Probleme de geometria varietăților diferențiabile

Table of contents :
pgvd1
pgvd2

Citation preview

---

-

•·

.•

I

-

- VALENTIN- BOJU- • MARIANA POPESCU

I

PROBLEME ·oE GEOMETRIA

VARIETĂŢILOR

DIFERENŢIABILE Seria Culegeri de probleme de matematică şr.fizică

,EDITURA TEHNICĂ BUCUREŞTI

--,

--~

-1978

...

Lucrarea prezintă probleme ·de geometria varletătiJor dlfereuţia­ bile, domeniu actual şi de mare Importau~ în matematicii. -Problemele slnt rezolvate tntr-o manieră modernă. Slnt abordate chestiuni de natură locală şi globală, metoda preferată fiind cea invariantă. ·• · Avînd in vedere diversitatea şi complexitatea noţiunilor teofetice care intervin fn lucrare, fapt ce poate face mal dificilă manevrarea acestora, s-a urmărit, de regulă, prezentarea unor soluţii complete„ b1soţite adeseori de observaţii care conţin comentar_il ce pun în evidenţă proprietăţi suplimentare interesante, indicaţii referitoare la alte met~de de rezolvare, generalizări posibile, precum şi Iegătud naturale care apar intre noţiunile şi proprietăţile tratate ln diferite probleme. . Lucrarea se adreseaz·ă matem_aticlenilor, fizicienilor, precum şl inginerilor. Este deosebit de utilă studenţilor şi cadrelor didactice de la institutele polltehnlce şi universităţi şi, în general, tuturor celor interesaţi de matematica modernă.

■

_:..

•

•

•

PREFAŢĂ

, Geometria este una din cele mai vechi ştiinţe., 1noă din secolul III î. e. n. principalele cunoştinţe de ·geometrie elementară au fost sintetizate în „Elementele" lui Euclid, prima încercare de expunere axiomatică a unui domeniu al cunoaşterii umane. . . . Un moment de seamă în dezvoltarea geometriei l-a constituit apariţia lucrării lui Gauss (1'177-1865) ,,Disquisitiones genemles circa super. ficies ourvaB" (1827), în oare se pun ·probleme de geomet1·ie intrinsecă a suprafeţelor ; este demonstrată celebra „theorema egregium", care afirmă că curbura totală a unei suprafeţe ( numită astăzi şi „curbura lui GaUBs") depinde numai de coeficienţii primei f m·me fundamentale şi de derivatele lm·. _ _Contribuţii fundamentale··la dezvoltarea geometriei au adus apoi N.Lqbacevski (1793-1856 ), J. Bolyai (1802-1860 ), S. Lie (18421899), li'. Klein· (1849-1925 ), D. Hilbert (1862-,1943 ), O. Bonnet (1819-1892 ); J. Weingarten (1836~1910 ), G. Ricci (1853-1925 ), B. Biemann (1826-1866 ), H. Poincare ( 1854-1913 ), _T. Lev-iCi'dîta (1873-1941), H. Weil (1885-1955), E. Oartan (1869-1951), L. P. Eisenhart, J. A. Schouten, L. Bianchi, O. Veblen, J. H. O. Whitehead, Gh. Vrănceanu, H. Whitney, M. Morse, S. S. Ohern, . S. Bockner ş. a. . ~ 1n primele două decenii ale secolului nostru, A. Einstein a pus bazele teoriei relativităţii. restrînse ş_i gener(J!lizate, teorie în ca re geometria ,diferenţială pseudoriemanniană ocupă un.loc central. 1ncepînd C'U, deceniile 3, 4 ale sec. XX, geomet1'ia diferenţială intră într-o nouă etapă de dez--voltare, odată C'U, apariţia noţiunii ·de varietate diferenţiabilă, concept .ca1·e a permis considerarea unor- aspecte de natură globală, calitativ noi -tn raport cu problematica abordată anterim·. V arietăţi'le ·diferenţiabile constituie un cadru natural în care se -0p erează. cu concepte fundamentale ale matematicii contemporane. Se .studiază probleme de scufundare diferenjiabi1ă sau izomet1·ică, de calcul 1

3

,

_

__,.--.,--:-,.·· ".,"""I--:-·--:---;,

y,:!

1mrlaţional

•

I

global, opemtori diferenţiali, legătura dintre struotura geo-: metrică (în special curbură) şi cea topologică, sisteme dinamice diferenţiabile ( grupuri cu it1i parametru) etc. · P1•ezenta lucrare are dre;pt acop ·acomodarea cititorului cu principalele noţiuni' de tipul celor menţionate mai SUB. C,-edem că materialul de faţă esteuUl celor ce q,oreso să-şi însu,eaacă procedee de calcul invariant, de abordare a un01· probleme de natură· globală, alături de folosirea metodei clasice, indispenaabile, a .coordonatelor locale . .A'Dind în vedere diversitateâ şi complexitatea noţiunilor. teo1·eticecare_ intervin în lucrare, fapt ce poate face mai dificilă mane1'rat·ea. acestora, s-a urmărit, de regulă, prezentarea unor soluţii .complete„ însoţite adese01·i de observaţii care conţin comenta1·ii ce pun în evidentă proprietăţi 8Uplimentare interesante, indicaţii referitoare la alte metode de rezolvare, generalizări posibile, precum· şi legături naturale care apar între noţiunile şi proprietăţile tratate în di/erite probleme. Materialul teoretic strict necesar este 8{1]1)U8, fără demonstraţii, la înce;putul fiecărui capitol, şi, 8Ub formă completă, în lucrările [ 4], · [19], [24] din bibliografie. · Ne ea,primăm conmngerea că prezenta lucrare va fi de un real f olott studenţilor şi cadrelor didactice de la facultăţile de matematică, fizică, de la institut~le politeknice, fizicienilor, ir,gin.erilor şi, în general, tuturor celor interesaţi în deprinderea unor tehnici moderne di1i matematică. ' AUTOWI

OUPRINS ListA tle

notaţii

7

utilizate

Capitolul I. Varietăţi dlferenJiablle

9

• • • • • • • •

§ 1. Vat1etăţi şi aplicaţii dilerenţiabile • . • • • • • • • • • • § 2. Spaţiu tangent lntr-un punct. Diferenţiala unei aplicaţii lntr-un punct

Capitolul II. Valori r2gulate.

.

SubvarietăJi

37

39., 45 50

§ 1. Puncte critice. Valori regulate • • § 2. Aplicaţii regulate • • · . . . . §

3. SubvarietAti

diferenţiabile

. .

Capitolul III. Clmpuri de vectori. ctmpuri tensoriale .

55

§ 1. Clmpuri vectoriale • • • • • . • . . • . • • . . • • • . . . . § 2. Ctmpurl vectoriale de-a lung~11 unei aplicaţii • • § 3~ Clmpuri tensoriale • . • • •

Capitolul IV. Spafii eu conexiune afini . . . 2. Torsiune şi curbură • . • • • § 3. Transport paralel. Autoparalele § 4. Relaţii Intre conexiuni . . • • § 5. Va~etăţi paralelizabile.. • • •

84

89

• • . • • • •

93 99

107 115

Capitolul V. SpaJII Blemann. Spatfi relativl~te . § 1.

Metrică riemanniană, transport paralel, geodezice • diferenţiali (gradient, hessian, divergenţă,

§ 2. Operatori

place etc.).

.

§ 3. Aplicaţii conforme § 4. Aplicaţii izomeţrice . .

59 63 68 79.

§ 1. Diferenţiere covariantă §

13 30

. • • • . . operator La-

. • • • • ·• • • • . • • . • • •

118 128 143 152

- ....

-

'

§ 5.•Aplicaţia exponenţială. . . . . . ·§ 6, Curburi secţionale. Cimpuri Jacobi • § 7. ,Cbnp tensorial Ricci. Spaţii Einstein § 8. Spaţii relativiste- • . . . . . . . . Capitolţll

VI.

S~b111rietăJi

155 161

176 179

riemanniene . . . . . . . . . . . · . . i. • • • • . •

§ 1. Subvarietăţi riemanniene. (calcul invariant). • . § 2. Curbe şi suprafeţe (calcul local) . . • . . • • • • .,. . •

188 205

217

. Capitolul VII, Grupuri cu un parametru. Grupuri Lle . § 1. Grupuri de transformări § 2. Grupuri Lie

Bibliografie. ; •

186

218 228

ca un parametru •

.. . . '

236

.I

\.

..

LISTĂ DE 1'10TAŢII UTILlZATE aplicaţia f este de clasă cm· topologia considerată· pe mulţimea M ,__ t' . . .. • • • . • • • • funcţiile coordonate standard pe Rm cp« • • • • • componentele t'ocp ale aplicaţiei cp : A ➔ Rm aflicaţia de la A la R"', ale cărei componente sînt runcţtlle. ·(cp1, •••• cp") • cp :A-+R funcţia f · depinde_ direrenţiabil de funcţiile f1 •••• , f'·· în fe CCJ)(p; ( 1, • • veci~ătatea punctului p. F(M) fasciculul funcţiilor continue de la M la R, prin care .se precizează structura_ de prevarietate diferenţiabllă pe·spa-· ţiul topologic (M ; 't'). C(M) fasciculul funcţillor continue de la M la R. sumare după I .- a•b11, • grupul- difeomorfismelor de la M la M DIUM f cu valori în R este de clasă cu, in vecinătatea punctului JeF(p)

fecm

Ţ(Ml.

_~,r>

peM

CU

. . . . .

U·

. . • • . . . .

.

.

complementara mulţimii U închiderea mulţimii U he cu (C ~ V) • · h' este funcţia Urîson relativ la cuplul (C, V), unde Cc. V, C compactă, ·V descblsl discul -deschis m-dlmenslonal, de centru a şi rază p. Df!,P)· ( Ua.; cpa,) _ • • • • • • • • hartă. pe varietatea topologlcă·(M; Ţ) ( Ua., cpa,) e l!l'(p) . ( Ua., cpţt) eşte hartă locală în vecinătatea punctului p e M · hartă· locală, fllnd funcţiile coordonate xi = L' o cp pe (U; cp; x~) • •. vecinătatea de coordonate·. U cp(A) imaginea . mulţimii A prin aplicaţia cp 8- 1(B), sau 8(B) pre1maginea mulţimii B relativ la apllcaţia 8 V_T(m) . · categoria varietăţllor topologice m-dimensionale VD(m) categoria varietăţilor ·dlferenţiablle.. m-dlmensionale indicele j parcurg~ valorile 1, 2, .•. , k Je.1,k acoperirea cu mulţimi relativ co·mpacte (mulţimi deschise, -Yw, : _ a căror ·tnchldere· este inclusă în W) a mulţimii deschise W ( U, cp) e l!l'(M) . '. (U, ~)·este hartă pe varietatea dlferenţiabilă (M, F) 1 D (M) . F(Mf- mo~ulul , sting al cimpurilor vectoriale de pe • v_arletatea M e. VD(m), · ' F(p; Q). mulţimea germenilor _de aplicaţii dlferenţiablle în p, cu _· valori_ în · varietatea .Q • • • • • . • • · spaţiul tangent la. M e VD(m) in punctul p: • • • • • • • • dualul· sp_aţiului tangent în ·p la M (spaţiul cotangent în p) • • -· • • diferenţiala· aplicaţiei cp · pi punctul p

x'

7

- -

- -~

funcţia constantă ln .ţl

rang„ q,

~

de valoare ).,

definită

pe M, cu valori

rangul aplicaţiei q> în punctul p imaginea cîmpulul X e; D 1(M) prin dlfeomorflsmul q, 1 M ➔ Q F{M)-modulul sttng ·al cîmpurilor covectoriale pe M e

q>'X Di(M)

e VD(m)

cîmpul covectoi:Ial determinat de funcţia fe F(M) F(M)-modululsttng al ctmpurllor tensoriale de tip (r, s) produs tens~rfal _ ®· aplicaţia de contractare după indf cu i de contra varianţă CJ. şi j de covarianţă. aplicaţia q,* : ~(Q) ➔ D~(M) asociată aplicaţiei q, 1 M➔ Q q>* funcţiile coordonate determinate , pe varietatea produs M 1 x M 2 de funcţiile coordonate x' din vecinătatea punc(1) tului Pi e M1e V D {m1) (1) 8111 . • • • • • . • • aplicaţia obţinută din 8 : M1 x M 2 ➔ Q, prin fixarea punctului p1 e M1 D:(1, y, M). F(J)-modul sUng al cîmpurllor tensoriale de tip (r, s), de-a lungul aplicaţiei (I, y, M) cimpul vectorilor tangenţi la drumul (1, y, M) suportul clmpulul X supp X mulţime de nivel b a funcţiei f [f"J conexiune afină pe M e VD(m) V • cîmp tensorial metric pe M e VD(m) g'1 elementele inversei matricei (g,1), unde g este clmpul tensorial metric pe M e VD(m) _ componentele conexiunii afine v tntr-u_l!. sistem de coordonate norma cîmpului vectorial X IIXII ctmp tensorial de torsiune; determinat de conexiunea v T R. cî"!P tensorial de curbură, determinat de coneiclunea V V V.;, sau dl . . . . . . . dlferenUere covariantă de-a lungul curbei (/, y, .M) df • D[(M)

~·

r ....

. .....

Yi>,A

spaţiul vectorial al cîmpurller tensoriale de, tip (r, s) paralele de-a lungul curbei (I, y, M) transport paralel din t1 tn t2 , de-a lungul curbei y egalltatea are loc tn conformitate cu relaţia {13) din paragraful respee:tiv. egalitatea are Ioc în virtutea relaţiei (15) din § 7. egalitatea _are loc conform relaţiei (3) autoparalela maximală pentru care y11,A(O) = p şi"

ldA

apllcatia

PI(I, Î'' M)

• • • . • •

h -Yt1 • • •

~C~g

f 15)§7 g f

= g (cf. (3))

•

()'p.A) (O)

=A

identică de la aplicaţia exponenţială

Exp (/>)

A.

A la A pe M.

produs exterior diferenţf ere exterioară lucrarea din bibliografie. ae la pozltla 17 (17] R1lkl • · • • • • • • • • componentele ctmpului riemannlan de curbură. ctmpul tensorial Ricci · CIR • varietatea . pseudoriemanniană (M, G) curbura bidirecţlel a în punctul p e M K11(a)

D.

8

'

'

Capitolul I

.--

VARIETĂŢI DIFERE~ŢIABILE

Fie B dre~pta reală, U c Jll o

f: o

funcţie continuă. Dacă

mulţime deschisă,

iar

U➔R

Jadmite derivate parţiale continue de ordin

k, pentru orice kentru o funcţie oarecare f e F(p) existăm funcţii g11 a;stfel incit f

= f(p)

+ (a;' -

.

••• ,

m'(p))g,,

Um eF(p) (1)

fJJ -

_u,

= im' (P>•. Ou ajutorul acestei form~le se ara tă .

că

(2)

{~II, },. . a(»

formea;ză o 1......

ba;zi 8i spaţiului Mp. F.ie 8: M ➔ Q o a}>licaţie 0 de la, varieta;tea; M lai varieta~ Q. Sit notăm cu d11 8 aplicaţia (numită diferenţiala; aplic~ţiei 8 în punctul p dJn M,,) dp8: M ➔ QeCP> dată de formula; ((dp8) .A.)(/) =· A(f o 8), 00

pentru orice ·.A. eM11 , JeF(6(p)). Se vede imediat că d11 8 este un morfism între M 11 şi Q8(/J> şi . . d 21(cJ,o8)

spaţiile

_· vectoriale

= (detP> tJ,)o((½8).

Fie (I, y, M) o curbă pe M. Fiecărui punct t0 e I îi asociem UJÎ. vector tangent în punctul y(t0 ) la; M, numit vector tangent 1B ourbm·y în t0 , notat cu· y(t0 ) şi dat de formula Y(~.)

= (d„y) (

12 ..

......._

I

!I.}

.

_adică

(y(to))(f)

·

=

.!J, dt ,

(f oy) .

d(/oy) (to).

dt

0

§ 1. Varietăţi· şi aplicaţii d.Herenţîabile

I.1. Să, se arate că dacă, (M, F) este o preva1ietate, atunci F este o algebră peste R, asociativă, comutativă,, cu element unit3!te.. RezolBare. P~ntru ). e R, notlm cu ÂM funcţia ). : M ➔ R de valoare constantA >.. Consldttind fe F (existA f, deoarece Feste rtevidil), rezultă că ÂM=Â1t of pentru orice A e R. Avfnd în vedere că AR e Ca>, rezultă cil AM e F. · · Pentru u: R~ ➔R dată· de formula u(x, y) = x - y, din egalitatea f - g = u(f, g) :şi din difettnţiabllltafea funcţiei u, rezultă c(t: f- g e F, V f, g e F. . · Anaiog, pentru ·,, 1 R 1 ➔ R dată de formula o(x, y) = xy, se obţine egalitatea fg=o(f,g).Ţinîndseamaşldefaptulcă veCa>, rezultă că f,geF, Vf,geF. Unitatea .este funcţia 1M.

1.2. Fie M un spaţiu separat cu bază nllIÎlărabilă, iar O(M) mul• ţimea, mooţiilor continue, definite pe M, cu valori în R. Să se ara te că (M, O(M)) este prevarietate. Rezolvare. Afirmaţia rezultă ţlnînd seama de proprietăţile funcţiilor continue. Observ a ţ Ie. Structura de prevarietate (M, C(M)) este banală. Un alt exemplu , de structură banală este (M, const (M)), unde const (M) = {f: M

➔ R;

f = const}.

Să se arate că, orice spaţiu vectorial real admite o structµri de prevarietate. . Rezoloare. Fie L un spaţiu- vectorial m-dimensional peste R, iar fJiJ ={ei_, ••• , em} o bnză. Să considerăm 'funcţia b: L ➔ R"' dată de formula b(x) = (x1 , ••• ~ xm), unde ~ = xie,. Fle · ·

L3.

canonică,

F(fJiJ)

= {f I L ➔ R; fo b- 1 e COII},

Se verifică fără dificultate faptul el (L ; F(St)) este prevarietate. Mai mult, pentru orice bazl li'= {e(, •.• , e:i} a spaţiului L, are loc egalitatea F(fJiJ) = F(fJiJ'), ceea ce arată eă str1,1ctura oonslderată este. canonică. . . 1 O b s e r v a ţ I e. În cazul L = ~, structura canonică de mai sus coincide cu . structura diferenţlabllă naturală a spaţiului Rf7'; cu alte cuvinte, F{(t,0, ..• , O), ••. - •.• ,(O, .•. , 0,1)} = {f: Rm ➔ R; fe C°'}. · F.ie (M, li') o prevarietate, iar W e -r(M) o submulţime des•

\.

1.,.

chisă. Să se arate că, în'general, exist~/0 e.F(W) astfel îneît / 0 :/: i!W pentru orice j e li'. · · · Rezolvare. Fie M = R, F={;: R ➔ R; {e C00 }, W=(3; 7), lar f0(t)=-t_, pentru . . · · t- 3 Le W. Pentru orice je F. liW este continuă, deci ;(3) :/: llm f(t) = oo. .

"

#-98 1>8

1.3

,

\

-

în mod analog S'e

-/~--

procedează "în cazul unei prevarletăţi" oarecare, dacă W #:

W.

axiomelor din definiţia noţiunii . . Rezolvare. a) Fie M, F, W ca în problema precedentă şi F 1 = '{f: W ➔ R pentru

_ 1.5. Si se verifice de prevarietate.

...._

'\

-

indep~ndenţa

.,

··

care există f eF astfel· incit· f/W = f}. Evident că w·este separat, cu ba-zil numărabilă, F 1 c C(W),.F1 #: 0; în plus, orlce funcţie h : W ➔ R, care depinde diferenţiabil de funcţii din F 1 , aparţine lui· F 1 , deoarece► dacă h = u o ((1 , ••• , r,,), f, e F 1 , i = 1, •.. , k, atunci h = h/W, unde 'ii= u o (fi, .•. , ft),. Jar [t/W = ·r,. · • . 1n acelaşi ţfmp, nu orice funcţie g : W ➔ R care coincide local cu funcţii din_ F-,. . este o furicţfe din F 1 • Această afirmaţie rezultă din pr~blema procedentA. . . _ b). Fle acum M=(7·;to) U (10; 15) şi fi, (2 două funcţii continue pe (7,_15) astfel

tn~

.

. fi(x) #: f,/x), Vx #: 10,

-

f1(10) -:· 12(10). Să- alegem F 1 ca fiind mulţimea tuturor funcţfllor reale definite şi continue pe

coinţid

.local cu

f1

sau c~1 f 2 •

Dµpă

cum se vede

uşor,

M _care

•,

= U1, fs, fa, h}. - .

F1

unde

la(x)=

·.

'

fi(x), x e (7; 10), . { f (x), .x e (10 ; 15), 2

={

u(x)

f2(x),

x e (7; 10),

f1(X),

X

.

E

(10 j 15).

Evident C? F 1 îndeplineşte condiţia că orice funcţie, care coincide în vecinătatea punct din M cu una dintre funcţiile din FI' să fie o funcţie cţln F 1 • . _ · _. În acelaşi timp, nu orice funcţie care depinde diferenţl abil de funcţfl din .F1 este tn P1_; de exemplu,. funcţlfle constante pe M nu, sint în F 1, deşi depind dlfţrenţiabil de . funcţii din F 1 • fiecărui

. ·1.8. Fie X un spaţiu topologic, p un punct din X, O(P> algeb:r;a germenilor de funcţii continue ~ p, iar .A. : O(p)-+R o aplicaţie cu _ proprietăţile: · .A.( "A'/,)

·.A(fg)

pentru

=

11.'.A(f,), i

=(.A/) g(p) +

= 1, 2, (ţg)f(p)

(2)

"A' E R, f,,f, fi e o(P)• Să se arate că .A = o.

rezultă că_ A(const) "= O, const însemnind constant~. De asemenea, se .vede că A(g1') =.k-gi-1 ("p).4. (g). pentru g e CCJ,l şi k natural.

l?ezoloare. Din (1) _şi (2)

funcţie.

. (1),

Ull"

germen

d0

... !;..,-

.. · c__·.-,,._

•. -.

-.-:.~ - ' __-,

-;.·:.-~-

-

.

\

i

Yf--

-·

-

2k+l-

=

Fle fe Cc21 > şl g

- ...

-•

•

f(p); atunci g e

_

_ ·

,

Ccp>,f=,g21.-+i

•

_

-

+ f(p).Avem 1

'

= .A(glk+1 + f(pJ) =:(2k· + 1) ((g)I'; (p)) Ag _= O,

Af

-deoarece g(p) = o. Obs e r v·a ţ 1 a 1. SemnUlcaţia: teoretică a problemei 1.6 -este urmâtoarea: deşi ,noţţunea· de „vector tangent "[adică, . de aplicaţie cu proprietăţile (1) şi (2)) intr-un punct p -al ·unui spaţiu topologic oarecare are sens, aceasta este superfluă, intrucit în fiecare punct dimensiunea spaţiului llpiar al vectorllor tangenţi este ~ero. - · ,- O b s e r v a ţ l a 2 ;· Dacă M este o varietate topologică de dimensiune cel puţin unu, .atunci (M, C(M)) deşi este prevarietate (ct .problem-el 1.2), (.M, C(.M)) ·nu poate fi varietate dlferenţiabllă deoarece, dacă, prin absurd, am admite acest fapt, atunci dinţ_ M 21 ;;a:1, ceea ce ar contrazice afirmaţia din problema 1.6~ · · · - . " 1.7. Să, se constrniască, un homeomorfism diferenţiabil de fa B

la R, eare ni.I. este-difeomorfism.

·

_

Rezolvare. Se consideră funcţia f{x)

~

şi

·

·"

'

fe

Ca,. Fie g = 1

-

1,

/ nu est~ difeomorfism.

= x2~ 1, k natural. Funcţia f este homeomorfism 2k+1-~ deci g(x) = Yx. Funcţia g nu este diferenţiabilă în origine, deci

_1.8. Fie M un spaţiu tppologic separat cu b~ză, numărabilă, 8 ·: ~ un homeomorfism, IJ\~ F 2 structuri prediferenţiabile ·pe .lJL .adoptăm notaţiile : ·

M-+ .Să

= (M, Fi), 8u = (8: ·M., --+. M 1), . 8;j1 = (e-1 : M, .--+ M 1).

M,

-~ \ Să alegemr o

structură, prediferenţiabilă-F'1

"-

astfel încît 811 e 00), situaţie se pqate'

,p 0(1) (din problema I. 7 rezultă că· o astfel de realiza). Fie F 2 - _- Ui 8; / 1 eF1}. Să se ara~ Oă: 1)ii1

0

.a) Jl' 2 este· o structură prediferenţiabilă pe M. 1>) Avem: #

. 1° idu 2° id1 2

oa, ; j = 1, 2, e oa,, E

a~ id21 f a-.D, I

. 5°

ori)' ai? fJ o~,

9.0

a-1 - ·. _,:. .. 12 e 0

4° O_o--E

i, j -; 1, 2 (eventual egaile), - -

CD

15_ .

-·

-_

/:.

. I --

_....,,--- '··

:.. -~

· __,;

-..,...---,.---

t6-

Rezolvare. Observînd că (8,1)-1 ~ 1 1),, şi Oijl = (0- 1)11, ·_ avem de reţinut .faptul c4 nu trebuie să confundăm ((U1)- 1 cu 0.; 1• - a) Fie h :. M ➔ R o functie-ast~f Incit pentru fle.care pe M e.tjstă V e 't'(M) şi (/>)

h/Y {J,)

= (2/ V (j,) (J,)

=(((1) o

0)/V.

(/))

(f,)

Aceasta înseamnă că ho olocal cu.functll din F 1 , deci h~o·8- 1 e F 1, a_dică = (ho 8- 1) o 8 e F 2 • . Fie (lCum u e F(Rk), fa• •• ••r, eF1 , deci fa = f 1 o O. şi h = u o (12•••• , fa), Avem 1 ·coinclde

h

·

h

-

= u o· (f(1)1, ••• , f1) o 8 şi, (k)

· (I)

(10

deoarece u o

·

Ci)

Ci)

(f1, •••• / 1) e F 1, rezultit · cil (1)

(1)

{A)

h e Fa,

(11)

.b) Aflr11;1aţia 1° este evident!. 2° Dacă faeFa, deci f2 =f1 o8eF1• deoarece f1 eF1 .811 eCcx,, din faoidu=f1 , rezultll că id12 e Cr», deci afirmaţia 2° este demonstrati. · · Să observăm că ipoteza 01i1~ C00 este echivalentă cu afirmaţia: (*) există f1 e F 1 asUel înclt (1 o 8. =p ] 1 pentru orice f1 e F 1 • 0 . ~ Din(•) rezultă că funcţia f1 este în F 1 , dar nu est~.tn Fa, deci id21 ~ c00 • 4° OuecPO~(f2 eF2 ~ (0 o8eF2 ). Din fa=f1 o Orezultă că / 2 o 8=f1 o 8 o 8. Dar Oii e C00, deci (1 o 8 e F1 şi ·((1 o 8) 'o Oe F 1, adică Oia e COO. Apoi : 821 e C00 ( 1 o 8 e F 2 ,

V/1 e F 1•

apartenenţll este asigurată de definiţia structurii F 2 • Apartenenţa 822 e COO rezultă din diagrama comutativă (v.

Ulttma -

fig. 1), ţinînd seama că i~ e eoo şi 621 e c00 • • 5° Deoarece OiiW= c00 prin ipotezli, rămîne să arătăm că 82 C00 , fapt implicat de diagrama comutativi (v. fig. 2), în care id 21 , eoo, iar 881 e C00 •

l,

8

~ M, fa Fig.1 Dealtfel, Juind ia 6° 8121 e

cco O. O acoperire deschisă a lui P este formată din I

· P devine" varietate

diferenţiabilă

(U1 , 'P)! (VJ!A,),._(V1 , dat.A de for.miJla _

"'),

relativ la structura definită de subatl,asul (U1 , cp), tinde cp(ct) = sin 2ml, ~(«)=cos 21t«•. Observăm că 8: P ➔ S 1 ·' · ·

·- .,. 8(«)

= (cos 2mi;_,_ sln.~1;«L

'-

19

-

n..

-~ ..:

-~-

.

-~- . ~- _..

~-':

este bijectivă ·şi, mai mult, este difeomorfism. Faptui că esle diteomorfism rezultă. folosind pentru S 1 subatlasul definit în problema I.19~

1.16. Să se organizeze ca varietate diferenţiabilă tricelor de tip_ (n, k). · Rezolvare. Fie

JI in,O mulţimea matrlceloţ

6:

mulţimea,

ma,-

cu n linii şi k coioane şi

.1/(n.l,) ➔ Rnk

aplicaţia

8((~}» =(a},- . . ,ai, ai·· ..• az, Aplicaţi_a 6 este bijectivă. bilă pe .lt(n,k>• Dect

Se

obţine

astfel {v. problema 1.15) o

.ll(n,k)

Să

1.17. Fie Scn;n>

se organizeze Rezolvare.

structură

diferenţia­

e l'D (nk).

mulţimea;

Scn,n>

Să notăm

...,a~ .... ,ap.

matricelor simetrice de ordinul n. ca varietate diferenţiabilă.

cu 6 aplicaţia 1

6 : .li 1n,n)➔R"

care 'asociază unei matrice de ordin n punctul din Rn', ale cărui coordonate se obţin din matricea ((a, 7)) astfel : . Se scriu de sus în jos elementele din ultima coloană, situate deasupra diagonalei-.. priiiclpale, apoi elementele penultimei coloane (de asemenea, de sus în jos), situate deasupra diagonalei principale, etc., ultimul element căruia I se aplică procedeul dat fiind a1,. Apoi se scriu elementele a11; a22 , • •• , tlnn de pe diagonala principală, contlnuînd cu scrierea elementelor situate sub diagonala principală, scriindu-se mai întli elementul a 21 , apoi elementele celei de-a treiâ linii (scrise de la dreapta la stînga) etc., ultimul element scris fiind a„1• Aplicaţia 6. este bijectivă, astfel că ..«1n,n> primeşte o structură de varietate n 11 -dimenslonală (v. problema 1.15) . . · Să notilm cu H, hlperplanul _x' = xn+t-l_ Atunci 8 (Scn.u)) = H, unde n(n-1) -2-

n

H=

H 1'.

· i=l .Mulţimea

H este un subspatlu. vectorial de dimensiune n" .

varietate dlferenţiabilă de dlmensmne . difeomorffsmul 6. Prin urmare, dim S

n(n

_

2

+ 1) , structură

n(n- 1)

2

.....s

in i-e , deci o

primită şi de S,u,at prin

= -n(ri -+ - 1) 2

1.18. Fie 8" sfera unitate de dimensiune n. Să se arat,e ei s• poat,e fi organizată ca varietate· diferenţiabilă, de dimensiune n. Rezoloare. Fie sn = {xe Rn+i; 11.rll = t} şi N =(O, ••• , O, 1); S =(O, ••• , O, -1) cei doi poJJ al

20

săi.

Fie UN

şi

U s mul Umile deschise care se obUne din sferă excluztnd_

punctul N, respectiv S. Fie protectme centrale din N 'PN:

_şi

S

UN ➔ R",

tps: Us ➔ Rn,'

-definite astfel : 'PN asociază fiecărui punct x e UN·.punctul din R" avind 'drept coordonate exact primele li coordonate ale punctului în care dreapta xN Intersectează hiperplanul x"+l=O; .analog se defln~ştl tp.s, pentru orice punct x din US• Evident, vom identifica hiperplanul ~,a+i = 0 cu li". Să notăm:

= XN, tps(x) = x8 ,

'PN(x)

Xe

tJN•

x e Us.

Punctele x, N şl xN fiind coliniare, x = "J..xN + (1 - >.) N, cu  ::f, O, deoarece .:re UN. Ţinînd. seama că UNII= 1, iar N.LxN, obUnem (x, N} = 1- :A.; deci l

= 1-

xn+1,

adică

xN

Prin urmare

-

=

1

xn+i

------:-~x- · N 1 - xn+1 1-xn+i •

(

)

~ -•••• , --~ 'f)N(X)= - - - , 0. 1-x'Hl

1- xn+i

Avînd în. vedere condiţia li xii= 1, deducem că i..1 11 xNII' + (1 - ).ji = 1, deci 2

)

A= IIXNha + 1' adică X=

2 1-1X_N_l...,,12_+_1

. XN

llxNll1 -1 N

+ 1-1X....;;N"-l--,,i1_+_1 •

Deci 2 xi --IIXNll1+1 x'N'

i·= 1, ••• ,n,

llxNll1 - 1 - llxNll9 + 1·

n+i-

x Observtndcăpunctele 'PN(x) şi rp 8 (x)

se corespund prin inversiunea (origine;+ 1), pentru 1 . ,orloe x e UN n Us, rezultă că Xs = tJ.XN şi (xs, XN) = 1, deci X,.s =-1-,-,, XN. ' . I XN Prin urmare, cps(x) = { xt ., ••• , x ., adică · ·

1+x1a+1

1+

xn+i

o),

.

(1)

21 -

• t_

.

:•-·.-i=.

-Relaţiâ (t) ne arată că aplicaţia q>s_o 'Pj1 este diferenţiabilă .. Avind în vedere că xN este Inversul punctul'ui Xs in raport_ cu sfera S 11 , razultă că t)- 1, a~em: (q>N)- 1

q>t (Ut) (q>t>- 1 _cpN(z)=

,.

.-

(

(U1,

= D~ = {~

~ •• 1 uff)

V1-11

.

zill 2

.·

1 - un '

-

.

= (u

1, ••• ,

u"); li ull o (q>j

o

p/p-lU,

np-1u,)-l = (q>t op ~..,rl o 'PTl) ~ 'PI o cp;-1 .

_sînt ·diferenţi~bile.

1.25. F.ie (M, F) e VD(m) şi W e Ţ(M). Să, se precizeze un p~o~ _oodeu canonic prin care W se organizează ca; varietate diferenţiabilă m-dimensională, inlcuziunea i : W c: M fiind 0 00 • Rezolvare. F:, atunci

Dacă

(V, cp«>txeA este atlasul care --(Utx

n

determină

·structura

diferenţială

W, 'P«IU« O W>«eA

reprezint, un a ilas diferenţiabil pe W, relativ la care incluziunea c·este

q00 •

.

.

- 1.28. Fie Mn mulţimea matricelor pătrate· de or~inul n~ 'înzestrată· , cu structura· diferenţiabilă canonică· (dim Mn = n 2). Să _se arate că, matricele pătrate de ordinul n, nesingulare formează o-subvarietate deschisă în Mn. : · Rezolvare. Aplicaţia det: Mn ➔ R, care asociază· fiecărei matrice A e Mn determi'nantul său, es·te continuă (compunere de produs şi sume). Ded (detr1 (0) este o submulţime închisă a lui Mn. Rezultă că complementara sa, formată din toate matricele ne. singulare de_ ordinul n, este o submulţime deschisă, deci o subvarietate deschisă· ~ lui Mn (1.25). '

f, g e F(M). O}. Să, se arate că funcţia h = j_ este

1.27, Fie (M, li'( M)) o prevarietate -diferenţiabilă Fie W

= {p e M;

g(p) #:.

şi

g

în F(W). Rezolvare. Fie

.

.

funcţia

X

.

u(x, y)= - . x, y e R, y ,:f: O

u

şi

G = {(~, x) e R 9

y ::f:. O}.

;

Atunci G e şi u e F(G), F(G) desemnind structura c indusă de. structura naturală P a varietăţii R 2 pe mulţimea deschisă G._ Pentru orice pe W punctul (f(p), g (p)) = p este în G, deci, există V e -;(G) şi îI e F(R9) astfel Incit·· uiV = u/V şi pe V. . Funcţiile f, g fiind in F(M), rezultii că fi((, g) e F (M) ."' în plus, diri T(R2)

u/l'

= u/V rezultă că J_ g

00

coincide în

vecinătatea

Pl!nctului

p cu fu~cţia

u.(f, g),

~ecl

„

(/geF(W).

26 ·' \

~.: - - .

,~

-

-~'

1.28. O varietate diferenţiabilă compactă,·~ de dimensiune cel nu poate fi acopeţltă cu osingqră, vec~ătate q.e coordonate~ . .

puţin unu,

/

'

Dacă. varietatea M ar putea compactă şi deschisă (nevidă) în Jlff',- m

.

=

Rezol'!are~

'.>1.

fi

acoperită

cu ( U; cp), atunci cp( U) ar fi . ·

1.29. Aplicaţia 7,,: si -~ s~ definită prin· formula (-rw, ... , -ra:n+l) ~ste difeomorfism.

h(ar, ... , a, +1) 11

· Rezolvare. Este evident că 11 asociază fiecărui punct x din Sf punctul - rx de ·sfera S~; în plus, aplicaţia h este bijectivă (este o omotetie). Mal mult, .

ut ➔ Ui, stnt" aplicafil bijectl~e (prin ut , U.t s-au h:

(1)

-·

. .

. (1)

h:

(1)

u,- ➔ ut, (li

(r)

' Pf '

.

(r) • .

notat vecinătăţile de coordonate date 'pe

Sf în 1.19. Pentru fixarea ideilor, să alegem i ~ 2 şi ze U[. Avem •

(1) .

('t_fiin~ discul m-dimensional de rază J., cu centrul în :origine. 27

➔

Fie. Â : L

L

aplicaţia dată

'de formula 1 . Â(m) = - ( 1 - llxll) a:.

Hmll

Să

se arate

că Â

este difeomorfism.

Rezoluare. ll>-(x)ll=l-llxll, deci ).().(x))=

1

- ll).(x)II ).(x)_= x, li A(x)n

adică (1)

În conformitate cu (1), peptru a arăta că _A este dlfeomorfism, este suficient sA. ară­

tăm că ).e C00 •

Dar LET(R"'), deci rămtne să arătăm că tl oÂEC~. pentru

i = 1•••• , m, ceea ce

li XII

=fi

o.

obs e (va

ţie.

rezultă din

(t' o).) (x) =

faţă

A este simetria

1

-

1 \xll xi; anume, t 1 o). e C00 , deoarece-

11 x 1

de sfera

.

s(o~½l

1.32. F.ie- M e VD(m),~f, g: M ~ R/', f, g e or, f proprie (contraimaginea; oricărei mulţimi compacte este o mulţime compactă), astfel incit llg(a:) - /(a:) li < 1, VfJJ e M. Să se arate că g este o aplicaţie proprie. : . e-.~ Rezoluare: Fie Cc Rk o mulţime compactă şi [!1 = g- 1 (C). Atunci C1 este .o multime închisă . deoarece g e cr. Fie c 2

= f(C1 ) = /(g- 1 (c»:· Din C = g(C1 ),

C

C2

= f(C1),

C2

mărginită.

.

(1)

mărginită,

llf-gll~1.

rezultă

Prin urmare, închiderea

(2)

C2 a multfmll C2 este 1 1(CJ compactă.

compactă şi (3)

deoarece f este proprie. Din C2 = f( C1 ) rezultă

el C:

Di~ (1)

şi

r

1

(C2)~

compactă.

(4)

(4) rezultă că C1 eşte compactil.

L33. Fie M o varietate diferenţiabilă, cu bord, de.-dimensiune m. Să se arate că bordul lui M, 8M, este varietate diferenţiabilă de dimensiune m-1, fără...; borc!_.. 28

Re_zol11are. Fie x e aM. Atunci exist.A o vecinătate V:r: a Iul x honieomorfă, , prlntr•o. aplicaţie hz, cu o submulţime deschlsl a semlspaţiulul Hm şi hz(x) e nm~1 • RezulUl că mulţimea

n 8M,,. prin h:r:/U:r: cu mulţimea h:r:( V:r) n nm-1 care este deschisă iii nm-1 • Deci U:r:

=

V:r:

este h_o_meomorfă fiecare punct x din aM admite o vecinătate U:r: homeomorfă cu o submulţime deschlsâ.· _ a spaţiului .nm-1 , adică 8M este o varietate diferenţlabllă de dimensiune m - 1, f~ră bord.

, 1.34. Fie M =' {(a:1, a: 2) e .R2; a:2 ~ O} şi .A mulţimea numerelor reale dotată cu topologia discretă. 1n mulţimea M x A considerăm r_elaţia de echivalenţă (m1, a:2, a) ~ (y1, y2, b) a:2 = y2 şi

. afa:2

Să se arate că, P Priifer ).

= M x.A/ ~

faţă

Considerăm

Rezolvare.

+ a = y1y2 + b.

în

este o vârietate diferenţiabijă (supra-

mulţimea

P topologia

canonică

de spaţiu cit ; anume.

M x A -+ P este proiecţia canonică care asociază fiecărui- element (x1 , x 9 , a) din M x A clasa sa [(x1 , x 11 , a)] din P, · atunci mulţimea U c P este - deschis§ tn . P dacă şi numai dacă 1t-1(U) este deschisă ln M X A. Să observăm că dacă

1t:

= b, (xt, k, xi) _, (y1 , k, y 3) ~ y 8• = - ky1 + xăk + xt (x1 , O, a)

Dacă

în (2) k :I= O,

l"'W

(y1 , O, b) a

(1)

, (2)

atunci (2')

Prin urmare, numind „foaie" orice submultfme din M x A de forma x3 puncte din aceeaşi foale avtnd x 2 nenul, nu pot fi echivalente. atunci rezultă că două

Ua

= {[(x1, x 2, a)];

x 1 e R, x 2

;;.,:

=

const.

Să notăm

O};

atunci Ua este deschisă în P. (3), într-adevăr, orice element ((yă, y~. yg)] cu y 2 r/=O are un reprezentant in U11 , deoarece din (yt Y6, ui) _, (x1 , a)rezultă ·

yt

xl Ţinînd

seama

şi

de (1 ),

=

= {(x1 , o, _b);

+ Y~ yg

a

rezultă că

n-1(Ua)

un_de Aa

YăY~

=M

X A '-.âa,

b :I= a}. l\Iu}ţlmea â,a fiind închisă, (3) este demonstratii.

......

··-

.·

29

..

i

.

.

·-

Fie ~a= {[(x1• O, a)]}, tar cpa.: (Ua \.8a) ~ R2 . funcţflle q>11 [(x1., x 9 , a).] =(x1, !t11 ). Pentru x 9 :f: O am văzut că în foaia de cotă q fiecare clasă are un singur reprezentant, deci tpa este corect definită. Aplicaţia cp4 reprezintă un homeomorfism al mulţimli Ua ".8a pe imaginea acesteia, care este semiplanul pozitiv x 2 > O din R 9 • _ 1 . Se verifică cu uşurinţă faptul că .fa o sînt clifeomorflsme. Ţlnînd seaÎna cij _mulţimfle_ {Ua}aeR constituie·o acoperire a spaţiului P, rezultă că P'-= U 8a este • . aeR , ~ varietate diferenţiabilă de dimensiune . dol. · · Observ a t 1 e. -- .,Bordul" spaţiului P, notat cu 8P, este -format din clasele 84 , fiecare punct 8a fiind deschis tn-8P, deoarece 8a = Ua n 8P. Rezultă că 8P nu are bază numărabilă, fiind un spaţiu discret~ Un model Intuitiv al suprafeţei P.rilfer este obţinut plecînd de la un disc bidimensional deschis, în care, fixind un punct x 0 pe fron- . tiera discului, în Ioc de x0 trebuie să ne -imaginăm dreapta reală R dotatA cu topolhgfa discretă. Fiecare clasă [(x1 , x~\ x 3)] ·cu x 13 #:, O admite o vecinătate difeomorfă cu discul bidimensional deschis, în timp cc fiecare clasă 84 admite vecinătăţi homeomorfe cu discul ·bidimensional deschis, căruia i se adaugă un· punct x-0 pe frontieră,_ clasa 8a fiind aplicată prin homeomorfismul respectiv în punctul x 0 • Fenomenul de trecere de la M ·X A la P se produce astfel : Identificarea se realizează numai în plane de ecuaţie x.2 = const. Cind x 2 -+ oo, dreptele din planul x 2 = k date in (2), după care se face identificarea (deci, fiecare astfel de dreaptă ~ece într-o clasă), tind spre o poziţie paralelă cu axa Ox3 • Cînd x 9 ➔ O, dreptele de identificare tind către poziţia paralelă cu axa Ox1, pentru k = O• dreapta·- .de puncte echivalente fiind pnrnlelă cu Ox1 • Fiecare foaie x 3 = const din .M x A este o componentă conexă în M x A ; din acest motiv, fiecare dreaptă paralelă cu Ox1 • din · orice 'plan x 1 = const, este o componentă conexă în planul x 2 = const: Structura discretă este înlăturată prin identificare, pentru x 2 #:, O, cind identificarea se face-după drepte care traversează componentele conexe ale planului x 13 = const ; ea se păstrează numai în x 2 - = O, dreptele de identificare din x 2 = O fiind chiar componentele conexe din x 2 = O. · ·

cpt

P'

1.35. Fie M e VD(rn) şi Diff M = {f : M ~ M ; f difeon:iorfism}. Să, searate că, Diff M constituie grup relativ la operaţia de compunere. Rezolvare. Elementul unitate în Diff M este idM, aplicaţia obţinută prin compunerea a două, difeomorflsme este tot un difeomorflsm, iar inversa unul difeomorflsm ·este un dlfeQmorfism. · , . · . O b. s e r v a ţ i e. Dlff .M c·onstitule grup relativ la compunere şl tn cazul mal ge;. neral cînd M e&te prevnrietate diferenţiabllă.

_§ 2. Spaţ;.u_ tangent înt;r-un ·punct. Diferenţiala

1.38. Fie cp: Rm p eRm.

~

unei

R'··

aplicaţii

liniară.

.

într-un punct

Atunci d 21 cp .

=

cp pentru

orice-

Rezolveţre. Se ştie că (R"l)p se identifică în mod canonic cu Rm, deci egalitatea d21 este numai dacă y(t) = Opentru orice t din I.

dacă şi

32

degenerată

că

Re:olvare: Amintim

(~ (Io)) (f)

= d(~ y) (to): = const,

Dacă y este dege~erată, deci dacă y

fe F(M), de~i y(t0)f = O, Vfe F(M),

adică

-

atunci

f oy = const pentru orice -

y(t0)= O. · . Reciproc, dacă y(t) = O pentru orice t e:I, atunci f o y = const pentru orice f eFfM). ·Ţiilînd seama că pentru orice puncte p,·q e M există fe F(M) astfel incit f(p) =I:, f(q) (această afirmaţie rezultă, de exemplu, din lema lui Urîson), se obţine că

y

= const.

Obser va 1.41.

ţ

i e. O generalizare a

proprietăţii

demonstrate este

dată

. în problema

1.41. Fie M, Q varietăţi diferenţiabile, M conexă şi q,: M ➔ Q o aplicaţie diferenţiabilă astfel încît dpcp = O pentru orice punct p din M. Să se arate că 'P este o aplicaţie constantă. \

",

Rezolvare. Să fixăm punctul p0 în M. Varietatea M fiind cone."'Că, rezultă că pentru orice punct p din M există o curbă (I, y, M) şi 10 din I, I 3 O, astfel ca y(O) ,.;. p0 , y(t0) p. Ţinînd seama că vectorul tangent tn I la curba ip o y este imaginea vectorului tangent ln t l':1 curba y prin diferenţiala tri · y(t) a aplicaţiei cp, adică (dy(t) cp) (y(t)) = =(cp oy)"(L), din cly 111 cp=O rezultă că (cp o y)"(l)=O, Vie I. Prin urll!are, cp oy=const deci cp(y(O)) = cp(y(t0 )), adică cp(p) = cp(p0 ).

=

1.42. Fie i â

X

= 'R1'. .....➔..

= 'v'-1 un âXiM

Rn+m, i(a;l, ..• , xn)

-

= . (x1,

••• , x", O, ••• ,'"O) şi •

vector· tangent în punctul M( xi,

calculeze (dMi) (X). Rezolvare. Fie l' =

... , x3). · Să, se

(d111i)(X) Avem ·

y·k=v.1

a,1c

I.

8x1 M · Deci 1•k

= ·vk, dacă

= O,

k ~ nk, Y,.

dacă k l> n, şi

Y= ~n vk -a-

a-,k X ..

LJ

lf•l

1.43. Fie 'j

=

R' +m-+ 1

şi

V

=

v1

I

i(M)

Rn, j(x1, ; •• , xn, ... , xn+m) =

~1

fJxl. M

+ .. ~

Rezolvare~ . -

-I 8

O~

3-c. 1508

âa;n+m

Să

+. • + ,;n _ţ_l 0

•

j(M)

_a_l

+vn+m

un vecto1· tangent în M(xo~ ••• , x8+m). (d~J>-V=v1 -

)

•

ox"

(x1, ... , xn)

~

s·e calculeze dMj(V.

-.

j(M)

.i

:/ i,

. _;._ .! ~

'33

.

--~

~-

_--....... -

. ·: 1.44. Fie .)li şf N două- v~etăţi diferenţiabile· şi: q:, : M ~ N o~.aplicaţie ~iferenţiabilă care, în vecinătatea punctului p(2; 1, l} e M,

· are

·

expresia.locală

· cp1(x1, x\ a;s)

= (a:1)2 + 2x2, q,2(a;1, m2, a;s) = a;i + a;2 + e"".

Daică,.

5~1 +_!___/

V=3_!___1 _

aa:1 I> . ~a:211> axs ,1> este un vector tangent în p; să, se găsească dpq,(V) . . Rezolvare. ·Fle q (6, · 3

+ e) = tp(_p) • . Dacă dpq>( V)

.

notăm

~1- + ;;1-!_I •

= ;;1

ay_1

au' 'I

f

.ţ\.vem

I

I ·

a· 11 -s ....!... a 1 + __!_ a 1 =2, vi= 3_!_ ax1 /> ax2 p ax8 /> · _v2 = 3 aq,2 arp2 -I - 5 -I

. ax1 . p

ax2

J>

+a,s-3 1

OX J,

· .. =e-2

.'

Deci

, dpcp(V)=2-a ayi

.r

•

I~-15. Fie g

vţ") · şi

:R2~R 3

.A.(O, 1).

.

Să,

I

a

I

+:(e - 2 ) - •

au:.

'I

q

definită prin formulai g(u,

se calculeze d.Afl (4

v)=(u2v+v2, u.....:.2v 3

~1 au -!_I av )· Â

Â

Rezolvare. Se

obţine

d.itg(4

.i_l au .:_ Â

unde B(O, - 2, 1)

=g

~1 ) 2~1 + .!._I +3~1 • a» Â

=-

ax B

10

ay B

az B

(A).

· , I.48~ Fie M o varietate

diferenţiabilă, şi .

T(M)

arate că T(M) poate fi organizat ca varietate dim T(ll() = 2 dim M·. · .

=

LJ.Jţ"'. Să,

se

PeM diferenţiabilă şi

.,

Rezolvare: Fie {U,, q,,},er. atlasul care defineşte structura dUerenţlablll a Juf M_ Familia {T(U,)}seI" formează o .acoperire a lui T(M). Dacă x este :.~ punct .din 0

.,

/

I

'I· -

---

~

- '!_. -

-~

.

~

_,

--

__,.~

--

u,: ~,(,c)-~ (,el,. ; •• ,c:), şf • ~ •• a:,1. ~- v~~r tangent 1n ,,, c1.nmn: "1Mv> .

== ci1•. -... x,.-, P1• .-••• vii{ . ;-

.

ş i.areste apuca·µ1 constitui.e liomeomorflsmele necesare. Dacă ·x e . ~;(v) şt

u, n '!!,~-

== (x1'· •••• :,x"', 111' ,- ••• , 11"').

trecerea de la un sistem de coordonate la altul se face pri1_1 functiile ·,

i' = /1(x1, ••• , xn), i'

V

/

ar

i

dlferenţlablle

= \,' ... , _n,

i =1, ...• n,

=V-,

oxl

;

_,

1.47. Fie M o varietate diferenţia_bilă. Să se organizeze ca, variediferenţiabilă mulţimea ;vectorilor cotangenţi

tate

-

;

-

T*(M)

= U

M!.

peM

Rezolvare: Vezi 1.46.

1.48. Fie M o varietate diferenţiabilă şi J:l(M) = {(m; e0 •••• e,.) Lm e M,> (e 1 , •• • ,en) ·bază,. ordonată în Mm}• Să se arate că B(M) est~ ·o varietate diferenţiabilă şi · că proiecţia 1t: (m; e11 ••• , era) ~ m _ 0

_este o -

aplicaţie diferenţiabilă,.

·

Rezolvare. Fle-( U, cp) o vecinătate de coordonate în M, astfel 1

U

=1t-1 (

U) •şi qi : U➔ Rff{tl.+1)

definită

unde cp_ (m) -

= ( x,1 .•.. , x n)

şl

e, =e,,al ·a, .

.

•

X ·"'

Cuplul (ii. q,) defineşte o vecinătate de coordonate in B(MJ şi npUcaţia ponentele · ·

avind com- _

1t,

/

. este dlfere~ţi~bllă.

1.49-.~·Fie U o vecinătate de co9rdonate în.v~rietatea diferenţiabilă . Aplicaţia f : 11 ~ v(g), definită pe ·T( u). cu valori reale,

M şi g e Ji'( U)~

_· . · .

eşte d~erenţiab~.

-_ ~

---

_

35 -~-~~--~~----~-

: '

...

-

...:----~

~

:~~"":' ~---~---:_ ~-

~~:__: .:'_:....~- ~- --~-~:. -- :

-.

. - .,. ----~

-.-- ~--~--. ·.,;:,f-~.. :,-r

-

..

:_.

.

:.

.- ..:.

:::

Rezolvare. Fie x1, •• • ,xn, v1 , caz aplicaţia cp are . expresia _, n cp(a.~. • .,X ,

deci, este, evident,

••• ,

vn un sistem de coordonate în T(U}. în acest

1 n) V, ••• ,V

diferenţiabilă.

ag 8g = v1 f}x1 + ••• + Vn fJ:tA'

.

·

·L50. Fie~ M o varietate diferenţiabilă,. Să se arate că aplicaţia q> :T(M)EB-T(M)-+T(M), definită prin corespondenţa (v, w)-+a.v+~w

este diferenţia~ilă,, oricare ar fi a: şi Rezolvare. Expresii\

locală

(xl,. • .,xn, z,1,. • .,vn,

de unde

a acestei

u,1,. •.,

rezultă diferenţiabilitatea

~

reali.

corespondenţe

este

wn) ➔ (xl,. • •• :z;», «r,1

+ ~wl,

• • ., own+~wn),

sa.

l

.·

_,....

.

Capitolul ll

VALORI REGULATE. SUBVARIETĂŢI

Fie M e VD(m), Q e VD(k) fismului

şi

6: M

➔

Q, 6 e 0 00 • Rangul mor-

dp6: Mf) ➔ Qe(p>,

care este, Qe(P>,

după

cum

ştim, dimensiunea, subspaţiului aplicaţiei 8 în punctul p şi

se numeşte rangul

rangi, 6. Evident

că

(dp8)(Mp) din se n9tează, ou

-

rang11 8 ~ min (m, k). · Dacă rang21 6 = min (m, k ); spunem că, 8 este regula tă,_ în p, iar punctul p se numeşte punct regulat al aplicaţiei 8. Notăm:

R1'(6) ={pe M; 6 regulată în p}, .

CP(6)

=

M"-.RP( 8),

CV{6) =_{qeQ; (6... {p))nCP(8) #: RV(6) Dacă 'RP{8)

Denumiri:

...... _

.

....

...

-

:::.·

.-

=

0},

= Q"-.CV (8).

M, atunci spunem.. că 8 este

aplicaţie regulată.

p e CP{6),

p punct critio al lui 8,

q e CV(6), ·g e RV(6),

q 1J>, (fi; :"; ; i") e .TI'.fi'( 6(p)) astfel incit : 1) pentru orţce ie fj avem q e 8(U)~i 11(q) = O, a:= m + 1, ... , k; 2} 8/U este scufundare.

·col'Olarul l. Se arată incit să existe 8>0 cu:

. ~{U) =

n;,a),

--

cele

~{U)=

O.e Rk,

...~(8(p)) 38

că

i

două hărţi

.Dfo,a,,

locale pot fi alesea,stfel ·

= W1~o8, ;(pf= Oe R"'; = V o~, unde v_: :o,m--+ Rt,

08

a;i

1 -

-

-:-- _: -

j-_~ ~~~ _·. -.. · _·-=·::. ~- - -~

"11,

-

.

,..

-~--...::...··

-. ·.

~

-\~;'-

_:

•

,-~--

4

-

-

,--: ·. •

..

-~--,

-

---;·:._-

-:·-:

-este incluziunea _naturală v(t1, ••• ,_ţmf= (t1, .•-.,en,Q, ·... ,O). Un·· __ .. -_ ..cuplu de hărţi locale_ avînd propri~tăţile din_ corolarul 1. constituie ceea_ numim cuplu de·hairţi aa_ociattJ. - -' -

ce

·eorolarui ·2~ Dacă (M; 8,. Q) este_ scufuridare; atunci 3 poate fi ales astfel încît relati'; la cuplul corespunzător de hAl'ţi_asociate să avem ·.

-. - -

a,« (q)= ~«- q e ifn 8(M).

o

__Teorema 2. Fie. (M, 8, Q) imersie. Dacă aplicaţia 8 este proprie, · · atunci 8 : M ~ · 8( M) este homeomorfism, deci 8 este soufu.nd?J'e· _- .. , Din teorema 2 rezultă· motivul pentrn care au fost ·tratate pro-__ blemele l_.32 şi V.12. ., Teorema 3. Fie 8: M ~ Q, din M = m, dim Q = k, m-> k,-~ · · ti e .RV( 8) şi [8q] = a-{q}. Atunci: · 1. Subprevarietatea [8"] este varietate ..diferenţiabilă de dimen- _.siune m-k .; 2. Incluziunea v: [8q] ~ M este scufundare. 3. Structura de supravarietate es.te singura structură diferenţiaibilă pe [8"] :relativ la care [8ql constituie subvarietate a varietăţii M. : _. ~:-: __ 1n cazul Q = .R (c~, dealtfel, şi în cazul general) mulţimea [~] se _ numeşte mulţi1!'-e de nivel comtant a aplica;ţiei 8.

'

§ 1. Puncte critice. Valori regulate

Il. t. Oricare ar fi punctul p din varietatea M e V D( m) şi pentru ·orice bază, {A,}; i = 1, ... , m, a spaţiului Mz,, există ,un sistem de coordonate locale _y' în jurul punctului p astfel încit

( .) {}

.

.

A,= -,- . , .

f)y . .

.

p I

•

· _ -Rezolvare. Fie :z:i, i = 1,!• •• , m, coordonate locale în jurul pu.nctulul ·_p :şi · _-.u' = aJ i 1 ,cu proprietatea că det (al>,/:, O, a1 e R. Atunci xi = bl y", · bÎ fllnd elemeti~ -· -· ~te1e matr:ICfil .((aj)}- 1 • Din teorema de transformare a coordonatelor locale rezultă : . că {u'}iel,m constlţule un sistem de coordonate locale tn Jurul punctului·- p. Avem -

!l\\· =-aax:

U.Y

1'

U_

(j,). _f)f)

I

X 1 _1'

~b{

8~a,\ • D_•ar~'"= A(8a_·. _ . - X"

_. X _.P

I· '/I-

unde

~t_ = _ Ai(xl), -

Ale~em. _

39

· b¼ = A{.

y1, . •• , ym

(Al),

deci matrice~ (ah este inversa ma trtcei

.

căutate.

.

ce~a ce conduce la coordonatele

.

.

e VD(m),

iar y«, « = 1, ... , r, r < m,. un sistem de în pe M, astfel încît să, existe un sistem de coordona~e a:t. în jurul punctului p, cu .·

II.2. Fie M

funcţij diferenţiabile

)J=

rang (( ::.

r,

un sistem de m-r funcţii y1, j ~ r+l, ... , m, diferenţiabile în p, astîel ca y1, ... , ym să constituie un sistem de coordonate înjurul punctului p. ·

-Atunci

există

f)yrr.)

notăm ( fJx'

Rezolvare. S~

(p)

= a,rr.

şi

să completăm

«

-

matricea, (a,), cxe 1, r

ie 1, m, la o matrice (a{ J) e 1, m, ie 1, m, nedegenerată. Fie -(bh =. (aJ)- 1 şi fie vec;

torli · B, e Mp .

.

.

daţi

'

.

deoarece (bs) este _coordonate, ... - I

= b,=

de B, =,;, bJ_ .

nedegenerată.

z1, ieT,"m,

f):x;J

1)

Din problema II.1

rezultă că

in jurul lui p, astfel incit i

f)zi (p),

._!_, _Vectorii B, constituie o bază a

• f);ci

deci as

f)zi

= fJxJ

(p) şi

{ f)zrr.

1·

fJxl

Mp,

un sistem de

a = B,. -;-

Atunci B,(xi)=

f)yrr. fJxi (p).

în acest caz

vzi p

ac

(p)

există

I-

spaţiului

= a1 =

funcţiile

li',

h'

'

={ zi,

dacă dacă

= 1, .•• , r, i = r + 1, .. . ,m, i

. au proprietatea că--, oh' (p) = -iJzi, (p) şi deoarece r_ang . alege

f~cţlile

fJx zr+i, ••. ,zm

iJx

drept

( âz• ) --, (p) =m, rezultă âx

.

că putem

funcţiile căutate.

11.3. Fie varietăţile diferenţiabile M, N astfel încît m=dim M ~ dim N = n şi aplicaţia diferenţiabilă cp: M ....+ N, regulată 1n p e M. Atunci, pentru orice sistem de coordonate y1, ... , y• in · jurul lui q> (.p ), există indici i 17 ••• , im e {1, ... , n} astfel încît funcţiile yi1 o q,, ••• , yimocp să formeze un sistem de coordonate locale în jurul punctului p. ~

Rezolvare. Fie x 1, • •• , xm un sistem de coordonate in jurul punctului p. Atunci

. d · (- a )- = [ (d {- a ) ) (yl) ] {- a ) 1'

40

cp

f)~«

P

p(P)

t a)

= -fJ(y, - - o-cp (>p )· f)x,.,_ f)yl

.

q,(J,)

şf

·. ·-

.

din. regularitatea aplicaţiei cp în punctul p rezultă că rang

deci

.

· · ( .a

a.o q>)

exi,stăunminor

-

det ( a(/~ocp) . ·axa.

~p))

·

:I:

~

- ) (p).,

-ax

-

~=1,_.~••·m,

( iJ(yl o cp)

a.

.

ax

~

CP)_

=.. m, 1 .

jr3e{l, .•• ,n}, astfel înctt

I

.

.

Din teorema de schimbare a coordonatelor locale rezultă constituie un sistem de coordonate în jurul punctului p.

că funcţiile z ~ = /'3ocp

11.4. Fie M, N varietăţi diferenţiabile de dimensiuni m, respectiv n, m ;;;> n, p u1;1 punct din M, iar cp: M ~No aplicaţie diferenţiabilă, ·regulată în p. Atunci, pentru orice sistem de coordonate y 1 , ••• y» în cp(p ), există un sistem de coordonate a;l, ••. , xm în ·jurul punctului p astfel incit xa. = g°: cp, ct = 1, ... ,n, egalitatea avînd loc în _jurul punctului p. 0

Rezolvare. Din regularitatea aplicaţiei cp în p rezultă că dpq> este surjectivă in p · (în cazul m ~ n), deci, pentru orice sistem de coordonate z', i = 1, ... , m, în jurul .. . ~

8(y o cp)

punctului p, avem rang - - - (p) (

U.3,

~ a n. Din problema ~1.4 rezultă că există o hartă locală ( W, x 1) care conţine punctul p, ie 1, m, astfel incit :ca. = ya. 0 cp, _.- ex e 1, n. Prin urmare.

. bY m

:w

rang•,= rang ( (

acu;;,> c,i)) )=rang «B:)> = n,

w, adică w C RP(cp). Obs~ r va ţie. Deoarece mulţimea CP(cp) a punctelor._ critice este compl~mentara._mulţlmll punctelor regulate, rezultă că CP(cp) este închisă. Vqe

. II.7. Fie M,_ N varietăţi de dimensiune m, M _compactă; tp: - : M➔N, şi y e RV( cp ). Să se arate că cp0 (y) = card· tp-1(1/) este finit. Rezolvare. cp-1 (y) este compactă, Pe de altă parte, q,- 1(y) este discretă; d~oarece x e ,-1(y) există o vecinătate a punctului x aplicată difeomor! pe o vecinătate

penţru

a punctului y. Mulţimea cp- 1 (y), fiind compactă şi discretă, este finită. . ·O b s e r v a ţ i e. Se obţine în acest fel o aplicaţie cp0 : R V( cp) ~ Z, cu valori nene~tive, şi q e N'-. cp (M) «- cp0 (q)

= o.

R~ziiltă · că q> este surfectivă atunci şi numai atunci cînd

cpO(q)

·.

(

> O, V.,_e RV(cp).

•. I

_. .

-;..:-...:; •. --:;:;_·-. ~:

.::....

- ..; :~_"=_·::~•~.i··

J~_rr;r,_- - -o-::·~-~--------~-~~-J~:~>~~--. ~

:

,&• ~

:

r

•

•

-

r·

...

•

-~~se

- ··: -_U.~. ~te -că aplicaţia rp0 :• .RV(q>) -)' Z, defini_tă în problemă; II. 7 :este Jo-cal constantă. - - - - · ~ __ . · _, ;'_ -·Rezolvare. Fie iie RV(cp) şi {P- 1,. -. :,Pt} =·cpfi (y). Alege1n:' U; e -r(M) astfel--înclt: : -- - . _-. - _- I . - . -

•

-

•

'

.

•

'

:

·c

-

-

-

-

'

-

-

C -

-

-

-'

-

P; e U1, j e 1, k, cp;/Ur .dlfeomorfism, U; n U t

..

- (1)

= 0, i #: j.

(2) - .

.

'•

_v, c=rpq>(U1), j e 1, k, şi ·v = vl O ••• () vk "\q,(M".U1'\. ••. "\U.tk Atu~cl 0(q)·= rpO(y), Vqe V. . . - ' .. '-

Fie V.e T(N)

şi

Il.9. Otice polinom comple:x: neconstant admite un.zero,. Rewlvare. Fie S 2 sfera unitate din R 3 (S 2 "\ {(O,

hN ;

şi proiecţia stereografică

o, 1)} ➔

R2

din polul nord (pe planul ecuatorial). Identificăm S I ➔ S2 aplicaţJa

f(x)

={

X

C R3

{O}

R2

X

{O} cu planul complex. -Fle·

hi 1 o.PohN,

:t::/=(0, O, 1),

(O, O, 1),

x=(O, O, 1),

·

nnde P{z)_;,;,: a0 z" + ... + an, a 0 :#· O, este polinomul considerat. Fie hs proiecţia stereografică din polul sud_· (O, O, - 1). Aplicaţllle hN ş1 . ~s sînt difeomorfisme. SA ~onsiderăm aplicaţia Q = hs f hs 1 : Jl. 2 X {O} ➔ R2 x {O}. Punctele hN (x) ·ş1 hs (x) slnt inverse în raport cu ecuatorul, d~ci 0

·

1

hN hi (z)

_

'

1

:

= -Iz=-=-z I2 .

\

şi Q(Z)

·

zn

= a_ zn + . . . + a- z .+ a • 8 1 0 ,

-

1

Deci Q este diferenţlabilă în vecinătatea originii. şi din f = -hi Q lis rezultă diferenţfabilă - în vecinătatea. polului nord. " Deoarece hN şi hs sînt difeomorfJsme Jar pentru d~ţrenţiala apUcaţJel P

dzP

= (n a0 zn-i + a9 _ 1 )

căf este

dz

există un număr finit de puncte z în care aceasta se anulează (deoarece P nu este constant); precum şf din formula d21 (8 oµ)= dµ

8 o _d21µ, rezultă că aplicaţia fare un-'.riu~ăr finit de puncte critice. Prin urmare; există un riumăr finit de valori critice ale .aplica-· ţlel f, :deci mulţimea valorilor regulate este conexă._ De alei şi_din problema 11._8 r~lti că -' este constantă. . -: ~ SA arătăm că f'°:# O. Demonstrăm prin reducere la absurd. Dacă f'°=O, rezultă că 1,>enfnf -, oiic;e•ye RV(n avemr 1 (y)=0, deci RV(f}n((S 1 ) = 0, adică f{S 1 ) = CV(nşi, deoarece _card C·V0 , deci f esţe· difeomorffsm -în jurul -. punctului p0, apllcînd o vecinătate ·W_e- -i(S1 )' a punctului p0 în vecinătatea f( W) e -r(S9 ) a punctului f(p0 ). Cu alte cuvinte, f(S') conţine mulţimea deschisă f( W), _fapt ce -contrazice .rezultatul anterior· conform căruia J(S') - . . o . --·..,. -. ' conţin~ un nu~ăr finit de puncte~ Rezultă că-f este o const~tă nenulă, d~cl f este· sin:'0

--

~ ·-~- -'":' ;.:': . =-- -.:-~-

- -...__

..

~-

___

• •

.

- ~;--;_::..:--:

--._:_.-:-_.:-.:.:....-· --

f

Jectivă

r

1

1

(.problema Il.7, observ.atie). Aceasta

.

hN (O, O, - -1)

=

O.

:

existenţa

unui punct x0 în

,

= hNfhi 1(z0) f;:= hN fhN 1 hN(x0)=hN f(x0)=

Fie p~ctul z0 = h(x0). Atunci: P(z0)

=

asigură

• .

.

•

Il.10. Fie M o varietate compactă cu bord oM. Să se arate nu există nici o aplicaţie diferenţfa,bilă f: M ➔ oM pentru care-· f(q) = q, Vq e oM. Precizăm că M se.numeşte varietatea m-dim.en·sională cu bord dacă orice punct din M admite o vecinătate difeomorfă cu o mulţime des_chisă din semispaţiul m-dimensional xm ~ o, notat Hm, al cărui bord oHm este hiperplanul a;m = O•. Amintim că, bordul lui M este format din acele puiţcte care sînt apli~ate _prin difeomorfisme de coordonate în aHm. că

Rezolvare. Să presupunem că există o astfel de aplicaţie f. -Fie y e oM o valoare regulati pentru f. Atunci y este o valoare regulati şl pentru (laM ida.at·. Se ştie că în acest caz (y valoare regulată atît pentru f cit şi pentru flaM), r- 1(y) este o subvarletate. de dimensiune dim M - ·dim (8M) = m - (m - 1) a varietăUI compacte M, al cărei bord este ·

=

acr 1 = {u}.

r-

(1)

este o· varietate unidimensională compactă, deci este o reuniune finită de 1(y)) coaţine difeomorfe cu cercuri sau cu segmente, prin urmare, bordul un număr par de puncte, fapt ce contrazice (1 ).

Dar

1 (y)

acr-

varietăţi

Il.11.

Să

se arate

că

orice

aplicaţie diferenţiabilă

g: jjn ~ jjn

a.re un punct fix (iJn fiind discul n-dimensional închis). Rezolvare. Fie f

aplicaţia care asociază fiecărui punct x e î5n punctului f(x)

.

---+

din sn- obtJnut prin intersecţia semidreptel g(x). x [de orlgine g(x) şi avînd acelaşi versor cu vectorul x-g(x)] cu sn- 1 Se arată ci fe C00 şi se apelează la problema precedenti. Faptul că f e c 00 rezultă din formulele 1

=ann.

,·- j(:,;)

= x + l u,

· · D.12.

Să

un punct fix:.

x-g(x)

unde u

Ux - g (x)ll

că·

se arate

orice

şi l

=-

funcţie

'

x •u

+ V1 -

.x · x

coe.tinuă • G:

+ (x. u)1 .

I>"

➔ Jjn

·

are . ·

Rezolvare. Se reduce problema la cea anterioară, aproximind (conform teoremei b.d. Welerstrass) aplicaţia G cu o funcţie polinomială P 1 : .Rff ➔ R 11 • Rentru orice e; > O exlsti o astfel de funcţie P 1 Incit IIPi(x) - G(x) li < e: pentru x e nn. Punind P(x) = ==

P1(:t)

--

-

obţinem P: D" ➔ nn

1 + e; puncte fixe.

-

cu j:P(x)-G(x)IJ

implică

sau de llllde

.

Decl~acă

imaginea lui f este un nod pe tor, de tlpul (k1 ,

q.15. Fie M şi N aplicaţie diferenţiabilă, zătoare.

ki

.

« estţ raţional, f nu este injectivii, deci nu este scufundare [ pentru oc =-, k1

Definim

; 2)

J

două varietăţi diferenţiabile,

f: Jtl, ~No

T( M) şi T(N} varietăţile tangente- corespun;"

·

·

~-- _:: __ aist~eî că f */MP == dJ. Să· se demonstreze că: )t a) f * este o aplicaţie diferenţiabilă; ~ 1 . b) dacă f este imersie, şi f * este· imersie ; ;ţ~ e) _dacă f este scufundare,· şi f * este scufundare.

.

_ _' .Re~lv.ar(;-·a),·Fie {x1 , •• •• ~m. o1 , ••• , vm}°un sistem de cooi;-~onat.c locale tn.:V~iJ;1A-. _ ~_. . . tatea punctlllul 110 .E T(M}-şl. {y1••• • ,y", w1••••• w 9 } un .sistem de coqrdonate. locale 1n : . ··· ~tatea punctului t.(110) e T(N). Ţintiilvare. Fie (ex, ~) \l..D sistem de coordonate locale pe S1 x S 1 astfel incit,- dacă q, este homeomorfismul de coordonate corespunzător, avem q,- 1 («, ~)

= ((cos a.,·

si:11 a) (cos (3,. sin

rm.

«,

~

e (0, 2 1t),

f n acest caz aplicaţia f are următoarea expresie locală :

f1(a.. {3) = f 2(«, [3)

COS IX

(2

+ COS~),

= sin ·«(2 + cos~).

:/8(ri, ~) =sin~- .

Matricea jacobJană

asociată lui

f se scrie_

+ cos (,) . ~s -~(2 + cos ~)

-. sin 'f (2 . J(~, [,)

=

(

~

.

cos a.(2 - sin ~) ) sin « (2 - sin ~)

.

cos~

4-c. 1508

'

49 _.,, f.

~

...

;-::::

... -~--_:'~

I

·Deoarece·

,-

. i-si_n ~(2 + c9s (3) cos c,;(2 :_ sin (3) A= - - -· · _. = -(2 cos et(2 + cos (3)_ - sin cx(2 - sin (3) rezultă

---_.-

.

_- -_

+ co~ ~)-(2-sln (3):/:0~ . _ .

_ · -

· rang J(cx),-~)

} ·un sistem -de coordo-

...

nate' JooaJe

În~;ecinătatea -Iul.· x~ şi_ {y1,. : ~:,Y«l mi

fat~ ~ul y0(~A,· ·•:iyg).

sistem de ~oordonate ·iocale fu_ vecln§- .;"· _ . _

Apllc~tfa de incluziune_ are expresia ·locală . i1(x1~••• ,

:

_

_-; ~ , _

x»); ~ xi-

. . . . . .~ . . . . -

-

jSl(xl, ...• :rP)

= xP

· x _· J>) z·J>+i( • x 1,,..•• __ -= y01

= Y8

iPH(xl, ••• , xP)

Daci

A=-

tai-; \ ax

j=l.

d .:,,,

Dar pentru k

şl

,E;;

este un vector tangent i~ Xo, avem

Xo

.

"'

Xg

I

·a

i A= ~ ăi-'LJ axJ

-

+

(xo,,,0)

J=l _

a

q ăP+i ~ .LJ i)yJ

· , ... 1

I

•

_ (z0 , 10)

p

pentru k> p

ak =

tP

jr.al

·

ai"

al--

oxJ

·

= ai· O = 0.

Rezultă că aplicaţia d% i este injectivii, deci i este regulată în x0 • Cum x0 a fost ales 0 arbitrar, rezultă că t este o aplicaţie regulată a lui f(M) tn M x N, deci f(M) este o. subvarletate a Iul M. x N. Mulţimea M x {y0} fllnd închisă în M x N, f(M) este. o subvarletate închisă a lui M x N.

D.23. Fie M şi N două, varietăţi diferenţiabile şi cp o aplicaţie a lui. M în N. Considerăm aplicaţia q,: M--+ M X N definită prin formula ~(m) = (m, cp( m)) şi graficul lui cp : - · diferenţiabilă,

Gt9 = {(m, q,(m)) I.~ e M} cu topologia indusă de topologia lui M x N. '· să. se ara:te că, _q, este ®·· hoµieomorfism între .M.. şi Gt9. Graficul Gt9, dotat cu structura .de . -_·. ·~ubvaiietate indusă de- q,, e~te o· snbvarietate închisă, în M x N. · · Rezolvare. Aplicaţia ~ : M ➔ Gq, este, evident, biunivocă. Să arătăm că este şi _ blconUnu_~•- Fie U o submulţime deschisă a lui M, Mulţimea U x N este· deschisl • · în M x N,_ deci ( U x N) n Gq, este deschis.A in_ Gq,, Dar ( U x N} n Gq, = "6( U) şt· rezultă · -_ că _ci,_ este ?.8.-Plicaţle deschisă. Fie V o· submulţime deschisă a Iul Gq, Atunci . .

-v=[u(rjff,",, wtl)] ne~-

'

.-5i

-

.,:_ . - __-·. ,,::_

.---·· -...

unde şi

v, şi w, slnt deschise in M şF N,

este suficient

să conside~ăm mulţimile

cJ,- 1 =

n

respectiv.· Dar cJ,~1 (VfU

w,.

de forma V, x

tJ,- 1«c;,- 1cw, n v,> x

w,>. =

n cJ,- (Vi 1

X

W'

Avem

c;,- 1 w, n-v,.

Deoarece q> este continuă, q,- 1 w, este deschisă, deci II, este continuă. Fie y0 un punct al lui N şif: M ➔ M x N apllcaţla definită de legea f(m) = (m, y0). Dacă i este apllcatta de incluziune a lui Gcp ln M x N, avem i = f o tJ,- 1• Rezultă că ieste diferenţia­ bilă şi dp i = dlf,-l(p) f o dp tJ,- 1 • Deoarece dp·tJ,- 1 este .bijecţie şi dlf,-l(p) feste injecţie, rezultă că d2'l l este Injecţie, deci l este o apllcaţie regulată. Cum M x {y0 } este închisă ln .M x N, şi Gcp ~ste o subvarietate închisă a lui M x N.

11~24. Fie M o varietate

diferenţiabilă. Să

se arate

că

T(M) EB T(M) = {(-v, w) Iv, w e T(M), 1t(v) = 1t(w)}

este subvarietate diferenţiabilă de dimensiune _ 3nalui T(M) x T(M). Rezolvare. Fie (U, q>) o

hart_ă

în M.

f:

Aplicaţia

T(U) X T(U)

~

R 11 ,

prin formula f(v, w) = q>r.(v) - q,r.(w), are ln punctul Oe R.1' o valoare regulatil• {x1, •• • ,xn, y1, •• • , y11 • v1, ••• , vn, w1 , ••• , wn} slnt cooţf a vectorului

a

I

l -A=a

OX1

(Vo, Wo)

n a + ... +a--

OXn

I

(Tlo, fDo)

r-

.

1 (0), deci r- 1 (0) este subRezultă că dcii, ui) feste surjectivă pentru orice (o, w) e varietate a lui T(U) x T(U). Deoarece acest lucru are loc pentru fiecare U, T(M)Ea T(M) este subvarfetate dlferenţi~bilă a Iul T(M) x T(M). dimensiunea sa flind egală cu dim (T(M)) x T(M)) -, n = 3n. '

52 ,.

_.....:__

~.

Il.25. Fief: P ➔ M,f e 000 , P e VD(k), M e VD(m), şi i: N ➔ M o subvarietate (incluziunea i este regulată) astfel incit f(P) c i(N). Fie g = i~1 of. Să se arate că dacă aplicaţia g: P ~ N este continuă, atunci g este diferenţiabilă. · Rezoluare. Să alegem un punct q e P şi să notăm ·p = g(q). Fie h f:- F(p). Trei:nile Pentru aceasta vom arăta că există o vecinătate W e 't' (M) a pupctulut i(p). o vecinătate W a punctului p in N şi o funcţie ii e F( W), astfel inclt :

-

să_ arătăm că ho g e F(q).

i(W)

c: W', ..

(1)

ho i.= h pe w.

(2)·

într-adevir. aplicaţia incluziune i fiind regulată. rezultă că alegind un sistem de coordonate x1, .. . ,xm pe o vecinătate W a punctului i(p) şi renumerotînd eventual lndlcll, funcţiile x1 o i, . .. ,x0 o i pot fi alese drept coordonate locale pe o vecinătate W a punctului p. Deoarece he c 00 , iar x1 o i, .•. ,xn o i silit co_ordonate locale, există o tune- ţie u: R"➔ R, e c. 00 , astfel incit h u(x1 o i, ••• ,x11 o i). Să alegem-h = u(x'l, .. :, x"); in acest caz sint verificate condiţiile (1) şi· (2). Dar ho g= ii o i o z- 1 of= ho f, şi notind W0 = g- 1 ( W), avem : W0 este o vecinătate în P a punctului q (deoarece ·g este continuă), h oY este dlferenţlabilă şl coincide pe W0 cu h o g, deci h o g e F(q).

u

or

Il.28. Să se a lui B 2 care

=

construiască o subvarietate diferenţiabilă de clasă,. 1• să nu fţe subvarietat~ dţferenţiabilă de clasă

or+

Rezoluare : Considerăm s~bmulţimea G a lui R

2

:)

G = {(x, f(x)) Ix e R}),

unde f: R

➔

R este

definită

prin

corespondenţa

pentru x

(- t)r xr+t

f(x)

={ ·

·

~

8,

pentru x > O,

xr+a

şi fie V varietatea diferenţlabilă definită pe G corespunzător subatlasului (G, «p), unde q>((x, f(x)) = x. 1n acest caz, incluziunea i : G -+ R 2 este de clasă cr dar nu este de clasă cr+i, aceasta decurgind din faptul că aplicaţia

1.Rs o i o «p- 1

:

R

~

H'

care aplică pe x în punctul (x, f(x}}, este de dasA cr dar nu este de clasă cr+i. în con-cluzle, V este subvarletate diferenţiabilă de clasă cr a lui ~. dar nu este şi de clasă

cr+i.

Il.27. renţiabilă

·

Să

se arate

că

cilindrul S1 X R este o subvarietate dife-

a lui R 3 •

Rez:,lr,are. Putem considera cllindrul S1 X R, acoperit cu două vecinătăţi de coor' donate: V1 care nu conţlne"dreapta Ui = 1 şi V1 ca~e nu conţine dreapta u1 =.- 1_

53 I

.:.-.

• --:::-,;••R

~---::

-

a~licaţfa de. incluziune

·cvez1 1.21).· Pe V1 ;_-. ,.

.

1ocaÎă

;_

·

ii_ (u1,_ u1 )

➔ (i,

y, · z) are

expresia.

~_-- .

2u1 :i:== - - - 1

+ uf

- Aceste funcţii sfnt diterenţiabile. Fie p(u1 , u~) un punct al cll!ndrului. Avem: d:Pi

a I ) -2(1 ~ ui> a I ( aul p = (1 + ui)2 ax i(p) +

(1 -

u>a - x2

_·

aI

= 2 - - - - - ( 1 - y )9 - . [( 1- ·y)ll + x2]2 iJx 'i(p)

aI

4u (1

+1ui)2 oy

j(p)

=

·

aI +((1-s(t -- -y)'- - - y) + x2] oy i(p) 2

2

şf

,;,-·

Deoarece pe l'1 , avem u1 =/; 1, rezultă că rangul lui d21 i este egal cu. doi în fiecare punct pe V1 • Deci aplicaţia i este regulatii pe l'1• La fel se arată că această aplicaţie este replată şi pe V2 • - ·

/

o .

-··.::·==--·

-... _-=-~-

=··

~

: :.-~--:--·~ ---=.--=:- ·:.---.: -__ . -. ·-;

-

~~//t,:,{CJ-~c-- ,- ·!_,~! -_'.(~' . ~

..:.. -

J~

-

'_

'!.

-

-

·. _\·•_ .• -

✓,,

.. - -~-:.. ._· . .., ~

Capitolul

m

0ÎMPURI DE VECTORI. 0ÎMPURI TENSORIALE '.

Fie M e VD(m). O

aplicaţi~

X: F(M) -+ F(M) cu

proprieţăţile

= ).i X/0 ,.,, e R, = f(Xg) + g(Xf), cîmp vectorial pe varietatea

1° X(')..''fi) 2° X(fg)

se numeşt~ M. · - '__ Notăm cu D1 (M) mulţimea, cîmpurilor vectoriale pe M. ·Se vede - .uşor că relativ la, operaţiile (X + Y) f = Xf + Yf şi (fX)(g) _:..:.. ...:... f(X-g)i-mulţimea,_ D1(M) constituie un modul peste F(M). · · Oonsiderînd două_ cîmpuri vectoriale arbitrare X, Y, se poate- obţine· nou cîmp prin operaţia croşet definită prin formula. [X, Y] (/) = X( Yf) - Y(Xf). Spaţiul vectorial real D1 (M) dotat cu operaţia croşet devine · o algebră Lie. . Dacă {U ; ~, Xi) este o hartă lo_cală pe M ,'atunci formula

un-

a/ = (-_(fo(~-l))_o~ a -) -âa;i _ât': . def~eş~ m ~~puri v:ectoriale _a_ , ..·., ~ din JJ1( U), care f~r_. . : _aar _ a(l) ._._. . ~ează obază a; modulului D 1( l7) .. Ac~st .lucru se Obţine ,ut~d_ .

55

- --"-----

.... --::----·-0 - ~-

-

_·

·->_/.-

:

_...

7

formula (1) din cap. I.

;xistă

m

Rezultă că

funcţii .X1, ••. , xm e li'( U)

Funcţiile X•,

pentru orice cîmp X e D 1 ( U) astfel c~- X

= X' ~ •

ox'

numite colllponentele cîmpului X în baza

{a:,}•

· sînt date de formula X' = X(x'). . . 1 ~ Un cîmp X e D ( M) induce un vector tangent X.P, în punctul :p, prin formula ~.Pf = (Xf)(p ). Un cîmp X e D 1( M) se . numeşte regulat dacă X.P :/= O pent.rn orice p e M. Un cîmp Y are u:q .zero în punctul p dacă Yp = O. Există varietăţi care nu admit cîmpuri regulate (de exemplu, sfera; 8 2). _ · · · O varietate M e VD(m) se numeşte paralelizabilă. dacă existi m cîmpuri de vectori Zu . .. ,Zm liniar independente, adică : 1° z, e .D1(M), i = 1, ... , m,; 2° {(Z,) 11 h-1 .... ,m este o _bază în MP oricare ar fi pe M. O aplicaţie :

m.5. Fie I = (a, b), · a, b e R; U e -r(.M), M e VD(m) şi I X U ~ U, cp e 0 00 • Fie ce (a, b) şi â (f o cp) ] f =- [ -,.

, X (cp,C)

Ot

.

.•.

,

~

C

a

unde -,. este cîmpul din D 1(1 x U) ~ d~init ca derivare ât iar f eF(UJ. Să se arate că X

JJl(U)

E

(cp, c)

'Re:olvare. Fie Â, µ

(()c

=

după

t,

idu.

e R, f, g e F( U). Atunc_i f o cp e F(J x U)

a

odată cu - , . (f o

a,

cp).

Prin urmare, (/ 0

:

at

[

rp)]

eF(U),' C

deci X fEF(U). (cp,c)

în

privinţa liniarităţii

operatorului X nu sint dificultăţi : (q>,c)

X (i.(+

µg) = (+

(cp; c)

at

·

......_

µg) o cpJ )· = [ + ("Â fo cp ' 8t

[(i. {+

=Â[·:a, (focp)] +µ[+(gocp)l a, c

diferenţiere,

Privind proprietatea de X

·

'

=~Xf+µXg.

~A

c

~~

avem

(fg)=[+{(fg)ocp)]

al

(cp; c)

+ µg o cp)]

C

=[ a:.((focp)(gocp))J l

C

= [+ (f o cp)] (g o (cpc)) + (f o (c)) [-;. (g o cp)]

ai

=(

&

.

X f) ·(g

.

o (q>c))

(cp;c)

+ (f o (cpc)) [

.

at

e

X. g]. (cp,c)

· Prin urmare, X este ctmp atunci şi numai atunci cind q,, (cp;c)

= idu, 6i

'\

. ,

.

,.,,

.-__ ,-,:,,.

O b"s-e r va ţie. ·.considerăm

::,_

/!;r>

X

câ o lege C~; .avem

. (