Roloff/Matek Maschinenelemente Formelsammlung [15. Aufl. 2019] 978-3-658-25468-1, 978-3-658-25469-8

Table of contents :
Front Matter ....Pages I-VII
Allgemeine Grundlagen (Herbert Wittel, Dieter Jannasch, Christian Spura)....Pages 1-1
Toleranzen und Passungen (Herbert Wittel, Dieter Jannasch, Christian Spura)....Pages 2-4
Festigkeitsberechnung (Herbert Wittel, Dieter Jannasch, Christian Spura)....Pages 5-17
Tribologie (Herbert Wittel, Dieter Jannasch, Christian Spura)....Pages 18-22
Kleb- und Lötverbindungen (Herbert Wittel, Dieter Jannasch, Christian Spura)....Pages 23-27
Schweißverbindungen (Herbert Wittel, Dieter Jannasch, Christian Spura)....Pages 28-50
Nietverbindungen (Herbert Wittel, Dieter Jannasch, Christian Spura)....Pages 51-57
Schraubenverbindungen (Herbert Wittel, Dieter Jannasch, Christian Spura)....Pages 58-84
Bolzen-, Stiftverbindungen, Sicherungselemente (Herbert Wittel, Dieter Jannasch, Christian Spura)....Pages 85-92
Elastische Federn (Herbert Wittel, Dieter Jannasch, Christian Spura)....Pages 93-118
Achsen, Wellen und Zapfen (Herbert Wittel, Dieter Jannasch, Christian Spura)....Pages 119-131
Elemente zum Verbinden von Wellen und Naben (Herbert Wittel, Dieter Jannasch, Christian Spura)....Pages 132-145
Kupplungen und Bremsen (Herbert Wittel, Dieter Jannasch, Christian Spura)....Pages 146-153
Wälzlager (Herbert Wittel, Dieter Jannasch, Christian Spura)....Pages 154-160
Gleitlager (Herbert Wittel, Dieter Jannasch, Christian Spura)....Pages 161-178
Riemengetriebe (Herbert Wittel, Dieter Jannasch, Christian Spura)....Pages 179-188
Kettengetriebe (Herbert Wittel, Dieter Jannasch, Christian Spura)....Pages 189-194
Elemente zur Führung von Fluiden (Rohrleitungen) (Herbert Wittel, Dieter Jannasch, Christian Spura)....Pages 195-208
Dichtungen (Herbert Wittel, Dieter Jannasch, Christian Spura)....Pages 209-210
Zahnräder und Zahnradgetriebe (Grundlagen) (Herbert Wittel, Dieter Jannasch, Christian Spura)....Pages 211-212
Stirnräder mit Evolventenverzahnung (Herbert Wittel, Dieter Jannasch, Christian Spura)....Pages 213-236
Kegelräder und Kegelradgetriebe (Herbert Wittel, Dieter Jannasch, Christian Spura)....Pages 237-250
Schraubrad- und Schneckengetriebe (Herbert Wittel, Dieter Jannasch, Christian Spura)....Pages 251-267
Umlaufgetriebe (Herbert Wittel, Dieter Jannasch, Christian Spura)....Pages 268-273
Back Matter ....Pages 274-279

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Herbert Wittel Dieter Jannasch Christian Spura

Roloff/Matek Maschinenelemente Formelsammlung 15. Auflage

Roloff/Matek Maschinenelemente Formelsammlung

Herbert Wittel • Dieter Jannasch Christian Spura

Roloff/Matek Maschinenelemente Formelsammlung 15., überarbeitete und erweiterte Auflage

Herbert Wittel Reutlingen, Deutschland Dieter Jannasch Wertingen, Deutschland

Christian Spura Department 2 – Hamm, Hochschule Hamm-Lippstadt, Hamm, Deutschland

Besuchen Sie auch unsere Homepage www.roloff-matek.de ISBN 978-3-658-25468-1   ISBN 978-3-658-25469-8 (eBook) https://doi.org/10.1007/978-3-658-25469-8 Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.d-nb.de abrufbar. Springer Vieweg © Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 1987, 1987, 1989, 1992, 1994, 2001, 2003, 2006, 2008, 2010, 2012, 2014, 2016, 2018, 2019 Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung, die nicht ausdrücklich vom Urheberrechtsgesetz zugelassen ist, bedarf der vorherigen Zustimmung des Verlags. Das gilt ins­besondere für Vervielfältigungen, Bearbeitungen, Übersetzungen, Mikro­verfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Waren­zeichenund Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Der Verlag, die Autoren und die Herausgeber gehen davon aus, dass die Angaben und Informationen in diesem Werk zum Zeitpunkt der Veröffentlichung vollständig und korrekt sind. Weder der Verlag noch die Autoren oder die Herausgeber übernehmen, ausdrücklich oder implizit, Gewähr für den Inhalt des Werkes, etwaige Fehler oder Äußerungen. Der Verlag bleibt im Hinblick auf geografische Zuordnungen und Gebietsbezeichnungen in veröffentlichten Karten und Institutionsadressen neutral. Lektorat: Thomas Zipsner Bilder: Graphik&Text Studio Dr. Wolfgang Zettlmeier, Barbing Springer Vieweg ist ein Imprint der eingetragenen Gesellschaft Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH und ist Teil von Springer Nature Die Anschrift der Gesellschaft ist: Abraham-Lincoln-Str. 46, 65189 Wiesbaden, Germany

V

Vorwort Die auf dem Lehrbuch Roloff/Matek Maschinenelemente aufbauende Formel­sammlung ist sowohl für das Studium als auch für die Praxis konzipiert worden. Die wichtigsten Formeln zur Dimensionierung und Nachrechnung von Maschi­nenelementen wurden in übersichtlicher Form kapitelweise und in Anlehnung an die Einteilung im Lehrbuch zusammengestellt. So kann die Formelsammlung sowohl im Studium in den Seminaren, Vorlesungen und Prüfungen als auch beim Einsatz in der Konstruktionspraxis zur Unterstützung für das schnelle und kor­rekte Bereitstellen von Berechnungsansätzen genutzt werden. Als Hilfsmittel zum Lösen komplexer Aufgaben wurden Ablaufpläne integriert, die übersichtlich und schrittweise die Berechnungswege aufzeigen. Ausführliche Hinweise zu den For­meln sollen deren Anwendung erleichtern. Die aktuell vorliegende 15. Auflage wurde so überarbeitet und zum Teil erweitert, dass jetzt ein direkter Bezug der Lösungshinweise und Lösungen in der Aufgabensammlung zur Formelsammlung gegeben ist. Die Darstellung wurde zweifarbig und einheitlicher gestaltet. Durch das jetzt gleichzeitige Erscheinen mit dem Lehrbuch und der Aufgabensammlung sind die Änderungen im Lehrbuch auch zeitgleich in der Formelsammlung berücksichtigt. Das Verzeichnis techni­scher Regeln und DIN-Normen wurde aus der Formelsammlung auf die Webseite www.roloff-matek.de verschoben. Auf dieser Webseite werden weitere zusätzliche Angebote für den Anwender des Lehr- und Lernsystems Roloff/Matek Maschinenelemente zur Verfügung gestellt. Die Verfasser des Roloff/Matek hof­fen, dass auch die 15. Auflage der Formelsammlung allen Anwendern in der Aus­bildung und Praxis eine wertvolle Hilfe und verlässlicher Ratgeber sein wird. Ganz herzlich danken möchten die Autoren dem Lektorat Maschinenbau des Verlags, ohne dessen Mithilfe die Umsetzung aller Vorhaben nicht möglich gewe­sen wäre. Reutlingen, Wertingen, Hamm im Sommer 2019  

Herbert Wittel Dieter Jannasch Christian Spura

VII

Inhaltsverzeichnis 1 Allgemeine und konstruktive Grundlagen

1

2 Toleranzen und Passungen

2

3 Festigkeitsberechnung

5

4 Tribologie

18

5 Kleb- und Lötverbindungen

23

6 Schweißverbindungen

28

7 Nietverbindungen

51

8 Schraubenverbindungen

58

9 Bolzen-, Stiftverbindungen, Sicherungselemente

85

10 Elastische Federn

93

11 Achsen, Wellen und Zapfen

119

12 Elemente zum Verbinden von Wellen und Naben

132

13 Kupplungen und Bremsen

146

14 Wälzlager

154

15 Gleitlager

161

16 Riemengetriebe

179

17 Kettengetriebe

189

18 Elemente zur Führung von Fluiden (Rohrleitungen)

195

19 Dichtungen

209

20 Zahnräder und Zahnradgetriebe (Grundlagen)

211

21 Stirnräder mit Evolventenverzahnung

213

22 Kegelräder und Kegelradgetriebe

237

23 Schraubrad- und Schneckengetriebe

251

24 Umlaufgetriebe

268

Sachwortverzeichnis 274

1  Allgemeine und konstruktive Grundlagen Nr.

Formel

Hinweise

Normzahlen Normzahlen (NZ) nach DIN 323 sind Vorzugszahlen für die Wahl bzw. Stufung von Größen beliebiger Art (z. B. Längen, Flächen, Volumina, Kräfte, Drücke, Momente, Spannungen, Drehzahlen, Leistungen) mit dem Ziel, eine praktisch erforderliche Zahlenmenge von Größen nach NZ zu wählen, soweit nicht besondere Gründe, z. B. bestimmte physikalische Voraussetzungen, die Wahl anderer Zahlen erfordern. Anzustreben sind Grundreihen mit Stufensprung qr. Ist keine Grundreihe anwendbar können durch Weglassen von Gliedern der Grundreihe abgeleitete Reihen gebildet werden. Rundwertreihen sind anwendbar, wenn der Hauptwert in der Praxis aus zwingenden Gründen nicht anwendbar ist, z. B. bei der Zähnezahl von Zahnrädern. TB 1-16 enthält die Werte der Grundreihen, Rundwertreihen sowie nahe liegende Werte. Grundreihen Rr Stufensprung

1

p qr = r 10

Grundreihen: R5, R10, R20, R40 und Ausnahmereihe R80 r Anzahl der Stufen je Dezimalbereich (s. TB 1-16)

abgeleitete Reihen Rr/p Stufensprung 2

p

qr/p = qr

Ermittlung von Maßstäben Flächenmaßstab 3

qA = A1 =A0 = L21 =L20 =O qL2

4

qV = V1 =V0 = L31 =L30 =O qL3

5

qF = F1 =F0 =O qL4 =qt2

6

qt = t1 =t0

Volumenmaßstab Kraftmaßstab Zeitmaßstab

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2019 H. Wittel, D. Jannasch, C. Spura, Roloff/Matek Maschinenelemente Formelsammlung, https://doi.org/10.1007/978-3-658-25469-8_1

1

2  Toleranzen und Passungen 2

Formelzeichen

Einheit

Benennung

Dmin , Dmax

mm

Grenzwerte des Nennmaßbereiches

EI, ES

μm

unteres und oberes Abmaß der Innenpassfläche (Bohrung)

ei, es

μm

unteres und oberes Abmaß der Außenpassfläche (Welle)

G

mm

Grenzmaß, allgemein

Go , Gu

mm

Höchstmaß (oberes-), Mindestmaß (unteres Grenzmaß)

i, I

μm

Toleranzfaktoren der entsprechenden Nennmaßbereiche

k

1

Faktor zur Berücksichtigung der Funktionsanforderung

IB , IW

mm

Istmaß der Bohrung, – der Welle

N

mm

Nennmaß, auf das sich alle Abmaße beziehen

P

μm

Passung, allgemein

Po , Pu

μm

Höchstpassung, Mindestpassung

PT

μm

Passtoleranz

Rz

μm

gemittelte Rautiefe

S

μm

Spiel, allgemein

So , Su

μm

Höchstspiel, Mindestspiel

T

μm

Maßtoleranz

TB , TW

μm

Maßtoleranz der Bohrung, – der Welle

Ü

μm

Übermaß

Üo , Üu

μm

Höchstübermaß, Mindestübermaß

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2019 H. Wittel, D. Jannasch, C. Spura, Roloff/Matek Maschinenelemente Formelsammlung, https://doi.org/10.1007/978-3-658-25469-8_2

2  Toleranzen und Passungen3 Nr.

Formel

Hinweise

Maßtoleranzen

2

• Höchstmaß 1

Bohrung: GoB = N + ES

2

Welle:

GoW = N + es

• Mindestmaß 3 4

Bohrung: GuB = N + EI Welle:

GuW = N + ei

• Maßtoleranz 5

allgemein: T = Go – Gu

6

Bohrung: TB = GoB – GuB = ES – EI

7

Welle:

TW = GoW – GuW = es – ei Formtoleranzen siehe TB 2-7 Lagetoleranzen siehe TB 2-8

Toleranzfaktor zur Ermittlung der Grundtoleranzen • bei 0 < N ≤ 500: 8 9

i = 0,45 ◊ D + 0,001◊ D 3

D geometrisches Mittel für den entsprechenden Nennmaßbereich D = Dmin ◊ Dmax Grundtoleranz IT nach TB 2-1

• bei 500 < N ≤ 3150:

i, I

D, N

I = 0,004 · D + 2,1 μm

μm

mm

4

2  Toleranzen und Passungen

Nr.

Formel

10

• allgemein:

Hinweise

Passungen

2

P = IB – IW

• Höchstpassung: 11

Po = GoB – GuW = ES – ei • Mindestpassung:

12

Pu = GuB – GoW = EI – es • Passtoleranz

13

PT = Po – Pu = (GoB – GuW) – (GuB – GoW)

14

PT = TB + TW = (ES – EI) + (es – ei) • Spiel (liegt vor, wenn Po > 0 und Pu ≥ 0)

15

allgemein: S = GB – GW ≥ 0 • Höchstspiel:

16

So = GoB – GuW = ES – ei > 0 • Mindestspiel:

17

Su = GuB – GoW = EI – es ≥ 0 • Übermaß (liegt vor, wenn Po < 0 und Pu < 0)

18

allgemein: Ü = GB – GW < 0 • Höchstübermaß:

19

Üo = GuB – GoW = EI – es < 0 • Mindestübermaß:

20

Üu = GoB – GuW = ES – ei < 0 Oberflächenbeschaffenheit

21

Rautiefenzuordnung Rz ≤ k · T

k ª 0,5 für keine besonderen, k ª 0,25 bei geringen, k ª 0,1 bei hohen, k ª 0,05 bei sehr hohen Anforderungen an die Funktion. Rautiefe nicht größer als T/2 wählen mit T nach Nr. 6 bzw. 7. Orientierungswerte für Rz und Ra in Abhängigkeit

– vom Fertigungsverfahren nach TB2–12 – von Nennmaß, Toleranzklasse und Flächenfunktion nach TB2–11 – von Nennmaß und Toleranzgrad nach TB2–10 k

Rz,T

1

μm

3 Festigkeitsberechnung Formelzeichen

Einheit

Benennung

aM

mm2/N

Faktor zur Berechnung der Mittelspannungsempfindlichkeit

bM

1

Faktor zur Berechnung der Mittelspannungsempfindlichkeit

DM

1

Minersumme (Schädigungssumme)

F, Feq

N

Kraft, äquivalente Kraft

fσ , fτ

1

Faktor zur Berechnung der Zugdruckfestigkeit bzw. Schubfestigkeit

fWσ , fWτ

1

G′

mm–1

Faktoren zur Berechnung der Wechselfestigkeit bezogenes Spannungsgefälle

i

1

Kollektivstufe

j

1

Gesamtzahl der Lastkollektivstufen

k

1

letzte zu berücksichtigende Kollektivstufenzahl

KA

1

Anwendungsfaktor (Betriebsfaktor)

KB

1

statischer Konstruktionsfaktor

KD

1

dynamischer Konstruktionsfaktor

Kg

1

geometrischer Größeneinflussfaktor

KKσ , KKτ

1

Kollektivfaktor bei Zug/Druck und Biegung bzw. Torsion

KOσ , KOτ

1

Oberflächeneinflussfaktor

Kt

1

technologischer Größeneinflussfaktor für Zugfestigkeit bzw. Streckgrenze

KV

1

Einflussfaktor der Oberflächenverfestigung

Kα , Kα Probe

1

formzahlabhängiger Größeneinflussfaktor des Bauteils; des Probestabes (gilt für dProbe)

n

1

Stützzahl des gekerbten Bauteils

ne

1

korrigierte Schwingspielzahl in Stufe k

ni

1

Schwingspielzahl in Stufe i

npl

1

plastische Stützzahl

n0

1

Stützzahl des ungekerbten Bauteils

ND

1

Schwingspielzahl am Knickpunkt der Wöhlerlinie zwischen Zeit- und Dauerfestigkeit

NL

1

Auftretende Schwingspielzahl

N *

1

Bezugschwingspielzahl

qσ , qτ

1

Wöhlerlinienexponent für Normal-, bzw. Schubspannungen

Re , ReN

N/mm2

Streckgrenze, Fließgrenze des Bauteils auf Bauteilgröße umgerechnet bzw. für die Normabmessung (Normwert)

Rm , RmN

N/mm2

Zugfestigkeit, Bruchfestigkeit des Bauteils auf Bauteilgröße umgerechnet bzw. für die Normabmessung (Normwert)

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2019 H. Wittel, D. Jannasch, C. Spura, Roloff/Matek Maschinenelemente Formelsammlung, https://doi.org/10.1007/978-3-658-25469-8_3

3

6

3

3 Festigkeitsberechnung

Formelzeichen

Einheit

Benennung

Rp0,2 , Rp , RpN

N/mm2

Rz S SB SD SF Smin T, Teq α0 αpl αk βk , βk Probe

μm 1 1 1 1 1 Nm 1 1 1 1

κ ν σ, τ

1 1 N/mm2

σa , τa σb σB , τB σbF , τtF σD , τD σF , τF σGA , τGA σGW , τGW σm , τm σmv , τmv σo , τo σres , τres σSch , τSch σu , τu σv σW , τW

N/mm2 N/mm2 N/mm2 N/mm2 N/mm2 N/mm2 N/mm2 N/mm2 N/mm2 N/mm2 N/mm2 N/mm2 N/mm2 N/mm2 N/mm2 N/mm2

σWN , τWN σz, d σzd, ba , τta σzd, bai , τtai σzd, ba1 , τta1 σzd, bGA , τtGA

N/mm2 N/mm2 N/mm2 N/mm2 N/mm2 N/mm2

σzd, bGZ , τtGZ

N/mm2

0,2 %-Dehngrenze, Streckgrenze des Bauteils auf Bauteil­größe umgerechnet bzw. für die Normabmessung (Normwert) gemittelte Rautiefe Sicherheit des Bauteils (statische) Sicherheit gegen Gewaltbruch (dynamische) Sicherheit gegen Dauerbruch (statische) Sicherheit gegen Fließen erforderliche Mindestsicherheit Torsionsmoment, äquivalentes Torsionsmoment Anstrengungsverhältnis plastische Formzahl des ungekerbten Bauteils Kerbformzahl Kerbwirkungszahl; experimentell bestimmte Kerbwirkungszahl (gilt für dProbe) Spannungsverhältnis Völligkeit Normalspannung (Zug, Druck, Biegung) bzw. Tangentialspannung (Schub, Torsion) Ausschlagspannung Biegespannung Bauteilfestigkeit gegen Bruch Biegefließgrenze, Torsionsfließgrenze Bauteilfestigkeit gegen Dauerbruch (Ermüdungsbruch) Bauteilfestigkeit gegen Fließen Gestaltausschlagfestigkeit Gestaltwechselfestigkeit Mittelspannung Vergleichsmittelspannung obere Spannung resultierende Spannung Schwellfestigkeit untere Spannung Vergleichsspannung Wechselfestigkeit des Bauteils (auf Bauteilgröße umge­ rechnet) Wechselfestigkeit für die Normabmessung (Normwert) Zug-/Druckspannung schädigungsäquivalente Ausschlagspannung Spannungsausschlag der Lastkollektivstufe i größter Spannungsausschlag des Lastkollektivs Gestaltausschlagfestigkeit für Zug/Druck-, Biege- bzw. Torsionsbeanspruchung Gestaltzeitfestigkeit für Zug/Druck-, Biege- bzw. Torsionsbeanspruchung

3 Festigkeitsberechnung7 Formelzeichen

Einheit

Benennung

σzul , τzul

N/mm2

zulässige Spannung

τs

N/mm2

Scherspannung

τt

N/mm2

Torsionsspannung

φ

1

Faktor für Anstrengungsverhältnis

§σ , §τ

1

Mittelspannungsempfindlichkeit

Nr.

Formel

Hinweise

Spannungen im Bauteil und äußere Kräfte/Momente Resultierende Spannung (in einer Richtung wirkend) • aus Normalspannungen 1

σres = σz, d + σb • aus Tangentialspannungen

2

τres = τs + τt

σ, τ nach den Gesetzen der technischen Mechanik bestimmen Zug/Druck: σz, d = F/A, Biegung: σb = Mb/Wb Scheren: τs = Fs/A, Torsion: τt = T/Wt

Vergleichsspannung nach der • Gestaltänderungsenergiehypo­ these (GEH) 3

sv =

s2 + 3◊ t2

• Schubspannungshypothese (SH) 4

sv =

s2 + 4 ◊ t2

• Normalspannungshypothese (NH) 5

(

s v = 0,5 ◊ s + s 2 + 4 ◊ t 2

)

Vergleichsspannung bei Berücksich­tigung unterschiedlicher Beanspruchungsarten • nach der GEH Ê s ˆ s 2b + 3 ◊ Á zul ◊ t t ˜ Ë j ◊ t zul ¯

6

sv =

7

s v = s 2b +3◊ (a 0 ◊ t t )

2

2

• nach der NH 8

2ˆ Ê Ê s ˆ s v = 0,5 ◊ Á s b + s b2 + 4 ◊ Á zul ◊ t t ˜ ˜ Ë j ◊ t zul ¯ ˜ Á ¯ Ë

9

2 s v = 0,5 ◊ ÊÁ s b + s 2b + 4 ◊ (a 0 ◊ t t ) ˆ˜ Ë ¯

φ = 1,75 bei GEH φ = 1,0 bei NH α0 ª 0,7 bei Biegung, wechselnd wirkend und Torsion, ruhend (schwellend) α0 ª 1 bei Biegung, wechselnd und Torsion, wechselnd α0 ª 1,5 bei Biegung, ruhend (schwellend) und Torsion, wechselnd

3

8

σa = σo – σm = (σo – σu)/2 • Mittelspannung

11

σm = (σo + σu)/2 • Spannungsverhältnis

12

2σa

10

σm

3

σ

σa

Kenngrößen eines Schwingspieles • Spannungsamplitude (Ausschlagspannung)

Hinweise

σa

Formel

σmax = σo σmin = σu

Nr.

3  Festigkeitsberechnung

κ = σu/σo

t 1 Schwingspiel

für τ-Spannungen gilt analoges Einzelspannungen nach den Gesetzen der technischen Mechanik bestimmen: σo = Fo/A, σo = Mo/W σm = Fm/A, σm= Mm/W

dynamisch äquivalente Belastung (Kraft/Moment) 13

Feq = KA · Fnenn

14

Teq = KA · Tnenn

Beim statischen Nachweis ist die maximal auftretende Kraft Fmax bzw. das maximal auftretende Drehmoment Tmax für Feq bzw. Teq zu verwenden. Beim dyanmischen Nachweis werden die Ausschlagspannungen benötigt, die mit den Ausschlagwerten für die Kraft Faeq bzw. das Moment Taeq berechnet werden. Häufig auftretende Belastungsfälle sind, – wechselnde Nennbelastung (κ = –1): Faeq = Feq , Taeq = Teq – schwellende Nennbelastung (κ = 0): Faeq = Feq/2, Taeq = Teq/2 – statische Nennbelastung (κ = 1): Faeq = Feq – Fnenn = (KA – 1) · Fnenn Taeq = Teq – Tnenn = (KA – 1) · Tnenn

Festigkeitswerte Zugfestigkeit des Bauteils 15

Rm = Kt · RmN

Kt nach TB 3-11a bzw. 3-11b RmN , RpN nach TB 1-1 bis TB 1-2 Kt ist bei Baustählen und Stahlguss für Zug­ festigkeit und Streckgrenze unterschiedlich

Streckgrenze des Bauteils 16

Rp = Kt · RpN Wechselfestigkeit des Bauteils

17

¢zdW  fW¢  Kt,Rm  RmN

18

¢bW = Kt,Rm  ¢bWN bzw.

19

£sW  fW£  fW¢  Kt,Rm  RmN

20

£tW = Kt,Rm  £tWN bzw.

= Kt,Rm  n0  ¢zdWN

= Kt,Rm  n0  £sWN

RmN , σzdWN , σbWN , τtWN nach TB 1-1 Kt nach TB 3-11a bzw. 3-11b für die Umrechnung der Wechselfestigkeitswerte ist Kt für Zugfestigkeit zu verwenden n0 ≙ n nach TB 3-7 für ungekerbtes Bauteil fWσ , fWτ nach TB 3-2

3 Festigkeitsberechnung9 Nr.

Formel

Hinweise

Konstruktionsfaktor statischer Nachweis 21

KB = 1/npl dynamischer Nachweis

22

ˆ 1 Êb 1 K Db = Á kb + - 1˜ ◊ Ë K g K Os ¯ K V

23

ˆ 1 Êb 1 K Dt = Á kt + - 1˜ ◊ Ë K g K Ot ¯ K V

plastische Stützzahl 24

E ◊ e ertr / ak £ ap Rp

npl =

bzw. Rp max £ ap Rp

npl =

Kerbwirkungszahl 25

bk =

bk =

ak n

• experimentell ermittelte Werte βk 27

b k = b k Probe ◊

K a Probe Ka

Gesamtkerbwirkungszahl bei Durchdringungskerben 28

βkb, βkt nach Nr. 26 oder 27 Kg nach TB 3-11c KOσ, KOτ nach TB 3-10 KV nach TB 3-12 s. auch Ablaufplan A 3-3

E nach TB 1-2 für Stahl: E ª 210 000 N/mm2 εertr = 5 % für Stahl und GS εertr = 2 % für EN-GJS und EN-GJM Rp nach Nr. 16 Rp max = 1050 N/mm2 für Stahl und GS Rp max = 320 N/mm2 für EN-GJS αk nach TB 3-6 αp nach TB 3-3

sW s GW

• berechnet aus Formzahl 26

npl nach Nr. 24

βk ≤ 1 + (βk1 – 1) + (βk2 – 1)

αk nach TB 3-6 n nach TB 3-7 βk Probe nach TB 3-9 Kα Probe nach TB 3-11d für dProbe Kα nach TB 3-11d für dBauteil βk1 , βk2 nach Nr. 26 oder 27 Kerben beeinflussen sich, wenn der Abstand zwischen den Kerben kleiner 2 ∙ r ist, wobei r der größere der beiden Kerbradien ist.

statische Bauteilfestigkeit

29 30

gegen Fließen Rp s F = fs ◊ KB tF = ft ◊

fσ, fτ nach TB 3-2 Rp nach Nr. 16 KB nach Nr. 21

Rp KB

gegen Bruch 31

s B = fs ◊

32

tB = ft ◊

Rm KB

Rm KB

Rm nach Nr. 15 KB nach Nr. 21

3

10 Nr.

3 Festigkeitsberechnung Formel

Hinweise

einfacher Nachweis

3

33

• Zug/Druck σF = Rp

34

• Biegung

σF = σbF

35

• Torsion

τF = τtF

σbF ª 1,2· Rp (für duktile Rundstäbe) t tF ª 1,2 ◊ Rp / 3

Gestaltfestigkeit (dynamische Bauteilfestigkeit)

36 37

Gestaltwechselfestigkeit s s bGW = bW K Db t tGW =

t tW K Dt

Gestaltausschlagfestigkeit • Überlastungsfall 1 (σm = konst) 38

σbGA = σbGW – §σ · σmv

39

τtGA = τtGW – §τ · τmv • Überlastungsfall 2 (κ = konst)

40

¢bGW ¢mv ¢ba

¢bGA =

σbW , τtW nach Nr. 18, 20 KD nach Nr. 22 bzw. 23 bei Zug/Druck Index b durch zd bei Schub t durch s ersetzen

σbGW, τtGW nach Nr. 36, 37 §σ, §τ nach Nr. 44, 45 σmv, τmv nach Nr. 46 bis 49

σa , τa nach den Gesetzen der technischen Mechanik mit Feq bzw. Teq bestimmen

1 + §¢ 

41

£tGW

£tGA =

1 + §£ 

£mv £ta

• Überlastungsfall 3 (σu = konst) 42

¢bGA =

¢bGW − §¢  .¢mv − ¢ba / 1 + §¢

43

£tGA =

£tGW − §£  .£mv − £ta / 1 + §£

Mittelspannungsempfindlichkeit 44

§σ = aM · Rm + bM

45

§τ = fτ · §σ Vergleichsmittelspannung • Gestaltänderungsenergiehypothese s mv =

47

τmv = fτ · σmv

49

nach TB 3-13 nach Nr. 15 nach TB 3-2

σzdm , σbm , τtm nach den Gesetzen der technischen Mechanik mit Feq bzw. Teq bestimmen

(s zdm + s bm )2 + 3 ◊ t 2tm

46

48

aM , bM Rm fτ

• Normalspannungshypothese fτ nach TB 3-2   q ¢mv = 0;5  .¢zdm + ¢bm / + .¢zdm + ¢bm /2 + 4  £2tm τmv = fτ · σmv

3 Festigkeitsberechnung11 Nr.

Formel

Hinweise

Sicherheiten Versagensgrenzkurve

σba , τta nach den Gesetzen der technischen Mechanik mit Feq bzw. Teq bestimmen σbW , τtW nach Nr. 18, 20

• Gestaltänderungsenergiehypothese 2

50

2

Ê s ba ˆ Ê t ta ˆ ÁË s ˜¯ + ÁË t ˜¯ £ 1 bW tW

• Normalspannungshypothese 2

51

s ba Ê t ta ˆ + £1 s bW ÁË t tW ˜¯

Praktische Festigkeitsberechnung

52 53

54 55

überschlägige Berechnung • statisch belastete Bauteile R s z £ s z zul = e N SFmin s z £ s z zul =

ReN, RmN nach TB 1-1 bis TB 1-2 SF min = 1,2 ... 1,8 SB min = 1,5 ... 3 σD , τD je nach Beanspruchungsart: wechselnd σD = σW schwellend σD = σSch (analog τ) nach TB 1-1 bis TB 1-2 SD min = 3 ... 4

RmN SB min

• dynamisch belastete Bauteile sD s £ s zul = SD min t £ t zul =

tD SD min

statischer Festigkeitsnachweis • bei Versagen durch Fließen (duktile Werkstoffe) 56

1

SF =

2

Ê s zd max s b max ˆ Ê t t max ˆ + + Á R s bF ˜¯ ÁË t tF ˜¯ Ë p ≥ SF min

Rm , σbB , τtB nach Nr. 31, 32 mit αzk bzw. αbk für αk in Nr. 24 SB min nach TB 3-14 s. auch Ablaufplan A 3-2

• bei Versagen durch Bruch (spröde Werkstoffe) 57

SB =

2

σzd max , σb max , τt max nach den Gesetzen der technischen Mechanik mit Fmax bzw. Tmax bestimmen Rp nach Nr. 16 σbF, τtF nach Nr. 29, 30 oder 33, 34, 35 SF min nach TB 3-14 vereinfachter Nachweis nach Ablaufplan A 3-1 genauerer Nachweis nach Ablaufplan A 3-2

1 2˘ 2 È s Ê zd max s b max ˆ Ê s zd max s b max ˆ Ê t t max ˆ ˙ + + + + 4 ◊ 0,5 ◊ ÍÁ ÁË R ÁË t ˜¯ ˙ ÍÎË Rm s bB ˜¯ s bB ˜¯ tB m ˚

≥ SB min

3

12 Nr.

3 58

3 Festigkeitsberechnung Formel

Hinweise

dynamischer Festigkeitsnachweis, Ermüdungsfestigkeitsnachweis

σza , σba , τta nach den Gesetzen der technischen Mechanik mit Faeq bzw. Taeq bestimmen σGA, τGA nach Nr. 38 bis 43 SD min nach TB 3-14 s. auch Ablaufplan A 3-4

• bei Versagen durch Fließen (duktile Werkstoffe) 1 SD = s     SD min £ta 2 ¢zda ¢ba 2 + + ¢zdGA ¢bGA £tGA • bei Versagen durch Bruch (spröde Werkstoffe)

59

SD =

1 2 3  SD min   s 2 2  ¢ ¢ £ ¢ ¢ zda ba zda ba ta 5 + 0;5  4 + + +4 ¢zdGA ¢bGA ¢zdGA ¢bGA £tGA

dynamischer Festigkeitsnachweis im Zeitfestigkeitsbereich bei konstanter Ausschlagspannung • Gestaltzeitfestigkeit 60

s zd, bGZ = qs

61

t tGZ = qt

ND ◊ s zd, bGA NL

ND ◊ t tGZ NL

ND = 106 qσ = 5 qτ = 8 Berechnung der Sicherheit s. Nr. 67

dynamischer Festigkeitsnachweis im Zeit- und Dauerfestigkeitsbereich bei Lastkollektiven

62

63

• Völligkeit v u k h uX ni i  ¢zd; bai q¢ ¢ ¢ = qt  N ¢zd; ba1 i =1 v u k h uX ni i  £tai q£ qt £ = £  N £ta1 i =1

qσ, qτ, ND wie zu Nr. 60 N* = ND wenn j

j

Âni ≥ N D i =1

N * = Â ni wenn i =1

j

Âni £ N D i =1

Für die letzte zu berücksichtigende Kollektivstufe i = k ist mit ni=k = ne zu rechnen.

3 Festigkeitsberechnung13 Nr.

64

Formel

Hinweise

• Kollektivfaktor s  1 q¢;£ KK¢;£ = q¢;£ − 1  DM + 1 ¢;£

k -1

ne = N D - Â ni wenn i =1

ne = nj=k wenn

Âni ≥ N D i =1

DM = 0,3

s zd,ba1

s zd,ba =

66

t t ta = ta1 K Kt

K Ks

• Sicherheit Zeitfestigkeit 67

S=

S ≤ SZ min = 1,2

1 2

È s zda s ˘ Èt ˘ + ba ˙ + Í ta ˙ Ís Î zdGZ s bGZ ˚ Î t tGZ ˚

68

2

• Sicherheit Dauerfestigkeit 1 S= 2 2 È s zda s ba ˘ È t ta ˘ + + Ís ˙ Í ˙ Î zdGA s bGA ˚ Î t tGA ˚

i =1

j

• schädigungsrelevante Ausschlag­spannung 65

j

Âni ≥ N D

S ≤ SD min = 1,2 s. auch TB 3-14

3

14

3 Festigkeitsberechnung

3

A 3-1  Vereinfachter statischer Festigkeitsnachweis gegen Fließen (für duktile Rund­stäbe)

3 Festigkeitsberechnung15

3

0,5 ·

4·

A 3-2  Ablaufplan für den statischen Festigkeitsnachweis gegen Fließen (duktile Werkstoffe) und Bruch (spröde Werkstoffe)

16

3 Festigkeitsberechnung

3

·

·

A 3-3  Ablaufplan zur Berechnung des Konstruktionsfaktors KDb für Biegung (Bei Zug/Druck ist der Index b durch zd zu ersetzen. Bei Schub ist b durch s bzw. bei Torsion durch t zu ersetzen sowie bei Schub und Torsion KOσ durch KOτ zu ersetzen)

3 Festigkeitsberechnung17

3

ψ

ψ

44, 45 46 o. 48 47 o. 49

ψ

ψ

0,5 ·

4·

A 3-4  Ablaufplan für den dynamischen Festigkeitsnachweis für Überlastungsfall 2 (Biegung und Torsion)

4 Tribologie

4

Formelzeichen

Einheit

Benennung

a, b

mm

c0, c1, c2

1

D

mm

reduzierter Durchmesser

D1, D2, …

mm

Durchmesser der Kontaktpartner in den verschiedenen Ebenen

E

N/mm²

reduzierter Elastizitätsmodul

E1, E2

N/mm²

Elastizitätsmoduln der Kontaktpartner

FN

N

Normalkraft

G

1

Elastizitätsparameter

h0

µm

zentrale Schmierfilmhöhe

hmin

µm

minimale Schmierfilmhöhe

l

mm

Kontaktlänge

pH

N/mm²

Ra

µm

U

1

v1, v2

m/s

W

1

α25 °C

m²/N

Druckviskositätskoeffizient bei 25 °C

δ

mm

Annäherung der beiden Kontaktpartner

ηM

mPas

λ

1

spezifische Schmierfilmdicke

ν1, ν2

1

Querkontraktionszahlen der Kontaktpartner

halbe Druckbreite Beiwerte zur Hertzschen Pressung

Hertzsche Pressung gemittelte Oberflächenrauheit beider Kontaktpartner Geschwindigkeitsparameter Geschwindigkeit der Kontaktpartner Lastparameter

dyn. Viskosität des Schmierstoffes bei Massentemperatur und Umgebungsdruck

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2019 H. Wittel, D. Jannasch, C. Spura, Roloff/Matek Maschinenelemente Formelsammlung, https://doi.org/10.1007/978-3-658-25469-8_4

4  Tribologie19 Nr.

Formel

Hinweise

Linienberührung Die Linienberührung entsteht beim Kontakt Zylinder-Zylinder oder Zylinder-Ebene.

F

d1

4

pH

b

d2

1

2

3

4

5

6

reduzierter Elastizitätsmodul 2  E1  E2    E=  2 1 − 1  E2 + 1 − 22  E1

reduzierter Durchmesser d1  d2 1 1 1 D= +  bzw.  = d1 + d2 D d1 d2 Hertzsche Pressung • Zylinder-Zylinder r FN  E pH,z =  Dl

nach Nr. 1 nach Nr. 2

• Zylinder-Ebene s FN  E pH,e =    d1  l halbe Druckbreite • Zylinder-Zylinder 2  D  pH,z a= E

D nach Nr. 2 pH nach Nr. 3 E nach Nr. 1

• Zylinder-Ebene 2  d1  pH,e a= E Annäherung der beiden Kontaktpartner

7

E D

4;05 FN0;925 •=  0;85 105 l

für die Werkstoffpaarung: Stahl-Stahl

20 Nr.

4  Tribologie Formel

Hinweise

Punktberührung Die Punktberührung entsteht beim Kontakt Kugel-­Kugel oder Kugel-Ebene.

Ha eb uptk en rüm eI mu

FN

ng

s-

u

Ha

sng I mu e I üm eben

r ptk

d1

d3

4

2a 2b

d4

d2

FN

reduzierte Durchmesser

8

9

10

11

12

13

14

• Hauptkrümmungsebene I d1  d2 1 1 1 bzw. DI = = +   DI d1 d2 d1 + d2   • Hauptkrümmungsebene II d3  d4 1 1 1 bzw. DII = = +   DII d3 d4 d3 + d4   Hertzsche Pressung • Kugel-Kugel s 1 3 6  FN  E 2  c02 pH,k =    DI2

E nach Nr. 1 c0 nach TB 4-12 DI nach Nr. 8

• Kugel-Ebene s 1 3 6  FN  E 2 pH,e =    d12 halbe Druckbreite in Hauptkrümmungsebene I s FN  c1 b = 0;691  pH

pH nach Nr. 10, 11 c1 nach TB 4-12

halbe Druckbreite in Hauptkrümmungsebene II s FN a = 0;691  pH  c1

pH nach Nr. 10, 11 c1 nach TB 4-12

Annäherung der beiden Kontaktpartner s  2  1 1 3 FN • = 1;308  c2   + 2 E DI DII

c2 E D I DII

nach TB 4-12 nach Nr. 1 nach Nr. 8 nach Nr. 9

4  Tribologie21 Nr.

Formel

Hinweise

Viskosität und Dichte Die dynamische Viskosität ist eine Funktion von der Temperatur und dem Druck. Zudem ist auch die Dichte eines Schmieröls von der Temperatur abhängig. Abhängigkeit der dynamischen Viskosität ηϑ von der Temperatur

15

• anhand der Viskositätsklasse ISO VG   159;56 ¬  VG ˜ª ln =  ln 6 − 0;1819 K ª + 95 ı C 10  K

ηϑ, K

ϱ

VG

ϑ

Pa s

kg/m³

mm²/s

°C

Konstante K = 0,18 · 10-3 Pa s Dichte des Schmieröls ϱ nach Herstellerangaben (z. B. Shell Morlina Oil 22: ϱ = 865 kg/m³) bei 15 °C, meist ausreichend genau als Mittelwert: ϱ15 = 900 kg/m³ Viskositätsklasse ISO VG nach DIN 51519, siehe TB 4-2. Darin ist der Viskositätsverlauf der ISO-Normöle für eine mittlere Dichte dargestellt. Grundsätzlich nimmt die Viskosität mit zunehmender Temperatur ab und mit steigendem Druck zu.

16

• anhand der Nennviskosität η40    160 ˜40 ˜ª = K  exp − 0;1819  ln ª + 95 ı C K

ηϑ, η40, K Pa s

ϑ °C

Konstante K = 0,18 · 10-3 Pa s Nennviskosität η40 (dyn. Viskosität bei 40 °C) nach TB 4-2

17

18

Abhängigkeit der dynamischen Viskosität ηp vom Druck ˜p = ˜0  e ’25ı C p Anhängigkeit der Dichte von der Temperatur   ¬ = ¬15  1 − 65  10−5  .ª − 15/

η0 Viskosität bei Atmosphärendruck α25 °C nach TB 4-3 p Druck ϱ, ϱ15

kg/m³

ϑ °C

ϱ15 Dichte bei ϑ = 15 °C nach Hersteller­ angaben (z. B. Shell Vitrea Oil 68: ϱ15 = 877 kg/m³). Meist ausreichend genau als Mittelwert: ϱ15 = 900 kg/m³ (Abweichung ±5 %). Bestimmung nach DIN 51519 für die Bezugstemperatur 15 °C.

4

22 Nr.

4  Tribologie Formel

Hinweise

Spezifische Schmierfilmdicke Da die minimale Schmierfilmdicke hmin für sich allein nur eine bedingte Aussagekraft zum vorhandenen Reibungszustand im Kontakt zulässt, wird die Oberflächenrauheit der beiden Kontaktpartner hinzugezogen und damit die spezifische Schmierfilmdicke λ berechnet. gemittelte Oberflächenrauheit beider Kontaktpartner: Ra = (Ra1 + Ra2) / 2 λ < 0,2: Grenzreibung 0,2 ≤ λ ≤ 3: Mischreibung λ > 3: Flüssigkeitsreibung

Ra

Elastohydrodynamische Schmierung (EHD) Die EHD tritt im Kontakt hochbelasteter Bauteile auf, z. B. bei Zahnrädern und Wälzlagern. In der EHD-Theorie werden die hydrodynamischen Grundgleichungen sowie die elastische Verformung der in Kontakt stehenden Bauteile berücksichtigt. Charakteristisch für die EHD-Schmierung ist eine Verengung des Schmierspalts am Ende der Kontaktzone.

PetrusevichSpitze

Hertzsche Pressung

hmin

hmin Ra

pH

œ=

v1

h0

4

19

v2 2a Einlauf

minimale Schmierfilmdicke 20

hmin = 103  2;65  D  G 0;54  U 0;7  W −0;13

21

h0 = 103  1;95  D  G 0;73  U 0;73  W −0;09

zentrale Schmierfilmdicke

Elastizitätsparameter 22

23

24

−10

G = 10

 ’25ı C  E

D G U W

nach Nr. 2, 9 nach Nr. 22 nach Nr. 23 nach Nr. 24

E nach Nr. 1 α25 °C nach TB 4-3

Geschwindigkeitsparameter ˜M  .v1 + v2 / U = 10−6  DE

D E

nach Nr. 2, 9 nach Nr. 1

Lastparameter  p 2 H W =2  E

pH E

nach Nr. 4, 5, 10, 11 nach Nr. 1

Auslauf

5  Kleb- und Lötverbindungen Formelzeichen

Einheit

Benennung

AK

mm2

Klebfugenfläche

A1

mm2

Lötnahtfläche

b

mm

Kleb- bzw. Lötfugenbreite

d

mm

Durchmesser des Lötnahtringes (bei Steckverbindungen), Wellendurchmesser

F

N

zu übertragende Längskraft

Fa

N

Ausschlag der Längskraft

Feq

N

äquivalente Kraft (KA · Fnenn)

Fm

N

Zerreißkraft (Bruchlast) bei Klebverbindungen

Fnenn

N

zu übertragende Nennkraft

KA

1

Anwendungsfaktor

lü

mm

Überlappungslänge, Einstecktiefe

Rm

N/mm2

Zugfestigkeit des Grundwerkstoffes

Rp0,2

N/mm2

0,2 %-Dehngrenze

S

1

Sicherheit

Ta

N mm

Ausschlag des Torsionsmomentes

Teq

N mm

äquivalentes Drehmoment (KA · Tnenn)

Tnenn

N mm

zu übertragendes Nenntorsionsmoment

t

mm

Bauteildicke, Blechdicke

tmin

mm

kleinste Bauteildicke

s¢

N/mm

Schälfestigkeit bei Klebverbindungen

s abs ¢

N/mm

absolute Schälfestigkeit bei Klebverbindungen

s ¢rel

N/mm

relative Schälfestigkeit bei Klebverbindungen

σbW

N/mm2

Biegewechselfestigkeit

σK

N/mm2

Normalspannung in der Klebnaht

σKB

N/mm2

statische Bindefestigkeit (Zugfestigkeit) bei Klebverbin­ dungen (ª τKB)

σ1

N/mm2

Normalspannung in der Lötnaht

σlB

N/mm2

Zugfestigkeit der Lötnaht

τKB

N/mm2

statische Bindefestigkeit (Zug-Scherfestigkeit) bei Kleb­ verbindungen

τKW

N/mm2

dynamische Bindefestigkeit von Klebverbindungen bei ­wechselnder Belastung

τKSch

N/mm2

dynamische Bindefestigkeit von Klebverbindungen bei schwellender Belastung

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2019 H. Wittel, D. Jannasch, C. Spura, Roloff/Matek Maschinenelemente Formelsammlung, https://doi.org/10.1007/978-3-658-25469-8_5

5

24

5  Kleb- und Lötverbindungen

Formelzeichen

Einheit

Benennung

τ1

N/mm2

Scherspannung in der Lötnaht

τIB

N/mm2

Scherfestigkeit der Lötnaht

Nr.

Formel

Hinweise

Klebverbindungen Bindefestigkeit

5

• statische Bindefestigkeit 1

t KB =

Fm F = m AK lu ◊ b

Richtwerte für die Bindefestigkeit (Zug­ scherfestigkeit) nach TB 5-2. lü, b siehe Bild unter Nr. 10

• dynamische Bindefestigkeit 2

wechselnd: τKW ª (0,2 ... 0,4) · τKB

3

schwellend: τKSch ª 0,8 · τKB Schälfestigkeit

4

s¢ =

F b

¢ für 1 mm dicke mit Richtwerte für s abs

Araldit verklebte Bleche aus Reinaluminium

s abs ¢ ª 5 N/mm

Legierung AlMg

s abs ¢ ª 25 N/mm

¢ ª 35 N/mm Legierung AlCuMg s abs

Zugbeanspruchter Stumpfstoß Normalspannung in der Klebnaht 5

sK =

F F s = £ KB AK b ◊ t S

σKB ª τKB nach TB 5-2 und TB 5-3 Sicherheit S = 1,5 ... 2,5 Hinweis: Geklebte Stumpfstöße sind wegen der zu geringen Klebfläche meist wenig sinnvoll.

5  Kleb- und Lötverbindungen25 Nr.

Formel

Hinweise

Einfacher Überlappstoß

6

Scherspannung in der Klebnaht F F t tK = = £ KB AK b ◊ lu S

vgl. Bild unter Nr. 10 Bei allgemein dynamischer Belastung wird die äquivalente Ersatzbelastung gebildet: Feq = KA · F bzw. Fm + KA · Fa, mit KA nach TB 3-5c und der dynamischen Bindefestigkeit nach Nr. 2 und 3. τKB nach TB 5-2 und TB 5-3 Sicherheit S = 1,5 ... 2,5

Rundklebung unter Torsionsmoment Scherspannung in Umfangsrichtung 7

tK =

2 ◊T t £ KB p ◊ d 2 ◊b S

d T

b

Bei allgemein dynamischer Belastung wird das äquivalente Torsionsmoment gebildet: Teq = KA · T bzw. Tm + KA · Ta, mit KA nach TB 3-5c und der dynamischen Bindefestigkeit nach Nr. 2 und 3. τKB nach TB 5-2 und TB 5-3 Sicherheit S = 1,5 ... 2,5 Überlappungslänge 8

lü ª 0,1 · Rp0,2 · t bzw. lü ª (10 ... 20) · t

Um genügend große Klebflächen zu erhalten, sind Überlappungsverbindungen zu bevorzugen. Die beste Ausnutzung der Bindefestigkeit bei Leichtmetallen ergibt sich bei der folgenden Überlappungslänge: Für t ist die kleinste Dicke der überlappten Bauteile zu setzen.

5

26 Nr.

5  Kleb- und Lötverbindungen Formel

Hinweise

Lötverbindungen

Al = b · t F

F

t

9

Normalspannung in der Lötnaht KA  Fnenn ¢lB ¢l =  Al S

Diese werden meist nur bei gering belasteten Bauteilen mit Blechdicken t ≥ 1 mm ausgeführt.

b

Stumpfstoßverbindungen

5

σlB nach TB 5-10 Sicherheit S = 2 ... 3 Richtwert für Hartlötverbindungen an Bau­ stählen bei dynamischer Belastung: σbW ª 160 N/mm2. Überlappstoßverbindungen Scherspannung in der Lötnaht 10

t1 =

K A ◊ Fnenn t1B £ Al S

Überwiegend ausgeführt, vor allem dann, wenn die Lötnaht die gleiche Tragfähigkeit aufweisen soll wie die zu verbindenden Bauteile (s. auch unter Nr. 12).

τlB nach TB 5-10 Sicherheit S = 2 ... 3 Richtwerte für Bauteile aus Baustahl bei ruhender Belastung Hartlötverbindungen:

τlzul ª 100 N/mm2

Weichlötverbindungen: τlzul ª 2 N/mm2 Steckverbindungen Scherspannung in der ringförmigen Lötnaht durch eine Längskraft 11

t1 =

K A ◊ Fnenn t1B £ S p ◊ d ◊ lu

5  Kleb- und Lötverbindungen27 Nr.

Formel

Hinweise

Scherspannung in der ringförmigen Lötnaht durch ein Torsionsmoment 12

t1 =

2 ◊ K A ◊ Tnenn t1B £ p ◊ d 2 ◊ lu S

5 Hinweis: Für mit einem Biegemoment Mb = F · l be­ lastete gelötete Steckverbindungen entsprechend Kap. 9, Bild Steckstiftverbindungen, kann die max. Flächenpressung in der Lötnaht überschlägig mit Hilfe der Gl. Nr. 23 berechnet werden. Als Anhaltswert für pzul kann ­dabei σlB nach TB 5-10 herangezogen werden. Es gilt: pzul ª s zul ª s1B / S . Überlappungslänge erforderliche Überlappungslänge bei vollem Lötanschluss (Bild unter Nr. 10) 13

lu =

Rm ◊ tmin t1B

Die Überlappungslänge bei Beanspruchung durch eine Längskraft wählt man meist so, dass die Lötnaht die gleiche Tragfähigkeit wie die zu verbindenden Bauteile aufweist. Die Formel gilt überschlägig auch für die Überlappungslänge der Rohrsteckverbindung unter Nr. 11 und mit d / 4 anstatt tmin für die Steckverbindung (Bolzen) unter Nr. 12. Rm nach TB 1-1 und TB 1-3 τlB nach TB 5-10

6 Schweißverbindungen

6

Formelzeichen

Einheit

Benennung

a

mm

wirksame Dicke von Kehlnähten bzw. nicht durch­ geschweißten Stumpfnähten

aeff

mm

Dicke einer Kehlnaht mit tiefem Einbrand

anom

mm

Nennwert einer Nahtdicke

A

mm2

Querschnittsfläche eines Stabes

Aerf

mm2

erforderliche Bauteil-Querschnittsfläche

Ap

mm2

druckbelastete projizierte Fläche für zylindrische und ­ kugelige Grundkörper

AS

mm2

Querschnittsfläche des Trägersteges

Aw

mm2

wirksame Kehlnahtfläche

Aσ

mm2

tragende Querschnittsfläche einer verstärkten Behälterwand (bei gleichem Festigkeitswert der Bauteile)

As 0 , As1 , As 2

mm2

tragende Querschnittsfläche der Behälterwand As 0 und der Verstärkungen As1 und As 2

b

mm

mittragende Breite des Knotenbleches

b

1

c

mm

Breite eines druckbeanspruchten Querschnittteils

c1

mm

Zuschlag zur Berücksichtigung von Wanddickenunter­ schreitungen bei Druckbehältern

c2

mm

Abnutzungszuschlag zur Wanddicke bei Druckbehältern

(c/t)

1

mit (c/t)max als vereinfachter Beulnachweis, wobei c die ­ Breite und t die Dicke des gedrückten Querschnittsteiles ist

C

1

Berechnungswert für ebene Platten und Böden

d

mm

bei Walzprofilen Steghöhe zwischen den Ausrundungen bzw. Schweißpunktdurchmesser

D

mm

Berechnungsdurchmesser ebener Platten und Böden

Da

mm

äußerer Mantel- bzw. Kugeldurchmesser

e

mm

über die theoretische Wurzellage hinausgehende Einbrand­ tiefe bei Kehlnähten

ez

mm

Abstand der Schwerachse x – x vom Biegezugrand

E

N/mm2

Dickenbeiwert für geschweißte Bauteile

Elastizitätsmodul

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2019 H. Wittel, D. Jannasch, C. Spura, Roloff/Matek Maschinenelemente Formelsammlung, https://doi.org/10.1007/978-3-658-25469-8_6

6 Schweißverbindungen29 Formelzeichen

Einheit

Benennung

F

N

Kraft, allgemein

Fa

N

Kraftausschlag, Kraftamplitude

Fb Rd

N

Bemessungswert der Lochleibungstragfähigkeit eines Schweißpunktes

Fd

N

Bemessungswert der von der Verbindung zu übertragenden Kraft

Feq

N

äquivalente Kraft

FeRd

N

Grenzscherkraft auf Randversagen bei Punktschweißver­ bindungen

Fm

N

Mittelkraft

FnRd

N

Grenzzugkraft im Nettoquerschnitt des Bleches bei Punktschweißverbindungen

Fq

N

Querkraft

FvRd

N

Grenzabscherkraft bei Punktschweißverbindungen

FxEd

N

einwirkende Kraft in Richtung der x-Achse

h

mm

Höhe eines Querschnitts

i

mm

Trägheitsradius für die maßgebende Knickebene bezogen auf den Bruttoquerschnitt

Iw , Iwx

mm4

Flächenmoment 2. Grades eines Nahtquerschnittes, allgemein bzw. bezogen auf die x-Achse

Ix , Iy

mm4

Flächenmoment 2. Grades für die Biegeachse x – x bzw. y – y

K

N/mm2

KA

1

Anwendungsfaktor zur Berücksichtigung der Arbeitsweise von Maschinen (Stoßfaktor)

K0 , K1 , K2

N/mm2

Festigkeitskennwerte der Behälterwand K0 und der Verstärkungen K1 und K2

leff

mm

wirksame Länge einer Kehlnaht

Lcr

mm

Knicklänge

Lw

mm

Länge der Schweißnaht bei langen Anschlüssen

Lj

mm

bei langen Kehlnahtanschlüssen die Gesamtlänge der Überlappung in Kraftrichtung

m

1

Meq

N mm

äquivalentes Biegemoment

Mx , My , Mz

N mm

einwirkende Momente um die x-, y- oder z-Achse

Festigkeitskennwert von Behälterwerkstoffen

Anzahl der Scherfugen (Schnittigkeit)

6

30

6

6 Schweißverbindungen

Formelzeichen

Einheit

Benennung

nw

1

Anzahl der Punktschweißungen in einer Verbindung

N

N

Normalkraft

Nb Rd

N

Bemessungswert der Biegeknicktragfähigkeit von Bauteilen unter zentrischem Druck

NEd

N

Bemessungswert der einwirkenden Normalkraft

pe

N/mm2

höchstzulässiger Betriebsdruck (Berechnungsdruck)

Re

N/mm2

Streckgrenze des Bauteilwerkstoffs

Rm

N/mm2

Zugfestigkeit des Bauteilwerkstoffs

Rm/105/ϑ

N/mm2

Zeitstandfestigkeit für 100 000 h bei Berechnungstemperatur ϑ

Rp 0,2/ϑ

N/mm2

Mindestwert der 0,2 %-Dehngrenze bei Berechnungstemperatur ϑ (Warmdehngrenze)

Rp 1,0/ϑ

N/mm2

Mindestwert der 1,0 %-Dehngrenze bei Berechnungstemperatur ϑ (Warmdehngrenze)

S

1

Sx

mm3

Flächenmoment 1. Grades bezogen auf die x-Achse

t

mm

Bauteildicke, Blechdicke, Wanddicke

tF

mm

Flanschdicke, z. B. von I-Profilen

tK

mm

Knotenblechdicke

tmin , tmax

mm

kleinste bzw. größte Dicke der Bauteile einer Verbindung

tS

mm

Stegdicke, z. B. von I-Profilen

Teq

N mm

äquivalentes Torsionsmoment

v

1

Faktor zur Berücksichtigung der Ausnutzung der zulässigen Berechnungsspannungen von Schweiß- und Lötnähten an ­ Behältern

VEd

N

Bemessungswert der einwirkenden Querkraft

Vx , Vy

N

Querkraft in Richtung der x- bzw. y-Achse

Wt , Ww

mm3

Torsionswiderstandsmoment eines Bauteils bzw. einer Schweißnaht

y

mm

bei Biegeträgern Abstand der betrachteten Querschnitts­stelle von der Trägerachse x – x

α

°

Sicherheitsbeiwert für Behälter

Öffnungswinkel der Bauteilflanken bei Kehlnähten

6 Schweißverbindungen31 Formelzeichen

Einheit

Benennung

β

1

Berechnungswert für gewölbte Böden

βLw

1

Abminderungsbeiwert der Tragfähigkeit von Kehlnähten bei langen Anschlüssen

βw

1

Korrelationsbeiwert für Kehlnähte

κ

1

Grenzspannungsverhältnis

γM0

1

Teilsicherheitsbeiwert für die Beanspruchbarkeit von Querschnitten, γM0 = 1,0

γM1

1

Teilsicherheitsbeiwert von Bauteilen bei Stabilitätsver­sagen, γM1 = 1,1 (1,0)

γM2

1

Teilsicherheitsbeiwert bei Bruchversagen infolge Zugbe­ anspruchung, γM2 = 1,25

ε

1

Dehnung; Beiwert in Abhängigkeit von Re

l

1

Schlankheitsgrad

λ1

1

Schlankheit zur Bestimmung des Schlankheitsgrades

σEd

N/mm2

Bemessungswert der einwirkenden Normalspannung

σres

N/mm2

resultierende Normalspannung

σv

N/mm2

Vergleichsspannung

σw

N/mm2

Schweißnahtspannung senkrecht zur Anschlussebene

σwv

N/mm2

Vergleichswert beim vereinfachten Verfahren

σw zul , σzul

N/mm2

zulässige Normalspannung für die Schweißnaht bzw. für das Bauteil

σw zul MKJ

N/mm2

zulässige Schweißnaht – Normalspannung aus MKJ-Diagramm

σ||

N/mm2

Normalspannung parallel zur Schweißnahtachse

σ^

N/mm2

Normalspannung senkrecht zur Schweißnahtachse in der Kehlschnittfläche bzw. Schweißnahtnormalspannung beim Dauerfestigkeitsnachweis

τ

N/mm2

Schubspannung

τm

N/mm2

mittlere Schubspannung

τmax

N/mm2

maximale Schubspannung

τw , τw zul

N/mm2

Schubspannung bzw. zulässige Schubspannung für Schweißnaht

τw zul MKJ

N/mm2

zulässige Schweißnaht – Schubspannung aus MKJ-Diagramm

τx w

N/mm2

Schubspannung in der Anschlussebene in x-Richtung

τy w

N/mm2

Schubspannung in der Anschlussebene in y-Richtung

6

32

6

6 Schweißverbindungen

Formelzeichen

Einheit

Benennung

τ||

N/mm2

Schubspannung in der Ebene der Kehlschnittfläche parallel zur Schweißnahtachse

τ^

N/mm2

Schubspannung in der Ebene der Kehlschnittfläche senkrecht zur Schweißnahtachse

Ф

1

Funktion zur Bestimmung des Abminderungsbeiwertes χ

χ

1

Abminderungsfaktor entsprechend der maßgebenden ­ Knickkurve

Nr.

Formel

Hinweise

Bauteile und Schweißverbindungen im Stahlbau Grundlagen für die Berechnung von Stahlbauten sind die DIN EN 1990 „Grundlagen der Tragwerksplanung“, die DIN EN 1991 „Einwirkungen auf Tragwerke“ und die DIN EN 1993 „Be­messung und Konstruktion von Stahlbauten“. Nach ihrer zeitlichen Veränderlichkeit werden die Einwirkungen Fk (Lasten) in ständige Einwirkungen Gk und Pk (Schwerkraft, Vorspannung), veränderliche Einwirkungen Qk (Nutz-, Schnee- und Windlasten) und außergewöhnliche Ein­wirkungen FA k (Brand, Erd­ beben) eingeteilt. Es gilt das auf der Methode der Teilsicherheits­beiwerte in den einzelnen Grenz­ zuständen (Tragfähigkeit, Gebrauchstauglichkeit und Dauer­haftigkeit) begründete Sicherheitskonzept. Für den Bemessungswert der ständigen Einwirkungen (z. B. Eigenlast) gilt GEd = γG · Gk und für die veränderlichen Einwirkungen (z. B. Verkehrslast, Schnee) QEd = γQ · Qk. Die Bemessung erfolgt dann mit entsprechenden Einwirkungskombina­tionen, z. B. Ed = 1,35 · EG + 1,5 · EQ. Ablauf der Bauteilauslegung 1. Ermittlung der charakteristischen Kenngrößen von Einwirkungen (z. B. Lastannahmen) und ­ Widerstandsgrößen (z. B. Zugfestigkeit). 2. Maßgebende Teilsicherheits- und Kombinationsbeiwerte für Einwirkungen (z. B. γG , §1) und Widerstandsgrößen (z. B. γM) festlegen. 3. Bestimmung der Bemessungswerte durch Kombination von charakteristischen Kenngrößen und Teilsicherheits- sowie Kombinationsbeiwerten. 4. Kontrolle des maximalen c/t-Verhältnisses druckbeanspruchter Querschnittsteile und Bestimmung der Querschnittsklassen. 5. Festlegung des Berechnungsverfahrens, also die elastische oder die aufwendigere plastische Tragwerksberechnung nach dem Fließgelenkverfahren. 6. Nachweisführung nachfolgend nur als elastische Tragwerksberechnung, d. h. Nachweis der Tragfähigkeit nach der Elastizitätstheorie. Sie darf in allen Fällen angewandt werden.

6 Schweißverbindungen33 Nr.

Formel

Hinweise

Berechnung der Bauteile im Stahlbau (elastische Tragwerksberechnung) Zugstäbe – mittig angeschlossen • Nachweis der Zugbeanspruchung

3

• für die Bemessung erforderliche Stabquerschnittsfläche N ◊g Aerf ≥ Ed M 0 Re – außermittig angeschlossen • Biegezugrand N M R s x Ed = Ed + x ◊ ez £ e A Ix g M0

6 bd

Mx

ez

2

N Ed R £ e A g M0

t

1

Es werden die Formelzeichen des Stahlbaus verwendet. γM0 = 1,0 Re nach TB 6-5 Querschnittsfläche A des Stabes für Profile aus TB 1-8 bis TB 1-13

NEd

NEd max

bz

z

Fachwerksebene Stabschwerachse Mx = NEd · (ez + t / 2) A, Ix und ez aus Profiltabellen, z. B. TB 1-10 • Einschenklig angeschlossene Winkelprofile Nachweis der Zugbeanspruchbarkeit 4

N Ed R £ e g M0 A

NEd

Bei einschenkligen Anschlüssen darf der ­Winkel wie unter zentrisch angreifender Kraft bemessen werden, wenn eine wirksame Querschnittsfläche gleich der Bruttoquerschnitts­fläche angesetzt wird. Wird bei ungleichschenkligen Winkeln der kleinere Schenkel angeschlossen, so gilt die entsprechende k­ leinere Querschnittsfläche A nach TB 1-8 und TB 1-9. Druckstäbe • grobe Vorbemessung 5

Aerf

N ª Ed 15

Aerf

NEd

cm2

k N

Profilwahl nach TB 1-8 bis TB 1-13

34 Nr.

6 Schweißverbindungen Formel

Hinweise

• Biegeknicken einteiliger Druckstäbe Bezugsschlankheitsgrad 6

l1 = p ◊

E = 93,9 ◊ e Re

mit e =

235 Re

λ1 = 93,9 für Re = 235 N/mm2 (S235) λ1 = 76,4 für Re = 355 N/mm2 (S355) Knicklänge in der betrachteten Knick­ Lcr ebene, z. B. bei Fachwerk­stäben Lcr ª 0,9 · lS in der Fachwerkebene und Lcr = l aus der Fachwerkebene, mit l = Systemlänge des Stabes und lS = Schwerpunktabstand des ­ Anschlusses.

Schlankheitsgrad 7

l=

6

Lcr 1 ◊ i l1

i=

I Trägheitsradius für die maßgebende A Knickebene, z. B. aus den Profil­ tabellen TB 1-8 bis TB 1-13

Abminderungsfaktor χ 8

• bei l £ 0,2 : c = 1

9

• bei l > 0,2 : c =

Die Werte des Abminderungsfaktors χ dürfen für den Schlankheitsgrad l auch mit Hilfe von TB 6-10 ermittelt werden. 1

f + f 2 - l2

£1

Imperfektionsbeiwerte der Knicklinien Knicklinie nach TB 6-9

a0

a

b

c

d

Imperfekti0,13 0,21 0,34 0,49 0,76 onsbeiwert α wobei

10

(

)

f = 0,5 ◊ ÎÈ1 + a ◊ l - 0,2 + l 2 ˘˚

Bei Schlankheitsgraden l £ 0,2 oder für NEd =Ncr  0;04 darf der Biegeknicknachweis entfallen und es sind ausschließlich Querschnittsnachweise zu führen.

Beanspruchbarkeit auf Biegeknicken

Abminderungsfaktor χ für die maßgebende Biegeknickrichtung nach Nr. 9 bzw. TB 6-10.

N b Rd =

c ◊ A ◊ Re g M1

Nachweis gegen Biegeknicken 11

N Ed £ 1,0 N b Rd

Stabquerschnittsfläche A z. B. aus Profil­tabellen TB 1-8 bis TB 1-13. Re nach TB 6-5 und γM1 = 1,1(1,0) NEd Bemessungswert der einwirkenden Druckkraft

6 Schweißverbindungen35 Nr.

Formel

Hinweise

Beanspruchbarkeit von Quer­schnitten

12

N Ed M x h R ± ◊ £ e A I x 2 g M0

s Ed =

Beanspruchung durch Normalkraft N, Biegemoment Mx und Querkraft Vy. Bezeichnungen am gewalzten I-Profil

Vy y1

tF

I-Querschnitt mit einachsiger Biegung und Normalkraft • Punkte 1 und 5:

• Punkte 2 und 4:

2

N Ed M x d R ± ◊ £ e A I x 2 g M0

s Ed =

Mx

tS Nx

x

3

• Punkt 3 (maximale Schubspannung) Re 3 ◊ g M0

y 5 b

• mittlere Schubspannung im Steg 15

16

t Ed =

Vy Ed £ AS

Re 3 ◊ g M0

• Vergleichsspannung Punkte 2 und 4: p Re ¢v = ¢ 2 + 3  £2  ”M0

4 c

Vy Ed ◊ S x £ I x ◊ tS

tF

t max =

r

14

d = h – 2c h

13

c = tF + r

Sx Flächenmoment 1. Grades bezogen auf die Achse x-x, aus Profiltabellen Querschnittswerte aus TB 1-11 Bei I- und H-Querschnitten mit ausgeprägten Flanschen .AF =AS /  0;6 darf der Schubspannungsverlauf im Steg annähernd konstant angenommen werden: Stegfläche AS ª (h – 2 · tF) · tS

Knotenbleche Nachweis der Tragfähigkeit 17

¢=

F Re  b  tK ”M0

lw

Knotenblech

Es wird eine Lastausbreitung unter einem Winkel von 30° vom Nahtanfang bis zum Nahtende angenommen. Re nach TB 6-5, γM0 = 1,0 mittragende Breite des Knotenbleches: b = 2 · tan 30° · lw

6

36 Nr.

Formel

Hinweise

18

Beultragfähigkeit Nachweis des maximalen c / t -Verhältnisses (c / t )vorh £ (c / t ) max

Vereinfachter Beulnachweis für druckbe­ anspruchte Querschnittsteile nach TB 6-8. Mit c als Breite und t als Dicke des gedrückten Querschnittteiles. Der Nachweis dient auch zur Klassifizierung von Querschnitten.

Tragfähigkeit von Schweißnähten im Stahlbau nach DIN EN 1993-1-8 Für den Festigkeitsnachweis von lichtbogengeschweißten Verbindungen werden für alle Formen von Stumpf- und Kehlnähten Vorgaben getroffen. Der Nachweis gesonderter Nahtformen, wie Lochschweißungen, Schlitznähte und Hohlkehlnähte zum Anschluss von Voll- bzw. Rundquerschnitten an ebene Bleche ist geregelt. Die Bestimmungen beziehen sich auf schweißbare Bau­stähle und Erzeugnisdicken von 4 mm und mehr. Für die Nahtqualität ist die Bewertungsgruppe C nach DIN EN ISO 5817 erfor­ derlich. Durch entsprechende Wahl der Stahlgüte muss für geschweißte Anschlüsse ein ausreichendes  Verformungsvermögen nachgewiesen werden (DASt-Richt­linie 009 und DIN EN 1993-1-10). Für Anschlüsse mit H- oder I-Querschnitten und mit Hohlprofilen enthält die Norm umfangreiche Vorgaben die sich auf plastische und elastische Berechnung der Bean­spruchungen und Beanspruchbar­ keiten beziehen. Trägfähigkeit von Stumpf- und T-Stößen

19

¢? =

N Re  t1  leff ”M0

Regelung aus DIN EN 1993-1-8: Die Tragfähigkeit durchgeschweißter Stumpfnähte ist mit der Tragfähigkeit der schwächeren der verbundenen Bauteile gleichzusetzen. Nahtfestigkeit muss mindestens der Bauteilfestigkeit entsprechen. Stumpfstoß a = tmin = t1 N N t2

Durchgeschweißte Stumpfnähte Nahtübergangsquerschnitt

t1

6

6 Schweißverbindungen

T-Stoß, wirksam durchgeschweißt N

a = t, wenn gilt:



anom 1 + anom 2 ≥ t



und cnom £ min (t / 5; 3 mm)

6 Schweißverbindungen37 Hinweise

Nicht durchgeschweißte Stumpfnähte

Regelung aus DIN EN 1993-1-8: Die Tragfähigkeit von nicht durchgeschweißten Stumpfnähten ist in der Regel wie für Kehlnähte mit tiefem Einbrand zu führen. a = anom 1 + anom 2 = t – c

N N = a  leff .t − c/  leff Rm  0;9 ”M2

¢? =

N

N

anom 1

c

anom 2

20

Formel

t

Nr.

6

N einwirkende Normalkraft t Bauteildicke leff effektive Nahtlänge anom Kehlnahtdicke (Nennwert) c unverschweißter Spalt Tragfähigkeit von Kehlnähten 21

Kehlnahtdicke bei tiefem Einbrand aeff = a + e

α < 60°: Naht gilt als nicht durchgeschweißte Stumpfnaht α > 120°: Beanspruchbarkeit ist durch Versuche nachzuweisen. α Öffnungswinkel der Bauteilflanken Einbrandtiefe e darf nur berücksichtigt werden, wenn der Einbrand durch eine Verfahrens­ prüfung nachgewiesen wird.    a eff

ea

theor. Wurzellinie Kehlnahtdicke, Grenzwerte 22

a≥

tmax - 0,5

(a und t in mm)

23

3 mm ≤ a ≤ 0,7 · tmin (a und t in mm)

a

Dieser Richtwert vermeidet ein Missverhältnis von Nahtquerschnitt und verbundenen Querschnittsteilen. Er muss für Flacherzeugnisse und offene Profile mit t ≥ 3 mm eingehalten werden. Bei Blechdicken t ≥ 30 mm genügen a ≥ 5 mm. Die wirksame Nahtdicke einer Kehlnaht sollte mindestens 3 mm betragen. Zweckmäßige Obergrenze für die Kehlnaht­ dicke (in DIN EN 1993-1-8 nicht festgelegt).

38

6 Schweißverbindungen

Nr.

Formel

24

Wirksame Schweißnahtlänge leff = l – 2 · a

25

Kehlnahtlänge • Mindestwert leff ≥ max (6 · a; 30 mm)

26

• Größtwert leff = 150 · a

27

• Größtwert bei überlappten Stößen mit Lw > 150 · a leff = βLw · Lw

6

wobei βLw = (1,2 – 0,2 · Lj) / (150 · a) ≤ 1,0

Hinweise Der Endkraterabzug 2 · a entfällt, wenn die ­ gesamte Naht einschließlich der Nahtenden voll ausgeführt ist. Kehlnähte dürfen nur dann mit voller Nahtlänge angesetzt werden, wenn das Bauteil umschweißt wird oder die Naht mit 2 · a um die Ecken herumgeführt wird.

Kürzere Kehlnähte kommen für eine Kraftübertragung nicht in Betracht. Zur Berücksichtigung ungleichmäßiger ­ Spannungsverteilung über die Nahtlänge

Lj Gesamtlänge der Überlappung in Kraftrichtung Lw Länge der Kehlnaht βLw Abminderungsbeiwert

Tragfähigkeit von Kehlnähten

Schweißnahtspannungen im schrägen Schnitt durch eine Kehlnaht ¢w ¢? = £? = p 2

σ^ als Normalspannung senkrecht zur Schweißnahtachse und τ^ als Schubspannung in der Kehlschnittfläche. Sie können aus den auf die Anschlussflächen bezogenen Spannung σw ermittelt werden.

a'

29

rechnerische Schweißnahtfläche Aw = Σa · leff

w

2 Nachweis der Tragfähigkeit nach dem richtungsbezogenen Verfahren

a

28

6 Schweißverbindungen39 Nr.

Formel

30

¢wvEd =

Hinweise q

¢?2 + 3  £2? + 3  £2k 

Rm “w  ”M2

l eff

und s ^ £ 0,9 ◊

Rm g M2

Aw

a

31

Die Spannungskomponenten beziehen sich a auf die um gedrehte Anschlussfläche des 2 angeschweißten Bauteils. Die Lage der wirksamen Kehlnahtfläche wird im Wurzelpunkt konzentriert angenommen. Bei der Bestimmung der Beanspruchbarkeit der Kehlnaht werden die Normalspannungen σ|| ­ vernachlässigt. Rm Zugfestigkeit des schwächeren der an­ geschlossenen Bauteile nach TB 6-5 βw Korrelationsbeiwert nach TB 6-7 γM2 Teilsicherheitsbeiwert, γM2 = 1,25 σwvEd Vergleichsspannung im schrägen Schnitt

32

s wv =

s 2w + t 2xw + t 2yw £

Rm 3 ◊ bw ◊ g M2

w xw yw xw

a

Nachweis der Tragfähigkeit nach dem vereinfachten Verfahren

Beachte: Die Bedingung (Nr. 31) kann bei Kehlnähten nicht maßgebend sein. Bei dem vereinfachten Verfahren wird die ­ Resultierende aller auf die wirksame Kehlnahtfläche einwirkenden Kräfte je Längen­einheit ­ gebildet. Dieser Nachweis kann auch e­ infacher mit Schweißnahtspannungen in der Anschluss­ ebene geführt werden (s. DIN 18800). Dabei sind die Längsschubspannungen für b­ eide Verfahren gleich. Auf die Anschlussebene bezogene Kehlnahtspannungen σw , τxw und τyw :

w yw

a

6

40

6 Schweißverbindungen

Nr.

Formel

Hinweise T-Stoß mit Doppelkehlnaht unter Zug und ­ Biegung (Beispiel).

33

Schweißnahtspannungen an einer Kehlschnittfläche 1 1 ¢? = p  2 †a  `eff   6  Mx Ed  Fy Ed + `eff

Fy,Ed Anschlussfläche

Mx,Ed

£? = ¢?

Fy /2

Fy /2

ℓeff wirksame Nahtlänge a Nahtdicke

6

Kehlnahtanschlüsse unter allgemeiner Beanspruchung

34

My N Mx sw = ± ◊y± ◊x I yw Aw I xw

35

tx w =

Vx M z ± ◊y Aw I pw

36

ty w =

Vy M z ± ◊x Aw I pw

Nahtbild

b a z N Mz

x

S y Vy My

M x Vx

h

Nahtspannung

S y

Linienquerschnitt mit zwei Kehlnähten als Verbindung von 2 starren Bauteilen. Belastung: Mx, My, Mz, N, Vx, Vy Querschnittswerte: a, h, b Aw = 2 ◊ a ◊ h Ix w = 2 ◊ a ◊

h3 h3 = a◊ 12 6

1 I yw = ◊ a ◊ h ◊ b 2, I pw = I xw + I yw 2 Die einzelnen Kehlnähte können als Linien ­ definiert werden, da die Schweißnaht konzen­ triert in der Wurzellinie angenommen wird. Es sind nur diejenigen Schweißnähte anzu­ setzen, die imstande sind, die Schnittgrößen der Verbindung zu übertragen.

Nachweis eines Kehlnahtanschlusses nach dem vereinfachten Verfahren (Beispiel)

Biegebeanspruchter T-förmiger Kehlnaht­ anschluss

6 Schweißverbindungen41

37

Hinweise

Randspannung (Punkt 4)

Bauteilquerschnitt Belastung: Vy , Mx

sw =

Mx ◊ y4 Iw

b y a l1

Stegnahtspannung Vy £k = Aw S

Vy

a l2

a l2 x Mx a l3 a l3

x

hS

38

Formel

tF

Nr.

tS

6

y Rm 3 ◊ bw ◊ g M2

 1

l1 y Aw1

 2

1 2

w3

3

x

 3

y4 Wurzellinie

y4

Aw2 l2 x Schwerachse der SchweißnahtAnschlussflächen A

y3 y2 y1

s 2w + t||2 £

yS

sw v =

a

39

Theoretisches Nahtbild

l3

Tragsicherheitsnachweis (Punkt 4)

 4

Querschnittswerte: Aw S = 2  a  l3 Iw  2  a  l33 =12 + a  l1  y12 + 2  a  l2  y22 + 2  a  l3  yS2



42 Formel

Hinweise

Nachweis der Querkraftbeanspruchung von Halskehlnähten in geschweißten Biegeträgern t Ed =

Vy ◊ S x £ I x ◊ Âa

Rm 3 ◊ bw ◊ g M2

Steg

hS

40

Vy y AF

Flansch

yF

Nr.

6 Schweißverbindungen

x AS

x

y

a

6

Vy Bemessungswert der Querkraft Sx Statisches Flächenmoment 1. Grades der angeschlossenen Querschnittsfläche, z. B. Sx = AF · yF Ix Flächenmoment 2. Grades des Gesamt­ querschnittes bezogen auf die Achse x – x Σ a Summe der Schweißnahtdicken der Halsnaht Rm Zugfestigkeit des Bauteilwerkstoffs nach TB 6-5 γM2 Teilsicherheitsbeiwert, γM2 = 1,25 Punktschweißverbindungen mit Scherbeanspruchung Punktschweißverbindungen dürfen an kaltgeformten Bauteilen und Blechkonstruktionen aus Baustählen (z. B. S235, S420NL, H300LAD) bis 4 mm Dicke angewendet werden, wobei die Dicke des dünneren angeschlossenen Blechs höchstens 3 mm betragen darf. Lochleibungstragfähigkeit eines Schweißpunktes • wenn t ≤ t1 ≤ 2,5 · t: 41

42

Fb Rd = 2,7 ◊ t ◊ d ◊

Rm (t in mm) g M2

• wenn t1 > 2,5 t: 8 p R ˆ ˆ2;7  t  d  m ˆ ˆ ” ˆ M2 ˆ ˆ ˆ ˆ < Rm Fb Rd = min 0;7  d 2  ˆ ”M2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ R ˆ ˆ :3;1  t  d  m ”M2

t Blechdicke des dünneren Bauteils in mm t1 Blechdicke des dickeren Bauteils in mm d Schweißpunktdurchmesser bei – Widerstandsschweißung: d = 5 ◊ t – Schmelzpunktschweißung: d = 0,5 · t + 5 mm Rm Zugfestigkeit des Bauteilwerkstoffes nach TB 6-5 γM2 Teilsicherheitsbeiwert, γM2 = 1,25

6 Schweißverbindungen43 Nr.

Formel

Hinweise

Grenzscherkraft auf Randversagen 43

FeRd = 1,4 ◊ t ◊ e1 ◊

Rm g M2

Grenzzugkraft im Nettoquerschnitt des Bauteils 44

45

Fn Rd = Anet ◊

Rm g M2

Grenzabscherkraft des Schweißpunktes p R Fv Rd = ◊ d 2 ◊ m 4 g M2

e1 Randabstand in Kraftrichtung Anet Nettoquerschnitt des angeschlossenen Bauteils, z. B. Anet = t · (b – n · d)

Tragfähigkeitsnachweis • für die Punktschweißung 46

Fd nw £1 min [Fb Rd ; Fv Rd ; Fe Rd ]

• für den Bauteilquerschnitt 47

Fd £1 Fn Rd

Beanspruchbarkeit, Fb Rd , Fv Rd , Fe Rd und Fn Rd wie oben Fd Bemessungswert der von der Verbindung zu übertragenden Kraft nw Anzahl der Punktschweißungen in einer Verbindung Im Stahlbau sind für Abstände der Schweißpunkte untereinander (p1 und p2) und zum Rand (e1 und e2) die Werte nach TB 6-4 ein­zuhalten.

6

44 Nr.

6 Schweißverbindungen Formel

Hinweise

Schweißverbindungen im Maschinenbau

6

Maschinenteile erfahren eine dynamische Beanspruchung infolge zeitlich veränderlicher Belastung. Diese Änderung kann zwischen gleichbleibenden Maximal- und Minimalwerten auftreten (Einstufenbelastung) oder sie kann als zufallsbedingte Last–Zeit–Funktion erfolgen (Betriebs­belastung). Bei der statischen Beanspruchung einer Stumpfnahtverbindung an Baustahl tritt der Bruch nach der üblichen Einschnürung außerhalb der Naht im Grundwerkstoff ein. Die erreichte Festigkeit der Verbindung entspricht der des ungeschweißten Werkstoffs. Bei dynamischer Belastung erfolgt der Bruch im Nahtübergang durch geometrische oder strukturelle Kerbwirkung. Die dadurch verursachten Spannungsspitzen können also bei dynamischer Beanspruchung nicht durch plas­tische Verformungen abgebaut werden. Die Verformungsfähigkeit im kritischen Querschnitt wird herabgesetzt und es kommt zur Ausbildung von Rissen, die die Kerbwirkung noch verstärken. Die Dauerfestigkeit liegt im Vergleich zum ungeschweißten Bauteil entsprechend niedrig. Als wesentliche Einflüsse auf die Schwingfestigkeit geschweißter Bauteile gelten neben der­ Nahtform, die Nahtqualität, die Nahtanordnung (längs oder quer), die Oberflächenbearbeitung, die Bauteil- bzw. Nahtdicke, das Spannungsverhältnis und die Eigenspannungen. Nachfolgend werden allgemeine Formelzeichen benutzt. Dauerfestigkeitsnachweis nach der Richtlinie DVS 1612 Der Dauerfestigkeitsnachweis soll mit den zulässigen Spannungen der Richtlinie DVS 1612 „Gestaltung und Dauerfestigkeitsbewertung von Schweißverbindungen mit Stählen im Schienen­fahrzeugbau“ erfolgen. Sie gelten im ungeschweißten Zustand und für Schweißverbindungen bei Normal- und Schubbeanspruchung und enthalten bereits einen Sicherheitsfaktor von 1,5 gegenüber den ertragbaren Spannungen. Der Bauformenkatalog (TB 6-11) enthält Schweißkonstruk­tionsdetails die sich bezüglich Sicherheit, Funktionsfähigkeit und wirtschaftlicher Fertigung seit langem als DV 952 der Deutschen Bahn bewährt haben. Die mittelspannungsabhängigen Dauerfestigkeitswerte gelten für geschweißte nicht spannungsarmgeglühte Bauteile aus S 235 und S 355 ab 2 mm Blechdicke. Fertigungsbedingte Zugeigenspannungen, die bis zur Streckgrenze gehen können, wirken sich nicht auf die Dauerfestigkeitswerte aus. Die zulässigen Dauerfestigkeitswerte sind in den DFS nach Moore-Kommers-Jasper (MKJ) für Schweißverbindungen und für den Grundwerkstoff in Abhängigkeit vom Spannungsverhältnis und von der Kerbfalllinie als Maximal- bzw. Oberspannungen dargestellt (TB 6-12). Bei Wanddicken über 10 mm ist mit einer Verminderung der zulässigen Spannungen zu rechnen (TB 6-13). Beim Festigkeitsnachweis sind die größten Nennspannungen für den Schweißnahtquerschnitt und für den Schweißnahtübergangsquerschnitt (Grundwerkstoff) zu bestimmen und den zulässigen Spannungen gegenüber zu stellen.

6 Schweißverbindungen45 Nr.

Formel

Hinweise

Zweckmäßiger Berechnungsgang 1. Ermittlung der Schnittgrößen (F, M, T) für das geschweißte Bauteil. 2. Bei allgemein-dynamischer Beanspruchung mit ruhender Mittellast (Fm , Mm , Tm) und Lastausschlag (Fa , Ma , Ta) wird unter Berücksichtigung des Anwendungsfaktors KA das äquivalente Lastbild ermittelt für σm = konst.: Feq = Fm ± KA · Fa | Meq = Mm ± KA · Ma | Teq = Tm ± KA · Ta 3. Berechnung der in dem maßgebenden Bauteilquerschnitt vorhandenen größten Naht- und/oder Bauteilspannungen. 4. Nach der Einordnung des am geschweißten Bauteil vorliegenden Kerbfalles (TB 6-11) Ablesen der zulässigen Spannungen in Abhängigkeit der zutreffenden Kerbfalllinie und des Spannungsverhältnisses aus dem Dauerfestigkeitsschaubild (TB 6-12b1 und b2) oder rechnerische Bestimmung nach (TB 6-12a). Bei Wanddicken über 10 mm Berücksichtigung des Größeneinflusses (TB 6-13). 5. Es ist nachzuweisen, dass für den maßgebenden – Schweißnahtquerschnitt: σw max ≤ σw zul, τw max ≤ τw zul, σwv max ≤ σw zul – Schweißnahtübergangsquerschnitt: σmax ≤ σzul, τmax ≤ τzul, σv max ≤ σzul 6. Tragsicherheitsnachweis auf Knicken bzw. Beulen für stabilitätsgefährdete Druckstäbe bzw. plattenförmige Bauteilquerschnitte. Festigkeitsnachweis im Schweißnahtübergangsquerschnitt (Grundwerkstoff) Biegeträger • resultierende Normal­spannung 48

s res =

Feq M x eq + ◊ y £ s zul A Ix

Belastungsbild: Feq max = Fm + KA · Fa Feq min = Fm – KA · Fa Mx eq max = Mx m + KA · Mx a Mx eq min = Mx m – KA · Mx a ohne Mittellast: Feq = KA · Fa Mx eq = KA · Mx a A und Ix bei Walzprofilen z. B. nach TB 1-10 bis TB 1-12 σzul nach Nr. 60

• mittlere Schubspannung im Trägersteg 49

tm =

Fq eq £ t zul AS

Belastungsbild: Fq eq max = Fq m + KA · Fq a ohne Mittellast: Fq eq = KA · Fq a AS = tS · (h – 2tF) τzul nach Nr. 61

6

46 Nr.

50

6 Schweißverbindungen Formel

Hinweise

Verdrehbeanspruchter Querschnitt Torsionsspannung

Belastungsbild: Teq max = Tm + KA · Ta

tt =

ohne Mittellast: Feq = KA · Ta

Teq £ t zul Wt

Torsionswiderstandsmoment (s. auch TB 1-14 und TB 11-3): p◊d3 – Kreisquerschnitt: Wt = 16 – Kreisringquerschnitt: Wt =

6

p ◊ (d a4 - d i4 ) 16 ◊ d a

– beliebiger Hohlquerschnitt: Wt = 2 · Am · t τzul nach Nr. 61 Zusammengesetzte Beanspruchung • Vergleichsspannung 51

s2

sv =

+ 3◊ t2

£ s zul

• Interaktionsnachweis 52

2

Anmerkung: σ und τ sind Spannungen an derselben Querschnittstelle. σzul und τzul nach Nr. 60 und 61

2

Ê s ˆ Ê t ˆ ÁË s ˜¯ + ÁË t ˜¯ £ 1 zul zul

Festigkeitsnachweis im Schweißnahtquerschnitt Schweißnahtnormalspannung 53

Feq s^ = £ s w zul Â(a ◊ l)

54

Schweißnahtschubspannung Feq £k = P  £w zul .a  l/

Belastungsbild: Feq max = Fm + KA · Fa ohne Mittellast: Feq = KA · Fa

Sicherhaltshalber ist die ausgeführte Naht­länge um die Endkrater zu vermindern. ­Wirksame Nahtlänge: leff = L – 2a σw zul und τw zul nach Nr. 60 und 61 Anmerkung: Kehlnähte sollen mit einer Mindest­ dicke a = 2 mm ausgeführt werden

6 Schweißverbindungen47 Nr.

55

Formel

Hinweise

Schweißnahttorsionsspannung

Belastungsbild: Teq max = Tm + KA · Ta

t||t =

Teq £ t w zul Wwt

ohne Mittellast: Teq = KA · Ta τw zul nach Nr. 61 Querschnittswerte (Beispiele) Linienquerschnitt (Wurzellinie) – kreisförmig a Aw = a · π ·d, Iw = a · π · r3, Ww = a · π · r2, Wtw = 2 · π · a · r2 d

r

6

– rechteckig

Aw = 2 ◊ a ◊ (b + h)

a

y

x

h

x

I xw =

h3 ◊ a 1 + ◊ a ◊ b ◊ h2 6 2

I yw =

b3 ◊ a 1 + ◊ a ◊ h ◊ b2 6 2

y b

Wtw = 2 ◊ Am ◊ a ª 2◊b◊ h◊ a

56

57

biegebeanspruchter Kehlnahtanschluss Meq ¢? =  y  ¢w zul Iw

Belastungsbild: Meq max = Mm + KA · Ma

mittlere Stegnaht-Schubspannung

Belastungsbild: Fq eq max = Fq m + KA · Fq a

Fq eq t|| = £ t w zul AwS

ohne Mittellast: Meq = KA · Ma σw zul nach Nr. 60

ohne Mittellast: Fq eq = KA · Fq a τw zul nach Nr. 61

Zusammengesetzte Beanspruchung • Vergleichsspannung 58

(

)

s wv = 0,5 ◊ s ^ + s ^2 + 4 ◊ t||2 £ s w zul

• Interaktionsnachweis 2

59

2

Ê s ^ ˆ Ê t|| ˆ ÁË s ˜ + ÁË t ˜ £1 w zul ¯ w zul ¯

Anmerkung: σ^ und τ|| sind Nahtspannungen an derselben Querschnittstelle. σw zul und τw zul nach Nr. 60 und 61.

48 Nr.

6 Schweißverbindungen Formel

Hinweise

Ermittlung der zulässigen Dauerschwingfestigkeit 60

zulässige Normalspannung σw zul = σw zul MKJ · b

61

zulässige Schubspannung τw zul = τw zul MKJ · b

6

Berechnungsablauf Dargestellt mit den Formelzeichen für den Schweißnahtquerschnitt. Für den Schweißnahtübergangsquerschnitt (Bauteil) gleiche Formeln ohne Index „w“. 1. Ermittlung der Grenzspannungen σw min und σw max bzw. τw min und τw max aus den vorliegenden Einwirkungen und Widerstandsgrößen. 2. Berechnung des Spannungsverhältnisses k = s w min / s w max bzw. k = t w min / t w max. 3. Bestimmung der treffenden Kerbfalllinie ­ unter Beachtung der Stoß-, Naht- und Be­ anspruchungsart nach TB 6-11. Linien A bis F2 für Normalspannungen und Linien „G+“ bis „H–“ für Schubspannungen. 4. Ablesen der zulässigen Spannungen σw zul MKJ und τw zul MKJ in Abhängigkeit von κ und der Stahlsorte aus den MKJ-Diagrammen TB 6-12b1 und b2 oder rechne­ rische Bestimmung nach TB 6-12a. 5. Berechnen der zulässigen Spannungen σw zul und τw zul für die ausgeführte Bau­ teildicke t mit dem Dickenbeiwert b nach TB 6-13. Für t ≤ 10 mm ist b = 1,0.

Geschweißte Druckbehälter Die Grundbauform der Druckbehälter sind Zylinder, Kugel und Kegel oder Teile davon. Für die Behälterböden reichen die Formen von der ebenen Platte bis zum Halbkugelboden. Meist werden gewölbte Böden bevorzugt, da sie beanspruchungsmäßig günstiger sind. Die Schweißnähte an Behältern werden nicht wie sonst üblich einzeln nachgewiesen, sondern über den Festigkeitskennwert und den Ausnutzungsfaktor berücksichtigt. Die Berechnung erfolgt auf der Grundlage der AD 2000-Merkblätter und gilt für Druckbehälter mit überwiegend ruhender Beanspruchung unter innerem Überdruck.   erforderliche Wanddicke des zylin­ Festigkeitskennwert K: min Rp0;2=ªI Rm=105 =ª  drischen Behältermantels oder min Rp1;0=ªI Rm=105 =ª bei Berechnungstemperatur nach TB 6-14 Da  pe 62 t = + c1 + c2 Berechnungsdruck pe in N/mm2 K 2  v + pe (1 N/mm2 = 10 bar) S

6 Schweißverbindungen49 Nr.

63

Formel

Hinweise

erforderliche Wanddicke für Kugelschale

Sicherheitsbeiwert S nach TB 6-16 Ausnutzungsfaktor: üblich v = 1,0, bei ver­ ringertem Prüfaufwand v = 0,85, für nahtlose Bauteile v = 1,0, hartgelötet v = 0,8 Zuschlag zur Berücksichtigung der zulässigen Wanddickenunterschreitung c1 bei ferritischen Stählen nach der Maßnorm. Abnutzungszuschlag: – c2 = 1 mm bei ferritischen Stählen – c2 = 0 für te ≥ 30 mm und bei nichtrostenden Stählen, NE-Metallen und bei geschützten ­Stählen (Verbleiung, Gummierung) – c2 > 1 mm bei starker Korrosionsgefährdung

t=

Da  pe + c1 + c2 K 4  v + pe S

erforderliche Wanddicke gewölbter Böden (Krempe) 64

t=

Da  pe  “ + c1 + c2 K 4 v S

Die Wanddicke kann nur iterativ ermittelt ­ werden, weil der Berechnungsbeiwert β ­bereits von te abhängig ist. Berechnungsbeiwert β: Für Vollböden in Halbkugelform gilt im Bereich x = 0,5 ◊ R ◊ (t - c1 - c2 ) neben der Anschlussnaht: β = 1,1 Für Vollböden und Böden mit ausreichend verstärkten Ausschnitten im Scheitelbereich 0,6 ∙ Da gilt mit y = (te – c1 – c2)/Da für die 0,0325 y 0,7 0,0255 – Korbbogenform: b = 1,55 + 0,625 y

– Klöpperform:

b = 1,9 +

v = 1,0 bei einteiligen und geschweißten B ­ öden in üblicher Ausführung.

65

erforderliche Wanddicke für runde e­ bene Platten und Böden r pe  S t =C D + c1 + c2 K

Berechnungsbeiwert C = 0,3 ... 0,5 je nach Art der Auflage bzw. Einspannung, s. TB 6-17. Berechnungsdurchmesser D entsprechend Lehrbuch, Bild 6-50.

6

50 Nr.

66

6 Schweißverbindungen Formel

Hinweise

allgemeine Festigkeitsbedingung für Ausschnitte in der Behälterwand   Ap 1 K ¢v = pe  +  A¢ 2 S

Berechnungsschema:

6

Scheibenförmige (links) und rohrförmige ­ Verstärkung (rechts)

67

wie Nr. 66, aber Festigkeitskennwerte der Verstärkung Ki, kleiner als die Wandfestigkeit K0 (K0 ≥ Ki)

Tragende Querschnittsfläche A¢ = A¢0 + A¢1 + A¢2



b=







K0 pe K1 pe  A¢0  A¢1 − − S 2 S 2   K2 pe  A¢2  pe  Ap + − S 2

berechnet mit den tragenden Längen

(Di + tA - c1 - c2 ) ◊ (tA - c1 - c2 )

lS = 1,25 ◊

und

(di + tS - c1 - c2 ) ◊ (tS - c1 - c2 )

Druckbelastete projizierte Fläche für den skizzierten rechten Ausschnitt z. B. Ap ª

Di Ê dˆ d ◊ Á b + tS + i ˜ + i ◊ (lS + tA ) 2 Ë 2¯ 2

Festigkeitskennwert K nach TB 6-14 Sicherheitsbeiwert S nach TB 6-16 Anmerkung: 1. Ist der Festigkeitskennwert für die Verstärkung größer als der für die zu verstärkende Wand, so darf er nicht ausgenutzt werden. 2. Die nach (Nr. 66 bzw. 67) ermittelte Wand­ dicke darf nicht kleiner gewählt werden, als für die Behälterwand ohne Ausschnitte ­ erforderlich ist.

7 Nietverbindungen Formelzeichen

Einheit

Benennung

A

mm2

Bruttoquerschnittsfläche eines Bauteils

A0

mm2

Querschnittsfläche des Nietloches bzw. des geschlagenen Niets

ΔA

mm2

Lochabzugsfläche

Anet

mm2

Nettoquerschnittsfläche

d0

mm

Schaftdurchmesser des geschlagenen Niets, Nietloch­ durchmesser

d1

mm

Nenndurchmesser des ungeschlagenen Niets

e1

mm

Randabstand des Nietloches in Kraftrichtung

e2

mm

Randabstand des Nietloches quer zur Kraftrichtung

FEd , F

N

Auf die Nietverbindung einwirkende Normalkraft (^ zur Nietachse)

Fb Rd

N

Bemessungswert der Lochleibungstragfähigkeit eines Niets

Ft Ed

N

Bemessungswert der einwirkenden Zugkraft auf einen Niet

Ft Rd

N

Bemessungswert der Zugtragfähigkeit eines Niets

Fv Ed

N

Bemessungswert der einwirkenden Abscherkraft auf einen Niet

Fv Rd

N

Bemessungswert der Abschertragfähigkeit eines Niets je Scherfuge

k1

1

Beiwert für quer zur Kraftrichtung liegende Niete

lü

mm

NEd

N

Bemessungswert der einwirkenden Normalkraft

Npl Rd

N

Bemessungswert der plastischen Normalkrafttragfähigkeit des Bruttoquerschnitts

Nt Rd

N

Bemessungswert der Zugbeanspruchbarkeit

Nu Rd

N

Zugbeanspruchbarkeit des Nettoquerschnitts längs der kritischen Risslinie durch die Löcher

Ne Rd

N

Bemessungswert der Zugtragfähigkeit des Nettoquerschnitts

m

1

Anzahl der Scherfugen (Schnittigkeit)

n

1

Anzahl der kraftübertragenden Niete

Zur Schließkopfbildung und Nietlochfüllung erforderlicher Überstand des Nietschaftes

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2019 H. Wittel, D. Jannasch, C. Spura, Roloff/Matek Maschinenelemente Formelsammlung, https://doi.org/10.1007/978-3-658-25469-8_7

7

52

7

7 Nietverbindungen

Formelzeichen

Einheit

Benennung

na , nl

1

p2

mm

erforderliche Nietzahl aufgrund der Abscher- bzw. Loch­ leibungstragfähigkeit Lochabstand senkrecht zur Bauteilachse

p1

mm

Lochabstand in Kraftrichtung

Re

N/mm2

Streckgrenze des Bauteilwerkstoffes

Rm

N/mm2

Zugfestigkeit des Bauteilwerkstoffes

Rm Niet

N/mm2

Zugfestigkeit des Nietwerkstoffes

s

mm

versetzter Lochabstand in Richtung der Bauteilachse

t

mm

Blechdicke, Bauteildicke

tmin

mm

kleinste Summe der Blechdicken mit in gleicher Richtung wirkendem Lochleibungsdruck

Σt

mm

Klemmlänge, d. h. die Gesamtdicke aller zu vernietenden Teile

αb

1

Beiwert für in Kraftrichtung liegende Niete

β2 , β3

1

Abminderungsbeiwerte

γM0 , γM2

1

Teilsicherheitsbeiwerte

σl , σl zul

N/mm2

vorhandene und zulässige Lochleibungsspannung

σW zul

N/mm2

zulässige Wechselspannung für gelochte Bauteile (DIN 15 018-1)

τa , τa zul

N/mm2

vorhandene und zulässige Abscherspannung im Niet

7 Nietverbindungen53 Nr.

Formel

Hinweise

Nietverbindungen sind nicht lösbare feste (oder bewegliche) Verbindungen eines oder mehrerer Teile mit einem Hilfsfügeteil (Niet) oder einem Gestaltelement eines Verbindungspartners, das bei der Montage plastisch verformt wird. Bei Blindnietverbindungen genügt die Zugänglichkeit von einer Seite, „Nichtblindniet-Verbindungen“ müssen von beiden Seiten zugänglich sein. Nietver­ bindungen werden häufig anstelle von Schraubenverbindungen eingesetzt, wenn

– es nicht auf eine genau aufrecht zu erhaltende Vorspannkraft ankommt, – Demontierbarkeit nicht erforderlich oder sogar unerwünscht ist, – Schraubenverbindungen zu teuer wären, – glatte Oberflächen bei sicherer Befestigung verlangt werden (Flugzeugaußenhaut, Verbindungen mit Textilien und Leder). Nietverbindungen im Aluminiumbau (DIN EN 1999-1-1) werden grundsätzlich wie im Stahlbau (DIN EN 1993-1-8) mit den Gln. Nr. 1 bis 18 berechnet. Für Bauteile und Verbindungsmittel gelten dann die Werkstoffkennwerte der Al-Legierungen nach TB 3-4 und TB 7-5.

Nietverbindungen im Stahl- und Aluminiumbau Beanspruchbarkeit der Bauteile Querschnittswerte

p1 2

Nettofläche Anet = A – ΔA

2

ΔA = n · d0 · t Lochabzugsfläche, Risslinie 2 (versetzte Löcher)

3

Ê ( p1 / 2)2 ˆ D A = t ◊ Á n ◊ d0 - S ˜ 4 ◊ p2 ¯ Ë

p2

Lochabzugsfläche, Risslinie 1

t

p2

1

p1 2

a)

F p

d0 1

2

b)

A Bruttoquerschnittsfläche aus Profiltabellen, z. B. aus TB 1-8 bis TB 1-12 n Anzahl der in der Risslinie liegenden Löcher Σ Anzahl der Versatzmaße, z. B. 2 in Bild a Bei in mehreren Ebenen liegenden Löchern (Bild b) ist der Lochabstand p entlang der Profil­ mittellinie zu messen

7

54 Nr.

4

7 Nietverbindungen Formel

Hinweise

maßgebende Nettofläche (kritische Risslinie) "

Anet = min A − n  d0  tI

A − t  n  d0 − † 

.p1 =2/2 4  p2

!#

Nachweis der Zugbeanspruchbarkeit gelochter Bauteile plastische Beanspruchbarkeit des Bruttoquerschnitts 5

N pl Rd =

A ◊ Re ≥ N Ed g M0

Zugbeanspruchbarkeit des Nettoquerschnitts 6

N u Rd =

0,9 ◊ Anet ◊ Rm ≥ N Ed g M2

Einseitig angeschlossene Winkel Zugtragfähigkeit des Nettoquerschnitts

Re und Rm nach TB 6-5 γM0 = 1,0, γM2 = 1,25, Teilsicherheitsbeiwerte Bedingung für die Berechnung wie zentrisch belastete Winkel:

e1

• mit einem Niet: 7

N u Rd =

2,0 ◊ (e2 - 0,5d 0 ) ◊ t ◊ Rm g M2

p1

e2

• mit zwei Nieten: 8

N u Rd =

N u Rd =

d0

b 2 ◊ Anet ◊ Rm g M2

• mit drei und mehr Nieten: 9

t

7

Der kleinere Wert ist anzusetzen: Nt Rd = min (Npl Rd; Nu Rd) ≥ NEd

b3 ◊ Anet ◊ Rm g M2

Abminderungsbeiwerte β2 und β3 Loch­ p1 ≤ 2,5 · d0 3,0·d0 3,5·d0 4,0·d0 4,5·d0 ≥ 5,0·d0 abstand 2 Niete β2

0,40

0,46

0,52

0,58

0,64

0,70

3 Niete β3 oder mehr

0,50

0,54

0,58

0,62

0,66

0,70

Für Zwischenwerte von p1 darf der Wert β interpoliert werden. Gilt auch für andere unsymmetrische Bauteile und Anschlüsse. Ungleichschenklige Winkel mit dem längeren Schenkel anschließen.

7 Nietverbindungen55 Nr.

Formel

Hinweise

Bemessung der Nietverbindungen Nietabmessungen

10

günstiger Nenndurchmesser p dl  50  tmin − 2

d1

tmin

mm

mm

Hauptabmessungen und übertragbare Kräfte für Halbrundniete DIN 124 s. TB 7-4.

lü

d8

d1 d0

r1

t

k1

l

a)

lü

t

b)

l

d8

r2

d1 d8

d0

t1

w

a) Halbrundkopf als Schließkopf (Form A) b) Senkkopf als Schließkopf (Form B) erforderliche Nietlänge 11

l = Σt + lü

Überstand bei Schließkopf als

– Halbrundkopf (Form A): bei Maschinennietung lü ª (4/3) · d1 bei Handnietung

lü ª (7/4) · d1

– Senkkopf (Form B): lü ª (0,6 ··· 1,0) ·d1 In TB 7-4 sind neben den Schließkopfmaßen die größten Klemmlängen Σtmax für Halbrundkopf (Form A) und Senkkopf (Form B) angegeben. Σt darf beim Schlagen mit dem Niethammer 4,5 · d1 und beim hydraulischen Nieten 6,5 · d1 nicht überschreiten.

7

56 Nr.

7 Nietverbindungen Formel

Hinweise

Beanspruchbarkeit der Niete Nachweis der Abschertragfähigkeit je Scherfuge 12

Fv Rd =

0,6 ◊ Rm Niet ◊ A0 ≥ FvEd g M2

Rm Niet darf bei Einsatz von S235 „nach dem Schlagen“ mit 400 N/mm2 angesetzt werden (für Al-Niete nach TB 7-5). Grenzabscherkraft Fv Rd für d0 = 10,5 bis 37 mm s. TB 7-4. Bei langen Stabanschlüssen (L > 15 · d) ist Fv Rd mit β = 1 – (L – 15 · d) / (200 · d) abzumindern (jedoch β ≤ 1,0 und β ≥ 0,75)

7

Nachweis der Lochleibungstragfähigkeit je Niet 13

Fb Rd = k1 ◊ a b ◊ d 0 ◊ t ◊

Rm ≥ Fv Ed g M2

Beiwerte k1 und αb nach TB 8-17 Rm nach TB 6-5 (für Aluminium nach TB 3-4) γM2 = 1,25, Teilsicherheitsbeiwert max. Grenzlochleibungskraft Fb Rd für t = 10 mm und S235 s. TB 7-4 Bei schräg angreifenden Nietkräften Fv Ed darf Fb Rd getrennt für die Kraftkomponenten parallel und senkrecht zum Rand nachgewiesen werden.

Nachweis der Zugtragfähigkeit je Niet 14

Ft Rd =

0,6 ◊ Rm Niet ◊ A0 ≥ Ft Ed g M2

Eine Beanspruchung der Niete auf Zug wird nicht empfohlen

Entwurfsberechnung erforderliche Nietzahl aufgrund der Abschertragfähigkeit 15

na ≥

FEd ◊ g M2 0,6 ◊ m ◊ Rm Niet ◊ A0

FEd Bemessungswert der auf die Verbindung einwirkenden Stabkraft m Anzahl der Scherfugen, m = 1 (einschnittig), m = 2 (zweischnittig) Rm Niet darf bei Einsatz von S235 „nach dem Schlagen“ mit 400 N/mm2 angesetzt werden (für Aluminiumniete nach TB 7-5)

erforderliche Nietzahl aufgrund der Lochleibungstragfähigkeit 16

nl 

FEd  ”M2 k1  ’b  Rm  d0  t

Rm nach TB 6-5 (für Aluminium nach TB 3-4) k1 = 2,5 und αb = 1,0 bei Annahme von Abstands­ maßen für optimale Tragfähigkeit, s. TB 7-2.

7 Nietverbindungen57 Nr.

Formel

Hinweise

Nietverbindungen im Maschinen- und Gerätebau Nachweis gegen Versagen durch Abscheren 17

18

F  £a zul m  n  A0 Nachweis gegen Versagen durch Lochleibung £a =

¢l =

F  ¢l zul n  d0  tmin

Bei dynamischer Belastung Feq = KA · F, mit KA nach TB 3-5c. zulässige Abscher- und Lochleibungsspannung:

– allgemein τa zul ª 0,6 · Rm/S, mit Rm des Nietwerkstoffs und zu wählender Sicherheit S, Rm ª 400 N/mm2 für St σl zul ª 1,5 · Rm/S, mit Rm als Bauteilwerkstoff, z. B. nach TB 1-1 und TB 6-5

– Betriebsfestigkeitsnachweis (DIN 15018-1) σW zul für gelochte Bauteile aus S235 (S355) in Abhängigkeit der Betriebsweise aus TB 7-6. Für wechselnde Beanspruchung:

• einschnittige Verbindungen: τa zul = 0,6 · σW zul, σℓ zul = 1,5 · σW zul

• mehrschnittige Verbindungen: τa zul = 0,8 · σW zul , σℓ zul = 2,0 · σW zul

• Für schwellende Beanspruchung gelten die 1,66-fachen Werte. – für Kunststoffnietungen nach TB 7-7

7

8 Schraubenverbindungen Befestigungsschrauben

8

Formelzeichen

Einheit

Benennung

A

mm2

Querschnittsfläche der Schraube

Aers

mm2

Querschnittsfläche eines Ersatzhohlzylinders mit der gleichen elastischen Nachgiebigkeit wie die der verspannten Teile

Adi

mm2

Querschnittsfläche des zylindrischen Einzelelementes i der Schraube

AN

mm2

Nennquerschnitt der Schraube

Ap

mm2

Auflagefläche des Schraubenkopfes bzw. der Mutter

As

mm2

Spannungsquerschnitt des Schraubengewindes

AT

mm2

Taillen- oder Dehnschaftquerschnitt

A0

mm2

zutreffende kleinste Querschnittsfläche der Schraube

A3

mm2

Kernquerschnitt des Schraubengewindes

DA

mm

Außendurchmesser einer verspannten Hülse

d

mm

Gewindeaußendurchmesser (Nenndurchmesser)

dh

mm

Durchmesser des Durchgangsloches in den verspannten Teilen

dK

mm

wirksamer Reibungsdurchmesser in der Schraubenkopf- oder Mutterauflage

ds

mm

Durchmesser zum Spannungsquerschnitt As

dT

mm

Dehnschaftdurchmesser

dw

mm

Außendurchmesser der ebenen Kopfauflagefläche

d2

mm

Flankendurchmesser des Schraubengewindes

d3

mm

Kerndurchmesser des Schraubengewindes

E, EM

N/mm2

Elastizitätsmodul, allgemein

ES

N/mm2

Elastizitätsmodul des Schraubenwerkstoffes

ET

N/mm2

Elastizitätsmodul der verspannten Teile

F

N

Kraft, allgemein

Fa

N

Ausschlagkraft bei schwingender Belastung der Schraube

FB

N

Betriebskraft in Längsrichtung der Schraube

FBo , FBu

N

oberer bzw. unterer Grenzwert der axialen Betriebskraft

FBS

N

Zusatzkraft; Anteil der Betriebskraft, mit der die Schraube -­ zusätzlich belastet wird

FBSo , FBSu

N

oberer bzw. unterer Grenzwert der Zusatzkraft FBS

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2019 H. Wittel, D. Jannasch, C. Spura, Roloff/Matek Maschinenelemente Formelsammlung, https://doi.org/10.1007/978-3-658-25469-8_8

8  Schraubenverbindungen59 Formelzeichen

Einheit

Benennung

FBT

N

Entlastungskraft; Anteil der Betriebskraft, der die verspannten Teile entlastet

FKl

N

Klemmkraft, die für Dichtfunktionen, Reibschluss und Verhinderung des einseitigen Abhebens an der Trennfuge ­erforderlich ist

Fm

N

Mittelkraft; ruhend gedachte Kraft, um die bei schwingender Beanspruchung der Schraube die Ausschlagkraft pendelt

Fn

N

Normalkraft

FQ ges

N

Gesamtquerkraft; von der Schraubenverbindung aufzu­ nehmende, senkrecht zur Schraubenachse gerichtete Kraft

FS ges

N

Gesamtschraubenkraft

Fsp

N

axiale Spannkraft der Schraube bei 90 % iger Ausnutzung der Streckgrenze durch die Vergleichsspannung

FV

N

Vorspannkraft der Schraube

FVM

N

Montagevorspannkraft

FV min

N

kleinste Montagevorspannkraft die sich bei FVM infolge Ungenauigkeit des Anziehverfahrens einstellt

F0,2

N

Schraubenkraft an der Mindeststreckgrenze bzw. 0,2 %-Dehngrenze

FZ

N

Vorspannkraftverlust infolge Setzens im Betrieb

fS

mm

Verlängerung der Schraube durch FV

fT

mm

Verkürzung der verspannten Teile durch FV

fZ

mm

Setzbetrag

k

1

Faktor zur Berücksichtigung des Bauteilwerkstoffes

kA

1

Anziehfaktor

kτ

1

Reduktionskoeffizient

l

mm

Länge, allgemein

lk

mm

Klemmlänge

l1 , l2 ...

mm

Länge der federnden Einzelelemente der Schraube

lG

mm

Gewindelänge im Klemmlängenbereich (freies belastetes Gewinde)

lGe , lKo , lM

mm

Längenzuschläge bei elastischer Nachgiebigkeit der Schraube

MA

N m

Anziehdrehmoment bei der Montage

MG, MRA

N m

Gewindemoment, Auflagereibungsmoment

Msp

N m

Spannmoment (Anziehmoment zum Vorspannen einer Schraube auf Fsp)

n

1

Krafteinleitungsfaktor; n · lk gibt die Dicke des durch die Betriebskraft entlasteten Bereichs der verspannten Teile an; Gangzahl bei mehrgängigem Gewinde

8

60

8

8  Schraubenverbindungen

Formelzeichen

Einheit

Benennung

P

mm

Ph p

mm N/mm2

Steigung bei mehrgängigen Gewinden Flächenpressung

pG

N/mm2

Grenzflächenpressung, maximal zulässige Pressung unter dem Schraubenkopf

Rp 0,2

N/mm2

0,2 %-Dehngrenze bzw. Streckgrenze des Schraubenwerkstoffes

Steigung bei eingängigen Gewinden bzw. Teilung bei mehrgängigen Gewinden

z

1

Anzahl der kraftübertragenden Schrauben

β

1

Nachgiebigkeitsfaktor der Schraube

δ

mm/N

elastische Nachgiebigkeit

δG

mm/N

elastische Nachgiebigkeit des Gewindes

σGe

mm/N

elastische Nachgiebigkeit des eingeschraubten Gewindes

δi

mm/N

elastische Nachgiebigkeit des zylindrischen Elementes i

δKo

mm/N

elastische Nachgiebigkeit des Schraubenkopfes

σM

mm/N

elastische Nachgiebigkeit der Mutter bzw. des Einschraub­ gewindebereiches bei Einschraubverbindungen

δS , δT

mm/N

elastische Nachgiebigkeit der Schraube bzw. der verspannten Teile

ε

1

Dehnung

κ

1

Reduktionsfaktor (σred/σVM)

μG

1

Reibungszahl im Gewinde

μges

1

Gesamtreibungszahl (mittlere Reibungszahl für Gewinde und Kopfauflage)

μK

1

Reibungszahl in der Kopfauflage

μT

1

Reibungszahl in der Trennfuge der Bauteile

ν

1

Ausnutzungsgrad

¬0

°

Reibungswinkel des Gewindes

σA

N/mm2

Ausschlagfestigkeit der Schraube

σa

N/mm2

Dauerschwingbeanspruchung der Schraube (Ausschlag­ spannung)

σM

N/mm2

Montagezugspannung in der Schraube

σred

N/mm2

reduzierte Spannung Verdrehspannung

τt

N/mm2

Φ

1

Kraftverhältnis FBS / FB

Φk

1

vereinfachtes Kraftverhältnis für Krafteinleitung in Ebenen durch die Schraubenkopf- und Mutterauflage

φ

°

Steigungswinkel des Schraubengewindes

8  Schraubenverbindungen61 Nr.

Formel

Hinweise

Befestigungsschrauben Die Berechnung unterscheidet sich in vor- und nicht vorgespannte Verbindungen. Nicht vorgespannte Schraubenverbindungen sind solche, bei denen die Schraube die Bauteile nicht verspannt (zusammendrückt). Die gesamte Betriebskraft wirkt auf die Schraube. Berechnung siehe Nr. 46 bis 47. Bei vorgespannten Schraubenverbindungen sind die Schrauben vor dem Angreifen einer Betriebskraft FB oder Querkraft FQ durch eine nach dem Festdrehen der Mutter oder der Schraube hervorgerufene Vorspannkraft FV bereits belastet, d. h. vorgespannt. Die Betriebskraft kann in Längsrichtung der Schraube zentrisch oder exzentrisch wirken (Bild a, b und c) und/oder quer zur Schraubenachse (Bild d). Die hier angegebenen Gleichungen gelten nur für zentrischen Kraftangriff von FB (näherungsweise auch bei steifen Flanschen, z. B. Bild b). Bei exzentrischem Kraftangriff oder schiefer Verspannung der Schraube (Bild c) – es treten zusätzliche Biegemomente auf – sollte die Berechnung nach VDI 2230 erfolgen.

8 a)

b)

c)

d) Steigungswinkel des Gewindes Ph d2 ◊ p

1

tan j =

2

Gewindesteigung bei mehrgängigem Gewinde Ph = P · n

1 Schraubenlinie 2 abgewickelte Schraubenlinie P für metrisches Regel- und Feingewinde s. TB 8-1 und TB 8-2

62 Nr.

8  Schraubenverbindungen Formel

Hinweise

Vorauslegung vorgespannter Schraubenverbindungen (s. auch Ablaufplan A 8-1) erforderlicher Spannungs- bzw. Taillenquerschnitt 3

As bzw. AT ≥

FB + FK1 Rp 0,2 f - b ◊ ES ◊ Z lk k ◊ kA

fZ nach TB 8-10a mittlerer Wert: 0,011 mm Nachgiebigkeitsfaktor β: 1,1 für Schaftschrauben (z. B. DIN EN ISO 4014) 0,8 für Ganzgewindeschrauben (z. B. DIN EN ISO 4017) 0,6 für Dehnschrauben mit dT ª 0,9d3 Reduktionsfaktor κ (= σred/σVM) μG

8 κ

0,08 0,10 0,12 0,14 0,20

Schaftschraube

1,11 1,15 1,19 1,24 1,41

Dehnschraube

1,15 1,20 1,25 1,32 1,52

μG nach TB 8-12 b kA nach TB 8-11 Rp 0,2 nach TB 8-4 ES ª 210 000 N/mm2 für Stahl Ausschlagspannung 4

F - FBu s a ª ± k Bo £ sA As

Flächenpressung 5

Fsp £ pG pª 0,9 ◊ Ap

Bauteilwerkstoff k As σA Fsp Ap p G

Stahl

Gusseisen

Al

0,1

0,125

0,15

nach TB 8-1 bzw. TB 8-2 nach Nr. 23 bzw. 24 nach TB 8-14 nach TB 8-8 und TB 8-9 nach TB 8-10b

Kraft- und Verformungsverhältnisse bei vorgespannten Schraubenverbindungen elastische Längenänderung 6

f = e ◊l =

l ◊s F ◊l = E E◊ A

elastische Nachgiebigkeit 7

d=

1 f l = = C F E◊A

8  Schraubenverbindungen63 Formel

Hinweise

8

elastische Nachgiebigkeit der Schraube dS = d Ko + d1 +  + di + d G + d Ge + d M

Zuschlag für – Sechskantschraubenkopf lKo = 0,5d – Innensechskantschraubenkopf lKo = 0,4d – eingeschraubtes Gewinde lGe = 0,5d – Schraubenmutter lM = 0,4d – Einschraubgewindebereich lM = 0,33d

9

dS =

l l l l ˆ 1 Ê lKo + l +  + i + G + Ge ˜ Á ES Ë AN Adl Adi A3 A3 ¯ +

lM EM ◊ AN

bei Durchstreckverschraubung ist EM = ES bei Einschraubverbindung ist EM = ET ES, ET nach TB 1-1 bis TB 1-3 für Stahl: ES = 210 000 N/mm2 A3 nach TB 8-1 bzw. TB 8-2

elastische Nachgiebigkeit der ver­ spannten Teile 10

dT =

fT lk = FV Aers ◊ ET

p◊d2 4

lKo

AN =

Ko

Nr.

mit Ersatzquerschnitt • bei d w £ DA £ d w + lk 11

Aers =

p 2 (d w - dh2 ) 4 p 2 + ◊ d w (DA - d w ) ◊ È(x + 1) - 1˘ Î ˚ 8

wobei x = 3

lk ◊ d w DA2

• bei DA < dw 12

13

Aers

p = (DA2 - d h2 ) 4

• bei DA > dw + lk  Aers =  .dw2 − dh2 / 4 h i  +  dw  lk  .x + 1/2 − 1 8 wobei x = 3

lk ◊ d w

(d w + lk )2

Außendurchmesser der ebenen Kopfauflage­ fläche dw näherungsweise gleich Kopfdurch­ messer bzw. Schlüsselweite. Genauwerte s. Normen. dh nach DIN EN 20273, s. TB 8-8 Für von der Kreisform abweichende Trenn­ fugenfläche empfiehlt es sich, für DA den Durchmesser des Innenkreises zu setzen. ET nach TB 1-1 bis TB 1-3, für Stahl: ET = 210 000 N/mm2

8

64 Nr.

14

8  Schraubenverbindungen Formel

Hinweise

Zusatzkraft für die Schraube infolge der axialen Betriebskraft

Verspannungsschaubild – mit schwellender Betriebszugkraft FB

FBS = FB ◊ n

dT = FB ◊ F dS +d T

Anteil der axialen Betriebskraft der die verspannten Teile entlastet 15

FBT = FB – FBS = FB(1 – Φ) Klemmkraft in der Trennfuge

16

FKl = FV – FBT = FV – FB(1 – Φ) Gesamtschraubenkraft

FBSo - FBSu F - FBu = ± Bo ◊F 2 2

FBS

Fa = ±

FB

18

– mit Hauptdimensionierungsgrößen

Mittelkraft Fm = FV +

FBo - FBu ◊F 2

FV

19

fS + (1 – n)fT n · fT Montagezustand Kraftverhältnis 20

21

F = n ◊ Fk = n

f

Richtwerte n für die Höhe der Krafteinleitung

dT dS + d T

erforderliche Klemmkraft pro Schraube bei querbeanspruchten reibschlüssigen Schraubenverbindungen FQ ges FKl = mT ◊ z

n = 0,7 μT nach TB 8-12d

Setzverhalten der Schraubenverbindungen Vorspannkraftverlust infolge Setzens 22

FVmin FVM = kA · FVmin Fsp FSmax

Ausschlagkraft bei schwingender Belastung der Schraube

FZ

8

FS ges = FV + FBS = FKl + FB

F

17

fZ f f FZ = = Z F k = Z (1 - F k ) dS + d T d T dS

dT dS + d T fZ nach TB 8-10a Fk =

n = 0,5

n = 0,3

8  Schraubenverbindungen65 Nr.

Formel

Hinweise

Dauerhaltbarkeit der Schraubenverbindungen, dynamische Sicherheit Dauerschwingbeanspruchung der Schraube (Ausschlagspannung) 23

24

25

26

sa = ±

Fa £ sA As

As nach TB 8-1 bzw. TB 8-2 Fa nach Nr. 18 Nachweis der dynamischen Sicherheit s. auch Ablaufplan A 8-5

Ausschlagfestigkeit bei • schlussvergütetem Gewinde (SV)   150 ¢A.SV/  ˙0; 85  + 45 d

gültig für Festigkeitsklassen 8.8 bis 12.9

• schlussgewalztem Gewinde (SG) Ê F ˆ s A (SG) ª ± Á 2 - m ˜ ◊ s A (SV) F0,2 ¯ Ë

Fm nach Nr. 19 F0,2 = As · Rp0,2 (bei Dehnschrauben AT für As)

dynamische Sicherheit s SD = A ≥ SD erf sa

SD erf ≥ 1,2

σA (SV)

d

N/mm2

mm

Anziehen der Schraubenverbindungen Gewindemoment 27

28

29

30

d2 d2 = FVM   tan .® ˙ ¬0 / 2 2 Anziehdrehmoment, allgemein   d2 dK MA = FVM  tan .® + ¬0 / + K  2 2

MG = FU 

Anziehdrehmoment bei Schrauben mit metrischem Gewinde MA = MG + MRA " G d2 MA = FVM  + tan ® 2 cos.“=2/ # dw + dh + K  2  d2 MA = FVM 0;159P + 0;577  G  d2 dK + K  2

d2 und φ nach TB 8-1 und TB 8-2 μK nach TB 8-12 dK / 2 ª (dw + dh) / 4, überschlägig für Sechskant- und Zylinderschrauben: dK / 2 ª 0,65 ∙ d; dw und dh siehe Nr. 29 MA besteht aus dem Reibmoment im Gewinde und dem unter Schraubenkopf bzw. Mutter μG nach TB 8-12 dw näherungsweise gleich Kopfdurchmesser bzw. Schlüsselweite; überschlägig: dw ª 1,4 ∙ d Genauwerte s. Normen dh nach DIN EN 20 273, Werte s. TB 8-8 β = 60° bei metrischem ISO-Gewinde P nach TB 8-1 und TB 8-2

!

Anziehdrehmoment bei metrischem Gewinde und μG = μK = μges 31

ϱ′ aus tan ϱ′ = μ′G = μG / cos (β/2) = 1,155 · μG bei metrischen Gewinden mit β = 60° Das – in () gilt beim „Lösen“ der Schraube

È d ˆ˘ Ê M A = FVM Í0,159 P + m ges Á 0,577 d 2 + K ˜ ˙ Ë 2 ¯˚ Î

µges nach TB 8-12a dK / 2 ª 0,65 d

8

66

8  Schraubenverbindungen

Nr.

Formel

Hinweise

32

Anziehdrehmoment für Befestigungsschrauben (Faustformel) MA ª 0,17 · FVM · d

MA

FVM

d

N m

kN

mm

Montagevorspannkraft 33

34

• Hauptdimensionierungsformel FVM = kA · FV min = kA [FKl + FB(1 – Φ) + FZ]

Gesucht wird eine Schraube (Durchmesser und Festigkeitsklasse) nach TB 8-14 für die Fsp ≥ FVM ist. kA nach TB 8-11 Φ nach Nr. 20 FZ nach Nr. 22

• keine Betriebskraft in Längsrichtung der Schraube FVM = kA (FKl + FZ)

Berechnung der Montagevorspannkraft s. auch Ablaufplan A 8-2

Beanspruchung der Schraube beim Anziehen

8 35

36

Vergleichsspannung q 2 + 3  £2  v  R ¢red = ¢M p0;2 t

μG nach TB 8-12b Montagezugspannung Für d0 setze man für n ◊ Rp 0,2 sM = 2 – Schaftschrauben: ds = (d2 + d3) / 2 È3 ˘ 1 + 3Í (0,159 P + 0,577 ◊ m G ◊ d 2 )˙ – Dehnschrauben: dT ª 0,9 ∙ d3 Î d0 ˚ Werden die Schrauben nur im elastischen Bereich angezogen ist für 3/d0 zu setzen 4/d0 . Spannkraft • für Schaftschrauben (d ≥ ds)

37

Fsp = FVM 90 = ¢M  As     d2 + d3 2 = ¢M 4 2 • für Dehnschrauben (dT < ds)

38

τt = MG / Wt MG nach Nr. 27 bis 30 Wt = p ◊ d 03 / 12 d0 s. Nr. 36 Rp0,2 nach TB 8-4 P, d2 , d3 und As nach TB 8-1 und TB 8-2 ν = 0,9 bei 90%iger Ausnutzung der Mindestdehngrenze

Fsp = FVM 90

Ê pˆ = s M ◊ AT = s M ◊ Á ˜ ◊ d T2 Ë 4¯

Spannkräfte Fsp und zugehörige Spannmomente Msp für Schaft- und Dehnschrauben bei verschiedenen Gesamtreibungszahlen μges s. TB 8-14

dT ª 0,9 ∙ d3

8  Schraubenverbindungen67 Nr.

Formel

Hinweise

Einhaltung der maximal zulässigen Schraubenkraft (s. auch Ablaufplan A 8-4) Rp0,2 nach TB 8-4 Φ nach Nr. 20 As nach TB 8-1 und TB 8-2

39

Die maximal zulässige Schraubenkraft wird nicht überschritten, wenn die Zusatzkraft • bei Schaftschrauben FBS = Φ · FB ≤ 0,1 · Rp0,2 · As

40

• bei Dehnschrauben FBS = Φ · FB ≤ 0,1 · Rp0,2 · AT

AT = (p / 4) ◊ d T2 , wobei dT ª 0,9 ∙ d3

statische Sicherheit (s. auch Ablaufplan A 8-3) Vergleichsspannung 41

s 2z max

s red =

+ 3 ( kt ◊ t t

)2

mit maximaler Zugspannung 42

43

s z max =

FS ges A0

=

( FVM + F ◊ FB ) A0

statische Sicherheit Rp 0,2 SF = ≥ SFerf s red

kτ ª 0,5 τt = MG / Wt MG nach Nr. 27 bis 30 Wt = p ◊ d 03 / 16 d0 s. Nr. 36 A0 = As bei Schaftschrauben A0 = AT bei Dehnschrauben s. Nr. 39 und 40

Flächenpressung an den Auflageflächen

44

45

Flächenpressung • bei elastischem Anziehen Fsp + ˆ  FB  pG p= Ap

Fsp nach TB 8-14 Ap nach TB 8-8 und TB 8-9 Φ nach Nr. 20 pG nach TB 8-10b

• bei streckgrenz- und drehwinkel­ gesteuertem Anziehen Fsp p = 1; 2  1; 05 0; 9  Ap Fsp = 1; 4  pG Ap

Der Faktor 1,05 berücksichtigt eine Verfestigung der Oberfläche beim Anziehen.

Berechnung nicht vorgespannter Schrauben im Maschinenbau erforderlicher Spannungsquerschnitt • statische Belastung 46

As ≥

F F ◊S = s z(d)zul Rp0,2

• dynamische Belastung 47

As ≥

Fa FBo - FBu = sA 2 ◊ sA

S = 1,5 bei „Anziehen unter Last“, sonst S = 1,25 Rp0,2 nach TB 8-4 σA s. Nr. 24 und 25

8

68

8  Schraubenverbindungen

Schraubenverbindungen im Stahlbau

8

Formelzeichen

Einheit

A

mm2

Benennung Schaftquerschnittsfläche der Schraube; Bauteilquerschnitt ohne Lochabzug (Bruttoquerschnittsfläche)

Anet

mm2

nutzbare Stabquerschnittsfläche in der ungünstigsten Risslinie, Nettoquerschnittsfläche

Ant

mm2

nutzbare zugbeanspruchte Stabquerschnittsfläche

Anv

mm2

nutzbare schubbeanspruchte Stabquerschnittsfläche

As

mm2

Spannungsquerschnitt des Schraubengewindes

d

mm

Schaftdurchmesser

d0

mm

Lochdurchmesser

e1 , e2

mm

Randabstand in Kraftrichtung, – quer zur Kraftrichtung

F

N

Kraft, allgemein

Fb Rd

N

Tragfähigkeit bezüglich Lochleibungsdruck

Fs Rd

N

Tragfähigkeit bei Abscher- und Zugbeanspruchung

Fs Rd, ser

N

Grenzgleitkraft im Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit bei Abscher- und Zugbeanspruchung

Ft Rd

N

Tragfähigkeit bezüglich Zugkraft

Ft Ed

N

Bemessungswert der einwirkenden Kraft; je Schraube zu übertragende Zugkraft

Ft Ed, ser

N

Bemessungswert der einwirkenden Zugkraft im Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit

FV , FV*

N

Fv Ed

N

Vorspannkraft der Schraube (FV � Fp,C in Norm)

Bemessungswert der einwirkenden Kraft; je Schraube und Scherfuge bzw. Bauteildicke zu übertragende Kraft

Fv Ed, ser

N

Bemessungswert der einwirkenden Scherkraft im Grenz­ zustand der Gebrauchstauglichkeit

Fv Rd

N

Tragfähigkeit bezüglich Abscheren

Fx , Fy

N

auf einen momentbelasteten Anschluss wirkende Normalbzw. Querkraft

Fx ges , Fy ges

N

waagerechte bzw. senkrechte Komponente der Schraubenkraft in momentbelasteten Anschlüssen

L

mm

Abstand zwischen der ersten und letzten Schraube in Kraftrichtung bei langen Stab- und Laschenanschlüssen

k1 , k2

1

Beiwerte

8  Schraubenverbindungen69 Formelzeichen

Einheit

Benennung

ks

1

l1 , l2 ...

mm

bei Konsolanschlüssen Abstände der zugbeanspruchten Schrauben vom Druckmittelpunkt

Mb

Nm

Biegemoment

MS

Nm

Anschlussmoment im Schwerpunkt S der Schraubenverbindung bei momentbelasteten Anschlüssen

NEd

N

Bemessungswert der einwirkenden Zugkraft im Stab

Npl Rd

N

Bemessungswert der plastischen Beanspruchbarkeit des Bruttoquerschnitts

Nu Rd

N

Bemessungswert der Zugbeanspruchbarkeit des Nettoquerschnitts längs der kritischen Risslinie

n

1

Anzahl der Reiboberflächen, Anzahl der Schrauben bei Momentanschlüssen

t

mm

kleinste Summe der Bauteildicken mit in gleicher Richtung wirkendem Lochleibungsdruck

tK

mm

Knotenblechdicke

p1 , p2

mm

Lochabstand in Kraftrichtung, – quer zur Kraftrichtung

r

mm

Abstand der Schraube vom Schwerpunkt der Verbindung

rmax

mm

Abstand der am weitesten vom Schwerpunkt der Verbindung entfernten Schraube

ReS

N/mm2

Re

N/mm2

Streckgrenze des Schraubenwerkstoffes (ReS � fv,b in Norm)

RmS

N/mm2

Rm

N/mm2

Veff 1 Rd Veff 2 Rd

N

xmax, ymax

mm

Koordinatenabstand der am weitesten vom Schwerpunkt der Verbindung entfernten Schraube

z

1

Anzahl der den Stab in Zugrichtung schwächenden Löcher; in Konsolanschlüssen Anzahl der von der größten Zugkraft beanspruchten Schrauben

αb , αv

1

Beiwerte

β

1

Abminderungsbeiwert bei langen Stabanschlüssen (L > 15d)

γM0 , γM2 , γM3 , γM3, ser

1

Teilsicherheitsbeiwerte

μ

1

Reibungszahl

Beiwert für die Größe des Lochspiels

Streckgrenze der Bauteilwerkstoffe (Re � fy in Norm)

Zugfestigkeit des Schraubenwerkstoffes (RmS � fu,b in Norm) Zugfestigkeit der Bauteilwerkstoffe (Rm � fu in Norm) Grenzwiderstandskraft gegenüber Blockversagen

8

70 Nr.

8  Schraubenverbindungen Formel

Hinweise

Schraubenverbindungen im Stahlbau

8

Im Stahlbau muss bei Verschraubungen ein Trag­ fähigkeitsnachweis auf Abscheren und LochleibungsAnet druck (Schrauben der Kategorie A) durch­geführt werden. Zusätzlich muss bei gleitfesten planmäßig vorgespannten Verbindungen der Gleitwiderstand für die Gebrauchstauglichkeit (Schrauben der Kategorie B) bzw. der Gleitwiderstand für die Tragfähigkeit (Schrauben der Kategorie C) überprüft werden. Bei auf Zug und Scheren beanspruchten Schrauben (Schrauben der Kategorie D) ist ein Interaktionsnachweis zu führen. Wenn große Anschlusskräfte in relativ kleinen Anschlussbereichen übertragen werden sollen, ist auch das Blockversagen von Schrauben­gruppen zu berechnen. Bei zugbeanspruchten Bauteilen sind Querschnittsschwächungen zu berücksichtigen. Die Grenztragfähigkeit eines geschraubten Anschlusses ergibt sich aus der Trag­ fähigkeit der Bauteile und der Schraube. Der kleinere Wert ist entscheidend. Die Grenzabscherkräfte und Grenzlochleibungskräfte innerhalb eines Anschlusses dürfen addiert werden. Mit einer Annahme gleichmäßiger Verteilung der Schraubenkräfte in einem Anschluss liegt man auf der sicheren Seite. Eine Überprüfung der Rand- und Lochabstände ist nach TB 7-2 erforderlich. Verbindungen mit nicht kontrolliert vorgespannten Schrauben (SL-Verbindungen) Tragfähigkeit bezüglich des Abscherens 48

Fv Rd = b ◊ a v ◊ A ◊

RmS ≥ Fv Ed g M2

Tragfähigkeit bezüglich Lochleibung 49

Fb Rd

R = k1 ◊ a b ◊ d ◊ t ◊ m ≥ Fv Ed g M2

Schrauben Kategorie A β=1 bei langen Stabanschlüssen (L > 15 d): β = 1 – (L – 15d) / 200d αv = 0,5 bei Schrauben 4.8, 5.8, 6.8, 10.9 und Gewinde der Schraube in der Trennfuge, sonst αv = 0,6 A = As wenn das Gewinde in der Trennfuge liegt RmS nach TB 8-4; γM2 = 1,25 k1, αb nach TB 8-17, der jeweils kleinste Wert ist zu verwenden Rm nach TB 6-5

Bei einschnittigen ungestützten Ver­ bindungen mit nur einer Schraubenreihe ist die Lochleibungstragfähigkeit 50

Fb Rd = 1,5d ◊ t ◊

Rm ≥ Fv Ed g M2

Tragfähigkeit bezüglich Zugkraft 51

Ft Rd = k2 ◊ As ◊

RmS ≥ Ft Ed g M2

Schrauben Kategorie D k2 = 0,63 bei Senkschrauben, sonst k2 = 0,9 As nach TB 8-1; RmS nach TB 8-4, γM2 = 1,25

8  Schraubenverbindungen71 Nr.

Formel

Hinweise

Interaktionsnachweis 52

Fv Ed Ft Ed + £ 1,0 Fv Rd 1,4 Ft Rd

Überprüfung der Rand- und Lochabstände

Werte nach TB 7-2

Randschraube

p2 e2

d0

e2 p2

quer zur Kraftrichtung F Kraftrichtung e1

p1 Innenschraube

Verbindungen mit vorgespannten hochfesten Schrauben (HV/HR-Schrauben) Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit 53

54

Fs Rd, ser = ks ◊ n ◊ m ◊

FV g M3, ser

≥ Fv Ed, ser

Grenzzustand der Tragfähigkeit

Schrauben Kategorie C

F = ks ◊ n ◊ m ◊ V ≥ Fv Ed g M3

ks, n, µ, FV, γM3 s. Nr. 53

Fs Rd

Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit bei Scheren und Zug 55

Fs Rd, ser = ks ◊ n ◊ m ◊ ≥ Fv Ed, ser

FV - 0,8 ◊ Ft Ed, ser g M3, ser

Grenzzustand der Tragfähigkeit bei Scheren und Zug 56

Schrauben Kategorie B ks = 1 für normales Lochspiel n = Anzahl der Reiboberflächen µ = 0,5 für Gleitflächenklasse A, µ = 0,4 für B, µ = 0,3 für C, µ = 0,2 für D FV = 0,7 · RmS · As γM3 = 1,25, γM3, ser = 1,1

Fs Rd = ks ◊ n ◊ m ◊

FV - 0,8 ◊ Ft Ed g M3

≥ Fv Ed

Schrauben Kategorie B ks, n, µ, FV, γM3, ser s. Nr. 53 Schrauben Kategorie C ks, n, µ, FV, γM3 s. Nr. 53

8

72 Nr.

8  Schraubenverbindungen Formel

Hinweise

Berechnung der Bauteile

57

Grenztragfähigkeit der zugbeanspruchten Bauteile

Der kleinere der beiden Werte ist zu verwenden

• im Nettoquerschnitt

Rm nach TB 6-5, γM2 = 1,25 Anet = A – (d0 · t · z) s. a. Nr. 1 bei Nietverbindungen d0 = d – ∆d ∆d = 1 mm bei M12 ∆d = 2 mm bei M16–M24 ∆d = 3 mm bei M27–M36 ∆d ≤ 0,3 mm bei Passschrauben

N u Rd = 0,9 ◊ Anet ◊

Rm ≥ N Ed g M2

• im Bruttoquerschnitt 58

8

N pl Rd

R = A ◊ e ≥ N Ed g M0

Re nach TB 6-5, γM0 = 1,0 Hinweis: Berechnung einseitig angeschlossener Winkel s. Nr. 7 bis 9 Nietverbindungen

Blockversagen von Schrauben­ verbindungen • bei zentrischer Belastung 59

Veff 1 Rd = Ant ◊

Rm Re + Anv ◊ g M2 3 ◊ g M0

• bei exzentrischer Belastung 60

Veff 2 Rd

V Anv Ant

R Re = 0,5 Ant ◊ m + Anv ◊ g M2 3 ◊ g M0

61

F R £ 0,9 ◊ m b ◊ tK g M2 mit b = 2 ◊ tan 30∞◊ L - d 0

s=

L

Tragsicherheitsnachweis in Knoten­ blechen

Es wird eine Lastausbreitung unter einem Winkel von 30° über die Länge L angenommen.

8  Schraubenverbindungen73 Nr.

Formel

Hinweise

Moment(schub)belastete Anschlüsse Für die am höchsten belastete äußere Schraube beträgt • die tangential gerichtete Schraubenkraft 62

Fmax = F1 =

M S ◊ rmax M S ◊ rmax = S r2 S (x 2 + y 2 )

• die waagerechte Komponente der Schraubenkraft 63

Fx ges = Fmax ◊

ymax Fx M S ◊ ymax F + = + x 2 2 rmax n S (x + y ) n

• die senkrechte Komponente der Schraubenkraft 64

Fy ges = Fmax ◊

Fy xmax Fy M S ◊ xmax + = + rmax n S (x 2 + y 2 ) n

• die resultierende Schraubenkraft 65

Fres =

Fx2ges + Fy2ges

Konsolanschlüsse größte Zugkraft in einer Schraube 66

Fmax =

Mb l1 ◊ z l12 + l22 +  + ln2

Mb = F · la

8

74

8  Schraubenverbindungen

Bewegungsschrauben

8

Formelzeichen

Einheit

A3

mm2

Benennung Kernquerschnitt des Schraubengewindes

dL

mm

mittlerer Durchmesser Spindelauflage – Reibfläche

d2

mm

Flankendurchmesser des Schraubengewindes

d3

mm

E

N/mm2

Kerndurchmesser des Schraubengewindes

F

N

H1

mm

Flankenüberdeckung des Gewindes

lk

mm

rechnerische Knicklänge

l1

mm

n

l

P

mm

Steigung bei eingängigen Gewinden bzw. Teilung bei mehrgängigen Gewinden

Ph

mm

Steigung bei mehrgängigen Gewinden

p, pzul

N/mm2

Flächenpressung, zul. Flächenpressung der Gewindeflanken

Rp0,2 , Re

N/mm2

0,2 %-Dehn- bzw. Streckgrenze des Schraubenwerkstoffes

S

1

Sicherheit

Serf

1

erforderliche Sicherheit

T

N m

Torsionsmoment, Drehmoment

Wt

mm3

polares Widerstandsmoment

α0

1

Anstrengungsverhältnis

η

1

Wirkungsgrad der Schraube

λ

1

Schlankheitsgrad der Gewindespindel

λ0

1

Grenzschlankheit (Übergang vom elastischen in den unelas­ tischen Bereich)

µL

1

Reibungszahl der Spindelauflage – Reibfläche

ϱ¢

°

Reibungswinkel des Gewindes

σd(z) , σd(z)zul

N/mm2

Druck-(Zug-)spannung, zulässige Druck-(Zug-)spannung

σK

N/mm2

Knickspannung

σv

N/mm2

Vergleichsspannung

σvorh

N/mm2

vorhandene Spannung

σz , σz zul

N/mm2

Zugspannung, zulässige Zugspannung

τt , τt zul

N/mm2

Verdrehspannung, zulässige Verdrehspannung

φ

°

Elastizitätsmodul des Schraubenwerkstoffes Druck-(Zug-)kraft in der Spindel

Länge des Muttergewindes Gangzahl

Steigungswinkel des Schraubengewindes; Faktor für Anstrengungsverhältnis

8  Schraubenverbindungen75 Nr.

Formel

Hinweise

Bewegungsschrauben Bewegungsschrauben müssen auf Festigkeit (Zug/Druck und Verdrehung) und Knickung überprüft werden. Beim Festigkeitsnachweis kann zweckmäßig zwischen Beanspruchungsfall 1 (linkes Bild) und 2 (rechtes Bild) unterschieden werden. Beanspruchungsfall 1 liegt vor, wenn die Reibung an der Auflage A sehr klein ist, wodurch das Verdrehmoment vernachlässigbar wird.

8

Entwurf erforderlicher Kernquerschnitt nicht knickgefährdeter Schrauben 67

A3 ≥

F s d(z)zul

erforderlicher Kerndurchmesser langer, druckbeanspruchter Schrauben 68

d3 = 4

64 ◊ F ◊ S ◊ lk2 p3 ◊ E

ruhende Belastung: σd(z) zul = Re (Rp0,2) / 1,5 Schwellbelastung: σd(z) zul = σzd Sch / 2 Wechselbelastung: σd(z) zul = σzd W / 2 Re bzw. Rp0,2 nach TB 1-1 bzw. TB 8-4 σzd Sch und σzd W nach TB 1-1 S ª 6…8 lk ª 0,7 · l (Euler-Knickfall 3) bei geführten Spindeln Gewindegröße z. B. nach TB 8-3 wählen

76 Nr.

8  Schraubenverbindungen Formel

Hinweise

Nachprüfung auf Festigkeit (s. auch Ablaufplan A 8-6) Verdrehspannung 69

tt =

ruhende Belastung: τt zul = τtF / 1,5 Schwellbelastung: τt zul= τt Sch / 2 Wechselbelastung: τt zul= τt W / 2 t tF ª 1,2 Rp 0,2 / 3 τt Sch und τt W nach TB 1-1 p Wt = ◊ d33 16

T £ t t zul Wt

σd(z) zul wie zu Nr. 67

Druck-(Zug-)spannung 70

8

71

F s d(z) = £ s d(z)zul A3 Vergleichsspannung Ê s d(z) zul ˆ s v = s d2 (z) + 3Á ◊ tt ˜ Ë j ◊ t t zul ¯

2

s v = s d2 (z) + 3(a 0 ◊ t t ) £ s d (z) zul

α0 = 1, wenn σd(z) und τt im gleichen Belastungsfall, sonst siehe Kapitel 3 Nr. 6 φ = 1,73 σd(z) zul/τt zul ª 1,73 Regelfall σd(z) zul wie zu Nr. 67

2

72

erforderliches Drehmoment (Gewindemoment)   d2 dL T =F   tan .® ˙ ¬0 / +  L 2 2

Werkstoff der Mutter (Spindel: St) Gusseisen CuZn- und CuSn-Leg. Spezialkunststoff

ϱ¢

trocken

12º

geschmiert

 6°

trocken

10º

geschmiert

 6º

trocken

 6º

geschmiert

 2,5º

φ nach Nr. 1  µL nach TB 8-12c bzw. TB 4-1 Nachprüfung auf Knickung (s. auch Ablaufplan A 8-7) Schlankheitsgrad der Spindel 73

4 ◊ lk l= d3

lk ª 0,7 · l (Euler-Knickfall 3) bei geführten Spindeln. Bei anderen Knickfällen s. TB 10-20 mit lk = ν · l

Grenzschlankheit 74

l0 ª p ◊

E 0,8 ◊ Rp0,2

Knickspannung nach Euler 75

sK =

E ◊ p2 l2

ª

21◊105 l2

Rp0,2 nach TB 1-1 bzw. 8-4 gilt bei elastischer Knickung für λ ≥ λ0

8  Schraubenverbindungen77 Nr.

Formel

Hinweise

Knickspannung nach Tetmajer 76

È Êlˆ s K = Rp0,2 Í1 - 0,2Á ˜ ˙ Ë l0 ¯ ˙ ÍÎ ˚

• für S235 mit λ0 = 105 77

gilt bei unelastischer Knickung für λ < λ0

2˘

σK ª 310 – 1,14 · λ

σK

λ

N/mm2

–

• für E295 und E335 mit λ0 ª 89 78 79

σK ª 335 – 0,62 · λ Sicherheit gegen Knicken s S = K ≥ Serf s vorh

Flächenpressung des Gewindes 80

p=

F ◊P £ pzul l1 ◊ d 2 ◊ p ◊ H1

Wirkungsgrad 81

˜=

tan ® tan ®  tan.® + ¬0 / + L  dL =d2 tan.® + ¬0 /

Serf ª 3...6 bei σK nach Nr. 75 Serf ª 4...2 bei σK nach Nr. 76 (je schlanker die Spindel umso höher die erforderliche Sicherheit) P = Gewindeteilung (bei mehrgängigen Gewinden ist P = Ph / n) l1 ≤ 2,5d einhalten H1 z. B. nach TB 8-3 pzul nach TB 8-18 φ nach Nr. 1 ϱ′, µL wie zu Nr. 72 Gewinde sind selbsthemmend, wenn φ < ϱ′ Näherung gilt bei vernachlässigbarer Lager­ reibung

8

78

8  Schraubenverbindungen Start

Festigkeitsklasse, Reibwert der Schraube festlegen d ermitteln aus TB 8-13 oder genauer Nr. 3

• •

Fsp und Msp aus TB 8-14 ermitteln Flächenpressung nach Nr. 5 kontrollieren Ende A 8-1  Vorgehensweise beim Entwurf von Befestigungsschrauben

8

8  Schraubenverbindungen79

Start

d2 , dK , z, n, P K , G , kA S , T

geometr. Daten Werkstoffdaten Nachgiebigkeiten

fZ (TB 8-10a) f FZ =  Z+  S T

Berechnung der Setzkraft

Betriebskraft in Querrichtung ?

N *

FKl  0

FKl = J

=n·

J

T

FQ ·z

Ermittlung der erforderlichen Klemmkraft in der Trennfuge

Betriebskraft in Längsrichtung ? N

S + T

FVM = kA [Fkl + FB (1–) + FZ ]

FVM = kA [Fkl + FZ ] Berechnung der Vorspannkraft

Fsp (TB 8-14) ** J

FVM > Fsp ? N MA = FVM (0,159P + 0,577 · G · d2 + K · dK /2) **

Berechnung des Montagemomentes

Ende A 8-2  Ablaufplan zur Berechnung der erforderlichen Schrauben-Vorspannkraft und des erforderlichen Anziehmomentes * Hat die Schraubenverbindung eine Dichtfunktion zu erfüllen, z. B. bei Druckbehälterverschraubungen, so ergibt sich die Klemmkraft aus der für die Dichtfunktion erforderlichen Kraft. ** In der Regel sollte FVM = Fsp gewählt werden, auch wenn die berechnete Montagevorspannkraft FVM viel kleiner als Fsp ist. Dann ist MA = Msp aus TB 8-14. Bei anderen Ausnutzungsgraden ν als 90% der Mindestdehngrenze Rp 0,2 (z. B. bei drehwinkelgesteuer­ tem Anziehen ν = 1,0) sind die Tabellenwerte aus TB 8-14 mit ν/0,9 zu multiplizieren.

8

80

8  Schraubenverbindungen

Start d2, d3, dT, P, G FB, FKl, Fz, Rp 0,2, kA, k , n, S, T J d0 = (d2 + d3)/2

Schaftschrauben ?

N d0 = dT

2

A 0 =  4· d0 =n·

T S + T

F VM = kA [FKI + FB (1 – ) + FZ ] *

8

FS ges = FVM +  · FB Zugspannung z max =

FS ges A0

MG = FVM (0,159P + 0,577 · G · d2 ) Torsionsspannung M 16 · MG t = G = Wt  · d03 red = z2 max + 3(k · t) 2

R SF = p0,2 red

Ende

* In der Regel FVM = Fsp wählen

statische Sicherheit Längskraft: SF erf  1,0 Querkraft: SF erf  1,2 statisch SF erf  1,8 wechselnd wirkend

A 8-3  Ablaufplan zur Berechnung der statischen Sicherheit (bei Normschrauben genügt in der Regel der Nachweis nach A 8-4)

8  Schraubenverbindungen

81

Start d2, d3, dT FB, Rp0,2, 

J d0 = (d2 + d3)/2

Schaftschrauben ?

N d0 = dT

2

A0 =  4· d0

FBS =  · FB FBS 0,1 ·Rp0,2 · A0 Ende A 8-4  Ablaufplan für den statischen Nachweis bei FVM ª Fsp1)

1) F

sp

nach TB 8-14 bei 90%iger Ausnutzung der Streckgrenze durch FVM

8

82

8  Schraubenverbindungen

Start d, As FBo, FBu, FVM, Rp0,2, 

FBo – FBu 2 F a = a As

Fa =

A(SV)

·

Ausschlagspannung im Gewinde

0,85 150 d + 45 Fm = FVM +

FBo + FBu ·  2

F0,2 = As · Rp0,2

8 A(SG)

F 2 –F m · A(SV)

Ausschlagfestigkeit des Gewindes SV: schlussvergütetes Gewinde SG: schlussgewalztes Gewinde

0,2

a A

SD = A SD erf a

Ende A 8-5  Ablaufplan für den dynamischen Nachweis

dynamische Sicherheit SD erf 1,2

8  Schraubenverbindungen

83

Start d2, dL, A3, Wt, ,  ’,

N

F, T, 0 , Lastfall für F und T Werkstoff

Fd(z) = 0 J - „Verdrehteil“ ? N - „Druckteil“ T=0 ? J F, Lastfall für F T, Lastfall für T Werkstoff Werkstoff

T = F/2[d2 · tan(  ’) + dL · L ] 2

v = vorh =

F T A3 + 3 0 Wt

T = F/2[d2 · tan(  ’) + dL · L ]

2 d(z) = vorh =

SF = Rp0,2 /vorh SD = zD /vorh N

geometr. Daten Reibwerte

L

F A3

t =

T Wt

SF = tF /t SD = tD /t

SF  SF erf SD  SD erf ? J Ende

A 8-6  Ablaufplan zur Festigkeitsberechnung von Bewegungsschrauben

vorliegende Beanspruchung

Spannungen in der Schraube

8 Berechnung der Sicherheit zD = zW bzw. zSch tD =tW bzw. tSch SF erf = 1,5 SD erf = 2,0

84

8  Schraubenverbindungen Start

lk , d3 E, Rp0,2

vorh

0

=

N

=

geometr. Daten Werkstoffdaten

4 · lk d3

vorh

Euler elastische Knickung

8

K

=

0

= 105 = 89

Berechnung der Knickspannung

Tetmajer unelastische Knickung

2 K

2 vorh

0

J

0

?

E·

S235: E335:

E/(0,8 · Rp0,2 )

·

= Rp0,2 1 – 0,2

vorh

2

0

unelast. Knickung S235: K = 310 – 1,14 vorh E335: K = 335 – 0,62 vorh

nach A8-6 berechnen

vorh

S= N

K vorh

S Serf ? J

Ende * mit zunehmendem Schlankheitsgrad ** mit abnehmendem Schlankheitsgrad A 8-7  Ablaufplan zur Stabilitätsberechnung von Bewegungsschrauben

Berechnung der Knicksicherheit elast. Knickung: Serf 3 ... 6 * unelast. Knickung: Serf 4 ... 2 **

9  Bolzen-, Stiftverbindungen, Sicherungselemente Formelzeichen

Einheit

Benennung

Aproj

mm2

Projektionsfläche zur Berechnung der mittleren Flächen­ pressung

AS

mm2

Querschnittsfläche des Bolzens

a

mm

Scheitelhöhe beim Augenstab

c

mm

Wangenbreite beim Augenstab

d

mm

Bolzen- bzw. Stiftdurchmesser

∆d

mm

Nennlochspiel

d0

mm

Lochdurchmesser

dw

mm

Wellendurchmesser

E

N/mm2

Elastizitätsmodul

F

N

Kraft (allgemein)

Fb Ed

N

Bemessungswert der einwirkenden Stabkraft

Fb Ed ser

N

Bemessungswert der einwirkenden Lochleibungskraft im Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit

Fb Rd

N

Bemessungswert der Lochleibungstragfähigkeit des Bolzens

Fb Rd ser

N

Bemessungswert der Lochleibungstragfähigkeit des Bolzens im Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit

FEd

N

Bemessungswert der einwirkenden Stabkraft

Fnenn

N

Nenn-Betriebskraft senkrecht zur Bolzen- bzw. Stiftachse

Fv Ed

N

Bemessungswert der einwirkenden Abscherkraft auf eine Scherfläche

Fv Rd

N

Bemessungswert der Abschertragfähigkeit des Bolzens je Scherfläche

k

l

Einspannfaktor (abhängig vom Einbaufall)

KA

l

Anwendungsfaktor (Betriebsfaktor)

Kt

l

technologischer Größeneinflussfaktor

l

mm

Mb nenn , Mb max

N mm

Nenn-Biegemoment, maximales Biegemoment

MEd

N mm

Bemessungswert des einwirkenden Biegemomentes

Hebelarm der Biegekraft, tragende Stiftlänge bei Längsstiftverbindungen

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2019 H. Wittel, D. Jannasch, C. Spura, Roloff/Matek Maschinenelemente Formelsammlung, https://doi.org/10.1007/978-3-658-25469-8_9

9

86

9

9  Bolzen-, Stiftverbindungen, Sicherungselemente

Formelzeichen

Einheit

Benennung

MEd ser

N mm

Bemessungswert des einwirkenden Biegemomentes im Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit

MRd

N mm

Bemessungswert der Momententragfähigkeit des Bolzens

MRd ser

N mm

Bemessungswert der Momententragfähigkeit des Bolzens im Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit

p, pmax

N/mm2

mittlere Flächenpressung, maximale Flächenpressung

pN , pW

N/mm2

mittlere Flächenpressung in der Naben- bzw. Wellenbohrung bei Querstiftverbindungen

pzul

N/mm2

zulässige mittlere Flächenpressung

Re, Rp0,2

N/mm2

Streckgrenze, 0,2 %-Dehngrenze des Bauteils auf Bauteilgröße ­umgerechnet

ReN , Rp0,2N

N/mm2

für den Normdurchmesser gültige Streckgrenze bzw. 0,2 %-Dehngrenze

Rm

N/mm2

Zugfestigkeit, Bruchfestigkeit des Bauteils auf Bauteilgröße umgerechnet

RmN

N/mm2

für den Normdurchmesser gültige Zugfestigkeit, Bruch­ festigkeit

s

mm

Tnenn

N mm

t, tS , tG

mm

Dicke des Stangen- bzw. Gabelauges

tM , tA

mm

Dicke der Mittel- bzw. Außenlaschen

W

mm3

Widerstandsmoment

γM0

l

Teilsicherheitsbeiwert: γM0 = 1,0

γM2

l

Teilsicherheitsbeiwert: γM2 = 1,25

γM6 ser

l

Teilsicherheitsbeiwert: γM6 ser = 1,0

σb

N/mm2

Biegespannung

σb zul

N/mm2

zulässige Biegespannung

σh Ed

N/mm2

Bemessungswert der Hertzschen Pressung

σl , σl zul

N/mm2

Lochleibungsspannung, zulässige Lochleibungsspannung

τa , τa zul

N/mm2

mittlere Scherspannung, zulässige Scherspannung

τmax

N/mm2

größte Schubspannung in der Nulllinie

Nabendicke, Einstecktiefe, Laschenspiel Nenn-Torsionsmoment

9  Bolzen-, Stiftverbindungen, Sicherungselemente Hinweise

Bolzenverbindungen im Maschinenbau Die Bolzenverbindungen werden im Prinzip wie im Bild dargestellt, gestaltet. Die Bolzen werden dabei auf ­Biegung, Schub und Flächenpressung beansprucht. Die Fügebedingungen des Bolzens in der Gabel und in der Stange haben einen erheblichen Einfluss auf die Größe der im Bolzen auftretenden Biegemomente. Entsprechend der Fügebedingungen werden unterschieden:

tG

tS

tG

t S /4

F 2

A

C

B

D

Gabel

d

Formel

D

Nr.

87

F 2

F 2 Stange F

Einbaufall 1: Der Bolzen sitzt in der Gabel und in der Stange mit einer Spielpassung. 1: Bolzen als frei aufliegender Träger 2: Querkraftfläche 3: Momentenfläche Größtes Biegemoment im Bolzenquerschnitt: 1

F ◊ (tS + 2 ◊ tG ) M b max = 8

Einbaufall 2: Der Bolzen sitzt in der Gabel mit einer Übermaßpassung und in der Stange mit einer Spielpassung. 4: Bolzen als beidseitig eingespannter Träger 5: Querkraftfläche im Bereich der Stange 6: Momentenfläche im Bereich der Stange Gleichgroßes Biegemoment in den Bolzen­ querschnitten A – B und C – D: 2

tS

F ◊ tG M b max = 4

tG

F F 2

2:

2

q= F tS q= F 2 · tG

F 2 F 2

9

3:

Mbmax

Mbmax A B

4:

F 2 5:

F

A 2 C 2 B D F

1:

t S /2

F Mbmax C D

t S /2

F 2

F 2 F 2

6:

Mbmax

Mbmax

Mbmax

F ◊ tS M b max = 8 Einbaufall 3: Der Bolzen sitzt in der Stange mit einer Übermaßpassung und in der Gabel mit einer Spielpassung. 7: Bolzen als mittig eingespannter Träger 8: Querkraftfläche im Bereich der Gabel 9: Momentenfläche im Bereich der Gabel Größtes Biegemoment in den Einspannquerschnitten A – B:

3

tG

tG

tG F 2

7:

8:

F 2

A

F B F Mbmax Mbmax 2 2 F 2 F 2

9:

Mbmax Mbmax

q= F 2 · tG

88 Nr.

4

9  Bolzen-, Stiftverbindungen, Sicherungselemente Formel

Hinweise

Bolzendurchmesser (Entwurfsberechnung)

Bolzen sitzt

d ª k◊

K A ◊ Fnenn s b zul

Biegespannung (Vollbolzen) 5

K ◊ M b nenn K A ◊ M b nenn ª £ s b zul sb = A W 0,1◊ d 3

Ein­ bau­ fall

k Flächen nicht gleitend gleitend

lose

1

1,6

1,9

fest in Gabel

2

1,1

1,4

fest in Stange

3

1,1

1,2

Richtwerte

ts / d

tG / d

nicht gleitende Flächen

1,0

0,5

gleitende Flächen

1,6

0,6

Belastung

ruhend

σb zul

0,3 · Rm

schwellend wechselnd 0,2 · Rm

0,15 · Rm

KA nach TB 3-5c Rm = Kt · RmN (mit Kt nach TB 3-11a und RmN nach TB 1-1) Für ungehärtete Normbolzen und -stifte: Rm = 400 N/mm2

9

größte Schubspannung in der Nulllinie (Vollbolzen) 6

4 K ◊F t max ª ◊ A nenn £ t a zul 3 2 ◊ AS

mittlere Flächenpressung 7

K ◊F p = A nenn £ pzul Aproj

Hohlbolzen (t > d/6): τmax = 2 · τm ª KA · Fnenn /AS τmax bei Einbaufall 3 stets nachprüfen Belastung

ruhend

τa zul

0,2 · Rm

8

s=

K A ◊ Fnenn È 3 Ê d 0 ˆ ˘ ◊ 1 + ◊ Á + 1˜ ˙ £ s zul ¯˚ 2 ◊ c ◊ t ÍÎ 2 Ë c

0,15 · Rm

0,1 · Rm

Stangenkopf: Aproj = d · tS Gabel: Aproj = 2 · d · tG Belastung pzul

Stangenkopf (Augenstab) größte ­Normalspannung im Wangenquerschnitt des Stangenkopfes

schwellend wechselnd

Werkstoff Belastung σzul

ruhend schwellend

gleitend

0,35 · Rm 0,25 · Rm nach TB 9-1 St, GS stat.

dyn.

GJL stat.

dyn.

0,5 · Re 0,2 · Re 0,5 · Rm 0,2 · Rm

Re = Kt · ReN Rm = Kt · RmN ReN, RmN nach TB 1-1, TB 1-2 Kt nach TB 3-11a, b

9  Bolzen-, Stiftverbindungen, Sicherungselemente Nr.

Formel

89

Hinweise

Bolzenverbindungen im Stahlbau (DIN EN 1993-1-8) Im Stahlbau werden Augenstäbe mit massiven Rundbolzen dann verbunden, wenn eine ungehinderte Verdrehung in den Augen erforderlich ist (z. B. Zugstangen) bzw. einfaches Lösen der Verbindung verlangt wird (z. B. Gerüste). Zur einfachen Montage ist ausreichendes Loch- und Laschenspiel einzuhalten. Die Bolzen sind gegen Lösen zu sichern. Sollen Bolzen aus­getauscht werden, sind zusätzliche Gebrauchstauglichkeitsnachweise zu führen. Bauteile mit Bolzenverbindungen sind so zu konstruieren, dass Exzentrizitäten vermieden werden und der Übergang vom Augenstab zum Bauteil ausreichend dimensioniert ist.

Wangenbreite des Augenstabes

tM

s

tA

FEd

Möglichkeit A

FEd ◊ g M0 d 0 + 2 ◊ t ◊ Re 3

9 tM 0

FEd

d

c≥

FEd /2

c

10

FEd /2

Δd

c

9

Scheitelhöhe des Augenstabes 2 ◊ d0 F ◊g a ≥ Ed M0 + 2 ◊ t ◊ Re 3

d

s

Möglichkeit A: Laschendicke t vorgegeben

Augenstababmessungen

tA

Geometrische Anforderungen an Augenstäbe

a

FEd ◊ g M0 Re

Lochdurchmesser 12

d0 ≤ 2,5 · t

0

2,5·d0

t ≥ 0,7 ◊

0,3·d0

1,3 ·d

d0

11

0,75·d0

Dicke der Mittellasche

Möglichkeit B

tM Ed

0,75·d0

Möglichkeit B: Geometrie vorgegeben

1,6·d0

Re nach TB 6-5 γM0 = 1,0 (Teilsicherheitsbeiwert) Nennlochspiel ∆d bei Bolzen (DIN EN 1090-2) d ≤ 16 mm: ∆d = 1 mm 16 mm ≤ d ≤ 24 mm: ∆d = 2 mm d > 24 mm: ∆d = 3 mm

90 Nr.

9  Bolzen-, Stiftverbindungen, Sicherungselemente Formel

Hinweise

Bemessungsregeln für massive ­Rundbolzen 1. Unbehinderte Verdrehung in den ­Augen erforderlich (Normalfall) Nachweis gegen Abscheren 13

14

9

15

Fv Rd = 0,6 ◊ A ◊

Rm ≥ Fb Ed g M2

Nachweis der Lochleibung von ­Augenblech und Bolzen R Fb Rd = 1,5 ◊ t ◊ d ◊ e ≥ Fb Ed g M0

Fb Rd bzw. Fb Ed Bemessungswerte der Loch­ leibungstragfähigkeit bzw. der Stabkraft Re nach TB 6-5 (maßgebend kleinerer Wert des Bolzen- oder Stabwerkstoffes) γM0 = 1,0 (Teilsicherheitsbeiwert)

Maximales Biegemoment

FEd Stabkraft tM , tA Laschendicke s Laschenspiel

M Ed =

FEd ◊ (tM + 2 ◊ tA + 4 ◊ s ) 8

Nachweis der Momententragfähigkeit des Bolzens 16

M Rd = 1,5 ◊W ◊

Re ≥ M Ed g M0

Interaktionsnachweis Abscheren und Biegung 2

17

18

Fv Rd bzw. Fv Ed Bemessungswerte der Abschertragfähigkeit bzw. der einwirkenden Scherkraft je Scherfläche A = π · d 2/4, mit d nach TB 9-2 Bolzenwerk­stoffe: 4.8, S235 u. S355 Rm nach TB 1-1, TB 6-5 und TB 8-4 γM2 = 1,25 (Teilsicherheitsbeiwert)

2

Ê M Ed ˆ Ê Fv Ed ˆ ÁË M ˜¯ + ÁË F ˜¯ £ 1 Rd v Rd

W = π · d 3/32, Widerstandsmoment des Bolzen-­ querschnitts Bolzenwerk­stoffe: 4.8, S235 u. S355 Re nach TB 1-1, TB 6-5 und TB 8-4 γM0 = 1,0 (Teilsicherheitsbeiwert) Es dürfen nur die an einer Querschnittsstelle gleichzeitig auftretenden MEd- und Fv Ed-Werte angesetzt werden (siehe dazu die Verläufe der Querkraftfläche und Momentenfläche von Einbaufall 1, s. Nr. 1).

Austauschbare Bolzen

Für austauschbare Bolzen sind zusätzliche Gebrauchstauglichkeitsnachweise zu führen (Verschleiß, Verformung).

Gebrauchstauglichkeitsnachweis gegen Lochleibung Re Fb Rdser = 0,6 ◊ t ◊ d ◊ ≥ Fb Edser g M 6 ser

Fb Rd ser bzw. Fb Ed ser Bemessungswerte der Lochleibungstragfähigkeit bzw. der einwirkenden Lochleibungskraft im Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit Re nach TB 6-5 (maßgebend kleinerer Wert des Bolzen- oder Stabwerkstoffes) γM6 ser = 1,0 (Teilsicherheitsbeiwert)

9  Bolzen-, Stiftverbindungen, Sicherungselemente91 Nr.

Formel

Hinweise

Gebrauchstauglichkeitsnachweis mit ­eingeschränkter Lochleibungsspannung 19

s h Ed = 0,591◊ £ 2,5 ◊

E ◊ Fb Edser ◊ (d 0 - d ) d 2 ◊t

Re g M6ser

Gebrauchstauglichkeitsnachweis gegen Biegeversagen 20

M Rdser = 0,8 ◊W ◊

Re g M6ser

≥ M Edser

E = 210 000 N/mm2 für Stahl σh Ed Hertzsche Pressung (Zylinder gegen Zylinder)

W, Re wie zu Nr. 16 γM6 ser = 1,0 (Teilsicherheitsbeiwert)

2. Ohne geforderte Verdrehung in den Augen Begrenzte Lochleibungstragfähigkeit 21

Fb Rd £ 1,5 ◊ Rm ◊ d ◊

t g M2

Querstiftverbindungen Querstiftverbindungen, die ein Dreh­ moment zu übertragen haben, wie z. B. Hebelnaben, werden bei größeren Kräften auf Flächenpressung und auf Abscheren nachgeprüft.

Bemessung als Einschraubenverbindung nach Kap. 8, Nr. 45, wenn die Bolzenlänge kleiner als das Dreifache des Bolzendurchmessers ist.

22

pN =

K A ◊ Tnenn £ pzul d ◊ s ◊ (d W + s)

mittlere Flächenpressung (Welle) 23

pW

6 ◊ K A ◊ Tnenn = £ pzul 2 d ◊ dW

Scherspannung im Stift 24

ta =

4 ◊ K A ◊ Tnenn £ t a zul d 2 ◊ p ◊ dW

pN

FN FW

T

s

mittlere Flächenpressung (Nabe)

9

D d

pW

dW

d = (0,2 ... 0,3) · dW s = (0,25 ... 0,5) · dW für Stahl- und StahlgussNaben s ª 0,75 · dW für Gusseisen-Naben pzul und τa zul siehe Hinweise zu Nr. 6, 7 für Kerbstifte gilt: 0,7 · pzul und 0,8 · τa zul

92

Hinweise

Steckstiftverbindungen Bei Steckstiftverbindungen entsprechend Bild wird der Stift durch das ­Moment M = F · l auf Biegung und durch F als Querkraft auf Schub, der jedoch vernachlässigt werden kann, sowie auf Flächenpressung beansprucht. Biegespannung 25

sb =

K A ◊ M b nenn W

F

l

Formel

p1

p2

pmax

s

Nr.

9  Bolzen-, Stiftverbindungen, Sicherungselemente

d

σb zul , pzul siehe Hinweise zu Nr. 5, 7 ª

K A ◊ M b nenn 0,1◊ d 3

£ s b zul

für Kerbstifte gilt: 0,7 · pzul und 0,8 · σb zul

maximale mittlere Flächenpressung 26

pmax =

K A ◊ Fnenn ◊ (6 ◊ l + 4 ◊ s ) £ pzul d ◊ s2

Längsstiftverbindungen Längsstiftverbindungen, die entsprechend Bild ein Drehmoment zu übertragen haben, werden auf Flächenpressung und Abscheren des Stiftes beansprucht. Da rechnerisch die mittlere Flächenpressung doppelt so groß wie die Abscherspannung ist, kann die Scherbeanspruchung in Vollstiften vernachlässigt werden, solange 2 · τa zul ≥ pzul ist, was für alle üblichen Werkstoffpaarungen zutrifft.

9

mittlere Flächenpressung 27

p=

4 ◊ K A ◊ Tnenn £ pzul d ◊ dW ◊ l

d FN T

dW

T

D

d = (0,15 ... 0,2) · dW l = (1 ... 1,5) · dW pzul siehe Hinweise zu Nr. 7 für Kerbstifte gilt: 0,7 · pzul

FN

10  Elastische Federn Federrate; Federkennlinien Formelzeichen

Einheit

F; F1 , F2 , .... ∆F

N

T; T1 , T2 , ... ∆T

N mm

Federmoment; zugeordnet den Verdrehwinkeln φ1, φ2, ... bzw. Differenzmoment

R, Rges

N/mm

Federrate der Einzelfeder bzw. des Federsystems

Rφ , Rφ ges

N mm/°

Federrate der Einzelfeder bzw. des Federsystems bei Ver­ drehfedern

s, s1 , s2 ... ∆s

mm

φ, φ1 , φ2 ... ∆φ

°

Nr.

Formel

Benennung Federkraft; zugeordnet den Federwegen s1 , s2 , ... bzw. Differenzkraft

Federweg bzw. Durchbiegung; zugeordnet den Federkräften F1 , F2 , ... bzw. Federhub ∆F Verdrehwinkel; zugeordnet den Federmomenten T1 , T2 , ... bzw. Federhub ∆T

Hinweise

Die Federkennlinie als charakteristische Größe beschreibt das Kraft-Weg-Verhalten der Feder. Sie ist in der Regel durch die Aufgabenstellung vorgegeben. Der Kennlinienverlauf ist von der Federart abhängig und kann linear, progressiv oder degressiv sein. Je steiler der Kennlinienverlauf ist, desto steifer (härter) ist die Feder. Das Verhältnis aus Federkraft und Federweg (oder Moment und Verdrehwinkel) wird als Federrate R (Rφ) bezeichnet. Werden mehrere Federn zu einem Federsystem zusammengeschaltet, so ergibt sich aus den Einzelfederraten R1 , R2 , R3 ... je nach Art des Zusammenschaltens (parallel, in Reihe oder auch gemischt) eine Federrate Rges (Rφ ges) des Federsystems.

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2019 H. Wittel, D. Jannasch, C. Spura, Roloff/Matek Maschinenelemente Formelsammlung, https://doi.org/10.1007/978-3-658-25469-8_10

10

94 Nr.

10  Elastische Federn Formel

Hinweise

Federrate • allgemein

das Moment T kann auch durch M ausgedrückt werden

1

R = tan a =

DT DF ; Rj = tan a = Dj Ds

• für die lineare Kennung F1 F2 F2 - F1 DF = = = s1 s2 s2 - s1 Ds

2

R = tan a =

3

Rj = tan a =

T1 T2 T -T DT = = 2 1 = j1 j 2 j 2 - j1 Dj

• f ür ein Federsystem aus parallel geschalteten Federn mit jeweils linearer Kennung 4



Rges = R1 + R2 + ... + Rn

5



Rφ ges =Rφ1 + Rφ2 + ... + Rφn

• f ür ein Federsystem aus hintereinander geschalteten Federn mit jeweils linearer Kennung

10 6



1 1 1 1 = + + + Rges R1 R2 Rn

7



1 1 1 1 = + + + Rjges Rj1 Rj 2 Rjn

• f ür ein Mischsystem aus parallel- und in Reihe geschalteten Einzelfeldern 8



1 1 1 = + Rges R1 + R2 R3

9



1 1 1 = + Rjges Rj1 + Rj 2 Rj3

10  Elastische Federn95 Blattfedern Formelzeichen

Einheit

b

mm

Breite des Federblattes

b′

mm

kleinere Breite des Federblattes bei Trapezfedern

E

N/mm2

F, F1 , F2 , ... Fmax

N

h

mm

Dicke bzw. Höhe des Federblattes

l

mm

wirksame Länge (Einspannlänge) der einarmigen Feder

M

N mm

q, q1 , q2

l

s, s1 , s2 ... smax

mm

Federweg bzw. Durchbiegung; zugeordnet den Federkräften F, F1 , F2 , ... Fmax

V

mm3

Federvolumen

W

N mm; mm3

σb , σb zul

N/mm2

Nr.

Formel

Benennung

Elastizitätsmodul Federkraft; zugeordnet den Federwegen s, s1 , s2 ... smax

von der Feder aufzunehmendes Biegemoment Beiwerte für Durchbiegung

Federungsarbeit; Widerstandsmoment Biegespannung; zulässige Biegespannung

Hinweise

Die einfache Blattfeder mit linearem Kennlinienverlauf kann als Freiträger betrachtet werden, der sich bei Belastung durch die Kraft F um den Federweg s verformt. Blattfedern werden unterschieden in Rechteck-, Trapez- und Dreieckfedern. Während die Rechteckfeder herstellungsmäßig einfach ist, so ist eine gute Werkstoffausnutzung – im Gegensatz zur Dreieckfeder – nur an der Einspannstelle gegeben. Biegespannung M 6◊ F ◊l = £ s b zul W b ◊ h2

F

RechteckDreieck-

σb zul , E nach TB 10-1

b’

Fzul

b

11

b ◊ h 2 ◊ s b zul = 6◊l

b

zulässige Federkraft

Federweg

b

s

sb =

h

10

I

Trapezfeder

10

96 Nr.

10  Elastische Federn Formel

Hinweise

Federweg (Durchbiegung) • allgemein

Faktoren q zur Berücksichtigung der Bau­ formen: q1 = 4 für Rechteckfeder = 6 für Dreieckfeder = 4 · [3/(2 + b′/b)] für Trapezfeder

12

s = q1 ◊

l3 F ◊ b ◊ h3 E

q2 = 2/3 für Rechteckfeder = 1 für Dreieckfeder = (2/3) · [3/(2 + b′/b)] für Trapezfeder E, σb zul Werte aus TB 10-1

• maximal zulässig 13

s £ q2 ◊

l2 h

◊

s b zul E

zulässige Federblattdicke 14

die Überschreitung der zulässigen Blattdicke führt zu unzulässig hoher Biegespannung

l 2 s b zul h £ q2 ◊ ◊ s E

zulässige Federungsarbeit 15

10

Wzul = q3 ◊V ◊

q3 ª 1/18 für Rechteckfeder; V = b · h · l ª 1/6 für Dreieckfeder; V = 0,5 · b · h · l ª (1/9) · [3/(2 + b′/b)] · [1/(1 + b′/b)] für Trapezfeder mit dem Federvolumen V = 0,5 · b · h · l (1 + b′/b)

s 2b zul E

Drehfeder Formelzeichen

Einheit

Benennung

a

mm

(lichter) Abstand zwischen den federnden Windungen der unbelasteten Feder

De , Di

mm

äußerer, innerer Windungsdurchmesser

D

mm

mittlerer Windungsdurchmesser

d; dB

mm

Draht- bzw. Stabdurchmesser; Bolzendurchmesser (Dorn-)

E

N/mm2

F; F1 , F2 , Fmax

N

H

mm

Länge des Hebelarms senkrecht zu F

I

mm2

axiales Flächenmoment 2. Grades

k

1

LK0

mm

Länge des unbelasteten Federkörpers

l

mm

gestreckte Länge der federnden Windungen

M; M1 , M2 , ∆M

N mm

n

1

Elastizitätsmodul des Federwerkstoffes Federkraft am Hebelarm H senkrecht zu F; zugeordnet den Drehwinkeln φ1 , φ2 ... φmax

Beiwert zur Abschätzung des Drahtdurchmessers

Federmoment; zugeordnet den Drehwinkeln φ1 , φ2 , ∆φ Anzahl der federnden Windungen

10  Elastische Federn97 Formelzeichen

Einheit

q

1

Spannungsbeiwert (infolge Drahtkrümmung), abhängig vom Drahtdurchmesser

w = D/d

1

Wickelverhältnis

φ1 , φ2 , ∆φ

º

Drehwinkel; zugeordnet den Federmomenten M1 , M2 , ∆M

σb zul

N/mm2

zulässige Biegespannung

σq , σi

N/mm2

Biegespannung mit und ohne Berücksichtigung der Drahtkrümmung

σq0 , σqH

N/mm2

Oberspannung der Dauerfestigkeit; Dauerhubfestigkeit

Nr.

Benennung

Formel

Hinweise

Drehfedern werden hauptsächlich als Scharnier-, Rückstell- und Andrückfedern verwendet. Ihre Kennlinie ist eine Gerade, die anstelle der Kraft-Weg-Linie durch den Verlauf des Kraftmoments M in Abhängigkeit vom Drehwinkel φ im Federdiagramm dargestellt wird. Dreh­federn werden auf Biegung beansprucht. Bei der Festigkeitsberechnung ist die ungleich­mäßige Spannungsverteilung infolge der Drahtkrümmung durch den Spannungsbeiwert q zu berücksichtigen.

10

Entwurfsberechnung Drahtdurchmesser d (überschlägige Ermittlung) 16

d ª 0,23 ◊

3

3 F ◊H M = 0,23 ◊ 1- k 1- k

mit k ª 0,06

3

F ◊H M ª 0,06 Di Di 3

d nach DIN EN 10 270 (TB 10-2a) vorläufig festlegen. Ein anschließender Spannungsnachweis und evtl. Korrektur des Drahtdurchmessers ist erforderlich. M N mm

F N

H, d, Di mm

k 1

98 Nr.

17

10  Elastische Federn Formel

Hinweise

Anzahl der federnden Windungen

Windungszahl je nach geforderter Schenkel­ stellung sinnvoll auf n = ..., 0; ..., 25; ..., 5; ..., 75 runden

p ◊ j∞◊ E ◊ d 4 nª 64 ◊180∞◊ M ◊ D mit

M=F·H

Länge des unbelasteten Federkörpers • bei anliegenden Windungen 18

LK0 = (n + 1,5) · d • bei Windungsabstand

19

LK0 = n · (a + d) + d gestreckte Drahtlänge des Federkörpers (ohne Schenkel)

20

10

D = D i + d = De – d

• bei (a + d) ≤ D/4 l=D·π·n • bei (a + d) > D/4

21

l = n◊

(D ◊ p)2 + (a + d )2

Biegespannung unter Berücksich­ tigung der Spannungserhöhung durch die Drahtkrümmung 22

32 ◊ q ◊ M p◊d3 32 ◊ q ◊ F ◊ H £ s b zul = p◊d3

sq = q ◊ si =

Hubspannung bei dynamischer Belastung 23

σb zul zulässige Spannung für kaltgeformte Drehfedern nach TB 10-1; E Elastizitätsmodul nach TB 10-1 q = f (w = D / d) Spannungskorrekturbeiwert nach TB 10-7

σq0 Werte aus TB 10-8

s qh = s q2 - s q1 £ s qH = s q0 - s qU

mit s qU = s q1 Drehwinkel 24

180∞ 64 ◊ M ◊ l 1167∞◊ M ◊ l j∞ = ◊ ª p p◊d4 ◊E E◊d4

mit l = D · π · n für (a + d) ≤ D/4

Bei Federn mit wenig Windungen und/oder langen Schenkeln muss die Schenkeldurch­ biegung berücksichtigt werden. ¢b zul nach TB 10-1

10  Elastische Federn99 Spiralfedern Formelzeichen

Einheit

Benennung

a

mm

Windungsabstand

b

mm

Breite der Spiralfeder

h

mm

Dicke der Spiralfeder

E

N/mm²

Elastizitätsmodul des Federwerkstoffes

F

N

auf die Spiralfeder wirkende Zugkraft

l

mm

gestreckte Federlänge

M

N m

Biegemoment (gleich Drehmoment) auf die Spiralfeder

re

mm

äußerer Radius des Federkörpers

ri

mm

innerer Radius des Federkörpers

W

Nm

aufzuspeichernde Federungsarbeit

φ

°

σi

N/mm²

Drehwinkel Biegespannung in der Feder

10 Nr.

Formel

Hinweis

Spiralfedern werden nach einer Archimedischen Spirale, gekennzeichnet durch einen gleichen Windungsabstand a, gewunden. Der Windungssinn ist schließend. Alle Federn werden innen und außen eingespannt. Die einzelnen Windungen sollen sich auch bei arbeitenden Windungen nicht berühren, um Reibung zu vermeiden. Federwirkung und Beanspruchung sind ähnlich wie bei Drehfedern. Spiralfedern werden z.B. als Rückstellfedern in Messinstrumenten eingesetzt. Die Berechnung einer Spiralfeder mit Rechteckquerschnitt kann näherungsweise mit den aufgeführten Gleichungen erfolgen. Berechnung Biegespannung 25

¢i =

6M 6  F  re =  ¢b zul b  h2 b  h2

Drehwinkel 26

®ı =

180ı M  l 180ı F  re  l  =    E I   E  b  h3 =12

σb zul nach TB 10-1

100 Nr.

27

10  Elastische Federn Formel

Hinweis

gestreckte Federlänge      re2 − ri2 l= =    n  .re + ri / h+a äußerer Radius des Federkörpers

28

re = ri + n  .h + a/

aufzuspeichernde max. Federungsarbeit 29

W =

1 V ¢  6 E

2

das Federvolumen aus V =bhl

Tellerfeder

10

Formelzeichen

Einheit

Benennung

De , Di

mm

E

N/mm2

F; Fges

N

Federkraft, Gesamtfederkraft des Einzeltellers bzw. des Feder­paketes

F0,25 , F0,5 , F0,75

N

Federkraft zugeordnet den Federwegen s; s0,25 = 0,25 · h0 , s0,5 = 0,5 · h0 , s0,75 = 0,75 · h0

FB , FE

N

Belastungs-, Entlastungskraft

Fges R

N

Gesamtfederkraft unter Berücksichtigung der Reibung

Fc

N

(errechnete) Federkraft im plattgedrückten Zustand (Planlage)

h0

mm

i

1

Anzahl der wechselsinnig aneinandergereihten Einzelteller (oder Federpakete) zu einer Federsäule

K1 , K2 , K3, K4

1

Berechnungsfaktoren

L0

mm

Länge der unbelasteten Säule oder des Paketes

L1 , L2 ...

mm

Länge der belasteten Säule oder des Paketes

l0

mm

Bauhöhe des unbelasteten Einzeltellers

n

1

R

N/mm

s, s1 , s2 ...

mm

Federweg; zugeordnet F1 , F2 ...

∆s = s2 – s1

mm

Federhub

s0,25 , s0,5 , s0,75

mm

Federweg bei 0,25 · h0 , 0,5 · h0 , 0,75 · h0

Außen-, Innendurchmesser der Tellerfeder (Einzelteller) Elastizitätsmodul des Federwerkstoffes

theoretischer Federweg bis zur Planlage (s = h0)

Anzahl der gleichsinnig geschichteten Einzelteller zu einem Federpaket Federrate

10  Elastische Federn101 Formelzeichen

Einheit

sges

mm

Federweg der Säule (oder des Paketes)

t, t′

mm

Dicke des Einzeltellers, reduzierte Dicke bei Federn mit Auflageflächen

wM , wR

1

Reibungsfaktoren (Mantel-, Randreibung)

δ = De / Di

1

Durchmesserverhältnis

σ, σ1 , σ2 ...

N/mm2

rechnerische Spannung; Vorspannung bzw. Unterspannung, Oberspannung zugeordnet s1 , s2 ...

σ0,25 , σ0,5 , σ0,75

N/mm2

Spannung; zugeordnet s0,25 , s0,5 , s0,75

σC

N/mm2

rechnerische Spannung bei Planlage (s = h0)

σI , σII ...

N/mm2

rechnerische Spannung für die Stelle I, II ... (negative Werte zeigen Druck-, positive Werte Zugspannungen an)

σOM

N/mm2

rechnerische Spannung an der oberen Mantelfläche

µ

1

Nr.

Benennung

Poissonzahl

Formel

Hinweise

Tellerfedern sind kegelförmige Ringschalen, die als Einzelteller oder kombiniert zu Feder­paketen und Federsäulen in axialer Richtung belastet werden. Die nach DIN 2093 genormten Federn werden entsprechend den Verhältnissen h0 / t und De / t eingeteilt in drei Reihen: Reihe A (harte Feder mit annähernd linearer Kennlinie), Reihe B (weiche Feder) und Reihe C (besonders weiche Feder mit degressivem Kennlinienverlauf). Zusätzlich werden entsprechend der Tellerdicke t und der Herstellungsart (kalt- oder warmgeformt, bearbeitet) die Gruppen 1, 2 (ohne Auflageflächen) und 3 (mit Auflageflächen) unterschieden. Entwurfsberechnung (ohne Berücksichtigung der Reibung) Tellerzahl je Federpaket 30

31

n=

Fges F0,75

folgende Grenzwerte sollten eingehalten werden: n = 1 ... 4, i < 20, Fmax ≤ F0,75 , smax ≤ s0,75 ; die Planlage (s = h0) ist zu vermeiden Werte für F0,75 , s0,75 nach TB 10-9

Paketzahl der Federsäule sges i= s0,75 Länge der Federsäule • unbelastet

32

L0 = i · [l0 + (n – 1) · t] = i · (h0 + n · t) • belastet

33

L=  L0 – sges = i · [l0 + (n – 1) · t – s] = i · (h0 + n · t – s)

Tellerfederpaket aus vier Einzeltellern

Tellerfedersäule aus vier Einzeltellern

smax = s0,75 = 0,75 · h0

10

102 Nr.

34

10  Elastische Federn Formel

Hinweise

rechnerische Federkraft • für den Federweg s

h0 , t , De nach TB 10-9 K1 , K2 , K3 nach TB 10-11a, b; K4 = 1 für Tellerfedern ohne Auflagefläche (Gruppen 1 und 2), ansonsten s. DIN 2092 E nach TB 10-1 µ = εq/ε ª 0,3 für Federstahl

F=

t4 s 4◊ E ◊ ◊ K 42 ◊ t 1 - µ2 K1 ◊ De2 È s ˆ ˘ Ê h sˆ Ê h ◊ Í K 42 ◊ Á 0 - ˜ ◊ Á 0 ˜ +1 Ë ¯ Ë t t t 2 ◊ t ¯ ˙˚ Î

• im plangedrückten Zustand (s = h0) 35

Fc =

◊ t3

4 ◊ E h0 ◊ ◊ K 42 1 - µ2 K1 ◊ De2

Mit dem Verhältnis F / Fc kann für die jeweilige Kraft F der zugehörige Federweg s oder um­ gekehrt für jeden Federweg s die erforderliche Federkraft F nach TB 10-11c ermittelt werden.

Federrate ∆F / ∆s 36

10

R=

4◊ E t3 ◊ ◊ K 42 2 1 - µ K1 ◊ De2 2 Ê ÈÊ h ˆ 2 h s 3 Ê sˆ ˘ ˆ ◊ Á K 42 ◊ ÍÁ 0 ˜ - 3 ◊ 0 ◊ + ◊ Á ˜ ˙ + 1˜ ÁË t t 2 Ë t ¯ ˙˚ ˜¯ ÍÎË t ¯

rechnerische Lastspannungen • an der oberen Mantelfläche 37

s OM = -

4◊ E t2 s 3 ◊ ◊ K4 ◊ ◊ 2 1 - µ K1 ◊ De2 t p

• an der Stelle I 38

sI = -

t2 s 4◊ E ◊ ◊ K4 ◊ 2 t 1 - µ K1 ◊ De2

È ˘ s ˆ Êh ◊ ÍK 4 ◊ K 2 ◊ Á 0 + K3 ˙ Ë t 2 ◊ t ˜¯ Î ˚

• an der Stelle II 39

s II = -

t2 s 4◊ E ◊ ◊ K4 ◊ 2 t 1 - µ K1 ◊ De2

È ˘ s ˆ Êh ◊ ÍK 4 ◊ K 2 ◊ Á 0 - K3 ˙ Ë t 2 ◊ t ˜¯ Î ˚

• an der Stelle III 40

s III = -

4◊ E t2 s 1 ◊ ◊ K4 ◊ ◊ 2 2 1 - µ K1 ◊ De t d

s ˆ È ˘ Êh ◊ Í K 4 ◊ (K 2 - 2 ◊ K 3 ) ◊ Á 0 ˜ - K3 ˙ Ë ¯ 2 ◊ t t Î ˚

De , t, h0 nach TB 10-9; s ≤ 0,75 · h0 E = 206 · 103 N/mm2 für Federstahl nach TB 10-1 µ = εq / ε ª 0,3 für Stahl Setzt man in die Gleichung zur Ermittlung von σI für s = h0 , so ergibt sich die Spannung σC bei Planlage der Feder. K1 , K2 , K3 nach TB 10-11a, b; K4 = 1 für Teller­ federn ohne Auflagefläche (Gruppen 1 und 2), ansonsten s. DIN 2092

10  Elastische Federn103 Nr.

Formel

Hinweise

• an der Stelle IV 41

s IV = -

δ = De / Di t2

4◊ E s 1 ◊ ◊ K4 ◊ ◊ 1 - µ2 K1 ◊ De2 t d

È s ˆ ˘ Êh ◊ Í K 4 ◊ (K 2 - 2 ◊ K 3 ) ◊ Á 0 + K3 ˙ Ë t 2 ◊ t ¯˜ Î ˚

Federungsarbeit 42

2◊ E t5 Ê sˆ W= ◊ ◊ K 42 ◊ Á ˜ Ë t¯ 1 - µ2 K1 ◊ De2 2 È ˘ s ˆ Êh ◊ Í K 42 ◊ Á 0 ˜¯ + 1˙ Ë t 2 ◊ t ÍÎ ˙˚

2

De, t nach TB 10-9; s ≤ 0,75 · h0 E = 206 · 103 N/mm2 für Federstahl nach TB 10-1 µ = εq/ε ª 0,3 für Stahl

Federkraft bei Reibung

43

  • für ein Federpaket sges = s Fges R  F 

n 1  wM  .n − 1/  wR

F nach Nr. 34 wM nach TB 10-13 wR nach TB 10-13

  • für Federsäulen sges = i  s

44

Fges R  F 

Festigkeitsnachweis • bei statischer Beanspruchung 45

s OM £ Re = 14001600

N mm 2

• bei dynamischer Beanspruchung 46

10

n 1  wM  .n − 1/

σ h = σo – σ u ≤ σ H = σO – σ u und σI ≥ | – 600 N/mm2 |

– – – –

für eine Lastspielzahl N ≤ 104 σOM s. Nr. 37 entfällt bei s ≤ 0,75h0 für genormte Federn für Werkstoffe nach DIN EN 10 089 und DIN EN10 132-4

– für eine Lastspielzahl N > 104 – Nachweis ist an Stelle II für σo ≙ σII o mit s2 sowie σu ≙ σII u mit s1 bzw. Stelle III für σo ≙ σIII o mit s2 sowie σu ≙ σIII u mit s1 zu führen. Die größere Hubspannung ist entscheidend. – σII, σIII s. Nr. 39, 40 – σO aus TB 10-12 – σI mit s1 s. Nr. 38 – σI ª –600 N/mm2 entspricht s1 ª (0,15 ... 0,2) · h0

104

10  Elastische Federn

Drehstabfeder Formelzeichen

Einheit

d

mm

Stab- bzw. Schaftdurchmesser (zylindrischer Teil des Stabes)

da

mm

Kopfkreisdurchmesser

df

mm

Fußkreisdurchmesser des Kopfprofils

G

N/mm2

L

mm

Gesamtlänge des Drehstabes

l

mm

freie Schaftlänge (des zylindrischen Teils mit 2 · lh)

le

mm

Ersatzlänge

10

Nr.

Benennung

Schub-(Gleit-)modul

lf

mm

federnde Länge

lh

mm

Hohlkehlenlänge

lk

mm

Kopflänge

p, pzul

N/mm2

Flächenpressung, zulässige Flächenpressung

Rφ

N mm/°

Federrate

r

mm

T

N mm

wirkendes Drehmoment

Wp

mm3

polares Widerstandsmoment

z

1

φ°, φ

°, rad

τt , τzul

N/mm2

ν

1

Hohlkehlenradius

Zähnezahl der verzahnten Köpfe Verdrehwinkel; Winkelmaß, Bogenmaß rechnerische Schubspannung, zulässige Schubspannung Verhältniswert

Formel

Hinweise

Drehstabfedern werden u. a. in Drehkraftmessern, in nachgiebigen Kupplungen und als Tragfedern im Kfz-Fahrgestell eingesetzt. Sie sind wegen der leichten Bearbeitung mit optimaler Oberflächenqualität (schälen, schleifen, polieren) und der besseren Werkstoffausnutzung meist Rundstäbe aus warmgewalztem vergütbaren Stahl, die vorwiegend auf Verdrehen beansprucht werden. Die Kennlinie für die Drehstabfeder mit der Federrate Rφ = T / φ ist eine Gerade. Entwurfsberechnung erforderliche Stabdurchmesser 47

d ª3

16 ◊ T p ◊ t t zul

Schub- bzw. Verdrehspannung 48

tt =

16 ◊ T T £ t t zul = Wp p ◊ d 3

10  Elastische Federn105 Nr.

49

Formel

Hinweise

Verdrehwinkel

Eine hohe Lebensdauer ist zu erwarten, wenn für df / d ≥ 1,3 die Kopflänge 0,5 · df < lk < 1,5 · df und die Hohlkehlenlänge

Ê 180∞ˆ Á ˜ ◊ T ◊ lf Ê 180∞ˆ  Ë p ¯ j∞ = Á j ◊ = Ë p ˜¯ Ê pˆ 4 ◊ d ◊G ËÁ 32¯˜ 360∞◊ t t ◊ lf = p ◊G ◊ d

lh = 0,5 ◊ (d f - f ) ◊

Ê pˆ ◊G ◊ d 4 T ËÁ 32¯˜ = Rj = j∞ Ê 180∞ˆ ÁË ˜ ◊ lf p ¯

Flächenpressung für verzahnte Köpfe 51

52

12 ◊ d a ◊ T £ pzul z ◊ lk ◊ (d a3 - d f3 )

pª

beträgt.

Bei der freien Schaftlänge l gilt für die federnde Länge lf = l – 2 (lh – le), für die Ersatzlänge le = ν · lh , wenn ν abhängig von r / d und df / d aus TB 10-14a abgelesen wird.

Federrate 50

4◊ r

(df - d ) - 1

Sechskantköpfe 6 ◊T pª £ pzul lk ◊ d f2

da nach TB 12-4a Anhaltswerte pzul aus TB 12-1b Kopflänge 0,5 · df < lk < 1,5 · df df Fußkreisdurchmesser ca. df = 0,927 · da – 1,1389 z = Zähnezahl nach TB 12-4

10

Vierkantköpfe 53

pª

3◊T £ pzul lk ◊ d f2

Zylindrische Schraubenfedern mit Kreisquerschnitt Formelzeichen

Einheit

Benennung

De , Di

mm

äußerer, innerer Windungsdurchmesser

D = 0,5 (De + Di)

mm

mittlerer Windungsdurchmesser

d

mm

Drahtdurchmesser

F, ΔF = F2 – F1

N

Federkraft; zugeordnet Δs

F1 , F2 ...; Fn

N

Federkraft; zugeordnet s1 , s2 , sn bzw. L1 , L2 , Ln

F0

N

innere Vorspannkraft

Fc

N

Blockkraft (theoretische Federkraft; zugeordnet sc bzw. Lc)

G

N/mm2

n

1

Anzahl der federnden Windungen

nt

1

Gesamtwindungszahl

k

1

Beiwert zur Berücksichtigung der Spannungserhöhung infolge der Drahtkrümmung

Schub-(Gleit-)modul

106

10

10  Elastische Federn

Formelzeichen

Einheit

Benennung

k1 , k2

1

L0

mm

Länge der unbelasteten Feder

L1 , L2 ...

mm

Länge der belasteten Feder zugeordnet F1 , F2 ...

Lc

mm

Blocklänge der Feder (alle Windungen liegen aneinander)

LH

mm

Abstand der Ösenkante vom Federkörper

LK

mm

Länge des unbelasteten Federkörpers mit eingewundener Vorspannung

Ln

mm

kleinste zulässige Federlänge

N

1

R

N/mm

Sa , S′a

mm

Summe der Mindestabstände zwischen den einzelnen federnden Windungen

s, smax , s1 , s2 ...

mm

Federweg, maximal; zugeordnet F1 , F2 ...

Δs = s2 – s1

mm

Hub (Arbeitsweg)

s c = L0 – L c

mm

Federweg zugeordnet Fc

V

mm3

Federvolumen

W

N mm

Federungsarbeit

w = D/d

1

Wickelverhältnis

α

1

τ , τ1 , τ2

N/mm2

Korrekturfaktor zur Berücksichtigung des Herstellverfahrens (Zugfeder) vorhandene Schubspannung, zugeordnet F1 , F2 ... (ohne Berücksichtigung der Drahtkrümmung)

τk ; τk1 , τk2

N/mm2

vorhandene Schubspannung, zugeordnet F1 , F2 ... (unter Berücksichtigung der Drahtkrümmung)

τ0 , τ0 zul

N/mm2

innere Schubspannung, zulässige Schubspannung für Zug­federn

τc , τzul

N/mm2

Schubspannung, zugeordnet Fc ; zulässige Schubspannung

τkH = τO – τU

N/mm2

Dauerhubfestigkeit

τkh = τk2 – τk1

N/mm2

vorhandene Hubspannung zugeordnet Δs bei Berücksich­ tigung der Drahtkrümmung

τkU , τkO

N/mm2

korrigierte Unter-, Oberspannung, Zeit- oder Dauerfestigkeitswert

ωe

1/s

Beiwert zur angenäherten Vorwahl der Drahtstärke d

Lastspielzahl Federrate

niedrigste Eigenfrequenz

10  Elastische Federn107 Nr.

Formel

Hinweise

Schraubenfedern sind schraubenförmig um einen Dorn gewickelte Drehstabfedern; sie werden meist aus Runddraht hergestellt. Sie zeichnen sich durch eine hohe Werkstoffausnutzung aus und weisen deshalb ein geringes Federgewicht auf. Neben der Verwendung im Maschinenbau w ­ erden Schraubenfedern (Druckfedern) bevorzugt im Fahrzeugbau (Tragfedern im PKW) eingesetzt und haben in dieser Funktion die Blattfedern fast gänzlich abgelöst. Je nach Windungsabstand a ≥ 0 können die Schraubenfedern auf Druck und/oder Zug belastet werden. Die Kennlinie ist eine Gerade. Schraubendruckfedern Entwurfsberechnung Drahtdurchmesser, Vorwahl 54

d ª k1 ◊ 3 F ◊ De

55

d ª k1 ◊ 3 F ◊ Di + k2

mit k2 ª

(

2 ◊ k1 ◊ 3 F ◊ Di 3 ◊ Di

)

2

d, De, Di

F

k1, k2

mm

N

1

für Drahtsorten SL, SM, DM, SH, DH wird k1 = 0,15 bei d < 5 mm k1 = 0,16 bei d = 5 ... 14 mm für Drahtsorten FD, TD, VD wird k1 = 0,17 bei d < 5 mm k1 = 0,18 bei d = 5 ... 14 mm Durchmesser d nach TB 10-2 und vorzugsweise Windungsdurchmesser D = De – d = Di + d nach DIN 323 (TB 1-16), R20, festlegen, Werte für G aus TB 10-1.

Anzahl der wirksamen Windungen 56

n¢ =

G d4 ◊ 8 D3 ◊ Rsoll

mit 57

Rsoll =

F F2 - F1 DF = = s s2 - s1 Ds

Gesamtzahl der Windung • kaltgeformt 58

nt = n + 2 • warmgeformt

59

nt = n + 1,5

Die Anzahl der federnden Windungen n ≥ 2,5 sollte auf „Halbe“ enden (z. B. 4,5, 5,5 ...), um nach dem Bearbeiten der Federenden eine möglichst stabile Auflage sicherzustellen. Die Folgerechnung ist mit der festgelegten Windungszahl n zu führen.

10

108 Nr.

60

10  Elastische Federn Formel

Hinweise

Summe der Mindestabstände zwischen den einzelnen Windungen • bei statischer Beanspruchung kaltgeformt

Sa muss selbst bei der größten Belastung der Feder sichergestellt sein, um die Funktion nicht in Frage zu stellen. Ein evtl. „Aufsetzen“ der Feder ist durch entsprechende konstruktive Maß­nahmen zu verhindern.

Sa = [0,0015 · (D2/d) + 0,1 · d] · n warmgeformt

61

Sa = 0,02 · (D + d) · n • bei dynamischer Beanspruchung kaltgeformt

62

Sa¢ ª 1,5 ◊ Sa

warmgeformt 63

Sa¢ ª 2 ◊ Sa

Blocklänge; kaltgeformt; Federenden angelegt und planbearbeitet 64

Lc ≤ nt · dmax Federenden angelegt und unbearbeitet

10

65

Lc ≤ (nt + 1,5) · dmax

Blocklänge, warmgeformt; Federenden angelegt und planbearbeitet 66

Lc ≤ (nt – 0,3) · dmax Federenden unbearbeiet

67

Lc ≤ (nt + 1,1) · dmax

a) unbelastete Feder mit angelegten Feder­ enden, geschliffen b) angelegtes, unbearbeitetes Federende c) angelegtes geschmiedetes Federende dmax = d + es es oberes Grenzabmaß nach TB 10-2

kleinste zulässige Federlänge 68

Ln = Lc + Sa

69

Ln = Lc + S′a Länge der unbelasteten Feder

70

L0 = sc + Lc = sn + Sa + Lc

71

L0 = sc + Lc = sn + S′a + Lc

S′a bei dynamischer Beanspruchung s. Nr. 62 bzw. 63

10  Elastische Federn109 Nr.

72

73

74

Formel

Hinweise

Federrate G d4 Rist = ◊ 3 8 D ◊n

Da in den meisten Fällen Rist von Rsoll abweicht, ist entweder bei F = konstant der Federweg s zu korrigieren oder umgekehrt bei s = konstant die zugehörige Federkraft F Werte für G aus TB 10-1

für den Federweg s aufzubringende Federkraft G d4 ◊s F = Rist ◊ s = ◊ 3 8 D ◊n Federweg durch die Federkraft F F 8 D3  n  F s= =  Rist G d4 Federungsarbeit

75

76

W=

das Federvolumen aus V ª (d 2 · π / 4) · D · π · n τ2 siehe Nr. 76

• bei statischer Beanspruchung

zulässige Schubspannung τzul aus TB 10-1

F ◊ s 1 V ◊ t2 = ◊ 2 4 G Festigkeitsnachweis

t2 =

D 2 £t zul p 3 ◊d 16

10

F2 ◊

• bei Blockzustand D Fc ◊ 2 £t tc = c zul p 3 ◊d 16

die theoretische Blockkraft Fc ist erforderlich, um die Feder auf Blocklänge Lc zusammen­ zudrücken (Windungen liegen aneinander) τc zul aus TB 10-1 Fc = Rist · (L0 – Lc)

78

• bei dynamischer Beanspruchung korrigierte Schubspannung τk2,1 = k · τ2,1

Spannungskorrekturfaktor k abhängig vom Wickelverhältnis w = D / d nach TB 10-15b τkO aus TB 10-16 bis TB 10-19

79

Hubspannung τkh = τk2 – τk1 ≤ τkH = τkO – τku

Hubfestigkeit τkH aus TB 10-16 bis TB 10-19 mit τku ≙ τk1 (τ1 mit F1 nach Nr. 76)

77

80 81

Eigenkreisfrequenz (niedrigster Wert) bei schwingender Beanspruchung s G d fe = 3560  n  D2 ¬ f e ª 13,7 ◊

t kh k ◊ Ds

fe

d, D, Δs

n, k

ϱ

τkh

1/s

mm

1

kg/dm3

N/mm2

τkh s. Nr. 79 k s. Nr. 78 ϱ = 7,85 kg / dm3 für Stahl G Werte aus TB 10-1

110 Nr.

10  Elastische Federn Formel

Hinweise

Schraubenzugfedern Zur Vermeidung des gegenüber den Druckfedern meist größeren Einbauraumes (bedingt durch entsprechende Ausführung der Federenden s. u. Bilder a) ... g)) werden die Zugfedern zur ­Verringerung des Vorspannfederweges vielfach mit innerer Vorspannung kaltgewickelt (bis d = 17 mm). Federn mit d > 17 mm werden warmgewickelt und sind somit ohne Vorspannung. Zur Überleitung der Federkraft dienen die Ösen in verschiedenen Ausführungsformen. Schraubenzugfedern sollten nur statisch beansprucht werden, da aufgrund der angebogenen Ösen bzw. Haken eine rechnerische Erfassung der wirklichen Spannungsverhältnisse nicht möglich ist. a) b) c) d) e) f) g)

halbe deutsche Öse doppelte deutsche Öse ganze deutsche Öse, seitlich hochgestellt Hakenöse englische Öse Haken eingerollt Gewindestopfen, eingeschraubt

10

g) Entwurfsberechnung Drahtdurchmesser, Vorwahl • De ist vorgegeben 82

d, De , Di F mm

N

k1, k2 1

d ª k1 ◊ 3 Fmax ◊ De

• Di ist vorgegeben 83

d ª k1 ◊ 3 Fmax ◊ Di + k2

mit k2 ª

(

2 ◊ k1 ◊ 3 Fmax ◊ Di 3 ◊ Di

)

2

für Drahtsorten SL, SM, DM, SH, DH wird k1 = 0,15 bei d < 5 mm k1 = 0,16 bei d = 5 ... 14 mm für Drahtsorten FD, TD, VD wird k1 = 0,17 bei d < 5 mm k1 = 0,18 bei d = 5 ... 14 mm Vorzugsdurchmesser d nach TB 10-2 und -­ Windungsdurchmesser D = De – d = Di + d nach DIN 323 (TB 1-16, R20) festlegen.

10  Elastische Federn111 Nr.

84

Formel

Hinweise

Anzahl der federnden Windungen

G aus TB 10-1

G◊d4 ◊s n= 8 ◊ D3 ◊ ( F - F0 )

Gesamtzahl der Windungen bei gegebener Länge des Federkörpers 85

nt =

LK -1 d

Länge des unbelasteten Federkörpers 86

LK ª (nt + 1) ∙ dmax

nt = n mit angebogenen Ösen n < nt mit eingerollten Haken oder Einschraubstücken je nach Stellung der Ösen zueinander festlegen (auf ...,0 ...,25 ...,5 ...,75 endend) LH ª (0,8 ... 1,1) · Di für eine „ganze Deutsche Öse“; weitere Werte s. Lehrbuch Bild 10.27 dmax = d + es Höchstmaß des Drahtdurchmessers mit es nach TB 10-2

Länge der unbelasteten Feder zwischen den Öseninnenkanten 87

L0 ª LK + 2 · LH Federrate

es ist zu unterscheiden zwischen Rist aus den vorgegebenen und Rsoll aus den gewählten Werten von d, D und n

D F F - F0 = = s Ds

88

Rsoll

89

Rist =

10

G◊d4 8 ◊ D3 ◊ n

innere Vorspannkraft, zum Öffnen der Feder erforderliche 90

F0 = F - R ◊ s = F -

G◊d4 ◊s 8 ◊ D3 ◊ n

innere Vorspannkraft, maximal erreichbare 91

92

93

F0 £ t 0 zul ◊

p ◊ d3 8◊ D

τ0 zul = α · τzul mit dem Korrekturfaktor α entsprechend dem Herstellverfahren nach TB 10-21

vorhandene Schubspannung • infolge Federkraft F 8◊ F ◊ D t= £ t zul p◊d3

zulässige Spannung τzul nach TB 10-1

• infolge innerer Vorspannkraft F0

α Korrekturfaktor entsprechend dem Herstell­ verfahren nach TB 10-21

8 ◊ F0 ◊ D t0 = £ t 0 zul = a ◊ t zul p◊d3

112

10  Elastische Federn

Federn aus Gummi Formelzeichen

Einheit

A

mm2

Bindungsfläche zwischen Gummi und Metall

d

mm

innerer Durchmesser des Gummielements

D

mm

äußerer Durchmesser des Gummielements

E

N/mm2

Elastizitätsmodul des Gummiwerkstoffes

F

N

G

N/mm2

h

mm

federnde Gummihöhe

r = d / 2

mm

innerer Radius des Gummielements

R = D / 2

mm

äußerer Radius des Gummielements

s

mm

Federweg

T

N mm

γ

°

σ

N/mm2

Normalspannung (Druckspannung)

τ

N/mm2

Schubspannung

ε

1

Dehnung

φ

°

Verdrehwinkel

10

Nr.

Formel

Benennung

Federkraft Schubmodul des Gummiwerkstoffes

aufzunehmendes Federmoment Verschiebewinkel

Hinweise

Gummifedern werden in Form einbaufertiger Konstruktionselemente verwendet. Bei diesen werden die Kräfte reibungsfrei und gleichmäßig in den Gummi eingeleitet. Gummifedern werden hauptsächlich als Druck- und Schubfedern zur Abfederung von Maschinen und Maschinenteilen, zur Dämpfung von Stößen und Schwingungen sowie zur Verminderung von Geräuschen eingesetzt. Schubscheibenfeder

94

Schubspannung F t = = g ◊ G £ t zul A Verschiebewinkel

95

g∞ =

180∞ t ◊ £ 20∞ p G

Werte für G aus TB 10-1 Werte für τzul aus TB 10-1

10  Elastische Federn113 Nr.

Formel

Hinweise

Federweg 96

s = h ◊ tan g =

h◊ F < 0,35 ◊ h A◊G

Schub-Hülsenfeder Schubspannung 97

Werte für τzul aus TB 10-1

F F t= = £ t zul Ai d ◊ p ◊ h

Verschiebeweg 98

F Ê Dˆ s = ln Á ˜ ◊ < 0,2 ( D - d ) Ë d ¯ 2◊ p ◊ h◊G

Drehschubfeder Schubspannung 99

t=

T T = £ t zul Ai ◊ r 2 ◊ p ◊ r 2 ◊ h

Werte für τzul aus TB 10-1 

Verdrehwinkel 100

j∞ =

180∞ T 1ˆ Ê1 ◊ ◊ Á - ˜ < 40∞ p 4 ◊ p ◊ h ◊ G Ë r 2 R2 ¯

10

Drehschub-Scheibenfeder Schubspannung 101

2 T ◊R t = ◊ 4 4 £ t zul p R -r

Werte für τzul aus TB 10-1 

Verdrehwinkel 102

j∞ ª

360∞ T ◊h ◊ < 20∞ p 2 (R 4 - r 4 ) ◊ G

Druckfeder Druckspannung 103

sd =

s F 4◊ F = £ s d zul bzw. s d = ◊ E h A p◊d2

Federweg 104

s=

F ◊h 4◊ F ◊ h = £ 0,2 ◊ h A◊ E p ◊ d 2 ◊ E

Werte für σd zul aus TB 10-1

114

10  Elastische Federn Start

F, s, l, E,

Rechteckblattfeder

bzul

Trapezblattfeder

Dreieckblattfeder

b’ /b q1 siehe zu Nr. 12 q2 siehe zu Nr. 13

nach Nr. 14 Blattdicke h vorwählen und festlegen nach Nr. 12 Blattdicke b ermitteln und festlegen (ebenso b’) N

10

Wiederholung mit geänderten Eingabegrößen

Werte zufriedenstellend ?

J Spannungsnachweis nach Nr. 10

Werte zulässig ?

N

J Ende A 10-1  Mögliche Vorgehensweise bei der Auslegung von Blattfedern

10  Elastische Federn115 Start

M, D, E,

soll ,

bzul

d überschlägig nach Nr. 16

d festlegen n überschlägig nach Nr. 17 ermitteln und festlegen q siehe zu Nr. 22 Länge des Festkörpers nach Nr. 18, 19 Wiederholung mit geänderten Eingabegrößen

gestreckte Drahtlänge nach Nr. 20, 21 Spannungsnachweis nach Nr. 22, 23

10

Drehwinkel nach Nr. 24 (Funktionsnachweis) Vergleiche Soll- und Istwert Werte zufriedenstellend ?

N

J Ende A 10-2  Mögliche Vorgehensweise bei der Auslegung von Drehfedern

116

10  Elastische Federn Start

Fges , s ges

Tellerfederreihe (A, B, C) De (D i ), t, h0, F 0,75 Telleranzahl n’ je Paket nach Nr. 30 Paketanzahl i ’ je Säule nach Nr. 31

n, i Wiederholung mit geänderten Eingabegrößen

Länge der Federsäule nach Nr. 32, 33

10

Werte zufriedenstellend ?

N

J Ende A 10-3  Vereinfachte Vorgehensweise bei der Auslegung einer Teller­federsäule

10  Elastische Federn117 Start

F1 , F2 , s, De (Di ) Rsoll nach Nr. 157 d überschlägig nach Nr. 54, 55

d, D, De (Di ) festlegen d überschlägig nach Nr. 56 n, nt festlegen Rist nach Nr. 72 Sa , Lc , L0 nach Nr. 60 bis 71

10

Federwerkstoff G, zul , czul , k0 Wiederholung mit geänderten Eingabegrößen

Spannungsnachweis nach Nr. 76 bis 79 Werte zufriedenstellend ?

N

J Ende A 10-4  Mögliche Vorgehensweise bei der Auslegung von statisch oder dynamisch belasteten Schraubendruckfedern

118

10  Elastische Federn Start (F0), F1, F2, s, De (Di ), G d überschlägig nach Nr. 82, 83

d, D, De (Di ), LH

Federwerkstoff G, zul n’ überschlägig nach Nr. 84

n, nt festlegen

10

mit innerer Vorspannung ?

Rsoll nach Nr. 88

Wiederholung mit geänderten Eingabegrößen

Rist nach Nr. 89 N

J 0zul

Werte zufriedenstellend ?

0

vorh nach Nr. 93

J vorh

nach Nr. 92 N

Spannungen zulässig ? J LK nach Nr. 86

N

Werte zufriedenstellend ? J Ende

A 10-5  Mögliche Vorgehensweise bei der Auslegung von statisch belasteten Schraubenzugfedern

11  Achsen, Wellen und Zapfen Formelzeichen

Einheit

Benennung

a1, a2 ...

mm

Abstände zu den Lagerstellen

b1, b2 ...

mm

Abstände zu den Lagerstellen

c

N/m

Federsteife für elastische Biegung

ct

N m/rad

d, d′

mm

Wellen- bzw. Achsdurchmesser, Richtdurchmesser

d1, d2 ...

mm

Durchmesser der betreffenden Teillängen

da , d′a

mm

Außendurchmesser der Hohlwelle bzw. -achse, Richtdurchmesser

da1, da2 ...

mm

Durchmesser der Wellenabsätze

db1, db2 ...

mm

Durchmesser der Wellenabsätze

di

mm

Innendurchmesser der Hohlwelle bzw. -achse

FA , FB

N

Auflagerkräfte

f

mm

Durchbiegung

fA , fB

mm

durch die Lagerkraft hervorgerufene Durchbiegung

fmax

mm

maximale Durchbiegung an den Stellen der umlaufenden Massen (nicht identisch mit der maximalen Durchbiegung der Welle)

fres

mm

resultierende Durchbiegung

E

N/mm2

Elastizitätsmodul

G

N/mm2

Schubmodul

It

mm4

polares Flächenmoment 2. Grades

J, J1, J2

kg m2

Massenmoment 2. Grades (Trägheitsmoment)

k

1

Korrekturfaktor zur Berücksichtigung der Einspannung; Durchmesserverhältnis k = di / da

KA

1

Anwendungsfaktor (Betriebsfaktor)

l, l1, l2

mm

Mb

N mm, N m

Biegemoment

Meq

N mm, N m

äquivalentes Biegemoment

Mv

N mm, N m

Vergleichsmoment (vergleichbares Biegemoment)

Drehfedersteife

Länge bzw. Teillänge

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2019 H. Wittel, D. Jannasch, C. Spura, Roloff/Matek Maschinenelemente Formelsammlung, https://doi.org/10.1007/978-3-658-25469-8_11

11

120

11

11  Achsen, Wellen und Zapfen

Formelzeichen

Einheit

Benennung

m

kg

n

min–1

Drehzahl

nkb , nkt

min–1

biegekritische bzw. verdrehkritische Drehzahl

P

kW

T

N mm, N m

Drehmoment

Teq

N mm, N m

äquivalentes Drehmoment

Tnenn

N mm, N m

Nenndrehmoment

α, α′ , αx , αy , αres

°

Neigungswinkel

β, β′ , βx , βy , βres

°

Neigungswinkel

α0

1

Anstrengungsverhältnis

SD

1

vorhandene Sicherheit gegen Dauerbruch

SD erf

1

erforderliche Sicherheit gegen Dauerbruch

SF

1

vorhandene Sicherheit gegen Fließen

SF min

1

Mindestsicherheit gegen Fließen

Sz

1

Sicherheitsfaktor zur Kompensierung der Berechnungs­ vereinfachung

σba

N/mm2

Biegeausschlagspannung

σb

N/mm2

Biegespannung

σbD

N/mm2

Biegedauerfestigkeit des Probestabes entsprechend ­ Beanspruchungsfall

σbF

N/mm2

Biegefließgrenze

σGD , σGW

N/mm2

Gestaltdauerfestigkeit, Gestaltwechselfestigkeit

τtF

N/mm2

Torsionsfließgrenze

τGD , τGW

N/mm2

Gestaltdauerfestigkeit, Gestaltwechselfestigkeit

τt

N/mm2

Verdrehspannung, Torsionsspannung

τta

N/mm2

Torsionsausschlagspannung

τtD

N/mm2

Torsionsdauerfestigkeit des Probestabes entsprechend ­ Beanspruchungsfall

φ

1

Faktor für Anstrengungsverhältnis

φ

°

Verdrehwinkel

ωk

s–1

Masse der umlaufenden Scheibe

von der Welle zu übertragende Leistung

Eigenkreisfrequenz

11  Achsen, Wellen und Zapfen121 Nr.

Formel

Hinweise

Achsen (Durchmesserermittlung) Achsen sind Elemente zum Tragen und Lagern von Laufrädern, Seilrollen und ähnlichen Bauteilen. Sie werden im Wesentlichen durch Querkräfte auf Biegung, seltener durch Längskräfte zusätzlich noch auf Zug oder Druck beansprucht. Achsen übertragen kein Drehmoment. Für jeden Querschnitt ist nachzuweisen, dass die vorhandene Spannung den zulässigen Wert nicht überschreitet.

Querkraftverlauf

um 90° gedreht dargestellt Fq τ max = 4 · 3 A σbd

Momentenverlauf

11

σbz

Überschlägige Ermittlung des Durch­ messers einer Achse mit Kreisquerschnitt 1

d ¢ ª 3,4 ◊ 3

Mb s bD

Überschlägige Ermittlung des ­ Außendurchmessers einer Hohlachse mit Kreisquerschnitt Mb

2

d a ª 3,4 ◊ 3

3

Innendurchmesser di ≤ k · da

Mb = Mb eq = KA · Mb nenn σbD ª σbSchN bzw. σbWN σbSchN bzw. σbWN nach TB 1-1

eventuelle Querschnittsschwächungen sind zu berücksichtigen k = di / da 0 < k < 1; günstig k < 0,6

(1 - k 4 ) ◊ s bD zu Nr. 1 bis 3 s. auch Ablaufplan A 11-2

Überschlägige Ermittlung des Durchmessers an beliebiger Stelle x d x ª 3,4 ◊ 3

FA ◊ x s bD

F

dx

4

x

FA

l

FB

122 Nr.

11  Achsen, Wellen und Zapfen Formel

Hinweise

Wellen (Durchmesserermittlung) Wellen laufen ausschließlich um und dienen dem Übertragen von Drehmomenten, die durch Zahnräder, Riemenscheiben, Kupplungen u. dgl. ein- und weitergeleitet werden. Sie werden auf Torsion und vielfach durch Querkräfte zusätzlich auf Biegung beansprucht. Längs­kräfte treten auf, wenn auf der Welle z. B. Kegelräder, schrägverzahnte Stirnräder oder ähnliche Bauteile angeordnet sind. Für jeden Querschnitt ist nachzuweisen, dass die vorhandene Spannung den zulässigen Wert nicht überschreitet.

11

a) reine Verdrehbeanspruchung von der Welle zu übertragendes ­ Nenndrehmoment 5

Tnenn

Teq = K A ◊ Tnenn ª 9550 ◊

KA ◊ P n

Überschlägige Ermittlung des ­ Durchmessers für eine Vollwelle mit Kreisquerschnitt 7

d ¢ ª 2,7 ◊ 3

T t tD

bzw. 8

KA

P

n

N m

1

kW

min–1

P = 2◊ p ◊ n

das für die Berechnung maßgebende Drehmoment 6

Tnenn, Teq

d ¢ ª 570 ◊ 3

KA ◊ P n ◊ t tD

KA nach TB 3-5 bei statischer Beanspruchung ist Tmax anstatt Teq maßgebend Bestimmung der Ausschlagwerte Taeq s. Kap. 3, Hinweise zu Nr. 14. d′ mm

KA 1

P kW

T

n

τtD

N mm

min–1

N/mm2

T = Teq nach Nr. 6 bzw. Tmax τtD ª τtSchN bzw. τtWN τtSchN bzw. τtWN nach TB 1-1 bei statischer Beanspruchung ist: t tF ª 1,2 ◊ Rp0,2N ◊ K t / 3 für τtD zu setzen Kt nach TB 3-11a für Streckgrenze

11  Achsen, Wellen und Zapfen123 Nr.

Formel

Hinweise

Überschlägige Ermittlung des ­ Außendurchmessers für eine Hohlwelle mit Kreisringquerschnitt 9

d a¢ ª 2,7 ◊ 3

T (1 - k 4 ) ◊ t tD

d′a mm

k 1

KA 1

P

T

kW N mm

n

τtD

min–1

N/mm2

T und τtD wie bei Nr. 7, 8

bzw. k = di / da 0 < k < 1; günstig k < 0,6 eventuelle Querschnittsschwächungen sind zu berücksichtigen

KA ◊ P n ◊ (1 - k 4 ) ◊ t tD

10

d a¢ ª 570 ◊ 3

11

Innendurchmesser di ≤ k · da b) g leichzeitig verdreh- und ­ biegebeanspruchte Welle Überschlägige Ermittlung des ­ erforderlichen Durchmessers für eine Vollwelle mit Kreisquerschnitt bei bekanntem Biegemoment

12

d ¢ ª 3,4 ◊ 3

σbD ª σbSchN bzw. σbWN σbSchN bzw. σbWN nach TB 1-1 eventuelle Querschnittsschwächungen sind zu berücksichtigen

Mv s bD

das für die Berechnung maß­gebende Vergleichsmoment

σbD / (φ · τtD) ª 0,7 w  enn Biegung wechselnd und Torsion statisch oder schwellend

2

13

Mv =

Ê s ˆ M b2 + Á bD ◊ T ˜ Ë 2 ◊ t tD ¯

14

Mv =

Ê s ˆ M b2 + 0,75 ◊ Á bD ◊ T ˜ Ë j ◊ t tD ¯

2

Überschlägige Ermittlung des ­ erforderlichen Durchmessers für eine Vollwelle mit Kreisquerschnitt bei unbekanntem Biegemoment • bei relativ kleinem Lagerabstand 15

d ¢ ª 3,4 ◊ 3

16

d ¢ ª 760 ◊ 3

Mv bzw. s bD KA ◊ P n ◊ s bD

Mb = Mb eq = KA · Mb res  φ = 1,73

σbD / (φ · τtD) ª 1

 enn Biegung und Torsion w im gleichen Lastfall

σbD / (φ · τtD) ª 1,5  wenn Torsion wechselnd und Biegung statisch oder schwellend T = Teq nach Nr. 6 bzw. Tmax

Mv ª 1,17 · T σbD wie bei Nr. 12 P, n siehe zu Nr. 7

11

124 Nr.

11  Achsen, Wellen und Zapfen Formel

Hinweise

• bei relativ großem Lager­abstand 17

d ¢ ª 3,4 ◊ 3

Mv bzw. s bD

18

d ¢ ª 920 ◊ 3

KA ◊ P n ◊ s bD

Mv ª 2,1 · T

Überschlägige Ermittlung des ­ erforderlichen Außendurch­messers für eine Hohlwelle mit Kreisquerschnitt bei bekanntem Biegemoment 19

d a¢ ª 3,4 ◊ 3

Mv (1 - k 4 ) ◊ s bD

k siehe zu Nr. 10 Innendurchmesser di nach Nr. 11 zu Nr. 7 ... 19 siehe auch Ablaufplan A 11-2 Mv nach Nr. 13, 14

Festigkeitsnachweis Nach dem Entwurf und der Gestaltung der Achsen und Wellen sind für die kritischen Querschnitte, z. B. Wellenabsätze, Eindrehungen, Gewindefreistiche u. a. als auch für die Querschnitte mit maximaler Belastung, der statische (auch bei dynamischer Belastung) und der dynamische Sicherheitsnachweis zu führen. Nachweis der statischen S ­ icherheit

11

20

1

SF =

2

Ê s b max ˆ Ê t t max ˆ ÁË s ˜¯ + ÁË t ˜¯ bF tF

2

≥ SFmin

Vereinfachter Nachweis der ­ dynamischen Sicherheit 21

1

SD =

2

Ê s ba ˆ Ê t ta ˆ ÁË s ˜ + ÁË t ˜ bGW ¯ tGW ¯ = SDmin ◊ Sz

2

≥ SD erf

siehe Ablaufplan A 11-3 σb max, τt max nach den ­Gesetzen der Technischen Mechanik mit Fmax bzw. Tmax bestimmen σbF ª 1,2 · Rp0,2N · Kt t tF ª 1,2 ◊ Rp0,2N ◊ K t / 3 Rp0,2N n ach TB 1-1 Kt nach TB 3-11a für Streckgrenze siehe Ablaufplan A 11-3 genauerer dynamischer Nachweis nach Kap. 3 σba, τta nach den Gesetzen der technischen ­ Mechanik mit Feq bzw. Teq bestimmen σbGW = σbWN · Kt / KDB τtGW = τtWN · Kt / KDt σbWN, τtWN nach TB 1-1 Kt nach TB 3-11a für Zugfestigkeit KDb, KDt siehe Ablaufplan A 3-3 SD min , Sz nach TB 3-14

11  Achsen, Wellen und Zapfen125 Nr.

Formel

Hinweise

Kontrolle der elastischen Verformungen von Achsen und Wellen Bei Torsionsbelastung ist die zulässige Verdrehung, bei Belastung durch Querkräfte sind die zulässige Durchbiegung und Schiefstellung an den kritischen Querschnitten und die zulässi­gen Neigungen in den Lagerstellen, zu kontrollieren. a)  Verformung bei Torsions­ beanspruchung

φ

Verdrehwinkel für glatte Wellen 22

j∞ =

180∞ l ◊ t t 180∞ T ◊ l ◊ = ◊ p r ◊G p G ◊ It

T d

T

für abgesetzte Wellen mit den ­ Durchmessern d1 , d2 , ... dn und den ­ zugehörigen Längen l1 , l2 ... ln 24

j∞ ª

180∞ 32 ◊ T Ê l ˆ ◊ Á 4˜ ◊ Ëd ¯ p p ◊G

Richtwerte für φzul : 0,25 ... 0,5°/m Wellenlänge d

T

KA

P

n

mm

N mm

1

kW

min–1

Welle mit drei Absätzen und mit Antriebsund Abtriebszapfen

l1

l2

l3

l4

b) Verformung bei ­Biege­ beanspruchung Zweifach gelagerte Welle (Achse) mit gleichbleibenden Querschnitt und einer angreifenden Kraft F Durchbiegung unter der Kraft F 25

f =

F ◊ a 2 ◊ b2 3◊ E ◊ I ◊ l

11

Tan

d4

KA ◊ P n

d3

d = 2,32 ◊ 4 T ª 129 ◊ 4

d2

23

T nach Nr. 5 G nach TB 1-1 It = Ip nach TB 11-3

d1

erforderlicher Durchmesser einer g­ latten Welle aus Stahl für einen z­ ulässigen Verdrehwinkel φ = 0,25°/m

l

a

b F

αA FA

Tab

f(x)

fm

x xm

l

f

αB FB

126 Nr.

11  Achsen, Wellen und Zapfen Formel

Hinweise

Maximale Durchbiegung bei a > b 26

F ◊b◊

fm =

(

E nach TB 1-1 I nach TB 11-3

9◊ 3 ◊ E ◊ I ◊l

im Abstand xm =

27

)

3 l 2 - b2

F ◊a◊

fm =

(l 2 - b2 ) 3

bei a < b

Richtwerte für zulässige Verformungen nach TB 11-5

(l 2 - a 2 )3

9◊ 3 ◊ E ◊ I ◊l

im Abstand xm = l -

(l 2 - a 2 ) 3

Durchbiegung an der Stelle x, wenn 0 ≤ x ≤ a 28

f (x) =

F ◊ a ◊ b 2 ÈÊ l ˆ x x3 ˘ ◊ ÍÁ1 + ˜ ◊ Ë ¯ 6◊ E ◊ I Î b l a ◊ b ◊ l ˙˚

wenn a ≤ x ≤ l 3 F ◊ a 2 ◊ b ÈÊ l ˆ l - x (l - x) ˘ ˙ ◊ ÍÁ1 + ˜ ◊ 6 ◊ E ◊ I ÍË a ¯ l a ◊b◊l ˙ Î ˚

31

tan a B =

F ◊ a ◊ b ◊ (l + a) 6◊ E ◊ I ◊l

Zweifach gelagerte, abgesetzte Welle (Achse) mit Kreisquerschnitt und einer wirkenden Kraft F Durchbiegung unter der Kraft F 32

33

fA =

fB =

6,79 ◊ FA E Ê a13 a23 - a13 a33 - a23 ˆ ◊Á 4 + + + ˜ 4 4 d d d Ë a1 ¯ a2 a3 6,79 ◊ FB E ˆ Ê b13 b23 - b13 b33 - b23 ◊Á 4 + + + ˜ 4 4 d b2 d b3 ¯ Ë d b1

Weitere Belastungsfälle siehe TB 11-6 l a a

FA

a1

b b

F

a2

b3 b4

a3

b2

db1

F ◊ a ◊ b ◊ (l + b) 6◊ E ◊ I ◊l

db2

tan a A =

db3

30

Richtwerte für zulässige Neigungen nach TB 11-5

db4

Neigungen

da3

f (x) =

da2

29

da1

11

b1 FB

β

α fA

f γ

fB

11  Achsen, Wellen und Zapfen127 Nr. 34

35 36

Formel

Hinweise

a f = fA + ◊ ( fB - fA ) l Neigungen in den Zapfen   2 a22 − a12 a1 10;19  FA tan ’0  + + : : :  4 4 E da1 da2   2 b22 − b12 b1 10;19  FB tan “0  + + : : :  4 4 E db1 db2

37

tan a ª a ¢ +

fB - f A l

38

tanb ª b ¢ -

fB - fA l

resultierende Durchbiegung (aus Durchbiegungen in x- und y-Ebene) 39

f res =

f x2 + f y2

resultierende Neigung 40

tan a res =

tan 2 a x + tan 2 a y

41

tan b res =

tan 2 b x + tan 2 b y

fx bw. fy siehe Nr. 25 ff. bzw. nach TB 11-6 allgemein f ≤ la / 3000 mit Lagerabstand la in [mm] tan α siehe Nr. 30, 31 bzw. nach TB 11-6 oder Nr. 37, 38 (tan β analog)

Kontrolle der kritischen Drehzahl An Wellen können erzwungene Schwingungen als Biege- und Torsionsschwingungen (bei umlaufenden Achsen nur Biegeschwingungen) auftreten. Ursache hierfür sind ­dynamisch wirkende Momente. Stimmt dabei die Erregerfrequenz ω der erzwungenen Schwingung mit der Eigenkreisfrequenz ω0 der Welle (Achse) überein, kommt es zur ­Resonanz. Folge daraus sind sehr große Durchbiegungen und Verdrehwinkel an der Welle (Achse), die zu Brüchen führen können. Die Betriebsdrehzahl n sollte deshalb stets kleiner oder größer sein als die kritische Drehzahl nkr. a) biegekritische Drehzahl Eigenkreisfrequenz allgemein 42

wk =

c m

biegekritische Drehzahl bei zweifach gelagerten Wellen (umlaufenden ­Achsen) mit mehreren Einzelmassen 43

nkb ª 946 ◊

1 f max

nkb

k

f

min–1

1

mm

f Durchbiegung durch Massen (Gewichts­ kräfte), nicht durch äußere Kräfte

11

128 Nr.

11  Achsen, Wellen und Zapfen Formel

Hinweise

biegekritische Drehzahl unter ­ Berücksichtigung der Lagerung bzw. Ein­spannung 44

nkb ª k ◊ 946 ◊

1 f

Einspannung

k

frei gelagerte umlaufende Achsen und Wellen (Normalfall)

1

an den Enden eingespannte fest­ stehende Achsen

1,3

b) verdrehkritische Drehzahl Fall 1: Torsionspendel  Eigenkreisfrequenz ct J

2l

wk =

2

K Knoten

l

45

J2, m2

φ

1l

c 1

φ

d φ

J1, m1

verdrehkritische Drehzahl 46

11

nkt =

30 ◊ p

ct ª 72,3 ◊ J

T j◊ J

Drehschwinger a) mit zwei Scheibenmassen (Zweimassen­system) b) Torsionspendel (ein Wellenende fest ein­gespannt)

Fall 2: Welle mit zwei Massen Eigenkreisfrequenz 47

wk =

Ê1 1ˆ ct ◊ Á + ˜ Ë J1 J 2 ¯

verdrehkritische Drehzahl 48

30 Ê1 1ˆ nkt = ◊ ct ◊ Á + ˜ Ë J1 J 2 ¯ p T Ê1 1ˆ ª 72,3 ◊ ◊ + j ÁË J1 J 2 ˜¯

nkt min–1 T nach Nr. 5

T N m

φ

J

ct

°

kg m2

N m

11  Achsen, Wellen und Zapfen

129

Beanspruchungsverlauf (Schnittgrößen) feststellen Erkennen des kritischen Querschnitts

11

A 11-1  Vorgehensweise zur Berechnung von Achsen und Wellen

130

11  Achsen, Wellen und Zapfen

13/14

Nr. 15 bzw. 16

Nr. 17 bzw. 18

11

A 11-2  Ermittlung des Richtdurchmessers für Achsen und Wellen

Nr. 2 bzw. 19

11  Achsen, Wellen und Zapfen131

vorliegende Belastung

vorhandene Spannungen (Beanspruchungen)

Festigkeitswerte der Bauteile (Beanspruchbarkeiten)

11

A 11-3  Vereinfachter Nachweis der statischen und dynamischen Sicherheit

12  Elemente zum Verbinden von Wellen und Naben

12

Formelzeichen

Einheit

Benennung

AF

mm2

Fugenfläche

Aproj

mm2

projizierte Fläche

amin , amax

µm

Mindest-, Höchstaufschubweg

b

mm

Passfederbreite

C

1

Kegelverhältnis

D, D1 , D2

mm

Durchmesser

DA , DI

mm

Durchmesser des Außen- bzw. Innenteils

DF

mm

Fugendurchmesser

DFm

mm

mittlerer Fugendurchmesser

d, dr

mm

Durchmesser, rechnerischer Durchmesser

dm

mm

mittlerer Profildurchmesser

EA , EI

N/mm2

E-Modul des Außen- bzw. Innenteils

Fa

N, kN

Axialkraft

Fe

N, kN

Einpresskraft

FKl

N, kN

Klemmkraft

Fl

N

Längskraft

FN , F ¢N

N

Anpresskraft (Normalkraft)

FR

N

Reibkraft, Rutschkraft

FRl

N

Rutschkraft in Längsrichtung

FRt

N

Rutschkraft in Umfangsrichtung

FR res

N

resultierende Rutschkraft aus Längs- und Umfangskraft

Fres

N

resultierende Kraft aus Längs- und Tangentialkraft

FS , F ¢S

N

erforderliche Spannkraft

Ft

N

Tangentialkraft (Umfangskraft)

Ft eq

N

äquivalente Tangentialkraft am Fugendurchmesser d

FVM

N

Montagevorspannkraft der Schraube

fH

1

Härteeinflussfaktor

fL

1

Lastspitzenhäufigkeitsfaktor

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2019 H. Wittel, D. Jannasch, C. Spura, Roloff/Matek Maschinenelemente Formelsammlung, https://doi.org/10.1007/978-3-658-25469-8_12

12  Elemente zum Verbinden von Wellen und Naben133 Formelzeichen

Einheit

Benennung

fn

1

Anzahlfaktor bei Spannelementen

fS

1

Stützfaktor

fW

1

Lastrichtungswechselfaktor

G h

µm

Glättungstiefe

mm

Passfederhöhe

htr

mm

tragende Nuttiefe, tragende Profilhöhe

K

1

Hilfsgröße zur Berücksichtigung des elastischen Verhaltens; Korrekturfaktor für die Flächenpressung

KA

1

Anwendungsfaktor

KR

1

Reibschlussfaktor

Kλ

1

Lastverteilungsfaktor

L

mm

Nabenlänge

l, l1 , l2

mm

Längen- bzw. Wirkabstände

lF

mm

Fugenlänge

l tr

mm

tragende Passfederlänge, tragende Profillänge

n

1, min–1

ng

min–1

PT

µm

pF , pm

N/mm2

Fugendruck, mittlere Flächenpressung

pFg , pFk

N/mm2

größter bzw. kleinster Fugendruck

pF zul , pzul

N/mm2

zulässiger Fugendruck, zulässige Flächenpressung

pmax , peq

N/mm2

maximale Flächenpressung, äquivalente Flächenpressung

pN , pW

N/mm2

Fugendruck auf die Nabe, – Welle bei Spannelementen

QA , QI

1

Durchmesserverhältnis

qeq , qmax

1

Korrekturfaktor für Reibschluss bei Passfederverbindung

r

mm

ReA , ReI

N/mm2

Streckgrenze des Außenteil- bzw. Innenteilwerkstoffes

Rm

N/mm2

Zugfestigkeit

RzAi , RzIa

µm

SH

1

Anzahl, Betriebsdrehzahl Grenzdrehzahl für den Fugendruck pF = 0 Passtoleranz

Nutgrundradius bei Passfedernut

gemittelte Rautiefe der Fugenflächen des Außenteils innen bzw. des Innenteiles außen Haftsicherheit

12

134

12

12  Elemente zum Verbinden von Wellen und Naben

Formelzeichen

Einheit

Benennung

SF , SB

1

Su

µm

Einführspiel

s1 , s2

mm

45° Fase oder Rundung an der Wellennutkante bzw. Nabennutkante

t1

mm

Wellennuttiefe

TB , TW

µm

Toleranz der Bohrung, – der Welle

Teq

N mm, N m

äquivalentes Nenndrehmoment

Tn

N mm, N m

übertragbares Drehmoment bei der Betriebsdrehzahl n

Tnenn

N mm, N m

Nenndrehmoment

TTab

N m

von einem Spannelement übertragbares Drehmoment bei ­ einer Fugenpressung pW bzw. pN (Tabellenwert)

Üo , Üu

µm

Höchst- bzw. Mindestübermaß

Ü ¢o , Ü ¢u

µm

tatsächlich vorhandenes Höchst- bzw. Mindestübermaß

Zg , Zk

µm

größtes bzw. kleinstes Haftmaß

α

°

αA , αI

K–1

J

°C, K

Raumtemperatur

JA , JI

°C, K

Fügetemperatur des Außen- bzw. Innenteiles

μ

1

Reibungszahl, Haftbeiwert

μe

1

Einpress-Haftbeiwert

νA , νI

1

Querdehnzahl für das Außen- bzw. Innenteil

¬

kg/m3, 1

Dichte, Reibungswinkel

σtAa , σtAi

N/mm2

Tangentialspannung im Außenteil außen bzw. innen

σtIa , σtIi

N/mm2

Tangentialspannung im Innenteil außen bzw. innen

σrAi

N/mm2

Radialspannung im Außenteil innen

σrIa

N/mm2

Radialspannung im Innenteil außen

σvAi , σvIi

N/mm2

Vergleichsspannung im Außenteil innen bzw. Innenteil innen

φ

1

Sicherheit gegen Fließen, Sicherheit gegen Bruch

Kegelwinkel, Einstellwinkel Längenausdehnungskoeffizient des Außen- bzw. Innenteiles

Tragfaktor zur Berücksichtigung der Passfederanzahl

12  Elemente zum Verbinden von Wellen und Naben135 Nr.

Formel

Hinweise

Passfederverbindungen Die Berechnung von Passfederverbindungen ist nach DIN  6892 genormt. Überprüft werden die Flächenpressungen zwischen Passfeder und Wellen- bzw. Nabennutwand. Sie dürfen die zulässigen Grenzwerte an allen tragenden Flächen, die sich aus den Werkstofffestigkeiten von Welle, Nabe und Passfeder ergeben, nicht überschreiten. Ein Überprüfen auf Abscheren der Passfeder ist nicht erforderlich. Beim Festigkeitsnachweis wird zwischen den Methoden A, B und C unterschieden. Methode A ist ein experimenteller Nachweis. Bei Berechnung nach Methode C wird eine gleichmäßige Pressungsverteilung über der Passfederlänge und eine überschlägige Tragfläche angenommen. Sie darf nur bei einseitig wirkendem Torsionsmoment angewendet werden. Bei Methode B wird die Pressung genauer berechnet. Sie ist auch bei wechselseitiger Belastung der Passfeder anwendbar. Über einen Reibschlussfaktor kann das bei Übermaßpassungen größere übertragbare Torsionsmoment bei Methode B und C berücksichtigt werden. Mittlere Flächenpressung auf die Seitenflächen von Welle, Nabe bzw. Passfeder bei Methode C 1

pm 

2T  fL  pzul d  htr  ltr  n  ®

mit pzul = Re =SF bzw. = Rm =SB

statisch: T = KA  Tnenn, dynamisch: T = Tmax KA nach TB 3-5 Tnenn  9550

P n

Tnenn Nm

P kW

n min−1

Regelfall n = 1 → φ = 1 Ausnahme n = 2 → φ = 0,75 htr = h − t1; Werte für h, t1, b aus TB 12-2a ltr = l − b für rundstirnige Formen (A, C, E) ltr = l für geradstirnige Formen (B, D, F…J) ltr  1;3  d Richtwerte für SF .SB / nach TB 12-1b dynamisch: fL = 1, statisch: Werte aus TB 12-2d Re = Kt  ReN, Rm = Kt  RmN, s. Kap. 3 Nr. 15, 16

Zulässiges Drehmoment d n®T 2

htr2

s1 s2

X b X

r

t1

pm

T

r

htr1

Tzul = pzul  htr  ltr 

h

2

T d

12

136 Nr.

12  Elemente zum Verbinden von Wellen und Naben Formel

Hinweise

Flächenpressung bei Methode B

htr  0;47  h − r − s; h, r aus TB 12-2a genauere Berechnung siehe Lehrbuch bzw. DIN 6892 ltr siehe Nr. 1 Kœ nach TB 12-2c; qmax = 0;8, qeq = 0;5 KR = 1 bei Spiel- oder Übergangspassung TR min = T nach Nr. 39 (Pressverband) n = 1 → φ = 1 n = 2 → φ = 0,75 bei peq, φ = 0,9 bei pmax fL aus TB 12-2d, fW aus TB 12-2e fS, fH aus TB 12-2b Re, Rm siehe Nr. 1

• statisch 2  Tmax  Kœ  KR  fL  pzul d  htr  ltr  n  ®

3

pmax 

4

mit KR =

5

pzul = fS  fH  Re bzw. = fS  Rm

Tmax − qmax  TR min Tmax

• dynamisch 2  Teq  Kœ  KR  fW  pzul d  htr  ltr  n  ®

6

peq 

7

mit KR =

Teq − qeq  TR min Teq

Hinweis: Aufgrund der ungleichmäßigen Flächenpressung wegen der relativen Verdrillung von Welle und Nabe kann nur mit einer tragenden Länge ltr  1;3  d gerechnet werden

Keil- und Zahnwellenverbindungen Sie sind für größere, wechselnd und stoßhaft wirkende Drehmomente (bei Flankenzentrierung) geeignet. Die Berechnung ist wie bei Passfederverbindungen im Allgemeinen nur bei kurzen Traglängen erforderlich. vorhandene mittlere Flächenpressung der Keilwellenverbindung

12

8

pm 

2T  pzul dm  L  htr  0;75  n

htr ª 0,4 · (D – d); dm = (D + d) / 2 mit D und d aus TB 12-3a n aus TB 12-3a T wie zu Nr. 1, pzul s. TB 12-1b; L ≤ 1,3 · d

Zahnwellenverbindung

• Passverzahnung mit Kerbflanken 9

pm 

2T  pzul d5  L  htr  0;75  n

bei Kerbflanken htr ª 0,5(d3 – d1); Werte aus TB 12-4a

• Passverzahnung mit Evolventenflanken 10

pm 

2T  pzul d  L  htr  0;75  n

bei Evolventenflanken htr ª 0,5 [da1 – (da2 + 0,16 · m)]; Werte aus TB 12-4b T, pzul und L wie zu Nr. 8

12  Elemente zum Verbinden von Wellen und Naben137 Nr.

Formel

Hinweise

Polygonverbindungen Sie sind zum Übertragen stoßartiger Drehmomente geeignet. Unter Last längsverschiebbar ist nur das P4C-Profil mittlere Flächenpressung für das Profil P3G 11

pm 

P4C 12

pm 

T    pzul ltr  0;75     e1  d1 + 0;05  d12 T    pzul ltr     er  dr + 0;05  dr2

P3G

P4C

T wie zu Nr. 1 Profilgrößen aus TB 12-5; er = (d1 – d2)/4 dr = d2 + 2er pzul aus TB 12-1

Mindest-Nabenwandstärke 13

s ≥ c◊

T s z zul ◊ L

σ

T

s, L

c

N/mm2

N mm

mm

1

Richtwerte für Profilfaktor c d4

P3G

P4C

≤35 >35

1,44 1,2

0,7

σz zul = Rp0,2 des für die Nabe verwendeten Werkstoffs

12

138 Nr.

12  Elemente zum Verbinden von Wellen und Naben Formel

Hinweise

Zylindrische Pressverbände Sie können als Quer- oder Längspressverband hergestellt werden, wobei sich ihre Berechnung nur durch die Montagebedingungen – Erwärmung/Unterkühlung um ΔJ bzw. Einpresskraft Fe – unterscheidet. Durchmesserverhältnisse 14

QA =

DF D w k vor. Siehe Hinweise zu Nr. 11

b) bei Betriebsdrehzahl n 20

TK¢ =

JL ◊ TAi ◊V ◊ S t ◊ Sf £ TKW JA + JL

•  lastseitige Schwingungserregung (z. B. durch Kolbenverdichter) a) bei Durchfahren der Resonanz 21

TK¢ =

JA ◊ TLi ◊VR ◊ Sz ◊ S t £ TK max JA + JL

b) bei Betriebsdrehzahl n 22

TK¢ =

JA ◊ TLi ◊V ◊ S t ◊ Sf £ TKW JA + JL

Belastung durch Wellenverlagerung: axialer Versatz 23

ΔK a ≥ ΔWa · St radialer Versatz

24

13

ΔKr ≥ ΔWr · St · Sf winkliger Versatz

25

ΔKw ≥ ΔWw · St · Sf

ΔKa, ΔKr, ΔKw nach Herstellerangaben bzw. TB 13-2, TB 13-4 und TB 13-5 St, Sf nach Herstellerangaben bzw. TB 13-8b/c

axiale Rückstellkraft 26

Fa = ΔWa · Ca radiale Rückstellkraft

27

Fr = ΔWr · Cr winkliges Rückstellmoment

28

Mw = ΔWw · Cw

Ca , Cr , Cw nach Herstellerangaben bzw. TB 13-2 und TB 13-5

152 Nr.

13  Kupplungen und Bremsen Formel

Hinweise

Auslegung schaltbarer Reibkupplungen Für die Größenbestimmung einer Reibkupplung kann das schaltbare oder übertragbare Drehmoment, die geforderte Schaltzeit oder die zulässige Erwärmung der Kupplung maßgebend sein. Bei Lastschaltungen sollte das schaltbare Drehmoment TKs in der Regel mindestens doppelt so groß sein wie das Lastmoment TL , damit genügend Reserve für die Beschleunigung der Drehmassen bleibt. Das nach dem Schaltvorgang erforderliche übertragbare Dreh­moment TKü kann analog Nr. 14 bestimmt werden mit TK¢ = TN ◊ K A £ TKNu , mit TKNü als übertragbarem Nenndrehmoment der Kupplung. erforderliches schaltbares Drehmoment 29

TKs = Ta + TL = JL

¨A − ¨L0 + TL  TKNs tR

Rutschzeit (Beschleunigungszeit) 30

tR =

JL (w A - w L0 ) TKNs - TL

Schaltarbeit bei einmaliger Schaltung 31

W = 0,5 TKNs (w A - w L0 ) tR = 0,5 J L (w A - w L0 )

32

2

TKNs < Wzul TKNs - TL

Schaltarbeit bei Dauerschaltung Wh = W · zh < Wh zul

TKNs nach Herstellerangaben bzw. TB 13-6 und TB 13-7 Bei TL = 0 und ωL0 = 0 gilt:

13

TKs = JL · ωA / tR W = 0;5  TKNs  ¨A  tR = 0;5  JL  ¨2A ωA = 2 π · nA , ωL0 = 2 π · nL0 Wzul , Wh zul nach Herstellerangaben bzw. TB 13-6 und TB 13-7 Hinweis: Bei entgegengesetzter Drehrichtung der An- und Abtriebsseite gilt (ωA + ωL0).

13  Kupplungen und Bremsen153 Nr.

Formel

Hinweise

Kreuzgelenke Winkelgeschwindigkeit der getriebenen Welle 33

w2 =

cos a ◊ w1 1 - cos 2 j1 ◊ sin 2 a

Grenzwerte w 2 max =

w1 cos a

w 2 min = w1 ◊ cos a

Auslegung von Bremsen erforderliches schaltbares Bremsmoment 34

erforderliche Bremszeit 35

tR =

JL (w A - w L0 ) TBr ± TL

Reibarbeit (Schaltarbeit pro Bremsung) 36

TBr nach Herstellerangaben bzw. TB 13-9

w TBr¢ = J L A ± TL £ TBr tR

Hinweis: Das Lastmoment TL ist positiv einzusetzen, wenn es bremsend wirkt. Wzul nach Herstellerangaben bzw. TB 13-9

W = 0,5 · TBr · ωA · tR ≤ Wzul

13

14 Wälzlager

14

Formelzeichen

Einheit

a, aI, II

mm

a1

1

Lebensdauerbeiwert für eine von 90 % ­abweichende ­ Erlebenswahrscheinlichkeit

aISO

1

Lebensdauerbeiwert für die Betriebsbedingungen

B

mm

Lagerbreite; Innenringbreite bei Kegelrollenlagern

C (CI, II)

kN, N; mm

C0

kN, N

statische Tragzahl

CH , C0H

kN, N

reduzierte Tragzahl bei Härteeinfluss

CT

kN, N

reduzierte Tragzahl bei höherer Betriebs­temperatur

Cu

kN, N

Ermüdungsgrenzbelastung

D

mm

Lager-Außendurchmesser

d

mm

Nenndurchmesser der Lagerbohrung gleich Wellen­ durchmesser

dm = 0,5 · (d + D)

mm

mittlerer Lagerdurchmesser

e (eI, II)

1

Grenzwert für Fa / Fr zur Auswahl von X und Y (für Lager I, II)

ec

1

Lebensdauerbeiwert für Verunreinigung

Fr (FrI , FrII ), Fr0 

kN, N

Radialkomponente der äußeren Lagerkraft (für Lager I, II), statische ­radiale Lagerkraft

Fa (FaI , FaII), Fa0

kN, N

Axialkomponente der äußeren Lagerkraft (für Lager I, II), statische axiale Lagerkraft

fL

1

Kennzahl der dynamischen Beanspruchung, Lebens­dauerfaktor

fn

1

Drehzahlfaktor

1

Temperaturfaktor für Lagertemperaturen über 150°

fT L10

106

Umdreh.

L10h

Betriebsstund.

Lnm

106 Umdreh.

Benennung Abstandsmaß der Druckmittelpunkte, für Lager I, II, ­ Mitte Lager I, II

dynamische Tragzahl (für Lager I, II); Außenringbreite bei Kegelrollenlagern

nominelle Lebensdauer Ermüdungslaufzeit, nominelle Lebensdauer erweiterte modifizierte Lebensdauer für Lebensdauerwahrscheinlichkeit von (100 – n) %

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2019 H. Wittel, D. Jannasch, C. Spura, Roloff/Matek Maschinenelemente Formelsammlung, https://doi.org/10.1007/978-3-658-25469-8_14

14 Wälzlager155 Formelzeichen

Einheit

Benennung

Lnmh

Betriebsstund.

n, nm

min–1

Wellendrehzahl, mittlere Wellendrehzahl

P, P0 (PI, II)

kN, N

dynamische, statische äquivalente Lagerbelastung (für Lager I, II)

P1 ... Pn

kN, N

dynamisch äquivalente Teilbelastungen aus Fr1 , Fa1 ; ... Frn , Fan

Pmin , Pmax

kN, N

kleinste, größte dynamisch äquivalente Lager­belastung

p

1

Lebensdauerexponent (Exponent der Lebens­dauer­ gleichung)

q1 ... qn

%

Wirkdauer der einzelnen Betriebszustände

S0

1

statische Tragsicherheit

T

mm

X, X0 (XI, II)

1

dynamischer, statischer Radialfaktor für P-, P0-Ermittlung (für Lager I und II)

Y, Y0 (YI, II)

1

dynamischer, statischer Axialfaktor für P-P0-Ermittlung (für Lager I, II)

κ

1

Viskositätsverhältnis ν / ν1

ν

mm2/s

kinematische Betriebsviskosität bei 40 °C Öltemperatur

ν1

mm2/s

Bezugsviskosität, für ausreichende Ölschmierung, ­ erforderlich bei dm

erweiterte modifizierte Lebensdauer

Gesamtbreite bei Kegelrollenlagern

14

156 Nr.

14 Wälzlager Formel

Hinweise

Vorauswahl der Lagergröße Bevor die Lagergröße bestimmt wird, muss entsprechend der zu erfüllenden Anforderungen ent­ schieden werden, welche Wälzlagerbauart zum Einsatz kommen soll. Die Lagergröße kann nach der erforderlichen dynamischen Tragzahl Cerf (maßgebend, wenn sich die Lagerringe unter Belastung relativ zueinander mit einer Drehzahl n > 10 min–1 drehen) oder nach der erforderlichen statischen Tragzahl C0 erf (maßgebend, wenn das Wälzlager unter der Belastung stillsteht, kleine Pendelbewegungen ausführt oder mit einer Drehzahl n ≤ 10 min–1 umläuft) aus dem Wälzlagerkatalog oder nach TB 14-2 gewählt werden. Entsprechend der vorliegenden Belastung ist bei Radiallagern eine rein radiale, bei Axiallagern eine rein axiale und zentrische Belastung P bzw. P0 zugrunde zu legen. Liegt kombinierte Belastung vor, ist aus deren Komponenten eine äquivalent wirkende radiale bzw. axiale Belastung, zunächst überschlägig, zu bestimmen. Erforderliche dynamische Tragzahl 1

Cerf ≥ P ◊

fL fn

bzw. 2

14

Cerf  P 

r p

60  n  L10h 106

L10h

Cerf

P

n

h

kN

kN

min–1

fL =

p

fn =

p

L10h bzw. nach TB 14-5 500 331/ 3 bzw. nach TB 14-4 n

p = 3 für Kugellager p = 10/3 für Rollenlager Empfehlungswerte für L10h siehe TB 14-7 Allgemeine Richtwerte für fL: Betriebsart

Lagerwechsel stört ­ Betriebsablauf sehr

weniger

Aussetzbetrieb

fL = 2 ... 3,5

fL = 1 ... 2,5

Zeitbetrieb (8 h/Tag)

fL = 3 ... 4,5

fL = 2 ... 4

Dauerbetrieb

fL = 4 ... 5,5

fL = 3,5 ... 5

Erforderliche statische Tragzahl 3

C0 erf ≥ P0 · S0 Betriebsweise

Richtwerte für S0: umlaufende Lager

nicht umlau­ fende Lager

Anforderungen an die Laufruhe gering

normal

hoch

Kugel- Rollen- Kugel- Rollen- Kugel- Rollen- Kugel- Rollenlager lager lager lager lager lager lager lager ruhig erschütterungsfrei

0,5

1

1

1,5

2

3

0,4

0,8

normal

0,5

1

1

1,5

2

3,5

0,5

1

≥1,5

≥2,5

≥1,5

stark stoßbelastet

Axial-Pendelrollenlager S0 ≥ 4

≥3

≥2

≥4

≥1

≥2

14 Wälzlager157 Nr.

Formel

Hinweise

Kontrollberechnungen Die Kontrollberechnungen dienen dem Nachweis einer ausreichenden Tragsicherheit und einer­ ausreichenden Lebensdauer der gestalteten Lagerung. Dabei kann mit der statischen Kennzahl­ nachgewiesen werden, ob für die anliegende statische Belastung das gewählte Wälzlager ausreichend tragfähig ist. Dies gilt analog für die dynamische Kennzahl und die anliegende dynamische Belastung. statische Tragfähigkeit statische Tragsicherheit 4

S0 =

C0 ≥ S0erf P0

Richtwerte für S0 s. Nr. 3 C0 nach TB 14-2. Die Wälzlagerhersteller geben voneinander abweichende C0-Werte an. Im ­Praxisfall deshalb die Werte aus dem entsprechenden Wälzlagerkatalog (WLK) ent­ nehmen. Bei Direktlagerungen ist gegebenenfalls der Härteeinfluss zu berücksichtigen. Für C0 ist dann C0H (s. Nr. 19) einzusetzen.

statisch äquivalente Lagerbelastung 5

P0 = X0 · Fr0 + Y0 · Fa0

X0 nach TB 14-3b oder WLK Y0 nach TB 14-3b oder WLK rein radial beansprucht: P0 = Fr0 rein axial beansprucht: P0 = Fa0 bei Schrägkugel- und Kegelrollenlagern FaI und FaII nach Nr. 13, Hinweise, einsetzen

dynamische Tragfähigkeit Nominelle Lebensdauer 6

ÊCˆ L10 = Á ˜ Ë P¯

p

bzw. p

7

Ê C ˆ 106 L10 h = Á ˜ ◊ ≥ L10h erf Ë P ¯ 60 ◊ n

Die nominelle Lebensdauer berücksichtigt nur die Belastungsbedingungen. L10

L10h

C

P

n

106

h

N, kN

N, kN

min–1

Umdreh.

p = 3 für Kugellager p = 10/3 für Rollenlager P nach Nr. 13 bis 17 Empfehlungswerte für L10h siehe TB 14-7 C aus TB 14-2 oder WLK Die Wälzlagerhersteller geben voneinander ­ abweichende C-Werte an. Im Praxisfall deshalb die Werte aus dem entsprechenden WLK entnehmen. Bei Direktlagerungen ist gegebenenfalls ein Härteeinfluss, bei höheren Einsatztemperaturen ein Temperatureinfluss zu berücksichtigen. Für C ist dann CH (s. Nr. 19) bzw. CT (s. Nr. 18) einzusetzen.

14

158 Nr.

8

14 Wälzlager Formel

Hinweise

dynamische Kennzahl

fn =

fL =

C ◊ f n ≥ f L erf P

p

p = 3 für Kugellager p = 10/3 für Rollenlager P nach Nr. 13 Allgemeine Richtwerte für fL s. Nr. 2 Wird für das Wälzlager eine Lebensdauer L10h in Betriebsstunden gefordert, dann fL =

Lnm = a1 · aISO · L10

10

bzw. Lnmh = a1 · aISO · L10h

p

L10h bzw. nach TB 14-5 500

C nach TB 14-2 oder WLK. Neben den Belastungsbedingungen werden ­ hierbei die Betriebsbedingungen berücksichtigt. Im Normalfall wird mit einer Ausfallwahrscheinlichkeit von 10 % gerechnet ≙ einer nominellen Lebensdauer L10 bzw. L10h. Hierfür ist a1 = 1

Erreichbare Lebensdauer bei konstanten Betriebsbedingungen 9

331/ 3 bzw. nach TB 14-4 n

Ausfallwahrschein­ lichkeit in %

50

30

10

5

4

3

2

1

Ermüdungslaufzeit

L50

L30

L10

L5m

L4m

L3m

L2m

L1m

5

3

1

0,62

0,53

0,44

0,33

0,21

Faktor a1

aISO nach TB 14-12 Hierzu erforderlich: κ = ν/ν1 nach TB 14-10 ec nach TB 14-11 Cu nach TB 14-2 P nach Nr. 13

14 Erreichbare Lebensdauer bei veränder­ lichen Betriebsbedingungen 11

Lnm =

100% q1 q2 q + + + n Lnm1 Lnm2 Lnmn

bzw. 12

Lnmh =

100% q2 q + + + n Lnmh1 Lnmh2 Lnmhn q1

Lnm1 ... Lnmn bzw. Lnmh1 ... Lnmhn jeweils nach Nr. 9 bzw. 10 q1 ... qn s. Nr. 14, Hinweise

14 Wälzlager159 Nr.

Formel

Hinweise

Einflussgrößen auf die dynamische Tragfähigkeit dynamisch äquivalente Lagerbelastung P bei konstanter Belastung und konstanter Drehzahl 13

P = X · Fr + Y · Fa

X, Y nach TB 14-3a oder WLK rein radial beansprucht: P = Fr rein axial beansprucht: P = Y · Fa Bei angestellter Lagerung mit Kegelrollenoder einreihigen Schrägkugellagern für Fa aus Tabelle unten berechnete Axialkräfte FaI bzw. FaII einsetzen. Lager I ist das Lager, welches die äußere Axialkraft Fa aufnimmt.

O-Anordnung

X-Anordnung

Kräfteverhältnisse

bei Berechnungen einzusetzende Axialkräfte FaI und FaII Lager I

Lager II

1.

FrI FrII I Fa  0 £ YI YII

FaI = Fa + 0,5

FrII YII

FaII  = 0;5

FrII YII

2.

FrI FrII F ˆ ÊF > ; Fa > 0,5 Á rI - rII ˜ Ë YI YII ¯ YI YII

FaI = Fa + 0,5

FrII YII

FaII  = 0;5

FrII YII

3.

FrI FrII F ˆ ÊF > ; Fa £ 0,5 Á rI - rII ˜ Ë YI YII ¯ YI YII

FaI  = 0;5

* in der Regel vernachlässigbar klein

FrI YI

FaII = 0,5 ◊

FrI - Fa YI

14

160 Nr.

14 Wälzlager Formel

Hinweise

dynamisch äquivalente Lagerbelastung P bei periodisch veränderlicher Belastung und konstanter Drehzahl 14

P2 Belastung P P

q q Ê P = Á P1p ◊ 1 + P2p ◊ 2 +  Ë 100% 100% + Pnp ◊

P3

P1

P4 q1

q2

q3 q4 100 %

1 ˆp

qn ˜ 100% ¯

Zeit t Zeitanteil q

P1 ... Pn dynamisch äquivalente Lagerbe­ lastungen ermittelt mit den Teilbelastungen Fr1 , Fa1 ... Frn , Fan nach Nr. 13 t1 t ◊100  qn = n ◊100 in % , wenn gesamte t t Laufzeit t = t1 + t2 + ... + tn q1 =

dynamisch äquivalente Lagerbelastung P bei periodisch veränderlicher Belastung und Drehzahl 15

P2 Belastung P P

P3

P1

n q n q Ê P = Á P1p ◊ 1 ◊ 1 + P2p ◊ 2 ◊ 2 +  Ë nm 100% nm 100%

P4 Zeit t

1

n q ˆp + Pnp ◊ n ◊ n ˜ nm 100% ¯

n4

n1 n3

Drehzahl n nm

n2

mittlere Drehzahl 16

nm = n1 ◊

q1 q q + n2 ◊ 2 +  + nn ◊ n 100% 100% 100%

q1

q2

q3 q4 Zeitanteil q 100 %

dynamisch äquivalente Lagerbelastung P bei konstanter Drehzahl und linearem Belastungszyklus

14 17

P=

Pmin + 2 Pmax 3

Zeit t

18

19

Minderung der Lagertragzahl C bei ­ Temperatureinfluss

fT = 0,9 bei 200° (S1), fT = 0,75 bei 250° (S2),

CT = C · fT

S1 ... S4 maßstabilisierte Lager

Minderung der Lagertragzahl C bzw. C0 bei Härteeinfluss

fH = 0,95 bei 57 HRC, fH = 0,9 bei 56 HRC,

CH = C · fH bzw. C0H = C0 · fH

fH = 0,77 bei 53 HRC, fH = 0,73 bei 52 HRC

fT = 0,6 bei 300° (S3)

fH = 0,85 bei 55 HRC, fH = 0,81 bei 54 HRC,

15 Gleitlager Formelzeichen

Einheit

Benennung

A

m2

Gleitfläche

AG

m2

wärmeabgebende Oberfläche des Lagergehäuses

EI, ES

μm, mm

unteres, oberes Abmaß der Lagerbohrung

ei, es

μm, mm

unteres, oberes Abmaß der Welle

b

mm

bL

mm (m)

bNut

mm

Breite einer Nut am Umfang (Ringnut bzw. 360°-Nut, 180°-Nut)

bT

mm

Breite der Schmiertasche

Cü

1

c

J/(kg °C), N m/(kg °C)

d

m

d0

mm

Schmierloch-Durchmesser (Zuführbohrung)

da = 2 · ra , di = 2 · ri

mm

Außen-, Innendurchmesser (dsgl. Radien) für Axial­ lager

dL

mm

Lager(innen)durchmesser (Nennmaß der Lagerbohrung)

dm = 0,5 (da + di)

mm

mittlerer Durchmesser bei Axiallagern

dW

mm

Wellendurchmesser (Nennmaß)

E

N/mm2

e = 0,5 · s – h0

mm

F

N

Lagerkraft (radial, axial)

FR = Ft

N

Reibungskraft gleich Verschiebekraft im Schmierfilm

H

m

Stehlagerhöhe

h

m, mm

h0

μm, mm, cm

tragende Lagerbreite; radiale Lagerring- bzw. Segmentbreite für Axiallager Lagerbreite (Gehäusebreite)

Übergangskonstante für den Übergang von Misch- in Flüssigkeitsreibung spezifische Wärmekapazität des Schmierstoffs Außendurchmesser der wärmeabgebenden äußeren Oberfläche für zylindrische Lager (Gehäuseaußendurchmesser)

Elastizitätsmodul Exzentrizität (Verlagerung der Wellenachse gegenüber der Lagerachse bei Radiallagern)

Schmierspalthöhe (örtlich) kleinste Schmierspalthöhe (Schmierfilmdicke)

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2019 H. Wittel, D. Jannasch, C. Spura, Roloff/Matek Maschinenelemente Formelsammlung, https://doi.org/10.1007/978-3-658-25469-8_15

15

162

15

15 Gleitlager

Formelzeichen

Einheit

Benennung

h0 zul

μm

Grenzrichtwert für h0, kleinste zulässige Schmierspalthöhe

hseg

mm

Segmentdicke für Axiallager

K

Pa s

Konstante (0,18 · 10–3 Pa s), schmierstoffspezifische Größe

k1

1

Belastungskennzahl für Axiallager (Spurlager)

k2

1

Reibungskennzahl für Axiallager (Spurlager)

L

m

Stehlagerbreite (Gehäuselänge)

l

mm

wirksame Keilspalt- bzw. Segmentlänge

lR

mm

Länge der Rastfläche für eingearbeitete Keilflächen bei Axiallagern

lt

mm

Keilspalt- bzw. Segmentteilung

n, nW

s–1, min–1

nü , nu¢

min–1

Pα

N m/s, W

über Lagergehäuse und Welle durch Konvektion abgeführter Wärmestrom

Pc

N m/s, W

vom Schmierstoff abgeführter Wärmestrom

PP

N m/s, W

Pumpenleistung

PR

N m/s, W

Reibungsverlustleistung, durch Reibung entstehender Wärmestrom im vollgeschmierten Lager

p, (p∞)

N/mm2, bar

örtlicher Schmierfilmdruck im begrenzten (unbegrenzten) Gleitraum

pL

N/mm2, N/m2 = Pa

spezifische Lagerbelastung, mittlere Flächenpressung

pL zul

N/mm2, N/m2

pmax

N/mm2, bar

pT ª pZ

Pa, N/cm2, bar

pV

N/cm2, bar

qL , qT

1

Ra

μm

Drehzahl, Wellendrehzahl Übergangsdrehzahl beim Anlauf, Auslauf; Übergang von Misch- in Flüssigkeitsreibung

Grenzrichtwert für pL, zulässige spezifische Lager­ belastung größter auftretender Schmierfilmdruck, Druck­ maximum Taschendruck ª Zuführdruck bei Spurlagern Druckverlust Minderungsfaktor bei Druckölzufuhr für Schmierloch, Schmiertasche Mittenrauwert

15 Gleitlager163 Formelzeichen

Einheit

RzL , RzW

μm

So

1

s = dL – dW

μm, mm

Δs, Δsmax , Δsmin

mm

Lagerspieländerung, größte, kleinste

sB , sB max , sB min

mm

Betriebslagerspiel, größtes, kleinstes

sE , sE max , sE min

mm

Einbau-Lagerspiel, Fertigungsspiel, Kaltspiel

TR

N cm

Reibungsmoment bei Spurlagern

t

mm

Schmierkeiltiefe

uW

m/s

Umfangsgeschwindigkeit der Welle

um = dm · π · nW

m/s

mittlere Umfangsgeschwindigkeit bei Axiallagern

V , Vges

m3/s

gesamter Schmierstoffdurchsatz, Schmierstoffvolumenstrom

VD

m3/s

Schmierstoffdurchsatz infolge Förderung durch Wellendrehung (Eigendruckentwicklung)

VD rel

1

relativer (bezogener) Schmierstoffdurchsatz infolge ­ Förderung durch Wellendrehung

Vk

m3/s

Kühlöldurchsatz

VL

dm3

Lagervolumen

VpZ

m3/s

Schmierstoffdurchsatz infolge Zuführdrucks

VpZ rel

1

VG

mm2/s

υ

m/s

Strömungsgeschwindigkeit des Schmierstoffs

Wt

μm

Welligkeit der Oberfläche von Welle und Lagerschale

w

m/s

mittlere Strömungsgeschwindigkeit der das Lager­ gehäuse umgebenden Luft, Luftgeschwindigkeit

z

1

α

Benennung gemittelte Rautiefe für Lager, Welle Sommerfeldzahl Lagerspiel

relativer (bezogener) Schmierstoffdurchsatz infolge ­ Zuführdrucks Viskositätsklasse

Anzahl der Keilflächen bzw. Segmente der Axiallager

N m / (m2 · s · °C), effektive Wärmeübergangszahl zwischen Lagergehäuse W / (m2 · °C) und Umgebungsluft

αK

°

αL , αW

1/°C, 1/K

β

°

Keilneigungswinkel Längenausdehnungskoeffizient bezogen auf dL , auf dW Verlagerungswinkel (Winkellage von h0 in Bezug auf F-Richtung)

15

164

15

15 Gleitlager

Formelzeichen

Einheit

ε = e/(s/2)

1

ηeff

Pa s, N s/m2

Benennung relative Exzentrizität effektive dynamische Viskosität bei Jeff

ηP

1

ηJ

Pumpenwirkungsgrad

Pa s

dynamische Viskosität bei der Temperatur J

J0

°C

Richttemperatur für Jeff (Annahme)

Jeff

°C

der ηeff zugrundeliegenden Temperatur, effektive Schmierfilmtemperatur

Je, Ja

°C

Eintritts-, Austrittstemperatur des Schmierstoffs

ΔJ = Ja – Je

ºC

Schmierstofferwärmung

JL

°C

Lagertemperatur

JL zul

°C

Grenzrichtwert für die Lagertemperatur (maximal ­ zulässige Lagertemperatur)

Jm

°C

mittlere Lagertemperatur

JU

°C

Temperatur der Umgebungsluft

μ bzw. μ/§B

1

Reibungszahl bzw. Reibungskennzahl (relative oder bezogene Reibungszahl)

ν = η/ϱ

mm2/s, m2/s

ϱ

kg/m3

Dichte des Schmierstoffs

ϱ·c

N/(m2 · °C)

raumspezifische Wärme

§ = s/dL

1

relatives Lagerspiel

§B

1

mittleres relatives Betriebslagerspiel bei Jeff

§E

1

relatives Einbaulagerspiel

ω, ωeff

1/s

kinematische Viskosität des Schmierstoffs

Winkelgeschwindigkeit, effektive für nW

15 Gleitlager165 Nr.

Formel

Hinweise

Einfache Gleitlager sind Bestandteil vieler Geräte die Dreh- oder Schwenkbewegungen ausführen. In Scheren und Zangen oder Drehknöpfen arbeiten sie ohne, bei einfachen Fahrzeugen oder mechanischen Uhren mit Schmiermittel. Im Maschinenbau werden Gleitlager überwiegend zur Über­ tragung von radialen und axialen Kräften zwischen einer rotierenden Welle und einer feststehenden Lagerschale eingesetzt. Ihr Einsatz empfiehlt sich, wenn hohe Laufruhe gefordert wird, bei hohen Belastungen und Drehzahlen, bei starken Erschütterungen oder geteilten Lagern und wegen ihres einfachen Aufbaus auch bei großen Abmessungen. Bei einwandfreiem Schmierfilm ist ihre Lebensdauer nahezu unbegrenzt. Hinderlich für ihren Einsatz sind oft der hohe Schmierstoffbedarf, die große axiale Baulänge, das oft aufwendige Einlaufen und bei hydrodynamisch arbeitenden Lagern der Verschleiß bei häufigem Anfahren. Hydrodynamische Radiallager Beim hydrodynamischen Radialgleitlager wird der Schmierstoff durch seine Haftung an der Welle mitgerissen und in den sich keilförmig verengenden Spalt gepresst. Dadurch schwimmt die Welle durch den Druck im Schmierstoff auf bis zum Gleichgewicht mit der äußeren Lagerkraft. Beim­ Anlauf aus dem Stillstand sinkt die Reibungszahl von der Festkörperreibung mit zunehmender­ Drehzahl im Gebiet der Mischreibung weiter bis zum Minimum bei der Übergangsdrehzahl. Im­ Gebiet der Flüssigkeitsreibung steigt sie wieder leicht an. Nur hier ist ein verschleißfreier Betrieb zu erwarten. Von den bekannten Lagerabmessungen und Betriebsdaten ausgehend erfasst die G ­ leitlagerberechnung die Beziehung zwischen Tragfähigkeit und Schmierfilmdicke, die Reib­leistung, die Wärmebilanz und den Schmierstoffdurchsatz. Sie gilt für stationär belastete Gleitlager, d. h. die Lagerkraft und die Gleitgeschwindigkeit sind zeitlich konstant. Als dimensionslose Lagerkenngröße gilt die Sommerfeldzahl So = pL · §2 / (η · ω) mit der mittleren Flächenpressung pL = F / (b · dL), dem relativen Lagerspiel § = s / dL , der dynamischen Ölviskosität η und Winkelgeschwindigkeit ω. Dabei lassen sich Schwerlastbereich (So > 1: stark belastete und/oder langsam laufende Lager) und Schnelllaufbereich (So < 1: schwach belastete und/oder schnell laufende Lager) unterscheiden. Eine hydrodynamische Schmierfilmbildung ist auch bei Fettschmierung möglich. Da Fettlager aber mit Verlustschmierung betrieben werden, ist bei der Auslegung auf minimalen Fettbedarf zu achten. Durch die geringe Wärmeabfuhr durch den Schmierstoff Fett sind im Dauerbetrieb nur Gleit­ geschwindigkeiten bis 2 m/s möglich. Außerdem darf auf Grund der geringen Fließgeschwindigkeit das relative Lagerspiel 2 ‰ nicht unterschreiten. Das Berechnungsschema (A 15-1) am Ende des Kapitels erleichtert den Ablauf der ­üblichen Nachprüfung auf mechanische und thermische Beanspruchung und auf Verschleißsicherheit.

15

166 Nr.

15 Gleitlager Formel

Hinweise

Beziehung zwischen Tragfähigkeit und Schmierfilmdicke Übergangsdrehzahl 1

0,1◊ F nu¢ ª Cu ◊ heff ◊VL

nu¢

min–1

F

VL

Cü

ηeff

N

dm3

1

mPa s

Lagervolumen VL = (p ◊ d L2 / 4) ◊ b ηeff in Abhängigkeit von Jeff für Normöle nach TB 4-2 Anhaltswerte für die Übergangskonstante Cü pL < 1 N/mm2: 1

N/mm2

pL > 10

≤ pL ≤ 10

N/mm2:

Cü < 1 N/mm2: 1

≤ Cü ≤ 8

Cü > 6

Für die Betriebsdrehzahl n werden in Abhängigkeit von der Umfangsgeschwindigkeit u folgende Mindestwerte empfohlen: für u ≤ 3 m/s: n / nü = 3 für u ≥ 3 m/s: n / nü = | u | in m/s Beachte: Die „Volumenformel“ wird aus der Überlegung abgeleitet, dass im Bereich des Übergangs zur Mischreibung So · (1 – ε) ª 1. Mit den Annahmen h0 = 10/3 μm und § = 2 ‰ wird Cü = 1. Im Experiment wurde bei eingelaufenen Lagern der verschleißfreie hydrodynamische Schmierzustand bei einer bis 100-fach niedrigeren Drehzahl erreicht (Cü = 100!). Bei Wellenschiefstellung und höherer Rautiefe sinkt Cü ab. spezifische Lagerbelastung

15

2

pL =

F £ pL zul b ◊ dL

b und dL als tragende Lagerbreite und Lager­ innendurchmesser für genormte Gleitlager nach TB 15-1 bis TB 15-3. Erfahrungsrichtwerte pL zul für genormte Lager­ werkstoffe siehe TB 15-7. Die zulässige statische mittlere Flächenbelastung wird abhängig von Rp 0,2 des Lagerwerkstoffs meist mit pL zul = Rp0,2 / 3 bei stationärer und pL zul = Rp0,2 / 6 bei instationärer Belastung angegeben, vgl. TB 15-6. Wenn bereits beim Anfahren pL > 3 N/mm2, muss zum Schutz der Gleitflächen ggf. eine ­ hydrostatische Anhebung vorgesehen werden.

15 Gleitlager167 Nr.

Formel

Hinweise

Kontrolle der kleinsten Schmierspalthöhe 3

h0 = 0,5 · dL · §B (1 – ε) ·

103

≥ h0 zul

Verschleißfreier Betrieb, wenn h0 > h0 zul . h0 , h0 zul

dL

§B , ε

μm

mm

1

TB 15-14 enthält Erfahrungswerte für h0 zul , ­ wobei außer entsprechenden Rautiefen, geringe Formfehler der Gleitflächen, sorgfältige Montage und ausreichende Filterung des Schmierstoffs vorausgesetzt wird. Bei unverkanteter und nicht durchgebogener Welle gilt auch h0 > h0 zul = Σ (Rz + Wt).

ε nach Berechnung der So aus TB 15-11 Betriebskennwerte (Richtwerte) Breitenverhältnis (relative Lagerbreite) 4

b = 0,2  1  (1,5) dL

relatives Lagerspiel • allgemein 5

y=

s d - dW dL - dW = L ª dW dL dL

• Richtwert für Einbau- bzw. Betriebslagerspiel 6

y E bzw. y B ª 0,8 4 uW ◊10-3

mit

uW = p ◊ d W ◊ nW

7

y B = y E + Dy

8

Dy = (a L - a W ) ◊ (J eff - 20 ∞C)

Richtwerte: b / dL = 0,5 ... 1, wenn uW hoch und pL klein b / dL < 0,5, wenn uW niedrig und pL hoch Bei schmaler Ausführung bessere Wärmeabfuhr durch guten seitlichen Ölabfluss (Seitenströmung) und geringere Gefahr der Kantenpressung. § schwankt zwischen 0,5 ‰ bei hochbelasteten langsam laufenden Lagern und 3 ‰ bei gering belasteten schnell laufenden Lagern. Von diesen Werten kann um ±25 % abgewichen werden. §E , §B

uW

1

m/s

Richtwerte für §E bzw. §B s. TB 15-8 Obere Werte (untere Werte entsprechend gegenteilig) des relativen Lagerspiels y sind zu ­ wählen bei hartem Lagerwerkstoff (hoher E-Modul, Bronzen), relativ niedrigem Lagerdruck, großer relativer Lagerbreite b / dL > 0,8, starrem Lager, gleichbleibender ­ Lastrichtung und einem Härteunterschied zwischen Welle und Lagerschale ≤ 100 HB. TB 15-9 und TB 15-10 erleichtern die Auswahl geeigneter ISO-Passungen zur Festlegung eines bestimmten Lagerspiels.

15

168 Nr.

15 Gleitlager Formel

Hinweise

relative Exzentrizität 9

e=

ε beschreibt zusammen mit dem Verlagerungs­ winkel β die Größe und Lage von h0 und damit die Verschleißgefährdung.

e e = 0,5 ◊ s 0,5 ◊ d L ◊ y

Sind b, dL und So bekannt, kann ε TB 15-11 ent­ nommen werden.

Sommerfeldzahl 10

p ◊ y2 F ◊ y 2B So = L B = heff ◊ w eff b ◊ d L ◊ heff ◊ w eff

mit w eff = 2 ◊ p ◊ nW

So, §B

pL

F

ηeff

ωeff

b, d

1

N/mm2

N

N s/mm2

1/s

mm

Die Kennzahl besagt, dass Lager mit gleicher So-Zahl hydrodynamisch ähnlich sind, sofern das Breitenverhältnis b/dL, die Ölzuführele­ mente (Bohrung, Nut) und der Öffnungswinkel (z. B. 360°-Lager) gleich sind. Für ε → 1 geht So → ∞. Betriebsverhalten: –  So ≥ 1 und ε = 0,6 ... 0,95: störungsfreier ­ Betrieb – So ≥ 10 und ε = 0,95 ... 1: Verschleiß möglich –  So < 1 und ε < 0,6: mögliche Instabilität der Wellenlage Vergleiche TB 15-11b. pL nach Nr. 2 §B nach Nr. 6 oder 7 ηeff nach TB 4-2

15 Reibungskennzahl Näherungswert 11

So < 1 :

µ 3 = y B So

Schwach belastete und/oder schnell l­ aufende Lager

12

So > 1 :

µ = yB

Stark belastete und/oder langsam laufende Lager

3 So

§B nach Nr. 6 oder 7 So nach Nr. 10 μ / §B für genaue Berechnung aus TB 15-12, für 360°-Lager s. auch Hinweise zu Nr. 13

15 Gleitlager169 Nr.

Formel

Hinweise

Reibungsverhältnisse Reibungsverlustleistung 13

PR = µ ◊ F ◊ uW dW ◊ w eff 2 = µ ◊ F ◊ d W ◊ p ◊ nW = µ◊ F ◊

=

µ ◊ F ◊ d W ◊ p ◊ nW ◊ y B yB

PR

F

N m/s, W N

uW

μ

ωeff §B

1/s m/s

1

1/s

dW nW m

1

µ bzw. μ / §B näherungsweise nach Nr. 11 oder 10, nach TB 15-11 oder für 360°-Lagern nach Nr. 14 §B und uW nach Nr. 6, 7 ωeff s. Nr. 10

Reibungskennzahl 14

µ p e = + ◊ sin b , y B So ◊ 1 - e 2 2

ε nach TB 15-11, β nach TB 15-13 und So nach Nr. 10

Wärmebilanz Wärmestrom 15

PR = Pa + Pc

Wärmestrom über Lagergehäuse und Welle an die Umgebung 16

Pa = a ◊ AG (J m - J U )

PR , Pα , Pc N m/s, W

α N m/(m2

· s · °C); W/(m2 · °C)

AG

Jm , JU

m2

°C

Effektive Wärmeübergangszahl α: – Luftgeschwindigkeit w ≤ 1,2 m/s: α = 15 bis 20 W/(m2 · °C) – Anblasung des p Gehäuses mit w > 1,2 m/s: ’ = 7 + 12  w (w in m/s) Für die wärmeabgebende Oberfläche gilt näherungsweise: – bei zylindrischen Gehäusen: AG = p ◊ ÈÎ0,5 (d 2 - d L2 ) + d ◊ b L ˘˚ – bei Stehlagern: AG = π · H (L + 0,5H) – bei Lagern im Maschinenverband: AG = (15 bis 20) · b · dL JU = – 20 °C bis + 40 °C, üblich 20 °C mittlere Lagertemperatur Jm ≙ JL (ange­ nommen bzw. berechnet).

15

170 Nr.

15 Gleitlager Formel

Hinweise

über den Schmierstoff abgeführter Wärmestrom 17

Pc = VP  ¬  c .ªa − ªe /

Pc

V

N m/s, W

m3/s

Ja , Je

ϱ·c

N/(m2 ·

°C); J/(m3 · °C)

°C

V = VD + VpZ , gesamter Schmierstoffdurchsatz nach Nr. 23

ϱ · c = 1,8 · 106 J/(m3 · °C), für mineralische Schmierstoffe ausreichend genau, sonst nach TB 4-4. Ja ≤ 100 ºC, siehe TB 15-15 Je = 30 ... 80 °C, je nach Lagerbauart und Ausführung des Ölkühlers. Anmerkung: Ja – Je = 10 ... 15 °C, maximal 20 °C Lagertemperatur • natürliche Kühlung (Konvektion) 18

ªL =O ªm = ªU +

PR  ªL zul ’  AG

PR = Pα JL ,Jm ,JU °C

PR N m/s, W

α

AG

N m/(m2

m2

· s · °C)

PR s. Nr. 13 und 16 α und AG s. unter Nr. 16 Richttemperatur J0 ≙ Jeff = JU + ΔJ = 40 °C ... 100 °C (üblich ΔJ ª 20 °C) für ηeff aus TB 4-2

Interpolation so lange, bis J0 neu = (J0 alt + Jm) / 2 dem absoluten Wert | Jm – J0 | ≤ 2 °C entspricht, d. h. JL ª Jeff , JL zul s. TB 15-15

15

Treten bei reiner Konvektion zu hohe Lager­ temperaturen auf, die auch durch Vergrößerung der Lagerabmessungen oder der Gehäuseoberfläche nicht auf zulässige Werte abgesenkt ­ werden können, ist Druckschmierung und Ölrückkühlung erforderlich.

15 Gleitlager171

19

Formel

Hinweise

• Rückkühlung des Schmierstoffs (Druckschmierung)

PR ª Pc (für Pα ≤ 0,25PR)

ªL =O ªa = ªe +

PR VP  ¬  c

 ªL zul

JL , Ja , Je

PR

V

°C

N m/s; W

m3/s

ϱ·c

N/(m2 · °C); J/(m3 · °C)

PR s. Nr. 13 und 15 V und ϱ · c s. unter Nr. 17 JL zul s. TB 15-15

Richttemperatur J0 ≙ Ja0 = Je + ΔJ, mit ΔJ ª 20 °C; Jeff = 0,5 (Je + Ja0) für ηeff aus TB 4-2

Rechnerische Interpolation mit Ja0 neu = 0,5 · (Ja0 alt + Ja) und Jeff = 0,5 · (Je + Ja0 neu) für ηeff , bis absolut | Ja0 – Ja | ≤ 2 °C Bei großer Umfangsgeschwindigkeit und Lagerkraft kann anstelle des Mittelwertes Jeff = Jm = 0,5 · (Je + Ja0) mit Jeff = (2 Ja + Je) / 3 bis Jeff = Ja gerechnet ­ werden. Grafische Interpolation (Beispiel)

8000 W 6000 Pc 4000

Pc , PR

Nr.

PR

15

2000

0 45 50

eff

60

67 70

°C 80

Für angenommene Temperaturen JL bzw. Ja wird PR und Pc bzw. Pα berechnet. Der Be­ harrungszustand ergibt sich im Schnittpunkt der Kurven. Pα kann gegen Pc vernachlässigt werden, wenn Pα < 0,25 · PR. Es wird nur die Wärmeabfuhr über den Schmierstoff (Druckschmierung) ­ berücksichtigt.

172 Nr.

15 Gleitlager Formel

Hinweise

Schmierstoffdurchsatz

20

21

• infolge Förderung durch Wellen­ drehung (Eigendruckentwicklung) VD = VD rel ◊ d 3 ◊ y B ◊ w eff

VD

VD rel

dL

§B

ωeff

m3/s

1

m

1

s–1

L

wobei relativer Schmierstoffdurchsatz (360°-Lager)

b, dL für genormte Lager z. B. nach TB 15-1 bis TB 15-3

3 ÈÊ b ˆ Ê bˆ ˘ VD rel = 0,25 ÍÁ ˜ - 0,223 ◊ Á ˜ ˙ ◊ e Ë dL ¯ ˙ ÍÎË d L ¯ ˚

§B nach Nr. 6, 7 ωeff = 2 · π · nW in s–1 mit nW in s–1 VD rel für halbumschließende (180°-)Lager aus

TB 15-16a

ε kann mit So (nach Nr. 10) und b / dL aus TB 15-11 abgelesen werden. • infolge Zuführdrucks 22

VpZ

VpZ rel ◊ d L3 ◊ y 3B = ◊ pZ heff

VpZ

VpZ rel

dL

§B

ηeff

pZ

m3/s

1

m

1

Pa s

Pa

dL und §B s. Nr. 21 ηeff bei Jeff für Normöle nach TB 4-2 pZ = 0,05 ... 0,2 MPa (0,5 bis 2 bar) pZ sollte deutlich geringer sein als pL , um hydrostatische Zusatzbelastungen zu vermeiden. VpZ rel rechnerisch nach TB 15-16b

23

15

• gesamt (bei Druckschmierung und voll umschließendem Lager) V = VD + VpZ

Bei druckloser Schmierung und teilum­ schließendem Lager ist V = VD . VD und VpZ nach Nr. 20 und 22

15 Gleitlager173 Nr.

Formel

Hinweise

Hydrodynamische Axialgleitlager Im Gegensatz zum Radiallager muss beim Axiallager der für eine hydrodynamische Druckent­ wicklung notwendige keilförmige Spalt konstruktiv geschaffen werden. Dazu werden die Axialgleitlager in Umfangsrichtung in Segmente mit festen, elastischen oder kippbeweglichen Gleitflächen aufgeteilt. Liegt hohe Flächenpressung vor und ist ein häufiges Anfahren unter Last zu erwarten, so sind Lager mit kippbeweglichen Gleitschuhen zu bevorzugen. Fest eingearbeitete Keilspalte mit Rastfläche kommen zum Einsatz, wenn An- und Auslauf unter Last selten vorkommt, niedrige Flächenpressung oder instationäre Belastungsverhältnisse vorliegen. Axiallager mit eingearbeiteten Keil- und Rast­ flächen für beide Drehrichtungen weisen wegen der inaktiven Keilflächen eine verminderte Trag­ fähigkeit auf. Für axiale Führungen ohne nennenswerte Axialkräfte werden häufig nur ebene Bunde mit radial verlaufenden Schmiernuten benutzt. Die Auslegung der Axialgleitlager erfolgt entsprechend zu den Radialgleitlagern mit Hilfe von Belastungs- und Reibungskennzahlen. Konstruktionsmaße Spalt- bzw. Segmentlänge 24

l=

F l ◊ pL zul ◊ z b

praktisch günstige Seitenverhältnisse l / b = 0,7 ... 1,3, bevorzugt 1,0. Übliche Anzahl der Keilflächen bzw. Segmente z = 4, 5, 6, 8, 10 oder 12 pL zul s. TB 15-7, üblich 1 ... 4 N/mm2 bei Sn- und Pb-Legierungen.

mittlerer Lagerdurchmesser 25

dm =

1,25 ◊ l ◊ z p

Keilspalt- bzw. Segmentteilung lt ª 1,25 · l = π · dm / z nun Lageraußen- und Lagerinnendurchmesser ermittelbar: da = dm + b und di = dm – b Beachte: di > dW, wenn das Lager innerhalb des Wellenstranges liegt.

15

174 Nr.

26

15 Gleitlager Formel

Hinweise

mittlere Flächenpressung F 1,25 ◊ F pL = = z ◊ l ◊ b p ◊ dm ◊ b

l, b, dm , z als Entwurfsdaten aus Nr. 24 und 25

ª

0,4 ◊ F £ pL zul dm ◊ b

pL zul s. TB 15-7; allgemein höhere Werte für Teillast bzw. gehärtete Spurscheibe und niedrige Gleitgeschwindigkeit und niedrige Werte für Volllast, ungehärtete Spurscheibe und hohe Gleit­geschwindigkeit. Wenn bereits beim Anfahren pL > 3 N/mm2 ist, muss ggf. eine hydrostatische Anfahrhilfe vorgesehen werden (Gleitflächenverschleiß).

Belastungskennzahl 27

k1 =

pL ◊ h02 heff ◊ um ◊ b

k1

pL

1

N/m2;

Pa

b, d, h0

ηeff

um

m

N s/m2

m/s

Bei der Dimensionierung sind die Lagerab­ messungen so zu wählen, dass k1 = f (h0/t, l/b) einen hohen Wert annimmt. Verlauf und Werte für k1 siehe TB 15-17

Reibungskennzahl 28

pL ◊ b k2 = µ heff ◊ um

Günstige hohe k1-Werte ergeben sich für h0 / t = 0,5 ... 1,2 bei l/b = 0,7 ... 0,8. Für l = b wird bei h0 / t ª 0,8 die optimale Belastungs­ kennzahl k1 ª 0,069 erreicht. k2 , μ

pL

1

N/m2

b

ηeff

um

m

N s/m2

m/s

Verlauf und Werte für k2 siehe TB 15-17 für l / b = 0,7 ... 1,3 und h0 / t = 0,2 ... 1,0 kann ausreichend genau k2 ª 3 ­ gesetzt werden. Die kleinste Reibungskennzahl k2 ª 2,7 wird für l / b = 1 bei h0 / t ª 0,4 erreicht.

15

Reibungszahl 29

µ ª k2

heff ◊ um pL ◊ b

k2, μ

pL

1

N/m2

b

ηeff

um

m

N s/m2

m/s

k2 ª 3, genauer nach TB 15-17 ηeff für Normöle bei meist Jeff = 50 ... 60 °C s. TB 4-2 um = π · dm · nW in m/s, mit dm = 0,5 · (da + di) in m und nW in 1/s. pL s. Nr. 26 b = 0,5 · (da – di), ausgeführte radiale Segmentbzw. Lagerringbreite.

15 Gleitlager175 Nr.

Formel

Hinweise

kleinste Schmierspalthöhe 30

h0 =

k1 ◊ z ◊ l ◊ b 2 ◊ um ◊ heff > h0 zul F

h0, l, b

k1, z

um

F

ηeff

m

1

m/s

N

N s/m2

k1 s. Nr. 27 bzw. TB 15-17 l, b, z, unter Nr. 24 und 25 festgelegte Konstruktionsdaten um s. Nr. 29 ηeff für Normöle bei JL ª Ja ª Je + ΔJ (z. B. Je = 40 °C und ΔJ ≤ 20 °C) nach TB 4-2. Richtwerte für die kleinste zulässige Schmierspalthöhe h0 zul – nach Nr. 34 – nach DIN 31 653-3 für Axialsegmentlager

h0 zul =

d m ◊ Rz in m 3000

– nach DIN 31 654-3 für Axial-Kippsegment­ lager d m ◊ Rz in m 12000 Hierbei sind: dm mittlerer Lagerdurchmesser in m Rz gemittelte Rautiefe der Spurscheibe in m (stets Rz ≤ 4 μm = 4 · 10–6 m)



h0 zul =

Die Verschleißsicherheit ist dann gegeben, wenn h0 im Betrieb die minimale Spalthöhe (Filmdicke) beim Übergang in die Mischreibung h0 zul nicht unterschreitet. Reibungsverlustleistung 31

PR = µ ◊ F ◊ um = k2

3 ◊ z ◊l ◊ F heff ◊ um

μ, z, k2

PR

um

l

F

ηeff

1

N m/s; W

m/s

m

N

N s/m2

k2 s. Nr. 28 z, l, unter Nr. 24 und 25 festgelegte Konstruk­ tionsdaten um und ηeff wie unter Nr. 30

32

gesamter erforderlicher Schmierstoff­ volumenstrom Vges = 0,7 ◊ b ◊ h0 ◊ um ◊ z

Vges

b, h0

um

z

m3/s

m

m/s

1

b, z, unter Nr. 24 und 25 festgelegte Konstruk­ tionsdaten h0 , um s. Nr. 30 bzw. 29

15

176 Nr.

15 Gleitlager Formel

Hinweise

Erwärmung des Schmierstoffs bei ­ Umlaufschmierung 33

ª = ªa − ªe =

ΔJ

Vges

ϱ

m3/s

kg/m3

PR

°C N m/s

c

F b

N m/(kg · °C) N m

PR

VPges  ¬  c F k2 = p  0;7 k1 z  c  ¬  b 2

PR s. Nr. 31 Vges s. Nr. 32

ϱ · c = 1,8 · 106 J/(m3 · °C) für mineralische Schmierstoffe. k1 , k2 s. Nr. 27, 28 b, z, unter Nr. 24 und Nr. 25 festgelegte Kon­ struktionsdaten. Falls die Bedingung ΔJ ≤ 20 °C nicht einge­ halten werden kann, ist eine Rückkühlung des Öles mit dem Kühlöldurchsatz VPk = PR =.¬  c  ª/ erforderlich.

Hydrostatische Axialgleitlager Bei hydrostatischen Lagern wird der tragende Öldruck außerhalb des Lagers durch eine Pumpe erzeugt und direkt oder über Vorwiderstände einer Schmierstofftasche zugeführt. Daraus fließt es durch den Schmierspalt radial nach außen ab. Die Druckentwicklung in der Tasche ist unabhängig von der Gleitgeschwindigkeit und umgekehrt proportional zur dritten Potenz der Schmierspalthöhe. Die Vorteile der hydrostatischen Lagerung liegen in der Verschleißfreiheit, der hohen Laufruhe, dem großen nutzbaren Drehzahlbereich, sowie der hohen Steifigkeit und Dämpfungsfähigkeit. Nachteilig ist der große Aufwand für die Druckölversorgung. Schwere Läufer werden oft beim Anlauf hydrostatisch angehoben bis zur Übergangsdrehzahl, um dann hydrodynamisch weiterzulaufen (hydrostatische Anfahrhilfe). 34

kleinste zulässige Schmierspalthöhe h0 zul ª (5 ... 15) · (1 + 0,0025 · dm)

15

h0 zul

dm

μm

mm

Der Faktor 5 setzt beste Herstellung und sorg­ fältigste Montage voraus. dm = (da + di) / 2 mittlere Flächenpressung F F = £ pL zul p (ra2 - ri2 ) d m ◊ p ◊ b

F p

p1

pL =

h0

35

ri

ra

Spurkranz (Welle) Druckverlauf SchmierstoffSeitenfluss Schmierstofftasche Spurplatte (fest)

Zuführdruck pZ Taschendruck pT pL zul s. TB 9-1 (Anhaltswerte für Stillstand/ Anlauf unter Last). dm = (da + di) / 2 = ra + ri b = (da – di) / 2 = ra – ri

15 Gleitlager177 Nr.

Formel

Hinweise

Tragfähigkeit bei bekanntem Taschendruck 36

p ra2 - ri2 F= ◊ ◊ pT 2 ln (ra /ri )

N

mm

N/mm2

Allgemein muss zur Erzeugung eines hydro­ statischen Schmierfilms der Schmierstoffzuführdruck pZ etwa zwei- bis viermal so groß wie die mittlere Flächenpressung pL sein.

Schmierstoffvolumenstrom 38

pT

s. zu Nr. 36

2 ◊ F ln (ra /ri ) pT ª pZ = ◊ 2 2 ra - ri p

V =

ra , ri

1 N/mm2 = 1 MPa = 10 bar

erforderlicher Taschendruck (Zuführdruck) bei bekannter Lagerkraft 37

F

p ◊ h 30 ◊ pT F ◊ h 30 = 6 ◊ heff ◊ ln (ra / ri ) 3 ◊ heff ◊ (ra2 - ri2 )

h0 , ra , ri

pT , pZ

ηeff

V

F

cm

N/cm2

N s/cm2

cm3/s

N

h0 > h0 zul nach Nr. 34 pT bei bekanntem F nach Nr. 37 ηeff für Normöle bei JL ª Ja ª Je + ΔJ (z. B. Je = 40 °C und ΔJ ≤ 20 °C) nach TB 4-2. Beachte: 1 mPa s = 10–7 N s/cm2 Reibungsleistung 39

PR = TR ◊ w eff =

2 p heff ◊ w eff ◊ ◊ ra4 - ri4 2 h0

(

)

PR

ηeff

ωeff

r, h0

N cm/s; N m/s

N s/cm2

s–1

cm

h0 > h0 zul nach Nr. 34 ωeff = 2 · π · nW in s–1, mit nW in s–1 ηeff s. Nr. 38. Beachte: 1 mPa s = 10–7 N s/cm2 Schmierstofferwärmung 40

PR + PP ª = ªa − ªe = c  ¬  VP

PR , PP

ϱ

N m/s; W

kg/m3

c

V

J

J/(kg °C); N m/(kg °C)

m3/s

°C

PR nach Nr. 39 c · ϱ ª 1,8 · 106 J/(m3 · °C) ausreichend genau für mineralische Schmierstoffe. V s. Nr. 38 PP = V ◊ pZ / hP in N m/s (W), mit V in m3/s (s. Nr. 38), pZ in N/m2 (s. Nr. 37) und ηP ª 0,5 ... 0,95

Reibungszahl 41

m=

4 (PR + PP ) F ◊ w eff (d a + di )

μ

PR , PP

F

da , di

ωeff

1

N m/s; W

N

m

s–1

PR, PP nach Nr. 39, 40 ωeff = 2 · π · nW in s–1, mit nW in s–1

15

178

15 Gleitlager Start 1

Abmessungen und Betriebsdaten Viskositätsklasse des Schmierstoffs

F, dL , dW , b, L , sE , eff e , pZ, L , W , AG , U, pL pL zul ?

N

1

J vorgesehene Kühlungsart durch Konvektion (natürliche Kühlung, Eigenschmierung)

durch Schmierstoff (Ölkühlung, Druckschmierung)

Annahme a)

0=

eff =

0neu =

0,5 (

Annahme

U+

0alt

b)

+

Zustandsgrößen a) 0 = eff bzw. b) eff = 0,5 ( e + a0) eff, B = E + So , o, / B , PR , VD bzw. VpZ, V

m)

N L

d. h. |

=

m

m–

J

0 0|

2 °C

a0neu =

a0 =

e

+

0,5 (

a0alt

+

a)

N N

Kühlung durch Konvektion ?

?

0=

L

d. h. |

=

a

a0 –

0 a|

2 °C

? J

J

L

?

L zul

J

15 1

N

h0 h0 zul ? J Ende

N

Kühlung durch Konvektion ?

N

1

J Ölkühlung (Druckschmierung) ? N

A 15-1  Berechnungsschema für hydrodynamische Radialgleitlager

J

1

16 Riemengetriebe Formelzeichen

Einheit

Benennung

b

mm

Riemenbreite

b′

mm

rechnerische Riemenbreite

c1

1

Winkelfaktor zur Berücksichtigung des Umschlingungswinkels

c2

1

Längenfaktor bei Keilriemen und Keilrippenriemen

dk , dg

mm

Riemenscheibendurchmesser (bei Flachriemen)

ddk , ddg

mm

Riemenscheiben-Richtdurchmesser (bei Keil-, Keilrippenund Synchronriemen)

dw1 , dw2

mm

Wirkdurchmesser

Eb

N/mm2

e

mm

Wellenmittenabstand (Achsabstand)

e′

mm

ungefährer Wellenabstand

F1 , F2

N

Trumkräfte im Last- und Leertrum

FN

N

Anpresskraft (Normalkraft)

FR

N

Reibkraft

Ft

N

Umfangskraft, Nutzkraft

Fw

N

Wellenbelastung im Betriebszustand

Fw0

N

Wellenbelastung im Ruhezustand

Fz

N

Fliehkraft

fB

1/s

Biegefrequenz

fB zul

1/s

zulässige Biegefrequenz

hz

mm

Zahnhöhe

hb

mm

Bezugshöhe (bei Keilrippenriemen)

i

1

Übersetzungsverhältnis

KA

1

Anwendungsfaktor zur Berücksichtigung stoßartiger Belastung

k1

1

Faktor zur Berücksichtigung des Riementyps

k2

1

Faktor zur Berücksichtigung der Laufschicht

k3

1

Faktor zur Berücksichtigung der Riemenausführung

L, Ld

mm

Elastizitätsmodul bei Biegung

Riemenrichtlänge (Bestelllänge)

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2019 H. Wittel, D. Jannasch, C. Spura, Roloff/Matek Maschinenelemente Formelsammlung, https://doi.org/10.1007/978-3-658-25469-8_16

16

180

16

16 Riemengetriebe

Formelzeichen

Einheit

Benennung

L ¢, Ld¢

mm

theoretische Riemenlänge

Li

mm

Riemeninnenlänge

ΔL

mm

Längendifferenz

m

1

M

N m

Mspez

N m/mm

n1 , n2

1/min

P

kW

zu übertragende Nennleistung

PN

kW

Nennleistung je Rippe bzw. je Riemen

Pspez

kW/mm

P¢

kW

maßgebende Berechnungsleistung

p

mm

Zahnteilung

pFl

N/mm2

zulässige Flankenpressung

AS

mm2

Riemenquerschnittsfläche

x

mm

Verstellweg zum Spannen des Riemens

y

mm

Auflegeweg

t

mm

Riemendicke

T

N mm

Drehmoment

Üz

kW

Übersetzungszuschlag (bei Keilrippenriemen)

v

m/s

Riemengeschwindigkeit

vopt

m/s

optimale Riemengeschwindigkeit

z

1

Anzahl der vom Riemen überlaufenen Scheiben, Anzahl der erforderlichen Keilriemen, Rippenanzahl bei Keilrippenriemen

ze

1

Anzahl der eingreifenden Zähne

zR

1

Riemenzähnezahl

β1

°, rad

ε

%

Dehnung

κ

1

Ausbeute

μ

1

Reibungszahl

ϱ

kg/dm3

Trumkraft- und Trumspannungsverhältnis vom Synchronriemen zu übertragendes Drehmoment spezifisches übertragbares Drehmoment des Synchronriemens Drehzahl der kleinen bzw. großen Scheibe

vom Zahnriemen übertragbare Leistung je Zahn bei 1 mm Riemenbreite

Umschlingungswinkel an der kleinen Scheibe

Dichte des Riemenwerkstoffes

16 Riemengetriebe

181

Formelzeichen

Einheit

Benennung

σ1 , σ2

N/mm2

Normalspannung im Last- bzw. Leertrum

σb

N/mm2

Biegespannung

σf

N/mm2

Fliehkraftspannung

σges

N/mm2

Gesamtspannung im Lasttrum

σN

N/mm2

Nutzspannung

§

%

Nr.

Schlupf

Formel

Hinweise

Theoretische Grundlagen Diese Berechnungsgrundlagen beziehen sich auf die offenen 2-Scheiben-Riemengetriebe mit Flachriemen (homogener Riemenwerkstoff vorausgesetzt). Für Keil- u. Keilrippenriemen­ getriebe kann abgewandelt von gleichen theoretischen Beziehungen ausgegangen werden. Für Mehrschichtriemen gelten die Ausführungen nur bedingt; sie sind nach den Angaben der Hersteller auszulegen.

1

Reibkraft zwischen Riemen und Scheibe ▪ bei Flachriemen FR = µ ◊ FN ≥ Ft

2

▪ bei Keil- und Rippenriemen FR = µ¢ ◊ FN ≥ Ft

3

vom Riemen zu übertragende Nutzkraft (Umfangskraft) Ft = F1 - F2

Trumkraftverhältnis 4

F1 s1 = = F2 s 2

 e µb1

=m

vom Riemen übertragbare Umfangskraft 5

F m -1 Ft = F1 - 1 = F1 = F1 ◊ k m m

6

Fz  AS  ¬  ¤2

Anhaltswerte für μ nach TB 16-1 È Ê aˆ ˘ µ¢ = µ Ísin Á ˜ ˙ Î Ë 2¯˚

bei Keil- und Keilrippenriemen Rillenwinkel α nach TB 16-13 bzw. TB 16-14

e ≈ 2,71828 ... Basis des natürlichen Logarithmus  b1 = p ◊ b1∞ / 180∞

κ = f (μ, β1), Werte nach TB 16-4

vom Riemen aufzunehmende Fliehkraft ϱ nach TB 16-1

16

182 Nr.

16 Riemengetriebe Formel

Hinweise

Wellenbelastung im Betriebszustand

Ft nach Nr. 5 k = f (β1 , μ) nach TB 16-5  m = eµb1

m 2 + 1 - 2 ◊ m ◊ cos b1 = k ◊ Ft m -1

7

Fw = Ft ◊

8

theoretische Wellenbelastung im Ruhezustand Fw 0 = Fw + Fz = k ◊ Ft + Fz der durch die Dehnung des Riemens ­bedingte Schlupf

9

y = (u1 - u 2 ) ◊

100% u2

die tatsächliche Übersetzung unter ­Berücksichtigung des Dehnschlupfes und der Riemendicke 10

i=

n1 d 2 + t 100% = ◊ n2 d1 + t 100% - y

Anhaltswerte für imax i ≤ 6 für offene Flachriemengetriebe i ≤ 15 für Spannrollengetriebe i ≤ 20 in Sonderfällen bei Mehrschichtriemen i ≤ 15 für Keilriemengetriebe, s. TB 16-2 i ≤ 10 für Synchronriemengetriebe i ≤ 40 für Keilrippenriemengetriebe

mit wenigen Ausnahmen kann allgemein gerechnet werden mit 11

iª

n1 d 2 ª n2 d1

Im Lasttrum auftretende Zugspannung 12

s1 =

F1 Ft = AS k ◊ A S

Im Bereich des Umschlingungswinkels auftretende Biegespannung 13

16

Ft = T / (d / 2) κ nach TB 16-4

Eb nach TB 16-1 (t / d1)max nach TB 16-1

Êtˆ s b = Eb ◊ e b ª Eb ◊ Á ˜ Ë d1 ¯

Durch die Umlenkung der Riemenmasse hervorgerufene Fliehkraftspannung 14

¢f =

Fz = ¬  ¤2 AS

Gesamtspannung im Lasttrum 15

s ges = s1 + s b + s f £ s z zul

σz zul nach TB 16-1

Nutzspannung 16

s N = s1 - s 2 = s1 ◊ k = (s z zul - s b - s f ) ◊ k κ nach TB 16-4

16 Riemengetriebe Nr.

17

18

Formel

183 Hinweise

vom Riemen übertragbare Leistung     t − ¬  v 2  10−3 P = ¢z zul − Eb  d1

P

σz zul , Eb

kW

N/mm2

t, d1, b v, vopt mm

m/s

κ

ϱ

1

kg/dm3

 ›  b  t  v  10−3 die optimale Riemengeschwindigkeit s 103 Œ¢z zul − Eb .t=d1 / ¤opt = 3¬



Praktische Berechnung Die nachfolgenden Formeln beschränken sich auf offene 2-Scheiben-Riemengetriebe mit i ≥ 1 Übersetzung ▪ allgemein 19

i=

nan nab

dg ; dk ; ddg und ddk möglichst nach DIN 111 festlegen, s. TB 16-9 unter Beachtung von TB 16-7, TB 16-11 ff.

▪ bei Flach-, Keil-, Keilrippenriemengetrieben 20

iª

d ab d g d dg = = d an d k d dk

▪ bei Synchronriemengetrieben 21

i=

zab z2 zg = = zan z1 zk

Scheibendurchmesser ▪ bei Flachriemen­getrieben 22

dg = i ◊ d k

▪ bei Keil-, Keilrippenriemengetrieben 23

d dg = i ◊ d dk

▪ bei Synchronriemengetrieben 24

d dg = i ◊

p ◊ zk p

16

184 Nr.

16 Riemengetriebe Formel

Hinweise

Wellenabstand e′ (vorläufig) ▪ bei Flach­riemengetrieben 25

lT

0,7 ◊ (d g + d k ) £ e ¢ £ 2 ◊ (d g + d k )

1

26

▪ bei Keil- und Keilrippenriemengetrieben 0,7 ◊ (d dg + d dk ) £ e ¢ £ 2 ◊ (d dg + d dk )

27

▪ bei Synchronriemengetrieben 0,5 ◊ (d dg + d dk ) + 15 mm £ e ¢ £ 2 ◊ (d dg + d dk )

d2; z2 

x = Spannweg

theoretische Riemenlänge L¢ bzw. Ld¢ ▪ bei Flachriemengetrieben 28

L ¢ ª 2 ◊ e¢ +

(dg - dk ) p ◊ (d g + d k ) + 2 4 ◊ e¢

2

▪ bei übrigen Riemengetrieben 29

Ld¢ ª 2 ◊ e ¢ +

(ddg - ddk ) p ◊ (d dg + d dk ) + 2 4 ◊ e¢

2

eª

L p - ◊ (d g + d k ) 4 8 ÈL p ˘ (d g - d k ) + Í - ◊ (d g + d k )˙ 8 Î4 8 ˚ 2

2

▪ bei übrigen Riemengetrieben 31

eª

Ld p - ◊ (d dg + d dk ) 4 8 ÈL p ˘ (d dg - d dk ) + Í d - ◊ (d dg + d dk )˙ 8 Î4 8 ˚ 2

16

y = Auflegeweg e emax = e + x

L¢ auf sinnvollen Wert L, Ld¢ auf Normlänge Ld (Normzahlreihe R40) bzw. nach Hersteller­ angaben festlegen bei Synchronriemengetrieben gilt dabei Ld = zR · p (Riemenzähnezahlen nach Herstellerangaben s. TB 16-19d)

Wellenabstand e (ausgeführt) ▪ bei Flach­riemengetrieben 30

p d1; z1

2

16 Riemengetriebe Nr.

Formel

185 Hinweise

Umschlingungswinkel an der kleinen Scheibe ▪ bei Flachriemengetrieben 32

Ê dg - d k ˆ b k = 2 ◊ arc cos Á Ë 2 ◊ e ¯˜

▪ bei Keil- und Keilrippenriemengetrieben 33

Ê d dg - d dk ˆ b k = 2 ◊ arc cos Á Ë 2 ◊ e ¯˜

▪ bei Synchronriemengetrieben 34

˘ Èp Í p ◊ ( zg - z k ) ˙ b k = 2 ◊ arc cos Í ˙ 2◊e ˚ Î

Verstellweg x ▪ bei Flachriemengetrieben 35

x ≥ 0,03 · L

▪ bei Keil- und Keilrippenriemengetrieben 36

x ≥ 0,03 · Ld

▪ bei Synchronriemengetrieben 37

x ≥ 0,005 · Ld Auflegeweg y ▪ bei Flachriemengetrieben

38

y ≥ 0,015 · L

▪ bei Keil- und Keilrippenriemengetrieben 39

y ≥ 0,015 · Ld

16

▪ bei Synchronriemengetrieben 40

y ≥ (1 ... 2,5) · p Umfangskraft

41

Ft =

P ¢ K A ◊ Pnenn K A ◊ Tnenn = = dd u u 2

bei Flachriemen gilt dd = d

KA nach TB 3-5b, v ≈ d · π · n bei Flachriemen. Bei Synchronriemen darf die zulässige Riemenzugkraft Ft zul nicht überschritten werden, s. z. B. TB 16-19c.

186 Nr.

42

16 Riemengetriebe Formel

Hinweise

Riemenbreite bei Flachriemen

Ft¢ = f (dk , β1 , Riementyp) Werte nach TB 16-8

b ¢ = Ft / Ft¢

Anzahl der Keilriemen bzw. der Keil­ rippen 43

z≥

P¢ K A ◊ Pnenn = ( PN + Uz ) ◊ c1 ◊ c2 ( PN + Uz ) ◊ c1 ◊ c2

Riemenbreite bei Synchronriemen 44

P¢ K ◊P = A nenn b≥ z1 ◊ ze ◊ Pspez z1 ◊ ze ◊ Pspez

oder 45

b≥

wobei

Fw =

F1¢ 2

+ F2¢ 2

- 2 ◊ F1¢◊ F2¢◊ cos b k ª k ◊ Ft

Wellenbelastung im Stillstand bei ­Extremultus-Mehrschichtflachriemen 47

Fw 0 = e ges ◊ k1 ◊ b ¢ = (e1 + e 2 ) ◊ k1 ◊ b ¢

Überschlägige Wellenbelastung ▪ bei Flachriemengetrieben 48

Fw 0 = k ◊ Ft ª (1,5 º 2,0) ◊ Ft

▪ bei Keil- und Keilrippenriemengetrieben

16 49

Fw 0 = k ◊ Ft ª (1,3 º 1,5) ◊ Ft

▪ bei Synchronriemengetrieben 50

PN , Üz kW / Riemen bzw. Rippe

KA nach TB 3-5 PN nach TB 16-15 Üz nach TB 16-16 c1 , c2 nach TB 16-17 b

KA , z1 , ze

mm

1

z1 ◊ b1 £ 12 360∞

Wellenbelastung im Betriebszustand 46

P kW

P

Pspez

Tmax

Tspez

kW kW/mm N m

N m/ mm

Pspez , Tspez nach TB 16-20 ze = eingreifende Zähnezahl maximal 12 Zähne z 1 = zk ze auf ganze Zahl abrunden

Tmax z1 ◊ ze ◊ Tspez

ze =

z, KA , c1 , c2 1

Fw 0 = k ◊ Ft ª 11 , ◊ Ft

β1 = βk k1 nach TB 16-6 ε1 nach TB 16-8 ε2 nach TB 16-10 b¢ nach Nr. 42

16 Riemengetriebe Nr. 51

187

Formel

Hinweise

Riemengeschwindigkeit

dw = Wirkdurchmesser Flachriemen: dw = d + t Keilriemen: dw = dd Keilrippenriemen: dw = dd + 2hb p Synchronriemen: d w = ◊ z p

u = d w ◊ p ◊ n £ u max

t für Extremultus-Mehrschichtflachriemen nach TB 16-6. hb nach TB 16-14 vmax nach TB 16-1, TB 16-2, TB 16-14 bzw. TB 16-19 Biegefrequenz 52

u◊ z fB = £ f B zul Ld

z = Scheibenanzahl. Für die offene ZweiScheibenausführung ist z = 2. fB zul nach TB 16-1, TB 16-2 bzw. TB 16-3.

bei Flachriemen gilt Ld = L Riemenzugkraft bei Synchronriemen 53

Fmax =

Tmax £ Fzul dd 2

16

188

16 Riemengetriebe

Start maßgebende Berechnungsleistung P ’ Festlegung der Riemenausführung bzw. des Riemenprofils J

N

Synchronriemen ?

Festlegen der Scheibenzähnezahlen

Festlegen der Scheibendurchmesser

Ermittlung des vorläufigen Wellenabstands

Ermittlung des vorläufigen Wellenabstands

Ermittlung und Festlegung der Riemenlänge

Ermittlung und Festlegung der Riemenlänge

Festlegen des endgültigen Wellenabstands

Festlegen des endgültigen Wellenabstands J

Flachriemen ? N Ermittlung der erforderlichen Riemen- und Rippenzahl

Ermittlung der erforderlichen Riemenbreite

16

N

Ergebnisse zufriedenstellend ? J Kontrolle v, fB, Ft, Fw

N

N

Werte zulässig ? J Ende

N

A 16-1  Vorgehensweise zum Auslegen von Riemengetrieben

17 Kettengetriebe Formelzeichen

Einheit

Benennung

a

mm

tatsächlicher Achsabstand

a0

mm

gewünschter Achsabstand

b1 , b2 ...

mm

Bogenlängen der Kette auf dem Teilkreis gemessen

d1¢

mm

Kettenrollendurchmesser

d1

mm

Teilkreisdurchmesser des Kettenrades 1

d2

mm

Teilkreisdurchmesser des Kettenrades 2

da1 , da2

mm

Kopfkreisdurchmesser des Kettenrades 1 bzw. 2

df1 , df2

mm

Fußkreisdurchmesser des Kettenrades 1 bzw. 2

ds1 , ds2

mm

Durchmesser der Freidrehung unter dem Fußkreis des Ketten­ rades 1 bzw. 2

F

mm

erforderliches Mindestmaß für die Freidrehung

FG

N

Gewichtskraft des Kettentrums

Fges

N

resultierende Betriebskraft im Lasttrum der Kette

Fs

N

Stützzug

Fs¢

1

spezifischer Stützzug

Fso , Fsu

N

Stützzug am oberen bzw. unteren Kettenrad bei geneigter Triebanordnung

Ft

N

Kettenzugkraft (Tangentialkraft)

Fw

N

Wellenbelastung, Wellenspannkraft

Fwo , Fwu

N

Wellenbelastung bei geneigter Lage des Lasttrums am oberen bzw. unteren Kettenrad

Fz

N

Fliehzug

f

mm

frel

%

relativer Durchhang des Kettenleertrums

f1

1

Korrekturfaktor zur Berücksichtigung der Zähnezahl des kleinen Kettenrades

f2

1

Korrekturfaktor zur Berücksichtigung der unterschiedlichen Wellenabstände

f3

1

Korrekturfaktor zur Berücksichtigung der Kettengliedform

Durchhang des Kettenleertrums

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2019 H. Wittel, D. Jannasch, C. Spura, Roloff/Matek Maschinenelemente Formelsammlung, https://doi.org/10.1007/978-3-658-25469-8_17

17

190

17

17 Kettengetriebe

Formelzeichen

Einheit

Benennung

f4

1

Korrekturfaktor zur Berücksichtigung der von der Kette zu überlaufenden Räder

f5

1

Korrekturfaktor zur Berücksichtigung der Lebensdauer

f6

1

Korrekturfaktor zur Berücksichtigung der Umweltbedin­ gungen

g

m/s2

Fallbeschleunigung

g1

mm

Laschenhöhe der Kette

i

1

Übersetzungsverhältnis

KA

1

Anwendungsfaktor zur Berücksichtigung stoßartiger Belastung

L

mm

Lh

h

lT

mm

Kettentrumlänge

l1 , l2 ...

mm

Teillängen der Kette

n

1

n1 , n2

1/min

PD

kW

Diagrammleistung

P1

kW

Antriebsleistung

p

mm

Kettenteilung

q

kg/m

Längen-Gewicht der Kette (Massenbelag)

r4

mm

Randfasenradius

T1

N mm, N m

Antriebsmoment

v

m/s

X

1

tatsächliche Kettengliederzahl

X0

1

rechnerische Kettengliederzahl

z1 , z2

1

Zähnezahl des Kettenrades 1 bzw. 2

δ

°

Neigungswinkel der Wellenmitten gegen die Waagerechte

ε0

°

Trumneigungswinkel zwischen der gemeinsamen Tangente an den Teilkreisen (Leertrum) und der Verbindungslinie der Kettenradmittelpunkte

τ

°

Teilungswinkel der Verzahnung

§

°

Neigungswinkel zwischen der gemeinsamen Tangente an den Teilkreisen (Leertrum) und der Waagerechten

Gesamtlänge der Kette Lebensdauer des Kettengetriebes

Anzahl der Kettenräder im Kettengetriebe Drehzahl des Kettenrades 1 bzw. 2

Kettengeschwindigkeit

17 Kettengetriebe191 Nr.

Formel

Hinweise

Geometrie der Kettenräder (Rollenketten) mittlere Übersetzung 1

i=

n1 z2 d 2 = = n2 z1 d1

d1 , d2 nach Nr. 3

Abtriebsrad z2 Antriebsrad z1

d2 n2

d1 n1

Teilungswinkel 2

t=

Zähnezahlen für Kettenräder:

360∞ z

Teilkreisdurchmesser 3

d=

p Ê tˆ sin Á ˜ Ë 2¯

=

p Ê 180∞ˆ sin Á Ë z ˜¯

z1

v in m/s

Anwendung

11 ... 13

40 X, weniger empfindliche Antriebe

14 ... 16

2 Kettenrädern 14

L ª l1 + l2 + ... + b1 + b2 + ...

b = r · arc α, α Umschlingungswinkel erforderliche Gliederzahl allgemein 15

L X = p

Die Anzahl der Kettenglieder sollte möglichst geradzahlig sein.

Kraftverhältnisse an Kettengetrieben (Rollenketten)

Lasttru b

m

Leertrum

17 (statische) Kettenzugkraft 16

P T Ft = 1 = 1 u d1 2

T1 ª 9550 ◊

P1   n1

T1

P1

n1

N m

kW

min–1

194 Nr.

17 Kettengetriebe Formel

Hinweise

Fliehzug 17

18

Fz = q ·

Stützzug

q Längengewicht der Kette in kg/m nach TB 17-1

• bei annähernd waagerechter Lage des Leertrums

FG = q · g · lT

Fs ª

FG ◊ lT q ◊ g ◊ lT = 8◊ f 8 ◊ f rel

• bei geneigter Lage des Leertrums am oberen Kettenrad 19

g ≈ 9,81 m/s2 lT = a · cos ε0 f rel =

f lT

Fso ª q ◊ g ◊ lT ◊ (Fs¢+ sin y )

am unteren Kettenrad 20

v = d1 · π · n1

v2

Fsu ª q ◊ g ◊ lT ◊ Fs¢

normal frel ª 2% = 0,02 Fs¢ nach TB 17-4

§ = δ – ε0 mit ε0 aus sin ε0 = (d2 – d1) / (2 · a) d2 , d1 nach Nr. 3

resultierende Betriebskraft im Lasttrum der Kette

Ft nach Nr. 16

• bei annähernd waagerechter Lage des Leertrums 21

Fges ª Ft ◊ K A + Fz + Fs

• bei geneigter Lage des Leertrums 22

Fges ª Ft ◊ K A + Fz + Fso

Fz nach Nr. 17 Fs nach Nr. 18 Fso nach Nr. 19 Fsu nach Nr. 20

Wellenbelastung bei annähernd waagerechter Lage des Leertrums 23

17

24

Fw ª Ft ◊ K A + 2 ◊ Fs Belastung der oberen Welle bei geneigter Lage des Leertrums Fwo ª Ft ◊ K A + 2 Fso

Belastung der unteren Welle bei geneigter Lage des Leertrums 25

Fwu ª Ft ◊ K A + 2 Fsu

KA nach TB 3-5b

18  Elemente zur Führung von Fluiden (Rohrleitungen) Formelzeichen

Einheit

Benennung

a

m/s

Fortpflanzungsgeschwindigkeit einer Druckwelle

A

mm2

Querschnittsfläche der Rohrwand

A

%

Bruchdehnung des Rohrwerkstoffs

B

N/mm2

c1

mm

Zuschlag zum Ausgleich der zulässigen Wanddickenunterschreitung

c1¢

%

Zuschlag zum Ausgleich der zulässigen Wanddickenunterschreitung als Prozentsatz der bestellten Wanddicke

c2

mm

Zuschlag für Korrosion bzw. Erosion

da

mm

Rohraußendurchmesser

di

mm

Rohrinnendurchmesser

dm

mm

mittlerer Rohrdurchmesser

E

N/mm2

FJ

N

Längskraft im Rohr bzw. auf die Festpunkte infolge Temperaturänderung

Fd

1

Korrekturfaktor zur Berücksichtigung des Wanddickeneinflusses

FJ*

1

Temperatureinflussfaktor

g

m/s2

Δh

m

K

N/mm2

k

mm

k

1

Faktor für die Rohrausführung bei der Berechnung der Stützpunktabstände

l

m

Länge der Rohrleitung

L

m

Abstand der Unterstützungspunkte

m

kg/s

m

1

Exponent zur Berechnung der zulässigen Lastspielzahl (3 bzw. 3,5)

N

1

Betriebslastspielzahl

Berechnungskonstante

Elastizitätsmodul

Fallbeschleunigung geodätischer Höhenunterschied bei nicht horizontal verlaufenden Leitungen Festigkeitskennwert mittlere Rauigkeitshöhe der Rohrinnenwand

Massenstrom

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2019 H. Wittel, D. Jannasch, C. Spura, Roloff/Matek Maschinenelemente Formelsammlung, https://doi.org/10.1007/978-3-658-25469-8_18

18

196

18

18  Elemente zur Führung von Fluiden (Rohrleitungen)

Formelzeichen

Einheit

Benennung

Nzul

1

pe

N/mm2

Berechnungsdruck bei festgelegten Druck-Temperatur-Bedingungen

pmax – pmin

N/mm2

Druckschwankungsbreite (das Doppelte der Amplitude)

Δp

Pa

Druckverlust in der Rohrleitung durch Reibung und Einzel­ widerstände

Δp

Pa

Druckänderung durch Druckstoß

pr

N/mm2

Ersatzdruck

pe, zul

N/mm2

zulässiger Betriebsdruck

Re

1

Rm

N/mm2

Mindestzugfestigkeit

ReH / J

N/mm2

Mindestwert der oberen Streckgrenze bei Berechnungstem­ peratur (Warmstreckgrenze)

Rm / J

N/mm2

Mindestzugfestigkeit bei Berechnungstemperatur (Warm­ festigkeit)

Rm / t / J

N/mm2

Zeitstandfestigkeit bei Berechnungstemperatur J und betrachteter Lebensdauer t

Rm /105 / J

N/mm2

Zeitstandfestigkeit für 100 000 h bei Berechnungstemperatur J

Rm /1,5 ◊ 105 / J

N/mm2

Zeitstandfestigkeit für 150 000 h bei Berechnungstemperatur J

Rm / 2 ◊ 105 /J

N/mm2

Zeitstandfestigkeit für 200 000 h bei Berechnungstemperatur J

Rp0,2 / J

N/mm2

Mindestwert der 0,2%-Dehngrenze bei Berechnungstempe­ ratur J (Warmdehngrenze)

Rp1,0 / J

N/mm2

Mindestwert der 1%-Dehngrenze bei Berechnungstempe­ ratur J (Warmdehngrenze)

S

1

Sicherheitsbeiwert, Sicherheitsfaktor

St

1

zeitabhängiger Sicherheitsbeiwert

t

mm

tR

s

Reflexionszeit beim Druckstoß

tS

s

Schließzeit des Absperr- bzw. Steuerorgans

tv

mm

zulässige Lastspielzahl bei einer Druckschwankungsbreite von pmax – pmin

Reynolds-Zahl (Geschwindigkeit des strömenden Mediums × Rohrinnendurchmesser/kinematische Viskosität), kennzeichnet den Strömungszustand

Bestellwanddicke (geforderte Mindestwanddicke einschließlich Zuschlägen und Toleranzen)

rechnerisch erforderliche Mindestwanddicke ohne Zuschläge und Toleranzen

18  Elemente zur Führung von Fluiden (Rohrleitungen)197 Formelzeichen

Einheit

Benennung

tmin

mm

Mindest-Rohrwanddicke

v

m/s

Strömungsgeschwindigkeit (Mittelwert) des Mediums

vN

1

Schweißnahtfaktor, berücksichtigt die Festigkeitsminderung bei Bauteilen mit Stumpfnähten, die nicht in Umfangsrichtung liegen

Δv

m/s

Änderung der Strömungsgeschwindigkeit durch einen Regelvorgang

V

m3/s

Volumenstrom

α

K-1

thermischer Längenausdehnungskoeffizient

ζ

1

Widerstandszahl von Rohrleitungselementen

η

Pa s

η

1

Spannungsfaktor für Konstruktionsformen

J*

°C

Lastzyklustemperatur

ΔJ

K

Temperaturdifferenz

λ

1

Rohrreibungszahl

ν

m2/s

ϱ, ϱLuft

kg/m3

Dichte des Mediums bzw. der umgebenden Luft

2◊ s*a

N/mm2

maßgebliche pseudoelastische Spannungsschwingbreite

2 ∙ σaD

N/mm2

Grenzwert der Dauerfestigkeit

σprüf

N/mm2

bei der Druckprüfung auftretende Spannung

σprüf, zul

N/mm2

zulässige Spannung bei der festgelegten Prüftemperatur während der Druckprüfung

σzul

N/mm2

zeitunabhängige zulässige Spannung

σzul, t

N/mm2

zeitabhängige zulässige Spannung

σzul, 20

N/mm2

zulässige Spannung bei 20 °C (Auslegungsspannung)

dynamische Viskosität des strömenden Mediums

kinematische Viskosität des strömenden Mediums

18

198 Nr.

18  Elemente zur Führung von Fluiden (Rohrleitungen) Formel

Hinweise

Strömungsgeschwindigkeit und Rohrinnendurchmesser Die wirtschaftliche Strömungsgeschwindigkeit und der wirtschaftliche Rohrinnen­durchmesser ­lassen sich aus dem Kostenminimum von Investitions- und Betriebskosten ermitteln. In der Praxis wird die wirtschaftliche Strömungsgeschwindigkeit unter Berücksichtigung strömungstechnischer Grenzdaten (Geräuschemission, Schwingungen, Erosion) und der großen Abhängigkeit des Druckverlustes vom Rohrdurchmesser (Δp ~ 1 / d 5) nach Erfahrungswerten gewählt. Große S ­ trömungsgeschwindigkeit bedeutet also kleinen Rohrdurchmesser und geringen Aufwand für ­Armaturen, Anstrich und Isolation, andererseits aber hohen Energieaufwand (Druckverlust) und ­hohen Geräuschpegel. Strömungsgeschwindigkeit in kreis­ förmigen Rohren • bei gegebenem Volumenstrom 1

4 VP v=  2   di

v m/s

di

ϱ

V

m

m

kg/m3

m3/s

kg/s

• bei gegebenem Massenstrom 2

v=

4 m P    ¬  di2

erforderlicher Rohrinnendurchmesser

3

4

18

• bei gegebenem Volumenstrom s 4 VP  di =   v • bei gegebenem Massenstrom s 4 m P di =    ¬v

Richtwerte für wirtschaftliche Strömungs­ geschwindigkeiten v s. TB 18-5 Genormter Rohrinnendurchmesser di bzw. Nennweiten DN s. TB 1-13 bzw. TB 18-4

18  Elemente zur Führung von Fluiden (Rohrleitungen)199 Nr.

Formel

Hinweise

Strömungsform Die Reynolds-Zahl kennzeichnet die Strömungsform und stellt das Verhältnis der Trägheitskräfte zu den Viskositätskräften im Stoffstrom dar. Strömungen sind mechanisch ähnlich, wenn ihre Reynolds-Zahlen gleich sind. Die kritische Strömungsgeschwindigkeit gibt den Übergang von der laminaren zur turbulenten Strömung an.

5

Reynolds-Zahl v  di Re = 

v m/s

di

v

Re

m

m2/s

1

Wenn η und ϱ bekannt, gilt ν = η / ϱ, mit der ­dynamischen Viskosität η in Pa s (kg / (m · s)) und der Dichte ϱ des Mediums in kg/m3 nach TB 18-9a. Richtwerte für – wirtschaftliche Strömungsgeschwindigkeit s. TB 18-5 – kinematische Viskosität s. TB 18-9a – Rohrinnendurchmesser, z. B. als genormte Nennweite DN, s. TB 18-4 Re < 2320: Laminarströmung Re > 2320: Turbulentströmung kritische Strömungsgeschwindigkeit 6

u krit =

n ◊ Rekrit di

υkrit m/s

di

v

Re

m

m2/s

1

Rekrit = 2320

Druckverlust durch inkompressible Strömung Die durch die Strömungsverluste (Reibung, Wirbel) bedingte Verlustenergie wird beeinflusst durch die Berührungsfläche zwischen Fluid und Rohrwand (di , l), die Strömungsgeschwindigkeit, die Art des Fluids (η, ϱ), die Strömungsform (turbulent, laminar) und die Wandrauigkeit. Obwohl für Gas- (Dampf-)Leitungen kompressible Strömung vorliegt, gelten die nachfolgenden Gleichungen näherungsweise auch für Gasleitungen mit geringer Expansion, also bei geringem Druckabfall (Niederdruck-Gasleitungen).

7

Druckverlust für beliebig verlaufende ϱ Δp v kreisförmige Rohrleitungen mit Ein­ 3 Pa kg/m m/s bauten  2  œl ¬¤ p = + †— ˙ h  g  .¬ − ¬Luft / 2 di

λ

l

di

ζ

Δh

1

m

m

1

m m/s2

g

Anmerkung: Im 2. Glied der Gleichung gilt das positive Vorzeichen für aufsteigende und das negative Vorzeichen für abfallende Leitungen. Bei ϱ < ϱLuft (z. B. Niederdruckgasleitungen) ergibt sich für aufsteigende Leitungen ein Druckgewinn (Auftrieb), bei abfallenden Leitungen entsprechend ein Druckverlust. (1 Pa = 1 N / m2, g = 9,81 m / s2)

18

200 Nr.

8

18  Elemente zur Führung von Fluiden (Rohrleitungen) Formel

Hinweise

Druckverlust bei geraden kreisförmigen Rohrleitungen ohne Einbauten

Richtwerte für – Rohrreibungszahl λ nach Nr. 10 bis 14 – wirtschaftliche Strömungsgeschwindigkeit v s. TB 18-5 – Dichte ϱ des Mediums s. TB 18-9 – Rohrinnendurchmesser di , z. B. als genormte Nennweite DN, s. TB 18-4 – Widerstandszahl ζ s. TB 18-7 – Fallbeschleunigung g = 9,81 m/s2

p = œ 

l ¬ 2  ¤ di 2

Druckverlust durch Einbauten 9

p = †—  ¬ 

¤2 2

Rohrreibungszahl bei laminarer ­Strömung (Re < 2320) 10

l=

64 Re

Bei laminarer Strömung ist die Rohrreibungszahl nur von der Reynolds-Zahl abhängig (z. B. Ölleitungen). Die Wandrauigkeit der Rohre hat keinen Einfluss. λ = f (Re) auch unmittelbar aus Schaubild TB 18-8 ablesbar.

Turbulente Rohrströmung Rohrreibungszahl bei hydraulisch r­ auen Rohren 11

12

18

13

l=

1 di Ê ˆ , ˜ ÁË 2 lg + 114 ¯ k

2

Rohrreibungszahl im Übergangs­bereich zwischen vollrauem und g­ lattem Verhalten der Rohrwand • Interpolationsformel 0 1 1 1 C B 2;5 l p = −2 lg @ p + A œ Re  œ 3;71 di k • Näherungsformel

Ê k 68 ˆ l = 0,11◊ Á + ˜ Ë di Re ¯

0,25

Im oberhalb der Grenzkurve λ = [(200 · di / k) / Re]2 liegenden Bereich ist die Rohrreibungszahl nur von di / k abhängig, die Kurve verläuft waagerecht, s. TB 18-8. Richtwerte für Rauigkeitshöhe k s. TB 18-6. Geltungsbereich der Formel: Re > 1300 · di / k λ = f (di / k) auch unmittelbar aus Schaubild TB 18-8 ablesbar. Mit zunehmender Reynolds-Zahl wird die laminare Unterschicht zunehmend dünner und die Rauigkeitsspitzen ragen immer mehr heraus.

Die Rohrreibungszahl hängt sowohl von di / k als auch von der Reynolds-Zahl ab. Richtwert für Rauigkeitshöhe k s. TB 18-6. λ = f (Re, di / k) auch unmittelbar aus TB 18-8 ­ablesbar.

18  Elemente zur Führung von Fluiden (Rohrleitungen)201 Nr.

14

Formel

Hinweise

Rohrreibungszahl bei hydraulisch glatten Rohren

Die vorhandene Wandrauigkeit liegt innerhalb der laminaren Unterschicht. Da in der Praxis stets mit einer Betriebsrauigkeit gerechnet ­werden muss, ist diese Näherungsformel nur als Grenzfall (k = 0) interessant. Geltungsbereich der Formel: Re > 2320 λ = f (Re) auch unmittelbar aus TB 18-8 ablesbar.

lª

0,309 Ê Re ˆ ÁË lg ˜¯ 7

2

Dynamische Druckänderungen (Druckstöße) Druckstöße treten auf, wenn die Strömungsgeschwindigkeit in einer Rohrleitung verändert wird, z. B. durch Schließen oder Öffnen von Ventilen oder durch In- oder Außerbetriebnahme von Pumpen. Wasserschläge sind Folge eines negativen Druckstoßes und entstehen nach dem Abreißen der Wassersäule infolge Unterdruck durch das nachfolgende Wiederauftreffen der rückströmenden Wassersäule auf das Absperrorgan. Er tritt nur auf, wenn das Schließen des Absperrorgans in kürzerer Zeit erfolgt, als eine Druckwelle benötigt, um mit Schallgeschwindigkeit vom Absperrorgan zur Reflektionsstelle (Behälter, Rohr­knoten) und zurück zu wandern.

15

maximale Druckänderung durch Druckstoß (Joukowsky-Stoß) Δp = ϱ · a · Δv

Δp

ϱ

a

Δυ

Pa

kg/m3

m/s

m/s

Dichte ϱ des Durchflussstoffes z. B. nach TB 18-9 Druckfortpflanzungsgeschwindigkeit (Schall­ geschwindigkeit) für Wasser und dünnflüssige Öle – in dünnwandigen Leitungen: a ª 1000 m/s – in verhältnismäßig dickwandigen Hydraulik­ leitungen: a ª 1300 m/s Δv = v1 – v2 , plötzliche Geschwindigkeitsänderung der Strömung von v1 auf v2 = 0, wenn die Strömung in einer sehr kurzen Schließzeit tS < tR reduziert wird. Druckänderung durch reduzierten Druckstoß 16

p = ¬  a  v 

tR tS

Reflexionszeit einer Druckwelle 17

tR = 2 ◊ l / a

Δp

ϱ

a

Δv

tR , tS

Pa

kg/m3

m/s

m/s

s

Bei einer Verlängerung der Schließzeit des ­Absperrorgans auf mehrere Reflektionszeiten (tS ≫ tR) kann der Druckstoß erheblich reduziert werden. tR

l

a

s

m

m/s

Der maximale Druckstoß tritt nur auf, wenn die Schließzeit des Absperrorgans tS < 2 · l / a.

18

202 Nr.

18  Elemente zur Führung von Fluiden (Rohrleitungen) Formel

Hinweise

Berechnung der Wanddicke von geraden Stahlrohren unter Innendruck nach DIN EN 13480-3 Sie erfüllt die grundlegenden Sicherheitsanforderungen der europäischen Druckgeräte-Richtlinie. Es gelten die gleichen Berechnungsmethoden wie für Druckbehältermäntel (siehe Kapitel 6: Geschweißte Druckbehälter). Bei der Dimensionierung von Rohrleitungssystemen sind ggf. noch ­weitere Belastungen zu berücksichtigen, z. B. Wärmeausdehnung, Gewicht von Rohrleitung und deren Inhalt, Schwingungen. erforderliche Mindestwanddicke (­Mindestwert der bestellten Wanddicke) • wenn der Wanddickenzuschlag c1 in mm ausgedrückt wird 18

19

t = tv + c1 + c2

• wenn Wanddickenzuschlag c1¢ in ­Prozent der bestellten Wanddicke ­ausgedrückt wird 100 t = .tv + c2 / 100 − c10

tv als rechnerische Mindestwanddicke ohne ­ uschläge und Toleranzen Z Wanddickenzuschlag c1 als Absolutwert der ­Minustoleranz der Rohrwanddicke nach den Normen für Stahlrohre, z. B. TB 1-13d. Der Korrosions- bzw. Erosionszuschlag c2 ist vom Besteller anzugeben. Bei ferritischen ­Stählen im Allgemeinen 1 mm, Null wenn keine Korrosion zu erwarten ist. c1¢ = (c1 / t ) ◊100% = 8% º 20% der bestellten Wanddicke nach den Normen für Stahlrohre, z. B. TB 1-13d. Tritt bei der Fertigung z. B. durch Gewindeschneiden, Biegen, Eindellen eine Wanddicken-Abnahme auf, ist diese durch einen Zuschlag c3 zu berücksichtigen.

Rohrleitungen mit vorwiegend ruhender Beanspruchung durch Innendruck werden auf Versagen gegen Fließen berechnet. Dabei wird angenommen, dass es bis 1000 Druckzyklen über die volle Schwankungsbreite nicht zu Ermüdungsschäden kommt. Erforderliche Mindestwanddicke ohne Zuschläge • bei dünnwandigen Rohren mit da £ 1,7 di 20

18

tv =

pe ◊ d a 2 ◊ s zul ◊ u N + pe

Es ist die zusammengehörige Kombination von Druck und Temperatur (p, J) zu betrachten, die die höchsten Belastungen im Rohrleitungssystem berücksichtigen und die größte Wanddicke ergeben. Die Berechnungstemperatur ist die maximale, unter normalen Betriebsbedingungen beim Berechnungsdruck pe in der Rohrwand­ mitte zu erwartende Temperatur. Rohraußendurchmesser da nach Rohrnormen, z. B. DIN EN 10 220 (TB 1-13c), DIN EN 10 305-1 (TB 1-13b), DIN EN 10 216-1 (TB 1-13d).

18  Elemente zur Führung von Fluiden (Rohrleitungen)203 Nr.

21

Formel

Hinweise

• bei dickwandigen Rohren mit

Schweißnahtfaktor für Rohre mit nicht in Umfangsrichtung verlaufenden Stumpfnähten: vN = 1 bei vollständigem Nachweis, dass die Gesamtheit der Nähte fehlerfrei ist vN = 0,85 bei Nachweis durch zerstörungsfreie Prüfung an Stichproben vN = 0,7 bei Nachweis durch Sichtprüfung



da > 1,7 di

tv =

da 2

Ê Á1 Ë

s zul ◊ u N - pe ˆ s zul ◊ u N + pe ˜¯

1. Zeitunabhängige zulässige Spannungen – nichtaustenitische Stähle und austenitische Stähle mit A < 30 % (A = Bruchdehnung) R ÊR R ˆ s zul = min Á eH / J oder p0,2 / J ; m ˜ Ë 1,5 1,5 2,4 ¯

– austenitische Stähle für 30 % ≤ A ≤ 35 % ÊR R ˆ s zul = min Á p1,0 / J ; m ˜ Ë 1,5 2,4 ¯ Rp1,0 / J 1,5 Ê Rm / J Rp1,0 / J ˆ = min Á ; Ë 3,0 1,2 ˜¯

für A > 35 %: s zul = oder s zul

Festigkeitskennwerte s. TB 6-14 und TB 18-10 – Stahlguss R ÊR R ˆ s zul = min Á eH / J oder p0,2 / J ; m ˜ Ë 1,9 1,9 3,0 ¯

Festigkeitskennwerte s. TB 1-2g, TB 1-2h, TB 6-14 und DIN EN 10213 2. Zeitabhängige zulässige Spannungen: s zul, t =

Rm / t / J St

Zeitabhängiger Sicherheitsbeiwert St = 1,25 für 200 000 h, St = 1,35 für 150 000 h und St = 1,5 für 100 000 h. Zeitstandfestigkeit von Stahlrohren Rm / 2 ◊ 105 /J und Rm /105 /J z. B. nach DIN EN 10 216 und DIN EN 10 217, s. TB 18-10 Ist keine Lebensdauer festgelegt gilt Rm / 2 ◊ 105 /J , sind in den Normen keine Werte für 2 · 105 h festgelegt, gilt Rm /1,5 ◊ 105 /J bzw. Rm /105 /J . Die 1 %-Zeitdehngrenze darf in keinem Fall überschritten werden.

18

204 Nr.

18  Elemente zur Führung von Fluiden (Rohrleitungen) Formel

Hinweise

Bei schwellender Innendruckbeanspruchung ist eine vereinfachte Aus­legung zulässig, wenn diese ausschließlich auf Druckschwankungen beruht. fiktive pseudoelastische Spannungsschwingbreite zur Berechnung der ­zulässigen Lastspielzahl 22

2◊ s*a =

h p - pmin ◊ max ◊ s zul,20 Fd ◊ FJ* pr

– Spannungsfaktor für verschiedene Konstruk­ tionsformen (Beispiele) Konstruktionsform (Bauteilgeometrie)

Spannungsfaktor η

kreisrunde ungeschweißte Rohre

1,0

Rundnaht (Stumpfnaht) bei gleicher Wanddicke

1,3

Rundnaht (Stumpfnaht) bei ungleichen Wanddicken

1,5

Längsnaht (Stumpfnaht) bei gleichen Wanddicken

1,6

Stutzen durchgesteckt oder eingesetzt

3,0

– Korrekturfaktor zur Berücksichtigung des Wanddickeneinflusses t ≤ 25 mm:

Fd = 1

t > 25 mm:

Ê 25ˆ Fd = Á ˜ Ë t ¯

0,25

≥ 0,64

– Temperatureinflussfaktor ferritischer Stahl: FJ* = 1,03 – 1,5 · 10–4 · J* – 1,5 · 10–6 · J*2 austenitische Werkstoffe: FJ* = 1,043 – 4,3 · 10–4 · J* für J* ≤ 100 °C: FJ* = 1,0 mit der Lastzyklustemperatur: J* = 0,75 · Jmax + 0,25 · Jmin

18

– Ersatzdruck pr als zulässiger statischer Druck bei 20 ºC, berechnet mit den nach pe umgeformten Gln. Nr. 20 bzw. 21 mit νN = 1, z. B. für dünnwandige Rohre: pr = (2 · σzul, 20 · tν) / (da – tν) Zulässige Spannungen bei 20 °C wie zu Gln. Nr. 20 und 21.

18  Elemente zur Führung von Fluiden (Rohrleitungen)205 Nr. 23

Formel

Hinweise

Dauerfestigkeitsbedingung

– Der Grenzwert der fiktiven Dauerfestigkeit 2 · σa, D ist bei N = 2 · 106 festgelegt.

2 ◊ s*a £ 2 ◊ s a, D

2◊ s*a nach Gl. Nr. 22

Zulässige Lastspielzahl (103 ≤ N ≤ 2 · 106) als Funktion der Spannungsschwingbreite 24

Ê B ˆ N zul = Á Ë 2 ◊ s*a ¯˜

m

Schweißnahtklasse

Konstruktionsform Beispiele

2 · σa, D N/mm2

K0 (RS)

gewalzte Oberfläche

125

K1

Rundnaht, beidseitig geschweißt

63

K2

Rundnaht, einseitig geschweißt, ohne Gegennaht

50

K3

eingesetzter Stutzen

40

– Berechnungskonstante B Schweiß­ naht­klasse

Konstruktionsform BerechBeispiele nungskonstante B N/mm2

K0 (RS)

gewalzte ­Oberfläche

7890

K1

Rundnaht bei ­gleicher/ungleicher Wanddicke, beidseitig geschweißt

7940

K2

Längsnaht einseitig geschweißt, ohne Gegennaht

6300

K3

Ecknaht, einseitig geschweißt ohne Gegennaht oder eingeschweißter Stutzen

5040

m = 3 für Schweißnähte m = 3,5 für ungeschweißte Bereiche

18

206

18  Elemente zur Führung von Fluiden (Rohrleitungen)

Nr.

Formel

Hinweise

25

Druckprüfung (DIN EN 13 480-5) Für die während der Prüfung auftretende Spannung gilt σprüf ≤ σprüf, zul

Bei der Wasserdruckprüfung darf der Prüfdruck den höheren der beiden Werte nicht ­unterschreiten:

wobei • σprüf, zul ≤ max{0,95 ∙ Rp1,0; 0,45 ∙ Rm} für austenitische Stähle mit A ≥ 25 % • σprüf, zul ≤ 0,95 ∙ ReH , für nicht austenitische Stähle und austenitische Stähle mit A  6 mm. Mittlerer Rohrdurchmesser: dm = da – t Sicherheitsfaktor – bei höchstem hydrostatischem Druck im Dauerbetrieb: S = 3,0 – bei höchstem zeitweise auftretendem ­hydrostatischem Druck inklusive Druckstoß: S = 2,5

18

18  Elemente zur Führung von Fluiden (Rohrleitungen)207 Nr.

Formel

Hinweise

Rohre aus Kunststoff erforderliche Mindest-Rohrwanddicke 27

tmin =

pe ◊ d a K 2 ◊ + pe S

Thermoplastische Kunststoffe neigen schon bei Raumtemperatur zum Kriechen. Unter Dauer­ belastung ist ihre Festigkeit zeitabhängig. Zeitstandfestigkeit K bei der Berechnungs­ temperatur nach Angaben der Hersteller und der Rohrgrundnormen; für Rohre aus PP s. TB 18-13. Sicherheit – S = 1,3 bei ruhender Belastung, Raumtem­ peratur und geringer Schadensfolge – S = 2,0 bei Belastung unter wechselnden ­Bedingungen und großer Schadensfolge Hinweis: Die DVS-Ri 2210-1 mit Bbl. 1 bietet fundierte Unterlagen zur Ausführung und ­Projektierung von Rohrleitungen aus thermoplastischen Kunststoffen.

Dehnungsausgleicher (Kompensatoren) Ausreichende Elastizität der Rohrleitung muss durch Richtungsänderung (Rohrschleifen, Rohrversatz), durch elastische Verbindungen (Kompensatoren, Metallschläuche) oder andere Einrichtungen gewährleistet sein. axiale Rohrkraft infolge Temperatur­ änderung 28

FJ ª E ◊ a ◊ DJ ◊ A

Anmerkung: FJ ist nicht von der Rohrlänge abhängig. FJ

E

α

∆J

A

N

N/mm2

K–1

K

mm2

Baustahl: α = 12 · 10–6 K–1, V2A und Cu: 17 · 10–6 K–1, Al-Leg.: 24 · 10–6 K–1, Kunst­ stoffe: 50 · 10–6 bis 200 · 10–6 K–1 E nach TB 1-2 bis TB 1-4 Rohrwandquerschnitt A z. B. nach TB 1-13

29

Rohrdehnung durch Temperaturänderung Dl = a ◊ l ◊ DJ

∆l, l

α

∆J

mm

K–1

K

18

208 Nr.

18  Elemente zur Führung von Fluiden (Rohrleitungen) Formel

Hinweise

Rohrhalterungen (Abstützungen) Diese Tragelemente haben den Zweck, die Masse der Rohrleitung samt Inhalt aufzunehmen und auf die umgebende Tragwerkskonstruktion zu übertragen, sowie die Bewegung der Rohrleitung zu führen. Abstand der Unterstützungspunkte bei horizontal verlegten geraden Stahlrohrleitungen (Richtwert) 30

L  k  di0;67

L

k

di

m

l

mm

k = 0,3 für leeres ungedämmtes Rohr k = 0,2 für gefülltes (Wasser) und gedämmtes Rohr Rohrinnendurchmesser di nach Rohrnorm, s. TB 1-13 Die Gewichtskräfte verursachen Durchbiegung und Biegespannungen in der Rohrleitung. Zur Gewährleistung der Funktion sind die zulässigen Stützweiten nach AD2000 – Merkblatt HP100R einzuhalten, s. TB 18-12.

18

19 Dichtungen Formelzeichen

Einheit

Benennung

d

mm

Innendurchmesser der Flansche

dD

mm

mittlerer Durchmesser der Dichtung

FB

N

durch Innendruck verursachte Entlastungskraft der Dichtung

FD

N

erforderliche Dichtkraft (Klemmkraft) der Schrauben

FDB

N

Betriebsdichtungskraft

FDV

N

Vorverformungskraft, Mindestschraubenkraft für den Einbauzustand

FDV ¢

N

Mindestschraubenkraft für den Einbauzustand bei Weichstoffund Metallweichstoffdichtungen

FDJ

N

zulässige Belastung der Dichtung im Betriebszustand

FS

N

zum Dichten erforderliche Schraubenkraft

FSB

N

Mindestschraubenkraft für den Betriebszustand

KD , KDJ

N/mm2

k0

mm

Dichtungskennwert für die Vorverformung

k1

mm

Dichtungskennwert für den Betriebszustand

p

N/mm2

SD

1

Sicherheitsbeiwert gegen Undichtheit

X

1

Anzahl der Kämme bei Kammprofildichtung

Z

1

Hilfsgröße

Formänderungswiderstand der Dichtung bei Raumtemperatur/ Berechnungstemperatur

Berechnungsdruck

19 © Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2019 H. Wittel, D. Jannasch, C. Spura, Roloff/Matek Maschinenelemente Formelsammlung, https://doi.org/10.1007/978-3-658-25469-8_19

210 Nr.

19 Dichtungen Formel

Hinweise

Bei Flanschdichtungen muss mindestens die ¢ aufgebracht werden, Vorverformungskraft FDV um eine Dichtheit zu erreichen, bei größerem Innendruck die Betriebsdichtungskraft FDB. ¢ = FDV (bis auf NieVereinfacht wird mit FDV derdruckdichtungen) gerechnet. Die zuläs­sige Belastung auf die Dichtung im B ­ etrieb ergibt sich durch FDJ.

erforderliche Dichtkraft FD

Statische Flanschdichtungen

dicht FDV kritischer Punkt FDV

undicht

Innendruck p Vorverformungskraft

k0 nach TB 19-1a

1

FDV = p ◊ d D ◊ k0 ◊ K D

KD nach TB 19-1a bzw. TB 19-1b

2

FDV ¢ = 0,2 ◊ FDV + 0,8 FSB ◊ FDV

FDV = FDV ¢ kann gesetzt werden bei Weich­ stoff- und Metallweichstoffdichtungen wenn FDV > FSB

Betriebsdichtungskraft

k1 nach TB 19-1a SD = 1,2

3

FDB = p ◊ p ◊ d D ◊ k1 ◊ SD

Entlastungskraft auf die Dichtung ­ infolge Innendruck 4

FB = p ◊ p ◊

d D2 4

Mindestschraubenkraft im Betriebs­ zustand 5

FB

FSB = FB + FDB

dD zulässige Belastung der Dichtung im ­ Betriebszustand • Metalldichtungen 6

FDJ = p ◊ d D ◊ k0 ◊ K DJ

7

FDJ = p ◊ d D ◊

• Kammprofildichtungen

19

X ◊ k0 ◊ K DJ

FS

d

FD

k0, X nach TB 19-1a KDJ nach TB 19-1b Verbindung bleibt nach wiederholtem An- und Abfahren nur dicht, wenn FDJ ≥ FSB

20  Zahnräder und Zahnradgetriebe (Grundlagen) Formelzeichen

Einheit

Benennung

a

m

Achsabstand

b

mm

Zahnbreite

d1

mm

(Wälz-)Teilkreisdurchmesser

Ft

N

(Nenn-)Umfangskraft

i

1

Übersetzung

ks

N/mm2

Stribeck’sche Wälzpressung

N ◊s mm 2 ◊ m

ks / v

MPa ◊ s m

Kraft-Geschwindigkeitsfaktor (Zuordnung siehe entsprechende Formel)

N ◊ min m2

ns

min–1

Schneckendrehzahl

Pan , Pab ; P1 , P2

W, kW

Antriebs-, Abtriebsleistung

T1 , T2

N m

u

1

v

m/s

ZH

1

Flankenformfaktor

Zε

1

Überdeckungsfaktor

ω1 , ω2

1

Winkelgeschwindigkeit

η, ηZ , ηD , ηL

1

Wirkungsgrad; der Verzahnung, der Dichtung, der Lagerung

Eingangs-, Ausgangsdrehmoment Zähnezahlverhältnis Umfangsgeschwindigkeit am Teilkreis

20 © Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2019 H. Wittel, D. Jannasch, C. Spura, Roloff/Matek Maschinenelemente Formelsammlung, https://doi.org/10.1007/978-3-658-25469-8_20

212 Nr.

20  Zahnräder und Zahnradgetriebe (Grundlagen) Formel

Hinweise

Viskositätsauswahl von Getriebeölen mit Hilfe des Kraft-Geschwindigkeitsfaktors Kraft-Geschwindigkeitsfaktor

1

2

• für Stirn- und Kegelradgetriebe   ks Ft u+1 1    ZH2  Z©2  v b  d1 u v • für Schraubrad- und Schnecken­ getriebe ks T2 = 3 v a  ns

Viskositätsauswahl nach TB 20-7 ks/v

Ft

b, d

u

v

Ns MPas bzw. m mm2 m  

N

mm

1

m/s

ZH nach TB 21-22a Zε

nach TB 21-22c

überschlägig: ZH2  Z©2  3 ks/v

T2

a

ns

N·min/m2

Nm

m

min−1

Getriebewirkungsgrad • Allgemein abgegebene Leistung zugeführte Leistung Pab P2 T2  w2 T2 = = = = zg0 zg0 − z

für z