Optische Kohärenz in der klassischen Theorie und in der Quantentheorie [Reprint 2021 ed.] 9783112590782, 9783112590775

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MB

Wissenschaftliche Taschenbücher

Mathematik • Physik J. F Vinson

Optische Kohärenz

Akademie-Verlag • Berlin Pergamon Press • Oxford Vieweg + Sohn • Braunschweig

Wissenschaftliche Taschenbücher

ROLF B O R S D O R F / M A N F R E D

SCHOLZ

Spektroskopische Methoden in der organischen Chemie WERNER HABERDITZL

Magnetochemie GERHARD HEBER

Mathematische Hilfsmittel der Physik, Teil I und I I A.A. SOKOLOW

Elementarteilchen HEINZ AHRENS

Varianzanalyse HANS-JÜRGEN TREDER

Relativität und Kosmos Raum und Zeit in Physik, Astronomie und Kosmologie ALBERT EINSTEIN

Grundzüge der Relativitätstheorie ALBERT EINSTEIN

Über die spezielle und die allgemeine Relativitätstheorie GÜNTHER LUDWIG

Wellenmechanik. Einführung und Originaltexte H A R R Y PAUL

lasertheorie, Teil I und I I FRANZ R U D O L F K E S S L E R

Einführung in die physikalischen Grundlagen der Kernenergiegewinnung EBERHARD HOFMANN

Eiweiße und Nucleinsäuren als biologische Makromoleküle Dynamische Biochemie, Teil I

EBERHARD TEUSCHER

Pharmakognosie, Teil I und I I D . T E R HAAR

Quantentheorie. Einführung und Originaltexte J. H. S A N D E R S

Die Lichtgeschwindigkeit. Einführung und Originaltexte JEAN KülfTZMANH

Unendliche Reihen Mathematische Hilfsmittel der Physik und Chemie Mit 94 Übungen und 29 Aufgaben

J E A N KTJNTZMANN

Systeme von Differentialgleichungen Mathematische Hilfsmittel der Physik und Chemie Mit 88 Übungen und 40 Aufgaben JEAN KUNTZMANN

Komplexe Veränderliche Mathematische Hilfsmittel der Physik und Chemie Mit 90 Übungen und 37 Aufgaben F E R D I N A N D CAP

Einführung in die Plasmaphysik I. Theoretische Grundlagen — insgesamt 3 Bände — J. A. ROSANOW

Wahrscheinlichkeitstheorie HARRY P F E I F E R

Theorie linearer Bauelemente Elektronik für den Physiker I HARRY P F E I F E R

Die Elektronenröhre Elektronik für den Physiker II HARRY P F E I F E R

Schaltungen mit Elektronenröhren Elektronik für den Physiker I I I HARRY P F E I F E R

Leitungen und Antennen Elektronik für den Physiker IV

HARRY P F E I F E R

Mikrowellenelcktronik Elektronik für den Physiker V HARRY P F E I F E R

Halbleiterelektronik Elektronik für den Physiker VI S I E G F R I E D HAUPTMANN

Über den Ablauf organisch-chemischer Reaktionen G E R H A R D H Ü B N E R / K L A U S J U N G / ECKART W I N K L E R

Die Bolle des Wassers in biologischen Systemen S T E P H E N G. B R U S H

Einetische Theorie, Teil I und I I E B E R H A R D HOFMANN

Enzyme und energieliefernde Stoffwechselreaktionen Dynamische Biochemie, Teil I I HERBERT GOERING

Elementare Methoden zur Lösung von Differentialgleichungsproblemen PETER KRUMBIEGEL

Isotopieeffekte D. M. B R I N K

Kernkräfte. Einführung und Originaltexte DIETER ONKEN

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Zur Chemie und Anwendung HEINZ GEILER

Ökologie der Land- und Süßwassertiere

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Biomathematik, Teil I und I I A R T H U R P. C R A C K N E L L

Angewandte Gruppentheorie Einführung und Originaltexte

J. F. V I N S O N

Optische Kohärenz in der klassischen Theorie und in der Quantentheorie Vorschau auf die nächsten Bände: E B E R H A R D HOIMANIf

Intermediärstoffwechsel Dynamische Biochemie, Teil III GÜNTER TEMBROCK

Grundlagen der Tierpsychologie W. R. H I N D M A R S H

Atomspektren GÜNTER TEMBROCK

Biokommunikation Informationsübertragung im biologischen Bereich, Teil I und II

WTB B A N D 85

J . F.

Vinson

Optische Kohärenz in der klassischen Theorie und in der Quantentheorie

Mit 1 Abbildung

AKADEMIE-VERLAG • BERLIN PERGAMON P R E S S • O X F O R D V

VIEWEG + SOHN • BRAUNSCHWEIG

Reihe M A T H E M A T I K U N D

PHYSIK

Herausgeber: Prof. Dr. rer. n a t . habil. G. Heber, Dresden Prof. Dr. phil. habil. W. Holzmüller, Leipzig Prof. Dr. phil. habil. A. Lösche, Leipzig Prof. Dr. phil. habil. H . Reichardt, Berlin Prof. D r . phil. habil. J . Schintlmeister, Dresden Prof. Dr. phil. habil. K . Schröder, Berlin Prof. D r . phil. habil. K . Schröter, Berlin Prof. Dr. rer. n a t . habil. H . - J . Treder, Berlin

Verantwortlicher Herausgeber dieses Bandes:

Prof. Dr. G. Heber Autorisierte Übersetzung aus dem Französischen, veröffentlicht durch D U N O D , Paris Copyright © 1969 b y D U N 0 D Ubersetzer und Herausgeber der deutschen Ausgabe:

Dr. H. Steudel,

ISBN

Berlin

3 528 06085 9

1971 Alle Rechte vorbehalten Copyright © 1971 der deutschen Ausgabe b y Akademie-Verlag G m b H , 108 Berlin Lizenznummer: 202 • 100/442/71 Gesamtherstellung: V E B Druckhaus „Maxim Gorki", 74 Altenburg Bestellnummer: Akademie-Verlag 761453 6 7085 • ES 18 B 1, 18 B 5 Pergamon Press 08 017 586 4 Vieweg + Sohn 6085 Printed in German Democratic Republic

Vorwort Seitdem die Quantenelektrodynamik existiert — das ist seit mehr als vierzig Jahren — hat sie eine äußerst mannigfaltige und fruchtbare Beschreibung der Strahlungsphänomene geliefert. Indessen, obwohl diese Theorie in der ersten Zeit zahlreiche Ergebnisse auf dem Gebiet der Quantenoptik gebracht hat, hat doch die Ausarbeitung der theoretischen Verknüpfung zwischen Optik und Quantenelektrodynamik bis in die jüngste Vergangenheit praktisch keine Portschritte gemacht. Wir wußten wohl, daß die theoretischen Grundlagen aus der Quantenelektrodynamik ableitbar sein müssen, aber wir wußten nicht, wie die Lichtstrahlen in einer der Analyse der optischen Experimente hinreichend gut angepaßten Weise zu beschreiben sind. Das Bedürfnis der Erforschung dieses Problems wurde dringend nach der Entwicklung einer gewissen Anzahl neuer experimenteller Techniken. Man kann insbesondere das Messen von Korrelationen im optischen Feld durch H A N B U R Y B R O W N und Twiss nennen oder auch die verschiedenen Methoden des „Photonenzählens", die heute gewöhnlich auf Laserstrahlen angewendet werden. Aber die von diesen neuen Techniken ausgegangene Anregung war nicht der einzige Anstoß. Vielmehr empfand man ebenso das viel allgemeinere Bedürfnis, eine brauchbare Methode zu entwickeln, um die klassische Grenze der Quantenelektrodynamik zu untersuchen und die Grenze der starken Felder, für welche die Quantenphänomene zwar nicht überwiegen, aber doch deutlich in Erscheinung treten. Die Entwicklung einer geeigneten Methode zur Beschreibung der optischen Felder wird von J . F. VnsrsoN

4

Vorwort

in der vorliegenden Monographie mit bemerkenswerter Klarheit dargestellt. Die Artikel über dieses Gebiet, deren Zahl rasch wächst, mußten in kritischer Weise erörtert werden. Das ist J. F. VINSON völlig gelungen. Er bietet vor allem eine vortreffliche Zusammenfassung des Wesentlichen, wenn es darum geht, die Theorie in Begriffen zu formulieren, die in enger Beziehung zum Experiment stehen. Die neuen Techniken der Quantenoptik brachten eine seit langem notwendige Rechtfertigung der in klassischer Form erscheinenden Analysenmethoden, auf welche die älteren und vertrauteren Gebiete der Optik gegründet wurden. Aber in den jüngsten Gebieten der Optik, in denen die quantentheoretischen Eigenschaften der Strahlungsquellen von Bedeutung sind, wird der Zugang über die Quantenoptik unentbehrlich. Der Umstand z. B., daß die kürzlich entwickelten „LichtVerstärker" wirklich auf Fluktuationen des „Vakuumzustandes" des Feldes reagieren, zeigt klar, daß sie keinen klassischen Charakter haben. Dieses Buch entwickelt die Theorie, die wesentlich ist für das Verständnis der Eigenschaften dieser „Quantenquellen" und der von ihnen ausgestrahlten Felder. R . J . GLAUBER

Fiir MARGIT

Vorwort des Autors Dieses Buch ist die Herausgabe einer vor der Faculté des Sciences von Paris verteidigten ,,thèse de troisième cycle"*), an der keine nennenswerte Änderung vorgenommen wurde. Sie trägt demnach die besonderen Merkmale dieser Art von Arbeiten. Insbesondere sind einige Punkte darin Gegenstand einer Untersuchung, die möglicherweise als etwas zu ausführlich erscheinen könnte. Ich dachte jedoch, daß diese Form — neben Unbequemlichkeiten, die man darin finden mag — den Vorteil hat, den Leser mit gewissen aktuellen Schwierigkeiten der Quantenoptik, so wie sie sich darbieten, in Berührung zu bringen. Das könnte dazu beitragen, den Leser in den Stand zu versetzen, die weitere Entwicklung dieses Gebietes der Quantenphysik zu verfolgen. Es liegt mir daran, Monsieur PETIATT zu danken, der mich bereitwillig mit seinen Ratschlägen unterstützt hat. Die Ausführung dieser Ausgabe ist das Werk meines Kollegen und Freundes JACQXJES T A S S A B T . J. F. VrnsoN

*) Spezielle Doktor-Dissertation (Anm. d. Herausgebers).

Inhaltsverzeichnis Einleitung Erster Teil Die optische Kohärenz in klassischer und in quantentheoretischer Beschreibung Einleitung Kapitel I. Der klassische Begriff der optischen Kohärenz . . Kapitel II. Die Quantenfeldtheorie und die optische Kohärenz A) Einführung B) Quantisierung des Strahlungsfeldes C) Die kohärenten Zustände

9

10 11 17 17 22

Kapitel III. Korrelationsfunktionen und damit verbundene Effekte A) Die Messung des Feldes in der Quantentheorie . . . . B) Eigenschaften der quantentheoretischen Korrelationsfunktionen . C) Kohärenz in der Quantentheorie . D) Mit Korrelationsfunktionen verbundene Effekte . . .

38 39 42

Kapitel IV. Die Diagonaldarstellung A) Operatordarstellungen B) Die Dichteoperatoren in Diagonalstellung C) Ist die Diagonaldarstellung universell?

46 48 52

31

Zweiter Teil Untersuchung der Korrespondenz zwischen klassischer und quantentheoretischer Beschreibung Kapitel I. Zustände in der klassischen Theorie und in der Quantentheorie A) Einführung B) Untersuchung in sechs Punkten C) Schlußfolgerung

57 57 77

8

Inhaltsverzeichnis

Kapitel I I . Das Korrespondenzprinzip A) Einführung B) Die statistischen Gesamtheiten o A C) Klassische Statistik und Quantenstatistik D) Die makroskopischen Quanteneffekte E) Korrespondenzprinzip

78 78 81 85 91

Kapitel I I I . Die „neoklassische" Näherung

93

Dritter

Teil

Lichtschwebungerl

Analyse der Beschreibung von Interferenzerscheinungen in kohärentem Licht zwischen Strahlen, die von unabhängigen Quellen ausgehen Einleitung

94

Kapitel I. Klassische Beschreibung

95

Kapitel I I . Quantentheoretische Beschreibung A) Einführung B) Superpositionsprinzip der Quantentheorie C) Superposition von zwei unabhängigen Quellen . . . .

99 99 102

Schluß

108

Literaturverzeichnis

110

[ (

] Ziffern in eckigen Klammern verweisen auf das Literaturverzeichnis ) Ziffern in runden Klammern verweisen auf numerierte Gleichungen

Einleitung Als M A X P L A N C K im Jahre 1 9 0 0 die Hypothese einer Quantisierung der Energie einführte, behandelte er die Schwierigkeiten, die sich durch ein Phänomen der Wechselwirkung von Strahlung mit Materie ergaben: die spektrale Verteilung der thermischen Strahlung in thermodynamischem Gleichgewicht. Man weiß, daß diese Hypothese den Beginn der Quantentheorie darstellte, die ihrerseits später weiterentwickelt wurde und zur Entstehung der Quantenmechanik führte. Jedoch entwickelte sich die Quantentheorie der Strahlung viel schleppender als die letztere. Man kann das dadurch erklären, daß sich die Experimente der Optik auf das freie Strahlungsfeld bezogen, wo alle beobachteten Phänomene — wie man sich überzeugen konnte — durch die klassische Strahlungstheorie erklärt werden konnten. Diese Beobachtungen wurden mit klassischen Meßgeräten ausgeführt, d. h. mit Meßgeräten, für die der korpuskulare Aspekt der Wechselwirkung zwischen Strahlung und Materie nicht explizit in Erscheinung trat. Aber später hat die Möglichkeit der Ausführung neuer Experimente das Problem einer Quantentheorie der Strahlung und insbesondere ihrer Beziehungen zur klassischen Theorie erneut aufgeworfen. Diese Beziehungen sind Gegenstand des Buches, das dazu beitragen möchte, sie durch die Untersuchung des optischen Kohärenzbegriffes zu präzisieren.

KJiSTJili, T ü l l ;

Die optische Kohärenz in klassischer und in quantentheoretischer Beschreibung Einleitung Die vorliegende Studie hat als Hauptgegenstand die Diskussion verschiedener Probleme, denen man in der theoretischen Beschreibung der elektromagnetischen Strahlung, genauer: im optischen Frequenzbereich, begegnet. Der größte Teil der erhaltenen Resultate ließe sich jedoch auf Strahlungen völlig anderer Natur übertragen. Wir beschränken uns auf das Studium der freien Strahlung, d. h., daß wir immer die Umgebung, in der sich die Strahlung ausbreitet, als frei von Materie ansehen. Die Wechselwirkung mit Materie tritt lediglich im Hinblick auf die Erzeugung und den Nachweis der Strahlung in Erscheinung. Das Problem, das wir hier behandeln werden, betrifft somit die Beschreibung der Entwicklung von Strahlung, die keinen Verlusten unterworfen ist.

KAPITEL I

Der klassische Bcgriif der optischen Kohärenz

Der ursprüngliche Sinn des Wortes Kohärenz in der Optik bezog sich eindeutig auf die Fähigkeit einer Strahlungsquelle, Interferenzerscheinungen hervorzurufen [1], Die Entdeckung des Effektes von H A N B U E Y B R O W N und Twiss im Jahre 1956 [3] hat nun aber das Gebiet der Anwendung dieses Begriffs beträchtlich erweitert. Dieser Effekt bezieht sich auf die Korrelationsstatistik, die man zwischen den Intensitäten an verschiedenen Raumpunkten messen kann; wir werden sie in Kapitel III, Abschn. D [Gl. (126)] ausführlich studieren. Einen Effekt von der gleichen Art gibt es auch zwischen mehreren Raumpunkten [Gl. (129)]. Es wird demnach zweckmäßiger sein, den Begriff der optischen Kohärenz allgemeiner durch eine Gesamtheit von Korrelationseigenschaften zwischen den Elementen des optischen Feldes zu definieren. Die klassische Theorie hatte keinen besonderen Grund, die physikalische Größe zu fixieren, die sie wählte, um die Erscheinungen zu beschreiben. Man kann das elektrische Feld E (r, t) einer elektromagnetischen Welle so zerlegen : oo E(r, t)=£ [ckuk{r) e-'1-"' + (r) e+W] (1) k= 0 mit (V* + (0*14) Uk(r) = 0, (2) V - « t ( r ) = 0.

(3)

Die ck sind numerische komplexe Koeffizienten. Für den Fall, daß k ein Kontinuum von Werten annimmt,

12

Teil I. Die optische Kohärenz

hätte man ein Fourierintegral. Diese Zerlegung ist völlig willkürlich und dient nur der Bequemlichkeit der mathematischen Analyse. Das Feld ist hier durch die Fourierkoeffizienten ck vollständig bestimmt. Die realen Felder können durch eine statistische Verteilung über diese Koeffizienten charakterisiert werden: 2>({c*}) = P K , c 2 , ca, ..., ck, ...).

(4)

Wir bezeichnen mit dem Ausdruck Präparation die Vorgabe dieser Verteilung. Eine spezielle Entwicklung wird eine Realisierung genannt. Die p{{ck)) sind nicht beliebige Funktionen. Sie stellen die Wahrscheinlichkeit dar, das System in einem bestimmten, durch die ck definierten Strahlungszustand zu finden und sind somit den folgenden Bedingungen unterworfen: — Es sind positiv definierte Funktionen. — Jedem Wertesystem {ck} entspricht ein von den anderen unabhängiger Zustand. — J > ( { c * } ) / 7 d % = 1. k Für eine bestimmte Präparation, die durch die Verteilung p({ck}) charakterisiert ist, wird die Messung einer Größe F (E) zu einem Mittelwert (F{E)) = jp{{ck}) F[E{{ck})} U d2c* (5) führen, wenn man ck = x + iy,

d% = da: dy

(6)

setzt. Das Symbol ( ) stellt also einen Mittelwert über alle möglichen Realisierungen einer Präparation dar. Der Sinn dieser Beziehung sollte nicht mißverstanden werden. Sie bedeutet, daß man die Messungen über eine große Zahl von Realisierungen ein und derselben Präparation, d. h. ein und der selben Verteilung J>({ck)), zu erstrecken hat. Es handelt sich um ein Ensemblemittel.

I. Der klassische Begriff der optischen Kohärenz

13

Andererseits kann man die Manifestation des Interferenzphänomens allgemein durch die sog. gegenseitige Kohärenzfunktion charakterisieren [4, 5]: r^lTxh,

r2t2) = (E(Tih)

Man definiert die Sichtbarkeit , .= '

(7)

durch den Ausdruck [6]

{I (r)max) - (I (r)min) (I(r)max) + mit scharfer Besetzungszahl so: I®* > = E K n

>
•

(34)

Wenn wir auf beiden Seiten von Gl. (33) das Skalarprodukt mit < nk \ bilden, erhalten wir die Iterations-

II. Die Quantenfeldtheorie und die optische Kohärenz

23

formel

K + 1)1/2 < nk + 1 \ = ak < nk \ , (35) woraus < " * ! « * > = (¿1^2 < ° l « * > . < « * l « * > = I < Ol *k>\2£

n

(3ß)

—n J '

< ock\ock> = I < O K > |2el«*l*

(37)

folgt. Aus der Normierungsbedingung < ock\oik > = 1

(38)

folgt (wenn man einen willkürlichen Phasenfaktor gleich 1 setzt)
=exp|-i|«t|«j.

(39)

Also hat man die folgende Entwicklung: K > = e x p ( - i K | * ) r ^ K > .

(40)

Daraus ergeben sich die Gleichungen [19] 1




(41)

I < « t l Ä > I2 = e x p { -

(42)

I a.k > = exp {oc0a+ — .

(43)

Wir führen die Operatoren p und q zur Mode k ein: q =

/ h, VI2 [ 2 j ia+

+

a h

(44)

24

Teil I. Die optische Kohärenz . ß oA1'2 , P =

1

\~2J

{ a +

~a)'

Diese Operatoren genügen der Vertauschungsregel Setzen wir

[?,p] = iA.

(46)

=q'\q'>,

(47)

> = p' W > .

(48)

q\q'> V\v'

so haben wir

p\q'

ß > = - i k — \q' > .

(49)

Mit Hilfe der Gin. (44) und (45) k a n n man den Operator a in der Form a = (2hco)-1l2((oq + i p) (50) ausdrücken, und die Definitionsgleichung (33) schreibt sich (2kwy1l2(wq + ip)\oc> = « | « > . (51) Die Wellenfunktion in der ^-Darstellung ist durch den Ausdruck < q' > gegeben. Durch Bildung des skalaren Produkts mit < q' | auf beiden Seiten der letzten Gleichung erhält man oi< q'\x>

= (2ÄW)1'2 < q'\ wq + ip \ct > ,

ot < q'\oc > = 2(hm)1l2 [cü < q'\q\tx + i = - iÄ

< q'\* >

(52)

und < g ' l i l * > =q'

< q'\ •

(53)

25

II. Die Quantenfeldtheorie und die optische Kohärenz

Die Wellenfunktion < q' | > ferentialgleichung oc < q' |«>

=

ist also Lösung der Dif-

(2hm)-1!2 coq' < q'\ d h —

= (2heu)112 oc < gr'l« > — mq' < 8q

? > >

= [(2Aw)W« -

>»

coq'] < q'\oc>.

(54)

Diese Gleichung hat als normierte Lösung die Wellenfunktion (55)


.

(59)

26

Teil I . Die optische Kohärenz

2. Das elektrische Feld E(r, t), das in dieser Beschreibung ein auf den Zustandsvektor wirkender Operator wird, läßt sich schreiben: (60)

E = EM + E

°>*\

(61)

/1 \1/2 u r e + w = i E (2 h "( ) • (62) Wir untersuchen die Eigenwerte des Eigenvektors von E M : EM | e > =

e

|s > .

(63)

Die Eigenzustände | e > sind nach den Gin. (33) und (61) > = 7 7 1 * * > = I N ) >• k

(64)

Wir werden sie global kohärente Zustände nennen: e(r, t) = iE Nun ist

/1 \1/2 Ig"*«*) **"*(»•) EM

also haben wir


(72)

was eine Vollständigkeitsrelation für die | {«t.) > darstellt. Aber diese Zustände sind nicht orthonormiert, wie Gl. (42) bezeugt. Man sagt, daß sie ein ubervollständiges System bilden. Das heißt: Ein beliebiger Zustand kann nach der von diesen Zuständen gebildeten Basis zerlegt werden; aber die Zerlegung ist nicht eindeutig, weil die | nicht linear unabhängig sind [21]. Wir betrachten eine beliebige konvergente Folge von komplexen Zahlen (die eine Teilmenge der | ist) ein vollständiges System von linear unabhängigen Vektoren darstellt. Es gibt also von vornherein so viele verschiedene Zerlegungen, wie es verschiedene konvergente Folgen sind untereinander durch die folgenden Gleichungen [23] verknüpft: (73) für alle n > 0 . Sie illustrieren die Abhängigkeit der | a.k > . Diesen wichtigen Unterschied im Vergleich zu der Besetzungszahl-Basis wird man beachten müssen. Man wird einen Vektor nicht mehr umkehrbar eindeutig seine Zerlegung zuordnen können. I n der Praxis vereinbart man eine willkürliche Regel, die eine eindeutige Zuordnung zwischen den Entwicklungskoeffizienten und den Zuständen sicherstellt.

II. Die Quantenfeldtheorie und die optische Kohärenz

29

Wenn man sich auf das Studium einer Mode beschränkt, so kann man für einen beliebigen Zustand | > \>

n

C„\n>

(74)

schreiben, und nach Gl. (29)

Setzt man nun so sieht man, daß man jedem Zustand | > mit Hilfe der Gin. (75) und (76) genau eine Funktion f(z) zuordnen kann. Die Umkehrung ist gleichfalls richtig: Jeder Funktion f(z), die in der gesamten komplexen Ebene analytisch ist, entspricht genau ein Zustand | > . Man kann also einen beliebigen Zustand mit | / > bezeichnen, wobei / die zugeordnete Funktion ist. Gl. (75) läßt sich also |/>=/(o+)|0> (77) schreiben. Unter Benutzung von Gl. (72) kann man schreiben \ f > = — J/ | « > < « | /(«+) |0 > d 2 a . 71

Nach der Definition (33) der kohärenten Zustände gilt nun (da ja / (2) eine reguläre Funktion ist) < « | / ( « + ) = =-i//(«*)exp|-i|«|»)|*>d««. 3

Vinson

(79)

30

Teil I. Die optische Kohärenz.

Diese Entwicklung läßt sich umkehren. Man erhält /(«*) = e x p ( + i - M » j < « | / > .

(80)

Diese Ergebnisse lassen sich leicht verallgemeinern f ü r den Fall, daß sich die Zerlegung auf mehrere Moden bezieht.

KAPITEL I I I

Korrelationsfunktionen und damit verbundene Effekte A) Die Messung des Feldes in der

Quantentheorie

Die Besonderheit der Quantentheorie ist ihr Anspruch, universell zu sein. Das ist es, was uns zwingt, ein Problem im entsprechenden Ensemble zu behandeln. Insbesondere kann das Meßinstrument selbst nicht nach Belieben von dem physikalischen System, dessen Größen wir messen wollen, getrennt werden. Wir werden den Prozeß der Strahlungsmessung im einzelnen analysieren. Wir begeben uns in das Wechselwirkungsbild [23']: ih-^\t> \t>

= Hj(t)[t>,

(81)

= U(t,t0)\t0>.

(82)

Hj{t) ist der zeitabhängige HAMILTON-Operator des Systems; U (t, t0) ist der unitäre Entwicklungsoperator. Wir werden jetzt das aus dem Strahlungsfeld und einem einzelnen, mit ihm wechselwirkenden Atom zusammengesetzte System untersuchen. Wir nehmen an, daß keine direkte Kopplung zwischen der Quelle und diesem Atom besteht, das jetzt als Detektor betrachtet werden soll. Die Strahlung wird durch induzierte Übergänge in diesem Atom nachgewiesen, das wir als Photodetektor bezeichnen wollen. Unter diesen Bedingungen schreibt sich der HAMILTON- Operator

#/( ist dann langsam veränderlich, und

III. Korrelationsfunktionen und damit verbundene Effekte

33

H{t) ändert sich langsam im Laufe der Zeit. Diese Bedingungen sind gut realisiert, da ja die Kopplungskonstante a, = — k l e i n ist. 137

Wir nehmen an, daß das System anfangs im Zustand Ifli»> = l 0 > l * >

(85)

ist. Dabei soll | i > ein Zustand des Feldes und | g > der Grundzustand des Detektoratoms sein. Wir werden die Wahrscheinlichkeit dafür berechnen, daß man unter dem Einfluß der Kopplung einen Übergang des Zustands | gi > in den Zustand Ia f >

=\a>\f>

beobachtet. | a > ist ein angeregter Zustand des Atoms, |/ > der Endzustand des Feldes. Diese Wahrscheinlichkeit ist durch das Matrixelement

1 1 = - j £o

< af | HiP)

| gi > dt' (86)

gegeben. Da die Operatoren qy (t) und E(r, t) vertauschbar sind, erhalten wir

= j Z i < «I qr(t') \g > < yh

f\E(r,t')\i>dt'.

Definitionsgemäß hat man q7 (t') = exp +

jH01' qr (0) exp

J

H o t

'

(87)

H0 — H0At -f- Hof . H 0 ist der wechselwirkungsfreie HAMILTON-Operator des Systems, H 0 M der des Atoms und H o v derjenige des

34

Teil I. Die optische Kohärenz

Feldes. Weil die Operatoren // 0 F , H 0 At und q r (0) vertauschbar sind, bleibt qr(t')

=

e x p

"T"

= E

a

-

< g

| I I

0 M

\ g

>

=

E

g

.

Wenn wir M, ag

-

< a \ £ q

Eg

=

(88)

( 0 ) \ g > ,

r

k

0Jag

setzen, erhalten wir


=

ag

M

exp

(iWagt'),

7


1 I

e X

P

X < /1 [£ (r,

dt'.

Die Matrixelemente Mag sind charakteristische Koeffizienten des Atoms. Wir haben den Feldoperator in zwei Operatoren zerlegt, einen positiv-frequenten, aus Vernichtungsoperatoren zusammengesetzten Operator 2?, und einen negativ-frequenten, aus Erzeugungsoperatoren zusammengesetzten Operator Ü7 [s. Gin. (60) bis (62)]: E ( r ,

t)

=

E M ( r ,

t)

+

E ^ ( r ,

t).

Das Integral über die Terme mit elwi', die im Emissionsoperator E(~i (r, t) enthalten sind, oszilliert sehr schnell mit der Zeit t und liefert für t — t0^> 0 keinen Beitrag. Es bleibt also der Term < f \ E M ( r ,

t ) \ i > .

III. Korrelationsfunktionen und damit verbundene Effekte

35

Wenn man den Endzustand des Feldes nicht kennt, so muß man die Wahrscheinlichkeit eines Übergangs 1 a > für alle möglichen Endzustände [ / > des |g > Feldes ins Auge fassen: p ( t ) = Z \ \*. /

(89)

Wir hätten also unter dem Integral die Summe V < / | EM |% > * < / 1 EM

|i>.

f

Wenn wir aber alle Endzustände | / > betrachten, so gilt

Weiterhin ist

Z l / x / l /

< / | EM |i>*

=

i.

= .

Obige Summe wird demnach (wenn der Polarisationsindex nicht ausgeschrieben wird) < ¿1 EM . EM\i

>.

(90)

Man erhält also schließlich*) P(t) = ( j ) 2 i Jdt' \ ' tu tu

dt" e x p [icoag(t"

-

t") |i >

(93)

zu ersetzen. Weiterhin kann man schreiben [23"]: