Physik für Mediziner, Biologen, Pharmazeuten 9783110800951, 9783110132670

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de Gruyter Lehrbuch Physik für Mediziner, Biologen, Pharmazeuten 5. Auflage

Alfred Trautwein • Uwe Kreibig Erich Oberhausen • Jürgen Hüttermann

Physik für Mediziner, Biologen, Pharmazeuten 5., neu bearbeitete Auflage

w DE

G

Walter de Gruyter Berlin • New York 2000

Professor Dr. Alfred X. Trautwein Institut für Physik Medizinische Universität zu Lübeck Prof. Dr. Uwe Kreibig I. Physikalisches Institut der Rheinisch-Westfälischen Technischen Hochschule Aachen

1. 2. 3. 4.

Auflage Auflage Auflage Auflage

Professor Dr. Dr. Erich Oberhausen f Professor Dr. Jürgen Hüttermann Fachrichtung Biophysik und Physikalische Grundlagen der Medizin Universität des Saarlandes

1977 1978 1983 1987

D a s Buch enthält 365 Abbildungen und 29 Tabellen.

Die Deutsche Bibliothek

CIP-Einheitsaufnahme

Physik für Mediziner, Biologen, Pharmazeuten / Alfred Trautwein . . . - 5., neu bearb. Aufl. - Berlin ; New York : de Gruyter, 1999 (De-Gruyter-Lehrbuch) Bis 4. Aufl. u.d.T.: Trautwein, Alfred: Physik für Mediziner, Biologen, Pharmazeuten ISBN 3-11-013267-2

Copyright 1999 by Walter de Gruyter G m b H & Co. KG, D-10785 Berlin. Dieses Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der engen G r e n z e n des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlages unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzun-

gen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Textkonvertierung, Druck und buchbinderische Verarbeitung: Druckhaus „Thomas Müntzer" G m b H , Bad Langensalza — Umschlagentwurf: H a n s b e r n d Lindemann, Berlin Printed in G e r m a n y

Vorwort

In ihrem klassischen Rahmen befaßte sich die Physik mit Vorgängen in der unbelebten Natur. Heute erstreckt sie sich auf alle Gebiete der Naturwissenschaften und Technik. So ist sie auch zu einer der wesentlichen Grundlagen in der Biologie und Medizin geworden. Dies beruht darauf, daß die grundlegenden Gesetzmäßigkeiten, die man in der unbelebten Natur beobachten kann, auch für die lebenden Organismen gelten, nur sind sie in der unbelebten Natur meist sehr viel einfacher zu erkennen. Physikalische Gesetze haben es ermöglicht, in Biologie und Medizin über die einfache Beschreibung von Lebensvorgängen hinaus zu ihrem naturwissenschaftlich begründeten Verständnis zu gelangen. Es ist daher notwendig, daß sich Biologen und Mediziner intensiv mit den physikalischen Grundlagen ihrer Wissenschaften beschäftigen. Erster Schritt dazu ist, an einfachen physikalischen Modellen zu lernen, wie man mit naturwissenschaftlichen Methoden arbeitet. Daran schließt sich der schwere Weg an, in der Vielfalt und Komplexität der Vorgänge am lebenden Organismus physikalische Einzelprozesse auszumachen. In diesem Buch haben wir uns bemüht, grundlegende Begriffe und physikalische Zusammenhänge an einfachen Modellen einzuführen. Dadurch bleibt auch ihre mathematische Formulierung überschaubar. Vor dieser sind wir nicht ausgewichen; Physik ist, wie jede Naturwissenschaft, eine quantitative Wissenschaft. Sie begnügt sich nicht damit festzustellen, daß etwas geschieht, sondern untersucht, warum es in einem bestimmten Ausmaß geschieht. Grundlage des Verständnisses ist daher ein eindeutiges, mathematisch formulierbares Begriffssystem. Dieses nimmt besonders im ersten Abschnitt, der Mechanik, einen großen Raum ein. Wir sind der Überzeugung, daß auch derjenige, der die

Physik nur als Hilfswissenschaft benötigt, in der Lage sein muß, einfache praktische Probleme, die in seinem Fachgebiet auftreten, selbst durchzurechnen. Es wesentliches Anliegen war es uns, Grundlagen durch Beispiele aus dem medizinisch-biologischen Bereich zu veranschaulichen. Sie sollen darauf hinweisen, in welch unterschiedlichen Gebieten allgemeine physikalische Gesetzmäßigkeiten realisiert sind. Zur Prüfung seines Verständnisses sollte der Leser sich darin versuchen, andere Beispiele zu finden. Er wird rasch merken, wieviel Freude es machen kann, sich über die Physik klarzuwerden, die hinter Vorgängen des täglichen Lebens stehen, wie Radfahren, Kochen, Singen, .Tanzen, Fußballspielen, Filmen, Musizieren oder hinter technischen Geräten wie CD-Spieler, Kühlschrank oder Magnetschwebebahn. Das alles sind Beispiele, die im vorliegenden Buch nicht behandelt werden, deren Erklärung aber in den besprochenen Gesetzmäßigkeiten enthalten ist. Trotz- unterschiedlicher Gegenargumente haben wir uns entschlossen, im wesentlichen die übliche Gliederung der Physik in Mechanik, Wärmelehre, Elektrizitätslehre, Optik und Kernphysik beizubehalten. Moderne Erkenntnisse der Quantenphysik und der Relativitätstheorie haben wir in den laufenden Text aufgenommen und nicht in spezielle Kapitel verbannt, als handle es sich dabei um eine andere Physik. Die Stoffauswahl ist darauf abgestimmt, vornehmlich den Studierenden der Fächer Medizin, Biologie und Pharmazie sowie anderer Fachrichtungen mit biophysikalischen Aspekten Grundlagenkenntnisse in Physik vermitteln. Zahlreiche Textverweise innerhalb des Buches sollen auch demjenigen Leser den Einstieg in die einzelnen Kapitel ermöglichen,

VI

Vorwort

der das Buch nicht kontinuierlich durchliest, sondern zum Nachschlagen verwendet. Enggedrucktes ist nicht gleichbedeutend mit Entbehrlichem, vielmehr sollen damit Zusatzinformationen vom laufenden Text abgesetzt werden. Das, was man sich als Gerüst an grundlegendem Wissen zur Vorbereitung auf die medizinische oder pharmazeutische Vorprüfung mindestens aneignen sollte, ist im Text durch Grauton hervorgehoben. Bei der Auswahl der Buchstaben für physikalische Größen und Einheiten sind wir im allgemeinen den Vorschlägen der IUPAP (International Union for Pure and Applied Physics) bzw. dem SI-Einheitensystem gefolgt. In der vorliegenden 5. Auflage wurde die Stoffauswahl gestrafft und erneut aktualisiert. Eine Sammlung von 87 Aufgaben mit Lösun-

gen ist den einzelnen Kapiteln inhaltlich zugeordnet. Auf den ersten Blick mögen einige der Aufgaben umfangreich und schwierig erscheinen. Wir stellen sie jedoch nicht als Prüfungs-, sondern als Übungsaufgaben und haben daher Wert auf ausführliche Lösungsbeschreibungen gelegt. All denen, die uns bei der Edition der verschiedenen Auflagen und bei der Fehlersuche geholfen haben, möchten wir danken. Besonderer Dank gebührt unserem Mitautor, Herrn Professor Erich Oberhausen, der bis zu seinem Tod mitgewirkt hat, die neue Auflage vorzubereiten. August 1999 Alfred Trautwein, Uwe Kreibig, Jürgen Hüttermann

Inhalt Einleitung

1

Mechanik

3

1.

Raum und Zeit

1.1

Physikalische Größen und Einheiten 3 Länge als Beispiel 3 Basiseinheiten des internationalen Einheitensystems 4 Längenmessung 7 Zeitmessung 9 Winkelmaße 10

1.1.1 1.1.2 1.1.3 1.1.4 1.1.5 1.2 1.2.1 1.2.2 1.2.3 1.2.4

3

Bewegungen im Raum 11 Geschwindigkeit 11 Beschleunigung 13 Kreisbewegung 14 Berechnung des Weges aus Geschwindigkeit und Beschleunigung 16

2.2.7.6 2.2.8 2.2.9

Stabiles, indifferentes und labiles Gleichgewicht; Standfestigkeit 28 Impuls und Drehimpuls 29 Reibung 30

3.

Arbeit, Energie, Leistung

3.1 3.2 3.3

Ein Beispiel für den Begriff Arbeit 32 Energieformen 33 Leistung, Wirkung 36

4.

Erhaltungssätze

4.1 4.2 4.3

Energieerhaltungssatz 37 Impulserhaltungssatz 38 Der Stoß als Beispiel für Energieund Impulserhaltung 39 Drehimpulserhaltungssatz 40

4.4 2.

Masse und Kraft

2.1

Die träge Masse

2.2 2.2.1 2.2.2

Wirkung von Kräften 19 Newtonsche Axiome 19 Verschiedene Arten von Kräften 20 Gravitation 20 Trägheitskraft 22 Zentrifugal- und Zentripetalkraft 22 Statisches und dynamisches Gleichgewicht von Kräften 23 Schwerelosigkeit 23 Dynamometer (Kraft einer gespannten Feder) 24 Druck (Kraft auf eine Fläche) 24 Drehmoment 24 Trägheitsmoment 25 Kräftepaar 25 Hebel 26 Schwerpunkt 27 Die Hebelwaage 28

2.2.2.1 2.2.2.2 2.2.2.3 2.2.3 2.2.4 2.2.5 2.2.6 2.2.7 2.2.7.1 2.2.7.2 2.2.7.3 2.2.7.4 2.2.7.5

18

5.

18 5.1 5.1.1 5.1.2 5.2 5.2.1 5.2.2 5.3 5.3.1 5.3.2 5.3.2.1 5.3.2.2 5.3.3 5.3.3.1

Mechanische Eigenschaften von Stoffen

32

37

41

Wechselwirkungen zwischen Atomen und Molekülen 42 Bindungsarten 42 Molekulares Bild der Aggregatzustände 44 Makroskopische mechanische Eigenschaften von Festkörpern 47 Homogene Körper 47 Verformung von festen Körpern unter dem Einfluß von Kräften 47 Makroskopische mechanische Eigenschaften von Flüssigkeiten Grenzflächen 50 Hydrostatik 53 Kapillarität 53 Druck in Flüssigkeiten 55 Hydrodynamik 60 Die Kontinuitätsgleichung 60

50

VIII

Inhalt

5.3.3.2 Zähe Flüssigkeiten 62 5.3.3.2.1 Viskosität 62 5.3.3.2.2 Laminare Strömung 64

5.3.3.2.3 Turbulente Strömung 67 5.3.3.2.4 Strömungsgesetze und Blutkreislauf 68

Mechanische Schwingungen un< Wellen 6.

Schwingungen

6.1

Pendel als mechanisches schwingungsfähiges System 72 Differentialgleichung der ungedämpften Schwingung 73 Gedämpfte Schwingungen 75 Erzwungene Schwingungen 77

6.2 6.3 6.4 6.5 6.5.1 6.5.2

6.5.3 6.6 6.6.1 6.6.2

71

Anharmonische Schwingungen 78 Überlagerung von harmonischen Schwingungen 79 Zerlegung anharmonischer Schwingungen in harmonische Teilschwingungen 80 Schwebung 80 Gekoppelte Pendel 81 Zwei gekoppelte Pendel 81 Übergang von der Pendelkette zu Eigenschwingungen ausgedehnter Körper 82

7. 7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6 7.7 7.8 7.9 7.10 7.11 7.12

i\

Wellen Teil I: Mechanische und Akustische Wellen

84

Ausbreitung von Schwingungen in Wellenfeldern 85 Beschreibung von Wellenfeldern 87 Der Doppler-Effekt 95 Gedämpfte Wellen 97 Anharmonische Wellen: Schallwellen als Beispiel 98 Überlagerung von Wellen, Interferenz 100 Das Huygens'sche Prinzip 101 Wellen an der Grenzfläche zwischen verschiedenen Medien 102 Stehende Wellen 104 Schallempfindungen: Akustik der Musik 107 Stimme und Gehör beim Menschen 109 Ultraschall 111

Wärmelehre

117

8.

Wärme und Temperatur

9.2 9.3

8.1 8.2 8.3 8.4

Einleitung 117 Wärmeenergie 117 Wärmekapazität 118 Temperaturskalen 119

8.5 8.5.1 8.5.2 8.5.3 8.5.4

Temperatur-Meßgeräte 120 Ausdehnungsthermometer 120 Thermoelement 121 Widerstandsthermometer 122 Digitalthermometer 122

10.

Kinetische Gastheorie

10.1 10.2

9.

Ideale Gase

9.1

Zustandsgrößen, Zustandsgieichung 123

10.4 10.5 10.6

Gasdruck 125 Kinetische Energie und Temperatur 126 Freiheitsgrade und Gleichverteilungssatz 126 Geschwindigkeitsverteilung Volumenarbeit 129 Wärmekapazität von Gasen

9.4

10.3

Zustandsänderungen 123 Adiabatische Zustandsgieichungen 124 Zustandsgieichung von Gasgemischen 124 125

127 129

Inhalt

11.

Reale Gase, Van der Waals'sche Zustandsgieichung 130

12.

Hauptsätze der Wärmelehre

12.1 12.2

Innere Energie 132 Der 1. Hauptsatz der Wärmelehre 133 Reversible und irreversible Prozesse 133 Entropie 135 Der 2. Hauptsatz der Wärmelehre 136 Energiebilanz beim lebenden Organismus 136

12.3 12.4 12.5 12.6 13. 13.1 13.2

132

Thermodynamische Eigenschaften von Stoffen 138 Thermische Ausdehnung 138 Wärmeübergang, Wärmetransport 138

13.3 13.3.1 13.3.2 13.3.3 13.3.4 13.3.5 13.3.6 13.3.7 13.3.7.1 13.3.7.2 13.3.7.3 13.3.7.4 13.3.7.5

13.3.7.6

Elektrizitätslehre 14.

Elektrische und magnetische Größen

153

Vorbemerkung

14.2 14.2.1 14.2.2

Ladung 153 Ladungsmenge 153 Kraft zwischen elektrischen Ladungen 154

14.3 14.3.1 14.3.2

Spannung 155 Definition der Spannung Spannungsquellen 156

14.4

Strom

14.5 14.5.1 14.5.2

Widerstand, Leitwert 159 Leiter, Nichtleiter 159 Spezifischer Widerstand, spezifische Leitfähigkeit 159 Strom-Spannungs-Kennlinie von Leitern 160

14.6 14.6.1 14.6.2 14.6.3

Stoffgemische 140 Gehaltsangaben von Lösungen 140 Echte Lösung, kolloidales System, grobe Dispersion 141 Henry-Daltonsches Gesetz 142 Hydratation, Solvatation 142 Diffusion 143 Osmose 143 Phasenübergänge 145 Umwandlungswärmen 145 Lösungswärmen 146 Reaktionswärmen 147 Dampfdruck 147 Dampfdruckerniedrigung, Siedepunkterhöhung und Gefrierpunktserniedrigung 149 Koexistenz von Phasen, Phasengleichgewichte 150

153

14.1

14.5.3

IX

153

155

157

Netzwerke 161 Schaltbilder 161 Innenwiderstand einer Spannungsquelle 162 Kirchhoffsche Gesetze des elektrischen Stromes 163

14.7 14.7.1 14.7.2 14.7.3 14.7.4 14.7.5 14.7.6 14.7.7 14.8 14.8.1 14.8.2 14.8.3 14.8.4 14.8.5 14.8.6 14.8.7 14.8.8

Elektrostatisches Feld 164 Kraftwirkung auf eine Ladung im Feld 164 Arbeit und Energie im elektrischen Feld 166 Kondensator und Kapazität 167 Kräfte auf einen Dipol im Feld 168 Materie im Feld 169 Energieinhalt des elektrischen Feldes 172 Piezo- und Pyroelektrizität 172 Magnetfeld 172 Feldstärke und magnetische Induktion 173 Kräfte auf einen magnetischen Dipol 176 Lorentz-Kraft 176 Induktionsvorgänge 178 Selbstinduktion 179 Energiegehalt des magnetischen Feldes 180 Lenzsche Regel 180 Magnetfelder des menschlichen Körpers 181

X

Inhalt

14.9 14.9.1 14.9.1.1 14.9.1.2 14.9.2 14.9.3 14.9.4

14.9.5 14.9.5.1 14.9.5.2 14.9.5.3

14.9.6 14.9.7 14.9.7.1 14.9.7.2 14.9.7.3 14.9.8

15. 15.1

Zeitabhängige Spannungen und Ströme 181 Ein- und Ausschaltvorgänge 181 Einschalt- und Ausschaltvorgang beim Kondensator 181 Ein- und Ausschaltvorgang bei der Spule 183 Sinusförmige Wechselspannungen und Wechselströme 184 Dreiphasen-Spannung, Drehstrom 186 Nicht-sinusförmige Wechselspannungen, Spannungsimpulse 186 Wechselstrom-Kreise 187 KapazitiverWiderstand 187 Induktiver Widerstand 188 Wechselstromkreise mit Ohmschem, kapazitivem und induktivem Widerstand 189 Resonanz-Schwingkreise 190 Elektromagnetische Wellen 191 Ausbreitungsgeschwindigkeit elektromagnetischer Wellen 195 Ausbreitungsrichtung elektromagnetischer Wellen 195 Maxwellsche Gleichungen 195 Leistung des elektrischen Stroms 196 Mikroskopische elektrische Vorgänge Biologische Potentiale

198

198

15.1.1 15.1.2 15.2

Entstehung von Spannungen an Grenzflächen 198 Summenpotentiale 201

15.2.1 15.2.2 15.2.3 15.2.4

Mechanismen der Stromleitung 202 Stromleitung im Vakuum 202 Stromleitung in Gasen 204 Stromleitung in Elektrolyten 205 Stromleitung in Festkörpern 211

15.3 15.3.1 15.3.2 15.3.3 15.3.4

Halbleiterelektronik 215 Halbleiterdiode 215 Transistor 216 Feldeffekt-Transistor 217 Digitalelektronik 217

16.

Elektrische Geräte

16.1 16.1.1 16.1.2 16.1.3

16.1.7

Meßgeräte 220 Das Drehspul-Meßwerk 221 Das Digital-Meßgerät 222 Messung von Strom und Spannung 223 Elektronenstrahl-Oszilloskop (Oszillograph) und Bildschirm 226 Analoge Ladungsmessung 230 Messung von Ohmschen Widerständen 230 Rauschen 231

16.2 16.2.1 16.2.2 16.2.3 16.2.4

Technische elektrische Geräte Dynamo-Maschine 231 Elektro-Motor 232 Transformator 233 Sender und Empfänger 234

16.1.4 16.1.5 16.1.6

Optik Optische Strahlung

17.1 17.2 17.3 17.4 17.5

Einleitung 239 Licht-Meßgrößen 240 Strahlungsquellen 242 Bohrsches Atommodell 242 Emission von Licht aus Atomen 245 Kohärenz, spontane und induzierte Emission 247 Das Emissionsspektrum der Atome 249

17.7

231

239

17.

17.6

220

239

17.8 17.9 17.10 17.10.1 17.10.2 17.11

Absorption von Licht in Atomen 251 Emission und Absorption glühender Stoffe 251 Temperaturstrahlung und Temperaturgleichgewicht 252 Thermische Emission und Absorption 253 Strahlungsgesetze 255 Fluoreszenz, Phosphoreszenz, Lumineszenz 257

Inhalt 17.12

17.12.1 17.12.2 18. 18.1 18.1.1 18.1.2 18.1.3 18.2 18.2.1 18.2.2 18.2.3 18.2.4 18.3 18.3.1 18.3.2 18.3.3 18.3.4 18.3.5 18.4 18.4.1 18.4.2 18.5 18.5.1 18.5.2 18.5.3 18.6 19. 19.1 19.2 19.3 19.3.1

LASER (Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation) 258 Funktionsweise und Eigenschaften 258 Laser in der Medizin 261 Wellen Teil II: Wellenoptik 264 Interferenz von Wellen 264 Interferenzfähigkeit 264 Anwendung der Interferenz: Die Interferometrie 266 Holografie 268 Beugung elektromagnetischer Wellen 270 Beugung an Spalten 270 Das Beugungsgitter 273 Beugung an kreisförmigen Blenden (Beugungsunschärfe) 274 Beugung von Röntgenstrahlen 276 Ausbreitung elektromagnetischer Wellen in Materie 277 Der Brechungsindex und das Brechungsgesetz 277 Das Absorptionsgesetz 278 Der Zusammenhang zwischen Absorption und Dispersion 281 Dichroismus und Doppelbrechung 281 Spannungsdoppelbrechung 283 Spektralanalyse 283 Lambert-Beersches Gesetz 284 Extinktion kolloidaler Systeme 285 Polarisation elektromagnetischer Wellen 286 Polarisationszustand 286 Erzeugung und Untersuchung von linear polarisiertem Licht 288 Optische Aktivität und FaradayEffekt 291 Materiewellen 292 Geometrische Optik 294 Lichtausbreitung 295 Optische Symbole, Strahlengänge und Bilder 296 Gesetze der Geometrischen Optik 297 Reflexion 297

19.3.2 19.3.3 19.3.4 19.3.5 19.3.6 19.3.7 19.4 19.4.1 19.4.2 19.4.3 19.4.4 19.4.5 19.4.6 19.4.7 19.4.8 19.4.9 19.4.10 19.4.11

XI

Abbildung durch Spiegel 298 Brechung 299 Intensitäten von gebrochenem und reflektiertem Strahl 300 Zerlegung von Licht in seine Spektralfarben mit Hilfe des Prismas 301 Totalreflexion 301 Optoelektronik 303 Abbildung mit Linsen 304 Abbildung durch brechende Flächen 304 Die Abbildungsgleichung für eine brechende Fläche 306 Spezialfälle der Abbildungsgleichung 307 Die Abbildungsgleichung für eine Linse 307 Klassifizierung von Linsen 308 Die Abbildungsgleichung für ein System aus zwei Linsen 309 Kardinalelemente von dicken Linsen und Linsensystemen 310 Konstruktion von Strahlengängen 311 Optische Vergrößerung 313 Die Schärfentiefe (Tiefenschärfe) 313 Abbildungsfehler 314

19.5 19.5.1 19.5.2 19.5.3 19.5.4 19.5.5 19.5.6

Das Auge 316 Optische Abbildung im Auge 317 Fehlsichtigkeit 318 Empfindlichkeit 319 Bildverarbeitung 319 Farbsehen 321 Vergrößerung bei Betrachtung mit dem Auge 323

20.

Einige abbildende und spektroskopische Instrumente 324 Lupe 324 Projektions-Apparate 324 Lichtmikroskop 325 Elektronenmikroskop 330 Raster-Sonden-Mikroskopie 333 Fernrohr 334 Photometer 335 Strahlungsmeßgeräte 337 Kamera 340

20.1 20.2 20.3 20.4 20.5 20.6 20.7 20.8 20.9

XII

Inhalt

Atomkerne, Ionisierende Strahlung 21.1 21.1.1 21.1.2 21.1.3

Atomkerne 341 Elementarteilchen 341 Aufbau der Atomkerne 342 Kernmagnetische Resonanz 344

21.2 21.2.1 21.2.2 21.2.3 21.2.4 21.2.5

Radioaktivität 346 Kernumwandlungen 346 Natürliche Radionuklide 350 Zerfallsgesetz 351 Radioaktives Gleichgewicht 353 Wechselwirkung energiereicher geladener Teilchen mit Materie 354 Wechselwirkung von Neutronen mit Materie 356 Strahlungsdetektoren 356 Medizinische Anwendung von Radionukliden 359

21.2.6 21.2.7 21.2.8

341

21.2.9 21.2.10

Kernspaltung und Kernfusion Künstliche Kernumwandlung, Aktivierung 364

21.3 21.3.1

Röntgenstrahlen 365 Bremsstrahlung, charakteristische Strahlung 365 Erzeugung ultraharter Röntgenstrahlung durch Teilchenbeschleuniger 368 Wechselwirkung von Röntgen- und Gammastrahlung mit Materie 369 Röntgenbildaufnahmen 372

21.3.2

21.3.3 21.3.4 21.4 21.5

Dosimetrie 374 Bemerkungen zum Strahlenschutz 376

Regelung, Steuerung, Informationsübertragung 22.

Regelung und Steuerung

379

23.

363

Informationsübertragung

379 .

Anhang A.l

Mathematische Beschreibung physikalischer Zusammenhänge 383

A.2 2.1

Fehlerabschätzung 384 Größenordnungsmäßige Angabe von Meßfehlern 385 Ursachen von Fehlern 386 Fehler durch die Meßapparatur 386 Fehler durch das Meßobjekt 386 Methoden der Fehlerabschätzung 386

2.2 2.2.1 2.2.2 2.3

Register

381

383 2.3.1 2.3.2 2.3.3 2.4

Meßfehler der Einzelgröße 387 Fehlerfortpflanzung 389 Fehler einer Funktion 390 Signifikanz-Tests 391

A.3 A.4 A.5

Rechnen mit Vektoren Das Exponentialgesetz Weitere mathematische Beziehungen Einige Naturkonstanten Aufgaben Lösungen

A.6 A.7 A.8

392 394 396 399 400 410

427

Einleitung

Der Physik liegen zwei Axiome zugrunde: 1. Naturgesetze sind allgemeingültig, d. h. unter gleichartigen Bedingungen bestimmen sie zu jeder Zeit und überall mit gleicher Notwendigkeit das Naturgeschehen. 2. Die Beobachtung liefert allein die Entscheidungskriterien über die Richtigkeit eines Modells zur Beschreibung eines Naturereignisses: Das Experiment ist Beweisgrundlage. Dabei wird unter dem Experiment die planmäßige Beobachtung verstanden, bei der alle wesentlichen Einflüsse auf das Geschehen messend kontrolliert werden. Erst durch eindeutige Definition physikalischer Größen wird es möglich, Meßaufgaben zu formulieren und durch Messungen Gesetzmäßigkeiten aufzudecken. Dazu gehört es, Maßeinheiten für diese Größen festzulegen. Physikalische Gesetze werden im allgemeinen in mathematischer Darstellung formuliert, weil sie die einfachste Beschreibung erlaubt und die Möglichkeit bietet, deduktive Schlußfolgerungen abzuleiten. Dies ändert jedoch nichts an der Tatsache, daß im Vordergrund der physikalischen Erkenntnis die messende Beobachtung von Vorgängen in der Natur steht. Ein wesentlicher Unterschied zwischen einem physikalischen Gesetz und einer mathematischen Formel ist, daß physikalische Größen prinzipiell nicht mit derselben Schärfe zu bestimmen sind wie mathematische Größen. Ein Meßpunkt stellt wegen prinzipieller Ungenauigkeiten und Meßfehler nie einen mathematischen Punkt dar. Daran sollte man sich bei der Beurteilung der Präzision mathematischer Formulierungen von physikalischen Gesetzmäßigkeiten erinnern. Die Grenze jedes Gesetzes liegt in der Meßgenauigkeit des jeweils entscheidenden Experiments. Die Abschätzung der Genauigkeitsgrenzen — oder Fehlergrenzen, wie man allgemein sagt — ist

wesentlicher Bestandteil jeder Messung und auch jeder Anwendung eines physikalischen Gesetzes. Allgemein gilt, daß die Fehlerabschätzung ebenso wichtig ist wie die Angabe des Resultates selber. Ein Gesetz gilt mit Sicherheit nur für den Bereich der Variablen, innerhalb dessen Experimente durchgeführt wurden. Diese Einschränkung ist in der mathematischen Formulierung eines physikalischen Zusammenhanges meist nicht zu erkennen. Daher ist bei extremen Werten der Variablen Vorsicht geboten. Um in der verwirrenden Vielfalt der Naturerscheinungen allgemeine Gesetzmäßigkeiten überhaupt erkennen zu können, sucht man in der Physik einfache Modelle. Diesem Vorgehen liegt die Vorstellung zugrunde, daß man auch verwickelte Naturvorgänge in eine Reihe von ineinandergreifenden Einzelvorgänge zerlegen kann. Unter verschiedenen, einen Sachverhalt beschreibenden Modellen sollte man, wie bereits Newton forderte, normalerweise dem einfachsten den Vorzug geben. Zur Vereinfachung enthalten solche Modelle meist idealisierende Annahmen, die in der Natur nur näherungsweise erfüllt sind. (Ein Beispiel ist der Massenpunkt). Berechtigt ist das allerdings nur, wenn man abschätzen kann, daß die dadurch entstehenden Abweichungen vom realen Verhalten klein bleiben. Ein aus einem Modell abgeleitetes Gesetz gilt in allen Naturbereichen für Vorgänge, die auf das Modell zurückgeführt werden können. Es ist also zu unterscheiden zwischen dem Modell und der speziellen Realisierung in der Natur. Gerade für denjenigen, der die Physik als Hilfswissenschaft benötigt, ist es wichtig, sich immer wieder klarzumachen, daß hinter jedem physikalischen Gesetz eine Unmenge von Anwendungsbeispielen steht, die dem Gesetz erst seine Bedeutung geben. Für sol-

2

Einleitung

che Anwendungsbeispiele den Blick zu schärfen, sollte der wesentliche Bestandteil der Physikausbildung für Mediziner, Biologen und Pharmazeuten sein. Insbesondere Medizinern begegnet die Physik heute zunehmend in Form von chromblitzender Verpackung komplizierter technischer Geräte zur Diagnose, Überwachung und Therapie. Das Innenleben und die Funktionsweise dieser Geräte sind den Anwendern zumeist mehr oder weniger unbekannt. Es kann zu verhängnisvollen Konsequenzen führen, daß perfektes Design und optimistische Betriebsbeschreibung ebenso perfekte Meß- und Anwendungsergebnisse demjeni-

gen suggerieren können, dem die näheren Kenntnisse physikalisch-technischer Zusammenhänge fehlen. Unerläßlich sind solche Kenntnisse, um sich eine Vorstellung von den Grenzen der Meßgenauigkeit und der Anwendbarkeit von Diagnose-, Meß- und Therapiegeräten zu verschaffen. Zu fordern, daß das Verständnis der technischen Komponenten eines Gerätes Voraussetzung für seine Bedienung sein soll, ist längst unrealistisch geworden. Ein realistischer Kompromiß dagegen ist, sich mit den physikalischen Grundlagen der technischen Anwendungen vertraut zu machen. Dazu soll das vorliegende Buch beitragen.

Mechanik

1.

Raum und Zeit

1.1

Physikalische Größen und Einheiten

1.1.1

Länge als Beispiel

Zur quantitativen Beschreibung eines Ereignisses ist die zahlenmäßige Angabe der untersuchten physikalischen Größen erforderlich. Solche Größen sind z. B. Länge, Geschwindigkeit oder die elektrische Stromstärke. Sie können stetig oder diskret sein. Ein Beispiel für eine stetige Größe ist die Zeit, eine diskrete Größe ist die Zahl N radioaktiver Atome einer Probe, die sich ja stets nur um ganze Zahlen ändern kann. Diese Unterscheidung ist wesentlich, wenn N klein ist. Ist N dagegen sehr groß, so kann man die Größe näherungsweise als stetig veränderlich ansehen, wie dies beim Gesetz von der radioaktiven Umwandlung, Gl. (21-3), geschieht. Stetige Größen haben den Vorteil, daß sie mathematisch leichter zu behandeln (z. B. zu differenzieren oder integrieren) sind. Eine physikalische Größe wird üblicherweise durch ein Buchstaben-Symbol abgekürzt, und sie ist festgelegt durch Angabe des Zahlenwertes und der Maßeinheit, z. B.: Länge / (physikal. Größe)

= 0,097 (Zahlenwert)

Meter (m), (Einheit).

(1-1)

Im Laufe der Zeit ist eine Unzahl von Einheiten erfunden worden. Allein für die Länge geht ihre Zahl in die Hunderte. Durch Einführung von Einheitensystemen, in denen geeignete Einheiten zusammengefaßt wurden, hat man versucht, dieses Durcheinander zu beseitigen.

In einem Einheitensystem sind einige physikalische Größen als Grund- oder Basisgrößen ausgewählt. Die übrigen Größen, die man als abgeleitete Größen bezeichnet, ergeben sich dann gemäß ihren Definitionsgleichungen als Kombinationen aus diesen Grundgrößen. So ergibt sich z. B. die gleichförmige Geschwindigkeit v als abgeleitete Größe durch die Definitionsgleichung v = s/t, wobei s die während der Zeit t zurückgelegte Wegstrecke ist, aus den Basisgrößen Länge und Zeit. Diese Beziehung stellt eine Größengleichung dar und legt zugleich die Dimension von v fest, nämlich Länge dividiert durch Zeit. Die Dimension gibt die Zusammensetzung einer Größe aus den Basisgrößen an. In Tab. 1.1 sind die Dimensionen einiger physikalischer Größen angegeben, die sich aus den Basisgrößen Länge, Zeit und Masse ableiten. Setzen wir in die Größengleichung v = s/t Zahlenwerte ein und geben an, daß z. B. 5 m in 3 s zurückgelegt werden, so erhalten wir eine Zahlenwertgleichung: v = 5/3 m s - 1 . Tab. 1.1 Größen

Die Dimensionen einiger physikalischer

Dimension

Physikalische Größe Fläche Volumen Geschwindigkeit Beschleunigung Impuls Kraft Energie

A V V

a P F E

Länge • Länge Länge • Länge • Länge Länge/Zeit Länge/(Zeit) 2 Masse • Länge/Zeit Masse • Länge/(Zeit) 2 Masse • (Länge) 2 /(Zeit) 2

4

1. R a u m u n d Zeit

Tab. 1.2

Basis-Einheiten einiger Einheiten-Systeme

EinheitenSystem

Mechanik

Länge

CGS

Zentimeter cm Meter m Meter m foot ft ProtonenComptonWellenlänge

MKSA Technisches Angelsächsisches Natürliches

Internationales (SI)

b

Meter m

Masse

Kraft

Gramm g Kilogramm kg

pound Ib Protonenmasse rrip

Kilopond kp

Zeit

Thermodynamik

Photometrie

Stromstärke

Temperatur

Stoffmenge

Lichtstärke

Mol mol

Candela cd

Sekunde s Sekunde Ampere s A Sekunde s second s

Fahrenheit °F

(c = Licht geschwindigkeit) Sekunde Ampere s A

Kelvin K

t = lp/c

Kilogramm kg

Elektrizitätslehre

Den Basisgrößen werden Einheiten, Basisoder Grundeinheiten zugewiesen. Damit sind auch die Einheiten der abgeleiteten Größen festgelegt, wenn man vereinbart, daß sie entsprechend ihrer Definitionsgleichungen zu bilden sind. So ist bei Verwendung der Basiseinheiten Meter (m) und Sekunde (s) die Einheit der Geschwindigkeit v gleich 1 m 1 s _ 1 = 1 m s - 1 . (Auf Multiplikationspunkte bei Formeln und Einheiten wird in diesem Buch verzichtet.) In Tabelle 1.2 sind die Basiseinheiten einiger heute üblicher Einheitssysteme, in Tab. 1.3

die zur Erweiterung von Einheiten vorgeschriebenen Vorsatzzeichen und in Tab. 1.4 die Einheiten des Internationalen Einheitensystems (SI = Système International d'Unités) mit den ihnen oft zusätzlich gegebenen Eigennamen zusammengestellt. Das SI macht den Gebrauch weiterer bisher üblicher, nicht in Systemen zusammengefaßter Einheiten überflüssig. Hierzu gehören z. B. PS als Leistungseinheit, cal als Energieeinheit oder Torr als Druckeinheit. Diese und einige weitere systemfremde Einheiten sind in Tab. 1.5 zusammengestellt.

Dezimale Vielfache und Teile von Ein-

1.1.2 Basiseinheiten des internationalen Einheitensystems

Tab. 1.3 heiten

Zehnerpotenzen 12

Vorsatz

Vorsatzzeichen

Vielfache:

10 109 10® 103

Tera Giga Mega Kilo

T G M k

Teile:

10" 1 10- 2 10" 3 IO" 6 10" 9 10~12 10~15

Dezi Zenti Milli Mikro Nano Pico Femto Atto

d c m

1 0

- 1 8

H n P f a

Physikalische G r ö ß e n sind über Meßverfahren definiert. Eine Messung besteht aus dem direkten oder indirekten Vergleich der zu messenden G r ö ß e n mit einem Eichnormal.

Die ständige Überprüfung der in Wirtschaft und Industrie verwendeten Meßgeräte mit Eichnormalen (die Eichung) ist durch Gesetze und staatliche Verordnungen geregelt. In der Bundesrepublik Deutschland ist die Zentralstelle für derartige Überwachungen die

1.1 Physikalische G r ö ß e n Tab. 1.4

5

Abgeleitete und sonstige Einheiten des SI mit eigenen Namen

Mechanik Kraft: Druck: Energie: Leistung: Winkel: eben: räumlich: Frequenz:

1 1 1 1

kg kg kg kg

m s 2 = 1 Newton (N) m " 1 s " 2 = 1 Nm 2 = 1 Pascal (Pa) m 2 s " 2 = 1 Joule (J) m 2 s " 3 = 1 Watt (W)

1 Radiant (rad) 1 Steradiant (Sr) 1 s 1 = 1 Hertz (Hz)

Photometrie Lichtstrom: Beleuchtungsstärke:

1 cd Sr = 1 Lumen (Im) 1 cd Sr m " 2 = 1 Lux (Ix)

Elektrizitätslehre Spannung: Widerstand: Leitwert: Kapazität: Induktivität: Ladung: Magnetischer Fluß: Magnetische Induktion: Atom- und

1 1 1 1 1 1 1 1

kg m " 2 s " 3 A " 1 = 1 Volt (V) kg m " 2 s " 3 A " 2 = 1 Ohm (ß) kg" 1 m " 2 s 3 A 2 = 1 Q" 1 = 1 Siemens (S) A s V " 1 = 1 Farad (F) kg m 2 s " 1 A " 2 = 1 Henry (H) A s = 1 Coulomb (Cb) kg m 2 s " 2 A " 1 = 1 Weber (Wb) kg s " 2 A " 1 = 1 Tesla (T)

Kernphysik

Masse: Energie: Aktivität: Energiedosis: Äquivalentdosis:

1 atomare Masseneinheit (1 u = 1,66058 • 10~27 kg) 1 Elektronenvolt (1 eV = 1,60206 • 10" 19 J) 1 s " 1 = 1 Becquerel (Bq) 1 J k g - 1 = 1 Gray (Gy) 1 J k g - 1 = 1 Sievert (Sv)

Physikalisch-Technische Bundesanstalt in Braunschweig und Berlin. Die Eichnormale der Basiseinheiten des SI sind: 1. Meter (m) Das Meter ist die Wegstrecke, die das Licht im Vakuum während des Zeitintervalls von (1/299792458) s durchläuft. Damit ist das Meter auf den Wert der Vakuumlichtgeschwindigkeit bezogen. 2. Sekunde (s) Die Festlegung der Zeiteinheit aus der Länge des Tages ist für heutige Ansprüche zu ungenau. Daher bezieht man sich auf Vorgänge im Atom. Die Sekunde ist das 9192631770fache der Periodendauer der dem Übergang zwischen 2 bestimmten Niveaus (den Hyperfeinstrukturniveaus des elektronischen Grundzustandes) des Nuklids 133 Cs entsprechenden Strahlung. Das Eichnormal ist in der Atomuhr realisiert.

3. Kilogramm (kg) Die Masseneinheit ist bisher nicht auf Naturkonstanten gegründet, sondern auf dem in Sèvres (Frankreich) aufbewahrten Kilogramm-Prototyp, einem Block einer Platin-Iridium-Legierung. Zur Festlegung von Atommassen bezieht man sich auf das Kohlenstoff-Isotop 12C, mit der 12 Mol-Masse m = ———r kg mol , wobei NA Nj\ • 10 die Avogadro- (Loschmidtsche-) Konstante, NA = 6,0220-10 23 mol" 1 , ist. (Die atomare Masseneinheit u ist der zwölfte Teil der Masse eines Atoms des Nuklids 12C; sie gehört nicht zu den Basiseinheiten des SI, darf jedoch verwendet werden). 4. Ampere (A) Ein Ampere ist die Stärke eines zeitlich unveränderlichen elektrischen Stromes, der, durch zwei im Vakuum im Abstand 1 m voneinander angeordnete, geradli-

6

1. R a u m u n d Z e i t

Tab. 1.5

Einige nicht z u m S l g e h ö r i g e Einheiten

Größe

Einheit

U m r e c h n u n g —> S l

Länge

1CT 15 m 10" 1 0 m 0,0254 m 1609,33 m 0,529 • 10" 1 0 m 9,45 10~15 m 10" 5 N 9,81 N 101325 Pa 98066,5 Pa 1 0 0 0 0 0 Pa 133,3224 Pa

Leistung Lichtstärke

Fermi Ä n g s t r ö m (Ä) Zoll (inch) englische M e i l e a t o m a r e Längeneinheit (a0) Lichtjahr dyn Kilopond physikal. A t m o s p h ä r e (atm) techn. A t m o s p h ä r e (at) bar Torr ( m m Hg-Säule) Zentimeter W a s s e r s ä u l e (cm W S ) Pfund Zentner Tonne Kalorie (cal) erg Hartree Rydberg Pferdestärke (PS) Hefnerkerze

M a g n . Feldstärke

Oersted (Oe)

M a g n . Flußdichte Aktivität einer radioaktiven S u b s t a n z Energiedosis Äquivalentdosis lonendosis Zeit

G a u ß (G)

— Am ' 4ji 10~4T

Curie (Ci) rad rem Röntgen M i n u t e (min) S t u n d e (h) Fahrenheit (F)

3,7 • 1010 s~1 (Bq) 0,01 J k g " 1 (Gy) 0,01 J k g " 1 (Sv) 2,58 • 10" 4 C k g " 1 60 s 3600 s 0 °C s 32 °F; 100 °C ~ 212 °F

Kraft Druck

Masse

Energie

Temperatur

nige, unendlich lange Leiter von vernachlässigbarem Querschnitt fließend, zwischen diesen Leitern für jeden Abschnitt der Länge 1 m eine Kraft von F = 2 • 10 _I N hervorrufen würde. 5. Kelvin (K) Ein Festpunkt der Temperaturskala ist der Tripelpunkt des Wassers, bei dem Eis, Wasser und Dampf miteinander im thermischen Gleichgewicht stehen. Seine Temperatur ist auf genau 273,16 K festgelegt. Bei 1 K Temperatursteigerung dehnt sich ein ideales Gas bei konstantem Druck um 1/273,16 seines Volumens bei der Temperatur des Tripelpunktes des Wassers aus. 6. Candela (cd) Eine Candela ist die Lichtstärke, die von einer Strahlungsquelle erzeugt

98,0665 Pa 0,5 kg 50 kg 1000 kg 4,1868 J 10" 7 J 4,359 10" 1 8 J 2,179 • 10~18 J 735,49875 W 0,903 cd

wird, die monochromatisches Licht der Frequenz 5,4 • 1014 Hz mit einer Leistung von 1/683 Watt pro Raumwinkeleinheit emittiert. 7. Mol Ein Mol ist die Stoffmenge eines Systems, das aus ebensoviel Einzelteilchen besteht, wie Atome in 0,012 kg des Kohlenstoffisotops 12 C enthalten sind. Hierbei müssen die Einzelteilchen spezifiziert sein; es können Atome, Moleküle, Ionen, Elektronen sowie andere Teilchen sein. Das Einheitenzeichen der Stoffmengengröße Mol ist mol. Nach dieser Definition sind also Stoffmenge und Masse als voneinander unabhängige Größen anzusehen. In einem mol sind NA Teilchen enthalten: NA = 6,0220 -10 23 mol" 1 .

1.1 Physikalische G r ö ß e n

1.1.3

Längenmessung

7

stallographie werden auch die Wellenlängen des Lichtes und der Röntgenstrahlen als Maßstäbe benutzt und der Größenvergleich über die Interferenz der Strahlung durchgeführt. Diese Aufzählung zeigt die Vielfalt der Methoden der Längenmessung und weist gleichzeitig auf ein allgemeines Problem der Physik hin: Bei der Durchführung von Meßaufgaben muß man sorgfältig diejenigen Meßmethoden auswählen, die dem Problem angepaßt sind und die bei möglichst geringem Aufwand die angestrebte Genauigkeit erreichen lassen.

Eine Längenmessung in einfacher Form ist unter den physikalischen Meßverfahren sicher das anschaulichste. Durch Anlegen eines Maßstabes, der meist in m, cm und mm unterteilt ist, wird durch direkten Vergleich die interessierende Länge eines Gegenstandes oder die Entfernung zwischen zwei Punkten bestimmt. Diesem Verfahren sind jedoch bezüglich der Größe der zu messenden Länge Grenzen gesetzt. Bis zu Größen von einigen Metern kann man sich noch dadurch helfen, daß man den Maßstab mehrere Male anein- Die spezielle Relativitätstheorie zeigt, daß die Länge eiandersetzt, was aber meistens mit bedeuten- ner Strecke keine absolut festgelegte Größe ist, sondern den Ungenauigkeiten verbunden ist. Deshalb ihr Meßwert davon abhängt, ob und wie der Beobachter verwendet man dort entsprechende Band- sich gegenüber dem Meßobjekt bewegt. Freilich treten meßgeräte. Reichen auch diese nicht mehr meßbare Änderungen erst auf, wenn die Geschwindigkeit v dieser Bewegung sich der Lichtgeschwindigkeit aus, werden, wie Tab. 1.6 zeigt, trigonometri- (siehe Kap. 14.9.7.1) nähert. Dann erscheint dem bewegsche Meßverfahren angewandt. Dazu gehört ten Beobachter eine parallel zur Bewegungsrichtung liedie Triangulation (Abb. 1.1a), mit der sich gende Strecke l 0 verkürzt, nämlich als nach dem Sinussatz durch Messung der bei1 = 10 ^ l - ^ / c 2 , den Winkel a2 und a 3 und der Strecke d^ die unbekannte Strecke d2 bestimmen läßt, wobei c die Vakuum-Lichtgeschwindigkeit bedeutet 8 1 d2 : di = sin a2 : sin (180° — a2 — 0:3). Im (c ~ 3 • 10 m s^ ). Man nennt diesen Effekt relativistische Längenkontraktion. astronomischen Bereich dient schließlich als Maß für Entfernungen die Zeit, die das Licht braucht, um die zu messende Strecke zurückzulegen (alte Einheit: Lichtjahr), und man bestimmt den Stand weit entfernter Galaxien aus der Doppler-Verschiebung der von ihnen emittierten Lichtfrequenzen (Rot-Verschiebung), die auf die ständige Expansion des Weltalls zurückgeführt wird (vgl. Kap. 7.3). Noch komplizierter und vielfältiger werden die Meßverfahren bei kleinen Längen. Da Messungen im Bereich von cm und mm sehr oft mit großer Genauigkeit durchgeführt werden müssen, hat man hierfür besondere Geräte (Abb. 1.1b) wie z. B. die Schraublehre entwickelt. Bei noch kleineren Abmessungen kann der Vergleich zwischen Objekt und Maßstab nach entprechender Vergrößerung durch Lupe, Lichtmikroskop oder Elektronenmikroskop durchgeführt werden. In diesem Größenbereich zwischen 10~3 m und 10 10 m liegt der Großteil der Abmessungen, Abb. 1.1 Triangulation zur Bestimmung von d2 die für Biologie und Medizin interessant sind. aus den gemessenen Größen d-i, a2 und a 3 (a); Bei technischen Messungen und in der Kri- Schraublehre (b).

8

1. Raum und Zeit

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