ausführungen wird die Verallgemeinerung mit Hilfe der Transformationsinvarianten nur bis zum projektiven Raum geführt; dasselbe Verfahren bildet einen sehr geeigneten Weg zum topologischen Raum). 0 (S. 31). R 3t . Begriff der Topologie. (Auch „Analysis Situs“ genannt, vgl. aber oben: projektive Geometrie). Couturat [31] 134 ff., Poincaré [205] 48 ff., [206] 33, [207] 55–61. — Riemann [214], Enriques [59] 59 ff., Dehn [37], [38], Klein [131] 30, [136] II 237 ff. Zur Stufenfolge: metrischer, projektiver, topologischer Raum. Klein [136] II 294 ff., Enriques [61] 12 f., [58] 323, [59] 56 ff. (S. 31). Mehrere Abmessungen. Allgemeines (auch Geschichte und Lite0 ratur): Segre [237]. R nm : Helmholtz [94] 197–202, Veronese [254] 567–627, 0 0 Killing [128a] 103 ff. R np : Killing [128a] 88 ff. R nt : Poincaré [207] 97 ff., Tietze [250]. (Vgl. auch oben unter: R nm , R np , R nt ). Versuche, die logische Unmöglichkeit mehrerer Raumabmessungen zu beweisen (vgl. auch unter V b: Dreistufigkeit als Bedingung des Erfahrungsgegenstandes): Lotze [160] 249–260 (vgl. hierzu: Russell [217] 105 ff.), Pietzker [202] 64 ff., 87 f., [203], Schmitz-Dumont [226] 45 f. Diese Ableitungen enthalten meist formale Trugschlüsse, die leicht nachzuweisen sind, wenn man sich vor Voraussetzungen hütet, die nur für den dreistufigen Raum gelten.

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§ 14; Delboeuf [18], Chap. I.2 — here distinguished from isogeny = homogeneity in our sense. A wider meaning, holding also for a space of unequal measures of curvature, is found in Reichenbach [209], Chap. III.) The curious error of supposing that only Euclidean space is homogeneous is found very frequently among philosophers: Lotze [160], § 137 (here see Russell [217], § 95); Pietzker [202], p. 29; König [140], Chap. 2, § 2; Natorp [179], Chap. VI, § 6; Cassirer [25], Part I, Chap. III, § IV (“The conceptual principles of pure space”), [26], Chap. VI; Driesch [50], Chap. II, §§ 6 b, 3 c. (p. 30) Ascent from the three-dimensional, metric to the more general space-types. 0 (p. 31) On R 3p and the concept of projective geometry: Projective geometry as pure geometry of position goes back to Leibniz’s plan for an analysis situs ([150], [144], pp. 69 ff., [148], [149]; compare Couturat [30], Chap. IX and Cassirer [24], Book 5, Chap. 2, § II (“The geometrical characteristic”)); here no concept of measure is used, but rather the concepts of line and plane. Therefore projective geometry is to be regarded as the realization of the Leibnizean plan, and not topology, which is also frequently called Analysis Situs (see below); here compare Couturat [31], Chap. VI.A, [30], Chap. IX, § 20. See also: Steiner [245]; Staudt [244]; Reye [210]; Pasch [190], §§ 1–12; Vahlen [252], pp. 55–169; Killing [129], Vol. 1, Chap. 2, § 1, Vol. 2, Chap. 6, § 1; Russell [218], Chap. XLV, [217], § 102–140; Klein [131], § 3; Enriques [59], § 17; Veblen [253]; Wellstein [260], § 15. For projective geometry as generalization of metrical geometry, see Killing [128a], § 65; Wellstein [260], § 15; Vahlen [252], p. VI f.; Lindemann, note 24 to the German translation of [204]; Cassirer [25], Chap. III, § II (especially “Geometry and group theory”). (In these important expositions the generalization with the help of transformation invariants is carried out only up to projective space; the same procedure constitutes a very appropriate route to topological space.) 0 (p. 31) On R 3t and the concept of topology (also called “analysis situs”, but compare above, projective geometry), see Couturat [31], Chap. VI.A; Poincaré [205], Part I, Chap. 3, § 2; [206], Chap. I, § II (“Geometry of Position”), [207], Chap. 3, § 1. See also Riemann [214]; Enriques [59], § 13; Dehn [37], [38]; Klein [131], § 8, [136], Vol. 2, Part Two, Chap. III.3. On the succession of levels — metrical, projective, topological space — see Klein [136], Vol. 2, Part Three, Chap. I.1; Enriques [61], § 5, [58], Chap. 4 A, § 27, [59], § 12. (p. 31) On higher dimensions, see in general (also for history and litera0 ture) Segre [237]. On R nm see: Helmholtz [97], § 1; Veronese [254], Part 2, 0 Book 2, Chap. 1, 2; Killing [128a], § 60. On R np see Killing [128a], §§ 48, 49. 0 On R nt see: Poincaré [207], Chap. 3, § 6; Tietze [250]. (Compare also above under R nm , R np , R nt .) For attempts to prove the logical impossibility of higher spatial dimensions (compare also note to p. 67 below), see Lotze [160], §§ 132–135 (here compare Russell [217], § 94); Pietzker [202], pp. 64 ff., 87 f., [203]; Schmitz-Dumont [226], pp. 45 f. These derivations mostly contain formal fallacies that are

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Der Raum: Ein Beitrag zur Wissenschaftslehre (1922a)

Vollständige Verkennung des Begriffs der Abmessung: Kirschmann [130]. Vgl. Müller [174].

III.

Der physische Raum

Allgemein: In erster Linie Dingler [40] besonders 14 ff., 116 ff., 137 ff., 155 ff. und [47a]. Helmholtz [103] 395 ff., Clifford [28] 48–96, Dittrich [48]. Über den logischen Aufbau des R 00 aus den Elementen der Sinneswahrnehmungen: Russell [221] 87 ff., vgl. Bergmann [10] 53 ff. Über physisch-räumliche Verhältnisse: Helmholtz [99] 22 ff., Mach [161] 156 ff., [162] 389–422, Enriques [58] 269 ff., Einstein [52] 1 ff. Gegenüberstellung des physischen und des reinen (Anschauungs- oder formalen) Raumes (s. auch unter IV: R 00 als Zweck für R und R 0 ): Russell [218] 372 „geometry as the study of actual space — geometry as a pure à priori science“; Couturat [31] 221 ff.; Einstein [54] 5 f. „praktische Geometrie, eine Naturwissenschaft — rein axiomatische Geometrie, freie Schöpfung des menschlichen Geistes“, [52] 2 „Sätze über die relative Lagerung praktisch starrer Körper — reine Geometrie“. Natorp [179] 325 „Raumordnung des Empirischen — reiner geometrischer Raum“. Cassirer [25] 246 „physischer Raum der Körper — geometrischer Raum der Linien und Abstände“ (dort Hinweis auf Leibniz), [26] 75 „empirischer — reiner Raum“, 108 f. „Maßverhältnisse des Empirischen — Raum der reinen Anschauung“. Medicus [164] 19 ff. „Erfahrungsraum — reine Anschauungsform“. Dingler [40] a. v. O. „empirische — logische Geometrie“. Meinong [166] 92 ff. „unser Raum der Wirklichkeit und der Physik — Raum der Geometrie“. Liebmann [155] 62. Enriques [61] 4 „physikalischer — anschaulicher Raum“. Kleinpeter [138] 81 „Geometrie als Lehre von den räumlichen Eigenschaften der Körper, Teil der Physik, — Geometrie als formale Wissenschaft“. Study [249] 86 „natürliche (konkrete) — abstrakte Geometrie“, 64 „empirischer Raum — Raum unsrer Vorstellungswelt“. Ostwald [185] 362 ff. „natürlicher — mathematischer Raum“. (S. 33). Über die Feststellung der physischen Geraden: Dingler [40] 17 ff., Poincaré [205] 44 f., Einstein [52] 3. — Helmholtz [103] 395, Clifford [28] 69 f., Study [249] 97, Wellstein [260] 121, Born [17] 220 f., Geiringer [78] 654 f. Zum Unterschied von Geradensetzung und Maßsetzung vgl. auch: Klein [132] XXXVII, 570. (S. 33 ff.). Maßsetzung. Die freie Wählbarkeit wird nicht erkannt bei: Russell [217] 81, [220] 49, Hölder [113] 5, 30, L. Poincaré [208] 18 f., Aster [2] 221. Die Maßsetzung darf sich nur auf ein Punktpaar beziehen, vgl. Einstein [52] 2 f., Schlick [223] 236; nicht auf einen starren Körper, wie es meist geschieht, so z. B.: Helmholtz [97] 198, 221, Poincaré [204] 62 ff., [207] 33 f., Natorp [179] 320, Dingler [42] 47 f., 103, [40] 26, 116 ff., [45], [46], [47a],

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easy to detect if one guards against presuppositions that hold only for threedimensional space. A complete misunderstanding of the concept of dimension is found in Kirschmann [130]. Compare Müller [174].

III.

Physical Space

Generally: In the first instance, see Dingler [40], especially Chap. I, Part II, § 4, Chap. III, Part I, § 1, Chap. III, Part II, § 5, Appendix I, and [47a]. See also: Helmholtz [103] § 1; Clifford [28], Chap. 2; Dittrich [48]. On the logical construction of R 00 from the elements of sense perception, see Russell [221], Chap. III, IV; compare Bergmann [10]. On physico-spatial relations, see Helmholtz [99]; Mach [161], Chap. VI, VII, [162], Chap. 22; Enriques [58], Chap. 4 A, § 6; Einstein [52], § I. On the contrast between physical and pure (intuitive or formal) space (see also IV below: R 00 as goal of R and R 0 ), see Russell [218], § 352 (“geometry as the study of actual space — geometry as a pure à priori science”); Couturat [31], Chap. VI.C; Einstein [54] (“practical geometry, a natural science — pure axiomatic geometry, free creation of the human mind”), [52], § I (“propositions about the relative position of practically rigid bodies — pure geometry”); Natorp [179], Chap. 6, § 8 (“spatial order of the empirical — pure geometrical space”); Cassirer [25], Part I, Chap. IV, § VI [under “Hertz’s system of mechanics”] (“physical space of bodies — geometrical space of lines and distances,” with a reference to Leibniz), [26], Chap. V (“empirical — pure space”), Chap. VI (“relations of measurement of the empirical — space of pure intuition”); Medicus [164], pp. 19 ff. (“empirical space — pure form of intuition”); Dingler [40] and other works (“empirical — logical geometry”); Meinong [166], § 17 (“our space of reality and physics — space of geometry”); Liebmann [155], Part 1, Chap. 2; Enriques [61], § 2 (“physical — intuitive space”); Kleinpeter [138], Chap. IV, § 2 (“geometry as theory of the spatial properties of bodies, part of physics — geometry as formal science”); Study [249], Chap. V (“natural (concrete) — abstract geometry”), Chap. IV (“empirical space — space of our world of representation”); Ostwald [185], § 148 (“natural — mathematical space”). (p. 33) On the establishing of physical straight lines, see Dingler [40], Chap. I, Part II, § 4; Poincaré [205], Part I, Chap. 3, § 1; Einstein [52], § I. See also: Helmholtz [103] § 1; Clifford [28], Chap. 2, § 5; Study [249], Chap. VII; Wellstein [260], § 13; Born [17], Chap. VII.6; Geiringer [78], Part III. On the distinction between straightness stipulation and metric stipulation, compare also Klein [132], Vol. 37, § IV. (p. 33 ff.) Concerning metric stipulation: The possibility of free choice is not recognized by Russell [217], § 74, [220], Chap. III; Hölder [113], pp. 5, 30; L. Poincaré [208], Chap. 2, § 2; Aster [2], Chap. IV, § 6. Metric stipulation may appeal only to a point-pair (compare Einstein [52], § I; Schlick [223], § 31), and not to a rigid body, as is customary — see, for example Helmholtz [97]; Poincaré [204], Chap. IV, [207], Chap. 2; Natorp [179], Chap. VI, § 8; Dingler [42], Part II, Chap. 2, §§ 5, 6, Part III, Chap. 1,

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Wellstein [260] 126, Ostwald [185] 364, Wien [271] 52, Schlick [224] 36. Maßsetzung mit Abhängigkeit von Ort und Zeit („Bezugsmolluske“): Einstein [52] 67, Born [17] 223. (S. 39 ff.). „Tatbestand“. Nur raum-zeitliches Zusammenfallen („Koinzidenz“) ist physikalisch feststellbar. Einstein [52] 64 f., [51] 86, Born [17] 221, Petzoldt [200] 120, Schlick [223] 234 ff., [224] 35 f., Cassirer [26] 84. Daher nur topologische Bestimmungen eindeutig: Poincaré [205] 48 ff., [207] 60 f., Schlick [224] 28 ff., 35 f. (S. 40 ff.). A) Feststellung des physischen Raumgefüges durch Versuche; Ausmessung der Fläche f . Feststellung der Krümmung. Helmholtz [103] 395 f., Einstein [52] 57, Born [17] 216 ff. Dingler [40] 125 ist nur scheinbar im Widerspruch hierzu; vgl. den „manuellen Aufbau der Geometrie“ 137 ff. und [46] 122, s. u. B): aus T und M ergibt sich R eindeutig; ebenso Poincaré [204] 83 ff.; Poincarés Einwand, der Raum würde so zugleich als euklidisch und nichteuklidisch gefunden werden können, trifft zu; das hängt eben von der Wahl der Maßsetzung ab. Übrigens ist aber auch ohne eine solche durch die angegebenen Punktberührungen wenn auch kein metrischer, so doch ein topologischer physischer Raum bestimmt. Zur wirklichen Ausführung von (astronomischen) Versuchen: besonders Schwarzschild [236]. Engel [56] 216, Enriques [58] 286 ff., Study [249] 97 ff., Poincaré [204] 74, Lindemann Anm. dazu [204] 292. Durch unsre Darlegung der Versuche ist die Auffassung widerlegt, als setzten solche das Ergebnis immer schon voraus oder müßten notwendig euklidisch ausfallen: Müller [172] 125 f., Weinstein [259] 37, Hönigswald [115a] 80, Natorp [179] 301, Cornelius [29a] 218. Mit Recht wird dieser Auffassung widersprochen von: Study [249] 113, Medicus [164] 35 f. (S. 46 ff.). B) Wahl der Raumart, Bestimmung der dazugehörigen Maßsetzung: Dies Verfahren ist allgemein üblich in der bisherigen Physik, und zwar Wahl des euklidischen Raumes. Jedoch findet es sich ausgesprochen nur bei Dingler [40] 116 ff., [45], [46], [47a] 26 ff. Zu unserm Beispiel: die Erde als Ebene. Nicht zu verwechseln mit dem Beispiel einer nichteuklidischen Welt bei Poincaré [204] 67 ff., wo nicht die wirklich vorliegende, sondern eine erdachte physikalische Erfahrung zugrunde gelegt wird; ebenso bei Helmholtz [99] 24 f. (und ähnlich nach ihm häufig in der Literatur). Die dargelegte Möglichkeit, die Erde bei andrer Maßsetzung als Ebene aufzufassen, hat natürlich nichts zu tun mit der Lehre von Barthel, Die Erde als Totalebene (Leipzig 1914) [[Barthel 1914]], die auf durchaus unwissenschaftlicher Spekulation beruht.

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§ 3, [40], Chap. I, Part II, § 6, Chap. III, Part I, § 1, [45], [46], [47a]; Wellstein [260], § 14; Ostwald [185], § 148; Wien [271], Lecture 2; Schlick [224], § V. On metric stipulation with dependence on place and time (“reference mollusc”), see Einstein [52], § XXVIII; Born [17], Chap. VII.7. (p. 39 ff.) Concerning the concept of “matter of fact”: On the circumstance that only spatio-temporal encounter (“coincidence”) can be physically established see Einstein [52], § XXVII, [51], § 3; Born [17], Chap. VII.6–7; Petzoldt [200], § 35; Schlick [223], § 31, [224], § VII; Cassirer [26], Chap. V. On the idea that therefore only topological determinations are unique, see Poincaré [205], Part I, Chap. 3, § 2, [207], Chap. 3, § 1; Schlick [224], §§ IV, VII. (p. 40 ff.) A) Concerning establishing the physical spatial structure through experiments, measurement of the surface f , and the establishing of curvature, see Helmholtz [103] § 1; Einstein [52], § XXIV; Born [17], Chap. VII.4– 5. Dingler [40], Chap. III, Part I, § 3 is only apparently in contradiction to this — compare the “manual construction of geometry”, Chap. III, Part II, § 5 and [46], § 3, and see below: from T and M , R results uniquely. Precisely the same holds for Poincaré [204], Chap. V: Poincaré’s objection, that space could equally well be found to be Euclidean or non-Euclidean, is correct; it just dependson the choice of metric stipulation. Also, without such a stipulation the given point-coincidences still determine a topological physical space — even if they do not determine a metric space. On actual execution of (astronomical) experiments, see especially Schwarzschild [236]. See also Engel [56], p. 216; Enriques [58], Chap. 4 A, § 10; Study [249], Chap. VII; Poincaré [204], Chap. V.3 (and Lindemann’s note to the German translation). Through our presentation of experiments the conception that such experiments always already presuppose the result, or that they must necessarily turn out as Euclidean, is contradicted; see Müller [172], § 83; Weinstein [259], Chap. V, § 4; Hönigswald [115a], Part II, § 9; Natorp [179], Chap. VI, § 5; Cornelius [29a], Part 2, Chap III.D. This conception is correctly disputed by Study [249], Chap. IX and Medicus [164], p. 35 f. (p. 46 ff.) B) Concerning the choice of space-type, determination of the metric stipulation belonging thereto: this procedure has generally been customary in physics so far, as in fact has the choice of Euclidean space. However, it has only been articulated in detail by Dingler ([40], Chap. III, Part I, § 1, [45], [46], [47a], Part I, Chap. 2). Our example, the earth as plane, is not to be confused with the example of a non-Euclidean world of Poincaré [204], Chap. IV, which is based on an imagined physical experience rather than on our actual physical experience — precisely as in the case of Helmholtz’s example in [99] (and similarly following him repeatedly in the literature). The possibility presented here, of conceiving of the earth as a plane according to an alternative metric stipulation, has of course nothing to do with Barthel’s theory in his book The Earth as Total Plane (Leipzig, 1914) [[Barthel 1914]], which rests entirely on unscientific speculation.

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(S. 52). Änderung der Naturgesetze bei Zugrundelegung einer andern Raumform: Helmholtz [99] 29, Killing [128], Schlick [224] 32. (S. 54). Das Funktionalverhältnis zwischen Raumart, Maßsetzung und Tatbestand: 1) R und T nicht eindeutig einander zugeordnet. Helmholtz [99] 29, Wellstein [260] 126, 138 f., Bauch [3] 111 ff., Natorp [179] 302, 314, Cassirer [25] 142, [26] 101 ff., Poincaré [204] 73 ff., Dingler [42] 47, 30, 104, [46] 119 ff., 128, [47a] Teil I, Nelson [180] 396 ff., Hölder [113] 70 f., Wien [271] 52, Kleinpeter [138] 110, Becher [7] 181, Petzoldt [199], [200] 83, 120 f., Aster [2] 241, Schlick [223] 299 ff., [224] 31 ff., Geiringer [78] 654 f. Hierbei wird aber häufig übersehen (jedoch nicht von Helmholtz, Wellstein, Petzoldt, Dingler, Schlick, Geiringer), daß, wenn eine Maßsetzung aufgestellt ist, — und das ist in der Physik stets stillschweigend der Fall, — diese Zuordnung doch eindeutig ist, s. 2). Die Mehrdeutigkeit folgt nicht etwa nur aus der notwendigen Ungenauigkeit der Messungen, wie es zuweilen aufgefaßt zu werden scheint, z. B.: Killing [128a] 13, [129] I 17 f., Russell [217] 147, [218] 373, [220] 230, Hausdorff [95] 4 f., Wellstein [260] 60, 77, Natorp [179] 316, Henry [104] 76, 84. Überhaupt keine Brücke zwischen nichteuklidischer Geometrie („Hirngespinst“) und Erfahrung vermögen zu erkennen: Pietzker [202], Kirschmann [130], | Sigwart [240] 81 f., Geißler [80], Driesch [49] 38, 41, 74, 222, König [140] 89, Herbertz [105] 29 ff., Cornelius [29a] 218 f., Wundt [273] 482 ff. (vgl. hierzu aber: Killing [129] II 198 ff., Voss [256] 91 ff.). 2) Jede der drei Bestimmungen folgt aber eindeutig aus den beiden andern: a) M aus R und T . Dingler [42] 47 f., [40] 116 f., [45], [46] 124, [47a] besonders 26 ff. b) R aus T und M . Dingler [40] 125 ff., [46] 124; da hier M aus R (euklidisch) und T bestimmt ist, so kann allerdings kein andrer R als der euklidische sich ergeben; die andre Möglichkeit besteht aber auch: [46] 122, [47a] 164. Helmholtz [99] 23 f., Einstein [52] 3 ff., [54] 6, 10 f., 16, Schlick [224] 36, 55 ff. (S. 55 ff.). 3) Forderung der Einfachheit der Gesamtdarstellung: Volkmann [255] 407, Schlick [223] 301 f., [224] 32 ff., 88, Cassirer [26] 109; und nicht der ersten Setzungen (R oder M ); so verfährt dagegen Dingler (Wahl des einfachsten R ): [42] 47, 96 ff., [40] 117, 132, [44] 433 ff., [45], [46], 119 ff., 123, [47a]. (S. 56 f.). a) Daß auf Grund der Einfachheitsforderung die euklidische Raumart gegebenenfalls aufgegeben werden müßte, wird bedingungsweise zugegeben: Poincaré [204] 52, [207] 54 f., Cassirer [25] 147, Becher [7] 181, Wien [271] 52, Wellstein [260] 144, Aster [2] 241, Hönigswald [115a] 79,

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(p. 52) Concerning the alteration of the laws of nature on the basis of an alternative space form, see Helmholtz [99]; Killing [128]; Schlick [224], §§ III–V. (p. 54) Concerning the functional relationship between space-type, metric stipulation, and matters of fact: (1) R and T are not uniquely coordinated to one another: Helmholtz [99]; Wellstein [260], § 14; Bauch [3], Chap. III (“Experience and geometry . . . ”), § II; Natorp [179], Chap. VII, §§ 5, 7; Cassirer [25], Part I, Chap. III, § IV, [26], Chap. VI; Poincaré [204], Chap. V; Dingler [42], Part II, Chap. 2, § 5, Part II, Chap. 1, § 3, Part III, Chap. 1, § 3, [46], pp. 119 ff., 128, [47a], Part I; Nelson [180], §§ 14, 15; Hölder [113], endnote 64; Wien [271], Lecture 2; Kleinpeter [138], Chap. IV, § 5; Becher [7], Chap. XI, § 5; Petzoldt [199], [200], §§ 24, 35; Aster [2], Chap. IV, § 9; Schlick [223], § 38, [224] §§ III–IV; Geiringer [78], Part III. But it is frequently overlooked (although not by Helmholtz, Wellstein, Petzoldt, Dingler, Schlick, Geiringer) that if a metric stipulation is set up — and this is always the case tacitly in physics — this coordination is unique: see (2) below. The ambiguity does not follow only from the necessary imprecision of measurement, as it sometimes appears to be understood, for example, by Killing [128a], § 10, [129], Vol. 1, Chap. I, § 8; Russell [217], § 141, [218], § 353, [220], Chap. XIV; Hausdorff [95], Part II, Book 1; Wellstein [260], § 11; Natorp [179], Chap. VI, § 7; Henry [104], Part II, § 5. No possibility of recognizing any bridge whatever between non-Euclidean geometry ([a supposed]“chimera”) and experience, see Pietzker [202]; Kirschmann [130]; Sigwart [240], § 67; Geißler [80]; Driesch [49], Chap. B.2, Chap. B.3, Chap. C.2i, Appendix 17; König [140], Chap. 5, § 2; Herbertz [105], pp. 29 ff.; Cornelius [29a], Part 2, Chap. III.D; Wundt [273], Part 3, Chap. 3, § 2b (but here compare Killing [129], Vol. 2, Chap. 7, § 6; Voß [256], Chap. 6). (2) But each of the three determinations follows uniquely from the other two: (a) M from R and T : Dingler [42], Part II, Chap. 2, §§ 5, 6, [40], Chap. III, Part I, § 1, [45], [46], § III, [47a], especially Part I, Chap. 2. (b) R from T and M : Dingler [40], Chap. III, Part I, § 3; [46], § III (however, since M is determined from (Euclidean) R and T , no other R but Euclidean space results — but the other possibilities also subsist: [46], § III, [47a], Part IV); Helmholtz [99]; Einstein [52], § I, [54]; Schlick [224], §§ III–V, VII. (pp. 55 ff.) (3) On the postulate of simplicity of the total presentation, see Volkmann [255], p. 407; Schlick [223], § 38, [224], §§ IV, X; Cassirer [26], Chap. VI — not the simplicity of the first stipulations (R or M ), as Dingler proceeds (choice of simplest R ): [42], Part II, Chap. 2, § 5, Part III, Chap. 1, § 1, [40], Chap. I, Part II, § 4, Chap. III, Part II, § 4, [44], § 7b, [45], [46], § III, [47a]. (p. 56 f.) (a) That the Euclidean space-type must be given up if necessary on the basis of the postulate of simplicity is conditionally admitted by Poincaré [204], Chap. IV, [207], Chap. 2; Cassirer [25], Part I, Chap. III, § IV; Becher

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Der Raum: Ein Beitrag zur Wissenschaftslehre (1922a)

Bauch [3] 136 (hier nicht für den Fall größerer Einfachheit, sondern alleiniger Möglichkeit). Heymans [109] geht dagegen unverständlicherweise, — nach ausführlicher Besprechung der Arbeiten von Riemann und Helmholtz! — immer von der Voraussetzung aus, daß „unser“ Raum euklidisch sei; man habe niemals das Bedürfnis nach Messungen gehabt (S. 181), die Wahrscheinlichkeit für den nichteuklidischen Fall sei unendlich klein (S. 243). Bei Aufgabe des euklidischen Raumes nicht Wahl eines bestimmten nichteuklidischen, sondern Aufstieg zu allgemeinerem Gefüge: Einstein [52] 59 ff., Freundlich [74] 55 f., Born [17] 210 ff., Geiringer [78] 355 ff. (S. 56 ff.). b) Als Beispiel: allgemeine Relativitätstheorie. Der Raum in der Relativitätstheorie: In erster Linie Weyl [264]. Ferner: Einstein [52], [53], Freundlich [74] 42 ff., Born [17] 210–235, Sellien [238], Geiringer [78] 656 f. Erkenntnistheoretische Erörterungen: Cassirer [26] 98–115, Petzoldt [200], Reichenbach [209], Einstein [54], Schlick [224], Haas [91]. Vgl. auch Riemann [215] 20, und dazu Weyl [267] 45 ff. (S. 41 und 57). Die Sonderbetrachtung des Raumes (ohne die Zeit) unterliegt bestimmter Beschränkung: Minkowski [168], Einstein [51] 85 f., [52] 19 f., 38, Cassirer [26] 91 ff.; auch früher schon bemerkt von Czolbe [34a] Kap. 7 „Die Zeit als vierte Dimension des Raumes“, 51–55, und Palagyi [188] 1 ff. Zur Möglichkeit der Sonderbetrachtung: Weyl [264] 207. (S. 57 f.). Die Raumverhältnisse im Schwerefeld: Weyl [264] 207 ff., Born [17] 223 ff., Freundlich [74] 42 ff., Reichenbach [209] 21 ff. Vgl. die bemerkenswerte Vorausahnung von Clifford [28] 232 f. Auf Grund von M1 nichteuklidisch: Einstein [51] 122, [54] 6 f., Weyl [264] 223, Born [17] 210 ff., Flamm [66]. Die grundsätzliche Möglichkeit der Beibehaltung des euklidischen Raumes: Born [17] 222, Schlick [223] 302, [224] 35, 47, Einstein [54] 7 f.; die Betonung der Unmöglichkeit bei Reichenbach [209] 3, 27, 104 ist durchaus hiermit in Übereinstimmung, da dabei, wie in der Physik üblich, als Maßsetzung stets stillschweigend M1 vorausgesetzt wird. Erwägungen zugunsten der Beibehaltung des euklidischen Raumes: Dingler [42] 96 ff., [46] 125, [47], [47a]; vgl. aber oben 3).

Space: A Contribution to the Theory of Science (1922a)

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[7], Chap. XI, § 5; Wien [271], Lecture 2; Wellstein [260], § 14; Aster [2], Chap. IV, § 9; Hönigswald [115a], Part II, § 9; Bauch [3], Chap. 3 (“Experience and geometry”), § IV (here not as a case of greater simplicity but as sole possibility). Heymans [109], on the other hand, incomprehensibly proceeds — after explicit discussion of the works of Riemann and Helmholtz(!) — always from the presupposition that “our” space is Euclidean: one never has had need of measurements (§ 47), the probability for the non-Euclidean case is infinitely small (§ 59). For the idea that the abandonment of Euclidean space does not lead to choice of a determinate non-Euclidean space but rather to ascent to a more general structure, see Einstein [52], § XXVII; Freundlich [74], § 5b; Born [17], Chap. VII.6–7; Geiringer [78], Part III. (p. 56 ff.) (b) As an example: general relativity (space in relativity theory), see in the first instance Weyl [264]. See further Einstein [52], [53]; Freundlich [74], § 5 a; Born [17], Chap. VII; Sellien [238]; Geiringer [78], Part III. For epistemological discussions see: Cassirer [26], Chap. IV; Petzoldt [200]; Reichenbach [209]; Einstein [54]; Schlick [224]; Haas [91]. Compare also Riemann [215], § III, and Weyl’s remarks thereto [267], § 6. (pp. 41 and 57) On the separate consideration of space (without time), subject to particular limitations, see Minkowski [168]; Einstein [51], § 3, [52], §§ VIII, IX, XII; Cassirer [26], Chap. V. This was already noted earlier by Czolbe [34a], Chap. 7 (“Time as the Fourth Dimension of Space”) and Palágyi [188], §§ 1–3. On the possibility of a separate consideration see Weyl [264], § 29. (p. 57) On the spatial relations in a gravitational field, see Weyl [264], §§ 29–32; Born [17], Chap. VII.9–10; Freundlich [74], § 5 a; Reichenbach [209], Chap. III. Compare the remarkable presentiment by Clifford [28], Chap. 4, § 19. These are non-Euclidean on the basis of M1 : Einstein [51], § 22, [54]; Weyl [264], § 32; Born [17], Chap. VII.6,9; Flamm [66]. On the in principle possibility of retaining Euclidean space see: Born [17], Chap. VII.6; Schlick [223], § 38, [224], §§ V, VII; Einstein [54]. Reichenbach’s emphasis on the impossibility of this ([209], Chap. I, III, VIII) is thoroughly in agreement, since here, as is customary in physics, M1 is always tacitly presupposed as metric stipulation. For considerations in favor of the retention of Euclidean space, see Dingler [42], Part III, Chap. 1, § 1, [46], § III, [47], [47a] — but compare (3) above.

164

IV.

Der Raum: Ein Beitrag zur Wissenschaftslehre (1922a)

Das gegenseitige Verhältnis der drei Raumbedeutungen

Ostwald [183] 19 „Zuordnung“; die Gegenbeziehung: Dingler [47a] 76 „logische Abbildung“. R „Einsetzung“ ¾ Husserl [119] 26 f. „Entformalisierung oder Ausfüllung — Subsumtion“. Vgl. Bauch [3] 25 über R0 ) die notwendige Voraussetzung eines „Subsumti„Unterordnung“ 00 onsallgemeinen“ für Induktion, Bauch [4] 325 ff. R über den Begriff als Möglichkeitsbedingung des Konkreten. Die Lehre vom R — vom R 0 — vom R 00 als Fall des allgemeineren Wissenschaftsverhältnisses: „formale Ontologie — regionale Ontologie — Tatsachenwissenschaft“, so Husserl [119] 30 f., 111 f., [118] 221 ff. (Hinweis auf Leibniz’ mathesis universalis, vgl. [151], auch [146]), 248 ff. (hier ist aber die irrige, für den Gedankengang der ausgezeichneten Darlegung jedoch nicht wesentliche Auffassung zu beanstanden, daß „unser Raum der Erscheinungswelt“, also wohl R 00 , unbedingt als euklidisch anzusehen sei). Driesch [50] „allgemeine Ordnungslehre — Lehre vom Sosein (darin: Lehre vom Raum als einer bestimmten Ordnungsbesonderheit) — Lehre von der Ordnung des Naturwirklichen“. Ostwald: die drei ersten Stufen der Wissenschaftspyramide [186], [183], Anwendung auf die Farbenlehre [187] 7 ff. Kleinpeter [138] 87 „operative Wissenschaften (Kombinatorik, Arithmetik, Logik) — Geometrie — Realwissenschaften (Physik usw.)“. Cohn [29] 334 ff. „rein konstruierende — Allgemeines nachkonstruierende — Besonderes nachkonstruierende Wissenschaften“. Unseren Raumbedeutungen entsprechen etwa bei Russell [217] 146 f. „complex of relations — intuitive space — actually given space“; bei Müller [172] 132 f. „Raum der Mathematik — psychologischer Raum (= R 0 ?) — Erfahrungsraum“; bei Pasch [191] 185 „hypothetische Geometrie — (Geometrie der) mathematischen, — (Geometrie der) physischen Punkte“; bei Enriques [59] 8 „abstrakte Räume — gewöhnlicher, intuitiver Raum — physischer Raum“. Dagegen entsprechen ihnen nicht: König [140] „Anschauungs- — geometrischer — physischer Raum“; 1 und 3 sind von uns nicht behandelt, 2 ist R 0 . Ferner auch nicht: Hausdorff [95] „mathematischer, empirischer, absoluter Raum“; 2 ist von uns nicht behandelt, 3 kann überhaupt nicht Gegenstand der Erkenntnis sein, 1 umfaßt aber unsre drei Bedeutungen, vgl. S. 6: „in drei Beziehungen also, im Denken, in der Erfahrung, in der Anschauung haben wir Spielraum und Wahlfreiheit unter zahllosen Gestaltungen des mathematischen Raumes“. (S. 61). Der Zweck der Aufstellung von R und R 0 liegt im R 00 : Ordnung der Erfahrung in räumlicher Hinsicht. Poincaré [205] 96 f., [207] 86, Cassirer [23] 42 ff., [25] z. B. 246 u. a., [26] 88 f., Kneser [139] 13, Hausdorff [95] 4, Well)

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Space: A Contribution to the Theory of Science (1922a)

IV.

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The Mutual Relations of Formal, Intuitive, and Physical Space

On the relation of “specification”, see Ostwald [183], p. 19 (“coordination”); for the contrary relation, see Dingler [47a], Part II, Chap. 1 ) (“logical delineation”). On the contrast between R “specification” ¾ “specification” and “subordination”, see Husserl [119], § 13 (“deformalization or filling out — 0 ) R subsumption”). On “subordination”, compare “subordination” 00 Bauch [3], Chap. I (“Relation between philosoR phy and natural science”), § IV on the necessary presupposition of a “subsumption-universal” for induction, and Bauch [4], § V on the concept as condition of possibility of the concrete. On the theories of R , R 0 , and R 00 as cases of the general scientific relationships “formal ontology, regional ontology, factual science”, see Husserl [119], §§ 16, 72, [118], § 60 (reference to Leibniz’s mathesis universalis, compare [151] and also [146]), § 70 (but here the erroneous conception — which, however, is not essential to the process of thought of the indicated exposition — is to be contested that “our space of the world of appearance”, and thus R 00 , is to be viewed unconditionally as Euclidean); Driesch [50] (“general theory of order — theory of natures (including theory of space as a determinate orderparticularity) — theory of the order of natural actualities”); Ostwald [186], [183] (the three first steps of the scientific pyramid), [187], Chap. 2. (application to theory of color); Kleinpeter [138], Chap. IV, § 2 (“operative sciences (combinatorics, arithmetic, logic) — geometry — empirical sciences (physics, etc.)”); Cohn [29], Part 3, Chap. VIII, § 22 (“pure constructive — general reconstructive — particular reconstructive sciences”). Our meanings of space correspond approximately to those given by: Russell [217], § 140 (“complex of relations — intuitive space — actually given space”); Müller [172], § 88 (“space of mathematics — psychological space (= R 0 ?) — empirical space”); Pasch [191], p. 185 (“hypothetical geometry — (geometry of) mathematical points — (geometry of) physical points”); Enriques [59], § 1 (“abstract space — customary, intuitive space — physical space”). On the other hand, they do not correspond to those given by König [140] (“intuitive — geometrical — physical space”): the first and third are not treated by us, the second is R 0 ; nor do they correspond to those given by Hausdorff [95] (“mathematical, empirical, absolute space”); the second is not treated by us, the third can as such be no object of experience, and the first comprises all our three meanings — compare p. 6: “in three relations therefore — in thought, in experience, in intuition — we have full scope and freedom of choice among numberless forms of mathematical spaces.” (p. 61) On the idea that the purpose of constructing R and R 0 lies in R 00 (order of experience in spatial respect), see Poincaré [205], Part I, Chap. 4, § 6, [207], Chap. 3, § 4; Cassirer [23], § VI, [25], Part I, Chap. IV, § VI (under “Hertz’s system of mechanics”) and other places, [26], Chap. V, VI; Kneser

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Der Raum: Ein Beitrag zur Wissenschaftslehre (1922a)

stein [260] 148, Schlick [223] 35 f. Als reinster Ausdruck des Verhältnisses erscheint die Kantische Auffassung des R 0 (vielleicht auch des R , worauf einige Aussprüche hindeuten könnten, vgl. Bauch [5] 178, 182 Anm.) als synthetischer Gesetzlichkeit für die Ordnung der Erfahrung, also des R 00 . Vgl. Bauch [5] 177 ff., Natorp [178] 8, 46 f., Christiansen [27] 140 f. Über die Bedeutung dieser Gesetzlichkeit als Funktion: Cassirer [25], Bauch [4].

V.

Raumerkenntnis und Erfahrung

a)

Die Quellen der Raumerkenntnis

Zur Unterscheidung zwischen Erkenntnisquelle im Sinne des logischen Rechtsgrundes und (psychologischer) Entstehung: Kant [125] 647 „entspringen — anheben“, Bauch [3] 96 „sich begründen — herstammen“, Meinong [166] 62 „Legitimation — Provenienz“. R aus Grundsätzen der Logik, erfahrungsunabhängig, s. dort Literatur unter I, besonders Couturat [31]. R 0 aus Wesenserschauung, erfahrungsunabhängig, s. dort Literatur unter II, besonders Husserl [119] 10 ff. (S. 63). R 00 aus Induktion, Erfahrungserkenntnis: Lobatschefskij [158] 76 ff., Riemann [215] 16 ff., Kleinpeter [137] 42, [138] 107 ff., Study [249] 97 ff., Enriques [58] 269 ff., Medicus [164] 34 ff. Hier wird aber immer die erforderliche Maßsetzung entweder nicht beachtet oder, wie gewöhnlich in der Physik, nur stillschweigend vorausgesetzt. Da ohne Festsetzung einer Maßsetzung R 00 (als metrisches Gefüge) nicht durch Erfahrung bestimmt werden kann, so hat andrerseits auch die meist vertretene Auffassung der Erfahrungsunabhängigkeit des R 00 ein gewisses Recht; s. hierzu die unter „III, Funktionalverhältnis, 1) R und T nicht eindeutig . . . “ genannten Schriften, ferner König [140] 92 f. Die Entscheidung zwischen den beiden streitenden Auffassungen hängt also von dem gewöhnlich nicht erörterten Umstande ab, ob eine Maßsetzung vorausgesetzt wird oder nicht. (S. 63 ff.). Widersprechende Auffassungen über die Quellen der Raumerkenntnis infolge Verschiedenheit der Raumbedeutungen: 1) inbezug auf R 0 : Kants „synthetische Urteile a priori“. Kant [125] 48– 57, 153–162, [126] § 2 c, 2, § 6–13, vgl. Bauch [5] 160 ff., Cassirer [24] II 542 ff. Bauch [3] 111 ff. (S. 116 ausdrückliche Unterscheidung zwischen R 0 und R 00 ), Heymans [109] 160 ff. (über R : 164), Husserl [119] 31, König [140] 92 f., Nelson [180] 395 ff., Natorp [179] 302, 315, 318, Gerstel [81] 108 ff., Kirschmann [130], Tobias [251] 38–77, Sigwart [240] 82, Hönigswald [114], Aster [2] 193 ff., 223 ff. Meist ausdrücklicher Gegensatz zu Gauß, Riemann, Helmholtz.

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Space: A Contribution to the Theory of Science (1922a)

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[139], p. 13; Hausdorff [95], p. 4; Wellstein [260], § 15; Schlick [223], § 7. The purest expression of this relationship appears to be the Kantian conception of R 0 (perhaps also of R , where a few declarations can be indicated: cf. Bauch [5], pp. 178, 182n) as synthetic lawfulness of the order of experience, and thus of R 00 . Compare Bauch [5], Chap. II, Part III; Natorp [178], § 5, § 29; Christiansen [27], pp. 140 f. On the significance of this lawfulness as function see Cassirer [25] and Bauch [4].

V.

The Relations between Knowledge of Space and Experience

a)

The Sources of Knowledge of Space

For the distinction between sources of knowledge in the sense of logical grounds of justification and (psychological) generation, see Kant [125], B 1 (“arising from — beginning with”); Bauch [3], Chap. 2 (“Problem of general experience”), § V (“grounding — descending from”); Meinong [166], § 14 (“legitimation — origin”). On the derivation of R from principles of logic, independently of experience, see the references cited in § I above, especially Couturat [31]. On the derivation of R 0 from essential insight, independently of experience, see the references cited in § II above, especially Husserl [119], §§ 3–5. (p. 63) On the derivation of R 00 from induction, as empirical knowledge, see Lobatchevsky [158], § 9; Riemann [215], §III. 1–3; Kleinpeter [137], p. 44, [138], Chap. IV, § 5; Study [249], Chap. VII; Enriques [58], Chap. 4 A, § 6; Medicus [164], pp. 34 ff. Here, however, the required metric stipulation is either left out of account or, as is customary in physics, only tacitly presupposed. On the other hand, since without establishing a metric stipulation R 00 (as metrical structure) cannot be determined through experience, the most often represented conception of the independence from experience of R 00 is correct in certain respects: here see the references cited in note to p. 54, above, under (1) (“R and T are not uniquely . . . ”) and, further, König [140], Chap. 5, § 2. The choice between the two conflicting conceptions therefore depends on the circumstance — which is usually not discussed — of whether a metric stipulation is or is not presupposed. (p. 63 ff.) On the contradictory conceptions concerning the sources of knowledge of space as a consequence of the diversity of meanings of space: (1) With reference to R 0 and Kant’s “synthetic a priori judgments”, see Kant [125] (Transcendental Aesthetic, Axioms of Intuition), [126], § 2c.2, §§ 6–13; compare Bauch [5], Chap. II, Part III and Cassirer [24], Book 8, Chap. 2, § III. See also: Bauch [3], Chap. 2 (“Experience and geometry”), § II (including an explicit distinction between R 0 and R 00 ); Heymans [109], § 40 (on R : p. 164); Husserl [119], § 16; König [140], Chap. 5, § 2; Nelson [180], § 11; Natorp [179], Chap. 6, §§ 5, 7, 8; Gerstel [81], pp. 108 ff.; Kirschmann [130]; Tobias [251], pp. 38–77; Sigwart [240], § 67; Hönigswald [114]; Aster [2], Chap. IV, §§ 4, 7 — most explicit opposition to Gauß, Riemann, Helmholtz.

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Der Raum: Ein Beitrag zur Wissenschaftslehre (1922a)

2) Gegen Kant, a) inbezug auf R: Russell [217] 61, 146, [218] 456 ff., Couturat [32] 292 ff., [31] 218, Poincaré [204] 50 f., Wellstein [260] 100, Driesch [50] 117 f., Petzoldt [198] 195 f., Bergmann [8], Müller [173] 343, Schlick [223] 297. b) inbezug auf R 00 : Gauß [76] 177, [56] 227, Helmholtz [99] 221, [101] 229 ff., [103] 396 (Irrtum ist aber, daß nicht außerdem R 0 möglich sei), Wellstein [260] 123, 138 f., Kleinpeter [137] 42, Mach [162] 389 ff., Erdmann [64], Bonola [15] 96, Study [249] 117, Born [17] 220, Geiringer [78] 653. b)

Der Raum als Bedingung der Erfahrung

(S. 67). Kants Lehre von der transzendental-logischen Bedeutung des Raumes als Bedingung zur Möglichkeit jeder Erfahrung ist zwar durch die Entwicklung der Geometrie nicht erschüttert: Natorp [179] 309, Nelson [180] 386 ff., Sellien [238] 56; Helmholtz [100] 641, [103] 405 f., Müller [172] 132, aber von dem dreistufigen euklidischen Raum auf ein allgemeineres Gefüge zu übertragen. Zu den Merkmalen desjenigen Raumgefüges, das die den Erfahrungsgegenstand konstituierende Raumgesetzlichkeit darstellt, gehören nicht: (S. 66). 1) Dreistufigkeit. Russell [217] 162, Poincaré [204] 53, [205] 50 ff., 94 ff., [206] 98 ff., [207] 86 f., 97 f., Medicus [164] 14 f., 25, Simon [241] 26 ff., Aster [2] 250, Isenkrahe [122] 69, Dingler [47a] 12 ff. Die Dreistufigkeit fordern dagegen: Kant [124] (weist in § 9 einen Beweisversuch von Leibniz ab, versucht aber § 10 selbst eine Ableitung), Helmholtz [99] 28, Kirschmann [130] 395, Schmitz-Dumont [227] 149, Killing [129] I 267 ff., Liebmann [155] 77 ff., Riehl [212] 134, Wundt [273] 482, Natorp [179] 306 ff., [175] 383 f., [178] 52 f., [177] 7 f. (diese ausführliche Ableitung enthält einen formalen Fehler), Couturat [32] 317, Schultz [234] 29, Herbertz [105] 35 f., Driesch [49] 38, Geißler [80] 135. 2) euklidische Beschaffenheit („Ebenheit“): Helmholtz [99] 22, Russell [217] 61, Poincaré [204] 53, Wellstein [260] 142 ff., Medicus [164] 15, Christiansen [27] 138. Dagegen halten am euklidischen Raum fest: Kirschmann [130], SchmitzDumont [227] 148 ff., Sigwart [240] 81 f., Liebmann [155] 77 ff., Geißler [80], Hönigswald [114] 891, vgl. jedoch [115a] 80, Wundt [273] 482, Driesch [49] 41, Bauch [3] 125 ff., Natorp [179] 307 ff., 312 (gegen ihn: Müller [172] 129), Schultz | [234] 26 f., Meinong [166] 80–91, Sellien [238] 48. Als Grund wird mehrfach angeführt, daß nur die Gesetze des euklidischen Raumes von einer

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Space: A Contribution to the Theory of Science (1922a)

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(2) In opposition to Kant: (a) With reference to R , see Russell [217], §§ 58, 140, [218], Chap. LII; Couturat [32], (“The Geometrical Judgment”), [31], Chap. VI.C; Poincaré [204], Chap. III (“On the Nature of Axioms”); Wellstein [260], § 13; Driesch [50], Chap. II, § 6d; Petzoldt [198], § 85; Bergmann [8]; Müller [173], p. 343; Schlick [223], § 38. (b) With reference to R 00 , see Gauß [76], p. 177, [56], p. 227 (Paragraph 3 of a Letter from Gauss to Bessel 9 April 1830); Helmholtz [99], [101], [103] § 1 (but it is an error to suppose that R 0 is otherwise not possible); Wellstein [260], §§ 13, 14; Kleinpeter [137], p. 42; Mach [162], Chap. 22, §§ 1–3; Erdmann [64]; Bonola [15], § 43; Study [249], Chap. IX; Born [17], Chap. VII.5–6; Geiringer [78], Part III. b)

Space as a Condition of Experience

(p. 67) Kant’s theory of the transcendental–logical significance of space as condition of the possibility of experience is in fact not overthrown by the development of geometry (Natorp [179], Chap. 6, § 7; Nelson [180], § 11; Sellien [238], p. 56; Helmholtz [100], [103] § 2; Müller [172], § 88), but is to be transferred from three-dimensional Euclidean space to a more general structure. The following do not belong to the characteristics of that spatial structure which presents the spatial lawfulness constituting the objects of experience: (p. 66) (1) Three-dimensionality — see: Russell [217], § 159; Poincaré [204], Chap. IV (“Visual space”), [205], Part I, Chap. 3, § 3, Part I, Chap. 4, § 5, [206], Book II, Chap. I, §§ IV, V, [207], Chap. 3, §§ 4, 6; Medicus [164], pp. 14 f., 25; Simon [241], pp. 26 ff.; Aster [2], Chap. IV, § 9; Isenkrahe [122], Chap. VII; Dingler [47a], Part I, Chap. 2. On the other hand, the following require three-dimensionality: Kant [124] (in § 9 he rejects an attempted proof of Leibniz, but he attempts his own derivation in § 10); Helmholtz [99]; Kirschmann [130], Part II, § 6; Schmitz-Dumont [227], p. 149; Killing [129], Vol. 1, Chap. 3, § 15; Liebmann [155], Part I, Chap. 3; Riehl [212], Chap. 2, § 4; Wundt [273], Part 3, Chap. 3, § 2; Natorp [179], Chap. 6, § 6, [175], pp. 383 f., [178], § 32, [177], pp. 7 f. (this detailed derivation contains a formal mistake); Couturat [32], “The Axioms of Geometry”; Schultz [234], p. 29; Herbertz [105], pp. 35 f; Driesch [49], Chap. B.2; Geißler [80], p. 135. (2) Euclidean constitution (“planeness”) — see Helmholtz [99]; Russell [217], § 58; Poincaré [204], Chap. III, IV; Wellstein [260], § 14; Medicus [164], p. 15; Christiansen [27], p. 138. On the other hand, the following retain Euclidean space: Kirschmann [130]; Schmitz-Dumont [227], pp. 148 ff.; Sigwart [240], § 67; Liebmann [155], Part 1, Chap. 3; Geißler [80]; Hönigswald [114], p. 891 (but compare [115a], Part II, § 9); Wundt [273], Part 3, Chap. 3, § 2; Driesch [49], Chap. B.3; Bauch [3], Chap. 3 (“Experience and geometry”), § IV; Natorp [179], Chap. 6, §§ 6, 7 (against Natorp: Müller [172], § 86); Schultz [234], pp. 26 f.; Meinong [166], § 16; Sellien [238], Part III, Chap. 1. A reason often adduced for this is that only the laws of Euclidean space are independent of an absolute length —

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Der Raum: Ein Beitrag zur Wissenschaftslehre (1922a)

absoluten Länge unabhängig sind: Kirschmann [130] 355 f., König [140] 94, 223, Geißler [80] 54, Cohn [29] 248, Gerstel [81] 110, Cornelius [29a] 218, vgl. Aster [2] 226, 237; dagegen aber: Russell [217] 110 ff., Müller [172] 130, Dittrich [48]. (S. 66). Aus der Forderung der Eindeutigkeit kann nicht auf euklidische Beschaffenheit geschlossen werden; so aber: Pietzker [202] 6, Natorp [179] 307 ff., 316, 322 f., Bauch [3] 133 ff. Dagegen: Cassirer [26] 100. Noch weniger aus der Forderung der Homogeneität (vgl. oben unter: II, metrische Raumarten, Homogeneität); zudem ist diese Forderung selbst zweifelhaft, s. 3). 3) konstante Krümmung (Homogeneität und Isotropie): Medicus [164] 17 ff., Hausdorff [95] 10, Delboeuf [18] 69 ff., Hartmann [93] 375 ff. (Vgl. auch: III, Funktionalverhältnis 3 b, Relativitätstheorie). Dagegen fordern Homogeneität: Riehl [212] 133, 178, Russell [217] 137, 149 ff., Aster [2] 237 f., Henry [104] 92. 4) überhaupt metrische Eigenschaften: Poincaré [205] 48 ff., Cassirer [25] 115 ff. (aus diesen Darlegungen würde aber mit größerem Recht die Topologie zur „apriorischen Grundwissenschaft vom Raum“ zu erklären sein, als die projektive Geometrie; s. o. II, Begriff der projektiven Geometrie). (S. 67). Aus den negativen Bestimmungen 1–4 folgt: das die Erfahrung 0 konstituierende Raumgefüge ist der R nt , womit dann auch die transzendentallogische Bedeutung von dessen formaler Gesetzlichkeit, dem R nt , gegeben ist.

Space: A Contribution to the Theory of Science (1922a)

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see Kirschmann [130], Part I, § IV; König [140], Chap. 5, § 2 including note 19; Geißler [80], p. 54; Cohn [29], Part 2, Chap. V, § 14; Gerstel [81], p. 110; Cornelius [29a], Part 2, Chap. III.D; and compare Aster [2], Chap. IV, §§ 7, 8. — Against this see: Russell [217], §§ 98–101; Müller [172], § 86; Dittrich [48]. (p. 66) Euclidean constitution cannot be inferred from the requirement of uniqueness, as the following maintain: Pietzker [202], p. 6; Natorp [179], Chap. 6, §§ 6, 7, 8; Bauch [3], loc. cit. — Against this, see Cassirer [26], Chap. VI. Still less can such be inferred from the requirement of homogeneity (compare note to p. 29, above, on metrical space, homogeneity); moreover, this requirement is itself doubtful: see (3) below. (3) Constant curvature (homogeneity and isotropy) — see Medicus [164], pp. 17 ff.; Hausdorff [95], p. 10; Delboeuf [18], § I.2; Hartmann [93], Part II, Book 1. (Compare also note to p. 56 ff., above: relativity theory.) On the other hand, the following require homogeneity: Riehl [212], Chap. 2, §§ 4, 8; Russell [217], § 130, §§ 143–145; Aster [2], Chap. IV, § 8; Henry [104], Part II, § 6. (4) Metrical properties in general — see Poincaré [205], Part I, § 2; Cassirer [25], Part I, Chap. III, § II (“The concept of space and the concept of order”) — but from this exposition it follows with even greater justice that topology, rather than projective geometry, is to be declared the “universal a priori science of space” (see note to p. 31 above on the concept of projective geometry). (p. 67) From the negative determinations (1)–(4) it follows that 0 the experience-constituting spatial structure is R nt , by which the transcendental significance of its formal lawfulness is also given, namely to R nt .

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Editorial Notes

Information on the Text Originally published in Kant-Studien, Ergänzungshefte, vol. 56, Berlin: Verlag von Reuther & Reichard, 1922. Translation by Michael Friedman and Peter Heath, with the assistance of A. W. Carus, Wolfgang Kienzler, and Alan Richardson. Carnap submitted an identical text, produced in 1921 by the same printer, as a dissertation. The title page includes the following addition: Inaugural-Dissertation zur Erlangung der Doktorwürde der hohen Philosophischen Fakultät der Universität Jena, vorgelegt von Rudolf Carnap, aus Buchenbach (Baden). Göttingen: Druck der Dieterich’schen Univ.-Buchdruckerei, W. Fr. Kaestner, 1921.

Dissertation to obtain doctoral status, submitted by Rudolf Carnap of Buchenbach (Baden) to the high Philosophical Faculty of the University of Jena. Göttingen: Printed by Dieterich’s University Printers, W. Fr. Kaestner, 1921.

The reverse of the title page bears the remark: Genehmigt von der Philosophischen Fakultät der Universität Jena auf Antrag des Herrn Prof. Dr. Bauch. Jena, den 1. März 1921.

Approved by the Faculty of Philosophy of the University of Jena, on the proposal of Prof. Dr. Bauch. Jena, 1 March 1921.

On the final page, the following CV is printed: Lebenslauf

Curriculum Vitae

Ich bin am 18. Mai 1891 zu Ronsdorf bei Barmen geboren. Nachdem ich Ostern 1910 die Reifeprüfung am Gymnasium zu Jena bestanden hatte, habe ich die Universitäten Jena und Freiburg i. B. besucht. Das Studium wurde von Aug. 1914 bis Dez. 1918 durch Heeresdienst unterbrochen und im Herbst 1919 in Jena durch die Oberlehrerprüfung in Mathematik, Physik und philos. Propädeutik beendet; es war hauptsächlich der Physik, der Mathematik, der Philosophie und der Psychologie gewidmet. Die Lehrer, denen ich besonderen Dank schulde, waren die Herren Prof. Auerbach, Bädeker, Cohn, Haussner, Heffter, Himstedt, Nohl, Rickert, Vollmer, Wien. Vor allem aber habe ich den Herren Prof. Bauch und Frege wertvolle Anregungen auf dem Gebiet der Philosophie der exakten Wissenschaften, dem auch die vorliegende Arbeit gewidmet ist, zu verdanken.

I was born on 18 May 1891 in Ronsdorf near Barmen. After completing the secondary examinations at the Jena Gymnasium Easter 1910, I studied at the Universities of Jena and Freiburg im Breisgau. My university studies were interrupted by military service from August 1914 to December 1918, and concluded in the autumn of 1919 with the higher teacher’s examination in mathematics, physics, and introductory philosophy, having been devoted mainly to physics, mathematics, philosophy, and psychology. The teachers to whom I am especially indebted are Professors Auerbach, Bädeker, Cohn, Haussner, Heffter, Himstedt, Nohl, Rickert, Vollmer, Wien. Above all, however, I am grateful to Professors Bauch and Frege for valuable advice in the field of philosophy of the exact sciences, to which the present work is also devoted.

The original had running heads containing brief summaries of the contents of the corresponding pages, which are often different from the chapter

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and section titles. This information is reproduced here as footnotes keyed to the original pagination on the German side, with corresponding translations on the English side. As in the original, the exact placement is only approximate. Rather than setting the extensive bibliography on facing pages, we have inserted translations of Carnap’s occasional remarks in [[double square brackets]]. Within the “Pointers to the Literature” section, references to page numbers have been replaced on the English side by chapters and sections for the convenience of those readers who use a different edition than the one Carnap cites. The page references at the beginning of paragraphs are to the original pagination of the German text. Page numbers in the table of contents and index refer to the original pagination.

Editorial Notes Carnap’s own copy of Der Raum, located at the Archives for Scientific Philosophy (ASP 111B–37), contains some marginalia that are also included here as editorial notes at the corresponding points. These were transcribed from Carnap’s shorthand by Brigitta Arden. a. [p. 31] “Only the research of recent decades on the foundations of geometry has succeeded in laying down the required axioms in full.” Carnap is referring to the development of modern axiomatic approaches to geometry in the later nineteenth century that culminated in the appearance of Hilbert’s Foundations of Geometry in 1899. These developments aimed, in particular, to exploit the purely logical structures by which theorems can be derived from axioms without relying on hidden premises, tacit appeals to the intuitive apprehension of figures, and so on. In this way, the development of modern approaches to axiomatic geometry became entangled with the development of modern logic — as, for example, in the Frege–Hilbert correspondence. For a classic discussion of these issues, see Nagel (1939). For a more recent discussion see Torretti (1978b), § 3.2. b. [p. 33] “The construction of formal space can also be undertaken in a different way, though, not just by the above route of setting up certain axioms about classes and relations: by deriving (ordered) series and, as a special case, continuous series from formal logic, the general theory of classes and relations.” The fundamental difference here is between purely axiomatic approaches (as in note a) and explicit constructions of the objects and concepts of geometry within a comprehensive framework for all of mathematics, such as set theory (where, for example, we might first construct the real numbers and then define various geometrical spaces via n -tuples of real numbers). The difference, therefore, is between implicitly defining a number of non-logical primitive terms (‘point’, ‘line’, ‘congruence’, and so on) by axioms in which they occur (as in Hilbert’s axiomatization of Euclidean geometry) and explicitly defining

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Editorial Notes

a model for such an axiom system within a more comprehensive system, such as what we now call set theory (where the only non-logical primitive term is ‘ε’). In both cases, from a modern point of view, formal logic will be involved: in the former as a (first-order or second-order) formalization of a system of geometry, in the second as a (first-order or second-order) formalization of the underlying set theory. Carnap calls the second case “the path of formal logic”, however, because he is operating within a logicist conception according to which what he calls logic includes what we now call set theory. Moreover, Carnap proceeds to sketch a Fregean picture of the foundations of the underlying (higher order) logic, upon which he then erects a theory of relations (and a theory of ordered series) in the style of Principia Mathematica. Carnap was one of Frege’s very few students in the years 1910–1914 at the University of Jena, and he consistently thought of logic in terms of what we would now call the simple theory of types ever after. See Reck and Awodey (2004). c. [p. 37] “A relation is called transitive if B (a, c) always follows from B (a, b) and B (b, c). Example: In arithmetic a > c always follows from a > b and b > c ; similarly a = c always follows from a = b and b = c , so the relations “>” and “=” are transitive.” Carnap notes in his copy that the terminology used by Gerhard Hessenberg (1922) — “wechselseitig” in place of “gleichseitig” and “durchlaufend” in place of “übergreifend” — is “gut! [[good!]]”. d. [p. 39] “Strictly speaking, this representative of the progressions is simply their concept (in our sense of the word).” The progressions (order-type ω) all have the same structure as the series of natural (whole) numbers (0, 1, 2, . . . ); in this sense they are all isomorphic to one another. As is well known, we can construct numerous different representative progressions within set theory: for example, we can identify 0 with the unit set of the empty set {;} and, for each n , identify n + 1 with the unit set of what we have identified as n (thereby generating the progression {;}, {{;}}, {{;}}, . . . ), or we can identify 0 with the empty set ; and, for each n , identify n + 1 with the set of all the elements we have identified through n (thereby generating the progression ;, {;}, {;, {;}}, . . . ). In this way we can prove, within set theory, the existence of the natural numbers — or, more precisely, the existence of a progression (and indeed of infinitely many progressions) that satisfy the Dedekind–Peano axioms governing the system of natural numbers. It is clear, however, that, when Carnap talks about “a single formal representative of [the progressions] which we create for ourselves for this purpose”, he does not have in mind such set-theoretic constructions. For he goes on to say, in conclusion, that “this formal representative is nothing other than their concept”, and he also says, in the immediately preceding paragraph, that what he calls an ordinal number (including the ordinal number ω in particular) is “[t]he concept of the relations similar [isomorphic] to a given relation . . . (the concept, not the relations falling under it!)”. Here the relation in question is the less-than relation between elements in a given progression, which generates a specific structure falling under the concept of progression in general. So what Carnap

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is saying is that we can create a single formal representative for all of the progressions simply by articulating a concept under which all of them fall — that is, by articulating an appropriate set of axiomatic conditions (as he does at the beginning of the paragraph in question). This of course sounds strange from a modern, set-theoretic point of view: how can merely articulating an appropriate set of axiomatic conditions “create” (guarantee the existence of) a representative system of objects (a relational structure) satisfying these conditions? Carnap’s procedure becomes clearer when we note that, among his pointers to the literature for the main concepts discussed in these pages (series, numbers, continuum), aside from the expected references to Frege and Dedekind, for example, Ernst Cassirer’s Substance and Function 1910 also figures prominently. Indeed, this reliance on Cassirer is even more pronounced in the corresponding discussion in Carnap’s earlier 1920 dissertation on geometry (discussed in the Introduction to this volume), where Cassirer (1910) is the main reference given for both “the arithmetic of ordinal numbers” and the characteristic “ordinal concept” of the continuum. The references (in both works) are to Cassirer (1910), Chapter 2, Sections II–IV, where the most important points are the following. First, Cassirer forcefully maintains the priority of the ordinal over the cardinal concept of (natural) number, and thus the priority of Dedekind’s axiomatic characterization of a progression over the Frege– Russell emphasis on identifying particular (cardinal) numbers with particular sets or classes. Thus Cassirer writes (ibid., Chapter 2, Section III), “It is the fundamental characteristic of the ordinal theory [as opposed to the “class theory”] that in it the individual number never means [[bedeutet]] something for itself alone, that it only acquires a fixed value as a place in the total system.” Second, in considering the proper characterization of a continuous order, Cassirer also forcefully maintains Dedekind’s position (see note e below). In particular, in defending Dedekind against the common objection that he has not proved the “existence” of irrational numbers corresponding to Dedekind cuts in the rationals, Cassirer emphasizes that such a “new” irrational element “has no other function and meaning [[Bedeutung]] than to represent conceptually [the] determinateness of the division [[i.e., the cut]] itself ” (ibid., Chapter 2, Section IV). Hence (ibid.): “[[A]]t least within the realm of number, the entire dualistic separation between ideal and real being, between ‘essence’ and ‘existence’ is irrelevant. . . . No number — whole numbers no more than fractional and irrational numbers — ‘is’ anything other than that which it has been made in determinate conceptual definitions.” In this sense, Cassirer represents Dedekind’s view that we can conceptually determine mathematical objects as “free creations [[freie Schöpfungen]]” of the human intellect, and Carnap is echoing such a view here. In particular, as Erich Reck has expressed it (at a workshop on Der Raum in Vienna, 1-2 July 2010), Carnap is understanding the Fregean notion of “concept” filtered through Cassirer’s neo-Kantian reading of Dedekind. Carnap himself therefore sees no opposition (as Cassirer does) between what we now understand as Frege–Russell “logicism” (based on the priority of the notion of set or

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Editorial Notes

class) and the purely axiomatic version of “logicism” articulated by Dedekind (compare note b). For further discussion of the latter, see Reck (2003). e. [p. 41] “In a similar but more roundabout way, not amenable to brief explanation here, the conditions for series can be given whose formal representative we call ‘the series of real numbers’ (order-type λ).” Carnap is referring to what we now call the process of completing a merely dense linear order so as to make it truly continuous: not merely dense (infinitely divisible), but also closed under the operation of taking limits. Thus, for example, a sequence of rational numbers generated by the decimal expanp p sion of 2 (1, 1.4, 1.41, . . . ) converges to 2 as its limit but does not converge to any rational number. There are two main approaches to effecting such a completion. The first, due to Cantor, uses a set-theoretic construction that identifies such a “new” limit point with the convergent sequence in question — and, in particular, identifies the real numbers with the set of all convergent sequences of rationals. The second approach, due to Dedekind, introduces the notion of a “cut” into any dense linear order: an exclusive and exhaustive division of the elements of such an order into two classes A and B such that every element of A is less the class pthan every element of B (e.g., A could be p of all rationals less than 2, B the class of all rationals greater than 2). The requirement that there be an element of the order corresponding to every such cut (which would therefore be either the least upper bound of A or the greatest lower bound of B ) is then what characterizes a truly continuous order. Carnap first cites Dedekind 1872 in his pointer to the literature on this passage, then Cantor 1883 and many others. At the end he cites (among others) Cassirer 1910, Chapter 2, Section IV, which includes a famous quotation from Dedekind (1872): “And even if we knew for certain that space was not continuous, nothing could hinder us, if we wished, from making it into a continuous [space] by filling its gaps in thought; but this filling would consist in a creation [Schöpfung] of new point-individuals and would have to proceed in accordance with the above principle [i.e., the requirement of continuity].” f. [p. 41] “Projective and metrical space are thus related to R nt as species and subspecies to a genus (not as individuals to a species). Similarly, from topological space with three dimensions R 3t we get projective space R 3p and metrical space R 3m , as well as further subspecies.” There exists a large handwritten chart entitled “Aufbau der logischen und mathematischen Wissenschaften” [[“Construction of the logical and mathematical sciences”]] (ASP 110–05–06) depicting not only the three types of space — formal, intuitive, and physical — separately but also Carnap’s derivation throughout section I of Der Raum, including the notions of “true” and “false” (p. 9), judgment (p. 9), concept (p. 9), relation (p. 10), series (p. 12), ordinal number (p. 12), continuum (p. 13), and formal space (p. 13). The printed chart given here presents a shortened and condensed version. g. [p. 41] “Similarly, from topological space with three dimensions R 3t we get projective space R 3p and metrical space R 3m , as well as further subspecies. (See the following tabular overview.)”

Space: A Contribution to the Theory of Science (1922a)

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As pointed out in the Introduction to this volume, Carnap’s view of the different types of space here is quite different from that of his earlier 1920 dissertation on geometry. In 1920 topological space does not occur; instead the highest type of space, superordinate to all the rest, is projective space. In introducing the “most general” type of space (projective space of arbitrarily many dimensions), Carnap there cites Felix Klein 1911–14 — and, in particular, Part 3, § I.3, “Application of the Theory of Invariants to Geometry”, where Klein begins to sketch his famous “Erlanger Program” of 1872 for grounding geometry on the theory of groups. The most striking and important result of this program is that the three classical types of metrical geometry — Bolyai–Lobachevsky (constant negative curvature), Euclidean (constant zero curvature), and elliptical (constant positive curvature) — emerge by restricting the general projective transformations via the requirement that a particular conic (hyperbola, parabola, or ellipse) be invariant. (For discussion of projective space, the relationship between projective and metrical geometry, and Klein’s Erlanger Program, see Torretti (1978b), § 2.3.) In the 1920 dissertation, therefore, Carnap is taking the viewpoint — defended, for example, in Russell (1897) — that the most general (a priori) “form” of space is projective rather than metrical. Here, by contrast, Carnap is taking the viewpoint that this most general “form” is merely topological. (Straight lines, for example, are preserved by projective transformations, whereas topological transformations may distort straight lines arbitrarily as long as they do so continuously: the difference between a straight line and an arbitrary curve is a projective but not a topological invariant.) This important difference between the two works appears to be closely connected with the circumstance that, although there are some passing references to general relativity in the earlier dissertation, this theory is one of the central objects of concern in Der Raum. The crucial point is that general relativity employs a metrical space (and space–time) of variable curvature, whereas Klein’s Erlanger Program embraces only the three classical metrical geometries of constant curvature. Therefore the metrical structure of general relativity cannot be subsumed under the most general (a priori) “form” of projective space. The most general (a priori) “form” appropriate to general relativity is what Riemann calls an “n -fold extended manifold” and, accordingly, Carnap first cites Riemann (1868) in his pointer to the literature for R nt . By contrast, although Carnap does refer to the Riemannian “measure of curvature” in 1920 he does not cite Riemann (1868). More generally, whereas Carnap does allow for non-constant values for the measure of curvature in 1920, and is perfectly aware that general relativity uses a geometry of non-constant curvature, he has clearly not digested the fact that metrical geometries of non-constant curvature cannot be subsumed under projective geometry as subspecies. Indeed, although he clearly has a much fuller appreciation of both Riemann (1868) and general relativity in Der Raum, Carnap has still not completely digested this fact there: for example, he still treats all the different species of metric space (including spaces of variable curvature) as subspecies of projective space. As we shall see, this leads to a number of serious difficulties with his new approach.

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Editorial Notes

h. [p. 45] “The system thereby defined is the formal projective space R 3p .” It is important to note that Carnap’s axioms (as he himself suggests) do not characterize projective space completely. In particular, they leave out the axioms underlying the principle of duality: the symmetric interchangeability of points and lines. Among such axioms are those stipulating that any two lines intersect in a point and any two planes intersect in a line. And it is precisely these axioms that lead to such “ideal” elements as points at infinity where parallel lines meet and lines at infinity where parallel planes meet. Carnap here appears to be choosing just those axioms that are needed to prove Desargues’s theorem. (For the axiomatic treatment of projective geometry, see, e.g. , Coxeter (1961), Chapter 14. As Nagel and Torretti both emphasize (note a), projective geometry (including the principle of duality) played a central role in the development of modern axiomatics.) i. [p. 51] “Desargues’s Theorem: If the points of intersection of any two of the corresponding sides of the two triangles P 1 , P 2 , P 3 and P 10 , P 20 , P 30 (which need not lie in the same plane) lie on a line, then the three lines connecting any two of the corresponding angles meet in a point.” In the original text, Figure 2 contained several errors (corrected here). 0 0 Specifically, P 10 is drawn as the intersection of g 1,2 , g 3,1 , and g 2,3 , whereas P 10 does not lie on g 1 , which ends slightly above it. In his own copy, Carnap noted “daß P 3 P 2 durch P 10 geht, ist schlecht! aber P 1,2,3 P 1 muß durch P 10 gehen! [[that P 3 P 2 goes through P 10 is bad! but P 1,2,3 P 1 should go through P 10 !]]”, amended the printed figure and sketched a correct one. These errors were also noted by Edward Dean, who supplied the corrected figure. j. [p. 51] “To convey a clear sense of the fruitfulness of formal space in its multiple applicability to intuitive space, the circles K and pencils of circles B in a plane may be taken as the terms of our system in place of points and lines in space.” For the concept of a pencil of circles in the plane, see Coxeter (1961), § 6.5. There are three types of pencils of (coaxal) circles: (i) all the circles that intersect one another at two given points (including the straight line between the two points considered as a circle with infinite radius); (ii) all the circles around either of two such given points that are orthogonal to all the circles in a pencil of the first type (including the straight line orthogonal to the line connecting the two given points and bisecting the segment between them); (iii) all the circles that are tangent to one another at a given point on a given straight line (again, including that straight line itself). In a pencil of the first type (intersecting or “elliptic”), all the circles meet one another in two given points; in the second type (non-intersecting or “hyperbolic”) they do not meet one another at all; in the third type (tangent or “parabolic”) they meet in a single given point. The crucial fact is, then, that any two circles whatsoever belong to one and only one common pencil (of one of these three types) — as the axioms for projective space require.

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k. [p. 55] “ In general, though, the term “intuition” can include immediate grasp of essences, as it has been customary since Kant to use it in this broader sense. ” The German word Anschauung refers, in its ordinary usage, to visual perception: the verb anschauen simply means “to look at” or “to see”. Kant gives this term a technical meaning in the philosophy of mathematics — in connection, for example, with mathematical (visual) imagination of spatial figures — and, accordingly, he takes the Latin term intuitus to be synonymous with Anschauung in his sense. Kant is thereby invoking the “rational intuition” that underlies mathematics according to thinkers like Leibniz, who had reckoned this kind of “intuition” as belonging to the intellect rather than to sensibility. Kant, in his doctrine of “pure intuition [reine Anschauung]”, is appropriating intuitus for what he takes to be the newly discovered faculty of pure (as opposed to empirical) sensibility. As noted in the Introduction to this volume, the notion of intuitive space does not occur in Carnap’s 1920 dissertation on geometry, which instead talks only of “pure” (as opposed to “abstract”) geometry — geometry as an (a priori) theory of peculiarly spatial structures (as opposed to the “abstract” structures constituting what Carnap now calls “formal” space). Now, in Der Raum, Carnap is specifically invoking the Kantian notion of pure intuition and the corresponding idea that pure intuition is the a priori (sensible) form of empirical intuition (ordinary perception of given sensible particulars). Yet, as Carnap explains in his pointer to the literature on this passage, he models his notions of “intuition [Anschauung]” and “immediate grasp of essences [Wesenserschauung]” on Edmund Husserl’s discussion in the first chapter of Husserl (1913b), §§ 3–5. The idea is that, beginning with an empirical or individual perception of a concrete sensible particular (a particular color or shape, perceived at a particular time), it is possible to turn our phenomenological attention to a general characteristic or “essence” (eidos) instantiated by this particular (a general kind of color or shape). We can thereby arrive at judgments with necessary “eidetic generality” about, say, the objects of pure geometry (straight lines, angles, conic sections, and so on). What Husserl means by Wesenserschauung is therefore an indissoluble union of sensory perception in the ordinary sense (of sensible particulars) and what Kant would call the intellectual determination of such a perception (an empirical intuition) by general concepts. For Kant, more generally, we have two distinct cognitive faculties: the non-discursive or receptive faculty of sensibility aimed at sensory particulars and the discursive or active faculty of understanding that produces general concepts. Concepts and intuitions, for Kant, are mutually exclusive types of representations (the latter particular and the former general), although they can and must be combined with each other to yield knowledge or cognition of any object. Nevertheless, and this constitutes Kant’s most important break with traditional rationalism, the non-discursive faculty of sensibility also has an a priori form (as well as an a posteriori empirical content), and it is precisely this form (rather than the pure intellect) that is the ground of our

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Editorial Notes

pure mathematical knowledge. Husserl’s conception of Wesenserschauung is therefore fundamentally un-Kantian, insofar as he dispenses completely with the Kantian sharp distinction between the purely conceptual faculty of understanding and the purely intuitive faculty of sensibility: Husserlian Wesenserschauung, as we said, is rather an indissoluble union of what, for Kant, appear as the distinct contributions of understanding and sensibility. Moreover, one especially significant way in which this fundamental difference plays out is that even formal logic, for Husserl, is a product of Wesenserschauung, whereas, for Kant, an intuitive knowledge of formal logic (the paradigmatic product of the pure understanding) makes no sense at all. (Carnap explicitly embraces this Husserlian conception of formal logic later in Der Raum, a point to which we shall return in note mm.) As far as geometry is concerned, while the details of Kant’s theory of the role of spatial intuition in this science are controversial, it is clear that his sharp distinction between concepts and intuitions continues to inform his view. Thus, for example, in explaining how a particular intuition (of an individual triangle, say) can yield necessary and universal knowledge, Kant invokes his distinctive notion of the schema of a corresponding general concept (the concept of a triangle) — a general rule for constructing individual instances of this concept (any and all particular triangles) in pure intuition. (See Kant’s discussion of such schemata in Chapter I of Book II of the Transcendental Analytic in the Critique of Pure Reason, and compare the well-known discussion of the construction of concepts in pure intuition in Section I of Chapter II of the Transcendental Doctrine of Method.) For Husserl, by contrast, there is no problem about the necessity and universality of geometrical Wesenserschauung to be solved. The deliverances of this kind of “intuition” are directed towards general “essences” intrinsically, as it were, and there is no need to add a special product of an independent faculty of pure understanding (the universal schema of a corresponding general concept) to explain the necessity and universality of the given intuitive apprehension. l. [p. 57] ‘Intuition always pertains only to a limited spatial region.” In his pointer to the literature on this passage, Carnap cites Klein (1911– 14) and Pasch (1912). He specifically cites the section in Klein on “the significance of non-Euclidean geometry from the side of philosophy” in Klein (1911–14), Part 3, § I.2. There Klein focusses on the parallel postulate (Euclid’s fifth postulate) and argues that “immediate sensible intuition” is by no means precise enough to verify the truth of the parallel postulate exactly and throughout the whole extent of space. Therefore non-Euclidean spaces — which approximate Euclidean space arbitrarily closely as we consider ever smaller spatial regions — are just as compatible with the deliverances of our “spatial intuition” as is Euclidean space: “Thus, insofar as it is true that our spatial intuition is only related to a limited part of space with limited exactitude, it can therefore correspond to a non-Euclidean geometry of the first kind [i.e., Bolyai– Lobachevsky geometry] arbitrarily closely.” Klein concludes: “The logical and intuitive facts touched upon here, as they present themselves from the

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standpoint of the mathematician, certainly run very counter to that orthodox conception of spatial intuition that many philosophers connect with the name of Kant, and according to which all the propositions of geometry are to have absolute validity. This explains why non-Euclidean geometry has occasioned so much excitement and opposition on becoming known in philosophical circles.” In the case of Pasch (1912), Carnap cites § 1, where Pasch discusses some of the basic axioms and theorems that govern the ordering of points on a straight line. The axioms, as opposed to the theorems, “are immediately grounded on observations” — on “empirical facts” — and here Pasch refers to Helmholtz (1878) for “the empirical origin of geometrical axioms”. Pasch then points out that “one learns the basic concepts and axioms from objects from which one is only removed by a relatively small distance”, and thus from figures “whose parts are close enough to one another so that a direct estimation of their geometrical relations is possible”. Such basic observations and principles therefore “show themselves to be true only within a limited region [beschränkten Gebietes]”. Carnap remarks in his pointer to the literature: “what is meant here by ‘empirical observation’ is intuition — for, although experience is incorrectly viewed as the cognitive source, physical space is not yet in question”. It is nonetheless clear that Pasch himself has sensible perception or empirical intuition in mind, and not anything like Kantian pure intuition or Husserlian Wesenserschauung. For that matter, it is clear that Klein has in mind sensible or empirical intuition as well. However, Pasch, unlike Klein, articulates a detailed empiricist conception of geometry, and this is probably why Carnap singles out Pasch in his remark. (For discussion of Pasch’s empiricist conception, see Schlimm (2010).) It appears from what follows that Klein is the more important source for Carnap’s project, for Carnap proceeds to examine Hilbert’s axiomatization of Euclidean geometry for those axioms that hold in only “limited” or “very small” regions. He eventually arrives at the Riemannian conception that Euclidean geometry is valid in the small — i.e., in any infinitesimal region or tangent space — so that any non-Euclidean space or manifold (Euclidean or non-Euclidean, constant curvature or variable curvature) approximates to Euclidean space arbitrarily closely as the regions under consideration become arbitrarily small. It is in this way that Carnap finds that the Riemannian theory of n -dimensional manifolds describes the appropriate “most general form” of space (note g). Moreover, in virtue of his appeal to Kantian–Husserlian “intuition” (note k), this is also how Carnap begins here the process of reconciling this kind of (non-empirical and a priori) conception of spatial intuition with the discovery of non-Euclidean geometries and, in particular, with Einstein’s general theory of relativity (compare note pp). m. [p. 61] “If two neighboring lines in a plane do not intersect, then two correspondingly situated angles produced by any line that intersects them both are equal.”

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Editorial Notes

Here, instead of Hilbert’s chosen form for the axiom of parallels (“Playfair’s Postulate”, according to which exactly one parallel line in a plane can be drawn through a given point not on a given line in the same plane), Carnap chooses an equivalent form Hilbert presents as a theorem: “If two parallel lines are cut by a third straight line, the alternate interior angles and also the exterior-interior angles are congruent” (Proposition 19 of the second edition, quoted from the authorized translation of 1910 to make more explicit exactly which angles are in question). This is essentially the contrapositive of the original Euclidean fifth postulate: If a straight line falling on two straight lines make the interior angles on the same side smaller than two right angles, the two straight lines, if produced indefinitely, meet on the side on which the angles are smaller than two right angles. In this form, however, it is obvious that the parallel postulate cannot be “intuitively” grasped in a limited region at all, since it explicitly concerns what happens when lines are produced indefinitely (compare Klein’s remarks cited in note l). However, Carnap restricts his Axiom 18 (as well as Axiom 17) to “neighboring” figures (lines and triangles, respectively), and, as we shall see in the following note, what he means by this are figures that are arbitrarily or infinitesimally close to one another. In modern terms, this means that the figures in question exist in the same tangent space at a given point in a Riemannian manifold (see again note l), and so what Carnap intends to assert is that each of these tangent spaces is Euclidean (not that any finite “limited region” is Euclidean). n. [p. 63] “So our global system has the property that Euclidean geometry holds everywhere in the small.” In his pointer to the literature for this passage, Carnap cites (among others) Riemann (1868), Weyl (1919c), and Cassirer (1910) — all of whom make it clear that “small” here means infinitely small or infinitesimal. In particular, Riemann (1868), § II.2, uses the expression “planeness in the smallest parts [[Ebenheit in den kleinsten Teilen]]” to characterize the property in question. At the beginning of this paragraph, Carnap limits our attention to a particular subspecies of “limited partial regions” — namely, a “very small region [[[sehr kleines Teilgebiet ]]”, in which “only neighboring figures (in the sense of A 17– 18 are contained”. Only such “very small” partial regions are Euclidean, not necessarily the (finite) “limited partial regions” in which they occur as the smallest possible. (Postulate B 1 says only that “neighboring” figures behave in a Euclidean fashion at each point of a “limited partial region”, not that the entire “limited partial region” is Euclidean.) Thus, in modern terms, there are three levels of structure in Carnap’s construction: the infinitesimal structure of the tangent space at each point, the local structure of what we would call finite neighborhoods of each point, and the global structure of the entire Riemannian manifold, which results, for Carnap, from applying his Postulates B 1–6 to both of the two preceding levels. Postulate B 6 extends the tangent space structure by requiring that the geometry of successively smaller finite neighborhoods continuously approximates to Euclidean geometry as the neighborhoods in question become

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arbitrarily small. Postulates B 3–4 extend the finite local structure by asserting that any small (finite) straight line segment can be added to itself any finite number of times to yield the global representation of an indefinitely extended straight line. Following Riemann, Carnap chooses these postulates to make the global structures constructed on their basis consistent with both Euclidean and non-Euclidean geometries of either constant or variable curvature (notes g and l). For example, Postulates B 3–4 governing the indefinite extendibility of straight line segments are satisfied in both infinite Euclidean space and finite — but unbounded — spherical space. Carnap takes Axioms A 1–16 to govern the local structure of the finite “partial regions”, A 17–18 to govern the infinitesimal structure of the “very small” — smallest possible — parts of these regions, and Postulates B 1–6 to govern the global structure resulting from the extension of both of these smaller structures that now appear as embedded within in it. However, there is a fundamental problem with Carnap’s construction: Axioms A 1–16 do not all hold at the local level of finite “partial regions”. As Erhard Scholz has emphasized (at the same workshop in Vienna mentioned in note d (pp. 174–176 above), the best illustration of this situation arises in connection with A 6: “If two points of a line lie in a plane, then so do all the remaining [points of that line].” In an arbitrary three-dimensional Riemannian manifold, a “plane” through a given point p is a two-dimensional surface S(p) generated by the geodesics (“straight lines”) tangent to a given two-dimensional subspace of the tangent space at p (see the following note). If we move a small (but finite) distance away from p to q , we can generate another such “plane” S(q) that intersects S(p) at r but has very different (Gaussian) curvature properties. Suppose, for example, that S(p) has the properties of a positively curved surface while S(q) has the properties of a Euclidean (zero curvature) plane cutting through S(p). Then the “straight line” or geodesic connecting q with r does not lie on the “plane” S(p) (although it does, of course, lie on S(q)). This reveals the most fundamental difficulty afflicting Carnap’s conception of the relationship between projective and metrical geometry mentioned in note g (pp. 176–177) above. In his 1920 dissertation on geometry, Carnap takes (a slightly altered version of) Hilbert’s axioms of incidence and order to hold for projective geometry — where we then arrive at metrical geometry by adding the Axioms of Congruence A 13–14, the special case of Euclidean geometry by adding the axiom of parallels, and the more general case of geometry of constant curvature by adding the triangle congruence axiom (side–angle– side). But we are also supposed to be able to arrive at arbitrary Riemannian metrical manifolds, and we now see why this is impossible. Axiom A 6 does not hold in general in such a manifold, even if, as in Der Raum, one considers it merely locally. Even in the more sophisticated context of Der Raum — where he has a much better appreciation of the Riemannian theory of manifolds and general relativity — Carnap’s project of characterizing the structure of an arbitrary Riemannian metrical manifold by a layered application of the Hilbertian axioms (here supplemented by Carnap’s postulates) therefore fails.

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Editorial Notes

(In this note, along with notes k, l, and m, I am indebted to comments by Howard Stein on earlier versions of these notes. These comments were extensively discussed at the above-mentioned workshop in Vienna, which was attended by Steve Awodey, André Carus, Jeremy Gray, Jeremy Heis, Thomas Mormann, Erich Reck, Alan Richardson, Dirk Schlimm, Erhard Scholz, Clinton Tolley, and Pierre Wagner. I am indebted to these discussions — and especially to Jeremy Gray, Thomas Mormann, and Erhard Scholz — for helping me to become clearer about these matters. Any remaining mistakes and unclarities are my responsibility alone. – MF) o. [p. 63] “The significance of these numbers in the context of our postulates will now be explained.” As we have seen, Carnap is here referring to Riemann (1868), where Riemann introduces the idea of a very general type of “space” or “n -fold extended manifold” based on the “hypothesis” that the metric of such a space is infinitesimally Euclidean: at any given point (x 1 , x 2 , . . . , x n ) of such a space the infinitesimal line element or distance function d s satisfies the Pythagorean theorem: d s 2 = d x 12 + d x 22 + · · · + d x n2 . As we would now put it, at each point p in such an n -dimensional (differentiable) manifold there is a linear vector space T p , the tangent space at p , equipped with a Euclidean inner product (or “dot” product) (X , Y )p , where X , Y belong to T p ; moreover, the different inner products acting on different tangent spaces are connected together by a continuous (and differentiable) bilinear function g p from pairs of vector fields X (p), Y (p) to real numbers (the so-called metric tensor), such that g p (X (p), Y (p)) = (X (p), Y (p))p for all p , where g p (X (p), X (p)) is then the square of the length of the vector X (p) at p . The best way to visualize these ideas is in terms of two-dimensional (variously curved) surfaces embedded in three-dimensional Euclidean space. At each point of such a surface there is a tangent plane to that point (on which Euclidean geometry of course holds), tangent vectors to curves on such a surface then inherit a (Euclidean) length at each point in the corresponding tangent plane, and we obtain the (in general non-Euclidean) length along the whole curve by integrating the length of such tangent vectors from point to point. A “straight line” or geodesic on such a surface has minimal length compared to all other curves on the surface that connect any two of its points. It was Gauss who first developed what we now call the differential geometry of (curved) surfaces in this way, and he showed, in particular, that the geometry on such a surface can be characterized by the curvature at each point — defined by considering planes in Euclidean three-space orthogonal to the tangent plane at a given point that intersect the surface in a (three-dimensional) curve. Thus, for example, the curvature at a point on a Euclidean plane is always zero (all curves resulting from intersecting orthogonal planes are Euclidean straight lines), the curvature at a point on the surface of a sphere is always positive (two different curves produced by two intersecting orthogonal planes are always curved in the same direction), and the curvature at any “saddle point”

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on a curved surface is always negative (corresponding curves are oppositely directed). However, while these notions are introduced in terms of an embedding into three-dimensional Euclidean space, Gauss also showed that they are actually independent of this embedding: the equation for the line element or metric tensor depends only on the two-dimensional coordinates on the surface itself, and, most importantly, the measure of curvature at any point is similarly intrinsic to the surface. (Thus, for example, one can determine this curvature by measuring small triangles on the surface and determining whether the sum of their angles is equal to, greater than, or less than two right angles.) Riemann then showed how to generalize Gauss’s results to spaces (or manifolds) of any number of dimensions — each characterized intrinsically by an n -dimensional line element or metric tensor as a function of the n coordinates (thus no embedding in a higher dimensional manifold is required). The key step is to define the Riemannian curvature at a point of such a manifold in terms of a set of real numbers (rather than a single real number) characterizing the various two-dimensional (Gaussian) curvatures of two-dimensional “plane” surfaces running through this point — where such a “plane” surface through a point is generated from the “straight lines” or geodesics (in space) tangent to a particular two-dimensional subspace of the (n -dimensional) tangent space at the point. (For an introduction to the Gaussian differential geometry of surfaces see Coxeter (1961), Chapters 17–20. For Riemann’s generalization see Kreyszig (1968). See also Torretti (1978b), § 2.2.) Riemann (1868) has not yet formulated the idea of what we now call the Riemann curvature tensor. He instead works with two-dimensional Gaussian curvatures, as above (more precisely, with what we now call sectional curvatures proportional to Gaussian curvatures) and asserts ((1868), § II.2) that, “if the measure of curvature at every point in n(n − 1)/2 surface directions is given, then the metrical relations of the manifold can be determined, provided only that no identical relationships occur between these values, which, generally speaking, is not the case”. Thus, when n = 3, Riemann is asserting that three surface directions suffice (with his proviso), and it seems clear that Carnap derives his “three-valued function of spatial position” from Riemann. Indeed, Carnap’s debt to Riemann appears even more clearly on the following page: “Three-dimensional space is exhaustively characterized in its metrical relations when this [Gaussian] measure of curvature is given at every point in three different surface directions, e.g. we assume in three mutually orthogonal surface directions.” Our modern treatment of this situation is based on the Riemann curvature tensor, which involves six independent functions of position in three-dimensions, and, in general, n 2 (n 2 − 1)/12 such functions. Moreover, although we can derive Gaussian sectional curvatures from this tensor, it is not clear that three (or in general n(n − 1)/2) selected such curvatures (as opposed to all such curvatures) suffice to determine the metrical relations completely. (For the Riemann curvature tensor and the Gaussian sectional curvatures, see, e.g. ,Kreyszig (1968), Chapters XIV and XV. Erhard Scholz emphasized the importance of this issue at the Vienna workshop mentioned

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Editorial Notes

in the final paragraph of note d. As far as he has since been able to determine, whether (and in what sense) Riemann’s assertion is correct is a difficult and as yet unsolved problem.) p. [p. 67] “The same is true of a special case of elliptic space, spherical space, in which there is not always only one line passing through two points. In the local regions of these two spaces the same relations hold; they differ only in their global interconnection.” The two-dimensional surfaces (or “planes”) of constant curvature — and, more generally, the spaces of constant curvature (of any number of dimensions) — are very special cases of Riemannian manifolds (where the curvature in general varies from point to point). They are characterized, as Carnap points out, by the circumstance that it is always possible to move a body (in two dimensions, a figure) continuously throughout the space while keeping it congruent to itself. (Thus, for example, one can move a given spherical triangle over the surface of a sphere while keeping it congruent to itself, but this is not possible on an egg-shaped surface of variable positive curvature.) Helmholtz adopted a “principle of free mobility” (permitting arbitrary continuous motions of rigid bodies) as the most general condition for the possibility of spatial measurement, and he showed, in particular, how to derive Riemann’s “hypothesis” of infinitesimal Pythagoreanism from this condition. Helmholtz (1868) was therefore entitled “On the Facts that lie at the Foundations of Geometry” (emphasis added). However, all the metrics derivable in this way are not only infinitesimally Euclidean, they also have constant curvature; and so the spaces where Helmholtz’s result (now called the Helmholtz–Lie theorem) is valid are only a small fraction of the full set of Riemannian manifolds. Thus, as in the case of Klein’s Erlanger program (note g), the variably curved geometry of general relativity lies outside of the scope of the Helmholtz–Lie theorem. (For Riemann and Helmholtz see Torretti 1978b, § 3.1.) In the axiomatic investigation of the parallel postulate, the first nonEuclidean geometry to be discovered (by Bolyai and Lobachevsky) was obtained by simply replacing Euclid’s fifth postulate by its negation while retaining the rest of the Euclidean system intact. The result was a two-dimensional (plane) geometry of constant negative curvature. (But one should observe — as, according to the following note, Carnap does in the margin of his copy for the three-dimensional case — that Bolyai-Lobachevsky (plane) geometry cannot be exactly realized globally on any curved surface in Euclidean threespace.) Spherical geometry was of course well-known much earlier; and J. H. Lambert conjectured (before the work of Gauss, Bolyai, and Lobachevsky) that the geometry on a “plane” in which the parallel postulate failed would be realized on a “pseudo-sphere” with imaginary radius. Spherical geometry, however, is not a model for non-Euclidean geometry in the original sense, because other Euclidean postulates (as traditionally interpreted) must also be modified. On the surface of a sphere, for example, even Euclid’s First Postulate fails, since (as Carnap suggests) there can be more than one straight line between two given points (e.g., the North and South poles on a sphere

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are connected by an infinite number of meridians or great circles). We can (as Carnap suggests) avoid this problem by moving to so-called singly elliptic space (where we start with a hemisphere and then identify all antipodal points along the equator), but here (just as in spherical or doubly elliptic space) all straight lines (geodesics) still have finite length — and so Euclid’s Second Postulate (as traditionally interpreted) must also be modified to accommodate finite but unbounded addition of line segments. (For the original axiomatic discovery of non-Euclidean geometry see Torretti (1978b), § 2.1.) 0 q. [p. 67] “The mathematical treatment of these various subspecies of R 3m , whose jumbled incoherence and apparent mutual exclusivity were highly unsatisfactory from the viewpoint of scientific uniformity, led to the realization 0 that it is possible to construct a four-dimensional structure R 4m that contains 0 these different types of R 3m as parts.” Carnap here notes in his copy: “? (Der R i0 h< ist nicht Teil eines euklidi0 0 schen R 4m , wie der R i0 h> und R i0 h= , sondern erst eines euklidischen R 5m , vergl. 0 0 0 Mongré, Chaos, 114, 119; aber vermutlich sind R i h> , R i h= und R i h< Teile des 0 R 4,i , d. h. des vierstufigen Raumes konstanter negativer Krümmung). [[? h≤ 0 (R i0 h< is not part of a Euclidean R 4m , like R i0 h> and R i0 h= , but only of a Eu0 clidean R 5m , cf. Mongré, Chaos, 114, 119; but presumably R i0 h> , R i0 h= and 0 R i0 h< are parts of R 4,i , i.e., of four-dimensional space of constant negative h≤ curvature).]]” The underlining of the indices is doubled (here set in boldface). The reference to Mongré (a pseudonym of Felix Hausdorff) is to (Mongré 1898).

r. [p. 69] “In the construction of the latter we forego even the primitive concepts of line and plane; besides the concept of point we use only the more general concepts of curve and surface, and we investigate their relations of lying in or upon one another and their interrelations.” 0 Carnap begins with the structure R 3m resulting from his axioms and postulates — which comprises all possible three-dimensional Riemannian manifolds — and then proceeds to discuss various generalizations of this structure (pp. 30–31). Carnap considers remaining with this structure itself to be “highly unsatisfactory from the point of view of scientific unity”, because it simply 0 collects together all the “mutually exclusive” subspecies of R 3m into a class of spaces without “thereby unifying its different subspecies” within a single given space. In other words, Carnap is here looking for a single intuitive space that 0 “contains” all the different subspecies of R 3m , either as subspaces of this given 0 space (in the case of the higher dimensional R nm ) or as specifications obtained 0 0 by placing additional structures upon it (in the case of R 3p and R 3t ). In the latter case, for example, Carnap envisions beginning with the (locally Euclidean) topology common to all different three-dimensional Riemannian manifolds (all of which are homeomorphic or topologically equivalent to a neighborhood of three-dimensional Euclidean space in a neighborhood of any given point) and then successively adding first projective and then metrical structure to an initially merely continuous (and differentiable) three-dimensional manifold.

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Editorial Notes

There are several serious difficulties with this procedure. First, as Thomas Mormann has especially emphasized, any given topological space has both a local and a global structure, and there is no global topology common to all Riemannian manifolds: the surface of a sphere, for example, is finite or compact and is therefore not topologically equivalent to the Euclidean plane. Thus, there is no single topological space within which all the different Riemannian metrical spaces can “live” (although local pieces of any Riemannian metrical space can “live” in any appropriate topological space). Second, and for the same reason, Riemannian spaces in general are not subspecies of projective space. Projective space is an extension of Euclidean space obtained by adding further (“ideal”) elements, such as points at infinity where (Euclidean) parallel lines meet and lines at infinity where (Euclidean) parallel planes meet, and then abstracting from the specifically Euclidean metric. In this way, in particular, projective space acquires a topological (and order) structure quite different from that of Euclidean space: it has a (finite or compact) global topology (and order structure) equivalent to that of a Euclidean three-sphere (a three-dimensional surface of a four-dimensional Euclidean sphere). So Riemannian metrical spaces that are not finite or compact cannot be subspecies of projective space. This is a further reason, distinct from the point about variable curvature and Klein’s Erlanger Program (note g), why Riemannian metrical spaces cannot in general be such subspecies. (This topological problem, strictly speaking, does not apply to the structure Carnap himself calls “projective space”, since, as pointed out in note h, Carnap’s axiomatic treatment does not include the principle of duality.) There is no route, therefore, from topological space through projective space to the various Riemannian metrical spaces — although one can certainly take a given topological space (with a given global structure), add to it a corresponding affine structure (a notion of straight line or geodesic), and finally add a particular Riemannian metrical structure (compatible with the given affine structure). s. [p. 77] “It is not arbitrary, however, but is guided by principles such as the one cited above, and can take the facts of experience into account.” The conventionalism Carnap develops here — the thesis that “the choice of metric stipulation [[as well as the choice of straightness stipulation]] is free and independent of experience” — is strongly indebted, as Carnap emphasizes in his pointers to the literature, to the works of Poincaré and Hugo Dingler. Indeed, Dingler, whose ideas are now much less well known than those of Poincaré, was perhaps even more important for Carnap during this early period. This is indicated, for example, by the circumstance that Carnap refers “in the first instance” to Dingler at the very beginning of his pointers to the literature on physical space (p. 82). Moreover, Dingler also holds center stage in Carnap’s 1923 paper, “Concerning the Task of Physics” (1923a), which considers (and defends) geometrical conventionalism in the context of the methodological principle of simplicity in a way very similar to the approach developed here.

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As explained in the Introduction to this volume, Dingler defended a radically voluntaristic version of conventionalism about both Euclidean geometry and Newtonian mechanics, a conventionalism according to which the chaos of experience cannot be scientifically interpreted at all without freely chosen stipulations concerning both the mathematical structure of space and the mathematical laws of nature. This free choice is guided only by the principle of simplicity, and the simplest possible forms for the laws of geometry and mechanics are the Euclidean and Newtonian forms. Therefore we shall always choose these forms regardless of what experience may teach us, and, on this basis, Dingler forcefully rejects the theory of relativity. (For more on Carnap and Dingler see the editorial notes to Carnap 1921a in this volume, as well as Wolters (1985) and Carus (2007), pp. 119–121.) In “The Task of Physics” Carnap still takes very seriously Dingler’s conception that the laws of Euclidean geometry and Newtonian mechanics are to be freely stipulated at the beginning of physics as principles of “pure synthesis”. Nevertheless, he also takes seriously alternative procedures — especially Einstein’s general theory of relativity. We can make room for such alternative procedures by applying the principle of (maximal) simplicity to the total description of (spatio-temporal) events provided by general relativity, not simply to the formal axiomatic presentation of the laws of geometry and mechanics. Carnap is defending essentially the same position here. A special case of the principle of simplicity is that, if bodies all exhibit numerically identical behavior relative to some particular reference body, changes in their states are to be explained by attributing equal and opposite changes to that body. Thus changes in length due to thermal expansion are to be attributed to an iron measuring rod rather than to all the bodies (of whatever composition) thereby measured; and the retrograde motions of the planets — all of which exhibit a numerically identical yearly motion in their epicycles relative to the earth — are to be attributed instead to the yearly motion of the earth relative to the sun. As we shall see in note mm, a second special case of Carnap’s principle of simplicity is Einstein’s principle of equivalence, according to which the numerical equality of gravitational and inertial mass is to be explained by the idea that freely falling bodies in a gravitational field follow the four-dimensional geodesics of a variably curved (semi-)Riemannian space–time geometry (as opposed to the Newtonian representation, where space–time is flat and freely falling bodies experience a gravitational force that causes them to deviate from the four-dimensional flat affine geodesics prescribed by the Newtonian law of inertia). It is important to note, however, that Carnap does not argue either here or in “The Task of Physics” that the Einsteinian representation better satisfies the principle of (total) maximal simplicity. On the contrary, he very carefully and deliberately leaves the choice still open and is content simply to delineate the choice as precisely as possible and urge that we apply self-consciously formulated principles of scientific method rather than relying solely on unconscious (or “instinctive”) judgments (a point to which we shall return in note mm).

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Editorial Notes

t. [p. 83] “If I were to apply the metrics in our earlier examples (M0 , M1 , M2 ), this statement would not necessarily continue to hold; it is valid only with respect to a specific group of metrics and thereby with respect to particular 00 subspecies of R 3m .” This paragraph, as Carnap suggests, constitutes the crux of his argument for the conventionality of specifically metrical structure. As Carnap explains in his pointer to the literature on this passage, he borrows the idea that only spatio-temporal coincidences can be empirically established univocally from Schlick and Einstein, who both argue that the use of generally covariant coordinates in general relativity expresses this idea through the circumstance that only such merely topological features are invariant under arbitrary bi-continuous (and bi-differentiable) transformations. Yet Carnap gives this idea a particular twist through the “important distinction” he here introduces between two different aspects of the “form” in which we present “completed experience”: freely chosen or “optional [[wahlfreier ]]” and “necessary [[notwendiger ]]” form. The idea is that only topological physical space 00 R 3t comprehends the facts of experience within necessary form and thereby presents them uniquely — independently of the freely chosen metrical stipula00 tions encapsulated in particular species of R 3m . It seems clear that this distinction between optional and necessary form 0 0 depends on the earlier discussion of the intuitive spaces R 3t and R 3m in the previous chapter (compare note r, together with the paragraph to which it is appended). The immediate deliverances of spatial intuition or immediate grasp of essences give us the structure of a form of intuition in something like the original Kantian sense, but this intuitive structure is compatible with all 0 possible Riemannian metrical structures R 3m . If we want a single spatial structure containing all of these possible (“optional”) determinations, therefore, 0 0 we adopt R 3t (but no particular one of the various R 3m ). Thus, necessary form comprehends the (topological) spatial characteristics necessarily present in our form of (spatial) intuition, whereas optional form comprehends the additional (metrical) spatial characteristics that are not built into this form — but that are nonetheless also indispensable (via a freely chosen metric stipulation) for mathematically describing the facts of experience. Although Carnap does not make this completely explicit here, his discussion in the following chapter of the relations among formal, intuitive, and physical space appears to confirm his debt to the original Kantian conception of the form of our spatial intuition (see note nn). This conception is also present, it is worth noting, in Carnap’s paper “Three-Dimensionality of Space and Causality” (1924a), where Carnap distinguishes (§ I) between “experience of the first level” and “experience of the second level” — between “primary” and “secondary” worlds — insofar as the first is subject to a univocal or “necessary formation [[notwendige Formung ]]”, whereas the second subjects this univocal structure to a further (non-univocal) “re-formation [[Umformung ]]”. The distinction, then, depends on “the necessity [[Notwendigkeit ]] of the forms of the first level and the freely chosen character [[Wahlfreiheit ]] of the forms of the second, which is manifested by the

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presence of different types of secondary worlds” (p. 109) — the most important of which are the various mathematical forms for the world of physics considered in “The task of Physics” (1923a). We should also note, however, that the 1924a distinction between “primary” and “secondary” worlds introduces an important new element when compared to Der Raum: the idea of a transition from two to three dimensions in the respective spaces of the two worlds. The space exhibiting necessary form is not three-dimensional topological physical 00 space R 3t but the two-dimensional topological structure of the visual field. The 1924 “Three-Dimensionality” paper thereby introduces a new problem in epistemology — depicting the route from private subjective experience to the external physical world — which will be taken up and developed in the Aufbau (Carnap 1928a). u. [p. 85] “For all possible determinations of simultaneity a simultaneous occurrence of the three contacts A A 0 , B B 0 , CC 0 is thereby demonstrated. Since we need not determine anything other than coincidences in the following experiments, this cautionary rule for establishing the properties of physical space suffices to free us from the otherwise unavoidably required reference to time determinations.” The need to restrict ourselves to “spatial determinations that are independent of the determination of simultaneity” arises here because of the relativization of the simultaneity relation in the special theory of relativity. Thus in special relativity (in Minkowski space–time) there is no such thing as the set of all spatially related events that are simultaneous to a given event. Instead, different “observers” coordinated with differently moving inertial reference frames induce different instantaneous simultaneity surfaces (orthogonal to the world-lines of the observers in question) that are “tilted” relatively to one another. If we confine ourselves to a single such inertial frame, however, all the “spatial forms” in question are “mutually at rest relative to one another”. Nevertheless, a problem still arises in Carnap’s procedure, because we determine the spatial relations between such forms by moving a measuring body from one form to another. The important point, however, is that the velocity of such a motion is completely irrelevant: for example, we can take it to be infinitely small (in which case no Lorentz-contraction occurs), or we can consider only contacts that remain in force over a time sufficiently long for the choice of simultaneity surface to become irrelevant (as in Carnap’s procedure). Thus, in the geometrical determinations considered here (and also, as we shall see in note ii, when Carnap considers the general theory of relativity), Carnap confines himself to circumstances where the relativistic dependence of space on time can be ignored. By contrast, Carnap (1925a) explicitly considers this dependence; see especially the note by David Malament on the mathematical and physical background to this paper, below pp. 328–338. v. [p. 85] “We have found or produced a (physical) surface area f , perhaps the upper surface of a table top, which satisfies the following conditions (1)– (5).”

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Editorial Notes

Carnap here notes, “Zu dieser und der folgenden Figur [[which he had begun to sketch but not completed]], siehe meinen Brief an Dingler vom . . . [[On this and the following figure, see my letter to Dingler of . . . ]] ”. He is referring here to a letter of 3 December 1921 to Dingler (ASP 028-12-03), in which he responds at some length to objections Dingler had advanced in letters of 22 and 30 November 1921 (ASP 028-12-04,028-12-05; cf. also Dingler (1925), pp. 324–325); see also note bb. w. [p. 91] “But, in order to conform to the usual notation, we can also calculate the Gauss–Riemann curvature k , which is proportional to a when the curvature is not extreme: k = p23 a .” The description of the “coarse and cumbersome” experimental procedure for empirically determining the geometry of space on the basis of a prior metric stipulation concerning a particular iron body (a description that begins on p. 40 and concludes here) is inspired, as Carnap suggests in his pointer to the literature on “establishing the physical spatial structure through experiments”, by the “manual construction of geometry” proposed by Dingler — the basic idea of which is that two given surfaces in space can be determined to be planes (whose straightest possible lines are geodesics of the space in question) by sliding them smoothly along one another. Dingler’s conventionalism is not in conflict with this possibility of empirical determination, as Carnap suggests, because the experimental procedure in question already presupposes a particular, freely chosen metric stipulation. Where Carnap breaks with Dingler, as we have seen (note s), is by applying the principle of (maximal) simplicity to the total physical description of (spatio-temporal) events rather than to the purely formal axiomatic presentation of the laws of geometry and mechanics. It is precisely by this extension of the principle of simplicity that Carnap institutes his own version of conventionalism — according to which such a freely chosen metric stipulation “is not arbitrary, however, but is guided by principles similar to the above [of total simplicity] and can thereby take the facts of experience into account”. To see how Carnap calculates the curvature at a given point p of a given plane surface, note that he is considering six small equilateral triangles forming a (possibly broken) small hexagon around p . The curvature will be zero just in case the angles of these equilateral triangles are all equal to 60◦ , so that they indeed constitute a connected (unbroken) hexagon around p . Otherwise, the base of the sixth triangle either will fall short of meeting the base of the first (when the respective angles are smaller than 60◦ and the curvature is negative) or will extend beyond the base of the first (when the respective angles are greater than 60◦ and the curvature is positive). Suppose one of these latter two cases obtains, and let a be the length of the segment measuring the “gap” between the bases of the sixth and first triangles. The “defect” ∆ measures the difference (in radians) between the sum of the angles of a nonEuclidean triangle and two right angles (= π), and so (provided that both the triangles and the curvature at p are sufficiently small) the segment a is equal to the accumulated “partial defects” ∆/3 over all six triangles around p ; hence

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a = 2∆. By a classical theorem of Gauss (see Coxeter 1961, p. 299), the area of a non-Euclidean triangle is equal to ∆/k , where k is the (absolute value of the) constant curvature. If both the triangles and the curvature at p are sufficiently small, we can now apply both Gauss’s formula and the Euclidean calculation of triangular area (valid to a high degree of approximation): let the base of our p triangles be taken to be 1; then the height equals 3/2 and the area equals p p 1 3/2 = ∆/k = a/2k ; hence a = k 3/2 as Carnap claims. 2

x. [p. 91] “We thereby overcome the frequently raised objection that the experimental establishment of metrical relations of physical space is circular, since it makes assumptions that it then attempts to prove.” This objection, which was frequently raised by neo-Kantian philosophers at the time (see Carnap’s pointer to the literature on this passage on p. 159), depends on the idea that the measuring instruments we standardly use (straight edges, protractors, sextants, and so on) are constructed on Euclidean principles. In place of Carnap’s “coarse and cumbersome” procedure, however, we can reply to this objection more simply and intuitively by noting that all 00 species of R 3m whatsoever agree in the Riemannian condition of “planeness in the smallest parts” (i.e., in the tangent space at any point p ), so that Euclidean geometry can always be applied in a sufficiently small neighborhood of p regardless of what the curvature at p happens to be. Thus using Euclidean “assumptions” in the small does not in any way prejudice the (possibly nonEuclidean) result (as in Carnap’s own calculation of the curvature described in the second paragraph of note w). Carnap himself alludes to this possibility when he first begins to introduce his procedure (p. 40): “The theorems of 0 the geometry R 3m (which hold for all of its subspecies and might therefore be applied here without thereby having already presupposed a particular subspecies like the Euclidean) could offer us simpler procedures for determining 00 [[a particular subspecies of]] R 3m ”. y. [p. 93] “This procedure was applied by Gauss with the help of the triangle determined by [the mountains] Inselsberg, Brocken, and Hoher Hagen.” Carnap here notes the remark by Grünbaum (1963a, p. 675), in his contribution to Schilpp (1963), that this story had been shown by G. W. Dunnington (1954) to be a legend, though, as Carnap also notes, “but . . . Gauss did envision such a test on the much larger scale of a stellar triangle”. z. [p. 93] “This one would always be chosen in practice, presumably, if we were starting from a choice of space, since it is the simplest.” Carnap is now turning to the possibility of beginning with a stipulation of the given geometry that is to hold in space rather than with a “metric stipulation” of an empirical procedure for making measurements (on the basis of which the spatial geometry is then to be determined). As Carnap notes in his pointer to the literature on this passage, this procedure has been “universally customary in physics so far” — and, indeed, the choice of a Euclidean structure has always been made. But this particular procedure has only been self-consciously articulated by Dingler (compare notes s and w). Carnap here

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Editorial Notes

wants to give an example of a non-Euclidean stipulation, however, in order to make clearer “the optional character [[Wählbarkeit ]] of the space-type”. Dingler does not deny this “optional character”, of course, but merely insists that Euclidean geometry is the simplest possible geometry and should therefore always be preferred. Carnap does not dispute this contention here, but, as we shall see, he goes a long way toward doing so when he finally arrives at his discussion of the general theory of relativity. aa. [p. 95] “Our metric will then no longer contain any dependence upon the location on E .” Carnap’s first way of considering “the earth’s surface E as a plane” — which he declines to develop in detail here — is to construe the earth’s surface as an infinite Euclidean plane (presumably embedded in infinite three-dimensional Euclidean space). This involves the well-known procedure of stereographic projection (see Coxeter 1961, § 6.9, Kreyszig 1968, § 60): we place the spherical earth on a Euclidean plane tangent to the sphere at the south pole, and we then project each point p on the spherical surface (except for the north pole) by a straight line from the north pole through the point p onto a corresponding point p 0 on the plane. In this way, every point of the southern hemisphere (including the equator) gets mapped onto a circular disk on the plane with twice the diameter of the sphere itself, and every point of the northern hemisphere (except for the north pole) gets mapped onto the infinite region external to the circular disk in such a way that distances from the circular disk become arbitrarily great as the projection approaches the north pole. That this distance actually becomes infinite at the north pole (so that the mapping is singular there) is a reflection of the circumstance that the two surfaces in question (the sphere and the Euclidean plane) are not even topologically equivalent (see the second paragraph of note p). It is for this reason that Carnap now turns to a different example, where the surface of the earth is to be mapped onto a spherical plane of constant positive curvature (equal to that which E has as a sphere in Euclidean three-space) embedded in a three-dimensional spherical space. bb. [p. 95] “Our task now is to investigate which metric is appropriate to this chosen spatial system.” In the margin of his copy, Carnap writes: “Hier müsste der Nachweis eingeschaltet werden, daß sich zu irgendeinem Raumgefüge die zugehörige Maßsetzung stets finden lässt, nämlich durch die Exhaustionsmethode (Dingler). [[Here is where the demonstration would have to be inserted that the appropriate metrical stipulation can be found for any spatial structure, specifically by means of the method of exhaustion (Dingler).]]” Carnap refers here to Dingler’s notion that measuring rods are Euclidean because they take Euclidean geometry as the standard of straightness and are made, by iterative improvement, to fit that standard; Dingler (1921c), pp. 26–29. In the letters mentioned above (note v), Dingler had objected to Carnap’s omission of this idea in Der Raum.

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cc. [p. 95] “The metric (M s ) runs as follows: ‘these two points A , B on this iron body represent a distance that is to be independent of its location on E , but (aside from temperature, magnetization, etc., just as for M1 ) dependent on the height h s above E : l = l 0 (1 − sin h s )’.” To visualize what Carnap is proposing, and to understand his formula for M s , we suppress one dimension. The entire space is then to be conceived of as the surface of a sphere, the earth is to be conceived of as a circular disk on this spherical surface occupying the whole of the “southern hemisphere” (of the entire spherical surface), and the earth’s surface E is to be conceived as the diameter of this disk — i.e., the “equator” of the entire spherical surface. This is the non-Euclidean representation of the earth’s surface E in a spherical plane of constant positive curvature. The standard Euclidean representation, in these terms, portrays the earth as a circular disk in a two-dimensional infinite Euclidean plane, where E again appears as the bounding diameter of the disk. Whereas this diameter appears as a circle rather than a straight line in the Euclidean representation, in the non-Euclidean representation it appears as a straight line or geodesic in the spherical plane (i.e., a great circle). Our problem is now explicitly to compare these two representations so as to derive Carnap’s formula relating the original (Euclidean) length l 0 to the non-Euclidean length l . We again use the stereographic projection of a sphere onto a Euclidean plane of note aa. This time, however, the surface of the sphere corresponds to the whole of spherical space rather than to the surface of the earth itself. The earth now corresponds to the “southern hemisphere” of this space (with surface E as the bounding “equator”), and the “northern hemisphere” now corresponds to the totality of spherical space outside the surface of the earth. In order to relate this representation to the Euclidean representation, as we saw, we relate it to a corresponding circular disk (with the same diameter as the earth) in a two-dimensional infinite Euclidean plane. So let us place the sphere representing the whole of spherical space on the Euclidean plane tangent to this plane at its “south pole” (which now represents the center of the earth rather than the earth’s south pole), and let us project this sphere onto the plane stereographically. Moreover, since we want the radius of the corresponding circular disk (resulting from projecting the “equator” of spherical space onto the Euclidean plane) to be equal to the radius of the earth (6, 370 km), we follow the stereographic projection by a dilation which shrinks the corresponding circular disk by a factor of two (since the stereographic projection, as we saw, projects the “southern hemisphere” of the projected sphere onto a circular disk in the Euclidean plane of twice the radius). So much for the qualitative description of Carnap’s model. In order to obtain a quantitative description of the relationship between the two corresponding metrics (Euclidean and non-Euclidean), we use the techniques of the differential geometry of two-dimensional surfaces sketched in note o (and further explained in detail in the references cited at the end of this note). The first step is to introduce appropriate coordinate systems on the surface of the sphere and the plane. For the sphere we use so-called “geographical coordi-

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Editorial Notes

nates” (ϑ, ϕ) corresponding to “latitude” and “longitude” respectively (where ϑ, measured in radians, runs from 0 at the “equator” to ±π 2 at the “poles”). For the plane we use polar coordinates (r, ϕ), where r = 0 at the “South pole” point of tangency and ϕ on the plane corresponds to ϕ on the sphere. In these terms, the non-Euclidean line element or metric tensor on the surface of the sphere takes the form (i) d s ∗2 = d ϑ2 + cos2 ϑd ϕ2 , and the (standard) Euclidean line element on the plane takes the form (ii) d s 2 = d r 2 + r 2 d ϕ2 . The key step in projecting the line element d s ∗ onto the plane is to re-express r and d r in (ii) in terms of ϑ (since every point (ϑ, ϕ) on the sphere is projected onto a corresponding point (r, ϕ) on the plane). The result, after some tedious trigonometry, is (iii) d sP∗ = 12 d s(1 − sin ϑ), where d sP∗ is the projection of d s ∗ onto the plane. Finally, applying the dilation D : (r, ϕ) → ( r2 , ϕ) to d sP∗ in the ∗ plane results in (iv) d sDP = d s(1 − sin ϑ); and this now yields Carnap’s formula if we take l and l 0 to be infinitesimally small and note that ϑ (measured in radians along the positive direction from the “surface” of the earth) is just Carnap’s h s . This formula suffices to yield all of Carnap’s following results — in particular, the result that the space in question is finite and that the maximal possible distance from the earth (the maximal possible value for h s ) is π2 at the “zenith point” Z corresponding to the ‘north pole” of the entire spherical space (the earth’s center is then the “antipodal” point of Z corresponding to the “south pole”). Thus, while the stereographic projection of the entire spherical space onto the Euclidean plane is (as before) singular, the metric ∗ d s DP is non-singular or everywhere well defined (although it is degenerate at the “north pole” where ϑ = π2 and sin ϑ = 1). By contrast, the non-standard (Euclidean) line element on the sphere envisioned in note aa would involve dividing the standard line element by (1 − sin ϑ) and would thus become singular (infinite) at the earth’s north pole. dd. [p. 101] “On the basis of these same facts, however, light rays are not to be conceived as straight relative to M s , but as curved lines; and, indeed, as closer examination shows, as circles that all go through the ‘zenith point’ Z .” In his copy, Carnap has underlined the word “alle [[all]]” in this sentence, and in the margin asks “wirklich? [[really?]]” and expands on this in a note dated 1965: “Gilt das nicht vielleicht nur für Lichtstrahlen, die auf E senkrecht stehen? Nein; es stimmt. [[Does this perhaps hold only for light rays perpendicular to E ? No; it’s right.]]” He persuades himself with the help of a diagram in which two parallel light rays emerge from the surface E , labelled “Lichtstrahl in beliebigem Winkel [[light ray at arbitrary angle]]” and “Parallele zu dem obigen Lichtstrahl [[parallel to the above light ray]]”; the latter originates at the center of E , i.e., is orthogonal to it, and points to Z , the one at an arbitrary angle to E points “auch nach Z [[also to Z ]]”. ee. [p. 105] “Rather, the significance of our example is that it shows the possibility, in principle, of choosing a system for physical space that is quite different from the customary one, but is equally capable of representing all the facts of experience without contradiction.”

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The kind of alteration in the form of the laws of mechanics Carnap explores here is obtained by translating these laws from one geometry into another in a way that is closely analogous to our translation of one geometry into another in note cc. Exploring such revisions of the laws of mechanics in non-Euclidean spaces was a not insignificant problem in the mathematical physics of the late nineteenth century: aside from the 1883 paper by Wilhelm Killing (after whom “Killing fields” are named), to which Carnap refers here in his pointer to the literature when he first introduces this topic (p. 83), we should also mention work of Richard Lipschitz in the late 1860s and early 1870s (which Helmholtz cites in the paper to which Carnap also refers in the same place). Carnap’s comment that “the chosen spatial structure is not at all convenient for presenting the facts of experience” — because the laws of mechanics, in particular, have now become considerably more complicated — foreshadows his later conclusion that the non-Euclidean geometries employed in the general theory of relativity may be acceptable if the laws of physics are thereby simplified. Of course the general theory of relativity is quite different from the non-Euclidean alterations to the laws of mechanics envisioned in the late nineteenth century: we are not employing a mere formal translation of the standard Newtonian laws into another (metrical) form; rather we are directly using a non-Euclidean geometry (metric tensor) to represent the gravitational field — which results in a definitely non-Newtonian (relativistic) theory of gravitation (which, however, contains the Newtonian theory as an approximately valid special case). ff. [p. 105] “Putting both together, we can therefore say: T , R , and M have a functional relationship to one another such that, if two of them are given, the third is thereby also uniquely given: R = f 1 (M , T ); M = f 2 (R, T ).” In an older marginal note, perhaps from the 1920s or 30s, Carnap remarks: “M ist nicht eindeutig bestimmt! z. B. bei Wahl des euklidischen Raumes noch viele Maßsetzungen möglich, dabei auch solche, für die E eine Ebene wird! [[M is not determined uniquely! e.g., if we choose Euclidean space, many metric stipulations are still possible, among them some in which E becomes a plane!]]”. Later he adds to this, “Grünbaum kritisiert dies mit Recht, und gibt ein einfaches Beispiel (schräg zur Tischplatte geneigte Ebene), in seinem Berkeley Vortrag 1957 (‘Conventionalism in Philosophy’) [[Grünbaum rightly criticizes this, and gives a simple example (a plane at an angle to a table surface) in his Berkeley lecture.]]” Carnap refers here to Grünbaum (1959). gg. [p. 105] “The third case T = f 3 (M , R) then also holds: T is uniquely determined by M and R .” Carnap here remarks, “Grünbaum (Space and Time, 1963, p. 104), sagt, daß auch hier nicht Abhängigkeit besteht. (Seine Begründung aber nicht ganz klar; aber es ist gut genug, daß er Recht hat.) [[Grünbaum . . . says that here too there is no dependence. (His reasoning not very clear; but it’s good enough [to assume] that he is right.)]]” Carnap is referring here to Grünbaum (1963b).

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Editorial Notes

hh. [p. 109] “According to the knowledge presently available, moreover, the unrealizability of this condition can hardly be claimed without closer investigation.” Carnap has here arrived at the decisive point where he rejects Dingler’s radical conventionalism — which involves a free stipulation based on simplicity applied only to the formal laws of geometry and mechanics — in favor of his own version of conventionalism according to which we apply the postulate of simplicity to the total presentation of the facts of experience made possible thereby (compare again notes s, w, and z). It is in precisely this sense that Carnap’s version can now “take the facts of experience into account” insofar as the metrical space-type R is “univocally determined” by the matters of fact of experience T together with “a goal-directed viewpoint concerning procedure (a teleological and methodological principle), namely that of simplicity”. And it is striking, moreover, that Carnap here claims that even Poincaré would agree to at least the possibility of deviating from Euclidean geometry “if the total system were to be simplified thereby”. In his pointer to the literature on this passage (p. 84), Carnap refers to Poincaré (among others) as one who accepts such an extension of the postulate of simplicity in principle, and he does not here mention Dingler’s opposition to such an extension. Nevertheless, Carnap does mention Dingler in this connection in his final pointer to the literature concerning general relativity — as one who presents “considerations in favor of the retention of Euclidean space” (p. 84) — and explicitly refers us back to the present pointer. Thus Carnap here clearly separates Dingler from Poincaré. Carnap’s first reference to Poincaré in the pointer in question is to Chapter IV of Science and Hypothesis (Poincaré 1904). This chapter begins — in the “authorized” translation by G. B. Halsted — as follows: “Beings with minds like ours, and having the same senses as we, but without previous education, would receive from a suitably chosen external world impressions such that they would be led to construct a geometry other than that of Euclid and to localize the phenomena of that external world in a non-Euclidean space, or even in a space of four dimensions. As for us, whose education has been accomplished in our world, if we were suddenly transported into this new world, we should have no difficulty in referring its phenomena to our Euclidean space. Conversely, if these beings were transported into our environment, they would be led to relate our phenomena to non-Euclidean space. Nay more; with a little effort we likewise could do it.” (See Poincaré (1913b), p. 66; and note that the last two sentences of this passage are simply dropped from the popular Dover edition using the 1905 translation by W. J. Greenstreet.) Poincaré here suggests that our original adoption of Euclidean geometry depends on the contingent empirical fact that we (unlike the imaginary beings in his famous “temperature world” example) have grown up in a world whose geometry, as it initially presents itself to us in everyday experience, is indistinguishable from the Euclidean. And Poincaré gives this picture an evolutionary twist at the end of the following chapter (Poincaré 1913b, p. 91): “[By the appeal to ‘ancestral experience’ it] is meant that by natural selection our mind has adapted itself to the conditions of the external world, that it has

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adopted the geometry most advantageous to the species: or in other words the most convenient.” (NB: This important passage is also simply dropped in the Greenstreet translation.) Thus, Poincaré does not recommend that we should adopt Euclidean geometry on the basis of its purely formal mathematical simplicity no matter what the empirical facts may be; he holds, rather, that Euclidean geometry is the simplest system compatible with the facts of our actual historical experience, and he recommends that we respect this historical tradition in the future. Dingler’s radical voluntarism, by contrast, involves no such “conservative” respect for historical tradition, and this is most likely why Carnap was so fascinated by Dingler at this time (as Carus suggests in his remarks on Carnap and Dingler cited in note s). ii. [p. 109] “But it should always be kept in mind that these assertions can be traced back to point-coincidences (as in measurement of surface f ) and that the simultaneity of different point-coincidences that occurs here is meant in the sense described earlier.” In his pointer to the literature on this passage, Carnap refers to Weyl (1919b), § 28 for “the possibility of a separate consideration” of space and time in general relativity. Here Weyl discusses “statical” space–times (solutions to Einstein’s field equations) where the four-dimensional space–time metric uniquely splits up into a temporal and spatial metric and where the spatial metric stays fixed over time. An example of this situation is the wellknown Schwarzschild solution for the gravitational field of the sun, in which the spatial metric around the sun is spherically symmetric with increasing (and thus variable) negative curvature as it approaches the sun’s surface (§ 30). Suppressing one spatial dimension, one can visualize this “metrical field” as a rubber sheet on which a lead ball has been placed representing the sun; the curvature within the sun is constant and positive (where the ball has been placed), and the geometry outside the sun is represented by a paraboloid of revolution in Euclidean three-space (§ 31). By spherical (now circular) symmetry, it follows that one can generate a rigid motion (outside the surface of the sun) by keeping the radial distance fixed, but there are no rigid motions (because of the variable curvature) along a circular radius. (Thus Helmholtz’s principle of “free mobility” fails in this space; compare the first paragraph of note p.) This “Schwarzschild geometry” then forms the basis for Carnap’s discussion, as he makes clear in the immediately following pointer to the literature. jj. [p. 113] “If a (very long) rod is designated as straight according to Me , then it does not in general remain straight when it changes place or direction, but acquires a curvature.” Carnap is here giving a Euclidean interpretation of the non-Euclidean Schwarzschild geometry described in his case (1) (compare note ii), and (as the last-mentioned pointer to the literature explains) he is here following the two-dimensional presentation of this geometry by Flamm (1916) (which Weyl also cites in this connection in § 31 of Space–Time–Matter). It is Flamm, in particular, who first introduces the representation in terms of a paraboloid of revolution in Euclidean three-space. In deriving his formula for a correspond-

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Editorial Notes

ing Euclidean metric (where rigid rods are contracted in accordance with their distance from the sun along a radius and the angle they make with this radius), Carnap is simply projecting Flamm’s metric on a paraboloid of revolution “straight down” (along the z -axis) onto the two-dimensional plane below. We then compare the projected non-Euclidean metric to the standard Euclidean metric on the plane. (Carnap makes clear that he intends cos2 ϕ rather than cos ϕ in this formula in a marginal correction; he also makes it clear in his later presentation of the same procedure in Carnap (1966a), Chapter 16.) In deriving Carnap’s formula, we use the same techniques as in the second paragraph of note cc. (Here I am especially indebted to help from David Malament.) Because of the circular symmetry, we use polar coordinates (r , ϕ) on both the Euclidean plane and the two-dimensional paraboloid of revolution “above” this plane. In these terms, the Euclidean line element or metric tensor on the plane again takes the form d s 2 = d r 2 + r 2 d ϕ2 , whereas the non-Euclidean metric on the paraboloid (according to Flamm (1916), p. 450, formula (4)) takes the form d σ2 = (1 − αr )−1 d r 2 + r 2 d ϕ2 , where αr < 1 and α is a constant equal to 2 Gm (m the mass of the sun, G the gravitational constant, c2 c the velocity of light). For the moment, let us choose units where cG2 = 1, obtaining the simpler form (1 − 2 mr )−1 for the crucial non-Euclidean term. Our problem now is simply to project d σ “straight down” onto d σP on the Euclidean plane, and to compare the lengths assigned to an arbitrary vector X (p) in the space tangent to p at (r, ϕ) by the two metrics d σP and d s . Since we are now especially interested in the angle between two vectors X (p), Y (p), we use the form for the metric tensor acting on vector fields described in the first paragraph of note p o. In these terms, the length of an arbitrary vector X (p) at p is given by g N (X (p), X (p)) for the non-Euclidean metp ric d σP and g E (X (p), X (p)) for the Euclidean metric d s , whereas the (nonEuclidean) angle between two vectors (by definition) is given by g N (X (p), Y (p)) divided by the product of the (non-Euclidean) lengths of the two vectors (recall that g (X , Y ) is an inner or “dot” product on each tangent space). Since we are only interested in the ratio of the two metrics, we choose an arbitrary vector X (p) at p whose non-Euclidean length is equal to 1, and, since this ratio also depends on the angle between X (p) and the radius r , we want X (p) to form an angle ϕ with this radius. Consider a unit vector R(p) tangent to r with components (1, 0) in our coordinate system; then the vector X (p) with q sin ϕ

components (cos ϕ 1 − 2 mr , r ) has length 1 (= cos2 ϕ +sin2 ϕ) and the angle between X (p) and R(p) equals ϕ (both according to the metric tensor g N ). It remains to find the ratio of the Euclidean and non-Euclidean lengths of X (p). Since the non-Euclidean length (by construction) is equal to 1, we need only calculate q the Euclidean length — which (for the vector

(cos ϕ

q sin ϕ 1−2m r , r )) equals

2 cos2 ϕ(1 − 2 m r ) + sin ϕ =

q 1 − cos2 ϕ2 m r . And if 1

we now expand this expression in a binomial series, we find that (1−cos2 ϕ2 mr ) 2 approximately equals 1 − cos2 ϕ mr when the curvature is sufficiently small (i.e. when the difference between our two metrics is sufficiently small). We have

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thus obtained Carnap’s formula: d s = d σP (1 − C mr cos2 ϕ), where C is a constant. (There is still a puzzle about the constant C , however. Carnap sets it (in cgs units) at 3.72 · 10−29 (or 3.7 · 10−29 in 1966). But if we return to Flamm’s original constant α = 2 Gm we observe that he has C = cG2 = 7.42 · 10−29 , i.e., c2 twice Carnap’s value. Perhaps Carnap has neglected the factor of 2 in Flamm’s α, in which case our calculation of Carnap’s formula would then yield his value for C ; as his marginal notes indicate, Carnap had already noticed this mistake in the 1920s.) kk. [p. 113] “It should be pointed out, though, that this decision involves the above-mentioned rule (p. 36) of scientific procedure: if possible, numerically identical behavior of the most diverse bodies is to be presented as merely apparent, namely, as a consequence of a corresponding property of that to which this behavior is related — in this case, the metric or spatial system.” Here Carnap remarks in the margin: “Reichenbach: ‘metrische Kräfte’ [[Reichenbach: ‘metrical forces’]]”. ll. [p. 113] “Let it also be recalled once more that we have here abstracted space from the overall space–time system; if the decision is to be valid not only for this residue, the spatial relations, but also for the total construction of the structure of natural processes, then it can only be valid by virtue of investigating the question whether one or the other of the two metrics yields the simpler form for the four-dimensional space-time system.” Here Carnap completes his discussion of how general relativity relates to the principle of maximal simplicity — and thereby completes his discussion of Dingler’s attempt definitively to rule out general relativity on the basis of the a priori greater simplicity of Euclidean geometry and Newtonian physics (compare the first paragraph of note hh). This question, in Carnap’s terms, now concerns the choice between his two alternative descriptions of the spatial relations in a gravitational field: (1) the simpler stipulation M1 together with the more complicated (non-Euclidean) metrical structure given by general relativity (Schwarzschild geometry), or (2) the more complicated stipulation M e together with the simpler resulting Euclidean metrical structure. Carnap does not here decide this question (“which is one not of truth but of scientific convenience”). But he does appeal to his earlier formulated rule of scientific procedure (see the last paragraph of note s). In particular, whereas the Euclidean stipulation Me depicts all bodies as undergoing a real contraction as a function of place and orientation in the gravitational field, this contraction is only apparent according to M1 and instead corresponds to the genuinely non-Euclidean metrical structure of physical space. Carnap’s rule of scientific procedure therefore favors general relativity (without thereby yet settling the question of overall total simplicity). If we now return to Carnap’s earlier formulation of the rule in question, we find that he has specifically in mind Einstein’s principle of equivalence, according to which the numerical equality of gravitational and inertial mass is to be explained by the idea that freely falling bodies in a gravitational field follow the four-dimensional geodesics of a variably curved (semi-)Riemannian space–

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Editorial Notes

time geometry — as opposed to the Newtonian representation of gravitation, where space is Euclidean, space–time is flat, and all bodies experience gravitational forces causing them to deviate from the four-dimensional flat affine geodesics prescribed by the Newtonian law of inertia. The Einsteinian representation is therefore simpler, because bodies in a gravitational field now follow space–time geodesics and there is no (Newtonian) gravitational force. Here Carnap is not focussing on the specifically spatial (three-dimensional) metrical structure but on the more comprehensive (four-dimensional) spatio-temporal affine structure; nevertheless, there are corresponding implications for specifically spatial structure, because in general relativity the affine structure is completely determined by the spatio-temporal metrical structure (which, in turn, completely determines the spatial metrical structure on any simultaneity surface). As we have seen, Carnap refers to Weyl (1919b) when considering the question of the spatial relations in a gravitational field (see the last three pointers to the literature of the present chapter, and compare note ii and the first paragraph of note jj). Weyl there particularly emphasizes the principle of equivalence and the idea, in particular, that it should be viewed as a generalization of the Newtonian law of inertia. Whereas even in Newtonian space–time there is a (flat) affine structure serving as a “guiding field” for the motion of bodies, the principle of equivalence implies that gravitation, too, is now to be incorporated within this field — within a variably curved affine structure. Moreover, since the affine structure is completely determined by the metrical structure, gravitation is now “a mode of expression of the metrical field” (§ 26). In other words, precisely because of this important link between gravitation and inertia, the metrical structure (of both space and time) now acquires a physical significance (§ 34): “The empirically known properties of gravitation, namely the equality of inertial and gravitational mass, finally taught us that this affine [structure] is to be identified precisely with the gravitational field; and so the general theory of relativity gained a specifically physical significance extending beyond its original significance for world-geometry.” mm. [p. 115] “Examples of particular realms of science in this successive relation are: general theory of relations, general theory of kinship, historical genealogy; general formal science, formal theory of color, physical theory of color (as discussed and developed by Ostwald); and so too with the geometries.” Examples of particular realms of science in this successive relation are: general theory of relations, general theory of kinship, historical genealogy; general formal science, formal theory of color, physical theory of color (as discussed and developed by Ostwald); and so too with the geometries. As Carnap makes clear in his pointer to the literature on this passage, he is especially indebted to the conception in Husserl (1913b) of the relationships among “formal ontology, regional ontology, factual science” (compare the first paragraph of note k). There Husserl explains the relationship of “factual” to “essential” sciences and maintains that all “fully developed” factual sciences

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presuppose eidetic or essential sciences (§ 8). But eidetic or essential sciences can be of three kinds, “regional”, “material” (e.g., pure geometry), or “formal” (logic, arithmetic, analysis, set-theory); the latter articulate the most general eidetic ontology governing all beings whatsoever, the former the more specific eidetic ontologies of distinguished sub-regions of being (spatial beings, physical-material beings, and so on) (§§ 9–10). The regional or material eidetic sciences correspond to the synthetic a priori in the sense of Kant (§ 16), whereas the formal eidetic sciences correspond to knowledge Kant terms analytic (§ 10). And the paradigm of a regional eidetic science, as suggested, is the science of geometry — whose domain forms a “complete” or “definite” manifold in the sense of Hilbertian axiomatics (§ 72). Thus, the science of formal space R , for Carnap, is a branch of pure logic or set theory (compare note b), the axioms of intuitive space R 0 constitute a regional eidetic science of specifically spatial being (for the postulates see note oo), and physical space R 00 describes the empirical facts of experience subsisting within space (and time) with the help of the purely eidetic sciences of R and R 0 . nn. [p. 117] “And for these systems we in turn construct the formal framework of the corresponding R up to the most general one, R nt .” At the end of the previous paragraph Carnap has characterized the relation of R 0 to R 00 as “that of a form of intuition to a structure with this form made up of real objects of experience”; and his contention here that “[t]he point and purpose of these constructions [of intuitive and formal space] lies in R 00 ” places special emphasis on physical space. Moreover, in his pointer to the literature on the present paragraph, Carnap is explicit that he has Kant’s conception of space as a form of intuition particularly in mind (p. 85): “The purest expression of this relationship appears to be the Kantian conception of R 0 . . . as synthetic lawfulness of the order of experience and thus of R 00 ” — where Carnap then refers to the neo-Kantian writings of Paul Natorp, Ernst Cassirer, and (especially) Bruno Bauch (who directed his dissertation). Finally, Carnap also explains (in the main text of the paragraph) that we need to generalize the 0 0 intuitive metrical spaces R 3m to the intuitive topological space R 3t (and then 0 R nt ); this appears to confirm the suggestion above (see the second paragraph of note t) that Carnap conceives topological intuitive space as constituting a necessary form of intuition in something like the original Kantian sense. (With reference to Carnap and the neo-Kantians on this matter, two passages from his “Intellectual Autobiography” (Carnap 1963c) are especially relevant. In the first we read (p. 4): “I studied Kant’s philosophy with Bruno Bauch in Jena [during the years 1910–14]. In his seminar, the Critique of Pure Reason was discussed in detail for an entire year. I was strongly impressed by Kant’s conception that the geometrical structure of space is determined by the form of our intuition. The after-effects of this influence were still noticeable in the chapter of the space of intuition in my dissertation, Der Raum (written in 1920, see the next section).” And in the following section we find (p. 12): “Knowledge of intuitive space I regarded at that time [while writing the dissertation], under the influence of Kant and the neo-Kantians, especially Natorp

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Editorial Notes

and Cassirer, as based on ‘pure intuition’ and independent of contingent experience. But, in contrast to Kant, I limited the features of intuitive space grasped by pure intuition to certain topological properties; the metrical structure (in Kant’s view, the Euclidean structure) and the three-dimensionality I regarded not as purely intuitive, but rather as empirical.”) oo. [p. 119] “The metrical intuitive spaces, on the other hand, depend also on the choice of those postulates; they therefore lack the property of unconditional validity that characterizes topological intuitive space, just as [it characterizes] all knowledge arising from this source.” The circumstance that Carnap’s formulation of the geometry of intuitive space includes both axioms and postulates creates special complications here. The axioms, as Carnap says, directly result from Husserlian Wesenserschauung and are thus not empirical knowledge properly speaking (compare note mm). But these axioms hold only of a limited region of space (technically an infinitesimal region) and are thus not sufficient to characterize a global spatial structure. For this purpose Carnap adopts certain postulates laying down how the various limited regions are to be consistently comprehended together within a single global space (B 1–6), and these postulates, as he says, “are not knowledge at all, but stipulations [[Festsetzungen]]”. Nevertheless, since (global) topological space “presents what is common to all [[possible extensions to a global structure]]”, it is to be viewed “as the form of what can be grasped in the spatially immediate grasp of essences” — whereas the various metrical spaces, by contrast, “are also still dependent on the choice of these postulates”. The issue becomes even more complicated, however, when we recall that the postulates Carnap actually adopts are intended to comprehend all possible (Riemannian) metrical spatial structures compatible with the condition of “planeness in the smallest parts”, resulting in the most general possible 0 0 structure R 3m common to all particular subspecies. This structure (R 3m ) is just as much common to all possible choices of one or another particular metrical 0 space as is R 3t (as Carnap says himself: see the end of note x). Thus, whereas the various different metrical intuitive spaces (plural) are indeed dependent on 0 a freely chosen stipulation (of a particular subspecies of R 3m ) in a way in which 0 0 topological intuitive space R 3t is not, the general Riemannian structure R 3m 0 has essentially the same status, in this respect, as R 3t . We shall return to this point below. pp. [p. 121] “The propositions governing physical space, finally, are likewise synthetic, but certainly not a priori; rather, they are a posteriori, for they rest on induction.” Two points are worth making with regard to this paragraph. Firstly, the axioms of intuitive space are synthetic a priori in the sense of expressing “regional” or “material” eidetic truths in Husserl’s terminology (see note mm) — not in the original sense of Kant (see note k, and compare note rr). Secondly, Carnap limits such synthetic a priori knowledge to topological rather than metrical intuitive space, “for those [theorems] that relate to one of the metrical spaces depend not only on the axioms, but also on the postulates” (emphasis

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added). Here we again face the complications about topological and metrical 0 space discussed in note oo, insofar as the general metrical structure R 3m has 0 essentially the same status as R 3t (a matter that will also be further clarified in note rr). qq. [p. 121] “So both parties were right and could easily have reached agreement if clarity had prevailed concerning the three different meanings of space.” In the Introduction to his treatise (pp. 5–6), Carnap explains that he wants to resolve the sharp contradictions arising in debates concerning the foundations of geometry among philosophers, mathematicians, and physicists in the past hundred years — a task that is especially important, from a philosophical point of view, because the general problem of knowledge is “closely entwined” with the foundations of geometry. Carnap aims to resolve these debates by clearly distinguishing between the three different meanings of space: formal, intuitive, and physical. Carnap here suggests that the question of synthetic a priori knowledge is perhaps the most important philosophical problem he has now succeeded in resolving: knowledge of intuitive space is indeed synthetic a priori, whereas knowledge of formal space is analytic a priori, knowledge of physical space synthetic a posteriori. The “long-running controversies” between (anti-Kantian) mathematicians and (Kantian) philosophers can therefore be finally resolved. In particular, our synthetic a priori knowledge of physical space pertains to its local topology and infinitesimally Euclidean (Riemannian) metrical structure, but it does not include any local or global structure going beyond this. Carnap’s solution to the status of the Kantian synthetic a priori has much in common with a similar solution developed by Hermann Weyl during the same period. As we have already observed (note n), Carnap cites Weyl (1919c) for the “validity of Euclidean geometry in the small”. In his pointer to the literature concerning “general relativity (space in relativity theory)” (p. 84), Carnap cites, “in the first instance”, Weyl (1919b). Moreover, the Introduction to Weyl (1919b) includes an explicitly philosophical discussion using phenomenological terminology, and Weyl cites Husserl (1913b) in his first note to this Introduction for “the precise formulation of these thoughts”. The third edition then presents Weyl’s own purely infinitesimal approach to the Helmholtz–Lie theorem (adapted, therefore, to the variably curved space–time of general relativity) as “a good example of the essential analysis [Wesensanalyse] striven after by the phenomenological philosophy (Husserl)” (Weyl (1921), § 18). And, finally, the fourth edition distinguishes between the “a priori essence” or “nature” of space — its infinitesimally Euclidean character at every point — and the a posteriori local and global metrical structure of space as a whole (Weyl (1923b), § 13): “One sees that the Riemannian conception does not deny the existence of an a priori element in the structure of space; it is only that the boundary between the a priori and the a posteriori has been shifted”. Since Carnap also takes Husserl (1913b) as his model for grounding our synthetic a priori knowledge of the infinitesimally Euclidean structure of

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Editorial Notes

space in Wesenserschauung, the parallels between his conception and Weyl’s are very close indeed. (For more on Weyl and Husserl, see Ryckman (2005).) It appears, however, that Carnap did not derive his conception of the relationship between the (synthetic) a priori and the a posteriori in our knowledge of space from Weyl, and, if anything, it may well have been the other way around. Carnap used only Weyl (1919b): it is only in the third 1921 edition that Weyl explicitly associates his view of infinitesimal geometry with Husserl, and only in the fourth 1923a that Weyl speaks of the “boundary between the a priori and the a posteriori”. Moreover, it is precisely in this fifth edition that Weyl adds Carnap’s dissertation to the short list of philosophical works cited in the first note to his (fourth) chapter on general relativity — along with Schlick (1920) and Cassirer (1921). Finally, Weyl (1927 [originally appearing in 1926]), § 18.C discusses the relationship between the a priori and the posteriori in our knowledge of space in virtually the same terms as Weyl (1923b), and, once again, Weyl cites Carnap’s dissertation at the end of the corresponding chapter (on space and time) which this section concludes. Weyl (1922) is a one-paragraph review of Carnap’s dissertation. It is basically a brief summary of Carnap’s argument, but, with reference to the point at issue, it makes several interesting remarks. Weyl emphasizes, in particular, that (for Carnap) “knowledge of intuitive space is a priori or eidetic (Husserl)”, whereas knowledge of physical space “is only possible through experience and involves an arbitrary metric stipulation”. Weyl concludes: “The work appears essentially to have arisen from a logical ordering tendency[; a] deeper epistemological analysis — namely, of the relationship of intuitive space to physical space — is missing.” What appears to be missing, from Weyl’s point of view, is precisely his own analysis of the Helmholtz–Lie space-problem — according to which the infinitesimally Euclidean (Pythagorean) character of the metric does not simply emerge as a brute fact of our Wesenserschauung. It is derived, rather, via an intricate mathematical–phenomenological Wesensanalyse using premises derived from general relativity — the premise, in particular, that the essential nature of space allows the overall metrical structure to vary arbitrarily (general covariance). Here Weyl relies on the idea that the overall metrical structure is empirically determined by the factual distribution of mass and energy, and, in this sense, he has no room at all for a Carnapian freely chosen metric stipulation. (On the relationship between Carnap and Weyl, see Friedman (1999), Chapter 2. The present note elaborates on and corrects several of the points made there.) 0 rr. [p. 123] “That R 3t is free from S , even though constructed with the help of postulates stipulated by free choice, rests on the fact that this system contains only the spatial features that result from each of the various possible stipulations, and is therefore not dependent on the choice of stipulation.” Once again, there are several important points worth clarifying here. To begin with, the sense in which formal space R 3m is free from “arbitrary stipulation [[wahlfreier Setzung ]]” when it has “uninterrupted connection with the logical axioms” is that it is then derived within what we now call set theory —

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as a further specification of the class of continuous (three-dimensional) series (R 3t ): compare note b, together with the paragraph to which it is appended. By contrast, if R 3m is merely implicitly defined by a given set of axioms (e.g., for Euclidean geometry) containing non-logical primitive terms (‘point’, ‘line’, and so on), then these axioms themselves are not (yet) constructed within “pure logic” and are instead simply postulated or stipulated. 0 Moreover, Carnap is explicit in the last sentence that R 3t is “constructed with the help of postulates stipulated by free choice [[freier Wahl ]]” — since it involves extending the local and infinitesimal regions accessible to Wesenser0 schauung to a global (topological) structure. Nevertheless, R 3t is still free from “arbitrary stipulation” because it “contains only those spatial determinations that result from each of the various possible stipulations” (emphasis added). Thus Carnap has now made it completely clear that the particular postulates he himself has chosen (B 1–6) express, as it were, the most general conditions for all possible stipulations of a global spatial structure. And these, as we have seen (compare notes oo and pp), yield the general Riemannian metrical 0 0 structure R 3m in precisely the same sense as R 3t : the only remaining “arbitrary 0 stipulation”, therefore, concerns the particular subspecies of R 3m we then choose to adopt. But the most important point, from a philosophical perspective, is that Carnap claims a dependence on Wesenserschauung for all cases of space, including purely formal space R , and comments on this situation as follows: “[Wesenserschauung] occurs throughout, but it is properly ‘spatial’ only in the latter cases [of R 0 and R 00 ]; in the first two [cases of R ], on the other hand, it is formal in nature (Husserl: ‘formal ontology’).” Thus Carnap here makes it completely clear that he follows Husserl in extending the meaning of intuition [[Wesenserschauung ]] to include formal logic (compare note mm). Carnap’s view of what he calls “intuition”, therefore, is quite distinct from the original Kantian meaning of the term — which is based, as we have emphasized, on a sharp distinction between the intellectual or conceptual faculty of pure understanding and the sensible or receptive faculty of pure intuition (see again note k). We should also note, finally, that this rejection of Kant’s original sharp distinction between intuition and thought is also characteristic of the neo-Kantian literature Carnap cites in this connection, and this is why, for example, he characterizes “the Kantian conception of R 0 ” as “synthetic lawfulness of the order of experience” (emphasis added, compare note nn): synthetic lawfulness, for Kant himself, can only be a product of the understanding. ss. [p. 125] “The correct inference from that premise can arrive only at topological space, for it alone is both superordinate to those others and also completely unambiguous: the factual basis of experience cannot appear in several different topological forms.” As we have seen, Carnap could just as well have chosen the general Rie0 mannian metrical structure R 3m at this point as representing the necessary form of our spatial intuition and thus of experience (compare notes oo, pp, 0 and rr). His only reason for preferring topological space R 3t instead is that

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Editorial Notes

he wants a unique or singular given spatial structure that is both “superordi0 nate” to all the various particular subspecies of R 3m (including especially the 0 Euclidean structure R 3m= ) and “contains” them all as possible further specifications: see again note r. (Carnap then applies this criterion of uniqueness 0 again, to leave the dimension number indeterminate in the structure R nt .) As we also saw in note r, the criterion of uniqueness is not strictly speaking satisfied by topological space either, since such spaces may differ in their global topology: it is not strictly true that “the matters of fact of experience cannot appear in several different topological forms”. Nevertheless, all (relevant) topological spaces have the same local structure (on a finite neighborhood of any given point), whereas all subspecies of the general Riemannian metrical structure do not. (Here it is especially important to distinguish local properties on a finite neighborhood of p from infinitesimal properties defined on the tangent space at p ; all Riemannian metrical structures have the same infinitesimal structure at each point p but not the same local structure — otherwise they would all have the same curvature at p .) Perhaps the most natural way here for Carnap to have his cake and eat it is to include topological properties that are sufficient to admit the existence of a (general) Riemannian metrical structure within his privileged topological space. Necessary and sufficient conditions for the existence of such a structure locally — on a given finite neighborhood — are that the neighborhood in question be Hausdorff (any two distinct points can be separated into nonoverlapping sub-neighborhoods); a sufficient condition for the existence of such a structure globally — on the entire manifold — is that the manifold be paracompact (be Hausdorff and every open covering have a locally finite open refinement). (For an introductory discussion of the relationship between topological conditions and the existence of Riemannian metrics, see, e.g., Bishop and Goldberg (1968).) There is no doubt that Carnap would have wanted to include such condi0 tions, since, for example, he takes the general Riemannian structure R 3m to be present in all the spaces satisfying his axioms and postulates for intuitive space. And in precisely this way, moreover, he could easily accommodate the contemporaneous view expounded in Cassirer (1921), according to which the great lesson of this theory is that the specifically Euclidean metrical structure embraced by Kant must be replaced by the general (Riemannian or semi-Riemannian) line element or metric tensor, which now expresses the “transcendental” conditions of spatiality (or spatio-temporality) in general — a view that also appears to have been shared by Hermann Weyl (compare note qq).

Michael Friedman

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1923a Über die Aufgabe der Physik und die Anwendung des Grundsatzes der Einfachstheit On the Task of Physics and the Application of the Principle of Maximal Simplicity

NACHDEM LANGE ZEIT HINDURCH die Frage nach den Quellen der physikalischen Erkenntnis heftig umstritten worden ist, darf heute vielleicht schon gesagt werden, daß der reine Empirismus seine Herrschaft verloren hat. Daß der Aufbau der Physik sich nicht auf die Versuchsergebnisse allein stützen kann, sondern auch nichterfahrungsmäßige Grundsätze verwenden muß, ist ja von der Philosophie schon längst verkündet worden. Doch erst nachdem Vertreter der exakten Wissenschaften die Eigenart der physikalischen Methode zu untersuchen begonnen hatten und dabei zu einer nicht-empiristischen Auffassung gelangt waren, ergaben sich Lösungen, die den Physiker selbst befriedigen konnten. Hier sind vor allem Poincaré und Dingler zu wichtigen Ergebnissen gelangt. Wir gehen hier von ihren Grundsätzen aus, wenden sie aber allgemeiner an, als es bisher geschehen ist. Dadurch finden wir eine Antwort auf die Frage nach der Leistung der Physik, die uns erkennen läßt, welche logischen Beziehungen zwischen einander scheinbar widersprechenden physikalischen Theorien bestehen, und unter welchen Voraussetzungen eine Entscheidung zwischen diesen Theorien getroffen werden kann.

I.

Die drei Festsetzungen: Raumgesetz, Zeitgesetz, Wirkungsgesetz

Die Hauptthese des von Poincaré aufgestellten und von Dingler weitergeführten Konventionalismus besagt, daß zum Aufbau der Physik Festsetzungen getroffen werden müssen, die unserer freien Wahl unterliegen. Daraus folgt, daß diejenigen Inhaltsbestandteile der physikalischen Sätze, die aus diesen Festsetzungen hervorgehen, durch die Erfahrung weder bestätigt noch widerlegt werden können. Die Wahl dieser Festsetzungen soll aber nicht etwa willkürlich geschehen, sondern nach bestimmten methodischen Grundsätzen, wobei letzten Endes der Grundsatz der Einfachstheit die Entscheidung zu treffen hat. Drei solche Festsetzungen müssen der Physik zugrunde gelegt werden: die des Raumsystems, des Zeitsystems und des Wirkungsgesetzes. Die Einsicht in die Wählbarkeit des Raumsystems ist am frühesten gefunden worden. Schon Poincaré hat nachgewiesen, daß die Frage, ob in der Natur die euklidische oder eine nichteuklidische Geometrie | verwirklicht sei, sinnlos ist. Die Physik hat in freier Wahl darüber zu verfügen, welches der unendlich vielen geometrischen Systeme sie anwenden will. Je nach der Festsetzung über die zugrunde zu legende Maßnorm, gewöhnlich „starrer Körper“ genannt, ergibt sich dies oder jenes geometrische System. (Genau genommen darf die Maßsetzung nicht einen Körper als starr setzen, sondern nur den Abstand eines physikalischen Punktpaares als unveränderlich oder durch irgendeine Funktion bestimmt ansetzen. Sonst liegt Überbestimmung vor. Doch sei dies hier nicht berücksichtigt, sondern dem Nachweis an anderer Stelle vorbehalten.) Die weit verbreitete, empiristische Auffassung, daß der starre Körper in der Natur vorgebildet sei und vom Physiker durch bloße

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AFTER A LONG PERIOD in which the question about the sources of physical knowledge has been hotly disputed, it may now perhaps be said that pure empiricism has lost its dominance. That the construction of physics cannot rely solely on results of experiments, but must use non-experiential principles as well, has of course been proclaimed by philosophy for some time now. But solutions that could satisfy the physicist resulted only after representatives of the exact sciences began to investigate the character of physical method and arrived at a non-empiricist conception about it. Poincaré and Dingler, above all, have reached important conclusions. We start from their principles, but apply them more generally than has occurred elsewhere. We thereby obtain an answer to the question about the achievement of physics that reveals what logical interrelations hold among apparently contradictory physical theories, and under what conditions a decision can be made between these theories.

I.

The Three Stipulations: Space Postulate, Time Postulate, Causal Law

It is the main thesis of the conventionalism expounded by Poincaré and further developed by Dingler that in the construction of physics we have to make stipulations that are subject to our free choice. This means that the particular components of physical statements that result from these stipulations can neither be confirmed nor refuted by experience. But the choice among these stipulations ought not therefore to be made arbitrarily, rather it should follow certain methodological principles — and in the end the principle of maximal simplicity has to decide. Physics has to be based on three such stipulations: that of the spatial system, that of the temporal system, and that of the causal law. The insight that the spatial system is a matter of choice was the first to be attained. Poincaré already showed that the question whether Euclidean or nonEuclidean geometry is realized in nature is meaningless. It is up to physics to choose freely which of the infinitely many geometrical systems is to be applied. According to the stipulation of the basic measurement standard, usually called a “rigid body”, we get this or that geometrical system. (Strictly speaking, the measurement standard must not posit a body as rigid but may only take the distance between a pair of physical points to be unchangeable or determined by some function. Otherwise there is an over-determination. However, we will not consider this here but leave its demonstration for another occasion.) Hence the widely held empiricist view that rigid bodies exist in nature and can be discovered or produced by the physicist by means of mere experiments

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Versuche aufgefunden bzw. hergestellt werden könne, besteht also nicht zu Recht. Sondern der starre Körper kann entweder frei gewählt werden, oder er ergibt sich nach Wahl eines geometrischen Systems. Ebensowenig kann dieses System empirisch gefunden werden; sondern es muß gleichfalls entweder frei gewählt oder mit Hilfe einer frei gewählten Maßsetzung (eines starren Körpers) gefunden werden. Die Frage, welcher dieser beiden möglichen Wege einzuschlagen ist, wird unten besprochen werden. Da die Wählbarkeit des geometrischen Systems durch Poincaré1 und Ding2 ler längst bekannt ist, ferner die Grenzen und die Durchführbarkeit dieser Wahl, sowie das soeben angedeutete funktionelle Abhängigkeitsverhältnis zwischen dem Tatbestand der Erfahrung, der Maßnorm und dem geometrischen System schon an anderer Stelle dargestellt worden sind3 , so sei diese erste Festsetzung hier nicht weiter erörtert. Im Gegensatz hierzu pflegt die Notwendigkeit der Festsetzung einer Norm für die Zeitmessung („Zeitmaßsetzung“) nicht beachtet zu werden. Sie besteht darin, daß irgend eine Weltlinie ausgewählt wird, die mit einer anderen wiederholte Koinzidenzen hat. Dann ist festzusetzen, welche Zeitstrecken die durch die Koinzidenzen auf der ersten Weltlinie bewirkten Abschnitte darstellen und wie die Einteilung dieser Weltlinie durch bloße Benutzung von Koinzidenzen auf alle übrigen übertragen werden soll. Anschaulicher ausgedrückt: es wird ein physikalisches System gewählt, an dem ein „periodischer Vorgang“ stattfindet. Der Begriff „periodischer Vorgang“ setzt hierbei nicht etwa die Zeitbestimmung schon voraus; er soll nämlich noch nicht einschlie|ßen, daß die einzelnen Perioden gleiche Zeitdauer haben. Auch setzt dieser Begriff nicht die Raummaßsetzung schon voraus, etwa um den „gleichen Zustand“ des Systems wiedererkennen zu können. Wir definieren nämlich als „periodischen Vorgang“ einen solchen, bei dem zwei physikalische Punkte (materielle Punkte, Lichtstrahlen usw.) immer wieder zur Berührung kommen. Die Zeitmaßsetzung besteht dann darin, daß für dieses gewählte System (die „Uhr“) den Zeitabschnitten zwischen den genannten Punktberührungen irgendwelche Maßzahlen zugeschrieben werden, und daß weiter festgesetzt wird, wie hiernach die Vorgänge an anderen Systemen zeitlich zu messen sind. Hier ist nicht der Raum für die Erörterung der wichtigen Frage, welche Voraussetzungen eine Zeitmaßsetzung erfüllen muß, um ein widerspruchsloses Zeitmaßsystem zu ergeben, welche Ausdehnung das Bereich der diese Voraussetzungen befriedigenden Zeitmaßsetzungen hat und ob eine oder einige hiervon eine bevorzugte Sonderstellung einnehmen oder ob alle logisch möglichen auch methodisch gleichwertig sind. Hier ist nur wesentlich, überhaupt die Wählbarkeit der Zeitmaßsetzung zu betonen. Die heute übliche Auffassung besagt im Gegensatz hierzu, daß die Gleichheit zweier Zeitstrecken nicht einer 1 Die bekannten Bücher, besonders: Wissenschaft und Hypothese, deutsch von Lindemann, 1906, S. 73 ff. [[Poincaré 1906]] 2 Dingler, Die Grundlagen der Physik. 1919. [[Dingler 1919a]] Ders., „Ein Grundproblem der modernen Physik.“ Ann. d. Naturphil. XIV, 112, 1920 [[Dingler 1921a]]. Ders., Physik und Hypothese. 1921 [[Dingler 1921c]]. 3 Carnap, Der Raum. Erg.-H. 56 der Kantstudien, 1922. S. 32–59. [[Carnap 1922a]]

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is not justified. Rather, the rigid body either can be chosen freely or results from the choice of a geometrical system. And this system cannot be discovered empirically either; it too must be chosen freely or has to be found by means of a freely chosen measurement standard (i.e., of a rigid body). The question as to which of these two paths we should take will be considered below. It has been known for a long time thanks to Poincaré1 and Dingler2 that the geometrical system is a matter of choice. Furthermore, the limits and the feasibility of this choice, as well as the functional dependence just mentioned between empirical facts about the measurement standard and the geometrical system, have been delineated elsewhere.3 So this first stipulation will not be discussed any further here. But in contrast, the necessity of stipulating a standard for the measurement of time (“temporal measurement stipulation”) is commonly ignored. It consists in choosing one world-line that coincides repeatedly with another one. The sections of the first world-line produced by the coincidences have to be defined as certain time intervals; and it also has to be determined how the division of this world-line can be carried over to all other world-lines only by means of coincidences. Put in more concrete terms, we choose a physical system that exhibits a “periodic process”. The notion “periodic process” does not already presuppose the determination of time, because it does not imply that all periods are of equal length. Nor does this concept presuppose the spatial measurement stipulation either, in order to recognize the “same state” of the system for instance. That is because we define “periodic process” as one in which two physical points (material points, rays of light, etc.) come in contact with each other again and again. Hence the temporal measurement standard consists in assigning certain numbers to the periods of time between the mentioned coincidences of points within this chosen system (the “clock”). Additionally it has then to be determined how the processes in other systems should be measured temporally. This is not the place for discussing the important question concerning which conditions a time measurement standard must satisfy in order to yield a consistent system of time measurement, or the question concerning the extension of the range of the time measurement standard that satisfies these conditions, and whether one or several of these conditions are specially singled out or whether all the logically possible ones are also methodologically equivalent. Here it is essential only to emphasize that the time measurement standard can be chosen at all. The usual conception nowadays, in contrast, is that the equality of two time segments is not subject to an arbitrary stipulation but is

1 See his well known books, especially Wissenschaft und Hypothese, German transla-

tion by Lindemann, 1906, pp. 73 ff [[Poincaré 1906]]. 2 Dingler, Die Grundlagen der Physik. 1919 [[Dingler 1919a]]. “Ein Grundproblem der modernen Physik.” Ann. d. Naturphil. XIV, 112, 1920 [[Dingler 1921a]]. Physik und Hypothese. 1921 [[Dingler 1921c]]. 3 Carnap, Der Raum. Erg.-H. 56 of Kantstudien, 1922. pp. 32–59 [[Carnap 1922a]].

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beliebigen Festsetzung unterliege, sondern in der Natur dadurch gegeben und empirisch festzustellen sei, daß zwei Vorgänge, die im Übrigen in gleicher Weise verlaufen, auch zeitlich als gleich anzusehen seien. Hierauf ist jedoch zu erwidern, daß die Feststellung dieses „gleichen Ablaufs“ nicht ohne vorher getroffene, konventionelle Festsetzungen möglich ist. Denn sie setzt zunächst voraus, daß über die Gleichheit zweier räumlicher Konstellationen des Systems entschieden werden kann. Das ist aber offenbar nur auf Grund einer Raummaßsetzung möglich. Die zweite Voraussetzung zum Erkennen des „gleichen Ablaufs“ führt aber nicht nur, wie die erste, auf eine zu wählende Festsetzung, sondern enthält einen Widerspruch. Denn bei der Begründung der Zeitmessung auf den gleichen Ablauf der Vorgänge eines Systems wird vorausgesetzt, daß dieses ein isoliertes System ist; z. B. ist nicht etwa gemeint, eine Pendeluhr gebe auf der Erde und auf dem Mond gleiche Zeiten an. Ob aber ein System isoliert ist, d. h. ob keine Kräfte von außen darauf einwirken, das kann nur auf Grund der dritten, nachher zu besprechenden Festsetzung entschieden werden, nämlich der des Wirkungsgesetzes. Dieses aber setzt seinerseits die Zeitmaßsetzung schon voraus, da es aussagt, welche Beschleunigungen aus bestimmten räumlichen Konstellationen folgen. Die empiristische Auffassung der Zeitbestimmung ist also unhaltbar. Die dritte Festsetzung betrifft das Wirkungsgesetz. Daß Raum- und Zeitmessung sich auf nichtempirische Grundsätze stützen, bietet keine großen gedanklichen Schwierigkeiten. Daß aber auch, wenn diese | festliegen, die Naturgesetze nicht aus bloßem Erfahrungsbefund abgeleitet werden können, bedarf einer neuen Überlegung, die Dingler4 angestellt hat. In den Naturgesetzen kommen Größen vor, deren Messung nicht unmittelbar möglich ist, sondern auf Raum-Zeit-Messungen zurückgeführt wird (z. B. Masse, Gravitationskraft, elektrische Ladung, elektrostatisches Feld usw.). Diese Zurückführung aber setzt ein allgemeines Wirkungsgesetz voraus. Definieren wir etwa die Masse als Quotient von Kraft und Beschleunigung, so können wir sie nicht messen, ohne ein Kraftgesetz vorauszusetzen (z. B. das Newtonsche Gravitationsgesetz oder das Grundgesetz der Elastizität). Denn Beschleunigung ist wohl meßbar, Kraft aber nicht, solange die Massen nicht bestimmt sind. Erinnert man sich daran, daß in der Astronomie die Massen der Himmelskörper (und zwar nicht nur der Planeten, sondern auch unsichtbarer Fixsternbegleiter) nur auf Grund des Newtonschen Gesetzes bestimmt werden, so überzeugt man sich leicht, daß grundsätzlich auch irgendein anderes Massenwirkungsgesetz aufgestellt und ohne Widerspruch mit der Erfahrung durchgeführt werden könnte. Dazu brauchte nur auf Grund des gewählten Gesetzes die für die beobachteten Bewegungen erforderliche Massenverteilung berechnet und als „wirklich“ bezeichnet zu werden; nicht anders, als es in der Astronomie auf Grund des Newtonschen Gesetzes geschieht. Daß dabei unter Umständen eine weit kompliziertere Massenverteilung z. B. im Planeten- und Fixsternsystem anzusetzen wäre, spricht zwar zugunsten der Beibehaltung des üblichen Kraftgesetzes, aber nicht gegen die grundsätzliche Möglichkeit der Wahl eines 4 Dingler, a. a. O. Dingler wählt Raumsystem (euklidisch) und Wirkungsgesetz (new-

tonisch), übersieht aber die Notwendigkeit einer Zeitmaßsetzung.

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rather to be given and empirically determined in nature, by considering two processes that otherwise proceed in the same way to be temporally identical as well. But whether something follows this “same process”, goes the answer, cannot be determined without the conventional stipulations previously arrived at. For it presupposes in the first place that it is possible to decide the equality of two spatial configurations of the system. But this is obviously only possible on the basis of a spatial measurement stipulation. The second condition for the recognizing the “same process” not only leads, as in the case of the first, to a stipulation that must be chosen, but contains a contradiction. For by basing time measurement on the same course of the processes of a system it is presupposed that the system in question is isolated. The idea is not, for instance, that a pendulum clock would show the same times on the earth and on the moon. However, whether a system is isolated, i.e., whether no forces from outside act upon it, can only be decided on the basis of the third stipulation (to be discussed below), that of the causal law. But this in turn presupposes the time measurement standard, since it states which accelerations follow from determinate spatial configurations. So the empiricist conception of time determination is untenable. The third stipulation concerns the causal law. That space and time measurements are grounded on non-empirical principles presents no great conceptual difficulties. But that even when these are determined the laws of nature cannot be obtained from mere empirical data — this requires a new idea, proposed by Dingler.4 Magnitudes occur in the laws of nature whose measurement is not possible directly, but relies on space–time measurements (e.g., mass, gravitational force, electric charge, electrostatic field, etc.). But this reliance presupposes a generalized causal law. If we define, for instance, mass as the quotient of force and acceleration, then we cannot measure it without presupposing a force law (e.g., the Newtonian gravitational law or the basic law of elasticity). For without knowing the masses, acceleration is indeed measurable but not force. If one recalls that in astronomy the masses of the celestial bodies (and in fact not only of the planets but also of the invisible satellites of the fixed stars) are determined only on the basis of Newton’s law, then it is easy to see that in principle any other causal law governing masses could be posited and carried through without contradicting experience. One would only need to calculate, on the basis of the selected law, the mass distribution corresponding to the observed motions and to call it “real” — just as astronomy does it on the basis of Newton’s law. That this would perhaps require a far more complicated mass distribution, e.g., within the planetary system and the system of fixed stars, speaks in favor of retention of the usual force law, but not against the possibility in principle of choosing a different one. Just as with the stipulation

4 Dingler, ibid. Dingler chooses a space system (Euclidean) and causal law (Newto-

nian) but overlooks the necessity of a time measurement stipulation.

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anderen. In ähnlicher Weise wie bei der Festsetzung des Grundgesetzes der Raumbestimmung können wir auch die hier für das Wirkungsgesetz vorliegende Wahlfreiheit auf zwei verschiedenen Wegen benutzen: entweder wir wählen das Grundgesetz selbst (z. B. das Newtonsche Gesetz oder die elektromagnetischen Grundgesetze von Maxwell oder beliebige andere) und bestimmen danach empirisch die Verteilung der wirkenden Substanz (etwa der Masse bzw. der Elektronen); oder aber wir setzen umgekehrt in der Welt eine bestimmte Substanzverteilung an und leiten aus dieser das Wirkungsgesetz ab.

II.

a

b

Die Forderung der Einfachstheit

Wir gehen jetzt einen Schritt weiter: nach der Einsicht in die an drei Punkten des Aufbaues der Physik vorliegende Wahlfreiheit stellen wir einen Grundsatz auf, der die Wahl leiten soll: die Forderung der Einfachstheit. Es zeigt sich aber nun bei näherer Betrachtung, daß diese Forderung auf zwei verschiedene Dinge bezogen werden kann. Infolge|dessen stehen auch für den, der die dargelegten Grundsätze des „kritischen Konventionalismus“ anerkennt (nämlich die Wählbarkeit jener Festsetzungen und die Forderung der Einfachstheit), noch zwei verschiedene Wege offen. Die Zweiteilung des Weges wird an den drei besprochenen Punkten deutlich, an denen die Wahl einer Festsetzung zu treffen ist. Wie wir sahen, besteht dort Freiheit in der Wahl eines Grundgesetzes (Raummaßsetzung oder auch geometrisches System, Zeitmaßsetzung, Wirkungsgesetz), und von der getroffenen Wahl hängt dann die Beschreibung des Weltzustandes ab (die räumliche Anordnung der Dinge in der Welt; der zeitliche Ablauf der Vorgänge in der Welt; die den Dingen zuzuschreibenden Substanzzahlen, z. B. Massen). Die Frage lautet nun: gilt die Forderung der Einfachstheit für das Grundgesetz oder für die auf Grund dieses Gesetzes vorgenommene Beschreibung des Weltzustandes? Die Frage sei zunächst an dem einfachsten Falle erörtert, nämlich dem des Raumgesetzes. Hier bedeutet der erste Weg: der Grundsatz der Einfachstheit bezieht sich auf das geometrische System; unter allen logisch möglichen ist das einfachste auszuwählen. Das ist zweifellos das euklidische. Dieses ist der Raummessung zugrunde zu legen, indem die Maßnorm (der starre Körper) so bestimmt wird, daß er die Sätze der euklidischen Geometrie erfüllt. Dies Verfahren wählt Dingler („reine Synthese“). Die allgemeine Relativitätstheorie schlägt dagegen den anderen Weg ein; sie wählt (für das vierdimensionale Raum-Zeit-Gebiet) ein weniger einfaches geometrisches System (das Raumund Zeitfestsetzung verbindet), weil dadurch die Beschreibung des Geschehens einfacher wird (Bewegungsbahnen sind geodätische Linien, Lichtstrahlen sind Nullinien). Daß nicht einer der beiden Wege richtig, der andere falsch sei (im Sinne eines Widerspruches mit sich selbst oder mit der Erfahrung), ist nach den vorhergehenden Überlegungen nicht mehr zu bezweifeln. Es kann sich nur

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of the basic law of space determination, here too we can exploit the available freedom to choose the causal law in two different ways: Either we choose the basic law itself (e.g., Newton’s law or Maxwell’s electromagnetic laws or any other) and afterwards determine empirically the distribution of the causal substance (e.g., of mass or of the electrons); or we do it the other way around and posit a specific substance distribution in the world and from this we infer the causal law.

II.

The Requirement of Maximal Simplicity

We now proceed one step further. According to the insight that we are free to choose at three points in the construction of physics, we lay down a basic principle to guide the choice: the requirement of maximal simplicity. However, on closer inspection it becomes evident that this requirement can be applied to two different things. So, even for those who admit the basic principles of “critical conventionalism” as described (i.e., the choosability of the above stipulations and the requirement of maximal simplicity), there are still two different ways to go. The distinction between the two ways becomes clear at the three points discussed above at which a stipulation is to be chosen. As we saw, there is freedom in the choice of a basic law (space measurement stipulation or also geometrical system, time measurement stipulation, causal law), and how we describe the state of the world (the spatial ordering of objects in the world; the temporal course of processes in the world; the substance-numbers, e.g., masses, to be ascribed to objects) then depends upon the choice made. The question now is: Does the requirement of maximal simplicity hold for the basic law or for the description of the state of the world made on the basis of this law? Let us discuss this question first of all for the simplest case, i.e. that of the space postulate. The first way here means: the principle of maximal simplicity applies to the geometrical system; among all the logically possible ones the simplest should be chosen. No doubt this is the Euclidean system. It is then to be put at the basis of space measurement by determining the standard of measurement (the rigid body)in such a way that it satisfies the axioms of Euclidean geometry. Dingler chooses this procedure (“pure synthesis”). The theory of general relativity, in contrast, follows the other way. It chooses (for the four-dimensional space-time domain) a less simple geometrical system (which connects space and time stipulations) because in this way the description of the events becomes simpler (motion trajectories are geodesic lines, light rays are null lines). After the above considerations it is no longer tenable to think that one of the two ways is right and the other wrong (in the sense of either a self-

a

b

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um die Frage handeln, welcher zweckmäßiger sei, welchen die Wissenschaft einschlagen solle. Bevor wir die Vorzüge, die jeder von beiden Wegen hat, erörtern, sei auf den naheliegenden Einwand erwidert, es handle sich nur scheinbar um zwei verschiedene Wege, beide müßten zu demselben Ziele führen, indem sich aus dem einfachsten Grundgesetz stets auch die einfachste Gesamtbeschreibung ergebe. Das würde zwar die Abweisung jenes Anspruches der Relativitätstheorie auf Einfachstheit bedeuten, doch das könnte ja in der Absicht des Einwandes liegen. Daß aber die Identität der beiden Wege sicherlich nicht denknotwendig ist, wird deutlich an folgendem Gleichnis (nicht Beispiel, denn ein solches kann immer nur in dem irgendwie gedachten Zustand der gesamten Natur | bestehen). Es sei die Aufgabe gestellt, die räumliche Verteilung der Bäume einer Anpflanzung anzugeben. Falls wir gar keine Regelmäßigkeit in der Anordnung der Bäume entdecken, so müssen wir nach Festlegung eines Koordinatensystems die Koordinaten für jeden einzelnen Baum angeben. Zu dem Zwecke werden wir das einfachste System wählen, etwa ein rechtwinkliges, kartesisches. Bemerken wir dagegen, daß die Bäume auf den Schnittpunkten zweier Scharen von parallelen Geraden stehen, so wählen wir nicht jenes einfachste rechtwinklige System, sondern ein geeignet liegendes schiefwinkliges. Denn in bezug auf dieses ist mit wenigen Zahlenangaben die Lage aller Bäume beschrieben. Und falls die Bäume auf konzentrischen Kreisen liegen, so wird ihre Anordnung am einfachsten mit Hilfe von Polarkoordinaten angegeben. Angenommen nun, es herrsche nicht völlige Regellosigkeit, aber auch keine der beiden zuletzt genannten Anordnungen sei genau erfüllt, sondern eine konzentrische Kreisschar, gleichzeitig aber auch zwei sich kreuzende Parallelenscharen seien durch die Stellung der Bäume annähernd bezeichnet. Wir nehmen nun an, es sei ein bestimmtes Koordinatensystem gewählt worden und bewähre sich auch, solange nur die Lage eines kleinen Teiles der Bäume und auch diese nur mit geringer Genauigkeit ausgemessen ist. Wenn aber die Ausmessung nach Umfang und Genauigkeit weitere Fortschritte gemacht hat, so kann sich herausstellen, daß ein anderes als das ursprünglich gewählte System die gesamte Anordnung der Bäume, soweit sie bekannt ist, am einfachsten darzustellen erlaubt. Aus dem Gleichnis geht zunächst hervor, daß das in sich einfachste der anwendbaren Maßsysteme nicht unbedingt auch die einfachste Beschreibung des Zustandes liefert. Ferner werden auch Vorzüge und Nachteile der beiden Wege deutlich, zunächst in bezug auf das Raumsystem, dann auch allgemein. Der wichtigste Vorzug des ersten besteht darin, daß das ganze formale System ein für alle Mal festgesetzt wird, während beim zweiten die Möglichkeit nie ausgeschlossen ist, daß die Ergebnisse künftiger Erfahrung nötigen, ein völlig neues System aufzubauen und der Darstellung zugrunde zu legen. Die Nachteile eines solchen Umbaues vom Grundstein aus dürfen jedoch nicht überschätzt werden. Die Ergebnisse der früheren Messungen werden dabei nicht etwa als wertlos verworfen, sondern nur umgerechnet und umgedeutet, ähnlich wie auch sonst beim Umbau größerer Theorien in der Physik (z. B. beim Übergang vom ptolemäischen oder besser tychonischen zum kopernikanischen Planeten-

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contradiction or a contradiction with experience). It can only be a question of which of the two is more expedient, which of the two science should follow. Before we discuss the advantages that each of the two ways present, let us reply to the obvious objection that what he have here are only apparently two different ways and that both must lead to the same outcome, in that the simplest basic law always yields the simplest global description. This would mean rejecting the above claim of relativity theory to maximal simplicity, but that might obviously be part of the intent of the objection. The identity of the two ways is certainly not a conceptual necessity, though, as becomes clear with the following parable (not example, for an example can consist only in a state, somehow conceived, of the whole of nature). Say we are given the task of specifying the spatial distribution of trees in a stand. If we find no regularity whatever in the arrangement of the trees, we have to give the coordinates for each individual tree, once a coordinate system has been established. For this purpose we would choose the simplest system, perhaps a right-angled, Cartesian system. If we found, however, that the trees occur at the points of intersection of two groups of parallel straight lines, then we would not choose that simplest right-angled system, but rather a suitably arranged oblique-angled one. For with respect to this one the position of all the trees can be described with a few numerical indications. And if the trees lie in concentric circles, their arrangement would be stated most easily with the help of polar coordinates. Assume now that neither of the latter two arrangements was precisely realized, but neither was there a complete irregularity, rather the positions of the trees were approximated by a group of concentric circles simultaneously with two groups of crossing parallel lines. Assume, further, that a particular coordinate system has been chosen and works out perfectly well as long as the positions of only a small part of the trees are measured out and those only imprecisely. It can turn out, as measurement progresses in extent and exactness, that another system than the one originally chosen yields the simplest representation of the total arrangement of the trees, so far as it is known. What emerges from this parable is, first of all, that the simplest of the applicable measurement systems in itself does not necessarily supply the simplest description of the way things are. And secondly, both the advantages and the disadvantages of the two ways become clear, certainly with respect to the the spatial system, but more generally as well. The most important advantage of the first resides in the fact that the entire formal system is stipulated once and for all, while with the second the possibility is never excluded that the results of future experience could require a completely new system to be constructed and form the basis of the description. The disadvantages of such a rebuilding from the foundations should not be overestimated, however. The results of earlier measurements do not become worthless when this occurs, but are only converted and reinterpreted, similarly to the usual procedure of rebuilding the larger theories in physics (e.g., in the transition from a Ptolemaic, or better Tychonic, to a Copernican planetary system, or from the emission theory to

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system, von der Emissions- zur Wellentheorie des Lichtes und wiederum von der Theorie des elastischen Lichtmediums zu der des elektromagnetischen Feldes). Der Vorzug des zweiten Weges liegt, wie auch das Gleichnis schon andeutet, in der einfacheren Gesamtdarstellung der (hier zunächst | räumlichen) Verhältnisse der Welt, genauer: der uns bekannten raumzeitlichen Umgebung. Hier könnte die Frage aufgeworfen werden, mit welchem Recht denn vermutet werden dürfe, daß die Beschaffenheit dieser im Verhältnis zum unbekannten Gebiet doch verschwindend kleinen Umgebung auch nur einigermaßen gleichartig der in anderen Raum- und Zeitgebieten sei, oder wie man sonst begründen wolle, daß man die allgemeinen Grundgesetze von dieser Beschaffenheit abhängig mache. Darauf ist zu erwidern, daß anscheinend in den von uns während der letzten Jahrtausende durchschrittenen Raum- und Zeitgebieten keine in diesem Sinne beträchtliche Änderung der Beschaffenheit zu bemerken war. Und selbst wenn dies uns nicht wenigstens die Vermutung nahelegen würde, auch in der näheren Zukunft mit der gleichen Beschaffenheit rechnen zu dürfen, so würden wir doch gar keine andere Möglichkeit zu Schlüssen auf die Zukunft haben, als indem wir von der Gegenwart ausgehen und, ob wir nun den ersten oder zweiten Weg einschlagen, zu jeder Voraussage den Vorbehalt anfügen: sofern nicht bisher noch unbekannte Faktoren hinzutreten. Und wenn die Beschaffenheit unserer Umgebung auch nur wiederum einige weitere Jahrtausende sich im bisherigen Maße gleichbliebe, so würde es sich doch schon lohnen, die physikalische Theorie so einzurichten, daß diese Beschaffenheit in möglichst einfacher Gestalt dargestellt werden könnte. Genau Entsprechendes gilt bei der Wahl des Wirkungsgesetzes. Auch hier hat der erste Weg den Vorzug, von der Erfahrung unabhängig und daher endgültig bestimmen zu können; der zweite wiederum den Vorzug der einfacheren Darstellung des Zustandes der Welt, oder genauer: unserer Umgebung. Anders ausgedrückt: beim ersten Weg liegt das Hauptaugenmerk auf den allgemeinen Gesetzen, beim zweiten auf den Vorgängen, die nach diesen Gesetzen verlaufen. Der Unterschied dieser beiden Gegenstandsgebiete ist für die Frage nach Aufgabe und Verfahren der Physik von großer Bedeutung. Er soll daher jetzt näher betrachtet werden. Danach sind auch Ziel und Bedeutung der beiden Wege schärfer faßbar.

III.

Gestalt und Leistung einer vollendeten Physik

Für die Feststellung der Richtung, in der die Physik auf irgendeiner Stufe weiterschreiten soll, kann die Fiktion eines vollendeten Aufbaues der Physik, gewissermaßen als Zielpunkt im Unendlichen, gute Dienste leisten. Wie müssen wir uns dieses ideale physikalische System vorstellen; was leistet es, und was für Sätze enthält es? Die Leistung muß offenbar die des „Laplaceschen Geistes“ sein, der jedes zukünftige oder vergangene Ereignis berechnen kann. Hierfür müssen ihm Kenntnisse von dreierlei Art gegeben sein; die vollendete

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the wave theory of light, and again in the transition from the theory of the elastic medium of light to that of electromagnetic fields). The advantage of the second way resides, as the parable also hints, in the simpler total representation (spatial representation, to begin with) of the world, or, more precisely, of our familiar spatio–temporal surroundings. Here the question can be raised as to what justification there might be for the supposition that the character of what is after all a vanishingly small neighborhood — in comparison to the unknown region — should be even approximately similar to other space and time regions. And how else would one justify making the general laws dependent on these [[local]] conditions? The reply is that in the space and time regions we have traversed over the past few millenia, no significant change has been noticeable in this character. And even if this would not suggest to us at least the conjecture that we may expect the same conditions in the near future, we would have no other way of making inferences about the future but to proceed from the present and, whether we adopt the first or the second way, to add to each prediction the proviso, “so far as no hitherto unknown factors arise”. And even if the conditions of our neighborhood only remain the same as they have been for another few millennia, it would certainly still be worth arranging physical theory in such as way that this character [[of space and time]] could be represented in the simplest way possible. Precisely analogous considerations apply to the choice of the causal law. Here too the first way has the advantage of being able to decide independently of experience, and thus once and for all; the second way on the other hand has the advantage of the simpler representation of the state of the world, or more precisely, of our region. Put another way, in the first way the general laws are paramount, in the second it is the processes by which those laws operate. The difference between these two domains of objects is of great importance for the task and method of physics. It will therefore now be considered more closely. The goal and significance of the two ways will then emerge more clearly.

III.

How a Completed Physics Would Look and What It Would Do

To determine the direction in which physics at any given stage should move forward, the fiction of a completed construction of physics can be very useful, as a kind of goal in the infinitely long run. How are we to imagine such an ideal physical system? What can it do, and what sort of propositions does it contain? Evidently it would have to be able to accomplish the feat of “Laplace’s Demon”, who is able to calculate every future and past event. He would need three kinds of knowledge for this; the completed representation of physics consists,

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Über die Aufgabe der Physik (1923a)

Darstel|lung der Physik besteht, bildlich gesprochen, aus drei Bänden. Der erste verfährt more geometrico: er setzt einige wenige Axiome fest und leitet daraus rein logisch beliebig viele Sätze ab. Er braucht im Grunde nur beliebig wenige oder gar keine Sätze abzuleiten, ohne daß dadurch das Gesamtsystem der Physik weniger imstande wäre, jene Berechnungen auszuführen. Die Ableitungen sollen nur Arbeit für die Berechnungen ersparen, indem sie von diesen die häufigsten Bestandteile vorwegnehmen, die dann nicht immer wiederholt zu werden brauchen. Der ganze Erkenntnisgehalt des ersten Bandes steckt auch schon in den Axiomen allein. Diese bestehen aus den Grundsätzen der Raumbestimmung, Zeitbestimmung und Abhängigkeit der Vorgänge voneinander, kurz: Raumgesetz, Zeitgesetz, Wirkungsgesetz. Die Ableitung der Naturgesetze aus diesen Axiomen geschieht, wenn auch in mancher Hinsicht veranlaßt durch die Erfahrung, doch ohne jede Begründung auf Erfahrung. Der erste Band enthält also synthetische Sätze a priori, allerdings nicht genau im Kantischen transzendental-kritischen Sinne. Denn das würde bedeuten, daß sie notwendige Bedingungen des Gegenstandes der Erfahrung ausdrückten, selbst bedingt durch die Formen der Anschauung und des Denkens. Dann aber könnte es nur eine mögliche Gestalt für den Inhalt dieses Bandes geben. In Wirklichkeit ist aber sein Aufbau vielfach unserer Wahl anheimgestellt. Daher finden wir auch die verschiedensten Entwürfe solcher axiomatischen Systeme der Physik (vgl. die folgenden Beispiele). Diese stehen nicht einander widersprechend gegenüber, sondern sind, wenn logisch einwandfrei, grundsätzlich gleichberechtigt. Die Wahl ist nur nach methodischen Grundsätzen zu treffen, insbesondere dem der Einfachstheit. Zur Kennzeichnung des ersten Bandes ist demnach dem Kantischen AprioriBegriffe vorzuziehen der Begriff „hypothetisch-deduktives System“, wie ihn die Peanosche Schule für die (formale) Geometrie geprägt hat, die ja auch einen Teil des ersten Bandes bildet.

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Beispiele von Axiomsystemen der Physik 1. Axiome der euklidischen Geometrie, Newtonsche Bewegungssätze, Newtonscher Gravitationssatz, a) ohne Hinzufügung weiterer Axiome. So Dingler. Aus diesen Grundsätzen werden deduktiv abgeleitet: die Lehrsätze der euklidischen Geometrie, die einer reinen Bewegungslehre (Phoronomie) und die der Dynamik: die drei Integralsätze, die Prinzipien von D’Alembert und Hamilton, und weiter beliebig viele andere. Ferner die Keplerschen Gesetze und aus ihnen die des pseudo-elastischen (Molekular-)Stoßes und daraus die der statistischkinetischen Theorie großer Elementen-Mengen: die Wärmelehre. Die Zurückführung der elektromagnetischen Gesetze auf die genannten | Axiome ist bisher nur als logische Möglichkeit grundsätzlich nachgewiesen, jedoch noch nicht durchgeführt worden. b) Zu den genannten Axiomen treten Maxwells Grundgleichungen des Elektromagnetismus. Ableitung von Geometrie, Phoronomie und Dynamik wie bei 1 a. Die optischen Gesetze bestehen in den für periodische Vorgänge des

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metaphorically speaking, of three volumes. The first proceeds more geometrico [[in the style of geometry]]: it fixes a few axioms and derives arbitrarily many theorems purely logically. Really it need only derive as few theorems as it likes, or even none at all, and this would not diminish the complete physical system’s capability of carrying out its calculations. The point of the derivations is just to save work for the calculations by anticipating the most frequently occurring components, so that these need not always be repeated. The entire knowledge content of the first volume resides entirely in the axioms themselves. These consist in the fundamental propositions of space determination, time determination, and the dependence of processes on one another, briefly: space postulate, time postulate, causal law. The derivation of the laws of nature from these axioms, though in many respects induced by experience, still proceeds without any grounding upon experience. The first volume therefore contains synthetic a priori propositions, although not exactly in the Kantian transcendental–critical sense. For that would mean that they expressed necessary conditions of the objects of experience, themselves conditioned by the forms of intuition and thought. In that case, however, there could only be one possible form for the content of this volume. Actually, though, its construction is in many ways left to our choice. Accordingly, we find a wide variety of designs for such axiomatic systems of physics (compare the following examples). These do not relate to each other as contradictory opposites, but rather, if logically unobjectionable, they are in princple equally justified. The choice is to be made only in accordance with methodological principles, in particular the principle of maximal simplicity. As an identifying description of the first volume, the concept of a “hypothetico– deductive system”, which the Peano school has coined for (formal) geometry (which indeed also forms a part of this volume), is therefore to be preferred to the Kantian concept of the a priori.

Examples of Axiom Systems for Physics 1. Axioms of Euclidean geometry, Newtonian laws of motion, Newtonian gravitational law. a) Without appending further axioms. This is Dingler’s position. From these fundamental propositions are derived the theorems of Euclidean geometry, of a pure kinematics, and of dynamics: the three integral laws, the principles of D’Alembert and Hamilton, and still many others. Further, Kepler’s laws and, from them, the laws of pseudo-elastic (molecular) collision and, from them, the statistical–kinetic theory of large elementary aggregates: the theory of heat. The reduction of the electromagnetic laws to the abovementioned axioms has been shown to be a logical possibility in principle but has not yet been carried out. b) To the above axioms are appended Maxwell’s equations of electromagnetism. Deduction of geometry, kinematics, and dynamics as in 1 a. The optical laws consist in derived propositions concerning periodic processes in the elec-

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Über die Aufgabe der Physik (1923a) elektromagnetischen Feldes abgeleiteten Sätzen. Die Deduktion der Gesetze der Elastizität und der Molekularvorgänge wird als möglich angenommen, aber nicht ausgeführt. c) Eine Abart von b. Die elastischen Stoßgesetze für kleinste Teilchen werden als Axiome anstelle des Newtonschen Gravitationssatzes aufgestellt, und dieser aus ihnen abgeleitet (statistisch-kinetische Theorie der Gravitation).

2. Euklidische Axiome, Newtonsche Bewegungssätze, Grundsätze der Elektronentheorie, Quantenaxiom. Ableitung von Geometrie, Phoronomie und Dynamik wie bei 1 a. Die zu berechnenden stabilen Formen von Elektronenkomplexen werden als Atomarten bezeichnet, und ihr Verhalten aus den Grundsätzen abgeleitet (mechanische, thermische, optische, chemische Eigenschaften der Atome). Diese Ableitungen sind nur zum Teil durchgeführt. Herleitung der Gravitation etwa in der von Lenard angedeuteten Weise. 3. Einsteins Allgemeine Relativitätstheorie; ein einziges Weltgesetz: Nullsetzung der Variation einer gewissen „Weltfunktion“. Zwei verschiedene Formen:

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a) Mie–Hilbert. Aus dem Weltgesetz gehen hervor: die allgemeine Riemannsche Geometrie für vier Dimensionen; die zehn Grundgleichungen von Mies Theorie der Materie. Genau genommen fehlen hier Raum- und Zeitmaßsetzung. Diese sind nicht etwa durch die Riemannsche Geometrie schon festgelegt (wie in den Fällen 1 a, b, c und 2 die Raummaßsetzung durch die euklidische Geometrie), sondern werden hier durch die Wahl des Maßnormkörpers und der Uhr bestimmt; diese Wahl wird aber nicht ausdrücklich genannt, weil die stillschweigende Annahme gemacht wird, daß alle „natürlichen“ Maßnormkörper und Uhren die gleichen Maßsetzungen ergeben (unausgesprochener Grundsatz der metrischen Aequivalenz der Maßstäbe und Uhren). Die zehn Grundgleichungen müssen hier in der Form gedacht werden, die sie haben würden, wenn sie nur die zehn primären Zustandsgrößen enthielten: elektrische Dichte, je drei Komponenten des Vektorpotentials, der elektrischen und der magnetischen Verschiebung. Für die zehn anderen, von ihnen abhängigen Zustandsgrößen (skalares Potential, je drei Komponenten der elektrischen Stromdichte, der elektrischen und der magnetischen Feldstärke) sind also die entsprechenden, großenteils noch unbekannten Funktionen jener primären eingesetzt zu denken. b) Weyl. Hier sind Zeit- und Raummaßsetzung durch ein Vierervektorfeld („elektromagnetisches Vektorpotential“) ausgedrückt, das zu dem Einsteinschen Tensorfeld („Gravitationspotential“) hinzutritt. Diese beiden Felder sind bestimmt durch das eine Weltgesetz. Von ihnen hängen nicht nur räumliche und zeitliche Maßverhältnisse, sondern auch die Gravitations- und elektromagnetischen Zustandsgrößen, und damit alle physikalischen Vorgänge ab. Hier sind also Raum-, Zeit- und Wirkungsgesetz in eine Einheit zusammengeschlossen. c) Kaluza.5 Entwurf einer Abart der Weylschen Theorie: anstelle von Vektorund Tensorfeld nur das eine Feld eines metrischen Fundamentaltensors einer fünfdimensionalen Welt. Also noch stärkere Vereinheitlichung. 5 Th. Kaluza, „Zum Unitätsproblem der Physik.“ Sitz.-Ber. d. Berl. Akad. d. Wiss. LIV,

966–972, 1921 [[Kaluza 1921]]. Die Literatur zu den vorhergehenden Beispielen ist bekannt; außer den genannten Namen vgl. Laue, Die Relativitätstheorie, II [[Laue 1921]].

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tromagnetic field. The deduction of the laws of elasticity and of molecular processes is regarded as possible but not carried out. c) A variant of b. The elastic (collision) laws of matter for the smallest particles are set up as axioms in place of the Newtonian gravitational law and the latter is derived from them (statistic–kinetic theory of gravitation). 2. Euclidean axioms, Newtonian laws of motion, basic laws of the theory of the electron, the quantum postulate. Deduction of geometry, kinematics, and dynamics as in 1a. The stable forms of complexes of electrons to be calculated are considered kinds of atoms, and their behavior is deduced from the basic laws (mechanical, thermal, optical, chemical properties of atoms). Those derivations are carried out only in part. Derivation of gravitation along the lines indicated by Lenard. 3. Einstein’s General Theory of Relativity; a single world law: null variation of a certain “world function”. Two different forms: a) Mie–Hilbert. From the world law follow: the general Riemannian geometry for four dimensions; the ten fundamental equations of Mie’s theory of matter. Strictly speaking, space and time postulations are lacking here. These are not somehow already laid down through the Riemannian geometry (as in cases 1 a, b, c and 2, the spatial measure postulates are determined through Euclidean geometry); rather they are determined through the choice of the standard measurement body and clock. This choice is not expressly acknowledged, because the tacit assumption is made that all “natural” standard measurement bodies and clocks yield the same measure determination (implicit fundamental postulate of the metric equivalence of measuring rods and clocks). The ten fundamental equations must here be imagined in the form they would have if they included only the ten primary state magnitudes: electrical charge density and three components each of the vector potential,of electrical displacement, and of magnetic displacement. For the ten other field magnitudes dependent on these (scalar potential and three components each of electrical charge density, of electrical field intensity, and of magnetic field intensity), we are to imagine the corresponding, in large measure still unknown, functions as inserted into that primary one. b) Weyl. Here spatial and temporal measurement postulates are expressed through a four-dimensional vector field (“electromagnetic vector potential”) adjoined to the Einsteinian tensor field (“gravitational potential”). These two fields are determined by the single world law. On them depend not only the relations of spatial and temporal measurement, but also the gravitational and electromagnetic field magnitudes and, accordingly, all physical processes. So here space, time, and causal law have been combined together. c) Kaluza.5 Scheme of a variant of Weyl’s theory: in place of vector and tensor fields, only the one field of a fundamental metric tensor of a five-dimensional world. Therefore a yet stronger unification. 5 Th. Kaluza, “Zum Unitätsproblem der Physik.” Sitz.-Ber. d. Berl. Akad. d. Wiss. LIV,

966–972, 1921 [[Kaluza 1921]]. The literature on the previous examples is well-known; in addition to the aforementioned names, compare Laue, Die Relativitätstheorie, II [[Laue 1921]].

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Über die Aufgabe der Physik (1923a) Die Deduktion der Naturgesetze aus dem einen Weltgesetz der Relativitätstheorie (in den verschiedenen Darstellungsformen) ist in zwei Stufen zu denken: aus dem Weltgesetz werden die grundlegenden Differentialgleichungen abgeleitet, und aus diesen wiederum die einzelnen Naturgesetze. Die zweite Ableitung ist zum großen Teil durchführbar (analog Fall 2), die erste aber gegenwärtig nur in einigen Zügen andeutbar, da die genaue Gestalt der „Weltfunktion“ noch unbekannt ist.

4. Die Äthertheorie von Wiener.6 Nur eine Zustandsgröße: die (absolute) Strömungsgeschwindigkeit des Äthers, die für jedes Ätherteilchen konstant bleibt. Ein einziges Grundgesetz: die (Normal-)Beschleunigung als Funktion des Geschwindigkeitsvektorfeldes. Das ist das Wirkungsgesetz; Raum- und Zeitgesetz werden nicht ausdrücklich angegeben. Vielleicht ist als Raumgesetz stillschweigend das euklidische vorausgesetzt; dann würde durch dieses und den Grundsatz der Geschwindigkeitskonstanz das Zeitgesetz eindeutig festgelegt sein. Trifft diese Annahme zu, so liegen also drei Axiome zugrunde: das Grundgesetz, der Grundsatz der Geschwindigkeitskonstanz und die euklidische Raumbestimmung. Die Deduktion der Gravitation, der Maxwellschen Gleichungen und der anderen Naturgesetze ist bisher nur angedeutet, ihre Möglichkeit jedoch nahegelegt worden.

Der zweite Band stellt die Vermittlung zwischen dem Bereich der Wahrnehmung und dem Bereich her, das den Gegenstand der physikalischen Theorie bildet. Daß diese beiden Gebiete vollständig auseinanderfallen, kann gar nicht scharf genug betont werden. Das erste enthält die Empfindungsinhalte: Farben, Töne, Gerüche, Drücke, Wärmeempfindungen usw., von denen streng genommen in der theoretischen Physik überhaupt nicht die Rede ist. Dieser Sachverhalt wird durch die vielfache Benutzung der gleichen Ausdrücke in beiden Gebieten („Druck“, „Wärme“, auch „Farben“, „Töne“ usw.) sehr verwischt. Dieser vereinfachende, aber ungenaue Sprachgebrauch kann innerhalb der Physik kaum Schaden anrichten, wohl aber bei der Untersuchung der Beziehungen zwischen dieser und den anderen Wissenschaften. Auch wird die Trennung dadurch undeutlich, daß man bei der Behandlung einer physikalischen Frage die Bestandteile, die wir auf den ersten und zweiten Band verteilen, zu vermengen pflegt. Der zweite Band verknüpft nun die beiden Gebiete gewissermaßen durch eine Art von Wörterbuch, das angibt, welche Gegenstände (Elemente, Komplexe, Vorgänge) im zweiten Gebiet den einzelnen des ersten entsprechen. Da heißt es etwa: „Einem solchen Blau (bezeichnet z. B. nach dem Ostwaldschen Farbsystem) entspricht eine gewisse periodische | Elektronenbewegung (bezeichnet durch die Schwingungszahl)“ (im Beispiel 2) oder „. . . ein Bereich des elektromagnetischen Vierervektorfeldes mit periodischer Anordnung“ (im Beispiel 3 b). Offenbar hängt die zweite Rubrik des zweiten Bandes vom Inhalt des ersten Bandes ab; die Elemente des physikalischen Bereiches und ihre Beziehungen, die physikalischen Vorgänge, sind bestimmt durch das gewählte Axiomsystem. 6 Abh. Sächs. Akad. d. Wiss. XXXVIII, 1921 [[Wiener 1921]].

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The deduction of natural laws from the world law of the theory of relativity (in the different forms of representation) is conceived of in two stages: From the world law are derived the fundamental differential equations, and from these, in turn, the particular laws of nature. The second derivation is realizable in great part (analogously to case 2); the first, however, can at present be only loosely indicated, since the exact form of the “world function” is still unknown. 4. The aether theory of Wiener.6 Only one physical state magnitude: the (absolute) current velocity of the aether, which remains constant for every aether particle. A single fundamental law: the (standard) acceleration as a function of the velocity vector field. That is the causal law; space and time postulations are not explicitly specified. Perhaps the Euclidean space postulate is tacitly presupposed, for then the time postulate is univocally determined from this and from the principle of constant velocity. If this supposition holds, three axioms are basic: the fundamental law, the law of constant velocity, and the Euclidean space postulate. The deduction of gravitation, of the Maxwell equations, and of the other laws of nature has only been intimated, though it seems entirely possible.

The second volume establishes a connection between the domain of perception and the domain that constitutes the object of physical theory. That these two domains are entirely distinct from each other cannot be emphasized sharply enough. The first contains the contents of sensation: colors, tones, tastes, pressures, sensations of heat, and so on, which, strictly speaking, do not occur in theoretical physics at all. This fact is disguised by the frequent use of the same expressions in both domains (“pressure”, “heat”, also “color”, “tone”, and so on). This simplifying, but inexact, use of language can hardly cause harm within physics, but it certainly does so in investigations of the relations between physics and other sciences. The distinction is further disguised by the fact that, when physical questions are considered, the components we have divided up between the first volume and the second tend to be conflated. The second volume connects the two domains, in a way, through a kind of dictionary that indicates which objects (elements, complexes, processes) in the second domain correspond to the particular ones of the first. It says, for instance: “Such and such a shade of blue (designated, for example, according to Ostwald’s color system) corresponds to a certain periodical movement of electrons (denoted by the frequency of oscillation)” (in example 2), or “. . . a certain region of the electromagnetic four-vector field periodically ordered” (in example 3 b). Obviously, the second column of the second volume depends on the content of the first volume. The elements of the physical domain and their relations, the physical processes, are determined by the axiom system chosen.

6 Abh. Sächs. Akad. d. Wiss. XXXVIII, 1921 [[Wiener 1921]].

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Die erkenntnistheoretische (oder eigentlich metaphysische) Frage nach der Seinsbedeutung der beiden Gebiete soll hier ganz beiseite gelassen werden. Für die Lösung unserer Aufgabe kommt es auf ihre Beantwortung gar nicht an. Denn für die Physik ist es (im Gegensatz zu einer weitverbreiteten Auffassung) ohne Bedeutung, ob man im phänomenalistisch-realistischen Sinne die Inhalte des ersten Gebietes (z. B. die wahrgenommene Farbe Blau) „bloße Erscheinungen“, die des zweiten (z. B. die entsprechenden elektromagnetischen Schwingungen) „Wirklichkeit“ nennt, oder umgekehrt im positivistischen Sinne die ersteren als „das wirklich Gegebene“, die des zweiten als „nur begriffliche Komplexe jener Empfindungsinhalte“ bezeichnet. Darum heißt es nicht: „wo dieses Blau erscheint, ist in Wirklichkeit ein solcher Elektronenvorgang“, und auch nicht: „anstelle dieses Blau fingieren wir, um Berechnung zu ermöglichen, einen solchen Elektronenvorgang“, sondern die Physik drückt sich neutral mit Hilfe der rein formalen Zuordnungsbeziehung aus und überläßt jene Ausdeutungen einer nicht physikalischen Untersuchung. Weitere Sätze sind etwa (für Beispiel 2): „Einem solchen stechenden Geruch (Chlorgeruch, Bezeichnungssystem fehlt) entspricht ein Gemenge von Elektronenkomplexen bestimmter Struktur (Cl-Atome)“; „Einer solchen Wärmeempfindung (Bezeichnungssystem fehlt) entspricht eine gewisse durchschnittliche kinetische Energie einer Menge von Elektronenkomplexen (Atomen oder Molekülen).“ — Das Wörterbuch ist in beiden Richtungen benutzbar: es dient sowohl zur Übersetzung eines phänomenalen Tatbestandes in den entsprechenden physikalischen, wie auch umgekehrt. Es ist jedoch zu bemerken, daß nur im zweiten Falle die Zuordnung eindeutig ist; während aus zwei verschiedenen Gründen einem bestimmten Empfindungsinhalt im Allgemeinen nicht nur ein bestimmter physikalischer Tatbestand entspricht, sondern eine unendliche Menge von solchen. Der erste Grund ist an dem letzten angeführten Satze ersichtlich, wo zu derselben durchschnittlichen kinetischen Energie einer Molekülmenge, und damit zu derselben Wärmeempfindung, die unendlich vielen, nach Betrag und Richtung verschiedenen Geschwindigkeitsverteilungen gehören, die den gleichen durchschnittlichen Betrag ergeben. Der zweite Grund liegt in der psychophysischen Tatsache der Empfindungsschwelle. Der dritte Band enthält die Beschreibung des physikalischen Zustandes der Welt für zwei beliebige Zeitpunkte. Um berechnen zu können, was zu irgendeiner Zeit an irgendeinem Orte geschieht, genügt nicht die Angabe des Zustandes für nur einen Zeitpunkt. Wenigstens dann nicht, wenn nur die Zustandsgrößen selbst angegeben werden, nicht aber ihre zeitlichen Differentialquotienten. Diese gehören, wie die logische Analyse zeigt (Russell, Mongré– Hausdorff), nicht zu den Momentaneigenschaften, obwohl sie mathematischformal als solche behandelt werden können. Die beiden zu beschreibenden Zustände brauchen auch nicht, wie zuweilen angenommen wird, zeitlich benachbart zu sein. Denn aus zwei beliebigen Zuständen können zwei benachbarte und damit jene Differentialquotienten berechnet werden. Dafür ist allerdings erforderlich, daß die Identität der Substanzelemente kenntlich gemacht wird; z. B. im Falle der Elektronentheorie darf (außer der Feldverteilung) nicht nur

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The epistemological (or actually metaphysical) question of the ontological significance of the two domains shall here be left aside entirely. Its answer does not matter at all to the solution of our problem. For in physics (contrary to a widely held opinion) it is insignificant whether one calls the contents of the first domain (e.g., the perceived color blue) “mere appearances” and those of the second domain (e.g., the corresponding electromagnetic oscillation) “reality,” in a phenomenalist–realistic sense; or whether one, conversely, designates the former as the “genuinely given” and the latter as “mere conceptual complexes of those sensory contents,” in a positivist sense. So the issue is not “Where this blue appears there really is such and such an electron process”, and also not “In place of this blue, we imagine such and such an electron process in order to facilitate calculation”, but rather, physics expresses itself neutrally with the aid of the purely formal relation of coordination, and it leaves those further interpretations to a non-physical investigation. Further propositions are for instance (in example 2): “Such and such a pungent smell (the smell of chlorine; [[smells]] lack a classificatory system) corresponds to a certain mixture of peculiarly structured electron complexes (Cl-atoms)”; “A certain temperature sensation ([[these also]] lack a classificatory system) corresponds to a certain average kinetic energy of a number of electron complexes (atoms or molecules)”. — The dictionary can be used in both directions: it serves to translate a phenomenal state of affairs to the corresponding physical one and vice versa. However, we have to note that the correlation is unique only in the second case; a particular sensory content corresponds not to just a single particular physical state of affairs but to an infinite number of them. That is for two reasons. The first reason becomes clear from the last of our example sentences. In that sentence, an average kinetic energy of a number of molecules (and, consequently, the same temperature sensation) corresponds to those infinitely many velocity distributions, differing in amount and direction, which result in the same average value. The second reason lies in the psycho-physical fact of the threshold of sensitivity. The third volume contains the description of the physical state of the world at two arbitrary points in time. In order to calculate what happens at any time at a certain place, it is not enough to indicate the state at merely one point in time. At least not if only the state magnitudes themselves are indicated, and not their differential quotients. As logical analysis shows (Russell, Mongré– Hausdorff), the latter do not belong to the momentary properties, although they may be treated as such mathematically. The two states to be described do not have to be neighboring in time, as is sometimes surmised. For from any two states, two neighboring ones, and hence the derivatives, can be calculated. For that, however, it is required that the identity of the fundamental elements be indicated; e.g., in the case of electron theory not only must the spatial distribution (in addition to the field distribution) of the electrons for the two

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die räumliche Verteilung der Elektronen für die beiden Zeitpunkte angegeben, sondern es muß auch kenntlich gemacht werden, welches Elektron der einen Anordnung mit je einem der anderen identisch ist. Wenn aus den Angaben der Koordinaten der n Elemente zur Zeit t 0 und der 3n Komponenten ihrer Geschwindigkeiten ihre 3n Koordinaten zur Zeit t 1 berechenbar sind, so brauchen wir uns nur die 3n Gleichungen, die die letzteren Koordinaten angeben, nach jenen 3n Geschwindigkeitskomponenten aufgelöst zu denken, um einzusehen, daß diese dann auch durch die Koordinaten in den Zeitpunkten t 0 und t 1 bestimmt sind. Es liegt übrigens nahe, zu vermuten, daß die Beschreibung sich nicht gerade auf zwei Schnitte so spezieller Art (t = const.) durch die vierdimensionale Zeit-Raumwelt beziehen müsse, sondern daß vielleicht zwei beliebige dreidimensionale Schnitte gewählt werden können. Doch sind bisher hierüber anscheinend noch keine Untersuchungen angestellt worden. Zuweilen wird die Auffassung vertreten, aus den beiden Zustandsbeschreibungen könnten nur die zukünftigen, nicht aber die vergangenen Ereignisse eindeutig berechnet werden. Dies gilt allerdings für den Fall, daß nicht die räumliche Verteilung der einzelnen Elemente (z. B. der Elektronen) angegeben wird, sondern nur die Durchschnittswerte gewisser Zustandsgrößen für Gebiete, die sehr viele Elemente enthalten (z. B. Temperatur, Gasdruck). Praktisch ist freilich nur dieses möglich (wegen der erwähnten Mehrdeutigkeit der Zuordnungen des zweiten Bandes). Hier aber gehen wir von der Voraussetzung der idealen Physik aus und verstehen unter einer Zustandsbeschreibung die Angabe der Verteilung der Elemente. Dann ist kein Unterschied zwischen der Berechnung der Vergangenheit und der der Zukunft. Ersichtlich hängt die Gestalt des dritten Bandes davon ab, welches | Axiomsystem für den ersten Band gewählt worden ist. Denn je nach der Wahl dieses Systems wird der Weltzustand eines Augenblicks beschrieben als Momentanverteilung von Materieteilchen, oder von strömenden Ätherteilchen, oder von Elektronen und elektromagnetischem Feld, oder als dreidimensionaler Schnitt durch das vierdimensionale Vektor- und Tensorfeld usw. Das Verhältnis der drei Bände bei der Leistung jener Aufgabe der fingierten, vollendeten Physik ist nun folgendes. Um zu bestimmen, was zu einer gewissen Zeit an einem gewissen Orte geschieht, d. h. wahrnehmbar ist, wird aus den gegebenen Zustandsbeschreibungen des dritten Bandes mit Hilfe der Sätze des ersten der Zustand in der Umgebung jenes Raum-Zeitpunktes berechnet und durch die Rückübersetzung mit Hilfe des zweiten Bandes (in dieser Richtung eindeutig) in Angaben von Empfindungsqualitäten ausgedrückt. Um dem wirklichen Sachverhalt etwas näher zu kommen, wollen wir für einen Augenblick die Fiktion der Vollendetheit nur für den ersten und zweiten Band gelten lassen, nicht aber für den dritten. Wir nehmen also an, wir hätten völlige Kenntnis der Naturgesetze und der Beziehungen zwischen physikalischen Tatbeständen und Empfindungsinhalten, nicht aber des Zustandes der gesamten Welt. Dann lautet die Aufgabe: aus dem beobachteten Zustande eines beschränkten Bereiches, nämlich unserer raumzeitlichen Umgebung, den Zustand eines anderen Raum-Zeit-Bereiches zu berechnen. Hierzu muß

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points in time be specified; it also has to be known which electron in the one configuration is identical with which [[electron]] in the other [[configuration]]. If it is possible to calculate, from the coordinate values of the n elements at time t 0 and the 3n components of their velocities, their 3n coordinates at time t 1 , then we only need to think of the 3n equations specifying these coordinates as solved for the 3n velocity components in order to see that these components are then also determined by their coordinates at times t 0 and t 1 . Incidentally, it seems natural to assume that the description does not have to refer to two cross–sections of so special a kind (t = const.) through the fourdimensional space-time world, but that perhaps any two three–dimensional sections can be chosen. This seems not to have been investigated yet. Sometimes the opinion has been expressed that only future but not past events can be calculated unambiguously from the two state descriptions alone. This does indeed hold if we do not specify the spatial distribution of the single elements (e.g., electrons) but only the average values of certain state magnitudes for domains containing a very high number of elements (e.g., temperature, gas pressure). In practice, of course, only this latter case can occur (because of the above-mentioned ambiguity of correlations of the second volume). But here we begin by presupposing ideal physics, and we take a state description to be the indication of the distribution of elements. In this case there is no difference between the calculation of the future and that of the past. Obviously, the form of the third volume depends on the question of which axiomatic system we have assumed for the first volume. For according to the choice of this system, the state of the world at one moment will be described as a momentary distribution of matter particles, or of streaming aether particles, or of electrons and the electromagnetic field, or as a three-dimensional crosssection of the four-dimensional vector field and tensor field, and so on. The relation among the three volumes in achieving that task of fictive, completed physics is now as follows. To determine what happens at a certain time in a certain place, i.e., what is perceivable, the state descriptions provided by the third volume are used to calculate, with the help of the sentences provided by the first volume, the state in the environment of that space–time point, and to express in sentences about sensory qualities using the inverse translation provided by the second volume (which in this direction is unambiguous). In order to achieve a better approximation to the way things actually are, let us for a moment retain the fiction of completeness only for our first and second volumes, but not for the third. Thus we assume we have complete knowledge of the laws of nature and the relations between physical states of affairs and sensation contents, but not about the state of the entire world. Then the task is to calculate from the observed state of a restricted region, namely our own spatio-temporal neighborhood, the state of another space–time region. For this, however, the second spatio-temporal region must initially be tem-

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Über die Aufgabe der Physik (1923a)

aber zunächst der zweite Raum-Zeit-Bereich dem ersten zeitlich nahe und räumlich kleiner und völlig in ihm eingeschlossen sein (und zwar so, daß die kleinste Entfernung zwischen einem Grenzpunkt des ersten und einem des zweiten Bereiches stets größer ist, als der mit der Lichtgeschwindigkeit multiplizierte zeitliche Abstand). So müßte, damit z. B. der Zustand eines noch so kleinen Raumteiles für nur eine Sekunde vorausberechnet werden könnte, bei Beginn der Sekunde der Zustand innerhalb einer Kugel von mehr als 300 000 km Halbmesser bekannt sein. Doch das ist im Grunde genommen nur eine technische Schwierigkeit. Schwerwiegender ist aber der Umstand, daß der Zustand eines Bereiches aus Beobachtungen bestimmt werden soll. Diese Bestimmung ist aber infolge der Mehrdeutigkeit der Beziehungen des zweiten Bandes grundsätzlich unmöglich. Also ist auch die Lösung selbst jener beschränkten Aufgabe nicht möglich. Daß trotzdem eine Physik, die auch von dieser vorsichtigeren Fiktion noch sehr weit entfernt ist, überhaupt Vorausberechnungen auf Grund von Beobachtungen anstellen kann, hat folgenden Grund. Zu einem bestimmten Beobachtungsbefund gehört allerdings eine unendliche Menge physikalischer Zustände des Bereiches, und damit auch eine gleichmächtige Menge solcher Zustände für den zu erkundenden zukünftigen Augenblick, und sogar eine noch mächtigere Menge, wenn man, | wie stets in der praktischen Ausführung, jene Voraussetzungen der zeitlichen Nähe und räumlichen Eingeschlossenheit nicht genau erfüllt. Aber bei der Rückübersetzung dieser unendlichen Menge physikalischer Zustände in Empfindungsinhalte ergibt sich in vielen Fällen eine verhältnismäßig kleine Menge von Empfindungsinhalten, die in günstigen Fällen ein stetiges Qualitätsbereich bilden (z. B. ein Bereich ähnlicher Farbtöne). Das Bestreben ist nun zunächst darauf gerichtet, die Beobachtungen so anzustellen, daß sich nicht mehrere unzusammenhängende Qualitätsbereiche für den zukünftigen Zeitpunkt ergeben, und dann darauf, die Grenzen des einen Qualitätsbereiches möglichst zu verengern. Die beiden Mängel der Voraussage, Mehrdeutigkeit und Ungenauigkeit, können so im Fortgange der Wissenschaft immer mehr verringert werden. In besonderen Fällen für nicht zu lange Zeitabstände können sie völlig beseitigt, also Eindeutigkeit der Voraussage erreicht werden. Doch bleibt ihre Beseitigung für beliebige Zeitabstände grundsätzlich unmöglich. Das gilt für die praktisch allein verlangte Voraussage von Wahrnehmungsinhalten. Von der eindeutigen Voraussage physikalischer Zustände dagegen bleibt die Wissenschaft auch bei noch so kleinen Zeitabständen immer unendlich weit entfernt.

IV.

Die beiden Möglichkeiten zur Anwendung des Grundsatzes der Einfachstheit

Nachdem wir so gesehen haben, wie die ideale Physik aus drei Teilen besteht, dem axiomatischen, dem der phänomenal-physikalischen Zuordnung („Wörterbuch“) und dem deskriptiven, können wir die Frage des Abschnittes II genauer

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porally near the first and spatially smaller and completely enclosed by it (and indeed such that the smallest distance between a limit point of the first and one of the second region is always greater than the temporal interval multiplied by the velocity of light). So to calculate the state of even a vanishingly small part of space for even a second into the future, for instance, we would have to know the state at the beginning of that second within a spherical volume of more than 300,000 km radius. Yet in principle this is just a technical difficulty. More problematic is the circumstance that the state of a region is to be determined through observations. This determination is fundamentally impossible, though, due to the ambiguity of the relations of the second volume. Thus even the solution of that restricted task fails. The reason why a physics that is as yet far from even this more modest fiction is nevertheless able to make predictive calculations on the basis of observations is the following. To be sure, an infinite set of physical states of the region corresponds to a given observational result, and thus also an equipollent set of such states for the future moment to be calculated, and even a still larger set, if — as always in practical application — our assumptions of proximity in time and enclosure in space are not quite met. But with the inverse translation of this infinite set of physical states back into sensory contents, there often turns out to be a relatively small set of sensory contents that in favorable cases forms a continuous domain of qualities (e.g., a domain of similar shades of color). What we try to do is, first of all, to carry out the observations in such a way that several unconnected qualitative domains do not result for the future point in time and, second, to narrow the boundaries of the one qualitative domain [[of interest]]. The two defects of prediction, ambiguity and imprecision, can thus be reduced more and more as science progresses. In special cases, for time intervals that are not too long, they can be entirely eliminated, i.e., unambiguous prediction can be achieved. Even so, their elimination remains impossible in principle for arbitrary time intervals. It remains impossible for the prediction of the contents of perception, the only thing required in practice. And science always remains infinitely far removed from the unambiguous prediction of physical states, even over vanishingly small time spans.

IV.

The Two Possibilities for the Application of the Basic Principle of Maximal Simplicity

After we have thus seen how an ideal physics consists of three parts, the axiomatic part, the (“dictionary”) part concerning phenomenal–physical coordination, and the descriptive part, we can state the question of Section II more precisely: With which part of physics is the requirement of maximal simplic-

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fassen: auf welchen Teil der Physik bezieht sich die Forderung der Einfachstheit? Je nach der Beantwortung dieser Frage ergeben sich zwei verschiedene Wege zu einer einheitlichen Wissenschaft. Als wichtigster Teil der Physik gilt wohl meist der erste. Er wird sogar häufig als einziger angesehen. Das ist z. B. der Fall, wenn die Physik als Wissenschaft von den Naturgesetzen definiert wird, oder wenn angegeben wird, daß sie die „subjektiven Qualitäten“, womit die Empfindungsinhalte gemeint sind, ausschalten müsse. Diese Auffassung läßt sich halten; es müssen dann die von uns als zweiter und dritter Teil der Physik bezeichneten Gebiete der physiologischen Psychologie der Sinne und einer (nicht bestehenden) deskriptiven Gesamtwissenschaft zugewiesen werden, zu der u. a. Astronomie und Geographie gehören. Bei dieser Abgrenzung des Wissenschaftsgebietes (deren Beurteilung im Grunde nur eine Frage des Sprachgebrauches ist) hat Haas Recht, die ideale „Physik als geometrische Notwendigkeit“, d. h. als axiomatisches System reiner Deduktion aufzufassen.7 In diesem Falle dürfte | es für die Physik wohl auch naheliegen, die Einfachstheitsforderung auf diesen ersten Teil zu beziehen, ohne Berücksichtigung der anderen, dann nicht zu ihr gehörenden Teile. Schlägt sie diesen ersten Weg ein, so sind euklidische Geometrie und Newtonsches Gesetz als die in sich einfachsten axiomatisch aufzustellen; es liegt in diesem Falle kein Grund vor, andere Gesetze zu wählen. Dann ist also von den aufgeführten Axiomsystemen dem Beispiel 1 a der Vorzug zu geben. Da Dingler von der genannten Voraussetzung (Physik als axiomatische Wissenschaft) ausgeht, so hat er demnach Recht, dieses System seinem Verfahren der „reinen Synthese“ zugrunde zu legen, unter Ablehnung der anderen Systeme. Wird ein Fernwirkungsgesetz für unzulässig gehalten (die Gründe dafür können hier nicht erörtert werden), so dürfte dem Wienerschen System der Vorzug zukommen. Ganz anders liegt aber die Sache, wenn nicht nur der erste, sondern auch der zweite und dritte Teil der Physik (bei unserer Einteilung) mitberücksichtigt werden, und die Forderung der Einfachstheit sich auch auf sie beziehen soll. Die früheren Überlegungen haben schon gezeigt, daß je nach Wahl der Axiome des ersten Bandes sich verschiedene Gestalten für den zweiten und dritten ergeben. Und zwar wird der dritte um so einfacher, je einfacher der zweite ist. Denn da das Gefüge unserer Wahrnehmungen gegeben ist und keiner Wahlbestimmung mehr unterliegt, so wird der aus ihm durch die Übersetzung sich ergebende Weltzustand um so einfacher, je einfacher die zweite Rubrik des der Übersetzung zugrunde liegenden Wörterbuches ist. Deshalb kommt es im Ergebnis auf dasselbe heraus, ob der Maßstab der Einfachstheit an den zweiten oder an den dritten Band angelegt wird. Da aber die Nachprüfung der Einfachheit der den einzelnen Empfindungsinhalten entsprechenden physikalischen Vorgänge leichter ist, als die der Einfachheit des (praktisch nie bekannten) Zustandes der gesamten Welt, so wird das Kriterium zweckmäßiger auf den zweiten Band bezogen und die Forderung so ausgedrückt: die physikalischen Axiome sind derart zu wählen, daß die physikalischen Vorgänge, die den einzel7 Die Naturwissenschaften VIII, 1920, S. 121 [[Haas 1920]].

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ity concerned? Two different paths to a unified science suggest themselves, according to the answer one gives to this question. The first part is usually regarded as the most important part of physics. It is even frequently seen as the only one. This view is expressed, e.g., when physics is defined as the science of natural laws, or when it is claimed that it must eliminate “subjective qualities”, by which are meant sensory contents. This conception can be maintained; what we called the second and third parts of physics would have to be assigned to the fields of physiological psychology of the senses and of a (not extant) descriptive total science, to which astronomy and geography would belong, among other [[disciplines]]. If the boundary of the discipline is drawn here (how one judges this move is basically just a question of linguistic usage), then Haas is right to regard an ideal “physics as geometrical necessity”, i.e., as an axiomatic system of pure deduction.7 In this case it may very well seem reasonable for physics to apply the requirement of maximal simplicity to the first part, without taking into account the other parts which then do not belong to it. If physics proceeds along this first path, then Euclidean geometry and Newton’s laws must be set down axiomatically, since they are the simplest ones; in this case, there is no reason to choose other laws. Preference is then to be given, among the axiom systems discussed, to Example 1 a. Since Dingler proceeds from the above-mentioned presupposition (physics as axiomatic science), he is accordingly right to place this system at the foundations of his procedure of “pure synthesis”, while rejecting the other systems. If an action-at-a-distance law is held to be inadmissible (the grounds for this cannot be discussed here), Wiener’s system is probably preferable. Things look quite different if we take not only the first, but also the second and third parts of physics (according to our classification) into account. The above considerations have already shown that, according to the choice of axioms for the first volume, different forms result for the second and third volumes. And in fact, the simpler the second volume, the simpler the third. For, since the configuration of our perceptions is given, and not subject to further choices, the state of the world that arises from it through the translation will be simple in proportion to the simplicity of the the second column of the dictionary that provides the basis of the translation. Hence, as far as the result is concerned, it will make no difference whether the measure of maximal simplicity is applied to the second or the third volume. Since, however, it is easier to establish the simplicity of the physical processes that correspond to individual sensory contents than the simplicity of the state of the entire world (which is never really known), the criterion is more usefully applied to the second volume, and the requirement expressed as follows. The physical axioms are to be chosen so that the physical processes correlated with individual

7 Die Naturwissenschaften VIII, 1920, S. 121 [[Haas 1920]].

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nen Empfindungsinhalten und den Komplexen von solchen zugeordnet werden, möglichst einfach sind; und unter den Axiomsystemen, die dieser Forderung in gleicher Weise genügen, ist das in sich einfachste auszuwählen. Das ist der zweite Weg. Ein sicheres Urteil darüber, auf welches der angeführten oder sonstigen Axiomsysteme beim Einschlagen dieses Weges die Wahl fallen muß, kann noch nicht abgegeben werden. Denn weder ist irgendeine der Theorien im Hinblick auf diesen Weg aufgebaut, noch sind Untersuchungen darüber angestellt worden, wie sich die einzelnen Theorien verhalten, wenn sie von diesem Gesichtspunkte aus auf Einfachheit geprüft werden. Auch müßten zuvor genauere Kriterien zur Bestimmung des Grades der | Einfachheit eines physikalischen Vorganges aufgestellt werden. Doch lassen sich immerhin schon einige abschätzende Vermutungen aussprechen. Die axiomatisch einfachsten Systeme von Dingler und Wiener scheinen hierbei nicht den Vorrang zu haben. Besonders für die optischen Vorgänge wird Dingler, der die Ausführung noch nicht versucht hat, zu den gewöhnlichen materiellen Atomen noch Atome zweiter und vermutlich einiger höherer Stufen annehmen müssen, die eine äußerst komplizierte Struktur ergeben werden. Denn eine dem verhältnismäßig einfachen Aufbau des Atoms aus Elektronen entsprechende Struktur ist in seinem System nicht möglich, da nur anziehende Kräfte angenommen werden. Bei Wiener ist der Aufbau der Theorie in den Grundzügen angedeutet. Danach scheint die Struktur sehr kompliziert zu werden; z. B. entspricht dem Elektron wahrscheinlich ein schraubiger Wirbelring dritter Ordnung aus Ätherteilchen. Nach der allgemeinen Relativitätstheorie dagegen ergibt sich vermutlich eine einfachere Struktur. Es handelt sich da z. B. bei den Elektronen um bestimmte Gestaltungen des Vierervektorfeldes auf Grund gewisser singulärer Lösungen der Gleichungen (die aber noch nicht durchgeführt sind). Diese Gestaltungen zeigen vielleicht, abgesehen von den minimalen, im allgemeinen zu vernachlässigenden Änderungen durch die gegenseitige Einwirkung, Kugelsymmetrie. Vor allem ist aber hervorzuheben, daß es sich sowohl bei dem Vektor-, wie bei dem Tensorfeld nur um Bestimmungen der Weltmetrik handelt. Im eigentlichen, alten Sinne „physikalische“ Zustandsgrößen, nämlich solche, die nicht nur die geometrischen Maßverhältnisse der Welt bestimmen, gibt es in dieser Theorie (in der Weylschen Form, 3 b) überhaupt nicht. Andrerseits ist aber die Struktur der physikalischen Vorgänge nach dieser Theorie vorläufig noch nicht sicher vor weiteren Komplizierungen, die sich vielleicht noch aus den mit der Quantentheorie zusammenhängenden Erscheinungen ergeben; während, wie es scheint, die (an sich schon kompliziertere) Struktur nach der Wienerschen Theorie hiervon weniger zu befürchten hat.

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sensory contents and complexes of them are as simple as possible; and among the axiom systems that satisfy this requirement to the same extent, the one that is simplest in itself is to be chosen. That is the second way. A definitive verdict cannot yet be delivered as to which of the axiom systems, discussed or otherwise, the choice should fall upon. For none of the theories has been constructed with an eye to this path, nor have investigations been conducted of how the individual theories behave if they are tested for maximal simplicity from this viewpoint. In addition, more exact criteria for the determination of the degree of simplicity of a physical process must first be drawn up. Yet a few preliminary conjectures can be advanced. The systems of Dingler and Wiener, though axiomatically the simplest, do not seem to have the advantage here. Regarding optical processes in particular, Dingler, who has not yet attempted to work this out, will have to assume, on top of the customary material atoms, atoms of second and presumably a few higher levels, which will result in an exceedingly complicated structure. For a structure corresponding to the relatively simple construction of atoms out of electrons is not possible in his system, since only attractive forces are assumed. For Wiener, there is some indication how the theory would be built up. On this account, the structure seems to become very complicated; e.g., to the electron there probably corresponds a spiral vortex ring of third order made up of aether particles. According to general relativity theory, in contrast, a simpler structure would appear to result. Electrons, in this case, are certain configurations of the four–dimensional vector field on the basis of certain singular solutions of the equations (which have not yet been carried out). These configurations may show spherical symmetry, ignoring the minimal — in general negligible — perturbations from reciprocal interaction. Above all, however, it is to be emphasized that, both for vector and for tensor fields, what is involved are only determinations of the world–metric. “Physical” state magnitudes in the genuine, old sense, namely those that determine not merely the geometrical metrical relationships of the world, do not exist at all in this theory (in the form Weyl gives it, 3 b). On the other hand, though, the structure of physical processes according to this theory is at this point not yet secure against further complications, which perhaps will yet arise from the phenomena connected with quantum theory; while it seems that the structure according to Wiener’s theory (in itself certainly more complicated) has less to fear from this.

g

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V.

Über die Aufgabe der Physik (1923a)

Das Ergebnis. Voraussetzungen zur Beurteilung physikalischer Theorien

Unsere Überlegungen haben gezeigt, daß für den Aufbau der Physik drei frei zu wählende Festsetzungen getroffen werden müssen: Raumgesetz, Zeitgesetz, Wirkungsgesetz. Und zwar soll die Wahl nach dem Grundsatz der Einfachstheit erfolgen. Für dessen Anwendung zeigen sich aber zwei verschiedene Möglichkeiten: er kann entweder auf den axiomatischen Teil der Physik bezogen werden, oder auf die phänomenal-physikalischen Zuordnungen und damit auch auf den | deskriptiven Teil. Eine Entscheidung zwischen diesen beiden Wegen wird hier nicht gegeben. Der Zweck der Überlegungen besteht darin, die für die Entscheidungen zwischen verschiedenen, logisch gleichberechtigten, physikalischen Theorien wesentliche Fragestellung anzugeben. Um eine solche Entscheidung zwischen mehreren vorliegenden physikalischen Axiomsystemen zu fällen, sind folgende Vorfragen zu beantworten. Zunächst muß die Wissenschaft sich darüber einigen, in welcher der beiden angegebenen Arten der Grundsatz der Einfachstheit angewandt werden soll. Wird beschlossen, den ersten Weg einzuschlagen, so sind Kriterien aufzustellen, die es gestatten, den Grad der Einfachheit eines Axiomsystems in sich, d. h. ohne Rücksicht auf seine Anwendung, zu bestimmen. Und diese Kriterien sind dann an die vorgelegten Axiomsysteme anzulegen, oder es ist in Hinsicht auf sie ein neues System aufzustellen. In der Richtung dieser Aufgabe ist von Dingler schon Wichtiges geleistet. Kommt man dagegen zu dem Schluß, daß der zweite der dargelegten Wege begangen werden müsse, so wird die Aufgabe schwieriger. Denn hierbei sind nicht einfach die Axiomsysteme selbst zu prüfen. Allerdings handelt es sich auch nicht darum, wie eine verbreitete realistische Auffassung meint, unter den Axiomsystemen zunächst diejenigen auszulesen, die „in Übereinstimmung mit den Tatsachen der Wirklichkeit“ stünden. Denn da die Axiome gar nicht Beobachtungsinhalte zum Gegenstand haben, sondern nur formale Bestimmungen, die den Wahrnehmungsinhalten zugeordnet werden, so kann man für jedes beliebige Axiomsystem das erzielen, was „Übereinstimmung mit der Wirklichkeit“ genannt wird. Man braucht dazu nur den Zuordnungsbeziehungen die geeignete Form zu geben (die „gültigen Zuordnungsbeziehungen“). Dabei können sich für die verschiedenen Axiomsysteme „gültige Zuordnungsbeziehungen“ ergeben, die sich in bezug auf Einfachheit außerordentlich voneinander unterscheiden. Hierin liegt der richtige Kern jener logisch nicht haltbaren Unterscheidung der „richtigen“ und „falschen“ Systeme. Denn wenn man zu sagen pflegt, eine Theorie T1 stimme zu gewissen Beobachtungen, eine andere T2 aber nicht; oder auch, was dasselbe besagt, T2 bedürfe im Gegensatz zu T1 zur Erklärung jener Beobachtungen eigens hierfür aufgestellter Hypothesen, so ist der richtige Sinn dieses Satzes der, daß man auf Grund von T2 den Wahrnehmungsinhalten dieser Beobachtungen physikalische Vorgänge von weit komplizierterer Struktur zuordnen muß, als auf Grund von T1 .

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On the Task of Physics (1923a)

V.

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The Result. Preconditions for Evaluating Physical Theories

Our discussion has shown that three stipulations, to be chosen freely, are required for the construction of physics: a space postulate, a time postulate, and a causal law. The choice should follow the principle of maximum simplicity. We have seen that there are two different possibilities, though, for the application of this principle: it can be taken as referring either to the axiomatic part of physics or to the phenomenal–physical correlation, and therewith also to the descriptive part. No decision between these two possibilities is made here. The purpose of the discussion is rather to exhibit the relevant questions for deciding between different physical theories that are equally justified from a logical viewpoint. Before a decision between several candidate theories can be reached, the following preliminary question must be answered. First, science has to come to a consensus as to which of the two kinds of maximal simplicity principle should be applied. If we are to take the first path, then criteria must be supplied by which we can determine the degree of simplicity of an axiom system in itself, i.e., without regard to its application. These criteria then have to be applied to the given axiom systems, or a new axiom system has to be developed taking these criteria into account. Dingler has already made important progress in this direction. If, on the other hand, we conclude that the second of the proposed paths is to be followed, then the task becomes more difficult. For in that case it is not just the axiom systems themselves that have to be examined. It is not, as a popular realistic conception would have it, that we have to pick out, among the axiom systems, those which are “in correspondence with the facts of reality”. For, since the axiom systems do not concern themselves with observation contents — they are rather purely formal determinations, coordinated with items of perceptual content — what is called “correspondence with reality” can be achieved for any arbitrary axiom system. To do this, one need only put the coordination relations in the proper form (the “valid coordinations”). When this is done, we may obtain “valid coordinations” for various axiom systems greatly differing in simplicity. This is the correct core of the logically untenable distinction between “correct” and “false” systems. For when we say that a theory T1 accords with certain observations, but another one T2 does not; or also (and this means the same thing) that in contrast to T1 , T2 requires new and ad hoc hypotheses in order to explain these observations, the correct sense of this sentence is that we have to assign structurally much more complex physical processes to the perceptual content of these observations on the basis of T2 than on the basis of T1 .

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Wird also der zweite Weg für richtig gehalten, so sind zunächst auf Grund jedes der zur Wahl stehenden Axiomsysteme die „gültigen Zuordnungsbeziehungen“ (das „phänomenal-physikalische Wörterbuch“) aufzustellen. „Gültig“ heißen die Zuordnungsbeziehungen dann, wenn sie jeder tatsächlich gegebenen, zeitlichen Reihe von Empfindungsinhalten (mindestens) eine auf Grund der Axiome | mögliche physikalische Ablaufreihe zuordnen. Um nun diese gültigen Zuordnungsbeziehungen der verschiedenen Systeme auf Einfachheit hin prüfen zu können, müssen vorher erstens Richtlinien darüber aufgestellt sein, welche Empfindungsinhalte und Komplexe von solchen hier für wesentlich gehalten werden und als Prüfpunkte dienen sollen (denn es kann nicht die unendliche Menge aller vorkommenden berücksichtigt werden). Zweitens müssen Maßstäbe festgesetzt sein, um den Grad der Einfachheit der Struktur physikalischer Vorgänge bestimmen zu können. Die Schwierigkeit der willkürfreien Festsetzung dieser Maßstäbe ist übrigens nicht so groß, wie es vielleicht auf den ersten Blick scheint. Denn unter „physikalischen Vorgängen“ sind hier ja rein formale Komplexe verstanden („Ordnungsgefüge“ der Beziehungslehre). Bei der Beurteilung der Einfachheit ihrer Struktur sind also durchaus keine anderen Eigenschaften in Betracht zu ziehen, als sie z. B. die Gebilde der (formalen) Geometrie zeigen. Hiermit ist gezeigt, welche Entscheidungen getroffen und welche Kriterien aufgestellt werden müssen, um die Beurteilung einer physikalischen Theorie und insbesondere die Auswahl unter mehreren nebeneinander stehenden Theorien dem Bereich des bisher hier allein regierenden wissenschaftlichen Instinkts zu entziehen und unter die Herrschaft bewußter Grundsätze der Wissenschaftslehre zu stellen.

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So, if the second path is considered the right one, we will first have to set down the “valid coordinations” (the “phenomenal–physical dictionary”) on the basis of each of the candidate axiom systems. The coordinations are called “valid” if they assign to each actually given, temporal sequence of items of perceptual content (at least) one physical course of events that is possible on the basis of the axioms. In order to determine the simplicity of these valid coordinations, we have first to establish guidelines as to which perceptual contents and complexes are to be taken as essential and thus as test points (since we cannot take into account the infinite set of all of them). Secondly, standards must be stipulated to make it possible to determine the degree of simplicity of the structure of physical processes. Incidentally, the non-arbitrary stipulation of such criteria is not as difficult as it might seem at first glance. For what we mean by “physical processes” are purely formal configurations (“order configurations” of the theory of relations). Hence, when evaluating the simplicity of their structure, we need not consider properties other than those exhibited by, e.g., the figures of (formal) geometry. We have shown, then, what decisions have to be made and what criteria have to be specified to remove the evaluation of a physical theory, and especially the choice among several alternative theories, from the domain of scientific instinct, which has always reigned alone here, and to subject them to considered principles of the study of science.

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Editorial Notes

Information on the Text Originally published in: Kant-Studien 28, no. 1/2 (1923), pp. 90–107. The initial translation was made by members of Thomas Ryckman’s Aufbau seminar at the University of California, Berkeley, Spring 2000: Johannes Hafner, Paolo Mancosu, Chris Pincock, Thomas Ryckman, Henning Treuper, Herb Wilson, and Richard Zach. Revised by Michael Friedman and A .W. Carus. A first draft of this paper from the summer of 1921 is preserved (ASP 11005-07); it was evidently intended as a joint publication or exchange with Hugo Dingler, though this plan was abandoned a few months later: “Dingler and I gave up the earlier plan of a joint publication when we noticed, at a thorough discussion (September [1921] in Jena), that despite agreement in important fundamental questions our standpoints are after all too far apart.” (ASP 08148-04) The content of this early draft hardly differs from the final one, but the conventionalist tone is more pronounced, as is especially evident in its opening lines: “The goal here is above all to set up a clear demarcation [[Abgrenzung ]] vis-à-vis the empirical standpoint claiming that physics can be built up on the basis of experimental results alone, without setting up non-experiential principles . . . Against this it is to be emphasized that . . . stipulations must be undertaken that are subject to our free choice; that, more precisely, are in no way forced on us by empirical findings.” (ASP 110-05-07, p. 1) In his “Intellectual Autobiography” Carnap relates: In an article on the task of physics [[Carnap 1923a]] I imagined the ideal system of physics as consisting of three volumes: The first was to contain the basic physical laws, represented as a formal axiom system; the second to contain the phenomenal-physical dictionary, that is to say, the rules of correspondence between observable qualities and physical magnitudes; the third to contain descriptions of the physical state of the universe for two arbitrary time points. From these descriptions, together with the laws contained in the first volume, the state of the world for any other time-point would be deducible (Laplace’s form of determinism), and from this result, with the help of the rules of correspondence, the qualities could be derived which are observable at any position in space and time. The distinction between the laws represented as formal axioms and the correlations to observables was resumed and further developed many years later in connection with the theoretical language. (Carnap 1963c, p. 15)

Editorial Notes a. [p. 217] “So even for those who admit the basic principles of ‘critical conventionalism’ as described (i.e., the choosability of the above stipulations and the requirement of maximal simplicity), there are still two different ways to go.”

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The expression “critical conventionalism” was used by Carnap to describe Dingler’s position in 1921a above, p. 15. He makes clear in the present paper (as in Der Raum) that the criteria for that appellation mentioned here still leave open the choice between two very different (or a wide spectrum of) alternatives, and that he and Dingler differ in their choice. b. [p. 217] “The question now is: Does the requirement of maximal simplicity hold for the basic law or for the description of the state of the world made on the basis of this law?” This is a simplified and slightly misleading statement of the question at issue here (as Carnap is himself aware; see note g below) — the central question of this paper (as well as of Der Raum and its 1920 predecessor); “simplicity of the description of the state of the world made on the basis of the physical axioms” is vague and can be understood in many ways (including “simplicity of the axioms”). In section III of this paper we find a somewhat more precise statement, expressed in terms of the three “volumes” of a completed physics imagined as a kind of ideal fiction (pp. 221–233; note c below): the question is whether to maximize the “simplicity” of just the first volume, or that of the entire set of three volumes. More specifically, Carnap focuses on the second volume, the “dictionary” of correspondences between physical terms and observational complexes and, rather than the vague “maximize the simplicity of the three-volume system of physics”, he proposes that the “physical axioms are to be chosen so that the physical processes correlated with individual sensory contents and complexes of them are as simple as possible”. This is still hard to fathom, however, until one sees that what he specifically had in mind (or later clarified to himself that he should have had in mind) was the kind of simplification of measurement described on pp. 71–77 of Der Raum that led to the somewhat less vague proposal (p. 77): “if, relative to a reference body, the other bodies exhibit numerically identical behavior no matter what their individual differences, then, in order to simplify the representation of laws, one should try to portray this agreement as merely apparent by attributing the opposite behavior to the original reference body”. So Carnap’s view during this period is perhaps better stated as recommending that a different desideratum from Dingler’s be maximized, rather than (as Carnap puts it in the present paper) a “more general” one. It is not a question of “extending” a single well-defined principle of simplicity from “just the axioms” to “the whole system”, but a question of two quite different definitions or criteria of “simplicity”. (Also see notes s, t, v on pp. 188, 190, 191 to Der Raum above.) Regarding the relations among these different forms of the question, it seems that, despite the later publication date of 1923a, the phrasing of Der Raum should be regarded as the later and more considered one. The revisions to 1923a between its first draft, which appears to predate Der Raum, and publication were quite minor. It is also interesting to note that there are signs of a move, in the formulations of Der Raum, to a more empiricist position. The form of the principle of simplicity given in the quotation from Der Raum above is explicitly called a special case of Mach’s principle of economy, and its

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Editorial Notes

principal advantage over its Dinglerian rival is now specifically that it makes it more possible “to take the facts of experience into account” (p. 77 above), a consideration absent in the present paper. c. [p. 223] “He would need three kinds of knowledge for this; the completed representation of physics consists, metaphorically speaking, of three volumes.” In his intellectual autobiography, Carnap thought this idea worth recounting; see the passage quoted above in the section “Information on the Text”. And some later writers have alluded to this image of the three volumes, e.g. Howard Stein (1994). d. [p. 223] “The first volume therefore contains synthetic a priori propositions, although not exactly in the Kantian transcendental–critical sense.” This allusion to “synthetic a priori propositions” is consistent with Der Raum if we assume that, in Carnap’s view at this time, the topological n dimensional framework for all specifications of physical space is in fact to be regarded as “synthetic a priori . . . in exactly the Kantian transcendental–critical sense”, and thus, though not itself part of the “first volume”, it constrains the possible forms in which any given item in that volume may be stated. For, unlike the statements in this volume, it does express “necessary conditions of the objects of experience, themselves conditioned by the forms of intuition and thought”. (See also note k on Der Raum.) e. [p. 225] “Mie–Hilbert. From the world law follow: the general Riemannian geometry for four dimensions; the ten fundamental equations of Mie’s theory of matter.” Carnap refers here to Gustav Mie’s electromagnetic theory of matter (Mie 1912; 1913), that many leading authors involved in the discussions surrounding general relativity, including Hilbert (1916), commented on. f. [p. 229] “As logical analysis shows (Russell, Mongré–Hausdorff, the latter do not belong to the momentary properties, although they may be treated as such mathematically.” “Paul Mongré” is a pseudonym of Felix Hausdorff. g. [p. 237] “A definitive verdict cannot yet be delivered as to which of the axiom systems, discussed or otherwise, the choice should fall upon.” As in Der Raum, Carnap leaves open the central question raised here (note b above), and indeed does much less than in Der Raum to argue that Einstein’s choice is to be preferred to Dingler’s (see notes s, t, v to pp. 188, 190, 191 on Der Raum). Part of the reason may be the origin of the present paper in a dialogue with Dingler himself (note a above); but it is worth noting that Carnap here also gives a specific reason for withholding judgment at present: “For none of the theories has been constructed with an eye to this path, nor have investigations been conducted of how the individual theories behave if they are tested for maximal simplicity from this viewpoint. [[Denn weder ist irgendeine der Theorien im Hinblick auf diesen Weg aufgebaut, noch sind Untersuchungen darüber angestellt worden, wie sich die einzelnen Theorien verhalten,

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wenn sie von diesem Gesichtspunkte aus auf Einfachheit geprüft werden.]]” (immediately following the passage to which this note refers). It seems that he is more willing here than in Der Raum or other published writings of this period to advance the claims of philosophy of science as an arbiter of competing scientific theories or competing mathematical languages in which to represent them; this is also consistent with the final paragraph of the present paper; see note h below. Carnap also admits, in this context, that the criterion of simplicity he himself advocates is insufficiently precise to serve this ambitious purpose even in the somewhat more explicit version he has just articulated; see note b above: “more exact criteria for the determination of the degree of simplicity of a physical process must first be drawn up”. h. [p. 241] “We have shown, then, what decisions have to be made and what criteria have to be specified to remove the evaluation of a physical theory, and especially the choice among several alternative theories, from the domain of scientific instinct, which has always reigned alone here, and to subject them to considered principles of the study of science.” The formulation here is a (conscious or unconscious) echo of something Carnap had written a few years earlier, on the eve of the 1918 Revolution that would topple the monarchy and bring parliamentary government to Germany, in an impassioned discussion of the political situation then in his article “Germany’s Defeat” (see introduction to this volume, pp. xxvi–xxvii, where the earlier passage echoed here is quoted and discussed in context).

A. W. Carus

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1924a Dreidimensionalität des Raumes und Kausalität: Eine Untersuchung über den logischen Zusammenhang zweier Fiktionen Three-Dimensionality of Space and Causality: An Investigation of the Logical Connection Between Two Fictions

Inhalt Einleitung. Drei Thesen. I. Die Erfahrung 1. und 2. Stufe; primäre und sekundäre Welt. II. Die Dimensionszahl (DZ). a) Begriff der DZ eines Bereiches. b) Die primäre Welt (der Sinnesempfindungen) ist (2 + 1)-dimensional. c) Die sekundäre (physikalische) Welt ist (3 + 1)-dimensional. III.Die Determiniertheit. a) Begriff der Gesetzmäßigkeit; determinierende und beschränkende Gesetze. b) Die Determiniertheit der physikalischen Welt. c) Die primäre Welt zeigt keine Determiniertheit. IV. Der Zusammenhang der beiden Fiktionen. Zusammenfassung der Ergebnisse.

(Die kleingedruckten Abschnitte können ohne Unterbrechung des Gedankenganges überschlagen werden. Sie dienen zur Anführung von Beispielen, zur näheren Begründung oder Erläuterung, zur Klärung von Einwänden oder zur schärferen Präzisierung, die den Text unnötig komplizieren würde.)

Einleitung a

b

Von der Humeschen Prüfung des Kausalitätsbegriffs bis zur Als-Ob-Lehre Vaihingers hat sich immer deutlicher die Erkenntnis geklärt, daß die Kausalität, wenn sie als Wirkungsverhältnis aufgefaßt wird, eine Fiktion darstellt, der das erlebte Verhältnis eines tätigen Willens zu seiner Tat zugrunde liegt. In der Erfahrung finden wir nicht dieses Kausalitätsverhältnis, wenigstens nicht in der „Erfahrung erster Stufe“, wenn wir hierunter das unmittelbar Gegebene in seiner ursprünglichen Ordnung verstehen. Diese Erfahrung erster Stufe zeigt nach | heutiger Auffassung nur „unabänderliche Sukzessionen“1 , Gesetzmäßigkeiten von der Art, daß auf bestimmte Vorgänge regelmäßig bestimmte andere folgen. Demgegenüber soll im folgenden gezeigt werden, daß die Fiktivität noch weiter geht. Unsere erste These lautet: der Ablauf des Geschehens in der Erfahrung (erster Stufe) zeigt keine Gesetzmäßigkeit; auch diese ist schon Fiktion. Und noch in einem anderen Punkte geht unsere Auffassung der Fiktivität über die bisherige hinaus. Daß die Konstruktion eines Raumes von vier oder mehr Dimensionen eine Fiktion ist, braucht nicht mehr nachgewiesen zu werden. Darüber hinaus besagt nun die zweite These: auch der dreidimensionale 1 Vaihinger, S. 310, 317 f. [[Vaihinger 1913]]

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Contents Introduction. Three theses. I. Experience of first and second order; primary and secondary worlds. II. Dimension number (DZ) a) Concept of the DZ of a domain. b) The primary world (of sensory impressions) is (2 + 1)-dimensional. c) The secondary (physical) world is (3 + 1)-dimensional. III.Determinacy. a) Concept of lawfulness; determining and constraining laws. b) Determinacy of the physical world. c) The primary world exhibits no determinacy. IV. The connection between the two fictions. Summary of results.

(The sections in small print can be omitted without interruption of the argument. They serve for introducing examples, for closer justification or explanation, for clarification of objections, or for more precise formulations which would unnecessarily make the text more complicated.)

Introduction From Hume’s critique of the concept of causality to the “as–if” doctrine of Vaihinger, the recognition has grown ever clearer that causality, conceived of as a relation of cause and effect, represents a fiction, based on the lived relation of an active will to its act. We do not find this causal relation in experience, at least not in “experience of first order”, where we understand by this the immediately given in its original ordering. This experience of first order, according to the contemporary conception, exhibits only “unalterable succession”1 — lawfulness such that certain processes follow certain other processes in accordance with a rule. By contrast, it will be shown in the following that fictivity goes even further. Our first thesis is: the course of what happens in experience (of first order) exhibits no lawfulness; even this is already a fiction. Our conception of fictivity also extends beyond the hitherto accepted one on another point. That the construction of a space of four or more dimensions is a fiction no longer needs to be demonstrated. Our second thesis goes further: even three-dimensional space is already a fictive enlargement of the two-dimensional space of (primary) experience. 1 Vaihinger, pp. 310, 317 f. [[Vaihinger 1913]].

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Raum ist schon eine fiktive Erweiterung des zweidimensionalen Raumes der (primären) Erfahrung. Das wichtigste Ziel der folgenden Überlegungen besteht jedoch nicht in dem Nachweis dieser beiden Fiktionen, die unschwer als solche zu erkennen und vielleicht auch schon früher hier und da als solche dargestellt sind, verborgen durch andere Ausdrucksweise. Sondern es liegt in der Verknüpfung beider. Dimensionszahl des Raumes und Gesetzmäßigkeit des Geschehens sind bisher überhaupt kaum in Verbindung miteinander gebracht worden (Weyls Hinweis auf die einfachste Integralinvariante der vierdimensionalen Mannigfaltigkeit wäre vielleicht zu nennen). Die dritte These lautet: Die Fiktion der Dreidimensionalität des Raumes (gleichbedeutend mit der Vierdimensionalität des Weltgeschehens) ist die logische Folge der Gesetzmäßigkeit des Geschehens.

I.

Die Erfahrung erster und zweiter Stufe. Die primäre Welt der Sinnesempfindungen und die fiktiven sekundären Welten der Dinge und der Physik

Die Kritik, die besonders von positivistischer Seite am Kantischen Begriffe der Erfahrung geübt worden ist, hat gelehrt, daß durchaus nicht allen Formfaktoren in ihr, denen Kant Notwendigkeit zuschreibt, solche zukommt. Die (sinnliche) Erfahrung zeigt zwar notwendig eine gewisse räumliche und zeitliche Ordnung, ferner bestimmte qualitative Beziehungen der Gleichheit und Ungleichheit. Dagegen ist die Zusammenfassung gewisser Er|fahrungselemente zu „Dingen“ mit „Eigenschaften“, ferner die Zuordnung gewisser Erfahrungselemente zu anderen als ihre „Ursachen“ durchaus nicht notwendig, d. h. Bedingung jeder möglichen Erfahrung. Sondern es ist Sache freier Wahl, ob diese Verarbeitung geschieht, und auch in weitem Maße, wie sie geschieht. Wir bezeichnen die Erfahrung, die nur notwendige Formung trägt, als „Erfahrung erster Stufe“, die weiterverarbeitete als „Erfahrung zweiter Stufe“. Aus der genannten Wahlfreiheit folgt, daß sich aus der einen Erfahrung erster Stufe verschiedene Arten von Erfahrungen zweiter Stufe erzeugen lassen, je nach der weiteren Umformung, die vorgenommen wird. Solcher Umformungen wollen wir hauptsächlich zwei verschiedene Arten unterscheiden: die „gewöhnliche“ und die „physikalische“. Ihnen entsprechen die Erfahrung zweiter Stufe, wie wir sie im täglichen Leben gewohnt sind, bzw. die der (theoretischen) Physik. Diese Unterscheidung ist jedoch nur eine ganz grobe und kann daher auch nur in einigen Umrissen gekennzeichnet werden; in beiden Fällen gibt es noch mannigfaltige Unterarten. Die „gewöhnliche“ Umformung wendet hauptsächlich die Kategorien der Substanzialität und Kausalität an. Hier hat die Erfahrung zweiter Stufe es mit Dingen und ihren Eigenschaften zu tun, und zwar Eigenschaften von der Art sinnlicher Qualitäten: Farbe, Härte usw. Die Dinge tun und leiden etwas. Sie üben Kräfte aufeinander aus. Die Geschehnisse werden als Wirkungen und Ursachen aufgefaßt.

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However, the most important aim of the following considerations does not consist in the demonstration of these two fictions, which are not difficult to recognize as such and have even already been presented as such here and there, hidden by other modes of expression. It lies, rather, in the connection between the two. The dimension number of space and the lawfulness of occurrences have hardly ever been brought into relation with each other before (Weyl’s reference to the simplest integral–invariants of the four-dimensional manifold should perhaps be mentioned). Our third thesis is: The fiction of three-dimensional space (equivalent to the four-dimensionality of occurrences) is the logical consequence of the lawfulness of occurrence.

I.

Experience of First and Second Order. The Primary World of Sense Impressions and the Fictitious Secondary Worlds of Things and of Physics

The critique that has been made of the Kantian concept of experience, especially from the side of positivism, has taught us that not all form factors in experience to which Kant ascribes necessity possess it. To be sure, (sensible) experience necessarily exhibits a certain spatial and temporal ordering, and also certain qualitative relations of equality and inequality. By contrast, the grouping together of certain elements in experience as “things” with “properties”, and also the coordination of certain elements to others as their “causes”, is not necessary — i.e., not a condition of every possible experience. It is rather a matter of free choice whether this elaboration takes place, and also, to a large extent, how it takes places. We designate experience that exhibits only necessary formation as “first-order experience”, and experience that is processed further as “second-order experience”. It follows from the freedom of choice in question that different types of second-order experience can be generated from a single first-order experience, in accordance with the respective further re-formations that are undertaken. We wish to distinguish primarily between two different types of such re-formation: the “ordinary” and the “physical”. To these correspond the second-order experience to which we are accustomed in daily life and that of (theoretical) physics, respectively. However, this distinction is only a very rough one and can therefore only be characterized in broad outlines; in both cases there are manifold subspecies. The “ordinary” re-formation primarily employs the categories of substantiality and causality. Here second-order experience applies to things and their properties, and in fact with properties such as sensible qualities: color, hardness, etc. Things act and are acted upon. They exert forces on one another. Occurrences are conceived of as effects and causes.

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Die „physikalische“ Umformung dagegen kennt kein Kausalitätsverhältnis im Sinne einer Wirkung, und in ihrer reinsten Form auch keine Substanzialität. Sie konstruiert eine von sinnlichen Qualitäten freie Welt, in der es nur Raum- und Zeitgrößen und gewisse nichtsinnliche Zustandsgrößen gibt. In der reinsten Form haben auch diese drei Größenarten keinerlei mit Räumlichkeit, Zeitlichkeit oder Sinnesqualität vergleichbaren Charakter, sondern sind bloße Zahlbestimmungen, d. h. Relationsterme. Aus Gründen der Anschaulichkeit werden trotzdem die Bezeichnungen Raum, Zeit, Vorgänge, Veränderungen usw. beibehalten. Die Beziehung zwischen dieser Art der Erfahrung zweiter Stufe und der der ersten Stufe wird durch eine Zuordnung hergestellt; z. B.: eine gewisse periodische Gestalt der Zustandsgrößenverteilung (physikalisch bezeichnet als elektrische Schwin|gung von bestimmter Schwingungszahl) an einer bestimmten Stelle der physikalischen Welt entspricht der grünen Farbe, die ich in einem bestimmten Augenblick an einer bestimmten Stelle des Gesichtsfeldes empfinde.2 Die Vorgänge der physikalischen Welt wirken nicht aufeinander, sondern es gilt für sie eine Abhängigkeit, die als reine mathematisch-funktionale Beziehung aufzufassen ist, ihre Art wird in Abschnitt III b näher erörtert werden. Wie ersichtlich ist, verwendet die „gewöhnliche“ Umformung eine große Anzahl von Fiktionen, während die physikalische Umformung eigentlich als eine einzige gewaltige, systematische Fiktion zu bezeichnen ist. Die Kühnheit beider Fiktionen wird erst in Abschnitt II c recht deutlich, wo sich zeigt, daß beide eine Erhöhung der Dimensionszahl vornehmen. Den Inhalt der Erfahrung erster Stufe wollen wir als „primäre Welt“ bezeichnen. Diese besteht also in dem noch nicht irgendwie gedeuteten Inhalt der Sinnesempfindungen. Sie entspricht im ganzen wohl dem, was in der Erkenntnistheorie das Gegebene (Rehmke) oder die Gignomene (Ziehen) genannt wird, wenn sie auch, wie später gezeigt wird, zum Teil ganz andere Eigenschaften hat als ihr in diesen Theorien zugeschrieben werden. Die neukantische Philosophie kennt die primäre Welt nicht, da ihre Auffassung, die Formen der Erfahrung zweiter Stufe seien notwendig und eindeutig, sie verhindert, den Unterschied zwischen der primären und der sekundären Welt zu erkennen. Ihre eigentliche Leistung, nämlich der Nachweis der gegenstanderzeugenden Funktion des Denkens, bleibt jedoch bestehen und liegt auch unserer Auffassung von der sekundären Welt zugrunde. Die Frage, ob nicht die primäre Erfahrung noch in zwei Komponenten zu zerlegen sei: nämlich in das ursprüngliche Empfindungschaos und gewisse synthetische Faktoren, die das Chaos zu einer Ordnung umwandeln, sei hier nicht behandelt. Denn es geht hier nicht um die Frage des Ursprunges der Erfahrung, sondern um die Betrachtung der Eigenschaften, die sie hat, wenn sie als „Erfahrung“, und das heißt: als Erkenntnisinhalt, vorliegt; jenes ist eine Frage der Erkenntnistheorie oder eigentlich Metaphysik, diese gehört zu dem, was am besten mit dem Rehmkeschen | Ausdruck „Grundwissenschaft“ zu bezeichnen ist. Die Ele2 Über diese Zuordnungsbeziehung und ihre Bedeutung für das System der physikali-

schen Welt findet sich näheres in: Carnap, „Über die Aufgabe der Physik“, Kantstudien XXVIII, 1923 [[Carnap 1923a]].

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The “physical” re-formation, by contrast, has no causal relations in the sense of actions — nor, in its purest form, substantiality. It constructs a world free of sensible qualities in which there exist only spatial and temporal magnitudes, together with certain non-sensible state-magnitudes. In its purest form, moreover, these three types of magnitudes have no character comparable with spatiality, temporality, or sensible qualities, but are rather mere numerical determinations, i.e., relational terms. In spite of this, the designations space, time, processes, alterations, etc., are retained for the sake of intuitive accessibility. The relationship between this type of second-order experience and that of first order is established by means of a coordination. For example, a certain periodic form of distribution of a state-magnitude (physically designated as electrical vibrations of a certain frequency) at a certain location in the physical world corresponds to the color green I sense at a certain moment and a certain location in the visual field.2 The processes in the physical world do not act on one another; rather they are governed by a dependency that is to be conceived of as a purely mathematical, functional relation, the nature of which will be further discussed in section III b. As is evident, the “ordinary” re-formation employs a large number of fictions, whereas the physical re-formation would really have be called a single enormous, systematic fiction. The boldness of the two fictions will first become truly clear in section II c, where it is shown that both undertake to increase the number of dimensions. We will designate the content of first-order experience as the “primary world”. This consists, therefore, in the content of sense impressions that is not yet interpreted in any way. It corresponds on the whole to that which is called in epistemology the given (Rehmke) or the gignomena (Ziehen) — even though, as will be shown later, it has in part quite different properties from those these theories ascribe to it. The notion of a primary world is alien to neo-Kantian philosophy, since its conception that the forms of secondorder experience are necessary and unique hinders it from recognizing the distinction between the primary and secondary worlds. However, its genuine achievement — namely, the demonstration of the object-generating function of thought — remains, and also lies at the basis of our conception of the secondary world. The question whether primary experience is not further to be analyzed into two components — i.e., into the original chaos of sense impressions and certain synthetic factors that transform the chaos into an order — will not be discussed here. For we are not here concerned with the question of the origin of experience, but rather with the consideration of the properties it has when it is present as “experience”, i.e., as cognitive content. The former is a question of epistemology or, properly speaking, metaphysics; the latter belongs to what is best designated by the Rehmkean expression “fundamental science”. The elements of such an experience already stand in certain relations 2 For more on this relation of coordination and its significance for the system of the

world of physics, see Carnap, “Über die Aufgabe der Physik”, Kantstudien XXVIII (1923) [[Carnap 1923a]].

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mente einer solchen Erfahrung stehen stets schon in gewissen Beziehungen zueinander (z. B. räumliche Berührung zweier gleichzeitiger Farbempfindungen im Gesichtsfeld). Das Mindestmaß dieser Beziehungen, also die Menge derjenigen, die nie fehlen, sobald Erfahrung in diesem Sinne vorliegt, bildet die Ordnung der Erfahrung erster Stufe.

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Es muß hier deutlich betont werden, daß es sich bei der primären Welt durchaus nicht um eine Abstraktion handelt (wie etwa bei dem Kantischen „Material der Anschauung“, das für sich nie gegeben ist). Sondern undingliche, ja sogar ganz ungedeutete Empfindungen kommen tatsächlich vor. Für den Fall des wichtigsten Dingerkennungssinnes, des Gesichts, sei z. B. an manche Maler erinnert, die nicht Dinge, sondern Farbenverteilungen sehen, ferner an ein ähnliches Sehen bei abgelenkter Aufmerksamkeit, an das Nichterkennen des Gesehenen bei großen Entfernungen oder schwacher Beleuchtung, an das Sehen operierter Blindgeborener und das vermutlich analog zu denkende Sehen des Kindes im frühesten Alter. Es ist jedoch daran zu erinnern, daß, wenn auch alle diese Fälle nicht vorlägen, die Unterscheidung der beiden Stufen der Erfahrung berechtigt und bedeutungsvoll sein würde in Anbetracht der Notwendigkeit der Formen erster Stufe und der Wahlfreiheit der Formen der zweiten, die sich im Vorhandensein verschiedenartiger sekundärer Welten kundgibt.

Unter der „sekundären Welt“ verstehen wir den Inhalt der Erfahrung zweiter Stufe. Als ihren Vertreter wählen wir für die folgenden Gedankengänge meist die „physikalische Welt“; denn sie ist infolge ihrer methodischen Erzeugung einheitlicher und leichter begrifflich faßbar als die „gewöhnliche Welt“ mit ihren vielen Fiktionen und Anthropomorphismen und in ihren mannigfaltigen Varianten. Welches ist nun die „wirkliche“ Welt, die primäre oder die sekundäre? Nach der übereinstimmenden Auffassung der idealistischen und der realistischen Philosophie, sowie der in der physikalischen Forschung und im gewöhnlichen Leben üblichen Ansicht führt die Konstruktion der sekundären Welt zum Aufbau der „Wirklichkeit“. Die positivistische Philosophie dagegen erkennt nur dem Primären Wirklichkeitswert zu, die sekundäre Welt ist nur eine willkürliche, aus Gründen der Ökonomie ausgeführte Umgestaltung jener. Wir überlassen diese im eigentlichen Sinne transzendente Frage der Metaphysik; unsere immanente Erörterung hat es nur mit der Beschaffenheit der Erfahrung selbst zu tun, insbesondere mit der Unterscheidung ihrer Form|faktoren in notwendige und wahlfreie, die wir primäre und sekundäre nennen, und mit den Beziehungen zwischen beiden Arten. Auch trägt der Ausdruck „Fiktion“ hier keinen metaphysisch-negativen Wertcharakter, sondern bedeutet, daß bei jener Konstruktion gewisse Formfaktoren neu hinzugefügt werden: der Aufbau geschieht so, „als ob“ auch diese Faktoren der Erfahrung notwendig, also primär, zugehörten.

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to one another (e.g., spatial contact of two simultaneous color sensations in the visual field). The minimum aggregate of these relations, and thus the set of all those that are never lacking as soon as experience in this sense is present, constitutes the ordering of first-order experience. It must be clearly emphasized that the primary world is not a matter of abstraction (as e.g. in the case of the Kantian “material of intuition”, which is never given in itself). Rather, entirely non-thing-like, indeed, even entirely uninterpreted sense impressions actually occur. In the case of the most important sense for cognizing things, sight, one should recall that some painters, for example, see not things but distributions of colors — and one should further recall a similar type of vision in cases of deflected attention, cases of non-recognition of that which is seen at great distances or weak illumination, the vision of sighted people born blind, and the presumably analogous type of vision of the youngest children. However, we should also remind ourselves that, even if all these cases did not occur, the distinction between the two orders of experience would still be justified and significant, considering the necessity of the first-order form and the freely chosen character of the second-order forms, which is manifested by the presence of different types of secondary worlds.

By the “secondary world” we mean the content of second-order experience. In the following considerations we mostly choose the “world of physics” as its representative; for, as a consequence of its methodical generation, it is more unified and more easily conceptually grasped than the “ordinary world”, with its many fictions and anthropomorphisms and its manifold variations. But which is now the “real” world, the primary or the secondary world? According to the conception agreed upon by both idealistic and realistic philosophy, and also with the view that is customary in both physical research and in everyday life, the construction of the secondary world leads to the construction of “reality”. Positivistic philosophy, by contrast, recognizes only the reality value of the primary world; the secondary world is only an arbitrary reorganization of the former, carried out on the basis of economy. We leave this properly transcendental question to metaphysics; our immanent discussion involves only the constitution of experience itself — in particular, the distinction between form factors that are necessary and those that are freely chosen, which we call primary and secondary — and the relations between the two types. Similarly, the expression “fiction” carries no metaphysically negative value character but signifies that, in the case of the latter construction, certain form factors are newly added: the construction proceeds “as if” these factors, too, belonged to experience necessarily, and thus primarily.

e

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II.

Die Dimensionszahl (DZ)

a)

Begriff der DZ eines Bereiches

Die Frage nach der DZ eines Bereiches wird in den verschiedensten Gebieten, sowohl sinnlichen als nichtsinnlichen, gestellt. Sie ist jedoch nicht ohne weiteres eindeutig. Ihre Beantwortung hängt jedesmal von der Festsetzung einer Klasse und einer Beziehung ab, für die sie gilt. Zunächst ist die Klasse derjenigen Gegenstände anzugeben, die als „Elemente“ gelten sollen. Dafür bestehen häufig mehrere Möglichkeiten, auch in demselben Bereich. Beispiel. Unser üblicher Raum hat die DZ 3 in bezug auf die Klasse der Punkte, 4 in bezug auf die der Geraden, 9 in bezug auf die der Ellipsoide. Wir sagen dann auch: Die Klasse der Punkte des Raumes hat die DZ 3 usw.

Die Klasse wird häufig definiert durch die Angabe, in welchem Falle zwei Gegenstände des Bereiches als identisch angesehen werden sollen. Beispiel. Die Frage nach der DZ des Tonbereichs ist dadurch eindeutig zu machen, daß etwa festgesetzt wird: Zwei Töne sollen als identisch gelten, wenn sie dieselbe Tonhöhe haben (DZ 1). Oder: Zwei Töne sollen als identisch gelten, wenn sie dieselbe Tonhöhe und dieselbe Stärke haben (DZ 2).

Ferner muß festgesetzt werden, welche Beziehung als Nachbarschaftsbeziehung der Elemente gelten soll. Beispiel. Ist der Bereich ein Mosaikbild und ist die Klasse dadurch bestimmt, daß die einzelnen Steine als Elemente gelten sollen, so kann etwa das Nebeneinanderliegen als Nachbarschaftsbeziehung festgesetzt werden, oder auch die Farbtonähnlichkeit. Aus der späteren Definition der DZ folgt, daß die Klasse im ersten Falle zwei, im zweiten drei Dimensionen hat. Für genauere geometrische Untersuchungen müßte die Nachbarschaftsbeziehung genauer analysiert und, wie etwa in der Mengenlehre durch Umgebungsaxiome, festgelegt werden; hier genügt der allgemeine Begriff.

Meist pflegt die DZ eines Bereiches genannt oder erfragt zu werden, ohne daß die Elementenklasse und die Nachbarschaftsbeziehung, auf die sie sich bezieht, ausdrücklich genannt werden. Das ist zulässig, wenn ohne weiteres verständlich ist, welche Klasse und welche Beziehung gemeint sind. Die angeführten Beispiele zeigen jedoch, daß dies durchaus nicht immer der Fall ist. Für die Definition der DZ sind einige Hilfsbegriffe erforderlich. Sind in einem bestimmten Falle die Klasse k und die Beziehung B festgesetzt, so sagen wir von einer Teilklasse von k , sie sei eine „B -Reihe“, wenn ihre Elemente sich so ordnen lassen, daß jedes zu dem folgenden in der B -Beziehung steht. Von zwei Elementen x und y , die der Teilklasse b von k angehören, sagen wir, sie seien durch die Teilklasse a „in b getrennt“, wenn es keine x und y enthaltende B -Reihe in b gibt, die kein Element von a enthält.

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II.

Dimension Number (DZ)

a)

Concept of the DZ of a Domain

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The question of the DZ of a domain is posed in the most different areas, sensory as well as non-sensory. But it is not immediately unique. The answer always depends on the stipulation of a class and a relation for which it holds. First, one must indicate the class of those objects that are to count as “elements”. In this regard there are often several possibilities, even in the same domain. Example. Our usual space has the DZ 3 with respect to the class of points, 4 with respect to the class of lines, 9 with respect to the class of ellipsoids. We therefore say: the class of points of space has the DZ 3, etc.

The class is often defined by indicating in which case two objects of the domain are to be regarded as identical. Example. The question of the DZ of the domain of tones is made unique by stipulating, for example, that two tones are to be identical if they have the same pitch (DZ 1), or that two tones are to be identical if they have the same pitch and the same loudness (DZ 2).

In addition, it must also be stipulated which neighborhood relation is to hold for the elements. Example. If the domain is a mosaic and if the class is so determined that the individual stones are to be elements, then, for example, the relation of lying next to one another can be stipulated as neighborhood relation, or also similarity in hue. It follows from the definition of dimension number (to be given below) that the class has two dimensions in the first case, three in the second. For more precise geometrical investigations the neighborhood relation would have to be more precisely analyzed — in set theory, for example, by means of axioms for neighborhoods; but here the general concept suffices.

The DZ of a domain is customarily specified or investigated without explicitly specifying the class of elements and the neighborhood relation it refers to. That is permissible when it is immediately clear which class and which relation are intended. The given examples, however, show that this is not always case. For the definition of DZ, some auxiliary concepts are necessary. If in a certain case the class k and the relation B are stipulated, then we say of a subclass of k that it is a “B -series” if its elements can be so ordered that each one stands in the B -relation to the following one. Of two elements x and y belonging to the subclass a , we say that they are “separated in b ” by the subclass a if there is no B -series in b containing x and y that contains no element of a .

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Beispiel. k : Europa, B : räumliche Nachbarschaft. Berlin und München sind „durch die Elbe in Deutschland getrennt“ (nicht in Europa!); denn es gibt keine Linie zwischen ihnen in Deutschland, die keinen Punkt der Elbe enthält.

Definition der DZ eines Bereiches, bezogen auf die Elementenklasse k und die Nachbarschaftsbeziehung B . Wir unterscheiden DZ einer Klasse „in einem ihrer Elemente“, und DZ der Klasse überhaupt. a) Die (echte oder unechte) Teilklasse b von k hat „in ihrem Element x “ die DZ Null, wenn es kein x benachbartes Element in b gibt. b) b hat (überhaupt) die DZ Null, wenn b in allen seinen Elementen die DZ Null hat. c) b hat in x die DZ n +1, wenn es für jedes x nicht benachbarte Element y von b zwar stets eine x und y in b trennende Teilklasse mit der DZ n gibt, nicht aber stets eine sie trennende Teilklasse mit der DZ n − 1. d) b hat (überhaupt) die DZ m , wenn m die größte der DZ von b in einem seiner Elemente ist. Für m = 0 ist (d) in Übereinstimmung mit (b). Größere DZ als Null werden durch (c) und (d) regressiv definiert. Zur Veranschaulichung diene das Beispiel des Raumes. Und zwar werde für k die Klasse der Punkte, für B die räumliche Nachbarschaft genommen. Eine B -Reihe ist dann eine zusammenhängende Linie. Zwei Punkte x und y heißen durch eine Punktmenge a „in b getrennt“, wenn es in b keine Linie zwischen ihnen gibt, die keinen | Punkt von a enthält. Die Punktmenge c 0 hat in x die DZ Null, wenn x in c 0 keine Nachbarpunkte hat. c 0 hat die DZ Null, wenn zu c 0 nur solche isolierten Punkte gehören. Eine Linie c 1 , die auch viele Mehrfachpunkte haben und aus vielen nicht zusammenhängenden Stücken bestehen darf, hat in jedem Punkt x , also auch allgemein die DZ 1. Denn für jeden anderen, x nicht benachbarten Punkt y von c 1 ist es stets möglich, einen oder mehrere nicht benachbarte Punkte zu bezeichnen, die x und y in c 1 trennen, d. h. bei deren Vermeidung x und y nicht durch ein Linienstück von c 1 verbunden werden können. Ferner hat eine Fläche c 2 in jedem Punkt x , also auch allgemein die DZ 2, denn für jeden anderen, x nicht benachbarten Punkt y von c 2 können stets Linien angegeben werden, die x und y in c 2 trennen, also Klassen von der Art c 1 und der DZ 1. Als Beispiel für c 2 diene die Oberfläche eines Würfels oder einer Kugel. Für diese gilt die DZ 2; denn für irgend zwei Punkte der Würfel- oder Kugeloberfläche läßt sich immer eine (geschlossene) Linie angeben, die sie trennt. Dies Beispiel klärt das zuweilen vorkommende Mißverständnis auf, als sei nur die Ebene zweidimensional, dagegen eine Fläche, die aus der Ebene heraustritt, dreidimensional. Ist c 2 eine endliche Klasse von Flächen, Linien und isolierten Punkten mit beliebigen Zusammenhangsverhältnissen, so ist seine DZ ebenfalls 2; in einigen seiner Punkte hat c 2 die DZ 0, in anderen 1, in anderen 2. In entsprechender Weise läßt sich auch zeigen, daß sowohl der ganze Raum k , als auch eine endliche Menge c 3 von Körpern, Flächen, Linien und Punkten die DZ 3 hat.

Für die Nachbarschaftsbeziehung B gibt es im Bereich der Sinnesempfindungen drei Arten: sie bezieht sich entweder auf räumliche oder zeitliche oder andersartige Eigenschaften. Die auf B bezogene Dimension nennen wir dementsprechend Raum-, Zeit- oder Qualitätsdimension. Beispiel: Der Tonbereich. 1. Zwei Töne sollen als identisch gelten, wenn sie dieselbe Tonhöhe haben; als B gilt benachbarte Tonhöhe. DZ 1; eine Qualitätsdimension.

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Example. k : Europe; B : spatial neighborhood. Berlin and Munich are “separated by the Elbe in Germany” (not in Europe!); for there is no curve between them in Germany containing no point of the Elbe.

Definition of the DZ of a domain, with respect to class of elements k and the neighborhood relation B . We distinguish between the DZ of a class “in one of its elements” and the DZ of the class in general. a) The (proper or improper) subset b of k has the DZ zero “in its element x ” if there is no neighboring element for x in b . b) b has (in general) the DZ zero if b has the DZ zero in all of its elements. c) b has in x the DZ n + 1 if for every element y of b not neighboring x there is always a subclass separating x and y in b with DZ n , but not always a separating subclass with DZ n − 1. d) b has (in general) the DZ m if m is the greatest DZ for b in any of its elements. For m = 0 (d) is in agreement with (b). Greater DZs than zero are regressively defined through (c) and (d). The example of space can serve to make this intuitive. The class of points is taken as k , the spatial neighborhood relation as B . A B -series is then a connected curve. Two points x and y are said to be “separated in b ” by a point set a if there is no curve between them that does not contain a point of a . The point-set c 0 has the DZ zero in x if x has no neighboring point in c 0 . c 0 has the DZ zero if only such isolated points belong to it. A curve c 1 , which may also have many multiplex points and consist of many unconnected segments, has the DZ 1 in every point, and thus in general. For, in the case of any other point y of c 1 not neighboring x , it is always possible to specify one or more non-neighboring points separating x and y in c 1 , i.e., points with the omission of which x and y cannot be connected by a segment of c 1 . Further, a surface c 2 has in every point, and thus in general, the DZ 2, since for every other point y of c 2 not neighboring x curves can always be specified that separate x and y in c 2 — thus classes of the type c 1 and DZ 1. The surface of a cube or a sphere can serve as an example for c 2 . These have DZ 2, since for any two points of the cubic or spherical surface a (closed) curve can always be specified that separates them. This example clarifies the occasionally occurring misunderstanding according to which only the plane is two-dimensional, whereas a surface protruding out of the plane is three-dimensional. If c 2 is a finite class of surfaces, curves, and isolated points with arbitrary relations of connection, then its DZ is likewise 2; in some of its points c 2 has the DZ 0, in others 1, and in others 2. And, in a similar way, it can also be shown that the entire space k , as well as a finite class c 3 of bodies, surfaces, curves, and points, has the DZ 3.

In the domain of sense impressions there are three types of neighborhood relation B : it refers either to spatial or temporal or other types of properties. The corresponding dimensions with reference to B we call spatial, temporal, or qualitative dimensions. Example: The domain of tones. 1. Two tones shall count as identical if they have the same pitch; for B we take neighboring pitch. DZ 1; a qualitative dimension. 2. Two

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2. Zwei Töne sollen als identisch gelten, wenn sie dieselbe Tonhöhe und dieselbe Stärke haben und gleichzeitig sind; als B gelte: benachbarte Tonhöhe oder benachbarte Stärke oder zeitliche Nachbarschaft (das „oder“ ist nichtausschließend zu verstehen). Es ergibt sich: DZ 3; zwei Qualitäts-, eine Zeitdimension.

Aus der gegebenen Definition der DZ geht hervor, daß der Dimensionsbegriff nicht etwa seinem eigentlichen Sinne nach sich nur auf den Raum bezieht, und auf anderes (Zeit oder Sinnesqualitäten) nur durch räumliche Symbolisierung dieser Qualitäten übertragen werden kann. Die Definition ist vollständig unabhängig davon, von welcher Art der Bereich, die in Frage stehende Qualität und die Nachbarschaftsbeziehung B sind. Die psychologische Frage, ob die Vorstellung der Nachbarschaft und der Reihe in bezug auf irgendeine nichträumliche Qualität | vielleicht stets räumlicher Art sei, bleibt hiervon ganz unberührt und steht hier nicht zur Erörterung.

Für die nachstehende Untersuchung treffen wir folgende Festsetzungen. Es handelt sich in ihr nicht um Qualitätsdimensionen, sondern nur um Raumund Zeitdimensionen. Bezeichnen wir einen Bereich als „(n+m)-dimensional“, so soll darunter stets verstanden sein, daß er n räumliche und m zeitliche Dimensionen habe. Im folgenden ist m stets gleich 1. Als identisch soll gelten, was denselben Raum und dieselbe Zeit einnimmt. Die Nachbarschaftsbeziehung B sei räumliche oder zeitliche Nachbarschaft. So ist z. B. die gewöhnliche und ebenso die physikalische Welt als (3 + 1)dimensional zu bezeichnen.

b)

Die primäre Welt (der Sinnesempfindungen) ist (2 + 1)-dimensional

Um den Hauptinhalt der These dieses Abschnitts nachzuprüfen, daß nämlich die primäre Welt nur zwei Raumdimensionen hat, seien zunächst die einzelnen Sinnesgebiete (und zwar von einem einzelnen Subjekt aus) getrennt betrachtet. Dann werde untersucht, ob etwa eine weitere Dimension des Bereiches durch das Zusammenwirken mehrerer Sinne entstehen kann, und schließlich, ob dies vielleicht durch die Hinzunahme der „andern Menschen“ möglich ist. 1. Der Gesichtssinn. Die Gesamtheit der Gesichtsempfindungen gliedert sich zunächst in die zeitliche Reihe der Momentanerlebnisse. Jedes Momentanerlebnis besteht aus zwei Klassen von räumlich gegliederten Farbempfindungen, nämlich den beiden Gesichtsfeldern. Jedes Gesichtsfeld hat etwa die Gestalt eines Mosaikbildes, ist flächenhaft; seine DZ bestimmt sich daher auf Grund der gegebenen Definition leicht zu zwei. Die Flächenhaftigkeit des Gesichtsfeldes ist zwar nicht notwendig von vornherein im Bewußtsein. Aber wenn zwei Farbflecke eines Momentangesichtsfeldes überhaupt ins Bewußtsein treten, so ist mit ihnen gegeben, ob sie einander berühren oder nicht. Somit ist die Klasse k dieser Flecke und eine Nachbarschaftsbeziehung B zwischen ihnen gegeben, auf Grund deren nach der DZ gefragt werden kann. Daß diese sich dann bei näherer Überlegung als zwei ergibt und die Farbflecke daher auf Grund von B sich zu einer Fläche ordnen lassen, braucht noch nicht in jenem ursprünglichen

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tones shall count as identical if they have the same pitch and the same loudness and are simultaneous; for B we take neighboring pitch or neighboring loudness or temporal neighborhood (the “or” is to be understood inclusively). The result is: DZ 3; two qualitative dimensions, one temporal dimension.

From the given definition of DZ it follows that the concept of dimension, according to its proper meaning, does not refer only to space, and that it can then only be applied elsewhere (to time or sense qualities) by spatial symbolization of these qualities. The definition is completely independent of the type of domain of the qualities and neighborhood relation B in question. The psychological question whether the representation of neighborhood and series for any non-spatial quality may perhaps always be of spatial type remains entirely untouched here and is not under consideration.

For the following investigation we make the following stipulation. This concerns only spatial and temporal dimensions, not qualitative dimensions. If we designate a domain as “(n + m)-dimensional”, then it is always to be understood by this that it has n spatial and m temporal dimensions. In the following, m is always equal to 1. That is taken to be identical which occupies the same space and the same time. The neighborhood relation B is spatial or temporal neighborhood. Thus, for example, the ordinary world, and also the world of physics, is to be designated as (3 + 1)-dimensional.

b)

The Primary World (of Sense Impressions) is (2 + 1)-Dimensional

In order to examine the main part of the thesis of this section — namely, that the primary world has only two spatial dimensions — the individual sensory domains (namely those of an individual subject) are first to be investigated separately. It will then be investigated whether a further dimension for this domain can perhaps arise from the cooperative action of several senses, and, finally, whether this might be possible through the addition of “other people”. 1. The sense of sight. The totality of visual sensations is first organized into a temporal series of momentary experiences. Each momentary experience consists of two classes of spatially organized color sensations, namely, the two visual fields. Each visual field has approximately the form of a mosaic — like a surface. Its DZ is therefore easily determined from the given definition as two. To be sure, the surface-like character of the visual field is not necessarily present to consciousness from the beginning. However, when two color spots of a momentary visual field appear in consciousness at all, it is also given with them whether they are in contact or not. The class k of these spots and a neighborhood relation B between them is thereby also given, on the basis of which the DZ can be investigated. That closer consideration then results in the number two, and that the color spots can therefore be ordered on a surface on the basis of B , does not need to be also given with this

262

Dreidimensionalität des Raumes und Kausalität (1924a)

Bewußtseinserlebnis mitgegeben zu sein. Der Sinn unserer Behauptung ist nur, daß k und B | stets diejenige Eigentümlichkeit haben, die durch die DZ 2 oder durch den Ausdruck Flächenhaftigkeit zu kennzeichnen ist.

114

Das „körperliche Sehen“, die Wahrnehmung der Tiefenerstreckung der Dinge, gehört nicht zur Erfahrung erster Stufe, sondern ist Deutung, und zwar ziemlich verwickelter Art. Die Tiefenwahrnehmung beruht zunächst auf der Deutung der sehr kleinen Abweichungen zwischen den beiden annähernd kongruenten Gesichtsfeldern (Querdisparation). Ferner kommt auch die Mitwirkung anderer Sinne hinzu: die Spannungsempfindung des Augenlinsenmuskels; die Tastempfindungen bei gleichzeitig gesehenen und getasteten Körpern; die Muskelempfindungen, die man als Fortbewegung des eigenen Körpers zu deuten pflegt. Daß die Tiefenwahrnehmung tatsächlich Deutung und nicht primäre Empfindung ist, zeigt am deutlichsten die Wirkung des Stereoskops: Zwei flächenhafte Bilder, die die annähernde Kongruenz, aber auch genau diejenigen kleinen Abweichungen voneinander haben, wie sie die beiden Gesichtsfelder bei der Betrachtung bestimmter körperlicher Gegenstände aufweisen, werden in der Wahrnehmung genau so körperhaft wie jene Gegenstände gedeutet.

Über die Mitwirkung anderer Sinne (Tastempfindungen, Muskelempfindungen: Linsenakkommodation und Körperbewegung) wird später zu sprechen sein. Hier zunächst die Feststellung, daß die Klasse der gleichzeitigen Gesichtsempfindungen aus zwei zweidimensionalen Teilklassen besteht, also auch insgesamt zweidimensional ist. 2. Die Hautsinne. Für die Klasse der Druckempfindungen könnte die DZ zunächst zweifelhaft erscheinen. Kann man nicht die Körperhaftigkeit, die Dreidimensionalität eines in der Hand gehaltenen Steines erkennen? Freilich erschließt man aus gewissen Druckempfindungen diese Körperhaftigkeit, genauer: man deutet gewisse Empfindungen so, die selbst aber zweidimensional sind; sie erstrecken sich ja nur über die Oberfläche des Steines (vgl. das Beispiel von der Würfeloberfläche in Abschnitt II a). Zu dem gleichen Ergebnis führt auch die Überlegung, daß die Ortsbestimmung einer Druckempfindung von der Hautstelle abhängt, die den Reiz empfängt. Diese Hautstellen nun bilden zusammen das flächenhafte Gebilde Haut, also eine zweidimensionale Klasse. Anders wird es erst durch das Dazutreten der Muskelempfindungen, was später besprochen werden wird. Diesem Argument, das sich auf die DZ 2 der Haut stützt, sei aber keine besondere Bedeutung beigemessen, da die Überlegungen vom Gesichtspunkt der Erfahrung erster Stufe aus angestellt werden müssen, ohne physiologisches Wissen hineinzubringen, das ja die Deutungen der Erfahrung zweiter Stufe stets schon enthält.

Die übrigen Hautsinne (Wärme-, Kälte-, Schmerzempfindungen) sind in der Lokalisation entweder undeutlicher als die Druckempfindungen oder schließen sich eng an diese an. Von keinem von ihnen wird man deshalb annehmen, daß die DZ der Klasse seiner Empfindungen größer als die der Klasse der Druckempfindungen sei. 3. Das Gehör. Die Klasse gleichzeitiger Gehörempfindungen ist meist 0-dimensional. Wenn einmal Ortsbestimmung in der Gehörwahrnehmung

115

Three-Dimensionality of Space and Causality (1924a)

263

original experience. The meaning of our assertion is only that k and B always have that peculiarity, which is to be characterized by the DZ 2 or by the expression “surface-like”.

“Bodily seeing”, the perception of the depth of things, does not belong to first-order experience; it is rather an interpretation, and, in fact, one of a rather developed nature. Perception of depth rests, to begin with, on the interpretation of very small deviations between the two approximately congruent visual fields (cross-disparation). Moreover, the cooperative action of other senses is also relevant: the sensation of tension of the muscles of the lens, sensations of touch in the case of simultaneously seen and touched bodies, and muscular sensations one customarily interprets as the continued motion of one’s own body. That the perception of depth is in fact an interpretation and not a primary sense impression is shown most clearly by the effect of the stereoscope: two surface-like images, which are approximately congruent but have precisely the same small deviations from each other as are exhibited in the two visual fields when viewing certain bodily objects, are interpreted in perception as equally body-like as the real objects themselves.

We will speak of the cooperative action of other senses later (sensations of touch, muscular sensations in lens accommodation and bodily motion). First of all, we state that the class of simultaneous visual sensations consists of two two-dimensional subclasses and thus, as a whole, is two-dimensional. 2. The haptic senses. For the class of sensations of pressure, the DZ could at first appear to be doubtful. Can one not recognize the bodily nature, the threedimensionality, of a stone held in one’s hand? Certainly one infers this bodily nature from certain sensations of pressure: more precisely, one so interprets certain sensations that, however, are themselves two-dimensional; they are in fact extended only over the surface of the stone (compare the example of the surface of a cube in section II a). The consideration that the location of a sensation of pressure depends on the place on the skin that receives the stimulation leads to the same result. These places on the skin together constitute the surface-like structure of the skin (as a whole), and thus constitute a two-dimensional class. Matters become otherwise only through the addition of muscular sensations, which will be discussed later. However, no special significance is to be attached to this argument, which is based on the DZ 2 of the skin (as a whole), because considerations proceeding from the point of view of first-order experience must be carried out without bringing in physiological knowledge, which in fact always already contains the interpretations of second-order experience.

The remaining haptic senses (sensations of heat, cold, and pain) are, with respect to localization, either less distinct than the sensations of pressure or very closely connected with the latter. One will therefore assume of none of them that the DZ of the class of their sensations may be greater than the class of sensations of pressure. 3. Hearing. The class of simultaneous sensations of sound is usually 0-dimensional. When a determination of location in the perception of sound

264

f

g

Dreidimensionalität des Raumes und Kausalität (1924a)

auftritt, so beschränkt sie sich auf bloße Richtungswahrnehmung und ist dazu sehr ungenau. Nun ist die Klasse der von einem Orte ausgehenden Richtungen, selbst wenn der dreidimensionale Raum zugrunde gelegt wird, nur zweidimensional. Die häufig hinzutretende Wahrnehmung der Entfernung ist sicherlich Deutung, gehört also zur Erfahrung zweiter Stufe. Vielleicht gilt dies sogar auch von jener Richtungswahrnehmung, von der noch nicht völlig geklärt ist, worauf sie beruht. Die Klasse der Gehörempfindungen hat also höchstens 2, vielleicht sogar nur 0 Raumdimensionen. 4. Der Muskelsinn. Der Muskelsinn bringt die Spannungs- und Druckverhältnisse der einzelnen Muskeln, Sehnen und Gelenke zum Bewußtsein. Hier hat die Klasse der gleichzeitigen Empfindungen 0 Raumdimensionen. Denn die Empfindungen dieses Sinnes haben primär keine Raumbestimmtheit an sich; die Lokalisation geschieht durch erfahrungsmäßige Zurückführung auf die Lokalisationen des Gesichts- und des Drucksinnes. 5. Der statische Sinn. Soweit überhaupt von selbständigen Empfindungen dieses Sinnes gesprochen werden kann, stehen sie untereinander nicht in räumlicher Ordnung; ihre Klasse ist also als (0 + 1)-dimensional aufzufassen. Wenn diesem Sinn auch eine besondere Bedeutung für die Entstehung der Raumvorstellungen zukommt, indem aus seinen Empfindungen (wahrscheinlich einer Art von Druckempfindungen) Lage und Bewegung des Kopfes erkannt wird, so geschieht dies doch nur durch die Mitwirkung anderer Sinne, besonders des Gesichts- und des Muskelsinnes. Dem statischen Sinn selbst kommt weder eine eigentümliche Sinnesqualität, noch ein räumliches Nebeneinander gleichzeitiger Empfindungen zu. 6. Die übrigen Sinne. Mit Geruch-, Geschmack- und Organempfindungen sind entweder überhaupt keine oder so undeutliche Raumbestimmungen verbunden, daß es keinem Zweifel | unterliegt, daß hier keine Klasse von mehr als zwei Raumdimensionen aufzufinden ist. 7. Das Zusammenwirken mehrerer Sinne. Wie wir es beim Gesichtssinn durch das Zusammenwirken der beiden Gesichtsfelder fanden, so tritt auch häufig durch das Zusammenwirken mehrerer Sinne (Gesichts- und Tastsinn, Gesichts- und Muskelsinn, Tast- und Muskelsinn) die Wahrnehmung eines räumlich Dreidimensionalen auf. Daß es sich hierbei nicht um die Erfahrung erster Stufe, sondern um die Umformung der zweiten Stufe handelt, ist leicht einzusehen. Denn wenn die Empfindungen zweier verschiedener Sinne gleichzeitig auftreten und zusammenwirken, so ist in keinem der beiden Sinnesgebiete etwas enthalten, was ohne Einwirkung des andern Sinnes nicht darin wäre. Ist also jede der beiden Klassen für sich höchstens zweidimensional, so ergibt sich durch ihr gleichzeitiges Auftreten nichts anderes als zwei höchstens zweidimensionale Klassen, also insgesamt eine höchstens zweidimensionale Teilklasse der primären Welt. Die Verknüpfung zweier verschiedener Sinnesgebiete zur Erfahrung zweiter Stufe ist übrigens sehr verwickelter Art. Sie geht so vor sich, daß ein Element des einen mit einem gleichzeitigen des anderen als identisch angesehen wird. Diese Identität kann nun bei der völligen Disparatheit der Sinnesgebiete nicht etwa unmittelbar in der Empfindung zutage treten, sondern wird daraus erschlossen, daß gleichzeitig in

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Three-Dimensionality of Space and Causality (1924a)

265

occurs, it is limited to the mere perception of direction, and is also very imprecise. But the class of directions proceeding from a location is only twodimensional, even though three-dimensional space is taken as the basis. The perception of distance that frequently accompanies it is certainly an interpretation, and thus belongs to second-order experience. And perhaps this even holds for the perception of direction, the basis of which is not yet fully clarified. Therefore, the class of sensations of sound has at most 2 spatial dimensions, and perhaps only 0. 4. The muscular sense. The muscular sense brings to consciousness the relations of tension and pressure of particular muscles, tendons, and joints. Here the class of simultaneous sensations has spatial dimension 0, because the sensations of this sense have no primary spatial determinacy in themselves; localization proceeds by an empirical reduction to the localization effected by the senses of sight and pressure. 5. The statical sense. In so far as self-sufficient sensations of this sense can be spoken of at all, they do not stand to one another in a spatial order; their class is therefore to be conceived of as (0 + 1)-dimensional. Hence, although a special significance attaches to this sense for the genesis of the representation of space, insofar as the situation and motion of the head is thereby recognized (probably via a type of sensation of pressure), this proceeds only through the cooperative action of other senses — especially the visual and muscular senses. Neither a characteristic sensory quality nor a relation of spatial proximity belongs to the statical sense itself. 6. The remaining senses. Sensations of smell or taste or those of internal organs are either not connected with any spatial determinations at all or with spatial determinations so indistinct that it is clear that no class of more than two spatial dimensions is to be found. 7. The cooperative action of several senses. As we found in the case of the sense of sight and the cooperative action of the two visual fields, the perception of spatial three-dimensionality often arises by the cooperative action of several senses (senses of sight and touch, sight and muscular sense, touch and muscular sense). That we are here involved, not with first-order experience, but rather with the second-order re-formation, is easy to see. For, when the sensations of two different senses occur simultaneously and act together, nothing is contained in either of the two sensory domains that would not be there without the cooperative action of the other sense. Therefore, if each of the two classes in itself is at most two-dimensional, then nothing other than two at most two-dimensional classes results from their simultaneous occurrence — thus, as a whole, an at most two-dimensional subclass of the primary world. The connection of two different sensory domains into a second-order experience is, moreover, of a very complicated character. It proceeds in such a way that an element of the one is regarded as identical with a simultaneous element of the other. But this identity cannot, due to the complete disparity of the (individual) sensory domains, immediately come to light in sensation. Rather, it is inferred from the fact that simul-

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Dreidimensionalität des Raumes und Kausalität (1924a)

den beiden Gebieten je ein unstetiger Vorgang an Unstetigkeitsstellen geschieht (z. B. Zusammenstoß zweier Kanten gleichzeitig für Gesichts- und Tastsinn). Auf einer so verwickelten Verknüpfung beruht es auch, wenn durch Zusammenwirken zweier Sinne die Wahrnehmung von Dreidimensionalität zustande kommt. Diese Wahrnehmung ist also weit davon entfernt, zur Erfahrung erster Stufe zu gehören.

Aus unserer Definition der DZ geht hervor, daß eine Klasse, die aus endlich vielen einzelnen, höchstens zweidimensionalen Teilklassen besteht, nicht dreidimensional sein kann. Dies ist sowohl geometrisch abstrakt als auch anschaulich leicht zu erschließen. So kann die primäre Welt, die aus den einzelnen Sinnesgebieten besteht, auch nur (2 + 1)-dimensional sein. 8. Der gleiche Schluß gilt auch für die Hinzunahme der Empfindungen der „andern Menschen“. Wir wollen die Frage ganz beiseite lassen, ob es überhaupt einen Sinn hat, etwas anderes als die Empfindungen eines Subjekts in Betracht zu ziehen, wenn von der primären Welt die Rede ist. Jedenfalls kann die DZ für einen irgendwie gedachten Gesamtbereich nicht höher sein als für die einzelnen Bereiche der (abzählbar vielen) | Menschen, nämlich die Klassen ihrer Sinnesempfindungen, die durch Mitteilungen vereinigt werden. Dadurch wird die Tatsache nicht umgestoßen, daß die Mitteilung der Empfindungen eines Andern ein wichtiges Mittel ist, um die eigenen Empfindungen dreidimensional zu ordnen. Aber dabei handelt es sich eben nicht um die Erfahrung erster Stufe, sondern um ordnende Weiterverarbeitung, die in verschiedener Weise geschehen kann, kurz um das, was wir die Erfahrung zweiter Stufe genannt haben.

c)

Die sekundäre (physikalische) Welt ist (3 + 1)-dimensional

Daß die sekundäre Welt, und zwar sowohl die gewöhnliche wie die physikalische, (3 + 1)-dimensional ist, bezweifelt niemand. Die Frage der Gleichartigkeit dieser vier Dimensionen, die in der Relativitätstheorie eine große Rolle spielt, hat für unsere Überlegung keine Bedeutung. In jener Theorie handelt es sich ja nicht, wie bei unserer Frage, um eine kleinere oder größere DZ, sondern nur um das Verhältnis der Dimensionen zueinander, deren Zahl 4 dabei nicht in Frage gestellt wird.

Zuweilen wird versucht, die Zahl 3 der Raumdimensionen a priori abzuleiten. Zuweilen wird diese Zahl als empirischer Befund aufgefaßt, aber doch von höherem Grade der Sicherheit als sonstige empirische Tatsachen. Sie ist aber weder a priori noch a posteriori erkannt, weil überhaupt nicht erkannt, sondern beschlossen, gewählt: die primäre Welt hat (wie der vorige Abschnitt gezeigt hat) eine niedrigere DZ. Daß diese Wahl im bisherigen empirischen Verlaufe instinktmäßig und ohne Bewußtsein der Wahlfreiheit getroffen worden ist, kann die Tatsache dieser Freiheit und die Möglichkeit, jetzt mit Bewußtsein die Wahl zu vollziehen, nicht erschüttern. Zwar wird die bewußte Wahl, wenigstens soweit es sich einstweilen übersehen läßt,3 dieselbe DZ bestimmen, wie die bisherige instinktive: beide Arten der sekundären Welt, 3 Vgl. jedoch den Entwurf einer fünfdimensionalen physikalischen Welt bei Kaluza,

Berl. Akad. LIV, 966, 1922 [[Kaluza 1921]].

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taneously in the two domains a discontinuous process always occurs at discontinuous places (for example, the collision of two edges simultaneously in the senses of sight and touch). And it also depends on this kind of complicated connection when the perception of three-dimensionality arises by the cooperative action of two senses. This perception thus by no means belongs to first-order experience.

It follows from our definition of DZ that a class consisting of finitely many at most two-dimensional individual subclasses cannot be three-dimensional. This can easily be inferred abstractly (geometrically) as well as intuitively. Hence the primary world, which consists of individual sensory domains, can also only be (2 + 1)-dimensional. 8. The same conclusion holds also for the addition of the sensations of “other people”. We wish to leave entirely to one side the question whether it has any sense at all, when the primary world is at issue, to consider anything other than the sensations of a single subject. In any case, however, the DZ for any (such) total domain, no matter how it is thought, can be no higher than that of the individual domains of (countably many) people — namely, the class of their sensations, which are to be united by communication. This does not subvert the fact that communication of the sensations of another is an important means for ordering one’s own sensations three-dimensionally. But we are thereby involved precisely not with first-order experience, but rather with a further procedure of ordering, which can take place in different ways. In short, we are involved precisely with that which we have called second-order experience.

c)

The Secondary (Physical) World is (3 + 1)-Dimensional

No one doubts that the secondary world, both the ordinary world and the world of physics, is (3 + 1)-dimensional. The question of homogeneity of the four dimensions, which plays a large role in relativity theory, has no significance for our considerations. In the former theory we are certainly not involved with our question about a smaller or larger DZ, but rather with the relation to one another of dimensions whose number 4 is not at all in question.

It is sometimes attempted to derive the number 3 of spatial dimensions a priori. Sometimes this number has been conceived as an empirical finding, but one of a higher degree of certainty than other empirical facts. However, it is cognized neither a priori nor a posteriori, because it is not cognized at all. It is rather decided, chosen: the primary world (as the preceding section has shown) has a lower DZ. That this choice has hitherto, in actual fact, been made instinctively, and without consciousness of freedom of choice, cannot undermine the fact of this freedom nor the possibility of now revisiting the choice consciously. To be sure, conscious choice, at least as far as can be envisioned at the moment,3 will determine the same DZ as the instinctive one: both types of secondary world, the ordinary and the physical, are constructed 3 Compare, however, the sketch of a five-dimensional physical world by Kaluza, Berl.

Akad. LIV, 966, 1922 [[Kaluza 1921]].

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Dreidimensionalität des Raumes und Kausalität (1924a)

die gewöhnliche sowohl wie die physikalische, werden (3 + 1)-dimensional aufgebaut. Aber grundsätzlich ist die Einsicht, daß diese DZ auf Wahl beruht, dadurch von besonderer Wichtigkeit, daß die in der sekundären Welt herrschende Kausalität oder Determiniertheit in enger Abhängigkeit von dieser Wahl steht; das wird in Abschnitt IV zu erörtern sein.

h

III. a)

Die Determiniertheit

118

Begriff der Gesetzmäßigkeit; determinierende und beschränkende Gesetze

Wenn irgendein Element einer Klasse derart von andern Elementen abhängt, daß es eindeutig bestimmt ist, sobald eine gewisse Teilklasse der übrigen festliegt, so nennen wir die Abhängigkeitsbeziehung ein „determinierendes Gesetz“ und die Klasse „determiniert“. Enthält eine Klasse eine determinierte Teilklasse, so ist sie selbst determiniert. Beispiele. 1. Die Zahlen einer summierten Rechnung. Jede Einzelzahl (Summand oder Summe) ist eindeutig zu bestimmen, wenn sämtliche anderen angegeben werden. 2. Die Tonhöhen der Saiten eines Klaviers. Jede einzelne ist bestimmt, sobald auch nur eine andere festliegt. Dies sind also Beispiele für die beiden extremen Fälle der determinierenden Gesetze, da im ersten zur eindeutigen Bestimmtheit eines Elements alle übrigen, im zweiten ein beliebiges der übrigen bestimmt sein muß.

Abhängigkeitsgesetze, die zwar für irgendein Element, selbst wenn alle übrigen bestimmt sind, nicht eindeutige Bestimmtheit ergeben, aber doch die Möglichkeit für dieses Element einschränken, nennen wir „beschränkende Gesetze“. Beispiel. Im allgemeinen gelten für die Worte eines Buches beschränkende Gesetze. Denn es ist zwar nicht jedes Wort eindeutig bestimmt, auch wenn noch so viele der übrigen bekannt sind; aber wenn genügend viele der ihm nahestehenden Wörter festliegen, so sind für es selbst nicht mehr alle Möglichkeiten offen.

Der Begriff der beschränkenden Gesetze wird erst später angewandt werden; zunächst wird nur von determinierenden die Rede sein. „Gesetzmäßigkeit“ schreiben wir einem Bereiche zu, wenn für die Klasse seiner Elemente entweder determinierende oder wenigstens beschränkende Gesetze gelten. Die in den Gesetzen ausgedrückte Abhängigkeit denken wir hierbei rein funktional, nicht mit irgendeiner ontologischen Nebenbedeutung, etwa der der Wirkung. Eine Teilklasse f einer determinierten Klasse heißt „Freiheitsklasse“, wenn kein Element von f durch die übrigen Elemente von f bestimmt ist. Zwischen den Elementen einer Freiheitsklasse bestehen also entweder gar keine oder nur beschränkende Gesetze. Jede Teilklasse einer Freiheitsklasse ist selbst Freiheitsklasse. Hat eine determinierte Klasse k in ihrem Element E die DZ n , haben ferner diejenigen Teilklassen von k , die Freiheitsklassen sind und zu denen E

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Three-Dimensionality of Space and Causality (1924a)

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(3 + 1)-dimensionally. In principle, however, the insight that this DZ is based

on choice is of particular importance in view of the circumstance that the (degree of) causality or determinacy governing the secondary world closely depends on this choice, as will be discussed in section IV.

III.

Determinacy

a)

Concept of Lawfulness; Determining and Constraining Laws

If any element of a class depends on other elements in such a way that it is uniquely determined as soon as a certain subclass of the remainder is fixed, then we call the relation of dependency a “determining law” and the class “determined”. If a class contains a determined subclass, then it itself is determined. Examples. 1. The numbers of an additive calculation. Each individual number (summand or sum) can be uniquely determined when all the others are given. 2. The pitches of the strings of a piano. Each individual one is determined as soon as even one other is fixed. These are therefore examples of the two extreme cases of determining laws; since in the first case all the remaining elements must be determined for the sake of the unique determinacy of a single element, in the second case only an arbitrary one of them.

We call laws of dependency that do not result in unique determinacy for any element, even if all the rest are determined, but still limit the possibilities for this element, “constraining laws”. Example. In general, certain constraining laws hold for the words occurring in a book. For it is not the case that any given word is uniquely determined, even if all of the remaining ones are known; however, if sufficiently many of the nearby words are fixed, then not all possibilities remain open for it itself.

The concept of constraining laws will be applied later; first we will treat only the determining laws. We ascribe “lawfulness” to a domain if either determining or at least constraining laws hold for the class of its elements. We hereby think of the dependency expressed in the laws purely functionally, with no secondary ontological meaning — such as that of action. A subclass f of a determined class is called a “free class” if no element of f is determined by the other elements of f . Either no laws at all or at most only constraining laws hold between the elements of a “free class”. Every subclass of a free class is itself a free class. If a determined class k has the DZ n in its element E , and if those subclasses of k that are free classes and contain E have the DZ p 1 , p 2 , etc., and if p

h

270

Dreidimensionalität des Raumes und Kausalität (1924a)

gehört, in E die DZ p 1 , p 2 usw. und ist p die größte dieser Zahlen, so bezeichnen wir die Differenz n − p als den „Determiniertheitsgrad“ von k in E . Hat k in allen seinen Elementen den gleichen Determiniertheitsgrad q , so sagen wir: k hat eine homogene Determiniertheit vom q -ten Grade. Jede Freiheitsklasse ist eine Klasse mit homogener Determiniertheit vom nullten Grade, aber nicht umgekehrt.

i

Von den genannten Beispielen kann das erste aufgefaßt werden als Klasse von der DZ 1 und homogener Determiniertheit nullten Grades, aber nicht als Freiheitsklasse; das zweite als Klasse von der DZ 1 und homogener Determiniertheit ersten Grades. Ein drittes Beispiel: In einer Tafel von Zahlen, die in Zeilen und Reihen angeordnet sind, gelte nur das Gesetz, daß jede Tafelreihe eine arithmetische Zahlenreihe darstelle. Dann kann ohne Verletzung dieses Gesetzes an jeder beliebigen Stelle eine Zeile willkürlich angesetzt werden; ja sogar beliebige Zeilenpaare bilden eine Freiheitsklasse, da jede Reihe erst durch zwei Zahlbestimmungen festliegt (analog zur später zu besprechenden physikalischen Kausalität). Die Klasse ist homogen determiniert vom ersten Grade.

Ist durch die determinierenden Gesetze einer Klasse k ein Element E von k bestimmt, sobald die Elemente einer gewissen Teilklasse b von k angegeben sind, zu der E nicht gehört, so heißt b eine „Bedingungsklasse“ von E . Jede Klasse, die eine Bedingungsklasse von E enthält, ist selbst Bedingungsklasse von E . In dem dritten Beispiel ist eine Teilklasse dann Bedingungsklasse eines Elements E , wenn sie mindestens zwei Elemente enthält, die derselben Reihe angehören wie E ,

sonst aber beliebig sind.

b)

Die Determiniertheit der physikalischen Welt

Als Vertreter der sekundären Welt nehmen wir hier nur die physikalische, weil wir es bei ihr im Vergleich zur gewöhnlichen gerade in der Frage der Gesetzmäßigkeit mit begrifflich weit klareren Verhältnissen zu tun haben. Die Geltung der Kausalität im Sinne der Physik besagt: in der physikalischen Welt herrschen determinierende Gesetze, und zwar sind alle Vorgänge eindeutig bestimmt, wenn die Gesamtheit der Vorgänge eines beliebig kleinen Zeitabschnittes bestimmt ist. Die Begriffe „bewirken“, „Ursache“ und dergleichen haben also mit dem physikalischen Begriff der Kausalität nichts zu tun. Dies wird | besonders deutlich durch den Umstand, daß durch den Weltverlauf in dem beliebigen Zeitabschnitt nicht nur die späteren, sondern auch alle früheren Vorgänge eindeutig bestimmt sind. Jener Ausdruck „beliebig kleiner Zeitabschnitt“ ist ungenau. Denn wenn der Zeitabschnitt endliche Länge hat, so tritt Überbestimmung ein; und anstatt von einem unendlich kleinen Zeitabschnitt zu sprechen, sagen wir genauer: Es muß die räumliche Verteilung gewisser Zustandsgrößen und ihrer ersten zeitlichen Differentialquotienten für einen beliebigen Zeitpunkt festliegen; diese Verteilung, aufgefaßt als Klasse der Raumpunkte, denen jene Größen zugeordnet sind, wollen wir kurz den „Weltzustand“ in dem betreffenden Zeitpunkt

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is the largest of these numbers, then we designate the difference n − p as the “degree of determinacy” of k in E . If k has the same degree of determinacy q in all of its elements, then we say that k has a homogeneous determinacy of the q -th degree. Every free class is a class with homogeneous determinacy of the 0-th degree, but not conversely. In the above examples, the first can be conceived as a class with the DZ 1 and homogeneous determinacy of the 0-th degree, but not as a free class; the second can be conceived as a class with the DZ 1 and homogeneous determinacy of the first degree. A third example: in a table of numbers ordered in rows and columns, the only law holding is that every column of the table consists in an arithmetical progression. Then, without violating this law, any row can be determined arbitrarily; indeed, even arbitrary successive pairs of rows constitute a free class, since a column (representing an arithmetical progression) is first determined by a specification of two numbers (analogously to the case of physical causality to be discussed later). The class is homogeneously determined of the first degree.

If an element E of the class k is determined by the determining laws of k as soon as the elements of a certain subclass b of k not containing E are specified, then b is called a “condition class” of E . Every class containing a condition class of E is itself a condition class of E . In the third example, a subclass is a condition class of an element E if it contains at least two elements belonging to the same row as E , otherwise it is arbitrary.

b)

The Determinacy of the Physical World

We here take only the world of physics as representative of the secondary world, because we are here involved with conceptually much clearer relationships than in the case of the ordinary world precisely with respect to lawfulness. The validity of causality in the sense of physics means that the physical world is governed by determining laws, and, in fact, all processes are uniquely determined if the totality of processes of an arbitrarily small temporal interval are determined. The concepts “to effect”, “bring about”, and the like have therefore nothing to do with the physical concept of causality. This becomes especially clear through the circumstance that not only the later, but also all earlier processes, are uniquely determined by the course of events in the arbitrary temporal interval. The expression “arbitrarily small temporal interval” is inexact. For, if the temporal interval has a finite length, we introduce overdetermination. Thus, instead of speaking of an infinitely small temporal interval, we say, more precisely: the spatial distribution of certain state magnitudes and their first temporal differential quotients for an arbitrary point of time must be fixed; this distribution, conceived of as the class of spatial points to which the magnitudes are coordinated, we will call, for brevity, the “world-state” at the

i

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Dreidimensionalität des Raumes und Kausalität (1924a)

nennen; unter der physikalischen Welt verstehen wir dann die Vereinigungsklasse dieser Zustände, also die Klasse der Raumzeitpunkte. Dieser „Weltzustand“ ist noch nicht der allgemeinste und genaue Ausdruck für die Teilklasse der physikalischen Welt, durch deren Bestimmtheit alles übrige mitbestimmt ist. Denn die Verteilung der Zustandsgrößen und ihrer Differentialquotienten in einem beliebigen Augenblick ist gleichbedeutend mit der Verteilung der Zustandsgrößen selbst ohne ihre Differentialquotienten in zwei benachbarten Zeitpunkten. Und diese ist wieder logisch äquivalent mit der gleichen Verteilung für zwei beliebige Zeitpunkte (diese ist durch jene bestimmt und umgekehrt). Falls wir daher unter einem Weltzustand, wie es logisch korrekter wäre, nur die Verteilung der Zustandsgrößen selbst verständen, so müßten wir für die eindeutige Bestimmtheit der ganzen physikalischen Welt zwei beliebige Weltzustände fordern. Wir wollen aber der Einfachheit halber unter einem Weltzustand die Differentialquotienten mit einbegreifen und entsprechend für die Bestimmung nur einen Weltzustand fordern. Denn erstens ist dies anschaulicher und der üblichen Auffassung näher, und zweitens ist die DZ für zwei Weltzustände die gleiche wir für einen; auf unsere Untersuchung über DZ und Determiniertheitsgrad hat daher die Vereinfachung keinen Einfluß.

Der Weltzustand eines beliebigen Augenblicks, durch den alles übrige bestimmt ist, ist selbst in dem Sinne willkürlich, als es kein physikalisches Gesetz gibt, das den Zustand eines Raumteils determiniert oder auch nur in seinen Möglichkeiten einschränkt, wenn auch noch so viel von dem Zustand der übrigen Welt im gleichen Augenblick festliegt. Zwar kommen gewiß nicht alle möglichen (d. h. aus wirklichen Teilgebietszuständen verschiedenen Ortes und verschiedener Zeiten willkürlich zusammengesetzten) Weltzustände auch in Wirklichkeit irgendeinmal vor; aber es gibt kein physikalisches Gesetz, das die wirklichen von den möglichen | unterscheidet. Also ist jeder Weltzustand eine Freiheitsklasse. Bedingungsklasse irgendeines Elementes E ist aber schon eine hinreichend große, endliche Teilklasse eines Weltzustandes (Zustand eines Raumteils). Hat dieser Weltzustand von E den zeitlichen Abstand t , und bezeichnet c die maximale Fortpflanzungsgeschwindigkeit der Energie (nach heutiger Erkenntnis die Lichtgeschwindigkeit), so ist eine Teilklasse des Weltzustandes Bedingungsklasse von E , wenn sie die um den „Ort von E “ mit t c beschriebene Kugel enthält. (Anders ausgedrückt: Jeder Querschnitt durch den Minkowskischen „Vor- und Nachkegel“, dessen Spitze in E liegt, ist Bedingungsklasse von E .) Begründung (in üblicher Sprache): Wenn ein außerhalb dieser Kugel befindliches Element des Weltzustandes eine Wirkung auf E sollte ausüben können, so müßte sich diese Wirkung in der Zeit t um eine den Radius t c übersteigende Strecke fortpflanzen, also mit größerer Geschwindigkeit als c , was der Definition von c widerspräche. Auch dieses Bedingungsverhältnis (nicht nur das auf einen ganzen, unendlichen Weltzustand bezogene) ist ein rein logisches Verhältnis, das in dieser Form nicht in der Praxis der physikalischen Wissenschaft angewandt werden kann. Denn in jedem endlichen Raumteil liegen unendlich viele Argumente und somit Funktionswerte der Zustandsgrößen. Auch abgesehen davon, daß diese unendlich vielen Werte festzustellen praktisch unmöglich ist, ist es auch grundsätzlich unmöglich, sie anzugeben, da es

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time in question; we then understand by the physical world the class uniting all of these states, and thus the class of space–time points. This “world-state” is not yet the most general and precise expression for the subclasses of the physical world such that all the rest is determined by their determinacy. For the distribution of the state magnitudes and their derivatives at an arbitrary moment is equivalent to a distribution of the state magnitudes themselves, without their derivatives, at two neighboring points of time. And this, in turn, is logically equivalent to the same distribution at two arbitrary points of time (the latter is determined by the former, and conversely). Therefore, if we were to understand by a world-state only the distribution of the state magnitudes themselves, which would be logically more correct, then we would have to require two arbitrary world-states for the unique determinacy of the entire physical world. For the sake of simplicity, however, we will understand the derivatives to be included in a world-state, and we will similarly require only one world-state for determination. For, in the first place, this is more intuitive and closer to the usual conception, and, in the second place, the DZ for two world-states is the same as for one — the simplification thus has no effect on our investigation of DZ and degree of determinacy.

The world-state at an arbitrary moment — by which all the rest are determined — is itself arbitrary, in the sense that there are no physical laws that determine the state in a part of space, or even limit it in its possibilities, even if as much as you like of the state of the rest of the world at the same moment is fixed. To be sure, not all possible world-states (i.e., those arbitrarily composed of actual states of partial domains of different places and different times) also occur in reality at some time or another; but there is no physical law that distinguishes the actual from the possible. Therefore every world-state is a free class. However, the condition class of any element E is already a sufficiently large, finite subclass of a world-state (the state of a part of space). If this world-state has the temporal distance t from E , and if c designates the maximal velocity of propagation for energy (the velocity of light according to current knowledge), then a subclass of the world-state is a condition class of E if it contains the sphere around the “place of E ” described by (radius) t c . (Otherwise expressed, every cross-section through the Minkowskian “forward and backward cone” whose apex lies in E is a condition class of E .) The justification for this (in everyday language) is that, if an element of the world-state outside this sphere is supposed to exert an action on E , then this action would have to propagate in the time t over an interval exceeding the radius t c , and thus with a greater velocity than c , which would contradict the definition of c . This conditioning relation (and not only that referred to the entire, infinite worldstate) is also a purely logical relation, which cannot be applied to the practice of physical science in this form. For in each finite part of space there are infinitely many arguments and thus functional values of the state magnitudes. Even if we disregard the circumstance that determining infinitely many such values is practically impossible, it is also in principle impossible to specify them — since we are not here involved with a lawful

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sich ja nicht um eine gesetzmäßige Funktion handelt. Die Determiniertheit selbst wird dadurch nicht angefochten; denn es ist wohl zu unterscheiden zwischen der logischen Eigenschaft der eindeutigen Bestimmtheit und der praktischen Eigenschaft der Berechenbarkeit. Aber für die praktische Anwendbarkeit muß das Abhängigkeitsverhältnis etwa so ausgedrückt werden: Der Wert der bestimmenden Zustandsgrößen in einem beliebigen Raumzeitpunkt ist eindeutig bestimmt (genauer: wird ausgedrückt durch eine Wahrscheinlichkeitsfunktion), wenn die Werte dieser Größen für einen beliebigen Zeitpunkt (bzw. zwei) in einem hinreichend großen, endlichen Raumteil gegeben sind, und zwar angegeben entweder für die Punkte eines Gitters oder in ihren Durchschnittswerten für endliche Teile des Raumteils oder in Gestalt einer aus solchen endlich vielen Angaben interpolierten gesetzmäßigen Funktion. Auf diese für die Anwendung erforderliche Modifikation im Ausdruck des Abhängigkeitsverhältnisses wird im folgenden keine Rücksicht genommen, da sie keinen grundsätzlichen Einfluß auf unsere Untersuchung hat.

Die bisher betrachtete Eigenart der physikalischen Kausalität wollen wir ihren „allgemeinen Charakter“ nennen, der also | die besondere Beschaffenheit der das Abhängigkeitsverhältnis ausdrückenden Naturgesetze, die DZ der physikalischen Welt und dergleichen nicht einbegreifen soll. Weniger genau, aber anschaulich gesagt, besteht der allgemeine Charakter der physikalischen Kausalität darin, daß Vergangenheit und Zukunft durch die Gegenwart eindeutig bestimmt sind, die Verhältnisse der Gegenwart selbst aber in sich keinem Gesetz unterworfen sind. Nun läßt sich zeigen: Eine Gesetzmäßigkeit von dem allgemeinen Charakter der physikalischen Kausalität ist eine homogene Determiniertheit ersten Grades, unabhängig von der DZ der Welt. Daß die Gesetze dieses allgemeinen Charakters determinierende und nicht etwa bloß beschränkende sind, folgt aus der genannten eindeutigen Bestimmtheit. Die physikalische Welt möge die DZ (q + 1) haben. Für die folgende Überlegung setzen wir q nicht als bekannt voraus, um zu zeigen, daß der abzuleitende Determiniertheitsgrad, in dem q nicht mehr auftritt, unabhängig von der DZ ist. Es muß zunächst gezeigt werden, daß irgendeine Teilklasse (a) von derselben DZ wie die Welt, also (q + 1), nicht Freiheitsklasse sein kann. Verstehen wir unter einer p -dimensionalen Kugelklasse um den Mittelpunkt C mit dem Radius r die Teilklasse aller Elemente einer p -dimensionalen Klasse, deren Entfernung vom Element C gleich oder kleiner als r ist, so gilt der Satz: Jede stetige p -dimensionale Teilklasse einer p -dimensionalen Klasse enthält p -dimensionale Kugelklassen vom Radius r , wofern nur r hinreichend klein gewählt wird. Also enthält auch jene Teilklasse a von der DZ (q +1) (q +1)-dimensionale Kugelklassen. k1 sei eine solche; ihr Mittelpunkt sei C 1 , ihr Radius r 1 . Wir nehmen denjenigen Durchmesser von k1 , der die Richtung der Zeitdimension hat, als Achse. Der auf diese Achse bezogene Äquatorschnitt, eine q -dimensionale Kugelklasse k2 um C 1 mit r 1 , ist dann die innerhalb von k 1 liegende Teilklasse des Weltzustandes von C 1 . Nach dem oben über die Bedingungsklasse Gesagten ist k2 Bedingungsklasse jedes Elements, das auf der Achse um weniger als t = r 1 /c von C 1 entfernt liegt. Da mindestens ein Teil dieser Elemente zu k1 und damit zu a gehören muß, so enthält a Elemente, von denen es auch die Bedingungsklasse enthält. a ist also keine Freiheitsklasse. Für jedes Element E der physikalischen Welt gilt folgendes. E gehört zu einem Weltzustand; diesen nennen wir e . e hat in E die DZ (q + 0), also q , und ist Freiheitsklasse, wie jeder Weltzustand. Die größte der DZ, die irgendeine Freiheitsklasse in E hat, ist also mindestens q . Sie ist aber auch genau gleich q , da, wie soeben bewiesen, keine

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function. Determinacy itself is not thereby put into question, for one must precisely distinguish between the logical property of unique determinacy and the practical property of computability. But for the sake of practical applicability the relation of dependence must be expressed in something like the following manner: The values of the determining state magnitudes at an arbitrary space–time point are uniquely determined (more precisely, are expressed by a probability function) when the values of these magnitudes for an arbitrary space–time point (more precisely, for two such points) are given in a sufficiently large, finite part of space — and, indeed, are specified either for the points of a grid, or in their average values for finite portions of the part of space, or in the form of a lawful function interpolated from finitely many such specifications. Yet we will not take account of this modification in the expression of the relation of dependence required for application in what follows, since it has no principled effect on our investigation.

We will call the peculiarity of physical causality considered so far its “general character”, whereby the particular constitution of the natural laws expressing the relation of dependence, the DZ of the physical world, and so on, are not supposed to be included. Less precisely but more intuitively put, the general character of physical causality consists in the circumstance that the past and future are uniquely determined by the present, but the relations in the present itself are not subject to any law. And it now can be shown that a lawfulness having the general character of physical causality is a homogeneous determinacy of the first degree, independently of the DZ of the world. That the laws of this general character are determining — and not, say, merely constraining — follows from the unique determinacy in question. Let the physical world have the DZ (q + 1). For the following consideration we do not suppose that q is known, in order to show that the degree of determinacy we want to derive, in which q no longer appears, is independent of the DZ. It must first be shown that any subclass (a ) of the same DZ as the world, namely (q + 1), cannot be a free class. If we understand by a p -dimensional spherical class around the center C with radius r , the subclass of all elements of a p -dimensional class whose distance from the element C is equal to or less than r , then the following holds: every continuous p -dimensional subclass of a p -dimensional class contains p -dimensional spherical classes of radius r , provided only that r is chosen to be sufficiently small. Therefore, the subclass a with DZ (q + 1) also contains (q + 1)-dimensional spherical classes. Let k1 be one of these, C 1 its center, r 1 its radius. We take that diameter of k1 having the direction of the temporal dimension as the axis. The equatorial cross-section referred to this axis, a q -dimensional spherical class k 2 around C 1 with r 1 , is then the subclass of the worldstate of C 1 lying within k1 . According to what was said above concerning condition classes, k2 is the condition class of every element lying on the axis at a distance of less than t = r 1 /c from C 1 . Since at least some of these elements must belong to k1 , and thus to a , it follows that a contains elements of which it also contains their respective condition classes. Therefore, a is not a free class. For every element E of the physical world the following holds. E belongs to a world-state; call this e . e has in E the DZ (q + 0), thus q , and is, like every world-state, a free class. The greatest DZ that any free class in E has is therefore at least q . But it

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Teilklasse der Welt von der DZ (q +1) Freiheitsklasse sein kann. Da nun die DZ der Welt (q + 1) ist, so ist nach der Definition des Determiniertheitsgrades dieser in E gleich (q +1)− q , also 1. Da diese Überlegung für jedes Element gilt, so ist die Determiniertheit homogen vom ersten Grade.

c)

Die primäre Welt zeigt keine Determiniertheit

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Daß der Ablauf der ungedeuteten Sinnesempfindungen durch keinerlei determinierende Gesetze geregelt ist, ist leicht einzusehen, wenn auch dieser Satz einer verbreiteten Meinung widerspricht. Wir betrachten wie bei der Untersuchung der DZ zunächst die einzelnen Sinnesgebiete eines einzelnen Subjekts, darauf ihr Zusammenwirken und zuletzt die Mitwirkung der Sinnesempfindungen anderer Subjekte. Sodann ist zu zeigen, daß ein Rückschluß von der physikalischen Gesetzmäßigkeit her nicht möglich ist. 1. Der Gesichtssinn. Der wichtigste Teilbereich der primären Welt ist die zeitliche Reihe der einander ablösenden Gesichtsfelder. Daß die Elemente eines Gesichtsfeldes, also die gleichzeitigen Empfindungen, einander nicht bedingen, leuchtet ein: Irgendein Element, d. h. die Farbe einer bestimmten Gesichtsfeldstelle, bleibt unbestimmt, mag von dem übrigen Felde auch noch so viel gegeben sein. Die vielfach geglaubte Abhängigkeit pflegt ja auch nicht solche gleichzeitigen Empfindungen zu betreffen, sondern aufeinander folgende. Ist nun vielleicht ein Element eindeutig bestimmt, wenn das zeitlich unmittelbar vorhergehende Gesichtsfeld festliegt, oder vielleicht eine ganze Reihe von Gesichtsfeldern? Auch das ist nicht der Fall. Sonst würden überraschende Gesichtsempfindungen nur die Folge der mangelhaften Erinnerung und der Unbekanntheit der Abhängigkeitsfunktion sein. Aber z. B. die Gesichtsempfindung eines Steines in einer vorher nie betretenen Wüste oder die eines neu aufleuchtenden Sternes ist sicherlich nicht durch die vorhergegangenen Gesichtsempfindungen bedingt, und aus ihnen auch nicht bei vollkommener Erinnerung und vollkommener Kenntnis irgendwelcher etwa vorhandener determinierender Gesetze zu erschließen. Dem Bereich ist aber nicht nur die Determiniertheit abzusprechen, sondern es gelten in ihm auch nicht einmal beschränkende Gesetze. Für irgendeine Stelle eines Gesichtsfeldes ist keine Farbe grundsätzlich ausgeschlossen, auch nachdem das ganze übrige Gesichtsfeld und beliebig viele vorher und nachher festliegen. Allerdings hat von zwei räumlich oder zeitlich benachbarten Gesichtsfeldelementen das eine häufiger die Farbe des anderen als irgendeine andere bestimmte Farbe; aber es kann auch jede andere Farbe haben. Es gelten also zwar weder determinierende noch beschränkende Gesetze, aber doch Häufigkeitsfunktionen sowohl für die räumliche Verteilung der gleichzeitigen Elemente, als auch für die | zeitliche Reihe. Auf solchen Häufigkeitsfunktionen verwickelterer Art beruht die Möglichkeit von Voraussagen.

2. Die anderen Sinne. Für jedes andere Sinnesgebiet kommt eine entsprechende Überlegung zu dem gleichen Ergebnis. Sie kann jedoch hier übergangen werden, da dabei weniger Zweifel begegnen werden als beim Gesichtssinn.

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is also exactly equal to q , since, as has just been proved, no subclass of the world with DZ (q + 1) can be a free class. And since the DZ of the world is (q + 1), then, according to the definition of degree of determinacy, the latter in E is equal to (q + 1) − q , thus 1. Since this consideration holds for every element, it follows that the determinacy is homogenous of the first degree.

c)

The Primary World Exhibits No Determinacy

It is easy to see that the course of uninterpreted sense impressions is not regulated by any determining laws, although this proposition contradicts a widespread opinion. As in our investigation of the DZ, we first consider the individual sensory domains of a single subject, next their cooperative action, and then the additional effect of the sense impressions of other subjects. Afterwards, it will have to be shown that an inference back from physical lawfulness is not possible. 1. The sense of sight. The most important subdomain of the primary world is the temporal series of visual fields that succeed each other. It is clear that the elements of a single visual field, the simultaneous sensations, do not condition one another. Any given element, i.e., the color of a certain place in the visual field, remains undetermined no matter how much of the rest of the field may be given. The dependency that is often maintained is customarily not concerned with such simultaneous sensations, but rather with those that follow one another. Now, is an element perhaps uniquely determined when the temporally immediately preceding visual field is fixed — or perhaps an entire series of visual fields is fixed? Even this is not the case. Otherwise surprising visual sensations would be only the consequence of deficient memory and of the circumstance that the functional dependence is unknown. However, the visual sensations of a stone in a previously unexplored desert, for example, or those of a newly luminous star, are certainly not conditioned by the preceding visual sensations, and they therefore cannot be inferred from the latter even if there is prefect memory and perfect knowledge of any supposedly present determining laws. But not only is determinacy to be denied of this domain; even constraining laws do not hold in it. No color is in principle excluded from any place in a visual field, even after the whole remainder and arbitrarily many preceding and succeeding visual fields are fixed. To be sure, in the case of two spatially or temporally neighboring elements of the visual field, one has the color of the other more frequently than any other given color; but it can also have any other color. Therefore we have neither determining nor constraining laws, but we do have frequency functions both for the spatial distribution of simultaneous elements and for the temporal series. The possibility of predictions rests on a developed form of such frequency functions of a more complicated kind.

2. The other senses. For every other sensory domain a corresponding consideration arrives at the same result. But these can be omitted here, since fewer doubts are encountered in these cases than for the sense of sight.

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3. Die Gesamtheit der Sinnesgebiete. Wenn auch in jedem einzelnen Sinnesgebiet keine Determiniertheit vorliegt, so könnte doch ein Element eines Sinnes durch die eines anderen Sinnes eindeutig bestimmt werden. Beispiel: Wenn die Gesichtsempfindungen vorliegen, die auf der zweiten Stufe als zweimaliges Anschlagen einer Glocke gedeutet werden würden, ferner auch die mit dem ersten Anschlagen gleichzeitige Gehörempfindung, muß dann diese gleiche auch wieder gleichzeitig mit dem zweiten Anschlagen gegeben sein? Ist es in keiner Weise möglich, eine Erfahrung erster Stufe zu bewirken, in der diese zweite Gehörempfindung fehlt? Doch; es ist nur nötig, das hervorzurufen, was man in der Sprache der Erfahrung zweiter Stufe, die wir ja fast immer zu sprechen pflegen, eine Sinnestäuschung nennt. Der Anschlag muß etwa so geschehen, daß die Glocke nicht zum Tönen kommt, während der erste Ton von einer nicht gesehenen Glocke ausgeht.

Beispiele von Sinnestäuschungen zeigen, daß keine eindeutige Bestimmtheit besteht. Zwar ließen sich wohl auch Fälle denken, in denen die erforderliche Sinnestäuschung mit unseren technischen Mitteln nicht künstlich hervorgerufen werden kann. Aber die genauere Überlegung zeigt dann doch, daß auch unter solchen Umständen die entsprechende Erfahrung erster Stufe nicht grundsätzlich unmöglich erscheint. Die üblichen Erwartungsurteile, die von einem Sinn auf einen anderen schließen, setzen stets die „normale“ Beschaffenheit der Umgebung voraus. Genau genommen sind die Gesichtsfelder der beiden Augen (um als Beispiel wieder den auch für diese Frage wichtigsten Sinn heranzuziehen), nicht durch Entfernung und Richtung des sich abbildenden Gegenstandes bestimmt, sondern nur durch die Richtungen, die die beiden Strahlenbüschel beim Eintritt in die Augen haben. Die gewöhnlich angenommene und praktisch freilich fast immer bestätigte Auffassung, daß Entfernung und Richtung des Gegenstandes doch eindeutig einwirkten und daher auch eindeutig erschlossen werden könnten, gilt nur unter der grundsätzlich niemals nachprüfbaren Voraussetzung, daß unsere Umgebung jetzt gerade den optischen Zustand hat, den wir „normal“ zu nennen pflegen.

Ferner ist zu bedenken, daß die Erfahrung erster Stufe (im Gegensatz zu der der zweiten Stufe) durch die Zustandsänderungen der Sinnesorgane und des Nervensystems die stärksten Einwirkungen | erfahren kann. Daß wir eine „nicht normale“ Beschaffenheit der Erfahrung erster Stufe häufig auf einen „nicht normalen“ Zustand der Organe oder Nerven zurückführen werden, ändert nichts daran, daß dann die Erfahrung erster Stufe eben doch jene Beschaffenheit hat, also der Verlauf der primären Welt sich als ein undeterminierter erweist. 4. Die Mitwirkung fremder Empfindungen. Nehmen wir die Empfindungen anderer Subjekte hinzu, so müssen wir zunächst wieder, wie bei der Erörterung der DZ, den Vorbehalt machen, daß es hier dahingestellt bleiben mag, ob dieses Hinzunehmen bei der Betrachtung der primären Welt zulässig oder auch überhaupt sinnvoll sei. Auch bei der Zusammenfassung der Empfindungen mehrerer Subjekte kommen wir ebenso wie bei der Zusammenfassung der verschiedenen Sinnesgebiete zu dem Ergebnis der Undeterminiertheit, wenn wir die vorhin angeführten Tatsachen der Überlegung zugrunde legen, also

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3. The totality of sensory domains. Even when there is no determinacy in each individual sensory domain, an element of one sense might still be uniquely determined by that of another sense. Example: When visual sensations occur that would be interpreted in second-order [experience] as striking a bell twice, together with the auditory sensation simultaneous with the first blow, must the same auditory sensation also be given simultaneously with the second? Is it in no way possible to produce a first-order experience in which this second auditory impression is missing? Certainly; it is only necessary to produce what one calls a sensory illusion, in the language of second-order experience — which we are in fact accustomed to speak nearly always. The blow must be struck, for example, in such a way that the bell does not ring, while the first ringing proceeds from a bell that is out of sight.

Examples of sensory illusions show that there is no unique determination here. To be sure, cases can be imagined in which the required sensory illusion cannot be artificially produced by the technical means at our disposal. But a more precise consideration then shows that even under such circumstances, the corresponding first-order experience does not appear to be impossible in principle. The customary judgments of expectation, which infer from one sense to another, always presuppose a “normal” constitution of the environment. Strictly speaking, the visual fields of the two eyes (again, to use the sense most important for this question as well as an example) are not determined by the distance and direction of the object to be pictured, but rather only by the directions that the two pencils of rays have when meeting the eyes. The usually assumed conception, which is certainly almost always confirmed practically, that the distance and direction of the object has a unique effect and can thus also be uniquely inferred holds only under the presupposition, which can in principle never be checked, that our present environment has precisely that optical state we customarily call “normal”.

We should bear in mind, moreover, that first-order (in contrast to secondorder) experience can be very strongly influenced by changes in the state of the sense organs and nervous system. That we will frequently trace back a “non-normal” constitution of first-order experience to a “non-normal” state of the organs or nerves does not in the least change the fact that first-order experience does have just that former character — i.e. that the course of the primary world proves itself to be undetermined. 4. The cooperative effect of the sensations of others. If we now add the sensations of other subjects, first of all we must once again adopt the proviso, as we did in the discussion of the DZ, that it is by no means obvious whether this addition is permissible or even in general meaningful in considering the primary world. Just as in the case of putting together the various sensory domains, we come to the same result of indeterminacy when we put together the sensations of several subjects. We take as our basis the preceding facts, appealed to in the example of the sense of sight: the non-unique relation

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im Beispiel des Gesichtssinnes: die nicht eindeutige Beziehung zwischen dem Orte (und, wie wir hinzufügen können, der Beschaffenheit) eines Körpers und dem in die Augen eintretenden Lichtbündel, und die infolge der zwischengeschalteten Organe nicht eindeutige Beziehung zwischen diesen Lichtbündeln und der Empfindung. 5. Der Rückschluß von der Determiniertheit der physikalischen Welt. (Dieser Abschnitt dient zur Abwehr eines Einwandes und kann übersprungen werden.) Schon in den letzten Überlegungen war von Körpern, Lichtbündeln, Netzhaut, Nerven usw. die Rede. Obwohl hier die primäre Welt zur Erörterung steht, müssen diese Gegenstände der sekundären Welt zu Hilfe genommen werden, weil die Einwände gegen die Behauptung der Undeterminiertheit der primären Welt vom Standpunkt der sekundären Welt aus gemacht werden und vom gleichen Standpunkt aus widerlegt werden müssen. Denn selbst wenn jemand uns nur seine Erfahrung erster Stufe angibt (d. h. die Empfindungen, die er gehabt hat, ohne ihre Dingzusammenfassungen, Deutungen usw.), so pflegen wir ja doch immer zu versuchen, diese angegebenen Empfindungen zu erklären, d. h. sie der determinierten sekundären Welt gesetzmäßig einzufügen. Und so muß auch die Behauptung irgendeiner Beschaffenheit der primären Welt (hier: ihrer Undeterminiertheit) sich stets vor dem Forum der Erfahrung zweiter Stufe rechtfertigen, da die Möglichkeiten für deren Beschaffenheit als einigermaßen bekannt gelten. Eine andere Wendung des von der sekundären Welt ausgehenden Bedenkens gegen unsere These, die im Grunde mit jenen Einwänden eng zusammenhängt, lautet so: In der physikalischen Welt herrschen determinierende Gesetze. Nun besteht die schon besprochene Zuordnungsbeziehung zwischen dieser und der primären Welt, durch die einigen bestimmten Teilklassen der physikalischen Welt eindeutig bestimmte Empfindungselemente substituiert werden können. Müßte es da nicht möglich sein, durch diese Substitutionen aus den determinierenden Gesetzen der physikalischen Welt ebensolche der primären Welt abzuleiten? Aus zwei verschiedenen Gründen ist dies nicht möglich. Erstens ist die sekundär-primäre Zuordnung zwar nacheindeutig, aber nicht voreindeutig (also nicht eineindeutig, sondern mehreindeutig): Jedem Primärelement oder -komplex ist eine große Anzahl verschiedener physikalischer Komplexe zugeordnet. Dies beruht nicht nur auf der Mehrdeutigkeit der Lokalisation und auf der Reizschwelle, sondern gilt vor allem auch für die Empfindungsqualitäten. Z. B. sind einer bestimmten Farbempfindung unendlich viele Schwingungsformen zugeordnet, die sich durch die Phasendifferenzen ihrer Komponenten und die Richtung des Schwingungsvektors unterscheiden. Ähnliches gilt für die Schallempfindungen.

Das Hindernis, das die Mehreindeutigkeit der Zuordnung für die in Frage stehende Substitution bildet, beruht darauf, daß die determinierenden Gesetze Bedingungsverhältnisse ausdrücken. Für die Substitution an Stelle des Bedingten genügt die Nacheindeutigkeit der Zuordnung, aber für die Substitution des Bedingenden müßte die Zuordnung auch voreindeutig sein.

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between the place (and, we can add, the constitution) of an object and the light beam entering the eyes, together with the non-unique relation, due to the intervening organs, between this light beam and the sensation. 5. The inference back from the determinacy of the physical world. (This section serves to refute an objection and can be skipped.) We have already mentioned bodies, light beams, the retina, nerves, and so on in the above discussion. Although here the primary world is in question, these objects of the secondary world must be called upon as aids, because the objections against our assertion of the indeterminacy of the primary world are raised from the standpoint of the secondary world — and must be refuted from that same standpoint. For, even when someone only indicates to us his first-order experience (i.e., the sensations he has had, without putting them together into things, interpretations, and so on), we are still always accustomed to attempting to explain these specified sensations, that is, to insert them in accordance with laws into the determinate secondary world. And so the assertion of any character at all for the primary world (here its indeterminacy) must always justify itself in the forum of second-order experience, because the range of possibilities regarding its character are already quite well known. Another twist on the reservations about our thesis that proceed from the secondary world, a twist that is at bottom closely connected with those objections, goes as follows. The world of physics is governed by determining laws. But now there is a relation of coordination, already mentioned, between it and the primary world, in virtue of which certain elements of sensation can be uniquely substituted for certain subclasses of the physical world. Must it then not be possible, by this substitution, to derive from the determining laws of the physical world precisely such laws of the primary world? This is not possible, for two different reasons. In the first place, the secondary–primary coordination is in fact unique with respect to the second argument, but not with respect to the first (thus not one–one but many–one): to each primary element or complex of elements a large number of different physical complexes are coordinated. This does not rest only on the ambiguity of localization and on the threshold of stimulation, but it is also true above all for the sensory qualities. For example, to a given color sensation are coordinated infinitely many wave forms, which are distinguished by the phase differences of their components and the direction of vibration. And something similar holds for the sensations of sound.

The obstacle this ambiguity of coordination raises for the substitution in question is due to the circumstance that determining laws express conditioning relations. Uniqueness of coordination in the direction from the secondary to the primary world suffices for substitution in place of the conditioned, but the coordination must also be unique in the reverse direction for substitution of the conditioning.

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Dieser Zusammenhang läßt sich am besten in der Sprache der Relationstheorie (nach Russell) ausdrücken: Bezeichnet P die asymmetrische Bedingungsbeziehung ^

der physikalischen Gesetze, Z jene sekundär-primäre Zuordnung, Z ihre Umkehrung, ^

so könnte das Relationsprodukt Z | P | Z angesprochen werden als die gesuchte Bedingungsbeziehung innerhalb der primären Welt. Diese Beziehung ist nun (nach-)^

mehrdeutig, weil zwar Z und P (nach-)eindeutig sind, Z aber nicht. Sie kann also keine determinierenden, sondern nur beschränkende Gesetze liefern.

Der zweite Grund liegt darin, daß jene Substitutionen nur in einer gewissen Teilklasse (g ) der physikalischen Welt möglich sind. Betrachten wir nur ein Subjekt, so umfaßt g diejenigen Oberflächenteile physikalischer Körper, die gerade Gegenstand seiner Empfindung sind; in erster Linie denken wir hierbei immer an Gesichtsempfindungen. (Hier sei nicht auf die Frage eingegangen, ob man | nicht, um jene Zuordnung ausnahmslos (nach-)eindeutig zu machen, an Stelle dieser Oberflächenteile gewisse Vorgänge der sensiblen Sphäre der Großhirnrinde als Vorbereich der Zuordnung nehmen müßte.)

Diesem zweiten Grunde ist es zuzuschreiben, daß sich nicht einmal beschränkende Gesetze ergeben. Denn jede Bedingungsklasse eines physikalischen Elements, die zeitlich genügend weit von ihm entfernt ist, um zu anderen Primärelementen zu gehören, ist zu ihrem weitaus größten Teil nicht in g enthalten, also jenen Substitutionen nicht unterwerfbar. Um uns diesen Sachverhalt anschaulich zu machen, nehmen wir an, der Abstand zwischen Bedingungsklasse und E müsse, damit sie zu verschiedenen Primärelementen gehören, mindestens 0,001 Sek. betragen. Dann muß (vgl. Abschnitt III b) die Bedingungsklasse eine Kugel vom Radius 0,001c , also 300 km, enthalten. Daß eine solche Teilklasse der physikalischen Welt stets (und zwar zum allergrößten Teil) Elemente enthält, die nicht zu g gehören, leuchtet ein. Die Substitution für die Bedingungsklasse ist also nicht ausführbar. Die genauere Ableitung in Ausdrücken der Relationstheorie müssen wir uns versagen, weil diese Theorie trotz ihrer Fruchtbarkeit für derartige Untersuchungen leider heute noch nicht als bekannt vorausgesetzt werden kann.

IV.

Der Zusammenhang der beiden Fiktionen

In den bisherigen Überlegungen sind zwei Beschaffenheiten der konstruierten physikalischen Welt als Fiktionen erkannt worden, d. h. als Eigenschaften, die ihr kraft der Konstruktion beigelegt werden, ohne in der den Ausgangspunkt der Konstruktion bildenden primären Welt zu gelten: nämlich die DZ (3 + 1) gegenüber der der primären Welt (2 + 1), und die Determiniertheit ersten Grades gegenüber der Undeterminiertheit der primären Welt. Es soll jetzt gezeigt werden, welcher bedingende Zusammenhang zwischen den beiden Fiktionen besteht. Angenommen, die DZ der sekundären (insbesondere der physikalischen) Welt sei noch nicht bekannt. Wir bezeichnen sie mit DZs und die der primären Welt mit DZp . DZp ist bekannt als (2+1). Es soll versucht werden, auf Grund des

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This situation can be best expressed in the language of the theory of relations (following Russell): If P designates the asymmetric conditioning relation of the physical ^

laws, Z the secondary–primary coordination, and Z its converse, then the relational ^

product Z | P | Z could be advanced as the sought-for conditioning relation within the primary world. However, this relation is non-unique: although Z and P are in fact ^

unique, Z is not. It can therefore yield not determining laws, but only constraining ones.

The second reason lies in the circumstance that these substitutions are only possible in a certain subclass (g ) of the physical world. If we consider only a single subject, then g comprises those parts of the surfaces of physical bodies that are presently objects of its sense impressions; we mainly think in this connection of impressions of the sense of sight. (We shall not here go into the question whether, in order to make this coordination unique without exception, we do not have to take certain processes in the sensory sphere of the cerebrum as the range of the coordination.)

That not even constraining laws result is to be ascribed to this second reason. For every condition class of a physical element that is sufficiently temporally distant from it to belong to other primary elements is, for the most part, not contained in g , and thus not subject to these substitutions. In order to illustrate this state of affairs, we assume that the distance between the condition class and E must amount to at least 0.001 sec. in order for them to belong to different primary elements. Then (cf. section III b) the condition class must contain a sphere of radius 0.001c , thus 300 km. It is obvious that such a subclass of the physical world always (and indeed for the most part) contains elements not belonging to g . Therefore, the substitution for the condition class cannot be carried out. We have to forsake the more precise derivation in the language of the theory of relations, since, despite its fruitfulness for these kinds of investigations, familiarity with this theory can unfortunately not yet be taken for granted presently.

IV.

The Connection between the Two Fictions

In our considerations up to here, two aspects of the constructed physical world have been recognized as fictions, i.e., as properties that are ascribed to it in virtue of the construction, without holding in the primary world that constitutes the basis for the construction: the DZ (3 + 1) as opposed to that of the primary world (2 + 1), and determinacy of the first degree as opposed to the indeterminacy of the primary world. It shall now be shown what conditioning connection subsists between the two fictions. Let us assume that the DZ of the secondary world (in particular the physical world) is not yet known. We designate it by DZs and that of the primary world by DZp . DZp is known to be (2 + 1). We shall attempt to determine DZs

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j

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bekannten Charakters der physikalischen Kausalität DZs zu bestimmen. Diejenige Teilklasse der sekundären Welt, die alle und nur die Elemente umfaßt, denen Elemente der primären zugeordnet sind, hatten wir mit g bezeichnet. Ihre DZ bezeichnen wir mit DZg , und den Determiniertheitsgrad der beiden Klassen mit DGs und DGg . Nun läßt sich zeigen, daß g eine Freiheitsklasse ist, d. h., daß zwischen den Elementen von g keine determinierenden Gesetze gelten. Würde dies nämlich der Fall sein, so hätten wir damit Abhängigkeitsbeziehungen zwischen solchen Sekundärelementen, denen Primärelemente zugeordnet sind. Würden wir nun in diesen Abhängigkeitsbeziehungen die Sekundärelemente durch die ihnen zugeordneten Primärelemente ersetzen, so bekämen wir zwar infolge der Mehreindeutigkeit der Zuordnung keine eineindeutigen, wohl aber mehrdeutige Abhängigkeitsbeziehungen zwischen Primärelementen, also beschränkende Gesetze in der primären Welt. Das würde aber unserem Befund von dieser Welt widersprechen.

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Die Herleitung der beschränkenden Gesetze der primären Welt aus determinierenden der sekundären entspricht genau unserer Überlegung im ersten Teile von Abschnitt III c 5. Es liegt nun der Einwand nahe, man müsse entsprechend unserer damaligen Überlegung im zweiten Teile von III c 5 auch hier schließen, daß aus den determinierenden Gesetzen der sekundären Welt sich nicht einmal beschränkende Gesetze der primären ableiten lassen; damit wäre dann der soeben gegebene indirekte Beweis für g als Freiheitsklasse hinfällig. Aber die damalige Überlegung läßt sich hier nicht anwenden. Damals handelte es sich um determinierende Gesetze für die ganze Welt, und es zeigte sich, daß die in Betracht kommende Bedingungsklasse eines Elements zum größten Teile gar nicht in g enthalten ist. Hier aber ist die Rede von determinierenden Gesetzen innerhalb von g . Hier würde also die Bedingungsklasse eines Elements in bezug auf dieses Gesetz ganz in g enthalten und damit den Substitutionen der sekundärprimären Zuordnung unterwerfbar sein.

Da DZp gleich (2 + 1) oder, wenn wir die Summandenzerlegung hier nicht berücksichtigen, gleich 3 ist, so ist DZg = 3, weil jedem Primärelement ein Element von g entspricht. Aus einem Satz der Punktmengenlehre (vgl. die Peanosche Kurve) folgt, daß dieser Schluß nur unter der folgenden Voraussetzung gilt: Es gibt in der primären Welt gleichdimensionale Teilgebiete, in denen die Nachbarschaftsbeziehung, auf die sich die Definition der DZ bezieht, hier also die raumzeitliche Nachbarschaft, stets auch einer raumzeitlichen Nachbarschaft in der sekundären Welt entspricht. Ein Beispiel zur Veranschaulichung: Häufig entsprechen zwei benachbarten Elementen des Gesichtsfeldes zwei getrennte Elemente der sekundären Welt, nämlich solche, die vom Auge aus in nahezu gleicher Richtung, aber verschiedener Entfernung liegen. Aber es gibt auch Flächenstücke im Gesichtsfeld, denen zusammenhängende Flächenstücke der physikalischen Welt zugeordnet sind, z. B. ein mit einem Male überblickbares Stück einer Körperoberfläche. Die genannte Voraussetzung ist also erfüllt. Die Umkehrung folgt hieraus nicht; daher die Ungleichung DZg = 3.

E sei ein Element von g . g ist Freiheitsklasse, und DZg = 3. | Sind p 1 , p 2 usw. die DZ der Freiheitsklassen, zu denen E gehört, in E , und p die größte

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Three-Dimensionality of Space and Causality (1924a)

285

on the basis of the known character of physical causality. We designated as g that subclass of the secondary world comprising all and only those elements to which elements of the primary world are coordinated. We designate its DZ by DZg and the degree of determinacy of the two classes by DGs and DGg , respectively. Now it can be shown that g is a free class, i.e., no determining laws hold between the elements of g . For, if there were such laws, then we would thereby have relations of dependence between those secondary elements to which primary elements are coordinated. And if we were to replace the secondary elements in these relations of dependence by the primary elements coordinated to them, we would not then obtain unique relations of dependence between the primary elements (as a consequence of the ambiguity of coordination), but we would obtain non-unique relations of dependence, and thus constraining laws in the primary world. But that would contradict our findings about this world. The derivation of constraining laws of the primary world from determining laws of the secondary world corresponds precisely to our discussion in the first part of section III c 5. But now the objection presents itself that, corresponding to our discussion in the second part of III c 5, one would also have to conclude here that not even constraining laws for the primary world can be derived from the determining laws of the secondary world; and the indirect proof just given that g is a free class would then be pointless. However, the previous discussion cannot be applied here. There it was a matter of determining laws for the entire world, and it was shown that the condition class of an element under consideration is, for the most part, not contained in g at all. But here we are considering determining laws within g . Here, therefore, the condition class of an element with respect to such a law would be entirely contained in g , and thereby subject to the substitutions of the secondary–primary coordination.

Since DZp is equal to (2 + 1), or, if we neglect the analysis into a sum, equal to 3, then DZg = 3, since an element of g corresponds to every primary element. It follows from a theorem of point-set theory (cf. the Peano curve) that this conclusion holds only under the following presupposition: There are equi-dimensional subdomains in the primary world in which the neighborhood relation referred to in the definition of DZ — here, therefore, the spatio-temporal neighborhood relation — always corresponds to the spatio-temporal neighborhood relation in the secondary world. An example to make this intuitive: two neighboring elements of the visual field frequently correspond to two separated elements of the secondary world, lying in almost the same direction from the eye but at very different distances. But there are also surface elements in the visual field to which connected surface elements of the physical world are coordinated, e.g., a piece of a body’s surface surveyable at a glance. The presupposition in question is therefore satisfied. The converse does not follow from this; therefore we have the inequality DZg = 3.

Let E be an element of g . g is a free class, and DZg = 3. If p 1 , p 2 , etc. are the DZ of the free classes to which E belongs, in E , and if p is the largest of

j

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Dreidimensionalität des Raumes und Kausalität (1924a)

dieser Zahlen, so ist also p = 3. DGs in E ist dann gleich DZs − p , also kleiner oder gleich DZs − 3. Wünschen wir nun die Konstruktion der sekundären Welt so vorzunehmen, daß in ihr im Gegensatz zur primären eine determinierende Gesetzmäßigkeit gilt, so liegen für eine solche die verschiedensten Möglichkeiten vor. Hier können wir nicht auf die Erörterung darüber eingehen, von welchen Gesichtspunkten sich die Wahl leiten lassen müßte, oder worauf es zurückzuführen ist, daß die uns bekannten Formen der sekundären Welt, die gewöhnliche des täglichen Lebens und die physikalische, gerade eine bestimmte Art der Gesetzmäßigkeit zeigen. Wir nehmen an, wir wünschten in die sekundäre Welt eine Gesetzmäßigkeit von der Art einzuführen, die wir früher als den allgemeinen Charakter der physikalischen Kausalität bezeichnet haben (Abschnitt III b). Dieser Charakter war sowohl unabhängig von der DZ des Bereichs als auch von der besonderen Eigentümlichkeit der einzelnen Abhängigkeitsgesetze. Dieser Wunsch (zu dem wir freilich nicht genötigt sind) zwingt uns dann nach dem oben Abgeleiteten, der sekundären Welt homogene Determiniertheit ersten Grades zu geben. Aus der Homogeneität folgt, daß DGs gleich dem von uns gefundenen Wert für DGs in E ist, also DGs 5 DZs − 3. Da nun DGs gleich 1 sein soll, so erhalten wir: 1 5 DZs − 3, also: DZs = 4. Die DZ der sekundären Welt ist also mindestens gleich 4 oder (3 + 1). Wenn man den Dimensionen der sekundären Welt Bedeutungen beilegt, die aus der primären entnommen sind (was, wie die allgemeine Relativitätstheorie zeigt, nicht etwa unumgänglich ist), so pflegt man sowohl in der gewöhnlichen, wie in der physikalischen Welt die Veränderung stets an der Zahl der Raumdimensionen anzubringen. Die Einzahl der Zeitdimension anzutasten, liegt auch allem Anschein nach kein Grund vor. Wir bescheiden uns deshalb auch damit, diese Einzahl stets stillschweigend vorauszusetzen, zumal die Summandenzerlegung der DZ in Raum- und Zeitdimensionen für unsere Untersuchung nur von geringer Bedeutung ist.

So hat uns der allgemeine Charakter der physikalischen Kausalität zur Erhöhung der DZ gezwungen. Die Fiktion der Dreidimensionalität des Raumes ist die logische Folge der Fiktion der physikalischen Kausalität. Und zwar ist es Vorbedingung für jenen Charakter der Kausalität, daß der Raum nicht weniger als drei Dimensionen hat; und der Umstand, daß | wir dem Raume nicht mehr als drei Dimensionen beilegen, hat zur Folge, daß die Determiniertheit von keinem höheren als dem ersten Grade sein kann.

Zusammenfassung der Ergebnisse I. In der Erfahrung sind zwei Stufen zu unterscheiden: Die primäre Welt besteht aus den noch nicht dinglich gedeuteten Sinnesempfindungen in ihrer einfachsten Ordnung nach Zeit-, Raum- und Qualitätsunterschieden. Alle Ordnung und Verarbeitung der Erfahrung von solcher Art, daß sie auch weggelassen werden kann, rechnet zur zweiten Stufe. Ihr Inhalt ist die sekundäre Welt; Beispiele: die gewöhnliche Welt des täglichen Lebens und die physikalische Welt.

130

Three-Dimensionality of Space and Causality (1924a)

287

these numbers, then p = 3. DGs in E is then equal to DZs − p , and thus less than or equal to DZs − 3. If we now wish to undertake the construction of the secondary world so that, in contradistinction to the primary world, a determining lawfulness holds, then there are very many different possibilities for this. We cannot here discuss in detail the viewpoints from which this choice would need to be guided, or the basis for the fact that the forms of the secondary world familiar to us, of everyday life and the physical world, exhibit precisely one particular type of lawfulness. We simply assume that we wished to introduce into the secondary world a lawfulness of the kind we earlier called the general character of physical causality (section III b). This character was independent of the DZ of the domain, and also of the special peculiarity of the individual laws of dependence. This wish (which is by no means forced upon us) leaves us no choice, according to what was concluded above, but to give the secondary world homogeneous determinacy of the first degree. It follows from homogeneity that DGs is equal to the value we found for DGs in E , and therefore DGs 5 DZs − 3. But, since DGs is now supposed to be equal to 1, we obtain the result: 1 5 DZs − 3, and thus DZs = 4. Therefore the DZ of the secondary world is at least equal to 4 or (3 + 1). If one attributes meanings taken from the primary world to the dimensions of the secondary world (which, as the general theory of relativity shows, is not strictly necessary), then it is customary, both in the everyday and in the physical world, to make changes always in the number of spatial dimensions. There does not seem to be any reason to meddle with the temporal dimension of one. We shall also restrict ourselves therefore to always presupposing, tacitly, that this number is one, especially since the analysis of the DZ into a sum of spatial and temporal dimensions has little significance for our investigation.

Thus, the general character of physical causality has forced us into raising the DZ. The fiction of the three-dimensionality of space is the logical consequence of the fiction of physical causality. And in fact it is a precondition for this character of causality that space has no less than three dimensions; the circumstance that we do not attribute to space more than three dimensions has the consequence that the determinacy can be no higher than the first degree.

Summary of Results I. In experience we should distinguish between two orders: The primary world consists of sense impressions, not yet interpreted in terms of things, in their simplest ordering by distinctions in time, space, and quality. All ordering and processing of experience of such a kind that it can also be omitted is counted as belonging to the second order. Its content is the secondary world. Examples are the ordinary world of daily life and the world of physics.

288

Dreidimensionalität des Raumes und Kausalität (1924a)

II. Der Begriff der Dimensionszahl (DZ) wird festgelegt. Während die sekundäre (die gewöhnliche und die physikalische) Welt die DZ (3+1) hat (d. h. 3 Raum- und 1 Zeitdimension), ergibt die Untersuchung für die primäre Welt (den Bereich der ungedeuteten Sinnesempfindungen) nur die DZ (2 + 1). Die Konstruktion der sekundären Welt schließt also eine Erhöhung der DZ um 1 ein. III. Nach einer Bestimmung des Begriffs der determinierenden und der beschränkenden Gesetze zeigt sich: In der sekundären (physikalischen) Welt gelten determinierende Gesetze bestimmter Art (ersten Grades). In der primären Welt bestehen weder determinierende noch auch bloß beschränkende Gesetze. Der Aufbau der sekundären Welt führt also die Determiniertheit neu ein. IV. Die beiden in die sekundäre Welt eingebauten Fiktionen: Dreidimensionalität des Raumes (gleichbedeutend mit Vierdimensionalität des Weltgeschehens) und Determiniertheit oder physikalische Kausalität stehen in logischem Abhängigkeitsverhältnis zueinander. Die erste ist durch die zweite bedingt.

Three-Dimensionality of Space and Causality (1924a)

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II. The concept of dimension number (DZ) is defined. Whereas the secondary world (both ordinary and physical) has the DZ (3 + 1) (i.e., 3 spatial dimensions and 1 temporal dimension), the investigation of the primary world (the domain of uninterpreted sense impressions) results only in the DZ (2 + 1). The construction of the secondary world therefore involves a raising of the DZ by 1. III. According to a definition of the concept of determining and constraining laws, it is shown that in the secondary (physical) world determining laws of a specific kind (of the first degree) hold. In the primary world there are neither determining nor even constraining laws. Thus, the construction of the secondary world introduces determinacy for the first time. IV. The two fictions built into the secondary world — three-dimensionality of space (equivalent to the four-dimensionality of the course of worldhappenings) and determinacy or physical causality — stand in a relation of logical dependence with each other. The former is conditioned by the latter.

290

Editorial Notes

Information on the Text Originally published in: Annalen der Philosophie und philosophischen Kritik 4, no. 3 (1924), pp. 105–130. Translation by Michael Friedman. In his Intellectual Autobiography Carnap relates: In an article [[Carnap 1924a]], I made an analysis of the structure of causal determination in physics and of its connection with the structure of space. My strongly conventionalist attitude in this article and in [[Carnap 1923a]] was influenced by Poincaré’s books and by Hugo Dingler. However, I did not share Dingler’s radical conventionalism and still less his rejection of Einstein’s general theory of relativity. (Carnap 1963c, p. 15) Carnap’s folder of notes associated with this paper contains the following chronology (ASP 110-05-08): MS geschrieben Jena 4.4.22 bis 23.5.22

MS written in Jena, 4 April 1922 to 23 May 1922

(in Jena Flitner mündlich erzählt, Spaziergang auf den Lindenhof; und Grundgedanke niedergeschrieben[;] im Mai in Wiesneck MS geschrieben.)

(talked to Flitner about it in Jena, on a walk to the Lindenhof; and wrote down the basic idea[;] wrote the MS in Wiesneck in May.)

9.6.22 an Annalen; 16.8.22 angenommen.

to the Annalen on 9 June 1922; accepted on 16 August 1922.

Aufgrund der Diskussion mit Christiansen, Merten, und Gerhards einige Änderungen im MS, 15.4.23 aus Hamburg an Annalen geschickt.

On the basis of the discussion with Christiansen, Merten, and Gerhards some changes in the MS, sent to Annalen on 15 April 1923 from Hamburg.

(Das MS lag März 23 in Erlangen zur Ansicht bei der Tagung.)

(The MS was available in March 1923 for review at the conference in Erlangen.)

April 24 Korrektur gelesen.

April 1924 read the proofs

21.7.24 100 Sonderabdrücke und gleichzeitig das Zeitschriftheft bekommen! (Dafür aber kein Honorar!)

21 July 1924 Received 100 offprints and at the same time the journal issue! (But on the other hand no honorarium!)

The one-page write-up of the “Grundgedanke” of 4 April 1922 (ASP 110-0510) is also preserved in this folder. It reads, in part: Aus dem (2+1)-dimensionalen Bereich der Sinnesempfindungen konstruieren wir das (3+1)-dimensionale physikalische Bereich.

We construct the (3+1)-dimensional physical realm from the (2+1)-dimensional realm of the sense impressions.

Three-Dimensionality of Space and Causality (1924a)

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Diese Konstruktion geschieht vollständig Wahlfrei, nur gebunden durch Prinzipien der Logik und Einfachheit

This construction is completely free, bound only by principles of logic and simplicity.

Daraus folgt dann allerdings notwendig, daß die physikalische Welt, wofern nur die Konstruktion nach bestimmten Regeln erfolgt ist, bestimmt ist nicht nur das (2+1)-dimensionale Bereich der Empfindungen, sondern auch durch irgendein anderes (2+1)-dimensionales Bereich, z. B. durch den Zustand der Welt in einem [Augenblick]. D. h.: Die Kausalität herrscht nur dadurch in der physikalischen Welt, daß wir in diese künstlich eine weitere Dimension eingeführt haben! In der Welt des Wahrgenommenen herrscht keine Gesetzmäßigkeit!

It follows necessarily from this, though, that the physical world, insofar as its construction has followed certain rules, is determined not only by the (2+1)dimensional realm of impressions, but also by some other (2+1)-dimensional realm, e.g. the state of the world at an instant. That means: causality only determines the physical world because we have artificially introduced a further dimension into it! The perceived world is not determined by laws!

Editorial Notes a. [p. 249] “From Hume’s critique of the concept of causality to the ‘as–if’ doctrine of Vaihinger, the recognition has grown ever clearer that causality, conceived as relation of cause and effect, represents a fiction, based on the experienced relation of an effective will to its act.” Among Carnap’s published papers, this one represents the apogee of Vaihinger’s influence (cf. the Introduction to this volume, p. xxxv f.). It is no coincidence that both this paper and Carnap’s abstract of Physical Concept Formation (see Information on the Text regarding Carnap 1926a, p. 428) were published in what was still regarded as the house journal of Vaihinger and his followers, the Annalen der Philosophie, whose name had only been changed the year this paper appeared from Annalen der Philosophie. Mit besonderer Rücksicht auf die Probleme der Als-Ob-Betrachtung. [[Annals of Philosophy. With special consideration of Problems concerning the As–If–Perspective.]] to Annalen der Philosophie und philosophischen Kritik [[Annals of Philosophy and Philosophical Criticism]]. In 1927, Vaihinger and his chief acolyte Raymund Schmidt were joined as co-editors by Joseph Petzold, the well-known follower of Mach and Avenarius. In 1930 the journal changed its name once again, to Erkenntnis, and was henceforth published under the joint auspices of the Gesellschaft für empirische Philosophie [[Society for Empirical Philosophy ]] in Berlin (of which Petzold had been one of the founders) and the Verein Ernst Mach [[Ernst Mach Society ]] in Vienna, with Carnap and Hans Reichenbach as editors. b. [p. 249] “Our conception of fictivity also extends beyond the hitherto accepted one on another point. It no longer needs to be shown that the construction of a space of four or more dimensions is a fiction. Our second thesis

292

Editorial Notes

goes further: even three-dimensional space is already a fictitious enlargement of the two-dimensional space of (primary) experience.” This combines two other ideas Carnap worked with at around this time. First, the sharp distinction between the first two “volumes” of a completed physics (1923a, pp. 221–233): “That these two domains [perception and physical theory] are entirely distinct from each other cannot be emphasized sharply enough.” And second is one of the basic motifs of Vom Chaos zur Wirklichkeit, the 1922 manuscript (written concurrently with the first draft of the present paper) in which Carnap first wrote down the germ of the Aufbau idea (see Introduction, pp. xxxv–xxxix): the transition from the fixed “Erlebnisbereich [[realm of experience]]” to a tentative and variable “Wirklichkeit [[reality]]” cannot be achieved by explicit definition (even in this original conception), but requires optimization subject to two constraints or guiding principles (“Erhaltung der Zustandsgleichheit [[preservation of the same state]]” and “Erhaltung der Ablaufsgleichheit [[preservation of the same process]]”), which Carnap explicitly (ASP 081-05-01, pp. 7–8) analogizes to the Kantian categories of substance and causality respectively. It is only with the help of these two principles or categories that it is possible to progress from the two-dimensional realm of perception, Carnap holds, to the three-dimensional realm of a “reality”. The first of these ideas goes even further back than 1923a and has its roots in the Kantian idea that the form of the Tatbestand [[factual basis]] in Der Raum is “necessary” (see Introduction to this volume, above p. xxxiv), already present in Carnap’s 1920 dissertation on geometry. The explicit treatment of the “original chaos” of the realm of pure perception in the opening sentences of Vom Chaos zur Wirklichkeit as not “necessary” (and not even directly available), but as a kind of convenient myth (ASP 081-05-01, p. 1), a metaphorical convention to aid inquiry, seems evidently to be a response to Carnap’s reading of Vaihinger. In the present paper the “necessary” form of the perceptual realm is further diluted; see note e below. The second idea remained central to the Aufbau conception and survived its phenomenological origins (Introduction, p. xxxv); indeed it plays a critical role in the published Aufbau, in the ascent from two-dimensional perceptual space to three-dimensional physical space in § 126. Once again, this point marks the transition from explicit definition to optimization subject to constraints. And the principles guiding the construction are more detailed and explicit versions of the two that Carnap first proposed in 1922. However, the particular form of the idea put forward in this paper was rejected by Carnap the following year; as he puts it in the Aufbau, his 1924a is “in error”, since it requires “that the two-dimensionality of the visual field has to be regarded as ultimately given [[ursprünglich]]. In our constitution theory we have recognized that we must regard the two-dimensional order to be every bit as derived as the three-dimensional one, and that it thus presents a problem of its constitution” (Carnap (1928a), § 124, p. 164, transl. p. 193); and indeed, the two-dimensional visual field is constructed in the Aufbau (in § 89 and § 117, with alternative approaches considered in § 92); it is not taken as given.

Three-Dimensionality of Space and Causality (1924a)

293

In one respect, however, the combination of these two ideas in the present paper goes beyond 1922a and 1923a, and points to Carnap’s future conception. This is the sharp contrast he develops between the two different forms of “reality” (“secondary worlds”, he calls them here): the gewöhnliche Umformung [[everyday transformation]] and the physikalische Umformung [[physical transformation]] of the primary world. (In Vom Chaos zur Wirklichkeit these two transformations are not parallel but hierarchical, with the physical secondary world a further transformation of the everyday secondary world; again, this difference presumably results from the 1923 changes to the text.) While the actual apparatus of primary and secondary worlds (phenomenologically fixed primary world with various alternative conventional or “fictive” secondary worlds) was soon dropped, a certain residue of the idea stayed with Carnap for life. The contrast between the ordinary language of the Lebenswelt and the constructed languages of the exact sciences (to put it in his later terms) was never drawn quite so starkly in Carnap’s work before this paper, and remained central to his later conceptions of rational reconstruction and then of explication (Carus 2007). c. [p. 253] “The notion of a primary world is alien to neo-Kantian philosophy, which is prevented by its conception that the forms of second-level experience are necessary and unique from seeing the difference between the primary and secondary worlds.” By “neo-Kantian philosophy” Carnap here means the writings of the Marburg School, especially Natorp and Cassirer (Introduction, p. xxvi), who rejected Kant’s distinction between intuitions and concepts, or interpreted Kant so as to minimize this distinction, and to relegate Kant’s Empfindung [[sensation]] to a minor and subordinate role compared to already conceptualized Erfahrung [[experience]]. In this view, all experience is essentially conceptual and belongs to the same (“necessary and unique”) conceptual system, especially in Natorp’s version. Cassirer was more pluralistic to begin with, and in 1923 (after the present paper was mostly written) published the first volume of his Philosophy of Symbolic Forms, in which he explicitly held that different possible conceptual (symbolic) systems could articulate the same underlying material in different, though perhaps ultimately complementary, ways. d. [p. 253] “The question whether primary experience is not further to be analyzed into two components, i.e. into the original chaos of sense impressions and certain synthetic factors that transform the chaos into an order, will not be discussed here.” The “synthetic factors” Carnap has in mind are the constraints or guiding principles, associated with the Kantian categories of substance and cause, employed in Vom Chaos zur Wirklichkeit, mentioned above in note b, as well as certain phenomenological features of the “chaos” that Carnap invoked in Vom Chaos zur Wirklichkeit to e.g. distinguish between “living” and “dead” contents of consciousness and thereby to construct a temporal ordering of experiences. It it probably safe to assume that the bypassing of this question in the published version of this paper, leaving it to epistemology or metaphysics,

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Editorial Notes

results — since it conflicts directly with Vom Chaos zur Wirklichkeit — from the 1923 corrections (see the “Information on the Text” above), and reflects Carnap’s growing impatience with the phenomenological starting point of 1922, perhaps indicating that it was already being reconsidered, with the Erkenntnisinhalt [[cognitive content]] now clearly distinguished from the (subjective) Ursprung der Erfahrung [[origin of experience]]. This would foreshadow the new principle of “Überwindung der Subjektivität” enunciated in Carnap’s Vienna job talk in January 1925, leaving the phenomenological treatment of the basis behind. See Carus (2016) on the details of this revision process. e. [p. 255] “It must be clearly emphasized that the primary world is not a matter of abstraction (as e.g. in the case of the Kantian ‘material of intuition’, which is never given in itself).” Once again, it is probably safe to assume that this passage dates from 1923, since it directly contradicts Vom Chaos zur Wirklichkeit (notes b and d above), where the unstructured Erlebnisbereich [[realm of lived experience]] (now “primary world”) is unequivocally treated as a convenient fiction. Here it becomes a matter of empirical fact, though at the end of this paragraph Carnap also recurs to the “necessity” of the first-level forms, by which he now means simply that the primary world is fixed — given — while the the secondary world(s) can be freely chosen. This distinction would be later be dropped (Carus (2007), esp. pp. 166–8, 244, and 253–5) as the realm of subjective experience itself became progressively more subject to conventional choice. f. [p. 265] “4. The muscular sense. The muscular sense brings to consciousness the relations of tension and pressure of particular muscles, tendons, and joints.” In the margin next to this paragraph, Carnap’s own copy of 1924a (ASP) contains the shorthand annotation: “Zustimmend [[In agreement]]: Ziehen, Leitfaden Psychologie 104 Anm.”. It refers to Ziehen (1914), p. 104 (footnote). g. [p. 265] “5. The statical sense. In so far as self-sufficient sensations of this sense can be spoken of at all, they do not stand to one another in a spatial order; their class is therefore to be conceived of as (0 + 1)-dimensional.” In the margin next to this paragraph Carnap notes: “Ziehen Psychologie 109, m; Wundt II, 502 ff”. It refers to Ziehen (1914), p. 109, and Wundt (1910), p. 502 ff. h. [p. 269] “III. Determinacy” The attempt to make precise a concept of causal determinacy, as in this section, preoccupied Carnap repeatedly during this period. A number of pages in his notes for this paper attempt to prove theorems about determinacy in the sense outlined here (ASP 110-05-10), as do some related manuscript pages preserved at UCLA (UCLA Box 3, CM7-8). These date not only from the periods during which he was working on this paper, but also from 1927, a few years later. None of this work seems to have led anywhere, though in the Philosophische Begriffsbildung (this volume) Carnap distinguishes an informal and suspect from a scientific and respectable sense of causality. In the Aufbau

Three-Dimensionality of Space and Causality (1924a)

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Carnap adopts the dismissive approach to causality of Russell (1913), and nowhere refers to the present paper. i. [p. 271] “A third example: in a table of numbers ordered in rows and columns the only law holding is that every column of the table consists in an arithmetical progression.” The idea of this third example is that, in forming such a table, before any entries are determined, we can arbitrarily specify any row, and even two consecutive rows. Once we have fixed two such rows, the rest of the table is determined, because the columns are all to form arithmetical progressions, i.e. they have a fixed arithmetical difference between successive terms (as in 2, 4, 6, . . . ). Similarly, two arbitrary world-states will determine the exact nature of physical causality (see p. 121). Thanks to Hans-Christoph Kotzsch for deciphering this example. j. [p. 285] “But that would contradict our findings about this world.” This “proof” of Carnap’s crucial thesis by a kind of reductio, claiming to show that the assumption of dependence among the elements of g (the class of elements in the — physical — secondary world that correspond one-to-one to the observational elements of the primary world) leads to a contradiction with our “finding” that the primary world lacks even constraining laws, is characteristic of the peculiar mixture of phenomenological, logical, and scientific reasoning in this paper. For this “reductio” proceeds not by exhibiting a contradiction between two consequences of a theorem or its negation, but by showing that a statement contradicts an independently arrived at phenomenological “finding”, in this case the finding, elaborated in sections III.c)1.–3., that the primary world not only is not subject to determining laws but lacks even constraining laws.

A. W. Carus

297

1925a Über die Abhängigkeit der Eigenschaften des Raumes von denen der Zeit On the Dependence of the Properties of Space on those of Time

DIE UNS UMGEBENDE „Außenwelt“ weist eine zweifache Ordnung auf: die des Nacheinander und die des Nebeneinander. Die Frage, warum sich jeder Gegenstand der (äußeren) Erfahrung diesen Ordnungen füge, pflegen wir seit Kant dahin zu beantworten, daß sie Formen der Anschauung seien und damit Bedingungen, denen jeder Gegenstand entsprechen müsse, um überhaupt Gegenstand einer möglichen Erfahrung zu werden. Zeitordnung und Raumordnung sind nur durch diese notwendige Geltung für jeden Erfahrungsgegenstand miteinander verknüpft; aber keine ist von der anderen abhängig. Ein Ereignis geschehe vor einem anderen oder nach ihm oder gleichzeitig mit ihm: damit ist nichts festgelegt darüber, wie es sich räumlich zu ihm verhält, ob es über oder unter ihm stattfindet, ob es nahe oder entfernt von ihm ist oder am gleichen Ort. Eine gewisse Verwandtschaft freilich, die aber keinerlei Abhängigkeit bedeutet, zeigt sich bei begrifflicher, messender, mathematischer Erfassung der beiden Ordnungsformen. Da erscheint die zeitliche Ordnung als eindimensional, als darstellbar durch eine Reihe. Die räumliche besitzt einen höheren Grad von Mannigfaltigkeit, der als Dreidimensionalität bezeichnet wird. Das bedeutet, daß die räumliche Ordnung durch ein dreifaches Reihenschema dargestellt werden kann, jedoch ohne daß sie von sich aus drei festliegende Reihenrichtungen erkennen ließe. Die Übereinstimmung der beiden Ordnungen besteht also darin, daß sie durch Reihen erfaßbar sind, mathematisch ausgedrückt: durch Zahlen, durch Koordinaten. Die Erfassung der Außenwelt durch Messung, ihre Einordnung in ein Koordinatensystem gehört zur Aufgabe der Physik. Sprechen wir hier von Zeit und Raum der Außenwelt, so wollen wir dabei immer nur an ihre begrifflich faßbaren, rationalisierbaren, mathematischen Eigenschaften denken, also einfach: an Raum und Zeit der Physik. Die Physik faßt die eine Zeitkoordinate und die drei Raumkoordinaten zu einem vierachsigen Koordinatensystem zusammen. Dabei ist keine der vier Koordinaten von den drei übrigen abhängig, also auch insbesondere nicht der Zeitwert vom Ort oder umgekehrt. Die Gesamtheit des Geschehens der Außenwelt, an allen Orten, zu allen Zeiten, wird von der Physik dargestellt in einer einzigen, unveränderlichen, vierdimensionalen Welt. Der Weltzustand eines Augenblicks stellt sich dann dar als drei|dimensionaler Querschnitt durch diese vierdimensionale Welt. Verfolgt man in dieser Welt das Schicksal eines physikalischen Elementarteilchens (das je nach der zugrundegelegten physikalischen Theorie etwa ein Materieteilchen oder ein Elementarquantum elektrischer Ladung oder ein Elementarquantum der Energie sein mag) durch alle an ihm stattfindenden Punktereignisse hindurch, indem man sich in den verschiedenen Augenblicksquerschnitten den jeweiligen Ort des Teilchens bezeichnet denkt, so bilden diese „Weltpunkte“, von denen jeder ein Punktereignis des Teilchens darstellt, zusammen die „Weltlinie“ des Teilchens in der vierdimensionalen Welt; nur solche Weltlinien physikalischer Teilchen bezeichnen wir hier als „Weltlinien“. Diese Minkowskische Darstellung aller Bewegungsvorgänge durch das Geflecht der Weltlinien in der vierdimensionalen Welt ist besonders durch die Relativitätstheorie verbreitet worden und darf wohl als bekannt vorausgesetzt werden. 298

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THE “EXTERNAL WORLD” around us exhibits a twofold order: that of temporal succession and that of contiguity in space. Since Kant, the answer we tend to give the question why every object of (external) experience fits into these orders is that they are forms of intuition and therefore conditions that every object must conform to in order to be an object of possible experience at all. The orders of space and time are only connected to each other by this fact that they both hold necessarily for every object of experience; but neither is dependent upon the other. An event may occur before another or after it or simultaneously with it: nothing about how it is spatially related to the other is thereby determined — whether it occurs above or below it, whether it is near or far from it or in the same place. Of course a certain relatedness, which however signifies no dependency, is apparent in the conceptual, mensurational, and mathematical framing of the two forms of order. The temporal order appears here as one-dimensional, representable by a series. The spatial possesses a higher degree of manifoldness, which is designated as three-dimensional. This means that the spatial order can be represented by a threefold series schema, though without itself determining three recognizable series-directions. The agreement of the two orders consists, then, in their representability as series, or, to put it mathematically, as numbers, as coordinates. Grasping the external world through measurement, ordering it in a system of coordinates, is part of the task of physics. When we speak here of the space and time of the external world, we consider only their conceptually representable, rationalizable, mathematical properties — put simply, the space and time of physics. Physics unites the one time coordinate and the three spatial coordinates in a coordinate system of four axes. None of these four coordinates is dependent upon the other three, and thus, in particular, the time value is not dependent on location or vice versa. The totality of events of the external world, in all places, at all times, is represented in physics in a single, immutable, fourdimensional world. The state of the world at a moment is then represented as a three-dimensional cross-section of this four-dimensional world. If one traces the fate of an elementary particle (which, depending on the respective underlying physical theory, might be, for example, a material particle or an elementary quantum of electrical charge or an elementary quantum of energy) through all the point events that take place at its location, as one imagines them represented in the respective instantaneous cross-sections of the position of the particle, then these “world-points”, each of which represents a point event of the particle, form the “world-line” of the particle in the four-dimensional world. We reserve the term “world-lines” here for such world-lines of physical particles. This Minkowskian representation of all processes of motion through the fabric of world-lines in the four-dimensional world is now familiar, especially through relativity theory, and may be presupposed here as known.

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Die spezielle Relativitätstheorie brachte Zeit und Raum in einen engeren Zusammenhang miteinander, als sie vorher in der Physik oder im vorwissenschaftlichen Bewußtsein hatten. Der Sinn dieser Theorie kann kurz und anschaulich (nach Minkowski) so formuliert werden, daß die ebenen Augenblicksquerschnitte in ihrer Lage nicht eindeutig sind, sondern eine gewisse (nicht jede) Neigung gegeneinander haben können, ohne doch die grundlegende Eigenschaft von Augenblicksquerschnitten einzubüßen: lauter gleichzeitige Punktereignisse zu verbinden. So wird die Gleichzeitigkeit vieldeutig; Raum- oder Zeitangaben für sich haben keinen Sinn mehr, sondern nur noch die Vereinigung beider. Die allgemeine Relativitätstheorie geht noch weiter: bei ihr sind die Querschnitte im Allgemeinen nicht mehr eben, sondern bewahren die Ebenheit und die übrigen in der speziellen Relativitätstheorie ihnen zugelegten Eigenschaften nur im Grenzfall unendlich kleiner Gebiete. Auch hier aber, trotz der engen Verknüpftheit der Koordinaten miteinander, ist von einer gegenseitigen Abhängigkeit nicht die Rede; es handelt sich um vier unabhängige Variable. Um zu der beabsichtigten These von der Abhängigkeit zwischen Zeit und Raum zu gelangen, müssen wir zuvor noch einige weitere Begriffe einführen und erörtern. Da die Lage der Augenblicksquerschnitte und damit die Gleichzeitigkeitsbeziehung nicht eindeutig ist, sondern ein konventionelles Moment enthält, so kann in dieser physikalischen Raum-Zeit-Welt nicht von vornherein von „der“ Zeitordnung gesprochen werden. Als festliegend anzunehmen ist zunächst nur die zeitliche Ordnung auf jeder einzelnen Weltlinie für sich, die „Eigenzeit“ der betreffenden Weltlinie, also nichts anderes als die Reihenfolge der Weltpunkte auf dieser Linie. Erst mittelbar können auf Grund gewisser Regeln des Vergleichs der verschiedenen Eigenzeiten zeitliche Beziehungen zwischen Weltpunkten verschiedener Weltlinien, also zwischen substantiell nicht zusammenhängenden Ereignissen | abgeleitet werden, „Zeitsysteme“ aufgestellt werden. Die Vergleichsregeln können z. B. in der Form gegeben werden, daß festgesetzt wird, wann zwei Weltpunkte als gleichzeitig gelten sollen. Die Klasse der zu einem gemeinsamen Augenblicksquerschnitt gehörenden Weltpunkte bezeichnen wir als eine „Raumklasse“. Alle Weltpunkte einer Raumklasse sind danach untereinander gleichzeitig; zu irgendeiner Raumklasse gehört von jeder Weltlinie ein und nur ein Weltpunkt. Unter einem „Raum“ (im physikalischen Sinne) ist die Ordnung der Weltpunkte einer Raumklasse (daher diese Bezeichnung) zu verstehen, ausgedrückt durch geometrische Begriffe wie: Entfernung, nah, weit, Gerade, Kreis usw. Wir müssen nun einen sehr wichtigen Unterschied zwischen zwei Arten von Ordnungseigenschaften erörtern, der schon in der allgemeinen Ordnungslehre von Bedeutung ist und dann hier sowohl bei den räumlichen wie bei den zeitlichen Eigenschaften in Betracht kommt, nämlich den Unterschied zwischen metrischen und topologischen Eigenschaften. Metrisch heißt eine Eigenschaft, wenn sie Maßverhältnisse betrifft, also sich letzten Endes nur durch Bezugnahme auf Maßzahlen ausdrücken läßt; in manchen Begriffen treten die

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The special theory of relativity brought time and space into a closer interrelation than they had had previously in physics or in prescientific awareness. The main point of this theory can (following Minkowski) be quickly and intuitively stated by saying that the positions of the flat instantaneous crosssections are ambiguous and can have a certain (though not every) angle to each other but without forfeiting the fundamental property of momentary crosssections, i.e. to collect only simultaneous point events. Thus, simultaneity becomes ambiguous; statements regarding space or time by themselves no longer have any meaning, only the combination of the two does. The general theory of relativity goes even further: in it the cross-sections are no longer flat, in general, but rather maintain flatness and the other properties ascribed to them by the special theory only in the limiting case of infinitely small regions. Even here, however, despite the tight connection among the coordinates, there is no question of mutual dependency; there are still four independent variables. To establish the intended thesis about the dependency between time and space, we must first introduce and discuss a few further concepts. Since the position of the instantaneous cross-sections and the relation of simultaneity is therefore ambiguous and partly conventional, in this physical space–time world we can’t speak of “the” temporal order from the outset. Only the temporal order on each individual world-line in itself, the “proper time” of the corresponding world-line, i.e. nothing but the serial sequence of world-points on this line, can be taken as fixed. Temporal relations among world-points on different world-lines, that is, among substantially unconnected events, can be derived — “time systems” can be set up — only indirectly, via certain rules for comparing different proper times. The comparison rules can e.g. be given as stipulations for when two world-points are to be taken as simultaneous. We call the class of world-points that belong to a common instantaneous cross-section a “spatial class”. All world-points of a spatial class are, therefore, simultaneous with each other; one and only one world-point of each world-line belongs to any spatial class. By a “space” (in the physical sense) we mean the order of the world-points of a spatial class (hence this designation) expressed through geometrical concepts such as distance, near, far, line, circle etc. We must now discuss a very important difference between two types of order properties that is already of significance in the general theory of order and that will come into consideration here as much with spatial as with temporal properties, namely the difference between metric and topological properties. A property is called metric if it has to do with relations of measurement, and thus in the end can only be expressed by reference to means of measurement numbers. In some concepts the measurement numbers appear only implicitly,

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Maßzahlen unausgesprochen auf, z. B. in dem der Geraden (deren Definition den Begriff der kleinsten Länge benutzt) und in dem der Kongruenz (die durch den Begriff gleich langer Strecken definiert wird, oder umgekehrt). Metrische Eigenschaften der Zeitordnung sind z. B.: das Kongruenzaxiom (liegen die Weltpunkte a , b auf einer Weltlinie, c auf derselben oder einer anderen, so gibt es auf der Weltlinie von c eine mit der Zeitstrecke ab kongruente Zeitstrecke cd ), das Archimedische Axiom (sind a , b , c drei beliebige Weltpunkte auf einer Weltlinie, und verlängern wir die Zeitstrecke ab nach beiden Richtungen hin um hinreichend viele, aber endlich viele, mit ihr kongruente Zeitstrecken, so gibt es eine Zeitstrecke dieser Reihe, zu der c gehört). Beispiele für metrische Eigenschaften der Raumordnung: der Raum ist euklidisch; oder: der Raum ist nichteuklidisch, aber an jeder Stelle konvergieren die Maßverhältnisse bei verschwindendem Volumen des betrachteten Raumteils gegen die euklidischen. Die nicht-metrischen Eigenschaften der Zeit- und der Raumordnung heißen topologisch. Sie betreffen nur die Nachbarschafts- und Zusammenhangsverhältnisse. Beispiele für topologische Aussagen über die Zeitordnung: die zeitliche Ordnung der Punkte einer Weltlinie ist eine Reihenordnung, d. h. sie ist eingeschlechtig (wenn a 6= b , so a vor b oder b vor a ), transitiv (wenn a vor b und b vor c , so a vor c ) und irreflexiv (a nicht vor a ), also asymmetrisch (wenn a vor b , so b nicht vor a ); ferner ist sie dicht (zwischen zwei verschiedenen Punkten liegt stets noch ein anderer). Beispiele für topologische Aussagen über die Raumordnung: der Raum ist dreidimensional; der Raum ist in-sich-dicht (in jeder | beliebig kleinen Umgebung jedes Punktes liegen noch andere Punkte); der Raum ist stetig zusammenhängend (d. h. jede geschlossene Kurve ist in ihm zusammenschnürbar). Außer den zeitlichen und den räumlichen Beziehungen zwischen Weltpunkten müssen wir noch eine Beziehung betrachten, die unter den Grundbegriffen der abstrakten Physik eine besondere Rolle spielt, nämlich die Koinzidenz. Kreuzen zwei Weltlinien einander, so daß der Weltpunkt a der einen mit dem Punkt b der anderen zusammenfällt, so sagen wir: a koinzidiert mit b . Diese Beziehung gehört also weder zur zeitlichen, noch zur räumlichen Ordnung, oder gewissermaßen auch zu beiden: sie bedeutet die in beiden Ordnungen zugleich erfüllte Nullbeziehung oder Identität: koinzidierende Punkte haben sowohl räumlich wie zeitlich dieselbe Lage. Daher wird durch diese Beziehung weder etwas über die Zeitordnung, noch über die Raumordnung bestimmt. Ferner ist die Koinzidenz eine topologische Beziehung, da weder das räumliche, noch das zeitliche Zusammenfallen metrische Bestimmungen sind. Unsere These von der Abhängigkeit zwischen Zeitordnung und Raumordnung kann nun so formuliert werden: aus den topologischen Eigenschaften der Zeitordnung und der Koinzidenz können die topologischen Eigenschaften der Raumordnung abgeleitet werden. (Die weitergehende These, daß aus denselben Bestimmungen alle Eigenschaften der Raumordnung, also auch die metrischen, abgeleitet werden können, sei hier ohne Begründung oder weitere

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for example, in the concept of a line (whose definition uses the concept of shortest distance) and in that of congruence (which is defined via the concept of segments of equal length or vice versa). The metric properties of temporal order are, for example, the axiom of congruence (if two points a , b lie on a world-line and c lies on the same or another world-line, then there is on the world-line of c a time segment cd that is congruent to the time segment ab ), the Archimedean axiom (if a , b , c are any three world-points on a world-line, and if we extend the time segment ab in both directions with sufficiently but finitely many time segments congruent with it, then there is a time segment in this series to which c belongs). Examples of the metric properties of spatial order: space is Euclidean; or space is non-Euclidean but at every point the measure relations converge to the Euclidean as the volume of the spatial subdomain in question approaches zero. The non-metric properties of the temporal and the spatial order are called topological. They concern only the neighborhood and connection relations. Examples of topological propositions about the temporal order: the temporal order of points of a world-line is a linear order, i.e. it is homogeneous (if a 6= b , then a is before b or b is before a ), transitive (if a is before b and b is before c , then a is before c ), and irreflexive (a is not before a ), and thus asymmetric (if a is before b , then b is not before a ); furthermore, it is dense (between any two points there always lies another point). Examples of topological propositions about the spatial order: space is three-dimensional; space is dense in itself (in any neighborhood of any point, no matter how small the neighborhood, there are still other points); space is continuously connected (that is, every closed curve can be shrunk to a point in space). In addition to the temporal and spatial relations between world-points, we must consider another relation that plays a special role among the foundational concepts of abstract physics, that is, coincidence. If two world-lines cross, so that the world-point a of one world-line meets point b of the other, we say: a coincides with b . This relation belongs therefore neither to the temporal nor to the spatial order — or in a certain sense to both: it signifies the null relation or identity that is fulfilled in both orders simultaneously. Coincident points have the same position spatially as well as temporally. Thus this relation determines nothing about either the temporal or the spatial order. Furthermore, coincidence is a topological relation, since neither spatial nor temporal coincidence are metric determinations. Our thesis regarding the dependency between temporal and spatial order can now be formulated as follows: the topological properties of the spatial order can be derived from the topological properties of the temporal order and of coincidence. (We note here, though without justification or further discussion, the wider-ranging thesis that all the properties of the spatial order, and thus also the metric properties, can be derived from these same specifications.) This

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Erörterung nur vermerkt.) Diese These soll im Folgenden dadurch begründet werden, daß ein Aufbau der Zeit-Raum-Topologie zwar nicht ausgeführt, aber in den Grundzügen umrissen wird, der die als möglich behauptete Ableitung vornimmt. Die These bedarf aber noch einer genaueren Fassung. Läßt sich ein Satz x gemäß den logischen Schlußregeln durch Schlußfolgerungen gewinnen, die von den Sätzen a , b , c und den Grundsätzen der Logik als Prämissen ausgehen, ohne andere Sätze oder unausgesprochene Voraussetzungen oder etwa die Anschauung zuhilfe zu nehmen, so sagen wir kurz: der Satz x ist aus a , b , c ableitbar. Unter einem Axiomensystem einer Theorie wird eine Zusammenstellung solcher Sätze verstanden, aus denen die (übrigen) Sätze der Theorie ableitbar sind. Ist das Axiomensystem a 0 , b 0 , c 0 der Theorie T 0 ableitbar aus Sätzen der Theorie T , die das Axiomensystem a , b , c besitzt, so sind a 0 , b 0 , c 0 und damit auch alle Sätze von T 0 aus a , b , c ableitbar. Die Theorie T 0 bildet in diesem Falle nur die immanente Auseinanderlegung eines Teiles von T ohne Hinzufügung logisch neuer Elemente; wir nennen dann T 0 einen „Zweig“ von T . Der Sinn der These ist nun der, daß die Raumtopologie ein bloßer Zweig der Zeittopologie ist, wenn wir in die letztere noch die | Koinzidenzbeziehung einfügen, die zu keiner von beiden gehört, sondern zwischen ihnen steht. Damit diese Behauptung einen positiven Sinn erhält, muß aber noch eine einschränkende Festsetzung in bezug auf den Inhalt der Axiome der Zeittopologie getroffen werden. Denn es wäre leicht möglich, unter die Zeitaxiome Sätze aufzunehmen, die eine Aussage über die Raumordnung in mehr oder weniger versteckter Form enthalten. So könnte z. B. der Satz „der Raum ist einfach zusammenhängend“ in die Form gebracht werden: „die Zeitordnung ist derart, daß jeder vollständige Querschnitt durch die Zeitreihen, von dem je zwei Punkte miteinander gleichzeitig sind, einfach zusammenhängend ist.“ Würden solche und ähnliche Raumaxiome als Zeitaxiome verkleidet den echten Zeitaxiomen beigesellt, so wäre es freilich möglich, die Raumtopologie aus diesen scheinbaren Zeitaxiomen abzuleiten. Diese triviale Möglichkeit muß ausgeschaltet werden. Wir wollen unter einem „echten Zeitaxiom“ im Gegensatz zu einem Raumaxiom oder einem Zeit-Raum-Axiom ein solches verstehen, das nur von der Zeitordnung und der Koinzidenzbeziehung handelt; die Bezeichnung „echter Satz der Zeitordnung“ werde entsprechend verstanden. Dann soll unsere These die Ableitbarkeit der Raumtopologie aus den echten Zeitaxiomen behaupten. So wird ein Kriterium für die Echtheit eines Zeitaxioms erforderlich. Wir werden es später aufstellen. Der Nachweis der These wird wegen der in ihr enthaltenen Ausschließlichkeitsbehauptung offenbar hinfällig, wenn die folgenden beiden Forderungen nicht streng erfüllt sind: 1) die zugrunde gelegten Axiome müssen echte Zeitaxiome sein, 2) die Ableitung der Raumtopologie aus diesen Axiomen muß „logisch rein“, d. h. frei von unausgesprochenen Prämissen sein. Um beiden Forderungen gerecht zu werden, darf die etwas größere Umständlichkeit besonderer methodischer Hilfsmittel nicht gescheut werden. Die größte Sicherheit für die logische Reinheit der Ableitung bietet die Anwendung der symbolischen Logik. Sie hat sich in ihren verschiedenen Syste-

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thesis will be justified below by outlining in essentials — though without carrying out — a construction of time–space topology that attempts the derivation we claim possible. But first the thesis needs a more precise formulation. If a statement x can be obtained according to logical inference rules, through inferences that proceed from the statements a , b , c and the principles of logic as premises, without the help of further statements or implicit presuppositions or, say, intuition, then we say simply: the statement x is derivable from a , b , c . By an axiom system for a theory, a collection of sentences is meant such that all the (remaining) sentences of the theory are derivable from them. If the axiom system a 0 , b 0 , c 0 of the theory T 0 is derivable from sentences of the theory T that has the axiom system a , b , c , then a 0 , b 0 , c 0 , and therewith all the sentences of T 0 are derivable from a , b , c . The theory T 0 in this case forms only an immanent extension of a part of T without adding logically new elements; we call T 0 a “branch” of the theory T . And the point of the thesis is that spatial topology is a mere branch of temporal topology if we introduce the coincidence relation into the latter, which belongs to neither theory, but rather stands between them. To give this claim a definite meaning, a restrictive convention regarding the content of the axioms of temporal topology must be included. For it would easily be possible to include among the temporal axioms something that contained an assertion about the spatial order in a more or less concealed form. For example, the sentence “space is simply connected” can be put into the form: “the time order is such that every complete cross-section of the time series in which any two points are mutually simultaneous is simply connected”. If such spatial axioms, and similar ones disguised as temporal axioms, were added to the properly temporal ones, it would obviously be possible to derive space topology from these apparently temporal axioms. This trivial possibility must be excluded. We propose that by a “proper temporal axiom”, in contrast to a spatial axiom or a space–time axiom, an axiom be meant that concerns only the temporal order and the coincidence relation, and that the designation “proper sentence of the temporal order” be understood correspondingly. Then our thesis claims the derivability of spatial topology from the proper temporal axioms. So a criterion for the propriety of a temporal axiom is required. We will introduce it later. Because of the exclusivity assertion it contains, the thesis obviously fails if the following two conditions are not strictly fulfilled: 1) the axioms must be proper temporal axioms, and 2) the derivation of spatial topology from these axioms must be “logically pure”, i.e. free of unacknowledged premises. In order to satisfy these two conditions, the somewhat greater formality of special methodological tools must not be spared. The use of symbolic logic offers the strongest guarantee of the logical purity of the derivation. In its various systems (Schröder, Frege, Peano, and

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men (Schröder, Frege, Peano, Russell u. a.) vielfach bewährt bei der Behandlung der Grundlagenfragen der Mathematik, und zwar sowohl der Arithmetik und Analysis, als auch der Geometrie, wo eine ähnliche Reinheitsforderung zu erfüllen war. Das erforderliche Kriterium für die Echtheit der Zeitaxiome gewinnen wir aus der Relationstheorie, die einen Zweig der symbolischen Logik bildet. Das von Whitehead und Russell in den Principia Mathematica aufgebaute System der symbolischen Logik hat vor den anderen den Vorzug, daß in ihm die Relationstheorie so weit entwickelt ist, daß sie als fertige Methode zur Behandlung auch außerlogischer Gebiete, wie hier der Zeit- und der Raumtopologie, vorliegt. Die Zeitaxiome müssen nun in relationstheoretische Form gefaßt und in den Zeichen der symbolischen Logik ausgedrückt werden; aus | ihnen müssen dann nach den logischen Schlußregeln die Sätze über die Zeit und, wenn das möglich ist, auch die über den Raum abgeleitet werden. Hier soll nicht dieser ganze Aufbau dargestellt werden (vgl. das Literaturverzeichnis am Schluß), sondern nur die Grundgedanken, von denen er ausgeht, ferner in groben Umrissen seine Hauptstufen und schließlich sein Ergebnis. Unter einer „Relation“ verstehen wir den Umfang einer Beziehung, analog der „Klasse“, die den Umfang einer Eigenschaft bildet. Viele Aussagen über eine bestimmte Eigenschaft (die Umfangslogik nahm irrtümlich an: alle) sind darstellbar durch entsprechende Aussagen über die zugehörige Klasse. Dies ist dann der Fall, wenn es nicht auf den eigentlichen Sinn der Eigenschaft ankommt, sondern nur darauf, welche Gegenstände diese Eigenschaft besitzen und damit Elemente der zugehörigen Klasse sind und welche nicht. In genau analoger Weise kommt es bei der Behandlung einer bestimmten Beziehung häufig nicht auf ihren eigentlichen Sinn an, sondern nur darauf, für welche Paare von Gegenständen diese Beziehung gilt; diese Paare sind dann Gliederpaare der zugehörigen Relation. Noch häufiger als bei den Eigenschaften ist bei den Beziehungen diese Abstraktion vom Inhalt und Beschränkung auf umfangsmäßige Behandlung möglich, so daß die Untersuchung anstatt auf die Beziehung selbst auf ihre Relation gerichtet werden darf. Das ist besonders bei allen Untersuchungen von Ordnungssystemen der Fall; daher die grundlegende Bedeutung der Relationstheorie für die Ordnungslehre und damit für alle formalen Disziplinen, z. B. die Mathematik. In Anlehnung an das Erläuterte wollen wir eine Relation, etwa Q , „vollständig gegeben“ nennen, wenn für jedes Gegenstandspaar x , y feststeht, ob es unter die Relation fällt (in Zeichen: xQ y ) oder nicht; die entsprechende Beziehung ist aber damit nicht vollständig, sondern nur umfangsmäßig (extensional) beschrieben. Bei unserem Aufbau der Zeit- und Raum-Topologie gehen wir von zwei Grundrelationen zwischen Weltpunkten aus, die wir mit K und Z bezeichnen. Die Beziehung der Relation K ist die der Koinzidenz: aK b bedeutet also, daß der Weltpunkt a mit dem Weltpunkt b raumzeitlich zusammenfällt. Die Beziehung der zweiten Relation Z ist die Grundbeziehung der Zeittopologie, das Früherliegen auf derselben Weltlinie: c Z d bedeutet, daß die Weltpunkte c und d auf einer gemeinsamen Weltlinie liegen, also Punktereignisse desselben physikalischen Teilchens darstellen („genidentische“ Weltpunkte), und zwar c (zeitlich) vor d . Wir setzen nun voraus, daß die beiden Beziehungen (Koinzi-

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Russell, among others), it has repeatedly shown its value in the treatement of the foundational questions of mathematics, in arithmetic and analysis as in geometry, where a similar demand for purity was required. We arrive, then, at the criterion needed for the propriety of the temporal axioms via the theory of relations, which forms a branch of symbolic logic. The system of symbolic logic that Whitehead and Russell constructed in Principia Mathematica has the advantage over the others that the theory of relations is so well developed in it that it is available as a ready-made method for the treatment of extralogical domains, such as the present case of temporal and spatial topology. The temporal axioms must be formulated in relation-theoretic terms and expressed using the signs of symbolic logic; the theorems about time and, if possible, also those about space must then be derived from them according to the logical rules of inference. This whole construction will not be developed here (see the Pointers to the Literature at the end of this paper). Only the basic ideas from which it proceeds will be discussed, as well as its chief steps in broad outline, and finally its result. By a “relation” we mean the extension of a relational concept, analogous to the “class” that forms the extension of a property. Many statements (extensional logic erroneously presumed all statements) about a particular property are representable through corresponding statements about the class it specifies. This is the case when the actual sense of the property does not come into the matter, but only the question of which objects possess the property and thus are elements of the class, and which do not. In an exactly analogous way, the treatment of a certain relational concept often does not involve its actual sense but only the question of which pairs of objects the relation holds of; these pairs are then the member pairs of the relation it specifies. This abstraction from content by restriction to an extensional treatment is even more commonly available for relational concepts than for properties; which means that the investigation can focus on the relation instead of the relational concept itself. This is especially the case in all investigations of order systems, hence, the fundamental significance of the theory of relations for the theory of order, and thus for all formal disciplines, e.g. mathematics. In accordance with what we have said, we will call a relation, say Q , “completely given” if for each pair of objects x , y it is determined whether it falls under that relation (in symbols: xQ y ) or not; however, the corresponding relational concept is not fully, but only extensionally, characterized thereby. Our construction of temporal and spatial topology proceeds from two basic relations among world-points, which we designate by K and Z . The relational concept of the relation K is that of coincidence: aK b means, therefore, that the world-point a spatio-temporally coincides with the world-point b . The relational concept of the second relation Z is the basic one of temporal topology, that of lying earlier on the same world-line: c Z d means that the world-points c and d lie on the same world-line, and thus represent point events of the same physical particle (“genidentical” world-points), and also that c is (temporally) before d . We now assume that the extensions of these two relational concepts (coincidence; serial order of points on each world-line) are

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denz; Reihenfolge der Punkte jeder Weltlinie) ihrem Umfang nach vollständig bekannt, also die beiden Relationen K und Z „vollständig gegeben“ seien. Das bedeutet: für jedes Weltpunktepaar x , y ist bekannt, ob xK y gilt oder nicht und ob x Z y gilt oder nicht. Die erkenntnistheoretischen und wissenschaftsmethodischen Fragen, die sich an diese Voraussetzung | knüpfen, lassen wir hier beiseite. Wichtig ist, daß außer dem hiermit Geforderten nichts über die physikalische Raum-Zeit-Welt als gegeben angenommen werden soll. Besonders ist also auch nicht gegeben, ob von zwei Weltpunkten a , b , die nicht koinzidieren und nicht auf einer gemeinsamen Weltlinie liegen, der Punkt a früher oder später als b oder gleichzeitig mit b sei; geschweige denn, welche räumliche Entfernung oder sonstige räumliche Lagebestimmung zwischen a und b gilt. Der Aufbau der Zeittopologie beginnt nun mit der Aufstellung von Axiomen über K und Z , die solche formalen Eigenschaften angeben, wie die oben schon erwähnten: die Transitivität, die Irreflexivität, die Asymmetrie von Z ; ferner z. B. die Symmetrie von K , die Unvereinbarkeit von Z und K usw. Der Inhalt der Axiome muß sich natürlich innerhalb der Grenzen des prinzipiell physikalisch Erfahrbaren halten. Darauf sei jetzt nicht eingegangen. Wichtig aber für die hier verfolgten Gesichtspunkte ist eine andere Einschränkung: jedes Axiom soll eine formale Aussage über K oder über Z oder über K und Z sein. Unter einem formalen Begriff ist ein Begriff der Logik zu verstehen, genauer: ein Begriff, der entweder zu den (wenigen, aufzählbaren) Grundbegriffen der Logik gehört oder durch diese allein definiert werden kann. Eine Aussage heißt eine „formale Aussage über einen oder mehrere bestimmte Begriffe“, wenn sie außer diesen Begriffen nur formale Begriffe verwendet; (danach kann eine formale Aussage etwa über K und Z zwar auch als eine Aussage über K bezeichnet werden, aber nicht als eine formale Aussage über K ). Es wird nun meist nicht leicht sein, zu erkennen, ob ein Satz eine formale Aussage über einen oder einige in ihm vorkommende Begriffe ist. Nach den seit Euklid gemachten Erfahrungen in der axiomatischen Behandlung der Geometrie und auch der Arithmetik ist diese Schwierigkeit oft ganz erheblich, wenn die zu beurteilende Aussage in Textworten gegeben ist. Handelt es sich um ein außerlogisches und außermathematisches Gebiet, etwa um eine Aussage, die physikalische Begriffe enthält, so ist die Schwierigkeit auch nicht damit behoben, daß der Aussage die Form einer mathematischen Gleichung gegeben wird, etwa einer Differentialgleichung zwischen bestimmten Zustandsgrößen und der Zeit. Denn diese Gleichung hat für sich allein noch keinen Sinn; es muß die Angabe hinzugefügt werden, daß die vorkommenden Variabeln Zeit, Raumkoordinaten, Temperatur usw. bedeuten, ferner die Angabe, worauf sich die ganze Aussage beziehen soll: etwa auf ein abgeschlossenes System materieller Punkte, auf eine inkompressible Flüssigkeit, oder dergleichen. So enthält eine physikalische Aussage auch in Gleichungsform mehr Begriffe, als es auf den ersten Blick scheint. Diese Schwierigkeiten fallen fort, wenn die Zeitaxiome in den Zeichen der symbolischen Logik ausgedrückt werden, und das ist bei der relationstheoretischen Behandlung der Zeittopologie ohne weiteres möglich. Wenn in einem in Zeichen ausgedrückten Axiom außer K nur

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completely known; i.e. that both relations, K and Z , are “completely given”. That means that for every pair of world-points x , y it is known whether xK y holds or not and whether x Z y holds or not. The epistemological and methodological questions bearing on this presupposition we leave to the side. What matters is that nothing about the physical space–time world is assumed to be given other than what is hereby required. In particular, of two world-points a , b that do not coincide and do not lie on the same world-line, it is not given whether the point a is earlier or later than or simultaneous with b ; still less, then, which spatial distance or other spatial determinations of position hold between a and b . The construction of temporal topology begins with the specification of axioms about K and Z , which express formal characteristics such as those mentioned above: transitivity, irreflexivity, and asymmetry of Z ; in addition, e.g., the symmetry of K , the incompatibility of Z and K , and so on. The content of the axioms must, of course, remain within the bounds of what can, in principle, be experienced physically. That will not be discussed at this point. A different restriction is important, though, for the considerations advanced here: every axiom is to be a formal statement about K or about Z or about K and Z . What is to be understood by a formal concept as a concept of logic, more precisely, is this: a concept that either belongs to the (few, individually specifiable) basic concepts of logic or can be defined from these alone. A statement is called a “formal statement about one or more definite concepts” if, beyond those concepts, it makes use of only formal concepts (accordingly, a formal statement about K and Z , for example, can be called a statement about K but not a formal statement about K ). Now it will usually not be easy to figure out whether a sentence is a formal proposition about one or more of the concepts occurring in it. In the light of the experiences since Euclid in the axiomatic treatment of geometry, and also of arithmetic, this difficulty is considerable if the statement to be judged is given in textual words. If we are dealing with an extralogical and extramathematical domain, say, with a statement containing physical concepts, then the difficulty is not eliminated by giving the statement the form of a mathematical equation, e.g. a differential equation between determinate state magnitudes and time. For this equation alone has no meaning in and of itself; the proviso must be added that the occurring variables refer to time, spatial coordinates, temperature, and so on, and also a proviso regarding the question of what the whole statement applies to, i.e. to a closed system of material particles, to an incompressible fluid, or to something else of that kind. So a physical proposition, even in the form of an equation, contains more concepts than appears at first sight. These difficulties disappear if the time axioms are expressed in the signs of symbolic logic, and this is easily possible in the relation-theoretical treatment of temporal topology. If, other than K , only logical symbols occur in a symbolically expressed axiom, then this is a formal

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logi|sche Zeichen vorkommen, so ist es eine formale Aussage über K . Ob dies Axiom dann auch alles enthält, was zu seinem vollständigen Sinn erforderlich ist, muß sich dann nachher bei der Deduktion der Sätze zeigen: kann ein Satz, den das System enthalten soll, durch mechanisch-rechnerische Anwendung der logischen Schlußregeln aus bestimmten der Axiome bewiesen werden, so enthalten diese Axiome alles für den Inhalt des betreffenden Satzes Erforderliche; bewährt sich das für alle Sätze der Theorie, so ist das Axiomensystem als ein selbständig sinnvolles bestätigt. Durch die Forderung, daß alle Axiome formale Aussagen über K oder über Z oder über K und Z sein sollen, und durch die symbolisch-rechnerische Methode der Ableitung ist nun sichergestellt, daß Axiome und Sätze außer logischen Begriffen keine anderen enthalten als K und Z . Nun ist Z als die reihenbildende Relation für die Zeitreihen auf den Weltlinien (physikalisch ausgedrückt: die topologische Bestimmung der „Eigenzeit“) sicherlich keine Relation der Raumordnung, sondern eine solche der Zeitordnung, und zwar von unserem Gesichtspunkt aus die grundlegende. Da wir Zeitaxiome und Sätze der Zeitordnung dann „echt“ nennen wollten, wenn sie nur Beziehungen der Zeitordnung oder der Koinzidenz betreffen, so besteht also das gesuchte Kriterium für die „echten Zeitaxiome“ und die „echten Sätze der Zeitordnung“ darin, daß der betreffende Satz eine formale Aussage über K oder über Z oder über K und Z sein muß. Würden wir nun keine anderen als die bisher erörterten Hilfsmittel benutzen, so ließe sich damit zwar eine Theorie der Zeitordnung aufbauen, und diese würde auch nur aus echten Zeitsätzen bestehen; aber für unsere These wäre damit nichts gewonnen. Denn da jeder Satz nur K , Z und logische Zeichen enthielte, so könnte überhaupt kein Satz vorkommen, der etwas über den Raum aussagen würde. Die Einführung von Definitionen macht es möglich, weitere Begriffe zu behandeln, ohne die Forderung der begrifflichen Reinheit zu verletzen. Wegen dieser Forderung dürfen aber dabei erstens nur explizite (Nominal-)Definitionen verwendet werden, also solche, die einfach ein neues Zeichen als gleichbedeutend mit einem Ausdruck erklären, der aus alten Zeichen besteht. Diese Definitionen führen somit nur eine abkürzende Ausdrucksweise ein. Freilich geht ihr methodischer Wert dann, wie wir sehen werden, weit über diesen bloß ökonomischen hinaus. Zweitens darf ein neues Zeichen nur durch einen Ausdruck definiert werden, der nichts als K , Z , die jeweils schon vorher definierten Zeichen und logische Zeichen enthält. Die bei dem Aufbau selbst anzuwendende Strenge in der Erfüllung dieser Forderungen kann natürlich bei der vorliegenden Darstellung der Grundzüge des Systems nicht zum Vorschein kommen. Die Hauptstufen des Aufbaues sollen jetzt angegeben werden. Eine der wichtigsten Definitionen ist die der Relation W . aW b be|deutet, daß zwischen den Weltpunkten a und b eine Zeitstreckenkette besteht. Darunter verstehen wir eine Reihe von Strecken von Weltlinien derart, daß a der Anfangspunkt der ersten und b der Endpunkt der letzten ist, und daß im übrigen der Endpunkt einer jeden Strecke mit dem Anfangspunkt der nächsten

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proposition about K . Whether this axiom then contains everything required for its complete meaning must become apparent later, in the deduction of the theorems; if a theorem that the system is supposed to contain can be proven from some of its axioms through the mechanical–computational application of the logical rules of inference, then these axioms contain everything needed for the content of the theorem in question. If this holds good for all theorems of the theory, then the axiom system is established as a self-sufficiently meaningful one. It is now guaranteed, through the requirement that all axioms be formal statements about K or about Z or about K and Z , and through the symbolic– calculational method of deduction, that the axioms and theorems contain, other than logical concepts, no concepts other than K and Z . Now Z , as the series-forming relation for the time-ordering on the world-lines (physically expressed, the topological determination of “proper time”), is certainly not a relation of spatial order, but rather one of time order — indeed, from our point of view, the fundamental relation. Since we wanted to call the time axioms and the theorems of time order “proper” if they involve only relations of time order or coincidence, the criterion we sought for “proper time axioms” and for “proper theorems of time order” consists in this: the theorem in question must be a formal proposition about K or about Z or about K and Z . If we were to use no more than the tools already discussed, then a theory of time order could be constructed and it would also consist only of proper time theorems; but nothing would have been achieved for our thesis. Since every theorem would contain only K , Z , and logical symbols, no theorem that would say something about space could occur at all. The introduction of definitions makes it possible to address further concepts without violating the requirement of conceptual purity. However, because of this requirement, in the first place only explicit (nominal) definitions may be used, that is, definitions that simply declare a new symbol to be synonymous with an expression that contains only old symbols. So these definitions only introduce an abbreviated mode of expression. Their methodological value of course greatly exceeds this merely economical value in that case, as we will see. Secondly, a new symbol may only be defined via an expression that contains only K , Z , symbols already defined, and logical symbols. The strictness in the fulfillment of these demands to be applied in the actual construction obviously cannot be conveyed by the present sketch of the basic ideas of the system. We will now give the main steps of the construction. One of the most important definitions is that of the relation W . aW b means that there is a chain of time segments between the world-points, a and b . By this we understand a series of segments of world-lines such that a is the starting point of the first and b is the end point of the last and also such that the end point of each segment coincides with the starting point of the next. To illustrate the physical meaning of a chain of time segments, and thus the

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koinzidiert. Um den physikalischen Sinn einer Zeitstreckenkette und damit der Relation W anschaulich zu machen, sei daran erinnert, daß die Weltlinien nicht nur die Linien materieller, sondern auch die energetischer Elemente darstellen, also z. B. auch Lichtstrahlen. Eine leichte Überlegung zeigt, daß die Zeitstreckenketten gerade diejenigen Linien bilden, auf denen physikalische Wirkung sich fortpflanzt. Die Bedeutung von aW b ist also: von a geht eine physikalische Wirkung nach b . Solche Deutungen der in dem System vorkommenden Relationen und Klassen stehen aber gewissermaßen außerhalb des Systems selbst. Denn bei der Ableitung der Sätze wird nirgends auf die Deutungen Bezug genommen. Sie geschehen nur zur Veranschaulichung des Fortganges der Ableitung und zum Verständnis der physikalischen Bedeutung der schließlich abgeleiteten Sätze. Die Gleichzeitigkeit zwischen Weltpunkten verschiedener Weltlinien wird so definiert: a und b heißen gleichzeitig, wenn weder aW b noch bW a gilt. Auch hier hat eine Erörterung des physikalischen Begriffs der Gleichzeitigkeit zu zeigen, daß er mit dieser Definition übereinstimmt. In der neueren Physik tritt die Abhängigkeit der Gleichzeitigkeitsdefinition vom Begriff der Wirkung (oder des „Signals“) deutlich hervor. Als physikalische Zeittheorie werde die in der allgemeinen Relativitätstheorie enthaltene zugrunde gelegt, denn sie ist gegenwärtig die einzige Zeittheorie, die in sich selbst widerspruchsfrei und methodisch befriedigend ist und mit dem empirischen Befund in Einklang steht; damit sind wir keineswegs gebunden, die ganze Relativitätstheorie anzunehmen, da deren strittige Punkte die Zeittheorie nicht unmittelbar berühren. Unsere Gleichzeitigkeitsdefinition deckt sich dann mit der physikalischen. Ferner ergibt sich dann aus einem Axiom, das die absolute Zeit ausschließt, daß es zu jedem Weltpunkt auf einer anderen Weltlinie nicht nur einen gleichzeitigen Weltpunkt gibt, sondern viele, nämlich die Weltpunkte einer ganzen Zeitstrecke. Freilich könnte ebensogut die Annahme der absoluten Zeit der weiteren Ableitung zugrunde gelegt werden; das System der Raum-ZeitTopologie würde sich dann etwas anders gestalten, inbezug auf unsere These würde das aber keinen Unterschied ergeben. Eine Klasse von Weltpunkten, die mit jeder Weltlinie einen Weltpunkt gemein hat und von der je zwei Weltpunkte miteinander gleichzeitig sind, nennen wir eine „Raumklasse“. Es läßt sich zeigen, daß eine solche Klasse mit jeder Weltlinie nur einen Weltpunkt gemein hat. Daher entspricht sie einem Querschnitt durch die physikalische Raum-Zeit-Welt, der keine zeitartigen, sondern nur raumartige Linienelemente enthält, also | einem der Momentanräume, die in stetiger Reihe aufeinandergeschichtet die vierdimensionale Raum-Zeit-Welt bilden. Eine Raumklasse umfaßt nun zwar die sämtlichen Weltpunkte eines Raumes, aber für die Aufgabe, die Raumordnung abzuleiten, ist damit noch nichts getan. Die Relationen K und Z stellen in der Raumklasse keine Gliederung her: da zu der Klasse nur je ein Punkt von jeder Weltlinie gehört, so gibt es in ihr überhaupt keine Weltpunkte, für die die Relation Z gilt; K -Paare, also koinzidierende Punkte, gibt es zwar, aber mit ihnen kommen wir nicht von der Stelle. Um eine Raumtopologie aufstellen zu können, brauchen wir

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relation W , it should be remembered that the world-lines represent the lines not only of material elements, but also of energetic ones — for example, light rays. A simple consideration shows that the chains of time segments form precisely those lines along which physical causation propagates. The meaning of aW b is thus: physical causation goes from a to b . But such interpretations of the relations and classes that appear in the system stand outside the system itself. For these interpretations are never taken into account in the derivation of the theorems. They appear here only for the purpose of making the process of derivation more transparent and for the understanding of the physical meaning of the derived theorems. The simultaneity between two world-points on different world-lines is defined as follows: a and b are called simultaneous if neither aW b nor bW a holds. Here too a discussion of the physical concept of simultaneity has to show that it agrees with this definition. In recent physics the dependence of the definition of simultaneity upon the concept of causality (or that of “signal”) is readily apparent. The theory of physical time as contained in the general theory of relativity may be taken as a basis, since it is currently the only theory of time that is noncontradictory and methodologically satisfactory and that agrees with empirical findings. We are in no way bound, in adopting it, to accept the entirety of relativity theory, since its controversial points do not immediately touch the theory of time. Our definition of simultaneity agrees, then, with the physical one. Moreover, it follows from an axiom precluding absolute time that there is for each world-point not only one world-point on another world-line that is simultaneous with it, but rather many, that is, the world-points of an entire time segment. Of course the presumption of absolute time could just as well have been taken as the basis of the further derivation; the system of space–time topology would then take a somewhat different form, but no difference relevant to our thesis would result. A class of world-points that has one world-point in common with each world-line and in which any two world-points are simultaneous with each other we call a “spatial class”. It can be shown that any such class has only one worldpoint in common with any world-line. Thus it corresponds to a cross-section through the physical space–time world that contains no timelike but only spacelike line elements, hence to one of the instantaneous spaces that form, layered in continuous sequence on top of each other, the four-dimensional space–time world. Though a spatial class now comprises all the world-points of a space, that contributes nothing toward the task of deriving the spatial order. The relations K and Z induce no partition of the space class. Since only one point from every world-line belongs to the class, there are no world-points at all in it for which the relation Z holds. K -pairs, that is, coincident points, do exist, but they don’t get us anywhere. To be able to set up a spatial topology, we need as a basic concept either that of spatial neighbor or that of neighborhoods.

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als Grundbegriff entweder den der räumlichen Nachbarschaft oder den der Umgebungen. Die Aufgabe besteht nun darin, einen dieser beiden Begriffe aus K und Z und den andern schon definierten Begriffen abzuleiten. Der Sinn dieser Aufgabe und die Frage ihrer Lösbarkeit sollen jetzt mit Hilfe der Veranschaulichung des Weltliniengeflechtes erörtert werden. Dabei stellen wir in üblicher Weise den Raum zwei- anstatt dreidimensional dar und bilden die Zeitdimension durch eine Raumdimension ab. In einem abgeschlossenen Raum seien Fäden gespannt, die alle in verschiedenen Neigungen und Krümmungen von unten nach oben laufen und sich vielfältig durchkreuzen. Über dieses Fadengeflecht sei nichts weiter bekannt, als daß für je zwei Punkte x , y feststeht, ob x und y zusammenliegende Punkte verschiedener Fäden sind oder nicht (das entspricht der Relation K ) und ob x auf demselben Faden wie y unterhalb von y liegt oder nicht (das entspricht der Relation Z ). Einer Zeitstreckenkette entspricht ein aufwärtslaufender Weg durch das Fadengeflecht, der stets auf Fäden läuft, aber bei Knotenstellen nach Belieben von einem zum anderen Faden hinübergehen kann. Einer Raumklasse entspricht ein Querschnitt durch das Fadengeflecht, der jeden Faden ein- und nur einmal schneidet und entweder horizontal verläuft oder (unter gewissen Einschränkungen) einige (auch wechselnde) Neigung gegen die Horizontale haben kann. Hier lautet nun die Frage: lassen sich aus den so beschränkten Angaben über das Fadengeflecht Schlüsse über die Nachbarschafts- und Zusammenhangsverhältnisse der Punkte eines solchen Querschnitts machen? Eine Bejahung dieser Frage kann auf Grund der bloßen Anschauung zwar nicht mit Sicherheit, aber doch vermutungsweise ausgesprochen werden. Soll nämlich irgendeine Deformation des Fadengeflechtes so vorgenommen werden, daß die K - und Z -Angaben gültig bleiben, so dürfen die Fäden beliebig gedehnt und in gewissen Grenzen auch gebogen, aber nicht zerrissen werden; ferner dürfen weder die bestehenden Fadenverknüpfungen sich lösen, noch neue entstehen. (Die danach zulässigen Deformationen sind gerade die „topologischen Deformationen“ der Raum-Zeit-Welt, deren Invarianten den Gegenstand der Raum-Zeit-Topologie bilden.) Auf Grund der Anschauung wird man vermuten, daß bei einer derartigen Deformation ein zulässiger Querschnitt auch ein solcher | bleibt, und daß die Lageverhältnisse der Punkte eines Querschnittes zueinander sich zwar ändern, aber doch nur so, wie etwa die Lageverhältnisse der Punkte auf einer Gummifläche bei regelmäßiger Biegung und Dehnung der Fläche, wenn keine Zerreißungen und Neuberührungen stattfinden. Die Lageveränderungen würden also, so scheint die Anschauung zu lehren, alle Nachbarschafts- und Zusammenhangsverhältnisse und daher alle topologischen Eigenschaften bestehen lassen. So bringt uns die Veranschaulichung des Weltliniengeflechts auf die Vermutung, daß die bloßen Angaben über K und Z doch genügen, um auch die Raumtopologie festzulegen. Durch diese Vermutung veranlaßt, suchen wir nach einem Wege strenger Ableitung und finden dann schließlich die Vermutung bestätigt. Es gelingt nämlich, den Begriff der räumlichen Punktumgebungen auf folgende Weise zu definieren. Es werde eine beliebige Raumklasse und in ihr ein beliebiger Weltpunkt d betrachtet. Die Weltlinie von d verfolgen wir

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So the task consists in deriving one of these concepts from K and Z and the other concepts already defined. The point of this task and the question of its solvability will now be elucidated by throwing some light on the manifold of world-lines through a visualization. We represent space, as usual for this purpose, in two rather than three dimensions and depict the time dimension by the [third] spatial dimension. Imagine threads stretched across an enclosed space, all running at different angles and curvatures, often crossing each other. Say that nothing more is known about this lattice of threads than the fact that for any two points x , y it is determined whether x and y are coincident points on different threads or not (this corresponds to the relation K ) and whether x lies on the same thread as y and below it or not (this corresponds to the relation Z ). To a chain of time segments corresponds a route running upwards through the lattice of threads that always runs along threads, but at intersections can transfer from one thread to any other that intersects. A spatial class corresponds to a cross-section through the lattice of threads that cuts through each thread once and only once, and that is either horizontal or (within certain constraints) can run at a (varying) angle to the horizontal. So here is a question: can inferences about the neighborhood and connection relations of the points in such a cross-section be arrived at from this limited information about the lattice of threads? An affirmative answer to this question cannot be given with certainty on the basis of mere intuition, but can be conjectured. Consider a deformation of the thread lattice such that the K and Z values remain valid, so that the threads may be extended and also bent within certain limits, but not torn. Furthermore, existing thread crossings must not become disconnected, nor may new ones arise. (The allowable deformations are precisely the “topological deformations” of the space-time world whose invariants form the object of space-time topology.) On the basis of intuition it would be expected that with such a deformation an admissible cross-section remains such and that the relative positions of the points of a cross-section certainly change, but only in the way in which, say, the relative positions of the points of a rubber surface with regular bending and extension of the surface would change, if no tearing or touching is introduced. Intuition seems to show that the position changes would thus allow all neighborhood and connection relations, hence all topological properties, to remain fixed. This visualization of the the manifold of world-lines suggests, then, that the mere specification of K and Z does indeed suffice to determine the spatial topology as well. Motivated by this conjecture, we seek a method of strict derivation and ultimately find the conjecture to be confirmed. We succeed, that is, in defining the concept of neighborhood of a spatial point in the following way. Consider any spatial class and any world-point d in it. We follow the world-line of d backwards from d , i.e., in the direction of temporally earlier

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von d aus rückwärts, d. h. in Richtung auf zeitlich frühere Weltpunkte, und greifen dabei nacheinander etwa die Punkte c , b , a heraus, so daß gilt: a Z b , bZ c , c Z d , ferner auch aZ d und bZ d . Dann bestimmen wir unter Benutzung der früher definierten Relation W die Klasse derjenigen Weltpunkte unserer Raumklasse, zu denen c in der Relation W steht; wir wollen sie hier den W Bereich von c nennen. Ebenso bestimmen wir den W -Bereich von b und den von a . Dann läßt sich leicht zeigen, daß d zu jedem dieser drei W -Bereiche gehört (da eine Weltlinienstrecke die einfachste W - Strecke ist), daß der W Bereich von c eine Teilklasse des W -Bereiches von b ist, und dieser wiederum eine Teilklasse des W -Bereiches von a . Alle drei W -Bereiche sind Teilklassen unserer Raumklasse. So haben wir also innerhalb unserer Raumklasse eine Reihe von konzentrischen Umgebungen des Weltpunktes d gebildet. Wenn außer den willkürlich herausgegriffenen Punkten a , b , c noch beliebige von den dazwischen und davor liegenden Weltpunkten berücksichtigt werden, so ergeben sich beliebig viele solcher Umgebungen von d . Um die physikalische Bedeutung dieser Umgebungen zu erkennen, nehmen wir als einfachen Fall an, daß a — d die Weltlinie einer Lichtquelle in homogenem Medium sei. Dann entspricht der W -Bereich von a als Umgebung von d einem mit d gleichzeitigen Kugelraum, den die seit dem Zeitpunkt a ausgegangene Strahlung erfüllt; die W -Bereiche von b und c entsprechen kleineren konzentrischen Kugeln. Mit diesen räumlichen Punktumgebungen ist das Problem gelöst. Aus dem Gesagten geht hervor, daß sie auf Grund der Relation W , letzten Endes also allein auf Grund von K und Z definiert werden können. Es läßt sich zeigen, daß sie die (Hausdorffschen) Umgebungsaxiome der Raumtopologie erfüllen; daher kann die Raumtopologie nach dem aus der Punktmengenlehre bekannten Verfahren aus ihnen abgeleitet werden. In unserem System erweist sich ein etwas abweichendes Verfahren als das | zweckmäßigste. Nachdem die Punktumgebungen definiert sind, definieren wir die „stetigen Raumkurven“ auf Grund der Eigenschaft, daß in jeder Umgebung jedes ihrer Punkte ein Intervall der Kurve bzw. ein Doppelintervall (nach beiden Seiten hin) liegt. Dann werden „zusammenhängende Raumteile“ definiert als solche Teilklassen einer Raumklasse, daß je zwei beliebige Punkte der Teilklasse durch eine ganz in ihr enthaltene, stetige Raumkurve verbunden werden können. Als Hilfsbegriff für die Dimensionszahl definieren wir die „Trennung“: zwei Punkte eines Raumteils heißen durch einen zweiten Raumteil im ersten Raumteil getrennt, wenn es keine sie verbindende, ganz im ersten Raumteil enthaltene, stetige Raumkurve gibt, die keinen Punkt mit dem zweiten Raumteil gemein hat. Eine Punktklasse heißt dann nulldimensional, wenn sie aus nur einem Punkt oder mehreren isolierten Punkten besteht; eine Punktklasse heißt (n + 1)-dimensional, wenn es für zwei beliebige ihrer Punkte stets eine n -dimensionale, aber keine (n − 1)-dimensionale Teilklasse gibt, die sie in der Punktklasse trennt. Danach ist dann eine stetige Raumkurve eindimensional, da ja zwei ihrer Punkte durch jeden Zwischenpunkt in ihr getrennt werden, also durch eine nulldimensionale Klasse; eine Fläche ergibt sich als zweidimensional, ein Körper als dreidimensional. Dabei erfüllen alle diese Definitionen die früher aufgestellte Forderung der begrifflichen Reinheit: sie lassen sich

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points, and arrive thereby at successive points such as c , b , a , so that a Z b , bZ c , c Z d , and, furthermore, aZ d and bZ d , all hold. Then we determine the class of those world-points to which c stands in the relation W defined earlier; we will call this class the W -region of c . Similarly, we determine the W -region of b and of a . Then it can easily be shown that d belongs to each of these three W -regions (since a world-line segment is the simplest W -segment), that the W -region of c is a subclass of the W -region of b , and this is in turn a subclass of the W -region of a . All three W -regions are subclasses of our spatial class. Thus we have formed within our spatial class a series of concentric neighborhoods around the world-point d . If we consider, in addition to the arbitrarily chosen points a , b , c , any number of those in between them and before them, then we obtain arbitrarily many such neighborhoods of d . To see the physical significance of these neighborhoods, let us assume as a simple case that a -d is the world-line of a light source in a homogenous medium. Then the W -region of a as a neighborhood of d corresponds to a spherical space simultaneous with d that is filled with the rays emitted since the time point a . The W -regions of b and c correspond to smaller concentric spheres. The problem is solved with these spatial point neighborhoods. It follows from what has been said that they can be defined on the basis of the relation W and thus, in the end, on the basis of K and Z alone. It can be shown that they fulfill the (Hausdorff) neighborhood axioms of spatial topology; thus, spatial topology can be derived from them via the procedure familiar from point set theory. In our system a somewhat modified procedure turns out to be the most expedient one. After the point neighborhoods are defined, we define the “continuous spatial curves” on the basis of the property that in every neighborhood of each of its points there lies an interval of the curve, or a double interval (on both sides). Then “connected spatial domains” are defined as those subclasses of a spatial class in which any two arbitrary points of the subclass can be connected via a continuous space curve completely contained within the subclass. We define “separation” as an auxiliary concept for the dimension number: two points of a spatial domain are called “separated” in that spatial domain by a second spatial domain if there is no continuous spatial curve that connects them, which is fully contained within the first spatial domain and has no point in common with the second spatial domain. A point class is called zero-dimensional if it consists only of one point or of several isolated points. A point class is called (n+1)-dimensional if for any two arbitrary points in it there is always an n -dimensional but not an (n − 1)-dimensional subclass that separates them in the point class. Accordingly, a continuous spatial curve is one-dimensional since any two of its points are separated by any point between them, and thus by a zero-dimensional class; a plane turns out to be two-dimensional and a body to be three-dimensional. In this, all these definitions fulfill the demand for conceptual purity given earlier: they can be transformed into (admittedly, in the end quite complicated) expressions

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umformen in (freilich schließlich recht komplizierte) Ausdrücke, die außer logischen Zeichen nur K und Z enthalten. Ferner sind auch alle im System auftretenden Aussagen über die definierten Begriffe formale Aussagen über K und Z , also echte Sätze der Zeittopologie im früher angegebenen Sinne. So wird schließlich in der Raumtopologie auch der Satz vorkommen: „der Raum ist dreidimensional“. An ihm als Beispiel wollen wir uns noch einmal den Sinn unserer Behauptung vergegenwärtigen, daß jeder Satz des Systems eine „formale Aussage über K und Z “ und damit „eine echte Zeitaussage“ sei. Wenn wir uns den in Zeichen ausgedrückten Satz von der Dreidimensionalität ansehen, so werden wir freilich nicht bloß K und Z und logische Zeichen in ihm finden, sondern vielmehr K und Z überhaupt nicht, dafür aber außer den logischen Zeichen noch solche für die Begriffe der Raumklasse und der Dreidimensionalität. Aber nun können wir mit Hilfe der expliziten Definitionen den Satz schrittweise umformen, ohne seinen Inhalt zu ändern. Die Definition der Dreidimensionalität gibt an, daß das Zeichen für Dreidimensionalität gleichbedeutend ist mit einem zusammengesetzten Ausdruck, der aus früheren Zeichen besteht, nämlich aus den Zeichen für Zweidimensionalität, Eindimensionalität, Trennung, stetige Raumkurve und logischen Zeichen. Diesen zusammengesetzten Ausdruck setzen wir nun in den Satz von der Dreidimensionalität des Raumes an Stelle des Zeichens der Dreidimensionalität ein. Der zweite Schritt besteht darin, daß wir an Stelle des Zeichens der Zweidimensionali|tät auf Grund seiner Definition einen zusammengesetzten Ausdruck einsetzen, in dem die Zeichen für Eindimensionalität, Nulldimensionalität, Trennung, stetige Raumkurve und logische Zeichen vorkommen. Der dritte Schritt beseitigt das Zeichen für Eindimensionalität aus unserem Satz, der nächste beseitigt das Zeichen für Nulldimensionalität, der darauffolgende das Zeichen für Trennung. So werden weiterhin die Zeichen für stetige Raumkurve, Raumklasse, Gleichzeitigkeit, Relation W eliminiert (um hier nur die früher erwähnten Begriffe aufzuführen, ohne die Zwischenstufen, die die wirkliche Durchführung erfordert). Und nun enthält der Satz nur noch K , Z und logische Zeichen. Hierbei ist zu beachten, daß die Umformung durch Einsetzung der definierenden Ausdrücke keinen Inhaltsverlust mit sich bringt. Bei den meisten logischen oder mathematischen Operationen ist ja der erschlossene Satz inhaltsärmer als die Prämissen; sie sind aus ihm nicht durch Rückwärtsschließen wiederzugewinnen. Hier dagegen ist der schließlich erhaltene Satz dem ursprünglichen äquivalent, d. h. wenn jener gilt, so gilt auch dieser; die Umformung ist hier also reversibel. Der ursprüngliche Satz, im Beispiel der Satz von der Dreidimensionalität, ist also nicht inhaltsreicher als der durch die Umformung aus ihm gewonnene, er ist logisch gleichwertig mit diesem, also auch wie dieser eine formale Aussage über K und Z . So werden die wichtigsten raumtopologischen Begriffe, aus denen alle übrigen abgeleitet werden können, aus K und Z hergeleitet. Die ganze Raumtopologie bis zur Dimensionszahl hin besteht somit aus formalen Aussagen über K und Z und ist aus den echten „Zeitaxiomen“ ableitbar. Die Raumtopologie ist ein bloßer Zweig des K - Z -Systems, d. h. der Zeittopologie mit eingefügter Koinzidenzbeziehung; das war die Behauptung unserer These.

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that contain, other than K and Z , only logical symbols. Furthermore, all the propositions in the system about the defined concepts are formal propositions about K and Z , and thus proper sentences of temporal topology in the sense given earlier. In the end, the proposition “space is three-dimensional” will appear in spatial topology. With this as an example we want to indicate once more the meaning of our assertion that every sentence of the system is a “formal proposition about K and Z ” and thus “a proper temporal proposition”. Admittedly, if we view the sentence about three-dimensionality as expressed in symbols, we will find in it not merely K and Z and logical symbols, but rather K and Z not at all and in addition to the logical symbols those for the concepts of spatial class and three-dimensionality. But now we can transform the sentence stepby-step with the help of explicit definitions without altering its content. The definition of three-dimensionality says that the symbol of three-dimensionality is synonymous with a compound expression that consists of earlier symbols, that is, the symbols for two-dimensionality, one-dimensionality, separation, continuous spatial curve, and logical symbols. We substitute this compound expression into the place of the symbol for three-dimensionality in the sentence about the three-dimensionality of space. The second step consists in substituting in the place of the symbol for two-dimensionality a compound expression on the basis of its definition, in which the symbols for one-dimensionality, zero-dimensionality, separation, continuous spatial curve, and logical symbols appear. The third step removes the symbol for one-dimensionality from our sentence, the next removes the symbol for zero-dimensionality, the one after that the symbol for separation. Thus, the symbols for continuous spatial curve, spatial class, simultaneity, the relation W (if we may give here only the previously mentioned concepts without the intermediate steps necessary for the actual execution) are eliminated. And now the sentence contains only K , Z , and logical symbols. It is to be noted that the transformation through the substitution of the defining expressions brings with it no diminution of content. In most logical or mathematical operations, the inferred sentence is indeed poorer in content than the premises; they cannot be retrieved from it through reverse inference. Here, on the other hand, the sentence finally attained is equivalent with the original, that is, when one holds, so does the other; the transformation is reversible here. The original sentence, in our example the sentence regarding three-dimensionality, is thus no richer in content than the one obtained from it via the transformation, it is logically equivalent with it and thus is also a formal proposition about K and Z . The most important concepts of spatial topology, from which all the others can be derived, are thus derived from K and Z . The entirety of spatial topology up to dimension number consists, therefore, of formal propositions about K and Z and is derivable from proper “temporal axioms”. Spatial topology is a mere branch of the K - Z system, i. e., of temporal topology with the additional relation of coincidence; that was the claim of our thesis.

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Der Beweis der These kann allerdings durch den vorliegenden Gedankengang nicht als geführt angesehen werden. Ihn kann nur die vollständige Durchführung des hier skizzierten axiomatischen Systems der Raum-ZeitTopologie erbringen. Diese Durchführung wird aber allgemeiner eingestellt sein als der hier durch unsere These geleitete Gedankengang, der wegen seiner besonderen Einstellung auf die Frage der Abhängigkeit zwischen Zeitordnung und Raumordnung eine selbständige Behandlung notwendig und möglich macht. Bisher ist noch nichts dazu getan, die These einleuchtender zu machen. Durch die sehr formale Behandlung der sehr abstrakten Relationen dürften wir wohl eher stutzig gemacht, als überzeugt worden sein, so daß wir vielleicht einen ähnlichen Eindruck haben wie Schopenhauer vom „Euklidischen Mausefallenbeweis“. Handelt es sich nun im vorliegenden Falle um eine Einsicht, die erst durch eine langwierige formalistische Untersuchung gewonnen worden ist und sich gegen eine unmittelbare Annäherung sträubt? Das ist nicht der Fall. Der Grundgedanke der These ist anschaulich ge|wonnen worden und anschaulich faßbar; nur zu der wissenschaftlich notwendigen begrifflichen Formulierung und Rechtfertigung ist jene umständliche, abstrakte Methode erforderlich. Hier mögen einige Andeutungen in Richtung auf eine Veranschaulichung genügen. Haben wir uns erst einmal die Vorstellung (die im Grunde auf Minkowski zurückgeht) völlig deutlich gemacht, daß die Linien physikalischer Wirkung Zeitstreckenketten sind (s. o. S. 339), dann wird es uns auch nicht mehr schwer fallen, uns anschauungsmäßig mit dem Gedanken vertraut zu machen, auf dem unsere These beruht, daß nämlich die Aussage: „die räumliche Entfernung zweier physikalischer Elementarteilchen ist klein, oder sie ist groß“ nichts anderes bedeutet als: „auf die Weltlinie des einen treffen vom anderen ausgehende Wirkungslinien in einem frühen oder erst in einem späten Zeitpunkt (Weltpunkt) ein.“ Nicht: wenn zwei Körper einander räumlich nahe sind, so ist die Folge, daß sie durch zeitlich kurze Wirkungslinien verknüpft werden, sondern: räumliche Nähe bedeutet nichts anderes als zeitlich kurze Wirkungsverknüpftheit. So beruht dann die ganze Raumordnung auf der Zeitordnung der Wirkungsverbindungen. Die Wahl der Relationen K und Z als Grundrelationen zur Ableitung des Systems der Raum-Zeit-Topologie ist in Übereinstimmung mit der Voraussetzung, die die Physik zu machen pflegt, daß nämlich die Koinzidenz zweier physikalischer Punkte und die Reihenfolge der Vorgänge an einem Punkte grundsätzlich empirisch feststellbar seien und daß die Beobachtung aller anderen Tatsachen auf diese beiden Grundtatsachen zurückführbar sei. Es läßt sich nun zeigen, daß die logische Möglichkeit besteht, das System auch auf andern Grundbegriffen aufzubauen. Insbesondere gibt es zwei andere Systemformen, die die Relation K überhaupt nicht enthalten, sondern koinzidierende Weltpunkte als identisch auffassen. Ob diese beiden Formen dadurch vom physikalischen Gesichtspunkt aus unbefriedigend erscheinen müssen oder vielleicht doch gewisse Vorzüge haben, soll hier nicht entschieden werden. Die eine der Varianten hat als einzigen Grundbegriff die Klasse der Zeitrelationen auf den einzelnen Weltlinien; Z ist hier nicht Grundbegriff, sondern ist als

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On the Dependence of the Properties of Space on those of Time (1925a)

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The proof of the thesis cannot be said to have been given by the foregoing line of thought, however. That can only be accomplished by the complete specification of the axiom system of space-time topology. This specification is to be given in a more more general way than the line of thought suggested by our thesis, whose particular engagement with the question of the dependence between temporal and spatial order makes an independent treatment both necessary and possible. Up to this point we have done nothing to make our thesis more convincing. Through the rather formal treatment of the highly abstract relations we might have become more puzzled than convinced, so that we perhaps have an impression similar to Schopenhauer’s “Euclidean mousetrap proof”. Is it a matter, in the present case, of an insight that is only to be won through a tedious formalistic investigation and that resists a more immediate approach? This is not the case. The basic thought of the thesis was motivated by intuition and is intuitively graspable; the laborious, abstract method is only requisite for the scientifically necessary conceptual formulation and justification. Here a few hints toward intuitive clarity must suffice. Once we have fully spelled out the idea (which basically goes back to Minkowski) that the lines of physical causality are chains of time segments (see above, p. 339), then it will no longer be difficult for us to make ourselves intuitively familiar with the idea upon which our thesis rests, i.e. that the proposition “the spatial distance of two physical elementary particles is small or it is large” means nothing other than: “on the world-point of the first we meet the lines of causation of the other in an earlier or only a later time-point (world-point)”. Not: if two bodies are spatially near to one another then it follows that they are connected by temporally short lines of causation; but: spatial nearness means nothing other than temporally short causal connectedness. Thus, the entire spatial order rests on the time order of causal connections. The choice of the relations K and Z as the basic relations for the derivation of the system of the space-time topology is in agreement with the usual presupposition in physics that the coincidence of two points and the serial succession of processes at a point are in principle empirically ascertainable, and that the observation of all other facts is reducible to these two basic facts. It can be shown, actually, that it is logically possible to construct the system from other basic concepts. In particular, there are two other system forms that do not contain the relation K at all but rather conceive of coinciding worldpoints as identical. Whether these two forms must appear unsatisfactory from a physical point of view — or perhaps have certain advantages after all — will not be decided here. The first of these variants has as its single basic concept the class of temporal relations on the individual world-lines. Z is not a basic concept here, but is rather to be defined as the union of that class of relations.

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Über die Abhängigkeit der Eigenschaften des Raumes von denen der Zeit (1925a)

Vereinigungsrelation jener Relationenklasse zu definieren. Hierbei sind alle Axiome Aussagen über topologische Eigenschaften dieses Systems der Eigenzeiten. Die Eigenschaften der Raumordnung liegen in der Art der Verflechtung der Eigenzeit-Reihen untereinander durch identisches Zusammenfallen einzelner Punkte. Vom Gesichtspunkt des vorliegenden Aufsatzes würde diese Systemform den Vorzug verdienen, da sie die aufgestellte These noch schärfer erfüllt als das K - Z -System; denn hier sind die topologischen Eigenschaften der Raumordnung ableitbar aus den topologischen Eigenschaften der Zeitordnung allein. Die zweite Variante hat als einzigen Grundbegriff die Relation W . Sie unterscheidet sich noch stärker von dem | K - Z -System, da nicht nur K , sondern auch Z und die Begriffe der Genidentität und der Weltlinie überhaupt nicht auftreten. Hier sind somit alle Axiome Aussagen über topologische Eigenschaften der Wirkungsbeziehung. Diese Form des Systems ist besonders geeignet, um den vorhin erörterten Gesichtspunkt deutlich werden zu lassen: Raumordnung ist Ordnung von Wirkungsverknüpfungen. An das Verhältnis zwischen Zeitordnung, Wirkungsordnung und Raumordnung, wie es in den verschiedenen Systemformen zur Darstellung kommt, lassen sich noch weitere Gedanken anknüpfen, die hier nur angedeutet werden mögen. Vom Gesichtspunkt der Methodologie der Physik aus sei an die Frage erinnert, weshalb die Physik bestrebt ist, Fernwirkungen aus ihrer Theorie auszuschalten, und sich die Aufgabe stellt, die Naturgesetze gerade durch Differentialgleichungen auszudrücken. Vom allgemeineren erkenntnistheoretischen Gesichtspunkt aus ergeben sich Ausblicke auf die Konstitution der Erfahrungsgegenstände und auf Abhängigkeitsverhältnisse zwischen den Kategorien.

Literaturhinweise

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Die Durchführung des Systems der Raum-Zeit-Topologie auf Grund der Relationen K und Z soll in einer späteren Abhandlung gegeben werden unter dem Titel „Topologie der Raum-Zeit-Welt, axiomatisch dargestellt mit den Mitteln der symbolischen Relationstheorie“. Für die mit der symbolischen Logik und der Relationstheorie nicht vertrauten Leser werden dort die Grundbegriffe und wichtigsten Sätze in einem einführenden Abschnitt kurz zusammengestellt. Zur symbolischen Logik und Relationstheorie: Das grundlegende Werk ist Whitehead and Russell, Principia Mathematica. Cambridge, I, 1910 (Neudruck 1924); II, 1912; III, 1913 [[Whitehead and Russell 1910–13]]. — Eine Einführung in die Grundbegriffe ohne Benutzung der Symbolik: Russell, Einführung in die mathematische Philosophie. München 1923 [[Russell 1923]]. — Eine erläuternde Übersicht über die Symbolik und die wichtigsten Sätze beabsichtige ich in einem Abriß der symbolischen Logik und einem Abriß der Relationstheorie zu geben. Zur Zeittopologie vgl.: Lewin, „Die zeitliche Geneseordnung.“ Zeitschr. f. Physik, 13, 1923, S. 62–81 [[Lewin 1923]]. — Reichenbach, Axiomatik der relativistischen Raum-Zeit-Lehre. Die Wissensch., Bd. 72, Braunschw. 1924 [[Reichenbach 1924]]. Reichenbach baut vor Einführung der metrischen Begriffe auch eine Zeittopologie auf, der die unsere nahesteht. Er gibt für unseren Gesichtspunkt sehr wertvolle Erörterungen

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On the Dependence of the Properties of Space on those of Time (1925a)

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All axioms here are statements about the topological properties of this system of proper times. The properties of spatial order consist in the manner of the intertwining among the proper-time series through identical coincidence of individual points. From the viewpoint of the present essay this system form would be preferable since it satisfies the claim put forward here even more crisply than does the K – Z system; for in it, the topological properties of spatial order are derivable from the topological properties of temporal order alone. The second variant has as its one basic concept the relation W . It differs even more sharply from the K – Z system, since not only K but also Z and the concept of genidentity and of world-line do not appear at all. Here all the axioms are statements about the topological properties of the causal relation. This form of the system is especially suited to highlight the above-mentioned point of view: spatial order is the order of causal connections. The relations among temporal order, causal order, and spatial order, as reflected in the different system forms, lead to further thoughts, which can only briefly be indicated here. From the viewpoint of the methodology of physics, we are reminded of the question why physics strives to eliminate action at a distance from its theories and sets itself the task of expressing natural laws as differential equations. From a more general epistemological viewpoint, perspectives regarding the constitution of objects of experience and the relations of dependence between the categories come into view.

Pointers to the Literature The actual development of the system of space–time topology on the basis of the relations K and Z is to be given in a later treatise under the title “Topology of the space–time world, axiomatically presented by means of the symbolic theory of relations”. For the reader who is not conversant with symbolic logic and the theory of relations the basic concepts and principal theorems will be presented in an introductory section. On symbolic logic and the theory of relations: The foundational work is Whitehead and Russell, Principia Mathematica. Cambridge, I, 1910 (2nd edition 1924); II, 1912; III, 1913 [[Whitehead and Russell 1910–13]]. — An introduction to the basic concepts without using symbols: Russell, Einführung in die mathematische Philosophie. Munich, 1923 [[Russell 1923]]. — I plan to give an elucidatory overview of symbolic logic and the most important theorems in a summary of symbolic logic and of the theory of relations. On time topology, see: Lewin, “Die zeitliche Geneseordnung”. Zeitschrift f. Physik, 13, 1923, pp. 62–81 [[Lewin 1923]]. — Reichenbach, Axiomatik der relativistischen Raum-Zeit-Lehre. Die Wissenschaften, vol. 72, Braunschweig, 1924 [[Reichenbach 1924]]. Reichenbach constructs, before the introduction of metrical concepts, a time topology that is close to ours. For our point of view, he provides

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über die Zuordnung gewisser Systembegriffe zu den gleichbedeutenden physikalischen Begriffen (z. B. Koinzidenz, Gleichzeitigkeit u. a.). Zur Ableitung der topologischen Begriffe in der Punktmengenlehre vgl.: Hausdorff, Grundzüge der Mengenlehre, Leipzig 1914 [[Hausdorff 1914]]. (Umgebungsaxiome s. S. 213.)

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very valuable discussions about the co-ordination of certain system concepts to the synonymous physical concepts (e.g. coincidence, simultaneity, and so on). On the derivation of topological concepts in point-set theory, see: Hausdorff, Grundzüge der Mengenlehre, Leipzig, 1914 [[Hausdorff 1914]]. (Axioms of neighborhood, see p. 213).

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Editorial Notes

Information on the Text Originally published in Kant-Studien 30, no. 3/4 (1925), pp. 331–45. Translation by Edward Dean. In his Intellectual Autobiography, Carnap relates: About this time I worked again on the axiom system of space–time topology (C -T system). I explained the philosophical basis of this system in the paper [[Carnap 1925a]]. The main ideas were first, that the spatial order of events is based on the structure of the causal connection or signal relation, in the sense that the spatial distance between two bodies is the greater the more time is needed for a signal from the one to the other; and, secondly, that the signal relation in turn is definable on the basis of the temporal relation “earlier than”. (Carnap 1963c, p. 15)

Editorial Notes a. [p. 307] “By a ‘relation’ we mean the extension of a relational concept, analogous to the ‘class’ that forms the extension of a property.” The German terms here are Relation and Beziehung, which we translate as “relation” and “relational concept”, respectively, where the latter is plainly taken intensionally. This paragraph is interesting as it is one of the few passages in Carnap’s early works that hint at a transitional bridge between his early conception of logic (around 1920), in which extensional logic is rooted in intensions and all of symbolic logic is rooted in an older conception of “philosophical” metalogic (Carus 2007, pp. 97–105; cf. the Introduction to this book, p. xxxi), and the radical extensionalism of the Aufbau. It also motivates this later extensionalism in the remark that the purely extensional treatment of logic is especially appropriate in “order systems” such as the one he was actually working on at the time, i.e. the Aufbau. Carnap may still have been concerned, at the time he wrote this, not to exclude or alienate readers influenced by phenomenology; the expression Umfangslogik seems to nod in the direction of Husserl, whose attack in the 1890s on the purely extensional Umfangslogik of Schröder and Peirce foreshadows the later exchange between Frege and Husserl; see (Heinzmann 1997). b. [p. 315] “Imagine threads stretched across an enclosed space, all running at different angles and curvatures, often crossing each other.” For this schematic metaphor developed in this paragraph to get across what Carnap intends, it should be added that the endpoints of each thread must be timelike related to each other. Without this addition, Carnap’s metaphor is somewhat misleading, as it suggests that any pair of points on the boundary of the enclosed “space” may be the endpoints of a single thread, which is not the case. Thanks to Erik Curiel for pointing this out.

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c. [p. 317] “All three W -regions are subclasses of our spatial class. Thus we have formed within our spatial class a series of concentric neighborhoods around the world-point d .” Carnap is uncharacteristically imprecise here, and even inaccurate. What he should have said is that all three W -regions intersect the spatial class in such a way that the intersections form a series of concentric neighborhoods. Thanks to Erik Curiel for pointing this out. d. [p. 321] “Through the rather formal treatment of the highly abstract relations we might have become more puzzled than convinced, so that we perhaps have an impression similar to Schopenhauer’s ‘Euclidean mousetrap proof’.” This refers to Arthur Schopenhauer, Die vierfache Wurzel des Satzes vom zureichenden Grund, § 39, concerning proofs in Euclid which we follow step by step without really understanding. In the end we feel trapped but are not convinced. Thanks to Gottfried Gabriel. e. [p. 323] “The actual development of the system of space–time topology on the basis of the relations K and Z is to be given in a later treatise under the title ‘Topology of the space–time world, axiomatically presented by means of the symbolic theory of relations’.” When the present paper was published, Carnap had a 100-page typed manuscript of this title all but complete (ASP 081–02–07). This had been Carnap’s original project for his doctorate, but it had been rejected by the Jena physics department as too philosophical and by the philosophers as too scientific (Carnap 1963c, p. 11; the handwritten outline submitted to the two departments in June 1920 is still extant, ASP 081–06–01). The full account of the system never made it into print; the present paper remains its most extended published exposition. In a footnote in his intellectual autobiography, Carnap states (Carnap 1963c, p. 15): “The treatise ‘Topology of the Space– Time System’, which I announced in the paper as forthcoming, was never published. I gave a summary of the axiom system in the logistics book [[Carnap 1929b]], [[pp. 80–85]] and a more detailed exposition in the later books [[Carnap 1954c]] and [[Carnap 1958b]] (§§48–50).” f. [p. 323] “I plan to give an elucidatory overview of symbolic logic and the most important theorems in a summary of symbolic logic and of the theory of relations.” This introductory exposition grew out of the handwritten summary of Principia Mathematica that Russell had sent Carnap in the early 1920s (Carnap 1963c, p. 14). For the Erlangen conference in 1923, Carnap had prepared an expanded introduction to logic for those participants who were unacquainted with it. Carnap went on working on it for the next few years, and was largely finished by 1927, though the final result, the Abriss der Logistik (1929b), was not published until 1929. A. W. Carus

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Editorial Notes

Mathematical and Physical Background to 1925a Carnap’s goal in the paper is to make precise a sense in which, if relativity theory is correct, statements about the topological structure of physical space can be reduced to statements about temporal or causal order. In what follows, Carnap’s account is reconstructed and a number of technical problems are indicated. It will also be suggested how these problems might be fixed and, finally, Carnap’s work here is contrasted with that done earlier by the British mathematician A. A. Robb (1914). Carnap’s Construction It may help to proceed in two stages. This section summarizes Carnap’s construction using, more or less, the same terms that he employs. The following section revisits certain points in the construction and recasts them using the more precise language of modern relativistic space–time geometry. Carnap starts by considering the class of all world-points [[Weltpunkte]]. He understands these to be the basic elements that enter into spatiotemporal relations, but leaves open exactly how we are to think about them. In particular, he declines to take a stand on whether world-points can be coincident without being identical. (At issue here, it seems, is whether we take them to be “point events” (or perhaps “possible point events”) or rather “point event locations”.) Instead, he considers alternative languages side by side, in which one does and one does not have a special relation symbol for coincidence. So far as Carnap’s actual construction is concerned, it makes little difference which of these interpretations, or which of these languages, one adopts. For convenience, our discussion will in effect work with the latter, and hence will avoid the need to consider coincidence as a relation distinct from identity. Carnap considers a second choice, which is more important for our purposes. At issue here is just what order structure on the set of world-points is taken as primitive. He considers two possibilities. On the first, one takes world-lines [[Weltlinien]] themselves as primitive elements in the construction. (These world-lines are understood to carry a temporal orientation; there is a future-direction at each point.) On the second, one makes do with less. One takes as primitive a two-place relation on the set of world-points. Carnap uses the symbol ‘W ’ for it. Two world-points stand in the relation W if there exists a world-line that runs from the first to the second. When Carnap talks about reducing spatial topology to “temporal order”, he has in mind that version of the construction in which world-lines are taken as primitive. When he talks instead about reducing it to “causal order”, he has in mind the alternative version in which the relation W is taken as primitive. The reduction itself is realized with two definitions. First, using only the allowed primitive relations, he introduces the notion of a spatial class [[Raumklasse]]. We are to think of any one spatial class, intuitively, as a set of world points that qualifies as a candidate for constituting “space at a given time” or being a “simultaneity slice”. We may think of spatial classes, in particular

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cases, as determined relative to some particular world-line or family of worldlines, or perhaps determined in some other way. But “where they come from” is not important for Carnap here and he does not discuss the matter. He is only interested in structural features of spatial classes that make them appropriate for their assigned role. Carnap’s official definition is the following. Definition 1. A set S of world-points is a spatial class if (i) no two (distinct) points in S stand in the relation W , and (ii) every world-line intersects S . One could, equivalently, require that every world-line intersect S in a unique point — for if a world-line intersected S in two points, those two would stand in the relation W . The intuition behind the definition should be clear. Spatial classes are “partition sets” of a certain kind. They serve to partition every world-line into regions of “before”, “now”, and “later”. Equivalently, they are aggregations of “now” points on different world-lines that fit together properly, i.e., fit together so that no one point is W -related to any other. As it stands, the definition makes reference both to “word-lines” and to the relation W . One can always eliminate the latter in terms of the former. But it is not evident that one can recast the definition so that it makes reference only to W . Carnap does not propose any version involving just W and does not comment on the matter. This is puzzling, because he does seem to claim (e.g., in the penultimate paragraph) that W , by itself, is an adequate primitive for the reduction he proposes. And he does seem to consider it essential (as part of that reduction) that one be able to characterize spatial classes in terms of the available primitives. We will say more about this first definition in the next section, but let us move on. Carnap’s second task is to define a topology on spatial classes, again using only the allowed primitives. This amounts to specifying which subsets are to qualify as “open”. Once the definition is in place, every statement about (this) topology can, in principle, be translated into a longer statement about the primitives alone. Here is a lightly paraphrased version of Carnap’s definition. (It uses one bit of notation that is not in the paper. Given any worldpoint p , let W + (p) be the set of all world-points q such that pW q . It is the “future set” of p relative to the relation W .) Definition 2. Let S be a spatial class and let O be a subset of S . Then O is open if, for all world-points q in O , there is a world-point p such that p 6= q , pW q , and (W + (p) ∩ S) ⊆ O . (See figure 1.) The idea is that we start with all future sets W + (p), where p is to the W past of S , and then restrict them to S . In this way we generate a set of what might be called “W -neighborhoods”. Then we take a set to be open if it can be realized as a union of W -neighborhoods.1 1 We include the requirement that p 6= q in the definition because no convention has

been specified as to whether singleton sets count as world-lines. If they do, then W is reflexive, and W + (q)∩S = {q}. So, without the requirement, every subset of S would qualify as open.

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Editorial Notes

W + (p) ∩ S

S O q

W + (p) p

Figure 1: In definition 2, the “open” subsets of a spatial class are defined in terms of W .

Of course, a question arises. How do we know that the set of open sets as characterized here, in the case of any one spatial class, does qualify as a topology? In particular, how do we know that it is closed under finite intersections? Carnap offers no details. He asserts that “it can be shown” that all the requisite conditions for a topology are satisfied — indeed, he specifies “Hausdorff topology” — but leaves further argument for another occasion. He takes himself to be offering only a sketch of what would have to be a long presentation. We will return to this question in the next section. It is hard to get a grip on it until we further pin down what geometrical objects are to count as “world-lines”. Carnap’s Construction and Space–Time Geometry Let us now adopt the framework of relativistic space–time geometry and revisit Carnap’s account. We need to consider three issues. 1. How do we represent “world-lines”? (Once that question is answered, it will be determined, derivatively, how we represent the relation W .) Presumably, we should represent them as curves of some type on the underlying space–time manifold.2 But two options arise as to what that type should be, and both pose problems for Carnap’s definitions. 2. How general is the account supposed to be? Carnap takes himself to be discussing relativistic space–time structure quite generally (in contrast to Robb, who limits attention to one particular space–time model, namely Minkowski space–time). But Carnap takes things for granted that are not true in all relativistic space–time models. In particular, he takes for granted that spatial classes exist, and that is not always the case. 3. How well motivated is the definition of spatial classes? (This will have to be explained.) 2 The distinction between curves and their images is ignored here.

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We can understand relativity theory to determine a class of geometrical models for the space–time structure of the universe. Each is an ordered pair (M , g ab ), where M is a smooth, connected, four-dimensional differential manifold without boundary, and g ab is smooth, pseudo-Riemannanian metric on M of Lorentz signature.3 What is most important for present purposes is that the metric determines a “null cone structure” in the tangent space at each point of M , i.e., a partition of tangent vectors there into three classes: timelike vectors (that fall inside the cone), null vectors (that fall on its boundary), and spacelike vectors (that fall outside the cone). We say that a smooth curve is timelike (respectively null or spacelike) if its tangent vector at every point is of that type. We will restrict attention to space–time models that are “temporally orientable” and for which a particular temporal orientation has been given. The latter is a specification, continuous (in an appropriate sense) over the underlying manifold, of which null cone lobe at each point is to count as the “future lobe”. This allows us to designate timelike and null curves as “future-directed” and “past-directed”. (They are so if their tangent vectors are everywhere pointed in the corresponding direction.) One more bit of terminology. We say that a vector at a point is “causal” if it is either timelike or null. And, derivatively, we say that a smooth curve is of this type if its tangent vector at every point is. It is one of the basic interpretive principles of relativity theory that massive point particles are represented by timelike curves, and light rays are represented by null geodesics. For this reason, when people discuss the “causal structure” of a relativistic space–time model, they generally have in mind the following two relations. Given points p and q in the background manifold M , we say that i. q is to the temporal future of p , and write p ¿ q , if there is a smooth, future-directed timelike curve that runs from p to q . ii. q is to the causal future of p , and write p < q , if there is either a smooth, future-directed timelike curve that runs from p to q , or a future-directed null geodesic that does so. One can prove that the condition in (ii) holds iff there is a smooth, futuredirected causal curve that runs from p to q . This alternative formulation is a bit more compact. These two relations, ¿ and x 0 (resp. x < x 0 ), then γ(x) ∈ O . If a point is an end point to γ, of course, it is either a future or a past end point to the curve. The definition is slightly subtle because an end point to γ need not belong to the image set γ[I ]. 10 What the examples have in common is that they are relativistic space–time models in which there are no “Cauchy surfaces” (Wald 1984, p. 201). Indeed, we can view Carnap’s definition of a spatial class as just a variant definition of a Cauchy surface.

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S

Figure 3: A two-dimensional version of (the covering space of) anti-de Sitter space–time. The indicated set of world-points S seems a plausible candidate for representing “space at a given time”. But it fails to qualify as a spatial class because there are smooth timelike curves without end point that “rush off to spatial infinity” before intersecting it.

In any case, there is a simple way to revise Carnap’s first definition — one that seems in the spirit of his formulation — that allows the existence of “spatial classes” in punctured Minkowski space–time and anti-de Sitter space–time. And this revised definition, when transposed to the Newtonian context, allows standard (invariant) simultaneity slices to qualify as spatial classes. (For any set A , let I + [A] be the set of points q such that p ¿ q for some point p in A . I − [A] is defined similarly.) Definition 1 (second version). A non-empty set of world-points S is a spatial class if (i) no two points in S are timelike related, and (ii) for all points p and q , if p ∈ I − [S] and q ∈ I + [S], then every smooth timelike curve from p to q intersects S . Now we do not require that every smooth timelike curve without end point intersect S . In particular, we allow for the possibility that such curves are fully contained in I − [S] or fully contained in I + [S]. What is required is that, if they start in I − [S], and end up in I + [S], then they must go through S along the way. (One cannot go from “before” to “after” without going through “now”.)11 This revised formulation is not the last word on the subject of “spatial classes”. This is not the place for an extended discussion, but here are a few remarks. 11 The requirement that S be non-empty has been added because clause (ii) is now for-

mulated in terms of a conditional and, as a result, the empty set would otherwise qualify as a spatial class.

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Editorial Notes

(1) One can recast the definition so that it makes reference only to ¿, i.e., makes no direct reference to curves. It suffices to replace clause (ii) by the following condition: for all points p and q , if p ∈ I − [S] and q ∈ I + [S], then I + (p) ∩ I − (q) ⊆ I − [S] ∪ S ∪ I + [S].

(2) As the definition stands, two points in a spatial class can be null related (though they cannot be timelike related). But it seems natural to require that, if a point set is a candidate for representing “space at a given time”, then its points should be neither timelike nor null related. The intuition here is that, for example, it “takes time” for light to reach us from distant galaxies. In any case, it is certainly possible to strengthen clause (i) in the definition so as to rule out the possibility that two (distinct) points in S are null related. One way is to replace (i) with the following condition: for all points p and q in S , p 6= q

=⇒

I + (q) * I + (p).

The condition on the right holds iff q is not in the closure of I + (p) (in the manifold topology). In general, it implies, but is not equivalent to, the assertion that q is not in J + (p). (That is, q can be on the boundary of I + (p) without being null related to p .) But in the presence of condition (ii) it can fail only if there are two distinct point in S that are causally related. (3) There is one respect in which the definition might still seem too stringent. Carnap’s notion of a spatial class is “global” in character. One might also want to consider a local version. So, for example, suppose we start with Minkowski space–time and a maximally extended, flat, spacelike, threedimensional submanifold S . The latter certainly counts as a spatial class. But we can disqualify it by doing some cutting and pasting that only involves regions of space–time that are far distant from S . We can make it possible for a timelike curve to start in I − [S], and end up in I + [S], without passing through S . Intuitively, the cutting and pasting opens a new, alternative, direct (“wormhole”) route for the curve. Does S deserve to be thought of as representing “space at a given time” in a case like this? There is no clear answer. We are not dealing with a notion that has one clear, unambiguous sense. S is not a spatial class according to our definition, but one might want to say that it is a “local spatial class”. We can make the latter notion precise, and when we do we arrive at what Wald calls a slice (Wald 1984, p. 200). The Work of A. A. Robb It appears that Carnap was not aware of the work done by A. A. Robb (1914) some years earlier.12 Robb too showed that, if relativity theory is correct, certain elements of space–time structure can be characterized directly in terms of a single two-place temporal order relation. (He called it the “after” relation. 12 Weyl, for one, did know about it and cited it in Weyl (1923a).

On the Dependence of the Properties of Space on those of Time (1925a)

337

In our notation, “q after p ” holds if p < q and p 6= q .) But their projects differed in two respects. 1. Robb dealt only with Minkowski space–time, i.e., the space–time structure posited in so-called “special relativity”. Carnap explicitly took himself to be analyzing space-time structure in “general relativity”. 2. Robb’s goal was to give a reductive account of the affine and metric structure of four-dimensional space-time. Carnap’s target, instead, was the topological structure of three-dimensional space. Among other things, Robb proved a definability theorem in his book.13 It is easy to formulate. We have characterized relativistic space–time models as smooth fourdimensional manifolds with Lorentz metrics. But in the very special case of Minkowski space–time, a great deal of additional structure is present. We can think of it as a metric affine space. Given an ordered pair of points p and q , we → −→ can associate with it a vector − pq . And given two such vectors pq and − r→s , we −→ − → can associate with them an inner product 〈pq, r s〉. Using these notions, we can define the relations of betweenness, orthogonality, and congruence: −→ → for some k with 0 ≤ k ≤ 1 Bet(p, q, r ) ⇐⇒ pq = k − pr −→ → Orth(p, q, r, s) ⇐⇒ 〈pq, − r s〉 = 0 −→ −→ Cong(p, q, r, s) ⇐⇒ 〈pq, pq〉 = 〈− r→s, − r→s〉.

Robb, in effect, proved the following theorem.14 Proposition. In Minkowski space–time, the relations Bet, Orth, and Cong are all explicitly first-order definable in terms of ¿. With this result in place, not much extra work is needed to extend the discussion to spatial topology. In Minkowski space–time, there is a natural notion of “space at a given time” and it can be easily characterized in terms of the orthogonality relation. (Indeed, in Minkowski space–time, the relative simultaneity relation just is the orthogonality relation.) We can take a set of world points S to be a Minkowskian spatial class if there exist points p and q such that p ¿ q and such that, for all r , −→ → r ∈ S ⇐⇒ 〈pq, − pr 〉 = 0.

So it follows from the proposition that Minkowskian spatial classes can be characterized directly in terms of ¿. And their “open” sets can be character13 He also sketched a result concerning what we would now call categorical axiomatiz-

ability. He showed, in effect, that one can formulate a set of axioms in a formal language with only one non-logical constant — a two-place relation symbol (for ¿) — whose only model, up to isomorphism, is Minkowski space–time (now conceived as just a point set together with the two-place relation ¿). The axioms can all be first-order except for one second-order completeness axiom. 14 In the context of Minkowski space–time, the three relations “after”, ¿, and < are interdefinable, so it makes no difference which we take to be our primitive relation.

338

Editorial Notes

ized in terms of ¿ just as before (using the second version of Carnap’s second definition). There is no natural way to extend Robb’s definability theorem to the larger class of space–times considered in general relativity. But it is possible to prove a causal recovery theorem of a somewhat different type that does apply to that larger class (Malament 1977). It figures in a certain approach to quantum gravity developed by Rafael Sorkin and co-workers.15

David B. Malament16

15 The article on “causal sets” in Wikipedia offers an overview of the program and a

comprehensive set of references. 16 I am grateful to John Manchak for comments on an earlier draft.

339

1926a Physikalische Begriffsbildung Physical Concept Formation

Inhalt Einleitung. Die Aufgabe der Physik Die Aufgabe der Wissenschaft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Was ist Begriffsbildung?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3 Die Aufgabe der Physik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 I. Die erste Stufe der physikalischen Begriffsbildung. Qualitative Stufe: Wahrgenommene Dinge und Eigenschaften. Dinge und Dingeigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Die Induktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Materialien und Materialeigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Bedingungsverhältnisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 Das „Wirkungsverhältnis“ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 II. Die zweite Stufe der physikalischen Begriffsbildung. Quantitative Stufe: Die physikalischen Größen. Zählung und Messung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 Analyse der Temperaturmessung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 Worin besteht die Definition einer physikalischen Größe? . . . . . . . . 20 Die fünf Bestimmungen über eine physikalische Größe . . . . . . . . . . . 22 Beispiele der Begriffsbildung physikalischer Größen A. Die Länge. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .24 Über Additionstheorem u. Summierbarkeit einer Größenart . . . 32 B. Die Temperatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 C. Die Zeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 D. Abgeleitete Größen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .41 E. Die Masse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .42 F. Die elektrische Ladung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 Rückblick auf die Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 Sind alle wahrnehmbaren Eigenschaften meßbar? . . . . . . . . . . . . . . . . 47 Naturgesetze, Hypothesen und Theorien. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .49 Die Überlegenheit der quantitativen Methode gegenüber der qualitativen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 III.Die dritte Stufe der physikalischen Begriffsbildung. Abstrakte Stufe: Das vierdimensionale Weltgeschehen. Die vierdimensionale Welt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 Die physikalische Kausalität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 Das Weltgeschehen dargestellt als Zahlensystem . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 Die Rückübersetzung in Qualitätsaussagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 Abstrahiert die Physik von den Qualitäten? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 Sach- und Namenregister . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

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Contents Introduction. The Task of Physics The Task of Science . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 What is Concept Formation? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 The Task of Physics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 I. The First Stage of Physical Concept Formation. Qualitative Stage: Perceived Things and Properties. Things and their Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Induction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7 Materials and their Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Conditional Relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 The “Causal Relation” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 II. The Second Stage of Physical Concept Formation. Quantitative Stage: Physical Magnitudes. Counting and Measuring . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 Analysis of Temperature Measurement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 What Constitutes the Definition of a Physical Magnitude?. . . . . . . . .20 The Five Stipulations Regarding a Physical Magnitude . . . . . . . . . . . . 22 Examples of Concept Formation for Physical Magnitudes A. Length . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 On the Addition Theorem and the Summability of a Type of Magnitude. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .32 B. Temperature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 C. Time . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 D. Derived Magnitudes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 E. Mass. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .42 F. Electric Charge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 Review of the Examples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .46 Are all Perceptible Properties Measurable? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 Natural Laws, Hypotheses, and Theories . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 The Superiority of the Quantitative Method over the Qualitative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 III.The Third Stage of Physical Concept Formation. Abstract Stage: the Four-Dimensional Universe. The Four-Dimensional World . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 Physical Causality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 The Universe Represented as a Number System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 Retranslation into Qualitative Statements. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .59 Does Physics Abstract from Qualities? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 Bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 Subject and Name Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

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Einleitung. Die Aufgabe der Physik

1

Die Aufgabe der Wissenschaft

a

Die Wissenschaft hat die Aufgabe, Erkenntnisse zu sammeln und zu ordnen, um die Wirklichkeit in immer höherem Grade beherrschbar zu machen. Unter „Beherrschung der Wirklichkeit“ können wir zweierlei Verschiedenes verstehen. Unerklärbare Erscheinungen haben für den Menschen etwas Unheimliches an sich. Durch Erklärung und Verständnis des Zusammenhanges überwindet der Mensch den bedrückenden Einfluß dieser Erscheinungen, auch wenn er so wenig an ihnen ändern kann, wie am Wetter oder an den Bewegungen der Sterne. Über diese rein seelische Beherrschung hinaus kann eine praktische Beherrschung erstrebt und oft auch erreicht werden, die darin besteht, die Erscheinungen nach bewußter Absicht zu beeinflussen. Dazu ist es erforderlich, die gegenseitige Bedingtheit der Erscheinungen zu kennen, zu wissen, unter welchen Bedingungen ein bestimmter Vorgang zu erwarten ist. Wir können somit unterscheiden zwischen dem bloßen Verstehen der Wirklichkeit und dem Vorhersagen. Wenn beides auch gewöhnlich bei der einzelnen Wissenschaft gemischt auftritt, so können wir doch die Wissenschaften (auf einer bestimmten Entwicklungsstufe, z. B. der gegenwärtigen) nach dem Überwiegen des einen oder andern Anteils einteilen in Verstehenswissenschaften und Gesetzeswissenschaften. Gegenwärtig ist die Einteilung etwa folgende. Die systematischen Naturwissenschaften (z. B. Physik, Chemie, Biologie, Astronomie) sind überwiegend Gesetzeswissenschaften. Die historischen, | d. h. einen einmaligen Zeitablauf darstellenden, Naturwissenschaften (z. B. Geologie, Abstammungslehre der Organismen), die an Bedeutung hinter jenen systematischen zurückstehen, entwickeln sich auch immer mehr zu Gesetzeswissenschaften. Auch die systematischen Kulturwissenschaften (z. B. Kunsttheorie, Soziologie, Wirtschaftswissenschaft) setzen sich dieses Ziel, sind aber noch weiter von ihm entfernt und müssen sich überwiegend mit bloßem Verstehen begnügen. Die historischen Kulturwissenschaften (z. B. politische Geschichte, Sozialgeschichte, Kunstgeschichte, Religionsgeschichte) sind fast reine Verstehenswissenschaften; ob sie überhaupt nach allgemeinen Gesetzen zu fragen haben, ist umstritten. Den genannten Wissenschaften, die die verschiedenen Teilgebiete und Seiten der Wirklichkeit behandeln und daher „Realwissenschaften“ heißen, stehen die „Formwissenschaften“ gegenüber, die nicht ein besonderes Wirklichkeitsgebiet behandeln, sondern die reinen (d. h. wirklichkeitsleeren) Formen, die die Realwissenschaften zur Bearbeitung ihrer Gegenstände benötigen. Diese Formwissenschaften (z. B. formale Logik, Relationstheorie, Mathematik) sind also Hilfswissenschaften der Realwissenschaften. Der ordnenden Verarbeitung der Erkenntnisse — mag sie nun auf bloßes Verstehen oder auf Voraussagen nach allgemeinen Gesetzen gerichtet sein — geht die Gewinnung des Erkenntnismaterials voraus. Zu dieser ersten Phase der wissenschaftlichen Tätigkeit gehört z. B. die Vornahme von Experimenten, von Wetter- und Sternbeobachtungen, die Sammlung von historischen Be344

2

Introduction: The Task of Physics The Task of Science Science has the task of collecting and organizing items of knowledge so as to subject reality to an ever higher degree of control. Two different sorts of things can be meant by “control over reality”. There is something uncanny about unexplained phenomena for us human beings. By understanding and explaining their connections, humans can overcome the oppressive influence of these phenomena, even if they can change as little about them as they can about the weather or about the movements of the stars. Beyond this purely intellectual control, we can also try to attain, and often achieve, a practical control, which consists of deliberately influencing the phenomena. For this, it is necessary to understand the mutual dependencies of the phenomena, in order to know under which conditions a particular process can be expected. We can therefore distinguish between the mere understanding of reality and its prediction. While a mix of both generally appears in any particular science, we can nonetheless classify the sciences (at a particular stage of development, e.g., the present) into sciences of understanding and sciences of laws, according to the preponderance of one aspect or the other. At present the division is roughly as follows. The systematic natural sciences (e.g., physics, chemistry, biology, astronomy) are predominantly sciences of laws. The historical natural sciences, i.e. those describing a unique development over time (e.g., geology, the theory of evolution of organisms), whose authority lags behind that of the systematic sciences, are also developing more and more into sciences of laws. The systematic cultural sciences (e.g., the theory of art, sociology, economics) also set themselves this goal, but are yet further removed from it and for the most part must content themselves with mere understanding. The historical and cultural sciences (e.g. political history, social history, art history, history of religion) are nearly exclusively sciences of understanding; it is controversial whether they should even be inquiring about general laws. These sciences, which treat the different regions and facets of reality, and are therefore called sciences of the real, contrast with the sciences of form, which do not deal with a particular region of reality but rather the pure (i.e., empty of reality) forms, which the sciences of the real require for the treatment of their objects. These sciences of form (e.g., formal logic, the theory of relations, mathematics) are thus auxiliary sciences for the sciences of the real. The process of organizing pieces of knowledge — whether it is oriented toward mere understanding or toward prediction with general laws — is preceded by obtaining the material of knowledge. To this first phase of scientific activity belongs, e.g., the conducting of experiments, observations of weather or the stars, the collection of historical records and documents, statistics, and the

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a

346 b

Physikalische Begriffsbildung (1926a)

richten und Dokumenten, Statistiken und dergleichen. In der zweiten Phase werden die von den Formwissenschaften gelieferten Formen als Rahmen oder Schemata benutzt, um jenes Material zu verarbeiten, in ein geordnetes Gefüge zusammenzubauen. In der Wirklichkeit des wissenschaftlichen Betriebes sind die beiden Phasen fast stets miteinander verbunden. Doch erhält jede einzelne wissenschaftliche Tätigkeit durch das Über|wiegen der einen oder der andern Komponente ein deutliches Gepräge. In manchen Wissenschaften pflegen sogar die Mitarbeitenden sich deutlich danach zu trennen, ob sie vorwiegend die Tätigkeit der ersten Phase ausüben oder die der zweiten (z. B. Experimentalphysiker und theoretische Physiker).

3

Was ist Begriffsbildung?

c

Eine Erkenntnis (im Sinn wissenschaftlicher Erkenntnis) besteht in der Feststellung eines Sachverhaltes, in seiner Darstellung durch Worte oder andere Zeichen (mathematische, chemische Zeichen oder dergleichen). Jede solche Darstellung, — mag auch die dargestellte Tatsache noch so primitiv erscheinen, — gehört genau genommen schon zur ordnenden Verarbeitung, also zur zweiten Phase der wissenschaftlichen Tätigkeit. Ein Zeichen wird dadurch eingeführt, oder, wenn es schon in Gebrauch ist, nachträglich legitimiert, daß festgestellt wird, unter welchen Bedingungen es bei der Darstellung von Sachverhalten verwendet werden soll. Die Einführung oder Legitimierung des Wortes „Pferd“ geschieht z. B. dadurch, daß festgestellt wird, welche Bedingungen vorliegen müssen, damit wir ein Ding ein Pferd nennen, also durch Angabe der Kennzeichen des Pferdes (oder Definition des Wortes „Pferd“). Von einem Zeichen, das in solcher Weise eingeführt oder legitimiert ist oder das wir wenigstens als legitimierbar ansehen, sagen wir, es bezeichne einen Begriff. Ein Begriffszeichen ist also ein gesetzmäßiges Zeichen, mag es nun definiert sein oder nicht. Gesetzmäßig soll die Verwendung sein; das Zeichen soll nicht in beliebiger, willkürlicher Weise verwendet werden, sondern in bestimmter, gleichbleibender Weise; dabei kann die Einheitlichkeit der Verwendungsart entweder durch ausdrückliche Festlegung gesichert sein oder durch bloße gleichbleibende Gewohnheit, „Sprachgebrauch“. Was ein Begriff ist, haben wir hiermit nicht gesagt; sondern nur, was es heißt, ein Zeichen bezeichne einen Begriff. | Das ist auch das einzige, was genau gesagt werden kann. Und das genügt auch; denn wenn von Begriffen sinnvoll die Rede ist, so handelt es sich stets um durch Zeichen bezeichnete oder doch grundsätzlich bezeichenbare Begriffe; und im Grunde ist dann stets die Rede von diesen Zeichen und ihren Verwendungsgesetzen. Die Bildung eines Begriffes besteht in der Aufstellung eines Gesetzes über die Verwendung eines Zeichens (z. B. eines Wortes) bei der Darstellung von Sachverhalten. Im gewöhnlichen Leben und auf den ersten Stufen der Wissenschaft findet zwar auch eine Begriffsbildung statt, ohne daß doch derartige Gesetze über die Verwendung von Zeichen (Worten) ausdrücklich aufgestellt würden. Wohl aber werden dabei solche Gesetze unausgesprochen befolgt oder wenigstens ihre Befolgung gefordert. Sobald überhaupt von einem Begriff die

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Physical Concept Formation (1926a)

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like. In the second phase the forms supplied by the sciences of form are used as frames or schemata to process that material and assemble it into an ordered configuration. In the reality of scientific practice the two phases are almost always combined with one another. Still, each individual scientific activity takes on a distinct character through the predominance of one or the other of these components. In some sciences the practitioners are even accustomed to classifying themselves explicitly according to their primary engagement in either the first phase or the second (e.g., as experimental and as theoretical physicists).

b

What Is Concept Formation? An item of knowledge (in the sense of scientific knowledge) consists of identifying a state of affairs, i.e. representing it in words or other symbols (mathematical symbols, chemical symbols or the like). Strictly speaking, each such representation — no matter how primitive the represented fact may appear — already belongs to the ordering process, hence to the second phase of scientific activity. A symbol is introduced — or, if it is already in use, is subsequently legitimized — by determining under what conditions it is to be employed in the representation of a state of affairs. The introduction or legitimization of the word “horse”, for example, comes about by determining the conditions that must hold if we are to call something a horse, hence through the statement of the distinguishing features of a horse (or the definition of the word “horse”). We say of a symbol that has been introduced or legitimized in such a way, or that we think is at least capable of legitimization, that it designates a concept. So the symbol of a concept is a rule-governed symbol, whether it be defined or not. Its use should above all be rule-governed; the symbol should be employed not in any old, arbitrary way, but rather in a determinate, consistent way. Uniformity in the mode of employment can be secured either by explicitly laying down rules or merely through constant habit, “linguistic usage”. We have not said by any of this what a concept is, but only what it is for a symbol to designate a concept. And this is all that can be said with precision. But it is also enough; for, when talk of concepts is meaningful, it invariably addresses concepts designated by symbols, or concepts that can in principle be so designated; and such talk is then basically always about these symbols and their laws of use. The formation of a concept consists in the establishment of a law concerning the use of a symbol (e.g. a word) in the representation of states of affairs. Admittedly, in everyday life and in the first stages of science one can also find a sort of concept formation without any such explicit promulgation of this kind of law concerning the use of symbols (words). However, such laws are then implicitly observed, or at least their observance is required. Whenever a con-

c

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Physikalische Begriffsbildung (1926a)

Rede ist, handelt es sich stets um die einheitliche, also gesetzmäßige Verwendung eines Zeichens. Das Verhältnis der unformulierten Begriffsbildung zu der bewußten, formulierten in der entwickelten Wissenschaft entspricht etwa dem Verhältnis der „ungeschriebenen Gesetze“ der Sitte zu dem kodifizierten Recht.

Die Aufgabe der Physik Die Physik hat die Aufgabe, die sinnlich wahrnehmbaren Gegenstände begrifflich zu behandeln, d. h. die Wahrnehmungen systematisch zu ordnen und aus vorliegenden Wahrnehmungen Schlüsse auf zu erwartende Wahrnehmungen zu ziehen. Auch die anderen Realwissenschaften (ob alle, bleibe dahingestellt) beziehen sich letztlich auf die Wahrnehmungen. Die Physik ist dadurch ausgezeichnet, daß sie die allgemeinsten Eigenschaften des Wahrnehmbaren untersucht, während die andern Wissenschaften eine Sonderauswahl treffen, indem sie sich etwa nur auf die Vorgänge an Organismen oder nur auf die Zusammenhänge des Menschenlebens beziehen. Wie bei fast allen Wissenschaften, so werden auch bei der Physik die untersten Schichten des Gebäudes schon im vorwissenschaftlichen Denken des täglichen Lebens errichtet. Schon bevor es eine einheitliche Physik gibt, werden die wahrnehmbaren Dinge und Vorgänge verglichen, ihre räumlichen, qualitativen und zeitlichen Beziehungen festgestellt. Damit wird der Anfang gemacht zu dem Aufbau einer Gesamtordnung des wahrnehmbaren Geschehens. Die Arbeit der Physik besteht in nichts anderem als der Fortsetzung dieser Tätigkeit in geregelterer Weise; die Ordnung wird strenger durchgeführt, es werden besondere dingliche Hilfsmittel, die physikalischen Apparate, geschaffen, um den Bereich des zu verarbeitenden Materials zu erweitern; ferner auch besondere begriffliche Hilfsmittel, um die Verarbeitung gründlicher durchzuführen, Zusammenhänge höheren Grades behandeln zu können. Hier wollen wir gerade diese begrifflichen Hilfsmittel näher betrachten. Dabei werden wir den im System der Physik vorliegenden Stufenbau erkennen.

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Physical Concept Formation (1926a)

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cept is mentioned at all, it always deals with the uniform, hence rule-governed, use of a symbol. The relation of implicit concept formation to conscious, explicit concept formation in the developed sciences roughly corresponds to the relation between the “unwritten laws” of morals and codified law.

The Task of Physics The task of physics is to treat conceptually the objects we can perceive by our senses, i.e., to order perceptions systematically and to draw inferences from perceptions at hand to perceptions to be expected. Other sciences of the real (whether all remains undecided) also relate ultimately to perceptions. Physics stands out in that it investigates the most general properties of the perceptible, while the other sciences treat only a special selection, as they deal, say, only with the processes of organisms or only with the context of human life. As in nearly all sciences, in physics, too, the lowest levels of the edifice are already erected in the prescientific thought of everyday life. Even before there is a unified physics, perceptible things and processes are compared and their spatial, qualitative, and temporal relations are determined. A start is thereby made on the construction of a complete ordering of perceptible events. The work of physics consists in nothing but the continuation of this activity in a more regular way; the ordering is carried out more rigorously, particular tangible aids, the physical instruments, are created to expand the scope of inputs that can be processed. Furthermore, particular conceptual aids are also created to process things more thoroughly and to be able to handle interrelations of higher degree. Here we want to consider these conceptual aids more closely. In the process, we will recognize the hierarchical structure within the system of physics.

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I.

Physikalische Begriffsbildung (1926a)

Die erste Stufe der physikalischen Begriffsbildung. Qualitative Stufe: wahrgenommene Dinge und Eigenschaften

6

Dinge und Dingeigenschaften

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In dem Ausschnitt der Natur, den wir wahrnehmen, erkennen wir Dinge von verschiedener Größe, Gestalt und Lage und stellen an ihnen durch Wahrnehmung verschiedene Eigenschaften fest: ihre Farbe, Härte, Temperatur, Festigkeit, Elastizität, Gewicht usw. Nicht alle solche Eigenschaften gehen gleich unmittelbar auf die Wahrnehmung zurück. Welche Farbe oder Temperatur ein Körper hat, nehmen wir unmittelbar wahr, sobald der Körper in Reizbeziehung zu dem Sinnesorgan tritt, mit dessen Hilfe wir die betreffende Eigenschaft erkennen, also hier zum Auge bzw. zu den in der Haut liegenden Endigungen der Wärme- oder Kältenerven. Um dagegen zu erkennen, welche Festigkeit gegen Biegung, Druck oder Zug der Körper hat, müssen wir ihn durch Biegung, Druck oder Zug so lange in steigendem Maße beanspruchen, bis er bricht oder reißt. Zu diesen Eigenschaften zweiter Art, zu deren Feststellung wir erst einen bestimmten Vorgang herbeiführen müssen, gehören auch z. B. die folgenden: Zähigkeit und Sprödigkeit, Plastizität, Leichtschmelzbarkeit, Lösbarkeit (in bestimmten Flüssigkeiten), Höhe und Klangfarbe des Tones oder Art des Geräusches bei einer so oder so angeregten Eigenschwingung des Dinges. Sehen wir genauer zu, so bemerken wir jedoch, daß kein scharfer Unterschied zwischen den Eigenschaften erster und zweiter Art besteht. Denn auch in einer Eigenschaft erster Art drückt sich nichts anderes aus als die Reaktionsweise des Dinges auf gewisse Bedingungen, denen es unterworfen wird; nur daß in diesem Falle die Bedingungen, um die es sich handelt, gewöhnlich schon ohne unser Zutun erfüllt sind. So bedeutet z. B. die Angabe, ein Körper sei rot, daß er, wenn er von weißem Licht bestrahlt wird, rotes Licht reflektiert; die Bedingung, mit weißem Licht bestrahlt zu sein, wird nicht ausdrücklich genannt, weil sie unter gewöhnlichen Umständen erfüllt zu sein pflegt. So besagt also jede Angabe über eine Eigenschaft eines Dinges, wie es auf gewisse Bedingungen oder Beanspruchungen reagiert; d. h. was mit ihm geschieht, wenn es in der und der Weise gedrückt, gebogen, seiner Unterstützung beraubt, bestrahlt, erwärmt, dem Feuer ausgesetzt, ins Wasser gelegt wird usw. Eine Dingeigenschaft ist eine Reaktionsweise. Die Angabe einer (dauernden) Dingeigenschaft geschieht also durch einen Bedingungssatz („wenn . . . , so . . . “; „Implikation“); dieser Bedingungssatz seinerseits spricht von einmaligen, direkt wahrgenommenen Eigenschaften.

Die Induktion Aus der Beobachtung einmaliger Eigenschaften („jetzt reflektiert der Körper rotes Licht“) wird auf dauernde Eigenschaften des Dinges geschlossen („dieser Körper ist rot“). Dies ist der erste Schritt in der Reihe von Schritten, die zu

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I.

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The First Stage of Physical Concept Formation. Qualitative Stage: Perceived Things and Properties

Things and their Properties Within the window on nature to which we have sensory access, we recognize things of various sizes, shapes and positions, and through perception we determine various properties in these things: their color, hardness, temperature, strength, elasticity, weight, etc. Not all such properties derive from perception with the same immediacy. We immediately perceive what color or temperature a body has, once the body stimulates the sense organ responsible for recognizing the relevant property, here the eye or, respectively, the nerve endings lying in the skin for sensing warm and cold. On the other hand, to recognize what resistance to torsion, compression, or tension a body has, we must submit it to increasing torsion, compression, or tension until it breaks or tears. The following examples also belong to this second kind of property, whose recognition requires that we bring about a certain process: viscosity and friability, plasticity, fusibility, solubility (in particular fluids), pitch and timbre of a tone, or the type of sound that arises from the natural vibration of an object when elicited in some way. If we look more closely, however, we notice that there is no sharp distinction between the properties of the first and those of the second kind. For a property of the first kind also expresses nothing other than the way a thing reacts to certain conditions to which it is subjected; it is only that in this case the conditions involved are generally already fulfilled without our assistance. Thus, for example, the specification that a body is red means that, if it is irradiated with white light, it reflects red light; the condition of being irradiated with white light is not explicitly mentioned, because under ordinary circumstances it tends to be already satisfied. Thus every statement about a property of a thing states how it reacts to certain conditions or stresses, i.e. what happens to it if it is, in various manners, pressed, bent, deprived of support, irradiated, warmed, exposed to fire, placed in water, etc. A thing-property is a way of reacting. So the specification of an (enduring) thing-property is effected by a conditional sentence (“if . . . , then . . . ”; “implication”); this conditional sentence, for its part, speaks of instances of momentary, directly perceived properties.

Induction Enduring properties of a thing (“this body is red”) are inferred from the observation of momentary properties (“the body is now reflecting red light”). This is the first in the sequence of steps that lead to ever higher stages of concept

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immer höheren Stufen der Begriffsbildung führen. Bei jedem der höheren Schritte finden wir das eigentümliche Verhältnis, das wir soeben für den ersten Schritt festgelegt haben, wieder: das Vorliegen eines Bedingungsverhältnisses zwischen Eigenschaften der Stufe n gibt Anlaß zur Bildung eines Begriffes der Stufe n + 1, indem eine neue Eigenschaft aufgestellt wird, die von denjenigen Dingen ausgesagt wird, bei denen das betreffende | Bedingungsverhältnis vorliegt. (Denjenigen Körpern, bei denen das folgende Bedingungsverhältnis gilt: „wenn der Körper x mit weißem Licht bestrahlt wird, so reflektiert er rotes Licht“, wird die (Dauer-)Eigenschaft Rot beigelegt; die Erkennung dieses Stufenganges wird dadurch etwas erschwert, daß die Sprache den Unterschied der Stufen nicht beachtet, sondern sowohl die Momentaneigenschaft wie die Dauereigenschaft mit demselben Wort „rot“ bezeichnet.) Alle physikalischen Aussagen sind somit Bedingungsaussagen. Und darin liegt ein besonderes Problem, auf das hier hingewiesen werden soll, wo wir den Bedingungsaussagen zum erstenmal begegnen, gleich bei dem ersten Schritt der physikalischen Begriffsbildung. Das Eigentümliche liegt nämlich darin, daß alle physikalischen Aussagen, eben weil sie Bedingungsaussagen sind, mehr behaupten, als beobachtet worden ist, ja als überhaupt beobachtet werden kann, also mehr behaupten, als man rechtmäßigerweise behaupten darf. Denn der Bedingungssatz behauptet: so oft die und die Bedingungen erfüllt sind, wo und wann immer es auch sei, tritt das und das ein. Beobachtet worden ist aber nur, daß einige Male oder viele Male, jedenfalls in allen genügend bekannten Fällen unter den bestimmten Bedingungen das Bestimmte eingetreten ist; und niemals können alle Fälle als Beobachtungsmaterial vorliegen, da immer noch eine unbekannte Zukunft vor uns liegt. Die Methode, aus ein- oder mehrmaliger Beobachtung eines gewissen Bedingungsverhältnisses auf seine allgemeine Gültigkeit zu schließen, wird „Induktion“ genannt. Aus unsern Überlegungen geht hervor, daß die Induktion keine logisch strenge Berechtigung hat. Sie kann aber als Legitimation ihre erfahrungsmäßige Bewährung anführen. Das der Methode der Induktion zugrundeliegende Axiom, „Unter gleichen Bedingungen geschieht Gleiches“ ist freilich gegen eine erfahrungsmäßige Widerlegung dadurch geschützt, | daß nie zweimal die gleichen Bedingungen vorliegen. Denn wenn einmal alle wahrgenommenen Bedingungen in zwei Fällen gleich sind und doch nicht dasselbe erfolgt, so besteht doch immer die Möglichkeit, die nicht direkt wahrgenommenen, sondern nur erschlossenen Bedingungen ungleich anzusetzen. Unter Umständen müssen zu diesem Zwecke neue, bisher nicht mit in Rechnung gezogene Bedingungen berücksichtigt werden. Die Kehrseite dieser Möglichkeit, jenes Axiom unter allen Umständen zu retten, besteht dann aber darin, daß infolge der Unerschöpflichkeit der Bedingungen alle physikalischen Aussagen (sowie auch alle Induktionsaussagen anderer Wissenschaften) nur Wahrscheinlichkeit, nicht absolute Gültigkeit beanspruchen dürfen.

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formation. At each higher step we encounter anew the characteristic situation we have just spelled out in the first step: the existence of a conditional relation between properties at stage n gives rise to the formation of a concept at stage n + 1, in that a new property is set up that is asserted of those things among which the conditional relation in question obtains. (Those bodies for which the following conditional relation holds — “if the body x is irradiated with white light, then it reflects red light” — are deemed to have the (enduring) property red; the recognition of this ascent to a higher stage is made somewhat difficult because language does not observe the distinction of stages; rather both the momentary property and the enduring property are designated with the same word “red”.) This means that all physical assertions are conditional assertions. And therein lies a special problem right at the very first step of physical concept formation, which will be pointed out here at our first encounter with conditional propositions. For the peculiarity lies in the fact that all physical assertions, precisely because they are conditional assertions, claim more than has been observed, indeed more than can ever be observed, and therefore claim more than one may rightfully claim. For the conditional sentence claims: when certain conditions are fulfilled, wherever and whenever that may be, such and such occurs. However, what is observed is only that several times or many times, at any rate in all sufficiently well-known cases of particular conditions, the particular consequence has occurred; and at no time are all cases available as observational material, since an as-yet-unknown future always lies before us. The method of inferring the general validity of a certain conditional relation from one or more observations is called “induction”. From our considerations it follows that induction has no logically rigorous justification. As legitimation, however, it can adduce its experiential confirmation. The axiom “under the same conditions the same result occurs”, which underlies the method of induction, is shielded from an experiential refutation, of course, because the same conditions never obtain twice. For, if all perceptible conditions are identical in two cases and yet the same result does not follow, then there always remains the possibility of claiming nonidentical conditions that are not directly perceptible, but rather only inferred. For this purpose, it is possible that new, hitherto unaccounted-for conditions must be taken into account. The drawback of this way of salvaging the axiom no matter what is, however, that, owing to the inexhaustibility of conditions, all physical propositions (as well as all inductive propositions of other sciences) can claim only probability, not absolute validity.

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Materialien und Materialeigenschaften

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Wir haben gesehen, wie die (Dauer-)Eigenschaften der Dinge aus Einzelwahrnehmungen durch Induktion abgeleitet werden. Aus diesen Eigenschaften werden dann weitere erschlossen, z. B. das spezifische Gewicht eines Dinges aus seiner Größe und seinem Gewicht, das Material eines Dinges etwa aus Farbe, spezifischem Gewicht, Elastizität oder dergleichen. Das Material ist ein für die weitere Begriffsbildung besonders wichtiger Begriff. Er tritt zunächst als Eigenschaft gewisser Dinge auf. Z. B. bedeutet „Eisen“ zunächst die Eigenschaft gewisser Dinge, eisern zu sein, d. h. die und die Eigenschaften, die „Kennzeichen“ des Eisens, zu haben. Diese Dingeigenschaft wird nun vergegenständlicht, d. h. als selbständiger Gegenstand aufgefaßt, dem wiederum Eigenschaften zugeschrieben werden können; aber Eigenschaften von höherer Stufe als der der Dingeigenschaften. Und zwar schreibt man diesem neuen Gegenstand „Eisen“ diejenigen Eigenschaften zu, die allen den Dingen gemeinsam sind, denen auf Grund jener Kennzeichen die Eisernheit als Eigenschaft zukommt. Diese dem Eisen zugeschriebenen Eigenschaften, die ursprünglich | Dingeigenschaften sind, werden damit zu Materialeigenschaften. Da alle diejenigen Körper, die auf Grund ihres spezifischen Gewichts, ihrer Farbe usw. „eisern“ genannt werden, hart sind und leicht rosten, so schreiben wir dem Eisen die Härte und die Rostneigung als Materialeigenschaften zu. Die meisten von der Physik behandelten Eigenschaften sind Materialeigenschaften; besonders auf dieser ersten, der qualitativen Stufe. Der Anlaß zur Bildung des Begriffes „Material“ liegt in dem Sachverhalt, daß Körper, die in gewissen Eigenschaften übereinstimmen, auch in bestimmten andern übereinzustimmen pflegen. Jene Eigenschaften gelten dann als Kennzeichen des Materials, diese als erschließbare Materialeigenschaften. Die Auswahl der Kennzeichen aus den Materialeigenschaften eines Materials ist übrigens in verschiedener Weise möglich. Die Bildung des Begriffes Material auf Grund gewisser Übereinstimmungen zwischen Dingen folgt einem Grundsatz, den wir in seiner Allgemeinheit erst später erörtern werden (auf der zweiten, quantitativen Stufe: Grundsatz der Begriffsbildung auf Grund einer transitiven, symmetrischen Beziehung).

Bedingungsverhältnisse Wir haben gesehen, daß die physikalischen Aussagen Aussagen über Bedingungsverhältnisse sind, d. h. Aussagen von der Form: wenn a , so b . Auch auf allen anderen Erfahrungsgebieten gehört die Feststellung solcher Bedingungsverhältnisse zu den wichtigsten Aufgaben, schon von der primitivsten Erkenntnisstufe an. Auf der Kenntnis solcher Bedingungsverhältnisse beruht die Möglichkeit, nicht wahrgenommene Eigenschaften aus wahrgenommenen zu erschließen, zu erwartende Wahrnehmungen vorauszusehen. Z. B. erwarten wir bei den meisten Dingen, die zu unserer Nahrung gehören, sobald wir sie erblickt haben, auch einen ganz bestimmten Geschmack und Geruch. Die

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Materials and their Properties We have seen how the (enduring) properties of things are derived from individual perceptions by induction. From these properties others can then be inferred, e.g., the specific weight of a thing from its size and its weight, the material of a thing from, say, its color, specific weight, elasticity, or the like. Material is an especially important notion for further concept formation. It first arises as a property of certain things. For example, “iron” denotes the property certain things possess of being made of iron, i.e. having such and such properties that are the “criteria” for iron. This thing-property is then reified, i.e., conceived of as a self-sufficient object, to which properties can then be ascribed in turn — but properties of a higher level than that of the thing-property. And we ascribe to this new object “iron” those properties that are common to all things that, on the basis of the criteria for iron, have the property of being made of iron. These properties ascribed to iron, which are originally thing-properties, thereby become material-properties. Since all bodies that are called “iron” on account of their specific weight, color, etc., also are hard and rust easily, we thus ascribe to iron both hardness and propensity to rust as material-properties. Most properties dealt with in physics are material-properties, particularly at this first, qualitative stage. The occasion for forming the concept “material” is that bodies that share certain properties also tend to share certain other properties. The former properties then count as the criteria for that material, while the latter are inferred material-properties. It is of course possible to choose the criteria for a given material from among the material-properties in various ways. The formation of the concept “material” on the basis of certain correspondences among things follows from an axiom that we will discuss in its full generality only later (at the second, quantitative stage: the axiom of concept formation on the basis of a transitive, symmetric relation).

Conditional Relations We have seen that physical assertions are assertions about conditional relations, i.e. assertions of the form if a , then b . In all other experiential domains as well, ascertaining such conditional relations is among the most important of tasks, even at the most primitive stage of knowledge. The possibility of inferring imperceptible properties from perceptible ones, and of predicting expectable perceptions, rests on the knowledge of such conditional relations. For example, with most of the things that belong to our diet, as soon as we see them we also expect a quite specific taste and smell. And the more distinctive

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Wahrscheinlichkeit, daß solche Erwartung | getäuscht wird, ist umso geringer, je eigenartiger Gesamtgestalt und Aufbaustruktur des Körpers sind: ein Apfel oder ein Stück Brot werden unsre Erwartung nicht so leicht täuschen, wie eine gewisse, kristalline Masse, die wir für Zucker halten, oder eine Flüssigkeit, die wir für Wein ansehen. Die Bedingungsverhältnisse, die in physikalischen Aussagen angegeben werden, sind von verschiedener Art. Erstens können die gleichzeitigen Eigenschaften eines Dinges in Abhängigkeit voneinander stehen. Ist z. B. ein Körper aus Kochsalz (d. h., roh gesprochen: ist er weiß und hat den typischen Kochsalzgeschmack), so gibt er der Flamme die typische, gelbe Natriumfärbung. Zweitens sind die Vorgänge an einem Körper bedingt durch die Vorgänge in seiner Umgebung. Diese Bedingungsverhältnisse zweiter Art sind besonders wichtig, da sie zu einer eigentümlichen Begriffsbildung Anlaß gegeben haben; sie sollen daher genauer betrachtet werden.

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Das „Wirkungsverhältnis“ Die Gesamtheit der Eigenschaften eines Körpers (oder Körperteils oder Systems von Körpern) zu einer bestimmten Zeit bildet den Zustand des Körpers zu dieser Zeit. Unter einem Vorgang an einem Körper während eines Zeitraumes ist die Reihe der Zustände des Körpers während dieses Zeitraumes zu verstehen. Es zeigt sich nun schon in der vorwissenschaftlichen Erfahrung, daß die Vorgänge an einem Körper, also die Art, wie sein Zustand sich ändert, in bestimmter Weise bedingt ist durch den Zustand seiner Umgebung. Denn wir sahen früher, daß die wichtigsten physikalischen Eigenschaften, nämlich die Dauereigenschaften der Dinge und die Materialeigenschaften, nichts anderes sind als Reaktionsweisen des Körpers. Also besagt das Vorliegen solcher Eigenschaften, daß ein Körper bei bestimmter Änderung seiner Umgebung selbst eine bestimmte Zustandsänderung erleidet. Da alle bewußte Ein|wirkung des Menschen auf die Außenwelt auf den Bedingungsverhältnissen dieser zweiten Art beruht, so ist es verständlich, daß er schon früh auf diese Bedingungsverhältnisse aufmerksam geworden ist und sie in besonderer Weise aufgefaßt hat. So bemerkte er z. B., daß ein Stück Eis schmilzt, wenn seine Umgebung erwärmt wird. Er begnügte sich nun nicht damit, das Bedingungsverhältnis festzustellen, sondern versetzte sich, wie es überhaupt dem mythischen Denken des primitiven Menschen entspricht, in den bedingenden Vorgang der Umgebung, z. B. das Feuer, durch Einfühlung selbst hinein und glaubte daher, zwischen diesem Vorgang und dem bedingten Vorgang, nämlich dem Schmelzen des Eises, bestehe dasselbe Verhältnis wie zwischen einer Regung seines Willens und dem äußeren Vorgang, den er wollend wirkt. Daher nannte er das Schmelzen des Eises die „Wirkung“ des Feuers. Obwohl diese mythischdichterische Auffassung ihrem Charakter nach in eine Zeit gehört, die mehr als ein Jahrtausend hinter uns liegt, und obwohl sie schon vor einigen Jahrhunderten von Philosophen ausdrücklich widerlegt und bekämpft worden ist, ist sie doch noch nicht aus dem heutigen Denken verschwunden; selbst nicht bei

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the overall form and composition of the object are, the less likely is it that such expectations will be disappointed: an apple or a piece of bread cannot fool our expectations as easily as will a crystalline substance that we take for sugar, or a liquid that we regard as wine. The conditional relations stated in physical assertions are of various kinds. First, the concurrent properties of a thing can depend on each other. If e.g. a body consists of table salt (i.e., crudely speaking, if it is white and has the typical taste of table salt), then it gives a flame the yellow color typical of sodium. Second, the processes of a body are conditional on the processes in its surroundings. These conditional relations of the second sort are especially important, since they have given occasion to a peculiar concept formation; they will therefore be treated more thoroughly.

The “Causal Relation” The totality of properties of a body (or a part of a body or a system of bodies) at a particular time forms the state of the body at this time. By a body undergoing a process during a time frame we mean the sequence of states of the body during this time frame. Now it is evident even in prescientific experience that processes of a body, the ways its state changes, are conditional in a particular way on the state of its environment. For we saw earlier that the most important physical properties, namely the enduring properties of things and the material-properties, are just the way the body reacts. So the presence of such properties implies that a body itself sustains a particular change in its state given a particular change of state in its environment. Since all conscious influence of humans on the external world rests on conditional relations of this second kind, it is understandable that we became mindful of these conditional relations early on and conceived of them in a particular way. Thus we noticed e.g. that a piece of ice melts if its environment warms up. We did not content ourselves with detecting that conditional relation, however, but rather, in accordance with the mythical ideas of primitive humans in general, we transposed ourselves through empathy into the conditioning process of the environment, e.g. fire, and so believed that between it and the conditioned process, i.e. the melting of the ice, there is the same relation as between an impulse of our will and the external process we purposefully effect. Therefore we called the melting of the ice the “effect” of the fire. Although the character of this mythical–poetic conception belongs to a time that lies more than a millennium behind us, and although it was refuted and opposed by philosophers centuries ago, it has not yet disappeared entirely from present-day thought — not even among some natural scientists,

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manchen Naturforschern, die glauben, die Physik habe nicht nur die Bedingungen der Vorgänge festzustellen, sondern die „Ursachen“, die die Vorgänge „bewirken“. Das besprochene Bedingungsverhältnis zweiter Art hat keinerlei Anrecht darauf, eine Sonderstellung unter den Bedingungsverhältnissen zwischen physikalischen Sachverhalten eingeräumt zu bekommen und in der beschriebenen Weise als „Wirkungsverhältnis“ aufgefaßt zu werden. Ist die Zustandsänderung der Umgebung eines Körpers bekannt, so ist seine eigene Zustandsänderung durch seinen Anfangszustand bestimmt; ebenso aber auch durch den Endzustand. Es wird niemand die Auffassung vertreten, der Endzustand bewirke die Zustandsänderung des Körpers; genau ebenso viel oder wenig Recht hat die Auffassung, der Anfangszustand oder die | Zustandsänderung der Umgebung oder beide zusammen bewirkten die Zustandsänderung des Körpers. Dasselbe folgt aus dem Vergleich mit dem Bedingungsverhältnis zwischen gleichzeitigen Dingeigenschaften. Es besteht kein grundsätzlicher Unterschied zwischen einer Aussage der Art „Gold ist gelb“, „Eis ist kalt“ und der Aussage „bei Erwärmung dehnen sich die Körper aus“. Denn jene Aussagen sind, wie wir früher schon überlegt haben, auch Bedingungsaussagen. Und so wenig die Tatsache, daß ein bestimmter Körper aus Eis ist, d. h. daß er aus Wasser ist und sich in festem Aggregatzustand befindet, die Kälte des Körpers bewirkt, sondern nur (im allgemeinen) hinreichende Bedingung für die Kälte ist, ebensowenig kann die Erwärmung eines Körpers seine Vergrößerung bewirken, sondern ist auch nur (im allgemeinen) hinreichende Bedingung für diese.

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who believe that physics should determine not only the conditions governing processes, but also the “causes” that “bring about” the processes. The conditional relation of the second kind just discussed thus has no claim to be granted a privileged position among the conditional relations between physical states of affairs, or to be conceived in the manner described as the “causal relation”. If the change in state of a body’s surroundings is known, then its own change in state is determined by its initial state; likewise, however, it is also determined by its final state. No one will go along with the view that the final state causes the change in state of the body; the view that the initial state, or the change in state of the neighborhood, or both together cause the change in state of the body is no more and no less justified. The same follows from the comparison with the conditional relation between two simultaneous thing-properties. There is no fundamental difference between a statement of the form “Gold is yellow” or “Ice is cold” and the statement “Bodies expand when heated”. For these statements are, as we have already considered, also conditional statements. And just as the fact that a particular body is made of ice, i.e., that it is made of water and is in its solid state, does not cause the coldness of the body but rather is only a (generally) sufficient condition for coldness, the heating of a body does not cause its expansion, but rather is also just a (generally) sufficient condition for it.

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Die zweite Stufe der physikalischen Begriffsbildung. Quantitative Stufe: die physikalischen Größen

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Zählung und Messung Schon im täglichen Leben ist es häufig erforderlich, die Dinge oder Vorgänge nicht nur durch bloße Nennung von Eigenschaften („qualitative“ Angaben) zu beschreiben, sondern Zahlenangaben („quantitative“ Angaben) hinzuzufügen, wenn durch die Beschreibung ein genaues Bild gegeben werden soll oder wenn bei einer Verhaltungsregel (z. B. bei einem Kochrezept) der gewünschte Erfolg von einer genauen Einhaltung der Bestimmungen abhängt. In noch höherem Grade erweist sich bei der wissenschaftlichen, also methodischen Untersuchung der Naturvorgänge die Verwendung quantitativer Angaben, ja schließlich die Zurückführung aller qualitativen Angaben auf quantitative als notwendig. Die Gründe dieser Notwendigkeit wollen wir später überlegen. Zunächst müssen wir eine ausführliche Antwort auf die Frage geben: wie ist die Gewinnung von quantitativen Angaben über die Wirklichkeit möglich und welche Voraussetzungen bestehen für sie? Die Gewinnung quantitativer Bestimmungen auf irgend einem Gebiete geschieht entweder durch Zählung oder durch Messung. Das ursprünglichere Verfahren ist die Zählung. Sie ist aber nur in bestimmten Fällen anwendbar, nämlich wenn es sich um eine Menge wohlgetrennter einzelner Dinge oder Vorgänge handelt, deren Anzahl festgestellt wird; hierbei | können als Ergebnis offenbar nur ganze Zahlen auftreten. Bei der eigentlichen Messung dagegen kommen auch gebrochene Zahlen vor; Messung muß angewendet werden, wenn es sich um eine Menge handelt, die nicht aus getrennten Elementen besteht, sondern die entweder stetig ist oder doch als stetig behandelt wird. Steine oder Pulsschläge können gezählt werden; Länge, Temperatur, Zeitdauer müssen gemessen werden. Die gebrochenen Zahlen, die als Ergebnis einer direkten Messung auftreten, sind stets rationale Zahlen; als nicht direkt gemessene, sondern aus gemessenen Zahlen erschlossene können auch irrationale Zahlen vorkommen. Z. B. wird die p Länge der Diagonale eines Quadrates, dessen Seite nach Messung a cm lang ist, zu a 2 cm angesetzt.

Alle Zählung geht letzten Endes auf Zählung einer zeitlichen Reihe von Erlebnissen zurück. Gezählt werden können ursprünglich nur Vorgänge, die nacheinander erlebt werden und die eine gewisse Ähnlichkeit miteinander haben. Es werden etwa die Schläge einer Uhr gezählt, indem die Glieder einer bekannten Reihe, nämlich die Worte „eins, zwei, . . . “ den einzelnen Schlägen nacheinander zugeordnet werden. So aber werden auch zugleich bestehende Dinge gezählt; hier entsteht die Reihe der Vorgänge dadurch, daß man die Dinge nacheinander mit dem Finger berührt oder mit dem Blick trifft oder auch nur vorstellt. Das Ergebnis der Abzählung dieser zeitlichen Reihe wird dann auf die Menge der Dinge selbst übertragen. Alle Messung geht im Grunde auf Zählung zurück. Die Zählung ist der einzige ursprüngliche Weg zur Gewinnung quantitativer Angaben. Die Messung

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The Second Stage of Physical Concept Formation. Quantitative Stage: Physical Magnitudes

Counting and Measuring Even in everyday life it is often necessary not only to describe things or processes by merely naming properties (“qualitative” statements), but also to give numbers (“quantitative” statements) if an exact picture is to be given in the description, or if in a rule of behavior (e.g., in a recipe) the desired result depends on an exact fulfillment of the conditions. The use of quantitative statements, indeed the ultimate reduction of all qualitative information to quantitative information, proves necessary to an even greater degree in the scientific, hence methodical, investigation of natural processes. We will ponder the reasons behind this necessity later. First we must fully answer the following question: how is the extraction of quantitative statements about reality possible, and what are the preconditions for this? The extraction of quantitative determinations in any domain is done either by counting or by measuring. The more basic procedure is counting. It is only applicable in particular cases, however, namely ones involving a discrete set of individual things or processes whose number is to be determined; obviously only whole numbers can appear as the result. With actual measurement, on the other hand, fractional numbers also arise; measurement must be employed if a set is involved that does not consist of discrete elements but is, rather, either continuous or is treated as such. Stones or pulse beats can be counted; length, temperature, durations of time must be measured. The fractional numbers that appear as the result of direct measurement are always rational numbers; irrational numbers can also arise, not by being directly measured, but rather by being inferred from measured numbers. For example, theplength of diagonal of a square whose side is measured as a cm long is assigned to be a 2 cm.

All counting in the end traces back to the counting of a temporal sequence of experiences. To begin with, only processes that are experienced successively and share a certain similarity with each other can be counted. The strokes of a clock are counted by successively assigning to the individual strokes the members of a well-known sequence, namely the words “one, two, . . . ”. But this is also how simultaneously present things are counted; here the sequence of processes arises by successively touching the things with one’s finger, or by looking at them, or by only imagining them. The result of counting this temporal sequence, then, carries over to the set of things themselves. All measurement traces back fundamentally to counting. Counting is the sole underlying method for producing quantitative statements. The measure-

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irgend einer Größe ist eine Abzählung, die auf Grund bestimmter Festsetzungen vorgenommen wird. Diese Festsetzungen sind für die verschiedenen Größenarten sehr verschieden, befolgen dabei aber übereinstimmende Grundregeln. Diese Festsetzungen bilden das Fundament der quantitativen Begriffsbildung in der Physik. Wir betrachten sie deshalb ausführlich, sowohl nach ihren allgemeinen Regeln, wie auch für verschiedene | physikalische Größen als Beispiele. Wir werden dabei sehen, daß es sich um Festsetzungen über irgend eine Art von Gleichheit oder Übereinstimmung handelt; und zwar geht es zunächst um räumliche Gleichheit („Kongruenz“). Alle Messung irgend einer Größe wird in der Physik auf Messung räumlicher Länge zurückgeführt (in besonderen Fällen auch unmittelbar auf Zählung).

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Analyse der Temperaturmessung

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Physikalische Messung bedeutet Zuordnung von Zahlen zu irgendwelchen physikalischen Objekten (Dingen, Eigenschaften, Phasen eines Vorganges oder dergleichen) eines bestimmten Bereiches. Diese Zuordnung darf, wenn sie überhaupt einen Sinn haben soll, nicht willkürlich geschehen, sondern muß sich nach dem qualitativen Verhalten der Objekte richten. In welcher Weise diese Anpassung der Zahlenzuordnung an das qualitative Verhalten zu geschehen hat, wollen wir zunächst am Beispiel des Temperaturbegriffs untersuchen und danach in allgemeine Regeln fassen, die wir dann bei andern Größenarten wiederfinden werden. Die Bildung des Begriffes „Temperatur“ ist veranlaßt durch Erfahrungen verschiedener Art. Zunächst bemerken wir, daß verschiedene Körper, wenn sie mit unserer Haut in Berührung kommen, verschiedene Empfindungen des Wärme-Kälte-Sinnes hervorrufen; ferner auch derselbe Körper zu verschiedenen Zeiten. Auf Grund dieser Empfindungen können wir feststellen, wann ein Körper erwärmt und wann er abgekühlt wird. Wir denken uns nun, der Begriff der Temperatur sei uns noch nicht bekannt. Wir beschließen, auf Grund der genannten Erfahrungen jedem Körper (nötigenfalls auch den einzelnen Körperstellen) für jeden Zeitpunkt eine gewisse Zahl, die wir seine „Temperatur“ nennen wollen, in zweckmäßiger Weise so zuzuschreiben, daß das Wärmeverhalten der betreffenden Körper durch die zugeschriebenen Zahlen in möglichst | einfacher Weise erfaßt wird und daß auch die allgemeinen Gesetze dieses Verhaltens eine möglichst einfache Form annehmen. Für ein und denselben Körper mögen wir etwa festsetzen, daß die ihm zugeschriebene Zahlenreihe, seine „Temperatur“, bei Erwärmung steigen, bei Abkühlung fallen soll. (Die umgekehrte Festsetzung wäre ja auch möglich und durchführbar.) Nun kommt das schwierigere Problem der Zuschreibung der Zahlen zu verschiedenen Körpern. Zunächst könnten wir versuchen, zwei Körpern dann die gleiche Temperatur zuzuschreiben, wenn sie dieselbe Wärmeempfindung hervorrufen, und einem Körper dann eine höhere Temperatur zuzuschreiben als einem andern, wenn er eine stärkere Wärmeempfindung (oder eine schwächere Kälteempfindung) hervorruft. Dieses Zuschreibungsverfahren würde sich jedoch als unzweckmäßig erweisen angesichts der Tat-

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ment of any magnitude is a sort of counting that is carried out on the basis of particular conventions. While these conventions are very different for the different kinds of magnitudes, they all follow the same basic rules. These conventions form the foundation of quantitative concept formation in physics. We therefore consider them in detail, both according to their general rules and with various physical magnitudes as examples. What we will see is that conventions about some sort of identity or agreement, and indeed spatial identity (“congruence”), are involved. All measurement of any magnitude in physics leads back to the measurement of spatial length (and in special cases even immediately to counting).

Analysis of Temperature Measurement Physical measurement is the assignment of numbers to any physical objects (things, properties, phases of a process, or the like) of a given realm. This assignment, if it is to have any point at all, should not be undertaken arbitrarily, but must conform to the qualitative behavior of the objects. We will first investigate how this accommodation of the number assignment to qualitative behavior is to occur by using the example of the temperature concept, and then frame it in general rules we will subsequently rediscover in other kinds of magnitudes. The formation of the concept “temperature” is occasioned by experiences of various sorts. First we notice that different bodies evoke different sensations of the warm–cold sense when they come into contact with our skin, as does the same body at different times. On the basis of these sensations we can determine when a body has warmed up and when it has cooled down. Let us now imagine that the concept of temperature is as yet unknown to us. On the basis of these experiences, we decide to ascribe to each body (and, if necessary, also to each part of each body) a certain number for each point in time, which we will call its “temperature”, in such a way as to capture the thermal behavior of these bodies by the ascribed numbers in the simplest possible way and also [to ensure that] the general laws of this behavior take the simplest possible form. For one and the same body we may decide, for instance, that the sequence of numbers assigned to it, its “temperature”, should increase as the body warms and decrease as it cools. (The opposite convention would, of course, also be possible and realizable.) Now comes the more difficult problem of assigning numbers to different bodies. As a first attempt, we could assign equal temperature to two bodies if they evoke the same feelings of warmth, and assign a higher temperature to one of the bodies if it evokes a stronger sensation of warmth (or a weaker sensation of cold). This method of assignment, however,

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sache des „Wärmeausgleichs“. Wenn nämlich zwei Körper miteinander in Berührung gebracht werden, und es treten hierbei (ohne chemische Umsetzungen) bei beiden Wärmeänderungen ein, so stets in entgegengesetzter Richtung: bei dem einen eine Erwärmung, bei dem andern eine Abkühlung; ist nur bei dem einen eine Änderung wahrnehmbar, so wird (späteren Naturgesetzen zuliebe, die beim Begriff der spezifischen Wärme auftreten) dem andern eine entgegengesetzte Änderung von nicht wahrnehmbarer Größe zugeschrieben. Und zwar tritt stets bei dem wärmeren Körper Abkühlung, bei dem kälteren Erwärmung ein. Dieses Gesetz würde bei der versuchten Festsetzung über den Temperaturbegriff zuweilen Ausnahmen erleiden, indem bei Berührung der wärmer zu nennende sich erwärmen, der kälter zu nennende sich abkühlen würde. (Ein Stück Holz von der Temperatur 50° erscheint für die Empfindung kühler als ein Stück Eisen von der Temperatur 45°, kühlt sich aber bei der Berührung mit diesem ab.) Um das wichtige Gesetz vom Wärmeausgleich aufrechtzuerhalten, müssen wir also die Festsetzungen über die Zuschreibung der Temperaturzahlen anders treffen. Wir gehen dabei | so vor, daß wir gerade das Verhalten beim Wärmeausgleich als Grundlage der Zuschreibung nehmen. Zunächst setzen wir fest, daß zwei Körper, die bei Berührung keine Wärmeänderung erleiden (wir sagen in diesem Falle: die Körper sind im „Wärmegleichgewicht“), dieselbe Zahl zugeschrieben erhalten sollen. Daß es möglich ist, diese Festsetzung durchzuführen, hängt aber noch von einer andern Erfahrungstatsache ab. Verhalten sich nämlich zwei Körper a und b in der angegebenen Weise zueinander, ferner auch die Körper b und c , so stets auch die Körper a und c ; kurz: das Wärmegleichgewicht ist erfahrungsgemäß eine „transitive“ Beziehung. Würde diese Erfahrungstatsache nicht vorliegen, so könnten wir die angegebene Zuschreibungsart nicht eindeutig durchführen, denn dann würden wir den Körpern a und c einerseits dieselbe Zahl zuschreiben, andrerseits aber dürften wir es nicht, da sie sich nicht im Wärmegleichgewicht befinden. Ferner hat die Beziehung des Wärmegleichgewichts, wie wir aus ihrer Definition erkennen können, ohne dafür auf Erfahrung Bezug nehmen zu müssen, die Eigenschaft der „Symmetrie“; d. h.: wenn sie zwischen a und b besteht, so auch zwischen b und a . Wie man leicht sieht, muß stets auch diese Bedingung für eine Beziehung erfüllt sein, die zur Grundlage der Zuschreibung gleicher Zahlen (irgend einer Größenart) gemacht werden soll. Gleichfalls im Anschluß an das Verhalten beim Wärmeausgleich treffen wir nun die Festsetzung über die Zuschreibung ungleicher Zahlen: erleidet ein Körper bei Berührung mit einem andern eine Erwärmung oder eine Abkühlung, so soll ihm eine höhere, bzw. eine niedere Zahl zugeschrieben werden als jenem. Auch hier ist die Festsetzung nur deshalb durchführbar, weil die zugrunde gelegte Beziehung zwischen zwei Körpern gewisse formale Eigenschaften hat. Diese Beziehung, die sich darin ausdrückt, daß der eine Körper bei Berührung mit dem andern sich erwärmt, ist erstens „asymmetrisch“, d. h. wenn sie zwischen a und b gilt, so nicht zwischen b und a . | Das folgt aus der genannten Erfahrungstatsache, daß die Reaktionen zweier Körper beim Wärmeausgleich nie in gleicher Richtung erfolgen. Zweitens ist die Beziehung

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would turn out not to work, owing to the fact of “heat transfer”. For if two bodies are brought into contact with each other and both undergo a change in heat (without chemical reactions), then it is always in complementary directions: the one warms up while the other cools down; if only one has a perceptible change, then we ascribe to the other a complementary change of imperceptible magnitude (following laws of nature down the road that use the concept of specific heat). And it is the warmer body that always cools off, while the cooler body warms up. Under the proposed convention for the temperature concept, there would be exceptions to this law where, upon touching them, the body we had decided to call warmer would warm up and the body called cooler would cool down. (A piece of wood at 50° feels cooler than a piece of iron at 45°, but the wood cools when it touches the iron.) In order to maintain the important law of heat transfer, we must therefore arrive at conventions for the assignment of temperatures differently. We proceed in such a way as to base our assignment of temperatures directly on heat transfer itself. We first stipulate that two bodies that undergo no change in warmth upon touching (we say in this case that the bodies are in “thermal equilibrium”) should be assigned the same number. The possibility of implementing this convention, however, depends on another empirical fact. For if two bodies a and b behave toward each other as described, and bodies b and c do so as well, then a and c also do. In short, thermal equilibrium turns out empirically to be a “transitive” relation. If this empirical fact were not to hold, then we could not carry out the given assignment unambiguously; for on the one hand we would be assigning bodies a and c the same number, but on the other hand we would not be allowed to do so, since they would not be in thermal equilibrium with each other. Furthermore, as we can recognize from its definition without having to appeal to experience, the relation of thermal equilibrium has the property of “symmetry”; i.e., if it holds between a and b , then it also holds between b and a . As one can easily see, this condition must be met by any relation intended to be the foundation for the assignment of equal numbers (for any kind of magnitude). Likewise, in accordance with the pattern in heat transfer above, we now set up the convention for assigning unequal numbers: if a body warms (cools) upon touching another, then it should be assigned a smaller (greater) number than the other. Here too, the convention can be arrived at only because the underlying relation between two bodies has certain formal properties. First of all, this relation of a body warming upon contact with another is “asymmetric”, i.e., if it holds between a and b then it does not hold between b and a . That follows from the aforementioned empirical fact that the reactions of two bodies during heat transfer never go in the same direction. Secondly, the relation is

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erfahrungsgemäß transitiv: besteht sie zwischen a und b und auch zwischen b und c , so stets auch zwischen a und c . Wäre die Bedingung der Asymmetrie oder die der Transitivität nicht erfüllt, so würde, wie man leicht erkennt, die einem Körper nach der getroffenen Festsetzung zuzuschreibende Zahl zuweilen sowohl größer als kleiner sein müssen als die Zahl eines andern Körpers; die Festsetzung würde also nicht widerspruchsfrei durchgeführt werden können. Drittens hat die hier zugrunde gelegte Beziehung eine gewisse reihenartige Beschaffenheit: sie besteht nämlich ihrer Definition nach stets in der einen oder der andern Richtung zwischen zwei Körpern, wenn nicht die Beziehung des Wärmegleichgewichts besteht. Wäre diese Bedingung nicht erfüllt, so würden wir zuweilen zwei Körpern nicht gleiche Zahlen zuschreiben dürfen, aber auch keinem von beiden eine größere Zahl als dem andern. Auch in diesem Falle wäre also die Festsetzung nicht durchführbar. (Wir würden dann kompliziertere Größenarten zuschreiben müssen als die Werte der eindimensionalen, einfach reihenförmigen Zahlenreihe.) Würden zwei Physiker getrennt voneinander eine Zuordnung von Temperaturzahlen nach den getroffenen Festsetzungen vornehmen, so würden die Angaben der beiden stets darin übereinstimmen, ob der eine von zwei Körpern die gleiche, eine höhere oder eine niedere Zahl erhält als der andere. Wir sagen: sie stimmen in den „topologischen“ Temperaturangaben überein. Darüber hinaus wollen wir nun erreichen, daß beide auch jedem Körper dieselbe Zahl als Temperatur zuschreiben; wir sagen: ihre Temperaturangaben sollen nicht nur topologisch, sondern auch „metrisch“ übereinstimmen. Erst wenn dies der Fall ist, ist der Temperaturbegriff eindeutig festgelegt. Denn erst dann hat die Angabe der Temperatur eines Körpers zu einer bestimmten Zeit einen eindeutigen Sinn. | Um diese Übereinstimmung zu erreichen, müssen wir noch drei weitere Festsetzungen treffen, die „metrischen Festsetzungen“. Nehmen wir etwa an, der eine der beiden Physiker schreibe den Körpern diejenigen Temperaturzahlen zu, die wir ihnen nach der üblichen Thermometerskala zuzuschreiben pflegen; der zweite Physiker dagegen möge denjenigen Körpern die Zahlen 0, 1, 2, 3, 4, 5 zuschreiben, die nach unserm Thermometer, also auch in der Zuschreibung des ersten Physikers, die Temperaturen −20, 0, 10, 15, 18, 19 haben. Um die Zuschreibung des zweiten Physikers mit der des ersten in Übereinstimmung zu bringen, müssen wir erstens dafür sorgen, daß die „Skalenform“ dieselbe wird, d. h. daß zwei verschiedene Temperaturdifferenzen, die bei der einen Zuschreibung gleich sind, stets auch bei der andern gleich sind. Zweitens müssen wir für Übereinstimmung des Nullpunktes sorgen, und drittens für Übereinstimmung der Einheit. Die erste Forderung ist erfüllt, wenn die Zahlen 0, 1, 2, 3, 4, 5 des zweiten Physikers z. B. an den Stellen der Thermometerskala stehen, an denen bei dem ersten Physiker die Zahlen −20, −10, 0, 10, 20, 30 stehen; auch die zweite, wenn sie z. B. an den Stellen 0, 5, 10, 15, 20, 25 stehen; ist schließlich auch die dritte Forderung erfüllt, so stehen sie an den Stellen 0, 1, 2, 3, 4, 5. Damit ist dann also die Übereinstimmung erreicht. Sind die Festsetzungen über Differenzengleichheit, Lage des Nullpunktes der Skala und Größe der Einheit getroffen, dann und nur dann ist die Größe eindeutig festgelegt. Erst dann ist sie als eine metrische Größe

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empirically transitive: if it holds between a and b and also between b and c , then it always holds between a and c as well. If the condition of asymmetry or that of transitivity were not fulfilled, then as one can easily see, the number assigned to a body under this convention would sometimes have to be both greater than and smaller than the number assigned to some other body; the convention could not be carried out consistently. Thirdly, the underlying relation here has the character of a series, for by its definition it holds in one or the other direction between any two bodies when they are not in thermal equilibrium. Were this condition unfulfilled, then sometimes we would be unable to assign two bodies equal numbers, but also unable to assign a greater number to one than the other. In this case the convention would not be feasible either. (We would then need to assign more complicated kinds of magnitudes than the values of a one-dimensional, simply linear number sequence.) If two physicists, separately from each other, were to assign temperature numbers according to the above conventions, then the statements of both would always agree as to whether one of two bodies receives the same, a greater, or a smaller number than the other. We say that they agree on the “topological” temperature statements. Beyond that, we now want to arrange that both physicists also assign the same temperature number to each body; we say that their temperature statements should agree not only topologically, but also “metrically”. Only if this is the case is the temperature concept unambiguously determined. For only then does the statement of temperature for a body at a particular time have an unambiguous meaning. In order to achieve this agreement, we must still consider three additional conventions, the “metric conventions”. Suppose one of the two physicists assigns to bodies, say, the temperature numbers we would assign according to the common thermometer scale; the second physicist, to the contrary, prefers to assign the numbers 0, 1, 2, 3, 4, 5 to those bodies that, according to our thermometer (hence also according to the assignment of the first physicist), have the temperatures −20, 0, 10, 15, 18, 19. In order to bring the second physicist’s assignment into agreement with the first physicist’s, we must first ensure that the “form of the scale” is the same, i.e., that two different temperature differences that are equal under the one assignment are always equal under the other as well. Secondly, we must secure agreement on the zero point, and, thirdly, agreement on the unit. The first requirement is met if the numbers 0, 1, 2, 3, 4, 5 of the second physicist are located at the points on the thermometer scale to which the first physicist assigns, e.g., −20, −10, 0, 10, 20, 30; the second requirement as well, if they occupy, e.g., the places assigned 0, 5, 10, 15, 20, 25 by the first; and if the third requirement is also met, then they occupy places 0, 1, 2, 3, 4, 5. With that step, agreement is achieved. If the conventions for equality of differences, the position of the zero point of the scale, and the magnitude of the unit are set, then and only then is the magnitude univocally determined. Only then is it defined as a metric magnitude; only then do statements concerning a value of the

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definiert; erst dann haben Angaben eines Größenwertes einen bestimmten Sinn. Wie diese Festsetzungen für die Temperatur und andere physikalische Größen zu treffen sind, werden wir später sehen.

Worin besteht die Definition einer physikalischen Größe? Die Definition einer physikalischen Größe besteht in der Festlegung der Regeln, nach denen die Zuschreibung der | Größenwerte zu den Objekten geschehen soll. Man hat bisweilen gemeint, eine physikalische Größe (z. B. die Zeit) habe auch an und für sich, ohne Hinsicht darauf, wie sie zu messen sei, einen Sinn; die Frage nach der Methode der Messung sei eine zweite Frage. Demgegenüber muß scharf betont werden, daß der Sinn jeder physikalischen Größe darin besteht, daß bestimmten physikalischen Objekten bestimmte Zahlen zugeschrieben werden sollen. Solange nicht festgelegt wird, wie diese Zuschreibung geschehen soll, ist die Größe selbst noch nicht festgelegt und die Angaben über sie sind sinnlos. Messung aber ist ja nichts anderes als jene Zuschreibung. Nur die genauere Ausgestaltung der Messung im einzelnen, die Auswahl unter verschiedenen grundsätzlichen Möglichkeiten nach ihrer technischen Zweckmäßigkeit und dergleichen bilden sekundäre Fragen. Wie wir an dem Beispiel der Temperatur gesehen haben, gehören zur vollständigen Definition einer physikalischen Größe fünf Bestimmungen, zwei topologische und drei metrische: 1 a) Bestimmung der Größenidentität, 1 b) Bestimmung der Reihenform und der positiven Richtung, 2 a) Festsetzung der Streckengleichheit und damit der Skalenform, 2 b) des Nullpunktes, 2 c) der Größeneinheit. Die Einführung einer physikalischen Größe darf zwar sehr wohl zunächst provisorisch geschehen, d. h. mit dem Vorbehalt späterer, zweckmäßigerer Festsetzung bestimmter Punkte. Solange jedoch einer der genannten Punkte überhaupt nicht (auch nicht einmal stillschweigend, wie es vielfach der Fall ist) festgelegt ist, kann nicht mit Sinn über die betreffende Größe geredet werden. Zumindest die Behauptungen über die Größe, die gerade den betreffenden noch fehlenden Punkt in irgend einer Weise berühren, entbehren dann noch des Sinnes. Das ist z. B. in bezug auf eine der fundamentalsten physikalischen Größen, die Zeit, lange nicht beachtet worden; bis zur Aufstellung der Relativitätstheorie fehlte jede Festlegung nach Regel 1 a, also die Definition der Gleichzeitigkeit. Manche Behauptungen, in | denen die Zeit vorkommt, haben erst nach irgend einer Ausfüllung dieser Lücke einen Sinn. Viele physikalische Größen werden aus andern abgeleitet; für solche ergeben sich die Festsetzungen über die fünf Punkte aus der Definition und brauchen daher nicht ausdrücklich getroffen zu werden.

Die fünf Bestimmungen über eine physikalische Größe Das an dem Beispiel des Temperaturbegriffs Erkannte wollen wir jetzt in allgemeine Regeln fassen, deren Anwendung dann noch an andern physikalischen Größen aufgezeigt werden soll.

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magnitude have a definite meaning. We will see later how these conventions for temperature and other physical magnitudes are to be established.

What Constitutes the Definition of a Physical Magnitude? The definition of a physical magnitude consists in establishing rules according to which the assignment of magnitude values to objects is to proceed. It has occasionally been thought that a physical magnitude (e.g. time) has a sense, in and of itself, without reference to how it is measured, the question concerning the method of measurement being a second question. But it must be strongly emphasized, in response, that the point of any physical magnitude consists in ascribing particular numbers to particular physical objects. So long as it is not determined how this assignment is to proceed, the magnitude itself is not determined and statements concerning it are meaningless. Measurement, however, is nothing but that assignment. Only the more precise elaboration of the details of measurement, the selection from among various underlying possibilities according to their technical expedience, and the like, are secondary questions. As we have seen in the example of temperature, five stipulations, two topological and three metrical, belong to the complete definition of a physical magnitude: 1 a) defining identity of magnitudes, 1 b) fixing the form of the series and the positive direction, 2 a) defining segment equality and thereby the form of the scale, 2 b) [fixing] the zero point, 2 c) [specifying] the unit of magnitude. The introduction of a physical magnitude can most certainly occur tentatively at first, i.e., with provision for more appropriate establishment of particular points to occur later on. However, so long as even one of the given requirements is not met (even tacitly, as is often the case), one cannot speak coherently about the magnitude in question. At the very least, statements about the magnitude that in any way concern the missing requirement lack sense. This went unnoticed for a long time, e.g. with respect to one of the most fundamental physical magnitudes, time. Until the development of relativity theory, a determination according to rule 1 a) was missing, i.e. the definition of simultaneity. Many statements in which time occurs make sense only after some filling in of this gap. Many physical magnitudes are derived from others; for such magnitudes the conventions concerning the five requirements follow from the definition and thus do not need to be addressed explicitly.

The Five Stipulations Regarding a Physical Magnitude On the basis of what we learned from the example of the temperature concept, we now formulate general rules, the application of which to still other physical magnitudes will then be shown.

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1.

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Die topologische Definition einer physikalischen Größe

Voraussetzung und Anlaß für die Einführung einer Größenart ist ein erfahrungsmäßiger Befund von der Art, daß zwischen den Objekten (Körpern, Vorgängen) irgend eines Bereiches zwei Beziehungen bestehen: eine transitive, symmetrische und eine transitive, asymmetrische. Die erste Beziehung gibt dann Anlaß zur Bildung eines bestimmten Gleichheitsbegriffes, die zweite zur Bildung des Begriffes einer bestimmten Größenart, und zwar meist (nämlich wenn jene Beziehung eine gewisse Reihenartigkeit hat) einer eindimensionalen („skalaren“) Größe. Es wird dann bestimmt, daß die Zuschreibung der Zahlen zu den Objekten des Bereiches so geschehen soll, daß a) den Objekten, zwischen denen die transitive, symmetrische Beziehung besteht, gleiche Zahlen zugeschrieben werden, b) einem Objekt, das in der transitiven, asymmetrischen Beziehung zu einem andern steht, eine niedere Zahl als dem andern zugeschrieben wird. 2.

Die metrische Definition der Größe durch drei Festsetzungen

Damit die Größe nicht nur topologisch bestimmt ist, d. h. nach der Gleichheit und nach der Richtung des Unterschiedes, sondern auch metrisch, d. h. nach ihren einzelnen Werten, ist | es erforderlich, drei Festsetzungen zu wählen. Die erste ist wesentlich, da sie auf die Form der Naturgesetze beträchtlichen Einfluß hat; die beiden andern sind unwesentlich. Durch Änderung der ersten Festsetzung tritt im mathematischen Ausdruck eines Naturgesetzes an Stelle der betreffenden Größe irgendeine eindeutige, monotone Funktion der Größe; bei Änderung der zweiten oder dritten Festsetzung tritt zu der Größe bloß eine additive Konstante bzw. ein konstanter Faktor.

a) Es ist eine Skalenform zu wählen, d. h. eine Festsetzung darüber zu treffen, wann zwei Skalenstrecken, also zwei Größendifferenzen der betreffenden Größe, als gleich gelten sollen. b) Es ist ein Nullpunkt der Skala zu wählen, d. h. eine Festsetzung darüber zu treffen, wann einem Objekt der Größenwert Null zugeschrieben werden soll. c) Es ist eine Einheit zu wählen, d. h. eine Festsetzung darüber zu treffen, wann einem Objekt der Größenwert Eins zugeschrieben werden soll. Zu a. Die Gleichheit der Skalenstrecken oder Größendifferenzen ist wohl zu unterscheiden von der Gleichheit der Größenwerte selbst; diese, aber auch nur diese, ist durch die topologische Bestimmung 1 a schon festgelegt. Die Festsetzung der Skalenform wird meist unter dem Gesichtspunkt gewählt, daß die Naturgesetze, in denen die betreffende Größe vorkommt, eine möglichst einfache Gestalt annehmen (insbesondere die energetischen Gesetze). Zu b. In vielen Fällen ist die Entscheidung über die Wahl des Nullpunktes einfach und naheliegend, indem ein bestimmter Größenwert sich als „natürlichster“, d. h. einfachster Skalenanfangspunkt aufdrängt. In andern Fällen wird ein Größenwert gewählt, der sich genau in stets gleicher Weise durch einen leicht herzustellenden Vorgang realisieren läßt.

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1.

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The topological definition of a physical magnitude

The precondition and occasion for introducing a magnitude is an empirical finding of the kind such that two relations obtain between objects (or bodies, or processes) of some domain: a transitive, symmetric relation and a transitive, asymmetric one. The first relation offers the possibility, then, of forming a certain concept of identity, the second of forming the concept of a particular magnitude, and usually this is a one-dimensional (“scalar”) magnitude (if, that is, this relation has the general character of a series). It is then determined that the assignment of numbers to the objects of the domain is to proceed in such a way that a) equal numbers are assigned to those objects among which the transitive, symmetric relation holds, b) an object that has a transitive, asymmetric relation to another object is assigned a smaller number than that other object. 2.

The metric definition of the magnitude via three conventions

To determine the magnitude not just topologically, i.e. with respect to identity and the direction of differences, but also metrically, i.e. with respect to particular values, it is necessary to choose three conventions. The first is essential, since it has considerable influence on the form of the laws of nature; the other two are inessential. If the first convention is changed, then in the mathematical expression of a natural law the magnitude in question is replaced by some injective, monotonic function of the magnitude; upon changing the second or third convention, only an additive constant (or a constant factor) need be considered.

a) A scale form is to be chosen, i.e., a convention concerning when two scale segments, hence two magnitude differences for the magnitude in question, are to be considered equal. b) A zero point of the scale is to be chosen, i.e., a convention concerning when an object is to be assigned the magnitude value zero. c) A unit is to be chosen, i.e., a convention concerning when an object is to be assigned the magnitude value one. Regarding a. The identity of scale segments or magnitude differences is to be distinguished from the identity of magnitude values themselves; these, and only these, are already determined by the topological stipulation 1 a. The convention for the scale form is chosen mainly from the point of view that the natural laws in which the magnitude in question appears take on as simple a form as is possible (in particular the energetic laws). Regarding b. In many cases the decision about the choice of zero point is simple and obvious, in that a particular magnitude value suggests itself as the “most natural”, i.e., the simplest starting point for the scale. In other cases a magnitude value is chosen that can always be realized in the same way by an easily reproducible process.

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Zu c. Für die Festsetzung der Einheit muß auch irgend ein Objekt (ein wiederholbarer Vorgang oder sogar ein bestimmter einzelner Körper) als Normalobjekt gewählt werden. | Hier ist es meist nicht so, daß sich ein bestimmtes Objekt als einfachstes für die Wahl aufdrängt. Es wird deshalb ein bestimmtes, leicht zu erreichendes Material gewählt oder ein einzelner Körper, der möglichst wenig störenden Einflüssen ausgesetzt ist. Eine bestimmte Eigenschaft oder ein bestimmter Vorgang an diesem Material oder Körper ergibt dann die Größeneinheit. (Häufig wird aus praktischen Gründen ein bestimmter Bruchteil oder ein bestimmtes Vielfaches der Normalgröße als Einheit genommen.)

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Beispiele der Begriffsbildung physikalischer Größen Wir wollen jetzt an einigen Beispielen sehen, wie für physikalische Größen verschiedener Art die notwendigen Bestimmungen und Festsetzungen getroffen werden. A.

Die Länge

Wie früher schon gesagt, ist die Längenmessung die grundlegendste Messung der Physik, auf die die Messung vieler andrer Größen zurückgeht. Ihre Begriffsbestimmung soll daher besonders genau untersucht werden. Der Begriff des Längenmaßes ist viel älter als die Wissenschaft. Er ist uns so geläufig, daß wir uns gewöhnlich gar nicht bewußt machen, auf welchen Erfahrungen und gewählten Festsetzungen seine Begriffsbildung beruht. Aus diesem Grunde haben wir die erste Untersuchung nicht an ihm, sondern an dem Begriff der Temperatur durchgeführt, bei dem gerade infolge der größeren technischen Schwierigkeiten der Messung die notwendigen Voraussetzungen der Messung deutlicher zum Ausdruck kommen. Wir werden sehen, daß die vorwissenschaftliche Festlegung des Längenbegriffes im Grunde dieselben Regeln befolgt, die die Begriffsbildung der erst im wissenschaftlichen Verfahren eingeführten Größenarten bestimmen. Wir wollen annehmen, der Begriff des Längenmaßes sei uns noch nicht bekannt, und wollen zusehen, wie er sich auf | Grund bestimmter Erfahrungen nach den aufgestellten Grundsätzen bilden läßt. Die Erfahrungstatsache, die aller Längenmessung zugrundeliegt, ist die des Vorhandenseins „starrer Körper“. Die Körper, die aus gewissen Materialien bestehen, z. B. aus Metall, Stein, Holz, haben die Eigentümlichkeit, daß Kanten, die „kongruent“ sind, d. h. zur Deckung miteinander gebracht werden können, dauernd kongruent bleiben. (Wir sprechen der größeren Anschaulichkeit und Einfachheit halber von Kanten; genauer müßten wir von Punktpaaren an Körpern sprechen.) Die Körper, die solches Verhalten zeigen, nennen wir „starr in bezug aufeinander“. Die Erfahrung zeigt, daß ein Eisenstab und ein Stück Wachs oder Gummi nicht starr in bezug aufeinander sind; ferner auch nicht zwei Stücke Wachs. Wohl aber sind alle Körper, die z. B. aus Metall, Stein oder Holz bestehen, (annähernd) starr in bezug aufeinan-

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Regarding c. To fix the unit, some object (a replicable process or even a particular individual body) must also be chosen as the standard object. Here a particular object does not usually suggest itself as the simplest choice. Therefore a particular, easy to obtain material or an individual body that is subjected to the least possible disturbing influence is chosen. A particular property or a particular process of this material or body then yields the magnitude unit. (Often, for practical reasons, a particular fraction or a particular multiple of the standard magnitude is taken to be the unit.)

Examples of Concept Formation for Physical Magnitudes We now want to see, from some examples, how the necessary determinations and conventions are arrived at for various kinds of physical magnitudes. A.

Length

As mentioned above, length measurement is the most basic measurement in physics, and the measurement of many other magnitudes ultimately derives from it. So the specification of this concept should be examined with special care. The concept of length measurement is much older than science. It is so familiar to us that we usually take no notice at all of the experiences and chosen conventions on which its concept formation rests. For this reason the first investigation we undertook was not of length, but rather of the concept of temperature, for which the necessary conditions for measurement come to be expressed more clearly, precisely because of the greater technical difficulties involved in its measurement. We will see that the pre-scientific determination of the concept of length follows essentially the same rules that govern the concept formation of the kinds of magnitude that are later introduced in a scientific context. We will assume that the concept of length measure is still unknown to us; and we will see how, on the basis of particular experiences, the concept is formed according to the principles we have laid out. The empirical fact that underlies all length measurement is the existence of “rigid bodies”. Bodies that consist of certain materials, e.g. metal, stone, wood, have the property that their “congruent” edges, i.e. edges that can be brought together in such a way that they coincide, remain congruent. (We speak of edges for the sake of greater clarity and simplicity; to be more precise we would need to speak of pairs of points in the bodies.) Bodies that exhibit such behavior we call “rigid with respect to each other”. Experience indicates that an iron rod and a piece of wax or rubber are not rigid with respect to each other; furthermore, neither are two pieces of wax. But all bodies consisting e.g. of metal, stone, or wood, are (approximately) rigid with respect to one

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der. Da diese Körper nach unsrer Erfahrung die einzige Menge von Körpern bilden, die in bezug aufeinander starr sind, so nennen wir sie „die starren Körper“ schlechthin. Aus dem beschriebenen Verhalten der starren Körper folgt, daß die Kongruenz (Deckbarkeit) zwischen Kanten von starren Körpern eine transitive Beziehung ist: besteht sie zwischen a und b und auch zwischen b und c , so auch zwischen a und c ; wenigstens gilt dies, soweit es überhaupt möglich ist, die beiden Kanten a und c in bezug auf Kongruenz zu prüfen. Da die Transitivität sich im Bereiche der Prüfbarkeit überall vorfindet, so setzen wir auch dort, wo sie nicht prüfbar ist, weil die betreffenden Kanten einander nicht genähert werden können, die Transitivität als bestehend an: so nennen wir z. B. Kanten desselben Steines dann kongruent (obwohl sie sich ja nicht zur Deckung bringen lassen), wenn jede von ihnen mit einer und derselben andern Kante (z. B. eines bestimmten zweiten Steines) sich als kongruent erweist. Die hier dargestellte Erweiterung des Umfanges der zugrunde gelegten Beziehung durch Ansetzung der Transitivität | auch im nicht prüfbaren Bereich wird übrigens auch bei der Begriffsbildung anderer Größenarten oft vorgenommen; und ebenso auch bei der zweiten, der asymmetrischen Beziehung. Daß die Kongruenz eine symmetrische Beziehung ist, ergibt sich aus ihrer Definition. Die zweite Beziehung, auf der die Begriffsbildung der Länge beruht, ist die der „Teildeckung“: die Kante a eines Körpers kann mit einem echten Teil der Kante b eines andern Körpers zur Deckung gebracht werden, d. h. die beiden Körper können so aneinander gelegt werden, daß der eine Endpunkt von a mit einem Endpunkt von b zusammenfällt, der andre Endpunkt von a aber mit einem inneren Punkt von b . Aus dieser Definition und der der starren Körper folgt, daß die Beziehung der Teildeckung zwischen zwei Kanten starrer Körper bestehen bleibt, wenn sie einmal gilt. Diese Beziehung ist asymmetrisch und transitiv. Wir wenden nun die früher aufgestellten Regeln über die fünf Bestimmungen einer Größenart an. 1 a) Die Beziehung der Kongruenz zwischen Kanten starrer Körper ist transitiv und symmetrisch. Wir schreiben deshalb zwei solchen Kanten dieselbe Zahl als „Länge“ zu. Bei den Kanten anderer Körper ist nur momentane, nicht dauernde Kongruenz feststellbar; einer solchen Kante schreiben wir die gleiche Länge zu wie einer mit ihr momentan kongruenten Kante eines starren Körpers; denn auch die Beziehung der momentanen Kongruenz ist transitiv und symmetrisch. 1 b) Die Beziehung der Teildeckung zwischen Kanten starrer Körper (bzw. der momentanen Teildeckung, wenn es sich um einen oder zwei andere Körper handelt) ist transitiv und asymmetrisch. Ferner hat sie die früher beschriebene reihenartige Beschaffenheit. Dieses Verhalten der Körper veranlaßt uns nach Regel 1 b zur Einführung einer eindimensionalen Größe. Stehen zwei Kanten (dauernd oder momentan) in dieser Beziehung, so schreiben wir (dauernd oder für den | betreffenden Zeitpunkt) der ersten eine kleinere Längenzahl zu als der zweiten. 2 a) Wir kommen nun zu den metrischen Bestimmungen. Die wesentliche metrische Festsetzung, nämlich die der Skalenform, ist in diesem Falle

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another. Since in our experience these bodies make up the only set of bodies that are rigid with respect to one another, we call them simply “the rigid bodies”. It follows from the described behavior of rigid bodies that congruence (coincidence) between edges of rigid bodies is a transitive relation: if it holds between a and b and also between b and c , then it holds between a and c as well; at least, this holds to the extent that it is even possible to test the two edges a and c for congruence. Since transitivity obtains wherever it can actually be tested, we postulate it as well for those situations where it cannot be checked because the edges in question cannot be brought near to each other; thus, e.g., we call the edges of the same stone congruent (even though they certainly cannot be made to coincide), if each of them proves congruent to one and the same edge (e.g., that of a particular second stone). This broadening of the scope of the underlying relation by invoking transitivity even in untestable domains, by the way, is often applied in the conceptual formation of other kinds of magnitudes; and likewise for the second, asymmetric relation. That congruence is a symmetric relation follows from its definition. The second relation on which the concept formation for length is based is that of “partial coincidence”: the edge a of a body can be made to coincide with a proper part of the edge b of another body, i.e. the two bodies can be placed together in such a way that one end point of a coincides with one end point of b , while the other end point of a coincides instead with an interior point of b . From this definition and that of a rigid body, it follows that the relation of partial coincidence between two edges of rigid bodies continues to hold if it holds once. This relation is asymmetric and transitive. We now apply the rules established earlier concerning the five requirements for a magnitude type. 1 a) The relation of congruence between edges of rigid bodies is transitive and symmetric. Therefore, we ascribe two such edges the same number, as their “length”. Only momentary, and not enduring, congruence can be established for the edges of non-rigid bodies; we assign such an edge the same length as an edge of a rigid body with which it is momentarily congruent; for the relation of momentary congruence is also transitive and symmetric. 1 b) The relation of partial coincidence between edges of rigid bodies (or momentary partial coincidence, if one or two other bodies are involved) is transitive and asymmetric. Furthermore, it has the serial character described earlier. This behavior of bodies leads us to introduce a one-dimensional magnitude according to rule 1 b. If two edges have this (enduring, or momentary) relation, then we assign (enduring, or for the moment in question) a smaller length number to the first than to the second. 2 a) We come now to the metric stipulations. The essential metric convention, namely that of the scale form, is not difficult to choose in this case. A

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nicht schwer zu wählen. Eine bestimmte Art dieser Festsetzung hat ein solches Übergewicht der Einfachheit und damit der Zweckmäßigkeit, daß sie aller Längenmessung seit den ältesten Zeiten zugrundegelegt worden ist und uns auf den ersten Blick sogar als einzig mögliche erscheint, so daß wir glauben, eine Wahlfreiheit liege überhaupt nicht vor. Wir erkennen jedoch aus Analogie mit der Temperaturmessung, deren Erörterung aus diesem Grunde vorangestellt worden ist, daß auch hier bei der Längenmessung grundsätzlich eine Wahlfreiheit bezüglich der Skalenform besteht. Es handelt sich dabei nicht etwa um die Wahl des Maßstabmaterials; diese Wahl soll schon zugunsten der genannten Materialien der „starren Körper“ entschieden sein; das gehört zu Regel 1 a. Wir erinnern uns daran, daß man an Stelle der üblichen Thermometerskala eine neue Skala durch andere Verteilung der Zahlen einführen könnte. Ebenso können wir auf einem üblichen Meterstab die Skala ändern, indem wir an Stelle der Zahlbezeichnungen beliebige andere setzen, die aber in ihrer topologischen Ordnung mit der ursprünglichen übereinstimmen müssen (d. h. wachsenden Zahlen der alten Skala müssen wachsende der neuen entsprechen). Wir können etwa an die Stellen, wo ursprünglich die Zahlen 0, 20, 30, 35, . . . stehen, die Zahlen 0, 1, 2, 3, . . . setzen; sogar die Zahlen −2, −1, 0, 1, . . . können wir an jene Stellen setzen. Vom Standpunkt der alten Skala aus ist freilich die neue „falsch“; nehmen wir aber die neue als ursprüngliche Skala, so gibt es für ihre Beurteilung kein „wahr“ oder „falsch“, sondern nur ein „zweckmäßig“ und „unzweckmäßig“. Topologisch stimmen die drei Skalen überein: sind irgend zwei Strecken nach der üblichen Skala | des Meterstabes gemessen einander gleich, so auch nach jeder der beiden neuen Skalen; ist eine Strecke nach der einen Skala länger als eine bestimmte andere Strecke, so auch nach jeder der beiden andern Skalen. Verschiedene Antwort geben die Skalen nur auf die Fragen, welche Länge eine Strecke hat und um wie viel länger die eine Strecke ist als die andere. Die Feststellung der Skalenform geschieht nun nach Regel 2 a durch eine Festsetzung über die Gleichheit von Streckendifferenzen. Die seit jeher übliche Skalenform des Längenmaßes ergibt sich, wenn wir diese Festsetzung in folgender Weise treffen: zwei Streckendifferenzen sollen dann als gleich angesehen werden, wenn sie, als Strecken aufgefaßt, dieselbe Länge haben. Wie wir an den angegebenen anderen Skalenformen erkennen, ist diese Entscheidung nicht etwa notwendig; ein gewisser Grad von Trivialität ist ihr freilich nicht abzusprechen, weil sie eben die weitaus einfachste ist. Ein besonderer Einwand gegen die Wahlfreiheit dieser Festsetzung wird im nächsten Abschnitt erörtert (über Additionstheoreme). Daß im Falle der Länge eine Entscheidung in der angegebenen Form getroffen werden kann, beruht darauf, daß die Größenart der Länge so beschaffen ist, daß Streckendifferenzen als Strecken selbst aufgefaßt und gemessen werden können. Nicht für alle Größenarten gilt das Entsprechende; Temperaturdifferenzen z. B. können nicht als Temperaturen aufgefaßt werden. Aus der angegebenen Festsetzung folgt das bekannte, uralte Verfahren der Längenmessung durch mehrmaliges Hintereinanderlegen eines Einheitsmaßstabes. Die Einteilung des Maßstabes geschieht dementsprechend dadurch,

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particular choice is so overwhelmingly simple, and hence expedient, that it has been the basis for all length measurement since the most ancient of times and strikes us at first glance as the only one possible, so that we believe there is not even any freedom to choose. We recognize, however, by analogy with temperature measurement (which we discussed first for just this reason), that in principle there is freedom of choice concerning the scale form for length measurement. It does not concern the choice of material for the measuring rod; this choice will have already been decided in favor of the materials of “rigid bodies” mentioned above; that belongs to rule 1 a. We remember that, in place of the ordinary thermometer scale, one can introduce a new scale via a different placement of the numbers. Likewise, we can alter the scale on a common meter bar by replacing the number marks with arbitrary others, subject to the restriction that their topological order must agree with the original one (i.e., increasing numbers on the old scale must correspond with increasing numbers on the new one). We can place the numbers 0, 1, 2, 3, . . . , say, where the numbers 0, 20, 30, 35, . . . originally appeared; we could even put the numbers −2, −1, 0, 1, . . . in those places. From the standpoint of the old scale, the new scale is admittedly “false”; but if we accept the new scale as the original, then there is no “true” or “false” in considering it, rather only “expedient” and “inexpedient”. The three scales agree topologically: if two arbitrary segments are measured as equal according to the common scale of the meter bar, then this also holds for each of the two new scales; if a segment is longer than some other given segment according to one scale, then it is according to the other two scales as well. The scales give different answers only to the questions of which length a segment has and how much longer one segment is than another. The establishment of the scale form now occurs according to rule 2 a, via a convention concerning the identity of segment differences. The common scale form for length measurement which has been used throughout history arises if we stipulate this convention in the following way: two segment differences are to be considered equal if they have the same length when conceived of as segments. As we see from the other scale forms, this decision is not necessary; yet a certain degree of triviality cannot of course be denied to it, since it is by far the simplest. A special objection to the freedom of choice for this convention will be discussed in the next section (on addition theorems). That a decision of the indicated sort can be made in the case of length depends on the fact that the magnitude type for length is constituted in such a way that segment differences can themselves be conceived of and measured as segments. The corresponding fact does not hold for all kinds of magnitudes; temperature differences, for instance, cannot be conceived of as temperatures. The ancient and well-known method of measuring length by repeatedly placing a unit measuring rod after itself follows from the convention indicated above. Accordingly, the division of the measuring rod proceeds by finding

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daß eine andere, kleinere starre Kante gesucht wird, die längs der Einheitskante eine bestimmte Anzahl Male (z. B. zehn im dekadisch-metrischen System) hintereinander gelegt werden kann. 2 b) Festsetzung über den Nullpunkt der Längenskala: Die Länge Null schreiben wir dem Abstand zweier Punkte zu, wenn die Punkte sich berühren oder räumlich zu|sammenfallen. Auch diese Festsetzung erscheint zunächst als selbstverständlich oder notwendig, aber auch sie beruht auf freier Entscheidung; freilich wird uns durch die Natur der Sache gerade diese Entscheidung sehr nahe gelegt. Die logische Möglichkeit einer andern Wahl erkennen wir an dem dritten Beispiel einer Skala, die mit −2 beginnt. Wie vorhin bei der Frage der Skalenform, so wird man auch hier gegen eine Skala mit anderer Anfangszahl als Null einwenden, daß man mit einer solchen Skala zwar auch den Punktabständen Zahlen zuordne, aber damit durchaus nicht das messe, was mit dem Wort „Länge“ gemeint sei. Dieser Einwand hat freilich insofern recht, als Skalenform und Anfangszahl festliegen, wenn eine ganz bestimmte Bedeutung des Wortes „Länge“ vorausgesetzt wird. Trotzdem bleibt aber die Tatsache bestehen, daß die Physik an einem bestimmten Punkte ihres systematischen Aufbaues die Entscheidung über Skalenform und Nullpunkt auch für diese Größenart wie für jede andere, einzuführende Größenart treffen muß. Daß in diesem Falle das vorwissenschaftliche Leben schon eine Entscheidung getroffen hat, kann zwar die wissenschaftliche Entscheidung erleichtern oder sogar unbewußt geschehen lassen. Sobald jedoch die Geltung der Wahlfreiheit auch für diese Entscheidung erkannt ist, besteht zum mindesten die Aufgabe, die vorwissenschaftliche Entscheidung bewußt zu prüfen und ausdrücklich anzuerkennen (oder zu verwerfen). 2 c) Für die Wahl der Einheit der Länge gibt es keine natürlich sich aufdrängende Entscheidung. Es wird ein bestimmter einzelner Körper festgelegt (Erdkörper) oder eigens hierfür hergestellt (Pariser Normalmeterstab), an dem eine bestimmte Strecke die Längeneinheit oder ein bestimmtes Vielfaches davon hat. Um die Längeneinheit unabhängig von einem bestimmten Einzelkörper festzulegen, kann man sie in Beziehung setzen zu einer bestimmten Länge, die durch irgend einen immer wiederholbaren Vorgang dargestellt wird; von allen Vorgängen, die hierfür grundsätzlich in Betracht kommen, erfüllen | nur die optischen Wellenlängen die praktische Bedingung, mit genügend hoher Genauigkeit meßbar, d. h. mit andern Strecken vergleichbar, zu sein. Z. B. ist durch die Angabe, daß die Wellenlänge einer bestimmten Spektrallinie (D1) 0,0005896156 Millimeter beträgt, die Längeneinheit durch Beziehung auf einen immer und überall wiederholbaren Vorgang festgelegt. Wie wir sehen, hat die Begriffsbildung der Länge ihre Erfahrungsgrundlage im Begriff der starren Körper. Eine Schwierigkeit entsteht nun dadurch, daß die wirklichen Körper niemals genau dem Begriff des starren Körpers entsprechen. Die Kanten zweier Eisenstäbe, die einmal zur Deckung gebracht werden, können ein andermal nicht genau zur Deckung gebracht werden. Und zwar geschieht dies unter gewissen Bedingungen, die wir als Wärmeausdehnung, elastische Beanspruchung und dergleichen bezeichnen. Wir werden dadurch dazu geführt, der Kante eines (etwa eisernen) Körpers nicht immer diesel-

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another, smaller rigid edge that can be placed after itself a particular number of times (e.g., ten in the decimal-metric system) along the unit edge. 2 b) Convention concerning the zero point of the length scale: we assign the length zero to the distance between two points if the points are touching or if they coincide spatially. At first, this convention also seems self-evident or necessary, but it, too, is based on a free decision; admittedly, the nature of the case suggests this decision to us. We recognize the logical possibility of another choice from the third example, of a scale that begins with −2. As with the previous question of the scale form, here too one could object that a scale with an initial point other than zero, while it does co-ordinate the point intervals with numbers, does not measure what is meant by the word “length”. This objection is admittedly correct insofar as the scale form and initial number are fixed if we presuppose a quite particular meaning of the word “length”. Nevertheless, the fact remains that, at some point in its systematic construction, physics must make the decision concerning scale form and zero point for this magnitude type, just as for any other magnitude type that is introduced. In this case, of course, the scientific decision is facilitated or even occurs unconsciously, because a decision has already been made in pre-scientific life. Once the freedom of choice involved in this decision as well is acknowledged as legitimate, however, there is at very least the task of consciously examining the prescientific choice and explicitly recognizing (or rejecting) it. 2 c) For the choice of the unit of length, no natural decision is forced upon us. A particular individual body (a terrestrial body) is fixed or produced specifically for this purpose (the standard meter bar in Paris), a particular segment of which is the unit of length, or a certain multiple thereof. In order to fix the unit of length independently of a particular individual body, one can set it in relation to a particular length, which is represented by some process that can always be reproduced; of all the processes that could in principle come into consideration for this, only the optical wavelengths meet the practical condition of being measurable, i.e. comparable with other segments, with sufficient precision. For example, via the specification that the wavelength of a particular spectral line (D1) amounts to 0.0005896156 millimeters, the unit of length is determined in relation to a process that is repeatable always and everywhere. As we see, the formation of the length concept is empirically founded on the concept of a rigid body. A difficuly now arises, in that actual bodies never correspond exactly to the concept of a rigid body. The edges of two iron rods that can at one time be made to coincide at another time cannot. And this occurs under certain conditions we call thermal expansion, elastic stress and the like. We are thus led not always to assign the same length to the edge of a body (say, of iron), but rather a length that has a certain functional dependence

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be Länge zuzuschreiben, sondern eine Länge, die in gewisser funktionaler Abhängigkeit von seinem Zustand steht. Dabei gehen wir in folgender Weise vor. Wir bestimmen zunächst mit einem eisernen Maßstab, der selbst nicht erwärmt wird, das Gesetz der Verlängerung anderer Eisenstäbe bei Erwärmung. Wir finden, daß die Abhängigkeit der Verlängerung von der Erwärmung bei den verschiedenen Eisenstäben gleich ist. Verwenden wir nun unsern eisernen Maßstab in Fällen, wo er selbst eine andere Temperatur hat, so setzen wir seine Länge nicht gleich der ursprünglichen l 0 an, sondern so, wie sie sich aus der Annahme ergibt, daß er dasselbe Ausdehnungsgesetz befolgt wie die andern Eisenstäbe: l = l 0 (1 + αt ), wenn α den vom Material abhängigen Wärmeausdehnungskoeffizienten bezeichnet und t die Temperaturerhöhung. Inwiefern in dieser Bezugnahme der Längendefinition auf andere Größen, die doch ihrerseits erst wieder mit Hilfe von Längen definiert werden, kein Zirkel liegt, soll später beim Begriff der Temperatur erörtert werden. Im Hinblick auf möglichste Einfachheit des Ausdrucks | der Abhängigkeitsfunktion kann die Wahl der zur Definition der Länge geeigneten Materialien verengert werden: z. B. muß beim Holz ein Korrekturglied in bezug auf Feuchtigkeit eingefügt werden, beim Eisen nicht.

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Die Entscheidung zwischen euklidischer und nichteuklidischer Geometrie. Ist der Längenbegriff festgelegt, so ist die Frage nach der Struktur des Raumes unserer Wirklichkeit eine Erfahrungsfrage. Die Antwort auf Grund der bisherigen Messungen lautet, daß der Raum entweder euklidisch ist oder doch nur sehr wenig vom euklidischen abweicht. Wenn die Aussagen der allgemeinen Relativitätstheorie über die räumlichen Verhältnisse in Gravitationsfeldern zu Recht bestehen — und die Beobachtungen über das Verhalten von Lichtstrahlen, die in der Nähe der Sonne vorbeigehen, scheinen diese Aussagen zu bestätigen —, so liegen da jedoch noch zwei Möglichkeiten für die Fassung des Längenbegriffes vor. Entweder fügen wir den Einfluß des Gravitationsfeldes auf den Maßstab ebenso als Korrekturglied in die Definition der Länge ein, wie wir es mit den Korrekturgliedern der Wärmeausdehnung usw. machen; in diesem Falle hat der Raum (nach dem jetzigen Stande der physikalischen Erkenntnis) überall, auch im Gravitationsfeld, euklidische Struktur. Oder wir nehmen dies Korrekturglied nicht in die Definition auf, sondern fassen den Einfluß der Gravitation auf den Maßstab als Eigenschaft des Raumes, nicht als physikalische Kraft, auf; dann ist der Raum im Gravitationsfeld nichteuklidisch. Zur Begründung dafür, daß man den Einfluß des Gravitationsfeldes auf den Maßstab nicht als physikalische Kraft auffaßt, die Ausdehnung bei Erwärmung aber doch, kann man darauf hinweisen, daß die Gravitationsverkürzung bei allen Materialien in zahlenmäßig gleicher Weise stattfindet, die Wärmeausdehnung dagegen vom Material abhängt. Das erste Vorgehen, das zu einer euklidischen Raumstruktur führt, hat hierdurch den Vorzug der einfacheren Geometrie der Welt; bei dem zweiten Vorgehen ist zwar die Geometrie nicht so einfach, dafür gewinnen aber die Naturgesetze in sehr viel stärkerem Maße an Einfachheit. Die Physik hat sich gegenwärtig noch nicht endgültig für eine der beiden Begriffsbestimmungen der Länge entschieden.

Die Messung aller andern räumlichen Größen: eines Winkels, eines Flächeninhaltes, eines Volumens, ist leicht auf Längenmessung zurückzuführen. Das ist eine rein geometrische Angelegenheit, auf die wir hier nicht einzugehen brauchen.

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on its state. We accordingly proceed in the following way. First, using an iron measuring rod that is itself not heated, we determine the law governing the expansion of other iron rods under heating. We find that for the various iron rods, the dependence of the expansion on heating is identical. If we now use our iron measuring rod in cases where it itself has another temperature, then we do not set its length to the original l 0 , but rather to the length that results by assuming that it conforms to the same expansion law as the other iron rods: l = l 0 (1 + αt ), where α denotes the material-dependent coefficient of thermal expansion and t denotes the temperature increase. To what extent this reference, in the definition of length, to other magnitudes that are themselves defined with the aid of length is non-circular will be discussed later when dealing with temperature. With an eye toward the simplest possible expression of the dependence function, the possible choices of an appropriate material for the definition of length can be narrowed: e.g., with wood, we need to incorporate a corrective factor that makes reference to humidity, though with iron we do not. The decision between Euclidean and non-Euclidean geometry. If the concept of length is fixed, then the question as to the structure of space of our reality is an empirical question. On the basis of the previous measurements, the answer is that space either is Euclidean or differs only very little from the Euclidean. If the propositions of general relativity theory concerning the spatial relations in gravitational fields are correct — and observations of the behavior of light rays passing near the Sun seem to confirm these propositions —, then there are still two possibilities, however, for the framing of the length concept. On the one hand we can incorporate the influence of the gravitational field on the measuring rod into the definition of length as a corrective factor, as we do when correcting for thermal expansion and the like; in this case (according to the current state of physical knowledge) space has a Euclidean structure everywhere, even in the gravitational field. Or we do not take up this correction in the definition, but rather conceive of the influence of gravity on the measuring rod as a property of space, not as a physical force; then space in a gravitational field is non-Euclidean. One can gesture at the reason behind not construing the influence of gravitational fields on the measuring rod as a physical force, despite doing so for thermal expansion, by noting that the contraction due to gravity occurs in a numerically identical way in all materials, whereas the effects of thermal expansion depend on the material. The first option, which leads to a Euclidean spatial structure, has the advantage of a simpler geometry for the world; with the second option geometry is admittedly not so simple, but natural laws achieve a much greater degree of simplicity. At present, physics has not yet made an ultimate decision in favor of one or the other of the two definitions of the concept of length.

Measurement of all other spatial magnitudes — angles, areas, volumes — is easily reduced to length measurement. That is a purely geometric matter that need not concern us here.

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Über Additionstheorem und Summierbarkeit einer Größenart

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Gegen die vorhin aufgestellte Behauptung, daß die übliche Skalenform der Längenskala nur die einfachste, nicht aber die einzig mögliche sei, könnte man einwenden, daß bei den andern Skalenformen (z. B. den beiden vorhin genannten, abweichenden Formen) eine Strecke, die aus zwei Teilstrecken mit den Längen a und b besteht, nicht immer die Länge a + b haben würde. Verlangt man dies von der Längenskala, so ergibt sich allerdings eindeutig eine bestimmte Skalenform, und zwar die übliche. Aber es ist eben nicht notwendig, diese einfache Formel c = a + b als „Additionstheorem“ zu fordern, wenn es auch zunächst so scheinen mag. Unter einem Additionstheorem in bezug auf eine Größenart verstehen wir die Bestimmung über die Abhängigkeit der Größe eines zusammengesetzten Gebildes von den Größen der Teilgebilde. Allerdings haben wir bei der Größenart der Länge die glückliche Möglichkeit, jenem Additionstheorem von einfachster Form zur Geltung zu verhelfen, indem wir die Definition der Länge, genauer: die Bestimmung der Skalenform für die Länge, in geeigneter Weise fassen, wie wir es vorhin getan haben. Ist aber irgend eine Größenart schon festgelegt, d. h. ihrer Skalenform nach bestimmt, so kann die Frage, ob für sie ein Additionstheorem von der genannten einfachen Form oder eines von komplizierterer Form gilt, nur durch die Erfahrung beantwortet werden. Die Frage taucht überhaupt nur auf bei solchen Größenarten, bei denen eine Größendifferenz auf irgend eine Weise als Größe selbst aufgefaßt und gemessen werden kann. Bei der Temperatur ist es z. B., wie erwähnt, nicht der Fall. Dagegen trifft es z. B. zu bei der Geschwindigkeit, genauer: bei der Relativgeschwindigkeit eines Körpers gegen einen andern. Um nicht mit vektoriellen, sondern nur mit eindimensionalen Größen zu tun zu haben, betrachten wir den Fall einer eindimensionalen Bahn, etwa einer Geraden. Hat hier ein Körper B die Relativgeschwindigkeit v 1 | gegen den Körper A und der Körper C die Geschwindigkeit v 2 gegen A , so können wir als Repräsentanten der Differenz dieser Größen die Relativgeschwindigkeit d von C gegen B auffassen. Nach der auch in der Physik früher üblichen Auffassung wird ja nun auch diese Größendifferenz d durch die arithmetische Differenz der beiden Größen v 2 und v 1 gemessen: d = v 2 − v 1 . Das entspricht einem Additionstheorem von jener einfachsten Form: v 2 = v 1 + d . Die Relativitätstheorie (und zwar schon die wohl kaum mehr umstrittene sogenannte spezielle) hat uns aber gelehrt, daß dieses Theorem zwar mit einer Annäherung gilt, die für alle praktischen Zwecke genügt, aber doch nicht mit absoluter Genauigkeit. An seine Stelle tritt vielmehr das (Einsteinsche) Additionstheorem: v2 =

v1 + d 1+

v1d

(c bezeichnet die Lichtgeschwindigkeit 300 000 km/Sek.)

c2

Gegen das von der einfachsten Form abweichende Additionstheorem für die (Relativ-)Geschwindigkeit ist anfangs oft eingewendet worden, daß es unsinnig sei, weil es in Widerspruch stehe zu den klaren Begriffen von Raum, Zeit und Geschwindigkeit. Die Form des Additionstheorems für irgend eine Größenart ist jedoch nicht aus den Begriffen ableitbar, sondern muß durch

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On the Addition Theorem and the Summability of a Type of Magnitude It could be objected to the above claim — that the ordinary scale form for the length scale is only the simplest one possible, not the only one — by saying that with other scale forms (e.g., both of the variant forms mentioned above) a segment that consists of two subsegments of lengths a and b would not always have length a + b . If one demands this from the length scale, then certainly a particular scale form follows uniquely, namely the common one. However, it is not necessary to require this simple formula c = a+b as the “addition theorem”, though it may seem so at first. By an addition theorem with respect to a type of magnitude we mean the decision whether the magnitude of a composite figure be dependent on the magnitude of its component figures. In the case of length magnitudes, we indeed have the happy possibility of setting up the definition of length — more precisely, the convention for the scale form for length — in the appropriate manner, as we did above, so that we get the addition theorem of the simplest form. However, if an arbitrary magnitude type is already fixed, i.e., its scale form is already determined, then the question whether an addition theorem of the given simple form or of a more complicated form holds can only be answered through experience. The question arises only for kinds of magnitude in which a difference of magnitudes can itself be conceived of and measured as a magnitude in some way. This is not the case for, say, temperature, as we have indicated. In contrast, it does hold for velocity or, more precisely, for the relative velocity of one body with respect to another. In order to deal only with one-dimensional magnitudes rather than vectorial ones, we consider the case of a one-dimensional path, say a straight line. Here, if a body B has the relative velocity v 1 with respect to body A and the body C has velocity v 2 relative to A , then we can conceive of the relative velocity d of C to B as representing the difference between these magnitudes. According to the conception once accepted in physics as well, this magnitude difference would now be measured as the arithmetic difference of the two magnitudes v 2 and v 1 , viz., d = v 2 − v 1 . That corresponds to an addition theorem of the simplest form: v 2 = v 1 +d . However, relativity theory (even the so-called special theory, which presumably is hardly controversial any more) has taught us that this theorem holds only as an approximation, which suffices for all practical purposes, but not with absolute precision. In fact the following (Einsteinian) addition theorem takes its place: v2 =

v1 + d 1+

v1d

(c denotes the speed of light, 300,000 km/s.)

c2

A common initial objection to this addition theorem for (relative) velocity, which deviates from the simplest form, is that it is nonsense because it contradicts the clear concepts of space, time and velocity. However, the form of the addition theorem for any kind of magnitude is not derivable from concepts,

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Erfahrungen festgestellt werden. Das hat für die Längenmessung allerdings nur theoretische Bedeutung, weil die Länge als ursprünglichste Größe eben so definiert werden kann, daß das einfachste Additionstheorem gilt. Für die Geschwindigkeit dagegen ergeben sich praktische Konsequenzen. Das liegt daran, daß die Geschwindigkeit eine aus Länge und Zeit abgeleitete Größe ist, deren Skalenform nach Festlegung der Form für Länge und Zeit nicht mehr frei gewählt werden kann. Aus den angestellten Überlegungen folgt, daß wir in bezug auf die Festsetzung der Skalenform — oder, was dasselbe bedeutet, die Festsetzung über die Gleichheit von Größendifferenzen — irgend einer Größenart drei Fälle zu unterscheiden haben. Die Größenart kann entweder so beschaffen sein, daß ein Additionstheorem möglich ist, oder nicht. Das erste ist der Fall, wenn eine Größendifferenz dieser Größenart als Größe | selbst aufgefaßt und gemessen werden kann, d. h. wenn es einen Vorgang gibt, den man mit einigem Sinn als die Zusammensetzung zweier Größen der betreffenden Art auffassen kann; oder (was auf dasselbe hinausläuft) wenn es einen Vorgang gibt, den man als Teilung einer Größe auffassen kann. Eine solche Größenart wollen wir „summierbar“ nennen (oder „zusammensetzbar“ oder „teilbar“). Zwei Längen a und b können wir zusammensetzen, indem wir zwei Gegenstände (Körperkanten), die die Längen a und b haben, hintereinander legen; zwei (Relativ-)Geschwindigkeiten v 1 und d können wir zusammensetzen, indem wir dem Körper B die Relativgeschwindigkeit v 1 gegen A geben und dann dem Körper C die Relativgeschwindigkeit d gegen B . Zwei Temperaturen dagegen können wir nicht zusammensetzen; haben die Körper A , B die Temperaturen t 1 bzw. t 2 , so wissen wir keinen Vorgang an ihnen so zu bestimmen, daß dabei eine Temperatur auftritt, die wir mit einigem Sinn als aus t 1 und t 2 zusammengesetzt ansehen dürften. Länge und Geschwindigkeit sind also summierbare Größenarten, Temperatur nicht. Für jede Größenart liegt somit eine der drei folgenden Möglichkeiten vor. 1. Fall. Die Größenart gehört zu den summierbaren; für sie gilt also ein Additionstheorem; und zwar hat dieses jene einfachste Form: c = a + b . Dies kann entweder dadurch zustande kommen, daß wir die Definition der betreffenden Größenart, genauer: die Festsetzung über die Skalenform, zweckentsprechend wählen (wie bei der Länge), oder dadurch, daß die anderweitig bestimmte Größenart erfahrungsgemäß diese Beschaffenheit aufweist (wie bei der Geschwindigkeit nach der früheren Physik). Eine Größenart mit solchem Additionstheorem wollen wir „additiv“ nennen. (Beispiele: Länge, Flächeninhalt, Volumen, Winkel, Zeit, Geschwindigkeit [nach bisheriger Auffassung], Gewicht, Masse, elektrische Ladung, elektrisches Potential, Wärmemenge, Energie.) 2. Fall. Die betreffende Größenart ist summierbar, aber nicht additiv. Für sie gilt also ein Additionstheorem von anderer, weniger einfacher Form. (Beispiele: Geschwindigkeit [nach der Relativitätstheorie], der Sinus eines Winkels [und die übrigen goniometrischen Funktionen].)

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but rather must be determined through experience. This has only theoretical significance for length measurement, though, because length, as the most orignary magnitude, can be defined in such a way that the simplest addition theorem holds. For velocity, on the other hand, there are practical consequences. That is because velocity is a magnitude derived from length and time, whose scale form can no longer be freely chosen after the fixing of the form for length and time. From these observations it follows that, in reference to the convention of the scale form — or, equivalently, the convention concerning identity of magnitude differences — we can distinguish among three cases for any kind of magnitude. The type of magnitude can be either so constituted that an addition theorem holds for it, or not. The former is the case if a magnitude difference for this kind of magnitude can itself be conceived of and measured as a magnitude, i.e. if there is a process one can reasonably construe to be the composition of two magnitudes of the kind in question; or (what amounts to the same thing) if there is a process one can construe as dividing a magnitude. We want to call such a magnitude type “summable” (or “composable” or “divisible”). We can compose two lengths a and b by laying end to end two objects (edges of bodies) with lengths a and b ; we can compose two (relative) velocities v 1 and d by giving body B the velocity v 1 relative to A and then giving body C velocity d relative to B . On the other hand, we cannot compose two temperatures; if the bodies A , B have the temperatures t 1 and, respectively, t 2 , then we do not know how to specify a process yielding a temperature we could recognize in any sense as the composition of t 1 and t 2 . Thus length and velocity are summable types of magnitudes, while temperature is not. So for any kind of magnitude, one of the following three possibilities is the case. Case 1. The magnitude is among the summable ones; so an addition theorem holds for it; and here it takes the simplest form: c = a + b . This can come about either because we choose the definition — more precisely, the convention for the scale form — appropriately (as with length), or because other magnitudes, which have already been determined, reveal this quality empirically (as in the case of velocity, in earlier physics). We shall call a kind of magnitude with such an addition theorem “additive”. (Examples: length, area, volume, angle, time, velocity [according to the earlier conception], weight, mass, electric charge, electric potential, heat, energy.) Case 2. The magnitude type in question is summable, but not additive. So here an addition theorem of another, less simple form holds. (Examples: velocity [according to relativity theory], the sine of an angle [and the remaining trigonometric functions].)

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3. Fall. Die betreffende Größenart ist nicht summierbar; es gibt keine Zusammensetzung von Größen, also kein Additionstheorem. (Beispiele: Temperatur, Wellenlänge.) Ein wichtiges Beispiel dafür, daß die Additivität einer Größenart nicht selbstverständlich ist, bildet das Gewicht; bevor man dies einsah, hat man geglaubt, die Hebelsätze a priori, d. h. als denknotwendig ableiten zu können, während sie in Wirklichkeit Erfahrungssätze sind. Erst sehr spät hat man diesen Fehler eingesehen (Ernst Mach). B.

Die Temperatur

Da wir den Temperaturbegriff für die Ableitung der allgemeinen Regeln der Größenbestimmung benutzt haben, so genügt hier eine kurze Erörterung. 1 a) Die Temperaturgleichheit wird definiert auf Grund der transitiven, symmetrischen Beziehung des Wärmegleichgewichts. 1 b) Der Begriff „höhere Temperatur“ wird definiert auf Grund der transitiven, asymmetrischen Beziehung, die sich bei den Vorgängen des Wärmeausgleichs zeigt. 2 a) Die Skalenform kann dadurch festgelegt werden, daß zwei Temperaturdifferenzen dann als gleich angesetzt werden, wenn eine Quecksilbermenge bei den beiden entsprechenden Erwärmungen die gleiche Volumzunahme erfährt. Diese Skalenform besitzt die Skala unsrer üblichen Quecksilberthermometer. Wir sehen, daß diese Bestimmung schon die Längenmessung voraussetzt, die ja auch die ursprünglichste | Messung sein soll. Hier scheinen wir uns jedoch eines Zirkels schuldig gemacht zu haben, indem wir ja bei den Bestimmungen der Längenmessung, nämlich in der Korrektur wegen Wärmeausdehnung des Maßstabes, schon auf Temperaturen Bezug genommen haben. Dieser Anschein eines Zirkels verschwindet, wenn wir die verschiedenen Genauigkeitsstufen berücksichtigen. Eine erste, rohe Längenbestimmung ist ohne Wärmekorrektur möglich. Erst eine genauere Längenmessung muß Rücksicht auf die Temperatur nehmen. Hierfür braucht aber die Temperatur noch nicht mit dem genaueren Längenmaß bestimmt zu sein, sondern nur mit dem ersten, rohen; denn von ihr hängt nur eine kleine Änderung des Ergebnisses der genaueren Längenmessung ab. Mit Hilfe der genaueren Längenmessung kann dann wiederum die Genauigkeit der Temperaturbestimmung um eine Stufe gehoben werden usf. (Eine andere Möglichkeit, den Zirkel zu vermeiden, besteht darin, daß zunächst nur die topologische Bestimmung des Temperaturbegriffs aufgestellt wird: 1 a und b; hierfür wird der Längenbegriff noch nicht vorausgesetzt. Die Bestimmung der Länge kann sich dann auf die Messung mit einem Maßstab von „unveränderter Temperatur“ stützen, denn der Begriff der „unveränderten Temperatur“ setzt nur die topologische, nicht die metrische Bestimmung des Temperaturbegriffs voraus. Schließlich kann dann mit Hilfe des Längenbegriffs die metrische Bestimmung der Temperatur vorgenommen werden.) Wählt man an Stelle des Quecksilbers ein anderes Normalmaterial, so erhält man andere Skalenformen, z. B. die Alkoholskala, die Wasserstoffskala

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Case 3. The magnitude type in question is not summable; there is no composition of magnitudes, hence no addition theorem. (Examples: temperature, wavelength.) Weight is an important example showing that the additivity of a kind of magnitude is not self-evident. Before this was understood, lever principles were thought to be deducible a priori, i.e., as necessities of thought, whereas they are actually empirical propositions. Not until very recently did anyone recognize this error (Ernst Mach). B.

Temperature

Since we have already used the temperature concept for the deduction of general rules for defining magnitudes, a brief discussion suffices here. 1 a) Temperature equality is defined on the basis of the transitive, symmetric relation of thermal equilibrium. 1 b) The concept of “higher temperature” is defined on the basis of the transitive, asymmetric relation exhibited in the processes of heat exchange. 2 a) The scale form can be fixed as follows: two differences in temperature are considered equal if the volume of a unit of mercury increases by the same amount as a result of both warmings in question. The scale of our common mercury thermometer possesses this very scale form. We see that this definition already presupposes length measurement, which was supposed to be the most fundamental form of measurement. Here it appears that we have committed a circular argument, in that we already made reference to temperature in the definition of length measurement, namely in the correction of the measuring instrument on account of thermal expansion. But this appearence of a circle disappears if we consider various levels of precision. A first, rough determination of length is possible without correcting for heat. Not until a more precise length measurement is undertaken do we need to take temperature into account. However, the temperature employed then need not be determined with the more precise measure of length, rather only with the first, rough measure; for only a small change in the result of the more precise length measurement depends on it. Again, the precision of our definition of temperature can then be improved with the aid of the more precise length measurement, and so on. (Another possible way to avoid the circle is to first establish only the topological definition of the temperature concept: 1 a and b; for this the concept of length is still not presupposed. The definition of length can then be based on measurement with a measuring instrument of “unchanging temperature”, for the concept of “unchanging temperature” presupposes only the topological, not the metric definition of the temperature concept. Finally, one can then carry out the metric definition of temperature with the aid of the length concept.) If one chooses another standard material in place of mercury, then one ends up with another scale form, e.g. the alcohol scale, the hydrogen scale, and

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und andere. In der Physik hat man schließlich eine (von den genannten Skalen nicht beträchtlich abweichende) Skalenform eingeführt, die nicht durch das Verhalten irgend eines wirklichen Materials genau dargestellt wird. Zu ihrer Darstellung muß man vielmehr, ebenso wie bei der Länge, in bezug auf die wirklichen Materialien Korrekturen einführen. Diese „thermodynamische“ Temperaturskala hat | den Vorzug, daß bei ihrer Wahl die Gesetze der Thermodynamik, die in der neueren Physik eine fundamentale Bedeutung gewonnen haben, die einfachste Form annehmen. 2 b) Weil schmelzendes Eis immer die gleiche Temperatur hat und dieser Vorgang leicht unter gleichen Bedingungen wiederholbar ist, so hat man ihn als Normalvorgang zur Festsetzung des Nullpunktes gewählt. Für die wissenschaftliche Skala nimmt man statt dessen eine andere Temperatur, den sogenannten „absoluten Nullpunkt“ (−273° C). Diese Temperatur kann man zwar überhaupt nicht verwirklichen, ihre Wahl als Nullpunkt hat aber den Vorzug, daß dabei die Gesetze der Thermodynamik eine besonders einfache Form annehmen. 2 c) Die Normalstrecke wird durch leicht wiederholbare Vorgänge definiert: Temperatur des schmelzenden Eises, Temperatur des bei normalem Luftdruck siedenden Wassers. Als Einheit (Celsiusgrad) nimmt man aus praktischen Gründen den hundertsten Teil dieser Strecke. Der scheinbare Zirkel, der in der Bezugnahme der Definition auf den Luftdruck liegt, dessen Messung erst später festgelegt wird, löst sich wie vorhin durch Berücksichtigung der Genauigkeitsstufen. C.

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Die Zeit

1 a) Die erste Festsetzung hat zu entscheiden, wann zwei Ereignissen derselbe Zeitwert beigelegt werden soll. Es handelt sich also um die Definition der Gleichzeitigkeit. Über den allgemeinen Gleichzeitigkeitsbegriff zweier Ereignisse, die beliebig weit voneinander entfernt sein können, hat die Physik gegenwärtig noch keine einheitliche und endgültige Bestimmung getroffen. Diese Begriffsbestimmung bietet besondere Schwierigkeiten. Erst die Relativitätstheorie hat bemerkt, daß diese Schwierigkeiten vorliegen und daß überhaupt die Aufgabe besteht, einen allgemeinen Gleichzeitigkeitsbegriff festzulegen, und hat diese Aufgabe in bestimmter Weise durch Bezugnahme auf Lichtsignale gelöst. Wegen dieser Schwierigkeiten wollen wir uns hier auf die Betrachtung von Vorgängen beschränken, die einander räumlich nahe sind, etwa auf die Vorgänge in einem Zimmer. Zwei Ereignisse heißen (bei dieser Beschränkung) dann gleichzeitig, wenn sie zugleich wahrgenommen werden. (Diese Definition enthält keinen Zirkel; „zugleich wahrgenommen werden“ bezeichnet nicht physikalische Gleichzeitigkeit, sondern erlebnismäßige Gleichzeitigkeit, die von der Physik als feststellbare Grundbeziehung vorausgesetzt wird.) Wenn die Zeitmessung durch die erforderlichen Festsetzungen eingeführt ist, so wird, ähnlich wie wir es bei der Temperatur und der Länge gesehen haben, der Umfang der Gleichzeitigkeit erweitert: Ereignisse, die zwar nicht

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others. Finally, physics has introduced a scale form (not substantially different from those scale forms we have mentioned) that is not properly represented through the behavior of some actual material. Rather, just as with length, one must introduce corrections with respect to actual materials for its representation. This “thermodynamic” temperature scale has the advantage that, by choosing it, the laws of thermodynamics, which have achieved a fundamental significance in the newer physics, take on the simplest form. 2 b) Because melting ice always has the same temperature and this process can always be easily repeated under the same conditions, it has been chosen as the standard process for fixing the zero point. For the scientific scale one takes another temperature instead of this one, the so-called “absolute zero” (−273° C). Admittedly, this temperature cannot actually be achieved, but its selection as the zero point has the advantage that the laws of thermodynamics thereby take on an especially simple form. 2 c) The standard interval is defined via easily repeatable processes: the temperature of melting ice, and the temperature of boiling water at normal air pressure. For practical reasons, one takes a hundredth of this interval as the unit (Celsius degree). The apparent circle, which lies in the definition’s reference to air pressure (whose measurement will not be determined until later), resolves itself as before through the consideration of levels of precision. C.

Time

1 a) The first convention has to decide when the same time value is to be assigned to two events. It therefore involves the definition of simultaneity. Physics has currently not yet arrived at a unified, final determination concerning the general concept of simultaneity of two events separated by an arbitrarily large distance. The determination of this concept involves special difficulties. Relativity theory first noticed that these difficulties exist and that the task of determining a general concept of simultaneity even had to be addressed, and has fulfilled this task in a certain way by reference to light signals. Because of these difficulties, we want to limit ourselves here to the consideration of processes in spatial proximity, say to the processes in a room. Two events are then called simultaneous (given this constraint), if they are perceived at the same time. (This definition is not circular; “being perceived at the same time” does not designate physical simultaneity, but rather experiential simultaneity, which physics presupposes as an ascertainable basic relation.) If time measurement is introduced via the requisite conventions, then, as we have seen with temperature and length, the extension of simultaneity increases: events that are not perceived simultaneously, but deviate by the

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zugleich wahrgenommen sind, die aber um dieselbe Zeitstrecke von zugleich wahrgenommenen Ereignissen abstehen, heißen dann auch gleichzeitig. 1 b) Wird ein Ereignis (unter der genannten räumlichen Beschränkung) vor einem andern wahrgenommen, so schreiben wir ihm die kleinere Zeitzahl zu. Das können wir, weil die Beziehung des Vorher-wahrgenommen-werdens transitiv und asymmetrisch ist. (Diese Beziehung wird ebenso wie das Zugleichwahrgenommen-werden als psychischer Grundsachverhalt angesehen, der nicht weiter definiert wird; vielleicht könnte man die Definition versuchen: wird die Erinnerung an eine Wahrnehmung zugleich erlebt mit einer andern Wahrnehmung, so ist die eine Wahrnehmung vor der andern.) Ferner hat die Beziehung die erforderliche reihenartige Beschaffenheit: von zwei nicht gleichzeitigen Ereignissen ist entweder das eine vor dem andern oder umgekehrt. (Das geht auf die Tatsache zurück, daß die Erlebnisse sich zeitlich eindimensional ordnen lassen; diese Tatsache ist, was häufig übersehen wird, eine Erfahrungstatsache.) Hiermit ist die Topologie der Zeit festgelegt, nämlich Gleichzeitigkeit und zeitliche Reihenfolge; noch nicht die Zeitmetrik, die Maßverhältnisse der Zeit. 2 a) Zur Festsetzung der Skalenform müssen wir bestimmen, wann zwei Differenzen von Zeitwerten, also zwei Zeitstrecken, als gleich angesetzt werden sollen. Zu diesem Zwecke müssen wir einen periodischen Vorgang wählen, der entweder immer beobachtbar ist oder durch eine leicht herstellbare Vorrichtung jederzeit verwirklicht werden kann. Grundsätzlich kann hierfür jeder beliebige periodische Vorgang genommen werden, d. h. jeder Vorgang, bei dem ein gewisser Zustand immer wieder in ähnlicher, leicht und hinreichend genau wiedererkennbarer Weise auftritt. (Der Ausdruck „periodisch“ schließt also nicht die Bedeutung in sich, daß die „Perioden“ gleich lang seien; was „gleich lang“ heißt, soll ja erst festgelegt werden.) Periodische Vorgänge sind z. B. der Tageslauf der Sonne, mein Puls, die Umdrehungen eines durch Gewicht oder Wasser angetriebenen Rades, die Schwingungen eines Pendels und dergleichen. Die Auswahl des Maßvorganges für die Zeit geschieht nun in ähnlicher Weise wie die Auswahl des Maßstabes für die Länge. Wähle ich etwa den Puls und messe die Zeiten nach ihm, so findet sich, daß Sonne, Rad und Pendel ungleichmäßige Vorgänge sind; wähle ich das Rad, so stelle ich ebenso die drei andern Vorgänge als ungleichmäßig fest. Wähle ich aber die Sonne, so finde ich, daß das Pendel mit ziemlicher Annäherung gleiche Zeitstrecken angibt; ebenso die Sonne, wenn ich das Pendel wähle. So treffe ich eine Auswahl von Vorgängen, nach denen die Zeit nicht „richtiger“, aber zweckmäßiger gemessen wird als nach andern; bei ihrer Wahl finden sich viele verschiedene, gleichmäßige Naturvorgänge. Ähnlich wie bei dem Längenmaßstab kann dann noch größere Genauigkeit eingeführt werden: der Sternenlauf stimmt genauer mit dem Pendel überein als der Sonnenlauf; ein Pendel, bei dem bestimmte Bedingungen gleichgehalten und „Störungen“ vermieden werden, stimmt genauer mit dem Sternenlauf überein als ein anderes. So wird immer genauer eine Zeitskala bestimmt, die so beschaffen ist, daß bei ihrer Wahl sich jeder periodische | physikalische Vorgang um so genauer als gleichmäßig ergibt, je gleichartiger der Zustand seiner Umgebung gehalten wird.

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same interval of time from ones that are perceived at the same time, are then also called simultaneous. 1 b) If one event is perceived before another (under the given spatial constraint), then we assign it a smaller time number. We can do this because the relation of being-perceived-before is transitive and asymmetric. (Like beingperceived-simultaneously, this relation is recognized as a basic mental state of affairs, which is defined no further; perhaps one could attempt a definition of the following sort: if the memory of a perception is experienced at the same time as another perception, then the one perception precedes the other.) Furthermore, the relation has the necessary serial quality: given two events that are not simultaneous, either one precedes the other or vice versa. (This relies on the fact that experiences occur in a one-dimensional temporal order; this fact is an empirical one, which is commonly overlooked.) Thus the topology of time is determined, namely simultaneity and temporal sequence; but the temporal metric, the metric relations of time, are still not fixed. 2 a) For the scale form convention, we must determine when two differences of time values, hence two intervals of time, are to be considered equal. To achieve this, we must choose a periodic process that either is always observable or can be realized at any time with an easily producible device. In principle any arbitrary periodic process can be chosen for this, i.e. any process in which a certain state always recurs in an easy and sufficiently precisely recognizable way. (So the expression “periodic” does not imply that the “periods” are of equal duration; what “equal duration” means is precisely what is yet to be determined.) Periodic processes are, e.g., the daily course of the sun, my pulse, the revolutions of a wheel powered by weight or water, the oscillations of a pendulum, and so on. The selection of a measurement process for time now takes place much like the selection of the measuring rod for length. If I were to choose, say, my pulse and measure times according to it, then I would judge that the sun, wheel, and pendulum processes are irregular; if I were to choose the wheel, then likewise I would find that the other three processes are irregular. If I choose the sun, however, then I find that, to a close approximation, the pendulum marks off equal stretches of time; and likewise for the sun if I choose the pendulum. Thus I come across a selection of processes by which time is measured, not “more correctly”, but more expediently than by others; with that choice we find many different regular natural processes. Just as in the case of the measuring rod for length, still greater precision can then be introduced: the movements of the stars agree more precisely with the pendulum than does the movement of the sun; a pendulum for which particular conditions are held fixed and “disturbances” are avoided agrees more precisely with the movements of the stars than does another. With ever greater precision, hereby, a time scale is specified that, if it is selected, every periodic process turns out more and more precisely to be regular the more constant the state of its surroundings is held.

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Die genauere Zeitmessung pflegt auf Raummessung zurückzugehen, z. B. indem auf einem fortlaufenden Papierstreifen sowohl von den zu messenden Zeitpunkten als auch von Normalzeitpunkten Marken verzeichnet werden, deren räumlicher Abstand nachher gemessen wird. 2 b) Wir kennen keinen Anfangspunkt der Zeitreihe. Es muß deshalb ein willkürlich gewählter Zeitpunkt als Nullpunkt der Zeitskala festgesetzt werden, wie es in den verschiedenen Kalendersystemen geschieht (Anfangsjahr; Anfangstag des Jahres). 2 c) Als Einheit der Zeit ist die Dauer irgend eines bestimmten, dauernd beobachtbaren oder wiederholbaren Vorganges festzusetzen. Man benutzt praktisch das Jahr, also die Zeit des Umlaufs der Erde um die Sonne; den Tag, d. h. die mittlere Zeitdauer zwischen zwei Sonnenkulminationen (Süddurchgängen); die Sekunde, einen bestimmten Bruchteil des Tages. Ebenso wie man die Längeneinheit von der Bezugnahme auf konkrete Körper frei machen kann, indem man sie auf optische Vorgänge bezieht, könnte man grundsätzlich auch die Festsetzung der Zeiteinheit von der Bezugnahme auf die astronomischen Vorgänge lösen und mit Hilfe der Lichtgeschwindigkeit auf die Längeneinheit beziehen. Praktisch findet diese Möglichkeit jedoch (wenigstens bei dem gegenwärtigen Stand der Physik) keine Verwendung, da die Lichtgeschwindigkeit — im Unterschied zu jenen optischen Größen — nicht genau genug gemessen werden kann. Analogie zwischen den Begriffen Länge und Zeit. Wir haben die Betrachtung der beiden Größenarten so durchgeführt, daß die Begriffe der Länge einer Strecke, der Längengleichheit und der Längendifferenz zweier Strecken in Analogie stehen zu den Begriffen der Zeit eines Ereignisses, | der Gleichzeitigkeit und dem zeitlichen Abstand zweier Ereignisse. Vom Gesichtspunkt des Mathematikers und Physikers aus liegt eine andere Analogie näher, nämlich die zwischen den Begriffen der Länge einer Strecke, der Längengleichheit und der Längendifferenz zweier Strecken einerseits und den Begriffen der Länge einer Zeitstrecke (d. h. dem zeitlichen Abstand zweier Ereignisse), der Längengleichheit und der Längendifferenz zweier Zeitstrecken andrerseits. Diese Analogie ist formal-mathematischer Art; sie ergibt sich, wenn zeitliche und räumliche Lage durch Koordinaten ausgedrückt werden. Jene erste Analogie dagegen ist erkenntnistheoretischer Art. Für die Erörterung der Begriffsbildung, der Entwicklung der beiden Maßbegriffe, müssen wir die erste Analogie betrachten, während die zweite in dem fertigen Maßsystem, dem physikalischen Raum-Zeit-System, die größere Bedeutung hat. D.

Abgeleitete Größen: Geschwindigkeit und Beschleunigung

Sind Zeit- und Längenmessung festgelegt, so können aus ihnen die Größenarten Geschwindigkeit und Beschleunigung abgeleitet werden. Unter „Geschwindigkeit“ einer Bewegung ist zunächst der Quotient (Verhältnis) aus der Länge der zurückgelegten Wegstrecke und der Dauer der dazu verbrauchten Zeit zu verstehen; ändert sich die Geschwindigkeit während des Verlaufes der Bewegung, so ist unter der Geschwindigkeit in einem bestimmten Zeitpunkt

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More precise measurement of time usually derives from measurement of space, e.g., as when marks are made on a continuous paper strip at certain time points to be measured, as well as some background [regular] ones, and the spatial intervals are then measured. 2 b) We are aware of no initial point for the sequence of time. Therefore an arbitrarily selected point in time must be settled on as the zero point of the time scale, as occurs in the various calendar systems (initial year, initial day of the year). 2 c) The duration of some particular, continously observable or repeatable process is agreed on as the unit of time. For practical purposes one uses the year, i.e., the duration of the revolution of the Earth around the Sun; the day, i.e., the average duration between two zeniths of the sun (local meridian); the second, a particular fraction of the day. Just as one can avoid reference to concrete bodies when establishing the unit of length, relating it instead to optical processes, in principle one can avoid reference to astronomical processes when establishing the unit of time, instead relating it to the unit of length using the speed of light. Practically speaking, however, this possibility finds no use (at least for physics in its current state), since the speed of light — in contrast to those optical magnitudes — cannot be measured precisely enough. The analogy between the concepts of length and time. We have carried out the inspection of these two kinds of magnitudes in such a way that the concepts of length of an interval, length identity, and difference in length between two intervals are analogous to the concepts of time of an event, simultaneity, and time distance between two events. From the viewpoint of mathematicians and physicists, there is a closer analogy, namely between the concepts of the length of a interval, length identity, and length difference between two intervals, on the one hand, and the concepts of the length of an interval of time (i.e., the time difference between two events), length identity and length difference between two intervals of time, on the other. This analogy is of the formal– mathematical sort; it arises if temporal and spatial positions are expressed by coordinates. On the other hand, the first analogy is of the epistemological sort. For the discussion of concept formation and the development of both measurement concepts, we must consider the first analogy, even though the second has greater significance in the ultimate system of measurement, the physical space–time system. D.

Derived Magnitudes: Velocity and Acceleration

Once time and length measurement are fixed, the magnitudes velocity and acceleration can be derived from them. By the “velocity” of a motion we mean first of all the quotient (relation) of the length of the path covered by the duration of the time taken; if the velocity changes in the course of the motion, then the velocity at a particular point in time is understood to be the limit

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der Grenzwert derjenigen Geschwindigkeiten zu verstehen, die sich ergeben, wenn man nach der genannten ersten Begriffsbestimmung die Geschwindigkeit der Bewegung in verschiedenen mit dem betreffenden Zeitpunkt beginnenden Zeitstrecken berechnet und dabei immer kürzere Zeitstrecken nimmt. Unter „Beschleunigung“ einer Bewegung ist der Quotient aus dem Geschwindigkeitszuwachs während einer gewissen Zeit und der Länge dieser Zeit zu verstehen; auch hier muß bei veränderlicher | Beschleunigung ein Grenzwert in ähnlicher Weise wie vorhin gebildet werden. Durch diese Begriffsbestimmungen sind Skalenform, Nullpunkt und Einheit für Geschwindigkeit und Beschleunigung festgelegt, indem sie sich aus den betreffenden Bestimmungsstücken der Längen- und Zeitmessung zwangsweise ergeben. Weitere Festsetzungen sind hier also nicht zu treffen. Welche Folge sich hieraus für das Additionstheorem der Geschwindigkeit ergibt, ist vorhin erörtert worden. Flächenmaß und Volumen sind aus der Längenmessung in einfacher Weise abzuleiten, die nicht weiter dargelegt zu werden braucht. Das Winkelmaß scheint unabhängig von der Festlegung des Längenmaßes zu sein. Das trifft jedoch nicht völlig zu; Unabhängigkeit besteht nur in bezug auf die Längeneinheit. Dagegen nimmt die erste Festsetzung, die der Winkelgleichheit, auf die Starrheit von Körpern, also auf Längengleichheit, Bezug. E.

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Die Masse

Die Einführung des Begriffs der Masse geschieht auf Grund gewisser Erscheinungen, die eintreten, wenn zwei Körper in mechanischer Wechselwirkung zueinander stehen, d. h. wenn sie sich anziehen oder abstoßen. Hierfür ist gleichgültig, ob die Wechselwirkung durch Gravitation, durch eine zwischen den Körpern befindliche, gespannte oder zusammengedrückte Feder, durch Wirkung elektrischer Ladungen, durch Magnetismus oder durch sonstige Kräfte hervorgerufen wird. Um bei der Messung der Geschwindigkeit und der Beschleunigung nur mit einer Koordinate zu tun zu haben, wollen wir hier immer eine Bewegung auf gerader Linie annehmen. Die Erfahrung lehrt, daß die Beschleunigungen, die zwei in Wechselwirkung stehende Körper erhalten, stets entgegengesetzt gerichtet sind. Wir brauchen daher im folgenden die | Richtung der Beschleunigung nicht zu berücksichtigen und nur auf ihre zahlenmäßige Größe zu achten. 1 a) Die Erfahrung lehrt, daß das Verhältnis der Beschleunigungen, die zwei Körper bei Wechselwirkung erfahren, nur von den beiden Körpern abhängt, nicht aber von der Art der Wechselwirkung. Die Beziehung zwischen zwei Körpern, die dann besteht, wenn sie bei Wechselwirkung gleiche Beschleunigung annehmen, ist offenbar symmetrisch; durch Erfahrung erweist sie sich als transitiv. Zwei solchen Körpern schreiben wir dieselbe Zahl als „Masse“ zu.

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value of those velocities obtained by calculating the velocity, according to the foregoing concept determination, of the motions through ever shorter time frames that begin at the point in question. By the “acceleration” of a motion we mean the quotient of the increase in velocity during a certain time frame by the length of that time frame; here too, in a similar way to the example above, a limit must be taken in the case of changing acceleration. The scale form, zero point and unit for velocity and acceleration are fixed by these determinations of the concepts, since they are forced by the corresponding parts of the definitions of length and time measurement. Thus, further conventions need not be specified here. The consequence of this for the addition theorem of velocity has been discussed above. Areas and volumes are derived from length measurement in a simple way, which requires no further discussion. Angle measurement seems to be independent of a fixed length measurement. But that is not entirely true; it is independent only of the unit of length. On the other hand the first convention, that of angle identity, makes reference to the rigidity of bodies, and hence to length identity. E.

Mass

The concept of mass is introduced on the basis of certain phenomena that occur when two bodies interact with each other mechanically, i.e., when they attract or repel each other. For our purposes it makes no difference whether gravitation occasions the interaction or a spring stretched or compressed between two bodies, or the effect of electric charges, or magnetism, or any other forces. To enable us to stick with only one coordinate in the measurement of velocity and acceleration, we will here assume that every motion is in a straight line. Experience shows that the accelerations that two interacting bodies undergo are always in opposite directions. So in the following we need not consider the direction of acceleration, but rather attend only to its numerical magnitude. 1 a) Experience shows that the relation of the accelerations undergone by two interacting bodies depends only on the two bodies, and not on the kind of interaction. The relation between two bodies that consists of their undergoing the same acceleration upon interacting with each other is obviously symmetric; it also shows itself to be transitive in experience. We assign the same number as “mass” to two such bodies.

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1 b) Nimmt von zwei Körpern A und B , die in irgend einer Art von Wechselwirkung stehen, A eine kleinere Beschleunigung an als B , so gilt das gleiche auch, wenn diese Körper in irgend einer andern Art von Wechselwirkung zueinander stehen. Die dadurch bestimmte Beziehung ist ihrer Definition nach asymmetrisch; die Erfahrung lehrt, daß sie auch transitiv ist und die in Regel 1 b geforderte reihenartige Beschaffenheit hat. Daher bestimmen wir, daß bei dem Vorliegen dieser Beziehung dem Körper A eine größere Masse zugeschrieben werden soll als dem Körper B . 2 a) Die Skalenform bestimmen wir wie bei der Länge durch die Festsetzung, daß das Additionstheorem einfachster Form gelten soll: wenn zwei Körper die Massen a und b haben, so soll der Körper, der aus ihrer Zusammensetzung entsteht, die Masse c = a + b haben. Es zeigt sich erfahrungsmäßig, daß bei dieser Festsetzung der Skalenform (und der sogleich zu nennenden, naheliegenden Festsetzung über den Nullpunkt) die Massen zweier Körper sich umgekehrt zu einander verhalten wie die Beschleunigungen, die sie bei Wechselwirkung erfahren. Haben wir z. B. drei Körper A 1 , A 2 , A 3 mit der gleichen Masse m (nach 1 a bestimmt), so besagt die getroffene Festsetzung, daß der aus A 1 und A 2 zusammengesetzte Körper B die Masse 2m haben soll. Und die Erfahrung zeigt dann, daß der Körper B , dessen Masse doppelt so groß ist wie die von A 3 , bei Wechsel|wirkung mit A 3 eine halb so große Beschleunigung erhält wie A 3 . Aus diesem Sachverhalt folgt, daß bei der gewählten Skalenform die Gesetze der Mechanik eine besonders einfache Gestalt annehmen. 2 b) Die Wahl des Nullpunktes der Massenskala ergibt sich sehr einfach. Bei Körpern gleichen Materials hängt nämlich die Masse nur vom Volumen ab; sie wird dem Volumen proportional, wenn wir dem Volumen Null die Masse Null zuschreiben. 2 c) Zur Festsetzung der Einheit brauchen wir nicht einen bestimmten einzelnen Körper festzusetzen wie bei der Festsetzung der Längeneinheit. Denn da die Masse bei gleichem Material (und gleicher Temperatur) nur vom Volumen abhängt, so genügt die Festsetzung eines Materials und eines Volumens. Und zwar wird festgesetzt: die Masse von 1 ccm Wasser (bei 15° C) ist die Einheit der Masse (1 gr). Abgeleitete Größen. Die Dichte ist das Verhältnis von Masse und Volumen. Die Dichte ist eine „Materialkonstante“, d. h. sie hängt (für eine bestimmte Normaltemperatur) nur vom Material des Körpers ab, nicht von Volumen und Gestalt; letzteres folgt aus der erfahrungsmäßigen Unabhängigkeit der Masse eines Körpers gegenüber Gestaltänderungen. Erhält ein Körper von der Masse m , der mit einem andern in Wechselwirkung steht, die Beschleunigung b , so sagt man: es wirkt auf ihn die „Kraft“ mb . Diese Begriffsbestimmung ist deshalb zweckmäßig, weil die Gesetze über die durch Wechselwirkung entstehenden Bewegungen eine einfachere Form annehmen, wenn wir sie nicht als Gesetze über die auftretenden Beschleunigungen aussprechen, sondern als Gesetze über das für jeden Körper geltende Produkt aus seiner Beschleunigung und seiner Masse. Daher sind viele von der Physik formulierten Gesetze Gesetze über „Kräfte“. Die Kräfte sind also für

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1 b) If, of two bodies A and B in some sort of interaction, A takes on a lesser acceleration than B , then the same also holds when these bodies interact with each other in any other way. The relation determined thereby is asymmetric by definition; experience shows that it is also transitive and has the serial character called for by rule 1 b. We thus determine that when this relation obtains we are to assign body A a greater mass than body B . 2 a) We determine the scale form as we did with length, by the convention that the addition theorem should take on the simplest form; if two bodies have the masses a and b , then the body resulting from their union should have the mass c = a + b . Empirically, it turns out that this convention for the choice of scale (and the closely related convention for the zero point that will be presently mentioned) implies that the masses of two bodies are inversely proportional to the accelerations resulting from their interaction. If we have, e.g., three bodies A 1 , A 2 , A 3 with the same mass m (determined according to 1 a), then the proposed convention says that the body B composed of A 1 and A 2 should have mass 2m . And experience then shows that the body B , whose mass is twice as great as that of A 3 , undergoes an acceleration half as great as A 3 when they interact. It follows from this fact that the laws of mechanics take an especially simple form under this choice of scale. 2 b) The choice of zero point for the mass scale arises very simply. Since, for bodies of the same material, mass depends only on volume, it becomes proportional to volume if we assign zero mass to zero volume. 2 c) With the convention for the unit, we do not need to decide upon a particular individual body, as we do with the convention for the unit of length. For, since mass depends only on volume when material (and temperature) are fixed, the choice of a material and a volume suffices. And so in fact it is agreed: the mass of 1 ccm of water (at 15° C) is the unit of mass (1 g). Derived magnitudes. Density is the ratio of mass to volume. Density is a “material constant”, i.e., (for a particular standard temperature) it depends only on the material of a body, not on volume and shape; the last follows from the empirical independence of the mass of a body from changes in shape. If a body of mass m undergoes acceleration b upon interaction with another, then one says: the “force” mb acts on it. This usage is expedient because the laws concerning motions arising from mutual interaction take on a simpler form if we express them not as laws concerning the accelerations in question, but rather as laws concerning the product of the acceleration and the mass of the bodies in question. Thus many of the laws of physics are formulated as

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die Physik bestimmte, zweckmäßig defi|nierte Rechnungsgrößen; ob ihnen eine „Realität“ zukomme, und zwar in vollerem Sinne als den übrigen physikalischen Größen (etwa Beschleunigungen, Potentialen, Selbstinduktionen) ist eine metaphysische Frage, die für die Physik keine Bedeutung hat. F.

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Die elektrische Ladung

Um auch eine Größe ganz anderer Art zu betrachten, greifen wir aus der großen Zahl physikalischer Größenarten die elektrische Ladung als Beispiel heraus. Gewisse Körper zeigen unter bestimmten, bekannten Bedingungen (z. B. geriebenes Hartgummi oder Glas) eine Wechselwirkung, die wir als elektrostatische Anziehung bzw. Abstoßung bezeichnen. 1 a) Die Beziehung zwischen zwei Körpern, die dadurch bestimmt ist, daß beide auf einen dritten elektrostatisch gleich wirken, d. h. ihm in derselben Entfernung dieselbe Beschleunigung in derselben Richtung erteilen, ist definitionsgemäß symmetrisch und erfahrungsgemäß transitiv. Zwei solchen Körpern schreiben wir dieselbe Zahl als „elektrische Ladung“ zu; bei Beschleunigung in entgegengesetzter Richtung schreiben wir dieselbe Zahl mit umgekehrtem Vorzeichen zu. 1 b) Wirkt ein Körper elektrostatisch stärker als ein anderer, d. h. erteilt er einem dritten in derselben Entfernung eine größere Beschleunigung, so schreiben wir ihm einen größeren absoluten Wert der elektrischen Ladung zu; bei gleicher Richtung der Beschleunigung mit gleichem Vorzeichen, bei entgegengesetzter Richtung mit umgekehrtem Vorzeichen. Die angegebene Beziehung ist asymmetrisch und transitiv. Die Bestimmung des Vorzeichens muß durch Bezugnahme auf ein bestimmtes Material geschehen: die Ladung eines mit Seide geriebenen Glaskörpers wird als positiv festgesetzt. 2 a) Festsetzung der Skalenform durch Wahl des einfachsten Theorems wie bei Länge und Masse: die elektrische Ladung nach Vereinigung der beiden Körper mit den Ladungen a und b soll a + b sein. 2 b) Der Nullpunkt der Skala ist damit auch schon festgelegt: zwei Körper, die (nach 1 a) die Ladungen +a und −a haben, haben vereinigt die Ladung Null. 2 c) Festsetzung der Einheit durch Bestimmung eines Normalvorganges. Da die Kraft bei elektrostatischer Wechselwirkung erfahrungsgemäß nur von Entfernung und elektrischer Ladung der beiden Körper abhängt, nicht aber von ihrem Material, so können wir festsetzen: haben zwei (möglichst kleine) Körper gleiche elektrische Ladung und wirken sie aufeinander in der Entfernung der Längeneinheit mit der Einheit der Kraft, so soll jede der beiden Ladungen als Einheit gelten. Abgeleitete Größe. Elektrische Stromstärke = Verhältnis von durchströmender elektrischer Ladung und Zeit. (Dies ist die „elektrostatische Definition“; es gibt auch eine andere, die „elektrodynamische“ Definition; sie unterscheidet sich von jener nur durch eine andere Einheit.)

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laws concerning “forces”. So, for physics, forces are particularly expedient calculational magnitudes. Whether they have “reality”, and indeed in a fuller sense than for the other physical magnitudes (say accelerations, potentials, self-inductions), is a metaphysical question that has no meaning for physics. F.

Electric Charge

To consider a magnitude of an entirely different kind, we choose electric charge as an example from the great number of kinds of physical magnitudes. Certain bodies in particular, known circumstances (e.g., ebonite or glass when rubbed) exhibit an interaction that we call electrostatic attraction or repulsion. 1 a) The relation that holds between two bodies when they both affect a third in the same way electrostatically, i.e., from the same distance they give it the same accleration in the same direction, is symmetric by definition and transitive empirically. We assign two such bodies the same number as their “electric charge”; when the acceleration is in the opposite direction, we assign the same number with the inverse sign. 1 b) If a body interacts more strongly than another electrostatically, i.e., if from the same distance it imparts a greater acceleration on a third body, then we assign it an electric charge with a greater absolute value, with the same sign if the acceleration is in the same direction, or with inverse sign if in the opposite direction. This relation is asymmetric and transitive. The determination of the sign must occur with reference to a particular material: the charge of a glass body rubbed with silk is fixed as positive. 2 a) As with length and mass, the convention for the scale form occurs through choice of the simplest option: the electric charge is to be a + b with the union of the two bodies of charge a and b . 2 b) The zero point of the scale is already determined thereby: two bodies that (according to 1 a) have the charges +a and −a together have zero charge. 2 c) The unit is fixed via the choice of a standard process. Since empirically the force of electrostatic interaction depends only on distance and electric charge of the two bodies, but not on their material, we can say: if two bodies (however small) have the same electric charge and affect each other with a unit of force when a unit of length apart, then each of the two charges is to be deemed the unit. Derived magnitude. Electric current = the ratio between flowing electric charge and time. (This is the “electrostatic definition”; there is also another, the “electrodynamic” definition; it differs from the former only in that it uses a different unit.)

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Rückblick auf die Beispiele

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Wir haben an einigen, herausgegriffenen Beispielen physikalischer Größen gesehen, daß die Festlegung eines bestimmten Größenbegriffes zunächst auf bestimmten Erfahrungstatsachen beruht. Diese Erfahrungstatsachen müssen derart sein, daß sie gewisse Beziehungen mit bestimmten formalen Eigenschaften zeigen, auf Grund deren es möglich ist, den verschiedenen Objekten (Dingen, Vorgängen, Zuständen von Dingen, Phasen von Vorgängen oder dergleichen) nach bestimmten Regeln Zahlen zuzuschreiben; die Zuschreibungsregeln bilden dann die Definition der betreffenden Größenart. Sind auf solche Weise Größenarten eingeführt, so können viele qualitative Angaben über die Dinge, die Vorgänge und ihre Gesetze durch Zahlenangaben ersetzt werden. Ob auch alle Angaben quantitativ ausdrückbar sind, soll jetzt untersucht werden.

Sind alle wahrnehmbaren Eigenschaften meßbar? Man begegnet zuweilen der Meinung, die mathematisch arbeitende Physik ersetze die Qualitäten der wahrnehmbaren Natur durch Quantitäten und verliere dadurch eine wesentliche Seite des Geschehens. Wir werden später zeigen, daß diese Auffassung unzutreffend ist, da bei quantitativer Behandlung die Qualitäten nicht unbeachtet gelassen, sondern nur in besonderer Weise, nämlich durch Zahlen, benannt werden. Hier sei zunächst die Frage aufgeworfen, ob denn alle wahrnehmbaren Eigenschaften meßbar seien. Ist das nicht der Fall, so würde es Eigenschaften geben, die bei der quantitativen Methode der Physik nicht mit erfaßt würden. An Hand eines Beispiels wollen wir uns klar machen, daß es solche Eigenschaften nicht geben kann, wenn wir voraussetzen, daß sie sich gesetzmäßig verhalten. Würden aber gewisse Eigenschaften sich nicht gesetzmäßig verhalten, so wäre überhaupt keine begriffliche, also keine wissenschaftliche Behandlung, gleichviel auf welchem Wege, für sie möglich. Die verschiedenen Qualitäten irgend eines Sinnesgebietes (z. B. die Farben oder die Töne) lassen sich, wofern sie sich überhaupt gesetzmäßig verhalten, d. h. regelmäßige, beständige Beziehungen untereinander haben und in ihrem Auftreten an bestimmte Bedingungen gebunden sind, stets in eine Ordnung bringen. Wir können sie entweder nach ihren qualitativen, empfindungsmäßigen Ähnlichkeiten ordnen, oder indirekt mit Hilfe einer Ordnung der Vorgänge, bei denen sie auftreten. Jede Ordnung aber läßt sich zur Grundlage einer Messung machen, indem ihren Elementen Zahlen (bzw. je nach der Dimensionszahl Zahlenpaare oder Zahlentripel usw.) zugeordnet werden. Betrachten wir als Beispiel die Gehörsqualitäten, und zwar der Einfachheit halber nicht die Geräusche, sondern nur die Klänge. Es kann leicht festgestellt werden, daß jeder Klang (musikalischer Akkord) durch Zusammensetzung von Einzel|tönen erzeugbar ist; daher genügt die Betrachtung der (musikalischen) Töne. Wir unterscheiden an ihnen Tonhöhe, Klangfarbe, Tonstärke. Die Tonhöhe wird von der Physik durch die Schwingungszahl gemessen. Auf

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Review of the Examples We have seen in a few selected examples of physical magnitudes that the determination of a particular magnitude concept rests first of all on particular empirical facts. These empirical facts must be of such a kind that they exhibit certain relations with particular formal properties, on the basis of which it is possible to assign numbers to the various objects (things, processes, states of things, phases of processes, or the like) according to particular rules; the rules for the assignment then form the definition of the kind of magnitude in question. If magnitudes are introduced in such a way, then many qualitative statements about things, processes, and their laws can be replaced by numerical statements. Whether all statements are quantitatively expressible is now to be investigated.

Are all Perceptible Properties Measurable? One sometimes encounters the view that physics, by employing mathematics, replaces the qualities of perceptible nature with quantities and thereby loses an essential side of what goes on. We will show later that this viewpoint is incorrect, since a quantitative treatment does not leave out qualities, but merely gives them particular names, by means of numbers. We begin by posing the question whether all perceptible properties are measurable. If that is not the case, then there would exist properties that cannot be grasped by the quantitative methods of physics. We want to make clear, through an example, that such properties cannot exist, if we presuppose that they behave lawfully. Were there certain properties that did not behave lawfully, no conceptual treatment, and hence no scientific treatment of them by any means, would be possible. The various qualities of any sensory domain (e.g., colors or tones) can always be brought into an order to the extent that they behave lawfully at all, i.e., to the extent that there are regular, standing relations among them and their occurrence is bound up with specific conditions. We can order them according to their qualitative, sensory similarities, or indirectly with the help of an ordering of the events related to their occurrence. Each ordering can be taken as the basis of measurement, however, by assigning numbers (or pairs, triples, etc., of numbers, depending on the dimension number) to its elements. Let us consider auditory qualities as an example, and, for simplicity, not arbitrary noises, but rather only musical sounds. It can easily be seen that any musical chord is the result of composing individual tones; thus the consideration of musical tones suffices. We distinguish between pitch, timbre, volume. In physics pitch is measured through frequency. On the basis of the

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Grund der Erfahrungstatsache, daß bei jedem Tonvorgang ein mechanischer Schwingungsvorgang stattfindet, dessen Schwingungszahl zu der Tonhöhe in eindeutiger Beziehung steht, kann man die Tonhöhe durch die Schwingungszahl des zugeordneten Schwingungsvorganges benennen und damit messen. Es könnte die Meinung entstehen, daß wir die Möglichkeit, Tonhöhen überhaupt zu messen, nur dem Vorhandensein der genannten Erfahrungstatsache, also sozusagen einem glücklichen Zufall zu verdanken hätten. Das trifft jedoch nicht zu. Wenn etwa jene Tatsache nicht bestände oder (um eine solche, nicht unbedenkliche Fiktion zu vermeiden) wenn sie uns noch nicht bekannt wäre, so würde doch eine Messung der Tonhöhe nicht unmöglich. Durch die Tatsache der verschiedenen Konsonanzverhältnisse, insbesondere der Oktave, wird die Tonreihe in eine Stufenleiter, nämlich die musikalische Tonleiter, eingeordnet. Wird dann eine bestimmte Stufe durch eine Normalstimmgabel (analog dem Pariser Normalmeterstab) festgelegt, so kann die Tonhöhe nach den Stufen bezeichnet und bei Numerierung der Stufen auch gemessen werden. Aber auch wenn diese Tatsache nicht in Geltung oder nicht bekannt wäre, brauchten wir nicht auf Messung der Tonhöhe zu verzichten. Z. B. könnten wir dadurch Stufen in die Tonreihe einführen, daß wir die eben noch wahrnehmbaren Tonhöhendifferenzen an den verschiedenen Stellen der Tonreihe als gleiche Differenzen ansetzen. (Ein analoges Verfahren hat Ostwald bei seiner Festlegung der Farbenordnung angewandt.) Notwendig wäre aber auch die Anwendung dieses Verfahrens nicht. Es würde genügen, eine Reihe von Tonerzeugern (z. B. von Stimmgabeln, Pfeifen oder Stäben) nach der Tonhöhe zu ordnen, zu numerieren und zur Normalreihe zu erklären. Vielleicht würde man | dabei schon auf irgend eine zweckmäßige Form der Skala geraten, indem man die Pfeifen- oder Stablängen nach irgend einer einfachen Regel abstuft; eine solche Skala würde dann eine einfache, gesetzmäßige Beziehung zur heutigen physikalischen Tonskala haben. Ob die Auffindung einer solchen zweckmäßigen Skalenform nun auch glücken würde oder nicht, auf jeden Fall ergäbe sich durch die Reihe der Tonerzeuger irgend eine Skala und damit die Möglichkeit der Messung der Tonhöhe. Auf Tonstärke und Klangfarbe wollen wir nicht eingehen; bekanntlich steht jene zur Schwingungsenergie, diese zur Schwingungsform (oder, anders ausgedrückt, zur Zusammensetzung aus harmonischen Teiltönen) in gesetzmäßiger Beziehung; auch für diese Dimensionen der Klangqualität würde sich in jedem Falle eine Möglichkeit der Ordnung und damit der Messung ergeben.

Naturgesetze, Hypothesen und Theorien Sind alle wahrnehmbaren Eigenschaften meßbar, so gilt das gleiche auch für die nicht unmittelbar wahrnehmbaren, sondern abgeleiteten Eigenschaften. Denn diese beruhen in gesetzmäßiger Weise auf jenen, wie wir bei Betrachtung der ersten, qualitativen Stufe der Begriffsbildung gesehen haben. Nach den angestellten Überlegungen sind somit alle physikalischen Eigenschaften meßbar, also ausdrückbar durch Zahlen als Werte bestimmter Größenarten. Daher können die in der Natur bestehenden gesetzmäßigen Beziehungen sol-

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empirical fact that any tonal process takes the form of a mechanical vibration whose frequency is univocally related to the pitch, one can name the pitch by the frequency of the corresponding vibration process and measure it thereby. One might think that the possibility of measuring pitches at all is only due to the existence of this empirical fact and is thus, as it were, a happy accident. This is not the case, however. If that fact did not hold, or (to avoid such a far from inconsequential fiction) if we did not yet know it, then the measurement of pitch would still not be impossible. On the basis of the various consonance relations, the octave especially, the sequence of tones is ordered in a graded scale, namely the scale of musical tones. If a particular step is then fixed using a standard tuning fork (analogously to the standard meter bar in Paris), then the pitches can be designated according to the steps, and by numbering the steps the pitches can also be measured. However, even if this fact did not hold or were unknown to us, we still would not need to abandon the measurement of pitches. For example, we could introduce steps into the series of tones by setting as equal the differences in pitch between tones that are just perceptibly distinguishable at different points in the series. (Ostwald has employed an analogous procedure in his determination of the order of colors.) Nor is it necessary to use this procedure, however. It would suffice to exhibit a sequence of tone generators (e.g. tuning forks, pipes, or rods), order them by pitch, number them, and declare them to be the standard sequence. Perhaps one would thereby already encounter some expedient form of the scale, in which the lengths of the pipes or rods are ranked according to some simple rule; such a scale would then bear a simple, lawful relation to today’s physical tone scale. Now, whether or not we can find such an expedient scale, in any case the sequence of tone generators would yield some scale, and with it the possibility of measuring pitches. We will not go into volume and timbre; it is known that the former bears a lawful relation to the energy of the vibration, the latter to the form of the vibration (or, in other words, to the composition of the harmonic overtones); also these dimensions of sound quality would in any case admit the possibility of an ordering, and with it measurement.

Natural Laws, Hypotheses, and Theories If all perceptible properties are measurable, then the same also holds for the properties that are not directly perceptible, but rather derived. For the latter rest upon the former in a lawful way, as we have seen in the consideration of the first, qualitative stage of concept formation. Consequently, according to the above discussion, all physical properties are measurable, hence expressible by numbers as values of particular kinds of magnitudes. Therefore, the lawful relations of such properties existing in nature can be formulated as relations

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cher Eigenschaften als Beziehungen zwischen Zahlen formuliert werden. Nun sind alle Naturgesetze Behauptungen allgemeinen Inhalts über die gegenseitige Abhängigkeit physikalischer Eigenschaften; sie können daher in Form mathematischer Gleichungen gefaßt werden. Die besondere Form dieser Gleichungen, in denen die physikalische Kausalität zum Ausdruck kommt, wird später noch erörtert werden. Die Aufstellung von Naturgesetzen macht im Lauf der fortschreitenden Forschung verschiedene Gewißheitsstufen durch. Ein zunächst nur vermutetes Gesetz wird als „Hypothese“ aufgestellt, bis es durch hinreichende Bestätigung die Gewißheit anerkannter wissenschaftlicher Thesen erhält. Daß diese Gewißheit niemals eine absolute sein kann, sondern nur eine mehr oder weniger große Wahrscheinlichkeit, haben wir früher schon bei Besprechung der Induktion erörtert. Die Physik versucht, die Naturgesetze jedes Gebietes und schließlich die der ganzen Natur zu einer zusammenhängenden Ordnung zu verbinden: es werden „Theorien“ aufgestellt und ausgebaut. Erst durch die Einordnung in ein solches umfassendes Gebäude einer Theorie erhält die Behauptung eines Naturgesetzes, die sich zunächst nur auf bestimmte Einzelerscheinungen stützt, eine hinreichende Sicherheit. Eine merkwürdige, aber innerhalb der Wissenschaft nicht weiter erklärbare Tatsache besteht darin, daß das Naturgeschehen nicht nur gesetzmäßig verläuft (andernfalls wäre eine Physik nicht möglich), sondern daß die einzelnen Gesetze sich zu immer umfassenderen, einheitlichen Theorien zusammenschließen lassen. So ist im Laufe der Entwicklung die Akustik in die Mechanik aufgegangen, Mechanik und Thermodynamik sind vereinigt worden, Optik und Magnetik sind Unterteile der Elektrizitätslehre geworden; schließlich sind, in der neueren Atomtheorie, alle physikalischen und chemischen Erscheinungen außer denen der Gravitation auf Elektromagnetismus zurückgeführt worden, oder wenigstens ihre grundsätzliche Zurückführbarkeit erkannt worden. Auf die Aufstellung, Begründung und Vereinigung der physikalischen Theorien kann jedoch hier nicht näher eingegangen werden, da wir es hier mit der Begriffsbildung, nicht mit der Theorienbildung (die freilich an manchen Stellen eng mit jener zusammenhängt) zu tun haben.

Die Überlegenheit der quantitativen Methode gegenüber der qualitativen Der Unterschied zwischen der quantitativen und der qualitativen Methode ist im Grunde ein Unterschied im Verfahren der Benennung: die quantitative Methode „mißt“ die verschiedenen Erscheinungsformen (Grade, Phasen) einer Eigenschaft, d. h. sie benennt sie mit Zahlen, die qualitative Methode benennt sie mit anderen Zeichen, meist Worten. Nun besitzt eine Benennung mit Zahlen folgende Vorzüge gegenüber einer Benennung mit Worten: 1. In den Zahlen steht uns eine unerschöpfliche Menge von Bezeichnungen zur Verfügung, während eine Aufstellung immer neuer Wortnamen für Tausende von Einzelphasen kaum durchführbar ist. 2. Die Benennung mit Zahlen kann

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between numbers. Now all laws of nature are assertions of general content about the interdependence of physical properties; they can thus be formulated in the form of mathematical equations. The special form of the equations in which physical causality is expressed will be discussed later. The statement of natural laws goes through various degrees of certainty in the course of advancing research. A law that is only a first guess is stated as an “hypothesis”, until it achieves the certainty of an accepted scientific thesis through sufficient confirmation. We have already noted, in the above discussion of induction, that this certainty can never be absolute, but rather has only a higher or lower probability. Physics attempts to unite the natural laws of every domain, and ultimately those of all nature, in a coherent order: it states and develops “theories”. The assertion of a natural law, which at first is based solely on particular individual phenomena, achieves a sufficient certitude only through its inclusion in the overall edifice of a theory. It is a remarkable fact, though one not further explicable within science, that not only do natural events proceed in a lawful manner (otherwise physics would not be possible), but also the individual laws always allow amalgamation into more comprehensive and uniform theories. Thus, over the course of its development, acoustics has merged into mechanics, mechanics and thermodynamics were united, optics and magnetism became subfields of the study of electricity. Ultimately, in the new atomic theory, all physical and chemical phenomena, except for gravitation, have been reduced to electromagnetism, or at the least their reducibility has been recognized in principle. We cannot here consider further the generation, confirmation, and unification of physical theories, since we are presently concerned with concept formation, not with theory formation (which, admittedly, is closely related to it at many points).

The Superiority of the Quantitative Method over the Qualitative The difference between the quantitative and the qualitative methods is basically just a difference in the method of naming: the quantitative method “measures” the various manifestations (degrees, phases) of a property, i.e., it designates them by numbers, the qualitative method designates them by other symbols, mostly words. Now a designation with numbers enjoys the following advantages over a designation with words: 1. With the numbers we have an inexhaustible set of signs at our disposal, while a statement of ever new word names for thousands of individual phases is hardly feasible. 2. The

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der qualitativen Ordnung der Elemente (Phasen) so angepaßt werden, daß der Name eines jeden Elementes zugleich seine Stellung in der Ordnung angibt (Vorzug der Numerierung der Häuser einer Straße vor der Benennung mit individuellen Namen). 3. Die Benennung mit Zahlen macht es möglich, allgemeine Gesetzmäßigkeiten durch einen Ausdruck zusammenzufassen (nämlich durch die mathematischen Relationen zwischen den Zahlen, die „Funktionen“); an Stelle einer einzigen mathematischen Gleichung müßten bei Wortbenennung Tausende von Einzelsätzen treten; praktisch gesprochen: mit Wortbezeichnungen würde man das, was die Gleichung besagt, überhaupt nicht ausdrücken, sondern sich mit der Angabe vager Beziehungen begnügen. Der zuletzt genannte Umstand wirkt auch auf die Forschungstätigkeit zurück: erst wenn ein Mittel vorhanden ist, schärfere Gesetzmäßigkeiten in knapper Form (und damit überhaupt erst praktisch brauchbar) zum Ausdruck zu bringen, erhält die Forschung einen hinreichenden Anreiz, solche Gesetzmäßigkeiten aufzusuchen. Hier wirkt, wie auch an manchen andern Stellen der Wissenschaftsentwicklung, die wesentliche Verbesserung eines | Darstellungsmittels als Anlaß zu schärferer Fragestellung und weiterdringender Untersuchung. In einem bestimmten Teilgebiet der Physik, nämlich in der Optik des Sichtbaren, der „Farbenlehre“, hat der Kampf zwischen qualitativer und quantitativer Methode in dem Gegensatz Goethe-Newton sozusagen seine klassische Form gefunden. Newton hatte, obwohl er das Licht noch nicht als Schwingungsvorgang erkannte, doch schon durch Versuche die zahlenmäßigen Verhältnisse festgestellt, die zwischen den verschiedenen Spektrallinien, also damit zwischen den verschiedenen Farben bestehen und die man später als Verhältnisse der Schwingungszahlen gedeutet hat. Goethe bekämpft ihn in seiner „Farbenlehre“ stellenweise mit den heftigsten Ausdrücken. Ihm waren künstliche Hilfsmittel und mathematische Berechnungen gefühlsmäßig zuwider, er wollte die Erkenntnis stets an die unmittelbare Anschauung anknüpfen und stützte daher seine Untersuchungen auf das unmittelbar Gesehene oder höchstens durch Prismen, Spiegel oder dergleichen veränderte Farbige. Wäre die Physik nicht, wie es wirklich geschah, Newton gefolgt, sondern Goethe, so hätte sie zwar noch manchen Schritt über die richtigen Erkenntnisse Goethes hinaus tun können, wäre aber bald an eine Grenze gekommen und würde auf die größten und wichtigsten Teile der heutigen physikalischen Erkenntnis verzichten müssen. Vor allem wäre das wichtigste Ergebnis der Entwicklung der Physik in den letzten hundert Jahren auf diesem Wege nicht erreicht worden: die immer stärkere Zusammenschließung der Teile der Physik zu einer einheitlichen Theorie. Bei Goethescher, also empfindungsmäßig-qualitativer Behandlung zerfällt die Physik in eine Reihe von Teilgebieten, die den verschiedenen Sinnesgebieten entsprechen. Diese können zwar einige Beziehungen untereinander aufweisen, aber erst bei Newtonscher, quantitativer Behandlung können Teilgebiete miteinander verschmelzen. Dieses Ergebnis hängt zusammen mit der starken Entwicklung, die die | Elektrizitätslehre im letzten Jahrhundert gemacht hat. Bei qualitativer Behandlung hätte sie kaum über primitive Anfangsstufen hinausgelangen können; denn sie stützt sich ja nicht auf die Wahrnehmungen eines besonderen Sinnes, sondern beruht im we-

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designation with numbers can be adapted to the qualitative ordering of elements (phases) in such a way that the name of any element at the same time indicates its place in the ordering (the advantage of numbering the houses on a street compared to a designation using individual names). 3. The designation by numbers makes it possible to comprehend general laws by one expression (specifically by the mathematical relations between numbers, by “functions”). In a designation by words, instead of a single unified mathematical equation, thousands of individual sentences would have to be used. Practically speaking, one would not even express what the equation says, but would have to content oneself with giving vague relations. This last consideration also feeds back into research; only when the means are available to express more precise laws in more concise (and only thereby practically usable) forms does research have sufficient incentive to seek out such laws. Here as at many other points in the development of science, the essential improvement offered by a means of representation acts as an occasion for a more precise formulation of the questions and a more cogent investigation. In a particular subdomain of physics, the optics of visible light or the “theory of colors”, the struggle between qualitative and quantitative method has found something like its classical form in the encounter between Goethe and Newton. Although he did not yet recognize light to be an oscillatory process, Newton had already ascertained in his investigations the numerical relationships that obtain between the various spectral lines, hence between the various colors, and that would later be interpreted as relationships between frequencies. Goethe combatted him in the strongest words in his “Theory of Colors”. To Goethe, artifical aids and mathematical calculations were emotionally abhorrent; he always wanted knowledge to be tied up with immediate intuition and he therefore based his investigations on the immediately seen, or at most on colors altered through prisms, mirrors, or the like. If physics had not, as actually happened, followed Newton, but rather Goethe, it could still have taken some steps beyond Goethe’s correct insights; but it would soon have reached a limit and have had to forego the greatest and most important parts of present-day physical knowledge. Above all, on this path the most important result in the development of physics in the last hundred years would not have been reached: the ever stronger amalgamation of the parts of physics into a unified theory. With the Goethean, which is to say the perceptual–qualitative approach, physics falls apart into a collection of subdomains that correspond to the various sensory domains. These can surely reveal some relations with one another, but only with the Newtonian, quantitative approach can the subdomains merge together. This outcome is associated with the striking progress that the theory of electricity has made over the last century. With the qualitative approach it would have barely been able to move beyond the primitive initial stages; for it rests not upon the perceptions of a particular sense, but

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sentlichen auf Rückschlüssen, folgernden Berechnungen aus Beobachtungen verschiedener anderer Sinnesgebiete. Und gerade die Elektrizitätslehre hat für die Physik eine umstürzende Bedeutung gewonnen. Aus der Lehre von einigen abseitigen, seltenen Erscheinungen hat sie sich entwickelt zur Lehre von der Grundkraft, die den Aufbau aller Materie bestimmt und auf der alles wahrnehmbare Geschehen (außer den Gravitationserscheinungen) beruht, seien es nun mechanische, akustische, thermische, optische, chemische Vorgänge oder was immer. Es kann also nicht bezweifelt werden, daß der Übergang von der qualitativen zur quantitativen Stufe für die Physik einen entscheidenden und notwendigen Schritt bedeutet. Das gilt nicht nur für die gegenwärtige Form der Physik, indem etwa eine andere Form denkbar wäre, die mit rein qualitativer Methode dieselbe Leistung erzielen könnte; sondern es gilt für jede Physik, die das Ziel eines kausalen Natursystems hat, d. h. eines Systems, in dem jedes Geschehen eindeutig durch das frühere Geschehen bestimmt ist. Der Übergang der Physik zur quantitativen Stufe hat sich zu Beginn der Neuzeit vollzogen. Der entscheidende Schritt geschah, als Galilei sich anschickte, die Fallgesetze durch messende Versuche an der Fallrinne festzustellen.

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rather is based essentially on reasoning, inferential calculations from observations of various other sensory domains. And indeed, electrical theory has had a revolutionary impact on physics. From the theory of a few peripheral, infrequent phenomena there has emerged the theory of the fundamental force that determines the construction of all matter and upon which all perceptible events (except for gravitational phenomena) are based, be they mechanical, acoustical, thermal, optical, chemical processes or anything else. Thus it cannot be doubted that the transition from the qualitative to the quantitative stage marks a crucial and necessary step for physics. This holds not only for the present form of physics, as if another form, which could achieve the same ends with purely qualitative methods, were somehow imaginable; rather it holds for any physics that has the goal of a causal system of nature, i.e., a system in which every event is univocally determined by earlier events. The transition to the quantitative stage of physics occurred at the beginning of the modern age. The crucial step was taken when Galileo set out to determine the laws of falling bodies through measurement experiments on inclined planes.

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Die dritte Stufe der physikalischen Begriffsbildung. Abstrakte Stufe: das vierdimensionale Weltgeschehen

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Die vierdimensionale Welt

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Da der Raum dreidimensional ist, so kann jeder Raumpunkt durch Angabe von drei Zahlen bezeichnet werden. Wie die Bezeichnung vorgenommen wird, hängt von der Wahl des besonderen Bezugssystems („Koordinatensystems“) ab; es können z. B. geographische Länge und Breite und die Höhe über dem Meeresspiegel gewählt werden. Fügen wir noch als vierte Zahl die Zeitangabe hinzu, so haben wir durch die vier Zahlen einen „Raum-Zeit-Punkt“ oder „Weltpunkt“ bezeichnet. Um z. B. auszudrücken, daß eine bestimmte Zustandsgröße an dem Raumpunkt {a, b, c } zur Zeit d den Wert z hat, können wir sagen: ihr Wert im Weltpunkt {a, b, c, d } ist z . Der ganze Zustand der Welt zu einem bestimmten Zeitpunkt ist angegeben, wenn die Werte der physikalischen Größen für jeden Raumpunkt angegeben sind. Das ganze Geschehen der Welt durch alle Zeit hindurch ist angegeben, wenn die Werte der physikalischen Größen für jeden Weltpunkt angegeben sind. Da manche physikalischen Größen ihrer Wertverteilung nach von andern Größen abhängen, also berechnet werden können, wenn die Verteilung der andern bekannt ist, so braucht zur Darstellung des Weltgeschehens nicht auf alle physikalischen Größen Rücksicht genommen zu werden, sondern nur auf einige | von ihnen. Welche Größen hinreichend sind zur Beschreibung des ganzen Geschehens, ist noch nicht endgültig erkannt; nach dem gegenwärtigen Stand der Physik scheinen es zehn bestimmte Größen zu sein. Die Menge der Weltpunkte ist vierdimensional. Wenn auch eine vierdimensionale Ordnung als räumliche Ordnung schwer oder vielleicht gar nicht anschaulich vorgestellt werden kann, so pflegt doch der Mathematiker die Ordnung von Mengen, die mehr als drei Dimensionen haben, so aufzufassen und zu beschreiben, als handle es sich um eine räumliche Ordnung. So sagen wir: wie ein dreidimensionales Raumgebiet aufgefaßt werden kann als bestehend aus einer Übereinanderschichtung zweidimensionaler Gebiete, so fassen wir das vierdimensionale Gebiet des physikalischen Geschehens in einem bestimmten Raumgebiet während einer bestimmten Zeitdauer auf als Übereinanderschichtung der „Momentanräume“, die die einzelnen Zustände des Raumgebietes zu den einzelnen Zeitpunkten darstellen. Denken wir uns die Lage eines bestimmten Materieteilchens in jedem Momentanraum markiert, so erhalten wir in dem vierdimensionalen RaumZeit-Gebiet die Lebenslinie dieses Teilchens als Reihe all dieser markierten Weltpunkte; diese Linie bezeichnen wir als „Weltlinie“ des Teilchens. Wenn wir vorhin sagten, daß das physikalische Geschehen grundsätzlich vollständig beschrieben werden könne durch Angabe der Werte der Zustandsgrößen in den Weltpunkten, so müssen wir doch ergänzend hinzufügen, daß die Physik gegenwärtig noch nicht bestimmt weiß, ob in der Tat diese Angaben genügen

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III.

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The Third Stage of Physical Concept Formation. Abstract Stage: the Four-Dimensional Universe

The Four-Dimensional World Since space is three-dimensional, every spatial point can be named by giving three numbers. How the naming is undertaken depends on the choice of a particular reference system (“coordinate system”); e.g., one could select geographical longitude and latitude and the height above sea level. If we add the time coordinate as a fourth number, we will have designated a “space– time point” or “world-point” with the four numbers. In order to express, e.g., that a particular state-magnitude of the spatial point {a, b, c} at time d has the value z , we can say that its value at the world-point {a, b, c, d } is z . The entire state of the universe at a particular point in time is given, if the values of the physical magnitudes for every spatial point are given. The entire evolution of the world throughout all time is given if the values of the physical magnitudes for every world-point are given. Since the distribution of values for many physical magnitudes depends on other magnitudes, and hence can be calculated if the distribution of the others is known, the representation of the universe does not require that all physical magnitudes be taken into account, rather only some of them. Which magnitudes are sufficient for the description of the entire universe is still not conclusively known; in the present state of physics it seems that there are ten such particular magnitudes. The set of world-points is four-dimensional. Though a four-dimensional ordering can be represented only with difficulty or perhaps intuitively not at all as a spatial ordering, still mathematicians indeed tend to conceive and describe the order of sets of more than three dimensions as if it were a spatial ordering. Thus we say: just as a three-dimensional spatial domain can be thought of as consisting of a stack of two-dimensional domains, we can conceive of of the four-dimensional domain of physical events in a particular spatial domain during a particular length of time as a stack of “instantaneous spaces”, which represent the individual states of the spatial domain at the individual points in time. If we think of the position of a particle of matter as labelled at each instantaneous space, we obtain the life line of this particle in the four-dimensional space–time domain as the sequence of all these labelled world-points; we designate this line as the “world-line” of the particle. Where we said before that, in principle, physical events could be completely described by specifying the values of the state-magnitudes of the world-points, we must add that present-day physics still does not know definitively whether this specification

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würden. Die Auffassung der „Physik als reiner Feldtheorie“ nimmt dies an. Eine andere Auffassung meint dagegen, daß die bloße Angabe von Zustandsgrößen nicht genüge, um auch Lage und Bewegungen der kleinsten Bausteine der Materie (etwa der Elektronen) zu beschreiben; es müßten also außer jenen Zustandsgrößen auch die Weltlinien dieser Bau|steine angegeben werden. Eine dritte Auffassung entfernt sich noch mehr von der der reinen Feldtheorie, indem sie auf die Zustandsgrößen ganz verzichtet: sie glaubt, daß die Angabe von Weltlinien allein genüge, um das ganze physikalische Geschehen darzustellen. Wie dem nun auch sei — ob Zustandsgrößen allein, Weltlinien allein oder beides angegeben werden muß —, jedenfalls kann das Geschehen eines Gebietes oder der ganzen Welt aufgefaßt werden als ein bestimmtes vierdimensionales Gebilde. Diese Auffassung hat den Vorzug, daß an Stelle des fließenden, ewig wechselnden Bildes, das das Geschehen für die Wahrnehmung und auch noch für die gewöhnliche quantitative Betrachtung bietet, ein einmaliges, festes, unveränderliches Gebilde tritt, dessen starrer Zustand untersucht wird. Die Naturgesetze werden hier zu Aussagen über die gegenseitige Abhängigkeit der Beschaffenheit von Teilen des vierdimensionalen Gebildes. Die Darstellung des physikalischen Geschehens in Form eines vierdimensionalen, starren Gebildes rührt von Minkowski her. Sie ist durch die Relativitätstheorie angeregt worden und hat zu einer besonders einfachen Formulierung dieser Theorie geführt, ist aber an sich unabhängig von ihr und kann für die Darstellung jeder Theorie über das physikalische Geschehen angewandt werden.

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Die physikalische Kausalität

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Der Tatbestand, daß das physikalische Geschehen Gesetzmäßigkeiten unterliegt, lautet als Aussage über die vierdimensionale Welt so: wenn der Wert bestimmter Zustandsgrößen für bestimmte Weltpunkte festliegt, so können diese Zustandsgrößen nicht mehr an allen übrigen Weltpunkten jeden überhaupt für sie möglichen Wert annehmen, sondern für gewisse Weltpunkte sind die Werte dann entweder eindeutig festgelegt, oder doch wenigstens innerhalb bestimmter Grenzen gehalten. Dies ist der allgemeine Begriff einer Gesetzmäßigkeit oder | „Determination“. Die im Naturgeschehen vorgefundene Form der Gesetzmäßigkeit, die „physikalische Kausalität“ bildet einen Spezialfall dieses Begriffes. Sie ist so beschaffen, daß die Änderung einer Zustandsgröße an einem bestimmten Punkt bestimmt ist durch die räumliche Verteilung gewisser Zustandsgrößen in der räumlichen Umgebung des betreffenden Punktes. (Daher Differentialgleichungen als Form der Naturgesetze.) Auf das ganze Weltgeschehen bezogen: das Geschehen in Zukunft und Vergangenheit ist bestimmt, wenn der Zustand in einem Zeitpunkt festliegt. In Wirklichkeit kann freilich niemals der Zustand der ganzen Welt berücksichtigt werden, weil er ja nie bestimmt ist. Für das Geschehen eines endlichen Teilgebietes ist die Gesetzmäßigkeit in folgender Form auszudrücken: das physikalische Geschehen in einem bestimmten Raumgebiet während einer bestimmten Zeitstrecke ist durch die Naturgesetze eindeutig bestimmt,

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in fact suffices. The view of “physics as pure field theory” assumes that it does suffice. Another view holds that, on the contrary, the mere specification of state-magnitudes does not suffice to describe the position and motions of the smallest building blocks of matter (perhaps the electrons); so, besides those state-magnitudes, the world-lines of these building blocks would also have to be given. A third view moves still further away from the pure field theory, in that it renounces state-magnitudes altogether; it believes that the specification of world-lines alone suffices for the representation of all physical events. Whatever the case may be — whether only state-magnitudes, only world-lines, or both must be given — the events within a particular domain, or in the entire universe, can be conceived of as a certain four-dimensional configuration. This view has the advantage that in place of the fluid, ever-changing picture that events offer up to perception — and even to ordinary quantitative investigation — a unique, fixed, immutable structure is substituted, whose rigid state is to be investigated. Here natural laws become statements about the mutual dependence of the character of parts of the four-dimensional structure. The representation of physical events in the form of a rigid, fourdimensional structure was originated by Minkowski. It was inspired by relativity theory and has led to an especially simple formulation of this theory, but it is independent of the theory and can be applied to the representation of any theory about physical events.

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Physical Causality The fact that physical occurrences are subject to laws reads as the following statement about the four-dimensional world: if the values of particular state-magnitudes are determined for particular world-points, then these statemagnitudes can no longer assume any of their possible values at the remaining world-points; rather for certain world-points the values are then either uniquely determined or at least restricted to remain within certain limits. This is the general concept of a law or “determination”. The form of lawfulness found in natural events, “physical causality”, forms a special case of this concept. It is constituted in such a way that the change of a state-magnitude at a particular point is determined by the spatial distribution of certain statemagnitudes in the spatial neighborhood of the point in question. (Hence laws of nature take the form of differential equations.) Applied to the entire universe: the events in the future and in the past are determined if the state is specified for one point in time. In actuality, of course, the state of the entire universe can never be taken into account, because it is never determined. For the events of a finite subdomain, lawfulness is expressed in the following form: the physical events in a particular spatial domain during a particular time interval are uniquely determined by natural laws if some state of the domain (it need not be the

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wenn irgend ein Zustand des Gebietes (es braucht nicht der Anfangszustand zu sein) und das „Randgeschehen“ bekannt sind, d. h. die Verteilung der Werte der Zustandsgrößen erstens für das ganze Raumgebiet in irgendeinem Zeitpunkt der Zeitstrecke und zweitens für die Randpunkte des Gebietes während der ganzen Zeitstrecke. In der Sprache der vierdimensionalen Welt: die Beschaffenheit (genauer: die Belegung mit Werten der Zustandsgrößen) eines vierdimensionalen, zeitlich-zylindrischen Teilgebietes ist eindeutig bestimmt durch die Beschaffenheit irgendeines dreidimensionalen Querschnittes des Zylinders und die Beschaffenheit des (dreidimensionalen) Zylindermantels. In gewissen einfachen Fällen, die freilich niemals ganz streng verwirklicht sind, braucht das Randgeschehen nicht angegeben zu werden, sondern es genügt die Beschreibung eines Zustandes; dies ist der Fall bei den sogenannten „isolierten Systemen“, d. h. solchen Gebieten, in die während der betrachteten Zeitstrecke keine Wirkung hineintritt und aus denen keine Wirkung hinausgeht.

Das Weltgeschehen dargestellt als Zahlensystem Da die einzelnen Weltpunkte durch Angabe von je vier Zahlen, also eines „Zahlenquadrupels“, bezeichnet werden können, so können wir die Werte der physikalischen Zustandsgrößen, anstatt sie den Weltpunkten einer gedachten vierdimensionalen Welt zuzuschreiben, direkt den Zahlenquadrupeln zuschreiben. Nehmen wir an, es seien zehn Zustandsgrößen hinreichend und notwendig für die Beschreibung des physikalischen Zustandes. Dann besteht die physikalische Beschreibung eines Weltpunktes aus einer Reihe von 14 Zahlen; die ersten vier Zahlen kennzeichnen den Weltpunkt eindeutig, die letzten zehn Zahlen geben seinen physikalischen Zustand an. Das physikalische Geschehen in einem bestimmten Raumgebiet während einer bestimmten Zeitstrecke oder auch in der ganzen Welt für alle Zeit ist dann darzustellen durch eine Menge solcher Reihen von je 14 Zahlen, wobei zu jedem Weltpunkt des Gebietes oder der Welt je eine solche Reihe gehört. Die Naturgesetze sind bei dieser Darstellungsweise auszudrücken als Abhängigkeitsbeziehungen zwischen den Zahlen verschiedener Vierzehnerreihen. Die früher beschriebene Form der physikalischen Kausalität ist so beschaffen, daß (ungenau ausgedrückt) das Geschehen an einem Punkte während eines kurzen Zeitraumes abhängt vom Geschehen in dem Punkt und seinen Nachbarpunkten zu Beginn des Zeitraumes. Das drückt sich als Aussage über die Vierzehnerreihen so aus: in bezug auf eine bestimmte Vierzehnerreihe R sind die Zahlen an 5. bis 14. Stelle in denjenigen Reihen, die mit R in der 1. bis 3. Zahl genau und in der 4. annähernd übereinstimmen, eindeutig bestimmt, wenn die Zahlen an 5. bis 14. Stelle in denjenigen Reihen bekannt sind, die mit R in der 1. bis 3. Zahl genau oder annähernd und in der 4. genau übereinstimmen. Die Betrachtung des physikalischen Geschehens als einer vierdimensionalen Raum-Zeit-Welt ist gewissermaßen die Ver|wandlung der physikalischen Betrachtung eines Geschehens in die geometrische Betrachtung eines starren Gebildes. Die jetzt angedeutete Betrachtung des physikalischen Geschehens

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initial state) and the “boundary events” are known, i.e., the distribution of values of the state-magnitudes, firstly for the entire spatial domain at some point in time of the time interval, and secondly for the boundary points of the domain throughout the entire time interval. In the language of the fourdimensional world: the condition (more precisely, the attribution of values to the state-magnitudes) of a four-dimensional, temporally cylindrical subdomain is univocally determined by the condition of any three-dimensional cross-section of the cylinder and the condition of the (three-dimensional) cylinder surface. In certain simple cases, which admittedly are strictly never quite actualized, the boundary events need not be given, rather the description of a state suffices; this is the case for the so-called “isolated systems”, i.e., those domains in which no energy enters and no energy exits throughout the time segment under consideration.

The Universe Represented as a Number System Since the individual world-points can each be designated by the specification of four numbers, thus by a “quadruple of numbers”, we can ascribe the values of the physical state-magnitudes directly to the quadruples of numbers, instead of to the world-points of an imagined four-dimensional world. Let us assume there are ten state-magnitudes that are necessary and sufficient for the description of physical states. Then the physical description of a worldpoint consists of a sequence of 14 numbers; the first four numbers indicate the world-point uniquely, the last ten numbers provide its physical state. The physical events in a particular spatial domain during a particular time interval, or indeed in the entire world throughout all time, are then represented by a set of such sequences of 14 numbers, in which one such sequence belongs to each world-point of the domain or the world. With this manner of representation, natural laws are to be expressed as dependence relations among the numbers of different 14-tuples. The form of physical causality described earlier is constituted in such a way that (roughly speaking) events at a point during a short time frame depend upon events at the point and its neighboring points at the beginning of the time frame. That can be expressed as a statement about the 14-tuples as follows: with respect to a particular 14-tuple R , the numbers in the fifth through fourteenth places of those sequences which agree with R exactly in the first through third numbers and approximately in the fourth, are uniquely determined if we know the numbers in the fifth through fourteenth places of those sequences which agree with R exactly or approximately in the first through third numbers and exactly in the fourth. The consideration of physical events as a four-dimensional space–time world is, in a way, the transformation of the physical consideration of events into the geometric consideration of a rigid shape. The view now suggested of

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als einer Menge von Vierzehnerreihen von Zahlen geht in der Formalisierung noch einen Schritt weiter: hier ist die physikalische Betrachtung verwandelt in die arithmetische Betrachtung eines bestimmten Zahlensystems.

Die Rückübersetzung in Qualitätsaussagen

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Ist die angedeutete, abstrakteste Form der Physik denn noch Physik zu nennen? Sagt sie noch etwas über die Natur aus und lehrt sie uns, spätere Wahrnehmungen aus gehabten Wahrnehmungen vorauszuberechnen? Das ist gewiß der Fall, obwohl von Raum und Zeit oder von Wahrnehmungsqualitäten oder irgendwelchen sonstigen Qualitäten überhaupt nicht mehr die Rede ist. Gesprochen wird nur von Zahlen eines bestimmten Zahlensystems und ihren mathematischen Beziehungen. Die für das Ziel der Physik wesentliche Eigenschaft dieses Zahlensystems ist nun nicht die, daß es eben als Zahlensystem restlos einer mathematischen Behandlung, einer Berechnung der einen Teile aus den andern, unterworfen werden kann; dies ist nur ein methodischer Vorzug. Das Wesentliche liegt vielmehr darin (was zuweilen nicht genügend beachtet wird), daß die Zahlenangaben des Systems sich stets eindeutig in Qualitätsangaben übersetzen lassen. Daraus folgt, daß der gegen die mathematisch arbeitende Physik erhobene Vorwurf der Einseitigkeit, nämlich der bloßen Betrachtung des Quantitativen unter Vernachlässigung des Qualitativen, nicht recht hat; das soll nachher noch näher erörtert werden. Es gibt nicht eine quantitative und eine qualitative Seite der Natur. Sondern das Quantitative ist eine bestimmte Begriffsform; die quantitative Betrachtung ist eine bestimmte (auf Messung und Formalisierung beruhende) Methode, um die Natur, d. h. die Gesamtheit der wahrnehm|baren Wirklichkeit mit allen ihren Qualitäten, durch Erkenntnis erfassen und auch vorherbestimmen zu können. Die Rückübersetzung der reinen Zahlenaussagen der abstrakten Physik in Qualitätsaussagen ist möglich, weil einer bestimmten Werteverteilung bestimmter Zustandsgrößen stets eindeutig bestimmte physikalische Qualitäten, schließlich bestimmte Sinnesqualitäten zugeordnet sind. Eine bestimmte Beschaffenheit einer Menge jener Vierzehnerreihen von Zahlen ist z. B. zu deuten als eine bestimmte Bewegung von Elektronen in einer bestimmten räumlichen Konstellation, und diese wieder als Chlor-Atom oder als Natrium-Atom oder als Chlor-Natrium-Kristall, also Kochsalz; einer so beschaffenen Menge von Vierzehnerreihen sind dann die Qualitäten weiß und salzig zugeordnet. Eine andere solche Menge ist etwa auch als Bewegung einer Elektronenmenge zu deuten, und diese dann als eine bestimmte, periodische Verteilung der Luftmoleküle, also als Schallwelle von bestimmter Frequenz; einer so beschaffenen Menge von Vierzehnerreihen von Zahlen ist dann ein nach Tonhöhe, Klangfarbe und Tonstärke bestimmter Ton zugeordnet oder ein genau gekennzeichnetes Geräusch. Bestände diese Möglichkeit der Rückübersetzung nicht, so wäre freilich die Physik auf dieser abstrakten, d. h. vollständig formalisierten Stufe nichts weiter als ein harmloses Rechenspiel. Nur weil jene Möglichkeit besteht, darf die Physik sagen, daß sie von der Wirklichkeit spricht; und nur, weil die Rück-

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physical events as a set of 14-tuples of numbers takes the formalization another step further: here physical study turns into the arithmetic study of a particular number system.

Retranslation into Qualitative Statements But is this most abstract form of physics, briefly outlined above, still to be called physics? Does it still assert something about nature and teach us to anticipate future perceptions from perceptions we have had? That is certainly the case, although space and time, or perceptible qualities, or any other qualities are no longer considered at all. We speak only of numbers of a particular number system and their mathematical relations. The essential property of this number system for the goal of physics is now not that, being a number system, it can be subjected without remainder to a mathematical treatment, a computation of one part from the others; this is only a methodological benefit. What is essential lies much more in the fact (which occasionally is not sufficiently noted) that the numerical assertions of the system can always be translated univocally into qualitative assertions. From this it follows that the accusation of one-sidedness levied against the use of mathematics in physics, namely its consideration merely of the quantitative and neglect of the qualitative, is unjustified; that will be discussed more fully later. There is no such thing as a quantitative and a qualitative side of nature. Rather, the quantitative is a certain conceptual form; the quantitative view is a particular method (resting on measurement and formalization), by which we can acquire knowledge and make predictions about nature, i.e. the totality of perceptible reality with all its qualities. The retranslation of the pure number statements of abstract physics into qualitative statements is possible because a particular distribution of values of particular state-magnitudes is uniquely co-ordinated with certain physical qualities, ultimately sensory qualities. A certain character of a set of 14-tuples of numbers is e.g. to be interpreted as a certain motion of electrons within a certain spatial configuration. And this in turn is to be interpreted e.g. as a chlorine atom or a sodium atom or a sodium chloride crystal, i.e. table salt. A set of 14-tuples so constituted is then co-ordinated with the qualities white and salty. Another such set is to be interpreted as, say, another motion of a set of electrons, and this in turn as a particular periodic distribution of air molecules, hence a sound wave of a particular frequency; a set of 14-tuples of numbers so constituted is then associated with a tone of particular pitch, timbre, and volume, or a precisely characterized sound. If this possibility of retranslation did not exist, then admittedly physics at this abstract, i.e. completely formalized, stage would be nothing more than a harmless game of calculation. Only because that possibility remains may physics say that it speaks of reality; and only because the retranslation is

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übersetzung eindeutig ist, kann die Physik bestimmte Angaben machen über Wahrnehmungen, die man noch nicht gemacht hat, sondern erst an einem bestimmten, zukünftigen Zeitpunkt machen wird, oder allgemeine Aussagen darüber, was für Wahrnehmungen unter gewissen Bedingungen stets zu erwarten sind.

Abstrahiert die Physik von den Qualitäten? Wir haben die dritte Stufe der physikalischen Begriffsbildung als „abstrakt“ bezeichnet. Das ist aber nur damit be|gründet, daß die auf dieser Stufe verwendeten Begriffe abstrakt, formal sind; es soll aber mit dieser Bezeichnung nicht etwa gemeint sein, daß die Physik im eigentlichen Sinne von den Qualitäten abstrahiere, sie außer acht lasse. Zuweilen wird diese Meinung über die mathematisch arbeitende Physik vertreten; man glaubt, sie siebe gewissermaßen die Natur durch, behalte nur das Quantitative in der Hand, während ihr das Qualitative — worin doch das Wesentliche liege — zwischen den Fingern zerrinne. Ist die Physik, als Darstellung des bunten Naturgeschehens in rein formalen Begriffen, der Darstellung eines bunten Gegenstandes durch ein Schwarzweißbild zu vergleichen? Nein, der Unterschied zwischen den beiden Darstellungen ist ein wesentlicher. Ein Photogramm eines bunten Dinges oder eine auf Grund des Photogramms gemachte Beschreibung des Dinges vernachlässigt tatsächlich die Farben: sie gibt zwar verschiedene Eigenschaften des Dinges an; aber weder kommen unter diesen die Farben vor, noch sind sie aus diesen nachträglich wieder zu erschließen. Bei der physikalischen Beschreibung des Naturgeschehens durch Zahlenangaben kommen zwar auch die Farben nicht vor; aber sie sind aus diesen Angaben nachträglich wiederzugewinnen, also nicht wie beim Photogramm verloren gegangen. Bei der Betrachtung der quantitativen Stufe haben wir gesehen, daß Messung von Qualitäten nicht eine irgendwie vergewaltigende Behandlung der Qualitäten ist, sondern nichts anderes als eine besondere Art der Benennung, nämlich eine Benennung mit Zahlen anstatt mit Wort-Namen. Sowenig man dem Geographen wegen seiner Benennung der Städte und Berge eine Ersetzung der wirklichen Gegenstände durch Worte und damit eine Unterschlagung wesentlicher Eigenschaften zum Vorwurf macht, ebensowenig darf man dem Physiker, weil er alles messen will, vorwerfen, er ersetze die wirklichen Gegenstände und Qualitäten durch Zahlen und verliere damit eine wesentliche Beschaffenheit an ihnen. Der | Chemiker spricht nicht von „Wasser“, sondern von „H2 O“; trotzdem wird niemand behaupten, er abstrahiere vom Material. Ebenso ist die quantitative Methode der Physik nur systematische Benennung, nicht Abstraktion von den Qualitäten. Auf der abstrakten Stufe der physikalischen Begriffsbildung kommen allerdings die Qualitäten überhaupt kaum vor, auch nicht unter anderem Namen. Denn diejenigen Strukturen von Teilgebieten des Zahlensystems, die Sinnesqualitäten zugeordnet sind, werden nicht besonders hervorgehoben. Trotzdem gehen auch auf dieser Stufe die Qualitäten nicht verloren, sondern stecken

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unambiguous can physics make particular assertions about perceptions that one has not yet had, but rather will only have at some future point in time, or general statements about what perceptions are always expected under certain conditions.

Does Physics Abstract from Qualities? We have designated the third stage of physical concept formation as “abstract”. However, this is based only on the fact that the concepts used at this stage are abstract, formal; this designation should not be taken to mean that physics abstracts from qualities in any actual sense, or that it leaves them out of account. One sometimes encounters this view of the use of mathematics in physics, that it somehow sifts through nature, keeping only the quantitative in hand while the qualitative — wherein the essence is after all to be found — runs through its fingers like water. Is physics, regarded as the representation in purely formal concepts of the colorful events of nature, to be compared with the representation of a colored object by a black and white image? No, the difference between those two representations is an essential one. A photograph of a colorful thing or a description of the thing based on the photograph truly neglects the colors: to be sure, it indicates various properties of the thing; but the colors can neither be found among them nor later be inferred from these properties. And, to be sure, in the physical description of natural events via numerical assertions the colors do not occur either; but they can subsequently be recovered from these statements, hence are not lost as in the [black and white] photograph. In the consideration of the quantitative stage we have seen that measurement of qualities is not some sort of violation of the qualities, but rather nothing but a special kind of naming, one using numbers instead of verbal names. No one would think of accusing the geographer, because he names cities and mountains, of replacing the real objects by words, and thus of suppressing essential properties; no more should one accuse the physicist, because he seeks to measure everything, that he is substituting numbers for actual objects and qualities by numbers, thereby losing their essential character. The chemist speaks not of “water”, but rather of “H2 O”; nevertheless no one will suggest that he is abstracting from the material substance. Likewise, the quantitative method of physics is only a systematic way of naming, not an abstraction from qualities. At the abstract stage of physical concept formation, admittedly, qualities are rarely to be found, even under other names. For those structures of subdomains of the number system that are co-ordinated with sensory qualities are not particularly emphasized. Nevertheless, even at this stage, qualities do not

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unausgesprochen in der mathematischen Beschreibung der Eigenschaften des Zahlensystems darin. Das zeigt sich in der besprochenen Möglichkeit, die Qualitätsaussagen aus der mathematischen Beschaffenheit des Zahlensystems eindeutig zurückzugewinnen. Als Gleichnis für die Darstellung des Naturgeschehens in der Physik kann besser als das Schwarzweißbild einer bunten Blume die Darstellung einer Melodie durch Noten dienen: die Notenschrift tönt zwar nicht selbst, trotzdem sind in ihr die Töne nicht verloren, da die Notenschrift jederzeit in die tönende Melodie zurückübersetzt werden kann (vorausgesetzt, daß die Zuordnung zwischen Noten und Tönen bekannt ist).

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go missing, but rather tacitly lie hidden within the mathematical description of the properties of the number system. That is reflected in the possibility discussed of unambiguously recovering statements about qualities from the mathematical constitution of the number system. Instead of the black and white image of a colorful flower, the representation of a melody by notes can better serve as the analogy to the representation of natural events in physics: to be sure, the score itself makes no sound, but nonetheless, the tones are not lost, since the score can be retranslated into the sounding melody at any time (presupposing that the co-ordination between score and tones is known).

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Literaturverzeichnis Wer sich mit den hier kurz besprochenen Fragen und mit weiteren verwandten Problemen näher beschäftigen will, sei auf die folgenden Bücher hingewiesen. Bavink, Allgemeine Ergebnisse und Probleme der Naturwissenschaft. Eine Einführung in die moderne Naturphilosophie. (1914) 1924 [[Bavink 1924]]. Boehm, Begriffsbildung. (Wissen u. Wirken, Bd. 2) 1922 [[Boehm 1922]]. Duhem, Ziel und Struktur der physikalischen Theorien. 1908 [[Duhem 1908]]. Enriques, Probleme der Wissenschaft. 1910. I. Bd.: Wirklichkeit und Logik. [[Enriques 1910a]] II. Bd.: Die Grundbegriffe der Wissenschaft [[Enriques 1910b]]. Helmholtz, Zählen und Messen. In: H.s Schriften zur Erkenntnistheorie. Hrsg. v. Hertz und Schlick. 1921 [[Helmholtz 1921a]]. Mach, Die Mechanik in ihrer Entwicklung, historisch-kritisch dargestellt. (1883) 1912 [[Mach 1912]]. Die Prinzipien der Wärmelehre, historisch-kritisch dargestellt. (1896) 1919 [[Mach 1919]]. Erkenntnis und Irrtum. Skizzen zur Psychologie der Forschung. (1905) 1920 [[Mach 1920]]. Poincaré, Wissenschaft und Hypothese. (1904) 1906 [[Poincaré 1906]]. Der Wert der Wissenschaft. 2. Kap.: Das Maß der Zeit. (1906) 1910 [[Poincaré 1910]]. Schlick, Allgemeine Erkenntnislehre. (1918) 1925 [[Schlick 1925a]]. Naturphilosophie. In: Lehrbuch der Philosophie, hrsg. v. Dessoir, Bd. II: Die Philosophie in ihren Einzelgebieten. 1925 [[Schlick 1925b]]. Stallo, Die Begriffe und Theorien der modernen Physik. 1911 [[Stallo 1911]]. Winderlich, Das Ding. Eine Einführung in das Substanzproblem. Teil I: Die Dinge der Naturwissenschaft. (Wissen u. Wirken, Bd. 15) 1924 [[Winderlich 1924]].

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Bibliography We refer those who want to follow up on the questions we have discussed briefly here, as well as further related problems, to the following books. Bavink, Allgemeine Ergebnisse und Probleme der Naturwissenschaft. Eine Einführung in die moderne Naturphilosophie. (1914) 1924 [[Bavink 1924]]. Boehm, Begriffsbildung. (Wissen u. Wirken, Bd. 2) 1922 [[Boehm 1922]]. Duhem, Ziel und Struktur der physikalischen Theorien. 1908 [[Duhem 1908]]. Enriques, Probleme der Wissenschaft. 1910. I. Bd.: Wirklichkeit und Logik. [[Enriques 1910a]] II. Bd.: Die Grundbegriffe der Wissenschaft [[Enriques 1910b]]. Helmholtz, Zählen und Messen. In: H.s Schriften zur Erkenntnistheorie. Hrsg. v. Hertz und Schlick. 1921 [[Helmholtz 1921a]]. Mach, Die Mechanik in ihrer Entwicklung, historisch-kritisch dargestellt. (1883) 1912 [[Mach 1912]]. Die Prinzipien der Wärmelehre, historisch-kritisch dargestellt. (1896) 1919 [[Mach 1919]]. Erkenntnis und Irrtum. Skizzen zur Psychologie der Forschung. (1905) 1920 [[Mach 1920]]. Poincaré, Wissenschaft und Hypothese. (1904) 1906 [[Poincaré 1906]]. Der Wert der Wissenschaft. 2. Kap.: Das Maß der Zeit. (1906) 1910 [[Poincaré 1910]]. Schlick, Allgemeine Erkenntnislehre. (1918) 1925 [[Schlick 1925a]]. Naturphilosophie. In: Lehrbuch der Philosophie, hrsg. v. Dessoir, Bd. II: Die Philosophie in ihren Einzelgebieten. 1925 [[Schlick 1925b]]. Stallo, Die Begriffe und Theorien der modernen Physik. 1911 [[Stallo 1911]]. Winderlich, Das Ding. Eine Einführung in das Substanzproblem. Teil I: Die Dinge der Naturwissenschaft. (Wissen u. Wirken, Bd. 15) 1924 [[Winderlich 1924]].

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Sach- und Namenregister Abstrakte Stufe 54 ff., 60. Abstraktion 60 ff. Additionstheorem 32 ff., 43, 45. additiv 34 f. arithmetische Betrachtung 59. asymmetrisch 18 f., 22, 26, 35, 38, 43, 45. Atomtheorie 50. Bedingungsaussage, Bedingungsverhältnis 7 f., 10 f., 13. Begriff 3 f. Begriffsbildung 3 f., 24, 50. Beschleunigung 41 ff., 45. Definition 3, 20 ff., 38, 46. Dichte 44. Differentialgleichung 57. Differenzengleichheit 20, 23, 28, 33, 39. Ding, Dingeigenschaft 6 f.

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Geschwindigkeit (s. a.: Relativgeschw.) 34, 41 f. Gesetz, Naturgesetz 23, 37, 44, 47, 49 f., 56 f. Gesetzeswissenschaft 1. Gleichheit 22. Gleichzeitigkeit 21, 37 f. GOETHE 52. Größe 20 ff., 24, 46. Hypothese 50. Induktion 7 ff. isoliertes System 57. Kausalität 53, 56 ff. Kennzeichen 3, 9 f. kongruent 25 f. Kraft 44, 46. Ladung, elektr. 35, 45 f. Länge 24 ff., 34, 36, 40.

eindimensional 19, 22, 26, 32, 38. Einfachheit 27 f., 30 ff., 37, 44. Einheit 20 f., 23, 29, 40, 42, 44, 46. EINSTEIN 33. elektrisch, s.: Ladung, Potential, Stromstärke. Elektrizitätslehre 50, 52 f. Elektronen 55, 60. elektrostatisch, elektrodynamisch 45 f. Erfahrung 24, 30 ff., 35, 43 ff., 48. euklidisch, nichteuklidisch 31.

MACH 35. Masse 35, 42 ff. Maßstab 27 ff., 30 f. Material 9 f. Materialeigenschaft 10. Materialkonstante 44. mathematisch (Gleichungen, Relationen, Funktionen) 49, 51 f., 59 ff. Messung 14 ff., 21, 47 ff., 59, 61. metaphysisch 45. metrisch 19, 21 ff., 27, 36, 38. MINKOWSKI 56.

Farbenlehre 52. Feldtheorie 55. Festsetzung 15, 20 ff., 24, 28, 37. Formalisierung 59 f.

Naturgesetz, s. Gesetz. NEW TON 52. nichteuklidisch, s. euklidisch. Normalobjekt 23, 29, 37, 46, 48. Nullpunkt 20 f., 23, 28 f., 40, 42, 44, 46.

GALILEI 53. Genauigkeitsstufen 36 f., 39. geometrische Betrachtung 59.

OST WALD 48.

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Index of Subjects and Names 14-tuples 58 ff. abstract stage 54 ff., 60. abstraction 60 ff. acceleration 41 ff., 45. actuality 45. addition theorem 32 ff., 43, 45. additive 34 f. angle 31, 34, 42. arithmetic consideration 59. assignment, ascription 16 ff., 21 f., 46, 58. asymmetric 18 f., 22, 26, 35, 38, 43, 45. atomic theory 50.

equality of differences 20, 23, 28, 33, 39. eucliden, non-euclidean 31. experience 24, 30 ff., 35, 43 ff., 48. field theory 55. force 44, 46. formalization 59 f. four-dimensional world 54 ff. freedom of choice 27 ff. frequency 48, 52. GALILEI 53. geometric consideration 59. GOETHE 52. hypothesis 50.

causal relation 11 ff. causality 53, 56 ff. cause 12. characteristic 3, 9 ff. charge, electric 35, 45 f. colors, theory of 52. concept 3 f. concept formation 3 f., 24, 50. conditional proposition, conditional relation 7 f., 10 f., 13. congruent 25 f. convention 15, 20 ff., 24, 28, 37. counting 14 ff. current, electric 46.

induction 7 ff. interaction 42 ff., 45. isolated system 57. law, natural law 23, 37, 44, 47, 49 f., 56 f. length 24 ff., 34, 36, 40. linear 19, 22, 26, 38, 43.

MACH 35. magnitude 20 ff., 24, 46. mass 35, 42 ff. material 9 f. material property 10. material constant 44. definition 3, 20 ff., 38, 46. mathematical (equations, relations, density 44. functions) 49, 51 f., 59 ff. differential equation 57. measurement 14 ff., 21, 47 ff., 59, 61. measuring rod 27 ff., 30 f. effect 12. metaphyiscal 45. EINSTEIN 33. metric 19, 21 ff., 27, 36, 38. electric, see: charge, potential, cur- MINKOWSKI 56. rent. electricity, theory of 50, 52 ff. natural law, see law. electrons 55, 60. NEW TON 52. electrostatic, electrodynamic 45 f. non-euclidean, see euclidean. equality 22. number system 58 ff.

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Physik 4 f. Potential, elektr. 35.

verstehen 1. Verstehenswissenschaft 1. vierdimensionale Welt 54 ff. Qualität, qualitativ 46, 47, 51 ff., Vierzehnerreihen 58 ff. 59 ff. Vorgang 11, 58. qualitative Stufe 6 ff. vorhersagen 1, 59. Quantität, quantitativ 14, 16 f., 51 ff., 59 ff. quantitative Stufe 14 ff. Wärmeverhalten 16. Wärmeausdehnung 30 f. Raum 31. Wärmeausgleich 17 ff., 35. Realität 45. Wärmegleichgewicht 18 f., 35. reihenartig 19, 22, 26, 38, 43. Wahlfreiheit 27 ff. Relativgeschwindigkeit 32 ff. Wahrnehmung 4, 6, 10, 38, 47, 59 f. Relativitätstheorie 21, 31, 33, 35, 37, Wahrscheinlichkeit 9, 50. 56. Wechselwirkung 42 ff., 45. Wellenlänge 30, 35. Schwingungszahl 48, 52. Skalenform 20 f., 23, 27 f., 32 f., 35 f., Weltlinie 55 f. Weltpunkt 54 ff. 39, 42 f., 45, 49. Winkel 31, 34, 42. starrer Körper 25, 30, 42. Wirklichkeit 60. Stromstärke, elektr. 46. Wirkung 12. Struktur des Raumes 31. Wirkungsverhältnis 11 ff. Summierbarkeit 32 ff. symmetrisch 18, 22, 26, 35, 43, 45. Temperatur 16 ff., 34, 35 ff. Theorie 50. thermodynamisch 36. Ton, Tonhöhe 48 f. topologisch 19, 21 f., 27, 36, 38. transitiv 18 f., 22, 25 f., 35, 38, 43, 45. Ursache 12.

Zählung 14 ff. Zahlensystem 58 ff. Zeichen 3 f. Zeit 21, 34, 37 ff. Zuordnung, Zuschreibung 16 ff., 21 f., 46, 58. Zustand 11, 54 ff. Zustandsgröße 54 ff., 60.

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one-dimensional 19, 22, 26, 32, 38. OST WALD 48. perception 4, 6, 10, 38, 47, 59 f. physics 4 f. potential, electric 35. precision, levels of 36 f., 39. predict 1, 59. probability 9, 50. process 11, 58.

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state-magnitude 54 ff., 60. structure of space 31. summability 32 ff. symbol 3 f. symmetric 18, 22, 26, 35, 43, 45.

temperature 16 ff., 34, 35 ff. theory 50. thermal behavior 16. thermal equalization 17 ff., 35. thermal equilibrium 18 f., 35. quality, qualitative 46, 47, 51 ff., thermal expansion 30 f. 59 ff. thermodynamic 36. qualitative stage 6 ff. thing, property-of-a-thing 6 f. quantity, quantitative 14, 16 f., 51 ff., time 21, 34, 37 ff. 59 ff. tone, pitch 48 f. quantitative stage 14 ff. topological 19, 21 f., 27, 36, 38. transitive 18 f., 22, 25 f., 35, 38, 43, reality 60. 45. relative velocity 32 ff. relativity theory 21, 31, 33, 35, 37, 56. understand 1. rigid body 25, 30, 42. unit 20 f., 23, 29, 40, 42, 44, 46. scale form 20 f., 23, 27 f., 32 f., 35 f., 39, 42 f., 45, 49. science of laws 1. science of understanding 1. simplicity 27 f., 30 ff., 37, 44. simultaneity 21, 37 f. space 31. standard object 23, 29, 37, 46, 48. state 11, 54 ff.

velocity (see also: relative vel.) 34, 41 f. wavelength 30, 35. world-line 55 f. world-point 54 ff. zero point 20 f., 23, 28 f., 40, 42, 44, 46.

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Editorial Notes

Information on the Text Originally published as volume 39 of the series Wissen und Wirken, Einzelschriften zu den Grundfragen des Erkennens und Schaffens, [[Knowledge and Production: Monographs on the Basic Questions of Knowing and Doing]] edited by Emil Ungerer, Karlsruhe: Verlag G. Braun, 1926. A reprint was published in 1966 by Wissenschaftliche Buchgesellschaft, Darmstadt as volume 174 in the Libelli series. Translation by Edward Dean and Alan Richardson. The table of contents has been moved from the back to the front for the reader’s convenience. Page numbers in it and in the index refer to the original pagination. The following editorial statement of the mission of the Wissen und Wirken series precedes the text of 1926a, on the verso of the title page.

Wissen und Wirken

Knowledge and Action

Einzelschriften zu den Grundfragen des Erkennens und Schaffens

Monographs on the Basic Questions of Knowing and Doing

Tiefer als in aller wirtschaftlichen Bedrängnis wurzelt die seelische Not unserer Zeit in der Zusammenhanglosigkeit und Ziellosigkeit des Lebens, in der Veräußerlichung des Denkens und Wollens, in der erzwungenen Fachbeschränktheit und geistigen Enge, im fremden Auseinanderlaufen an sich wertvoller Bestrebungen. Aber schlaffer Untergangsstimmung zum Trotz regen sich ringsum lebendige Kräfte, die auf eine Überwindung der Vereinzelung, auf neue geistige Gemeinschaftsbildung hindrängen und die ihre Hoffnung und Stärke aus der in der Gärung unserer Tage sich allenthalben andeutenden inneren Umbildung der ganzen Welt- und Lebensanschauung schöpfen. In den Dienst solcher Verständigung über die Ziele und Wege zeitgenössischer Kultur will die Sammlung Wissen und Wirken treten. Sie will durch Zusammenarbeit hierauf eingestellter Männer und Frauen mithelfen, daß dem eingehegten Fachmenschen unserer Zeit aus dem Erfassen der Grundfragen anderer Wissens- und Lebensgebiete, aus dem Miterleben des geistigen Kampfes der Gegenwart in Wissen, Kunst, Religion, gesellschaftlichem Wirken wieder innere

The spiritual crisis of our times is rooted, more deeply than in any economic distress, in the disconnection and goallessness of life — in the mutual alienation of thinking and wanting, in our inexorable overspecialization and intellectual narrowness, in the strange splitting asunder of strivings that are valuable in themselves. But in defiance of a careless mood of decline, vital forces are at work all around us that are pushing to overcome this fragmentation and to bring about new forms of intellectual community formation, which draw their hope and strength from the inner transformation of the entire world and life view that is evident everywhere in the ferment of the present day. The Knowledge and Action series aims to put itself at the service of such an understanding of the goals and means of contemporary culture. It aims to assist through joint work the men and women who have focused themselves upon redeveloping an inner unity of humankind for the fenced-in specialist of our time by grasping the basic questions of other regions of knowledge and life, by the mutual experience of intellectual struggles in knowledge, art, religion,

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Einheit des Menschtums erwachse, daß and social action, so that an abiding sense wieder über einer Gemeinschaft gegen- of events illuminates again a community wartsbewußt Schaffender ein ewiger Sinn of present-oriented workers. des Geschehens aufleuchte. Fundamental problems are to be adAbgeschlossene Einzeldarstellungen dressed by the self-contained volumes of sollen in philosophischem Geiste Grund- the series in a philosophical spirit. The fragen behandeln. Dem außerhalb eines connections and dominant lines of inGebiets Stehenden werden der Kenner quiry will be delineated by experts and und Forscher die Zusammenhänge, die researchers for those outside an area of beherrschenden Richtungen der Frage- knowledge, who would otherwise miss stellung zeigen, die jenem in der verwir- them in the confusing multiplicity of pherenden Vielheit der Erscheinungen entge- nomena. The essence of a subject, othhen. In schlichter Sprache wird das We- erwise hidden in the impenetrable bramsen des Gegenstandes herausgearbeitet, bles of a secret specialist language, will das sonst hinter dem Dorngestrüpp einer be teased out in plain words. Elegance of Fachgeheimsprache verborgen bleibt. Gu- form — but with reliable content. No comte Form — und trotzdem zuverlässiger In- fortable “popularizations”, but rather “inhalt. Keine bequeme „Popularisierung“, troductions” that lead to thinking along sondern Mitdenken fordernde, zielweisen- and that convey the goals of the enterde „Einführung“. Nicht „Wissenschaft für prise. Not “science for everyman” but Jedermann“, sondern neues Wissen für new knowledge for those who have already den, der schon wissenschaftlich denken learned how to think scientifically. No gelernt hat. Kein „kleines Lehrbuch“ und “brief primer” and certainly no summary erst recht kein Lehrbuchauszug; das heißt of a textbook; that means: no piles of mateaber: keine Stoffanhäufung, kein Streben rial, no attempts at completeness and uninach Vollständigkeit und gleichmäßiger form treatment, but rather bold contours Behandlung, sondern klare Strichführung and purposeful selection of essentials. Betund zweckmäßige Auswahl des Erforderli- ter to have well-posed questions than inchen. Lieber gut gestellte Fragen, als unge- sufficiently clear answers. And readers are nügend durchschaubare Antworten. Über shown the means for going beyond the necdas Gebotene hinaus werden dem Leser essary in order to further deepen their acdie Mittel gezeigt zu weiterer Vertiefung quired knowledge. des Erworbenen.

In the year following its publication, Carnap published a brief self-notice of Physikalische Begriffsbildung in Annalen der Philosophie und philosophischen Kritik 6, no. 4 (1927), pp. 76∗ –77∗ (in the “Literaturberichte [[Reviews]]” section of the journal), signed “Snz.” for “Selbstnotiz [[self-notice]]”:

77

DIE erste STUFE der physikalischen Begriffsbildung ist qualitativer Art; ihre Momente sind: Dinglichkeit, Stofflichkeit, Wirksamkeit, Induktivität. Die zweite | Stufe ist quantitativer Art; ihre Momente sind: Zählung und Messung, Definition des physikalischen Gehaltes, Aufstellung von Hypothesen, Theorien, Gesetzen. Die dritte Stufe endlich ist abstrakter Art; ihre Momente sind: Vierdimensionalität des

THE first STAGE of physical concept formation is of a qualitative sort; its moments are objecthood, materialhood, causal efficacy, and inductivity. The second stage is of a quantitative sort; its moments are counting and measuring, definition of physical content, statement of hypotheses, theories, laws. The third stage, finally, is of an abstract sort; its moments are fourdimensionality of the universe, physical

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Editorial Notes

Weltprozesses, physikalische Kausalität, Rückübersetzung ins Qualitative. („So wenig man dem Geographen wegen seiner Benennung der Städte und Berge eine Ersetzung der wirklichen Gegenstände durch Worte und damit eine Unterschlagung wesentlicher Eigenschaften zum Vorwurf macht, ebensowenig darf man dem Physiker, weil er alles messen will, vorwerfen, er ersetze die wirklichen Gegenstände und Qualitäten durch Zahlen und verliere damit eine wesentliche Beschaffenheit an ihnen.“)

causality, translation back into the qualitative. (“One hardly reproaches the geographer because his designation of cities and mountains is a substitution of words for actual objects and thereby a misappropriation of essential properties, and one must no more accuse the physicist, because he wants to measure everything, of substituting number for actual objects and qualities and thereby losing their essential character.”)

In his Intellectual Autobiography Carnap relates: In this period I also wrote a monograph, Physikalische Begriffsbildung [[Carnap 1926a]]. Among other things I specified here the form of the rules which must be set up for the specification of a quantitative physical magnitude. Furthermore, I described the world of physics as an abstract system of ordered quadruples of real numbers to which values of certain functions are co-ordinated; the quadruples represent the space–time points, and the functions represent the state magnitudes of physics. This abstract conception of the system of physics was later elaborated in my work on the theoretical language [[cf. Carnap 1963c, pp. 77–81]]. (Carnap 1963c, pp. 15–16)

Editorial Notes a. [p. 345] “The historical and cultural sciences (e.g. political history, social history, art history, history of religion) are nearly exclusively sciences of understanding; whether they should even be inquiring about general laws is under debate.” This passage gives a picture of the relation among the sciences that is very much at odds with the one that is often ascribed to Carnap and to the logical empiricists generally. On that usual picture, there is one aim for all the sciences, namely to find general laws that are, in the ideal case, to be derived from the most basic laws, specifically those of physics. To be sure, Carnap thinks that finding laws is more important than “mere” historical understanding, a point that would have been debatable even then. But he does not say that the historical cultural sciences should aim at finding laws, or that such laws as are found should, ideally, be derivable from those of physics. The sciences of historical understanding may not in Carnap’s opinion be as exalted as the sciences of laws. Their goal may be different. But they are sciences nevertheless. Whatever else may be true, Carnap here only very cautiously

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engages debates about laws of nature and the goals of science that had been important in the German philosophical context for some time. b. [p. 347] “To this first phase of scientific activity belongs, e.g., the conducting of experiments, observations of weather or the stars, the collection of historical records and documents, statistics, and the like.” “Phase” here is being used in a non-temporal sense, as Carnap makes clear two sentences later. His intent is, rather, that these are components of scientific activity that for the purposes of exposition can be thought of separately. It is crucial to note that the first phase does not consist in the mere having of experiences, but is a matter of scientific activity. c. [p. 347] “The formation of a concept consists in the establishment of a law concerning the use of a symbol (e.g. a word) in the representation of states of affairs.” This paragraph contains an implicit nod in the direction of Carnap’s teacher, Gottlob Frege, in its choice of the concept “horse”. From both Frege’s point of view and our own, however, it is full of ambiguities concerning both the word “concept” and the word “law”. Is a concept or a law a verbal formulation or a uniformity of usage that it represents? At the beginning Carnap seems to equate the concept with the law. But he says that there might be concepts without the explicit statement of a law. In such cases laws would be “implicitly observed, or at least their observance is required”. So the law and the observance (uniformity) are distinct, and the law seems to be a statement. But what would it be to advocate the observance of a law that has not been formulated is not entirely clear. Thereafter a concept seems to be equated with a uniform use of a symbol. Indeed, this seems to be the presumption of the rest of the monograph and of much of Carnap’s philosophy — one posseses a concept provided that one has a regimented use of a symbol. Finally, the reference to the “unwritten rules” of custom and to codified law (as well as the earlier reference to advocacy) raises the question of whether there is a normative dimension to concepts as Carnap understands them. The whole discussion is redolent, in a way hard to capture in the English translation, of the discussion of lawfulness as action “from law” or merely “according to law” in Kantian moral theory. d. [p. 351] “We immediately perceive what color or temperature a body has, once the body stimulates the sense organ responsible for recognizing the relevant property, here the eye or, respectively, the nerve endings lying in the skin for sensing warm and cold.” It is clear from the context that Carnap here means “temperature” in the qualitative sense, as is more evident in the original than in English. It is unfortunate, though, that the (not further specified) concept “temperature” first appears in the text with an apparent claim that it is immediately perceptible, since the construction of the quantitative concept of temperature is one of Carnap’s main examples later in the monograph. We might immediately perceive warmth or cold (temperature in the qualitative sense), but we certainly do not

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Editorial Notes

immediately perceive the precise temperature of something in the quantitative sense. e. [p. 353] “The drawback of this way of salvaging the axiom come what may, however, is that, owing to the inexhaustibility of conditions, all physical propositions (as well as all inductive propositions of other sciences) can claim only probability, not absolute validity.” Whatever the value of this argument for the “legitimization” of induction, Carnap in this passage shows that he was aware of two things that critics have claimed he was not sufficiently cognizant of even in his 1928 book Der logische Aufbau der Welt. First, he shows he is aware that merely expressing a statement in observational language does not entail that its meaning is exhausted by the observation of past instances. Thus, all the terms in a physical statement might be observational but the logical form of the statement entails that it covers instances not observed. This passage also shows, secondly, that Carnap was aware that the justification of such a physical statement does not consist only in the observations actually made that confirm it. f. [p. 355] “Material is an especially important notion for further concept formation.” The translation might be more colloquial if we had used “substance” rather than “material”, but this has definite philosophical drawbacks. Carnap is plainly not using the standard term Substanz here and is not intending any philosophically robust notion of substance at all, for example, in the Aristotelian sense of a bearer of properties. His focus is instead on kinds but not all kinds of kinds. Iron is one of the materials in the world. Presumably neither “hammer” nor “disk” picks out a material. Hammers are picked out by their uses and disks by their shapes, and hammers (and disks) can be made of different materials. g. [p. 359] “Although the character of this mythical–poetic conception belongs to a time that lies more than a millennium behind us, and although it was refuted and opposed by philosophers centuries ago, it has not yet disappeared entirely from present-day thought — not even among some natural scientists themselves, who believe that physics should determine not only the conditions governing processes, but also the ‘causes’ that ‘bring about’ the processes.” Carnap here endorses, without citing, Bertrand Russell’s (1913) celebrated skepticism about the notion of cause, and adopts Russellian rhetoric as well; Russell had notoriously called the law of causality a “relic of a bygone age, surviving, like the monarchy, only because it is erroneously supposed to do no harm.” (Russell 1912, p. 173). Interestingly, Carnap’s history here credits philosophers with the overcoming of causal metaphysics and complains, like Russell, that some scientists have not yet adopted the non-metaphysical world view. The idea that the concept of causation derives from analogy with the will and, thus, from a sort of animistic conception of nature is common not only to Russell and many nineteenth- and early twentieth-century positivists but also to thinkers such as Friedrich Nietzsche. In a later section of the present book,

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Carnap nonetheless endorses a different, more formal conception of causality; see p. 413 and editorial notes x and cc below. h. [p. 361] “Counting and Measuring” Carnap’s discussion of quantitative concepts here is strikingly similar to that of Philosophical Foundations of Physics: An Introduction to the Philosophy of Science (Carnap 1966a) published forty years later. In both cases there is a tripartite division into qualitative, comparative, and quantitative concepts. Moreover, the same procedures are used in definition, and both discussions begin with temperature and proceed to temporal and spatial length. These similarities are neither surprising nor deep. What is more important is Carnap’s clear recognition in the two publications that the measurement concepts can be set up in different ways that yield very different-looking descriptions of the physical world. The choice of which measurement concepts to use is not settled by the facts alone; it requires instead a genuine decision on our part, a decision that will be guided by pragmatic considerations such as the simplicity of the system that results. i. [p. 361] “The extraction of quantitative determinations in any domain is done either by counting or by measuring.” The importance of counting and measuring in physics was stressed two generations before Carnap by Hermann von Helmholtz (1887). Carnap’s remarks here depend substantially upon Helmholtz’s. j. [p. 363] “The opposite convention would, of course, also be possible and realizable.” Indeed, Anders Celsius, Joseph-Nicolas Delisle, and other pioneers of temperature measurement actually used exactly this alternative convention. On the original Celsius scale, the boiling point of water was assigned the value 0 and the freezing point the value 100 (Chang 2004, p. 160). k. [p. 381] “The first option, which leads to a Euclidean spatial structure, has the advantage of a simpler geometry for the world; with the second option geometry is admittedly not so simple, but natural laws achieve a much greater degree of simplicity.” Carnap’s caution in endorsing Einstein’s treatment of gravity in General Relativity here is striking, given the late date (1926). l. [p. 385] “We want to call such a magnitude type ‘summable’ (or ‘composable’ or ‘divisible’).” What Carnap calls here a “summable [[summierbare]]” magnitude, he was later (in the 1966 Philosophical Foundations of Physics: An Introduction to the Philosophy of Science (Carnap 1966a), chapter 7) to call an extensive magnitude. This later term is better because the word “summable” sounds as though it is synonymous with “additive”. m. [p. 387] Mach).”

“Not until very recently did anyone recognize this error (Ernst

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Editorial Notes

This is the argument of the first chapter of Mach’s Science of Mechanics (Mach 1993), with further appendices on this point in later editions (Mach 1912; 1942). n. [p. 393] “More precise measurement of time usually reduces to measurement of space, e.g., as when marks are made on a continuous paper strip at certain time points to be measured, as well as some background [regular] ones, and the spatial intervals are then measured.” Carnap is thinking here of a technology long used to record chemical manufacturing or laboratory processes (or medical processes such as EEGs), e.g. the temperature or pressure in a tank or flask over a period, in which a continuous roll of paper (usually some sort of graph paper, hence the “background time points” referred to) mounted on a turning spool, and a horizontally stationary pen attached to the thermometer or pressure gage would record the value continuously on the paper roll in the vertical dimension. This was phased out with the arrival of digital technologies in the later twentieth century, to which Carnap’s point nonetheless still applies, of course. o. [p. 393] “For the discussion of concept formation and the development of both measurement concepts, we must consider the first analogy, even though the second has greater significance in the ultimate system of measurement, the physical space–time system.” The distinction between the two sorts of analogies is obscure and the argument as to why one sort has greater significance than the other is doubly obscure. It seems, however, that Carnap refers us in the first case to the procedures of setting conventions, while in the second he is remarking on the formal analogies between space and time at play in relativity theory. p. [p. 401] “These empirical facts must be of such a kind that they exhibit certain relations with particular formal properties, on the basis of which it is possible to assign numbers to the various objects (things, processes, states of things, phases of processes, or the like) according to particular rules; the rules for the assignment then form the definition of the kind of magnitude in question.” This is a compressed statement of a characteristic thought of the early Carnap. Since the facts relied upon for the conventions are either merely formal or empirical, there is no need to introduce a material a priori. This is a rejection of the precise characterization of Kant’s synthetic a priori. Nonetheless, the emphasis on the need for conventions for the mathematical representation of nature, the epistemic value of such representations, and the role of decision among alternative conventions all point to an a priori in empirical science that is now relativized to these prior decisions. q. [p. 403] “On the basis of the empirical fact that any tonal process takes the form of a mechanical vibration whose frequency is univocally related to the pitch, one can name the pitch by the frequency of the corresponding vibration process and measure it thereby.”

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The physics of pitch, like that of color, is rather more complicated than this may suggest. As Carnap himself points out further down in this paragraph, perceived pitch may be correlated with a wide variety of combinations of frequencies. Even so, the underlying physical phenomenon is frequency variation, and that underlying phenomenon can still be used to order and impose a metric on perceived pitch in the way Carnap indicates. r. [p. 403] “For example, we could introduce steps into the series of tones by setting as equal the differences in pitch between tones that are just perceptibly distinguishable at different points in the series.” Using just perceptible difference as the unit of tonal separation would be highly problematic unless all persons at all times exhibited the same limits of perceptual difference. We could choose one person’s perceptual discriminations as a standard, but that would have drawbacks of its own. s. [p. 405] “The assertion of a natural law, which at first is based solely on particular individual phenomena, achieves a sufficient certitude only through its inclusion in the overall edifice of a theory.” Though Carnap has been accused of being a “foundationalist”, the point here is a distinctly coherentist one. t. [p. 405] “ It is a remarkable fact, though one not further explicable within science, that not only do natural events proceed in a lawful manner (otherwise physics would not be possible), but also the individual laws always allow amalgamation into more comprehensive and uniform theories.” Carnap is being rather opaque here. His claim that this is a fact not explicable within science is puzzling. He seems to be suggesting that our science is incapable of explaining its own tendency to unification and increasing internal consistency. u. [p. 405] “Ultimately, in the new atomic theory, all physical and chemical phenomena, except for gravitation, have been reduced to electromagnetism, or at the least their reducibility has been recognized in principle.” Carnap here no doubt has in mind the comprehensive “bible of atomic theory” at this time, Arnold Sommerfeld’s book Atombau und Spektrallinien (Sommerfeld 1919). Sommerfeld relies, however, on the model of the hydrogen atom proposed a few years earlier by Niels Bohr, which rested on Bohr’s special (essentially ad hoc) assumption that, contrary to what standard electromagnetic theory held, electrons moving in the (rather special) orbits specified by the (extended) Bohr theory do not radiate electromagnetic energy, whereas such radiation does occur whenever an electron “jumps” — in what way is entirely unexplained (and unrepresented in detail), except for the (again quite special) assumption that now and then a transition occurs from one BohrSommerfeld orbit to another. The “reducibility in principle” of this process (or of the non-radiating orbital motion in “stationary states”) to the laws of electromagnetism is hardly “recognized” in the theory; it is simply taken on faith. Thanks to Howard Stein for drawing attention to this and supplying the background.

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Editorial Notes

v. [p. 407] “Here as at many other points in the development of science, the essential improvement offered by a means of representation acts as an occasion for a more precise formulation of the questions and a more cogent investigation.” This is another characteristic thought of the young Carnap — mathematization and formalization are motors of scientific progress. His main philosophical ambition is to further such progress through an understanding of and commitment to formalization. w. [p. 407] “In a particular subdomain of physics, the optics of visible light or the ‘theory of colors’, the struggle between qualitative and quantitative method has found something like its classical form in the encounter between Goethe and Newton.” It is noteworthy, perhaps especially so to an English-speaking audience, that Carnap speaks of Goethe at this point. It is a measure of Goethe’s status as a cultural icon in Germany that he cannot be ignored by scientific writers. It is also a measure of Newton’s status as an icon in the English-speaking world that Goethe’s challenge, or one like it, has comparatively little traction in the scientific community there. The issue itself is straightforward enough and not restricted to any cultural tradition. That issue arises from the obvious gap between the striking immediacy and aesthetic interest of the observational features of the world on one hand and the highly abstract, mathematical, and even emotionally distant picture of the world given in mathematical physics on the other. Whatever the delights of a well-crafted physical theory, they are hardly of the same kind as the sensuous pleasure of eating a ripe peach. Carnap aims to bridge this gap. He also shows a quite fundamental impatience with what he sees as an artificial, unnecessary, and indeed dogmatic restriction (suggested by an uncritical acceptance of Goethe’s complaint) on how we can develop our conceptual system. This is the same impatience that he was later to show with those who find second-order logic, or modality, or infinite domains of quantification unintelligible. Carnap’s case for mathematical physics is ultimately pragmatic: look at what you can do with it. You can unify a variety of scientific domains, and you can gain a level of predictive control that would be impossible or much more difficult were we restricted to the concepts that might have Goethe’s seal of approval. Carnap’s whole essay can be seen as directed at bridging the gap, and his strategy in doing so deserves special attention. Obviously he uses the logic of relations to show how rich relational structures of comparative concepts are and what is needed to turn them into the even richer structures of quantitative concepts. Less obviously but no less importantly, Carnap is denying that the concepts that Goethe approves of are immediately grasped as wholes without logical structure. On the contrary, they too embed rich relational structures that literally give them meaning and importance. This reconception of the apparently simple observational and qualitative concepts reaches its full flower, of course, in the Aufbau. In this way comparative concepts do more than

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fall midway between the qualitative and the quantitative concepts. They link those other concepts. These relational structures legitimate and ground the quantitative concepts and extend and systematize the qualitative ones by tying them together. We need not choose between Newton and Goethe. We can have both as alternative descriptions of one and the same world. x. [p. 409] “This holds not only for the present form of physics, as if another form, which could achieve the same ends with purely qualitative methods, were somehow imaginable; rather it holds for any physics that has the goal of a causal system of nature, i.e., a system in which every event is univocally determined by earlier events.” This remark, at such a strategic position in the book, is a reminder that Carnap was by this time no longer in close touch with recent developments in physics, but also that, on the other hand, the indeterministic consequences of the new quantum theory became apparent even to the relatively well-informed only gradually. The Fifth Solvay Conference, generally regarded as the turning point where quantum mechanics became widely accepted in physics, took place in 1927, the year after the appearance of this book. So the completely unquestioning acceptance of a Laplacean determinism, here as in the earlier paper “On the Task of Physics” Carnap (1923a), did not really put Carnap as much at odds with scientific opinion at the time as might appear. It is noteworthy, though, that Carnap calls the goal of deterministic physics a “causal system of nature”, in apparent tension with his emphatic rejection of any notion of “cause” (earlier in the book; see p. 359 and note g above) on the grounds that it has no role in science. By a “causal system of nature” Carnap evidently has in mind something more like the Laplacean system he describes in the 1923 paper (this volume, pp. 209–245) and summarizes in the present book (pp. 413 ff. below). y. [p. 411] “ Which magnitudes are sufficient for the description of the entire universe is still not conclusively known; in the present state of physics it seems that there are ten such particular magnitudes.” In the theory of electricity and magnetism, on the assumption that all quantities are distributed through space (so that charge and current are not concentrated at points, but are characterized by densities at each point), ten components were taken to specify completely the electrodynamic state at each point of space and time: three components each for the electric and the magnetic fields, the electric charge density at each point of space and each time, and three components of the electric current at each point and time. Electrodynamics had some claim at the time to be considered as possibly the foundation of all physics, and is expounded in this spirit, in the form given it by Gustav Mie (1912; 1913) and by Hermann Weyl (1918b), among others. (Hilbert (1916), for instance, also refers to Mie’s formulation.) Carnap himself had referred to it in “On the Task of Physics” (Carnap 1923a), this volume, p. 225. On the other hand, when Weyl (who expounds Mie’s electrodynamics in the third chapter of his book, devoted to the special theory of relativity) turns to general relativity in his fourth chapter and discusses how to extend Mie’s

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Editorial Notes

point of view to that theory, he has to take into account the gravitational field as well as the electromagnetic field. And, according to Einstein’s theory, the gravitational field is described by the “metric field”, which is represented by a symmetric second-order tensor-field on space–time. But a symmetric second-order tensor on a four-dimensional manifold also has ten components. So for both electromagnetism and gravitation, to fully describe the field, as of the late 1910s or early 1920s, we do need, not ten, but twenty magnitudes at each point. Carnap, writing in the mid-1920s, should surely have been aware of this, so a good explanation of what he says here remains elusive at best. Thanks to Howard Stein for drawing attention to this and supplying the relevant background. z. [p. 413] “ The view of ‘physics as pure field theory’ assumes that it does suffice. Another view holds that, on the contrary, the mere specification of state-magnitudes does not suffice to describe the position and motions of the smallest building blocks of matter (perhaps the electrons); so, besides those state-magnitudes, the world-lines of these building blocks would also have to be given. A third view moves still further away from the pure field theory, in that it renounces state-magnitudes altogether; it believes that the specification of world-lines alone suffices for the representation of all physical events.” The three views contrasted here are (1) that of “pure” field theory: the position (or hope) — certainly shared by Einstein and Hilbert, among others — that a sufficiently developed theory of all the physical fields (which at the time meant the elctromagnetic field and the gravitational field), without any special assumptions about “particles”, would lead to the emergence (so to speak) of all the relevant notions about particles — in particular, their space–time localizations (their motions), as special configurations of the fields themselves; (2) that of a particle–field “dualism”, holding that special assumptions about particles and their localization (world-lines) will also be required; (3) that fields should be understood as essentially artifacts — that “realistic” physics knows only bodies and their motions, therefore particles and their world-lines. (2) is clearly a more conservative view than (1) and might be regarded as the “common-sense, down-to-earth” view of a working physicist (contrasted with philosophers, perhaps; it is unclear whether Carnap himself at the time had in mind physicists or philosophers of physics who professed such a view). The third view might be regarded as more radically positivistic, but there is a certain irony about it; twenty or twenty-five years earlier, hard-nosed (positivistic) physicists and philosophers of physics like Mach rejected “atoms” — particles! — as mere metaphysical figments (even Poincaré had leaned to this view, without quite embracing it). Thanks to Howard Stein for pointing this out and for supplying the relevant background. aa. [p. 413] “This view has the advantage that in place of the fluid, everchanging picture that events offer up to perception — and even to ordinary quantitative investigation — a unique, fixed, immutable structure is substituted, whose rigid state is to be investigated.”

Physical Concept Formation (1926a)

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There were philosophers, e.g., Henri Bergson, A. N. Whitehead, and ˇ Milic Capek, who have suggested that change in the ordinary sense, including motion, is impossible in Einstein’s four-dimensional array of space–time points. Carnap’s words here: ‘fixed’, ‘immutable’, and ‘rigid’, might suggest to the unwary that he, Carnap, agreed with such a suggestion. He did not. bb. [p. 413] “This is the general concept of a law or ‘determination’.” This conception of determination or determinacy is described in greater depth in Carnap’s 1924 paper on three-dimensionality and causality (Carnap 1924a), this volume, pp. 247–295. cc. [p. 415] “In certain simple cases, which admittedly are strictly never quite actualized, the boundary events need not be given, rather the description of a state suffices; this is the case for the so-called ‘isolated systems’, i.e., those domains in which no energy enters and no energy exits throughout the time segment under consideration.” With this entirely formal characterization of causality, the mytho-poetical elements of the ordinary notion of causality, which Carnap deprecates earlier in the monograph (p. 359 and note g above), are finally overcome and expunged from the corpus of science. This, anyway, is the idea. dd. [p. 417] “What is essential lies much more in the fact (which occasionally is not sufficiently noted) that the numerical assertions of the system can always be translated univocally into qualitative assertions.” Carnap’s talk of “translation” here is not to be understood in the sense he gives this term in later writings. The emphasis on the role of conventions in order to introduce numbers that can be treated arithmetically is precisely to avoid saying that there is some statement in the language of qualities that captures exactly what a physical law says. Indeed, there is no translation (salva significatione) of the ascription of some values of state-magnitudes to a space–time point in the language of qualities. Rather, as Carnap says below, thanks to the conventions but also to the empirical laws of nature, there are qualitative statements that are co-ordinated with a suitable selection of such statements. Given the role that translation plays in his next book, the Aufbau, it is important to note that the notion of translation plays a very different role here.

Richard Creath and Alan Richardson

Textual Notes

Changes to the Texts. The editors have aimed to alter the substantive aspects of Carnap’s original texts as little as possible. Essentially the only substantive changes are corrections of obvious errors and changes to the text that Carnap himself indicated should be made. A number of accidental features have, however, been modernized and made uniform. All German texts use uniform hyphenation according to the rules of the alte Rechtschreibung (Duden, 20th edition, 1991) and standard German quotation marks („Anführungszeichen“) instead of guillemets (»Gänsefüßchen«). Footnotes are always numbered consecutively and are indicated by superscripted numbers only (no parentheses). Spelling. Within the individual texts, minor irregularities in spelling and punctuation have been corrected; however, no effort at uniformization across the texts has been made, especially as concerns variations in capitalization or spelling of compound words. Common abbreviations (z. B., d. h., usw., bzw.) have also been retained or changed to their customary form (bzw. instead of bezw.). Less common abbreviations have been spelled out (i. A., betr., sog., u. U., dgl., Abschn.). Punctuation. Carnap was appalled at the American habit of placing the period ending a sentence, or comma ending a clause, within the quotation marks enclosing a quotation that does not itself include a final period or comma. When he received the copy-edited typescript of the Schilpp volume in 1958, he strongly objected to this usage, remarking that it showed “ignorance of elementary logic” (UCLA, Box 1, Folder CC3). We have accordingly followed the typographical usage of most English-speaking countries outside the US of placing such periods and commas outside the quotation marks. Typography. The typographic style of chapter and section heads has been regularized, but we have retained Carnap’s original numbering and lettering of heads. Small type has been retained where Carnap used it to indicate examples or digressions. Spacing emphasis (g e s p e r r t e S c h r i f t) in the original texts has been changed to italics throughout. Some of the editorial notes record Carnap’s marginalia in his personal copies; in such notes, underlining is typeset as italics, and double underlining as boldface. The merely typographic 441

442

Textual Notes

emphasis of proper names (common in German texts) has been removed. We have uniformly set titles of books and journals in italics and titles of articles between quotation marks, except in Carnap’s own bibliographies. Moreover, all variables and mathematical formulas are set in mathematical italics. Page references to Carnap’s own works have not been changed. Textual Notes. Substantive changes to the texts are recorded below. For each text, the copy-text (CT) is that version of the text that was used as the source for the present edition. For two of the texts (1918a and 1922a), marginal notes in Carnap’s personal copies were incorporated into the text. Where the printed text differs from the copy-text, other than in the accidental aspects listed above, such changes have been recorded and keyed to the text by page and line number. For instance, a note such as 34:5 auch eine andre] auch andre CT indicates that the editors changed “auch andre” in the copy-text to “auch eine andre” in the version printed here. The place where this change appears in the text is p. 34 of this volume, 5th line from the top (not counting the running head). An annotation such as 4:24 werden RC] wurden CT means that the occurrence of “werden” on p. 4, line 24 replaces “wurden” in the corresponding place in the copy-text, because Carnap indicated so in his personal copy.

1918a

Völkerbund — Staatenbund

The copy-text (CT) of 1918a is 1. Poli- cilled in. These have been incorpotischer Rundbrief (5. Oktober 1918), rated into the printed text. p. 4 and 4. Politischer Rundbrief 6:5 Überstimmung RC] Überein(23. Oktober 1918), p. 15–16. Carstimmung CT nap’s personal copy (RC) is preserved 6:25 werden RC] wurden CT in the ASP 110–01–01 and 110–01–04, 8:1 dilettantische] dilletantische on which a few changes have been penCT 8:5 erst RC] auf CT

1921a

Wer erzwingt die Geltung des Naturgesetzes?

The copy-text (CT) of 1921a is the 26 July 1921 evening edition of Münchner Neueste Nachrichten, vol. 74, no. 310.

12:20 Willen, der] Willen, Der CT 14:27 Henri] Henry CT 16:27 bilden] bildet CT

Textual Notes

1922a

Der Raum

The copy-text (CT) of 1922a is Rudolf Carnap, Der Raum. Ein Beitrag zur Wissenschaftslehre, Kant-Studien, Ergänzungshefte, Nr. 56, Berlin: Verlag von Reuther & Reichard, 1922. A copy of this (RC) is preserved in the ASP 111B–37, on which a few changes have been pencilled in. These have been incorporated into the printed text. Abbreviations in Anhang II. Literatur-Hinweise [[Appendix II. Pointers to the Literature]] have been expanded. 24:4 Mathematische] Mathem. CT 24:6 R 3t ] R t CT 24:21 Relativitätstheorie (56) RC] Relativitätstheorie (54) CT 30:30 drei] beiden CT 34:45 auszudrücken] auzudrücken CT 36:27 Beziehung] Bez. CT 36:42 auch eine andre] auch andre CT

1923a

42:28 hyperbolischer] hyperbol. CT 42:28 parabolischer] parabol. CT 42:28 elliptischer] ellipt. CT 42:29 sphärischer] sphär. CT 44:13 gemeinsamer] gemeinmeinsamer CT 56:11 fordern, daß] fordern, das CT 56:33 Der bekannte Hilbertsche] Dem bekannten Hilbertschen CT 76:35 mit einer Erfahrungstatsache] mit keiner Erfahrungstatsache CT 88:7 1 und 3] 1 uud 3 CT 110:37 cos2 RC] cos CT 112:1 als gerade festgestellt] als Gerade festgestellt CT 139:42 Henri] Henry CT 144:33 Husserl RC] Husserll CT 148:29 Wellstein [260] RC] Wellstein [205] CT 150:2 Husserl [119] RC] Husserl [91] CT 156:12 geometry] g. CT

Über die Aufgabe der Physik und die Anwendung des Grundsatzes der Einfachstheit

The copy-text (CT) of 1923a is KantStudien 28 (1923), pp. 90–107. On p. 106 and thereafter, Carnap abbreviates “Zuordnungsbeziehung” by “Z.-B.”; these occurrences of “Z.B.” have been spelled out. 214:42 Fixsternsystem] Fixternsystem CT

1924a

443

224:15 Allgemeine] Allg. CT 224:32 Komponenten] Komp. CT 224:33 elektrischen] elektr. CT 224:33 magnetischen] magnet. CT 226:1 Relativitätstheorie] Rel.-Th. CT 238:16 angegebenen] angegeben CT

Dreidimensionalität des Raumes und Kausalität

The copy-text (CT) of 1924a is An- schen Kritik 4 (1924), pp. 105–130. nalen der Philosophie und philosophi-

444

Textual Notes

The table of contents has been reformatted slightly and the heading “Inhalt [[Contents]]” inserted. 264:12 keine] kein CT

1925a

Über die Abhängigkeit der Eigenschaften des Raumes von denen der Zeit

The copy-text (CT) of 1925a is KantStudien 30 (1925), pp. 331–345. 304:13 a 0 , b 0 , c 0 ] a 0 b 0 c 0 CT 306:14 Literaturverzeichnis] Lit.Verz. CT

1926a

274:37 C 1 ] c 1 CT 276:29 vorhandener determinierender] vorhandenen determinierenden CT

308:34 mathematischen] mathemathischen CT 312:22 Relativitätstheorie] R.-T. CT

Physikalische Begriffsbildung

The copy-text (CT) of 1926a is Spaced and boldface emphasis in the Rudolf Carnap, Physikalische Be- Index has been set in italics. griffsbildung, Wissen und Wirken: 354:11 selbständiger] selbstständiEinzelschriften zu den Grundfragen ger CT des Erkennens und Schaffens, vol 39, 364:11 kälter] kältere CT Karlsruhe: Verlag G. Braun, 1926. 372:17 andrer] andern CT The Table of Contents has been moved 384:39 elektrisches] elektr. CT from the back (p. 66) to the front. 422:20 (1904) 1906] (1906) 1921 CT

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Index of Names

A Arden, Brigitta, ix, xii, xix, 173 Aster, Ernst von, 144, 150, 152, 156, 160, 166, 168, 170 Auerbach, Felix, 172 Avenarius, Richard, xxxvii, 291 Awodey, Steve, ix, xi, xii, xxi, 10, 18, 184

Carus, André W., viii, xii, xli, 172, 184, 199, 242, 245, 295, 327 Cassirer, Ernst, xxvii, 144, 146, 148, 152, 154, 156, 158, 160, 162, 164, 166, 170, 175, 176, 182, 203, 204, 293 Celsius, Anders, 433 Christiansen, Broder, 150, 152, 166, 168 Clifford, William Kingdon, 156, 162 Cohn, Jonas, 146, 148, 150, 152, 164, 170, 172 Comte, Auguste, xxvi, xxvii Cornelius, Hans, 152, 158, 160, 170 Couturat, Louis, xxxi, 120, 144, 146, 148, 150, 154, 156, 166, 168 Creath, Richard, ix, xi, 439 Curiel, Erik, xi, 326, 327 Czolbe, Heinrich, 162

B Bädeker, Wilhelm Karl, 172 Barthel, Ernst, 158 Bauch, Bruno, xiv, xxvii, 146, 160, 162, 164, 166, 168, 170, 172, 203 Becher, Erich, 160 Behmann, Heinrich, xiv Bergmann, Hugo, 146, 148, 156, 168 Bergson, Henri , 439 Bernstein, Felix, 148 Bittel, Karl, xxiv, xxv, 10 Bohr, Niels, 435 Bolyai, János, 152, 177, 180, 186 Bolzano, Bernard, 148 Bonola, Roberto, 152, 168 Born, Max, 152, 156, 158, 162, 168 Burkhardt, Heinrich, 148

D D’Alembert, Jean Baptiste le Rond, 222 Dean, Edward, ix, xii, 178, 326, 428 Dedekind, Richard, 146, 148, 174–176 Dehn, Max, 154 Delboeuf, Joseph Rémy Léopold, 152, 170 Delisle, Joseph-Nicolas, 433 Desargues, Gérard, 44, 48, 50, 178 Diederichs, Eugen, xiii Dingler, Hugo, xxiii, xxvii–xxx, 12, 14, 16, 18, 146, 156, 158, 160, 162, 164, 168, 188, 189, 192– 194, 198, 199, 201, 210, 212, 214, 216, 222, 234, 236, 238, 242–244, 290

C Cantor, Georg, 146, 148, 176 ˇ Capek, Milic, 439 Carnap Thost, Erika, viii Carnap Thost, Hanneliese, viii, xvii Carnap, Anna Dörpfeld, xiii Carnap, Elisabeth, xiii, xv Carnap, Ina, xv, xvii Carnap, Johannes Sebulon, xiii

469

470 Dittrich, Ernst, 156, 170 Dörpfeld, Wilhelm, xiii, 10 Driesch, Hans, xxxii, 54, 120, 146, 148, 150, 152, 154, 160, 164, 168 Du Bois-Reymond, Paul, 148 Duhem, Pierre, xli E Einstein, Albert, xiii, xxviii, xxix, xxxiv, 18, 42, 76, 106, 156, 158, 160, 162, 181, 189, 190, 199, 201, 202, 224, 244, 290, 433, 438 Engel, Friedrich, 152, 158 Enriques, Federigo, 148, 150, 154, 156, 158, 164, 166 Erdmann, Benno, 168 Erzberger, Matthias, 4–7 Euclid, 30, 42, 56, 150, 152, 180, 186, 187, 198, 308, 327 F Feigl, Herbert, xv, xvi, xli Flamm, Ludwig, 162, 199–201 Fraenkel, Adolf, 146, 148 Frege, Gottlob, vii, xiii, xxvii, xxxi, 144, 146, 148, 150, 172–175, 306, 326, 431 Freundlich, Erwin, 162 Friedman, Michael, xii, xli, 172, 208, 242, 290 G Gabriel, Gottfried, ix, xi, 327 Gätschenberger, Richard, 144, 146 Gardner, Martin, xvii Gauss, Carl Friedrich, 62, 90, 92, 106, 152, 166, 168, 183–186, 192, 193 Geißler, Kurt, 144, 146, 148, 150, 152, 160, 168, 170 Geiringer, Hilda, 152, 156, 160, 162, 168 Gerstel, Adolf, 152, 166, 170 Geyser, Joseph, 150 Gödel, Kurt, vii, viii, xiv, xv Goethe, Johann Wolfgang, 436, 437 Gomez, Rodney, ix Graßmann, Hermann, 144, 148 Graßmann, Hermann jr., 148

Index of Names Graßmann, Robert, 148 Grandits, John, xxi Gray, Jeremy, xii, 184 Greenstreet, William J., 198, 199 Grünbaum, Adolf, 197 H Haas, Arthur, 162, 234 Hafner, Johannes, 242 Hahn, Hans, xv Halsted, George Bruce, 198 Hamilton, William Rowan, 222 Hankel, Hermann, 148 Harootunian, Darin, ix Hartmann, Eduard, 152, 170 Hartmann, Nicolai, 146 Hausdorff, Felix, 146, 148, 152, 160, 164, 170, 187, 208, 228, 244, 316, 324 Haussner, Robert, 172 Heath, Peter, 172 Heffter, Lothar, 172 Heidegger, Martin, xiii Heis, Jeremy, xii, 184 Helmholtz, Hermann, 106, 120, 152, 154, 156, 158, 160, 162, 166, 168, 186, 197, 199, 205, 206, 433 Henry, Victor, 148, 150, 152, 160, 170 Herbertz, Richard, 148, 160, 168 Hertling, Georg Graf von, 6, 7 Hessenberg, Gerhard, 146, 148, 152, 174 Heymans, Gerardus, 152, 162, 166 Hilbert, David, xxxiii, 56, 60, 62, 144, 146, 148, 150, 173, 181–183, 203, 224, 244, 437, 438, 443 Himstedt, Franz, 172 Hölder, Otto, 150, 156, 160 Hönigswald, Richard, 158, 160, 166, 168 Hudson, Leslie, ix Hume, David, xxxvii, 248 Husserl, Edmund, vii, xiv, xxxii, 54, 114, 118, 122, 144, 146, 150, 164, 166, 179–181, 202, 204–207, 326, 443 I Isenkrahe, Caspar, 148, 152, 168

Index of Names J Jakowenko, Boris, 144 Jeffrey, Richard, xviii K Kaluza, Theodor, 224, 266 Kant, Immanuel, xxx, xxxi, xxxiv, xxxv, xxxvii, xli, 12, 18, 24, 54, 118, 120, 122, 126, 166, 168, 179–181, 190, 203, 204, 207, 208, 222, 250, 254, 293, 298, 434 Kepler, Johannes, 222 Kernberger, 8, 9 Kerry, Benno, 146, 148, 152 Kienzler, Wolfgang, ix, xii, 172 Killing, Wilhelm, 150, 152, 154, 160, 168, 197 Kirschmann, August, 152, 156, 160, 166, 168, 170 Klein, Felix, xxxi, 144, 146, 148, 150, 152, 154, 156, 177, 180–182, 186, 188 Kleinpeter, Hans, 156, 160, 166, 168 Kneser, Adolf, 164 Knuth, Donald, xxi König, Edmund, 150, 152, 154, 160, 164, 166, 170 König, Julius, 146 Korselt, Alwin Reinhold, 148, 150 Kotzsch, Hans-Christoph, ix, xii, 295 L Lakatos, Imre, xvii Lambert, Johann Heinrich, 186 Lamport, Leslie, xxi Laplace, Pierre-Simon, 220, 242 Laue, Max von, 224 Leibniz, Gottfried Wilhelm, xxvii, xxx, xxxi, xxxix, 114, 144, 154, 156, 164, 168 Lenard, Philipp, 224 Lewin, Kurt, xiv, 322 Lie, Sophus, 150, 186, 205, 206 Liebmann, Heinrich, 152 Liebmann, Otto, 156, 168 Lindemann, Ferdinand, 144, 152, 154, 158, 212 Lipschitz, Richard, 197

471 Lobachevsky, Nicolai Ivanovitch, 42, 152, 166, 177, 180, 186 Lorentz, Hendrik Antoon, 191 Lotze, Hermann, 152, 154 M Mach, Ernst, xxvii, xxviii, xxxvii, 76, 156, 168, 291, 386, 434, 438 Mainzer, Julius, 18 Malament, David, xi, xxx, 200, 338 Mally, Ernst, 146 Mancosu, Paolo, 242 Maxwell, James Clerk, 216, 222, 226 McNulty, Mia, ix Medicus, Fritz, 152, 156, 158, 166, 168, 170 Meinong, Alexius von, 156, 166, 168 Mie, Gustav, 224, 244, 437 Mill, John Stuart, xxvii Minkowski, Hermann, 84, 162, 191, 272, 298, 300, 320 Mises, Richard von, xvi Mollerup, Johannes, 150, 152 Momtchiloff, Peter, viii, xii Mongré, Paul, 187, 228 Mormann, Thomas, xii, 184, 188 Morris, Charles, xvi Müller, Aloys, 158, 164, 168, 170 Müller, Emil, 148, 156 N Nagel, Ernest, 178 Natorp, Paul, xxvii, 146, 148, 152, 154, 156, 158, 160, 166, 168, 170, 203, 293 Nelson, Leonard, 146, 150, 160, 166, 168 Neurath, Otto, xv, xvi Newton, Isaac, 14, 16, 18, 189, 197, 201, 202, 214, 216, 222, 224, 234, 436, 437 Nietzsche, Friedrich , 432 Nohl, Herman, 172 O Ostwald, Wilhelm, xxvi, xxvii, 114, 146, 152, 156, 158, 164, 226 P Palagyi, Melchior, 162

472 Parakenings, Brigitte, ix, xii Pasch, Moritz, 150, 152, 154, 164, 181 Peake, April, xii Peano, Giuseppe, xxxi, 144, 146, 148, 174, 222, 284, 306 Peirce, Charles S., 326 Petzoldt, Joseph, 158, 160, 162, 168, 291 Pieri, Mario, 148 Pietzker, Friedrich, 152, 154, 160, 170 Pincock, Chris, 242 Playfair, John, 182 Poincaré, Henri, xxvii, xxviii, xxx, xli, 14, 108, 120, 144, 150, 152, 154, 156, 158, 160, 164, 168, 170, 188, 198, 199, 210, 212, 290, 438 Poincaré, Lucien, 156 Popper, Karl Raimund, xv–xvii Pythagoras, 56 Q Quine, Willard Van Orman, vii, xv, xvi Quinnell, Caroline, xii R Ramsey, Joseph, xxi Reck, Erich, xi, xii, 175, 184 Rehmke, Johannes, 252 Reichenbach, Hans, xiv–xvii, 152, 162, 201, 291, 322 Reye, Theodor, 154 Richardson, Alan, xii, 172, 184, 428, 439 Richter, Daniel, ix, xii Rickert, Heinrich, xiii, 146, 172 Riehl, Alois, 150, 152, 168, 170 Riemann, Bernhard, xxxiii, 42, 62, 90, 106, 120, 144, 148, 152, 154, 162, 166, 177, 181–190, 192, 193, 201, 204, 205, 207, 208, 224 Rowley, Jonathan, xii Royce, Josiah, 144, 146 Russell, Bertrand, vii, xiv–xvi, xxxi, xxxiii, xxxvi, xxxvii, 144, 146, 148, 150, 152, 154, 156, 160, 164, 168, 170, 175, 228, 282, 306, 322, 327, 432 Ryckman, Thomas, 242

Index of Names S Schilpp, Paul Arthur, xvi, xvii Schlick, Moritz, xiv, 144, 150, 156, 158, 160, 162, 166, 168, 190 Schlimm, Dirk, ix, xi, xii, xxi, 184 Schlotter, Sven, ix, xii Schmied-Kowarzik, Walther, 148, 150 Schmitz-Dumont, Otto, 148, 152, 154, 168 Schöndube, Elisabeth, see Carnap, Elisabeth Schoenflies, Arthur, 146, 148 Scholz, Erhard, xii, 183–185 Scholz, Heinrich, xii, xl Schopenhauer, Arthur, 320, 327 Schröder, Ernst, xxxi, 146, 306, 326 Schultz, Julius, 168 Schur, Friedrich, 150 Schwarzschild, Karl, 106, 158, 199, 201 Segre, Corrado, 154 Sellien, Ewald, 150, 162, 168 Shimony, Abner, xviii Sigwart, Christoph, 148, 152, 160, 166, 168 Simon, Max, 152, 168 Sommerfeld, Arnold, 435 Sorkin, Rafael, 338 Stallo, Johann Bernhard, 148, 150 Staudt, Georg Karl Christian von, 154 Stein, Howard, xi, xii, 184, 435, 438 Steiner, Jacob, 154 Sterneck, Robert von, 150 Stöger, Ina, see Carnap, Ina Stolz, Otto, 146, 148 Stopple, John, ix Study, Eduard, 150, 152, 156, 158, 166, 168 T Tarski, Alfred, xv, xvi Tecusan, Manuela, xii Tietze, Heinrich, 148, 154 Tilbury, Dominic, ix Tobias, Wilhelm, 166 Tolley, Clinton, xi, xii, 184 Torretti, Roberto, 178 Treuper, Henning, 242 V Vahlen, Karl Theodor, 144, 152, 154

Index of Names Vaihinger, Hans, xxxv, xxxvii, 248, 291, 292 Veblen, Oswald, 148, 150, 154 Veronese, Giuseppe, 144, 146, 148, 150, 152, 154 Volkmann, Paul, 160 Vollmer, Karl, 172 Voss, Aurel, 146, 148, 150, 152 W Wagner, June, ix Wagner, Pierre, xi, xii, 184 Weber, Heinrich, 146, 148 Weierstraß, Karl, 148 Weinstein, Max W. Bernhard, 152, 158 Wellstein, Josef, 144, 148, 150, 152, 154, 156, 158, 160, 166, 168, 443 Wernicke, Alexander, 148, 150, 152 Weyl, Hermann, 146, 148, 152, 162, 182, 199, 202, 205, 206, 208, 224, 236, 250, 336, 437 Whitehead, Alfred North, xxxvii, 144, 148, 150, 306, 322, 439 Wien, Max, xxx, 172 Wien, Wilhelm, 158, 160 Wiener, Otto, 226, 234, 236 Wilson, Herb, 242 Wilson, Peter, xxi Wittgenstein, Ludwig, vii, xiv, xv, xxxii, xxxviii, xli Woien, Sandra, ix Wundt, Wilhelm, 148, 160, 168, 294 Z Zach, Richard, ix, xi, xxi, 242 Zermelo, Ernst, 148 Ziehen, Theodor, 146, 252, 294

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