Numero e logos 8845925161, 9788845925160

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Citation preview

DELLO STESSO AUTORE:

Breve stona dell'infinito Gnomon La ribellione del numero

Paolo Zellini

NUMERO E LOGOS

ADELPHI EDIZIONI

©

20 1 0

ADELPHI EDIZIONI S.P.A. MILANO WWW.ADELPHI.IT

ISBN 978-88-459-2516-0

INDICE

PARTE PRIMA

l. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. lO. 11.

Proteo, il mare e i numeri Numeri rituali Numero, parola e rapporto La ragione di Socrate Il logos del cerchio L'uno non si divide, ma si moltiplica La struttura triadica del numero La barba di Crono Rapporti e sezione aurea Irrazionalità e OWtpEO"tç Gli insiemi di Cantor e l'induzione transfinita

13 38 50 77 92 1 03 1 08 1 23 1 26 131 1 37

PARTE SECONDA

l . Numero e parola nell'Antico Testamento 2. Il Logos di Filone

1 49 1 57

3. 4. 5. 6. 7.

Cristo e Pitagora Numero e Sapienza Numero e sacrificio Logos della croce e nuova sapienza Il logos della restituzione universale

1 66 1 78 1 90 21 7 226

PARTE TERZA

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

Logos e ratio. Il nuovo Proteo Il logos delle differenze e dei differenziali Logos e logica. Classi e concetti Il metodo diagonale Il calcolo numerico e il potere della scienza Numero e deissi Che cos'è il numero? 8 . Ambiguità del logos

249 2 74 286

29 1 328

344 35 7

3 61

Note

3 69

Riferimenti bibliografici

41 3

Indice dei nomi

443

NUMERO E LOGOS

Molte sono le persone a cui l'autore è grato per gli incoraggia­ menti e i consigli ricevuti. Tra queste un ringraziamento specia­ le va a Giuseppe Trautteur, per i suoi numerosi e preziosi com­ menti al manoscritto, e a Maurizio Bruno, per la competenza e la scrupolosa attenzione prestate nell'ultima fase di elaborazio­ ne del testo e per l'aiuto nelle ricerche bibliografiche. Un rin­ graziamento va anche a Lorenzo PeriIli, per diversi suggeri­ menti sulle fonti e per il vivo interesse dimostrato al progetto.

PARTE PRI MA

1 PROTEO, IL MARE E I NUMERI

Nel IV libro dell'Odissea Menelao racconta come fu trattenuto dagli dèi per venti giorni sull'isola di Faro, di fronte all'Egitto, senza che un soffio di vento lasciasse ri­ partire le sue navi. Eidotea, figlia di Proteo, gran Vecchio del mare, ebbe infine pietà della sorte dell' eroe greco. Sfidando l'autorità paterna,! ella gli suggerì un singolare . stratagemma, che avrebbe consentito a Menelao di sor­ prendere Proteo nel sonno. Verso mezzogiorno, infatti, Proteo era solito uscire dalle acque per riposare in una spelonca, circondato da un gregge di foche, figlie di An­ fitrite, alle quali egli accudiva per conto di Poseidone. Per esser certo che nessuna mancasse all'appello dappri­ ma le passava in rassegna e le contava. Poi, come un pa­ store con le sue pecore, si coricava in mezzo a loro, e si assopiva. In questo preciso momento Menelao, con altri tre compagni, sarebbe balzato su di lui, tenendolo stretto e impedendogli di fuggire. Se fosse riuscito nell'impresa, Proteo gli avrebbe svelato il modo di salvarsi e gli avrebbe aperto gli occhi sul destino riservato a lui stesso, al fratel­ lo Agamennone e ad altri eroi greci. Così finiscono per svolgersi i fatti. Per passare inosser­ vati e riuscire nell'agguato, Menelao e i compagni indos­ sano pelli di foca maleodoranti, che Eidotea procura lo-

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Parte prima

ro assieme a un antidoto, un profumo di ambrosia adatto a spegnere il fetore. All' ora prevista, come da lei anticipa­ to, Proteo esce dall'acqua e, per prima cosa, conta le fo­ che, le vere e le false, allineate vicino alla battigia: le con­ ta « sulle dita della mano » (1tEIl1tO:O"O"E'tat, IV, 41 2 ) , a cin­ que a cinque.2 Non appena anch 'egli si è adagiato sulla sabbia, Menelao e i suoi gli sono addosso. Per sottrarsi al­ la cattura, si trasforma fulmineamente in leone, serpen­ te, pantera, cinghiale e poi in acqua e in albero. Quindi deve cedere alla forza e comincia a dire la verità e a svela­ re il futuro: la morte di Agamennone e la tragedia degli Atridi, le lacrime di Ulisse, costretto dalla ninfa Calipso a trattenersi lontano da Itaca; il destino finale del divino Menelao, sposo di Elena e genero di Zeus, accanto a Ra­ damanto nei Campi Elisi. Che cosa vuole significare, in realtà, il fatto che Mene­ lao conti le foche cinque alla volta?3 Nulla nel mito è su­ perfluo, neppure questa intromissione di qualcosa che ne sembrerebbe l' antitesi, e cioè il legein, il logos, ovvero, in questo caso, il numero. Perché Proteo, appunto, passa in rassegna le foche enumerandole, e legein è qui, senza ombra di dubbio, associato ad arithmos, che è parte inte­ grante di tutto l' episodio. L' operazione astratta del con­ tare si accompagna alle più singolari fantasie del mito, in una situazione che vede appaiati uomini e dèi, animali e unguenti miracolosi, metamorfosi e viaggi iniziatici, in­ ganni e visioni profetiche. Nei ranghi degli animali marini, metafora degli ele­ menti spuri della generazione, è incluso chi non dovreb­ be farne parte, o che vi fa parte solo con l'inganno, an­ che perché Menelao porta con sé l' ambrosia celeste. Ma includere nell ' enumerazione ciò che non dovrebbe far­ ne parte è proprio il presupposto che fa di Proteo un dio , veridico. E dall'inganno di un ' estensione impropria del numero che proviene la veridicità. Una prima immagine mitica, si direbbe, della forza di svelamento di ciò che non rientra di diritto nella scansione numerica, dell' ele­ mento estraneo che rivela, dietro i ranghi preordinati, quel numero irrazionale che i Pitagorici avrebbero consi­ derato alla stessa stregua di un dio, e che la scienza avreb-

Proteo, il mare e i numeri

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be trovato il modo di rappresentare solo in modo indiret­ to, per via di definizioni formali o di procedure di ap­ prossimazione. Ma come si inserisce il numero nella simbologia tradi­ zionale del regno acquatico? Proteo denota innanzi tutto la metamorfosi, il continuo cambiamento di stato, ma è anche il dio che dice la verità, al pari di Nereo, figlio di Ponto, del quale parlano i versi di Esiodo ( Teogonia, 2 33 3 6) . Esiodo associa infatti a Nereo la verità, la giustizia, l' equità, l'infallibilità e Omero vede a sua volta Proteo co­ me un dio infallibile ( Odissea, IV, 349 , 3 8 4 ) , oltre che im­ mortale e buon conoscitore degli abissi marini. Il mito sembra dunque additare, al di là dell 'incertezza e dell 'in­ ganno di sembianze mutevoli, a un 'idea di verità e di giu­ stizia infallibile, che deve tuttavia emergere da una prova che si svolge sul mare o nelle sue vicinanze, tra un « den­ tro » e un « fuori » dall'acqua, con una sequenza di eventi che si concludono in un « ritorno » simboleggiato dai Campi Elisi.4 Ma è lecito attribuire a Omero un 'intenzione allego­ rica? Sembra in realtà che le prime forme di allegoresi, di consapevole uso di sensi traslati, risalgano a non pri­ ma del VI secolo a.C., quando agli dèi e ai loro miti co­ minciò a subentrare una forma più astratta di conoscen­ za, orientata a leggere nei versi poetici di Omero un senso riposto e più vero.5 Ma furono appunto i testi 0merici, tra i primi, a offrire spunti e motivi ineguagliabi­ li. Le parole di Omero mostrano di per sé, con assoluta evidenza, quelli che sarebbero diventati temi e simboli perenni e quindi, attraverso innumerevoli altri passaggi, motivi centrali della letteratura d' ogni tempo, per n0:r;t parlare poi della moderna psicologia dell'inconscio. E quindi pressoché immediato e intuitivo associare al ma­ re , ai pericoli della navigazione e ai numeri, che inter­ vengono nel racconto di Menelao, le ben note costella­ zioni semantiche: il vegetativo e il fluttuante che si op­ pongono al logos; l' ambiguo paragonato al vero; la vita nell' elemento acqueo continuo e in differenziato a cui subentra una conoscenza più chiara e distinta, e infine chiaroveggente . Nel simbolismo d' ogni tempo e luogo le acque rapp resentano l' intero universo del virtuale,6

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Parte prima

racchiudono ogni potenzialità di esistenza e precedono ogni atto di creazione . Se l'immersione nel mare fa pen­ sare a un ritorno alla dissoluzione delle forme e all ' esi­ stenza indifferenziata, che si prolunga anche fuori dal­ l 'acqua nel trasformismo di Proteo, l ' emersione dai flut­ ti prelude all ' atto cosmogonico e alla differenziazione delle forme . Tra gli incerti della navigazione c' era pure la totale as­ senza di venti, la coscienza di un assoluto abbandono, l'inerzia che getta l'anima in un' esistenza immobile, so­ spesa e irreale. Il racconto omerico rimanda a esperienze immaginarie e a drammi effettivamente vissuti. Ci sono parole migliori di quelle che Melville avrebbe poi usato per descrivere un'immobilità di venti e di flutti come quella che assillava Menelao sull'isola di Faro? Nulla di più spaventoso di una bonaccia, si legge in Mardi: chi la sperimenta giunge a rinnegare ogni fede nell'eterna sta­ bilità delle cose. L' ozio e la calma assoluti, per una strut­ tura organica naturalmente portata al movimento, scon­ volgono la mente , moltiplicano i pensieri sull ' etc::.r nità, ri­ ducono in niente ogni nobile libertà di volere. E il « dia­ bolico incanto » narrato pure daJoseph Conrad (La linea d 'ombra) , la sensazione dell' ora estrema, della catastrofe annidata nel buio. Anche il destino tragico di Ifigenia, per Euripide, è preceduto da un innaturale silenzio degli uccelli e dei flutti marini. Nel viaggio di Ulisse una im­ provvisa bonaccia precede di poco il canto delle Sirene. E ancora Goethe, nel viaggio di ritorno da Messina a Na­ poli, nel 1 7 8 7 , nel fare esperienza della calma assoluta di mare e di vento, raccontava che sarebbe stato quasi pre­ feribile naufragare sullo scoglio delle Sirene, e che si « era quasi andati a picco nel modo più strano, con cielo totalmente sereno e completa calma di vento, a causa ap­ punto di questa bonaccia » . ' Nell' epica d i Omero i sensi sottintesi, l e allegorie (ùno­ VOta ) della navigazione in alto mare e del suo rapporto con il destino dell' anima non erano, naturalmente, solo di Menelao. Anche Achille e, ovviamente, Ulisse affronta­ vano analoghe prove. Achille parla infatti di un « ritor­ no » per mare ai messaggeri di Agamennone che lo pre­ gano di tornare a combattere :

Proteo, il mare e i numeri

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domani farò sacrifici a Zeus e a tutti gli dèi, caricherò e metterò in mare le navi; vedrai, se vuoi, se ti sta a cuore, nella prima mattina, le mie navi solcare l'Ellesponto pescoso e dentro gli uomini remare con tutte le forze; e se l'illustre dio che scuote la terra ci concede un buon viaggio, il terzo giorno giungerò alla fertile Ftia.8 E questo ritorno a Ftia, si è notato,9 appare anche in tut­ t'altro contesto, precisamente nel Critone platonico, ove Socrate, alla vigilia della morte e in attesa di una nave, rac­ conta di un sogno in cui una donna bella, di aspetto mae­ stoso e vestita di bianco gli si avvicina e gli dice: « O Socra­ te, nel terzo giorno da questo, alla fertile Ftia tu giungerai » .10 La morte (o la vita) paragonata quindi alla navigazio­ ne, e il mare che rimanda a due possibili (tra i molti) si­ gnificati: da un lato la prova del giudizio; dall' altro, come voleva Porfirio, la discesa dell'anima nella generazione, in direzione contraria al fuoco che la spinge verso gli dèi. I due significati si integrano a vicenda. Porfirio ricorda che anche Platone considerava come materia (uÀll) il mare e le distese d'acqua, e chi naviga sopra i flutti, come Odisseo, deve ricordarsi delle sue colpe finché non arriva in patria. Egli deve in qualche modo « placare il demone della nascita » ; l l non può ardire di liberarsi rapidamente dalla vita dei sensi e deve lasciarsi incalzare dall'ira degli dèi che gli impongono, come pena del giudizio, le più fa­ ticose sofferenze e peregrinazioni. Platone notava nel Ti­ meo (4!1t d; 43 a-b, d) come la creazione dei corpi mortali implicasse un moto sregolato, un flusso instabile e impe­ tuoso, una « massa tumultuante e irrazionale » ( Timeo, 4!1t d) , la tempesta del disordine che nel Politico (!lt 7 3 e) vie­ ne pure chiamata « il mare infinito della disuguaglianza » (O'lYrl, la diade infinita) . « Irrazionale » , privo di logos, suona però come un attri­ buto generico. Che cosa è propriamente, nel IV canto dell' Odissea, la ragione o il logos? Si sa benel 2 che logos è il sostantivo di legein e che legein denota innanzitutto l' ope­ razione del raccogliere facendo una scelta, del radunare, contandoli, un insieme di cose o persone. Nell' Odissea Ulisse trae a sorte quattro compagni per aiutarlo a con­ ficcare il palo nell ' occhio del ciclope e conta (ÈÀÉYJ.lllv)

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Parte prima

se stesso come quinto (IX, 3 35 ) . Nell' I liade legein ricorre ancora in questo senso: quando si raccolgono le ossa di Patroclo dopo averne bruciato il corpo sul rogo (XXIII, 2 39) ; quando Agamennone confronta le forze dell' eser­ cito acheo e troiano, immaginando di raccoglierne le fila e contarne i guerrieri (II, 1 24-2 5 ) ; quando si scelgono i guerrieri più forti per un agguato (XIII, 2 76) ; quando Achille, stanco di uccidere in battaglia, sceglie dodici gio­ vani troiani, traendoli a forza dallo Xanto, e li consegna ai suoi con le mani legate, come schiavi, a compenso di Patroclo morto (XXI, 2 7 ) . Il celebre catalogo di navi e condottieri achei, nel II libro dell 'I liade,13 risponde infine alla stessa esigenza di contare passando in rassegna, co­ me fanno i guardiani di capre che dividono e risistemano i greggi mescolati nel pascolo (I liade, II, 474- 75 ) . E il ca­ talogo omerico non doveva certo avere quel carattere di freddezza, indifferenza o arida informazione che sarem­ mo propensi ad assegnargli. La rassegna delle navi e l' elenco dei capi richiedeva l'invocazione delle Muse, che erano pure state le custodi delle lettere prima che queste fossero scoperte da Palamede. La scelta dei guer­ rieri era un ' elezione, un venire alla presenza o uno sve­ larsi, come indica pure il greco à1toai VEO'Sat con cui Ari­ stotele, ricordava Heidegger, 14 cercava di spiegare il signi­ ficato di ÀÉyEt V. Lo si capisce anche dal III libro dell' Ilia­ de, in cui i capi achei sono di nuovo passati in rassegna, non più per mera enumerazione, ma con i loro aspetti e caratteri ben visibili nella descrizione che ne fa Elena a Priamo. Platone attribuiva alle Muse il dono di tenere le cose unite, collegando ogni volta, con il logos del discorso socratico, il grande col piccolo, il più col meno, l' ente con il non-ente : « cercar di separare tutto da tutto non solo è scorretto, ma è tipico di un uomo privo dei doni delle Muse, e negato per la filosofia » . 15 Alle Muse, anco­ ra, si attribuisce la teoria che l' essere è insieme uno e molteplice: « alcune Muse della Ionia, e in seguito del­ la Sicilia, ritennero che fosse più sicuro intrecciare le due concezioni e dire che l' essere è insieme molteplice e uno, e che è abbracciato da Odio e Amicizia. Infatti, le più vigorose di queste Muse dicono: "discordando sem­ pre concorda" » . 16 Proprio alle Muse, alle dee del canto, della poesia e delle lettere, si riconducevano la misura, il . . .

. . .

Proteo, il mare e i numeri 19 rapporto o il logos, in cui sia Eraclito che Platone avrebbe­ ro visto il nesso tra opposti elementi e tra molteplici di­ scorsi. Esiodo invoca le Muse fin dai primi versi della Teo� nia, perché lo aiutino a stilare il lungo catalogo degli dèi. Le Muse, in risposta, avvertono che sanno dire molte menzogne simili al vero ( Teogonia, 2 7 ) , invitando con ciò a riconoscere fin da principio la sostanziale ambiguità del logos. Ma dalla loro bocca, quando vogliono, esce pu­ re la verità: l'insistente, interminabile elenco di nomi di dèi ne è la prova e l' evidenza, come se il modo più con­ vincente di dire il vero dovesse risolversi in un elenco di apparizioni, una serie di presenze reali o di semplici comparse, scandite dal nome e dal numero, sulla scena del mondo. Le Muse sono invocate anche da Nonno di Panopoli per passare in rassegna le schiere di eroi che accompa­ gnano Dioniso nella guerra asiatica che ha come scopo di distruggere la stirpe degli Indiani. Il catalogo degli eroi, che segue da vicino lo stile di Omero, ha così l' ef­ fetto di ordinare e unire in un'unica compagine un eser­ cito definito da Nonno « innumerevole » (àvitpte�Ov; Dionisiache, XIII, l ) , mediante una ripartizione per no­ mi, lingue e provenienze geografiche. Il catalogo suona pure come un mezzo di soccorso nel possibile smarri­ mento del vagare e navigare a cui la spedizione costrin­ ge gli eroi, un aiuto che si affianca a quello chiesto al dio marino Proteo, che sembra qui identificarsi con lo stesso Omero (Dionisiache, XIII, 5 0) . In Omero l' operazione di scandire, numerare, sistemare in ordini o ranghi è una prerogativa di Proteo, il dio del mare che esce dall' ac­ qua e conta il suo gregge di foche . Proteo sa anche indi­ care a Menelao la misura (�É'tpa) , cioè la lunghezza del viaggio. Uscire dall' acqua vuoI dire essere purificati e li­ berati dal sensibile e « il sale simboleggia autocoscienza: vi si associano lagrime , amarezza, tristezza, scherzo » . ) 7 Ma nei versi d i Omero a elementi naturali come l ' acqua, il sale o la salsedine si aggiunge il logos e il numero. Pro­ teo conta le sue foche cinque alla volta e si siede tra loro come un pastore in mezzo alle pecore; come il dio Tam­ muz della tradizione sumerica, si sarebbe tentati di ag­ giungere, che era anche pastore di stelle e la cui morte e

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rinascita, simile a quella che si trova tra più diffuse tradi­ zioni sciamaniche,I8 è uno dei più antichi motivi della re­ ligione mesopotamica. L'atto di radunare e contare ha a che fare con la salvezza fuori dalle acque, simile alla sal­ vezza dal diluvio sull' arca di Noè, in cui si imbarcano tut­ te le creature della terra selezionate e contate a due a due . Il mare è invece, di per sé, senza numero; « l'innu­ merevole (àvTtpt8J..lo v) sorriso dei flutti marini » dice il Prometeo di Eschilo ( 89-90) . 19 Racconta Menelao: dopo aver passato in rassegna e contato le foche, Proteo si distese in mezzo a loro ( Odis­ sea, IV, 4 53 ) . La forma verbale U1C'tO (si distese) è identi­ ca a quella usata due versi prima, U1C'tO o' àpt8J..loV (lette­ ralmente: « contò, passò in rassegna per mezzo del nume­ ro » ) . Ma se i due aoristi sono identici, diverse sono le ra­ dici verbali: una è *leg-, che indica il radunare e contare, da cui derivano il greco UyEtV, il latino colligare e l'italia­ no « collega » ; l'altra è *leg"-, che allude invece all'atto di distendersi e riposare, da cui il greco UXOJ..lO t, il latino lectus, lectica e il tedesco liegen e legen.20 C ' è un nesso tra le due sfere semantiche? Heidegger non mancava di corre­ lare il À.6yoç di Eraclito, nel senso di parola o discorso, al tedesco legen, che significa posare, mettere a giacere e quindi « lasciare che qualcosa stia insieme dinnanzi » ;21 un' associazione che doveva aiutare a cogliere, come si può intuire, il vero presupposto, l' atto originale da cui vengono la parola e il linguaggio, che vogliono appunto svelare la presenza di qualcosa e posarla davanti a noi. Parlando di Aristotele, in altro contesto, Heidegger ri­ chiamava pure l 'attenzione su un possibile significato originario di logos come calcolo, misura e rapporto.22 Ma si vede bene dal racconto omerico come anche le opera­ zioni di radunare e contare possano preludere a una sor­ ta di riposo e di rinuncia, infine, alla metamorfosi. Pro­ teo si mette a giacere e poco dopo l'assalto di Menelao smette pure di cambiare aspetto. La verità, la veggenza e l'infallibilità hanno come presupposto questa sicurezza del contare o nominare, l'occasione o la possibilità di fer­ marsi su qualcosa che mantenga invariata la sua forma, e che possa quindi essere oggetto di È1ttO"'tftJ..lTl .

Proteo, il mare e i numeri 21 L'accordo segreto tra mito e logos s i lega del resto con la propensione platonica a non tracciare una chiara linea di demarcazione tra l'È1ttertTUll1 e i racconti degli dèi, e con il fatto che ciò che appare in superficie mito o rac­ conto fantastico potrebbe avere, a uno sguardo più ap­ profondito, anche gli attributi del Iogos. 23 Tuttavia logos non vuoI dire qui ragione o linguaggio, e accenna piutto­ sto a un procedimento che anticipa certi presupposti di credibilità e di verosimiglianza della logica e della ragio­ ne scientifica. Specialmente il carattere positivo della moderna scienza applicata, o più precisamente l 'effettivi­ tà dei processi che rendono possibile l'applicazione della matematica astratta alla natura, dipende da un atto di­ mostrativo e deittico che fa rivivere la stessa realtà dello scegliere, scandire e raccogliere che sono tipici del legein. Questo atto dimostrativo è anche del tutto coerente, al­ meno in principio, con il far apparire qualcosa sulla scena del mondo, per farne un ente attuale e riconoscibile , con pieno diritto di esistenza nello spazio e nel tempo, e defi­ nibile quindi per mezzo di un « discorso » coerente. In un passo della Metafisica (98 7 b 1 7 -2 1 ) Aristotele aveva concesso al mito la funzione di assemblare motivi di meraviglia e stupore, capaci a loro volta di aprire l'ani­ mo al desiderio di conoscenza. Tuttavia egli aggiungeva ( 1 000 a 1 8-2 0) che non occorre sottomettere a un'anali­ si seria le sottigliezze della Favola, e che occorre affidarsi piuttosto ai ragionamenti e alle dimostrazioni. L'osserva­ zione suona quasi come una censura, ma è pure un invi­ to plausibile a non applicare al mito i criteri della dimo­ strazione scientifica. Nella mitopoiesi, ispirata e protetta dalle Muse, c' era tutto il rischio che comportano, in se stesse, la produzione e la realizzazione. L'artista faceva esistere un mondo di incanti e meraviglie, che era poi il medesimo che usciva fuori dall' esistenza indifferenziata delle acque; e il pericolo del mostrarsi e dell'uscire dal mare trovava nella sicurezza del numero uno strumento di riparo e salvazione . Alla scienza è poi toccato il diffici­ le compito di realizzare e perfezionare, in ogni dettaglio, questo strumento; ma l 'ispirazione iniziale si trova so­ prattutto nel mito, per la semplice ragione che agli scien­ ziati sono perlopiù estranei gli ultimi scopi e motivi del loro sapere: la scienza ci dice che cosa è un cerchio, un

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triangolo o un numero, ma tende a ignorare l'ultima causa del loro essere, come pure i veri motivi per i quali dovremmo occuparcene. Naturalmente anche il mito di­ ce o dimostra di ignorarli, ma con invenzioni, immagini e parole che la scienza non potrebbe far proprie. Dun­ que non si tratta solo di meraviglia e stupore, ma di una capacità della Favola di alludere a quel che di vago o di incerto precede - o segue - l' esistenza concreta delle co­ se, il loro mostrarsi o rivelarsi con la precisione di un nu­ mero e di un nome, oppure di un discorso o di una spie­ gazione « razionale ». Ma ciò che sorprende è pure il fatto che nel mito si trova la forza di realizzazione del numero, il potere insito nell' enumerare e sistemare in ranghi, che è poi lo stesso potere di cui anche la matematica e la logi­ ca moderne si sono sempre servite. Se agli dèi, come si immaginava Heine 24 capita di emergere dal loro esilio al più come un' ombra poetica o una mascherata carnevale­ sca, è pur sempre possibile rintracciare, nei loro atti, una nitida e lungimirante intuizione del logos che domina la nostra scienza e la nostra tecnica. Oltre che dio delle acque e della metamorfosi, Proteo è dunque dio del numero e del logos. Insistenti sono le al­ lusioni omeriche a questa sua funzione, tanto che l'alle­ goresi pitagorica dovette verosimilmente ereditare, oltre che perfezionare o reinventare, un logos omerico già con­ trassegnato dall' astrazione del numero. Non si tratta solo della musica, che farebbe di Achille un eroe prepitagori­ CO,25 né solo di una simbologia dei numeri, come quella che si desume dall 'opera che meglio rappresenta il pas­ saggio dalla poesia omerica all' aritmologia di Pitagora, cioè De vita et poesi Homen dello Pseudo-Plutarco. La sim­ bologia dei numeri dispari ( 3 , 5 , 7 , 9 ) più usati da Ome­ ro, ad esempio, non esaurisce il senso del logos aritmeti­ co, che non si esprime certo nella sola potenza allegorica di singoli enti numerici. Importa molto di più il fatto che il logos fa emergere e fa esistere gli enti, sulla scena del mondo, per mezzo della scelta, della divisione, della media­ z.ione e dei rapporti definiti dal numero. Questa prima funzione mediatrice del logos, che si può trovare in Omero, si articola in un ' ampia simbologia che

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comprende in una sola compagine numeri, figure miti­ che, criteri di ordinamento e quelli che potrebbero esse­ re i residui di più antiche prassi rituali. Per quel che con­ cerne i numeri basta consultare le fonti della filosofia medio e neoplatonica, da Numenio (II sec . ) fino a Pro­ cio (V sec . ) . Nella Teologia dell'aritmetica dello Pseudo­ Giamblico e in un passo di Siriano, pitagorico discepolo di Plutarco e autore di un commento alla Metafisica di Aristotele , si trova infatti una chiara allusione alla simbo­ logia numerica di Proteo. Il principio della metamorfosi, il gran Vecchio del mare che si trasforma in diversi ani­ mali, piante ed elementi, era anche il numero uno. Se per Pitagora, notava Siriano, il Caos era il due, l' eroe egizia­ no denotava l'uno.26 La stessa osservazione nello Pseudo­ Giamblico: « È plausibile anche il nome "Proteo" con cui i Pitagorici chiamavano 1' 1, perché quello era in Egitto l' eroe capace di assumere ogni forma e contenere quindi le proprietà di ogni cosa, cosÌ come l' 1 è fattore di ogni numero » . 2 7 Di questa simbologia numerica di Proteo rimane forse una traccia nei Fasti di Ovidio. Proteo, opportunamente costretto dai lacci, suggerisce in che modo Aristeo po­ trebbe riavere le api che ha perso. Occorre uccidere un toro, consiglia Proteo, e seppellirlo. Dall' animale decom­ posto uscirà quindi uno sciame di api, cosÌ che una sola vita spenta ne può procurare mille ( > di Melchisedek.6 Essere chiamati sulla scena rituale, ricorda Seidenberg, era spesso un esporsi al pericolo e all' azzardo, e un modo per uscirne consisteva nell' avere assegnato, per ciascun partecipante, un oggetto di identificazione, come un animale, un ciot­ tolo o una moneta. Questo facilitava pure le operazioni di censimento, di conteggio e di tassazione. Ma la pura operazione del conteggio sembra fosse un prius in qual­ che modo assoluto, e dovesse precedere ogni altra chia­ mata a qualche obbligo di natura sociale. L'oggetto di identificazione era quindi parte di un viaggio sacrificale, perché il sacrificio, attraverso creazione, morte e rinasci­ ta, era il vero nucleo della rappresentazione rituale. « In questo conteggio di oggetti in corrispondenza uno a uno con i partecipanti, con la relativa esclusione del conteg­ gio diretto dei partecipanti stessi, consiste il tabù del con­ tare » .' A chi obiettasse che questa è solo magia, e che è assur­ do far dipendere le operazioni della scienza moderna da antiche prassi rituali, si potrebbe rispondere con una tesi di Marcel Mauss: che la magia è sempre stata, per sua na­ tura, piena di razionalismo, e che il carattere perfetta­ mente formalistico, imperativo e prescrittivo delle for­ mule rituali - esatte quanto la loro geometria - si è vero-

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similmente spostato sulla scienza. Non a caso la pretesa di verità della scienza, dietro la modestia di una dichiara­ zione di falsificabilità delle sue teorie, suona cosÌ spesso scontata o indiscutibile. Inoltre, insegnava Mauss, « per­ ché la magia esista, è necessario che la società sia presen­ te » .8 Ma a quali condizioni è lecito affermare che esiste un gruppo sociale? Risponde Mauss: Esistono cose e uomini, dunque qualcosa di fisico, di mate­ riale prima, di numerico, poi. Le cose e gli uomini, infatti, vengono censiti, numerati, classificati, ripartiti secondo i luoghi, i tempi, ecc. Gli uomini, le donne, i bambini, i vecchi {ormano delle generazioni i cui rapporti numerici variano. E questa la ragione per la quale la sociologia e i sociologi si spostano costantemente dal « group mind » al « group », e dal « group lO al suo territorio chiuso da frontiere, al suo sen­ timento gregario, alla sua limitazione volontaria per filiazio­ ne o adozione, ai suoi rapporti tra sessi, età, natalità, morta­ lità. In una parola, ci sono i fenomeni morfologici. Ma non sono solo i fenomeni morfologici ad essere oggetto di nu­ merazione. Esistono altri fenomeni statistici che dipendono dalla fisiologia, cioè dal funzionamento della società. Perfi­ no le nozioni pure, le rappresentazioni collettive assumono attraverso questa via indiretta un aspetto numerico straordi­ nario. Per esempio, quello del valore, quello della moneta che serve a calcolare i prezzi, la misura economica, la sola precisa, di cui Aristotele diceva già che serviva a contare: ogni Francese sente in questo momento duramente il pote­ re, l'indipendenza fatale e il carattere numerico di questa rappresen tazione collettiva.9 Non ci sarebbe bisogno di aggiungere che questo « ca­ rattere numerico della rappresentazione collettiva » è og­ gi più che mai evidente, e non si limita certo all'uso ele­ mentare del numero, del censimento o della classifica­ zion e . La pubblica amministrazione, i problemi di tassa­ zione, le procedure giuridiche, e in genere ogni sequen­ za finalizzata di attività umane, individuali o collettive, ri­ c h iedono sempre lO di essere chiarificati con formalismi c h e non si riducono generalmente al linguaggio natura­ le. Questi formalismi si basano piuttosto su criteri di ana­ lisi e di programmazione improntati alle idee astratte di a lgoritmo e di processo automatico; idee che sono mu­ ( uate dalla matematica e dall'informatica, e che trovano

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sempre e comunque nei meccanismi di generazione dei numeri il loro principale esempio e prototipo. Numero e nome erano appaiati, da principio, nel loro potere di indicare e far esistere cose, uomini e dèi sulla scena del mondo. Notavano Lotman e Uspenskij l l che nel mondo magico e mitologico il processo gnoseologico si riconduceva al processo del nominare, e il nome proprio stava principalmente a indicare, come accade ancora og­ gi, un oggetto di riferimento e rientrava quindi nella ca­ tegoria degli atti linguistici chiamati indessicali. l 2 Ma la collezione di oggetti aventi lo stesso nome non era tanto, come si direbbe ora, l' estensione di un concetto, quanto piuttosto un ente personificato, un unico Nome che po­ teva fungere, nel contempo, da atto di creazione. Nome ed ente denotato erano allora la stessa cosa, e lo spazio si presentava « non sotto l'aspetto di un continuum segnico, ma come aggregato di oggetti forniti ciascuno di un suo nome proprio » . l' Nell'uso del nome non c' era allora di­ stinzione tra l 'atto di osservazione immediata, che si tra­ duceva nell'indicare, e quello della costruzione logica del predicato. E per questo motivo i nomi propri, pur ri­ manendo in se stessi e pur servendo a scandire classi di oggetti uno alla volta, salivano nel contempo di rango, fi­ no a sostituire i nostri concetti più generali, e contribui­ vano quindi alla formazione di un pensiero astratto e in­ sieme « strutturato su una modellizzazione immediata­ mente percettibile del mondo » . l4 Nella entropia o nella quantità di informazione convo­ gliata dalle singole lingue, notava Kolmogorov, si doveva includere sia la capacità di trasmettere contenuti o infor­ mazioni semantiche, sia un indice di elasticità della lin­ gua, una qualche misura della sinonimia in senso lato, che era pure una misura dell' espressività poetica.l5 Con­ trariamente a quanto si sarebbe disposti a pensare, il pensiero mitico basato sui nomi era allora agli antipodi della poesia, poiché in esso la sinonimia era totalmente assorbita, per così dire, dal nome proprio. Nel nome si conservava il potere dell' astrazione ma la poesia era osta­ colata dalla sua intraducibilità e dall'assenza di denomi­ nazioni intercambiabili. Il pensiero mitologico si accom-

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pagnava piuttosto a classificazioni complesse e dettaglia­ te, a tassonomie paragonabili a quelle della scienza mo­ derna in Occidente. Le enumerazioni di piante e anima­ li presso gli aborigeni australiani assomigliavano alle clas­ sificazioni di Linneo, e implicavano una capacità logica e descrittiva nient'affatto estranea a un pensiero per con­ cetti. Non deve quindi sorprendere che il numero avesse, in diverse tradizioni, un ruolo paragonabile al nome: con entrambi si contava, con entrambi si realizzavano elen­ chi, cataloghi e censimenti. Numeri e nomi erano spesso abbinati in una comune operazione di ordinamento e di sistemazione di ranghi in cui consisteva ciò che i Greci, in origine, chiamavano logos. Anche nel senso generico di spiegazione, discorso o definizione, il logos aveva, a seconda dei casi, significati diversi. Da Aristotele si apprende in particolare come, nella logica di Antistene, il logos avesse una stretta relazio­ ne con il nome: di ogni oggetto si predicava il suo nome, come fosse un segno o una formula ad esso intimamente collegata, e questa formula era appunto il logos di quel­ l' oggetto (OlKElOç A.6yoç) . Il principio che ne stava alla base era quello di « una cosa, un nome » , ovvero una rela­ zione l-l tra cosa e nome che doveva proteggere, grazie all'univocità di riferimento, da ogni discorso falso. Ari­ stotele non mostrava certo di aderire a questo significato di logos: « Antistene » egli notava « sosteneva in modo dis­ sennato che nulla poteva essere descritto se non tramite il suo proprio logos un predicato per un soggetto; dal che seguiva che non poteva esserci contraddizione, o al­ meno che non si poteva incorrere in errore » . 16 Tuttavia Aristotele asseriva pure che « in un certo senso c ' è un concetto (A.6yoç) di qualsiasi cosa, che è il concetto della sua essenza [del suo continuare ad essere ciò che era: tÒ ti �v Elvm] » ,17 anche se poi aggiungeva che di tali concet­ ti ce ne possono essere diversi, perché la cosa si modifica pur rimanendo la stessa, e diviene quindi soggetto di di­ versi attributi. Anche nei dialoghi di Platone si trovano chiari accenni Cl q uesta dottrina, tanto da far pensare all' esistenza di una più antica dialettica e di un 'idea più remota del discorso -

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categorizzante. Il calcolo dei predicati della logica mo­ derna distingue nettamente espressioni funzionali del ti­ po x < y ( x minore di y) , come nomi di predicati, dall'uso che se ne fa per esprimere proposizioni che sono il valore assunto da quel predicato quando x e y sono pensati co­ me nomi di oggetti. 1 8 Questa logica avanzata, come si è sempre detto, è un superamento della logica soggetto­ predicato, rispetto alla quale la dottrina di Antistene sem­ brerebbe ancora più primitiva, mirando semplicemente a un mondo di oggetti connotati, ciascuno, da una propria intrinseca formula categorizzante. In questo mondo il giudizio di identità non consiste nella formula «A = A del­ la logica successiva, in cui soggetto e predicato sono en­ trambi concetti, ma nel semplice giudizio denominativo "questo è un uomo"; il soggetto è npiiYJ.La ovvero oggetto reale, il predicato è avoJ.La, e la sua funzione primaria è di­ stinguere l'oggetto da altri oggetti » . 19 Non è dimostrato, tuttavia, che una dialettica primitiva e difettosa sia necessariamente priva di significato. Infatti la logica basata sulla relazione 1-1 tra nome e cosa reale sembra conforme, per un verso, a un processo di enume­ razione: in entrambi i casi si attribuisce una sigla o una formula a oggetti o persone in una corrispondenza 1-1 . Ciò che conta è l'identificazione dell' oggetto, che è an­ che una sua « realizzazione » nel mondo fluttuante del di­ venire. Il giudizio è denominativo e quindi - in un certo senso, di natura indessicale _20 non cosÌ diverso dal gesto che accompagna, virtualmente, l' attribuzione di un nu­ mero ai diversi componenti di una serie. Alla base di tut­ to c'è un processo elementare di identificazione simile a quello delle enumerazioni discrete della matematica, della logica e dell'informatica, senza il quale non si po­ trebbe distinguere ciò che risulta effettivamente realizza­ bile o calcolabile da ciò che non lo è. Diverse fonti confermano che logos voleva dire in origi­ ne enumerazione o catalogo, e che di qui venne poi l'idea di definire qualcosa per la sua appartenenza a un novero o a una schiera. La nascita del numero, diceva Plotino, si deve al « passare dell'Anima da un oggetto al­ l' altro » (iiJ À.o J.LE't' aÀ.À.o) , e questa scansione era l 'opera ..

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di un 'anima che aritmetizza, che crea il numero racco­ gliendo in sé le diverse cose passate in rassegna, e ubbi­ dendo a un principio di alterità. Un passo di Aristotele (Etica Nicomachea, 1 1 3 1 b 20) sot­ tolinea il significato di logos come categoria, novero, clas­ se, schiera o rassegna: « Un male minore, confrontato con uno più grande, conta come un bene » , ovvero si conta nell'ordine (À.6yoç) delle cose che sono un bene. In Ero­ doto ( Storie, III, 1 20) si parla di « appartenenza al rango (À.6yoç) di uomini valorosi » , e ancora in Erodoto (II, 1 00) l 'atto di stilare un elenco di 330 sovrani figura tra i compiti sacerdotali. Nel Prometeo incatenato attribuito a Eschilo (v. 2 3 1 ) , Zeus si trova a dividere e a distribuire i poteri agli dèi, fissando i ranghi e le reciproche compe­ tenze (À.6yov) nel suo impero. Se il fissare i ranghi è una prerogativa di Zeus, è poi compito di Prometeo il passo successivo: scoprire il numero e introdurre la scienza che serve a stabilire il sorgere e il tramontare degli astri. Nelle Nuvole di Aristofane il Corifeo riferisce agli spettatori un lamento della Luna: « Dice lei che vi fa favori, mentre voi le imbrogliate il conto, le rivoltate i giorni sottosopra. E gli dèi - dice - se la prendono con lei, tutte le volte che li truffate di un banchetto, tornandosene a casa, senza rice­ vere le feste a norma di calendario (lca't dn, ma < nb cm < dn. Sarebbe allora co­ me cercare un rapporto tra numeri n : m che sia uguale o

quanto più vicino possibile al rapporto tra due grandezze a e b, a seconda che le grandezze siano, rispettivamente, commensurabili o incommensurabili. In base alle secon­ de due doppie implicazioni della definizione euclidea, i rapporti n : m sembrano disporsi, nello spazio, da due parti opposte rispetto a un centro rappresentato dal rap­ porto a : b, come se ne fossero approssimazioni per ecces­ so e difetto calcolabili con qualche procedura numerica. Ma il calcolo effettivo dei numeri n e m è materia di una precedente definizione di rapporto, di cui fanno cenno solo Aristotele e Alessandro di Mrodisia. Infatti Aristotele ( Topica, 1 5 8 b 33 -35 ) sostiene che i concetti di rapporto e di proporzione si riconducevano, per gli antichi, a quello di àv'CovoipECHç, che in greco vuoI dire processo di sottrazioni reciproche e successive, il processo su cui si basa il calcolo del massimo comun di­ visore tra due numeri. Richard Dedekind, alla fine del XIX secolo, la ripropose quasi integralmente per defini­ re i concetti di continuo e di numero reale, e il teorema che stabilisce che ogni numero irrazionale si può espri­ mere in un unico modo come una frazione numerica continua (semplice) infinita ne è il suggello finale. Il rapporto e la proporzione si pongono alla base di tutta la matematica, sono i concetti cardine sui quali si è costruita la geometria e l' aritmetica nelle civiltà più anti­ che e successivamente, in epoca moderna, l' algebra, l' analisi e la scienza del calcolo. Non sarebbe neppure esagerato affermare che la stessa idea di « ragione » si è andata perfezionando, attraverso i secoli, grazie all'intui­ zione iniziale e alle innumerevoli implicazioni dell'idea di rapporto, ossia di logos matematico. Nelle brevi definizioni del libro V degli Elementi si tro­ vano termini e concetti che intervengono pure in altre occorrenze e significati del Myoç, più pertinenti alla sfe­ ra del discorso o del dialogo. Innanzitutto il concetto ge­ nerale di « relazione » , espresso dal termine 1tpOç 'Ct che interviene regolarmente anche in Platone e in Aristotele. La formula tipica di tante similitudini o proporzioni suo­ na infatti in questo modo: « Una grandezza a sta a (È .40 Dopo la scelta e l'enumerazione, sono quindi la relazione reciproca e il rapporto tra le cose selezionate a stabilire il grado o il ti­ po di coesione della compagine cosÌ formata. La scoper­ ta e la definizione dei rapporti tra numeri poteva dipen­ dere, del resto, dalla semplice abitudine di ordinarli in ri­ ghe e colonne, cioè in ranghi o tabelle, anche per l'uso di associare i numeri a sistemi di ciottoli disposti su un piano.4\ Le serie di numeri in proporzione aritmetica, geometrica o armonica, le tabelle moltiplicative, le tavole dei reciproci dei numeri (nell'antica matematica babilo­ nese) , le interpolazioni, le colonne di dati sulle posizioni -

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di stelle e pianeti, le tavole trigonometriche sono tutti esempi di queste serie e numerazioni su cui si sono fon­ dati, dai tempi più antichi all'epoca moderna, i riti e le feste religiose, la matematica e l' astronomia, la musica e i l commercio. Il calcolo dei rapporti e le operazioni tra rapporti for­ mano una scienza che si chiamava À.OytOllO ç o AOytO"'ttKll, un calcolo di cui anche Platone fa uso nei suoi dialoghi in ogni genere di questioni, dalla cosmologia alla politi­ ca, dall'etica alla geometria, dalla giustizia all'analisi del piacere e del dolore. Gli Stoici avrebbero proseguito in questa direzione, coniugando l'etica con la cosmologia e con l'antropologia. L'abbinamento A.6yoç - VOl.lOç ricorre nella filosofia stoica. Zenone di Cizio afferma che « la leg­ ge (VO/lOç) comune, cioè la retta ragione (A.6yoç) , è diffu­ sa nel tutto ed è identica a Zeus, che presiede alla dire­ zione delle cose » .42 Crisippo affermava che c'è una legge derna che regge il mondo con i suoi ordini, la quale coincide con la mente di Dio in quanto comanda e vieta ogni cosa.4' E gli schemi del calcolo non erano estranei nemmeno a questa teologia della ragione come provvi­ denza che regge l'intero universo. Tra gli interminabili elenchi delle virtù stoiche tramandatici dalle fonti c'è an­ che, accanto alla retta ragione (o p 8òç A.6yoç) , l'EÙAOytO"­ ti a, il buon uso del calcolo e della misura, la capacità di soppesare senza perdersi negli opposti. Questa virtù era chiamata àv'tovmpE'tt K ll, un termine che richiama il mo­ do - già ricordato - in cui si poteva definire il rapporto ( logos come antanairesis) . Evidentemente la virtù poteva essere modellata anche sugli algoritmi del numero, ma i n un modo, si intende, che non aveva nulla a che sparti­ re con ciò che nella nostra morale si usa denotare, in sen­ so peggiorativo, con parole come calcolo o tornaconto. Ma in che senso, precisamente, il logos, destinato ad as­ su mere uno dei significati di « natura » - di quidditas, di forma o di qualità di qualcosa -, era collegato alla funzio­ n e unificante del legein il raccogliere e unire in una stes­ sa compagine o in uno stesso rango? L' abbinamento AO­ yoç q,ùmç ricorre nella Fisica di Aristotele, ove si dice che la natura è da un lato principio materiale per ogni cosa ,

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Parte prima

che sia soggetta a movimento e cambiamento, dall'altro configurazione (JlOPft) , qualità distintiva di un ente, for­ ma che lo rende suscettibile di una definizione, o meglio « forma secondo il logos » (dooç 'tò KO'tO 'tòv Myov; Physica, 1 93 a 3 0-3 1 ) . Aristotele aggiunge che la configurazione e la forma non sono separate o separabili (XroptO''tov) dalle cose stesse, se non sotto l' aspetto del logos. 44 In altri termi­ ni la natura, che assume il senso di forma o figura di un ente, non è da questo separabile, a meno che questa for­ ma non venga considerata, astrattamente, come un con­ cetto a sé stante. Qui si ha allora una sorta di accordo più o meno velato tra un'idea di non separazione - la non se­ parazione tra l'individuo percepibile e il suo universale e le idee di scelta, di raccolta e collegamento implicite nel­ l' espressione E'i ooç 'tò KO'tO 'tòv Myov (forma secondo il logos) , che ricorre più volte nel testo. La natura di un en­ te ha forma secondo il logos in quanto l'ente assume in at­ to, e non solo in potenza, quella forma. L' ente non è al­ lora separabile dalla sua forma, in quanto la realizza at­ tualmente, secondo un logos che significa appartenenza o partecipazione a un universale astratto che si può predi­ care di quell'ente come di qualsiasi altro ente dello stesso genere. Per questo motivo l'espressione o,) XroptO''tov ( 1 93 b 4) , non separato o non separabile, sta a significare che il logos appartiene all' ente che si genera e viene alla luce, e lo collega a una classe di enti simili ad esso. In un certo senso, venendo al mondo e facendosi natura, un ente non è più solo individuo, ma anche universale, in quanto rappresentante di una classe, di un novero o di un'idea. Il logos come definizione astratta, che prescinde dal tro­ varsi in atto o anche solo in potenza nell'ente considera­ to, può essere invece considerato separatamente, ma la sua pensabilità dipende comunque dall'esistenza di una classe di enti percepibili. Come avrebbe osservato Porfi­ rio ( in Cat. , 9 0, 1 -9 1 , l ) , Aristotele non voleva dire con questo che un singolo ente percepibile ha priorità rispet­ to all'universale che si predica di esso, ma solo che que­ sto universale è subordinato all' effettiva esistenza di una classe di enti dello stesso genere di quello considerato. In altri termini, che fosse in atto o in potenza, la forma se­ condo il logos era subordinata alla sua « estensione » , al­ l'effettiva esistenza di una classe di enti percepibili che

Numero, parola e rapporto

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avessero quella forma. Se non esistesse una classe di ca­ valli, ad esempio, non ci sarebbe nemmeno il concetto di cavallo. Quindi l'dooç 'tò lw'ta 'tòv À-Oyov, la forma attua­ l i zzata che definisce la natura dell'ente, dipende a sua volta dall 'esistenza attuale di una compagine o di una classe di individui. Ma l' esistenza della classe deve essere affidata, a sua volta, a una selezione o a una enumerazio­ ne - non importa se finita o infinita. La forma secondo il logos insita nella natura dipende cioè, in ultima istanza, dalla formazione di noveri o ranghi a cui rimanda il si­ �nificato primario del legein. Nel fatto che l' ente è insepa­ rabile dalla sua forma o natura si esprime quindi l' atto di I I nificazione del logos, il quale si basa a sua volta sull' atto d i selezionare, raccogliere ed enumerare.45 Nell' espressione EtOOç 'tò Ko'ta 'tòv À-Oyov si può allora cercare il collegamento tra la funzione selezionatrice del n umero e l'aspetto estensionale del concetto o predica­ t o . Un collegamento che non si può ignorare, e che spie­ �a tutto l'imbarazzo causato, nel XX secolo, dalla scoper­ t a dei paradossi della teoria degli insiemi. Una conse­ �uenza di questi paradossi era infatti l'impossibilità di stabilire una equivalenza senza eccezioni tra classi e pre­ d icati, tra un concetto e l'insieme degli enti che vi rien­ trano. Aristotele non parla, nel passo citato della Fisica, di logos dell 'essenza (À-Oyoç KO't' oùcrtov: Meteorologica, 3 8 9 b 2 9 ) , ma di forma secondo il logos (dooç 'tò Ko'ta 'tòv À-Oyov) . Poiché si tratta della natura, e di conseguenza EtOOç e popuiJ che realizza il senso dell'allontanamento dall'uno non come pura ne­ gatività ma come sua propria rivelazione, nella quale consiste quindi l' essenza di ogni monade della gerarchia. Si sarebbe potuto forse commentare con le parole di Agostino: « . . . certo trovavo che le cose che stanno in alto sono più perfette di quelle che stanno in basso; ma ad un giudizio più equilibrato vedevo che il tutto era anche più eccellente che non le sole parti superiori » ( Confessioni, VII, 1 3 ) . La teoria di Proclo trovava evidentemente ap­ poggio nelle leggi del numero, in particolare nella com­ presenza nell'uno di tutti i rapporti generabili in modo iterativo e in vista di un 'approssimazione al numero irra­ zionale, come bene insegnava il calcolo dei numeri late-

La struttura triadica del numero 1 21 rali e diagonali. Ma Hegel considerava la matematica alla stregua di una conoscenza imperfetta, che poggia su « un tipo di evidenza che la filosofia non può che disprezza­ re » (Fenomenologia dello spirito, 3 3 ) , che non si occupa di cose reali, ma solo di « proposizioni rigide e morte » . La matematica, pensava Hegel, astrae e diventa allora vuoto formalismo, e non sa nulla di quel « delirio bacchico in cui non c ' è membro che non sia ebbro » , e ignora « il mo­ vimento del nascere e del perire, movimento che non na­ sce né perisce esso stesso, ma che è in sé e costituisce la realtà e il movimento della vita della verità » ( ibid. , 35 ) .42 Tuttavia le ricerche di fine Ottocento sulla natura del nu­ mero, dovute principalmente a Cantor, a Dedekind e a Peano, avrebbero cominciato a rettificare questa posizio­ ne;45 senza contare che la matematica computazionale e applicata, nel corso del Novecento, avrebbe dato ai nu­ meri un contenuto di realtà in una misura che nessuno, nel XIX secolo, avrebbe ancora potuto prevedere . Il ruolo della matematica nella dottrina hegeliana o­ scilla stranamente tra una sprezzante diffidenza e un evi­ dente interesse, che sembra quasi presentire le possibili affinità delle leggi del calcolo con il pensiero dialettico. Forse Hegel teme la malvagità dell'astrazione, virtual­ mente presente in una ragione matematica che si incari­ chi di dirigere ovunque, senza eccezioni, il pensiero e l ' azione. « Un pensiero si dice malvagio » si legge infatti nella Fenomenologia dello spirito ( 1 88 ) « quanto più pura e vuota è l' astrazione che costituisce la sua essenza » .44 D ' al­ I ronde concetti che si sono rivelati particolarmente im­ portanti per la matematica, come quello di àv'tavaipecrtç per la definizione di rapporto, hanno rivelato una poten­ ,.ialità speculativa che ne allarga il significato ben al di là c iel calcolo astratto dell'aritmetica. Imre Toth ha cosÌ po­ l uto cogliere la somiglianza del campo semantico del �reco àVatpeLv con quello del tedesco aujheben, la cui tri­ pla connotazione si può rendere con elevare, rimuovere l· prendere su di sé, e quindi conservare. Infatti le sottra­ ,.ioni dell'algoritmo iterativo rimuovono il dato, cioè il n�sto e il quoziente di una divisione ripetuta più volte, conservandolo però ogni volta in un nuovo resto e quo­ l i ( � n te , fino a sopprimere alla fine tutti i resti, con la sola C"n:ezione dell 'unità di misura comune cercata delle due

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Parte prima grandezze - supposte commensurabili - da cui ha avuto inizio il procedimento. Lo stesso Hegel osserva che aujhe­ ben ha gli stessi significati del latino tollere, che vuoI dire sia annullare, mettere fine, sia conservare e ritenere, ed è quindi in grado di denotare la rimozione o soppressione dialettica che lo Spirito opera costantemente nei riguar­ di della propria unità immediata.45 Si può anzi affermare, nota Alexandre Kojève, che la dialettica hegeliana « si riassume tutta quanta in una sola categoria: quella della soppressione-dialettica (Aujheben) . Infatti, quel che va soppresso è precisamente l'Immediato, e la stessa sop­ pressione è la Mediazione per opera dell'azione negatri­ ce che crea il Mediato, il quale non è altro che l' Imme­ diato considerato o posto come soppresso dialetticamen­ te » .46 Il logos hegeliano rientra dunque nella sfera seman­ tica di un verbo, aujheben, che rimanda a significati di an­ tichi verbi latini e greci. Questi verbi servivano a denota­ re procedure numeriche risalenti a età remote, algoritmi che hanno fatto parte del nucleo centrale della matema­ tica di ogni tempo e di ogni luogo, e da cui sono pure di­ pesi modi di pensare e di filosofare durati interi millen­ ni. La vicinanza tra matematica e dialettica non va dun­ que cercata solo nel concetto filosofico e nel metodo di­ mostrativo esemplificato negli Elementi di Euclide, ma an­ che nelle leggi intrinseche del numero e dell' aritmetica. E il numero ridiventa allora, per ironia della sorte e con­ tro ogni aspettativa, il termine di paragone di quel con­ cetto di logos che ha dominato, con diverse connotazioni e sfumature, in tutta la storia d' Occidente.

8 LA BARBA DI CRONO

Nella Teologia di Prodo, tra le monadi da cui hanno origine schiere di dèi e di uomini figura Crono, caposti­ pite di una lunga genealogia divina, e primo esponente d i una triade che comprende Rhea e Zeus. I Crono è la monade degli dèi chiamati « intellettivi » , che « sviluppa la sua azione secondo lo schema triadico della perma­ nenza, del processo e della conversione » . 2 Rhea è il prin­ l"ipio femminile, che fa da legame e da intermediario, l ' « intimo grembo ricettivo » della potenza generatrice di ( :rono. Da Rhea dipende la moltiplicazione degli esseri per via dell'azione di un demiurgo, e quindi il processo di uscita dalla monade principale (Crono) . Il terzo padre è� Zeus, il grande ordinatore dell 'universo, secondo l' or­ d i ne triadico a cui accenna anche Damascio, cioè « in principio, fine e mezzo, secondo l' ordine della necessi­ l ;l » .3 Crono possiede la qualità del Padre cui compete la .. prima potenza di un sacro logos », come recitano gli Ora­ ('(Ili caldaici, un logos che è la sua prima, più immediata e i n tuitiva espressione ordinatrice e che « non smarrisce il p roprio contatto con il Principio da cui sorge » .4 Prodo evoca il mito orfico secondo cui i peli della bar­ ha di Crono non si imbiancano mai. Il richiamo è a Or1 ( ' 0 e a Platone, ma pure ai « teologi barbari » .5 Coloro

Parte prima 1 24 che vissero nell'età di Crono, ricorda Platone nel Politico, smettevano di invecchiare e tornavano giovani; si sbaraz­ zavano dei loro capelli bianchi per conservarli neri e le loro guance ridiventavano lisce come quelle dei bambini. Così racconta lo Straniero di Elea al giovane Socrate; ma l'esegesi di Proclo va oltre la lettera e legge nel ritorno del vigore giovanile un'allusione al venir meno della de­ bolezza « materiale » e al rinnovato instaurarsi della vita e della forza dell'intelletto.6 La ragione di tutto ciò, spiega Proclo, sta nella natura del re Crono e nel suo stare al di sopra degli dèi che governano l'universo. Le anime che si rivolgono a Crono camminano dunque tanto verso la vecchiaia quanto verso la giovinezza; e lo stesso vale per la genealogia degli dèi che sono uniti a Crono per la loro parte invisibile e a Zeus, con il quale governano il mon­ do, per la parte visibile. Allo stesso mito - questo è ora il punto decisivo - fa­ rebbe implicitamente allusione il Parmenide di Platone, ove si dice, secondo Proclo, che « l'uno, viaggiando nel tempo, diventa più giovane e insieme più vecchio ».7 Il passo del Parmenide, che è stato interpretato anche in ba­ se alle proprietà dei rapporti numerici, suona infatti co­ sì: « Se anche una cosa è più vecchia di un 'altra, è impos­ sibile che divenga più vecchia di quanto lo era all'inizio . . . Guarda ora di nuovo: se aggiungi a un tempo maggio­ re e a uno minore una stessa quantità di tempo, il mag­ giore si staccherà dal minore per una percentuale ugua­ le o minore? - Per una minore » .8 L'osservazione si può riassumere9 in una semplice formula: se p, r, s sono tre numeri interi positivi e r è più grande di s ( r > s) si ottie­ ne infatti l =p

: p < (P + r) : (P + s) < r : s,

cioè, aggiungendo la stessa quantità di tempo P al tempo maggiore r e a quello minore s, si ottiene un nuovo rap­ porto (P + r) : (P + s) maggiore di l ma inferiore a r : s. Come dire che il più vecchio ringiovanisce, col passare del tempo, in rapporto ( logos ) al più giovane. La formula precedente si può riscrivere in una forma appena più ge­ nerale sostituendo al posto di l = p : P un qualsiasi rap­ porto p : q minore del rapporto r : s, e risulta allora

p : q