Mathematische Werke: Erster Band Funktionentheorie [1. Aufl.] 978-3-0348-4086-6;978-3-0348-4161-0

Table of contents :
Front Matter ....Pages III-XXIV
Grundlagen einer independenten Theorie der elliptischen Modulfunktionen und Theorie der Multiplikator-Gleichungen erster Stufe (Adolf Hurwitz)....Pages 1-66
Zur Transformationstheorie der elliptischen Funktionen (Adolf Hurwitz)....Pages 67-71
Einige Eigenschaften der Dirichlet’schen Funktionen \(F(s) = \sum {\left( {\frac{D}{n}} \right) \cdot \frac{1}{{{n^s}}}} \), die bei der Bestimmung der Klassenanzahlen binärer quadratischer Formen auftreten (Adolf Hurwitz)....Pages 72-88
Über eine Reihe neuer Funktionen, welche die absoluten Invarianten gewisser Gruppen ganzzahliger linearer Transformationen bilden (Adolf Hurwitz)....Pages 89-98
Über die Perioden solcher eindeutiger, 2n-fach periodischer Funktionen, welche im Endlichen überall den Charakter rationaler Funktionen besitzen und reell sind für reelle Werte ihrer n Argumente (Adolf Hurwitz)....Pages 99-118
Über arithmetische Eigenschaften gewisser transzendenter Funktionen (Adolf Hurwitz)....Pages 119-137
Zur Theorie der Modulargleichungen (Adolf Hurwitz)....Pages 138-146
Beweis des Satzes, dass eine einwertige Funktion beliebig vieler Variabeln, welche überall als Quotient zweier Potenzreihen dargestellt werden kann, eine rationale Funktion ihrer Argumente ist (Adolf Hurwitz)....Pages 147-152
Über einige besondere homogene lineare Differentialgleichungen (Adolf Hurwitz)....Pages 153-162
Über algebraische Korrespondenzen und das verallgemeinerte Korrespondenzprinzip (Adolf Hurwitz)....Pages 163-188
Über endliche Gruppen linearer Substitutionen, welche in der Theorie der elliptischen Transzendenten auftreten (Adolf Hurwitz)....Pages 189-240
Über diejenigen algebraischen Gebilde, welche eindeutige Transformationen in sich zulassen (Adolf Hurwitz)....Pages 241-259
Über arithmetische Eigenschaften gewisser transzendenter Funktionen (Adolf Hurwitz)....Pages 260-265
Über die Nullstellen der Bessel’schen Funktion (Adolf Hurwitz)....Pages 266-286
Über die Differentialgleichungen dritter Ordnung, welchen die Formen mit linearen Transformationen in sich genügen (Adolf Hurwitz)....Pages 287-294
Sur le développement des fonctions satisfaisant à une équation différentielle algébrique (Adolf Hurwitz)....Pages 295-298
Über die Wurzeln einiger transzendenten Gleichungen (Adolf Hurwitz)....Pages 299-305
Über einige Verallgemeinerungen der Leibniz’schen Differentiationsformel und des polynomischen Lehrsatzes (Adolf Hurwitz)....Pages 306-309
Über beständig konvergierende Potenzreihen mit rationalen Zahlenkoeffizienten und vorgeschriebenen Nullstellen (Adolf Hurwitz)....Pages 310-313
Über die Nullstellen der hypergeometrischen Reihe (Adolf Hurwitz)....Pages 314-320
Über Riemann’sche Flächen mit gegebenen Verzweigungspunkten (Adolf Hurwitz)....Pages 321-383
Zur Theorie der Abel’schen Funktionen (Adolf Hurwitz)....Pages 384-390
Über algebraische Gebilde mit eindeutigen Transformationen in sich (Adolf Hurwitz)....Pages 391-430
Über Riemann’s Konvergenzkriterium (Adolf Hurwitz)....Pages 431-435
Sur l’intégrale finie d’une fonction entière (Adolf Hurwitz)....Pages 436-460
Über die Entwicklung der allgemeinen Theorie der analytischen Funktionen in neuerer Zeit (Adolf Hurwitz)....Pages 461-480
Sur une théorème de M. Hadamard (Adolf Hurwitz)....Pages 481-484
Über die Anwendung eines funktionentheoretischen Prinzipes auf gewisse bestimmte Integrale (Adolf Hurwitz)....Pages 485-489
Sur le problème des isopérimètres (Adolf Hurwitz)....Pages 490-491
Über die Anzahl der Riemann’schen Flächen mit gegebenen Verzweigungspunkten (Adolf Hurwitz)....Pages 492-505
Sur les séries de Fourier (Adolf Hurwitz)....Pages 506-508
Sur quelques applications géométriques des séries de Fourier (Adolf Hurwitz)....Pages 509-554
Über die Fourierschen Konstanten integrierbarer Funktionen (Adolf Hurwitz)....Pages 555-576
Über die Theorie der elliptischen Modulfunktionen (Adolf Hurwitz)....Pages 577-595
Über die Anwendung der elliptischen Modulfunktionen auf einen Satz der allgemeinen Funktionentheorie (Adolf Hurwitz)....Pages 596-605
Zur Theorie der automorphen Funktionen von beliebig vielen Variabeln (Adolf Hurwitz)....Pages 606-651
Über die imaginären Nullstellen der hypergeometrischen Funktion (Adolf Hurwitz)....Pages 652-654
Sur les points critiques des fonctions inverses (Adolf Hurwitz)....Pages 655-656
Sur les points critiques des fonctions inverses (Adolf Hurwitz)....Pages 657-659
Über die Nullstellen der hypergeometrischen Funktion (Adolf Hurwitz)....Pages 660-705
Über die Einführung der elementaren transzendenten Funktionen in der algebraischen Analysis (Adolf Hurwitz)....Pages 706-721
Über die Weierstrass’sche σ-Funktion (Adolf Hurwitz)....Pages 722-730
Zwei Beweise eines von Herrn Fatou vermuteten Satzes (Adolf Hurwitz)....Pages 731-734

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ADOLF HURWITZ MATHEMATISCHE WERKE BAND 1

A. Hurwitz

Mathematische Werke von

ADOLF HURWITZ

Herausgegeben von der Abteilung für Mathematik und Physik der Eidgeoössisdlen Tedlolsdleo Hodlsdlule in Züridl

Erster Band

FUNKTIONENTHEORIE Mit einem Bildnis von Adolf Hurwitz

und 23 Figuren Im Text

1962

Springer Basel AG

ISBN 978-3-0348-4086-6 ISBN 978-3-0348-4161-0 (eBook) DOI 10.1007/978-3-0348-4161-0

© Springer Basel AG 1932, 1962 Urspriinglich erschienen bei Birkhiiuser Verlag Basel 1962. Softcover reprint of the hardcover 1st edition 1962 Unverănderter

Nachdruck der 1. Auflage

Inhaltsverzeichnis des I. Bandes. Seite

XI

Vorwort . . . Gedächtnisrede auf Adolf Hurwitz, von David Hilbert . Gedächtnisrede auf Adolf Hurwitz, von Ernst Meissner

. XIII . XXI

Funktionentheorie. I. Grundlagen einer independentenTheorieder elliptischen Modul-

funktionen und Theorie der Multiplikator-Gleichungen erster Stufe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

(Inauguraldissertation, Leipzig 1881; Mathematische Annalen, Bd. 18, 1881, s. 528-592.)

II. Zur Transformationstheorie der elliptischen Funktionen . .

67

(Mathematische Annalen, Bd. 19, 1882, S. 67-71.)

III. Einige

Eigenschaften der Dirichlet'schen Funktionen F(s) = ~ (~) · ~., die bei der Bestimmung der Klassenanzahlen binärer quadratischer Formen auftreten . . . . .

72

(Zeitschrift für Mathematik und Physik, Bd. 27, 1882, S. 86-101.)

IV. Über eine Reihe neuer Funktionen, welche die absoluten

Invarianten gewisser Gruppen ganzzahliger linearer Transformationen bilden . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .

89

(Mathematische Annalen, Bd. 20, 1882, S. 125-134.)

V. Über die Perioden solcher eindeutiger, 2n-fach periodischer

Funktionen, welche im Endlichen überall den Charakter rationaler Funktionen besitzen und reell sind für reelle Werte ihrer n Argumente . . . . . . . . . . . . . . . . . .

99

( Journalfür die reine und angewandte Mathematik, Bd. 94, 1883, 8.1-20.)

VI. Über arithmetische Eigenschaften gewisser transzendenter

Funktionen (1. Abhandlung) . . . . . . . . . . . . . . 119 (Mathematische Annalen, Bd. 22, 1883, S. 211-229.)

VII. Zur Theorie der Modulargleichungen

. . . .

(Nachrichten von der k. Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, 1883, s. 350-363.)

138

VIII

Seite

VIII. Beweis des Satzes, dass eine einwertige Funktion beliebig

vieler Variabeln, welche überall als Quotient zweier Potenzreihen dargestellt werden kann, eine rationale Funktion ihrer Argumente ist . . . . . . . . . . . . . . . . 147 (Journal für die reine und angewandte Mathematik, Bd. 95, 1883, s. 201-206.)

IX. Über einige

gleichungen

besondere homogene lineare Differential. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

(Mathematische Annalen, Bd. 26, 1886, S. 117-126.)

X. Über algebraische Korrespondenzen und das verallge-

meinerte Korrespondenzprinzip . . . . . . . . . . . . 163

(Berichte von der k. sächsischen Gesellschaft der Wissenschaften, mathematisch-physische Klasse, 1886, S. 10-38; wiederabgedruckt Mathematische Annalen, Bd. 28, 1887, S. 561-585.)

XI. Über endliche Gruppen linearer Substitutionen, welche

in der Theorie der elliptischen Transzendenten auftreten 189 (Mathematische Annalen, Bd. 27, 1886, S. 183-233.)

XII. Über diejenigen algebraischen Gebilde, welche eindeutige

Transformationen in sich zulassen . . . . . . . . . . 241

(Nachrichten von der k. Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, 1887, S. 85-107; wiederabgedruckt Mathematische Annalen, Bd. 32, 1888, s. 290-308.)

XIII. Über arithmetische Eigenschaften gewisser transzendenter

Funktionen (2. Abhandlung)

. . . . . . . . .

260

(Mathematische Annalen, Bd. 32, 1888, S. 583-588.)

XIV. Über die Nullstellen der Bessel'schen Funktion

266

(Mathematische Annalen, Bd. 33, 1889, S. 246-266.)

XV. Über die Differentialgleichungen dritter Ordnung, welchen

die Formen mit linearen Transformationen in sich genügen 287 (Mathematische Annalen, Bd. 33, 1889, S. 345-352.)

a une equation differentielle algebrique . . . . . . . . . . . 295

XVI. Sur le developpement des fonctions satisfaisant

(Annales de l'Ecole Normale, 3me serie, vol. 6, 1889, p. 327-332.)

XVII. Über die Wurzeln einiger transzendenter Gleichungen

299

(Mitteilungen der mathematischen Gesellschaft in Hamburg, Bd. 2, 1890, s. 25-31.)

XVIII. Über einige Verallgemeinerungen der Leibniz'schen Dif-

ferentiationsformel und des polynomischen Lehrsatzes . 306 (Zeitschrüt für Mathematik und Physik, Bd. 35, 1890, S. 56-58.)

XIX. Über beständig konvergierende Potenzreihen mit rationalen

Zahlenkoeffizienten und vorgeschriebenen Nullstellen (Acta Mathematica, Bd. 14, 1890/91, S. 211-215.)

310

IX Seite

XX.

Über die Nullstellen der hypergeometrischen Reihe

314

(Nachrichten von der k. Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, 1890, S. 557- 564; wiederabgedruckt Mathematische Annalen, Bd. 38, 1891, S. 452-458.)

XXI.

Über Riemann'sche Flächen mit gegebenenVerzweigungs321 punkten . . . . . . . . . . . . . . . . . . (Mathematische Annalen, Bd. 39, 1891, S. 1-61.)

XXII.

Zur Theorie der Abel'schen Funktionen . . . .

384

(Nachrichten von der k. Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, 1892, s. 247-254.)

XXIII.

Über algebraische Gebilde mit eindeutigen Trans391 formationen in sich . . . . . . . . . . . . . (Mathematische Annalen, Bd. 41, 1893, S. 403-442.)

XXIV.

Über Riemann's Konvergenzkriterium . . . .

431

(Mathematische Annalen, Bd. 44, 1894, S. 83-88.)

XXV.

Sur !'integrale finie d'une fonction entiere . .

436

(Acta Mathematica, vol. 20, 1891, p. 285-312 et un appendice dans les Acta Mathematica, vol. 22, 1899, p. 179-180.)

XXVI.

Über die Entwicklung der allgemeinen Theorie der analytischen Funktionen in neuerer Zeit . . . . . . 461 (Verhandlungen des 1. internationalen Mathematiker-Kongresses in Zürich 1897, Leipzig 1898, S. 91-112.)

XXVII.

Sur un theoreme de M. Hadamard . . . . . . _ . 481 (Comptes rendus des seances de l'Academie des Sciences, Paris, vol. 128, 1899, p. 350-353.)

XXVIII.

Über die Anwendung eines funktionentheoretischen Prinzipes auf gewisse bestimmte Integrale . . . 485 (Mathematische Annalen, Bd. 53, 1900, S. 220--;224.)

XXIX.

Sur le problerne des isoperimetres . . . . . . .

490

(Comptes rendus des seances de l'Academie des Sciences, Paris, vol. 132, 1901, p. 401-403.)

XXX.

Über die Anzahl der Riemann'schen Flächen mit gegebenen Verzweigungspunkten . . . . . . . 492 (Mathematische Annalen, Bd. 55, 1902, S. 53-66.)

XXXI.

Sur les series de Fourier

506

(Comptes rendus des seances de I'Academie des Sciences, Paris, vol. 132, 1901, p. 1473-1475.)

XXXII.

Sur quelques applications geometriques des series de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 509 (Annales de l'Ecole Normale, 3me serie, vol. 19, 1902, p. 357-408.)

X

~

die Fourier'schen Konstanten integrierbarer 555 Funktionen

XXXIII. Über

(Mathematische Annalen, Bd. 57, 1903, S. 425-426, mit einem Zusatz in den Mathematischen Annalen, Bd. 59, 1904, S. 553.)

XXXIV. Über die Theorie der elliptischen Modulfunktionen

577

(Mathematische Annalen, Bd. 58, 1904, S, 343-360.)

XXXV. Über eine Anwendung der elliptischen Modulfunktionen

auf einen Satz der allgemeinen Funktionentheorie 596 (Vierteljahrsschrift der Naturforschenden Gesellschaft in Zürich, Bd. 49, 1904, S. 242-253.)

XXXVI. Zur Theorie der automorphen Funktionen von be-

liebig vielen Variabeln .

606

(Mathematische Annalen, Bd. 61, 1905, S. 325-368.)

XXXVII. Über die imaginären Nullstellen der hypergeometri-

schen Funktion

652

(Nachrichten von der k. Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-physikalische Klasse, 1906, S. 275-277.)

XXXVIII. Sur les points critiques des fonctions inverses (premiere

Note).

655

(Comptes rendus des seances de l'Academie des Sciences, Paris, vol. 143, 1906, p. 877-879.)

XXXIX. Sur les points critiques des fonctions inverses (seconde

Note)

657

(Comptes rendus des seances de l'Academie des Sciences, Paris, vol. 144, 1907, p. 63-65.)

XL. Über die Nullstellen der hypergeometrischen Funktion

660

(Mathematische Annalen, Bd. 64, 1907, S. 517 -560.)

XLI. Über die Einführung der elementaren transzendenten

Funktionen in der algebraischen Analysis

706

(Mathematische Annalen, Bd. 70, 1911, S. 33-47.)

XLII. Über die Weierstrass'sche a-Funktion

722

(Festschrift für H. A. Schwarz, Berlin 1914, S. 133-141.)

XLIII. Zwei Beweise eines von Herrn Fatou vermuteten Satzes

(gemeinsam mit G. P6lya)

(Acta Mathematica, Bd. 40, 1916, S. 179-183.)

731

Vorwort. Kurz nach dem Tode von Adolf Hurwitz nahm unsere Abteilung, die Abteilung für Mathematik und Physik der Eidgenössischen Tech" nischen Hochschule, der Hurwitz während mehr als zweieinhalb Dezennien angehörte, den Plan einer Gesamtausgabe der Hurwitz'schen Werke auf. Die Verhältnisse der N achkriegsjahr~ haben aber die Ausführung unseres Planes ungebührlich verzögert. Wenn wir heute der Realisierung nahe stehen, so verdanken wir das in erster Linie der tatkräftigen finanziellen Hilfe des Schweizerischen Schulrates, ferner den wesentlichen Zuwendungen von Frau Professor Hurwitz, der Witwe des Verstorbenen, und von zwei weitern Gebern, die ungenannt bleiben wollen. Wir danken ihnert allen, insbesondere dem Präsidenten des Schweizerischen Schulrates, Herrn Professor Dr. Arthur Rohn, im Namen aller an dem Fortschritt der mathematischen Wissenschaften Interessierten. Bei der Herausgabe der Werke befolgten wir tunliehst genau die kurzen und bestimmten Anweisungen, die sich diesbezüglich im Nachlass von Hurwitz befanden. Diesen Anweisungen gernäss haben wir die Abhandlungen in vier Fachgruppen: Funktionentheorie, ZahlBntheorie, Algebra und Geometrie geteilt und innerhalb der Fachgruppen chronologisch angeordnet, den Text durch Bemerkungen ergänzt, die in dem von Hurwitz selbst gebrauchten Handexemplar seiner Arbeiten verzeichnet waren, eine persönlich polemische Stelle, die einzige derartige Stelle aller Hurwitz'schen Schriften, und zwei Widmungen weggelassen usw. An der Vorbereitung zum Druck und an den Korrekturarbeiten der Abhandlungen des vorliegenden funktionentheoretischen Bandes waren drei Mitglieder unserer Abteilung beteiligt: Michel Plancherel, Georg P6lya und Walter Saxer. Ferner beteiligten sich an der Herausgabe des vorliegenden Bandes Herr Hermann Weyl in Göttingen, der vor kurzem noch unserer Abteilung angehörte, und Herr Erich Hecke

XII

in Harnburg; wir sind ihnen beiden zu grossem Danke dafür verpflichtet, dass sie, inmitten einer von allen Mathematikern bewunderten produktiven Tätigkeit, Zeit für unsere Sache fanden. Die meisten Korrekturbogen wurden, ausser durch einen der fünf Vorgenannten, auch noch durch Herrn Dr. Reinwald Jungen, Assistent am Mathematischen Seminar der Eidgenössischen Technischen Hochschule, einer Durchsicht unterzogen. Im Auftrag der Abteilung für Mathematik und Physik der Eidgenössischen Technischen Hochschule in Zürich

Georg Polya. Zürich, den 1. Oktober 1931.

AdoH Hurwitz. Gedächtnisrede, gehalten in der öffentlichen Sitzung der k. Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen am 15. Mai 1920 von

David Hilbert. (Nachrichten von der k. Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, 1920, S. 75- 83.)

Adolf Hurwitz wurde am 26. März 1859 in Hildesheim geboren. Hier besuchte er das städtische Realgymnasium, an welchem damals der in Fachkreisen später bekannt gewordene Mathematiker Hannibal Schubert den mathematischen Unterricht erteilte. Schubert führte den jungen Hurwitz schon fl,uf der Sekunda in den "Kalkül der abzählenden Geometrie" ein, eine damals neu emporkommende Disziplin, deren systematische Bearbeitung und Ausbildung Schubert sich zu seiner Lebensaufgabe gemacht hatte. Hurwitz wurde durch diesen persönlichen Verkehr mit Schubert sehr frühzeitig zu selbständigem Forschen angeregt und veröffentlichte bereits als 17-jähriger Schüler mit seinem Lehrer zusammen in den Nachrichten unserer Gesellschaft eine Arbeit über den Chasles'schen Satz a.p, + ßv. Auf Schuberts Rat begann Hurwitz 1877 sein Studium bei Klein, der damals an der Technischen Hochschule in München lehrte. Hier lernte Hurwitz vor allem die Zahlentheorie kennen, die Klein gerade las. Von München ging Hurwitz auf drei Semester nach Berlin, wo er die strengen funktionentheoretischen Methoden von Weierstrass und nicht minder die eigenartigen arithmetischen Denkweisen von Kronecker in sich aufnahm und verarbeitete. Nach München zurückgekehrt trat er mit Klein, dem er auch 1880 nach Leipzig folgte, in regsten persönlichen Verkehr und es entstanden so die bedeutenden Arbeiten von Hurwitz über elliptische Modulfunktionen, unter ihnen vor allem 1881 die Inauguraldissertation, in der er auf Anregung von Klein mit Benutzung Eisensteinscher Ansätze eine von der Theorie der elliptischen Funktionen unabhängige Theorie der elliptischen Modulfunktionen schuf. Ein Hauptteil dieser Dissertation handelt von den sogenannten Multiplikatorgleichungen, die er im Anschluss an die Arbeiten von Klein und Kiepert mit der ihm eigenen Gründlichkeit und Sorgfalt studiert.

XIV

Der Leipziger Verkehr mit Klein (1881-1882) brachte Hurwitz insbesondere einen wissenschaftlichen Gewinn, der für seine gesamte Entwicklung von entscheidendem Einfluss gewesen und beständig in seinen Publikationen erkennbar ist, nämlich das Vertrautwerden mit den Riemannschen Ideen, die damals noch nicht wie heute Allgemeingut waren und deren Kenntnis gewissermassen die Versetzung in eine höhere Klasse von Mathematikern bedeutete. Und Hurwitz lernte in Leipzig nicht nur allgemein die Riemannschen Methoden, sondern auch deren so fruchtbare Anwendung auf die Theorie der automorphen Funktionen kennen, die Klein gerade mit höchstem Erfolge betrieb. Da nach einem Beschlusse der Leipziger Fakultät die Habilitation eines Realgymnasialabit urienten unter keinen Umständen mehr zulässig sein sollte, so war für Hurwitz ebenso wie für den jungen Hölder, den gegenwärtigen Leipziger Ordinarius für Mathematik, die Habilitation in Leipzig bei Klein nicht möglich. Hurwitz habilitierte sich daher 1882 ebenso wie nachher Hölder in Göttingen. In diese Göttinger Zeit fällt die Veröffentlichung einer Reihe von interessanten Abhandlungen insbesondere aus dem Gebiete der Funktionentheorie, so der Beweis des Satzes; dass eine einwertige Funktion beliebig vieler Variabler, welche überall als Quotient zweier Potenzreihen dargestellt werden kann, eine rationale Funktion ihrer Argumente ist. Dieser von W eierstrass ohne Beweis ausgesprochene Satz wird hier von Hurwitz in sehr eleganter Weise auf Grund der Nichtabzählbarkeit des Kontinuums bewiesen. Zwei Jahre später, noch nicht 25 Jahre alt, wurde Hurwitz auf Veranlassung von Lindemann, der seine ausserordentlichen Fähigkeiten als Forscher wie als Lehrer erkannte, nach Königsberg berufen. Hier wurde ich, damals noch Student, bald von Hurwitz zu wissenschaftlichem Verkehr herang~zogen und hatte das Glück, durph das Zusammensein mit ihm in der mühelosesten und interessantesten Art die Gedankenrichtungen der beiden damals sich gegenüberstehenden und doch einander sich so vortrefflich ergänzenden Schulen, der geometrischen Schule von Klein und der algebraisch-analytischen Berliner Schule kennen zu lernen. Dieser Verkehr wurde um so anregender, als auch der geniale Hermann Minkowski, mit dem ich schon vorher befreundet war und der während der Universitätsferien regelmässig bei seiner Familie in Königsberg weilte, zu unserem Freundschaftsbund hinzutrat. Auf zahllosen, zeitenweise Tag für Tag unternommenen Spaziergängen haben wir damals während acht Jahren wohl alle Winkel mathematischen Wissens durchstöbert und Hurwitz mit seinen ebenso ausgedehnten und vielseitigen wie festbegründeten und wohlgeordneten Kenntnissen war uns dabei immer der Führer.

XV

Die Königsherger Jahre waren für Hurwitz eine Zeit intensivster Arbeit. Zunächst setzte er seine schon früher unter dem Einfluss von Klein begonnenen Untersuchungen über Klassenanzahlrelationen fort, wobei er merkwürdige Aufschlüsse über gewisse in diesen auftretende zahlentheoretische Funktionen induktiv gewinnt und dann allgemein als richtig nachweist. Auch der geometrische Interessenkreis, der durch seine früheren Arbeiten über Schliessungsprobleme und TangentenKonstruktionen charakterisiert ist, fesselt ihn noch, wie seine Bemerkungen über die Schrötersehe Konstruktion der ebenen Kurven dritter Ordnung zeigen; aber seine Hauptkraft wendet er der Erforschung schwieriger algebraischer Fragen mitte1st funktionentheoretischer, insbesondere Riemannscher Methoden zu. Aus der Fülle der in rascher Folge erscheinenden Abhandlungen seien als die bedeutendsten und aus dieser Schaffensperiode tiefgehendsten die folgenden erwähnt: Über algebraische Korrespondenzen und das verallgemeinerte K01·respondenzenprinzip. Über diejenigen algebraischen Gebilde, welche eindeutige Transformationen in sich zulassen. Über Riemannsche Flächen mit gegebenen Verzweigungspunkten. Zur Theorie der Abelschen Funktionen. Die erste Abhandlung bringt eine Klärung der Frage nach der Anzahl der Koinzidenzen einer algebraischen Korrespondenz auf einer beliebigen Kurve. In der zweiten Abhandlung, die eine Fülle von neuen Ergebnissen enthält, wird unter anderem eine obere Grenze für die Anzahl der Transformationen einer algebraischen Kurve in sich und für ihre Ordnungen angegeben. Die letzte der genannten Arbeiten schafft fruchtbare Ansätze zur Übertragung der Riemannschen Theorie der algebraischen Funktionen auf Funktionen, die sich auf einer Riemannschen Fläche multiplikativ verhalten. Ein mit Vorliebe von Hurwitz behandeltes Thema war die Theorie der arithmetischen Kettenbrüche. In seiner Arbeit Über die Entwicklung komplexer Grössen in Kettenbrüche ging er dabei über den bisher allein berücksichtigten Bereich der reellen Zahlen hinaus und stellte einen allgemeinen Satz über die Periodizität der Kettenbruchentwicklung relativ quadratischer Irrationalitäten auf, der auf die Kettenbruchentwicklungen in den Körpern der dritten und der vierten Einheitswurzeln eine interessante Anwendung findet. Die sehr merkwürdigen Resultate über spezielle Kettenbrüche, nämlich über die Kettenbruchentwicklung der Zahl e und über die Kettenbrüche, deren Teilnenner arithmetische Reihen bilden, sind ebenfalls hier zu erwähnen, obwohl die Veröffentlichung der letzten Arbeiten in eine spätere Zeit fällt.

XVI

Auch entstehen in der Königsherger Zeit die Abhandlungen Über arithmetische Eigenschaften transzendenter Funktionen. Schliesslich beginnt in der Königsherger Zeit die Veröffentlichung einer Reihe von Abhandlungen wie Über die Nullstellen der Besselschen Funktionen und Über die Wurzeln einiger tmnszendenten Gleichungen, in denen er verschiedene funktionentheoretische Hilfsmittel zur Trennung der Wurzeln transzendenter Gleichungen heranzieht und dabei zu Ergebnissen gelangt, die auch für den praktischen Gebrauch dieser Funktionen von Bedeutung sind. Michaelis 1892 folgte H urwi tz einem Rufe als ordentlicher Professor an das eidgenössische Polytechnikum in Zürich, wo er 27 Jahre hindurch bis zu seinem Tode wirkte. Während dieser Zeit in Zürich, die an Produktivität der Königsherger Zeit nicht nachsteht, hat Hurwitz den Bereich seiner schöpferischen Tätigkeit beständig erweitert, so dass diese schliesslich alle Teile der reinen Mathematik betraf. Unter den Abhandlungen über neu hinzukommende Gegenstände seien hier folgende hervorgehoben: Zur Invariantentheorie, eine Arbeit, in der H urwi tz unter anderem eine Verallgemeinerung des bekannten Hermiteschen Reziprozitätsgesetzes der binären Invariantentheorie auf Formen von beliebig vielen Variabeln findet. Über die Erzeugung der Invarianten durch Integration, eine Arbeit, in der Hurwitz ein neues Erzeugungsprinzip für algebraische Invarianten entdeckt, das ihm insbesondere ermöglicht, ein von mir eingeschlagenes Verfahren zum Nachweis der Endlichkeit des vollen Invariantensystems auf den Fall orthogonaler Invarianten anzuwenden. Über die Theorie der Ideale. Über einen Fundamentalsatz der arithmetischen Theorie der algebraischen Grössen. Zur Theorie der algebraischen Zahlen. Der Euklidische Divisionssatz in einem endlichen algebraischen Zahlkörper. Diese Arbeiten enthalten zwei neue Beweise des Fundamentalsatzes der Idealtheorie über die eindeutige Zerlegbarkeit der Ideale in Primideale. Der erste schliesst an die Gedankengänge von Kronecker über die Verwendung von Unbestimmten an; der zweite Beweis, den er in der letzten Arbeit noch ausführt und sehr vereinfacht, ist bemerkenswert durch die Analogie mit dem Euklidischen Algorithmus in der elementaren Zahlentheorie. Die unimodularen Substitutionen in einem algebraischen Zahlkörper. In dieser Arbeit handelt es sich um die Gruppe aller derjenigen linearen binären Substitutionen, deren Koeffizienten ganze Zahlen

XVII

eines gegebenen algebraischen Zahlkörpers von der Determinante 1 sind. Das Hauptergebnis ist in dem Satze enthalten, dass diese Gruppe stets eine endliche Anzahl von erzeugenden Substitutionen besitzt. Über lineare Fm·men mit ganzzahligen V ariabeln, eine Arbeit, die einen direkten und klassisch gewordenen Beweis des berühmten Min" kowskischen Satzes über Linearformen bringt. Über die Bedingungen, unter welchen eine Gleichung nur Wurzeln mit negativen reellen Teilen besitzt. Dieses Problem aus der Theorie der kleinen Schwingungen ist auch für die technischen Anwendungen von höchster Bedeutung. Für die Entscheidung ergibt sich als notwendig und hinreichend, dass gewisse in Determinantenform aus den Koeffizienten der Gleichung gebildete Zahlen positiv ausfallen. Über die Zahlentheorie der Quaternionen. Vorlesungen über die Zahlentheorie der Quaternionen (J. Springer, Berlin, 1919). Der wesentliche Gedanke besteht in der Erkenntnis, dass die ganzzahligljn Quaternionen zu einem Bereich erweitert werden können, der analoge Eigenschaften besitzt, wie die Gesamtheit der ganzen algebraischen Zahlen eines Körpers. Dadurch wird die Theorie schöner Anwendungen auf alte klassische Probleme der Zahlentheorie fähig. Über die Entwicklungskoeffizienten der lemniskatischen Funktionen. Diese Arbeit behandelt die Eigenschaften der Entwicklungskoeffizienten der Weierstrasschen f-Funktion im lemniskatischen Falle, die den gewöhnlichen Bernoullischen Zahlen entsprechen, und das Hülfsmittel ist die komplexe Multiplikation der lemniskatischen Funktion. Die Eleganz, mit der die grossen Schwierigkeiten des Problems überwunden werden, ist bewunderungswürdig. Sur un theoreme de M. Hadamard. Die kurze Arbeit enthält ein Seitenstück zu einem bekannten Hadamardschen Satze, in dem sie ein Verfahren angibt, aus zwei gegebenen Potenzreihen eine neue zu bilden, deren singuläre Stellen sich aus den singulären Stellen der beiden gegebenen additiv zusammensetzen. Die Arbeit ist noch besonders dadurch bemerkenswert, dassHurwitz darin die PoincarescheTheorie der Residuen der Doppelintegrale in neuer Weise anwendet. Sur quelques applications geometriques des series de Fourier. H urwitz beweist hier unter prinzipieller Anwendung der Fourier-Koeffizienten auf elegante Art die klassischen Minimaleigenschaften des Kreises. Über eine Darstellung der Klassenzahl binärer quadratischer Formen durch unendliche Reihen. In dieser Arbeit, die im Dirichlet-Bande des Crelleschen Journals erschienen ist, gibt Hurwitz eine sehr merkwürdige, auf vollständig neuen Prinzipien beruhende Darstellung für die Klassenanzahl binärer quadratischer Formen negativer Diskriminante durch unendliche Reihen.

XVIII

Über die Trägheitsformen eines algebraischen Moduls. Durch Einführung des Begriffs der Trägheitsform gelingt es H ur w i t z unter anderem neue Beweise der Mertensschen Sätze über die Resultante von n Formen mit n homogenen Variabeln zu gewinnen und über sie hinaus zu gehen. Insbesondere ergibt sich eine neue sehr elegante Darstellung der Resultante als grösster gemeinsamer Teiler von gewissen n Determinanten. Über die Entwicklung der allgemeinen Theorie der analytischen Funktionen in neuerer Zeit. Auf dem Züricher internationalen Kongress gab Hurwitz ein Bild von dem damaligen Stande der Theorie der analytischen Funktionen; es ist ein Vortrag, mustergültig durch die klare und prägnante Ausdrucksweise, sowie die glückliche Umgrenzung und Auswahl des so weit ausgedehnten Stoffes. Hurwitz hat seit seiner Habilitation 1882 in ununterbrochener Regelmässigkeit von allem, was ihn wissenschaftlich beschäftigte, Aufzeichnungen gemacht und auf diese Weise eine Serie von 31 Tagebüchern hinterlassen, die ein getreues Bild seiner beständig fortschreitenden Entwicklung geben und zugleich eine reiche Fundgrube für interessante und zur weiteren Bearbeitung geeignete Gedanken und Probleme sind. Aber Hurwitz war nicht bloss Forscher, er gehörte vielmehr zu den hervorragendsten und erfolgreichsten mathematischen Universitätsdozenten unserer Zeit. Insbesonderenachder Wegberufung Minkowski's von Zürich widmete er sich der ihm am eidgenössischen Polytechnikum übertragenen Aufgabe der Ausbildung der mathematischen Oberlehrer mit hingebender Liebe und Pflichttreue. Seine Vorlesungen waren durch die sorgfältige Auswahl des Stoffes, die abgerundete Ausdrucksform und die ruhige klare Sprache ausgezeichnet. In den Übungen war er beständig darauf bedacht, durch anregende Aufgaben zur Mitarbeit heranzuziehen und es war charakteristisch, wie oft man ihn in seinen Gedanken auf der Suche nach geeigneten Aufgaben und Problemstellungen für seine Schüler antraf. Von welchem Erfolge seine Mühe war, davon legen die zahlreichen schönen Dissertationen, die unter seiner Leitung entstanden sind, Zeugnis ab. Von seinen Publikationen gilt das Gleiche, wie von seinen Vorlesungen, sie sind in Form und Stil ein Spiegelbild seiner Persönlichkeit. Einige darunter, z. B. das kleine, schon vorhin erwähnte Buch über die Zahlentheorie der Quaternionen sind Meisterstücke der Darstellungskunst. Er war besonders eingenommen gegen alle Art von Aufmachung und unechtem Beirat bei der Publikation: eine mathematische Arbeit sollte nirgends über den Bereich der wirklichen Leistung und der erkannten Wahrheit hinaus mehr erscheinen wollen und er konnte, wie mild

XIX

sonst sein wissenschaftliches Urteil war, dann wohl ein scharfes Wort brauchen, wenn er die Verschleierung einer Lücke im Ged!tnkengang irgendwo zu rügen fand. Unter Beinen Betätigungen ausserhalb des Berufes stand obenan die Musik, die ihm eine notwendige Ergänzung zur Wissenschaft war. Er betrieb von Jugend an das Klavierspiel und vervollkommnete sich darin beständig. Musikalische Darbietungen bereiteten ihm zugleich Erhebung und Genuss, und namentlich in der späteren Züricher Zeit wurde sein Haus mehr und mehr eine Pflegestätte der Musik. Hurwitz war ein harmonisch entwickelter und philosophisch abgeklärter Geist, gern bereit zur Anerkennung der Leistungen anderer und von aufrichtiger Freude erfüllt über jeden wissenschaftlichen Fortschritt an sich: ein Idealist im guten altmodischen Sinne des Wortes. Er war eine vornehme Natur: angesichts der heute so verbreiteten Unsitte, die eigene Berufung zu betreiben, schätzen wir in Hurw.itz ganz besonders den Mann, der so tief innerlich bescheiden und zugleich so frei von allem äusseren Ehrgeiz war, dass er keine Kränkung darüber empfand, wenn ein Mathematiker, der ihm an Bedeutung nachstand, ihm bei Berufungen vorgezogen wurde. Übrigens fühlte er sich in der schönen Natur der Schweiz und ihren freiheitlichen Einrichtungen äusserst wohl und durch das Entgegenkommen von Seiten der eidgenössischen Schulbehörde war seine amtliche Tätigkeit genau seinen Wünschen gernäss gestaltet. Es ist ihm schliesslich zum Glück ausgeschlagen, dass er in der Schweiz blieb, da er den körperlichen und seelischen Anstrengungen, die das Leben in Deutschland während des Krieges für ihn mit sich gebracht hätte, nicht gewachsen gewesen wäre. Hurwitz war von unscheinbarem Äusseren; aber das kluge und lebhafte Auge verriet seinen Geist. Sein freundliches und offenes Wesen gewann ihm, als er nach Königsberg kam, rasch die Herzen aller, die ihn dort kennen lernten, und wie sehr man ihn in Zürich schätzte, bezeugen allein die zahlreichen warmen Nachrufe, die ihm aus schweizerischen Kreisen zuteil geworden sind. Seine frühzeitigen Erfolge hatten ihn nicht überhebend gemacht, vielmehr blieb er seiner bescheidenen Natur treu und mied jedes persönliche Hervortreten im akademischen und öffentlichen Leben. In Zürich war er ein Mittelpunkt für den Kreis der jüngeren Mathematiker und während der letzten Dezennien hat gewiss kein Mathematiker des In- und Auslandes Zürich passiert, ohne ihn, der selbst wenig reiste, zu besuchen. Auch äussere Anerkennungen sind ihm zuteil geworden: die mathematischen Gesellschaften zu Hamburg, Charkow und London ernannten ihn zu ihrem Ehrenmitglied; auch war er auswärtiges Mitglied der

XX

Academia dei Lincei zu Rom. Unserer Gesellschaft gehörte er seit 1892 als korrespondierendes und seit 1914 als auswärtiges Mitglied an. Hurwitz war seit seiner Jugend von zarter Gesundheit: zweimal, in den Jahren 1877 und 1886, wurde er von schwerem Typhus heimgesucht. Heftige Migräne zwang ihn bereits auf der Universität öfters, seine Studien zu unterbrechen. Am besten ging es ihm gesundheitlich in den ersten Jahren in Zürich. Die damals berechtigte Hoffnung seiner Freunde, dass seine Beschwerden nur nervöser Natur seien, erfüllten sich nicht. Im Juli 1905 musste zu einer Operation geschritten werden: es wurde ihm die eine Niere entfernt und als später auch die zweite Niere erkrankte, war äusserste Vorsicht und Schonung geboten. Während dieser schweren Jahre stand ihm seine Frau, die Tochter des Königsherger Professors der Medizin Samuel, in aufopferndster Treue zur Seite: ihrer keinen Augenblick ruhenden Sorge und aufs genaueste bedachten Pflege gelang es, vorübergehende Besserungen in seinem Befinden zu erzielen und es wurde ihm dadurch möglich, bis zuletzt seine Berufspflichten zu erfüllen. Hurwitz selbst ertrug sein Schicksal mit der überlegenen Ruhe des Philosophen. Der Wunsch, von den Seinen nicht Abschied nehmen zu müssen, ist ihm erfüllt worden: er erwachte in den Tagen vor seinem Tode nicht mehr zum Bewusstsein. Es war ein ganz der stillen Denkerarbeit gewidmetes, sich selbst stets treues Gelehrtenleben, das am 18. November 1919 allzufrüh zu Ende ging - in dankbarem und treuem Andenken bewahrt auch ausserhalb des Verwandten- und Freundeskreises überall in der mathematischen Gelehrtenwelt.

Gedächtnisrede auf Adolf Durwitz gehalten am 21. November 1919 im Krematorium Zürich von

Ernst Meissner damals Vorstand der Abteilung für Mathematik und Physik an der Eidgenössischen Technischen Hochschule, (Vierteljahrsschrift der Naturforschenden Gesellschaft in Zürich, 64. Jahrgang, 1919, S. 855-857.)

Geehrte Trauerversammlung! Um die Mittagszeit des 18. November starb nach schmerzvollem Leiden Dr. Adolf Hurwitz, seit 27 Jahren ordentlicher Professor für höhere Mathematik an der Eidgenössischen Technischen Hochschule. Leise, ganz leise ist sein Lebensflämmchen ausgelöscht, nachdem es schon lange beängstigend geflackert und gezuckt hatte. Seit zwanzig Jahren war seine Willenskraft in Fehde mit einem kränklichen, äusserste Schonung erheischenden Körper. Wer sah, wie der Verstorbene sich in der letzten Zeit mit Aufbietung seiner letzten Kräfte bemühte, seinen Berufspflichten nachzukommen, der erkannte, dass dieser Kampf zu Ende ging und der Tod sein Antlitz gezeichnet hatte. Trotzdem nahm H urwi tz zu Beginn des Wintersemesters seine Lehrtätigkeit wenigstens teilweise wieder auf. Unerwartet rasch für seine Freunde ist das längst vorausgesehene und befürchtete Ende eingetreten. Adolf Hurwitz wurde am 26. März 1859 in Hitdesheim als Sohn eines Fabrikanten geboren, der sich durch geistige Gaben auszeichnete. Schon ganz früh zeigte sich seine hervorragende mathematische Veranlagung, so dass H. Schubert, der damals am Andreanum, dem Gymnasium der Stadt, unterrichtete, ihn alle Sonntage zu sich kommen liess, um sein Talent zu pflegen und zu fördern. Er wusste schliesslich den Vater zu bestimmen, den Sohn das Studium der Mathematik ergreifen zu lassen, obwohl er pekuniär dazu nicht in der Lage war und die Hilfe eines Freundes in Anspruch nehmen musste. Schon in den letzten Jahren seiner Schulzeit hatte der junge Hurwitz Arbeiten geliefert, die ganz den Charakter mathematischer Abhandlungen tmgen. Noch als Gymnasiast wurde er von Schubert zu

XXII

aktiver Beteiligung an dessen wissenschaftlicher Produktion herangezogen und er veröffentlichte, 17- jährig, mit ihm zusammen eine Abhandlung aus dem Gebiete der abzählenden Geometrie. Zu Ostern 1877 ging Hurwitz nach München, um auf besondere Empfehlung von Schubert bei Felix Klein zu hören, der damals an der dortigen Technischen Hochschule wirkte. Die nächsten drei Semester 1877j78 finden wir ihn in Berlin zu Füssen von Kummer, Weierstrass und Kronecker. 1879 kehrt er zu Klein nach München zurück, folgt ihm im Herbst 1880 nach Leipzig, wo er bei Klein, Hankel und Wundt mit einer glänzenden Döktorarbeit promoviert, die schon in vollstem Masse die Vollkommenheit und Eleganz seiner spätern Arbeiten zeigt. 1881j82 ist der junge, erst 21-jährige Doktor wieder in Berlin, um sich bei Weierstrass und Kronecker zu vervollkommnen. Aber schon Ostern 1882 erfolgte seine Habilitation in Göttingen, wo er mit dem Mathematiker Stern und dem Physiker Weber in engen Verkehr trat. Seines Bleibens dort war nicht lange. Zu sehr hatte seine aussergewöhnliche Begabung die Aufmerksamkeit der mathematischen Welt erregt. Noch nicht 25 Jahre alt wurde Hurwitz Ostern 1884 auf Vorschlag Lindemanns als Extraordinarius nach Königsberg berufen, wo er acht fruchtbare Lebensjahre zubrachte. Der Zufall fügte es, dass zu Beginn 1892 gleichzeitig zwei ehrenvolle Berufungen an ihn herantraten: Göttingen bot ihm die Nachfolge von H. A. Schwarz an, das Eidgenössische Polytechnikum bewarb sich um ihn für die durch Frobenius' Berufung an die Berliner Universität verwaiste LehrkanzeL Der damalige Schulratspräsident Bleuler hatte sich persönlich nach Königsberg begeben und mit Hurwitz schon abgeschlossen, als die Einladung nach Göttingen eintraf. Wir verdanken es wohl nur diesem Umstande, dass der glänzend begabte Hurwitz der Unsrige wurde und bis vor einigen Wochen einengrossen Teil seiner Schaffenskraft und sein ganzes Talent in den Dienst unseres Landes gestellt hat. Die Zürcher Jahre sind für den Gelehrten eine Zeit produktivster wissenschaftlicher Tätigkeit geworden. In rascher Folge entstanden zahlreiche Arbeiten und kleinere Aufsätze, die vorwiegend algebraische, zahlentheoretische und besonders der Funktionentheorie angehörende Fragen behandeln, obschon auch andere mathematische Gebiete nicht unbebaut blieben. Diese seine Werke sind in den verschiedensten Zeitschriften verstreut. Die Mathematischen Annalen und die Göttinger Nachrichten enthalten einen Grossteil, doch sind auch andere, z. B. schweizerische, französische und schwedische Zeitschriften beteiligt. Zu den sonst üblichen systematischen Darstellungen grösserer Gebiete in Buchform fand die überquellende Schöpferkraft von Hurwitz

XXIIT

keine Musse. Erst der Schluss seines Lebens hat uns seine Vorlesungen über die Zahlentheorie der Quaternionen beschert. Während Professor Hurwitz so arbeitend und lehrend rastlos tätig war, stieg sein wissenschaftlicher Ruhm mit jedem Jahr, und die Anerkennung seiner grossen Leistungen blieb nicht aus. Es ernannten ihn zum Ehrenmitgliede die mathematischen Gesellschaften von Harnburg und von Charkow, sowie die London Mathematical Society. Er wurde von der Gesellschaft der Wissenschaften in Göttingen zum korrespondierenden Mitglied, von der Academia dei Lincei in Rom zum auswärtigen Mitglied erhoben. So blieb wahrlich die Anerkennung der Welt nicht aus. Und doch lauerte ein unheilvolles Schicksal und stutzte jäh seinem Schöpfergeist die Schwingen. Vom Jahre 1899 datiert ein Leiden, das 1905 einen operativen ärztlichen Eingriff nötig machte. Professor Krönlein musste dem schwer Erkrankten eine Niere entfernen. Die Operation gelang; aber als dann im Lauf der Jahre auch die zweite Niere versagte und zunehmende Beschwerden verursachte, da war es um die Lebenskraft des Unermüdlichen geschehen. Absolute, sorgfältigste Schonung, lautete schliesslich die Losung, der er sich fügen musste. Körperliche Schmerzen und Schlaflosigkeit nagten seither unablässig an seinen Kräften, so dass er um Entlastung von der grossen, für Ingenieure bestimmten Vorlesung nachkommen musste. Die Behörde wusste seinen Wert zu schätzen und kam ihm nach Möglichkeit entgegen. Seine Lehrverpflichtung wurde auf wenige höhere Vorlesungen und Seminarien für Fachmathematiker beschränkt, die er in den letzten Jahren meist in seiner Wohnung abhielt. Er hat sich in dieser Stellung um die Abteilung, die Fachlehrer in Mathematik und Physik ausbildet, die grössten Verdienste erworben. Jährlich hat er aus der Fülle seiner Ideen seinen Schülern (einem Grossteil der schweizerischen Mathematiklehrer des letzten Vierteljahrhunderts) die Themata für ihre Diplomaufgaben geschöpft, die häufig später zu Promotionsarbeiten erweitert wurden, und viele hat er in die selbständige wissenschaftliche Forschung eingeführt. Indessen nahmen seine Körperkräfte mehr und mehr ab. Aber je schwächer sein Leibliches wurde, um so mehr raffte sich sein Geist in zäher, eiserner Entschlossenheit auf und es begann ein fast rührend anzusehender, heroischer Kampf seines Willens mit seinem kränkelnden Leibe. Und er hat es durchgesetzt, dass er bis ganz zuletzt seine Berufspflichten erfüllen konnte. Tapfer hat er sich noch gewehrt, als schon der grimme Tod seine Hand auf ihn gelegt hatte. Erst zwei Wochen vor seinem Ende hat er darauf verzichtet, sein angekündigtes Seminar abzuhalten. So gab er das schönste Beispiel treuer Pflichterfüllung!

XXIV

H urwi tz' Arbeiten sind zu einem grossen Teil von ausEergewöhnlicher Bedeutung. Allen ist eine seltene, innere und äussere Vollendung, Schönheit und Eleganz eigen. Seine Gedankengebäude baut er in herrlicher, grosser Architektur. Nichts fehlt, nichts ist überflüssig. Seine Promotionsarbeit, sein Beweis der Transzendenz der Zahle sind prächtig geschliffene, köstliche Edelsteine. Die Unrast moderner Produktionsweise war und blieb seinem Wesen fremd; nichts Unfertiges hat seine Werkstatt verlassen. Demgernäss trugen auch seine Vorlesungen abgerundete, ausgefeilte Form. Dazu kam ein kristallklarer, niemals überstü.:.-3ter Vortrag, der seine Vorlesungen zum hohen ästhetischen Genuss machte, wobei es freilich aber unmöglich war, das Geheimnis seiner schöpferisch-mathematischen Produktionstätigkeit zu belauschen. Seine Seminarien und sein persönlicher Verkehr, den er liebenswürdig gewährte, boten dafür Ersatz. Als Mensch war Hurwitz ein im schönsten Sinne ausgeglichener Charakter, ruhig und besonnen, gütig und leidenschaftslos im Urteil. Seine bescheidene Natur, die so gar nicht auf Kampf und Hader gestimmt war, trieb ihn nicht, sich öffentlich hervorzutun. Still und zurückgezogen lebte er seiner Wissenschaft und seinen mannigfaltigen Interessen, unter denen die Musik an vorderster Stelle stand. Unserm Lande gegenüber, dessen Bürger er nie wurde, wahrte er ein taktvolles, warmes Interesse. Die Wissenschaft verliert in Adolf Hurwitz eine Leuchte, die Eidgenössische Technische Hochschule einen genialen Lehrer, seine Kollegen und Freunde und die Welt einen gütigen, liebenswürdigen Menschen.

I.

Grundlagen einer independenten Theorie der elliptischen Modulfunktionen und Theorie der Multiplikator-Gleichungen erster Stufe. 1) (Inauguraldissertation, Leipzig 1881; Mathematische Annalen, Bd.18, 1881, S. 528-592.)

Die vorliegende Arbeit zerfällt in zwei Teile. - Einmal ist (im I. Abschnitt) der Versuch gemacht, die vollständigen Grundlagen einer unabhängigen Theorie der elliptischen Modulfunktionen 2) zu entwickeln, andererseits wird (im II. Abschnitt) eine Klasse von Gleichungen untersucht, die bei diesen Funktionen eine Rolle spielt. Diese Gleichungen - die neuen Multiplikatorgleichungen der Herren Klein und Kiepert- bildeten den Ausgangspunkt der Arbeit. Herr Klein, durch seine Untersuchungen über Modulfunktionen auf dieselben geführt, veröffentlichte auf sie bezüglich eine kurze, nur Resultate enthaltende Note. 3) Herr Kiepert gelangte von seifen der doppeltperiodischen Funktionen zu denselben Resultaten, indem er sich auf die Eigenschaften der W eierstras s 'sehen Funktionen a und p s+ützte. 4) Dabei ist zu erwähnen, dass auch Herrn Brioschi's kurz vorher erschienene Arbeit: Sopra una classe di equazioni modulari [Annali di Matematica (Ser. II), Vol. 9, 1878, p. 167-172, Opere matematiche, Vol. II, p. 193-199.] sich implizite auf dieselben Gleichungen bezieht. Herr Klein fand neuerdings nicht die Zeit, seine die Multiplikatorgleichungen betreffenden Resultate einer eingehenden und seinen übrigen Entwicklungen in der Theorie der Modulfunktionen konformen Begründung zu unterziehen. So unternahm ich denn, auf Anregung [[ 1 ) Man vergleiche hierzu die nochmalige Behandlung dieses Gegenstandes durch Hurwitz in Mathem. Annalen, Bd. 58 = diese Werke, Bd. I, No. XXXIV.]] Anm. v. E. H. 2 ) Dieser Name rührt wohl von Herrn Dedekind her; wir wollen diese Funktionen im folgenden kurz als "Modulfunktionen" bezeichnen. 3 ) Brief an Brioschi vom 30. Dez. 1878, mitgeteilt in den Rendieanti del Instituto Lombardo vom 2. Januar 1879; abgedruckt, so weit er hier in Betracht kommt, Mathem. Annalen,Bd.15(1878/79), S.86-88; [Ges. Abhandlungen v.F.Klein, Bd. III, 8.137-139]. 4 ) Zur Transformationstheorie der elliptischen Funktionen, Crelles Journal, Bd. 87 (1879), s. 199-216.

2

Funktionentheorie.

von Herrn K I ein, die Untersuchung der Gleichungen, wie sie in einer independenten 'fheorie der Modulfunktionen verlangt werden muss. Bald kam ich jedoch dazu, auf die Grundlagen dieser Theorie zurückzugreifen, und so entwickelte sich der erste Abschnitt der vorliegenden Arbeit, der bestimmt ist, einige in den Grundlagen noch vorhandene Lücken auszufüllen. Die moderne Auffassung der Modulfunktionen basiert bekanntlich auf einer geometrischen Figur 1), die in der Ebene der komplexen Variabeln w die linearen ganzzahligen Substitutionen w'=aw+ß yw

+ !5'

aö-ßy=1

repräsentiert. Man wird hier verlangen dürfen, dass man auf direktem Wege von den linearen Substitutionen zu der sie repräsentierenden geometrischen Figur gelange. Herr Dedekind gibt (loc. cit. S. 271) einen Teil eines synthetisch geführten Beweises des Zusammenhanges der Transformationen mit jener Figur und erwähnt, dass man die nötigen Beweise der Theorie der Reduktion der quadratischen Formen entnehmen kann. Die im er.sten Kapitel des ersten Abschnitts vorliegender Arbeit gegebene Begründung der Figur dürfte insofern eine befriedigende sein, als sie, mit wenigen elementaren Überlegungen operierend, mit einer gewissen Notwendigkeit von den Transformationen zu der Figur hinführt. Dass hiermit auch eine überaus einfache Behandlungsweise der Reduktion der quadratischen Formen gewonnen ist, liegt auf der Hand. Einen wesentlichen Bestandteil dieses ersten Kapitels bildet die von Herrn Klein herrührende, wichtige Theorie der Fundamentalpolygone, welche zu den in der Gesamtheit der linearen Transformationen enthaltenen Untergruppen gehören. - Als neu möchte ich hier die (allerdings nicht ins Detail ausgeführte) Methode bezeichnen, 1 ) Wegen derselben vergleiche man die unter sich zusammenhängenden Arbeiten von Schwarz: Über diejenigen Fälle, in welchen die Gausaisehe hypergeometrische Reihe eine algebraische Funktion ihres vierten Elementes ist, Crelles Journal, Bd. 75 (1872), S. 292-335; [Ges. Abhandlungen, Bd. Il, S. 211-259], Dedekind: Schreiben an Herrn Borchardt über die Theorie der elliptischen Modulfunktionen, Crelles Journal, Bd. 83 (1877), S. 265-292, Klein (Mathem. Annalen, Bd. 14-17); [Ges. Abhandlungen, Bd. III, S. 3-197]. Neben diese stellt sich unabhängig eine Arbeit von Stephen Smi th: Sur les integrales elliptiques completes, Atti della Accademia dei Lincei (3), vol. I (1877), p. 42-44. Herr Klein hat schon vor längerer Zeit die interessante Bemerkung gemacht, dass sich diese Figur im Prinzip bereits im Gauss'schen Nachlass Bd. 3, S. 477, 478, vorfindet. Es wird dort angegeben, dass die Funktion :r,2 (w) jeden Wert ein Mal und nur ein Mal in einem Raume annimmt, der in der w-Ebene von zwei Geraden und zwei Halbkreisen begrenzt ist.

ModuHunktionen und Multiplikatorgleichungen.

3

wie man eine Transformation irgend einer Untergruppe aus den erzeugenden Substitutionen zusammensetzen kann. Dieselbe liefert, von der geometrischen Anschauung ins Arithmetische übersetzt, eine eigentümliche Art von Kettenbruchentwicklung. Im zweiten Kapitel des ersten Abschnitts werden durch direkte Prozesse analytische Entwicklungen für die Modulfunktionen hergestellt. Obgleich die hierbei zur Verwendung kommenden Gedanken nicht wesentlich von den in der Theorie der elliptischen Funktionen benutzten verschieden sind, so habe ich doch geglaubt, diese Entwicklungen ausführlich darstellen zu sollen. So natürlich sich nämlich diese Betr.achtungen bei der nachstehend gegebenen Darstellungsweise gestalten, so haben verschiedene Mathematiker gerade hier wesentliche Schwierigkeiten und Hemmungen gefunden. 1) Ein bekannter Ansatz führt zunächst zu solchen homogenen Funktionen zweier Variabeln, den Modulformen, welche die homogenen linearen ganzzahligen Substitutionen der Determinante 1 zulassen, und aus denen somit durch Quotientenbildung Modulfunktionen abgeleitet werden können. Es gelingt sodann leicht, die als unendliche Summen definierten Funktionen in Potenzreihen umzusetzen. Eine dieser Summen bleibt,. wegen ihrer bedingten Konvergenz, bei den linearen homogenen Substitutionen nicht vollkommen ungeändert, erfährt aber bei denselben doch nur eine einfache Modifikation ihres Wertes. Ihre exponentielle Integration führt direkt zum Endziele, zu der Funktion L1 in ihrer Produktentwicklung, deren fundamentale Bedeutung für die Theorie der Modulfunktionen Herr Dedekind mit Recht wiederholt hervorgehoben hat. 2) Der zweite Abschnitt meiner Arbeit handelt, wie erwähnt, von den neuen Multiplikatorgleichungen. Er ist wieder in zwei Kapitel geteilt, von denen das erste dem Nachweis der Existenz der Gleichungen gewidmet ist, während im zweiten Kapitel einige Eigenschaften der Gleichungen abgeleitet werden. 1 ) Hermite sagt z. B. in der Obers·icht der Theorie der elliptischen Funktionen (im Anhang zur sechsten Ausgabe von Lacroix's Traite elementaire de calcul differentiel et integral) S. 40 der deutschen Ausgabe (von Natani, Berlin 1863), dass es "bei dem jetzigen Standpunkt der analytischen Kenntnisse" unmöglich schiene, die Funktionen " ( w) und "' ( w) = y 1 - " 2 ( w) vollständig zu behandeln, ohne auf die Funktionen e und H zu rekurrieren. Sodann bemerkt Herr Dedekind, loc. cit., S. 285 unten: "Allein es ist mir bisher nicht geglückt, diese Darstellung von 7J ( w) als explizite Funktion von w lediglich aus ihrer obigen Definition, also ohne die HüHe der Theorie der e Funktionen abzuleiten." 2 ) Riemann's Werke, 2. Aufl., S. 466-478 und loc. cit.

4

Funktionentheorie.

Neu sind in diesem Abschnitt: die Allgemeinheit der Entwicklungen -indem die Gleichungen für beliebig zusammengesetzte Transformationsgrade hergeleitet und untersucht werden, während die Arbeiten von Kiepert und Klein nur primzahlige Transformationen in Betracht ziehen - , ferner der § 5 des zweiten Kapitels und sämtliche Beweisführungen, die sich jedoch zum grossen Teil auf die von Herrn Klein ausgebildeten Methoden stützen. Auf den mir vorab noch zu fern liegenden Umstand, dass unsere Gleichungen "J aco bi' sehe" Gleichungen sind, d. h. dass zwischen den Quadratwurzeln aus den Wurzeln unserer Gleichungen die zuerst von J aco bi bemerkten linearen Relationen bestehen, bin ich nicht emgegangen. Schliesslich möchte ich noch erwähnen, dass ich durch den persönlichen Verkehr mit Herrn Professor Klein, dem ich die anregendste und förderndste Teilnahme an allen meinen Bestrebungen während meiner Studienzeit verdanke, wesentlich bei meinen Untersuchungen gefördert wurde, und ich ergreife mit Freude die Gelegenheit, meinem hochverehrten Lehrer auch an dieser Stelle meinen herzlichsten Dank auszusprechen.

I. Abschnitt.

Grundlagen einer independenten Theorie der elliptischen Modulfunktionen. I. Kapitel.

Die linearen ganzzahligen Transformationen der Determinante + 1 und die in ihnen enthaltenen Untergruppen. § 1.

Die linearen ganzzahligen Transformationen der Determinante

+

1.

Die Transformationen ,

(1)

aw+ß 'iw+ö'

w =---

in denen aCJ-ßy

=

1

ist und a, ß, y, (J irgend welche positive oder negative ganze Zahlen bedeuten, bilden eine Gruppe. Denn die Zusammensetzung irgend zweier solcher Transformationen führt zu einer dritten derselben Art. Deutet man w in der komplexen Zahlenebene, so bemerkt man sofort, dass alle Werte w', die durch die Transformationen (1) aus einem Werte w entstehen, mit diesem im Vorzeichen der zweiten Ordinate übereinstimmen. Wir wollen daher nur die Punkte w mit positiver zweiter Ordinate in Betracht ziehen. Sie erfüllen die "positive" Halbebene. Es soll sich nun darum handeln, ein anschauliches geometrisches Bild für die Gesamtheit der Transformationen (1) herzustellen. Dazu führen folgende Überlegungen :

I. "Erleidet ein Punkt w durch die Transformation (; ~) eine Vergrösserung bezw. keine Veränderung seiner Ordinate, so ist (yw+ CJ) (yw bezw. (yw

Dabei bezeichnet

w die

+ CJ) < 1

+ CJ) (yw + CJ)

= 1 ."

zu w konjugiert komplexe Grösse.

Funktionentheorie.

6

In der Tat, die Ordinate des Punktes w ist

w-w ~·

und die Bedingungen 1

2i

ß}

{aw + ß aw + > w- w yw+t5-yw+t5 =~

reduzieren sich durch leichteUmformungenauf die im Satze angegebenen. [[II. "Bestimmt man alle Punkte, welche den Bedingungen genügen: w w > 1 und - 1 < w + w < + l, so gibt es keine Transformation (1) ausser denjenigen, fü·r welche y = 0, welche die Ordinate irgend eines di~ser Punkte ungeändert liesse oder vergrösserte.'' Denn die Bedingungen 1 ~ (y w + y 2 ± y 2 ist. Sie stellt daher dann eine Modulform - mter Dimension vor, oder wird uns vielmehr zu einer solchen hinführen, indem wir nur eine der beiden analytischen Funktionen in Betracht ziehen werden, die sie in sich vereinigt. (Vgl. die Anmerkung auf voriger Seite und § 3.) Für ungerade m > 2 ist sie identisch Null. Wir betrachten daher .:'ür m > 2 nur die Funktionen IJ=+oo •=+oo

Gn=

:2

:2'Lw 1 ~vwJ2 n'

!J=-00•=-00

n>l.

Neben diesen wollen wir jedoch auch die den Werten m = 1 und m = 2 entsprechenden Summen

:2 :2' Cw 1 ~vwJ• Gl = :2 :2' (f1w ~ vwJ G! =

2

1

berücksichtigen. Diese konvergieren nicht unabhängig von der Reihenfolge der Summation, weshalb diese Reihenfolge in jedem speziellen Falle genau anzugeben ist.

§ 3.

Umsetzung der Funktionen Gn in Potenzreiben. Um die Summen Gn auf ihren Charakter als analytische Funktionen zu untersuchen, sowie aus Gründen der Anwendbarkeit, ist es wesentlich, dieselben in Potenzreihen umzusetzen. Dabei gehen wir von der bekannten Partialbruchzerlegnng der Kotangente aus: 1 ) S. z. B. Eisenstein, Genaue Untersuchung der unendlichen Doppelprodukte, aus welchen die elliptischen 1i'unktionen als Quotienten zusammengesetzt sind, Mathem. Abhandlungen, S. 213-334, oder auch Crelles Journal, Bd. 35 (1847), S. 153-274.

~Iodulfunktionen

n · cot an= ~(t1~

21

und Multiplikatorgleichungen. 00

1 -}. +~ """ {-~a-;-v + -a-v •=1

Entwickelt man andererseits die Rotangente nach steigenden Potenzen von V= e2ain,

so erhält man die Grundformel : 00

-~~a + ~ """

00

{- + 1a+v

1 a-v-} =

-in- 2in ~ """

V=1

vk.

k=1

Differenziert man diese Formel (m -1) mal nach a, so folgt: v=+oo

""" ..:::;.;

oo

(~1_-)m =-= ( -1)m. (2i.n)m """km ~1vk. 1) a+ v

(m-1)! ~ k=1

V = - 00

Die Summe linker Hand konvergiert für endliche Werte a unbedingt, wenn m > 1 ist, während der Konvergenzbereich der Potenzreihe rechter Hand durch die Bedingung v < 1 bestimmt ist v bedeutet den absoluten Betrag von v).

I I

(I I

Diese letztere Bedingung ist gleichbedeutend mit der andern, dass a eine positive zweite Ordinate haben muss, was jetzt ausdrücklich angenommen se1. Setzen wir nun für a, 11 • w 1- = 11 • w und summieren über alle w2 ganzzahligen Werte 11 = 1 bis oo, so folgt : + 00 + 00 00 2k """ """ (--1-)m _ ( _ 1 )m. (2in)m """km- 1 . __ _!1_. ~ ~ ,uw+v (m-1)! ~ 1 2k' ,U=l V=-00 k=l -q

wobei

einw

=q

gesetzt ist, und w, der obigen Bedingung für a entsprechend, emepositive zweite Ordinate hat. Und aus dieser Formel ergibt sich nun unmittelbar, dass

G (w n

oder

I>

w.)=(_!_)2n[v~(_!_)2n+2·(-l)n. (2n)2n • ~k2n-1. w ~ v (2n-1)! ~ •

2

k=l

V=-00

)2n "(2n)! 1 Gn(wl,w2) = ( 2n w2

[

~ k2n-1 Bn+(-1)n·4n 6;

ist, wo Bn die n 1' Bernoulli 'sehe Zahl bedeutet. 1 ) Die Schlussformel in Scheibners Gratulationsschrift: Über "unendl. Rt-ihen und deren Konvergenz" (Leipzig 1860), enthält diese Formel als speziellen Fall. - Aus der Scheibner'schen Formelfliessen übrigens für die Theorie der Modulfunktionen bemerkenswerte Resultate, auf die bei geeigneter Gelegenheit zurückzukommen ich mir vorbehalte.

22

Funktionentheorie.

Diese Potenzreihe, welche, wie aus der obigen Entwicklung hervor. der ~ ~' ( . . geht, mit +1 ü b eremstimmt, so b a ld w = -w1 ß~

V~

)2n

~

eine positive zweite Ordinate hat, stellt nun für n > 1 eine Modulform der - 2nten Dimemion vor, die wir fortan ebenfalls durch Gn bezeichnen wollen. Sie ist eine Modulform; denn erstens bleibt sie für alle linearen Transformationen ungeändert, und zweitens ist sie eine eindeutige analytische Funktion von w 1 und w 2 , da die Potenzreihe nach q in der positiven Halbebene w überall konvergiert, aber über dieselbe hinaus keine Fortsetzung gestattet, indem sie für jeden rationalen Wert von w mit der unendlichen Summe einen unendlich grossen Wert annimmt. 1 ) Insbesondere kommt nun für n = 1, 2, 3, 4:

1=(;J2[ 1

3G g2 =

60G2 =

-24~k · 1 ~:k2 "]'

(~t[+ + 20 ~J.3. 1 ~:ku.] 2),

ga=140Ga=(~r[~6 - ~ ~k 5 · 1 ~:1k2,.] 2),

7! G4 = (~:Y[16~ 15 +

2

~ k7. 12:A~k].

In bezug auf G1 ist zu bemerken, dass die Potenzreihe aus der Smpme für G1 durch folgende Anordnung der Summation erhalten ist: Es ist bei festem p, zuerst über alle v summiert, wobei die Reihenfolge der Summanden ohne Einfluss auf das Resultat ist. In der so gewonnenen Summe ist dann über p, = - oo bis oo summiert, wobei wiederum die Anordnung der Summation nicht in Betracht kommt. Die Summe G, erfordert eine Behandlung für sich. Wir wollen 2 dieselbe bei folgender Anordnung der Summation auswerten:

+

iJ=+"I ·=+>< G}·m>=}~~~'~;., :~~.~" ct+n)w !(J•+m)wJrl 1

wo m und n beliebig gewählte ganze Zahlen sind. 3 ) 1 ) Siehe die schon zitierten Entwicklungen von \Veierstrass in den Berliner Monats berichten. 2 ) g2 und g3 sind die von Weierstrass so benannten Invarianten des elliptischen Integrals I. Gattung. -Die Grössen (2n- 1) Gn (n>l) treten in Weierstrass' Vorlesungen über elliptische Funktionen als die Entwicklungskoeffizienten von pu auf, und zwar definiert Weierstrass die Grössen durch dieselben unendlichen Doppelsummen, welche den Ausgangspunkt unserer Betrachtung bilden. [[ 3 ) Die Summation ist hier mit Ausschluss des Paares p = - n, v = -m gemeint.]]

Anm. v. E. H.

23

Modulfunktionen und Multiplikatorgleichungen.

Nach der Formel für die Partialbruchzerlegung der Rotangente ist:

'.2 cot( ((.u + n) (I)+ m). n}

p=+-'

a~n,m) = : . . lim •

Ä=OOp=-Ä

p=.l+ n

= _!!_ •

w2

',2

lim

cot (.u wn)

i.= oop=. 3

2in dbs

=e

wenn

c= 0 (mod. 3). Stillschweigend ist hierbei von den Formeln (B) S. 37 Gebrauch gemacht. Diese beiden Resultate lassen sich nun so zusammenziehen: In allen Fällen ist:

[ab] cd

4 _

2in [(a+d)·c+db(l-c')]a

- e

Funktionentheorie.

40

Ähnlich ergibt sich: [a

b)3 =e

c(a+d+1)

in

2

c $ 0 (mod. 2) ,

cd

{a}, welche als rationale Funktion von \o/.:1, g2 , g3 darstellbar ist, die in Rede

Modulfunktionen und Multiplikatorgleichungen.

49

stehenden Permutationen zulässt, ist evident. Es handelt sich darum, zu zeigen, dass 1) alle diese Permutationen verschieden sind und dass 2) jede rationale Funktion der Wurzeln Z;, welche die Permutationen zulässt, als rationale Funktion von ~1:1, g2 , g3 dargestellt werden kann. Hierbei dürfen wir uns offenbar auf homogene ganze Funktionen der zi beschränken. 1) Eine beliebige homogene Substitution auf w1 und w2 angewandt, wird die Wurzel zi in eine Wurzel zk verwandeln, letztere multipliziert mit einer gewissen nur von der Substitution abhängenden 12ten Einheitswurzel (S. 43 und 44). Indem wir von dieser 12ten Einheitswurzel vorläufig absehen, wollen wir sagen, jene Substitution bewirke eine gewisse Permutation der Wurzeln, indem Z; in z1, übergeführt wird. Nun haben wir folgenden Satz: "Zwei Substitutionen P und P' bewirken dann und nur dann dieselben Permutationen der lVurzeln zi, wenn P und P' in dem eingangs präzisierten Sinne mod. n kongruent sind." In der Tat, sollen P' und P dieselbe Permutation bewirken, so muss (S. 42) T; P = S; T; P' sein, wo S; eine Substitution der Untergruppe

ß= 0 (mod. n) ist, und T; irgend einen der schon früher so bezeichneten Repräsentanten bedeutet. Somit folgt: S;

Setzt man jetzt PP' - 1

w1

T; P P'- 1 T;- 1 •

(~ ~) , so ergibt sich, indem man

=

Repräsentanten

=

+ 12 a w

2,

dnrchlaufen lässt, dass notwendig a

=d =k

=

und b

w2 ,

a

=

T; die

0, 1, 2, ... n - 1

=c =0 (mod. n)

sein muss, wo k 2 1 (mod. n) ist. Man hat also P P' -1 = (~

~) (mod.

n)

und folglich in dem angegebenen Sinne P= P' (mod. n). Dass diese Kongruenz auch hinreichend ist, damit P und P' dieselbe Permutation bewirken, ist leicht zu verifizieren. 2) Lässt nun eine homogene Funktion der Wurzeln zi alle die COSubstitutionen S zu, welche mod. 12 der Identität kongruent sind,

Funktionentheorie.

50

mod. n aber ein vollständiges System inkongruenter Substitutionen bilden, so ist klar, dass sich diese Funktion bei beliebigen w-Substitutionen nur um eine 12. Einheitswurzel, die als Faktor hinzutritt, ändern kann. Denn jede beliebige w-Substitution 1' bewirkt ja dieselbe Permutation der Wurzeln z1 , wie diejenige unter den Substitutionen S, die ihr mod. n kongruent ist, nur dass noch zu jeder ·wurzel ein und dieselbe 12. Einheitswurzel hinzutritt. Somit ist die Funktion der Wurzeln z 1 nach den Entwicklungen in § 6 des 2. Kap. des ersten Abschnitts eine ganze Funktion von g2 und g3 multipliziert in eine positive Potenz von -\7" LI . Der eingangs aufgestellte Satz ist hiermit vollständig erwiesen. Überdies haben wir offenbar gleichzeitig den Satz gewonnen: ,,Jede rational bekannte, in den fVurzeln z 1 ganze rationale und homogene Funktion ist bi.~ auf einen Faktor ( -\o/ll)' eine ganze mtionale Funktion von g2 und g3 ." § 2.

Nähere Angaben über die Koeffizienten der Multiplikatorgleichung. Zur wirklichen numerischen Berechnung der Multiplikatorgleichung kann man zwei Methoden verwenden. Entweder man berechnet, wie Herr Kiepertl), die symmetrischen Funktionen der Wurzeln, indem man sie gleichsetzt ( -\7" LI)' multipliziert in eine ganze Funktion von g2 und g3 mit unbestimmten Koeffizienten und sodann rund die unbestimmten Koeffizienten vermöge der Reihenentwicklungen nach q bestimmt. Oder man schreibt die Gleichung mit unbestimmten Koeffizienten hin, setzt für g2 , g3 , ·\o/ LI ihre Entwicklungen nach q ein und für die Unbekannte die Entwicklung einer speziellen Wurzel, etwa:

worauf sich wiederum die Zahlenkoeffizienten durch Nullsetzen der Koeffizienten gleich hoher Potenzen von q ergeben. Während die erste Methode zur praktischen Berechnung der Gleichungen den Vorzug verdient, erlaubt die letztere zunächst den Schluss: Die Multiplilcatcn-gleichtmg enthält nur rationale Zahlenkoeffizienten 2 ). Denn alle in Betracht kommenden Reihenentwieklungen haben rationale Zahlenkoeffizienten. 1) loc. cit. S. 209.

Ob diese Koeffizienten in allen Fällen (wie Mathem. Annalen, Bd. 15 (1878/79), S. 87, behauptet wird) [Ges. Abhandlungen v. F. Klein, Bd. III, S. 139) gan::e Zahlen sind, konnte ich bislang nicht entscheiden. 2)

51

Modulfunktionen und Multiplikatorgleichungen.

Sei nun zN

+A

1

zN -1

+ ... + Ai . zN- + ... AN = i

unsere Gleichung, wobei

N = n

0

(1 + ~) (1 + ~) ....

Es set

A; = (\o/Ll)'i Gk;(g2,ga), wo Gk; (g 2, g3) eine ganze rationale Funktion von g2 und g3 bedeutet, die als Funktion von w 1 ,w2 homogen vom - kiten Grade ist. Da ~/ Ll ( :·, w2) , sowie \o/Ll(w1 , w2), in bezug auf w 1 , w 2 von der Dimension - 1 ist, so folgt, indem alle Glieder der Gleichung dieselbe Dimension haben müssen: (1) 1';+k;=i. Wir wollen nun in unsere Gleichung für die Unbekannte z die Wurzel z(n, 1, 0) eingetragen denken. Schreibt man dann und (!)2 statt w 2 , (()1 + (!)2 statt w 1 , so geht dabei über: z(n,1,0)

nin 6 i .1t

m e

·.z(n,1,0), ,..-------

m e6-\7'Ll, m g2, g2 m Ya Ya· Da die Gleichung nach wie vor richtig bleiben muss, so müssen die bei den einzelnen Gliedern vortretenden 12. Einheitswurzeln untereinander gleich sein; also haben wir: \o/Ll

r;

oder (2)

+ (N-i) · n =N · n r;

Ausserdem kann

=i ·n

(mod. 12),

tmod. 12).

(3) vorausgesetzt werden, da anderenfalls die ganze Potenz von .d , welche hinzutritt, wegen Ll = g23- 27 Ya2, zur ganzen Funktion Gk; (g2 , g3) genommen werden kann. Aus (1) und (2) folgt noch: (4)

k;

=i(1- n)

(mod. 12).

Da r; wegen (1) nie grösser als i werden kann, so schliessen wir: Ist der kleinste positive Rest von i · n (mod. 12) grösser als i, so ist der Koeffizient von

Funktionentheorie.

52

tn der Mu,ltiplikatorgleichung identisch Null. Ist C · g2a • g/ irgend ein Glied einer ganzen Funktion von !12 und g3 , die als Funktion von w1 , w2 die Dimension -- k hat, so ist offenbar 4a-t-6ß=k.

Diese Gleichup.g kann für einen durch 4 teilbaren Wert von k nur für gerade Werte von p, und für ein durch 3 teilbares k nur für durch 3 teilbare Werte von a befriedigt werden. Diese Bemerkung in Verbindung mit der Kongruenz (4) begründet den Satz: "bt n 1 (mod. 12), so treten in den Koeffizienten unserer Gleichung g2 und g3 nur in solchen Potenzen auf, deren Exponenten durch 3 bezw. 2 teilbar sind; für n 5 (mod. 12) tritt g3 nur in geraden Potenzen, für n 7 (mod. 12) tritt g2 nur in Potenzen mit durch 3 teilbaren Exponenten auf." Oder anders ausgedrückt:

=

=

=

.

"Der Quottent

-\o/:1{0::, \o/L1 (w w2) w 2)

1,

genügt einer Gleichung

Nten

Grades.

Die Koeffizienten dieser Gleichung sind mtionale ganze Funktionen von J für n 1 (mod. 12), von {/J für n 5 (mod. 12), 1.1on VJ-=1 für J -1 für n 11 n 7 (mod. 12), und schliesslich von {/J und (mod. 12)." 1) Auch für nur durch eine Potenz von 2 (nicht aber durch 3) oder nur durch eine Potenz von 3 (nicht aber durch 2) teilbare Transformationsgrade finden solchE: Sätze über die Gestalt der Koeffizienten statt. Für n = 2" · m(m relativ prim zu 6) enthält die betr. Gleichung nur J oder auch {/J, je nachdem n + 1 oder - 1 (mod. 3) ist, und J -1 für n = SV· m (m relativ prim zu 6) tritt nur J oder auch auf, je nachdem n = + 1 oder -1 (mod. 4) ist.

=

=

=

=

=

V

V

(Vgl. wegen dieses Yaragraphen Mathem. Annalen, Bd. 15, S. 87 [Ges. Abhandlungen v. F. Klein, Bd. III, S. 139] und die mehrfach zitierte Arbeit von Kiepert.) 1 ) Dass die {IJ und v' J - 1 für n $ 1 (mod. 12) nicht in solchen Potenzen überall auftreten, dass die Koeffizienten rational in J werden, folgt aus dem Verhalten von

\o/:1(-';;'-. w2) , wenn man statt w 121 V L1 (rot, w2 )

1,

w1

+ n w2 setzt.

Modulfunktionen und Multiplikatorgleichungen.

53

§ 3.

Das letzte Glied der Multiplikatorgleichung. Bilden wir das letzte Glied unserer Gleichung (für beliebigen zu 12 primen Transformationsgrad), also das Produkt P aller Wurzeln, so kommt: .L'a -1. '!.:_'Pj!) .E{a. (1- d') .L'b) II 0 (e) 2 N p = ( 1) 2 e •e 12 • a e

w:) . (-

.L'a_.d·(-P)·~·VP, wenn P=3(mod.4).

Demnach ist P(1-s,D) =~8 ·(:;y-··v8P·cos·~;·P(s,D) für D und F (1- s, D) = ~s ·VSP · sin F(s, D) für D

s; ·

·{:;y-s

>0

< 0.

Hiermit ist der Satz IV S. 74 vollkommen erwiesen: Für positives D ist F(l-8 D) = rs.(2.n)l-•.vr;r).coss.n ·F(8 D) '

n

xD

=(xD)s-'1•. n

2

r(i)

rC~

")

'

8' D)·'

·F(

für negatives D dagegen

F(l

-

S

'

)1-s •_. =(-xD)•-'1.. r(i+~)

D) = -rs •(-2nn

r

n

wobei und

x x

. sn V~--D - X • Sill-- •

-~D

(~ 2

+ ..!._) 2

2

F( 8 D)

·F(s D) '

'

'

= 1, wenn D = 1 (mod. 4), =

4 in allen übrigen Fällen.

In betreff des analytischen Charakters der Funktionen F (s, D) folgt aus den Gleichungen F(8,D) =

~(~)·f(s,AJ P) für D-=1 (mod.4)

(A positiv, P(s,D)

P und relativ prim zu P),

=~(~)·f(8,AJ4P) für D-=3 (mod.4)

..

(A positiv, F(s,D)


-1)A al I· '- m±1 m 1

I

m.(l)

2

m.~2)

±1

m 1

m~3>

m• 1·• • • • ·• m ~ = m ~ •• • • • •• c2n .,(•) •• • • • •• c" ~ •• &2 2n tattfinden, und dass

p

=

J:ß Ea (baß+ iaaß) (;a + i;~) (;p-i;~) 1

1

3tets positiv ist für reelle Werte der

;1, ;2, ... ; ..,

;~.

;;, ...

;~.

wenn diese Grössen nicht sämtlich den Wert Null haben. Bedeuten nun

Pn• P21• P12•

P22'

Pnv · • •

Pn2•

P12n• P22n• • • • Pn2n

2n linear unabhängige Perioden der Funktion, so finden folgende Glei;)hungen statt: -

_

2n (.hm+l(z)-h(z,m) durch f(z) teilbare Funktionen sind. Unter A ist dabei der Koeffizient der höchsten Potenz in f (z) verstanden. Führt man an Stelle von gm+l (z) und hm+l (z) die Funktionen g(z, m) und h(z, m) in die Gleichung (4) ein, so ergibt sich:

j[An+~~(z)r {g(z) y + h(z)y'} dz = f(z) {G(z, m)y + H(z, m) y'} '

+g(z,m)y+h(z,m)y',

wobei G (z, m) und H (z, m) ganze Funktionen von z sind. Der vollständige Inhalt der vorstehenden Formel lässt sich folgendermassen aussprechen. Satz 1 : "Man verstehe unter y ein beliebiges Integral der Differentialgleichung azy" = by' + y;

ferner sei f (z) eine ganze Funktion von z vom Grade n + 1 und A der Koeffizient von zn+l in f(z). Dann bestehen, fiir Ä = 0, 1, 2, ... , n, die folgenden identischen Relationen:

Arithmetische Eigenschaften gewisser transzendenter Funktionen.

J

123

[An +~~(z)]m 1-ydz = f(z) {G.- (z, m) · y + H;. (z, m) y'}

(5) /

+ Y.-(z,m)y + h.-(z,m)y',

[An+2/(z)]m m!

,
= 0

i

i

und also hängt F (w, w') auch rational und ganz von den Koordinaten X; y des Punktes w ab. Hieraus ergibt sich nun folgender Satz: "Enthält die Zerfällung der ungeraden Zahl n in Primfaktoren irgendeine Primzahl von der Form 4k + 3 zu einem ungeraden Exponenten erhoben, so lässt sich die Modularkorrespondenz des n ten Transformationsgrades durch eine einzige Gleichung

R (x y, x' y')

=

0,

deren linke Seite eine ganze rationale Funktion von x, y, x', y' ist, vollständig darstellen. Und zwar ist diese Gleichung folgendermassen zu verstehen: Bedeuten x, y (bzw. x' y') die Koordinaten eines beliebigen Punktes P (bzw. P') und werden dann x', y' (bzw. x, y) als laufende Koordinaten betrachtet, so stellt die Gleichung eine Kurve von der Ordnung !W(n) vor. Diese Kurve schneidet die C4 in denjenigen w(n) Punkten, welche dem Punkte P (bzw. P') vermöge der Modularkorrespondenz entsprechen." Gehört die Zahl n nicht zu der Klasse von Zahlen, auf welche sich der vorstehende Satz bezieht, so ist sie jedenfalls von der Form 4k + 1. Wir unterscheiden dann die beiden Fälle n 1 und n 5 (mod. 8). Im ersteren Falle bestehen die Gleichungen

=

=

i=!ll(n}

~ ja(Ri(w))-D(n)·J.a(w)=O

(a=l,2,3).

i=l

Nun ergibt sich durch ähnliche Betrachtungen, wie sie soeben angestellt wurden, dass die Funktion 1)

"rationale" beigefügt nach Handexemplar von Hurwitz.

145

Zur Theorie der Modulargleichungen. i= W(n)

II

F(w, w')

i=l

D[f (w')-j (R.(w))-c a

a

=

t

a

J.D[ja (w')-j a (w)-ca ]-!2(n)

i-W(n)

D[f (w')- c)!Zi(n)-!2(n) a

a

IJ

i= 1

D[i [R · (w)J a

t

+ ca ]D[fa (w) + ca]-Q(n)

rational von den Koordinaten x, y und x', y' der Punkte w und w' abhängt. Daher folgt: "Ist der Transformationsgrad n von der Form 8k + 1, so existiert eine mtionale Funktion R (x y, x' y'), von folgender Beschaffenheit: Bezeichnen x, y (bzw. x', y') die Koordinaten eines bestimmten P1mktes P (bzw. P') der 0 4 , so verschwindet R, als Funktion von x', y' (bzw. x, y) betrachtet, erstens (D(n) -if>(n))fach im Punkte ioo, zweitens-D(n)fach im Punkte P (bzw. P') und endlich je einfach in denjenigen Ptmkten, welche dem Punkte P (bzw. P') vermöge der Modularlwn·espondenz entsprechen. Hiermit sind alle Null- und Unendlichkeilspunkte von R angegeben.'' In der Aussage dieses Satzes ist unter einer k-fachen Nullstelle eine - k-fache Unendlichkeitsstelle zu verstehen, falls k negativ ist. Für den letzten Fall, welcher zu betrachten übrig bleibt, nämlich n 5 (mod. 8), benutzen wir die Relationen

=

Jl(w) - J 2 (w) - Ja(w)

= = =

J&ß)-Jl(-V, J 2 (w)- J2 (-~-), Ja(w)- Ja(-1),

(- -3w-4) 4w + 5 · W =---

Man erkennt aus denselben die Richtigkeit der folgenden Gleichungen: i

= r'

f(b~2 >,

f(b(2r+l) U 1

'

2' • · •

1 b( 2) '

U )(b(2r+1))r n 1 '

1

'

1

'

b(2r+1) 1

welche aus den vorhergehenden entstehen, wenn man unbestimmte Argument u 1 ersetzt. Es ergibt sich nunmehr wieder f(uu

... u~, (b1(2)·)r ' •••

1, u.t>

' •••

w>

(b(2r+1))r 1

'

durch das

U2, • • • Un)

als rationale Funktion von wenn nicht sämtliche Determinanten 2rten welche aus den Kolonnen u2, · · • Un

) (b1(2))r '

Grades verschwinden, 1 b( 2) '

1 '

...

(b(2))r 1 '

+ 1) U ., ) f (b(2r + 1) U U ) (b(2r + l))r 1 b(2r + 1) (b(2r + l))r t.(b(2r 1 ' 2' • • • wn ' · • • 1 ' 2' • · • n 1 ' ' 1 ' · •• 1 '

gebildet werden können. In letzterem Falle ersetzt man wieder eine der Grössen b~i) durch das unbestimmte Argument u1 usw. Somit ist ersichtlich, dass in allen Fällen f (u 1 , u 2 , ••• un) als rationale Funktion ihrer Argumente dargestellt werden kann, was zu beweisen war. Göttingen, den 30. Oktober 1882.

IX.

Über einige besondere homogene lineare Differentialgleichungen. (Mathematische Annalen, Bd. 26, 1886, S. 117-126.)

1.

Eine gelegentlich von Herrn Klein 1) berührte Aufgabe, welche die Herstellung einer gewissen mit der Transformation siebenter Ordnung der elliptischen Funktionen im Zusammenhang stehenden . Differentialgleichung verlangt, hat neuerdings in einer Note des Herrn Halphen 2) ihre Erledigung gefunden. Im folgenden möchte ich eine zweite Lösung desselben Problemes entwickeln, welche die verlangte Differentialgleichung in expliziter Form liefert und unmittelbar die Verallgemeinerung auf einen beliebigen Transformationsgrad gestattet. Unter Beibehaltung der von Herrn Klein gebrauchten Bezeichnungen lässt sich die in Rede stehende Aufgabe - ganz abgesehen von ihrem Zusammenhange mit dem Transformationsprobleme - folgendermassen präzisieren. Es seien J.:p:v

Verhältnisgrössen, zwischen denen die Gleichung (1)

besteht. Ferner werde es (2) J = - 123 ·17 7 gesetzt, wo 17 5J.2p2v2-(Ä.5v + v5p

=

+ p5J.)

die (mit einem passenden Zahlenfaktor versehene) Hesse'sche Determinante von F, 1 ) Über die Transformation siebenter Ordnung der elliptischen Funktionen. Mathem. Annalen, Bd. 14 (1878/79), S. 455; [Ges. Abhandlungen, Bd. III, S. 118]. 2 ) Sur une equation differentielle du troisieme ordre. Mathem. Annalen, Bd. 24 (1884), S. 461-464; [Oeuvres, vol. IV, p. 112-115].

Funktionentheorie.

154

C

= A_14

+ fl-14 + v14 +

017 017 017 . mit . d en D"ff . I quot1enten . d 1e 1 erentla --;r.r-, rT;-, ();,gerän d erte H esse ' sc lw Determinante bedeutet. Nun weiss man, dass die 168 Wertsysteme

A:fl:V,

welche vermöge der Gleichungen (1) und (2) zu einem gegebenen Werte von J gehören, durch geeignete lineare Transformationen aus einem dieser Wertsysteme hervorgehen 1). Es muss folglich möglich sein eine homogene lineare Differentialgleichung Ster Ordnung mit J als unabhängiger Veränderlichen herzustellen, welche rationale Koeffizienten besitzt und von welcher drei passend gewählte Partikularlösungen sich wie A.:fl:v verhalten. Die Aufgabe ist, eine solche Differentialgleichung zu bilden. Zu dem Ende betrachte ich drei linear-unabhängige Integra!e erster Gattung der Kurve Asfl

Dieselben mögen mit

+ fls'V + vSA. =

0.

J1, J2, Ja bezeichnet und so gewählt werden, dass

ist. Durchläuft J in seiner Ebene irgendeinen geschlossenen Weg, so erfahren die Verhältnisse und also auch die Grössen (4)

Yt

=

d~

dJ , Y2

=

d~

dJ , Ys

=

d~

dJ

eine lineare Substitution. Da diese Grössen überdies algebraische Funktionen von J sind, deren Verzweigungs- und Unstetigkeitspunkte bei J = oo, J = 0, J = 1 liegen, so sind sie die Lösungen einer Differentialgleichung von folgender Form 2) : 1) Vgl. Klein, a. a. 0.

Fuchs, Zur Theorie der linearen Differentialgleichungen mit veränderlichen Koeffizienten. Crelles Journal, Bd. 66 (1866), S. 139-148 und Bd. 68 (1868), S. 354-385. - Man vergleiche auch die folgenden, denselben Gegenstand betreffenden Abhandlungen: Thome, Zur Theorie der linearen Differentialgleichungen, Crelles Journal, Bd. 74 (1872), S. 193-217, insbesondere S. 200, und Frobenius, Über die Integration der linearen Differentialgleichungen durch Reihen, Crelles Journal, Bd. 76 (1873), S. 214-235. 2)

155

Besondere homogene lineare Differentialgleichungen. d3 y

(5) dJ3

aJ

+b

d2 y dJ2

+ J(J-1)

+

a'J 2

+ b'J + c' dy

J2(J-1)2

dJ

+

a"J 3 + b"J 2 +c"J + d" Jd(J-1)"

y

=

0,

in welcher nunmehr die Koeffizienten a, b, . . . zu bestimmen sind. Aus der zitierten Abhandlung des Herrn Klein geht hervor, dass die Riemann'sche Fläche, welche die Verzweigung von y 1 , y 2 , y3 in bezug auf J darstellt, bei

J = oo,

J = 0,

J = 1

so verzweigt ist, dass bezüglich je 7, je 3, Je 2 Blätter im Zyklus zusammenhängen. Die Anfangsexponenten in den Entwicklungen der Fundamentalintegrale der Gleichung (5), werden daher die Werte ~--"--7 I

1 ~+1

_6__1 il

'

'

7

_&_1 3

y~ -1, n__1 2

_(2

+1

'

ßa 3

-1 für J=O,

'

Ya 2

-1 für J=1,

7

'

für J= oo,

besitzen. Dabei sind die ganzen Zahlen

notwendig positiv, weil f y dJ eine überallendliche Funktion von J vorstellt. Ferner kann offenbar

{6) angenommen werden. Nun ist nach einem allgemeinen Satze 1) notwendig: a1 + a2 + aa + ßt + ßz + ßs + Y1 + Y2 + Ya = 6 . 7

3

2

Es folgt hieraus, dass at

= 4,

a2

= 2,

aa

= 1;

ßt

= 3,

ß2

= 2, ßa = 1;

Yt

= 3,

Y2

= 2, Ya = 1

ist, denn die letzte Gleichung hat keine andere mit den Bedingungen (6) verträgliche Auflösung. Die nach Herrn Fuchs sogenannten determinierenden Fundamentalgleichungen, welche für die Gleichung (5) lauten: 1) Fuchs, a. a. 0.

Funktionentheorie.

156

= 0 r(r + l)(r + 2) -ar(1· + 1) + a'·r-a" für J = oo, = 0 r(r-1)(r-2) -br(r-1) + c'r-d" für J = 0, r(r-1) (r-2) + (a + b)r(r-1) + (a' + b' + c')r + (a" + b" + c" + d") = 0 für J = 1, müssen also bezüglich die Wurzeln 11

9

8

1

2

1

1

7• 7' 7; O, - 3 , - 3; 2• O, -:i" besitzen. Daraus folgt: 1 -L , 71a , a -- 7 , a ,-- 10 + 72 ,. a " -- 2 + 72 + 72

(7)

b = - 4, c' = 2 + : , d" = 0, a' + b' + c' =

! , a" + b" + c" + d" = 0.

Eine weitere Bestimmungsgleichung für die Koeffizienten der Differentialgleichung (5) ergibt sich auf folgende Weise: Bekanntlich können in den zu einem singulären Punkte gehörigen Fundamentalintegralen einer Differentialgleichung Logarithmen auftreten, wenn unter den \Vurzeln der zugehörigen determinierenden Fundamentalgleichung solche vorhanden sind, welche sich um ganze Zahlen unterscheiden. Bei der hier betrachteten Differentialgleichung tritt nur für J = 1 der genannte Fall ein, indem die Differenz der und - ~ gleich 1 ist. beiden Wurzeln Die Bedingung dafür, dass trotzdem kein Logarithmus auftritt, drückt sich dahin aus, dass der Koeffizient von J - 1 in der Entwicklung von

!

r(r-1) (1·-2)

+ r(r -1) aJ/ b + r· a',J2 +}:J + c' + a"Ja + b"J;d+ c".J + d"

nach steigenden Potenzen von J -1, für r Es muss also

=-

~ verschwindetl).

! b- ~ b' -c' + b" + 2c" +3d"= 0

sein. Die Gleichungen (7) in Verbindung mit der letzten Gleichung reichen zur Bestimmung der Koeffizienten a, b, . . . hin. Die Ausrechnung ergibt, dass unsere Differentialgleichung definitiv folgendermassen lautet: 1 ) Vgl. Fuchs, Crelles Journal, Bd. 68 (1868), S. 375-378. Crelles Journal, Bd. 76 (1873), S. 224-226.

Frobenius,

Besondere homogene lineare Differentialgleichungen.

157

2. Der Zusammenhang der soeben entwickelten Differentialgleichung mit der Gleichung des Herrn Halphen ergibt sich auf folgende Weise. Es mögen, wie üblich, g2 , g3 , LI die Invarianten des elliptischen Integrals von den Perioden w1 , w2 bedeuten, und es besitze

eine positive zweite Ordinate. Wird nunwalsunabhängige Veränderliche eingeführt, indem man setzt, so darf

). = LI · z1 ( w 1 , w2), f-l = LI · z2 ( w1 , w2),

'V

= LI · z4 ( w1 , w2)

angenommen werden, wobei a'

za(w 1 , w2) = (-l)a+l ~· ( {::) 7 • &1 (awn, q7 )(q = ei"'"') ist!). Bei dieser Wahl der ). , f-l, v wird die Hesse' sehe Determinante V eine homogene Funktion - 12ter Dimension von w1 , w2 , welche bei allen linearen ganzzahligen Transformationen der Determinante 1 ungeändert bleibt. Da V für w = i oo verschwindet, so folgt 2) V=c·LI.

In ähnlicher Weise ergibt sich

C K

= =

c'. Y2. Ll2, c" . Ya • Ll3'

wo K wie bei Herrn Klein die Funktionaldeterminante von f, V, C, bedeutet und wo c, c', c" numerische Koeffizienten bezeichnen. Es stellen nun ferner, wie ich in der Abhandlung: Über Relationen zwischen Klassenanzahlen binärer quadratischer Formen von negativer 1 ) Klein, Über gewisse Teilwerte der 0-Funktion, Mathem. Annalen, Bd. 17 (1881), S. 569, und Zur Theorie der elliptischen Funktionen nter Stufe, Berichte der K. Sächs. Gesellschaft der Wissenschaften vom 14. November 1884, S. 61; [Ges"' Abhandlungen, Bd. III, S. 190 und S. 198-254, insbesondere Fussnote 7 ), S. 200]. 2 ) Siehe meine Abhandlung über elliptische Modulfunktionen. Mathem. Annalen, Bd. 18 (1882), S. 555; [diese Werke, Bd. I, S. 29].

158

Funktionentheorie.

Determinante (Mathem. Annalen Bd. 25 (1885), S. 183-185 oder [diese Werke, Bd. II, XLVI]) gezeigt habe, die Integrale

J

LI. za(wl, w2) ·

~~

überall endliche Integrale der Kurve

=;..ap, + p,av + v3).

F

=

0

vor, und es werden also die nach J genommenen Ableitungen derselben1) 1

dw

i:n:

Ll2za

Wt

dJ

9

Ys Ys

LI · z (w1 w2) · - =- · - 2 2 '

a

partikuläre Integrale unserer Differentialgleichung (8). Die von Herrn Halphen aufgestellte Differentialgleichung hat dagegen die Lösungen

(~. p- ·LI za = const. ( ~ Y·LI za, 1

1

welche sich von denen der Gleichung (8) durch den Faktor 1

( L1 )3

L1

const.-2-· Ys Ys

Ys

2

=

-3

const. [J(J -1)]

unterscheiden. Man geht also von der Differentialgleichung (8) durch die Substitution 2

y

=

[J(J -1)f 3 . y'

zu der Gleichung des Herrn Halphen über, wo y' die abhängige Variable der Halphen'schen Gleichung bezeichnet. Es sei noch bemerkt, dass Herr Brioschi (in den Annali di Matematica, ser. Il, vol. 12 (1883/84), p. 65) [opere matematiche, vol. II, p. 311] auf rechnerischem Wege diejenige Differentialgleichung aufgestellt hat, welcher die Grösse

~ genügt. Offenbar wird man von unserer Gleichung aus durch die Substitution 1)

Es ist hier die Relation .!!.!__ dw

=

_i_ in

rot2.

g,'u. A

herangezogen, welche ich Bd. 18 (1881) der Mathem. Annalen, S. 560 [Diese Werke, Bd. I, S. 34] abgeleitet habe. Man beachte nur, dass dort ro1 und ro2 zu vertauschen ist, wenn man zu der hier gewählten Bezeichnung übergehen will.

159

Besondere homogene lineare Differentialgleichungen.

L1 2 z

v

6 ,15 -.

y=~·--·y=(J-1) Yz Ys za

_ 1_

2.J

_ _2

s.-y

zu der Gleichung des Hrn. Brioschi gelangen.

3. Es ist soeben davon Gebrauch gemacht, dass die Integrale

J1, J2, Ja identisch sind mit den von mir (Mathem. Annalen, Bd. 25 (1885) S. 183192 oder [diese Werke, Bd. II, XLVI]) betrachteten Integralen erster Gattung 7ter Stufe 1). An dieser Stelle habe ich auch gezeigt, dass sich die Integrale in Potenzreihen von q = einw von sehr einfachem Bildungsgesetz entwickeln lassen. Zieht man diese Entwicklungen heran, so

,

kann man, da die Differentialgleichung (8) die Integrale ~J ~~'!_, ~~s besitzt, folgenden Satz aussprechen: "Die homogene lineare Differentialgleichung vierter Ordnung

+ (7J-4)J(J-1) ::;. + [772 (J2-J)- 290 (J-1) +! J] :;~~ + [72.11 (J-1) + ~ + ~] dy_ = 0 7 8 63 dJ

J2(J-1)2· :~~

3

lässt sich in folgender Weise integrieren: .At!an set.ze

so stellt der Ausdruck 1 ) Beiläufig möge hier das Resultat einer nach anderer Richtung gehenden Untersuchung Platz finden: Es lassen sich drei linear unabhängige (Normal-)Integrale 7trr Stufe U 1 , U 2 , U 3 herstellen, deren simultane Periodensysteme sich aus den folgenden zusammensetzen: U1:1,0,0, T, T-1, -Tl 1 U2:0,1,0.T-1, -T, Tf,T= +• 7 • 4 L' 3 : 0, 0, 1, - T, T, T- 1 Es ist hieraus ersichtlich, dass jedes dieser Integrale ein elliptisches ist. Das Kriterium, welches Frau Kowalewsky für die Reduktion eines Abel'schcn Integrales vom Geschlechte 3 auf ein elliptisches gegeben hat (Acta mathematica, Bd. 4 (1884), S. 406), findet hier im Hinblick auf die von Herrn Klein entwickelten Eigenschaften der Kurve ).31' + f.tav + va). = 0 seine Bestätigung.

·-v-

160

Funktionentheorie.

das allgeme1:ne Integral der Differentialgleichung vor, wo

ist, die Summe erstJ·eckt über alle positiven Zahlen m, welche kongruent a (mod. 7) sind. Dabei bedeutet tp(m) die Summe

genommen über alle Lösungen der Gleichung

4m

=

r2

+ 7s

2

in positiven odm· negativen ganzen Zahlen 1·, s." Man hat hier also ein neues vollständig durchgeführtes Beispiel für jene Integration der Differentialgleichungen durch eindeutige Funktionen, auf welche Herr Poincare in seinen Abhandlungen über Funktionen mit linearen Transformationen in sich verschiedentlich hingewiesen hat.

4. Schliesslich möchte ich noch einige Bemerkungen über die Verallgemeinerung der vorstehenden Entwicklungen auf einen beliebigen Transformationsgrad (beliebige "Stufe") hinzufügen. Die Integrale erster Gattung nter Stufe werden am zweckmässigsten definiert als solche eindeutige überall endliche Funktionen F ( w) von w, welche die in der Gleichung F

(~:! ~) =

F(w)

+ const.

ausgesprochene Eigenschaft besitzen. Hier bedeuten a, Zahlen, welche nur den Bedingungen

ß, y,

b ganze

ab-ßy = 1, a: ß: r: b = 1: 0: 0: 1 (mod. n)

unterworfen sind. Es ergibt sich, dass alle diese Funktionen als lineare Kombinationen von p derselben darstellbar sind, wo p eine leicht aus n zu berechnende Zahl bedeutet. Denn jene Funktionen sind offenbar nichts anderes, als die Abel'schen Integrale erster Gattung, welche zu der Galois'schen Resolvente der Modulargleichung des nten Transformationsgrades gehören. Wie im Falle n = 7, welcher oben ausführlich behandelt wurde, so gilt auch im allgemeinen der Satz, dass die nach der absoluten In-

Besondere homogene lineare Differentialgleichungen.

161

variante J genommenen Ableitungen der Integrale nter Stufe die Lösungen einer homogenen linearen Differentialgleichung pter Ordnung mit J als unabhängiger Veränderlichen und den singulären Punkten J = 0, 1, oo sind. Diese Differentialgleichung gehört selbstverständlich in die von Herrn Fuchs aufgestellte Klasse. Die Bildung der Gleichung kann in den Fällen n = 6 und n = 8 auf einem ähnlichen Wege ausgeführt werden, wie er oben für n = 7 befolgt ist. Es ergibt sich für n = 6 der Wert p = 1 und die zugehörige Differentialgleichung lautet: J(J-1) ~~

+ 7J6-4·y=0.

Für n = 8 wird p = 3. Indem ich hier die in meiner Note: "Zur Theorie der Modulargleichungen" ( Göttinger Nachrichten, 21. November 1883)1) [diese Werke, Bd. I, S. 138-146] aufgestellten Entwicklungen der Integrale 8ter Stufe heranziehe, erhalte ich den Satz: "Die Differentialgleichung:

+ (7J-4)J(J-1) ~;; (J2 - J) - 20 (J- 1) + ~ J] d y + [657 dJ 4 9 64 9, 5,13 (J -1) + ~ _ ~] d Y = 0 2 8 dJ 9 28 T

J2(J-1)2 ~~

2

2

I

[

kann folgendermassen integriert werden: Man setze

so stellt der Ausdruck c1 i(q)

+ c2j(q) + c3 [i(q 2) -j(q2)] + c4

das allgemeine Integral der Differentialgleichung vor, wo m """" .Q(m) 4 '( ) '( ) ~q,Jq=..:::;_;-mq m

ist, die Summe erstreckt übe1· alle positiven Zahlen m, welche kongruent 1, bezüglich kongruent 5 (mod. 8) sind. Dabei bedeutet .Q(m) die Summe

genommen über alle Lösungen der Gleichung 1) Die Bezeichnung ist hier etwas modifiziert. 11

162

Funktionentheorie.

m

=

(± 2p,)2

+ v2

in ganzen nicht negativen Zahlen p,, v." Was endlich den Fall einer höheren Stufe n > 8 angeht, auf welchen ich demnächst zurückkommen möchte, so sei hier nur bemerkt, dass die zugehörige Differentialgleichung pter Ordnung im Sinne des Herrn Frobenius 1) mehrfach reduktibel wird. So gelingt es für n = 11 zum Beispiel die p = 26 linear unabhängigen Integrale so zu wählen und in drei Gruppen von 11, 10, 5 Integralen bzw. zu zerlegen, dass die nach J genommenen Differentialquotienten der Integrale einer Gruppe Lösungen je einer homogenen linearen Differentialgleichung ttter, toter, 5ter Ordnung bzw. werden, wobei die Koeffizienten dieser Gleichungen rationale Funktionen der unabhängigen Variabeln J sind. Ein ähnlicher Satz scheint für eine beliebige Stufe Geltung zu haben. 1 ) Über den Begriff der Irreduktibilität in der Theorie der linearen Differentialgleichungen, Crelles Journal, Bd. 76 (1873), S. 236-270.

Königsberg i. Pr., Januar 1885.

X. Über algebraische Korrespondenzen und das verallgemeinerte Korrespondenzprinzip. (Berichte von der k. sächs. Gesellschaft der Wissenschaften, mathematisch-physische Klasse, 1886, 8.10-38; wiederabgedruckt Mathematische Annalen, Bd. 28, 1887, S. 561-585.)

Bekanntlich ist das Chasles'sche Korrespondenzprinzip, welches nur für das Entsprechen von Punkten auf einer Kurve vom Geschlechte Null Gültigkeit besitzt, von Herrn Cayley auf Kurven von beliebigem Geschlechte erweitert worden, eine Erweiterung, welche zuerst von Herrn Brill bewiesen wurde 1). Dieses verallgemeinerte Korrespondenzprinzip lautet folgendermassen: "Zwischen den Koordinaten .x1 , x 2 , x3 , y 1 , y 2 , y 3 zweier Punkte x und y einer algebraischen Kurve 0 vom Geschlechte p sei eine algebraische Gleichung lJI (xl, X2,

xal Y1•

Y2• Ys)

=

0

gegeben. Vermöge dieser Gleichung werden jedem Punkte x der Kurve eine bestimmte Anza.hl a mit x beweglicher und im allgemeinen von x verschiedener Punkte y und umgekehrt jedem Punkte y der Kurve eine bestimmte Anzahl ß mit y beweglicher und im allgemeinen von y verschiedener Punkte x entsprechen. Dann kommt es immer 0

=

a

+ ß + 2py

mal vor, dass zwei entsprechende Punkte x, y zusammenfallen. Dabei bedeutet y eine positive Zahl, welche angibt, wie viele von den Schnittpunkten der Kurve lf'(x1 , x2 , x3 1 Yv y 2 , y3) = 0 oder auch der Kurve 1 ) Cayley, Note sur Ia correspondance de deux points sur une courbe, Comptes rendus, vol. 62 (1866), p. 586-590, und Transactions of the R. Soc. London, vol. 158 (1868), p. 145. Brill, Über Entsprechen von Punktsystemen auf einer Kurve, Mathem. Annalen, Bd. 6 (1873), S. 33-65, und Über die Korrespondenzformel, Mathem. Annalen, Bd. 7 (1874), S. 607-622. - Man vergl. auch die "Vorlesungen über Geometrie" von Clebsch, herausgegeben von Lindemann (Leipzig, 1876-91), insbesondere Bd. I, 1. Auflage, S. 441ff., und Bd. II, S. 720ff.

164

Funktionentheorie.

P(y 1 , y 2 , y3 1 x1 , x 2 , x3) = 0 mit der Kurve C in den Punkt y hineinfallen, wenn unter y 1 , y 2 , y 3 die Koordinaten irgend eines beliebigen Punktes y der Kurve C verstanden werden." Die Zahl y heisst (nach Herrn Brill) die "Wertigkeit" des Punktes y. Es ist eine wesentliche Voraussetzung dieses Satzes, dass die algebraische Korrespondenz auf der Kurve C in bestimmter 'Veise, nämlich durch eine Gleichung P = 0, definiert werden könne. Nun zeigen aber Beispiele, dass Korrespondenzen existieren, für welche diese Voraussetzung nicht zutrifft. Ich habe mir deshalb die Aufgabe gestellt, alle überhaupt möglichen algebraischen Korrespondenzen zu bestimmen und die Zahl ihrer Koinzidenzen festzustellen. Bei der Behandlung dieser Aufgabe erschien es ratsam, an Stelle der algebraischen Kurve eine beliebige Riemann'sche Fläche als Träger der Korrespondenz anzunehmen. Die für die Riemann'sche Fläche gewonnenen Resultate lassen sich dann nicht nur auf ebene algebraische Kurven, sondern überhaupt auf alle einstufigen geometrischen Gebilde, welche durch eine beliebige Anzahl algebraischer Gleichungen definierbar sind, ohne weiteres übertragen. Jedes solche Gebilde kann ja als eine besondere Erscheinungsform einer Riemannschen Fläche aufgefasst werden. X=

§ 1. Relationen zwischen den Integralen erster Gattung und deren Periodizitätsmoduln. Um eine möglichst geringe Zahl von Voraussetzungen zu machen, möge die Aufgabe, um welche es sich handelt, folgendermassen formuliert werden: "Zwischen zwei Stellen x und y einer Riemann'schen Fläche vom Geschlechte p findet eine analytische Abhängigkeit statt der Art, dass jeder Stelle x der Fläche eine gewisse Zahl a mit x beweglicher und im allgemeinen von x verschiedener Lagen y', y", ... ya der Stelle y korrespondieren. Es soll diese Korrespondenz zwischen den Stellen x und y analytisch definiert und die Zahl ihrer Koinzidenzen bestimmt werden.'' Es ergibt sich zunächst, dass notwendig jeder Lage der Stelle y nur eine endliche Anzahl ß von Lagen x', x", ... xfJ der Stelle x korrespondiern können. Der Beweis, welcher auf bekannten Prinzipien beruht, möge nur kurz angedeutet werden. Angenommen, es könnten einer Stelle y unendlich viele Stellen x', x", ... entsprechen, so würde mindestens eine Stelle a auf der Riemann'schen Fläche vorhanden sein,

Über das Korrespondenzprinzip.

165

in deren noch so klein angenommenen Umgebung unendlich viele der Stelle y korrespondierende Stellen liegen. Diese Stelle a würde eine wesentlich singuläre im Gebiete der variabeln Stelle x sein und eine solche kann nicht existieren. Indem ich mich der Behandlung des aufgestellten Problems zuwende, bemerke ich zuvörderst, dass ich den Fall p = 0, welcher sich in bekannter Weise einfach erledigt, ausschliesse. Ferner sollen die Indizes i, k, l, m, n Zahlen aus der Reihe 1, 2, 3, . . . p bedeuten und falls sie als Summationsbuchstaben auftreten, all ihre Werte durchlaufen, so dass z. B. .

i=p

das Zeichen~ als Abkürzung für ~ gebraucht wird. i

i=l

Es seien nun

u 1 (x), u 2 (x), .•. up(x) die Werte von p unabhängigen überall endlichen Integralen der Fläche an der Stelle x. Betrachten wir die Summe uk (y')

+ uk (y")

+... + uk (ya)

als Funktion der Stelle x, so wird dieselbe erstens überall endlich sein und zweitens, wenn x einen geschlossenen Weg beschreibt, sich um eine Periode von uk vermehren, da sich die Stellen y', y", ... ya nur unter einander vertauscht haben können, wenn x auf seinen Ausgangspunkt zurückgekehrt istl). Die obige Summe ist daher ein überall endliches Integral der Fläche und es bestehen also die p Gleichungen~ r=a

(1)

~ uk('!l) = ~ :rrktu,(x) r= 1

+ :rrk

(k = 1, 2, ... p),

i

wo die Koeffizienten :rr von der Stelle x unabhängige Grössen vorstellen2). Die Konstanten :rrk sind offenbar von der Wahl der in den Integralen u(x) enthaltenen additiven Konstanten abhängig. Die Integrale u(x) sollen nun, was stets möglich ist, so gewählt werden, dass sie die folgenden primitiven Periodizitätsmoduln besitzen: 1 ) Es ist möglich, dass von den Stellen y', y", ... ya einige abgesondert werden können, die bei allen geschlossenen Wegen, welche x beschreibt, sich nur unter sich vertauschen. Dann ist die bet~achtete Korrespondenz reduktibel. Ob dieses eintritt oder nicht, lassen wir dahingestellt. 2 ) Ähnliche Gleichungen bestehen auch, wenn man eine Korrespondenz zwischen zwei Stellen zu:eier Riemann'schen Flächen betrachtet. Diese Gleichungen können als eine Verallgemeinerung des Abel'schen Theorems angesehen werden, in welches sie übergehen, wenn eine der beiden Flächen das Geschlecht Null besitzt.

166

Funktionentheorie.

u1

•••

u2

•••

1, 0, ... 0, a 11 , a 12 , 0, 1, ... 0, a 21 , a22 ,

••• •••

a 1 7J, a 2 :v,

Dann lassen sich die Koeffizienten nki auf folgendem Wege bestimmen: Die Stelle x beschreibe einen geschlossenen Weg, auf welchem u 1 (x) in ·u 1 (x) + 1 übergeht, während die übrigen Integrale sich ungeändert reproduzieren: so werden sich die rechten Seiten der Gleichungen (1) um die Koeffizienten nk 1 vermehren, während die linken Seiten um em System simultaner Perioden der Integrale wachsen. Es ist also

(2)

nkz

=

hkz

+ ~ gi! aki

(k, l

=

1, 2, ... p),

i

wo die Buchstaben h und g ganze Zahlen bezeichnen. Beschreibt ferner x einen Weg, auf welchem u,(x) m u;(x) übergeht, so ergibt sich in analoger Weise (3)

~ nk;aa = Hkz

+ ~ Gi!aki

(k, l

=

+ a;

1

1, 2, ... p),

i

i

wobei die Zeichen H, G wiederum ganze Zahlen bedeuten. Substituieren wir die Werte der Grössen n aus (2) in (3), so erhalten wir zwischen den Grössen a1k die folgenden p 2 Relationen:

(4)

~ hki ai! i

+ ~ gmi akm ai! =

Hk!

i,m

(k, l

=

+ ~ Gi!

aki

i

1, 2, ... p).

§ 2.

Einteilung der Korrespondenzen in singuläre und WertigkeitsKorrespondenzen. Es sind nun zwei Fälle zu unterscheiden: entweder stellen nämlich die Relationen (4) eine wirkliche Abhängigkeit der Grössen ark von einander vor, oder dieses ist nicht der Fall, so dass die Relationen (4) für alle Werte der p(p 2+ l) Grössen a;k erfüllt sind. Setzen wir das letztere voraus, so ergibt sich, dass hu = h22 = · · · = h:v'P = Gn = G22 = · · · = G'P'P•

und dass alle übrigen Zahlen g, h, G, H verschwinden müssen. Wenn wir den gemeinsamen Wert der Zahlen hu, Gii mit - y bezeichnen, so nehmen jetzt die Gleichungen (1) folgende Gestalt an:

167

Über das Korrespondenzprinzip. r=a

~uk(y') +r·uk(x) =nk (k=1,2, ... p).

(5)

r=l

\Vir nennen dann die Korrespondenz eine "Wertigkeitskorrespondenz", die pm;itive oder negative ganze Zahl y die zu der Korrespondenz gehörige "Wertigkeit". Dagegen soll in dem ersten oben erwähnten Falle, wenn also die p 2 Relationen (4) sich nicht alle auf Identitäten reduzieren, die Korrespondenz eine "singuläre" genannt werden. Solche singuläre Korrespondenzen können o:fienbar nur auf besonderen Riemann'schen Flächen existieren, nämlich nur auf solchen, bei denen es möglich ist, die p 2 Relationen (4) durch ganzzahlige Werte der Grössen h, g, H, G zu befriedigen, ohne dass h11 = h22 = · · · = G11 = G22 = · · · ist und zugleich die übrigen Grössen h, g, H, G verschwinden. Diese besonderen Riemann'schen Flächen sollen "singulär" genannt werden. Wir haben also folgenden Satz: "Jede auf einer nicht singulären Riemann'schen Fläche mögliche Korrespondenz ist eine W ertigke-itslwrrespondenz."

Dieser Satz wird später durch den anderen ergänzt werden: "Auf jeder singulären Riemann'schen Fläche existieren auch singuläre Korrespondenzen."

§ 3. Definition der Wertigkeitskorrespondenzen durch eine algebraische Funktion. Es bezeichne nun &[v 1 , v2 , ••• v"] oder kürzer &[v;] die zu der Fläche gehörige &-Funktion, so wird bei passender Wahl der Konstanten ci &[u;(x)- u;(y)- c;] als Funktion der Stelle x (oder y) aufgefasst für x = y (oder y = x) und weitere p - 1 nur von den Konstanten c, abhängende Stellen unendlich klein von der ersten Ordnung. Wenn daher x eine variable, y', y", ... ya die korrespondierenden Stellen, ferner x0 eine feste, y0', y 0", ••• Yoa die ihr korrespondierenden Stellen, endlich y eine variable, y 0 eine feste Stelle bedeutet, so wird die Funktion (6)

C

x

-[Jr=a

( 'y)-

r=l

D[ui(y)-ui(yr)-ci] D[u.(y0 )-u.(yr)-c.]D[u.(y)-u.(y0r)-c.] t

t

t

•

t

t

als Funktion von y nur an den x korrespondierenden Stellen y', y", ... ya einfach Null und nur an den x 0 korrespondierenden Stellen y0 ', y 0 ", ••• y0

Funktionentheorie.

168

einfach unendlich und verhält sich entsprechend, wenn man ste als Funktion von x auffasst. Das Produkt ('"'I)

F(x y) '

=

[

D[ui(y)- ui(x)- ci] D[ui(y)-u;(x 0 )-ci]D[ui(y0 )-ui(x)-ci]

)Y · C(x

'

y)

hat aber in Folge der Gleichungen (5) die Eigenschaft, sich unverändert zu reproduzieren, wenn y einen geschlossenen Weg beschreibt und ist also eine algebraische Funktion der Stelle y. Lassen wir x einen ge2ni

J: M i[ui(l/)-ui(l/o)]

schlosseneu Weg durchlaufen, so gehtF(x, y) in e i F(x, y) über, wo die M; ganze Zahlen bezeichnen. Da aber die Funktion nach wie vor algebraisch von der Stelle y abhängen muss, so sind die Zahlen M; sämtlich gleich Null, so dass F(x, y) in F(x, y) übergeht, also ungeändert bleibt. F (x,y) ist also auch eine algebraische Funktion der Stelle x. Damit ist folgender Satz bewiesen: ".Jede Wertigkeitskorrespondenz -- also nach dem vorigen Paragraphen z. B. jede auf einer nicht singulären Riemann'schen Fläche überhaupt mögliche Korrespondenz - lässt sich durch eine von zwei Stellen x, y der Fläche algebraisch abhängende Funktion F ( x, y) definieren. Wird die Stelle x (bzw. y) fixiert, so verschwindet F(x, y) als Funktion der Stelle y (bzw. x) aufgefasst y-fach fiir y = x (bzw. x = y) und je einfach an denjenigen a (bzw. ß) Stellen, welche de·r Stelle x (b.zw, y) korrespondieren; sie wird unendlich y-fach an der festen Stelle x 0 (bzw. y0 ) und je einfach an den a (bzw. ß) dieser Stelle x0 (bzw. y0) korrespondierenden Stellen."

Dabei ist unter einer y-fachen Null-, bzw. Unendlichkeitsstelle eine - y-fache Unendlichkeits- bzw. Nullstelle zu verstehen, wenn y eine negative Zahl sein sollte. Die im Satze gegebene Aufzählung der Null- und Unendlichkeitsstellen ist eine erschöpfende.

§ 4.

Das Korrespondenzprinzip für Wertigkeitskorrespondenzen. Durchwandern die Stellen x und y gleichzeitig (etwa dicht hinter einander) denselben geschlossenen Weg, so wird sich ß>[u;(y)- u;(x) -- c;] ungeändert reproduziert haben, wenn x und y auf ihren Ausgangspunkt zurückgekehrt sind. Denn die Integrale u;(y) und u;(x) haben sich um dieselbe Periode vermehrt. Deshalb wird

(8)

Ü her das Korrespondenzprinzip.

169

eine algebraische Funktion der Stelle x sein. Diese Funktion wird nun so oft verschwinden, als die Stelle x mit einer korrespondierenden Stelle yr zusammenfällt, also 0-mal, wenn C die Anzahl der Koinzidenzen der Korrespondenz bezeichnet. Sie wird an den a Stellen x = y0r und den ß der Stelle Yo entsprechenden Stellen je einfach unendlich und überdies y-fach unendlich (oder (- y)-fach Null) an den 2p Nullstellen von ß[u;(x)--u;(x0)-c;]·ß[u;(y0 )-u;(x)-c;]. Da nun eine algebraische Funktion ebenso oft Null wie unendlich wird, so ist (9) C = a + ß + 2py, welches (für y > 0) die Cayley-Brill'sche Korrespondenzformel ist. Zugleich erhalten wir aber ausser dieser Formel den Satz: "Die Koinzidenzstellen einer Korrespondenz mit positiver Wertigkeit sind stets die Nullstellen einer algebraischen Funktion F (x) der Fläche. Die Koinzidenzstellen einer Korrespondenz mit negativer Wertigkeit y sind zusammen mit 2p anderen je (- y)-fach zu nehmenden Stellen (nämlich den willkürlichen Stellen x0 , y0 und den 2p- 2 Nullstellen einer Funktion q;) die Nullstellen einer algebraischen Funktion F(x) der Fläche." 1)

§ 5. Zahl der Stellenpaare, welche aus zwei sich gleichzeitig in zwei Wertigkeitskorrespondenzen entsprechenden Stellen bestehen. Auch die von Herrn Brill aufgestellte Formel 2) für die Zahl der zweien Korrespondenzen gemeinsamen Paare entsprechender Stellen ist auf alle Wertigkeitskorrespondenzeu ausdehnbar. Die erste Korrespondenz besitze die Wertigkeit y und es möge die Stelle y nach Fixierung der Stelle x a-deutig, umgekehrt die Stelle x nach Fixierung von y ß-deutig bestimmt sein; ferner sollen a', ß', y' für die zweite Korrespondenz die entsprechende Bedeutung haben, wie a, ß, y für die erste. Fassen wir nun immer zwei Paare (x, y), (x1 , y) zusammen, von denen das erste zur ersten, das zweite zur zweiten Korrespondenz gehört, während die zweite Stelle y in beiden dieselbe ist, so werden wir eine neue Korrespondenz erhalten, wenn wir die Stellen x und x1 entsprechend setzen. Offenbar wird nach Fixierung der Stelle x die Stelle x1 im ganzen aß' Lagen und nach Fixierung von x1 die Stelle x im ganzen ßa' Lagen annehmen. Sind nun y', y", ... ya die vermöge der ersten Korrespondenz zu x gehörigen Lagen von y und (x1'Y, (x1")r, ... (xf)r die vermöge der zweiten Korrespondenz zu yr gehörigen Lagen von x 1 , so ist 1 ) [IP sind die von Riemann (Theorie der Abelschen Funktionen, Werke, 2. Auflage, Leipzig 1892, 8.117) zur Bestimmung der Differentiale erster Gattung du eingeführten Funktionen. Anm. v. H. W.]] 2 ) Mathem. Annalen, Bd. 6 (1873), S. 42, oder Bd. 7 (1874), S. 611.

Funktionentheorie.

170 r=a

~ uk(y")

-+- r. uk(x) = :n;k

r=l 8

=

'

uk ( {xl8\J r)

(k = 1, 2, ... p)

+ r ,uk (yr) =

:n:{

B=l •

= 1,2,... p) (kr=1,2, ... a

und folglich r=a

B=

{J'

~ ~uk(xt"r-rr'uk(x) =llk (k=1,2, ... p), r=l s=l

wo :n:k, :n;kr, llk von der Stelle x unabhängig sind. Das letztere Gleichungssystem zeigt, dass die Korrespondenz ( x, x1) die Wertigkeit - rr' besitzt. Nach Gleichung (9) des vorigen Paragraphen komrot es also aß'+ ßa'- 2 Prr' (10) mal vor, dass x mit x1 und also das Paar (x, y) mit (x1 , y) identisch wird. Betrachten wir n Korrespondenzen mit den zugehörigen Zahlen al> ß1, 1'1; a2, ß2 , y2; ... an, ßn, l'n• so ergibt sich auf ähnlichem Wege, dass im ganzen al · a2 ···an+ ß1 · ß2 • • • ßn

(11)

+ (-1)n+l. 2 P/'1 · 1'2 · · · l'n

Gruppen von n Stellen x1 , x2 , ••• xn auf der Rieroann'schen Fläche existieren von der Beschaffenheit, dass die Stellenpaare (x1,

x~,

(x2 , x3),

•••

(x 11 _ 1, xJ, (xn, x1)

der Reihe nach der ersten, zweiten, ... nten Korrespondenz angehören. Die Formel (10) ist ein spezieller Fall von (11). Diese Formeln erleiden, wenn die betrachteten Korrespondenzen gewisse Symmetrieverhältnisse darbieten, eine in jedem Falle leicht anzugebende Modifikation. § 6.

Darstellung der Korrespondenzen von positiver Wertigkeit durch algebraische Gleichungen. Wenn die Wertigkeit r eine positive ZahP) ist, so stellt die Gleichung F(x, y) = 0, (12) wo F (x, y) das aus 0.-Funktionen gebildete Produkt (7) bedeutet, die Korrespondenz rein dar, wenn von der y-fachen Lösung x = y dieser 1)

Die Wertigkeit Null wird hier fu der Folge stets als efue positive angesehen.

171

Über das Korrespondenzprinzip.

Gleichung abgesehen wird. Nun wird F(x, y), als Funktion von y betrachtet, an den festen Stellen y = y0', y0", ••• Yo a je einfach, an der Stelle y = x0 y-fach unendlich. Es ist F(x, y) folglich eine lineare homogene Funktion von einer bestimmten Zahl q + 1 linear unabhängiger algebraischer Funktionen fo(y), fi(y), · · · fa(y), welche an eben denselben Stellen unendlich werden, wobei die Koeffizienten dieser linearen homogenen Funktion von der Stelle y unabhängig sind. Die Zahl q ist bekanntlich höchstens gleich a + y- p + -r, wo -r angibt, wie viele linear unabhängige Differentiale erster Gattung an jenen Unendlichkeitsstellen von der zweiten Ordnung unendlich klein werden. 1) Setzen wir in der sich so ergebenden Gleichung F'(x, y) = cofo\Y)

+ cifi(y) + · · · + cafq(y)

q-;-- 1 verschiedene Stellen y•(v = 0, 1, 2, ... q) für y, so ergeben sich die Koeffizienten c als algebraische Funktionen der Stelle x, deren Unendlichkeitsstellen bei x = x0', x0", ••• xl (den der Stelle y0 korrespondierenden Lagen von x) und der y-fach zu nehmenden Stelle x = x0 liegen. Dabei ist vorausgesetzt, dass die Determinante f,.. (y") [ nicht verschwindet, eine Voraussetzung, die durch passende Wahl der Stellen y• erfüllt werden kann, da die Funktionen f. (y) linear unabhängig sind. Es wird also

I

F(x,y) = (/Jo(x)fo(Y)

(13)

+ q;l(x)fi(y) + · · · + (/Ja(x)fa(y).

Wir dürfen offenbar annehmen, dass auch die Funktionen q;.(x) linear unabhängig sind, da sich anderenfalls die rechte Seite der vorstehenden Gleichung auf weniger Glieder zusammenziehen lässt. Es ist dann q auch höchstens gleich ß + r - p + •', wo •' angibt, wie viele linear unabhängige Differentiale erster Gattung in den Unendlichkeitsstellen der Funktionen q;.(x) von der zweiten Ordnung verschwinden. Multiplizieren wir F(x, y) mit irgend einer Funktion q;(x), welche nur an den Stellen x0', • •• xg einfach, bei x = x0 y-fach verschwindet und mit einer Funktion f(y), welche nur ~n den Stellen y 0', ••• y~ einfach, bei y = y0 y-fach verschwindet, so kommt (14) =

P(x, y) = q;(x) · f(y) · F(x, y) (J)o(x) ·Po(Y) + (J)l(x) ·P1(y) + ... + (J)a(x) · q')a(y),

wo nun die Funktionen (J)• bzw. F. an ß + y bzw. a

+y

Stellen,

[[Dass du von zweiter Ordnung unendlich klein wird- weiter unten heisst es sogar einmal: von der zweiten Ordnung verschwindet- besagt nach dem Vorgang von Riemann (a. a. 0. S. 127), dass an der betreffenden Stelle die Ableitung =~· nach der Ortsuniformisierenden t eine Nullstelle hat; heute spricht man in diesem Fall meist einfach von einer Nullstelle (erster Ordnung) des Differentials. Anm. v. H. W.] 1)

172

Funktionentheorie.

welche zu den Unendlichkeitsstellen der Funktionen Cf!. und f. korresidual sind, unendlich von der ersten Ordnung werden. Da die Gleichung P = 0 dieselbe Abhängigkeit zwischen den Stellen x, y, wie die Gleichung F = 0 vermittelt, so ist hiermit der Satz bewiesen: "Jede Korrespondenz mit positiver Wertigkeit lässt sich durch eLne Gleichung (15)

(1)0 (x)

· F 0 (y)

+ (/J1 (x) · Ft(Y) + ... +

(1) 11 (x)

· Fq(y)

=

0,

deren linke Seite eine algebraische Funktion (ß + y)ten Grades der Stelle x und (a + y)ten Grades der Stelle y ist, vollständig darstellen, in dem Sinne, dass bei Fixierung von x bzw. y diese Gleichung, abgesehen von der y-fachen Lösung y = x bzw. x = y, nur die der Stelle x bzw. y korrespondierenden Stellen als Lösungen besitzt.'' Wir fügen den ohne Schwierigkeit zu beweisenden Ergänzungssatz hinzu: "Diese Darstellung der Korrespondenz ist eine vollständig bestimmte, sofern man von solchen Umänderungen der Gleichung (15) absieht, welche in der .Multiplikation derselben mit irgend einer Funktion der Stelle x oder der y allein, oder endlich in simultanen linearen Transformationen der (/) und F, welche die Form (/J0 F 0 + (/J1 F 1 + ... + (l)(/P 11 u,ngeiindert lassen, bestehen.'' Es ist also namentlich auch die Zahl q eine ganz bestimmte für die Korrespondenz charakteristische Zahl. Wir wollen dieselbe als die "Dimension" der Korrespondenz bezeichnen 1).

§ 7.

Bestimmung der Korrespondenzen von gegebener Dimension und gegebener (positiver) Wertigkeit. Es seien (/J0 (x), (/J1 (x), ... (/J0 (x) irgend q + 1 linear unabhängige algebraische Funktionen der Stelle x. Bestimmen wir nun irgend q + 1 andere, ebenfalls linear unabhängige Funktionen F 0 (y), F 1 (y), ... F 11 (y) der Stelle y, welche nur der Einschränkung unterworfen sind, dass

:2 (l).(x)F.(y) als Funktion von x an der Stelle x •=q

=

y y-fach, aber

•=0

nicht von höherer Ordnung verschwindet, so wird die Gleichung

1 ) Deutet man die Verhältnisse IP0 (x):IP 1 (x): ... :1Pq(x) und F 0 (y):F1 (y): .. . • :Fq(y) als Punkt-, bzw. Ebenenkoordinaten in einem Raume von q Dimensionen, so erhält man eine bestimmte geometrische Darstellung der Korrespondenz. Eine ähnliche ist in einem Raume von weniger als q Dimensionen nicht möglich.

173

Über das Korrespondenzprinzip.

eine r-wertige Korrespondenz der Dimension q vorstellen, und auf diese Weise werden, zufolge des vorigen Paragraphen, auch alle solche Korrespondenzen entstehen. Jene Einschränkung, welcher die Funktionen F(y) unterliegen, drückt sich analytisch dahin aus, dass die r Gleichungen

l/Jo(y)Fo(Y) (17) ( l/J~(y)F0 (Y)

+ lP1(y)F1(y)

+lP;(y)F1(y)

+ · · · + l/Jq(y)Fq (y) +···+lP;(y)Fq(y)

0 =0

=

lP'?J- 1>(y)F0 (y) + lJJir- 1>(y) F 1(y) + · · · + rp~r- 1 > (y)Fq (y)

=

0

erfüllt sein müssen, während

rpör>(y)Fo(Y) + lJJir>(y)F1 (y) -f- · · · -f- rp~r>(y)Fq(y) nicht mehr verschwindet. Das Zeichen rp~e> (y) bedeutet ~abei den eten Differentialquotienten von lP.(y), nach irgend einer Funktion der Stelle y genommen. Wir folgern aus (17) zunächst, dass die Dimension einer Korrespondenz mindestens gleich ihrer Wertigkeit ist. Denn falls q < r, muss die Determinante

l/J_o (y) ... ~q (y) l/Jöq) (y) ...

rp~q) (y)

verschwinden, was, wie eine nähere Betrachtung zeigt, infolge der linearen Unabhängigkeit von l/J0 (y), ... lPa(Y) nicht angeht. Eliminieren wir aus (17) und (16) die Funktionen Fa(y), Fa_ 1 (y), . . . F q-r + 1 (y), so ergibt sich, dass durch die Gleichung

lP. (x), l/J8 (y), ~ F's (y) • rp_; (y)'

s=q-y

(18)

=0

8=0

l/J~y-1) (y)' l/J~Y--=--/t 1(y)'

•. • l/J~Y-1) (y)

die allgemeinste Korresponden.z mit de·r Wertigkeit r und der Dimension q definiert wird, wenn 1) l/J0 ( x), l/J1(x), ... l/Ja ( x) beliebige linear unabhängige algebraische Funktionen der Stelle x bedeuten und 2) die q - r + 1 ebenfalls algebraischen Funktionen F 0 (y) , F 1 (y), .. . . Fq-y(y) der Stelle y so gewählt werden, dass die Gleichung (18) nicht identisch erfüllt ist, wenn l/J0 (x), l/J1 (x), .. . l/Ja(x) durch l/J0(y), l/J1 (y), .. .. l/J~r>(y) oder durch nicht sämtlich verschwindende Konstanten c0 , c1 , •• . . Ca ersetzt werden. Die Funktionen F (y) können aber stets, nach willkürlicher Annahme der l/J(x), diesen Bedingungen gernäss gewählt werden, so dass

Funktionentheorie.

174

es immer Korrespondenzen von der Wertigkeit y und etnet· beliebigen Dimension q ~ y gibt. Zum Beweise betrachten wir die in (18) auftretenden Determinanten für den Fall, dass die Funktionen tPv(x) durch f/>~Y>(y) oder durch nicht sämtlich verschwindende Konstanten cv ersetzt werden. Weder die bei der ersten, noch die bei der zweiten Ersetzung entstehenden Determinanten (D) können sämtlich identisch verschwinden. Die gegenteilige Annahme würde nämlich zu der Folgerung führen, dass die Funktionen tP0(x), ... tP11 (x), entgegen unserer Voraussetzung, nicht linear unabhängig sind. Dieses vorausgeschickt, wählen wir nun die Funktionen F 0 (y), ... Fq-y(y) so, dass keine zwei dieser Funktionen an derselben Stelle unendlich werden und dass ihre Grade grösser sind als die Grade der Determinanten D. Alsdann sind, wie leicht zu sehen, die Bedingungen 2) sicher erfüllt. Ein besonderes Interesse verdient der Fall, in welchem Dimension und Wertigkeit der Korrespondenz einander gleich sind. Auf diesen speziellen Fall beziehen sich die Betrachtungen des Herrn Lindemann, welche in einem Briefe an Herrn Hermite und in den Vorlesungen über Geometrie von CI e b s c h 1) mitgeteilt sind; auch gehören hierher die von Herrn Bril!2) gegebenen Entwicklungen über die eine algebraische Kurve mehrfach berührenden Kurven einer linearen KurYenschar. Die Gleichung (18) reduziert sich für q = y auf

tP0(x), tPo (y)' rp~ (y)'

(19)

rp1 (x)' rp1 (y)' rp~ (y)'

.. · rpv (x) ... rp~ (y) ... tP~(y)

=Ü,

tPl{-1) (y)' if>i'l-1) (y)' ... rJ>l> + G11 + G22 + ... + Gl>l>),

so dass wir für die Zahl C der Koinzidenzen der allgemeinsten übm·haupt möglichen algeb-raischen Korrespondenz die Formel erhalten:

(29) C

=

a

+ ß- (h11 + h22 + ... + hl>l> + G11 + G22 + ... + Gl>l>).

Ist die Korrespondenz eine Wertigkeitskorrespondenz, so werden (vgl. § 2) die Zahlen h;;, Gii sämtlich untereinander gleich und die Formel (29) geht, wenn der gemeinsame Wert dieser Zahlen gleich - y gesetzt wird, in C =--= a + ß + 2 py über, wie es nach § 4 sein muss. Die Zahl der Stellenpaare x, y, welche sich gleichzeitig in zwei beliebigen Korrespondenzen entsprechen, ergibt sich auf folgendem Wege. Es seien y', y", ... , ya die vermöge der ersten Korrespondenz der Stelle x entsprechenden Lagen von y und x',r, x",r, ... , xß'r die vermöge der zweiten Korrespondenz der Stelle yr entsprechenden Lagen von x. Dann bestehen nach § 1 die folgenden Relationen: r=a

~ uk(yr) (30)

=

r=l 8= ß'

~ nkiu;(x) + nk, i

~uk(x8•r)

~n~iu~(yr) +n~, (r = 1, 2, ... , a),

=

i

8=1

wobei nkl =

hkl

+ ~ gilaki' i

~ nkiail = (31)

Hkl

i

+ ~ Gilaki• i

unter den Zeichen h, g, H, G, h', g', H', G' ganze Zahlen verstanden. Die Elimination der Integrale U; (yr) aus den Gleichungen (30) ergibt Relationen der Gestalt:

(32)

~ uk(X8'r) r, s

wo zur Abkürzung

=

~ n~iui(x) i

+ n~,

180

Funktionentheorie.

I

gesetzt ist. Eine kurze Rechnung zeigt, dass für die Grössen Relationen

4

(33)

n

i

nkiail = Hkl

t

die

+ ..:;;"; Yil aki, """""

nkl = " kl "h II

nkl

+

4

II

Gu aki

t

aufgestellt werden können, wenn unter h", g", H", G" die Zahlen:

:2 (hil h~i + guH~i), Y~z :2 (hil Y~i + gilG~i)' H~~ :2 (Hilh~i + GilH~i)' G~1 = :2 (Hilg~i + GilG~i) h~z =

i

=

i

(34)

=

i

i

verstanden werden. Die Anwendung der Formel (29) auf die Korrespondenz, welche durch die Zuordnung der Stellen xr,s zur Stelle x definiert ist, ergibt nun für die Zahl (C, C') der Koinzidenzen dieser Korrespondenz den Ausdruck: (c ' C') -- a ß' +'

ßa

I

" - (1l·n

+ h"22

J ~- • • • T'

h"PP

-L I

G"11

TI

G"22

+ • • • + G"PP) '

oder, mit Rücksicht auf (34): (35)

(0, C') =aß'+ ßa'

--:2 [hikh~i + YikH~i + Hikg~i + GikG~i], i,k

und diese Zahl wird offenbar angeben, wie viele Stellenpaare x, y gleichzeitig beiden Korrespondenzen angehören 1 ). Unter der Voraussetzung, dass beide Korrespondenzen Wertigkeitskorrespondenzen sind, geht die Formel (35) in die Formel (10) des § 5 über. 1 ) Bei der Anwendung dieser und ähnlicher Formeln ist der folgende Satz von Nutzen: Werden für irgend eine Korrespondenz die in § 1 benutzten Bezeichnungen verwendet und bedeuten x', x", ... , xfJ die vermöge der Korrespondenz einer Stelle y entsprechenden Lagen von x, so ist

:2 uk (x•) = ~ s={J

wobei

8=1

i

nkiui(Y)

+ nk,

Über das Korrespondenzprinzip.

181

§ 11.

Existenz der singulären Korrespondenzen. Es sei irgend ein Lösungssystem der 2p 2 Gleichungen:

nkl

1znk;aa

(36)

•

=

hkl

+ :;E g;lak;,

=

Hkl

+ ~Gaaki •

gegeben. Dann werden durch den Ansatz: (37)

uk(y')

+ uk(y") + · · · + uk(yP) = :;E nk;U;(x) + nk i

jeder Stelle x p bestimmte Stellen y', y", ... , yP zugeordnet, wenn die Konstanten nk, was stets möglich ist, so gewählt werden, dass nicht für alle Lagen von x das auf der rechten Seite in (37) auftretende Grössensystem auf mehr als eine Weise in die durch (37) verlangte Form gesetzt werden kann. Durch diesen Ansatz ist also eine algebraische Korrespondenz bestimmt, für welche die oben mit a bezeichnete Zahl den Wert p besitzt. In transzendenter Form lässt sich diese Korrespondenz durch die eine Gleichung 1)

(38) definieren, unter ck passend gewählte Konstanten verstanden. Die Zahl der einer beliebigen Stelle y entsprechenden Lagen von x ist, beiläufig bemerkt, durch das Begrenzungsintegral

2 ~i

J

dlog & [uk(y)-

z •

nk;u;(x) -ck]

bestimmt und findet sich, infolge der Gleichungen (36), gleich

(39)

:2 (Gil,hik- g;kHik). i, k

\Venn nun die Riemann'sche Fläche, welche unserer Betrachtung zu Grunde liegt, eine singuläre ist, so dürfen wir annehmen, dass die Elimination der nkl aus dem Systeme (36) nicht zu lauter Identitäten zwischen den Grössen a;k führt, oder, wie wir kurz sagen wollen, dass das System (36) kein "identisches" ist. Alsdann ist aber die durch 1 ) Durch derartige Gleichungen definierte W ertigTceitskorrespondenzen betrachtet Herr Lindemann in der Note "Über eine Verallgemeinerung des Jacobi'schen Um· kehrproblems der Abel'schen Integrale" (Berichte der naturforschenden Gesellschaft zu Freiburg i. Br., Bd. 7, Heft 3 (1878), S. 273-291; siehe insl:oesondere S. 288 u. 290).

182

Funktionentheorie.

(37) definierte Korrespondenz sicher keine Wertigkeitskorrespondenz. Die gegenteilige Annahme würde nämlich zu den Gleichungen

~ nk;u;(x)

=

y · u~:(x)

+ nk>

i

und also, indem wir auf beiden Seiten die Perioden nehmen, zu

führen. Aus den letzteren Gleichungen würde aber folgen, dass h11 = h22 = · · · = G11 = G22 = · · · = y und alle übrigen Zahlen h, g, H, G gleich Null sind, und somit würde das System (36), entgegen unserer Annahme, ein "identisches" sein. Auf jeder singulären Riemann'schen Fläche existieren also auch singuläre Korrespondenzen. Wir können hinzufügen, dass es stets unendlich viele singuläre Korrespondenzen von der eben betrachteten Art gibt. Es mögen nämlich J und y irgend zwei ganze Zahlen bezeichnen, so bestehen zufolge (36) die Relationen

(40) wenn n~l

=

Jnkz--YBkl•

h~l

bhkz-Y 13kl• g~l G~z = oGkl-- y 13 kl

=

=

Jgkl,

H~l

=

oHkl•

gesetzt wird, wobei sk 1 den Wert 0 oder 1 bedeutet, je nachdem k ~ oder k = l ist. Zu dem Systeme (40) gehört nun in derselben Weise eine singuläre Korrespondenz, wie die Korrespondenz (38) zu dem Systeme (36). Die Zahlen a, ß haben für diese neue Korrespondenz die Werte a

=p, ß = ~(a;kh;k-g;kH;k) (vgl. 39), i,k

oder

ß = b2 ~ (Gil}t;k- g;k H;k) - y J ~ (hkk + Gkk) i,k

+ PY

2•

k

Da letzterer Ausdruck, seiner Bedeutung gemäss, für alle ganzzahligen

183

Über das Korrespondenzprinzip.

Werte von y, t5 einen positiven Wert besitzen muss (abgesehen von dem Falle y = b = 0) , so sind die Zahlen g, h, G, H der Bedingung 4p ~ (Ga,h;k- g;kHik)

i,k

> [~ (hk,, + Gkk)] 2 k

unterworfen. § 12.

Darstellung. der singulären Korrespondenzen durch algebraische Gleichungen. Betrachten wir irgend eine Korrespondenz, so gehören zu derselben p Gleichungen der Gestalt: r=a

~uk(y•)

(41)

=

r=l

~nk;u;(x) +nk> i

wo wie früher die der Stelle x entsprechenden Lagen von y mit y', y", ... , ya bezeichnet sind. Wir definieren nun, wie im vorhergehenden Paragraphen, zwei weitere Korrespondenzen durch die Ansätze: (42)

~ uk(y~)

= - ~ nkiui(x)

n

(43)

-y1 uk(x)

+ n~,

-y2~tk(x)

+ n~.

i

~ uk(y~)

= - ~ nkiui(x)

n

i

Hier bedeuten y 1 , y 2 irgend zwei [[ganze]] positive Zahlen, welche wir nach Willkür annehmen; die Konstanten n~, n~ wählen wir, was in mannigfacher \Veise geschehen kann, so, dass nicht für jede Lage von x unter den Stellen y1', y1", ... , y1P sich solche finden, welche gleichzeitig unter den Stellen y 2 ', y 2 ", ••• , Yl vorkommen. Die Addition der Gleichungen (41) und (42), sowie von (41) und (43) ergibt nun: r=a

(44)

~ uk(y•) r=l

+ ~ uk(y~) + y 1 uk(x) =

r=a

(45)

~ uk(y•) + ~ uk(y~)

r=l

nk + n~,

n

+ y2uk(x) = nk + n~.

n

Es werden hiernach durch die Angabe, dass der Stelle x die Lagen y• und y1n, bezüglich die Lagen y" und y 2n von y entsprechen sollen, Korrespondenzen mit den positiven Wertigkeiten y 1 und y 2 definiert, und diese können nach den früheren Entwicklungen durch je eme algebraische Gleichung dargestellt werden. Damit ist bewiesen:

Funktionentheorie.

184

"Jede algebraische Korrespondenz, insbesondere auch jede singuläre Korrespondenz, lässt sich auf mannigfaltige Art durch zwe1: algebraische Gleichungen

1\(x,y) =0, P 2 (x, y) = 0

1

definieren." Es gilt daher der in § 9 besonders hervorgehobene Satz nicht nur für die negativ-wertigen, sondern auch für die singulären Korrespondenzen. § 13.

ttber die Gesamtheit der auf einer beliebigen Riemann'schen Fläche existierenden Korrespondenzen. Es seien ,u verschiedene Lösungen des Systems (36) bekannt:

. · l4 nkl-

(46)

•

h"kl

+. ~ """' gilaki• •

n~iail = H~l +

4•

(e=l,2, ... ,,u),

i

G•ilaki'

wobei der Fall nicht ausgeschlossen ist, dass unter diesen ,u Systemen "identische", d. h. solche vorkommen, bei welchen die Elimination der n~ 1 auf lauter Identitäten zwischen den aki führen. Wir nennen diese ,u Systeme abhängig, wenn es möglich ist, die Gleichungen: • =I'

(47)

:2t...n~ 1 =0,

(k,l=1,2, ... ,p)

•=1

durch nicht sämtlich verschwindende ganze Zahlen Äv ).2 , ••• , Ä~' zu befriedigen; im entgegengesetzten Falle heissen die Systeme (46) unabhängig. Die notwendige und hinreichende Bedingung für das Bestehen der Gleichungen (47) drückt sich durch die 2p 2 Relationen:

(48)

%t...h~l

=

0

1~ t...gL= o e =I"

(k,l=1,2, ... ,p)

•=1

aus, woraus hervorgeht, dass nicht mehr als 2p 2 unabhängige Systeme (46) existieren können. Wir nehmen an, dass die ,u Systeme (46) unabhängig sind und dass es nicht mehr als ,u unabhängige Systeme gibt. Ist dann irgend ein weiteres System (36) gegeben, so können die p 2 Gleichungen

Über das Korrespondenzprinzip.

185

e=J.-'

(49)

Ank 1 = ~A.n~ 1

(k,l=l,2, ... ,p)

E=1

durch ganze Zahlen A, A,, welche nicht sämtlich verschwinden, befriedigt werden, und es wird A von Null verschieden sein, da widrigenfalls die p, Systeme (46) abhängig sein würden. Es lassen sich aber, wie eine eingehendere Betrachtung zeigt, die p, Systeme stets so wählen, dass die Zahl A den Wert 1 erhält, und wir haben dann für jedes System (36) die Darstellung:

(50)

•= I'

nk 1 = ~A,n~z,

(k,l=l,2, ... ,p),

•=1

wo Au A2 , ••• , A,_. ganze Zahlen bezeichnen. Die p, Systeme n~ 1 , aus welchen sich jedes andere nach der vorstehenden Formel ganzzahlig zusammensetzen lässt, mögen als p, "Fundamentalsysteme" bezeichnet werden. Ferner sollen die Zahlen A1 , A2 , ••• , A,_. die "Charaktere" des Systems nk 1 , und jeder Korrespondenz, zu welcher dieses System gehört, heissen. Die Charaktere sind nach Annahme der fl Fundamentalsysteme eindeutig bestimmt. Für eme beliebige Korrespondenz möge das Gleichungssystem r=a

(51)

~ uk(y'') r= 1

=

~ nk;u;(x)

+ nk

i

stattfinden. Setzen wir nun

so wird die Gleichung: (53)

C(x, y)

=

0

unsere Korrespondenz zwar in transzendenter Form, aber vollständig darstellen, indem die Gleichung (53) nur für korrespondierende Stellen (x, y) erfüllt ist. Wir bilden jetzt mit den p, Fundamentalsystemen n~ 1 die fl {}-Quotienten:

wo s der Reihe nach die Werte 1, 2, ... , p erhält.

186 •=JJ

Funktionentheorie.

Zufolge (50) und (51) ist nun der Quotient aus C (x, y) und

Jl[C.(x, y)]'• eine algebraische Funktion F'(x, y) der Stellen x •=1

und y, und also:

Hiermit ist die Bestimmung aller auf einer beliebigen Fläche existierenden algebraischen Korrespondenzen ausgeführt: "Man bestimme l' "Fundamentalsysterne" (46), aus welchen sich jedes andere System gernäss (50) ganzzahlig zusammensetzen lässt. Ferner bilde man mit den p Fundamentalsystemen die {}-Quotienten C.(x, y) nach Gleichung (54). Alsdann wird die Gleichung:

in welcher A1 , A2 , ••• , A"' i1·gend welche _ganze Zahlen und F ( x, y) irgend eine von den beiden Stellen x, y algebraisch abhängende F1mktion bedeuten, alle auf der Fläche möglichen algebraischen Korrespondenzen definieren.''

Da ein Ausdruck der Form

nur dann eine algebraische Funktion der Stellen x, y sein kann, wenn die Zahlen e sämtlich verschwinden, so kann zur Darstellung aller Korrespondenzen keine der p Funktionen C.(x, y) entbehrt werden. Für nicht-singuläre Riemann'sche Flächen hat die Zahl p den Wert 1, denn alle Systeme (36) lassen sich ganzzahlig aus dem einen, in welchem :n:11 = :n:22 = ... = :rr2>2> = 1 und alle übrigen :n:ki = 0 sind, zusammensetzen. Das System der Charaktere ). 1 , A2 , ••• , ;, "' einer Korrespondenz reduziert sich auf die eine Zahl A1 = - y, wo y die Wertigkeit bezeichnet, und die Formel (55) geht in (7) über. Für singuläre Flächen ist dagegen die Zahl l' stets grösser als 1 und das System der Charaktere einer Korrespondenz besteht aus mehreren Zahlen. Setzen wir in (55) y = x und vergleichen die Zahl der Null- und Unendliehkeitsstellen der auf beiden Seiten entstehenden Funktionen der Stelle x, so erhalten wir

(57)

C

=

a

+ ß+

C1 A1

+ c A + ... + C"'A"', . 2 2

wenn C die Anzahl der Koinzidenzen der beliebigen Korrespondenz C(x, y) = 0, a und ß die Zahl der einer beliebigen Stelle x bzw. y

Über das Korrcspondenzprinzip.

187

:mtsprechenden Lagen von y bzw. x bedeuten. Die Koeffizienten c1 , c2 , ••• , cP. sind ganze Zahlen, welche von der betrachteten Korrespondenz unabhängig sind. In dieser Gleichung (57) haben wir die allgemeine Korrespondenzformel in einer neuen Gestalt vor uns. § 14.

Literarisches über die singulären Riemann'schen Flächen. Die im vorstehenden Paragraphen gegebene Darstellung der Korrespondenzen habe ich für die von Herrn Klein in die Theorie der elliptischen Modulfunktionen eingeführten "Modularkorrespondenzen" 1) (wenigstens für den Fall einer primzahligen "Stufe") in einer in den Berichten der k. sächs. Gesellschaft der Wissenschaften abgedruckten N ote 2) hergestellt. Jedoch sind an jener Stelle die transzendenten Faktoren C1 ( x, y), ... , CP. ( x, y) nicht auf ihre geringste Zahl zurückgeführt, da dieses für die dort verfolgten Zwecke nicht erforderlich war. Die "Charaktere" Äi der Modularkorrespondenzen sind die Entwicklungskoeffizienten der Integrale erster Gattung qter Stufe, und da die Zahl dieser Koeffizienten im allgemeinen grösser als 1 ist, so folgt, dass alle diese Korrespondenzen singulär sind. In diesem Umstande lag die Schwierigkeit begründet, welche sich bei der Aufstellung der Klassenzahlrelationen für höhere Fälle einstellte. Diese Relationen konnten nicht mehr aus der speziellen Formel C = a + ß + 2 py, sondern mussten aus der allgemeinen Korrespondenzformel (57) entnommen werden. Diese letztere geht für die Modularkorrespondenzen geradezu in die Klassenzahlrelationen über, falls die Zahl C durch die auf arithmetischem Wege abgezählten Koinzidenzen ersetzt wird. Die Modularkorrespondenzen liegen auf denjenigen Riemann'schen Flächen, welche zu der Galois'schen Resolvente der Modulargleichungen gehören. Diese Flächen charakterisieren sich schon dadurch als singuläre, dass sie eindeutige Transformationen in sich besitzen. Es gilt nämlich der Satz: "Jede Riemann'sche Fläche, welche eine eindeutige Transformation in sich besitzt, ist entweder eine "hyperelliptische" oder eine singuläre Fläche." Ist nämlich die eindeutige Transformation als Korrespondenz betrachtet eine Wertigkeitskorrespondenz, so existiert nach unseren Ent1) Zur Theorie der elliptischen 1\lodulfunktionen, Sitzungsberichte der Münchener Akademie vom 6. Dez. 1879 oder Mathem. Annalen, Bd. 17 (1880/81), S. 62-70; [Ges. Abhandlungen, Bd. III, S. 169-178]. 2 ) Mathematisch-physische Klasse, Sitzung vom 4. Mai 1885. Die hier in Betracht kommenden Formeln finden sich aufS. 233; die Funktionen F(w', w) entsprechen den im Texte mit C(x, y) bezeichneten Funktionen. [Diese Werke, Bd. II, LXXII.]

188

Funktionentheorie.

wicklungen eine zweiwertige Funktion der Stelle x, und die Fläche ist also hyperelliptisch; nach Ausschluss dieses Falles bleibt nur noch die Möglichkeit, dass die Fläche eine singuläre ist 1). Schliesslich verweise ich noch in betreff der singulären Riemannschen Flächen auf die Untersuchungen der Herren Kronecker, Weber, Frobenius, Wiltheiss 2) über die verallgemeinerte komplexe Multiplikation. Diese Untersuchungen beziehen sich sämtlich, soweit sie auf die zu algebraischen Gleichungen gehörenden Thetas Anwendung finden, auf singuläre Flächen in dem Sinne, wie er in der vorstehenden Note verstanden ist. Königsberg i. Pr., 5. Januar 1886. 1)

Neuerdings habe ich gefunden, dass die Gleichungen f(sn, z) 2in

=

0, welche offen-

bar die eindeuti!~e Transformation z' = z, s' = e n . s zulassen, alle überhaupt existierenden Riemann'schen Flächen definieren, die eine eindeutige Transformation in sich von der Periode n besitzen. Für n = 2 ergibt dieses Resultat die Antwort auf die von Herrn Fuchs in den Berichten der Berliner Akademie, Sitzung vom 22. Juli 1886, behandelte Frage; der dort entwickelte Satz, die betreffenden Riemann'schen Flächen seien notwendig hyperelliptisch, kann hiernach nicht aufrecht erhalten werden. [Januar 1887.] 2 ) Kronecker, Über bilineare Formen, Monatsberichte der Berliner Akademie vom Oktober 1866, wieder abgedruckt in Crelles Journal, Bd. 68 (1868), S. 273-285; [Werke, Bd. I, S. 143-162]. - Weber, Über die Transformationstheorie der Thetafunktionen, insbesondere derer von drei Veränderlichen, Annali di Matematica, Serie II, Bd. 9 (1878/79), S. 126-166. - Frobenius, Über die prinzipaleTransformationder Thetafunktionen mehrerer Variabeln, Crelles Journal, Bd. 95 (1883), S. 264-296. Wiltheiss, Bestimmung Abel'scher Funktionen mit zwei Argumenten, bei denen komplexe Multiplikationen stattfinden, Habilitationsschrift, Halle 1881, und Über Thetafunktionen, die nach einer Transformation in ein Produkt von Thetafunktionen zerfallen, Mathem. Annalen, Bd. 26 (1886), S. 127-142.

XI.

Über endliche Gruppen linearer Substitutionen, welche in der Theorie der elliptischen Transzendenten auftreten. (Mathematische Annalen, Bd. 27, 1886, S. 183-233.)

Einleitung. Durch die Untersuchungen über die Anwendung der Theorie der elliptischen Modulfunktionen auf die Zahlentheorie, mit welchen ich seit längerer Zeit beschäftigt bin, wurde ich veranlasst, einen Teil derjenigen Resultate weiter zu verfolgen, welche Herr Klein in seinen neuesten Publikationen über elliptische Modulfunktionen 1) dargelegt hat. Ich meine hier namentlich die Sätze über das Verhalten der n-gliedrigen a-Produkte Xa(u) bei linearer Transformation der Perioden w 1 , w 2 2). Diese Sätze habe ich zunächst auf den Fall auszudehnen versucht, welchen Herr Klein ausschliesst, um seinen Entwicklungen eine grössere Gleichmässigkeit zu geben, nämlich den Fall wo die Zahl n einen geraden Wert besitzt. Es stellte sich dabei heraus, dass auch in diesem Falle n a-Produkte Xa(u) so definiert werden können, dass dieselben bei linearen Transformationen der Perioden lineare homogene Substitutionen mit rein numerischen Koeffizienten erfahren. Dieses Resultat und die Untersuchung der Substitutionsgruppe der Funktionen Xa(u), welche entsteht, wenn man die Perioden allen möglichen linearen Transformationen unterwirft, bezeichnen den wesentlichen Inhalt der ersten fünf Paragraphen der nachfolgenden Abhandlung. Dabei habe ich jedoch aufs neue auch die zu ungeraden Zahlen 1 ) "Zur Theorie der elliptischen Funktionen nter Stufe", Berichte der k. Sächs. Gesellschaft der Wissenschaften vom 14. November 1884 [Ges. Abhandlungen, Bd. III, S. 198-254, insbesondere Fussnote 7) der Seite 200]; "Über die elliptischen Normalkurven der Nten Ordnung und zugehörigeModuHunktionen der Nten Stufe", Abhandlungen ler mathematisch-physikalischen Klasse der k. Sächs. Gesellschaft der Wissenschaften, Bd. 13 (1887), S. 337 [Ges. Abhandlungen, Bd. III, S. 198-254]. Letztere Abhandlung ~oll in der Folge mit IM.. zitiert werden. Man findet dort auch zahlreiche Zitate auf verwandte Untersuchungen anderer Mathematiker. 2 ) M. § 15-17.

Funktionentheorie.

190

n gehörigen Xa(u) behandelt, indem ich stets die beiden Fälle eines geraden und ungeraden n nebeneinander betrachte. Es erschien mir dieses wünschenswert, um die Analogie und den Unterschied zwischen beiden Fällen deutlich hervortreten zu lassen, abgesehen davon, dass dadurch auch die Klarheit der Darstellung erheblich gewann. Die weiteren an die erhaltenen Resultate anknüpfenden Entwicklungen sind teils gruppentheoretischer, teils funktionentheoretischer Natur, wie sich überhaupt in dieser ganzen Untersuchung beide Disziplinen - Gruppentheorie und Funktionentheorie - sich gegenseitig unterstützend in merkwürdiger Weise durchsetzen. Auf der einen Seite ergibt die funktionentheoretische Betrachtung jene X(u-k)

Funktionentheorie.

Hl2

zu den ungestrichelten Grössen gehören. Es drückt sich also die allgemeinste Funktion X(u) in der Form (3)

X(u)

ei'tlu'+NuX(u + k)

=

durch die von uns allein zu betrachtenden X(u) aus. Es ist aber leicht, die letzteren Funktionen sämtlich anzugeben. Da nämlich der Quotient irgend zweier eine doppeltperiodische Funktion mit den Perioden w1 , w 2 vorstellt, so lassen sich die Konstanten

q,

1"

so bestimmen, dass die Funktionen

(4) sämtlich die Periode w1 erhalten. Alsdann wird offenbar:

(5)

{

lp ( u lp (u,

+w + w2)

lp ( u), eau +blp (u)

1) =

=

und, da die Nullstellen von l/l(u) mit denen von X(tt) übereinstimmen, muss nach Gleichung (2) 2:n:i

a=---·n wl

sem. Setzen wir nun: 2in

(6)

z

2in

-u

=--:

e wl

'

h

- w1

=

e wl

Bezeichnungen, welche in der Folge stets beibehalten werden sollen 1), so ist l/l(u) jedenfalls in der Form +oo

l!l(u)

=

~ A 8 z-s -00

darstellbar, da diese Funktion die Periode w1 besitzt. Infolge der zweiten Gleichung (5) ergibt sich aber

(7) und diese Rekursionsformel für die Koeffizienten A. zeigt, dass dieselben sich auf die n willkürlich bleibenden Grössen

A0 , Au ... , An-1 1 ) Die Grössen z, h sind die Weierstrass'schen z 2 , h 2 • (Siehe die "Formeln und Lehrsätze zum Gebrauche der elliptischen Funktionen". Nach Vorlesungen und .Aufzeichnungen des Herrn Professor K. Weierstrass, bearbeitet und herausgegeben von H . .A. Schwarz, Berlin, 1. .Auflage 1885.) Im übrigen weichen meine Bezeichnungen, wie die des Herrn Klein, nur insofern von den Weierstrass'schen ab, als 2w,2w~, 27], 27]' bezw. durch w1 , w 2 , 1)1 , 1)2 ersetzt werden.

Endliche Gruppen bei elliptischen Transzendenten.

193

reduzieren. Wir wollen setzen, unter C0 eine willkürlich bleibende und unter ea eine später fest zu bestimmende Konstante verstanden. Alsdann wird die allgemeinste Funktion

(u, v), ~P(au+bv, cu+dv) =(-1)"·1P~~>(u,v).

(84) (85)

('/)~1 > (au

+ bv,

Dabei hat in der Gleichung (84) den drei Fällen:

a+c

=0 (mod. 2) , a + c =b + d =1 (mod. 2), a + c =1 , b + d =0 (mod. 2)

entsprechend, der Index v1 die Werte 0, 1, 2, die Grösse 8 1 die Werte b, b, a respektive. Desgleichen ist in der Gleichung (85) den drei Fällen:

a

=

0 (mod. 2),

a

=b =1 (mod. 2) ,

a

= 1, b

=0 (mod. 2)

entsprechend, v2 = 0, 1, 2 und 8 2 = d, d, c respektive zu setzen. Endlich ist unter (/>~0 > die ursprüngliche Funktion ~Pa zu verstehen. Die Gleichungen (77), (83), (84), (85) zeigen, dass die zu äquivalenten Formen f!J(X, y) und q;(x, y) gehörigen Funktionssysteme

227

Endliche Gruppen bei elliptischen Transzendenten.

cPa(u, v), cP~1 >(u, v) cP~2 >(u, v) in Rücksicht auf ihre Abhängigkeit von den Perioden w1 , w 2 nicht wesentlich verschieden sind: durch die Erbv, cu dv gehen, abgesehen von setzung von u und v durch au Vorzeichen, die zu der ersten Form gehörigen Funktionen in die zu der zweiten Form gehörigen über. Wir werden hiernach im ganzen ebenso viele verschiedene Funktionssysteme erhalten, als es Klassen quadratischer Formen

+

q;(x, y)

=

2 px2

+

+ 2 nqxy + nry2

=

der Determinante - 4n gibt; nur im Falle n 3 (mod. 8) ist diese Klassenzahl zu verdreifachen, dem Umstande entsprechend, dass wir neben den Funktionen cPa noch zwei andere Systeme cP~1 >, cP~2 > ein1 (mod. 4) führen mussten. Nun ist aber leicht zu zeigen, dass für n jede primitive Form (86) Px 2 + Qxy + Ry2 der Determinante Q2 - 4 PR = - 4 n,

=

und für n = 3 (mod. 4) jede solche Form zweiter Art äquivalent ist zu Formen der Gestalt

q;(x, y)

=

2 px2

+ 2 nqxy + nry

2,

so dass also durch die Gleichung (69) gerade so viel wesentlich verschiedene Funktionssysteme definiert sind, als es inäquivalente primitive Formen (86) der Determinante - 4n gibt, mit dem Zusatz, dass für n 3 (mod. 4) nur Formen zweiter Art zu nehmen sind und für n 3 (mod. 8) jene Zahl zu verdreifachen ist.

= =

§ 11.

Zusammensetzung von X-Systemen, welche zu geraden Zahlen gehören. Die in den beiden vorhergehenden Paragraphen für die zu ungeraden Zahlen gehörigen Xa angestellten Betrachtungen lassen sich mutatis mutandis auch auf die zu geraden Zahlen gehörenden Xa-Systeme anwenden. Statt aber die ziemlich umständliche Untersuchung des § 9 hier in der erforderlichen Modifikation zu wiederholen, will ich lieber ein indirektes Verfahren einschlagen, indem ich das schliessliche Resultat des § 9 analogisiere. Es sei n eine ungerade Zahl und (87)

nq2

+ 1 = 2 pr,

wo q eine beliebige ungerade Zahl bedeutet. Wir wollen annehmen, dass

Funktionentheorie.

22ll

= 3 (mod. 4)

n

sei und dürfen dann p als eine gerade Zahl voraussetzen. Nun mögen die Summen p-1

(88)

Pa=~ x~;>x~~P}+pa

(a

=

0, 1, 2 ... n -1)

0

gebildet und untersucht werden, wie dieselben sich verhalten, wenn die x

und x(X, y)

n

2in

--(yu-xv)

'

wobei die Summation zu erstrecken ist über alle ganzen Zahlen y und alle ganzen Zahlen x, welche a (mod. n) sind. Znr Abkürzung ist ferner

=--

(93)

P1

=

Jl

2

gesetzt worden. Betrachten wir jetzt die Gleichungen (92), (93) als Definitionsgleichungen, so haben wir folgenden Satz: Es sei n eine positive Zahl, welche durch 4 geteilt den Rest 3 lässt und tp (x, y) eine qttadratische F01·m der Determinante - n, dm·en erster Koeffizient relative Primzahl zu n ist, während die beiden anderen Koeffizienten du1·ch n teilbar sind. Dann werden durch die Gleichung (92) (indem a sukzessive die Werte 0, 1, 2, ... , n - 1 erhält) n Funktionen von u, v, w 1 , w 2 definiert, welche als Funktionen von w 1 , w 2 aufgefasst bei allen linearen Transformationen diesm· Grössen homogene lineare Substitutionen erfahren. Und zwar sind die den erzeugenden Transformationen (S) und ( 1') entsprechenden Substitutionen respektive 2 in a(n-a)

(S)

(1')

lJf~ = lTJa'

r

=

-P··---

e

n

2

Pa, n-1

-

___ 1_ _ _ ~ n-1

(~)·i_2_Vn

..::Je

2in

p • -n-aßtTI

rß.

0

Betrachtet man neben tp(x, y) irgend eine zweite derartige Form:

(94)

tp(x, y)

=

p 1 x2

+ nqxy + nry

2 ;

-

p

Pt= 2,

so gehört zu derselben ein zweites System von Funktionen Pa(u, v), welches mit lJfa(u, v) bezeichnet werde. Wenn nun die beiden Formen einander äquivalent sind, so dass

230

Funktionentheorie.

q;(ax

+ by,

cx

+ dy)

q;(x, y)

=

für geeignete Zahlen a, b, c, d der Determinante ad- bc = 1 wird, so sind die Funktionen Pa auf die Pa zurückführbar. Man findet nämlich durch ähnliche Betrachtungen wie sie oben im § 11 angestellt sind:

(95) Infolge dieser Gleichung werden wir die zu äquivalenten Formen fJJ(X, y) und fJJ(X, y) gehörigen Funktionssysteme Pa als nur unwesentlich verschieden bezeichnen. Es gibt daher so viele wesentlich verschiedene Systeme Pa(u, v) als inäquivalente Formen (93) existieren, und da sich zeigt, dass jede primitive Form P x 2 Qx y Ry2 der 2 Determinante Q - 4 PR = - n äquivalent ist zu Formen der Gestalt (93), so haben wir das Resultat: Die Zahl der wesentlich verschiedenen Funktionssysteme Pa(u, v) stimmt überein mit der Zahl der Klassen primitiver Formen

+

Px2

+ Qxy + Ry

+

2

der Determinante

Q2-4PR

=

-n.

§ 13.

Zusammensetzung von zu geraden und zu ungeraden Zahlen gehörigen X-Systemen. Wir betrachten endlich zu geraden und ungeraden Zahlen gehörende X-Systeme simultan. Es bezeichne n eine gerade, q eine beliebige Zahl und es sei

(96)

nq 2

+ 1 = p · r,

wo p eme ungerade Zahl bedeutet. Setzen Wir nun p-1

(97)

Xa = ...:::... """X~P) " x+ nq,. pa

(a

=

0' 1 ' 2' ... ' n - 1)

0

und unterwerfen die x

den Substitutionen (40) (wobei e = 1 und n durch p zu ersetzen ist) und simultan die x den Substitutionen (39) (wobei e = 1 und n durch np zu ersetzen ist), so erfahren die X" folgende Substitutionen:

I

Endliche Gruppen bei elliptischen Transzendenten.

231

(S)

(98)

(T)

Hieraus folgt nun, dass die Grössen p-1

xa . ({I L1 ) -2 -

sich holoedrisch isomorph mit den zu n gehörigen Xa substituieren. In der Tat finden wir (S) (99)

p-1

(T)

n-1

X~({/ L1')_2_= --;-~--"-1 ( -1)

~

-2- .J-

v n

/" -;;-aPXp({lL1)~ 2in

p-1

0

und der Vergleich mit (39) zeigt die Richtigkeit unserer Behauptung, da in Folge von (96) p-1

(;) =

(-1)-2

wird. - Was die Zahl q betrifft, SO· können wir dieselbe, da xa sich nicht ändert, wenn q + p an Stelle von q tritt, unbeschadet der Allgemeinheit als eine gerade Zahl voraussetzen. Dies soll im folgenden Paragraphen geschehen. § 14.

Systeme von Funktionen, welche aus den zu geraden und ungeraden Zahlen gehörigen Funktionen Xa(u) zusammengesetzt sind. Durch die Gleichungen .

(100)

p-1

X (u v) =~(- 1 ) a

'

2

pVn

p--1 p-1

2 ""'1 (A·y41L1)-fi-'"

x

(2u A

+ nqv)x(au bv, C'U dv) auf die Funktionen Xa(u, v) und x~•>(u, v) zurückgeführt werden können. Als Hauptergebnis dieser Entwicklungen betrachte ich aber dieses: Durch die Gleichung (101) sind im ganzen so viele wesentlich verschiedene Funktionssysteme definiert, als die Zahl der inäquivalenten Formen (102) angibt, mit dem Bemerken, dass diese Zahl zu verdoppeln bzw. zu verdreifachen ist, falls n 4 bzw. n 0 (mod. 8) ist. Man kann hinzufügen, dass für n 2 (mod. 4) jede primitive Form (P, Q, R) erster Art der Determinante Q2 - 4 PR = -4 n und für n = 0 (mod. 4) jede solche Form zweiter Art zu Formen der Gestalt (102) äquivalent ist, so dass der vorige Satz ersichtlich in emer noch etwas eleganteren Form ausgesprochen werden kann.

+

+

=

=

=

§ 15. Prozess der Komposition.

Die Sätze der letzten Paragraphen sind teils gruppentheoretischer, teils funktionentheoretischer Natur. So gehört der Inhalt der §§ 9, 11, 13 der Gruppentheorie an, während die §§ 10, 12, 14 funktionentheoretische Anwendungen der in den bezüglichen vorhergehenden Paragraphen gewonnenen gruppentheoretischen Resultate enthalten. Der allgemeine Gedankengang, welcher diesen Anwendungen zu Grunde liegt, ist dieser: Sobald irgend zwei Systeme von p bzw. np Funktionen der Grössen w1 , w2 bekannt sind, welche sich bei linearen Transformationen von wl, (1)2 wie die Grössen x

, x 1)

eine unendliche Zahl von eindeutigen Transformationen in sich nicht besitzen kann, hoffe ich demnächst zurückzukommen. Man vergl. wegen d€sselben Klein und P oi n c are, Sur un theoreme deM. Fuchs, ActaMathematica, Bd. 7 (1885), S.1-32, insbes. S.16-19. Der Satz, dass eine kontinuierliche Schar von eindeutigen Transformationen bei p > 1 nicht existieren kann, lässt sich leicht aus den Entwicklungen des Textes ableiten. Auf diesen Satz beziehen sich die Aufsätze von H. A. Schwarz, Über diejenigen algebraischen Gleichungen zwischen zwei veränderlichen Grössen, welche eine Schar rationaler eindeutig umkehrbarer Transformationen in sich selbst zulassen, Crelles Journal, Bd. 87 (1879), S.139-145 [Ges. Abhandlungen, Bd. II, S. 285-291]; Hettner, Über diejenigen algebraischen Gleichungen usw., Göttinger Nachrichten, 1880, S. 386-398 und N oether, Note über die algebraischen Kurven, welche eine Schar eindeutiger Transformationen in sich zulassen, Mathem. Annalen, Bd. 20 (1882), S. 59-62, und Nachtrag zu dieser Note, Mathem. Annalen, Bd. 21 (1883), S.138-140. -Die letzte Angabe bedarf insofem einer Berichtigung, als Herr Noether (a. a. 0.) sich nicht auf die Betrachtung kontinuierlicher Scharen von eindeutigen Transformationen beschränkt, sondem in voller Allgemeinheit nachweist, dass ein algebraisches Gebilde (p > 1) eine unendliche Anzahl eindeutiger Transformationen in sich nicht besitzen kann. [Januar 1888.]

Funktionentheorie.

250

dizität der eindeutigen Transformationen eines Gebildes in sich ergeben wird. - Zwischen zwei Stellen x, y einer Riemann'schen Fläche möge eine algebraische Korrespondenz bestehen, vermöge welcher jeder Stelle x a Lagen y', y", ... y2•···h1>1>-r, g1>1

(1)

, H 12 ,

•••

Hl1>

' g12' ... gl1> 'gp2, ... g1>1>

, G11 -r, G12 ,

••.

G1 1>

besitzt lauter lineare Elementarteiler und die 2p Werte von r, für welche D verschwindet, haben sämtlich den absoluten Betrag ym. Einer Korrespondenz (a, ß), zu welcher die Gleichungssysteme (1), (2) der vorigen Nummer gehören, entspreche eine prinzipale Transformation. Führt man dann an Stelle der u 1 , u 2 , ••• u1> p geeignete lineare Verbindungen dieser Grössen ein und bezeichnet diese Verbindungen wieder mit u1, u 2 , ••• u1>, so stellt sich das Gleichungssystem (1) der vorigen Nummer in der Form dar: a

(2)

~ u~.;(Y')

=

6kuk(x)

+ nk,

(k=1,2, ... p),

1

wo die p Grössen 6k zusammen mit ihren konjugiert komplexEm Werten die Wurzeln r der Gleichung D = 0 ausmachen. Ist insbesondere m = 1, · so sind die Grössen 6k sämtlich Einheitswurzeln. Da nun, wie oben gezeigt, einer (1, 1) Korrespondenz immer eine prinzipale Transformation mit m = 1 entspricht, so folgt, dass für jede solche Korrespondenz p linear unabhängige Integrale erster Gattung bestimmt werden können, welche den Gleichungen

(3) genügen, wenn x und y irgend zwei korrespondierende Stellen und Diese Gleichungen unter6 1 , 6 2 , ••• 61> Einheitswurzeln bezeichnen. scheiden sich aber nur in der Schreibweise von den Gleichungen (11) der Nummer 3, aus welchen unmittelbar die Periodizität der mit der Korrespondenz gleichbedeutenden eindeutigen Transformation gefolgert werden konnte.

6. Hier mögen nun noch einige Bemerkungen über das zu irgend emer (1, 1) Korrespondenz gehörige Gleichungssystem (1)

du~= ckduk, (k = 1, 2, ... p)

Funktionentheorie.

2.'54

Platz finden, welches ich jetzt wieder in der bequemeren ~chreibweise der Nr. 3 angesetzt habe. Bezeichnet K die Zahl der Koinzidenzen der Korrespondenz. so ist (nach C. § 10) K = 2 - (h11 + h22 + · · ·

+ h:H> +

G11 + G22 + · · · + Gpp).

Andererseits ist die auftretende Klammergrösse gleich der Summe der Wurzeln der Gleichung D = 0, also gleich e1-L ' e., _-l, .. ·

+ e + ep

1

1

--!- e2- 1

•••

1 ep'

Es drückt sich also die Zahl der Koinziden.zen der Korrespondenz durch die Formel aus;

(2)

K

= 2-t:1 -e 2 --···-ep -e-1 1 -e-2 1 -···-e-p 1 • p

Da die Summe~ (ek

+ eT;

1)

einer ganzen Zahl gleich ist, so können

1

in dem Gleichungssystem (1) nur gewisse Kombinationen von Einheitswurzeln auftreten. Ich will in dieser Hinsicht nur den Fall näher 2"'i

betrachten, wo die Periode n eine Primzahl ist. Sei e = e " , so werden von den Zahlen ek etwa m0 gleich e0 = 1, m1 gleich e\ ... , m,._ 1 gleich e"- 1 werden, wo natürlich (3) ist. Die Formel (2) ergibt nun

(4) K =2-2m0 -[(m1 +m,._1)e + (m 2 +m,._ 2)e 2+ · · · + (m,._ 1 +m 1)e"- 1]. Wegen der Irreduzibilität der Gleichung x-1 = 0 Ist daher notwendig (5) ml + mn-1 = m2 + m,._2 = ... = mn-1 + mn+l' :t"-1

.

~

-2-

Wenn also n eine Primzahl ist, treten irgend zwei konjugiert imaginäre komplexe Einheitswurzeln zusammengenommen im Gleichungssystem (1) gerade so oft auf, wie irgend zwei andere. Der gemeinsame Wert der Zahlen (5) findet sich aus (3) gleich 2 · 1~~~0

(6)

K

= 2- 2m0

,

so dass

+ 2 · p-mo n-1

wird. Die Anzahl derjenigen Einheitswurzeln ek, welche sich auf + 1 reduzieren, hat in allen Fällen (ich lasse ·jetzt die Beschränkung, dass

Algebraische Gebilde mit eindeutigen Transformationen in sich.

255

n eine Primzal sei, wieder fallen) eine einfache Bedeutung. Sie ist nämlich stets gleich dem Geschlecht p 1 der durch die Gleichung

F'(a, C)

=

0

definierten Fläche R 1 (vgl. Nr. 2). Zum Beweise bemerke ich zunächst, dass jede Funktion der Stelle P auf der Fläche R auch als Funktion der entsprechenden Stelle auf der Fläche R 1 (und umgekehrt) angesehen werden kann. In diesem Sinne ist jedes überall endliche Integral von R, welches die Gleichung du' = du erfüllt, auch ein überall endliches Integral von R 11 und umgekehrt befriedigt jedes überall endliche Integral von R 1 , aufgefasst als ein Integral der Fläche R, die Gleichung du'= du 1). Die Bedingung dafür, dass p 1 = 0 ist, lässt sich hiernach dahin aussprechen, dass sich keine der Einheitswurzeln ek auf die positive Einheit reduzieren darf. Sollen die Einheitswurzeln ek sämtlich unter einander gleich werden, so ist dieses nicht anders möglich, als dass sie sämtlich den Wert -1 besitzen; die Riemann'sche Fläche ist dann hyperelliptisch und die Korrespondenz ordnet immer zwei solche Stellen einander zu,. in welchen die zweiwertige Funktion der Fläche denselben Wort annimmt. Denn unter der Voraussetzung e1 = e2 = · · · = ep folgt aus den Gleichungen (1), dass jedes an der Stelle P von der zweiten Ordnung verschwindende 2) Differential erster Gattung auch an der Stelle P' von der zweiten Ordnung Null ist, woraus alles Weitere sich leicht ergibt.

7. Die Aufgabe, alle Riemann'schen Flächen eines gegebenen Geschlechtes p zu bestimmen, welche eine eindeutige Transformation in sich zulassen, kann man dadurch lösen, dass man alle Gleichungen

F(sn, z)

=

0

bestimmt, welche das vorgegebene Geschlecht besitzen, wobei natürlich zwei Gleichungen, welche in dieselbe Klasse gehören, als nicht verschieden angesehen werden. Die Entwicklungen der Nr. 2 lassen leicht erkennen, dass die Bestimmung der wirklich verschiedenen Gleichungen durch eine endliche Zahl von Versuchen erreicht werden kann. Dieselbe Aufgabe lässt sich auch in der Weise behandeln, dass 1 ) Diese Betrachtung ergibt zugleich diejenigen Integrale der ursprünglichen Fläche, welche sich, infolge der eindeutigen Transformation der Fläche in sich, auf ein niederes Geschlecht reduzieren. 2) [[Vergl. zu dieser Redewendung die Anmerkung des Herausgebers auf S. 171 dieses Bandes. Anm. v. H. W.]]

Funktionentheorie.

256

man die Riemann'sche Fläche durch diejenige Kurve im Raume von p- 1 Dimensionen dargestellt denkt, welche durch den Punkt

1, weil anderenfalls die Transformation mit der bei einem hyperelliptischen Gebilde stets vorhandenen zusammenfallen würde. Sei nun

s

{3)

=

y/R(z)

die Definitionsgleichung der Fläche, so ist

(4)

dz'

7

s·dz

= V R(sz) =

8 •

dic: 1 jR(z)V H(sz) 'VR(Z)'

1 ) Siehe wegen dieser Darstellung der Riemann'schen Flächen: Weber: "Über gewisse in der Theorie der Abel'schen Funktionen auftretende Ausnahmefälle", Jlilathem. Annalen, Bd.13 (1878), S. 35-48 und namentlich Noether: "Über die invariante Darstellung algebraischer Funktionen", Mathem. Annalen, Bd. 17 (1880/81), S.. 263-284.

Algebraische Gebilde mit eindeutigen Transform:ttionen in sich.

257

und dieser Ausdruck muss ein Differential erster Gattung sein. Also . 1e ganze F un kt"wn von z un d f o1g1"1ch eme . . R(z) · -.! ratwna eme VR(ez) Ist Konstante, so dass R(ez) = const. R(z) (5) wird. Die ganze Funktion R (z) kann also nur solche Potenzen von z enthalten, deren Exponenten (mod. n) kongruent sind und folglich ist entweder R (z) = R 1 (zn) oder R (z) = z · R 1 (zn). Im ersten Falle wird s' = ± s, im zweiten s' = ± el· s. Es ergibt sich also der Satz: "Jede hyperelliptische Fläche, welche ausser der stets vorhandenen eindeutigen Transformation in sich noch eine weitere solche Transformation besitzt, lässt sich durch eine der beiden Gleichungen s2

=

s2 =

R(zn), z · R(zn)

definieren, dergestalt, dass jene Transformation durch die Formeln: z'

=

s'

ez,

= rJS

1m ersten, und z'

=

ez,

I

s = 'fJ.

}.

g2

s

im zweiten Falle angegeben wird. Dabei bezeichnet 'fJ einen der W m·te 1 verschiedene nte Einheitswurzel." ± 1 und e eine von

+

8. Besitzt eine Riemann'sche Fläche eindeutige Transformationen in sich, so bildet die Gesamtheit der letzteren eine Gruppe, indem die Zusammensetzung je zweier Transformationen (P, P'), (P', P") eine dritte Transformation (P, P") ergibt. Die Gruppe dieser Transformationen ist für p > 1 stets eine endliche, und es erwächst die Aufgabe, für ein gegebenes Geschlecht alle Möglichkeiten, welche sich hier darbieten können, zu diskutieren. Die in der vorigen Nummer besprochene Aufgabe geht aus der jetzt formulierten offenbar durch die Einschränkung hervor, dass man nur zyklische Gruppen betrachten will. Indem ich mich, was die allgemeine Aufgabe betrifft, mit der Bemerkung begnüge, dass eine grosse Zahl von ausführlich studierten Beispielen algebraischer Gebilde mit Gruppen eindeutiger Transformationen in sich in der Literatur über Modulfunktionen 1) 1 ) Ich nenne hier statt aller nur die den vorliegenden Betrachtungen am nächsten stehende Arbeit von W. Dyck, "Über Aufstellung und Untersuchung von Gruppe und Irrationalität regulärer Riemann'scher Flächen", Mathem. Annalen, Bd. 17 (1880/81),

17

258

Funktionentheorie.

vorliegt, möchte ich hier noch einige Sätze entwickeln, welche sich auf eine gewissermassen umgekehrte Fragestellung beziehen und die, wie mir scheint, für die Gleichungstheorie von Wichtigkeit sind. Es sei irgend eine endliche. Gruppe von N Operationen gegeben. Dann gibt es stets algebraische Gebilde, welche eine Gruppe eindeutiger Transformationen in sich besiizen, welche mit jener Gruppe von N Operationen holoedrisch isomorph ist. Zum Beweise bemerke ich zunächst, dass jeder Gruppe von N Operationen eine holoedrisch isomorphe Gruppe von N Vertauschungen von ebensovielen Dingen entspricht. Man bezeichne nämlich die Operationen mit dann werden die Operationen xix 0 , xix 1 , ••• xixN-l

in irgendeiner Reihenfolge mit den ursprünglichen Operationen identisch sein. Ordnet man nun der Operation xi diejenige Vertauschung der Buchstaben x 0 , x1 , ••• xN-l zu, welche xk durch xixk ersetzt, so wird das hierdurch definierte System von Vertauschungen der vorgelegten Gruppe holoedrisch isomorph sein. Deutet man jetzt als Koordinaten eines Raumes von N - 1 Dimensionen und bildet irgendeine algebraische Kurve dieses Raumes, welche in sich übergeht, wenn die Koordinaten x 0 , x 1 , • .• xN-l den genannten Vertauschungen unterworfen werden, so wird diese Kurve offP,nbar ein algebraisches Gebilde von der im Satze angegebenen Beschaffenheit definieren. Die in diesem Beweise zugleich enthaltene Methode zur Herstellung der betreffenden algebraischen Gebilde wird man in besonderen Fällen natürlich durch einfachere Methoden ersetzen können. Handelt es sich beispielsweise um die Gruppe der Vertauschungen von n Dingen Yo, Y1 , ••• Yn- 1 , so wird die durch die n - 2 Gleichungen:

Yo Y~

!.

+Y1 + Yi

+ .. ·+Yn-1=0 + ··· + Y!- 1 = 0

. . . . . . . . . ..

y~- 2

+ y~- 2 + ··· + Y:=i = 0

S. 473-509. Wegen der weiteren im Texte entwickelten Ideen vergleiche man folgende Publikationen von F. Klein, Über die Auflösung gewisser Gleichungen vom siebenten und achten Grade, Mathem. Annalen, Bd. 15 (1879), S. 251-282 [Ges. Abhandlungen, Bd. II, S. 390-438]; Vorlesungen über das Ikosaeder und die Auflösung der Gleichungen vom fünften Grade, Leipzig 1884, sowie den neuerdings erschienenen Aufsatz: "Zur Theorie der allgemeinen Gleichungen sechsten und siebenten Grades", Mathem. Annalen, Bd. 28 (1886{87), S. 499-532. [Ges. Abhandlungen, Bd. II, S. 439-472.]

Algebraische Gebilde mit eindeutigen Transformationen in sich.

259

definierte einfach ausgedehnte algebraische Mannigfaltigkeit die in den Vertauschungen der y bestehenden eindeutigen Transformationen in sich zulassen. Bei einer vorgelegten Gruppe wird es sich nun darum handeln, die einfachsten algebraischen Kurven aufzufinden, welche eine isomorphe Gruppe eindeutiger Transformationen besitzen. Als solche einfachste Kurven definiere ich diejenigen, welche das kleinst mögliche Geschlecht aufweisen. Dieses Minimalgeschlecht kann, da es durch die Gruppe eindeutig bestimmt ist, als das "Geschlecht der Gruppe" bezeichnet B. hat die Gruppe der geraden Vertauschungen von fünf werden. Dingen das Geschlecht Null, weil es eine Riemann'sche Fläche vom Geschlecht Null- die Kugel- gibt, welche ein holoedrisch isomorphes System von eindeutigen Transformationen- das System der Ikosaedersubstitutionen - zulässt. Wenn das Geschlecht einer Gruppe gleich p ist, so gibt es immer ein der Gruppe holoedrisch isomorphes System linearer Substitutionen bei p homogenen Variabeln und ein solches System ganzzahliger linearer Substitutionen bei 2p Variabeln. Denn jeder eindeutigen Transformation einer Riemann'schen Fläche in sich entspricht eine lineare homogene Substitution der p Differentiale erster Gattung du 1 , du 2 , ••• duf) und eine prinzipale Transformation der zugehörigen D- Funktion.

z.

Königsberg i. P., den 12. März 1887.

XIII.

Über arithmetische Eigenschaften gewisser transzendenter Funktionen. ([2. Abhandlungl).]] (Mathematische Annalen, Bd. 32, 1888, S.

583~588.)

Im Anschluss an die vorstehende Abhandlung des Herrn Ratner 2) entwickle ich in den folgenden Zeilen einen neuen Beweis und einige Verallgemeinerungen des Satzes, welchen ich auf S. 222 meiner unter obigem Titel im 22. Bande der Mathem. Annalen erschienenen Arbeit aufgestellt habe. [Diese Werke, Bd. I, S. 130.] Die beständig konvergierende Potenzreihe 3 ) 1 1 z2 1 z3 y=l+bz+b(b+a)2! +b(b+a)(b+2a)3!

{1)

+···,

welche beiläufig bemerkt nur unwesentlich von der Bessel'schen Reihe verschieden ist, genügt der Differentialgleichung

(2)

azy"

=-

by'

+ y.

Aus dieser Gleichung leitet man leicht die folgende ab: (az)n-ly(n) = 1fln. y'

(3)

+ Xn. y.

Hier bedeuten 1fln, Xn ganze ganzzahlige Funktionen von a, b, z, · b ezug auf z von den Graden -n-2 n-2 n-1 n-3 we l ch e m 2 - , - 2 - oder - 2 - , - 2 sind, je nachdem n gerade oder ungerade ist. Der Beweis hiervon ergibt sich durch den Schluss von n auf n + 1. Setzt man nämlich ([1. Abhandlung: Diese Werke, Bd. I, VI, S. 119-137.]] Ratner, Über eine Eigenschaft gewisser linearer irreduktibler Differentialgleichungen, Mathem. Annalen, Bd. 32 (1888), S. 566-582. 3 ) Es wird angenommen, dass _!_ nicht eine negative ganze Zahl ist, weil sonst die . a Reihe sinnlos würde. Überdies wird der Fall a = 0 ausgeschlossen, für welchen sich y 1)

2)

z

offenbar auf eb reduziert.

Arithmetische Eigenschaften gewisser transzendenter l!'unktionen li.

(az)n ys,

wo s eine positive von Null verschiedene Zahl bedeutet. Nun kann aber ferner nach Voraussetzung N so gross angenommen werden, dass für alle Stellen des Bereiches B lf(z)- g.(z)

I s ist, wo s eine positive von Null verschiedene Grösse bezeichnet. Da andererseits Y so gross gewählt werden kann, dass erstens g. (z) für einen Punkt z0 jenes Bereiches verschwindet und zweitens Ii (z) - g.(z) I < s ist, so ergibt sich für die Stelle z0 der Widerspruch, dass gleichzeitig lf (z0) I > s und lf (z0) I < s ist. Daher ist die Annahme, f (z) sei für z = a von Null verschieden, unzulässig. Hiernach kann man folgenden Satz aussprechen: "Es sei in einem endlichen Gebiete G die Funktion f (z) die gleichmiissige Grenze der Reihe von Funktionen g1 (z), g2 (z), ... , g.(z), . .. , also lim g.(z) = f(z). Innerhalb G möge ferner jede einzelne der genannten Funktionen den Charakter einer rationalen Funktion besitzen. Dann sind im lnnern von G die Nullstellen der Funktion f(z) identisch mit denjenigen Stellen, an welchen sich die Wurzeln der Gleichungen

g1 (z)

=

0, g2 (z)

=

0, ... , g"(z)

=

0, ...

1Jerdichten. Und zwar liegen in einer beliebig kleinen Umgebung dm· Stelle a, welche eine r-fache Nullstelle von f(z) ist, genau r Wurzeln der

270

Funktionentheorie.

Gleichung g. (z) = 0, sobald v eine bestimmte von der Grösse jener Umgebung abhängende Zahl überschreitet." Der entsprechende Satz gilt auch für die Unendlichkeitsstellen der Funktion f(z), sowie für die Stellen, an welchen f(z) = C wird, unter C eine beliebige Konstante verstanden. Ferner ist in diesem Satze als ein besonderer Fall der oben genannte enthalten, nach welchem die 00

Bestimmung der Nullstellen einer Potenzreihe ~ arzr mit beliebiger r=O

Genauigkeit durch die Auflösung der algebraischen Gleichung geschehen kann. § 2.

Die Bessel'sche Reihe als Grenze einer besonderen rationalen Funktion. Will man den im vorigen Paragraphen bewiesenen Satz verwenden, um die Nullstellen irgendeiner besonderen Funktion f(z) zu bestimmen, so wird es sich zunächst immer um eine zweckmässige Wahl der Funktionen g1 (z), g2 (z), ... , g. (z), . .. handeln. In dem Falle der Bessel'schen Reihe

(7)

f .. (z

)

1 = T(n+1)F(1)

z

+ F(n+2)F(2) + ···

sind es die Zähler und Nenner der Kettenbruchentwicklung von f fn(zl), .n+l

z

welche passend als Funktionen g. (z) gewählt werden. Diese Funktionen sind von Reine, ChristoHel und Lommel behandelt worden 1). Der Vollständigkeit halber will ich jedoch die Formeln, welche für den vorliegenden Zweck von Wichtigkeit sind, kurz entwickeln. Man verifiziert zunächst ohne Weiteres die bekannten Gleichungen dfn

fn+l•

(8)

Tz=

(9)

fn-t = nfn

+ zfn-H•

wobei ich, wie in der Folge mehrfach, kurz f n statt f n (z) geschrieben habe. Durch fortgesetzte Anwendung der Gleichung (9) erhält man eine Gleichung der Form

fn-1

=

gJn+v-1

+ zh•. fn+v•

1 ) Heine, loc. cit. Bd. 1, S. 284, Christoffel, Crelles Journal, Bd. 58 (1861), S. 91, Lommel, Zur Theorie der Bessel'schen Funktionen, Mathem. Annalen, Bd. 4 (1871), S. 103-116, insbes. S. 108 ff.

Nullstellen der Bessel'schen Funktion.

271

wo 9. und h. ganze Funktionen von z und n. bezeichnen. Um letztere zu bestimmen, ersetze man fn+•-1 nach (9) durch (n + 'P) fn+• + zfn+v+l; dann erkennt man, dass hd 1 mit g. und 9v+t mit (n + 'P)g. + zh. identisch ist. Hiernach hat man: fn-1 = 9./n+•-1 + Z9v-dn+v• 9.+1 = (n + v)9. + Z9v-1"

(10) (11)

Man findet vermöge dieser Gleichungen nach und nach:

9o = 1 , 91 = n, 92 = n (n + 1) + z, + 1)(n + 2) + 2(n + 1)z, .... n(n 93 = Zur Auffindung des allgemeinen Ausdruckes für g. bemerke ich, dass die Rekursionsformel (11) befriedigt wird, wenn man statt g. entweder (-1YLn-• oder (-1)•z•+ 1fn+• g -1

= 0,

einträgt. Daher ist allgemein Yv = (-1)• (q;f-n-v- 'ljlZv+ 1 fn+ .},

wenn die Faktoren q; und 'P so bestimmt werden, da.ss letztere Gleichung für v = - 1 und v = 0 richtig ist. Es müssen also q; und 'P die Gleichungen q;f_,.+l- 'Pfn-1 = 0, q;f-n - 'I{JZ/n = 1 befriedigen. Nun ist aber die Determinante f_"/"_ 1 - zf_n+dn von z unabhängig; denn ihr nach z genommener Differentialquotient verschwindet zufolge der Relationen (8) und (9). Der Wert jener Determinante ergibt sich, indem man z = 0 setzt, und man findet so (12) und somit

sinnn f-n f n-1-Z f-n+1 f n = ;n.

Nach Eintragung dieser Werte von q; und 'P kommt:

(18)

(-l)•:n;

9v = sinnn

[fn-1 f-n-v-Z•+lfn+v f-n+1 ] •

Ersetzt man die Funktionen f durch ihre Reihenentwicklungen, so erhält man nach den erforderlichen Reduktionen: (14)

g = ""'Cv-r) F(n+v-r)z' ' ' F(n+r) • ~ ,

wobei ar den rten Binomialkoeffizienten von a bezeichnet und die Sumh · · d h . von r = 0 b"Is r = 211 od er r = -v-l mat10n 2 - auszu e nen 1st, Je nac -

Funktionentheorie.

272

dem v gerade oder ungerade istl). Zur besseren Übersicht will ich die Anfangs- und Endglieder von g2 • und g2.+ 1 hier ausführlich hinschreiben; es ist g2 • = .z• + (v + 1h (n + v) (n + v-1) z•- 1 + ... {15) + (2v-1) · (n + 1) · · · (n + 2v-2)z+ n(n + 1) ... (n + 2v-1), g2 ,.+ 1 = (v+1) (n +v) z•· + (v+2)a(n + v-1) (n + v)(n + v + 1) z•- 1 + ··· +2v(n + 1) ··· (n+ 2v-1)z+n(n+ 1) ... (n+ 2v).

l

Trägt man jetzt in die Formel (13) für Ln-• und fn+v die Reihenentwicklungen ein, so findet man unter Berücksichtigung der Gleichung F(a) r (1- a) = -.-n-: Bin an {16)

F(:~v) = fn-d1 + -n-zv + 1 + ···] 1

1

(-1)"+ 1 n sinnn

z•+ 1

·[

z

f-n+l F(n+v)F(n+v+l) 1 + n+v+l

]

+··· ·

Ich schliesse nun Einfachheit halber den Fall eines ganzzahligen n von der Betrachtung aus. Ist dann Ci ein beliebig grosses aber endliches Gebiet der z-Ebene, so kann man der Gleichung (16) zufolge N

F(:+

so gross wählen, dass für jede Stelle des Gebietes v) sich um weniger als eine beliebig klein vorgeschriebene Grösse von f .. _1 unterscheidet, sobald 1' ~ N genommen wird. Es ist also in jedem endlichen Gebiete fn- 1 die gleichmässige Grenze von T(:+v)' und man kann daher nach dem Satze des vorigen Paragraphen die N nilstellen von f n _ 1 (z) mit beliebiger Genauigkeit durch Auflösung der Gleichung g. (z) = 0 finden. § 3.

ttber eine Art Sturm'scher Reihen. Ehe ich zu der Untersuchung der Gleichung g. (z) = 0 übergehe, will ich zur Vereinfachung der Darstellung einen allgemeinen Satz vorausschicken. Es smen (17) vm, vm-1•" . ., v,d1' v,., vp-1'' .. ,VI, Vo ganze Funktionen von z mit reellen Koeffizienten, der Grad von Vi sei gleich i und der Koeffizient der höchsten Potenz eine positive Grösse, Die Funktion g. befriedigt, beiläufig bemerkt, die Differentialgleichung: z 3 1fV- 2(v- 2)z 2 y'"+[(v-l)(v- 2)- n(n+v-1)- 4z]zy" +[nv(n+v- 1)+(4v- 6)z]y'- v(v-1)y = 0, .aus welcher ebenfalls ihr allgemeiner Ausdruck (14) abgeleitet werden kann. 1)

Nullstellen der Bessel'schen Funktion.

273

insbesondere V0 eme positive Konstante. Die Funktionen mögen ferner folgenden Bedingungen genügen: 1) Sobald für einen reellen Wert von zeine der Funktionen V;, wo i § fl ist, verschwindet, besitzen die benachbarten Funktionen Vi-t- 1 , V;_ 1 nichtverschwindende Werte von entgegengesetztem Vorzeichen; wenn dagegen V I' verschwindet, so haben V'"+ 1 und Vl'_ 1 nicht verschwindende Werte von demselben Vorzeichen. 2) Wenn z die reellen Werte von - oo bis + oo durchläuft, so geht der Quotient : m überall, wo er verschwindet, von negativen m-1 zu positiven Werten über. 3) Die Gleichung V m = 0 hat keine mehrfachen reellen Wurzeln. Aus diesen Voraussetzungen lässt sich nun folgendes erschliessen. Betrachtet man die Reihe (18) so bietet dieselbe fl Zeichenwechsel für z = - oo und fl Zeichenfolgen für z = + oo. Da nun die Reihe nur dadurch einen Zeichenwechsel verlieren kann, dass z eine Wurzel der Gleichung V'" = 0 passiert und dabei zugleich

V

~

von negativen zu positiven Werten übergeht, so folgt:

p-1

"Die Wurzeln der Gleichung V I' = 0 sind sämtlich reell und voneinander verschieden. Der Quotient

V

~ p-1

geht, wenn z eine Wurzel

der Gleichung V I ' = 0 überschreitet, stets von negativen zu positiven Werten über." Eine Folge hiervon ist, dass die Z'1hl der Wurzeln von V 1, = 0, welche. zwischen z = oc und z = ß liegen, genau gleich der Zahl der Zeichenwechsel ist, welche die Reihe (18) verliert, während z von oc bis ß wächst. Betrachtet man jetzt die Reihe (17), so verliert dieselbe, wenn z von- oo bis + oo wächst, m ZeichenwechseL Der Verlust eines Zeichenwechsels tritt nun ein, erstens beim Überschreiten einer Nullstelle von V m und zweitens beim Überschreiten einer Nullstelle von V'" und zwar gehen im letzteren Falle immer zwei Zeichenwechsel verloren. Denn da VV'"

p-1

kurz vor einer Nullstelle von V'" negativ ist, so bieten

die Funktionen Vl'+ 1 , V'", V'"_ 1 kurz vor resp. kurz nach dem Überschreiten einer Nullstelle die Zeichen e, - e,e, resp. e, e, e dar, wo e entweder + oder - sein kann. Bezeichnet daher r die Zahl der reellen Wurzeln von V m = 0, so ist

r

+ 2 fl

=

m, 18

274

Funktionentheorie.

und also 2/l die Zahl der imaginären Nullstellen von V m· Man hat also den Satz: "Die Gleichung V m = 0 hat 2f-l imaginäre und m- 2/-l reelle Wurzeln." Um die Zahl der reellen Wurzeln von V m = 0 zu bestimmen, welche zwischen z = oc und z = ß liegen, bezeichne man mit A die Zahl der Zeichenwechsel, welche die Reihe (17), mit A' die Zahl der Zeichenwechsel, welche die Reihe (18) verliert, wenn z von oc bis ß wächst. Es ist dann

wo rafJ die gesuchte Zahl der reellen Wurzeln von V m = 0 und r:ß die Zahl der in den Grenzen z = oc und z = ß liegenden Wurzeln von V~' = 0 bedeutet. Man hat hiernach raß = A -2A' t19) als Anzahl der reellen Wurzeln von V m und z = ß liegen.

=

0, welche zwischen z

=

oc

§ 4.

Die Nullstellen der Funktionen g•• Eliminiert man aus den Gleichungen

g. = (n g•+l = (n g•+2 = (n

+ v -1)g._ + zgv-2• + v) g. + zg•-1> + " + 1) g•+l + zg. 1

die Funktionen g•+l und g._ 1 , so erhält man

(20)

(n

+ v -1)g.+ 2 =

c.g.- (n

+ v + 1)z 2 g._ 2 ,

wo zur Abkürzung

(21)

c.

=

(n

+

v)[(n

+ v- 1) (n + v + 1) + 2z]

gesetzt ist. Wird nach und nach v sich die Gleichungskette

(22)

(n (n (n

+ l)g4 = + 3)g6 = + 5)gs =

=

2, 4, 6,. . . genommen, so ergibt

c2 g2 - (n c4g4 - (n Csgs- (n

+ 3)z 2 g0 , + 5)z 2 g2 , + 7)z2g4,

neben welche sich eine andere für die Funktionen g1 , g3 , g5 , ••• stellt. die ich indessen im folgenden nicht verwende.

Nullstellen der Bessel' sehen Funktion.

275

Sei nun n eine reelle Grösse und seien erstens die Zahlen n+1,n+3,n+5, ...

sämtlich positiv. Dann ergibt die Sturm'sche Deduktion angewandt auf die Reihe g0 , g2 , g4 , ••• , dass die Gleichung g2 v = 0 nur reelle Wurzeln besitzt. Also: "Wenn n > - 1 ist, so sind die Wurzeln der Gleichungen g2 (z) = 0, g4 (z) = 0, ... , g2v(z) = 0, ... sämtlich reell." Die Zahl der positiven Wurzeln von g2 v = 0 ist in diesem Falle gleich der Anzahl der Zeichenwechsel, welche die Reihe g0 , g2 , ••• , g2 • bei dem Übergang von z = 0 bis z = oo verliert. Es ist aber für z = 0

{23)

g4 = (n + 2)(n + 3)g2 , ••• g2 = n(n + 1), g0 = 1, · .. , g2 v+ 2 = (n + 2v) (n + 2v + 1)g2 v,• .••

Da nun n > - 1 ist, so bietet diese Reihe einen oder keinen Zeichenwechsel dar, je nachdem n 0 ist. Also folgt: Die Gleichung g2• (z) = 0 hat eine positive und v - 1 negative W urzeln, wenn n zwischen - 1 und 0 liegt, dagegen sind für n > 0 alle Wurzeln jener Gleichung negativ. Sei nun zweitens in der Reihe

+ 2p + 1

n+1, n+3, n+5, ...

die erste Zahl, welche positiv ist, wobei p. > 0 vorausgesetzt wird. Dann sind für die Funktionenreihe

n

Vo = go, Vl = g2,· ·.,VI'= g2p•· · ., V.= g2.

die Bedingungen 1) des vorigen Paragraphen erfüllt, wie dies sofort aus den Gleichungen (22) hervorgeht. Da nun, wie sogleich gezeigt werden soll, auch die Bedingungen 2) und B) erfüllt sind, sobald v eine gewisse Grösse überschreitet, so folgt: Wenn n zwischen -2 /l· -1 und -2 p + 1 liegt, so besitzt die Gleichung g2v(z) = 0 genau 2 p imaginäre Wurzeln, falls v eine gewisse Zahl N ii.berschreitet. Zugleich ist von den reellen Wurzeln dieser Gleichung eine oder keine positiv, je nachdem n zwischen- 2p -1 und- 2p oder zwischen- 2p und - 2p + 1 liegt. Der letzte Zusatz ergibt sich aus {19) indem man bemerkt, dass die Reihe g0 , g2 , ••• , g2 • nach (23) entweder einen oder keinen Zeichenwechsel aufweist, je nachdem (n + 2p)(n + 2p + 1) negativ oder positiv ist.

Funktionentheorie.

276

Um den Nachweis zu führen, dass von einem bestimmten ,. ab die Bedingungen 2) und 3) des vorigen Paragraphen erfüllt sind, bemerke ich, dass diese Bedingungen dann und nur dann erfüllt sind, V g wenn der Differentialquotient von = ~ oder was auf dasselbe

rm-1

g2•-2

9.9;._

hinausläuft, die Funktionaldeterminante 92P- 2 9~.- 2 2 für jede reelle Nullstelle von g2 • einen positiven (nicht verschwindenden) Wert besitzt. Jene Funktionaldeterminante drückt sich aber vermöge (11) durch aus, wenn allgemein (24)

+ (n + 2v -1) Lf 2 ._ 1

~"_ 2

gesetzt wird. Ich werde nun zeigen, dass Lf 2"_ 1 von einem gewissen Werte von v ab für jeden reellen Wert von z positiv ist, woraus dass~lbe dann für jene l!'unktionaldeterminante folgt. Zu dem Ende benutze ich den Ausdruck (13) für g"; vermöge dess~lben ergibt sich nach kurzer Rechnung (25)

Lf.

=

(sinnnnY

(r(-n~v+2)y. f..- 1 [n+~-2 + · · ·] + · · ·,

wo die durch Punkte angedeuteten Terme gegen den berücksichtigten mit unendlich wachsendem v verschwinden. Wenn indessen z einen Wert besitzt, für welchen f,._ 1 verschwindet, so ist die Formel (25) zu ersetzen durch (26) Lf. = (-z)•-l + · · ·. Aus diesen Formeln folgt nun: Beschränkt man z auf irgend ein endliches reelles Intervall, so kann man N so gross wählen, dass Lf2P_ 1 für das ganze Intervall positiv ist, sobald v > N genommen wird. Nun findet man aus (11) und (15): (27)

Lf2•-l

(28)

Lf.+ 2

v(v-1) (n +v; 1) (n+v-2) [2v2

= (n

+ v)g; +

z2

+ 2v (n-2)-n]z2•-4 + ... '

Lf.,

und hieraus geht hervor, dass Lf 2._ 1 für unendlich grosse Werte von z positiv istl), sobald v eine gewisse Zahl überschreitet, und dass Lf 2.+ 1

für die eventuellen äussersten Nullstellen von Lf 2"_ 1 noch positiv ist, also nur zwischen diesen Nullstellen negativ werden könnte. Alle diese Betrachtungen zusammen ergeben nun die Richtigkeit des erwähnten Satzes: "Setzt man Lf" = g"_ 1 g:_ 1 g", so ist für jeden reellen Wert 11on z Lf 2._ 1 positiv, sobald v eine gewisse Zahl überschreitet."

9:-

1 ) [[Die Formeln (25) (26) (27) sind abgeändert worden. Der Beweis, dasss .1 •- > 0 2 1 ist für genügend grosses v und alle reellen z, ist inbezug auf Gleichmässigkeit in z nicht vollständig. Anm. von G. P.]

Nullstellen der Bessel'schen Funktion.

277

Der Vollständigkeit halber bemerke ich, dass derselbe Satz für Ll 2 • gilt, wenn fn- 1 (z) für keinen positiven Wert von z verschwindet. Für die Umgebung einer positiven Nullstelle von f n _ 1 (z) besitzt hingegen Ll 2 v für genügend grosse Werte von v das negative Zeichen, Wie aus (26) ersichtlich ist.

§ 5.

Die Nullstellen der Bessel'schen Reihe für reelle Indices. Da die Nullstellen der Funktion f n _ 1 (z) mit den Verdichtungsstellen der Wurzeln von g2 (z) = 0, g4 (z) = 0, ... , g2 .(z) = 0, ... übereinstimmen, so ergibt sich aus den Resultaten des vongen Para· graphen ohne weiteres: "Die Wurzeln der Gleichung

fn(z) =

1

F(n+l)

z

' F(n+2)F(2)

z'

+ · · · + F(n+r+l)F(r+l) + · · · = O

sind sämtlich reell, falls n > - 2 ist. Diese Wurzeln sind für n > - 1 sämtlich negativ; dagegen ist eine derselben positiv und die übrigen negativ, wenn n zwischen -- 2 und - 1 liegt." Der Fall, wo n < -2 ist, erfordert indessen noch weitere Entwicklungen, da die Verdichtungsstellen eines Systems reeller Werte freilich reell, aber diejenigen eines Systems imaginärer Werte nicht notwendig imaginär sind. Ich betrachte zunächst die Gleichung (29) in welcher A. irgendeine reelle Konstante bezeichnet. Ist A. = 0 und hat v einen genügend grossen Wert, so besitzt die Gleichung (29) 2/t imaginäre Wurzeln. Wenn nun A. von Null bis zu irgendeinem Werte .A.0 variiert, so kann die Z--thl der imaginären \Vurzeln sich nur dann verändern, wenn .A. einen Wert passiert, für welchen (29) eine Doppelwurzel erhält. :B'ür diese Doppelwurzel würde aber

verschwinden, was nach dem vorigen Paragraphen nicht angeht. Also: "Die Gleichung (29) hat fiir jeden reellen Wert von A. genatt 2 fl imaginäre Wurzeln.'' Wenn daher .A. von - oo bis + oo variiert, so durchlaufen die imaginären Wurzeln der Gleichung (29) eine Kurve, welche aus 2 fl getrennten Zügen besteht. Sei

Funktionentheorie.

27~

(30)

so

Z =

i~t

X

+ i y,

z' =

X -

i y,

die Gleichung der genannten Kurve

(31) und die Glieder höchster Dimension von 1). Designans par P le produit des nombres premiers qui divisent les denominateurs de y0 , y~, ... , y~n-n. Alors les facteurs premiers des denominateurs de an=

y a _._o_, n!

n+l

=

1 (n

.Jo

+ 1)

(n:tl) f'

divisent respectivement n! P g(n) ,

(n

+ 1) ! P g (n) g(n + 1) , ...

ou, ce qui revient au meme, respectivement

y(n), y(n)y(n si l'on pose

y(m)

=

(n-1)! Pmg(m) =·y0

+ 1), ... ,

+ y m + ··· + y.m• 1

(y0

=

0, v

=

oc + 1).

N ous pouvons donc enoncer le theoreme suivant: Si la serie a coefficients rationnels

Y

=

+a x+a

a0

1

2x2

+ · · · + anxn + · ..

a a

satisfait une equation differentielle algebrique, il existe une fonction entiere coefficients entiers

y(z)

=

Yo

+ Y1Z + Y2Z 2 + · · · + y.z•,

et un nombre entier n tels que les facteurs premiers contenus dans les denominateurs des fraetions reduites

divisent respectivement

y(n), y(n)y(n Les nombres y(n),y(n

+ 1),

y(n)y(n

+ 1)y(n + 2),

+ l),y(n + 2), ...

sont tous differents de zero.

1 ) En desi.gnant par d 0, dl> ... , dn_ 1 les denominateurs de y0 , y~, ... , y~n- 1 >, on trouve evidemment, a l'aide de l'equation (8),

A,.. A." representant un nombre entier.

298

Funktionentheorie.

Nous avons omis l'hypothese que l'equation differentielle en question est a coefficients entiers, parce que la serie y satisfait necessairement a une teile equation, si elle verifie une equation [[differentielle]] algebrique quelconque. C'est la le tMoreme (generalisation d'une proposition connue d'Eisenstein) qu'il faut substituer au tMoreme de M. Teixeira. En se fondant sur notre theoreme, il est aise de former des series ne verifiant aucune equation differentielle algebrique. Considerons, par exemple, la serie

qui represente une fonction holamorphe pour toutes les valeurs finies de X. Si cette serie satisfait a une equation differentielle algebrique, il existerait une fonction y (z) jouissant des proprietes enoncees plus haut. Supposons, comme il est permis, que Y~ soit positif et determinons m tellerneut grand que y(m)>y(m-1), y(m)>y(m-2), ... , y(m)>y(n), mm>2y(m). Comme il y a toujours un nombre premier entre les limites y(m) et 2y(m), il est clair que (mm)! contient au moins un facteur premier qui ne divise pas le produit

y(n)y(n

+ 1) ... y(m).

Mais cela ne s'accorde pas avec notre theoreme. Ainsi nous avons la proposition: La fonction f(x)

=

1

x xn + x +4!- +27! - + ... +-+ ... (nn)! x~

3

ne satisfait a aucune equation differentielle algebrique. Je remarque en terminant qu'il y a des fonctions ayant la meme propriete deja parmi les fonctions elementaires. En effet, M. Hölder a demontre dans un autre ordre d'idees (Über die Eigenschaft- der Gammafunktion keiner algebraischen Differentialgleichung zu genügen, Mathem. Annalen, Bd. 28 (1887), S. 1-13) que la fonction T(x) d'Euler ne verifie aucune equation differentielle algebrique.

XVII.

"Ober die Wurzeln einiger transzendenten Gleichungen. (Mitteilungen der mathematischen ~sellschaft in Hamburg, Bd. 2, 1890, S. 25-31.)

Bei der Untersuchung der Wurzeln von transzendenten Gleichungen kann man häufig den folgenden Satz mit Nutzen verwenden: "Es mögen in einem Bereiche B der z-Ebene die Funktion f(z) und jede der Funktionen rp1 (z), rp2 (z), . . . den Charakter einer rationalen Funktion besitzen. Ferner sei in demselben Bereiche gleichmässig lim rpn (z) = f(z). Sucht man dann die Wurzeln der Gleichungen n=oo

rp1 (z)

=

0, rp 2 (z)

=

0, . . . rpn (z) = 0, ... ,

so sind, in dem Bereiche B, die Häufungsstellen dieser Wurzeln identisch mit den Lösungen der Gleichung f(z) = 0. Und zwar liegen in einer noch so kleinen Umgebung einer r-fachen Wurzel der Gleichung f(.z) = 0 genau r Wurzeln der Gleichung rpn(z) = 0, sobald n eine bestimmte (von der gewählten Umgebung abhängende) Zahl überschreitet." Den Beweis dieses Satzes habe ich in einer Abhandlung 1) über die Bessel'schen Funktionen Jn(z) gegeben, wo derselbe bei der Untersuchung der Gleichung Jn (z) = 0 Verwendung findet. In den folgenden Zeilen will ich den gennanten Sa.tz auf einige andere transzendente Gleichungen anwenden. 1. Eine Reihe von Problemen der mathematischen Physik führt auf transzendente Gleichungen, welche in der Form

g(z) sin z

{1)

+ h(z) cos z = 0

enthalten sind. Hier bedeuten g(z) und h(z) ganze rationale Funktionen, welche reelle Koeffizienten und keinen ·gemeinsamen Teiler 1)

Mathem. Annalen, Bd. 33 (1889), S. 246-266. [Diese Werke, Bd. I, S. 266-286.]

Funktionentheorie.

300

besitzen. Wenn man in der Gleichung (1) sin z und cos z durch die bekannten Ausdrücke für sin ( (z - oc) + oc) und cos ( (z- IX) + IX) ersetzt, so geht dieselbe über in (2)

+ H(z) eos (z-IX)

G(z) sin (z-IX)

=

0,

wo zur Abkürzung (3)

G(z) { H(z)

g(z) cos oc- h(z) sin IX, g(z) sin IX+ h(z) cos IX

= =

gesetzt ist. Wir wählen für die Grösse IX irgend eine reelle Konstante, welche nur der Bedingung genügen soll, dass die ganzen Funktionen G(z) und H (z) von gleichem Grade werden. Den gemeinsamen Grad dieser Funktionen, welche ebenso wie g(z) und h(z) keinen gemeinschaftlichen Teiler besitzen, bezeichnen wir mit m. Unsere Gleichung (2} möge nun durch r Wurzeln von der Form IX + x1:n, IX + x2:n, ... IX + x,:n befriedigt werden. Abgesehen von diesen Wurzeln, für welche sin(z-IX) und daher auch H (z) verschwindet, stimmen die Lösungen der Gleichung (2) mit den NullsteBen der Funktion (4)

f (.z) = cotg (z- IX)

+ ~~~

überein. Setzen wir nun +n

(5)

IPn(z) =

~

1

..::.1' z-a-xn -n

--"- G(z) ' H(z)'

so ist in jedem endlichen Bereiche der z-Ebene gleichmässig lim IPn (z)

n= oo

=

f (z) ,

und wir können daher die Nullstellen der Funktion f(z) durch Auflösung der Gleichungen IPn (z) = 0 bestimmen. Betrachten wir die unendlich vielen Intervalle, in welche die Achse der reellen Zahlen durch die Punkte IX+x:n

(x=O, ±1, ±2, ...)

eingeteilt wird, so gibt es unter ihnen höchstens 2 r Intervalle, von welchen eine Grenze mit einem der Punkte IX + x1:n, IX + x2:n, ... IX+ x,n zusammenfällt. Ausser diesen möge es noch s Intervalle geben, in welchen Wurzeln der Gleichung H (z) = 0 liegen. Wählen wir jetzt n so gross, dass die reellen Wurzeln von H (z) = 0 sämtlich zwischen IX- n:n und IX+ nn fallen! Dann gibt es unter den 2n Intervallen, welche von den Punkten

Wurzeln einiger transzendenten Gleichungen.

301

("=-n, ... ,+n) begrenzt werden, mindestens 2n- 2r- s, in welchen die Funktion H (z) nicht verschwindet. In jedem der letzteren Intervalle liegt nun mindestens eine Wurzel der Gleichung rp,. (z) = 0. Denn die Funktion rp,. (z) geht von unendlich grossen positiven zu unendlich grossen negativen Werten über, wenn z eines dieser Intervalle durchläuft. Da ~~~) für z = oo einen endlichen nicht verschwindenden Wert besitzt, so ergibt sich auf ähnliche Weise, dass rp,.(z) entweder zwischen - oo oo mindestens einmal vernn und nn oder zwischen und wenigstens 2n+ 1-2r-s daher hat 0 = schwindet. Die Gleichung rp,. (z) reelle Wurzeln. Hieraus folgt zunächst nach dem eingangs erwähnten Satze, dass die Funktion f (z) unendlich viele reelle Nullstellen besitzt, 1)n verteilen. "n, .. . welche sich auf die Intervalle Aber noch mehr: da die Gleichung rp,. (z) = 0 nach Entfernung der Nenner eine algebraische Gleichung vom Grade 2n + 1- r + m wird, so besitzt sie höchstens

+

IX +

IX -

IX+

j = (2n

+ 1 - + m) 1'

(2n

+1-

IX+ (" +

21·- s) = r

+s +m

imaginäre Wurzeln. Die Anzahl der imaginären Nullstellen von f(z) kann daher ebenfalls höchstens i betragen. Denn hätte die Gleichung f(z) = 0 z. B. i + 1 imaginäre Wurzeln, so würde man nach Annahme beliebig kleiner Umgehungen dieser Wurzeln n so gross wählen können, dass die Gleichung rp,. (z) = 0 ebenfalls i + 1 imaginäre, in jene Umgehungen fallende Wurzeln besässe. Die Zahl r + s ist höchstens gleich der Anzahl a der reellen Wurzeln von Äg(z) + ph(z) = 0, wo ;, : p = sin

IX : cos IX ist.

Es besteht daher die Ungleichung i ::5:: m

+ a,

wenn i die Zahl der imaginären Nullstellen von f(z) bezeichnet. Nach der über ·getroffenen Festsetzung kann das Verhältnis Ä : p jeden Wert mit Ausnahme von zweien annehmen. Berücksichtigt man aber, dass bei einer geeigneten Variation von Ä und p die Zahl a ongeändert bleibt oder abnimmt, so erkennt man, dass die Ungleichung a auch für die beiden Ausnahmewerte des Verhältnisses i ::5:: m Ä : p gültig bleibt. Wir können daher den folgenden Satz aussprechen: Die transzendente Gleichung

IX

+

(a

0+ a1 z + ··· + amz"') sin z + (b0+ b1 z + ··· + bmz"') cos z =

0

302

Funktionentheorie.

hat stets, ausser unendlich vielen reellen Wurzeln, nnr eine endliche Anzahl von imaginären Wurzeln. Und zwar ist diese Anzahl höchstens a, wo a angibt, wie viele reelle Wurzeln die Gleichung gleich m

+

(a 0

+ a1 z + · · · + amzm) Ä + (b 0 + b1 z + · · · + b.,.zm) {t

=

0

besit.zt. Die Faktoren Ä und ll bedeuten dabei willkürlich zu wählende reelle Konstanten. Die oben eingeführte Voraussetzung, dass die Faktoren von sin z und cos z keinen gemeinsamen Teiler besitzen, ist hier fallen gelassen, wie dies offenbar erlaubt ist. Da die Zahl a höchstens gleich m ist, so kann unsere Gleichung (1) nie mehr als 2m imaginäre Wurzeln besitzen. Diese äusserste Zahl kann aber auch wirklich erreicht werden. Denn die Forderung, dass die Gleichung (1) für m Paare konjugiert imaginärer Werte von z erfüllt sei, ergibt 2m lineare Gleichungen zur Bestimmung der 2m+ 2 Koeffizienten von g(z) und h(z). Bei besonderen Annahmen über die ganzen Funktionen g(z) und h(z) lässt sich noch weiteres über die Wurzeln unserer transzendenten Gleichung erschliessen. Es möge genügen, dieses an einem Beispiele1) auszuführen. Die Gleichung

sin z - c zcos z

(6) hat die Wurzel z Funktion

=

=

0

0; ihre übrigen Wurzeln sind die Nullstellen der 1

cotgz--

cz '

welche ihrerseits die Grenze der rationalen Funktion

(7) ist. Für rein imaginäre Werte des Argumentes lässt sich Cf!n(z) durch folgende Formel darstellen

(8)

i

2

.

--;Cf!n('Lz)

=

z2+n2n2

I

2

+···-rz2+n2-

( ~-1)

z•

·

Aus (7) und (8) ergibt sich nun durch einfache Schlüsse, welche ich Kürze halber übergehe, der Satz: 1 ) Vgl. Cauchy, Exercices de Mathematiques, Bd.1, Paris 1826. [Oeuvres, 2e serie, vol. VI, p. 354-400.] Es werden wer mehrere spezielle Fälle der Gleichung (1) nach einer von Poisson herrührenden Methode behandelt.

Wurzeln einiger transzendenten Gleichungen.

Die Gleichung Slll Z

=

303

CZ COS Z

hat ausser unendlich vielen reellen Wurzeln noch zwei rein imaginäre Wurzeln oder überhaupt keine imaginären Wurzeln, je nachdem die Grösse c zwischen die Grenzen 0 und 1 oder ausserhalb dieser Grenzen fällt. Bezeichnet man im ersten Falle die imaginären Wurzeln mit z = i C und z = - i C, so liegt C zwischen

I 3 (~- 1) V

1

V V_!_-1 + nn

und

2n

c

1

1- 7

,

wo n irgend eine ganze Zahl bedeutet, welche der Bedingung 2n + 1-_!_ > 0 genügt. Um dieses zu beweisen, bemerken wir, c dass nach (8) die Gleichung

(~- 1 ) c2

=

2

c2

2

+ n2 + c2 + 4n2 + ···

besteht. Die rechte Seite dieser Gleichung ist aber offenbar kleiner als 2

2

2

1

~ + 4n2 + 9n2 + · ·· = 3' und grösser als c2

+2 ;n2

+ (;2 +2 4n11 + • • • + c2 +2n2n2 > c2 +2nn2n2 '

wo n eine beliebige ganze Zahl bedeutet. Hiernach ist 1

-c- 1

1

2n

> C2 > (;2 + n2n2 '

3

aus welchen Ungleichungen sofort die oben für C angegebenen Grenzen folgen.

2. Die höhere hypergeometrische Reihe

(9}

f (z) =

~ 0

+ 1) F(a1 + ") ;(:. + ") · · · F(ar + ")

F("

ist die Grenze der ganzen Funktion n

{10)

cp" (z) =

~ F(a

1

+ ")F(a1 ~ ") • • • F(ar + ") (:)(: )"

304

J+l•

wo zur Abkürzung (12)

li

=

l(l

+ 1) ... (l + i -1),

m,

=

m(m

+ 1) ... (m + i -1)

gesetzt ist, so erhalten wir den Satz: Bedeuten a und b > a zwei zwischen 0 und 1 liegende Grössen, und bildet man die Reihe (13)

ltmt

n

PoPl

'

-

lzm2

n

+1

P1F2 ... (-1)k-l~m...!E.._F,_1Fk

'

'

n + k-1

''

'

so gibt Na- Nb die Anzahl der Nullstellen von F0

=

F(l, m, n, x)

an, welche zwischen a und b liegen, wenn Na bzw. Nb die Anzahl der negativen Glieder bezeichnet, welche in der Reihe (13) für x = a bzw. x = b auftreten.

318

Funktionentheorie.

Die Zahl k ist dabei nur der einen Bedingung unterworfen, dass die Grössen l+k,m+l~,n+k

positiv sein müssen 1). Die in dem Ausspruch des Satzes benutzten Abkürzungen werden durch die Gleichungen (6) und (12) erklärt. Um die Gesamtzahl der Nullstellen von F (l, m, n, x) in dem Intervall 0 < x < 1 zu bestimmen, brauchen wir unseren Satz nur auf den Fall anzuwenden, wo a in der Nähe des Wertes x = 0 und b in der Nähe des Wertes x = 1 liegt. Wir werden also a=s, b=1-r; setzen, wo e und r; genügend klein zu wählende positive Grössen bezeichnen. Lassen wir x in 0 übergehen, so nehmen die Funktionen (13) die Werte an: (-l)k-1 lkmk lt mt - l!~ n+k-1" · n+1' ... , n '

(14)

Um die Werte jener Funktionen in der Nähe der Stelle x zu beurteilen, werde ich die bekannte Gleichung (15)

F(l, m, n, x)

=

=

1

(1- x)n-Z-mF(n -l, n- m, n, x)

benutzen. Dabei setze ich voraus, dass

(16) sei. Diese Voraussetzung beeinträchtigt nicht die Allgemeinheit. Denn würde sein, so wäre

n

< (n -l) + (n- rn),

und wir würden an Stelle von F (l, m, n, x) die Funktion F (n - l, n- rn, n, x) betrachten, welche der Gleichung (15) zufolge zwischen 0 und 1 dieselben Nullstellen besitzt wie F (l, rn, n, x). Lassen wir nun, unter der Voraussetzung, dass n < l + m ist, x wachsend in 1 übergehen, so geht F(n -l, n- rn, n, x) stetig in F(n)F(l+m-n) F(l)F(m) 1 ) Der Satz gilt auch noch, wenn eines oder jedes der Elemente l, m gleich Null oder gleich einer negativen ganzen Zahl ist. Nur hat man dann für k die erste Zahl der Reihe 0, 1, 2, 3, ... zu wählen, für welche eine der beiden Grössen l + k, m + k verschwindet.

319

Über die Nullstellen der hypergeometrischen Reihe.

über. Daher hat F(l, m, n, x) in der Nähe von x zeichen wie

=

1 dasselbe Vor-

T(n) T(l)T(m).

Dieses gilt, wie man leicht erkennt, nicht nur für n < l + m, sondern auch für n = l + m. Da nun aus der Ungleichung (16) folgt, dass auch (i=1,2,3, ...) n + i < (l + i) + (m + i) ist, so besitzt FiFi+l in der Nähe von x

=

1 dasselbe Vorzeichen, wie

T(n+i)T(n+i+1) n+i [ T(n+i) T(l+i)T(m+i)T(l+i+l)T(m+i+l) = (l+i)(m+i) T(l+i)T(m+i)

]2

'

also dasselbe Vorzeichen wie n+i (l+i)(m+i)

Daher haben die Glieder der Reihe (13) in der Nähe von x dieselben Vorzeichen, wie die entsprechenden Glieder der Reihe

=

1

(17) Kommen also in der Reihe (14) N 0 negative Glieder, in der Reihe (17) N 1 negative Glieder vor, so ist

N

=

N 0 -N1

die Anzahl der zwischen 0 und 1liegenden Nullstellen v'on F(l, m, n, x). Die Zahlen N 0 und N 1 können wir sofort näher bestimmen, wenn wir die verschiedenen Fälle unterscheiden, welche den möglichen Vorzeichenkombinationender Elemente l, m, n entsprechen. Dabei wollen wir

(18)

l~m

voraussetzen, was die Allgemeinheit nicht beeinträchtigt, da F (l, m, n, x) bei Vertauschung von l und m in sich übergeht. Ferner möge, wenn l negativ ist, A. die erste Zahl der Reihe 1, 2, 3, ... sein, für welche l + A. positiv wird, so dass in der Reihe l,l+1, l+2, ... , l+A.-1, l+A., ... l + A. - 1 das letzte negative Glied ist. Die entsprechende Bedeutung mögen p, und v in Rücksicht auf m und n erhalten. Die Diskussion der verschiedenen Fälle, bei welcher man die Ungleichungen (16) und (18) zu beachten hat, ergibt nun die in der nachstehenden Tabelle zusammengestellten Resultate:

320

Funktionentheorie.

l

tn

n

N

I.

+

+

-

1-(-1)" 2

]J.

+

-

+

IJI.

+

-

-

IV.

-

-

-

fl fl -

V,

für fl ~

V

1-(-1)"'+• , für fl ;;;:; 2

v

1-(-1)"Hp+v 2

Wie diese 11abelle aufzufassen ist, erhellt aus folgendem Satze: Sind die Elemente l, rn, n sämtlich negativ (Fall IV der Tabelle), so verschwindet F' (l, rn, n, x) zwischen 0 und 1 kein Mal oder ein Mal, je nachdem ). + fl + v gerade oder ungerade ist. Man wird sich leicht überzeugen, dass die Tabelle mit den von Herrn Klein gefundenen Resultaten vollständig im Einklang steht. Schliesslich will ich noch bemerken, dass man die Frage nach der Gesamtheit der Nullstellen von F(l, rn, n, x), gleichgültig ob l, rn, n reelle oder komplexe Werte besitzen, auch auf Grund der allgemeinen Sätze, welche ich an anderer Stelle entwickelt habe 1), in Angriff nehmen kann. Man hat dann die Wurzeln der ganzen rationalen Funktionen, welche als Nenner in den Näherungsbrüchen der Kettenbruchent. kl F(l'F(l m + 1' n +)1' x) au f treten, zu untersuc h en. Ob d"tese WIC ung von ,m,n, x

Untersuchung auch für die imaginären Nullstellen der hypergeometrischen Reihe zu einfachen Resultaten führt, vermag ich indessen nicht zu übersehen 2). Königsberg in Pr., 30. November 1890. 1 ) Über die Nullstellen der Bessel'schen Funktion, Mathem. Annalen, Bd. 33 (1889), S. 246-266. [Diese Werke, Bd. I, S. 266-286.] 2 ) [[Vgl. diese Werke, Bd. I, Abhandlungen XXXVII und XL.]]

XXI.

Über Riemann'sche Flächen mit gegebenen Verzweigungspunkten. (Mathematische Annalen, Bd. 39, 1891, S. 1-61.)

Die grundlegende Bedeutung des vorliegenden Themas für die Riemann'sche Theorie der algebraischen Funktionen brauche ich wohl kaum hervorzuheben. Geht doch diese Theorie von der graphisch über der komplexen Zahlenebene konstruierten Riemann'schen Fläche aus, um erst sodann die Funktionen, welche durch diese Fläche bestimmt sind, zu untersuchen. Auch ist die hier behandelte .Aufgabe in den an Riemann anknüpfenden Arbeiten vielfach teils gestreift, teils - freilich in sehr speziellen FäHen - eingehend untersucht worden. Vor· allen habe ich hier die Arbeiten von J. Thomae zu nennen, insbesondere die im 75sten Bande von Crelles Journal (1872), S. 224-254, veröffentlichte Abhandlung: "Beitrag zur Theorie der Abel'schen Funktionen", in welcher ausführlich erörtert wird, dass dieselbe Riemann'sche Fläche durch ALä.nderung der. Verzweigungsschnitte in die verschiedensten Gestalten gebracht werden kann, und dass bei einem Umlauf eines der Verzweigungspunkte die Fläche möglicherweise in eine wesentlich verschiedene Fläche übergeht. Den speziellen Fall der dreiblättrigen Flächen behandelt die Dissertation von H. Kasten (Göttingen 1876). Hier wird die Anzahl der wesentlich verschiedenen dreiblättrigen Flächen mit n gegebenen Verzweigungspunkten auf ; (3n- 2 - 1) bestimmt, wobei der Verfasser diese Zahl indessen seltsamerweise nur für eine obere Grenze der zu bestimmenden Anzahl hält. Sodann habe ich die Arbeiten von F. Klein über die Transformation der elliptischen Funktionen 1), die sich hieran anschliessenden Abhandlungen von W. Dyck über die Aufstellung und Untersuchung 1 ) Vergl. insbeson)w-\ i, k

wo die Koeffizienten di,k von w unabhängige rationale Zahlen bedeuten. Setzen wir in dieser Gleichung nach und nach

w=1,2,3, ... ,w und kombinieren alle so erhaltenen Gleichungen, so finden wir

[SF1 F 2 ... Fr]w = fw · [SF1F 2 .•. Fr]o + ~ di,k(fw-1

+ fw-2 ~~k) + ... + (f~k))w-1).

i, k

Die Summe auf der rechten Seite lässt sich, da f von jeder der Zahlen f~k> verschieden ist, in die Gestalt setzen:

und Wir erhalten daher

[SF1F2 · ·. Fr]w

=

cfw

+ c~(f~)w + c;(f;)w + · · ·,

wo c, c~, c;, . . . von w unabhängige rationale Zahlen bezeichnen. Zur Vollendung des Beweises ist noch zu zeigen, dass wir bei fortgesetzter Bildung der benachbarten Zerlegungen schliesslich auf eine Zerlegung kommen, für welche der zu beweisende Satz gilt. Nun wird bei dem Übergang von (v1 , v2 , ••• , vr) zu einer benachbarten Zerlegung eine der r Zahlen v1 , v2 , ••• , vr um eine Einheit vergrössert. Folglich muss man schliesslich stets zu der Zerlegung, bei welcher r = 1 und ist, gelangen, welch' letztere Zerlegung keine benachbarte mehr besitzt. Für diese Zerlegung ist

f=

(!

= (;) = !l(n;l)

und das entsprechende System (S F 1) besteht aus allen n! Substitutionen. Da nun jede der fw Korobinationen

tl t2 ... lw von w Transpositionen zum Systeme (S F 1) gehört, so ist m diesem Falle [SFJw=fw, womit der Beweis vollendet ist.

Riemanns'che Flächen mit gegebenen Verzweigungspunkten.

333

Wir wenden jetzt das erhaltene Resultat auf die Zerlegung n= 1

+ 1 + ·· · + 1· (r = n,

v1

=

= · · · = vn = 1) r n] aus der einen Sub-

v2

an. Hier besteht das System [S F 1 F 2 ••• stitutionS; und die Anzahl [SF1 F 2 ••• Fn]w bedeutet also die Zahl der Darstellungen von S als Produkt von w Transpositionen. Somit finden wir den folgenden Satz, welcher die oben gestellte Aufgabe bis zu einem gewissen Punkte erledigt: Die Anzahl der Darstellungen einer mit n Elementen gebildeten Substitution S als Produkt von w Transpositionen ist gleich

+

+ ··· +

cdf c2f~ ckf~, wo die Zahlen c1 , c2 , ••• , ck, f 1 , f 2 , ••• , fk von w nicht abhängen. Die Koeffizienten c11 c2 , ••• , ck sind rationale, von der Substitution S und der Zahl n abhängende Zahlen. Dagegen sind f 1 , / 2 , ••• , fk ganze Zahlen, welche ausschliesslich von n abhängen und folgendermassen gebildet werden. Man zerlegt n auf alle möglichen Weisen in positive ganzzahlige Summanden

n wobei v1

~

v2

~

v3

f=

••• ·~

=

Pr

v1 (v1 -1)

2

-

( v1

v1

+ v + · · · + Pr, 2

>0

vorausgesetzt wit·d und setzt

+ v (v -1) + ... + l'r(vr-1) 2 2 + 2 v + 3 v + ··· + r vr) + n. 2

2

2

3

Die auf diese Weise entstehenden Zahlen f sind gerade · die oben mit f1, f2, ... , f1, bezeichneten Zahlen. Die Abhängigkeit der Koeffizienten c1 , c2 , •••• , ck von n und der SubstitutionS näher zu charakterisieren, ist mir nicht gelungen, obgleich meine dahin zielenden Bemühungen die Existenz eines einfachen Bildungsgesetzes für jene Koeffizienten haben vermuten lassen. Man zeigt leicht, dass von den Zahlen f1 , / 2 , ••• , fk je zwei einander entgegengesetzt gleich sind (nachdem man diejenigen, welche Null sind, ausgesondert hat).· Dieser Umstand lässt sich auch aus dem bekannten Satze erschliessen, dass eine gegebene Substitution S entweder nur durch eine gerade oder nur durch eine ungerade Anzahl von Transpositionen darstellbar ist. § 4. Anzahl der n-blättrigen Riemann'schen Flächen mit w gegebenen

einfachen Verzweigungspunkten.

Wir bezeichnen mit

f(w In)

die Anzahl der Lösungen der Gleichung

334

Funktionentheorie.

(1)

durch w mit n Elementen gebildete Transpositionen t1 , t2 , ••• , tw. Diese Anzahl stellt sich nach dem vorigen Paragraphen dar in der Form: oder kürzer:

(2')

f(w In)

=

~ c(n) · [f(n)]

10 ,

wobei Wir die nur von n abhängenden zahlen

grösserer Deutlichkeit halber mit

bezeichnet haben. Es möge nun ferner IP(win)

die der der §2

Anzahl der Transpositions~:~ysteme t 1 , t 2 , ••• , tw bedeuten, welche Gleichung {1) genügen und zugleich einen Übergang von jedem n Elemente zu jedem anderen gestatten. Nach dem Schluss von ist dann N =- 1, > 0,

n2 w2

> 1 , ... , n, > 1; > 0, ... , Wr > 0.

r

> 0 ;)

zu erstrecken ist. Die Funktionalgleichung (3) lässt sich nun umkehren. Und zwar findet man: (5) rp(wln)

=

~(-ly+no-lrn.-1.

• no·, n ~~ , , ~~ J(wllnl)f(w2Jn2) ... f(wrln,), •••• n,.. w • Wt· ••• w,. 1

1

wobei die Summation ebenfalls über die Lösungen der Gleichungen (4) zu erstrecken ist. Wir setzen nun für f(w 1 l n1), ••• , f(w, Inr) ihre Ausdrücke nach Gleichung (2') und summieren sodann nach w1 , w2 , ••• , w,, wobei r, n0 , n 1 , ••• , nr fest bleiben. Bei der Ausführung dieser Summation ist zu beachten, dass w1 , w2 , ••• , w, der Bedingung w1 > 0,

336

Funktionentheorie.

w2 > 0, ... , Wr > 0 und w 1 + w 2 + · · · + Wr = w unterworfen sind, und man hat die leicht zu erhärtende Identität

+ ~ (s- xi- xk)w- + ··· i,k

zu beachten, wo s = x1 + x2 + · · · + x,. gesetzt ist und die Summationsbuchstaben i, k, ... die Werte 1, 2, ... , r durchlaufen müssen. Die Gleichung (5) nimmt nun die Gestalt an:

q;(wln) = ~Cn., ... ,nr[f(nl)

(5')

+ f(na) + ··· + f(nr)]w,

wo die Koeffizienten 0 "., ... , "r von w unabhängige rationale Zahlen bezeichnen, und die Summationsbuchstaben n 1 , n 2 , ••• , nr den Bedingungen nl

+ n2 + ... + nr ~ n'

nl

> 1'

n2 > 1 ' ... ' nr > 1

unterworfen sind. Die absolut grössten unter den verschiedenen Zahlen f(n 1) haben die Werte -- n1 (n~- 1 ) und + n1 (n~- 1 ), wie dies aus dem vorigen Paragraphen hervorgeht. Hieraus folgert man, dass die absolut grössten Werte von welche unter dem Summenzeichen (5') auftreten für r = 1, n 1 = n . W b . entstehen und die erte - n(n-1) un d + n(n-1) esltzen. 2 2 Daher stellt sich die Anzahl q;(w In) dar in der Form: n(n-1)

+ -2 -

q;(wln)= ~ Cs·sw, n(n-1)

(6)

--2-

wo die Koeffizienten Os von n, nicht aber von w abhängen. Die Zahl q;(w In) muss verschwinden, sobald w eine ungerade Zahl ist, da die Anzahl der Verzweigungspunkte notwendig gerade ist. Also ist C_s = Os. Indem wir dieses berücksichtigen, können wir folgenden Satz aussprechen: Die Anzahl N der n- blättrigen Riemann' sehen Flächen, welche w gegebene einfache Verzweigungspunkte besitzen, lässt sich darstellen 'tn der Form: N

=

Cl.

1 w+

Ca.

2w

+ Ca • sw + ... + cn(n-1) . ( n(n-1) )w ' 2 -2-

Riemann'sche Flächen mit gegebenen Verzweigungspunkten.

wo die Koeffizienten c1 , c2 , c3 ,

••• ,

337

cn(n-u ausschliesslich von n ab-2-

hängende rationale Zahlen bed.euten. Von diesen Koeffizienten c1 , c2, c3, .•• , cn •••, ~, ll ) , -

s;;;I, s;;;.:l, ... , s;:l, Sil

Die Flächen F und F sind eindeutig umkehrbar und konform auf einander bezogen; doch ist die konforme Beziehung eine solche, bei

Funktionentheorie.

356

welcher eine Umlegung der Winkel statt hat. Zur Erläuterung sei noch folgendes bemerkt: Stellen die Punkte der Ebene E die Werte der komplexen Variabeln x dar, und ist die Fläche F durch die algebraische Gleichung f (y, x) = 0 erklärt, so wird die Gleichung f (y, x) = 0 die Fläche F definieren, wenn - - - - - - - - - f (y, x) dadurch aus f (y, x) abgeleitet wird, dass jeder Koeffizient der letzteren Funktion -au. durch seinen konjugiert imaginären Wert ersetzt wird. Wenn die Fläche F mit ihrer konjuaJ gierten F übereinstimmt, so ist die Fläche F Fig. 13. im Sinne des Herrn Klein "symmetrisch" 1). (Die Gleichung f (y, x) = 0 kann dann so gewählt werden, dass sie reelle Koeffizienten besitzt.) Dieser Fall kann nur eintreten, wenn die Werte a 1 , a 2 , ••• , aw teils reell, teils paarweise konjugiert imaginär sind. Wir wollen annehmen, dass die Werte a 1 , a2 , ••• , aw dieser Bedingung genügen, und zwar sei die Reihenfolge dieserWerte so gewählt, dass a 1 und aw

= ä1 ,

a 2 und aw-l

=

ä2 ,

•• • ,

a"'

und aw-p+l

=

ä"'

konjugiert imaginär, sowie ap+l = b1 , a"'+ 2 = b2 ,

••• ,

ai'+Q ="

be

reell sind. Die Verzweigungspunkte sind dann also der Reihe nach (3)

Wir setzen ferner b1 > b2 > ... > bQ voraus, wählen den Punkt 0 auf der Axe der reellen· Zahlen, und zwar so, dass 0 > b1 ist, und ziehen endlich die Linien l1 , l2 , ••• , lw dergestalt, dass l1 , l2 , ••• , l"' durch Spiegelung an der Axe der reellen Zahlen in -

-

-

lw = ll, lw-1 = l2, · · ·' lw-p+l = ll'

übergehen (vgl. Fig. 14). Indem wir dieses System von Linien em für allemal festlegen, können wir die Fläche (1) kürzer mit

F

=

(81, 82, ... , 8w)

oder, indem wir die Bezeichnung der Substitutionen etwas abändern, mit 1 ) Über Riemann's Theorie der algebraischen Funktionen und ihrer Integrale, Leipzig (1882), S. 72. [Ges. Abhandlungen, Bd. III, S. 564.]

Riemannsche Flächen mit gegebenen Verzweigungspunkten.

F

(4)

=

357

(81, 8 2, ... , S,.., T1, T 2, ... , Te, 1:,.., .•. , I2, I1)

bezeichnen. Beziehen wir nun die konjugierte Fläche F auf dasselbe System von Linien, so finden wir (5)

F

=

(81, 8 2 ,

••• ,

S,.., T 1, T 2 ,

••• ,

Te, 1:,.., ... , 1:2 , 1:1),

wo zur Abkürzung

(6)

l

(k = 1, 2, ... , e), 1:11, ... , ~,.. = I;1; Tk = U;;1 T;;1 Uk s-1. U k= T k• Tk+1··· Te (k -- 1 '2, ••• ,.

{3)

k

Riemann, Theorie der Abel'schen Funktionen, Art. 25 und 26 [Werke, 2. Auf. lage, S. 137-140.] 1)

Riemann'sche Flächen mit gegebenen

369

Verzwei~gspunkten.

Die Wurzelfunktion (1) drückt sich dann als {}-Quotient m der Gestalt aus: (4)

if(u-e-g:rci-~ha) -2~h(u-e) _L...J (] ve LJ

Y1 + ocy2 + ocya=C·

V

2

J1

V

V

if(u.-e.)

1

V

V

1

·e

wo c eine Konstante und g1 , ••. , g~', h1 , ••• , h ~' Drittel ganzer Zahlen bedeuten. Auf einem geeigneten Wege, welcher von einer Stelle der Fläche zu der entsprechenden Stelle des anderen Blattes führt, werden sich y 2 und y3 vertauschen. Gehen dabei gleichzeitig u1 , ••• , u ~' in u~, ... , u~ über, so erhalten wir aus (4):

(5) Nun ist bekanntlich (6) u.

+ u: =2u~O =2u~2 > =... =2u~P+l) =2u~P+2>,

(v = 1, 2, ... , 1-l)

wo sich das Kongruenzzeichen auf die Perioden der Integrale bezieht und u~P+2) den Wert von u. in dem Verzweigungspunkt aP+ 2 bedeutet. Ferner können wir p+l

eV

(7)

=~ """'u V

=u V

k=l

annehmen 1). Aus (6) und (7) folgt: (8)

u'eV V

=- (u

V

2>) - e)2(e V -- u seien nun w Punkte (1)

gegeben. Wir nehmen an, der Punkt 0 sei so gewählt, dass er mit keinem dieser w Pup.kte zusammenfällt und wir verbinden 0 mit den Punkten a 1 , a 2 , ••• , aw durch Schnitte l1 , l2 , ••• , lw, welche weder einander noch einem der Schnitte Ai, Bi begegnen. Bei einer positiven Umkreisung des Punktes 0 mögen die Schnitte in der Folge

(2) überschritten werden. Die Fläche (/> sei nach Ausführung aller Schnitte in die Fläche C/>* übergegangen. Die Fläche C/>* ist einfach zusammenhängend, ihre Begrenzung wird von den Ufern der Schnitte l, A, B gebildet. Wir nehmen nun n ineinanderliegende Exemplare der Fläche C/>* an, welche wir in irgendeiner Reihenfolge als erstes, zweites, ... ntes Blatt bezeichnen. Ferner ordnen wir den Linien

(3) je eine auf n Elemente bezügliche Substitution (4) zu und verbinden endlich die n Exemplare C/>* längs der Linien (3) derart, dass die n Blätter beim Übertritt von der negativen auf die positive Seite einer der Linien (3) gerade die dieser Linie entsprechende Substitution (3) erfahren. Die auf diese Weise verbundenen Blätter C/>* bilden eine n-fach über der Fläche (/> ausgebreitete Fläche, welche wir mit (5)

bezeichnen. Damit diese Fläche in sich geschlossen sei (aus einem Stücke bestehe), legen wir den Substitutionen (4) die Bedingung auf, eine transitive Gruppe zu erzeugen, welch letztere die Monodromiegruppe von F in Rücksicht auf (/> heisst. Damit ferner nur die Punkte a 1 , a2 , •• • , aw, nicht aber der Punkt 0 Verzweigungspunkte von F werden, beschränken wir die Wahl der Substitutionen (4) weiter durch die Festsetzung, dass (6)

S1 S2 •••

sein soll.

sw U1 V1 U!1 V! 1 U2 V2 U;: 1 V;: 1 ••• up vp u;1 Y; 1 =

1

Riemann'sche Flächen mit gegebenen Verzweigungspunkten.

375

Ziehen wir auf der Fläche , V 1>, welche mit zwei Elementen gebildet sind, die Gleichung (1)

befriedigen und eine transitive Gruppe erzeugen. Sind 1, 2 die beiden Elemente, so gibt es nur die beiden Substitutionen 81

=

(1) (2)'

82

=

(12)

und offenbar dürfen wir für Ui, Vi nach Willkür die eine oder die andel'e dieser Substitutionen wählen. Nur der eine Fall, in welchem U1 , V1 , .•• , U1>, V1> sämtlich mit 8 1 identifiziert werden, ist auszuschliessen. Die Anzahl der Flächen F beträgt daher 22 P -1 1). Es gelingt auch leicht, die zu diesen Flächen gehörenden algebraischen Funktionen zu bestimmen. Sei F eine bestimmte jener 22 P -1 Flächen, ferner y eine eindeutige algebraische Funktion des Ortes auf F und seien y 1 , y 2 die beiden auf C/J* eindeutigen Zweige der Funktion y. Die Funktion y1 - y2 nimmt dann beim Überschreiten eines der Schnitte A, B den Faktor 1 oder - 1 auf, ist also eine Wurzelfunktion zweiten Grades. Die Summe y 1 + y 2 ist eine eindeutige algebraische Funktion des Ortes auf der Fläche C/J, Bilden wir nun, unter Anwendung der bekannten Riemann'schen Bezeichnungen, für die Fläche C/J den & - Quotienten 1Jl = 1Jl (g1, Y2, • · ·, Yv; h1, h2, ... , h1>)

(2)

_

-

-2""

{} (u V -eV -gV ni- "t." ""·.:h(} ave ) • e LJ hV (" Jl -e V ) {}~-~

'

wo g1 , ••• , Yv, h1 , ••• , hv Hälften ganzer Zahlen bedeuten, so ist Yt + Y2 = 2 R1, Y1 - Y2 = 2 1p R 2 und folglich wird

(3) der allgemeine Ausdruck einer auf F eindeutigen algebraischen Funktion sein. Dabei bezeichnen R 1 , R 2 eindeutige algebraische Funktionen der Fläche C/J. Wir erhalten die 22 P -1 verschiedenen Flächen F, indem wir für (g1 , . . . , Yv, h1 , . . . , hv) nach und nach alle möglichen wesentlich verschiedenen Systeme von Hälften ganzer Zahlen wählen. Übrigens leuchtet ein, dass die einzelne Fläche F schon durch die Funktion 1 ) Vergl. wegen des Falles p = 2: W. Dyck, Über Aufstellung und Uuntersuchung von Gruppe und Irrationalität regulärer Riemann'scher Flächen, Mathem. Annalen, Bd. 17 (1880), S. 473-509, insbes. S. 493.

380

Funktionentheorie.

(3') vollständig definiert werden kann 1). Die Fälle n = 3 und n = 4 lassen sich nach der Methode des vorigen Abschnittes ebenfalls erledigen, worauf ich indessen hier nicht näher eingehe.

§ 6.

Die unverzweigten algebraischen Funktionen, welche sich auf geschlossenen Wegen linear substituieren. Es möge nun noch eine besondere Art von unverzweigten Funktionen hervorgehoben werden, zu welcher als die einfachsten die Wurzelfunktionen gehören. Wir wollen diejenigen auf der Fläche (/) unverzweigten Funktionen betrachten, deren n eindeutig über (/)* ausgebreiteten Zweige lineare (ganze oder gebrochene) Funktionen von einander sind. Die linearen Funktionen, welche die n Zweige durch einen derselben darstellen, bilden offenbar eine Gruppe. Nun kennt man aber nach den Untersuchungen von F. Klein alle Gruppen linearer Funktionen2). Diese sind, wenn wir ineinander transformierbare Gruppen als nicht verschieden erachten: 2ik:n:

1) Die zyklischen Gruppen: y' 2ik:n:

=

e

n

y (k

=

0, 1, ... , n- 1).

- 2ik"

2) Die Diedergruppen: y' = e-n-y, y' = - _e_n- (k y

=

0, 1, ... , n-1)

3) Die Tetraedergruppe. 4) Die Oktaedergruppe. 5) Die Ikosaedergruppe. Den zyklischen Gruppen entsprechen die Wurzelfunktionen. Letztere existieren auf allen Flächen (/), deren Geschlecht grösser ist als Null, und es ist bekanntlich leicht, den allgemeinen Ausdruck dieser 1 ) Die zweiblättrigen Flächen lassen offenbar sämtlich eine eindeutige Transformation in sich von der Periode 2 zu und fallen also unter die Flächen, welche ich in der Arbeit: Über diejenigen algebraischen Gebilde, welche eindeutige Transformationen in sich zulassen (Göttinger Nachrichten, 1887, S. 85-107, oder Mathem. Annalen, Bd. 32, 1888, S. 290-308) untersucht habe. [Diese Werke, Bd. I, S. 241-259.] Ich benutze die Gelegenheit, hier ein Zitat auf eine mir später bekannt gewordene Notiz des Herrn S. Kantor nachzutragen, welche dieselben Gebilde betrifft. Dieselbe ist betitelt: Sur une theorie des· courbes et des surfaces admettant des correspondances univoques und findet sich in den Comptes Rendus de l'Academie des sciences, vol. 100 (1885), p. 343-345. 2 ) F. Klein, Vorlesungen über das Ikosaeder (Leipzig 1884), S. 115 ff. Die Substitutionen der Tetraeder-, Oktaeder-, Ikosaedergruppe, welche ich im Texte der Kürze halber nicht angebe, findet man auf S. 42 und 43 des genannten Werkes.

Riemann'sche Flächen mit gegebenen Verzweigungspunkten.

381

Funktionen durch 0>-Funktionen anzugeben. Unverzweigte Funktionen, welche den übrigen Gruppen entsprechen, existieren nur auf denjenigen Flächen lP, deren Geschlecht p grösser als Eins ist. Auszunehmen ist die Diedergruppe n = 2 (Vierergruppe in der Bezeichnung des Herrn Klein), welcher auch für p = 1 unverzweigte Funktionen entsprechen 1). Um diese Behauptung zu beweisen, betrachten wir eine auf der Fläche lP unverzweigte Fläche

F= (A B 1,

1 , ••. ,

U 1 , V1 ,

••• ,

A:v,

B:v)

up, vp •

und nehmen an, dass eine auf F eindeutige algebraische Funktion einer der genannten Gruppen entspricht. Auf diese Gruppe G ist dann die durch U 1 , V 1 , ••• , U11 , V 11 erzeugte Vertauschungsgruppe isomorph bezogen. Wenn nun p = 1 ist, so besteht diese Vertauschungsgruppe wegen der Relation U1 V1 U';- 1 V! 1 = 1 oder

U1 V1 = V1 U1

aus lauter miteinander permutablen Substitutionen. ·Folglich müssen auch alle Substitutionen der Gruppe G miteinander permutabel sein. Daher kann G nur eine zyklische Gruppe oder die Diedergruppe n = 2 sein. Auf den Flächen lP vom Geschlecht p = 1 können also in der Tat nur diesen Gruppen unverzweigte Funktionen entsprechen. Was nun den Nachweis der Existenz von unverzweigten Funktionen betrifft, welche den oben aufgezählten Gruppen entsprechen, so möge es genügen einen besonderen Fall zu betrachten. Man wird leicht erkennen, dass die in diesem Falle befolgte Methode sich sofort auf den allgemeinsten Fall übertragen lässt 2). Gegeben sei eine Riemann'sche Fläche lP vom Geschlecht 2. Es soll auf dieser Fläche eine sechzig-wertige unverzweigte algebraische Funktion bestimmt werden, deren sechzig in einem Punkte von lP stattfindenden Werte durch die sechzig lkosaeders'ttbstitutionen miteinander zusammenhängen. Wir bezeichnen mit (1)

8; (i

=

1, 2, ... , 120)

die 120 homogenen Ikosaedersubstitutionen, mit z1 und z2 die homogenen Variabeln, auf welche sich die Substitutionen beziehen. Ferner bilden Wir eme Vertauschungsgruppe bei n Elementen (2)

Tt (i

=

1, 2, ... , 120),

1 ) Man vergl. für den Fall p = 1 eine Note von E. Picard, Sur certaines equations differentielles lineaires du second ordre, Comptes Rendus, vol. 90 (1880), p. 1479-1482. 2) Dieselbe Methode ist auch auf den Fall verzweigter Flächen anwendbar.

382

Funktionentheorie.

welche der Gruppe der Substitutionen Si isomorph ist. Eine solche Vertauschungsgruppe, und zwar bei n = 120 Elementen erhält man z. B., wenn man die Symbole Si als Elemente auffasst und nun jeder Ikosaedersubstitution Sk die durch die Reihenfolge S kSi (i = 1, 2, ... , 120) angegebene Vertauschung der Symbole Si zuordnet. Wir nehmen jetzt aus der Gruppe (2) irgend vier Substitutionen U1 , V1 , U2 , V2 heraus, welche der Bedingung genügen, dass sie die ganze Gruppe erzeugen und die Gleichung

ul vl u,~ V11 u2 v2 U21 v21

=

1

befriedigen. Dies ist offenbar möglich. Denn die Gruppe (1) und folglich auch die Gruppe (2) lässt sich schon durch zwei geeignet gewählte Substitutionen erzeugen. Sind Ta, Tß zwei solche Substitutionen, so genügt es zu setzen. Dies vorausgeschickt, breiten wir über der Fläche Fläche

(/J

dien- blättrige

aus und bezeichnen mit y 1 , y 2 , ••• , y., die n Werte, welche eine auf F eindeutige algebraische Funktion in einem Punkte der Fläche (/J besitzt. Beschreibt der letztere Punkt auf der Fläche (/J alle möglichen geschlossenen Wege, so erfahren dabei y1 , y2 , ... , y,, die Vertauschungen der Gruppe (2). Da nun die Gruppen (2) und (1) isomorph sind, so kann man nach einem Satze des Herrn Klein 1 ) zwei homogene Funktionen bilden, welche bei einer Vertauschung Ti der Grössen y 1 , y 2 , ••• , y., genau dieselbe lineare Substitution erfahren, wie z1 , z2 bei Si. Demgernäss ist zl _ L2 -

11'1 1 nicht mehr als 84(p -1) eindeutige Transformationen in sich besitzen kann. Die Untersuchungen des dritten Abschnitts beziehen sich auf die Integrale erster Gattung einer Riemann'schen Fläche (p > 1), von welcher vorausgesetzt wird, dass sie eine Gruppe eindeutiger Transformationen in sich besitzt. Jeder eindeutigen Transformation der Fläche in sich entsp~ht eine lineare Transformation der Integrale erster Gattung, welche man auch in die Gestalt einer homogenen linearen Transformation der Differentiale erster Gattung setzen kann. Der Gruppe eindeutiger Transformationen der Fläche in sich entspricht eine Gruppe von homogenen linearen Transformationen der Differentiale erster Gattung, und ich beweise zuerst, dass beide Gruppen holoedrisch isomorph auf einander bezogen sind. 1)

Vergleiche die unten folgenden Zitate.

Algebraische Gebilde mit eindeutigen Transformationen in sich.

393

Es handelt sich dann weiter darum, die Wurzeln der charakteristischen Gleichung für die einzelne homogene lineare Transformation der Differentiale erster Gattung zu bestimmen. Die Bestimmung geschieht auf Grund der Theorie gewisser Funktionensysteme auf einer Riemann'schen Fläche. Die Funktionen eines solchen Systems sind wesentlich durch die Eigenschaft charakterisiert, dass sie sich auf geschlossenen Wegen bis auf multiplikative Konstanten reproduzieren. Die eindeutigen algebraischen Funktionen bilden einen speziellen Fall eines solchen Funktionensystems . Sie entsprechen dem Falle, in welchem jene multiplikativen Konstanten sämtlich gleich 1 sind. Auf die Theorie der allgemeinen Funktionensysteme , welche an sich von Interesse erscheint, hoffe ich demnächst zurückzukommen. Ich bemerke noch, dass die Resultate des dritten Abschnittes mannigfache Anwendungen auf die von Herrn Klein entworfene Theorie der elliptischen Modulfunktionen gestatten. Tatsächlich bin ich auch durch Untersuchungen über Klassenzahlrelationen 1), welche sich auf jene Theorie stützen, zu den hier behandelten allgemeineren Fragen hingeführt worden. Schliesslich will ich noch in Betreff des allgemeinen Begriffes einer Riemann'schen Fläche auf die folgenden Publikationen verweisen: F. Klein, Über Riemann's Theorie der algebraischen Funktionen und ihrer Integrale, Leipzig 1882, und Neue Beiträge zur Riemann'schen Funktionentheorie, Mathem. Annalen, Bd. 21 (1882/83), S. 141---'-218. [Ges. Abhandlungen, Bd. III, S. 499-573 und S. 630-710.]- R. Dedekind und H. Weber, Theorie der algebraischen Funktionen einer Veränderlichen, Crelles Journal, Bd. 92 (1882), S. 181-290). Soweit es sich nur um Lagebeziehungen, also um Wege und Schnitte auf einer Fläche handelt, denke ich mir dieselbe stets als eine frei im Raume liegende geschlossene Ringfläche mit p Öffnungen.

I. Abschnitt. 1. Eine Riemann' sehe Fläche vom Geschlecht p besitze eine eindeutige Transformation S in sich. Dann beträgt die Anzahl der verschiedenen Stellen P de;r Fläche, welche mit ihrer entsprechenden Stelle P' zusam2, es sei denn, dass S die identische Transmenfallen, höchstens 2p formation ist, d. h. dass jede Stelle P mit ihrer entsprechenden P' zusammenfällt.

+

1 ) "Über die Kla~RAnzahlrelationen und Modularkorrespondenzen primza.hliger Stufe", Berichte der k. sächsischen Gesellschaft der Wissenschaften, Bd. 37 (1885), S. 222-240. [Diese Werke, Bd. Il, XLVII.]

394

Funktionentheorie.

In der Tat, angenommen S sei nicht die identische Transformation und Q irgendeine Stelle, welche nicht mit ihrer entsprechenden Q' zusammenfällt. Wir betrachten dann eine eindeutige algebraische Funktion des Ortes auf unserer Fläche, welche nur bei Q, und zwar von einer Ordnung p ~ p + 1 unendlich wird. Eine solche Funktion existiert bekanntlich immer. Sind nun z und z' die Werte, welche diese Funktion in den entsprechenden Stellen P und P' annimmt, so können wir die Differenz z' - z als eine Funktion der Stelle P ansehen. Diese Funktion ist eine eindeutige algebraische Funktion der Fläche, welche 2 ,u-mal unendlich wird, nämlich p-fach an der Stelle Q und ,u-fach an der Stelle Q1 , deren entsprechende die Stelle Q ist. Folglich wird z'- z auch 2p-mal Null. Nun ist aber jede Stelle P, welche mit ihrer entsprechenden Stelle P' koinzidiert, eine Nullstelle von z' - z. Folglich ist die Anzahl dieser Stellen höchstens 2p < 2p + 2, w. z. b. w. Wenn die Riemann'sche Fläche hyperelliptisch ist, so beträgt die im vorigen Satze erwähnte Anzahl höchstens 4, es sei denn, dass die Transformation S die identische ist, oder dieienige, welche ie zwei Stellen einander zuordnet, in denen die zweiwertige F1tnktion der Fläche denselben Wert annimmt. Sind nämlich z und z' die Werte dieser Funktion in zwei entsprechenden Stellen P und P', so ist z'- z, aufgefasst als Funktion der Stelle P, eine eindeutige algebraische Funktion, welche höchstens 4mal unendlich wird. Folglich wird z'- z auch höchstens 4mal Null, es sei denn, dass z'- z identisch Null ist. Hieraus folgt ohne weiteres die Richtigkeit unseres Satzes. Eine Riemann'sche Fläche, deren Geschlecht p grösser als 1 ist, kann nur eine endliche Anzahl von eindeutigen Transformationen in sich besitzen. Zur Abkürzung werde ich mich der Ausdrucksweise bedienen "die Transformation S ersetze den Punkt P durch den Punkt P' ", wenn dem Punkte P vermöge S der Punkt P' entspricht. Ferner werde ich, wie üblich, unter S- 1 diejenige Transformation verstehen, welche den Punkt P' durch den Punkt P ersetzt. Endlich möge, wenn S den Punkt P durch P' und T den Punkt P' durch P" ersetzt, unter S T diejenige Transformation verstanden werden, welche den Punkt P durch P" ersetzt. Dies vorausgeschickt, wende ich mich zu dem Beweise des aufgestellten Satzes und betrachte zuerst den Fall, wo die Riemann'sche Fläche nicht hyperelliptisch ist. In diesem Falle gibt es, wie ich in der folgenden Nummer zeigen werde, stets eine Gruppe von r > 2p + 2 Stellen P 1 , P 2 , ••• Pr, welche sich bei jeder eindeutigen Transformation der Fläche in sich

Algebraische Gebilde mit eindeutigen Transformationen in sich.

395

nur untereinander vertauschen können. Hieraus schliessen wir sofort, dass die Fläche nur eine endliche Anzahl, nämlich höchstens r! Transformationen in sich besitzen kann. Denn zwei Transformationen Sund S', welche dieselbe Vertauschung der Stellen P 1 , P 2 , ••• , Pr hervorbringen, sind notwendig identisch, da S' S- 1 die r Stellen fest lässt und also, nach dem oben Bewiesenen, die identische Transformation ist. Wenn nun zweitens die Riemann'sche Fläche hyperelliptisch ist, so sei z die zweiwertige Funktion der Fläche. Dann müssen sich die 2p + 2 Stellen, an welchen dz von der zweiten Ordnung verschwindet!), bei jeder eindeutigen Transformation der Fläche in sich untereinander vertauschen. Sind daher S und S' zwei solche Transformationen, welche dieselbe Vertauschung dieser Stellen hervorbringen, so bleiben bei der Transformation S' S- 1 mehr als 4, nämlich die erwähnten 2p + 2 Stellen fest. Folglich ist S' S- 1 entweder die identische Transformation oder diejenige, welche je zwei Stellen einander zuordnet, in denen die zweiwertige Funktion denselben Wert annimmt. Hieraus folgt nun sofort, dass die Fläche höchstens doppelt so viele Transformationen in sich besitzen kann, als die 2p + 2 Stellen untereinander Vertauschungen zulassen, also höchstens 2 (2p + 2)!.

2. Es sei F eine Riemann'sche Fläche vom Geschlecht p > 1, ferner seien u 1 , u 2 , ••• uj) zugehörige linear unabhängige Integrale 1. Gattung. Bezeichnet nun u eine beliebige Funktion des Ortes auf der Fläche F, so besitzt die Determinante du 1

llU'

dut duv ([U• ... (fU

(1)

folgende Eigenschaften. Sie verschwindet nicht identisch, da u1 , u2 , ••• uj) linear unabhängig sind. Sie multipliziert sich mit einer nicht verschwindenden Konstanten, wenn u 1 , u 2 , ••• uj) durch irgendein anderes System von p überall endlichen Integralen ersetzt werden. Endlich ist

(2) wenn t irgendeine andere Funktion des Ortes auf der Fläche F bezeichnet. 1) [[Vgl. zum Sprachgebrauch die Anmerkung des Herausgebers auf S. 171 dieses Bandes. Anm. v. H. W.]]

396

Funktionentheorie.

Wir wollen nun für u insbesondere ein überall endliches Integral wählen. Dann stellt die Determinante .d,. eine eindeutige algebraische Funktion der Fläche F vor. Um diese näher zu untersuchen, betrachten wir eine Stelle P der Fläche und bezeichnen mit t eine Funktion des Ortes, welche in P von der ersten Ordnung verschwindet. Die Gleichung (2) zeigt nun, dass .d,. nur an den 2p- 2 Nullstellen von du unendlich wird und zwar an jeder von der Ordnung P (p2+ l) Die Gesamtordnung des Unendlichwerdens beträgt also

(p-1)p(p+1), und ebenso grossistalso auch die Gesamtordnung des Verschwindens. Nun wird aber :~ an keiner Stelle Null; also folgt: "Es gibt stets eine endliche Zahl von Stellen P, an welchen die Determinante L1t verschwindet. Sind P 1 , P 2 , • •• Pr diese Stellen und m1 , m 2 , • •• mr die zugehörigen Ordnungszahlen des Verschwindens von L1 e. so ist (3)

m1

+ m + · · · + mr = 2

(p - 1) p (p

+ 1) .

Es handelt sich jetzt um eine nähere Untersuchung der Zahlen ml, m2, ... mr. Zu dem Ende betrachten wir eine beliebige Stelle P der Fläche und wählen die überall endlichen Integrale so, dass ihre Entwicklungen an der Stelle P die Gestalt haben

ul u2

= =

tP' te•

'Up

=

tPP

+ ... ' + ... ' + •••,

wobei die Exponenten der Anfangsglieder den Bedingungen

(4) genügen. Diese Wahl der Integrale ist, wie leicht zu sehen, stets möglich. Die Entwicklung von L1 t beginnt dann an der Stelle P mit dem Gliede C•

t11 +

p,

p(p + 1) + · · · + eP- - 2 - =

C • tm

wenn wir zur Abkürzung (5)

m

=

e1 + e2 + ··· + ep-

p(p

'

+ll

2

setzen. Die Zahlen e1 , e2 , ••• , ep besitzen eine einfache Bedeutung. Man betrachte nämlich die eindeutigen algebraischen Funktionen der Fläche, welche nur an der Stelle P unendlich werden. Jede dieser

Algebraische Gebilde mit eindeutigen Transformationen in sich.

397

Funktionen wird an der Stelle P von einer bestimmten Ordnung unendlich. Nach einem Satze des Herrn Weierstrass kommen nun alle möglichen Ordnungen 1,2,3,4, ... wirklich vor mit Ausnahme von p Ordnungen. Diese p fehlenden Ordnungen sind nun gerade die Zahlen ev e2, .•• e2l 1). Für jede Stelle P, welche nicht mit einer der Stellen P 1 , P 2 , ••• Pr zusammenfällt, ist m = 0 und folglich nach (4) und (5) f!l

= 1'

f!2

= 2' ... (! 2l = p.

Die niedrigste Ordnung, welche dann auftritt, ist also p + 1. Umgekehrt, wenn p + 1 die niedrigste auftretende Ordnung ist, so wird notwendig m = 0. Die Stellen P 1 , P 2 , ••• P,. (für welche m bzw. die Werte mv m2 , ••• mr besitzt) sind also vollständig dadurch charakterisiert, dass für jede derselben eine Funktion existiert, welche nur in ihr, und zwar von geringerer als der (p + 1)ten Ordnung unendlich wird. Hieraus erhellt, dass diese Stellen sich bei jeder eindeutigen Transformation der Fläche in sich nur untereinander vertauschen können 2). Wir müssen nun die Unregelmässigkeiten, welche die Zahlenreihe e1, e2, ..• e2l darbieten kann, wenn P mit einer der Stellen P 1, P 2, •.• Pr zusammenfällt, näher untersuchen. Zunächst bemerken wir, dass e2l

d:r

stets kleiner als 2p ist, weil höchstens von der Ordnung 2p-2 an der Stelle P verschwinden kann. Es ist also (6)

e1

< e2 < · · · < e2l ~ 2p -

1.

Bezeichnen za und Zp zwei Funktionen, welche nur bei P von den Ordnungen IX, bzw. ß unendlich werden, so ist zazp eine ähnliche Funktion mit der Ordnungszahl IX+ ß. Wenn daher IX eine auftretende Ordnung, e eine fehlende bezeichnet, so muss auch e- IX eine fehlende Ordnung sein. Denn würde e- IX auftreten, so würde auch (e- IX) + IX = e auftreten, gegen die Annahme. Dies vorausgeschickt, sei IX die kleinste auftretende Ordnung. Es treten dann auch alle durch IX teilbaren Ordnungen auf, woraus folgt, dass IX ~ 2 ist. 1 ) Ich übergehe hier den Beweis, welcher übrigens leicht geführt wird durch Aufstellung aller jener Funktionen vermöge der Integrale 2. Gattung, welche bei P unstetig werden. Man vergleiche wegen des Satzes auch die Abhandlung N oethers: "Beweis und Erweiterung eines algebraisch-funktionentheoretischen Satzes des Herrn Weierstrass", Crelles Journal, Bd. 97 (1884), S. 224-229. 2 ) Das Gleiche folgt auch schon aus der zweiten oben angegebenen Eigenschaft ller Determinante Llu.

398

Funktionentheorie.

=

Unter den Zahlen, welche i (mod oc) sind, sei nun ri die grösste, welche unter den fehlenden Ordnungen vorkommt. Dann sind alle fehlenden Ordnungen e1 , e2 , ••• (?p in folgender Tabelle enthalten: 1, 2,

1+oc, 2+oc,

1

(7)

1+2oc, ... r 1 , 2+2oc, ... r 2 ,

oc-1, (oc-1) + oc, (oc-1) + 2oc, ... ra-t•

wo in der ersten Horizontalreihe alle fehlenden Ordnungen stehen, 1 (mod oc) sind usw. 1). Da die Anzahl der Zahlen (7) gleich welche p ist, so hat man

=

oder (8)

rl +

r2

+ ... +

ra-1 =

ocp-

a(a-1) 2 .

Ferner ist die Summe der Zahlen (7) gleich __!_(r1 + 1) rt+a-1 +__!_(r2 + 2) r2 +a-2 + ... 2

(9)

m

2

a

und daher

=

;a ~ a-1

(rk + k)

h

1

a

+

oc-

'

k) - ; p (p + 1).

Dieser Ausdruck lässt nun mit Hilfe von (8) die merkwürdige Umformung zu: (a-1)(a-2) 6

(10) Ist jetzt oc = 2, so folgt aus (8) und (10) m

=

p(p-1)1

~-"------'-

2

D. h. "Ist die Fläche hyperelliptisch, so hat jeder der Punkte P 1 , ••• Pr die Multiplizität p(p2- 1), und es ist also r = 2p + 2." Diese Punkte sind keine anderen wie die N ollstellen zweiter Ordnung von dz, wo z die zweiwertige Funktion der Fläche bedeutet. 1 ) Da. {ri+a)+{rk+a)=(ri+rk+a)+a eine auftretende Ordnung ist, so ist notwendigri+k ~ ri ;- rk +a, wo die Indices {moda) zu reduzieren sind. Diese Ungleichungen kommen jedoch nicht weiter in Betracht. Wegen der Aufstellung der fehlenden Ordnungen vergl. man übrigens Schottky: "Über die konforme Abbildung mehrfach zusammenhängender ebener Flächen", Crelles Journal; Bd. 83 {1877), S. 308, 318, 319.

Algebraische Gebilde mit eindeutigen Transformationen in sich.

399

Wenn aber die Fläche nicht hyperelliptisch ist, so ist cx notwendig und die Gleichung (10) zeigt, dass

> 2,

m denn rv r 2 ,

•••




nach (6) nicht negativ. Es sind also die Multiplizitäten m1 , m2 , sämtlich kleiner als p(p;l), daher ihre Summe

m 1 +m 2 +···+mr=(p-1)p(p+1) und also

r

2p + 2.

Die Anzahl der Stellen P 1 , P 2 , ••• Pr übersteigt also auf jeder nicht hyperelliptischen Fläche stets die Zahl 2p + 2, womit auch die in Nr. 1 aufgestellte Behauptung gerechtfertigt ist. Die untere Grenze für die Zahl r lässt sich durch eine eingehendere Diskussion der Formel (10) noch erheblich vergrössern. Doch will ich hierauf nicht näher eingehen. Eine genaue Untersuchung würde übrigens nicht nur festzustellen haben, welche Werte die Zahl r annehmen kann, sondern auch welche Zahlsysteme (?J, e2 , ••• e" für die einzelnen Stellen möglich sind. Bemerkt sei nur noch, dass im Falle p = 3 die untere Grenze der Zahl r gleich 12 ist, eine Tatsache, welche sich in folgender Weise aussprechen lässt: "Eine ebene Kurve 4. Ordnung ohne vielfachen Punkt besitzt mindestens 12 getrennt liegende Wendepunkte." Das Beispiel der Kurve f xt4 + x24 + Xa4 = 0

=

zeigt, dass die untere Grenze 12 wirklich erreicht wird. Die Hesse'sche Form von f ist nämlich, abgesehen von einem Zahlenfaktor, gleich xix~x;, und die Kurve hat also nur die 12 Schnittpunkte, welche auf den Linien x 1 = 0, x 2 = 0, x 3 = 0 liegen, zu Wendepunkten.

3. Die in der vorigen Nummer untersuchten Punkte P 1 , .• • Pr bilden das einfachste Beispiel einer "invarianten" Punktgruppe einer Riemannschen Fläche, d. h. einer solchen Punktgruppe, deren Definition von einer besonderen Darstellungsform der Fläche unabhängig ist. Für den in Nr. 1 gegebenen Beweis ist jede solche Punktgruppe brauchbar, wenn sie nur mehr als 2p + 2 Punkte enthält.

400

Funktionentheorie.

Es liegt nun die Vermutung nahe, dass es auf jeder Fläche, deren Geschlecht p > 1 ist, stets unendlich viele invariante Punktgruppen gibt, und dass man mit solchen Punktgruppen die ganze Fläche überdecken kann. Ist die Fläche hyperelliptisch, so ist es leicht, die Vermutung zu bestätigen. In der Tat sei y2 = f (z) die gewöhnlich benutzte Darstellungsform der Fläche, welcher die Einführung der zweiwertigen Funktion z zu Grunde liegt. Dann bilden dieN ullstellen jeder Kovariante von f (z) eineinvariante Punktgruppe, und man erkennt ohne Schwierigkeit, dass mit derartigen Gruppen die ganze Fläche überzogen werden kann. Ist die Fläche nicht hyperelliptisch, so stellen wir sie durch eine Kurve (2p-2)ter Ordnung im Raume von p-1 Dimensionen dar, indem wir die homogenen Koordinaten cp1 : cp 2 : • • • : Cfp proportional setzen den p Differentialen eines vollständigen Systems von Integralen 1. Gattung 1). Jede kovariante Fläche dieser Kurve schneidet die letztere in einer invarianten Punktgruppe. Aber es tritt hier die Schwierigkeit auf, dass gewisse kovariante Flächen nur existieren, wenn die 3p- 3 Moduln nicht besonderen Gleichungen genügen. Um so bemerkenswerter ist es, dass man trotzdem unendlich viele invariante Punktgruppen angeben kann, welche stets, also unabhängig von den besonderen Werten der 3p- 3 Moduln, existieren. Ich will hierauf um so lieber eingehen, als die Bedeutung der oben betrachteten Punkte P 1 , P 2 , •• • P,. dabei klarer hervortritt. Man suche auf der Kurve 2p- 2ter Ordnung diejenigen Punkte, in welchen eine Fläche kter Ordnung hyperoskuliert. Ist k = 1, handelt es sich also um die hyperoskulierenden Ebenen, so sind die gesuchten Punkte keine anderen wie die Punkte P 1 , P 2 , ••• Pr, und die Zahl dieser Punkte beträgt, wenn jeder mit der zugehörigen Multiplizität gezählt wird, (p -1)p(p + 1). Ich behaupte nun, dass auch für jeden Wert von k > 1 die gesuchten Punkte stets in endlicher Anzahl vorhanden sind, wie es folgender Satz näher ausspricht: "Die Anzahl der Punkte auf der Kurve (2p- 2) ter Ordnung, in welchen dieselbe von einer Fliiche kter Ordnung hyperoskuliert wird, beträgt stets (2k -1) 2 • p(p -1) 2 ."

Es wird vorausgesetzt, dass k > 1 sei und dass jeder Punkt mit der ihm zugehörigen, weiterhin näher zu bezeichnenden Multiplizität gezählt wird. Der Beweis dieses Satzes beruht auf einem wichtigen Satze aus der Theorie der algebraischen Funktionen, welchen Herr N oether aufgestellt und bewiesen hatl). 1) Vergl. Weber, Über gewisse in der Theorie der Abel'schen Funktionen auf. tretende Ausnahmefälle, Mathem. Annalen, Bd.13 (1878), S. 35--48, und Noether, Über die invariante Darstellung algebraischer Funktionen, Mathem. Annalen, Bd. 17 {1880), s. 263-284.

Algebraische Gebilde mit eindeutigen Transformationen in sich.

Nach diesem Satz gibt der Grössen g; 1 , g; 2 , ••• lj!z, hängige. Indem wir mit u . hnen un d g; -_ dU, du1 b ezeiC 1

401

es nämlich unter den Formen kter Ordnung genau " = (2k -1) (:p -1) linear unabein beliebig gewähltes Integral 1. Gattung duz, _ du 9 g; - dU, ... lj!z, -_ dU anne h men, ge h en 2

die " linear unabhängigen Formen 'Pl• 'P2• ...

sie seien 'ljJ,. -

in Funktionen des Ortes auf der Riemann'schen Fläche über. Die Punkte, in welchen eine Fläche kter Ordnung hyperoskuliert, sind nun die Nullstellen der Determinante: •.. 'P,. dtp,.

· · · du

Diese Determinante verschwindet nicht identisch, weil 1p1 , 1p2 , ••• 'P,. linear unabhängig sind. Sie stellt eine eindeutige algebraische Funktion des Ortes vor, welche an den 2p- 2 Nullstellen von du und zwar an jeder von der Ordnung ( 2 k-~ +")" unendlich wird. Folglich wird LI,. im ganzen

(2p- 2) (2k- 1

+ x) ;

=

(2k -1) 2 p (p- 1) 2 -mal

Null. Hiermit ist unser Satz bewiesen, und es ist ersichtlich, dass die Multiplizität jedes einzelnen Punktes durch die Ordnung des Verschwindens von LI,. angezeigt wird. In dem einfachsten Falle p = 3 besagt unser Satz: "Auf einer ebenen Kurve 4. Ordnung gibt es 12 · (2k- 1) 2 Punkte, tn welchen eine Kurve kter Ordnung hyperoskuliert". Für den niedrigsten Wert von k, nämlich für k = 2, erhalten wir 12 · 9 = 108 Punkte, in welchen eine Kurve 2. Ordnung hyperoskuliert. Diese Punkte sind die 24 Wendepunkte und die 84 sextaktischen Punkte. Bezeichnen k, l, m, n vier ganze Zahlen, LI,., LI;., LI I', LI~ die zugehörigen Determinanten, so überzeugt man sich leicht, dass die Funktion1) " 2 d Jg L1;.- Ä2 d Ig L1" ,u 2 d Ig L1 ~- v2 d Ig .11'

absolut invariant ist, dass also auch jede Punktgruppe, in welcher diese Funktion einen gegebenen Wert annimmt, eine invariante Gruppe ist. 1) [[Die Originalarbeit hat hier, offenbar irrtümlich, statt " 2, Ä2, ,u 2, v2 die Koeffizienten Ä, Ä, ,u, 1•. Anm. v. H. W.]]

26

402

Funktionentheorie.

Mit solchen Gruppen lässt sich daher die Riemann'sche Fläche vollständig überdecken. Es bleibt freilich zu zeigen, dass k, l, m, n stets so wählbar sind, dass jener Quotient sich nicht auf eine Konstante reduziert. Doch will ich diesen Nachweis hier nicht führen.

II. Abschnitt. 4. Bei den weiteren Untersuchungen werde ich eine bestimmte kanonische Zerschneidung der Riemann'schen Flächen zu Grunde legen, welche ich hier kurz besprechen will. Nach dem Vorgange Riemann's pflegt man die Zerschneidung durch p Schnittpaare und p -1 diese Paare verbindende Schnitte auszuführen. Indessen ist es zweckmässiger, die letzteren p-1 Schnitte vollständig zu beseitigen,da sie beidenmeisten Untersuchungen eine ganz unnötige Komplikation herbeiführen. Die p -1 Schnitte kommen in Fortfall, wenn wir folgende Zerschneidung wählen (welche übrigens auch durch einen Grenzübergang aus der Riemann'schen Zerschneidung abgeleitet werden kann). 1) Wir wählen auf der Fläche einen Punkt 0 beliebig und legen 2p knotenlose in 0 beFig.16. ginnende und endigende Schnitte A1 , B 1 , .•• A:r>, B:r>, durch welche die Fläche F in eine einfach zusammenhängende F' übergeht. Die Begrenzung von F' wird durch die 4p Ufer der Schnitte gebildet. Die Bezeichnung und Aufeinanderfolge der Schnitte sei so festgelegt, dass man ihnen bei einem positivenUmlaufe um 0 in der Folge

Ai Bi A} B! ; .. A: B: A; B; begegnet. Dies soll bedeuten, dass man zuerst den Schnitt A1 vom negativen zum positiven Ufer, sodann ebenso den Schnitt Bv sodann wieder A 1 vom positiven zum negativen Ufer überschreitet usw. Die Fläche bietet also nach der Zerschneidung beim Punkte 0 das durch Figur 16 veranschaulichte Aussehen. Die Figur bezieht sich auf den Fall p = 2. 1 ) Vergl. F. Klein,, Neue Beiträge zur Riemann'schen Funktionentheorie, Mathem. Annalen, Bd. 21 (1882/83), S. 183ff. [Ges. Abhandlungen, Bd. III, S. 673ff.] Man vergleiche auch meine Arbeit, Über Riemann'sche Flächen mit gegebenen Verzweigungspunkten, Mathem. Annalen, Bd. 39 (1891), S. 1-61. [Diese Werke, Bd. I, S. 321-383.]

Algebraische Gebilde mit eindeutigen Transformationen in sich.

403

Es seien nun weiter a 1 , a 2 , ••• aw irgend w Punkte der Fläche F'. Wir legen dann von 0 aus durch das Innere von F' knotenlose einander nicht treffende Schnitte nach den Punkten Die hierdurch aus F' entstehende Fläche nennen wir F", und wir nehmen die Aufeinanderfolge der Schnitte l und ihre Lage gegen die Schnitte A, B so an, dass ein positiver Umlauf um 0 die Reihenfolge

li li ... l;t At Bi A1 Bi ... At Bt A; B; As

a, Fig.17.

ergibt. Man vergleiche Figur 17, welche den Fall w = 2, p = 2 veranschaulicht1).

5. Man denke sich jetzt auf der Fläche F eine analytische Funktion Z des Ortes, welche keine natürlichen Grenzen und nur die Punkte a 1 , a 2 , ••• aw als Verzweigungspunkte besitzt. Der einzelne Zweig der Funktion Z ist dann auf der Fläche F" eindeutig. Ist insbesondere Z eine algebraische Funktion des Ortes, welche an der einzelnen Stelle der Fläche F n Werte besitzt, so erscheint der ganze Wertevorrat der Funktion Z auf der Fläche F" in n eindeutige Zweige zerlegt. 1 ) In den Figuren habe ich, dem Vorgange C. Neumanns (Theorie der Abelschen Funktionen, Leipzig 1884) folgend, die positiven Ufer durch stärker gezeichnete Linien kenntlich gemacht. Die Pfeile geben den positiven Durchlaufungssinn für die Begrenzung der zerschnittenen Fläche an.

404

Funktionentheorie.

Wir nehmen dementsprechend n ineinander liegende Exemplare der Fläche F", auf welche wir die n Zweige der Funktion Z ausbreiten und verbinden nun die n Exemplare längs der Schnitte l, A, B zu einer einzigen geschlossenen Fläche F, auf welcher die Funktion Z eindeutig ausgebreitet ist. Welches ist das Geschlecht P der so entstehenden Fläche F? Wir wollen die n Exemplare F" als die "Blätter" von F bezeichnen. Hängen dann an der Stelle a; die Blätter m c; Zyklen von je v1 , v2 , ••• Blättern zusammen, so heisse (v1 -1)

+ (v2 -1) + ··· =n-c;,

w1e üblich, die Multiplizität von a; als Verzweigungspunkt, und W

=

(n-c1)

+ (n-c2) + · · · + (n-cw)

die Gesamtzahl der Verzweigungen. Die aufgeworfene Frage wird dann durch nachstehende Gleichung beantwortet: (1)

2 P-2 = W

+ n(2p -2).

Ist p = 0, so geht diese Gleichung in die bekannte Formel über, welche das Geschlecht einer n- blättrig über der komplexen Zahlenebene ausgebreiteten Fläche berechnen lehrt. Ist p > 0, so kann man die Gleichung folgendermassen beweisen. Es sei u ein überallendliches Integral der Fläche F, so ist u ein ebensolches Integral für die Fläche F. Es muss daher du auf der Fläche F genau 2P- 2 Mal von der zweiten Ordnung verschwinden. Diese Nullstellen von du lassen sich aber sofort angeben. Es sind erstens die Verzweigungsstellen, und zwar zählt die Verzweigungsstelle a; für n-c; Nullstellen, so dass wir diesen Stellen entsprechend, im ganzen W Nullstellen erhalten. So dann verschwindet zweitens du auf der Fläche F an 2p- 2 Stellen von der zweiten Ordnung, und diese Stellen ergeben auf F im ganzen n(2p-2) Nullstellen, da jede Stelle von F sich in n Exemplaren auf der Fläche F wiederfindet. Es ist also 2P-2 = W + n(2p-2), w.z.b.w. 1). Ich will hier beiläufig aus der Gleichung (1) eine Folgerung ziehen. Es seien zwei Riemann'sche Flächen F 1 und F 2 vom Geschlecht p 1 bzw. p 2 algebraisch so aufeinander bezogen, dass jeder Stelle von F 1 n 1 Stellen von F 2 und umgekehrt jeder Stelle von F 2 n 2 Stellen von F 1 korrespondieren. Diese Beziehung können wir dadurch zu einer eindeutigen machen, dass wir die Fläche F 1 ncfach, die Fläche F 2 n 2 -fach überdecken. Da die so entstehenden über F 1 und F 2 ausgebreiteten Flächen gleiches Geschlecht P haben müssen, so ist nach (1)

(2)

wl + nl (2pl- 2) =

w2

+ n2(2p2- 2).

1 ) Ein anderer auf Betrachtungen der Analysis situs beruhender Beweis findet sich in meiner Arbeit: Über Riemann'sche Flächen mit gegebenen Verzweigungspunkten, Mathem. Annalen, Bd. 39 (1891), S. 1-61. [Diese Werke, Bd. I, S. 321-383.]

Algebraische Gebilde mit eindeutigen Transformationen in sich.

405

Hier bedeutet W1 die Anzahl der Stellen P auf Fv welchen zusammenfallende Stellen auf F 2 entsprechen, und zwar so, dass einem Umlauf um P eine Vertauschung der entsprechenden Stellen auf P 2 entspricht. Eine analoge Bedeutung besitzt W 2 • Man erkennt in (2) die von Herrn Zeu then gegebene Relation zwischen den Geschlechtszahlen zweier mehrdeutig aufeinander bezogener algebraischer Gebilde1). Unsere Ableitung der Relation zeigt zugleich unzweideutig, mit welchen Multiplizitäten diejenigen Punkte des einzelnen Gebildes zu zählen sind, denen auf dem anderen Gebilde zusammenfallende Punkte entsprechen.

6. Ich wende mich jetzt zu unserem eigentlichen Gegenstande zurück. Es sei F eine Riemann'sche Fläche von beliebigem Geschlecht. (Die Fälle p = 0 und p = 1 werden also nicht ausgeschlossen.) Wir nehmen an, dass diese Fläche eine Gruppe von r eindeutigen Transformationen in sich besitze, die wir mit (1) bezeichnen. Die aus Si und Sk zusammengesetzte Transformation Si Sk wollen wir auch mit Sik bezeichnen, so dass ik wieder eine der Zahlen 1, 2, ... r bedeutet. S1 sei die identische Transformation, also Su =Sn =Si. Die Stellen der Fläche ordnen sich nun in Gruppen zu je r an, w1e (2) welche dadurch erhalten werden, dass man eine willkürlich gewählte Stelle P 1 mit denjenigen Stellen zusammenfasst, welche aus ihr durch die Transformationen (1) hervorgehen. Die Gruppe (2) wird aus r getrennt liegenden Punkten bestehen, wenn P 1 bei keiner der Transformationen (1), ausser der Identität, festbleibt. Wenn jedoch P 1 bei k Transformationen (1) fest bleibt, so bilden diese für sich eine Gruppe, und man erkennt hieraus leicht, dass in diesem Falle aus P 1 nur ~ verschiedene Punkte hervorgehen, welche je k Punkte in sich vereinigen. Wir betrachten nun die Klasse der eindeutigen algebraischen Funktionen der Fläche F. Ist z eine dieser Funktionen und bedeuten z1, z2 , ••• Zr die Werte von z an den Stellen P 1, P 2 , ••• Pn so können wir die Summe Z = z1 + z2 + · · · + z, als eine Funktion der Stelle P 1 ansehen. Als solche hat sie die Eigen1) Mathem. Annalen, Bd. 3 (1871), S. 150-156.

406

Funktionentheorie.

scharten, erstens eine eindeutige algebraische Funktion auf F zu sein (also der betrachteten Klasse anzugehören) und zweitens der Bedingung

Z1 = Z2 = ... =

z.

z.

zu genügen, wo Zl> Z 2 , ••• die Werte von Z in den Punkten irgendeiner Gruppe bezeichnen. Da man noch über die Unendlichkeitspunkte von z verfügen kann, so leuchtet ein, dass es unendlich viele Funktionen Z von diesen beiden Eigenschaften gibt. Die Gesamtheit der Funktionen Z bildet wieder eine Klasse von algebraischen Funktionen, da Summe, Di:f:ferenz, Produkt und Quotientzweier Funktionen Z wieder eine ebensolche Funktion darstellt. Die Riemann'sche Fläche, auf welcher die Funktionen Z die Gesamtheit der eindeutigen algebraischen Funktionen des Ortes bilden, heisse (/) 1). Die Fläche (/) ist nun derartig auf die Fläche F bezogen, dass jeder Stelle von F eine einzige Stelle von (/), dagegen umgekehrt jeder Stelle von (/) r Stellen von F, nämlich die r Stellen einer Gruppe (2) entsprechen. Diejenigen Stellen der Fläche (/), welchen Gruppen von weniger als r (also Gruppen von ~) Stellen auf der Fläche F entsprechen, wollen wir mit

(3) bezeichnen. Wenn wir nun eine Stelle P, welche nicht zu den Stellen (3) gehört, sich auf der Fläche (/) in Bewegung setzen und einen die Stellen (3) vermeidenden geschlossenen Weg durchlaufen lassen, so werden die entsprechenden Stellen P 1 , P 2 , ••• P., auf der Fläche F sich zugleich bewegen, und es können sich schliesslich, wenn P die alte Lage wieder erreicht hat, P 1 , P 2 , ••• P., nur untereinander vertauscht haben. Wenn hierbei P 1 in Pi übergeht, so geht Pk notwendig in P,k über. Denn um den Weg von Pk zu verfolgen, brauchen wir nur auf jeden Punkt des Weges von P 1 die Transformation Sk anzuwenden; durch diese Transformation geht aber P, in Pik über. Es erfahren also die Stellen P 1 , P 2 , ••• P.., wenn P einen geschlossenen Weg durchläuft, eine Vertauschung der Gestalt

(4) Dies vorausgeschickt, möge jetzt (/)in der oben geschilderten Weise m die Fläche (/)" zerschnitten werden. Ist n das Geschlecht von (/), 1) Ist Z 0 eine bestimmte der Funktionen Z, so kann man für (Jl z. B. diejenige über der Z0 .Ebene ausgebreitete Fläche nehmen, welche die Verzweigung der Funktionen Z in bezug auf Z 0 darstellt.

Algebraische Gebilde mit eindeutigen Transformationen in sich. ~o geschieht die Zerschneidung durch w (wie oben) mit

(5)

+ 2n

407

Schnitte, welche wu

11, 12, ... 1w, A1, B1, ... A", B"

bezeichnen. Wir fixieren im Innern von r/J" einen Punkt P', dem auf der Fläche F die Punkte P 1', P 2', ••• Pr' entsprechen mögen; ferner nehmen wir r übereinander liegende Exemplare (Blätter) r/J" an, bezeichnen dieselben in irgendeiner Reihenfolge mit di:mselben Buchstaben wie die Transformationen (1), also mit

und ordnen dem Punkte P' des Blattes Sk den Punkt P1r:' auf der Fläche F zu. Bewegt sich P' auf dem Blatte Sk nach P, so wird sich der Punkt Pk' auf F nach Pk bewegen, und zwar wird die Endlage P1r: dieselbe sein, auf welchem Wege auch P' nach P geführt wird. Für jede Stelle Perscheinen also die entsprechenden Punkte P 1 , P 2 , ••• Pr in bestimmter Weise den r Blättern S 1 , S 2 , ••• Sr zugeordnet. Wenn wir jetzt die Blätter Sv S 2 , ••• Sr längs der Schnitte (5) in geeigneter Weise verbinden, so erhalten wir eine über r/J r- blättrig ausgebreitete Fläche, welche eindeutig umkehrbar auf F bezogen ist und also mit F in dem Sinne identisch ist, dass sie gerade so gut wie F als Träger der durch F dargestellten Klasse von algebraischenFunktionell angesehen werden kann .. Was nun die Verbindung der Blätter angeht, so beachte man, dass bei einem von P beschriebenen geschlossenen Wege P 1 , P 2 , ••• Pr eine Vertauschung der Gestalt (4) erfahren. Es müssen also z. B. längs l 1 die Blätter so verbunden werden, dass man beim Übertritt von dem negativen zum positiven Ufer von l 1 aus den Blättern Sv

bzw. in die Blätter

S2, ... Sr

gelangt. Jedem der Schnitte (5) ist also eine bestimmte Transformation Si zugeordnet. Ist der Reihe nach für den Schnitt 1v 12 , Si= Tv T 2 ,

••• •••

1w, A 1 , B 1 , Tw, U1 , Vv

A", B": U", V,.,

wo also die T, U, V bestimmte der Transformationen (1) bezeichnen, so können wir die r- blättrig über r/J ausgebreitete Fläche F schematisch durch

(6)

Funktionentheorie.

408

charakterisieren. Die Transformationen T, U, V genügen den folgenden Bedingungen : Erstens ist (7)

T1 T 2

•••

Tw U1 V 1 U1 1 V1 1

•••

U" V" U~ 1 V~ 1

=

S1

=

1.

Zweitens lässt sich die ganze Gruppe S 1 , S 2 , • •• Sr durch Kombination der T, U, V erzeugen. Die erste Bedingung (7) sagt nichts anderes aus, als dass der Punkt 0, von welchem die Schnitte l, A, B auslaufen, kein Verzweigungspunkt ist. Die zweite Bedingung besagt, dass die r- blättrige Fläche F in sich zusammenhängt. Diese Betrachtung lehrt nun, dass man die allgemeinste Riemann'sche Fläche, welche eine Gruppe eindeutiger Transformationen in sich besitzt, auf folgendem Wege erhält: Man bezeichne mit S1 , S 2 , ••• Sr irgend r Operationen, welche eine Gruppe bilden. Ferner seten

+

T1 , T 2 ,

•••

Tw, Ut. V 1 ,

.••

U", V"

2n dieser Operationen, durch welche sich die ganze Gruppe irgend w erzeugen lässt und welche der Bedingung T1 T 2

•••

Tw U1 V 1U1 1 V1 1

•••

U" V,. U~ 1 V~ 1

=

1

genügen. Man nehme eine beliebige Riemann' sehe Fläche if> vom Geschlecht n, markiere auf dieser irgend w Punkte a 1 , a 2 , ••• aw und zerschne·ide dieselbe in der oben (Nr. 4) geschilderten Weise durch Schnitte 11 , 12 , ••• lw, A1 , B 1 , ••• A,., B" in eine einfach zusammenhängende Fläche if>". Endlich decke man r Exemplare der Fläche if>", welche man in irgendeiner Reihenfolge mit S 1 , S 2 , ••• Sr (also genau wie die gegebenen Operationen) bezeichnet, übereinander und verbinde dieselben längs der Schnitte l, A, B zu einer einzigen geschlossenen Fläche, wie es das Schema

andeutet. Die auf diese Weise entstehenden Flächen umfassen alle Riemann'schen Flächen, welche eine Gruppe von eindeutigen Transformationen in sich besitzen. Hierbei ist zu bemerken, dass das für F gegebene Schema folgende Bedeutung hat: An dem Schnitte 11 sollen die r Blätter if>" so verbunden werden, dass man beim Übertritt von der negativen auf die positive Seite des Schnittes aus den Blättern

Algebraische Gebilde mit eindeutigen Transformationen in sich.

409

bzw. m die Blätter

TlSl, TlS2, ... TlSr gelangt. Entsprechendes ist für die Schnitte l2 , ••• lw, A1 , B 1 , ••• A,., B" zu bemerken. Wenn nun feststeht, dass durch die obige Konstruktion alle Flächen mit einer Gruppe von r eindeutigen Transformationen in sich erhalten werden, so erhebt sich jetzt umgekehrt die Frage, ob auch jede durch die Konstruktion hergestellte Fläche eine Gruppe von 1" Transformationen in sich besitzt. Dass diese Frage zu bejahen ist, ergibt sich aus folgender Betrachtung. Man fixiere auf der r- blättrigen nach obiger Vorschrift hergestellten Fläche F irgend r übereinanderliegende Punkte und bezeichne sie wie die Blätter, in welchen sie liegen. Ordnet man nun den Punkten

Sl,

82,

Sr

bzw. die Punkte

S 1 S;, S 2 S;, ... SrSi zu, wo S; irgend eine der r Operationen bedeutet, so ist hierdurch eine eindeutige Transformation von F in sich bestimmt. Denn bei Fortsetzung dieser Zuordnung könnte eine Mehrdeutigkeit nur durch Überschreitung eines Schnittes entstehen. Eine solche Mehrdeutigkeit entsteht aber tatsächlich nicht, weil bei der Überschreitung von l1 z. B. die ursprüngliche Zuordnung in

T1 S 2 , ••• T 1 Sr. T1 S1 , T 1 S 1 Su T 1 S 2 S;, ... T 1 Srsi übergeht, welche ersichtlich mit der ursprünglichen identisch ist. Den r Operationen S; entsprechend, besitzt also die Fläche r eindeutige Transformationen in sich. Da die Gruppe der r Operationen 8 1 , 8 2 , ••• S,. ebenso wie die Fläche f/J ganz willkürlich angenommen werden kann und die Operationen T, U, V dann noch in mannigfaltiger Weise gewählt werden können, so ergibt sich beiläufig der Satz: Ist eine endliche Gruppe gegeben, so kann man auf mannigfaltige Weise eine Riemann 'sehe Fläche herstellen, welche eine zu der gegebenen Gruppe holoedt·isch isomorphe Gruppe von eindeutigen Transformationen in sich besitzt 1 ). Unsere Betrachtungen zeigen zugleich, wie man die allgemeinste derartige Fläche findet. 1 ) Die an die Untersuchungen von F. Klein, Math. Annalen, Bde. 9-17 [Ges. Abhandlungen, Bd. III] anknüpfenden Arbeiten von W. Dyck, Mathem. Annalen, Bde. 17 und 20 (1880 und 1882) über reguläre Riemann'sche Flächen bieten mannigfaltige Berührungspunkte mit den obigen Betrachtungen. Was den zuletzt angeführten Satz angeht, so vergleiche man den Satz von Dyck, Mathem. Annalen, Bd. 20 (1882), S. 30.

410

Funktionentheorie.

7. Wir betrachten jetzt eine Riemann'sche Fläche F, welche nach den Angaben der vorigen Nummer r- blättrig über einer Fläche (/J vom Geschlecht n ausgebreitet ist. Wir wissen, dass F die allgemeinste Fläche mit einer Gruppe von r eindeutigen Transformationen in sich darstellt. Es sei unsere nächste Aufgabe, das Geschlecht von F zu berechnen. Bei einer Umkreisung des Punktes a1 geht nun allgemein das Blatt s. in das Blatt T 1 Si über. Ist daher k 1 die Ordnung der Transformation T 1 , so hängen die Blätter bei a1 in Zyklen von je k1 Blättern zusammen, wie

(S,, T 1 S,, T1 2 S;, ...

T~·- 1 8,).

Der Punkt a 1 hat also als Verzweigungspunkt die Multiplizität r_ und ebenso haben a 2 , a 3 ,

•••

_!_= kl

r

(1- _!_) kl

aw bzw. die Multiplizitäten

r(1- ~J, r(1- :J .... r(1- k~),

wenn k 2 , k3 , ••• kw die Ordnungen von T 2 , T 3 , ••• T w bedeuten. Nach Nr. 5 ist daher das Geschlecht p der Fläche F aus der Gleichung (1)

2 P; 2 = 2n-2

+ (1- ~) + (1- ~J + · ·· + (1- k~)

zu berechnen. Wir wollen jetzt annehmen, dass die Fläche F von einem Geschlecht p > 1 sei, und unter dieser Annahme die Gleichung (1) näher betrachten. Wir unterscheiden dabei drei Fälle, je nachdem n ~ 2, n = 1, n = 0 ist. Im ersten Falle n ~ 2 lehrt die Gleichung (1), dass 2 P; 2 ~ 2, also ~

r~p-1

ist. Im zweiten Falle n = 1 kann w nicht = 0 sein, weil sonst nach Gleichung (1) auch p = 1 sein würde. Es ist daher 2p-2 ~ r-

(1- ____!__) ~ __!_ k -2' 1

weil k1 mindestens gleich 2 ist. Es kommt also jetzt (3)

r

Im dritten Falle n (1')

2 P- 2 = r

~

4 (p - 1).

0 haben wir nach (1)

=

(1- _!_) + (1- __!_·) + ... + (1- ____!__) k k kw - w-2-_!_ _ _!__ ··· _ ____!__. ~ ~ ~· 1

1

2

Algebraische Gebilde mit eindeutigen Transformationen in sich.

411

es muss w daher mindestens gleich 3 sein. Wir unterscheiden nun drei Unterfälle. Ist erstens w ~ 5, so erha,lten wir aus (1') 1 5 w 2p-2 --2=--22 >=2 -2' -2 r

also (4) Ist zweitens w

4, also

=

2p-2

1

1

1

1

r

~

~

~

~·

--=2--------

so haben wir, indem wir k1 s k2 ~ k3 < k 4 annehmen, folgende tabellarisch angeordnete Möglichkeiten :

k2

kl

(5)

2p-2

k,

ka

r

>2 >2 >2 >2

::::::::_!_

-a

r~

3(p -1)

>2 >2

>!. =2

r~

4(p -1)

6(p -1)

- -- -

--

=2 >2

------

=2

=2 >2 >2

>!. =a

r~

=2

=2

=2 >2

::::::::!.

r~12(p-1)

- -- - - -

Ist endlich drittens w

6

-

= 3, also

1 1 1 2p-2 - - -1-------

-

r

k1

k3

~

'

so haben wir, indem wir k1 s k2 :S:: k3 annehmen, folgende wiederum tabellarisch aufgeführte Möglichkeiten:

kl

k2

I

ka

>3 >3 >3

>!. =4

rs

=3 >3 >3

>!. =6

r~12(p-1)

=3 >3

~12

1

r ~ 24(p-1)

=2 >4 >4

>__!_ =w

r

- -- (6)

2p;21

- -- =3

- -- -

----

1

=2

=4 >4

~20

=2

31 > 6

~42

--

1

s

S(p -1)

20(p -1)

r ~ 40(p -1) r

s

84(p -1)

412

Funktionentheorie.

Ein Blick auf die Ungleichungen (2), (3), (4), (5), (6) zeigt, dass r die Zahl 84(p -1) nicht übersteigen kann. Mit andern Worten, es besteht der Satz: "Die Anzahl der eindeutigen Transformationen in sich, welche eine Riemann' sehe Fläche vom Geschlecht p > 1 besitzen kann, beträgt im Maximum 84(p -1)." Zugleich lehrt unsere Diskussion, dass das Maximum von 84(p -1) Transformationen nur für solche Flächen eintreten kann, welche über einer Fläche vom Geschlecht Null oder, was auf dasselbe hinauskommt, über der komplexen Zahlenebene so ausgebreitet sind, dass die Blätter an einer Stelle zu je 2, an einer anderen Stelle zu je 3 und an einer dritten Stelle zu je 7 im Zyklus zusammenhängen. (Der letzte Fall der Tabelle (6) ). Diese Flächen hängen ersichtlich aufs engste mit der Theorie derjenigen Schwarz'schen s-Funktion zusammen, welche die Halbebene auf ein Kreisbogendreieck mit den Winkeln ; , ; , ~, abbildet 1). Für welche Werte von p das Maximum 84(p ~ 1) wirklich erreicht wird, habe ich nicht untersucht. Bemerkt sei nur noch, dass für p = 3 eine Fläche mit 84(p -1) = 168 Transformationen in sich existiert; es ist die Fläche, welche zur Galois'schen Resolvente der Modulargleichung 7ter Ordnung gehört, die zuerst von Herrn Klein betrachtet und ausführlich untersucht worden ist 2).

8. Zur Erläuterung der in Nr. 6 gegebenen allgemeinen Konstruktion der Flächen mit eindeutigen Transformationen in sich mögen hier noch einige Beispiele folgen. Es sei zuerst (1) das System der geraden Vertauschungen von fünf Dingen x1 , x 2 , x3 , x4 , x5 • Greifen wir aus dem System (1) die folgenden Vertauschungen heraus

T1

=

(x1 x 2) (x3 xJ,

T2

=

(x 2 x 5 x4),

T3

=

(x1 x 2 x 3 x4 x 5 ),

so lässt sich aus diesen die ganze Gruppe (1) erzeugen, und es ist

T1 T 2 T 3

=

1.

1 ) Vergl. Klein-Fricke: Vorlesungen über die Theorie der elliptischen Modulfunktionen, Bd. 1 (Leipzig, 1890), die Figur S. 109. 2 ) Über die Transformation siebenter Ordnung der elliptischen Funktionen, Mathem. Annalen, Bd. 14 (1878/79), S. 428-471. [Ges. Abhandlungen, Bd. Ill, S. 90-136.] Siehe auch Kapitel 6 des im vorigen Zitat genannten Werkes.

Algebraische Gebilde mit eindeutigen Transformationen in sich.

413

Nehmen wir nun eine Riemann'sche Fläche vom Geschlecht Null, also am einfachsten die komplexe Zahlenebene, in dieser drei beliebige Punkte a1 , a 2 , a 3 , die wir mit einem vierten Punkt 0 durch die Schnitte l 1 , l2 , l3 verbinden! Von der zerschnittenen Ebene decken wir 60 Exemplare, welche wir in irgendeiner Reihenfolge mit 8 1 , 8 2 , ••• 8 60 bezeichnen, übereinander und verbinden dieselben zu der Fläche F _ ( l1 ,

-

l2 ,

l 3)

Tl, T2, Ts .

Die Verbindung geschieht nach der Massgabe, dass man beim Übertritt vom negativen zum positiven Ufer der Linie li aus den Blättern bzw. in die Blätter Ti8 1 , Ti8 2 ,

•••

Ti8 60

gelangen soll. Die so entstehende Fläche F besitzt eine Gruppe von 60 eindeutigen Transformationen in sich, welche zu der Gruppe (1) der geraden Vertauschungen holoedrisch-isomorph ist. Das Geschlecht p von F ergibt sich aus Gleichung (1) in Nr. 7, indem man r

= 60,

n

= 0, k 1 = 2, k2 = 3, k3 = 5

setzt. Man erhält 2p-2

60

1

2

4

1

=- 2 +2+3+5 =-ao·

also p = 0, ein Resultat, an welches sich die. von Herrn Klein gegebene Theorie der Gleichungen fünften Grades anschliessen lässt 1). Als ein anderes Beispiel nehmen wir das System

(2) aller Vertauschungen von n Dingen x1 , x2 ,

T 1 = (x1 x 2),

T2 =

(xnX 11 _ 1 •••

x 2),

•••

Xn.

Wir wählen aus (2)

T3 = (x1 x 2 •••

Xn),

welche die Bedingung T 1 T 2 T 3 = 1 erfüllen und ein System erzeugender Substitutionen bilden. Indem wir in der komplexen Zahlenebene von einem Punkte 0 aus die Schnitte l 1 , l2 , l3 nach irgend drei Punkten a1 , a 2 , a 3 legen, n! Exemplare der zerschnittenen Ebene übereinanderdecken und endlich diese Exemplare zur Fläche

F=(l1 l2 l3 ) T1 T2 T 3 1) F. Klein: Vorlesungen über das Ikosaeder und die Auflösung der Gleichungen vom fünften Grade, Leipzig 1884.

414

Funktionentheorie.

vereinigen, erhalten wir eine Fläche mit n! eindeutigen Transformationen in sich. Die letzteren bilden eine zur Gruppe der Vertauschungen von n Dingen isomorphe Gruppe. Für das Geschlecht p der Fläche F finden wir nach Nr. 7 (da n = 0, k1 = 2, k 2 = n-1, k3 = n ist) den Wert (3) also für n = 3, 4, 5, 6, ... der Reihe nach p = 0, 0, 4, 49, .... Die Fläche F gestattet eine sehr einfache analytische Darstellung. Man betrachte die Gleichung

(4)

sn- _n_sn-1 = n-1

z.

Die Verzweigung von s in bezug auf z wird durch eine n- blättrig über der z-Ebene ausgebreitete Fläche dargestellt. Die Blätter der im Zyklus zusammen, bei z = 0 hängen Fläche hängen bei z = n - 1 Blätter im Zyklus zusammen, eines verläuft isoliert, endlich bei

oo

z=

n-=-~ findet eine einfache Verzweigung statt. Offenbar stellt daher (für a 1 = - n~ 1 , a 2 = 0, a 3 = oo) unsere Fläche F die Verzweigung

der Galois'schen Resolvente von (4) dar, d. h. die Verzweigung der simultan betrachteten Wurzeln s1 , s2 , ••• Sn von (4) in bezug auf z. Nun ist aber die einzelne Stelle P der Fläche F, wie man sich sofort überzeugt, schon durch die Verhältnisse der Grössen s1 , s2 , ••• sn festgelegt. Lassen wir daher P die Fläche F durchlaufen, so wird der Punkt 1

1

1

- :···:Yt : Yz : · · · : Yn =s-1 : st s,.

eine eindeutig umkehrbar auf die Fläche F bezogene Kurve beschreiben, wenn wir y1 , y 2 , ••• Yn als homogene Koordinaten in einem Raume von n -1 Dimensionen deuten. Aus der Gestalt der Gleichung (4) folgt aber, dass diese Kurve durch die folgenden n- 2 Gleichungen definiert werden kann:

(5)

+Y2 + · · · + Yn r YY~ + Y~ + · · · + Y!

l~~~2· ~ ~~~2 .+.. ·... ; ~:~2.

=

0,

= 0, =· 0 ~

Diese Gleichungen stellen also eine irreduzible Kurve dar, deren Geschlecht p durch die Gleichung (3) angegeben wird und welche eine Gruppe von n! eindeutigen Transformationen in sich besitzt, die zur Gruppe der Vertauschungen von n Dingen holoedrisch isomorph ist. Das letztere wird durch die Form der Gleichungen (5) bestätigt:

Algebraische Gebilde mit eindeutigen Transformationen in sich.

415

:lie eindeutigen Transformationen der Kurve sind keine anderen, wie die durch die Vertauschungen der y 1 , y 2 , ••• y,. definierten Kollineationen des Raumes, in welchem unsere Kurve liegt. Das Beispiel der Kurve (5) habe ich schon in dem letzten Paragraphen meiner Note über diejenigen algebraischen Gebilde, welche eindeutige Transformationen in sich zulassen, erwähnt. Ebenda habe ich als "Geschlecht" einer Gruppe das niedrigste Geschlecht bezeichnet, bei welchem algebraische Gebilde mit einem zu der Gruppe holoedrisch isomorphen System von eindeutigen Transformationen existieren. Ich bemerke, dass die Betrachtungen der vorigen Nummern in jedem Falle das Ge'schlecht einer gegebenen Gruppe zu bestimmen gestatten. In der Tat, seien (6) die Operationen der gegebenen Gruppe, Tv T 2 , ••• T w-l ein Teil derselben, welche zur Erzeugung der ganzen Gruppe ausreichen, endlich T w die Operation, welche der Gleichung T1T2

•••

Tw-lTw

=

1

genügt. Auf Grund der Operationen T 1 , T 2 , ••• T w kann man nun über der komplexen Zahlenebene eine r- blättrige Riemann'sche Fläche konstruieren, welche eine zu (6) holoedrisch isomorphe Gruppe von eindeutigen Transformationen in sich besitzt. Sei P das Geschlecht dieser Fläche. Um nun das Geschlecht der Gruppe (6) wirklich zu bestimmen, hat man alle Lösungen der diophantischen Gleichung

(7)

2p-2 ( 1 ) r- = 1 -k1

+ ( 1 -k,1-) + · · · + (2n-2),

welche den Bedingungen p < P, 7c1 ~ 2, 7' 2 ~ 2, ... , n ~ 0 genügen, aufzusuchen. Die Anzahl dieser Lösungen ist offenbar eine endliche. Jede einzelne Lösung ist weiter daraufhin zu untersuchen, ob ihr eine Fläche F entspricht, welche auf Grund der Operationen (6) nach den Vorschriften der N r. 6 konstruiert ist. Wenn dies für keine Lösung der Fall ist, so ist P das Geschlecht der Gruppe. Im andern Falle gibt diejenige der Flächen F, welche das kleinste Geschlecht besitzt, zugleich das Geschlecht der Gruppe. Diskutiert man in dieser Weise z. B. die Gruppe aller Vertauschungen bei fünf Dingen, so ergibt sich für das Geschlecht dieser Gruppe der Wert p = 4.

111. Abschnitt. 9. Besitzt eine Riemann'sche Fläche F, deren Geschlecht p > 0 ist, eine eindeutige Transformation S in sich, so entspricht derselben immer

416

Funktionentheorie.

eine lineare Transformation der p überall endlichen Integrale u 1 , u 2 , ••• up. Entspricht nämlich vermöge S der Stelle P die Stelle P' und bedeuten u~, u;, ... u~ die Werte der überall endlichen Integrale an der Stelle P', so können wir diese Werte auch als Funktionen der Stelle P ansehen. Als solche sind sie überall endliche Funktionen, welche sich bei einem geschlossenen Weg, den P durchläuft, um additive Konstanten vermehren. Es stellen also u~, u;, ... u~ als Funktionen der Stelle P überall endliche Integrale vor. Es bestehen daher Gleichungen der Gestalt (1)

u~ = ocilu1

+ oci 2 u 2 + · · · + ocipup + oci,

(i

=

1, 2, ... p),

wo u 1 , u 2 , ••• Up die Werte der Integrale an der Stelle P und die Koeffizienten oc von der Stelle P unabhängige Grössen bedeuten. Es ist bequem, die Gleichungen (1) in differentieller Form zu schreiben: (2)

du~= ocildu1

+ oci 2 du2 + · · · + ocipduP,

(i = 1, 2, ... p)

und wir sagen dieser Schreibweise entsprechend: "Jeder Transformation S der Fläche F in sich entspricht eine homogene lineare Transformation (2) der p Differentiale erster Gattung." Einer Gruppe von r eindeutigen Transformationen der Fläche F in sich entspricht daher eine Gruppe von homogenen linearen Transformationen der p Differentiale erster Gattung. Und zwar sind beide Gruppen, sobald p > 1 ist, holoedrisch isomorph. Um dies zu beweisen, genügt es zu zeigen, dass die Transformation

(3)

du~ = d ui (i =

1 , 2 , . . . p)

nur der identischen Transformation von F entsprechen kann. Ist nun S eine Transformation von F in sich, welcher die Transformation (3) der Differentiale 1. Gattung entspricht, so wird jedes Differential 1. Gattung, welches in P von der zweiten Ordnung verschwindet, zufolge (3) auch in P' von der zweiten Ordnung Null. Daher muss entweder P stets mit P' zusammenfallen, also S die identische Transformation sein, oder es muss die Fläche hyperelliptisch sein und 8 in der Zuordnung je zweier Punkte P, P' bestehen, in welchen die zweiwertige Funktion der Fläche denselben Wert. annimmt. Der letztere Fall ist aber ausgeschlossen, da bei dieser Zuordnung du~ = - dui ist, während doch du~ = dui sein soll. Bei der Untersuchung einer Gruppe linearer Transformationen ist es eine erste fundamentale Aufgabe, die Wurzeln der charakteristischen Gleichung der einzelnen Transformationen zu bestimmen. Wir wollen diese Aufgabe in dem hier vorliegenden Falle zu lösen versuchen. Es handelt sich also um folgende Frage :

Algebraische Gebilde mit eindeutigen Transformationen in sich.

417

"Gegeben ist eine (von der Identität verschiedene) eindeutige rransformation S der Riemann'schen Fläche F (p > 1) in sich. Welches 3ind die Wurzeln der charakteristischen Gleichung für die entsprechende .wmogene lineare Transformation (2) der Differentiale 1. ·Gattung?" Diese Frage soll nun zunächst in eine andere für die Beantwortung Jequemere Form gebracht werden. Bekanntlich lässt sich eine lineare wmogene Transformation von endlicher Ordnung oder Periode n, 'ndem man die ursprünglichen Variabeln durch geeignete lineare Verbindungen derselben ersetzt, immer auf eine solche Form bringen, ::lass die Transformation in der Multiplikation der Variabeln mit nten Einheitswurzeln besteht. Diese Einheitswurzeln sind dann die Wurzeln der charakteristischen Gleichung der Transformation. Wenn also S die Periode n besitzt, so können wir die p Integrale u 1 , u 2 , ••• uv so wählen, dass (2) die Gestalt

(4) annimmt, wo s1 , s2 , ••• Sv nte Einheitswurzeln bedeuten. Unsere Frage lässt sich hiernach auch so formulieren: Gegeben ist eine eindeutige Transformation S der Riemann' sehen Fläche F (p > 1) in sich, welche jedem Punkte P der Fläche F einen bestimmten anderen Punkt P' zuordnet und die Periode n besitzt. Gegeben ist ferner eine nte Einheitswurzel s. Wie viele linear unabhängige Integrale 1. Gattung u gibt es dann auf der Fläche F, welche der Bedingung du'= s du genügen, wo u, u' die Werte des Integrales in den Punkten P, P' bedeuten? Die Zahl dieser linear unabhängigen Integrale gibt offenbar an, wie oft die Einheitswurzel s als Wurzel der charakteristischen Gleichung der Transformation (2) auftritt.

10. Wir betrachten die aus S entspringende Gruppe (1)

S0

=

81 ,

81

=

S2,

S2

=

83 ,

•••

Sn- 1

=

S,.

von eindeutigen Transformationen der Fläche F in sich. Vermöge der Transformationen (1) ordnen sich die Punkte von F in Gruppen zu je n

(2) an derart, dass vermöge S jeder Punkt einer solchen Gruppe dem vorhergehenden, der erste Punkt dem letzten entspricht. Es finden nun hier ohne weiteres die Betrachtungen der Nr. 6 Platz. Sei tP die 27

418

Funktionentheorie.

nach den Angaben jener Nummer deutig auf F bezogen ist und zwar n Punkte einer bestimmten Gruppe a1 , a 2 , • • • aw die Punkte auf f/J,

hergestellte Fläche, welche 1- nso, dass jedem Punkte von f/J die (2) auf F entsprechen. Seien ferner deren zugehörige Gruppe (2) aus

weniger als n (also aus ~ je k- fach zu rechnenden) Punkten besteht. Dann können wir die Fläche F n-blättrig über f/J ausbreiten und unter Beibehaltung der früheren Abkürzungen mit

(3)

F = ( ll, l2, . . . lw, T 1 , T 2 , ••• T w,

Al,

BI, ...

U 11 V 1 ,

•••

A,., B,.) U,., V,.

bezeichnen. Hier sind die T, U, V sämtlich Potenzen von S, etwa

(4)

V"

=

S 11" .

Die Relation (7) in Nr. 6 geht über in

Tl T2 oder, was dasselbe besagt, (5)

fl1

+ ,u + · · · + flw = 0 (mod. n). 2

Untersuchen wir jetzt die zu bestimmenden überall endlichen Integrale u, indem wir sie als Funktion der Stelle auf der Fläche f/J auffassen! Offenbar ist u auf der Fläche f/J" (welche durch die Schnitte l, A, B aus f/J entsteht) eindeutig, und es erhält du beim Übertritt von der negativen zur positiven Seite der Schnitte bezüglich die Faktoren 1 ) Da diese Eigenschaften für u vollständig charakteristisch sind, so erkennen wir, dass sich unsere Frage auf die folgende reduziert: Gegeben ist eine Riemann'sche Fläche f/J, welche durch die Schnitte l, A, B in eine einfach zusammenhängende Fläche f/J" zerschnitten ist. Wie viele linear unabhängige überall endliche Funktionen u gibt es, welche auf f/J" eindeutig sind und die Eigenschaft besitzen, dass das Differential du beim Übertritt von der negativen auf die positive Seite der Schnitte 1 ) D. h. Sind u+ und u- die Werte, welche die auf ~" eindeutig ausgebreitete Funktion u in gegenüberliegenden Punkten des Schnittes l1 besitzt, so ist längs des ganzen_ Schnittes l1 u+ = 1:/''• · u- + const.

Entsprechend für die anderen Schnitte.

Algebraische Gebilde mit eindeutigen Transformationen in sich.

419

bezüglich die gegebenen Faktoren erhalten? Die gegebenen Faktoren sind nte Einheitswurzeln, zwischen welchen (nach 5) die Beziehung (6) Y1 Y2 · · · Yw = 1 besteht. 11. Unsere Frage führt also auf die Bestimmung solcher Funktionen des ·Ortes einer Riemann'schen Fläche (/), welche sich bei Durchlaufung eines geschlossenen Weges bis auf eine multiplikative Konstante reproduzieren. Die Theorie dieser Funktionen und ihrer Integrale bildet eine Verallgemeinerung der Theorie der algebraischen Funktionen und ihrer Integrale, welch letztere dem Fall entspricht, in welchem die multiplikativen Konstanten sämtlich gleich 1 sind. Eine eingehende Untersuchung der in Rede stehenden Funktionen gedenke ich demnächst zu veröffentlichen. Hier beschränke ich mich darauf, diejenigen Sätze anzugeben, welche für den vorliegenden Zweck erforderlich sind. Zuvor bemerke ich noch, dass der spezielle Fall, in welchem die zu untersuchenden Funktionen auf der Fläche (/) unverzweigt sind, schon mehrfach behandelt ist. Bereits Riemann hat solche Funktionen in Nr. 26 seiner "Theorie der Abel'schen Funktionen" betrachtet!). (Die dort eingeführte Beschränkung, dass die multiplikativen Konstanten Einheitswurzeln seien, ist unwesentlich.) Sodann hat Herr Prym im 70. Bande von Crelles Journal (1869), S. 223-236, einige Sätze über die Bestimmung dieser Funktionen aus ihren Periodizitätseigenschaften ohne Beweis mitgeteilt. Endlich ist die Preisarbeit "Sur les integrales de fonctions a· multiplicateurs et leur application au developpement des fonctions abeliennes en series trigonometriques", Acta mathematica Bd. 13 (1890), S. 5-174, von Herrn Appell zu erwähnen, deren erster und zweiter Teil sich auf dieselben Funktionen beziehen 2). Ich will nun zunächst die zu betrachtenden Funktionen genau definieren. Es sei (/) eine Riemann'sche Fläche vom Geschlecht n, ferner 1 ) Man sehe auch die interessante (klein gedruckte) Bemerkung aufS. 385 und 386 der 2. Auflage der gesammelten Werke von Riemann. 2 ) Die Untersuchungen Appells lassen sich durch Einführung des oben gewählten Schnittsystems vereinfachen. Es kommen dann nämlich alle auf die Schnitte c bezüglichen Betrachtungen in Wegfall.

420

Funktionentheorie.

willkürlich auf (]) angenommene Punkte. Wir zerschneiden (]) durch die Schnitte ll> 12 , ••• lw, A1 , B1 , ••• A", B" in die einfach zusammenhängende Fläche (]}". Die Funktionen f des Ortes auf (]}, welche wir betrachten wollen, sind dann durch folgende Eigenschaften charakterisiert : 1) Verzweigungspunkte von f finden sich nur unter den Punkten a 1 , a 2 , • • • aw, so dass die einzelnen Zweige von f auf der zerschnittenen Fläche (]}" eindeutig sind. 2) Die Funktion f besitzt, abgesehen von den Punkten a 1 , a 2 , ••• aw, keine anderen singulären Punkte als Pole. 3) In der Umgebung des Punktes a. bleibt t-d•.

t

endlich, eindeutig und von Null verschieden, wenn t eine im Punkte a. von der ersten Ordnung verschwindende Funktion und b; eine passend gewählte Konstante bedeutet. 4) Jeder auf (]}" eindeutig ausgebreitete Zweig der Funktion f erhält beim Übertritt von der negativen zur positiven Seite einen der Schnitte bezüglich die gegebenen Faktoren /'1, 1'2, · · · Yw, cxl, ß11 · • · CX"' ßn·

Das System aller Funktionen f, welche diesen Bedingungen genügen, bezeichnen wir in Rieroann'scher Weise mit (1)

f = ( l1, l2, ... lw, A1,

B 1, ... A", B"). 1'11 1'2, • · • Yw• cxl, ß11 · • · cx,., ßn

Da in der Umgebung des Punktes a; die Entwicklung von f die Gestalt

(2)

f

= t 6'(c 0

+ c1 t + c2 t 2 + · · ·)

besitzen soll, so ist klar, dass

(3) sein muss. Betrachten wir nun das in positivem Sinne durch die Begrenzung von (]}" erstreckte Integral

2~i

f d lg t'

so ist dasselbe gleich N-U, wo N die Zahl der Null-, U die Zahl

Algebraische Gebilde mit eindeutigen Transformationen in sich.

421

der Unendlichkeitsstellen von f bedeutet. Andererseits reduziert sich jenes Integral auf diejenigen Teilintegrale, welche um die Punkte a 1 , a 2 , ••• aw in negativem Sinne herumführen. Die letzteren Teilintegrale besitzen nach (2) die Werte - ~ 1 , - ~ 2 , ••• , - ~w. Es ist also (4) U = N + ~1 + ~2 -J- • • • + ~w· Hieraus geht hervor, dass ganze Zahl und folglich (5)

~1

+ ~ 2 + · · · + ~w

Y1Y2 • • · Yw

notwendig eme

=1

ist 1). Die Faktoren y, oc, {:J dürfen also nicht vollkommen willkürlich gewählt werden, sondern müssen der Bedingung (5) genügen. Ausserdem darf natürlich keiner der Faktoren gleich Null sein. Es findet aber keine weitere Bedingung für diese Faktoren statt. In der Tat besteht der Satz: Zu jedem Faktorensystem

welches den Bedingungen Y1Y 2 ••• Yw = 1 und oc1 {:J1 ••• oc"{:J" :j: 0 genügt, übrigens aber ganz beliebig gewählt ist, gehört stets ein System von Funktionen

Man kann nämlich stets auf mannigfaltige Weise eine Summe I: von Abel'schen Integralen dritter Gattung bilden, so dass

(6)

f=

ez:

eine alle erforderlichen Eigenschaften besitzende Funktion darstellt. Man erkennt auch leicht, dass durch den Ausdruck (6) die allgemeinste Funktion des Systems dargestellt wird 2). 12. Zu jedem Funktionensystem (1)

( l1, l2, .•• lw, A 1, B 1, .•. A", B") Y1, Y2• · •• Yw, ocl, f:J1, ..• oc,., {:J,.

1 ) Dasselbe folgt auch durch Betrachtung eines Umlaufs um den Punkt, von welchem die Schnitte l, A, B ausgehen. 2 ) Ich bemerke hier ausdiiicklich, dass das Geschlecht :n; der Fläche (/J beliebig angenommen wird. Es ist also der Fall :n; = 0 nicht ausgeschlossen. In diesem Falle kommen nur die Schnitte A , B in Fortfall. Die Zahl w darf man stets positiv voraussetzen, da man immer beliebig viele Schnitte l aufnehmen kann, denen man den Faktor y = 1 zuordnet, ohne dadurch das Funktionssystem f zu ändern.

422

Funktionentheorie.

gehört ein System von Integralfunktionen, welches durch die Integrale jfdz

gebildet wird. Dabei bedeutet f irgendeine Funktion des Systems (1) undzeine eindeutige algebraische Funktion oder ein Abel'sches Integral der Fläche tP. Ich will hier nur die überall endlichen unter diesen Integralfunktionen näher betrachten. Es handelt sich vor allem darum (vgl. Nr. 10), die Zahl der linear unabhängigen dieser Funktionen zu bestimmen. Hierbei werde ich die Multiplikatoren je in folgende Form setzen:

(2)

Y1

=

e-2ni"•, Y2

=

e-2ni"•, ...

Yw

=

e-2ni"w,

wo die Zahlen x1 , x 2 , ••• "w durch die Festsetzung unzweideutig bestimmt sind, dass ihre reellen Bestandteile zwischen 0 und 1 liegen sollen, die obere Grenze 1 ausgeschlossen. Es sei nun v eine der überallendlichen Integralfunktionen, ferner P eine Stelle der Fläche tP und t eine in P von der ersten Ordnung verschwindende Funktion. Gehört nun P nicht zu den Stellen a 1 , a 2 , ••• aw, so lautet die Entwicklung von v an der Stelle P (3)

v = c + c't•·

+ c"tr+l + · · ·

(c' =F 0).

Wir sagen dann (genau wie für die eindeutigen algebraischen Funktionen und ihre Integrale), dass die Stelle P eine (r -1) -fach zu rechnende N nilstelle von dv sei. Fällt aber P mit ai zusammen, so haben wir eine Entwicklung der Gestalt

(4) und wir wollen dann ai als eine (r- 1) -fache Nullstelle von dv rechnen. Die Zahlen r in (3) und (4) sind positive ganze Zahlen, weil v überall endlich sein soll. Dies festgesetzt, beweisen wir zunächst den Satz: "Die Gesamtzahl der Nullstellen des Differentials dv beträgt 2n- 2

+ "1 + "2 + · · · + "w" ·

In der Tat, sei z eine eindeutige algebraische Funktion auf tP, welche m mal unendlich wird. Dann ist :~ eine Funktion f, auf die dv wir die Gleichung (4) von Nr. 1 anwenden können. Nun wird Tz unendlich nur an den Nullstellen von dz, deren es bekanntlich 2m + 2 n- 2 gibt. Ferner wird ~~ an den m Unendlichkeitsstellen von z je von der zweiten Ordnung Null und an jeder von den Stellen a 1 , a 2 , ••• aw verschiedenen Nullstelle von dv so oft Null, als dieselbe nach unserer Festsetzung zu rechnen ist.

Algebraische Gebilde mit eindeutigen Transformationen in sich.

423

dv

An der Stelle ai lautet die Entwicklung von dZ dv _ t->(c' dZ• 0

+ )

···,

wenn wir annehmen, was offenbar gestattet ist, dass die Stellen ai nicht zu den Nullstellen von dz und ebensowenig zu den Unendlichkeitsstellen von z gehören. Daher gibt die Gleichung (4) von Nr. 11

2m+2n-2 =2m+ ~(r-1)-x 1 -x 2 -···-Xw, woraus die Richtigkeit unseres Satzes hervorgeht. Wir ziehen aus diesem Satze noch eine Folgerung. Da die Anzahl der Nullstellen von dv nicht negativ werden kann, so zeigt unser Satz, dass in den Fällen n

und

=

0'

"1

+ "2 + ... + "w =

n = 0, x1 + x2 + · · · +

Xw

0

= 1

keine überall endliche Integralfunktion v existieren kann. Wir wollen nunmehr zeigen, wie man alle Integralfunktionen v bestimmen kann unter der Voraussetzung, dass man eine dieser Funktionen kennt. Es sei v 0 diese eine Integralfunktion, welche wir als bekannt voraussetzen .. Ist dann v eine beliebige der Integralfunktionen, so wird offenbar \5) eine eindeutige algebraische Funktion der Fläche sein, welche nur an den 2 n- 2 + x1 + x2 + · · · + "w Nullstellen von dv 0 unendlich werden kann. Ist umgekehrt Z eine derartige Funktion, so wird (6)

v

=

J

Z dv 0

eine Integralfunktion sein. Nun gibt es aber nach dem RiemannRoch'schen Satze genau

2 n - 2 + x1 + x2 + · · · +

"w -

n + 1 = x1 + x2 + · · · +

Xw

+ n- 1

linear unabhängige Funktionen Z, wenn wir von einem sogleich näher zu betrachtenden Ausnahmefall absehen. Es muss also ebenso viele linear unabhängige Integralfunktionen v geben, welche sämtlich nach Formel (6) aus der einen v 0 abgeleitet werden können. Der erwähnte Ausnahmefall tritt ein, wenn die Nullstellen von dv 0 zugleich die Nullstellen eines Differentials erster Gattung du sind. Dies kann nur dann stattfinden, wenn

424

Funktionentheorie. XI

-f-

X2

-f- . " . -f-

Xw

=

Ü,

also auch die reellen Bestandteile von x1 , x2 , ••• xw sämtlich Null und daher die Faktoren y 1 , y 2 , ••• Yw sämtlich reell sind. Die Anzahl der linear unabhängigen Differentiale erster Gattung, welche in den Nullstellen von dv 0 verschwinden, kann nur gleich 1 sein, weil die Anzahl dieser Stellen 2 n - 2 beträgt. Die oben angegebene Zahl ist dann also zu ersetzen durch XI

-f-

"2

-f- ' ' ' -f-

'Xw

-f-

11: =

11: •

Um diesen Ausnahmefall noch näher zu charakterisieren, betrachten wir die Funktion ~~. Dieselbe gehört zu dem Funktionssysteme f; sie wird nirgends Null oder unendlich, ausgenommen etwa an den Stellen al> ... aw, wo ihr Verhalten durch die Entwicklung dvo dU

angezeigt wird.

=

t->;.

Enfin, le module de C etant superieur a l'unite le long de U, nous trouvons

. ___!_ 4 2r+l/l dC I = I "Pn,r (z) I < ~ )." 2n e

16e n (2r

u

ce qu'il fallait demontrer. Ceci pose, soit

in' L, + 1)" n"

(14) une fonction entiere quelconque; formons la serie (15)

F (z) = a0 ( cp0 (z) - :>r0, 0 (z)) + a1 ( cp 1 (z) - :>r1, 1 (z)) + a,.(cp,.(z) -:>r,.,,.(z)) + · · ·,

+ ···

qui satisfait, comme nous l'avons deja remarque, formellerneut al'equation

F (z

+ 1)

- F (z)

=

q(z).

Je dis que la serie (15) converge absolument et uniformerneut dans toute region finie R. En effet, cp,.(z)-:>r,.,,.(z) etant egal a "P,.,,.(z), le terme general de Ia serie (15) est, en valeur absolue, inferieur a

ln

16e

---n I a,. I (2n+l)"

(!?2)" --;-

pour une valeur quelconque de z appartenant donc de faire voir que Ia serie

ln

(16)

(2n+l)"z

a Ia

region R. Il suffira

n

2

converge pour z = .!L. Or cette serie converge dans tout le plan. En n effet, pour qu'une serie entiere soit toujours convergente il faut et il suffit que Ia nleme racine du nleme coefficient tende vers zero avec _!_. n Cela decoule immediaterneut du tMoreme de M. Hadamard sur le 00

rayon du cercle de convergence d'une serie entiere. Maintenant, ~ a,.z" etant d'apres l'hypothese toujours convergente, on a

lim~=O.

n= oo

0

440

Funktionentheorie.

De plus la formule de Stirling n donne aiserneut J

=

V-2 :n: n

@

1

n+~

2

lim

n= oo

-n+-

e

(0 r, la valeur de }'integrale est

c

ln (2 k:n:i) 11 + 1

la fonction

r:,n

+

1

1 (i:,-2k:n:i)

'

ayant alors en dehors de Or le pole C = 2kni.

442

Funktionentheorie.

Ainsi nous aurons (X±l = (X±2 = • · • = (X±r = 0, et, pour I k I > r, (21) Il en resulte que la serie (18) est convergente pour I z I< 2 n(:+l). De plus nous pouvons enoncer la proposition suivante: Si la serie (22) F (z) = a0 [

n-1

n2 d2log F(z) . sm2nz---;w--= 2 +n~

(

)

n

n=l

n-1

ou il faut reQJ.placer (n- 1) log - n - par zero pour n = 1. Revenons maintenant au cas general. L'equation F(z

+ 1) -F(z)

= G(z)

est contenue comme cas particulier dans l'equation (62)

F(z

+ 1)- aF(z)

= G(z),

a designant une constante donnee, ou dans l'equation plus generale encore

(63) a0 F (z + n) + a1 F(z + n -1) + · · · + a,._1 F (z + 1) + a,. F(z) = G (z) , a 0 , a 1 , ••• , a,. etant des constantes donnees. On peut reduire ces equations comme le fait M. Guichard, a l'equation F(z + 1) -F(z) = G(z). Mais on peut aussi les traiter directement d'une maniere entierement analogue a celle que nous avons employee plus haut pour l'equation F(z + 1) -F(z) = G(z). Pour plus de simplicite considerons seulement l'equation (62) F(z

+ 1)- aF(z)

= G(z),

ou nous supposerons a different de 0 et de 1. En premier lieu nous cherchons les fonctions rationnelles entieres qJ,.{z) satisfaisant a l'equation (64)

qJ,. {z

+ 1) -

aqJ,. {z) = z".

Remarquant que et:z

nous voyons que ce sont les coefficients du developpement de -,-e -a

suivant les puissances croissantes de C, qui fournissent les fonctions fP,.(z) 1). Ainsi nous avons (65) 1 ) Ce sont les fonctions considerees par M. Hermite dans ses interessantes recherches sur les polyn6mes de Bernoulli. Voir: Sonin et Hermite, Sur les polyn6mes de Bemoulli, Crelles ,Journal, Bd. 116 (1896), S. 133-156. [Cf. Oeuvres de Hermite, vol. IV, p. 437--447.]

Sur !'integrale finie d'une fonction entiere.

453

et par consequent (66)

}'integrale etant prise autour du point C= 0 (le contour d'integration ne contenant a son interieur aucune des racines de l'equation e'- a = 0). Maintenant considerons l 'integrale (67)

prise le long d'un chemin entourant outre le point C= 0 un certain nombre de racines de l'equation e'- a = 0. L'equation (64) est encore satisfaite si nous remplaQons 'Pn (z) par V'n (z). De plus V'n (z) ne differe de la fonction 'Pn (z) que par un certain nombre de termes de la forme (68)

_in a

1

e l. Designans de plus par C un cercle, dont le centre est a l'origine, dont le rayon est superieur a l et qui n'a sur sa periphßrie aucune racine de l'equation eC- a = 0. Alors nous pourrons prendre !'integrale "Pn (z) le long du cercle C et la fonction F (z) se presentera sous la forme 1 F(z)=2 .

(74)

n~

J

eCz -.-.g(C)d\;. e•- a

0

Prenons pour exemple a = -1 et G(z) l'equation

a

= - sinnz,

z

resoudre devient

F(z + 1) +F(z)

(75)

de sorte que

= - sinnz.

z

Elle est evidemment satisfaite par la fonction entiere sin nz .z;~:]. Designans avec M. Hermi te les fonctions Cf!n (z) correspondant a la constante a = - 1 par Xn (z), de sorte que ~

e!:z

(76)

e!:

+1

=

n~

i:,n

Xn

(z) In .

La fonction G (z) etant egale a -

nous aurons

•

smznz =

z2n

oo

""""(-1)n+ln2n+l~--::-.:;;",; l2n+1 '

n=O

(77)

Cette serie est convergente pour Iz I > n et pour ces valeurs de z sa 1 log zni Ains1. nous aurons d' apres ' (74) ' 1e a' 2i somme es t ega z +ni.

(78)

J

e!:z i:, + ni F(z) =41- -,-log-'" -.d\;,

n

e +1

~- n~

455

Sur !'integrale finie d'une fonction entiere.

!'integrale etant prise le long du cercle I CI = l, Oll l est compris entre n et 2 n. En transformant cette integrale d'une maniere semblable a celle que nous avons employee plus haut pour !'integrale (44), on reconnait que la fonction F (z) est identique a la fonction ff (z) definie par I' equation (53). Ainsi notre analyse nous donne comme solution de l'equation (75) la fonction (79)

F (z) = sin nz ~(~~

+;

cos nz + (log 2 n- F' (1)) sin nz.

Le developpement de cette fonction suivant les polynömes d'apres (72) =

(z) sera

.7l2n+l

00

F (z)

Xn

""'(-1) 11 + 1 I 2 n + 1 ..::;";

n=O

( )

"P2n Z '

ou, puisque l'on a 1P2n

(80)

_ 12 n (z) 2ni F(z)

J

d t,;

eC z

i+l z;2n+1

~[

= ..::;";

_

-X2n

12 n

( )

(

z +2n2n+l -1

n2.n+l (-1)n+l l2n+l

X2n

n=O

( z)

)n+1 .

smnz,

+ 2sinnz] 2n+l .

Oonsiderons encore l'equation (81)

F(z

+ 1) -F(z)

=

r + s. Les rayons r et s etant choisis assez grands on aura, pour Izl ~ r, Itl ~ s, 31

Funktionentheorie.

482 00

f( z)

(3)

=

""""a n -~zn+l'

~ 0

et, en effectuant le developpement de !'integrale Jr,s' on trouve

Maintenant, considerons }'integrale Jr',•'' les rayons r' et s' etant plus petits que r et s respectivement. Entourons Ies pöles IX de f (z) s1tues entre Ies cercles Iz I = r et Iz I = r' par de petits contours (IX) et de meme Ies pöles ß de cp (t) situes entre les cercles It I = s et It I = s' par de petits contours (ß). Alors nous pouvons, dans le calcul de !'integrale J r, 8 , substituer au cercle Iz I = r le cercle Iz I = r' plus les contours (IX) et au cercle Itl = s le cercle Itl = s' plus les contours (ß). Si nous effectuons alors les integrales se rapportant aux contours (1X) et (ß), nous trouvons (5)

Jr,s

=

Jr',s'

+ ~ Acp(X-IX) + ~ Bf(x-ß)- ~ ~ x-~~ß)'

les constantes A et B designant les residus des fonctions f(z) et cp(t) relatifs aux pöles z = IX et t = ß. Or }'integrale Jr',s' definissant une fonction de x holamorphe pour 1xl > r' + s', r equation (5) fournit evidemment Ie prolongement analytique de la fonction 1p(x) definie par !'integrale Jr,s seulement pour lxl > r + s. En outre, on voit que la fonction 1p(x) n'admet dans le domaine Ix I > r' + s' d' autres singularites que les points IX et ß (qui peuvent etre des points singuliers essentiels) et les pöles IX + ß avec Ies residus correspondants AB. Les rayons r', s' pouvant d'ailleurs etre choisis aussi petits qu'on le veut, nous sommes amenes au theoreme suivant: Considerons les fonctions f(z), cp(z) et 'IJ'(Z) dl4inies par les series 00

cp(z)

=

bn n~l' ~ z 0

Si les fonctions f(z) et cp(z) n'admettent en dehors du point z = 0 d'autres singularites que des poles simples, la fonction 1p(z) sera uniforme dans tout le plan et n' admettra, elle aussi, en dehors des points singuliers de f(z) et cp(z), d'autres singularites que des p6les simples. En outre, en

483

Sur un theoreme de M. Hadamard.

d' une mamere . ' genera ' ' l e par z _A a et z _B {:J l es parttes . meromorp ' hes ' . destgnant

de

f (z) et q; (z) , les parlies meromorphes de

"P (z) seront

1

B ß) .

z- a+

Ainsi notre theoreme donne une addition des singularites, tandis que le theoreme de M. Hadamard en donne une multiplication. 2. Considerons maintenant !'integrale multiple

_1_1

(6)

(2 :n:t")P

q;(z 1 ,z!, ... ,zp)/1 (z1)/2 (z2 )

(p)

...

/p(zp)

d d

ZtZ2•••Zp-X

zl

z2. . •

d

Zp,

l'integration s'effectuant le long des cerdes !zii = t•i(i = 1, 2, ... , p). Je suppose que les fonctions f1(z1), f 2(z 2), ... , f P (zP) sont holomorphes a l'interieur de ces cerdes et meromorphes avec des pöles simples pour toutes les valeurs finies des variables clont elles dependent. Quant a la fonction q;(z1o z2 , ••• , zp) j'admets qu'elle est developpable en serie toujours convergente ordonnee suivant les puissances entieres et posi. d e z ,z , ••• , Zp, -1 , -1 , ••• , -1 . tlves 2 1 z1 Zs Zp Dans ces conditions !'integrale (6) definit une fonction "P (x) de x holomorphe dans le voisinage de x = 0, uniforme dans tout le plan et n'admettant a distance finie d'autres singularites que des pöles simples. En outre, en designant d'une maniere generale par ~, A A ~-~ - -2-, ...• -~ les parties meromorphes desfonctions fl(zl),f2(zz), .•. , ~Js-Zs

f (zp) IJ

ap-Zp

respectivement, les parties meromorphes de tp ( x) seront

Un cas particulier interessant est celui Oll l'on pose et Oll I' on prend (8)

En developpant !'integrale (6) suivant les puissances ascendantes de x on obtient, a un facteur constant pres, (9)

tp(x)

=

D0 ,p

+ D + ··· + D 1 ,p

n,p

x"

+ ···,

le coefficient D,.,p etant defini par un determinant facile a former. De la decoule immediaterneut la methode de M.Hadamard pour calculer les modules des pöles successifs d'une fonction meromorphe f(z) definie par son developpement de Taylor. 3. Il est tout nature! de se demander s'il y a des theoremes analogues pour Ies fonctions de plusieurs variables. Prenons, par exemple, deux series

484

Funktionentheorie.

et formons la nouvelle serie

Il n'y a aucune difficulte a representer cette sene par une integrale quadruple analogue aux integrales considerees plus haut. Mais il ne semble pas facile d'obtenir une loi simple et generale faisant dependre les singularites de 1p(z1 , z2) de celles de f(z 1 , z2) et q;(z1 , z2), comme le montre l'exemple suivant. Posons

f(

1 ~ (n1 + n2)! 11 n ) zl,z2 =,..:;.; nl!nTzt'z2•=1-(zl+zt)'

q;(zp z2) =

nous obtenons

~ z~z~ = 1- 1zl z2 ,

,..:;.;

( ) :2

1J! z1,z2 =

(2n)! n n - , - , zlz2 =

n. n.

1

v'1- 4zl z2

.

Ainsi, dans cet exemple, les singularites des fonctions f, tp, 'P sont respecdeterminees par les equations z1 z2 = 1, z1 z2 = 1, z1 z2 = tivement Les points singuliers de f et tp sont des pöles, tandis que les points singuliers de 1J! sont algebriques.

+

!

XXVIII.

Über die Anwendung eines funktionentheoretischen Prinzipes auf gewisse bestimmte Integrale. (Mathematische Annalen, Bd. 53, 1900, S. 220-224.)

Wenn die Funktion f(x) in jedem endlichen Intervalle der positiven Zahlenaxe integrierbar ist und für unendlich grosse positive Werte von x stärker Null wird als jede endliche Potenz von _!_, so stellt das X Integral 00

J(s)

=

jf(x)x 8 - 1 dx 0

eine holamorphe Funktion der komplexen Variablen s vor in demjenigen Bereiche der s-Ebene, in welchem der reelle Teil von s positiv istl). Macht man die weitere Voraussetzung, dass f(x) in der Umgebung von x = 0 in eine gewöhnliche Potenzreihe entwickelbar ist, so ergibt sich durch bekannte Methoden 2), dass dann das Integral J (s) einen Zweig einer in der ganzen Ebene eindeutigen analytischen Funktion darstellt, die nur für s = 0 und für negative ganzzahlige Werte von s unstetig von der ersten Ordnung werden kann. (Des Näheren bleibt die Funktion an der Stelle s = - n stetig nach Subtraktion von s +cn n , wo Cn den Koeffizienten von xn in der Entwicklung von f(x) bezeichnet.) Dies vorausgeschickt, betrachte ich das Integral

=j(J 00

J

(1)

1(x) _

xn 1 +1

+

/2(x)_ xn,+I

+ ... + xnr+I fr(x)_) dx.

0 1)

In jedem Bereiche, in welchem der reelle Teil von

8

oberhalb einer endlichen 00

positiven Zahl bleibt, ist nämlich J(s) die gleichmässige Grenze des Integrales jf(x) x"- 1 dx,

•

wo e eine positive nach Null konvergierende Grösse bezeichnet. Dieses Integral ist aber eine ganze (t-ranszendente) Funktion von 8, da dasselbe in eine beständig konvergierende Potenzreihe entwickelbar ist. 2 ) Riemann, Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse, Werke, 2. Auflage, S. 145-153.- Hermite, Sur !'integrale Eulerienne de seconde espece, Crelles Journal, Bd. 90 (1881), S. 332-338. [Oeuvres, vol. IV, p. 76-84.]

486

Funktionentheorie.

Hier sollen die Funktionen f1 (x), f 2 (x), ... , fr(x) die oben von f(x) vorausgesetzten Eigenschaften haben; ferner bedeuten n 1 , n 2 , ••• , nr nichtnegative ganze Zahlen; endlich soll, was für die Endlichkeit von J notwendig ist, die integrierte Funktion für x = 0 endlich bleiben. Das Integral J kann angesehen werden als der Wert der Funktion 00

(2)

J( 8) =!(~ xn• + 1

+ xn., f!(x) + ... + fr(x)) :r-ldx + xnr + 1

1

0

an der Stelle 8 = 1. Setzt man nun, unter k eine der Zahlen 1, 2, ... , r verstanden,

Jfk(x) :r- 1dx, 00

(3)

Jk(8)

=

0

so ist offenbar für einen Wert von jede der Zahlen nv n 2 , ••• , nr ist, (4) J(8)

= J 1 ( 8 - n 1 -1)

8,

dessen reeller Teil grösser als

+ J 2 ( 8 - n 2 -1) + · · · + Jr(s- nr -1).

Diese Gleichung gilt aber nach einem fundamentalen Prinzip der Funktionentheorie für jeden beliebigen Wert von 8, wenn man unter den Zeichen J (8), J k ( s) nicht mehr die Integral werte, sondern die durch dieselben definierten analytischen Funktionen versteht. Demnach kann der Integralwert J = J(1) aufgefasst werden als das konstante Glied in dor Entwicklung der rechten Seite von (4) nach aufsteigenden Potenzen von 8 - 1, oder, was dasselbe ist, als konstantes Glied in der Entwicklung der Funktion der Veränderlichen h

nach aufsteigenden Potenzen von h. Die Koeffizienten der höheren Potenzen von h in dieser Entwicklung ergeben, beiläufig bemerkt, offenbar die Werte der Integrale

f( 00

_ft(x) xn• + 1

+ xn,fg(x)+ + ... + _fr(x) ) xnr + 1

1

(log x)ndx.

0

Als ein einfaches Beispiel für die vorstehende Betrachtung bietet sich das Integral dar:

=f( 00

(6)

J

A e-ax xn+ 1

+~e-bx xm+ 1

+ .. ·) dx,

0

in welchem a, b, ... Konstante mit positiven reellen Teilen bezeichnen und die Konstanten A, B, . . . der Bedingung gernäss zu wählen sind, dass die integrierte Funktion für x = 0 endlich bleibt.

487

Funktionentheorie und bestimmte Integrale.

Diese letztere Bedingung ist, wie man leicht erkennt, gleichwertig mit der andern, dass die ganze Funktion der Variabeln u

g () u

=

A

(u-a)n n!

+ B(u-b)m +••• m!

identisch verschwinden muss 1). Unter Berücksichtigung der Gleichung

f

00

e-az xn+l

--XB-ldX =

F(s-n-1)

a•-n-1

=

an-(s-l) (s-l)(s-2)···(s-n-1)

•

r ()8

0

ergibt sich im vorliegenden Falle für die Funktion (5) der Ausdruck

(7)

und man darf hier bei der Bestimmung des konstanten Gliedes in der Entwicklung nach Potenzen von h von dem Faktor F(1 + h) absehen, da derselbe für h = 0 den Wert 1 erhält. Man liest daher aus (7) unmittelbar den folgenden Wert des Integrales (6) ab: 00

Ae-a"'

Re-b"'

)

A (-a)n [

1

1

]

(8) / (-.xn+l -+-+ - - 1+-+···+--loga xm+l · · · d x =n! 2 n 0

1 1 ] + B(-b)m[ 1+-+···+--logb +···· m! 2 m

!

Dabei ist für den Fall n = 0 die dann sinnlose Summe 1 + ~- + · · · + durch Null zu ersetzen. Das Integral (6) ist von Herrn C. Jordan in Bd. II seines Cours d'Analyse (S. 169 der 2-ten Auflage) [S. 203 der 3-ten] auf andere Weise behandelt worden; die vollständige Ausführung der von Herrn Jordan dort angedeuteten Rechnung ergibt natürlich ebenfalls die in der Gleichung (8) ausgedrückte Wertbestimmung des Integrals. 1)

Bezeichnet cp(x) eine Laurent'sche Entwicklung, so ist das Verschwinden des Koeffi1

zienten von- in der Entwicklung von eu"' cp( x) notwendig und hinreichend für das Fehlen X

der Potenzen mit negativen Exponenten in cp(x). Die im Text angegebene Funktion g(u) ist der Koeffizient von -1 in der Entwicklung von eu"' (Ae-az x xn+l

+

Be-b"' xm+l

+ .·.) .

Funktionentheorie.

488

Da die Potenzentwicklung des Ausdruckes (5) erst herstellbar ist, wenn die analytischen Fortsetzungen der Funktionen (3) bekannt sind, so wird es nicht unangebracht sein, einige allgemeine Bemerkungen über die Fortsetzung des Integrales 00

J(s)

(v)

=

jf(x)af- 1 dx 0

hinzuzufügen. Ausser den eingangs erwähnten Methoden stehen noch die folgenden weiteren zur Herstellung der analytischen Fortsetzung von J(s) zur Verfügung: Erstens: Man entwickle ezf(x) nach aufsteigenden Potenzen von x,

ezf(x)

=

c0 + c1 x + c2 x2 + · · · + cnxn + · · ·.

Dann ist

(10)

+ c1 s + c2 s(s + 1) + · · · + cns(s + 1) · · · (s+n-1)] = j[f(x)- e-:l'(co + clx + C2X 2 + ... + cnxn)] x'- 1 dx.

J(s)- F(s) [c0 00

0

Da der Faktor von x'- 1 unter dem Integral an der Stelle x = 0 von der (n 1)ten Ordnung verschwindet, so ist die Funktion J (s) durch die vorstehende Gleichung für alle Werte von s definiert, deren reeller Teil über - n - 1 liegt. Zweitens: Man verstehe unter a0 , a 1 , a 2 , ••• , an beliebig gewählte reelle positive Konstante; dann ist offenbar

+

(11)

wobei A 0 , A1 , ... , An zunächst irgendwelche konstante Werte bedeuten. Wählt man nun diese so, dass die Entwicklung von

an der Stelle x = 0 mit der Potenz xn beginnt, so st~llt die Gleichung (11) die Funktion J(s) für alle Werte von s dar, deren reeller Teil über - n liegt. Dabei ist bemerkenswert, dass die Werte von A 0 , A1 , ••• , An unabhängig von f(x) gewählt werden können; denn die Einschränkung, welcher die · Wahl dieser Konstanten unterliegt, kann dahin ausgesprochen werden, dass der Faktor von J (s) in der Gleichung (11) für s = 0, -1, -2, ... , - (n -1) verschwinden muss.

Funktionentheorie und bestimmte Integrale.

489

Dr-ittens: Für den Fall, dass die Funktion f (x) unbeschränkt differentiierbar ist und überdies die Ableitungen von f(x) dieselben eingangs erwähnten Eigenschaften wie f (x) besitzen, führt die partielle Integration des Integrales (9) auf die Gleichung (12)

J(s) =

00

(-1)" jt2(h2r~"))w

(10)

~

=n'

n!~

~..:!.:_(xl,x!,···K,.)_ [> 1, · · · nr > 1, w1 > 1, w2 > 1, · · · Wr > 1 genügen. Um nun aus der Gleichung (9) L )2 , = ( 2n

le signe d'egalite n'ayant lieu que pour le cercle. Donc, si nous excluons le cercle, il y aura toujours parmi les rayons de courbure d'une courbe convexe fermee un au moins de ces rayons eo qui surpasse ~n • Car si l'on avait toujours on aurait

e2) ~ - (_!:_)2 2n '

M( et non pas Maintenant

eo > donne d'ou cette conclusion:

2 ne0

L 2n

> L,

Applications geometriques des series de Fourier.

529

Parmi les cercles de courbure d'une courbe convexe fermee, qui n'est pas elle-meme un cercle, il y a toujours un au moins de ces cercles dont la circonference est plus grande que le perimetre L de la cou1·be.

4. En passant a d'autres recherches qui nous ameneront a quelques theoremes interessants se rapportant a certaines integrales, nous conserverons les notations et les hypotheses du n° 2. Soit toujours P le point de la courbe convexe C appartenant a l'angle u. La tangente au point P aura l'equation X sin u- Y cos u = p (u),

(1)

Oll nous avons pose p (u) = x sin u - y cos u.

(2)

Fig.l9.

La fonction p (u) represente la longueur de la perpendiculaire abaissee de l'origine sur la tangente. D'apres nos hypotheses, p(u) admet des derivees du premier et du second ordre. En tenant compte des equations (1) du n° 2, Oll obtient (3)

{

p' (u) p" (u)

= xcosu+ ysinu, = - x sin u + y cos u + e(u) = - p (u)

+ e(u) ,

oll nous avons designe pour plus de clarte par e(u) le rayon de courhure e correspondant au point P. Substituons a x et a y les developpements (6) du n° 2; nous trouvons apres un calcul facile 00

p (u)

= ~ a0 - ~ ßcosu + ~ ocsinu- ~ k=2

(4)

kLl (akcosku+a~sinku),

00

p' (u)

=

~ oc cosu + ~ ßsinu- ~ k 2 ~ 1 (a~cosku-aksinku). k=2

34

Funktionentheorie.

530

Cela pose, considerons outre la tangente en P, celle au point Q, qui correspond a l'angle u + {} et qui est representee par l'equation

+ {}) -

X sin (u

(5)

Y cos (u

+ {})

=

p (u

+ {}) ,

{} designant un angle constant compris entre 0 et 2 n. Les deux tangentes se coupent au point P' sous !'angle {} (fig. 19). Donc, si nous faisons varier u de zero jusqu'a 2 n, le point P' decrira la courbe CIJ., lieu des points d'ou l'on voit la courbe C sous l'angle n - {}, si {} < n et sous I'angle {} - n si {} > n. La serie des courbes CIJ. correspondant aux angles {} = 0 ... n couvre toute la partie du plan exterieure a la courbe C. La courbe C0 se confond avec la courbe C et la courbe C"' est rejetee al'infini. Enfin la courbe C2n-1J. est identique a la courbe CIJ.. Calculons maintenant l'aire FIJ. de la courbe Clj., l'angle {} etant compris entre 0 et n. Le point P' parcourt la courbe CIJ. dans Ie sens direct lorsque u varie de 0 a 2 7t. Donc Oll a

12 /( X - - YdX) - du 2"

(6)

FIJ.=-

0

dY du

du

'

X et Y etant determines par Ies equations (1) et (5). En resolvant ces equations, Oll trouve

{ X sin {} = p (u Y sin {} = p(u

(7)

+ {}) cos u- p (u) cos (u + {}), + {}) sin u - p(u) sin (u + {}),

et, en differentiant, (7')

J ~~ sin {} = - Y

1~~ sin {} =

sin {}

X sin {}

+ p' (u + {}) cos u- p' (u) cos (u + {}), + p' (tt + {}) sin u- p' (u)

sin (u

+ {}).

Donc

dY - y dX) . (X sm du

du

2 {}

=(X sin {}) 2 + (Y sin {}) 2 + p' (u + {}) (X sin u sin {}- Y cos u sin-{}} - p' (u) [X sin (u + {}) sin {}- Y cos (u + {}) sin {}] = p2(u + {}) + p 2(u)- 2 p(u) p(u + {}) cos {} + [p' (u + {}) p (u) - p' (u) p (tt + {})] sin {}. L'aire FIJ. a donc l'expression suivante:

J{[p (u) + 2"

FIJ.

= sin12 -& 21

+ {})- 2 p(u)p(u + {}) cos {}] + [p' (u + {}) p (u) - p' (u) p (u + {})] sin {}} du. 2

0

p 2 (u

531

Applicatio:ps geometriques des series de Fourier.

Mais la fonction p (u) ayant la periode 2 n, on a 2n

2n

j p (u +&)du= j p (u)du; 2

2

0

0

de plus, une integration par parties nous donne 2n

2n

j p(u + &)p' (u) du=- j p(u)p' (u +&)du. 0

0

Par consequent, nous pouvons ecrire finalement (8)

sin2 &F.'} =

2"

j p(u)[p(u) -p (u + &) cos {} + p' (u + &) sin &] du. 0

Remarquons en passant que I' expression

p(u)- p(u + &) cos {} + p' (u + &) sin {} a une signification geometrique simple: c' est la distance du point Q a la tangente au point P, comme on le demontre par un calcnl facile. Evaluons maintenant !'integrale (8) a l'aide de notre theoreme fondamental et supposons, pour abreger le calcul, que l'origine des coordonnees soit choisie de maniere que les constantes cx. et ß [voir (7), n° 2] s'evanouissent. Les equations (4) nous donnent

!a

p(u) =

00

0-

2

!a

p(u+&)=

~ k 2 ~ 1 (akcos ku + a~sin ku), 00

0-

~ k2 ~ 1 [ 2

p' (u

00

+ &) =

-

+ ~ k2 ~ 1 [ 2

(akcosk&+a~sink&)cosku (

ak sin k {}-

a~ cos k &)

(aksink&-a~cosk&)cosku

+ (akcosk&+a~sink&)sinku].

Donc Jp (u) - p (u + &) cos {} + p' (u + &) sin {} (9)

l =!

a 0 (1-cos&) +

$ k2 ~ 1 (cx.kcosku+cx.~sinku),

les constantes cx.k et cx.' k ayant les valeurs

cx.k =

(10)

l

a~

ak(cos {} cos k& + a~(cos {} sin k&= - ak(cos {}sink&+ a~(cos {} cos k& + +

sin ku],

k sin {}sink& -1) k sin {} cos k&), k sin {} cos k&) k sin {}sink& -1).

532

Funktionentheorie.

En combinant les developpements (4) et (9), on obtient sin2 &F.tf= n

[~a~(1-cos &) - ~ (k ~ 1 ) 2 (akock + a~oc~)] 2

ou enfin sin2 &F.tf (11)

=

L2

2n

(1-cos &) 00

""" (k2 ak + ak2 + 2n ~ -1)2[2(k + 1) cos (k -1) & + (k-1) cos (k + 1) &]. 2

Cette formule, demontree dans l'hypothese 0 < & < n, subsiste evidemment encore pour & = 0 et, puisque la courbe 0 2 :rr: _ .tf est identique a la courbe c.{j, aussi pour les valeurs de & satisfaisant aux conditions n < & ~ 2n. De l'inegalite (12)

{ 2 + 1 (k + 1) cos (k - 1) & 1 + 1 (k - 1) cos (k ::::;; 2 + (k + 1) + (k -1) = 2 (1 + k)'

+ 1) &

1

nous pouvons conclure que la somme qui figure dans le second membre de l'equation (11) est uniformerneut convergente pour toutes les valeurs de & ; car la serie

est convergente. Donc cette somme (11) represente une fonction continue de & . En faisant tendre & vers n, on reconnait que I' aire F .tf devient infinie pour & = n, de maniere que le produit sin2 & F .tf tende vers

(13) De l'inegalite (12) nous pouvons conclure en outre qu'il est permis d'ordonner le second membre de l'equation (11) suivant les cosinus des multiples de &. L'equation (11) nous donne ainsi le developpement de sin2 & F .{} en serie de Fourier. En derivant l'equation (11), on trouve

533

Applications geon:etriques des series de Fourier.

La serie

,:E a: ~ ~i2 cos k {} etant uniformerneut convergente et, par 2

consequent, integrable terme a terme, la derivation que nous venons de faire est legitime. Nous pouvons de meme deriver l'equation (14) encore deux fois de suite, ce qui nous donne les developpements d

(15)

df}

[

d ( . 2 {} F 1 1 .{} sin f} df} Sill

)J

""' :n; ~ 00

=

k (at

+ 1ai[)

k2-

·

Sill

k {} '

2

En tenant compte de l'equation (8), on reconnait aiserneut que les series precedentes representent les valeurs de certaines integrales. On a, par exemple,

(17)

comme on le voit en appliquant notre theoreme fondamental aux fonctions p(u) =~a0 -~ßcosu+~otsinu- ,:E k 2 ~ 1 (akcosku+a~:sinku), 00

2

e(u+{})

,_,~ao+

:E (a~;cosk{}+a~sink{})cosku 00

2

+ (a~ cos k {}- ak sink{}) sin ku, ou encore aux fonctions p(u+{})=! a0 +! (otsin{}-ßeos{})cosu+

~ (ßsin{}+otcos{})sinu

-,:E k2 ~ 1 [(a~;cosk{}+a~sink{})cosku 00

+ (a~ cos k{}- ak sink{}) sin ku],

2

! a + ,:E (akcos ku + a~sin ku). 00

e(u) ,...",

0

2

534

Funktionentheorie.

On obtient de la meme maniere

f f

2n

(18)

e(u) e (u

oo

+ ff) du=~'~

+ n ~ (ai + a~2) cos kff,

0

2

2~

(19)

0

f2

00

+ ß2

a2

""""' a~

+ a'l

p(u)p(u+ff)du= 2 ~+n4 -cosff+n~-(k 2 _ 1 ) 2 coskff. 2

Mais considerons en particulier !'integrale 2n

j[p(u)

+ p(u + n)J

2

dtt,

0

qui nous amenera a des resultats susceptibles d'une interpretation geometrique simple. Convenons d'appeler points opposes les points P et P 1 de la courbe correspondant respectivement aux angles u et u + n. L'expression 00

(20) P(u) =p(u) +p(u+n)

=

~ -~ 4 k:_ 1 (a2 kcos2ku+a~ksin2ku) 1

represente la distance entre les deux tangentes paralleles touchant la courbe 0 en deux points opposes. Si l'on veut, P(u) est la projection orthogonale dc la courbe dans la direction donnee par !'angle u 1). Or l'equation 2n

(21)

M[P (u)] 2

=

2~ j[P(v,)J

2

du=

0

dans laquelle le second membre est egal

(~

r+

a _!_n A

oo

2~ 1

(7~ 2~al~•

[voir (13)], nous montre

que la moyenne arithmetique des carres de toutes les projections d'une courbe convexe satisfait a l'inegalite 1 ) M. Minkowski, dans sesrecherohes sur les corps convexes, a le premier consid{m!i les projections orthogonales des corps et des courbes. 11 en a donne plusieurs theoremes

JP(u) du= 2 L, qui est renfermee dans 2n

interessants. Entre autres aussi l'egalite

0

le developpement (20). Pour les recherohes de M. Minkowski, voir les deux Notes: Über die Begriffe Länge, Oberfläche und Volumen, Jahresbericht der deutschen MathematikerVereinigung, Bd. 9 (1901), S. 115-121, et Sur les surfaces convexes fermees, Comptes rendus, Paris, vol. 132 (1901), p. 21-24. [Ges. Abhandlungen, Bd. li, S. 122-127, und S. 128-130.] Un memoire etendu contenarrt les recherohes ulterieures de M. Minkowski sur les corps convexes paraitra prochainement dans les Mathem. Annalen. [Volumen und Oberfläche, Mathem. Annalen, Bd. 57 (1903), S. 447--495; Ges. Abhandlungen, Bd. II, s. 230-276.]

535

Applica.tions geometriques des series de Fourier.

(22) Nous en pouvons conclure en particulier qu'il existe toujours des c'est-a-dire au diametre projections qui ne sont pas inferieures a !::.._, :n; d'un cercle ayant meme perimetre que Ia courhe C. Le signe d'egalite dans (22) n'a lieu que dans le cas ou (k=1,2,3, ...). Mais alors on a, d'apres (20) P(u)=p(u) +p(u+n)= L, :n;

d'ou ce resultat: Toutesles projections P(u) de la courbe ont la meme valeur constante !::.._. :n; Ces courbes convexes, qui ont Ia meme projection dans toutes les directions possibles, me semblent meriter une etude particuliere1 ). Considerons, pour plus de simplicite, celles de ces courbes pour lesquelles le rayon de courhure e(u) est developpable en serie de Fourier. Le developpement de e(u) aura Ia forme [ voir (2), (4) du n° 2] 00

e(u)=! ao+ ~[a2k+lcos(2k+l)u+a;k+lsin(2k+l)u];

(23)

k=l

les coordonnees du point P de Ia courbe, dont Ia tangente fait l'angle tt avec l'axe des abscisses positifs seront [d'apres (6), n° 2] 00

x ·= _!_ cx + ~C!.. sin u + ~ (2

2

(24)

~

afk+1

k=l

+ aZk-1 cos 2ku

4k

+

a21.:+1

a 2k+ 1 -

a2k-1

+ a2k-1

4k

sin 2ku)

'

00

y

=

_!_ ß- !!J!_ cos u 2

2

( +~ k=l

4k

cos 2ku

+ a~k+1- a!k-1 sin 2ku).' 4k

enfin on aura, d'apres les equations (3) du n° 3, 1 ) Reulea.ux, da.ns son Oeuvre «Theoretische Kinema.tik» (Braunschweig, 1875), a fa.it quelques rema.rques au sujet de ces courbes et en a. donne quelques exemples. Les courbeB pa.rticulieres formees pa.r Reulea.ux se composent d'arcs de cercle.

536

Funktionentheorie.

__l

j " -2 t--1

(25)

Cl.

+

~(atkk 1 (2k-1)-a;lc+d2k+l) ---4k cos 2 u

..::;.;

k=l

k_d2k-l) · 2k) + a k+t(2k+l)-a sm u , 4k 2

2

l_ß+ ..::;.; ~(a2 k+ 1 (2k+l)+a~k-t(27c-1) k 4k cos 2 u

rJ- 2

k=l

k) · + a2k+d2k+l)+a2k-t(2k-l) sm 2 u , 4k

~ et 17 designant les coordonnees du centre de courhure correspondant au point P. Les valeurs de ~ et rJ ne changeant pas si l' on remplace u par U + :n;, il est evident que les Centres de Courbure correspondant a deux points opposes P et P 1 se confondent. Donc la droite PP1 est normale a la courbe C en chacun des points P et P 1 . En d'autres termes: Toute normale de la courbe est une binormale. Ou encore: La developpee de la courbe est une courbe double, dans ce sens que le centre de courbure parcourt la developpee deux fois de suite lorsque le point correspondant de la courbe primitive parcourt celle-ci une fois. Ce sont la, comme on le voit aisement, des proprietes caracteristiques de ce genre de courbes. Une autre propriete caracteristique resulte des remarques suivantes: Si nous changeans la valeur de la constante a 0 , Ies formules (23) et (24) ne s'appliquent plus a la courbe C, mais a une de ses paralleles. Considerons en particulier celle de ces paralleles C' que l'on obtient en rempla~ant a 0 par zero. Alors les developpements (24) ne contiendront plus que l'angle 2u; de sorte que la parallele C' est une courbe double, le point appartenant a I'angle u +n se confondant avec le point appartenant a I'angle u. C' n'est plus une courbe convexe, comme cela resulte deja de ce qu'il n'y a qu'une seule tangente de la courbe parallele a une droite donnee. De plus, si J'on suppose que le rayon de courhure e(u) varie d'une maniere continue, Oll voit que (! ( u) doit necessairement changer de signe dans 00

00

l'intervalle 0 .. . n, les valeurs e(O) = ~ a2 k+t et e(n) = - ~ a2 k+t 1

1

etant de signes opposes. En faisant, en outre, l'hypothese que l'equation

=~[a2 H 1 cos (2k + 1) u + a;k+I sin (2k + 1) u] 00

e(u)

=

0

1

n'admet qu'un nombre Iimite de racines dans l'intervalle u = 0 ... n, ce nombre de racines sera impair et au moins egal a 3. Car s'il n'existait qu'une seule racine u = oc, Ja fonction e(u) ne changerait de signe

537

Applications geometriques des series de Fourier.

dans l'intervalle u = 0 ... 2 n que pour u = oc et u = oc + n. Donc e(u) sin (u- oc) serait d'un signe constant dans tout l'intervalle 0 ... 2n. 2n

Mais c'est ce qui est impossible, !'integrale je(u) sin (u-oc)du ayant 0

evidemment la valeur 0 1). Donc, dans les hypotheses ou nous nous sommes place, la courbe C' possede un nombre impair, au moins egal a 3, de points de rebroussements. Ces remarques nous ont conduit a la construction suivante qui nous fournit des courbes simples du genre considere. Prenons trois arcs e,

8~

Fig. 20.

de cercles, dont chacun tonehe exterieurerneut les deux autres a ses extremites (fig. 20). Ces trois arcs forment une courbe A 1 A 2 A 3 = C' dont les paralleles, telles que B1 B;B2 B;B3 B~ = C, sont evidemment des courbes convexes ayant une meme projection orthogonale sur toutes !es droites de leur plan. De meme, les courbes convexes qui sont les paralleles de l'hypocyclide a trois rebroussements sont des courbes de l'espece consideree. 5. Considerons maintenant une fonction f (&) bornee et integrable dans 1'intervalle 0 ~ {} ~ 2 n, satisfaisant a la condition f(2n-&) =f(&)

et developpable en serie de Fourier. 1 ) En generalisant ce raisonnement, on obtient le tMoreme suivant: DaruJ l'hypothese que

/(u) =(an cos nu

+ a'n sin nu) + [an+l cos (n + 1) u + a~+l sin (n + 1) u] + · · ·

represente une fcmction continue daruJ l'intervalle 0 ~ u;;;;; 2 n, l'equation f(u) dans cet intervalle au moiruJ 2 n racines. C'est une generalisation d'un theoreme du a Sturm.

=0

admet

533

Funktionentheorie.

f (&)

Le developpement de (1)

f(&)

00

~

=

aura la forme

c0

+ ~ ck cos k&. 1

En combinant ce developpement avec l'equation (14) du n° 4, nous obtenons

J n

(2)

t.(D)

~ (sin 2 &F) d& 11

smD dO

0

2~

=

_!_j 2

0

'-= !!_ [ 2

f.(D)

~ (sin 2 &F11) d&

smO dO

L2c 2n

0

-n

~ ck (a~ + a~)]

.,;;;;.;

k 2 -1

2

·

L'integrale se decompose dans les deux suivantes: n

+ J2 f(&) cos &F11 d& = n

jf(&) sin &dF11 0

J1

+ J2,

0

dont nous allans transformer la seconde J 2 par une integration par partie. Posons, a cet effet, (3)

"P(&)

J

= 2 f(&) cos {}d{}; n

nous aurpns

fF n

J2 =

f

n

11

dtp(&)

0

= [F11 tp(&)]:- tp(&) dF11 , 0

de sorte que I' equation (2) peut s 'ecrire ainsi:

ou nous avons pose (5)

x(&)

=

f(&) sin & - 1p(&).

L'integrale dans l'equation (4) peut etre mise sous une autre forme. En effet, designons par da un element de surface situe a l'exterieur de la courbe C. Soit de plus IX l'angle sous lequel on voit la courbe C de l'element da, c'est-a-dire l'angle des deux tangentes allant de l'element da a la courbe C. Cet angle ayant la valeur constante n- {} le lang de la courbe 0#, Oll a evidemment

Applications geometriques des series de Fourier.

539

f x(&) dF.9- = f f x(n-cx) da, n

{6)

0

!'integrale double se rapportant a la partie du plan exterieur a la. courbe C. Pour que F * 'IJl (&) reste finie pour & = n, la fonction 'IJl (&) doit s'evanouir pour & = n, au moins comme (&-n) 2• Cette condition sera certainement remplie, d'apres (3), si I{&) est developpable aux environs de & = n suivant les puissances de &-n et s'evanouit pour {} = n. Introduisons enfin le developpement (1) pour I (&) dans les expressions (3) et (5) pour 'IJl(&) et x(&). Nous trouvons, apres un calcul facile: 00

'IJl(&) = cl(&-n)

+ ~ ck-1k ck+t sink&, 1

(7)

+ ~ (k- 2) ck-1; (k + 2) ck+1 sink&. 00

x(&) = c1(n- &)

1

Faisons maintenant quelques applications des formules precedentes. Prenons en premier lieu c0 = 2, c1 = 1, ck = 0 pour k > 1, c'est-a-dire

I(&) = 1

+ cos &.

Nous aurons, d'apres (7), 'IJl(&) = (&-n)

+ 2 sin & + ~ sin 2 &,

x(&) =n-&-sin&. La fonction 'IJl ( &) s'annule pour & = n comme (& - n) 3 , le developpement de I (&) aux environs de & = n commen~ant par le terme

Donc

(ßo-n) 2 2

et les equations (4) et (6) nous donnent (8)

. da= 2 !! (cx-smcx)

L2

-nF.

Cette formule remarquable a ete donnee, pour la premiere fois, par le geometre anglais Crofton, qui l'a trouvee pardes considerations appartenant au calcul des probabilites. M. J.-A. Serret en a donne

540

~'unktionentheorie.

une autre demonstration dans un Memoire "Sur un problerne du calcul integral», publie dans le tome 6 (1869) des Annales de l'Ecole Normale, p. 177-183. Prenons en second lieu c0 =.2, c1 = 0, c2 = -1, ck = 0 pour k > 2, c'est-a-dire f(fJ) = 1- cos 2 {}, Nous obtenons

{}-! sin3fJ= : sin ! sin {}-! sin 3{} = : sin

"P({}) =

sin

x(fJ) =

3 {}, 3 {},

et l'equation (4) donnera

JJsin ocda ! L + ~~ (a~ + a~'l).

(9)

3

=

2

En faisant plus generalerneut f(fJ) = 1

on trouve

+ (-1)k+l cos k{}

(k

> 1)'

Jj[2sinoc- ~~~ sin(k-1)oc-t- !~~ sin(k-t-1)oc]da

(10)

=

L2

+ (-1)kJ't2 at;·l~_a{.

Cette formule met en evidence le fait que la somme des carres des integrales

!/ ecoskudu, 2n

ak =

a~ =

0

!/esinkudu 2n

0

est un invariant par rapport aux mouvements du plan. 6. D'apres les recherches de M. C. J ordan1 ), la courbe X=

f(t),

y = "P(t)

est rectifiable, si les fonctions f(t) et IJ?(t) sont continues et a variation bornee. L'arc 8 etant une fonction continue et toujours croissante de t, il est evident que nous pouvons introduire l'arc 8 comme variable independante au lieu de t sans changar le caractere des fonctions, qui representent les coordonnees (x, y) d'un point variable sur la courbe. Si la courbe consideree est fermee et de perimetre L, les coordonnees (x, y) seront des fonctions continues et a variation bornee de 2n U=S-y;

(1) 1)

Cours d'Analyse de lEeoie polytechnique,

~

ed., Paris, 1893-1896, t. I, .P• 105.

Applications geometriques des series de Fourier.

541

admettant la periode 2 n. Il s'ensuit que x et y sont developpables en serie de Fourier, ou que toute courbe fermee et rectifiable peut etre representee par des equations de la forme

x

l

(2)

~! a,+ ~ (a, cos ku + a; sin ku),

y= ~ b0 + ~ (b"cosku

+ b~sinku),

1

le parametre u, qui varie de 0 a 2 n, etant proportionnel a l'arc 8 de Ia courbe. Ceci etabli, nous supposerons, dans ce qui suit, que les coordonnees x et y, considerees comme fonctions de l'arc 8 (ou, ce qui revient au meme, de u) admettent des derivees dans Ia direction des arcs croissants et que ces derivees sont des fonctions integrables de 8 (ou de u). Alors on sait que x et y se reproduisent par l'integration des derivees :: et :~ 1). Par consequent, on aura les equivalences

::- ~ 1:~- 2 (kb~cosku-kb"sinku). (ka;cosku-ka,sinku),

(3)

1

(d x)2 + (dTsy)2 =

.

En outre, pmsque Ts

1, on a

(4) En integrant entre Ies limites u = 0 et u d'apres notre theoreme fondamental, ·

2 :n;, nous trouvons,

=

:y.

00

n ~ k2 (ai + a~2 + lJi+b;) = 2n ( 2

(5)

1

D'un autre cöte, l'aire F de Ia courbe s'exprime par !'integrale 2n

F=jx~du ' du 0

d'ou 00

n ~ k {a"b~- a~b")

(6)

=

F.

1 1)

Dini, Fondamenti per Ia teorica delle funzioni di variabili reali, 1878, § 199.

542

Funktionentheorie.

Des equations (5) et (6) nous tirons 00

(7)

~~;- 2F = n ~ [(kak- b~) 2

+ (ka~ + biJ + (k 2 -1) (bi + b~2)l. 2

1

On aura donc toujours (8)

le s1gne d'egalite n'ayant lieu que dans les conditions b 1 =-a~,

b~=a1 ,

ak=a~=bk=b~=O

(k=2,3, ... ).

Ces conditions remplies, on a, d'apres (2), x

=

Y=

+ a1 cos u + a1' sm. u·, . u, a 1' cos u + a1 sm 0 -

1 2 a0 1 b -2

de sorte que la courbe est un cercle. Ainsi, les expressions (5) et (6) du perimetre L et de l'aire F d'une courbe mettent en evidence le th8oreme fondamental des isoperimetres. Les coefficients des developpements (2) sont des constantes caracteristiques pour les courbes rectifiables. Ces constantes ont les proprietes suivantes: En premier lieu, d'apres les equations

f xdu=L1! xds, 2:n;

1 0 = 21n 2a

Jy du ~ Jy ds, 2:n;

; b0

0

=

2~

=

()

le point, dont les coordonnees sont (; a0 , ; b0 ), est le barycentre du perimetre de la courbe. Considerons, en second lieu, les constantes

=! Jx cos ku du,

(9)

ak

0

=! Jy cos kudu, 2n

2:n;

bk

0

k designant un entier different de zero. Si nous augmentans les coordonnees x et y de constantes arbitraires, c'est-a-dire si nous effectuons une translation quelconque du systeme des axes de coordonnees, les valeurs de ak et bk ne changent pas. D'un autre cöte, si nous rempla 0)

representent des invariants de la courbe. C'est au moyen de ces invariants que s'expriment, d'apres (5} et (6), le carre du perimetre L et l'aire F de la courbe. Considerons maintenant la moyenne dn carre de la distance de l'origine a un pointvariable de la courbe, moyenne que nous designe,rons. par 2n

(11)

R2

=

21nj(x2+ y2)du. 0

Pour abreger, nous appellerons le cercle de rayon R, dont le centre est a l'origine, le cercle moyen de la courbe pour l'origine. D'apres les developpements (2), on aura 00

(12)

1 ""' (ak2 + b2.1: + R2 -- 41 (ao2+ b2) o + 2,.;;;;;.;

'2 + b'2) k •

ak

1

ou encore (12')

R2 = r2 + ~

:2 (ai + bi -+- a~2 + b~2)' 00

1

544

Funktionentheorie.

r designant la distance de l'origine au barycentre (; a0 ,

;

b0 ) du peri-

rnetre de la courbe. La plus petite valeur R 0 de R correspond au cas Oll l'origine se confond avec le barycentre du perirnetre de la courbe. On a evidernrnent 00

(13)

"""' (ak2+ b2k + ak'2 + b'2) Ro2 = 21 ...:;",; k , 1

De l'equation (5) nous tirons

(14)

R2 (!:_)22n

0

00

= _.!._ """'

2 ...:;",;

__]_ b'2) (k2 - 1) (a2k -1- b2k + a'2 k • k I I

1

Cette sornrne est essentiellerneut positive et ne peut s'annuler que dans les conditions (k

= 2' 3' 4' ... ) .

On voit aiserneut que la courbe est alors un cercle. Donc, le cercle excepte, on a toujours c' est-a-dire: le cercle rnoyen d'une courbe, correspondant au barycentre du perirnetre de la courbe, a plus petit perirnetre que la courbe, excepte dans le cas Oll la courbe est elle-rnerne un cercle. Dans ce cas, le cercle rnoyen considere se confond evidernrnent avec la courbe ellernerne. 7. Supposons rnaintenant que les coordonnees x, y d'un point de la courbe adrnettent des derivees par rapport a l'arc s jusqu'a un certain ordre n, les derivees jusqu'a l'ordre n- 1 etant continues, tandis que les derivees de l'ordre n sont au rnoins integrables. Pour abreger l'ecriture, nous designerans les derivations par rapport a 2n

U=yS

par des accents. Les derivees prernieres seront (1)

,

I, dx 2n ds

L 2n

X = - - =-COSIX

'

Y'

L dy

= 2n

Ts

L

.

= 2n Slnat,

oc designant l'angle que fait la tangente avec l'axe des abscisses. Ces equations peuvent etre rennies dans l'equation unique

(2)

Applica.tions geometriques des series de Fourier.

En differentian t par rapport

a u,

•"= x " + ~y

(3)

545

on obtient

L ) eiak ' •(2n 2

~

ou

k=~=.!. e ds

(4)

designe la courbure. Une nouvelle derivation donne

(5)

X

L )3eia ( "' + • "' _ - (2n ~y

k2

+ · dk) ~dS

et, en continuant ainsi, on trouve

(m=1,2,3 , ... ,n),

(6) ou Ym et .

s'expriment , d'une maniere rationneUe et entiere, en ionc-

~m

dk

dm- 2 k

d2 k

twn de k, dS' ds2' ... , dsm-2" Ceci etabli, considerons les integrales

J(x + iy) (x