Teoria e Tecnica delle Costruzioni - Vol I [1, 6 ed.]

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Giangreco 3 4.pdf
Elio Giangreco - Teoria E Tecnica Delle Costruzioni - Stati Limite E cemento armato - Parte III
Giangreco Elio Parte IV - Il calcolo delle sezioni in cemento armato precompresso

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Teoria e tecnica delle costruzioni Elio Giangreco 1^ parte I materiali: il calcestruzzo e l'acciaio

2^ parte

Il calcolo alle "tensioni ammissibili" delle sezioni in calcestruzzo armato

3^ parte

Il calcolo agli "stati limite" delle sezioni in calcestruzzo armato

4^ parte Il calcolo delle sezioni in calcestruzzo armato precompresso

Elio Giangreco - Teorie e tecnica delle costruzioni

Pag. - 3 -

Parte terza Il calcolo agli "stati limite" delle sezioniin cementoarmato

Capitolo nono La sicurezzastrutturale

9.1. Cenni storici e presentazione del problema Il concettodi sicurezzae quindi i codici e le norme sulla sicurezzadelle costruzionirimontano probabilmenteai primordi dell'attività stessadel costruire,associandosi automaticamentealla responsabilità,in casodi crolli e l'idea della danni, stessa sictrezza. Sembraaccertatoche tale problema fosse molto sentito dagli antichi babilonesiai quali è attribuito quello che si può ritenereil primo codicein materia,il codice Hammurabi degli anni 2100 a.C. il quale prevedevala condannaa morte del costruttorenel casodi decessodegli abitanti a causa del crollo del manufatto. È inoltre ben noto che i Romani avevanodelle normemolto preciseper le costruzionimilitari. I primi studi a caratterescientificosulla resistenzadei materiali e delle strutturesono dovuti a Galileo (1638), che esaminòsperimentalmentee teoricamente la resistenzaa rottura di travi in casodi trazione o flessione. Nel secolodiciottesimofurono sviluppatericerchesulla resistenzaa rottura di archiin muratura (Coulomb 1773),ma solo nel diciannovesimosecolofu studiatoa fondo il problema base della sicurezzadelle strutture, e cioè quellodellaresistenzadel materiale.Venneroinfatti formulati i piir importanti criteri, a tutt'oggi usati, intesi a caratterizzarelo statodi crisi puntuale delmateriale.Vanno ricordati anzitutto i criteri cheimpongonodellelimitazioni solo allo stato di tensione,quali ad esempio: -

-

criterio delle massimetensioni principali: la crisi del materiale,intesa come snervamentoo rottura, è attribuita al massimovalore assoluto delletensioniprincipali(Lamé, 1833;Rankine,1875); criteriodell'attrito interno: la crisi è dovutaal superamentodi un valore limite, funzione del rapporto fra tensionetangenzialee normale(Coulomb, 1776;Mohr, 1882);

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Teoria e fecnica delle costruzton!

-

I

criterio dera massimatensionetangenziale: la crisi è attribuita ar varore massimodella tensionetangenziale ff..r.", flij;ì. Venanr,lg72). Con lo studio deì comportamento elasticodei materiali il concetto di resÌsrenza punruale*.r. a quello Ji ,r*rr.l*" del materiale, dando luogo ad esempioai :.^r^l^:g1r:. seguentiben noti crite;i ;;-s;curezzapuntuale: -

-

criterio della massima, dilatazione:la crisi è dovuta all,allungamento puntuate massimosubito dat _"r*i"i" ìpo;;;;;i, ,rrr, Grashof, criterio dell,energiadi -deformazione;la crisi è dovuta ad eccessodi energiaetasticaassorbita. dat.m^ateriaie te.rii"Àill's85); crireriodelt'energia elastica.dif".rn",:;bi:;ji;;;,0, energiadi de_ rormazione dovutaa u1,,_u:i:l:

di f;;;;;;";iiih" e ..rpon.uul. dellacrisi(Huber,1904; V. Mises, ìSjl, ù"".k" iilq.

Dai criteri di crisi richiamati e dallo sviluppo della teoria dell,elasticità ebbe origine il concetrodi

,".".*, lnl'.l"lJií:L*lf ,:,#:il: l:iilffiliJiJ',::a 3:il**j,1fifi

Al successivo approfondimento.d€llo studio del comportamentodei ma_ teriali ortreil rimite elastico.e,cioè del;;;;;;ìt":iico del materiale fino alla rottura, è dovuta la ,

za,cheviene"Jil;til;;;:ffiil::TiJ:l:,'i$,""T:i:H:,,.;1f TT; mareriare, maneiriiuardid.ii;;il;-; pTrte o ael,tntera

l,:ilnT.."

Le prime formulazionisul vensonofatterisatirea Kirsr(19t7).e ^calcoloa rottura di struttureiperstatiche " i";;;;; ù;ó;" sotodopora seconda guerramondialesi ebbeil pi.n" ,;i;;;; ;ì;';íirilr,"r" der: il primo restoorsanicosull,argom#o i l"r"riio" ,^"no l94g prima ra=

ÍTí"*1"ÌlTllirnentre

"s.r;;;;;;;;

;;J"1u'n"re4e(Bri-

La successiva evoluzionedel concetto_ di sicurezzaè dovuta all,affermar_ si di una visionepiù realisricaeprecisa del -;0";;;;;;delra struttura, chesi basasuun'analisi

sratisric;o"i *.i.rri Jà'.'rrr;;#;; delmareriare, ""u valu.tazione probabitistica d.l s.ud;;-;ì; ;;;;;, ;;"struuura: :,,:l grungecosialla visionepiù moderna si a.l _*"tt. aì'ri"".i,iiru "n"viene ad essere direttamente colegato"on tap.ooauiiiia;iÀìla;; a1,,"struttura,o quantomenodellasualuoriuscita diservizio. i.,.*. ràrfii statistiche sui

La sícurezzaslruttufale

259

carichiagenti sulle strutture e sulla resistenzadei materiali sono dovute a Levi (1950)e Freudenthal(1956).L'approccio semi-probabilisticofu introdotto da Vr'ierzbicki(1946),mentrei primi studi di tipo probabilistico,intesi a valutare la probabilità di collassodella struttura, sono dovuti a Levi (1953),Torroya (1959),Freudenthal(1960). i Da quanto detto si può asserirecheallo stato attualedelleconoscenze, principidellasicurezzastrutturalepossanofondarsisutre diverseconcezioni: - il criterio delle tensioni ammissibili; - il metodo della verifica a rottura; - il procedimentosemiprobabilisticoagli stati-limite. Il primo criterio prestail fianco a numerosecritiche fra le quali la più importanteè quelladi limitare la verifica a puntetensionalicheinsorgonoin determinatefibre di determinatesezionimaggiormentesollecitate,restando al di sotto dei valori ammissibiliconvenlargamenteed antieconomicamente zionalila maggiorparte delle sezionidella struttura. Inoltre non può venir chiaramenteevidenziataI'influenza di coazioni impresse,soprattutto al di fuori del campoelastico.Per quanto riguarda poi I'esamedel solo comportamentoin serviziodelle strutture, non semprepuramenteelastico,è chiaro cheil metodonon garantiscenemmenoil proporzionamentopiù conveniente nei riguardi della sicurezzaa rottura. Questeconsiderazionicontribuisconoa ribadire cheil metodo delletensioni ammissibilinon può costituire I'unico fondamento di una moderna normativa,pur dovendosiriconoscereche, per taluni aspettidel comportasenon altro per la mentodellestrutture,essosi presentaancorainteressante, metodi di verifica mediante la teoria degli stati limite. mancanzadi adeguati Per quanto riguarda la verifica a roîtura il procedimentodisponibileè quello del che corrispondead una situazionestatica ben definita, e che consenteeffettivamentedi conseguireun dimensionamento efficaceai fini della resistenza.Anche a tale metodo possonoperaltro muoversialcunecritiche fra le quali la piir importante è che, preoccupandosi a rottura, non si è automaticamentegarantiti per un della sola siclurezza soddisfacente comportamentoin condizioni di esercizio. Ad ambeduegli anzidettiprocedimentiva poi addebitatodi non tenere in alcunconto il caratterealeatoriodellediversegrandezzein gioco, quali le azioniesternee le caratteristichedei materialida cui dipendeessenzialmente il comportamentodella struttura. Inoltre, operandosiin ambeduei casi con ampi fattori di sicurezza,si

260 Teorío e tecnico delle costruzíotu

lascia ai vari responsabilidel processocostruttivo la sensazionedi poter disporreciascunoa proprio vantaggiodi un largo margine. Sulla basedelle considerazionifatte va riconosciutoche una corretta impostazionedel problemadellasicurezzadevetenerpresentetutti gli aspetti del comportamentodella costruzionee per ciascunodi essiprevedereun metodo di verifica che prenda in conto tutti gli elementidi incerfezza. La prima esigenzapuò veniresoddisfattaattraversouna opportunadefinizione e classificazionedegli stati limite, ovvero di quelle situazioni che corrispondono a soglie di funzionalità della costruzione;e su questo si ritornerà nel paragrafo che segue. questione può venirrisoltaimpostandola verifica,per quanLa seconda to possibile,su metodi probabilistici, e cioè attraversoil controllo della probabilità che vengaraggiuntouno stato limite in relazione,ad esempio, alle effettive resistenzedei materiali impiegati rispetto ai valori assuntiin sededi progetto ed all'intensità dei carichi e delle deformazioni impresse prevedibili.Nella pratica tecnicatale criterio risulta inapplistatisticamente cabile per la mancanzadi dati statistici ad es. sulle variabili menzionatee quindiper I'impossibilità di esprimere tuttele incertezze in valoridi probabi, lità. Si adottaperciòuna soluzionedi compromesso con la qualesi rinunzia a calcolareuna probabilità di raggiungimentodi uno stato limite, ma si opera ricoprendo una parte delle incertezzecon dei coefficienti forfettari, ovvero, praticamente,introducendodelle grandezze significativedal punto di vista probabilisticoche sono ed sui ouali si torneràal nar. 9.3. 9.2. Definizione e classificazionedegli "stati limite" Gli stati limite sonodellesituazionia partire dalle quali la costruzioneo una delle sueparti cessadi assolverela funzione alla quale era destinata,e per la quale era stataprogettatae costruita.Pertantola sicurezzadovrebbe caratterizzarela probabilità che questi stati non siano superati. Il modo di ragionare in presenzadegli stati limite ed in funzione del probabilismoè il seguente: -

definire i fenomeni che si vogliono evitare, cioè gli stati limite; stimarela gravità dei rischi legati a questi fenomeni; dedurre delle regole da seguireaffinché la probabilità di ognuno di questi fenomeni sia dportata ad un valore molto basso, per essere accettatain funzione della stima del rischio.

LQ sicurczzo slrutlLtrule 261

Ladefinizionedeitènomenidaevitarecompoltaunasuddivisionefra comportala rovinaimmediatacon un statilimiteultimi, il cui superamento limite di esercizio'il cui ,ir.t io .f.uu,o di perditedi vite umane,e gli stati la fuoriuscitadi serviziodi elementidellacostruzio;;;;;;;;.".iorta con possibilità pubblica'e spesso ".?tr^ ."*o-Àissione dell'incolumità -' ^riutilizzodi certeparti della struttura' di la strutturafornisca eiuiproporito è ài notevoleimportanzail fatto che imminente'comepure che o menoindicazioniclrcaun suo st;to di crollo god"t" di una certa ridistribuzionedelle sollecitazioni ;;;t;;;;;;o nel grado di rischioaccettabile' '--'-p.i,uito interne. Questocomporlauna differenza sr possono usualmente gli stati limite chedevonoconsiderarsi alle due categorle: ascrivere al valoreestremodellacapacitàporl) statilimite ultìmi, corrispondenti tante; di impiegonormalee di z) sluJìl-ite di esercizio,legati alle esigenze durata. ìe sonoad esernpio Le causechepossonoprodurregli statilimite ultimi seguenti: dellastrutturaconsideraperdìtadi stabilitàdi una parteo dell'insieme ta comecorPorigido; - io,,utu locaiiztaia della struttura per azioni statiche; una sua parte ln un collassoper trasformazionedella strutturao di meccanlsmo; instabilitàPer deformazione; ...... rottura localizzaladella struttl'ua per Iatlca; o scorrimentodi giuntí plastlcao di fluage,lessurazione deformazione checonducanoadunamodificadellageometria,taledarendereneces. ,u.iutusortiturionedellastrutturaodisuepartifondamentalil della la sostituzione o corrosionecherendanonecessaria aagruJutione struttura o di sueparti fondamentali; per effetto di azioni ripetute; collassoincrementale collassoper effetto del fuoco o di esplosionietc'

-

dai seGli stati limite di eserciziopossonoessereinvececaratlerizzati guenti fenomenl: -

normaledella struttura; per una utilizzazione deformazionieccessive

262 Teoia e tecnica delle costtuzioni

tessurazrone prematurao eccessiva; degradazioneo corrosione; spostamentieccessivisenzaperdita dell'equilibrio: vibrazioni eccessive etc. Il raggiungimentodi uno statorimite può essereprovocatodall'intervento concomitantedi vari fattori di caratterealeatorio quali quelli anzidetti, relativi alla valutazionede|a resistenzadei materiari;delle azioni esterne. L'obiettivo delle verifiche di sicurezzaè di mantenerela probabilità di raggiungimentodello stato limiter consideratoentro il valore prestabilitoin relazione al tipo di costruziole preso in esame,alla sua influenza sulla incolumità delle personeed alla previstadurata ài esercizio 9.3. Le verifiche di sicurezza: i valori caratteristici ed i valori di calcolo Per poter effettuare,sulla basedi quanto esposto,le verifiche agli stati limite ultimi ed agli stati limite di esercizio,occorrepartire dalle ipotesi di carico, e cioè conoscerepreventivamentele azioni'-F-da considerarenene

'

I pdncipali criteri in baseai quali si può sceglieretareprobabilitàsono di diversanatura: cÍiteri economici,essenziali quandosi rratta ad es.di valutareI'impossibilitàdi riutiliz_ zo dellacostruzioneper un certoperiodo,ma non esclusiviquandoia sceltadel livello di sicurezzapuò metterein giocodellevite u-ane. Da essiscaiuiiscelinozone rmportan_ te.di di progetto di una costruzione; criteri -analogici,chepossonoconsentirela sceltadel grado di sicurezzaparagonandolo ai.riqultatiosservati.e alle regoleammesse in altri cimpi a.ifìi"g.e;.riu; cnrtn gtundtct.chectevono cercare di adeguarsi semprepiù allaconcezione probabilisti_ ca, svincolandosidalla forte carica deterministicadi iui oggi risentono ie leggi e le sentenze,e tenendopresenteche il limite tra erroreed approis-imazione non puó ess"re netto e I'efiore ed il casointervengonospessosimultaneàmente in quasitutti gìi inciden_ criteri morali, il cui apportoè ess€nziale in quelledecisionichepossonomettereln gioco vlte umane.

Sonoquestii principisui quali si inseriscono tuLtii tentalivipiit moderntdi normarivaa ,.vrllo lnternaztonale e.suiquali si ritienelogicobasareancheil regolamenro italiano. iqt ogni causadi insiemedi cause(carichipermanenri, carichi ..^_,Ìl,ilo',.u":or..,.aaone vanaorl' oerormazlonr rmpresse, etc.)capacidi indurfestati limite in una srruttura.

Lq sícurezzastrutturale 263

verifiche,al fine di determinarele sollecitazioni'S nei vari stati limite' Tali azionipossonocosìclassificarsi: -

azioni dirette (forze), suddivisein carichi permanenti(pesoproprio ed altri carichi fissi) e carichi variabili (carichi di esercizio,vento, sisma,

-

azioni indirette (deformazioniimpresse)quali ad es' variazioni termi che, ritiro, presollecitazioni,etc.; azioni di caratterechimico-fisicodovule ad agentiatmosferici,fenomeni aggressivi,etc.

-

L'adozione del metodo semiprobabilisticoprevede,tanto per le azioni quanto per le resistenze,che: -

-

venganointrodotti i cosiddettivalori caratteristici,owero le resistenze caratteristicheRo e le azioni caratteristiche-Fr; venganotrasformati tali valori caratteristicimedianteopportuni coeffiRe in le resistenze cienti "r- e "y,in valori di calcolo, e più precisamente R" resistenzedi calcolo no: - , e le azioni F* in azioni di calcolo Fo=y.Fp| venganoconfrontati fra di loro i ,verificandochele sollecitazionidi calcolo non superinoquelle compatibili con lo stato limite considerato.

Per quanto riguardale dimensionigeometriche,i moduli elastici(E e G) dei mateiiali ed i coefficienti di dilatazione,essipossonoessereconsiderati su basedeterminicomeparametri da valutare, in prima approssimazione, stica. Vieneinoltre definito t,,^ e quindi F ) llti, I'armatura tesa si momentospecifico1.t1,^. trova, nellecondizionidi rottura, ancorain campoelastico;per tale motivo risultageneralmenteconveniente,a partire da tale valore del momentospecifico, aggiungerearmaturain compressionesì da potereutilizzareintegralrnente,l'aimatura tesa disposta.Nella tabella 10.9 sono quindi riportati i valori delleresistenzedi calcolodell'acciaioper le quali si verifica I'ingresso nellaregióne4. È immediatoosservareal riguardo cheal diminuire delleresistenzedi calcolo i corrispondentivalori limiti di {,. e di p/,. aumentano' Si riportano, qui appresso,alcuneindicazionicircaI'impiegodellatabella nelle diversesituazioni: A) Progetto Flessionesemplice con p { p1i^ Noto il momentoesternoe fissatiÓ,ft e o,cpossonodedursidalla tabella 10.9le Dercentualimeccaniche0'259

La rottura avvienedunquenella regione3 per cui, ponendoú = 0,8095, si ottiene:

12,70x 3304 = 18,85cm 0,8095x25x110 cui corrisponde:

302 Teoria e tecnica delle costruzíoni

t = 9) 9/ , J: 0 . 3 2 8 Il momento ultimo si calcolaimponendoÀ = 0,416: M, = 12,70x 3304 x (57,5 - 18,85x 0,416) = 2083706 k* cm Il rapporto fra momento ultimo valutato agli stati limire e momento resistenteè dunque: 20,8 12J:l'64=1'09x1'5 Comesi può facilmenteosservarein questocaso,la verifica a rottura ha determinato,rispettoalla verifica elastica,un incrementodel 9 per centodel momento di esercizio.Questo risultato era certamenteprevedibile:infatti con I'armatura dispostala verifica elasticaè risultata condizionatadalla tensionenel calcestruzzocompressoessendoI'armatura esuberante.La veri_ fica a rottura invece,consentendoun maggioresfruttamentodel calcestruzzo dompresso,ha permessouna migliore tfilizzazionedellaarmaturatesaed in definitiva un maggioreincrementodel momento di esercizio. Si consideri ora la sezionedi fig. 10.14 dotata di armatura anche in compressione. a) La verifica elasticafornisce: x = 20,71cm I' = 333511cmo W" :

t6fiq cm3 - Mn = 85 x 16104= 136884kscm

wr = 604 cm3 - Mt = 2200 x 604 = 1329572rgcm Il momento di esercizioè pertanto: 13,30tm. b) La verifica a rottura va questavolta eseguitatenendoconto dell,armatura in compressione.Una ulteriore incognita è pertanto la tensione dell'atmatura compressa,valore che può comunquedesumersidalle equa_ zioni di compatibilità. Ci si pone nella regione2.

Stqto limite ultimo per tensioni normali 303 t

2'5

2

5

l

t

-T_

î e ' r = l ó 1 6 = 3 x 2 , 0 1 = 5 , O 3c m 2

A ' = 5 6 1 8 = 5 1 2 , 5 4 = 1 2 , 7 Oc m z

2,5

I

I

I Figura 10.14

l" tentativo. Posto g : 0,20 dalla (10.20)si ottiene:

0,20 - 0,043 = l - 0,20

ti = u'ut

o,oo1e6 , #fr=

o,oo157

e quindi or' = o,, Dalla (10.21) si ottiene

''t "

= -

(12,70-6,03)x3304 = 10,93cm 0,7333x 25 x 110

cuicorrisponde: ,93:n,o ', : 1 0s 7 { Poichési può riteneredi aver ottenuto una sufficienteapprossimazione si calcolail momento di rottura con ì, = 0,39091. Si ha così: M, = 1O,93x0,7333 x 25 x 110 x (57,5 - 0,39091x 10,19)+ + 3304 x 6,03 x (57,5 - 2,5) : 2275340ks cm

304 Teoria e tecnicq delle costruzíoni

Il rapportofta M, ed,M, è dunque: .

22,75

=r,5oxr'r4 ",3o=L'71

Si ha dunque un guadagno del 140/orispetto alla verifica alle tensioni ammissibili.

Capitolo undicesimo Stato limite per taglio

11.1.Generalità Lo studio del taglio negli elementiin cementoarmato è ancor oggi ben lontano dal potersi considerareconcluso,nonostanteil fervore di indagini siateorichechesperimentalicondotteal riguardo. Pur essendoinfatti disponibili, allo stato, dati sufficienti a far luce sui meccanismiresistentia taglio, non si è ancora arrivati alla formulazione di metodologiedi progetto in gradodi tenereconto di tutti quei parametrichel'esperienzaha evidenziato. È importanteosservareinfatti chela rottura per taglio è in realtàuna rottura per l'azi.onecombinata di flessionee taglio, e, spesso,sforzo normale e torsione,la cui esattavalutazioneè particolarmentecomplessa.Tale tipo di rottura risulta purtroppo particolarmenteinsidiosa,sia perchéabbassala resistenza degli elementistrutturali al di sotto dellaresistenzaa flessione,sia perchériduce considerevolmente la duttilità degli elementistessi,provocando a volte rotture repentinecon spiccatecaratteristichedi fragilità. A tale riguardo va sottolineato il ruolo determinantedelle armature trasversali(ed in particolare delle staffe) che, opponendosial progredire dellelesioniinclinate, accresconola duttilità degli elementie permettonodi avereun segnopremonitoredi fenomenidi crollo che risulterebbero,altrimenti, repentini e catastrofici. I 1.2. Meccanismi resistenti Il taglio, fin quando l'elementoin cementoarmato non è fessurato,è equilibrato attraversoil sistemadi tensioniprincipali che si sviluppanonel calcestruzzo,e le armature non partecipanopraticamentealla resistenza. Nel momentoin cui la tensioneprincipaledi trazioneraggiungein un punto la resistenzaa trazione del calcestruzzo,si ha la formazione di fessure

306 Teoúa e fecnico delle costruzioni

Corrente comoresso

Correnteteso

Armatura trasversale com0ressa Figuru I1.1

(dispostepressochéortogonalmentealle isostatichedi trazione) con una radicaleridistribuzionedegli sforzi interni, ed il taglio viene trasmesso da una sezioneall'altra attraversovari e complessifenomeni. In presenzadi armature trasversali,per lungo tempo si è accettatoil classicomodelloteoricopropostodel 1902da Riìter-Mcirsch, costituitoda un trallccto ad aste incernieratenei nodi, con correnti paralleli e bielle di conglomeratodi pareteinclinatedi 45"(fig. I I .l). Secondotale metodosi ha per..tuttala trave un unico tipo di lesioni,inclinatea 45. rispetto all,asse dell'elemento,e la forza di taglio esternaviene interamentefronteggiata dall'armatura trasversale: T:

T(A,)

( r1. 1 )

In assenzadi armaturetrasversali,di conseguenza, secondolo schema del traliccio, l'elementonon potrebbesopportarJalcun incrementodi carico al di là di quello di fessurazione. Moltissimericerchesperimentali,nell'esamecritico di tale schematizzazione, hanno invece dimostrato che il reale comportamentodi una trave sottopostaa taglio si discostasensibilmente dal modelloteoricodel traliccio, risultando inoltre le sollecitazioninelle armature trasversalialquanto piìr cont_enute di quelle previstedalla teoria di Ritter-Mórsch. E stato infatti sufficientementeprovato che il taglio esterno ?" viene fronteggiatooltre chedalle armaturetrasversalifunzionanti comeastetese, anchedal rilevanteinterventodi altri meccanismiresistenti.ln particolare:

Ststo limite per taglìo 307

Í

r. l'-'-l

V

Figura 1l.2

a)

un'aliquota 7",del taglio esternovieneportata dalle tensionitangenziali r che si sviluppanonella zona di conglomeratocompresso. Il valore delle r è funzione sia della variazione della lntensità di C (risultantedegli sforzi di compressione),sia della sua inclinazionep rispettoall'assedellatrave(fig. 11.2).Si ha alloraper f una espressione del tipo: T":x"'b'a(o,z)'sen,P

(11.2)

ln cul:

x" = altezzadella zona compressa,funzionedella percentualedi armatura tesa: b : laryhezza della sezione; a(o, 'r) : tensioneideale di rottura del conglomeratoin uno stato tensionalebiassiale; p = angolo formato dalla risultantedi compressione C con I'assedella trave. Questocontributo a taglio offerto dal correntecompressoè statooggetto, di recente,di molti studi sperimentali,che hanno permessodi formulare alcune proposte per la qtantizzazionedelle incognitepresenti nella(11.2).Di essenon si dirà in questasede,volendosilimitarea una descrizionequalitativa del fenomeno. b) Un'altra aliquota 4 del taglio esternovieneportata dalle stessebielledi conglomeratocompressoche si evidenzianotra due lesioni successive. Esseinfatti, risultando in realtà incastratenel correntesuperiorenon

308 Teoriq e tecnica delle costruzionr

/--

Figura 11.3

già incernierate comenell'ipotesidi Ritter-Mórsch,assorbono una parte della forza verticaleche sollecitale armature d'anima. È stato inoltre sperimentalmentedimostrato che I'inclinazione delle bielle è generalmenteinferiore a 45", dipendendodalla percentualedi armaturatrasversalee dal rapporto tra le rigidezzedel correntesuperiore e dell'anima. Poiché alla diminuzione dell'inclinazionedelle bielle corrispondeuna diminuzionedello sforzo di trazionenellestaffe (compensatoperò da un aumento di quello nei ferri longitudinali), resta chiarito come la tensioneeffettiva nell'armatura risulti più bassadel valoreteoricorelativoal traliccio. Un'altra aliquota f del taglio esternoè portata per B'o'cosB

L ó

senB (l 1.3)

N:XB

o.senB 'B

cosÉ

in cui.B rappresental'area di conlatto di ogni dente, che dipende essenzialmente dall'ampiezzadella lesione,dalle dimensioni,forma e resistenzadegli inerti, nonchédalla eventualepresenzadi forze normali alla suoerficiedella lesione.

Srdlo limírc per nglio

309

Figura I1.4

Il taglio portato per ingranamentodegliinerti è un fenomenodi notevole rilevanza,speciein assenzadi armaturetrasversali:sarebbequestoil meccanismoattraversocui si realizzala trasmissionedel taglio nel conglomeratofessuratoper ritiro, per effetto di variazionitermiche,owero nelle zone di ripresa di getto. d) Un'altra aliquota I, del taglio esternovieneportato per (effetto spinotto>, ossiamediantela resistenzaa taglio offerta dalle barre che attraversanouna fessura,quando si verifica uno scorrimentorelativo tra le faccedi quest'ultima(fig. 11.4). La capacitàportante per è funzione di un elevato numero di fattori e, principalmente,della tigidezzadel conglomerato direttamenteal di sotto della barra (dimensionie resistenzaa frazione del conglomerato),nonchédella distanza4 tra la sezioneinteressatae la prima staffa chelegale barre (fig. 11.5).Solitamentel'effetto spinotto isplica un contributo, relativamenteagli altri meccanismi,di piccola entità ed anzi, innescandolesionidi distaccolungo l'armatura longÍtu-

Figura ll.5

310 Teorìae lecnicadelle costruziont

6) Ltrcor..!

.t ti.sc.{Eao

Figura I1.6

e)

dinale, può incrementarel'apertura delle lesioniinclinatee conseguentementeridurre I'effetto portante per ingranamentodegli inerti. Da questopunto di vista, l'armatura longitudinalenon sostenutada staffe ha l'effetto di innescareprematuramentela rottura del correntecompressodi conglomerato. Un'altra aliquota Z" del taglio esternopuò pensarsitrasmessa,in alcuni casi, per (effetto arco> (fig. 11.6a),mediantela formazione,nella trave, di un arco-tirante.Perchétale comportamentosi possasviluppare, sononecessarie sia cospicuealfezzedi travi cheforti armaturelongitudinali, in grado di assorbirela componenteorizzontaledella sollecitazionenell'arco. In realtàquestodell'effetto arco non è un vero e proprio meccanismodi taglio, nel sensoche non trasmetteazioni taglianti dall'una all'altra sezione.La suapresenzariduceperòil contributo deglialtri meccanismi resistenti.L'esistenzadi questo meccanismoè sperimentalmenteevid.eîziafadalla circostanzache, una volta iniziata la fessurazionedell'anima, le tensioni al lembo superioredella trave diventanodi trazione (fig. 11.6b);ciò dipendedalla circostanza chele sezioniprossimeagli appoggirisultano sollecitatea pressionefortementeeccentrica,con zona compressa sul lemboinferioredellatrave.

Alla luce di quanto espostoinnanzi si potrebbeconcludereche il taglio esterno Z risulta assorbito,oltre che dall'armatura trasversale,anchedai meccanismi resistentiprima descritti,per cui alla (11.1)andrebbesostituita una espressione del tipo:

Stato limite per tqglio 3ll

T = T(A,) + (7, + Tb + T" + Td)

(11.4)

in In realtà la (11,4) rappresentasoltanto una utile schematizzazione, somquantoi contributi dei vari termini non sono a rigore semplicemente mabili, essendoessifortementeinfluenzati da numerosiparametri (tipo di carico,forma della sezione,tipo di fessurazioneche si instauranella trave, etc.)checondizionanodirettamentela resistenzaa flessionee taglio dell'elemento strutturale. I I .3. Meccanismi di rotfura I meccanismicon cui si pervienealla crisi dell'elementostrutturalepossonodistinguersiin due tipi fondamentaliin relazionealle diversemodalità di formazionedei quadri fessurativi.Il primo, per taglio, interessageneralmentel'anima e le fessuresi presentanoinclinatesecondola direzioneortogonalealle isostatichedi trazionee creatensioninellearmaturetrasversali.Il dal raggiungisecondo,per flessione-taglio,è determinatoessenzialmente mento al lembo teso della tensionedi rottura a trazione del conglomerato, con form-azionequindi di fessureverticali che possonogradualmenteinclinarsi, per effetto delle tensioni tangenziali. La presenzadell'uno o dell'altro tipo di lesionedipendeevidentemente dalla geometriae dalle caratteristichedella sollecitazionedella sezioneM e L lnfatti il problemadella formazionedellelesioniinclinateè retto dalla z. nell'anima,mentrequello dellefessureverticalidalla tensionedi trazionenel calcestruzzoú",i lali $aîdezze possonoesprimersinel seguentemodo:

î" =

T

b&. xt M

od = -)'x) bn'

( 11 . s ) (11.6)

dove 1, e 1, sono funzione della forma della sezione,della percentuale,di armatura e delle caratteristichedei materiali. PonendoXt = Xz/Xrdalle(11.5),(11.6)si otiiene: o"t

_

Mbo

xtrhb

(11.7)

312 Teoriqe tecnicadelle costruzio t

H

rbol +1---t.F Ítgura I t. /

ier ridotti valori di tale rapporto vi è da attendersila fbrmazione di lesioni inclinate, in quanto è predominanteI'effetto del taglio; per elevati valori è inveceda attendersila formazionedi meccanismicon lesioniverticali. Si evincedunque che il tipo di rottura dipende sia dalla forma della sezione(attraversoarbo/b), che dal valore assuntodal rapporto M/Th, iI qualecommisural'importanza del momentoflettenteall,entità dello sforzo di taglio. Nel caso della sezionerettangolare,in cú bo/b : l, stantela debole dipendenzadi 1, dai materiali e dal quantitativo di armatura, il parametro che reggeil problema è evidentemente M/Th. Tale rapporto è solitamenteintrodotto in presenzadi carichiconcentrati (fig. I1.7) simmetrici rispetto alla mezzeia, che è la disposizioneclassica adottata per le prove di laboratorio, ma può esserein effetti estensibilea condizioni di carico generichecon riferimento ai valori massimidi M e ?' Seppurediscussae criticata da molti Autori, l,import anza del parametro M/Th sultipo di rottura risulta confermataampiamentein sedesperimentale, potendosiindividuare i seguenticampi di funzionamento:

Stqto limíte per taglio 313

M

a)* T,

328 Teoria e tecnìco delle costruzioní

Il diagrammadi f,, è ripottato ancora nella stessafig. l1.l2c. La verifica a taglio-compressione comportainveceil calcolodi 2,,, che _ vale: Ta = 0,30 x 166 x 30 x 67 = 100090fg Poiché risulta 7,, ) To, anchetale verifica risulta infine soddisfatta.

Capitolo dodicesimo Statolimite di torsione

12.1. Generalità L'analisi di elementistrutturali in cementoarmato soggettia torsione, nei due metodi alle tensioni ammissibili ed agli stati limite, non risulta diverso. Infatti nella metodologiaillustrata nel capitolo 6, sostanzialmente qualoravengasuperatoun valoreconvenzionaledella r, si fa riferimentoad un meccanismoresistentea traliccio che è lo stessoadottato anchenella metodologiaagli stati limite. In particolareil modo ricorrentedi studiareil comportamentoa torsione in fasepost-fessurataè quello, già introdotto in precedenza,di riferirsi ad un modello spazialedi struttura a traliccio (fig. 12.1)costituito da elementi longitudinalitesi (ferri longitudinali), da elementitrasversalitesi (staffe)' e da elementicompressidi parete(bielle di calcestruzzo). La differenza sostanzialefra il calcolo alle tensioni ammissibili ed il t.rto

Figuru I2.1

lone'trdrn.L

330 Teoria e Íecnica delle costruzrcnt

I

calcolo agli stati limite è che nel primo caso si ammettono sollecitazioni torcenti senzaprowedere ad un appositocalcolodelle armature; si fa cioè affidamentosullaresistenzaa trazionedel calcestruzzofino a cheIa tensione tangenzialemassima7h4rnon superaun valore ammissibile7"". Nel metodo agli stati rimite si valuta invecedirettamente momentotorcente che l,elemento puÒsopportarein condizioniultime, chedeverisultare maggloredel momento torcentedovuto alle azioni esterne. Deve esserecomunqueosservatoche lo studio della torsione negli ele_ m€nti in cementoarmato presentaancora notevoli zone d,ombra, dovute alla circostanzachela caratteristicatorsionalesi accompagnaquasl semprea fle.ssionee taglio. Il comportamentoa torsione è pirtànto condizionato dall'azioneconcomitantedi flessionee taglio, con nót.uot" complessitàdel problemae con necessitàdi tenereconto ài vari parametri evidenziatidalle prove sperimentali. Per questomotivo alcuneistruzioniconsentonodi trascurareil contribu_ to torsionaledelle membratureresistentinel calcolo dello stato limite ulti_ mo, quando_latorsionerappresenta una sollecitazione secondariae non necessaria all'equilibriodellasrrunura. Nel_seguito,comunque,si farà riferimento al modelrodi traliccio per lo studio di elementifessuratisoggettia sola torsione(torsionepura), in linea con le att.ari indicazionioffertedal c.E.B e recepiteda istruzroni e norme lrairanepru recenti. 12.2. II modello di traliccio Con riferimento al modello di traliccio di tig. 12.1 tutte le esperienze condottehanno dimostratochele fessurenel calce-struzzo rìsultanoinclinate di un angoloa pari all'incircaa 45",e cheessesi sviluppano con andamento a spiralelungola superficiedersolido.E statopuredimostrato chesolouno strato di calcestruzzovicino alle superfici estèrne,e di spessore modesto, contribuiscealfa resistenza,formandosi quasi un distaccà tra tale sezione cava esternacompressaed il nucleo interno di calcestruzzo. In del solidostrutturalepuò essere ._ talefase,dunque,il comportamento utilmenteschematizzatocon il modello di traliccio sparlategia richiamato, postulandoI'ipotesi di armaturalongitudinale.on..ntrutu negli spigoli e di armatura trasversaledistribuita con continuità lungo I,asse dell,elemento. Considerandofessureinclinate, nel caso geneiale, di un angolo a e riprendendoquanto già visto nel capitolo 6 ta'forra ai iìu)ion" T, ug"nt" nell'armaturalongitudinaledi areaA, risulta(fig. 12.2a):

Ststo timite di torsione 331

M,p T,=S"/tg"=

S, = tsp =

M,P +

1 2.4 tc,

0z.r)

= scorrimentocomplessivoin direzioneverticale;

s = spessoredella sezionecava;

DJ

Figura 12.2

p z4 = perimetro ed area del poligono aventeper vertici i baricentri delle armaturelongitudinali. Lo sforzo di trazione nella staffa di arcaA, risulta invece (fie' 12'2b): M'P" T"=Sntgd=-fgd.

Sr=r.s.p"=

U

tale; p = passodelle staffe.

(r2.2)

= scordmento nel tratto p" in direzione orizzon-

332 Teoris e tecnica delle costruzioni

Fìgura 12.3

Si osservichenellavalutazionedi 4 e 4 non intervienelo spessore s; tale spessoreintervieneinvecenel calcolo dello sforzo C nella diagonalecom_ pressa;infatti, con riferimento alla fig. 12.3,sesi indica con dpla distanza, misurata in verticale,fra due successive lesioni che delimitano la generica diagonalecompressa,si ha: C=o"sdpsenacosa=rsdp

(12.3)

essendos dp coso l'area della sezionetrasversaledella diagonale,e o. senc la componenteverticaledella tensionenormale, In definiiiva si ha: "

M,

r

1 2,4s sen a cos q

sen a cos d

(r2.4)

Per quanto concernec[, a meno di valutazioni sperimentaliaccutate, generalmentepuò porsi pari a 45", per cui le (12.1), (12.2),(12.4)forniscono: M,p

"- u '

2

M. o. A

(12.5) (r2.6)

M

"

2As

(12.7)

Stqto limíte di torsione 333

Anche la valutazionedi s devebasarsi,poi, su considerazionisperimentali, essendodimostratochela presenzadi tensionidi trazionenel calcestruzzo oltre una certa profondità dipendedalla geometriadella sezionee dalla percentuale di armatura presenti.Ciò vale ancheper elementistrutturali a arbitrario, in generale,far coincicava,per cui risulta assolutamente sezione quello della sezioneeffettiva. derelo spessoredel tubo resistentecon si può assumereuno spessore In ogni caso,in prima approssimazione, pari ad l/6 del diametro del cerchiomassimoinscritto nel poligono avente pervertici i baricentri dellearmaturelongitudinali. Talvolta, in modo ancora piÌr semplice,si considerail doppio del copriferro dei ferri longitudinali. 12.3. Gli stati limite a torsione: le formule di calcolo Le formule di calcoloattualmenteproposteda varie istruzioni e normative derivanodall'ipotesi di comportamentoa traliccio dell'elementostrutturale,così come definito in precedenza. Nella logica degli stati limite, e in analogia a quanto già visto per il ricontaglio, la verifica della sicrrezzastrutturaleviene conseguentemente dotta alla verifica di quattro stati ultimi, e precisamente: 1) 2) 3) 4)

rottura per trazione delle armaturelongitudinali; rottura per trazione delle staffe; rottura per compressionedelle bielle di conglomerato; cedimentidi ancoraggio di nodi dell'elementostrutturale.

Al solito, la verifica dei primi tre stati limite coprei rischi inerentiai tipi mentrealtri tipi di evidenziatidall'esperienza, di rottura piir frequentemente particolari di I'adozione ed idoneedisposirotturavengonoscongiuraticon zioni costruttive. La misura della sicurezzava effettuata, inoltre, attraversola relazione M,a 1 M,u

(12.8)

doveM,o è la sollecitazionetorsionale di progetto prodotta dalle azioni applicate,e M,, la corrispondenteresistenzaultima a torsioneofferta dalla trave. In praticasi distinguonotre valori del momentotorcenteultimo M,,, con dferimentoalle tre diversemodalità di crisi 1), 2) e 3). Il valore effettivo di il più piccolo dei tre. M, è evidentemente

334 Teoúo e tecnico delle costruzioni

Più precisamente: l) crisi della armatura longitudinale La crisi dell,armaturalongitu.tinale-siraggiungeevidentemente quando lo sforzo di trazione ?i raggiinge il valore liiritei 7,,, = A ,o.7

(r2.e)

9ove.o:/ è, al solito, il valore della tensionedi snervamentodi calcolo per I'acciaio. Dalla (12.5)si ha dunque: M,P -6- 4 Ato,

(12.10)

e quindi: M,u,t =

2A,o*L ' p

(r2.rr)

2) crisi delle staffe Analogamente,la crisi per trazionedelrestaffe si ha quando ro sîorzoT. raggiungeil valore: 7,,, = A "O,

(12.r2)

per cui dalla (12.6) si ottiene: M, -24-P, { A "o'

(12.13)

M'''' = '2A"o"L

(r2.14)

e quindi:

3) crisi degli elementicompressi La crisidellediagonalicompresse si ràggiungequandola tensionedi com_

Stato limíte di torsione 335

pressioneo" raggiungeil valore di progetto o,"; il momentotorcenteultimo può dunquevalutarsimediantela (12.7),doveperò si introcorrispondente duce,sulla basedi prove sperimentali,un opportuno coefficienteriduttivo. Deveinfatti osservarsichele bielledi calcestruzzo, a causadel deformarsi dellesuperficilaterali del solido soggettoa torsione,risultano soggettea per cui le sollecitaziosforzonormalee momentoflettente(pressoflessione), ni unitarie risultano alquanto piìr elevatedi quelle fornite dalla (12.7). Si ottiene dunoue: M,,,, :

(12.1s)

\' s oo, A

doveil coefficienteÀ è generalmenteassuntopari a 0,5. Circa le modalità costruttive,l'esperienzaha dimostrato che I'armatura longitudinale può essereripartita lungo il contorno ovvero, indifferentemente,concentrata neglispigoli;è inveceimportanteaverecomunqueridotti valori nel passofra le staffe (( l0 cm) affinché le spinte lungo gli spigoli, dovute alle bielle possanoessereconvenientemente compresse, assorbitesenzadanno per i ferri longitudinali. L'adozione di forti diametri per questi ultimi consente inoltredi meglioassorbiretali spinte,e di aumentarela distanzatra le staffe. 12.4. Esercizi Si voglia verificarela sezionerettangolaredi fig. 12.4,sottopostaad un momentotorcentedi progetto M,o : 3500kem. Per i materiali si abbia:

3fi,: Ée*sr,*, o,,= 0,83 o.r :

4400 t)5:

3 8 2 6k g l c m "

Utilizzandoferri d'angolo {16, stoffe g8/10 cm e ponendo il ricoprimentodella staffa pari ad 1 cm, si ottiene:

30-2(l+0,8+0,8)

= 4,1 cm

336 Teoria e tecnica delle costruzioni

= I 3 0- 2 ( 1 + 0 , 8+ 0 , 8 ) lt 5 0- 2 ( 1 + 0 , 8+ 0 , 8 ) l= l r r r c m ' p = 2130+ 50 - 4(1 + 0,8 + 0,8)l = 139,2 r^ +J-l- r :'1

Ercm

îìt

I

I |

30ch

I

r

Figuru 12.4

Si ha quindi: l) crisi dell'armatura longitudinale:

M,,.,= 2' 8,04' 3826 #

= 4910 x ro2ks cm

2) crisi delle staffe:

M , " .=2 2 ' 0 . s ' 3 8 2 6 # : o r t ox t Ù k gc m (À : 0.5): 3) crisi dellediagonalicompresse M,,3 = 0.5 ' 4,1 ' 156' 1111= 3553x 102ks cm Si ottiene in definitiva: Mr,=3553k9m>M,o

Capítolo tredicesimo Statolimite di fessurazione

13.1.Generalità Le verifiche di resistenzadelle sezioniin c.a. si conducono,come si è visto,ipotizzandoil calcestruzzocompletamenteinerte a trazione,e quindi chele sezionirisuitino completamentefessurateal di sotto della ammettendo fibraneutra.Si trascuracosì,a vantaggiodi sicurezza,la possibilitàcheha il di reagirea trazioneper valori delletensioniinferiori al limite di calcestruzzo del materiale. fessurazione L'esamedi elementistrutturali in c.a. soggettia flessionemostrainvece, comenel caso della trave semplicementeappoggiatadi fig. 13.1, che la presenza di fessureintervienesolo nelle zonein cui il momento flettenteM iisulta maggiore(o eguale)del momento di fessurazioneMr della sezione' reagiscea trazione. PerM < Mole sezionirisultanointegreed il calcestruzzo PerM >- Mr, invece,si riscontranosia sezionifessurate(sez.B-B di fig. all'acciaio,sia 13,1)in cui lo sforzo di trazionerestaaffidato esclusivamente in cui il fessure consecutive, due (sez. tra C-C) comprese sezioniintegre di trazione. dello sforzo riescea collaborareall'assorbimento calcestruzzo D'altra parte è da osservareche in corrispondenzadelle sezioniintegre ridotti, per cui la l'acciaiotesolavoracon valori delletensioniassolutamente fortemente antieconomica. risulterebbe fessure delle completaeliminazione pertanto considerata deve essere piir o meno capillari La presenzadi lesioni delle condizioni di lavoro dei due materiali comeuna owia conseguenza (acciaioe calcestruzzo)che coesistononella struttura, e non deveautomaticamentedar luogo a valutazioninegativecirca la qualità dei getti o I'esecuzionedelleopere.Un quadro fessurativochenon sia indicedi una situazione patologicadi dissestoè dunqueda ritenersiindicatoredel livello di collaborazionestrutturale tra calcestruzzoed acciaio. È owio, d'altra parte, che quadri fessurativieccessivie diffusi sono di agentiesterni certamenteda evitarsi,in quanto favorisconoI'aggressione

338 Teoria e tecnico delle costruzioní

\è A+Ay A# +l t - tI +b Sez AA .

Sez BB

Sez CC

Figuro I3.I

nei confronti delle armature, la cui ossidazionerisulta tanto più rapida ed intensaquanto più I'ambiente è chimicamenteacido. Nascecosìil problema,attesala impossibilitàdi eliminarle,di limitare le ampiezzedellelesioniin funzionedellecondizionidi eserciziodellastruttura (ambientecircostante,esigenzedi estetica),delle condizionidi carico (natura, frequenzae durata di applicazione),nonchédella sensibilitàdegli acciai alla corrosione. Nell'ambito del metodo di calcolo agli statilimite il problema della fessurazionesi risolve, in particolare, nella definizione di tre stati limite diversi,la cui verifica dipendedai parametriinnanzi descritti,e precisamente: l)

2)

statolimite di decompressione, il qualescartain praticala possibilitàdi formazione delle fessurein quanto richiede alla sezionedi rimanere ovunquecompressao al limite scarica(a livello della fibra considerata nella verifica); stato limite di formazionedellefessure(o di prima fessurazione), con il quale si accettanosollecitazionidi trazione nel conglomeratopurché inferiori a quelle di rottura;

Stato límíte dì Íessurazione 339

3) statolimite di aperturacontrollatadellefessure,con il quale,risultando scontatala presenzadi un quadro fessurativo,si controllainveceI'apertura massimadelle lesioniconfrontandolacon i valori ammissibilisuggeriti dalle norme. di laboTali valori derivano,generalmente,sia da prove ed esperienze quali per le si è correlato ratorio che dall'esamedi costruzioniesistenti, il grado di corrosionedelle armature all'ampiezzadelle lesioni riscontrate. Poiché la verifica dello stato limite di decompressionenon richiede particolarichiarimenti,nel seguitosi analizzerannole verificherelativeagli ultimi due stati-limite considerati. 13.2. Lo stato limite di formazione delle fessure La verifica di tale stato limite si effettua confrontando il valore del che momentodi eserciziocon quello del momentoMo di prima fessurazione, è il valore del momento cui corrisponde,al lembo teso della sezione,la rottura per trazione del calcestrtzzo.Il calcolo di Mo deveesserepertanto condottocon la ipotesi di sezioneinteramentereagente,ossiaportando in conto anchela resistenzaa trazione del calcestruzzo:le formule classiche comesi vedràqui dellastaticadel cementoarmatorisultanodi conseguenza, appresso,leggermentemodificate. Con riferimento alla sezionedi fig. 13.2,Ia posizionedell'asseneutro si determinaimponendo,al solito, I'annullamentorispetlo ad essodel momento staticototale della zona reagente,nella qualedeveesserecompresaanche I'areadi calcestruzzoteso debitamenteomogeneizzata. Indicando con d, il modulo di elasticitàall'origine del calcestruzzoa trazione,e fatte le posizioni:

(13.1)

n = EtlE" A'

_

F

(r3.2\

II]

I'annullamentodel momento statico della sezionereagentesi scriveallora:

br?

T

+ n A | ( x . - $ ) - n A y Q- x , ) - n ' b

( H - x- ) ' =0 t

(13.3)

t-340 Teoria e tecnìca delle costruziont

l

J

t

11 i I

a"*/n, At

F----l

Fìgura 13.2

la cui radice oositiva è:

(13.4)

Ponendo r'= 0 (ipotesi di calcestruzzonon reagentea trazione), la (13.4) riacquistala forma nota per sezioneparzializzata. Il momento d'inerzia della sezioneomoseneizzatarisulta: b . , _ 1",= alrl + n'(H - r.)']+

n A1 ( h - x , ) z + n A ' r ( x " - ó ) ' ( 1 3 . 5 )

e la tensioneo, al lembo teso della sezionevale (fig. 13.2):

',:n'y@-x,). tcí

(r3.6)

Il momentoflettenteMF di prima fessurazionesi ricavaallora immediatamentedalla (13.6), ponendo út: o*t (tensionedi rottura a trazione del conglomerato):

Stato limite di fessurazione 341

,^,. ' F --

Iri

oo", nt

(H

(13.7)

_ x"\

Il valoredellaresistenzaa trazioneè spessodeterminatoattraversoprove di flessionesu prismi in calcestruzzonon armato; si ottienecosìla (resistenza a trazioneper flessione>della formula: - ocq

Fl/4

(13.8)

bH2 /6

alla rottura del prisma(fig. 13.3).In tal F la forza corrispondente essendo caso,per comeè stataricavataoo",/owero senzadistinguerecls. tesoe com'= 1; inoltre,nel valutareI' l'armatura presso, si deveporre nella(13,7)n generalmente ha scarsopeso, per cui si può porre: (13.9)

Uo = o.*( avendo sostituito ad 1",I'inerzia geometrica della sezione'

!" e /____ì 2 e/z I tr "y * : v ' z t

oÍ

(13.34)

kg/cm'risulta dunquep.,. Assumendoú-t = 30 kg/cm'e o, = 40OO = 0,15î/o . 13.4. Esercizi A) Calcolo del momento di fessurazione. di fig. 13.9a,per la qualesi abbia: Si considerila sezionerettangolare

352 Teoria e tecnica delle cosîruzioni

A , = 4,62cmz

,--A 't {

tt - ll l_l

I

--T--

a)

I

A1 =9,42cm2

l

z

s

l

m

ffii '

2

l.--*l

5

t

b)

Figura 13.9

Ar=3ó20=9,42cmz A' r = Z 0 L4 = 4,62cm2 E" = 210000Kglcm2 En = 1O5N0Kglcmz

Stato limile di fessurazíone 353

= 21OOO00 K8/cm2

4

Ú*, = 20 K8/cm2 6=3cm Si intende calcolareil momento di fessurazioneM, della sezionein esame. a) Si determinainizialmentela posizionedell'asseneutro x. per sezione imponendola condizioneespressa dalla (13.3);risulta totalmente reagente, owiamente: -i:

nt:

-

-

t7 tE

-

-

105000 - "'" 210000

= 10 2100000/210000

Si ha così: 6,25xl + 765,4x" - 2ol9l : o da cui la radice positiva: x" = 22'3 cm Il momento d'inerzia della sezionepuò essereallora calcolato con la (13.5), e vale:

,",:'1:# 2 5 x ( 5 0- 2 2 3 ) 3

+ 0,5

- 3 ) 2+ + 1 0x 4 , 6 2x ( 2 2 , 3

+ f0 x g 4n x (41 - ?2.1f : 255000 cm"

risulta quindi (fig. 13.9b): Il momentoflettenteMF di prima fessurazione MF

n'

(H - x"\

20 0,5

255000 (50 - 22,3)

3682,31x 102Kg cm

354 Teoúo e tecnics delle costruzioni

Per valori del momentoflettenteM ( M, la sezionerisulta interamente reagente,e le tensionidi lavoro nei materialisonovalutabili rispettivamente con (M in Kg cm):

,"=f,," ="*#!

= 8,745 x r,-sx M Kslcm2 ; - 3)

x 10 x (27,7 ' r = " T ( h - x "M) = 255000

= 9,686 x lO4 x M Kglcm2 ;

,5x27,7 = '",=''f (H- x")= M x O255000

5,431 x l}'s x M K,S/cm2.

Per valori di M > M. vieneinvecea mancareil contdbuto del calcestruzzo teso,per cui il calcolodelletensionideveessereeffettuato sotto le ipotesi di sezioneparzializzata e di calcestruzzonon reagentea trazione. La condizionedi annullamentodel momento statico si scriveallora:

25xx1 -; + 10 x 4,a x (rc - 3) - 10 x 9,42x (47 - x") = 0 da cui: )cc= l4'3 cm Il momento d'inerzia della sezionepanializzata vale quindi: 'r< w l4a3 ":'""

- 1 "= , -'

J

+ 1 0 x 4 , 6 2 x ( 1 4 , 3- 3 ) ' + l 0 x 9 , 4 2 x x (47 -

e conseguenlemenle:

143)2 = 131000crna

Ststo limite di fessurazíone 355

Figura 13.10

"" =H#!

= 10,e16 x M K8/cm2 x 1o-5 ;

Mxl0x(47-14,3)= 24,962 x 10-4x M Kg/cm2. 131000 B) Calcolo ampiezzadelle fessure. Con riferimento alla sezionedi fig. 13.10si valuta in primo luogo il momentodi fessurazioneMo. Risulta: Ar=4Ó16=l},l8cm2

E

F

" =-/ = ts ; n' =l=

3 slcm2 o . s : o n: 1 9 , K

La condizionedi annullamentodel momento statico fornisce: l,

30x(70-x")2 r 3 0 x x' ?_ - 15 x 10,i8 x (67 - x") = 0 o " ' '5 2

356 Teo a e tecnica delle costruzíont

da cui: 7,5 x2"+ 1202,"Ìx" - 46981= 0 con la radice positiva che risulta: x' = 32'48 cm Il momento d'inerzia della sezionetutta reagentevale: 1",

30 x 32,483

0.5

3 0 x ( 7 0 - 3 2 , 4 8 ) 3 _r

15 x 10,18 x (67 - 32,48)2: 788704cma Il momentodi fessurazione risultadunque: M ^ :

o*, " Ia

n'(H - x")

19,3 x 788704 0 , 5 ( 7 0- 3 2 , 4 8 )

Si vuole ora valu tare l'ampiezzamediaw. dellelesioni,supponendoche agiscaun momentoM pari a 11375Kg m. Per tale momento la sezionerisulta evidentementeparzialízzata;in tali condizioni si ha: x" = 21,52cm I"t = 4l55l} cma

ot : 1868K?/cm' Per valutare I'ampiezzadelle lesioni è necessarioconoscerela tensione o/, chesi ha nell'armaturaalla formazionedella prima fessura;si ha quindi: ., 811406 (zo - 21,51) = 1420Kg/cm2 oi, = l5 415rrr Poichéi ferri sono ad aderenzamigliorata, e si supponedi effettuareun calcoloper carichidi brevedurata,nella(13.31)si poneB,B, = 1; si ha in definitiva una deformazionemedia nell'acciaiofra due fessureoari a:

Stato limite dí fessuruzíone 351

1868 |

( 14201'-l

+ ^ = r I - ; t oL ,t - [ " * J l : = 8,89 x lO'4 x 0,422 = 3,75 x l}'a Per calcolarela distanzamedia fra le lesioni si deve in primo luogo valutarel'area efficacedi calcestruzzo;secondole indicazioni dell'EC2 si ha: A,,* = 30 x (2,5 ' 3) = 225cmz da cui:

u:\l] =o'o+s Poichénel casoin esamesi ha: k'k'=1'6x0'5=0'8 risultadalla (13.30):

al = 50+ 0,2sx 0,8U,U4) l2 = et mm In definitiva si ottiene: w^ = enLl = 3,75 x 104 x 121 = 0 '045mm e quindi: wt = 1,7 w. = 1,7 x 0,045 = 0,078mm

l--l

Copitolo quattordicesimo Stato limite di deformazione

14.1. Generalità una situazione Per stato limite di deformazionesi intendegeneralmente interviene pur il collasso, non avendosi in cui, di comportamentostrutturale per di deformaeccesso comunquela perdita di funzionalità della struttura zione. Come esempiopuò indicarsiil casodi una centinadi sostegnoper il getto di un arco, in cui si raggiungonodeformazioni incompatibili con la configurazionedi progetto dell'arco stesso;si è allora in presenzadi uno stato di funzionamentoin corrispondenzadel qualela centina,pur conservando la sua capacitàportante, è in effetti da considerarsiinservibile. Inconvenientitipici nel campodellecostruzionicivili originati da eccessive deformazionisono ancorale fessurazionidi tramezzie tompagni, i ristagni d'acqua sui solai di copertura, il distaccodi intonaci e i dissestinelle 'pavimentazioni degli ambienti. Nasce quindi spontaneoil problema del controllo delle deformazionidegli elementistrutturali, soprattuttoquando, come nel calcolo agli stati limite, le pitr elevatesollecitazioniraggiungibili nei materiali e la presenzadi quadri fessurativiestesipossonocomportare livelli di deformazionenotevolmenteelevati. La verifica dello stato limite di deformazioneconsisteràallora nel riscontrarecheper le combinazionidi caricorelativeagli stati limite di esercilivello deformativo sia minore del massimolivello deforzio il conseguente mativo accettabile,quale consigliatodall'esperienzao fissato dalle norme' Prima di esporre il procedimentodi calcolo della freccia su schemi semplici, si rammenta che in condizioni di eserciziole travi in cemento armato presentanoin generequadri fessurativiestesi;in altri termini le zone dellatrave in cui il momentoMdovuto ai carichiesternirisulta maggioredel momentodi fessurazioneMo costituisconospessola maggiorparte dell'elemento. può farsi affidaNei tratti di trave in cui ristlta M < MF evidentemente

€

360 Teoriq e rccnico delle coslruzioni

mento sulla inerzia della sezioneinteramentereagente,con l'acciaio opportunamenteomogeneizzato,e che nel seguitoindicheremocon f; in termini di curvatural/R, si ha ouindi; 1 R-

M < M'\ EJ,(M

(14.1)

Nei tratti di trave fessurata,che come si è detto sono notevolmente estesi,la curvatura non si presentadi immediatavalutazione.Infatti nelle sezioniin cui si sono formate le lesionipuò evidentemente farsi affidamento sull'inerziadella sezioneparzializzata,sempreopportunamenteomogeneizzata, chenel seguitoindichiamo con 1r; la curvaturapuò dunquevalutarsi nel seguentemodo: I

M

.P . 2 " .F T 2

(14.2)

Nelle sezionifra due successive fessuresi ha però il trasferimentodi sforzi di trazionedall'acciaioteso al calcestruzzoteso, con un conseguente effetto irrigidentechenella letteraturatecnicaanglosassone è indicato come (tension stiffening>. Coerentemente dunque con quanto fatto nella valutazionedella deformazionemediadell'acciaioe7,(cfr. par. 13.3.2),risulta necessario introdurre il concettodi 1/R.. 14.2. La valutazione della curvatura media Nei tratti di travi in cui si ha M > Mo è necessario valutarela curvatura media che si ha fra due successive lesioni. Si osserviche:

1 ) per M = Mo deverisultare l/R^ = 11Pr' per M * M, la c.urvat.ural/R^ devetendere al valore limite l/-R, corrispondentealla completafessurazione; 3) I'espressione della curvaturamediadeveesserecoerentecon il risultato sperimentalegià introdotto per valutare €y-,espressodalla (13.31). In accordo con tali osservazioni,la formula di origine sperimentale

Stalo limile di defornazione 361

Figuru 14.1

fornita dal CEB può porsi nella seguenteforma: I D

=ulr'u,l M )

( Mo)'

* d1

f,-u,u,(T)'l

(14.3)

doveB, e B, hanno il significato già evidenziatonel par. 13.3.2. La (14.3)fornisceevidentemente un valore della curvaturamedia che è semprecompresofra | / R, e l/Rr, e chetendeasintoticamente alla curvatura 1/R, per , , ,ot l'andamento del legamemomento-curvaturamedia, ponendoF, B, = 1, è schematicamente indicatonella fie. 14.1. 14.3. Il calcolo delle frecce Gli abbassamenti nelle travi in cementoarmato, avendodefinito le cur_ vaturein funzionedel momentoattraversola (14.1)nellezonenon fessurate e Ia (14.3) nelle zone fessurate,possonoimmediatamenteottenersicon sli ysuali metodi di calcolo.

**:f:r^il,l

cípío deítavorí vírtuari, to s pos ran enrc/ 74.4)

362 Teo a e tecnico delle costruzioni

avendoindicato con s l'intera strultùra e conM' il diagrammadel momento corrispondentealla forza unitaria applicatanella sezionein cui si sta valutando lo spostamento/. Dividendola struttura nella partenon fessuratasr e nella parte fessurata s, si può dunque scrivere: f|

.

l

c |

iYr 'rr -r I p ,", ,.,

./:

l p u rr-

l

rI4'ds l

(14.5)

dovela curvatural/R, è fornita dalla (14.1)e la curvanral/R^dalla(14'3)' Il calcolodegli integrali presentinella (14'5), effettuati in forma chiusa qualorapossibileo numericamentenegli altri casi,forniscedunqueil valore di l. 14.4. Una metodologia semplificata Un metodo semplificatoconsistenel valutare la curvatura rnediaassulesioni mendo chela deformazionemedia dell'acciaioe7,fra due successive sia data dalla (13.31),owero

o,

e r ^ = fú l-t u ' uf ,o [r ,;l J' l ]

.

(14.6)

Poichéil rapporto o1,/o1èpari a Mo/ M, in quanto entrambele tensioni sono valutate còn riferimento alla sezionefessurata,può anchescriversi: of -JN

F

or - p r p( ,M ) ' f ln) ):-,", Lr

|

(t4.7)

avendoposto:

| - p$2(MF/M)2

(14.8)

Il calcolo della curvaturamedia, sezioneper sezione,può dunquecondursi valutando la posizionedell'asseneutro e le deformazionimedie nel-

Stato limìte di deformazione 363

l'acciaio e nel calcestruzzoconsiderandoun coefficientedi omogeneizzazione neÍi

n-* ,JJ

F = lL

(14,9)

F

Valgonodunquetutte le formule della flessionesemplicedatenel cap. 3, semplicemente sostituendon* ad n. La curvatura media può dunque valutarsi nel seguentemodo: I R.

(14.10)

h

essendoe". la deformazionemedia nel calcestruzzo;poiché risulta: M Dc

EJ^'"

"^=#,="*#(h- x')=h" -'"'

(14.11)

(14.12)

dove 1. è il momento d'inerzia della sezionereagentecon l,acciaio omoge_ neizzatoattraverson"rr, dalla (14.10)si ottiene:

1 R-

M EJ^

(14.13)

Vale dunquela solitarelazionefra momentoe curvatura,a patto però di valutare il momento d'inerziaI_. La (14.13)sostituisce dunquela piìrcomplessa (14.3).Si osserviperòche tale metodointroduceun errorenellezonedi trave con momentoptossimoa quello di fessurazione;supponendoinfafti BrB, = | e Mr = M la (14.g) fornisce.Er",pari ad infinito. Tranneperò questaincoerenzaper le zonecon momento prossimo ad M, il risultato che si ottiene è molto prossimoa quellofornito dalla (14.3).

364 Teoriq e tecníca delle costruziont

14.5. Gli effetti del fluage contemporaneaIl metodo espostonel paragrafo precedente'utilizzato del fluage effetti de€li ,n"rrt" ul ..todo del modulo ef-fettiv; per tenerconto degli spostamentia lunn.i .a..rrro"ro, consenteI'immediatavalutazione eo termine. "" gli effetti del ìi'*ut ir ."rodo del modulo effettivo consentedi valuiare introducendo un modulo di elasticita ridotto E"'* nuug. ,..pfi"..ente

(r4.r4) normativa o.valutato speri essendo,piI coefficientedi fluage, dato dalla suffiPer valutare gli sp-ostamentia lungo termine è dunque .""i"f.L". consideransemplicemente .i.nt. oru.. il metodo del paralrafo precedente do il seguentecoefficientedi omogeneizzazione: ..etJ

"nf,"fî

(14.1s)

E,,"tt

la si ottiene un nuovo valore di 1' che consente Conseguentemente (14'13)' attraversola valutàzionedella curvatura media a tempo infinito 14.6. Esercizi Siconsiderilatravedoppiamenteappoggiatadifig.l4.2,diluce6mcon momento.diPrima fessuracaricounitorrnementedistribuito paria4t/m' Il Kgm ed il modulo di elasticitàdal calcestruz;;dlù.*ì;fuepatia6l29 zo E" pari a 285000Kg/cm'' prossimitàdell'appoggiosi L'estensioned del tîatto non fessuratoin genericaascissaz: ottiene imponendoche il momento alla

M (z)

aI

- : - r

qz' - : -

sia proprio pari a Mo; si ottiene dunque:

2

Ststo limite di deÍormazíone 365

q = 4Vn

Figura 14.2

Yo

-o\e = e,,s

da cui: :l = 56.38cm L'integrazionenumericadella (14.5) si perseguesuddividendoil tratto non fessuratoin due intervalli ed il tratto fessuratoin quattro intervalli, secondole ascissedefinite nella tabella 14.1.Nella stessatabellasono anche forniti i valori d\ M ed,i valorì di M' ; quest'ultimo, ricercandosilo spostarnento in mezzeria, è dato da:

M'(z)

I 2-

(z 4 t/2)

Si assumenel calcoloPrp, = 1.0 (ferri ad aderenzamigliorata, carico di brevedurata); il valore di E, risulta dunquepari a2.l x lÚ Kg/cm' perM < Mr, mentre è dato dalla (14.8) per M ) M,. Per ottenerela tabella l4.l i valori dell'asseneutro sono stati valutati con le seguenti formule:

bH212 + nerr{. f, p e rM {M, bH + nu74,

;.r

366 Teoria e tecnica delle costruzioni

_ , . .,:u# [

,bh I '"t/t l

perM>M, ^

I valori di e".ed er.sonovalutatiattraverso le (14.11)eQa.n), mentrela curvaturamediamediantela (14.l0). Tabella14.l

z lcml

Mxl05 Íkgcml

M' Ikgcml

0

0

0

28,19

3,224

56,38

6,129

F

l/R^ x 105 Icm'tl

x 103

i^3

0

0

0

r4,09

0,056

0,046

0,160

28,t9

0,107 0,088

0,304

0,533

|,244

tke7i.'l

lks/cm"l

285.0002 , 1 X

100

'7,9'7

|r'7,28 11,323 58,64

t970466

t78,19 15,032 89,09

2518'161 8 , 8 4

0 , 3 7 1 0,82'7

1,873

239,09 t'7,258 I 1 9 , 5 5

2403t2'1 8,43

0,433 0,994

2,229

300,00 18,000 150,00

2375443

t0,42

î ì1

0,264

0,454

r,048

2,346

Risultandoi passidi integrazionerispettivamentepari a 18,19cm nella zona 4on fessurataa 60,91cm nella zona fessuratasi ottienein definitiva: + Ío = 2128,19(2' 0,160. 14,09+ 0,304. 28,19) x 10-5 2 8 , 1 9 + 2 . r , 2 4 4 . s 8 , 6 4+ 2 . 1 , 8 7 3 . 8 9 , 0 9+ + 6 0 , 9 1 ( 0 , 3 0. 4 : 0,84cm 2 .0,229. 119,55+ 2,346. l50,OO)x 10'51 dove si è lutilizzaloil metodo di integrazionedei trapezi. Per valutare la freccia a tempo infinito si assumeBrB?:0,5 (carico di lunga durata) e I : 3. Il modulo E"."r,rist]Jtadunquepari aE"/4 = 71250 Kg/cm2. I nuovi valori di n"rr,e"^, er, ed 1/R. sono forniti d,allatabella 14.2. L'integrazionenumerica,sempreutilizzandoil metododei trapezi,fornisce:

Stoto límite di deformszione 36'1

owero:

fÍo

I ìR

ffi: r,uo

Tabella 14.2

z Lcml

Mxl05 lkgcnl

M' lkgcml

0

0

0

ll

fkeTí.'tIke/cm"l 11.250

) 1

x 103

X l0Ó 29,47

'l0l x

l / R, x.105 Ic^'' l

0

0

0

28,t9

3,224

14,09

0,194

0,t24

0,498

56,38

6,129

23,19

0,369

0,236

0,94'7

tt7,28

tt l?1

58,64

u605t4

34,53

0,279

0,690

2,218

89,09

2290397

3 2 , 1 5 0,986

0,980

3,0'12

239,09 17,258 1 1 9 , 5 5

2241360

3t46

|,239

1,148

1 S?1

300,00 r8,000 150,00

2229246 31,29

1,190

1,203

3,'739

1 7 8 , 1 9 t5,032

lil

'':

Parte quarta Il calcolo delle sezioni in cementoarmato Precompresso

Capitoloquindicesimo Generalità

15.1. Introduzione alla precompressione Nellateoriastaticadelcementoarmato,essendosiesclusaognipossibiliè stataconsità delconglomeratodi resisterea sforzi di trazione,la sezione in iiita paíziatlrtuta,cioè in una fasedi lavoro che seguela fessurazione: effettiva' tal moio si è fatto affidamentosolo su di una parte della sezione in mettesse qualora la si tulilizzata cheootreubeessereinvecetotalmente di reagirePer intero. condizioni un preventivoed opQuestopuò, àd esempio,essereottenuto creando che, sovrappostoa quello che viene sucoortino statodi presollecitazione in ogni Lriuuln.nt. i"aótto dai carichidi esercizio,consentaI'eliminazione parzializza' la generale, impedisca àeitetettsiottidi trazioneo, piir in redellasezione. può interessare'1n geneL'applicazionedi uno stato di presollecitàzione o unì struttura di qualsiasimaterialenella quale si desiderinoridurre una.trave per in esempio narestatitensionalipericolosiper la siqxezza: si può ottenereuna riduzionedei momenti sugli appoggimediante può i cedimentidei vincoli; in una struttura reticolaremetallicasi piir a onu da.oaprassioneparticolarmentefavorevole per le aste montaggio' creandovolutamentedeterminatidifetti di tale tecnicasi realizzamediantela creazionedi Nel casodel calcestruzzo capacidi provocare yentivisforzi di compressioneo di pressoflessione, succes. rtiuttu.u uno statotensionalepermanente,tale da garantire'al limiti entro contenute inta*ento a.i carichi, chele tensionifinali siano per evipreventivamente La coazionevienein genereapplicata pensapotrebbe nel conglomerato,ma in effetti si fessurazione per indurre la precompressioneanche in una sezione giìr parzillizzata o ai un'anÀuotaaèi carichi esterni,le cui corrispondentisollecitazioni sianoperò assorbiteda un'apposita armatura'

I 3'72 Teo a e tecnicadelle costruziont

?

u

Q

\) Av E

a)

==l : = L-J

c)

Fígura 15.)

sempliSe,per esempio,si consideraun elementodi trave in calcestruzzo provoca delle fibre inferiori cementeinflesso,la trazioneche si inducenelle fessurazionicertamenteinaccettabilidata l'assuntaincapacitàdel conglomerato di resisterea trazione(fig. 15.1a);seinvecei momenti agisconosu un si compressoo pressoinflesso elementodi trave chesia statopreventivamente senz'altro quello 15.lb che sarà di fig. può ottenereun diagrammadel tipo di tollerabile, in quanto le tensioni finali al lembo inferiore sono ancora di compressione;la maggioreo minore eccentricitàdello sforzo normale può consentiredi ottenereuna maggioreo minore riservadi compressione'owero, a parità di caratteristicaflettenteesterna,di utilizzaresforzi di entità piÌl piccolao piìr grandecomeillustratonellefigg. 15.lb e 15'1c. In tal modo il conglomeratopuò acquisirenuovecaratteristichemeccanichechene migliorano il comportamentoa rottura. Infatti, paragonandoi cerchidi Mohr relativi allo stessopunto, nel quale in un casoè presentela sola tensionetangenziale(zona inerte di una trave in cementoarmato) e (sezionepresollecitanell'altro ancheuna tensionenormaledi compressione

J

Generalilù 3'73

ta),si può far sì cheil secondo,seppurampliato,vengaa traslare,in modo (fig. l5'2)' talecheaumenti,rispettoal primo, il coefficientedi sicurezza

figuru 15.2

15.2. La pratica realizz zione Nellapraticatecnica,lo statodi coazionedi cui si è detto, può essere realizzaloricorrendo a sistemiartificiali, ossiaa sistemidi forze esterneo in interne,distribuitecon continuitàlungo la strutturaovveroconcentrate lo che sempre qualsiasisistemaè accettabile puntiparticolari.Naturalmente si mantengainalteratonel tempo.Sein particolare statodi presollecitazione vannosubitoricordatiin propositoi fenomeci si riferisceal conglornerato, presenta,spontaneae sotto ni di deformazionelenta che il calcestruzzo di deformazione carico,chesi sonoindicaticomeritiro e fluage(variazione a tensionecostante)e che certamentevanno ad influenzaree modificare dellacoazioneimpressa.Sequestapoi è realizzatamediantecavidi l'entitÈr acciaioancoratiin punti opportuni,va ricordatochel'acciaiosottocaricosi deformanel tempo, presenlandoil cosiddettofenomenodel rilassamento dei In tal casoil complesso costante). (variazione di tensionea deformazione fenomenianzidettiproducein definitivauna diminuzionedi tensionenell'acciaioe quindi una variazionedello statodi coazionenel tempo. perla funzionalità pericoloso particolarmente Talefenomenosi presenta il motivo principaledella ed ha rappresentato delleopereprecompresse considerataI'impossibilitàdi della precompressione, ritardata realizzazione che tecnologico Il progresso armato. gii da cemento acciai impiegare usuali acciai è degli di rottura le tensioni ha consentitodi elevarenotevolmente di coazione di stati stato quindi determinanteper la pratica realizzazione mediantearmaturemetalliche.

374 Teoriq e tecnica delle costruzíoni

Indicandoinfatti con or la tensioneinizialenell'acciaioe ^o/la cadutadi tensionedovuta a tutti gli effetti anzidetti, il rapporto: ú7i -

Aoy

oÍi

(15.1)

caratteÀzzail grado di tÍilizzazione, ovvero il rendimentodell'acciaioimpiegato. Facendocorrisponderela caduta di tensioneAo, ad una deformazione viscosa),, ossia: Lot :

(15.2)

l'81

I'espressione del rendimento ? assume la forma:

? = 1 -

À

(15.3)

eli

Il valore di L dipendein generedalla qualità degli acciaimolto meno di quantonon dipendaer,;si può quindi ritenerecherlvari sostanzialmente solo in rapporto alla deformazioneammissibileinizialeer. PertantoI si riducea valori molto bassiquando e, è dello stessoordine di grandezzadi ),, il chesi 1 4 0 0I ,. ..,,.( verificapergliacciaidolci | É/j = ^ ._ ,^6 | , menrresi manriene prossimo z x t u )" L" all'unità (utilizzazionequasi completa)nel caso degli acciai ad alto limite 1 0 . 0 0 0l . a elasticoIgt=2xto6 l'.

' Con riferimento infatti al solo effetto del ritiro del calcestruzzo,essendo L. = 0,25 x 10'3,si ottiene: -

per gli acciai dolci:

7oN, = ,', , = o . 7x l o l 2x l0' n = 1 -Y

= o.6q

Generqlítà 375

Poiché i due tipi di acciaio presentano lo stessomodulo elastico piil (Ef = 2 x lÚ kg/cm21le deformazionichesi raggiungonosonotanto Gli eleuatequarrtomaggiorisono le tensionidi rottura e, quindi, di lavoro' forti acciaiche aonsant*o forti tensioni di lavoro e, conseguentemente' armonici' acciai deformazionivengonocomunementeindicati come nel tempo dello stato di presolleciUn altro aspettodella conservazione tazioneè connessoalle eventualiescursionidei carichi che inducono sovratensionipositive o negativenelle armature. In effetti l'importanza di tale fenomenòsi presentadel tutto secondariarispetto a quelli su accennati'in quantole elevatetensioni di lavoro degli acciai impiegati ne risentonoin modesta. misurapercentualmente 15.3.Le modalità costruttive vienein pratica effettuatain moltenel calcestruzzo La precompressione ptici modi cheianno dato luogo ad un'enormequantità di brevetti diversi' le i.a coa"ioneè impressamediante cavi di acciaio tesi generalmentefra il fra i cavi ed per mutuo contrasto estremitàdella trave, tealizzandocosì, nel corpodellatrave, sforzi di trazionenell'acciaioe sforzi di compressione calcestruzzo'.

- per gli acciaiad alto limite elastico:

.o=#*r=5r' ro'r ,=r_orS=o.os pa a Per ottenerequindi nelle condizioni di eserciziouno sforzo finale dspettivamente primo caso nel iniziale tensione una "a-i io.úlo kg/"^' bisogneràimpremere, ùÀ' à)irl - (2 pari a10000 nelsecondocaso kgtcm'e tsod rc-\.= t iòii -?; ;;;i;'í;ó - ,t to.i: inaccettavalori delle rensioni solo non : 10900kg/cm2 onenendosi, ?'irii.ió.ZS x tO nel calcestruztensioniiniziali di compressione úii""i i"i"i"i" a"rce, ma ancheeìevatissime precompressione di sforzi di creare "d éscluderela pratica convenienza ;;:t]J;;il;;. -,ilai-:t" no.-a" armatum da cònglomeratocementizioarmalo' restandoteoricamente di acciaio' i;"l.uraa oossiu ittr ai impiegareun èlevatissimoed antieconomicoquantitativo '""J;;"J;;;;;uuiii-u"ciuio, i incorporati o esternialla trave, si possono^realizzare inîinitamente con elementi per contrasto ,i"rrlriittuii ai *""lone agendosul sistemielastico

376 Teofis e tecnica delle costruziont

mediante cavi di acciaio dà luogo a due sistemi La precompressione costruttivi nettamentedifferenziati che, a secondache utilizzino o meno prendono rispettivamenteil nome di prel'aderenzaacciaio-calcestruzzo, precompressione o cavi scorrevoll;nel primo compressionea fili oderentie per aderenzatra acciaioe calcesi realizza casolo stato di precompressione struzzomentrenell'altro per riporto dello sforzo sulletestatedi estremitào di sezioniintermedie. Nel primo sistema,dispostala cassaformaper il getto dellatrave, vengovieneeffettuato no tesi i cavi tra due supporti esternifissi. Successivamente cheawolgerà i cavi pretesi;in questafaseI'acciaioed il getto di calcestruzzo il conglomeratonon reagisconomutuamente.A maturazioneavvenuta,crascun cavo viene svincolato dagli ancoraggifissi e, accorciandosielasticamente, trova contrasto nel calcestruzzo,al quale trasferisceper aderenza uno sforzo di precompressione. Nel secondosistemasi effettua inizialmenteil getto della trave, nella qualesonostati predispostigli alloggiamentiper i cavi; a maturazioneavvenuta si predispongonoe si tendono i cavi facendo contrasto sulla trave stessa,cosicché10 stato di coazionefra acciaioe calcestruzzosi stabilisce all'atto stessodell'operazionedi messain tensione.In seguitosi riempionoi fori di alloggiamentodei cavi con malta cementiziasotto pressioneallo scopodi proteggerlidagli agentiatmosfericie di realizzareI'aderenzatra i cavi ed il calcestruzzo. La solidarietàtra cavi e calcestruzzo,peraltro, non modifica lo stato di coazionepoichégli sforzi mutui sonolocalizzatisugli ancoraggi';i cavi resi aderentirisentono in misura maggiorerispetto agli scorrevoliI'azione dei carichi esterni, subendodelle escursionidi tensioneche sono tuttavia di modestaentità. Invece, per quanto riguarda le deformazioni, l'armatura metallicafa sentireil suo effetto poichémodifica il momentod'inerzia della sezionetrasversaledella trave. I due sistemicostruttivi, cui si è brevementefatto cenno, costituiscono oggi la quasitotalità dellerealizzazionipratichee trovano campodi applicazione in due distinti settori. Il sistemaa cavi aderentiha l'inconvenientedi immobilizzarele apparec-

rigidi: tale tecnicatrova particolareapplicazionequando le entità degli sforzi da applicare sono molto elevate. ' Si prescindenaturalmentedalle azioni mutue che nasconofra acciaioe calcestruzzoa sesuitodelle cadutedi tensione.

Generaiù 377

chiaturedi pretensionedurantel'intero periodo di maturazionedel conglomerato:pertanto essotrova in genereapplicazionelimitatamenteai manufatti prefabbricati(per es. travi per impalcati di luci modeste,fondelli per solette,travetti per solaio, ecc.), per i quali l'impiego di attrezzaturefisse (peres.banchi di pretensioneabbastanzalunghi: 70, 80 ed anche100metri) consenteuna migliore úilizzazione degli ancoraggiterminali. Non mancanoesempidi applicazionea strutture eseguitein opera, ma ciò costringea prendereil contrastodei cavi sulle casseformeche pertanto devonorisultare particolarmenteresistentie quindi molto onerose. Inoltre il sistemaa cavi aderentiper la maggiorparte delleapplicazioniè îe lizzafocon cavi rettilinei, il che fa perderei molteplici vantaggiin quelle varianoda punto a punt04. strutturele cui caratteristichedella sollecitazione Il sistemaa cavi scorrevoli(resi poi aderenti)trova la sua più naturale applicazionenel campo delle strutture rcalizzatein opera ed a conci fuori in sito, per la grandesemplicitàdellamessa operachevengonoprecompressi in tensionedelle armatvrea mezzodi martinetti idraulici e per il già menzionato vantaggiocostituito dalla possibilità di sagomarei cavi secondoil tracciatopiù idoneo, in funzione della variabilità delle caratteristichedella sollecitazione. Applicazionedi notevole interessecostruttivo trova la tecnica con la qualealcuneparti di strutture prefabbricate,e precompresse con I'uno o l'altro dei sistemi,vengonocollegatein operada getti non precompressi.Le applicazionipiìr comuni in questocampo si trovano nei solai e negli impalcati da ponte in cui le nervaturevengonoprefabbricate,mentre la soletta vienegettatain opera in normale calcestruzzoarmato. parziale, Altre applicazioni'sta trovando la cosiddettaprecompressione checonsistenell'affidare una parte degli sforzi ad armaturemetallichenon Dretese.

'

Si imponetalvolta ai cavi prima del getto di calcestruzzo un percorsonon rettilineocon opportuniancoraggidell'armatura,in contrastocon le casseforme. ' Si rileva infine che la pretensioneva estendendosi con successoad alt materiali che, (per es. il comgil conglomeratocementizio,presentanobuone resistenze alla compressione Iaterizioarmato).Il sistemaha il notevolevantaggiodi operaresu di un materialein cui non vi è il îenomenodel ritiro e per il quale i fenomeni di fluage risultano minori di quelli dscolltmtiDeril calcestruzzo.

eOl'

!-. r.r: ì L-'.

i .'

Capitolosedicesimo II calcolodella sezione

16.1.La statica delle sezioni in conglomeratoprecompresso In analogiaa quantosvoltoper le sezioniin cementoarmato,si vuole esaminare il comportamento dellesezioniin calcestruzzo precompresso per le diversecaratteristiche della sollecitazione esterna:sforzonormale,momentoflettente, sforzodi taglioe momentotorcente. ' già Si è detto in precedenza che, a causadelledeformazionilentenel calcesúuzzo e nell'acciaio,lo stato di coazioneindotto dalla precompressione è funzionedel tempo e varia con una leggeanalogaa quellacon cui varianoi fenorneniviscosi.Nel capitolodiciottesimo si analizzeranno diffusamente le diversecausecheprovocanouna riduzionedellostatotensionale neltempo;è sufficienteper ora precisarel'ordine di grand,ezza delle cadute di tensione dovuteagli effettilenti:mediamente può assumersi una cadutadi circarl20Voperle strutturea caviscorrevolie di cìrcail 30goper le strutture 'a.cavi o meglioa fili aderenr i'. Pertantonelleverifichedi resistenza o nei calcolidi progettooccorre prendere in esamediversefasi di lavorodellastruttura,con riferimentoalle variecondizionidi sollecitazione a cui può esseresottoposta.Nei riguardi dellostatodi coazione,infatti, all'attodellamessain tensionedellearmature, lo sforzodi precompressione avrà un valoreN, : BN, essendoB un coefficiente amplificativocheprecisala sovratensione da assegnare all'ac_ ciaioaffinché,a tempoinfinito, ossianell'esercizio dellastruttura,lo sforzo di precompressione sia pari ad un valoreN; successivarnente. infatti. lo sforzodi precompressione diminuirà nel tempo dal valore inizialeNo al

'

Convieneparlaredi fili aderenti,costituili in particolareda trefoli o da barre scanalate, chesviluppano una noreroleaderenzi..

380 Teo a e tecnicadelle coslruzionl

valore,N_a causadei predetti fenomenidifferiti. così pure le sollecitazioni indotté dai carichi esternisarannodiverseall'atto della messain tensionee diversi,in generale,i carichiagenti' della struttura,essendo nell'esercizio alle seguentifasi: quindi può far riferimento Si lo statodi sollecitaziocui in faseiniziale si aggiunge l) precompressione ne dètivantedai carichi esternipresentiall'atto del tiro. Tale verifica viene ìómunernente indicata come al disarmo o al tiro; in una faseintermedia,in particolarequellafinale (e 2) precompressione cui si aggìunquiidi depuratadi un'aliquotao di tuttele cadutedi tensione), i carichi tutti di derivantedall'applicazione ge to staio di sollecitazione permanenll: finale cui si aggiungelo stato di sollecitazionederi3) precompressione vaniè dai carichipermanentie quello dovuto ai carichiaccidentali(verificaa pieno caricoo in esercizio). Il criterio informatoredel calcolodella sezioneè comunquequello di seguirel'ordine di costruzionee le varie fasi in cui viene a trovarsi la dopo l'inizio dellamessain tensionedei cavi, strutturadurantel'esecuzione sia riguardo all'ordine di tesaturadelle armature' sia riguardo alla collabo(ad esempio e non precompresse razionedelle varie parti precompresse getto dellesolettenon precompresse). successivo anchealtresituazioniparticolari: dei casipossonopresentarsi A seconda e ripresedi precompressioni parziale,successive disarmoa precompressione tensione,zavorraggiodella strutturaprima del suo completamento' si hannosolleciPoichéal disarmoe durantele variefasi di costruzione limitato, i periodo per di tempo un tazioni nella strutturache sussistono maggiopossono assumersi valori delletensioniammissibilidurantetali fasi ri di quelli corrispondentialle fasi definitive di struttura a vuoto ed a pieno carico. Inoltre, poiché si tratta di sezioniìnteramentereagenti,occorre sia le ammissibile), limitaresia le tensionimassime(massimacompressione fÍazroeventualmenfe o ammissibile tensioniminime(minimacompressione ne). quattrodistintivalori limite dellatensioIn definitivaoccorreprefissare precisamente: e nel conglomerato. ne ammissibile Ki,,r, Ki,,^,tensioniammissibiliminima e massimain faseiniziale(al tiro):

I(,1,,,K1.,.,tensioniammissibili minima e massimain fase finale (in esercizio).

Si indicherannoancoracon Kt" e Kl le tensioniammissibilinell'acciaio all'atto del tiro ed a tempo infinito.

Il calcolo della sezíone 381

16.2. Sforzo normale centrato (trazione) Si consideriuna sezioneappartenentead un solido presollecitatodi area ,4. e I'unica caratteristicadella sollecitazionedovuta ai carichi esterni sia uno sforzo normale baricentricodi trazione 1.. Adottandola convenzionedi considerarepositivele tensionidi compressione,in ogni punto della sezionesi avrà una tensioneprodotta da ?" di valore: I

(16.1)

Lo stato di precompressione deveesseretale da riportare le tensioninei limiti ammissibili per tutta la vita della struttura. Poiché in generalelo per la presenzao meno attingeredue valori estremi4,, e 7,,,,n sforzo7III7può si dovranno imporre due distinte condizioni a cui lo stato deisovraccarichi, di precompressione devesoddisfare.Indicandoconlo l'area della sezionedi conglomerato,dovrà esserein fase iniziale:

Y"*r^

(16.2)

1f.,, la tensionemassimaammissibilein questafase. essendo Effettuata, dopo la messain tensione,I'iniezionedei cavi, I'areareagente della sezionediverrà': A = Ao I nAr

(16.3) l;

,4r l'area metallicapretesaed ,?ìl consuetorapporto J. Conseguenessendo tementela caduta di sfbrzo (p - 1) N agiscesulla sezione7e la tensione finale in assenzadi sovraccaricosarà fornita dalla relazione:

'

a cavi scorrevoli. Ci si riferisceal sistemadi precompressione

382 Teoriq e tecnics delle costruzioni

o

=

- T^', AN -----t tlo

(p - l)N A

(16.4)

All'intervento dei sovraccarichidovrà soddisfarsipoi la diseguaglianza:

0N - T^n

(p-l)N+T^*-T^k ) K'^*

Ao

(16.5)

In genere,potendositrascurarela variazionedi areadovuta ai cavi. si ha piir semplicemente:

ft'*'^''

(16.6)

Nelle (16.5) e (16.6)K ^,, è la minima tensionedi compressioneche si vuole realizzarein esercizio;talvolta può fissarsiper K'-,, ancheun modesto valore di trazione. 16.3. Flessione 16.3.1. Generalità È principalmenteper le sezionisollecitatea flessionechela tecnicadella precompressione trova le maggiori e più interessantiapplicazioni,per la possibilitàdi trasformareun diagrammaintrecciatodi tensioni in un diagamma tutto di compressione, elevandola capacitàdellasezionedi assorbire momenti.esterni. Con riferimentoinfatti ad una sezionedi forma generica(fig. 16.1),detti M^,, e M^* i valori del momento flettente, rispettivamenteal tiro ed in esercizio, devono risultare verificate le quattro condizioni di resistenza espressedalle diseguaglianze:

4 =+ X - W * H r * r , . 4= + X . W - 3 * u r *

(r6.7)

q

Il cqlcolo della sezione 383

o: > Ko-,"

ol< Kì".'

Diagramma dellA tensioni ammissibili

7

ammissibili

oÎ < K"..,

I.

ol > r'-,.

Fìgura 16.1

{ relative all'atto del tiro, e:

ol= +X- #;"*,%" *'^*

o=! +X . X , - f f , * r .

(16.8)

relativealla fase di eserciziodella struttura, essendoe l'eccentricitade o sforzoNe lT^, l/., i moduli di resistenzadella sezione,4odi calcestruzzo'.

'Come gia detto uel paragrafo 16.2, nelle struttue a cavi scorrevolile caratteristiche geomJtfichedella s€zione,A, I, yy'y,, vaiano dalla fase di tito a quella di esercizio. Infatti inizialmente si dovrebbe tener conto della sezionegeometrica della trave depumta dei fori dispostiper I'alloggiamentodei cavi che sono scorrevoliall'intemo delleguaine;successivamente, operata la messain tensione dell'acciaio, come già rilevato, si procede, dopo un determinato pedodo di tempo, alla iniezione di malta di cemento a pressionenelle guaine, ottenendosi cosl la cementazionedell'acciaio all'interno della sezione. Bisognerebbequindi teuer presenteche a cavi iniettati le caratteristiche geometrichedella seziole sono variale per la pres€nzadelle aree metalliche, che in generevengono omogeneizzatecon un rapporto di eq\iJiualeîzapaîia 8y'4 = 6, e della malta di iniezione omogeneizzatar|lelrcpporto E"t/8" = 0,2. E da osservare cheper tale ragionele (16.8)non sonoesatte:infatti a pafire dalla fasedi

384 Teoria e tecnica delle costruzíoni

potrà, ad esempio,essereproporzioIn particolarela precompressione in fase di tiro e di esercizio: nata in manieratale da avererisDettivamente

(16.9)

il che comporta owiamente che la risultante degli sforzi nella sezionesia localizzatain fasedi tiro nel punto inferiore del nocciolocentraledi inerziae in fasedi esercizionel punto superiore. In definitiva dette e, ed e, le distanzedei punti di nocciolo inferiore e superioredal baricentro G della sezionee d la distanzadel cavo risultante dal punto di noccioloinferiore (fig. 16.2),la predettacondizioneequivalead imoorresoddisfattele due relazioni: M;t, : BNd

(16.10) M^* : N(d + e, + e") Per una sezionerettangolare,nell'ipotesi che sia B = 1, si ha: M.*

- M^^

ei + es

3 (M^* - M^r) H

(16.11)

vienead agire della sollecitazione iniezionedelleguaine,ogni vadazionedellecaratteristiche In tal modo, supponendoad esempiochele cadutedi tensione sulla sezioneomogeneizzata. awenganotutte nella struttura a cavi non iniettati, le (16.8)si modificano nelle:

':=4-X.*n+%5:!:!*1,.

essendoAN = (g- l)Nla cadutadi sforzo nell€armaturepretesee t/" e ,t/, i nuovi moduli di resistenzadella sezione omogeîeizzata. In quanto seguesi tmscura per semplicitala variaziorÌedelle carattedstichegeometriche, peraltro spessopoco determinante.

Il calcolo della sezione 385

+ Ì

+

d

Figura 16,2

valoreche può assumersicome dato orientativo dell'entità dello sforzo di pretensione da associarsiad una sezionerettangolaredi allezza11 soggetta ad un momentoM^^ - M,r. 16.3.2. I punti limite Il casoparticolareillustrato nel precedenteparagrafopuò generalizzarsi con la definizione di due punti caratteristicidella sezioneprecompressa, chiamatipunti limite. Con riferimento ad una genericasezionesi possonoinfatti definire due punti Eo ed Er corrispondentialle massimeeccentricitàche può assumereil punto di applicazionedella risultante di tutti i carichi agentisulla sezione, senzache sianosuperatele tensioniammissibilinellevarie fasi di lavoro; la di tali punti è subordinataalla conoscenzadella geometria determinazione ed infine del della sezione,dell'intensità dello sforzo di precompressione valoredelle suddettetensioni ammissibili. Nella fasedi tiro (fig. 16.3)le tensioniai lembi estremidellasezionesono fornite dalle relazioni (16.7) che, indicando con No : 0N lo sforzo di pretensionedelle armaturee con e0 : e - M,n,,/Nnla relativa eccentricità ed in conformità alla nota 3, possonoessereriscritte nella forma: -

/tt

Noeo

No

-

' A

-L

w , (16.12)

,

(t:

,

No =

-f

A

Noeo W

i

I

386 Teoria e lecnica delle cosîuzìoni

+

H

+

l-

lo;l -r--7-

tl t /

U r

oÎ

rr ---ìî-

ol

Figura16.3

e devonosoddisfarele condizioni:

4 >- K'-'"

(16.13)

4 < K'^* essendo1f.,, e l(^",le tensioni ammissibiliin fase di tiro. Il soddisfacimentodelle (16.13)sotto forma di eguaglianzaimpone due limiti differenti all'eccentricitàa: K'^,)

p'(. , e"^ : - |

v"I

d^)

e" " ^ -=t l r - $ te)^ ) ri I

(16.14)

(r6.15)

essendop il raggio d'inerzia della sezionerispetto all'assebaricentricox, ed avendoposto: -"n A

(16.16)

Il calcolo della sezione 38'1

Il punto limite inferioreEovienepertantoindividuato dal minoredei due valoriforniti dalle (16.14)e (16.15). Ponendo:

_

,,o

Kiry, + Ki^y, H

(16.17)

si verificafacilmenteche per: f^ = K",,

(i 6 . 1 8 )

e ' o= e " o

(16.1e)

risulta:

Tali eventualitàsono chiaramenterappresentate nelle figg. 16.4ae 16.4b,dalle quali risulta manifesto come solo una della due condizioni possaverificarsisotto forma di eguaglianza, (16.13) restandoI'altra soddisfattasolo sotîo forma di diseguaglianza. Analogamente,riferendosialla fase di esercizio,detti N lo sforzo residuo nellearmatureed,e, : p - M,,*/N la relativaeccentricità,le tensioni ai lembi estremisono fornite dalle relazioni: - t _

N", * ;

A

W, (16.20)

I

N", * -

W,

con le condizioni: _ ) ' K:,*

(16.2t) o! >'

v1

Risultanocosì individuate le eccentricità:

f 388 Teortae tucnicsdellecostruzioni

+gF

F-rl

r9,.--l-ts

K:.--f-F+f-lM^^

(16.30)

portanoil centro di pressionefuori del nocciolo limite e ouindi non sono tolleratidalla sezione. Il momento: M,, = M^* - M^i,:

N t d ( l - P ) + e o+ e l

(16.31)

vieneusualmentedefinito momento utíle della sezionee risulta esserefunzionelinearedel momento d'inerzia della sezione,essendoad essoproporzionaleil diametro (eo + e,)o. Rimanecosìfissatoil concettofondamentalechela sezioneprecompressa,a differenzadella sezionein cementoarmato, non è in grado di assorbire un momentomassimoin sensoassoluto,ma può tollerareuna determinata vuiazioneM,, delmomentoesterno,a partire da un momentoM., indipendentedal momento d'inerzia della sezionee proporzionaleall'eccentricità il del cavorispetto al punto inferiore del nocciolo limite. Frequentemente momentoM^ù : ANd viene denominatomomento utile aggiunto. Per fissaremeglio questi concettipuò giovareun esempioconcretoe a tale scoDosi faccia riferimento alla sezionedi mezzeriadi una trave di

' Sidefinisce geomelrico il rapportofra l'ampiezza delnocciolo /er?drmento diunasezione cenfaled'inerziadellasezione e la suaaltezza: -ì | .( |

o"ll,* = - - j y . - l)

= wo,,

quelleche presentanouna notevole Le sezionidi maggiorreldimento sono evidentemente delle aree lungo I'altezza, ad esempioquelle a doppio T per le quali si centrifugazione ottengonovalori del rendimentodi circa 0,50. La sezionerettangolare,in particolare,ha un rendimento: n= cherisulta antieconomico.

H t/ t 2 = v.r) Hr4

t-r

392 Teorìa e tecnica delle costruzioni

lunghezza/ appoggiataagli estremie rcalizzaÍain operacon il sistemaa cavi scorrevoli. All'atto della messain tensione,ossiaal tiro delle armature,la trave si inflette verso l'alto e di conseguenza le casseformesi scaricanodel peso proprio di quest'ultima(fenomeno,in genere,indicatocome(autodisarmo> della trave)'. In questafase è presenteil solo pesoproprio g della trave e pertanto il momento minimo nella sezionedi mezzeriarisulta nari a:

U^,, = gP/8

(16.32)

Indicandoconp il sovraccaricoutile per unità di lunghezzadellatrave, il massimomomento che sollecitala sezionedi mezzeriavale: tur nu

=

G+ùP

(16.33)

g

Seil punto di applicazionedello sforzo di precompressione è tale chesi abbia: M^,, a, = BN

(16.34)

all'atto della precompressioneil centro di pressionesi sposta nel punto limite inferiore.Eoe si ottieneil diagrammadi tensioniindicato con la lettera a nella fig. 16.7. Se inoltre si fa in modo che risulti:

M , , = U l d ( l- i l + " o + e 1 = t

ó

(16.35)

il centro di pressione,all'atto dell'applicazionedel carico di esercizio,si spostanel punto superiore-8, del nocciolo limite e si ottiene il diagramma indicato con la lettera ó nella fig. 16.7. Così operandosi realizzail pieno sfruttamentodella sezionein quantoil

5 Tale fenomenotuttaviahon si verificasempre,comead esempiopuò accaderenel casodi travi precompresse con più cavi tesati in tempi successivi.

Íl calcolo della sezíone 393 Fase di tiro

Fase di esercizio

',F _-A:

I I

Figura 16.7

diagrammadelletensionidescrivel'intero campo compresofra le due posizioni limite individuate in precedenzain funzione della geometria della sezionee dell'intensitàdello sforzo di precompressione. Si osserviora che perI'assorbimentodel momentoutile M,,, è richiestoun adeguatomomento d'inerziadella trave o, che è lo stesso,un,adegualaampiezzadel nocciolo limite,mentreper l'assorbimentodel momentominimo è richiestosoltanto che sia presenteuna oppofiuna distanza d al di sotto del punto limite inferiore,condizionequest'ultimache si verifica generalmente per le usuali sezioni. Questaconsiderazioneconduceall'affermazionemolto suggestiva,seppurenon del tutto rigorosa,che,nelletravi precompresse a cavi scorrevoli,il pesoproprio (cui corrispondein genereil momento minimo) è assorbito gratuitamente. Ora può accadereche il momento minimo dovuto al pesoproprio sia minoredel momento utile aggiunto della sezione: M^i^ < p Nd

(r6.36)

ed in tal casola sezionenon può essereutilizzata alla sua massimacapacità di lavoro, a meno chenon si ricorra ad un espediente,chein taluni casipuò

394 Teo s e tecùica delle coslruziont

offrire qualchevantaggio,quale lo zavorraggioprovvisorio della trave' Si tratta in sostanzadi colmarela differenza: pNd - M^tu

(16.37)

medianteun carico di zavorra che si impone alla struttura all'atto del tiro questovienegradualmentesostituitocon il dellearmature;successivamenie carico delle sovrastrutturefisse che vengonoposte in opera dopo il tiro. Può accadere,viceversa,cheil momentodovuto ai carichiagentiall'atto del tiro delle armature eccedail momento utile aggiuntodella sezione: M^i^ > $Nd

(16.38)

ed in tal caso è giocoforza diminuire I'entità del momento utile. Questoinconvenientedeveessereridotto al minimo in sededi progetto (compatibilmentecon le altre esigenzetecnichee costruttive),cercandodi spostareversoI'alto il baricentrodella sezionee con essotutto il campo di nocciolo.Ciò si può realizzare,entro certi limiti, con una convenientedistribuzionedelle areedella sezione,ed in effetti in tutti quei problemi in cui il momento dovuto ai carichi fissi è rilevante rispetto a quello dovuto ai sovraccarichi,la progettazionetendeversole sezionidissimmetrichedotate di ala molto grandee bulbo ridotto alle dimensioniminime compatibili con nel I'alloggiamentodei cavi. Comunquedi questo si dirà piir estesamente progetto problema delle sezioni paragrafo che seguein cui si tratta il di precompresse. 16.3.3. Progetto della sezione 16.3.3.1.Generalità Il progetto di una sezionein conglomeratoprecompressosollecitataa flessionesi presentaoltremodocomplessoper il notevolenumerodi parametri incogniti e per il sovrapporsidelle diversecondizioni di lavoro della sezione.In generale,quindi, non è agevoleeffettuare un vero calcolo di progettoper le sezioniprecompresse; comunqueil problema,chesi presenta di notevoleinteresseteorico, può essereaffrontato con opportunesemplificazioni che ne consentonouna soluzionesufficientementeagevole. Di regola nella progettazionesono noti:

Il calcolo della sezione 395

-

le tensioniK^^, K^^, K'-,, e K',^, innanzi definite e funzioni delle caratteristichedi resistenzadel calcestruzzo; - le tensioni Kr' e Ki, funzioni delle caratteristichedell'acciaioe delle cadutedi tensionecausatedalle deformazionilente; - il momento flettente M,o ger'eîalonella sezionein esamedal carico utile che la struttura devesopportare. Incognitosarebbeinveceil momentodovuto al pesoproprio dellatrave, in quantoin fase di progetto non sono note le dimensionidella sezione; il pesoproprio della struttuttaviapuò calcolarsiin prima approssimazione tura e supporrenoto il momento M.,,. I-e incognitedel problema sono quindi gli elementigeom€triciatti a definirela forma e le dimensioni della sezionedi calcestruzzo,nonchéil e la sua posizionenella sezione. valoredello sforzo di precompressione Tra le incognitedel problemafigura, come detto, anchela forma della sezione:infatti, mentre nelle strutture in cementoarmato ed in quelle in acciaiola forma piir convenientedella sezionepuò esseredefinita a priori e non dipendeaffatto dai carichi esterni,nelle strutture in conglomeratopreessa,come si dirà in seguito,risulta funzione del rapporto fra compresso momentominimo, presenteall'atto del tiro, e momentomassimo,relativo allecondizionidi esercizio. È inoltre da rilevareche,mentrenellecostruzionimetallicheed in quelle in cementoarmato è sempreconvenienterispettarele tensionilimite ammissibili relativamentealle condizioni di massimocarico, nelle costruzioniin precompresso non è opportuno chein determinaticasivengaconglomerato no raggiuntele tensioni limite in tutte le fasi di carico della struttura. Prima di iniziare il calcolodi progettoè pertantoopportuno premettere alcuneconsiderazionisul comportamentostatico della sezionein relazione al rapportoesistentefra i carichipresentiall'atto del tiro e quelli relativi alle condizionidi esercizio. I casi che sostanzialmente DossonoDresentarsisono due: ''a l

M_-. _

M^,,

-= '|

la quasitotaliÈ il casochesi presentaquandoi carichifissirappresentano tà dell'interocarico.In tale eventualitàè manifestochele condizionidi tiro, e a coincidereconla cosìpurequelledi esercizioa vuoto, vengonosensibilmente pieno questa carico; è ultima dunque checondiziona di esercizio a condizione progetto le tensioni ammissirestando certamente soddisfatte il dellasezione, queste sianosoddisfattein esercizio. bili relativeal momentominimo ove

396 Teorto e tucnica delle costruzioni

r1,",

Fase di èsercizio

o"ol

i

Tà,

T

{

ar

T

t

B

r

l

l M),

(16.s2)

M** = M),

(16.53)

M^', < M)',

(16.s4)

Nei.ca,si (16.52)e (r6.53)la sezione a T, proporzionata perra condizione .. di esercizio,rispettaancheIe esigenze relaiivealla f"* ai tjr" e può quindi accettarsi comesoluzione definitivadelproblema'(èl,eventualità corrispon_

t, U , errune I(.* rrli risu.ltapositivo per la conyenzioneassuntacirca il segno "il"jll,lÍ..t 'In effetti jl del _vat-ore momenXolimite M*^,n è stato ottenuto nel solo rispetlo delle tensioni -ammissibirial lembo inferiore. tn pertJi'il iló"";;ffi;;finirsi un ulteriore valoreM**-i, asso,cjato al fispettodelle.tensioniammissibilij f.Àúo ,up..ror.. tmponendo ancora che in condizioni di riro sia nura la tensione J t.1"u"-riiir.iràii, si ha infatti: BN _ M;h - PNe ___\_=u ,t e tenendo presenteche in fase di esercizio risulta: wr

-N,M ^* -N e A W ,

$ ncava;

M;k=pM^u-BKt^tV, e cioè per la (16.49):

È-

Il calcolo della sezíone 403

nel caso(16.54)invecela sezionea denteal casoa illusîrato in precedenza); T nonrispondealle esigenzedella condizionedi tiro e va quindi modificata comesi esponenel seguito. Dalla(16.50)apparemanifestocheagendoun mom enroM ^io < M),^le pertanto tensionial lemboinferiore superanoil limite 1f.,"; è indispensabile limiti entro aumentareil modulo W, della sezioneper riportare le tensioni ammissibili. Per ottenerequestoè opportuno disporrein corrispondenzadel lembo inferioredellasezioneuna controsoletta(bulbo) di cui occorre,calcolarele Bt e d' $ig. 16.13)' dimensioni notare, tuttavia, che l'aggiunta di tale areasuppletivamonecessario È difica,seppurmodestamente,il regimetensionalenella fasedi esercizioe si dovrannoquindi apportarelievi variazioni alla geometriadella sezioneed allaentitàdello sforzo di pretensione. Dalla (16.51) per M*^,, : M^i,, si ricava il modulo di rcsistenzaw'' in fase di tiro: necessario

FM^^ _ M^, K'^*

(16.55)

percui l'incrementodi modulo resistentechesi deveotteneredisponendola vale: controsoletta

M ' ) r = B M . ^ - B K ' ^--^ W , ! : ), cheil terminesottrattivo: quest'ultima con la (16.51)si osserva Paragonando

- BrL*w,i pergli usualivalori di B e Kr.,' è sempremaggioredel corrispondenteterminef-,' Iiguranella(16.51).Si trae pertanto che essendo:

I/, che

M -,^ < M., le condizionilimite al lembo superioresono sempresoddisfatteove 1o siano le condizioni (16.52)e (16.53),relativeal lembo infedore.

404 Teoia e tecnica delle costruzioni

rrgura to.tJ

LW,=1ry'-ry.

(16.56)

.Con riferimento semprealla figura 16.13, detteA, Wi,yi edl,"le caratte_ dstiche geometrichedella sezionea T prima proporzionatae: A* =A -tM

w*'=w'+aw, !*t

ed

y-"

le analoghe caratteristiche della sezione variata per l,aggiunta dell,area: 4'4

sr ncava:

=

(82 _ b)d2

(16.s1)

Il calcolo della sezione 405

d, "At ri

li

:

t '-

*A' À2 - i ]

(16.58)

A + M

edancora.trascurandoil momentod'inerzia baricentricodella controsoletta:

w i v ,: w , Y+' ' a ( Y- i Y , )'2r M ( r , - ? ) '

(16.5e)

da cui, per la (16.56):

o * , = ; 1 r , , ,- y : ) + A ( y- ,y * , ) t

a

*

u

)

-\2

(16.60) l(r-: - ? z ) | _)

Dalla(16.60),tenendocontodella(16.58),si traecon semplicipassaggi: Ay,Aw, M =

( d" d.)1 d, l t -:2 - - : l l w . * A I -r ., - - | | - Ltv. ' ,' ) t l | ) | | t [,,

(16.61)

checonsente,prefissatod,, di calcolareI'area integrativa A,4 e quindi la lwghezzadella suola inferiore. A tal punto la sezioneprecompressaè totalmente definita nella sua geornetria ed è noto anchelo sforzo di pretensioneN. Si è già detto peraltro lo stato tensionalenella condizionedi eserciziorisulta variato per la che modificareil valoredello presenza dellacontrosolettaed è quindi necessario sforzoN, annullandola tensioneal lembo inferiore in tale fase. Solo così infatti può esseregarantito il calcolo svolto in precedenzaed assicuratoil rispettodelletensioniin fasedi tiro. Seinoltre dal calcolorisultanonotevoli dimensionidel bulbo, occorreverificare che al lembo superiorein fase di tiro non si abbiano tensioni di trazione eccessive.Per quanto concerne, infine,la tensionemassimain esercizio,occorreosservareche in genereil suovaloreeffettivo risulta inferiore a quello ammissibileK',,^-

406 Teofio e rccnico delle coslruzioni

16.4. Lo sforzo normale eccentrico Nei paragrafiprecedentisi è affrontato lo studio di una sezioneprecompressa,semplicemente inflessadai carichiesterni,mostrandocomein effetti il problema si riconduca a quello della pressoflessione. Pertanto in tale campo rientra il caso in cui le caratteristicheesternesiano di pressoo tensoflessione,tenéndoconto che allo sforzo normale di precompressione deveesseresommatoalgebricamentequello.esterno:nelle espressionidelle tensioni occorre quindi aggiungere,rispettivamenteal tiro e in esercizio,i termini corrispondentiallo sforzo normale esternoche può attingereper le condizioni anzidette i valori N'ed Ni con le corrispondenti eccentricitàe' ed e". Le (16.7) all'atto del tiro e le (16.8) relative alla fase di esercizio Dertantosi modificano nelle': q" =

pN + N'

q#*Vr*"^,.

A

(16.62) " ,

B N e- N ' e W i

PN+N' A

,' N*N" o;= A

*

Ne -N'b" W

3"*r-

3, *r^

(r6.63)

avendotenuto separatii momenti flettenti dovuti allo sforzo normaleesterno eccentricoe quelli derivanti dai carichi trasversali. Più semplicemente si può scrivere:

"

Lo sforzo normale esterno,vadabile fra i limiti if'ed N', è stato assuntodi compressione e le corispondenti eccantdcitàe'ed,e" di.segnocontrario a quelledella precompressione.

I

Il cqlcolo della sezíone 407

c=PN-!N'-W.#"r*r^ (16.64)

c=ryJN'.W-#,*ur* - l _

N+N"

- #".T"**r-

(16.65)

o!

M'

= M^i, l- Nb

M"=M^*+N2"

(16.66) (16.67)

Tali formuleconsentono,almenoteoricamente,di impostareil progetto comeper la flessione,salvoa considerare,in luogo dello sforzo sezione precompressione centratoBN ovvero N, lo sforzo PN + N'ovvero luogo di M^,, ed M^,,i momentiM'ed M". in + N", ed

6.5.Taglio 6.5,1. Generalitù possonoin geneLe strutturein conglomeratocementizioprecompresso sforzi di taglio di notevoleentità, anchecon modestispessori 'anima;la resistenzaa tali sforzi risulta infatii migliorata, rispetto a dellestrutture in calcestruzzoarmato, per i seguentimotivi: 1) i cavi, nella maggior parte dei casi, vengonodisposti nell'elemento un tracciatocurvo: ne consegueche lo sforzo di precompressione una componenteverticaleche diminuisceI'entità della caratteristicatariduzionedelletensioni prodottadai carichiesterni,con conseguente

408 Teo a e tecnica delle costruzioni

2) la presenzadi tensioninormali di compressionecomporta una ridu_ zione delle tensioni principali di trazione. 16.5.2. Riduzione dello sÍorzo di taglio per I'inclinazione dei cavi Lo stato di presollecitazione in ciascunasezionedella membraturapuò essererappresentatoda una forza N, variabile da sezionea sezione,la cui retta d'azione è tangenteal tracciato del cavo. Nella sezionex - x (fig. 16.14),sea è l,angolo chela tangentealla curva forma con I'assedella trave, la forza À/ può scindersiin due componenrr, rispettivamenteparallelae normale all'assedella membratura.di intensità (N cos a) ed (N sen a).

Ncosa N sen4 Figurc 16.14

La componente(N sena) agiscenella stessadirezionedella caratteristica tagliante, sommandosialgebricamentead essa;lo sforzo di taslio totale pertanto vale: T,: T - Nsena

(16.68)

e subisceowiamente delleescursioniin relazionealle diversefasi di lavoro. Se To e Tn sono gli sforzi di taglio dovuti ai carichi permanentied accidentali,i tagli ridotti a vuoto ed a pienocaricovaìgono:

Il colcolo della sezione 409

Tu:Tr-BNsena

(16.69)

T r z : T ot 7 , - N s e n c v

(16.70)

Se la trave è ben proporzionata,nell'espressione di 7..,la quantità (pNsena) prevalesu 4, mentrenell'espressione di ?1,risulta (Tq + T) > (N seno), per cui f, e ?1,hanno segnocontrario. La miglioreutilizzazionesi ha nell'ipotesicherisulti verificatala condizione: Te+Tq -Nsenot=

-

(2, - BNsena)

(16.7t)

che consentedi ricavare: '| Nsena=(2Te+Tn),, p

,

l

(16.72)

I tagli ridotti T,j e 7,,, a vùoto ed a pieno carico, risultanoquindi pari a: .

f

_

(1 - p) rP - pr'l

A + r T

_

(1 -B)rt,-pr,l

A + t

(16.73)

(t6.74)

SeB = 1, la (16.72)fornisce: N s e n a= T p +

T,r/2

(16.75)

e quindile (16.73)e (16.74)si particolarizzano in:

T,t: -f"=

-i

T^

(16.76)

. In tal casolo sforzo di taglio residuoè quello corrispondentealla metà delsolo sovraccarico,essendola caratteristicatagliante dovuta ai carichi fissiedall'altra metà del sovraccaricoannullatadalla componenteverticale dellosforzodi precompressione.

410 Teoria e fecnica delle costruziotu

Tuttavia, anchequalora non potesseessererealizzataquestacondizione di , lo sforzo di taglio residuo risulta sempreun'aliquota di quello effettivo. 16.5.3. Riduzione detle rensioni principali di trazione Nel genericopunto della membraturasia 7 la tensionetangenzialedovuta alla caratteristicatagliante residuae o la tensionenormale dovuta alla precompressione. La tensioneprincipale di trazione, come è noto, vale: -4

o 2

l 2

(16.77)

e l'inclinazionedelleisostatichedi compressione(fig. 16.15)è fornita dalla: o,

rgp =

(16.78)

T

owero dalla: ZT

rg 2q

(16.79)

o

L'espressionedella o, fornita dalla(16.77) si può semplificare se il valore î di - è tanto oiccolo da consentire di arrestarsi al secondo termine dello ú ' sviluppo in serie del radicale; si ha in tal caso: ú

2

4l-]"'

o( l

21"

!

-

l

d)

o

-2

o (

)Ìl

2 IL t + : o' -1) = - -

I o

(16.80)

Lo sforzo di scorrimentoS = rbAz, relativamentead un tratto di lunghezzaAz,può decomporsinelladirezionedelleisostatichedi compressione, ed in quella secondocui si collocanole staffe; nell'ipotesidi staffe disposte verticalmente,lo sforzo di trazione in esserisuha pari a (fig. 16.15b):

(16.81)

Il cslcolo dellq sezione 411

P,

.î

tt t.. nl-'

P

]

"

-

l

*D,z rbaz

Figura 16.15

412 Teoria e tecnica delle costruziont

Indicando con A,I'area totale di staffe nel lratto Az, la sollecitazione nelle armature vale: rbLz tg,p

)

(16.82)

da cui discende,ser è il numerodi braccidi una staffa di sezioneco,e or"^.la tensioneammissibileper le armature, il passoAz delle staffe: ,

n@Íoí'^,, îb lge

(r6.83)

Il passoAz va ovviamentecalcolatonel punto della sezionenel quale è massimoil valore(r Igp : 1o,11. Qualoral'entità della caratteristicataglianterisulti notevole,può convenire precomprimerela membratura nella direzione dello sforzo di taglio, eliminandocosìqualsiasitensionedi trazione.Tale precompressione evidenpuò pretensione temente realizzarsidando uno sforzo di alle staffe, le quali vengonoancoratenella suolainferiore o superioree tesedall'altra estremità, 16.6. Torsione La presenzadella sola caratteristicatorsionaleè rara nelle strutture in cementoarmato precompresso;ad essageneralmentesi associano,infatti, quelle flettenti e taglianti. La valutazionedelle tensionitangenziali,trattandosi di sezioniomogenee,si effettua con le formule ad esserelative,e per la presenzadello sforzo di precompressione la tensioneprincipaledi trazionevieneridotta al valore fornito dalla (16.77). Nel casochetale tensionerisulti ancorasuperioreai limiti regolamentari, si dovrà disporrenellatrave una opportunaarmaturametallica,calcolata come nella teoria del cementoarmato ordinario.

l

Il calcolo della sezione 413

16.7.Esercizi Esercizio n. 16.I La catenadi un arco è sollecitatadai seguentisforzi di trazione: T^n = 25.000kg per i soli carichi permanenti; T*, = 35.000kg per i carichi permanentied accidentali. Si intendeprogettarela sezionedella catenae lo sforzo di precompressione,avendoassuntoper il calcestruzzoi limiti: Kk^ = 120k,/cm' K'^, : 0 e prevedendo una cadutadi tensionenei cavi a tempo infinito pari al 20 per centodello sforzo iniziale. Imponendoche le sollecitazioninella catena siano contenuteentro i limiti imposti, sotto l'azione dei carichi permanentied accidentalisi ha rispettivamente: $N-T^',):Ki^^lo @-r^)=K'^ty'o avendoassuntoA = 1,25,ed avendoindicatocon Aol'areadellasezione. Sostituendo i valori noti si ha: 1,25N - 25.0ffi= l20Ao N-35.000=0

N : 35000ks Ao = 156 cm2 Si può assumereuna sezionedi 12 x 13 :

156 cm2.

414 Teoria e tecnica delle costruziou

Esercizion. 16.2 La sezioneriportata nella fig. 16.16è sollecitatada un momentoflettente dovuto al pesoproprio pari a 180fm e da un momentoa pieno caricopari a 290 tm. Lo sforzo di precompressione N vale 320 t ed è applicatoa l0 cm, dal lembo inferiore della trave. Verificarela sezioneal disarmoed in esercizio,prevedendochele cadute di tensionesiano del 20 per cento e che il calcestruzzodella sezioneabbia una resistenzacaratteristica R"k = 4000 t/mq. a) Carattertsfiche geometrtche della sezione. Si calcolanoI'area ed il momentostaticodella sezionerisoettoal bordo superiore. bi xhì

A

62x15

930

18 x 135

2430

67,5

550

rtt
o:

Fígura 17.1

No'

w,

M _ 1V T + _

w

( 1 .7r ) 1ú A

No,

M N _ T _W,

wi

il diagrammacorrispondenteè rappresentatoin fig. 17.1a.All'aumentare caratteristiche esterneM ed N, nell'ipotesi che il materialecontinui a in manieraelasticalineare,si pervieneal diagrammadella fig. .1b,in cui si è indicato con o", il valore limite della tensionedi trazione. La condizionedi fessurazioneviene pertanto espressadalla relazione: -tt

No

No"

A

w,

wi

(t7.2)

cui N* ed M+ costituisconole caratteristicheesterneche provocano la Il dominiodi fessurazionecon le ipotesiforrnulate,e semprecon riferiallafig. 17.1,è quello della fig. 17.2nella qualesonoindicati con Nr' Mi i valori delle caratteristicheche da sole Drovocherebbero la fessura-

436 Teoria e lecnica delle costruziont

Figura 17.2

zione al lembo inferiore della sezione. In particolare,nel casodi flessione semplice,si deduce: r^l

M' ;= [ ! * V - , " , ) * , = ( o .-, ú . t w wi ['4 )

(17.3)

essendoor,la tensioneal lembo,jnfeliore indotta dalla solaprecompressione, mentre in presenzadi solo sforzo normale si ha:

-t = (*.V

- ' " , ) n = ( o o- , o " ,A)

(17.4)

Per determinarein generaleil : ienza.ti en,",hLÀ r- ^^_^j.-,! ..margine.di sicurezzaalla fessurazionein di variazionedi questeultime, e cioè:

":!:n:'il;;ffi"#:ffi ;['ttr.llff li'J;;1";:i:11"3::*:r15 "; lì :i::;: :::::i:

neftenre variabile; :.::lTl., mómenro

il:l::":::-.:g:"u,iubn;,;;;;;;;il;',.""::,,xil:; . 'no,n."to n"ìtJ; u#ffi

?,:lAL"::,:î

uno stessoparametro, Nella fig. 17.3sono rappr

*n*:F#':'

;:"#iilio,,ur..n,. ua

?,:'.:rif il'n'"'i'",'?l'.j"Jff :,::î;lîi:llg:j]

Le verirtche a fessurazione e rcttura

c)

b)

a)

437

Fígurq 17.3

AP, 4^=

BP,

CP,

lO'nu= nO'1r: CO

In realtàil fenomeno,anchenel casodegli stati tensionalimonoassiali, il calcoloin fase nonè cosìsemplicecomeschematizzato.Infatti eseguendo inferiore a risulta essere fessurazione elastica,il margine di sicurezzaa quelloeffettivo, a causadelledeformazioniplasticheche, seppurlimitate, si certamentenella zona di conglomeratoteso. manifestano A taleproposito è da rilevarsiche I'impiego di armaturesussidiarienon pretese, ripartite nella zona di calcestruzzosollecitatoa ftazione,contribuidoti di plasticitàdel conglomeraad elevarele suaccennate scenotevolmente to, migliorandoquindi i margini di sicurezza. l7 .3. La verifica a rottura l7 .3.1. Generalità il marginedi La necessitàdi determinareper le strutture precompresse presente capitoiicurezzaalla rottura è stata puntu alizzata nella ptemessaal il a trattare per ci si limita la fessurazione, fatto come così lo. Persemplicità, casodella rottura in presenzadi stati tensionalimonoassiali' Analizzandoil comportamentodelle travi in c.a.p. sotto l'azione di carichicrescentifino alla rottura, si osservanodiversefasi (fig. 17.4):

'438 Teoria e tecnica delle co,struzioni

i

l

*+J:

( u') IÈÈ '| : :.!' n l

lsÈl l=ol

ll.

:€5i it 3o 9I r

o

Figura 17.4

l) Faseelastica:i materialisonop-oco sollecitatie la trave ha un compor_ tamento elastico pressochélineare fino "l .t;;";#;to at tembo teso dellatensionedi rottura a cui M"' yn.momento In condizioneàì esercizio,a cui corispond. i,t:lt:!::d". r momentoM' il comportamento delle trave è semprecontenutoin questa 2) Fasedellafessurazione del calcestîuzzo:nelcalcestruzzo si è raggiunta tqnsion^e di rouura

maperre.zue

d;;ffi;i;;t,;il"i'Jn",ri ,onoun.oru ]a prodoue fessurazioni. Il vjlore del carico;;, r;;#fi;rifìca t,aperrura dellaprimalesionea cui corrisponae I momentoffii.u fJrru.urron" rn genererisultaessere 1,ur), di oocosuperioreu qr.il;;;i;rsponde il mo_ mentoM". pertantol,estensione ai tur. rur. Éplutt;;i,,n,;," a menoche nellatravenon vi sia una forte percentuale ài *_ìir.".l"fce di piccolo diametroe bendiffusanellazonatesa,.nel qualcasosonopiù elevatele doti

t.,o ., úi ..";;;;;,;;;""; :,:illi';'î;t;l.,::neromeraro

unvarore più

d"tl" deformazione a sez.i.one parzializzata: il calcesrruzzo ,-"".11^lir. risulta ressurato per ìa maggiorparte della ^ì" t"r" . ll il;;;. nel,acciaio rmonicoè minoredi on, (tànsione cui corrisponde unuà.ioio,urion. pruui .a pari allo 0,1V0).It comoortamento Aemtiavee ancorufliaurn.ntutrn.n_ te elastico,nel sensoche al d

compretamente ; r. i,;; ;#;:"::ff

i::,:::ìr ,|:,î"""il,,:

richiudonà

)

Le verifiche a f*surazione e rottura

439

Figura 17.5

4) Faseplastica:é questala fasedelle grandi deformazioniplastichesia peril conglomerato che per I'acciaioarmonico' Particolareimportanzanel meccanismodi rottura rivestela percentuale di armaturadella sezione.Infatti, nel casodi travi dotate di una percentuale di armaturaparticolarmenteelevata,piuttosto raro nella pratica tecnica,la rotturaawiene per schiacciamentodel calcestruzzocon l'armatura pretesa dopo aver raggiuntola ancorain campo elastico:la trave, di conseguenza, all'aumentare grado di conservarla portante, in non è massimacapacità (curva a di fig' tipo fragile rottura di delladeformazione.determinandouna percentuale di 17.5).Diversamentenel casodi travi dotate di una norrnale armatura,la crisi awiene o per rottura dell'armaturao per schiacciamento accompagnatoda una notevoleplaslicizzazionedell'armadelcalcestruzzo tura pretesa:in entrambi i casi la trave, dopo aver raggiunto la massima capacitàportante, la conservaall'aumentaredella deformazione,manifestandoun comportamentoche usualmenteviene definito di tipo duttile (curvaó di fig. 17.5). La duttilità è una caratteristicadel comportamentodella trave che rivesteuna particolareimportanzain quanto governala capacitàdi rotazione dellezonepiù sollecitatee quindi la capacitàdi ridistribuzionedelle solleci tazioninella struttura in prossimità della rottura. Ciò è particolarmente importanteper le strutture iperstatichenei confronti dell'assorbimentodi provocateda carichiimprevisti(cedimentidi fondazione,ecc.) sollecitazioni nonchédella capacitàdi dissipazionedi energiain campo anelasticosotto l'azionedi carichi dinamici (sismi, impatti, ecc.).

I I

440 Teoria e rccnica delle costruzioni

viceversa,nercasodi comportamento

fragile, il collasso preceduto daunostadiochedi pocoo nuru,iaj-rroJir#aadelrastrutturaè "o_po.ru_".r_ to elastico lineare, echeouindinonpr.r.nru,*riùirì'J.ioì.urioni anelasti-

che.nella faseimmediatamenteprecedente il

.off urro Ì"fjàrro senzapreavvi_

A volte la fessurazione. e la_rottura sono molto vicine e addirittura possonocoincidere,avendosianche in questocasounu .oi,u.u di tipo fragi_ le. Ula tale situazione,per la,veritàpo.o f..q*rt" niffì'p.ut"u tecnica,si verifica quando le travi sono dotate di una pri""ntuuù aì i_atura partrco_ larmentemodesta. 17.3.2. Il caso della rottura per flessione per momenrc mqssrmo Si consideri la genericasezionedelra figura 17.6, sorrecitatada una coppia esternaagenteDarallelamente pia;o al di simmetna. Nella figura 17.6aè riportato il diagiammadelle deformazi,o"i..ii;"*i"1" e nel conglomerato relativo alla fase di esercizio, in cui si è i.di;;;;", - e" la contrazionespecifica totale del conglomeratoal lembo superiore; - e,o la deformazione specificadettafiUra aicongil; postaall,altezza dell'armatura pretesa; - ero la dilatazionespecifica dell,acciaiosollecitatodallo slbrzo di preten_ sione. Le deformazionidel diaerammadi fig. 17.6a quelle provocate dalla sola nrecompressione comprendonoquindi sia sia quelle relative ai carichi esterniagentinella fase di esercizio;in particoraie ia iìia il)ione ,r, aal, armatura di pretensionedeve ritenersi già depurataa.iiurióo,, corrispon_ dentealle cadutedi tensioneain"rite n'eit"nipo. E;;iliJ,. inoltre preci_ sare che la deformazionespeclticae,opuò risultare, in tale rase di lavoro della trave, sia di contrazio;e, comeriportato in figura, che di dilatazione. La deformazionedell,acciaioarmànico .irrfi"" p..i"rrt" differente da quelladet conglomeraroDosto alla stessaq"oà;;;';;;';"cavi scorrevori, infatti, alt,atto della mesiain tensione i cavi sonoliberi di scorrereall,inter_ no delleguaine,mentrenel sisremaa. fili ao"."nti ta i"suùli"n" eff ttuata prima del getto. euindi solo dopo d"il";;;;;t casodi rravi -l,iniezi.r. dopo il taglio,deifili net casodi tra;ù;;, l,acciaio lljl-,rjl: ly'.." ed it conglomerato,essendosoridalitra roro, sono costretiia deformarsidella

l

Le |etfiche a fessurazíone e rotlurs

441

ec

€s

'

tt

r_î.|

F-i!-+

.€",

"t 'l b)

a) Figura17.6 stessaquantità. Nella fig. 17.6a si è indicata con: cJ -

^Èf

-

Èh'f

car

(17.5)

la dilatazionefittizia pari alla somma di quella dovuta alla pretensione dell'armaturae della deformazionespecifica(di contrazioneo di dilatazione)del conglomeratosituato all'altezzadell'armatura stessa. La deformazioneunitaria dell'acciaioarmonico al collasso(fig. 17.6b) è, dunque,pari a: (17.6) in cui e, è la dilatazionespecificadella fibra di conglomeratoposta alla quotadell'armatura,letta sul diagrammadella e nella situazioneultima. La dilatazionee, rappresenta,quindi, la deformazionedell'acciaiopretesoal di là delladecompressione. Nell'ipotesidi conservazione dellesezionipianefino a rottura, la linearità deldiagrammadi fig. 17.6bconsente,peraltro, di istituire la relazionetra e"ed e": ec )c

h - x

(r7.7)

442 Teoiq e tecnicadelle costruztonl

di cui ci si awale specificamentenel seguito' precedenza'avvieneper Il collassodella sezione,comegià accennatoin schiacciamentodel calcestruzzose: (17.8) ovvero per rottura dell'acciaio, se:

(17.9) di rottura del calceavendoindicato con e., ed er, le deformazioniin fase "il.ú; e dell'acciaioarmonlco' "" struzzo percentuale la tensioneiniziale nell'acciaio'esistequindi una il contemporaneamente limite dell'armatura pretesapr,per cui si raggiunge Evidentementeper "ofluso a"f|u..iaio armonico e del conglomerato' lt )

(17.10)

ltt

lembo compressodel la rottura è caralter\zzatadallo schiacciamentodel conglomerato,mentre Per (17.11)

It1pt

è I'armaturaa determinareil collassodella sezione' l7 .3.2.1. Calcolo dell'armatura limite limite' per Individuata la dilatazione fittiziaZr, il calcolo dell'armatura che si verifichi il collasso o,runìoi.r.runri detto, viene condotto imponendo e per I'armaconslomerato ;;;;;.;;;; ;ei I'estremafibra compressadi tura "-' tesa(fig. 17.7). in tal tia il lembo estremocompressoe I'asseneutro viene r-" aiùí-;, casodeterminatadalla relazione: €,o

eÍ,

-

h

-

ei

(r1.12)

t.

delle sezionipiane' dedottain baseall'ipotesrammessadella conservazione

L l

Le veri.Íichea Íessurqzione e rottura 8oo

r

t

t

.

443

A6c

t

Figura 17.7

Dalla(17.12) si ha quindi: n xt' -- eco+ etu- ef

(17.13)

L'equazioneesprimentel'equilibrio alla traslazionenella direzioneparallelaall'assedella trave si scrive(fig. 17.7):

t'' o(u)b{r) a, orln -)n

(t7.14)

evendoindicatoconl/i I'armatura alla qualecorrispondeil collassocontemporaneodell'acciaioe del calcestruzzo,corroy,la tensionedi rottura dell'acciaioe dove:

t = e ( ù = : x xI

La (17.14) consentedi determinareimmediatamente-z4r:

(17.1s)

444 Teoúa e tecnico delle costruzioni

n, =

:

l . ' o ( e tb { x )a x

(17.16)

La rottura, quindi, awiene per collassodelllarmaturadi precompressione quando: Ar 4 A1t

07.17)

mentre avvieneper schiacciamentodel conglomeratose risulta: A7 ) A1r

(17.t8)

17.3.2.2. Le sezioni debolmentearmate Nell'ipotesi di Ar < A, il diagrammadelle deformazioni si presenta comeillustratoin fig. 17.8. La posizionei dell'asseneutro vienedeterminatadall,equazionedi equi_ librio alla traslazione: f'' o ( e )b ( x ) d x "I0

(17.19)

essendo:

E : e ( ù= 2 x x

(17.20)

Il momento flettente di collassoè fornito dall'equazionedi equilibrio alla rotazioneintorno al baricentrodella zona .o-p.irru, ossiadalla rela_ zione: Mo= oio'Ar'h*

(17.21)

doveft * rappresentala distanzatra il baricentrodei cavi di precompressrone ed il punto di applicazionedella risultantedegli sforzi di compressione nel

Le verirtche a Íessurazione e rottura

445

o r l

F------l-tr-----------l Fígurs 17.8

Tale punto è di facile determinazioneuna volta fissatala legge calcestruzzo. = o o(e)per il calcestruzzo e aver calcolatoi tramitela 117.19). 17.3.2.3.Le sezioni fortemente armate Nell'ipotesidi Ar > A, il diagrammadelle deformazioni si presenta comeillustrato in fig. 17.9. Si ha pertantoper il valore della dilatazionenell'acciaio: -

h - x

(17.22)

La posizionex dell'asseneutro è fornita dall'equazionedi equilibrio alla traslaz ione:

t" "\ 0

o ( e ) b (x) dx

(t7.23)

446 Teoria e tecnica delle costruzioni

I

"'

..

_,

,l

Fíguro 17.9

€ =

€(J)

=

t"o -J )t

(17.24)

Nella relazione(17.23)o, è funzione di e, e quindi, come risulta dalla (17.22),di x. La (17.23)perrantoè un'equazione nell,unicaincognitai che può risolversiper via iterativauna volta fissatala leggeo - e del conglome_ rato e quella dell'acciaio. Il valore del momento di rottura è fornito dall,equazionedi equilibrio alla rotazioneintorno al baricentrodella zona compressa,ossiadalla relazione: Mo = or ' At . h*

(t7.25)

in cui o, è funzione di e, e quindi di i, mentreft*, come visto, è facilmente calcolabileuna volta risolta I'equazione(17.23\. 17.3.2.4. Le verifiche s rottura nella pratica tecnica Nei paragrafi precedentiè stato espostoun procedimentodi calcolodel momento di rottura per sezionidi forma generica,valido per un qualsiasi

Le veriliche a fessuruzione e rottura

44'7

o - e del calcestruzzoe dell'acciaio.La procedura,benchéconcetassaisemplice.è notevolmentelaboriosanella pratica applicaziopercui si preferisceadottareformulazioni approssimateche ne consenuna valutazionesufficientementeesattae piir rapida. Il calcolodel valore del momentodi rottura può essereinfatti condotto semplificativadi diagrammadi compressionerettangolaredel In particolaresi assumeun diagrammarettangolareestesoad )estruzzo. partire dal lembosuperiorecompresso,pari a 0.80i, y, valitataa altezza i la profondità dell'asseneutro; si assumeinoltre una tensione limite del calcestruzzopari a o"". In tali ipotesi, il regimedi e di tensioneè rappresentatonella fig. 17.10.La posizione 'asseneutro viene calcolata,al solito, utilizzandoI'equazionedi equiliallatraslazione.A tal fine, dovendosivalutarela risultantedegli sforzi trazione,si devecalcolarela deformazioneerdell'acciaioarmonico,pari, visto,a:

(17.26)

eÍ:eîp+eap+ea

residua,e,, e, è la deformazionecorrispondentealla precompressione della fibra di calcedeformazionecorrispondentealla decompressione postaalla quota del cavo ed e, è la deformazione,letta sul diagramdellee, in corrispondenzadella situazioneultima della sezione.

'

"

r B '

1

; ^ l è . ì l-T------'1 t è r l

c

l

Figura 17.10

La deformazionenell'acciaio armonico dovuta alla precompressione nel casodi piir cavi posti alla stessaquota, può esserevalutata con riferimentoalla tensionemedia, ossiacon la relazione:

448 Teoria e tecnica delle costruzioni

'

-rP

Et

\t - t^ w î i nEr

(17.27)

in cui or,è la tensionenell'iesimocavo depuratadellecadutedi tensioneed il è il numero di cavi. La deformazionee," della fibra posta al livello dei cavi, dovuta alla decompressione del calcestruzzo,è fornita dalla relazione: -ap

p.

LG

. î )

(t7.28)

in cui Nè lo sforzo residuodi precompressione, pari alla sommadegli sforzi residuiagentinei singoli cavi, ed e è l'eccentricitàdi À/ rispettoal baricentro della sezione. Con riferimento al casoparticolaredella sezioneriportata nella figura 17.10,l'equazionedi equilibrioalla traslazionesi scrive: a) per y q d By o - - A r o r : 0

(17.2e)

b)perd0,002

oP = 75217kg/cmz

oi = 3826ke/cm2 di comprescomedetto,un diagramma Adottandoper il calcestruzzo, rettangolaredi Profondità Pari a: Y = 0,80 x" = 30,49cm risultantedegli sforzi di compressionevale:

kg C = 176x (1000+ 170+ 16 x 10,49)+ 3826x 4,52 = 252'753 la risultante degli sforzi di trazione vale: -- 469665kg T = 15217x 29,728 + 3826 x 4,52 tentativo Si pone e" = e"" -- 0,3570 x"=90cm

468 Teoria e tecnícs delle costruzionl

per cui risulta: > 0,002 x 87/90 = 0,003383 ei = 0,OOrS t, = 0,0035x 51/90 = 0,001983 = 0'001822 > 3826/2100'OO0 €r: 0,0035x 57/gO= O,O02217 nell'acciaioarmonicovale: complessiva La deformazione eo= e, I eop+ eo= 0,004804+ 0,000467+ 0'001983: = 0,00'7254 < 0,007609 Si ha quindi: o'r : 3826k8/cm2 x 2.000.000: op = O,O0'7254

14508k8/cm2

o, = 3826 kg/cm2

Essendo

):0,80x90=72cm e di trazionevalgonorispettivamenle risultanti degli sforzi di compressione te: C = 176 x (1000 + 170 + 16 x 52') + 3826 x 4,52 = 369646ks I = 14508 x 29,728 + 3826 x 4,52 = 448587kg 3? tentativo Si pone ec=eco=0,35Ea x,:

lO4 cm

e rcttura 469 Le ve rtcheq fessurazione cui, dalla linearita del diagrammadelle deformazioni,risulta: €; = 0,0035x l0l/rD4 = 0,003399> 0,002

€p= o,oo35x 37/lo4 = o'ool245 < 0,001822 €/ = 0,0035x 43/104= 0'001447 nell'acciaioarmonicovale: complessiva La deformazione €p= 0,004804+ 0,000467+ 0,001245= = 0,006516 < 0,007609 Letensioninell'acciaioordinarioedin quelloarmonicoquindivalgono: o', = 3826kg/cm2 op = 0,006516x 2.000.000= 13032k8/cm2 or = 0,001447x 2.100.000- 3039kg/cm2 risultantidegli sforzi di compressionee di trazione, essendo:

y = 0,80 x 104= 83,20cm pÍln a:

= 176x (1000+ l7O + 16 x 63,20\ + 3826x 4'52 - 401t85kg T __ 13032x 29,728+ 3039x 4,52 = 40tt52 k8 praticamente verificatol'equilibrioalla traslazione,si ritiene Essendo :ttabilela posizionedell'asseneutro. La distanzadel punto di applicazionedella risultante degli sforzi di dal lembo superioreè pari a:

50 x 2Ú/2 + 170x 23,30+ 16 x 63,2x 51,6+ 6 x 4,52x 3 1000+ 170+ 16 x 63,20+ 4,52x 6 = 30,36cm

4'7O Teorìa e tecnica delle costruziont

La risultante degli sforzi di trazione è inveceapplicatain un punto che dista dal lembo superioredi: .

29,728 x 13032x 141 + 4,52 x 3039 x 147 29.728 x 13032+ 4'52 x 3039

tÀ1.1 --

Il braccio della coppia interna dsulta pertanto pari a: d = r4r,21 - 30,36 = lr0'85 cm Con riferimento al più piccolodei due sforzi, il momentodi rottura vale: M, = 401152x 1,1085 = 444677kgm Il coefficienteconvenzionaledi sicurezzaalla rottura è quindi pari a: 444.677 r'=zfg.Aú=r'ror

Copitolodiciottesimo Le cadutedi tensionenelle strutture precompresse

18.1.Generalità è stataagli ini"i condizionataprinL'applicazionedellaprecompressione all'impiegodi acciaiil cuitassodi lavoro dalledifficolta connesse cipalmenie percoprire con buon rendimentoI'aliquota di tensioneche andava oótesse acciai. stessi e degli conglomerato loiu -" u.uuìu delle deformazionilentedel (caiali perditedi tensione,che correntementevanno sotto il nome di statico dute,ditinsione>,hanno un'importanzadecisivasul comportamento essedevono,infatti, essereprevistee valutate di unastrutturaprecompressa: in modó che, una volta scontate,la struttura assumaquel adegoatamente iegi-medefinitivo garantito proprio dalla conservazjonenel tempo di una ce;iaaliquota dello stato di coazioneimpressoinizialmente' distinguersiin due cateLe caìute di tensionepossonosostanzialmente e quelle gorie:quellelegateal sistémaed alle modalità di precompressione precisamendei materiali' Più iipenaéntida é caratteristicheviscoelastiche segue: te Dossonoesseresuddivisecome a) perditedi tensionedovutea fenomeniistantaneichetendonoa diminui re I'allungamentoimpressoai fili; b) perditeditensione dovute alla resistenzad'attrito tra cavi e calcestruzc) perditedi tensionedovute a fenomeni differiti nel tempo' di diversifenomeDi tali cadutedi tensione,le prime sonoconseguenza quello a cavi scorrevoli' ni, alcunitipici del sistemaa fili aderentied altri di a cavi scorresonocaratteristichedel sistemadi precompressione leseconde voli, mentrele terze sono comuni a tutti i sistemiadoperati' paragrafi si esaminanoinizialmentele perdite di tensione , ilei successivi adoperacui in a) e b), facendòriferimento ai sistemidi precompressione c)' lettera alla di cui si trattano i fenomeni e succéssivamente

4'72 Teoria e tecnica delle costruzíont

18.2. Cadute di tensioneper fenomeni isfanianei Come rilevato, le cadute di tensionedovute a fenomeni istantaneisi a fili aderentiche in quello di manifestanosia nel casodi precompressione precompressione a cavi scorrevoli. Le causeche determinanotali perdite individuatenella deformazioneelasticacheinsorgenel sono essenzialmente conglomeratoper effetto dell'applicazionedello sforzo di precompressione, nel rientro degli apparecchidi ancoraggioe nello scorrimentodei fili all'atto del bloccaggio. 18.2.1. Deformazione elastica viene Nel casodi travi a cavi scorrevoliè noto che la precompressione effettuata facendocontrasto sulle testatedelle travi stesse,consentendoai cavidi scorrereall'internodelleguaine.È quindi possibileottenerenell'acciaio una tensioneprefissata,non influenzata dall'accorciamentoelastico alla messain tensionedelle della trave che si verificà contemporaneamente poiché la lettura ai manometridei martinetti armaturedi precompressione, viene effettuafa dopo che tale deformazioneistantaneasi è manifestata. è ottenuta con più cavi scorrevoli,la Tuttavia, quando la precompressione cui tesaturaviene effettuata in tempi successivi,nei cavi tesati per primi si manifestauna caduta di tensione,usualmentedetta per (effetto mutuo), dovuta alla successiva tesaturadei rimanenti. Tale perdita, che può essere ridotta medianteopportuneritesature,è valutabilein alcuneunità per cento dellatensioneiniziale. a fili aderenti,le armaturesono Nel caso,invece,di travi precompresse vieneimpressa,a maturazione tesateprima del getto e la precompressione awenuta, mediantel'aderenzatra acciaio e conglomerato.Ciò comporta corrispondeun identicoaccorciamencheall'accorciamentodel calcestruzzo to dell'acciaioe quindi una riduzionedellatensioneinizialefornita all'armatura. E opportuno notare che in effetti senzail verificarsi di tale caduta nell'acciaio.il calcestruzzonon risulterebbesollecitatoda alcuna coazione. Infatti, all'atto del taglio dei fili, lo sforzo iniziale, prima assorbitodagli ancoraggiterminali indipendenlidalla trave, vienetrasferito al conglomerato a cui, per aderenza,sono solidali i fili stessi:si produce pertanto un accorciamentodel conglomeratoe quindi, a causadella contrazionedell'armatura,uno statodi coazionein esso.

Le codute di tensione nelle strutture orecompresse 4'73

cadutadi tensionenell'acciaiopuò esserecalcolatarilevandoche,per nella fibra di calcestruzzoalla quota del genericofilo deve (18.1)

-"f"

oc

(18.2)

;

D

Dalla (18.2)si ricava quindi: F --Je

p

-c

(18.3)

o" è la tensionedi compressionenel calcestruzzo,valutata facendo lo sforzo iniziale di precompressione. alla sezioneornogeneizzata

Rientro degli apparecchí di ancoraggio a cavi scorrevoli,gli apparecchidi ancoNelsistemadi precompressione annegatinelletestatedellatrave. dellearmaturesonogeneralmente In corrispondenza dell'ancoraggio,pertanto, il calcestruzzorisulta soga sforzi concentrati in zone ristrette, cui fanno riscontro tensioni tali da produrre la plasticizzazionelocale del materiale.Ciò il prodursi di una deformazioneanelasticache si rendemanifesta il rientro degli apparecchidi ancoraggionella testata. Il conseguenteawicinamento A/ delle sezioni estremedi un cavo di / produce, quindi, una caduta di tensioneistantaneapari a: AI Ao1,=4,

(18.4)

Il valoredel rientro A/ dipende,oltre chedall'entità dello sforzoapplicardalle caratteristichedi resistenzadel calcestruzzo,dai particolari codalla distribuzionedellearmaturemedella testatae segnatamente intorno agli apparecchi.

474 Teoriq e tecnica delle coslruzíont

La valutazionedell'entita del rientro, esistendouna copiosadocumentacon zione sperimentale,piir che per via teorica, si perseguefrequentemente criteri analogici. 18.2.3. Scorrimento dei fin al bloccaggio In tutti i sistemi che prevedonoil serraggiodei fili mediantecunei di ancoraggio,occorre prevedereuno scorrimentoiniziale dei fili rispetto al cono, prima che questoabbia raggiunto la posizionedi bloccaggio' L'entità di questoscorrimentoè una caratteristicapiù o meno costante di ciascunbrevetto e viene fornita dalle ditte costruttrici' 18.3. Cadute di tensione per attrito lungo il cavo Nel sistemaa cavi scorrevoli,come detto più volte, i cavi sono posti in tensionea mezzodimartinetti e l'entità degli sforzi esercitatiè rilevabileai manometri delle PomPe, Lo scorrimentodei cavi nelle guainefa insorgeredegli sforzi di attrito chesi oppongonoa quelli applicati,con concomitantediminuzionedi questi ultimi. ie cadute di tensioneche si manifestanosono di entità diversaa secondache il cavo abbia un tracciatolineareo curvo' Tali cadute,infatti' come evidenziatoda numerosi risultati sperimentali,risultano più elevate nellecurveche raccordanoi cambiamentidi direzionedell'assedei cavi, ma sono presentianchese il cavo ha andamentolineare, a causadelle leggere ondulazionidovute alla difficoltà di porre in operaun cavo perfettamente rettilineo. Le cadutedi tensionedovute all'effetto di curvaturadipendonofondadalla deviamentalmentedalla pressioneesercitatadal cavosul calcestruzzo, in curvatra attrito di coefficiente e dal del cavo zioneangolaredel tracciato cavo e guaina. Le óadutedi tensionedovute all'effetto di lunghezza,presentisia nei dalla tratti rettilinei che in quelli curvi, dipendono invece essenzialmente in attríto di da! coefficiente zza e lunghe sua dalla forza esercitatadal cavo, linea. Si analizza,pertanto,l'andamentodello sforzolungo un tratto a sempli ce curvaturadeiquale sianoR il raggio di curvatura,ctqI'apertura angolar€ massimadella curva, No ed N' gli sforzi presentiagli estremi' All'applicazionedello sforzo No il calcestruzzo(fig' 18'l) reagiscecon

Le codute di tensione nelle strutture precompresse 475

No

Figura 18.1

un sistemadi pressioninormali al cavoin ciascunpunto, cui corrispondeun sistemadi tensioni tangenzialidi attrito: p, = Í" . p"

(18.5)

essendo , il coefficientedi attrito in curva tra il cavo e la guaina. Dall'equilibrio di un elementodi lunghezzainfinitesima: d s = R . d a

(18.6)

$ ncava:

p,-R.du=

=^+ w,"nf; N " r - R

(18.7)

(18.8)

La variazionedello sforzo dovuta all'attrito lungo l'elementoconsiderato, essendoper I'equilibrio nella direzionedella tangente:

476 Teoría e tecnica delle costruzioní

N -

(18.e)

(N * dN) = P,Rdu

risultaquindi: dN =

- ptRd.a= - f"p,R4a =

- f"N da

(18.10)

relazioneche consentedi ricavarela leggedi variazionedello sforzo lungo I'assecurvo del cavo: dN _=

_Icad

(18.11)

Integrandotra 0 ed o si ricava il valore dello sforzo nel punto generico definito dall'angolo ct: N = N oe-fp

(18.12)

e di qui la variazionedi sforzo: AN=No-N=No(t-"to1

(18.13)

owero, dividendoper la sezionecostantedel cavo,la variazionedi tensione:

Aon -- oo ( t - "'r," 7

(18.14)

Ponendoal posto dell'angologenericoc il valoreao dell'aperturaangolare massimadel tratto curvo. si ottiene la riduzione totale di tensione: Aon=oo(t-"to"1

(18.15)

che mostra come essa,sempreche la curvatura conserviovunquelo stesso segno,siaindipendentedal tipo di curva e funzionesolamentedell'angoloao tra le tangenti estremedelimitanti il tratto curvo. Nel casochela curvaturadel cavopresentiinversionidi segno(fig. 18.2) si può procedereal computo progressivodelle perdite sui vari raccordi, mettendoin conto per ciascunodi essila relativa ampiezza(variazionedelle tangentiestreme),cosicchéla perditatotale risulta data, almenoteoricamente, da:

Le codute di tensione nelle strutture precompresse 47'7

r) Figurq 18.2

= oo T _ . { - l 1Ao1),,, rr.2, l lt

(18.r6)

In effetti in corrispondenzadei punti di flessosi sonodeterminatesperiperdite di tensioneancor più gravosedi quelle teoricamente mentalmente per cui è opportuno limitarne il numero al minimo possibile. calcolate, Neitratti rettilinei non si dovrebbero,in teoria, manifestarefenomenidi attrito,Tuttavia, in fase di esecuzione si verificano deviazionidel tracciato nominale e contatti accidentalitra i diversielementidel cavo, l'alloggiamento e gli eventualidispositivi distanziatorie quindi, anchenel caso di cavi rettilineicorrettamenlerealizzali, si hanno perdite di tensioneper attrito. vengonoin generevalutateriferendosiad una deviazioneconvenzioQueste per naleB unità di lunghezza,per cui operandoin modo del tutto analogoa quantovisto in precedenza,si ha: Ao, = oo(l -

eLa'''t= úo(l -

e I')

(18.17)

in cui x è la distanza della sezionein cui si vuole valutare la caduta di tensione dalla sezionedi applicazionedi ooed f, = Pf" è il coefficientedi attdtoin linea. Considerando sia la perdita dovuta all'attrito in curva chequelladovuta all'attritoin linea, la cadutadi tensionetotale, tenendoconto dellavariazionecontinuadella tensionenel cavo, vale: Ao* :

+ oo fl - e'U"" t''t,

(18.18)

4'18 Teo a e tecnica delle coslruziont d2

, I I

I

Fìguro 18.3

e limitando lo sviluppoal Sviluppandoin seriela funzioneesponenziale secondotermine, si ottiene: Lo, -- oo(f"a * f,x\

(r8.19)

La valutazionedelle cadute di tensioneper attrito mediantela (18.19) risulta attendibilesoltantò.se (f" a + Í, x) è minore di circa 0'25. Un casodi particoldreinteresseper le frequentiapplicazioniè quellodel e tesato da entrambele parti (fig. 18.3). cavo rialzato alle due estremità* La massimacaduta di sforzo si risentirà nel punto X del cavo che non subiscespostamentoper effetto del tiro applicatoalle estremità.L'ascissadi questopunto si ricerca,pertanto, eguagliandogli sforzi nelle sezioniimmediatamentea destraed a sinistra di essoowero, nel casoche gli sforzi No applicati alle estremitàsiano eguali, eguagliandole perdite di tensionepresenti nei due tratti del cavo separatida X. Con riferimentoalla fig. 18.3,tenendoconto delleperditedi tensionenel tratto rettilineo, si ha: oo[l -

( f , a r ' r f , x \ l = o 0 [ 1- V " o t t f t ( l - - r ) ] ]

da cui si ottiene: "

I 2

f". *

\az

-

at)

Le cadute di tensione nelle strutture precompfesse 479

Cadutedi tensioneper fenomeni differiti In tale categoria,certamentedi gran lunga più importante ed insidiosa altre, sono compresele cadutedi tensioneper deformazionilente nel e nell'acciaio, dovute ad effetti viscosi che dipendono dallo di sollecitazione nella struttura, e le cadutecorrispondential fenomeno ritiro. cheinvecesonopressochéindipendentidallo stato di sollecitazioCircai fenomenidella viscositàe del ritiro del calcestruzzoe del rilassadegliacciaisi rimandaa quantodetto nei paragrafi1.2.5.e 1.4.3.

Valutazionedelle cadutedi tensioneper effeîîi lenti La conseguenza diretta dei fenomenidellaviscositàe del ritiro del calcesul comportamentonel tempo degli acciaipretesiè quella di ridurre essilo stato di deformazioneimpressoall'atto della messain tensionee di orovocareuna cadutadi tensione. La valutazionerigorosadellacadutacausatada tali fenomenie da quello rilassamento degli acciaiè oltremodocomplessaed incerta.Ciò è dovuto all'impossibilitàgià accennatadi descriverecon sufficienteapprossimail fenomenodel rilassamentodegli acciaiarmonici (paragrafo1.4.3.), alladifficoltà di valutarein pratica i coefficientio, B e 7 checompaiono (1.7)ed (1.8) dei paragrafi1.2.5ed 1.2.6.Volendostudiare espressioni problema il in via teorica,limitandosiper semplicitàad una trave ad rettilineo, precompressabaricentricamentee di sezionecostante(fig. 8.4),I'equazioneche definiscenel tempo l'entità dello sforzo di precompuò ricavarsidall'eguaglianzadelledeformazionidel calcestruzzo

I

t

-l

Figura 18.4

dell'acciaio,a partire dall'istante in cui è impressolo stato di coazione.

480 Teoria e tecnico delle costtuzioni

Indicando con: / A", E" A,. E, 6íi,; !ú(t, z) €.(i) No N(l)

la lunghezzainiziale della trave e del cavo preteso; l'area della sezionetrasversaledella trave ed il modulo di elasticità del conglomerato; dell'acciaio; le analoghecaratteristiche la funziòne di viscositàdel calcestruzzodi cui al paragrafo l'2'51' I'analoga funzione per l'acciaio; la contrazionespecificaprovocatadal ritiro al tempo /; iniziale e cioè al tempo / : /1 ; lo sforzo di precompressione al tempo l; lo sforzo di precompressione

l'equazionedi congruenzafra calcestruzzoed acciaio al tempo f assume I'asDetto:

N - No, E,A "

" = ( t l ' ( t . d r + e , ( t ) t= rr * f' ó ),, E,A " (18.20)

N^-N =_:-/ErAt

l'N(r)1 I = ' ' i t ! t ( t r, \ d r ),, ErAr

Si osserviche nella (18.20)il primo termine del primo membro rappresental'allungamentoelasticoal tempo / del conglomerato,dovuto alla caduta di sforzo (N. - N); il secondotermine del primo membro rappresenta I'accorciamentòviscosoal tempo f, sommadei ricordi delle precedentideformazioni elasticheawenute alle epocher; il terzo terminedel primo membro rappresentala deformazionetotale di ritiro al tempo l' I tèimini del secondomembro rappresentano'invece,per l'acciaio, rispettivamentel'accorciamentoelastico al tempo l, dovuto alla riduzione (N, - lg dello sforzo, e l'allungamentoviscoso,somma dei ricordi delle précedentideformazioni elasticheavvenutealle epocher' Integratala (18.20),il valore asintoticodi N(/), per I tendenteall'infinito, consintirebbedi valutareI'entità della cadutadi sforzo totale e, quindi' di determinarelo stato di coazionesul quale poter fare affidamento' Per le difficoltà su accennate,tuttavia, in particolareper ciò checoncerne la definizionedella funzione { (t, t), I'integrazionedella (18'20)non è perseguibilee, pertanto, nella valutazionepratica dello stato di coazionea come i"-pó infinito,ii fa riferimentoa valori ricavatiin basead esperienze' si dirà nel paragrafoseguente.

Le cadute di tensione nelle strutturc precompresse 481

A titolo illustrativo si calcola ora la caduta di sforzo dovuta al solo nell'ipotesipuramenteteoricachesianonulli i fenofluagedel calcestruzzo, neni di ritiro e rilassamento.È owio che in tal modo si giungerebbea risultatidel tutto inesatti,non solo perchénon è lecito trascuraretali fenoneni, ma ancheper la loro influenza sulle cadutedovute al fluage. propostaal peró(f, z) l'espressione La (18.20)in taleipotesi,assumendo paragrafo 1.2.5,si scrive: N-N" p A

t t + . , P F

a

1V"-N t, ' / 1n l1 r 1, - o , , - , odtr = _ _ . | LtAt

(lg.2l)

Derivandorispetto a I e semplificandosi ha: E"A ",.t

- to)o ,EtAt 4 * oB Ne-'\t Et Ar dt

OB.zz)

edooerandoil cambiamentodi variabile:

(18.23)

x = e - P l î - t a )

si ottiene:

E"A"+ ErAf4! + oN =o dx EsAr

(18.24)

cheforniscecome soluzione: E, A, o

"au

- ,o'

E . A ,+ E r A J N (î) = Ke

(18.25)

La costanteK si determinaimponendola condizioneiniziale:

lr'(rr) = No

(18.26)

checonduceall'espressione:

(r8.27)

482 Teoúa e tecnica delle coslruziont

Per t - oo, nell'ipotesi che l' = /0, si ottiene lo sforzo finale:

(18.28) essendoal solito n = Er/ E" e IL Per Dercentualidi armatura p : 0,250/0,assumendoz = 6, si ottiene: N : 0,985No N : 0,970No Perd=3

N = 0,955No

18.4.2. Valutazione approssimata delle cadute di tensione per fenomení diÎîeriti Attese le difficoltà di effettuare un calcolo rigoroso delle cadutedi tensione,nella pratica tecnicasi fa riferimento alle Norme regolamentarile cui presórizionisi fondano su esperienzeeseguitein Italia ed all'esteroda numerosi ricercatori, confortate inoltre da un trentennio di applicazioni costruttive. Le cadutedi tensionedovute ai fenomenidi ritiro e di fluagedel calce' struzzoedirilassamentodell'acciaio,salvopiìrprecisevalutazioniedin assenzadi dati sperimentali,possonoessere,infatti, calcolatecome segue: a)-

per quanto riguardala valutazionedegli effetti dovuti al ritiro, la cadu' ia di tensionenell'acciaiopuò essereottenuta dalla relazione: Lon = e, E,

(18.29)

in cui e"è la deformazionedovuta al ritiro, il cui valore, riportato dalle norme,varia in funzionedel tempo intercorsotra il getto e I'applicazione dello statodi coazione'La (18.29)fornisceuna valutazioneapprossie, mata dalla cadutadi tensione,in quanto il valore della deformazione a opponendosi che, non tienein alcun conto la presenzadellearmature tale cieformazione,ne limitano l'entità; valub) la deformazionelenta sotto carico, depuratadel ritiro, può essere

Le csdute di tensione nelle strutture precompresse 483

tata trascurandoil contrasto offerto dalle armature e assumendoche ciscunafibra di calcestruzzosi contraggaproporzionalmentealla deformazioneelasticainiziale. Assumendoche la deformazionedifferita sia pari ad m volte quella elastica,si ottiene: F

Ao,.= . mc,E,:mo.,J J

- ' h

(18.30)

dovela deformazioneelasticainizialee",è calcolata,nella sezioneconsiderata,con riferimento alla tensioneo",cheagiscesulla fibra di conglomeratoposta al livello dell'armatura; la cadutadi tensioneper rilassamentodell'acciaiopuò esserevalutatain funzionedellatensioneini zialeoyi : N o/AJ, ammettendoche,al variare di questa,tale caduta assumauna leggedi variazioneparabolica' Accettandoche, per tensioni iniziali inferiori al 5090 della tensione gli effetti dovuti al rilassamentonon producaratteristicadi r ottu,rafo,k, conoperditedi tensione,si può assumerela leggedi variazioneriportata nella figura 18.5. Da tale figura si evinceche la caduta di tensione Aor.può esserevalutata a partire dalla on, una volta noto il rapporto or/fo,r, owero: ( o,, 4 , o ,= k o y t l , LJ p.t

0,50 ]

(18.31)

dovek è deducibiledalle indicazioni fornite in normativa in funzione impiegata' La caduta di tendel tipo di armatura da precompressione (18.31) può essereridotta al valoredesuntodall'esionefornita dalla soressione: 2.50 4o"..I I = aop - -;-J ao',, It

(18.32)

per tener conto dell'influenza reciprocatra le cadute di tensioneper ritiro e fluage,indicateglobalmentecon 4o,,, e quellaper rilassamento. Va tuttavia rilevato che in commerciosono prodotti acciaida precompresso(stabilizzati) con i quali si hanno cadute di tensionenotevolmenteinferiori e pari a circa il 590 + l09o della tensioneiniziale o,,'

Teoria e tecnica delle costruzioni

La t,

Figurq 18.5

In definitiva le cadutedi tensioneglobali per fenomenidifferiti risultano esserepari a:

Aoro= Loy,+ Ao/, + Ao't,= no"'t I oor,

(18.33)

Di norma per le travi a cavi scorrevoli le cadute di tensionepossono variarefraill5goedil30go,infunzioneanchedelleeventualiripresedi riducanole aliquote tensionechesembra,alla lucedellemoderneesperienze, dovute al fluage ed al rilassamento. Per le travi a fili aderentila perdita percentualeè un po' più elevatadi quella che si ha per i cavi scorrevolie può variare fra il 200/oed il 3590' 18.5. Esercizi Esercizio n. 18.I Valutare la caduta di tensioneper attrito nella trave della figura 18'6 da entrambele ipotizzandocheil tiro vengaeffeituato contemporaneamente parabolico di area a tracciato con tre cavi testate.La trave e precompressa pari a: cavo l:

'7 A r = .432cm'

Le cadute di tensione nelle strutturc prccompresse 485

i cavo2:

At = 11,148cm2

cavo3:

Ar = Il,l48 cmz

La tensioneiniziale di tesaturaè egualeper i tre cavi ed è pari a nn -- 12700k g / cm2. Con riferimento al sistemadi assicartesianiriportato nella figura 18.6, l'equazionedei singoli cavi è la seguente: cavol:

) = 8,056' 10-s;2+9

cavo2:

y = 5,278 ' 10'sx2 + 9

cavo 3:

) = 1,806 ' l}'s x2 + 9

l

TFigura 18.6

dalle due Avendo ipotizzato di effettuareil tiro contemporaneamente testate,la cadutadi tensioneper attrito assumevaloremassimonella sezione di mezzeria. Gli angoli formati dalle tangenti ai cavi nella sezionedi testata ed in quelladi mezzeriadella trave valgono: cavo 1:

- 5' 1200) = 0,1910rad ot = arctg (2 . 8,056 ' 10

c a v o2 :

o t = a r cIî Q . 5 , 2 7 8 ' 1 0 - 5 ' 1 2 0 0 ) = 0 , 1 2 6 r0a d

c a v o3 :

d . = a r c t g( 2 . 1 , 8 0 6 ' 1 0 - s ' 1 2 0 0 ) = 0 , 0 4 3 r3a d

486 Teoris e tecnicq delle costruzioni

Ipotizzandoche le guainesiano in lamierino metallico ed assumendoi seguentivalori dei coefficienti di attrito:

f"--o'3

l=0'00:

le tensioninella sezionedi mezzeia possonoesseredeterminateapplicando la (18.19): cavo 1: -- 11515kg/cmz or = 12'700(1 - 0,3 ' 0,1910- 0,003 ' 12) cavo2: or = 1270O(1 - 0,3 ' 0,1260 - 0,003 ' 12) :

11762 1",t^2

cavo 3: (1 - 0,3 .0,0433 - 0,003 ' 12) = 12077k8/cm2 or = l2'7OO in tale sezionevale pertanto: Lo sforzo di precompressione N = 7 , 4 3 2 x 1 1 5 1 5+ 1 1 , 1 4 8x ( 1 1 7 6 2+ r 2 O 7 ' 7=) 3 5 1 . 3 3 6 k 9 cui corrisponde,essendolo sforzo iniziale pari a: kg No = 12700x (7,432+ 2 x 11,148): 377.545 ' una perdita di tensioneper attrito del 6,940/o

Esercizio n. 18.2 Valutare la perdita di tensioneper attrito nella trave della fig. 18.7' nell'ipotesidi tiro effettuato all'estremo-4, con una tensioneinizialenell'acciaio pari a 130kg/mm2.I dati geometricidel problema sono:

L = 4,00m lz = 5 'OOm

Le cadute di tensíone nelle struttuk precompresse 48'l

lz = 4,00 m

h=8,oom ls : 4 'O0m dt:

15'

dz = l5o

uz : 30' dq = 15'

Ipotizzandochela guainadel cavo sia costituitada lamierino metallico, peri coefficientidi attrito si assumonoi valori: = 0,00:

in linea retta:

f

tn cuffa:

Í" = 0,3

h = 4,00

Figuru 18.7

le tensioni nel cavo in alcunesezioni: Si calcolanoprogressivamente

ou = o^

lL

- 0,003x 4,00- w x #)

= n8,23kg/mmz

oc = os ( 1 - 0,003 x 5,00 ) = 116'46 kg/mm2

488 Teoriq e |ecnica delle costruzioni

( . o^ = o. | |

ou= d,

( .

L' (.

6F' =

oF-

|L |

- o,oo3x 4,oo- 0,3" #)

: ro5,e2 kg/mm2

- 0 , 0 0 3x 8 , 0 0- 0 , 3 , r ; ]

= 8 6 , 7 5k g / m m z

- ooo3x 4,oo - 0,3 " #)

: 78,e0kg/mm2

Nel punto F si trova quindi una tensionepari a 78,90kg/mm', con una perdita di tensionedel 39,3 per cento.

Esercizio n. l8.i Per la trave dell'esercizio18.1, la cui sezionetrasversaledi mezzeriaè riportata nella fig. 18.8,si vogliono calcolarele cadutedi tensioneper feno' con tre cavi la cui tensionecaratterimìni differiti. La trave è precompressa stica di rottura valefo,o = 17500kg/cm2' La tensionedi tesatura' eguale per tutti i cavi, è pari a o1i = 12700kg/cm2, crti corrispondeuno sforzo N,t = 377'545 kg; a seguito delle cadutedi iniziale di precompressione tensioneper attrito tale sforzo si riduce a N = 351'336kg (esercizio18'1) con tensioni nei cavi Pari a: ll5l5 kg/ cm2

cavo 1:

-Í

cavo 2:

or = ll'762 k8/cm2

cavo 3:

or = 12077kg/cmz

Il calcolodellecadutedi tensioneper ritiro e per fluagevieneeffettuato prevedendoche la messain tiro delle armature awenga 14 giorni dopo il getto del calcestruzzo. = La caduta di tensioneper ritiro, assumendoe" = 0'00025 ed Et 2.050.000kg/cmz, valet Aor, = 0,00025 x 2.050.000= 512k8/cm2

Le codute di tensione nelle strutture precompresse 489

Figuru l8-8

La cadutadi tensioneper fluagevienecalcolataassumendochela deformazionelenta del calcestruzzosotto carico, depuratadel ritiro, sia pari a 2 voltela deformazioneelastica;quest'ultimava valutata nella fibra di calcestruzzoposta alla quota dei cavi. Con riferimentoalla sezionedi mezzeriadellatrave,diareaA = 4270cm' e momentod'inerzia baricentrico,I = 1,1571x 107cma, siha: --t'

x (73 - rz [ 351336 351336 l,l5?l x to? I qzlo

2268Nx 102x &1 lo' l,l57t ,x ,rr

= 974ke/cm"

]

avendoassuntoun coefficiente di omogeneizzazionez = 6 ed un momento flettente di esercizio, comprensivo solo dei carichi permanenti, pari a M = 226800ksm.

490 Teoriq e rccnica delle costruzioni

La caduta di tensioneper rilassamentoviene calcolatamediantela (18.31); ipotizzando che I'armatura di precompressione sia costituita da trefoli, il coefficientek che comparenella (18.31)vale:

t : o ' r 1: z . a s 0,25'

avendoquindi assuntochea tempo infinito, per una tensioneinizialepari a 0,75 f",k, la caduta di tensioneper rilassamentosia pari a 0,18 or. Si ha pertanlo:

cavol:

rtl5l5

L.o, = 2,gg x 11515 [ ,r*:

l2

- o,so

1

r l11AJ

I r

r 11n1't

I .z

c a v2o: A o , , = 2 , s s x 1 1 7[6f f2i - o , s o 1 cav3 o : L o r = 2 , g gx r 2 o ' 7[7f f i - o . s o 1

= 828ks/cmz

= 1003k8/cm2 = 1 2 5k7s / c m z

Tali valori possonoessereridotti mediantela (18.32)per tener conto dell'influenza reciproca tra le cadute di tensione per ritiro e fluage del calcestruzzoe la caduta di tensioneper rilassamento.Si ha quindi: c a v ol :

L o ' , , : g 2 gx

2.5 x" (5lz | ' , - , - -+1 .'974\ = ' |I II--'11515 L I

cavo2: Lo'r,=1g63t cavo3:

= 56lkg/cmz

2,5x(512+974)

It-

t1762

I

2,5 x (512+ 974)I | Aoi,: 1257>< t 12077 I |

= uru or,,*' :

- - - "k g'l "-m'-

X lll

In ciascuncavo si ha in definitiva la seguentecaduta di tensioneper fenomeni differiti: cavo l:

Ao, = 512 + 974 + 561 :2047 kg/cm2

Le cadute di tensione nelle strutture precompresse 491

Ao, :

512 + 974 + 686 = 2172 kT/cm2

Ao, = 512 + 974 + 870 = 2356kg/cm2 le tensioni finali valgono: l:

o, = 11515- 2O47= 9468kg/cm2

2:

o, = 11762- 2172 = 959Okglcmz

3:

o, = 12077- 2356 = 9721kglcmz

Lo sforzo residuo di precompressione,essendoil cavo I di = 7,432cmzed i cavi 2 e 3 di arcaAr : 11,148cm', vale: N = 7,432 x 9468 + 11,148x (9590 + 9'l2l) : 285645kg a1f81,3090dello sforzo iniziale N = 351336kC.

n. 18.4 Calcolarele cadute di tensionenell'acciaiodel travetto di cui alla fie. .Il travettoè precompresso con 6 trecciolinedi acciaioarmonico,costiciascunadi esseda 3 fili i 2,25 mm, con un'area per ciascunatreccia a 0,12cmz.La disposizionedell'armaturaè indicatanella stessafigura. Le caratteristichegeometrichedella sezione,tenendo conto dell'area ornogeneizzata(n = 6), sono le seguenti: A = 78,28cm2 !; = 3'40 cm f " = 5'60 cm I = 418,00cma

492 Teo a e tecníca delle costru4iont 4'50

I

I

f-l

3 . 85

Figura 18.9

Si prevedeal tiro una tensioneiniziale: or,= 14109k8/cm2 con uno sforzototale di precompressione: Nó=Ox0.l2

x l 4 l o 9= 1 0 1 6k0g

dispostoad una eccentricità: e, -- 3,40 -

( 9 , 0 0 - 1 , 3 0 ) + 5 x 1 , 6=0

O,78cm

Si prevededi effettuareil taglio dei fili dopo tre giorni dalla messain tensionedei fili stessi;in tale tempo quindi si verificheràuna certaaliquota del rilassamentodell'acciaio. Nel casoin esamela curva sperimentale(fig' 18'10)indica chedopo72

Le codute di tensione nelle strutture precompresse 493

Figuro 18.10

e cioètre giorni, I'acciaio ha avuto una caduta del 4,30 per cento. La nell'acciaioprima del taglio vale quindi: or= 14109x (1 - 0,043) = 14109- 607 = l3502kg/cm' A tal punto, effettuandoil taglio dei fili e cioè imponendola coazione intervieneil fenomenodella deformazioneelastica. calcestruzzo, La t€nsionenel calcestruzzoall'altezzadelbaricentrodellearmatureper dellosforzo inizialeNo, (No -- 6 x 0,12 x 13502= 9721 ke),va'

9721 9721x O,78'= ^ t56K9/and^ = * ota,oo 78,n La deformazioneelasticaall'altezzadelle armaturesaràpari a: e" = ei =

138 = 0,394 9bo 350000-

assuntoall'atto del taglio dei fili: E" : 350000kT/cmz

494 Teoriq e tecnica delle costruzìoni

La caduta di tensioneistantaneavale quindi: ot! A b , = c t E = I O O O1.9 x lo6 = 749kslcm2 essendoPer le trecce: Er -- 1,9 x !06 k8/cm2 pari a 2'5 Per il fluage, assumendoche la deformazionedifferita sia volte quella elastica,si ha: A'b, = 2,5 x 749 = 1873kg/cm2 getto ed il taglio Per il ritiro, trascurandola perdita che si verifica fra il = ha: si dei fili ed assumendoe" 0'00025' x 1,9 x 106= 4'75kglcm2 A'' oy = O,OOO25 Neiriguardidelrilassamentosiassumeunacadutaparia2,5voltequella presenteche un'aliquota rpoi-."t"ufÀ"nte determinataa 120ore, tenendo così: dì essaè già stata scontataprima del taglio dei fili' Si ha u.1r.t tt,l25 - 4,30 x 14109-_ 962kg/cm, ,. 1,u^ _ -r1 = 100 100 In definitiva, quindi' la tensionefinale nell'acciaiovale: oÍ = l4l}g -

607 - 749 -

1873-

475 - 962 = 9443kslcmz

pari al 66,9 per cento della tensioneiniziale' ' della preII calcoló dello stato tensionaledel travetto fornisce all'atto compressione:

q=

ffi

= 22'6 -n")rí,#''r 5,60 kglcm2

4 = ffi.y2##3,4o:

i

L

t8s,8ks/cm2

L. cadute di tensione nelle strutture prccompresse 495

A tempo infinito è nora la tensionenell'acciaio: ot = 9443kTlcm' € pervalutarelo stato tensionalenel travetto occorrerebberiferirsi all'area delsolocalcestruzzo. Essendoperaltro esiguele differenzefra le caratteristichegeometriche deltravettocon e senzaarmatura solidale,per semplicitàsi calcola: N = 0,72 x 9443 = 6799kp

ol

6'799

6799x 0,78

78,28

418,00

5,6A= É,8 kgl cm2

6799 6799 x 0,78 3,40 : 78,28 418,00

130,0ke/cm2

Capitolodiciannovesimo La precompressione delle strutture

19.1.Premessa Il calcoloin faseelasticaed a rottura delle sezioniprecompresse, svolto precedenti per nei capitoli, è fondamentale lo studio dellestruttureprecompresse, rnadeveessereintegratoda altre considerazioni.Infatti il calcologlobaledella struttura richiedela conoscenzadelle condizioni di carico e della per procederealla determinazionedellecarattenaturadei vincoli, necessaria ristichedellasollecitazione nellediversesezionied alla conseguente definizione della sagomaturadei cavi. Con particolareriferimento a quest'ultima, usualmente si introduce il concettodi cavo risultanteche riescemolto utile percaîaIleîizzarelo stato tensionaleprodotto dalla precompressione. Deve,inoltre, esseremessain rilievo la sostanzialedifferenzadi comportamentotra le strutture isostatichee quelleiperstatichenei confronti della coazione impressa:mentreinfatti nelle prime lo sforzo di precompressione nondestareazioninei vincoli e quindi le caratteristichedella sollecitazione direttamenteconseguentialla coazionenon vengonomodificate, nelle seproducereazioninei vincoli sovrabboncondelo sforzo di precompressione danti,cheinducono nella struttura uno stato di tensioniparassite.Si pone cosìil problemadella ricercadel tracciatodel cavorisultantecui corrisponde la migliore ttllizzazione della precompressione applicata. Le strutture iperstatiche,il cui calcolo è, quindi, più complesso,non sonodi frequenteapplicazionee, pertanto,nel seguitolo studio vieneessenzialmentesviluppatoper le strutture isostatiche,limitando la trattazionedi quelleiperstatichesolamenteai casi pii.rsemplici. 19.2. Il cavo fisultante La precompressione di una membratura si realizzain generecon la

498 Teoriq e tecnicq delle costruzíoni

messain tensionedi più cavi, ciascunocon un proprio tracciatoed un proprio sforzo. Ai fini del calcolo di progetto e di verifica si può sostituire,al sistema costituito da k cavi, un unico cavo, detto risultante,cherestadefinito dalla N, nei singoli cavi. risultanteN degli sforzi di precompressione l'angolo formato dalla tangenteal genericocavo con Indicando con o, l'assedella trave (fig. 19.1),lo sforzo risultantepuo decomporsiin due componenti,rispettivamenteparallelae normalein ogni punto all'assedella trave:

1 . .:

) . t\. cos d,

(1e.1)

),t\,sen d,

(te.2)

L'ordinatadel cavorisultante,riferita all'assedellatrave,seq è l'ordinata del cavo iesimo, è fornita da: \--l

,,

) . t\,e, cos d,

e\z):

(1e.3) N, cos o,

)

e lo sforzo risultante vale:

(1e.4) In particolarese,comeaccadein genere,I'inclinazionedi ciascuncavoè molto piccola, si può confondereil cosenocon l'unità ed il senocon I'argomento e pertantole (19.1),(19.2)e (19.3)assumonoI'aspetto:

T Ì _

.

\- r,r.

(1e.5)

S

(1e.6)

lr ^,

La precomprcssíonedelle strutture 499

I

Jt_ A I

,A' ' I = Il t

500 Tearia e tecnica delle costruzloní

\- v.". k

(le.7)

\- l,.r

19.3.Il fuso di Guyon e la sagomaturadei cavi riveste,come Il problemadella sagomaturadei cavi di precompressione si è già detto, un'importanza notevolenella progettazionedi una struttura precompressa. Tale sagomaturaè infatti legataa precisicriteri di staticaed economia,semprechele caratteristichedella sollecitazionesianovariabili da punto a punto nell'interno della struttura. È quindi importantedeterminareentro quali limiti possavariarela configurazionedel cavorisultante,affinché in ogni punto dellatrave le tensioni ai lembi estremirestino contenutenei limiti ammissibiliprefissati.

risu)ats.z A tal fine, si considerila genericasezionedella fig. 19.2e sianoEoedEt i punti estremidel nocciololimite. Comesi è visto nel paragrafo16.3.2,la condizionecheai lembi estreminon venganosuperatele rersioni ammissibili equivalead imporre che il centro di pressione,in qualsrasifase di carico, cada sempreall'interno del nocciolo limite E',Er. Detti N0 ed N rispettiva-

il Lq precompressionedelle sfrutturc

501

mentelo sforzodi pretensioneinizialee finale e B il baricentrodellearmature,o piir in generaleil centro dellecoazioniimpresse,in fasedi tiro il centro saledella quantitàM^i,/No, mentrein fase di esercizioa pieno di pressione caricoessosi sposta,semprea partire da,B, della quantità M^""/N. Per la sezionedella fig. 19.2, riportando, rispettivamentedai punti limiteEned E,, le qnantititM,ù/Noe M.",/N, si individuanoi due punti Boe essere B,; è chiaro che il baricentro delle armature deve necessariamente ammissibili delle tensioni il rispetto punti abbia affinché si fra tali compreso al di in tuttele fasi di lavoro della sezionestessa.Infatti seil punto B cadesse sottodi 80, all'atto del tiro il centro di pressione,spostandosidi M.,,/No' al di sotto di Eoe quindi esternoal nocciololimite, ed analogarisulterebbe al di sopradi ,B,,in fasedi esercizio,spostandosiil centro menteseB cadesse di pressionedi M,""/ N, esso sarebbeancora esterno al nocciolo limite, risultandoal di sopra del punto E . Ripetendotale costruzionesezioneper sezione,si viene ad individuare unazonadella trave nella quale deveesserecontenutoil cavo risultante:a ouestasi dà il nome di fuso di Guyon.

E6

-|qp4' tt" Figura 19,3

L

502 Teoria e tecníca delle costruziont

Con riferimento, ad esempio,alla trave di sezionecostantedella fig' 19.3e nell'ipotesìdi sforzoN costantelungo l'assedellatrave, è immediato la parabolaMt/Noe costruireil iuso di Guyon riportando dalla retta -Eo'Eo deve essere risultante il cavo dalla retta ErE,la patabola (Ms + M)/Ni contenutoentro tali curve' Siosservichequaloraimomentiflettentipresentasserodelleinversioni per di segno,la costruzionedel fuso di Guyon si effettua riportando, sezione i tra (in algebrico) senso dalla retta limite inferiore EoEo,il minimo sezio-ne. momento valori dei due rapporti Mo/No ed M/N, se con Mo si indica il flettente in fase di tiro e con M il momento in esercizio'I valori No ed N corrispondenti'-Analogamente rappresentanogli sforzi di precompressione in dalia retta limiie superiore.8,8, si riportano i valori massimi, sempre sensoalgebdco,dei due rapporti suddetti' Occò-rreinfine rilevare che a rigore, nelle zone di momento negativo'i punti limite (e quindi le relativerette)non coincidonocon quelli dellezonedi e le tenmomentopositivo poichésonodiversilo sforzo di precompressione sioniammissibilinellafaseditiroedinquelladiesercizio;tuttaviaglierrori chesi commettononel considerarlicoincidentisonoin generedi lieveentità. La figura 19.4illustra la costruzionedel fuso di Guyon appenadescritta'

M'/No

Figura 19.4

La prccompressíonedelle strutture 503

meno La semplicitàdi costruzionedel fuso limite viene evidentemente pratiche lo sforzo applicazioni, qualora,comeaccadefrequentementenelle sia variabile lungo l'assedella trave' di precompressione Nel casoinfatti chelo sforzo di pretensioneda applicaresia notevoleed occorraquindi disporreun elevatonunero di cavi, può risultareimpossibile I'ancoraggio ancorarlitutti alle testatedellatrave, per cui si rendenecessario di alcunidi essiin ca,rrpata(fig. 19.5);in tal modo lo sforzo di precompressionesubisceuna brusca variazioneogni qualvolta si interrompe uno dei del rapporto tra momentoflettentee sforzodi cavie le curverappresentative pretensione, che figurano nella costruzionedel fuso limite, presentanouna l p

--.-l----

No(zi

Fígura 19.5

504 Teoria e tecnica delle costruzionr

discontinuitàin corrispondenzadegli ancoraggi.Peraltro anchenel casodi ancoraggioin testatadi tutti i cavi, l'eventualecurvaturadi questicomporta una variabilità dello sforzo di precompressione che, tuttavia, è in generedi entità assaimodestae può, in prima approssimazione, trascurarsi. quindi pretensione lo sforzo di N variabile sia lungo l,assedella Qualora trave, non è possibileprocederealla costruzionedel fuso limite seprima non sonostatedeterminatele ascissedegli ancoraggidei cavi e conseguentemente l'andamentodello sforzo di precompressione; il procedimentodi Guyon assumecosìla caratteristicadi procedimentodi verifica e non piir di progetto. 19.4. Il sistemaequivalentealla precompressione Si considerila trave della fig. 19.6con sezionetrasversaledotata di un assedi simmetriae precompressa con un cavo giacentenel piano di simmetria stesso. SiaNlo sforzodi precompressione che,trascurandole forze d'attrito tra cavo e guaina, si supponecostantelungo z e sia e(z) la relativa eccentricità rispetto alla linea dei baricentrr. Indicandocon a = a(z) l'angolo formato, in corrispondenzadellagenerica ascissaz, dalla tangenteal cavocon la lineadei baricentri,le caratteristichedella sollecitazionenella sezionedi conglomeratosono fornite, comegià detto. dalle esoressioni: l/.:-Ncosa

(1e.8)

Tr:-Nsena

(1e.e)

Mx:-Necosa

Figuru 19.6

(19.10)

La úrecomDressionedelle strutture 505

I'

tl\

i\\ ._ _ -]-i' 1p..

lt

Figurq l9-7

da cui è possibile,tra I'altro, risalire alle sollecitazionipuntuali o e r che si destanoin ciascunasezione. al direttamente da ricollegarsi Le (19.8)(19.9)e (19.10)sonoovviamente della all'atto sistemadi azioni mutue cheinsorgonotra cavoe conglomerato in messain tensionedellearmature,azioni chepossonoessereschematizzale (fig. 19.7): duecategorie in corrispondenzadallesezionidi estrel) azioni concentrate,loca,lizzate mità del cavo: 2) azioni diffuse, agenti lungo il cavo stesso. ad una Questeultime, in assenzad'attrito, si riducono esclusivamente oressione: N Y , - R

( 1 9 .ll)

agentenormalmenteal tracciato del cavo, di cui l,/R è la curvatura. Sia le azioni concentrateche quellediîfuse possono,inoltre, essererappresentate mediantele loro componentisecondogli assidi riferimento ed i le prime possonoessere loro momenti rispetto a questiultimi: precisamente flettenteM" ed uno momento N", un da uno sforzo normale rappresentate p) p", sforzodi taglio Z, e le altre da un carico assiale un caricotrasversale ed un momento diffuso m,. ed è A tali azioni si da il nomedi caricoequivalentealla precompressione owio che una siffatta distribuzionedi carichi, dando luogo, sezioneper

506 Teoriq e tecnica delle costruzíoní

+

oe oz e+ot

d.

Figura 19.8

risultanti di iniensitàN(z) (curva delle sezione.ad una curva di successive pressioni)coincidentecol tracciatodel cavo, provocain ciascunasezionele stessecaratteristichedella sollecitazionefornite dalla (19.8),(19.9)e (19.10). Il calcolodell'intensitàdelle azioni difÎwe p", p"'n, può condursiriferendosi alle condizioni di equilibrio del genericoconcio elementaredella struftura. Infatti, con le notazioni della figura l9'8, le tre equazionidi equilibrio alla traslazionesecondoz ed y ed alla rotazionerispetto ad x forniscono:

N cos a - N cos . frar) + r,a, = o ? N sena - N sen

(

L"

*

N senadz t Ne cosd -lr "r,

d a . )

Adz ) + [o

(t9.tz) (1e.13)

+ P"dz: u d " , l

, a z l a z )

.dz +nrdzV*mdz=O

ponendo: (19.13) e (19.14), Dalle(19.12),

l"

de -) -f *;clz | a z )

(19.14)

La prccompressionedelle strulîure

507

d a , cos, az=r az

(19.15) do. dot sen, dz -- , dZ az az

e trascurandogli infinitesimi di ordine superiore,si ottengonole espressioni:

p" , = - N d r r nzo * : N d l G oz s o ) d \sen d.) az

da -, Pr=1\cosd-

m-t = - N

( de lal l s e n d - , c o s d . + e s e n d ,I az dz) L

(1e.16)

(1e.17)

(1e.18)

cheinsiemealle forze N", 7", M", concentratesulle testate,costituisconoil sistemadi carichi equivalentialla precompressione. Le (19.8),(19.9),(19.10)e le (19.16),(19.17),(19.18)si semplificano notevolmentese gli angoli formati dalle tangenti al tracciato del cavo con I'assebaricentricohanno un valore molto modesto.In tal casoinfatti può Dorsicome detto: cos cr = I

(19.19)

de send=a=tgd=E

(1e.20)

e quindi le (19.8), (19.9) e (19.10) assumonol'aspetto:

(le.21) 7 - - _ ^ /

,

a

de z

M' = - N"

(19.22) (19.23)

5OB Teo a e tecnicq delle costruzioni

€

o

l

t

l Figura 19.9

mentrele (19.16),(19.17)e (19.18),trascurandogli infinitesimidi ordine superiore,forniscono:

(19.24)

P"=o n

.

:

(t9.2s)

N :-:

az._

(19.26)

m'=o

al casodellafig. 19.9,in cui il tracciatodelcavo Riferendosi adesempio analitica: ha comeespressione eo+el z'I .f( e(z't=eoz+4jlz-j) r A-B, si ha il essendo / la frecciadellaparabolariferita alla congiungente sistemadi carichiequivalenti: seguente dellatestatadi ascissa z = 0 in corrispondenza 1) azioniconcentrate N'o= -lV

r t o :- - l T - ' t f ) M'o = -

Neo

La precomprcssionedelle strutture

509

2) azior^iconcentratein corrisponrìcnzadella testatadi ascissaz = / Nzt:

-N

î,1=Nl+."^!:) - Net

Mt:

3) azioni diffuse lungo l'assedella trave Pr.=0

= p. y _

_8r/ p

m":0 illustrato nella fig. 19.10. L'insiemedi tali azioni è schematicamente Il calcolo appena sviluppato nel caso di un unico cavo è ovviamente estendibile,per sovrapposizione,al caso di più cavi inseriti in un'unica trave.

Tvo

Figura 19.l0

nelle strutture iperstatiche 19.5.La precompressione 19.5.1 . Generalità I'effettodellaprecompressione si è esaminato Nei paragrafiprecedenti mostrandoche lo statodi coazioneimpostosi sullestruttureisostatiche,

510 Teoia e tecnica delle costruzioní

traducein uno sforzo tangenteal tracciato del cavo risultante.La precompressioneproduce,peraltro, una deformazionedella struttura non ostacolata dai vincoli, le cui reazioni,in assenzadi carichiesterni,risultanoidenticamente nulle. Nel caso, invece, di strutture iperstatiche,la deformazioneprodotta è ostacolatadai vincoli solrabbondanti, con consedalla precompressione presenza guente di reazioniiperstatiche:lo stato di sollecitazione,pertanto, non è piìr rappresentatodal solo sforzo risultante ma anchedalle reazioni vincolari che, non essendoapplicate forze esterneed essendoil sistema autoequilibrato,risultano in equilibrio. equivalentealle precompressione sono usualmentedette parassitein iperstatici vincoli reazioni dei Le della struttura, riduconoI'effetto delquanto, ostacolandola deformazione la precompressione. Mentre nelle strutture isostatichelo sforzo è applicato lungo l'assedel cavorisultante,nellestruttureiperstatichei punti di applicazionedellerisulchealle reazioniparassite, tanti degli sforzi, dovuti sia alla precompressione pressioni dal tracciatodel cavo. distinta definiscono,quindi, una curva delle Va rilevato che quanto detto finora si riferisceal casodi strutture statiche dei caricamenteindeterminatesia nei confronti della precompressione precompresse in presenle strutture distinguere infatti, Occorre, chi esterni. precompresquelle della isostatiche all'atto za di vincoli sovrabbondantida iperstatichemedianteI'inserimento di ulteriori sionee resesuccessivamente a meno vincoli. Per questeultime gli effetti dovuti alla precompressione, dell'influenza delle deformazioni lente, non si differenzianoda quelli già trattati per le strutture isostatiche,mentreI'analisi dellesollecitazionidovute ai carichi esterniva condotta con riferimento alla struttura ipe^tatica. 19.5.2. Il cavo concordante occorreminiPer ottenerela massimaefficienzadella precompressione di vincoli parassite. in assenza Tale effetto, mizzareI'effetto delle reazioni assiali,può essereannullato predisponendoun tracciatodel cavotale chelo stato di coazioneimpressoproduca deformazionicompatibili con i vincoli iperstatici.Questi,in tal caso,non reagisconoall'atto della pretensionee la precompressione awiene comesela struttura fossevincolataisostaticamente. I1 cavo il cui tracciato soddisfatali condizioni viene detto concordante. Il calcolo delle reazioni iperstatiche,connesseal sistemadi coazione indotto dalla precompressione,può condursi con gli usuali metodi della Scienzadelle Costruzioni. In particolare,utilizzando il metodo delle forze

La prccompressionedelle strutture

5ll

efz)

FÌgura 19.11

occorreconsiderare,nella scrittura delle equazionidi congruenza,le deformazioniprodotte dalla pretensione,mentre, applicando il metodo delle nelle equadeformazioni,compaionole forze dovute alla precompressione zioni di equilibrio. Poiché il grado di iperstaticitàdelle strutture precompresse non è molto elevato,frequentementesi utilizza, per la scrittura delle equazionidi congruenza,il principio dei lavori virtuali. Si consideri,ad esempio,la travedellafig. 19.1l, incastrataagli estremi da un cavo risultante di tracciato generico,e sia: e precompressa e :

(19.27)

e( s )

la distanzadel cavodalla curvabaricentrica,dovecons si è indicatal'ascissa curvilinea. Awalendosi del principio dei lavori virtuali, si può assumerequale sistemaprincipalela trave a mensoladella fig. 19.12,nella qualeM", R",, Rr"rappresentanole tre reazioni iperstatichedell'incastrosoppresso. Le caratteristichedella sollecitazionenel sistemaiperstatico, indicate N(s) e 7(s), risultano espressedalle relazioni: con,'tZ1s;,

M(s) = Mp+mMBlm,Ru.- I

mrRu,

(19.28)

lV1sl:Np+n-RBzlnrR",

(19.29)

761 =f,+tzRB.+trRBr

(19.30)

512 Teoria e tecníca delle costtuzioni

Figura 19.12

in cui M,(s), N,(s) e [(s) sono le caratteristichedella sollecitazionedovute alla sola precompressione sul sistemaprincipaleed m(s), m"(s),m"(s),n"(s), nl.t, l.(s) e l,(s) le caratteristichedella sollecitazione ielative all'applicazione delle azioni iperstatichein forma unitaria. Il sistemadi equazioni(di congruenza)lineari risolventeha quindi I'aspetto: ll M -m \-îdt+MB\ Jo "'

lt ^2 ll mmrl mm + R r . d s l R u , \;;at Frds I ", Jo"' Jo "' Jo "'

=0(19.31)

*^.u \ f' ( M '-m. " + _N _ ^n, _ r _ _ T-1. _ : +I x f f l a s +tt M | | EA JoL EI d o -_- d s +

* Rr.

( m"?+ n' l /I - 1 v-' G | - -A 1 , )l 1 s { I IEI EA (t

** " ,([T . # .

'.1,

I *GA) ds=0

o,*,"1, I,(ry*Y *,uub) mm_. LI

(1e.32)

La precomprcssionedelle strutturc

( t,^,

* Rr.

ll

, n ,A -, y _:_: l -, ' E ''GA)

I E I

ds*

(m? ' + n' ?a v - -r ll Il d s = o 'GA,) EA LEI

+nrrì |

513

(1e.33)

avendoindicato con i lo sviluppo complessivodella curva baricentrica. Indicandocon M^(s) e N*(s) il momento flettente e lo sforzo normale dovutialle reazioni iperstatiche,le (19.28)e (19.29)possonoscriversi: M(s)=Me+MR

(1e.34)

fr1s1 : ,ntlo-r. 7u'o

(19.35)

doveNo(s)e M,(s), nell'ipotesi che il tracciato del cavo risultante formi angolidi modestaentità con la linea dei baricentri, possonomettersinella forma: -N(s)

N o ( s )= MoG):

-N(s).e(s)

(19.36)

(1e.37)

in cui N(s) è lo sforzodi precompressione. Si ha così: M(s): lf 1sl =

-NetM^

(19.38)

- N + NR

(19.39)

L'effetto delle reazioniiperstaticheè dunqueparagonabilea una variae ad una variazionedel tracciato, la zionedello sforzo di precompressione può ricavarsi dall'eguaglianza: cui nuova equazione (-N+Np)e*=

-Ne+MR

(19.40)

514 Teoria e tecnica delle costruzíoni

che fornisce: Ne

-N c \r' -Iv -,t-

MR

-,%

(1e.41)

Qualorala struttura sia vincolatain modo da consentirela deformazione assialeper effetto della precompressione, il numerodelleincogniteiperstatiche diminuiscedi un'unità; nel caso della trave della fig. 19.13essesi riducono alle due sole reazioni Ru,ed Mu, Le (19.28),(19.29)e (19.30)assumonopertantol,aspetro: M(s) = Me + mMB + mlRB!

(19.42\

lf 1"1 : ,ntlo

(19.43)

T (s1 = To + trRu,

(19.44)

Le corrispondentiequazionidi congruenza,trascurandoi termini relati_ vi alla deformazionetagliante,si scrivono:

tt M"^ I n d s ltM.*,.

\

-;a'

* '" |,fr0'* *"'l"To'=o f' mm.

rl m2

"0

l;as=o

*M"\ids+R,,

(r9.45)

(19.46)

momento flettente M (s) indotto dalla precompressione risulta così .Il parr a: M(s):

-Ne*M*

(19.47)

essendosiindicato al solito con M*(s) il momento reattivo: Mo$)

: mMR + mrRB!

(19.48)

mentrelo sforzo normale,ù(sy,per le ipotesipostesui vincoli e sullasensibile

La precompressionedelle strutturc

515

"" l")

I *", Figura 19.13

rettilineitàdell'asse,risulta identico a quello provocato dalla sola precompressione: N(s) = - 1t'

(19.49)

In questo caso pertanto l'effetto delle reazioni iperstatichesi riduce risultanti, la ad una variazionedella curva delle successive esclusivamente (19.41) risulta: cui equazionedalla Mo

e*(s)=e-i:€-€n

(19.50)

delletravi iperstaSi può pertantoaffermareche nella precompressione parallela(o quasi vincoli'scorrevoli rettilineo) con tiche ad asserettilineo : e(s)del menteall'asse,è efficacesolo I'aliquota e*(s) dell'eccentricitàe cavorisultante. per una struttura isostadellepressioni>>, La curva e*(s), definita l'operazione che consistenel cambiarei punti di passaggiodel cavo sugli appoggiintermedi senzamodificarne la curvatura. Tale teorema è di notevole utilità per il dimensionamentodelle travi continue.Infatti, partendo da cavi concordanti, con tracciati anche non svolgentisi tutti nel corpo dellatrave, si eseguela progettazionedellastruttura considerandola,per quanto riguarda la precompressione, come isostatica. Si operanopoi delle trasformazionilineari, le quali non modificano la curvadellepressioni,in modo tale da far assumereal cavouna configurazionecontenutanel corpo dellatrave, e tale da potersirealizzarepraticamente. A chiarimentodi quanto detto in precedenzasi riporta un'applicazione. Si consideriuna trave di sezionecostantesu due campate,simmetrica,e sianoa, b, c (c : a) le eccentricitàdel cavo risultante, rettilineo, sui tre appoggiA, B, C (fig. 19.18).SoppressoI'appoggio B, nella trave AC la

522 Teoria e tecníca delle costruzioni

curva delle pressionicoincidecol tracciato dei cavi ed il momento flettente dovuto alli precompressionenella sezionegenericadella trave isostatica varrà: M = Necosa

L'abbassamentodella sezioneB è pari a:

^n u_ =NuF l a + b_ t l = r t , r u _ o , 1)-ont'"" L 3 Per ristabilire la congruenzasotto I'appoggio -B è necessarioapplicare una forza X, diîerta verso l'alto, tale che risulti:

xQt)3 _ Y! p6 _ o1 48EI

6EI'

Si ricava pertanto:

o * = rru j in B è dato da: ed il momento dovuto alla precompressione a

uu=Ni

La curva delle pressionipassain B per un punto con eccentricità

Lo precompressionedelle strutturc

523

risulb'= - a/2 e quindi risulta indipendentedall'eccentricitàÓ del cavo particolare' nel caso In tantein B, rimaìendo legatosoio alla eccentricitàa' della trave' io$. o ='0, la curva délle pressionicoinciderebbecon l'asse Nel casoinvecedi cavo curvo, per esempiocon andamentoparabolico (fig. 19.19)e di freccia/, I'eccentricitàè pari a: 4f(

" : i [ ' - j )z -' ì 1 '

b

pensandosoppressol'appoggÍo cenPer effetto della precompressione, quantità: trale,il punto B si abbassadella

n'=Srt-ot postocos d = l. avendo Per iipristinare la congruenzain B,la fotza X da applicarevale:

x =auf-! Il momentototale in B pertanto è pari a:

Me=Nlf-b)+Nb=Nf Siritrova quindi ancorachela curva dellepressioniè indipend€nteda ' nentrerestainfluenzata dalla curvatura del cavo'

524 Teoria e tecnics delle costruziont

19.7.Esercizi Esercizion. 19.I con4 Si consideriunatravedi lucedi 22,85m (fig. 19.20)precompressa cavicostituitida 18$ 7, i cui tracciati,indicandocony la distanzadallembo inferiore,hannole seguenti equazioni: cavo l:

'v = 0 , 9 0

x , t 0,094 11,425"

cavo 2:

"v = 0 . 6 0

x = + o,og4 11,425'

cavo 3:

'v : 0 . 3 0

' ^ * 0,094 tr,425'

cavo 4:

y = 0,094

I carichi che sollecitanola trave, rispettivamenteal tiro ed in esercizio, valgono: g = 1136ke/m p = 1136 + 1900 = 3036kglm Le caratteristichegeometrichedella sezionesono: H:ll5cm !"=42cm li=73cm I = 7.190.000cma A = 4545cmz p2 = 1582cm2

Lo precompressionedelle slrutfure

525

Lo sforzo di precompressione, in esercizioed al tiro, è pari a:

N = 4 x 18 x 0,384x 8420: 232.796 ks No=1,25N:290.995ke essendo8420kg/cm2 la tensionefinale nell'acciaio. L'equazionedel cavo risultante è:

y : o,25x t,Bo #+ = o,45

: o,oe4

x

; + 0,094 11,425'

Le rette limite per la trave in esamedistanodal baricentrodella sezione dellequantità: eo = 46,55 cm er = 21,67 cm

calcolatenell'esercizio 16.3. I momentiflettenti al tiro ed in esercizionella sezionedi mezzeriavaleono: M g^* = 74141kgm Mo^* = 198145kgm Si procedeora alla determinazionedel fuso di Guyon: disegnatele due rettelimite, distanti e, ed eodalla retta baricentrica(fig. 19.20),a partire da M^ M^ essesi riportano,al di sotto,dei segmentinari a;i ed;1, rispettivamente dalla retta inferiore e superiore. Le due paraboleche si ottengonounendo gli estremidei suddetti segmenti, staccatirispettivamentedalla retta limite superioreed inferiore, deli-

Teoria e tecnica delle costruzíoni

.oì.

l-------l rt6e'o I

1690

|

La precomprcssionedelle sttutture 52'7

mitanoil fuso di Guyon: il cavorisultanteè contenutonel fuso, assicurando cosìil rispettodelletensioniammissibiliin tutte le fasi di lavoro della trave.

Esercizio n. 19.2 La stessatrave dell'esercizioprecedenteè precompressacon ll cavi costituiti da 12 $ 5, di cui 4 ancorati in campata. Per la costruzionedel fuso di Guyon è necessarioconoscerea priori le ascissedi ancoraggiodei cavi. Questesono state fissatenei seguentivalori: xt =

7'425 m

xz :

8'725 m

xs :

l0 '025m

xt = ll '325m mentregli altri cavi sono previsti con ancoraggioin testata. a) Costruzione delle rette limite Essendolo sforzo di precompressione variabile da tratto a tratto della traveper il rialzamentodi alcuni cavi, la posizionedelle rette limite andrà calcolatatratlo per tîatto ùÍilizzandole formule ripoftate nel paragrafosui punti limite. 1" tratto compresofra x = 0 ed x = 7,425 m: N = 232,848t No = 291,060t €r :

- 21,67cm

eo = 38,1'7cm

528 Teoria e tecnica delle costruzioni

2' lrallo compresofta x = 7,425m ed x : 8,725m: : 2ll,680 t

N

No = 264'600t ot^:

46,57kg/cm2

d^ =

58'21kglcm2

Kt^ = 101,31ke/cm2 =

4

63,39ks/cm2

Essendoo'- 1 K^, risulta eo : eL, pari ai

ì ( "o=lll-

K9,"ì oo^ )l : 4 7 . t 5 c m

l'L

mentre,essendoo)