Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler: Einführung [14., vollst. überarb. Aufl. Reprint 2015] 9783486711066

Table of contents :
Vorwort
Kapitel 1: Grundlagen der Mengenlehre
1.1 Grundbegriffe
1.2 Mengenoperationen
1.3 Direkte Produkte von Mengen
1.4 Abbildungen von Mengen
1.5 Aufgaben
Kapitel 2: Reelle Zahlen, Ungleichungen und Beträge
2.1 Die natürlichen Zahlen
2.2 Die ganzen Zahlen
2.3 Die rationalen Zahlen
2.4 Die reellen Zahlen
2.5 Das Rechnen mit Ungleichungen und Beträgen
2.6 Aufgaben
Kapitel 3 : Finanzmathematik- arithmetische und geometrische Zahlenfolgen und ihre endlichen Reihen
3.1 Die arithmetische Folge und Reihe
1. Konstante absolute Produktionszunahme
2. Lineare Abschreibung
3. Zinsrechnung ohne Zinseszins
4. Rückzahlung einer Schuld mit festem Tilgungssatz und zusätzlich anfallenden Zinsen
3.2 Die geometrische Folge und ihre endliche Reihe
1. Konstanter relativer Produktionszuwachs
2. Geometrisch-degressive Abschreibung
3. Zinseszinsrechnung bei einmaliger Einzahlung
4. Zinseszinsrechnung bei mehrmaligen Einzahlungen
5. Tilgung einer Schuld in gleichen Jahresraten Rentenberechnung
6. Unterjährige Einzahlungen bei jährlicher Zinsgutschrift
7. Die unterjährige vorschüssige Rente
8. Die unterjährige nachschüssige Rente
3.3 Aufgaben
Kapitel 4: Allgemeine Zahlenfolgen und stetige Verzinsung
4.1 Konvergente Zahlenfolgen
4.2 (Unendliche) geometrische Reihen
4.3 Die Eulersche Zahl e-stetige Verzinsung-stetiges Wachstum
4.4 Irrationale Zahlen als Grenzwerte rationaler Zahlenfolgen
4.5 Rekursiv definierte Folgen und das Prinzip der vollständigen Induktion
4.6 Aufgaben
Kapitel 5 : Differenzialrechnung bei Funktionen einer Variablen
5.1 Darstellung von Funktionen einer Variablen
5.2 Stetige Funktionen
5.3 Die Ableitungen einer Funktion – Grenzkostenfunktion
5.3.1 Die erste Ableitung
5.3.2 Das Differenzial einer Funktion
5.3.3 Höhere Ableitungen
5.4 Kurvendiskussion
1. Definitionsbereich
2. Symmetrie
3. Nullstellen
4. Monotonie
5. Krümmung
6. Relative Extremwerte
7. Wendepunkte
8. Asymptoten
5.5 Der Mittelwertsatz der Differenzialrechnung
5.6 Exponentialfunktion, Logarithmus und Potenzfunktion
5.6.1 Die Exponentialfunktion
5.6.2 Der Logarithmus
5.6.3 Die Ableitung des natürlichen Logarithmus
5.6.4 Die Ableitung eines beliebigen Logarithmus
5.6.5 Die Ableitung der Exponentialfunktion
5.6.6 Die Ableitung einer beliebigen Potenzfunktion
5.7 Die trigonometrischen Funktionen
5.8 Die Elastizität und die logarithmische Ableitung
5.9 Die Taylorentwicklung
5.10 Unbestimmte Ausdrücke – die Regel von de l’Hospital
5.10.1 Unbestimmte Ausdrücke der Formen „0/0; ∞/∞; -∞/∞”
5.10.2 Unbestimmte Ausdrücke der Form „0 • (± ∞)”
5.10.3 Unbestimmte Ausdrücke der Form „∞ - ∞”
5.10.4 Unbestimmte Ausdrücke der Form „0°; 1∞; ∞°”
5.11 Aufgaben
Kapitel 6 : Integralrechnung bei Funktionen einer Variablen
6.1 Das bestimmte Integral
6.2 Die Integralfunktion
6.3 Die Stammfunktion und das unbestimmte Integral
6.4 Berechnung bestimmter Integrale mit Hilfe einer Stammfunktion
6.5 Spezielle Integrationsmethoden
6.5.1 Die Substitutionsmethode
6.5.2 Partielle Integration
6.6 Uneigentliche Integrale
6.6.1 Integrale über unbeschränkte Intervalle
6.6.2 Integrale über unbeschränkte Funktionen
6.7 Anwendungen der Integralrechnung
6.7.1 Bestimmung einer Funktion aus einer vorgegebenen Grenzfunktion
6.7.2 Bestimmung einer Funktion aus einer vorgegebenen Elastizität
6.7.3 Der Gesamtumsatz bei gestaffelten und stetigen Preissenkungen
6.7.4 Die Konsumentenrente
6.7.5 Die Produzentenrente
6.7.6 Kapitalwert eines Ertragsstromes
6.8 Aufgaben
Kapitel 7 : Funktionen von zwei Variablen
7.1 Stetige Funktionen
7.2 Partielle Ableitungen
7.3 Das totale Differenzial
7.4 Totale Differenziale höherer Ordnung – Taylorentwicklung
7.5 Die Kettenregel und die Ableitung impliziter Funktionen
7.6 Richtungsableitungen und Gradient
7.7 Homogene Funktionen
7.8 Extremwerte ohne Nebenbedingungen und Sattelpunkte
7.9 Extremwerte unter einer Nebenbedingung
7.9.1 Die Eliminationsmethode
7.9.2 Die Methode von Lagrange
7.10 Aufgaben
Kapitel 8: Funktionen von mehreren Variablen
Kapitel 9: Vektorrechnung
9.1 n-dimensionale Vektoren
9.2 Darstellung von Geraden und Ebenen im R3
9.3 Gleichung der Tangente an eine Fläche
9.4 Aufgaben
Kapitel 10: Matrizenrechnung
Kapitel 11: Lineare Gleichungssysteme
11.1 Lösungsmöglichkeiten eines linearen Gleichungssystems
11.2 Der Gaußsche Algorithmus
11.3 Lösung mit Hilfe der inversen Matrix
11.4 Aufgaben
Kapitel 12 : Lineare Ungleichungen und lineare Programmierung
12.1 Lineare Programmierung bei zwei Variablen
12.2 Lineare Programmierung bei mehr als zwei Variablen
12.3 Aufgaben
Anhang
1. Ableitungen häufig vorkommender Funktionen
2. Ableitungsregeln
3. Unbestimmte Integrale häufig vorkommender Funktionen
4. Integrationsregeln
Lösungen der Aufgaben
Sachwortverzeichnis

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Buchanzeige

Oldenbourg · Wirtschafts- und Sozialwissenschaften · Steuern -Recht Weitere sehr erfolgreiche Werke von Professor Dr. K. Bosch im Oldenbourg Verlag: Brückenkurs Mathematik Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler Einführung Übungs- und Arbeitsbuch Mathematik Bosch/Jensen Klausurtraining Mathematik Formelsammlung Mathematik Bosch/Jensen Großes Lehrbuch der Mathematik für Ökonomen Mathematik-Taschenbuch Mathematik-Lexikon Finanzmathematik Finanzmathematik für Banker Grundzüge der Statistik Statistik für Nichtstatistiker Großes Lehrbuch der Statistik Übungs- und Arbeitsbuch Statistik Statistik-Taschenbuch Lexikon der Statistik Klausurtraining Statistik Glücksspiele Lotto und andere Zufälle Statistik - Wahrheit und Lüge Oldenbourg · Wirtschafts- und Sozialwissenschaften · Steuern -Recht

Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler Einführung

Von

Dr. Karl Bosch Professor für angewandte Mathematik und Statistik an der Universität Stuttgart-Hohenheim

14., vollständig überarbeitete Auflage

R. Oldenbourg Verlag München Wien

Bibliografische Information D e r Deutschen Bibliothek Die Deutsche Bibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über abrufbar.

© 2 0 0 3 Oldenbourg Wissenschaftsverlag G m b H Rosenheimer Straße 145, D-81671 München Telefon: (089) 45051-0 www.oldenbourg-verlag.de Das Werk außerhalb lässig und filmungen

einschließlich aller Abbildungen ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung der Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlages unzustrafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverund die Einspeicherung und Bearbeitung in elektronischen Systemen.

Gedruckt auf säure- und chlorfreiem Papier Druck: R. Oldenbourg Graphische Betriebe Druckerei GmbH ISBN 3-486-27309-4

Inhaltsverzeichnis Vorwort Kapitel 1 : 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5

3.2

3.3

1 3 6 8 10

Reelle Zahlen, Ungleichungen und Beträge

Die natürlichen Zahlen Die ganzen Zahlen Die rationalen Zahlen Die reellen Zahlen Das Rechnen mit Ungleichungen und Beträgen Aufgaben

Kapitel 3 :

3.1

Grundlagen der Mengenlehre

Grundbegriffe Mengenoperationen Direkte Produkte von Mengen Abbildungen von Mengen Aufgaben

Kapitel 2 : 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6

IX

12 12 13 14 15 18

Finanzmathematik- arithmetische und geometrische Zahlenfolgen und ihre endlichen Reihen

Die arithmetische Folge und Reihe 1. Konstante absolute Produktionszunahme 2. Lineare Abschreibung 3. Zinsrechnung ohne Zinseszins 4. Rückzahlung einer Schuld mit festem Tilgungssatz und zusätzlich anfallenden Zinsen Die geometrische Folge und ihre endliche Reihe 1. Konstanter relativer Produktionszuwachs 2. Geometrisch-degressive Abschreibung 3. Zinseszinsrechnung bei einmaliger Einzahlung 4. Zinseszinsrechnung bei mehrmaligen Einzahlungen . . . 5. Tilgung einer Schuld in gleichen Jahresraten Rentenberechnung 6. Unterjährige Einzahlungen bei jährlicher Zinsgutschrift . 7. Die unterjährige vorschüssige Rente 8. Die unterjährige nachschüssige Rente Aufgaben

19 19 19 19 21 22 22 23 24 26 28 30 32 33 34

VI

Inhaltsverzeichnis

Kapitel 4 : 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6

Konvergente Zahlenfolgen (Unendliche) geometrische Reihen Die Eulersche Zahl e - stetige Verzinsung-stetiges Wachstum Irrationale Zahlen als Grenzwerte rationaler Zahlenfolgen . Rekursiv definierte Folgen und das Prinzip der vollständigen Induktion Aufgaben

Kapitel 5 : 5.1 5.2 5.3 5.3.1 5.3.2 5.3.3 5.4

5.5 5.6 5.6.1 5.6.2 5.6.3 5.6.4 5.6.5 5.6.6 5.7 5.8 5.9 5.10 5.10.1 5.10.2 5.10.3 5.10.4 5.11

Allgemeine Zahlenfolgen und stetige Verzinsung 37 41 42 44 45 49

Differenzialrechnung bei Funktionen einer Variablen

Darstellung von Funktionen einer Variablen Stetige Funktionen Die Ableitungen einer Funktion - Grenzkostenfunktion . . Die erste Ableitung Das Differenzial einer Funktion Höhere Ableitungen Kurvendiskussion 1. Definitionsbereich 2. Symmetrie 3. Nullstellen 4. Monotonie 5. Krümmung 6. Relative Extremwerte 7. Wendepunkte 8. Asymptoten Der Mittelwertsatz der Differenzialrechnung Exponentialfunktion, Logarithmus und Potenzfunktion. . . Die Exponentialfunktion Der Logarithmus Die Ableitung des natürlichen Logarithmus Die Ableitung eines beliebigen Logarithmus Die Ableitung der Exponentialfunktion Die Ableitung einer beliebigen Potenzfunktion Die trigonometrischen Funktionen Die Elastizität und die logarithmische Ableitung Die Taylorentwicklung Unbestimmte Ausdrücke - die Regel von de l'Hospital . . Unbestimmte Ausdrücke der Formen . . 0 / 0 ; oo/oo; — oo/oo" Unbestimmte Ausdrücke der Form „ 0 · ( ± oo) " Unbestimmte Ausdrücke der Form »oo — oo" Unbestimmte Ausdrücke der Form „ 0° ; 1°° ; oo° " . . . . Aufgaben

51 53 58 58 65 67 67 68 68 68 68 68 68 69 69 73 73 73 75 77 78 78 79 79 81 86 91 91 93 94 95 96

Inhaltsverzeichnis

Kapitel 6 : 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.5.1 6.5.2 6.6 6.6.1 6.6.2 6.7 6.7.1 6.7.2 6.7.3 6.7.4 6.7.5 6.7.6 6.8

Integralrechnung bei Funktionen einer Variablen

Das bestimmte Integral 101 Die Integralfunktion 106 Die Stammfunktion und das unbestimmte Integral . . . . 107 Berechnung bestimmter Integrale mit Hilfe einer Stammfunktion 108 Spezielle Integrationsmethoden 109 Die Substitutionsmethode 109 Partielle Integration 110 Uneigentliche Integrale 111 Integrale über unbeschränkte Intervalle 111 Integrale über unbeschränkte Funktionen 113 Anwendungen der Integralrechnung 114 Bestimmung einer Funktion aus einer vorgegebenen Grenzfunktion 114 Bestimmung einer Funktion aus einer vorgegebenen Elastizität 114 Der Gesamtumsatz bei gestaffelten und stetigen Preissenkungenll6 Die Konsumentenrente 118 Die Produzentenrente 119 Kapitalwert eines Ertragsstromes 120 Aufgaben 121

Kapitel 7 : 7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6 7.7 7.8 7.9 7.9.1 7.9.2 7.10

Funktionen von zwei Variablen

Stetige Funktionen Partielle Ableitungen Das totale Differenzial Totale Differenziale höherer Ordnung - Taylorentwicklung Die Kettenregel und die Ableitung impliziter Funktionen . Richtungsableitungen und Gradient Homogene Funktionen Extremwerte ohne Nebenbedingungen und Sattelpunkte . Extremwerte unter einer Nebenbedingung Die Eliminationsmethode Die Methode von Lagrange Aufgaben

Kapitel 8:

Funktionen von mehreren Variablen

Kapitel 9:

Vektorrechnung

9.1 9.2 9.3 9.4

VII

n-dimensionale Vektoren Darstellung von Geraden und Ebenen im R 3 Gleichung der Tangente an eine Fläche Aufgaben

. . . .

. .

.

124 129 132 134 135 136 139 144 142 143 144 146

150 155 155 161 163 164

VIII

Inhaltsverzeichnis

Kapitel 10: Matrizenrechnung

166

Kapitel 11 : Lineare Gleichungssysteme 11.1 11.2 11.3 11.4

Lösungsmöglichkeiten eines linearen Gleichungssystems Der Gaußsche Algorithmus Lösung mit Hilfe der inversen Matrix Aufgaben

.

.

Lineare Programmierung bei zwei Variablen Lineare Programmierung bei mehr als zwei Variablen . . Aufgaben

.

175 177 181 184

Kapitel 12 : Lineare Ungleichungen und lineare Programmierung 12.1 12.2 12.3

188 193 194

Anhang 1. 2. 3. 4.

Ableitungen häufig vorkommender Funktionen Ableitungsregeln Unbestimmte Integrale häufig vorkommender Funktionen Integrationsregeln

.

198 198 199 199

Lösungen der Aufgaben

200

Sachwortverzeichnis

214

Vorwort zur vierzehnten Auflage Die vierzehnte Auflage wurde vollständig überarbeitet. Neben der Umstellung von DM auf Euro wurde auch die neue Rechtschreibung weitgehend berücksichtigt. Neu aufgenommen wurden unter anderem die Gebiete: nachschüssige unterjährige Rentenzahlungen, divergente Zahlenfolgen, Asymptoten sowie die Gleichung der Tangente an eine Fläche in eine beliebige Richtung. Wie in den vorangegangenen Neuauflagen wurden Fehler im Text beseitigt. Allen Personen, die mich auf Fehler aufmerksam gemacht haben, möchte ich recht herzlich danken. Inzwischen sind ebenfalls im Oldenbourg-Verlag folgende von mir verfasste Bücher erschienen: Übungs- und Arbeitsbuch — Mathematik für Ökonomen; 7. Auflage 2002. Brückenkurs Mathematik; 11. Auflage 2002. Finanzmathematik; 6. Auflage 2002. Finanzmathematik für Banker, 2001. Mathematik-Taschenbuch; 5. Auflage 1998. Lexikon der Mathematik, 1998. Zusammen mit U. Jensen: Klausurtraining: Mathematik für Ökonomen; 3. Auflage 2001. Großes Lehrbuch Mathematik für Ökonomen; 1. Auflage 1994. Karl Bosch

Vorwort zur zehnten Auflage Die zehnte Auflage dieses Buches wurde in einer leserfreundlicheren Textverarbeitung dargestellt. Bei dieser Gelegenheit wurde eine gründliche Überarbeitung der früheren Auflagen vorgenommen. Die Grundkonzeption blieb im wesentlichen unverändert. Neu hinzugekommen sind in Abschnitt 3.2.7 unterjährige Einzahlungen, in Abschnitt 7.6 die Richtungsableitung und in Abschnitt 6.7.2 die Bestimmung einer Funktion aus einer vorgegebenen Elastizität sowie die Mittelwertsätze der Differenzialrechnung (Abschnitt 5.5) und der Integralrechnung (Satz 1 in Abschnitt 6.1). Ferner wurde der Abschnitt 5.10 über unbestimmte Ausdrücke etwas erweitert. Zusätzlich wurden noch ein paar neue Aufgaben aufgenommen. Für die sorgfältige Durchsicht des Manuskripts bedanke ich mich bei den Mitarbeitern Herrn Dipl. math. oec. D. Reepschläger, Herrn Dipl. math. T. Severin und Herrn Diplom-Betriebswirt (BA) C. Frank. Ein weiterer Dank gilt Frau R. Schulze für die schreibtechnische Unterstützung. Mein besonderer Dank gilt auch dem Oldenbourg Verlag, insbesondere Herrn Diplom-Volkswirt M. Weigert für die gute Zusammenarbeit. Karl Bosch

Vorwort zur ersten Auflage Das vorliegende Buch ist aus Vorlesungen entstanden, die der Autor wiederholt für Studierende der Wirtschafte- und Haushaltswissenschaften an der Universität Hohenheim abgehalten hat. In diesem Einführungsband sollen die Studierenden mit den mathematischen Grundlagen vertraut gemacht werden, die sie während ihres Studiums benötigen. Ziel des Autors ist es, die meisten Begriffe über motivierende Beispiele einzuführen, um so zum besseren Verständnis beizutragen. Auf übertriebenen Formalismus und unnötigen Ballast wird verzichtet, so dass der ausgewählte Stoff in einer zweisemestrigen Vorlesung auch tatsächlich behandelt werden kann. Jedes Kapitel schließt mit einem Aufgabenteil, zur Kontrolle sind die Lösungen der Aufgaben im Anhang angegeben. Den Herren Akademischer Rat Dr. U. Jensen, Prof. Dr. W. Piesch und Diplom-Volkswirt M. Wewel danke ich für wertvolle Ratschläge, die sie mir nach dem Durchlesen des Manuskripts gaben. Für das sorgfältige Schreiben der Druckvorlagen bedanke ich mich bei Frau S. Reichelt und Frau J. Widenhorn. Karl Bosch

Kapitel 1 Grundlagen der Mengenlehre In diesem Kapitel sollen die wichtigsten Grundlagen der Mengenlehre zusammengestellt werden. Mit Hilfe dieser "naiven" Mengenlehre wird es in den nachfolgenden Abschnitten möglich sein, umfangreiche und komplizierte Sachverhalte kompakt und somit übersichtlich darzustellen.

1.1 Grundbegriffe Definition 1 (Menge nach Cantor): Eine Menge ist eine Zusammenfassung bestimmter wohlunterscheidbarer Objekte (Elemente). Bezeichnungen: Wir bezeichnen Mengen mit großen lateinischen Buchstaben, z.B. A, B, C, D,..., Y, Z, A j , A 2 , A 3 , — Die Elemente, aus denen die Mengen zusammengesetzt sind, werden mit kleinen lateinischen Buchstaben bezeichnet. Von jedem Element χ muss feststehen, ob es zu einer Menge M gehört oder nicht. Man schreibt dafür χ 6 M, falls χ Element von M, also in M enthalten ist; χ £ M, falls χ nicht in M enthalten ist. Mengen können ζ. B. verbal beschrieben werden. Beispiel 1: A = Menge der Hörer, die an der ersten Vorlesungsstunde zur Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler teilnehmen oder Β = Menge der Arbeitslosen am 1.1.1995 in einem bestimmten Land (Beschreibung). Anstelle dieser Beschreibung könnte man auch alle Elemente einer Menge aufzählen und durch zwei geschweifte Klammern verbinden. Dazu das Beispiel 2: a) Die Menge der Augenzahlen eines Würfels A = {1,2,3,4,5,6}. b) Die Menge aller durch 3 oder 5 teilbaren natürlichen Zahlen Β = {3,5,6,9,10,12,15,18,20,21,24,25,...}. Für die durch diese Eigenschaft der zugehörigen Elemente beschriebenen Menge Β schreibt man auch Β = {χ Iχ ist eine natürliche Zahl, die den Teiler 3 oder 5 hat}.

2

Kap. 1: Grundlagen der Mengenlehre

Beispiel 3: G sei die Menge aller Hörer/innen, die am Tag der ersten Vorlesung anwesend sind und an diesem Tag Geburtstag haben. Falls es solche Hörer gibt, können sie aufgezählt werden. Gibt es keine Hörer/innen mit dieser Eigenschaft, so ist G trotzdem eine Menge, die allerdings kein Element enthält. Man nennt sie die leere Menge.

Definition 2: a) Die Grundmenge Ω enthält alle betrachteten Elemente. b) Eine Menge, die kein Element enthält, heißt die leere Menge und wird mit 0 bezeichnet. c) Zwei Mengen heißen gleich, wenn sie dieselben Elemente enthalten. d) A heißt Teilmenge von B, im Zeichen A C B, wenn alle Elemente von A auch in Β enthalten sind. Beispiel 4: A = {1,2,3}; Β = {1,2,3,5}; C = {2,3,5}. Hier gilt A C B, C C B. A C C ist falsch, wir schreiben dafür A £ C. Entsprechend gilt Β (f. A, B x i = x 2 · Bei eineindeutigen Abbildungen geht von jedem χ g X genau ein Zuordnungspfeil aus. Damit ein Rückschluss (Umkehrabbildungen) möglich ist, muss neben der Eineindeutigkeit jedes y € Y als Bild auftreten, es muss sich also u m eine eineindeutige Abbildung von X auf Y handeln. Definition 10: Es sei f eine eineindeutige Abbildung von X auf Y (bijektiv). Dann heißt die durch x = f - 1 ( y ) O y = f(x) definierte Abbildung von Y auf X die Umkehrabbildung oder Inverse von f:

Kap. 1: Grundlagen der Mengenlehre

10 f

Abbildung

χ f

y - 1

Umkehrabbildung

Beispiel 15: X = {..., — 2, — 1, 0, 1, 2,...}

(Menge der ganzen Zahlen)

Y = {0, 1, 4, 9, 16,...}

(Menge der Quadratzahlen).

Durch f(x) = χ 2 wird X auf Y abgebildet, f stellt aber auch eine Abbildung von X in X dar. Da jedes Element y e Y mit y φ 0 die beiden Urbilder + ^"y" und — besitzt, ist keine Umkehrabbildung möglich. Wählt man jedoch X = {0,1,2,3,...}, so ist f eine eineindeutige Abbildung von X auf Y. In diesem Fall lautet die Inverse f _ 1 ( y ) = + -J~y~· Geht man von den nichtpositiven ganzen Zahlen X = {0, — 1, — 2, — 3,...} aus, so ist f ebenfalls eine eineindeutige Abbildung mit der durch f-1(y)= — bestimmten Umkehrabbildung. Definition 10: Wird ein Bildelement y = f(x) durch eine zweite Abbildung g auf das Element ζ = g(y) abgebildet, so handelt es sich um ein Hintereinanderschalten oder um eine Zusammensetzung (Verkettung) zweier Abbildungen, die folgendermaßen veranschaulicht werden kann: χ

• y = f(x)

S

> z = g(y) = g ( f ( x ) ) = h(x).

Dabei muss y = f(x) in der Urbildmenge der Abbildung g liegen. Durch diese Hintereinanderschaltung wird das Element χ auf das Element ζ abgebildet durch die Abbildungsvorschrift z = g(y)=g(f(x)) = h(x). h heißt die durch f und g zusammengesetzte Abbildung. Für die Inverse f

- 1

f-1(f(x))=x;

einer Abbildung f gilt allgemein f(f_1(y)) = y

für alle Elemente χ aus der Urbildmenge und y aus der Bildmenge.

1.5 Aufgaben 1. Gegeben seien die Mengen A = {1,4,9}, Β = {3,4,5}, C = { 2 , 4 , 6 , 8 } , D = {1,3,5,7,9}. Berechnen Sie A U Β, Α Π Β, B\C, Α Π (Β U C). Wie muss die Grundmenge Ω lauten, damit A U B U C U D = 0 gilt? Bestätigen Sie die De Morganschen Regeln AUB = ÄflB ; AHB = ÄUB .

11

1.5 Aufgaben 2. Bei einer Meinungsumfrage wurden 55 Frauen und 45 Männer befragt. 65 dieser befragten Personen sind Raucher, darunter 35 Frauen. Wie viele der befragten Männer sind Nichtraucher?

3. Gegeben sind die Mengen A (Rechteck), Β (Kreis), C (Ellipse). Schraffieren Sie diejenigen Punkte, die a) in allen drei, b) in genau zwei, c) in genau einer der Mengen liegen. Stellen Sie A U Β U C als Vereinigung paarweise disjunk ter Mengen dar. 4. Bei einer Stellenausschreibung werden Kenntnisse in mindestens einer der Sprachen Englisch, Französisch oder Italienisch verlangt. Von insgesamt 90 Bewerbern können 30 nur Englisch, 17 nur Französisch und 9 nur Italienisch. 29 Personen beherrschen genau 2 Sprachen. Wie viele Bewerber können alle drei Sprachen? Wie viele Bewerber können nur Französisch und Italienisch, falls 58 der Bewerber Englisch können? 5. Gegeben sind die Mengen A = {a, b, c} und Β = {1,2}. a) Bestimmen Sie das direkte Produkt Α χ Β. b) Wie viele Elemente enthält das direkte Produkt AxBxBxAxBxB? Geben Sie ein Element aus dieser Menge an. 6. Es sei X = { 1 , - 2 , 3 , - 4 , 5}. a) Wie lautet die Bildmenge bei der durch f(x) = x 2 definierten Abbildung? b) Gibt es eine Umkehrabbildung? 7. Für die Elemente der Urbildmenge X = { — 2, — 1, 0, 1 , 2 } werden folgende Abbildungen hintereinander durchgeführt: y = f(x) = χ 3

ζ = g(y) = (y - 3) 2 .

a) Wie lautet die zusammengesetzte Abbildung ζ = h(x)? b) Bestimmen Sie die Menge Ζ so, dass h eine Abbildung von X auf Ζ ist. Welche Eigenschaften hat die Abbildung h? c) Lösen Sie die Aufgabe für den Fall f(x) = χ 3 und g(y) = y 2 . 8. Wie lauten alle im nebenstehenden Diagramm dargestellten Teilmengen?

ι

Kapitel 2 Reelle Zahlen, Ungleichungen und Beträge 2.1 Die natürlichen Zahlen Bereits im Kindergarten und in den ersten Klassen der Grundschule benutzt man zum Zählen die natürlichen Zahlen 1,2,3,... . Die Menge dieser Zahlen N = {1,2,3,4,...} heißt die Menge der natürlichen Zahlen. Um anzudeuten, dass es sich dabei um eine Zahlenmenge handelt, wird an das Mengensymbol Ν der doppelte Strich angebracht. Die Menge der natürlichen Zahlen besitzt die folgenden charakteristischen Eigenschaften: 1. Jede natürliche Zahl η € Ν hat genau einen Nachfolger, nämlich η + 1. 2. Jede von 1 verschiedene natürliche Zahl η hat genau einen Vorgänger η — 1. Die Zahl 1 besitzt keinen Vorgänger. In Ν können unbeschränkt die Addition und die Multiplikation durchgeführt werden, wobei das Ergebnis wieder eine natürliche Zahl ist, d. h. aus nj, n 2 e N folgt nj+n2eN

und

η1·η2€Ν.

Daher nennt man die Menge Ν abgeschlossen gegenüber den Rechenoperationen + und · .

2.2 Die ganzen Zahlen In der Menge der natürlichen Zahlen ist die Subtraktion nicht immer durchführbar. So gibt es ζ. B. keine natürliche Zahl x, welche die Gleichung 5 + χ = 2 erfüllt. Daher wird Ν zur Menge der ganzen Zahlen Z = { . . . , - 2 , - 1 , 0, 1 , 2 , 3 , . . . } erweitert, die abgeschlossen ist gegenüber den Rechenoperationen + , · , — .

2.3 Die rationalen Zahlen

13

2.3 Die rationalen Zahlen Zur Durchführung der Division (außer durch b = 0) muss Ζ erweitert werden zur Menge der rationalen Zahlen (Brüche) Q = |||a, b e Z

mitb^oj.

Eine Division durch 0 ist nicht möglich, da sonst ζ. B. aus 0 - 1 = 0 - 2 die Eigenschaft 1 = 2 folgen müsste. Die Rechenoperationen aus Ζ werden auf Q übertragen durch i l k= r ^ a l ' 2 = 1 ' a2 ; D1 2 a l a2 aa ftj * b j 4" 3-2 * b l " a2 bl

b2

—

b

rb2

'

bl

b2

bX

* b2

Durch ζ = γ wird Ζ in Q eingebettet. Damit gilt NcZcQRationale Zahlen lassen sich als periodische Dezimal zahlen darstellen. Folgendes Beispiel soll dies veranschaulichen: 6

55.

:

11 = 0,545454...

= 0,54.

50 41 6 Für r < η bleiben in jj bei der Durchführung der Division Reste, die kleiner als η sind. Daher muss spätestens beim n-ten Schritt ein Rest auftreten, der bereits einmal vorkam. Spätestens beim n-ten Schritt muss somit die Periode neu beginnen. Umgekehrt stellt jede periodische Dezimalzahl eine rationale Zahl dar. Dazu das Beispiel 1: für χ = 0,1325 erhält man χ = 100 x =

0,132525... 13,252525...

1312 »9 59*xx-- 10, Li

=>

}xX -- l M g9 l

-_

91312 900

-_

2328 475

Ein nichtperiodischer unendlicher Dezimalbruch kann somit keine rationale Zahl darstellen.

14

Kap. 2: Reelle Zahlen, Ungleichungen und Beträge

2.4 Die reellen Zahlen Auf dem Zahlenstrahl gibt es unendlich viele Zahlen, die nicht rational, also irrational sind. So ist ζ. B. die Zahl mit Zirkel und Lineal konstruierbar.

ο ι vT Zum Nachweis dafür, dass >J2 irrational ist, benutzen wir den sogenannten Widerspruchsbeweis mit der indirekten Beweismethode. Dazu nehmen wir an, >Í2 sei rational. Dann gibt es natürliche Zahlen ρ und q mit λ[2 = ^ . ρ und q seien dabei so gewählt, dass kein Kürzen mehr möglich ist; ρ und q müssen also teilerfremd sein. Dann gilt 2 = 4q 2

=>

P2 = 2 q 2 ·

Damit ist die Zahl p 2 und somit ρ gerade, d. h. es gibt eine natürliche Zahl r mit p = 2r. Hieraus folgt p 2 = 4 r 2 = 2q 2 und q 2 = 2r 2 , d.h. q 2 und somit q sind auch gerade. Beide Zahlen ρ und q haben dann den Teiler 2 im Widerspruch zur vorausgesetzten Teilerfremdheit. Somit muss die Annahme falsch sein, d. h. ist irrational. Als irrationale Zahl kann λ[2 keine periodische Dezimalbruchentwicklung besitzen. Trotzdem kann die Zahl λ[2 durch fortgesetzte Intervallschachtelung auf beliebig viele Stellen genau angegeben werden, ζ. B. λ|2 = 1,41421356237... . Eine weitere irrationale Zahl ist die Zahl π, die als Umfang eines Kreises mit dem Durchmesser 1 definiert werden kann. Durch Abrollen eines solchen Kreises auf der Zahlengeraden lässt sich it konstruieren. Bei den Zahlenfolgen (Abschnitt 4.4) werden wir auf dieses Approximationsproblem nochmals eingehen. Die Menge aller Zahlen auf der Zahlengeraden nennt man reelle Zahlen und bezeichnet sie mit R. Damit haben wir folgende Erweiterung durchgeführt NcZcQcR. Das direkte Produkt R χ R stellt die relie Zahlenebene dar. Dafür schreiben wir R 2 = R χ R. Entsprechend ist R 3 = R χ R χ R der dreidimensionale reelle Zahlenraum.

2.5 Das Rechnen mit Ungleichungen und Beträgen

15

2.5 Das Rechnen mit Ungleichungen und Beträgen Für zwei beliebige reelle Zahlen a, b gilt stets eine der Beziehungen a < b (a kleiner als b), falls a links von b liegt;

I a

a = b (a gleich b), falls beide Zahlen zusammenfallen;

a > b (a größer b), falls a rechts von b liegt.

D I a = b

¡¡" D

l· cl

Dabei gelten folgende Eigenschaften: a < b => a + c




b · c

für alle c < 0.

a > 0, b > 0 =>· a- b > 0 ; a < 0, b < 0 =>• a- b > 0 ; a < 0, b > 0 oder a > 0, b < 0

a-b < 0

Die Bezeichnung a < b (a kleiner gleich b) besagt, dass a entweder kleiner oder gleich b, also nicht größer als b ist. Beschränkte Intervalle bestehen aus allen reellen Zahlen, die zwischen zwei vorgegebenen Grenzen liegen. Dabei können die Randpunkte dazugenommen (abgeschlossen) oder weggelassen (offen) werden. Dafür werden die nachfolgenden Bezeichnungen benutzt: [a;b] = { x | a < x < b }

abgeschlossenes Intervall;

( a ; b ) = {x| a < x < b }

offenes Intervall;

[ a ; b ) = {χ I a < χ < b}

halboffenes Intervall;

( a ; b ] = {x| a < χ < b}

halboffenes Intervall.

Daneben betrachten wir noch die unbeschränkten Intervalle: [ a ; + o o ) = { x | x > a} ;

(a;+oo) = {x|x>a};

(—oo;b]={x|x 0 , d.h. x > - 1 ;

=> x < i x + i

x < 1;

Lösungsmenge Lj = ( — 1 ; 1 ] . 2. Fall:

χ + 1 < 0, d.h. χ < - 1 ;

=> x > i x + i = > x > l

=>• keine Lösung.

Damit lautet die Gesamtlösung L = ( — 1 ; 1 ] . Unter dem Betrag | a | einer Zahl a versteht man den Abstand dieser Zahl vom Nullpunkt auf der Zahlengeraden.

b

0

a

Da Abstände nicht negativ sind, gilt Ii |a|

_ r

a, falls a > 0, — a, falls a < 0.

Für den Betrag gelten folgende Eigenschaften: | - a | = |a|; |a-b|=|a|·|b|; -|a| < a < + I a I ; |a + b| < I a I + I b I

(Dreiecksungleichung).

Der Betrag | χ — XQ | stellt den Abstand des Punktes χ vom Punkt x 0 dar. Alle Zahlen, welche die Ungleichung I χ - x01 < d erfüllen, dürfen vom Punkt x 0 höchstens d Einheiten entfernt sein. Die Lösungsmenge L dieser Ungleichung ist daher ein abgeschlossenes Intervall mit dem Mittelpunkt XQ und der Länge 2 d, also L = [ x 0 - d ; x 0 + d].

" H ^

+

2.5 Das Rechnen mit Ungleichungen und Beträgen

17

Unter einer ε-Umgebung des Punktes x 0 versteht man das offene Intervall (xq - ε ; x 0 + e) = { χ | x 0 - ε < χ < x 0 + ε } . Beim Rechnen mit Beträgen sind zur Beseitigung der Betragszeichen im allgemeinen Fallunterscheidungen notwendig. So gilt ζ. B. χ — 2 für χ — 2 > 0 ; — χ + 2 für χ — 2 < 0 . Beispiel 3: Ein Unternehmen hat beschlossen, dass der Preis χ für eine Ware von 96 EUR um höchstens 20 % dieses Preises χ abweichen darf. Für χ muss also gelten | χ — 961 < 0,2 x. 1. Fall: => 2. Fall: =>·

χ - 96 > 0 ,

d. h. χ > 96

χ —96 < 0 , 2 x ; 0 , 8 x < 9 6 χ - 96 < 0 ,

=• χ < 120 =>• L j = [96; 120].

d. h. χ < 96

I χ - 961 = - (χ - 96) = - χ + 96 < 0,2 χ =• - 1,2 χ < - 96 => χ > 80 => L 2 = [80; 9 6 ) .

Lösungsmenge L = L j U L 2 = [80 ; 120]. Die untere Preisgrenze ist also 80 EUR, die obere 120 EUR. Beispiel 4 (quadratische Ungleichungen): a) Gesucht sind alle Lösungen der quadratischen Ungleichung χ 2 — 6 x — 16 > 0. Mit Hilfe der quadratischen Ergänzung erhält man χ 2 — 6 x > 16 ( x - 3 ) 2 > 16 + 9 = 25 Iχ —3 I >5

(beim Wurzelziehen den Betrag nicht vergessen!).

Alle Punkte χ der Lösung der quadratischen Ungleichung müssen von XQ = 3 mindestens den Abstand 5 haben. Damit lautet die Lösungsmenge L = (-oo;-2]u[8;+oo). b) Die quadratische Ungleichung χ 2 — lOx + 30 < 0 besitzt wegen χ 2 — 10 χ + 30 < 0

(x - 5) 2 < — 30 + 25 = — 5

keine Lösung, also L = 0, da Quadrate reeller Zahlen nicht negativ sein können.

Kap. 2: Reelle Zahlen, Ungleichungen und Beträge

18

2.6 Aufgaben 1. Gegeben sind die Intervalle A = [ 0 ; 1] und Β =

;2].

Bestimmen Sie A U Β, Α Π Β, A \ B , B \ A , Α χ Β, (Α χ Β) Π (Ν χ Ν). 2. Eine nicht mehr ganz junge Schauspielerin wurde nach ihrem Alter gefragt. Sie antwortete ausweichend: "Ein Fünftel meines Lebensalters weicht von der Zahl Fünf um nicht mehr als 5 Jahre a b " . Wie alt war die Schauspielerin höchstens? 3. Es sei A = [0 ; 1 ] und Β = { 1 , 2 } . Skizzieren Sie in der Ebene die Mengen Α χ Α, Α χ Β, Β χ Α. Bestimmen Sie ferner (Α χ Β) Π (Β χ Α). 4. Durch folgende Zuordnungsvorschriften soll R in R abgebildet werden: f1(x) = | x | ;

f2(x) = ( x - l ) 2 ;

f 3 (x) = x 3 .

Um welche Arten von Abbildungen handelt es sich? 5. Für welche χ e R gilt 2 | χ | < | χ - 11 ? 6. Für welche χ e R gilt | x - l | +

| l - x | < l + x ?

7. Gegeben sind die Mengen A = {xeR|l

i-1 x —, also

lim qn = n—»oon

4.1 Konvergente Zahlenfolgen

39

Die Berechnung eines Grenzwertes auf direktem Weg ist im allgemeinen kaum möglich. Daher sind zum praktischen Rechnen mit Grenzwerten die Ergebnisse des folgenden Satzes sehr nützlich, der ohne Beweis angegeben werden soll. Satz 2 (das Rechnen mit Grenzwerten): Es sei lim a„ = a und lim b„ = b. n—»oo n n—»oo n Dann gelten folgende Eigenschaften: 1. n—»oo lim Vn ± b „n/ ) = n—»oo lim a_" ± 2. Jlirn^ (c · a =

c · JLim^ a n = c · a

3. n—»oo lim (a„ = n—»oo lim Vn · b„) nJ a_ 4. n—»oo lim ^ h

=

lim b_ n = n—»oo

nlim a„

,r°°ub_ lim

n

a ± b ';

für jedes c e R ;

· n—»oo lim b„ » = a · b' ;

= Γb ,

falls b φ' 0, b nn φ' 0 für alle n.

Beispiel 3 (praktisches Rechnen mit Grenzwerten): 5 n 3 -f 4 n 2 + 5 29!n η 3 -l-Sn + 8η

n3 8^ n¿ Zähler und Nenner wurden dabei durch die höchste Potenz n 3 dividiert. =

^

=

5 + n + 2o + j

Nach Beispiel 2 und wiederholter Anwendung der in Satz 2 angegebenen Eigenschaften erhält man lim 5 + 4 · lim A + 5 · lim n->oo η n-»oo n 3

_ Ä

l

n—>0 °

i

m n—>00 2 + 8· n—»oo lim Λ

_

„ 5+ Q+ Q _ 5

~

2 +

0

Beispiel 4: Gesucht ist im Falle der Existenz der Grenzwert der Folge a n = λ|ΪΓ+Τ -

{ñ~, η = 1 , 2 , . . . .

Erweiterung mit ^n + 1 + >[n~ ergibt „ _ (>(ΪΓ+Γ->ΠΓ)·(>ίΗΤΓ+>ΓΐΓ) U < a„ = , r= n ^ T T T + λΠΓ =

(n + 1) — η ^ Ϊ Γ + Τ + λΓΪΓ ~ 2 · 4 η "

Daraus folgt °

lim a„η = 0 . n—»00

>0

für η—»oo.

Kap. 4: Allgemeine Zahlenfolgen und stetige Verzinsung

40

Definition 2: Eine nicht konvergente Zahlenfolge (a n ), η € Ν heißt divergent. Falls zu jeder noch so großen Zahl Κ > 0 ein Index n 0 = n 0 ( K ) existiert mit a^ > Κ für alle η > n 0 , heißt die Folge (a^) bestimmt divergent gegen + oo. Dafür schreibt man lim ^ = + oo. n—too Existiert zu jeder noch so großen Zahl Κ > 0 ein Index n 0 = n 0 ( K ) mit a n < — Κ für alle η > n 0 , so heißt die Folge (a n ) bestimmt divergent gegen — oo. Dafür schreibt man lim a n = — oo. n—»oo Eine divergente Folge, die nicht bestimmt divergent ist, nennt man unbestimmt divergent. Beispiel 5: a)

lim 2 n = + oo ; n—»oo

b) a n = ( — l ) n

lim ( — n k ) = — oo (k > 0) n—»oo

(bestimmt divergent) ;

für η = 1 , 2 , . . . ist unbestimmt divergent.

Beispiel 6: Ein Kapital Κ wird jährlich mit p % verzinst. Zum Jahresende wird jeweils a % von dem verzinsten Kapital abgehoben. Dann gilt Kontostand nach 1 Jahr

Kj = Κ

Kontostand nach 2 Jahren

K 2 = K j · ^1 + yjjQ ) ( ^ — 1ÏÏÔ

Kontostand nach η Jahren A u s

0

+

T Ü ö ) - ( 1 ~m)

—

ïffô)

«•((»+&)•(»-*)}

K n = Κ • ^ 1 + y^Q^ ( ^ — T Ü ö ) )
4 .

5.4 Kurvendiskussion Zur graphischen Darstellung einer Funktion ist es nicht sinnvoll, mit Hilfe einer Wertetabelle sehr viele Punkte zu zeichnen. Man sollte sich eher auf wenige typische Punkte beschränken und zusätzlich Eigenschaften über den Kurvenverlauf für die Zeichnung ausnutzen. Derartige Untersuchungen werden in der sogenannten Kurvendiskussion gemacht. Einige dieser typischen Eigenschaften sollen kurz zusammengestellt werden. Dazu setzen wir voraus, dass f genügend viele Ableitungen besitzt.

68

Kap. 5: Differenzialrechnung bei Funktionen einer Variablen

1. Definitionsbereich: D =

{ x e R I f ( x ) ist definiert}.

2. Symmetrie: f heißt ungerade (Punktsymmetrie zum Koordinatenursprung), falls gilt f( - x ) = - f ( x ) für alle χ g D. f heißt gerade (Symmetrie zur y-Achse), falls gilt f( - x ) = f ( x ) für alle χ e D. 3. Nullstellen: x N heißt Nullstelle von f, falls f ( x N ) = 0 ist. 4. Monotonie: Die Funktion f heißt im Bereich Β C D monoton wachsend, wenn für alle Xj, x 2 e Β mit Xj < x 2 gilt f ( x j ) < f ( x 2 ) ; streng monoton wachsend, wenn für alle X j < x 2 aus Β gilt f ( x j ) < f ( x 2 ) ; monoton fallend, wenn für alle Xj, x 2 e Β mit X j < x 2 gilt f ( x j ) > f ( x 2 ) ; streng monoton fallend, wenn für alle Xj < x 2 aus Β gilt f ( x j ) > f ( x 2 ) . Falls die Ableitung f ' in Β stetig ist, gilt f ist an der Stelle χ e Β monoton wachsend, falls f ' ( χ ) > 0 ist. f ist an der Stelle χ e Β monoton fallend, falls f ' ( χ ) < 0 ist. 5. Krümmung: Die zweite Ableitung f " sei im Bereich Β C D stetig. Dann gilt f ist konvex in Β

f ' ( x ) monoton wachsend in Β

Ό

f " ( x ) > 0, χ € Β ;

f ist konkav in Β &

f ' ( χ ) monoton fallend in Β

O

f " ( χ ) < 0 , χ e Β.

6. Relative Extremwerte: f besitzt an der Stelle x 0 ein relatives Minimum, falls in einer Umgebung von XQ gilt f ( x ) > f ( x 0 ) . f besitzt an der Stelle X j ein relatives Maximum, wenn in einer Umgebung von X j gilt f ( x ) < f ( x j ) . Unter einem Extremwert (Extremum) x E versteht man ein relatives Maximum oder ein relatives Minimum. Ist f differenzierbar, so muss die Tangente in einem Extremwert x E horizontal sein, f ' ( x g ) = 0 ist dann eine notwendige Bedingung für einen Extremwert an der Stelle Xg. Diese Bedingung ist jedoch nicht hinreichend (s. x 3 in Bild 10).

5.4 Kurvendiskussion

69 rei. Maximum

Allgemeine hinreichende Bedingung für ein Extremum Für ein gerades η gelte: f'(xE) = f"(xE) = ... = f ^ - ^ X ß ) = 0 ; f(n)(xE) φ o. Dann besitzt f an der Stelle x E ein relatives Extremum. Im Falle f ( r (XE) > 0 handelt es sich um ein relatives Minimum; ist f 1 W(x E ) < 0, so liegt ein relatives Maximum vor. 7. Wendepunkte: Ein Wendepunkt x w ist eine Ubergangsstelle von einem konvexen in einen konkaven Bereich oder umgekehrt. Eine notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist f " ( x w ) = 0, falls f " stetig ist. Hinreichende Bedingung für einen Wendepunkt: f " ( x 0 ) = 0 ; f "'(x 0 ) φ 0. Allgemeine hinreichende Bedingung für einen Wendepunkt Für ein ungerades η gelte: f " ( x w ) = f " ' ( x w ) = . . . = f ( n _ 1 ) ( x w ) = 0; f

( n

W ) Φ o-

Dann besitzt f an der Stelle x w einen Wendepunkt. Gilt zusätzlich noch f ' ( x w ) = 0, so hat f in x w einen Wendepunkt mit waagrechter Tangente, einen sogenannten Sattelpunkt.

Kap. 5: Differenzialrechnung bei Funktionen einer Variablen

70

8. Asymptoten: Die Gerade g: y = m χ + b ist Asymptote von f (x), wenn gilt, lim [ f(x) — m χ — b ] = 0

oder

lim [ f(x) — m χ — b ] = 0. χ—» — oo

Im Falle lim [f(x) — m χ — b] = 0 nähern sich die Werte der Funktion f für X—»oo x—»oo der Geraden g, im anderen Fall für x—• — oo. Für m = 0 ist die Asymptote parallel zur x-Achse. Dies ist genau dann der Fall, wenn gilt lim f(x) = b

oder

X—>oo

lim

f(x) = b .

χ—•— oo

Die Parallele zur y - Achse χ = Xq ist vertikale Asymptote von f, wenn mindestens eine der Divergenzbedingungen erfüllt ist: lim f(x) = X < xr

lim

f(x) = ± o o ;

lim f(x) = lim f(x) = ± oo. x-»x n + x>xr

Dann ist die Stelle χ = x 0 eine Pol-oder Unendlichkeitsstelle. Beispiel 17: a) f(x)

=

b)

χ3

f'(x)

= 3 χ2

f"(x)

=

6x

f"'(x) = 6 . f'(0) = f " ( 0 ) = 0 ; f ' " ( 0 ) φ 0 ;

f(x)

=

x4

f'(x)

=

4x

f»(x)

=

12 x

f"'(x)

= 24 x .

f'(0) = f " ( 0 ) = f ' " ( 0 ) = 0 ; f( 4 )(x) = 24 > 0 ; Minimum in x = 0.

Sattelpunkt in χ = 0. y=χ η ungerade

η gerade

x ->- χ Minimum

Bild 11: Punkt- und Achsensymmetrie Beispiel 18: f(x)

=

f'(x)

=

I ( X - 2 ) 3 + | x ( x - 2 ) 2 = i ( x - 2 ) 2 ( x - 2 + 3x)

=

(x — 2) 2 (2 χ — 1);

=

2 (x — 2) ( 2 χ — 1) + 2(x — 2) 2 = (x - 2) (4χ - 2 + 2 x - 4)

=

6 (χ — 1) (x — 2);

f"(x)

±x(x-2)3.

5.4 Kurvendiskussion f'"(x) =

71

6 (χ — 1) + 6 (χ — 2) = 12x — 18.

Nullstellen:

f(x) = 0;

Xj = 0;

x2 = 2

(3-fach),

Extremwerte:

f'(x) = 0;

x 3 = 2;

x4 = ± .

f " ( 2 ) = 0;

f " ( ì ) = + 6 · i · I > 0 ; Minimum an x 4 = Ì .

f ' " ( 2 ) = 6 > 0; η ungerade an der Stelle x 3 = 2 ist ein Wendepunkt (Sattelpunkt). Wendepunkt:

f " ( x ) = 0; x 5 = 1;

Wendepunkt an der Stelle χ = 2 (s. o.) f " ' ( l ) φ 0 => Wendepunkt an der Stelle x 5 = 1 .

Beispiel 19: f(x) =

f(x)>

~ 2 hat an der Stelle χ—o χ = 5 eine Polstelle mit 2 x

lim f(x) = + oo ; lim f(x) = — oo χ—>5, χ > 5 χ—)"

χ = χ

=

Für x E > 0 folgt daraus f " ( x E ) < 0 (konkav) => x E ist relatives Maximum (s. Bild 13 b). f " ( x E ) > 0 (konvex)

x E ist relatives Minimum (s. Bild 13 a).

lokales M i n i m u m von l i ï i

χ

lokales M a x i m u m von

χ f(x)

Bild 13:

a) Minimum

b) Maximum der Durchschnittsfunktion

Beispiel 20: χ sei die Nachfragemenge nach einem bestimmten Gut. Im Bereich 1 < χ < 5 gelte für den Gesamtpreis Ρ zur Befriedigung der gesamten Nachfrage χ die Darstellung P(x) = x 2 + 2 χ + 9. Zur Bestimmung eines möglichen Extremwertes für den Durchschnittspreis ρ fx) (Stückkosten) — ^ folgt aus χ · Ρ '(χ) = P(x) χ · ( 2 χ + 2) = x 2 + 2 x + 9 ; 2x 2 + 2 x = x 2 + 2 x ' + 9 ; x 2 = 9 ; x = 3 . P(x) Wegen Ρ "(χ) = 2 > 0 liegt bei χ = 3 ein relatives Minimum für χ mit ^ ^

= 8 ; für die Randpunkte 1 und 5 gilt ^ ^ = 12 ;

^ ^ = 8,8.

Bei einer Nachfragemenge χ = 3 wird somit der kleinste Durchschnittspreis erreicht.

5.5 Der Mittelwertsatz der Differenzialrechnung

73

5.5 Der Mittelwertsatz der Differenzialrechnung Die Funktion f sei im Intervall [ a ; b ] stetig. In Bild 14 besitzt die Sekante zwischen den beiden Punkten P j ( a , f ( a ) ) und P 2 ( b , f ( b ) ) die Steigung f(b)-f(a) b-a · Falls f an jeder Stelle zwischen a und b stetig differenzierbar ist, gibt es eine Stelle ξ zwischen a und b, an der die Tangente an die Kurve parallel zu dieser Sekante verläuft, also mit tan a

=

a

£

b χ

Bild 14: Mittelwertsatz

f(b)-f(a) b-a Diese Aussage nennt man den

Satz 5 (Mittelwertsatz der Differenzialrechnung) : Die Funktion f sei im Intervall [ a ; b ] stetig und in ( a ; b ) differenzierbar. Dann gibt es mindestens eine Zwischenstelle ξ e (a ; b) mit f(b)-f(a) _ b-a ~

.

5.6 Exponentialfunktion, Logarithmus und Potenzfunktion 5.6.1 Die Exponentialfunktion In diesem Abschnitt sei a eine beliebige positive reelle Zahl. Für die Potenzen a11 = a · a · . . . · a , η 6 Ν gelten die Gesetze η Faktoren an-am = am + n; Mit a az

n

(an)m = (am)n = a n ' m

für n, m e N .

= -L und a° = 1 ist a z für ζ e Ζ definiert mit a

i . az2 _

η-te Wurzel:

az

x + z2

1 an = a

m ñ

=

n

f(¡ r a j j e

^a = b

n^m

=

Zi)

2 2 g 2. a = bn ;

. —.m ( n^) .

&~ñ

m

·. =

an

.

74

Kap. 5: Differenzialrechnung bei Funktionen einer Variablen

Mit diesen Wurzeloperationen ist a x für alle rationalen Zahlen χ e Q erklärt. Eine irrationale Zahl χ lässt sich als Grenzwert einer rationalen Zahlenfolge (χ,,), n e N darstellen, also x = Jijrn^x^, x n e Q . Dann bildet a* n , n e N

eine Folge reeller Zahlen, die ebenfalls konvergiert.

Grenzwert nennen wir ax =

ax,

Diesen

d. h.

lim a* n mit x „ e Q

und lim x „ = χ e R.

η—>oo

η—»00 η

Die so definierte Funktion a x heißt Exponentialfunktion. Für jedes a > 0 ist a x stetig. Ferner gilt a = 1

=>· y = l x Ξ 1

a > 1

=>· y = a x

(Parallele zur x-Achse).

ist streng monoton wachsend mit

lim ax = 0 ; ' lim a x = oo X—» — OO X—»OO (negative x-Achse ist Asymptote) 0 < a < 1 χ

=>· y = a x

J i m ^ a x = oo ;

Die Funktion f ( x ) = se hervor.

(beliebig v ° groß). ° '

ist streng monoton fallend mit x lirn j a x

= 0

(positive x-Achse ist Asymptote).

= a ~ x geht durch Spiegelung von a x an der y-Ach-

Bild 15: Exponentialfunktionen Im Falle a = e (Eulersche Zahl) erhalten wir die Funktion e x , die bei der stetigen Verzinsung und beim stetigen Wachstum eine zentrale Rolle spielt. Die Funktion e x nennt man oft die Exponentialfunktion.

5.6 Exponentialfunktion, Logarithmus und Potenzfunktion

75

Die Eulersche Zahl e wurde in Abschnitt 4.3 definiert durch den Grenzwert =

e

feti

+ i)'·

Für χ > 0 erhalten wir wegen der Stetigkeit der Funktion e x mit der Substitution n x = u ; n—»oo => u—»oo eX

=

n ^ + i r ^ Â ^ + S Î ^ n ^ + i ) "

Für negative x-Werte betrachten wir zunächst die Folge Ci-lV

1

l

-

=

ν

v

' '

—» e

Damit gilt n

1

v

^

—>1

lim(l-ì)n = è = e-1.

(9)

Mit der Substitution u = — w erhält man ferner lim ( l + ui ) u^-ooV /

=

U

lim f l - w i -ooV w;

W

=

τ1 rsr = ! _ n w W—HX>\ W J n m

e"1

=

(10)

Die Substitution η χ = u ergibt aus (9) für χ > 0 e _ x

=

Ä

M

)

^

u1iîSc(1-n)U=niiî80(i+^)n·

Damit gilt für beliebiges χ e R die Darstellung

eX

=

Ä (

1 +

H )

!

x e R

(H)

5.6.2 Der Logarithmus Die Lösung χ der Gleichung a x = b (a, b > 0, a φ 1) heißt Logarithmus von b zur Basis a. Wir schreiben dafür χ = logab

O

ax =

b.

Wegen 10 2 = 100 gilt ζ. B. l o g 1 0 1 0 0 = 2. Für den Logarithmus zu einer beliebigen Basis a gilt der für die praktische Rechnung äußerst nützliche

Kap. 5: Differenzialrechnung bei Funktionen einer Variablen

76 Satz 6:

Für den Logarithmus zur Basis a gilt für u, ν > 0 und beliebiges w e R 1. l o g a a =

1;

2. l o g a l =

3. log a (u · v) = log a u + log a ν ;

0;

4. l o g a ( £ ) = log a u -

logav;

5· log a (u w ) = w · log a u . Beweis: 1. log a a = χ O· a x = a Ο· χ = 1. 2. log a 1 = χ « · a x = 1

χ = 0.

Wir setzen nun log a u = χ O a x = u; Daraus folgt u · ν = a x ^ = a x

y

O

y

logav=y

a y = v.

Ό· χ -f y = log a (u · v) ;

x-y=lo6a(ü);

u w = (a x ) w = a x ' w o

w · χ = log a u w .

Mit χ = log a u und y = log a v sind damit auch 3., 4. und 5. bewiesen. Umrechnungsformel bei verschiedenen Basen Für Logarithmen zu zwei verschiedenen Basen a, b erhält man Zj = log a x O

aZ! = χ ;

z 2 = log b x ·£> b* 2 = χ .

Aus b z 2 = a Z l ergibt sich durch Logarithmieren z

2"logab = log b x

=

z

l-logaa

log a b

=

z

l

logax.

(12)

Beim Übergang von der Basis a zur Basis b müssen die Logarithmen nur mit dem konstanten Faktor c = ( l o g a b ) - 1 multipliziert werden. Für die Logarithmen genügt daher eine einzige Tabelle, fix) Die Logarithmenfunktion y = log a x O a y = χ geht aus der Exponentialfunktion y = a x durch Vertauschen von χ und y hervor. Diese Operation lässt sich durch eine Spiegelung an der ersten Winkelhalbierenden y = χ durchführen (s. Bild 16).

Bild 16: Logarithmus- u. Exponentialfunktion

5.6 Exponentialfunktion, Logarithmus und Potenzfunktion

77

Der Definitionsbereich von y = log a x ist D = {χ | χ > 0}. Für a > 1 ist der Logarithmus streng monoton wachsend und stetig mit l o g a x < 0 für 0 < χ < 1 und lini log a x = — oo. Die negative y-Achse ist also Asymptote. a = 10 ergibt den dekadischen Logarithmus. Er wird häufig mit lg χ = log 1 0 χ bezeichnet. Für a = e erhält man den sogenannten natürlichen Logarithmus. Wir bezeichnen ihn mit lnx = log e x (logarithmus naturalis)

mit lne = l.

Da der natürliche Logarithmus In χ die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion e x ist, gilt allgemein

ax = e l n ( a X ) = e x - l n a .

(13)

5.6.3 Die Ableitung des natürlichen Logarithmus Für x > 0 , x + h > 0 gilt nach Satz 6 f x +

(

h

h>-

f

W

= Hx + V-H*)

=

l.ln-+h

= I n

(

1

h)E.

+

Mit £ = u folgt hieraus f(X +

h h

'-f(X)=

ln(l

+

è )

u 4

= , „ [ (

für h > 0, h—»0 erhält man mit u—» oo 1 1 tige Ableitung ist also £ • In e = ^ .

1 +

à ) f = l.,»(l

lim ( l +

+

I)"

= e. Die rechtssei-

u_>oc

für h < 0 , h—»O ist u < 0 mit u-> - oo. Nach (10) gilt u-L™oo(1+ïï)U=

e

·

Damit ist auch die linksseitige Ableitung gleich

es gilt also

(In x)' = i . Für negative x-Werte ist der natürliche Logarithmus nicht erklärt. In diesem Fall benutzt man oft den Logarithmus des Betrages, also In χ

f In χ \ ln( - x)

für χ > 0 für χ < 0.

Kap. 5: Differenzialrechnung bei Funktionen einer Variablen

78

Nach der Kettenregel erhält man für χ < 0 (ln|x|)' = ( l n ( - x ) ) ' = ^ i

=

Ì

Damit gilt allgemein (ln|x|)'=i

fürx^O;

(In |f(x) | ) ' = ^

für

f(x) φ 0

5.6.4 Die Ableitung eines beliebigen Logarithmus y = log a x

a y = x.

Durch Logarithmieren erhalten wir hieraus 1 . y-In a = In χ; y'-Ina χ ' (loga*)' = ¿ 4

·

5.6.5 Die Ableitung der Exponentialfunktion Aus der Ableitung für die Umkehrfunktion (Satz 4) folgt y = f(x) = e x f e *ì ' _> (ex)'

ο

χ = f-1(y) =

de x _— HL dy _— _L_ 1 _- _L 1 _dx - dx - _dx - 1 dy y

v y

- e x also - e ' alS°

=

y = a x = f(x) (a x ) ' =

lny.

dy

dx

-

χ = f 1

dx dy

-

1

(y) = log a y

dlog a y dy

-

1

1 l n a

= (In a) · y.

1 y

y= a

(a x ) ' = a x · In a . Beispiel 21: Nach der Ketten- und Produktregel gilt a

)

c)

(e"2x)' =

— 2 ·e~ 2 x ;

b) ( e " x 2 ) ' =

(x 2 · e x ) ' = 2x · e x + χ 2 · e x = (x + 2 ) - x - e x .

— 2x·e "

5.7 Die trigonometrischen Funktionen

79

5.6.6 Die Ableitung einer beliebigen Potenzfunktion Für beliebiges α e R heißt y = χ α , χ > 0 eine Potenzfunktion. Ihre Ableitung erhalten wir für α φ 0 durch Logarithmieren In y = α · In χ . Hieraus folgt durch Differenziation nach χ ^

= £

=>

y'

(χ α ) ' = α · χ α

= α · ? ξ -

- 1

=α·χα"1 ,

füraeR

also

.

5.7 Die trigonometrischen Funktionen Uber den Einheitskreis mit dem Radius r = 1 wird jedem Winkel auf dem zugehörigen Kreisbogen das Bogenmaß χ = χ (ν) zugeordnet. Dem Winkel φ = 360° entspricht der Umfang des Einheitskreises, also das Bogenmaß χ = 2 π. Allgemein verhält sich χ zum Kreisumfang 2 π wie ψ zum Gesamtwinkel 360°. Daraus ergibt sich die Umrechnungsformel x = î|5V

(s. Bild 17).

Ein negatives Bogenmaß χ gehört zu einem negativen Winkel φ, der im Uhrzeigersinn (mathematisch negative Umlaufrichtung) gemessen wird, χ > 2 7Γ entpricht einem Winkel ψ > 360.

Bild 17: Einheitskreis und trigonometrische Funktionen Es sei Ρ ein beliebiger Punkt auf dem Einheitskreis mit dem Bogenmaß x. Im rechtwinkligen Koordinatensystem bezeichnen wir die Koordinaten dieses Punktes Ρ mit Xj = cos χ

(Kosinus x) ;

x 2 = sin χ

(Sinus x ) .

Damit sind für jeden Zahlenwert χ e R die trigonometrischen Funktionen Sinus und Kosinus definiert. Nach dem Satz von Pythagoras gilt sin 2 x + cos 2 χ = 1.

Kap. 5: Differenzialrechnung bei Funktionen einer Variablen

80

Aus Bild 17 ergeben sich unmittelbar folgende Eigenschaften: sin (χ + 2π) = sin χ ; cos (χ + 2π) = cos χ (Periode 2ir) ; sin ( — x) = — sin χ (ungerade) ; cos ( — x) = cos χ (gerade) ; sinx = cos^x — ^

;

sin (k7r) = 0 ; c o s ^ + kîr^ = 0

für k g Ζ.

Die Ableitungen lauten (ohne Beweis) ( s i n x ) ' = cosx;

(cosx)' =

— sinx.

In Bild 18 sind die Graphen von Sinus und Kosinus skizziert.

Bild 18: Graphen der Funktionen y = sin χ und y = cos χ Als Quotienten dieser beiden trigonometrischen Funktionen erhält man den Tangens bzw. den Kotangens tanx =

f ü r x ^ | + kx,

cot χ = ^ sin χ

fürx^kTT, '

keZ;

keZ.

Diese beiden Funktionen sind ungerade und haben die Periode π. Mit Hilfe der Quotientenregeln erhält man die Ableitungen t( ít a n x )\i = (( sin f ^χl ^ ' = v '

cos 2 x ^+ sin 2 x = — V 1 " = 1, +, tan , 2χ ; cos X COS X

(

-sin2x-cos2x sin χ

c o t x

)'

=

f£oa*y= \sinx/

=

1 sin χ

=

_l_cot2x

5.8 Die Elastizität und die logarithmische Ableitung

81

Die Graphen der Tangens- und Kotangensfunktion sind in Bild 19 skizziert. ι tan χ 1 cot X

f »

/

- *

1

\ \ 0

-1

£ 1 4 2

/( X

ir ff V\ 14

1 0 » ι

Bild 19: a) Tangens

4

» 2

X

\

b) Kotangens

Beispiel 22 (allgemeine Sinusfunktion): f(x) = a - s i n ( b ( x - c ) ) ,

a > 0 ; b φ 0.

Aus sin k;r = 0 erhalten wir für die Nullstellen x N die Gleichung b (x N - c) = ktf ; x N = c + k · ^ , k e 1. 9-7Γ f besitzt die Periode τ π und die Amplitude (maximaler Funktionswert) a. Wegen ' ' f(c — z) = a · sin(b ( — z)) = — a - s i n ( b z ) = —f(c + z) ist f punktsymmetrisch zum Punkt P ( c ; 0 ) .

5.8 Die Elastizität und die logarithmische Ableitung Für eine beliebige Funktion y = f(x) ist Ay = f (χ + Δχ) — f(x) der tatsächliche (absolute) Funktionszuwachs im Intervall [ x ; x + Ax], während Ay _ A f ( x ) _ f(x + Ax) — f(x) Χ - f(x) f(x) der relative Zuwachs von f in [ x ; x - f Ax] ist. Falls f differenzierbar ist, gilt nach Abschnitt 5.3 die Approximation f(x + A x ) - f ( x ) f(x)

f ( x + Ax) — f ( x ) Δχ Ax f(x)

ι Ax

f(x)

_= A x - r f ( x ) .

Über den relativen Funktionszuwachs in einem Intervall [ x ; x + A x ]

82

Kap. 5: Differenzialrechnung bei Funktionen einer Variablen

f'(x) kleiner Länge macht also die Funktion ,, > = r f ( x ) Aussagen. Sie heißt Wachstumsrate (oder relative Anderungsrate) von f. Dabei gilt T f W

_ f'(x) _ ~ löö" -

d In I f(x) I dS ·

Beispiel 23: Bei einer stetigen Verzinsung mit der Jahresrate p % wächst ein Kapital Kq nach t Jahren an auf _E_t K(t) = K 0 · e 1 0 0

(s. Abschnitt 4.3)

mit K(0) = K 0 .

Die Funktion Κ besitzt die konstante Wachstumsrate r iW t)

~

K(t)

JL 100 ·

=

-

In einem kleinen Zeitintervall [ t ; t + At ] ist der relative Zuwachs ungefähr gleich yjjQ · At, also K(t + A t ) - K ( t ) K(t)

^

ρ At. 100

Allgemein lässt sich zeigen, dass die Exponentialfunktion f(x) = c · e a x die einzige stetig differenzierbare Funktion mit konstanter Wachstumsrate ist. Bei der stetigen Verzinsung und beim stetigen Wachstum treten wegen dieser typischen Eigenschaft Exponentialfunktionen auf. Die relative Änderung der unabhängigen Variablen χ beim Übergang von χ nach χ + Ax ist . . _ Interessant ist der Quotient f(x + A x ) - f ( x ) . f(x) ·

A x x

relative Änderung von f π : relative Änderung von χ _ ~

f(x + Ax) — f(x) f(x) Ax "

f'(x) Für Ax —» 0 konvergiert dieser Ausdruck gegen χ · f , / , falls f differenti) zierbar ist. Dieser Grenzwert heißt die Elastizität von f an der Stelle χ und wird mit £f(x) bezeichnet. Damit gilt Λf Λ f '(x) lim : x = χ· . = ε1( ( χ ) , falls f differenzierbar ist; Δχ—»0 f f(x) « I

Λ

ε{ (χ) für kleine | A x |.

5.8 Die Elastizität und die logarithmische Ableitung

83

Definition 4: Die Funktion f sei differenzierbar. Dann heißen für f(x) φ 0 r f (x) =

f'(x) '

die Wachstums- oder relative Anderungsrate von f an der Stelle x;

χ · f'(x) ε,1 (χ) = — \ die Elastizität von f an der Stelle χ . f(x) Interpretation: Die Elastizität drückt den Einfluss aus, den eine lokale relative Änderung der unabhängigen Variablen χ auf die relative Änderung der abhängigen Variablen f(x) hat. Ändert sich z.B. χ um a % (α klein), so ändert sich f(x) um ungefähr e f (x) · α % (α darf dabei auch negativ sein). Falls die Einflussgröße χ vergrößert wird, findet bei positiver (negativer) Elastizität eine Zunahme (Abnahme) der abhängigen Variablen f statt. Je größer |Cf(x) | ist, umso größer ist diese Änderung. Im Falle £f(x 0 ) = 1 ist die relative Änderung beider Variablen in der Umgebung von x 0 ungefähr gleich groß. Beispiel 24: a)

f(x) = c; f ' ( x ) = 0 ;

e f (x) = 0.

b) '

f(x) = ax + b ; f ' ( x ) = a ; w > w

c)

f(x) = x a ; a ^ O ; f'(x) = a x a " 1 ;

d)

f(x)=ax,a>0;

cf(x)=x

lnf(x) = χ - I n a ;

^k = -^r- · ax + b ax + b e f (x) =

= a.

x

ef(x)=x·

χ-Ina.

MaBstabsänderungen auf den beiden Achsen haben keinen Einfluss auf die Elastizität, sie ist also vom Maßstab auf der x- und y-Achse unabhängig, wie man leicht zeigen kann. Satz 7: Für die Elastizität gelten folgende Eigenschaften: 1. Produkt f · g :

ε{. g (x)

= et (x) + e g (x) ; =

3. Quotient

ε^(χ) s ε^(χ)

4. Zusammengesetzte Funktion f(g(x)):

, . % « > « =

5. Inverse Funktion

ε _ i fx)

2. Quotient

y = f"1(x)

r

ef(x)-eg(x);

= - e g (x) ; . , . . Μβ«)·*««'

= — r e

f(y)

y = f

„=

(*)

—

et(i-lx)

84

Kap. 5: Differenzialrechnung bei Funktionen einer Variablen

Die Eigenschaften 1. bis 3. folgen wegen (χ) = χ — — unmittelbar aus den Eigenschaften des Logarithmus. 4. und 5. lassen sich mit Hilfe der entsprechenden Abbildungsregeln zeigen. Beispiel 25: a) Eine Kostenfunktion K(x) besitze die Elastizität e K (x). Dann besitzt die Kfxi Stückkostenfunktion S(x) = χ nach Satz 7 und Beispiel 23 c) mit α = 1 die Elastizität ¿s(x) = ε κ ( χ ) - εχ(χ) = ε κ ( χ ) -

1

·

b) Die Nachfragefunktion N(p) besitze die Elastizität ε Ν (ρ). Dann lautet die Elasizität der Erlösfunktion E(p) = N(p) · ρ £e(p)

= % ( p ) + e p(p)

= £n(p)

+1·

Die Formel von Amoroso-Robinson Es sei p(x) der Preis je Mengeneinheit bei einer Nachfragemenge x. Dann lautet der Gesamterlös Ε(χ)=χ·ρ(χ) und der Grenzerlös x Ε ' ( χ ) = ρ ( χ ) + χ · ρ ' ( χ ) = p(x) 1 + x p'( ) x p( )

= ρ(χ).[1 + ε ρ (χ)]

Diesen Zusammenhang bezeichnet man als Amoroso-Robinson-Formel E'(x) = p . [ l + £ p ( x ) ] = p

1 +

1

Die doppelt-logarithmische Darstellung In diesem Abschnitt sei χ > 0, f(x) > 0. Wegen x, f(x) > 0 erhält man 1 _ dlnx ~ dx

f'(x) _ dlnf(x) dx f(x) e f (x) = x -

f'(x) f(x)

x

_

f'(x) f( ) x

!

l

_ d In f(x) dx

Mit ν = In χ und u = lnf(x) erhält man

ι dlnx dx

5.8 Die Elastizität und die logarithmische Ableitung ε

85

/ χ \ _ du _ 1 _ du dx _ du ' dx dv dx dv dv dx

Somit gilt für die Elastizität die Darstellung

e

/ χ '

=

din(f(x)) _ dlnx

d In (f(x)) dx din χ dx

=

du dv

mit u = In (f(x)) ν = Inx für x , f ( x ) > 0

Trägt man auf der Abszissenachse nicht χ , sondern In χ und auf der Ordinatenachse lnf(x) ab (doppelt-logarithmische Darstellung), so ist die Elastizität Cf(x) an der Stelle χ die Steigung dieser Kurve an der Stelle In x.

In χ

ν = In χ

Bild 20: Doppelt-logarithmische Darstellung Beispiel 26: f(x)=xa; u = In f(x) = a · In χ = α · ν. ε { (χ) = Φ^ = α. Beispiel 27 (konstante Elastizität): Die Elastizitätsfunktion (χ) ist genau dann überall konstant, wenn f(x) in der doppelt-logarithmischen Darstellung eine Gerade darstellt, also für In f(x) = a · lnx + b = l n x a + b. Daraus folgt f(x) = e a ' l n x

+ b

= e b - e l n x a = e b · x a = c - x a , c ^ 0.

Die Potenzfunktionen f(x) = c · x a sind also die einzigen Funktionen mit konstanter Elastizität a.

Kap. 5: Differenzialrechnung bei Funktionen einer Variablen

86

5.9 Die Taylorentwicklung In diesem Abschnitt soll eine Funktion f(x), z.B. die irrationale Funktion e x , durch ein Polynom n-ten Grades approximiert werden. Dabei werden Abschätzungen für den Fehler angegeben, der gemacht wird, wenn anstelle des Funktionswertes f(x) der Wert des Polynoms benutzt wird. Durch diese Fehlerabschätzung ist es möglich, irrationale Zahlen, ζ. B. die Eulersche Zahl e, auf beliebig viele Dezimalstellen genau zu berechnen. Die Tangente an einer Kurve f an der Stelle XQ besitzt die Gleichung T1(x)=f(x0)+f'(x0)-(x-x0). Dabei gilt T 1 ( x 0 ) = f ( x 0 )

und T^XQ) = f'(XQ).

In der Nähe von x 0 lässt sich f(x) durch Tj(x) relativ gut approximieren.

Bild 21: Taylorpolynome 1. und 2. Grades Diese Approximation wird im allgemeinen besser, wenn ein Approximationspolynom 2. Grades benutzt wird, das durch den Punkt Ρ (x 0 , f(x 0 )) geht und dort die gleiche Steigung und die gleiche Krümmung wie die Kurve f besitzt. Das Polynom T 2 (x) = a 0 +

ai

· (x - x 0 ) + a 2 · (x - x 0 ) 2

muss also folgende Bedingungen erfüllen: T2(x0)

=

( o)

f x

=> a 0 = f(x 0 ) ,

T 2 '(xo) = f'(x 0 )

=> »i = f'(xo) .

T 2 "(xo) = f " ( * o )

=> a 2 =

87

5.9 Die Taylorentwicklung Das gesuchte Polynom zweiten Grades lautet somit T 2 ( x ) = f(Xo) + f ' ( x 0 ) · (X - x 0 ) +

. (x - x 0 ) 2 .

η Für ein Polynom n-ten Grades T n ( x ) = ^ a¡ · (χ — x 0 )' fordern wir: j=0 T(χο) = k . ( k - l ) . . . . . l . a k = k!-ak = f W ( x 0 ) ;

ak=

für k = 0 , 1 , 2 , . . . , η mit 0! = 1, f ( 0 ) ( x 0 ) = f(x 0 ).

f(

Damit erhält man das sogenannte Taylor-Polynom n-ten Grades

T

n « =

Σ — k=0

·

( χ - xo)k

(dabei

ist 0!

=

1

: f ' [ 0 ) ( χ ο) = f ( x o ) )

Bei der Approximation f ( x ) «s T n ( x ) wird ein Fehler R ^ x ) gemacht, da T n ( x ) im allgemeinen von f ( x ) abweicht. Dieser Fehler R „ ( x ) heißt das Restglied. Es gilt also f(x) =

Tn(x) Τ

Taylorpolynom

+

RJx) . Î .

Restglied

Je kleiner der absolute Fehler | R ^ x ) | ist, umso besser ist die Approximation. Für das Restglied gilt der folgende Satz, der ohne Beweis angegeben werden soll:

Kap. 5: Differenzialrechnung bei Funktionen einer Variablen

88

Satz 8: Die Funktion f besitze in der Umgebung von Xq eine stetige (n + l)-te Ableitung. Dann gibt es für jedes χ aus dieser Umgebung eine Zwischenstelle η, die zwischen Xq und χ liegt, mit

"»fr^

(n + 1) !

-(χ-χο)'

Die variable Stelle χ kann größer oder kleiner als die Entwicklungsstelle x 0 sein. Allgemein gibt es für die Zwischenstelle η eine Darstellung η = XQ -f θ · (χ — XQ) mit einem geeigneten θ e (0 ; 1). Da die Zwischenstelle η im Allgemeinen nicht angegeben werden kann, ist es sinnvoll, die folgende Abschätzung für das Restglied zu benutzen:

Dabei wird das Maximum der Funktionswerte zwischen x 0 und χ berechnet (die Existenz wird hier vorausgesetzt!). Wir nehmen nun an, für ein festes χ seien diese Ableitungen alle beschränkt, d . h . max f(n + 1)(xo + 0.(x-xo)) ooo »IV ' n—»oo "

1

=

0

0.

Damit erhält man die Darstellung f(x)=

n

lim T n ( x ) =

£ í í ^ ) k= 0 falls

.

lim R n (x) = n—»oo n v '

0 ist.

Diese Reihe nennt man die Taylorreihe (Taylorentwicklung) der Funktion f an der Stelle x 0 . Beispiel 28: f ( x ) = e x ; Xq = 0. Wegen f ( k ) ( x ) = e x , =

6Χ

1 +

π

+

ί

+

f ( k ) ( 0 ) = l gilt · · ·

+

§

· ( ί π 3 ΐ ' * V —» 0 für n—»oo

+ β β χ

°
00

(=X) =

6+ 1

2jx

5 +

è

93

_6 5

Beispiel 33: a)

f(x) =

b)

f(x) =

τ ; KD = J " xi^x^i. χ —4

lim fix) = lim χ—>2 V ' x-*2 c)

f(x) =

-1

;

limfW =

τ

=

2

·

o«. »W

f(2) =

= f. 4

2x

f(0) = 0 " „o

lim f(x) = lim = 1 χ—»0 v ' χ—»0 1 d)

f(x)=%X;f(0 )=j¡"; lim f(x) = lim ^ X—»0 v ' χ—>0 1

e)

f(*)=

ι .

=

f(0)=

ηu

lim f(x) = lim ^ J Ç = 0 . X—»0 v ' χ—0 1 Bei gebrochen rationalen Funktionen lässt sich im Falle der Existenz die stetige Ergänzung mit Hilfe der Regel von de l'Hospital sehr einfach durchführen, wie Teil a) und b) des Beispiels 33 zeigt. 5.10.2 Unbestimmte Ausdrücke der Form „ 0 · ( ± oo) " Es sei

lim u(x) = 0 und lim v(x) = ± oo. Das Produkt u(x) · v(x) lässt x-»xQ x-x0

sich als Quotient schreiben: < 1

( \

U

W

u(x) · v(x) = - γ bzw.

V

!

\

< \

U ( X o)

mit u ^ ) · v f o ) = - γ - =

v(x)

, ν u(x).v(x)=^2 u(x)

0"

v(xo)

/ \ mit u ( x 0 ) . v ( x 0 ) = ^ u(Xo)

=

^

94

Kap. 5: Differenzialrechnung bei Funktionen einer Variablen

Damit können diese unbestimmten Ausdrücke auf solche in Abschnitt 5.10.1 zurückgeführt werden. Beispiel 34: a ) f ( x ) = x - l n x ; f(0+) = „0 • ( - o o ) " ; f(x) = - f e i - ; f(0+) = 1 * lim f(x) = lim = lim ( - x) = 0. χ—>0+ χ—»0+ χ—»0+ b)f(x)=xe"x;

f(oo) = "oo · 0" ; 1 lim v ' = X— Xlim —»OOf(x) »OO e4 = 0 .

c) f ( x ) = x n - e ~ x =

-^§2";

f(x) = ^ ; f(oo) = g f ; "

f(oo) = „ o o - 0 " ;

lim f(x) = lim n x " ~ 1 = . . . = lim 4A = 0 χ—»oo v ' χ—»oo e χ—»oo e

für jedes η € IM.

5.10.3 Unbestimmte Ausdrücke der Form „oo — oo" Es sei f(x) = u(x) - v(x)

mit u(xq) = v(x 0 ) - oo.

Zur Bestimmung des Grenzwertes benutzt man die Umformung f(x) = v(x)

mit

1

lim ' ü W _ 1 v(x)

a) Im Falle

b) Für

u(x) v(x)

lim

v(x)

u (*o)

c φ 0 gilt

= 0

_

oo"

v ( x o)

lim f(x) = db oo.

entsteht ein unbestimmter Ausdruck aus Ab-

schnitt 5.10.2.

Beispiel 35: «OfW = k -

Η

f

e

t —χ x

-l-x .

; f(0) = „ o o - o o " ; _

0" .

lirn W = ¿Si» χ • e*X+~e* - 1 ( = „ Γ ) = χ—»0 e x + χ · e x + e x

5.10 Unbestimmte Ausdrücke — die Regel von de l'Hospital f(0) = nOO-OO".

sinx xzisinx x-sinx

f(x) = v

'

95

f(0) = w

0* „0

x^S) sinx + χ · cosx ^

„0

sinx 0. χ*-5ΐ> 2 cos χ — χ · sin χ

^

5.10.4 Unbestimmte Ausdrücke der Form » 0° ; Mit der Darstellung U(X)V(X> =

eta

((»WV(X))

=

e

v(x)-lnu(x)

werden diese unbestimmten Ausdrücke auf den Fall aus Abschnitt 5.10.2 zurückgeführt. Dabei wird die Stetigkeit der Exponentialfunktion benutzt. Beispiel 36: a)f(x) = xx;

f(0+)=„0°"

f(x) = e x " l n x ; g(x) = ln(f(x)) = x - l n x ; Nach Beispiel 33 a) gilt η lim f(x) = e = 1 . χ—>0+ 1 b ) f ( x ) = ( l + x)X ;

χ

lim x - l n x = 0. Daraus folgt ~,0+

f(0+) = „ l ° ° " .

g(x)=ln(f(x))=i-ln(l +x); g(x) =

ln ( 1 χ + X)

;

g(0+) = „ o o · 0 " ;

lim g(x) = lim 1 + 1 χ—0+ χ—»0+ 1

= 1;

lim f(x) = e 1 = e. χ—>o+

1

f(oo) = „°";

g H = j " ;

v ' = e° = 1. Xlim —>oo f(x)

(

)

Î c) f(x) = ( x 2 - 4 ) V 3 ' l n ( x _ 2 ) y ;

H o

elnf

(x)=e3-ln(x-2) ;

oo" ( = e-* ) =

β Χ

0

!

f(2 + ) = " 0 - ° ° M ;

ln(x2 - 4) f(x) =

=

ln(x2 - 4) J m ^ f f ^ e ^

3

· ^ -

2x ·^(x — 2) hm, — 0" 4x — 4 + χ ^ ( 2 " 4 ) " 3 ( = e" 5 ) = e ^ f " ® " =

¿

)

2

ι =

^

.

Kap. 5: Differenzialrechnung bei Funktionen einer Variablen

96

5.11 Aufgaben 1. Ein Fischgroßhändler gibt beim Kauf von χ Tonnen Fisch einen gestaffelten Rabatt von R(x) Prozent auf den Listenpreis. Bestellmenge χ in t

Rabatt R(x) in %

0< χ < 1

0

1 0 die Kostenfunktion (Herstellungskosten). Bestimmen Sie a) die Grenzkostenfunktion;

b) die Umsatzfunktion;

c) die Reingewinnfunktion. d) Bei welchem Preis ρ wird der Reingewinn maximal? e) Für welche Werte c > 0 ist der maximale Reingewinn positiv? 8. Ein Unternehmen erzielt bei einem Absatz von χ Mengeneinheiten einen Gewinn vor Steuern von G(x) = - 1 0 χ + 2>ΠΓ . Dabei werde eine Mengensteuer von T(x) = r · χ, r > 0 erhoben. a) Bei welchem x M ist der Nettogewinn G(x) — T(x) maximal? b) Bestimmen das r, der dem Staat höchste Steuereinnahmen beim Nettogewinnmaximum garantiert; r · x M ist zu maximieren. 9. Ein Unternehmen hat festgestellt, dass bei einem Preis ρ für eine Ware für den täglichen Mengenabsatz χ gilt x = 15 - | · ρ + i

für i

< ρ < 20.

Bei welchem Preis ρ ist der Umsatz maximal? 10. Eine Kostenfunktion in Abhängigkeit von der Produktionsmenge χ sei K(x) = χ · (2 - e - îôôj. Der Verkaufspreis für eine Einheit sei 2 EUR. Bei welcher Produktionsmenge χ ist der Gewinn maximal? Wie hoch ist dieser maximale Gewinn?

Kap. 5: Differenzialrechnung bei Funktionen einer Variablen

98

11. Die Kostenfunktion in Abhängigkeit der Produktionsmenge χ sei K(x) = 4 - ( l O - 4 χ 3 — 10 ~ 2 x 2 + ί χ ) . a) Bestimmen Sie näherungsweise die Kosten, die eine Produktionserhöhung von x 0 auf Xq -f-1 verursacht. Kfxi b) Für welche χ werden die Stückkosten ^ minimal? c) Der Verkauf von χ Produktionseinheiten ergibt einen Erlös von 3 x. Für welches χ ist der Reingewinn (Erlös minus Herstellungskosten) maximal? 12. Bilden Sie die Ableitungen von folgenden Funktionen (logarithmieren!) a) f ( x ) = x x , χ > 0 ; c)

b) f ( x ) = x s i n x ,

f(x)=xlnx,x>0.

13. a) Berechnen Sie die Elastizität der Angebotsfunktion f(p) = ρ e p

2

++1

.

b) Berechnen Sie hiermit, um wie viel Prozent sich das Angebot näherungsweise ändert, wenn sich ρ von p 0 = 1 um 1 % erhöht. 14. Die Nachfrage f(x) nach einem Produkt hänge vom durchschnittlichen Pro-Kopf-Einkommen χ ab durch f(x) = 7 - e _ i 5 5 ö . a) Bestimmen Sie die Einkommenselastizität der Nachfrage nach diesem Produkt. b) Berechnen Sie näherungsweise mit Hilfe der Elastizität e f (x) aus Aufgabe a), um wie viel Prozent die Nachfrage fällt, wenn sich das durchschnittliche Einkommen von x 0 = 1800 um 1 % erhöht. 15. K(x) = 2 + -»J χ sei eine Kostenfunktion. Bestimmen Sie die Elastizität der Stückkostenfunktion

— .

16. Die Nachfrage in Abhängigkeit des Preises ρ sei f(p) = ^

^ ·

a) Bestimmen Sie die Elastizität der Nachfrage. b) Um wie viel Prozent wächst ungefähr die Nachfrage, wenn der Preis von p 0 = 24 EUR um 1 % verringert wird? c)' Berechnen Sie den Grenzwert p—»oo lim f(p). vr/

5.11 Aufgaben

99

17. Für den Preis (je Einheit) in Abhängigkeit der nachgefragten Menge χ eines Produktes gelte ρ = f(x) = 2 e - 2 * 2 . a) Berechnen Sie die Elastizität von ρ bezüglich x. b) Bestimmen Sie für den Umsatz U(x) = χ · f(x) den Grenzumsatz und überprüfen Sie damit die Formel von Amoroso-Robinson. c) Für welchen Wert χ ist der Umsatz maximal? 18. Die Nachfrage y = g(x) = e ' nach einem Produkt hänge vom durchschnittlichen Einkommen χ ab. In ν Der Preis f(y) = -y^- , y > 0 dieses Produktes ist eine Funktion der nachgefragten Menge y. Bestimmen Sie die Elastizität des Preises bezüglich des durchschnittlichen Einkommens x. 19. a) Bestimmen Sie für die Produktionsfunktion f ( x ) = ¿ . 1 0 - 4 - x 4 - ¡ . 0 - 3 - x 3 + |.10-2-x2 Extremwerte und Wendepunkte. f(x) b) An welcher Stelle besitzt der durchschnittliche Ertrag Maximum? c) An welchen Stellen verschwindet die Elastizität von f(x)?

ein

20. Der Bremsweg (in Metern) in Abhängigkeit von der Fahrgeschwindigkeit (ggg) werde durch folgende Formel beschrieben: f(x) = ^ + a) Berechnen Sie die Elastizität ε{ (χ). b) Berechnen Sie mit a) näherungsweise, um wie viel Prozent sich der Bremsweg vergrößert, wenn die Geschwindigkeit von x 0 = 20 um 3 % erhöht wird. 21. a) Skizzieren Sie die Produktionsfunktion 1 2 (x-1O) f(x) = 1 0 - ( e " 5 Ö - e " 2 ) im Intervall [0; 11]. b) Bestimmen Sie die Elastizität im Wendepunkt von f in [ 0 ; 11 ].

Kap. 5: Differenzialrechnung bei Funktionen einer Variablen

100

22. Führen Sie Kurvendiskussionen für folgende Funktionen durch: a)f(x)= 1 ( X - 3 ) . ( X 2 - X - 6 ) ; c) f(x) = χ 2 e x ; e)f(x) =

b) f(x) = (ln(x - 1))* ; d)f(x)=(ix2+x + i)-e

ln(^-x+l).

23. Entwickeln Sie die folgende Funktion in eine Taylorreihe um den Nullpunkt: a) f(x) = 1 + (χ — l ) 3 + 2 · (x — 2) 4 ;

b) f(x) = ^

^

.

24. Bestimmen Sie das Taylor-Polynom dritten Grades der Funktion f(x) =

3

{8 + x

um XQ = 0.

Bestimmen Sie damit näherungsweise die Zahl 3-\[7 und geben Sie eine Fehlerabschätzung an. 25. a) Wie lautet das Taylor-Polynom fünften Grades der Funktion f(x)=4x

2

an der Entwicklungsstelle x 0 = 1?

b) Um wie viel weicht dieses Polynom im Intervall [1 ; |] von f(x) höchstens ab? Restgliedabschätzung! 26. Im Bereich [ 0 ; 5 ] laute eine Ertragsfunktion E(x) = e 3 x — 3 e 2 x + 3 e x — 1. Berechnen Sie für folgende Kostenfunktionen K(x) den Grenzwert E(x) lim 777—r , falls er existiert: X-.00 K(x) a) K ( x ) = 4 x 3 ;

b) K(x) = 4 x 3 + 2 x 2 + 5 x ;

c) K(x) = x 5 .

Interpretieren Sie das Ergebnis! 27. Für die Produktionsmenge x > 1 sei K(x) = χ 4χ + 5 die Kostenfunktion und E(x) = lnx + 2 x + l die Ertragsfunktion. Berechnen Sie den Grenzwert J^n^ Ergebnis.

^

interpretieren Sie das

Kapitel 6 Integralrechnung bei Funktionen einer Variablen Viele Probleme können mit Hilfe der Integralrechnung gelöst werden. Beispiele dafür sind die Berechnung von Flächeninhalten sowie die Bestimmung einer zu einer Grenzkostenfunktion k(x) gehörenden Kostenfunktion K(x).

6.1 Das bestimmte Integral Beispiel 1: Es sei y = k(x) eine vorgegebene stetige Grenzkostenfunktion über dem Intervall [ a ; b ] . Dieses Intervall [ a ; b ] teilen wir in η Teilintervalle ein mit der gleichen Länge Δχ = ^ ~ a (s. Bild 1). Für kleine Δχ gilt für den (unbekannten) Kostenzuwachs im Teilintervall [xj _ j ; Xj ] nach der Definition der Grenzkostenfunktion k(x) = K ' ( x ) nach Kap. 5.3 die Näherung K(x ; ) - K(xj

=

K(x¡ _ j + Δχ) - K(xj _

«

k(x¡ _ , ) · Δ χ .

Damit ist der gesamte Kostenzuwachs im Intervall [ a ; b ] ungefähr gleich der Summe der Inhalte der Rechtecke mit den Seitenlängen k ( x ¡ _ 1 ) und Δχ ; es gilt also K(b)-K(a)«

Σ Μ χ ^ - Δ χ . i=1

(1)

Mit fallendem Δχ wird diese Approximation besser. Für Δχ—>0 geht die Summe über in den Inhalt der Fläche unterhalb der Kurve k(x) zwischen den Grenzen a und b. Damit ist der Kostenzuwachs K(b) — K(a) gleich dem Inhalt der in Bild 1 dargestellten Fläche.

Bild 1: Grenzkostenfunktion und Kostenzuwachs

102

Kap. 6: Integralrechnung bei Funktionen einer Variablen

Allgemein sei f eine in [ a ; b ] stetige nichtnegative Funktion. Zur Bestimmung des Flächeninhalts F zwischen der Kurve f und der x-Achse zwischen a und b wird das Intervall [ a ; b ] in η Teilintervalle eingeteilt durch a = x0 < Xj < x2
0; f(l) = 25;

®

= 5+ ψ;

In If(x) I = 5 x + 1 2 1 n x + C; f(x)=

±e5x

+ 121nx + C

=

±eC.e5x.x12

=b.x12.e5x.

25 = f(l) = b-e 5 ; b = 2 5 - e " 5 ; f(x) = 25 · e ~ 5 • χ 1 2 • e 5 x = 25-x 1 2 · e 5 < x " ^ . Probe: f'(x) = 25 · e 5 ( x " 1 } (12 x 1 1 + 5x 1 2 ) (>) = f

25.e»('-|)(12x" + 5 , » ) . x 25 χ

12

.β ί

c)ef(x)=x-ex;x>0; In If(x) I = e x + c;

»x»

=

5 χ_1)

+ 5 12

,»

=

6χ

+

x

f(l) = 2; ®

= ex ;

f(x) = :fcec-e(eX> = b - e ( e ^ ;

2 = f(l) = b · e e ; b = 2 - e " e ;

f(x) = 2 - e " e - e ( e X ) = 2 - e ^

Probe: f'(x) = 2 · e x · e (eX) ~ e ; e { (x) =

2

'eX ^

_ e

;

[ ^ " χ = χ · ex.

Auch wenn die Elastizität e f (x) eine Funktion der unbekannten Funktion f ist, kann daraus unter Umständen die Funktion f durch Integration bestimmt werden. Dazu das

Kap. 6: Integralrechnung bei Funktionen einer Variablen

116 Beispiel 14:

a)ef(x) = a-f'(x);

a φ 0; f'(x) φ 0;

a-f'(x)=

f(χ) = έ · χ ·

b) e f (x) = 2 f(x); v ;

f(x)

J f2(x)

Probe:

x>0; x

J

f'(x) =

Mf V* ); = -

f (x)

x

1 2 (21nx + C) 2 " X

ö - i - ( 2 1 n x + C ) - x = 2-f(x) W (2Inx + C) x V '

6.7.3 Der Gesamtumsatz bei gestaffelten und stetigen Preissenkungen Die Nachfragefunktion N(p) gibt an, welche Menge einer bestimmten Ware verkauft werden könnte, falls ρ als Preis je Mengeneinheit (ME) festgesetzt wird. Dabei sei p u der Mindest- und p 0 der Höchstpreis. Im Intervall [ p u ; p 0 ] sei N(p) monoton fallend. Für die Ware soll es nur einen einzigen Hersteller geben. Dann könnte dieser Monopolist durch folgende Preisfestsetzungsstrategie seinen Umsatz maximieren: Zunächst setzt er den Höchstpreis p 0 fest. Zu diesem Preis verkauft er die vorhandene Nachfragemenge N(p 0 ), was ihm einen Umsatz von ρ 0 · Ν ( ρ 0 ) bringt. Dieser Umsatz ist der Inhalt des untersten Rechtecks in Bild 8. Danach wird der Preis um Δ ρ auf p 0 — Δ ρ gesenkt. Diejenigen Käufer, die bereits bei p 0 gekauft haben, hätten zwar ursprünglich auch bei dem niedrigeren Preis gekauft. Da sie aber schon beim vorhergehenden Preis pQ zugegriffen haben, fallen sie als weitere Käufer aus. Somit gibt es jetzt nur noch die zusätzliche Nachfragemenge Ν(ρ0-Δρ)-Ν(ρ0)«

-Δρ·Ν'(ρ0),

wobei Ν'(ρ) die Grenznachfragefunktion ist. Diese zusätzliche Nachfragemenge erhöht den Umsatz um (ρ0-Δρ)·(Ν(ρ0-Δρ)-Ν(ρ0)). Nochmalige Preissenkung um Δ ρ bewirkt eine zusätzliche Nachfragemenge Ν(ρ0-2Δρ)-Ν(ρ0-Δρ).

6.7 Anwendungen der Integralrechnung

117

Die ergibt den zusätzlichen Umsatz (Po - 2 Δ ρ ) • ( n ( P o - 2 Δ ρ ) - N ( p 0 - Δ ρ ) . Bei weiteren Preissenkungen lassen sich die Umsatzzunahmen als Flächeninhalte der in Bild 8 unterhalb der Kurve N(p) eingezeichneten Rechtecke anschaulich darstellen.

Bild 8: Umsatz bei gestaffelten gleichmäßigen Preissenkungen Für Δρ—>0 geht der bei dieser Strategie erzielte Gesamtumsatz über in die Fläche unterhalb der Kurve N(p) zwischen der unteren Preisgrenze p u und der oberen p 0 , wobei noch zusätzlich die Rechtecksfläche links von p u mit dem Inhalt p u · N(p u ) hinzugenommen werden muss. Für Δρ—»0 erhält man somit den

Gesamtumsatz bei stetiger Preissenkung von p 0 bis p, U =

p u · Ν (p u ) +

J ° Ν (ρ) dp . Pu

(10)

Dieser Gesamtumsatz wäre bei stetiger Preissenkung vom maximalen Preis p 0 bis zum minimalen Preis p u erreichbar. Findet die Preissenkung jeweils in kleinen Schritten, also diskret statt, so ist der Gesamtumsatz ungefähr gleich dem in (10) berechneten Zahlenwert, wobei dieser Grenzumsatz die Obergrenze für den Gesamtumsatz darstellt, falls Ν (ρ) monoton fallen ist.

Beispiel 15: Im Preisintervall [ 8 0 ; 100] laute die Nachfragefunktion nach einer von einem Monopolisten hergestellten Ware N(p) = 2000 — 10 ρ (Mengeneinheiten = ME). Bei einer Preisreduzierung um jeweils eine E U R kommt bei jeder Preissenkung eine Nachfrage von N(p — 1) - N(p) = 10 M E hinzu.

Kap. 6: Integralrechnung bei Funktionen einer Variablen

118

Dann lautet der Gesamtumsatz bei einer sukzessiven Preissenkung um jeweils eine EUR von 100 bis 80 EUR U = =

100 · (2000 - 10 · 100) + 1 0 ( 9 9 + 9 8 + 9 7 + . . . + 81 + 80) 100 000 + 10 ( 9 9 + 80)-10 =

117 900 EUR.

Eine jeweilige Preissenkung um 0,50 EUR hat eine zusätzliche Nachfrage von N(p — 0,5) - N(p) = 5 ME zur Folge. In diesem Fall lautet der Gesamtumsatz U = =

100 000 + 5 ( 9 9 , 5 + 99 + 98,5 + 9 8 + . . . + 8 0 , 5 + 80) 100000 + 5 (99,5 + 80) ·20 =

117950 EUR.

Eine stetige Preisreduzierung von 100 EUR auf 80 EUR ergäbe nach (10) einen Umsatz U = 80 · (2000 - 800) +

100

J f ( 2 0 0 0 - 10 p) dp

80

=

96 000 + 2000 · ρ I ^

- 5 ρ21

^

=

96 000 + 4 0 0 0 0 - 18000 = 118000 EUR.

Bei einer diskreten Preisreduktion um jeweils eine EUR wird der Grenzumsatz schon fast erreicht. Bei einer Preissenkung von jeweils 5 EUR von 100 auf 80 EUR beträgt der Umsatz bereits 117500 EUR.

6.7.4 Die Konsumentenrente Es sei N(p) die vom Preis ρ abhängige Nachfragefunktion und A(p) die entsprechende Angebotsfunktion. Durch das Wechselspiel von Angebot und Nachfrage stellt sich auf dem Markt ein Gleichgewichtspreis, der sogenannte Marktpreis p ^ ein. Bei diesem Preis gleichen sich Nachfrage und Angebot aus, es gilt also A(pm) =

N(PM).

Falls sofort der Marktpreis p M festgesetzt wird, beträgt der Umsatz PM-N(PM)·

Manche Konsumenten wären allerdings auch bereit, einen höheren Preis als den Marktpreis p^j zu zahlen. Bei einer stetigen Preisreduzierung vom Höchstpreis p 0 bis zum Marktpreis p M wäre ein zusätzlicher Umsatz erreichbar. Dieser lautet nach (10) Po Κ = J N(p) dp (11) PM (s. Bild 9). Falls die gesamte Ware zum Marktpreis p M angeboten wird, sparen die Abnehmer den Betrag K. Daher heißt Κ die Konsumentenrente.

6.7 Anwendungen der Integralrechnung

119

Bild 9: Konsumentenrente 6.7.5 Die Produzentenrente Manche Produzenten wären auch bereit, ihre Waren unter dem Marktpreis zu verkaufen. Dadurch, dass sie den Marktpreis p M erhalten, erzielen sie Mehreinnahmen. Die Angebotsfunktion A(p) sei im Intervall [ P u ; Pm ] monoton steigend. Falls die Abnehmer durch ein Preisdiktat die Preise von der unteren Grenze p u bis zum Marktpreis p¡^ stetig erhöhen würden, wäre der Gesamtumsatz U gleich dem Inhalt der in Bild 10 dargestellten Fläche. Der bei dieser Preisstrategie erzielbare Gesamtumsatz U ist um PM P=jA(p)dp (12) Pu

kleiner als der Umsatz, der erzielt würde, wenn anstelle der stetigen Preiserhöhung sofort der Marktpreis p M festgesetzt wird. Diese von allen Anbietern durch den Verkauf beim Marktpreis erzielte Mehreinnahme Ρ heißt die Produzentenrente (vgl. Bild 10).

Bild 10: Produzentenrente

Kap. 6: Integralrechnung bei Funktionen einer Variablen

120

6.7.6 Kapitalwert eines Ertragstromes Im Zeitintervall [ 0 ; t] erwirtschafte ein Unternehmen einen Ertrag von B(t). Dann heißt b(t) = B'(t) der Ertragstrom (Grenzertrag) mit B(t + At) - B(t) « b(t) · At. Der Ertrag werde laufend auf ein Konto eingezahlt, das stetig verzinst wird mit der Zinsrate T = (p = Jahreszinssatz). Gesucht ist der Kontostand nach Τ Jahren. Zur Berechnung zerlegen wir das Intervall [0 ; T ] in η Teilintervalle I I to = 0 t!

I t2

···

I ti_!

I t;

I t ^ j

···

I tn = T

Im Intervall [ t¡ χ ; t¡) fallt ein Ertrag von ungefähr b(t¡ _ 1 ) · (t¡ —1¡ _ Geldeinheiten an. Falls dieser Betrag zum Zeitpunkt t¿ angelegt wird, werden für ihn Gesamtzinsen für eine Zeitspanne T —1¡ gezahlt. Somit trägt dieser Ertrag mit ungefähr Mti.jMti-tj^J.e7·*1-^ zum Endbetrag K(T) bei. Summation liefert K n (T) =

t b(ti_1).e~'-i:T-^).(ti-ti_1). i=1

Für η —• oo mit t¡ —1¡ _ 1 —• 0 für alle i folgt hieraus Κ (Τ) = lim K n (T) = J T b(t) e^ · ( T * ') dt = e^ * T · f b ( t ) e " ^ 1 d t . o o Damit erhält man den Endwert des Ertragstroms b(t) in [ 0 ; Τ ] Κ (Τ) = e ^ T . J T b ( t ) e - ^ d t ;

7 = tL ·

(13)

Der (abgezinste) Barwert (Gegenwartswert) v(T) dieses Ertragstromes ist diejenige Geldmenge, die zum Zeitpunkt t = 0 mit stetiger Verzinsung angelegt nach Τ Jahren denselben Endbetrag K(T) ergeben würde. Mit v(T) · e 7 T = K(T) erhält man aus (13) den Barwert (Gegenwartswert) des Ertragstroms b(t) in [ 0 ; Τ ] v(T) = f b ( t ) e " ^ d t ;

7=ïgô·

(14)

6.8 Aufgaben

121

Beispiel 16: Ertragstrom b(t) = 2 + 1 ; γ = 0,1 (d. h. ρ = 10 %). J (2 + 1 ) e ~ 0 , 1 l dt = — 10 e ~ 0 , 1 4 · (2 + 1 ) + 10 · J" e ~ 0 , 1 1 dt = — 10 e _ 0 , 1 ' · (12 + 1 ) . Τ Barwert v(T) = J (2 + t) e - 0 · 1 ' dt = - l O e " 0 · 1 1 ( 1 2 + t) | J o = 120 — 10(12 + T) e _ 0 ' l T . Nach Τ Jahren wächst der Kapitalstrom auf einen Betrag von Κ (Τ) = e 7 T · ν (Τ) = ( l 2 0 - 1 0 ( 1 2 + T ) - e " O ' l T ) · e ° ' 1 T = 120 · e 0 , 1 T — 10 · (12 + T)

Einheiten an.

6.8 Aufgaben 1. Geben Sie für folgende Funktionen jeweils eine Stammfunktion an: a) f(x) = 4f + 4 + i ; X X

b) f(x) = v(x* + i f ; '

c) f ( x ) = { 7 + J _ ; NX

d)f(x)= e 3 x ( l + e " 3 x ) ;

e) f(x) = sin (3 χ + π) ;

f)f(x)=e4"2x;

g) f(x) = J 2 Ï + 5 ;

h

)fW=

3Ä5-

2. Berechnen Sie folgende Integrale: il a)

dx

{ ^27+3

5

"

'

2

{

c 2 f e *

·

c) J 2χλ|1 + 2 χ 2 dx ; 0

d) J cos χ · sin7x dx ; 0

«(lnx)2 e) J ^ ^ - dx ; ι

? cos >Jx dx ; ί) J NfX

1 g) J xe*dx ; o

h) J λ[χ" · In χ dx ; l

i) J χ · cos χ dx ; 0

j) / 2 χ 3 · e* 2 dx .

π 2

122

Kap. 6: Integralrechnung bei Funktionen einer Variablen

3. Die Funktion f(x) = 4 x 3 - 24 x 2 + 44 χ - 24 hat bei χ = 2 eine Nullstelle. Berechnen Sie den Inhalt der endlichen Fläche, die von der x-Achse und der Kurve f(x) eingeschlossen wird. 4. Bestimmen Sie die Fläche, die von den Koordinatenachsen und der Kurve f(x) = 2 · In (x + ^ ) eingeschlossen wird. 1

2

_

2

5. Für die Zahl F = J e x dx soll ein Näherungswert berechnet werden. 0 2 a) Bestimmen Sie hierzu für f(x) = e x das Taylor-Polynom zweiten Grades (xq = 0). b) Geben Sie mit Hilfe von a) einen Näherungswert für F an. c) Um wie viel weicht das Taylor-Polynom im Intervall [0; höchstens ab? Hinweis zur Restgliedabschätzung: f ' " ( x ) wächst in [ 0 ;

von f(x) monoton.

d) Um wie viel weicht der in b) berechnete Wert maximal von F ab? 6. Berechnen Sie im Falle der Existenz folgende uneigentlichen Integrale: a)\ Τ J £1 Λ dx ; 1 d) J 37= ο Λίχ

d x

b) f J - L1· * - Jdx ; 1 "Six

3 2 , ; c)\ ΤJ Χ + 5Χ §+ 3Χ + 4 dx 2 X

e ) f i n = d x ; ι Ίχ-1

f) J

u

;

1 dx . - H M

7. Im Intervall [1 ; 10] laute die Nachfragefunktion f(p) = ^ ^

.

a) Bestimmen Sie den Gesamtumsatz eines Monopolisten, falls dieser den Preis stetig von 10 Einheiten auf eine Einheit senkt. b) Bestimmen Sie den Umsatz, falls der Preis von ρ = 10 jeweils um eine Einheit sukzessive bis auf ρ = 1 gesenkt wird. 8. Im Preisintervall [25; 100] (EUR) laute die Nachfragefunktion v

_ 10000

1 seien die Angebotsfunktion A(p) = Ì p 2 — ì ρ + ^ und die Nachfragefunktion N(p) = 8 — 0,08 p 2 gegeben. a) Bestimmen Sie den Marktpreis; b) berechnen Sie die Konsumentenrente für ρ < p 0 = 10. c) berechnen Sie die Produzentenrente für ρ > p u = 1. 10. Im Preisintervall [1; 10 e ] seien A(p) = 1 + p und N(p) = 10 + ^ Angebots- und Nachfragefunktion.

die

a) Bestimmen Sie den Marktpreis; b) berechnen Sie die Konsumentenrente für Preise zwischen Marktpreis und der Preisobergrenze 10 e. c) Berechnen Sie die Produzentenrente für Preise zwischen der untergrenze p u = 1 und dem Marktpreis.

dem Preis-

11. Für die nächsten Τ Jahre erwartet ein Unternehmen einen Ertragstrom b(t) = 2 + 1 + e " a) Berechnen Sie den Gegenwartswert v(T) bei stetiger Verzinsung mit der Zinsrate y = 0,05. b) Berechnen Sie

lim v(T). T—too

12. Uber die Elastizität £f(x) einer Funktion f(x) sei folgendes bekannt: a) e f (x) = 3 f'(x) (f'(x) # θ) ; b) ε{(χ) = 2 χ + 3; f ( l ) = 1 ; c) £f(x) = 5 f ( x ) , f(2) =

—

=f'(x)-Snr,x>i;

x>0;

' f(l)=l.

Bestimmen Sie jeweils die Funktion f(x) . 13. Gegeben sei die reelle Funktion

f(x) =

-\| In χ + 1 .

3

a) Bestimmen Sie für f(x) das Taylorpolynom 1. Grades an der Entwicklungsstelle x 0 = 1 . b) Berechnen Sie unter Verwendung dieses Polynoms einen Näherungswert A für das bestimmte Integral A = J ^ l n x + 1 dx. ι c) Um wie viel weicht das Taylorpolynom aus a) im Intervall [ 1 ; 2 ] von f(x) höchstens ab? d) Um wie viel weicht A von A höchstens ab?

Kapitel 7 Funktionen von zwei Variablen In Kapitel 5 wurden Funktionen von einer Variablen behandelt. Häufig hängt jedoch eine Größe von mehreren Veränderlichen ab. So haben ζ. B. viele Faktoren Einfluss auf die Produktionsmenge eines Betriebes. In diesem Abschnitt beschränken wir uns auf Funktionen von zwei Variablen. Diese können anschaulich als Flächen im dreidimensionalen Raum R 3 dargestellt werden. Die für die Untersuchung solcher Funktionen benutzten Methoden lassen sich dann leicht auf mehrere Variable übertragen.

7.1 Stetige Funktionen Beispiel 1: Von einem Produkt werden in einem bestimmten Zeitraum χ Einheiten zum Preis y verkauft. Dann hängt der Umsatz ζ = χ · y = f(x, y) von den beiden Veränderlichen χ und y ab. Jedem Zahlenpaar ( χ , y) mit χ , y > 0 wird eine reelle Zahl ζ = χ · y = f(x, y) zugeordnet. Damit bildet f die Menge D = { (x, y) I χ > 0 , y > 0} C R2 in die Menge der reellen Zahlen R ab. Definition 1: Es sei D C R 2 eine Menge von reellen Zahlenpaaren ( x , y ) . Durch eine bestimmte Zuordnungsvorschrift f werde jedem Element ( χ , y) e D eine reelle Zahl z = f(x,y) zugeordnet. Dann heißt f ( x , y ) eine Funktion von den beiden Veränderlichen χ und y und D der Definitionsbereich von f. Geometrische Darstellung: Das (geordnete) Zahlenpaar (x, y) lässt sich im zweidimensionalen kartesischen Koordinatensystem als Punkt in der Ebene mit den Koordinaten χ und y darstellen. Im Koordinatenursprung O wird eine dritte Achse (die zAchse) senkrecht zu den beiden anderen Achsen angebracht. Die (positive) Richtung der z-Achse wird durch ein sogenanntes Rechtssystem festgelegt. Es ist diejenige Richtung, in die sich eine Schraube mit Rechtsgewinde bewegen würde, falls die x-Achse auf dem kürzesten Weg zur y-Achse gedreht wird. Dieses rechtwinklige Koordinatendreibein lässt sich durch eine geeignete Projektion auf eine Ebene projizieren (s. Bild 1). Wird über (x, y) der Funktionswert ζ = f(x, y) parallel zur z-Achse abgetragen, so erhält man einen Punkt im dreidimensionalen Raum R 3 . Dieser so konstruierte Punkt P(x, y, z) liegt über der x-y-Ebene, falls f(x, y) > 0 ist, er liegt unterhalb der x-y-Ebene, falls f(x, y) < 0 ist; im Falle f(x, y) = 0 ist er in der x-y-Ebene. Alle so konstruierten Punkte P(x, y, ζ = f(x, y)) stellen im allgemeinen eine Fläche im dreidimensionalen Raum dar.

7.1 Stetige Funktionen

Bild 1: a) kartesisches Koordinatenkreuz

125

b) Fläche

Beispiel 2: Ein Monopolist stellt ein bestimmtes Gebrauchsgut in zwei Ausführungen her; die erste Sorte S x in einfacher Ausführung, die zweite Sorte S 2 für gehobene Ansprüche. Dann hängt die Nachfrage nach S j von beiden Preisen χ (für S j ) und y (für S 2 ) ab. Die Nachfragefunktion nach Artikel 1 laute ζ = N(x, y) = 110 — lOx + 5 y . Für die beiden Preise sollen dabei folgende Grenzen festgelegt sein: 1< χ< 7 ;

3 < y < 10.

Mit dieser Preiseinschränkung ist der Definitionsbereich D der Nachfragefunktion N(x, y) ein Rechteck in der x-y-Ebene. Uber diesem Rechteck stellt die Funktion ζ = N(x, y) ein Ebenenstück dar (s. Bild 2).

Bild 2: Ebenenstück

Kap. 7: Funktionen von zwei Variablen

126 Beispiel 3: z=f(x,y)= +^l-x2-y

2

.

Der Definitionsbereich D = {(x,y) | x 2 + y 2 < 1} ist die Fläche eines Kreises (mit Kreisrand) mit dem Radius 1. Für jeden Kreis mit dem Mittelpunkt im Koordinatenursprung O und dem Radius r < 1 gilt ζ =

1 — x 2 — y 2 = ^ 1 — r 2 = const.

Alle Flächenpunkte über solchen Kreisen besitzen die gleiche Höhe z. Für r = 1 ist ζ = 0 und für r = 0 wird ζ = 1. Kurven, über denen die Funktionswerte konstant sind, heißen Isoquanten. Die Kurven, die auf der Fläche über solchen Isoquanten liegen, haben alle die gleiche Höhe und heißen daher Höhenlinien. Lässt man r von 1 an stetig gegen 0 gehen, so beschreiben diese Höhenkreise die Fläche f als Oberfläche einer Halbkugel mit dem Radius 1.

Beispiel 4: Auf einen Würfel mit der Kantenlänge 6 werde in die Mitte ein kleinerer Würfel mit der Kantenlänge 2 gelegt (s. Bild 4). Dann können die sichtbaren Deckflächen als Funktion zweier Veränderlicher gedeutet werden. Falls drei Kanten des unteren Würfels auf den Koordinatenachsen liegen, ist D = { ( x , y ) I 0 < x, y < 6} der Definitionsbereich von f. Die Funktion f(x, y) besitzt den Wertevorrat W = { 6 , 8 } mit fíx

v ì

_ ( 8

für 2 < x, y < 4 ; sonst

f stellt eine sog. Treppenfunktion mit Sprungstellen dar. Bei der Oberfläche einer Halbkugel treten keine Sprünge auf (stetige Änderung der Fläche).

7.1 Stetige Funktionen

127

Bild 4: Deckflächen zweier Würfel Definition 2: Die Funktion f(x, y) heißt stetig an der Stelle (xq , y 0 ), wenn folgende Bedingung erfüllt ist: (XJJ,yn)i η = 1 , 2 , . . . sei eine beliebige Punktfolge, die auf irgendeinem Weg gegen (xq, y 0 ) konvergiert, also Xj,—>x0 und yn—>y0, dann gilt ^iiSo^n-yn) Dafür schreibt man lim f(x, y ) = Λ Α0 y->y0

= f ( x o.yo)· lim f(x 0 + h, y 0 + k) = f ^ , y 0 ). η—»0 k—»0

Eine in jedem Punkt (xq, y 0 ) e D stetige Funktion heißt stetig in D. Beispiel 5 (s. Beispiele 3 und 4): a ) f ( x >y)

= ^Jl-x2-y2 ;

( x , y ) 6 D;

( x 0 , y 0 ) eD.

Aus χ —• Xq und y —> y 0 folgt 1 — x 2 - y 2 —• 1 — x^ — yQ. Wegen der Stetigkeit der Wurzelfunktion folgt hieraus χ·ΐπ?ο f(x> y ) = x üm λ| ι - χ 2 - y 2 = y-y0 y-y0

ι - Xo - yo = f(xo> yo) ;

f ist also stetig. b) Für die in Beispiel 4 definierte Funktion f(x, y ) gilt f(3,2) = 8; f(x, y ) = 6 für y < 2. Daraus folgt lim f(x, y ) = 6 φ f(3,2); (x 0 , y 0 ) = (3,2) ist keine Stetigkeitsstelle. y-2,~y < 2

Kap. 7: Funktionen von zwei Variablen

128

Beispiel 6: ί - π f(x,y) = < x + y [ 0

für (X, y ) # ( 0 , 0 ) ;

d = r2

für (x, y ) = (0,0) .

An jeder Stelle (x 0 , y 0 ) φ (0,0) ist f stetig. Diese Eigenschaft folgt unmittelbar aus den Eigenschaften konvergenter Zahlenfolgen. a) Für (XJJ, y n ) —• (0,0) auf der x-Achse gilt wegen y n = 0 = 0 = 0=f(0,0). b) (Xj,, y n ) —» 0 auf der y-Achse Äf(xn,yn)=

nlim

= 0) ergibt

0 = 0 = f(0,0).

c) Nähert sich (x^ y n ) auf der ersten Winkelhalbierenden gegen (0,0), so gilt auf diesem Weg y n = x„ · Für y n φ 0 erhalten wir dann lim f(x_,y n ) = lim Y \ = lim i = i # f ( 0 , 0 ) . η—»oo ( τ ι " « ' tí—>oo „2 , 2 η—»oo 2 2 λητχη d) Lässt man die Punktfolge (x^ y n ) auf der Geraden y = ax gegen den Koordinatenursprung O konvergieren, so ergibt sich der Grenzwert n lim

f(x, y) = „lim

= ^

.

Für verschiedene Geraden erhält man verschiedene Grenzwerte. e) Lässt man die Punktfolge (x^ y n ) ζ. B. auf einer Spirale gegen (0,0) konvergieren, so kann die Folge der Funktionswerte f(Xn>yn)i η = 1, 2 , . . . nicht konvergent sein. Denn es werden laufend verschiedene Geraden geschnitten, so dass die Folge Teilfolgen mit verschiedenen Grenzwerten enthält. Aus den Eigenschaften für konvergente Zahlenfolgen und für stetige Funktionen einer Veränderlichen folgt unmittelbar der Satz 1: Auf stetige Funktionen h(x) bzw. g(y) einer Veränderlichen werden die Grundrechenarten +, —, · , : angewandt, wobei nicht durch 0 geteilt werden darf. Davon werden wieder stetige Funktionen (in einer Veränderlichen) gebildet. Dann ist die so definierte Funktion f(x, y) in beiden Variablen an jeder Stelle ihres Defmitionsbereichs stetig.

7.2 Partielle Ableitungen

129

7.2 Partielle Ableitungen Wird in f(x, y) für die zweite Veränderliche immer der gleiche Wert y 0 eingesetzt, so erhält man in ζ = f(x, y 0 ) = u(x) bei variablem χ eine Funktion einer Veränderlichen. Die Punkte P ( x , y 0 , f(x, y 0 ) ) liegen auf der Fläche und zugleich in der vertikalen Ebene, die durch y = y 0 geht und parallel zur x-z-Ebene verläuft. Als Schnitt der Fläche mit dieser Ebene bilden diese Punkte eine in einer Ebene liegende Kurve (s. Bild 5). An diese "ebene" Kurve kann über der Stelle ( x 0 , y o ) eine Tangente gelegt werden. Sie besitzt die Steigung tan α =

H m

Δχ—>0

+

Yp) - f(xp, y 0 ) Δχ

(1) v

'

(Χο· Vo>

Bild 5: Partielle Ableitungen Entsprechend ist ζ = f(xQ, y) = v(y) eine Funktion der Variablen y. Die Punkte ( x 0 , y, f(xo, y) ) liegen auf der Kurve, die als Schnitt der Fläche mit der Ebene entsteht, die durch χ = XQ geht und zur y-z-Ebene parallel ist. Über dem Punkt (x 0 , y 0 ) hat diese Kurve die Steigung tan β —

lim f ( W o + Ay) - f(x 0 , y 0 ) . Ay—»o Ay

(2) '

v

In (1) wird bei fest gewähltem y 0 nach χ differenziert, in (2) nach y bei festgehaltenem XQ. Da also nach zwei Variablen partiell differenziert werden kann, müssen diese Ableitungen verschieden bezeichnet werden.

130

Kap. 7: Funktionen von zwei Variablen

Definition 3: Im Falle der Existenz heißt der Grenzwert df(x, y) ,( W o ) dx

x V o o ;

= Δχ—»o lim

f(x

o) f(x ° + A x ' yΔ °'yo) Aχ "

die partielle Ableitung von f(x, y) nach Χ an der Stelle (XQ , y 0 ) und ôf(x,y) . = f y y( x 00 ) y00 ) = lim f(*o.yo + y - f ( x o , y 0 ) dy (Wo) Δγ-O Ay die partielle Ableitung von f(x, y) nach y an der Stelle (XQ, y 0 ). Setzt man in den partiellen Ableitungen x 0 = χ und y 0 = y, so erhält man die partiellen Ableitungsfunktionen erster Ordnung ^

= f x (x, y)

dx

= fy(x,y) yK

9y

= =

lim ^ Δχ-.ο

+ Axy)-f(x,y) Δχ

^

f(x,y + A y ) - f ( x , y ) Ay-o Ay lim

Bei der Berechnung von f x (x, y) bzw. f y (x,y) fasst man diejenige Variable, nach der nicht differenziert wird, als Konstante auf. Nach (1) und (2) können die partiellen Ableitungen interpretiert werden als die Steigung derjenigen Tangente im Punkt Ρ ( x 0 , y 0 , f(xQ, y 0 ) ) an die Fläche, die parallel zur x-z-Ebene (Tangente in Richtung der x-Achse) bzw. parallel zur y-z-Ebene (Tangente in Richtung der y-Achse) ist. Falls es im Punkt P ( ( x 0 , y 0 , f(xQ,y 0 )) eine Tangentialebene an die Fläche gibt (Ebene, welche die Fläche berührt), wird diese Tangentialebene durch die beiden Tangenten in Richtung der x- bzw. y-Achse aufgespannt. Wenn die partiellen Ableitungen f x (x,y) und f y (x,y) an der Stelle (x 0 ,yo) stetig sind, existiert die Tangentialebene an der Stelle (x 0 , y 0 ). Sie besitzt die Gleichung T(x, y) = f(x 0 , y 0 ) + f x (x 0 , y0) · (x - x 0 ) + f y (x 0 , y 0 ) · (y - y 0 ) .

(4)

Falls die partiellen Ableitungen erster Ordnung f x (x, y) und f y (x, y) nochmals nach χ und y differenzierbar sind, erhält man die partiellen Ableitungen 2. Ordnung f rwï w - y j -

d 2 f(x,y) dx2

_ dfx(*.y) _ dx

f

g2

_ ^ y ) dy

x

y

l

Vi ' yJ

f(*.y) dxdy

f x (x + A x , y ) - f x ( x , y ) , Δχ

_ l i m f x (x,y + A y ) - f x ( x , y ) - Δ™0 Ay

7.2 Partielle Ableitungen

fyx(X-Y)

131

star - s r - -

-

yy

dy2

dy

Ä

SE

Ay—*o

Ay

;

Nochmalige Differenziation liefert die partiellen Ableitungen 3. Ordnung. Durch n-maliges Differenzieren erhält man schließlich die partiellen Ableitungen η-ter Ordnung. Beispiel 7: a) ζ = f(x, y ) =

— x2 + 2y2 .

Mit Hilfe der Kettenregel für die gewöhnliche Differenziation erhält man 2y fy(x' y) = • f x (x. y ) = — r — , 2 . o2 ; y •Jl — χ + 2 y ' ' — χ2 + 2 y 2 ' b)f(x,y)

= x

Q

V ;

a,ßeR.

fx(x,y) = a . x a - 1 - y ^ ;

fy(x,y) =/J-x^-y^"1 ;

f x x (x, y ) = α · (α - 1) · x a - 2 · y^ ;

f y y ( x , y ) = β · (β - 1) · χ α · y " ~ 2 ;

fxy(x,y) = a - ß - x o - i - y t - 1 = fyx(x,y). Für die gemischten Ableitungen gilt allgemein der Satz 2 (Satz von Schwarz): Die partiellen Ableitungen f x (x, y ) und f y (x, y ) seien stetig. Falls von den gemischten Ableitungen f (x, y), f y x (x, y ) eine existiert und stetig ist, so existiert auch die andere und beide sind gleich, es gilt also fxv(X.Y)

=fyx(X'Y)·

Sind gemischte partielle Ableitungen stetige Funktionen, so kommt es auf die Reihenfolge der Ableitungsbildung nicht an. Falls die Kosten ζ = K(x, y ) von zwei Einsatzfaktoren abhängen, kann ein Faktor festgehalten werden. Damit erhält man eindimensionale Funktionen g(x) = K(x, y 0 ) und h(y) = K(xq, y). Bei einer lokalen Änderung des variablen Faktors wird die absolute bzw. relative Änderung von Κ durch die Ableitungen bzw. die Elastizitäten der beiden Funktionen beschrieben. Dazu die

132

Kap. 7: Funktionen von zwei Variablen

Definition 4: Bei festem y bzw. χ heißen f x ( x , y ) und f y (x,y) partielle Grenzfunktionen und e

fx ν ΐ - χ . ^ ι Ζ ) .

u

e

vi

-

v

f

y(x'y)

partielle Elastizitäten von f bezüglich χ bzw. y. Interpretationen: f(x + Δ χ , y ) — f ( x , y ) «

fx(x,y)-Ax;

f(x,y + A y ) - f ( x , y ) «

fy(x,y)-Ay;

f(x + Δχ, y) — f(X) y) f(x,y) ~ f(x,y + A y ) - f ( x , y ) f(x, y)

_ χ '

Δ χ

,

x y )

.*l y ·

7.3 Das totale Differenzial Wenn sich die Variable χ um Δχ = dx und y um Δ y = dy ändert, so ändert sich die abhängige Veränderliche ζ = f(x, y) um Δζ = f(x + dx, y + dy) - f(x, y ) .

Bild 6: Totales Differenzial

7.3 Das totale Differenzial

133

Der Zuwachs auf der Tangentialebene von der Stelle (x, y) zur benachbarten Stelle (x + dx, y + dy) heißt das totale (vollständige) Differenzial. Ersetzt man in (4) die Stelle ( x 0 , y 0 ) durch (x, y), x —Xo durch dx und y — y 0 durch dy, so folgt unmittelbar für das totale Differenzial dz = f x (x, y) dx + f (x, y) dy.

(5)

Dabei stellt der erste Summand die Änderung auf der Tangentialebene in x-Richtung und der zweite die entsprechende in y-Richtung dar (s. Bild 6). Falls die partiellen Ableitungen f x (x, y) und f y (x, y) stetig sind, erhält man für kleine Änderungen dx, dy für den Funktionszuwachs beim Ubergang von der Stelle ( x , y) zur benachbarten Stelle (x + d x , y + dy) die Näherung Δζ = f(x + dx, y + dy) - f(x, y) « dz

(6)

Beispiel 8: Das Volumen eines Kreiszylinders mit dem Radius r und der Höhe h lautet V = f(r, h) = π · r 2 · h. Der Radius r werde um a %, die Höhe h um b % vergrößert. Für kleine a, b gilt für die Vergrößerung des Volumens wegen dr =

!M'r

und

dh =

ïïïô'h

A V « d V = fr.dr + fh.dh = 2 T r h . î ^ . r + ^ r 2 . î ^ . h =

xr

2

.h.(^b).

Das Volumen vergrößert sich also um etwa (2 a + b) %. Die Cobb-Douglas-Funktion Für die Produktionsfunktion (Produktionsmenge) in Abhängigkeit vom Arbeitseinsatz χ und Kapitaleinsatz y gibt es nach Cobb-Douglas oft eine Darstellung z = f(x,y) = cxa-yß

mit c e R , α > 0, β > 0.

Sie besitzt das totale Differenzial dz = a c x ° - 1 y / 3 d x + / ? c x ° , y / 3 - 1 d y . Division durch ζ liefert die interessante Eigenschaft für die relativen Zuwächse dz = a d x , * d y Z — « χ "Τ" P y . Nimmt χ um a % und y um b % zu, so wächst die Produktionsmenge ζ um ungefähr (α · a + β · b) %.

134

Kap. 7: Funktionen von zwei Variablen

7.4 Totale Differenziale höherer Ordnung Taylorentwicklung Im totalen Differenzial df = f x dx + f y d y werden die Größen dx und dy als (konstante) Änderungen der beiden unabhängigen Variablen aufgefasst. Damit kann von df nochmals das totale Differenzial gebildet werden, das sog. totale Differenzial 2. Ordnung d2f

=d(df) = |;(fxdx =

+

fydy).dx + | ; ( f x d x + fydy).dy

f x x (x, y ) dx 2 + 2 f x y (x, y ) dx dy + f y y (x, y ) dy 2 .

Dabei wurde die Schwarzsche Formel f = f benutzt. Hiermit erhält χy y man die Approximation 2. Ordnung für den Funktionszuwachs Δ ζ als Λ.

Δζ

«

df +

(7)

¿d2f,

die im allgemeinen besser ist als die lineare Approximation (6). Mit (x, y ) = (xq, y 0 ), dx = χ - x 0 und dy = y - y 0 erhält man das Taylorpolynom 2. Grades an der Stelle (x 0 , y 0 ) T 2 ( x , y ) = f(x0,y0) + f x ( x o ' y o ) - ( x - x o ) + f y ( x o ' y o ) - ( y - y o ) + \ ( f « ( * o · yo) · ( x - x o ) 2 +

2 f xy

(*o· yo) · ( x - x o ) · (y - yo)

+ fyyí^yoí-íy-yo)2) als Approximation der Funktion in der Umgebung der Stelle (x 0 >yo)· Mit d k f = d ( d k - 1 f ) = ^ ( d k " 1 f ) - d x - l - ^ ( d k - 1 f ) - d y für k = 1 , 2 , . . . erhält man allgemein die Approximation η-ter Ordnung

Δζ* t

k= 1

ώ

κ·

(8)

Das zugehörige Polynom T n ( x , y ) heißt Taylorpolynom n-ten Grades der Funktion f(x, y ) an der Stelle (x^ y 0 ) mit f(x, y ) « T n (x, y).

7.5 Die Kettenregel und die Ableitung impliziter Funktionen

135

7.5 Die Kettenregel und die Ableitung impliziter Funktionen Die Funktion f(x, y) besitze stetige partielle Ableitungen erster Ordnung. Falls χ = x(t) und y = y(t) Funktionen in t sind, ist h(t) = f(x(t), y(t)) eine Funktion der einzigen Variablen t. Wir nehmen an, die Funktionen x(t) und y(t) besitzen stetige Ableitungen x ' ( t ) und y ' ( t ) mit den Differentialen dx = x ' ( t ) d t

und

dy = y ' ( t ) d t .

Dann folgt aus dem totalen Differenzial dh = f x ( x , y ) d x + fy (x, y) dy

Für dt —> 0 erhält man hieraus die Kettenregel bei 2 Variablen: h ' ( t ) = ^ = fx(x(t),y(t))-x'(t) + fy(x(t),y(t)).y'(t).

(9)

Alle Stellen (x, y) mit f(x, y) = 0 können interpretiert werden als Punkte auf der Fläche mit der Höhe ζ = 0. Diese Punkte liegen somit in der x-yEbene. Wir nehmen an, diese sog. implizite Funktion f(x, y) = 0 sei (evtl. mehrdeutig) nach y auflösbar, es gelte also y = g(x)· Diese Funktion g sei differenzierbar. Dann folgt aus f(x, g ( x ) ) = 0 mit Hilfe der Kettenregel (9) 0 -

¿f(x,g(x)) = fx(x,y)^ + fy(x,y)^

=

f x ( x , y ) + fy(x,y).g'(x).

Hieraus folgt im Falle der Existenz die Ableitung impliziter Funktionen: g

w

~ d x -

fy (x> y)

y = g(x)

für

fy

(χ, y) φ 0.

Beispiel 9: a ) x 2 + y2 = l ;

f(x, y) = x 2 + y 2 - 1 = 0

y'= - y ;

y^o .

Bei der Auflösung nach y entstehen zwei Funktionen

(10)

136

Kap. 7: Funktionen von zwei Variablen g ^ x ) = + λ] 1 — χ 2

und

g2(x) = - >|l-χ2

(s. Bild 7) mit

gl'(x)= "

-

;

Sa ( * ) = 1

9,(x)

-

/

s

g2(x) \

X

> . } '

- V Bild 7: implizite Funktion b) lnx + l n y + e

x _ 1

+y-2 = 0 ;

x,y>0.

i + ex_1

für y φ - 1, U 1 Die beiden Koordinaten χ = 1 und y = 1 erfüllen die implizite Gleichung. An dieser Stelle besitzt die durch diesen Punkt gehende Funktion y

=

-

x

y = g(x) die Steigung g ' ( l ) = - f j y = - 1Sind χ = χ (u, v ) und y = y (u, ν) Funktionen in u und ν mit stetigen partiellen Ableitungen, so ist f(x(u, v), y(u, v ) ) eine Funktion in den beiden Veränderlichen u und ν mit den partiellen Ableitungen 5y 0

3V

f(x,y) = ¿ f ( x , y ) ·

dv

+ ^f(x,y)

du dy dv

(H)

7.6 Richtungsableitungen und Gradient Die Funktion f ( x , y ) besitze stetige partielle Ableitungen erster Ordnung. In der x-y-Ebene gehe die Gerade g durch den Punkt P ( x 0 , y 0 ) und schließe mit der positiven x-Achse den Winkel γ ein. Alle Punkte P ( £ , η) auf dieser Geraden besitzen die sogenannte ParameterdarsteUung ξ = χ 0 + 1 -cos7;

η = y 0 + t -sin7 , t e R (variabel).

Ein Vertikalschnitt längs dieser Geraden ergibt die ebene Schnittkurve auf der Fläche f g ( t ) = f (χ,, + 1 · cos 7 , y 0 + 1 · sin 7), t e R .

137

7.6 Richtungsableitungen und Gradient Mit der Kettenregel (9) erhält man die gewöhnliche Ableitung von g(t) = " i l " = fx ( x 0 + 4 · c o s 7 ' y 0 + t - s i n 7 ) - c o s 7 + f y (xq + 1 · cos γ , y 0 + 1 · sin γ) · sin

7.

t = 0 ergibt die Definition 5 (Richtungsableitung): Die Funktion f besitze an der Stelle ( x 0 , y 0 ) stetige partielle Ableitungen. Dann heißt df(x,y) ör( 7 ) ( x o , y 0 )

=

f

x

(xo> yo) · cos 7 +

f

(x 0 , y 0 ) · sin

7

(12)

die Richtungsableitung der Funktion f an der Stelle (xq, y 0 ) in Richtung 7. Die Richtungsableitung ist die Steigung tan a der Tangente an die Fläche f in Richtung des Winkels 7.

Bild 8: Richtungsableitung Beispiel 10 (vgl. Beispiel 3): Für die Funktion der oberen Halbkugel aus Beispiel 3 erhält man die partiellen Ableitungen f

x(x.y)=

-

x 2

λ|1 - x - y

2

y

; f y ( x , y) = -

λ|1 - x 2 - y 2

und somit die Richtungsableitung in Richtung 7 öf(x,y) ô r ( 7 ) (x -yo) 0

x 0 ·C0S7 ψ-xo-yo

y 0 · sm7 yl

An der Stelle (x 0 , y 0 ) = (0,0) verschwinden alle Richtungsableitungen in beliebiger Richtung. Damit ist dort die Tangentialebene horizontal.

Kap. 7: Funktionen von zwei Variablen

138

Falls die Richtung 7 durch einen Vektor ( b j , b 2 ) vorgegeben ist (beliebige Vorzeichen), erhält man mit cos 7 = •

, sin 7 = , yo

die Richtungsableitung in Vektors ( b j , b 2 ) Öf(x,y) ör(bj, b2)

Richtung des f x (xO>

0

0

Xo

yo) " b l + f y (x0> yo) · b 2

(*o.yo)

^bfTb

Bei festgehaltenem (x 0 , y 0 ) ist die Richtungsableitung eine Funktion des Winkels 7. Gesucht ist diejenige Richtung, für welche die Richtungsableitung am größten bzw. am kleinsten wird. In dieser Richtung finden also die stärksten Funktionsveränderungen statt. Differenziation der Funktion h

( 7 ) = f x (*o » yo) · cos 7 + f y (xq, y 0 ) · sin 7

nach 7 ergibt die Bestimmungsgleichung h'(7)

=

h "(7) —

= -fx(x0> y 0 ) - s i n 7 + fy(x0. y 0 ) - c o s 7 = o d 2 h(7) d-y2

= - fx(xo> y o ) , c o s 7 - f y ( x 0 ' y o ) , s i n 7 -

1. Fall: f x (x Q , y 0 ) = f y ( x 0 , y 0 ) = 0. Dann sind alle Richtungsableitungen gleich 0 (horizontale Tangentialebene). 2. Fall : f x (x(y),y) = h(y)

einer einzigen Variablen, deren relative Extremwerte nach Abschnitt 5.4 bestimmt werden können. Beispiel 13: Es sollen zylindrische Dosen mit dem (festgewählten) Inhalt V 0 hergestellt werden. Dabei sollen der Radius r und die Höhe h so bestimmt werden, dass die Oberfläche der Dosen (Materialverbrauch) minimal wird. Das Volumen V0 = π r2 · h ist also vorgegeben. Die Oberfläche besteht aus zwei Kreisscheiben und dem Mantel, der in ein Rechteck abgewickelt werden kann mit den Seitenlängen h und 27rr (Kreisumfang). Damit lautet die Oberfläche f(r, h) = 2 π r 2 + 2 n r h . Von dieser Funktion in r und h ist das Minimum gesucht unter der Nebenbedingung ë(T> h) = π r 2 h — V 0 = 0. Mit Hilfe der Nebenbedingung lässt sich eine Variable durch die andere ersetzen, ζ. B. πτ Damit ergibt sich eine Funktion einer Veränderlichen f r h ( » ) _.2 , . u_r2 , V o _ T I M ~2ir~ + r · h = r + , r r = U(r).

144

Kap. 7: Funktionen von zwei Variablen

2π '

7ΓΓ

2V U"(r) = 2 + — 1 > 0 7ΓΓ

V.0_ π r2

_

—

'O

=>

1

Minimum.

Vp-2 = 1 1

2·'

ÏS-2r

Die Oberfläche ist also am kleinsten, wenn der Durchmesser 2r der Dose gleich der Höhe h ist. 7.9.2 Die Methode von Lagrange Gesucht sind die relativen Extrema der Funktion ζ = f(x, y) unter der Nebenbedingung g(x, y) = 0. Die Nebenbedingung g(x, y) = 0 stellt im Allgemeinen eine Kurve in der xy-Ebene dar. Dann sind die Extremwerte unter denjenigen Punkten auf der Fläche gesucht, die über dieser Kurve liegen (s. Bild 11).

fix. y)

glx. y) - 0 (Nebenbedingung)

Bild 11: Extremwert unter einer Nebenbedingung Durch die Nebenbedingung g(x, y) = 0 sei y als (nicht unbedingt eindeutige) Funktion von χ darstellbar durch y = y(x). Dann ist z=f(x,y)=f(x,v>(x))=h(x)

(16)

7.9 Extremwerte unter einer Nebenbedingung

145

Funktion einer Veränderlichen. Dasselbe gilt für die Nebenbedingung v ( x ) = g ( x , y > ( x ) ) = 0.

(17)

Für ein Extremum in der Variablen χ muss h'(x) = 0 sein. Aus (16) erhält man mit Hilfe der Ableitungsregel (10) für implizite Funktionen y

-

-

fx ( χ . y )

fy(x.y)

Differenziation von v(x) = 0 nach χ liefert entsprechend y

=

-

Daraus folgt

gx (x.y) gy ( x . y )

f x (χ. y )

g x (x.y)

fy (χ. y )

gy (χ. y )

Mit einem geeigneten Proportionalitätsfaktor λ ergibt sich hieraus fx

(x.y) = -y)

fy(x,y) =

- λ g y (x, y)

f

x(x.y) +

A

g x (x.y) = o

f y (χ. y) + λ g y (χ, y) = 0.

(18)

Mit der sogenannten Lagrange-Funktion F ( x , y , A ) = f ( x , y ) + Ag(x,y) stehen in (18) die partiellen Ableitungen dieser Lagrange-Funktion nach χ und y. Da die Nebenbedingung g(x, y) = 0 ebenfalls erfüllt sein muss, erhalten wir die notwendigen Bedingungen für ein Extremum: Fx(xlylA)=fx(x,y)+Agx(xIy) = 0 Fy(x, y ι A) = f y (x, y) + λ gy (x, y) = 0

(19)

F A ( x , y , A ) = g ( x , y ) = 0. Oft wird aus der Problemstellung ersichtlich, dass ein relatives Extremum existiert, wobei auch noch klar ist, dass es sich um ein relatives Maximum oder ein relatives Minimum handelt. Falls das Gleichungssystem (19) eine einzige Lösung ( x E , y E ) besitzt, muss diese Lösung das relative Extremum sein. Andernfalls ist es sinnvoll, Funktionswerte f(x, y) in einer Umgebung der Stelle (x B ,¥>(xe)) zu berechnen bzw. die Funktion h(x) = f(x,y?(x)) nochmals zu differenzieren und die hinreichende Bedingung für Extremwerte bei Funktionen einer Veränderlichen zu benutzen.

146

Kap. 7: Funktionen von zwei Variablen

Beispiel 14: Quaderförmige oben offene Blechdosen sollen ein vorgegebenes Volumen V 0 besitzen. Wir wollen χ und y so bestimmen, dass der Blechverbrauch (Oberfläche ohne Deckel) minimal ist. Boden und Sei ten wände ergeben die Oberfläche f(x, y) = χ 2 + 4xy —» min. Die Nebenbedingung lautet Bild 12: Quaderförmige Dose

g(x,y) = x 2 y - V 0 = 0 . Die Lagrange-Funktion lautet F(x,y,A) = x 2 + 4 x y + A - ( x 2 y

-V0)

(1)

F„x = 2 x + 4 y

+ 2Axy = 0

(2)

Fy = 4 x

+

(3)

FA = g ( x , y ) = x 2 y -

(1)

Ax 2 = 0

4y3

für χ φ 0

V0 = 0

2 x + 4 y — 8y = 0

(3) => V 0 = x 2 - y =

λ = - I

=>

x = 2y

y = > ^4

· '

x-2.\ >

Vn

7.10 Aufgaben 1. Das nachstehende Zeltdach stellt eine Funktion ζ = f(x, y) dar, welche außerhalb des Rechtecks ABCD den Wert 0 annimmt. a) Wie lautet f(x, y) ? b) An welchen Stellen existieren die partiellen Ableitungen? c) Bestimmen Sie das totale Differenzial in all den Punkten, in denen es existiert.

7.10 Aufgaben

147

2. Gegeben ist die Funktion f(x, y) = x 2 + y 2 — 4 . a) Bestimmen Sie den Schnitt mit den Ebenen χ = 2; y = 0; y = χ. b) Auf welcher Kurve liegen die Punkte, für die f(x, y) = 0 gilt? c) Bilden Sie die partiellen Ableitungen und überlegen Sie sich, an welcher Stelle ein Minimum liegen kann. 3. In der Produktionsfunktion ζ = f(x, y) = 100 · x 2 · erhöhen sich χ um 0,5 % und y um 1 %. Um wie viel erhöht sich dann die abhängige Veränderliche ζ ? a) Benutzen Sie eine Näherungsformel. b) Berechnen Sie den exakten Wert. 2

4. Bestimmen Sie das totale Differenzial der Funktion f(x, y) = —ψ.— . y +1 Berechnen Sie die ungefähre Änderung des Funktionswerts, wenn sich χ von 10 auf 10,5 vergrößert und y von 2 auf 2,1 anwächst. 5. Ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse c = 5 [cm] und einer Kathete a = 3 [cm] hat den Flächeninhalt F(a, c) = | · c 2 — a 2 [cm 2 ]. Berechnen Sie die Änderung des Flächeninhalts näherungsweise mit Hilfe des totalen Differenzials, wenn sich c um A c = 0,1 [cm], a um Δ a = 0,1 [cm] vergrößert. 6. Vom Rohstoffpreis χ und den Transportkosten y hängen die Herstel3 l lungskosten f(x, y) = x 2 · y 2 für eine Mengeneinheit einer Ware ab. Berechnen Sie mit Hilfe des totalen Differenzials, um wie viel sich näherungsweise die Herstellungskosten ändern, wenn der Rohstoffpreis von 100 auf 105 Geldeinheiten steigt und sich die Transportkosten um eine Einheit von 25 auf 24 Einheiten senken lassen. 7. Gegeben ist f(x, y) = e x y + 2 · In y , y > 0. a) Bestimmen Sie zu f(x, y) die Tangentialebene an der Stelle (0,1). b) Berechnen Sie damit näherungsweise f ( 0 , l , 0,9) — f(0,1). 8. Bestimmen Sie alle Extremwerte der Funktionen: a) f(x, y) = 4 x 2 + 2 xy 2 + x 2 y — χ ; b)f(x,y) =

x

3

+

^li_3x

2

,

x # - l ;

c) f(x, y) = χ 3 + y 2 — 3xy + 15 ; d)f(x,y) = x 2 . ( y

+

l) + l ( y - 1 ) 2 ;

Kap. 7: Funktionen von zwei Variablen

148

e) f(x, y) = χ 4 + y 4 — 2 χ 2 + 4 xy — 2 y 2 — 1 ; f) f(x, y) = χ 3 + y 3 — 3 (x + y) ; g ) f ( x , y ) = 5 y 2 χ + 3 (y — 5) 2 — 20 χ ; h) f(x, y) = e x y + 2 xy + y ; i) f(x, y) = 2 · (χ — y) 2 + y 2 · e y . 9. Bei den Preisen p A , p B zweier Güter lauten die Nachfragefunktionen - (nach Gut Α) χ = 120 - 5 p A , (nach Gut B) y = 80 - 4 p B . Die Herstellungskosten seien K(x, y) = x 2 + y 2 . Bei welchen Preisen wird der Reingewinn maximal? Berechnen Sie diesen Reingewinn. 10. Es sei f(x, y) = ^~xy" eine Produktionsfunktion. a) Bestimmen Sie das totale Differenzial. b) Stellen Sie die Eulersche Homogenitätsgleichung auf. c) Stellen Sie die Gleichung der Tangentialebene an der Stelle (x 0 , y 0 ) = ( 2 , 8 ) a u f . d) Die Kostenfunktion laute K(x, y) = 4 χ + y. Wie müssen χ und y gewählt werden, damit bei einer vorgegebenen Produktionsmenge •yjxy = 10 die Herstellungskosten minimal sind? 11. In einer Fabrik werden oben offene Dosen mit dem Radius r und der Höhe h hergestellt. a) Wie müssen r und h gewählt werden, damit Liter-Dosen minimale Oberfläche haben? b) Bei der Herstellung der Dosen mit den in a) berechneten Maßen ist wegen einer falschen Maschineneinstellung der Radius r um 1 % zu groß und die Höhe h um 0,5 % zu klein. Berechnen Sie mit Hilfe des totalen Differenzials die ungefähre Volumenänderung, die auf diesen Fehler zurückzuführen ist. 12. Es sei χ die Produktionsmenge für eine Ware A und y die für die Ware B. Die Kostenfunktion laute K(x, y) = x 2 + 2y 2 — xy. Für welche Werte x, y sind die Kosten minimal, falls x -f y = 8 unbedingt eingehalten werden muss? 13. Bestimmen Sie die Extrema von f(x, y) = x 2 + y 2 χ2 y2 = a) unter der Nebenbedingung f g + 1> b) unter der Nebenbedingung χ + y = 2.

7.10 Aufgaben

149

14. Bei einer Herstellungsmenge χ [Mio Stück] lauten die Herstellungskosten K(x) = 5 χ2 - 15 x + 3. Der Verkaufspreis sei ρ [EUR/Stück]. a) Stellen Sie eine Gleichung für den Reingewinn in Abhängigkeit von χ und ρ auf. b) Maximieren Sie den Reingewinn unter der Nebenbedingung ρ · χ = 6 [Mio EUR]. 15. Ein Quader habe die Kantenlängen x, 2 χ und y. Die Länge der Diagonalen ist mit -J x 2 + (2x) 2 + y 2 = ^J3Ö vorgegeben. Wie sind χ und y zu wählen, damit unter dieser Nebenbedingung das Volumen V(x, y) = 2 x 2 y maximal wird? 16. Die Mengen χ und y zweier Einsatzfaktoren bestimmen die Herstellungskosten K(x, y) = 5 χ + 4 y und die Menge des hergestellten Produkts r(x, y) = Λ/Χ · y. Gesucht ist das Kostenminimum unter der Bedingung r(x, y) = 20. 17. In der Ebene seien η Punkte gegeben mit den Koordinaten (x¡, y¡), i = 1 , 2 , . . . , η. a) Bestimmen Sie die Koeffizienten a und b der Ausgleichsgeraden y = a + b χ so, dass die Summe der vertikalen Abstandsquadrate η f(a, b) = Σ (y¡ — a — b x i ) minimal wird, i = l

b) Lösen Sie das Problem a) unter der Nebenbedingung, dass die gesuchte Ausgleichsgerade, bezüglich derer die Quadratsumme der vertikalen Abstände minimal ist, durch den Punkt P(£, η) geht, wobei die Koordinaten ξ und η fest vorgegeben sind. 2

18. Bestimmen Sie die Richtungsableitung der Funktion f(x, y) = e x _ 2 y an der Stelle ( 0 , 0 ) in Richtung der ersten Winkelhalbierenden (7 = 45°).

19. Gegeben ist die Funktion f ( x , y ) = x 2 •cos(x-y). Berechnen Sie die Richtungsableitung der Funktion an der Stelle (1, π) in Richtung der Verbindungsstrecke vom Punkt P j (1, π) zum Punkt P 2 (2, Λ[3 + π).

Kapitel 8 Funktionen von mehreren Variablen Bei der Behandlung der Funktionen von zwei Variablen wurden Begriffe eingeführt, die sich unmittelbar auf Funktionen von mehreren Veränderlichen übertragen lassen. Der Übergang von zwei auf mehr als zwei Variable ist somit nicht schwierig. Aus diesem Grund sollen in diesem Abschnitt die wichtigsten Begriffe nur kurz zusammengestellt werden. Bei Funktionen von mindestens 3 Veränderlichen ist eine räumlich-anschauliche Darstellung nicht mehr möglich. Eine formale Übertragung der in Kap. 7 benutzten Begriffe auf höhere Dimensionen liefert jedoch das Rüstzeug, mit dem Probleme, bei denen Funktionen von mehr als zwei Variablen eine Rolle spielen, formal rechnerisch gelöst werden können. Ausgangspunkt sind η unabhängige Variablen, die mit Xj , x 2 , . . . , Xj, bezeichnet werden, wobei η eine fest vorgegebene natürliche Zahl ist. Diese η reellwertigen Komponenten Xj € R werden zu einem n-tupel ( x j , x 2 , . . . , Xj,) zusammengefasst. Die Menge der n-tupel bildet den n-dimensionalen Zahlenraum R n = R χ R χ . . . χ R (s. Abschnitt 1.3). Wird jedem ( χ χ , x 2 , . . . , XjJ e D C R n eine reelle Zahl ζ = f ( x x , x 2 , . . . , XjJ zugeordnet, so ist f eine Funktion in η Variablen mit dem Definitionsbereich D. Mit ( x j , x 2 , . . . , x n ) bezeichnen wir einen fest vorgegebenen Punkt aus D. Die Konvergenz von solchen n-tupel wird komponentenweise erklärt: ( X j , X2 , . . . , XJJ) —» ( x j , x 2 , . . . , x n ) bedeutet, dass jede einzelne Variable x¡ gegen den festen Zahlenwert x¡ konvergiert, also Xj —• χj für i = 1 , 2 , . . . , n. Stetigkeit an der Stelle ( x j , x 2 , . . . , x n ) besagt lim JCj-XJ -

' ' '"'

f(x1,x2,...,xn) = f(xx, x2,...,xn) = f(

(1)

limxj, l i m x 2 , . . . , lim^ XjJ . X,1—»x, x¿0—>x„ x„—>x„ ' 1 2 η η

Fasst man bis auf die Variable x¡ alle anderen Variablen als konstante Zahlenwerte auf, und bildet man die Ableitung nach dieser einen Variablen Xj, so erhält man für i = 1 , 2 , . . . , η die partielle Ableitung nach x¡ gf(x1,x2,...,xn) _ gx, — ^ Λ * ! > x 2 ' · · · > XnJ =

lim Δχ.->0

f ( x l ! x 2 1 · · · > x i - 1 ! x i + Δ χ ί i xLi -L ι ) · · · i x n ) -r Ax¡

(2) —

f ( x ! I x 2 ι · · M x i ) · · · ) Xn) ,

Kap. 8: Funktionen von mehreren Variablen

151

Entsprechend lautet das totale Differenzial an der Stelle ( χ χ , x 2 , . . . , x n ) η dz = d f ( x 1 , x 2 , . . . , x n ) = Σ f x . ( x 1 , x 2 , . . . , x n ) d x i . (3) i= l 1 Auch hier gilt für den Funktionszuwachs Δ ί für kleine Werte | dx¡ | die Näherungsformel Δ ζ = f(x x + dx x , x 2 + d x 2 , . . . , x „ + dXjj) - f ( x j , x 2 , . . . , x j « dz.

(4)

Falls f stetige partielle Ableitungen 1. Ordnung besitzt, ergibt sich die notwendige Bedingung für relative Extremwerte: f ( x 1 , x 2 , . . . , x n ) = 0; f (Xj, x 2 , . . . , x n ) = 0; . . . ; f x ( x j , x 2 , . . . , x n ) = 0 1

i

η

(η Gleichungen für η Unbekannte). Beispiel 1: Die Preise (je Einheit) für die von einem Monopolisten hergestellten artverwandten Güter A, B, C seien x, y und z. Die entsprechenden Nachfragefunktionen nach den Gütern A, B, C lauten der Reihe nach fA(x,y,z) =

150 -

40χ +

4y +

5z ;

fB(x,y,z) =

160 +

6x -

30y +

8z ;

fc(x,y,z) =

180 +

5x +

2y -

25z.

Den Gesamtumsatz in Abhängigkeit von den Preisen erhält man nach elementarer Rechnung als U ( x , y , z ) = x - f A ( x , y , z ) + y - f B ( x , y , z ) + ζ · f c ( x , y, z) =

- 40 χ 2 - 30 y 2 - 25 z 2 + 10 xy + 10 xz + 10 yz + 150 χ + 160 y + 180 ζ.

Differenziation nach x, y, ζ liefert das Gleichungssystem für den maximalen Gesamtumsatz — 80x + lOy + 10z + 150 = 0 lOx -

60y +

10z + 160 = 0

lOx +

lOy -

50z + 180 = 0.

Mit der Lösung solcher linearer Gleichungssysteme werden wir uns in Kapitel 11 beschäftigen. Nach dem Beispiel 2 aus Kapitel 11 lautet die Lösung x = 3;

y = 4;

ζ = 5.

Da bei mindestens einer Preiskombination der Umsatz maximal wird, muss bei dieser einzigen Lösung das Maximum angenommen werden. Der maximale Umsatz beträgt U(3,4,5) = 995 Einheiten.

Kap. 8: Funktionen von mehreren Variablen

152

Auch im mehrdimensionalen Fall gibt es hinreichende Bedingungen für relative Extrema. Da die entsprechenden Formeln jedoch sehr umfangreich sind, können sie in diesem Rahmen nicht gebracht werden. Sie sind in der weiterführenden Literatur zu finden. Sind Xj (t), x 2 (t), . . . , Xj, (t) nach t differenzierbare Funktionen, so lautet die Kettenregel df(x1(t),x2(t),...,xn(t))_ dt

dx¡(t) V*

1

' x 2' · · · '

dt- ·

Homogene Funktionen Eine Funktion f ( x j , x 2 , . . . , x^) heißt homogen vom Grad r, wenn für alle Λ > 0 mit ( x j , x 2 , . . . , x „ ) und (A X j , λ x 2 , . . . , λ x n ) e D gilt ί(λΧ1,λχ2,...,λχη) = Är-f(x1( XJJ,...^). Für homogene Funktionen gilt die Eulersche Homogenitätsrelation η r - f ( x 1 , x 2 , . . . , x n ) = Σ x i ' ^χ. ( X 1 ) x 2 ' · · · ' *n)· 1 i= 1 Hieraus folgt für die partiellen Elastizitäten xi

' ^x- ( x i ' x 2 ' · · · ' x n )

Σ £f x . ( x j , x 2 , · · ·, Xn) = r, falls f homogen vom Grad r ist.

Relative Extremwerte unter Nebenbedingungen Gesucht sind die Extrema der Funktion ζ = Γ(χ!, x 2 , . . . , Xj,) unter den m < η Nebenbedingungen g k (x l f x 2 , . . . , Xj,) = 0 für k = 1, 2,..., m. Falls alle partiellen Ableitungen stetig sind, erhält man mit der LagrangeFunktion m F(x x , X 2 , . . . , XJJ, Aj, λ 2 , . . . , A m ) = f(Xj, Χ 2 , . . . , Χ η ) + Σ \ ' 6k ( x l> X 2' • · · » X n) k=1 notwendige Bedingungen für relative Extrema m ' · · · ' *n) + Σ \ · Sk ( X 1 ' x 2 » · •· , * n ) = 0 1 1 k= 1 *j für i = 1, 2, . . , η. , m. FAk= x gk( i·**···.^ = ° für k = 1 , 2 , . . F x . = f x . (Χχ )

Kap. 8: Funktionen von mehreren Variablen

153

Unter den Lösungen dieser η + m Gleichungen für die η + m Unbekannten Xj, x 2 , . . . , x„, Aj, λ 2 , . . . , A m befinden sich die relativen Extrema. Beispiel 2: ζ = f ( x 1 , x 2 , x 3 ) = Xj + x 2 + X3

(Hyperebene)

g ( x 1 , x 2 , x 3 ) = x j + x^ + x § - r 2 = 0 (Kugel in R 3 mit dem Radius r und O als Mittelpunkt). Lagrange-Funktion F ( x j , x 2 , x 3 , λ ) = χα + x 2 + x 3 + λ ( χ ^ + FY

=

1 + 2λχ,

F

=

1 + 2Axj = 0

=

1 + 2 λχο = 0

χι

Fv

3

Fx = 0

1

=>

=

0·

λ

χ2 + χ2 + x3 =

1. Lösung ( χ υ x 2 , x 3 ) = (

r2 , ^

2. Lösung ( x j , x 2 , x 3 ) = ( - ^

-

+

1

2 Xj

>- ^

)

r2).

2 X2

=> 3x? = r 2 ; , ^

-

x1 = ± ^

2 Xß

.

rei. Maximum;

. -

rel·

Minimum.

Dass es sich um entsprechende Extremwerte handelt, erkennt man durch Berechnung der Funktionswerte an diesen beiden Stellen und in der Umgebung davon.

Aufgaben 1. Es sei bekannt, dass die Funktion ζ = χ 2 x 2 + Xj x 2 + ì x 2 - 4 x 2 - ì x^ + x 3 - x 2 + 2 x 4 genau ein relatives Maximum besitzt, welches im Bereich Xj > 0, x 2 < 0 liegt. An welcher Stelle wird dieses Maximum angenommen? 2. Untersuchen Sie, ob folgende Funktionen homogen sind. Bestimmen Sie gegebenenfalls den Homogenitätsgrad r. a)\ fc/( x j , x 2 , x 3 )\ =

X1

Xj · x22 · x33 X

b ) f ( x j , x 2 , ... , x „ ) = .

x i _L ^ üη

X

fi^fi

;

c) f ( x j , x 2 , x 3 ) = l n x j + l n x 2 + lnx 2 ;

'

a¡eR;

154 d ) f ( X l , x2, x3) =

Kap. 8: Funktionen von mehreren Variablen (x1-x2)

e) f ( x j , x 2 , x 3 , x 4 ) — ( x j + x 2 + x 3 + X4)2 H 4

mit

5— 5— 5x 1 + x 2 + x3 + x4

E ^ O · i= 1

3. Die Kostenfunktion für die Produktionsmengen Xj, x 2 , x 3 dreier Güter laute Κ (x 1 ? x 2 , x 3 ) = x j + 1,5 x 2 + 2 x 3 . Bestimmen Sie die Extremwerte jeweils unter den Nebenbedingungen a) Die Gesamtproduktionsmenge beträgt 1040 Einheiten. b) Die Gesamtproduktionsmenge betrage 1040 Einheiten, wobei vom 3. Gut (Produktionsmenge x 3 ) genauso viel hergestellt werden muss wie von den beiden anderen Gütern zusammen. 4. Der Ernteertrag ζ hänge von den Einsatzmengen Xj, x 2 und x 3 dreier Düngemittel ab durch 2 ζ = A-(l-e~xix2x3j, A eR. Bestimmen Sie den maximalen Ertrag unter den Bedingungen + X 2 + X 3 = 4 ; Xj = 2 x 2 .

X l

5. Bestimmen Sie den Extremwert der Funktion ζ = Xj + x 2 + x 3 + x 4 unter den Nebenbedingungen x x + x 2 + x 3 = 3 ; x3 + x4 = 6. 6. Berechnen Sie die partiellen Elastizitäten sowie deren Summen für folgende Funktionen: a) f ( x l t x 2 , x 3 , x 4 ) = χ? + + 2 x 1 x 2 + 3x1x3 + 4x1x4 ; b) f ( x l t x 2 , x 3 , x 4 ) =

1 \ , a ' X3 + x 4

x^ +

φ 0;

π c) f ( x x , x 2 , . . . , x j

=

Σ

,

E

i=1

xf # 0 .

i=1 7. Gegeben ist die Funktion ζ = ^pc^" · x 2 · x 3 · φ ζ · x 4 . a) Ist die Funktion homogen? b) Berechnen Sie das totale Differenzial und damit näherungsweise den Funktionszuwachs beim Übergang vom Punkt ( 9 , 6 , 4 , 2 ) zu (9,01, 5,98, 4,02, 1,97). c) Stellen Sie die relative Änderung der abhängigen Veränderlichen ζ in Abhängigkeit der relativen Änderungen der unabhängigen Veränderlichen dar. d) Berechnen Sie die partiellen Elastizitäten.

Kapitel 9 Vektorrechnung Zur Beschreibung einer Kraft muss neben dem Betrag noch die Richtung angegeben werden, in welche diese Kraft wirkt. In der Ebene R2 können solche gerichteten Größen durch zwei, im R 3 durch drei geordnete Zahlenwerte a x , a 2 , a 3 beschrieben werden. Anschaulich werden Kräfte durch Pfeile dargestellt, die vom Koordinatenursprung O zu dem Punkt mit den entsprechenden Koordinaten a¡ weisen. Solche gerichteten Größen heißen Vektoren. Sie werden mit lateinischen Buchstaben, die mit einem Pfeil versehen sind, dargestellt, z. B. a = ÖP = W ;

a = ÓQ = i a-2 ] -

Bild 1: Vektoren im R2 und R 3

9.1 n-dimensionale Vektoren Beispiel 1: Eine Firma stellt η verschiedene Güter her. Die Produktionsmenge des iten Gutes in einem bestimmten Zeitraum sei m¡ Einheiten, der Preis je Mengeneinheit des i-ten Gutes sei p¡ für i = 1 , 2 , . . . , n. Dann können diese Zahlen jeweils zusammengefasst werden zum

Kap. 9: Vektorrechnung

156

'ρΛ "Preisvektor"

/m^ m0

ρ =

und "Mengenvektor" m =

m;

P2 \

m

n/

Definition 1: Sind aj, a 2 , . . . , a n VPn reelle/ Zahlen, so heißt /

& 1

\

a =

ein Spaltenvektor Van

und a T = ( a j , a 2 , . . . , a ; , . . . , a n )

)

ein Zeilenvektor mit den η Komponenten a j , a 2 , . . . , a n . Der Vektor 0 T = (0 , 0 , . . . , 0) heißt Nullvektor. .

rp

Aus einem Spaltenvektor a wird ein Zeilenvektor a , indem die Spalte zu einer Zeile transponiert wird. Zwei Vektoren heißen gleich, wenn sie komponentenweise übereinstimmen, d. h. /a,\ b2

2

a = \

a

— b Ό a¡ = b¡

für alle i (komponen ten weise).

\K!

n /

Bei einer Produktionssteigerung um 10% gehen die Produktionsmengen m¡ über in 1 , 1 - i n j . Den dadurch entstehenden neuen Mengen vektor bezeichnen wir mit 1 , 1 - m , d.h. 1,1 · m T = (1,1 · m x , 1,1 • m 2 , . . . , 1,1 • m n ) . Sind a¡ bzw. b¡ die Produktionsmengen des i-ten Gutes im 1. bzw. 2. Halbjahr, so erhält man durch Addition der entsprechenden Komponenten für die Produktionsmengen des ganzen Jahres die Darstellung Λ·ι +

a2 +

Β

Λ

b2

m -

( , Λ

( b A

a

2

b2

a

i

+

—

a

i +

\an +

b

i K )

UJ

= a + b.

lbn>

157

9.1 n-dimensionale Vektoren Definition 2: Für zwei Vektoren

(hb A

/εΛ

/ a 1 + bj^ a 2 + b2

2

a

miri b =

heißt

a+ b =

Vbn/ \an / die Summe der Vektoren a und b . Der Vektor / λ · a: \ λ -an λ·ä =

λ · a;

, λeR

a¡ + b¡ Van +

h

J

heißt das Produkt des Vektors a mit dem Skalar Λ.

geometrische Interpretation für η = 2:

Bild 2: Vektoraddition und Multiplikation mit einem Skalar im R2 Im Falle η = 2 oder η = 3 erhält man den Summenvektor a + b durch Anbringen des parallel verschobenen Vektors b an den Endpunkt des Vektors a oder umgekehrt. Für λ > 0 zeigt der Vektor λ · a in die gleiche Richtung wie a, für λ < 0 in die entgegengesetzte Richtung. Seine Länge ist das | λ | fache der Länge von a. Die Subtraktion a — b kann auf die Addition a + ( — 1) · b = a + (— b) zurückgeführt werden (s. Bild 3). Für den Vektor, der vom Punkt Ρ mit den Koordinaten (pj, p 2 ) zum Punkt Q mit den Koordinaten q 2 ) weist, gilt (s. Bild 3) O P + P Q = O Q . Daraus folgt PQ = Ö Q - Ö P

=

(ςι~ρΛ. \ 0 mit

m

Σ A¡ = 1 heißt die Linearkombination konvex. i=1

b) Die Vektoren a l t a 2 , . . . , a m heißen linear unabhängig, wenn aus m _ i=1 folgt A X = A 2 =

. . . = A M = 0.

Kap. 9: Vektorrechnung

160

c) Falls es eine Darstellung m _ (η Komponentengleichungen) Σ Ai· S¡ = 0 i=ι gibt, in der nicht alle λ ; verschwinden, heißen die m Vektoren ä j , a 2 , . . . , a m linear abhängig. Beispiel 2: /l\ _ 2 ; a2 = al = 2

(

„

1 ; a3 = -7

W

(0\

0 1 ; a4 =

/0\ 0 0 w

A

sind linear unabhängig, da aus Σ ^ · a¡ = 0 komponentenweise (der Reihe i=l nach) folgt At = 0 => λ 2 = 0 λ3 = 0 λ 4 = 0 . Wegen

ist in der Ebene jeder Vektor als Linearkombination der beiden aufeinander senkrecht stehenden Einheitsvektoren ^ J ^ und ^ ^

darstellbar.

Im dreidimensionalen Raum R 3 ist jeder Vektor als Linearkombination der drei Vektoren e

1 =

( 0 );

e 2 = [ 1 ) ; e3 = ( 0 1 .0,

A darstellbar durch 0, — I ein I

cL-t * β·» -j" ά>Λ * Cn 4* äq3 "

Die drei Einheitsvektoren , e 2 , e 3 stehen senkrecht aufeinander und besitzen jeweils die Länge 1. In A j ä j + X2&2 +

... + λ ^ + ... + Ä m a m = Ö

sei A¡ φ 0. Dann folgt hieraus mit — y^- = μ^ 0 ai

die Darstellung

Λ: n

=

Σ

-

Ak

τ~ · '0

= MΣi n / ν a k ·

Der Vektor a¡ ist somit als Linearkombination der übrigen Vektoren darstellbar. Ist umgekehrt ein Vektor eine Linearkombination der übrigen Vektoren, so sind die Vektoren insgesamt linear abhängig. In der Ebene sind drei Vektoren immer linear abhängig (s. Bild 4).

9.2 Darstellung von Geraden und Ebenen im R 3

161

Allgemein gilt der Satz 1: Im Rn sind mehr als η Vektoren (mit η Komponenten) stets linear abhängig. Auf das Problem der linearen Abhängigkeit werden wir bei der Behandlung linearer Gleichungssysteme in Kap. 11 nochmals zurückkommen. Zur Nachprüfung auf lineare Unabhängigkeit müssen lineare Gleichungssysteme für die η Komponentengleichungen gelöst werden.

9.2 Darstellung von Geraden und Ebenen im R3 Eine Gerade g ist durch zwei verschiedene Punkte Ρ(ρ χ , p 2 , p 3 ) und Q(qj, q 2 , qg) bestimmt. Ein beliebiger Punkt Χ(χ χ , x 2 , x 3 ) auf dieser Geraden mit den Koordinaten χ χ , x 2 , X3 kann mit Hilfe des Ortsvektors dargestellt werden in der Form X = ÖX = Ö P + A-PQ = a + A- b, mit

/χΛ /ρΛ x = O X = x2 ; a = O P = p2 ;

W

AeR

(1)

_ _, /qi-Pi' b= PQ=q2-p2

W

- Pay

Für die Ortsvektoren χ = ΟΧ zu den Punkten X auf der Geraden g gibt es also eine Parameterdarstellung der Geraden

(3)

Bild 5: Darstellung einer Geraden im R3 Da die Punkte Ρ und Q beliebig auf der Geraden gewählt werden können, ist eine Parameterdarstellung nicht eindeutig. Die einzige Variable in einer Parameterdarstellung ist der Skalar AeR. Für A = 0 ist X = P, A = 1 liefert X = Q. Für A = 1 liegt der Punkt X in der Mitte zwischen Ρ und Q .

Kap. 9: Vektorrechnung

162

Eine Ebene E im R 3 ist durch 3 nicht auf einer Geraden liegende Punkte P j , P 2 , P 3 bestimmt (s. Bild 6). Mit dem in die Ebene hineinführenden Ortsvektor a = OPj und den Linearkombinationen der beiden in E liegen den Vektoren b = P j P j und c = Ρχί^ erhält man eine Parameterdarstellung der Ebene

(4) Die beiden Parameter λ und μ sind hier frei wählbar. Für λ > 0, μ > 0 mit λ + μ = 1 liegt der Punkt X im Innern oder auf dem Rand des von den Punkten P j , P 2 , P 3 aufgespannten Dreiecks.

Bild 6: Darstellung einer Ebene im R 3 Beispiel 3: a) Die Parameterdarstellung für eine Ebene χ = Ιχ

+λ

ist gleichwertig mit den drei Komponentengleichungen x

1 =

1 -

A +

μ

x2 = 2λ + μ x3 = - 1 + 3 λ + 2 μ

(1)

(2) (3)

Subtraktion (1) - (2) liefert

χ + . n o 1 Aus (2) folgt hiermit μ — χ2 — 2 λ = — j + j X j + j X 2 ·

Xj — χ 2 = 1 — 3 λ ,

1 also λ = I

Χ

Setzt man diese Werte für λ und μ in (3) ein, so erhält man 4 , 1 „ ,5

9.3 Gleichung der Tangente an eine Fläche

163

Multiplikation mit 3 ergibt die Koordinatengleichung für die Ebene Xj + 5 x 2 — 3 x 3 — 4 = 0. b) Aus der Koordinatengleichung Xj + 5 x 2 — 3 x 3 — 4 = 0 erhält man mit x 2 = λ, x 3 = μ die Parameterdarstellung: Xj = 4 — 5 λ + 3 μ x2 = λ

=>

Allgemein gilt der Satz 2: Jede Gleichung der Form a x 1 + b x 2 + c x 3 + d = 0, a, b, c , d e R , in der von den drei Koeffizienten a , b, c nicht alle verschwinden, stellt eine Koordinatengleichung für eine Ebene E im R 3 dar.

9.3 Gleichung der Tangente an eine Fläche An die Funktion f ( x , y ) soll an der Stelle ( x 0 , y 0 ) eine Tangente in Richtung des Winkels 7 gelegt werden. Die Steigung tan a der Tangente ist die Richtungsableitung (s. 7.6) ten α = f x (x 0 , y 0 ) · cos 7 + f y (x 0 , y 0 ) · sin 7 . Die Tangente in Richtung des Winkels 7 besitzt daher die Parameterdarstellung

Falls die Richtung durch den Vektor b = ( b j , b 2 ) vorgegeben ist, erhält man mit D·. Do . . . I—2 2 cos 7 = , ; sin 7 = . nach Multiplikation mit bf + b~ J k2 ι u2 . u2 . L2 N I Í die Parameterdarstellung

164

9.4 Aufgaben

9.4 Aufgaben 1. Gegeben sind die Vektoren

a) b) c) d)

)

3·

Bestimmen Sie ihre Beträge. Sind die drei Vektoren linear unabhängig? Berechnen Sie alle möglichen Skalarprodukte. Berechnen Sie ( a T · b) · c .

2. Bestimmen Sie die Zahlen a, b, c so, dass folgende Vektoren paarweise aufeinander senkrecht stehen:

3. Bestimmen Sie die Koordinaten a und b so, dass die drei Punkte Ρ ( a , b , 6), Q (1, — 1,2) und R ( — 2 , 3 ,4) auf einer Geraden liegen. 4. Gegeben sind die drei Geraden

a) Welche der Geraden schneiden sich paarweise? Bestimmen Sie gegebenenfalls ihren Schnittpunkt. b) Prüfen Sie nach, ob der Punkt Ρ ( 4 , 1 , 2 ) auf einer der drei Geraden liegt. 5. Gegeben sind die Punkte P, Q, R mit den Ortsvektoren

a) Geben Sie die Ebene E an, die durch diese Punkte bestimmt ist, und zwar in einer Parameterform und als Koordinatengleichung. b) Bestimmen Sie eine zur Ebene E parallele Gerade, die durch den Punkt S ( 1 , 1 , - 1 ) geht.

9.3 Gleichung der Tangente an eine Fläche

c) Steht die Gerade g:

2 ( \ χ = | Ο Ι

165

(Λ

+ λ · | — I I senkrecht auf E?

W

V

0/

6. Gegeben seien die Punkte P j ( 5 , 0 , 0 ) , P 2 (0,1,1) und P 3 ( - 2 , 2 , 1 ) . Geben Sie eine Gleichung der Ebene E durch die 3 Punkte an a) in einer Parameterdarstellung, b) in einer Koordinatengleichung. c) Liegen die Punkte Ρ ( 1 , 1 , 1 ) und Q ( — 8 , 2 , 3 ) in dieser Ebene? d) Zeigen Sie, dass die durch die Punkte R ( 1 , - 1 , 1 ) und S ( 3 , 3 , 7 ) gehende Gerade g auf der Ebene E senkrecht steht. 7. Gegeben sind die Punkte Ρ χ ( 1 , 1 , 1 ) , P 2 ( 2 , 0 , - 1), P 3 ( - 1 , 0 , - 2). a) Bestimmen Sie eine Koordinatengleichung der Ebene E, auf welcher die drei Punkte liegen. b) Geben Sie Parameterdarstellungen für alle Ebenen an, auf denen P 3 liegt und zu denen die durch P j und P 2 gehende Gerade g parallel verläuft. 8. Gegeben sei die Funktion f(x, y) = x 2 · y + y · e _ y . a) Bestimmen Sie die Richtungsableitung an der Stelle (2,1) in Riehtung des Vektors

aW= I M

b) Bestimmen Sie einen Vektor b so, dass die Richtungsableitung in Richtung von b an der Stelle (2,1) den Wert 0 annimmt. 9. Bestimmen Sie den Abstand der beiden windschiefen Geraden

«=(!)•*·(;).

*=(·)+*{;)·

Geben Sie die 2 Punkte (Lotfußpunkte) an, zwischen denen dieser Abstand gemessen wird. Hinweis: Behandeln Sie dieses Problem als Extrem wert problem. 10. Gegeben seien die Ebenen Ex : 3χ + 2 y+ ζ= 6 E 2 : - 2 7 x + 38y + 5z = 100.

und

Geben Sie eine Gleichung der Geraden g an, die parallel zu E j verläuft, in E 2 liegt und durch den Punkt P(2,3,8) geht.

K a p i t e l

1 0

M a t r i z e n r e c h n u n g

Beispiel 1: Ein Betrieb stellt drei verschiedene Güter her und beliefert damit vier Abnehmer. Dann können die in einem bestimmten Zeitraum gelieferten Mengen (in vorgegebenen Mengeneinheiten) in zwei verschiedenen Tabellen übersichtlich dargestellt werden Gut

Abnehmer G u t A j A 2 A3 A4

Abnehmer

20 35 48

76

Aa

20 90 80

90 50

45

a2

35 50

a3

48

a4

76 45

Gì g2 g3

16

80 19 20 30 * V ' = A

Gl

G

2

g3

19

16 20 30

= Β Solche schematischen Anordnungen von Zahlen heißen Matrizen. Definition 1: Das rechteckige Zahlenschema u

a 12

a 21

a 22

· • aij · • a 2j

· • aln \ · • a 2n

ail

a i2

· •

· •

a ml

a m2

· • a mj · • amn ^

a

A =

V

aij

a in

= (ajj, i = 1, . . . , m ; j = 1 , . . . , n )

heißt eine Matrix mit m Zeilen und η Spalten oder eine m χ η-Matrix. Die Zahlen a¡¡ e R nennt man Elemente der Matrix. Das Element a¡j steht in der i-ten Zeile und in der j-ten Spalte. Im Falle η = 1 ist A ein Spaltenvektor, während für m = 1 die Matrix A einen Zeilenvektor darstellt. Die Zeilen der Matrix A können als Zeilenvektoren, die Spalten als Spaltenvektoren interpretiert werden. In Beispiel 1 treten folgende 3 x 4 - bzw. 4 χ 3 - M a t r i z e n auf:

20 35 48 76 A = I 90 50 16 45 80 19 20 30

( 20 35 Β = 48 y 76

90 80 \ 50 19 16 20 45 30 }

(1)

10 Matrizenrechnung

167

Definition 2: Zwei Matrizen A = (a¡j) und Β = (b¡j) heißen gleich, wenn beide Matrizen vom gleichen Typ (beides m χ n-Matrizen) sind und wenn die entsprechenden Elemente übereinstimmen, d . h . ay = by

für alle i = l , 2 , . . . , m ; j = l , 2 , . . . , n .

Die Matrizen A und Β aus Beispiel 1 können nicht als gleich bezeichnet werden, da sie von verschiedenem Typ sind. Die Zeilen der Matrix A stimmen jedoch mit den Spalten der Matrix Β überein. Die Matrizen A und Β können somit durch Vertauschen der Zeilen und Spalten ineinander übergeführt werden. Dazu die Definition 3: Die Matrix A^, die aus A dadurch hervorgeht, dass alle Zeilen von A der Reihe nach als Spalten von A T geschrieben werden, heißt die zu A transponierte Matrix. Es gilt also

/ a

A =

ml

In 21 a 22

a

a

mlam2 ' "

a

2n

a

AT =

12 a 22 *' '

m2

y a l n a 2n ' " ' a miy

mn

Für die in (1) dargestellten Matrizen A und Β gilt A T = Β ; B T = Α. Diese Eigenschaft ist plausibel, da die beiden Schemata aus Beispiel 1 durch Vertauschen der Zeilen und Spalten ineinander übergehen. Zeilenvektoren sind die Transponierten der entsprechenden Spaltenvektoren. Aus diesem Grund wurde in Abschnitt 9 bereits die Bezeichnung a T für die Zeilenvektoren benutzt. Falls alle Liefermengen aus Beispiel 1 um 20% erhöht werden, müssen sämtliche Elemente ay der Matrix A mit λ = 1,2 multipliziert werden. Die dadurch erhaltene Matrix bezeichnet man mit λ · A = 1,2 · Α. Durch Addition der Liefermengen im ersten und zweiten Halbjahr entsteht eine Matrix, welche die Liefermengen für das gesamte Jahr beschreibt. Definition 4: a) Eine Matrix A = (a¡j) wird mit einem Skalar Λ € R multipliziert, indem jedes Element a¡j mit λ multipliziert wird; es gilt also ( Aan

Aa 1 2

Aa ; i

Aa ¡2

λ·A = \

λ3

Ίη1

Aa

... Aaln

m2 ···

Aa;, Aa

lnn/

\ = (Á.a¡j);

Kap. 10: Matrizenrechnung

168

b) Zwei m χ n-Matrizen A = (a-) und Β = (b-) (vom gleichen Typ) werden addiert, indem die an den gleichen Stellen der beiden Matrizen stehenden Elemente addiert werden, also /a

+ b n , ... , a l n + b l n

n

\ I = ( a ij + bjj) ·

A+ B = V a m l + b m l ' · · · ' a mn + b nm

/

Beispiel 2: * = ( - ϊ >

„ = ( ; ; )

?

» ) .

Die Addition Α + Β ist nicht durchführbar. Dagegen gilt T

" B

= ( ?

5

S ) ·

Im folgenden Beispiel werden zwei Matrizen miteinander multipliziert. Beispiel 3: Zur Herstellung der Produkte P j , P 2 , P 3 und P 4 werden drei verschiedene Rohstoffe benötigt. Die zur Herstellung von einer Mengeneinheit eines Produktes benötigten Rohstoffmengen seien in der untenstehenden Tabelle als Matrix A dargestellt. Aus diesen Produkten sollen nun zwei Endprodukte E j und E 2 hergestellt werden. Die zur Herstellung einer Einheit benötigten Mengen an Zwischenprodukten werden durch die Matrix Β beschrieben: Rohstoffbedarf für Rohstoffe

P2 P 3

P4

1

/2

1

3

4\

r2

3

2

0

1

r3

\o

3

2

V

R

Pi

/ 3a τ \ l = V

3

/

Bedarf an Zwischenprodukten für Produkte

E

Í2

i

E

4\

1

3

3

1

\5

2

6/

= (bx, b2): B.

A.

10 Matrizenrechnung

169

Zur Herstellung einer Einheit vom Endprodukt E 1 sind 2·2 + 1 · 1 + 3 · 3 + 4 · 5 = 34 Mengeneinheiten des Rohstoffs Rj notwendig. Diese Summe ist das Skalarprodukt a j · bj des ersten Zeilenvektors von A mit dem ersten Spaltenvektor von B. Allgemein werden zur Herstellung einer Einheit des Endprodukts E k insgesamt a ? · bjj Mengeneinheiten des Rohstoffs Rj benötigt für i = 1 , 2 , 3 ; k = 1,2. Der Rohstoffbedarf für die Endprodukte Ej und E2 lässt sich in der Matrizenform darstellen Rohstoffbedarf für Rohstoff E, En l R2

ε2λ

R

-τ

= c.

-τ 2y V Der Rohstoffbedarf für die Endprodukte wird durch die Matrix C beschrieben. Durch folgendes Schema lässt sich C einfach berechnen Ro

/ 2 1

4 \ ι

= Β

= C C ist eine 3 x 2-Matrix. Das Element c¡ k = a¡ · b k entsteht durch Multiplikation des i-ten Zeilenvektors von A mit dem k-ten Spaltenvektor von B. Die Matrix C heißt das Produkt der Matrix A mit der Matrix B. Die entsprechenden Vektormultiplikationen sind nur durchführbar, wenn die Anzahl der Spalten der Matrix A mit der Anzahl der Zeilen der Matrix Β übereinstimmt. Definition 5: Es sei A eine m χ η-Matrix und Β eine η χ r-Matrix (also Spaltenanzahl von A = Zeilenanzahl von B). Dann ist das Produkt C = Α · Β = (c¡ k ) eine m χ r-Matrix mit den Elementen η τ c ik = Σ a ii · b ik = ä i b k f ü r i = 1 , 2 , . . . , m ; k = 1 , 2 , . . . , r. j =i Dabei ist a.J der i-te Zeilenvektor von A und b^ der k-te Spaltenvektor von B.

Kap. 10: Matrizenrechnung

170

Durch die in Beispiel 3 bereits benutzte Darstellung lässt sich das Produkt Λ · Β übersichtlich berechnen in dem Falkschen Schema

(

V

a

lk

bi r N

21

2k

2r

nl

nk

= Β

'In

al2

n

(b 11

il

i2

aml

am2

amn

/

=A

C = A·Β

A · Β ist also eine Matrix, die genauso viele Zeilen wie A und so viele Spalten wie Β hat. Beispiel 4:

*=(M> *={-\-\\\' «-(_;-;)• Hieraus folgt A'B =

( - 6 -12 12 )·

Das Produkt Β · A ist nicht erklärt. A

C =

(

5 -l!)

;

C

A

= ( l 0

6

J >

Die beiden Produkte A · C und C · A sind verschieden. Für die Produktbildung bei Matrizen gilt also im allgemeinen das kommutative Gesetz nicht. Definition 6: a) Im Falle m = η heißt die Matrix A quadratisch. b) Die m χ n-reihige Nullmatrix 0 ist diejenige Matrix, deren Elemente alle gleich Null sind:

0

/ 0 0 ... 0 \ 0 0 ... 0 V 0 0 ... 0 /

171

10 Matrizenrechnung c) Die η χ n-reihige Matrix

( \ E =

0 0

0 1 0

0 0

0 0

0 0 1

0 ... 0 ... 0 ...

0 \ 0 0

0 0

0 1

1 0

1 für i = j = ( e ij) mit e ij = { 0 für i φ )

heißt η χ η - reihige Einheitsmatrix.

Eigenschaften der Matrizenoperationen: Α+ Β= Β+ A

(Kommutativgesetz der Addition)

A•Βφ Β·Α

im Allgemeinen

A + (Β + C) = (A + Β) + C

(Assoziativgesetz der Addition)

(Α · Β) · C = A · (Β · C)

(Assoziativgesetz der Multiplikation)

A-(B + C) = A - B + A - C (A + B)-C = A- C + B- C

(Distributivgesetze)

Α ·E = E ·A = A

falls A quadratisch

0 · A = A ·0 = 0

dabei müssen die Nullmatrizen jeweils vom passenden Typ sein.

(A · B) T = B T · A T

Vertauschung der Reihenfolge

Die η-te Potenz einer quadratischen Matrix A ist erklärt durch A n = Α · Α · ... -A . > ν n-faches Produkt Beispiel 5: - - ( ü ) . Hier gilt Α · Β = 0, obwohl beide Matrizen A und Β von der Nullmatrix verschieden sind. Aus Α · Β = 0 folgt also nicht, dass einer der beiden Faktoren gleich Null sein muss.

172

Kap. 10: Matrizenrechnung

Bemerkung: Da bezüglich der Multiplikation das Kommutativgesetz nicht gilt, dürfen die Rechenregeln für Zahlen nicht unmittelbar auf Matrizen übertragen werden. Falls Α Ή ^ έ Β Ά ist, gilt ζ. B. (A + B) 2 = (Α + Β ) · ( Α + Β) = Α 2 + Α · Β + Β · Α + Β 2 φ A2 + 2 A · Β + Β2.

Aufgaben 1. Gegeben ist die Matrix A =I Berechnen Sie die Matrizen a) A 2 + 2 A ; b) A + A T ; c) Α · A T . d) Prüfen Sie folgende Eigenschaften nach: (A + A T ) T = (A + A T ) ; (Α · A T ) T = Α · A T . 2. Gegeben sind a T = (1,2,1);

b =

Β =

A =

C =

Berechnen Sie a) D = i (A + C) ; b) a T · A ,

Β · b,

aT

c) D · Β , A · C , C · A.

c;

10 Matrizenrechnung

173

3. In einer Großküche werden 800 Essen I, 1200 Essen II, 1400 Essen III ausgeteilt. Die Essen setzen sich zusammen aus (Angaben in kg): Reis Essen I Essen II Essen III

Nudeln

0,2 0,2

— —

0,25

-

Fleisch

Gemüse

0,15 0,1 0,10

0,1 0,1 —

Salat —

0,1 0,1

Die Großküche kauft die Nahrungsmittel zu den Preisen (EUR/kg) /Reis \ Nudeln Fleisch Gemüse

( 2,50 ^ 3,00

ySalat

V

12,00

J

4,00 3,00 )

a) Wie viel kosten die Nahrungsmittel für jedes einzelne Essen? b) Für wie viel EUR muss die Küche Nahrungsmittel einkaufen? 4. Ein landwirtschaftlicher Betrieb baut 2 ha Mais, 1 ha Rüben und 2 ha Kartoffeln an. Zur Bearbeitung der Felder werden die Maschinen Mj, M 2 und M 3 eingesetzt, die jeweils für 1 ha Anbaufläche folgende Zeiten benötigen (Angaben in Stunden):

Mais Rüben Kartoffeln

Ml

M2

M3

1 3 2

2 3

10 20 15

—

Die Kosten für eine Maschinenstunde sind gegeben durch (EUR/Std.):

a) Wie hoch sind die Kosten je ha Anbaufläche für die einzelnen Fruchtarten? b) Wie lange werden die einzelnen Maschinen eingesetzt? c) Welche Kosten entstehen insgesamt? 5. Aus den Rohstoffen Rj, R j und R 3 werden Zwischenprodukte Zj und Z2 hergestellt, die zu Endprodukten Ej und E 2 weiterverarbeitet werden. Dabei sind die zur Herstellung von einer Einheit eines Produkts benötigten Ausgangsmengen in folgenden Tabellen zusammengestellt:

174

Kap. 10: Matrizenrechnung

RX R2 R3

ZI

z2

Ei

E2

1 3 0

2 4 1

4 0

7 2

z2

a) Welche Rohstoffmengen benötigt man zur Herstellung von 5 Einheiten von E x und 3 Einheiten von E 2 ? b) Die Einkaufspreise für eine Einheit jedes Rohstoffes seien 2, 1 bzw. 4 Tsd. EUR. Welche Rohstoffkosten entstehen bei der Produktion von fünf Einheiten von E j und 3 Einheiten von E 2 ? 6. Aus 4 Rohstoffen werden jeweils zwei Zwischenprodukte und daraus 4 Endprodukte hergestellt. Der Materialverbrauch (in Mengeneinheiten) ist in folgenden Tabellen zusammengestellt: Zwischenprodukte Rohstoffe

Zi

z2

2 3 4 4

1 2 3 2

R

1 R2 R3 R4

Zwischenprodukte Zi z2

Endprodukte Ej E2 E 3 E4 1 3

4 2

2 3

5 2

a) Welche Rohstoffmengen sind zur Herstellung der Endprodukte nötig? b) Wie groß ist der Rohstoffbedarf, wenn von den Endprodukten der Reihe nach 100, 100, 50, 50 Einheiten hergestellt werden sollen?

R,

c) Berechnen Sie die Gesamtkosten der Produktion bei den Rohstoffpreisen (in EUR) R j R 2 R 3 R 4 20 15 32 35 und den (für eine Einheit notwendigen) Herstellungskosten (in EUR) ΕΧ

E2

E3

E4

1980

2100

2850

1550

7. Eine quadratische Matrix Ρ heißt stochastisch, falls alle Elemente nichtnegativ und alle Zeilensummen gleich Eins sind. Entsprechend heißt ein Vektor ρ stochastisch, wenn alle Komponenten nichtnegativ sind und die Summe der Komponenten gleich Eins ist. Zeigen Sie, dass für jedes η e Ν die Matrizen P n und die Vektoren p T · P n ebenfalls stochastisch sind.

Kapitel 11 Lineare Gleichungssysteme 11.1 Lôsungsmôglichkeiten eines linearen Gleichungssystems Ein Betrieb stellt η verschiedene Güter her. Ist a¡ der fest vorgegebene Preis (je Einheit) des i-ten Gutes und x¡ die entsprechende Produktionsmenge, so lautet der Gesamtumsatz b für diese η Produkte a

i x i + »2 X 2 + · · · + ^ X n =

b

·

i1)

In (1) können die Zahlen a j , a 2 , . . . , a n und b fest vorgegeben und die (unbekannten) Produktionsmengen Xj so bestimmt werden, dass die Gleichung erfüllt ist. In der Gleichung (1) werden die Unbekannten x¡ mit Zahlen a¡ multipliziert und anschließend addiert. Es kommen also nur erste Potenzen von x¡ und keine gemischten Produkte x¡ · Xj vor. Solche Gleichungen nennt man lineare Gleichungen mit η Unbekannten. In Beispiel 1 aus Abschnitt 8 müssen die drei Unbekannten Xj = x, x 2 = y, x 3 = ζ gleichzeitig drei lineare Gleichungen erfüllen. Wir betrachten m lineare Gleichungen für η Unbekannte in der Form »11 X 1 »21 X 1

+ +

»12 x 2 »22 x 2

+.. +..

+ auxj + »2j x j

+.. +..

+ »ln3^ + »2n x n

»ilxl

+

»i2 x 2

+..

+

+..

+

m2 x 2

+

»ml*! +

a

= bi = b2

»in*!,

=

• + »mj x j + · · · + V ^ n

=

a

ü i X

b

(2)

n

In diesem linearen Gleichungssystem sind die Koeffizienten a¡j sowie die rechten Seiten b¡ fest vorgegebene Zahlenwerte, während die Unbekannten Xj, x 2 , . . . , XJJ bestimmt werden sollen. Interpretiert man die rechten Seiten b¡ als Komponenten des m-dimensionalen Vektors b, die Unbekannten Xj als Komponenten des n-dimensionalen Vektors χ und die Koeffizienten aals Elemente einer m χ η-Matrix A, so geht (2) über in / »11 »12 »21 »22 \ »ml »m2 · d.h. Α · χ = b .

»ι,Λ a

2n

/Xl\ x2

V *n / \KJ

(3)

Ist Sj der j-te Spaltenvektor der Matrix A, so ist (3) gleichwertig mit der Vektorgleichung

176

Kap. 11: Lineare Gleichungssysteme

Σ Xj · äj = b . (4) j= i Das lineare Gleichungssystem ist nur dann lösbar, wenn der Vektor b als Linearkombination der Spaltenvektoren äj darstellbar ist. Unter dem Spaltenraag (Zeilenrang) einer Matrix A versteht man die maximale Anzahl linear unabhängiger Spaltenvektoren (Zeilenvektoren) von A. Allgemein lässt sich zeigen, dass bei jeder Matrix A Spaltenrang und Zeilenrang übereinstimmen. Dieser gemeinsame Wert heißt der Rang der Matrix A und wird mit rg(A) bezeichnet. Durch Hinzufügen des Spaltenvektors b zur Matrix A entsteht die sog. erweiterte Matrix ( a H a12 ··· a l n b l N i 2 1 a 2 2 ... a 2 n b 2

_

^

\ a m l a m 2 ··· a mn / Falls das lineare Gleichungssystem lösbar ist, muss der Vektor b wegen (4) als Linearkombination der Spaltenvektoren ä j , a 2 , . . . , a n darstellbar sein. Bei der Erweiterung von A auf (A, b) kommt dann kein von den Vektoren äj linear unabhängiger Vektor hinzu. Somit müssen die beiden Matrizen A und (A, b) den gleichen Rang besitzen. Allgemein gilt der Satz 1: a) Das lineare Gleichungssystem ist genau dann lösbar, falls gilt rg(A) = rg(A, b) = r. b) Im Falle r = η gibt es genau eine Lösung. c) Im Falle r < η gibt es unendlich viele Lösungen, wobei η — r Unbekannte beliebig gewählt werden können. Lösungsmöglichkeiten für η = 3: Für η = 3 stellt nach Kap. 9 jede der m linearen Gleichungen a

i i x l + a i2 x 2 + a i3 X 3 = b i ' i =1,2,...,m (5) eine Ebene Ej dar, falls von den drei Koeffizienten a 1 , a 2 , a 3 nicht alle verschwinden. Ein Vektor x T = ( x j , x 2 , x 3 ) erfüllt genau dann alle m linearen Gleichungen, wenn der Punkt Ρ ( x j , x 2 , x3) mit den Koordinaten x 1 , x 2 , x 3 in allen m Ebenen E¡, i = 1, 2 , . . . , m, liegt, die durch die m linearen Gleichungen beschrieben werden. Die Lösungsmenge des Gleichungssystems lautet dann L = E j Π E2 Π . . . Π E m .

(6)

11.2 Der Gaußsche Algorithmus

177

Falls alle m Gleichungen dieselbe Ebene darstellen, sind alle Punkte dieser Ebene Lösungen des Gleichungssystems. Die Lösungsmenge kann aber auch aus einer Geraden oder einem einzigen Punkt bestehen. Wenn es keinen Punkt gibt, der gleichzeitig in allen m Ebenen liegt, so ist die Lösungsmenge leer, das Gleichungssystem besitzt dann keine Lösung. Dies ist ζ. B. der Fall, wenn zwei dieser m Ebenen parallel, aber voneinander verschieden sind.

11.2 Der Gaußsche Algorithmus Mit Hilfe des in diesem Abschnitt behandelten Gaußschen Algorithmus lassen sich alle Lösungen eines linearen Gleichungssystems berechnen. Falls ein Gleichungssystem keine Lösung besitzt, kann dies ebenfalls mit diesem Algorithmus nachgewiesen werden. Die Löeungsmenge eines linearen Gleichungssystems bleibt offensichtlich unverändert, falls eine der folgenden Operationen durchgeführt wird: 1) Vertauschen zweier Gleichungen; 2) Multiplikation einer Gleichung mit einer Konstanten c φ 0; 3) Addition eines Vielfachen einer Gleichung zu einer anderen Gleichung; 4) Vertauschen (Umnumerierung) von zwei Unbekannten. Diese Operationen sollen zunächst in einigen Beispielen durchgeführt werden. Beispiel 1:

Kurzschreibweise X

1

=

10

2

=

1

3

x

2

-4 1

rechte Seite 10 1

Division der Gleichung (1) durch 2 liefert Gleichung ( l ' ) . Durch Subtraktion des Dreifachen von (1') von Gleichung (2) erhält man Gleichung (2'). (l')=J-(l)

xx — 2 x2 =

(2') = ( 2 ) - 3 · ( 1 ' )

0 +7x9 =

(1")

xj-2x2

(2") = * - ( 2 ' )

0 +

x, =

(1") + 2 · (2")

x1+

0 =

1

x2 =

-2

(2") Lösung:

Xj = 1 ; x 2 = — 2 .

5 -14

=

5

- 2

7

-14 5

-

- 2

\ - 2 J Lösungsvektor

Kap. 11: Lineare Gleichungssysteme

178

Da diese Umformungen nur an den Koeffizienten a¡j und b¡ durchgeführt werden, genügt die Rechnung in der Kurzschreibweise. Multiplikation der Koeffizienten mit der entsprechenden Unbekannten und Addition liefern die zugehörigen Gleichungen. In dieser Algorithmus-Kurzschreibweise geht man von der Matrix A und der rechten Seite b aus, und wendet die zulässigen Operationen 1) bis 4) so lange an, bis links die Einheitsmatrix E steht. Auf der rechten Seite dieses Endtableaus befinden sich dann die Lösungen. Beispiel 2 (siehe Beispiel 1 aus Kapitel 8): X x x r. S. 1 2 3 (1) (2) (3)

1 1 8

1 -6 1

-5 1 1

-18 -16 -15

(O (2') (3')

1 0 0

1 -7 9

-5 6 -39

-18 2 -159

(1')

1

1

(2")

0

1

(3")

0

0

-5 6 7 219 7

-18 2 7 1095 7

(!')

1

1

(2")

0

1

(3'")

0

0

-5 6 7 1

-18 2 7 5

(1")

1

0

(2'")

0

(3"')

1

29 7 0

124 7 4

0

0

1

5

1 0 0

0 1 0

0 0 1

(beginnt bereits mit 1!)

(1)

(2)-(l) (3)+ 8-(l)

(2'):-7 (3') - 9 -(2")

-2T9-(3") (l')-(2") (2")+f-(3'")

(l") +

2p.(3"')

4

W

Aus diesem Endtableau folgt die Lösung Xj = 3 ; x 2 = 4 ; x 3 = 5. Beispiel 3 (4 Gleichungen für 3 Unbekannte): X X X r. S. 1 2 3 1 1 —1 1 2 Gleichungs2 1 3 system 2 2 a 3 1 4 b 0

a, b gR seien Konstanten.

11.2 Der Gaußsche Algorithmus

179

Umformung (10

ι

(20 0 (30 0 (4')_0_

(i'O ι (2")

Endtableau (I) (II) (III) (IV)

0 0 1 0 0 0

0 1 0 0

-1 5 5 5

1 0 a—3 b—1

-1 -5 0 0

1 0 a —3 b—1

4 -5

"(20

(30-(20 (40-(20 (i'0-(2'0

a—3 b—1

Die beiden letzten Gleichungen lauten 0 · x 3 = a — 3 ; 0 · x 3 = b — 1. Nur im Fall a = 3 und b = 1 sind diese beiden Gleichungen für x 3 = λ (λ beliebig) erfüllt. Aus (I) und (II) folgt χ,

=

0

χα = 1 — 4 λ ; χ 2 = 5 λ , also die Lösung (Geradengleichung falls a = 3, b = 1) .

+ λ·

Für a φ 3 oder b φ 1 ist das System nicht lösbar. Beispiel 4 (3 Gleichungen für 5 Unbekannte): X

+

1

x

2

x

3

1 -1 -1

-2

2

2 2

4 3

1 0 0

-2

2

0 0

6 5

x

4

x

5

1 -7 4

-1 1 -4

1 -6 5

-1 0 -5

r. S. 5

1 0

\ /

+

5 6 5 «-

Da in der zweiten Spalte keine 1 erzeugt werden kann, werden Unbekannte vertauscht; gleichzeitig wird die 2. Zeile durch 6 und die dritte Zeile durch 5 dividiert. Dadurch geht das Gleichungssystem über in

180

K a p . l l : Lineare Gleichungssysteme

X

x

1

1

(1)

x

3

1 -1 1

2

1 1

(2) (3)

1

(10 (2')

5

x

— 1

- 2

r. S.

2

5

1 1

0 —1

1

1 -1

0

2

- 1

2

(3')

x

4

0

— 1

- 2

5

(1)

0

1

(2)

0

0

(3)-(2)

3

(1')-2-(2')

0

3

—1

(2")

1

-1

0

0

1

(3")

0

1

-0,5

0

0

H3')

(1")

1

- 2

(I) (II)

1

0

0

0,5

3

(1") - 3 · (3")

0

1

0

-0,5

- 2 0

1

(2") + (3")

(III)

0

0

1

-0,5

0

0

Hier kann x 2 = λ und x 5 = μ beliebig vorgegeben werden. Dann folgt x1 = 3 - 0 , 5 x s + 2 x 2 = 3 + 2 λ - 0 , 5 μ x 3 = 1 + 0,5 x 5

= 1 + 0,5 μ

x 4 = 0,5x 5

= 0,5 μ.

Die Lösungen können übersichtlich in der Vektorschreibweise dargestellt werden durch

x

χ=

x x

2 -

3

/ 2 \

0

1

0

1

0

0,5

+

λ·

0

4

ι— 0 , 5 ^

/ 3 \

+ μ-

0

λ, μ beliebig.

0,5

)

l 1 \*B) W Durch wiederholte Anwendung der in 1) bis 4) beschriebenen Operationen lässt sich das Ausgangsgleichungssystem Α χ = b evtl. durch Umbenennung der Variablen immer überführen in folgendes Endtableau: X

x

1

2

*

*r+l

^ + 2 a

1

0

0

...

...

0

0

a

U i

0

1

0

...

...

0

0

a

2,r + l

0

1

a

r,r+l

0

a

r. S .

l, r + 2

···

2, r + 2

· ··

r,r + 2

·


P3 seien N 1 = 1 7 - 8 p 1 + 2p 2 + 2 p 3 N 2 = 18 + 2 P J - 6 P 2 + 2P3 N 3 = 28 + 2 p j + 3 p 2 — 9 p 3 . Die Herstellungskosten je Einheit der Güter betragen der Reihe nach 1; 3; 2 Einheiten. Wie müssen die Preise festgesetzt werden, damit der gesamte Reingewinn maximal ist? 14. Die Nachfragemengen nach 4 Gütern in Abhängigkeit der Preise p j , P 2 . P3 « P4 , a u t e n Nj = 3 N2=

-5pj+

p2+

P3 + 2 p 4

0,6 + 2 p j — 7 p 2 + 2 p 3 + 2 p 4

N3 = 9

+ 3 p j + 2 p2 — 9 p 3 + 2 p4

N 4 = 11,6 +

pi

+ 2p 2 + 2 p 3 - 8 p 4 .

Bei welchen Preisen ist der Gesamtumsatz maximal? 15. Gegeben ist das Gleichungssystem Xj + 2 x 2 — x 3 = — 2 xl j — 3x 2

0

= - 3- 3

Xj + 3x 2 + a x 3 =

a

mit einer Konstanten a e R. a) Für welchen Wert a gibt es unendlich viele Lösungen? Geben Sie diese Lösungen an. b) Für welche Werte von a gibt es genau eine Lösung? Bestimmen Sie diese Lösung. 16. Gegeben sei die Matrix

a) Für welche a € R existiert die Matrix A

1

?

b) Berechnen Sie für diese Werte von a die Matrix A

1

.

Kapitel 12 Lineare Ungleichungen und lineare Programmierung Ziel dieses Abschnitts ist die Berechnung von Extremwerten einer linearen Funktion, wobei Nebenbedingungen in Form linearer Ungleichungen vorgegeben sind. Diese Nebenbedingungen bedeuten eine Einschränkung des Definitionsbereichs. Da in der Zahlenebene solche Probleme graphisch gelöst werden können, soll dieser Fall im ersten Abschnitt ausführlich behandelt werden.

12.1 Lineare Programmierung bei zwei Variablen Beispiel 1: Zur Fertigung zweier Produkte Pj und P 2 müssen 4 Maschinen A, B, C, D benutzt werden. Die zur Herstellung für eine Einheit benötigten Maschinenzeiten (in Stunden) seien in der nachfolgenden Tabelle zusammengestellt. In der letzten Spalte sind ferner die insgesamt zur Verfügung stehenden Maschinenstunden (Kapazität) angegeben. benötigte Stunden zur Fertigung einer Einheit vom Produkt Maschine A Β C D

Pi

P2

2 2 0 2

3 1,5 3 0

Maschinenkapazität 180 150 120 190

Von dem Produkt P j sollen Xj Einheiten, von P 2 insgesamt x 2 Einheiten hergestellt werden. Wegen der begrenzten Maschinenkapazitäten müssen für die Mengen x x und x 2 folgende Ungleichungen erfüllt sein: 1)

2χχ+

2)

2 x j + 1,5 x 2 < 150

3)

3X 2 < 120

4) 5)

2xj

3x 2 < 180

(1)

< 190 Xj > 0 ; x 2 > 0

(Nichtnegativitätsbedingungen).

12.1 Lineare Programmierung bei zwei Variablen

189

Wählt man in 1) - 4) das Gleichheitszeichen, so erhält man die 4 Geraden 8l> 82» 83' 84· Punkte, deren Koordinaten alle fünf Ungleichungen erfüllen, müssen unterhalb oder auf den Geraden gj, g 2 , g 3 , links von g 4 und wegen 5) im ersten Quadranten liegen. Als Lösungsmenge von (1) erhält man das in Bild 1 schraffierte Fünfeck, den sog. zulässigen Bereich Z.

Bild 1: Zulässiger Bereich Eine Mengeneinheit des Produkts Ρ χ soll 200 EUR, eine Einheit von P 2 dagegen 500 EUR Gewinn bringen. Dann ist die Gewinnfunktion ζ = f(Xj, x 2 ) = 200 xx + 500 x 2

(2)

linear in χ χ und x 2 . Zur Bestimmung des maximalen Gewinns sind unter allen Punkten aus dem zulässigen Bereich Ζ diejenigen zu bestimmen, für welche die sog. Zielfunktion (2) maximal wird. Alle Stellen ( x j , x 2 ), für die der Gesamtgewinn 10 000 EUR beträgt, erfüllen die Gleichung 200 Xj + 500 x 2 = 10000. Diese Gerade ist in Bild 1 eingezeichnet. Alle Punkte mit ζ = c (konstanter Gewinn c) liegen auf einer Geraden, die zu dieser eingezeichneten Geraden parallel sind. Parallelverschiebung dieser Geraden nach oben bedeutet eine Gewinnvergrößerung. Daher müssen wir diese Gerade so weit nach oben parallel verschieben, bis sie den zulässigen Bereich Ζ gerade noch berührt.

190

Kap. 12: Lineare Ungleichungen und lineare Programmierung

Als Lösung erhält man den Punkt P 3 als Schnittpunkt der Geraden g j und 83· Für seine Koordinaten gelten die Bestimmungsgleichungen 2x x + 3X 2 = 180 3X 2 = 120

mit der Lösung Xj = 30 ; x 2 = 40. Der maximale Gewinn beträgt ζ = 200 · 30 + 500 · 40 = 26 000 EUR. Da dieser Punkt auf den Geraden g 1 und g 3 liegt, müssen die Kapazitäten der Maschinen A und C voll ausgenutzt werden, die Kapazitäten von Β und D dagegen nicht. Lineare Ungleichung Wir betrachten die lineare Ungleichung a j Xj + a 2 x 2 < b ; a l t a 2 , b e R ,

(3)

bei der nicht beide Koeffizienten a j und a 2 verschwinden. Die Lösungsmenge dieser Ungleichung ist eine Halbebene, welche durch die Gerade g: a x Xj + a 2 x 2 = b begrenzt wird. Zur Uberprüfung, welche der beiden durch die Gerade g begrenzten Halbebenen die Lösungsmenge bildet, braucht man nur einen nicht auf g liegenden Punkt auszuwählen und nachzuprüfen, ob seine Koordinaten die Ungleichung erfüllen (s. Bild 2).

Bild 2: Lösungsmengen linearer Ungleichungen Die lineare Ungleichung Cj Xj + c 2 x 2 > d geht durch Multiplikation mit — 1 über in — c t x, — c, x , < — d.

12.1 Lineare Programmierung bei zwei Variablen

191

In (3) sind also auch Ungleichungen mit > enthalten. Lineares Ungleichungssystem Wir betrachten das lineare Ungleichungssystem aus m linearen Ungleichungen a

a llxl 12 x 2 — b i (U) a 2 1 X j + a 2 2 x 2 < b 2

a

mlxl +

a

m2 x 2
0 , a / 1

a x ·In a 1 X 1 .1 Ina x

In χ logax ln|f(x)|

f'(x) f(x)

sinx

cosx

cosx tanx

— sinx 1 cos2x

cot X

1 sin2 χ

2. Ableitungsregeln (c 1 -f+c 2 -g) / = Cj-f' + Cj-g', Cj, c 2 eR (u · v)' = u · ν ' + u ' · ν

(Linearität) (Produktregel)

C ö ' - - Í Äf(UW) = £ · t y

, = df

dx dx

(x)

dy ι ι = d i = ~dF = tilt-1/ u dx d* f (f ( x) )

(Kettenregel) ,.,. . (Ableitung einer Umkehrfunktion).

199

Anhang

3. Unbestimmte Integrale häufig vorkommender Funktionen Jf(x)dx , CgR

f(x) X a , a e R, a Φ - 1

X

a+1

+ C

1 χ

In I χ 1 + C

ex

e* + C

ax, a > 0 , a

φ1

sin χ

ÌIna ^ + C — cos χ + C

cos χ

sin χ + C

tan χ

— In 1 cos χ 1 + C

cot χ 1 cos 2 χ

In 1 sin χ 1 + C

1 sin 2 χ

— cot χ + C

In χ

χ · In χ — χ + C

X a ·In χ,

X a * 1 . lnx a+1

ì · lnx V χ·e

±(lnx)2 + C

tan χ + C

aeR, a / - 1

(a.

r+ C

(x — 1) · e x + C

4. Integrationsregeln F(x) sei Stammfunktion von f(x)

=>

J f ( x ) d x = F(b) - F(a) a

/ ( c j · f(x) + C2 ·g(x))dx = Cj · J f j ( x ) d x + C2 · J f 2 ( x ) d x Jf(u)du =

Jf(g(x))-g'(x)dx

(Linearität)

(Substitutionsmethode)

u = g(x) ; du = g'(x) dx J(f(x))a.f'(x)dx = l ^ l

r

^ + C;

« e l W - l

| f f l d x = ln|f(x)| + C J f(x) · g'(x) dx = f(x) · g(x) - J f ' ( x ) · g(x) dx

(partielle Integration).

Losungen der Aufgaben Kapitel 1 1.

AUB = {1,3,4,5,9}; A n B = {4}; B\C = {3,5}^ Α_ΓΊ(Β UC) = {4} Ω = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}; A U Β = {2,6,7,8} = Α Π Β. 2. χ = 15. 3. Punkte, die in allen drei Mengen liegen. Punkte, die in genau zwei der drei Mengen liegen. Die Punkte, welche in genau einer der Mengen liegen, sind nicht schraffiert. 4. χ = 5; y = 6. 5. a) Α χ Β = {(a, 1), (a, 2), (b, 1), (b,2), (c, 1), (c,2)}; b) η = 144;

(a, 1,2, b, 2,1).

6. a) Y = {1; 4; 9; 16; 25}; b)ja:

f " 1 ( l ) = l;

f"1(4)=-2;

f"1(9)=3;

f"1(16)=-4;

f~1(25) = 5. 7. a) h(x) = (x3 - 3)2 ; c)h(x) = x 6 ;

b) Ζ = {4; 9; 16; 25; 121} ;

Ζ = {0; 1; 64} .

Lösungen der Aufgaben

201

Kapitel 2 1. A U Β = [0 ; 2] ; AnB = ( ì ; l ] ; A\B = [();*]; B\A = (1;2]; AxB = {(x,y)|0 < x < 1;

|f5)).

Kapitel 3 1.

a) 360;

b ) S 1 2 = 252.

2.

a) a 2 5 = 161,5 t ;

3.

a) 93,1 m ;

4.

2100 EUR.

5.

a) K ^ , ! = 10000 ( l , l 2 n - l ) EUR;

6.

K 2 5 = 53316,73 EUR, η = 29;

7.

a) η = 10; b) η = 15; c) η = 19; d) η = 29; e) η = 43; f) η = 57; g) η = 71.

8.

a) 1 638,40 EUR;

9.

a) η = 20; Gesamtzinsen 17 325 EUR ; b) 1883,63 EUR/Jahr ; c) Der gesamte Rückzahlungsbetrag ist im Fall a) niedriger.

10.

a) 81 655,02 EUR;

11.

a) 5220,25 EUR;

12.

a) η = 14;

13.

a) 2 295,75 EUR;

14.

40785307,48 EUR.

15.

25,90%.

16.

742,50 EUR.

17.

a) 7099,81 EUR; b) 5295,86 EUR;

c) 3 166,55 EUR.

18.

a) 4 423,96 EUR; b) 3 644,59 EUR;

c) 2 487,17 EUR.

b)n=40;

a 4 0 = 247 t .

b) S 1 5 = 1102,50 m .

b) K 3 = 4641 EUR.

Restguthaben R 2 9 = 1021,48 EUR.

b) 1310,72 EUR.

b) 82215,86 EUR;

c) 82349,37 EUR.

b) 9283,31 EUR.

b) 6 721,21 EUR;

c) 870,45 EUR.

b) 2308,72 EUR.

10

ι n*t — ι 19.

a) 50000 = Ε · 1 , 0 3 · ' Q 0 3 b) (4 +

· u = E · 1,03

c) ( ΐ 2 + ^ ^ ) · χ = Ε·1,03

E = 4234,49 EUR; =>· u = 1070,31 EUR pro Quartal ; => χ = 357,65 EUR pro Monat.

Lösungen der Aufgaben 20.

203 1

a) Endwert: K 1 2 = (l2 + · 6 000 · ^ ^ ν Barwert B0n = — % = 590 221,02 EUR. 1,07

= 1329 290,81 EUR ;

b) Konformer Jahresbetrag 74 310 EUR. 590 221 02

7 ' 100.(12+^)

c) Ewige Rente: r ewi _ =

=

3 317,1g EUR.

Kapitel 4 1.

a)i;

2

a

) n^S> a 2n =

b

)

·

c)' 3.

b) 5;

η-ΰοο

a

c) 1

2n =

1

d) 4;

00;

e) \ ; f) - 1 ; g) 0;

„ 1 im, a 2n + l =

; ;

a

Ä

lim a,„ = i5 ;' ¿n

h) ^ j J -

-1;

2n + 1 =

~

1

!

lim a,„ , , = — 5i . ¿n + 1

η—»00

11—»oo

a) (an) n e

ist monoton fallend mit a n > 0 ; Jlirn^ a n = λ[2~ ;

b) (a n ) n e

ist monoton wachsend mit a n < 2 ; Jiirn^ a n = 2 ;

c) nicht konvergent ; d) (a n ) n e ^ ist monoton wachsend mit a^ < 1 ; e)a1

=

2 ^

0 fx = - ~2 + W ·

a ) £ f(P) = (p

+ l)ín(p-H)-1;

17. a) £f(x) = — 4x2; 18 ·

b) χ = 50;

21nx.xlnx.

13. a) ef (ρ) = 1 + 2 p2 ;

15 ·

e)0· E(x) « ( lini g roß

x

EW

« 2 κ(χ) ·

Kapitel 6 L

7

a) - ì -

χ

+ lnx + c;

6

b) | χ 5 + | x 5 + χ + c ;

3

c) |x 2 + 2Vx + c; d)±e3x + x + c; e) f) - | e 4 " 2 x + c¡ 2.

a) 2; h

g)Í(2x + 5)^ + c;

b)2-ln^;

)^.ln4-f;

) · K(x).

c) f ;

i)f-l;

d) ± ;

cos(3x + π) + c ; h) |·1η 13x + 5 | + c. e) Ì ;

f) - 2 ;

g) 1 ;

j) 1.

3.

2.

4.

1 - ln 2.

5.

a) T2(x) = 1 - χ2 ; b) l i ; c) | R2(x) | < — < 48 · O

Ol

0,082 ; d) 0,01014.

9

tx

6.

a) keine Konvergenz (co) ; b) ^ ; c) yg ; d) ^ ; e) ^ ; f) 4.

7.

a) 1000 · (1 + ln 10) Einheiten;

8.

a) 125 000 EUR; b) 134 750 EUR; c) 143 543,65 EUR; d) 150 000 EUR.

9. a) 5; 10. a) 10; H.

a)

b) f ;

b) 2 928,97 E.

c) f .

b) 100 e - 90;

c) 58,5.

463 _(440 + 2 0 T ) e - ° - O 5 T - T l . e - U ) 5 T ; 1,05

ν™ τ

1)05

-

-

463 ' 1,05

b)

Lösungen der Aufgaben b) f(x) = x 3 . e 2 * " 2 ; c) f(x) =

12. a) f(x) = j ; d)f(x)=^

207

3

3

13. a ) T 1 ( x ) = i3xa + t | ; b) Ä = | ; c) 3 ' "> ^ 18' d) 54' Kapitel 7 1.

a)

(

2y

für 0 < χ < 5; 0 < y < 3

f(x,y) = < 12 — 2y Ι

0

für 0 < χ < 5; 3 < y < 6 sonst.

b) f x existiert nicht für (x, y) 6 {0; 5} x (0; 6) ; f y existiert nicht für (x, y) 6 [0; 5] x (0; 3; 6) ; c)

( dz=i

2.

0 für (x, y) g [0; 5] χ [0; 6]

2dy für (x, y) € (0; 5) χ (0; 3) l— 2dy für (x, y) e (0; 5) χ (3; 6) .

a) f(2,y) = y2;

f(x,0)=x 2 -4;

f(x,x) = 2 x 2 - 4 .

b) x2 + y2 = 4

Kreis mit r = 2 und dem Koordinatenursprung als Mittelpunkt

c) f x = 2 χ; f y = 2 y; f(0,0) = - 4 ; f(x, y) > - 4 für alle (x, y) φ (0,0). 3.

a ) $ = 2 - ^ + ± - ^ ; l , 5 % ; b) (>JMη 1,0052 - 1) · 100 « 1,506%.

4.

df =

5.

dF = 0,275.

6.

df = 275.

7.

a)T 1 (x,y)=x + 2 y - l ;

8

a) p

·

y +1

dx -

\ χ 2 γ - dy; (y + 1)

/

df = 0,4 « M.

A f « -0,1.

(íá ; m)Maximum;

P

(A ; m)MinÎmum;

Ρ ( 0 ; ^ Π und P( 0 ; — ^ ) sind Sattelpunkte.

208

Lösungen der Aufgaben b) P(2; 0) Minimum; c) P(l,5;2,25)

P(0; 0) Sattelpunkt ;

Minimum;

P(0;0)

Sattelpunkt;

d ) P(0; 1) Minimum;

; - 1), P ( - j 2 ; - - j 2 ) Minimum;

P( —

; >Í2)

Minimum;

f ) P ( l ; 1) Minimum; P ( — 1; — 1) Max.; P ( l ; - 1), P ( - 1;1) Sattelp. ; g ) keine Extrema;

P(0,9; 2), P ( — 2,1; - 2 )

h) keine Extrema;

P ( — j ! 0)

Sattelpunkt;

i) P(0; 0) Minimum;

P ( — 2; — 2)

9.

p A = 22;

R = 200 M E .

10.

a ) d f = i ^ H dx +

p B = 18;

d) χ = 5 ;

i -Jxy + ± ^xy = -Jxy

y = 20.

r = h =

12.

χ = 5;

13.

a ) P ( 0 ; 3 ) , P(0; — 3) Minima;

•Nff

[dm] ;

4 r = °'015 · V

y = 3.

a) px — 5 x 2 + 15 χ — 3 ;

15.

χ = 2;

y =

k

f,x

i

-2χ4 , x3 + X4

i

i= 1

b) dz = ^ ^ L · * 4 dxj +

x32 χ] dx2 + | ^ x

2

dx3

3 + 2^"x 2 x 3 2 x4 dx4 ; dz = - 14,56 ; dz _ 1 dxx i + , dx 2 , 3 dxx 3 , o dx 4 . z x x > ~~ 2 i 2 2 3 4 '

r\

1 «O^x^Si

e

f.x2 =

1;

e

3 f-x3=2;

e

f.x4 = 2 ·

Kapitel 9 1.

a) I a I = -^5 ; | b | = -JTÖ ; | c | = 1 ; T

c) a b = 7; 2.

a = 2;

T

a c = 0;

b = 3;

c = 12.

T

b c = 0;

b) linear unabhängig ; d) (0;7;0)T.

Lösungen der Aufgaben

210

3.

a = -5;

b = 7.

4.

a ) g l n g 2 = P(7;2;2);

g x Dg 3 = g 2 D g 3 # 0;

b) Ρ liegt auf g 1 ? aber nicht auf g 2 bzw. g 3 .

5.

a)

+

b) x = (

j

λ

+

μ

l j + λ·ί 1 j ;

a ) x = ^ o j + A·^

+

2

j

xi-x2+

;

1 =

°;

c)g±E.

2

j;

b

) xi +

2x

2 +

3 x

3 - 5 = °;

c) Ρ liegt nicht in E, Q liegt in der Ebene, a) x x + 7 x 2 — 3 x 3 — 5 = 0 ; linear unabhängig.

b) x = 8.

a) r = 2·Af3 + 2;

9.

1^(0,0,10); L 2 ( - i , | , f ) ; 3

+ λ·

χ =

d = J- 0 => P n > 0 ;

T

;

c) 1090 050 EUR.

e — (1 ; 1 ; 1 ; . . . ; 1) ;

Ρ -e = e

P e = 1;

c) 5990 EUR.

=> P n e

für alle n;

=> p T P n e = p T e = 1

für alle n.

K a p i t e l 11 1.

Xj = 15 % (erste Lösung),

2.

X! = 45;

3.

Xj = 4 ;

4.

x A = 40;

x B = 30;

5·

Xj — — 3j

X2 ~~~ 8j

6.

600 g Äpfel, 200 g Bananen und 500 g Orangen.

x 2 = 25; x 2 = 6;

x 2 = 10 %.

x 3 = 10. x 3 = 9. x c = 30. Xß -— 2. /-1\ c) X = λ - 1 1 ^V

a) x = | d) keine Lösung; e) keine Lösung; (

2\ /—1\ (-1\ 0 -4 -3 + A· f) x = 1 + μ· 0 0 V V

^V

l

V

Lösungen der Aufgaben

212

8·

à — 9j

Xi — l j

X2 — 2;

9.

a) linear abhängig;

10.

0,5 - 1 , 5 a) I 1 -0,5 - 0,5 1

b) linear unabhängig. 0,5 -0,5 0

0,4 0,6 c) I 0,2 - 0 , 2 ,-1,6 -1,4

11.

x 3 — 3·

0 0 1

/28\ b) 36

a) ( 4 ) ;

\30/ 12.

A " 1 =|

b)

'-6 0 6> 2 2 - 2 5 - 1 —3>

/12000\ 16000 ; \ 8000/

13.

p x = 2,5;

14.

p j = 2;

16.

A

1

c)

a)

/l8000\ 12000 ; V 6000/

/15000\ 10000 . \11000/

p 2 = 4;

p 3 = 3,5.

p 2 = 1,5;

p 3 = 1,7;

existiert nur für a φ ^ mit / a - 1

A - i A

1 ~2a-l

a Ν

- a

1

a— 1

a—1

1

—a

p 4 = 1,9.

Lösungen der Aufgaben

213

Kapitel 12 1.

a) x 2 < 5;

4 Xj + 3 x 2 < 23;

— X! — 6 X 2 < 1 0 ; b)

Xj — x 2 < 4;

— 3X1+X2n*; y