Probleme de mecanică [III ed.]

Citation preview

MINISTERUL EDUCA'flEI ~I lNVA'fAMINTULUI

Prof. dr. fag. AURELIAN STAN

I MIR!CEA GRUMAZmOU I

PROBLEME DE MECANICA

EDITURA DIDACTICA · $I PEDAGOGICA, BUCURE$TI

rA

~

Bun de lipar : 13.12.1973; Coli de tipar: 28;

Tiraj : 8000+ 110 exp 1. legate. Intraprinderea

Poligraficii

,,Banal"

Timi-

~oara, Calea Aradului I/A. REPUBLICA SOCIALIST.A_ ROMANIA

Comnnda nr. 234/5080

PREF A.TA

Lucrarea este tntocmita pe baza materia/,ului con/inut de cele doua edifii anterioare intitulate Culegere de probleme de mecanica tehnica, elaborate de aceill§i autori §i aparute tn anii 1953 §i 1956 la Editura tehnicd. Fa/a de edi/iile anterioare, prezenta lucrare aduce o serie de modificari substan-

tiale, atlt tn structura cit §i tn modul de prezentare a confinutului. Astfel :

- s-a facut o noua implirfire a materialului pe capitole, reductnd numarul acestora de la XXXIV la XX/; - s-a restructurat modul de prezentare a piirfilor teoretice, care preced aplicafiile, din cadrul fiecarui capitol; - s-au eliminat multe probleme considerate prea simple §i s-au introdus numeroase probleme noi tnsofite de desenele respective; · - s-au adus modificari tn enunful diferitelor probleme §i tn rezolvarea acestora, in special, tn sensul scurtarii, concentrarii §i unei mai mari claritafi; numeroase probleme au fost generalizate ; - a/,iituri de problemele rezolvate complet, s-au introdus la fiecare capitol §i probleme nerezolvate, tnsofite de indicafii despre modul de solufionare sau numai de rlispunsur.i; - s-au refacut toate ca/,cu/,ele numerice din sistemul tehnic, tn sistemul international, de unitafi de mlisura (SI) ; :- intregul material grafic a fost reviizut §i completat, multe desene au fost refacute, iar altele inlocuite cu desene noi, conform noului mod de rezolvare; - la sft11itul lucrarii s-a adaugat o serie de tabele utile rezolvarii problemelor (centre. de greutate, coeficienfi de frecare, constante elastice etc.). Toate aceste modificari §i restructurari stnt legate de continua modernizare a prezentarii mecanicii; premizele generale care au stat la baza tntocmirii edifiilor anterioare la care a colaborat §i regretatul M. Grumlizescu au fost tnsa plistrate §i tn cazul lucriirii de fat d. · Lucrarea acopera toate capitolele mecanicii clasice, evidenfiind, prin modul de alegere a aplicafiilor, caracterul practic a/, numeroaselor probleme din diferitele ramuri ale tehnicii. Metodele variate de rezolvare, discutarea §i interpretarea rezultatelor, reliefeaza latura aplicativa a solu/iilor in vederea formiirii spiritului ingineresc de abordare a diverselor probleme ridicate de practica.

4

Prefa/a

Principiile §i legile care stau la baza studiului mecanicii slnt pu/ine la numar, dificultatea constlnd ln aplicarea acestora. De aceea, se poate aprecia ca prezenta lucrare constituie unreal ajutor atU pentru cei care studiaza aceasta disciplina pentru a $i-o lnsll$i, cit §i pentru cei ce o aplica ln practica. Dar pentru ca acest scop sa fie atins trebuie ca §i cititorul sii vinii cu contribufia sa, sa lncerce sa rezolve singur problemele, lnainte de a consulta soluf ia indicata; aceasta trebuie sa constituie doar o verificare ca metoda aleasii este cea buna, ca mersul operafiilor de calcul este normal §i ca rezultatele obfinute slnt corecte. Lucrarea de$i se adreseaza studenfilor din primii ani ai facultiifilor din institute tehnice de diferite specialitafi §i ai universitafilor, este de un real folos inginerilor $i speciali$tilor care activeaza ln acest domeniu. A. I. STAN

PARTEA lNTII

ST ATICA

Capitolul

D----------FORT E. SISTEME DE FORTE. REDUCEREA FORTELOR. '

A. CONSIDERATII TEORETICE

1. Forta fiind o marime vectoriala, va fi definita prin: - punctul de aplicafie, de unde incepe segmentul dirijat (fig. 1.1); - direc/ia b, in lungul careia este a~ternut vectorul; - modulul I FI, intensitatea sau marimea, reprezentata la o scara anumita prin lungimea segmentului OE; - sensul, pozitiv sau negativ. Sensul pozitiv este de la O la E. Vectorii pot fi : liberi, alunecatori ~i Legati. Liber se nume~te vectorul caruia i se poate da orice punct de aplicatie, pastrindu-i directia, sensul ~i marimea. Vectorul careia i se poate da orice punct de aplicatie pe suportul sau, pastrindu-i sensul ~i marimea, este un vector aluneclitor, in timp ce un vector caruia nu i se poate modifica nici unul dintre cele patru elemente, este un vector legat. In statica rigidului fortele stnt vectori alunecatori. Unitatea de masura pentru forte in sistemul international ·(S.1.) este Newtonul (N). 2. Forte concurente stnt fortele care au acela~i punct de aplicatie. Rezultanta unor forte concurente este o forta care are acela~i punct de aplicatie ~i acela~i efect. ca ~i fortele date. Rezultanta unor forte concurente se poate afla grafic sau analitic. Grafic. Rezultanta se afla ductnd din extremitatea unei forte, succesiv, forte echipolente cu fortele date (fig.~ 1.2). Dreapta care une~te originea O!cu extremitatea E este rezultanta Ra fortelor concurente date. Insumarea fortelor este attt comutativa, cit ~i asociativa. Exprimarea acestei tnsumari se face vectorial, prin relatia: n

R=F1+F2+ ... +Fn= ~ F,. 1

Fig. 1.2. Fig. 1.1.

~l-

(a)

Statica

8

Analitic. Lutnd un triedru triortogonal cu originea tn punctul de concurenta al fortelor ~i nottnd componentele fortelor prin : F1(X1, Y1, Z1); F 2 (X2, Y2, Z2);

•• •

F,(X,, Y1,, Z,),

relatia vectoriala (a) este echivalenta cu trei relatii scalare : n

X=

bX,=X1+X2+ ... +x,+ ... +Xn; 1

Y=

b1 Yi=Y1-l-Y + .. .+Y,+ ... +Yn;

71

2

(a')

n

Z= ~I Zi=Z1+z2+ .. .+z,+ ... +Zn; in care X, Y, Z stnt componentele rezultantei R. Modulul rezultantei este :

IRl=R=Vx2+y2+z2,

(b)

iar direcfia rezultantei este determinata in raport cu axele triedrului prin cosinusurile directoarc ;

X Y Z cos a= 1r; cos~=y; cos-v=y ·

l n plan, relatiile

·(c)

(a'), (b) ~i (c) devin, respectiv, (a"), (b') ~i (c') : n

X

n

= ~ Xi; 1

Y = ~ Y, ;

(a'')

1

R=Vx2+y2;

(b')

:El,

(c')

y

tg 0 = x

= 1 .' .

Cazuri particulare. Doua forte egale ~i de sens contrar, aplicate aceluia~i punct, au rezultanta nula. Rezultanta a doua forte ~i F2, care actioneaza asupra aceluia~i punct, se afla prin regula paralelogramului (fig. 1.3). Practic, nu se construie~te paralelogramul, ci numai triunghiul fortelor, ducind din extremitatea unei forte un vector echipolent cu cea de-a doua forfa. Modulul rezultantei este:

Fi

(d)

Forte. Sisteme de forte. Redttcerea fo1·telor _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __

9

iar intre forte ~i unghiuri exista relafiile: sina1 _ sina2 _ sina . Ft F2 R '

a-a +a -

l

(e)

2•

Daca forfele stnt egale, pentru aflarea rezultantei se pot proiecta forfele pe directia rezultantei ~i se obtine: a

(f)

R=2Fcos 2 ·

3. Diferenfa F1 - F 2 a douii. forte concurente F1 ~i I\ este forfa D care, adunata cu~' da pe F 1• Este a doua diagonala a paralelogramului construit pe fortele date (fig. 1.4). 4. Descompunerea unei forte R in mai multe forte concurente (Fi ... Fn) dupa direcfiile (D1 •.. Dn) este in general o problema nedeterminata. In anumite condifii particulare, problema devine determinata, putindu-se proceda grafic sau analitic, analog ca la compunere. l n plan, o forta poate fi descompusa dupa doua directii concurente. In acest caz, descompunerea se face ducind din extremitafile forfei, paralele la cele doua direcfii, obfintnd astfel triunghiul forfelor ABC. Sensul componentelor este determinat de sensul care ocole~te triunghiul forfelor, indiferent care dintre cele doua triunghiuri ale forfelor se construie~te (fig. 1.5, a, b). Descompunerea unei forfe in doua componente se mai poate face cunoscind: una dintre forte tn marime, direcfie ~i sens, sau componentele in ma.rime, sau marimea unei forte ~i direcfia celeilalte. In toate aceste cazuri, problema se reduce la constructii de triunghiuri. De asemenea, o forta poate fi descompusa grafic dupa trei directii neconcurente coplanare cu forf a. ln spa/iu, o forfa R poate fi descompusa dupa trei direcfii concurente, care nu sint in acela~i plan, problema revenind la construirea unui paralelipiped Fig. !1.5.

Fig. 1.4.

Fig 1.3.

f

.

~ I

oc,

0

ot2

-

F,

I

a

6

IO

Statica

]a care se cunosc directiile muchiilor concurente in punctul O si diagonala OA (fig. 1.6). ' 5. Momentul unei forte Fin raport cu un punct. Forta F=Xl+ YJ+z7i, aplicata tn punctul A, avtnd fata de triedrul dereferinta O vectorul de pozifie xf+yJ+zk, are fata de originea triedrului xOyz un moment

r=

(g)

egal cu produsul vectorial dintre vectorul de pozifie ~i forta (fig. 1. 7). Ca urmare: - momentul forfei F tn raport cu punctul O este un vector perpendicular pe planul format de suportul fortei ~i punct (F·M 0 =0); - modulul momentului este

IMol =rF sin (r; F)=Fd,

(h)

unde d este distanta de la punctul O pina la suportul fortei. Sensul vectorului moment se alege astfel tncit vectorii i; F, M 0 sa formeze un triedru drept. Momentul unei forte se masoara tn Newton metru (Nm). Expresii analitice. Avem:

Mo=rxF=

i

1k

X

y

z

=Mxl+Mu]+Mzk

(i)

XYZ uncle componentele momentului

fata

de axe (fig. 1.8) sint:

Mx=yZ-zY; M11 =zX-xZ; Mz=xY-yX.

(j)

Momentul unei forte in raport cu un punct O are o serie de proprietati : a) variaza, daca se schimba punctul in raport cu care se calculeaza momentul ; schimbarea momentul ui se face du pa relafia vectoriala Mo1 =Mo+010XF,

b) este nul tn raport cu un punct oarecare aflat pe suportul fortei; c) nu se modifica daca forta se deplaseaza pe suportul ei, sau daca punctul in raport cu care se ia momentul se deplaseaza pe o paralela la fort a.

Fig. 1.6.

Fig. 1.7.

Fig. 1.8.

tz

z.

y

Forte. Sisteme de fo1·te. Reducerea fortelo1· _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __

6. Momentul unei forte in raport Momentul unei .forte tn raport cu o versor ti este roiecfia pe acea axa a moment al fortei date in raport cu oarecare al axei (fig J 9)

cu o axa. axa A de vectorului ua punct.

Fig. 1.9.

II

uAT

F

(l)

unde (i, F, u) este produsul mixt. Momentul unei forte in raport cu o axa A : - este un invariant fata de alegerea punctului

~~a:

.

- este nul cind forta ~i axa sint coplanare (suportul fortei ~i axa se intersecteaza sau sint paralele). Practic momentul unei forte in raport cu o axa se poate determina astfel : se duce un plan oarecare n perpendicular pe axa, pe care se proiecteaza forta data. Momentul acestei proiectii f tn raport cu punctul O' in care axa tnteapa planul este chiar momentul fortei date in raport cu axa. 7. Cupluri de forfe. Doua forte paralele, egale ~i de sensuri contrare (F, -F), aflate pe suporturi diferite, formeaza un cuplu de forte (fig. 1.10). Se reprezinta printr-un vector liber M (C), perpendicular pe planul fortelor, de modul constant F • d, unde d este bratul cuplului (distanta dintre suporturile fortelor), iar sensul este A

coeflciValoarca cuplului Valoarca entulul de motor frecare JI

82< J[Bi

-

Rostogollrc in sus fara alunecare

-A)

C. PROBLEME NEREZOLVATE

4.12. 0 balanta are bratele egale AC=CB =a, iar suportul OC de lungime b este articulat in O (fig. 4.18). Greutatea bratelor ~i suportului este p Nim. $tiind ca la capetele balantei se attrna greutatile Q1 ~i Q2 (Q2>Q1), sa se determine unghiul a cu care s-a inclinat balanta. I ndicafie $i raspuns. Din ecuatia de momente, tn raport cu punctul 0, a tuturor fortelor care actioneaza asupra balantei, Qi (acosa+bsina)

+(p • b) ! sin a-Q

2

+ (p 2a) bsina+

(a cos a-b sin a) =0, Fig. .UB.

84

Statica

rezulta: tga=

..!!__.

b

QrQ1

Q-t-Q+p

(2a+ : )

Din aceasta relatie se constata ca, cu cit b este mai redus, cu atit unghiul a este mai mare, deci balanta mai sensibila. 4.13. Cit de mare trebuie sa fie contragreutatea Q a macaralei turn (fig. 4.19) pentru a nu se rasturna in momentul ridicarii sarcinii P. I ndica/ie §i riispuns. Punind con di ti a ca momentul stabilizator prod us de contragreutate sa fie de k ori mai mare decit eel de rasturnare tn raport cu punctul A, (k fiind ~oeficientul de· siguranta) rezulta : 1

Q= - a (kPc-Ge),

4.14. Un carucior de greutate P este ridicat pe o rampa, inclinata. fata de orizontala. cu un unghi ex, de ca.tre un motor avind o greutate G (fig. 4.20). Sa se determine reactiunile din articulatia B ~i reazemul A.

Riispuns Hn= { sin2a; 4.15. 0 bara avind greutatea P, articulata in punctul 0, este sustinuta de un fir la cealalta extremitate (fig. 4.21). Sa se determine tensiunea in fir ~i reactiunile din articulatie, atunci cind hara sta in echilibru sub un unghi ~' iar firul face cu orizontala un unghi a.

Riispuns. T=P

H = p cos a• cos ~

cos~ 2 sin (a-P)

2 sin (a-P)

V=P [ l -

sin a cos~ ] 2sin(a-~) ·

Fig 4.19.

Fig. 4.20.

y

Fig, 4.21.

~

8 H )(

Statica rigidul~i

85

4.16. In punctul Cal unei grinzi, cu lungimea l, actioneaza un cuplu de moment

M0 (fig. 4.22). Sa se determine reacfiunile din articulafia A ~i reazemul B. Riispuns.

Oricare ar fi punctul tn care actioneaza cuplul reacfiunile ramin acelea~i. 4.17. Un sttlp, incastrat in A, suporta Ia extremitatea C o forta verticala Q (fig. 4.23). Forfa vintului fiind considerata o sarcina P pe unitatea de lungime, uniform distribuita in Iungul porfiunii AB, sa se determine reacfiunile din A. Riispuns.

4.18. Bara AB omogena, de greutate G ~i lungime 21, (fig. 4.24) este rezemata, fara frecare, pe planul orizontal ~i vertical ~i Iegata cu un fir de originea 0. Se cer reactiunile din A ~i B ~i tensiunea T din firul OC. Riispuns. G

NA = 2

•

NB=a+ .E._.

cosacosP sin (a-P)

2

cosasinP sin (a-P)

cos a

G

T= 2 ·

2 sin (a-P) ·

4.19". Se da presa mecanica din figura 4.25. Asupra brafului DK, legat rigid cu latura DC a paralelogramului articulat ABCD, actioneaza forfa P. Cunosctnd elementele geomefrice ale sistemul ui mecanic sa se determine ·forta Q ~i reacfiunea N. Riispuns. Q=

Pl cos p

---,--f-=-

a sin (a+P)

N=Qtgp. Fig. 4.25. Fig. 4.24.

Fig. 4.23. 'i

___s...,__....iC Fig. 4.22.

~ K

J(

Statica

86

4.20. Bara omogena AB=l, avtnd greutatea p pe unitatea de lungime, prinsa cu trei fire, este tn echilibru tn pozitie orizontala (fig. 4.26). Sa se afle tensiunile din fire. Rezolvare. Izoltnd hara prin taierea firelor, se pot scrie urmatoarele conditii de echilibru : (~X);

-T1cosa+T3 cos~=0

(~Y);

T1 sina+T2 +T3 sin~-pl=0 T 2 a+Ta l sin ~-p

~MA);

~ =0.

Din rezolvarea sistemului de ecuatii, se obtine :

T = J!!_ • 1

T = .f!!:_ • 2

2

= ..!!I_

T 3

2

(l-2a) cos p

cos a sin

2

•

p-a sin (a+P)

l sin (a-P) cos a sin P-:- a sin (a+~) (l- 2a) cos a cos a sin P-a sin (a+~)

4.21. Bara OC, de greutate neglijabila, articulata in O este prinsa cu cablurile AD ~i BE, iar tn extremitatea C este fixata greutatea Q (fig. 4.27). Se cere sa se determine tensiunile Ti ~i T 2 din cablurile AD ~i BE, precum ~i reactiunile din articulatia 0, hara ramintnd in pozitie orizontala. Aplicatie: a=d=e=4 m; b=c=S m; f-g=2 m. Q=lO kN. Riispuns. R:i:=3,26 kN; Rv=l7,60 kN; Rz=7,40 kN T1 =18,4 kN; T 2 = 11,4 kN. 4.22. Dispozitivul din figura 4.28, de dimensiuni cunoscute, are greutatea Sa se determine reactiunile A ~i B, precum ~i forta minima P necesara pentru ca dispozitivul sa nu alunece pe stil p, p, fiind coeficientul de frecare.

·a.

Raspuns. p~ h 2µ.eG. -..::::2µ.a-h

a,

~ - 0 scara, avtnd lungimea l ~i greutatea este rezemata pe un perete ve~l ~i pe un plan orizontal (fig. 4.29). Coeficientii de frecare tn A ~i B fiind

.

Fig. 4.28.

Fig. 4.27 .

.. Fig. 4.26 1f

2

y

a

7

87

Statica rigidului

respectiv µ1 ~i µ 2, se cere sa· se determine reactiunile tn punctele de rezemare, precum ~i tnclinarea maxima ce poate fi data scarii, daca pe scara se urea o persoana, avind greutatea P, pina la distanta AC=a.

.. N A= 1+µ1 a+Pµ.2 ·' NB= Raspuns.

1+µ1112

µ1

(G+P) ·'

! (lli +

) JJ,2 -µ2.

Pa+a tg et= (G+P)

1

4.24. Sa se determine marimea fortei P, necesara menfinerii in echilibru a corpului de greutate Q pe un plan tnclinat cu unghiul a, fata de orizontala, cunosctndu-se unghiurile a ~i p ~i unghiul de frecare q> >a (fig. 4.30, a). I ndicafie $i raspuns. Izoltnd corpul - asimilat unui punct material - de legaturi (fig. 4.30, b), din ecuafiile de ech1libru ~i inegalitatea frecarii rezulta, pentru cele doua tendinfe de mi~care, inegalitafile: sin (a.-q,) ~.!_~sin (a.+q,) • · sin (P+q,) -...:::: Q -...:::: sin (P-q>)

Pri·minegalitate corespunde tendintei de mi~care data de sageata. . Bara omogena AB=2l, de greutate G(fig. 4.31, a), se sprijina cu frecare cu patul A pe un plan orizontal ~i tn C, Iara frecare, pe o suprafata circulara de centru O ~i raza r. Sa se determine reactiunile N 1 ~i N 2, precum ~i coeficientul de frecare µ pentru ca hara sa ramtna in echilibru.

Raspuns. N

=

2

µG • sina+µcosa'

N1

=

a sin a. • sina+µcosa'

µ;;;,ir sin a (sin a+µ cos a). 4.26. Bara AB=l ·

Riisp~ns. P= Q k5

5.23. Doua bare aflate intr-un plan vertical 0A =l 1 ~i AB =l2 omogene, de greutafi Pi ~i P 2, stnt articulate, prima in punctul fix 0 ~i a doua de cea· dinUi in A (fig. 5.27). In A ~i B fiind aplicate doua forte orizontale Q1 ~i Q2, sa se calculeze unghiurile a ~i ~ ale directiilor barelor cu verticala Oy.

t

Riispuns. tga=2 ~ 1

2

2

tg~= ~ • 5.24. Pentru sfarimarea unor materiale se folosesc diferite dispozitive, a~a cum se arata in figura 5.28. In figura 5.28, a valfurile 01 ~i 0 2 se rotesc tn sensul sagetilor; in figura 5.28, b. roata se rostogole~te pe planul orizontal; tn figura 5.28, c, planul tnclinat AB este fix, iar planul 0C se poale roti cu ajutorul unui mecanism tn jurul articulatiei 0. Se cere sa se afle conditia ca materialul asimilat unei sfere sa poata fi prins in dispozitiv. Indica/ie ~i raspuns. Procedind in mod analog ca tn problema 5.6, se ajunge la conditia a~cp, unde cp este unghiul de frecare iar 2a unghiul marcat pe figurile respective. 5.25. 0 hara AB omogena, de greutate G, se afla tn echilibru in pozitie orizontala, fiind prinsa la capete printr-un fir trecut peste doi cilindri fic~i (fig. 5.29)~ Coeficientul de frecare al firului pe cilindri fiind µ, se cere sa se determine dis2~

2

;

Fig. 5.26.

Fig. 5.27. Fig. 5.29.

Tz Fig. 5.28. J.

r, a

Statica

102

tanfa x la care trehuie a~ezata pe hara greutatea P, cunoscuta, fafa de mijlocul harei pentru a mentine echilihrul. Rezolvare. Izoltnd hara, se pot scrie urmatoarele conditii de echilibru

T1+T3-G-P=0 (:EM.4); Gl+P (l+x)-T12l=0 Tinind seama de relatiile lui Euler (cap. 7): (l! Y);

(1) (2)

rezulta

T1=T3 eiur. Din relafiile (1); (2) ; (3) rezulta

(3)

x=l eP"- I • a+P . eJJ•+t

p

5.26. Sistemul mecanic din figura 5.30 este format din harele omogene OA ~i AB articulate in O ~i A, avind fiecare lungimea liar greutatea q pe unitatea de lungime. Punctele O ~i B sint prinse cu un arc de constanta elastica k. Sub acfiunea greutafii harelor, arcul are lungimea OB 0 =h. Fixind in A greutatea P, capatul B al harei, aluneca pe planul vertical ptna ocupa o pozifie de echilihru definita de unghiul 0. Sa se determine reactiunea (H0 , V0) din articulafia O ~i reacfiunea NB din reazemul B. lndicatie §i raspuns. Tinind seama ca forta din arc este F =k(2l sin 8-h), din condifiile de echilibru se ohfine:

. e--

Sin

A

p

P+2kh+2kl . 4kl '

Fig. 5.30.

V0 =P+2ql; Ns= P1ql ctg8.

Capitolul

m SISTEME DE BARE ARTICULATE

A. CONSIDERATII TEORETICE

1. Sistemele de bare articulate stnt sisteme mecanice formate din bare care tndeplinesc anumite condi1ii: barele stnt rectilinii, prinderea lor se face numai la capete prin articulatii, constructia este nedeformabila, iar fortele exterioare ~i de legatura actioneaza constructia numai tn capetele barelor, denumite noduri (fig. 6.1). (De exemplu, grinzi cu zabrele, ferme de acoperi~uri etc.). Daca totalitatea barelor se afla tn acela~i plan, sistemul este plan, iar daca nu, sistemul formeaza o constructie tn spatiu. La un asemenea sistem, barele stnt supuse fie la eforturi de tensiune, fie la eforturi de compresiune. 2. Daca se noteaza cu n numarul nodurilor ~i cu b numarul barelor, condi/ia necesarii, dar nu suficienta, ca un sistem de bare articulate sa fie static determinat, este: - pentru sisteme articulate plane: b=2n-3; - pentru sisteme articulate in spatiu : b=3n-6. 3. Legaturile sistemelor articulate plane pot fi o simpla rezemare ~i o articula/ie, deci reactiunile care iau na~tere se determina prin maximum trei necunoscute. 4. Calculul static al unui sistem articulat are doua ·

p31'ti: - determinarea echilibrului fortelor exterioare ce actioneaza asupra grinzii; - determinarea eforturilor tn barele _sistemului. Echilibrul fortelor exterioare al sistemului de forte se determina a~a cum se determina echilibrul oricarui Fig. 6.1.

~

~ •• -------------

Statica

104

sistem de forte ce actioneaza asupra unui sistem nedeformabil, fie analitic, fie grafic prin poligonul fortelor ~i poligonul funicular. Eforturile din bare, care stnt fortele interioare ale sistemului, se determina prin diferite metode, dintre care stnt date mai jos trei dintre cele mai importante : metoda separarii sau echilibrului nodurilor, metoda grafica Cremona-Bow ~i

metoda secfiunilor. Adesea este bine sa se determine tn prealabil reactiunile sistemului articulat, considerindu-1 ca pe un solid rigid ~i scriind ecuatiile de echilibru. 5. Metoda analitica a separarii nodurilor. Dupa determinarea reactiunilor, se separa fiecare nod tn parte, plecind de la un nod care are eel mult doua necunoscute (reactiuni sau eforturi tn bare). Se pleaca de la un astfel de nod deoarece in plan, avtnd pentru forte concurente doua ecuatii de echilibru, se pot afla numai doua necunoscute. ln fiecare nod se scriu ecuatiile de echilibru, pentru toate fortele exterioare (date ~i reactiuni) ~i fortele interioare (fig. 6.2). Pentru determinarea sensului efortului se presupune la inceput ca in toate barele exista tensiuni, deci sensul fortei interioare tn Jungul unei bare este de la nod spre interiorul barei. Daca din rezolvarea ecuatiilor de proiectH se obtin valori pozitive exista tntr-adevar tensiuni in bare. Daca din calcule rezulta in unele bare valori negative, in acele bare exista compresiuni. Plecind de la un nod cu doua necunoscute, metoda se aplica succesiv tuturor nodurilor, tinindu-se seama ca fiecare hara intra in echilibrul a doua noduri oarecari /, J ~i ca, in Iungul tntregii bare, solicitarea este aceea~i Nu=Nl1 • ln ecuatiile de echilibru ale unui nod oarecare, tn care exista solicitari cunoscu e, daca solicitarile sint tensiuni, acestea se introduc cu semnul pozitiv, iar daca stnt compresiuni se introduc cu semnul negativ. 6. Metoda grafica Cremona-Bow. Prin metoda Cremona se determina grafic eforturile din bare, pornindu-se tot de la un nod in care exista doua bare ~i descompunind rezultanta fortelor exterioare din acel nod, dupa directiile barelor. Din aproape tn aproape se determina o epura in care : - unui nod al. construcfiei ii corespunde un poligon in epura, care are laturile paralele cu fortele sau barele concurente in acel nod; - fieciirei bare a construcfiei ti corespunde in epura o dreapta paralela, care reprezinta marimea efortului din bara respectiva; - fiecarui vtrf al epurei ii corespunde in constructie o suprafata marginita de fortele (exterioare sau interioare barei) care se intilnesc in punctul respectiv. Notafia Bow - care va fi folosita fn aplicafiile ce vor urma - imparte planul constructiei in zone separate de bare ~i Fig. 6.2.

Sisteme de bare articulqte _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __

105

forte exterioare. Notatia zonelor se va face in sensul de rotire al acelor ceasornicului (fig. 6.3). Prin aceasta notatie: - efortul. dintr-o bara oarecare, o for/a exterioara sau reac/iune, este definit prin indicarea zonelor pe care le desparte hara, forta sau reactiunea. - fiecare nod al sistemului articulat este definit de zonele ce marginesc acel nod. Preciztndu-se nodul, se precizeaza imediat in epura poligonul de echilibru corespunzator. Cunoscind tn acest poligon de echilibru sensul unei forte sau solicitari din hara, se poate determina u~or marimea ~i sensul in celelalte bare. 7. Metoda sectiunilor. Metoda sectiunilor se folose~te ctnd trebuie determinat sau verificat efortul tntr-o hara oarecare, fara a fi nevoie sa se construiasca tntreaga epura, cum cere de pilda metoda Cremona. De asemenea se mai poate folosi cind constructiile au mai mul te dectt doua bare ~i deci nu se poate tncepe constructia epurei Cremona. . Dupa determinarea reactiunilor, se face o sectiune oarecare prin mai multe bare necunoscute ale sistemului articulat ~i se studiaza echilibrul uneia dintre partile sectionate. La sectionarea barelor trebuie data atentie ca barele sa nu fie concurente ~i sa nu existe mai mult de trei bare sectionate avtnd valori necunoscute. Pentru aflarea efortului dintr-o hara oarecare sectionata, se ia momentul tuturor fortelor din stinga sau din dreapta sectiunii (forte exterioare, reactiuni, eforturi in barele sectionate) in raport cu un punct, astfel inctt se poate scrie o ecuat ie cu o singura necunoscuta. · Daca nu este posibil sa se scrie o ecuatie de momente (de exemplu bare paralele), se scrie o ecuatie de proiectie. B. PROBLEME REZOLVATE 6.1. Ferma unui acoperi~ are forma ~i dimensiunile din figura 6.4. Asupra ei actioneaza fortele concentrate in noduri. Sa se determine eforturile in bare.

Aplica/ie: a=5 m; P=4 600 N. Rezolvare. Deoarece b=2 n-3 ferma este static determinata. Dalu;t~ simetriei, reacfiunile sint:

RA=RB=2P=9 200 N.

2P rig. o.3.

l•'ig. 6.4.

106

Statica

Metoda echilibrului nodurilor N o d u I / (fig. 6.5). Din ecuatiile de echilibru. rezulta :

S1 cos 45°+S2=0;

S1 sin 45°+RA=O,

din care se , din (1) se obtine: tg 8 =ctg cp,

(2)

de unde relatia (c") devine: :~ =sh Notind ~

t x=tg0=ctgcp.

(3)

x=t,

(4)

rezulta: =ctg cp

e2 t-2et ctg cp-1 =0,

~i

(5)

cu solutia pozitiva : et =ctg v') figura 8.32. Care este timpul t0 care separa doua intilniri succesive ?

0

a

b F'ig. 8.33.

I ndicalie §i rlispuns. Imprimtnd sistemului o mi~are cu viteza -v', fata de al doilea mobil care ramine imobil, primul se deplaseaza cu viteza constanta v-v'. Ca urmare :

lj

l to=-v± v''

M

semnul negativ corespunzind situatiei in care . cele doua mobile se misca tn sens coritrar. ·

v, Vr Fig. 8.34.

ac

Cinematica punctului mate1'ial _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __

163

8.36. Pe hara D, care se rot~te in jurul axului O cu o viteza unghiulara -ro2;:.

(e)

Distributia vitezelor satisface anumite legi generale, utile in aplicatii: - proiectiile vitezelor a doua puncte oarecare ale rigidului pe dreapta care le une~te sint egale ; - proiectiile vitezelor a doua puncte oarecare pe vectorul ~ sint egale ; - diferenta vectorilor viteza a doua puncte oarecare ale rigidului este un vector perpendicular pe dreapta ce une~te cele doua puncte; Un solid rigid poate avea o serie de mi~cari par• li'ig. 9.1. ticulare, caracterizate prin marimea ~i a~ezarea unul fat a de eel al alt a vectorilor v0 ~i i;): mi~care de transla/ie, de rota/ie, de roto-transla/ie, de §urub, plan paralela r, ~i mi~carea tn jurul unui punct fix. 2. Mi~carea de translat ie. Intr-o astfel de miscare (fig. 9.2) o dreapHi ce une~te doua puncte oarecare ale

165

Cinemat.ica soliclului rigid

rigidului ramtne paralela cu ea insa~i. In timpul mi~carii toate punctele rigi2 -

11 1

ro 1

'1 r2

-

D1 -

Z1

D2

z2 •

(l)

Sensurile de rotatie sint contrare.

179

M~carea plan-paralelii.. Cinematica mecanismelor

La trenurile de angrenaje, care sint dispuse ca in figura 10.11, iar rotile de pe un ax stnt solidare cu axu] respectiv, exista relatia: nn=(-l)k R1·R2 ... Rn-1 ni = (-l)k produs raze conducatoare ni, r2 •r :i ••• rn prod us raze conduse

(m)

uncle k este numarul de contacte dintre roti. Raportul p = R.i·R2 • • • R,,-i se nume~te raport de transmitere. r2•r3 .••

rn

8. Cremalierele au scopul de a transforma o mi~care uniforma de rot at ie intr-o mi~care uniforma de transl_afie, perpendiculara pe axa de rotafie. In acest caz exista relatia : V=f•OO

9. Angrenajele conice au scopul sa transforme o rotafie tn jurul unei axe, intr-o rotafie in jurul unei alte axe, concurenta cu prima (fig. 10.12). Dindu-se axele Ox ~i Oy care fac unghiul a+~=y ~i turatiile n 1 ~i n2 ale axelor, unghiurile 2a ~i 2~ care definesc deschiderea rotii conice, ·sint date de relafiile :

tga= -

siny n1 +cosy n2

(n)

Angrenajul cu $Urub fiira sfir$it transmite rotafia de la un ax la un alt ax perpendicular pe primul (fig. 10.13). Cind axul (xx') face o rotafie completa in jurul axei sale, punctul de contact C dintre cei doi cilindri s-a deplasat cu un pas pe cilindrul (1), in lungu] axei (xx'). In ace)a~i timp, cilindru] (2) s-a rotit cu unghiul

2

11: ,

2

in care z este riumarul de dinti ai cilindrului (2).

Raportul de transmisie este: 2tt

(!)'

-=--=z. (l)

l.

Din A se duce o dreapta perpendiculara pe directia bielei, iar din O' se duce o dreapta paralela cu directia vitezei capului de cruce. Cele doua drepte se intretaie in B. Vectorul O' B, la scara considerata, reprezinta vectorul viteza al capului de cruce. 10.15. Sa se determine grafic acceleratia capului de cruce la un mecanism biela-manivela, actionat de un piston, cind manivela se rote~te cu o viteza unghiulara constanta ro.

Rezolvare. Met o d a 1. a) Construct i a gr a f i ca. Fie o pozitie oarecare a manivelei. Prelungind directia bielei pina in punctul unde intersecteaza diametrul perpendicular pe directia OP, se obtine punctul H (fig. 10.30). Cu centrul tn M ~i raza egala cu MH se construie~te un cerc. Apoi, cu centrul tn Q (mijlocul bielei), se construie~te un alt cerc, avind raza egala cu jumatatea lungimii bielei. Cele doua cercuri, astfel construite, se intersecteaza in punctele N ~i N'. Dreapta N N' intersecteaza biela in D ~i directia lui OP in F. Acceleratia capului de cruce este : a=OF •co2• b) J us ti f i care a construct i e i. Proiectind pe directia bielei conturul poligonului OMDF, se poate scrie:

OF-cos cp=OM cos (0+cp)+MD.

Fig. 10.30.

13 -

Probleme de mecanicli

(1)

194 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Cinematica Pe de alta parte~ bazindu-ne pe o teorema cunoscuta din geometrie :

MN 2 ~:MD · PM, rezulta ca: MH 2 =MD •PM,

Exprimind functiile trigonometrice ale unghiului q> in raport cu cele ale unghfolui 0, daca se neglijeaza termenul ;: sin2 0 ca fiind mic, se obtine: OF=r :cos 0-t-y (cos2 0-sin2 8) )=r (cos 8+ ; cos20),

expresie care, inmultita cu ro 2, da tocmai valoarea acceleratiei gasite mai sus Met o d a 2. Printr-un punct O', denumit pol, se duce o paralela la directia acceleratiei normale a manivelei (paralela cu directia manivelei) ~i se ia la scara unsegment: O' A =av=rw2• Mi~carea manivelei fiind uniforma exista numai acceleratia normala.

va

Din A se duce o paralela cu directia bielei, luind un segment AB= ~M , unde VpM este viteza extremitatii P a bielei in raport cu punctul M, viteza determinata prin segmentul AB din poligonul vitezelor (problema 10.14). Segmentul AB, din poligonul acceleratiilor, reprezinta acceleratia normala a punctului Pa bielei. Din O' se duce o paralela la directia acceleratiei capului de cruce (paralela cu OP) ~i prin B se duce o paralela la accelerafia tangentiala a bielei (perpendiculara pe directia bielei). Cele doua directii se intersecteaza in C. Segmentul O' C, la scara, reprezinta acceleratia capului de cruce, iar segmen-. tul BC, la scara, reprezinta accelerafia tangentiala a extremitafii P a bielei. 10.16. Dindu-se angrenajul epicicloidal din figura 10.31, sa se determine mi~carea-uUimei roti 3, ~tiind ca roata 1 este fixa, iar ~asiul se rote~te cu viteza ·--. unghiulara ro. Ji'ig. 10.~u. Rezolvare. Roata 1 fiint ~ 0230u,

V3,

. 12

24

in care IJ este lungimea manivelei. 10.20. Intr-o mi~care plana cunoscind, din poligonul vitezelor, viteza unui punct oarecare B fata de punctul A, sa se construiasca grafic acceleratia normala a punctului B fata de A (fig. 10.35). Fig.. 10.35. Fig. 10.34.

197

Mifcarea plan-paralela. Cinematica mecanismelor

'b'

= co, deci VBA =a' b' =co -AB. Ca urmare se pot folosi urmatoarele constructii : 1. In extremitatea B a lui AB ridicam perpendiculara BC=VBA=a'b'. Perpendiculara ridicata tn C pe AC taie pe AB tn D. Din proprietatile elementafe ale triunghiului dreptunghic ACD rezulta: Rezolvare. Din proprietafile poligomului vitezelor, avem

~B

BC2

BD= AB =co2 -AB.

Cu un com pas de centru B ~i raza BD construim simetricul D' a Iui D fata de B. Componenta acceleratiei cautate, in marime, direct ie ~i sens, este BD' = =(a.,)AB=-co2 •AB. 2. Cercul de centru B ~i raza VBA=a'b', taie cercul de diametru AB tn C1 ~i C2• Axa radicala C1C2 a celor doua cercuri taie drepta AB in D', extremitatea componentei vitezei normale. 10.21. Sa se determine viteza ~i acceleratia unghiulara tntr-o mi~care planparalela cunosctnd vectorii aA ~i an a doua puncte oarecare A ~i B ~i pozitia acestora (fig. 10.36). Rezolvare. Se va folosi metoda planului accelerafiilor. Din punctul arbitrar p", la o scara convenabila ka, se due vectorii p"a" ~i p"b", paraleli respectiv cu aA ~i an· Din a" ~i b" se due paralele ~i perpendiculare pe dreapta AB, care se intersecteaza tn d. La scara aleasa, cele doua componente ale acceleratiei lui B fat a de A sint :

la,I =lab"'I =e-AB; lavl =la"dl =co2 -AB. De aici rezulta valorile vitezei ~i acceleratiei unghiulare, co ~i e. Constructia este posibila numai tn semiplanul neha~urat. 10.22. Punctele A, B, C stnt articulafii consecutive ale unui mecanism plan oarecare. Cunosctnd vitezele articulatiilor A ~i C se cer vitezele punctelor B ~i D, folosind metoda rabaterii ~i metoda proiecfiilor. Rezolvare. a) Me t o d a r a b a t e r i i. (fig. 10.37). Se due din A ~i C perpendiculare pe vitezele cunoscute VA ~i Ve, a caror extremitati se rabat tn Ai ~i Cj. Din Ai seduce o paralela la AB iar din Ci o paralela la CB, paralele ce se

Fig. 10.36.

Fig. 10.37.

Cillemalica

198

intretaie in B;. Segmentul BBi este viteza rabatuta a punctului B. Ridicind perpendiculara in B pe BBi, prin rabatere obtinem BB' =vB. . Cunosdnd acuin viteza punctelor D ~i B, printr-:o constructie analoga, obtinem vitezele punctului D, vD=DD'. b) Met o d a pro i e ct ii 1 or. (fig. 10.38) Se proiecteaza vitezele cunoscute ale punctelor A ~i C, respectiv, pe BA, DA ~i BC. Se ia CC"=BBi ~i BB" =AA", iar perpendicularele ridicate in BB" pe BA ~i in B'i pe BC se intretaie in B', ~i viteza lui B este vB=BB'. Analog se afla viteza punctului D, care are drept proiectii pe barele DA ~i DB marimile :

DD"=AA 1 ~i

DDi=BB2.

C. PROBLEME NEREZOLVATE.

10.23. ·La un flyer, axul de comanda 0 1 are o turafie de 360 rot/min, iar axul 0 2, care pune in mi~care axul furcilor, trebuie sa se roteasca in acela~i sens cu axul de comanda, cu 420 rot/min, (fig. 10.39). Cunoscind ca roata 01, montata pe axul de comanda, are 28 dinfi, sa se studieze angrenajul. lndica/ie ~i raspuns. Pentru a imprima axului 0 2 o rotatie in acela~i sens cu axul 0 1 trebuie sa se intercal~ze intre cele doua roti R1 ~i R2 o roata intermediara R3 , cu axµl 0 3 • Rezulta: -

Z2-Z1

n1 = 28 n;-

360 420

= 24 d'tn t··1.

Se constata ca roata intermediara nu are alt rol decit de a mentine pentru axul comandat acela~i sens de rotatie ca al axului care comanda. Numarul dinfilor _rofii _int~rmediare nu intra _in. calculul angrenajului. .. 10.24.. La o presa. cu fricfiune, roata orizontala R, solidara cu ~urubul S, este actionata· de un disc D, care se.rote~te cu o turatie constanta ti (fig. IOA0). Sa se determine turatia rotii R.

., Raspuns.

,

m _

X

R. .

10.25. Un strung prime~te mi~area de la un ax central prin intermediul a doua ~aibe actionate de o curea de transmisie (fig. 10.41). Pe axul 0 1 se gas~te o ~aiba, avind diametrul D1. Pe axul 0 2 se gase~te o alta ~aiba. Distanta dintre axe fiind a, sa se dimensioneze ~aiba strungului astfel ca, turafia axului 01 Fig. 10.3tf

Fig. 10.39.

Fig. lQ.40.

w..u.

Mifcarea plan-paralela. Cinematica mecanismelor

199

fiind n, · rot/min; turatia· axului 0 2 sa· fie n 2 rot/min. Sa se determine lungimea cure1ei.

Raspuns. R 2 =R, !:!.. ; n2 2 l=2V a 2 + (R1-R 2) 2 +n (R1+R 2)+2(R1-R 2) arc sin Ri-R a

•

10.26. Transmisia mi~carii, · de la electromotorul M la cilindrul debitor D al unui laminar, se face prin intermediul a doua roti dintate care au, respectiv, z, ~i z2 dinti, ~i doua roti actionate printr-o curea (fig. 10.42). ~tiind ca electromotorul are n rot/min, sa se determine diametrul rotii R2 • lndicafie $i riispuns. Din relatiile n1z2 =nz1 ~i n2 R2 =n1R1 rezulta: . n - •z1- RI• R9 = - . _f!1

Z2

.

: 10.21. Un masurator de urzeala, .avind forma din figura 10.43, are diametrul valtului d. Mi~carea valtului se transmite printr-un angrenaj de doua roti dintate, avind z1 ~i z 2 dinti, la un ~urub fara sfir~it, care antreneaza o roata elicoidala cu z3 dinti, Pe axul rotii elicoidale se gase~te un indicator care ~tiind ca s-a rotit din pozitia initiala cu a0 , se cere metrajul M de urzeala trecut prin valturi. I ndicafie $i riispuns. Raportul de transmitere dintre ~urubul fara sfir~it ~i roata cu indicator este egal cu numarul de dinti z3 al indicatorului. La rotirea cu unghiut u, axul n 2 parcurge z3= fia z,11, =z2n2 , rezulta:

-3: 00 z3 din1i. Ca urmare, ti111nc; x=

b y-k2-c2

• e-ct sm

!•

Vk2-c2 t.

h)

x= 32 (cost-cos 2 t).

i)

y= ~ (t cost-sin t).

Capitolul

m mew

4· #iiiiPWSRAA

+eae

il&M

Shlid

MOMENTE DE INERTIE

A. CONSIDERATII TEORETICE

1. Se nume~te moment de iner/ie polar, axial sau planar al unui sistem material cantitatea scalara pozitiva : (a)

in care 17Z( este masa fiecarui element material al ~istemului, iar cit distanta la punctul, axa, sau planul in raport cu care se ia momentul (fig. 14.1). In acest mod se pot defini momente de inert ie planare : J~u= ~ lnlZi; l11oz= ~:ln(Xi; J zoa;= ~ mtYl,

(b)

ctnd se refera la un plan ; momente de inertie axiale:

Jz=A=~11Z((y~+z;); J11 =B=~m,(zJ+x;); Jz=C=~md4+u;),

(c)

fata de o axa, ~i momente de inert ie polare :

Jo=~ m,, (x;+u;+zi),

(d)

ctnd acestea se refera la un punct 0. Sumele de forma : ,Fig. '14.1.

Jvz=D = b m,,y1,z,; J za;=E= 'E m,,z,x,; J a;11 =F= 'E m1,X1y1 ,

7

(e)

extinse la toate punctele sistemului, sume care pot fi pozitive, negative sau nule, se numesc momente de iner/ie centrifuge sau produse de inertie. y

255

Momente de inertfe

2. Pentru mediile continui sumele de mai sus devin integrate definite, corespunzator domeniului ocupat de corpul respectiv, avind forma :

J :roy= ~ z2dm; J z= ~ (y2 +z2) dm; J 0 = ~ (x2 +y2 +z2) dm; J Z71= ~ xydm. (f) D

D

D

D

Elementul de masa dm are valorile : (6)

dm=pv • dV; dm=p A· dA; dm=p 1 • dl;

unde Pv' pA' Pz sint respectiv masele unitatii de volum, arie sau lungime. Pentru corpurile omogene integralele date de relatia (f) se pot scrie sub forma :

JA=pA·IA; Jz=p1 •/z.

Jv=pJd;•dv=p/; D

(h)

Integralele / v, I A, I z se numesc momente de iner/ie geometrice. Dimensiunile momentelor de inertie sint inscrise in tabela 14.1. Tabela 14.1 Dimensiunl ale momentelor de inerfie Momentul de inertle

Ecuatfa de dlmensiuni

Unltatea de mllsurll

Kg•m2

mecanic

L5 L4 La

volume I., geometric { arii /A

linii

Ia

ms

m4 m3

Intre diferitele categorii de momente de inertie exista o serie de relatii utile precum:

Jo=J:ro11+J-uoz+J~x=

! (Jz+J11+Jz);

Joz=l11oz+Jzoz.

(i)

Momentul de inertie centrifug este egal cu semidiferenta momentelor de inertie fata de planele bisedoare respective, adica: 1

J ZIJ= 2 (J«1-J«.).

Raza de inerfie (giratie) i exprimata prin relatiile:

· V7M;

i=

· iv=

vTV; · vTA; · vTy; lA=

ti=

U)

reprezinta distanta la care ar trebui plasata masa M a tntregului sistem, astfel ca momentul de inert ie al acestui punct material sa fie egal cu momentul de inerfie al sistemului.

256

Dinamica

3. Variatia momentelor de inertie al corpurilor cu translafia axelor (fig. 14.2) este data de teorema lui Steiner: · (k)

unde d este distanta dintre axe, sau planurile n:1 n 2• Momentele de inerfie in raport cu axe trecind prin centrul de greutate sint minime. Intre momentele de inertie fata de doua axe paralele oarecare exista relafia: (!) J A.=J AJ+M(d~-di)4. Variafia momentelor de inerfie in raport cu axe concurente. Notind cu -c,

-c={-;:s -;: _:::}, -Jz:i: -Jzu

(m)

Jz

tensorul momentelor de inertie fata de sistemul de axe triortogonal xoyz, cu cos a, cos p, cos'\' cosinu~ii directori ai axei oarecare (L\), momentul de inertie fata de aceasta axa se exprima prin relatia:

J 4 =J z cos2 a+J 1 cos2 P+J z cos2 y-2J zu cos a cos P- 2Juz cos Pcos y-2J zz cos '\' cos a.

(n)

Elipsoidul de inertie in raport cu un punct O este locul geometric al extremi-

~A),

tatii Q al vectorului OQ de modul ( V unde k este o constanta arbitrara (fig. 14.3). Daca punctul O coincide cu centrul de masa, elipsoidµl se nume~te elipsoid central de iner/ie, iar axele Iui, care au valori extreme stnt axele centrale de inertie. Pentru aceste axe momentele de inertie centrifugate stnt nule, iar momentele de inertie sint date de ecuatia tn J :

J:i;-J -Jyz -Jz:r

v,

-J :ry Jy-J -Jzy

-J:rz -Jyz Jz-J

Fig. 14.2.

z

Fig. 14.3.

=0.

(p)

257

Momente de inertte

ln

plan se intilnesc momente de inertie geometrice :

10 = ~ (x 2 +y2)dA=l:,:+I11 ; l:,:IJ= ~xydA.

Ix= ~y2dA; l 11 =~x2dA; A

A

(q)

A

A

Teorema Jui Steiner se aplica ~i in acest caz. Tensorul de inertie fiind: 't

= { /X

I Xl/

l 11 x

vaJorile extreme I 1,

/ 2

} '

111

(r)

ale momenteJor de inertie axiale au valorile:

I 1,2 =

! (/

x

+I 11) ± ~

V(/ :,;-I11) 2 +4! z112,

(s)

care stnt radacinile ecuafiei in I: Ix-I

I

I X1}

I

1 - I =O.

lvx

(t)

11

Unghiurile a 1 ~i a 2 pentru care direcfiile devin maxime sint solutii ale ecuatiei : tg?a=~-

111 -1 :r:

(u)

Pentru trasarea elipsei centrale de inertie se determina directiile axelor centrale de inerfie, / 1 ~i / 2, ~i apoi razele de inertie principale:

Pe direcfiile principale, care sint perpendiculare, se due semiaxele elipsei, definite de razele principale de inertie, avtnd grija sa se ia i2 pe axa principala Ox1 ~i i1 pe axa principala 0 111 (fig. 14.4). Cind punctul O coincide cu centrul de greuFig. 14.4. tate a al sectiunii, elipsa devinc elipsa centrala de inertie, avind ecuatia : 'j

Pentru u~urinta rezolvarii problemelor in anexa 4 sint date momentele de inerfie uzuale ale diferitelor corpuri.

Ii -

Probleme de mecanlcl!

)(

Dinamica

258

B. PROBLEME REZOLVATE 14.1. Sa se determine momentul de inertie polar al unui volant, cunoscind razele R ~i r, iar Iatimea rotH fiind l (fig. 14.5). Rezolvare. Momentul de inertie polar este dat de relafia

J O= ~ p2 • dm,

( 1)

tn care dm=.Y.. dV= .r.1.p •dp •da, care, introdusa in relafia (1) ~i fixtndu-se g g limitele integralei, se obtine: R

J0 Insa

21t

=.r.g l • r~ p dp o~ da= .r.g l •2n • R'~r'. 3

!l •n ·

(R 2-r2)=M,

astfel tnctt : R2+,2 Jo=M-2-·

(2)

In cazul rotilor cu bandajul foarte subtire, rezulta: Jo=MR 2•

(3)

14.2. Sa se arate ca momentul de inertie al unui corp de rotatie omogen, a carei curba generatoare este definita de ecuatia y=f(z) (fig. 14.6) fata de axa de rotafie Oz, este data de relafia : 2't

Jz= ~rep~ y4dz, %1

Fig. 14.5.

iar fafa de o axa normala la axa de rotafie, de reJaJia :

Fig. 14.6.

Za

J z=J 11=-½, J z+np

z

~ z2y2dz.

::,

Rezolvare. Notind cu d V volumul elementar, momentul de inerfie al acestui solid omogen, generat 1 -M d0 - M @1, 21 (J 1-t-J 2k2)2 @1dt dt-

de unde: Af =(J i-1-J 2'l2) 81 =(J .-1-J 2k) -~ •

(1)

Cum @2-w2o _

_

82 -

t

-

21((n2-n20)

_

GOt

-

2nna

60t '

deoarece motorul porne~te din pozi1ia de repaus, se deduce: 82

=4, 7 s- 2,

M = 1 546 N .m.

~i

)' 15.7. Pentru a ridica o greulate P se inlrebuinteaza un troliu actioaat de un cuplu M, prin intermediul a doua roti dintate z1 ~i 22 (z/21 =Ii) (fig. 15.7). $tiind ca raza troliului este R ~i momentele de inerfie ale axului A ~i troliului sint re~~pectiv J 1 ~i J 2• Se cere : a) Sa se determine acceleratia pe care o va capata greutatea P. b) Sa se determine acceleratia pe care o va capata corpul P in cadere, in cazul case defecteaza frina troliului de mai sus, coeficientul de frecare tn axul troliului fiind µ. Rezolvare. a) Aplicind teorema energiei la ansamblul sistemului, se poate scrie: 1

1 P

1

-2 J1@2+ -2 J2@2+- v2=M8-Px. 1 2 2g

(1)

Dar: ~ = ~ =k de uncle @1=k@ 2 ·, ffi2

Fig. 15.7.

Z1

'

De asemenea : ti

a

@2= R; 82= R

•

~l

·a = z.R 22 k =Rx. X

Inlocuind in ecuatia (1), se obtine: _!_ (J1k2+J2) 2

± + _!__!: v2 = R.2 2 g

Mkx

R

-Px.

(2)

9

Dinamica sistem_elor _d~ pf:tn_cte 1nat_eriale._ T(!Dreme generale ale dinamicii

277

Derivtnd ~i scotind valoarea acceleratiei, rezulta: _

(Mk-PR)R

a-

(J1k4J2) g+PR2 g.

b) Fie x deplasarea corpului in jos. Teorema energiei se poate scrie in acest caz:

! =v + ! J ro~=Px-M10, 2

2

in care r este raza a·xului troliului, iar M 1 momentul de frecare in ax. Derivtnd, ~i tintnd seama de (2) rezulta : P- M1

a= _

,

-g.

____,J,....2

P+R2g

15.8 Un cablu cu lungimea l=4 m ~i greutatea 8 Neste tnfa~urat pe un tambur cilindric plin, de raza r=0,3 m ~i greutate P=60 N (fig. 15.8); neglijind frecarile sa se determine : a) viteza pe care o va atinge cablul dupa desfa~urarea completa; b) timpul in care se face desfa~urarea. Rezolvare. a) Cablul fiind desfasurat de pe tambur cu o cantitate x, lucrul mecanic efectuat este : ' X

r

x2

L1 _ 2 = J pxdx=p 2 . 0

in care p este greutatea pe unitatea de lungime de cablu.

Din teorema energiei 1 I (I I ) x2 2mv2+2Jro22 mv5+2 Joo~ =p2,

unde s-a notat : m=

~;

J=

(I)

= ~ ; v =ro r; v=ror, se obfine: 0

0

v2=v2+ p•g x2. 0 p . 2 +P•l La desfa~urarea completa, cind x=l, se obtine :

(2)

Fig. 15.8.

v=3,29m/s. b) Pentru determinarea timpului necesar desfa~urarii cablului, se porne~te de Ia expresia (2), care se mai poate scrie: 7~ --

~+ -Pp•g -+p•l 2

--2 , unde_A= x2 =Vvi+Ax

·

. . .. . __---- . _

'--

1

/•g ➔ .

-+pl 2

2

Dinamic,

278 Separtnd variabilele, se obtine ecuatia : dx

Vv~+Ax2 care, prin integrare, da:

V

In(x+ x•+

=dt,

1) =A, t+c.

Pentru t=O, x=O rezulta: C=ln y~ , astfel tnctt :

t=

I

VA

In

xi/A"+ VAx4~

•

Vo

Cu datele problemei, se obtine : p=2 : ; A=0,516s- 2 ~i t=l,88 s.

15.9. Bila de greutate mg este apasata pe un arc pe o distanta de x0 cm, din pozitia de repaus A 0 ptna in pozitia A. Se cere sa se determine constanta elastica k a arcului {fig. 15.9) astfel ca bila lasata libera sa ajunga in B, pozitia cea de mai sus a semicercuI ui de raza ,, moment in care bila mai pastreaza inc a contactul cu acesta. Aplica/ie: mg=2,5 N ; h=40 cm ; r=20 cm ; x0 =8 cm. Rezolvare. Aplicind principiul conservarii energiei mecanice in punctele A ~i B avem: (I)

Ec,A+EP,A=Ec,B+Ep,B=ET.

In pozitia A energia cinetica este nula, iar energia potentiala maxima este EP,A = kx~. Yn pozitia B energia potentiala este mg (h+r), iar energia cinetica

!

Ec,B

Fig. 15.9.

=

! mvi. Admittnd ca in B reactiunea semicercu~

lui asupra bilei este nula, avem mg=m ..lL ~i ca urmare r v1=r • g. Inlocuind valorile precedente in (I) obtinem: k=

"J {2h+3r). 0

A

Fig. 15.10.

A.

B

Pentru valorile numerice date se ob tine k~ 5,5 N/cm. 15.10. Doua sfere A ~i B au acela~i diametru exterior ~i aceea~i greutate {fig. 15.10) dar din materiale diferite, una fiind plina ~i cealalta goala (y.A 0• AjunM gind tn pozitie verticala, hara se rupe intr-un punct M astfel

X

Ott-+--..-

--· 8

Dinamica

288

incit AM =a ~i se desprinde in acela~i moment ~i din articulafia 0. Se cere sa se studieze mi~carile ulterioare ale celor doua bucafi AM ~i MB ale barei precum ~i a centrului Ior de masa, neglijtnd frecarile ~i rezistenta aerului. Rezolvare. l) Mi§carea barei AB lnainte de rupere. Momentul forfelor ce acfioneaza bara (greutatea sa G ~i reacfiunea din articulatia 0) in raport cu punctul de rotatie fiind nut in tot timpul mi~carii, bara se va roti cu viteza unghiulara constanta co 0 in jurul lui 0. 2) Mi§carea porfiunii AM. Mi~carea centrului de masa C ( 0, l~a). Alegtnd axele ca in schita (fig. 15.18) ~i notind cu p masa unitatii de lungime, ecuafiile de mi~care ale porfiunii AM din hara de masa m1 sint : d2x pa cit2 =0;

: E3 =

!m

2

2 ~

2

00

+ ! Int (4l2 sin cp)ro~. 2

Deci energia cinetica totala a sistemului va fi :

[a•

. cp)2cal2+J2© 2]+ I ~ 2 • 2 ] 2 E= 2I Jro2+m 1 [(a+l sm 1 2 2 co +412ro 1sm cp •

15.29. Un disc cu masa M ~i raza r se rostogole~te, fara alunecare, pe un plan orizontal, in jurul unei axe verticale (fig. 15.23). Traiectoria descrisa este un cerc cu raza R. ~tiind ca viteza centrului de greutate al discului este v, sa se calculeze energia cinetica. Indica/ie §i raspuns. Axa de rota tie a discului schimbtndu-~i orientarea in timpul mi~carii, pentru determinarea energiei cinetice se va aplica relafia (p) in care: V

ro1 =,;

V

O; F=µN ~i 0i ' 2gl 2

deoarece J z = G • r/2g.

Dinamica·solidului rigid ___________________

319

Sensul reactiunilor se schimba atunci cind se schimba sensul uneia dintre rotatii. b) Reactiunea din Iagarul B devine nula daca: ©1 =

g•l =0'434 r:?fil

s-l•

16.18. 0 turbina, al carei arbore este paralel cu axa Iongitudinala a vaporului, are o turatie n=250 rot/min. Greutatea rotorului este de 180 kN, raza de gi­ ratie i = l,43 m, iar distanta dintre lagare este 1=5,55 (fig. 16.22). Sa se deter­ mine apasarile giroscopice in lagarele A �i B cind : a) vaporul se intoarce in jurul axei verticale care trece prin centrul rotorului, cu viteza unghiulara 001 =10°/s; b) vaporul merge rectiliniu, insa are un tangaj care se poate asimila unei oscilatii simple armonice, avind amplitudinea de 5° �i perioada T=5 s. Rezolvare. a) In cazul rotirii vaporului in jurul axei Oz1 cu viteza unghiulara 001, axa rotorului va avea �i ea aceasta mi�care de rotatie. $tiind ca in acest caz 8= ; , rezultii valoarea momentului giroscopic: . \.

M 9-J z0)@1.

·: Datorita acestui moment, care are directia perpendiculara pe planul Oz 1 z �f sensul eel indicat in figura 16.23, in lagare se vor produce presiunile giros­ copice egale PA=PB=P ,,, turbina fiind montata la mijlocul arborelui. Va­ loarea acestei apasari este : a i2 nn e 1t = Jroro1 = g i To T 1so P 30,7 kN. l l Directiile apasarilor sint paralele cu directia vectorului viteza unghiulara de precesie 6i1• Reactiunile in lagare vor fi egale �i de sens contrar apasarilor. ______,.- $tiind ca reactiunile date de greutatea proprie a rotorului stnt RA=R8=90 kN �i au acelea�i directH cu reactiunile giroscopice, reactiunile totale in lagare stnt : RA=R:id-R g = l20,07 kN; RB= R's-R g = 59,30 kN. b) Datorita tangajului, axul rotorului va avea o mi�care oscilatorie armo­ nica in jurul unei axe perpendiculare pe axul rotorului �i care trece prin 0, deci vectorul ii>, care define�te variatia unghiului ,i, pe timpul tangajului, va avea directia perpendiculara pe planul Oz1z. Sensul sau va varia dupa sensul rotatiei. In cazul de fafa se va considera sensul indicat in figura 16.23. Fig. 16.22.

Fig. 16.23.

-

A

ri ·,.

__

..::;.:-•-·

f_ 8

"1a

z

320

Dinamica

Mi�area oscilatorie armonica fiind definita de ecuatia : in care: rezulta:

'li>=1i'm,u:Sin

2; t,

° 'li'maz = 5 = ; rad �i T=5 s,

2n

2n

ro1 = y 'li'maa: cosy t.

Considerind mi�area la timpul t = T, care va da viteza unghiulara maxima, rezulta: 2n 2n2 ro1 mas = T'l>mas= 180 •

Vectorii 6i �i 6i1 fiind perpendiculari (9= j-) se obtine imediat valoarea mo• mentului giroscopic : M ,=Jzroro1. Vectorul moment va fi perpendicular pe planul f�rmat de directiile celor dot" vectori viteza unghiulara, iar sensul este eel indicat in figura 16.24. Din cau�b acestui moment, in lagare se vor na�te reactiunile giroscopice egale R fl avind directiile paralele cu vectorul 6i1 �i marimile maxime :

_ J�mo.>1maz

Rg mas-

l

_

-

!!.. i2 .!:!!. g

Tintnd seama �i de reactiunile statice,

30

s,ss

2n2

180

19,66 kN.

R'A �i Rs, reactiunile totale vor fi :

RA = RB = VR1+Ri =92,12 kN. 16.19. Axa de rotatie a rotorului unui vapor este perpendiculara pe axa lon• gitudinala a vaporului. Vaporul avind o mi�care de ruliu dupa a lege sinusoi­ dala: 2n 9=00 cos1t,

de perioada T �i amplitudine 80, iar rotatia rotorului facindu-se cu viteza un­ ghiulara ro, sa se afle marimea maxima a reactiunilor giroscopice din palierele axului rotorului, datoriti mi�carii de ruliu. Rezolvare. Mi�area de ruliu avind o perioada foarte mare, se poate admite ca vectorul moment cinetic Jru=OV este pe axa de rotatie a rotorului. In timput rni�carii de ruliu, extremitatea V a vectorului descrie un arc de cerc cu raza OV=J"ii �i viteza Fig. 16.::!4. in aceasta mi�care se determina prin inmultirea razei cu viteza unghiulara: 2n . 2n t ro, = 8• =- 0or Sm2 T.

Dinamica soliclului 1·igid _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __

321

Viteza unghiulara maxima datorita ruliului va fi: • 2n Bmax=Boy ·

2;

Viteza maxima a lui V este: Jco • 00 ~i aceasta trebuie sa fie egala, pe baza teoremei momentului cinetic, cu momentul maxim al reactiunii suplimentare Rmax in palierele motorului, datorita ruliului, deci:

R maxl =J COC01 Rmax= J~ro 1

=

;

J~ 0o

2; ·

Presupunind ca rotorul se afla la mijlocul deschiderii axului, reactiunile statice As=Bs= ~ , devin din cauza actiunii giroscopice (fig. 16.25):

R.t1=Rn=VA~+Ri~

~ V1+r2 (ro~1 J2.

16.20. Rotorul unei ma~ini, care poate Ii asimilat cu un disc omogen cu raza R ~i grosimea h, avind masa m, este fixat pe un arbore care are o rotatie uni-

forma, de viteza unghiulara w1• Axa de simetrie a rotorului face unghiul -0 cu axa arborelui (fig. 16.26). Sa se determine reactiunile rotorului in lagarele de fixare ale arborelui, ~tiind ca distanta dintre ele este l. Rezolvare. Rotorul poate fi considerat ca un giroscop care are o viteza unghiulara de rota tie proprie in jurul axei sale nula (co =0), deoarece axa de rotatie e sustinuta in lagare, iar ca viteza unghiulara de precesie tocmai viteza unghiulara co1 de rotatie a arborelui. In acest caz, din relatia (l) de la consideratiile teoretice, cunosctnd elementele cinetice, se poate determina valoarea momentu1ui giroscopic: F'.ig. 16.25.

M 0 =(J ~J) co~ sin 0 cos 0, sau, cum in practica 0 este mic, se mai poate scrie:

Mu~ (J ~J) co~. Deoarece J z>J, momentul giroscopic i~i pastreaza semnul. Directia vectorului va fi perpendiculara pe planul Ozzi, iar sensul eel indicat in figura. Reactiunile giroscopice care se nasc tn lagare, RA ~i RB, au valorile :

21 -

Probleme de mccanica

--· -----· Fig. 16.26.

322

Dinamica

Observa/ie. Daca viteza de rotatie a arborelui, 6i1, este foarte mare, reactiuniJe tn lagare pot deveni considerabile, de unde rezulta necesitatea de a centra astfel rotorul tnctt axa sa sa coincida cu axul arborelui. C. PROBLEME NEREZOLVATE

16.21. Pentru a se determina perioada de oscilatie a unui pendul matematic, tn laborator, se utilizeaza de fapt un pendul fizic, format dintr-o sfera plina de raza , ~i masa m, legata la capatul unui fir de lungime l. Sa se determine eroarea care se face in masurarea perioadei de oscilatie. Aplicafie 1=100 r. Indicafie $i raspuns. Deoarece pentru sfera plina JG= m,2, rezulta i~=

!

·2

'a

2

2

,2

= 5 ,2, le=L+ T =l+ 5 T . Ca urmare raportul perioadelor este:

J:! = T1

vlel ·= Vi+ 5l2

2,2 .

Eroarea este cu atit mai mica cu cit raza sferei este mai mica. Pcntru r=O rezulta T 2 =T1, iar tn cazul aplicatiei T 2 =1,00002 Ti, 16.22. Un metronom este format din doua mase A ~i B cu greutafi P ~i P+ p, reunite printr-o tija de greutate neglijabila, mobila tn jurul punctului .0, mijlocul lui AB=l (fig. 16.27). Sa se determine perioada de oscilafie tn cazul cind 1=9,81 cm, P=4,5 p.

Raspuns. T=2n

v-~-(1_+_2:-J =6,2831 s.

16.23. O placa subfire, omogena, de forma dreptunghiulara ABCD, (fig. 16.28) oscileaza tn jurul axei fixe AB, care face cu verticala unghiul a. Cunoscind lafimea placii AD=a, sa se determine perioada ei de oscilafie.

Aplica/ie. a=30°; a=0,5 m. I ndicafie $i raspuns. Din ecuatia mi~carii placii

Fig. 16.27.

•• G a . Jt:i.8=-M=-g 2 sma

Fig. 16.28.

G a2 , rezuIt" cum J ii= g a 3 l"

T=21'

Fig. 16.29.

V! gs~na =1,6 s.

16.24. Se da un disc de raza ,. Sa se arate ca perioada de oscilafie T1 este mai mare ci'nd discul oscileaza in jurul unei axe care atinge circomferinta ~i este perpendiculara pe planul sau_, decit perioada T2 corespunzatoare situafiei tn care discul oscileaza in jurul unei axe tangente ~i situate in acela~i plan (fig. 16.29).

Dinamica soliclului rigid _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __

Indica/ie $i riispuns. Avem ~: =

,., t respec t·1v J 1=m r2 st·t ua t··n sm 2

323

V~: unde momentele de inertie in cele doua

+mr = 23 mr; 2

2

J

l mr2 2= 2 • 2

+mr = 45 mr. 2

2

Ca urmare Ti >T2• · 16.25. Un con circular drept, cu raza r ~i inaltimea h, oscileaza in jurul unei axe orizontale care trece prin vtrf. Sa se calculeze lungimea pendulului sincron. Indicafie $i riispuns. Deoarece d= h, iar din anexa 4 avem:

!

.2 '

3 (

J

= M = 20 '

2

h2)

+T

'

rezulta:

16.26. Pentru determinarea momentului de inertie al corpului C, in raport cu o axa oarecare AB, care trece prin centrul de masa G, corpul se fixeaza de un cadru ABCD care se poate roti in jurul axei CD, paralela cu AB (fig. 16.30). Se deplaseaza cadrul din pozitia sa initiala cu un unghi 8 foarte mic ~i se cronometreaza timpul T in care face o perioada completa. ~tiind ca greutatea corpului este P, AD =BC=h ~i neglijind greutatea cadrului, sa se determine momentul de inertie al corpului C. ·

Riispuns.

ra - -Ii) . JG=Ph (4n;2 g 16.27. Un fus cu fir de bumbac, de forma conica ~i greutate G, are o viteza unghiulara de regim ro in jurul axei verticale, produsa de forta P (fig. 16.31). Dupa cit timp de la pornire fusitl va capata turatia de regim, daca se neglijeaza greutatea rotii R ~i frecarile ? Indica/ie $i riispuns. Tinind seama ca momentul de inerfie al conului in raport cu axa de rotatie J 4 = 1~ Mr2 este constant, din ecuafia de mi~care :· Fig. 16.31.

Jii=PR, tinind seama ca in momentul initial ro 0 =0, se obtine: 3

t=w•

Mr2 PR.

16.28. Pentru determinarea momentului. de inertie al unui volant, acesta se suspenda in punctul A ~i i se

Fitg. 11_6.30.

D

C

324

Dinamica

imprima o mi~care oscilatorie (fig. 16.32). ~tiind ca greutatea volantului G= =2,5 kN, distanta OA =0,4 m ~i durata unei oscilatii T= 1,80 s; sa se determine: a) lungimea pendulului echivalent le ~i raza de inertie il;; b) momentul de inertie al volantului in raport cu axa care trece prin 0. I ndicafie $i riispuns. a) Din expresia perioadei unui pendul fizic (problema 16.4) T=2n

Vg

Le ,

le= :

ii , aproximind

unde le=d+ g 2

:rrh~g rezulta :

==0,81 m ~i it=g (le-d) -=O, 164 m2 •

b) Rezulta J G=Mii=40,6 kgm2 • 16.29. Sa se studieze mi~carea unui solid aflat initial in repaus, care se poate roti in jurul unui punct fix O ~i care este supus actiunii unui cuplu avind axa paralela cu o axa principala de inertie a solidului, trecind prin 0. Riispuns. Avind rox---=--:cuy=O, Mx=My=0, ecuatiile lui Euler se reduc numai la ecuatia: J clCl>z =M cit

z·

16.30. 0 sfera omogena se rote~te in jurul centrului ei. Daca asupra sferei actioneaza un cuplu a carui axa este paralela cu o axa oarecare, sa se determine mi~carea sferei. lndica/ie $i riispuns. Luind axa cuplului ca axa Oz, rezulta M x=0, Mv=0 ~i Mz=M. Nottnd J x=J11 =J z=J, ecuatiile lui Euler devin: J doox =O. dt

'

J dCJ>z =M

J dc1> 11 =--=O dt

'

dt

·

Sfera va avea o mi~care de rotatie in jurul axei cuplului definita de ecuatia a treia ~i alte doua mi~cari de rotatie, cu vitezele unghiulare rox ~i rov constante. 16.31. Sub actiunea greutatii proprii, un con circular drept, de raza r ~i inaltime h (fig. 16.33), efectueaza o mi~care de precesie regulata, in jurul unei axe verticale ce trece prin virful sau. Se cere viteza unghiulara de rotatie proprie, ro, a conului, care este foarte mare, in functie de viteza unghiulara de precesie ro1. Fig. 16.32. Fig. 16.33. Indica/ie !ji riispuns. Viteza proprie de rotatie fiind foarte mare avem: z,

Mo=Jzi:01 Xro=OCXG, 3

unde OC= 4 h.

Dinamica solidului rigid _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __

Cum Jz= ~10

2 !l.., g

325

rezulta 5

gh

ro=--2 r2co

1 •

16.32. Un disc omogen de raza r ~i greutate iJ se rote~te cu o viteza unghiuIara foarte mare ro in jurul axei sale Oz, fixata in articulatia sferica 0. (fig. 16.34). In plus discul executa sub actiunea greutatii proprii o mi~care de precesie regulata in jurul verticalei ce trece prin 0. Sa se determine viteza unghiulara de precesie ro1 ~i componenta orizontala a reactiunii din articulatia 0, in functie de unghiul 0 ~i lungimea axului OC=l de greutate neglijabila. lndica/ie $i riispuns. Din egalitatea vectoriala

M 0 =J zWi Xii>=OCxG, tinind seama ca J z =

gQ 2R

2

v

, rezul ta : 2gl

ro,= J?Zw"

Din teorema impulsului rezulta : 4Ggl3 .

H = !!...(1)2. g Mi~carea bi]ei, definita de ecuatia (I), este: ·· ( Ii-G ro 2 ). x=-ro G 2b -G x+ g g g ' )(

(l')

.Mecanicd analitica

357

o mi~care oscilatorie · armonica, de perioada :

T=2:n ✓

GG

•

g(k- g coaj

18.13. Sa se studieze mi~carea sistemului mecanic din figura 18.16, a, compus din corpurile P, Q ~i troliul O de greutate G, ~tiind ca tn deplasare corpurilor P ~i Q Ii se opune cite o rezistenta proportionala cu vitezele acestora, iar corpul Q se mi~ca cu frecare pe planul orizontal. Se vor determina ~i tensiunile din fire. Se va admite ca la t=O; v=v0 Rezolvare. Izolind corpurile (fig. 18.16, b) ~i aplicind principiullui d' Alembert pentru fiecare corp, avem ecuatiile :

~

(~ X); T 1-k 1v 1-

a 1-µQ=O;

(1)

(~ Y); N-Q=O;

(~ M 0 ); -T1r-J0 e+TR=O;

(2)

~ Y; P-T-.!:_a-k•v=O. g

(3)

Tinind seama de relatiile cinematice ale corpurilor in mi~care: r

r

a

.

v

(4)

a1=Ra; Vi=Rv; e=R=R

~i inlocuind expresiile tensiunilor T 1 ~i T din ecuatiile (1) ~i (3), ecuafia (2) se reduce la:

[: + ~ · ; + ~~ Jv+ (ll+k,; )v=P-µ; 2

(5)

Q.

Integrind ecuafia (5), cu notafiile: A= l: + _g_gR' 2 g 2

+ !_Q_ · Rzt

12

B =,IH-k1 R.2

;

C=P-µ R.r Q,

se obfine: A

B

-7t

V= - Bvoe

D + 7f .

(6)

Cunosctnd viteza v (6), prin derivare rezulta acceleratia : Fig. 18.16.

V.

f~~

~i din (1) ~i (3) tensiunile T 1 ~i T din fire.

a

~

Ji=;a ~v

Dinamica

358

18.14. Pe o hara de lungime l, inclinata fafa de axa verticala cu un unghi constant a, poate aluneca, Iara frecare, un cursor cu greutatea P (fig. 18.17). ~tiind ca hara se rote~te tn jurul axei verticale cu viteza unghiulara constanta oo, sa se determine mi~carea cursorului pe bara ~i reacfiunea barei asupra cursorului in condifiile inifiale t=O; r0 =0; v,=0. Rezolvare. Cursorul are o mi~are relativa de-a lungul barei cu viteza relativa ~i o mi~care de transport de rotafie cu viteza unghiulara ro. Notind cu R reactiunea barei asupra cursorului, cu F,,, Fit, F,c forfele de inerfie relativa, de transport ~i complementara ~i OC=r, ecuafia de echilibru dinamic (d' Alembert) este: (1) P+R+/i,,+f"tt+Ftc=O.

vr

Proiectind ecuafia (1) pe directia barei ~i tinind seama de marimea forfelor de inerfie: -

P··

-

p

-

p

IF,, l=7r; I F,t I= g co2•r sin a; I Ficl=2grov,, se ob1ine ecuatia diferenfiala :

r-,ro2 sin2 a=-g cos a, cu solutia generala : g cosa r=Ae=t sin a+ Be-mt sin a+_-. _. 2

6'iJ sm a

Fig. !18.17.

Pentru condifiile initiate date, se obfine : A=B=-_!_ . ...K.~ 2 2

6'iJ sin a '

~i ca urmare :

r=

;/?sm a (l_:chrot • sin a). 5 :

Pentru calculul reacfiunilor se proiecteaza ecuafia (1) pe axele 0 11 (perpendiculara pe planul format de bara ~i axa de rotafie) ~i Oz, perpendiculara pe planul xOy. Se obfine: R11 =F,c=2mrov,sina; R:i:=m (g+rro2 cos a) sin a.

C. PROBLEME NEREZOLVATE IFig. 18.18.

. 1 b

18.15. Cabina de comanda de greutate P (fig. 18.18), aflata pe podul rulant AB, in pozifia definita de distanfele din schifa, ridica sarcina Q cu accelera-

Mecanica analitica

359

fia a0 • Sa se afle reactiunile dinamice apoi sa se compare cu reacfiunile statice. Aplica/ie: P=4 000 N, Q=20 000 N; a=2 m; b=Bm; a0 =3 g. I ndica/ie ~i ri:ispuns. Reacfiunile statice stnt :

RA= ~ (P+Q) ; RB= ~ (P+Q), iar tensiunea in cablu T=Q. Sarcina Q, urcindu-se cu acceleratia a0 , conform principiului lui d' Alembert tensiunea in cablu este:

iar reactiunile dinamice RA, Rs sint :

RA=

~

(P+T')=

R's=~ (P+T')=

~ [P+Q( I+~

ll;

~ [P+Q(I+-1f J1·

Pentru aplicatia numerica se obtine: T=Q=20 000 N; RA=l8 000 .N; RB=6 000 N; T' =4Q=80 000 N; RA =63 000 N; Ra=21 000 N.

18.16. Sa se determine accelerafia planului din figura 18.19, cu ajutorul caruia se ridica o sarcina Q, intrebuinftnd greutatea P > ~ . Raspuns _ 4(4P-Q)

a- 16P+Q g. 18.17. Care este turafia cu care trebuie rotit un vas pentru ca fluidul pe care-I confine sa nu se verse, atunci cind centrul de greutate al fluidului se afla la distanfa r de axa in jurul careia se face rotirea (fig. 18.20)? I ndicafie §i ri:ispuns. In situat ia cea tnai defavorabila, cind vasul se afla cu gura in jos, trebuie ca cele doua forte, ~i anume greutatea proprie G ~i fort a de inerfie F,, sa-~i faca echilibru. Ca urmare:

n=.!!.VR. n r

Fig. 18.19.

18.18. Vagonetul unei linii suspendate, avtnd greutatea G, attrni liber de o ~ina (fig.

Fig. 18.20.

1·

18.21). Sise determine: a) valoarea forfei in cazul cind vagonetul are o viteza v, iar ~ina pe care se deplaseaza are raza de curbura p ; i)

Fig. 18.21.

360

Dinamica

b) sub ce unghi a se tnclina axa vagonetului; R a ~inei. Indica/ie $i ri:ispuns. Vagonetut, asimilat cu un punct material, avind o mi~care circulara uniforma, va apare numai forta de inertie normala F1,: c) reactiunea

(JrfJ

a)

F, =

b)

tga = ~,;

c)

R = F,+02.

g•p;

v-2

18.19. Un automobil, avtnd greutatea 'G, se deplaseaza pe un drum orizontal tntr-o mi~care uniform accelerata (fig. 18.22), cu acceleratia a. Sa se calculeze reactiunile R1 ~i Rs, corespunzatoare perechilor de roti din fata ~i din spate. I ndica/ie $i ri:ispuns. Introducind forta de inertie in cazul mi~carii accelerate, se obtine:

R1-( btc ; . b!Jg; Rs-( b~c +;. b!c)g. 18.20. Un regulator (Watt) are doua bile identice de greutate G fiecare. Barele OS sustin prin intermediul barelor AB, de masa neglijabila, un man~on cu greutatea Q (fig. 18.23). ~tiind ca regulatorul se rote~te tn jurul axului vertical cu turatia n, se cere : a) valoarea unghiului a; b) eforturile N din barele AB. Aplica/ie: G=80 N; Q=240 N; OS-=l=0,45 m; OA =AB=a=0,27 m; n=90 rot/min. Indica/ie $i ri:ispuns. Din ecuatia rcos (R, fu-)=X • Bx+ Y • cSy+Z • oz,

(b)

in care R (X, Y, Z) este rczultanta tuturor fortelor care actioneaza asupra punctului. Daca punctul material are legaturi ideale (fara frecari), lucrul mecanic virtual al fortelor de frecare este nul ~i lucrul mecanic al tuturor fortelor este identic cu al fortelor active. 4. Din relafia (b) se deduce principiul deplasari!or virtuale, in cazul punctului material : ·

Un punct material cu legiiiuri ideale se afla 2n echilibru dacii suma lucrurilor mec:.inice virtuale ale forfelor exterioare este nulii pentra orice deplasare virtualii a sistemului compatibilii cu legiiturile. 5. Principiul lucrului mecanic virtual se aplica ~i in cazul sistemelor de puncte ~i a corpurilor solide. Daca pentru orice deplasare virtuala infinitezimala a unui sistem ideal, lucrul mecanic virtual produs de catre fortele active este nul, sistemul se afla in echilibru:

6L= ~Rs• Bra· cos (Rs, fu·s) = ~(X6x+ Y6y+Zl>z+M xMx-l-My60y+Mzl>0z) (c) in care Rs este rezultanta fortelor active aplicate asupra particulei s a sistemului, iar trs relafia :V

1 = -::-==:;:::;:::=::::::===;=• V(l-y2)2+(2ry)2

Reacfiunile tn reazeme sint RA =Rn= ~ vG iar cele maxime se produc ]a J rezonan ta, momen t m care y= I ~1• v=Vmaz= 2,y . f) Lucrul mecanic efectuat in intervalul de timp dt este: v

A

dL=F · v · dt=(Fe cos pt) (-x1p sin (pt-rp)) dt. Conform definitiei, puterea sistemului se scrie succesiv: T

T

0

(I

r F px r P=-y J d L = - T J cos pt• sin (pt-q>) dt = I

T

-=---

Fer!~-½ [sin (-cp)-t-sin (2pt-cp)] dt=

Fe?P sin cp=

0

F;p = 2.k

F; sin q, I J2+c2 2 v'p2k2 [_!_ __ p2 (J)2

sin 2 n

c1)1

2rr = -r.

=214 rad / s

Dinamica

400 X1=

b) c)

=12,75• l0- 4 cm.

y

.Bae (l-r}4(2ry)2

Xmax=

~~ =14,76•10-4 cm.

d) Calculind amplitudinile vibratiei fortate pentru diferite valori ale raportului pfol-n, se ohtin valorile trccute in tabela de mai jos:

y=plron 0, 1

plron 1

Xf

3

7,68• 107, 79. 10-3 9,60· 10-3 13,96· 10-3

0,2 0,5 0,8

1,5 2 5

Xf

14,76• 10-3 5,18· 10-3 2,40• 10- 3 0,32.10- 3

Curba de variatie a amplitudinii, in functie de raportul plron, este reprezentata in figura 19.10, b. c)

'V=

I

V

= 1,67;

(I-r)4(2ry)2

'Vmax= 1,94.

RA=RB=5 750 N; RAmaz=RBma:t =6 670 N. f) P=0,01467 kgm/s.

C. PROBLEME NEREZOLVATE

19.10. Sub o sarcina P, un arc se alunge~te cu x0 • Care va fi constanta elastica k a arcului, amplitudinea x0 , ~i perioada T a vibratiilor atunci ctnd arcul va fi lasat sa oscileze liber sub o sarcina P'.

Raspuns: k=!:_. X0

Xo'=~=!:_Xo' k

'

P

'

T=2nVm' =2:rtv~. ·

ll

g

Xo.

P

19.11. Un motor electric cu greutate a este montat pe patru arcuri, de aceea~i constanta elastica k. Motorul este astfel a~ezat, tnctt se poate deplasa numai vertical. Sa se determine frecventa _proprie f ~i perioada T a oscilatiilor sistemului.

Riispuns:

f=;:

=

2~

V~,

T=+ =2:rt

V~;

ke=4k.

19.12. Un corp de greutate a este prins cu doua arcuri identice, de constanUi elastica k. Care este frecventa proprie a sistemului ? Daca se deplaseaza corpul cu x 0 din pozitia de echilibru, care este viteza care o va avea corpul tn momentul trecerii prin pozitia avuta initial? (Se neglijeaza frecarile).

V ibrafii in tehnica

401

AplicaJie G=BO N; k=20 ~ ; x0 =3 cin (fig. 19.11)., cm

I ndicaf ie ~i riispuns. Frecvenf a proprie este data de relafia :

f

=-• 2n

v2•k•g G

deoarece arcurile stnt montate tn paralel. Din ecuafia mi~carii corputui :

rot,

X=X0 cos

rezulta viteza ceruta:

v0 =x0ro =X0 2nf =X0

2•k•g

V-er- ·

Pentru aplicafia numerica se obtine /=3,5 Hz; v0 =66,6 emfs. 19.13. Care stnt expresiile constantelor elastice k la urmatoarele grinzi, avtnd Iungimile /, modulul de elasticitate E ~i momentul de inerfie transversal I: a) tncastrata la un capat ~i cu o forfa G la celalalt capat ; b) simplu rezemata la ambele capete, cu o forta centrala G; c) dublu incastrata, cu o forta centrala G ; d) libera tncastrata la un capat, cu o sarcina uniform distribuita p. I ndicafie ~i riispuns. Din relafia de definifie ·

G=mg=k•Bst pentru o greutate egala cu unitatea rezulta ca, constanta elastica este inversa deformafiei statice (sagefii). Ca urmare:

a) k --

) k= 192£1 .

3£/ . l3

,

b) k= 4BEI.

P. '

l~

C

,

d) k= BEi • /3

valori tnscrise in anexa 5. 19.14. 0 sarcina G este plasata pe o grinda simplu rezemata, cu lungimea I, la o departare a de un reazem (fig. 19.12)~ Sa se determine frecventa proprie de oscilafie a sarcinii tn direcfie verticala, neglijtnd greutatea grinzii. I ndicafie ~i riispuns. Din expresia deforrnafiei statice Bat, c5 _ aa2 (l-a)2 st31EJ '

se obtine pentru frecvenfa proprie valoarea: l

f = 2~a (l-a) Fig. 19.11.

26 -

Probleme de mecanlcll

~

v3glEI (] · Fig. 19.12.

4 al,

f

402

Dinamica

19.15. Se da ptrghia OA de lungime l ~i de greutate neglijabila, articulata in O *i sustinind la capatul A un corp de masa .m. La distanta a de punctul de articula1ie se prinde u11 arc avtnd constanta ~lastica k (fig. 19.13). ~a se determine ecuatia ini~dii"ii *i frecventa proprie ·de vibratie. ·· ·· lndicafie $l ri1spuns. Notind cu ff utighiul. de rotire a barei in jurul articula1iei 0, avem:

Ep=Ec+E 11 =

~ -m (l0) 2+·!

k

(~at

Prin diferentiere se obtine ecuatia diferentiala a mi~carii d8 k ¥+ m 2

•

a2

7i"8=0.

Frecventa proprie de oscila1ie este :

f = 2:il • Ta .

·vkm.

.Pe acest: principiu se bazeaza aparatill 11tiliz~t la tnregistrarea vibratiilor unui vapor (palograf). · · · '' ' · 19.16. Se da pendulul din figura 19.14. Sa se determine viteza cu care va trece masa m prin pozitia de echilibru, atunci cind din pozitia de echilibru pendulul este deplasat cu ·un unghi 0. lndicafie ~i riispuns. Ecuatia diferentiala a mi~carii pendulului este: d282 dt

+ {Kl + 2•k·aa} 0=0. m•l2

(1)

Se obtine: 2

? g 2•k•a ro~=-+--, n l m•l2

v=l6=l00ron. 19.17. Sa se determine perioada micilor ·oscilatii verticale ale unei bare, prevazuta cu doua greutati cu masele m1 ~i m2, care se poate roti in jurul axei orizontale ce trece prin articulatia O ~i este legata de doua arcuri orizontale,. de rigiditati k1 ~i k2 (fig. 19.15). lndicatie ~l riispuns. Se va aplica metoda Rayleigh. Din egalarea. energiei cinetite maxime: Fig. 19.15.

Fig. 19.13.

Fig. ·19.14.

J:B H---4-:r--$A ~ , ~ a

mg

Vibratii in tehnica

403

cu energia potentiala maxima : EPmax =

1

1

2 k1 • x~ + 2

k2.

Xi = 21 . cro (k1q+k2~).

rezulta :

sa u, in general :

.,

~k,•li ~m,•Jt

ro- = -=---=- •

19.18. Fusele unui rotor, avfnd raza r, sfnt sprijinite pe un palier circular cu raza R (fig. 19.16). Sa se determine frecventa vibratiilor rotorului, atunci cind el se deplaseaza fara alunecare pe suprafata palierului. Indica/ie §i raspuns. Se considera rotorul deplasat fata de pozitia de echilibru cu un unghi 0. In acela~i timp, rotorul s-a rotit cu un unghi a. Intre unghiurile 8 ~i a exista relatia: 0 (R-r) =a• r. (1) Asupra rotorului actionind cuplul de inertie ~i cuplul motor, din ecuatia de mi~care rezulta :

JA :: +Gsin0•r=O,

(2)

in care J A este momentul de inertie al rotorului in raport cu axa care trece prin A, punctul de contact: (3)

Pentru unghiuri 8 mici, sin a in f unctie de 0, se obtine :

e~e ~i,

tinind seama de relatia (1), inlocuind pe

E.,2)

R-r d282 +Gr8=0. . ( Jo+. g r dt 19.19. ~asiul unui vagon de pasageri, de greutate G, este a~ezat pe un sistem de ~ase arcuri a caror constanta elastica unitara este k (fig. 19.17). ~asiul poate avea attt o oscilatie de translatie verticala, cit ~i o os~ilatie de rotatie in jurul Fig. 19.16.

Fig. 19.17.

Dinamica

404

unei axe orizontale, trecind prin punctul de articulatie 0. Momentul de inertie al ~asiului, in raport cu axa orizontala trecind prin G, este JG ~i OG=a. Distantele dintre axele rotilor fiind l, sa se determine perioadele proprii de oscilatie pe verticala Ti ~i de rotatie T 2 • Aplicafie. 0=200 kN; k=2.106 Nim; OG=0,8 m; /=5 m; J 0=2,8-105 Nms2• I ndicafie $i riispuns. Perioada de oscilatie este :

T1=2n

Vz:,

in care k 6 =6k deoarece sint ~ase arcuri identice montate in paralel. Ecuatia diferentiala a mi~carii de rotatie in jurul axei ce trece prin O este: d20

Jo(jji" +4Pil=0, in care: Pi=kx1=kl8 ~i J 0 =Jo+m(OG)2• Ca urmare:

T2=

~

•

V1:

·

Pentru aplicatia numerica rezulta : J 0 =2,928• 105 Nms 2

Ti=0,259 s T2 =0,241 s. 19.20. Pentru a inregistra vibratiile verticale ale unei fundatii de ma~ini, cu greutatea Q, montata pe un arc avind constanta elastica k1, se prinde aparatul de articulatia A (fig. 19.18). Aparatul se compune dintr-un indicator de forma unei pirghii in unghi drept, avind momentul de inertie J O in raport cu axa de oscilatie 0. In punctul B, indicatorul are fixat un arc, avind constanta elastica k2 • Neglijind dimensiunile sarcinii, sa se determine perioada oscilatiilor libere ale sistemului. lndicafie §i riispuns. Aplicind indicatorului legea fundamentala a dinamicii ~i tnlocuind arcurile cu fortele elastice corespunzatoare (fig. 19.19), care sin t proportionate cu deplasarile, se poate scrie : d28

Q

Jociti" =-k1x1d-gad-k~2b, in care a=dtJ este acceleratia greutatii Q.

Fig. 19.19.

Fig. 19.18.

K,{dO} Q

j

Vibratii in tehnica

405

· De unde,

(J + ~ d2 ) O

:::

+ (k1d +k b )0 =0, 2

2

2

Perioada de oscilatie va fi :

T = 2n .

Vg

Jg+Qd2 (k1c£l+ k2b2) •

19.21. Se da un arc avind constanta elastica 103 N/m. De arc este atirnat un corp tn greutate de 60 ~ (fig. 19.20). Sistemul este prevazut cu un amortizor a carui forta de amortizare este direct proportionala cu viteza corpului ~i egala cu 40 N •s/m. Sa se determine: a) frecventa proprie a vibrafiilor neamortizate ; b) frecventa proprie a vibratiilor amortizate ; c) valoarea critica a amortizarii.

Riispuns.

f,•, =2n1-

a) b)

Ii-

I 2n

1/ -

c2

4m2

·

VT

I · -=m 6,28

+ mk

-

1 6,28

l/Tooo --=205 Hz·

v -

6

402 4•36

'

+:

1 000 6

'

-l, 98 Hz;

N . Ccr=2 V-km=155ms 1

c)

19.22. Sa se determine constanta de amortizare viscoasa c in cazul sistemului din figura 19.21, a, atunci ctnd perioada de oscilatie a greutatii G este T; lndicatii $i riispuns. Ecuatia diferentiala a mi~carii se poate scrie (fig. 1~.21, b) Jii=(-ka0) a-(ca8) a G .. 2 uncle J 0 = - l • . . dg puIsa t·1a ro 1 = Ta k c2 a2 . da m1~carn . Cunoscm m • , rezu ltva pertoa ~1 va4 2 2 loarea constantei de amortizare c:

Vm-

V

c2=4m2 l22 a

••

(.!!....4n2f.2). m a T3 2

Pentru ca problema sa fie posibila, trebuie ca : !_~ 4n1l2

m.:::,, a2T2 •

Fig. 19.21.

Fig. 19.20. V

a

fJ

•

406

Dinamica

.19.23. Sa se determine frecventa vibratiilor naturale a punctului material de masa m tn urmatoarele situatii: a) punctul se deplaseaza pe dreapta ti ~i este fixat de un arc de constanta elastica k, fixat in punctul A, la distanta l de dreapta ti (fig. 19.22, a); b) punctul se deplaseaza pe un cerc de raza r (fig. 19.22, b) I ndicafie §i riispuns.

a) Nottnd cu F forta elastica, lun.gimea f>l a arcului poate fi aproximata :

-x2 Bl=Vl2+x2-l~ 2f . ~i energia potentiala este: x2 Ep~F2i.

Sistemul fiind conservativ, din egalarea energiitor potentiale ~i cinetice maxime (principiul lui Rayleigh) rezulta

b) Analog,

~l=Vr2 +(l+r)2-2r (l+r) cos cp-l::::

-v

ron-

F(r+l)

rim

'n=

~(

_ _, _

11

+ !.!.3

C•l 71 -pulsa\ia

propric

446

Probleme de mecanica 9

B I B 1. I O G R A F I E

I. N. N. Buch ho I t, ~.a., Culegere de probleme de mecanicii rafionalii (traducere din 1. rusa), Bucure~ti. Edit. tehnica, 1951. !2. I I c

11

r i Cab an n c -;,

Problemes de mccanique generate Paris, Dunod, 1966.

3. .Mc. Le an, E. N c Ison, Theory and problems of Engineering Mechanics (second edition). Schaum Publishing New-York, 1962. 4. I. V. Mesh ch er sky,

Collection of problems in theoretical mechanics, Moscova, 1968

5. .M. Nit a ~- a., Culegere de probleme de mecanicii teorelicii I; II. Edit A..M. G. Bucure~ti, 19GG. 6. M. R a d o i. E. D e c i u, Curs de mecanica. Dinamica (lito). Inst. politehnic Bucure~ti, 1970.

~

elemenfe de rnecanicii analifica

7. A. S_t an, Curs de mecanicii, Staiica, Bucure~ti, Edit. Politehnica, 1956

8. A. S t o e n es cu, G h . Si I ~ ~. Curs de mecanica teoreticii. Bucurc~ti. Edit. tehnicii , 1964.

,

9. Al. S lo en es cu,. A. R i p i an u, •Culegere de probleme de mt•canic,i /eoreticii, Bucurc~li. Edit. didactica ~i pedagogica, 1965 I

•

IO. S. Tim o she n k o, D. H. Young, New-York, 1948.

Adt1anced Dynamics, Mc. Graw-Hill Book C.omp.,

11. V. Va I co vi c i, St. B a 1 an, R. Vo i n ea,

Mecanica teoretica, Bucure~ti. Edit. teh-

nidi, i969. 12. R. Vo in a r o ski,

Nfrmnidi /eoretica, Bucure~ti, Edit. didactica ~i pedagogica, 19G8

...

CUPRINSUL Prefafa

3

Partea 1nt1i STATJCA

r:ap. I.

Cap.

Cap.

Cap.

Cap.

Cap.

C