Numerische Methoden: Ein Lehr- und Übungsbuch 9783110218077

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Inhaltsverzeichnis
1 Grundlagen
2 Numerisches Rechnen und Fehler
3 Iterationsverfahren
4 Lineare Gleichungssysteme
5 Approximation von Funktionen
6 Interpolationsprobleme
7 Numerische Differentiation
8 Numerische Integrationsmethoden
9 Numerische Lösung gewöhnlicher Differentialgleichungen
10 Polynome
11 Numerische Simulation von Zufallsgrößen
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De Gruyter Studium Friedrich/Pietschmann · Numerische Methoden

Hermann Friedrich Frank Pietschmann

Numerische Methoden Ein Lehr- und Übungsbuch

De Gruyter

Prof. Dr. Hermann Friedrich Fakultät Mathematik/Naturwissenschaften Hochschule Zittau/Görlitz ⫺ University of Applied Sciences Theodor-Körner-Ring 16 02763 Zittau E-Mail: [email protected] Prof. Dr. Frank Pietschmann Fakultät Mathematik/Naturwissenschaften Hochschule Zittau/Görlitz ⫺ University of Applied Sciences Theodor-Körner-Ring 16 02763 Zittau E-Mail: [email protected] 2010 Mathematics Subject Classification: Primary 65-01. Secondary 65C05, 65D05, 65D07, 65D25, 65D30, 65H04, 65L06, 65T40, 65T50

ISBN 978-3-11-021806-0 e-ISBN 978-3-11-021807-7 Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.d-nb.de abrufbar. 쑔 2010 Walter de Gruyter GmbH & Co. KG, Berlin/New York Satz: Da-TeX Gerd Blumenstein, Leipzig, www.da-tex.de Druck und Bindung: AZ Druck und Datentechnik GmbH, Kempten ⬁ Gedruckt auf säurefreiem Papier Printed in Germany www.degruyter.com

Vorwort

Da die meisten praktischen Probleme im Ingenieurwesen und in der Ökonomie numerisch gelöst werden müssen, gehören die numerischen Methoden zu den mathematischen Grundlagenfächern an Hochschulen, insbesondere an Hochschulen, wo die Studenten besonders engen Bezug zur Praxis in der Ausbildung erhalten. Dabei müssen die mathematischen Grundlagen der numerischen Algorithmen beim Studium vermittelt und natürlich an Hand von geeigneten Beispielen und Aufgaben demonstriert und gefestigt werden. Es ist wichtig, dass der Student nicht nur das Rechenprogramm zu einem numerischen Verfahren kennt und anwenden kann, sondern dass er durch Kenntnis der mathematischen Hintergründe die Fähigkeit zum richtigen Einsatz der Verfahren (Beachtung der Einsatzvoraussetzungen, Kenntnis über Konsequenzen bei Verletzung der Einsatzbedingungen, Zurückgreifen auf ein anderes Verfahren), zum eventuell notwendigen selbständigen Eingriff in das Rechenprogramm und zum Neuprogrammieren eines auf einen bestimmten Rechnertyp zugeschnittenen, dann meistens effektiveren Programms besitzt. Der Anwender eines numerischen Verfahrens muss Kenntnisse über die Stabilität des Algorithmus und über zu erwartende Fehler von Näherungslösungen besitzen. Der Student sollte mittels zahlreicher angemessener Aufgaben zum selbständigen Arbeiten angeregt und befähigt werden. Natürlich gehören auch umfassende Kenntnisse über programmierbare Rechenanlagen und die Programmiertechnik dazu; diese zu vermitteln, ist aber Aufgabe der Informatik. In elf Kapiteln des Buches werden ausgewählte numerische Methoden behandelt, die jedoch nur einen Einblick in das weit ausgebaute Gebiet der numerischen Mathematik geben können. Im ersten Kapitel erfolgt eine Zusammenstellung benötigter Grundlagen aus den Bereichen Matrizen, Determinanten und Normen. Auf die bei numerischen Methoden wichtigen Probleme der Fehlerentstehung, Fehlerfortpflanzung und Konditionszahlen sowie der Fehlerabschätzungen bei numerischen Rechnungen ist im zweiten Kapitel eingegangen. Fehlerabschätzungen werden durchgängig bei allen behandelten Methoden abgeleitet und benutzt. Die Kapitel drei bis neun behandeln klassische Verfahren der numerischen Mathematik. Zunächst wird im dritten Kapitel auf Grundlagen und Methoden bei Iterationsverfahren (Bisektionsmethode, Regula falsi, Newtonsches Iterationsverfahren, Verfahren von Aitkin, Steffensen-Verfahren) eingegangen. Das vierte Kapitel beschäftigt sich mit der Lösung linearer Gleichungssysteme sowohl mit Eliminationsverfahren als auch mit Iterationsverfahren (Gaußscher Algorithmus, Choleski-Verfahren, GivensVerfahren, Jacobi-Verfahren, Gauß-Seidel-Verfahren).

vi

Vorwort

Den für praktische Probleme wichtigen Approximations- und Interpolationsverfahren werden die folgenden beiden Kapitel gewidmet. Schwerpunkte des fünften Kapitels sind diskrete Approximation (Methode der kleinsten Quadrate, Linearisierung), stetige Approximation (Legendresche Polynome, Trigonometrische Funktionen, Komplexe Fourier-Reihen) und lokale Approximation (Taylor-Reihen). Im sechsten Kapitel folgen Polynomiterationen (Interpolationsverfahren von Lagrange, Newtonsches Interpolationsverfahren, Hermite-Interpolation), Splineinterpolationen (Lineare Splines, Quadratische Splines, Kubische Splines, B-Splines) und Interpolationen mit periodischen Funktionen (Interpolation mit komplexen Exponentialfunktionen, Interpolation mit trigonometrischen Funktionen, Schnelle Fourier-Transformation). Numerische Umsetzungen der Differential- und Integralrechnung sind Gegenstand der nächsten beiden Kapitel. Zuerst wird auf die numerische Differentiation eingegangen. Danach sind im achten Kapitel numerische Integrationsmethoden behandelt (Trapezformel, Simpsonsche Formel, Verfahren von Romberg, Adaptive SimpsonQuadratur, Gauß-Integrationsformeln). Im neunten Kapitel sind numerische Lösungsverfahren für Anfangswertaufgaben bei gewöhnlichen Differentialgleichungen erörtert (Verfahren von Picard-Lindelöf, Euler-Cauchy Polygonzugverfahren, RungeKutta-Verfahren, explizite und implizite Mehrschrittverfahren, Prädiktor-KorrektorVerfahren, steifer Differentialgleichungen). Die restlichen beiden Kapitel behandeln numerische Hilfsmittel und Methoden, die in speziellen Problemen oftmals von Bedeutung sind, in Einführungen in die numerische Mathematik aber in der Regel nicht vorkommen. Im zehnten Kapitel wird ausführlich auf reelle und komplexe Polynome eingegangen (Wertberechnung, Abspaltung von Polynomen niedrigerer Ordnung, Berechnung von reellen und konjugiertkomplexen Nullstellen unter Benutzung von ein- und mehrzeiligen einfachen und vollständigen Horner-Schemata). Ein ausführlicher Abschnitt behandelt Aussagen zur Anzahl und Lage von Nullstellen bei reellen und komplexen Polynomen. Das elfte Kapitel enthält selten dargestellte Grundlagen und Methoden der numerischen Simulation von Zufallsgrößen (Zufallsgrößen, Zufallsgeneratoren, Anwendungen von Zufallszahlen zur numerische Berechnung bestimmter Integrale). Allen Kapiteln sind zahlreiche Übungsaufgaben mit Lösungen beigegeben. Wenn zusätzliches Interesse an weiter gehenden numerischen Verfahren besteht oder für numerische Aufgabenstellungen spezielle Verfahren benötigt werden, kann auf die reichlich vorhandene und im Literaturverzeichnis aufgelistete Literatur zurückgegriffen werden. Die Autoren danken allen, die durch Diskussion, kritische Hinweise und fördernde Anregungen zum Entstehen des Buches beigetragen haben. Besonderer Dank gilt Herrn Dr. Robert Plato, Herrn Simon Albroscheit und Frau Friederike Dittberner, die die Veröffentlichung ermöglicht und gefördert haben. Berlin/Zittau, Oktober 2009

H. Friedrich F. Pietschmann

Inhaltsverzeichnis

Vorwort 1 Grundlagen 1.1 Aufgabenstellung . . . . . . . . . 1.2 Matrizen und Determinanten . . . 1.2.1 Matrizen . . . . . . . . . 1.2.2 Determinanten . . . . . . 1.2.3 Quadratische Matrizen . . 1.3 Betrag und Normen . . . . . . . . 1.3.1 Betrag . . . . . . . . . . . 1.3.2 Vektor- und Matrixnormen 1.4 Aufgaben . . . . . . . . . . . . .

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1 1 2 2 9 14 23 23 23 26

2 Numerisches Rechnen und Fehler 2.1 Fehler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Fehlerarten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2 Numerisch stabile und instabile Algorithmen . . . 2.2 Maschinenzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Zahlendarstellungen . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 Rundung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.3 Unterlauf, Überlauf . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Fehlerfortpflanzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Maximalfehler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2 Fehlerquadratsumme . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Konditionszahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1 Konditionszahlen bei Funktionen . . . . . . . . . 2.4.2 Konditionszahlen bei linearen Gleichungssystemen 2.5 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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3 Iterationsverfahren 3.1 Iterationsprobleme . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1 Einführung . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.2 Zwischenwertsatz . . . . . . . . . . . . 3.1.3 Iterationsverfahren . . . . . . . . . . . 3.1.4 Fixpunktsatz . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Anschauliche Deutung des Iterationsverfahrens

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43 43 43 44 44 47 53

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3.3 3.4 3.5 3.6

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55 59 60 61 61 64 68 73 73 75 76 77

Lineare Gleichungssysteme 4.1 Aufgabenstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Eliminationsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1 Gaußscher Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.2 Pivotstrategie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.3 Givens-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.4 Cholesky-Verfahren bei symmetrischer Koeffizientenmatrix 4.2.5 Nachiteration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.6 Berechnung der inversen Matrix . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.7 Abschätzung der Fehlerfortpflanzung . . . . . . . . . . . . 4.3 Iterationsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.1 Gesamtschritt- oder Jacobi-Verfahren . . . . . . . . . . . . 4.3.2 Abbruch beim Gesamtschrittverfahren . . . . . . . . . . . . 4.3.3 Einzelschritt- oder Gauß-Seidel-Verfahren . . . . . . . . . . 4.3.4 Abbruch beim Einzelschrittverfahren . . . . . . . . . . . . 4.3.5 Konvergenz beim Gesamtschrittverfahren . . . . . . . . . . 4.3.6 Konvergenz beim Einzelschrittverfahren . . . . . . . . . . . 4.3.7 Fehlerabschätzung bei Iterationsverfahren . . . . . . . . . . 4.4 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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80 80 81 81 87 89 95 99 101 104 107 107 109 110 110 111 113 114 118

3.7

3.8 4

5

Fehlerabschätzungen . . . . . . . . . . . . Abbruchkriterien bei Iterationsverfahren . . Konvergenzordnung . . . . . . . . . . . . . Spezielle Iterationsverfahren . . . . . . . . 3.6.1 Bisektionsmethode . . . . . . . . . 3.6.2 Regula falsi . . . . . . . . . . . . . 3.6.3 Newtonsches Iterationsverfahren . . Konvergenzverbesserung . . . . . . . . . . 3.7.1 Verkleinern der Lipschitzkonstanten 3.7.2 Verfahren von Aitken . . . . . . . . 3.7.3 Steffensen-Verfahren . . . . . . . . Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Approximation von Funktionen 122 5.1 Problemstellungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 5.2 Diskrete Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 5.2.1 Die Ausgleichsgerade nach der Methode der kleinsten Quadrate122 5.2.2 Approximation durch weitere Funktionen . . . . . . . . . . . 125 5.2.3 Linearisierungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 5.3 Stetige Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 5.3.1 Orthonormalsysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 5.3.2 Legendresche Polynome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

ix

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148 156 162 162 163 169

6 Interpolationsprobleme 6.1 Problemstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Polynominterpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.1 Interpolationsverfahren von Lagrange . . . . . . . . 6.2.2 Der Fehler der Polynominterpolation . . . . . . . . 6.2.3 Newtonsches Interpolationsverfahren . . . . . . . . 6.2.4 Hermite-Interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3 Splineinterpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.1 Lineare Splines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.2 Quadratische Splines . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.3 Kubische Splines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.4 B-Splines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4 Interpolation mit periodischen Funktionen . . . . . . . . . . 6.4.1 Problemstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4.2 Die diskrete Fourier-Transformation . . . . . . . . . 6.4.3 Interpolation mit komplexen Exponentialfunktionen 6.4.4 Interpolation mit trigonometrischen Funktionen . . . 6.4.5 Schnelle Fourier-Transformation . . . . . . . . . . . 6.5 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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173 173 174 175 178 180 192 199 200 201 205 214 247 247 248 261 264 270 284

5.4

5.5

5.3.3 Approximation durch trigonometrische Funktionen 5.3.4 Die komplexe Form der Fourier-Reihe . . . . . . . Lokale Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.1 Problemstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.2 Die Taylor-Entwicklung . . . . . . . . . . . . . . Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7 Numerische Differentiation 7.1 Vorbemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 Numerische Bestimmung von ersten Ableitungen . 7.3 Rundungsfehler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4 Numerische Bestimmung von höheren Ableitungen 7.5 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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8 Numerische Integrationsmethoden 8.1 Aufgabenstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2 Trapezformel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2.1 Herleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2.2 Abbruchbedingung bei der Trapezformel . . . . 8.3 Simpsonsche Formel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3.1 Herleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3.2 Abbruchbedingung bei der Simpsonschen Formel

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301 301 302 302 304 307 307 311

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8.4 8.5

8.6

8.7

8.8 9

Fehlerabschätzungen . . . . . . . . . . . . . . . . . Verfahren von Romberg . . . . . . . . . . . . . . . . 8.5.1 Herleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.5.2 Abbruchbedingung beim Romberg-Verfahren 8.5.3 Fehlerabschätzung beim Romberg-Verfahren Adaptive Simpson-Quadratur . . . . . . . . . . . . . 8.6.1 Herleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.6.2 Fehlerschranke . . . . . . . . . . . . . . . . Gauß-Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.7.1 Vorbemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . 8.7.2 Integration auf dem Intervall Œ1; 1 . . . . . 8.7.3 Gauß-Integration über ein beliebiges Intervall Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Gewöhnliche Differentialgleichungen 9.1 Begriffe und Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.1.1 Differentialgleichungen erster Ordnung . . . . 9.1.2 Technische und ökonomische Beispiele . . . . 9.1.3 Das Verfahren von Picard-Lindelöf . . . . . . 9.2 Taylor-Methoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2.1 Der Euler-Cauchy Polygonzug . . . . . . . . . 9.2.2 Methoden höherer Ordnung . . . . . . . . . . 9.2.3 Fehlerschranken . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3 Runge-Kutta-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.4 Mehrschrittverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.4.1 Explizite Mehrschrittverfahren . . . . . . . . . 9.4.2 Implizite Mehrschrittverfahren . . . . . . . . . 9.4.3 Prädiktor-Korrektor-Verfahren . . . . . . . . . 9.5 Steife Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . 9.6 Weitere Anfangswertaufgaben . . . . . . . . . . . . . 9.6.1 Differentialgleichungssysteme erster Ordnung . 9.6.2 Differentialgleichungen höherer Ordnung . . . 9.7 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10 Polynome 10.1 Reelle Polynome . . . . . . . . . . . . . 10.1.1 Horner-Schema . . . . . . . . . . 10.1.2 Abspaltung eines Linearfaktors . 10.1.3 Vollständiges Horner-Schema . . 10.1.4 Newtonsches Näherungsverfahren 10.2 Allgemeine Horner-Schemata . . . . . . . 10.2.1 m-zeiliges Horner-Schema . . . .

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314 318 318 322 324 325 325 328 334 334 336 340 341

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401 401 401 403 404 407 409 409

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10.2.2 Verallgemeinertes m-zeiliges Horner-Schema . . . . . . . 10.2.3 Newtonsches Näherungsverfahren mit den m-zeiligen Horner-Schemata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2.4 Spezialfälle und Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2.5 Bestimmung konjugiert-komplexer Nullstellen von Polynomfunktionen mit reellen Koeffizienten . . . . . . . 10.3 Komplexe Polynome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.3.1 Komplexes Horner-Schema . . . . . . . . . . . . . . . . 10.3.2 Newtonsches Näherungsverfahren . . . . . . . . . . . . . 10.4 Anzahl und Lage der Nullstellen von Polynomen . . . . . . . . . 10.4.1 Abschätzungen zu Nullstellen bei Polynomen mit reellen Koeffizienten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.4.2 Berechnung der Anzahlen der voneinander verschiedenen Nullstellen von Polynomfunktionen . . . . . . . . . . . . 10.5 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Numerische Simulation von Zufallsgrößen 11.1 Zufallsgrößen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.1 Charakterisierung von Zufallsgrößen . . . . . . 11.1.2 Monte-Carlo-Methode . . . . . . . . . . . . . 11.1.3 Historische Entwicklung . . . . . . . . . . . . 11.1.4 Zufallszahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.5 Genauigkeit der Monte-Carlo-Methode . . . . 11.2 Zufallszahlengeneratoren . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2.1 Erzeugung gleichmäßig verteilter Zufallszahlen 11.2.2 Erzeugung beliebig verteilter Zufallszahlen . . 11.2.3 Erzeugung normalverteilter Zufallszahlen . . . 11.2.4 Statistische Tests . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3 Anwendungen der Monte-Carlo-Methode . . . . . . . 11.3.1 Übersicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3.2 Berechnung bestimmter Integrale . . . . . . . 11.3.3 Bestimmung von  . . . . . . . . . . . . . . . 11.4 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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418 420 420 421 423

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439 439 439 440 441 442 445 447 447 448 451 452 452 452 453 456 458

A Lösungen

459

B Zufallszahlentabelle

505

Literaturverzeichnis

509

Abbildungsverzeichnis

515

Tabellenverzeichnis

519

Index

523

Kapitel 1

Grundlagen

1.1

Aufgabenstellung

Die Mathematik ist in allen Bereichen der modernen Gesellschaft ein wichtiges Hilfsmittel, um bei der Lösung der vielfältigen Probleme mit zu wirken. Insbesondere sind dabei die Technik, die Naturwissenschaften und die Ökonomie zu nennen. Die Mitwirkung mathematischer Methoden bei der Lösung praktischer Aufgaben in diesen Bereichen vollzieht sich in folgenden Schritten: Präzise Formulierung des Problems Die Aufgabenstellung muss klar erkennbar werden. Es ist kenntlich zu machen, welche Effekte hervorzuheben sind, welche Schwerpunkte zu setzen sind.



Erarbeitung eines mathematischen Modells des Problems Aus der technischen, ökonomischen oder sonstigen Aufgabenstellung ist ein für die mathematische Behandlung geeignetes Modell zu entwickeln. Dabei sind Idealisierungen vorzunehmen und Forderungen zu realisieren, um das Ausgangsproblem einer mathematischen Behandlung zugänglich zu machen.



Analyse des entstandenen mathematischen Problems Es ist zu beurteilen, mit welchen mathematischen Methoden das abgeleitete mathematische Modell behandelt werden kann, ob das Modell eine eindeutig bestimmte Lösung besitzt. Gegebenenfalls muss das Modell verändert werden, um günstigere Lösungsalgorithmen benutzen zu können. Es ist abzuschätzen, ob sich eine analytische Lösung finden lässt oder ob numerische Methoden einzusetzen sind. Falls das mathematische Modell eine analytischen Lösung zulässt, ist diese Lösung aufzusuchen.



Numerische Berechnung der Lösung Falls numerische Methoden benutzt werden müssen, sind geeignete Algorithmen und die erforderlichen Rechenhilfsmittel auszuwählen. Es sind die Anforderungen an den numerischen Algorithmus bezüglich Rechenzeit und Rechengenauigkeit zu formulieren. Bei der Ausführung der numerischen Rechnungen sind Abschätzungen der zu erwartenden Rechenfehler vorzunehmen und Bedingungen für die Beendigung des Rechenganges zu kontrollieren.



Auswertung der erzielten Resultate Die durch analytische oder numerische Berechnungen erzielten Lösungen des mathematischen Modells müssen auf das Ausgangsproblem übertragen, ausgewertet und



2

Kapitel 1 Grundlagen

bewertet werden. Es ist zu entscheiden, ob eine ausreichende Lösung des praktischen Problems erzielt worden ist oder ob durch Zusätze an das mathematische Modell bzw. durch ein verbessertes mathematisches Modell eine nochmalige mathematische Behandlung erfolgen soll. Im Folgenden werden ausgewählte numerische Methoden vorgestellt, die aber nur einen Einblick in das weit ausgebaute Gebiet der numerischen Mathematik geben können. Wenn Interesse an weiter gehenden numerischen Verfahren besteht oder für numerische Aufgabenstellungen spezielle numerische Verfahren benötigt werden, kann auf die reichlich vorhandene und im Literaturverzeichnis aufgelistete Literatur zurück gegriffen werden.

1.2

Matrizen und Determinanten

Neben der Verwendung von Variablen x; y; : : :, die in der Regel reelle Zahlen annehmen können, und von Funktionen f .x/; g.y/; : : : dieser Variablen werden in der Numerik häufig auch Vektoren und Matrizen benutzt. Besonders bei der Behandlung von linearen Gleichungssystemen erweist sich die Einführung von Vektoren und Matrizen als nützlich, da dadurch die Lösungsverfahren einfacher und übersichtlicher dargestellt werden können. Einfache Variable x werden in Abgrenzung zu Vektoren und Matrizen als Skalare bezeichnet. Wir gehen im Folgenden überwiegend davon aus, dass in den Skalaren, Vektoren und Matrizen reelle Zahlen auftreten. Erweiterungen sind möglich und in der Literatur dargestellt.

1.2.1 Matrizen Definitionen Definition 1.1. Die Zusammenfassung reeller Zahlen aij .i D 1; 2; : : : ; mI j D 1; 2; : : : ; n/ zu dem rechteckigen Schema 0 1 a11 a12 : : : a1n B a21 a22 : : : a2n C B C ADB : (1.1) :: C :: : : @ :: : : A : am1 am2    amn heißt Matrix vom Typ .m; n/. Die Matrix wird mit dem Symbol A bezeichnet. Die Horizontalreihen der Matrix A heißen Zeilen, die Vertikalreihen Spalten. Zeilen und Spalten werden unter der gemeinsamen Bezeichnung Reihen zusammengefasst. Die aij werden Elemente der Matrix A genannt. Der Index i gibt die Zeilennummer und der Index j die Spaltennummer an. Gilt m D n, heißt A eine quadratische Matrix vom Typ .n; n/ oder eine n-reihige Matrix.

3

Abschnitt 1.2 Matrizen und Determinanten

Beispiel 1.1. Gegeben sind die Matrizen 0

1 4 3 1 B 2 0 1 C C ADB @ 6 3 5 A ; 4 0 2

0 B B B BDB B B @

1 1 2 1 3

1 2 1 3 1 4

1 3 1 4 1 5

1 C C C C: C C A

A ist eine Matrix vom Typ .4; 3/ mit a32 D 3, a12 D 3. B ist eine Matrix vom Typ .3; 3/ mit b13 D 1=3, b32 D 1=4. Definition 1.2. Die Diagonale der Matrix A mit den Elementen a11 ; a22 ; : : : heißt Hauptdiagonale. Beispiel 1.2. Hauptdiagonale von A W 4 0 5. Hauptdiagonale von B W 1 1=3 1=5. Definition 1.3. Die spezielle Matrix vom Typ .1; n/, also die Zusammenfassung von Elementen a11 ; a12 ; : : : ; a1n in der Form a D .a11 a12 : : : a1n / heißt Zeilenvektor. Die spezielle Matrix vom Typ .m; 1/, die Zusammenfassung von Elementen b11 ; b21 ; : : : ; bm1 in der Form 1 0 b11 B b21 C C B bDB : C @ :: A bm1 heißt Spaltenvektor. Unter dem Begriff Vektor wird im Folgenden ein Spaltenvektor verstanden. Beispiel 1.3. a D .2 0  1/ ;

0 1 2 b D @ 3 A: 4

Gleichheit von Matrizen Definition 1.4. Zwei Matrizen A und B sind genau dann gleich, wenn sie den gleichen Typ besitzen und in den entsprechenden Elementen übereinstimmen.

4

Kapitel 1 Grundlagen

Beispiel 1.4. Für die Matrizen  AD

1 2 3 4



 ;

BD

5 6 7 8



 ;

CD

5 6 7 8

1 5 6 7 D D @ 8 9 10 A 11 12 13 0

 ;

gilt beispielsweise A ¤ B, B D C, A ¤ D, C ¤ D.

Addition und Subtraktion von Matrizen Definition 1.5. Sind zwei Matrizen A und B vom gleichen Typ .m; n/ 0

1 a11 a12 : : : a1n B : C :: : : A D @ ::: : :: A ; : am1 am2 : : : amn so gilt

0

1 b11 b12 : : : b1n B : C :: : : B D @ ::: : :: A ; : bm1 bm2 : : : bmn

0

a11 C b11 a12 C b12 B :: :: ACBD@ : : am1 C bm1 am2 C bm2

1 : : : a1n C b1n C :: :: A: : : : : : amn C bmn

(1.2)

Die Subtraktion von Matrizen ist ebenfalls nur für Matrizen gleichen Typs möglich und in Analogie zur Matrizenaddition definiert. Beispiel 1.5. Die Matrizen 0

1 1 2 A D @ 3 4 A; 0 1

1 5 6 BD@7 8A 3 3 0

sind vom gleichen Typ. Als Summe und Differenz erhält man 1 6 8 A C B D @ 10 12 A ; 3 2 0

1 4 4 A  B D @ 4 4 A : 3 4 0

Für die Matrizenaddition gelten das Kommutativgesetz und das Assoziativgesetz ACBDBCA A C .B C C/ D .A C B/ C C :

(1.3)

5

Abschnitt 1.2 Matrizen und Determinanten

Beispiel 1.6. Gegeben seien die Matrizen     1 2 0 1 AD ; BD ; 0 1 2 1 Dann erhält man

 A C .B C C/ D  .A C B/ C C D

Definition 1.6. Die Matrix

1 2 0 1 1 3 2 2 0



 C



 C

0 B :: OD@:

0 ::: :: : : : : 0 0 :::

1 2 2 3 1 1 0 2

 CD 

 D



 D

1 1 0 2 2 4 2 4 2 4 2 4

 :  ;  :

1 0 :: C :A

(1.4)

0

heißt Nullmatrix. Es gilt A  A D O und A C O D A. Beispiel 1.7. Für die folgende Matrix A und die Nullmatrix gleichen Typs O 1 1 0 0 0 0 1 2 A D @ 3 4 A und O D @ 0 0 A 0 0 5 6 gelten

0

1 AAD@3 5 0 1 @ ACOD 3 5

1 0 1 2 4A@3 5 6 1 0 0 2 A @ 4 C 0 0 6

1 0 0 2 4AD@0 0 6 1 0 1 0 A @ 0 D 3 5 0

1 0 0 A D O; 0 1 2 4 A D A: 6

Multiplikation einer Matrix mit einer reellen Zahl Definition 1.7. Ist c eine reelle Zahl und A eine Matrix vom Typ .m; n/ 0 1 a11 a12 : : : a1n B : C :: : : A D @ ::: : :: A ; : am1 am2 : : : amn so gilt

0

1 c  a11 c  a12 : : : c  a1n B C :: :: :: c  A D @ ::: A: : : : c  am1 c  am2 : : : c  amn

(1.5)

6

Kapitel 1 Grundlagen

Beispiel 1.8.



AD

1 2 0 1



 ;

2AD

2 4 0 2



 ;

.2/  A D

2 4 0 2

 :

Für Matrizen A und O vom gleichen Typ und reelle Zahlen c und d gelten 0ADO cODO

(1.6)

.c C d /  A D c  A C d  A : Multiplikation von Matrizen Definition 1.8. Es sind A eine Matrix vom Typ .m; n/ und B eine Matrix vom Typ .q; p/. Die Multiplikation C D A  B ist ausführbar, falls n D q gilt. Die Elemente cik der Produktmatrix 1 0 c11 : : : c1p C B (1.7) C D @ ::: : : : ::: A ; cm1 : : : cmp die vom Typ .m; p/ ist, ergeben sich als Produktsumme der i -ten Zeile von A und der k-ten Spalte von B zu cik D ai1 b1k C ai2 b2k C    C a1n bnk

.i D 1; : : : ; mI k D 1; : : : ; p/ :

Schematisch 1 0 0 a11 : : : a1n c11 : : : c1k : : : c1p : :: B :: :: :: C B B :: : B : : : C C B B B ci1 : : : cik : : : cip C D B C B ai1 : : : ai n B B :: :: C B :: B :: @ : : A @ ::: : : cm1 : : : cmk : : : cmp am1 : : : amn

(1.8)

1 0 1 : : : b : : : b b 11 1p 1k C B C C B C C B C C B :: : : C: : : CB : : : C C B C C @ A A bn1 : : : bnk : : : bnp

Die Produktbildung bei Matrizen ist reihenfolgeabhängig: A  B ¤ B  A: Beispiel 1.9. Mit den Matrizen

0 1 1 2 2 1 0 B2 0 1 2 3 ; A2 D @ 5 2 1 A ; B1 D B A1 D @ 3 2 4 5 6 1 1 2 0 1 1 1 0 0   1 2 2 0 2 C1 D @ 1 3 A ; C2 D B2 D @ 0 3 A ; 1 1 2 0 4 



0

(1.9) 1 0 1C C; 1A 1

7

Abschnitt 1.2 Matrizen und Determinanten

kann man beispielsweise die Produkte  A1  A2 D

9 8 4 27 20 7

0

 ;

1 B3 B1  B2 D B @4 1

1 8 6C C; 8A 5

1 4 C1  C 2 D @ 1 A 4 0

bilden. Die Produkte P2 D A2  A1 , P4 D B2  B1 , P6 D C2  C1 können dagegen nicht gebildet werden. Für die Matrizenmultiplikation gelten das Assoziativgesetz .A  B/  C D A  .B  C/ ;

(1.10)

falls die Produkte der Matrizen bildbar sind, und die Distributivgesetze .A C B/  C D A  C C B  C und A  .B C C/ D A  B C A  C ;

(1.11)

falls die Summen und Produkte der Matrizen gebildet werden können. Beispiel 1.10. Betrachtet werden die Matrizen  AD

1 2 0 1



 ;

BD

0 1 2 1



 ;

CD

1 1 0 2

 :

Für diese Matrizen gilt nach dem Assoziativgesetz bzw. Distributivgesetz  .A  B/  C D  A  .B  C/ D  .A C B/  C D  ACCBCD  A  .B C C/ D  ABCACD

     1 1 4 10 ;  D 0 2 2 4      2 0 2 4 10  D ; 1 2 4 2 4      3 1 1 1 7  D ; 2 0 2 2 6      5 0 2 1 7 C D ; 2 2 4 2 6      2 1 2 5 8  D ; 1 2 3 2 3      3 1 5 5 8 C D : 1 0 2 2 3

4 3 2 1 1 0 1 2 1 0 1 0 4 2

8

Kapitel 1 Grundlagen

Transponierte einer Matrix Definition 1.9. Werden in einer Matrix A vom Typ .m; n/ die Zeilen mit den Spalten vertauscht, ergibt sich die Transponierte AT der Matrix A 0 1 a11 a21 : : : am1 B a12 a22 : : : am2 C B C AT D B : (1.12) :: C : :: : : @ :: : : A : a1n a2n : : : amn Die Transponierte AT ist vom Typ .n; m/. Beispiel 1.11. 0  AD

1 2 3 4 5 6

1 1 4 AT D @ 2 5 A ; 3 6 0

 ;

B B B BDB B B @

1 1 2 1 3

1 2 1 3 1 4

1 3 1 4 1 5

0

1

1 2 1 3 1 4

B1 C B C B C C ; BT D B 1 B C B2 C @1 A 3

1 3 1 4 1 5

1 C C C C: C C A

Es gilt .AT /T D A :

(1.13)

Sind A eine Matrix vom Typ .m; n/ und B eine Matrix vom Typ .n; p/ gilt .A  B/T D BT  AT :

(1.14)

Beispiel 1.12. Zweimalige Transposition führt wieder zur Ausgangsmatrix 1 0     1 4 1 2 3 1 2 3 T T T A @ AD ; A D 2 5 ; .A / D : 4 5 6 4 5 6 3 6 Für die Matrizen A und B und ihre Transponierten 1 0     1 2 1 1 1 0 2 T A @ 0 1 ; BD ; A D AD ; 0 2 2 1 3 2 3

T

B D

erhält man 0

1 .A  B/T D @ 0 2  1 BT  AT D 1

1T   5 1 0 2 2A D und 5 2 4 4      0 1 0 2 1 0 2  D : 2 2 1 3 5 2 4



1 0 1 2



9

Abschnitt 1.2 Matrizen und Determinanten

1.2.2 Determinanten Definitionen Definition 1.10. Eine Determinante n-ter Ordnung ist ein quadratisches Schema aus n Zeilen und n Spalten ˇ ˇ ˇ a11 a12 : : : a1n ˇ ˇ ˇ ˇ a21 a22 : : : a2n ˇ ˇ ˇ ADˇ : (1.15) :: ˇ ; :: : : ˇ :: : : ˇˇ : ˇ ˇ an1 an2 : : : ann ˇ dem ein Wert A zugeordnet ist. Sind die Elemente aik reelle Zahlen, ist A ebenfalls eine reelle Zahl. Beispiel 1.13. Determinanten ˇ ˇ ˇ 2 3 ˇ ˇ ˇ; 2. Ordnung: A D ˇ 5 1ˇ

ˇ ˇ ˇ 3 8 2 ˇ ˇ ˇ 3. Ordnung: B D ˇˇ 6 10 1 ˇˇ : ˇ 9 2 7 ˇ

Ist die Matrix A vom Typ .n; n/ 1 a11 : : : a1n C B A D @ ::: : : : ::: A ; an1 : : : ann 0

kann mit den Elementen der Matrix A eine Determinante A D det A gebildet werden. Beispiel 1.14. 0  AD

2 1 0 3

 ;

ˇ ˇ ˇ2 1ˇ ˇ ˇ; ADˇ 0 3ˇ

B B B BDB B B @

1 1 2 1 3

1 2 1 3 1 4

1 3 1 4 1 5

1 C C C C; C C A

ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ B D ˇˇ ˇ ˇ ˇ ˇ

1 1 2 1 3

1 2 1 3 1 4

1 3 1 4 1 5

ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ: ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ

Berechnung von Determinanten Definition 1.11. Streicht man in der Determinante n-ter Ordnung A die i -te Zeile und die k-te Spalte und multipliziert die entstehende Unterdeterminante .n  1/-ter

10

Kapitel 1 Grundlagen

Ordnung mit dem Faktor .1/iCk , ergibt sich die Adjunkte Aik zu dem Element aik ˇ ˇ ˇ a1;1 : : : a1;k1 a1;kC1 : : : a1;n ˇˇ ˇ ˇ :: :: :: :: ˇ ˇ : : : : ˇˇ ˇ ˇ ai1;1 : : : ai1;k1 ai1;kC1 : : : ai1;n ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ: Aik D .1/iCk ˇˇ (1.16) ˇ ˇ ˇ ˇ aiC1;1 : : : a aiC1;kC1 : : : aiC1;n ˇˇ iC1;k1 ˇ ˇ :: :: :: :: ˇˇ ˇ : : : : ˇ ˇ ˇ an;1 : : : an;k1 an;kC1 : : : an;n ˇ Beispiel 1.15. ˇ ˇ ˇ 2 3 ˇ ˇ ˇ; ADˇ A11 D .1/1C1 j1j D 1 ; 5 1ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ 3 8 2 ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ 1C2 ˇ 6 1 ˇ ˇ ˇ B D ˇ 6 10 1 ˇ ; B12 D .1/ ˇ 9 7 ˇ: ˇ 9 2 7 ˇ Entwicklungssatz von Laplace Satz 1.12. Der Wert einer Determinante n-ter Ordnung ist gleich der Summe über die Produkte aus den Elementen einer beliebigen Reihe (Zeile oder Spalte) und den zugehörigen Adjunkten A D ai1 Ai1 C ai2 Ai2 C    C ai n Ai n

.1  i  n/

D a1k A1k C a2k A2k C    C ank Ank

.1  k  n/ :

Spezielle Fälle: n D 1 W A D ja11 j D a11 ; ˇ ˇ ˇ a11 a12 ˇ ˇ D a11 A11 C a12 A12 D a11 a22  a12 a21 ; ˇ nD2W ADˇ a21 a22 ˇ ˇ ˇ ˇ a11 a12 a13 ˇ ˇ ˇ n D 3 W A D ˇˇ a21 a22 a23 ˇˇ D a11 A11 C a12 A12 C a13 A13 ˇ a31 a32 a33 ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ a22 a23 ˇ ˇ a21 a23 ˇ ˇ a21 a22 ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ D a11 ˇ  a12 ˇ C a13 ˇ a32 a33 ˇ a31 a33 ˇ a31 a32 ˇ D a11 .a22 a33  a32 a23 /  a12 .a21 a33  a31 a23 / C a13 .a21 a32  a31 a22 /

(1.17)

11

Abschnitt 1.2 Matrizen und Determinanten

D .a11 a22 a33 C a12 a23 a31 C a13 a21 a32 /  .a31 a22 a13 C a32 a23 a11 C a33 a21 a12 / : Beispiel 1.16. A D j2j D 2 ; ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ 2 3 ˇ ˇ ˇ ˇ D 2 C 15 D 13 ; B D ˇ 8 2 ˇ D 8  20 D 12 ; A D ˇˇ ˇ ˇ 5 1 10 1 ˇ ˇ ˇ ˇ 3 8 2 ˇ ˇ ˇ A D ˇˇ 6 10 1 ˇˇ D Œ210 C 72 C 24  Œ180 C 6  336 D 36 ; ˇ 9 2 7 ˇ ˇ ˇ ˇ1 1 0ˇ ˇ ˇ B D ˇˇ 1 0 1 ˇˇ D Œ0 C 0 C 0  Œ0 C 1 C 1 D 2 : ˇ0 1 1ˇ Das Berechnen von Determinanten nach dem Entwicklungssatz von Laplace ist für größere n aufwändig und umständlich. Die Rechnung kann aber formalisiert werden. Vorgehen: a) Wähle eine Zeile oder Spalte zur Entwicklung aus (günstig ist eine Zeile oder Spalte, in der viele Elemente gleich 0 sind). b) Vergebe an die Elemente der ausgewählten Zeile/Spalte zusätzliche Vorzeichen nach der Schachbrettregel (oben links mit C beginnend). Diese neuen Vorzeichen belassen das alte Vorzeichen (tritt bei C auf) oder drehen es um (tritt bei  auf). Die Schachbrettregel sorgt dafür, dass die Vorzeichen der Adjunkten richtig festgelegt werden. Die Multiplikation mit den Potenzen von 1 ist bei diesem Vorgehen also nicht mehr nötig. c) Bilde zu jedem Element der Entwicklungszeile/-spalte Unterdeterminanten durch Streichen der zum jeweiligen Element gehörenden Zeile und Spalte der Determinante und multipliziere die Unterdeterminanten mit diesem (nach der Schachbrettregel Vorzeichen behafteten) Element. d) Bilde die Summe dieser Unterdeterminanten. e) Setze das Verfahren für die Unterdeterminanten fort, bis Determinanten 2. oder 3. Ordnung erreicht sind, die einfach berechnet werden können. Beispiel 1.17. Der Wert der Determinante ˇ ˇ1 ˇ ˇ2 det A D ˇˇ ˇ0 ˇ1

0 4 2 7

1 7 3 0

ˇ 0 ˇˇ 11 ˇˇ 0 ˇˇ 0ˇ

12

Kapitel 1 Grundlagen

soll bestimmt werden. Zur Entwicklung wird die 4. Spalte ausgewählt, da in Ihr die meisten Elemente gleich 0 sind. Die Elemente der 4. Spalte werden nun nach der Schachbrettregel mit Vorzeichen belegt: ˇC  C ˇ ˇ 1 0 1 0 ˇ ˇ ˇ ˇ 2 4 7 C 11 ˇ ˇ ˇ ˇ 0 2 3 0 ˇ ˇ ˇ ˇ 1 7 0 C0 ˇ Die Elemente der 4. Spalte müssen nun mit den Unterdeterminanten, die durch Streichen der Zeile und Spalte des jeweiligen Elements gebildet wurden, multipliziert und die Ergebnisse aufsummiert werden. ˇ ˇ ˇ1 0 1 0ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ2 4 7ˇ ˇ1 0 1ˇ ˇ1 0 1ˇ ˇ1 0 1ˇ ˇ 2 4 7 11 ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ D 0 ˇ 0 2 3 ˇ C 11 ˇ 0 2 3 ˇ  0 ˇ 2 4 7 ˇ C 0 ˇ 2 4 7 ˇ det A D ˇˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ0 2 3 0ˇ ˇ1 7 0ˇ ˇ1 7 0ˇ ˇ1 7 0ˇ ˇ0 2 3ˇ ˇ1 7 0 0ˇ ˇ ˇ ˇ1 0 1ˇ ˇ ˇ D 11 ˇˇ 0 2 3 ˇˇ : ˇ1 7 0ˇ Damit ist der erste Schritt abgeschlossen. Die Determinante 4. Ordnung ist in 4 Determinanten 3. Ordnung entwickelt worden. Für die weitere Rechnung braucht man nur die zweite Unterdeterminante, da alle anderen Unterdeterminanten mit 0 multipliziert werden. Die Determinante 3. Ordnung kann jetzt nach der Regel von Sarrus, die im Anschluss an dieses Beispiel behandelt wird, bestimmt oder weiter entwickelt werden. Hier wird ein weiterer Entwicklungsschritt gewählt, wobei die Entwicklung nach der ersten Zeile vorgenommen wird. ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ1 0 1 0ˇ ˇ ˇ1 0 1ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ  ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ 2 4 7 11 ˇ ˇ D 11 ˇ 0 2 3 ˇ D 11 C1 ˇ 2 3 ˇ  0 ˇ 0 3 ˇ C 1 ˇ 0 2 ˇ det A D ˇˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ 7 0 1 0 1 7ˇ ˇ1 7 0ˇ ˇ0 2 3 0ˇ ˇ1 7 0 0ˇ   D 11 C 1.2  0  3  7/  0.0  0  1  3/ C 1.0  7  1  2/ D 11 .21  0  2/ D 253 : Regel von Sarrus Diese Regel gilt nur für Determinanten 3. Ordnung und formalisiert deren Berechnung in einem Rechenschema. Zur Berechnung der Determinante a11 a12 a13 det A D a21 a22 a23 a31 a32 a33

13

Abschnitt 1.2 Matrizen und Determinanten

schreibt man die ersten beiden Spalten noch einmal hinter die Determinante, anschließend werden die Produkte in Hauptdiagonalenrichtung (durch dünne Linien gekennzeichnet) gebildet und addiert und die Produkte in Nebendiagonalenrichtung (dicke Linien) subtrahiert: a11 a21 a31

a12

a13

a11

a12

H H

 H  H

 H  H

 

 

H   H

H   H

H H

a22 a32

a23 a33

a21 a31

a22 D a32

a11 a22 a33 C a12 a23 a31 C a13 a21 a32 a13 a22 a31  a11 a23 a32  a12 a21 a33 .

Beispiel 1.18. Für die Determinante 1 2 4 det A D 2 1 1 3 4 2 ergibt sich nach der Regel von Sarrus 1 2 3

H H  

2 1 4

H  H  H   H

4 1 2

H  H  H   H

1 2 3

  H H

2 1 D 2 C 6 C 32  12  4  8 D 16 . 4

Eigenschaften von Determinanten Eigenschaft I Sind in einer Reihe einer Determinante nur Nullen, ist der Wert der Determinante null. Beispiel 1.19.

ˇ ˇ ˇ 2 3 1ˇ ˇ ˇ A D ˇˇ 0 0 0 ˇˇ D 0 : ˇ 5 4 6 ˇ

Eigenschaft II Bei der Multiplikation einer Determinante mit einem Faktor c sind alle Elemente einer Reihe mit diesem Faktor zu multiplizieren. Umgekehrt kann ein gemeinsamer Faktor einer Reihe als Faktor vor die Determinante gezogen werden. Beispiel 1.20. Multiplikation einer Determinante mit einem Faktor ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ 3 8 2 ˇ ˇ 15 8 2 ˇ ˇ 3 8 2 ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ A D ˇˇ 6 10 1 ˇˇ D 36 ; 5  A D ˇˇ 30 10 1 ˇˇ D ˇˇ 30 50 5 ˇˇ D 180 : ˇ 9 2 7 ˇ ˇ 45 2 7 ˇ ˇ 9 2 7 ˇ

14

Kapitel 1 Grundlagen

Herausziehen eines konstanten Faktors einer Reihe aus der Determinante ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ 3 8 2 ˇ ˇ 3 4 2 ˇ ˇ 1 4 2 ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ 6 10 1 ˇ D 2  ˇ 6 5 1 ˇ D 2  .3/  ˇ 2 5 1 ˇ : ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ 9 2 7 ˇ ˇ 9 1 7 ˇ ˇ 3 1 7 ˇ Eigenschaft III Wird zu einer Reihe einer Determinante ein beliebiges Vielfaches einer anderen Reihe addiert, ändert sich der Wert der Determinante nicht. Beispiel 1.21. ˇ ˇ3 ˇ B D ˇˇ 5 ˇ1 ˇ ˇ3 ˇ D ˇˇ 5 ˇ1

ˇ ˇ 6 12 ˇˇ ˇˇ 3 2 8 ˇˇ D ˇˇ 5 0 16 ˇ ˇ 1 ˇ 12 0 ˇˇ 12 4 ˇˇ 2 14 ˇ

ˇ 12 12 ˇˇ 12 8 ˇˇ 2 16 ˇ

.2. Spalte C 2  1. Spalte/

.3. Spalte  2. Spalte/:

Die Eigenschaften werden benutzt, um Determinanten so umzuformen, dass möglichst viele Elemente zu null werden, ohne dass sich der Wert der Determinante ändert. Eine geeignete Methode zur Berechnung einer Determinante ist die Überführung der Determinante in eine obere oder untere Dreiecksform. Dann ergibt sich der Wert der Determinante als Produkt der Elemente in der Hauptdiagonalen: ˇ ˇ ˇ u11 u12 : : : u1n ˇ ˇ ˇ ˇ 0 u22 : : : u2n ˇ ˇ ˇ ADˇ : (1.18) :: ˇ D u11  u22    unn : :: : : ˇ :: ˇ : : : ˇ ˇ ˇ 0 0 : : : unn ˇ Beispiel 1.22. ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ 3 8 2 ˇ ˇ 3 8 2 ˇ ˇ 3 8 2 ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ A D ˇˇ 6 10 1 ˇˇ D ˇˇ 0 6 3 ˇˇ D ˇˇ 0 6 3 ˇˇ D 36 ; ˇ 9 2 7 ˇ ˇ 0 22 13 ˇ ˇ 0 0 2 ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ1 1 0ˇ ˇ1 1 0ˇ ˇ2 0 0ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ B D ˇˇ 1 0 1 ˇˇ D ˇˇ 1 1 0 ˇˇ D ˇˇ 1 1 0 ˇˇ D 2 : ˇ0 1 1ˇ ˇ0 1 1ˇ ˇ0 1 1ˇ

1.2.3 Quadratische Matrizen Für die numerische Lösung von linearen Gleichungssystemen besonders bedeutungsvoll sind quadratische Matrizen vom Typ .n; n/. Die oben für Matrizen angegebenen

15

Abschnitt 1.2 Matrizen und Determinanten

Definitionen und Folgerungen gelten insbesondere auch für quadratische Matrizen. Im Folgenden werden weitere Operationen und Eigenschaften für quadratische Matrizen erklärt. Eigenschaften quadratischer Matrizen Symmetrische Matrix Definition 1.13. Ist die Matrix A vom Typ .n; n/ gleich ihrer Transponierten AT , gilt AT D A, nennt man A symmetrische Matrix. Beispiel 1.23. 0 1 1 2 3 A D @ 2 4 5 A; 3 5 6 0

B B B BDB B B @

1 1 2 3 AT D @ 2 4 5 A ; 3 5 6 0

1 1 2 1 3

1 2 1 3 1 4

1 3 1 4 1 5

1

0

C C C C; C C A

B B B T B DB B B @

Einheitsmatrix Definition 1.14. Die Matrix vom Typ .n; n/ 0

1 B0 B En D B : @ ::

0 1 :: :

::: ::: :: :

1 0 0C C :: C :A

0 0 ::: 1 heißt n-reihige Einheitsmatrix. Für Matrizen A vom Typ .n; n/ gilt A  En D En  A D A. Beispiel 1.24. Einheitsmatrizen:  2  reihig E2 D

0 1 1 0

1 1 0 0 3  reihig E3 D @ 0 1 0 A : 0 0 1 0

 ;

1 1 2 1 3

1 2 1 3 1 4

1 3 1 4 1 5

1 C C C C: C C A

16

Kapitel 1 Grundlagen

Dreiecksmatrizen Definition 1.15. Eine Matrix vom Typ .n; n/ heißt obere Dreiecksmatrix U, wenn alle Elemente unterhalb der Hauptdiagonalen null sind 0

u11 u12 B 0 u22 B UDB : :: @ :: : 0 0

1 : : : u1n : : : u2n C C :: C : :: : : A : : : unn

(1.19)

Eine Matrix vom Typ .n; n/ heißt untere Dreiecksmatrix L, wenn alle Elemente oberhalb der Hauptdiagonalen null sind 0

l11 B l21 B LDB : @ ::

0 ::: l22 : : : :: : : : :

0 0 :: :

1 C C C: A

(1.20)

ln1 ln2 : : : lnn Beispiel 1.25.

1 1 2 3 2 1 Obere Dreiecksmatrizen U1 D ; U 2 D @ 0 5 6 A. 0 1 0 0 9 1 0   1 0 0 2 0 Untere Dreiecksmatrizen L1 D ; L2 D @ 4 5 0 A. 3 1 7 8 9 



0

Reguläre Matrix Definition 1.16. Eine Matrix A vom Typ .n; n/ heißt reguläre Matrix, wenn die zugehörige Determinante A D det A ungleich null ist. Ist die zugehörige Determinante A D det A gleich null, wird die Matrix A als singulär bezeichnet.

Beispiel 1.26. ˇ ˇ ˇ2 1ˇ ˇ ˇ D 1 ¤ 0 A ist regulär: AD ; A D det A D ˇ 1 1ˇ ˇ ˇ   ˇ 1 1 ˇ 1 1 ˇ ˇ D 0 B ist singulär: BD ; B D det B D ˇ 1 1 1 1 ˇ 

2 1 1 1



17

Abschnitt 1.2 Matrizen und Determinanten

Positiv definite Matrix Definition 1.17. Es ist ˇ ˇ a11 a12 ˇ ˇ a21 a22 ˇ A D det A D ˇ : :: ˇ :: : ˇ ˇ an1 an2 Die Unterdeterminanten

ˇ ˇ a11 a12 ˇ ˇ a21 a22 ˇ Ai D ˇ : :: ˇ :: : ˇ ˇ ai1 ai2

ˇ : : : a1n ˇˇ : : : a2n ˇˇ : ˇ: :: : :: ˇˇ : : : ann ˇ

: : : a1i : : : a2i : : :: : : : : : ai i

ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ

(1.21)

werden als Hauptminoren oder Hauptabschnittsunterdeterminanten i -ter Ordnung bezeichnet.

Definition 1.18. Eine symmetrische Matrix A heißt positiv definit, wenn alle Hauptminoren Ai .i D 1; 2; : : : ; n/ positiv sind. Bei numerischen Verfahren spielen positiv definite Matrizen eine große Rolle. Beispiel 1.27. Die Matrix

0

4 B2 ADB @1 3

2 3 1 0

1 1 3 2

1 3 0C C 2A 4

hat die Hauptminoren

A1 D j4j D 4 > 0 ; ˇ ˇ4 ˇ ˇ2 A4 D ˇˇ ˇ1 ˇ3

2 3 1 0

1 1 3 2

ˇ ˇ ˇ4 2ˇ ˇ ˇ D 8 > 0; A2 D ˇ 2 3ˇ

ˇ 3 ˇˇ 0 ˇˇ D 48 > 0 : 2 ˇˇ 4ˇ

A ist daher positiv definit.

ˇ ˇ ˇ4 2 1ˇ ˇ ˇ A3 D ˇˇ 2 3 1 ˇˇ D 21 > 0 ; ˇ1 1 3ˇ

18

Kapitel 1 Grundlagen

Die Matrix

0 B B B BDB B B @

1 1 2 1 3

1 2 1 3 1 4

1 3 1 4 1 5

1 C C C C C C A

besitzt die Hauptminoren

B1 D j1j D 1 > 0 ;

ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ1 1ˇ ˇ ˇ 2 ˇ D 1 > 0; B2 D ˇˇ ˇ 12 ˇ1 1ˇ ˇ ˇ 2 3

ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ B3 D ˇˇ ˇ ˇ ˇ ˇ

1 1 2 1 3

1 2 1 3 1 4

1 3 1 4 1 5

ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ D 1 > 0: ˇ 2160 ˇ ˇ ˇ ˇ

B ist ebenfalls positiv definit. Inverse Matrix Definition 1.19. Es sei A eine reguläre Matrix vom Typ .n; n/. Ist B eine Matrix vom Typ .n; n/ mit der Eigenschaft A  B D En ; (1.22) so heißt B die zu A inverse Matrix und wird mit B D A1 bezeichnet. Beispiel 1.28. Zwei quadratische Matrizen und ihre Inversen: 1 1 0 0     1 2 0 13 6 2 1 2 1 2 ; B D @ 2 4 1 A ; B1 D @ 6 3 1 A : AD ; A1 D 0 1 0 1 0 1 3 2 1 0 Für reguläre Matrizen vom Typ .n; n/ gilt: .AT /1 D .A1 /T :

(1.23)

Die inverse Matrix A1 einer Matrix A kann mit Hilfe von Determinanten berechnet werden. Definition 1.20. Es seien A eine reguläre Matrix vom Typ .n; n/ 0 1 a11 a12 : : : a1n B : C :: : : A D @ ::: : :: A ; : a1n an2 : : : ann

19

Abschnitt 1.2 Matrizen und Determinanten

A D det A und Aij die Adjunkten zu aij . Dann gilt 1 0 A11 A21 : : : An1 C 1 B B A12 A22 : : : An2 C A1 D B :: : C: :: : : det A @ : : :: A : A1n A2n : : : Ann

(1.24)

Beispiel 1.29. Betrachtet wird die Matrix 1 0 2 3 2 A D @ 1 2 1 A: 1 1 0 Die zugehörige Determinante ergibt sich zu ˇ ˇ ˇ2 3 2ˇ ˇ ˇ A D det A D ˇˇ 1 2 1 ˇˇ D 1 : ˇ 1 1 0 ˇ Die Adjunkten sind A11 D 1 ;

A21 D 2 ;

A31 D 1 ;

A13 D 3 ;

A23 D 5 ;

A33 D 1 :

A12 D 1 ;

A22 D 2 ;

Damit folgt für die Inverse A1 Für die Matrix

1 1 0 0 1 2 1 1 2 1 1 @ 1 2 0 A D @ 1 2 0 A : D .1/ 3 5 1 3 5 1 0 B B B BDB B B @

folgt

ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ B D det B D ˇˇ ˇ ˇ ˇ ˇ

1 1 2 1 3 1 1 2 1 3

1 2 1 3 1 4

1 3 1 4 1 5

1 2 1 3 1 4

1 3 1 4 1 5

1 C C C C C C A ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇD 1 : ˇ 2160 ˇ ˇ ˇ ˇ

A32 D 0 ;

20

Kapitel 1 Grundlagen

Die Adjunkten ergeben sich zu 1 ; 240 1 D ; 12

1 ; 60 1 ; D 72

1 ; 72 1 D ; 12

1 ; 60 1 : D 12

B11 D

B21 D 

B31 D

B12 D 

B32

B13

B23

B33

B22 D

4 ; 45

Man erhält damit die Inverse 0 B1

1 1 1 1  B C 0 1 B 240 60 72 C 9 36 30 B 1 C 4 1 A @ D 2160  B  C B C D 36 192 180 : B 60 45 12 C 30 180 180 @ 1 1 1 A  72 12 12

Orthogonale Matrizen Definition 1.21. Erfüllt eine n-reihige quadratische Matrix A die Bedingung A  AT D AT  A D En ; wird sie als orthogonale Matrix bezeichnet. Orthogonale Matrizen spielen in der analytischen Geometrie bei der Beschreibung von Drehungen eine große Rolle. Sie können gleichfalls bei der Lösung linearer Gleichungssysteme dienlich sein. Beispiel 1.30. Es sei im speziellen Fall n D 3 die Matrix A gegeben durch 1 0 a11 a12 a13   A D @ a21 a22 a23 A D a1 a2 a3 ; a31 a32 a33 wobei ai der i -te Spaltenvektor ist. Dann folgt 1 0 0 a11 a21 a11 a12 a13 A  AT D @ a21 a22 a23 A  @ a12 a22 a31 a32 a33 a13 a23 0 2 2 2 a11 C a12 C a13 D @ a21 a11 C a22 a12 C a23 a13 a31 a11 C a32 a12 C a33 a13

1 a31 a32 A a33

a11 a21 C a12 a22 C a13 a23 2 2 2 a21 C a22 C a23 a31 a21 C a32 a22 C a33 a23 1 a11 a31 C a12 a32 C a13 a33 a21 a31 C a22 a32 C a23 a33 A 2 2 2 a31 C a32 C a33

21

Abschnitt 1.2 Matrizen und Determinanten

1 0 1 a1 T  a1 a1 T  a2 a1 T  a3 1 0 0 D @ a2 T  a1 a2 T  a2 a2 T  a3 A D @ 0 1 0 A : 0 0 1 a3 T  a1 a3 T  a2 a3 T  a3 0

Die Skalarprodukte der Spaltenvektoren ai T  ai D 1, ai T  aj D 0 zeigen, dass die ai orthogonal zueinander sind. Aus der Definition folgen die Eigenschaften: a) Mit A ist auch AT orthogonal. b) Die orthogonale Matrix A besitzt die transponierte Matrix AT als inverse Matrix, A1 D AT . Damit ist die inverse Matrix A1 eine orthogonale Matrix. c) Für die Determinante der orthogonalen Matrix A folgt: det A D ˙1. d) Das Produkt A  B zweier orthogonaler Matrizen A; B ergibt wiederum eine orthogonale Matrix. Bei der Auflösung linearer Gleichungssysteme kann die spezielle orthogonale Givensrotationsmatrix G.ik/ ./ benutzt werden. Die n-reihige quadratische Matrix G.ik/ ./ ist erklärt durch (siehe Gander [31]) 1 0 1  0   0 B :: : : :: :: C B: : : :C C B C B 0  1 C B C B :: C i -te Zeile B: c 0  0 s C B C B 0 1  0 0 C B C B :: : : :: :: :: G.ik/ ./ D B C : : : : : C B C B 0 0    1 0 C B B :: C C k-te Zeile B s 0    0 c : C B C B 1    0 C B B :: :: : : :: C @: : : :A 0   0  1 i -te Spalte

k-te Spalte

Dabei bedeuten gi i D gkk D c D cos , gik D gki D s D sin . G.ik/ ./ unterscheidet sich von der n-reihigen Einheitsmatrix En an den vier Positionen gi i ; gik ; gki ; gkk . Es kann nachgewiesen werden, dass G.ik/ ./ eine orthogonale Matrix ist. Also gilt  .ik/ T G ./  G.ik/ D En bzw. .G.ik/ /1 D .G.ik/ /T : Weiter lässt sich aus den Eigenschaften folgern, dass Produkte von Givensrotationsmatrizen wiederum orthogonale Matrizen ergeben.

22

Kapitel 1 Grundlagen

Bei der Multiplikation der Givensrotationsmatrix G.ik/ ./ mit einem n-reihigen Spaltenvektor x D .x1 ; : : : ; xn /T ergibt sich ein Spaltenvektor, der sich vom Ausgangsvektor in der i -ten und k-ten Reihe unterscheidet. Die neuen Elemente erhält man zu xineu D cxi C sxk und xkneu D sxi C cxk . Insgesamt folgt 1 0 x1 C B :: C B : C 0 1 B B cxi C sxk C i -te Zeile x1 C B B C B C :: G.ik/ ./  @ ::: A D B C : C B C B xn B sxi C cxk C k-te Zeile C B :: A @ : xn Beispiel 1.31. Diese Eigenschaften werden für n D 4 illustriert. Mit 0 1 1 1 0 0 x1 1 0 0 0 1 0 0 0 B B C B C C 0 c s 0C 0 1 0 0C .3;4/ B x2 C ./ D B G.2;3/ ./ D B @ 0 s c 0 A ; G @ 0 0 c s A ; x D @ x3 A 0 0 0 1 0 0 s c x4 ergeben sich die Ergebnisse 0

1 B  .2;3/ T 0 G ./  G.2;3/ ./ D B @0 0 0 1 B0 DB @0 0

0 c s 0

0 s c 0

1 0 0 1 B0 0C CB 0A @0 1 0

0 c s 0

0 0 2 2 c C s cs  sc sc  cs s 2 C c 2 0 0

da c 2 C s 2 D .sin.//2 C .cos.//2 D 1 ist. 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 B0 c s 0C B0 1 0 .2;3/ .3;4/ C B G ./  G ./ D B @ 0 s c 0 A  @ 0 0 c 0 0 s 0 0 0 1  .2;3/    T G ./  G.3;4/ ./  G.2;3/ ./  G.3;4/ ./ 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 B 0 c s 0 C B 0 c sc s 2 C C C B DB @ 0 sc c 2 s A  @ 0 s c 2 sc A 0 s 2 sc c 0 0 s c

0 s c 0 1

1 0 0C C 0A 1 0

1 0 B C 0C B0 D 0A @0 0 1

1 0 1 0 B0 0C CDB s A @0 c 0

0 1 0 0

0 c s 0

0 0 1 0

1 0 0C C; 0A 1

0 sc c2 s

1 0 s2 C C: sc A c

23

Abschnitt 1.3 Betrag und Normen

0

1 0 1 0 0 0 1 2  sc 2 2c  s2c B 0 c2 C s2 C B0 sc s C B DB @ 0 sc 2  sc 2 s 2 c 2 C c 4 C s 2 s 3 c C sc 3  sc A D @ 0 0 cs 2  s 2 c s 3 c C sc 3  sc s 4 C s 2 c 2 C c 2 0

0 1 0 0

0 0 1 0

1 0 0C C 0A 1

mit c 2 .c 2 C s 2 / C s 2 D 1, s 2 .s 2 C c 2 / C c 2 D 1, sc.s 2 C c 2  1/ D 0. 0 1 0 1 0 1 x1 x1 1 0 0 0 B 0 1 0 0 C B x2 C B C x2 C B C B C G.3;4/ ./  x D B @ 0 0 c s A  @ x3 A D @ cx3 C sx4 A : 0 0 s c x4 sx3 C cx4

1.3

Betrag und Normen

1.3.1 Betrag Bei Näherungsverfahren tritt stets das Problem auf, Informationen oder Abschätzungen zur Genauigkeit der erzielten Näherung finden zu müssen. Grafisch entspricht dies der Abstandsmessung von zwei Punkten. Auf der reellen Zahlengeraden wird der Abstand zwischen zwei Punkten a und b durch den Betrag der Differenz von a und b bestimmt. Definition 1.22. Der Betrag einer reellen Zahl a ist erklärt durch 8 a>0 < a 0 für a D 0 : jaj D : a a 0

.a 2 R; a ¤ 0/

jc  aj D jcj  jaj

.c; a 2 R/

ja C bj  jaj C jbj

.a; b 2 R/ :

(1.26)

1.3.2 Vektor- und Matrixnormen Eine solche Abstandsmessung muss bei numerischen Rechnungen ebenfalls für Vektoren und Matrizen 0 1 1 0 a1 a11 : : : a1n B a2 C B C C B a D B : C ; A D @ ::: : : : ::: A .aj ; aik 2 R; i; j; k D 1; 2; : : : ; n/ @ :: A an1 : : : ann an

24

Kapitel 1 Grundlagen

möglich sein. Anstelle des oben erklärten Betrages für reelle Zahlen werden Normen für Vektoren a und Matrizen A definiert, die in den wesentlichen Eigenschaften dem eingeführten Betrag gleichen. Von Normen für Vektoren a, mit kak bezeichnet, und für Matrizen A, mit kAk bezeichnet, wird gefordert kak > 0

.a ¤ o/

kc  ak D jcj  kak

.c 2 R/

(1.27)

ka C bk  kak C kbk kAk > 0

.A ¤ O/

kc  Ak D jcj  kAk

.c 2 R/

(1.28)

kA C Bk  kAk C kBk : Sowohl für die Norm von Vektoren als auch für die Norm von Matrizen lassen sich jeweils verschiedene Definitionen angeben, die die geforderten Eigenschaften befriedigen. Da Vektoren und Matrizen gleichzeitig in numerischen Rechnungen zu messen sind, z. B. bei der Auflösung linearer Gleichungssysteme, müssen die jeweils benutzten Definitionen der Norm für Vektoren und Matrizen zueinander passend (verträglich, kompatibel) sein (siehe Maess [48]). Definition 1.23. Als Norm für einen Vektor a D .a1 ; a2 ; : : : ; an /T .ai 2 R/ werden benutzt v u n uX .I / kak2 D t ai2 Euklidische Norm, iD1

.II / kak1 D max jai j i

.III /

kak1 D

n X

jai j

Maximumnorm,

(1.29)

Betragssummennorm.

iD1

Beispiel 1.32. Die oben eingeführten Normen für den Vektor a D .3  2 1/T sind p kak2 D .9 C 4 C 1/ D 3:7417 ; kak1 D max ¹j3j; j  2j; j1jº D 3 ; kak1 D j3j C j  2j C j1j D 6 : Für den Vektor b D .6  5 2  8/T ergeben sich folgende Normen p kbk2 D .36 C 25 C 4 C 64/ D 11:3578 ; kbk1 D max ¹j6j; j  5j; j2j; j  8jº D 8 ; kbk1 D j6j C j5j C j2j C j8j D 21 :

25

Abschnitt 1.3 Betrag und Normen

Definition 1.24. Als zu den Vektornormen passende Normen für eine Matrix 0 1 a11 : : : a1n B C A D @ ::: : : : ::: A .aij 2 R/ an1 : : : ann können verwendet werden .I /

v uX n u n X 2 t aij kAk2 D

Schursche Norm,

iD1 j D1

.II / kAk1

.III /

n X ˇ ˇ ˇaij ˇ D max i

(1.30)

j D1

kAk1 D max j

Zeilensummennorm,

n X ˇ ˇ ˇaij ˇ

Spaltensummennorm.

iD1

Beispiel 1.33. Für die Matrix

 AD

2 3 4 1



ergeben diese Normen die Werte p kAk2 D .4 C 9 C 16 C 1/ D 5:4772 ; ® ¯ kAk1 D max .j2j C j  3j/; .j4j C j1j/ D 5 ; ® ¯ kAk1 D max .j2j C j4j/; .j  3j C j1j/ D 6 : Die Matrix

1 1 3 5 B D @ 2 4 6 A 0 1 7 0

hat folgende Normen p kBk2 D 1 C 9 C 25 C 4 C 16 C 36 C 0 C 1 C 49 D 11:8743 ; ® kBk1 D max .j1j C j  3j C j5j/; .j  2j C j4j C j  6j/; ¯ .j0j C j  1j C j7j/ D 12 ; ® kBk1 D max .j1j C j  2j C j0j/; .j  3j C j4j C j  1j/; ¯ .j5j C j  6j C j7j/ D 18 : Im Weiteren werden die Vektornormen kak1 bzw. kak1 und die Matrixnormen kAk1 bzw. kAk1 benutzt.

26

Kapitel 1 Grundlagen

1.4

Aufgaben

Aufgabe 1.1. Gegeben sind die Matrizen A vom Typ (4; 4) und B vom Typ (2; 4). Welche der folgenden Matrizenoperationen sind ausführbar? A C B;

AT C BT ;

AT  BT ;

A  B;

AT  B ;

B  A;

A  BT ;

B  AT ;

BT  A ;

BT  AT :

Aufgabe 1.2. Gegeben sind die Matrizen 1 1 0 0 1 4 7 2 1 5 3 A D @ 3 6 1 4 A ; B D @ 3 4 2 A ; 4 0 1 2 5 7 3

1 8 9 3 C D @ 7 2 5 A : 3 6 2 0

Berechnen Sie, falls möglich, die Matrizenausdrücke 2  A;

4  C C AT ;

3  B  5  C;

9  CT  7  B ;

Aufgabe 1.3. Gegeben sind die Matrizen 0 1 1 0 3 2 1 3 4 B 4 3 5 C C A @ ADB @ 1 4 0 A ; B D 2 7 ; 1 5 5 6 2

 CD

A C BT  C :

2 6 1 3 3 0 4 5

 :

Bestimmen Sie, falls möglich, die Matrizenprodukte A  B; CT  B ;

B  A;

A  C;

AT  C  BT ;

C  A;

A  B  C;

A  BT ;

C  BT ;

CT  A  BT :

Aufgabe 1.4. Gegeben sind die Matrizen  AD

AT  B ;

2 1 3 2

 ;

0

1 B2 BDB @3 4

2 3 4 5

3 4 5 6

1 4 5C C: 6A 7

Sind die Matrizen A; B symmetrisch? Geben Sie für die Matrizen A; B jeweils die obere und untere Dreiecksform an. Prüfen Sie, ob A; B reguläre Matrizen sind. Aufgabe 1.5. Gegeben sind die symmetrischen Matrizen 0 1 0 1 6 1 3 1 4 2 1 B 1 4 2 0C C A D @ 2 6 3 A ; B D B @ 3 2 5 1 A: 1 3 5 1 0 1 7 Prüfen Sie, ob A; B positiv definite Matrizen sind.

27

Abschnitt 1.4 Aufgaben

Aufgabe 1.6. Gegeben sind die Matrizen  AD

2 1 3 2

0

 ;

1

4 3 2 B D @ 3 7 1 A ; 2 1 4

0

1 B2 CDB @3 4

2 3 4 5

3 4 5 6

1 4 5C C: 6A 7

Bilden Sie die inversen Matrizen A1 ; B1 ; C1 . Berechnen Sie für die Matrizen die Normen kk1 ; kk1 . Aufgabe 1.7. Bestimmen Sie den Wert der folgenden Determinanten ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ 1 2 0 3 2 ˇ ˇ ˇ ˇ 2 0 3 4 ˇ ˇ ˇ ˇ1 2 3ˇ ˇ ˇ ˇ 1 1 6 0 2 ˇ ˇ ˇ ˇ 0 1 1 2 ˇ ˇ ˇ ˇ4 5 6ˇ ; ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ 1 4 0 3 ˇ ; ˇ 0 1 3 0 0 ˇ : ˇ7 8 9ˇ ˇ ˇ ˇ 5 4 3 0 1 ˇ ˇ 3 1 2 4 ˇ ˇ ˇ ˇ 2 0 1 5 4ˇ Aufgabe 1.8. Für welche Werte des Parameters  ist der Wert der Determinante gleich null? ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ1C 2  ˇ ˇ 1 4 3 ˇ ˇ ˇ1C 2 ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ 0 3 C  ˇˇ ; ˇˇ 0 2 6 ˇˇ : ˇ 3 1ˇ ; ˇ 1 ˇ 2 ˇ 6 3 5 ˇ 1 0 ˇ Aufgabe 1.9. Berechnen Sie den Wert der Determinante ˇ ˇ ˇ ˇ 1 ˇ ˇ ˇ 1 C i i 1 C 2i 1 1 ˇˇ ˇ ˇ 2 C 3i 1  4i ˇ ˇ ˇ cos t sin t 0 ˇ ; ˇ ˇ; ˇ 0 2i 1 ˇ ˇ ˇ 1  4i 2  3i ˇ ˇ ˇ  sin t cos t 0 ˇ ˇ 1  2i 0 2i

ˇ ˇ ˇ ˇ: ˇ ˇ

Aufgabe 1.10. Bestimmen Sie den Wert der Vandermondeschen Determinante V und den Wert der Determinante D ˇ ˇ ˇ a b b ::: b b ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ b a b ::: b b ˇ ˇ 1 x1 x12 : : : x1n1 ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ b b a ::: b b ˇ ˇ 1 x x 2 : : : x n1 ˇ 2 2 ˇ ˇ ˇ ˇ 2 V Dˇ: : : : ˇ ; D D ˇ :: :: :: : : :: :: ˇ für a ¤ b : ˇ: : : : : :ˇ ˇ :: :: :: : : ::: ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ b b b ::: a b ˇ ˇ 1 x x 2 : : : x n1 ˇ n n ˇ ˇ n ˇ b b b ::: b a ˇ Aufgabe 1.11. Zeigen Sie, dass sich der Flächeninhalt A eines Dreiecks mit den drei Eckpunkten Pi .xi ; yi / .i D 1; 2; 3/ berechnet zu ˇ ˇ ˇ 1 x1 y1 ˇ ˇ 1 ˇˇ A D ˇ 1 x2 y2 ˇˇ : 2ˇ 1 x3 y3 ˇ

28

Kapitel 1 Grundlagen

Aufgabe 1.12. Schreiben Sie die Systeme von Funktionen in Matrizenform und lösen Sie diese Systeme nach den Variablen xi auf y1 D x1 C2x2 x3 y2 D x2 C4x3 ; y3 D x1 3x2 C5x3

y1 y2 y3 y4

D 2x1 x2 x3 Cx4 D x1 Cx2 x3 C3x4 : D 2x1 C4x2 Cx3 3x4 D 2x2 3x3 C4x4

Aufgabe 1.13. Beweisen Sie, dass das Produkt zweier orthogonaler Matrizen wieder eine orthogonale Matrix ergibt.

Kapitel 2

Numerisches Rechnen und Fehler

2.1

Fehler

2.1.1 Fehlerarten In allen numerischen Methoden und Rechnungen treten Fehler auf. Wir müssen uns von Anfang an darüber im Klaren sein, dass immer Fehler vorhanden sind, auch wenn in der Behandlung der Methoden nicht ständig explizit davon gesprochen wird. Es muss ebenfalls berücksichtigt werden, dass in gewissen Fällen die Fehlerfortpflanzung von an sich kleinen Fehlern schließlich zu unsinnigen Ergebnissen führen kann. Daher gehört zu den numerischen Verfahren korrekterweise eine Abschätzung der möglichen Fehler, die sich allerdings in der Praxis nicht immer nachvollziehen lässt. Bei numerischen Berechnungen werden zwei Arten von Fehlern unterschieden: 

absolute Fehler und



relative Fehler.

Definition 2.1. Es sei x ¤ 0 ein exakter Zahlenwert und xQ ein Näherungswert für x. Dann ist  D x D xQ  x ı D ıx D

xQ  x x D x x

der absolute Fehler, der relative Fehler.

In numerischen Rechnungen vorkommende Fehler lassen sich in drei Gruppen einteilen: Fehler in den Eingabedaten Messdaten haben nur eine begrenzte Genauigkeit. Durch Rundung der Werte können Fehler in den Eingabedaten entstehen.



Verfahrensfehler Sie verkörpern den Unterschied zwischen dem analytischen und dem numerischen Vorgehen bei der Lösung des Problems und können verschiedene Ursachen haben. Beispielsweise können digitale Rechner nur die Grundrechenarten ausführen, und zwar nur Folgen von endlich vielen Operationen. Daher müssen nichtrationale Funktionen (Wurzeln, Logarithmen, Winkelfunktionen usw.) durch endliche Folgen arithmetischer Operationen ersetzt werden. Die Exponentialfunktion kann zum Beispiel



30

Kapitel 2 Numerisches Rechnen und Fehler

durch

x3 x2 C 2 6 approximiert werden. In numerischen Verfahren wird oft das zu lösende Problem diskretisiert. So entstehen bei Auswertungen von bestimmten Integralen Fehler durch die Diskretisierung des Integranden Z b n X f .x/dx  f .i / xi ex  1 C x C

a

iD1

mit x1 D a, xn D b, xi D xi  xi1 , i 2 Œxi1 ; xi  .i D 1; 2; : : : ; n/.  Rundungsfehler

2.1.2 Numerisch stabile und instabile Algorithmen Das Problem der numerischen Stabilität von Algorithmen soll an einem Beispiel demonstriert werden. Dieses Beispiel kann auch als Aufforderung verstanden werden, numerischen Berechnungen mit einer gewissen Skepsis zu begegnen. Es ist die Zahl  zu bestimmen. Beim Einheitskreis gilt für den Kreisumfang U D 2. Bereits der griechische Mathematiker Archimedes schätzte den Kreisumfang U durch einbeschriebene Polygone ab und konnte somit Näherungen für  finden. 1 0.8 0.6

p2

p3

0.4 0.2 –1

–0.5

0

0.5

1

Bild 2.1. Berechnung von . Zeichnet man z. B. in den Einheitskreis ein gleichseitiges Viereck oder 22 -Eck bzw. ein gleichseitiges Achteck oder 23 -Eck, so ergeben sich die Seitenlängen q2 des gleichseitigen Vierecks bzw. q3 des gleichseitigen Achtecks zu (s. Bild 2.1) q p p q2 D 2 ; q3 D 2  2 : Es sei Un der Umfang eines dem Einheitskreis einbeschriebenen 2n -Ecks, und es bezeichne pn D Un =2. Für das gleichseitige Viereck und das gleichseitige Achteck folgen q p p p2 D 2 2 ; p3 D 4 2  2 :

Abschnitt 2.2 Maschinenzahlen

31

Das Vorgehen kann fortgeführt werden, so dass dem Einheitskreis nacheinander jeweils ein 2n -Eck für n D 4; 5; : : : einbeschrieben ist. Für die halben Umfänge pn dieser 2n -Ecke hat Archimedes die Rekursionsformel v s u ´ μ 2 u p n1 p1 D 2 ; pn D 2n1 t2 1  1  2n2 .n D 2; 3; 4; : : :/ (2.1) 2 gefunden. Es kann bewiesen werden, dass limn!1 pn D  gilt. Theoretisch streben die Zahlen pn mit größer werdendem n gegen die Zahl . Die in der Tabelle 2.1 zusammengestellten numerischen Auswertungen von Formel (2.1) bei Begrenzung auf zehn bzw. zwanzig Dezimalstellen führen zu unsinnigen Ergebnissen. Da der Algorithmus richtig ist, kommt es durch sich verstärkende Fehler bei den numerischen Rechnungen zu den falschen Ergebnissen. Durch Umrechnung kann die Formel (2.1) in eine andere Gestalt überführt werden. Es ergibt sich nacheinander v s u ´ μ 2 u p n1 pn D 2n1  t2 1  1  2n2 2 p p 22n2  2¹1  : : :º¹1 C : : :º p 2 2n2 pn D 2  2¹1  : : :º D p 1 C ::: °  ± 2 pn1 2 22n2  2 1  1  22n2 4  pn1 D D p p 1 C ::: 2¹1 C : : :º 2  pn1 : pn D s ² r ³ 2 pn1 2 1C 1  22n2

(2.2)

Die numerische Auswertung der Formel (2.2) ergibt eine Zahlenfolge p1 ; p2 ; : : :, die auch bei endlicher Stellenzahl stets zu einer Näherung für die Zahl  führt. Der numerisch instabile Algorithmus in der Formel (2.1) ist durch diese Umstellung in den numerisch stabilen Algorithmus in der Formel (2.2) überführt worden. In der dritten Spalte der Tabelle 2.1 ist die Auswertung der Formel (2.2) bei Begrenzung auf zwanzig Dezimalstellen angeführt.

2.2

Maschinenzahlen

Bereits einfache Beispiele zeigen einen besonders zu beachtenden Punkt bei numerischen Rechnungen. Anstelle von beliebigen reellen Zahlen muss mit Maschinenzahlen gerechnet werden.

32

Kapitel 2 Numerisches Rechnen und Fehler

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38

pn nach (2.1) 9 Dezimalen 2.000000000 2.828427125 3.061467459 3.121445153 3.136548491 3.140331164 3.141277258 3.141513781 3.141572714 3.141586274 3.141594618 3.141594618 3.141661371 3.141928372 3.142996147 3.142996147 3.142996147 3.210595196 2.621440000 0 . . .

pn nach (2.1) 20 Dezimalen 2.00000000000000000000 2.82842712474619009760 3.06146745892071817383 3.12144515225805228554 3.13654849054593926390 3.14033115695475291226 3.14127725093277286776 3.14151380114430108032 3.14157294036709141850 3.14158772527715986672 3.14159142151120050140 3.14159234557011644158 3.14159257658487388445 3.14159263433855725314 3.14159264877684442058 3.14159265238692353568 3.14159265329264752603 3.14159265351138841423 3.14159265356607363628 3.14159265378481452445 3.14159265334733274808 3.14159265509725985321 3.14159266209696826395 3.14159260609930054130 3.14159271809463498846 3.14159271809463498847 3.14159092616880472792 3.14158375845526273214 3.14161242921131017638 3.14149774461714521132 3.14149774461714521133 3.14149774461714521133 3.12678338857460069443 3.09714496243378424793 2.97564062940748689726 3.43597383680000000000 0 .

pn nach (2.2) 20 Dezimalen 2.00000000000000000000 2.82842712474619009760 3.06146745892071817382 3.12144515225805228556 3.13654849054593926380 3.14033115695475291230 3.14127725093277286804 3.14151380114430107632 3.14157294036709138414 3.14158772527715970064 3.14159142151119997400 3.14159234557011774234 3.14159257658487266568 3.14159263433856298908 3.14159264877698566948 3.14159265238659134580 3.14159265328899276526 3.14159265351459312016 3.14159265357099320888 3.14159265358509323106 3.14159265358861823660 3.14159265358949948800 3.14159265358971980084 3.14159265358977487906 3.14159265358978864862 3.14159265358979209100 3.14159265358979295160 3.14159265358979316676 3.14159265358979322054 3.14159265358979323398 3.14159265358979323734 3.14159265358979323818 3.14159265358979323838 3.14159265358979323842 3.14159265358979323844 3.14159265358979323844 . .

Tabelle 2.1. Auswertung der Näherungsformel für .

33

Abschnitt 2.2 Maschinenzahlen

In der reellen Analysis erfolgen die Untersuchungen auf der Menge der reellen Zahlen R. Die Rechengesetze auf dieser Menge sind als bekannt vorausgesetzt. Auf Rechenautomaten können reelle Zahlen nur mit endlich vielen Stellen als Maschinenzahlen gespeichert und verarbeitet werden. Sie sind nur eine Teilmenge der Menge der reellen Zahlen. Es zeigt sich, dass die Rechengesetze für die reellen Zahlen nicht in vollem Umfang für Maschinenzahlen gelten, was zu Fehlleistungen der Rechenmaschinen führen kann.

2.2.1 Zahlendarstellungen Man kann Maschinenzahlen mit verschiedenen Festlegungen benutzen. Wir werden zu Übungszwecken unterschiedliche Darstellungen in den Beispielen zulassen. Spricht man von Zahlen mit m Dezimalen, dann bedeutet das, dass diese Zahlen m Ziffern nach dem Dezimalpunkt oder -komma haben: g2 g1 :z1 z2 : : : zm . Beispiel 2.1. Zahlen mit fünf Dezimalen: 3:41063, 0:02031, 678:00201. Diese Form wird als Fixpunktdarstellung bezeichnet. Auf die Fixpunktdarstellung gehen wir nicht ein, da sie bei modernen Rechnern keine große Rolle spielt. Rechner arbeiten meistens mit einer Gleitpunktdarstellung der Art y D .sgn/ a  10e

(2.3)

für Maschinenzahlen. Bei der Gleitpunktdarstellung heißen a die Mantisse und e der Exponent. Die Mantisse besteht aus m Ziffern d1 ; d2 ; : : : ; dm . Es gibt zwei Arten der Normung: I. a D d1 :d2 : : : dm .d1 ¤ 0/, II. a D 0:d1 d2 : : : dm .d1 ¤ 0/. Beide Arten sind äquivalent. Für die di gilt 0  di  9 .i D 1; 2; : : : ; m/. Wir werden beide Darstellungsformen als Demonstration nebeneinander benutzen. In Computern ist häufig die zweite Art realisiert. Der Exponent e ist eine Vorzeichen behaftete ganze Zahl. Für den Exponenten e ist je nach Maschine und Software ein gewisses Intervall K  e  K zugelassen. Der übliche Bereich in Taschenrechnern ist z. B. 99  e  99. Die reelle Zahl 0 wird davon abweichend durch 0 D 0:00 : : : 0  100 dargestellt. Die betragsmäßig kleinste von null verschiedene Maschinenzahl und die betragsmäßig größte Maschinenzahl zweiter Art sind ymin D 0:10 : : : 0  10K

und

ymax D 0:99 : : : 9  10K :

Die Menge der Maschinenzahlen ist endlich. Sie besteht aus der Null und allen mit m Ziffern und den Exponenten e darstellbaren Zahlen.

34

Kapitel 2 Numerisches Rechnen und Fehler

2.2.2 Rundung Da mit den Maschinenzahlen nur ein Teil der Menge der reellen Zahlen erfasst werden kann, muss es eine Vorschrift geben, um die anderen reellen Zahlen auf jeweils eine der Maschinenzahlen abzubilden, und sie dann so weiter zu verarbeiten. Es gibt zwei Vorgehensweisen, um einer beliebigen reellen Zahl x eine Maschinenzahl y zuzuordnen. Das Vorgehen wird für die Darstellungsart II. beschrieben. Bei der Darstellungsart I. ist das Vorgehen äquivalent. Aus der Analysis ist bekannt, dass jede reelle Zahl x durch einen Dezimalbruch darstellbar ist, der in der Form x D .sgn/  .0:d1 d2 : : : dm dmC1 : : :/  10e

(2.4)

geschrieben werden kann. Bei der Zuordnung x zu y geht es darum, über dmC1 und die nachfolgenden Dezimalstellen Aussagen zu treffen. Abbruch Definition 2.2. Es gilt y D chp.x/ D sgn  .0:d1 d2 : : : dm /  10e :

(2.5)

Die überzähligen Dezimalstellen dmC1 ; : : : werden weggelassen. Man spricht von m gültigen Ziffern für die Zahl x. Beispiel 2.2. x D 0:1198 D 0:1198  100 ;

m D 2 W y D 0:11  100 ;

x D 3624 D 0:3624  104 ;

m D 2 W y D 0:36  104 ;

x D 4:899999 D 0:4899999  101 ;

m D 4 W y D 0:4899  101 :

Rundung Definition 2.3. Es gilt 0 y D rd.x/ D .sgn/  .0:d10 d20 : : : dm /  10e :

(2.6)

Ist dmC1  4 bleibt dm erhalten. Bei dmC1  5 wird dm um 1 erhöht. Durch eventuelle Überträge kann diese Erhöhung auch auf dj mit 1  j  .m  1/ wirken. Beispiel 2.3. x D 0:1198 D 0:1198  100 ;

m D 2 W y D 0:12  100 ;

x D 3624 D 0:3624  104 ;

m D 2 W y D 0:36  104 ;

x D 4:899999 D 0:4899999  101 ;

m D 4 W y D 0:4900  101 :

35

Abschnitt 2.3 Fehlerfortpflanzung

2.2.3 Unterlauf, Überlauf Definition 2.4. Ist jxj < ymin , wird y D 0:00 : : : 0  100 gesetzt. Es wird in der Regel kein Fehler angezeigt und mit dem Zwischenergebnis null weiter gerechnet. Ist jxj > ymax , wird der Maschinenzahlbereich überschritten. Die Rechnung wird infolge Überlauf abgebrochen.

2.3

Fehlerfortpflanzung

Eine wesentliches Problem bei Benutzung numerischer Methoden ist die Fortpflanzung von Fehlern, die bereits mit den Eingangsdaten eingebracht werden. Wie wirken sich solche Eingangsfehler auf das Endresultat aus und welche Fehlerschranken müssen bei erhaltenen numerischen Ergebnissen berücksichtigt werden?

2.3.1 Maximalfehler Wir betrachten eine Funktion z D f .x; y/ in dem Definitionsbereich D. Die Funktion sei in D nach beiden Variablen differenzierbar. Die Untersuchungen lassen sich ohne Schwierigkeiten auf Funktionen von mehreren Variablen ausbauen. Bei der numerischen Rechnung sind die Variablen x und y durch Näherungswerte xQ und yQ gegeben. Wenn damit nach der Funktionsvorschrift das Resultat zQ D f .x; Q y/ Q berechnet wird, so ist zQ ebenfalls nur ein Näherungswert für den exakten Wert z. Gesucht werden Abschätzungen für die Abweichungen zQ  z ; z wenn Abweichungen x; y bzw. ıx; ıy in D bekannt sind. Wir benutzen die Taylorreihenentwicklung der Funktion f .x; Q y/ Q in D an der Stelle .x; y/ 2 D und brechen die Reihenentwicklung nach den linearen Gliedern ab: z D zQ  z

bzw.

ız D

f .x; Q y/ Q D f .x C x; y C y/ @f .x; y/ @f .x; y/ .xQ  x/ C .yQ  y/ C    @x @y @f .x; y/ @f .x; y/ .xQ  x/ C .yQ  y/ :  f .x; y/ C @x @y D f .x; y/ C

Unter Berücksichtigung von f .x; Q y/ Q  f .x; y/ D zQ  z D z folgt bei Beschränkung auf lineare Glieder z D

@f .x; y/ @f .x; y/ x C y : @x @y

(2.7)

36

Kapitel 2 Numerisches Rechnen und Fehler

Hieraus lässt sich in D eine Maximalabschätzung für z gewinnen: ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ @f .x; y/ ˇ ˇ @f .x; y/ ˇ ˇ ˇ ˇ jyj : ˇ jxj C ˇ jzj  ˇ @x ˇ @y ˇ

(2.8)

Um eine Maximalabschätzung für die Abweichung des Näherungswertes zQ vom exakten Wert z zu erhalten, müssen Abschätzungen der partiellen Ableitungen der Funktion f .x; y/ sowohl nach x als auch nach y im Definitionsbereich der Funktion f .x; y/ möglich sein. Auf ähnliche Weise kann eine Maximalabschätzung für die relativen Fehler gefunden werden. Es gilt ız D

zQ  z z x @f .x; y/ x y @f .x; y/ y D D C : z f .x; y/ f .x; y/ @x x f .x; y/ @y y

Daraus folgt als Maximalabschätzung im D ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ x ˇ y @f .x; y/ ˇˇ @f .x; y/ ˇˇ ˇ C jızj  ˇˇ jıxj ˇ f .x; y/ @y ˇ jıyj : f .x; y/ @x ˇ Beispiel 2.4. Gegeben sind folgende Eingangsgrößen und Abweichungen: xQ D 3:4 ;

x D 0:04 ;

ıx D 1:163  102 ;

yQ D 68 ;

y D 0:4 ;

ıy D 5:92  103 :

Für die Funktion z D f .x; y/ D x C y

.D W x > 0 ; y > 0/

ergeben sich @f D 1; @x

@f D1 @y

und

jzj  1  0:04 C 1  0:4 D 0:44 :

Als Ergebnis folgt zQ D 71:4

und

z  0:44

oder

z D 71:4 ˙ 0:44 :

Für den relativen Fehler erhält man: ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ x ˇ ˇ ˇ y  1ˇˇ  1:163  102 C ˇˇ  1ˇˇ  5:92  103 jızj  ˇˇ xCy xCy  1:163  102 C 5:92  103 D 1:755  102 : Der relative Fehler ist kleiner als 1:8 %.

(2.9)

37

Abschnitt 2.3 Fehlerfortpflanzung

Beispiel 2.5. Die Schwingungsdauer T des mathematischen Pendels der Länge l beim Wirken der Erdbeschleunigung g berechnet sich zu s l T D 2 .D W l > 0 ; g > 0/ : g Die Größen l und g haben einen relativen Messfehler von höchstens 0:1 %. Welchen prozentualen Fehler für den Wert T hat man höchstens zu erwarten? Es sind ıl D l= l D 0:001 sowie ıg D g=g D 0:001 gegeben und ıT D T =T gesucht. Mit s s l l @T  @T T D T .l; g/ D 2 folgen Dp D  : und 3 g @l @g g gl Damit ergibt sich @T g @T l   ıl C   ıg T .l; g/ @l T .l; g/ @g s 1  1 l g l  ıg D ıl  ıg : D  ıl  q p q  3 g 2 2 gl 2 l 2 l

ıT D

g

g

Man erhält jıT j  1=2 jıljC1=2 jıgj D 0:001. Der relative Fehler von T ist  0:1 %.

2.3.2 Fehlerquadratsumme Da bei den Maximalabschätzungen die Vorzeichen der Abweichungen unberücksichtigt bleiben, überlagern sich alle Einflüsse in einer Richtung, was im allgemeinen zu überhöhten Maximalschranken führt. Gauß hat eine Abschätzung mit der Fehlerquadratsumme eingeführt. Definition 2.5. Als Fehlerquadratsumme wird in D erklärt s 2  2  @f .x; y/ @f .x; y/ zm D  x C  y : @x @y zm heißt mittlerer absoluter Fehler,

zm z

(2.10)

mittlerer relativer Fehler.

Wie der Name ausdrückt, geben die mittleren Fehler keine oberen Schranken an. Sie können in ungünstigen Fällen überschritten werden. Beispiel 2.6. In einem Experiment werden Temperaturen T1 und T2 gemessen, die absoluten Fehler T1 und T2 seien bekannt. In der Auswertung sind Abschätzungen des absoluten Fehlers z und des mittleren absoluten Fehlers zm der Temperaturdifferenz z D T2  T1 gesucht.

38

Kapitel 2 Numerisches Rechnen und Fehler

Mit @z=@T1 D 1, @z=@T2 D 1 ergeben sich als Abschätzungen für den absoluten Fehler jzj  jT1 j C jT2 j und für den mittleren absoluten Fehler q zm D .T1 /2 C .T2 /2 : Im speziellen Fall T1 D T2 D T werden jzj  2T und zm D

p 2 T .

Beispiel 2.7. Die Knickkraft F eines runden Stabes mit dem Durchmesser d , der Länge l und dem Elastizitätsmodul E berechnet sich zu F .d; l; E/ D

 3 d 4E  2 : 64 l

Für die Eingangsgrößen d; l; E sind die relativen Fehler ıd; ıl; ıE bekannt. Zu bestimmen ist der relative mittlere Fehler Fm =F . Es gilt    3 2d 4 E @F D ; @l 64 l3

@F  3 4d 3 E D ; @d 64 l 2

3 d 4 @F D : @E 64 l 2

Damit folgt für den mittleren absoluten Fehler

Fm D

3 64

3 D 64

s s



4d 3 E l2

16

2

 d 2 C



2d 4 E l3

2

 l 2 C



d4 l2

2

 E 2

d 6E 2 d 8E 2 d8 2C4 2C  d  l  E 2 : l4 l6 l4

Als relativer mittlerer Fehler ergibt sich Fm D F D

3 p 64 : : :  3 d 4E 64 l 2

s D



d 16 d

2



l C4 l



2 C

E E

2

p 16ıd 2 C 4ıl 2 C ıE 2 :

Ausführliche Untersuchungen zur Fehlerfortpflanzung und -abschätzung bei numerischen Rechnungen gehen über den Rahmen dieser Einführung hinaus. Insbesondere ist dazu auch eine gemeinsame Behandlung von Eingangs-, Verfahrens- und Rundungsfehlern erforderlich.

39

Abschnitt 2.4 Konditionszahlen

Als Hinweis wird angeführt: Die Grenze der erreichbaren Genauigkeit bei numerischen Rechnungen wird durch die Rundungsfehler gesetzt. Eingangs- und Verfahrensfehler können durch entsprechende Maßnahmen heruntergedrückt werden. Rundungsfehler werden durch den benutzten Algorithmus und die benutzten Hilfsmittel, z. B. Computer mit endlicher Stellenzahl für reelle Zahlen initiiert. Es ist sinnlos, in der numerischen Rechnung weitere Näherungen zu bestimmen, wenn der Verfahrensfehler bis zur Größenordnung der Rundungsfehler gesunken ist. Wenn keine besseren Informationen oder Abschätzungen vorliegen, kann als Faustregel benutzt werden: Die numerischen Rechnungen werden mit einer höheren Stellenzahl ausgeführt als für das Ergebnis gebraucht werden. Üblicherweise wird mit zwei bis drei sogenannten Schutzstellen gerechnet. Falls das Ergebnis z. B. auf vier Stellen genau sein soll, ist mit sechs oder sieben Stellen zu rechnen, um den Einfluss der Rundungsfehler möglichst klein zu halten.

2.4

Konditionszahlen

2.4.1 Konditionszahlen bei Funktionen Bei den Abschätzungen der absoluten bzw. relativen Fehler spielten die partiellen Ableitungen der zu berechnenden Funktion f .x; y/ eine große Rolle. Die Höchstwerte der partiellen Ableitungen in D bestimmen wesentlich die Fehlerfortpflanzung. Um ein Maß für den Einfluss der Fehlerfortpflanzung zur Verfügung zu haben, sind die Konditionszahlen eingeführt worden. Definition 2.6. Die in der Formel @f .x; y/ @f .x; y/ z D x C y @x @y auftretenden partiellen Ableitungen ˇ ˇ ˇ @f .x; y/ ˇ ˇ ˇ ˇ @x ˇ

bzw.

ˇ ˇ ˇ @f .x; y/ ˇ ˇ ˇ ˇ @y ˇ

(2.11)

(2.12)

werden als absolute Konditionszahlen bezeichnet. Die in ız D

@f .x; y/ y @f .x; y/ x  ıx C  ıy f .x; y/ @x f .x; y/ @y

vorkommenden Ausdrücke ˇ ˇ ˇ x @f .x; y/ ˇˇ ˇ ˇ f .x; y/ @x ˇ heißen relative Konditionszahlen.

bzw.

ˇ ˇ ˇ y @f .x; y/ ˇˇ ˇ ˇ f .x; y/ @y ˇ

(2.13)

(2.14)

40

Kapitel 2 Numerisches Rechnen und Fehler

Die Konditionszahlen sind von der betrachteten Stelle .x; y/ abhängig. Sie können im vorgegebenen Definitionsbereich abgeschätzt werden. Mit den Konditionszahlen lässt sich die Verstärkung der Eingangsfehler in einem numerischen Algorithmus charakterisieren. Sie stellen ein Maß für die numerische Stabilität des Algorithmus dar. Beispiel 2.8. Es wird wieder die Funktion z D f .x; y/ D x C y

.D W x > 0; y > 0/

aus Beispiel 2.4 betrachtet. Aus @f =@x D 1 und @f =@y D 1 folgt, dass die absoluten Konditionszahlen 1 sind. Die Eingangsfehler werden durch den Algorithmus nicht verstärkt. Mit ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ x ˇ y @f ˇˇ @f ˇˇ x y ˇ ˇ ˇ f .x; y/ @x ˇ D x C y  1  1 und ˇ f .x; y/ @y ˇ D x C y  1  1 sind die relativen Konditionszahlen höchstens gleich 1. Die relativen Eingangsfehler werden folglich nicht verstärkt. Beispiel 2.9. Für die Funktion

s

T .l; g/ D 2

l g

.D W l > 0; g > 0/

folgen

s ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ @T ˇ ˇ @T ˇ l  ˇ ˇD p : und ˇˇ ˇˇ D  ˇ @l ˇ @g g3 gl Die absoluten Konditionszahlen zeigen, dass für 0 < g < 1 und 0 < l  g < 1 eine Verstärkung der Eingangsfehler zu erwarten ist. Für die relativen Konditionszahlen ergeben sich ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ g @T ˇ ˇ l @T ˇ 1 1 ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ T @l ˇ D 2 und ˇ T @g ˇ D 2 : Der relative Fehler wird durch den Algorithmus nicht verstärkt.

2.4.2 Konditionszahlen bei linearen Gleichungssystemen Zur Fehleranalyse bei der numerischen Lösung von linearen Gleichungssystemen AxDb mit

0

1 a11 : : : a1n B C A D @ ::: : : : ::: A ; an1 : : : ann

(2.15)

0

1 x1 B C x D @ ::: A xn

0

und

1 b1 B C b D @ ::: A

(2.16)

bn

werden die Konditionszahlen für das System A  x D b benötigt. Sie sind mit Hilfe der Koeffizientenmatrix A definiert.

41

Abschnitt 2.4 Konditionszahlen

Definition 2.7. Es seien A eine reguläre Matrix vom Typ .n; n/ und k  kp eine gewählte Matrixnorm. Dann heißen



acondp .A/ D kAkp bzw. condp .A/ D A1 p  kAkp (2.17) die absolute bzw. relative Konditionszahl des Systems A  x D b bezüglich der Norm k  kp . Beispiel 2.10. Für die folgende Matrix A und ihre Inverse 1 1 0 0 2 3 2 1 2 1 A D @ 1 2 1 A ; A1 D @ 1 2 0 A 1 1 0 3 5 1 erhält man bezüglich der Spaltensummennorm kAk1 D max ¹4; 6; 3º D 6 ; acond1 .A/ D 6 ; Für die Zeilensummennorm gilt kAk1 D max ¹7; 4; 2º D 7 ; acond1 .A/ D 7 ;

1

A D max .5; 9; 2/ D 9 ; 1

cond1 .A/ D 9  6 D 54 :

1

A

1

D max ¹4; 3; 9º D 9 ;

cond1 .A/ D 9  7 D 63 :

Beispiel 2.11. Für die Hilbertmatrix B und ihre Inverse 0 1 1 1 B1 C 1 0 2 3C B 9 36 30 B1 1 1C C; BDB B1 D @ 36 192 180 A B C B2 3 4C 30 180 180 @1 1 1A 3 4 5 ergeben sich analog ³ ²

1

11 11 13 47

B D max ¹75; 408; 390º D 408 ; ; ; D ; kBk1 D max 1 6 12 60 6 11 cond1 .B/ D 748 ; acond1 .B/ D ; 6 ² ³

1

11 13 47 11

B D max ¹75; 408; 390º D 408 ; ; ; D ; kBk1 D max 1 6 12 60 6 11 acond1 .B/ D ; cond1 .B/ D 748 : 6 Weitere ausführliche Untersuchungen zur Fehleranalyse und zu Konditionszahlen sind bei Maess [48], Becker-Dreyer-Haacke-Nabert [4], Schwetlick-Kretzschmar [74] zu finden.

42

2.5

Kapitel 2 Numerisches Rechnen und Fehler

Aufgaben

Aufgabe 2.1. Bestimmen Sie die Konditionszahlen acondp ./ und condp ./ der Matrizen 1 0 1 0 2 1 5 3   1 4 7 B 3 6 1 4 C 2 1 C AD ; B D @ 3 4 2 A ; C D B @ 2 5 7 3 A 3 2 4 0 1 1 0 4 0 jeweils mit der k  k1 - und k  k1 -Norm. Aufgabe 2.2. Bestimmen Sie die Konditionszahlen acondp ./ und condp ./ der symmetrischen Matrizen 0 1 1 0 1 2 3 4   4 3 2 B 2 3 4 5 C 2 3 C AD ; B D @ 3 7 1 A ; C D B @ 3 4 5 6 A 3 2 2 1 4 4 5 6 7 jeweils mit der k  k1 - und k  k1 -Norm.

Kapitel 3

Iterationsverfahren

3.1

Iterationsprobleme

3.1.1 Einführung In den Ingenieur- und Naturwissenschaften ist häufig die Aufgabe gestellt, Lösungen von Gleichungen bzw. Vektor- oder Matrizengleichungen aufzusuchen. Im Folgenden sei y D f .x/ eine in einem Intervall Œa; b stetige und differenzierbare Funktion einer unabhängigen Variablen. Für diese Funktion ist eine Nullstelle x  zu bestimmen, es ist also die Lösung x  einer Gleichung f .x/ D 0 zu suchen. Es wird angenommen, dass die Lösung mit Näherungsverfahren ermittelt werden muss. Polynomgleichungen lassen sich zwar bis 4-ten Grades theoretisch noch analytisch geschlossen auflösen, aber bereits bei Polynomgleichungen 3-ten Grades sind die Lösungsformeln kompliziert und unübersichtlich und dadurch für praktische Berechnungen ungeeignet. Für Polynomgleichungen höheren als 4-ten Grades gibt es nach einem Beweis von Abel im Allgemeinen keine geschlossenen Lösungen mehr. Ebenso können für transzendente Gleichungen, wie z. B. tan x  x D 0 oder e x C ln x D 0 Lösungen nur mit Näherungsverfahren gefunden werden. Wenn die Gleichung f .x/ D 0 mit einem Näherungsverfahren zu lösen ist, tritt sofort das Problem der Genauigkeit auf. Es wird vom Näherungsverfahren eine hinreichend gute Genauigkeit oder eine vorgegebene Genauigkeit verlangt. Zuerst ist zu überlegen, was beim numerischen Rechnen eigentlich unter der Bestimmung einer Zahl x  , so dass f .x  / D 0 wird, zu verstehen ist. Die Frage, ob f .x  / D 0 gilt, kann in der Numerik nicht sinnvoll gestellt werden. Zwei Zahlenwerte lassen sich nicht oder nur selten auf Gleichheit prüfen, da reelle Zahlen bei Rechnungen mit endlicher Stellenzahl nur angenähert angegeben werden können. Es können also bereits die Eingangsdaten durch Rundung auf die verfügbare Stellenzahl mit Fehlern behaftet sein. Diese Fehler pflanzen sich in der numerischen Rechnung fort. Außerdem ist es möglich, dass im Verlauf der Rechnung weitere Rundungsfehler entstehen. Diese Fehler bewirken, dass zwei Zahlen bei numerischen Rechnungen ungleich sind, die streng theoretisch gleich sein müssten. Deshalb ist es sinnvoller zu fordern, dass die Bedingung jf .x  /j <  erfüllt ist. Dabei muss  als eine kleine positive Zahl entsprechend der Problemstellung vorgegeben werden.

44

Kapitel 3 Iterationsverfahren

3.1.2 Zwischenwertsatz Betrachtet wird eine Funktion f .x/ auf einem abgeschlossenen Intervall Œa; b, wobei f .a/  f .b/ < 0 gilt. Diese Forderung besagt, dass sich die Funktionswerte von f an den Intervallgrenzen im Vorzeichen unterscheiden. Satz 3.1 (Zwischenwertsatz von Bolzano). Eine stetige Funktion y D f .x/ nimmt im abgeschlossenen Intervall Œa; b jeden Wert zwischen f .a/ und f .b/ mindestens einmal an.

f .x/ b 0

a

Bild 3.1. Zwischenwertsatz von Bolzano. Aus diesem Satz folgt, dass im Fall f .a/  f .b/ < 0 die Funktion f .x/ mindestens eine Nullstelle x  mit a < x  < b besitzt (s. Bild 3.1).

3.1.3 Iterationsverfahren Die näherungsweise Bestimmung der Lösung der Gleichung f .x/ D 0 kann schrittweise erfolgen. 

Es wird eine grobe Näherungslösung x .0/ (auch Startwert genannt) ermittelt.



Diese Näherung wird verbessert, bis eine geforderte Genauigkeit erreicht ist.

Definition 3.2. Ein numerisches Verfahren, bei dem von einem Startwert x .0/ ausgehend eine Folge von Näherungswerten x .1/ ; x .2/ ; : : : erhalten wird, heißt Iterationsverfahren. Zur Auffindung eines geeigneten Startwertes können u. a. Wertetabellen und einfache grafische Methoden benutzt werden. Beispiel 3.1. Gegeben ist y D f .x/ D x 2  cos x D 0 .0  x  /. Gesucht wird ein Startwert x .0/ durch eine Wertetabelle (s. Tabelle 3.1).

45

Abschnitt 3.1 Iterationsprobleme

x 0.0 0.2

y 1:0000 0:9401

x 0.4 0.6

y 0:7611 0:4653

x 0.8 1.0

y 0:0567 0.4597

Tabelle 3.1. Wertetabelle für die Kurve y D f .x/.

Mit x D 1, f .x/ > 0 und x D 0:8, f .x/ < 0 folgt x .0/ D .1 C 0:8/=2 D 0:9. Beispiel 3.2. Gegeben ist y D f .x/ D x 2  cos x D 0 .0  x  /. Gesucht wird ein Näherungswert auf grafischem Wege (s. Bild 3.2). Aus der Grafik kann x .0/ D 0:83 abgelesen werden.

0.4 0.2 –0.2

0.2

0.4

x

0.6

0.8

1

x0

–0.2 –0.4

y

–0.6

f .x/

–0.8 –1

Bild 3.2. Skizze für die Kurve y D f .x/.

Beispiel 3.3. Gegeben sei y D f .x/ D x 3 C 0:1  cos x  1 D 0 .0  x  1/. Zu suchen ist ein Startwert x .0/ durch eine Skizze. Dabei wird die gegebene Funktion f .x/ zerlegt in f .x/ D f1 .x/  f2 .x/ und ein Schnittpunkt x .0/ im vorgegebenen Intervall bestimmt. Die Funktionen f1 und f2 sollten möglichst einfach zu zeichnen sein. Die Graphen der Funktionen f1 .x/ D x 3  1 und f2 .x/ D 0:1  cos x ergeben durch ihren Schnitt bei x .0/ D 0:95 den gesuchten Startwert (s. Bild 3.3). Bei der Untersuchung von Iterationsverfahren spielt der Begriff der Konvergenz eine zentrale Rolle. Definition 3.3. Erzeugt das Iterationsverfahren ab einem gewissen i Näherungswerte x .i/ ; x .iC1/ ; : : :, die die gesuchte Lösung x  der Gleichung mehr und mehr annähern, gilt also jx .i/  x  j > jx .iC1/  x  j .i D i0 ; i0 C 1; : : :/, so heißt das Verfahren konvergent.

46

Kapitel 3 Iterationsverfahren

0.6

f1 .x/

0.4 0.2 –0.2 –0.4

0.2

0.4

0.6

0.8

f2 .x/

1

1.2

x0

–0.6 –0.8 –1

Bild 3.3. Skizze für y D f1 .x/ und f2 .x/.

Allgemein lautet die Aufgabenstellung für das Iterationsverfahren: Wenn für eine im gegebenen Intervall a  x  b stetige und differenzierbare Funktion y D f .x/ eine Anfangsnäherung x .0/ für die Lösung der Gleichung f .x/ D 0 bestimmt ist, sind rekursive Beziehungen der Art x .kC1/ D kC1 .x .0/ ; x .1/ ; : : : ; x .k/ /

.k D 0; 1; 2; : : :/

(3.1)

zu finden und Zahlenfolgen x .0/ ; x .1/ ; x .2/ ; : : : in a  x  b zu konstruieren, die gegen die Lösung x  mit x  2 Œa; b konvergieren. Dabei hat die Wahl der Funktionen  großen Einfluss sowohl auf die Konvergenz selbst als auch auf die Schnelligkeit der Annäherung. Wir nehmen zwei Vereinfachungen vor: (i) Die Funktion  hänge nicht von k ab, also kC1 .: : :/ D .: : :/ in a  x  b. (ii) Die Näherung x .kC1/ benötigt zur Berechnung nur die vorhergehende Näherung x .k/ , also x .kC1/ D .x .k/ / in a  x  b : (3.2) Verfahren mit der Eigenschaft (i) heißen stationär. Bei Vorliegen der Eigenschaft (ii) spricht man von Einschrittverfahren. Im Folgenden beschäftigen wir uns mit stationären Einschrittverfahren. Aus einer vorgegebenen Gleichung f .x/ D 0 kann ein stationäres Einschrittverfahren z. B. durch folgende Umformung gewonnen werden: f .x/ D 0

)

f .x/ D x  .x/ D 0 mit .x/ D f .x/ C x

)

x .kC1/ D .x .k/ / :

Die Umformung der Gleichung f .x/ D 0 in einen Iterationsalgorithmus ist im Allgemeinen auf verschiedene Arten möglich. Da davon die Konvergenz und die Effizienz des Verfahrens abhängen kann, ist man gegebenenfalls zu mehreren Anläufen gezwungen. Eine allgemeine Regel lässt sich nicht angeben.

47

Abschnitt 3.1 Iterationsprobleme

Beispiel 3.4. Gegeben ist die Gleichung f .x/ D x  tan.x/ D 0. Es sind verschiedene Umwandlungen in einen Iterationsalgorithmus möglich: a) .x/ D tan.x/ ) x .kC1/ D tan.x .k/ /. b) x D tan.x/ ) arctan.x/ D x ) .x/ D arctan.x/ ) x .kC1/ D arctan.x .k/ /. Da nicht jede Umformung einen konvergenten Iterationsalgorithmus liefert, möchte man Kriterien kennen, bei deren Beachtung ein praktisch gut funktionierendes Verfahren entsteht. Wir gehen von der Vorschrift x .kC1/ D .x .k/ / in a  x  b aus und stellen zwei Fragen: 1) Unter welchen Bedingungen konvergiert die Zahlenfolge ¹x .k/ º in Œa; b? 2) Falls Konvergenz vorhanden ist, stellt der Grenzwert x  eine Lösung der Gleichung dar?

3.1.4 Fixpunktsatz Es wird angenommen, dass x  eine Lösung von x D .x/ in Œa; b ist, das heißt, dass x  2 Œa; b und x  D .x  / gilt. Aus x .nC1/ D .x .n/ / ergibt sich durch Subtraktion gleicher Ausdrücke auf beiden Seiten der Gleichung x .nC1/  x  D .x .n/ /  .x  / : Da die Funktion .x/ als stetig in Œa; b und differenzierbar in .a; b/ vorausgesetzt ist, kann für das Intervall Œx .n/ ; x    Œa; b der Mittelwertsatz der Differentialrechnung angewendet werden. Danach gibt es im Intervall Œx .n/ ; x   einen Wert x D  .n/ , für den gilt .x .n/ /  .x  / D  0 . .n/ / : x .n/  x  Setzt man dies in die obige Gleichung ein und benutzt die Absolutbeträge, folgt x .nC1/  x  D  0 . .n/ /  .x .n/  x  / jx .nC1/  x  j D j 0 . .n/ /j  jxn  x  j : Entsprechend ergibt sich (immer in Œa; b) jx .n/  x  j D j 0 . .n1/ /j  jx .n1/  x  j :: : jx .2/  x  j D j 0 . .1/ /j  jx .1/  x  j jx .1/  x  j D j 0 . .0/ /j  jx .0/  x  j :

48

Kapitel 3 Iterationsverfahren

Wir nehmen an, dass die Ableitung der Funktion .x/ auf dem Intervall Œa; b beschränkt ist, also j 0 .x/j  M .x 2 Œa; b/ : Damit folgt jx .nC1/  x  j  M  jx .n/  x  j ; jx .n/  x  j  M  jx .n1/  x  j ; :: : jx .1/  x  j  M  jx .0/  x  j : Setzen wir diese Ausdrücke von unten nach oben der Reihe nach ein, ergibt sich jx .nC1/  x  j  M nC1  jx .0/  x  j : Im Fall M < 1 erhält man daraus lim jx .n/  x  j D 0

n!1

oder

lim x .n/ D x  :

n!1

(3.3)

Damit ist eine hinreichende Bedingung für die Konvergenz des Iterationsverfahrens gefunden. Der Fixpunktsatz kann so formuliert werden: Satz 3.4. Liegen x .0/ ; x .1/ ; : : : und die Lösung x  der Gleichung x D .x/ in einem Intervall Œa; b, in dem .x/ stetig und differenzierbar ist, und ist in diesem Intervall stets j 0 .x/j  M < 1, so konvergiert das durch x .nC1/ D .x .n/ / beschriebene Iterationsverfahren gegen die Lösung x  . Dieser Satz kann auf weniger strenge Voraussetzungen verallgemeinert werden. Dazu sollte man sich in der entsprechenden Literatur informieren. Aus dem Fixpunktsatz sind für konkrete Aufgabenstellungen Aussagen in verschiedenen Richtungen zu folgern. So kann geprüft werden, ob ein gegebener Algorithmus x .nC1/ D .x .n/ / konvergent gegen eine Lösung x  2 Œa; b ist. Andererseits lassen sich die Konvergenzbereiche des Iterationsalgorithmus feststellen. Beispiel 3.5. Für die Funktion f .x/ D x  ln x  1 gilt f .1:5/ D 0:3918 und f .2/ D 0:3863. Wegen ihrer Stetigkeit hat sie mindestens eine Nullstelle x  im Intervall Œ1:5; 2. Gesucht ist ein Iterationsalgorithmus zur Berechnung dieser Nullstelle. Erster Versuch zur Bestimmung eines Iterationsalgorithmus: x  ln x  1 D 0

)

xD

1 D .x/ : ln x

49

Abschnitt 3.1 Iterationsprobleme

Der Betrag der Ableitung  0 .x/ D  1 2 ist im Intervall Œ1:5; 2 monoton fallend x.ln x/ und nimmt deshalb sein Minimum in der oberen Intervallgrenze an. Daraus erhält man für alle x 2 Œ1:5; 2: 1 j 0 .x/j  D 1:047 > 1 : 2  .ln 2/2 Der abgeleitete Iterationsalgorithmus x .nC1/ D ln x1.n/ ist im vorgegebenen Intervall unbrauchbar, da die Konvergenz der entstehenden Zahlenfolge x .0/ ; x .1/ ; : : : nicht gesichert werden kann (s. Tabelle 3.2). k 0 1 2

x .k/ 1.60000 2.12764 1.32448

x .k/ 1.90000 1.55799 2.25533

k 3 4 5

x .k/ 3.55849 0.78781 4:19286

x .k/ 1.22957 4.83884 0.63425

k 6 7

x .k/ n. d.

x .k/ 2:19627 n. d.

Tabelle 3.2. Näherungsfolgen mit verschiedenen Startwerten für Beispiel 3.5. Untersuchung eines zweiten Algorithmus: x  ln x  1 D 0

)

ln x D

1 x

1

e ln x D x D e x D .x/ :

)

Der Betrag der Ableitung 1

ex  .x/ D  2 x ist für positive x monoton fallend. Das Maximum liegt also am linken Rand des betrachteten Intervalls Œ1:5; 2. Damit wird 0

1

e 1:5 j .x/j  D 0:8657 < 1 : 1:52 0

Der Iterationsalgorithmus x .nC1/ D exp



1



x .n/

ergibt für jeden Anfangswert x .0/ 2 Œ1:5; 2 eine Zahlenfolge x .0/ ; x .1/ ; : : :, die gegen die Nullstelle x ? von f .x/ D 0 konvergiert. Einige Beispiele für Iterationsfolgen bei Rechnung mit 5 Dezimalstellen sind in der nachfolgenden Tabelle 3.3 angeführt. Dabei zeigt sich, dass das tatsächliche Einzugsgebiet für den Iterationsalgorithmus in diesem Beispiel weit über das vorgegebene Intervall hinausgeht. Die Eigenschaft j 0 .x/j  1 ist für alle x > 1:42153 erfüllt. Die Startwerte der Beispielrechnungen in den beiden hinteren Spalten der Tabelle genügen dieser Bedingung zwar nicht, die Iterationsfolge springt aber in beiden Fällen in den Konvergenzbereich des Verfahrens (s. Tabelle 3.3).

50

Kapitel 3 Iterationsverfahren

k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

x .k/ 1.80000 1.74291 1.77492 1.75665 1.76697 1.76110 1.76443 1.76254 1.76361 1.76300 1.76335 1.76315

x .k/ 1.00000 2.71828 1.44467 1.99811 1.64950 1.83353 1.72529 1.78535 1.75087 1.77029 1.75924 1.76549

x .k/ 0.10000 22026.0 1.00005 2.71816 1.44469 1.99808 1.64951 1.83352 1.72529 1.78534 1.75088 1.77029

x .k/ 1.76326 1.76320 1.76324 1.76322 1.76323 1.76322 1.76322

k 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23

x .k/ 1.76194 1.76395 1.76281 1.76346 1.76309 1.76330 1.76318 1.76325 1.76321 1.76323 1.76322 1.76322

x .k/ 1.75924 1.76549 1.76194 1.76395 1.76281 1.76346 1.76309 1.76330 1.76318 1.76325 1.76321 1.76323

Tabelle 3.3. Verschiedene Startwerte für Beispiel 3.5.

Beispiel 3.6. Es wird ein Algorithmus zur Bestimmung der Nullstelle der Funktion f .x/ D x 

x2

1 C2

gesucht. Als Iterationsalgorithmus bietet sich an x

1 D0 x2 C 2

)

xD

1 D .x/ : x2 C 2

Für die Ableitung  0 .x/ D 

2x .x 2 C 2/2

erhält man die Abschätzungen 2jxj 2 2 1  2  2 D ; 2 2 C 2/ .x C 2/ 2 2 2jxj 2 2 1 jxj > 1 W j 0 .x/j D 2 D  2  : 2 2 2 x 2 .x C 2/2 2 p p Cp

jxj  1 W j 0 .x/j D

.x 2

jxj

jxj

jxj

Insgesamt gilt daher j 0 .x/j  0:5 < 1. Die Bedingung j 0 .x/j  M < 1 ist für alle x erfüllt. Das Iterationsverfahren .nC1/ x D .x .n/ / konvergiert auf der gesamten x-Achse. Jede reelle Zahl kann als Ausgangswert x .0/ einer Iterationsfolge x .0/ ; x .1/ ; : : : gewählt werden, die gegen die einzige Nullstelle x ? von f .x/ strebt.

51

Abschnitt 3.1 Iterationsprobleme

Beispiel 3.7. Gesucht sind die Nullstellen der Funktion f .x/ D x 2  2x  8. Bestimmung eines ersten Iterationsalgorithmus : x 2  2x  8 D 0

)

x.x  2/ D 8

)

xD

8 D .x/ : x2

Feststellen von Konvergenzgebieten für den Algorithmus: Die erste Ableitung 8  0 .x/ D  .x  2/2 erfüllt die Konvergenzbedingung j 0 .x/j < 1 für 1 < x < 0:828 und 4:828 < x < 1. Mit einem Anfangswert x .0/ aus dem Intervall .1; 1/nŒ0:828; 4:828 ergibt der Iterationsalgorithmus x .nC1/ D

8 2

x .n/

eine Folge von Zahlen x .0/ ; x .1/ ; x .2/ ; : : :, die gegen die Nullstelle x ? von f .x/ D 0 in diesem Intervall konvergiert. Folgen mit unterschiedlichen Anfangswerten sind etwa (bei Rechnung mit 5 Dezimalstellen) in Tabelle 3.4 angegeben. Das Gebiet, aus dem ein geeigneter Anfangswert x .0/ für eine konvergente Iterationsfolge gegen x ? D 2 gewählt werden kann, ist in der Regel größer als das durch die Abschätzung garantierte Intervall. Alle konvergenten Folgen aus dem vorbestimmten Intervall streben mit diesem Iterationsalgorithmus gegen die Nullstelle x ? , die durch den Fixpunktsatz vorausbestimmt ist. Über weitere Nullstellen lässt sich mit diesem Algorithmus und seinen Abschätzungen allgemein keine Aussage angeben. Wird als Startwert x .0/ die im Konvergenzbereich liegende Nullstelle x  gewählt, kommt natürlich keine Iteration zustande. Beispiel 3.8. Zweite Ableitung eines Iterationsalgorithmus  für die Funktion f .x/ aus Beispiel 3.7 durch p x 2  2x  8 D 0 ) x 2 D 2x C 8 ) x D 2x C 8 D .x/ : Es gilt  0 .x/ D p

1 2x C 8

min

x2Œ0:828;4:828

p 2x C 8 D 2:519

)

j 0 .x/j  0:397 < 1 :

Damit folgt als Konvergenzgebiet p

1 2x C 8

3:5 :

52

Kapitel 3 Iterationsverfahren

k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

x .k/ 1:00000 2:66667 1:71429 2:15385 1:92593 2:03774 1:98131 2:00939 1:99532 2:00234 1:99883 2:00059 1:99971 2:00015 1:99993 2:00004 1:99998 2:00001 2:00000 2:00000 2:00000

x .k/ 5.00000 2.66667 12.00000 0.80000 6:66667 0:92308 2:73684 1:68889 2:16867 1:91908 2:04130 1:97956 2:01027 1:99488 2:00256 1:99872 2:00064 1:99968 2:00016 1:99992 2:00004

x .k/ 1.00000 8:00000 0:80000 2:85714 1:64706 2:19355 1:90769 2:04724 1:97665 2:01174 1:99415 2:00293 1:99854 2:00073 1:99963 2:00018 1:99991 2:00005 1:99998 2:00001 1:99999

x .k/ 3.50000 5.33333 2.40000 20.00000 0.44444 5:14286 1:12000 2:56410 1:75281 2:13174 1:93623 2:03240 1:98393 2:00807 1:99597 2:00201 1:99899 2:00050 1:99974 2:00013 1:99994

Tabelle 3.4. Verschiedene Startwerte für Beispiel 3.7.

.0/ Mit einem Anfangswert x .0/ aus p dem Intervall 3:5 < x < 1 konvergiert der Iterationsalgorithmus x .nC1/ D 2x .n/ C 8 .n D 1; 2; : : :/ gegen die Nullstelle x ? von f .x/ D 0 in dem bestimmten Intervall. Folgen mit unterschiedlichen Anfangswerten x .0/ sind etwa (bei Rechnung mit 5 Dezimalstellen) in Tabelle 3.5 zu sehen.

Falls die Kontraktivitätsbedingung j.x/0 j  M < 1 immer erfüllt ist, kann nach folgendem Vorgehen ein Intervall gefunden werden, in dem die Nullstelle x ? liegt: Es wird ein beliebiger Wert a gewählt und b D .a/ bestimmt. Weiter wird eine Zahl 0 < q < M < 1 gewählt und damit r D jbaj 1q berechnet. Dann liegt die Nullstelle x ? in dem Intervall Œa  r; a C r. Dazu ist nachzuweisen, dass aus a  r < x < a C r stets a  r < .x/ < a C r folgt. Dies ist gleich bedeutend damit, dass aus jx  aj < r immer j.x/  aj < r folgen muss. Wenn die Kontraktivitätsbedingung erfüllt ist, gilt für beliebige x1 ; x2 j.x1 /  .x2 /j  M jx1  x2 j :

53

Abschnitt 3.2 Anschauliche Deutung des Iterationsverfahrens

k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

x .k/ 0.00000 2.82843 3.69552 3.92314 3.98074 3.99518 3.99880 3.99970 3.99992 3.99998 4.00000

x .k/ 3.00000 3.74166 3.93488 3.98369 3.99592 3.99899 3.99974 3.99994 3.99998 4.00000 4.00000

x .k/ 6.00000 4.47214 4.11634 4.02898 4.00724 4.00181 4.00045 4.00011 4.00001 4.00000 4.00000

x .k/ 2:00000 2.00000 3.46410 3.86370 3.96578 3.99144 3.99786 3.99946 3.99987 3.99997 3.99999

Tabelle 3.5. Verschiedene Startwerte für Beispiel 3.8.

Für jedes x aus dem Intervall jx  aj < r ergibt sich aus dem Fixpunktsatz j.x/  bj D j.x/  .a/j  M jx  aj  M  r ; und weiter j.x/  aj D j.x/  b C b  aj  j.x/  bj C jb  aj  M  r C .1  q/ r D .1 C M  q/ r < r ; wie gefordert. Beispiel 3.9. Im Beispiel 3.6 können damit abhängig von der Wahl der Werte a und q Intervalle konstruiert werden, die die Nullstelle x ? von f .x/ enthalten. a D 0; b D .a/ D 0:50 W q D 0:60

)

x  2 Œ1:25; 1:25 ;

q D 0:51

)

x  2 Œ1:02; 1:02 ;

a D 2; b D .a/ D 0:1667 W q D 0:60

)

x  2 Œ2:58; 6:58 ;

q D 0:51

)

x  2 Œ1:74; 5:74 :

Einige Beispielfolgen mit Anfangswerten x .0/ (bei Rechnung mit 5 Dezimalstellen) sind in Tabelle 3.6 aufgeführt.

3.2

Anschauliche Deutung des Iterationsverfahrens

In den folgenden Skizzen ist die Konvergenz und Divergenz von Iterationsverfahren anschaulich dargestellt. Das Bild 3.4 zeigt eine „flache“ Iterationsfunktion .x/, das heißt mit der Eigenschaft j 0 .x/j < 1. Die Hilfslinien sollen dabei die Konstruktion der Folge x .0/ ; x .1/ ; : : : veranschaulichen.

54

Kapitel 3 Iterationsverfahren

k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

x .k/ 0.00000 0.50000 0.44444 0.45505 0.45308 0.45345 0.45339 0.45339

x .k/ 1.25000 0.28070 0.48104 0.44814 0.45437 0.45321 0.45343 0.45339 0.45339

x .k/ 5:00000 0.03704 0.49966 0.44451 0.45504 0.45309 0.45345 0.45338 0.45339 0.45339

x .k/ 10.00000 0.00980 0.49998 0.44445 0.45506 0.45309 0.45345 0.45339 0.45339

Tabelle 3.6. Verschiedene Startwerte für Beispiel 3.9.

yDx

x .2/

x .1/

f .x/

x .0/

Bild 3.4. Konvergenz der Iterationsfolge.

Wie aus Bild 3.4 ersichtlich ist, konvergiert diese Folge monoton gegen die gesuchte Stelle x  . Dieses Verhalten ist eine Folge des positiven Anstiegs von .x/. Dem interessierten Leser sei die Anfertigung einer analogen Skizze für den Fall 1 <  0 .x/ < 0 empfohlen, in der eine anschauliche Darstellung für die in diesem Falle alternierende Konvergenz der Iterationsfolge gegen x  erkennbar wird. Im Bild 3.5 ist im Gegensatz dazu eine „steile“ Iterationsfunktion, das heißt mit j 0 .x/j > 1, dargestellt. Die in Analogie zu Bild 3.4 eingetragene Folge x .0/ ; x .1/ ; : : : divergiert. Im Bild 3.4 hat x  , der Fixpunkt der Iterationsvorschrift x .nC1/ D .x .n/ /, die Eigenschaft j 0 .x  /j < 1 und die Iterationsfolge konvergiert gegen x  . Ein solcher Fixpunkt heißt anziehend. Ein Fixpunkt wie im Bild 3.5 heißt abstoßend. Grafiken der oben verwendeten Art sind ein nützliches und häufig eingesetztes Hilfsmittel zur Veranschaulichung des Verhaltens konkreter Iterationsalgorithmen.

55

Abschnitt 3.3 Fehlerabschätzungen

yDx f .x/

0

x .0/

x .2/ x .1/ Bild 3.5. Divergenz der Iterationsfolge.

3.3

Fehlerabschätzungen

Natürlich will man bei einer Iteration wissen, wie weit man mit der erreichten Näherung noch vom exakten Wert entfernt ist. Da eine exakte Angabe bei unbekanntem genauen Wert nicht möglich ist, muss man versuchen, Abschätzungen zu gewinnen. Nach dem Mittelwertsatz gibt es zwischen allen x .n/ und x .n1/ aus der Iterationsfolge jeweils ein  .n/ mit der Eigenschaft .x .n/ /  .x .n1/ / x .nC1/  x .n/ D D  0 . .n/ / : x .n/  x .n1/ x .n/  x .n1/ Mit j 0 . .n/ /j  M < 1 erhält man jx .nC1/  x .n/ j  M  jx .n/  x .n1/ j :

(3.4)

Aus (3.4) können zwei allgemeine Fehlerabschätzungen gewonnen werden. Bessere Fehlerschranken ergeben sich natürlich, wenn die speziellen Eigenschaften der Funktion .x/ berücksichtigt werden können. Zunächst wird geschrieben jx .nC1/  x .n/ j  M jx .n/  x .n1/ j  MM jx .n1/  x .n2/ j :: :  MM    M jx .1/  x .0/ j :

(3.5)

Also gilt jx .nC1/  x .n/ j  M n jx .1/  x .0/ j :

(3.6)

56

Kapitel 3 Iterationsverfahren

Es sei jetzt m > n C 1 beliebig und n fest. Damit erhält man jx .m/  x .n/ j  jx .m/  x .m1/ C x .m1/  x .m2/ C    C x .nC1/  x .n/ j  jx .m/  x .m1/ j C jx .m1/  x .m2/ j C    C jx .nC1/  x .n/ j  M m1 jx .1/  x .0/ j C M m2 jx .1/  x .0/ j

(3.7)

C    C M n jx .1/  x .0/ j D .M m1 C M m2 C    C M n /jx .1/  x .0/ j D M n .M mn1 C M mn2 C    C 1/jx .1/  x .0/ j :

(3.8)

Da M < 1 ist, folgt für die endliche geometrische Reihe 1 C    C M mn2 C M mn1 D

1  M mn : 1M

(3.9)

Daraus ergibt sich M n .1  M mn / .1/ M n  M m .1/ jx  x .0/ j D jx  x .0/ j 1M 1M Mn  jx .1/  x .0/ j : (3.10) 1M

jx .m/  x .n/ j 

Durch den Grenzübergang m ! 1 und limm!1 x .m/ D x ? folgt jx ?  x .n/ j 

Mn jx .1/  x .0/ j : 1M

(3.11)

Definition 3.5. Die Formel (3.11) heißt a-priori-Abschätzung. Beispiel 3.10. Gegeben ist die oben bereits behandelte Gleichung f .x/ D x 2  2x  8 ;

.x/ D

8 ; x2

 0 .x/ D 

8 .x  2/2

:

Es wird eine Nullstelle im Intervall Œ2:5; 1 gesucht. Mit f .2:5/ D 3:25 und f .1/ D 5 erhält man j 0 .x/j 

8 D 0:8889 D M : .3/2

Der Anfangswert x .0/ D 1 ergibt x .1/ D 2:66667. Als a-priori-Abschätzung erhält man .0:8889/n j2:66667 C 1j D .0:8889/n  15:0018 1  0:8889  15:1  .0:8889/n :

jx ?  x .n/ j 

57

Abschnitt 3.3 Fehlerabschätzungen

Nach n D 18 Näherungen ergibt die a-priori-Abschätzung jx ?  x .18/ j < 1:813. Der Vergleich mit der ausgeführten Näherungsfolge zeigt, dass diese Abschätzung relativ ungenau ist. Das liegt vor allem an dem großen M -Wert. Beispiel 3.11. Im Beispiel 3.6 wurde bereits zur Nullstellenbestimmung der Funktion f .x/ D x 

x2

1 C2

der Iterationsalgorithmus .x/ D

x2

1 C2

mit  0 .x/ D 

.x 2

2x C 2/2

verwendet. Dabei wurde nachgewiesen, dass für alle x-Werte j 0 .x/j  0:5 D M gilt. Mit x .0/ D 0 folgt x .1/ D 0:5. Als a-priori-Abschätzung ergibt sich jx ?  x .n/ j 

.0:5/n j0:5  1j D .0:5/n : 1  0:5

Nach n D 7 Näherungen folgt hieraus jx ?  x .7/ j  .0:5/7 D 0:00781. x

Beispiel 3.12. Die Funktion f .x/ D x  e . 2 / hat wegen f .0/ D 1 und f .1/ D 0:3935 eine Nullstelle im Intervall Œ0; 1. Ein möglicher Iterationsalgorithmus zur Bestimmung dieser Nullstelle ist x

.x/ D e . 2 / : x

Damit folgt  0 .x/ D 0:5  e . 2 / und j 0 .x/j  0:5 D M in 0 < x < 1. Mit den Anfangswerten x .0/ D 0:8 und x .1/ D 0:6703 erhält man die a-priori-Abschätzung jx ?  x .n/ j 

.0:5/n j0:6703  0:8j D .0:5/n1  0:1297 < 0:13  .0:5/n1 : 1  0:5

Mit obigen Anfangswerten kann man eine Näherungsfolge berechnen. In der Tabelle 3.7 werden für einige Näherungen die wahren Abweichungen zum exakten Wert x ? D 0:70346742 und die a-priori-Abschätzungen gegenüber gestellt. n 5 7 9

x .n/ 0.7030 0.7034 0.7035

jx ?  x .n/ j 0.0005 0.0001 0.0000

a-priori 0.0081 0.0020 0.0005

Tabelle 3.7. Näherungsfolge zu Beispiel 3.12.

58

Kapitel 3 Iterationsverfahren

Als weitere Anwendung der a-priori-Abschätzung kann vor Beginn des Iterationsprozesses abgeschätzt werden, wie viele Iterationen auszuführen sind, um eine vorgegebene Genauigkeitsschranke  zum exakten Wert x ? zu unterschreiten. Aus Mn jx ?  x .n/ j  jx .1/  x .0/ j <  (3.12) 1M folgt Mn
 ln   ln .1  M / C ln jx .1/  x .0/ j :

Damit erhält man für die Mindestanzahl der nötigen Iterationsschritte n>

 ln   ln .1  M / C ln jx .1/  x .0/ j :  ln M

(3.13)

Beispiel 3.13. Setzt man im Beispiel 3.6 als Genauigkeitsschranke  D 103 , so ergibt sich n > 9:96 aus der Formel (3.13), das bedeutet, dass mindestens 10 Iterationsschritte ausgeführt werden müssen. Im Beispiel 3.12 erhält man mit  D 103 aus (3.13) 6:9078 C 0:6931  2:0425 D 8:02 ; also n D 9 : 0:6931 Andererseits wird angestrebt, aus der Differenz der jeweils letzten beiden Näherungswerte den verbleibenden Restfehler abzuschätzen. Ausgangspunkt ist wieder n>

jx .nC1/  x .n/ j  M jx .n/  x .n1/ j : Für m > n C 1 beliebig und n fest gilt jx .m/  x .n/ j D jx .m/  x .m1/ C x .m1/  x .m2/ C    C x .nC1/  x .n/ j  jx .m/  x .m1/ j C jx .m1/  x .m2/ j C    C jx .nC1/  x .n/ j : Unter Benutzung von jx .m/  x .m1/ j  M  jx .m1/  x .m2/ j  M 2  jx .m2/  x .m3/ j      M mn  jx .n/  x .n1/ j kann weiter gefolgert werden jx .m/  x .n/ j  jx .n/  x .n1/ j¹M mn C M mn1 C    C M º D M jx .n/  x .n1/ j¹1 C    C M mn1 º 1  M mn .n/ jx  x .n1/ j ; 1M M jx .m/  x .n/ j  jx .n/  x .n1/ j : 1M DM

59

Abschnitt 3.4 Abbruchkriterien bei Iterationsverfahren

Mit limm!1 x .m/ D x ? folgt jx ?  x .n/ j 

M jx .n/  x .n1/ j : 1M

(3.14)

Definition 3.6. Die Formel (3.14) wird als a-posteriori-Abschätzung bezeichnet. x

Beispiel 3.14. Für die Funktion f .x/ D x  e . 2 / und die zugehörige Iterationsx vorschrift .x/ D e . 2 / wurde im Beispiel 3.12 j 0 .x/j  0:5 D M .0  x  1/ nachgewiesen. Daraus ergibt sich als a-posteriori-Abschätzung 0:5 jx .n/  x .n1/ j D jx .n/  x .n1/ j : 1  0:5 Ein Vergleich der a-posteriori-Abschätzung und des wahren Fehlers für einige Iterationsschritte ist in Tabelle 3.8 gegeben. jx ?  x .n/ j 

n 0 6 7 8 9

x .n/ 0.8000 0.7036 0.7034 0.7035 0.7035

jx ?  x .n/ j

wahrer Fehler

0.0002 0.0001 0.0000

0.0001 0.0000 0.0000

Tabelle 3.8. a-posteriori-Abschätzung für Beispiel 3.12.

3.4

Abbruchkriterien bei Iterationsverfahren

Ein Iterationsverfahren muss durch eine vorgegebene Vorschrift gestoppt werden. Solche Vorschriften können sein: a) Falls n  N0 , dann abbrechen. b) Falls jx ?  x .n/ j < 1 , dann abbrechen. c) Falls jx .n/  x .n1/ j < 2 , dann abbrechen. Beim numerischen Rechnen wird die einfache Abbruchbedingung c) häufig benutzt. Es ist aber zu beachten, dass diese Bedingung eine Abbruchschranke ist und keine Fehlerschranke zu sein braucht. Aus der a-posteriori-Abschätzung für den Fehler folgt jx ?  x .n/ j 

M M jx .n/  x .n1/ j < 2 : 1M 1M

(3.15)

Eine Fehlerschranke 1 für den Abstand der n-ten Näherung x .n/ zur exakten Lösung erhält man aus der Abbruchbedingung durch Multiplikation mit dem Faktor M=.1  M /, wobei j 0 .x/j  M < 1 ist.

60

3.5

Kapitel 3 Iterationsverfahren

Konvergenzordnung

Mit dem Nachweis der Konvergenz einer Iterationsfolge ¹x.n/ º .n D 1; 2; : : :/ für den Iterationsalgorithmus x.nC1/ D .x.n/ / mit dem Fixpunkt x? ist noch nicht geklärt, wie rasch diese Folge sich dem gesuchten Vektor x? nähert. Das aber hat durch die Anzahl der notwendigen Operationen Auswirkungen auf die Rechendauer und die auftretenden Fehler. Als ein vorteilhaftes Kriterium zur Beurteilung eines Iterationsalgorithmus hat sich die Konvergenzordnung bewährt. Definition 3.7. Bei dem Iterationsalgorithmus x.nC1/ D .x.n/ / ergibt sich ausgehend von einem Anfangswert x.0/ in einem Intervall I eine Folge von Näherungswerten x.n/ .n D 1; 2; : : :/, die gegen den exakten Vektor x? streben. Diese Konvergenz gegen x? ist von p-ter Ordnung, wenn es eine positive Konstante q so gibt, dass mit einer der eingeführten Normen gilt: kx.nC1/  x? k Dq: n!1 kx.n/  x? kp lim

(3.16)

Die Konvergenzordnung p besagt, dass der Fehler .nC1/ D x.nC1/  x? der .n C 1/-ten Näherung x.nC1/ etwa gleich der p-fachen Potenz des Fehlers x.n/  x? der n-ten Näherung x.n/ ist. Es gilt k.nC1/ k  qk.n/ kp : (3.17) Falls die Iterationsvorschrift  p-mal stetig differenzierbar in I ist und .x? / D x? ; 0 .x? / D 00 .x? / D    D .p1/ .x? / D 0 ;

.p/ .x? / ¤ 0

(3.18)

gilt, dann lässt sich q bestimmen zu qD

1 max k.p/ .x/k : pŠ x2I

(3.19)

Die Bestimmung der Konvergenzordnung p gehört zur theoretischen Untersuchung eines aufgestellten Iterationsalgorithmus. Eine experimentelle Gewinnung der Konvergenzordnung für einen laufenden Iterationsalgorithmus ist kaum möglich. Bei den behandelten Iterationsverfahren ist auf die zugehörige Konvergenzordnung hingewiesen. Bei p D 1 heißt der Iterationsalgorithmus von linearer Konvergenz, bei p D 2 von quadratischer Konvergenz.

61

Abschnitt 3.6 Spezielle Iterationsverfahren

Beispiel 3.15. Es ist die Nullstelle x ? der Funktion f .x/ D x ln x  1 im vorgegebenen Intervall Œ1:5; 2:0 aufzusuchen. Als möglicher Iterationsalgorithmus war im Beispiel 3.5 1

x .kC1/ D .x .k/ / D e x.k/

mit j 0 .x/j  0:8657 < 1

gefunden worden. k 0 1 2 3 4 5 6 7

x .k/ 1.60000 1.86825 1.70795 1.79592 1.74511 1.77363 1.75736 1.76656

k 8 9 10 11 12 13 14 15

x .k/ 1.76133 1.76430 1.76262 1.76357 1.76303 1.76333 1.76316 1.76326

k 16 17 18 19 20 21

x .k/ 1.76320 1.76323 1.76322 1.76323 1.76322 1.76322

Tabelle 3.9. Iterationsfolge zu Beispiel 3.15 mit linearer Konvergenz.

k 0 1 2

x .k/ 1.60000 1.76870 1.76323

k 3 4

x .k/ 1.76322 1.76322

Tabelle 3.10. Iterationsfolge mit quadratischer Konvergenz.

Für jeden Anfangswert aus Œ1:5; 2:0 ist die Konvergenz des Iterationsalgorithmus gegen die eindeutige Lösung x ? 2 Œ1:5; 2:0 gesichert. Um aber vom Ausgangswert x0 D 1:6 ausgehend eine Genauigkeit auf fünf Dezimalstellen nach dem Punkt zu erreichen, werden bei diesem Iterationsalgorithmus mit linearer Konvergenz 21 Iterationsschritte benötigt (s. Tabelle 3.9). Bei Benutzung eines Iterationsalgorithmus mit quadratischer Konvergenz (z. B. Newton-Verfahren, siehe Abschnitt 3.6.3) benötigt man wesentlich weniger Schritte (s. Tabelle 3.10). Für die schlechte Konvergenz des ersten Iterationsverfahrens sind die große Lipschitzkonstante M D 0:8657 und vor allem die niedrige Konvergenzordnung verantwortlich. Es ist anzustreben, bei langsam konvergierenden Verfahren Möglichkeiten aufzufinden, die Konvergenz zu beschleunigen (siehe Abschnitt 3.7).

3.6

Spezielle Iterationsverfahren

3.6.1 Bisektionsmethode Vorgehen Eine einfache Methode zur Berechnung von Nullstellen ist die Bisektionsmethode oder Intervallhalbierungsmethode. Es sei f .x/ eine im Intervall Œa; b stetige Funktion, und es gelte für zwei verschiedene x-Werte a.0/ < b .0/ aus dem Intervall

62

Kapitel 3 Iterationsverfahren

f .a.0/ /  f .b .0/ / < 0. Dann hat die Funktion f .x/ nach dem Zwischenwertsatz im Intervall .a.0/ ; b .0/ / mindestens eine Nullstelle x ? . Eine erste Näherung ist a.0/ C b .0/ : x .1/ D 2 Man berechnet f .x .1/ /. Es seien f .a.0/ / bekannt und f .x .1/ / ¤ 0. Gilt f .x .1/ /  f .a.0/ / > 0, dann liegt die Nullstelle x ? im Intervall .x .1/ ; b .0/ /. Man setzt a.1/ D x .1/ , b .1/ D b .0/ . Gilt f .x .1/ /  f .a.0/ / < 0, dann liegt die Nullstelle x ? im Intervall .a.0/ ; x .1/ /. Man setzt a.1/ D a.0/ , b .1/ D x .1/ . Zur zweiten Näherung a.1/ C b .1/ x .2/ D 2 ist f .x .2/ / zu berechnen. f .a.1/ / sei bekannt. So fortfahrend, gilt allgemein für m D 0; 1; 2; : : :: – Für die m-te Näherung sind bekannt a.m/ , b .m/ , f .a.m/ /, f .b .m/ /. – Die .m C 1/-te Näherung ergibt sich mit x .mC1/ D

a.m/ C b .m/ 2

und f .x .mC1/ /, dabei sei f .x .mC1/ / ¤ 0. – Gilt f .x .mC1/ /  f .a.m/ / > 0, dann setzt man a.mC1/ D x .mC1/ , b .mC1/ D b .m/ . – Gilt f .x .mC1/ /  f .a.m/ / < 0, dann setzt man a.mC1/ D a.m/ , b .mC1/ D x .mC1/ (s. Bild 3.6). f .x/ a.0/ D a.1/ D a.2/ 0

x .2/ x .1/ .2/ Db D b .1/ .3/ Db

Bild 3.6. Bisektionsmethode.

D b .0/

63

Abschnitt 3.6 Spezielle Iterationsverfahren

Fehlerabschätzung Bei der Bisektionsmethode entsteht eine Folge von Intervallen, die alle eine Lösung von f .x/ D 0 enthalten und von denen jedes halb so lang wie das vorhergehende ist. Nach n Schritten ist eine Nullstelle im Intervall .a.n/ ; b .n/ / eingeschlossen. Die Intervalllänge ist jb .n/  a.n/ j D 2n jb .0/  a.0/ j. Für den Fehler der n-ten Näherung x .n/ gilt jx .n/  x ? j 

jb .0/  a.0/ j : 2n

(3.20)

Bei einer vorgegebenen Genauigkeitsschranke  als Abbruchbedingung ist solange zu halbieren bis sich jb .0/  a.0/ j 1C

d C log jb .0/  a.0/ j : log 2

(3.21)

Beispiel 3.16. Die Lösung der Gleichung f .x/ D xe x  1 D 0 ist mit Hilfe der Bisektionsmethode auf drei Dezimalstellen genau zu bestimmen. Es gilt f .0:5/ D 0:175 ;

f .0:6/ D 0:093 ;

d D 3:

Damit erhält man n>1C

2 log 0:1 C 3 D1C D 7:64 : log 2 log 2

Es sind 8 Iterationsschritte erforderlich. Die Ergebnisse dieser 8 Schritte sind in der folgenden Tabelle 3.11 zusammengefasst. Die auf drei Dezimalstellen genaue Lösung ist x ? D 0:567.

64

Kapitel 3 Iterationsverfahren

k 0 1 2 3 4 5 6 7

a.k/ 0.5000 0.5500 0.5500 0.5625 0.5625 0.5657 0.5657 0.5665

b .k/ 0.6000 0.6000 0.5750 0.5750 0.5688 0.5688 0.5673 0.5673

x .kC1/ 0.5500 0.5750 0.5625 0.5688 0.5657 0.5673 0.5665 0.5669

f .x .kC1/ / 0:04670 0.02185 0:01285 0.00458 0:00398 0.00043 0:00178 0:00067

Tabelle 3.11. Bisektionsmethode für Beispiel 3.16.

3.6.2 Regula falsi Vorgehen Die Funktion f .x/ habe im Intervall Œa; b eine einfache Nullstelle x ? . Es wird vorausgesetzt, dass 0 < m1  jf 0 .x/j  M1 .x 2 Œa; b/ (3.22) gilt. Man wähle eine feste Stelle x .0/ mit f .x .0/ / ¤ 0 aus Œa; b. Als erste Näherung wird eine Stelle x .1/ so gesucht, dass f .x .1/ /  f .x .0/ / < 0 gilt. Dann liegt die Nullstelle x ? zwischen x .0/ und x .1/ . f .x/

g1 .x/ x .1/

x .3/

0

x .2/ g2 .x/

x .0/

Bild 3.7. Konvergenz der ersten Variante der Regula falsi. Es werden die Punkte P0 .x .0/ ; f .x .0/ // und P1 .x .1/ ; f .x .1/ // durch die Gerade g1 mit der Gleichung f .x .1/ /  f .x .0/ / y  f .x .1/ / D x  x .1/ x .1/  x .0/

(3.23)

65

Abschnitt 3.6 Spezielle Iterationsverfahren

verbunden. Diese Gerade schneidet an der Stelle x .2/ mit x .2/ D x .1/ 

x .1/  x .0/ f .x .1/ / f .x .1/ /  f .x .0/ /

(3.24)

die x-Achse. Im nächsten Schritt wird der Punkt P2 .x .2/ ; f .x .2/ // mit dem Startpunkt P0 durch die Gerade g2 verbunden und danach von dieser Geraden die Stelle x .3/ , an der sie die x-Achse schneidet, berechnet. g2 .x/

f .x/

x .1/ 0

x .2/

x .0/

g1 .x/

Bild 3.8. Versagen der ersten Variante der Regula falsi. So fortfahrend ergibt sich eine Folge von Werten x .0/ ; x .1/ ; : : : ; x .n/ ; : : : mit x .n/ D x .n1/ 

x .n1/  x .0/ f .x .n1/ / D .x .n1/ / f .x .n1/ /  f .x .0/ /

(3.25)

als Resultat eines Iterationsalgorithmus, der Regula falsi. Es lässt sich nachweisen, dass unter obigen Bedingungen die Folge x .0/ ; x .1/ ; x .2/ ; : : : gegen die Nullstelle x ? in Œa; b konvergiert. Die Konvergenzordnung ist p D 1 (s. Maeß [47]). Falls die Funktion f .x/ im Intervall Œa; b eine Extremwertstelle xm besitzt, so dass die Bedingung (3.22) wegen f 0 .xm / D 0 verletzt ist, kann es zum Versagen der Regula falsi kommen. Bild 3.8 veranschaulicht diese Möglichkeit. Das Vorgehen der Regula falsi kann abgeändert werden, indem zur Gewinnung der Näherungen x .n/ .n D 1; 2; : : :/ der Punkt P0 .x .0/ ; f .x .0/ // nicht mehr als fest vorausgesetzt wird. Wie oben erfolgt der Start mit zwei Werten x .0/ und x .1/ , für die f .x .0/ /  f .x .1/ / < 0 gelten muss. Dann wird ein Wert x .2/ , in dem die Gerade g1 die x-Achse schneidet durch x .2/ D x .1/ 

x .1/  x .0/ f .x .1/ / f .x .1/ /  f .x .0/ /

bestimmt. Nun erfolgt eine Prüfung der Stelle x .2/ :

66

Kapitel 3 Iterationsverfahren

Gilt f .x .2/ /  f .x .0/ / < 0, dann liegt die Nullstelle x  zwischen x .0/ und x .2/ . Die Stelle x .0/ wird weiter verwendet, und wie oben wird ein neuer Wert ermittelt



x .3/ D x .2/ 

x .2/  x .0/ f .x .2/ / : f .x .2/ /  f .x .0/ /

(3.26)

Gilt f .x .2/ /  f .x .0/ / > 0, dann liegt die Nullstelle x  zwischen x .1/ und x .2/ . Daher wird x .0/ durch x .1/ ersetzt, und der neue Wert x .3/ errechnet sich durch



x .3/ D x .2/ 

x .2/  x .1/ f .x .2/ / : f .x .2/ /  f .x .1/ /

(3.27)

So fortfahrend ergibt sich nach der Vorschrift x .nC1/ D x .n/ 

x .n/  x .k/ f .x .n/ / .k D 0; 1; : : : I n D 1; 2; : : :/ (3.28) f .x .n/ /  f .x .k/ /

eine Folge von Werten x .0/ ; x .1/ ; : : : ; x .k/ ; : : : ; x .n/ ; : : :. Dabei ist k der größte Indexwert kleiner als n, der die Bedingung f .x .n/ /  f .x .k/ / < 0 erfüllt. Vorausgesetzt ist, dass f .x .l/ / ¤ 0 .l D 0; 1; 2; : : :/ gilt, da ansonsten x  D x .l/ eine Lösung darstellt. f .x/

g2 .x/

x .1/

g1 .x/

0

x .3/

x .2/

x .0/

Bild 3.9. Regula falsi, 2. Variante. Es ist auch hier nachgewiesen, dass die Folge x .0/ ; x .1/ ; : : : gegen die Nullstelle x  in Œa; b konvergiert und dass die Konvergenzordnung im allgemeinen p D 1 ist. Diese Variante der Regula falsi konvergiert immer unter der Voraussetzung, dass f .x/ in Œa; b stetig ist und dass f .a/  f .b/ < 0 gilt.

67

Abschnitt 3.6 Spezielle Iterationsverfahren

Fehlerabschätzung Die zweite Form der Regula falsi gestattet eine einfache Abschätzung des Fehlers. Sind x .p/ und x .q/ mit p < q zwei Werte der Folge ¹x .n/ º, die die Bedingung f .x .p/ /  f .x .q/ / < 0 erfüllen, liegt die gesuchte Lösung x  im Intervall x .p/ < x  < x .q/ . Ein weiteres häufig benutztes Iterationsverfahren ist das Sekantenverfahren. Dieses p Verfahren hat zwar eine bessere Konvergenzordnung p D .1 C 5/=2  1:618, gehört aber nicht mehr zur Klasse der stationären Einschrittverfahren. Deshalb wird hier auf seine Behandlung verzichtet. 1

Beispiel 3.17. Für die Funktion f .x/ D e x x ist eine Nullstelle im Intervall Œ1:5; 2 gesucht. Die erste Variante der Regula falsi mit festem x .0/ D 2 und zweitem Startwert .1/ x D 1:6 ergibt den in der Tabelle 3.12 zusammengestellten Iterationsverlauf. k 0 1 2 3 4 5 6 7

x .k/ 2.000000 1.600000 1.773195 1.762664 1.763254 1.763221 1.763223 1.763223

f .x .k/ / 0:3512788 0.2682459 0:0155870 0.0008759 0:0000489 0.0000029 0:0000003 0:0000003

jx .k/  x .k1/ j

0.173195 0.010531 0.000590 0.000033 0.000002 0.000000

Tabelle 3.12. Iteration mit Regula falsi, 1. Variante. Im Vergleich dazu ergibt die zweite Variante der Regula falsi mit identischen Anfangswerte die folgende Iteration (s. Tabelle 3.13). k 0 1 2 3 4 5 6 7

x .k/ 2.000000 1.600000 1.773195 1.763684 1.763244 1.763224 1.763223 1.763223

f .x .k/ / 0:3512788 0.2682459 0:0155871 0:0007227 0:0000332 0:0000019 0:0000003 0:0000003

jx .k/  x .k1/ j

0.173195 0.009511 0.000440 0.000020 0.000001 0.000000

Tabelle 3.13. Iteration mit Regula falsi, 2. Variante.

68

Kapitel 3 Iterationsverfahren

Beispiel 3.18. Gesucht ist eine Nullstelle von f .x/ D x 2  2x  8 im Intervall Œ0; 5. Es wird die erste Variante der Regula falsi mit der festen Stelle x .0/ D 0 und dem zweiten Startwert x .0/ D 5 verwendet. Die Funktion f .x/ hat in x D 1 eine Extremwertstelle, die Bedingung (3.22) ist also verletzt. Das Verfahren konvergiert nicht (s. Tabelle 3.14). k 0 1 2 3

x .k/ 0.00000 5.00000 2.66667 6:66659

f .x .k/ / 8:00000 7.00000 6:22221 49.77664

jx .k/  x .k1/ j

2.33333 9.33326

Tabelle 3.14. Iteration mit Regula falsi, 1. Variante und Startwert x .0/ D 5. Bei der Wahl des festen Werte x .0/ D 2 und des zweiten Startwertes x .1/ D 5 liegt die Extremstelle nicht mehr im betrachteten Intervall. Mit diesen Startwerten konvergiert die erste Variante der Regula falsi (s. Tabelle 3.15). k 0 1 2 3 :: :

x .k/ 2.000000 5.000000 4.066667 3.967213 :: :

f .x .k/ / 8:000000 7.000000 0.404446 0:195647 :: :

jx .k/  x .k1/ j

14 15 16 17

4.000016 3.999992 4.000004 4.000000

0.000010 0:000048 0.000024 0.000000

0.000048 0.000024 0.000012 0.000004

0.933333 0.099457 :: :

Tabelle 3.15. Iteration mit Regula falsi, 1. Variante und Startwert x .0/ D 2. Die mit den gleichen Anfangswerten gestartete zweite Variante der Regula falsi erreicht diese Genauigkeit mit weniger Schritten (s. Tabelle 3.16).

3.6.3 Newtonsches Iterationsverfahren Vorgehen Das am weitesten verbreitete Verfahren zur Auflösung von nichtlinearen Gleichungen ist das Iterationsverfahren von Newton. Ein großer Vorteil ist, dass es bei hinreichend guter Anfangsnäherung schneller konvergiert als die bisher behandelten Verfahren. Die Konvergenzordnung ist p D 2, d. h., der Fehler in jedem Schritt ist proportional dem Fehlerquadrat des vorhergehenden Schrittes.

69

Abschnitt 3.6 Spezielle Iterationsverfahren

k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

x .k/ 2.000000 5.000000 3.600000 3.930394 3.991266 3.998751 3.999820 3.999974 3.999996 3.999999 4.000000

f .x .k/ / 8:000000 7.000000 2:240000 0:359963 0:052328 0:007493 0:001080 0:000156 0:000024 0:000006 0.000000

jx .k/  x .k1/ j

1.400000 0.330394 0.051872 0.007485 0.001069 0.000154 0.000022 0.000003 0.000001

Tabelle 3.16. Iteration mit Regula falsi, 2. Variante und Startwert x .0/ D 2. Es sei f .x/ stetig und zweimal stetig differenzierbar. Gesucht ist eine Lösung x ? von f .x/ D 0. Mit x .0/ werde ein erster Näherungswert von x ? bezeichnet. Die Taylor-Reihe für f .x/ um x .0/ ergibt f .x/ D f .x .0/ / C f 0 .x .0/ /.x  x .0/ / C

f 00 ./ .x  x .0/ /2 : 2

(3.29)

Dabei ist  2 .x; x .0/ /. Für x D x ? erhält man mit mit f .x ? / D 0 0 D f .x .0/ / C f 0 .x .0/ /.x ?  x .0/ / C

f 00 ./ ? .x  x .0/ /2 : 2

Die Auflösung nach x ? liefert x ? D x .0/ 

f 00 ./ f .x .0/ /  .x ?  x .0/ /2 : 0 .0/ f .x / 2f 0 .x .0/ /

Liegt der Näherungswert x .0/ genügend dicht bei x ? , kann der Term R2 D 

f 00 ./ .x ?  x .0/ /2 0 .0/ 2f .x /

unterdrückt werden. Die verbleibende Gleichung ergibt zwar nicht den exakten Wert x ? , aber eine gegenüber dem Startwert x .0/ verbesserte Näherungslösung. So fortfahrend kann allgemein aus einer Näherung x .n/ eine verbesserte Näherung x .nC1/ durch folgende Iterationsvorschrift erhalten werden (s. Bild 3.10): x .nC1/ D x .n/ 

f .x .n/ / D .x .n/ / : f 0 .x .n/ /

(3.30)

70

Kapitel 3 Iterationsverfahren

f .x/ x .2/ x .0/ t0 .x/ x .1/ t1 .x/

Bild 3.10. Iterationsverfahren nach Newton.

Es ist zu untersuchen, welche Bedingung ein Anfangswert x .0/ erfüllen muss, um eine konvergente Iterationsfolge x .0/ ; x .1/ ; x .2/ ; : : : zu erzeugen. Die Konvergenz ist nach dem Fixpunktsatz gesichert, wenn j 0 .x/j  M < 1 für alle x-Werte in der Nähe der Nullstelle erfüllt wird. Aus .x/ D x 

f .x/ f 0 .x/

und

 0 .x/ D

f .x/  f 00 .x/ .f 0 .x//2

folgt die hinreichende Bedingung für die Konvergenz ˇ ˇ ˇ f .x/  f 00 .x/ ˇ ˇ ˇ ˇ .f 0 .x//2 ˇ  M < 1 :

(3.31)

Diese Bedingung muss insbesondere der Anfangswert x .0/ erfüllen. Da die Folge x .0/ ; x .1/ ; x .2/ ; : : : gegen x ? konvergiert, ist die Bedingung dann auch für alle anderen Näherungen erfüllt. Man braucht die Bedingung daher nur für den Anfangswert x .0/ nachzuprüfen. Das Newtonsche Iterationsverfahren kann bei Verletzung der Bedingung (3.31) versagen. Bild 3.11 veranschaulicht einen solchen Fall. Fehlerabschätzung Beim Newtonschen Verfahren wird in der Regel die Abbruchbedingung jx .n/  x .n1/ j < 

(3.32)

mit vorgegebenen  benutzt. Durch die Fixpunkteigenschaft ist bei gesicherter Konvergenz die Folge der Verbesserungen jx .n/  x .n1/ j .n D 0; 1; 2; : : :/ monoton

71

Abschnitt 3.6 Spezielle Iterationsverfahren

f .x/

x .0/

x .1/ t0 .x/

x .2/

t1 .x/

Bild 3.11. Versagen der Newton-Iteration.

fallend. Falls für ein n0 gilt jx .n0 /  x .n0 1/ j < , so ist diese Schranke für alle n > n0 ebenfalls erfüllt. Die Abschätzung des Fehlers ist aufwändiger. Dazu wird vorausgesetzt, dass die Funktion f .x/ im betrachteten Intervall Œa; b, das die Nullstelle x ? enthält, zweimal stetig differenzierbar ist und dass jf 0 .x/j  k > 0

und jf 00 .x/j  K

.x 2 Œa; b/

(3.33)

gilt. Die Entwicklung von f .x/ an der Stelle x ? in eine Taylor-Reihe ergibt f .x/ D f .x ? / C .x  x ? /f 0 ./ D .x  x ? /f 0 ./

. 2 .x; x ? // :

Für x D x .n/ folgt dann f .x .n/ / D .x .n/  x ? /f 0 ./

. 2 .x .n/ ; x ? //

jf .x .n/ /j D jx .n/  x ? jjf 0 ./j  jx .n/  x ? jk :

(3.34)

Die Entwicklung von f .x/ in eine Taylor-Reihe an der Stelle x D x .n1/ ergibt f .x/ D f .x .n1/ / C .x  x .n1/ /f 0 .x .n1/ / 1 C .x  x .n1/ /2 f 00 . 0 / 2

. 0 2 .x; x .n1/ // :

72

Kapitel 3 Iterationsverfahren

Für x D x .n/ folgt daraus f .x .n/ / D f .x .n1/ / C .x .n/  x .n1/ /f 0 .x .n1/ / 1 C .x .n/  x .n1/ /2 f 00 . 0 / 2 1 .n/ D .x  x .n1/ /2 f 00 . 0 / 2 ˇ ˇ 1 jf .x .n/ /j D jx .n/  x .n1/ j2 ˇf 00 . 0 /ˇ 2 1 .n/  jx  x .n1/ j2 K : 2

(3.35)

Die Ungleichungen (3.34) und (3.35) ergeben zusammen 1 kjx .n/  x ? j  jf .x .n/ /j  jx .n/  x .n1/ j2 K 2 beziehungsweise K .n/ jx  x .n1/ j2 : (3.36) 2k Diese Fehlerabschätzung wird als a-posteriori-Abschätzung bezeichnet. Durch die Bestimmung von k und K ist sie praktisch schwer handhabbar. jx .n/  x ? j 

Beispiel 3.19. Die Funktion f .x/ D x ln x 1 hat eine Nullstelle im Intervall Œ1:5; 2. Gesucht ist die a-posteriori-Abschätzung für die Newtonsche Iterationsvorschrift. Die Ableitung der Funktion ist f 0 .x/ D ln x C 1, ihr Betrag ist auf dem Intervall Œ1:5; 2 monoton wachsend. Das Minimum wird also in der unteren Intervallgrenze angenommen jf 0 .x/j  ln 1:5 C 1 > 1:4 D k : Der Betrag der zweiten Ableitung f 00 .x/ D 1=x ist auf dem betrachteten Intervall monoton fallend, daher wird das Maximum ebenfalls in der unteren Grenze des Intervalls angenommen 1 jf 00 .x/j  < 0:7 D K : 1:5 Daraus ergibt sich als a-posteriori-Abschätzung jx .n/  x  j  0:25  jx .n/  x .n1/ j2 : Abschließend sollen noch einige Beispiele die Arbeit mit dem Newton-Verfahren illustrieren. Beispiel 3.20. Gesucht wird die Nullstelle von f .x/ D e x  x 2 C 2x  2 D 0 im Intervall Œ0; 1 mit der Genauigkeitsschranke  D 5:0  106 . Die Ableitungen sind

73

Abschnitt 3.7 Konvergenzverbesserung

f 0 .x/ D e x  2x C 2 und f 00 .x/ D e x  2. Ein nahe liegender Anfangswert ist x .0/ D 0:5 mit f .0:5/ D 0:398721 ;

f 0 .0:5/ D 2:648721

und

f 00 .0:5/ D 0:351279 :

Dieser Anfangswert ist wegen ˇ ˇ ˇ f .x .0/ /  f 00 .x .0/ / ˇ 0:398721  0:351279 ˇ ˇ D 0:019964 < 1 ˇD ˇ 0 .0/ 2 ˇ ˇ 2:6487212 Œf .x / anwendbar. Der Iterationsverlauf ist in Tabelle 3.17 dargestellt. k 0 1 2 3

x .k/ 0.5000000 0.3495000 0.3512620 0.3512626

f .x .k/ / 0.3987210 0:0047920 0:0000015

f 0 .x .k/ / 2.648721 2.719358 2.718336

jx .k/  x .k1/ j 1:5  101 1:8  103 5:5  107

Tabelle 3.17. Iterationsverlauf zu Beispiel 3.20. Es ergibt sich als hinreichende Näherung x ? D 0:35126. p Beispiel 3.21. Die Funktion f .x/ D x 2  a mit a > 0 hat die Nullstellen ˙ a. Ihre Ableitungen sind f 0 .x/ D 2x und f 00 .x/ D 2. Als Newton-Formel erhält man   f .x .n/ / .x .n/ /2  a 1 a .nC1/ .n/ .n/ .n/ x D x  0 .n/ D x  D x C .n/ : 2 f .x / 2x .n/ x p Die Folge x .0/ ; x .1/ ; x .2/ ; : : : strebt gegen a, wenn für den Anfangswert x .0/ gilt ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ f .x .0/ /  f 00 .x .0/ / ˇ ˇ ..x .0/ /2  a/  2 ˇ a ˇˇ 1 ˇˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇDˇ ˇ D ˇ1  .0/ 2 ˇ < 1 : ˇ  2 ˇ ˇ 4  .x .0/ /2 ˇ ˇ 2 .x / f 0 .x .0/ / Im speziellen Fall a D 211,  D 103 und x .0/ D 15 ergibt sich p der in Tabelle 3.18 angegeben Ablauf der Iteration. Die hinreichende Näherung ist 211 D 14:525839. Für a D 0:0376,  D 104 und x .0/ p D 1 ist die Iteration in Tabelle 3.19 gegeben. Als hinreichende Näherung ergibt sich 0:0376 D 0:193907.

3.7

Konvergenzverbesserung

3.7.1 Verkleinern der Lipschitzkonstanten Wenn die Ableitung der Iterationsvorschrift  0 .x/ im betrachteten Intervall Œa; b die Bedingung j 0 .x/j  M < 1 erfüllt, wenn aber M > 0:5 gilt, ist die Konvergenz langsam.

74

Kapitel 3 Iterationsverfahren

k 0 1 2 3

x .k/ 15.000000 14.533333 14.525840 14.525839

k 0 1 2 3 4 5 6

jx .k/  x .k1/ j 0.46777 0.00749 0.000001

Tabelle 3.18. Erster Iterationsverlauf für Beispiel 3.21.

x .k/ 1.000000 0.518800 0.295630 0.211400 0.194630 0.193900 0.193907

jx .k/  x .k1/ j 0.4812 0.2232 0.0842 0.0168 0.00072 0.000007

Tabelle 3.19. Zweiter Iterationsverlauf für Beispiel 3.21. 1

Für die zweite (konvergente) Iterationsvorschrift .x/ D e x des Beispiels 3.5 wurde dort die Abschätzung j 0 .x/j  0:8657 D M

.x 2 Œ1:5; 2/

bestimmt. Damit ergibt sich für diesen Algorithmus gemäß (3.14) die a-posterioriAbschätzung jx .n/  x  j 

0:8657 .n/ jx  x .n1/ j D 6:4460jx .n/  x .n1/ j : 0:1343

Der Genauigkeitsgewinn pro Schritt wird nur gering sein. Diese Iterationsvorschrift sollte in einen neuen Iterationsalgorithmus transformiert werden, der die Konvergenz gegen denselben x  -Wert garantiert, bei dem aber die Lipschitzkonstante M unterhalb von 0:5 liegt. Die Ausgangsbeziehung wird mit einem Parameter umgeformt in x  x D .x/  x : Daraus erhält man xD

.x/  x D ˆ.x/ 1

und

ˆ0 .x/ D

 0 .x/  : 1

Der Parameter ist so festzulegen, dass ˆ0 .x/ in der Nähe der einfachen Nullstelle x  möglichst klein wird. Der beste Wert wäre D  0 .x ? /. Da aber x ? nicht bekannt ist, muss eine Näherung xN gewählt werden: D  0 .x/. N Der Iterationsalgorithmus lautet dann .x .n1/ /   0 .x/ N x .n1/ x .n/ D ˆ.x .n1/ / D : (3.37) 1   0 .x/ N

75

Abschnitt 3.7 Konvergenzverbesserung

Beispiel 3.22. Für den im Beispiel 3.5 benutzten Iterationsalgorithmus 1

x D .x/ D e x

.x 2 Œ1:5; 2:0/ 1

ergibt sich bei der Wahl von xN D 1:6 mit  0 .x/ D e x =x 2 der Parameter D  0 .x/ N D 0:72978. Die resultierende Iterationsvorschrift 1

x

.n/

e x.n1/ C 0:72978x .n1/ D 1:72978

führt wesentlich rascher zu einer guten Näherung (s. Tabelle 3.20). n 0 1

x .n/ 1.60000 1.76247

n 2 3

x .n/ 1.76315 1.76322

n 4

x .n/ 1.76322

Tabelle 3.20. Näherungen mit verbesserter Lipschitz-Konstanten.

3.7.2 Verfahren von Aitken Es sei ein konvergenter Iterationsalgorithmus x .n/ D .x .n1/ /

mit j 0 .x/j  M < 1 .x 2 Œa; b/

gegen eine einfache Lösung x ? von f .x/ D 0 vorgegeben, der aber nur langsam konvergent ist. Mit den Abweichungen ı .n/ D x .n/  x ? kann mit  .n/ 2 .x .n/ ; x ? / nach dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung ı .n/ ı .n1/

D

.x .n1/ /  .x ? / D  0 . .n1/ / x .n1/  x ?

gebildet werden. Mit n ! 1 streben sowohl x .n/ ! x ? als auch  .n/ ! x ? . Das ergibt ı .n/ lim .n1/ D lim  0 . .n1/ / D  0 .x ? / : (3.38) n!1 ı n!1 Daher gilt näherungsweise ı .n/ ı .n1/

  0 .x ? /

bzw.

ı .nC1/   0 .x ? / und ı .n/

ı .nC1/ ı .n/  : ı .n/ ı .n1/

Daraus kann gefolgert werden x? 

x .nC1/ x .n1/  .x .n/ /2 .x .n/  x .n1/ /2 .n1/ D x  : x .nC1/  2x .n/ C x .n1/ x .nC1/  2x .n/ C x .n1/

(3.39)

76

Kapitel 3 Iterationsverfahren

Diese Näherung für x ? wird mit z .nC1/ bezeichnet. Es kann nachgewiesen werden, dass die Folge z .nC1/ .n D 1; 2; : : :/ schneller gegen x ? konvergiert als die Folge x .n/ .n D 0; 1; 2; : : :/. Der Rechengang besteht darin, im .n C 1/-ten Schritt neben x .nC1/ mit den bereits ermittelten Werten von x .n/ und x .n1/ die Näherung z .nC1/ .n D 1; 2; : : :/ zu berechnen und die Folge z .n/ als Iterationsfolge zu betrachten. 1

Beispiel 3.23. Es wird wieder die zweite Iterationsvorschrift .x/ D e x aus dem Beispiel 3.5 betrachtet. Man erhält 9 1 > .nC1/ .n/ .n/ x = x D .x / D e .n/ .n1/ 2 .n D 1; 2; : : :/ : / .x  x > z .nC1/ D x .n1/  .nC1/ ; x  2x .n/ C x .n1/ Die Näherungen mit dem Anfangswert x .0/ D 1:6 sind in Tabelle 3.21 angegeben. n 0 1 2 3 4 5

x .n/ 1.60000 1.86825 1.70789 1.79592 1.74511 1.77363

z .n/

1.76789 1.76472 1.76370 1.76338

n 6 7 8 9 10

x .n/ 1.75736 1.76656 1.76133 1.76430 1.76262

z .n/ 1.76327 1.76324 1.76323 1.76322 1.76322

Tabelle 3.21. Näherungen mit Verfahren von Aitken.

3.7.3 Steffensen-Verfahren Zur der Konvergenzverbesserung für einen langsam konvergierenden Iterationsalgorithmus x .n/ D .x .n1/ / in Œa; b kann das Verfahren von Steffensen x .n/ D x .n1/ 

..x .n1/ /  x .n1/ /2 D ˆ.x .n1/ / ..x .n1/ //  2.x .n1/ / C x .n1/

(3.40)

.n D 1; 2; : : :/ benutzt werden. Die Berechnung der Werte x .n/ ist zwar aufwändiger, aber die Konvergenzordnung erhöht sich bedeutend. Es kann nachgewiesen werden: Hat der Iterationsalgorithmus x .n/ D .x .n1/ / die Konvergenzordnung p D 1, so hat der Iterationsalgorithmus von Steffensen mindestens die Konvergenzordnung p D 2. Beispiel 3.24. Für den bereits mehrfach behandelten Iterationsalgorithmus 1

x .n/ D .x .n1/ / D e x.n1/

77

Abschnitt 3.8 Aufgaben

aus Beispiel 3.5 erhält man den folgenden Steffensen-Algorithmus: x .n/ D x .n1/ 

y .n1/ z .n1/

.n D 1; 2; : : :/

mit 1 2  y .n1/ D e x.n1/  x .n1/

und

  1 1 1 z .n1/ D e e x.n1/  2e x.n1/ C x .n1/ :

Die mit dem Ausgangswert x .0/ D 1:6 gewonnenen Näherungen sind in Tabelle 3.22 angeführt. x .n/ 1.60000 1.76789 1.76323

n 0 1 2

n 3 4

x .n/ 1.76322 1.76322

Tabelle 3.22. Näherungen mit Verfahren von Steffensen.

3.8

Aufgaben

Aufgabe 3.1. Es sind Lösungen der Gleichungen a)

f .x/ D x 3 C 2x 2 C 10x  20 D 0 Œ0; 2

b)

f .x/ D x  e x  1 D 0 x2

Œ0:5; 

c)

f .x/ D

d)

f .x/ D sin 2x  0:5x C 2 D 0 Œ1; 3

5D0

Œ3; 3

iterativ zu bestimmen. Überführen Sie die Gleichungen in iterierfähige Formen x .nC1/ D .x .n/ / und geben Sie Bereiche für die Startwerte einer Näherungsfolge ¹x .n/ º an, die gegen eine Lösung x  konvergieren. Aufgabe 3.2. Führen Sie die Iterationen für die Gleichungen aus Aufgabe 3.1 mit verschiedenen Startwerten aus, und ermitteln Sie bei Beachtung von sechs Dezimalstellen die gegen eine Lösung strebende Näherungsfolge bis alle mitgeführten Dezimalstellen unverändert bleiben. Aufgabe 3.3. Geben Sie für die Lösungen der Gleichungen aus Aufgabe 3.1a) und 3.1b), die mit der Iterationsvorschrift x .nC1/ D .x .n/ / zu ermitteln sind, a-priori-Abschätzungen an, wenn n D 5, n D 10 bzw. n D 15 Iterationsschritte ausgeführt werden.

78

Kapitel 3 Iterationsverfahren

Aufgabe 3.4. Die Lösungen der Gleichungen aus Aufgabe 3.1a) und 3.1b) sind durch Näherungen x .nC1/ D .x .n/ / zu ermitteln. Es sei eine Fehlerschranke  D 106 vorgegeben. Bestimmen Sie ausgehend von der a-priori-Abschätzung die Anzahl der Iterationsschritte n, um diese Genauigkeit garantieren zu können. Aufgabe 3.5. Die Lösungen der Gleichungen a)

f .x/ D e x  sin 2x D 0 Œ0; 1

b)

f .x/ D e 1:6x  5:88x 2 D 0

c)

f .x/ D x 3  3x 2 C x C 3 D 0 Œ1; 5

d)

f .x/ D 5x 6 C 3x 5  54x 4 C 60x 3  64x 2  5x C 7 D 0

Œ1; 4

sind mit der Bisektionsmethode bei einer Genauigkeit von  D

106

Œ1; 5 zu ermitteln.

Aufgabe 3.6. Geben Sie für die Näherungen x .n/ , die gegen eine Lösung der Gleichungen aus Aufgabe 3.5 konvergieren, eine Fehlerabschätzung an nach n D 5, n D 10 bzw. n D 15 Iterationsschritten. Aufgabe 3.7. Die gegen eine Lösung der Gleichungen aus Aufgabe 3.5 konvergierende Näherungsfolge ist abzubrechen, wenn der Fehler  D 108 unterschritten wird. Schätzen Sie die Anzahl n der mindestens erforderlichen Iterationsschritte ab. Aufgabe 3.8. Ermitteln Sie eine Lösung der Gleichungen aus Aufgabe 3.5 mit der ersten Form der Regula falsi bei einer Genauigkeitsschranke (Abbruchschranke) von  D 106 . Aufgabe 3.9. Ermitteln Sie eine Lösung der Gleichungen aus Aufgabe 3.5 mit der zweiten Form der Regula falsi bei einer Genauigkeitsschranke (Abbruchschranke) von  D 106 . Aufgabe 3.10. Bestimmen Sie mit dem Newtonschen Iterationsverfahren, ausgehend von einem geeigneten Startwert x .0/ , bei einer Genauigkeitsschranke von  D 108 die Lösungen der Gleichungen a)

f .x/ D x 3 C 2x 2 C 10x  20 D 0

b)

f .x/ D x  e x  1 D 0 Œ0:5; 

c)

f .x/ D x 2  5 D 0 Œ3; 3

d)

f .x/ D sin 2x  0:5x C 2 D 0

Œ0; 2

Œ1; 3.

Aufgabe 3.11. Bestimmen Sie mit dem Newtonschen Iterationsverfahren, ausgehend von einem geeigneten Startwert x .0/ , bei einer Genauigkeitsschranke von  D 108 die Lösungen der Gleichungen

79

Abschnitt 3.8 Aufgaben

a)

f .x/ D e 2x  2x 2  3x D 0

b)

f .x/ D x 6  5 D 0

Œ0; 2

c)

f .x/ D

7x

Œ0; 2

f .x/ D

5x 5

d)

9D0 C

4x 4

Œ3; 3

 3x 3  2x 2 C x C 3 D 0

Œ2; 2.

Aufgabe 3.12. Bestimmen Sie mit dem Newtonschen Iterationsverfahren, ausgehend von einem geeigneten Startwert x .0/ , bei einer Genauigkeitsschranke von  D 108 die Lösungen der Gleichungen a) b) c) d)

f .x/ D e x  sin 2x D 0 f .x/ D

e 1:6x



f .x/ D

x3

3x 2

f .x/ D

5x 6



C

5:88x 2

Œ0; 1

D 0 Œ1; 4

CxC3D0

3x 5



54x 4

Œ1; 5

C 60x 3  64x 2  5x C 7 D 0 Œ1; 5.

Aufgabe 3.13. Geben Sie für die Näherungsfolgen zur Ermittlung von Lösungen der Gleichungen aus Aufgabe 3.10, die mit dem Newtonschen Iterationsverfahren gefunden worden sind, Fehlerabschätzungen nach n D 5, n D 10 bzw. n D 15 Iterationsschritten an. Aufgabe 3.14. Für die Gleichungen aus Aufgabe 3.10 sind nach Überführung in iterierfähige Formen, mit geeigneten Startwerten x .0/ beginnend, Näherungswerte nach n D 10 Iterationsschritten zu bestimmen. Aufgabe 3.15. Für die Iterationsgleichungen aus Aufgabe 3.14 sind Konvergenzverbesserungen durch Verkleinern der Lipschitzkonstanten einzuführen und danach Näherungswerte nach n D 6 Iterationsschritten zu bestimmen. Aufgabe 3.16. Für die Iterationsgleichungen aus Aufgabe 3.14 sind Konvergenzverbesserungen mit dem Steffensen-Verfahren einzuführen und danach Näherungswerte nach n D 4 Iterationsschritten zu bestimmen.

Kapitel 4

Lineare Gleichungssysteme

4.1

Aufgabenstellung

Die numerische Auflösung von linearen Gleichungssystemen ist ein zentrales Thema der numerischen Mathematik. Viele Probleme der Anwendung der Mathematik führen auf lineare Gleichungssysteme. Aber auch als Zwischenschritt bei anderen Verfahren kommt der Auflösung von linearen Gleichungssystemen große Bedeutung zu. Zur ersteren Gruppe zählen z. B. Netzwerke, Optimierungs- und Lagerhaltungsprobleme und zur zweiten Gruppe z. B. Spline-Interpolation bzw. Finite-ElementeMethoden und die numerische Lösung von Differentialgleichungen. Das Gleichungssystem habe im Folgenden die Gestalt a11 x1 C a12 x2 C    C a1n xn D b1 a21 x1 C a22 x2 C    C a2n xn D b2 :: :: :: :: :: : : : : : an1 x1 C an2 x2 C    C ann xn D bn

(4.1)

oder in Matrizenschreibweise AxDb mit

0

a11 a12 B a21 a22 B ADB : :: @ :: : an1 an2

1 : : : a1n : : : a2n C C :: C ; :: : : A : : : ann

(4.2) 0

1 x1 B x2 C B C x D B : C; : @ : A xn

0

1 b1 B b2 C B C b D B : C: @ :: A

(4.3)

bn

Die theoretischen Grundlagen über die Lösbarkeit von linearen Gleichungssystemen werden als bekannt vorausgesetzt. Da numerisch eine existierende Lösung x berechnet werden soll, sind die Voraussetzungen dafür als gegeben anzusehen. Insbesondere müssen Existenz und Eindeutigkeit der Lösung gesichert sein. Es wird daher angenommen: Es sind n Gleichungen für n Unbekannte x1 ; x2 ; : : : ; xn vorhanden, die Matrix A ist vom quadratischen Typ .n; n/.





Die Koeffizienten des Gleichungssystems aij .i; j D 1; 2; : : : ; n/ sind reell.

81

Abschnitt 4.2 Eliminationsverfahren

Die rechten Seiten des Gleichungssystems bk .k D 1; 2; : : : ; n/ sind ebenfalls reell. Der Vektor der rechten Seiten b ist kein Nullvektor, also mindestens ein bk ist ungleich null.





Die Matrix A ist regulär, d. h. A D det A ¤ 0.

Die im Folgenden behandelten Möglichkeiten zur Lösung von linearen Gleichungssystemen obiger Art – Eliminationsverfahren mit Gaußschem Algorithmus – Rotationsverfahren mit Givens-Matrizen lassen sich auch auf allgemeine lineare Gleichungssysteme mit einer .m; n/Koeffizientenmatrix A und einem m-reihigen Vektor der rechten Seiten b a11 x1 C a12 x2 C    C a1n xn D b1 a21 x1 C a22 x2 C    C a2n xn D b2 :: :: :: :: :: : : : : : am1 x1 C am2 x2 C    C amn xn D bm

(4.4)

erweitern. Das Lösungsverhalten ist dann in Abhängigkeit von der Koeffizientenmatrix A und dem Vektor der rechten Seiten b vielfältiger. Neben eindeutigen Lösungen können vieldeutige, von willkürlichen reellen Parametern abhängende Lösungen auftreten oder auch keine Lösung existieren. Beispiel 4.1. Als begleitende Beispiele werden folgende lineare Gleichungssysteme behandelt 2x1  4x2 C 6x3  2x4 3x1  6x2 C 10x3 C 2x4 x1 C 3x2 C 13x3  6x4 5x2 C 11x3  6x4

4.2

D 3 D 4 ; D 3 D 5

1 x1 C x2 C 2 1 1 x1 C x2 C 2 3 1 1 x1 C x2 C 3 4

1 x3 D 1 3 1 x3 D 1 : 4 1 x3 D 1 5

Eliminationsverfahren

4.2.1 Gaußscher Algorithmus Zur Vereinfachung der Schreibweise und im Hinblick auf die praktische Durchführung auf einem Rechner wird eine schematische Darstellung benutzt. Im Falle n D 4 lässt sich das allgemeine Vorgehen hinreichend gut erläutern. Die schematische Dar-

82

Kapitel 4 Lineare Gleichungssysteme

stellung hat in diesem Fall die Gestalt x1 a11 a21 a31 a41

x2 a12 a22 a32 a42

x3 a13 a23 a33 a43

x4 a14 a24 a34 a44

1 b1 b2 : b3 b4

(4.5)

Beispiel 4.2. Für die Gleichungssysteme des Einführungsbeispiels ergeben sich die Schemata 2 4 6 2 3 3 6 10 2 4 1 3 13 6 3 0 5 11 6 5

1 und

1 2 1 3

1 2 1 3 1 4

1 1 3 1 1 : 4 1 1 5

Um bei der Rechnung Vorteile ausnutzen und um Rundungsfehler klein halten zu können, ist es oftmals wünschenswert, das Ausgangssystem oder entstehende Zwischensysteme so um zuordnen, dass die Lösung dadurch nicht verändert wird. Dazu können drei Arten von Äquivalenzoperationen ausgeführt werden: 

Vertauschung von Zeilen.



Multiplikation einer ganzen Zeile mit einer reellen Zahl l ¤ 0.



Addition eines Vielfachen einer Zeile zu einer anderen.

An der Reihenfolge der Spalten werden wir keine Änderungen vornehmen. Spaltenänderungen sind möglich, aber mit dem Wechsel von i -ter und j -ter Spalte müssen auch die beiden zugehörigen Variablen xi und xj vertauscht werden. Man sollte zuerst prüfen, ob das Ausgangssystem günstiger gestaltet werden kann, so darf beispielsweise keine Null als Pivotelement stehen. Bei der Rechnung mit der Hand kann eine Eins als Pivotelement die Rechnung deutlich vereinfachen. Andererseits sollte bei der maschinellen Lösung der Gleichungssysteme das betragsmäßig größte Element als Pivotelement genutzt werden, um die Rundungsfehler klein zu halten. Beispiel 4.3. Eine mögliche Umformung des ersten Schemas aus dem vorigen Beispiel könnte sein x1 x2 x3 x4 1 1 3 13 6 3 2 4 6 2 3 3 6 10 2 4 0 5 11 6 5

83

Abschnitt 4.2 Eliminationsverfahren

Die Zielstellung beim Gaußschen Algorithmus ist, unter Benutzung der Äquivalenzoperationen das vorliegende Ausgangssystem in die Dreiecksgestalt x1 r11 0 0 0

x2 r12 r22 0 0

x3 r13 r23 r33 0

x4 r14 r24 r34 r44

1 c1 c2 c3 c4

(4.6)

zu bringen. Diese Form hat den Vorteil, durch Auflösung von unten die Lösung einfach zu erhalten. Es ergibt sich c4 r44 c3 r31 c3 r31 c4 x3 D   x4 D   r33 r33 r33 r33 r44 :: : x4 D

Folgendermaßen ist vorzugehen: Es sei a11 ¤ 0. Dies lässt sich durch Vertauschungen immer erreichen. Das (eventuelle neue) Element a11 wird als Pivotelement bezeichnet. Danach subtrahieren wir von den i -ten Zeilen mit i  2 das ai1 =a11 -fache der ersten Zeile mit dem Ziel, außer a11 alle anderen Elemente der ersten Spalte zu null zu machen, x1

x2

x3

x4

1

a11 a12 a13 a14 b1 .1/

.1/

.1/

.1/

.1/ a32 .1/ a42

.1/ a33 .1/ a43

.1/ a34 .1/ a44

.1/ b3 .1/ b4

0 a22 a23 a24 b2 0 0

:

(4.7)

Als Abkürzungen werden benutzt: li1 D

ai1 a11

.1/

aik D aik  li1 a1k .1/

bi

D bi  li1 b1

.i D 2; 3; : : : ; n/ ; .i; k D 2; 3; : : : ; n/ ;

(4.8)

.i D 2; 3; : : : ; n/ :

Das neue Gleichungssystem ist zu dem alten äquivalent. Die erste Zeile bleibt erhalten, und es entsteht ein neues Untersystem (gekennzeichnet durch hochgestelltes (1)) von .n  1/ Gleichungen für .n  1/ Unbekannte x2 ; x3 ; : : : ; xn . Die Variable x1 ist eliminiert. Sie kann aus Zeile 1 berechnet werden, wenn x2 ; : : : ; xn bekannt sind.

84

Kapitel 4 Lineare Gleichungssysteme

Beispiel 4.4. Der erste Schritt der betrachteten Beispielsysteme liefert: a11 D 1 ¤ 0 a21 D2 l21 D a11 a31 l31 D a11

a11 D 1 ¤ 0

l31

x1 x2 x3 x4 1 1 3 13 6 3 0 10 20 10 3 0 15 29 20 13 0 5 11 6 5

x1 x2 x3 1 2 1 0 12 1 0 12 1

(anschließend Zeilentausch) x1 x2 x3 1 3 13 0 5 11 0 10 20 0 15 29

a21 1 D a11 2 a31 1 D D a11 3

l21 D

x4 1 6 3 6 5 10 3 20 13

1

1 1 3 1 3  12 2 2 4 45 3

.1/

Es sei jetzt a22 ¤ 0. Dies ist das Pivotelement des zweiten Schritts. Mit den Hilfsgrößen .1/

ai2

li2 D

.i D 3; 4; : : : ; n/

.1/

(4.9)

a22

lauten die Elemente nach dem zweiten Schritt: .2/

.1/

.1/

.i; k D 3; 4; : : : ; n/

.1/

.i D 3; 4; : : : ; n/

aik D aik  li2 a2k .2/

bi

.1/

D bi

 li2 b2

x1

x2

x3

x4

(4.10)

1

a11 a12 a13 a14 b1 .1/

.1/

.1/

.1/

.2/

.2/

.2/

.2/

.2/

.2/

0 a22 a23 a24 b2 0

0

a33 a34 b3

0

0

a43 a44 b4

(4.11)

85

Abschnitt 4.2 Eliminationsverfahren

Beispiel 4.5. Für die Gleichungssysteme des Einführungsbeispiels erhalten wir in diesem Schritt x1 x2 x1 1 0 0 0

x2 3 5 0 0

x3 13 11 2 4

x4 1 6 3 6 5 2 13 2 28

x3

1

1 1 3 : 1 3  12 2 1 13 0 180 6

1 2 1 0 12 1

und

0

Die Fortsetzung der Eliminationsschritte führt nach .n  1/ Schritten zu einem Schema, welches in absteigender Folge jeweils eine Unbekannte weniger enthält. Um die Koeffizienten einheitlich zu bezeichnen, definieren wir .0/

aik D aik .0/

bi

D bi

rik D

.i1/ aik .i1/

ci D bi

.i; k D 1; 2; : : : ; n/ .i D 1; 2; : : : ; n/

(4.12)

.k D i; i C 1; : : : n ; i D 1; 2; : : : ; n/ .i D 1; 2; : : : ; n/ :

Damit lautet die Endform x1 x2 x3 r11 r12 r13 0 r22 r23 0 0 r33 0 0 0

x4 r14 r24 r34 r44

1 c1 c2 : c3 c4

(4.13)

Beispiel 4.6. Die Abschlussschemata der beiden Beispielsysteme sind dann x1 x2 x1 1 0 0 0

x2 3 5 0 0

x3 13 11 2 0

x4 1 6 3 6 5 2 13 6 2

und

0

1

1 1 3 : 1 3  12 2 1 13 0 180 6

1 2 1 0 12 1

x3

86

Kapitel 4 Lineare Gleichungssysteme

Nach Ausführung des Schemas ergibt sich ein Gleichungssystem der Art r11 x1 C r12 x2 C    C r1n xn D c1 r22 x2 C    C r2n xn D c2

(4.14)

:: : rnn xn D cn : In Matrizenschreibweise kann dies zusammengefasst werden zu RxDc mit

0

r11 r12 B 0 r22 B RDB : : @ :: :: 0 0

1 : : : r1n : : : r2n C C : : :: C : : A : : : rnn

(4.15) 1 c1 B c2 C B C und c D B : C : @ :: A 0

(4.16)

cn

Dieses Gleichungssystem lässt sich rückwärts auflösen. Es ergibt sich: cn rnn cn1 rn1;n xn xn1 D  rn1;n1 rn1;n1 :: : c1 r12 x2 r1n xn x1 D     : r11 r11 r11 xn D

(4.17)

Diesen Prozess nennt man Rückwärtseinsetzen, da die Gleichungen in umgekehrter Reihenfolge zur Bestimmung der xi benutzt werden. Beispiel 4.7. Durch Rückwärtseinsetzen erhält man als Lösung der Beispielsysteme: 2 x4 D  D 0:3333 6 1 x3 D ¹13 C 2x4 º D 6:8333 2 1 x2 D ¹5  11x3 C 6x4 º D 13:6333 5 x1 D ¹3  3x2  13x3 C 6x4 º D 48:9333 ;

13 x3 D 180 D 390 6 ² ³ 1 3 x2 D 12   x3 D 408 2 12 ³ ² 1 1 x1 D 1 C x2  x3 D 75 : 2 3

87

Abschnitt 4.2 Eliminationsverfahren

4.2.2 Pivotstrategie Bei der Umstellung des linearen Gleichungssystems Ax D b in die Dreiecksform Rx D c ist es theoretisch erforderlich, dass die Pivotelemente nur von null verschieden sein müssen. In den Beispielen wurde versucht, für die Handrechnung günstige Zahlen in die Pivotposition zu bringen. Beim numerischen Rechnen mit dem Computer ist es dem Rechner gleichgültig, welche Zahl Pivotelement ist. Es kann aber bei ungünstiger Wahl der Pivotelemente ein Verlust der Rechengenauigkeit eintreten, besonders wenn die Größenordnungen der Matrixelemente unterschiedlich sind.

Beispiel 4.8. Zur Illustration sei ein einfaches Beispiel angeführt. Dabei werden reelle Zahlen in Gleitkommadarstellung mit fünfziffriger Mantisse d1 :d2 d3 d4 d5  10e benutzt. Es ist das lineare Gleichungssystem zu lösen 4:5608  104 x1 C 2:3674  100 x2 D 5:6277  100 1:2475  100 x1 C 1:3182  100 x2 D 7:0854  100 : Es wird der Gaußsche Eliminationsalgorithmus mit a11 D 4:5608  104 als Pivotelement benutzt. 4:5608  104

2:3674  100

5:6277  100

1:2475  100

1:3182  100

7:0854  100

104

100

100

4:5608 

2:3674 

5:6277 

l21 D

a21 a11

0 6:4742  103 1:5386  104

Durch Rückwärtseinsetzen ergeben sich x2 D 2:3765  100 ;

x1 D 3:4509  100 :

Das Einsetzen dieser Lösung in die Gleichungen führt zur Differenz von ı D 4:97 % zwischen errechneter und exakter rechter Seite bei der zweiten Gleichung.

88

Kapitel 4 Lineare Gleichungssysteme

Bei einer zweiten Durchrechnung werden vorher die Gleichungen getauscht 1:2475  100 x1 C 1:3182  100 x2 D 7:0854  100 4:5608  104 x1 C 2:3674  100 x2 D 5:6277  100 ; so dass nun mit a11 D 1:2475100 das größere Element der ersten Spalte Pivotelement ist. Mit 1:2475  100 1:3182  100 7:0854  100 4:5608  104 2:3674  100 5:6277  100 1:2475 

100

1:3182 

100

7:0854 

100

l21 D 

a21 a11

0 2:3669  100 5:6251  100 erhält man x2 D 2:3766  100

und

x1 D 3:1684  100 :

Beim Einsetzen der Lösungen ergibt sich eine Differenz von ı D 1:92  103 % zwischen errechneter und exakter rechter Seite bei der zweiten Gleichung. Allgemein erfolgt ein Genauigkeitsgewinn beim Ausführen des Gaußschen Eliminationsalgorithmus durch Wahl des betragsmäßig größten Elementes als Pivotelement. Es ist günstig, vor jedem Schritt im Gaußschen Eliminationsalgorithmus eine Pivotsuche vorzunehmen. Vor Ausführung des j -ten Schrittes wird die Zeile j mit derjenigen Zeile k, j  k  n vertauscht, die bei xj den betragsmäßig größten Koeffizienten besitzt. Dieser Tausch ist unter den angenommenen Bedingungen .det.A/ ¤ 0/ immer möglich.

Beispiel 4.9. Mit fünfziffriger Mantisse bei Gleitkommazahlen ist das lineare Gleichungssystem mit Pivotstrategie zu lösen: 9:0000  101 x1  6:2000  100 x2 C 4:6000  100 x3 D 2:9000  100 2:1000  100 x1 C 2:5120  103 x2  2:5160  103 x3 D 6:5000  100 1:3000  100 x1 C 8:8000  100 x2  7:6000  100 x3 D 5:3000  100 :

89

Abschnitt 4.2 Eliminationsverfahren

Das Gesamtschema des Gauß-Algorithmus hat dann die folgende Gestalt: 9:0000  101 6:2000  100 2:1000  100 1:3000  100 2:1000  100

4:6000  100

2:9000  100

2:5120  103 2:5160  103

6:5000  100

8:8000  100 7:6000  100 5:3000  100 2:5120  103 2:5160  103

9:0000  101 6:2000  100 1:3000  100 2:1000  100

2:1000  100 0

2:5120  103 2:5160  103

6:5000  100

1:0829  103 1:1430  101

1:5639  103 1:5651  103 1:2762  100 2:5120  103 2:5160  103

6:5000  100

1:5639  103 1:5651  103 1:2762  100

0 1:0828  103 2:1000  100

2:9000  100

8:8000  100 7:6000  100 5:3000  100

0 1:0828  103 0

4:6000  100

6:5000  100

1:0829  103 1:1430  101

2:5120  103 2:5160  103

6:5000  100

0

1:5639  103 1:5651  103 1:2762  100

0

0 7:2828  100 7:6930  100

Die erhaltenen Lösungen sind x3 D 1:0563  100 ;

x2 D 1:0563  100 ;

x1 D 5:1072  100 :

4.2.3 Givens-Verfahren Beim Gaußschen Eliminationsverfahren wird die .n; n/-Koeffizientenmatrix A des linearen Gleichungssystems A  x D b in eine obere .n; n/-Dreiecksmatrix B transformiert. Dabei wird der n-reihige Vektor der rechten Seiten b in einen n-reihigen Vektor c mit transformiert. Es entsteht ein äquivalentes lineares Gleichungssystem B  x D c, das durch Rückwärtseinsetzen einfach zu lösen ist. Dieselbe Zielstellung liegt auch weiteren Verfahren zugrunde, wobei Voraussetzungen an das lineare Gleichungssystem und an die Vorgehensweise unterschiedlich sein können. Zu nennen sind u. a. – Verfahren von Hessenberg – Verfahren von Householder – Verfahren von Givens (siehe Gander [31], Schwarz [73], Zurmühl und Falk [97]).

90

Kapitel 4 Lineare Gleichungssysteme

Im Folgenden ist das Givens-Verfahren kurz behandelt. Dazu werden die im Abschnitt über orthogonale Matrizen behandelten Givensrotationsmatrizen G.i;k/ ./ benutzt. Es liege das lineare Gleichungssystem A  x D b mit einer regulären .n; n/Koeffizientenmatrix A und einem n-reihigen Vektor der rechten Seiten b vor. Die Multiplikation von A mit der .n; n/-Givensmatrix G.i;k/ .i;k / 0

1 B :: B: B B0 B B0 B B0 B B G.i;k/ .i;k / D B ::: B B0 B B0 B B0 B B: @ ::

 :: :    :: :

0 :: :

0 :: :

1 0 0 :: :

0 c 0 :: :

   :: :

0 0 0 :: :

0 s 0 :: :

0  :: : : : : 0  0  1  :: : : : :

0 :: :

0 :: :

0 0 0 :: :

0 s 0 :: :

0  :: : : : : 0  0  0  :: : : : :

0 0 1 :: :

1 0 0 :: :

0 c 0 :: :

0 0 1 :: :

   :: :

   :: :

1 0 1. Z :: C :C C 0C C 0C C i. Z 0C C :: C :C C 0C C 0C C k. Z 0C C :: C :A

0  0 0 0  0 0 0  1 i. S

1. S

k. S

(4.18)

n. Z

n. S

kann durch Wahl von i;k und damit von c und s so erfolgen, dass die Zeilen 1 bis .i  1/, .i C 2/ bis .k  1/ und .k C 1/ bis n sowie die Spalten 1 bis .i  1/ in sich übergehen. Die restlichen Elemente der Zeilen i , .i C 1/ und k werden verändert, wobei stets aiCi;k D 0 erzeugt wird. So ergibt die Multiplikation G.1;2/ .1;2 /  A die Matrix 0

A.1;2/

c  a11 C s  a21 c  a12 C s  a22 B s  a11 C c  a21 s  a12 C c  a22 B B a31 a32 DB B :: :: @ : : an1

an2

1    c  a1n C s  a2n    s  a1n C c  a2n C C C  a3n C : (4.19) C :: :: A : : 

ann

Der frei verfügbare Winkel 1;2 wird so gewählt, dass s  a11 C c  a21 D a11  sin.1;2 / C a21  cos.1;2 / D 0 wird. Dies kann bewirkt werden durch tan.1;2 / D

a21 a11

bzw.

cot.1;2 / D

a11 ; a21

(4.20)

91

Abschnitt 4.2 Eliminationsverfahren

woraus folgt tan.1;2 / 1 s D sin.1;2 / D p Dp 2 1 C .tan.1;2 // 1 C .cot.1;2 //2 a21 Dq ; 2 2 a11 C a21 c D cos.1;2 / D

(4.21)

sin.1;2 / a11 D sin.1;2 /  cot.1;2 / D q : tan.1;2 / 2 2 a11 C a21

Es entsteht die Matrix 0

A.1;2/

.1;2/

.1;2/

a12 a11 B .1;2/ 0 a22 B B .1;2/ .1;2/ DB B a31 D a31 a32 D a32 B :: :: @ : : .1;2/

an1

.1;2/

D an1 an2

D an2

.1;2/ 1    a1;n .1;2/ C    a2n C .1;2/ C    a3n C C: : C :: : : : A .1;2/    ann

Multipliziert man die entstandene Matrix mit G.1;3/ .1;3 /, bildet man A.1;3/ D G.1;3/ .1;3 /  A.1;2/ D G.1;3/ .1;3 /  G.1;2/ .1;2 /  A ; .1;2/

.1;3/

so kann durch Wahl von 1;3 erreicht werden, dass neben a21 D a21 D 0 auch .1;3/ a31 D 0 wird. Ebenso können die weiteren Elemente der ersten Spalte unterhalb des ersten Elementes zum Verschwinden gebracht werden. Insgesamt folgt: A.1;n/ D G.1;n/ .1;n /  G.1;n1/ .1;n1 /    G.1;3/ .1;3 /  G.1;2/ .1;2 /  A 1 0 .1;n/ .1;n/ .1;n/ a11 a12    a1;n B .1;n/ .1;n/ C B 0 a22    a2;n C C DB (4.22) :: C : :: B :: :: : @ : : A : 0

.1;n/

an2

.1;n/

   ann

Das gleiche Vorgehen wird zur Reduktion der entstandenen Untermatrix 0

.1;n/

a22 B :: @ :

.1;n/

an2

.1;n/ 1    a2n :: C :: : : A .1;n/    ann

92

Kapitel 4 Lineare Gleichungssysteme

von A.1;n/ benutzt. Es ergibt sich 0

G.2;n/ .2;n /    G.2;3/ .2;3 /  A.1;m/

.2;n/

a B 22 B 0 DB B :: @ : 0

1 .2;n/ .2;n/ a23    a2n .2;n/ .2;n/ C a33    a3n C C D A.2;n/ : :: :: ::: C : : A .2;n/ .2;n/ an3    ann

Der Gesamtweg ist somit abgesteckt. Man erhält schließlich: G.n1;n/ .n1;n /  G.n2;n/ .n2;n /  G.n2;n1/ .n2;n1 /       G.1;n/ .1;n /    G.1;2/ .1;2 /  A 1 .n;n/ .n;n/ .n;n/ a11 a12    a1n B .n;n/ .n;n/ C B 0 a22    a2n C .n;n/ B DB : D B: :: C :: :: CDA : : : A : @ : 0

0

0

(4.23)

.n;m/

   ann

Damit ergibt sich die Möglichkeit, das lineare Gleichungssystem A  x D b in die Form zu bringen G.n1;n/ .n1;n /    G.1;2/ .1;2 /  A  x D G.n1;n/ .n1;n /    G.1;2/ .1;2 /  b bzw. B  x D c:

(4.24)

Letzteres lineares Gleichungssystem kann durch Rückwärtseinsetzen gelöst werden. Beispiel 4.10. Das dieses Kapitel begleitende lineare Gleichungssystem A  x D b mit der Koeffizientenmatrix A und dem Vektor der rechten Seiten b ist mit Hilfe des Givens-Verfahrens auf eine Dreiecksgestalt zu transformieren. Mit 0

1 2 4 6 2 B 3 6 10 2 C C ADB @ 1 3 13 6 A ; 0 5 11 6 erhält man nacheinander

0

1 3 B 4 C C bDB @ 3A 5

93

Abschnitt 4.2 Eliminationsverfahren

Schritt 12:

q

2 2 a11 C a21 D

p

0

A.1;2/

Schritt 13:

2 3 13, c D p , s D p , 13 13

42 2 26 13 p p p Bp B 13 13 13 13 B B 10 2 B 0 0 p p B 13 13 DB B B 1 3 13 6 B B @ 0 5 11 6

q

2 C a2 D a11 31

p

C C C C C C C; C C C C A

Schritt 14:

55 4 14 23 p p p Bp B 14 14 14 14 B 2 10 B B 0 0 p p B 13 13 DB B 80 B 0 p65 p127 p B 182 182 182 B @ 0 5 11 6

q

2 2 a11 C a41 D

0

A.1;4/

p

b.1;2/

6 B p B 13 B B 17 B p B 13 DB B B 3 B B @ 5

1 C C C C C C CI C C C C A

13 3 13 ,sD p , 14, c D p p Dp 13  14 182 14

0

A.1;3/

0

1

1 C C C C C C C; C C C C A

0

b.1;3/

B B B B B B DB B B B B @

3 p 14 17 p 13 45 p 182 5

1 C C C C C C CI C C C C A

14, c D 1, s D 0,

55 4 14 23 p p p Bp 14 14 14 B 14 B 10 2 B B 0 0 p p B 13 13 DB B 127 80 65 B 0 p p p B 182 182 182 B @ 0 5 11 6

0

1 C C C C C C C; C C C C A

b.1;4/

B B B B B B DB B B B B @

3 p 14 17 p 13 45 p 182 5

1 C C C C C C CI C C C C A

94

Kapitel 4 Lineare Gleichungssysteme

p 5  13 Schritt 23: C D p , c D 0, s D 1, 14 0 0 1 1 55 4 14 23 3 p p p Bp B p C C B 14 B 14 C 14 14 14 C B B C C 127 80 C 65 B B 45 C B 0 p Bp C C p p B B C 182 182 182 C A.2;3/ D B C ; b.2;3/ D B 182 C I B B 17 C C 10 2 B 0 B p C C 0 p p B B C C 13 13 C B B 13 C @ @ A A 0 5 11 6 5 q

2 a22

2 a32

p p 39 42 ,sD , C Schritt 24: 9 9 1 1 0 0 55 4 14 23 3 p p p C C Bp B p B 14 B 14 C 14 14 14 C C C B B B B 25 C 164 C C C B 0 p135 p281 p Bp C B B 378 C .2;4/ .2;4/ 378 378 378 C CI B B A DB DB ; b C 10 C 2 C B B 17 C 0 p p C C B 0 B p B B 13 C 13 13 C C C B B @ @ 110 A 2 A 16 0 0 p p p 351 351 351 p p q 2 7 3 3 8 2 2 C a43 D Schritt 34: a33 p , c D p p , s D p p , 3 3 7  13 13  7 0 0 1 1 55 4 14 23 3 p p p Bp B p C C B 14 B 14 14 14 C 14 C B B C C B B 25 C 164 C B 0 p135 p281 B C C p B B p378 C C .3;4/ .3;4/ 378 378 378 B B C C: DB DB A ; b C 14 22 C B B 103 C C 0 p p B 0 Bp C C B B 3549 C 3549 3549 C B B C C @ @ 2 A A 6 0 0 0 p p 7 7 q

2 a22

2 a42

45 D p ,c D 42

Durch Rückwärtseinsetzen ergeben sich die Lösungen 734 D 48:933333 ; 15 41 x3 D D 6:833333 ; 6 x1 D

409 D 13:633333 ; 30 1 x4 D D 0:333333 : 3

x2 D

95

Abschnitt 4.2 Eliminationsverfahren

4.2.4 Cholesky-Verfahren bei symmetrischer Koeffizientenmatrix Es wird vorausgesetzt, dass die Koeffizientenmatrix A des linearen Gleichungssystems symmetrisch ist, d. h. es gilt AT D A. Außerdem muss A positiv definit sein. Der Nachweis der positiven Definitheit ist bei umfangreichen Matrizen nicht leicht zu erbringen. Siehe insbesondere Abschnitt 1.2.3.1. In der Praxis ist aber von verschiedenen Problemen bekannt, dass die dabei auftretenden Matrizen positiv definit sind. Für positiv definite Matrizen A gibt es eine Zerlegung der Art 1 0 l11 0    0 B l21 l22    0 C C B A D LLT mit L D B : : : (4.25) : C: @ :: :: : : :: A ln1 ln2    lnn Das zugehörige lineare Gleichungssystem kann man dann in den folgenden Darstellungsformen angeben: Ax D b

!

LLT x D b

!

L.LT x/ D b :

(4.26)

Es wird durch LT x D y

(4.27)

ein zunächst noch unbestimmter Hilfsvektor y eingeführt. Aus Ly D b ergibt sich ein lineares Gleichungssystem zur Bestimmung von y D .y1 y2 : : : yn /T . Da L eine Dreiecksmatrix ist, können die yi .i D 1; 2; : : : ; n/ aus l11 y1 D b1 l21 y1 C l22 y2 D b2 :: : ln1 y1 C ln2 y2 C    C lnn yn D bn durch Vorwärtseinsetzen berechnet werden zu: b1 l11 b2  l21 y1 y2 D l22 :: :

y1 D

yn D

bn  ln1 y1  ln2 y2      ln;n1 yn1 : lnn

(4.28)

96

Kapitel 4 Lineare Gleichungssysteme

Danach lassen sich aus LT x D b durch Rückwärtseinsetzen die x1 ; x2 ; : : : ; xn ermitteln: l11 x1 C l21 x2 C    C ln1 xn D y1 l22 x2 C    C ln2 xn D y2 :: : lnn xn D yn yn xn D lnn :: : y2  l32 x3      ln2 xn x2 D l22 y1  l21 x2      ln1 xn x1 D : l11 Es bleibt noch die Dreiecksmatrix 0 1 0 l11 0    0 a11 a12 B l21 l22    0 C B a21 a22 B C B LDB : : : : C aus A D B :: :: @ :: :: : : :: A @ : : ln1 ln2    lnn

an1 an2

(4.29)

1    a1n    a2n C C :: C :: : : A    ann

zu bestimmen. Dazu kann der Algorithmus von Cholesky-Banachiewicz benutzt werden. Für i D 1; 2; : : : ; n führe man jeweils die folgenden beiden Schritte durch: a) Für k D 1; 2; : : : ; n berechne ² ³ k1 X 1 lim lkm : lik D aik  (4.30) lkk mD1

b) Berechne

v u i1 u X 2 lim : li i D tai i  mD1

Beispiel 4.11. Untersucht wird das lineare Gleichungssystem C x4 D 3 4x1 C x2 C D 2 x1 C 4x2 C x3 x2 C 4x3 D 1 x1 C x4 D 1 mit der Koeffizientenmatrix

0

4 B1 ADB @0 1

1 4 1 0

0 1 4 0

1 1 0C C; 0A 4

(4.31)

97

Abschnitt 4.2 Eliminationsverfahren

die bereits als positiv definit befunden wurde. Es ist L zu bestimmen. Man erhält i D 1 W l11 D i D 2 W l21 D l22 i D 3 W l31 l32 l33 i D 4 W l41 l42 l43 l44

p

a11 D 2

1

¹a21 º D

1 2

l11 r p q 1 15 2 D a22  l21 D 4  D 4 2 1 D ¹a31 º D 0 l11 2 1 D ¹a32  l31 l21 º D p l22 15 r q 56 4 2 2 D D a33  l31 l32 D 4  15 15 1 1 D ¹a41 º D l11 2 ² ³ 2 1 1 1 D  D p ¹a42  l41 l21 º D p l22 4 15 2 15 r ² ³ 2 1 15 1 1 Dp p D p p ¹a43  l41 l31  l42 l32 º D l33 56 2 15 15 15 56 r r q 1 1 1 209 2  l2  l2 D  D : D a44  l41 4  42 43 4 4  15 15  56 56

Mit 0

2 1 2

0 0 p0 B 15 B 0 0 B 2 r B 56 LDB B 0 p2 0 B 15 r 15 B @1 1 209 1 p p 2 56 15 15  56 folgt aus Ly D b die Zwischenstufe b1 3 D l11 2 b2  l21 y1 11 y2 D D p l22 2 15 y1 D

1 C C C C C C C C A

0

und

1 3 B 2 C C bDB @ 1A 1

98

Kapitel 4 Lineare Gleichungssysteme

b3  l31 y1  l32 y2 26 Dp l33 15  56 b4  l41 y1  l42 y2  l43 y3 110 y4 D D p : l44 56  209

y3 D

Aus LT x D y ergibt sich schließlich die Lösung y4 110 D 0:52632 D l44 209 y3  l43 x4 99 x3 D D 0:47368 D l33 209 y2  l32 x3  l42 x4 187 x2 D D 0:89474 D l22 209 y1  l21 x2  l31 x3  l41 x4 231 x1 D D 1:1053 : D l11 209

x4 D

Beispiel 4.12. Die zu dem linearen Gleichungssystem 0 1 1 x1 C x2 C x3 D 1 B 2 3 B B 1 1 1 x1 C x2 C x3 D 1 gehörende Matrix A D B B B 2 3 4 @ 1 1 1 x1 C x2 C x3 D 1 3 4 5

1 1 2 1 3

1 2 1 3 1 4

1 3 1 4 1 5

1 C C C C C C A

ist bereits als positiv definit bestimmt worden. Es kann die Dreiecksmatrix L berechnet werden i D 1 W l11 D

1 1 ¹a11 º D ; l11 2 q 1 2 D a22  l21 Dp ; 12 1 1 D ¹a31 º D ; l33 3 1 1 D ¹a32  l31 l21 º D p ; l22 12 q 1 2 2 D a33  l31  l32 D p : 3 20

i D 2 W l21 D l22 i D 3 W l31 l32 l33

p a11 D 1 ;

99

Abschnitt 4.2 Eliminationsverfahren

Daraus erhält man p b1 b2  l21 y1 b3  l31 y1  l32 y2 13 ; D 1; y2 D D 3 3 ; y3 D D l11 l22 l33 6 y3 y2  l32 x3 y1  l21 x2  l31 x3 x3 D D 390 ; x2 D D 408 ; x1 D D 75 : l33 l22 l11

y1 D

4.2.5 Nachiteration Trotz optimaler Auswahl der Pivotelemente können beim Gaußschen Algorithmus erhebliche Rundungsfehler entstehen, die zu ungenauen Resultaten führen. Durch eine angeschlossene Nachiteration lässt sich die Genauigkeit oftmals steigern. Es sei A die Koeffizientenmatrix und b der Vektor der rechten Seiten des linearen Gleichungssystems Ax D b : (4.32) Dabei ist x der exakte Lösungsvektor. Durch die numerische Rechnung sei eine erste Näherungslösung .1/ .1/ x.1/ D .x1 x2 : : : xn.1/ /T (4.33) gefunden worden. Durch r.1/ D Ax.1/  b

(4.34)

wird der Residuenvektor .1/

r.1/ D .r1

.1/

r2

: : : rn.1/ /T

(4.35)

erklärt. Wenn x.1/ die exakte Lösung ist, so gilt r.1/ D 0. Durch eine Nachiteration soll für die erhaltene Näherung x.1/ eine Korrektur x.1/ ermittelt werden, die zu einer genaueren Lösung führt. Man fordert A.x.1/ C x.1/ / D b und erhält Ax.1/ C Ax.1/ D b

und

Ax.1/ C r.1/ D 0 :

(4.36)

Es ergibt sich wiederum ein lineares Gleichungssystem mit der gleichen Koeffizientenmatrix A wie beim Ausgangssystem. Die rechten Seiten r.1/ sind die oben eingeführten Residuen. Die Lösung dieses Gleichungssystems ist der Korrekturvektor x.1/ . Mit Erfolg kann aber nur gerechnet werden, wenn bei der Nachiteration mit einer längeren Mantisse bei Gleitkommazahlen gearbeitet wird, z. B. mit doppeltgenauen Zahlen. Weitere Nachiterationen können angeschlossen werden.

100

Kapitel 4 Lineare Gleichungssysteme

Beispiel 4.13. Das lineare Gleichungssystem C x4 D 3 4x1 C x2 x1 C 4x2 C x3 D 2 x2 C 4x3 D 1 C 4x4 D 1 x1 wird zunächst mit Gleitkommazahlen bei dreiziffriger Mantisse gelöst. Dazu ist der Gaußsche Eliminationsalgorithmus zu benutzen: 4:00  100

1:00  100

0

1:00  100

3:00  100

1:00  100

4:00  100

1:00  100

0

2:00  100

0

1:00  100

4:00  100

0

1:00  100

1:00  100

0

4:00  100

1:00  100

4:00  100

1:00  100

0

1:00  100

0

3:75  100

1:00  100 2:50  101 2:75  100

0

1:00  100

4:00  100

0

0

2:50  101

0

3:75  100

1:75  100

4:00  100

1:00  100

0

1:00  100

3:00  100

0

3:75  100

0

0

3:73  100

6:68  102

0

0

6:67  102

3:73  100

4:00  100

1:00  100

0

1:00  100

0

3:75  100

0

0

3:73  100

6:68  102

1:73  100

0

0

0

3:73  100

1:96  100

3:00  100 1:00  100

1:00  100 2:50  101 2:75  100 1:73  100 3:00  100

1:00  100 2:50  101 2:75  100

Als erste Näherung x.1/ und Residuenvektor r.1/ erhält man: .1/

D 5:25  101

r1

.1/

D

4:73  101

x4 x3

.1/ x2 .1/ x1

D 8:94  D

101

1:10  100

.1/

D 1:9  102

r2

.1/

D 0

.1/ r3 .1/ r4

D 0 D 0

101

Abschnitt 4.2 Eliminationsverfahren

Damit wird die Nachiteration ausgeführt: 4:00 1:00000  100 1:00 4:00000  100 0 1:00000  100 1:00 0 4:00 1:00000  100 0 3:75000  100 0 1:00000  100 0 2:50000  101 4:00 1:00000  100 0 3:75000  100 0 0 0 0 4:00 1:00000  100 0 3:75000  100 0 0 0 0

0 1:00000  100 4:00000  100 0 0 1:00000  100 4:00000  100 0 0 1:00000  100 3:73333  100 6:66667  102 0 1:00000  100 3:73333  100 0

1:00000  100 0 0 4:00000  100 1:00000  100 2:50000  101 0 3:75000  100 1:00000  100 2:50000  101 6:66667  102 3:73333 1:00000  100 2:50000  101 6:66667  102 3:73214  100

1:90000  102 0 0 0 1:90000  102 4:75000  103 0 4:75000  103 1:90000  102 4:75000  103 1:26667  103 5:06667  103 1:90000  102 4:75000  103 1:26667  103 5:08929  103

Der Korrekturvektor x.1/ führt zur verbesserten Lösung x.2/ D x.1/ C x.1/ : .1/

x4

.1/ x3 .1/ x2 .1/ x1

D 1:36364  103 D

4:30167  103

D 1:47229  103 D

5:45898  103

.2/

1:10546  100

x1

D

.2/ x2 .2/ x3 .2/ x4

D 8:95472  101 D 4:73430  101

:

D 5:26364  101

4.2.6 Berechnung der inversen Matrix Mit dem Gaußschen Eliminationsalgorithmus lässt sich zu einer regulären Matrix A die zugehörige inverse Matrix A1 bestimmen. Es seien die reguläre Matrix A und eine noch unbekannte Matrix X 0

a11 a12 B a21 a22 B ADB : :: @ :: : an1 an2

1    a1n    a2n C C :: C ; :: : : A    ann

0

x11 x12 B x21 x22 B XDB : :: @ :: : xn1 xn2

1    x1n    x2n C C :: C :: : : A    xnn

(4.37)

gegeben. Die Matrix X ist so zu bestimmen, dass AX D E gilt. Denkt man sich die

102

Kapitel 4 Lineare Gleichungssysteme

Spalten der Matrizen X und E als Vektoren 1 0 0 1 x1i 0 B :: C B :: C B : C B:C C B B C C B C xi D B B xi i C bzw. ei D B 1 C ; B :: C B :: C @ : A @:A xni 0

(4.38)

so lässt sich obige Matrizengleichung in Form von n linearen Gleichungssystemen Axi D ei

bzw. A .x1 x2 : : : xn / D .e1 e2 : : : en /

(4.39)

formulieren, die alle die gleiche Koeffizientenmatrix A besitzen. Diese n linearen Gleichungssysteme können gemeinsam unter Benutzung des Gaußschen Eliminationsalgorithmus aufgelöst werden. Ausgangspunkt ist ein Koeffizientenschema der folgenden Art: a11 a12    a1n 1 0    0 a21 a22    a2n 0 1    0 (4.40) : : : : : :: :: : : : :: :: :: : : :: : : an1 an2    ann 0 0    1 Durch Benutzung der Äquivalenzoperationen wird das Ausgangsschema in eine Dreiecksform transformiert: r11 r12 0 r22 :: :: : : 0 0

   r1n c11 c12    r2n c21 c22 :: :: : : :: : : : :    rnn cn1 cn2

   c1n    c2n : : :: : :    cnn

(4.41)

Daraus können die xij durch Rückwärtseinsetzen ermittelt werden: xni D xn1;i D :: : x1i D

cni rnn

1

rn1;n1

¹cn1;i  rn1;n xni º .i D 1; 2; : : : ; n/

(4.42)

1 ¹c1i  r1n xni      r12 x2i º : r11

Als Ergebnis erhält man die inverse Matrix 0 x11 x12 B x21 x22 B A1 D B : :: @ :: : xn1 xn2

1    x1n    x2n C C : C: :: : :: A    xnn

(4.43)

103

Abschnitt 4.2 Eliminationsverfahren

Bei der Verwendung des Gaußschen Eliminationsalgorithmus zur Bestimmung der inversen Matrix können ebenfalls alle oben angeführten Erweiterungen benutzt werden. Beispiel 4.14. Zu der Matrix

1 2 3 2 AD@1 2 1A 1 1 0 0

ist die Inverse gesucht. Aus dem Schema des Gauß-Algorithmus 2

3

2

1 0 0

1

2

1

0 1 0

1 1

0

0 0 1

2

3 2 1 0 0 1 1 0 0  1 0 2 2 1 5 0  1  0 1 2 2 2 0 0

3 2 1 0 0 1 1 0  1 0 2 2 0 1 3 5 1

erhält man die Elemente der inversen Matrix x31 D 3 x21 D 1 x11 D 1 und damit die gesuchte Inverse A1

x32 D 5 x22 D 2 x12 D 2

x33 D 1 x23 D 0 x13 D 1

0

1 1 2 1 D @ 1 2 0 A : 3 5 1

Beispiel 4.15. Es ist die Inverse der Hilbertschen Matrix 0 1 1 1 B 1 C 2 3C B B1 1 1C C ADB B C B2 3 4C @1 1 1A 3 4 5

104

Kapitel 4 Lineare Gleichungssysteme

zu bestimmen. Aus dem Gaußschen Schema 1 1 2 1 3 1 0 0 1 0 0

1 1 1 0 2 3 1 1 0 1 3 4 1 1 0 0 4 5 1 1 1 0 2 3 1 1 1 1  12 12 2 1 1 4 0  12 45 3 1 1 1 0 2 3 1 1 1 1  12 12 2 1 1 0 1 180 6

0 0 1 0 0 1 0 0 1

kann man wieder die Elemente der Inversen ablesen: x31 D 30 x21 D 36 x11 D 9 Die Inverse ist dann

x32 D 180 x22 D 192 x12 D 36

x33 D 180 x23 D 180 x13 D 30 :

1 9 36 30 D @ 36 192 180 A : 30 180 180 0

A1

4.2.7 Abschätzung der Fehlerfortpflanzung Es sei das lineare Gleichungssystem in Matrizenform Ax D b gegeben. Anstelle der exakten Eingangswerte A und b muss ein solches Gleichungssystem oftmals mit fehlerbehafteten Eingangswerten .A C A/ bzw. .b C b/ behandelt werden. Als Lösungsvektor von .A C A/  .x C x/ D b C b folgt ohne Berücksichtigung von Rundungsfehlern ein ebenfalls fehlerbehafteter Vektor x C x. Dabei ist von Bedeutung, in welchem Maße die Abweichung x der ermittelten Lösung von der exakten Lösung des Systems von den Eingangsfehlern A und b abhängt. Es sei k  k eines der im Kapitel 2 eingeführten Normenpaare k  k1 oder k  k1 und cond.A/ D kA1 k  kAk die auf der gewählten Norm basierende relative Konditionszahl des linearen Gleichungssystems. Dann lässt sich für den relativen Fehler

105

Abschnitt 4.2 Eliminationsverfahren

des Lösungsvektors kıxk D kxk=kxk unter der Bedingung kA1 kkAk  1 die folgende Abschätzung herleiten (siehe Maeß [47]): ° ± kbk kAk cond.A/ C kxk kbk kAk kıxk D  kAk kxk 1  cond.A/ kAk (4.44) ± ° kAk kA1 k kAk kbk C kbk kAk : D 1 1  kA kkAk Um diese Abschätzung praktisch nutzen zu können, ist die häufig aufwändige Bestimmung von cond.A/ oder kA1 k erforderlich. Bei Verfahren zur Auflösung von speziellen linearen Gleichungssystemen sind mitunter einfache Abschätzungen für die Konditionszahlen angebbar. Beispiel 4.16. Es ist das lineare Gleichungssystem 0 1 1 x1 C x2 C x3 D 1 B 2 3 B B 1 1 1 x1 C x2 C x4 D 0 mit A D B B B 2 3 4 @ 1 1 1 x1 C x2 C x3 D 1 3 4 5

1 1 2 1 3

1 2 1 3 1 4

1 3 1 4 1 5

1

x D .x1 x2 x3 / D .21 144  150/ : Für die Hilbert-Matrix sind aus Beispiel 4.15 die Inverse 1 9 36 30 D @ 36 192 180 A 30 180 180 0

und aus Beispiel 2.11 die Normen ²

³ 11 65 47 11 I I D 1:8333 D kAk1 D max 6 60 60 6 kA1 k1 D max ¹75I 408I 390º D 408 cond.A/ D 408  bereits bekannt.

11 D 748 6

1

C B 1C C B C C B C C und b D B 0 C C B C C B C A @ A 1

zu lösen. Als exakter Lösungsvektor ergibt sich

A1

0

106

Kapitel 4 Lineare Gleichungssysteme

a) Im linearen Gleichungssystem wird 1=3 durch 0:3333 ersetzt. Es ist das fehlerbehaftete lineare Gleichungssystem zu lösen: x1 C0:5000x2 C0:3333x3 D 1 0:5000x1 C0:3333x2 C0:2500x3 D 0 0:3333x1 C0:2500x2 C0:2000x3 D 1 : Es gilt 0 B B A D B B @

0 0 1   104 3

0 1   104 3 0

1 1   104 C 3 C C 0 C A 0

und

kAk D

1  104 : 3

Bei Benutzung von Zahlen mit fünf Dezimalen besitzt dieses Gleichungssystem den Lösungsvektor x3 D 1:0563  100 ;

x2 D 1:0563  100 ;

x1 D 5:1072  100 :

Für den relativen Fehler kıxk ergibt sich aus der Rechnung bzw. aus der Abschätzung kıxk D 8:256  103

und

kıxk 

748 

1 3

1  748 

 104 1 3

 104

D 2:557  102 :

b) Im Ausgangsgleichungssystem wird der Vektor b durch die Näherung 1 1 0 0 0:1 1:1 0 A ; kbk D 0:1 ; kbk D 1 0 A ; b D @ bQ D @ 0:1 1:1 ersetzt. Aus der Abschätzungsformel ergibt sich für den relativen Fehler kıxk  cond .A/ 

kbk  748  0:1 D 74:8 : kbk

Das genäherte lineare Gleichungssystem 1 1 x1 C x2 C x3 D 1:1 2 3 1 1 1 x1 C x2 C x4 D 0 2 3 4 1 1 1 x1 C x2 C x3 D 1:1 3 4 5 besitzt den Lösungsvektor xQ D .23:375 158:95  165/

und

kıxk D 15 :

107

Abschnitt 4.3 Iterationsverfahren

4.3

Iterationsverfahren

Es ist ein lineares Gleichungssystem der Art a11 x1 C a12 x2 C    C a1n xn D b1 a21 x1 C a22 x2 C    C a2n xn D b2 :: :

(4.45)

an1 x1 C an2 x2 C    C ann xn D bn bzw. mit 0

a11 a12 B a21 a22 B ADB : :: @ :: : an1 an2

1    a1n    a2n C C :: C ; :: : : A    ann

0

1 x1 B x2 C C B x D B : C; @ :: A xn

Ax D b

0

1 b1 B b2 C B C b D B : C; @ :: A bn (4.46)

vorgelegt. Dabei wird vorausgesetzt, dass die Matrix A regulär ist. Im vorigen Abschnitt wurden mögliche Verfahren zur Auflösung derartiger Gleichungssysteme angegeben, die aber besonders bei großem n praktisch zu numerischen Problemen durch Instabilitäten infolge von Rundungsfehlern und von Datenfehlern führen können und zudem bei großer Anzahl der Unbekannten unübersichtlich werden. Der Gaußsche Algorithmus hat bei Benutzung auf Rechnern den weiteren Nachteil, dass bei einer großen Anzahl der Gleichungen ein hoher Speichervorrat des Rechners erforderlich wird. In diesen Fällen bietet sich als Ausweg eine iterative Lösung des linearen Gleichungssystems an. Man beginnt mit einer Schätzung x.0/ für den Lösungsvektor x, benutzt das Gleichungssystem, um einen besser angenäherten Vektor x.1/ zu ermitteln, und gewinnt auf diese Weise fortfahrend weitere Näherungen x.2/ ; x.3/ ; : : :. Wenn Konvergenz der Folge x.1/ ; x.2/ ; : : : nachgewiesen werden kann, lässt sich der Lösungsvektor x mit beliebiger Genauigkeit annähern.

4.3.1 Gesamtschritt- oder Jacobi-Verfahren Es wird vorausgesetzt, dass die Koeffizientenmatrix, eventuell nach Zeilentausch im linearen Gleichungssystem, Hauptdiagonalelemente ai i ¤ 0 .i D 1; : : : ; n/ besitzt.

108

Kapitel 4 Lineare Gleichungssysteme

Dann lässt sich das lineare Gleichungssystem umschreiben in 1  a12 x2  a13 x3      a1n xn º ¹b1 a11 1  a23 x3      a2n xn º x2 D ¹b2  a21 x1 a22 :: : 1 xn D ¹bn  an1 x1  an2 x2      an;n1 xn1 º : ann x1 D

(4.47)

Wären die xi in den geschweiften Klammern bekannt, könnten die gesuchten Lösun.k/ gen xj links sofort berechnet werden. Wenn die Näherung xi – mit der Anfangs.0/ schätzung xi – vorliegt, lässt sich aus dem linearen Gleichungssystem eine neue .kC1/ Näherung xi ermitteln, von der eine Verbesserung der Ausgangsnäherung erhofft werden kann. Damit ergibt sich als Schema des Gesamtschrittverfahrens nach Jacobi für k D 1; 2; : : : .kC1/

x1

.kC1/

x2

xn.kC1/

1 .k/ .k/ ¹b1  a12 x2  a13 x3      a1n xn.k/ º a11 1 .k/ .k/ D ¹b2  a21 x1  a23 x3      a2n xn.k/ º (4.48) a22 :: : 1 .k/ .k/ .k/ D ¹bn  an1 x1  an2 x2      an;n1 xn1 º: ann D

Es werden folgende zusätzliche Bezeichnungen eingeführt 0 1 a11 a12    a1n B a21 a22    a2n C B C ADB : : C D R C D C L mit :: : : @ :: : :: A : an1 an2    ann 1 0 0  0 B a21 0    0 C B C RDB : :: : : :: C ; @ :: : :A : an1 an2    0 1 0 0 a12    a1n B 0 0    a2n C C B LDB: : : : C; @ :: :: : : :: A 0

0 0 

0

1 a11 0    0 B 0 a22    0 C C B DDB : :: C ; :: : : @ :: : : A : 0 0    ann 0

(4.49)

109

Abschnitt 4.3 Iterationsverfahren

1 x1 B x2 C C B x D B : C; @ :: A

1 b1 B b2 C B C b D B : C; @ :: A

0

xn

1 .k/ x1 B .k/ C B x2 C C DB B :: C : @ : A 0

0

x.k/

bn

.k/

xn

Dann kann das Gesamtschrittverfahren in Matrixform geschrieben werden: ® ¯ .k D 1; 2; : : :/ : x.kC1/ D D1 b  .R C L/ x.k/

(4.50)

4.3.2 Abbruch beim Gesamtschrittverfahren Das Iterationsverfahren erzeugt eine Folge von Vektoren x.k/ .k D 1; 2; : : :/, die bei Erfüllung bestimmter Konvergenzkriterien gegen die exakte Lösung x streben, diese aber erst nach unendlich vielen Schritten zu erreichen braucht. Es muss deshalb bereits vor Beginn des Iterationsalgorithmus für eine Abbruchregelung gesorgt sein. Eine solche Abbruchregelung ist auf verschiedene Arten möglich: a) Es wird ein festes n0 vorgegeben, bei dem das Iterationsverfahren anzuhalten ist. b) Es wird eine Genauigkeitsschranke  vorgegeben. Das Iterationsverfahren wird beendet, falls kx.kC1/  x.k/ k <  erfüllt ist, wobei k  k eine der eingeführten Vektornormen bezeichnet. c) Es wird eine Kombination von a) und b) benutzt. Beispiel 4.17. Es ist das lineare Gleichungssystem 6x1 C3x2 C2x3 D 6 x1 C5x2 3x3 D 0 2x1 Cx2 4x3 D 8 mit der Genauigkeitsschranke  D 0:5  102 zu lösen. Die Iterationsvorschrift lautet: .kC1/

x1

.kC1/

x2

.kC1/

x3

1 .k/ .k/ ¹6  3x2  2x3 º 6 1 .k/ .k/ ¹ x1 D C 3x3 º 5 1 .k/ .k/ D  ¹8 C 2x1  x2 º: 4 D

110

Kapitel 4 Lineare Gleichungssysteme .0/

.0/

.0/

Mit der Anfangsnäherung x1 D x2 D x3 D 0 ergibt sich: .k/

k x1 0 0:0000  100 1 0:1000  101 2 0:6167  100 3 0:6000  10 4 :: :: : : 11 0:9632  100 12 0:9757  100 13 0:9839  100 14 0:9894  100 15 0:9932  100

.k/

.k/

x2 x3 kx.k/  x.k1/ k 0 0:0000  10 0:0000  100 0 0:2000  10 0:1450  101 0:7467  100 0:1878  101 0:1127  101 0:2281  101 0:6166  100 :: :: :: : : : 0:1969  101 0:2974  101 0:1979  101 0:2983  101 0:1250  10 1 0:1986  101 0:2989  101 0:8200  10 2 0:1991  101 0:2993  101 0:5500  10 2 0:1994  101 0:2992  101 0:3800  10 2

Die hinreichend genaue Näherung und die exakte Lösung lauten 1 0 0 1 0:9932  100 1 x.15/ D @ 0:1994  101 A ; xex D @ 2 A : 3 0:2992  101

4.3.3 Einzelschritt- oder Gauß-Seidel-Verfahren Im obigen Iterationsschema können im .k C 1/-ten Schritt bereits verbesserte Werte .kC1/ xi sofort mitbenutzt werden. Das Einzelschrittverfahren nach Gauß-Seidel besitzt dann für k D 1; 2; : : : das Schema .kC1/

x1

.kC1/

x2

xn.kC1/

1 .k/ .k/ ¹b1  a12 x2  a13 x3  : : :  a1n xn.k/ º a11 1 .kC1/ .k/ D ¹b2  a21 x1  a23 x3  : : :  a2n xn.k/ º a22 :: : (4.51) 1 .kC1/ .kC1/ .kC1/ D ¹bn  an1 x1  an2 x2  : : :  an;n1 xn1 º: ann D

In Matrizenschreibweise folgt x.kC1/ D D1 ¹b  Rx.kC1  Lx.k/ º :

(4.52)

4.3.4 Abbruch beim Einzelschrittverfahren Die Abbruchregeln beim Einzelschrittverfahren sind denen beim Gesamtschrittverfahren völlig äquivalent.

111

Abschnitt 4.3 Iterationsverfahren

Beispiel 4.18. Das lineare Gleichungssystem Cx3 D 4:9 4:1x1 C1:9x2 1:9x1 C6:1x2 C2:9x3 D 5:1 x3 C2:9x2 C4:9x3 D 1:0 ist mit der Genauigkeitsschranke  D 104 zu lösen. Die Iterationsvorschrift lautet: .kC1/

D

.kC1/

D 0:8361  0:3115x1

.kC1/

D

x1 x2 x3

.k/

1:1951 .kC1/ .kC1/

0:2041  0:2041x1 .0/

Mit der Anfangsnäherung x1 verlauf: .k/ k x1 0 0:0000 1 1:1951 2 1:5904 3 1:7517 :: :: : :

.k/

 0:4634x2  0:2439x3

.0/

D x2

.k/

.k/

 0:4754x3

.0/

D x3

x2 0:0000 1:2084 1:6525 1:7894 :: :

.kC1/

 0:5918x2

:

D 0 ergibt sich folgender Iterations-

.k/

x3 kx.k/  x.k1/ k 0:0000 0:8574 0:8574 0:9055 0:1613  100 :: :

8 1:8240 1:8427 0:9223 9 1:8241 1:8428 0:9224 0:1000  104 10 1:8241 1:8428 0:9224 0 Die ausreichende Näherungslösung und die exakte Lösung sind 1 1:8241 D @ 1:8428 A 0:9224 0

x.10/

1 1:82 D @ 1:84 A : 0:92 0

und

xex

4.3.5 Konvergenz beim Gesamtschrittverfahren Bei der Verwendung von Iterationsverfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme ist vor Beginn der Rechnung zu sichern, dass die Iterationsfolge konvergiert. Beispiel 4.19. Das lineare Gleichungssystem 3:16x1 4:07x2 C1:99x3 D 5:76 2:08x1 C2:61x2 C3:53x3 D 4:27 1:54x1 C2:31x2 C2:11x3 D 3:73

112

Kapitel 4 Lineare Gleichungssysteme

soll iterativ mit dem Gesamtschrittverfahren gelöst werden. Die zugehörige Iterationsvorschrift .kC1/

D

.kC1/

D 1:6360  0:7969x1

.kC1/

D

x1 x2 x3

.k/

1:8228

.k/

C 1:2880x2  0:6297x3 .k/

.k/

 1:3525x3

.k/

.k/

1:7678 C 0:7299x1  1:0948x2 .0/

.0/

.0/

führt mit der Startnäherung x1 D x2 D x3 D 0 zu folgendem Iterationsverlauf: k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

.k/

x1 0:0000 1:8228 1:3976 8:3137 11:6157 5:7149 6:8961 12:8771 2:0655 20:9293 34:4231

.k/

x2 0:0000 1:6360 5:4795 7:1352 4:1356 2:8717 5:8704 0:3714 12:4040 19:9007 7:7542

.k/

x3 0:0000 1:7678 4:8894 6:7460 3:5112 2:1828 5:5474 0:3743 10:7602 16:8553 8:2788

Diese Iterationsfolge x.k/ strebt keinem Grenzwert zu, das Gesamtschrittverfahren konvergiert nicht. Die exakte Lösung des obigen linearen Gleichungssystems lässt sich mit dem Gaußschen Algorithmus zu x1 D 5:7600 ;

x2 D 4:2701 ;

x3 D 3:7302

bestimmen. Zur Konvergenz des Gesamtschrittverfahrens gibt es folgende Aussage: Satz 4.1. Das Gesamtschritt- oder Jacobi-Verfahren für das lineare Gleichungssys.0/ .0/ .0/ tem Ax D b, das mit dem Ausgangsvektor x1 D x2 D : : : D xn begonnen wird, strebt für k ! 1 der Lösung x zu, wenn eine der folgenden Bedingungen erfüllt ist: P a j < 1, a) maxi njD1 j aij ii j ¤i

b)

maxj

Pn

aij iD1 j ai i i¤j

j < 1.

Beispiel 4.20. Die Koeffizientenmatrix 0

1 6 3 2 A D @ 1 5 3 A 2 1 4

113

Abschnitt 4.3 Iterationsverfahren

des im Beispiel 4.17 behandelten Gleichungssystems erfüllt beide im Satz 4.1 genannten Kriterien: ¯ ® P a a) maxi 3j Di j aij j D max 56 I 45 I 34 D 56 < 1, ii j ¤i

b)

maxj

P3

aij iD1 j ai i i¤j

j D max

® 13

3 14 20 I 4 I 15

¯

D

14 15

< 1.

Beispiel 4.21. Im Gegensatz dazu sind bei der Matrix 1 0 3:16 4:07 1:99 A D @ 2:08 2:61 3:53 A 1:54 2:31 2:11 aus dem Beispiel 4.19 beide Kriterien nicht erfüllt: P a a) maxi 3j D1 j aij j D max ¹1:9177I 2:1494I 1:8246º D 2:1494 > 1, ii j ¤i

b)

maxj

P3

aij iD1 j ai i i¤j

j D max ¹1:5268I 2:3828I 1:9822º D 2:3828 > 1.

4.3.6 Konvergenz beim Einzelschrittverfahren Das Einzelschrittverfahren konvergiert ebenfalls unter den Bedingungen a) und b) des vorigen Abschnittes. Es lässt sich aber in bestimmten Fällen auch bei einer Verletzung dieser Bedingungen Konvergenz nachweisen, falls das Sassenfeld-Kriterium erfüllt ist. Satz 4.2 (Sassenfeld-Kriterium). Die Folge der Näherungen x.k/ beim Einzelschritt.0/ .0/ .0/ verfahren mit der Anfangsnäherung x1 D x2 D : : : D xn D 0 konvergiert mit k ! 1 gegen die Lösung x des linearen Gleichungssystems Ax D b, wenn Faktoren km , gebildet aus ˇ n ˇ X ˇ a1i ˇ ˇ ˇ k1 D ˇa ˇ ; iD2

km D

11

ˇ ˇ ˇ n X ˇ ami ˇ ˇ ami ˇ ˇ ki C ˇ ˇ ˇ ˇa mˇ ˇa ˇ m mm

m1 Xˇ iD1

iDmC1

die Bedingung k0 D max¹km º < 1 m

erfüllen. Beispiel 4.22. Die Matrix

1 6 3 2 A D @ 1 5 3 A 2 1 4 0

.m D 2; 3; : : : ; n/ ;

114

Kapitel 4 Lineare Gleichungssysteme

des Gleichungssystems aus Beispiel 4.17 erfüllt ebenfalls das Sassenfeld-Kriterium. Für die Faktoren k1 ; k2 ; k3 ergibt sich k1 D

5 ; 6

k2 D

23 ; 30

k3 D

73 120

5 < 1: 6

k0 D

und damit

Beispiel 4.23. Mit der Matrix 1 3:16 4:07 1:99 A D @ 2:08 2:61 3:53 A 1:54 2:31 2:11 0

aus Beispiel 4.19 erfüllt auch das Sassenfeld-Kriterium nicht: k1 D 1:9177 ;

k2 D 2:8808 ;

k3 D 4:5535 ;

k0 D 4:5535 > 1 :

4.3.7 Fehlerabschätzung bei Iterationsverfahren Die Lösung des linearen Gleichungssystems Ax D b kann bei vorausgesetzter Regularität der Koeffizientenmatrix A in eine Iterationsvorschrift der Art x.kC1/ D Tx.k/ C v überführt werden (siehe Maeß [47]). Es bezeichnen 0 1 1 0 a11 a12    a1n x1 B a21 a22    a2n C B x2 C B C C B ADB : ; x D B :: C ; :: C :: : : @ :: A @ : : : : A 0

an1 an2    ann

1

0

(4.53)

1 b1 B b2 C B C b D B : C; @ :: A 0

xn

a11 0    0 0 0 B a21 0 0 a22    0 C C B : C ; L D B :: :: : : :: :: @ : : :: A : : : 0 0    ann an1 an2 1 0 0 a12    a1n B 0 0    a2n C C B RDB: : : :: C ; A D D C L C R : : : : @: : : : A 0 0  0 B B DDB @

  :: :

bn 1

0 0C C :: C ; :A

 0

(4.54)

Beim Gesamtschrittverfahren ergibt sich aus Ax D b Dx.kC1/ D b  .L C R/ x.k/ x.kC1/ D D1 b  D1 .L C R/ x.k/ :

(4.55)

115

Abschnitt 4.3 Iterationsverfahren

Mit T D D1 .L C R/

und

v D D1 b

(4.56)

ist eine iterierfähige Form x.kC1/ D Tx.k/ C v gefunden. Dabei ist D1 einfach bildbar: 0 1 B a11 B B B 0 1 D DB B : B :: B @ 0

0



1  a22 :: : : : : 0



(4.57) 1

0 C C C 0 C C: :: C : C C 1 A

(4.58)

ann

Die Vorschrift beim Einzelschrittverfahren ergibt: Dx.kC1/ D b  Rx.k/  Lx.kC1/ .D C L/ x.kC1/ D b  Rx.k/ x.kC1/ D .D C L/1 b  .D C L/1 Rx.k/ :

(4.59)

Wird T D  .D C L/1 R und

v D .D C L/1 b

(4.60)

gesetzt, so ist eine iterierfähige Form x.kC1/ D Tx.k/ C v

(4.61)

entstanden. Allerdings ist die Ermittlung der inversen Matrix .D C L/1 in diesem Fall aufwändiger. Die Iterationsvorschrift x.kC1/ D Tx.k/ C v erzeugt aus einem x.0/ , z. B. x.0/ D .0 0 : : : 0/T , eine Folge von Näherungen x.1/ ; x.2/ ; : : :. Unter Benutzung des Fixpunktsatzes von Banach können Aussagen über diese Näherungsfolge x.k/ .k D 1; 2; : : :/ erhalten werden. Satz 4.3. Es sei x? die exakte Lösung des linearen Gleichungssystems und ı .k/ D x.k/  x? die Differenz zwischen k-ter Näherung und exakter Lösung. Die Iterationsmatrix T erfülle in einer der eingeführten Normen die Bedingung kTk D M < 1 : Dann strebt die Näherungsfolge x.k/ für k ! 1 gegen die eindeutige Lösung x? . Für die Differenz ı .k/ gelten die Abschätzungen

116

Kapitel 4 Lineare Gleichungssysteme

a)

kı .k/ k 

b)

kı .k/ k 

M .k/  x.k1/ k 1M kx Mk .1/  x.0/ k 1M kx

(a-posteriori-Abschätzung), (a-priori-Abschätzung).

Aus der a-priori-Abschätzung kann bei einer vorausgesetzten, mindestens zu erreichenden Genauigkeit  bereits nach dem ersten Iterationsschritt die Gesamtzahl der erforderlichen Schritte abgeschätzt werden: kı .n/ k < 

führt zu

n>

ln  ln.1  M /



: ln x.1/  x.0/ ln M

(4.62)

Beispiel 4.24. Es wird das lineare Gleichungssystem betrachtet 0 1 0 1 6 3 2 6 Ax D b mit A D @ 1 5 3 A und b D @ 0 A ; 2 1 4 8 für das die Konvergenz bereits nachgewiesen ist. Die Zerlegung der Koeffizientenmatrix ergibt: 1 1 0 1 0 0 0 3 2 0 0 0 6 0 0 D D @ 0 5 0 A ; L D @ 1 0 0 A ; R D @ 0 0 3 A : 0 0 0 2 1 0 0 0 4 A) Gesamtschrittverfahren Für die Iterationsvorschrift benötigt man noch folgende Matrizen: 1 0 1 0 0C B 1 0 C B6 0 3 2 C B 1 @ 1 0 3 A ; D1 D B 0C C ; .L C R/ D B 0 C B 5 2 1 0 @ 1A 0 0  4 1 0 1 1 C B 0 1 0 2 3C B 1 C B1 3 ; v D @ 0 A: T D B 0  C C B B5 5C 2 A @1 1  0 2 4 Mit ² ³ 5 4 3 5 D D M < 1; kTk1 D max I I 6 5 4 6 x.0/ D .0 0 0/

und

x.1/ D .1 2  1:45/

erhält man folgende Abschätzungen für den Fehler nach 3 und nach 15 Schritten:

117

Abschnitt 4.3 Iterationsverfahren

a) a-posteriori-Abschätzung kı .3/ k 

kD3W

k D 15 W kı .15/ k 

5 6

1

5 6

5 6

1

5 6

kx.3/  x.2/ k D 5  0:6166 D 3:083 ; kx.15/  x.14/ k D 5  0:0038 D 0:0190 :

b) a-priori-Abschätzung kD3W

kı

.3/

 5 3

k

k D 15 W kı .15/ k 

6

kx.1/ 5 1 6  5 15 6 kx.1/ 1  56

 x.0/ k D 3:47  1:45 D 5:035 ;  x.0/ k D 0:389  1:45 D 0:565 :

B) Einzelschrittverfahren Folgende Matrizen sind zur Bildung der Iterationsvorschrift nötig: 0

.D C L/1

Wegen

1 1 0 0C B 6 B C B C 1 1 B DB  0C C; B C 30 5 @ 11 1 1A   120 20 4

1 1 1 B0   C 2 3C B B 2C 1 C; B TDB0 C B 10 3 C @ 11 1 A 0 40 3 0

0

1

B 1 C C B B 1 C C: B vDB C B 5 C @ 29 A  20

³ 5 5 23 73 D DM 0 W l D k 0 W l ¤k

für alle l; k :

Wenn zusätzlich die Bedingung Z .k ; k / D

b a

k .x/Nk .x/dx D bk D 1

für alle k

erfüllt ist, spricht man von einem Orthonormalsystem. Ein Orthogonalsystem ¹1 ; 2 ; : : : ; n º ist durch ³ ² 1 1 1 p 1 ; p 2 ; : : : ; p n b2 b1 bn in ein Orthonormalsystem überführbar. Die Orthogonalität und die Normiertheit eines Funktionensystems sind dabei an das Intervall gebunden. Beispiel 5.10. Das System von komplexen Funktionen k .x/ D e i

kx p

D cos

kx kx C i sin p p

.k 2 Z/

(5.14)

144

Kapitel 5 Approximation von Funktionen

ist bezüglich des Intervalls Œ0; 2p ein Orthogonalsystem. Zum Nachweis der Orthogonalität nutzt man die Beziehung Nk .x/ D e i

kx p

D cos

kx kx  i sin : p p

Damit erhält man für dieses Funktionensystem im Fall n ¤ k Z 2p Z 2p .nk/x nx kx e i p e i p dx D e i p dx .n ; k / D 0

0

ˇ2p ˇ ˇ D  ip .e i2.nk/  1/ ˇ .n  k/

p ei i.n  k/ 0   ip D cos 2.n  k/  sin 2.n  k/  1 2.n  k/ ip .1  0  1/ D 0 : D 2.n  k/ .nk/x p

D

In Fall n D k ergibt sich Z .n ; n / D

2p

e

i nx i nx p p

e

Z

2p

dx D

0

1 dx D 2p : 0

Damit ist das System ein Orthogonalsystem. Das zugehörige Orthonormalsystem ist   kx 1 1 kx i kx k .x/ D p C i sin e p Dp .k 2 Z/ : (5.15) cos p p 2p 2p Das Orthogonalsystem (5.14) besteht aus Funktionen mit dem Periodenintervall Œ0; 2p. Systeme aus periodischen Funktionen bleiben auch bei einer Verschiebung des Intervalls orthogonal bzw. orthonormal. Die System (5.14) und (5.15) sind daher auch bezüglich des Intervalls Œp; p ein Orthogonal- bzw. Orthonormalsystem. Die Bedeutung von Orthonormalsystemen bei der Approximation von Funktionen ergibt sich aus den folgenden Überlegungen, die hier für den reellen Fall dargestellt werden. Das Ergebnis ist aber in ähnlicher Form auch für komplexwertige Funktionen gültig. Es sei ¹l .x/; l D 1; 2; : : : ; nº ein Orthonormalsystem auf Œa; b. Die Funktion f .x/ sei auf Œa; b definiert. Das verallgemeinerte Polynom n X

cl l .x/

lD1

soll nach der Methode der kleinsten Quadrate an f angepasst werden. Die zugehörige Extremwertaufgabe !2 Z b n X F .c1 ; c2 ; : : : ; ; cn / D cl l .x/ dx ) minŠ f .x/  a

lD1

145

Abschnitt 5.3 Stetige Approximation

liefert als notwendige Bedingung für ein Extremum das Gleichungssystem ! Z b n X @F f .x/  D 2 cl l .x/ k .x/dx .k D 1; 2; : : : ; n/ @ck a lD1 ! Z b Z b n X D 2 f .x/k .x/dx  cl l .x/k .x/dx D 0 a

a

lD1

für die Koeffizienten cl . Wegen der Orthonormalität Z

²

b

l .x/k .x/dx D

a

1 W l Dk 0 W l ¤k

verschwinden mit einer Ausnahme alle Summanden der in der Klammer stehenden Summe. Das System vereinfacht sich dann zu Z

b a

f .x/k .x/dx  ck D 0 .k D 1; 2; : : : ; n/ :

Für ein verallgemeinertes Polynom aus Funktionen eines Orthonormalsystems sind die Koeffizienten deshalb durch Z b ck D f .x/k .x/dx .k D 1; 2; : : : ; n/ (5.16) a

direkt zu berechnen. Ähnlich einfach ist die Berechnung der Koeffizienten ck , wenn das verallgemeinerte Polynom aus Funktionen eines Orthogonalsystems mit der Eigenschaft ² Z b bk > 0 W l D k .l ; k / D l .x/k .x/dx D 0 W l ¤k a gebildet wird. Das zu lösende Gleichungssystem vereinfacht sich dann zu 1 ck D bk

Z

b a

f .x/k .x/dx

.k D 1; 2; : : : ; n/ :

(5.17)

5.3.2 Legendresche Polynome Ein wichtiges Orthogonalsystem sind die auf dem Intervall Œ1; 1 orthogonalen Legendreschen Polynome k .x/ D

1 dk 2 .x  1/k 2k kŠ dx k

.k D 0; 1; : : : ; n/ :

(5.18)

146

Kapitel 5 Approximation von Funktionen

Der Faktor vor der Ableitung in den Legendreschen Polynomen ist kein Normierungsfaktor im Sinne eines Orthonormalsystems. Die klassische Definition der Legendreschen Polynome 0 .x/ D .x 2  1/0 D 1 ; 1 .x/ D 2 .x/ D 3 .x/ D 4 .x/ D 5 .x/ D

1 d 2 .x  1/ D x ; 2 dx 1 d2 2 1 .x  1/2 D .3x 2  1/ ; 2 2 2 2 dx 2 3 1 d 1 .x 2  1/3 D .5x 3  3x/ ; 23 3Š dx 3 2 1 d4 2 1 .x  1/4 D .35x 4  30x 2 C 3/ ; 4 4 2 4Š dx 8 1 d5 2 1 .x  1/5 D .63x 5  70x 3 C 15x/ ; 5 5 2 5Š dx 18

:: : ist so angelegt, dass alle Polynome die Eigenschaft l .1/ D 1 haben. Die Legendreschen Polynome sind nicht orthonormal, es gilt Z

8 ˆ
ˆ 2 > ˆ > ˆ ˆ 1 > > ˆ ; : c Œ0246 D 1 .c Œ04  e i 2 c Œ26 / D 3 1 2 9 2 1 8 1> 1 ˆ ˆ > ˆ c0Œ1357 D .c0Œ15 C c0Œ37 / D > > ˆ > ˆ 4> 2 ˆ > ˆ ˆ > ˆ  Œ37 1 > 1 Œ15 Œ1357 > ˆ = < c1 D D .c1 C e i 2 c1 / 2 2 ) ˆ 1 > 1 Œ15 > ˆ Œ1357 Œ37 > ˆ D D .c0  c0 / c2 > ˆ > ˆ > ˆ 4 > 2 ˆ > ˆ ˆ  Œ37 1 > 1 Œ15 > ˆ Œ1357 ; : c3 D D .c1  e i 2 c1 / 2 2 1 D 2 1 D 2

1 4 1i D 4 1 D 4 1Ci D 4

D

D0 1i 4 1 D 4 1Ci : D 4 D

Abschnitt 6.4 Interpolation mit periodischen Funktionen

3. Schritt:

Œ0246 c0 Œ0246

c1

Œ0246

c2

Œ0246

c3

Œ1357 c0 Œ1357

c1

Œ1357

c2

Œ1357

c3

1 D 4 1i D 4 1 D 4 1Ci D 4

9 > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > =

> > > D0 > > > > > 1i > > > > D > 4 > > > > 1 > > > D > 4 > > > > 1Ci > > ; D 4

)

8 ˆ ˆ Œ01234567 ˆ c0 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ Œ01234567 ˆ ˆ c1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ Œ01234567 ˆ ˆ c2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ Œ01234567 ˆ ˆ c ˆ ˆ 3 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ < ˆ ˆ Œ01234567 ˆ c4 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ Œ01234567 ˆ ˆ c5 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ Œ01234567 ˆ ˆ c6 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ Œ01234567 ˆ ˆ c7 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ :

1 Œ0246 1 Œ1357 D .c0 C c0 /D 2 8 1 Œ0246 Œ1357 i  D .c1 C e 4 c1 / 2 p 1  i.1 C 2/ D 8 2 Œ1357 1 Œ0246 D .c2 C e i 4 c2 / 2 1 C i D 8 3 Œ1357 1 Œ0246 D .c3 C e i 4 c3 / 2 p 1 C i.1  2/ D 8 1 Œ0246 1 Œ1357 D .c0  c0 /D 2 8 1 Œ0246 Œ1357 i  D .c1  e 4 c1 / 2 p 1 C i.1 C 2/ D 8 2 Œ1357 1 Œ0246 D .c2  e i 4 c2 / 2 1  i D 8 3 Œ1357 1 Œ0246 D .c3  e i 4 c3 / 2 p 1 C i.1 C 2/ D : 8

273

274

Kapitel 6 Interpolationsprobleme

Daraus erhält man als Interpolierende das komplexe Fourier-Polynom

F4 .x/ D

7 X

ck e i

kD0

D

2kx 2

D

7 X

ck e ikx

kD0

p 1  1 C .1  i  2i /e ix C .1 C i /e i2x 8 p p C .1 C i  2i /e i3x  e i4x C .1  i C 2i /e i5x p   .1 C i /e i6x C .1 C i C 2i /e i7x

und nach dem Satz 6.10 das reelle Fourier-Polynom

F4 .x/ D

3 X a0 a4 .ak cos kx C bk sin kx/ C C cos 4x 2 2 kD0

p 1C 2 1 1 1 1 sin x  cos 2x  sin 2x D  C cos x C 8 4 4 4 4 p 1 1 C 2 1 C cos 3x C sin 3x  cos 4x : 4 4 16 Zur Veranschaulichung wird auch noch eine Grafik (s. Bild 6.29) des reellen FourierPolynoms angegeben. 1

–1

1

–1

Bild 6.29. Das mit der schnellen Fourier-Transformation gewonnene trigonometrische Interpolationspolynom mit 23 Knoten zur Sägezahnfunktion.

Abschnitt 6.4 Interpolation mit periodischen Funktionen

275

Beispiel 6.38. Die Rechteckkurve aus dem Beispiel 5.12 ´ f .x/ D

h W 0x

> ˆ 1 1 > ˆ > > ˆ > ˆ > < .2 C 2/ D 2 > ˆ f0 D 2 = .2 C 0/ D 1 > > ˆ > > ˆ > 2 2 > ˆ ) > > ˆ > > ˆ > > ˆ > ˆ  1 1 > > ˆ > ˆ i 2 > ; : = < f8 D 2 .2  2/ D 0 .0 C e 2/ D i > > > 2 9 82 > ) > > > ˆ > ˆ 1 1 > > ˆ > ˆ > > ˆ .2  0/ < .2  2/ D 0 > > D 1 f4 D 2 = ˆ > > ˆ > > ˆ 2 2 > > ˆ ) > > ˆ > > ˆ > ˆ1 >  1 > ˆ > ˆ > i 2 ; : ; : = f12 D 2 .2 C 2/ D 2 .0  e 2/ D i 9 82 9 82 ) > > ˆ 1 1 > ˆ > > ˆ > ˆ > < .2  2/ D 0 > ˆ .0 C 0/ D 0 f2 D 2 = > > ˆ > > ˆ > 2 2 > ˆ > ) > ˆ > > ˆ > > ˆ > ˆ1  1 > > ˆ > ˆ i 2 ; : = < > f10 D 2 .2 C 2/ D 2 .2 C e 2/ D 1  i > > > 2 9 82 > ) > > > ˆ > ˆ > 1 1 > ˆ > ˆ > ˆ < .2  2/ D 0 > > .0  0/ D 0 f6 D 2 = > ˆ > > ˆ > > ˆ 2 2 > > ˆ ) > > ˆ > > ˆ > ˆ >  1 1 > ˆ > ˆ i 2 ; : ; : ; .2 C 2/ D 2 .2  e 2/ D 1 C i > f14 D 2 2 2 9 9 8 9 8 > > ˆ 1 1 > ˆ > > ˆ > ˆ > < .2  2/ D 0 > ˆ .0 C 0/ D 0 f1 D 2 = > > ˆ > > ˆ > 2 2 > ˆ ) > > ˆ > > ˆ > > ˆ > ˆ  1 1 > > ˆ > ˆ i ; : = < 2 .2 C 2/ D 2 .2 C e 2/ D 1  i > f9 D 2 > > > 2 2 9 8 > ) > > > ˆ > ˆ 1 1 > > ˆ > ˆ > > ˆ < .2  2/ D 0 > > f5 D 2 = .0  0/ D 0 ˆ > > ˆ > > ˆ 2 2 > > ˆ ) > > ˆ > > ˆ > ˆ  1 1 > ˆ > ˆ > i : .2  e 2 2/ D 1 C i > : .2 C 2/ D 2 ; = f13 D 2 ; 2 2 9 8 9 8 ) > > ˆ 1 1 > ˆ > > ˆ > ˆ > < .2  2/ D 0 > ˆ f3 D 2 = D 0 > > ˆ 2 .0 C 0/ > > ˆ > 2 > ˆ > ) > ˆ > > ˆ > > ˆ > ˆ  1 1 > ˆ > ˆ i > : .2 C 2/ D 2 = < .2 C e 2 2/ D 1  i > > f11 D 2 ; > > 2 9 82 > ) > > > ˆ > ˆ > 1 1 > ˆ > ˆ > > ˆ = < > .2  2/ D 0 > .0  0/ D 0 f7 D 2 ˆ > > ˆ > > ˆ 2 2 > > ˆ ) > > ˆ > > ˆ > ˆ >  1 1 > ˆ > ˆ i ; : : .2 C 2/ D 2 ; f15 D 2 ; .2  e 2 2/ D 1 C i > 2 2

277

Abschnitt 6.4 Interpolation mit periodischen Funktionen

8 ˆ 1 1 ˆ ˆ .1 C 0/ D ˆ ˆ ˆ 2 2 p ˆ ˆ ˆ    1 .1  2/i ˆ i 4 ˆ .1  i / D ˆ i Ce ˆ ˆ 2 2 ˆ ˆ ˆ 2 1 1 ˆ ˆ ˆ .1 C e i 4 0/ D ˆ ˆ 2 2 ˆ p ˆ ˆ  ˆ 3 1 .1  2/i ˆ i < i C e 4 .1 C i / D 2 2 ˆ 1 1 ˆ ˆ .1  0/ D ˆ ˆ ˆ 2 2p ˆ ˆ ˆ    2  1/i 1 . ˆ i ˆ  i  e 4 .1  i / ˆ D ˆ ˆ 2 2 ˆ ˆ ˆ 2 ˆ 1 1 ˆ ˆ .1  e i 4 0/ D ˆ ˆ 2 2 ˆ p ˆ ˆ  ˆ 3 .1 C 2/i 1 ˆ i : i  e 4 .1 C i / D 2 82 ˆ 1 ˆ ˆ .0 C 0/ D0 ˆ ˆ ˆ2 p ˆ ˆ ˆ    1  .1 C 1 2/i ˆ i ˆ 1  i C e 4 .1  i / D ˆ ˆ ˆ 2 2 ˆ ˆ ˆ 2 1 ˆ ˆ ˆ .0 C e i 4 0/ D0 ˆ ˆ 2 ˆ p ˆ ˆ  1 C .1  2/i ˆ 3 1 ˆ i < 1 C i C e 4 .1 C i / D 2 2 ˆ 1 ˆ ˆ .0  0/ D0 ˆ ˆ ˆ 2 p ˆ ˆ ˆ  1 1 C . 2  1/i ˆ i  ˆ ˆ 1  i  e 4 .1  i / D ˆ ˆ 2 2 ˆ ˆ ˆ 2 ˆ 1 ˆ ˆ .0  e i 4 0/ D0 ˆ ˆ 2 ˆ p ˆ ˆ  ˆ 3 1 1 C .1 C 2/i ˆ i : 1 C i  e 4 .1 C i / D 2 2

9 > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > = > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > ;

)

278

Kapitel 6 Interpolationsprobleme

8   ˆ 1 1 ˆ ˆ ˆ C 0 D ˆ ˆ ˆ2 2 ˆ p ! p ˆ ˆ ˆ 1  .1 C 2/i 1 .1  2/i ˆ i  ˆ Ce 8 D ˆ ˆ ˆ2 2 2 ˆ ˆ ˆ ˆ  ˆ 1 1 ˆ ˆ i  ˆ 4 C e 0 D ˆ ˆ ˆ 2 2 ˆ ˆ p ! p ˆ ˆ ˆ 3 1 C .1  1 .1  2/i 2/i ˆ i ˆ Ce 8 D ˆ ˆ 2 2 2 ˆ ˆ ˆ ˆ   ˆ ˆ ˆ 1 1 ˆ i  2 ˆ Ce 0 D ˆ ˆ ˆ2 2 ˆ ! ˆ p p ˆ ˆ 1 . 2  1/i 5 1 C . 2  1/i ˆ ˆ ˆ C e i 8 D ˆ ˆ2 2 2 ˆ ˆ ˆ ˆ   ˆ ˆ 1 1 ˆ i 3 ˆ 4 ˆ Ce 0 D ˆ ˆ 2 2 ˆ ˆ ! p p ˆ ˆ ˆ 7 1 C .1 C 2/i 1 .1 C 2/i ˆ ˆ C e i 8 D ˆ

ˆ 0 ˆ D .c00 C c04 C c08 / D f 0 D c0 D 0 > c0 > ˆ > ˆ 3 9 > ˆ = < 2 4 2 1 2 Œ0;4;8 f4 D c04 D > ) ˆ c1 D .c00 C c04 e i 3 C c08 e i 3 / D  ˆ 3> 3 9 > ˆ > ˆ > ˆ 4 8 2 1 2 > ˆ : c Œ0;4;8 D .c 0 C c 4 e i 3 C c 8 e i 3 / D  f8 D c08 D ; 0 0 2 3 3 0 9 8 1 5 ˆ Œ2;6;10 2 6 10 ˆ ˆ D .c0 C c0 C c0 / D c0 ˆ ˆ 3 9 9 ˆ ˆ ˆ > ˆ 2 4 1 1 Œ2;6;10 > ˆ > ˆ f2 D c02 D D .c02 C c06 e i 3 C c010 e i 3 / > ˆ c1 > ˆ 3 > 3 ˆ = < p 1 f6 D c06 D 1 > ) ˆ D .1  3 i / > ˆ 9 > ˆ > ˆ > ˆ Œ2;6;10 4 8 1 1 > ˆ ˆ f10 D c010 D ; c2 D .c02 C c06 e i 3 C c010 e i 3 / ˆ ˆ ˆ 3 3 ˆ ˆ ˆ p 1 ˆ : D .1 C 3 i / 9 9 8 > 1 1 1 ˆ Œ1;5;9 > 5 9 ˆ > ˆ D .c0 C c0 C c0 / D c0 > ˆ > ˆ 3 2 > 9 ˆ > ˆ > ˆ > > ˆ 2 4 1> 1 1 Œ1;5;9 > 5 i 9 i ˆ 1 > 3 C c e 3 / ˆ .c D C c e c f 1 D c0 D > > > ˆ 0 0 0 1 > ˆ > 6> 3 > ˆ > = < > p > 5 1 > 5 > ) .3  3 i / f 5 D c0 D > D > > ˆ > ˆ 6> 18 > > ˆ > > ˆ > > ˆ 4 8 1 1 > > ˆ Œ1;5;9 1 5 i 9 i > 9 ˆ 3 C c e 3 / > f 9 D c0 D ; c .c D C c e ˆ > 0 0 0 2 ˆ > ˆ 2 3 > ˆ > ˆ > ˆ p > 1 ˆ > : = .3 C 3 i / D 18 8 > 1 1 ˆ > Œ3;7;11 ˆ > ˆ D .c03 C c07 C c011 / D c0 > ˆ > ˆ > 3 2 9 ˆ > ˆ > ˆ > > ˆ 2 4 1 1 > Œ3;7;11 3 7 i 3 11 i 3 > ˆ 3 > > ˆ > .c D C c e C c e / f 3 D c0 D c > ˆ 0 0 0 > 1 > ˆ > 2 > 3 ˆ > = < > > p > 5 1 > 7 ) > 3 i f 7 D c0 D D  > > ˆ > ˆ 6 > 9 > > ˆ > > ˆ > > ˆ > 4 8 1 1 > ˆ Œ3;7;11 3 7 i 3 11 i 3 11 ; ˆ > f11 D c0 D c2 D .c0 C c0 e C c0 e / > ˆ > ˆ > ˆ 6 3 > ˆ > ˆ > ˆ p > 1 ˆ > : ; 3i D 9

9 > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > = > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > ;

)

)

282

Kapitel 6 Interpolationsprobleme

8 ˆ 1 Œ0;4;8 1 ˆ Œ0;2;4;6;8;10 Œ2;6;10 ˆ D .c0 C c0 /D c0 ˆ ˆ ˆ 2 2 ˆ ˆ ˆ 1 Œ0;4;8 2 ˆ Œ0;2;4;6;8;10 Œ2;6;10 i  ˆ ˆ c1 D .c1 C c1 e 3/D ˆ ˆ 2 9 ˆ ˆ ˆ ˆ 2 1 ˆ < c2Œ0;2;4;6;8;10 D .c2Œ0;4;8 C c2Œ2;6;10 e i 3 / D 0 2 ˆ 1 Œ0;4;8 1 ˆ Œ0;2;4;6;8;10 Œ2;6;10 ˆ c3 D .c0  c0 /D ˆ ˆ ˆ 2 18 ˆ ˆ ˆ  1 ˆ Œ0;2;4;6;8;10 Œ0;4;8 Œ2;6;10 ˆ ˆ c4 D .c1  c1 e i 3 / D 0 ˆ ˆ 2 ˆ ˆ ˆ 2 ˆ 1 2 ˆ : c5Œ0;2;4;6;8;10 D .c2Œ0;4;8  c2Œ2;6;10 e i 3 / D  2 9 8 ˆ 1 1 ˆ Œ1;3;5;7;9;11 Œ1;5;9 Œ3;7;11 ˆ D .c0 C c0 /D c ˆ ˆ ˆ 0 2 2 ˆ ˆ ˆ p 1 Œ1;5;9 1 ˆ Œ1;3;5;7;9;11 Œ3;7;11 i  ˆ ˆ D .c1 C c1 e 3 / D .3  3 i / c1 ˆ ˆ 2 18 ˆ ˆ ˆ ˆ 2 1 ˆ c Œ1;3;5;7;9;11 D .c Œ1;5;9 C c Œ3;7;11 e i 3 / D 0 < 2 2 2 2 ˆ 1 Œ1;5;9 ˆ Œ1;3;5;7;9;11 Œ3;7;11 ˆ D .c0  c0 /D0 c3 ˆ ˆ ˆ 2 ˆ ˆ ˆ 1 Œ1;5;9 ˆ Œ1;3;5;7;9;11 Œ3;7;11 i  ˆ ˆ c4 D .c1  c1 e 3/D0 ˆ ˆ 2 ˆ ˆ ˆ p 2 ˆ 1 1 ˆ : c5Œ1;3;5;7;9;11 D .c2Œ1;5;9  c2Œ3;7;11 e i 3 / D .3 C 3 i / 2 18

9 > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > = > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > ;

)

Abschnitt 6.4 Interpolation mit periodischen Funktionen

8 ˆ Œ0;1;2;3;4;5;6;7;8;9;10;11 ˆ ˆ c0 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ Œ0;1;2;3;4;5;6;7;8;9;10;11 ˆ c1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ Œ0;1;2;3;4;5;6;7;8;9;10;11 ˆ ˆ c2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ Œ0;1;2;3;4;5;6;7;8;9;10;11 ˆ ˆ c3 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ Œ0;1;2;3;4;5;6;7;8;9;10;11 ˆ c4 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ Œ0;1;2;3;4;5;6;7;8;9;10;11 ˆ ˆ c5 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ < ˆ ˆ Œ0;1;2;3;4;5;6;7;8;9;10;11 ˆ c6 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ Œ0;1;2;3;4;5;6;7;8;9;10;11 ˆ ˆ c7 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ c Œ0;1;2;3;4;5;6;7;8;9;10;11 ˆ 8 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ Œ0;1;2;3;4;5;6;7;8;9;10;11 ˆ c9 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ Œ0;1;2;3;4;5;6;7;8;9;10;11 ˆ ˆ c10 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ Œ0;1;2;3;4;5;6;7;8;9;10;11 ˆ ˆ c11 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ :

D D D D D D D D D D D D D D D D

1 Œ0;2;4;6;8;10 1 Œ1;3;5;7;9;11 .c0 C c0 /D 2 2 1 Œ0;2;4;6;8;10 Œ1;3;5;7;9;11 i  .c C c1 e 6/ 2 1 p 1 .2  3/ 18 1 Œ0;2;4;6;8;10 Œ1;3;5;7;9;11 i 2 .c C c2 e 6 /D0 2 2 1 Œ0;2;4;6;8;10 1 Œ1;3;5;7;9;11 i 3 .c3 C c3 e 6 /D ; 2 36 1 Œ0;2;4;6;8;10 Œ1;3;5;7;9;11 i 4 .c C c4 e 6 /D0 2 4 1 Œ0;2;4;6;8;10 Œ1;3;5;7;9;11 i 5 .c5 C c5 e 6 / 2 p 1 .2 C 3/ 18 1 Œ0;2;4;6;8;10 Œ1;3;5;7;9;11 .c0  c0 /D0 2 1 Œ0;2;4;6;8;10 Œ1;3;5;7;9;11 i  .c1  c1 e 6/ 2 p 1 .2 C 3/ 18 1 Œ0;2;4;6;8;10 Œ1;3;5;7;9;11 i 2 .c2  c2 e 6 /D0 2 1 Œ0;2;4;6;8;10 1 Œ1;3;5;7;9;11 i 3 .c  c3 e 6 /D 2 3 36 1 Œ0;2;4;6;8;10 Œ1;3;5;7;9;11 i 4 .c4  c4 e 6 /D0 2 1 Œ0;2;4;6;8;10 Œ1;3;5;7;9;11 i 5 .c  c5 e 6 / 2 5 p 1 .2  3/ : 18

Für das Fourier-Polynom folgt damit: F6 .x/ D

11 X

Œ1;2;3;4;5;6;7;8;9;10;11

ck

e

2k i 2 x

kD0

D

11 X kD0

Œ1;2;3;4;5;6;7;8;9;10;11 k ix

ck

283

e

284

Kapitel 6 Interpolationsprobleme

p 1 1 C .2  3/Œe  ix C e 11 ix  2 18 p 1 1  Œe 3 ix C e 9 ix  C .2 C 3/Œe 5 ix C e 7 ix  36 18 ´ p p 1 2C 3 1 2 3 D  cos x C cos 3x C cos 5x 2 18 36 18 μ p p 2 3 1 2C 3 C cos 7x C cos 9x C cos 11x : 18 36 18

D

1

0.5

0

1

2

Bild 6.31. Das mit der FFT gewonnene trigonometrische Interpolationspolynom mit 12 Knoten zur Dreieckkurve. Die Ausgangsfunktion und das mit der schnellen Fouriertransformation bei Benutzung von 12 Knoten erhaltene Näherungspolynom sind im Bild 6.31 dargestellt. Vor Beginn der Rechnungen wurde in den Beispielen durch wiederholte Datensatzhalbierung die Reihenfolge der Stützwerte geändert. Dieses Permutation der Stützwerte gestattete dann eine elegante Rechnung. Eine wichtige Grundlage des Verfahrens ist deshalb eine geeignete Permutation der Stützwerte.

6.5

Aufgaben

Aufgabe 6.1. Gegeben seien die Punkte .0; 1/, .3; 2/, .4; 2/ und .6; 1/. a) Bestimmen Sie die Lagrange-Polynome zu diesen Stützstellen. b) Geben Sie das Interpolationspolynom nach Lagrange durch diese Punkte an.

285

Abschnitt 6.5 Aufgaben

Aufgabe 6.2. Gegeben seien die Punkte .1; 1/, .1; 3/, .2; 1/ und .7; 1/. a) Bestimmen Sie die Lagrange-Polynome zu diesen Stützstellen. b) Geben Sie das Interpolationspolynom nach Lagrange durch diese Punkte an. c) Bestimmen Sie zu den gegebenen Punkten das Newtonsche Interpolationspolynom. d) Vergleichen Sie die Polynome der Teilaufgaben b) und c). e) Berechnen Sie möglichst einfach das Polynom, welches neben den bisher gegebenen Punkten auch noch durch den Punkt .8; 1/ verläuft. Aufgabe 6.3. Gegeben sind die Punkte .0; 0/, .1; 0/, .2; 1/, .3; 0/ und .4; 0/ und die Anstiege f 0 .0/ D 1, f 0 .1/ D 0, f 0 .2/ D 1, f 0 .3/ D 0 und f 0 .4/ D 0. a) Bestimmen Sie das Interpolationspolynom nach Hermite durch diese Punkte. b) Skizzieren Sie den Graph des Polynoms. Aufgabe 6.4. Gegeben sei die Funktion f .x/ D e x auf dem Intervall Œ1; 1. a) Approximieren Sie diese Funktion auf dem gegebenen Intervall durch ein quadratisches Interpolationspolynom mit äquidistanten Stützstellen. b) Schätzen Sie den Interpolationsfehler ab. Aufgabe 6.5. Gegeben seien die drei äquidistanten Stützstellen x0 , x1 D x0 C h und x2 D x0 C 2h und die zugehörigen Funktionswerte f0 D f .x0 /, f1 D f .x1 / und f2 D f .x2 /. a) Bestimmen Sie ein Interpolationspolynom p2 .x/ durch die vorgegebenen Punkte. Rx b) Bestimmen Sie das Integral x02 p2 .x/ dx. (Es ist die exakte Lösung gesucht!) c) Vergleichen Sie das gefundene Ergebnis mit der einfachen Simpson-Formel für einen Doppelstreifen. Aufgabe 6.6. Von einem funktionalen Zusammenhang sind die folgenden Daten bekannt: xk

2

0

1

4

fk

0

1

0

2

a) Bestimmen Sie ein Interpolationspolynom durch die Punkte .xk ; fk / .k D 0; 1; 2; 3/.

286

Kapitel 6 Interpolationsprobleme

b) Bestimmen Sie den natürlichen Spline durch die Punkte .xk ; fk / .k D 0; 1; 2; 3/. c) Skizzieren Sie beide Funktionen. Aufgabe 6.7. Gegeben seien die folgenden Punkte: xk

1

1

4

6

yk

0

1

2

0

Bestimmen und skizzieren Sie zu diesen Punkten a) den linearen Spline, b) den quadratischen Spline mit f 0 .1/ D 1, c) den natürlichen (kubischen) Spline und d) den periodischen (kubischen) Spline. Aufgabe 6.8. Gegeben seien die folgenden Punkte: xk

4

2

1

1

5

6

yk

2

1

0

1

2

2

Bestimmen Sie zu diesen Punkten a) den natürlichen Spline, b) den not-a-knot-Spline und c) den periodischen Spline. Aufgabe 6.9. Die 2p-periodische Funktion ´ x W 0x 0. Für positive Schrittweiten erhält man deshalb für f 00 .x/ die Schranke M D e x0 Ch D e x0 e h : Die Funktionswerte wurden bis auf 9 Dezimalen bestimmt, der Rundungsfehler ist dann durch  D 5  1010 D 0:0000000005 beschränkt. Für das Problem aus Beispiel 7.1 kann man nun den Gesamtfehler d.h/ D

2 Mh 109 e hC1 h C D C h 2 h 2

298

Kapitel 7 Numerische Differentiation

minimieren. Wenn man das Symbol d 0 .h/ hier für eine Ableitung von d nach h verwendet, ist dazu die nichtlineare Gleichung 109 e hC1 .h C 1/ D0 C h2 2 zu lösen. Das allgemeine Iterationsverfahren liefert mit s 2 hnC1 D 109 e hn C1 .hn C 1/ d 0 .h/ D 

eine Möglichkeit zur Lösung dieser Gleichung. Es wird dabei ein kleiner Startwert, beispielsweise h0 D 103 , verwendet. Das Ergebnis h D 2:712414  105 stimmt gut mit dem Verhalten im Beispiel 7.1 überein. Die günstigste Schrittweite hängt natürlich von der Funktion f und von der verwendeten Näherungsformel ab. Die Abschätzung der Schranke M ist dabei selten so einfach wie im Beispiel möglich.

7.4

Numerische Bestimmung von Ableitungen höherer Ordnung

Eine Möglichkeit zur Berechnung von Ableitungen höherer Ordnung ist die mehrfache Differentiation der für Ableitungen erster Ordnung verwendeten LagrangeInterpolationspolynome. Aus dem zur Gewinnung der Dreipunkte-Mittelpunktformel verwendeten Interpolationspolynom .x  x0 /.x  .x0 C h// 2h2 .x  .x0  h//.x  .x0 C h// C f .x0 / h2 .x  .x0  h//.x  x0 / C f .x0 C h/ 2h2  .x  .x0  h//.x  x0 /.x  .x0 C h// 000  f .x/ C 3Š und seiner ersten Ableitung f .x/ D f .x0  h/

f 0 .x/ D

f .x0  h/.2x  2x0  h/ f .x0 /.2x  2x0 / C 2 2h h2  f .x0 C h/.2x  2x0 C h/ 3.x  x0 /2  h2 000  f .x/ C C 2 2h 3Š   3 2 0  .x  x0 /  h .x  x0 / 000  C f .x/ 3Š

299

Abschnitt 7.5 Aufgaben

gewinnt man die zweite Ableitung f 00 .x/ D

f .x0  h/ 2f .x0 / f .x0 C h/  C h2 h2 h2   0 3.x  x0 /2  h2  000  C .x  x0 /f 000 .x/ C f .x/ 3Š   2 2   0 3.x  x0 /  h C f 000 .x/ 3Š 00 .x  x0 /3  h2 .x  x0 /  000  C : f .x/ 3Š

An der Stelle x D x0 wird daraus f 00 .x0 / D

0 f .x0 C h/  2f .x0 / C f .x0  h/ h2  000   : .x/ f h2 3

(7.7)

Man erhält dann f .x0 C h/  2f .x0 / C f .x0  h/ fQ00 .x0 / D h2

(7.8)

zur Bestimmung einer Näherung für die zweite Ableitung. Der Fehlerterm enthält die nicht direkt zugängige Ableitung   0   f 000 .x/ D f 0000 .x/  0 .x/ : Daher wird in diesem Fall auf die Untersuchung des Fehlers verzichtet.

7.5

Aufgaben

Aufgabe 7.1. Leiten Sie die Formeln (7.3), (7.4), (7.5) und (7.2) her. Aufgabe 7.2. Für ein Modellfahrzeug wurden die nach unterschiedlichen Zeiten zurückgelegten Strecken gemessen. Dabei erhielt man folgende Daten: ti in s

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

si in cm

0

10

18

24

35

45

56

68

76

84

90

Bestimmen Sie, soweit dies möglich ist, für die einzelnen Zeitpunkte Näherungen für a) die Geschwindigkeit mit der Zweipunkteformel, b) die Geschwindigkeit mit der Dreipunkte-Mittelpunktformel,

300

Kapitel 7 Numerische Differentiation

c) die Geschwindigkeit mit der Dreipunkte-Randpunktformel und d) die Beschleunigung mit der Formel für die zweite Ableitung. Aufgabe 7.3. Gegeben sind die Stellen xk D 0:3k mit k D 0; 1; 2; : : : ; 10. Bestimmen Sie für die Funktion y.x/ D sin x in diesen Stellen die exakten Werte der ersten und zweiten Ableitung. Berechnen Sie, falls möglich, Näherungen für diese Ableitungen mit der Dreipunkte-Mittelpunktformel der ersten Ableitung und der Formel für die zweite Ableitung. Vergleichen Sie die Fehler bei der näherungsweisen Bestimmung der ersten und zweiten Ableitung. Aufgabe 7.4. Berechnen Sie Näherungen für die erste Ableitung der Funktion y D xe x an der Stelle x0 D 2 mit der Dreipunkte-Mittelpunktformel und den Schrittweiten hk D 10k .k D 1; 2; : : : ; 8/ und bestimmen Sie zu jeder Schrittweite den Fehler. Bestimmen Sie die optimale Schrittweite und vergleichen Sie Ihr Ergebnis mit dem ersten Teil der Aufgabe.

Kapitel 8

Numerische Integrationsmethoden

8.1

Aufgabenstellung

Eine häufige Anforderung besteht in der Berechnung des Wertes eines bestimmten Integrals Z b I D f .x/ dx .a < b/ : (8.1) a

Lässt sich zu f .x/ im Intervall a  x  b eine Stammfunktion F .x/ finden, so gilt Z

b

I D

f .x/ dx D F .b/  F .a/ :

(8.2)

a

Kann eine Stammfunktion nicht angegeben werden oder ist f .x/ diskret vorgegeben, so muss die Berechnung des bestimmten Integrals I numerisch vorgenommen werden. Es existieren zahlreiche numerische Integrationsverfahren. Hier sollen einige einfache und praktisch übersichtlich handhabbare Verfahren behandelt werden. Dabei wird vorausgesetzt, dass das Integrationsintervall Œa; b endlich ist und der Integrand f .x/ auf dem Integrationsintervall stetig und nichtnegativ ist. Falls die letzte Bedingung nicht erfüllt ist, beispielsweise f .x/ in Œa; b das Vorzeichen wechselt, so kann durch Zerlegung des Integrationsintervalls in entsprechende Teilintervall Œak ; bk D akC1  .k D 1; 2; : : : ; n; a1 D a; bn D b/ sowie Transformation von f .x/ zu fk .x/ in Œak ; bk  stets Z

b

I D

f .x/ dx a

Z

Z

b1 Da2

D

f1 .x/ dx C a1 Da

Z

b2 Da3

bn Db

f2 .x/ dx C    C a2

D I1 C I2 C    C In gebildet werden, wobei die Ik obigen Bedingungen erfüllen.

fn .x/ dx an

302

8.2

Kapitel 8 Numerische Integrationsmethoden

Trapezformel

8.2.1 Herleitung Zu berechnen ist das bestimmte Integral Z

b

I D

f .x/ dx :

(8.3)

a

Das Integrationsintervall Œa; b wird in n Teilintervalle gleicher Länge h zerlegt.

f .x/

0

x1 xn1 xn x0 Bild 8.1. Einteilung des Integrationsintervalls in Teilbereiche bei der Benutzung der Trapezformel.

Dabei heißt h Schrittweite und ergibt sich zu h D .b  a/=n. Die Randstellen der Teilintervalle sind x0 D a < x1 < x2 <    < xn1 < xn D b ;

xi1  xi D h :

(8.4)

Diese Stellen ergeben sich zu xk D x0 C k  h D a C k  h .k D 0; 1; : : : ; n/. Die Stellen xk heißen Stützstellen. Die zugehörigen Funktionswerte (Stützwerte) sind yk D f .xk / D f .x0 C k  h/ D f .a C k  h/

.k D 0; 1; 2; : : : ; n/ :

(8.5)

Wir betrachten einen einzelnen aus den n Streifen, der von den Stützstellen xk und xkC1 mit den zugehörigen Stützwerte yk D f .xk / und ykC1 D f .xkC1 / begrenzt wird. Bei der Integralberechnung ist der Wert des bestimmten Integrals gleich dem Inhalt der Fläche zwischen dem Kurvenbogen y D f .x/ und der x-Achse in diesem Streifen. Diese Fläche – in Bild 8.2 durch das dunkle Gebiet kenntlich gemacht – entspricht dem Integralanteil des Gesamtintegralwertes im Intervall Œxk ; xkC1 .

303

Abschnitt 8.2 Trapezformel

Die wesentliche Annahme des Trapezverfahrens besteht darin: Der Bogen y D f .x/ wird durch die Sehne durch die Punkte .xk ; yk / und .xkC1 ; ykC1 / ersetzt. yk

f .x/ ykC1 TkC1 IkC1

0

xk h xkC1 Bild 8.2. Herausstellung eines Integrationsteilintervalls bei der Benutzung der Trapezformel.

Die Fläche unterhalb des Bogens y D f .x/ im Teilstreifen wird durch die Fläche des entstehenden Trapezes (dunkle Fläche) angenähert. Sie sei mit TkC1 bezeichnet. Die Fläche bestimmt sich zu TkC1 D

yk C ykC1 h .k D 0; 1; 2; : : : ; n  1/ : 2

(8.6)

Das gesamte Integral I kann zerlegt werden in Z

Z

b

f .x/ dx D a

Z

x1

f .x/ dx C x0

Z

x2

xn

f .x/ dx C    C x1

D I1 C I2 C    C In :

f .x/ dx xn1

(8.7)

In jedem Streifen wird die wirkliche Fläche durch die Trapezfläche ersetzt. Das ergibt Z

b

f .x/ dx  T h D T1 C T2 C    C Tn

a

y1 C y2 yn1 C yn y0 C y1 hC  h C  C h 2 2 2 h D Œy0 C 2y1 C 2y2 C    C 2yn1 C yn  : (8.8) 2

D

304

Kapitel 8 Numerische Integrationsmethoden

Damit folgt als Trapezformel Z b hh f .x/ dx  T h D f .a/ C 2f .a C h/ C    2 a i   C 2f a C .n  1/h C f .a C nh/ :

(8.9)

Für große n, also feine Streifenzerlegungen ist die Gesamtfläche aller Trapeze eine gute Näherung für die Fläche unter der Kurve y D f .x/ im Intervall a  x  b. Zu einer genaueren Bewertung gehört eine Abschätzung des bei der Näherung auftretenden Fehlers. Dieser wird im Abschnitt 8.4 ausführlicher untersucht. R1 2 Beispiel 8.1. Es ist das bestimmte Integral I D 0 e x dx mit der Trapezregel zu berechnen, wobei das Integrationsintervall zunächst in 5 und anschließend in 10 Streifen zerlegt werden soll. Zerlegung in fünf Teilintervalle: n D 5, h D .1  0/=5 D 0:2 k 0 1 2

xk yk yk k 0:0 1:0000 3 0:2 0:9608 4 0:4 0:8521 5

I  T 0:2 D

xk yk yk 0:6 0:6977 0:8 0:5273 1:0 0:3679 1:3679 3:0379

0:2 Œ1:3679 C 2  3:0379 D 0:7444 2

Zerlegung in zehn Teilintervalle: n D 10, h D .1  0/=10 D 0:1 k 0 1 2 3 4

xk yk yk k xk yk 0:0 1:0000 5 0:5 0:1 0:9900 6 0:6 0:2 0:9608 7 0:7 0:3 0:9139 8 0:8 0:4 0:8521 9 0:9 10 1:0 0:3679 1:3679

I  T 0:1 D

yk 0:7788 0:6977 0:6126 0:5273 0:4449 6:7781

0:1 Œ1:3679 C 2  6:7781 D 0:7462 : 2

Der exakte Wert ist Iex D 0:746824.

8.2.2 Abbruchbedingung bei der Trapezformel Zur Berechnung einer ausreichenden Näherung für den Integralwert I ist eine Genauigkeitsschranke  vorgegeben. Die Berechnung sei mit einer Schrittweite h D

305

Abschnitt 8.2 Trapezformel

.b  a/=n ausgeführt worden. Es hat sich dabei der Näherungswert T h ergeben. In einem folgenden Schritt wird das gleiche Integral mit der neuen Schrittweite h1 D h=2 h ausgewertet. Der neue Näherungswert ist T 2 . Falls h

jT h  T 2 j < 

(8.10)

erfüllt ist, kann die Berechnung beendet und I  T wert angesehen werden. Falls h jT h  T 2 j  

h 2

als ausreichender Näherungs(8.11) h

gilt, wird die neue Schrittweite h1 abermals halbiert und der Näherungswert T 4 bestimmt. Es erfolgt wie oben ausgeführt ein erneuter Vergleich der aufeinander folgenden Näherungswerte. Dabei ist anzumerken, dass die als Abbruchschranke benutzte Genauigkeitsschranke  nicht mit der Schranke bei der Abschätzung des Fehlers übereinstimmen muss. Beispiel 8.2. Das Integral Z

2:5

I D 0:5

ˇ dx D ln x ˇ2:5 0:5 D 1:60944 x

soll näherungsweise mit der Trapezregel berechnet werden, wobei die Abbruchschranke  D 5  103 einzuhalten ist. Das Verfahren beginnt mit der Zerlegung der Fläche in einen und anschließend in zwei Streifen. Ein Streifen: n D 1, h0 D 2 k xk yk 0 0:5 2:0 1 2:5 0:4 2:4

T h0 D

2 Œ2:4 D 2:4 2

Zerlegung in zwei Streifen: n D 2, h1 D 1 k 0 1 2 T h1 D

xk yk yk 0:5 2:00000 1:5 0:66667 2:5 0:40000 2:40000 0:66667

1 Œ2:40000 C 2  0:66667 D 1:86667 : 2

Wegen jT h1  T h0 j D 5:3333  101 >  ist die Abbruchschranke noch nicht erreicht. Das Verfahren ist fortzusetzen.

306

Kapitel 8 Numerische Integrationsmethoden

Zerlegung in vier Streifen: n D 4, h2 D 0:5 yk yk k xk yk yk k xk 0 0:5 2:00000 2 1:5 0:66667 1 1:0 1:00000 3 2:0 0:50000 4 2:5 0:40000 2:40000 2:16667 T h2 D

0:5 Œ2:40000 C 2  2:16667 D 1:68334 2

jT h2  T h1 j D 1:8333  101 >  Zerlegung in acht Streifen: n D 8, h3 D 0:25 T h3 D

0:25 Œ2:40000 C 2  5:31587 D 1:62897 2

jT h3  T h2 j D 5:437  102 >  Zerlegung in sechzehn Streifen: n D 16, h4 D 0:125 T h4 D

0:125 Œ2:40000 C 2  11:71524 D 1:61441 2

jT h4  T h3 j D 1:456  102 >  Zerlegung in zweiunddreißig Streifen: n D 32, h5 D 0:0625 k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

xk yk yk k xk yk 0:5000 2:00000 16 1:5000 0:5625 1:77778 17 1:5625 0:6250 1:60000 18 1:6250 0:6875 1:45455 19 1:6875 0:7500 1:33333 20 1:7500 0:8125 1:23077 21 1:8125 0:8750 1:14286 22 1:8750 0:9375 1:06667 23 1:9375 1:0000 1:00000 24 2:0000 1:0625 0:94118 25 2:0625 1:1250 0:88889 26 2:1250 1:1875 0:84211 27 2:1875 1:2500 0:80000 28 2:2500 1:3125 0:76190 29 2:3125 1:3750 0:72727 30 2:3750 1:4375 0:69565 31 2:4375 32 2:5000 0:40000 2:40000

yk 0:66667 0:64000 0:61538 0:59259 0:57143 0:55172 0:53333 0:51613 0:50000 0:48485 0:47059 0:45714 0:44444 0:43243 0:42105 0:41026 24:57097

307

Abschnitt 8.3 Simpsonsche Formel

T h5 D

0:0625 Œ2:40000 C 2  24:57097 D 1:61069 2

jT h5  T h4 j D 0:00372 D 3:72  103 <  : Das Verfahren ist beendet. Ergebnis: I  T h5 D 1:61069.

8.3

Simpsonsche Formel

8.3.1 Herleitung Trapezformeln konvergieren langsam, da die Ersetzung der Kurvenstücke durch Sehnen zu grob ist. Eine Verbesserung ist zu erwarten, wenn das Kurvenstück durch eine Parabel approximiert wird. Eine quadratische Parabel wird durch drei Knoten bestimmt, sie überspannt also jeweils zwei Streifen. Dieses Verfahren setzt daher eine Zerlegung in Doppelstreifen und damit eine gerade Streifenanzahl voraus. Es wird eine Zerlegung des Intervalls Œa; b in 2n Teilintervalle von gleicher Länge vorgenommen. Die Schrittweite h ist h D .b  a/=2n.

f .x/

0

x0 x1 x2

x2n1 x2n2 x2n

Bild 8.3. Einteilung des Integrationsintervalls in Teilintervalle bei der Benutzung der Simpsonschen Formel. Es ergeben sich die 2n C 1 Stützstellen a D x0 < x1 < x2 <    < x2n2 < x2n1 < x2n D b

(8.12)

xk D x0 C k  h D a C k  h .k D 0; 1; 2; : : : ; 2n/ :

(8.13)

mit Die zugehörigen Stützwerte sind yk D f .xk / D f .x0 C k  h/ D f .a C k  h/

.k D 0; 1; 2; : : : ; 2n/ :

(8.14)

308

Kapitel 8 Numerische Integrationsmethoden

y2k

f .x/ IkC1

y2kC2

y2kC1

SkC1 x2k

h

x2kC1

x2kC2

Bild 8.4. Herausstellung eines Doppelstreifens bei der Benutzung der Simpsonschen Formel. Im Bild 8.4 betrachten wir einen beliebig heraus gegriffenen Doppelstreifen Œx2k ; x2kC2 . Unter der krummlinigen Kurve y D f .x/ liegt im Intervall Œx2k ; x2kC2  der Flächeninhalt IkC1 (s. Bild 8.4). Die Kurve y D f .x/ wird nun im Intervall Œx2k ; x2kC2  durch eine quadratische Parabel so ersetzt, dass die Kurve und die Parabel in den Punkten .x2k ; y2k /, .x2kC1 ; y2kC1 /, .x2kC2 ; y2kC2 / zusammenfallen. Der Flächeninhalt unterhalb der Parabel ist SkC1 . Dieser Flächeninhalt wird näherungsweise für den exakten Flächeninhalt genommen. Die quadratische Parabel ist ein Interpolationspolynom zur Funktion y D f .x/ mit den Stützstellen x2k , x2kC1 und x2kC2 . Das Interpolationspolynom mit äquidistanten Stützstellen lautet in der Newtonschen Form nach (6.16) 0 y2k 1 y2k 2 y2k C .x  x / C .x  x2k /.x  x2kC1 / 2k 0Š h0 1Š h1 2Š h2 y2kC1  y2k D y2k C .x  x2k / h y2kC2  2y2kC1 C y2k .x  x2k /.x  x2kC1 / : C 2h2 Unter Berücksichtigung von x2kC1 D x2k C h erhält man daraus y2kC1  y2k p2 .x/ D y2k C .x  x2k / h y2kC2  2y2kC1 C y2k .x  x2k /.x  x2k  h/ C 2h2   y2kC1  y2k y2kC2  2y2kC1 C y2k  .x  x2k / D y2k C h 2h y2kC2  2y2kC1 C y2k C .x  x2k /2 : 2h2 p2 .x/ D

309

Abschnitt 8.3 Simpsonsche Formel

Durch Integration des Polynoms ergibt sich für den Flächeninhalt SkC1 Z SkC1 D

x2kC2

p2 .x/ dx x2k

Z

D y2k 

x2kC2

dx x2k

 Z x2kC2 y2kC1  y2k y2kC2  2y2kC1 C y2k  .x  x2k / dx h 2h x2k Z y2kC2  2y2kC1 C y2k x2kC2 .x  x2k /2 dx C 2 h2 x2k

C

C2h D y2k Œxxx2k 2k   x C2h y2kC1  y2k y2kC2  2y2kC1 C y2k 1   .x  x2k /2 x2k C 2k h 2h 2 y2kC2  2y2kC1 C y2k 1  3 x2k C2h .x  x C / 2k x2k 2 h2 3   y2kC1  y2k y2kC2  2y2kC1 C y2k 1 2  4h D 2hy2k C h 2h 2 y2kC2  2y2kC1 C y2k 1 3 8h C 2 h2 3   4 D h y2kC2 C 4y2kC1  y2k C .y2kC2  2y2kC1 C y2k / : 3

Dies kann noch zu SkC1 D

h Œy2k C 4y2kC1 C y2kC2  3

.k D 0; 1; : : : ; n  1/

(8.15)

vereinfacht werden. Für das Integral I über das gesamte Intervall Œa; b Z I D

Z

b

f .x/ dx D

Z

x4

f .x/ dx C x0

a

Z

x2

x2n

f .x/ dx C    C x2

D I1 C I2 C    C In erhält man als Näherung I  S h D S1 C S2 C    C Sn :

f .x/ dx x2n2

(8.16)

310

Kapitel 8 Numerische Integrationsmethoden

S h bestimmt sich zu h Œy0 C 4y1 C y2 C y2 C 4y3 C y4 C    C y2n2 C y2n1 C y2n  3 bzw.

Sh D

Sh D

h .y0 C y2n / C 4.y1 C y3 C    C y2n1 / 3 C 2.y2 C y4 C    C y2n2 / :

(8.17)

Dieser Ausdruck wird als Simpsonsche Formel bezeichnet. R1 2 Beispiel 8.3. Das bestimmte Integral I D 0 e x dx ist näherungsweise mittels der Simpson-Formel mit fünf Doppelstreifen (das heißt 2n D 10 und h D 0:1) zu berechnen. k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 I  S 0:1 D

xk yk 0:0 1:00000 0:1 0:99005 0:2 0:96079 0:3 0:91393 0:4 0:85214 0:5 0:77880 0:6 0:69768 0:7 0:61263 0:8 0:52729 0:9 0:44486 1:0 0:36788 1:36788 3:74027 3:03790

0:1 Œ1:36788 C 4  3:74027 C 2  3:03790 D 0:74683 : 3

Der exakte Wert ist Iex D 0:746824. Die Trapezformel ergab im Beispiel 8.1 mit n D 10 und h D 0:1 den Näherungswert T D 0:7462. Durch eine zusätzliche Stützstelle x2kd D x2k Cd .0 < d < 2h/ aus dem Intervall Œx2k ; x2kC2  wird ein kubisches Polynom für die Funktion y D f .x/ gebildet. Dieses Polynom lautet 3 y2k .x  x2k /.x  x2kC1 /.x  x2kC2 / 3Š h3 3 y2k D p2 .x/ C .x  x2k /.x  x2k  h/.x  x2k  2h/ : 3Š h3

p3 .x/ D p2 .x/ C

311

Abschnitt 8.3 Simpsonsche Formel

Zur näherungsweisen Berechnung der Fläche unter dieser kubischen Funktion braucht man nur noch den letzten Summanden von p3 .x/ zu integrieren, denn die Integration von p2 .x/ ergibt die Simpson-Formel. Die Integration dieses Summanden führt zu: Z x2kC2 3  y2k .x  x2k /.x  x2k  h/.x  x2k  2h/ dx 3Š h3 x2k Z  3 y2k x2kC2  .x  x2k /3  3h.x  x2k /2 C 2h2 .x  x2k / dx D 3 3Š h x2k x C2h  3 2h2 .x  x2k /2 2k  y2k .x  x2k /4 3h.x  x2k /3  C D 3Š h3 4 3 2 x2k  3 4 3 2 2 3h  8h 2h  4h  y2k 16h  C D 0: D 3Š h3 4 3 2 Die Ersetzung der Funktion y D f .x/ durch ein kubisches Polynom mit den Stützstellen x2k , x2kC1 , x2kC2 und einer beliebigen weiteren Stützstelle x2kd führt also bei der Integration ebenfalls zur Simpson-Formel. Das bedeutet, dass die SimpsonFormel bei der bestimmten Integration von Polynomen bis einschließlich dritten Grades unabhängig von der Anzahl der verwendeten Doppelstreifen immer den exakten Wert liefert. R4 Beispiel 8.4. Gesucht ist der Wert des bestimmten Integrals I D 0 .x 3  2x C 1/ dx. Die exakte Integration führt zu Z

4

I D

.x 3  2x C 1/ dx D

0



x4  x2 C x 4

4 D 64  16 C 4 D 52 : 0

Die Simpson-Formel mit einem Doppelstreifen (das heißt 2n D 2 und h D 2) liefert mit Z 4  2 I D .x 3  2x C 1/ dx D y.0/ C 4y.2/ C y.4/ 3 0  2 2 D 1 C 4.23  2  2 C 1/ C 43  2  4 C 1 D .1 C 20 C 57/ D 52 3 3 bereits das gleiche Ergebnis.

8.3.2 Abbruchbedingung bei der Simpsonschen Formel Die Abbruchbedingung bei der Simpsonschen Formel ist äquivalent zu der bei der Trapezformel. Es ist die Genauigkeitsschranke  vorzugeben. h Wenn die Berechnung mit der Schrittweite h D ba 2n zu der Näherung S und die Berechnung mit der halbierten Schrittweite h1 D

h 2

h

zu der Näherung S 2 geführt

312

Kapitel 8 Numerische Integrationsmethoden

haben, kann die Berechnung beendet werden, wenn h

jS h  S 2 j <  h

(8.18) h

gilt. Es ist S 2 ein ausreichender Näherungswert: I  S 2 . Ansonsten ist die Schrittweite weiter zu halbieren und eine neue Näherung zu bestimmen. R 2:5 3 zu Beispiel 8.5. Es ist eine Näherung für I D 0:5 dx x mit der Schranke  D 5  10 bestimmen. Ein Doppelstreifen: h0 D 1, 2n D 2 k 0 1 2

xk yk yk 0:5 2:00000 1:5 0:66667 2:5 0:40000 2:40000 0:66667

1 Œ2:40000 C 4  0:66667 D 1:68889 3 Zerlegung in zwei Doppelstreifen: h1 D 0:5, 2n D 4 S h0 D

k 0 1 2 3 4

S h1 D

xk yk 0:5 2:00000 1:0 1:00000 1:5 0:66667 2:0 0:50000 2:5 0:40000 2:40000 1:50000 0:66667

0:5 Œ2:40000 C 4  1:50000 C 2  0:66667 D 1:62222 3

jS h1  S h0 j D 0:06667 D 6:667  102 >  Zerlegung in vier Doppelstreifen: h2 D 0:25, 2n D 8 k 0 1 2 3 4 5 6 7 8

xk yk 0:50 2:00000 0:75 1:33333 1:00 1:00000 1:25 0:80000 1:50 0:66667 1:75 0:57143 2:00 0:50000 2:25 0:44444 2:50 0:40000 2:40000 3:14920 2:16667

Abschnitt 8.3 Simpsonsche Formel

S h2 D

313

0:25 Œ2:40000 C 4  3:14920 C 2  2:16667 D 1:61085 3

jS h2  S h1 j D 0:01137 D 1:137  102 >  Zerlegung in acht Doppelstreifen: h3 D 0:125, 2n D 16 k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

S h3 D

xk yk 0:500 2:00000 0:625 1:60000 0:750 1:33333 0:875 1:14286 1:000 1:00000 1:125 0:88889 1:250 0:80000 1:375 0:72727 1:500 0:66667 1:625 0:61538 1:750 0:57143 1:875 0:53333 2:000 0:50000 2:125 0:47059 2:250 0:44444 2:375 0:42105 2:500 0:40000 2:40000 6:39937 5:31587

0:125 Œ2:40000 C 4  6:39937 C 2  5:31587 D 1:60955 3

jS h3  S h2 j D 0:00130 D 1:3  103 <  Hinreichender Näherungswert: I  S h3 D 1:60955. R1 x Beispiel 8.6. Es ist das bestimmte Integral I D 0 e e dx mit der Schranke  D 104 zu berechnen. Ein Doppelstreifen: h0 D 0:5, 2n D 2 k 0 1 2 S h0 D

xk yk yk 0:0 0:36788 0:5 0:54524 1:0 0:69220 1:06008 0:54524

0:5 Œ1:06008 C 4  0:54524 D 0:54017 3

314

Kapitel 8 Numerische Integrationsmethoden

Zerlegung in zwei Doppelstreifen: h1 D 0:25, 2n D 4 k 0 1 2 3 4

S h1 D

xk yk 0:00 0:36788 0:25 0:45896 0:50 0:54524 0:75 0:62352 1:00 0:69220 1:06008 1:08248 0:54524

0:25 Œ1:06008 C 4  1:08248 C 2  0:54524 D 0:54004 3

jS h1  S h0 j D 0:00013 D 1:3  104 >  Zerlegung in vier Doppelstreifen: h2 D 0:125, 2n D 8 k 0 1 2 3 4 5 6 7 8

S h2 D

xk yk 0:000 0:36788 0:125 0:41375 0:250 0:45896 0:375 0:50294 0:500 0:54524 0:625 0:58552 0:750 0:62352 0:875 0:65911 1:000 0:69220 1:06008 2:16132 1:62772

0:125 Œ1:06008 C 4  2:16132 C 2  2:16772 D 0:54003 3

jS h2  S h1 j D 0:00001 D 105 <  Hinreichende Näherung: I  S h2 D 0:54003.

8.4

Fehlerabschätzungen

Im Abschnitt 8.3.1 wurde die Simpson-Formel hergeleitet, indem die zu integrierende Funktion y D f .x/ durch ein Interpolationspolynom ersetzt worden ist. Die Herleitung der Trapezregel im Abschnitt 8.2.1 erfolgte zwar mit Hilfe der elementaren Trapezflächenformel, die Regel kann aber auch mit einer Ersetzung des Integranden durch ein Interpolationspolynom hergeleitet werden. Die Verwendung von Interpolationspolynomen ist damit ein allgemeiner Weg zur Herleitung der bisher diskutierten

315

Abschnitt 8.4 Fehlerabschätzungen

Quadraturformeln. Der Fehler bei der Ersetzung einer Funktion f .x/ durch ein Interpolationspolynom Pn .x/ vom Grad n kann nach Formel (6.9) durch ein Restglied Rn .x/ D

f .nC1/ ..x// .x  x0 /.x  x1 /    .x  xn / .n C 1/Š

beschrieben werden. Die Integration dieses Restgliedes liefert daher einen Weg zur Bestimmung von Fehlerformeln für Quadraturmethoden. Es wird die Fehlerabschätzung für die Simpsonsche Formel ausführlich dargestellt. Der Grundgedanke der Simpson-Formel ist die Ersetzung des Integranden durch ein quadratisches Interpolationspolynom mit den Stützstellen x2k , x2kC1 und x2kC2 . Wie im Abschnitt 8.3.1 demonstriert wurde, führt ein kubisches Interpolationspolynom p3 .x/ mit einer zusätzlichen beliebigen Stützstelle x2kd aus dem Intervall Œx2k ; x2kC2  ebenfalls zur Simpson-Formel. Zur Herleitung einer Fehlerformel für dieses Verfahren kann deshalb das Restglied f .4/ ..x// .x  x2k /.x  x2kC1 /.x  x2kC2 /.x  x2kd / 4Š f .4/ ..x// .x  x2k /.x  x2k  h/.x  x2k  2h/.x  x2k  d / D 4Š f .4/ ..x//  .x  x2k /4  .d C 3h/.x  x2k /3 D 4Š  C .3hd C 2h2 /.x  x2k /2  2dh2 .x  x2k /

R3 .x/ D

des kubischen Polynoms p3 .x/ verwendet werden. Dazu wird im weiteren Verlauf der Herleitung vorausgesetzt, dass der Integrand f .x/ im Intervall Œa; b viermal stetig differenzierbar ist. Für den Fehler FSkC1 .h/ der Simpson-Formel mit der Schrittweite h auf dem Doppelstreifen Œx2k ; x2kC2  aus dem Integrationsintervall Œa; b gilt Z x2kC2 Z x2k C2h   f .x/  p3 .x/ dx D R3 .x/ dx FSkC1 .h/ D Z

D

x2k

x2k

x2k C2h

f .4/ ..x//  .x  x2k /4  .d C 3h/.x  x2k /3 4Š x2k  C .3hd C 2h2 /.x  x2k /2  2dh2 .x  x2k / dx :

Nach dem ersten Mittelwertsatz der Integralrechnung existiert dann eine Stelle kC1 2 Œx2k ; x2kC2  mit der Eigenschaft: Z f .4/ .kC1 / x2k C2h  FSkC1 .h/ D .x  x2k /4  .d C 3h/.x  x2k /3 4Š x2k  C .3hd C 2h2 /.x  x2k /2  2dh2 .x  x2k / dx :

316

Kapitel 8 Numerische Integrationsmethoden

Daraus erhält man für den Fehler: ´ x C2h d C 3h  x C2h f .4/ .kC1 / 1  .x  x2k /5 x2k .x  x2k /4 x2k  FSkC1 .h/ D 2k 2k 4Š 5 4 μ  3hd C 2h2  3 x2k C2h 2 2 x2k C2h .x  x2k / x C  dh .x  x2k / x 2k 2k 3 μ ´ 2 d C 3h 3hd C 2h f .4/ .kC1 / 1 32h5  16h4 C 8h3  dh2  4h2 D 4Š 5 4 3 μ ´ f .4/ .kC1 / 32 5 16 D h  4dh4  12h5 C 8dh4 C h5  4dh4 4Š 5 3 FSkC1 .h/ D 

f .4/ .kC1 / 5 h 90

.x2k  kC1  x2kC2 / :

(8.19)

Für den Integrationsfehler über das gesamte Intervall Œa; b D Œx0 ; x2n  gilt somit I  Sh D

n1 X

.IkC1  SkC1 / D 

kD0

n1 h5 X .4/ f .kC1 / : 90 kD0

Die Funktion y D f .x/ ist nach Voraussetzung in Œa; b viermal stetig differenzierbar. Durch mehrfache Anwendung des Zwischenwertsatzes für stetige Funktionen findet man ein 2 Œa; b mit der Eigenschaft I  Sh D  und damit I  Sh D 

h5 .4/ nf . / 90

.b  a/h4 .4/ f . / 180

.a   b/

.a   b/ :

(8.20)

(8.21)

Unter der Voraussetzung M4 D max jf .4/ . /j 2Œa;b

folgt die Abschätzung .b  a/h4  M4 : (8.22) 180 Für die Trapezregel kann man auf analoge Weise eine Fehlerabschätzung herleiten. Dabei ist zu beachten, dass ein lineares Interpolationspolynom mit dem Restglied jI  S h j 

R1 .x/ D

 f 00 ..x// f 00 ..x//  .x  xk /.x  xkC1 / D .x  xk /2  h.x  xk / 2Š 2

317

Abschnitt 8.4 Fehlerabschätzungen

zu verwenden ist. Außerdem braucht man die zweimalige stetige Differenzierbarkeit von f .x/. Man erhält dann: I Th D  jI  T h j 

.b  a/h2 00 f . / 12

.b  a/h2  M2 12

.a   b/ ;

(8.23)

mit M2 D max jf 00 . /j : 2Œa;b

(8.24)

R1 2 Beispiel 8.7. Es wird eine Näherung für 0 e x dx mit der Schrittweite h D 0:1 bestimmt. Gesucht sind Abschätzungen für die Fehler von Trapezformel und SimpsonFormel. Die Näherung mit der Trapezformel ist T 0:1 D 0:7462. Mit 2

f .x/ D e x ;

2

f 0 .x/ D 2e x ;

2

f 00 .x/ D .4x 2  2/e x ;

max jf 00 .x/j D 2

x2Œ0;1

ergibt sich jI  T 0:1 j 

1  0:12  2 D 1:67  103 12

als Abschätzung für den Integrationsfehler. Der wirkliche Fehler ist 6:24  104 . Die Näherung mit der Simpson-Formel ist S 0:1 D 0:74683. Mit 2

f 000 .x/ D .8x 3 C 12x/e x ; 2

f .4/ .x/ D .16x 4  40x 2 C 12/e x ; max jf .4/ .x/j D 12

x2Œ0;1

erhält man die Abschätzung jI  S 0:1 j 

1  0:14  12 D 6:67  106 180

für den Fehler der Integration. Der wahre Fehler ist hier 6  106 . R 2:5 Beispiel 8.8. Das Integral 0:5 dx x wird mit der Schrittweite h D 0:25 unter Verwendung der Trapezformel und der Simpson-Regel näherungsweise bestimmt. Es sind Abschätzungen für die Fehler der beiden Verfahren gesucht. Die Näherung der Trapezformel ist T 0:25 D 1:62897. Die Ableitungen f .x/ D

1 ; x

f 0 .x/ D 

1 ; x2

f 00 .x/ D

2 ; x3

max

x2Œ0:5;2:5

jf 00 .x/j D 16

318

Kapitel 8 Numerische Integrationsmethoden

führen zur Fehlerabschätzung jI  T 0:25 j 

2  0:252 D 1:67  101 : 12

Der reale Fehler ist 1:95  102 . Die Näherung der Simpson-Formel ist S 0:25 D 1:61085. Als Abschätzung für den Fehler dieser Näherung erhält man aus f 000 .x/ D 

6 ; x4

f .4/ .x/ D

24 ; x5

max

x2Œ0:5;2:5

jf .4/ .x/j D 768

den Wert jI  S 0:25 j 

2  0:254  768 D 3:33  102 : 180

Der tatsächliche Fehler ist 1:41  102 .

8.5

Verfahren von Romberg

8.5.1 Herleitung Rb Es ist wieder I D a f .x/ dx numerisch zu bestimmen. Die Besonderheit des Romberg-Verfahrens besteht darin, dass aus einer Reihe von einfachen Näherungen schrittweise eine neue (bessere) Näherung für den gesuchten Integralwert gebildet wird. Die einfachen Näherungen werden dabei mit der Trapezformel berechnet und mit Tn;0 bezeichnet. In einem nullten Schritt wird der Bogen von y D f .x/ zwischen a und b durch eine Gerade ersetzt und die gesuchte Fläche durch ein Trapez angenähert. Damit ergibt sich als nullte Näherung für I h0 D

ba ; 20

T0;0 D

h0  f .a/ C f .b/ : 2

(8.25)

In den weiteren Schritten wird jeweils die Schrittweite des vorangegangenen Schrittes halbiert. Für den ersten Schritt heißt dies h1 D h0 =2 D .b  a/=21 . Es sind jetzt drei Stützwerte notwendig, wobei aber nur der Wert f .a C h1 / in der Intervallmitte des nullten Schritts neu berechnet werden muss. Als Näherung nach dem ersten Schritt ergibt sich h1  f .a/ C f .b/ C 2f .a C h1 / : (8.26) T1;0 D 2

319

Abschnitt 8.5 Verfahren von Romberg

h0

h1

x00

x01

h1

h2 x11 x10 x12 Bild 8.5. Vorgehen beim Romberg-Verfahren.

Die Berechnung dieser Näherung kann unter Benutzung von T0;0 weiter vereinfacht werden: h1  1 h0  f .a/ C f .b/ C 2f .a C h1 / D f .a/ C f .b/ C 2f .a C h1 / T1;0 D 2 2 2 ³ ²  1 h0 h0 D f .a/ C f .b/ C 2 f .a C h1 / 2 2 2 ¯ 1® D T0;0 C h0 f .a C h1 / : (8.27) 2 Im zweiten Schritt wird die Schrittweite h1 wieder halbiert: h2 D h1 =2 D .b a/=22 . Es ergeben sich vier Streifen mit fünf Stützstellen, wobei nur die zwei Stützwerte in den Intervallmitten des ersten Schritts neu berechnet werden müssen. Der zweite Näherungswert ist i  h2 h T2;0 D f .a/ C f .b/ C 2 f .a C h2 / C f .a C 2h2 / C f .a C 3h2 / 2 2 3 2 1 2X h2 4 f .a/ C f .b/ C 2 f .a C i  h2 /5 : (8.28) D 2 iD1

Die Berechnung von T2;0 kann durch die Benutzung der vorigen Näherung T1;0 wieder vereinfacht werden: i  h2 h T2;0 D f .a/ C f .b/ C 2 f .a C h2 / C f .a C 2h2 / C f .a C 3h2 / 2 ² ³  1 h1  h1  D f .a/ C f .b/ C 2f .a C h1 / C 2 f .a C h2 / C f .a C 3h2 / 2 2 2 ° ±   1 D T1;0 C h1 f .a C h2 / C f .a C 3h2 / : (8.29) 2

320

Kapitel 8 Numerische Integrationsmethoden

Man fährt mit dem Halbieren von Schritt zu Schritt fort. Durch die Schrittweitenhalbierung können alle Stützwerte des vorangegangenen Schrittes benutzt werden, neu zu berechnen sind nur die Funktionswerte in den Intervallmitten des vorigen Schrittes. Bein n-ten Schritt erhält man hn D .b  a/=2n und

Tn;0

2 3 n 1 2X hn 4 f .a/ C f .b/ C 2 D f .a C i  hn /5 : 2

(8.30)

iD1

Diese Näherungen sind identisch mit den Trapezformeln für die entsprechenden Schrittweiten. Wie in den ersten beiden Schritten demonstriert wurde, kann man sie noch zu 9 8 n1 2X = 1< (8.31) Tn1;0 C hn1 Tn;0 D f .a C .2i  1/  hn / ; 2: iD1

vereinfachen. Die Tn;0 sind für n D 0; 1; 2; : : : jeweils verfeinerte Trapezformeln. Die Werte Tn;0 werden deshalb bei wachsendem n gegen den exakten Wert I streben. Diese Konvergenz ist im allgemeinen nicht gut. Sie lässt sich wesentlich verbessern, wenn man dieses Vorgehen mit dem Extrapolationsverfahren von Aitken-Neville koppelt. Im Abschnitt 8.4 war der Fehler der Trapezformel zu I Th D 

.b  a/h2 00 f . / 12

.a   b/

bestimmt worden. Der Fehler ist also proportional zu h2 . Es kann gezeigt werden, dass für die Trapezregel Z a

b

! n1 f .x0 / C f .xn / X C f .x/ dx D h f .xk / C K1 h2 C K2 h4 C    (8.32) 2 kD1

gilt. Die Konstanten K1 ; K2 ; : : : sind dabei die Koeffizienten einer Reihendarstellung des Integrationsfehlers. Die Herleitung dieser Formel würde den Rahmen dieser Ausführungen überschreiten, daher wird auf ihre Angabe verzichtet. Eine ausführliche Darstellung findet man in Hämmerlin und Hoffmann [35]. Das Ziel des Extrapolationsverfahrens besteht in der schrittweisen Eliminierung der ersten Summanden der Reihendarstellung des Fehlers. Damit ist der Fehler nur von immer höheren Potenzen von h abhängig. Die Ordnung des Fehlers steigt. Die Folge ist eine bessere Konvergenz der erhaltenen Näherung gegen den exakten Wert bei h ! 0. Die Anwendung der Formel (8.32) auf die bisher bestimmten Trapeznä-

321

Abschnitt 8.5 Verfahren von Romberg

herungen führt zu: I D T0;0 C K1 h20 C K2 h40 C K3 h60 C    ;

(8.33)

I D T1;0 C K1 h21 C K2 h41 C K3 h61 C     2  4  6 h0 h0 h0 D T1;0 C K1 C K2 C K3 C  2 2 2 h20 h4 h6 C K2 0 C K3 0 C    ; 4 16 64 2 4 I D T2;0 C K1 h2 C K2 h2 C K3 h62 C     2  4  6 h1 h1 h1 D T2;0 C K1 C K2 C K3 C  2 2 2 D T1;0 C K1

D T2;0 C K1

h21 h4 h6 C K2 1 C K3 1 C    ; 4 16 64

(8.34)

(8.35)

:: : Durch Multiplikation von (8.34) mit vier und Subtraktion der Gleichung (8.33) erhält man mit ! ! 6 h40 h 0 3I D 4T1;0  T0;0 C K2  h40 C K3  h60 C    4 16 und daraus mit 4T1;0  T0;0 K2 I D C 3 3

! h40 K3  h40 C 4 3

! h60  h60 C    16

eine neue Formel für das gesuchte Integral, in der jetzt h40 als kleinste Potenz der Schrittweite steht. Die nach der Extrapolationsvorschrift T1;1 D

4T1;0  T0;0 3

(8.36)

gebildete Näherung T1;1 hat deshalb die Fehlerordnung O.h4 /. Dieses Vorgehen kann auf (8.35) und (8.34) übertragen werden. Dann folgt aus ! ! 6 h 4T2;0  T1;0 K K2 h41 3 1 I D C  h41 C  h61 C    3 3 4 3 16 eine neue Näherung T2;1 D

4T2;0  T1;0 3

(8.37)

322

Kapitel 8 Numerische Integrationsmethoden

mit der Fehlerordnung O.h4 /. Allgemein ergibt sich damit aus der Folge der Anfangsnäherungen T0;0 ; T1;0 ; T2;0 ; : : : mit der Fehlerordnung O.h2 / durch Tl;1 D

4Tl;0  Tl1;0 3

.l D 1; 2; 3; : : :/

(8.38)

eine neue Folge von Näherungen mit der Fehlerordnung O.h4 /. Diese neue Folge wird daher eine bessere Konvergenz als die Ursprungsfolge gegen den exakten Wert I des Integrals aufweisen. Es ist zu beachten, dass auf diese Weise aus n Näherungen Tl;0 insgesamt n  1 verbesserte Näherung Tl;1 gebildet werden können. Diese Methode kann weiter fortgesetzt werden, indem in den Fehlertermen der Formeln von Tl;1 die Summanden mit der vierten Potenz der Schrittweite eliminiert werden. Aus der Folge T1;1 ; T2;1 ; T3;1 ; : : : von Näherungen mit der Fehlerordnung O.h4 / kann damit durch Tl;2 D

42 Tl;1  Tl1;1 42  1

.l D 2; 3; : : :/

(8.39)

wieder eine neue Folge von Näherungen mit der Fehlerordnung O.h6 / gebildet werden. Durch wiederholte Fortsetzung dieses Vorgehens entsteht aus der Ausgangsfolge Tj;0 , j D 0; 1; 2; : : : eine Folge von Näherungen Tl;k D

4k Tl;k1  Tl1;k1 4k  1

.k D 1; 2; 3; : : : I l D k; k C 1; k C 2; : : :/ (8.40)

mit der Fehlerordnung O.h2.kC1/ /. Daraus ergibt sich das Romberg-Schema: T0;0 4T1;0  T0;0 3 4T2;0  T1;0 D 3 4T3;0  T2;0 D 3 :: :

T1;0

T1;1 D

T2;0

T2;1

T3;0

T3;1

:: :

16T2;1  T1;1 15 16T3;1  T2;1 D 15 :: :

T2;2 D T3;2

T3;3 D :: :

64T3;2  T2;2 63 ::

:

8.5.2 Abbruchbedingung beim Romberg-Verfahren Die Folge der Anfangsnäherungen bildet die erste Spalte im Romberg-Schema. Die verbesserten Näherungsfolgen werden jeweils rechts als weitere Spalten angefügt. Die Folgen konvergieren sowohl spaltenweise als auch entlang der Diagonalen. Dabei sind die besten Näherungen in jeder Zeile auf der äußeren Diagonalen zu finden.

323

Abschnitt 8.5 Verfahren von Romberg

Als Abbruchkriterium kann man den absoluten Abstand zweier aufeinander folgender Werte der äußeren Diagonalen benutzen. Wenn dieser Abstand kleiner als eine vorgegebene Schranke  ist, kann die Rechnung beendet werden: jTiC1;iC1  Ti;i j < 

)

Abbruch :

(8.41)

Dann ist mit ausreichender Genauigkeit I D TiC1;iC1 , ansonsten muss eine weitere Zeile angefügt werden. Prinzipielles Vorgehen 

Es werden T0;0 und T1;0 berechnet. Damit folgt T1;1 .



Es wird T2;0 berechnet. Es folgen T2;1 und T2;2 .



Vergleich jT2;2  T1;1 j < . Falls erfüllt, wird I D T2;2 .



Falls nicht erfüllt, wird T3;0 berechnet. Es folgen T3;1 ; T3;2 und T3;3 .



Vergleich jT3;3  T2;2 j < . Falls erfüllt, wird I D T3;3 .



Falls nicht erfüllt, wird T4;0 berechnet usw.

R1 x Beispiel 8.9. Das Integral I D 0 e e dx soll näherungsweise bestimmt werden, 6 wobei die Schranke  D 10 vorgegeben ist. Um hinreichend viele Schutzstellen zu haben, wird die Rechnung mit acht Nachkommastellen ausgeführt. lnk 0 1 2 3

0 1 2 3 jTl;l  Tl1;l1 j 0:53004004 0:53763963 0:54017281 1:01  102 >  0:53944007 0:54004022 0:54003138 1:41  104 >  0:53988431 0:54003239 0:54003187 0:54003188 5:00  107 < 

Die ausreichende Näherung ist I D T3;3 D 0:54003188. Beispiel 8.10. Bei der näherungsweisen Berechnung des Integrals I D ist die Schranke  D 103 einzuhalten. lnk 0 1 2 3 4

0 2:40000 1:86667 1:68334 1:62897 1:61441

1

2

3

4

1:68889 1:62223 1:61779 1:61085 1:61009 1:60997 1:60956 1:60947 1:60946 1:60946

Die ausreichende Näherung ist I D T4;4 D 1:60946.

R5 1

1=x dx

jTl;l  Tl1;l1 j 7:1  101 7:1  102 7:8  103 5:1  104

> > >   :

Es ist eine neue Stufe r D 1 notwendig, dabei erhält man: Z

Z

1 2

I11 D

f .x/ dx ;

I21 D

0

1 1 2

f .x/ dx ;

 1 1 ; h2 D ; D 1:125  104 ; 4 8 2 ²    ³ 1 1 h1 D f .0/ C 4f Cf D 0:11073446 ; 3 4 2 ²        ³ 1 1 3 1 h2 f .0/ C 4f C 2f C 4f Cf D 3 8 4 8 2

h1 D 1 S11 2 S11

D 0:11060741 ;  2 1 ; jS11  S11 j D 1:27  104 > 2 ²     ³ 1 3 h1 1 S21 f C 4f C f .1/ D 0:20555236 ; D 3 2 4 ²         ³ 1 5 3 7 h2 2 S21 D f C 4f C 2f C 4f C f .1/ 3 2 8 4 8 D 0:20546624 ; 2 1  S21 j D 8:612  105 < jS21

 : 2

Für das Teilintegral I21 ergibt sich als ausreichende Näherung Z I21 D

1 1 2

f .x/ dx D 0:205466 :

331

Abschnitt 8.6 Adaptive Simpson-Quadratur

Die Berechnung des Teilintegrals I11 muss in der Stufe r D 2 weiter verbessert werden: Z I12 D

Z

1 4

f .x/ dx ;

I22 D

0

1 2 1 4

f .x/ dx ;

 1 1 ; h3 D ; D 5:625  105 ; 8 16 4 ²    ³ 1 1 h2 D f .0/ C 4f Cf D 0:03029590 ; 3 8 4 ²        ³ 1 1 3 1 h3 f .0/ C 4f C 2f C 4f Cf D 3 16 8 16 4

h2 D 1 S12 2 S12

D 0:03029362 ;  2 1 ;  S12 j D 2:28  106 < jS12 4 ²      ³ 1 3 1 h2 1 S22 D f C 4f Cf D 0:08031151 ; 3 4 8 2 ²          ³ 1 5 3 7 1 h3 2 S22 D f C 4f C 2f C 4f Cf 3 4 16 8 16 2 D 0:08030647 ; 2 1  S22 j D 5:104  106 < jS22

 : 4

Für die Teilintegrale I12 und I22 erhält man Z

Z

1 4

I12 D

f .x/ dx D 0:0302936

und

I22 D

0

1 2 1 4

f .x/ dx D 0:0803065

als ausreichend genaue Näherungen. Daraus folgt für das gesuchte Integral I N D 0:3160663 : Ein Vergleich mit dem exakten Wert Iexakt D 0:3160603 zeigt, dass der reale Fehler jI  I N j D 6  106 <  ist. R1p Beispiel 8.13. Gesucht ist eine Näherung für das Integral I D 0 x dx mit dem adaptiven Simpson-Verfahren und der Genauigkeitsschranke  D 103 .

332

Kapitel 8 Numerische Integrationsmethoden

Die folgende Darstellung enthält stufenweise alle notwendigen Zwischenrechnungen: r D0W Z

1

I10 D

f .x/ dx ;

h0 D

0

1 S10 2 S10

1 ; 2

h1 D

1 ; 4

  D 7:5  103 ;

²   ³ 1 h0 f .0/ C 4f C f .1/ D 0:638071 ; D 3 2 ²       ³ 1 1 3 h1 D f .0/ C 4f C 2f C 4f C f .1/ 3 4 2 4 D 0:656526 ;

2 1  S10 j D 1:85  102 >   : jS10

r D1W Z

Z

1 2

I11 D

f .x/ dx ;

I21 D

0

1 1 2

f .x/ dx ;

 1 1 ; h2 D ; D 3:75  103 ; 4 8 2 ²    ³ 1 1 h1 f .0/ C 4f Cf D 0:225592 ; D 3 4 2 ²        ³ 1 1 3 1 h2 f .0/ C 4f C 2f C 4f Cf D 3 8 4 8 2

h1 D 1 S11 2 S11

D 0:232117 ;  2 1 jS12 ;  S12 j D 6:53  103 > 2 ²     ³ 1 3 h1 1 S21 D f C 4f C f .1/ D 0:430934 ; 3 2 4 ²         ³ 1 5 3 7 h2 2 S21 D f C 4f C 2f C 4f C f .1/ 3 2 8 4 8 D 0:430962 ; 2 1  S21 j D 2:80  105 < jS21

Z I21 D

 ; 2

1 1 2

f .x/ dx D 0:430962 :

333

Abschnitt 8.6 Adaptive Simpson-Quadratur

r D2W Z

Z

1 4

I12 D

f .x/ dx ;

I22 D

1 2

f .x/ dx ;

1 4

0

 1 1 ; h3 D ; D 1:875  103 ; 8 16 4 ²    ³ 1 1 h2 f .0/ C 4f Cf D 0:079759 ; D 3 8 4 ²        ³ 1 1 3 1 h3 f .0/ C 4f C 2f C 4f Cf D 3 16 8 16 4

h2 D 1 S12 2 S12

D 0:082066 ;  2 1  S12 j D 2:31  103 > 2 ; jS12 2 ²      ³ 1 3 1 h2 1 f C 4f Cf D 0:152358 ; S22 D 3 4 8 2 ²          ³ 1 5 3 7 1 h3 2 S22 D f C 4f C 2f C 4f Cf 3 4 16 8 16 2 D 0:152368 ; 2 1  S22 j D 1:0  105 < jS22

Z I22 D

 ; 22

1 2

f .x/ dx D 0:152368 :

1 4

r D3W Z I13 D

Z

1 8

f .x/ dx ; 0

2 S13

1 4 1 8

f .x/ dx ;

 1 1 ; h4 D ; D 9:375  104 ; 16 32 8 ²    ³ 1 1 h3 D f .0/ C 4f Cf D 0:028199 ; 3 16 8 ²        ³ 1 1 3 1 h4 f .0/ C 4f C 2f C 4f Cf D 3 32 16 32 8

h3 D 1 S13

I23 D

D 0:029015 ;

334

Kapitel 8 Numerische Integrationsmethoden

2 1 jS13  S13 j D 8:16  104
0 ist 0 < e h < 1. Allgemein kann man für .e h /kC1 mit wachsendem k die Konvergenz gegen null feststellen. Wie man aus (9.13) sieht, hat das Euler-Cauchy-Verfahren diese Eigenschaft nur im Fall j1 C hj < 1 oder

 1 < 1 C h < 1 ;

(9.16)

andernfalls würden die Beträge der Näherungen ykC1 immer weiter ansteigen und der Fehler würde sehr groß werden. Wegen h < 0 ist nur die linke Seite der Ungleichung von Bedeutung. Daraus folgt für h die Beschränkung 2 < h

oder

h
1 (9.17) notwendig. Da  < 0 ist, stellt dies keine Einschränkung für h dar. Diese Ergebnisse decken sich mit den Überlegungen aus dem Beispiel 9.14. Die Gleichungen (9.13) und (9.14) lassen sich auch zur Untersuchung der Wirkung von kleinen Störungen, beispielsweise Rundungsfehlern, im Startwert verwenden. Dazu setzt man als neuen Startwert die durch ein kleines  gestörte Größe y0 C  an. Die Gleichungen (9.13) und (9.14) haben dann die Form ykC1 D .1 C h/yk D .1 C h/kC1 .y0 C / D .1 C h/kC1 y0 C .1 C h/kC1 

.k D 0; 1; : : : ; n/

(9.18)

und y0 C  yk D 1  h .1  h/kC1 y0  D C .1  h/kC1 .1  h/kC1

ykC1 D

.k D 0; 1; : : : ; n/ :

(9.19)

In beiden Fällen beschreibt der zweite Summand die Fortpflanzung des Anfangsfehlers in den weiteren Verfahrensschritten. Dabei sinkt dieser Anteil im Euler-Cauchy2 Verfahren im Fall h < jj mit wachsendem k ab, andernfalls steigt der Einfluss dieses Anfangsfehlers mit fortschreitender Rechnung beliebig weit an. Im impliziten Verfahren sinkt dieser zweite Summand auf alle Fälle ab. Der Einfluss des Startfehlers ist folglich in diesen Einschrittverfahren mit dem Verhalten der Näherungslösung vergleichbar. Schwieriger zu untersuchen ist das Verhalten von Mehrschrittverfahren, bei denen die neue Näherung ykC1 aus mehreren Vorgängern yk ; yk1 ; : : : ; ykC1m gebildet wird. Solche Verfahren können für die Testaufgabe allgemein in der Form ykC1 C am1 yk C am2 yk1 C    C a0 ykC1m D 0

(9.20)

geschrieben werden, wobei die Koeffizienten al .l D 0; : : : ; m  1/ sich aus den Koeffizienten des gewählten Mehrschrittverfahrens und der gewählten Schrittweite zusammensetzen. Nach Gleichung (9.15) können die Funktionswerte y.xkC1 / in Potenzform geschrieben werden. Man setzt daher für die Näherung yl D .e ˛ /l D z l

.l D k C 1  m; : : : ; k C 1/

an, wobei ˛ und damit auch z komplexe Zahlen sein dürfen. Damit kann dem Mehrschrittverfahren die Gleichung z kC1 C am1 z k C am2 z k1 C    C a0 z kC1m D 0

(9.21)

387

Abschnitt 9.5 Steife Differentialgleichungen

für die komplexe Variable z zugeordnet werden. Durch Ausklammern von z kC1m erhält diese Gleichung die Form z kC1m .z m C am1 z m1 C am2 z m2 C    C a0 / D 0 : Die Anwendung eines Mehrschrittverfahrens ist als Lösung dieser Gleichung für die Variable z interpretierbar. Man erkennt sofort die .k C 1  m/-fache Lösung z D 0. In der Klammer steht ein Polynom vom Grad m für die komplexe Variable z, das mit am D 1 in der Form pm .z/ D z m C am1 z m1 C am2 z m2 C    C a0 D

m X

al z l

lD0

geschrieben werden kann. Die Nullstellen dieses Polynoms beschreiben das Verhalten der gewählten Mehrschrittformel. Es heißt deshalb charakteristisches Polynom des Verfahrens (9.20). Als Polynom vom Grad m hat das charakteristische Polynom genau m komplexe Nullstellen zl .l D 1; : : : ; m/. Es kann gezeigt werden, dass das gewählte Verfahren im Sinne der für Einschrittverfahren angestellten Überlegungen stabil ist, wenn alle Nullstellen die Eigenschaft jzl j < 1 (9.22) besitzen. Beispiel 9.15. Das Euler-Cauchy-Verfahren hat nach Gleichung (9.13) die Form ykC1 D .1 C h/yk

.k D 0; 1; : : : ; n/ ;

das charakteristische Polynom dazu lautet p1 .z/ D z  .1 C h/ : Als Nullstelle dieses Polynom erhält man z D 1 C h : Aus der Bedingung (9.22) folgt wieder die Stabilitätsbedingung j1 C hj < 1 oder

h
1 C 3˛ C 9˛ 2 C 2˛ C 1 : Wie man leicht nachprüft, ist diese Bedingung für alle ˛ < 0 erfüllt. Die zweite Lösung z2 ist wegen (9.23) stets eine negative Zahl. Die Stabilitätsbedingung für z2 kann deshalb in der Form p 2 < 1 C 3˛  9˛ 2 C 2˛ C 1 geschrieben werden. Die daraus gebildete Ungleichung p 9˛ 2 C 2˛ C 1 < 3˛ C 3 kann nur bei positiver rechter Seite, das heißt ˛ > 1, erfüllt sein. In diesem Fall darf man die Ungleichung quadrieren. Nach dem Auflösen nach ˛ ergibt sich die gesuchte Bedingung h 1 ˛D > : 2 2 Für die Schrittweite h folgt daraus die Einschränkung h
t h .k D 0; 1; : : : ; n/ > x2kC1  x2k x2 > ; D D f2 .x1k ; x2k ; tk / t h folgen sofort die Gleichungen 9 x1kC1 D x1k C h f1 .x1k ; x2k ; tk / = x D x C h f .x ; x ; t / ; 2kC1

2k

2

1k

2k

.k D 0; 1; : : : ; n/

k

für das Polygonzugverfahren zu einem System von 2 Differentialgleichungen. Eine Erweiterung auf ein System von n Differentialgleichungen erster Ordnung sollte den Leser nicht vor größere Probleme stellen. Ebenso können auch die anderen bisher diskutierten Verfahren auf Differentialgleichungssysteme 1. Ordnung übertragen werden. Beispiel 9.19. Es wird das Differentialgleichungssystem xP1 .t / D x1  10x2 D f1 .x1 ; x2 ; t / xP2 .t / D 2x1 C 3x2 D f2 .x1 ; x2 ; t /

394

Kapitel 9 Gewöhnliche Differentialgleichungen

aus dem Beispiel 9.18 mit der Anfangsbedingung x1 .0/ D 0 ;

x2 .0/ D 2

untersucht. Nach Beispiel 9.18 hat dieses Problem die exakte Lösung x1 .t / D 5 e t sin.4t / ;   x2 .t / D e t 2 cos.4t / C sin.4t / : Mit der Schrittweite h D 0:1 soll in 10 Schritten eine Näherung auf dem Parameterintervall Œ0; 1 bestimmt werden. Das Euler-Cauchy-Verfahren für dieses Problem hat die Form 9 x1kC1 D x1k C 0:1 .x1k  10x2k / = .k D 0; 1; : : : ; 10/ : x D x C 0:1 .2x C 3x / ; 2kC1

2k

1k

2k

Als erste Schritte der Rechnung ergeben sich: x10 D 0 ;

x11 D 0 C 0:1.0  20/ D 2 ;

x20 D 2 ;

x21 D 2 C 0:1.0 C 6/ D 2:6 ;

x12 D 2 C 0:1.2  26/ D 4:4 ;

x13 D 4:4 C 0:1.4:4  29:8/ D 6:94 ;

x22 D 2:6 C 0:1.4 C 7:8/ D 2:98 ; x21 D 2:98 C 0:1.8:8 C 8:94/ D 2:994 : Die vollständige Rechnung ist in der folgenden Tabelle 9.17 zusammengefasst. ti 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

Lösung x1i x2i 0.00000000 2.00000000 2:00000000 2.60000000 4:40000000 2.98000000 6:94000000 2.99400000 9:24000000 2.50420000 10:82020000 1.40746000 11:14564000 0:33434200 9:69673400 2:66377260 6:06328800 5:40225118 0:05470802 8:23558413 8.18634692 10:71720098

Fehler jx1i  x1 .ti /j jx2i  x2 .ti /j 0.000000000 0.000000000 0.151869134 0.133766525 0.019096460 0.401900299 0.649394150 0.757615217 1.784057060 1.100132549 3.324309955 1.280502273 4.991769200 1.122121744 6.323817528 0.456449684 6.712858227 0.828845371 5.496831315 2.735819894 2.099665434 5.106423357

Tabelle 9.17. Lösungswerte zu Beispiel 9.19.

395

Abschnitt 9.6 Weitere Anfangswertaufgaben

9.6.2 Differentialgleichungen höherer Ordnung Eine Anfangswertaufgabe für eine Differentialgleichung n-ter Ordnung ist durch y .n/ D f .x; y; y 0 ; y 00 ; : : : ; y .n1/ / ; y.x0 / D y0 ;

y 0 .x0 / D y00 ;

::: ;

.n1/

y .n1/ .x0 / D y0

gegeben. Durch die Substitutionen y.x/ D y1 .x/ ; y 0 .x/ D y10 .x/ D y2 .x/ ; y 00 .x/ D y20 .x/ D y3 .x/ ; :: : 0 y .n1/ .x/ D yn1 .x/ D yn .x/ ;

y .n/ .x/ D yn0 .x/ erhält man aus der Anfangswertaufgabe für eine Differentialgleichung n-ter Ordnung die folgende Anfangswertaufgabe für ein Differentialgleichungssystem 1. Ordnung: y10 D f1 .x; y1 ; y2 ; : : : ; yn / D y2 ;

y1 .x0 / D y0 ;

y20 y30

D f2 .x; y1 ; y2 ; : : : ; yn / D y3 ;

y2 .x0 / D y00 ;

D f3 .x; y1 ; y2 ; : : : ; yn / D y4 ;

y3 .x0 / D y000 ;

:: : 0 yn1 D fn1 .x; y1 ; y2 ; : : : ; yn / D yn .x/ ;

.n2/

yn1 .x0 / D y0

yn0 D fn .x; y1 ; y2 ; : : : ; yn / D f .x; y1 ; y2 ; : : : ; yn / ;

; .n1/

yn .x0 / D y0

:

Damit können jetzt die für Anfangswertaufgaben von Differentialgleichungen 1. Ordnung bereitgestellten Verfahren auf Differentialgleichungen höherer Ordnung übertragen werden. Beispiel 9.20. Betrachtet wird das folgende Anfangswertproblem für eine Differentialgleichung 2. Ordnung: y 00 C 2y 0 C 2y D x ;

1 y.0/ D  ; 2

y 0 .0/ D 1 :

Wie man durch Einsetzen in die Aufgabenstellung leicht prüfen kann, hat dieses Problem die Lösung  1 y.x/ D e x sin.x/ C x  1 : 2

396

Kapitel 9 Gewöhnliche Differentialgleichungen

Es ist für diese Aufgabe eine Näherungslösung mit Hilfe des Polygonzugs von EulerCauchy über 10 Schritte mit der Schrittweite h D 0:2 gesucht. Mit der Substitution y.x/ D y1 .x/ ; y 0 .x/ D y10 .x/ D y2 .x/ ; y 00 .x/ D y20 .x/ ergibt sich daraus das Differentialgleichungssystem 1. Ordnung 1 y1 .0/ D  ; 2 0 y2 .x/ D 2y1 .x/  2y2 .x/ C x ;

y10 .x/ D y2 .x/ ;

y2 .0/ D 1 :

Das gesuchte Euler-Cauchy-Verfahren für dieses Problem lautet dann 9 = y1kC1 D y1k C 0:2 y2k ; .k D 0; 1; : : : ; 10/ : y D y C 0:2 .2y  2y C x / ; 2kC1

2k

1k

2k

2k

Die ersten beiden Punkte des Polygonzugs sind y10 D 0:5 ; y11 D 0:5 C 0:2  1 D 0:3 ; y20 D 1 ;

  y21 D 1 C 0:2  2.0:5/  2  1 C 0 D 0:8 :

Die weiter Rechnung kann der folgenden Tabelle 9.18 entnommen werden. xi 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0

Lösung yi D y1i yi0 D y2i 0:5000000000 1.0000000000 0:3000000000 0.8000000000 0:1400000000 0.6400000000 0:0120000000 0.5200000000 0.0920000000 0.4368000000 0.1793600000 0.3852800000 0.2564160000 0.3594240000 0.3283008000 0.3530880000 0.3989184000 0.3605324800 0.4710248960 0.3767521280 0.5463753216 0.3976413184

Fehler jy1i  y.xi /j 0.0000000000 0.0186716546 0.0294825394 0.0330588202 0.0308355654 0.0245800621 0.0160536110 0.0067963442 0.0019868150 0.0094630694 0.0151546904

Tabelle 9.18. Lösungswerte für Beispiel 9.20.

Abschnitt 9.7 Aufgaben

9.7

397

Aufgaben

Aufgabe 9.1. Die Differentialgleichung xy 0 C 2y  1=x D 0 hat die allgemeine Lösung y.x/ D .c C x/=x 2 . a) Skizzieren Sie das Richtungsfeld der Differentialgleichung im ersten Quadranten des kartesischen Koordinatensystems. b) Ermitteln Sie die durch die Anfangsbedingung y.1/ D 1 bestimmte spezielle Lösung der Differentialgleichung und tragen Sie diese Lösung ebenfalls in das Koordinatensystem ein. c) Berechnen Sie mit dem Polygonzugverfahren nach Euler-Cauchy und der Schrittweite h D 0:2 eine Näherungslösung für diese Anfangswertaufgabe auf dem Intervall Œ1; 2. Vergleichen Sie die erhaltenen Näherungen mit den exakten Werten y.xi /. Aufgabe 9.2. a) Ermitteln Sie zur Differentialgleichung aus Aufgabe 9.1 die durch die Anfangsbedingung y.1=2/ D 0 bestimmte spezielle Lösung. b) Berechnen Sie mit dem Polygonzugverfahren nach Euler-Cauchy und der Schrittweite h D 0:1 eine Näherungslösung für diese Anfangswertaufgabe auf dem Intervall Œ1=2; 1. Aufgabe 9.3. Die Differentialgleichung xy 0  y=.x C 1/ D 0 hat mit der Anfangsbedingung y.1/ D 1 die spezielle Lösung y.x/ D 2x=.x C 1/. Bestimmen Sie mit dem Polygonzug nach Euler-Cauchy und der Schrittweite h D 0:2 eine Näherungslösung für diese Anfangswertaufgabe auf dem Intervall Œ1; 2 und vergleichen Sie die erhaltenen Näherungen mit den exakten Werten y.xi /. Aufgabe 9.4. Bestimmen Sie zum Anfangswertproblem aus Aufgabe 9.3 mit a) der Mittelpunktmethode (Runge-Kutta-Verfahren 2. Ordnung) und b) der Runge-Kutta-Methode vierter Ordnung jeweils mit der Schrittweite h D 0:5 eine Näherungslösung auf dem Intervall Œ1; 5 und vergleichen Sie die erhaltenen Näherungen mit den exakten Werten y.xi /. Aufgabe 9.5. Die Differentialgleichung y 0  .y 2 Cp 2/=.x 2 / p D 0 hat mit der Anfangsbedingung y.1/ D 0 die spezielle Lösung y.x/ D 2 tan . 2.x  1/=x/. Bestimmen Sie mit a) dem Polygonzug nach Euler-Cauchy und b) der Runge-Kutta-Methode vierter Ordnung

398

Kapitel 9 Gewöhnliche Differentialgleichungen

eine Näherungslösung für diese Anfangswertaufgabe (Schrittweite h D 0:25/ auf dem Intervall Œ1; 3 und vergleichen Sie die erhaltenen Näherungen mit den exakten Werten y.xi /. Aufgabe 9.6. Im Beispiel 9.4 wurde das Lösungsverhalten der logistischen Differentialgleichung xP D kx.B  x/ für das Polygonzugverfahren nach Euler-Cauchy mit der Schrittweite h D 1 untersucht. Dabei wurde ein wesentlicher Einfluss des Parameters k auf das Lösungsverhalten deutlich, der im Feigenbaum-Diagramm zusammenfassend dargestellt werden kann. Bestimmen Sie jeweils eine Näherungslösung der logistischen Differentialgleichung xP D kx.1  x/ mit der Anfangsbedingung x.0/ D 0:2 und der Schrittweite h D 1 mit Hilfe von 10 Schritten des Runge-Kutta-Verfahrens 4. Ordnung für die Parameter a) k D 2:2 und b) k D 2:5. Vergleichen Sie diese Lösung mit der im Abschnitt 9.1.2 angegebenen exakten Lösung und dem Lösungsverhalten des Polygonzugverfahrens. Aufgabe 9.7. Bestimmen Sie eine Näherungslösung des Anfangswertproblems y 0 D y=2 C sin.x/, y.0/ D 1 mit Hilfe von 10 Schritten eines Taylor-Verfahrens 3. Ordnung und der Schrittweite h D 0:2. Vergleichen Sie Ihr Ergebnis mit der exakten Lösung y.x/ D 2=5 sin x  4=5 cos x  1=5e 0:5x . Aufgabe 9.8. Berechnen Sie eine Näherungslösung des Anfangswertproblems y 0 D x C y, y.0/ D 0:5 mit Hilfe von 10 Schritten eines Taylor-Verfahrens 5. Ordnung und der Schrittweite h D 0:2. Vergleichen Sie Ihr Ergebnis mit der exakten Lösung y.x/ D 1=2e x  x  1. Aufgabe 9.9. Ermitteln Sie mit Hilfe von 10 Schritten eines Taylor-Verfahrens 4. Ordnung mit der Schrittweite h D 0:2 eine Näherungslösung des Anfangswertproblems y 0 D 2y, y.0/ D 2. Vergleichen Sie Ihr Ergebnis mit der exakten Lösung y.x/ D 2e 2x . Aufgabe 9.10. Gegeben ist das Anfangswertproblem y 0 D y=2 C sin.x/, y.0/ D 1 aus Aufgabe 9.7. Bestimmen Sie eine Näherungslösung mittels des AdamsBashforth-3-Schrittverfahrens mit der Schrittweite h D 0:2 und vergleichen Sie diese Lösung mit der exakten Lösung und der Näherungslösung aus Aufgabe 9.7. Verwenden Sie das Runge-Kutta-Verfahren 4. Ordnung zur Gewinnung der Anlaufwerte.

399

Abschnitt 9.7 Aufgaben

Aufgabe 9.11. Gegeben ist das Anfangswertproblem y 0 D y C x, y.0/ D 0:5 aus Aufgabe 9.8. Berechnen Sie mittels des Adams-Bashforth-2-Schrittverfahrens mit der Schrittweite h D 0:2 eine Näherungslösung des Problems und vergleichen Sie diese Lösung mit der exakten Lösung und der Näherungslösung aus Aufgabe 9.8. Verwenden Sie das Runge-Kutta-Verfahren 4. Ordnung zur Gewinnung der Anlaufwerte. Aufgabe 9.12. Es ist das Anfangswertproblem y 0 C y.x 2  2/ D 0, y.0/ D 0:1 gegeben. Berechnen Sie mittels des Nyström-3-Schrittverfahrens mit der Schrittweite h D 0:2 eine Näherungslösung des Problems und vergleichen Sie diese Lösung mit x.x 2 6/

der exakten Lösung y D 0:1e  3 . Verwenden Sie das Runge-Kutta-Verfahren 4. Ordnung zur Gewinnung der Anlaufwerte. Aufgabe 9.13. Gegeben ist das aus den Aufgaben 9.7 und 9.10 bekannte Anfangswertproblem y 0 D y=2 C sin.x/, y.0/ D 1. Bestimmen Sie eine Näherungslösung mittels des Adams-Moulton-3-Schrittverfahrens mit der Schrittweite h D 0:2 und vergleichen Sie diese Lösung mit der exakten Lösung und der Näherungslösung der Aufgaben 9.7 und 9.10. Verwenden Sie das Runge-Kutta-Verfahren 4. Ordnung zur Gewinnung der Anlaufwerte. Aufgabe 9.14. Gegeben ist das Anfangswertproblem y 0  y=.x 2 C 1/ D 0, y.0/ D 0:5. Bestimmen Sie eine Näherungslösung mittels des Milne-Simpson-3-Schrittverfahrens mit der Schrittweite h D 0:4 und vergleichen Sie diese Lösung mit der exakten Lösung y D 0:5e arctan.x/ . Verwenden Sie das Runge-Kutta-Verfahren 4. Ordnung zur Gewinnung der Anlaufwerte. Aufgabe 9.15. Die Differentialgleichung y 0 D yx2 , y.0/ D 1 hat die exakte Lösung p 3 y.x/ D 12 12x 2 C 8. Berechnen Sie jeweils einen Näherungsschritt mit dem Adams-Moulton- bzw. MilneSimpson-2-Schrittverfahren jeweils mit der Schrittweite h D 0:2. Verwenden Sie für die Anlaufrechnung die Werte der exakten Lösung. Was stellen Sie fest? Aufgabe 9.16. Gegeben sind die folgenden Anfangswertprobleme mit steifen Differentialgleichungen: a) y 0 C 40y D x, y.0/ D 1 b) y 0 C 50y C 100x 2 D 0, y.0/ D 1 c) y 0 C 30y D 120x C 60, y.0/ D 1

400

Kapitel 9 Gewöhnliche Differentialgleichungen

Berechnen Sie jeweils 10 Schritte 

mit dem Polygonzugverfahren ykC1 D yk C hf .xk ; yk / und



mit dem impliziten Polygonzugverfahren ykC1 D yk C hf .xkC1 ; ykC1 /

mit der Schrittweite h D 0:1 und vergleichen Sie die Ergebnisse. Aufgabe 9.17. Gegeben ist das Differentialgleichungssystem y10 .x/ D xy1 .x/  y2 .x/ C 2x ; y20 .x/ D y1 .x/  x 2 y2 .x/ mit der Anfangsbedingung y1 .0/ D 1, y2 .0/ D 1. Bestimmen Sie mit dem Polygonzug nach Euler-Cauchy eine Näherungslösung für diese Anfangswertaufgabe (Schrittweite h D 0:2/ auf dem Intervall Œ0; 1. Aufgabe 9.18. Bestimmen sie für das Differentialgleichungssystem y10 .x/ D 2y1 .x/ C .x C 1/y2 .x/ C 2x ; y20 .x/ D y1 .x/y2 .x/  x mit der Anfangsbedingung y1 .0/ D 0, y2 .0/ D 1 mit dem Polygonzug nach EulerCauchy eine Näherungslösung (Schrittweite h D 0:1) auf dem Intervall Œ0; 1. Aufgabe 9.19. Berechnen Sie eine Näherung für die Lösung des Anfangswertproblems y 00 .x/ C 4y 0 .x/ C 5y.x/ D 0, y.0/ D 1, y 0 .0/ D 0 mit 10 Schritten des Polygonzugverfahrens mit der Schrittweite h D 0:1. Aufgabe 9.20. Berechnen Sie eine Näherung für die Lösung des Anfangswertproblems y 00 .x/ C 6y 0 .x/ C 25y.x/ D x, y.0/ D 1, y 0 .0/ D 1 mit 10 Schritten des Polygonzugverfahrens mit der Schrittweite h D 0:1.

Kapitel 10

Polynome

10.1

Reelle Polynome

Häufig auftretende nichtlineare Funktionen sind Polynome in der Form Pn .x/ D a0 x n C a1 x n1 C    C an1 x C an ;

.a0 ¤ 0/ :

(10.1)

Dabei gibt der Index n den Grad des Polynoms an. Anfangs ist vorausgesetzt, dass die Koeffizienten ai .i D 0; 1; : : : ; n/ reell sind. Bei der Behandlung solcher Polynomfunktionen kommen hauptsächlich folgende Aufgabenstellungen vor:  Berechnung des Funktionswertes P .x/ bei vorgegebenem Wert x . n 0  Bestimmung von Nullstellen der Polynomfunktion P .x/. n  Division von P .x/ durch einen Linearfaktor .x  x / und Bestimmung des n 0 1 Quotientenpolynoms Pn1 .x/ sowie des verbleibenden Restes.

10.1.1 Horner-Schema Zunächst wird auf übersichtliche Weise der Wert einer vorgegebenen Polynomfunktion Pn .x/ für eine gegebene Stelle x D x0 bestimmt. Das Einsetzen des Wertes x0 in die Polynomfunktion ergibt eine aufwändige Rechnung mit zahlreichen und hohen Potenzen, Pn .x0 / D a0 x0n C a1 x0n1 C    C an1 x0 C an : Diese Berechnung kann vereinfacht werden. Das zu berechnende Polynom wird dazu durch systematisches Ausklammern von x0 in eine andere Form gebracht:     Pn .x/ D    .a0 x0 C a1 /x0 C a2    C an1 x0 C an : (10.2) Für die Klammern setzt man a01 D a0 ; a11 D a01 x0 C a1 ; a21 D a11 x0 C a2 ; :: : 1 1 an1 D an2 x0 C an1 ; 1 x 0 C an : an1 D an1

(10.3)

402

Kapitel 10 Polynome

Damit folgt 

Der Wert des Polynoms ergibt sich zu Pn .x0 / D an1 .



Es sind jeweils einfache Rechnungen der Art a01 D a0 ; 1 x 0 C ai ai1 D ai1

.i D 1; 2; : : : ; n/

auszuführen. Diese auf gleiche Weise wiederkehrenden Berechnungen werden in einem Schema zusammengefasst, dem Horner-Schema (s. Tabelle 10.1).

x0

a0

a1

a2



an2

an1

an



x0 a01

x0 a11



1 x0 an3

1 x0 an2

1 x0 an1

a01

a11

a21



1 an2

1 an1

an1

D Pn .x0 /

Tabelle 10.1. Einfaches Horner-Schema.

Beispiel 10.1. Für die Polynomfunktion P6 .x/ D x 6  8x 5 C 6x 4 C 76x 3  155x 2  36x C 180 sind die Werte an den Stellen x1 D 4 und x2 D 3 zu berechnen.

4 3

1  1  1

8 4 4 3 11

6 16 10 33 39

76 40 36 117 41

155 144 11 123 32

36 44 80 96 60

180 320 140 180 0

D P6 .4/ D P6 .3/

Tabelle 10.2. Berechnung von Polynomwerten mit dem Horner-Schema. Die Ergebnisse sind in Tabelle 10.2 enthalten. Es ist zu beachten, dass bei mehreren gleichartigen Rechnungen in einem Horner-Schema die Summenbildung immer mit den Koeffizienten der ersten Zeile auszuführen ist. Beispiel 10.2. Für das Polynom P5 .x/ D x 5  9:5x 4 C 16:25x 3 C 41:375x 2  64:125x  78:75 sind die Werte an den Stellen x1 D 2:3 und x2 D 1:6 bei Berücksichtigung von vier Dezimalstellen zu berechnen. Die Ergebnisse können Tabelle 10.3 entnommen werden.

403

Abschnitt 10.1 Reelle Polynome

2:3

1:6

1  1

9:5000 2:3000 7:2000

16:2500 16:5600 0:3100

41:375 0:7130 40:6620

64:1250 93:5226 29:3976

 1

1:6000 11:1000

17:7600 34:0100

54:4160 13:0410

20:8656 43:2594

78:7500 67:6145 11:1355 D P5 .2:3/ 69:2150 9:5350 D P5 .1:6/

Tabelle 10.3. Berechnung mehrerer Polynomwerte mit dem Horner-Schema.

10.1.2 Abspaltung eines Linearfaktors Mit dem Horner-Schema ist es neben der Berechnung des Funktionswertes Pn .x0 / auch möglich, die Division von Pn .x/ durch einen Linearfaktor .x x0 / auszuführen. Mit den bei der Ausführung des Horner-Schemas entstandenen Koeffizienten ak1 .k D 0; 1; : : : ; n  1/ kann das neue Polynom 1 1 1 Pn1 .x/ D a01 x n1 C a11 x n2 C    C an2 x C an1

(10.4)

gebildet werden. Für dieses Polynom erhält man: 1 .x/.x  x0 / C Pn .x0 / Pn1 1 1 x C an1 /.x  x0 / C an1 D .a01 x n1 C a11 x n2 C    C an2 1 1 D a01 x n C a11 x n1 C    C an2 x 2 C an1 x 1 1  x0 a01 x n1      x0 an3 x 2  an2 x C an1

D a01 x n C .a11  x0 a01 /x n1 C   

(10.5)

1 1 1 1 1 C .an2  x0 an3 /x 2 C .an1  x0 an2 /x C .an1  x0 an1 /

D a0 x n C a1 x n1 C    C an1 x C an : Damit ergibt sich 1 Pn .x/ D Pn1 .x/.x  x0 / C Pn .x0 / :

(10.6)

Beispiel 10.3. Für die obigen Beispiele findet man: .x 6  8x 5 C 6x 4 C 76x 3  155x 2  36x C 180/ D .x 5  4x 4  10x 3 C 36x 2  11x  80/.x  4/  140 ; .x 5  9:5x 4 C 16:25x 3 C 41:375x 2  64:125x  78:75/ D .x 4  8:8x 3 C 30:33x 2  7:153x  52:6802/.x C 1:6/ C 5:5383 :

404

Kapitel 10 Polynome

10.1.3 Vollständiges Horner-Schema Bisher wurde das einzeilige Horner-Schema betrachtet, bei dem vom Ausgangspolynom Pn .x/ ein Linearfaktor .x  x0 / abgespaltet wird und als Ergebnis das Quoti1 .x/ sowie der Wert P .x / entstehen. Dieses Schema wird erentenpolynom Pn1 n 0 1 .x/ als Ausgangspunkt eines neuen weitert, indem man das Quotientenpolynom Pn1 Horner-Schemas nimmt und ebenfalls wieder den Linearfaktor .x x0 / abspaltet. Das Resultat ist 1 2 1 Pn1 .x/ D Pn2 .x/.x  x0 / C Pn1 .x0 / ;

(10.7)

wobei in dieser Ausführung des Schemas die Koeffizienten ak2 .k D 0; 1; : : : ; n  2/ des neuen Polynoms wie oben durch a02 D a01 ; 2 x0 C ak1 ak2 D ak1

.k D 0; 1; : : : ; n  1/

(10.8)

1 1 entstehen. Dabei ergibt sich für den Funktionswert Pn1 .x0 / D an1 . Dieses Vorgehen kann fortgeführt werden, bis alle möglichen Linearfaktoren abgespalten sind. Der Algorithmus lässt sich ebenfalls schematisch abarbeiten und heißt vollständiges Horner-Schema (s. Tabelle 10.4).

x0 x0

x0 x0 x0

a0

a1

a2



an2

an1

an



x0 a01

x0 a11



1 x0 an3

1 x0 an2

1 x0 an1

a01

a11

a21



1 an2

1 an1

an1



x0 a02

x0 a21



2 x0 an3

2 x0 an2

a02 :: :

a12 :: :

a22 :: :



2 an2 :: :

2 an1

a0n2

a1n2

a2n2

a3n2



x0 a0n1

x0 a1n1

a0n1

a1n1

a2n1



x0 a0n1

a0n

a1n

D P3n3 .x0 /

D P2n2 .x0 /

D P1n1 .x0 /

 a0nC1

D P0n .x0 / Tabelle 10.4. Vollständiges Horner-Schema.

D Pn .x0 /

1 D Pn1 .x0 /

405

Abschnitt 10.1 Reelle Polynome

Allgemein folgt: k k k .x/ D a0k x nk C a1k x nk1 C    C ankC1 x C ank ; Pnk kC1 k .x0 / D ank Pnk

.k D 1; 2; : : : ; n/ :

(10.9)

Das Ausgangspolynom Pn .x/ kann unter Verwendung der im vollständigen Hornerk Schema gefundenen Polynome Pnk .x/ ausgedrückt werden. Dazu wird aus dem 1 .x/ gebildet, Polynom Pn .x/ durch Abspaltung von .x x0 / ein neues Polynom Pn1 2 das durch weitere Abspaltung von .x  x0 / zum Polynom Pn2 .x/ führt. Dieses Vorgehen lässt sich fortsetzen, bis man am Ende das Polynom P0n .x/ erreicht: 1 .x/.x  x0 / C Pn .x0 / Pn .x/ D Pn1  2 1 .x/.x  x0 / C Pn1 .x0 / .x  x0 / C Pn .x0 / D Pn2 i h 3 2 1 .x/.x  x0 / C Pn2 .x0 / .x  x0 / C Pn1 .x0 / .x  x0 / D Pn3

C Pn .x0 /

D

:: : hh



h

i 0.x  x0 / C P0n .x0 / .x  x0 / C P1n1 .x0 / .x  x0 /   

i i 1 C P2n2 .x0 / C Pn1 .x0 / .x  x0 / C Pn .x0 / : Ausmultiplizieren dieser Formel und Sortieren der Potenzen von .x  x0 / ergibt Pn .x/ D P0n .x0 /.x  x0 /n C P1n1 .x0 /.x  x0 /n1 C    1 .x0 /.x  x0 / C Pn .x0 / : C Pn1

(10.10)

Diese Formel stellt eine Potenzreihenentwicklung des Ausgangspolynoms Pn .x/ an der Stelle x0 dar. Da die Potenzreihenentwicklung an der Stelle x0 nach der TaylorFormel die Gestalt 0

Pn .x/ D Pn .x0 / C

00

Pn .x0 / P .x0 / .x  x0 / C n .x  x0 /2 C    1Š 2Š

.n/

Pn .x0 / .x  x0 / C nŠ

(10.11)

hat, findet man durch Koeffizientenvergleich k Pnk .x0 / D

1 .k/ P .x0 / kŠ nk

.k D 0; 1; 2; : : : ; n/ :

(10.12)

406

Kapitel 10 Polynome

Daher können mit dem vollständigen Horner-Schema für eine gewählte Stelle x0 der Funktionswert Pn .x0 / des Polynoms n-ten Grades und die Werte der j -ten Ableitung für j D 1; 2; : : : ; n berechnet werden. Beispiel 10.4. Für die Polynomfunktion P6 .x/ D x 6  8x 5 C 6x 4 C 76x 3  155x 2  36x C 180 sind neben dem Wert des Polynoms auch die Werte aller Ableitungen an der Stelle x0 D 4 zu bestimmen. Damit ist für P6 .x/ die Taylorreihe anzugeben.

4

4

4

4

4

1

8

6

76

155

36

180



4

16

40

144

44

320

1

4

10

36

11

80

140



4

0

40

16

108

1 :: :

0 :: :

10 :: :

4

1

8

38

172



4

48

1

12

86



4

1

16

D

D

27 188 :: : 1 .3/ D P6 .4/ 3Š

D

D P6 .4/

1 1 P .4/ 1Š 5

1 .4/ P .4/ 4Š 6

1 .5/ P .4/ 5Š 6



1 .4/ P .4/ 6Š 6 Tabelle 10.5. Vollständiges Horner-Schema für Beispiel 10.4. 1

D

Das vollständige Horner-Schema ist in Tabelle 10.5 enthalten. Als Taylorreihe mit dem Entwicklungspunkt x0 D 4 folgt: P6 .x/ D 140  188.x  4/ C 53.x  4/2 C 172.x  4/3 C 86.x  4/4 C 16.x  4/5 C .x  4/6 :

Beispiel 10.5. Wie im vorhergehenden Beispiel ist für die Polynomfunktion P5 .x/ D x 5  9:5x 4 C 16:25x 3 C 41:375x 2  64:125x  78:75 die Taylorreihe am Entwicklungspunkt x0 D 1:6 aufzustellen.

407

Abschnitt 10.1 Reelle Polynome

1:6

1

9:5000

16:2500

41:3750

64:1250

78:7500



1:6000

17:7600

54:4160

20:8656

69:2150

1

11:1000

34:0100

13:0410

43:2594

9:5350 D P5 .1:6/

1:6

1:6

1:6

1:6

1:6



1:6000

20:3200

86:9280

159:9504

1

12:7000

54:3300

99:9690

116:6910



1:6000

22:8800

123:5360

1

14:3000

77:2100

223:5050



1:6000

25:4400

1

15:9000

102:6500



1:6000

1

17:5000

D

D

D

D

1 .1/ P .1:6/ 1Š 5

1 .2/ P .1:6/ 2Š 5

1 .3/ P .1:6/ 3Š 5

1 .4/ P .1:6/ 4Š 5

 1

1 .5/ P .1:6/ 5Š 5 Tabelle 10.6. Vollständiges Horner-Schema für Beispiel 10.5. D

In Tabelle 10.6 ist das vollständige Horner-Schema enthalten. Als Taylorreihe an der Stelle x0 D 1:6 ergibt sich P5 .x/ D 9:5350 C 116:6910.x C 1:6/  223:5050.x C 1:6/2  102:6500.x C 1:6/3  17:5000.x C 1:6/4 C .x C 1:6/5 :

10.1.4 Newtonsches Näherungsverfahren Um für die Polynomfunktion Pn .x/ mit reellen Koeffizienten eine reelle Nullstelle ausgehend von einem geeigneten Startwert x0 zu berechnen, lässt sich das HornerSchema mit dem Newtonschen Näherungsverfahren verbinden. Die in jedem Iterationsschritt Pn .xk1 / xk D xk1  0 Pn .xk1 / 0

benötigten Werte für Pn .xk1 / und Pn .xk1 / können mit dem Horner-Schema in übersichtlicher Weise ermittelt werden. Wie bei dem Newtonschen Näherungsverfahren üblich, müssen in der Aufgabenstellung die Abbruchschranke  und die mitzuführenden Dezimalstellen vorgegeben

408

Kapitel 10 Polynome

sein. Das Verfahren endet bei jxk  xk1 j <  mit der ausreichend genauen Lösung x  D xk . Beispiel 10.6. Ausgehend von dem Startwert x0 D 3:5 ist eine reelle Nullstelle der Polynomfunktion P6 .x/ D x 5 C 8x 4  6x 3  76x 2  27x  36 zu bestimmen. Die Abbruchschranke ist  D 102 . Es soll mit vier Dezimalstellen gerechnet werden. Das Vorgehen ist mit dem Horner-Schema in Tabelle 10.7 dargestellt. In jedem Iterationsschritt ist die Berechnung eines Funktionswertes und einer ersten Ableitung nötig, daher sind im folgenden Schema jedem Schritt des Newton-Verfahren zwei Ausführungen eines Horner-Schemas zugeordnet. Außerdem ist zu beachten, dass in jedem neuen Iterationsschritt immer wieder mit den in der ersten Zeile stehenden Koeffizienten des Ausgangspolynoms gerechnet wird. 1 

8:0000 3:5000

6:0000 40:2500

76:0000 119:8750

27:0000 153:5625

36:0000 442:9688

1

11:5000

34:2500

43:8750

126:5625

478:9688

3:5000



3:5000

52:5000

303:6250

1216:2500

3:1433

1 

15:0000 3:1433

86:7500 35:0267

347:5000 91:2396

1342:8125 47:9026

65:7031

1

11:1433

29:0267

15:2396

20:9026

101:7031

3:1433



3:1433

44:9071

232:3961

778:3933

3:0161

1 

14:2866 3:0161

73:9338 33:2332

247:6357 82:1381

798:3933 18:5131

25:5973

1

11:0186

27:2332

6:1381

8:4869

10:4027

3:0161



3:0161

42:3301

209:8099

651:3208

2:9999

1 

14:0347 2:998

69:5633 32:972

215:9480 80:862

642:8339 14:576

37:247

1

10:998

26:972

4:862

12:424

1:247

2:9999



2:9999

41:9980

206:9829

635:9068

3:0000

1 

13:9988 3:0000

68:9966 33:0000

211:9760 81:0000

623:8856 15:0000

36:0000

1

11:0000

27:0000

5:0000

12:0000

0:0000



3:0000

42:0000

207:0000

636:0000

1

14:0000

69:0000

212:0000

624:0000

3:5000

3:0000

Tabelle 10.7. Newton-Verfahren mit Horner-Schema für Beispiel 10.6.

409

Abschnitt 10.2 Allgemeine Horner-Schemata

k 0 1 2

xk 3:5000 3:1433 3:0161

jxk  xk1 j  0:3567 0:1272

k 3 4

xk 2:9999 3:0000

jxk  xk1 j 0:0162 0:0001

Tabelle 10.8. Iterationsschritte für Beispiel 10.6. Die bestimmten Iterationswerte und Verbesserungen in den Iterationsschritten sind in Tabelle 10.8 angeführt. Nach dem Ermitteln einer Nullstelle x  der Polynomfunktion Pn .x/ ergibt sich im Horner-Schema Pn .x  / D an D 0. Das Restpolynom 1 .x/, dessen Koeffizienten nach der letzten Wurzelverbesserung in der ersten ErPn1 gebniszeile des Horner-Schemas stehen, kann auf gleiche Weise zur Bestimmung weiterer Nullstellen benutzt werden. Damit lassen sich nacheinander die reellen Nullstellen von Pn .x/ berechnen.

10.2

Allgemeine Horner-Schemata bei reellen Polynomen

10.2.1 m-zeiliges Horner-Schema Kennt man von einer Polynomgleichung n-ten Grades mit reellen Koeffizienten bereits m Nullstellen, so ist es notwendig, diese Nullstellen von der Ausgangsgleichung abzuspalten, um die aufzulösende Restgleichung zu erhalten. Pn .x/ und Pm .x/ seien zwei Polynome mit reellen Koeffizienten Pn .x/ D a0 x n C a1 x n1 C    C an1 x C an ;

(10.13)

Pm .x/

(10.14)

m

D x C b1 x

m1

C    C bm1 x C bm :

Bei der Division von Pn .x/ durch Pm .x/, wobei Pm .x/ 6 0 und n  m gelte, erhält 1 man ein Polynom Pnm .x/ .n  m/-ten Grades und einen Rest 1 Pn .x/ D Pm .x/  Pnm .x/ C AnmC1 x m1 C AnmC2 x m2 C   

C An1 x C An :

(10.15)

Das Rechenschema des m-zeiligen Horner-Schemas ist in der Tabelle 10.9 angegeben. Die Koeffizienten a1 . D 0; 1; : : : ; n  m/ des Quotientenpolynoms 1 1 1 Pnm .x/ D a01 x nm C a11 x nm1 C    C anm1 x C anm ;

(10.16)

1 die Koeffizienten An D an . D 0; 1; : : : ; m  1/ des Restpolynoms und die 2 später benötigten Koeffizienten a . D 0; 1; : : : ; n/ lassen sich nach folgenden Bildungsgesetzen bestimmen: 1 1 1 1 a1 D a  b1 a1  b2 a2      bm1 amC1  bm am

. D 0; 1; 2; : : : ; n  m C 1/

(10.17)









a11

b1 a02





a01

bm1

bm







a12

 :: :







a02

b2 :: :

bm2

bm1

bm

 :: :



b1





bm2









 :: :







 :: :

 :: :

 :: :

b2 :: :



b1 a01





a1

b1

a0

bm a01

bm2 a22 bm1 a12 bm a02 2 am

bm2 a12 bm1 a02 2 am1

 







 :: :







2 bm1 an2mC2 2 bm an2mC1 2 anmC1

2 bm2 an2mC3

:: :

2 b2 anm1



1 anmC1

1 bm an2mC1

1 bm1 an2mC2

1 bm2 an2mC3

1 b2 anm1 :: :

1 b1 anm

anmC1

2 bm1 an2mC3 2 bm an2mC2 2 anmC2

2 bm2 an2mC4

 :: :



1 anmC2

1 bm an2mC2

1 bm1 an2mC3

1 bm2 an2mC4

1 b2 anm :: :



anmC2

Tabelle 10.9. m-zeiliges Horner-Schema.

:: :

2 b2 ab2

2 b2 am3

:: :

2 b1 am1

2 b1 am2

1 am1 1 am



bm1 a11

bm1 a01 



bm2 a21

bm2 a11

 :: :

1 b2 am2 :: :

1 b2 am3 :: :





1 b1 am1

am

1 b1 am2

am1









 :: :











 :: :





2 an1

2 bm anm1





 :: :



1 an1

1 bm anm1

1 bm1 ann



 :: :



an1

an1

1 bm anm





 :: :



an

410 Kapitel 10 Polynome

411

Abschnitt 10.2 Allgemeine Horner-Schemata

und 1 1 1 anmC2 D anmC2  b2 anm  b3 anm1   1 1  bm an2mC2  bm1 an2mC3 1 1 anmC3 D anmC3  b3 anm   1 1  bm1 an2mC4  bm an2mC3

:: : 1 1 1 an1 D an1  bm1 anm  bm anm1 1 an1 D an  bm anm

bzw. 2 2 2 2 a 2 D a 1  b1 a 1  b2 a 2      bm1 a mC1  bm a m

(10.18)

. D 0; 1; 2; : : : ; n  m C 2/ und 2 1 2 2 anmC1 D anmC1  b2 anm1  b3 anm2   2 2  bm1 an2mC2  bm an2mC1 2 1 2 anmC2 D anmC2  b3 anm1   2 2  bm1 an2mC3  bm an2mC2

:: : 2 1 2 an1 D an1  bm anm1 :

Dabei ist in den Formeln 1 2 a D a D a D0

. D 1; 2; : : :/

(10.19)

zu setzen. Bei der Benutzung des m-zeiligen Horner-Schemas zur gleichzeitigen Abspaltung von m bekannten Wurzeln x1 ; x2 ; : : : ; xm einer algebraischen Gleichung n-ten Grades mit reellen Koeffizienten berechnet man zunächst nach den Vietaschen Wurzelsätzen die Koeffizienten b des Divisorpolynoms Pm D .x  x1 /.x  x2 /    .x  xm / D x m C b1 x m1 C    C bm

412

Kapitel 10 Polynome

und bestimmt danach mit den oben angeführten Formeln die Koeffizienten a des Restpolynoms. Falls die Werte x1 ; x2 ; : : : ; xm exakte Wurzeln der algebraischen Gleichung Pn .x/ D 0 sind, gilt AnmC1 D AnmC2 D    D An1 D An D 0

bzw.

1 1 1 anmC1 D anmC2 D    D an1 D an1 D 0 :

Handelt es sich dagegen bei den Werten x1 ; x2 ; : : : ; xm nur um Näherungswerte der Wurzeln, sind die Koeffizienten an . D 0; 1; : : : ; m  1/ im Allgemeinen von null verschieden und betragsmäßig um so größer, je schlechter die Näherung ist. In diesem Falle kann man mit Hilfe des Newtonschen Näherungsverfahrens die Koeffizienten b so lange verbessern, bis die Beträge jan j kleiner als vorgegebene positive Schranken n sind. Um das Newtonsche Wurzelverbesserungsverfahren in der einfachen Gestalt anwenden zu können, werden die Ableitungen der letzten .m  1/ Koeffizienten der a1 -Zeile des m-zeiligen Horner-Schemas nach den b benötigt. Durch partielle Differentiationen ergeben sich @a1 2 D a @b

. D 0; 1; : : : ; n  m C 1I D 1; 2; : : : ; m/

n X @a1 1 2 D a T .m   C / C bmk am Ck @b

(10.20)

kD0

. D n  m C 2; : : : ; nI D 1; 2; : : : ; m/ ² 0 p0 : mit a D 0 für > 0 und T .p/ D 1 p>0

b1

(10.21)

a0

a1

a2

a3

a4

a5

a6



b1 a01

b1 a11

b1 a21

b1 a31





b2 a11 b3 a01 a31 b1 a22 b2 a12 b3 a02 a32

b2 a21 b3 a11 a41

b2 a31 b3 a21 a51







b2 a22



b3 a12

b3 a22

a42

a52

b2





b2 a01

b3







a01

a11

a21

b1



b1 a02

b1 a12

b2





b2 a02

b3







a02

a12

a22

b3 a31 a61

Tabelle 10.10. Newton-Verfahren mit m-zeiligen Horner-Schema für n D 6 und m D 3.

413

Abschnitt 10.2 Allgemeine Horner-Schemata

10.2.2 Verallgemeinertes m-zeiliges Horner-Schema Zur einfachen Implementierung für die Verwendung auf Computern kann ein abgewandeltes Horner-Schema benutzt werden, dabei werden im m-zeiligen HornerSchema die letzten m Spalten abgeändert. Dieses verallgemeinerte Horner-Schema ist in der nachfolgenden Tabelle 10.11 dargestellt. 0 00 Die Bildungsgesetze der a - und a -Koeffizienten des verallgemeinerten mzeiligen Horner-Schemas haben eine übersichtlichere Form: 0

0

0

0

0

00

00

a D a  b1 a1  b2 a2      bm1 amC1  bm am

(10.22)

. D 0; 1; : : : ; n/ 00

0

00

00

a D a  b1 a1  b2 a2      bm1 amC1  bm am

(10.23)

. D 0; 1; : : : ; m  1/ mit a D 0 für > 0 :

(10.24)

0

Speziell folgt a D a1 für  D 0; 1; : : : ; n  m C 1. 0 Die letzten m Koeffizienten der a -Zeile des verallgemeinerten m-zeiligen HornerSchemas hängen mit den letzten m Koeffizienten der a1 -Zeile des ersteren Schemas in folgender Art zusammen 0

1 1 1 anmC D f .anmC1 ; anmC2 ; : : : ; anmC / . D 1; 2; : : : ; m/ :

(10.25)

1 1 1 Die f sind Linearformen in den .  1/ Variablen anmC1 ; anmC2 ; : : : ; anmC mit von b1 ; b2 ; : : : ; bm abhängigen Koeffizienten. 1 betragsmäßig kleiner als vorgegebene kleine positive Schranken  , Sind die a 1 0 so werden die f D anmC betragsmäßig entsprechend unterhalb ebenfalls kleiner 0 positiver Schranken 2 D 2 .1 / liegen. Umgekehrt erhält man aus janmC j D 1j <  jf j < 2 , dass ja 1 mit 1 D 1 .2 / ist, da die bnmC1 ; bnmC2 ; : : : ; bn für eine spezielle Rechnung fest sind. Es kann daher das Newtonsche Wurzelverbesserungsverfahren auch in Verbindung mit dem verallgemeinerten m-zeiligen HornerSchema benutzt werden. Für die einfache Form sind die ersten Ableitungen der letzten 0 Koeffizienten der a -Zeile des verallgemeinerten Horner-Schemas nach den b bereitzustellen. Durch partielle Differentiation ergibt sich 0

@a 00 D a @b

. D 0; 1; : : : ; n I D 1; 2; : : : ; m/ :

(10.26)





bm1

bm

 :: :







b2 :: :

bm2

bm1

bm

a0

00



b1

a0

0





bm2

00

00

a1







 :: :

b1 a0

0

a1





 :: :

 :: :

b2 :: :

0

b1 a0



a1

b1

a0









 :: :











 :: :





0

00

00

00

am

bm a0 







 :: :











 :: :





00

anmC1

00

bm an2mC1

00

bm1 an2mC2

00

bm2 an2mC3

00

b2 anm1 :: :

00

b1 anm

0

anmC1

0

bm an2mC1

0

bm1 an2mC2

0

bm2 an2mC3

0

b2 anm1 :: :

b1 anm

0

anmC1

00

anmC2

00

bm an2mC2

00

bm1 an2mC3

00

bm2 an2mC4

00

b2 anm :: :

00

b1 anmC1

0

anmC2

0

bm an2mC2

0

bm1 an2mC3

0

bm2 an2mC4

0

b2 anm :: :

b1 anmC1

0

anmC2









 :: :











 :: :





Tabelle 10.11. Verallgemeinertes m-zeiliges Horner-Schema.

am1



bm1 a1

00

bm1 a0

00

00

bm2 a2

00

bm2 a1

b2 ab2 :: :

00

00

b1 am1

0

am

bm a0

b2 am3 :: :

00

00

b1 am2

0

am1



bm1 a1

0

bm1 a0

0

0

bm2 a2

0

bm2 a1

b2 am2 :: :

0

b1 am1

0

am

b2 am3 :: :

0

b1 am2

0

am1

00

an1

00

bm anm1

00

bm1 ann

00

bm2 anmC1

b2 an3 :: :

00

b1 an2

0

an1

0

bm anm1

0

bm1 ann

0

bm2 anmC1

0

b2 an3 :: :

b1 an2

0

an1

0

an

0

bm anm

0

bm1 anmC1

0

bm2 anmC2

0

b1 an2 :: :

0

b1 an1

an

414 Kapitel 10 Polynome

415

Abschnitt 10.2 Allgemeine Horner-Schemata

a0

a1

a2

0

0

a3 0

b1



b1 a0

b1 a1

b2





b2 a0

b2 a1

b3







b3 a0

0

0

0

0

0 0

a1

b1



b1 a0

b1 a1

b2





b2 a0

b2 a1

b3







b3 a0

00

00

00 00

00

00

a1

a2

0

b1 a3 0

b2 a2 0

b3 a1

0

a0

a0

a2

b1 a2

a4

00 00 00

0

b1 a4 0

b2 a3 0

b3 a2

0

a3 b1 a2

a5

00 00

b2 a2 00

b3 a1

00

a3

0

b1 a5 0

b2 a4 0

b3 a3

0

a4 b1 a3

a6

0

a5

a6

00

b1 a4 00

b2 a3 00

b3 a2

00

00

a4

a5

Tabelle 10.12. Newton-Verfahren mit verallgemeinertem m-zeiligen Horner-Schema für n D 6 und m D 3.

10.2.3 Newtonsches Näherungsverfahren mit den m-zeiligen Horner-Schemata Das im folgenden beschriebene Newtonsche Wurzelverbesserungsverfahren ist sowohl für das m-zeilige als auch für das verallgemeinerte m-zeilige Horner-Schema anwendbar. Um dies zu verdeutlichen, sind die Koeffizienten des Horner-Schemas mit aC und aCC bezeichnet. C der aC -Zeile, deren Werte betragsmäßig kleiner als Die letzten m Koeffizienten a vorgegebene Schranken gemacht werden sollen, sind Funktionen der Art C C a D a .b1 ; b2 ; : : : ; bm /

. D n  m C 1; n  m C 2; ; : : : ; n/ :

(10.27)

Es seien b Näherungswerte zu den exakten bN bN D b C ıb :

(10.28)

C .bN ; bN ; : : : ; bN / an Dann erhält man für die Taylor-Entwicklung der Funktionen a 1 2 m N N N einer den Werten b1 ; b2 ; : : : ; bm benachbarten Stelle, der die Werte b1 ; b2 ; : : : ; bm entsprechen C N N .b1 ; b2 ; : : : ; bNm / D 0 a C D a .b1 ; b2 ; : : : ; bm / C

C

C @a

@bm

C @a

@b1

ıb1 C

C @a

@b2

ıbm C  .ıb1 ; ıb2 ; : : : ; ıbm / :

ıb2 C    (10.29)

416

Kapitel 10 Polynome

In den  sind die nichtlinearen Korrekturen zusammengefasst, die bei der einfachen Newtonschen Näherung vernachlässigt werden. Die Korrekturglieder ıb ergeben sich dann als Lösungen des linearen Gleichungssystems m X @aC ıb D aC @b

. D n  m C 1; n  m C 2; : : : ; n/ :

(10.30)

D1

Mit den verbesserten Werten b1 D b C ıb wird anstelle von b D b0 in das m-zeilige bzw. verallgemeinerte m-zeilige Horner-Schema eingegangen und das beC betragsmäßig genügend klein schriebene Vorgehen solange wiederholt, bis die a sind.

10.2.4 Spezialfälle und Beispiel Im Falle m D 1 führen beide beschriebenen Horner-Schemata auf das gewöhnliche Horner-Schema. Im Falle m D 2 stimmen das m-zeilige Horner-Schema bzw. das verallgemeinerte m-zeilige Horner-Schema in Verbindung mit dem einfachen Newtonschen Näherungsverfahren mit dem bei Zurmühl und Falk [97] angegeben Verfahren überein. Beispiel 10.7. Es sind die Nullstellen der Polynomfunktion P5 .x/ D x 5  6:5x 4  15:25x 3 C 121:625x 2  20:25x  315:0 zu bestimmen. Die Genauigkeitsschranken sind  D 102 . Die Rechnungen werden mit höchstens drei Dezimalstellen geführt. Für drei Wurzeln sind die groben Näherungen x1 D 2 ;

x2 D 3 ;

x3 D 2

b0 D 1 ;

b1 D 3 ;

bekannt. Damit erhält man P31 .x/ D x 3  3x 2  4x C 12 mit

b2 D 4 ;

b3 D 12 :

Diese Ausgangswerte sind im ersten Fall mit dem einfachen Newtonschen Näherungsverfahren in Verbindung mit dem m-zeiligen Horner-Schema zu verbessern. Mit n D 5 und m D 3 ergeben sich die Koeffizienten für das Gleichungssystem zur Wurzelverbesserung und das Gleichungssystem selbst zu: @a31 D a22 @b1

@a31 D a12 @b2

@a31 D a02 @b3

@a41 D b2 a12 C b3 a02 @b1

@a41 D a21 C b2 a02 @b2

@a41 D a11 @b3

a51 D b3 a12 @b1

@a51 D b3 a02 @b2

@a51 D a21 @b3

417

Abschnitt 10.2 Allgemeine Horner-Schemata

@a1 @a1 @a31 ıb1 C 3 ıb2 C 3 ıb3 D a31 @b1 @b2 @b3 @a1 @a1 @a41 ıb1 C 4 ıb2 C 4 ıb3 D a41 @b1 @b2 @b3 @a1 @a1 @a51 ıb1 C 5 ıb2 C 5 ıb3 D a51 @b1 @b2 @b3

3 4 12 3 4 12

1    1    1

6:50 3   3:5 3   0:5

15:25 10:5 4:0  21:75 1:50 4:0  19:25

121:625 65:250 14:000 12:000 30:375  2:000 12:000 16:375

20:25  87:00 42:00 65:25   6:00 59:25

315:00   261:00 54:00

Tabelle 10.13. m-zeiliges Horner-Schema für Beispiel 10.7. Mit den Zahlenwerten aus dem Horner-Schema folgt 19:25ıb1 C 0:50ıb2 

ıb3 D 30:375

14:00ıb1 C 17:75ıb2 C 3:50ıb3 D

65:250

6:00ıb1 C 12:00ıb2 C 21:75ıb3 D

54:000

und daraus ıb1 D 1:6 ; b11 D 4:6 ;

ıb2 D

2:2 ;

ıb3 D 0:7 ;

b21 D 1:8 ;

b31 D 12:7 :

Über die weiteren Näherungswerte b12 D 3:93 ;

b13 D 4:417 ;

b14 D 4:318 ;

b15 D 4:497 ;

b22 D 0:25 ;

b23 D 0:282 ;

b24 D 0:327 ;

b25 D 0:247 ;

b32 D 12:28 ;

b33 D 12:883 ;

b34 D 12:931 ;

b35 D 13:116

418

Kapitel 10 Polynome

findet man (s. Tabelle 10.14) b16 D 4:500 ;

4:500 0; 250 13:126

1    1

6:500 4:500   2:000

b26 D 0:250 ; 15:250 9:000 0; 250  24:000

b36 D 13:126 :

121:625 108:000 0; 500 13:126 0:001

20:250  6; 000 26:252 0:002

315:000   315:024 0:024

Tabelle 10.14. Abspaltung der ersten Nullstellen. Daraus ergeben sich die Wurzeln x1 D 1:50005 ;

x2 D 2:50025 ;

x4 D 4:00000 ;

x5 D 6:00000 :

x3 D 3; 49980 ;

10.2.5 Bestimmung konjugiert-komplexer Nullstellen von Polynomfunktionen mit reellen Koeffizienten Besondere Bedeutung für die praktische Numerik besitzt der Spezialfall m D 2, das doppelzeilige Horner-Schema. Damit lassen sich Paare konjugiert komplexer Nullstellen von Polynomfunktionen mit reellen Koeffizienten berechnen. Ein Paar konjugiert-komplexer Nullstellen x0 D a C i b, xN 0 D a  i b ergibt den quadratischen Faktor .x  x0 /.x  xN 0 / D .x  a  i b/.x  a C i b/ D x 2 C .a  i b  a C i b/x C .a C i b/.a C i b/ D x 2  2ax C .a2 C b 2 / D x 2 C b1 x C b2 :

(10.31)

Die Bestimmung eines Paares x0 ; xN 0 konjugiert komplexer Nullstellen ist daher gleichbedeutend mit der Berechnung der Koeffizienten b1 ; b2 des zugehörigen quadratischen Polynoms. Zur praktischen Rechnung werden Startwerte für die Koeffizienten b1 und b2 festgelegt und dann mit dem Newtonschen Näherungsverfahren solange verbessert, bis vorgegebene Genauigkeitsschranken 1 und 2 für die Koeffizienten unterschritten werden. Beispiel 10.8. Die Polynomfunktion P4 .x/ D x 4  14x 3 C 74x 2  200x C 400 besitzt zwei Paare konjugiert-komplexer Wurzeln. Mit Hilfe des m-zeiligen HornerSchemas sind diese Wurzelpaare zu bestimmen. Die Rechnung wird mit maximal vier Dezimalstellen ausgeführt. Die Genauigkeitsschranken sind 1 D 2 D 103 .

419

Abschnitt 10.2 Allgemeine Horner-Schemata

Das Startwertpaar x10 D 5 C i , xN 10 D 5  i führt auf das Näherungspolynom 2-ten Grades P21 .x/ D x 2  10x C 26. Die Polynomkoeffizienten b1 und b2 sind mit dem Newtonschen Näherungsverfahren zu verbessern, bis die Genauigkeitsschranken unterschritten sind. Danach ist das Polynom 2-ten Grades auszuwerten sowie vom Ausgangspolynom abzuspalten. Das Restpolynom kann ebenfalls ausgewertet werden. Es wird das verallgemeinerte Horner-Schema benutzt. Mit n D 4, m D 2 und b1i D b1i1 C ıb1i1 , b2i D b2i1 C ıb2i1 folgen: 0

0

@a3 00 D a2 ; @b1

@a3 00 D a1 ; b2

0

0

@a3 @a 0 ıb1 C 3 ıb2 D a3 ; @b1 @b2 00

00

0

a2 ıb1  a1 ıb2 D a3 ; 0

0

@a4 00 D a3 ; @b1

@a4 00 D a2 ; @b2

0

0

@a4 @a 0 ıb1 C 4 ıb2 D a4 ; @b1 @b2 00

00

0

a3 ıb1  a2 ıb2 D a4 :

10 26 10 26

1   1   1

14 10  4 10  6

74 40 26 8 60 26 42

200 80 104 16 420 156 248

400 160 208 32

Tabelle 10.15. Abspaltung der ersten Näherungen. Nach fünf Schritten ergeben sich mit ausreichender Genauigkeit b15 D 12:0000 und b25 D 40:0000. Die zugehörige Polynomfunktion P21 .x/ D x 2  12x C 40 hat die Nullstellen x1 D 6C2i , xN 1 D 62i . Im folgenden Horner-Schema (s. Tabelle 10.16) wird das Restpolynom durch Abspaltung von P21 gebildet. 12:0000 40:0000 12:0000 40:0000

1   1   1

14:0000 12:0000  2:0000 12:0000  10:0000

74:0000 24:0000 40:0000 10:0000 120:0000 40:0000 90:0000

200:0000 120:0000 80:0000 0:0000 1080:0000 400:0000 680:0000

400:0000 0:0000 400:0000 0:0000

Tabelle 10.16. Bestimmung des Restpolynoms.

420

Kapitel 10 Polynome

Aus dem Restpolynomfunktion P22 .x/ D x 2  2x C 10 erhält man die Nullstellen x2 D 1 C 3i und xN 2 D 1  3i .

10.3

Komplexe Polynome

10.3.1 Komplexes Horner-Schema In diesem Abschnitt werden Polynomfunktionen mit komplexen Koeffizienten behandelt. Eine solche Polynomfunktion soll in der Form Pm .x/ D x m C .a1 C i b1 /x m1 C    C .am1 C i bm1 /x C .am C i bm / (10.32) vorliegen, wobei aj ; bj .j D 1; : : : ; m/ reelle Zahlen sind. Mit Hilfe des komplexen Horner-Schemas ist es möglich, die Werte dieses Polynoms m-ten Grades mit komplexen Koeffizienten und dessen Ableitungen an einer beliebigen Stelle der komplexen Ebene zu berechnen. Damit lassen sich mit dem Newton-Verfahren die komplexen Nullstellen beliebig genau approximieren. Die Rechnung verläuft dabei stets im Reellen. Für einen vorgegebenen Wert x0 D c C id (c; d reell) der komplexen Variablen x D u C iv (u; v reell) soll der zugehörige Polynomwert Pm .c C id / bestimmt werden. In Analogie zum Vorgehen im Reellen wird durch ® ¯ 1 0 0 Pm .x/ D x  .c C id / Pm1 .x/ C .am C i bm / (10.33) eine Abspaltung vorgenommen. Man erhält ein Polynom .m  1/-ten Grades in x mit komplexen Koeffizienten 0

0

Pm1 .x/ D x m1 C .a1 C i b1 /x m2 C    0

0

0

0

C .am2 C i bm2 /x C .am1 C i bm1 / ; 0

(10.34)

0

wobei aj und bj reell sind. Setzt man x D c C id in die obige Gleichung ein, folgt 0

0

Pm .c C id / D am C i bm : 0

(10.35)

0

Für die Berechnung der Koeffizienten aj ; bj .j D 0; 1; : : : ; m/ existieren folgende Rekursionsformeln 0

a0 D a 0 ;

0

b0 D b0 ;

0

0

0

0

0

0

ah D ah C cah1  dbh1 ;

.h D 1; 2; : : : ; m/

(10.36)

bh D bh C dah1 C cbh1 : Die schematische Darstellung der Formeln ist das komplexe Horner-Schema (s. Tabelle 10.17).

421

Abschnitt 10.3 Komplexe Polynome

a0

b0

a1

b1



am1

bm1

am

bm

c

d





ca01

da01



1 cam2

1 dam2

1 cam1

1 dam1

d

c





db01

cb01

1    dbm2

1 cbm2

1 dbm1

1 cbm1

a01

b01

a11

b11

1 bm1

1 am

1 am1



1 bm

Tabelle 10.17. Komplexes Horner-Schema. Wie beim gewöhnlichen Horner-Schema lassen sich mit dem vollständigen komplexen Horner-Schema an der Stelle x0 D c C id die Werte der Ableitungen bis zur m-ten Ordnung berechnen (s. Tabelle 10.18). a0 c

d

d

c

b0

a1

b1



ca01 db01 a11 ca02 db02 a12

da01 cb01 b11 da02 cb02 b12

:: :

:: :

a1m

b1m

 



a01

b01

c

d





d

c





:: :

:: :

a02 :: :

b02 :: :

a0m

b0m





c

d

d

c





a0mC1

b0mC1



am1

bm1

am

bm



1 cam2 1 dbm2 1 am1 2 cam2 2 dbm2 2 am1

1 dam2 1 cbm2 1 bm1 2 dam2 2 cbm2 2 bm1

1 cam1 1 dbm1 1 am

1 dam1 1 cbm1 1 bm

     :: :

Tabelle 10.18. Vollständiges komplexes Horner-Schema. Allgemein gilt: .l/

.l1/

C cah1  dbh1

.l/

.l1/

C dah1 C dbh1

a h D ah bh D bh

.l/

.l/

.l/

.l/

(10.37)

.h D 0; 1; 2; : : : ; m I l D 1; 2; : : : ; m; m C 1/ .l/

.l/

a1 D b1 D 0

für alle l :

10.3.2 Newtonsches Näherungsverfahren Das komplexe Horner-Schema kann in Verbindung mit dem Newton-Verfahren xpC1 D xp 

f .xp / f 0 .xp /

422

Kapitel 10 Polynome

zur Approximation der komplexen Wurzeln von Pm .x/ D 0 benutzt werden. In diesem Falle gilt upC1 C ivpC1 D up C ivp 

Pm .up C ivp / D up C ivp  ıup  i ıvp : (10.38) 0 Pm .up C ivp /

Die ı-Größen ergeben sich als Lösung des linearen Gleichungssystems 00

00

00

0

00

00

0

am1 ıup  bm1 ıvp D am

00

0

0

am1 am C bm1 bm  00 2 00 .am1 /2 C bm1 00 00 0 0 bm1 am C am1 bm ıvp D  00 2 : 00 .am1 /2 C bm1 ıup D

zu bm1 ıup C am1 ıvp D bm

(10.39)

Beispiel 10.9. Die Wurzeln der Polynomfunktion 2-ten Grades mit komplexen Koeffizienten P2 .x/ D x 2 C .1 C 5i /x C .6  2i / sind mit den Genauigkeitsschranken 1 D 2 D 104 zu bestimmen. Die Rechnung wird mit maximal fünf Dezimalstellen ausgeführt. Der Startwert ist x10 D u10 C iv10 D 1  i . Man erhält zuerst (s. Tabelle 10.19): 1 1

1 1

1 1

1 1

1   1   1

0   0   0

1 1 0 0 1 0 1

5 1 0 4 1 0 3

6 0 4 2

2 0 4 2

Tabelle 10.19. Wurzelberechnung mit komplexem Horner-Schema. Als nächster Näherungswert ergibt sich x11 D .1  i /  .0:4 C 0:8i / D 0:6  1:8i . Mit den weiteren Näherungen x12 D 0:2  2:2i , x13 D 0:07  1:93i , x14 D 0:004  1:996i erhält man mit hinreichender Genauigkeit für die erste Nullstelle x1 D 0:00002  1:99998i . Nach Abspaltung dieser Nullstelle ergibt sich aus dem Horner-Schema 10.20 der andere hinreichend genaue Näherungswert x2 D 1:00002  3:00002i . Die exakten Wurzeln zum Vergleich sind x1 D 2i , x2 D 1  3i . 1

0

1:00000

5:00000

6:00000

2:00000

0; 00002

1:99998





0:00002

1:99998

0:00002

2:00002

1:99998

0:00002





0:00000

0:00000

5:99998

0:00006

1

0

1:00002

3:00002

0:00000

0:00004

Tabelle 10.20. Abspalten der ersten komplexen Nullstelle.

Abschnitt 10.4 Anzahl und Lage der Nullstellen von Polynomen

10.4

423

Anzahl und Lage der Nullstellen von Polynomen

Im Folgenden sind Sätze und Abschätzungen zu Lage und Anzahl von Nullstellen von Polynomen mit reellen und komplexen Koeffizienten zusammengefasst. Interessenten an weiteren Aussagen und Fakten werden auf die Literatur verwiesen, insbesondere auf Obreschkoff [54].

10.4.1 Abschätzungen zu Nullstellen bei Polynomen mit reellen Koeffizienten Die Polynomfunktion hat die Gestalt Pn .x/ D x n C a1 x n1 C    C an1 x C an

.ak reell/ :

(10.40)

Reelle Polynome mit nur reellen Nullstellen Aussage 10.1. Die Anzahl der positiven reellen Nullstellen ist kleiner oder gleich der Anzahl der Vorzeichenwechsel in den Koeffizienten ak . Die Anzahl der negativen reellen Nullstellen ist kleiner oder gleich der Anzahl der Vorzeichenwechsel in den Koeffizienten ak , wenn x durch x ersetzt wird. Aussage 10.2. Ist xQ eine beliebige reelle Zahl und wählt man ˇ ˇ ˇ Pn .x/ ˇ Q ˇ mit P 0 .x/  D n ˇˇ 0 n Q ¤ 0; Pn .x/ Q ˇ

(10.41)

so liegt im Intervall ŒxQ  ; xQ C  mindestens eine Nullstelle des Polynoms Pn .x/. Aussage 10.3. Die n reellen Nullstellen von Pn .x/ liegen in einem Intervall, dessen Endpunkte durch die beiden Lösungen der quadratischen Gleichung  nx 2 C 2a1 x C 2.n  1/a2  .n  2/a12 D 0

(10.42)

gegeben sind. Beispiel 10.10. Für das Polynom 6-ten Grades P6 .x/ D x 6  14x 4 C 49x 2  36 0 erhält man P6 .x/ D x 6  14x 4 C 49x 2  36 und P6 .x/ D 6x 5  56x 3 C 98x. Die exakten Nullstellen sind x1 D 3, x2 D 2, x3 D 1, x4 D 1, x5 D 2, x6 D 3. Aus den Aussagen kann für dieses Polynom gefolgert werden: A 1: Die Anzahl der Vorzeichenwechsel bei P6 .x/ ist gleich 3. Es gibt folglich höchstens 3 positive Nullstellen. Weil die Anzahl der Vorzeichenwechsel bei P6 .x/ ebenfalls gleich 3 ist, gibt es auch nur höchstens 3 negative Nullstellen.

424

Kapitel 10 Polynome

A 2: Mit xQ D 4 erhält man

ˇ ˇ ˇ P .4/ ˇ 1260 ˇ 6 ˇ  D 6ˇ 0 ˇ D 6 D 2:5610 : ˇ P6 .4/ ˇ 2952

Es liegt eine Nullstelle in Œ1:439; 6:561. A 3: Aus  6x 2 C 10.14/  0 D 0 bzw. r 70 D ˙4:8304 : x1;2 D ˙ 3

x2 

70 D0 3

erhält man

Das Intervall für die reellen Nullstellen ergibt sich zu Œ4:831; 4:831. Beispiel 10.11. Untersucht wird das Polynom 6-ten Grades P6 .x/ D x 6  4x 5  8x 4 C38x 3 17x 2 34xC24 mit P6 .x/ D x 6 C4x 5 8x 4 38x 3 17x 2 C34xC24 0 und P6 .x/ D 6x 5  20x 4  32x 3 C 114x 2  34x  34. Die exakten Nullstellen sind in diesem Fall x1 D 3, x2 D 1, x3;4 D 1, x5 D 2 und x6 D 4. Für dieses Polynom lauten die Aussagen: A 1: Die Anzahl der Vorzeichenwechsel bei P6 .x/ ist gleich 4, es gibt höchstens 4 positive Nullstellen. Das Polynom hat höchstens 2 negative Nullstellen, da die Anzahl der Vorzeichenwechsel bei P6 .x/ gleich 2 ist. A 2: Mit xQ D 0 wird ˇ ˇ ˇ P .0/ ˇ 24 ˇ 6 ˇ  D 6ˇ 0 ˇ D 6 D 4; 2353 : ˇ P6 .0/ ˇ 34 Es liegt eine Nullstelle in Œ4:236; 4:236. A 3: Aus  4 6x 2 C 2.4/x C 10.8/  4  16 D 0 bzw. x 2  x  24 D 0 3 p 220 2 x1;2 D ˙ : 3 3 Als Intervall für die reellen Nullstellen erhält man Œ4:278; 5:611.

folgt

Beispiel 10.12. Die Lage der Nullstellen des folgenden Polynoms ist abzuschätzen: P6 .x/ D x 6  8x 5  40x 4 C 160x 3 C 1040x 2 C 1792x C 1024 P6 .x/ D x 6 C 8x 5  40x 4  160x 3 C 1040x 2  1792x C 1024 0

P6 .x/ D 6x 5  40x 4  160x 3 C 480x 2 C 2080x C 1792 : Die exakten Nullstellen sind x1;2;3;4 D 2, x5;6 D 8. Es ergeben sich folgende Aussagen:

425

Abschnitt 10.4 Anzahl und Lage der Nullstellen von Polynomen

A 1: Es gibt 2 Vorzeichenwechsel bei P6 .x/, daher existieren höchstens 2 positive Nullstellen. Weil die Anzahl der Vorzeichenwechsel bei P6 .x/ gleich 4 ist, gibt es höchstens vier negative Nullstellen. A 2: Für xQ D 0 folgt

ˇ ˇ ˇ P .0/ ˇ 1024 ˇ 6 ˇ  D 6ˇ 0 ˇ D 6 D 3:4286 : ˇ P6 .0/ ˇ 1792

Eine Nullstelle liegt in Œ3:429; 3:429. A 3: Aus  6x 2 C 2.8/x C 10.40/  4  64 D 0 p 4 1000 : ergibt sich x1;2 D ˙ 3 3

bzw.

x2 

8 328  D0 3 3

Als Intervall für alle reellen Nullstellen folgt Œ9:208; 11:875. Beliebige reelle Polynome Aussage 10.4. Alle Nullstellen xj des Polynoms Pn .x/ genügen der Abschätzung jan j  jxj j  1 C A0 jan j C An

(10.43)

mit A0 D max¹ja1 j; ja2 j; : : : ; jan jº und

An D max¹1; ja1 j; : : : ; jan1 jº :

Beispiel 10.13. Vorgelegt ist das Polynom sechsten Grades P6 .x/ D x 6  14x 4 C 49x 2  36. Die exakten Nullstellen sind x1 D 3, x2 D 2, x3 D 1, x4 D 1, x5 D 2 und x6 D 3. Mit A0 D max¹0; 14; 0; 49; 0; 36º D 49 und An D max¹1; 0; 14; 0; 49; 0º D 49 erhält man aus Aussage 4 als Intervall für die Nullstellen: 36  jxj j  1 C 49 bzw. 36 C 49

0:42  jxj j  50 :

Beispiel 10.14. Das Polynom sechsten Grades P6 .x/ D x 6  8x 5  40x 4 C 160x 3 C 1040x 2 C 1792x C 1024 besitzt die exakten Nullstellen: x1;2;3;4 D 2, x5;6 D 8. Mit den Größen A0 D max¹8; 40; 160; 1040; 1792; 1024º D 1792 und An D max¹1; 8; 40; 160; 1040; 1792º D 1792 liefert die Aussage 4 für die Nullstellen das Intervall 1024  jxj j  1 C 1792 1024 C 1792

bzw.

0:36  jxj j  1793 :

426

Kapitel 10 Polynome

Beispiel 10.15. Es wird das Polynom P6 .x/ D x 6 9x 4 10x 3 C94x 2 160x C104 mit den Nullstellen x1 D 1 C i , x2 D 1  i , x3 D 3 C 2i , x4 D p3  2i , x5;6 D 2 betrachtet. Die Beträge dieser Nullstellen sind jx j D jx j D 2, jx3 j D jx4 j D 1 2 p 13, jx5 j D jx6 j D 2. Unter Verwendung von A0 D max¹0; 9; 10; 94; 160; 104º D 160 und An D max¹1; 0; 9; 10; 94; 160º D 160 kann mit Aussage 4 für die Beträge der Nullstellen das Intervall 104  jxj j  1 C 160 104 C 160

oder

0:39  jxj j  161

gefunden werden. Polynome mit reellen oder komplexen Koeffizienten Die Polynomfunktion Pn .x/ hat die Gestalt Pn .x/ D x n C a1 x n1 C    C an1 x C an

.aj komplex/ :

(10.44)

Aussage 10.5. Für die Nullstellen xj von Pn .x/ gelten die Ungleichungen jxj j  min¹1 C ˛; ˇº

(10.45)

mit ˛ D max¹ja1 j; ja2 j; : : : ; jan jº; p p p ˇ D 2  max¹ja1 j; ja2 j; 3 ja3 j; : : : ; n jan jº : Aussage 10.6. Für die Nullstellen xj von Pn .x/ gelten folgende Abschätzungen: a)

jxj j  max¹1; ja1 j C ja2 j C    C jan jº

b)

jxj j  max¹jan j; 1 C jan1 j ; 1 C jan2 j ; : : : ; 1 C ja1 jº ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ³ ²ˇ ˇ an ˇ ˇ an1 ˇ ˇ ˇ ˇ;2ˇ ˇ ; : : : ; 2 ˇ a1 ˇ jxj j  max ˇˇ ˇ ˇ ˇ ˇa ˇ an1 an2 0 ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ a2 ˇ ˇ a3 ˇ ˇ an ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ jxj j  ja1 j C ˇ ˇ C ˇ ˇ C    C ˇ a1 a2 an1 ˇ p p p jxj j  2  max¹ja1 j; ja2 j; 3 ja3 j; : : : ; n jan jº :

c) d) e)

(10.46)

Beispiel 10.16. Für das Polynom dritten Grades mit komplexen Koeffizienten P3 .x/ D x 3 C .2  2i /x 2 C .9 C 14i /x C .4 C 8i / sind Abschätzungen für die Lage der Nullstellen gesucht. Es ergeben sich

427

Abschnitt 10.4 Anzahl und Lage der Nullstellen von Polynomen

p p p A 5: ˛ D max¹ 8;p 117; 80º D 10:82, p p 4 6 ˇ D 2  max¹ 8; 117; 80º D 6:58. Es folgt jxj j  min¹11:82; 6:58º D 6:58. p p p A 6: a) jxj j  max¹1; 8 C 117 C 80º D 22:59, p p p b) jxj j  max¹ 80; 1 C 117 C 8º D 14:65, °p p p ± c) jxj j  max p 80 ; 2 p117 ; 2 18 D 7:65, 117 8 p p p 117 d) jxj j  8 C p C p 80 D 7:48, 8 117 p p p 4 e) jxj j  2  max¹ 8; 117; 6 80º D 6:58. Die exakten Nullstellen des Polynoms sind x1 D i , x2 D 2 C i , x3 D 4. Beispiel 10.17. Für das Polynom sechsten Grades P6 .x/ D x 6  8x 5  40x 4 C 160x 3 C 1040x 2 C 1792x C 1024 sind Abschätzungen zur Lage der Nullstellen gesucht. Die Aussagen 5 und 6 ergeben A 5: ˛ D max¹8; 40; 160; 1024; 1792; 1024º D 1792, ˇ D 2  max¹8; 6:325; 5:429; 5:679; 4:474; 3:175º D 16. A 6: a)

jxj j  max¹1; 4064º D 4064,

b)

jxj j  max¹1024; 1793; 1041; 161; 41; 9º D 1793,

c)

jxj j  max¹0:571; 3:446; 13; 8; 10; 8º D 13,

d)

jxj j  8 C 5 C 4 C 6:5 C 1:723 C 0:571 D 25:294,

e)

jxj j  2  max¹8; 6:325; 5:429; 5:679; 4:474; 3:175º D 16.

Die exakten Nullstellen sind in diesem Fall x1;2;3;4 D 2, x5;6 D 8.

10.4.2 Berechnung der Anzahlen der voneinander verschiedenen Nullstellen von Polynomfunktionen Grundlagen Die Polynomfunktion n-ten Grades habe die Form Pn .x/ D x n C a1 x n1 C    C an1 x C an

(10.47)

mit reellen oder komplexen Koeffizienten aj .j D 1; 2; : : : ; n/. Werden mit ˛1 ; ˛2 ; : : : ; ˛n ihre Wurzeln bezeichnet, sind die Potenzsummen sh der Wurzeln erklärt durch: s0 D n ; sh D

˛1h

(10.48) C

˛2h

C  C

˛nh

.h D 1; 2; : : :/ :

428

Kapitel 10 Polynome

Unter Benutzung der Newtonschen Formel (siehe Fricke [25]) lassen sich diese Potenzsummen sh rekursiv aus den Koeffizienten der Polynomfunktion Pn .x/ berechnen: 9 8 h1 = < X ahk sk mit anCl D 0 für l > 0 : (10.49) sh D  h  a h C ; : kD1

Mit den Potenzsummen wird die quadratische, symmetrische Matrix M gebildet: 1

0 B s0 B B B s B 1 MDB B : B : B : B @ sn1

s1    sn1 C C C s2    sn C C C: :: C :: : : C : : C : C A sn    s2n2

(10.50)

Aussage 10.7. Die Anzahl g der voneinander verschiedenen Nullstellen von Pn .x/ ist gleich dem Rang der Matrix M. Polynomfunktionen mit reellen Koeffizienten Die Polynomfunktion Pn .x/ hat die Gestalt Pn .x/ D x n C a1 x n1 C    C an1 x C an

.aj reell/ :

(10.51)

Dann ist M eine quadratische und symmetrische Matrix mit reellen Elementen s . D 0; 1; : : : ; 2n  2/. Zur Bestimmung der Anzahl der Nullstellen werden der Rang der Matrix und die Hauptminoren p-ter Ordnung .p D 0; 1; : : : ; n  1/ von M benötigt. Es wird mit D die Determinante der Matrix M bezeichnet ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ s s  s ˇ n1 ˇ ˇ 0 1 ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ s s  s ˇ ˇ 1 2 n ˇ ˇ: D D det .M/ D ˇˇ (10.52) :: ˇˇ :: : : ˇ :: : : : : ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ sn1 sn    s2n2 ˇ

Abschnitt 10.4 Anzahl und Lage der Nullstellen von Polynomen

429

Der Hauptminor .p C 1/-ter Ordnung von D ist ˇ ˇ ˇs ˇ 0 s1 ˇ ˇ ˇs ˇ 1 s2 Dp D ˇˇ :: ˇ :: : ˇ : ˇ ˇ ˇ ˇ sp spC1

  ::

:



ˇ ˇ sp ˇˇ ˇ ˇ spC1 ˇˇ ˇ: :: ˇˇ : ˇ ˇ ˇ ˇ s2p ˇ

(10.53)

Man erhält Dp aus D, indem in D die .n1p/ letzten Zeilen und Spalten gestrichen werden. Für die zu behandelnde Problemstellung benötigt man die Hauptminorenreihe 1; D0 ; D1 ; : : : ; Dn1 . Zur Vermeidung numerischer Probleme kann es vorteilhaft sein, eine äquivalente Hauptminorenreihe aufzustellen. Dazu wird vor dem Übergang von Dr zu DrC1 in Dr eine gleichstellige Umordnung vorgenommen. Eine Umordnung in Dr heißt gleichstellig, wenn sowohl die i -te und k-te Zeile als auch die i -te und k-te Spalte vertauscht werden, wenn also Hauptdiagonalelemente wieder in Hauptdiagonalelemente übergehen. Aussage 10.8. Die Anzahl d der voneinander verschiedenen Paare konjugiert komplexer Nullstellen von Pn .x/ ist gleich der Anzahl m der Zeichenwechsel in der Hauptminorenreihe 1; D0 ; D1 ; : : : ; Dn1 . Die Herleitungen der Aussagen sind bei Fricke [25], Obreschkoff [54] und Gantmacher [32] ausgeführt. Die Bestimmung des Ranges der Matrix M und die Berechnung der Determinanten der Hauptminorenreihe erfordern umfangreiche Rechnungen. Dieser Aufwand kann wesentlich verringert werden, wenn die Matrix M auf eine Dreiecksgestalt transformiert wird. Mit den Bezeichnungen .0/ .0/ su;v D sv;u D suCv

folgt

0

.0/

s0;0

.u; v D 0; 1; : : : ; n  1/

.0/

s0;1

B B .0/ .0/ s1;1 B s1;0 MDB :: B :: B : : @ .0/ .0/ sn1;0 sn1;1

.0/



s0;n1

 :: :

s1;n1 :: :

.0/

.0/

   sn1;n1

(10.54)

1 C C C C: C C A

(10.55)

430

Kapitel 10 Polynome

Ziel ist eine Dreiecksform der Art 0 .0/ .0/ s s B 0;0 0;1 B .1/ B 0 s 1;1  B M DB : :: B :: : @ 0 0

.0/



s 0;n1

 :: :

s 1;n1 :: :

.1/

.n1/

   s n1;n1

1 C C C C: C C A

(10.56)

Durch die Querstriche ist vermerkt, dass eventuelle erforderliche gleichstellige Umordnungen bei der Transformation von M auf die Dreiecksform ausgeführt worden sind. Für die Transformation wird das übliche Vorgehen der Gaußschen Elimination benutzt. Ergibt sich im Laufe der Rechnung eine Teilmatrix, in der auch nach erfolgter gleichstelliger Umordnung alle Hauptdiagonalelemente null sind, 0

M

0

.t/

s t;tC1

.t/

s t;tC2

B .t/ .t/ Bs 0 s tC1;tC2 B tC1;t B .t/ .t/ DB 0 B s tC2;t s tC2;tC1 B : : :: B :: :: : @ .t/ .t/ .t/ sn1;t sn1;tC1 sn1;tC2



.t/

s t;n1

1

C .t/    s tC1;n1 C C C .t/    s tC2;n1 C C; C :: :: C : : A  0

(10.57)

so kann man durch eine gleichstellige Zeilen- und Spaltenaddition mit q ¤ 0, beliebig reell, die Teilmatrix auf eine für die Weiterrechnung geeignete Form 1 0   .t/ .t/ .t/ .t/ .t/ s t;tC1 s t;tC2    s t;n1 q s t;tC1 C s tC1;t C B C B .t/ .t/ .t/ B s tC1;t 0 s tC1;tC2    s tC1;n1 C C B C B .t/ .t/ .t/ M D B s tC2;t s tC2;tC1 0    s tC2;n1 C ; (10.58) C B :: :: :: :: C B :: C B : : : : : A @ .t/ .t/ .t/ s n1;t s n1;tC1 s n1;tC2    0 gebracht werden. Die Rechnung wird abgebrochen, wenn entweder die Matrix vollständig in eine Dreiecksform überführt ist oder sich eine Teilmatrix ergibt, die aus lauter Nullen besteht. Durch den Umwandlungsprozess werden sowohl der Rang der Matrix M als auch die Hauptminorenreihe bestimmt. Hat man bei der Umwand.0/ . 1/ lung s 0;0 ; : : : ; s 1; 1 ¤ 0 berechnet und sind die Elemente der nachfolgenden .n  1  / Zeilen alle gleich null, so ist D 1 ¤ 0 und

D D D C1 D    D Dn1 D 0 ;

(10.59)

Abschnitt 10.4 Anzahl und Lage der Nullstellen von Polynomen

431

und der Rang der Matrix M ist gleich . Da durch die gleichstellige Umordnung von Zeilen und Spalten bei der Ausführung der Transformation auf Dreiecksgestalt Hauptminoren von M wieder in Hauptminoren des gleichen Typs überführt werden, erhält man mit den Hauptdiagonalelementen der transformierten Matrix die Hauptminorenreihe w1 Y Dw D s ./ .w D 1; 2; : : : ;  1/ : (10.60) ; D0

Zur Bestimmung der Anzahl m der Zeichenwechsel in der Hauptminorenreihe ge./ nügt es, die Anzahl der Minuszeichen in der Hauptdiagonalelementenfolge s ; ,

D 0; 1; 2; : : : ;  1 abzuzählen. Aussage 10.9. Für eine Polynomfunktion Pn .x/ seien g

Anzahl der voneinander verschiedenen Nullstellen,

r

Anzahl der voneinander verschiedenen reellen Nullstellen,

d

Anzahl der voneinander verschiedenen Paare konjugiert komplexer Nullstellen.

Dann ergibt sich g D ;

r D  2m ;

d D m:

(10.61)

Beispiel 10.18. Betrachtet wird die Polynomfunktion P4 .x/ D x 4  5x 3 C 6x 2 C 4x  8. Mit a1 D 5, a2 D 6, a3 D 4, a4 D 8 folgen s0 D 4 s1 D 5 s2 D  ¹2  6  5  5º D 13 s3 D  ¹3  4 C 6  5  5  13º D 23 s4 D  ¹4  8 C 4  5 C 6  13  5  23º D 49 s5 D  ¹8  5 C 4  13 C 6  23  5  49º D 95 s6 D  ¹8  13 C 4  23 C 6  49  5  95º D 193 und

0

4 5 13 23

1

B C B 5 13 23 49 C B C MDB C: B 13 23 49 95 C @ A 23 49 95 193

432

Kapitel 10 Polynome

Die Überführung in Dreiecksgestalt liefert 0 1 B4 B B B0 B B B B B0 B @ 0

5 13 27 4 27 4 81 4

27 4 27 4 81 4

23 C C 81 C C C 4 C 81 C C C 4 C 243 A

!

4

1

0

B 4 5 13 23 C C B B 27 27 81 C C B0 C B 4 4 4 C: B C B C B B0 0 0 0C C B A @ 0 0 0 0

Die Auswertung ergibt D2 W mD0 W

zwei voneinander verschiedene reelle Nullstellen, keine konjugiert komplexen Nullstellen.

Die exakten Nullstellen sind x1 D 1, x2;3;4 D 2. Beispiel 10.19. Von dem Polynom P4 .x/ D x 4  6x 3 C 14x 2  16x C 8 sind die Anzahlen der voneinander verschiedenen Nullstellen zu bestimmen. Es folgen s0 D 4 s1 D 6 s2 D  ¹2  14  6  6º D 8 s3 D  ¹3  16 C 14  6  6  8º D 12 s4 D  ¹4  8  16  6 C 14  8  6  12º D 24 s5 D  ¹8  6  16  8 C 14  12  6  24º D 56 s6 D  ¹8  8  16  12 C 14  24  6  56º D 128 und

0

4 6 8 12

1

B C B 6 8 12 24 C B C MDB C: B 8 12 24 56 C @ A 12 24 56 128 Die Transformation auf Dreiecksgestalt liefert 0 1 0 1 4 6 8 12 4 6 8 12 B C B C B 0 1 0 6 C B 0 1 0 6 C B C B C B C ! B C B 0 0 8 32 C B 0 0 8 32 C @ A @ A 0 6 32 92 0 0 32 128

0 !

4

6 8 12

1

B C B 0 1 0 6 C B C B C: B 0 0 8 32 C @ A 0 0 0 0

433

Abschnitt 10.4 Anzahl und Lage der Nullstellen von Polynomen

Für die Nullstellenanzahlen erhält man D3 W

drei voneinander verschiedene Nullstellen,

mD1 W

ein Paar konjugiert komplexer Nullstellen.

Das Polynom besitzt die exakten Nullstellen x1;2 D 2, x3 D 1 C i , x4 D 1  i . Beispiel 10.20. Untersuchungsgegenstand ist das Polynom P4 .x/ D x 4  1. Man erhält s0 D 4 ;

s1 D 0 ;

s2 D 0 ;

und

s3 D 0 ; 0

4 0 0 0

s4 D 4 ;

s5 D 0 ;

s6 D 0

1

B C B0 0 0 4C B C MDB C: B0 0 4 0C @ A 0 4 0 0 Die Transformation in die Dreiecksgestalt ergibt mit gleichstelligen Umordnungen 0

4 0 0 0

1

B C B0 4 0 0C B C B C B0 0 0 4C @ A 0 0 4 0

0 !

4 0 0 0

1

B C B0 4 0 0C B C B C B0 0 8 4C @ A 0 0 4 0

0 !

4 0 0

0

1

B C B0 4 0 0C B C B C: B0 0 8 4C @ A 0 0 0 2

Das bedeutet D4 W

vier verschiedene Nullstellen,

mD1 W

ein Paar konjugiert komplexer Nullstellen.

Die exakten Nullstellen lauten x1 D 1, x2 D 1, x3 D i , x4 D i . Polynomfunktionen mit komplexen Koeffizienten Die Polynomfunktion Pn .x/ mit komplexen Koeffizienten aj D cj C idj habe die Gestalt Pn .x/ D x n C .c1 C id1 /x n1 C    C .cn1 C idn1 /x C .cn C idn / : (10.62) Es ergibt sich eine quadratische, symmetrische Matrix M, deren Elemente ebenfalls komplex sind. Mit einem bekannten Verfahren, z. B. mit dem Gaußschen Algorithmus, kann der Rang l dieser komplexen Matrix M bestimmt werden.

434

Kapitel 10 Polynome

Aussage 10.10. Bezeichnet k die Anzahl der voneinander verschiedenen komplexen Nullstellen (außer den Paaren konjugiert komplexer Nullstellen) einer Polynomfunktion Pn .x/, so gilt r C k C 2d D l : (10.63) Multipliziert man weiterhin das komplexe Polynom Pn .x/ mit dem konjugiert komplexen Polynom Pn .x/ Pn .x/ D x n C .c1  id1 /x n1 C    C .cn1  idn1 /x C .cn  idn / ; (10.64) ergibt sich eine Polynomfunktion Q2n .x/ vom Grade 2n Q2n .x/ D Pn .x/  Pn .x/ D x 2n C r1 x 2n1 C    C r2n1 x C r2n

(10.65)

mit reellen Koeffizienten. Für die Polynomfunktion Q2n .x/ können mit Hilfe der oben beschriebenen Vorgehensweise der Rang der zugehörigen Matrix N und die Anzahl m der Zeichenwechsel in der Hauptminorenreihe bestimmt werden. Da Pn .x/ die Konjugierten der Nullstellen von Pn .x/ als Nullstellen besitzt, treten bei der Polynomfunktion Q2n .x/ die reellen Nullstellen von Pn .x/ als reelle Doppelnullstellen und die komplexen Nullstellen von Pn .x/ als Paare konjugiert komplexer Nullstellen auf. Hat Pn .x/ ein Paar konjugiert komplexer Nullstellen, so tritt bei Q2n .x/ ein entsprechendes konjugiert komplexes Doppelnullstellenpaar auf. Aussage 10.11. Für eine Polynomfunktion Pn .x/ mit komplexen Koeffizienten gilt gDl;

r D  2m ;

k D l;

d D mCl  :

(10.66)

Beispiel 10.21. Vorgegeben ist das Polynom P2 .x/ D x 2 C .1 C i /x C .6  3i /. Es folgen s0 D 2 ; s1 D 1  i ; s2 D 12 C 4i und

0 MD@

2

1i

1  i 12 C 4i

1 A:

Die Determinante D D det.M/ hat den Wert 24 C 10i , d. h. es ist D 2. Bei Polynomen Pn mit komplexen Koeffizienten ist Q2n zu bilden: Q4 .x/ D P2 .x/  P2 .x/   D x 2 C .1 C i /x C .6  3i / x 2 C .1  i /x C .6 C 3i / D x 4  2x 3 C 14x 2  18x C 45 : Für diese Polynomfunktion Q4 .x/ mit reellen Koeffizienten ergeben sich s0 D 4 ;

s1 D 2 ;

s2 D 24 ;

s3 D 6 ;

s4 D 180 ;

s5 D 18 ;

s6 D 1512

435

Abschnitt 10.5 Aufgaben

und

0

4

2 24

6

1

B C B 2 24 6 180 C B C NDB C: B 24 6 180 18 C @ A 6 180 18 1512 Die Transformation auf Dreiecksgestalt führt zu 0

1

2 24 6 C B4 B C B C B 0 25 C 6 183 B C B C B C B C 6 36 18 C B0 B C @ A 0 183 18 1521

0

!

!

1

2 24 6 C B4 C B C B C B 0 25 6 183 C B C B B 648 C 936 C B 0 C B0 B 25 25 C @ 648 4311 A  0 0 25 25 1 0 2 24 6 C B4 C B C B B 0 25 6 183 C C B C: B B 648 C 936 C B 0 C B0 B 25 25 C @ 2475 A 0 0 0  13

Mit l D 2, D 4 und m D 2 folgen g D 2, r D 0, k D 2 und d D 0. Die exakten Nullstellen des Polynoms sind x1 D 1 C 2i , x2 D 3i .

10.5

Aufgaben

Aufgabe 10.1. Führen Sie folgende Polynomdivision mit dem Horner-Schema aus a) .x 3  216/ W .x  6/, b) .6x 5 C 13x 4  17x 3  5x 2 C 3x/ W .x C 3/. Aufgabe 10.2. Bei den folgenden Gleichungen ist eine Lösung bekannt. Bestimmen Sie die restlichen Lösungen. a) x 3  x 2 C 17x C 87 D 0, x1 D 3, b) x 3  9x 2 C 26x  24 D 0, x1 D 4,

436

Kapitel 10 Polynome

c) x 4 C 5x 3 C 5x 2  5x  6 D 0, x1 D 1, d) x 4  10x 3 C 35x 2  50x C 24 D 0, x1 D 4. Aufgabe 10.3. Berechnen Sie den Wert der folgenden Polynome für die jeweils angegebenen x-Werte: a) P3 .x/ D x 3  6x 2 C 7x  1 für x D 2; 3; 5, b) P4 .x/ D x 4  x 3 C 2x  12 für x D 2; 3; 5. Aufgabe 10.4. Gegeben ist die Polynomfunktion P5 .x/ D 0:5x 5  2x 4  16x 3 C 25x 2 126xC1025. Berechnen Sie mit Hilfe des Horner-Schemas die Funktionswerte P5 .xi / für x1 D 2, x2 D 4:26, x3 D 3 und x4 D 5:94. Aufgabe 10.5. Berechnen Sie mit Hilfe des Horner-Schemas die Funktionswerte a) P3 .2/ von P3 .x/ D 2x 3  3x 2 C 4x C 10, b) P4 .1:2/ von P4 .x/ D x 4 C 4:40x 3 C 9:24x 2  10:08x C 4:32, c) P4 .1:28/ von P4 .x/ D 1:6x 4  2:8x 3  10:2x 2 C 5:8x  12:6. Aufgabe 10.6. Berechnen Sie mit dem Horner-Schema die Werte der ersten Ableitungen der Funktionen aus Aufgabe 10.5 an den dort vorgegebenen Stellen. Aufgabe 10.7. Gegeben ist die Polynomfunktion P3 .x/ D x 3  6x 2 C 9x  2. a) Stellen Sie die Funktion im Intervall Œ1; 5 grafisch dar. Berechnen Sie dazu mit Hilfe des Horner-Schemas eine Wertetafel und wählen Sie auf der x-Achse 2 cm und auf der y-Achse 0:5 cm als Einheiten. b) Bestimmen Sie mit dem Horner-Schema die Nullstellen der Funktion. Aufgabe 10.8. Lösen Sie die folgenden Gleichungen a) x 6  5x 5 C 9x 4  5x 3 D 0, b) x 4  2x 3  8x 2 C 18x  9 D 0, c) x 4  x 3  27x C 27 D 0, d) x 5  x 4  27x 2 C 27x D 0. Aufgabe 10.9. Bestimmen Sie alle Lösungen x 2 C und zerlegen Sie die Polynomfunktion in Faktoren: a) x 3 C 2x 2 C 4x C 8 D 0, b) 4x 3  27x  27 D 0, c) x 4 C 3x 3  x  3 D 0.

Abschnitt 10.5 Aufgaben

437

Aufgabe 10.10. Die Gleichung x 3  0:21x 2 C 1:79x  8:84 D 0 besitzt zwischen x D 1 und x D 2 eine Lösung. Bestimmen Sie diese mit dem Horner-Schema auf zwei Dezimalstellen genau. Wie lauten die beiden anderen Lösungen? Aufgabe 10.11. Entwickeln Sie folgende ganzrationale Funktionen nach Potenzen von .x  x0 /: a) P4 .x/ D 3x 4  2x 3 C 4x  12, x0 D 2, b) P3 .x/ D 2x 3 C 5x C 10, x0 D 3, c) P4 .x/ D x 4 C 2:40x 3  3:45x  4:08, x0 D 1:20, d) P4 .x/ D 0:80x 4 C 2:28x 2 C 1:04x C 3:16, x0 D 1:18, e) P4 .x/ D x 4  10x 2  20x  16, x0 D 2, f) P3 .x/ D x 3  5x 2 C 3x C 9, x0 D 3. Aufgabe 10.12. Bestimmen Sie für die Polynomfunktionen aus Aufgabe 10.11 die 0 00 Werte von Pi .x/; Pi .x/; : : : für die genannten x0 mit dem Horner-Schema. Aufgabe 10.13. Führen Sie folgende Polynomdivisionen mit dem mehrzeiligen Horner-Schema aus: a) .16x 6 C 10x 5  17x 4 C 33x 3 C 14x 2 / W .x 2 C 7x C 2/, b) .40x 5 C 56x 4 C 69x 3 C 88x 2 C 62x C 15/ W .8x 3 C 9x C 5/. Aufgabe 10.14. Gegeben ist das Polynom sechsten Grades mit reellen Koeffizienten P6 .x/ D x 6  6x 5  4x 4 C 64x 3  45x 2  82x C 24. Von P6 .x/ ist das Polynom P4 .x/ D x 4  2x 3  13x 2 C 14x C 24 mit dem mehrzeiligen Horner-Schema abzuspalten. Die Nullstellen des Restpolynoms sind anzugeben. Aufgabe 10.15. Vom Polynom P4 .x/ D x 4 C3x 3 5x 2 2x C8 sind die Nullstellen x1 D 4 und x2 D 1:20556943 bekannt. Man bestimme die restlichen Nullstellen bei Rechnung mit acht Dezimalen. 4 3 2 Aufgabe 10.16. Zu dem Polynom P p4 .x/ D x  5:8x  1:23x C 35:92x  9:43 sind die Nullstellen x1;2 D 2 ˙ 3 bekannt. Man spalte diese Nullstellen vom Ausgangspolynom mit dem allgemeinen Horner-Schema ab und bestimme die restlichen Nullstellen mit dem Newtonschen Näherungsverfahren mit den Startnäherungen x3 D 2:00000, x4 D 4:00000. Die zu erzielende Genauigkeit ist  D 103 . Es ist mit fünf Dezimalstellen zu rechnen.

Aufgabe 10.17. Gegeben sind die Polynome P6 .x/ mit reellen Koeffizienten a) P6 .x/ D x 6  12x 5 C 63x 4  192x 3 C 367x 2  420x C 225, b) P6 .x/ D x 6  6x 5 C 23x 4 C 4x 3  165x 2 C 650x  507.

438

Kapitel 10 Polynome

Es ist zu zeigen, dass für a) x1;2 D 3, x3 D 2 C i , x4 D 2  i bzw. für b) x1;2 D 2 C 3i , x3;4 D 2  3i Nullstellen sind. Man spalte diese Nullstellen von Ausgangspolynom ab und bestimme die restlichen Nullstellen. Aufgabe 10.18. Es ist das Polynom sechsten Grades mit komplexen Koeffizienten P6 .x/ D x 6 C .8 C 2i /x 5 C .32  18i /x 4 C .80 C 70i /x 3 C .127  158i /x 2 C .124 C 208i /x C .60  120i / gegeben. Man zeige, dass x1;2 D 2, x3 D 1 C 2i und x4 D 1  2i Nullstellen des Polynoms sind, spalte diese Nullstellen vom Ausgangspolynom mit dem komplexen Horner-Schema ab und bestimme das Restpolynom. Aufgabe 10.19. Für das Polynom dritten Grades mit reellen Koeffizienten P3 .x/ D x 3 C 5x 2 C 3x  9 sind Anzahl und Lage der Nullstellen zu ermitteln. Aufgabe 10.20. Für das Polynom zweiten Grades mit komplexen Koeffizienten P2 .x/ D x 2 C .2  2 i /x C .3 C 6 i / bestimme man Anzahl und Lage der Nullstellen.

Kapitel 11

Numerische Simulation von Zufallsgrößen

11.1

Zufallsgrößen

11.1.1 Charakterisierung von Zufallsgrößen Die Behandlung von Problemen in den Naturwissenschaften und in der Technik führt oftmals auf mathematische Modelle, in denen zufällige Parameter enthalten sind. Für die numerischen Behandlung derartiger Aufgaben ist die numerische Simulation von zufälligen Größen erforderlich. Definition 11.1. Es bezeichne X eine reelle Zufallsgröße. Die reellen Werte x, die X annehmen kann, heißen Realisierungen von X . Man unterscheidet zwischen diskreten Zufallsgrößen (mit endlichen oder abzählbar unendlichen Realisierungsmengen) und stetigen Zufallsgrößen (mit überabzählbar unendlichen Realisierungsmengen). Die Zufallsgröße X ist durch die Verteilungsfunktion FX ./ D P .X  / .1 <  < 1/

(11.1)

statistisch eindeutig bestimmt, wobei P .X  / die Wahrscheinlichkeit dafür angibt, dass die Zufallsgröße X eine reelle Zahl als Realisierung annimmt, die kleiner oder gleich einer vorgegebenen Zahl  ist. Falls FX ./ eine stetige, stückweise differenzierbare Funktion ist, kann die Zufallsgröße äquivalent auch durch die Dichtefunktion fX ./ D

d FX ./ d

(11.2)

beschrieben werden. Neben der Verteilungsfunktion FX ./ und der Dichtefunktion fX ./ sind für die Charakterisierung der Zufallsgröße X die statistischen Kennwerte oder Momente von Bedeutung. In der Praxis wichtig sind besonders der Erwartungswert, die Varianz und die Standardabweichung. Definition 11.2. Bei bekannter Dichtefunktion fX ./ sind erklärt  der Erwartungswert Z 1 EX D mX D fX ./ d  ; 1

(11.3)

440 

Kapitel 11 Numerische Simulation von Zufallsgrößen

die Varianz D 2 X D X2 D E .X  EX /2 D



Z

1

.  EX /2 fX ./ d 

(11.4)

1

und die Standardabweichung DX D

p D2X ;

(11.5)

falls die auftretenden Integrale konvergent sind. Zu den theoretischen Grundlagen der Zufallsgrößen existieren ausführliche Einführungen (siehe insbesondere Storm [82], Weber [88], Friedrich und Lange [29]).

11.1.2 Monte-Carlo-Methode Probleme komplexen Charakters, deren numerische Bearbeitung infolge der großen Anzahl von arithmetischen Operationen praktisch unmöglich oder zumindest uneffektiv ist bzw. für die keine zufrieden stellenden Lösungsalgorithmen gefunden werden können, haben zur Entwicklung eines wirksamen und relativ einfachen Verfahrens geführt, das als Monte-Carlo-Methode oder mitunter als Methode der statistischen Versuche bezeichnet wird. Die Monte-Carlo-Methode ist eine numerische Methode stochastischer Natur zur Lösung mathematischer Prozesse unter Benutzung von Zufallsgrößen, ihrer Modellierung und Simulation. Das zu lösende numerische Problem ersetzt man durch ein angepasstes stochastisches Modell. Dann werden Realisierungen der im Modell enthaltenen Zufallsgrößen entsprechend der gegebenen Verteilungsfunktionen oder anderer statistischer Kenngrößen mit Hilfe von Zufallszahlen simuliert. Das Vorgehen wird für N Realisierungen wiederholt, wobei jede Erzeugung einer Realisierung von der anderen unabhängig ist. Die Ergebnisse aller behandelten Realisierungen werden statistisch ausgewertet, und am Schluss erfolgt eine Interpretation für die ursprüngliche Aufgabenstellung. Die Monte-Carlo-Methode verbindet Elemente der Wahrscheinlichkeitsrechnung, der mathematischen Statistik und der numerischen Analysis. Mit ihrer Hilfe können sowohl Probleme deterministischer Natur, z. B. Berechnung bestimmter Integrale, Lösung von gewöhnlichen und partiellen Differentialgleichungen als auch Probleme stochastischer Natur, z. B. Zuverlässigkeit von Konstruktionen und Erzeugnissen, Warteschlangen- und Lagerhaltungsprobleme, Modellierung von Wind- und Erdbebenerscheinungen behandelt werden. Die grundlegenden Schritte dabei sind: Auffindung von geeigneten stochastischen Modellen, die den zu behandelnden Problemen hinreichend gut angepasst sind



Erzeugung von Zufallszahlenfolgen als Realisierungen von Zufallsgrößen mit gegebenen Verteilungsgesetzen



Abschnitt 11.1 Zufallsgrößen

441

Ermittlung von Schätzwerten aus den erhaltenen Realisierungen und Gewinnung von Aussagen für das Ausgangsproblem



Die größte Schwierigkeit bei Benutzung der Monte-Carlo-Methode besteht in der Bereitstellung von geeigneten stochastischen Modellen (s. dazu insbesondere Ermakov [20], Buslenko und Schreider [12], Sobol [77]). Zur Erzeugung von Zufallszahlen sind eine Reihe von Berechnungsalgorithmen (als Zufallszahlengeneratoren bezeichnet) entwickelt worden, die bei Vorhandensein von leistungsfähigen digitalen Rechnern gewünschte Ergebnisse schnell und in guter statistischer Qualität liefern. Die Monte-Carlo-Methode ist ein weit einsatzfähiges numerisches Verfahren, das im Vergleich zu anderen klassischen Methoden der numerischen Analysis in relativ einfacher Weise Resultate liefert. Im Allgemeinen ist die Genauigkeit der mit dieser Methode erhaltenen, meistens nur näherungsweisen Lösungen bei vertretbarem Rechenaufwand nicht sehr hoch. Die Steigerung der Genauigkeit erfordert eine beträchtliche Erhöhung der Realisierungszahl und damit des Rechenaufwandes, so dass Vorteile dieser Methode wieder verloren gehen. Deshalb kann die Monte-Carlo-Methode die herkömmlichen Methoden nicht ersetzen.

11.1.3 Historische Entwicklung Umfassende Untersuchungen zur Erarbeitung und Weiterentwicklung der MonteCarlo-Methode und zu deren Nutzung sowohl für theoretische als auch angewandte Aufgabenstellungen begannen Mitte der vierziger Jahre des vorigen Jahrhunderts. Diese systematischen Forschungen wurden während des zweiten Weltkrieges hauptsächlich im Zusammenhang mit Arbeiten am Atombombenprojekt durchgeführt, sie betrafen speziell Simulationen der Diffusion von Neutronen. Später wurde die MonteCarlo-Methode sowohl zur Lösung weiterer stochastischer als auch deterministischer Probleme mehr und mehr benutzt. Besondere Impulse erhielt die Erarbeitung und Weiterentwicklung der Methode durch leistungsfähige Computer. Wesentlichen Einfluss auf das Vordringen der Monte-Carlo-Methode hatten J. v. Neumann, E. Fermi und S. Ulami. Die erste systematische Darstellung der Methode wurde 1949 von Metropolis und Ulami vorgelegt. Erste Tabellen von Zufallszahlen sind unter Benutzung der Ergebnisse der Roulettespiele im Casino von Monte Carlo aufgestellt worden. Dies hatte übrigens wesentlichen Einfluss auf die Namensgebung für dieses Verfahren. Als ältestes Anwendungsbeispiel zur Benutzung der Monte-Carlo-Methode für die Lösung einer deterministischen Aufgabenstellung gilt das Buffonsche Nadelproblem. Die Aufgabe zur Bestimmung der transzendenten Zahl  durch zufälliges Werfen einer Nadel stammt von dem Franzosen Buffon (1707–1788) und wurde von Hall ausführlich untersucht (s. Friedrich und Lange [29]). Ein umfassender Beitrag zur historischen Entwicklung der Monte-Carlo-Methode ist bei Ermakov [20] zu finden.

442

Kapitel 11 Numerische Simulation von Zufallsgrößen

11.1.4 Zufallszahlen Bei Benutzung der Monte-Carlo-Methode sind den in einem stochastischen Modell enthaltenen Zufallsgrößen zufällige Werte zuzuordnen. Dies geschieht durch Auswahl und Zuweisung von Zufallszahlen. Definition 11.3. Es sei im Folgenden X eine reelle Zufallsgröße mit der Verteilungsfunktion FX ./ D P .X  /. Jede Realisierung x 2 R der Zufallsgröße X heißt Zufallszahl mit der Verteilung FX . Die einfachsten und verbreitetsten Fälle sind gleichmäßig verteilte und normalverteilte Zufallszahlen. Beispiel 11.1. Einfache Zufallszahlen und Möglichkeiten ihrer Erzeugungen: Beim wiederholten Werfen einer idealen Münze mit den Seiten 0 und 1 ergibt sich eine Folge gleichmäßig verteilter Zufallszahlen auf der Menge ¹0; 1º, z. B. 1; 0; 0; 1; 1; 1; : : : .



Es liege eine Urne mit 100 gleichen Kugeln vor, die von 1 bis 100 nummeriert seien. Zieht man nach gutem Durchmischen eine Kugel zufällig heraus, notiert die gezogene Zahl, legt die Kugel wieder zurück und wiederholt den Vorgang, ergibt sich eine Folge von gleichmäßig verteilten Zufallszahlen auf der Menge ¹1; 2; : : : ; 100º, z. B. 5; 81; 79; 13; 28 : : : .



Werden mit einem Präzisionsmessgerät, das beliebig genaue Messungen ausführen kann, die Abweichungen vom Sollmaß eines von Automaten hergestellten Werkstückes aufgenommen und sei bekannt, dass diese Abweichungen normalverteilt sind, dann ergeben die Messwerte eine Folge normalverteilter Zufallszahlen.



Natürlich sind derartige aufwändige Erzeugungsmethoden für praktische Aufgabenstellungen ungeeignet. Man benötigt dafür große Mengen von computererzeugten Zufallszahlen. Definition 11.4. Eine endliche oder unendliche Folge von Zufallszahlen ist eine bezüglich der Zufallsgröße X ausgewählte Stichprobe von endlichem oder unendlichem Umfang aus einer der Zufallsgröße zugeordneten Grundgesamtheit mit der Verteilungsfunktion FX . Obige Beispiele lassen sich zwar als einfache Erzeugungsmechanismen für Zufallszahlen mit vorgegebener Verteilungsfunktion und Grundgesamtheit, meistens als Zufallszahlengeneratoren bezeichnet, ansehen. Bessere und günstigere Erzeugungsarten werden aber unten angeführt. Der wichtigste Fall für die Arbeit mit der Monte-Carlo-Methode sind die auf dem Intervall Œ0; 1 gleichmäßig verteilten Zufallszahlen als Realisierungen einer reellen, stetigen und gleichmäßig verteilten Zufallsgröße.

443

Abschnitt 11.1 Zufallsgrößen

Definition 11.5. Eine stetige Zufallsgröße X genügt auf dem Intervall Œ0; 1 einer gleichmäßigen Verteilung, wenn sie die Dichtefunktion ² 1 für 0    1 (11.6) fX ./ D 0 sonst bzw. die Verteilungsfunktion 8 ˆ