Elementi di Teoria delle Funzioni e di Analisi Funzionale [4 ed.]

Table of contents :
Prefazione alla quarta edizione
Dalla prefazione alla seconda edizione
Prefazione alla terza edizione

I. ELEMENTI DI TEORIA DEGLI INSIEMI
§ 1. Nozione di insieme. Operazioni sugli insiemi
§ 2. Applicazioni. Partizioni in classi
§ 3. Equivalenza di insiemi. Nozione di potenza di un insieme
§ 4. Insiemi ordinati. Numeri transfiniti
§ 5. Famiglie di insiemi

II. SPAZI METRICI E TOPOLOGICI
§ 1. Nozione di spazione metrico
§ 2. Convergenza. Insiemi aperti e chiusi
§ 3. Spazi metrici completi
§ 4. Principio delle contrazioni e sue applicazioni
§ 5. Spazi topologici
§ 6. Compattezza
§ 7. Compattezza negli spazi metrici
§ 8. Curve continue negli spazi metrici


III. SPAZI LINEARI TOPOLOGICI E NORMATI
§ 1. Spazi lineari
§ 2. Insiemi convessi e funzionali convessi. Teorema di Hahn-Banach
§ 3. Spazi normati
§ 4. Spazi euclidei
§ 5. Spazi lineari topologici


IV. FUNZIONALI E OPERATORI LINEARI
§ 1. Funzionali lineari continui
§ 2. Spazio coniugato
§ 3. Topologia debole e convergenza debole
§ 4. Distribuzioni
§ 5. Operatori lineari
§ 6. Operatori compatti


V. MISURA, FUNZIONI MISURABILI, INTEGRALE
§ 1. Misura degli insiemi piani
§ 2. Nozione generale di misura. Prolungamento della misura da un semianello ad un anello
§ 3. Prolungamento di Lebesgue della misura
§ 4. Funzioni misurabili
§ 5. Integrale di Lebesgue
§ 6. Prodotti diretti di famiglie di insiemi e di misure. Teorema di Fubini

VI. INTEGRALE INDEFINITO DI LEBESGUE. TEORIA DELLA DERIVAZIONE
§ 1. Funzioni monotone. Derivabilità dell'integrale rispetto al limite superiore
§ 2. Funzioni a variazione limitata
§ 3. Derivata dell'integrale indefinito di Lebesgue
§ 4. Determinazione di una funzione in bale alla sua derivata. Funzioni assolutamente continue
§ 5. Integrale di Lebesgue come funzione insiemistica. Teorema di Radon-Nikodim
§ 6. Integrale di Stieltjes

VII. SPAZI DI FUNZIONI SOMMABILI
§ 1. Spazio L1
§ 2. Spazio L2
§ 3. Sistemi di funzioni ortogonali in L2. Serie rispetto a sistemi ortogonali

VIII. SERIE TRIGONOMETRICHE. TRASFORMATA DI FOURIER
§ 1. Condizioni di convergenza della serie di Fourier
§ 2. Teorema di Fejer
§ 3. Integrale di Fourier
§ 4. Trasformata di Fourier, proprietà fondamentali e applicazioni
§ 5. Trasformata di Fourier nello spazio L2
§ 6. Trasformata di Laplace
§ 7. Trasformata di Fourier-Stieltjes
§ 8. Trasformata di Fourier delle distribuzioni

IX. EQUAZIONI INTEGRALI LINEARI
§ 1. Definizioni fondamentali. Alcuni problemi che conducono ad equazioni integrali
§ 2. Equazioni integrali di Fredholm
§ 3. Equazioni integrali contenenti un parametro. Metodo di Fredholm

X. ELEMENTI DI CALCOLO DIFFERENZIALE NEGLI SPAZI LINEARI
§ 1. Differenziazione negli spazi lineari
§ 2. Teorema della funzione implicita e alcune sue applicazioni
§ 3. Problemi estremali
§ 4. Metodo di Newton

APPENDICE. ALGEBRE DI BANACH
§ 1. Definizioni ed esempi di algebre di Banach
§ 2. Spettro e risolvente
§ 3. Alcuni risultati ausiliari
§ 4. Teoremi fondamentali

Bibliografia

Distribuzione delle fonti bibliografiche per capitoli

Indice analitico

Citation preview

Andrej N. Kolmogorov

Sergej V. Fòmin

Elementi di teoria delle funzioni e di analisi funzionale

Edizioni Mir

Indice

Prefazione alla quarta edizione Dalla prefazione alla seconda edizione Prefazione alla terza edizione

I. Elementi di teoria degli insiemi

II.

12 13 15

17

§ 1. Nozione di insieme. Operazioni sugli insiemi 1. Definizioni principali p. 17—2. Operazioni sugli insiemi p. 18.

17

§ 2. Applicazioni. Partizioni in classi 1. Applicazioni insiemistiche. Nozione generale di funzione p. 20—2. Partizione in classi. Relazioni di equivalenza p. 22.

20

§ 3. Equivalenza di insiemi. Nozione di potenza di un insieme 1. Insiemi finiti e infiniti, p. 25—2. Insiemi numerabili p. 26—3. Equivalenza di insiemi p. 28—4. Non numerabilità dell’insieme dei numeri reali p. 30—5. Teorema di CantorBernstein p. 31—6. Nozione di potenza di un insieme p. 32.

25

§ 4. Insiemi ordinati. Numeri transfiniti 1. Insiemi parzialmente ordinati p. 35—2. Applicazioni che conservano l’ordine p. 36—3. Tipi d’ordine. Insiemi ordina­ ti p. 36—4. Somma ordinata di insiemi ordinati p. 37—5. Insiemi bene ordinati. Numeri transfiniti p. 38—6. Con­ fronto di numeri ordinali p. 39—7. Assioma della scelta, teorema di Zermelo e altri enunciati equivalenti p. 42—8. Induzione transfinita p. 43.

35

§ 5. Famiglie di insiemi 1. Anello di insiemi p. 44—2. Semianello di insiemi p. 45—3. Anello generato da un semianello p. 47—4. cr-algebre p. 48— 5. Sistemi di insiemi e applicazioni p. 49.

44

Spazi metrici e topologici

50

§ 1.

50

Nozione di spazio metrico

1. Definizione ed esempi fondamentali p. 50—2. Applicazio­ ni continue degli spazi metrici. Isometria p. 57.

5

§ 2. Convergenza. Insiemi aperti e chiusi 1. Punti d’accumulazione. Chiusura p. 58—2. Convergenza p. 60—3. Sottoinsiemi densi p. 61—4. Insiemi aperti e chiusi p. 62—5. Insiemi aperti e chiusi sulla retta, p. 64.

58

§ 3. Spazi metrici completi 1. Definizione ed esempi di spazi metrici completi p. 67—2. Teorema sulle sfere incluse p. 70—3. Teorema di Baire p. 72—4. Completamento di uno spazio p. 72.

67

§ 4. Principio delle contrazioni e sue applicazioni 1. Principio delle contrazioni p. 75—2. Applicazioni ele­ mentari del principio delle contrazioni p. 76—3. Teoremi di esistenza e di unicità per le equazioni differenziali p. 79—4. Applicazione del principio delle contrazioni alle equazioni integrali p. 82.

75

§ 5. Spazi topologici 1. Definizione ed esempi di spazi topologici p. 84—2. Con­ fronto di topologie p. 86—3. Sistemi fondamentali di intor­ ni. Base. Assiomi di numerabilità p. 87—4. Successioni con­ vergenti in T p. 91—5. Applicazioni continue. Omeomorfismo p. 92—6. Assiomi di separazione p. 94—7. Modi diversi per assegnare la topologia di uno spazio. Metrizzabilità p. 97.

84

§ 6. Compattezza 1. Nozione di compattezza p. 98—2. Applicazioni continue negli spazi compatti p. 100—3. Funzioni continue e semicon­ tinue negli spazi compatti p. 101—4. Compattezza numerabile p. 103—5. Insiemi precompatti p. 105.

98

§ 7. Compattezza negli spazi metrici 1. Insiemi totalmente limitati p. 106—2. Compattezza e li­ mitatezza totale p. 107—3. Sottoinsiemi precompatti negli spazi metrici p. 109—4. Teorema di Arzelà p. 109—5. Teore­ ma di Peano p. Ili—6. Continuità uniforme. Applicazioni continue dei compatti metrici p. 113—7. Teorema di Arzelà generalizzato p. 113.

106

§ 8. Curve continue negli spazi metrici

115

III. Spazi lineari topologici e normati § 1.

119

Spazi lineari

1. Definizione ed esempi di spazi lineari p. 119—2. Dipen­ denza lineare p. 121—.3. Sottospazi p. 122—4. Spazio quoziente p. 123—5. Funzionali lineari p. 124—6. Significa­ to geometrico del funzionale lineare p. 125.

§ 2. Insiemi convessi H ahn-B anach

e funzionali

convessi.

Teorema

di

1. Insiemi convessi e corpi convessi p. 127—2. Funzionali omogenei convessi p. 130—3. Funzionale di Minkowsky p. 131—4. Teorema di Hahn-Banach p. 133—5. Separabili­ tà degli insiemi convessi in uno spazio lineare p. 136.

119

127

137 § 3. Spazi normati I ' 'B

OAuB

Fig. 1

Fig. 2

pari e dell’insieme di tutti i numeri divisibili per tre è formata da tutti i numeri interi che si divide no per sei senza resto. Si chiama intersezione di un numero qualsiasi (finito o infinito) di insiemi Aa une collezione f~~Aa di elementi appartenenti ad ognuno degli a insiemi Aa. Le operazioni di somma e di intersezione sugli insiemi sono, per definizione stessa, commutative e associative, cioè

A U B = B U A, (A U B) U C = A U (B UOA A B = B A A, (A A B) A C = A A (B A C). Inoltre, esse sono mutuamente distributive: (A U

B) A C = (A A C) U (B A

(1)

(A A B) U C =(A U C) A (B U Q. (2) Infatti, verifichiamo ad esempio la prima di queste ugua­ glianze x. Supponiamo che l’elemento x appartenga all’insieme a primo membro dell’uguaglianza (1), cioè che x £ (A U B) A C. Ciò significa che x entra in C e, inoltre, almeno in uno degli insie1 L’uguaglianza di due insiemi *4 = B si intende come identità, vale a dire ciascun elemento dell'insieme .4 appartiene a B, e viceversa. In altre parole, l’uguaglianza A = B è equivalente al fatto che sono verificate le due inclusioni: A cz B e B cz A.

18

mi A o B. Ma allora x appartiene almeno a uno degli insiemi A f] C o B p C, cioè entra nel secondo membro dell’uguaglianza conside­ rata. Inversamente, sia x £ (A p| C) ’J (/? A Q- Allora x £ A A A C o X 6 B P) C. Quindi, x (È C e, inoltre, x entra in A o B, cioè x C A U B. Così, x C (A U B) A C, e l’uguaglianza (1) è dimostra­ ta. Analogamente si verifica l’uguaglianza (2). Definiamo l’operazione di sottrazione per gli insiemi. Chiame­ remo differenza C = A \ B degli insiemi A e B l’insieme degli

B

A

B

A

C=ABB

C=A\B

Fig. 3

Fig. 4

elementi di A non contenuti in B (fig. 3). Inoltre, non si suppone in generale che A B. Al posto di A \ B si scrive talvolta A — B. Talvolta (nella teoria della misura, ad esempio) è comodo considerare la differenza detta simmetrica degli insiemi A e B, che è determinata come somma delle differenze A \ B e 5 \ A (fig. 4). Denoteremo con il simbolo A A B la differenza simme­ trica degli insiemi A e B. Così, per definizione, abbiamo

A A B = (A X B) U (B \ A). Esercizio. Mostrare che

A b = U U 5) \ U H 5). Spesso si deve considerare una famiglia di insiemi che sono sottoinsiemi di un certo insieme principale S, ad esempio diversi insiemi di punti sulla retta numerica. In questo caso la differen­ za S \ A è detta complemento dell’insieme A e si denota con CA o A'. Nella teoria degli insiemi e le sue applicazioni è molto impor­ tante il cosiddetto principio di dualità basato sulle due relazioni seguenti: 1. Il complemento della somma è uguale all'intersezione dei due complementi 5\U^ = fì(>5x^). (3) a

a

2. Il complemento dell'intersezione è uguale alla somma dei due complementi a

a

(4)

19

Il principio di dualità significa che da ogni teorema inerente a un sistema di sottoinsiemi di un insieme fissato S può essere dedotto in modo assolutamente automatico un altro teorema duale mediante la sostituzione di tutti gli insiemi considerati con i loro complementi, della somma degli insiemi con le intersezioni e delle intersezioni con le somme. Quale esempio di utilizzazione di que­ sto principio può servire la deduzione del teorema 3' dal teorema 3 del § 2, capitolo II. Dimostriamo la relazione (3). Sia x C \ (_J Aa. Ciò significa che x non entra nell’unione a LUa, cioè non appartiene ad alcuno degli insiemi Aa. Quindi, a x appartiene a ciascuno dei complementi S \/lc, e perciò x £ 0 (S \ Aa). Inversamente, sia x E ! (S \ Aa), vale a dire a oche x entra in ciascuno S \ Aa; allora x non entra in alcuno degli insiemi Aa, cioè non appartiene alla loro somma [J Aa, e allora a X £ S \ U Aa. L’ uguaglianza (3), è così dimostrata. La relazioa ne (4) si dimostra analogamente. (Proponiamo al lettore di ese­ guire questa dimostrazione.) Il nome « differenza simmetrica » dell’operazione A A B non è molto felice; questa operazione è analoga per molti aspetti alla somma di insiemi A (J B. Infatti, A (J B significa che con la locuzione « oppure » non esclusi­ vo noi colleghiamo due affermazioni: « l’elemento appartiene ad A » e « l’ele­ mento appartiene a B », mentre A A B significa che le stesse due afferma­ zioni sono collegate da « oppure » esclusivo: l’elemento x appartiene ad A AB se e soltanto se esso appartiene soltanto ad A oppure soltanto a B. L’insieme A A B si potrebbe chiamare « somma modulo due » degli insie­ mi A e B (si prende l’unione di questi due insiemi, ma gli elementi che si incontrano due volte si escludono).

§ 2. Applicazioni, Partizioni in classi 1. Applicazioni insiemistiche. Nozione generale di funzione. In analisi la nozione di funzione è introdotta nel seguente modo. Sia X un certo insieme sulla retta numerica. Si dice che in questo insieme è definita una funzione / se a ogni numero x £ X è messo in corrispondenza un determinato numero y — f (x). In questo caso X è detto dominio di definizione della data funzione e Y. l’insieme di tutti i valori assunti da questa funzione, è il suo dominio dei valori. Se, invece, al posto di insiemi numerici consideriamo insiemi di qualsiasi altra natura, giungeremo a una nozione più generale di funzione. Siano M e N due insiemi qualsiasi. Si dice che in AI è definita una funzione f suscettibile di assumere i valori di X se ad ogni elemento x £ Ad corrisponde uno e soltanto un elemento y 20

di N. Per gli insiemi di natura arbitraria (così come nel caso degli insiemi numerici) spesso al posto del termine « funzione » si usa il termine «applicazione», parlando dell’applicazione di un insie­ me in un altro. Precisando la natura degli insiemi M e N, compaio­ no tipi speciali di funzioni che portano i nomi particolari di « funzione vettoriale », «misura», « funzionale »,« operatore » ecc. Nel seguito avremo a che fare con questi tipi speciali di funzione. Per indicare una funzione (applicazione) di M in N spesso useremo la notazione /: N. Se a è un elemento di M, il suo elemento corrispondente b = f (a) di N si dice sua immagine (sotto l’applicazione /). L’insieme di tutti gli elementi a di AI, la cui immagine è un dato elemento b £ N, si chiama immagine inversa (o, più precisamente, immagine inversa completa) dell’elemento b e si denota con f"1 (b). Sia A un insieme di M; l’insieme {/ (a) : a £ A } di tutti gli elementi del tipo / (a), dove a £ A, si dice immagine di A e si indica con f ( A). A sua volta, per ogni insieme B di N è determi­ nata la sua immagine inversa (completa!) p1 (5), e cioè /_1 (B) è l’insieme di tutti gli elementi di M le cui immagini appartengo­ no a B. Può succedere che nessun elemento b di B abbia immagine inversa, allora l’immagine inversa /-1 (B) sarà l’insieme vuoto. Qui ci limiteremo all’esame delle proprietà delle aplicazioni più generali. Introduciamo la seguente terminologia. Diremo che j è un’ap­ plicazione dell’insieme M « su » N se / (M) = N; tale applicazio­ ne si chiama anche suriezione. Nel caso generale in cui cioè f (M) allora / (x) £ A (ì B, ossia f (x) £ A

e

/ (x) £B,

di conseguenza, x 6 /_1 (A) e 6/-1 (5), cioè x £ f~r (4) /_1 (B). Inversamente, se x £ /_1 (A) Q /_1 (B). cioè x E/”1 (A) e x £ C f"1 (B), allora f (x) £A e / (x) £B. In altre parole, / (x) £ A (] B. Quindi, x C /_1 (A Q B). I teoremi 1 e 2 rimangono validi per le somme e le intersezioni di un numero qualsiasi (finito o infinito) di insiemi, così come il teorema seguente. Teorema 3. L'immagine della somma di due insiemi è uguale alla somma delle loro immagini: f (A U5) = / W U / (BY

Dimostrazione. Se y £ / (A U^), ciò vuol dire che y = / (x), dove x appartiene almeno a uno degli insiemi A e B. Quindi, y = f (x) £ i (A) (J / (5). Inversamente, se y £ / (A) U / (5), allo­ ra y = f (xY dove x appartiene almeno a uno degli insiemi A e B cioè x £ A U B e, di conseguenza, y = / (x) £ f (A B). Si osservi che l’immagine dell’intersezione di due insiemi non coincide in generale con l’intersezione delle loro immagini. Supponiamo, ad esempio, che l’applicazione considerata rappre­ senti la proiezione del piano sull’asse x. Allora i segmenti di retta 0 1, y = 0. 0 1, */ = 1 non si intersecano, mentre le loro immagini coincidono. Esercizio. Dimostrare che l’immagine inversa di complementi è ugua­ le al complemento dell’immagine inversa. È valida un’affermazione ana­ loga per l’immagine del complemento?

2. Partizione in classi. Relazioni di equivalenza. Nei casi più diversi si incontrano partizioni di insiemi in sottoinsiemi non intersecantisi a due a due. Per esempio, un piano (considerato come insieme di punti) si può dividere in rette parallele all’asse x, lo spazio tridimensionale si può rappresentare come una collezio­ ne di sfere concentriche di raggio diverso (a partire da r — 0), gli abitanti di una città si possono dividere in gruppi a seconda della loro età, ecc. Ogni qualvolta un insieme M è rappresentato in un modo come somma di suoi sottoinsiemi non intersecantisi a due a due, diciamo che l'insieme M è diviso in classi. Di solito si ha a che fare con partizioni basate su un certo criterio per cui gli elementi dell’insieme M sono riuniti in classi. Ad esempio, l’insieme di tutti i triangoli nel piano si può divi­ dere nella classe di quelli mutuamente uguali o nella classe dei 22

triangoli equivalenti; tutte le funzioni di x si possono dividere in classi riunendo in ciascuna classe le funzioni che assumono in un dato punto gli stessi valori, ecc. I criteri per cui gli elementi di un insieme si dividono in clas­ si possono essere i più svariati. Cionondimeno, un tale principio non è del tutto arbitrario. Supponiamo, ad esempio, di voler divi­ dere in classi tutti i numeri reali, includendo il numero b nella stessa classe del numero a se e soltanto se b >> a. E chiaro che è impossibile ottenere in questo modo una divisione dei numeri reali in classi poiché se b Z> a, cioè se b deve essere incluso nella stessa classe di a, allora a