Mathematische Vorschule für Ingenieure und Naturforscher: Eine Anleitung zum selbständigen mathematischen Denken und zur Handhabung der mathematischen Lösungsmethoden [Reprint 2019 ed.] 9783486777734, 9783486777727

Table of contents :
Inhaltsverzeichnis
Vorwort
I. Teil. Mathematische Vorschule für Ingenieure und Naturforscher
II. Teil. Aufgabensammlung
Wichtige Einzelwerte der trigonometrischen. Funktionen
Wichtige Einzelwerte der Hyperbelfunktionen
Wichtige Zahlenwerte
Potenzen von e
Kleiner historischer Anhang
Namen- und Sachverzeichnis

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LEON WELICZKER

M a t h e m a t i s c h e Vorschule für Ingenieure und Naturforscher Eine Anleitung zum selbständigen mathematischen Denken und zur Handhabung der mathematischen Lösungsmethoden

M i t 96 A b b i l d u n g e n

m LU

M Ü N C H E N 1950 V E R L A G V O N R. O L D E N B O U R G

Copyright 1950 by R . Oldenbourg, Verlag, München. Satz und Druck: C. Brügel & Sohn, Ansbach. Buchbinderarbeiten: R. Oldenbourg, Graphische Betriebe GmbH., München.

Inhaltsverzeichnis I.

TEIL

Vorwort 11 § 1. Zahlen, Veränderliche und Funktionen 15 § 2. Anschauliche Darstellung der Funktionen 18 21 § 3. Die Exponentialfunktion § 4. Trigonometrische Funktionen 27 33 § 5. Die Arcusfunktionen § 6. Cartesische Bilder der trigonometrischen und Arcusfunktionen 33 § 7. Hyperbelfunktionen 35 4Q § 8. Area-Funktionen § 9. Andere Darstellungen der Funktionen 42 44 § ICK Skalendarstellung der Funktionen §11. Funktionentafeln 44 § 12. Einiges über Determinanten und analytische Geometrie 44 . 72 § 13. Das Rechnen mit Matrizen § 14. Die komplexen Zahlen a + bi 75 80 § 15. Hamiltonsche Matrizen, Quaternionen und Vektoren § 16. Differentialrechnung 88 § 17. Differentiation der Exponentialfunktion und der Hyperbelfunktionen . . . 93 §18. Differentiation der trigonometrischen Funktionen 94 § 19. Das Differential 97 97 § 20. Kinematische Darstellung der Ableitungen und Differentiale § 21. Der Stetigkeitsbegriff 98 §22. Der Mittelwertsatz der Differentialrechnung 101 § 23. Der Fundainentalsatz der Integralrechnung 102 § 24. Differentiation der Umkehrfunktionen 103 §25. Die Kettenregel 104 § 26. Die höheren Ableitungen und Taylors Theorem 105 § 27. Allgemeine Eigenschaften der Reihen, insbesondere der Potenzreihen . . . 118 126 § 28. Drei wichtige Konvergenzkriterien §29. Maxima und Minima 128 § 30. Differentiation von Funktionen mehrerer Veränderlicher 129 § 31. Taylors Theorem für Funktionen mehrerer Veränderlicher 134 § 32. Implizite Funktionen und ihre Differentiation 140 § 33. Integralrechnung 142 Stammfunktionen 142 Partielle Integration . 153 Transformation der Integrale 155 Integration gewisser Funktionenklassen 156 Integrale, die sich auf solche rationaler Funktionen zurückführen lassen . . 159 Integration binomischer Differentiale 160 Integration unendlicher Reihen 161 Uneigentliche Integrale 161 Mehrfache Integrale 162 § 34. Differentialgleichungen 166 § 35. Etwas über konforme Abbildungen 174 Beziehung der konformen Abbildungen zu den analytischen Funktionen . . 175 §36. Zusätzliche Bemerkungen: Division eines Polynoms P (x) durch x — r . . . 177 §37. Kennzeichnung einer Kurve, unabhängig vom Achsensystem 179 § 38. Kurven zweiter Ordnung 183 § 39. Zur Theorie der Raumkurven 191

Aufgaben-Übersicht Ii. T E I L

Aufgaben-Übersicht I. Gelöste Aufgaben 1: Anwendung der trigonometrischen Funktionen auf Mechanik 2 : Lösung einer algebraischen Gleichung 4. Grades, reziproke Gleichung . . . . 3 : Anwendung der Newtonschen Interpolationsformel auf analytische Geometrie, Gleichung der Geraden , 4 : Division eines Polynoms durch ein zweites, Lagrangesche Interpolationsformel, Zusammenhang zwischen Interpolation mit Polynomdivision, Beispiele . . . 5 : Geradengleichung: Parallele und Senkrechte durch einen Punkt 6 : Geradengleichung: Parallele, Senkrechte, Abstand zweier Punkte, Hessesche Normalform, Mittelpunkt 7 : Höhenschnittpunkt: 3 Geraden durch einen Punkt, Büschel, Beweis . . . . 8 : Mittelsenkrechte, Schnittpunkt, 3 Geraden durch einen Punkt, Büschel, Beweis 9 : Geradengleichung, Senkrechte zu einer Geraden 10: Parameterdarstellung der Geraden 11: Geradengleichung, Achsenabschnittsgleichung .1 12: Geradengleichung, Gleichung der Senkrechten 13: Geradengleichung, Hessesche Normalform, Abstand eines Punktes, Gleichung einer Parallelen 14: Dreiecksinhalt, Determinante, Hessesche Normalform, Beweis, Vorzeichenbetrachtung 15: Teilverhältnis, Determinante, Geradenbüschel, harmonische Teilung . . . . 16: Geradenbüschel 17: Winkelhalbierende eines Dreiecks, Geradenbüschel, Beweis 18: Kreis, Tangente von Punkt an Kreis . . 19: Feuerbachscher Kreis, Höhenfußpunkte, Höhenschnittpunkte, Seitenmittelpunkte, Beweis, Gleichung des Kreises 20: Schwerlinie, 3 Geraden durch einen Punkt, Beweis, Geradenbüschel . . . . 21: Potenz eines Punktes in bezug auf Kreis, geometrischer Ort, Kegelschnittgleichung, Diskussion der Gleichung zweiten Grades, Determinante, Ellipse, Hyperbel, Parabel, ausgearteter Kegelschnitt . 22: Kreis durch 3 Punkte, Tangente, Winkel zweier Geraden, Winkelhalbierende 23: Diskussion der Kurve zweiten Grades (Kieisgleichung) 24: Kreisgleichung, Senkrechtschneiden zweier Kreise, Schnittpunkt zweier Kreise, Teilverhältnis 25: Kegelschnitt, Nullpunkt, Brennpunkt, Hyperbel, Halbachsen, lineare Exzentrizität 26: Kurve zweiter Ordnung, Determinante, nicht ausgeartete Kurve, teelle oder imaginäre Ellipse, Translation und Drehung des Koordinatensystems, Invarianten, Halbachsen, Mittelpunkt 27: Kojapxexe Zahlen, Zahlenmengen, nicht beschränkte Menge, isolierter Punkt, Rand, beschränkte Menge, abgeschlossene Menge, offene Menge, Lemniskate, apollonischer Kreis, Punkte mit rationalen Koordinaten . 28: Rechnen mit komplexen Zahlen, Zerlegung in Real- und Imaginärteil, Wurzel aus komplexen Zahlen 29: Stereographische Projektion, Zahlenkugel 30: Moivrescher Satz 31: Komplexe Zahlenebene, Randpunkte, Ereisgebiet, Halbebene, halboffener Streifen, gleichseitige Hyperbel, Lemniskate 32; Komplexe Zahlenebene, Parabel, Ellipse 33: Ebenengleichung, Ebenennormale 34: Ebenengleichung, Schnitt zweier Ebenen 35: Ebenengleichung, Ebenenriormale

195 195 196 197 197 197 198 199 199 199 200 200 200 201 202 203 203 204 204 205 205 206 207 207 208 208 209 210 210 211 211 212 212 213 213

Aufgaben-Üb ersieht 36: Gleichung einer Ebene, Ebenennormale, Hessesehe Normalform, Richtungscosinus 37: Tetraeder, Richtungscosinus, Drehung, Koordinatentransformation, Ebenengleichung, Schnitt einer Geraden mit einer Ebene, Faltung . . . . . . . 38: Ebenengleichung, Hessesche Normalform, Rauminhalt des Tetraeders als. Determinante 39: Dreiecksinhalt, Heronische Formel, räumlicher Pythagoras 40: 2 Punkten im Raum: Skalares Frodukt 41: Parameterdarstellung einer Geraden, kürzester Abstand zwischen zwei windschiefen Geraden, Richtungscosinus, Orthogonalitätsrelationen, Abstand zweier Punkte 42: Gleichung der Ebene, Abstand eines Punktes von einer Ebene, Ebenennormale 43: Gleichung der Ebene 44: Gleichung der Ebene, Kugel, Inzidenz, Tangentialebene 45: Innenwinkelhalbierende eines Tetraeders, Hessesche Normalform, Ebenenbündel 46: Parameterdarstellung von zwei Geraden, umkehrbar eindeutige Punktzuordnung, hyperbolisches Paraboloid 47: Ebenengleichung, bestimmt durch Punkt und Richtung 48: Winkelhalbierende Ebene, Hessesche Normalform 49: Vier Ebenen durch einen Punkt, Determinante SO: Fläche zweiter Ordnung, Ellipsoid, Hauptachsen, Mittelpunkt 51: Ellipsoid, Tangentialebene in einem Punkt 52: Fläche zweiter Ordnung, Tangentialebene, Richtungscosinus, Flächennormale 53: Gleichung einer Kugel, Tangentialebene in einem Punkt 54: Ebene durch drei Punkte, Parameterdarstellung in Vektorform 55: Gerade in Parameterdarstellung, Tangentialebene an eine Fläche durch gegebene Gerade, elliptisches Paraboloid, Scheitel, Halbachsen 56: Kettenregel . 57: Produkt- und Quotientenregel Leibnizsche Regeln 58: Produkt-und Quotientenregel 59: Extremum 60: Extremum, Rechnen mit Differentialen, Produktregel, Determinanten . . . 61: Extremum, Gleichung der Ellipse, Tangente und Normale, Winkelhalbierende, harmonische Beziehung, Ponceletsche Kreispunkte, Involution, Geradenpaar 62: Lösung einer transzendenten Gleichung, stetige Funktion, Iterationsverfahren, Regula falsi, Newtonsches Näherungsverfahren 63: Beziehung zwischen Folgen und Reihen 64: Unendliche Reihe, Cauchy- oder Wurzelkriterium 65: Unendliche Reihe, Cauchy- oder Wurzelkriterium, unbestimmte Form, Reihenabschätzung 66: Unendliche Reihe, D'Alembertsches oder Quotientenkriterium 67: Unendliche Reihe, Majorante 68: Unendliche Reihe, Majorante, Reihen von gleichem Charakter, «-Betrachtung 69: Unendliche Reihe, bedingte Konvergenz, Leibnizsche Reihe, Minorante . 70: Unendliche Reihe, bedingte Konvergenz, Abänderung der Konvergenz und der Summe (Beweis) 71: Unendliche Reihe, Leibnizsche Reihe, Abschätzung 72: Unendliche Reihe, Konvergenz, Leibnizsche Reihe 73: Unendliche Reihe, Konvergenz, Majorante 74: Unendliche Reihe, Konvergenz, Quotientonkriterium 75: Unendliche Reihe, Konvergenz, IntegraLkriterium 76: Unendliche Reihe, Konvergenz, Quotientenkriterium 77: Unendliche Reihe, Konvergenz, Quotientenkriterium 78: Unendliche Reihe, Konvergenz, Majorante

5

213 214 216 216 217 217 218 218 219 219 219 220 220 221 221 221 221 222 222 222 223 223 224 224 224 225 226 227 228 228 228 229 229 230 230 231 232 232 232 233 233 233 233

Aufgaben-Übersicht

6

79: Unendliche Reihe, Konvergenz, Majoränte 80: Unendliche Reihe, Konvergenz, Majorante 81: Unendliche Reihe, Potenzreihe, Entwicklung von Funktionen in Potenzreihen, Konvergenzbereich 82: Potenzreihe, Binomialreihe 83: Konvergenzradius, beständig konvergente Reihe 84: Konvergenzradius, D'Alembertsches Konvergenzkriterium (Quotientenkriterium) . . . . 85: Potenzreihe, Reihen für e* und cos x, sin x, Berechnung der Ableitung aus der Potenzreihe . 86: Potenzreihenentwicklung einer rationalen Funktion, Geometrische Reihe, Partialbruchzerlegung 87: Konvergenzradius einer Potenzreihe, Quotientenkriterium 88: Konvergenzradius einer Potenzreihe, Quotientenkriteriunt 89: Taylorsche Reihe, Restglied von Cauchy und Lagrange 90: Berechnung einer Quadratwurzel durch die Binomialreihe . . . . . . . 91: Berechnung einer fünften Wurzel durch die Binomialreihe 92: Quotientenkriterium, absolute Konvergenz, Minorante . .• 93: Entwicklung einer rationalen Funktion in eine Potenzreihe, Partialbruchzerlegung 94: Potenzreihen im Komplexen, Konvergenzbereich, Formel von Cauchy-Hadamard, oberer Limes 95: Verhalten einer Potenzreihe auf dem Rand des Konvergenzkreises 96: Elementare transzendente Funktionen im Komplexen, Zerlegung in Real- und Imaginärteil 97: Betrag und Area von Funktionen im Komplexen 98: Produkt zweier Potenzreihen, Konvergenzradius 99: Entwicklung einer rationalen Funktion in eine Potenzreihe, Partialbruchzerlegung, Rechnen mit komplexen Zahlen 100: Fouriersohe Reihe, Fouriersche Grundfunktionen, Methode der kleinsten Quadrate, Fouriersche Approximationen, Abteilungsweise monoton, Dirichletsche Bedingung, Gerade und ungerade Funktionen . . . , . .101: Fouriersche Reihe, Fourier-Koeffizienten, partielle Integration, Euler . . . 102: Newtonsche Interpolationsformel, Bestimmung eines Polynoms

234 234 234 234 234 235 235 235 236 237 237 237 237" 238 238 239 239 240 240 241 241 242 245 246

103: Unbestimmte Form —, Höpitalsche Regel, verallgemeinerter Mittelwertsatz, Beweis, £ -Betrachtung 104: Unbestimmte Form

247 Höpitalsche Regel, verallgemeinerter Mittelwertsatz

248

105: Unbestimmte Form -2-, Höpitalsche Regel

249

106: Unbestimmte Form — 0

249

107: Unbestimmte Form ^

Lösung durch Reihenentwicklung .

108: Hyperbel-Funktionen, Kurventangente von einem Punkt aus, transzendente Gleichung, sukzessive Approximation,Keplersche Gleichung, Konvergenz einer Zahlenfolge, Mittelwertsatz, Unendliche Reihe, Ungleichung, Fehlerabschätzung 109: Lösung einer transzendenten Gleichung, Reihe für ex und Fehlerabschätzung 110: Lösung einer transzendenten Gleichung, hyperbolische Funktionen, Potential, Reihenabschätzung 111: Taylorsche Reihe, numerische Methode, Fehlerabschätzung, Berechnung von n 112: Parabel, extremale Länge einer Parabelsehne, Lösung einer Gleichung dritten» Grades, Hornersches Schema, Moivresche Formel, trigonometrische Lösimg der kuhischen Gleichung

249

250 251 252 254 255

Aufgaben-Übersicht 113: Parabel, kürzester Abstand, Extreme, Lösung einer kubischen Gleichung, örtliches (relatives) Extremum 114: Kubische Parabel, Krümmung, Extremum : . . 115: Parabel, Evolute, Tangente, Normale, Einhüllende, Funktionaldeterminante, kartesische Gleichung der Evolute, semikubische Parabel . . 116: Rollkurve, Epizykloide, Parameterdarstellung, Inkremente, Hypozykloide, Perizykloide, Zykloide, Kreisevolvente 117: Krümmung, Krümmungszentrum, Tangente durch einen Punkt, Evolutenbogen ohne Integration, Formel für Krümmungsmittelpunkt (Beweis), Lösung einer transzendenten Gleichung, Methode der sukzessiven Approximationen . 118: Lösung einer transzendenten Gleichung, Exponentialkurve, Methode der sukzessiven Approximationen 119: Extremum, Anwendung auf ein optisches Problem 120: Berührung zweier Kurven 121: Evolute der kubischen Parabel 122: Krümmung der logarithmischen Spirale 123: Extrema einer Funktion, Rechnen mit absoluten Beträgen 124: Funktion mehrerer Veränderlicher, Auflösung einer Gleichung, partielle Ableitungen, implizites Differenzieren 125: Implizite Funktion, implizites Differenzieren, Steigung, Krümmung . . . . 126: Taylor-Entwicklung einer implizit gegebenen Funktion, implizites Differenzieren 127: Berechnung der ersten und zweiten Ableitung bei einer implizit gegebenen Funktion 128: Taylorsche Reihe bei einer Funktion von zwei Veränderlichen, partielle Ableitungen, Binomische Reihe, Konvergenzbereich 129: Tetraeder, Prisma mit maximalem Volumen, Determinante, Leibnizsche Produktregel 130: Ellipsoid, eingeschriebener Quader mit maximalem Volumen, stetige Funktion 131: Hüllkurve, Parabel 132: Differentiation in gegebener Richtung, Kurvennormale 133: BerechnungdesLaplaceschenDifferentialausdrucksfür'eine gegebene Funktion 134: Einhüllende einer Kurvenschar, Parameter 135: Implizites Differenzieren, Differentialausdruck AM, Transformation auf Polarkoordinaten, 136: Kettenregel 137: Vollständiges Differential 138: Partielle Ableitungen einer Funktion 139: Extrema 140: Gleichung einer Drehfläche, Meridiankurve 141: Taylorscher Satz für mehrere Veränderliche, Entwicklung einer Funktion bis zu den Gliedern zweiter Ordnung 142: Implizite Funktionen, Berechnung der Ableitung einer impliziten Funktion . 143: Transformation von AM auf Polarkoordinaten, Differentialgleichung, falls M nur von r abhängig (siehe 135), Rechnen mit Differentialen 144: Partielle Integration 145: Partielle Integration 146: Bernoullische Formel 147: Integral einer rationalen Funktion, Division eines Polynoms, Integrand, Partialbruchzerlegung, Methode der unbestimmten Koeffizienten 148: Integral einer rationalen Funktion von sin x und cos x, Substitution, Integrand, Partialbruchzerlegung 149: Integral einer irrationalen Funktion, Substitution 150: Integration einer irrationalen Funktion, Methode der unbestimmten Koeffizienten

7 256 257 258 258 261 263 264 264 265 265 265 266 266 267 267 267 268 268 269 270 270 270 271 272 272 272 273 273 273 274 274 275 275 276 276 277 278 279

8 151: 152: 153: 154: 155: 156: 157: 158: 159: 160:

161: 162: 163: 164: 165: 166:

Aufgaben-Übersicht Integration durch Substitution Partielle Integration Integral einer irrationalen Funktion, Substitution Integral einer irrationalen Funktion, Partialbruchzerlegung, Substitution . Integration einer rationalen Funktion, Partialbruchzerlegung, partielle Integration Integration einer rationalen Funktion Partielle Integration, Polynom Integral einer rationalen Funktion von t*, Goldener Schnitt, Partialbruchzerlegung Elliptisches Integral, Binomialreihe, Fehlerabschätzung Simpsonsche Regel, Elementarregel, Approximation durch Parabel, Interpolationsformel von Lagrange, Fehlerabschätzung bei der Simpsonschen Regel (Beweis), Satz von Rolle, Fehlerglied, Stetigkeit, Approximationsfehler, unendliche Reihe Berechnung von tt nach der Simpsonschen Regel, numerische Methode, Fehlerabschätzung bei der Simpsonschen Regel, komplexe Zahlen, Moivresche Formel Integral einer irrationalen Funktion Simpsonsche Regel, numerische Methode, Fehlerabschätzung, komplexe Zahlen (Gaußsche Zahlenebene), vierte Einheitswurzeln, Differenzbetrag komplexer Zahlen, Integration einer rationalen Funktion Simpsonsche Regel, Fehlerabschätzung (Irl 3) Parameterdarstellung einer Kurve, Berechnung des Umfangs, Epizykloide, Flächeninhalt, Leibnizsche Formel, Schwerpunkt, Bogenelement, Mantelfläche des Rotationskörpers, Guldinsche Regel, Volumen des Rotationskörpers . . Kettenlinie, Bogenlänge, Oberfläche, Volumen des Rotationskörpers, Schwerpunkt, Trägheitsmoment, Bernoullische Formel

167: Zykloide, Rollkurve, Evolute, Bogenlänge, Flächeninhalt, Spitze, Parameterdarstellung 168: Potential eines Stabes 169: Potential einer Kreislinie, Polarkoordinaten, Legendre, elliptisches Integral 170: Schraubenlinie, Parameterdarstellung, Ortsvektor, Tangenteneinheitsvektor . 171: Schraubenlinie, Parameterdarstellung, Normalebene 172: Schraubenlinie, Parameterdarstellung, Krümmung 173: Normkurve, Parameterdarstellung, Kurvenbild, Ortsvektor, begleitendes Dreibein 174: Raumkurve gegeben durch Ortsvektor, Binormale, Bogenlänge, Normkurve, binormaler Einheitsvektor, Vektorprodukt 175: Extrema der Kurve 2—1*1 sin 176: 177: 178: 179: 180: 181: 182: 183:

279 280 281 281 282 283 284 284 284

285 289 290 291 292 293 295 296 297 297 298 299 299 299 300

, absoluter Betrag, Volumen desRotations-

ju körpers, Stammfunktion, Bernoulli-Produktregel • Schraubenlinie, Evolute, Hauptnormalvektor, Krümmungsmittelpunkt, Krümmungsradius Parameterdarstellung der Scbraubenflache, Schraubenlinie, Bogenlänge . . Parameterdarstellung einer Kurve, Gleichung der Kurve, singulärer Punkt, Tangentenrichtungen und Krümmungen in singulärem Punkt, Berechnung des umschlossenen Flächeninhalts, Figur Differentiation eines Integrals . . . Iteriertes Integral, Vertauschimg der Integrationen Volumen eines Körpers, elliptisches Paraboloid Bogenlänge, Kurventheorie, Einheitsvektor / ( x — 2 ) e—*'; Achsenschnittpunkt, Verhalten für oo, Maximum und Minimum, Wendepunkt, trigonometrische Lösung einer kubischen Gleichung, Moivresche Formel •

300 301 302 302 304 304 305 305 306

Aufgaben-Übersicht ...

2(x

9

— l)x

184: y = --— 2) (x | 3)' -^J^ptoten, Achsenschnitte, Asymptotenschnittpunkte, Extrema, Figur x2 — 1

185: y = sin '^njTJ

307 Nullstellen, asymptotisches Verhalten, Figur

186: y = cos (^4 n -¿rjp^ J , Nullstellen, Figur

308 308

187: I 188: 189: 190: 191: 192: 193: 194: 195: 196: 197: 198: 199: 200: 201: 202: 203: 204: 205: 206: 207: 208: 209: 210: 211:

y — 2x\-\-\y-\-2x-\-\\ — Gebietseinteilung der Ebene,Kurve mit absolutem Betrag. Figur . .r = cot (f, Parameterdarstellung, Polarkoordinaten, Transformation auf rechtwinklige Koordinaten, Figur x3— y3 -f- 3 x2 -f- x = 0. Asymptoten, Signierungsverfahren, Extrema, Achsenschnittpunkte, Figur xs -f- y3—x2 -f- V3 = 0, Asymptoten, Schnittpunkt der Kurve mit der Asymptote, zerfallende Kurve, Kegelschnitt, Koordinatenverschiebung, Koordinatendrehung, Ellipse, Halbachse, Mittelpunkt x3—y3 = 3 x (x -f-. y), Verlauf im Großen, Asymptoten, Signierungsverfahren, Verlauf im Kleinen, singulärer Punkt, Doppelpunkt, Achsenschnitte, Figur . y — x — 2 sin x -}- ^ sin 2 x, Maxima, Minima, Wendepunkte, Signierung, trigonometrische Gleichungen, Flächeninhalt, Figur Einführung einer neuen Veränderlichen, lineare Differentialgleichungen, Ansatz für partikuläres Integral, Diskussion der Lösung Bernoullische Differentialgleichung, Variation der Konstanten Homogene Differentialgleichungen, partikuläres Integral Implizite Differentialgleichungen, Parameterdarstellung der Lösung, homogene Differentialgleichung, separierbare Differentialgleichung, Partialbruchzerlegung, Umkehrfunktion, partikuläres Integral, Integralkurve . Umkehrfunktion, Bernoullische Differentialgleichung, lineare- Differentialgleichung, Variation der Konstanten Isoklinenmethode, Riccatische Differentialgleichung, Parabel, Ricbtungsfeld, asymptotisches Verhalten, Bild SeparierbareDifferentialgleichung.Arcusfunktion,Additionstheorem, Diskussion der Integralkurven, partikuläres Integral, Figur Implizite Differentialgleichung, Parameterdarstellung Jacobische Differentialgleichung, verwandelbar in homogene Differentialgleichung, Partialbruchzerlegung, affine Transformationen Separierbare Differentialgleichung Implizite Differentialgleichung, singuläres Integral, partikuläres Integral, Parameterdarstellung, Kurvendiskussion, singulärer Punkt (Spitze), Einhüllende, Figur • Separierbare Differentialgleichung, partikuläreslntegral durch einen gegebenen Punkt Differentialgleichung, Lösung durch Substitution, implizite Funktion, partikuläres Integral Bernoullische Differentialgleichung Lineare Differentialgleichung erster Ordnung, Variation der Konstanten, partielle Integration Anwendung auf ein optisches Problem, Parabel, homogene Differentialgleichung Implizite Differentialgleichung, Lagrange, lineare Differentialgleichung, Variation der Konstanten, Parameterdarstellung für die Integralkurven . . . . Jacobische Differentialgleichung, Reduktion auf lineares Differentialsystem, homogene Differentialgleichung Lineare Differentialgleichung 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten, Störungsglied, Ansatzmethode, allgemeine Lösung

308 309 310 310 311 312 313 314 314 315 316 317 318 319 320 321 321 323 323 324 325 325 326 327 327

10

Aufgaben-Übersicht

212: Bernoullisohe Differentialgleichung, partielle Integration 213: Lineare Differentialgleichung, Bernoullischer Ansatz 214: Lösung einer Differentialgleichung durch Substitution, Reduktion auf eine homogene Differentialgleichung 215: Lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten, charakteristische Gleichung mit Doppelwurzel, Ansatzmethode 216: Lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung, Ansatz für partikuläres Integral in komplexer Form, Rechnen mit komplexen Zahlen 217: Lineare Differentialgleichung vierter Ordnung mit konstanten Koeffizienten, partikuläres Integral durch Ansatz 218: System von drei linearen Differentialgleichungen, lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten, charakteristische Gleichung, verkürzte Differentialgleichung, partikuläres Integral der unverkürzten Gleichung, Störungsfunktion 219: Isogonale Trajektorien, Kurvenschar, Winkel zweier Kurven, homogene Differentialgleichung, Kurvendiskussion, Geradenbüschel, orthogonale Trajektorien, Polarkoordinaten, logarithmische Spiralen 220: Lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten, Doppelwurzel der charakteristischen Gleichung, Ansatz für partikuläres Integral 221: Lineare Differentialgleichung vierter Ordnung, Sonderlösung, charakteristische Gleichung, allgemeine Lösung 222: Lineares homogenes Differentialsystem mit konstanten Koeffizienten, konjugiert-komplexe Wurzeln, logarithmische Spirale 223: Lineares Differentialsystem mit konstanten Koeffizienten, Homogenisierung, Fundamentallösungen 224: Lineare Differentialgleichung vierter Ordnung mit konstanten Koeffizienten, partikuläres Integral durch vorgegebene Anfangsbedingungen, Wronskische Matrix 225: Lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung, Reduktion auf eine Riccätische Differentialgleichung, Beziehung zu einem Differentialsystem 226: Eulersche Differentialgleichung, Ansatz für partikuläres Integral, allgemeine Lösung 227: Eulersche Differentialgleichung mit Störungsglied, Lagrangesches Verfahren (Variation der Konstanten), adjungierte Differentialgleichung, Bernoullische Umformung, Multiplikator, Fundamentalsystem, adjungierter Ausdruck . . 228: Anwendung auf Mechanik, Schwingungsgleichung, äußere Kraft, partikuläres Integral 229: Lineare Differentialgleichung vierter Ordnung mit konstanten Koeffizienten, charakteristische Gleichung mit Doppelwurzel, Einzellösung, Ansatzmethode, Exponentialreihe, Parabel 230: Lineare Differentialgleichung dritter Ordnung mit konstanten Koeffizienten, Reduktion auf Differentialgleichung zweiter Ordnung, Fundamentallösungen, Ansatzmethode 231: Lösung einer Differentialgleichung durch Substitution, Reduktion auf eine lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung 232: Anwendung auf Mechanik, Bewegung eines Massenpunktes unter Einfluß einer Newtonschen Anziehungskraft 233: Lineare Differentialgleichung erster Ordnung, Methode der Variation der Konstanten, Substitution 234: Lineare Differentialgleichung, besonderer Ansatz, Partialbruchzerlegung . . 235: Anwendung auf Mechanik, Winkelgeschwindigkeit, Bahnkurve, Zwangskraft, Bewegungsgleichung, Polarkoordinaten, inneres Produkt zweier Vektoren, Ortsvektor, lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung, logarithmische Spirale

328 328 329 329 329 330

331 332 333 333 333 334 335 335 336 337 337 338 339 340 340 341 341 342

Aufgalpen-Übersicht Aufgabe:

1: 2: 3: 4: 5: 6: 7: 8: 9: 10: 11: 12: 13: 14: 15: 16:

11

II. Nichtgelöste Aufgaben

Reihen, konvergent Konvergenz einer Potenzreihe Konvergenz und Summe einer Potenzreihe Geometrische Reihe Reihe, Konvergenzradius Fouiierreihe und Stetigkeit, arithmetisches Mittel links- und rechtsseitiger Grenzwerte, Dirichlet Näherungsverfahren, transzendente Gleichung Bestimmung eines Polynom vierten Grades, Newtonsche Interpolationsformel Berechnung von y' und y" bei einer implizit gegebenen Funktion Parabel, Flächeninhalt Parabel, Parabelsehne, geometrischer Ort Teilverhältnisse, Doppelverhältnis, harmonische Teilung . . . . . . . . Trigonometrische Auflösung der kubischen Gleichung Kettenbrüche Berechnung einer Ableitung Berechnung einer Ableitung, unbestimmte Form „ l 0 0 "

Wichtige Einzelwerte der Trigonometrischen Funktionen Wichtige Einzelwerte der Hyperbelfunktionen Wichtige Zahlenwerte Potenzen von e Kleiner Historischer Anhang Namen- und Sachverzeichnis

.

344 344 344 344 344 344 345 345 345 345 345 346 346 346 346 346 347 347 347 348 349 351

Vorwort Wenn ein junger M a t h e m a t i k e r bei Abschluß seines Studiums ein Buch über Mathematik vorlegt, so bedarf es einiger Worte der Begründung. Das Manuskript ist aus Aufzeichnungen entstanden, die während des Studiums selbst gemacht wurden und in denen alle Erfahrungen aus dieser Zeit verwertet sind. Der Verfasser hat kennengelernt, wie schwer es ist, aus der umfangreichen Literatur immer das Richtige herauszufinden, wie oft dann auch dieses nicht weiterhalf, weil das eine Mal Beispiele ohne Ergebnis, das andere Mal Ergebnisse ohne den Werdegang angeführt waren. Beispiele ohne Ergebnisse erlauben dem Studierenden aber nicht, das eigene Resultat zu prüfen, Beispiele mit Ergebnissen, aber ohne Darstellung des dazwischenliegenden Weges, führen leicht zu Irrtümern. Mit seiner Arbeit glaubt nun der Verfasser, in besonderem Maße zur Überwindung dieser Schwierigkeiten beitragen zu können. Er war bestrebt zu zeigen, welche Möglichkeiten die Behandlung mit Determinanten und Matrizen gibt. Besonders sei auf die noch selten in Lehrbüchern behandelten, für den Techniker sehr wichtigen Hamiltonschen Matrizen aufmerksam gemacht. Das Hornische Schema wurde auf Division eines Polynoms n-Grades durch ein Polynom n-Grades, wie auch auf Multiplikation eines Polynoms n-Grades mit einem Polynom n-Grades verallgemeinert. Durch Ziffern bei den Formeln auf die dazugehörigen Aufgaben hinzuweisen, mußte leider aus drucktechnischen Gründen unterbleiben. Das Inhaltsverzeichnis der Aufgaben am Anfang des Buches wird diesen Mangel wieder etwas ausgleichen. Im Sachregister ist neben den fettgedruckten Ziffern auf die Textseiten hingewiesen, auf denen der jeweilige Begriff zu finden ist; daneben stehen die Seitenzahlen der dazugehörigen Aufgaben. Ein Anhang enthält wichtige Tabellen und kurze biographische Notizen. Auf Wunsch des Verlages wurde von dem schrägen Bruchstrich Gebrauch gemacht. Um Mißverständnisse zu vermeiden, sind an vielen Stellen Klammern gesetzt, die nach der Klammernregel entfallen könnten. Hinweise auf stehengebliebene Fehler und Anregungen zur Verbesserung des Buches werden dankbar entgegengenommen.

Vorwort

13

Abschließend möchte der Verfasser nicht versäumen, allen zu danken, die ihm bei seinem Vorhaben behilflich waren, an erster Stelle Herrn Prof. Dr. Kowalewski, der den Anstoß zur Veröffentlichung gab, Herrn Prof. Dr. L. Föppl, der ihm den Weg zum Studium ebnete, sowie den Herren Prof. Dr. Heinhold, Dr. Seebach, seinem Studienkameraden Sztajnfeld, Herrn Kirschmer und Herrn Dr. Lehr, der die Zeichnungen angefertigt hat. Schließlich gebührt besonderer Dank dem Verlag, der trotz der gegenwärtig schwierigen Lage alles darangesetzt hat, das Buch möglichst schnell herauszubringen. München 1949. Leon Weliczker

Mathematische Vorschule für Ingenieure und Naturforscher

J. T E I L

§ 1. Zahlen, Veränderliche und Funktionen

Das ursprünglich Gegebene sind die ganzen Zahlen 0,1, 2, 3, . . . „Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott gemacht. Alles andere ist Menschenwerk", ist ein schöner Ausspruch des berühmten Mathematikers Leopold Kronecker. Man muß aber hinzufügen, daß dieses Menschenwerk trotzdem sehr wichtig ist. Der erste Schritt zur Erweiterung des Bereichs der natürlichen Zahlen war die Einführung der negativen Zahl en — 1, — 2, — 3, . . . Der zweite Schritt bestand darin, daß man die positiven und negativen Brüche einführte, wie z. B. | oder — f . Zähler und Nenner eines solchen Bruches sind, ganze Zahlen. Haben diese einen gemeinsamen Teiler, so kann man den Bruch kürzen, z. B. -ff- = f - Ganze Zahlen und Brüche bilden den Bereich oder Körper der rationalen Zahlen. Summe, Differenz, Produkt und Quotient rationaler Zahlen sind wieder rationale Zahlen. Nur ist es verboten, durch 0 zu dividieren. Schon in der Elementarmathematik treten Probleme auf, deren Lösung mit Hilfe der rationalen Zahlen nicht möglich ist. Will man z . B . die quadratische Gleichung x2 = 2 lösen, so zeigt sich, daß es keine Rationalzahl gibt, deren Quadrat gleich 2 ist. Würde man in der Geometrie nur Strecken zulassen, die sich durch rationale Zahlen messen lassen, so gäbe es kein Quadrat vom Inhalt 2. Man könnte auch sagen, daß die Diagonale eines Quadrats von der Seitenlänge 1 keine Länge hätte. Will man solche unbequemeji Ausnahmefälle vermeiden, so ist man gezwungen, den Bereich der rationalen Zahlen nochmals zu erweitern und nicht-rationale oder, wie man sagt, irrationale Zahlen zuzulassen, die zwischen den Rationalzahlen liegen, obwohl diese eine überall dichte Menge bilden insofern, als es zwischen zwei Rationalzahlen rx und r 2 unbegrenzt viele Rationalzahlen gibt. Zunächst liegt r3 = {rx + r2)/2, das arithmetische Mittel aus rx und r2, zwischen rx und r2. Wenn rx < r2 ist, so hat man ri 2 oder die

§ 1. Zahlen, Veränderliche und Funktionen

16

Eigenschaft (p/q)2 < 2 hat. Niemals kann, wie schon erwähnt wurde, (p/q) 2 = 2 oder p2 = 2 q2 sein. Das hat schon der griechische Mathematiker P y t h a g o r a s gewußt, der wohl als erster die große Entdeckung machte, daß man mit Rationalzahlen nicht alle Probleme lösen kann. Der Beweis, daß in p2 = 2 qz eine Unmöglichkeit steckt, wird so geführt: Man kann durch das Kürzungsverfahren den Bruch p/q von vorneherein so einrichten, daß p und q t e i l e r f r e m d sind, d. h. keinen gemeinsamen Teiler haben. Da man nun aus p2 =2 q2 ersieht, daß p2 durch 2 teilbar, also eine g e r a d e Zahl ist, so muß auch p gerade sein, weil die Quadrate der ungeraden Zahl 1, 3, 5, . . ., also die Zahlen 1, 9, 25, sämtlich ungerade sind. Man kann daher setzen p = 2 pv Dann folgt aber aus p2 = 2 q2 oder 4 pj2 = 2 q2 oder 2 p^ = q2 sofort, daß auch q eine gerade Zahl ist, q = 2qv Demnach hätten p und q den gemeinsamen Teiler 2, während wir es doch durch Kürzung des Bruches p/q so eingerichtet haben, daß sie teilerfremd sind. Es ist also tatsächlich p2 = 2 q2 etwas Unmögliches. Die positiven Brüche p/q haben also entweder die Eigenschaft (p/q)2 > 2 oder die Eigenschaft (p/q)2 < 2. Im ersten Talle sind sie zur Auflösung der Gleichung x2 = 2 zu groß, im zweiten Falle zu klein. Zwischen der unteren Klasse der zu kleinen und der oberen Klasse der zu großen Rationalzahlen wird die Irrationalzahl liegen, die die Gleichung x2 — 2 erfüllt. Diese Irrationalzahl wäre dann mit V2 zu bezeichnen. Erfassen können wir das Irrationale nur mit Hilfe des Rationalen, natürlich nur approximativ. Wir wollen im Falle 2 ein solches Verfahren der approximativen Erfassung kur? darlegen. Ist r irgendeine positive Rationalzahl, so r + 2 kann man feststellen, daß r und r, = verschiedenen Klassen anr + 1 2 gehören, daß also r — 2 und r£ — 2 verschiedene Zeichen haben. Man findet r2 — 2 tatsächlich r 1, 2 — 2 = : . (r + l) 2 f 2 r | 2 Bildet man nun weiter r 2 = — , rs = — . . . , so erhält man lauter r r i + 1 2+ 1 _ Rationalzahlen, die abwechselnd oberhalb und unterhalb ^ 2 liegen. Wenn man sich eine Größe denkt, die nacheinander die Werte r, r 1 ; r2, r3, . . . annimmt oder, wie man auch sagt, die F o l g e r, rlt r2, r3, . . . durchläuft, so pendelt diese Größe um }/~2 herum. Die Schwingungen, die sie dabei ausführt, nehmen beständig ab. Es ist nämlich, wenn man r„ — r„ und r„ —-r„_ i. vergleichen will, rn+1 — r„ —

rn+2 2 — r„2 —- —r„ = rn + 1 " .«•,+ 1

r2„_! —2 (rn— i + l) (2 r „ _ i + 3) '

2—r2„_ i r„ — r „ _ x — . , r„— i + 1 also

r.n + 1 - r rn—r„_x

n

_

1 2 / • „ _ ! + 3'

Das Minuszeichen bestätigt nochmals das Hinundher der Schwingungen. Andererseits sieht man, daß jede Schwingung kleiner ist als ein Drittel der vorhergehenden. Nun haben schon die alten griechischen Mathematiker er-

17

§ 1. Zahlen, Veränderliche und Funktionen

kannt, daß eine Größe schließlich unter jeden Grad der Kleinheit herabsinkt, wenn man fortgesetzt mehr als die Hälfte (hier sogar mehr als zwei Drittel) von ihr fortnimmt. Was bedeutet dieses H e r a b s i n k e n u n t e r j e d e n G r a d d e r K l e i n h e i t ? I n strenger mathematischer Formulierung bedeutet es folgendes: Ist s irgendeine vorgegebene positive Zahl, sie mag so klein sein, wie sie wolle, dann wird jene der fortgesetzten Verstümmelung unterworfene Größe schließlich k l e i n e r w e r d e n und k l e i n e r b l e i b e n als e. Das muß für jedes positive E gelten. J e t z t wollen wir nöch zeigen, wie man die von den alten Griechen gemachte Peststellung bestätigen kann. E s genügt, sich von ihrer Richtigkeit in dem Falle zu überzeugen, daß die dem Verfahren unterworfene Größe, die man gleich I setzen kann, jedesmal auf die Hälfte reduziert wird. Ist es weniger als die Hälfte, dann wird die Behauptung um so mehr (a fortiori) gelten. Wie kann man nun zeigen, daß in der Folge

1, — , ~ , ~ , . . .

von einer

bestimmten Stelle an alle Glieder kleiner als e sind ? Hier, wo es sich um eine a b s t e i g e n d e F o l g e handelt, genügt es festzustellen, daß 1/2" schließlich kleiner w i r d als e. Daß es dann auch kleiner b l e i b t als s, versteht sich von selbst. B s kommt also lediglich darauf an, zu zeigen, daß sich jedem positiven s ein Exponent n zuordnen läßt, der die Ungleichung 1/2" < £ verwirklicht. Wäre immer 1/2" Sä e, so hätte man, da, die Potenzen 2 1 , 2 2 , 2 3 , . . . oder 2, 4, 8 , . . . größer sind als die entsprechenden Glieder der Folge 1,2, 3 , . . . , also 2 n > n, um so mehr l/n> e, also n e < 1. Das würde aber soviel bedeuten wie n < 1/e, während doch n eine an keine Schranke gebundene ganze Zahl ist. Die hier über 1/2" gemachte Feststellung pflegt man so auszudrücken, daß man sagt, 1/2" strebt dem Grenzwert Null zu, konvergiert nach Null, wenn n die Folge 1, 2, 3, . . . durchläuft. Man schreibt lim (1/2") = 0. (n = 1, 2, 3, . . .) . lim (gesprochen limes) ist die Abkürzung des lateinischen Wortes für G r e n z e . Wenn wir zu der Folge r, rlt r2 , r3 , . . . zurückkehren, so können wir jetzt sagen, daß lim (rn — r„_ i) = 0 ist. Da man sich beim Durchlaufen der Folge abwechselnd oberhalb und unterhalb befindet, also y~2 zwischen und r„ liegt, so wird erst recht lim (rn — V 2) = 0 sein. Der Unterschied zwischen rn und y~2 strebt also dem Grenzwert Null zu. In solchem Falle sagt man, daß r„ nach ^ 2 konvergiert, und schreibt lim r„ = ^ 2. Geht man z. B . aus von der Rationalzahl r = l, die der unteren Klasse angehört, weil ihr Quadrat kleiner als 2 ist, so findet man 1

r + 2 r + 1

3 2

r, =

r, + 2 7 :—r = ^ r , r,ö rt + 1 5 '

=

r2 + 2 . , r2 + 1

=

17 t12

USW.

1, 7/5, . . . sind kleiner als ^ 2 , dagegen 3/2, 17/12, . . . größer als V~2Durch Fortsetzung des Verfahrens können wir V~2 in immer engere Schranken einschließen. Diese Art der approximativen Erfassung einer Irrationalzahl (Einschließung zwischen zwei Schranken) ist besonders zweckmäßig. Nach Einführung der Irrationalzahlen ist man in der Lage, jede geometrische Größe durch eine Zahl auszudrücken. Die rationalen und irrationalen Zahlen werden unter der Benennung reelle Zahlen zusammengefaßt. 2 Weliczker, Mathem. Vorschule

18

§ 2. Anschauliche Darstellung der Funktionen

Als Veränderliche bezeichnet man eine Größe x, die entweder frei veränderlich ist und alle möglichen reellen Werte annehmen kann oder aber alle Werte eines I n t e r v a l l s a . . . b. I n letzterem Falle ist sie den Bedingungen a x^kb unterworfen. Es kann auch sein, daß sie nur der Bedingung a ^ x oder nur der Bedingung x-^kb unterliegt. Dann spricht man von den Intervallen a . . . 00 (ia bis unendlich) und — ^ ... b (— unendlich bis b). Bei einer freien Veränderlicheta könnte man sagen, daß sie sich im Intervall — °° . . . bewegt. Eine Größe, die an einen festen Wert gebunden ist, heißt eine Konstante. Wenn eine zweite Veränderliche y derart an x gebunden ist, daß jedem x-Wert eines Intervalls ein bestimmter «/-Wert entspricht, so sagt man, y sei eine Funktion von x, und schreibt y =/(«). (y g l e i c h / v o n x) . Wenn noch eine andere derartige Abhängigkeit zu betrachten ist, also etwa auch z eine Funktion von x ist, so wird man zu ihrer Bezeichnung einen anderen Buchstaben benutzen. Man wird z. B. schreiben z = g (x). Jedes Naturgesetz bezieht sich auf eine funktionale Abhängigkeit zwischen Veränderlichen. Bei konstanter Temperatur ist das Volumen eines Gasquantums eine Funktion des Drucks. Die Stromstärke ist (nach dem Ohmschen Gesetz) eine Funktion des Widerstandes. Auch in der Geometrie begegnen uns fortwährend funktionale Beziehungen. Oberfläche und Volumen einer Kugel sind Funktionen des Radius. Es gibt auch Funktionen m e h r er er Veränderlicher, zist eine Funktion von x,y, wenn jedem Wertsystem x, y ein bestimmter z-Wert entspricht. Manchmal unterliegt das Wertsystem x, y noch irgendeiner Beschränkung. Das Volumen eines Gäsquantums ist eine Funktion Von Druck und Temperatur. Die Stromstärke ist eine Funktion der elektromotorischen K r a f t und des Widerstandes. Volumen und Mantel eines Rotatioriskegels sind Funktionen des Grundradius und der Höhe.

§ 2. Anschauliche Darstellung der Funktionen Zur bildlichen Darstellung einer Funktion y =f(x) bedient man sich eines rechtwinkligen Achsensystems (vgl.Fig.l). Das sind zwei zueinander senkrechte Gerade Ox, Oy, die man x-Achse und y-Achse ip nennt. Auf jeder ist durch einen Pfeil die positive Richtung markiert. Am bequemsten ist es, nur di'e positiven Hälften der Achsen zu zeichnen, die negativen, wenn nötig, punktiert. E s ist üblich., die positiven Richtungen so zu wählen, d a ß die positive H ä l f t e der zweiten Achse aus der F positiven Hälfte der ersten durch Linksdrehung um 90® entsteht. I n unseren Figuren ist die ¿P a;-Achse horizontal, ihre positive Richtung weist nach rechts. Die positive Richtung der «/-Achse Fig-1 weist nach oben. Jeder P u n k t P der Ebene h a t eine Abszisse x und eine Ordinate y. Beide zusammen nennt man seine rechtwinkligen Koordinaten, auch cartesische Koordi-

§ 2. Anschauliche Darstellung der Funktionen

19

naten nach D e s c a r t e s (Cärtesius), der 1637 in seiner „Géométrie" diese Kennzeichnung der Punkte durch Abszisse und Ordinate einführte und damit der Begründer der a n a l y t i s c h e n G e o m e t r i e wurde. Man fällt von P a u s das Lot PQ. Dann ist die Abszisse x die mit einem Vorzeichen versehene Länge der Strecke OQ, und zwar mit dem Zeichen - f , wenn Q rechts, mit dem Zeichen —, wenn Q links von 0 liegt. Die Ordinate y ist die mit einem Vorzeichen versehene Länge der Strecke QP, und zwar mit dem Zeichen + , wenn P oberhalb, mit dem Zeichen —, wenn P unterhalb der x-Achse liegt. Die Achsen, auch Koordinatenachsen genannt, teilen die Ebene in vier Quadranten, in Fig. 1 mit I , I I , I I I , I V numeriert. Die Zeichen der Koordinaten sind aus folgender Tabelle ersichtlich : I X

y

+ +

II

in

—

—

+

—

IV

+ —

Auf der x-Achse ist überall y — 0. Durch diese Gleichung wird die «-Achse gekennzeichnet, ebenso die y-Achse durch x — 0, der A n f a n g s p u n k t 0 durch x — 0, y = 0. Jedem geordneten Zahlenpaar x, y, bestehend aus einer ersten Zahl x und einer zweiten Zahl y, entspricht ein Punkt P der Ebene, dessen Abszisse gleich x und dessen Ordinate gleich y ist. Die Zahlenpaare werden also durch die Punkte einer Ebene dargestellt, die einzelnen Zahlen x durch die Punkte einer Geraden, der «-Achse. Um nun das c a r t e s i s c h e B i l d der Funktion y = / (x) zu erhalten, müßte man alle Punkte der Ebene markieren, deren Koordinaten x,f(x) lauten. Man kann dies nur für eine gewisse Anzahl von «-Werten durchführen, die man so dicht, wie es nötig erscheint, wählen wird. Dann läßt sich die B i l d k u r v e der Funktion mittels eines Kurvenlineals zeichnen. Praktisch handelt es sich immer nur um angenäherte Darstellungen. Die Bildkurve der Funktion ax + b, wobei a und b Konstanten bedeuten, ist e i n e g e r a d e L i n i e , die Bildkurve von ax2-j-bx~i~c eine P a r a b e l , deren Achse parallel zur «/-Achse verläuft. Die Bildkurve eines P o l y n o m s w-ten Grades «o xn + ax x"-1

+

...+«„,

wobei a 0 , a v . . ., an Konstanten bedeuten, bezeichnet man als Newtonsche Parabel n-ter Ordnung. Solche Polynome werden vielfach benutzt, um eine komplizierte Funktion f(x) angenähert darzustellen."'Man wählt die Konstanten a0, av . . . , « „ so, daß das Polynom an den Stellen x0, xlt . . ., x„ m i t / ( « ) übereinstimmt, daß also die Gleichungen a0 x0» + x0"~1 a0 xf + «i V 1

+ . . . + an =f(x0), + • • • + a» = / O i ) ,

a0 xn* + a-L xnn~1 + . . . + a„ =/(x„) erfüllt sind. Man hat hier n + 1 lineare Gleichungen mit n + 1 Unbekannten a0, a1: . . a„ vor sich. Solche G l e i c h u n g s s y s t e m e von allgemeiner Art werden mit Hilfe der D e t e r m i n a n t e n behandelt, die wir bald kennenlernen werden. I m vorliegenden Falle läßt sich die Auflösung auf Grund der besonderen Beschaffenheit des Systems sehr leicht durchführen. Man kann direkt ein

20

§ 2. Anschauliche Darstellung der Funktionen

Polynom w-ten Grades hinschreiben, das die obigen n + 1 Bedingungen erfüllt. Es lautet:

( x — x

( x — x

)

t

(X

2

) .

— x

2

)

(«1 — x

2

) .

0

(X

—

( X ( x

( x

.

( x — x

. . . .

x^)

n

Die Faktoren, mit denen hier f

( x

(X

J (*o)

— Xn)

(»1 — X

•

n

)

( X - Xn—

. . .

( x

(a^),

) , f

0

)

n

(^0 — Vn)

•

—• X j ) . .. .

{X ic0)

n

) . . .

2

— x

{ z

n

. . ., f

(x

n

versehen sind, nennt man

)

die Lagrangeschen Grundpolynome. W i r wollen sie m i t

L0 (x), Offenbar ist

(a^)

=

x

(x

0

)

= L

1

{ x

n

{x

0

)

=

L

n

L

0

L

L

L

( x

0

)

2

. . . =

=

. . . =

L

x

(xn)

=

. . .

L

n

{ x „ — i )

)

2

( x

t

)

(x), . . ., Ln (x) L . ( x „ ) = 0,

=

0

=

=

bezeichnen. L

(a;0) = 1,

0

0,

=

(a^)

0, L

n

=

(x

n

1,

)

1.

=

Hierauf beruht es, daß das Polynom L

{

x

)

=

2

L

v =

( x ) f ( x

v

)

v

0

die gewünschten Eigenschaften L (x„) = / (xv) hat.

Man nennt L (x)

Lagrangesche Näherungspolynom von / (x) m i t den G r u n d p u n k t e n x0, xlt

das . . .,

x„. Dieses Näherungspolynom ist das einzige Polynom ra-ten oder niedrigeren Grades, das an den Stellen x0, xlt . . ., xn mit f (x) übereinstimmt. Gäbe es noch ein zweites derartiges Polynom, etwa L* (x), so wäre L (x) —L* (x) ein Polynom w-ten oder niedrigeren Grades, das an den n + 1 Stellen x0, xv . . ., x„ verschwindet. Die Gleichung L ( x ) — L * ( x ) = 0 hätte also mehr Wurzeln, als ihr Grad beträgt. Das ist aber unmöglich. Hiervon überzeugt man sich auf folgende Weise: Es liege z. B. ein Polynom p-ten Grades vor _ _ _ + P { x ) = xp + ^ xp-1 + dessen Höchstkoeffizienten wir gleich 1 gesetzt haben. Ist x0 eine Wurzel dieses Polynoms, also P (x0) = 0, so kann man schreiben P

( x )

=

P

X

—

x0P

+

c

( x f -

t

1

—

V

-

1

)

+

. . . +

( x —

x

0

).

Hier kann man sich nun auf die bekannten Beziehungen stützen X2

X02

=

(X

X

0

) (X

x

x

=

( x

x

0

)

( x

=

( x —

x

0

)

( x

1

) x f ~

3

x f — x

0

0

f

-j-

Xq),

+

2

~

p

x x

1

x

0

+

x * —

o

2

£ „ + . . .

+

x

0

p

~

und erhält dann P

( x ) =

( x — x

0

)

[ x f -

1

+

( x

0

+

c

2

x . . . +

( x / -

+

1

c,

+

. . .

+

Man sieht, daß P (x) durch x — x0 teilbar ist. Der Quotient ist das Polynom (p — l)-ten Grades P

1

(

X

)

=

X

P ~

1

+

{ X ( )

+

C l

)

X

P ~

2 +

. . . +

(

X o

P - l

+

C l

X

0

P - *

+

. . . +

Cp—

Hat nun P (x) — (x — ce0) (x) noch eine von x0 verschiedene Wurzel xlt so folgt aus (Zj — x0) P1 (XX) = 0 offenbar P± (Xj) = 0. Daher wird JP2 (x) =

§ 3. Die Exponentialfunktion

21

(x — xt) P 2 (x) sein und P 2 (x) ein Polynom (p — 2)-ten Grades xp~ 2 + . . . Für P (x) gilt die Darstellung P (x) = (x — x0) (x — x j P 2 (x). Treten noch weitere neue Wurzeln x2, xs, . . . hinzu, so kommt man schließlich zu P (x) = {x — xü) (x — . . . (x — Xp_ i), und Pp (x) ist gleich 1. J e t z t sieht man deutlich, daß es außer x0, xt, . . ., a^—i keine weitere Wurzel mehr geben kann. Ein Polynom, kann nicht mehr Wurzeln haben,als derGrad beträgt; daher muß in unserer obigenBetrachtungiy(a;)—L*(x) lauter verschwindende Koeffizienten haben. L*(x) muß mit L(x) völlig übereinstimmen. P (x) Den Quotienten zweier Polynome ^ nennt man eine rationale Funktion» Als algebraische Funktion von x bezeichnet man y, wenn es mit x verknüpft ist durch eine algebraische Gleichung p0 (x) y + P± (x) t ~ x + • • • + P„ (x) = o, wobeiP 0 (x),P1 (x),.. .,P„ (x) irgendwelchePolynome sind. Z. B. ist y= ^x2 -f- 1 eine algebraische Punktion, da y2 — {x2 + 1) = 0 ist. § 3. Die Exponentialfunktion L e i b n i z war der erste, der die Exponentialfunktion in die Mathematik ein führte, a" hat, wenn w. = 1, 2, 3, . . . ist, eine einfache Bedeutung. E s ist das Produkt aus n Paktoren a. Unter a denken wir uns eine positive Größe. Sind p und q positive ganze Zahlen, so gilt demnach die Gleichung af aq = apJ=a?+q f ü r alle ganzzahligen Werte von p und q. Die E x p o n e n t i a l f u n k t i o n / (x) =ax wird nun für beliebige rationale x mittels der Funktionalgleichung definiert: / ( Z l ) / ( *

2

) = / ( * ! +

Hieraus folgt sofort f(x1)f(x2)...f{x„)=f(x1+x2+...

X2).

+ xn).

Setzt man xx = x2 = . . . = x„ = m/n, wobei m ebenfalls eine positive ganze Zahl ist, so ergibt sich [f(m/n)]n=f(m)=am. Hieraus erkennt man, daß / (m/n) = | / a m sein muß. Damit ist f(x) f ü r alle positiven rationalen x-Werte erklärt. Für die negativen ergibt sich die Erklärung aus / (x) / (— x) = / (o) = 1. Daß jetzt f ü r beliebige rationale Werte xv x2 wirklich die Gleichung/(x 1 )/(a; 2 )= / (x1 + x2) gilt, ist leicht zu erkennen. Man kann xv x2 mit gemeinsamem Nenner n in der Form schreiben x1 = mjn, x2 = m2jn. n ist eine positive ganze Zahl, m1 und m 2 beliebige ganze Zahlen. Man h a t dann

f {%i) = fä™1, m

f

'

a 80

^

/ (a^) / (x2) = yo^i = •a * = = = f (xx -f a;2). Wie steht es nun mit der Erklärung von ax f ü r irrationale x ? Wir wollen fortan a > 1 annehmen. Für ä = 1 ist nämlich a* = 1 f ü r alle rationalen «-Werte und wird dann auch f ü r irrationale «-Werte gleich 1 zu setzen sein. Für a < 1

22

§ & Die Exponentialfunktion

ist bei rationalem x offenbar ax-(l/a)x = 1 und daher a" — (1 ¡ a ) ~ x , so daß man statt a' nunmehr (l/a)~x zu betrachten hat. Sind r und s zwei Rationalzahlen und r < s, so hat man as

— ar

• as~

r

> ar,

weil as~' auf Grund der Voraussetzung a > 1 größer als 1 ist. s—r ist ein positiver Bruch m/n und am'" oder offenbar größer als 1. Liegt nun ein irrationales x vor, so zerfallen die Rationalzahlen in zwei Klassen. Die untere Klasse besteht aus allen Rationalzahlen r, die kleiner als x sind, die obere aus allen Rationalzahlen s, die größer als x sind. Da r < s ist, so wird auch ar < as sein. Für a" wird die naheliegende Festsetzung gemacht, daß es zwischen den a' und den a? liegt, daß also ar < a" < as sein soll. Es muß noch untersucht werden, ob sich zwischen alle aT und alle as wirklich nur ein einziger Wert ax einschalten läßt. Wir greifen zwei spezielle r und s heraus, etwa und sv und bilden die arithmetische Reihe rx, + A , . . . , r^ + (ra — 1) A, elt wobei h = (s1 — sein soll. In dieser Reihe wird es ein erstes Güed sn = r 1 - \ - f i h geben, das wie«! in die obere Klasse fällt, während rn = ^ 4 - (¿w—1) A wie zur unteren Klasse gehört. ax wird dann zwischen aT» und as" liegen, a'n < ax < as«. Die beiden einschließenden Werte unterscheiden sich um ft'i + ip—DA (ah — 1), also um weniger als aSl (ah —• 1). Wir werden durch diese Betrachtung dazu geführt, uns mit a h — 1 zu beschäftigen. Setzen wir a ' » - = A, so wird mit Rücksicht auf h = (s1 — rj/n ah — l =

A1'" —

1.

Offenbar ist A > 1. Wir werden nachher zeigen, daß lim {A1/n — 1) = 0 wird, wenn n die Folge 1, 2, 3, . . . durchläuft. Hat man sich hiervon überzeugt, so folgt lim (aSn — ar») = 0, und ax ist dann der gemeinsame Grenzwert der Folgen a'1, a", a'>, . . . und a Jl , as>, as>, . .. Daß wirklich A1!"— 1 nach Null konvergiert, wenn n nacheinander die Werte 1, 2 , 3 , . . . annimmt, erkennt man auf folgende Weise: Schreibt man

All

A

t

~

n—i A~1T

n—z + A ~

X +

. . . +

1

und bedenkt, daß die n Summanden des Nenners größer als 1 und kleiner als A sind, so ergibt sich (A — 1 )/n A< A1!" — 1 < {A — 1 )/n . Hiermit ist A — 1 zwischen zwei Größen eingeschlossen, die dem Grenzwert Null zustreben, und muß daher das Limesschicksal dieser beiden teilen. Nachdem wir wissen, daß a' die einzige Zwischenzahl zwischen allen aT und allen as ist, wenn r und s rational sind und r < z < s , hat es keine Schwierigkeit zu zeigen, daß die Beziehung aXl • ax* = a*1 + *' ganz allgemein gilt. Ebenso überzeugt man sich von der Allgemeingültigkeit der Beziehung (a*>)" — a*» *'.

Wir wollen noch eine Bemerkung über die Größe A1!" — 1 machen (A > 1). Sie konvergiert, wie wir wissen, nach Null, wenn n die Folge 1,2, 3 , . . . durchläuft. Wir können noch eine Aussage machen über die Art, wie dieses nach

§ 3. Die Exponentialfunktion

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Null-Konvergieren erfolgt. Zu diesem Zweck vergleichen wir A1!" — 1 mit der ebenfalls nach Null konvergierenden Größe l/n. Es wird sich zeigen, daß der Quotient beider Größen, also n (A1/"— 1), einem von Null verschiedenen Grenzwert zustrebt. Auf Grund dieser Peststellung pflegt man zu sagen, daß A 1ln — 1 in derselben Weise nach Null konvergiert wie l/n. Setzen wir un — n (A1!" — 1), so ist es zweckmäßig, zunächst die Differenz un — M „ + I Z U betrachten. Wenn l wir An (n-f i) = B„ setzen, so ist un = n

1) = (Bn — 1) (n + n Bn + . . . + n B*-?- + » B«),

1 = (»+ 1) (Bn" — l) = (Bn — l) ( » + 1 + (» + 1) B. + . . . + (» + 1) Hieraus folgt un — un + i = (Bn — 1) (n Bnn— 1 — Bn — ... — B*-*). Da Bn > 1, so ist 1 + B„ +-. . . + B„B—1 kleiner als n Bnn, also un — un + 1 > 0. Hieraus geht hervor, daß u1; u2, M3, . . . eine a b s t e i g e n d e F o l g e ist. Alle Glieder dieser Folge sind positiv. Weil wir schon wissen, daß A1!" — 1 > (A— 1) jn A ist, so können wir sagen, daß immer un > (A — 1 )/A bleibt. Damit ist für die absteigende Folge u u u 2 , u 3 ,. . . eine positive u n t e r e S c h r a n k e gewonnen. Alle Rationalzahlen, die zwischen 0 und (A — 1 )/A liegen, werden ebenfalls untere Schranken für u 1; u2, u3, . . . sein. Es gibt aber auch Rationalzahlen, die nicht als untere Schranken dieser Folge in Frage kommen, z. B. alle Rationalzahlen, die größer als wl5 d. h. größer als A — 1 sind. Jedenfalls ist klar, daß hier eine Einteilung aller positiven Rationalzahlen in zwei Klassen vorliegt, wie wir sie bei V2 kennenlernten. Rationalzahlen, die als untere Schranken der Folge u v u2, u3, . . . dienen können, sind natürlich immer kleiner als solche, die nicht dafür in Frage kommen. Jene bilden die untere, diese die obere Klasse der hier vorliegenden Einteilung, die man einen Dedekindschen Schnitt nennt. Es kann sein, daß in der oberen Klasse eine kleinste oder in der unteren eine größte Zahl vorkommt. Von ihr sagt man dann, daß sie den Schnitt h e r v o r b r i n g t oder als T r e n n u n g s z a h l dient. Ist keins von beiden der Fall, so gibt es zwischen den beiden Klassen eine Irrationalzahl, die angesichts des Fehlens einer rationalen Trennungszahl die Rolle der Trennungszahl übernimmt. Diese Trennungszahl g ist offenbar die g r ö ß t e untere Schranke der Folge ut, u2, u3, . . . Dieses g läßt sich zwischen zwei Rationalzahlen r, a von beliebig kleiner Differenz einschließen. Ist s größer als g, so hat s nicht mehr die Eigenschaften einer unteren Schranke. Es gibt ein w«,das unterhalb s liegt. Dasselbe gilt dann, weil die Folge der u„ absteigt, auch von uu+i, Ufi+ 2, • • • Daraus sieht man, daß die Differenz u„ — g schließlich unter jeden Kleinheitsgrad herabsinkt und dabei bleibt, so daß wir sagen können, daß lim u„ —g ist. Da stets w„ > (A — 1 )/A, so wird auch g (A — l)/.4 sein. Nachdem wir uns von der Existenz dieses Grenzwertes g überzeugt haben, können wir aus lim [n (A1!" — 1) ] = g • verschiedene Schlüsse ziehen. Offenbar ist g eine Funktion von A, so daß wir schreiben könneng = g (A). Zunächst ist diese Funktion nur für den Fall A > 1 erklärt. Offenbar ist g (1) = 0. Im Falle 0 < A < 1 können wir A = 1/A1 setzen und haben dann At > 1. Ferner können wir schreiben ( V -1)• » ( 4 « ' - l ) = - » - n f i

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§ 3. Die Exponentialfunktion

Dieser Wert unterscheidet sich von n (A.V -

» W » - 1 ) • —¿^F-1 •

1) um

Da A^l" > 1 und n (A^l" — 1) < A1 — 1 ist, liegt diese Größe zwischen 0 und {At — 1) (A^l" — 1), konvergiert also nach Null. Daher ist im Falle 0 < A < 1 lim [n (A!/" — 1)] = — g (1 ¡A). oo Die Funktion g (A) ist jetzt also für alle positiven Werte von A erklärt. Jeder positive Wert A Jsann in der Form 10" dargestellt werden, wobei a der Logarithmus von A ist, wie man ihn angenähert in den Logarithmentafeln findet (z. B. in den Tafeln von Schlömilcb). Setzt man A = 10", so wird n (A1!" — 1 )=n (IQ"'" — 1) = {n/a) (IQ«'" — 1) a. Der Faktor {n/a) ( 1 0 — ]) strebt, wie wir sehen werden, dem Grenzwert -00 1 1 1 ferner N (10-V+i — 1) = (N + 1) (1Qjv+ 1 — 1) — (10jv+i — 1) , also 1 m " i lim [N (1QJV+T —1)] =g (10). Daher wird auch lim — (10T — 1) =g (10) sein. n-^-oo L Ci J Damit ist folgendes Resultat gewonnen: g(A)=ag

(10) = g (10) log A ,

wobei log A den Logarithmus von A zur Basis 10 bezeichnet. Wenn man statt 10 eine andere Basis einführt, so kann man den Ausdruck g (A) so vereinfachen, daß er ein Logarithmus ohne jeden Faktor wird. Wir wollen die Basis, die diese Vereinfachung bewirkt, mit e bezeichnen. Setzt man 1 e = 10« (io) ,

so wird

e * ( 1 0 > A = 10

-l°tA=A.

Man sieht, daß g (10) log A der Logarithmus von A zur Basis e ist. Die Logarithmen zur Basis e werden natürliche Logarithmen genannt, e ist die Basis der natürlichen Logarithmen. Man pflegt den natürlichen Logarithmus von A mit InA zu bezeichnen (In = logarithmus naturalis). Wir wissen jetzt also, daß l i m [niA1'"

— 1)]

=lnA.

n—>00 Wenn h irgendeine Nullfolge h2, h3, . . . durchläuft (lim hn = 0) — es braucht nicht gerade die Folge 1, 1/2, 1/3, zu sein —, so ist ebenfalls lim \Ah —11 = lnA. h

Für den Fall positiver h„ kann man dies, wie oben bereits geschehen, mittels Einschließung von hn zwischen 1 j(N -f 1) und 1/N beweisen. Bei negativen h h j^h 1 A— 1 wird man schreiben = -—,—¡- . Dieser Wert unterscheidet sich ; h

— h A

| 3. Die Exponentialfunktion

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von (A~h — 1)/— h um [(A~h—1)/- h] • [{A—h-l)IA—h], also um weniger als \_(A—h—1)/— h] (A—h—1), weil A~h > 1 ist. Der erste Faktor konvergiert nach In A, der zweite nach Null. Damit ist bewiesen, daß (Ah — 1 )/h auch dem Grenzwert In A zustrebt, wenn h durch negative Werte nach Null konvergiert. Daß diese Limesbeziehung auch dann noch besteht, wenn h eine gemischte Nullfolge durchläuft, die sowohl positive als auch negative Glieder aufweist, ist leicht zu erkennen. Von der Zahl e wissen wir bis jetzt nur, daß sie den Wert 10« (io) hat, wobei g (10) = lim [n (101/" — 1)] ist. Wir wissen ferner, daß n (101/" — 1) absteigend jenem Grenzwert zustrebt. Die Größe n (10 1 '" — 1) , _ v ' = - L W n r - L = « ( 1 — lo-i/«) hat, wie wir ebenfalls wissen, denselben Grenzwert wie n (101'" — 1). Man kann sich überzeugen, daß vn diesem Grenzwert aufsteigend zustrebt. Um v„ mit _ i +1 zu vergleichen, setzen wir 10 » (»+1) = c„. Offenbar ist dann 0 < c„ < 1. Nun wird v„ = n (1 — c„" + = (1 — c„) (n + n cn + . . . + n cnn) » . + ! = (» + !) ( 1 — c,") = ( l — c„) ( » + l + ( w + l ) c „ - f . . . + ( t t + l K " - 1 ) , also vn + 1 — vn = (1 — c„) (1 + c„ + . . + c / - 1 + nc„"). Da c* kleiner ist als jedes der n Glieder 1, cn, . . c/^ 1 , so hat man tatsächlich V„+l > Vn . Nachdem wir dies festgestellt haben, können wir sagen, daß g (10) folgenden Ungleichungen genügt woraus sich ergibt:

Da

1 ^(lO1'"—1)

1 — g(10)