Grundzüge der Tensorrechnung in analytischer Darstellung: III. Teil: Anwendungen in Physik und Technik [1. Aufl.] 978-3-7091-4520-3;978-3-7091-4519-7

Table of contents :
Front Matter ....Pages I-VI
Mechanik des Massenpunktes (Adalbert Duschek, August Hochrainer)....Pages 1-15
Mechanik des Punktsystems (Adalbert Duschek, August Hochrainer)....Pages 15-22
Mechanik des starren Körpers (Adalbert Duschek, August Hochrainer)....Pages 23-31
Spezielle Bewegungen (Adalbert Duschek, August Hochrainer)....Pages 32-40
Elastizitätstheorie I (Adalbert Duschek, August Hochrainer)....Pages 40-55
Elastizitätstheorie II (Adalbert Duschek, August Hochrainer)....Pages 55-69
Mechanik der Flüssigkeiten I (Adalbert Duschek, August Hochrainer)....Pages 69-79
Mechanik der Flüssigkeiten II (Hydrodynamik) (Adalbert Duschek, August Hochrainer)....Pages 79-87
Vektorielle Doppelfelder I (Adalbert Duschek, August Hochrainer)....Pages 87-106
Vektorielle Doppelfelder. II (Adalbert Duschek, August Hochrainer)....Pages 106-115
Das Wärmefeld (Adalbert Duschek, August Hochrainer)....Pages 115-123
Das elektrostatische Feld (Adalbert Duschek, August Hochrainer)....Pages 123-135
Das magnetische Feld (Adalbert Duschek, August Hochrainer)....Pages 135-148
Das elektrische Feld (Adalbert Duschek, August Hochrainer)....Pages 149-155
Das elektromagnetische Feld (Adalbert Duschek, August Hochrainer)....Pages 155-169
Quasistationäre elektromagnetische Vorgänge (Adalbert Duschek, August Hochrainer)....Pages 169-174
Schnell veränderliche elektromagnetische Felder (Adalbert Duschek, August Hochrainer)....Pages 174-189
Spezielle Relativitätstheorie I (Adalbert Duschek, August Hochrainer)....Pages 189-203
Spezielle Relativitätstheorie II (Adalbert Duschek, August Hochrainer)....Pages 203-219
Allgemeine Relativitätstheorie (Adalbert Duschek, August Hochrainer)....Pages 219-230
Spezielle Lösungen der Gravitationsgleichungen (Adalbert Duschek, August Hochrainer)....Pages 230-246
Back Matter ....Pages 247-251

Citation preview

GRUNDZÜGE DER TENSORRECHNUNG IN ANALyTISCHER DARSTELLUNG VON

DR. PHIL. ADALBERT DUSCHEK O. PROFESSOR DER MATHEMATIK AN DER TECHNISCHEN HOCHSCHULE WIEN

UND

DR. TECHN. AUGUST HOCHRAINER DIREKTOR IM HOCHSPANNUNGSINSTITUT DER ABG, KASSE L

IN DREI TEILEN

III. TEIL: ANWENDUNGEN IN PHYSIK UND TECHNIK MIT 25 TEXTABBILDUN OE N

SPRINGER-VERLAG WIEN GMBH 1955

GRUNDZÜGE DER TENSORRECHNUNG IN ANALYTISCHER DARSTELLUNG VON

DR. PHIL. ADALBERT DUSCHEK O. PROFESSOR DER MATHEMATIK AN DER TECHNISCHEN HOCHSCHULE WIEN

UND

DR. TECHN. AUGUST HOCHRAINER DIREKTOR IM HOCHSPANNUNGSINSTITUT DER AEG, KASSEL

IN DREI TEILEN

III. TEIL: ANWENDUNGEN IN PHYSIK UND TECHNIK MIT 2.5 TEXTABBILDUNGEN

SPRINGER-VERLAG WIEN GMBH 1955

ISBN 978-3-7091-4520-3

ISBN 978-3-7091-4519-7 (eBook)

DOI 10.1007/978-3-7091-4519-7 Alle Rechte, insbesondere das der Übersetzung in fremde Sprachen, vorbehalten Ohne ausdrückliche Genehmigung des Verlages ist es auch nicht gestattet, dieses Buch oder Teile daraus auf photomechanischem Wege (Photokopie, Mikrokopie) zu vervielfältigen Copyright 1955 by Springer-Verlag Wien Ursprünglich erschienen bei Springer-Verlag in Vienna 1955

Vorwort. Das Vorwort zum zweiten Teil haben wir mit dem Ausdruck des Bedauerns über sein verzögertes Erscheinen eingeleitet; sinngemäß müßten wir dieses Bedauern jetzt mit doppelter Intensität wiederholen, weil das Intervall diesmal eben ungefähr doppelt so lang war. Doch soll es damit sein Bewenden haben und es mag lediglich der aus dem Titelblatt ersichtliche geänderte Arbeitsort des einen von uns als Begründung für die Verzögerung dienen. Wir hoffen, daß die vielen treuen Leser, die das Erscheinen des letzten Teils mit oft geäußerter Ungeduld erwartet haben, jetzt nicht enttäuscht sind und daß auch dieser Band ihren Erwartungen entspricht. Sein Thema ist die theoretische Physik, zum Teil ziemlich weit in technische Anwendungen reichend. Aber das Buch ist, das sei ausdrücklich gesagt, kein L ehr buch, weder der theoretischen Physik noch der technischen Mechanik oder Elektrotechnik. Wir wollten vor allem an den handfesten Problemen der Anwendungen zeigen, was man mit Fug und Recht mit den Methoden der Tensorrechnung behandeln kann, und wir glauben, daß das ein recht großes Gebiet ist. Wir haben keine Vollständigkeit angestrebt, das wäre für ein einführendes Buch ein sinnloses Unterfangen gewesen. Wir glauben aber, daß das hier Dargelegte genügt, um dem verstehenden Leser zu zeigen, nicht nur, was man mit tensoriellen Methoden behandeln kann, sondern auch, wo man diese Methoden nicht anwenden darf!. Aus dem Inhaltsverzeichnis kann man entnehmen, daß vor allem drei Gruppen physikalischer Erscheinungen behandelt 1 Das Summationsübereinkommen bringt eine oft verwendbare Vereinfachung der Schreibweise, es stellt aber allein noch keine "tensorielle Methode" dar, obwohl es mitunter dafür gehalten wird. Manche Leute scheinen geradezu zu glauben, daß überall dort, wo man über Indexpaare summiert, die Träger dieser Indizes notwendigerweise Tensoren sein müssen.

IV

Vorwort.

sind: Mechanik, Wärme und Elektrizität. Die drei Paragraphen über Relativitätstheorie gehören teils zur Geometrie, teils zur Mechanik und Elektrodynamik. Eine besondere Rolle spielen die beiden Paragraphen über die vektoriellen Doppelfelder, in denen zum erstenmal versucht wird, eine ganze Reihe von Eigenschaften der im folgenden behandelten speziellen physikalischen Felder unter einen gemeinsamen geometrischen Hut zu bringen. Die Hauptarbeit an diesem Band hat A. HOCHRAINER übernommen; von A. DUSCHEK stammen lediglich Teile der Elastizitätstheorie und die Relativitätstheorie (bis auf die relativistische Elektrodynamik) . Für zahlreiche äußerst wertvolle Verbesserungsvorschläge sind wir Herrn Dipl.-Ing. ]OSEF BOMzE zu aufrichtigem Dank verpflichtet; zu danken haben wir außerdem noch den Herren Dozent Dr. FRITZ CHMELKA, Dr. W ALTER EBERL, Dr. HANS REITER, Dozent Dr. HERMANN ROBL, Dr. MAX SKALICKY und Prof. Dr. EUGEN SKUDRZYK für wertvolle Ratschläge und für die Hilfe bei der Korrektur. A. Duschek, A. Hochrainer.

Inhaltsverzeichnis. Dritter Teil. Anwendungen in Physik und Technik

Seite

§ 39. Mechanik des Massenpunktes ............................. .

§ 40. § 41. § 42.

§ 43. § 44. § 45.

§ 46. § 47.

§ 48.

§ 49. § 50.

§ 51. § 52. § 53. § 54. § 55. § 56. § 57.

Kinematik des Punktes . . .. ... ........................ Dynamik des Massenpunktes ....... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mechanik des Punktsystems ............................. .. Mechanik de~ starren Körpers......... . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Spezielle Bewegungen ................................... " Die Kreiselbewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . ... Elastische Aufstellung eines starren Körpers . . . . . . . . . . . . . . Elastizitätstheorie I....................................... Elastizitätstheorie II .................................... " Mechanik der Flüssigkeiten I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Ruhende Flüssigkeiten (Hydrostatik) ..................... Kinematik der Flüssigkeiten............................. Mechanik der Flüssigkeiten II (Hydrodynamik).............. Vektorielle Doppelfeider I ................................. Das wirbel- und quellenfreie Doppelfeld .................. Vektorielle Doppelfelder II ................................ Das wirbelfreie Doppelfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Das quellenfreie Doppelfeld .............................. Das Wärmefeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Das elektrostatische Feld.. . . • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Das magnetische Feld.......... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Das elektrische Feld...................................... Das elektromagnetische Feld ............................... Quasistationäre elektromagnetische Vorgänge ................ Schnell veränderliche elektromagnetische Felder.............. Spezielle Relativitätstheorie I.............................. Die Lorentztransformation .............................• Spezielle Relativitätstheorie II .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Diskussion der Lorentztransformation .................... Relativistische Mechanik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Relativistische Elektrodynamik ..........................

2

9 15 23 32 32 35 40 55 69 70 72 79 87 90 106 106 110

115 123 135 149 155 169 174 189 189 203 203 208 2II

VI

Inhaltsverzeichnis. Seite

§ 58. Allgemeine Relativitätstheorie.............................

Die Krümmung des Riemannschen Raumes ............... Die Einsteinsche Gravitationstheorie ..................... § 59. Spezielle Lösungen der Gravitationsgleichungen . . . . . . . . . . . . .. Die Schwarzschildsche Lösung der Gleichung Rcxß = ° . . ... Die Geodätischen der W, ............................... Planetenbewegung und Perihelverschiebung ................ Die Ablenkung der Lichtstrahlen ........................ Die sphärische Welt von DE SITTER ........... . . . . . . . . .. Die Einsteinsche Welt ....... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..

219 219 225 230 230 232 236 239 240 243

S ach ver z e ich n i s ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 247

Zur Bezeichnung. Die partiellen Ableitungen irgendwelcher Funktionen (Tensorkoordinaten) q>(x ll ) nach den Koordinaten Xi und nur diese sind. wo kein Mißverständnis zu befürchten ist. mit an Stelle von

°iq>

~

oX i

geschrieben. Ferner sind die Christoffelklammern erster und zweiter Art mit [ij. k] und {:;}

an Stelle von bezeichnet.

Dritter Teil.

Anwendungen in Physik und Technik. § 39. Mechanik des Massenpunktes. Die Mechanik war das erste Anwendungsgebiet der Vektorrechnung; die einfachsten Beispiele für Vektoren, die nicht aus der Geometrie stammen, wie Geschwindigkeiten und Kräfte, werden auch heute noch der Mechanik entnommen. Von der zunächst rein anschaulichen Begriffsbildung ist man später zur strengen Definition der verschiedenen Größen und damit zu dem rein geometrisch definierten Tensorbegriff gekommen. Wir müssen daher bei der Anwendung der Tensorrechnung in der Physik stets erst nachweisen, ob und wie weit sich die Eigenschaften der verwendeten Größen mit den im geometrischen Sinn definierten allgemeinen Tensoreigenschaften decken, bevor wir Zusammenhänge zwischen diesen Größen mit den Hilfsmitteln der Tensorrechnung behandeln. Die folgenden Ausführungen werden sich daher in erster Linie mit diesen Fragen zu befassen haben und weniger damit, zu zeigen, wie spezielle Probleme gelöst werden können. Man pflegt die Mechanik nach den wichtigsten Eigenschaften der physikalischen Objekte in mehrere große Abschnitte zu teilen und unterscheidet demgemäß die Mechanik des Massenpunktes, des Punktsystems, des starren und des deformierbaren Körpers. Die letztere werden wir in der Elastizitätstheorie und in der Mechanik der Flüssigkeiten behandeln. Die Mechanik des Massenpunktes befaßt sich mit den Zusammenhängen zwischen der Bewegung und den Kräften im Falle einzelner Massenpunkte. Wir beginnen mit der Untersuchung der reinen Bewegungsgesetze, also mit der Duschek-Hochrainer, Tensorrechnung, III.

2

IU. Anwendungen in Physik und Technik.

Kinematik des Punktes.

Wir haben schon in § r6 darauf hingewiesen, daß sich die Bewegung eines Punktes P längs einer Kurve a: durch eine Abhängigkeit der Koordinaten Xi des Punktes von der Zeit t in der Gestalt darstellen läßt. Wir setzen dabei voraus, daß die drei Funktionen Xi(t) innerhalb eines gemeinsamen Intervalles a ~ t ~ b eindeutig, stetig und mit Ausnahme von höchstens endlich vielen Stellen mindestens zweimal stetig differenzierbar sind. Die Geschwindigkeit (der Geschwindigkeitsvektor) eines Punktes ist an jeder Stelle seiner Bahn durch die Ableitung des Ortsvektors nach der Zeit, also durch v. ,

= x. = •

=

dXi dt

lim Xi (:2L'1_t)=-~J9_

(39,

Llt

..11->-0

02)

gegeben. Der Betrag der Geschwindigkeit ist dann und der während der Zeitspanne von to bis t zurückgelegte Weg t S

= ~ v dt = 10

Umgekehrt gilt daher

IVXi Xi dt. t

I.

v

.

ds

= s = Je'

Unter der Beschleunigung (dem Beschleunigungsvektor) versteht man die Änderung der Geschwindigkeit je Zeiteinheit, also (39, 06)

Der Geschwindigkeitsvektor hat wegen Vi

=

dXi

ds

~ . Je

= Ti V

die Richtung des Tangentenvektors Ti an a:: im betrachteten Punkt. Dies trifft für den Beschleunigungsvektor im allgemeinen nicht zu. Ersetzt man Vi in (39, 06) durch (39, 07), so folgt

(T !) bi -- ~ dt i t -

dT i dt v

+T

i

~ _ dT i dt -

ds v

2

+T

i

~ dt

§ 39. Mechanik des Massenpunktes.

3

oder wegen (17,06), wenn e = ~ der Krümmungsradius von ~ ist,

"

Man nennt bT die Tangentialbeschleunigung und ~ die Zentripetal-

e

beschleunigung; sie ist wie H i zum Krümmungsmittelpunkt hin gerichtet. Es gibt zwei wichtige Sonderfälle, je nachdem die Zentripetalbeschleunigung oder die Tangentialbeschleunigung verschwindet. Im ersten Fall muß, wenn wir den trivialen Fall der Ruhe, also v wird

= 0,

ausschließen, stets x

=

~

e

= 0

sein. Damit

~ zu einer geraden Linie. Im zweiten Fall verschwindet ~

und damit wird v = konst. Die Beschleunigung ist in jedem Punkt proportional der Krümmung. Bewegt sich ein Punkt auf einer kreisförmigen Bahn, so kann man seine Lage durch den vom Mittelpunkt des Kreises zum jeweiligen Ort des Punktes gezogenen Vektor r i festlegen. Die Geschwindigkeit des Punktes kann man dann als Vektorprodukt von einem zur Bahnebene senkrechten Vektor Wi und ri darstellen, so daß ist. Wk wird als Vektor der Winkelgeschwindigkeit bezeichnet und ist im allgemeinen wieder eine Funktion der Zeit. Die Beziehung zum Drehwinkel und damit die Rechtfertigung der Bezeichnung Winkelgeschwindigkeit stellen wir mit Hilfe der in § rr erwähnten infinitesimalen Drehung her. Ist ei der die Stellung der Kreisebene und damit die Drehachse kennzeichnende Einsvektor, dann ist der Drehvektor der Drehung durch den Winkel dff nach (rr, 39) durch D; = ei dff gegeben. Für die Änderung des Radiusvektors r i ergibt sich nach (rr, 41) dr i = ciik ei dff r k , so daß d{} Vi = Siile ei 1ft r le wird. Dabei ist 1*

4

III. Anwendungen in Physik und Technik.

die Änderung des Drehwinkels je Zeiteinheit, also der Betrag der Winkelgeschwindigkeit wie aus dem Vergleich von (39, 09) und (39, 10) folgt. In gleicher Weise kann man bei der Bewegung eines Punktes auf einer beliebigen Bahn von einer Winkelgeschwindigkeit OJi sprechen, die so gewählt ist, daß in jedem Punkt

gilt. Wir können schließlich von der Winkelgeschwindigkeit eines bewegten Punktes um einen beliebigen festen Punkt, den Pol, sprecpen, wenn wir die Bewegung des Punktes durch die zeitliche Veränderung des vom Pol zum bewegten PUI).kt gezogenen Vektors Yi = Xi ai erklären. Dabei beschreibt Xi = xAt) die Bewegung des Punktes in dem gewählten Koordinatensystem, während ai die Koordinaten des Poles sind. Dann ist

Wenn wir mit ei den vom Pol zum bewegten Punkt gerichteten Einsvektor bezeichnen, so ist Yi

und Vi =

= yei

ye + e y. i

i

ei steht als Differentialquotient eines Einsvektors senkrecht auf ei und Vi liegt ebenso wie Yi in der Ebene von ei und ei . Wir bilden nun einen auf ei und ei senkrechten Vektor und erhalten 10m, OJi e k

=

.

Eijk Ei1Jq e1J eq e k

=

.

ei'

Daher ist Die Geschwindigkeit des bewegten Punktes P (Abb. 91) setzt sich somit aus einer tangentialen Komponente

t Vi =

Eiik OJj

y"

und einer radialen Komponente ~i = ei Y zusammen, wobei die tangentiale Komponente gerade so groß ist, als ob sich der Punkt

§ 39. Mechanik des Massenpunktes.

5

auf einer Kreisbahn mit dem Radius y um den Pol Q mit der Winkelgeschwindigkeit OJi bewegte. Ist der Pol wie in (39, 12) der Krümmungsmittelpunkt der Bahnkurve, so ist Yi = (!i und es gilt und •

e

v

e.=-T.-e·-

•

e

I

,

e'

Abb·9I.

Dann erhalten wir für die Winkelgeschwindigkeit um den Krümmungsmittelpunkt den Ausdruck

Wegen

(Striche bedeuten wie immer die Ableitung nach der Bogenlänge) folgt weiter

d. h. die Winkelgeschwindigkeit eines Punktes bezogen auf den Krümmungsmittelpunkt der Bahnkurve als Pol hat die Richtung der Binormalen und ihr Betrag ist proportional dem der Ableitung des Tangentenvektors nach der Zeit. Man meint diese Winkelgeschwindigkeit, wenn man von der Winkelgeschwindigkeit eines bewegten Punktes schlechthin spricht. Wir erwähnen noch, daß man unter der Winkelbeschleunigung Yi die Änderung der Winkelgeschwindigkeit je Zeiteinheit, also Yi

=

OJ i

versteht. Verwandt mit dem Begriff der Winkelgeschwindigkeit ist der Begriff der Flächengeschwindigkeit. Unter dem Betrag der Flächengeschwindigkeit versteht man den Inhalt der ebenen Fläche, die in der Zeiteinheit von dem vom Pol zum bewegten

6

III. Anwendungen in Physik und Technik.

Punkt gezogenen Vektor überstrichen wird. Nach Abb.9I ist diese Fläche durch den Betrag des Vektors I

fi

•

I

= Z- Sijk Yj Yk = Z- Sijk Yj Vk

oder wegen (39, I3) und Yi =

ej

Y

I

fi

= Z- Sijk Yj Sk'J)q W'J) Y q

gegeben. Der Entwicklungssatz gibt weiter I

I

fi =Z-WiYqYq-Z-YiYjWj;

der zweite Ausdruck rechts verschwindet, weil Wi senkrecht auf steht, so daß schließlich

Yi

bleibt. Man nennt fi den Vektor der Flächengeschwindigkeit. Er hat dieselbe Richtung wie der Vektor der Winkelgeschwindigkeit. Wir haben bisher stillschweigend angenommen, daß sich die Bewegung des .betrachteten Punktes in einem euklidischen dreidimensionalen Raum abspielt und daß wir die Bewegung durch die Veränderung der Koordinaten des Punktes in bezug auf ein in diesem Raum ruhendes Koordinatensystem beschreiben können. Bei genauerer Überlegung stoßen wir auf die Schwierigkeit, daß wir wohl von den Bewegungen eines Punktes relativ zu einem Koordinatensystem sprechen können, daß wir aber keine Möglichkeit besitzen, um festzustellen, ob dieses Koordinatensystem selbst ruht oder nicht. Wir können bloß willkürlich ein bestimmtes Koordinatensystem als ruhend bezeichnen und alle Bewegungen darauf beziehen. Wir wollen uns nun etwas mit der Frage befassen, wie die Bewegung des Punktes aussieht, wenn wir ein zweites, dem ersten gegenüber bewegtes Koordinatensystem zur Beschreibung der Bewegung heranziehen. Bezeichnen wir die Koordinaten des Punktes P in dem ersten System so wie bisher mit Xi und die Koordinaten im zweiten System mit f:i' so gilt nach (9, 06)

§ 39. Mechanik des Massenpunktes.

7

Wenn sich das zweite System bewegt, so sind ai/e und li Funktionen der Zeit. Wir finden für die Geschwindigkeiten in den beiden Systemen oder (39, 18) wenn wir mit W k die Geschwindigkeit des Punktes im bewegten System bezeichnen. Der Vektor W i hat nun im ruhenden System die Koordinaten wk • Die Stelle Zi' an der sich der Punkt P eben befindet, bewegt sich mit dem bewegten System mit und hat daher selbst eine Geschwindigkeit ik Zk + ii gegenüber dem ruhenden System. (39, 18) ist der Satz vom Parallelogramm der Geschwindigkeiten, der besagt, daß die Geschwindigkeit eines Punktes relativ zu einem ruhenden System sich zusammensetzt aus der Geschwindigkeit des Punktes relativ zu einem bewegten System und der Geschwindigkeit seines jeweiligen Ortes in diesem System relativ zum ruhenden. Natürlich müssen bei einer solchen Zusammensetzung der Geschwindigkeiten alle Vektoren durch ihre Koordinaten im ruhenden System ausgedrückt werden. Man nennt die Geschwindigkeit relativ zum ruhenden System die absolute Geschwindigkeit des Punktes, die Geschwindigkeit bezüglich des bewegten Systems die relative Geschwindigkeit und die Geschwindigkeit des bewegten relativ zum ruhenden System die Führungsgeschwindigkeit ; somit besagt (39, 18) daß die absolute Geschwindigkeit gleich der Summe aus relativer Geschwindigkeit und Führungsgeschwindigkeit ist. aik

a

Man pflegt diesen Satz meist für den Spezialfall herzuleiten, daß die Achsen der beiden Systeme parallel bleiben, so daß Xi = Zi l; und damit

+

gilt. In diesem Fall gilt die einfache Zusammensetzung auch für die Beschleunigungen, denn es ist

IH. Anwendungen in Physik und Technik.

8

Anders ist es, wenn die beiden Systeme gegeneinander eine Drehbewegung ausführen, denn aus (39, r8) folgt oder

Vi

= aik

I

Vi

w

w+ k

aik W k

+ äik Zk + aik Zk + i:

= aik Wk + z aik Wk

+ äik Zk + ;;·1

(39, zr)

Darin ist a ik k die Beschleunigung des Punktes relativ zum bewegten System (Relativbeschleunigung) und äik Zk + 1i die Beschleunigung des Ortes des bewegten Punktes (Führungsbeschleunigung) . Außer diesen Beschleunigungen tritt aber noch das zusätzliche Glied z aik Wk auf, welches als Coriolis-Beschleunigung bezeichnet wird. Alle diese Größen sind in Koordinaten des ruhenden Systems dargestellt und ergeben zusammen die Absolutbeschleunigung . Die Drehung eines rotierenden Systems läßt sich durch eine Winkelgeschwindigkeit beschreiben. Es sei qi ein fester Punkt im bewegten System, so daß also qi = 0 gilt. Seine Koordinaten im ruhenden System sind dann durch Pi = a ik qk gegeben. Aus (39, rz) folgt (qi = (!i)

Pi = aik qk = 8iik Wi qk und da das für alle

qk

gilt, ist

Damit erhalten wir für die Coriolis-Beschleunigung

Wir haben im vorstehenden gezeigt, wie sich Geschwindigkeiten und Beschleunigungen ändern, wenn man von einem Koordinatensystem zu einem anderen übergeht. Wir haben dabei vorausgesetzt, daß sich alle Bewegungen in einem dreidimensionalen euklidischen Raum abspielen, und ferner, daß in diesem Raum eine einheitliche Zeit existiert, auf die wir unsere Bewegungen beziehen können, so daß sich bei der Koordinatentransformation wohl die Wege, Geschwindigkeiten und Beschleuni~ gungen transformieren, aber nicht die Zeit. Da die Formel (9, 06), die wir als Grundlage für unsere Überlegungen benützen, umkehrbar ist und die Umkehrung die gleiche Form aufweist, so würden

§ 39. Mechanik des Massenpunktes.

9

sich ganz analoge Beziehungen ergeben, wenn wir die beiden zugrunde gelegten Systeme miteinander vertauschten. Daraus folgt aber, daß für unsere bisherigen Darstellungen alle diese Systeme als gleichwertig betrachtet werden können. Solange es sich also nur darum handelt, die Bewegung eines Punktes zu beschreiben, ist es daher tatsächlich unserem Belieben überlassen, welches Koordinatensystem wir benützen. Selbstverständlich wird in speziellen Fällen das eine oder das andere System den Vorteil einer einfacheren Beschreibung liefern, ohne daß aber dadurch an dem wesentlichen Inhalt der Beschreibung etwas geändert wird. Dynamik des Massenpunktes.

Wir kommen zur Diskussion des Zusammenhanges zwischen Kräften und' Bewegungen und führen dazu zwei neue Begriffe ein, den der Masse und den der Kraft. Sie bedingen sich wechselseitig durch das sogenannte Grundgesetz der Mechanik, welches entweder im Sinne der experimentellen Mechanik aIs Erfahrungstatsache gilt oder im Sinne der theoretischen Mechanik als Axiom eingeführt wird. Aus beiden Auffassungen folgt, daß die Masse eine jedem Körper eigentümliche skalare Größe ist, die unveränderlich ist, solange wir im Sinne der klassischen Mechanik eine einheitliche Zeit im ganzen betrachteten Raum annehmen. Unter einem Massenpunkt verstehen wir einen Körper, dessen Ausdehnungen vernachlässigbar klein sind gegenüber allen bei der Bewegung betrachteten Längen, der ferner keine ausgezeichnete Richtung besitzt und dem ein endlicher Skalar, nämlich seine Masse m, zugeordnet ist. Mit Hilfe dieses Skalars bildet man das Produkt aus Masse und Beschleunigung

und nennt den so gebildeten Vektor k i die auf den Massenpunkt wirkende Kraft. Man hätte nun wenig davon, wenn man (39,24) nur als Definition der Kraft ansehen würde. da es dann nur eine zusätzliche Beschreibung der Beschleunigung wäre. Man nimmt vielmehr an, und die Erfahrung gibt uns Grund zu dieser Annahme, daß dieselbe Kraft auch für andere Bewegungen

111. Anwendungen in Physik und Technik.

10

maßgebend ist, beispielsweise wenn man einen anderen Massenpunkt mit der Masse m an die gleiche Stelle bringt, so daß die Kraft k i für eine ganze Klasse von Bewegungen gilt und nicht nur für eine einzige. Damit dient der Begriff der Kraft zur Beschreibung einer größeren Anzahl von Bewegungen mit verschiedenen Beschleunigungen. Man nennt (39, 24) das Grundgesetz der Mechanik oder nach seinem Entdecker das Newtonsehe Grundgesetz. Die Gültigkeit dieses Gesetzes bestimmt den Umfang der klassischen Mechanik und insbesondere ihre Abgrenzung gegen die relativistische Mechanik. Aus (39, 24) folgt, daß die Kraft ein Vektor ist. Während aber die Beschleunigung, wie wir bereits zeigten, als kinematische Größe von der Wahl des Koordinatensystems abhängt, schreibt man für die Kraft vor, daß sie nur von den geometrischen und physikalischen Daten der betrachteten Anordnung abhängen soll, aber nicht von der Wahl des Koordinatensystems. Dies führt nun zu einer Beschränkung der zulässigen Koordinatensysteme, wenn man an dem Grundgesetz (39, 24) festhält, nämlich zu einer Beschränkung auf jene Systeme, in denen die Beschleunigung ungeändert bleibt. Diese Systeme dürfen sich gegeneinander nicht beschleunigt bewegen, ihre Bewegungen gegeneinander müssen gleichförmig und geradlinig sein. In der zugehörigen Transformationsgleichung

=

+ 1i

(39, 25) müssen die a ik konstant sein, während l;(t) höchstens lineare Funktionen der Zeit t sind, also die Form Xi

1i

aik Yk

= A.i

+ t f1i

haben. Weist man in einem Koordinatensystem die Gültigkeit des Grundgesetzes nach, was natürlich nur experimentell geschehen kann, dann gilt das Grundgesetz in allen aus diesem System durch (39, 25) hervorgehenden und in keinem anderen. Will man in einem System den experimentellen Nachweis für die Gültigkeit von (39, 24) führen, so geht man am einfachsten vom Fall k i = 0 aus. Wenn (39, 24) gilt, dann muß in diesem Fall auch bi verschwinden und es ist Vi = konst. Wegen (39, 02) ist Xi

=

Vi

t

+ ~i>

wobei

Zi

einen konstanten Vektor bedeutet. Die

§ 39. Mechanik des Massenpunktes.

II

auftretenden Bewegungen des Punktes müssen also gleichförmig und geradlinig sein. In einem System, in dem (39, 24) gilt, bewegt sich ein Massenpunkt bei Abwesenheit jeder auf ihn wirkenden Kraft gleichförmig und geradlinig. Man nennt diesen Satz das Trägheitsgesetz und ein solches System ein Inertialsystem. Erfahrungsgemäß ist ein gegen den Fixsternhimmel ruhendes System ein Inertialsystem und mit ihm jedes gegen dieses System gleichförmig und geradlinig bewegte System. Für die meisten technischen Zwecke kann ein mit der Erde fest verbundenes System mit guter Näherung als Inertialsystem angesehen werden. Beim Übergang zu anderen Systemen treten zusätzliche Beschleunigungen auf. Man kann auch in solchen Fällen das Grundgesetz anwenden, wenn man entsprechende zusätzliche Kräfte einführt. Diese zusätzlichen Kräfte entsprechen aber nicht mehr der Bedingung, daß sie nur von den geometrischen und physikalischen Daten der betrachteten Anordnung abhängen, denn sie sind auch durch die Art des verwendeten Bezugssystems bedingt. Man macht von dieser Möglichkeit beim Übergang zu rotierenden Koordinatensystemen Gebrauch, -indem man z. B. eine der Coriolis-Beschleunigung (39, 23) entsprechende Corioliskraft einführt. Sofern nichts anderes bemerkt ist, legen wir unseren weiteren Betrachtungen ein Inertialsystem zugrunde. Eine weitere wichtige Erfahrungstatsache ist der Satz vom Kräfteparallelogramm. Es handelt sich dabei um die Zusammensetzung von Kräften. Wir nehmen an, wir haben bestimmte geometrische und physikalische Daten gegeben, welche eine Kraft k i bestimmen. k; kann dabei vom Ort, von der Zeit und von verschiedenen anderen Parametern, wie z. B. der Lage verschiedener Massenpunkte abhängen. Ferner seien andere geometrische und physikalische Daten gegeben, welche eine andere Kraft k i bedingen. Die Frage ist nun, welche Kraft wirkt, wenn beide Gruppen von Daten gleichzeitig beobachtet werden. Iie Erfahrung zeigt nun folgenden Tatbestand: Wenn zwei Kräfte k i 'Und k; an einem M assenp'Unkt angreifen, dann sind sie für die Bestimm'Ung der Bewegung mit der Kraft

12

111. Anwendungen in Physik und Technik.

gleichwertig. Man nennt K; die Resultierende der beiden Kräfte k; und k;. Wir bemerken, daß mit diesem Tatbestand die Berechtigung, die Kraft als Vektor zu definieren, noch einmal verifiziert ist. Wäre das nicht der Fall, so könnte (39, 24) nicht für jedes Koordinatensystem gelten. Selbstverständlich gilt der Satz

'" auch für mehr als zwei Kräfte K;,

IX

n

=

r,

2, ... ,

n in der Form

'"

(X=I

Die Gleichung (39, 24) läßt sich noch in einer allgemeineren Form schreiben, wenn man den Begriff des Impulses einführt. Es ist dann

-=-k]

g-i=-~-t-(m-v;-)

1'""1

(39, 28)

d. h. die Kraft ist gleich der Änderung des Impulses je Zeiteinheit. (39, 28) ist eine Verallgemeinerung von (39, 24), die auch für veränderliche Massen gilt. Im Falle m = konst. folgt Wir haben bei der Einführung der Winkelgeschwindigkeit und der Flächengeschwindigkeit die Bewegung des Punktes auf einen beliebigen festen Punkt bezogen. In ähnlicher Weise bilden wir das Moment der Geschwindigkeit

Silk rj Vk' das nach (39, r6) gleich der doppelten Flächengeschwindigkeit li ist, wenn, wir jetzt den Vektor vom festen zum bewegten Punkt mit ri bezeichnen. Multiplizieren wir mit der Masse m des bewegten Punktes, so ergibt sich das Impulsmoment

I

Ji

= SUk rj ~

(39, 30 )

das auch als Drall bezeichnet wird. Es gilt

Ji

=

2m/;.

Bilden wir die Ableitung nach der Zeit, so folgt •

Ji

=

d

dt Sijk rl gk

=

•

Silk rj gk

•

+ Silk rl gk'

§ 39. Mechanik des Massenpunktes.

Wegen rj = Vj und rechts und es bleibt Man nennt

gk

=

verschwindet der erste Ausdruck

m Vk

ID = i

13

Ei'krjkkl

das Moment der Kraft oder Drehmoment; also ist

die Änderung des Impulsmomentes je Zeiteinheit ist gleich dem Drehmoment. Als Arbeit bezeichnet man das Linienintegral der Kraft längs eines Weges 2

A

= ) k i dXi' 1

Da dX i

= Vi

dt und k i = m

~i , so ist

2

A

= )mvidvi=~

Man nennt

m

[V2J~

=-;-m

h~)-v(iJ

1

die kinetische Energie des bewegten Massenpunktes; eS ist

d. h. die Arbeit ist gleich dem Unterschied der kinetischen Energien im Anfangs- und im Endpunkt des Weges. Arbeit und Energie sind Skalare, d. h. sie sind invariant gegenüber einer Transformation des Koordinatensystems, aber nur, wenn man von einem System zu einem gegenüber dem ersten ruhenden System übergeht, aber nicht, wenn man ein bewegtes System benützt. Wohl gilt (39, 36) au€h in diesem System, aber mit anderen Werten für A und E. An (39, 36) ist noch bemerkenswert, daß es für die geleistete Arbeit nur darauf ankommt, wie groß die Geschwindigkeiten am Anfang und Ende der betrachteten Bewegung sind,

14

III. Anwendungen in Physik und Technik.

aber nicht auf ihre Richtungen und auch nicht auf die Geschwindigkeiten dazwischen und schließlich auch nicht darauf, welche Zeit zwischen Anfang und Ende der Bewegung verstrichen ist. Für viele Zwecke ist die je Zeiteinheit geleistete Arbeit von Bedeutung; man bezeichnet diese als die Leistung P

dA

= Te·

(39, 37)

Man erhält verschiedene Klassen von Bewegungen, je nach dem zugrunde liegenden Kraftgesetz. k i kann zeitlich und örtlich veränderlich sein, k i kann von der Geschwindigkeit des Massenpunktes, von seiner Lage zu anderen Massenpunkten abhängen usw. Eine besonders ausgezeichnete Klasse von Bewegungen erhält man dann, wenn k; eine Funktion des Ortes ist; man spricht dann von einem Kraftfeld Hängt k; außerdem noch von der Zeit ab, dann hat man es mit einem zeitlich veränderlichen Kraftfeld zu tun. Es gibt verschiedene Arten von Kraftfeldern, entsprechend den verschiedenen Arten von Vektorfeldern und man kann die Kraftfelder in gleicher Weise einteilen. Einen speziellen Fall stellen die Laplaceschen Kraftfelder dar, bei denen sich die Kraft als Gradient eines skalaren Potentials darstellen läßt, also

Es ist in der Mechanik üblich, das Potential so zu wählen, daß die Kraft dem negativen Gradienten gleich ist. Es ist dU

= -k;dx; = -dA = -dE

und daher dE

so daß

I

E

-+-

U

-+- dU =

=

W

0,

= konst·1

Man bezeichnet das Potential U auch als potentielle Energie und W als die Gesamtenergie des Systems. Dann besagt (39, 40), daß bei jeder Bewegung die Gesamtenergie, also die Summe aus kinetischer und potentieller Energie konstant bleibt. Man nennt diesen Satz den Erhaltungssatz der Energie und bezeichnet Kräfte,

§ 40. Mechanik des Punktsystems.

15

für die dieser Erhaltungssatz gilt, als konservative Kräfte, und dementsprechend Kraftfelder, für welche (39, 39) gilt, als konservative Kraftfelder. Das einfachste Beispiel einer konservativen Kraft ist das Gewicht eines Massenpunktes, also die Kraft, mit der der Massenpunkt von der Erde angezogen wird. Beschränkt man die Bewegung auf einen Raum, dessen Abmessungen klein sind gegenüber dem Erdradius, so ist diese Anziehungskraft auf einen bestimmten Massenpunkt von der Lage des Punktes unabhängig und überall gleich gerichtet. Wir haben es mit einem homogenen Kraftfeld zu tun. Es ist ferner experimentell nachgewiesen, daß diese Kraft proportional der Masse des Massenpunktes ist. Ein radiales, zentrisch symmetrisches Kraftfeld liegt vor, wenn eine ruhende Masse M eine andere Masse m nach dem Gravitationsgesetz anzieht. Es gilt dann, wenn ri den Vektor von M zu m darstellt,

Wählen wir den Ort von Mals Koordinatenursprung und bilden wir das Drehmoment der Kraft, bezogen auf diesen Punkt, so ist Di

und somit wegen (39,33) folgt

= ciikrikk =

Ji

=

0

und

0

Ji =

konst. Aus (39, 31)

fi = konst.,

d. h. die Flächengeschwindigkeit des Punktes m in seiner Bahn ist konstant: das zweite Keplersche Gesetz der Planetenbewegung. Die Richtung von fi zur Zeit t = 0 ist durch die Stellung der o . durch ri und Vi bestImmten Ebene festgelegt. Wegen fi = konst. muß sich die ganze Bewegung in dieser Ebene abspielen.

§ 40. Mechanik des Punktsystems. 1

Wir betrachten ein System von v Massenpunkten mit den Massen 2

IX

•

m, m, ... , m, ... m. Jeder Massenpunkt beschreibt eine Bahn, welche durch die Angabe seiner Koordinaten als Funktionen '"

Xi

IX = Xi(t)

der Zeit t gegeben ist. Für jeden einzelnen Massen-

III. Anwendungen in Physik und Technik.

16

punkt gelten die im vorhergehenden Abschnitt hergeleiteten Beziehungen, also insbesondere die Impulssätze in der Form (39, 29) und (39, 33)· Wir wären nun bei Angabe aller auf jeden Punkt wirksamen Kräfte in der Lage, die Bewegung jedes Punktes aus einem bestimmten Anfangszustand bezüglich Lage und Geschwindigkeit zu berechnen. Nun kann man bei den Kräften, die an den einzelnen Punkten angreifen, zwei Arten unterscheiden, nämlich solche, welche an einen bestimmten Punkt unabhängig von der Lage und der Bewegung aller anderen Punkte wirken und solche, welche von der Lage und Bewegung eines oder mehrerer anderer Punkte abhängen. Die Kräfte der ersten Art nennen wir äußere Kräfte und bezeichnen sie mit k i . Die anderen Kräfte nennen wir die inneren Kräfte des Systems.

Für die inneren Kräfte nehmen wir die Gültigkeit zweier Sätze an, deren Richtigkeit allein auf der Erfahrung, also auf dem Experiment beruht. Der erste Satz besagt, daß die resultierende

'" die Summe von Einzelinnere Kraft fi'" auf den Massenpunkt Xi' kräften ist, von denen jede von einem anderen Massenpunkt stammt, also tx

fi "',{J

=

ll,1

fi

IX,

2

IX,

+ fi + ... +

1%-1

fi

{J

"'

1X,1X+l

+

fi

+

..

+!;.

(40, 01)

'"

wobei fi die vom Punkt Xi herrührende, auf Xi wirkende innere Kraft ist. Wir können dafür auch

I '"

·

I fi = 2: fi

"',{J

{J=1

"'.'"

schreiben, wenn wir festsetzen, daß fi stets verschwindet. (40, 01) besagt also, daß sich die resultierende innere Kraft auf einen Massenpunkt eindeutig in Teilkräfte zerlegen läßt, deren jede von einem bestimmten anderen Massenpunkt stammt. Der zweite Satz ist das sogenannte Gesetz von Wirkung und Gegenwirkung (actio und reactio), das besagt, daß die Kraft, die ein Massenpunkt (oder allgemein ein Körper, also ein irgendwie zusammenhängendes abgeschlossenes System von Massenpunkten)

§ 40. Mechanik des Punktsystems.

17

IX auf einen Massenpunkt ß ausübt, entgegengesetzt gleich ist der Kraft, die ß auf IX ausübt, so daß

ist. Eine weitere Voraussetzung, die allerdings bei dem Satz von actio und reactio meist nur stillschweigend gemacht wird, ist die, ",ß

ß,"

"

ß

daß ti und' ti in der Verbindungslinie der Punkte Xi und Xi wirken. Wir kommen darauf bei der Behandlung des Impulsmomentes zurück. Mit (40, 02) und (40, 03) ist es uns möglich, Aussagen über die Bewegung eines Punktsystems zu machen, ohne die Bewegungen jedes einzelnen Punktes zu kennen. Es ist nämlich nach (39, 29) für jeden Punkt (zunächst nicht summieren über IX!) d"

d" "

"

digi = dimvi = k;

+ ti =

"IX

ki

IX,

ß

+.I h ß

(4°,°4)

Wir summieren auf beiden Seiten über alle Punkte des Systems, so daß d

~IX

IX

IX,ß

.I di gi = ..l k i +.I.I h IX

'"

'"

ß

In der Doppelsumme auf der rechten Seite heben sich alle inneren Kräfte wegen (40, 03) weg. Auf der linken Seite dürfen wir Summen- und Differentiationszeichen vertauschen, so daß

gilt. Wir nennen (40, 06)

den Gesamtimpuls des Systems und bezeichnen mit IX

die Resultierende aller äußeren Kräfte, so daß

I~

Gi =

Kil

gilt. Zwischen Gesamtimpuls und der Resultierenden aller äußeren Kräfte besteht also der gleiche Zusammenhang wie Duschek-Hochrainer, Tensorrechuung, UI.

18

III. Anwendungen in Physik und Technik.

zwischen Impuls und Kraft bei einem einzelnen Massenpunkt, wobei besonders bemerkenswert ist, daß K i die Resultierende von Kräften ist, die an ganz verschiedenen Punkten angreifen. Unter dem Massenmittelpunkt oder Schwerpunkt versteht man den Punkt, dessen Koordinaten Si durch

bestimmt sind. Man nennt IX

das statische Moment des Punktsystems in bezug auf den Ursprung des Koordinatensystems und M

= .E~

(40, n)

IX

die Gesamtmasse des Systems. Der Schwerpunkt ist derjenige Punkt, in dem man sich die Gesamtmasse angebracht denken muß, damit sein statisches Moment gleich dem statischen Moment des Punktsystems ist. Wir zeigen noch, daß die Definition des Schwerpunktes unabhängig von dem speziell gewählten Koordinatensystem ist. Gehen wir vom System Xi zu einem System Xi entsprechend Xi = aij Xi + bi über, so gilt im gestrichenen System

d. h. wir erhalten den gleichen Punkt als Schwerpunkt. Bei IX

einer Bewegung des Systems sind die Xi Funktionen der Zeit und dementsprechend ist auch Si = Si(t). Die Geschwindigkeit des Schwerpunktes bezeichnen wir mit Aus (40, 09) folgt, daß

§ 40. Mechanik des Punktsystems.

19

ist, so daß

ist und aus (40, 08) erhalten wir den damit inhaltlich gleichwertigen Schwerpunktsatz, der besagt, daß

1~=MWi=Kil oder in Worten: Der Schwerpunkt eines Punktsystems bewegt sich so, als ob die Summe aller Massen in ihm vereinigt wäre und die Resultierende aller äußeren Kräfte an ihm angriffe.

Xi

Das Impulsmoment des Punktes '" ist durch (nicht summieren über IX!)

Ji'" =

'" '"

Eijk Xi gk

gegeben. Das Gesamtimpulsmoment ist die Summe der einzelnen Momente und durch

bestimmt. Seine Ableitung nach der Zeit ergibt sich mit

Das erste Glied verschwindet und ebenso verschwindet der Anteil der inneren Kräfte in dem zweiten Glied wegen (40, 03), mit "',ß

der erwähnten zusätzlichen Annahme, daß bindungslinie der Punkte '" "',ß Eiik Xi fk

'"

Xi

und

ß

Xi

'" "', ß

xj

d. h. also, wenn

fk

"',ß fi

+ Eijk Xiß ß,fk'" = parallel zu

Eiik

'"

Xi -

ß

Xi

ß,'"

ß ß,'"

EUk

"', ß( IX

ik

und

fi

in der Ver-

wirken. Es ist nämlich

nur dann entgegengesetzt gleich Eiik

fi

Xj -

ist.

xj

ß)

Xi

fk'

wenn

=

0,

20

111. Anwendungen in Physik und Technik.

Unter dem resultierenden Drehmoment der äußeren Kräfte versteht man den Ausdruck

so daß wir

schreiben können. Die Änderung des Gesamtimpulsmomentes ist gleich dem resultierenden Drehmoment der äußeren Kraft. Man nennt diesen Satz den Flächensatz wegen seiner Beziehungen zur Flächengeschwindigkeit. Wegen der Herleitung aus dem Newtonschen Grundgesetz gelten Schwerpunktsatz und Flächensatz in den angegebenen Formen nur für Inertialsysteme. Es ist nun oft zweckmäßig, andere Koordinatensysteme zu benutzen, insbesondere solche, die mit dem bewegten System in einem bestimmten Zusammenhang stehen, also selbst bewegt sind. Für den Schwerpunktsatz gelten dann die gleichen Änderungen, die wir oben bereits bei der Behandlung des einzelnen Massenpunktes bei Betrachtung in einem bewegten System angestellt haben. Für den Flächensatz untersuchen wir einige besondere Fälle: Wir berechnen zunächst das Impulsmoment in bezug auf einen beliebigen Punkt Pi' Wir bezeichnen den vom Punkt Pi zum Punkt Xi weisenden Vektor mit r i = Xi - Pi und finden damit für das Impulsmoment um den Ursprung 0

=I

Em

Pi gk

+ J; Eiik;i gk'

IX

'"

Im ersten Ausdruck rechts bezieht sich die Summation nur mehr IX

auf die Impulse gk und es ist daher

I

IX

Eiik Pi gk

=

Eiik PiI gk IX

=

Eiik Pi Gk·

Der zweite Ausdruck stellt das Impulsmoment

§ 40. Mechanik des Punktsystems.

des Punktsystems bezüglich des Punktes

Pi

21

dar. Damit erhalten

WIr

Meist nimmt man für den Punkt Pi den Schwerpunkt. Dann bedeutet (40, 19): Das Impulsmoment um einen beliebigen Punkt ist gleich dem Impulsmoment des Systems um den Schwerpunkt, vermehrt um das Moment des im Schwerpunkt angeordneten Gesamtimpulses um den Bezugspunkt. Dabei ist zu berücksichtigen, daß bei der Bildung der Impulse bzw. der Impulsmomente jeweils die Geschwindigkeiten relativ zum Inertialsystem einzusetzen sind und nicht die Geschwindigkeiten relativ zu einem mit dem Schwerpunkt fest verbundenen Koordinatensystem. Wir suchen jetzt noch die (40, 19) entsprechende Form des Flächensatzes. Nach (40, 17) ist (wir verzichten im folgenden darauf, den Index