Projektive und analytische Schulgeometrie: Ein Lehr- und Übungsbuch für die Oberklassen [Reprint 2018 ed.] 9783111468013, 9783111101057

Table of contents :
Vorwort
Inhalt
Kapitel I. Cebre von den Doppelverbältnissem
Kapitel II. Synthetische Geometrie.
Kapitel III. Geometrie der Lage.
Kapitel IV. MafsbezIehungen
Kapitel V. Analytische Geometrie.
Kapitel VI. Orteaufgaben

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projektive und analytische

Schulgeometrie (Ein §ehr- und Übungsbuch für die Gberklaffen von

Rudolf Böger

Mit *84 Figuren

Leipzig G. I. Göschen'sche Verlagshandlung

Alle Rechte von der Verlagshandlung vorbehalten.

Druck von , Beim ersten Anlauf durch unermüdliches Üben sicherer Besitz aller Schüler wird. Die Freude am Zeichnen, die eigentlich allen Schülern innewohnt, erleichtert hier wie überall in der Geometrie der Lage den Erfolg. Aus den Konstruktionen der Geometrie der Lage fließen die Maß­ beziehungen des folgenden Kapitels, die wiederum durch Anwendung eines einzigen Satzes/+ MA) {SM-\- MA - SM- + SM(MA + MA,) + MA - MA, = SM'2 — MA2{2i) = SO2 — MO2 — MA2 = S02 — r\ Da die rechte Seite nur von der Entfernung des Punktes 8 vom Mittelpunkt und vom Kreishalbmesser r, nicht aber von der Lage des durch 8 gehenden Strahles abhängig ist, so würden wir für einen zweiten durch 8 gehenden Strahl denselben Wert erhalten. 4. Umkehrung. Ist für zwei Strecken AA, und BB„ die sich in 8 schneiden, SA-SA, = SB ■ SB,, so sind AA,BB, die Ecken eines Kreisvierecks. — Denn schneidet der durch A; A1; B gelegte Kreis die Strecke BB, zum zweiten Male in B,', so ist SB - SB,' = SA - SA, = SB - SB,, folglich SB,' = SB,, folglich B,' in B, (2a). 5. Zusatz. SO2 — r2 ober SA - SA, nennt man die Potenz des Punktes 8 in bezug auf den Kreis. Diese Potenz ist positiv oder negativ oder Null, je nachdem der Punkt außerhalb oder innerhalb der Kreislinie oder in der Kreislinie liegt. 6. Lehrsatz (angewendet in Nr. 43j). Fällt man vom Höhen­ schnittpunkt H des Dreiecks AB C (Fig. 8) auf die Mittellinie AM das Lot HK, so ist MK- MA = MB2.

Beweis. Weil MD HK ein Kreisviereck ist(3lo), haben wir AH- AD —AK- AM^] (AD + DH)AD = (AM-\-MK)AMM; — DH- DA = AM2 — AD2 — MK- MA; B M

ALK - MA = MD2 — DB- D C == MD0—{DM+MB){DM- MB) «•>=4s£2.

7. Doppelvcrbältms. 1. Teilen die Punkte X und Y die Strecke AB, so entstehen die einfachen Verhältnisse XA: XB und YA: YB (4< Aus diesen beiden Verhältnissen bilden wir das neue XA YA XB: YB' gelesen: XA durch XB zu YA durch YB, das wir das Doppel­ verhältnis der vier Punkte ABXY nennen und abkürzend durch (1MI)

bezeichnen. Demnach würde z. B. sein YX BX (XAYB) YA: BA' 2. Lehrsatz. Stimmen zwei gleiche Doppelverhältnisse in drei Elementen (7s) überein, so stimmen sie auch im vierten überein. In Zeichen: (ABCD) = (ABCD'); folglich D' in D. Beweis. Aus der Voraussetzung CA DA_CA D'A DA _ D'A CB: DB ~ CB 1 D'B 'Ol0t DB ~ D’B und daraus, daß D’ in D fällt(4s). 3. Lehrsatz. Der Wert eines Doppelverhältnisses geht in den reziproken über, wenn die beiden ersten oder die beiden letzten Elemente miteinander vertauscht werden. In Zeichen: {ABCD) = 1: (BACD) = 1: (.ABDC). Beweis. CA DA CA-DB CB-DA (ABCD) 1:(BACD). CB• DA 1 ‘ CA-DB CB ' DB 4. Zusatz. Aus {ABCD) = {BACD) folgt {ABCD) = — 1. Weil nämlich {ABCD) = 1: {BACD) ist, so folgt {ABCDY = 1; CA DA folglich Das positive Vorzeichen kann nicht gelten, da sonst C und D zusammenfallen würden.

Nr. 7.

Kapitel I.

Lehre von den Doppelverhältnissen.

5. Lehrsatz. Ein Doppelverhältnis bleibt unverändert, wenn irgend zwei Elemente und gleichzeitig die beiden übrigen ver­ tauscht werden. In Zeichen: (ABCD) = (BADC) = (CDAB) = (D CBA). Beweis.

(ABCD)

CA-DB CB-DA

DB CB DA ' CA = (BAD C) usw.

6. Lehrsatz. Ist einer der vier Punkte des Doppelverhält­ nisses der uneigentliche Punkt Flt so wird aus dem Doppel­ verhältnis ein einfaches. Z. B.

(ABCFJ

CA F,A CB'F[B

CA 1 .... CB

________ ♦ ___ ±_____ ==_________ ♦

CA CB

V* 3) =_________

oder

(AFCD)=, CÄ • DA = CÄ ■ CFi - AC - Fi°-ACu, 1 J CFt ' DFX DA’DF1 AD * FtD AD

1

7. Lehrsatz. Vier Strahlen schneiden in jeder Ge­ rade dasselbe Doppelverhältnis aus — oder — Beim Projiziere« (aus einem eigentlichen Punkt auf eine beliebige Gerade) bleibt das Doppelverhältnis un­ verändert. In Zeichen: (ABXY) = (A1B1X1Y1). Beweis. Ziehen wir durch B (Fig. 9) eine Parallele zum Pro­ jektionsstrahl (5l) 8A, welche SX und SY in U und V schneidet, so ist (ABXY) = BV:BU; denn

XA XB

AS . YA und YB BU

AS BV

6

( «>

folglich durch Division

XA YA XB * YB

BV BU Ziehen wir ebenso durch B± eine Parallele zu SA, so ergibt sich bei entsprechender Bezeichnung (A1B1 Xt Fx) = B1V1: B1Z71. Da aber BV:BU= B17X: B1 Ux (»0 ist, Ng. 9. so ist auch ABXY=(A1B1XlY1). 8. Da vier Strahlen abxy in jeder Gerade dasselbe Doppel­ verhältnis ausschneiden so ist es erlaubt, auch von einem Doppel­ verhältnis (abxy) von vier Strahlen zu sprechen. Wir verstehen dar­ unter das Doppelverhältnis der vier Punkte, in denen eine beliebige Gerade von den vier Strahlen geschnitten wird. — Von diesem Doppel­ verhältnis gelten der zweite, dritte und fünfte Lehrsatz dieser Nummer,

§ 1.

Harmonischer Wurf.

Nr. 7—8.

weil wir das sowohl einen Punkt als einen Strahl bezeichnende Wort Element gebraucht haben, unverändert. 9. Anmerkung. Von dem einfachen Verhältnis dreier Strahlen zu sprechen wäre nur erlaubt in dem besonderen Fall, daß der Schnitt­ punkt der Strahlen ein uneigentlicher Punkt wäre; denn nur dann schneiden die drei Strahlen in jeder Gerade dasselbe einfache Ver­ hältnis aus (5a). 8. Perspektive und projektive Gruppen. 1. Definition. Den Inbegriff 1. Definition. Den Inbegriff von vier Punkten, die in einer Ge­ von vier Geraden, die durch einen rade liegen, wollen wir kurz eine Punkt gehen, wollen wir kurz eine (Punkt-)Gruppe nennen. (Strahlen-)Gruppe nennen. 2. Definition. Eine Punktgruppe und eine Strahlengruppe heißen Perspektiv verwandt oder Perspektiv zugeordnet oder kurz Perspektiv, wenn die Strahlengruppe ein wenn die Punktgruppe ein Schnitt der Strahlengruppe ist. Schein der Punktgruppe ist. Für die Perspektive Verwandtschaft hat man das Zeichen /v, ge­ lesen: Perspektiv. 3. Definition. Zwei Punkt­ 3. Definition. Zwei Strahlen­ gruppen heißen Perspektiv, wenn gruppen heißen Perspektiv, wenn sie sie Schnitte einer und derselben Scheine einer und derselben PunktStrahlengruppe sind. gruppe sind. In Zeichen: In Zeichen: ABCD^A^C^. abcd^a^c^. Die Elemente, die an gleicher Stelle stehen, z. B. A und Av b und bt usw. heißen zugeordnet oder homolog. 4. Mit Hilfe dieser Definition läßt sich der Fundamentalsatz(7,) in einer Form aussprechen, die gleichzeitig für Punktgruppen und Strahlengruppen(7s) gilt: Lehrsatz. Zwei Perspektive Gruppen haben dasselbe Doppel­ verhältnis. In Zeichen: ABCDT\A1BlC1Dl (ABCD)=^(A1B1C1D1)‘ 5. Dieser Satz läßt sich nicht einfach umkehren: Aus (AB CD) = (AtB1C1D1) folgt noch nicht, daß AAlt BBlt CClf DB1 durch einen Punkt gehen. Um zu erkennen, was aus der Gleichheit der Doppelverhältnisse folgt, haben wir einen neuen Begriff einzuführen durch die Definition. , Die Endglieder einer Kette perspektiver Glieder heißen projektiv verwandt oder kurz projektiv.

Nr. 6.

Kapitel I. Lehre von den Doppelverhältnissen.

In Zeichen: Ist AB CD 7\ A1B1C1D1 7\ A^B2 C2D2-----A AB* C„ D„, so heißt AB CD projektiv J3„ C„ D„ oder, unter Einführung eines neuen Zeichens AB CD /\A„B„C„D„. Die Elemente, die an gleicher Stelle stehen, z. B. A und An, B und B„ usw. heißen zugeordnet oder homolog. 6. Die wiederholte Anwendung von Nr. 84 ergibt den Lehrsatz. Zwei projektive Gruppen haben dasselbe Doppelverhältnis. In Zeichen: abcdäa1b1c1d1 (ABCD) = (A1B1C1D1)' 7. Von diesem Satz läßt sich bilden die Umkehrung: Haben zwei Gruppen dasselbe Doppel­ verhältnis, so sind sie projektiv. In Zeichen: (ABCD) = (A1B1C1D1) ABCDÄA^C^ Beweis. Um AB CD und A1B1C1D1 (Fig. 10) als Endglieder einer Kette perspektiver Glieder darzustellen, nehmen wir auf der Ver­ bindungslinie zweier homologen^ Punkte, z. B. auf AAlt zwei beliebige Punkte S und 8t an und proji­ zieren aus ihnen die Punkte AB CD und A1B1C1D,. Die beiden Punkte B und s, in denen sich die homo­ logen Projektionsstrahlen(5i) S(B) und (BJ, S(C) und SJCJ schneiden, verbinden wir durch die Gerade o und nennen die Punkte, in denen o von 88lt S(D), SJDJ geschnitten wird, A, A, A\ Es ist dann (ABTA) = (ABCD) = (A,Bt CtDJ = (ABsA') aus A (oder 0 auf die Vierecksseite AB, daß kB-RW1 ebenfalls ein harmonischer Wurf ist(10a): Lehrsatz. Je zwei Ecken eines Vierecks werden durch ihren Diagonalpunkt und die zugeordnete"^' Diagonallinie har­ monisch getrennt.

§ 2. Lehrsatz des Pascal.

Nr. 11-12.

7. Anmerkung. Die Sätze und Aufgaben über Viereck und Vierseit bilden die Grundlage der Geometrie der Lage. Sie sind daher für die verschiedenen Vierecksfiguren durchzugehen und unter Abänderung der Lage der gegebenen Stücke immer zu wiederholen, bis die Einzel­ heiten der Vierecksfigur zum dauernden Besitz geworden sind. 8. Zusatz 1. Die Seiten und Höhen eines Dreiecks lassen sich auf­ fassen als die sechs Seiten eines Vierecks, welches von den Ecken ABT des Dreiecks und dem Schnittpunkt A der Höhen gebildet wird. Die Fußpunkte PQR der Höhen sind die Diagonalpunkte dieses Vierecks. Weil z. B. die in P sich schneidenden Gegenseiten AA und Bf durch Q und R harmonisch getrennt werden (Ua), so halbieren AA und Bf die beiden von PQ und PR gebildeten Winkel(10is): Lehrsatz. Die Höhen eines Dreiecks halbieren die Winkel des von ihren Fußpunkten gebildeten Dreiecks. 9. Zusatz 2. Aus dem Lehrsatz 11« ergibt sich, weil in einem Trapez der Diagonalpunkt der Grundlinien ein uneigentlicher Punkt ist, der Lehrsatz. Die Grundlinien eines Trapezes werden durch die Verbindungslinie der beiden eigentlichen Diagonalpunkte halbiert.

§ 2. Lehrsatz des Pascal. 12. Sechseck und Sechsseit.

1. Sechseck. Sechs Punkte SSX 1. Sechsseit. Sechs Geraden AB TA einer Ebene können durch ss^ßyd einer Ebene schneiden sich 15 Geraden verbunden werden. in 15 Punkten. Nimmt man die Nimmt man die sechs Punkte zu sechs Geraden zu Seiten eines SechsEcken eines Sechsecks und nennt die seits und nennt die Schnittpunkte Verbindungslinien Seiten, so lautet Ecken, so lautet der vorstehende der vorstehende Satz: Satz: Ein Sechsseit hat fünfzehn Ein Sechseck hat fünfzehn Seiten. Ecken. Legen wir aber den sechs Punk­ Legen wir aber den sechs Ge­ ten eine bestimmte Reihenfolge bei raden eine bestimmte Reihenfolge und neunen nur die Verbindungs­ bei und nennen nur die Schnitt­ linien aufeinanderfolgender Punkte punkte aufeinanderfolgender GeSeiten, so heißt das Sechseck ein raden Ecken, so heißt das Sechsseit einfaches: ein einfaches: Ein einfaches Sechseck hat sechs Ein einfaches Sechsseit hat sechs Seiten. Ecken. Ein einfaches Sechseck ist zugleich ein einfaches Sechsseit. — Die den Punkten beigelegte Reihenfolge deuten wir durch die Reihenfolge der hingeschriebenen Buchstaben an, so daß z. B- -S^ABTA und S^SABTA zwei verschiedene einfache Sechsecke sind. Aus sechs Böger, Projektive und analytische Schulgeometrie.

2

17

Nr. 12—13.

Kapitel I.

Lehre von den Doppelverhältnissen.

Punkten lassen sich also mehrere (60) einfache Sechsecke bilden. — Statt durch Buchstaben werden wir die Ecken auch durch Ziffern bezeichnen, wobei wir ebenfalls die den Punkten beigelegte Reihenfolge durch die Reihenfolge der Ziffern andeuten. — Bezeichnen wir die aufeinanderfolgenden Ecken mit den Ziffern 1 2 3 4 5 6, so heißen die Ecken 1 und 4, 2 und 5, 3 und 6 Gegenecken; die Verbindungslinien je zweier Gegenecken 14, 25, 36 heißen Diagonalen; die Seiten 12 und 45, 23 und 56, 34 und 61 heißen Gegen­ seiten. 2. Anmerkung. Die Gegenseiten bestimmt man am einfachsten nach dem Schema l i-i l 1 2 3 4 5 6. 13. Ccbrfatz des pappus. 1. Wir betrachten jetzt ein einfaches Sechseck, von dem drei nicht aufeinanderfolgende Ecken in einer Gerade s liegen, während ihre Gegenecken auf einer zweiten Gerade liegen. Sind die in s liegenden Ecken SS1A (Fig. 17) und die in s2 liegenden BTA, so müssen wir sie so zu einem Sechseck zusammensetzen, daß die Punkte der einen Gerade die Punkte der andern trennen, z. B. zum Sechseck /SABBAT. — Lehrsatz. Liegen drei nicht aufeinanderfolgende Ecken eines Sechsecks in einer Gerade und ihre Gegenecken in einer zweiten Gerade, so liegen die Schnittpunkte je zweier Gegenseiten in einer dritten Gerade. Beweis. Von unserm einfachen Sechseck(12a) zSA^B AT

sind die Gegenseiten SA und BA, A und AT, jS^B und r S. Es ist zu be­ weisen, daß die drei Schnittpunkte DDXD' dieser Gegenseiten in einer Gerade liegen. Wir bezeichnen den Schnittpunkt der beiden Träger s und durch Q und pro­ jizieren die Gruppe QBTA von aus S auf AB und aus S1 auf As. Wir erhalten dann in leicht verständlicher Bezeichnung (vgl. die Figur) nach Nr. 8z kBCD^SikBCD^QBrA^S.iQBrA^kBJD,. Da die beiden projektiven^«) Gruppen AB CD und D1 den Punkt A entsprechend gemein haben, so liegen sie Perspektiv^»); d. h. BB±; CT; DDX gehen durch einen Punkt oder die Punkte D und D1 und

§ 2. Lehrsatz des Pascal.

Nr. 13—14.

der Schnittpunkt D' von BB1 und CT liegen in einer Gerade. Diese drei Punkte D1DD' sind aber die Schnittpunkte je zweier Gegenseiten unsers Sechsecks. 2. Zusatz. Gehen die Diagonalen(12l) des Pappusschen Sechsecks durch einen Punkt P (Fig. 18), so entstehen drei Vierecke AABS; AAsS^; BSsSj^, die zwei Diagonalpunkte: den Schnittpunkt Q der Träger und den Punkt P, gemeinsam haben, während die Punkte DDXD' die dritten Diagonalpunkte dieser Vierecke sind. Die Diagonal­ linie QD des ersten Vierecks AAB# schneidet die Seite AA in dem von P durch s und sx harmonisch getrennten Punkt(11 1 haben den Punkt A entsprechend gemein; es gehen daher(8a) BB1; Cf; DD1 durch einen Punkt oder: die Punkte D und D1 und der Schnittpunkt D' von BB1 und CT liegen in einer Gerade. Diese drei Punkte DD1D' sind aber die Schnittpunkte je zweier Gegen­ seiten unsers einfachen Kreissechsecks: Lehrsatz des Pascal. Die drei Punkte, in denen sich die Gegenseiten eines Kreissechsecks schneiden, liegen in einer Gerade. 2. Anmerkung. Diese Gerade, in der die drei Schnittpunkte der Gegenseiten liegen, wird kurz die Pascalsche Gerade des einfachen Kreis­ sechsecks genannt.

Nr. 35.

Kapitel I. Lehre von den Doppelverhältnissen.

15. Kmsvtereck. 1. Projiziert man ans dem Kreispunkt 8 jeden andern Kreispunkt, so liefern diese Projektionsstrahlen alle durch 8 gehenden Geraden bis auf eine, bis auf die nämlich, die mit der Tan­ gente des Punktes 8 zusammenfällt. Wir wollen deswegen sagen: der Punkt 8 wird aus 8 durch die Tangente von 8 projiziert. Zu jedem Punkt des Kreises gehört dann ein bestimmter Strahl von 8 und um­ gekehrt gehört zu jedem Strahl von 8 ein bestimmter Kreispunkt. Demnach können wir vier Kreispunkte AB TA nicht bloß aus einem fünften Kreispunkt 8, sondern auch aus einem der vier Punkte selbst, z. B. aus A, projizieren und erhalten dadurch eine ganz bestimmte Strahlengruppe A(ABTA). Da der Satz vom Peripheriewinkel(3e) auch hier gilt, so gilt der bereits in Nr. 141 benutzte Satz allgemein: Vier beliebige Kreispunkte werden aus zwei festen Kreis­ punkten durch zwei projektive Strahlengruppen projiziert. 2. Aus diesem Satz folgt (Fig. 20) A (A B TA) Ä B (A B TA) Ä B (B A A T). Da die erste und die letzte Strahlengruppe den Strahl AB entsprechend gemein haben, so liegen w die Schnittpunkte homologer Strahlen AA- BB —6,; As • BA= Q; AÄ • BT=P in einer Gerade. P und Q sind zwei Diagonalpunkte des Kreisvierecks AABT, C\ ist der Schnittpunkt der Tangenten in A und B; daher der Lehrsatz. Die Tangenten zweier Ecken eines Kreisvierecks schneiden sich in einem Punkt der zugeordneten Diagonallinie. 3. Nach diesem Satz müssen sich die Tangenten . Mit anderen Worten: die Punkte A2 C2 liegen in einer Gerade. Nun sind aber A2B2C2 die Punkte, in denen die Seiten des Kreisdreiecks ABs von den Tangenten der Gegenecke geschnitten werden; daher Lehrsatz. Die drei Punkte, in denen die Seiten eines Kreis­ dreiecks von den Tangenten der Gegenecke geschnitten werden, liegen in einer Gerade. 17. Zusammenfassung* Die Sätze über das Kreisviereck ^ und das Kreisdreieck(16) lassen sich als besondere Fälle des Pascalschen Satzes über das Kreissechseck ^ auffassen: der Pascal bleibt richtig, wenn man zwei Kreispunkte zusammenfallen läßt und zugleich an die Stelle der Verbindungslinie dieser beiden Punkte die Tangente setzt(15l). Auch in diesem Fall erleichtert das Schema(12a) die Übersicht, wenn man die zusammenfallenden Punkte mit derselben Ziffer bezeichnet und diese zweimal hinschreibt. Hat man z. B. das Kreisviereck 12 34, so kann man dies auffassen als das Kreissechseck 1 1 2 3 3 4. Nach diesem Schema schneiden sich die Tangenten in 1 und 3 auf der Verbindungslinie der Punkte 12-34 und 23-41(15ä). — Das Kreis­ dreieck 123 läßt sich auffassen als das Kreissechseck in 2 2 3 3.

Nr. 18.

Kapitel I.

Lehre von den Doppelverhältnissen.

§ 3.

Pol und Polare.

18. polare. Vermittels eines Kreises kann man jedem Punkt P eine Gerade p durch die folgende Konstruktion zuordnen: die Gerade, welche den Punkt P (Fig. 23) mit einem beliebigen Kreispunkt 8 Der« bindet, schneidet den Kreis noch in einem zweiten Punkt Sx; zeichnen wir den von P durch 8 und Sx harmonisch getrennten Punkt U und ferner den Schnittpunkt T der Tangenten s und sx von 8 und Sll so heißt die Verbindungslinie p von Uund P die Polare des Punktes P. Es läßt sich zeigen, daß die Gerade p allein von der Lage des Punktes P, nicht aber von der Wahl des Kreispunktes 8 abhängt: Schneidet die Gerade, welche P mit einem weiteren beliebigen Kreispunkt A verbindet, den Kreis zum zweitenmal in A1( so haben wir den von P durch A und Aj harmonisch getrennten Punkt Ux und den Schnittpunkt Tx der Tan­ genten in A und Ax zu zeichnen und nachzuweisen, daß TJXT1 mit UT zusammenfällt. Dazu zeich­ nen wir von dem Kreisviereck, von dem P ein Diagonalpunkt ist, die beiden andern Diagonalpunkte Q und P. Die Verbindungslinie dieser beiden Diagonalpunkte geht so­ wohl durch U[UX] als auch durch P[PJ