Teoria di analisi 3 (solo orale ridotto) [1 ed.]

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Integrali multipli......Page 5
Integrazioni di campi......Page 8
Equazioni differenziali ordinarie......Page 10
Equazioni differenziali lineari......Page 12

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ALESSIO MISCIOSCIA

TEORIA DI ANALISI MAT E M AT I C A 3

Copyright © 2019 Alessio Miscioscia

Chi non conosce la matematica difficilmente riesce a cogliere la bellezza, la più intima bellezza, della natura. (R.P. Feynman) First printing, July 2019

Indice

Basi essenziali (orale a)

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Basi essenziali (orale a) Curve piane e regolari ¯ y¯ ) se Definizione. Una curva (piana) si dice regolare in un punto ( x, è soddisfatta una delle tre condizioni ¯ y¯ ), Γ è in diffeomorfismo (locale) • forma parametrica : vicino a ( x, ad un interavallo aperto. ¯ y¯ ), Γ è una funzione di R in R . • forma grafico : vicino a ( x, ¯ y¯ ), Γ è l’insieme di livello di una • forma cartesiana : vicino a ( x, sommersione.

Integrali multipli Teorema (di riduzione di Fubini). Siano E ⊂ Rn misurabile e f una funzione integrabile in E . Allora sia x 0 ∈ π 0 ( E) allora si ha che f ( x 0 , x 00 ) è integrabile in Ex0 = { x 00 ∈ Rn−m : ( x 0 , x 00 ) ∈ E} e la funzione x0 →

Z E0

f ( x 0 , x 00 )dλn00 ( x 00 )

è integrabile su π 0 ( E) e vale Z E

f ( X 0 , x 00 )dλn =

Z

Z π 0 ( E)

E0

Quindi una funzione del tipo Γ : [ a, b] ⊂ R → R2 La prima condizione è equivalente ¯ y¯ ), a chiedere che ∃U intorno di ( x, un intervallo aperto I ⊂ R e un diffeomorfismo ϕ : Γ ∩ U → I. La seconda condizione chiede che ∃ A ⊂ R intorno di x0 e ∃ B ⊂ R intorno di y0 tali che in U = A × B si abbia Γ ∩ U = {( x, y) ∈ U : y = φ( x )}. Infine la terza chiede che esista una funzione g : U → R con grandiente mai nullo in U tale che α = g( x0 , y0 ) ⇒ Γ ∩ U = {( x, y) : g( x, y) = α}. Ricordiamo che misurabile significa che si possa definire una misura sull’insieme. L’integrabilità richiede che di f + ed f − diverga al più uno dei due integrali. x 0 ∈ π 0 ( E) significa che abbiamo decomposto il vettore x ⊂ Rn come x = ( x 0 , x 00 ), con x 0 ⊂ Rm , x 00 ⊂ Rn−m

 f ( x 0 , x 00 )dλn00 ( x 00 ) dλn0 ( x 0 )

In particolare ogni integrale iterato al variare delle possibili decomposizioni (n = n0 + n00 ) danno luogo al medesimo risultato. Teorema (di integrabilità di Tonelli). Sia E ⊂ Rn misurabile e f misurabile su E. Se qualsiasi integrale iterato del modulo Z  Z Z 0 00 0 00 00 | f ( x , x )|dλn = f ( x , x ) dλn00 ( x ) dλn0 ( x 0 ) π 0 ( E)

E

Una funzione si dice misurabile se gli insiemi di sopralivello sono misurabili.

E0

esiste finito, allora f è integrabile si E (e lo si può calcolare con Fubini). Teorema (cambio di variabili). Sua φ : A0 → A un diffeomorfismo fra aperti di Rn e sia E un sottoinsieme misurabile di A. Data la funzione f : A → R si ha che f ∈ L1 ( E) se e solo se ( f ◦ φ)| det Jφ | ∈ L1 ( E) e vale Z E

f ( x )dλn ( x ) =

Z φ −1 ( E )

f (φ( x 0 ))| det Jφ |dλn ( x 0 )

f ∈ L1 ( E) significa che la funzione f è Lesbegue integrabile in E.

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teoria di analisi matematica 3

Cambi di varibili notevoli Coordinate polari Si ha che la parametrizzazione polare del piano è data da

( x, y) = (r cos ϕ, r sin ϕ) Quindi si ha che cos ϕ det sin ϕ

−r sin ϕ r cos ϕ

! =r

Coordinate sferiche Si ha che la parametrizzazione sferica dello spazio euclideo è data da

( x, y, z) = (r sin ϕ cos θ, r sin ϕ sin θ, r cos ϕ) Quindi si ha che  sin ϕ cos θ  det  sin ϕ sin θ cos ϕ

 −r sin θ sin ϕ r cos θ sin ϕ  r cos θ sin ϕ r sin θ cos ϕ  = r2 sin ϕ 0 −r sin ϕ

Coordinate cilindriche Si ha che la parametrizzazione cilindrica dello spazio euclideo è data da

( x, y, z) = (r cos θ, r sin θ, z) Quindi si ha che  cos θ  det  sin θ 0

−r sin θ r cos θ 0

 0 cos θ   = det sin θ 1

−r sin θ r cos θ

! =r

Lemma. (integrazione di prodotti a variabili separabili) Siano E0 ⊂ 0 00 0 Rn , E00 ⊂ Rn misurabili e si abbiano funzioni misurabili g : E0 → Rn , h : 00 E00 → Rn allora la funzione f ( x 0 , x 00 ) = g( x 0 )h( x 00 ) è integrabile su E0 × E00 e se g ed h sono integrabili rispettivamente su E0 ed E00 allora si ha Z E0 × E00

f ( x 0 , x 00 )dλn =

Z E0

g( x 0 )dλn0



h( x 00 )dλn00




Dimostrazione. Si applica Tonelli, allora si ha che Z

0

E0 × E00

00

Z

Z



| g( x )h( x )|dλn = |h( x )|dλn00 | g( x 0 )|dλn0 = E0 E00 Z  Z  0 00 = | g( x )|dλn0 |h( x )|dλn00 ∈ R E0

00

Nell’ultimo passaggio si usa l’integrabilità di h e g.

E0

basi essenziali (orale a)

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Quindi applicando Fubuni si ha che  Z Z Z g( x 0 )h( x 00 )dλn = h( x 00 )dλn00 | g( x 0 )|dλn0 = E0 × E00 E0 E00 Z  Z  0 00 = g( x )dλn0 h( x )dλn00 E0

E00

Integrale di Gauss Calcoliamo l’integrale di Gauss Z ∞

2

−∞

Si calcola che Z ∞  Z − x2 e dx −∞

∞

−∞

2

e−y dy

=

e− x dx

Z ∞



=

Z 2π 0

ma si ha anche che  Z Z ∞ − x2 e dx π= −∞

dθ

∞

−∞

e

−∞ Z ∞ 0

− y2

Z ∞

Si tratta di calcolare con l’integrale di un prodotto a variabili separabili.

e− x

2 − y2

dx =  ∞ 2 1 ρe−ρ dρ = (θ ]2π =π 0 2 0

dy

−∞

 dy

=

Z

∞

−∞

e

− x2

2 dx

da cui il valore dell’integrale di Gauss Z ∞ −∞

2

e− x dx = π

Misura di un parallelogramma Lemma. Data una matrice rettangolare A ∈ Mn,k con k ≤ n allora la misura k−dimensionale del parallelogramma generato in Rn dai k vettori p colonna di A è det ( A T A). Dimostrazione. Se i vettori sono linearmente dipendenti allora la misura è nulla e allo stsso tempo A è singolare e quindi il teorema è dimostrato. Dimostriamolo prima nel caso di una matrice quadrata; in questo caso il teorema è dimostrato in quanto i vettori colonna di A definiscono una base di Rn e la matrice A è il diffeomorfismo fra la base canonica e questa nuova base; ma allora per il teorema del cambio di coordinate si concluderebbe. Nel caso di matrice non quadrata si ha che in Rk la misura sarebbe data da q |det B| = det ( B T B) dove B è la matrice quadrata definita da Bij = A j wi per wi elementi di base ortonormale di Rn . A questo punto basta notare che A T A = B T B.

Si assume che i vettori colonna siano indipendenti, altrimenti det A = 0, ma il risultato è banale. Si usa il teorema di Binet det A = det A T

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teoria di analisi matematica 3

Definizione. Data una matrice rettangolare A, la matrice A T A si dice matrice di Gram e il suo determinante si dice gramiano.

Si osservi che la matrice di Gram è sempre quadrata.


Lemma. (identità di Cauchy-Binet) Il gramiano det A T A si una matrice A ∈ Mn,k è anche uguale alla somma dei determinanti al quadrato di tutti i minoru du ordine k si A

Integrazioni di campi Definizione. Si definisce flusso di un campo G su una varietà S con orientazione data dal versore n la quantità ΦS ( G ) =

Z S

( G · n)dλS

Teorema (Teorema della divergenza). Siano W un aperto di Rn , A ⊂ W un aperto tale che A¯ sia una varietà bordata di W e G : W → Rn di classe C1 tale che A¯ intersecato il supporto di G sia compatto allora

Il supporto è l’insieme

{ x ∈ W : G ( x ) 6 = 0}

Φ∂A ( G ) =

Z A

(div G ) dλn

Si ricorda la definizione di divergenza n

Dimostrazione. Proviamolo nel caso di un parallelepipedo e della sfera. Partiamo dal primo: prendiamo il campo G = ( G1 , G2 , G3 ) e il parallelepipedo di facce frontale superiore ∂A(c1 ) e inferiore ∂A(c2 ). Si calcola che Z ∂A(c1 )∪∂A(c2 )

=

Z A x,y

( G · n)dλ∂A =

Z A x,y

G3 ( x, y, c2 )dxdy −

( G3( x, y, c2 ) − G3( x, y, c1 )) dxdy =

Z

Z A x,y

Z

c2 c1

=

Z

∂Gn ∂xn

Si denota A = [ a1 , a2 ] × [b1 , b2 ]

G3 ( x, y, c1 )dxdy =

∂G3 dxdydz ∂z

facendo lo stesso procedimento sulle facce laterali si ottiene il risultato desiderato. Proponiamo ora lo stesso ragionamento per la sfera. Scriviamo la sfera come G = G1 + G2 + G3 con G1 = ( G1 , 0, 0),G2 = (0, G2 , 0),G3 = (0, 0, G3 ), il versore normale uscente è 1 ( x, y, z) R s il volume infinitesimo della sfera è

∑

i =1

 ∂G3 ( x, y, z)dz dxdy = ∂z A

n=

div G =

1 + | grad z x,y |2 dxdy =

R dxdy, z x,y

basi essenziali (orale a)

si ripete il processo di prima Z

( G · n)dλ∂A =

Z E+

∂A

Z S

=

( G3 · n)dλ∂A +

Z E−

( G3 · n)dλ∂A

=
R 1 G3 ( x, y, z) −z x,y dxdy = z x,y S R  Z Z z x,y
∂G3 ( x, y, z)dz dxdy = G3 ( x, y, z x,y ) − G3 ( x, y, z x,y ) dxdy = D −z x,y ∂z Z ∂G3 = ( x, y, z)dxdydz A ∂z

1 R G3 ( x, y, z x,y ) dxdy + R z x,

Z D

Z

Teorema (Formula di Green). Siano W un aperto di R2 , Γ un circuito in W che sia il bordo regolale di un aperto A e ( f , g) : W → R2 un campo di classe C1 , allora si ha  I Z  ∂g ∂ f dxdy ( f , g) · dx = − ∂y Γ A ∂x Dimostrazione. Basta prendere il campo G = ( g, − f ) ed applicare il teorema della divergenza. Si ha che div G =

∂g ∂ f − ∂x ∂y

infatti si ha che se α : I → W parametrizza ∂A allora si ha che Z

( G · n)dλ∂A = ∂A

Z I

( f (α(t))α10 + g(α(t))α20 )dt =

I

( f , g) · dx ∂A

Teorema (Teorema del gradiente). Siano W un aperto di Rn , A ⊂ W un aperto tale che A¯ sia una varietà bordata in W e u : W → R un campo scalare di classe C1 tale che A¯ intersecato il supporto di u sia compatto. Allora vale Z Z u( x )ndλ∂A = (grad u( x )) dλ A A

∂A

Dimostrazione. Applichiamo il teorema della divergenza al campo Gj := ue j , si ottiene che Z

u( x )n j ( x )dλ∂A = ∂A

Z A

∂u ( x )dλn ∂x j

moltiplichiamo ora ambo i membri per il versore e j e sommiamo sui j, si ottiene che Z ∂A

u( x )ndλ∂A = e j ∑ j

Z

u( x )n j ( x )dλ∂A = ∂A

= ej ∑ j

Z A

∂u ( x )dλn = ∂x j

Z A

(grad u( x )) dλ A

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teoria di analisi matematica 3

Teorema (Formula di Stokes). Siano W un aperto di R3 , S ⊂ W una superficie bordata, orientata,compatta e di classe C2 ed F : W → R3 un campo di classe C1 , allora si ha che I

F · dx = ΦS (rot F ) ∂S

Dimostrazione. Supponiamo che S sia dato da un’unica parametrizzazione S = γ(D) a parametri (u, v) per un certo dominio D e che ∂D sia dato a sua volta parametrizzato da una curva α : [ a, b] → R2 con α( a) = α(b). Allora γ ◦ α parametrizza ∂S e si calcola I

F · dx = ∂S

Z b a

( F ◦ γ ◦ α(t)) · (γ ◦ α(t))0 dt

Ricordiamo la definizione di rotore   e x ey ez rot F = det ∂ x ∂y ∂z  Fx Fy Fz Dimostrazione non richiesta.

Si tratta di un calcolo diretto dove si cerca un integrale di linea, quindi, nel passaggio !, si usa la formula di Greene e quindi si trova la tesi.

Z b

  ( F ◦ γ ◦ α(t)) · dγα(t) α0 (t) dt = a   Z b ∂γ ∂γ (α(t))α10 (t) + (α(t))α20 (t) dt = = ( F ◦ γ ◦ α) · ∂u ∂v a    Z b  ∂γ ∂γ = (α(t))α10 (t) + F ◦ γ ◦ α(t) · (α(t))α20 (t) dt F ◦ γ ◦ α(t) · ∂u ∂v a  I  ∂γ ∂γ = ( F ◦ γ) , ( F ◦ γ) · (u, v) = ∂u ∂v ∂D     Z  ∂ ∂γ ∂ ∂γ ! = ( F ◦ γ) · − ( F ◦ γ) · dudv = ∂v ∂v ∂u D ∂u  Z  ∂( F ◦ γ) ∂γ ∂( F ◦ γ) ∂γ = · − · dudv = ∂u ∂v ∂v ∂u D  Z  ∂γ ∂γ ∂γ ∂γ = dFγ · − dFγ · dudv ∂u ∂v ∂v ∂u D  Z  ∂γ ∂γ (rot F )(γ(u, v)) × = (u, v) · (u, v) dudv = ∂u ∂v D

=

= ΦS (rot F )

Equazioni differenziali ordinarie Definizione. Un’equazione differenziale si dice in forma normale se è del tipo y0 (t) = f (t, y) dove f : U ⊂ C n × R → Cn continua. Si osservi che data un’equazione differenziale di ordine superiore al primo y(n) (t) = g(t, y, y0 , · · · , y(n−1) ) si può porre (z1 , z2 , · · · , zn ) = (y, y0 , · · · , y(n−1) ) e quindi scrivere il sistema del primo ordine corrispondente all’equazione differenziale data

Questo ragionamento ci dice che la teoria che stiamo valutando per le equazioni del primo ordine è facilmente generalizzabile ad equazioni di ordine superiore.

basi essenziali (orale a)

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z10 = z2 z20 = z3 .. .    0  z n −1 = z n    0 zn = g(t, z1 , · · · , zn )        

Lemma. Il problema di Cauchy (

y0 (t) = f (t, y) y ( t0 ) = y0

è equivalente all’integrale y ( t ) = y0 +

Z t t0

f (τ, y(τ ))dτ

Questa equazione è detta integrale di Volterra. Dimostrazione. Dal problema di Cauchy è sufficiente integrare ambo i membri e imporre la condizione al contorno. Invece derivando ambo i membri l’integrale di Volterra si trova il problema di Cauchy.

Si deve usare il teorema fondamentale del calcolo integrale.

Teorema (Cauchy-Lipschitz). Se in in un intervallo Ia × Ib la funzione continua f (t, y) è anche lipschitziana rispetto alle y uniformemente rispetto alle t Allora ∃0 < δ ≤ a, ∃!ϕ : Iδ → Ib di classe C1 soluzione del problema di Cauchy con condizione iniziale in Ia × Ib e con equazione differenziale y0 = f (t, y).

si intende Ia intervallo temporale, ovvero dominio del tempo e Ib intervallo reale della funzione y.

Dimostrazione. Sia M := max{k f (t, y)k : (t, y) ∈ Ia × Ib }; se M è nullo allora abbiamo che δ = a, infatti la funzione f sarebbe identicamente nulla e quindi y costante.  Se L= 0 allora f è costante rispetto ad y e b basta scegliere δ < max a, ; infatti si ha che M

Z t

Z t

k ϕ ( t ) − y0 k = f (τ )dτ k f (τ )k dτ ≤ M|t − t0 | < Mδ < b

≤

∀t ∈ Ia , ∀y1 , y2 ∈ Ib .

t0

La condizione di Lipschitzianità significa che ∃

k f (t, y1 ) − f (t, y2 )k ≤ Lky1 − y2 k

t0

quindi ogni valore con t ∈ Iδ ha valori di ϕ ∈ Ib . Infine preoccupiamoci del  caso più  generale in cui M > 0 e L > 0. Scegliamo b 1 δ < max a, , , allora si ha che la palla Bb ⊂ C0 ( Iδ , Cn ) ; notiaM L mo che questa palla è fatta dalle funzione a condominio in Ib . Ricordiamo ora che la palla è uno spazio metrico completo ; definiamo ora una mappa T:B→B che associa ψ → y0 +

Z t t0

f (τ, y0 )dτ

La palla definita è quindi Bb = { g ∈ C0 ( Iδ , Cn ) : k g − y0 k∞ ≤ B} La completezza deriva dal fatto che la palla è un aperto in uno spazio di Banach.

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teoria di analisi matematica 3

Verifichiamo che la mappa abbia in effetti codominio in B, si ha che

k ( Tψ) (t) − y0 k = k

Z t t0

f (τ, ψ(τ ))dτ k =

Z t t0

k f (τ, ψ(τ ))kdτ ≤

Z t t0

Mdτ ≤

≤ Mδ ≤ b Mostriamo ora che T è una contrazione, allora si ha che

Z t Z t

= ψ ( τ ) dτ − ψ ( τ ) dτ k ( Tψ1 ) (t) − ( Tψ2 ) (t)k = 2

t 1 t0 0



Z t   Z Z Z t t t



dτ ≤

ψ ( τ ) − ψ ( τ ) ≤ ψ ( τ ) − ψ ( τ ) dτ = 2 2 1

1

t0

t0

t0

≤

Z t t0

ovvero dobbiamo mostrare che

k Tψ1 − Tψ2 k ≤ αkψ1 − ψ2 k per un α ∈ (0, 1)

t0

Lkψ1 (τ ) − ψ2 (τ )kdτ ≤ Lkψ1 − ψ2 k∞ δ

e ora essendo Lδ < 1 per definizione. Ma allora per il lemma delle contrazioni ha un punto fisso, il punto fisso tale che Tψ = ψ. Quindi si ha la soluzione desiderata.

Equazioni differenziali lineari Lemma. L’integrale generale di un’equazione differenziale lineare del primo ordine y0 = A(t)y è un sottospazio vettoriale di C1 (Cn ) di dimensione n, ovvero esistono ϕ1 , · · · , ϕn soluzioni linearmente indipendenti che genera lo spazio delle soluzioni dell’equazione differenziale. Dimostrazione. Si verifica facilmente che se ϕ1 , ϕ2 sono due soluzioni allora lo è anche λ1 ϕ1 + λ2 ϕ2 . Per la dimensione basti notare che la mappa Vt0 : ϕ → ϕ(t0 ) è lineare e biettiva e quindi si tratta di un isomorfismo. Quindi la dimensione è n. Definizione. Qualsiasi insieme di n soluzioni linearmente indipendenti di y0 = A(t)y, y : I → Cn si dice sistema fondamentale di soluzioni. La matrice che ha per colonne tali soluzioni è detta matrice risolvente. Lemma. Sia Φ una matrice che ha per colonne le soluzioni dell’equazione differenziale allora vale Φ0 (t) = A(t)Φ(t) Dimostrazione. Basta farlo per colonna, vale Φ j = A(t)Φ j per definizione (le colonne sono soluzioni).

Per verificarlo si provi a derivare.

(λ1 ϕ1 + λ2 ϕ2 )0 = λ1 ϕ10 + λ2 ϕ20 = = A(t)(λ1 ϕ1 + λ2 ϕ2 ) = A(t)λ1 ϕ1 + A(t)λ2 ϕ2 La linerità si testa facilmente e la biiettività viene dal fatto che la soluzione del problema di Cauchy è unica.

basi essenziali (orale a)

Lemma. Sia un’equazione differenziale y0 = A(t)y con y con codominio in Cn , allora la matrice Φ ∈ Mn×n composta da soluzioni dell’equazione differenziale è risolvente se e solo se ha colonne linearmente indipendenti (o è non singolare) se e solo se ogni soluzione è data da ϕ(t) = Φ(t)c con c vettore costante. Dimostrazione. Dire che una matrice è risolvente significa dire che i vettori formano una base dell’insieme delle soluzioni. Da questo si conclude. Lemma. L’insieme delle soluzioni di un’equazione differenziale lineare non omogenea del tipo y0 = A(t) + g(t) è lo spazio affine dato dallo spazio vettoriale delle soluzioni dell’omogenea traslato di una soluzione particolare. Dimostrazione. Si controlla per calcolo diretto che se una soluzione soddisfa l’equazione differenziale omogenea allora traslando si ottengono soluzioni della non omogenea. Lemma (Principio di sovrapposizione). Se ϕ(t) risolve l’equazione y0 (t) = A(t)y(t) + b(t) e ϕ˜ (t) risolve y0 (t) = A(t)y(t) + c(t) allora ϕ(t) + ϕ˜ (t) risolve l’equazione y0 (t) = A(t)y(t) + b(t) + c(t). Dimostrazione. Abbiamo già mostrato che lo spazio delle soluzioni dell’omogenea è uno spazio vettoriale, bisogna trovare la soluzione particolare. Date le ipotesi si ha che ϕ0 (t) + ϕ˜ 0 (t) = A(t)φ(t) + A(t)φ˜ (t) + b(t) + c(t) =

= A(t)( ϕ(t) + ϕ˜ (t)) + b(t) + c(t)

Vedi risultati di geometria.

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