Mathematik für die Fachschule Technik: Algebra, Geometrie, Differentialrechnung, Integralrechnung, Vektorrechnung, Komplexe Rechnung (German Edition) 3834809144, 9783834809148

Table of contents :
Vorwort
Inhaltsverzeichnis
1 Mathematische Begriffe und Schreibweisen
1.1 Zahlen
1.1.1 Zahlendarstellung auf der Zahlengeraden
1.2 Mengen engen3
1.2.1 Aufzählende Mengenschreibweise
1.2.2 Beschreibende Mengenschreibweise
1.2.3 Mengendiagramme
1.2.4 Beziehungen zwischen Mengen (Mengenrelationen)
1.2.5 Mengenverknüpfungen (Mengenoperationen)
1.3 Intervallschreibweisen
1.4 Symbole der Logik
2 Rechnen mit Termen
2.1 Grundrechenarten mit Termen
2.1.1 Addition und Subtraktion (Rechnen mit Klammertermen)2
2.1.1.1 Negative Zahlen
2.1.2 Klammern in Klammern
2.2 Multiplikation und Division
2.2.1 Multiplikation mit negativen Zahlen
2.2.2 Multiplikation mit Null (Nullprodukt)
2.2.3 Multiplikation mit Summentermen
2.2.4 Binomische Formeln
2.2.5 Quotienten aus positiven und negativen Zahlen
2.2.6 Rechnen mit Bruchtermen
2.2.6.1 Brüche als rationale Zahlen
2.2.6.2 Multiplikation von Bruchtermen
2.2.6.3 Division von Bruchtermen
2.2.6.4 Addition und Subtraktion von Bruchtermen
3 Lineare Gleichungen
3.1 Äquivalenz von Aussageformen
3.2 Lösungsverfahren für lineare Gleichungen
3.3 Einfache lineare Gleichungen
3.4 Bruchgleichungen
3.5 Gleichungen mit Formvariablen
3.6 Verhältnisgleichungen (Proportionen)
3.7 Textliche Gleichungen
3.7.1 Allgemeine textliche Gleichungen
3.7.2 Mischungsaufgaben
3.7.3 Bewegungsaufgaben
3.7.4 Behälteraufgaben
3.7.5 Arbeitsaufgaben
4 Funktionen 1. Grades
4.1 Der Funktionsbegriff
4.2 Darstellung von Funktionen
4.3 Funktionsdarstellung im Koordinatensystem
4.3.1 Das rechtwinklige Koordinatensystem
4.3.2 Das Polarkoordinatensystem
4.4 Lineare Funktionen der Technik
4.5 Die lineare33Funktion mit der Funktionsgleichung y = mx
4.6 Die Funktion 1. Grades mit der Funktionsgleichung y = mx + b (Hauptform der Geradengleichung)
4.7 Graphische Darstellung linearer Zusammenhänge
5 Systeme linearer Gleichungen
5.1 Graphisches Lösungsverfahren von Gleichungssystemen
5.2 Rechnerische Lösungsverfahren von Gleichungssystemen
5.2.1 Das Gleichsetzungsverfahren
5.2.2 Das Einsetzungsverfahren
5.2.3 Das Additionsverfahren
5.2.4 Das Determinantenverfahren
5.2.5 Gleichungssysteme mit Bruchtermen
5.3 Lösungsverfahren für Gleichungssysteme mit drei und mehr Variablen
5.4 Textaufgaben mit zwei Variablen
5.4.1 Mischungsaufgaben
5.4.2 Bewegungsaufgaben
5.4.3 Behälteraufgaben
6 Potenzen
6.1 Potenzbegriff
6.2 Potenzgesetze
6.2.1 Addition und Subtraktion von Potenzen
6.2.2 Multiplikation von Potenzen
6.2.2.1 Potenzen mit gleicher Grundzahl
6.2.2.2 Potenzen mit gleicher Hochzahl
6.2.3 Division von Potenzen
6.2.3.1 Potenzen mit gleicher Grundzahl
6.2.3.2 Potenzen mit gleicher Hochzahl
6.2.4 Potenzieren von Potenzen
6.3 Erweiterung des Potenzbegriffes auf a1, a0 und Potenzen mit negativen ganzen Hochzahlen
6.4 Besondere Potenzen (Zehnerpotenzen)
6.5 Potenzen von Binomen
7 Wurzeln
7.1 Wurzelbegriff
7.1.1 Quadratwurzeln
7.1.2 Der allgemeine Wurzelbegriff
7.2 Wurzeln als Potenzen mit gebrochenen Hochzahlen
7.3 Rechnen mit Wurzelund Potenztermen
8 Quadratische Gleichungen
8.1 Rechnerische Lösung quadratischer Gleichungen
8.1.1 Reinquadratische Gleichungen
8.1.2 Gemischtquadratische Gleichungen ohne Absolutglied
8.1.3 Gemischtquadratische Gleichungen
8.2 Lösbarkeit quadratischer Gleichungen, Diskriminante
8.3 Koeffizientenregel von Vieta 1
8.4 Biquadratische Gleichungen
8.5 Quadratische Gleichungssysteme mit zwei Variablen
8.6 Textaussagen, die auf quadratische Gleichungen führen
9 Wurzelgleichungen
9.1 Wurzelgleichungen mit einer Variablen
9.2 Wurzelgleichungen mit zwei Variablen
10 Ungleichungen
10.1 Äquivalenzumformungen bei Ungleichungen
10.2 Einfache lineare Ungleichungen
10.3 Bruchungleichungen
11 Lineare Ungleichungssysteme
12 Lineares Optimieren
13 Quadratische Funktionen
13.1 Die allgemeine quadratische Funktion x → ax2 + bx + c und ihre graphische Darstellung
13.2 Die Scheitelform der quadratischen Funktionsgleichung
13.3 Extremwertaufgaben 1
13.4 Aufstellen von Funktionsgleichungen aus Vorgaben
13.5 Graphische Lösung quadratischer Gleichungen
14 Potenzfunktionen
14.1 Die Funktionen x →xn (n N)
14.1.1 Achsensymmetrische Parabeln (n gerade)
14.1.2 Punktsymmetrische Parabeln (n ungerade)
14.2 Die Funktionen x x– n (n . N)
14.2.1 Punktsymmetrische Hyperbeln (n ungerade)
14.2.2 Achsensymmetrische Hyperbeln (n gerade)
15 Wurzelfunktionen
15.1 Quadratwurzelfunktionen
15.2 Wurzelfunktionen höherer Ordnung
16 Exponentialfunktionen
16.1 Die allgemeine Exponentialfunktion
16.2 Die e-Funktion
17 Logarithmen
17.1 Logarithmenbegriff
17.2 Logarithmensysteme
17.2.1 Natürliche Logarithmen
17.2.2 Zehnerlogarithmen
17.3 Logarithmengesetze
18 Logarithmusfunktionen
18.1 Die allgemeine Logarithmusfunktion
18.2 Die natürliche Logarithmusfunktion
19 Exponentialgleichungen
20 Analytische Geometrie
20.1 Länge und Steigung von Strecken
20.2 Teilpunkte von Strecken 2 Teilpunkte von Strecken
20.2.1 Mittelpunkte von Strecken
20.2.2 Beliebiger Teilpunkt T einer Strecke
20.3 Geradengleichungen
20.3.1 Punkt-Steigungs-Form
20.3.2 Zwei-Punkte-Form
20.3.3 Achsenabschnittsform
20.3.4 HESSE-Form der Geradengleichung
20.4 Winkel zwischen Geraden
20.4.1 Winkel zwischen Gerade und x-Achse (Steigung und Steigungswinkel)
20.4.2 Schnittwinkel zweier Geraden
20.5 Orthogonale Geraden
20.6 Kreisgleichungen
20.6.1 Mittelpunktsgleichung eines Kreises
20.6.2 Allgemeine Kreisgleichung
20.7 Kreis und Gerade
20.8 Parabeln und Hyperbeln
20.8.1 Brennpunkteigenschaften der Parabel
20.8.2 Brennpunkteigenschaften der Hyperbel
21 Koordinatensystem mit logarithmischer Teilung
22 Winkelfunktionen am rechtwinkligen Dreieck
22.1 Seitenverhältnisse als Winkelfunktionen
22.2 Definition der Winkelfunktionen
22.3 Längenund Winkelberechnungen
22.3.1 Die Sinusfunktion
22.3.2 Die Kosinusfunktion
22.3.3 Die Tangensund Kotangensfunktion
22.3.4 Vermischte Aufgaben
22.4 Zusammenhang zwischen den Winkelfunktionen
22.5 Winkelfunktionen beliebiger Winkel
22.6 Die Graphen der Winkelfunktionen
22.6.1 Die Schaubilder der Sinusund Kosinusfunktion
22.6.2 Die allgemeine Sinusfunktion und ihre graphische Darstellung
22.6.3 Die Schaubilder der Tangensund Kotangensfunktion
22.7 Trigonometrische Gleichungen
23 Winkelfunktionen am schiefwinkligen Dreieck
23.1 Sinussatz
23.2 Kosinussatz
23.3 Flächenberechnung des schiefwinkligen Dreiecks
24 Additionstheoreme dditionstheoreme
24.1 Funktionen der doppelten und halben Winkel
25 Flächensätze am rechtwinkligen Dreieck
25.1 Satz des Pythagoras
25.2 Kathetensatz (Satz des Euklid)
25.3 Höhensatz
26 Ähnlichkeit
26.1 Strahlensätze
26.2 Streckenteilung und Mittelwerte
26.3 Stetige Teilung (Goldener Schnitt 2)
27 Flächenberechnung
27.1 Geradlinig begrenzte Flächen
27.2 Kreisförmig begrenzte Flächen
28 Volumenberechnung
28.1 Prismatische Körper
28.2 Pyramidenförmige und kegelförmige Körper
28.2.1 Pyramide und Pyramidenstumpf
28.2.2 Kegel und Kegelstumpf
28.3 Kugelförmige Körper
28.3.1 Vollkugel
28.3.2 Kugelabschnitt (Kugelsegment)
28.3.3 Kugelschicht
28.3.4 Kugelausschnitt (Kugelsektor)
28.4 Schiefe Körper
28.4.1 Satz des Cavalieri 3
28.4.2 Simpson’sche Regel 4
28.5 Oberflächen und Volumina von Rotationskörpern
29 Grenzwerte
29.1 Grenzwerte von Zahlenfolgen
29.2 Grenzwerte von Funktionen
29.2.1 Grenzwerte für x → x0
29.2.2 Grenzwerte für x → + und x . –
29.2.3 Rechenregeln für Grenzwerte
30 Stetigkeit von Funktionen
31 Differentiation elementarer Funktionen
31.1 Differenzenquotient und Differentialquotient
31.2 Ableitung von Potenzfunktionen
31.3 Allgemeine Ableitungsregeln
31.4 Ableitung elementarer Funktionen (Übersicht)
31.5 Höhere Ableitungen
32 Horner-Schema und Nullstellen ganzrationaler Funktionen
32.1 Polynomdivision
32.2 Horner-Schema1
33 Das Newton’sche Näherungsverfahren
34 Anwendung der Differentialrechnung
34.1 Kurvendiskussion
34.2 Funktionssynthese
34.3 Extremwertaufgaben
35 Gebrochenrationale Funktionen
36 Trigonometrische Funktionen
36.1 Ableitungen
36.2 Funktionsuntersuchung trigonometrischer Funktionen
36.3 Funktionssynthese trigonometrischer Funktionen
37 Logarithmusund Exponentialfunktionen
37.1 Ableitungen
37.1.1 Ableitung der Logarithmusfunktionen x lg x und x ln x
37.1.2 Ableitung der Exponentialfunktionen x ax und x ex
37.2 Funktionsuntersuchung von Exponentialfunktionen
37.3 Funktionssynthese von Exponentialfunktionen
38 Der Begriff des Integrals
38.1 Die Flächeninhaltsfunktion
38.2 Stammfunktionen (= unbestimmte Integrale)
38.3 Grundintegrale elementarer Funktionen
38.4 Das bestimmte Integral als Fläche
38.5 Die Fläche als Grenzwert
39 Flächenberechnung mit Hilfe der Integralrechnung
39.1 Flächen zwischen Funktionsgraph und x-Achse
39.2 Flächen zwischen zwei Funktionsgraphen
40 Das bestimmte Integral als Volumen (Volumen von Rotationskörpern)
40.1 Rotationssymmetrie zur x-Achse
40.2 Rotationssymmetrie zur y-Achse
41 Punkte und Vektoren
41.1 Definition eines Vektors
41.2 Ortsvektoren
41.3 Betrag eines Vektors
41.4 Vektoren im Raum
41.4.1 Vektor-Addition
41.4.2 Vektor-Subtraktion
41.4.3 Anwendungsbeispiele
41.4.4 Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar (S-Multiplikation)
41.4.5 Lineare Abhängigkeit von Vektoren
42 Geraden im Raum
42.1 Vektorielle Geradengleichungen
42.1.1 Punkt-Richtungs-Gleichung
42.1.2 Zwei-Punkte-Gleichung
42.2 Darstellung von Geraden
42.2.1 Räumliche Darstellung im Koordinatensystem
42.2.2 Projektion einer Geraden auf die Koordinatenebenen
42.2.3 Spurpunkte von Geraden
42.3 Spezielle Geraden
42.4 Schnittpunkt zweier Geraden
43 Vektorielle Darstellung von Ebenen
43.1 Parameterdarstellung einer Ebene
43.1.1 Punkt-Richtungs-Gleichung
43.1.2 Drei-Punkte-Gleichung
43.2 Koordinatengleichung der Ebene
43.3 Achsenabschnittsgleichung
43.4 Zeichnerische Darstellung von Ebenen
43.4.1 Spurgeraden von Ebenen
43.4.2 Zeichnen einer Ebene
44 Das Skalarprodukt
44.1 Winkel zwischen Vektoren
44.2 Definition des Skalarproduktes
44.3 Anwendungen des Skalarproduktes
44.3.1 Winkel eines räumlichen Dreiecks
44.3.2 Schnittwinkel von Geraden
45 Das Vektorprodukt
45.1 Definition des Vektorproduktes
45.2 Anwendungen des Vektorproduktes
46 Das Spatprodukt
46.1 Definition des Spatproduktes
46.2 Anwendungen des Spatproduktes
47 Normalenformen der Ebenengleichung
47.1 Punkt-Normalengleichung der Ebene
47.2 Hesse’sche1 Normalengleichung der Ebene
48 Abstandsberechnungen
48.1 Abstand eines Punktes von einer Ebene
48.2 Abstand einer Ebene vom Ursprung
48.3 Abstand paralleler Ebenen
48.4 Abstand eines Punktes von einer Geraden
48.5 Abstand windschiefer Geraden
49 Schnittwinkel
49.1 Schnittwinkel von Gerade und Ebene
49.2 Schnittwinkel zweier Ebenen
49.3 Schnittwinkel zweier Geraden
50 Umrechnung von Ebenengleichungen
51 Inzidenz1 von Geraden und Ebenen
51.1 Schnittgerade zweier Ebenen
51.2 Schnittpunkt von Geraden und Ebenen
51.3 Parallelität und Inzidenz von Ebenen
51.4 Parallelität und Inzidenz von Geraden
52 Grundbegriffe der komplexen Rechnung
52.1 Imaginäre Zahlen
52.2 Komplexe Zahlen C
52.3 Gauß’sche Zahlenebene Graphische Darstellung komplexer Zahlen
53 Darstellungsformen komplexer Zahlen
53.1 Komplexe Zahlen in Komponentenform (algebraische oder kartesische Form)
53.2 Komplexe Zahlen in Polarform
53.2.1 Trigonometrische Form
53.2.2 Komplexe Zahlen in Exponentialform
54 Komplexe Arithmetik
54.1 Rechenoperationen in der Komponentenform
54.1.1 Addition und Subtraktion komplexer Zahlen
54.1.2 Multiplikation und Division komplexer Zahlen
54.2 Rechenoperationen in der Polarform
54.2.1 Multiplikation in der trigonometrischen Form
54.2.2 Division in der trigonometrischen Form
54.2.3 Potenzieren in der Exponentialform
54.2.4 Radizieren in der Exponentialform
54.2.5 Logarithmieren in der Exponentialform
55 Anwendungen der komplexen Rechnung
55.1 Komplexe Funktionen
55.2 Symbolische Darstellung von Schwingungen
55.3 Komplexe Widerstände
55.4 Ortskurven
55.5 Inversion einer Ortskurve
Lösungen
Sachwortverzeichnis

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Heinz Rapp Mathematik für die Fachschule Technik

Heinz Rapp

Mathematik für die Fachschule Technik Algebra – Geometrie – Differentialrechnung – Integralrechnung – Vektorrechnung – Komplexe Rechnung Mit 601 Abbildungen, 629 Beispielen und 1298 Aufgaben 7., überarbeitete und erweiterte Auflage STUDIUM

Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über abrufbar.

1. Auflage 1996 2., überarbeitete Auflage 1999 korrigierter Nachdruck 2000 3., überarbeitete und erweiterte Auflage 2001 4., überarbeitete und erweiterte Auflage 2003 2 Nachdrucke 5., überarbeitete und erweiterte Auflage 2005 6., vollständig überarbeitete und erweiterte Auflage 2007 7., überarbeitete und erweiterte Auflage 2010 Alle Rechte vorbehalten © Vieweg+Teubner | GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2010 Lektorat: Thomas Zipsner| Imke Zander Vieweg+Teubner ist Teil der Fachverlagsgruppe Springer Science+Business Media. www.viewegteubner.de Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlags unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Umschlaggestaltung: KünkelLopka Medienentwicklung, Heidelberg Technische Redaktion: Stefan Kreickenbaum, Wiesbaden Druck und buchbinderische Verarbeitung: Stürtz GmbH, Würzburg Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier. Printed in Germany ISBN 978-3-8348-0914-8

V

Vorwort Das vorliegende Lehrbuch ist für die Fachschule konzipiert und auf die Belange der Praxis abgestimmt. Inhaltlich umfasst es den Lehrstoff der Mathematik für Fachschulen der Technik, ist aber so gehalten, dass es auch in anderen Schularten verwendet werden kann, die zu einem mittleren Bildungsabschluss (mittlere Reife, Fachschulreife) und zur Fachhochschulreife führen. In dieser Auflage wurde das Gebiet der Differentialrechnung und Integralrechnung durch zusätzliche Aufgaben erweitert, wie es der Stoffplan erfordert. Damit ist das Buch auch für die Berufkollegs und die Fachoberschulen geeignet. Der didaktische Grundgedanke war es, grundlegende Kenntnisse anwendungsorientiert zu vermitteln, ohne dabei die angemessene begriffliche und mathematische Sorgfalt außer Acht zu lassen. Das strukturierte Konzept wurde beibehalten. Die knappe Darstellung in zweispaltiger Ausführung, bei denen der erklärende Text der praktischen Ausführung mathematischer Berechnungen gegenübergestellt wird, erleichtert das Einarbeiten in das Stoffgebiet. Zahlreiche durchgerechnete Aufgabenbeispiele mit Lösungsgang ermöglichen es dem Benutzer, sein Können und Wissen selbst zu überprüfen und geben damit einen Anreiz, auch die schwierigeren Anwendungsaufgaben anzugehen. Das Buch gibt dem Leser durch die Art der Darstellung die Möglichkeit, sich auch selbst in den Lehrstoff einzuarbeiten. In besonderer Weise eignet sich das Buch neben der Anwendung im Unterricht auch zum Selbststudium. Stuttgart, im Dezember 2009

Heinz Rapp

Ein Wort des Dankes ... ... an Herrn Dipl.-Ing. Thomas Zipsner vom Lektorat Maschinenbau des Verlages für seine wertvollen Hinweise und für seine stets entgegenkommende Unterstützung zum Gelingen dieses Werkes. ... an Herrn Stefan Kreickenbaum von der Technischen Redaktion für das gute Gelingen der textlichen Ausgestaltung. ... an Herrn Dipl.-Ing. J. Matthias Rapp für seine Mitarbeit an diesem Werk.

VII

Inhaltsverzeichnis

1

Mathematische Begriffe und Schreibweisen ............................................................. 1.1 Zahlen .................................................................................................................. 1.1.1 Zahlendarstellung auf der Zahlengeraden .............................................. 1.2 Mengen ................................................................................................................ 1.2.1 Aufzählende Mengenschreibweise ......................................................... 1.2.2 Beschreibende Mengenschreibweise ..................................................... 1.2.3 Mengendiagramme ................................................................................. 1.2.4 Beziehungen zwischen Mengen (Mengenrelationen) ............................. 1.2.5 Mengenverknüpfungen (Mengenoperationen) ........................................ 1.3 Intervallschreibweisen .......................................................................................... 1.4 Symbole der Logik ...............................................................................................

1 1 1 3 3 3 4 4 5 8 8

2

Rechnen mit Termen .................................................................................................... 2.1 Grundrechenarten mit Termen ............................................................................. 2.1.1 Addition und Subtraktion (Rechnen mit Klammertermen) ....................... 2.1.2 Klammern in Klammern .......................................................................... 2.2 Multiplikation und Division .................................................................................... 2.2.1 Multiplikation mit negativen Zahlen ......................................................... 2.2.2 Multiplikation mit Null (Nullprodukt) ......................................................... 2.2.3 Multiplikation mit Summentermen ........................................................... 2.2.4 Binomische Formeln ............................................................................... 2.2.5 Quotienten aus positiven und negativen Zahlen ..................................... 2.2.6 Rechnen mit Bruchtermen ......................................................................

9 9 10 10 11 11 11 12 13 16 18

3

Lineare Gleichungen .................................................................................................... 3.1 Äquivalenz von Aussageformen ........................................................................... 3.2 Lösungsverfahren für lineare Gleichungen ........................................................... 3.3 Einfache lineare Gleichungen .............................................................................. 3.4 Bruchgleichungen ................................................................................................ 3.5 Gleichungen mit Formvariablen ........................................................................... 3.6 Verhältnisgleichungen (Proportionen) .................................................................. 3.7 Textliche Gleichungen .......................................................................................... 3.7.1 Allgemeine textliche Gleichungen ........................................................... 3.7.2 Mischungsaufgaben ................................................................................ 3.7.3 Bewegungsaufgaben .............................................................................. 3.7.4 Behälteraufgaben ................................................................................... 3.7.5 Arbeitsaufgaben .....................................................................................

27 27 28 29 31 34 40 43 43 45 48 51 53

4

Funktionen 1. Grades .................................................................................................. 4.1 Der Funktionsbegriff ............................................................................................. 4.2 Darstellung von Funktionen .................................................................................. 4.3 Funktionsdarstellung im Koordinatensystem ........................................................ 4.3.1 Das rechtwinklige Koordinatensystem .................................................... 4.3.2 Das Polarkoordinatensystem ..................................................................

56 56 57 58 58 59

VIII

Inhaltsverzeichnis 4.4 4.5 4.6 4.7

Lineare Funktionen der Technik ........................................................................... Die lineare Funktion mit der Funktionsgleichung y = mx ...................................... Die Funktion 1. Grades mit der Funktionsgleichung y = mx + b ........................... Graphische Darstellung linearer Zusammenhänge ..............................................

61 62 64 66

5

Systeme linearer Gleichungen .................................................................................... 5.1 Graphisches Lösungsverfahren von Gleichungssystemen ................................... 5.2 Rechnerische Lösungsverfahren von Gleichungssystemen ................................. 5.2.1 Das Gleichsetzungsverfahren ................................................................. 5.2.2 Das Einsetzungsverfahren ...................................................................... 5.2.3 Das Additionsverfahren .......................................................................... 5.2.4 Das Determinantenverfahren .................................................................. 5.2.5 Gleichungssysteme mit Bruchtermen ..................................................... 5.3 Lösungsverfahren für Gleichungssysteme mit drei und mehr Variablen ............... 5.4 Textaufgaben mit zwei Variablen ......................................................................... 5.4.1 Mischungsaufgaben ................................................................................ 5.4.2 Bewegungsaufgaben .............................................................................. 5.4.3 Behälteraufgaben ...................................................................................

69 69 70 71 71 74 77 79 82 88 88 89 90

6

Potenzen ....................................................................................................................... 93 6.1 Potenzbegriff ........................................................................................................ 93 6.2 Potenzgesetze ..................................................................................................... 93 6.2.1 Addition und Subtraktion von Potenzen .................................................. 93 6.2.2 Multiplikation von Potenzen .................................................................... 94 6.2.3 Division von Potenzen ............................................................................ 95 6.2.4 Potenzieren von Potenzen ...................................................................... 96 6.3 Erweiterung des Potenzbegriffes auf a1, a0 und Potenzen mit negativen ganzen Hochzahlen .......................................................................................................... 96 6.4 Besondere Potenzen (Zehnerpotenzen) .............................................................. 98 6.5 Potenzen von Binomen ........................................................................................ 101

7

Wurzeln ......................................................................................................................... 7.1 Wurzelbegriff ........................................................................................................ 7.1.1 Quadratwurzeln ...................................................................................... 7.1.2 Der allgemeine Wurzelbegriff .................................................................. 7.2 Wurzeln als Potenzen mit gebrochenen Hochzahlen ........................................... 7.3 Rechnen mit Wurzel- und Potenztermen ..............................................................

103 103 103 106 107 109

8

Quadratische Gleichungen .......................................................................................... 8.1 Rechnerische Lösung quadratischer Gleichungen ............................................... 8.1.1 Reinquadratische Gleichungen ............................................................... 8.1.2 Gemischtquadratische Gleichungen ohne Absolutglied .......................... 8.1.3 Gemischtquadratische Gleichungen ....................................................... 8.2 Lösbarkeit quadratischer Gleichungen, Diskriminante ......................................... 8.3 Koeffizientenregel von Vieta ................................................................................. 8.4 Biquadratische Gleichungen ................................................................................. 8.5 Quadratische Gleichungssysteme mit zwei Variablen .......................................... 8.6 Textaussagen, die auf quadratische Gleichungen führen .....................................

114 115 115 117 117 119 120 123 123 125

Inhaltsverzeichnis 9

IX

Wurzelgleichungen ...................................................................................................... 129 9.1 Wurzelgleichungen mit einer Variablen ................................................................ 129 9.2 Wurzelgleichungen mit zwei Variablen ................................................................. 132

10 Ungleichungen ............................................................................................................. 10.1 Äquivalenzumformungen bei Ungleichungen ....................................................... 10.2 Einfache lineare Ungleichungen ........................................................................... 10.3 Bruchungleichungen ............................................................................................

135 135 138 138

11 Lineare Ungleichungssysteme ................................................................................... 144 12 Lineares Optimieren .................................................................................................... 147 13 Quadratische Funktionen ............................................................................................ 156 13.1 Die allgemeine quadratische Funktion x ѻax2 + bx + c und ihre graphische Darstellung ........................................................................................................... 13.2 Die Scheitelform der quadratischen Funktionsgleichung ...................................... 13.3 Extremwertaufgaben ............................................................................................ 13.4 Aufstellen von Funktionsgleichungen aus Vorgaben ............................................ 13.5 Graphische Lösung quadratischer Gleichungen ..................................................

157 161 163 166 170

14 Potenzfunktionen ......................................................................................................... 171 14.1 Die Funktionen x 6 xn (n ∈ N) ........................................................................... 14.1.1 Achsensymmetrische Parabeln (n gerade) ............................................. 14.1.2 Punktsymmetrische Parabeln (n ungerade) ............................................ 14.2 Die Funktionen x 6 x– n (n ∈ N) ......................................................................... 14.2.1 Punktsymmetrische Hyperbeln (n ungerade) .......................................... 14.2.2 Achsensymmetrische Hyperbeln (n gerade) ...........................................

172 172 172 173 173 173

15 Wurzelfunktionen ......................................................................................................... 174 15.1 Quadratwurzelfunktionen ..................................................................................... 174 15.2 Wurzelfunktionen höherer Ordnung ..................................................................... 177 16 Exponentialfunktionen ................................................................................................ 180 16.1 Die allgemeine Exponentialfunktion ..................................................................... 180 16.2 Die e-Funktion ...................................................................................................... 183 17 Logarithmen ................................................................................................................. 17.1 Logarithmenbegriff ............................................................................................... 17.2 Logarithmensysteme ............................................................................................ 17.2.1 Natürliche Logarithmen ........................................................................... 17.2.2 Zehnerlogarithmen ................................................................................. 17.3 Logarithmengesetze .............................................................................................

189 189 190 190 191 192

18 Logarithmusfunktionen ............................................................................................... 196 18.1 Die allgemeine Logarithmusfunktion .................................................................... 196 18.2 Die natürliche Logarithmusfunktion ...................................................................... 198

X

Inhaltsverzeichnis

19 Exponentialgleichungen .............................................................................................. 199 20 Analytische Geometrie ................................................................................................. 20.1 Länge und Steigung von Strecken ....................................................................... 20.2 Teilpunkte von Strecken ....................................................................................... 20.2.1 Mittelpunkte von Strecken ...................................................................... 20.2.2 Beliebiger Teilpunkt T einer Strecke ....................................................... 20.3 Geradengleichungen ............................................................................................ 20.3.1 Punkt-Steigungs-Form ............................................................................ 20.3.2 Zwei-Punkte-Form .................................................................................. 20.3.3 Achsenabschnittsform ............................................................................ 20.3.4 HESSE-Form der Geradengleichung ...................................................... 20.4 Winkel zwischen Geraden .................................................................................... 20.4.1 Winkel zwischen Gerade und x-Achse (Steigung und Steigungswinkel) . 20.4.2 Schnittwinkel zweier Geraden ................................................................. 20.5 Orthogonale Geraden ........................................................................................... 20.6 Kreisgleichungen .................................................................................................. 20.6.1 Mittelpunktsgleichung eines Kreises ....................................................... 20.6.2 Allgemeine Kreisgleichung ...................................................................... 20.7 Kreis und Gerade ................................................................................................. 20.8 Parabeln und Hyperbeln ....................................................................................... 20.8.1 Brennpunkteigenschaften der Parabel .................................................... 20.8.2 Brennpunkteigenschaften der Hyperbel ..................................................

204 204 206 206 206 207 207 208 209 210 213 213 215 216 218 218 219 221 225 225 227

21 Koordinatensystem mit logarithmischer Teilung ...................................................... 228

Trigonometrie 22 Winkelfunktionen am rechtwinkligen Dreieck ........................................................... 22.1 Seitenverhältnisse als Winkelfunktionen .............................................................. 22.2 Definition der Winkelfunktionen ............................................................................ 22.3 Längen- und Winkelberechnungen ....................................................................... 22.3.1 Die Sinusfunktion .................................................................................... 22.3.2 Die Kosinusfunktion ................................................................................ 22.3.3 Die Tangens- und Kotangensfunktion ..................................................... 22.3.4 Vermischte Aufgaben ............................................................................. 22.4 Zusammenhang zwischen den Winkelfunktionen ................................................. 22.5 Winkelfunktionen beliebiger Winkel ...................................................................... 22.6 Die Graphen der Winkelfunktionen ....................................................................... 22.6.1 Die Schaubilder der Sinus- und Kosinusfunktion .................................... 22.6.2 Die allgemeine Sinusfunktion und ihre graphische Darstellung .............. 22.6.3 Die Schaubilder der Tangens- und Kotangensfunktion ........................... 22.7 Trigonometrische Gleichungen .............................................................................

229 229 230 230 230 232 235 236 243 245 249 251 251 254 256

23 Winkelfunktionen am schiefwinkligen Dreieck .......................................................... 23.1 Sinussatz .............................................................................................................. 23.2 Kosinussatz .......................................................................................................... 23.3 Flächenberechnung des schiefwinkligen Dreiecks ...............................................

259 259 266 274

Inhaltsverzeichnis

XI

24 Additionstheoreme ....................................................................................................... 276 24.1 Funktionen der doppelten und halben Winkel ...................................................... 280 25 Flächensätze am rechtwinkligen Dreieck .................................................................. 25.1 Satz des Pythagoras ............................................................................................ 25.2 Kathetensatz (Satz des Euklid) ............................................................................ 25.3 Höhensatz ............................................................................................................

282 282 296 298

26 Ähnlichkeit .................................................................................................................... 26.1 Strahlensätze ....................................................................................................... 26.2 Streckenteilung und Mittelwerte ........................................................................... 26.3 Stetige Teilung (Goldener Schnitt ) ......................................................................

301 301 308 311

27 Flächenberechnung ..................................................................................................... 315 27.1 Geradlinig begrenzte Flächen .............................................................................. 315 27.2 Kreisförmig begrenzte Flächen ............................................................................ 318 28 Volumenberechnung ................................................................................................... 28.1 Prismatische Körper ............................................................................................. 28.2 Pyramidenförmige und kegelförmige Körper ........................................................ 28.2.1 Pyramide und Pyramidenstumpf ............................................................. 28.2.2 Kegel und Kegelstumpf ........................................................................... 28.3 Kugelförmige Körper ............................................................................................ 28.3.1 Vollkugel ................................................................................................. 28.3.2 Kugelabschnitt (Kugelsegment) .............................................................. 28.3.3 Kugelschicht ........................................................................................... 28.3.4 Kugelausschnitt (Kugelsektor) ................................................................ 28.4 Schiefe Körper ..................................................................................................... 28.4.1 Satz des Cavalieri ................................................................................... 28.4.2 Simpson’sche Regel ............................................................................... 28.5 Oberflächen und Volumina von Rotationskörpern (Guldin’sche Regel) ................

326 326 332 332 333 337 337 340 341 344 349 349 350 352

Differentialrechnung 29 Grenzwerte ................................................................................................................... 29.1 Grenzwerte von Zahlenfolgen .............................................................................. 29.2 Grenzwerte von Funktionen ................................................................................. 29.2.1 Grenzwerte für x → x0 ............................................................................ 29.2.2 29.2.3

355 355 356 356

Grenzwerte für x → + ∞ und x → – ∞ .................................................... 358 Rechenregeln für Grenzwerte ................................................................. 359

30 Stetigkeit von Funktionen ........................................................................................... 361 31 Differentiation elementarer Funktionen ..................................................................... 31.1 Differenzenquotient und Differentialquotient ........................................................ 31.2 Ableitung von Potenzfunktionen ........................................................................... 31.3 Allgemeine Ableitungsregeln ................................................................................

363 363 364 365

XII

Inhaltsverzeichnis 31.4 Ableitung elementarer Funktionen (Übersicht) ..................................................... 368 31.5 Höhere Ableitungen .............................................................................................. 369

32 Horner-Schema und Nullstellen ganzrationaler Funktionen .................................... 372 32.1 Polynomdivision ................................................................................................... 372 32.2 Horner-Schema .................................................................................................... 373 33 Das Newton’sche Näherungsverfahren ...................................................................... 376 34 Anwendung der Differentialrechnung bei ganzrationalen Funktionen ..................... 34.1 Kurvendiskussion ................................................................................................. 34.2 Funktionssynthese ............................................................................................... 34.3 Extremwertaufgaben ............................................................................................

378 378 385 389

35 Gebrochenrationale Funktionen ................................................................................. 396 36 Trigonometrische Funktionen ..................................................................................... 36.1 Ableitungen .......................................................................................................... 36.2 Funktionsuntersuchung trigonometrischer Funktionen ......................................... 36.3 Funktionssynthese trigonometrischer Funktionen ................................................

402 402 403 408

37 Logarithmus- und Exponentialfunktionen ................................................................. 37.1 Ableitungen .......................................................................................................... 37.1.1 Ableitung der Logarithmusfunktionen ...................................................... 37.1.2 Ableitung der Exponentialfunktionen ....................................................... 37.2 Funktionsuntersuchung von Exponentialfunktionen ............................................. 37.3 Funktionssynthese von Exponentialfunktionen .....................................................

411 411 411 411 412 415

Integralrechnung 38 Der Begriff des Integrals .............................................................................................. 38.1 Die Flächeninhaltsfunktion ................................................................................... 38.2 Stammfunktionen (= unbestimmte Integrale) ........................................................ 38.3 Grundintegrale elementarer Funktionen ............................................................... 38.4 Das bestimmte Integral als Fläche ....................................................................... 38.5 Die Fläche als Grenzwert .....................................................................................

417 417 418 420 420 421

39 Flächenberechnung mit Hilfe der Integralrechnung ................................................. 423 39.1 Flächen zwischen Funktionsgraph und x-Achse .................................................. 423 39.2 Flächen zwischen zwei Funktionsgraphen ........................................................... 426 40 Das bestimmte Integral als Volumen (Volumen von Rotationskörpern) ................. 434 40.1 Rotationssymmetrie zur x-Achse .......................................................................... 434 40.2 Rotationssymmetrie zur y-Achse .......................................................................... 435

Inhaltsverzeichnis

XIII

Vektorrechnung – Analytische Geometrie auf Vektorbasis 41 Punkte und Vektoren ................................................................................................... 41.1 Definition eines Vektors ....................................................................................... 41.2 Ortsvektoren ........................................................................................................ 41.3 Betrag eines Vektors ............................................................................................ 41.4 Vektoren im Raum ............................................................................................... 41.4.1 Vektor-Addition ....................................................................................... 41.4.2 Vektor-Subtraktion .................................................................................. 41.4.3 Anwendungsbeispiele ............................................................................. 41.4.4 Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar (S-Multiplikation) .................. 41.4.5 Lineare Abhängigkeit von Vektoren ........................................................

436 436 437 438 438 438 439 439 440 441

42 Geraden im Raum ........................................................................................................ 42.1 Vektorielle Geradengleichungen .......................................................................... 42.1.1 Punkt-Richtungs-Gleichung .................................................................... 42.1.2 Zwei-Punkte-Gleichung .......................................................................... 42.2 Darstellung von Geraden .................................................................................... 42.2.1 Räumliche Darstellung im Koordinatensystem ....................................... 42.2.2 Projektion einer Geraden auf die Koordinatenebenen ............................ 42.2.3 Spurpunkte von Geraden ........................................................................ 42.3 Spezielle Geraden ................................................................................................ 42.4 Schnittpunkt zweier Geraden ...............................................................................

447 447 447 448 449 449 450 451 453 455

43 Vektorielle Darstellung von Ebenen ........................................................................... 43.1 Parameterdarstellung einer Ebene ....................................................................... 43.1.1 Punkt-Richtungs-Gleichung .................................................................... 43.1.2 Drei-Punkte-Gleichung ........................................................................... 43.2 Koordinatengleichung der Ebene ......................................................................... 43.3 Achsenabschnittsgleichung .................................................................................. 43.4 Zeichnerische Darstellung von Ebenen ................................................................ 43.4.1 Spurgeraden von Ebenen ....................................................................... 43.4.2 Zeichnen einer Ebene .............................................................................

459 459 459 460 461 462 462 462 464

Produkte von Vektoren 44 Das Skalarprodukt ....................................................................................................... 44.1 Winkel zwischen Vektoren ................................................................................... 44.2 Definition des Skalarproduktes ............................................................................. 44.3 Anwendungen des Skalarproduktes ..................................................................... 44.3.1 Winkel eines räumlichen Dreiecks .......................................................... 44.3.2 Schnittwinkel von Geraden .....................................................................

466 466 467 468 468 468

45 Das Vektorprodukt ....................................................................................................... 470 45.1 Definition des Vektorproduktes ............................................................................ 470 45.2 Anwendungen des Vektorproduktes ..................................................................... 472

XIV

Inhaltsverzeichnis

46 Das Spatprodukt ........................................................................................................... 475 46.1 Definition des Spatproduktes ............................................................................... 475 46.2 Anwendungen des Spatproduktes ........................................................................ 476 47 Normalenformen der Ebenengleichung ..................................................................... 479 47.1 Punkt-Normalengleichung der Ebene ................................................................... 479 47.2 Hesse’sche Normalengleichung der Ebene .......................................................... 481 48 Abstandsberechnungen .............................................................................................. 48.1 Abstand eines Punktes von einer Ebene .............................................................. 48.2 Abstand einer Ebene vom Ursprung .................................................................... 48.3 Abstand paralleler Ebenen ................................................................................... 48.4 Abstand eines Punktes von einer Geraden .......................................................... 48.5 Abstand windschiefer Geraden ............................................................................

483 483 484 484 485 486

49 Schnittwinkel ................................................................................................................ 49.1 Schnittwinkel von Gerade und Ebene .................................................................. 49.2 Schnittwinkel zweier Ebenen ................................................................................ 49.3 Schnittwinkel zweier Geraden ..............................................................................

490 490 491 491

50 Umrechnung von Ebenengleichungen ....................................................................... 493 51 Inzidenz von Geraden und Ebenen ............................................................................. 51.1 Schnittgerade zweier Ebenen ............................................................................... 51.2 Schnittpunkt von Geraden und Ebenen ................................................................ 51.3 Parallelität und Inzidenz von Ebenen ................................................................... 51.4 Parallelität und Inzidenz von Geraden ..................................................................

497 497 499 501 502

Komplexe Zahlen und Funktionen 52 Grundbegriffe der komplexen Rechnung ................................................................... 52.1 Imaginäre Zahlen ................................................................................................. 52.2 Komplexe Zahlen C .............................................................................................. 52.3 Gauß’sche Zahlenebene ......................................................................................

504 504 506 507

53 Darstellungsformen komplexer Zahlen ...................................................................... 53.1 Komplexe Zahlen in Komponentenform ............................................................... 53.2 Komplexe Zahlen in Polarform ............................................................................. 53.2.1 Trigonometrische Form ........................................................................... 53.2.2 Komplexe Zahlen in Exponentialform .....................................................

508 508 510 510 510

54 Komplexe Arithmetik .................................................................................................... 54.1 Rechenoperationen in der Komponentenform ...................................................... 54.1.1 Addition und Subtraktion komplexer Zahlen ........................................... 54.1.2 Multiplikation und Division komplexer Zahlen ......................................... 54.2 Rechenoperationen in der Polarform .................................................................... 54.2.1 Multiplikation in der trigonometrischen Form .......................................... 54.2.2 Division in der trigonometrischen Form ...................................................

512 512 512 513 514 514 516

Inhaltsverzeichnis 54.2.3 54.2.4 54.2.5

XV Potenzieren in der Exponentialform ........................................................ 517 Radizieren in der Exponentialform .......................................................... 517 Logarithmieren in der Exponentialform ................................................... 518

55 Anwendungen der komplexen Rechnung .................................................................. 55.1 Komplexe Funktionen .......................................................................................... 55.2 Symbolische Darstellung von Schwingungen ....................................................... 55.3 Komplexe Widerstände ........................................................................................ 55.4 Ortskurven ........................................................................................................... 55.5 Inversion einer Ortskurve .....................................................................................

520 520 521 522 524 526

Lösungen ............................................................................................................................. 530 Sachwortverzeichnis .......................................................................................................... 569

1

1 Mathematische Begriffe und Schreibweisen In der Mathematik ist es üblich, logische Beziehungen zwischen Zahlen, Punkten, geometrischen Figuren und dergleichen aufzuzeigen und durch Anwendung geeigneter Operationen unter Beachtung bestimmter Gesetzmäßigkeiten zu neuen Aussagen zu kommen. Hierzu ist es erforderlich, die definierten Begriffe mit klarer kurzer Schreibweise einzuführen. Im Folgenden werden einige dieser Begriffe, die in den nachfolgenden Kapiteln Verwendung finden, dargestellt.

1.1 Zahlen 1.1 Zahlen

dargestellt in Mengenschreibweise: Natürliche Zahlen

N*

= {1; 2; 3; 4; ...}

Natürliche Zahlen einschließlich der Null

N

= {0; 1; 2; 3; 4; ...}

Ganze Zahlen

Z

= {... – 2; – 1; 0; 1; 2; ...}

Rationale Zahlen1

Q

=

Reelle Zahlen1

R

Komplexe Zahlen1

C

⎧ ⎫ p ⎨x x = mit p ∈ Z ∧ q ∈ N *⎬ q ⎩ ⎭

1.1.1 Zahlendarstellung auf der Zahlengeraden Natürliche Zahlen N* Die natürlichen Zahlen des Zählens lassen sich anschaulich auf einer Zahlen-Halbgeraden, dem Zahlenstrahl darstellen. In vielen Fällen ist es zweckmäßig, zu den natürlichen Zahlen die Zahl Null noch hinzuzunehmen. Dafür wird das Symbol N gewählt.

0

1

2

3

4

5

N* N

1 Was unter den rationalen, reellen und komplexen Zahlen zu verstehen ist, wird in Abschnitt 1.1.1 präzisiert.

H. Rapp, Mathematik für die Fachschule Technik, DOI 10.1007/978-3-8348-9803-6_1, © Vieweg+Teubner | GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2010

2

1 Mathematische Begriffe und Schreibweisen

Ganze Zahlen Z Neben den natürlichen positiven Zahlen sind uns die negativen Zahlen bekannt. Wir sprechen von Minustemperaturen und verstehen darunter Kältegrade, oder wir sprechen von Minuszahlen in der Bilanz und meinen damit Schulden. Die negativen und positiven ganzen Zahlen einschließlich der Null werden ganze Zahlen genannt. Zuweilen ist es zweckmäßig, negative und positive ganze Zahlen durch ein besonderes Symbol zu unterscheiden.

Z –4

–3

–2

–1

0

1

2

Z–

3

4

Z+

Rationale Zahlen Q Der Bereich zwischen zwei ganzen Zahlen lässt sich in beliebig viele Teilbereiche unterteilen. Damit erhalten wir Bruchteile des Zahlenbereiches. Die neue Zahlenart nennen wir Brüche oder Bruchzahlen. Brüche, die sich als Quotient zweier ganzer Zahlen darstellen lassen, werden rationale Zahlen genannt. Die Menge der rationalen Zahlen wird mit Q bezeichnet.

Q –1

–

3 4

–

1 2

–

1 4

0

1 4

1 2

3 4

1

Reelle Zahlen R Die Anwendung der Grundrechenarten führt über diesen Zahlenbereich nicht hinaus, d. h. es entstehen jeweils nur rationale Zahlen. Bei Rechenoperationen höherer Ordnung (wie z. B. beim Wurzelziehen) entstehen jedoch Zahlen, die nicht mehr rational sind. Die Zahl 2 ist zwar noch auf der Zahlengeraden darstellbar, sie ist aber keine rationale Zahl mehr, da sie nicht mehr als Quotient zweier ganzer Zahlen zu erhalten ist.2 Diese Zahlen werden irrationale Zahlen genannt. Es sind unendliche nichtperiodische Dezimalzahlen. Neben den algebraisch irrationalen Zahlen gibt es auch transzendent irrationale Zahlen. Beispiele dafür sind: e

=

ln 17 = π

=

2,718 281 828 459 ...

(Eulerzahl)

loge 17 = 2,833 ...

(Logarithmus)

3,141 592 653 589 ...

(Kreiszahl)

Rationale und irrationale Zahlen bilden die Menge der reellen Zahlen R. Diese Zahlenmenge umfasst somit alle bisher genannten Zahlenmengen. Jeder Punkt auf der Zahlengeraden entspricht einer reellen Zahl und umgekehrt.

2 Beweis in Kapitel 7.1

1.2 Mengen

3

Komplexe Zahlen C Die quadratische Gleichung x2 + 4 = 0 bzw. x2 = – 4 besitzt im Bereich der reellen Zahlen keine Lösungen, da das Quadrat einer reellen Zahl nicht negativ ist. Rein formal kann die Gleichung jedoch durch die Ausdrücke x1/2 = ± − 4 = ± 4 ⋅ (− 1) = ± 2 ⋅ − 1 gelöst werden. Mit der von Leonhard Euler eingeführten Definition i2 = –1, bzw. der „imaginären Einheit“ i = −1 erhält man als Lösungen x1 = 2 i oder x2 = –2 i. Diese Größen werden als imaginäre Zahlen (nach Descartes „numeri imaginari“) bezeichnet. Löst man die quadratische Gleichung x2 – 4x + 8 = 0 mit Hilfe der Lösungsformel (vgl. Kap. über „Quadratische Gleichungen“), so erhält man als Lösungen komplexe Zahlen mit einem reellen Teil (Realteil Re) und einem imaginären Teil (Imaginärteil Im). Komplexe Zahlen sind nicht mehr auf einer Zahlengeraden darstellbar, sondern nur noch auf einer Zahlenebene, der Gauß`schen Zahlenebene (vgl. Kapitel über „Komplexe Rechnung“).

1.2 Mengen 1.2 Mengen3

Bei der Darstellung der Standard-Zahlenmengen wurde bereits von dem Begriff der „Menge“ und von der Mengenschreibweise Gebrauch gemacht. Üblicherweise werden die Mengen durch Großbuchstaben A, B, C, ... angegeben. Die Standard-Zahlenmengen werden durch Sondersymbole N, Z, Q, R, C gekennzeichnet. Die Elemente einer Menge werden mit Kleinbuchstaben a, b, c, ... bezeichnet und in einer geschweiften (Mengen-) Klammer zusammengefasst.3 Dabei bedeuten die Symbole: ∈ : a ∈ M: a ist Element von M

∉ : b ∉ M: b ist nicht Element von M

Für eine Menge sind drei Darstellungsformen möglich:

1.2.1 Aufzählende Mengenschreibweise Die Elemente werden in beliebiger Reihenfolge aufgezählt und mit Hilfe einer Mengenklammer angegeben: M = {a; b; c; d} z. B. M = {3; 4; 5; 6} Bei zu vielen Elementen ist eine Aufzählung nicht mehr sinnvoll. In diesem Fall wird die beschreibende Mengenschreibweise vorgezogen.

1.2.2 Beschreibende Mengenschreibweise Die Elemente werden durch eine definierende Aussageform A(x) beschrieben: M = {x | A (x)} z. B. M = {x | x ∈ N* ∧ x ≤ 100} gelesen: „M ist die Menge aller x, für die die Aussage A (x) gilt“ A (x) in dem Beispiel bedeutet: „x ist eine natürliche Zahl zwischen 1 und 100.“ In aufzählender Form könnte auch geschrieben werden: M = {1 ; 2; 3; 4; ... ; 99; 100}.

Eine unerfüllbare Aussage A (x) führt zu der leeren Menge M = { }. 3 Der Mengenbegriff stammt von Georg Cantor (1845 – 1918): „Eine Menge ist eine Zusammenfassung

bestimmter wohlunterscheidbarer Objekte ... zu einem Ganzen. Diese Objekte werden Elemente der Menge genannt.“

4

1 Mathematische Begriffe und Schreibweisen

1.2.3 Mengendiagramme (auch Euler-Diagramme oder Venn-Diagramme genannt) Man versteht darunter eine bildhafte Darstellung der Mengen durch Einkreisung der Elemente mit Hilfe einer geschlossenen Linie. Die Begrenzungslinie braucht nicht immer ein Kreis zu sein. Jede beliebige Begrenzungslinie ist möglich: z. B.

A =

{1; 5; 8}

dargestellt im Mengendiagramm:

Mit Hilfe von Mengendiagrammen lassen sich Beziehungen zwischen mehreren Mengen anschaulich darstellen, wie wir an dem folgenden Beispiel sehen. A =

{a; b; d; e}

B =

{b; c; d; g}

C =

{d; e; f; g}

dargestellt im Venn-Diagramm

1.2.4 Beziehungen zwischen Mengen (Mengenrelationen) a) Gleichheit von Mengen Die Mengen A = {2; 3; 2; 5} und B = { 3 27; 2; enthalten.

25 } sind gleich, da sie die gleichen Elemente

A=B

Merke:

Elemente, die doppelt oder mehrfach vorkommen, brauchen nur einmal geschrieben zu werden. Die Elemente können in beliebiger Schreibweise und Reihenfolge dargestellt werden.

b) Teilmengen Ein Vergleich der beiden Mengen A = {2; 3; 4} und B = {1; 2; 3; 4} zeigt, dass die Elemente von A auch in B enthalten sind. A ist also eine Teilmenge von B, weil alle Elemente von A auch in B enthalten sind. A⊂B

1.2 Mengen

5

1.2.5 Mengenverknüpfungen (Mengenoperationen) Im Folgenden wollen wir Verknüpfungen von Mengen, d. h. die Bildung neuer Mengen aus den vorgegebenen Mengen A = {a; b; d; e} und B = {b; c; d; g} definieren und im Mengendiagramm darstellen. a) Schnittmenge (oder Durchschnittsmenge) Unter der Schnittmenge A ∩ B (gelesen: „A geschnitten mit B“) versteht man die Menge der Elemente, die sowohl zu A als auch zu B gehören.

Schnittmenge

A ∩ B = {x | x ∈ A und x ∈ B} A ∩ B = {b; d}

b) Vereinigungsmenge Bei der Vereinigungsmenge A ∪ B (gelesen: „A vereinigt mit B“) werden die Elemente beider Mengen zusammengefasst. Vereinigungsmenge

A ∪ B = {x | x ∈ A oder x ∈ B}

(„oder“ jeweils im einschließenden Sinn, d. h. zu A oder zu B oder zu beiden gehörend) A ∪ B = {a; b; c; d; e; g} c) Differenzmenge oder Restmenge Bei der Differenzmenge A \ B (gelesen: „A ohne B“) werden die Elemente gleichsam „voneinander abgezogen“. Es bleiben nur noch die restlichen Elemente übrig. Differenzmenge (Restmenge)

A \ B = {x | x ∈ A und x ∉ B} A \ B = {a; e}

= Menge aller Elemente, die zur Menge A gehören, ohne die Elemente, die gleichzeitig zu B gehören.

6

1 Mathematische Begriffe und Schreibweisen

Zusammenfassung Mengenbeziehungen und -verknüpfungen A = B A gleich B

{a; b; c} = {b; c; a}

A≠B

A ungleich B

{a; b; c} ≠ {b; c; d}

A~B

A ist gleichmächtig B A ist äquivalent B

{a; b; c} ~ {x; y; z}

A ⊂ B A ist Teilmenge von B

{a; b; c} ⊂ {a; b; c; d; e}

A ⊄ B A ist nicht Teilmenge von B

{a; b; c} ⊄ {b; c; d; e}

A∩B

A geschnitten mit B Schnittmenge von A und B

A vereinigt mit B A ∪ B Vereinigungsmenge von A und B

{a; b; c} ∩ {b; c; d} = {b; c}

{a; b; c} ∪ {b; c; d} = {a; b; c; d}

A\B

A ohne die Elemente, die zu B {a; b; c} \ {c; d; e} = {a; b} gehören (=Differenzmenge)

A×B

Kartesisches (oder Kreuz-) Produkt von A und B, Paarbildungen aus den Elementen der Ausgangsmengen (= Paarmenge)

aus A = {a; b} und B = {c; d} folgt A × B = {(a | c); (a | d); (b | c); (b | d)} aus A = {1; 2; 3} und B = {a; b} folgt A × B = {(1 | a); (1 | b); (2 | a); (2 | b); (3 | a); (3 | b)} B × A = {(a | 1); (a | 2); (a | 3); (b | 1); (b | 2); (b | 3)}

A × B × C = {x | x = (a | b | c) ∧ a ∈ A ∧ b ∈ B ∧ c ∈ C}

Verknüpfungsgesetze Schnittmenge A∩B=B∩A (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) = A ∩ B ∩ C A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)

kommutativ assoziativ distributiv (bezüglich der Vereinigung)

Vereinigung A∪B=B∪A (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) = A ∪ B ∪ C A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)

kommutativ assoziativ distributiv (bezüglich der Durchschnittsbildung)

1.2 Mengen

7

Beispiel Stellen Sie für die beiden Mengen A = {– 2; 1; 2; 3} und B = {– 1; 0; 1; 2} folgende Mengenverknüpfungen dar: a) Durchschnittsmenge A ∩ B b) Vereinigungsmenge A ∪ B c) Restmenge A \ B. Lösung Zur Veranschaulichung wählen wir jeweils das Mengendiagramm, aus dem wir die verschiedenen Mengen ablesen können.

A

B -2 1 -1 3 2 0

a) Durchschnittsmenge A ∩ B = {1; 2}

b) Vereinigungsmenge c) Restmenge A ∪ B = {–2; –1; 0; 1; 2; 3} A \ B = {–2; 3}

Beispiel Bei der Qualitätskontrolle an 100 Fertigungsteilen wurden folgende Fehler festgestellt: Bei 11 Teilen war die Durchmessertoleranz nicht eingehalten, bei 9 Teilen war die Längentoleranz unterschritten, bei 3 Teilen stimmte sowohl die Durchmesser- als auch die Längentoleranz nicht, 8 Teile hatten noch Lagetoleranzfehler, davon hatten 4 Teile gleichzeitig noch Durchmessertoleranzfehler und bei 2 Teilen stimmte keine der drei Toleranzen. Drei Teile mit Lagetoleranzfehlern hatten gleichzeitig noch Längentoleranzfehler. Wie viel % der Teile waren einwandfrei ? Wie viele Teile hatten nur Längenfehler, wie viele Teile nur Durchmesserfehler ? Lösung Bezeichnet man die Durchmessertoleranzfehler mit A, die Längentoleranzfehler mit B und die Lagetoleranzfehler mit C, so können wir die jeweilige Anzahl der Teile in ein Mengendiagramm eintragen, beginnend mit den beiden Teilen, die alle drei Fehler hatten. Mengentheoretisch entspricht dies der Menge A ∩ B ∩ C = {2}. Die Anzahl der fehlerhaften Teile der Mengen A, B und C beträgt 18, damit fehlen noch 82 Teile zur Gesamtzahl 100 (= Grundmenge). Aus dem Mengendiagramm lässt sich weiter ablesen: 5 Teile haben nur Längentoleranzfehler, 4 Teile nur Durchmessertoleranzfehler, 1 Teil nur einen Lagetoleranzfehler, 82 % der Teile sind einwandfrei. Damit ist die Fehlerquote 18 %. Anmerkung: Im Mengendiagramm sind hier nicht die Elemente, sondern ihre Anzahl eingetragen.

8

1 Mathematische Begriffe und Schreibweisen

Aufgaben zu 1.2 Mengen 1. Stellen Sie die Menge (A \ B) ∪ (C \ B), bestehend aus den Mengen A = {1; 7; 3}, B = {1; 7; 2}, C = {1; 4; 5} der Grundmenge G im Mengendiagramm durch Angabe der Elemente dar. 2. Die Menge aller Punkte einer Geraden werde mit f bezeichnet. Die Menge aller Punkte einer zweiten in derselben Ebene liegenden Geraden sei g. Welche Lage haben diese Geraden zueinander, wenn a) f ∩ g = {Q} und b) f ∩ g = { } ? 3. Bilden Sie aus der Grundmenge G = N* den Durchschnitt der Mengen A = {x | x > – 2} und B = {x | x < 4}.

1.3 Intervallschreibweisen 1.3 Intervallschreibweisen

bei Mengen [a; b ]

abgeschlossenes Intervall

bedeutet:

a≤x≤b

{x | a ≤ x ≤ b} x ∈ [a; b ]

]a, b [

offenes Intervall

bedeutet:

a0

Wurzel reell

zwei verschiedene reelle Lösungen x1 und x2

D=0

Wurzel reell

zwei zusammenfallende reelle Lösungen x1 = x2

D) oder kleiner ( ...) oder (x < ...) zu bringen, werden die Terme auf beiden Seiten der Ungleichung durch äquivalente Umformungen so lange verändert, bis die einfachste Form entsteht. Da wir bei diesen Umformungen nur Termadditionen oder -multiplikationen durchführen, bei denen sich die Lösungsmenge nicht ändert, handelt es sich immer um Äquivalenzumformungen. Wir können deshalb auch hier, wenn es sich ausschließlich um Äquivalenzumformungen handelt, auf das Schreiben des Äquivalenzzeichens (⇔) verzichten. Wir wollen dies an einfachen Zahlenbeispielen untersuchen.

Beispiel Bestimmen Sie die Lösungsmenge von x – 3 < 1. Lösung 1. Termaddition Durch die Addition von (+ 3) auf beiden Seiten der Ungleichung werden beide Terme um den gleichen Wert vergrößert. Damit ist der linke Term aber immer noch kleiner als der rechte. Die Ungleichheit bleibt erhalten. Die beiden Ungleichungen sind äquivalent.

x–3 10 – 7 x>3 L = {x x > 3}

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136

10 Ungleichungen

Beispiel Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Ungleichung

1 2

x > 3.

Lösung 3. Termmultiplikation In diesem Fall muss die Termmultiplikation angewandt werden. Der doppelte Wert des größeren Terms ist dabei immer noch größer als der doppelte Wert des kleineren Terms. Die Ungleichheit bleibt bestehen.

1 x>3 2 1 x>3·2 2 x>6

2·

L = {x x > 6}

Beispiel Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Ungleichung 3x < 9. Lösung 4. Termdivision 1 , was der Divi3 sion durch 3 entspricht, erhalten wir eine äquivalente Gleichung, denn der linksseitige Term ist immer noch kleiner als der rechtsseitige.

Durch die Multiplikation mit

3x < 9 1 · 3x < 9 3 x 3x – 6. Lösung

Bei dieser Ungleichung kommt man erst durch mehrere Umformungen zur Lösungsmenge. Durch die Termaddition (+ 6) sowie die Termsubtraktion (– x) ergibt sich die Ungleichung 4 > 2x. Dividiert man diese Ungleichung durch 2, so erhält man 2 > x. Diese Ungleichung kann auch von rechts nach links gelesen werden. Dabei ergibt sich die Ungleichung x < 2.

x–2 x–2+6 x+4 x–x+4 4

> 3x – 6 > 3x – 6 + 6 > 3x > 3x – x > 2x

1 1 · 4 > · 2x 2 2 2>x L = {x x < 2}

10.1 Äquivalenzumformungen bei Ungleichungen

137

Die Termumformung kann aber auch in anderer Weise durchgeführt werden: Um die Ungleichung – 2x > – 4 zu vereinfachen, ist die Termmultiplikation sinnvoller⎛ 1⎞ weise mit der negativen Zahl ⎜− ⎟ durchzu⎝ 2⎠ führen.

Ohne das Ungleichheitszeichen umzukehren, würde aber das Ergebnis x > 2 herauskommen. Dies wäre jedoch eine falsche und damit keine zur ursprünglichen Aussageform äquivalente Ungleichungsform. Damit eine äquivalente Aussageform entsteht, ist bei der Multiplikation oder Division mit einer negativen Zahl das Ungleichheitszeichen gleichzeitig umzukehren.

x–2 x–2+2 x x – 3x – 2x

Umkehrung des Ungleichheitszeichens bei Multiplikation mit negativen Zahlen (Inversionsregel): ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ ⎜− ⎟⋅(−2x) < ⎜− ⎟⋅(−4) ⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠ x–2

– 1 ist größer als – 2

> 3x – 6 > 3x – 6 + 2 > 3x – 4 > 3x – 3x – 4 >–4

Multiplikation mit −1  

–2 7x + 5.

Klammer ausmultiplizieren

3x – 3 > 7x + 5

x-Glieder auf die linke Seite bringen (Termaddition) und zusammenfassen

– 4x – 3 > 5

Zahlenterm auf die rechte Seite bringen (Termaddition) und zusammenfassen

– 4x > 8 x 7 (x + 1) – 3x > 7x + 7 – 3x >–6 0 Da beide Ungleichungen gleichzeitig erfüllt sein müssen, wollen wir beide Ungleichungen gleichzeitig nach x auflösen und durch das Zeichen ∧ (und) verknüpfen. Das Ergebnis wollen wir an der Zahlengeraden veranschaulichen.

D = Q \ {– 1}

5 0 x +1

5–1

Da beide Bedingungen gleichzeitig erfüllt sein müssen, folgt daraus (vgl. Zahlengerade): x>4

2. Fall: Multiplikation mit dem Faktor

x+1x+1 ∧

 x +1< 0

x 0 ∧ (x – 3) < 0 x>0 ∧ x0 x + 2 x +1 3 (x +1) − 4 (x + 2) >0 (x + 2) (x +1) −x − 5 >0 (x + 2) (x +1) x+5 0

x+5–5

x 0

1. x + 2 < 0 ∧ x + 1 > 0

1. x + 2 > 0 ∧ x + 1 > 0

x–1

x>–2∧x>–1

keine Lösungselemente

x>–1

2. x + 2 > 0 ∧ x + 1 < 0

2. x + 2 < 0 ∧ x + 1 < 0

x>–2∧x0

26.

x x −5

5x 2 (x − 2)(x + 5)

2x − 3 x −1 3 x +1 1 x−2 3x x −1 3x x+5

−

< 5 x


0 3

x+3

−1 > 0 −2 > 0

>5

144

11 Lineare Ungleichungssysteme 11 Lineare Ungleichungssysteme

Graphische Darstellung von Ungleichungen mit zwei Variablen Beispiel Zeichnen Sie den Graphen der Relation y ≥

1 2

x + 1.

Lösung 1 x + 1 ist die Gleichung 2 einer Funktion 1. Grades. Das Schaubild ist eine Gerade.

Die Gleichung y =

1 x + 1 drückt aus, 2 dass jedem x-Wert ein y-Wert zugeordnet 1 wird, der größer als x + 1 ist. 2

Die Ungleichung y >

Für jeden x-Wert ergeben sich damit beliebig viele y-Werte. Die Zuordnung ist nicht mehr eindeutig. Es handelt sich um eine Relation. Die Bildpunkte (x; y) dieser Relation liegen so dicht beieinander, dass sie die Fläche oberhalb der Randgeraden oder Grenzgeraden mit der Gleichung 1 x+1 2 völlig ausfüllen und damit eine Halbebene bilden.

y=

Anmerkung: Bei der Relation y ≥ Relation y >

1 x + 1 gehören die Bildpunkte der Grenzgeraden noch zur Lösungsmenge. Bei der 2

1 x + 1 gehören die Bildpunkte der Grenzgeraden nicht mehr zur Lösungsmenge. 2

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11 Lineare Ungleichungssysteme

145

Beispiel Bestimmen Sie graphisch die Lösungsmenge des Ungleichungssystems (G = R x R).

x + 2y < 5 x − 2y < 1 Lösung

Das System besteht aus zwei Ungleichungen, die wir durch Äquivalenzumformung so umstellen, dass y auf der linken Seite steht. 1. Relation x + 2y < 5 umgestellt: y < - 0,5x + 2,5

2. Relation x – 2y < 1 umgestellt: y > 0,5x – 0,5

Diese beiden Relationen werden durch die beiden Halbebenen dargestellt, die jeweils oberhalb der Grenzgeraden y = 0,5x – 0,5 und unterhalb der Grenzgeraden y = – 0,5x + 2,5 liegen. Zur Festlegung der Halbebenen zeichnen wir deshalb immer die Grenzgeraden auf. Die Gleichung der Grenzgeraden erhalten wir, indem wir bei den Ungleichungen das Ungleichheitszeichen durch ein Gleichheitszeichen ersetzen, so dass die Funktionsgleichung einer Geraden entsteht. Die Lösungsmenge des Gleichungssystems ist geometrisch immer der Bereich, in dem sich beide Halbebenen überschneiden (= Schnittmenge der beiden Relationen).

Die Lösungsmenge ist die Punktmenge aus dem Bereich der Grundmenge G = R x R (= doppelt schraffierter Bereich ohne die Bildpunkte auf den Grenzgeraden).

Beispiel Bestimmen Sie die Lösungsmenge des folgenden Ungleichungssystems aus der Grundmenge G = N* x N*. y 0 ∧ y ≤ 6

2. Bestimmen Sie graphisch die Lösungsmenge der Ungleichungssysteme mit G = N* x N* und geben Sie die Lösungsmengen in aufzählender Schreibweise an. a) y ≤ –

1 5

x+7∧y≤–x+8∧

b) y ≤ 2x ∧ y ≥ c) y < –

1 3

1 2

1 2

y+x≤7

x ∧ 4y ≤ – x + 20

x + 6 ∧ 2y ≥ 3x – 6 ∧ y > 1,5 ∧ x – 1 > 0

d) 3y + 2x ≤ 21 ∧ 3x + 2y ≥ 14 ∧ y > 1 ∧ x > 3 3. Bestimmen Sie graphisch die Lösungsmenge des Ungleichungssystems 3y ≤ – x + 10,5 ∧ y ≥ x – 1 ∧ 2y ≥ – 7x + 7. a) aus der Grundmenge G = N* x N*. b) Für welches Wertepaar wird z = – 5x + 10y am kleinsten ? c) Für welches Wertepaar wird z = – 5x + 10y ein Maximum ?

147

12 Lineares Optimieren Ingenieure und Betriebswissenschaftler haben bei der Produktionsplanung oftmals Aufgaben zu lösen, die zu einem möglichst günstigen Kosten-Nutzen-Verhältnis führen sollen. Probleme dieser Art sind: 1. zweckmäßiger Einsatz und Auslastung von Maschinenkapazitäten, 2. zweckmäßige Lagerhaltung bei entsprechenden Einkaufs- und Verkaufspreisen, 3. Einsatz von Transportmitteln zur Senkung von Transportkosten. Zwischen der Anzahl der Produkte und deren Kosten bzw. Preise besteht meist ein linearer Zusammenhang. Mathematisch formuliert führt dies zu linearen Gleichungen oder Ungleichungen, die gleichzeitig erfüllt sein müssen. Die Verbindung dieser Gleichungen oder Ungleichungen erfolgt durch konjunkte Verknüpfung zu Gleichungs- oder Ungleichungs-Systemen. Da es sich von der Aufgabenstellung her um die Ermittlung optimaler Lösungen handelt, wird dieses Rechenverfahren als Lineares Optimieren, als Lineare Programmierung (linear programming) oder als Linearplanung bezeichnet. Die optimale Lösung kann ein Kleinstwert (Minimum bei Kosten und Verlusten) oder ein Größtwert (Maximum beim Gewinn) sein. Optimierungsaufgaben mit sehr vielen Variablen (in der Praxis werden bis zu 100 und mehr Variablen eingeführt) erfordern einen großen Rechenaufwand, der nur noch mit elektronischen Rechenanlagen bewältigt werden kann. Im Folgenden sollen nur Aufgaben mit zwei Variablen behandelt werden. Zur graphischen Lösung eignen sich Probleme mit höchstens zwei Variablen. Für die rechnerische Lösung von Optimierungsaufgaben mit mehr als zwei Variablen eignet sich das von dem Amerikaner G.B. Dantzig eingeführte Simplexverfahren.

Beispiel Ein Unternehmen der Elektroindustrie stellt Haushaltsgeräte her. Bei der Herstellung der Geräte G1 und G2 kommen die Maschinen M1, M2 und M3 zum Einsatz. Die durchschnittliche Bearbeitungszeit für Gerät G1 beträgt auf Maschine M1 ... 30 min, M2 ... 60 min, M3 ... 7,5 min. Die Fertigungszeiten für Gerät G2 betragen auf Maschine M1 ... 30 min, M2 ... 24 min, M3 ... 30 min. Die Maschine M1 kann täglich höchstens 5,5 Stunden, die Maschine M2 maximal 8 Stunden und die Maschine M3 maximal 4,5 Stunden eingesetzt werden. Wie hoch sollte die Tagesproduktion für jedes Gerät sein, wenn beim Verkauf von Gerät G1 ein Gewinn von 30 EUR und für Gerät G2 ein Gewinn von 40 EUR erzielt wird und die Produktion am optimalen Gewinn orientiert werden soll?

H. Rapp, Mathematik für die Fachschule Technik, DOI 10.1007/978-3-8348-9803-6_12, © Vieweg+Teubner | GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2010

148

12 Lineares Optimieren

Lösung a) Wahl der Variablen Da es sich um Stückzahlen handelt, können die gesuchten Größen x und y nur natürliche Zahlen sein. x = Anzahl der täglich produzierten Geräte G1 y = Anzahl der täglich produzierten Geräte G2 (x, y ∈ N*) b) Darstellung der in der Textaufgabe vorgegebenen Bedingungen Fertigungszeiten auf M1: für G1 ... 0,5 h, für G2 ... 0,5 h, Maximalzeit 5,5 h:

0,5x + 0,5y ≤ 5,5

(1)

y ≤ – x + 11

(1')

Fertigungszeiten auf M2: für G1 ... 1 h, für G2 ... 0,4 h, Maximalzeit 8 h:

1 · x + 0,4y ≤ 8

(2)

y ≤ – 2,5x + 20

(2')

Fertigungszeiten auf M3: für G1 ...

1 h, für G2 ... 0,5 h, Maximalzeit 4,5 h: 8

1 x + 0,5y ≤ 4,5 8

y ≤ – 0,25x + 9

c) Graphische Darstellung Durch die graphische Darstellung der Relationen

y ≤ – x + 11

(1')

y ≤ – 2,5x + 20

(2')

y ≤ – 0,25x + 9

(3')

entsteht ein Planungsvieleck (Planungspolygon).

Alle Zahlenpaare (x; y) aus der Grundmenge G = N* × N* innerhalb des Planungspolygons gehören zur Lösungsmenge. Dies sind insgesamt 41 Bildpunkte. Um aus diesen Produktionsmengen die optimale herauszufinden, ist noch die Optimierungsbedingung zu berücksichtigen.

(3)

(3')

12 Lineares Optimieren

149

d) Optimierungsbedingungen (Aufstellen der Zielfunktion) Der Gewinn errechnet sich aus den produzierten Stückzahlen x und y. Lösen wir die Gleichung (4) nach y auf, so erhalten wir eine Zielfunktion, deren Schaubild in unserem Fall eine Gerade ist.

e) Ermittlung des Optimums Da die Zielfunktionsgleichung den zunächst noch unbekannten Term (z/40) enthält, ist von der Zielgeraden nur die Steigung, aber nicht der Achsenabschnitt auf der y-Achse bekannt. Wir zeichnen deshalb die Zielgerade zunächst als Ursprungsgerade ein und verschieben sie anschließend parallel durch den äußersten Punkt des Planungspolygons. Je größer der Abstand von der Ursprungsgeraden ist, umso größer ist der Gewinn. Durch Einsetzen von x = 3 und y = 8 in die Zielgleichung lässt sich der Gewinn berechnen. Es können noch weitere Überlegungen angestellt werden:

z = 30 x + 40 y

(4)

3 z y =− x + 4 40

(5)

(Zielfunktion)

Durch Verschiebung der Ursprungsgeraden mit der Gleichung 3 x 4 erhält man als äußersten Punkt der Punktmenge des Planungspolygons den Punkt

y=–

P (3 | 8) . Ergebnis: Bei einer Tagesproduktion von 3 Geräten G1 und 8 Geräten G2 wird ein optimaler Gewinn erzielt. Gewinn: z = 30 EUR · 3 + 40 EUR · 8 z = 410 EUR

f) Auslastung der Maschinenkapazität Die Kapazitätsauslastung für die Maschine M1 ergibt sich aus dem Verhältnis der belegten zu der vorhandenen Kapazität. Da in diesem Fall beide gleich groß sind, ist die Maschine zu 100 % ausgelastet.

Kapazitätsauslastung:

Die Kapazitätsauslastung von M2 ergibt sich aus Gleichung (2) zu

M2:

M1:

5,5 = 5,5 =100% 1 · 3 + 0,4 · 8 ≤ 8 6,2 < 8

6,2 = 0,775 oder 77,5 %. 8

Die Auslastung von Maschine M3 ergibt sich nach Gleichung (3) zu 97,22 %.

0,5 · 3 + 0,5 · 8 ≤ 5,5

= 77,5%

M3:

1 · 3 + 0,5 · 8 ≤ 4,5 8

4,375 < 4,5 97,2%

150

12 Lineares Optimieren

Beispiel Eine Großhandlung will für maximal 20.160 EUR ihren Lagerbestand mit zwei Elektrogeräten G1 und G2 aufstocken. Gerät G1 kostet im Einkauf 1.260 EUR, Gerät G2 kostet im Einkauf 420 EUR. Aufgrund der Nachfrage sollen von Gerät G1 mindestens 30 % bis maximal 50 % der Geräte G2 auf Lager genommen werden. Wie viele Geräte von jedem Typ sollen eingekauft werden, wenn ein optimaler Gewinn erzielt werden soll und der Gewinn bei Gerät G1 120 EUR und bei Gerät G2 a) 60 EUR, b) 40 EUR, c) 32 EUR betragen soll ?

Lösung a) Wahl der Variablen b) Bedingungen in Gleichungen bzw. Ungleichungen ausgedrückt 1. Einkaufspreis beider Geräte 2. Geräteanzahl von G1 mindestens 30 % von G2 3. Geräteanzahl von G1 höchstens 50 % von G2 4. Optimierungsbedingungen (optimaler Gewinn) Gleichungen der Zielfunktionen

x = Anzahl der Geräte G1 y = Anzahl der Geräte G2 (x, y ∈ N*)

1 260x + 420y ≤ 20 160

(1)

x ≥ 0,3y

(2)

x ≤ 0,5y

(3)

a) z1 = 120x + 60y

(4)

b) z2 = 120x + 40y

(5)

c) z3 = 120x + 32y

(6)

c) Graphische Darstellung (Planungspolygon)

y ≤ – 3x + 48

(1')

Zur graphischen Darstellung der Relationen (1) bis (6) werden die Ungleichungen nach y aufgelöst.

y ≤

10 x 3

(2')

Aus den Schaubildern der Relationen (1') bis (6') erhält man das Planungsdreieck, in dem die ganzzahligen Wertepaare (x; y) Lösungen sind.

y ≤ 2x

(3')

a) y = – 2x +

(4')

Dies sind zunächst noch sehr viele Möglichkeiten, die erst durch die Zielgeraden eingegrenzt werden.

z1 60

b) y = – 3x +

z2 40

(5')

Aus den Gleichungen (4) bis (6) ergeben sich die Gleichungen der Zielgeraden:

c) y = – 3,75x +

z3 32

(6')

12 Lineares Optimieren

151

d) Ermittlung des Optimums Bei maximalem Gewinn ergeben sich aus dem Planungspolygon folgende Bestellmöglichkeiten: a) 8 Geräte G1 und 24 Geräte G2

a) (8 | 24)

b) 8 Geräte G1 und 24 Geräte G2 oder

b) (8 | 24)

9 Geräte G1 und 21 Geräte G2

(9 | 21)

c) 9 Geräte G1 und 21 Geräte G2

c) (9 | 21)

e) Berechnung des Gewinns a) z1 = 120 EUR · 8 + 60 EUR · 24

a) z1 = 2400 EUR

b) z2 = 120 EUR · 8 + 40 EUR · 24

b) z2 = 1920 EUR

z2 = 120 EUR · 9 + 40 EUR · 21 c) z3 = 120 EUR · 9 + 32 EUR · 21

z2 = 1920 EUR c) z3 = 1752 EUR

152

12 Lineares Optimieren

Beispiel Ein Industriebetrieb hat wöchentlich 27 t Frachtgut nach einem Ort A und 16 t nach einem Ort B zu transportieren. Zwei Lieferwagen W1 und W2 mit 3 t bzw. 2 t Ladekapazität stehen zur Verfügung. Stellen Sie für die beiden Fahrzeuge einen optimalen Einsatzplan mit möglichst geringen Frachtkosten auf für folgende Bedingungen: 1. Wagen W1 ist wöchentlich höchstens für 10 Fahrten verfügbar, Wagen W2 für höchstens 12 Fahrten. 2. Mindestens zweimal wöchentlich soll Wagen W1 nach B und Wagen W2 nach A fahren. 3. In A kann höchstens zwölfmal wöchentlich abgeladen werden. 4. Die Kosten pro Strecke sind in folgender Tabelle angegeben: Kosten für Fahrten nach A

Kosten für Fahrten nach B

Wagen W1

40 EUR

30 EUR

Wagen W2

28 EUR

18 EUR

Lösung a) Wahl der Variablen Für die Anzahl der Fahrten wählen wir die Variablen x, y, u und v.

x = Anzahl der Fahrten von W1 nach A y = Anzahl der Fahrten von W1 nach B u = Anzahl der Fahrten von W2 nach A v = Anzahl der Fahrten von W2 nach B (x, y, u, v ∈ N*)

b) Bedingungen 1. Beförderte Frachtmengen in Tonnen

nach A : nach B :

3x + 2u = 27 3y + 2v = 16

(1) (2)

von W1 : von W2 :

x + y ≤ 10 u + v ≤ 12

(3) (4)

x + u ≤ 12

(5)

2. Maximal mögliche Fahrten 3. Maximal mögliche Fahrten für W1 und W2 nach A 4. Mindestzahl der Fahrten für W1 nach B für W2 nach A

y≥2

(6)

u≥2

(7)

c) Graphische Darstellung (Planungspolygon)

Substitution der Variablen u und v:

Da bei der graphischen Darstellung nur die Variablen x und y vorkommen dürfen, wollen wir die Variablen u und v ersetzen aus Gleichung (1) und (2) und die Ungleichungen nach y auflösen.

Aus (1):

u=–

3 x + 13,5 2

(1')

Aus (2):

v=–

3 y+8 2

(2')

Aus (3) : Aus (4) :

y ≤ – x + 10 y ≤ – x + 6,33 x≥3 x ≤ 7,67 y≥2

(3') (4') (5') (6) (7')

Die Auflösung der Ungleichungen nach y führt zu den Gleichungen (3') und (4'). Aus Gleichung (5) ergibt sich mit (1'): Aus Gleichung (7) erhält man mit (1'):

12 Lineares Optimieren

153

Die graphische Darstellung ergibt das folgende Planungspolygon.

d) Ermittlung des Optimums Die Transportkosten ergeben sich aus der Kostengleichung 3 3 Mit u = – x + 13,5 und v = – y + 8 2 2 erhält man z = f (x, y). Daraus ergibt sich nach einigen Umformungen die Gleichung der Zielgeraden. Als Minimal-Anzahl der Fahrten erhält man aus dem Schaubild den Bildpunkt (7 | 2) .

z = 40x + 30y + 28u + 18v

⎛ 3 ⎞ z = 40x + 30y + 28⎜− x +13,5⎟ ⎝ 2 ⎠ ⎛ 3 ⎞ + 18⎜− y + 8⎟ ⎝ 2 ⎠ y=

2 522 z x− + 3 3 3

(Gleichung der Zielgeraden) (7 | 2)

Damit ergibt sich folgender Einsatzplan:

Summe aller Fahrten 17

Anzahl der Fahrten von W1 nach A 7

von W1 nach B 2

von W2 nach A 3

von W2 nach B 5

Gesamtkosten: z = (40 · 7 + 30 · 2 + 28 · 3 + 18 · 5) EUR = 514 EUR

Aufgaben zu 12 Lineares Optimieren 1. Ein Maschinenteil besteht aus zwei Einzelteilen A und B, die beide in mehreren Arbeitsprozessen an den Maschinen M1, M2 und M3 bearbeitet werden. Auf jeder Maschine kann jeweils nur entweder Teil A oder Teil B bearbeitet werden.

Stückzeiten: für Teil A auf M1 : 45 min

für Teil B auf M1 : 30 min für Teil B auf M2 : 40 min

Stückzeiten: für Teil A auf M3 : 20 min

für Teil B auf M3 : 40 min.

Die maximale tägliche Betriebsstundenzahl beträgt an Maschine M1 : 7,5 h, an Maschine M2 : 4,5 h, an Maschine M3 : 6 h. Die Umrüstzeiten von Teil A auf Teil B sollen unberücksichtigt bleiben. Bei welchen Fertigungsziffern ist der Gewinn möglichst groß, wenn an Teil A 20 EUR und an Teil B 30 EUR Gewinn erzielt wird und die Produktion am Gewinn orientiert wird ?

154

12 Lineares Optimieren

2. Auf einer Maschine sollen zwei Teile A und B gefertigt werden, bei denen von Teil B täglich maximal 400 Stück benötigt werden. Von Teil A sollen höchstens 100 Stück mehr als von Teil B hergestellt werden. Stückzeit für Teil A : 0,8 min. Stückzeit für Teil B : 0,6 min. Die tägliche Fertigungszeit beträgt maximal 540 min. Die Umrüstzeit von Teil A auf Teil B soll unberücksichtigt bleiben.

a) Stellen Sie das Ungleichungssystem auf und zeichnen Sie das Planungspolygon. b) Welche Stückzahlkombination wird man bei optimaler Ausnutzung der Maschinenkapazität wählen ? c) Wie viel Stück von jedem Teil wird man täglich fertigen, wenn Teil A 0,8 EUR und Teil B 0,4 EUR Gewinn bringen und ein optimaler Gewinn erzielt werden soll ? 3. Eine Firma stellt Maschinen vom Typ A zum Preis von 9 000 EUR und Maschinen vom Typ B zum Preis von 7 500 EUR her. Pro Tag können entweder 16 Maschinen des Typs A oder 40 Maschinen des Typs B fertiggestellt werden. In 300 Tagen sollen maximal 7200 Maschinen produziert werden. Wie viel Maschinen von jedem Typ sind herzustellen, wenn eine möglichst hohe Umsatzsumme erreicht werden soll ? 4. Zwei Werkstücke A und B, die in mehreren Arbeitsprozessen an den Maschinen M1, M2 und M3 gefertigt werden, sollen mit optimaler Ausnutzung der Maschinenkapazität hergestellt werden.

Betriebsstunden an der Maschine M1 M2 M3 Gewinn pro Stück

durchschnittliche Bearbeitungszeit in h für 1 Teil A 0,75 – 0,25 20 EUR

durchschnittliche Bearbeitungszeit in h für 1 Teil B 0,5 0,5 0,75 30 EUR

maximale Betriebsstundenzahl pro Tag 7,5 3,5 6

a) Berechnen Sie die Ungleichungen und zeichnen Sie das Planungspolygon. b) Ermitteln Sie aus dem Planungspolygon die Fertigungsziffern für einen maximalen Gewinn. c) Berechnen Sie die Höhe des Gewinns. d) Bestimmen Sie für die Fertigungsziffern von A und B nach Aufgabe b) die prozentuale Auslastung der einzelnen Maschinen. 5. Für die Herstellung eines Motorrad-Ersatzteiles stehen drei Fertigungs-Automaten zur Verfügung. Während der Automat A1 täglich 600 min zur Verfügung steht, sind die Automaten A2 nur 400 min und A3 nur 270 min verfügbar, da auf ihnen noch andere Teile hergestellt werden müssen. Wird das Ersatzteil nach dem Verfahren A hergestellt, so sind nur die Automaten A1 und A3 erforderlich, wird das Teil nach dem Verfahren B hergestellt, so werden die Automaten A1 und A2 benötigt. Insgesamt sollen täglich 120 Ersatzteile gefertigt werden. Die Fertigungszeiten nach den beiden Verfahren sind folgende:

Verfahren A : Verfahren B :

Fertigungszeiten in min für 1 Stück A1 A2 A3 4 – 3 6 5 –

12 Lineares Optimieren

155

Die Selbstkosten je Stück betragen nach dem Verfahren A 1,70 EUR, nach dem Verfahren B 2,20 EUR. a) Wie viele Teile sind nach jedem Verfahren herzustellen, wenn die Selbstkosten einer Tagesproduktion minimal bleiben sollen ? b) Wie groß ist dabei die Kapazitätsauslastung der einzelnen Automaten ? 6. Ein Elektrogroßhändler beabsichtigt, seinen Lagerbestand für 8 400 EUR aufzustocken. Vorgesehen ist die Erweiterung des Sortiments durch zwei neue Geräte, von denen Gerät G1 im Einkauf 80 EUR, Gerät G2 120 EUR kostet.

Aufgrund der Marktsituation werden voraussichtlich mehr Geräte G2 verkauft, deshalb soll von G2 das 1,5-fache bis das 3-fache der Anzahl der Geräte G1 auf Lager genommen werden. a) Welche Anzahl von jedem Gerät ist einzukaufen, wenn bei Gerät G1 10 EUR und bei Gerät G2 8 EUR Gewinn erzielt werden kann und der Gesamtgewinn möglichst groß sein soll ? b) Welche Anzahl von jedem Gerät ist auf Lager zu nehmen, wenn bei G1 5,5 EUR und bei G2 9 EUR erzielt werden und der Lagerbestand nach dem optimalen Gewinn ausgerichtet werden soll ? c) Berechnen Sie jeweils den zu erzielenden Gesamtgewinn. 7. Eine Elektrofirma stellt zwei Geräte A und B her. Die Gehäuse für beide Geräte werden von einer Zulieferfirma hergestellt, die monatlich höchstens 600 Stück produzieren kann.

Die Montageabteilung für Gerät B kann monatlich maximal 400 Geräte zusammenbauen, die Montageabteilung für Gerät A kann monatlich höchstens 350 Geräte bauen. Für die elektronische Installation des Gerätes A sind 2 h, für das Gerät B 5 h erforderlich, wobei monatlich nicht mehr als 2 250 Arbeitsstunden geleistet werden können. a) Welche Geräteanzahl von jeder Sorte ist herzustellen, wenn Gerät A einen Gewinn von 96 EUR und Gerät B 120 EUR erbringt und ein maximaler Gewinn erzielt werden soll ? b) Zu wie viel % sind die Montageabteilungen ausgelastet ? 8. Ein Werk hat wöchentlich 24 t Frachtgut an einen Filialbetrieb A und 19 t Frachtgut nach einem Ort B zu transportieren. Dazu stehen zwei LKW W1 und W2 mit jeweils 3 t bzw. 2 t Ladekapazität zur Verfügung.

Stellen Sie für die beiden Fahrzeuge einen Einsatzplan mit möglichst geringen Frachtkosten auf. Dabei sind folgende Bedingungen zu beachten: 1. Sowohl für Wagen W1 wie für Wagen W2 sind wöchentlich jeweils höchstens 12 Fahrten möglich. 2. Mindestens zweimal wöchentlich soll Wagen W2 nach A und Wagen W1 nach B fahren. 3. Nach A sollen wöchentlich nicht mehr als 10 Fahrten vorgesehen werden. 4. Die Fahrtkosten von Wagen W1 betragen nach A 30 EUR, nach B 22 EUR. Die Fahrtkosten des Zwei-Tonners betragen nach A 42 EUR und nach B 36 EUR.

156

13 Quadratische Funktionen 13 Quadratische Funktionen

Beispiel Eine Rakete wird durch den ersten Treibsatz mit einer konstanten Beschleunigung

⎛ ⎝

a = 3g⎜ g = 9,81

m⎞

⎟

s2 ⎠

auf ihre Bahn gebracht. Stellen Sie den zurückgelegten Weg in Abhängigkeit von der Zeit dar. Lösung Die Beschleunigung beträgt m a = 3 · 9,81 2 . s Der in der Zeit t zurückgelegte Weg berechnet sich nach der Gleichung

s=

1 a⋅ t 2 2

Mit der vorgegebenen Beschleunigung ergibt sich damit die Funktion mit der Funktionsgleichung

s = 14,715⋅ t 2 , die wir mit Hilfe einer Wertetabelle graphisch darstellen. t s

2

4

6

58,88 235,44 529,74

8

10 s

941,76

1471,5m

Beispiel In einem Stromkreis beträgt der Widerstand 10 Ω. Stellen Sie die elektrische Leistung in Abhängigkeit von der angelegten Spannung graphisch dar. Lösung

Aus dem funktionellen Zusammenhang P=

U2 R

erhält man mit R = 10 Ω die Funktion mit der Funktionsgleichung

H. Rapp, Mathematik für die Fachschule Technik, DOI 10.1007/978-3-8348-9803-6_13, © Vieweg+Teubner | GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2010

13.1 Die allgemeine quadratische Funktion…

157

P = 0,1⋅U2

Bezeichnet man die Variablen mit x und y, so ergibt sich die Funktionsgleichung y = 0,1 · x2.

13.1 Die allgemeine quadratische Funktion x ѻax2 + bx + c und ihre graphische Darstellung 13.1 Die allgemeine quadratische Funktion…

Definition

Eine Funktion f: x ඎax2 + bx + c mit der Funktionsgleichung y = ax2 + bx + c (a, b, c ∈ Q) heißt quadratische Funktion. Ihr Schaubild ist eine Parabel.

Die Grundfunktion x 6 x2 Würde der Widerstand im dargestellten Beispiel nur 1 Ω betragen, so würde sich die Funktionsgleichung y = x2 ergeben. Die Form der Parabel ist damit verändert. Die quadratische Funktion f: x 6 x2 mit der Funktionsgleichung y = x2 ist die einfachste quadratische Funktion. Ihr Schaubild ist die Normalparabel Wir erkennen folgende Eigenschaften: 1. Der tiefste Punkt der Normalparabel liegt im Koordinatenursprung (0 | 0). Er wird als Scheitel bezeichnet. 2. Parabeln sind achsensymmetrisch zu ihrer durch den Scheitelpunkt gehenden Parabelachse.

158

13 Quadratische Funktionen

1. Formänderungen: y = a · x2

Beispiel Zeichnen Sie die Graphen der Funktion x 6 a · x2 a) für a = 2 und a = 4 b) für a =

1 2

c) für a = –

und a = 1 2

1 4

und a = –

1 4

Lösung

a) Die Graphen der Funktionen x 6 2x2 und x 6 4x2 sind gestreckte Normalparabeln. Streckung a>1 b) Die Graphen der Funktionen x 6

1 2 1 x und x 6 x2 2 4

sind gestauchte Normalparabeln. Stauchung 0x≤π π 2

≤x≤π

22.6 Die Graphen der Winkelfunktionen 22.6 Die Graphen der Winkelfunktionen

Während wir bisher die Winkelfunktionen zur Längen- und Winkelberechnung im rechtwinkligen Dreieck benutzt haben, wollen wir nun eine weitere Anwendung aufzeigen.

Beispiel Von einer sich im homogenen Magnetfeld drehenden Leiterschleife wird eine Wechselspannung erzeugt (Prinzip des Wechselstrom-Generators). Stellen Sie den Verlauf der Wechselspannung graphisch dar. Lösung Die induzierte Spannung ist abhängig vom Drehwinkel der Leiterschleife. Sie erreicht ihren Höchstwert (Scheitelspannung) bei einem Drehwinkel von 90°, um bei 180° wieder auf Null zurückzusinken. Im Bereich von 180° bis 360° erfolgt ein Wechsel der Spannungsrichtung. Die sich ergebenden positiven und negativen Halbwellen stellen eine Sinuslinie dar. Da sich nach jeder Umdrehung die Spannung in stets gleicher Weise ändert, spricht man von periodischen Vorgängen und nennt den Bereich von 0° bis 360° eine Periode.

250

22 Winkelfunktionen am rechtwinkligen Dreieck

Bei der graphischen Darstellung der Winkelfunktionen wird üblicherweise nicht das Gradmaß, sondern das Bogenmaß der Winkels verwendet.

Bogenmaß eines Winkels Das Bogenmaß ist die Bogenlänge des Winkels α (arc α) auf dem Einheitskreis (= Kreis mit dem Radius 1 LE). Das Bogenmaß ist die Bogenlänge des Winkels α (arc α) auf dem Einheitskreis (= Kreis mit dem Radius 1 LE). Das Bogenmaß eines Winkels im Einheitskreis wird berechnet aus dem Verhältnis α x = oder 360° 2π x=

α° 180°

⋅π

Dem Bogenmaß 2π (= Kreisumfang des Einheitskreises) entspricht somit der Gesamtwinkel von 360°. Wir können das Bogenmaß damit auch folgendermaßen berechnen: 360° = 2π Das Bogenmaß der übrigen Winkel ist somit ein Bruchteil oder das Vielfache von 2π. z. B. α = 90° ĺ x =

π

;α = 45° ĺ x =

π

2 4 Im Folgenden stellen wir einige charakteristische Winkel, die häufig vorkommen, im Bogenmaß dar: α in Grad

0

x in rad

0

30 π

45 π

60 π

90 π

6

4

3

2

180 π

270 3π 2

360 2π

Anmerkung: Die Einheit des Bogenmaßes x erhält man aus dem Verhältnis der Bogenlänge b zum Radius r eines Kreises. Wenn bei diesem Verhältnis b = r ist, erhalten wir x = b r = 1 . Dies ist die „Einheit“ des Bogenmaßes, die wir Radiant (rad) nennen. Sie ist eine dimensionslose Größe, da zwei Längen durcheinander dividiert werden. Meistens wird beim Bogenmaß die „Einheit“ rad nicht dazu geschrieben.

22.6 Die Graphen der Winkelfunktionen

251

22.6.1 Die Schaubilder der Sinus- und Kosinusfunktion Beispiel Zeichnen Sie die Schaubilder von y = sin x und y = cos x. Lösung

Wir entnehmen dem Einheitskreis den zum jeweiligen Winkel gehörenden Sinus- bzw. Kosinuswert und tragen ihn über dem jeweiligen Winkel im Bogenmaß ab.

Aus den Schaubildern ist zu erkennen: 1. Die Sinus- und Kosinusfunktionen sind periodische Funktionen. Die Periode ist 2π. Sie eignen sich deshalb zur Beschreibung von sich stetig wiederholenden Vorgängen in der Elektrotechnik und in der Schwingungslehre. 2. Die Ordinaten schwanken bei beiden Funktionen zwischen + 1 und – 1. 3. Der Graph der Kosinusfunktion ist gegenüber dem Graphen der Sinusfunktion um 90° bzw. π verschoben. Die Kosinusfunktion kann deshalb als verschobene Sinusfunktion formuliert 2 werden:

⎛ ⎝

y = cos x = sin ⎜ x +

π⎞

⎟

2⎠

22.6.2 Die allgemeine Sinusfunktion und ihre graphische Darstellung In der Physik und Technik spielen die Begriffe Amplitude, Frequenz, Periode und Phasenverschiebung eine wichtige Rolle. In den meisten Fällen, in denen wir es mit Schwingungen oder periodischen Vorgängen zu tun haben, stimmen die Wellenlängen und Amplituden nicht mit den Graphen der einfachen Grundfunktionen überein. Wir haben es mit Dehnungen, Stauchungen und Verschiebungen in Richtung der x- und y-Achse zu tun. Da auch die Kosinusfunktion als eine in Richtung der x-Achse verschobene (phasenverschobene) Sinusfunktion aufgefasst werden kann, ist auch diese Funktion mit der verallgemeinerten Sinusfunktion erfasst.

252

22 Winkelfunktionen am rechtwinkligen Dreieck

Beispiel Zeichnen Sie die Graphen der Funktion mit der Funktionsgleichung y = A · sin x für A =

1 und 2

A = 2. Lösung

1 · sin x ist 2 eine in Richtung der y-Achse gestauchte Sinuskurve. Der Graph der Funktion x 6

Stauchung 0 < A < 1 Der Graph der Funktion mit der Funktionsgleichung y = 2 · sin x ist eine in Richtung der y-Achse gedehnte Sinuskurve.

Dehnung A>1

Der Faktor A führt zu einer Veränderung der Ordinatenwerte und damit auch zu einer Veränderung der maximalen Ordinate, die man Amplitude nennt.

Die Funktion mit der Funktionsgleichung y = A · sin x hat die Amplitude A.

Beispiel Zeichnen Sie die Graphen von y = sin ω · x für ω = 2 und ω = Lösung

Der Graph der Funktion y = sin 2x hat die Periode π. Dies ist die halbe Periode der einfachen Sinusfunktion.

Periodenverkürzung ω>1

1 . 2

22.6 Die Graphen der Winkelfunktionen

253

Der Graph der Funktion mit der Funktions1 gleichung y = sin x hat die Periode 4π. 2 Dies ist die doppelte Periode der einfachen Sinusfunktion. Periodenverlängerung ω r

Daraus lässt sich die Bogenhöhe oder die Sehnenlänge formulieren.

Minuszeichen für h < r

s = 2⋅ h(2r − h) Sehnenlänge

Andererseits kann aus dieser Gleichung auch der Radius formuliert werden.

r=

s2 + 4h2 8h Radius

Beispiel Berechnen Sie den Flächeninhalt des Kreisringausschnitts.

Lösung

A=

α ⋅ π (r12 − r22 ) 360°

Die Fläche lässt sich aus der Differenz zweier Kreissektoren berechnen:

A=

120° ⋅ π ⋅(322 −162 ) mm2 360°

A=

α α ⋅ π ⋅r12 − ⋅ π ⋅r22 360° 360°

A = 804,25mm2

Beispiel Wie groß ist der Blechbedarf für die Seitenfläche der Abdeckhaube ? 2 A ≈ ⋅ s⋅h 3

Lösung

In diesem Falle wollen wir einmal die Näherungsformel anwenden und das Ergebnis mit der exakten Berechnung vergleichen.

2 A ≈ ⋅50 cm⋅20 cm 3 A ≈ 666,67 cm2

322

27 Flächenberechnung

Für die genaue Berechnung ist die Bestimmung von r und α erforderlich.

Berechnung von α: s α 2 s sin = = 2 r 2r

Berechnung von r :

r=

s2 + 4h2 (50 cm)2 + 4(20 cm)2 = 8h 8⋅20 cm

sin

r = 25,625 cm sin

α s = 2 d

α 50 cm = = 0,9756 2 2⋅25,625cm

α = 77,3196° ; α = 154,6392° 2 A=

α s(r − h) ⋅ π ⋅r 2 − 360º 2

A=

154,54° ⋅ π ⋅(25,625 cm)2 360°

−

50 cm⋅(25,63 cm − 20 cm) 2

A = 744,8 cm2

Aufgaben zu 27.2 Kreisförmig begrenzte Flächen 1. Bei aufgeschichteten Rohren entstehen Zwischenräume.

Berechnen Sie die schraffierte Fläche.

2. Berechnen Sie den Querschnitt des Polygonprofils.

3. Einem Kreis vom Radius r soll ein Viereck der dargestellten Form einbeschrieben werden.

Berechnen Sie den Flächeninhalt der schraffierten Kreissegmente.

27.2 Kreisförmig begrenzte Flächen 4. Eine Exzenterwelle wird in der dargestellten Form abgefräst.

a) Bestimmen Sie den Durchmesser d2 für d1 = 40 mm. b) Berechnen Sie die Exzentrizität c) Berechnen Sie die schraffierte Anlagefläche. 5. Bestimmen Sie die Fläche des dargestellten Polygons.

6. Bestimmen Sie den Flächeninhalt der dargestellten Querschnittsfläche.

7. a) Bestimmen Sie den Flächeninhalt des schraffierten Kreisausschnittes.

b) Bestimmen Sie die Fläche für r = 80 mm. c) Bestimmen Sie die Länge der gemeinsamen Sehne allgemein und für r = 80 mm. d) Welches Flächenverhältnis besteht zwischen Kreisausschnitt und Vollkreis ? 8. Aus einem Blechstreifen sollen Ronden vom Durchmesser d ausgeschnitten werden.

Berechnen Sie für die dargestellte Anordnung die Größe der schraffierten Restfläche.

323

324

27 Flächenberechnung

09. Ein Hohlzylinder erhält eine Querbohrung vom Durchmesser d3. Bestimmen Sie die Größe der verbleibenden Querschnittsfläche

a) allgemein b) für d1 = 35 mm, d2 = 21 mm und d3 = 10 mm. 10. Ein Rohr vom Außendurchmesser d1 wird beidseitig auf die Tiefe a abgefräst.

Bestimmen Sie die verbleibende Querschnittsfläche a) allgemein b) für d2 = 34 mm, a = 8 mm bei einer Wandstärke s = 4 mm. 11. Berechnen Sie die Querschnittsfläche des dargestellten Brückenpfeilers.

12. Bestimmen Sie die Fläche des dargestellten Bleches.

13. Bestimmen Sie die Dichtungsfläche des Flansches

a) ohne Bohrungen b) mit Bohrungen für folgende Maße d1 = 80 mm,

d2 = 25 mm

d3 = 8 mm,

r = 16 mm.

27.2 Kreisförmig begrenzte Flächen 14. Eine Leitschaufel hat die dargestellte Form. Bestimmen Sie die Querschnittsfläche

a) allgemein b) für a = 100 mm.

15. Eine Welle mit 60 mm Durchmesser erhält eine Passfedernut mit 18 mm Breite und einer Tiefe von 7 mm.

a) Um wie viel mm2 wird der Querschnitt dadurch geschwächt? b) Wie viel Prozent beträgt die Querschnittsschwächung ? 16. Eine Scheibenfeder 6 × 9 DIN 6888 soll in eine Welle eingepasst werden.

Wie groß ist bei normgerechter Ausführung der Wellennut die Anpressfläche der Scheibenfeder in der Welle ? 17. Berechnen Sie den durch die Abrundung wegfallenden schraffierten Flächenanteil in Abhängigkeit von α und r.

18. Eine Leitschaufel hat dargestellte Form. Berechnen Sie die Querschnittsfläche.

19. Berechnen Sie die schraffierte Fläche A.

325

326

28 Volumenberechnung 28 Volumenberechnung

28.1 Prismatische Körper 28.1 Prismatische Körper

Prismatische Körper sind Körper mit gleichbleibendem Querschnitt.

Das Volumen von prismatischen Körpern wird nach folgender Formel berechnet: Volumen = Grundfläche × Höhe V=A⋅h Stehen die parallel verlaufenden Körperkanten senkrecht auf der Grundfläche, so spricht man von einem geraden Prisma, ist dies nicht der Fall, so ist es ein schiefes Prisma. Prismen, deren Grundfläche ein Rechteck bildet, nennt man Quader. Ein Quader mit gleichlangen Kantenlängen wird als Würfel bezeichnet. Ein prismatischer Körper mit einem Kreis als Grundfläche ist bekanntlich ein Zylinder.

Beispiel Ein Quader hat die Kantenlängen a, b und c. Berechnen Sie für das Längenverhältnis a:b:c=1:2:3 a) das Volumen, b) die Oberfläche, c) die Flächendiagonale d1 und die Raumdiagonale d2, d) den Winkel α zwischen d1 und d2 in Abhängigkeit von der Kantenlänge a Lösung Aus dem Verhältnis der Kantenlängen erhält man: b = 2a c = 3a

a) V = a · b · c

Da jede Außenfläche doppelt vorkommt, erhält man als Oberfläche:

b) Oberfläche: A0 = 2 (ab + ac + bc) A0 = 2(a · 2 a + a · 3a + 2a · 3a)

A0 = 2 ab + 2 ac + 2 bc

V = a · 2a · 3a = 6a3

A 0 = 22a2

H. Rapp, Mathematik für die Fachschule Technik, DOI 10.1007/978-3-8348-9803-6_28, © Vieweg+Teubner | GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2010

28.1 Prismatische Körper

327

Die Flächendiagonale ergibt sich nach dem Satz von Pythagoras.

c) Flächendiagonale: d12 = a2 + c 2 d1 = a2 + c 2

Mit c = 3 a ist d1 = a 10 .

d1 = a⋅ 10 ≈ 3,16⋅a

Die Raumdiagonale errechnet sich ebenfalls nach Pythagoras.

Raumdiagonale: d22 = d12 + b2

d22 = a2 + c 2 + b2 d2 = a2 + c 2 + b2

d2 = a⋅ 14 ≈ 3,74⋅a Da die Seiten b, d1 und d2 ein rechtwinkliges Dreieck bilden, lässt sich α mit Hilfe einer Winkelfunktion berechnen. Mit b = 2a und d2 = a · 14 kann der Winkel α berechnet werden.

d) sin α = sin α =

b d2 2a = 0,5345 a⋅ 14

α = 32,31°

Beispiel Ein Würfel hat eine Raumdiagonale von 8 cm. a) Bestimmen Sie die Oberfläche und das Volumen des Würfels. b) Bestimmen Sie den Neigungswinkel der Raumdiagonalen zur Grundfläche. Lösung

Raumdiagonale des Quaders: a2 + b2 + c 2

d=

Raumdiagonale des Würfels: a2 + a2 + a2 =

d=

3a2

d= a 3

Kantenlänge des Würfels: a=

d 3 = d⋅ 3 3

Oberfläche des Würfels: A0 = 6 a2 Volumen des Würfels: V=

a3

a) Oberfläche: A 0 =

6⋅d2 = 2⋅d2 3

A0 = 2 · (8 cm) (8 cm)2 = 128 cm2 3 ⎛ 3⎞ 3 3 ⎟ d ⋅ = ⋅d Volumen: V =⎜ ⎜ ⎟ 3 ⎠ 9 ⎝

V = 98,53 cm3

b) Neigungswinkel a a 1 = sin α = = d a 3 3 α= 35,2644

D

328

28 Volumenberechnung

Beispiel Ein Tank soll eine halbkreisförmige Ausrundung erhalten. a) Welche Breite b muss der Tank mindestens haben, wenn er 1800 A fassen soll ? b) Wie viel Quadratmeter Blech werden für den tatsächlich ausgeführten Tank benötigt (ohne Berücksichtigung des Verschnittes) ? c) Wie viel Liter sind im Tank noch enthalten, wenn er zu 3/4 der Höhe gefüllt ist ? Lösung

Das Tankvolumen setzt sich aus einem Quader und zwei halben Zylindern zusammen. Zweckmäßigerweise setzen wir für die Rechnung die Längen in dm ein. Bei der Lösung der quadratischen Gleichung ist der positive Wurzelterm nicht brauchbar, da das Volumen größer als vorausgesetzt werden würde. Die gesamte Oberfläche ergibt sich aus den Einzelflächen. Ist der Tank zu 3/4 der Höhe gefüllt, so ist 3 h = 1550 mm = 11,625 dm. 4 Dies entspricht einem Flüssigkeitsvolumen von 1420,58 Litern.

⎛ π b2 ⎞ a) V =⎜ ⎜ 4 + (15,5 − b) · b⎟ ⎟· 20 ⎝ ⎠ ⎛ π b2 ⎞ 2 1800 =⎜ ⎜ 4 +15,5b − b ⎟ ⎟· 20 ⎝ ⎠

b2 – 72,2268 · b + 419,3813 = 0 b1/2 = 36,1134 ± 29,7455

b = 6,3679 gewählt: b = 6,5 dm= 650mm

b) A 0 = 9,52m2 ⎡⎛ ⎞ π (6,5 dm)3 ⎟ c) V =⎢⎜ ⎜ ⎟ 2⋅ 4 ⎢ ⎠ ⎣⎝

⎤ ⎛ 6,5 dm ⎞ + ⎜11,625 dm − ⎟⋅ 6,5 dm ⎥⋅ 20 dm 2 ⎠ ⎝ ⎦ V = 1420,58 dm3

Beispiel Ein geschlossener Behälter mit 2 A Fassungsvermögen soll a) eine zylindrische Form mit 100 mm Durchmesser, b) eine Quaderform mit der Grundfläche 100 mm × 100 mm, c) eine Würfelform erhalten. Berechnen Sie jeweils die Höhe des Behälters sowie den theoretischen Blechbedarf. Lösung

Aus den Berechnungen erkennen wir, dass bei gleichem Volumen die Höhe des Zylinders am größten, die Höhe des Würfels am kleinsten wird.

a) V = h=

π ⋅d2 ⋅h 4

V ⋅4 2 dm3 ⋅ 4 = 2 π ⋅d π ⋅(1dm)2

h = 2,55 dm

28.1 Prismatische Körper

329

Sind bei einem Zylinder Durchmesser und Höhe gleich, so erhalten wir für V = 2 dm3 eine Höhe h=d= 3

A 0 = 2⋅

A 0 = 9,58 dm2

4V = 1,3656 dm π

b) V = a · b · h

Die Oberfläche des Zylinders errechnet sich aus A0 = π d⋅d + 2⋅

π ⋅ d2 + π ⋅ d⋅h 4

h=

π d2 3 2 = π d zu 4 2

V 2 dm3 = a⋅b 1dm⋅1dm

h = 2 dm A0 = 2ab + 2ah + 2bh

A0 = 8,7876 dm2.

A0 = 2 dm2 + 4 dm2 + 4 dm2

Die Oberfläche eines Zylinders ist bei vorgegebenem Volumen am kleinsten, wenn Durchmesser und Höhe gleich sind.

A 0 = 10 dm2

c) V = a3 a=

Die Oberfläche eines Quaders wird bei vorgegebenem Volumen am kleinsten, wenn Länge, Breite und Höhe gleich groß sind, d. h. wenn der Quader ein Würfel wird.

3

V = 3 2 dm3

h = a = 1,26 dm A0 = 6 · a2 A 0 = 9,53 dm2

Aufgaben zu 28.1 Prismatische Körper 1. Welche Höhe muss ein regelmäßiges dreiseitiges Prisma mit der Grundkantenlänge a = 3 cm haben, damit seine Oberfläche 100 cm2 beträgt ? 2. Warmgewalzter Sechskantstahl nach DIN 1015 ist mit den Schlüsselweiten 52 mm und 57 mm lieferbar. Wie viel wiegt jeweils der laufende Meter ? 3. Berechnen Sie für einen Flachhalbrundstahl DIN 1018 – 25 × 8 USt 37 – 2 (nach DIN 10027-S235 JR) von 200 mm Länge Volumen und Oberfläche. 4. Ein gerades Prisma von 100 mm Höhe hat als Grundfläche ein regelmäßiges Achteck mit der Kantenlänge a = 15 mm. Berechnen Sie die Mantelfläche, die gesamte Oberfläche und das Volumen. 5. Welche Höhe muss ein zylindrischer Messbecher mit einem Fassungsvermögen von 1 haben, wenn der Durchmesser einen vorgeschriebenen Durchmesser von 86 mm haben soll? 6. Ein zylindrisches Teil von 12,5 mm Durchmesser und 80 mm Länge soll mit einer Schichtdicke von 50 μ m allseitig versilbert werden.

⎛ ⎝

a) Wie viel Gramm Silber ⎜ȡ Ag = 10, 49

g ⎞

⎟ sind erforderlich ?

cm3 ⎠

b) Wie viel Gramm Silber sind erforderlich, wenn der Durchmesser bei gleicher Länge doppelt so groß wird ?

330

28 Volumenberechnung

07. Eine Rolle Kupferdraht mit 2 mm Durchmesser wiegt 15 kg. Wie viel Meter Draht sind noch kg auf der Rolle, wenn die längenbezogene Masse mL = 28 beträgt ? 1000 m

⎛ ⎝

08. Wie viel Stahlrohre ⎜ȡ = 7,85

kg ⎞

⎟ von 3 m Länge mit einem Außendurchmesser von dm3 ⎠ 30 mm und 2,5 mm Wandstärke können auf einem Lkw mit 3 t Ladekapazität befördert werden ? Wie viel kg wiegt der laufende Meter ?

09. Eine 50 mm dicke quadratische Platte hat einen quadratischen Durchbruch 20 × 20 mm.

Berechnen Sie das Volumen der Platte.

10. In einen Würfel der Kantenlänge a ist der dargestellte Körper einzubeschreiben.

Bestimmen Sie: a) das Volumen des Körpers, b) die Oberfläche des Körpers, c) welche Besonderheit haben die Ansichten des Körpers ?

11. Ein Würfel mit der Kantenlänge a wird an allen Ecken so abgeflacht, dass sich in allen drei Ansichten das dargestellte gleiche Bild ergibt.

a) Berechnen Sie das Volumen. b) Berechnen Sie die Oberfläche.

28.1 Prismatische Körper

331

12. Eine Platte soll eine diagonal verlaufende Führungsnut erhalten.

Berechnen Sie das Zerspanungsvolumen (= abzutragendes Werkstoffvolumen).

13. Eine Platte soll auf einer Universalfräsmaschine schräg abgefräst werden.

Berechnen Sie das abzutragende Werkstoffvolumen in Abhängigkeit von der Zustellung a.

14. Ein halber Quader von quadratischem Querschnitt erhält eine Bohrung vom Durchmesser d.

Berechnen Sie das Restvolumen a) allgemein, b) für h = a, c) für h = a und d =

3 4

a,

d) für a = 40 mm, h = 30 mm, d = 20 mm.

15. Entwickeln Sie für den aus zwei Halbzylindern zusammengesetzten Körper eine Gleichung zur Berechnung

a) des Volumens, b) der Oberfläche.

332

28 Volumenberechnung

28.2 Pyramidenförmige und kegelförmige Körper 28.2 Pyramidenförmige und kegelförmige Körper

28.2.1 Pyramide und Pyramidenstumpf Pyramiden sind Körper, die als Grundfläche ein beliebiges n-Eck und als Seitenflächen n Dreiecke besitzen, die alle eine gemeinsame Spitze haben.

Alle spitzen Körper lassen sich nach folgender Formel berechnen: Volumen =

1 3

⋅ Grundfläche × Höhe

Wird bei einer Pyramide durch einen parallelen Schnitt zur Grundfläche die Spitze abgeschnitten, so entsteht ein Pyramidenstumpf. Das Volumen berechnet sich aus der Differenz V=

V=

V=

1

Ag −

3 1

1 3

1

1 3

⋅ A ⋅h

A d ⋅h '

(A g ⋅ h + (A g − A d ) ⋅ h')

3

1 3

A d ⋅h '

A g ⋅ (h + h') −

3

V=

(1)

Aus den Ähnlichkeitsverhältnissen ergibt sich: (h + h′)2 2

h′

=

Ag Ad

oder

h Ad

h' =

Ag − Ad

=

h + h′ h′ h Ad

Ag

=

(

Ad Ag + Ad

Ag − Ad

)

(2)

Gl. (2) in Gl. (1):

⎛

V=

1⎜

3⎜

A g ⋅h −

1

(

⎝

V=

3

(Ag − Ad )

Ad

(

Ag + Ad

Ag − Ad

)

⋅ A g + A g ⋅ A d + A d ⋅h

)

⎞ ⋅ h⎟ ⎟ ⎠

V=

1 3

(

)

⋅ A g + A g ⋅ A d + A d ⋅h

28.2 Pyramidenförmige und kegelförmige Körper

333

28.2.2 Kegel und Kegelstumpf Ein spitzer Körper mit einem Kreis als Grundfläche wird Kegel genannt. Ein senkrechter Kegel lässt sich durch Drehung eines rechtwinkligen Dreiecks erzeugen. Das Volumen berechnet man wie bei der Pyramide:

Volumen =

1 3

⋅ Grundfläche × Höhe

V=

1 3

⋅ A ⋅h

Mantelfläche: AM = π ⋅ r ⋅ s Wird bei einem Kegel durch parallelen Schnitt zur Grundfläche die Spitze abgeschnitten, so entsteht ein Kegelstumpf. Das Volumen ergibt sich wie beim Pyramidenstumpf aus

V=

1 3

(

)

⋅ A g + A g ⋅ A d + A d ⋅h

Mit A g = π ⋅ rg2 und A d = π ⋅ rd2 erhält man

V=

Anmerkung:

1 3

(

π ⋅ h ⋅ rg2 + rg ⋅ rd + rd2

Mit den Durchmessern D und d ergibt sich:

V= AM =

(

)

π ⋅h⋅ D2 + dD + d2 und 12 π⋅s ⋅(D + d) 2

Mantelfläche: AM = π ⋅ (rg + rd )⋅ s

)

334

28 Volumenberechnung

Aufgaben zu 28.2 Pyramidenförmige und kegelförmige Körper 1. Berechnen Sie das Volumen der dargestellten Scheibe.

2. Ein pyramidenstumpfförmiger Hohlraum soll eine Kugel vom Durchmesser d in der dargestellten Form fassen.

Bestimmen Sie das Hohlraumvolumen des vierseitigen Pyramidenstumpfes a) allgemein, b) für d = 20 mm. 3. Ein Würfel mit der Kantenlänge a = 6 cm soll in eine regelmäßige vierseitige Pyramide von 10 cm Höhe umgegossen werden. Wie groß ist die Grundkante ? 4. Entwickeln Sie für den dargestellten Quader mit Anschnitt eine Gleichung zur Berechnung des Winkels β.

Bestimmen Sie a) β in Abhängigkeit von α, γ und δ, b) β für α = 17°, γ = 15°, δ = 60°, c) das Volumen des Körpers. 5. Bestimmen Sie das Volumen des dargestellten Werkstücks.

6. Bestimmen Sie das Volumen des dargestellten Senknietes.

28.2 Pyramidenförmige und kegelförmige Körper

335

07. Bestimmen Sie das Volumen des mit Hilfe eines Förderbandes aufgeschütteten kegelförmigen Sandhaufens a) allgemein in Abhängigkeit von h und α. b) Wie hoch wird ein Sandhaufen von 10 m3 Sand bei einem Schüttwinkel von α = 33° und wie groß wird dabei der Radius des Grundkreises ? 08. Eine Pyramide der Höhe h soll durch eine zur Grundfläche parallele Ebene zerlegt werden. In welchem Abstand x von der Spitze entfernt ist die Ebene zu legen, wenn das Volumen des Restpyramidenstumpfes zur ursprünglichen Pyramide a) im Verhältnis m : n, b) im Verhältnis 1 : 2 stehen soll ? 09. Bestimmen Sie für den Trichter a) den Radius s des Abwicklungssektors, b) den Winkel α des Abwicklungssektors, c) den Blechbedarf (ohne Berücksichtigung von Materialzugabe). 10. Ein konischer Behälter soll mit einem Volumen V gefüllt werden. a) Geben Sie eine Gleichung an zur Berechnung des Durchmessers d3 in Abhängigkeit von d1, h1, und V. b) Bestimmen Sie d2 in Abhängigkeit von d1, d3, h und h1. c) Welcher Durchmesser d3 ergibt sich für d1 = 60 cm, wenn bei V = 400 A die Füllhöhe h1 = 80 cm beträgt? d) Wie groß wird d2, wenn die Behälterhöhe h = 1 m beträgt ? 11. Berechnen Sie für den konischen Behälter nach Aufgabe 10 den Blechbedarf für die Mantelfläche a) allgemein, b) für die angegebenen Maße, c) Welches Fassungsvermögen hat der Behälter ? 12. Ein aus Polyäthylen hergestellter Gebrauchseimer hat die Innenmaße d1 = 150 mm, d2 = 210 mm und h = 195 mm. a) Wie viel Liter fasst der Eimer? b) Wie viel cm3 Kunststoff sind bei einer Wandstärke von 2 mm für einen Eimer erforderlich (ohne Materialzugabe für die Versteifungsränder) ?

336

28 Volumenberechnung

13. Für eine Abdichtung werden kegelförmige Kunststoffkappen in der dargestellten Form benötigt.

Wie viel cm3 Kunststoff sind zur Herstellung einer einzelnen Kappe erforderlich ? 14. Ein Behälter hat die Form eines Kegelstumpfes. Berechnen Sie das Fassungsvermögen

a) allgemein in Abhängigkeit von d, h und α. b) Welchen Durchmesser d hat der Behälter, wenn er 50
A
fassen soll und h = 20 cm und α = 45° betragen ? 15. Ein Bunkertrichter hat die Form eines Pyramidenstumpfes mit quadratischen Grundflächen. Welches Fassungsvermögen hat er, wenn die große Grundkante 2,50 m, die Höhe 1,50 m und α = 60° betragen? Wie groß ist der Blechbedarf ? 16. Ein Behälter hat die Form eines Kegelstumpfes von 30 cm Höhe. Der große Durchmesser beträgt 80 cm, der kleine 30 cm. Berechnen Sie die Radien und den Zentriwinkel des Kreisringsektors, aus dem der Behältermantel hergestellt werden soll. 17. Ein Kreisringsektor mit den Radien r1 = 300 mm und r2 = 160 mm und einem Zentriwinkel von 140° soll als Mantelfläche für einen kegelstumpfförmigen Behälter dienen. Berechnen Sie

a) die Mantelfläche, b) die Höhe und die Durchmesser des Behälters, c) das Fassungsvermögen des Behälters. 18. Bestimmen Sie das Füllvolumen des Behälters für

d1 = 20 cm d2 = 40 cm a

= 45 cm

h

= 22 cm

19. Ein Betonmast für Straßenbeleuchtungsanlagen hat die Form eines sich nach oben verjüngenden Sechseck-Pyramidenstumpfes mit einem konischen Innenhohlraum. Bestimmen Sie für einen Mast mit einer Gesamtlänge von 8,30 m das Volumen.

s1 d1 s2 d2

= 240 mm = 150 cm = 115 cm = 50 cm

20. Bestimmen Sie für einen runden hohlen Aufsetzmast aus Beton von 4,30 m Länge (Lichtpunkthöhe 3,50 m) das Volumen.

d1 = 190 mm (Außendurchmesser),

d2 = 100 mm (Außendurchmesser)

d3 = 100 mm (Innendurchmesser),

d4 = 1 42 mm (Innendurchmesser).

28.3 Kugelförmige Körper

337

21. Ein Stahlmast für eine Straßenbeleuchtungsanlage besteht aus einem konischen Rohr mit 5 mm Wandstärke. Die Außendurchmesser des 12,80 m langen Stahlmastes (Lichtpunkthöhe 10 m) sind d1 = 210 mm und d2 = 90 mm. Bestimmen Sie

a) das Volumen, b) das Gewicht. c) Wie viel dieser Beleuchtungsmasten lassen sich auf einem 3 t-Lkw transportieren ? 22. Entwickeln Sie eine Formel zur Volumenberechnung eines Betonmastes nach Aufgabe 19. Bestimmen Sie mit dieser Formel das Volumen für folgende Abmessungen:

s1 = 350 mm, d1 = 220 mm, s2 = 190 mm, d2 = 100 mm, Gesamthöhe 12,5 m (LPH 11 m).

28.3 Kugelförmige Körper 28.3 Kugelförmige Körper

28.3.1 Vollkugel Eine Kugel entsteht durch Rotation eines Halbkreises um seinen Durchmesser.

Das Volumen einer Halbkugel ist gleich dem Volumen eines kegelförmig ausgebohrten Zylinders. Querschnittsflächen im Abstand x: A1 = π · (r2 – x2) und A2 = π · y2. Da diese beiden Flächen an jeder Stelle gleich sind und die Grundflächen ebenfalls gleich sind, haben die beiden Körper, der kegelförmig ausgebohrte Zylinder und die Halbkugel, das gleiche Volumen (Satz von Cavalieri 1). VHalbkugel = VZylinder – VKegel 1 2 VHalbkugel = π ⋅ r 2 ⋅ r − ⋅ π ⋅ r 2 ⋅ r = ⋅ π ⋅ r 3 3 3

Volumen der Vollkugel: V=

4 3

⋅ π ⋅r 3 =

π 6

⋅ d3

Oberfläche der Vollkugel: A O = 4 ⋅ π ⋅ r 2 = π ⋅ d2

1 Cavalierisches Prinzip: Körper, die in gleichen Höhen gleiche Querschnittsflächen haben, haben das

gleiche Volumen (nach Bonaventura Cavalieri, 1598 – 1647).

338

28 Volumenberechnung

Beispiel Wie verhalten sich die Rauminhalte und Oberflächen von Zylinder, Kugel und Kegel bei gleicher Höhe und gleichem Durchmesser ? Lösung

a) Volumenberechnung Mit h = d erhält man folgende Volumina: π d3 4 Zylinder

π d3 6 Kugel

V3 =

V2 =

π d3 12 Kegel

V1 =

Damit ergeben sich folgende Proportionen: V1 : V2 : V3 =

1 1 1 : : 4 6 12

V1 : V2 : V3 = 3 : 2 : 1 nach Archimedes 2 Die Volumina von Zylinder, Kugel und Kegel verhalten sich wie 3 : 2 : 1. b) Oberflächenberechnung Mit h = d ergeben sich folgende Oberflächen: A1 = 1,5 π d2

A2 = π d2

Zylinder

Kugel

A3 =

1+ 5 π d2 4 Kegel

Für die Oberflächen ergeben sich damit folgende Proportionen: A1 : A 2 : A 3 = 1,5 : 1: 0,809 A1 : A 2 : A 3 = 1,854 : 1,236 : 1 Die Oberflächen von Zylinder, Kugel und Kegel verhalten sich wie 1,854 : 1,236 : 1.

Beispiel Wie viel Schrotkugeln von 2 mm Durchmesser muss man zusammenschmelzen, um eine Kugel von 10 mm Durchmesser zu erhalten ? 2 Archimedes (287 – 212 v. Chr.)

28.3 Kugelförmige Körper

339 V1 = V2

Lösung

Ohne Berücksichtigung der Schmelzverluste ist das Volumen vor dem Schmelzen gleich dem Volumen nach dem Schmelzen.

n⋅

π d13 π d23 = 6 6

n=

Die Anzahl der einzuschmelzenden Kugeln bezeichnen wir mit n.

d23 d13

⎛ d ⎞3 =⎜ 2 ⎟ ⎝ d1 ⎠

⎛ 10 ⎞3 n =⎜ ⎟ = 53 ⎝2⎠ n = 125 Kugeln

Beispiel

⎛ ⎝

Aus einer Messing-Vollkugel ⎜ȡ2 = 8, 4

g ⎞

⎟ von 60 mm Durchmesser soll eine Schwimmer-

cm3 ⎠

⎛ ⎝

kugel (Hohlkugel) hergestellt werden, die in Dieselkraftstoff ⎜ȡ1 = 0,86

g ⎞

⎟ zur Hälfte eincm3 ⎠ taucht. Welchen Außendurchmesser und welche Wandstärke erhält die Hohlkugel ?

Lösung

V1 · ρ1 = V2 · ρ2

Das Gewicht der verdrängten Flüssigkeit ist gleich dem Gewicht der Hohlkugel, das dem Gewicht der Vollkugel entspricht:

1 π da3 π ⋅(6 cm)3 ⋅ ⋅ ȡ1 = ⋅ȡ2 2 6 6

G = G N1 N2 Gew. der verdr. Gew. der Flüssigkeit Hohlkugel Durch die Hohlkugel mit dem Außendurchmesser da wird beim Eintauchen das Volumen 1 π da V1 = ⋅ 2 6

da3 = 2⋅(6 cm)3 ⋅

da = 2⋅(6 cm)3 ⋅

3

π d3 π da3 π di 3 = − 6 6 6

Da das Volumen der Vollkugel gleich dem Volumen der Hohlkugel ist, erhalten wir aus dem Folgenden eine Gleichung, aus der sich der Innendurchmesser und damit die Wandstärke berechnen lässt.

Aus der halben Durchmesserdifferenz erhalten wir die Wandstärke der Hohlkugel.

= 16,1593 cm

da ≈ 161,6 mm

verdrängt.

V V2 N1 = N Vollkugel Hohlkugel

g cm3 g 0,86 3 cm

8,4

ȡ2 ȡ1

di3 = da3 − d3

di = 3 da3 − d3 di =

3 (161,6 mm)3 − (60 mm)3

di = 158,79 mm s=

da − di 161,6 mm −158,79 mm = 2 2

s = 1,4 mm

340

28 Volumenberechnung

28.3.2 Kugelabschnitt (Kugelsegment)

Nach dem Satz von Cavalieri ist wiederum das Volumen des Kugelabschnitts gleich dem Restvolumen eines kegelförmig ausgebohrten Zylinders. V = π r 2h − V = π r 2h − V=

1

1 3 1 3

2 2 π h ⋅⎡ ⎣ r + r(r − h) + (r − h) ⎤ ⎦ 2 2 π h ⋅⎡ ⎣ 3r − 3rh + h ⎤ ⎦

3

Setzt man für r = V=

Volumen des Kugelabschnitts:

π h2 ⋅ (3r − h)

πh

6

d 2

V=

ein, so erhält man

2

(3d − 2h)

1 3

⋅ π ⋅ h2 ⋅ (3r − h)

⎛d h⎞ V = π ⋅ h2 ⋅⎜ − ⎟ ⎝2 3⎠

Mit dem Höhensatz

⎛ s ⎞2 s2 ⎜ ⎟ = h ⋅ (d − h) oder d = + h ⎝2⎠ 4h erhält man die nebenstehende Volumenformel. Die Mantelfläche des Kugelabschnitts (= gekrümmte Oberfläche, Kugelhaube oder Kugelkappe genannt) ergibt sich aus nebenstehender Formel.

oder

⎛ s2

V = π ⋅ h ⋅⎜ ⎜

⎝8

Eine Kugel mit dem Durchmesser d soll so in eine Flüssigkeit getaucht werden, dass zwei Drittel der Oberfläche benetzt werden. a) Berechnen Sie das Maß x zur Bestimmung der Eintauchtiefe. b) Welches Flüssigkeitsvolumen wird dadurch verdrängt ?

h2 ⎞

⎟ 6 ⎟ ⎠

Mantelfläche des Kugelabschnitts (= Fläche der Kugelkappe):

AM = π ⋅ d⋅ h AM =

Beispiel

+

π ⋅ (s2 + 4h2 ) 4

28.3 Kugelförmige Körper

341

Lösung

a)

Einerseits ist die benetzte Oberfläche gleich 2/3 der gesamten Kugelfläche π · d2. Andererseits lässt sich die benetzte Oberfläche auch als Fläche einer Kugelkappe mit AM = π · d · h und h =

AM =

2 π d2 3

(1)

⎛d ⎞ AM = π d⎜ + x ⎟ (2) ⎝2 ⎠

d + x berechnen. 2

(1) = (2) ⎛d ⎞ 2 π d2 = π d⎜ + x ⎟ 3 ⎝2 ⎠ x=

Eintauchtiefe

1 d 6

Eintauchtiefe

Da beides dieselbe Fläche darstellt, erhält man durch Gleichsetzen der Flächen das Abstandsmaß x und damit die Eintauchtiefe h.

d d h= + 2 6 2 h= d 3

⎛d h⎞ V = π h2⎜ − ⎟ ⎝2 3⎠

b)

Das Volumen der verdrängten Flüssigkeit ist das Volumen eines Kugelabschnitts mit

⎛ 2 ⎞2 ⎛ d 2d ⎞ V = π ⎜ ⋅d ⎟ ⋅⎜ − ⎟ ⎝ 3 ⎠ ⎝ 2 3 ⋅3 ⎠

2 h = ⋅d . 3

V = π⋅

10 3 ⋅d 81

V ≈ 0,3879 d3

28.3.3 Kugelschicht Durch zwei parallele Ebenen wird aus einer Kugel ein Körper herausgeschnitten, der als Kugelschicht bezeichnet wird. Das Volumen der Kugelschicht lässt sich als Differenz zweier Kugelabschnitte berechnen: V1 = V2 =

π 3 π 3

(h + x)2 ⋅ (3r − h − x) x 2 ⋅ (3r − x)

Volumen der Kugelschicht: V = V1 – V2 V=

π 3 −

V=

π 3

(h2 + 2hx + x 2 ) (3r − h − x) π 3

(3rx 2 − x 3 )

(6hrx + 3h2r − 3hx 2 − 3h2 x − h3 )

342

28 Volumenberechnung

V= V= Nach dem Satz von Pythagoras gilt: r1 2 = r 2 − (r − (h + x))2 2

2

r1 = 2hr + 2rx − h − 2hx − x

2

V=

πh 3 πh 6 πh 6

(6rx − 3x 2 + 3hr − 3hx − h2 ) (12rx − 6x 2 + 6hr − 6hx − 2h2 ) ( 6hr + 6rx − 3h2 + 6hx − 3x 2 +  

3 r12

+ 6rx − 3x 2 + h2 )   3 r22

und r2 2 = r 2 − (r − x)2 = 2rx – x2 Nach einigen Umformungen ergibt sich damit das Volumen der Kugelschicht. Die zwischen den beiden parallelen Ebenen liegende Kugeloberfläche wird als Kugelzone bezeichnet. Sie lässt sich als Differenz zweier Kugelkappen berechnen:

V=

πh 6

(3 r1 2 + 3 r2 2 + h2 )

(Kugelschichtvolumen) Mantelfläche der Kugelschicht: (= Fläche der Kugelzone)

AM = π d(h + x) – π d x = π d h

AM = π d h

Beispiel Eine kugelförmige Rolle hat eine zylindrische Innenbohrung mit dem Durchmesser d1. Bestimmen Sie das Volumen a) allgemein b) für d = 60 mm, h = 40 mm, d1 = 20 mm.

Lösung Da die Kugelschicht symmetrisch ist, vereinfacht sich die Volumenberechnung.

Der Durchmesser d2 ist nach Aufgabe nicht bekannt. Er muss deshalb nach Pythagoras berechnet werden.

a) V = Kugelschicht – Zylinder V=

π d12 πh ⋅h 3 d22 + 3 d22 + 4 h2 − 24 4

V=

πh 6 d22 + 4 h2 − 6 d12 24

V=

πh 3 d22 + 2 h2 − 3 d12 12

(

(

(

Nach Pythagoras ist: ⎛ d2 ⎞2 ⎛ h ⎞2 ⎛ d ⎞2 ⎜ ⎟ +⎜ ⎟ =⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠ ⎝2⎠ ⎝2⎠

)

)

)

(1)

28.3 Kugelförmige Körper Setzt man Gl. (2) in Gl. (1) ein, so erhält man

343 d22 = d2 − h2

V=

Mit den angegebenen Zahlenwerten erhält man den Zahlenwert für V.

b) V =

πh 3 d2 + h2 − 3 d12 12

(

(2)

)

π⋅ 4 cm 3⋅(6 cm)2 − (4 cm)2 − 3⋅(2cm)2 12

(

V = 83,78 cm3

Beispiel Eine Kugel mit einem Durchmesser von 35 mm Durchmesser wird beidseitig auf eine Höhe von h = 25 mm abgefräst. Bestimmen Sie a) den Durchmesser d1 für d2 = 20 mm, b) das Volumen der Kugelschicht. Lösung

Zwischen den Mittenabständen h1 und h2 und den Durchmessern d1 und d2 besteht ein unmittelbarer Zusammenhang, der aus den eingezeichneten Dreiecken zu ersehen ist. Um d1 berechnen zu können, müssen wir erst h1 mit Hilfe des Pythagoras bestimmen. Dabei ist zu berücksichtigen, dass h = h1 + h2 oder h2 = h – h1 ist. a) Nach Pythagoras ist: ⎛ d1 ⎞2 ⎛ d ⎞2 ⎜ ⎟ =⎜ ⎟ − h12 ⎝ 2 ⎠ ⎝2⎠ d1 = d2 − 4 h12

(1)

weiter gilt nach Pythagoras: ⎛ d2 ⎞2 ⎛ d ⎞2 ⎜ ⎟ =⎜ ⎟ − (h − h1)2 ⎝ 2 ⎠ ⎝2⎠ ⎛ d ⎞2 ⎛ d ⎞2 (h − h1)2 =⎜ ⎟ −⎜ 2 ⎟ ⎝2⎠ ⎝ 2 ⎠ Durch Einsetzen von Gl. (2) in Gl. (1) erhält man d1.

⎛ d ⎞2 ⎛ d ⎞2 h1 = h − ⎜ ⎟ −⎜ 2 ⎟ ⎝2⎠ ⎝ 2 ⎠

(

d1 = d2 − 4 h − 21 d2 − d22

Mit den angegebenen Zahlenwerten wird d1 = 27,79 mm.

d1 = 27,79 mm

(2)

)

2

)

344

28 Volumenberechnung b) Volumen der Kugelschicht V=

⎞ π h⎛ 3 2 3 2 ⎜ d + d + h2 ⎟ 6 ⎝4 1 4 2 ⎠

V = 19,69 cm3

28.3.4 Kugelausschnitt (Kugelsektor) Verbindet man den Begrenzungskreis des Kugelabschnitts mit dem Mittelpunkt der Kugel, so entsteht ein Kugelausschnitt oder Kugelsektor. Das Volumen des Kugelsektors lässt sich aus der Summe von Kugelabschnitt und Kegel berechnen.

V=

2 1 1⎛ s ⎞ π h2 (3r − h) + ⎜ ⎟ π (r − h) 3 3 ⎝ 2 ⎠ 

 

 Kugelabschnitt

Volumen des Kugelsektors (1) V=

Kegel

2 3

π r2 h

Nach Pythagoras gilt: ⎛ s ⎞2 ⎜ ⎟ = r 2 − (r − h)2 ⎝2⎠

(2)

Gl. (2) in Gl. (1) eingesetzt: V=

1 1 2 2⎤ π h2 (3 r − h) + π (r − h)⎡ ⎣ r − (r − h) ⎦ 3 3

π 2 3 2 2 2 3⎤ V= ⎡ ⎣ 3 rh − h + 2 r h − rh − 2 rh + h ⎦ 3 2 V = π r 2h 3

Beispiel Der dargestellte Kreiselkörper mit dem Durchmesser d = 50 mm hat die Form eines Kugelausschnitts. Berechnen Sie das Volumen.

Oberfläche des Kugelsektors (= Mantelfläche des Kugelabschnitts + Kegelmantelfläche)

AO = 2 π r h + AO =

πd 4

πrs 2

(4 h + s)

28.3 Kugelförmige Körper Lösung

345 Nach Pythagoras gilt:

Zur Volumenberechnung ist zunächst die Berechnung der Höhe h erforderlich.

d2 = r 2 − (r − h)2 4

Der positive Wurzelwert kann hier nicht in Frage kommen, da sonst h größer wäre als r.

h2 − 2rh +

Auch der Kugelradius ist in der Aufgabe nicht gegeben. Er lässt sich mit Hilfe einer Winkelfunktion berechnen. d α 2 sin = 2 r d d r= = =d α 2⋅sin 30° 2⋅sin 2 α α 1 = 30° ist sin = , so dass r = d Für 2 2 2 wird, was man aus dem gleichseitigen Dreieck auch sofort ersehen kann.

d2 =0 4

(1)

Mit r = d erhält man V=

⎛ 2 d2 π d2 ⎜d − d2 − ⎜ 3 4 ⎝

V=

⎛ ⎞ 2 1 π d2 ⎜d − d 3 ⎟ 3 2 ⎝ ⎠

V=

π 3 d 2 − 3 ≈ 0,28 ⋅d3 = 35,07 cm3 3

(

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

)

Aufgaben zu 28.3 Kugelförmige Körper 1. Wie viel wiegt eine Kugel von 1 m Durchmesser

a) aus Kork ( ρ = 0,23 kg / dm3 ) , b) aus Stahl ( ρ = 7,85 kg / dm3 ) ? c) Wie groß ist die Oberfläche? 2. Wie viele Schrotkugeln (d = 2 mm) lassen sich aus 5 kg Blei (ȡ = 11,34 kg / dm3 ) herstellen (ohne Berücksichtigung der Schmelzverluste) ? 3. Wie groß ist der Auftrieb eines Kugelballons mit 12 m Innendurchmesser, der mit Wasserstoff (Dichte von Wasserstoff ρn = 0,090 kg / dm3 im Normalzustand) gefüllt ist ? (Dichte von Luft im Normalzustand ρn = 1,293 kg / dm3 ) 4. Stahlkugeln von 20 mm Durchmesser sollen einen Cr-Ni-Überzug von 150 μm Dicke erhalten.

Wie viel Gramm Chromnickel ( ρ = 7, 4 kg / dm3 ) werden für 1 000 Kugeln benötigt ? 5. Ein kugelförmiger Gasbehälter soll ein Fassungsvermögen von 14 000 m3 haben.

a) Wie groß ist der Innendurchmesser des Behälters? b) Wie viel m2 Stahlblech von 18 mm Dicke sind für die Schweißkonstruktion erforderlich? c) Wie viel Tonnen Stahl sind dies ? 6. Welche Masse hat eine Schwimmerkugel (Hohlkugel) aus Messingblech von 1 mm Dicke bei einem Kugel-Außendurchmesser von 120 mm ?

346

28 Volumenberechnung

07. Eine Messingkugel ( ρ = 8,4 kg / dm3 ) von 40 mm Durchmesser soll in eine Hohlkugel umgegossen werden, die

a) in Heizöl ( ρ = 0,92 kg / dm3 ) zu 3/4 des Durchmessers eintaucht, b) in Wasser zur Hälfte eintaucht. Bestimmen Sie jeweils den Außendurchmesser und die Wandstärke. 08. Welche Masse hat ein Senklot aus Stahl, das aus einem senkrechten Kegel mit der Spitze nach unten und einer aufgesetzten Halbkugel von 35 mm Durchmesser besteht ? Die Gesamtlänge des Lotes beträgt 85 mm. 09. Berechnen Sie das Volumen des dargestellten Rundnietes DIN 124 – 30 × 70 aus St 34 für den Stahlbau.

10. Berechnen Sie das Volumen einer zylindrisch durchbohrten Kugel

a) allgemein, b) für d1 = 35 mm d2 = 15 mm h = 17,5 mm. 11. Berechnen Sie das Volumen einer konisch durchbohrten Kugel

a) allgemein, b) für d1 = 35 mm d2 = 15 mm d3 = 20 mm. c) Wie groß wird h ? 12. Eine Hohlkugel erhält zwei gleich große Ausbohrungen vom Durchmesser d2.

a) Welches Volumen wird durch die Bohrungen ausgebohrt? b) Wie groß ist das Restvolumen ?

28.3 Kugelförmige Körper

347

13. Berechnen Sie das Volumen der dargestellten Kugelscheibe

a) allgemein, b) für d1 = 25 mm, f = 0,8 mm, h = 8,2 mm

d2 = 44 mm, r = 32 mm

14. Berechnen Sie für die dargestellte Kugelpfanne mit

d1 = f = h =

28 mm 7,3 mm 10 mm

d2 = 62 mm, r = 32 mm,

a) das Volumen b) die Auflagefläche der Kugelscheibe

15. Berechnen Sie für eine beidseitig abgefräste Hohlkugel das Volumen

a) allgemein, b) für d1 = 500 mm, d2 = 540 mm, b = 400 mm.

16. Ein Windkessel hat die Form eines Zylinders mit aufgesetzten Kugelsegmenten.

Bestimmen Sie a) das Volumen, b) die Oberfläche.

17. Eine Kugel vom Durchmesser d wird bis zur Mitte eingefräst. Berechnen Sie das Restvolumen.

348

28 Volumenberechnung

18. Für ein optisches Gerät soll eine Bikonvexlinse von der dargestellten Form hergestellt werden.

a) Wie viel Glas ist erforderlich für eine Linse mit h1 = 16 mm, h2 = 8 mm, d = 100 mm ? b) Wie groß ist die Masse dieser Linse ?

⎛ g ⎞ ⎜ȡ = 3,2 ⎟ ⎝ cm3 ⎠ 19. Berechnen Sie das Volumen des dargestellten Kugelkopfes aus Kunststoff, der auf einen Schalthebel mit rundem Querschnitt aufgeklebt wird für einen Spitzenwinkel von 140° und 80°.

(Die hier nicht dargestellte Entlüftungsnut zum Entweichen der Luft beim Aufkleben soll unberücksichtigt bleiben.)

20. Berechnen Sie das Volumen des dargestellten Hohlkugelsektors.

28.4 Schiefe Körper

349

28.4 Schiefe Körper 28.4 Schiefe Körper

28.4.1 Satz des Cavalieri 3

Prismen und Zylinder, deren Seiten- oder Mantelflächen nicht mehr senkrecht auf der Grundfläche stehen, sowie Pyramiden, Pyramidenstümpfe, Kegel und Kegelstümpfe, deren Symmetrieoder Rotationsachsen nicht senkrecht auf der Grundfläche stehen, nennt man schiefe Körper. Schiefe Körper lassen sich durch Scherung, d. h. durch seitliches Verschieben paralleler Körperebenen von geraden Körpern erzeugen. Anschaulich lässt sich dies mit Hilfe eines Lineals an einem Papierstapel oder an einem Stapel kreisrunder Bierdeckel demonstrieren. Daraus ist ersichtlich, dass sich dabei das Volumen nicht ändert. Grundfläche und Deckfläche sind gleich groß, die Höhe h bleibt gleich. Entsprechendes gilt für die schiefwinkligen pyramidenförmigen und kegligen Körper. Für die Volumenberechnung dieser Körper gilt der Satz des Cavalieri Körper, die in gleicher Höhe gleiche Querschnittsflächen haben, haben gleiche Volumen. Daraus ergeben sich folgende Grundformeln: 1. Schiefe prismatische Körper

V = A ⋅h

2. Schiefe Pyramiden und Kegel 3. Schiefe Pyramiden- und Kegelstümpfe

V=

4. Gewundene Körper entsprechend der gleich bleibenden oder sich verjüngenden Querschnittsform nach einer der drei Formeln

V=

1 3 1 3

⋅ A ⋅h

(

⋅ h ⋅ A1 + A1A 2 + A 2

[

3 Bonaventura Cavalieri (um 1598 – 1647), ital. Mathematiker, Schüler von Galilei

)

350

28 Volumenberechnung

Beispiel Ein Behälter hat die Form eines schiefen Kegelstumpfes. Berechnen Sie das Fassungsvermögen.

Lösung

1 V = ⋅h A1 + A1A 2 + A 2 3

(

Die Querschnittsflächen sind: A1 =

π (100 cm)2 = 7853,98 cm2 4

A2 =

π (20 cm)2 = 314,16 cm2 4

)

V = 194 778,8 cm3 V ≈ 195 A

28.4.2 Simpson’sche Regel 4 Das Volumen unregelmäßig gestalteter Körper lässt sich näherungsweise nach der Simpson’schen Regel berechnen. Mit dieser Formel lassen sich auch die bisher behandelten einfachen Körper berechnen, so dass beispielsweise auch das Volumen vom Pyramiden- und Kegelstumpf hiermit berechnet werden könnte. Die manchmal angewandte Faustformel

Simpson’sche Regel:

V = h · Am

⎛1 ⎞ 2 1 V = h ⎜ A1 + A m + A 2 ⎟ ⎝6 ⎠ 3 6

führt meist zu ungenauen Ergebnissen.

V=

h 6

(A1 + 4 A m + A 2 )

Beispiel Berechnen Sie das Volumen eines schiefen Kegelstumpfes mit Hilfe der Simpson’schen Regel a) allgemein, b) für

d1 = 80 mm,

d2 = 30 mm und

h = 60 mm.

Lösung

Grundfläche : A1 = π r12 Deckfläche : A2 = π r22

2 ⎛ ⎞ 4⋅ π (r1 + r2 ) h V = ⎜ π r12 + + π r22 ⎟ ⎟ 6⎜ 4 ⎝ ⎠

V= 4 Thomas Simpson (1710 – 1761), engl. Mathematiker

h π r12 + π r12 + 2 π r1 r2 + π r22 + π r22 6

(

)

28.4 Schiefe Körper ⎛ r + r ⎞2 Mittelfläche: Am = π ⎜ 1 2 ⎟ ⎝ 2 ⎠

Mit

A1A 2 = π r12 ⋅ π r22 = π r1r2

erhält man die Volumengleichung auch in der nebenstehenden Form. Mit den angegebenen Zahlenwerten ergibt sich V = 152,37 cm3.

351

V=

h 2 π r12 + 2 π r1 r2 + 2π r22 6

V=

h π r12 + π r1 r2 + π r22 3

V=

πh 2 d + d1 d2 + d22 12 1

a) V =

(

(

(

)

h ( A1 + A1A 2 + A 2 ) 4

V = 152 367,24 cm3 V = 152,37 cm3

Beispiel Bestimmen Sie das Volumen des dargestellten Keiles a) allgemein, b) für c = a.

Lösung

Der Keil ist ein Sonderfall eines Prismoids, bei dem die Deckfläche A2 gleich Null wird.

a) V =

h (A1 + 4 A m + A 2 ) 6

A1 = a · b

h⎛ ab + bc ⎞ V = ⎜ab + 4⋅ ⎟ 6⎝ 4 ⎠

a + c b + 0 ab + bc ⋅ = 2 2 4 A2 = 0

V=

Am =

b) V =

Beispiel Ein Müllcontainer hat die Form eines Prismoids (Pontons). Berechnen Sie das Fassungsvermögen.

bh (2a + c) 6 1 ab h 2

)

)

352

28 Volumenberechnung

Lösung Der Ponton ist ebenfalls ein Prismoid, d. h. ein Polyeder, der von zwei parallelen Flächen begrenzt wird. A1 = ab a+c b+d ⋅ 2 2 A2 = cd

Am =

⎞ h⎛ (a + c) (b + d) V = ⎜ab + 4⋅ + cd⎟ 6⎝ 4 ⎠ V=

h (2 ab + 2 cd + bc + ad) 6

V=

h (a (2b + d) + c (b + 2d)) 6

28.5 Oberflächen und Volumina von Rotationskörpern Guldin’sche Regel 5 28.5 Oberflächen und Volumina von Rotationskörpern

Drehkörper oder Rotationskörper entstehen durch Drehung einer beliebigen Fläche A um eine Drehachse.

S = Flächenschwerpunkt S1 = Linienschwerpunkt rs = Abstand des Flächenschwerpunktes von der Drehachse rs1 = Abstand des Linienschwerpunktes von der Drehachse

Oberfläche AM = Mantellinie
l mal Weg des Mantellinienschwerpunktes S1

AM = 2 π rs1 · l AM = π ⋅ ds1 ⋅ l

Volumen V = Querschnittsfläche A mal Weg des Flächenschwerpunktes S

V = 2 π rs · A V = π ⋅ ds ⋅ A

Beispiel Bestimmen Sie das Volumen und die Oberfläche des dargestellten Ringes (Torus) a) allgemein b) für d1 = 10 mm und d2 = 50 mm. Lösung

Der Flächenschwerpunkt dieses Rotationskörpers liegt in der Kreismitte.

a) V = π · ds · A Mit ds = d2 – d1

V = π (d2 − d1)

5 nach Paul Guldin (1577 – 1643), Schweizer Astronom und Mathematiker

π d1 4

2

28.5 Oberflächen und Volumina von Rotationskörpern Die rotierende Mantellinie ist der Kreisumfang I = π · d1. Der Linienschwerpunkt liegt wie der Flächenschwerpunkt im Kreismittelpunkt.

353

AM = π ⋅ds1⋅l1 A M = π ⋅(d2 − d1)⋅ π ⋅ d1 AM = π 2 ⋅(d2 − d1)⋅d1

b) V = π (50 −10)mm⋅ Mit d1 = 10 mm und d2 = 50 mm ergibt sich

π (10 mm)2 4

V = 9869,6 mm3 bzw. V = 9,87 cm3 AM = π 2 ⋅10 mm (50 −10) mm = 39,48 cm2

Beispiel Ein Werkstück erhält eine halbkreisförmige Ringnut. Berechnen Sie das Hohlvolumen der Ringnut.

Lösung

V = π ⋅ds ⋅ A

Der Flächenschwerpunkt liegt auf der Symmetrielinie des Halbkreises. Damit ist

V = π ⋅165 mm⋅

ds =

d1 + d2 = 165 mm. 2

π (15 mm)2 2⋅ 4

V = 45 801,13 mm3 V = 45,8 cm3

Beispiel Ein Ring mit dem Außendurchmesser d2 und dem Innendurchmesser d1 hat als Querschnittsfläche einen Kreisabschnitt. Berechnen Sie das Volumen.

Lösung

Die Querschnittsfläche (= Kreisabschnitt) berechnet sich aus ⎛ d − d1 ⎞ r ⋅(lB − l) + l ⋅⎜ 2 ⎟ ⎝ 2 ⎠ A=

2

Der Schwerpunktsabstand ist x0 =

l3 12 A

Damit ist l3 ds = d2 − 2r + 2x0 = d2 − 2r + 6⋅ A

V = π ⋅ ds ⋅ A § l 3 ·¸ V = π ⋅ ¨ d2 − 2r + ⋅A ¨ 6 ⋅ A ¸¹ ©

354

28 Volumenberechnung

Beispiel Bestimmen Sie das Volumen des dargestellten Ringes a) allgemein b) für d1 = 20 mm, d2 = 50 mm, b = 18 mm,

r = 7,5 mm.

Lösung

Das von dem hohlzylindrischen Körper abgedrehte Volumen entspricht dem Rotationsvolumen eines Viertelkreises. Der Schwerpunktsabstand ist x0 =

4r 3π

Damit ist 8r 3π Das Rotationsvolumen des Viertelkreises ist damit V1. ds = d2 − 2 x0 = d2 −

V1 = π ⋅ds ⋅ A ⎛ 8 r ⎞ π r2 V1 = π ⋅⎜d2 − ⎟⋅ 3π⎠ 4 ⎝ V2 =

π ⋅(d22 − d12 ) ⋅b 4

8 r3 ⎞ π ⎛ 2 ⎟ (d2 − d12 )⋅b − π ⋅d2 ⋅r 2 + ⋅⎜ ⎜ 4 ⎝ 3 ⎟ ⎠

Das Volumen des Hohlzylinders ist V2.

V=

Das Gesamtvolumen ist V = V2 – V1. Mit den angegebenen Zahlenwerten erhält man

V = 23,63 cm3

355

Differentialrechnung

29 Grenzwerte 29 Grenzwerte

29.1 Grenzwerte von Zahlenfolgen 29.1 Grenzwerte von Zahlenfolgen

Die Zahlenfolge an = 1+

1 n

hat folgende Glieder n=1:1+ n=2:1+ n=3:1+ n=4:1+ n=5:1+ n=6:1+

1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6

=2 = 1,5 = 1,33... = 1,25 = 1,2 = 1,166... usw.

Wir fragen nun, gegen welchen Zahlenwert strebt die Zahlenfolge, wenn n immer größer wird, d. h. gegen ∞ geht. Aus den errechneten Zahlenwerten ist zu ersehen, dass die Zahlenwerte gegen die Zahl 1 streben. Diesen Zahlenwert, den man nie exakt erreicht, aber trotzdem genau angeben kann, bezeichnet man als Grenzwert der Zahlenfolge: 1 lim ( 1+ ) n n→∞ 1 gelesen: „limes von (1 + ) für n gegen ∞“ n

Beispiel

⎛ 1⎞ Berechnen Sie den Grenzwert der Zahlenfolge an = ⎜1+ ⎟ ⎝ n⎠

n

für n gegen ∞.

Lösung Wir berechnen einige Glieder der Zahlenfolge und tragen diese in folgender Tabelle ein. n an

1 2

2 2,25

3 2,3707

4 2,4414

5 2,4883

6 2,5216

100 2,7048

Wir erhalten als Grenzwert der Zahlenfolge

⎛ n→∞⎝

lim ⎜1 +

n 1 ⎞

⎟ = 2,7182818... = e ( = Euler-Zahl 1 )

n ⎠

1 nach Leonhard Euler (1707 – 1783), Schweizer Mathematiker

H. Rapp, Mathematik für die Fachschule Technik, DOI 10.1007/978-3-8348-9803-6_29, © Vieweg+Teubner | GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2010

1000 2,7169

10000 2,7182

356

29 Grenzwerte 1

an =

Aus diesen Beispielen ist zu ersehen, dass die Zahlenfolge

n

auf den Grenzwert

g = 0 führt. Man nennt eine solche Zahlenfolge deshalb Nullfolge. Zahlenfolgen, die auf einen endlichen Grenzwert führen, sind konvergent. Zahlenfolgen, die keinen endlichen Grenzwert haben, sind divergente Zahlenfolgen. Beispiele für divergente Zahlenfolgen sind: ¢an² = ¢3 n²:

Die Zahlenfolge strebt mit wachsendem n gegen ∞:

lim an = + ∞

n→ ∞

¢an² = ¢– 3 n²: Die Zahlenfolge strebt mit wachsendem n gegen – ∞:

lim an = − ∞

n→ ∞

Grenzwertregeln: Werden zwei konvergente Zahlenfolgen mit Hilfe der Grundrechenarten zu neuen Folgen verknüpft, so entstehen wiederum konvergente Zahlenfolgen. Der Grenzwert ergibt sich nach folgenden Regeln: lim (an + bn ) = lim an + lim bn

n→∞

n→∞

n→∞

lim (an − bn ) = lim an − lim bn

n→∞

n→∞

n→∞

lim (an ⋅bn ) = lim an ⋅ lim bn

n→∞

n→∞

n→∞

lim (an : bn ) = lim an : lim bn

n→∞

n→∞

n→∞

Beispiel 9n

Berechnen Sie den Grenzwert der Zahlenfolge an =

3n + 2

+

n n +1

.

Lösung

Durch Anwendung einer der Grenzwertregeln erhält man:

⎛ 9n

lim (an ) = lim ⎜

n→∞

n→∞⎝ 3n + 2

+

⎛ 9n ⎞ ⎛ n ⎞ n ⎞ ⎟= lim ⎜ ⎟+ lim ⎜ ⎟ n + 1⎠ n→∞⎝ 3n + 2 ⎠ n→∞⎝ n + 1⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ 9 ⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎟+ lim ⎜ ⎟= 3 + 1 = 4 = lim ⎜ 2 1 n→∞⎜ n→∞⎜ 3+ ⎟ 1+ ⎟ ⎝ ⎝ n⎠ n⎠

29.2 Grenzwerte von Funktionen 29.2 Grenzwerte von Funktionen

29.2.1 Grenzwerte für x → x0 Beispiel Zeichnen Sie das Schaubild der Funktion mit der Funktionsgleichung f(x) =

x2 − 1 x− 1

.

Lösung

Wertetabelle

x f (x)

–2 –1

–1 0

0 1

1 ?

2 3

3 4

29.2 Grenzwerte von Funktionen

357

Die Wertetabelle zeigt, dass bei x = 1 der Funktionswert nicht definiert ist. Man nennt dies eine „Definitionslücke“. Wir nähern uns deshalb diesem Wert von links und erhalten z. B. für x = 0,999 den Funktionswert f(0,999) = 1,999. Der linksseitige Grenzwert ist damit

lim f(x) = gl = 2

x→1

Die Näherung von rechts ergibt z. B. für x = 1,0001 den Funktionswert f(1,0001) = 2,001. Der rechtsseitige Grenzwert ist damit lim f(x) = gr = 2

x→1

Da der linksseitige und der rechtsseitige Grenzwert gleich ist, hat die Funktion an der Stelle x = 1 einen eindeutigen Grenzwert, den wir als Grenzwert der Funktion bezeichnen. 2 (x −1)⋅(x +1) = x + 1 (für x ≠ 1) ist ersichtlich, dass der Aus der Umformung f(x) = x −1 = x −1 x −1 Funktionsgraph links und rechts von x = 1 eine Gerade und bei x = 1 keinen Funktionswert, sondern eine Definitionslücke aufweist. Die Funktion hat aber bei x = 1 einen Grenzwert. Der Grenzwert kann in diesem Fall durch Division auf folgende Weise berechnet werden:

(x 2 −1) (x −1)⋅(x +1) = lim = lim(x +1) = 2 x −1 x→1 x −1 x→1 x→1 lim

Definition: Eine Funktion hat an der Stelle x0 einen Grenzwert, wenn der rechtsseitige und der linksseitige Grenzwert gleich ist.

Beispiel Bestimmen Sie an der Stelle x = 0 den Grenzwert der Funktion mit der Funktionsgleichung f(x) = Lösung

Die Funktion hat bei x = 0 eine Definitionslücke. Wie aus dem Funktionsgraph zu ersehen ist, führt der linksseitige und der rechtsseitige Grenzwert an dieser Stelle zum gleichen Wert, so dass wir an der Stelle x = 0 einen eindeutigen Grenzwert haben.

x3 + x x

358

29 Grenzwerte

Rechnerisch bestimmen wir den Grenzwert wieder durch folgende Umformung lim

x→0

(

)

x ⋅ x 2 +1 x3 + x = lim = lim x 2 +1 = 1 x x x→0 x→0

(

)

Der Grenzwert wurde hier durch die Termumformung des Kürzens berechnet. Da x ≠ 0 ist, sondern nur gegen Null geht, ist in diesem Fall die Division durch x erlaubt.

Beispiel

⎧ ⎪ ⎪ Untersuchen Sie die Funktion f(x) = ⎨ ⎪ ⎪ ⎩

1 3 1 3

⋅x ⋅x + 1

⎫

für

⎪ x≤3 ⎪

für

x>3 ⎪

⎬ an der Stelle x0 = 3 ⎪ ⎭

Lösung

Wir bestimmen den linksseitigen und den rechtsseitigen Grenzwert. gl = lim

1

x→3 3

⋅x =1

⎛1 ⎞ gr = lim⎜ ⋅ x +1⎟= 2 ⎠ x→3⎝ 3 Die Funktion besitzt also an der Stelle x0 = 3 keinen Grenzwert, da der linksseitige Grenzwert nicht mit dem rechtsseitigen Grenzwert übereinstimmt.

Beispiel Untersuchen Sie die Funktion mit der Funktionsgleichung f(x) =

1 an der Stelle x0 = 1. x −1

Lösung gl = lim

x→1

1 =−∞ x −1

1 =+∞ x→1 x −1

gr = lim

Die Funktion besitzt in der Definitionslücke x0 = 1 keinen Grenzwert, da sich der linksseitige und der rechtsseitige Grenzwert unterscheiden.

29.2.2 Grenzwerte für x → + ∞ und x → –

∞

Beispiel Bestimmen Sie den Grenzwert der Funktion mit der Funktionsgleichung f(x) =

x +1 x

für x → +∞

29.2 Grenzwerte von Funktionen

359

Lösung

Dividiert man bei dem Funktionsterm Zähler und Nenner durch x, so ergibt sich f(x) =

x +1 1 = 1+ . x x

Als Grenzwerte dieser Funktion erhält man ⎛ 1⎞ lim f(x) = lim ⎜1+ ⎟= 1 x⎠ x→∞⎝

x→∞

⎛ 1⎞ lim f(x) = lim ⎜1+ ⎟= 1 x⎠ ⎝ x→−∞ x→−∞ Der Funktionsgraph nähert sich sowohl bei immer größer werdenden x-Werten (x → + ∞) als auch bei immer kleiner werdenden x-Werten (x → – ∞) der Asymptote y = 1.

Beispiel Bestimmen Sie die Asymptote der Funktion mit der Funktionsgleichung f(x) =

0,5 x 2 + 2 x

Lösung

Dividiert man bei dem Funktionsterm Zähler und Nenner durch x, so ergibt sich f(x) =

0,5 x 2 + 2 2 = 0,5x + . x x

Für x → + ∞ und x → – ∞ nähert sich der Funktionsgraph der Geraden y = 0,5 x. Dies ist die Asymptote der Funktion.

Die Grenzwerte sind ⎛ 2⎞ lim f(x) = lim ⎜0,5 x + ⎟=+∞ x⎠ x→+∞ x→+∞ ⎝ ⎛ 2⎞ lim f(x) = lim ⎜0,5 x + ⎟=−∞ x⎠ x→−∞ ⎝

x→−∞

29.2.3 Rechenregeln für Grenzwerte Für zusammengesetzte Funktionen gelten die entsprechenden Regeln wie für die Grenzwerte von Zahlenfolgen.

360

29 Grenzwerte

lim ( f(x) + g(x)) = lim f(x) + lim g(x)

x→ x 0

x→ x 0

x→ x 0

lim ( f(x) − g(x)) = lim f(x) − lim g(x)

x→ x 0

x→ x 0

x→ x 0

lim ( f(x) ⋅ g(x)) = lim f(x) ⋅ lim g(x)

x→ x 0

lim

x→ x 0

x→ x 0

x→ x 0

⎛

⎞

⎝ x→ x 0

⎠

( f(x) : g(x)) = lim f(x) : lim g(x);⎜ lim g(x) ≠ 0 ⎟ x→ x 0

x→ x 0

Diese Grenzwertregeln gelten auch für den Übergang x → ± ∞. Grenzwerte von gebrochen rationalen Funktionen lassen sich oft berechnen, indem man Zähler und Nenner dividiert.

Beispiele (1)

⎛ 4x 2 − 4 ⎞ ⎛ (2x − 2) (2x + 2) ⎞ ⎟ = lim ⎜ ⎟= lim (2x + 2) = 3 ⎟ ⎠ x→0,5 2x − 2 x→0,5 ⎝ 2x − 2 ⎠ x→0,5 ⎝

(2)

⎛ 3 1 ⎞ ⎜ x (5 − ) ⎟ ⎛ 5x 3 − x 2 ⎞ ⎛ x ⎟= ⎟ = lim ⎜ lim ⎜ lim ⎜5 − ⎜ ⎟ 3 3 x→∞⎝ x x ⎟ x→∞⎝ ⎠ x→∞⎜ ⎝ ⎠

lim ⎜ ⎜

1⎞ ⎟= 5 x⎠

0 ∞ oder 0 ∞ führen, werden mit Hilfe der Regel von Bernoulli und de L'Hospital durch Differenzieren von Zähler und Nenner berechnet.

Grenzwerte ganzrationaler Funktionen, die auf unbestimmte Ausdrücke der Form

Regel von Bernoulli-de L'Hospital:

⎛ f(x) ⎞ ⎛ f'(x) ⎞ ⎟= lim ⎜ ⎟ x→ x 0 ⎝ g(x) ⎠ x→ x 0 ⎝ g'(x) ⎠ lim ⎜

Beispiel (Beachte die Differentiationsregeln der verschiedenen Funktionsarten, die später behandelt werden !)

(1)

⎛ sin x ⎞ ⎛ cos x ⎞ ⎟= lim ⎜ ⎟= 1 x→0 ⎝ x ⎠ x→0 ⎝ 1 ⎠

(2)

⎛ 3⎛ 1 ⎞⎞ ⎜ x ⎜5 − ⎟⎟ ⎛ 5x 2 − x 2 ⎞ ⎛ 1⎞ ⎝ x ⎠⎟ ⎟ lim ⎜ = lim ⎜ = lim ⎜5 − ⎟= 5 ⎜ ⎟ 3 3 ⎜ ⎟ ⎝ x⎠ x→∞⎝ x→∞ x x ⎠ x→∞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

lim ⎜

Der Grenzwert des 2. Beispiels könnte auch durch eine einfache Termumformung (z. B. Division durch x3) berechnet werden.

361

30 Stetigkeit von Funktionen 30 Stetigkeit von Funktionen

Beispiele stetige Funktionen a)

b)

xo

xo

unstetige Funktionen d)

c)

xo

xo f)

e)

xo

xo

Eine in einem Intervall stetige Funktion ist an jeder Stelle ihres Definitionsbereiches stetig, wenn sich ihr Schaubild ohne abzusetzen zeichnen lässt. Wir wollen die Stetigkeit noch genauer festlegen. Für die Stetigkeit in einem bestimmten Intervall [a; b] gelten folgende Kriterien: 1.

lim f(x) = g existiert

x→ x o

2. 3.

f ( xo )

existiert

lim f(x) = f(x o )

x→ x o

H. Rapp, Mathematik für die Fachschule Technik, DOI 10.1007/978-3-8348-9803-6_30, © Vieweg+Teubner | GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2010

362

30 Stetigkeit von Funktionen

lim f(x) = g

x→ x 0

f (x o ) = g

lim f(x) = g

x→ x 0

Der Grenzwert ist zwar vorhanden, aber f (x o ) existiert nicht.

g1 = linksseitiger Grenzwert g2 = rechtsseitiger Grenzwert g1 und g2 sind verschieden An der Stelle xo ist kein Grenzwert vorhanden.

Definition: Eine Funktion f : x 6 f(x) heißt stetig, wenn sie in der Umgebung von xo definiert ist und der Grenzwert an dieser Stelle vorhanden ist und mit dem Funktionswert f(xo) übereinstimmt. lim f(x) = f(x o ) x→x o

363

31 Differentiation elementarer Funktionen (Steigungsberechnung bei Funktionsgraphen) 31 Differentiation elementarer Funktionen

31.1 Differenzenquotient und Differentialquotient 31.1 Differenzenquotient und Differentialquotient

1. Steigung einer Geraden

2. Steigung einer Kurve (= Tangentensteigung)

(Differenzenquotient)

(Differentialquotient)

Steigung der Geraden (= Differenzenquotient) m=

Steigung der Sekanten (= Differenzenquotient)

Δy

Δy

Δx

Δx

=

f(x1 ) − f(x) Δx

=

f(x + Δ x) − f(x) Δx

Steigung der Tangente (= Differentialquotient) Nähert sich der Punkt P1 dem Punkt P, so wird Δx immer kleiner. Die Sekante geht im Grenzfall Δx → 0 in die Tangente über. Die Steigung der Tangente ist aber die Steigung der Kurve in einem bestimmten Punkt P. dy dx

= lim

Δy

Δ x→0

Δx

= lim

Δ x →0

f(x + Δ x) − f(x) Δx

(Steigung der Tangente) Durch diese Grenzwertbildung wird der Differenzenquotient in den Differentialquotienten übergeführt. Differentialquotient (1. Ableitung)

f '(x) =

dy dx

= lim

ǻx →0

f(x + ǻx) − f(x) ǻx

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364

31 Differentiation elementarer Funktionen

Für den Differentialquotienten sind verschiedene Schreibweisen möglich: 1. Strichschreibweise mit f ' (x) oder y ' (nach Newton, 1643 – 1727) 2. Schreibweise mit einem formalen Quotienten

dy dx

als differentielle Schreibweise

(nach Leibniz, 1646 – 1716) y ' ( x0 )

gelesen: „ y Strich an der Stelle xo “

f ' ( x0 )

gelesen: „ f Strich von x o “

dy

gelesen: „ dy nach dx an der Stelle xo “

x0

dx

d f(x 0 )

gelesen: „ df von xo nach dx“

dx

31.2 Ableitung von Potenzfunktionen 31.2 Ableitung von Potenzfunktionen

Wir wollen nun bei Potenzfunktionen mit Hilfe des Differenzenquotienten die Ableitungen berechnen, um daraus eine allgemeine Ableitungsregel – die Potenzregel – für die Potenzfunktionen zu erhalten.

Potenzfunktionen f(x) = x 2

Der Differenzenquotient ist Δy Δx

=

(x + Δ x)2 − x 2 Δx

=

x 2 + 2 ⋅ x ⋅ Δ x + ( Δ x)2 − x 2 Δx

=

Δ x (2x + Δ x) Δx

= 2x + Δ x

Beim Übergang Δx → 0 wird aus dem Differenzenquotient der Differentialquotient dy dx

Ableitung: f '(x) = 2x

= lim (2x + Δ x) = 2x Δ x→0

f(x) = x 3 Der Differenzenquotient ist Δy Δx

=

(x + Δ x)3 − x 3 Δx

=

x 3 + 3 ⋅ x 2 ⋅ Δ x + 3x( Δ x)2 + ( Δ x)3 − x3 Δx

= 3x 2 + 3x ⋅ Δ x + ( Δ x)2

Beim Übergang Δx → 0 wird aus dem Differenzenquotient der Differentialquotient

31.3 Allgemeine Ableitungsregeln

dy dx

365

(

)

Ableitung: f '(x) = 3 x 2

= lim 3x 2 + 3x ⋅ ǻx + ( Δ x)2 = 3 x 2 ǻx→0

f (x) = a ⋅ xn Der Differenzenquotient muss auch in diesem Fall mit Hilfe der binomischen Formel berechnet werden. Δy Δx

Δy Δx

=

a ⋅ (x + Δ x)n − a ⋅ xn Δx

=

(

a ⋅ xn + n ⋅ xn−1 ⋅ Δ x + ... + ( Δ x)n − xn

)

Δx

(

= a ⋅ n ⋅ xn−1 + ... + ( Δ x)n−1

)

Beim Übergang Δx → 0 wird aus dem Differenzenquotient der Differentialquotient dy dx

= lim

Δ x→0

Δy Δx

Ableitung: f '(x) = a ⋅ n ⋅ xn−1

= a ⋅ n ⋅ xn−1

Ableitung von Potenzfunktionen (= Potenzregel)

f (x) = xn

→

f '(x) = n · xn – 1

Potenzfunktionen mit konstantem Faktor (= Potenz- und Faktorregel)

f (x) = a · xn

→

f '(x) = a · n · xn – 1

31.3 Allgemeine Ableitungsregeln 31.3 Allgemeine Ableitungsregeln

f (x) = u + v → f '(x) = u ' + v ' Summenregel Merke: Summen von Funktionen können gliedweise abgeleitet werden.

f (x) = a g (x) → f '(x) = a · g '(x) Faktorregel Merke: Konstante Faktoren bleiben beim Ableiten als Faktor erhalten.

f (x) = u ⋅ v

→ f '(x) = u ' ⋅ v + u ⋅ v ' Produktregel

Daraus folgt für eine Funktion als Produkt dreier Funktionen f(x) = (uv)w f '(x) = (uv) ' w + (uv)w ' = (u 'v + uv ')w + uvw ' = u 'vw + uv 'w + uvw' f (x) = u · v · w

→

f '(x) = u ' · v · w + u · v ' · w + u · v · w '

366

31 Differentiation elementarer Funktionen

f (x) =

u

→

v

u ' v − uv '

f '(x) =

v2

Quotientenregel

f (x) = g [u(x)]

→ f '(x) = g'(u) · u'(x) Kettenregel

Kettenregel in differentieller Schreibweise: dy dy du = ⋅ dx du dx

Merke: Verkettete Funktionen werden abgeleitet, indem man die Ableitung der äußeren Funktion mit der Ableitung der inneren Funktion multipliziert.

Beispiele: (Faktorregel) 1. f(x) = 5x

f '(x) = 5

2. f(x) = 3 = 3x0

f '(x) = 3 · 0 · x–1 = 0 (Konstantenfunktionen sind Parallelen zur x-Achse)

3. f(x) = 4x2

f '(x) = 8x

4. f(x) = 2x3

f '(x) = 6x2 3

3 1 f '(x) = 2 ⋅ ⋅ x 2 = 3 ⋅ x 2

5. f(x) = 2 ⋅ x 3 = 2 ⋅ x 2

1

1

1 − 1 f '(x) = 2 ⋅ ⋅ x 2 = 2 x

6. f(x) = 2 ⋅ x = 2 ⋅ x 2

2

1

1 − f '(x) = 9 ⋅ ⋅ x 3 = 3

7. f(x) = 9 ⋅ 3 x = 9 ⋅ x 3

3 3

x2

Beispiele: (Summenregel) 1. f(x) = x3 + 5x2 2. f(x) =

f '(x) = 3x2 + 10 x

1

4 ⋅ x3 − 2 ⋅ x 2 + ⋅ x − 3 2 3

3. f(x) = x 2 + x

4. f(x) =

1 4

⋅ x 4 + 2⋅ x2 −

f '(x) =

3 2

x 2 − 4x +

f '(x) = 2x +

4 3

1 2 x 3

⎛ 1⎞ − 1 ; f '(x) = 4 ⋅ x 3 + 2 ⋅ 2x − 2 ⋅⎜− ⎟ x 2 = x 3 + 4x + ⎝ 2⎠ 4 x

2

1 x

3

31.3 Allgemeine Ableitungsregeln

367

Beispiele: (Produktregel) 1. f(x) = x3(x2 – 2x)

f '(x) = 3x2(x2 – 2x) + x3(2x – 2) = 3x4 – 6x3 + 2x4 – 2x3 = 5x4 – 8x3 Dieses Ergebnis hätte man einfacher bekommen können, wenn man von der ausmultiplizierten Funktionsgleichung ausgegangen wäre:

f(x) = x5 – 2x4,

f '(x) = 5x4 – 8x3

Dies ist zwar bei Produkten aus ganzrationalen Funktionen immer möglich. Produkte aus verschiedenen Funktionsarten sind jedoch nur noch mit Hilfe der Produktregel abzuleiten. Wir wollen dies mit den trigonometrischen Funktionen, die erst später behandelt werden, zeigen (vgl. Ableitung trigonometrischer Funktionen aus der folgenden Übersicht !).

2. f(x) = x2 · sin x

f '(x) = 2x · sin x + x2 · cos x

3. f(x) = sin2x = sin x · sin x

f '(x) = cos x · sin x + sin x · cos x = 2 · sin x · cos x

Beispiele: (Quotientenregel) 1. f(x) =

2. f(x) =

3. f(x) =

4. f(x) =

x2 − x 3x + 2 3x 2 − 2x

1

1 x

(reziproke Funktion)

= x−1

2

(3x + 2)

f '(x) = –

=

3x 2 + 4x − 2 (3x + 2)2

(6x − 2) ⋅ (3x 3 − 2x + 1) − (3x 2 − 2x) ⋅ (9x 2 − 2)

f '(x) =

3x 3 − 2x + 1

g(x)

(2x − 1)(3x + 2) − (x 2 − x) ⋅ 3

f '(x) =

(3x 3 − 2x + 1)2 f '(x) =

1 x2

0 ⋅ g(x) − 1⋅ g'(x)

[ g(x)]

2

=−

g'(x)

[ g(x)] 2

= – x− 2 (auch mit der Potenzregel zu berechnen)

Beispiele: (Kettenregel) 1. f(x) = (x2 + 3x)4

f '(x) = 4(x2 + 3x)3 (2x + 3)

2. f(x) = (x3 – x2)4

f '(x) = 4(x3 – x2)3 (3x2 – 2x)

3. f(x) = (4x4 – 2x3 – 5x2 + 3)3

f '(x) = 3(4x4 – 2x3 – 5x2 + 3)2 (16x3 – 6x2 – 10x)

4. f(x) =

1− x

f '(x) =

5. f(x) =

2x 2 + 4x − 2

f '(x) =

1 2 1− x

⋅ (−1) = −

1 2 2x 2 + 4x − 2

1 2 1− x

⋅ (4x + 4) =

2x + 2 2x 2 + 4x − 2

368

31 Differentiation elementarer Funktionen

31.4 Ableitung elementarer Funktionen (Übersicht) 31.4 Ableitung elementarer Funktionen

In der folgenden Tabelle sind die Ableitungen einiger weiterer Grundfunktionen zusammengestellt. Sie lassen sich ebenfalls wie die Potenzfunktionen mit Hilfe des Grenzwertes des Differenzenquotienten berechnen, wie wir in weiteren Kapiteln zeigen werden.

Funktion f(x)

Ableitungsfunktion f '(x)

Potenzfunktionen

xn

n ⋅ xn−1

Trigonometrische Funktionen

sin x

cos x

cos x

– sin x

tan x

cot x Zyklometrische Funktionen oder Arkusfunktionen (= Umkehrrelationen und Umkehrfunktionen der trigonometrischen Funktionen)

arccos x

arc cot x

Logarithmusfunktionen (= Umkehrfunktionen der Exponentialfunktionen)

= 1+ tan2 x

2

cos x −

1 sin2 x

= −1− cot 2 x 1

arcsin x

arctan x

Exponentialfunktionen

1

1− x 2

1

−

1− x 2 1 1+ x 2

−

1 1+ x 2

ex

ex

ax

ax · ln a

ln x

loga x

1 x 1 x ⋅ ln a

31.5 Höhere Ableitungen

369

31.5 Höhere Ableitungen 31.5 Höhere Ableitungen

Bildet man von einer Funktion mit der Funktionsgleichung y = f(x) die 1. Ableitung, so erhält dy oder in anderen Schreibweisen: man in differentieller Schreibweise y ' = dx 1. Ableitung y ' = f '(x) =

d dx

f(x) =

dy dx

.

Ist diese Funktion differenzierbar, so kann man daraus durch nochmaliges Differenzieren die 2. Ableitung erhalten. Die zweite Ableitung und alle weiteren Ableitungen werden höhere Ableitungen genannt. 2. Ableitung y'' = f ''(x) =

d dx

( f '(x)) =

d2 y

.

dx 2

(gelesen: „ y zwei Strich“, bzw. „d zwei y nach dx Quadrat“)

3. Ableitung y''' = f '''(x) =

d dx

( f ''(x)) =

d3 y dx 3

.

Entsprechend werden die weiteren höheren Ableitungen gebildet: y(4) = f (4)(x) usw.

Beispiele 1. Bilden Sie die 3. Ableitung von f(x) =

1 ⋅sin 2x 2

1 ⋅ cos 2x = cos 2x 2 f ''(x) = 2 · (– sin 2x) = – 2 · sin 2x f '(x) = 2 ·

Lösung:

f '''(x) = –2 · 2 · cos 2x = – 4 · cos 2x 2. Bilden Sie die 3. Ableitung von f(x) =

f '(x) =

Lösung:

1 2x+1 ⋅e 2

1 ⋅ 2⋅e2x+1 = e2x+1 2

f ''(x) = 2 ⋅ e2x+1 f '''(x) = 4 ⋅ e2x + 1 3. Bilden Sie sämtliche Ableitungen von f(x) =

Lösung:

1 3 1 2 7 ⋅x + x − x 12 4 4

f '(x) =

1 2 1 7 ⋅x + x − 4 2 4

f "(x) =

f '''(x) =

1 2

f(4) = 0

1 1 ⋅x + 2 2

Der Grad der ganzrationalen Funktionen vermindert sich bei jeder weiteren Ableitung. Die 3. Ableitung ist eine Konstante. Jede weitere Ableitung ist identisch Null.

370

31 Differentiation elementarer Funktionen

Untersuchung des Kurvenverlaufs mit Hilfe der Ableitungsfunktionen Der Zusammenhang zwischen dem Steigungsverhalten einer Funktion und deren Ableitungsfunktionen kann durch die graphische Darstellung verdeutlicht werden. Funktionsgleichung:

f(x) =

Graphische Darstellung der Ableitungsfunktionen

x3 12

+

x2 4

−

7 4

x

Nullstellen: f(x) = 0 1. Ableitung f '(x) =

x2 4

+

x 2

−

7 4

Extrema: f '(x) = 0 Die 1. Ableitung gibt die Steigung in jedem Punkt an. Die Kurve fällt, d. h. sie hat eine negative Steigung für f '(x) < 0, sie steigt, d. h. sie hat eine positive Steigung für f '(x) > 0. Ist f '(x) = 0, so ist die Steigung gleich Null, die Kurve steigt oder fällt an dieser Stelle nicht mehr. Sie hat an dieser Stelle einen Tiefpunkt (Minimum) oder einen Hochpunkt (Maximum). 2. Ableitung f ''(x) =

x 2

+

1 2

Wendepunkt: f ''(x) = 0 Um die betragsmäßig größte Steigung (hier die negativste Steigung) zu erhalten, müssen wir die 2. Ableitung bilden. Die Nullstelle dieser Funktion (f "(x) = 0) ist die Stelle, an der die 1. Ableitungsfunktion ihren Tiefpunkt, d. h. ihr Minimum hat. Eine Rechtskrümmung der Kurve geht in eine Linkskrümmung über und umgekehrt. Es handelt sich hier um einen Wendepunkt. Links des Wendepunktes, d. h. für f "(x) < 0 liegt das Maximum. Rechts des Wendepunktes, d. h. bei f "(x) > 0 befindet sich das Minimum. Die Frage, ob es sich bei den Extrempunkten um ein Minimum oder um ein Maximum handelt, kann somit mit Hilfe der zweiten Ableitung entschieden werden.

Aus dem Nullsetzen der Funktionsgleichungen von f(x), f '(x) und f "(x) ergeben sich besondere Punkte: f(x)

=0

Nullstellen

f '(x) = 0

Extrema

f "(x) = 0

Wendepunkt

31.5 Höhere Ableitungen

371

Aufgaben zu 31 Differentiation elementarer Funktionen Berechnen Sie die Ableitungen folgender Funktionen unter Anwendung der Summen- und Potenzregel: 1 1 3 01. y = f(x) = 2x3 + 2x 02. y = 3x2 + 4x – 1 03. y = 2 − 04. y = x 2 x x 05. y =

1 x

2

− x

2 09. y = 4 · xa +1

06. y =

1 x x

− x3

07. y =

x2 3

08. y =

x

10. y = f (t) = a · cos t + b · sin t

1

x−

x

11. y = 0,5 · (ex + x2)

Bilden Sie die Ableitungen folgender Funktionen unter Anwendung der Produktregel, der Quotientenregel und der Kettenregel. 12. y = (3 x2 – 2x – 1) · (x + 3)

13. y = sin x · cos x

14. y = 4x · ln x

15. y = e–x · cos x

16. y = xn · e–x

17. y = x · ex · sin 2x

18. y = 21. y =

5x x2 −1 2 x +x

2 − x2

x2 +1

28. y = e2x · sin x2

cos x + 1

30. y = f(t) = sin (ω · t + π)

31. y =

1

34. y =

2

x −1

3

20. y =

2x 4 − x 2 + 1 x2 − x +1

23. y = ln ( f(x))

2 − e3x+1

25. y =

2 + x2 sin x − 1

33. y =

2x 4

22. y = ln x4

x −x

24. y = ln 27. y =

19. y =

x 2 − 2x 1

x ⋅ x −1

26. y =

ln 2x x−2 + 1

29. y = x·ln (x + ex) 32. y = 35. y =

(x 2 − x)3

4 + 3x x

In welchen Punkten haben die folgenden Funktionen relative Extrema? 36. y = 1 x 3 + 4 ⋅ x 2 − 2 3 39. y =

x2 x +1

42. y = x2 · ln x

37. y = x · (x2 – 2)

x +2 x +1

41. y =

x x

43. y =

46. y =

e−x +1 + e x +1 2 2

44. y =

ln | x | 2

2

45. y =

ln x

40. y =

38. y = x·(x – 1)·(x + 2)

(3 + x )

47. y =

3− x

x +2 x

( 4 + x )2 2 − x2

Bilden Sie von folgenden Funktionen die 2. Ableitung. 48. y = x 2 ⋅ ln x

49. y =

x2 +1 x −1

50. y = arc cos x

51. y =

sin x + 1 cos x − 1

372

32 Horner-Schema und Nullstellen ganzrationaler Funktionen 32 Horner-Schema und Nullstellen ganzrationaler Funktionen

Nullstellen sind die Schnittstellen des Funktionsgraphen mit der x-Achse. Man erhält sie, indem man f(x) = 0 setzt. Durch das Nullsetzen des Funktionsterms erhalten wir Polynomgleichungen n-ten Grades, die maximal n Lösungen haben können.

32.1 Polynomdivision 32.1 Polynomdivision

Beispiel Bestimmen Sie die Nullstellen der Funktion mit der Funktionsgleichung f(x) = x3 + 2x2 – 13x + 10 Lösung Die Nullstellen erhalten wir, indem wir f(x) = 0 setzen. Auf diese Weise erhalten wir eine Polynomgleichung dritten Grades. Diese Polynomgleichung kann man sich als Produkt dreier Linearfaktoren entstanden denken. Ist bei einer kubischen Gleichung aus dem Funktionsverlauf oder durch Probieren eine Lösung x1, bekannt, so kann der Linearfaktor (x – x1) durch Division des Polynoms abgespalten werden, so dass eine Restpolynom-Gleichung 2. Grades entsteht, aus dem die weiteren Lösungen mit der Lösungsformel gefunden werden können.

Nullstellen: f(x) = 0 x 3 + 2x 2 − 13x + 10 = 0 kubische Gleichung oder Gleichung 3. Grades x1 = 1 (Nullstelle durch Probieren) Ÿ Linearfaktor (x – 1)

Polynomdivision: (x3 + 2x2 – 13x +10) : (x – 1) = x2 + 3x – 10 x3− x2 3x 2 − 13x 3x 2 − 3x − 10x + 10

− 10x + 10 0 Aus x2 + 3x – 10 = 0 erhält man x2 = 2 und x3 = – 5 Ergebnis: Die Nullstellen sind N1(1 ; 0), N2 (2 ; 0), N3 (−5 ; 0)

H. Rapp, Mathematik für die Fachschule Technik, DOI 10.1007/978-3-8348-9803-6_32, © Vieweg+Teubner | GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2010

32.2 Horner-Schema

373

32.2 Horner-Schema1 32.2 Horner-Schema

Ein weiteres Verfahren zur Abspaltung eines Linearfaktors und damit zur Reduzierung des Polynom-Grades verläuft nach dem Horner-Schema. Das Verfahren wurde entwickelt zur Berechnung von Funktionswerten für vorgegebene x-Werte, sowie zur Nullstellen-Berechnung bei schrittweiser Reduzierung des Grades einer Funktionsgleichung.

Allgemeine Berechnung von Funktionswerten nach dem Horner-Schema Beispiel Berechnen Sie den Funktionswert f(x1) mit Hilfe des Homer-Schemas für f(x) = a3 · x3 + a2 · x2 + a1 · x + a0 Lösung 1. Schritt: Aufschreiben der Koeffizienten nach fallenden Potenzen. Fehlt ein Potenzterm, so wird der Koeffizient 0 geschrieben. a3 x = x1

a2

a1

a0

↓ a3

2. Schritt: Der Koeffizient der 1. Zeile wird in die 3. Zeile übertragen. 3. Schritt: Der x-Wert der 2. Zeile wird mit dem Koeffizienten a3 multipliziert und in die 2. Zeile unter den Koeffizienten a2 geschrieben und mit diesem addiert. Die Summe der beiden Spalten wird in die 3. Zeile geschrieben. Die Berechnung der 3. Spalte erfolgt in der Weise, dass die Summe von der 2. Spalte mit dem x-Wert multipliziert wird, wobei das Produkt in die 2. Zeile geschrieben wird. Die Summe aus der 1. und der 2. Zeile wird in die 3. Zeile geschrieben. Die Berechnung der übrigen Spalten erfolgt in entsprechender Weise.

x = x1

a3

a2

a1

a0

↓

a3 · x1

(a2 +a3x1) · x1

(a1 + (a2 + a3 x1)x1)⋅ x1

a3

a2 + a3 · x1

a1 + (a2 +a3x1) · x1

a0 + a1x1 + a2 x12 + a3 x13

↓

↓

↓

↓

a3 a2 + a3 x1 a1 + (a2 + a3 x1)⋅ x1    

Koeffizienten des reduzierten Polynoms

f (x1)

In der 3. Zeile der letzten Spalte erhält man damit den gesuchten Funktionswert f(x1) = a0 + a1x1 + a2 x12 + a3 x13 1 nach Wiliam George Horner (1786 – 1837), engl. Mathematiker

374

32 Horner-Schema und Nullstellen ganzrationaler Funktionen

Beispiel Bestimmen Sie die Nullstellen der Funktion mit der Funktionsgleichung f(x) =

1 4

x3 −

3 2

x2 + 8

mit Hilfe des Horner-Schemas. Horner-Schema:

Lösung

Die Nullstellen erhalten wir, indem wir den Funktionswert f(x) = 0 setzen. Damit ergibt sich die Bestimmungsgleichung

x1 = – 2

1 3 3 2 x − x +8 = 0 4 2 oder

1

–6

0

32

↓

–2

16

– 32

1

–8

16

0

x 3 – 6 x2 + 32 = 0.

In dieser Gleichung fehlt das Linearglied, d.h. der fehlende Potenzterm hat den Koeffizienten Null. Durch Probieren finden wir als Lösung

1 −  8 16 

f (x1)

Koeffizienten des reduzierten Polynoms

Aus diesen Koeffizienten erhalten wir die quadratische Gleichung

x1 = –2

x2 – 8x + 16 = 0,

Mit Hilfe des Horner-Schemas ergibt sich das reduzierte Polynom. Aus diesem Restpolynom werden die weiteren Nullstellen berechnet.

aus der wir die übrigen Nullstellen berechnen. x 2/3 = 4 ± 16 −16 = 4 Nullstellen: N1 (−2 ;0), N2/3 ( 4;0)

Merke: Fehlt bei einer Funktionsgleichung eine Potenz, so ist im Horner-Schema eine Null zu schreiben !

Das Horner-Schema kann auch mehrmals nacheinander angewandt werden, wie wir bei dem folgenden Beispiel sehen werden.

Beispiel Bestimmen Sie die Nullstellen der Funktion mit der Funktionsgleichung f(x) = x4 – 2x3 – 23x2 – 12x + 36 mit Hilfe des Horner-Schemas. Lösung

Zunächst wollen wir durch Probieren mit den Zahlenwerten 1, – 1, 2 und – 2 (evtl. auch mit größeren Zahlenwerten) oder durch ein graphisches Verfahren eine reelle Lösung finden. Besonders einfach ist dies, wenn x = 1 ist. In diesem Fall ist nur noch die Summe der Koeffizienten (Quersumme im Horner-Schema) zu bilden. Ist diese Summe gleich Null, so ist der Funktionswert gleich Null und damit x = 1 eine Lösung der Gleichung. In unserem Fall finden wir als Lösung x1 = 1. Mit dieser Lösung spalten wir mit Hilfe des Horner-Schemas den Linearfaktor (x – 1) ab.

32.2 Horner-Schema

375

Das mit Hilfe des Horner-Schemas reduzierte Polynom (= Restpolynom) lautet x3 – x2 – 24x – 36, das wir nochmals durch Abspalten eines Linearfaktors mit Hilfe des Horner-Schemas reduzieren wollen. Durch Probieren finden wir als weitere Nullstelle

Horner-Schema

x1 = 1

x1 = –2

1

–2

– 23

– 12

36

↓

1

–1

– 24

– 36

1

–1

– 24

– 36

0

↓

–2

6

1

–3

36

x2 = – 2. Das Restpolynom kann entweder nochmals mit dem Horner-Schema oder mit der Lösungsformel für die quadratische Gleichung weiterbehandelt werden.

–18

0

x 3/4 = 3 ± 9 +18 = 3 ± 9 2 4 2 2 x3 = 6; x4 = – 3 Nullstellen: N1 (1;0), N2 (−2 ;0), N3 (6 ;0) , N4 (−3 ;0)

Beispiel Bestimmen Sie sämtliche Nullstellen der Funktion mit der Funktionsgleichung f(x) = x3 – 27. Lösung

Die Nullstellen erhalten wir wieder durch Nullsetzen von f(x) und erhalten

Horner-Schema

x3 – 27 = 0 oder x3 = 27. Dies ist eine Bestimmungsgleichung dritten Grades. Als erste Lösung finden wir

x1 = 3

x1 = 3 27 = 3 Die restlichen beiden Lösungen erhalten wir mit Hilfe des Horner-Schemas. Das Restpolynom führt zu der quadratischen Gleichung

1

0

0

– 27

↓

3

9

27

1

3

9

0

3 9 3 27 3 27 x 2/3 =− ± −9 = ± − = ± j⋅ 2 4 4 4 2 2

x2 + 3x + 9 = 0, die keine reellen Lösungen mehr hat. Der Funktionsgraph hat somit außer N1(3; 0) keine weiteren Nullstellen.

(nicht reell, d. h. keine weiteren Nullstellen))

Als einzige Nullstelle erhalten wir N1 (3;0) .

Nullstelle:

x2 =

3 27 3 27 + j⋅ ; x3 = − j⋅ 2 2 2 2

N1 (3;0)

376

33 Das Newton’sche Näherungsverfahren 33 Das Newton’sche Näherungsverfahren

Nullstellen von Funktionen dritten und höheren Grades und damit algebraische Gleichungen dritten und höheren Grades, sowie transzendente Gleichungen lassen sich nur dann exakt lösen, wenn sich Brüche oder ganzzahlige Werte ergeben. Irrationale Nullstellen müssen mit Hilfe von Näherungsverfahren bestimmt werden. Beim Newtonschen Näherungsverfahren geht man von einem in der Nähe der Nullstelle liegenden Näherungswert x0 aus und ersetzt an dieser Stelle die Funktion f durch ihre Tangente. Die Schnittstelle x1 der Tangente mit der x-Achse ist näher an der eigentlichen Nullstelle und damit ein verbesserter Näherungswert, der als Ausgangswert für eine neue Tangente genommen werden kann. Durch wiederholte Anwendung dieses Verfahrens lässt sich somit eine beliebig genaue Näherung ermitteln. Gleichung der Tangente y – y0 = m · (x – x0) y − f(x 0 ) = f '(x 0 ) ⋅ (x − x 0 )

 

Punkt-Steigungsgleichung

Schnitt der Tangente mit der x-Achse: 0 – f(x0) = f '(x0) · (x – x0) y=0 :

Löst man diese Gleichung nach x auf, so ist dies der 1. Näherungswert x1

x1 = x 0 −

f(x 0 ) f '(x 0 )

Bei wiederholter Anwendung erhält man für den Anfangswert xn die verbesserte Näherung xn + 1.

xn+1 = xn −

f(xn ) f '(xn )

Beispiel Bestimmen Sie die Nullstelle von f(x) = x3 + x – 3 im Bereich [1; 2]. Lösung

Wir erhalten für die Bereichsgrenzen folgende Funktionswerte: x = 1 ...... f (1) = – 1 x = 2 ...... f (2) = 7 Daraus ist zu ersehen, dass die Nullstelle näher bei x = 1 liegt als bei x = 2. Wir wählen als Anfangswert x0 ≈ 1,2. f (1,2) = 1,23 + 1,23 -3 = – 0,072 f '(1,2) = 3 · 1,22 + 1 = 5,32 Für die 2. Näherung berechnen wir: f (x1) = 0,0008838, f '(x1) = 5,4179928 usw.

Anfangswert:

x 0 ≈ 1,2 − 0,072 5,32 x1 = 1,213 533

1. Näherung x1 = 1,2 −

2. Näherung

x 2 = 1,2135 338 − x 2 = 1,2134113

3. Näherung x = 1,213 411

H. Rapp, Mathematik für die Fachschule Technik, DOI 10.1007/978-3-8348-9803-6_33, © Vieweg+Teubner | GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2010

0,0 001225 5,4179 928

33 Das Newton’sche Näherungsverfahren

377

Aufgaben zu 32 Horner-Schema und Nullstellen ganzrationaler Funktionen

Berechnen Sie die Nullstellen von folgenden Funktionen. 01. f(x) = x3 – 6x2 + 11x – 6

02. f(x) = x3 – 2x2 + 3x – 6

03. f(x) = 4x3 – x2 – 64x + 16

04. f(x) = 10x3 + 29x2 + 11x – 14

05. f(x) = x3 – x2 – 22x + 40

06. f(x) = 10x3 + 20x2 + 11x + 22

07. f(x) = 4x3 – x2 – 64x + 61

08. f(x) = (x3 + 2,5x2 – 11,5x + 5)(x – 3)

09. f(x) = x4 – x3 – 11x2 + 9x + 18

10. f(x) = x4 – 8x2 +5x + 6

11. f(x) = x4 + 1,5x3 – 15,5x2+12x + 10

12. f(x) = 2x4 + 2x3 – 36x2 – 32x + 64

Biquadratische Funktionsgleichungen 13. f(x) = x4 – 13x2 + 36

14. f(x) = x4 – 3x2 + 2

15. f(x) = x4 – 11x2 + 18

16. f(x) = x4 – 50x2 + 49

17. f(x) = x4 – 4,25x2 + 1

18. f(x) = x4 – 3x2 – 3

zu 33 Das Newton’sche Näherungsverfahren

Bestimmen Sie für die folgenden Funktionen die Nullstellen näherungsweise. x

19. f(x) = 2x3 + 5x2 – 4x – 5

20. f(x) = cos x –

21. f(x) = ex – 3 sin x

22. f(x) = e– x – x + 1

23. f(x)= x · ln x – 1

24. f(x) = x3 – cos x

2

378

34 Anwendung der Differentialrechnung bei ganzrationalen Funktionen 34 Anwendung der Differentialrechnung bei ganzrationalen Funktionen

34.1 Kurvendiskussion 34.1 Kurvendiskussion

Qualitative Betrachtung von Funktionsgraphen Die Untersuchung einer Funktion bezüglich ihres Verhaltens im Definitionsbereich wird als „Kurvendiskussion“ bezeichnet. Im Einzelnen werden folgende Besonderheiten untersucht: 1. Definitionsbereich (bei ganzrationalen Funktionen ist D = R) 2. Symmetrie-Eigenschaften Punktsymmetrie zum Ursprung: nur ungerade Potenzen: f(–x) = –f(–x)) Achsensymmetrie zur y-Achse: nur gerade Potenzen:

f(x) = f(–x))

3. Verhalten der Funktion für x → ∞ und x → – ∞ Bei ganzrationalen Funktionen ist der Term xn bestimmend, d. h. f (x) verhält sich für | x | → ∞ wie xn . 4. Nullstellen N (= Schnittpunkte mit der x-Achse) Berechnung mit f(x) = 0 5. Schnittpunkte mit der y-Achse Berechnung mit x = 0 6. Extrema E (= Hoch- und Tiefpunkte) Berechnung mit f ′(x) = 0 Maximum: f ''(x) < 0, Minimum: f ''(x) > 0 7. Wendepunkte W (evtl. mit Krümmungsverhalten und Wendetangente) Berechnung mit f ′′(x) = 0 8. Graph (Skizze des Funktionsgraphen mit Hilfe der berechneten Punkte u. Steigungen)

H. Rapp, Mathematik für die Fachschule Technik, DOI 10.1007/978-3-8348-9803-6_34, © Vieweg+Teubner | GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2010

34.1 Kurvendiskussion

379

Beispiel: Ganzrationale Funktion 3. Grades Definitionsbereich: Bei ganzrationalen Funktionen ist der Definitionsbereich immer die Menge der reellen Zahlen (D ∈ R) Gegeben: f(x) =

x3 12

+

x2 4

−

7 4

x, x ∈ R

Gesucht: Kurvendiskussion Lösung 1. Ableitungen: f'(x) = 2. Nullstellen:

x2 x 7 + − ; 4 2 4

x 1 f ''(x) = + ; 2 2

f '''(x) =

1 2

x3 x 2 7 + − x=0 12 4 4

f(x) = 0 :

x3 + 3x2 – 21x = 0 x · (x2 + 3x – 21) = 0 N1 (0 | 0)

x1 = 0 ⎛ 3 ⎞2 3 3 93 3 x 2/3 =− ± ⎜ ⎟ + 21 =− ± =− ± 4,82 2 2 4 2 ⎝2⎠

3. Extrema:

3 x 2 =− + 4,82 = 3,32 2

N2 (3,32 | 0)

3 x3 =− − 4,82 =−6,32 2

N3 (−6,32 | 0)

x2 x 7 + − =0 4 2 4

f'(x) = 0 :

x2 + 2x – 7 = 0 x1/2 =−1± 1+ 7 =−1± 8 x1 =−1+ 8 =−1+ 2 2 =+1,8284 x 2 =−1− 8 =−1− 2 2 =−3,8284 f (1,83) = – 1,8546

E1 (1,83 −1,85)

f (–3,83) = 5,687

E2 (−3,83 5,69)

Nachweis:

4. Wendepunkt:

f ''(1,83) = 1,42 > 0, d. h. Minimum f ''(–3,83) = –1,42 < 0, d. h. Maximum x 1 + = 0; 2 2 x = –1; f(–1) = 1,9167

f ''(x) = 0 :

W(−1 | 1,92)

380

34 Anwendung der Differentialrechnung bei ganzrationalen Funktionen

5. Graph

Nullstellen ganzrationaler Funktionen (Polygonfunktionen)

Eine Polygonfunktion n-ten Grades hat maximal n reelle Nullstellen. Mehrfach auftretende Nullstellen werden entsprechend mitgezählt. Ganzrationale Funktionen mit ungeraden Anfangspotenzen (1., 3., 5. Grad usw.) haben jeweils mindestens 1 reelle Nullstelle.

1 Nullstelle

2 Nullstellen Fallen 2 Nullstellen zu einer doppelten Nullstelle zusammen, so handelt es sich um eine Extremstelle (Hochoder Tiefpunkt)

3 Nullstellen Sonderfall: Fallen 3 Nullstellen zu einer einzigen Nullstelle zusammen, so ist diese Nullstelle gleichzeitig ein Sattelpunkt.

Ganzrationale Funktionen mit geraden Anfangspotenzen (2., 4., 6. Grad usw.) müssen nicht unbedingt eine Nullstelle haben, da der Funktionsgraph ganz oberhalb oder ganz unterhalb der x-Achse verlaufen kann.

keine reellen Nullstellen

keine reellen Nullstellen

4 reelle Nullstellen

34.1 Kurvendiskussion

381

Beispiel: Ganzrationale Funktion 4. Grades Gegeben:

f(x) = −

5 144

x4 +

5 18

x2 +

40 9

, x∈R

Gesucht: Kurvendiskussion Lösung 1. Definitionsbereich: D = R 2. Symmetrie: Achsensymmetrie zur y-Achse (nur gerade Exponenten: f (x) = f (– x)) 5 3 5 5 5 5 x + x , f''(x) =− x 2 + f ′′′(x) =− x 3. Ableitungen: f'(x) = − , 36 9 12 9 6 5 4 5 2 40 4. Nullstellen: f(x) = 0 : − x + x + =0 144 18 9

x4 – 8x2 – 128 = 0 (x2)1/2 = 4 ± 16 +128 = 4 ±12 x2 = 16,

x2 = – 8 5. Extrema:

x1 = 4

N1 ( 4 | 0)

x2 = – 4

N2 (−4 | 0)

(keine reellen Lösungen) d. h. keine weiteren Nullstellen

5 3 5 x + x=0 36 9 x3 – 4x = 0 x (x2 – 4) = 0 x1 = 0,

f(0) = 4,44

E1 (0 | 4,44)

x2 = 2,

f(2) = 5

E2 ( 2 | 5 )

x3 = – 2,

f(–2) = 5

E3 (−2 | 5)

−

f '(x) = 0 :

5 > 0, d. h. Minimum 9 10 f ''(2) =− < 0, d. h. Maximum 9 10 f ''(−2) =− < 0, d. h. Maximum 9 5 5 f ''(x) = 0 : − x 2 + = 0 12 9 4 4 x2 − = 0 ; x1/ 2 =± =±1,15 3 3 f ''(0) =

Nachweis:

6. Wendepunkte:

⎛ 4⎞ f⎜ ⎜± 3 ⎟ ⎟= 4,75 ⎝ ⎠ § Nachweis: f ' ' ' ¨ ± ¨ ©

4 3

· ¸=−5 ¸ 6 ¹

W1(1,15 4,75 ) W2 ( −1,15 4,75)

4 ≠0 3

382

34 Anwendung der Differentialrechnung bei ganzrationalen Funktionen

7. Graph

Steigung in N1( 4 | 0):

f '(4) = − 5⋅16⋅ 4 + 5⋅ 4 =− 20 36 9 3

Tangente in N1( 4 | 0):

y = − 20 (x − 4) =− 20 x + 80 3 3 3

Tangenten an Funktionsgraphen 1. Tangenten von einem beliebigen Punkt P an den Funktionsgraphen K f Beispiel 1 3 2 2 5 x − x − x + 2 . Ihr Schau3 3 3 bild ist K f . Von dem Punkt P(–3; 7) sollen Tangenten an den Funktionsgraphen gelegt werden. Berechnen Sie die Berührpunkte sowie die Gleichungen der Tangenten.

Gegeben sei die Funktion mit der Funktionsgleichung f(x) =

Lösung Die allgemeine Geradengleichung durch P (x1 ; y1 ) lautet:

y − y1 = m ⋅ (x − x1 )

Tangentengleichung durch den Berührpunkt B(u ; f(u)):

f(u) − yP = f ′(u) ⋅ (u − xP ) (1)

Setzt man die Koordinaten des Punktes P(–3; 7), sowie f(u) =

1 3 2 2 5 u − u − u + 2 und die 3 3 3

5 4 u − , die der Kurvensteigung in B entspricht, in die 3 3 Tangentengleichung (1) ein, so erhält man:

Steigung der Tangente f ′(u) = u2 −

⎛ 5⎞ 5 4 1 3 2 u − u2 − u + 2 − 7 = ⎜u2 − u − ⎟⋅ (u + 3) ⎝ 3 3⎠ 3 3 3

34.1 Kurvendiskussion

383

1 3 2 2 5 4 2 5 3 2 u − u − u − 5 = u − u − u + 3 u − 4u − 5 3 3 3 3 3

u3 −

mit den Lösungen

7 2

⎛ ⎝

u2 − 6u = 0 oder u ⋅⎜u2 +

u1 = 0 ; u2/3 =

7 4

±

49 16

+6 =

7 4

⎞ 7 u − 6 ⎟= 0 ⎠ 2

± 3 ,01 ; u2 = 1,26 ; u3 = − 4 ,76

Berührpunkte: f(u1 )= 2 ; B1 ( 0 ;2 )

f(u2 )= 0, 49 ; B2 ( 1,26 ;0 , 49 )

f(u3 )=− 41,12 ; B3 ( −4 ,76 ;−41,12 )

5 f ′(u1 )=− =−1,67 ; 3

f ′(u2 )= – 1,76 ;

f ′(u3 )= 27,34

Gleichungen der Tangenten: y = − 1,67 ⋅ (x − 3) + 7 ;

t1 : y = − 1,67 ⋅ x + 11

y = − 1,76 ⋅ (x − 3) + 7 ;

t 2 : y = − 1,76 ⋅ x − 36,92

y = 27,34 ⋅ (x − 3) + 7 ;

t 3 : y = 27 ,34 ⋅ x + 89 ,01

2. Tangenten vom Ursprung an den Funktionsgraphen K f Beispiel 1 3 4 x − x 2 − 2 x + . Vom Ur3 3 sprung O(0; 0) soll eine Tangente an den Funktionsgraphen gelegt werden. Berechnen Sie den Berührpunkt sowie die Gleichung der Tangente.

Gegeben sei die Funktion mit der Funktionsgleichung f(x) =

Lösung

Allgemeine Tangentengleichung:

f(u) − yP = f ′(u) ⋅ (u − xP )

Für O(0; 0) vereinfacht sich die Gleichung

f(u) − 0 = f ′(u) ⋅ (u − 0) f(u) = f ′(u) ⋅ u 1 3 4 u − u2 − 2u + =⎡ u2 − 2u − 2 ⎤ ⎦⋅ u 3 3 ⎣

Mit f(u) und f ′(u) = u2 − 2 u − 2 erhält man:

1 3 4 u − u2 − 2 u + = u3 − 2u2 − 2u 3 3 3

2

2 u − 3u − 4 = 0

Durch Probieren findet man u1 = 2.

Die Polynomdivision durch den Linearfaktor (u – 2) führt zu dem Polynom 2

u +

aus dem sich keine reellen Lösungen ergeben.

15 1 1 u + 1 = 0 oder u2 / 3 = − ± j 4 4 2

384

34 Anwendung der Differentialrechnung bei ganzrationalen Funktionen

t : g(x) = − 2x

Mit f ′(2) = − 2 lautet die Gleichung der Tangente:

3. Tangenten parallel zu einer Geraden g Parallel bedeutet gleiche Steigung. Die Tangentensteigung ist gleich der Steigung von g und gleichzeitig die Steigung des Funktionsgraphen im Berührpunkt oder in den Berührpunkten B(u; f(u)). Da diese nicht bekannt sind, sind sie als erstes zu bestimmen. Es sind diejenigen Kurvenpunkte, die die Steigung der Geraden haben.

Beispiel Berechnen Sie die Gleichungen der Tangenten an den Funktionsgraphen von f(x) =

1 6

3

x +2 ,

die parallel zu der Geraden g: g(x) = 2x + 3 verlaufen. Lösung f ′(x) =

1

2

x 2 ; f ′(x) = g′(x) :

1

2

Berechnung der Berührpunkte:

x 2 = 2 ⇔ x 2 = 4 , Berührstellen: x1 = 2 ∨ x 2 = − 2 f(2) =

4 10 +2= = 3,33 , 3 3

B1 (2; 3,33)

4 2 f( −2) = − + 2 = = 0,67 , 3 3

Tangentengleichungen:

y−

y−

10

B2 ( −2; 0,67)

= 2(x − 2) ,

t1 : y = 2x −

2 = 2(x + 2) , 3

t 2 : y = 2x +

3

2 3

14 3

Beispiel Gegeben sei die Funktion mit der Funktionsgleichung f(x) = 2 x − 1 . Ihr Schaubild sei K. An welcher Stelle verläuft die Normale an K parallel zu der 2. Winkelhalbierenden? Berechnen Sie die Gleichung der Normalen. Lösung

Die 2. Winkelhalbierende hat die Steigung –1. Dies ist die Steigung der Normalen. Damit hat die Tangentensteigung den Wert 1. Dies ist gleichzeitig die Steigung des Funktionsgraphen. Wir berechnen die Steigung der Kurve mit Hilfe der 1. Ableitung:

f ′(x) =

2 2 x −1

=

1 x −1

1

Die Steigung der Tangente und damit der Kurve soll 1 sein.

f ′(x) = 1:

Daraus erhalten wir den Punkt, an dem diese Bedingung erfüllt ist.

x = 2 ; f(2) = 2 2 − 1 = 2

Die Normale muss durch diesen Punkt gehen.

y –2 = –1(x – 2)

Normalengleichung:

x −1

y=−x+4

=1

34.2 Funktionssynthese

385

34.2 Funktionssynthese 34.2 Funktionssynthese

Bestimmung ganzrationaler Funktionen aus Vorgaben Beim Aufstellen von Funktionsgleichungen nach vorgegebenen Bedingungen ist es zweckmäßig, in schematischer Reihenfolge vorzugehen.

Beispiel Der Graph einer ganzrationalen Funktion 3. Grades soll durch den Ursprung gehen und im Wendepunkt W(3 | – 2) eine Tangente an den Funktionsgraphen haben mit der Steigung 1. Bestimmen Sie die Funktionsgleichung. Lösung 1. Schritt: Aufstellen der allgemeinen Funktionsgleichung n-ten Grades und Bildung der Ableitungen.

1.

Funktionsgleichung 3. Grades

f(x) = ax3 + bx 2 + cx + d f '(x) = 3ax2 + 2bx + c f ''(x) = 6ax + 2b

2. Schritt: Formulierung der Bedingungen:

(1) Der Graph soll durch den Ursprung gehen, d. h. f(0) = 0 oder d = 0. (2) Der Punkt W(3| – 2) ist ein Punkt des Funktionsgraphen, d. h. f(3) = –2.

(3) Der Graph hat in W die Steigung 1, d. h. f '(3) = 1. (4) Der Punkt W(3| – 2) ist Wendepunkt, d. h. für den Wendepunkt gilt die Wendepunkteigenschaft f ''(3) = 0. Anmerkung: Eine Angabe wie „Der Graph hat in W(3| –2) eine Steigung 1“ enthält somit 3 unabhängige Bedingungen, nämlich:

2.

Bedingungen

O (0 | 0): f(0) = 0 d = 0 (1) W(3| – 2): f(3) =−2 : 27a + 9b + 3c + d =−2 (2) W(3| – 2): f '(3) = 1 : 27a + 6b + c = 1 (3) W(3| – 2): f ''(3) = 0 : 18a + 2b = 0 (4)

f (3) = –2, f '(3) = 1, f ''(3) = 0. 3. Schritt: Lösung des Gleichungssystems

3. Auswertung der Gleichungen: (1) in (2): 27a + 9b + 3c = – 2 (2 ') |: 3

−2 3 27a + 6b + c = 1 9a + 3b + c =

(2'') (3)

386

34 Anwendung der Differentialrechnung bei ganzrationalen Funktionen (3) – (2 ''): 5 (5) 3 18a + 2b = 0 (4) 18a + 3b =

4. Schritt: Angabe der Funktionsgleichung Für eine Funktion 3. Grades werden somit 4 Bedingungen benötigt, da 4 Koeffizienten bestimmt werden müssen.

(5) – (4):

b=

5 (6) 3

(6) in (4): a =−

5 (7) 27

(6) und (7) in (3): c = 1 – 10 + 5 c = – 4 (8) 4. Funktionsgleichung

Eine ganzrationale Funktion n-ten Grades hat (n + 1) Koeffizienten und ist damit durch (n +1) Bedingungen festgelegt. Der Graph kann mit den Vorgaben gezeichnet werden.

f(x) =−

5 3 5 2 x + x − 4x 27 3

5. Graph

Eine Kurvendiskussion kann noch angeschlossen werden.

Beispiel

f(x)

Die dargestellte Abbildung ist das Schaubild einer ganzrationalen Funktion 3. Grades. Bestimmen Sie die Funktionsgleichung.

3

–2

1

2

x

Lösung

Aus der Darstellung lassen sich folgende Eigenschaften ablesen: Die Funktion ist punktsymmetrisch zum Ursprung. Der Hochpunkt hat die Koordinaten E(2; Funktionsgleichung:

f(x) = ax 3 + bx (bei Punktsymmetrie nur ungerade Potenzen)

Ableitung:

f ′(x) = 3 ax 2 + b

3)

34.2 Funktionssynthese Bedingungen: E(2;

387

3 ): f(2) = 3 : f ′(2) = 0 :

Aus (2): b = – 12a (2´)

8a + 2b =

12a + b = 0 (2)

eingesetzt in (1):

Damit ist mit (2´) b = b =

3 3 4

8a – 24a =

3

⇔

a =−

3 16

(3)

(4)

3

f(x) = −

Funktionsgleichung:

3 (1)

x3 +

16

3 3 4

x

Beispiel

f(x)

Die dargestellte Abbildung ist das Schaubild einer ganzrationalen Funktion 3. Grades. Die Wendetangente hat die Steigung –4. –2

Bestimmen Sie die Funktionsgleichung.

1

–3

2

3

x

W

Lösung

Aus der Darstellung lassen sich folgende Eigenschaften ablesen: K f verläuft durch den Punkt P(0; -3). Dies ist gleichzeitig der Wendepunkt (nachprüfen!)

Die Wendetangente hat die Steigung –4. Die Extrema liegen bei x = 2 und x = – 2. Funktionsgleichung:

f(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d (keine Symmetrie erkennbar)

Ableitungen:

f ′(x) = 3 ax 2 + 2 bx + c ;

f ′′(x) = 6 ax + 2 b

Bedingungen: P(0; –3):

f(0) = − 3 :

d = -3 (1)

f ′(0) = − 4 : c = - 4 (2)

E1 (2; f(2)) :

f ′(2) = 0 :

12a + 4b + c = 0 (3)

E2 ( −2; f( −2)) : f ′( −2) = 0 :

12a – 4b + c = 0 (4)

(3) + (4) mit (2): 24a – 8 = 0

⇔

Funktionsgleichung:

f(x) =

a= 1 3

1 3

(5) ; mit (4) : b = 0

x 3 − 4x − 3

388

34 Anwendung der Differentialrechnung bei ganzrationalen Funktionen

Für die vorgegebenen Eigenschaften von Funktionsgraphen gibt es häufig vorkommende Formulierungen, deren Bedeutung und Auswertung in der folgenden Übersicht dargestellt werden. Formulierung der Eigenschaft

Bedeutung dieser Eigenschaft

Der Funktionsgraph ist punktsymmetrisch zum Ursprung.

Punktsymmetrie: f(x) = – f(– x)

In diesem Fall ist es sinnvoll, die allgemeine Funktionsgleichung entsprechend anzusetzen, d. h. nur mit ungeraden Potenztermen.

Die Funktionsgleichung enthält nur ungerade Potenzen: f(x) = ax3 + bx Zur Bestimmung der Koeffizienten a und b sind nur noch 2 Bedingungen erforderlich.

Der Funktionsgraph ist achsensymmetrisch zur y-Achse.

Achsensymmetrie: f (x) = f (– x) Die Funktionsgleichung enthält nur gerade Potenzen:

In der allgemeinen Funktionsgleichung dürfen damit nur gerade Potenzen vorkommen. Das Absolutglied zählt noch dazu.

Man benötigt nur noch 3 zusätzliche Vorgaben.

Der Graph Kf geht durch den Punkt A(a;b)

Punktprobe mit A(a;b):

f (a) = b

Punktprobe mit O(0;0):

f (0) = 0

f(x) = ax4 + bx2 + c

Kf geht durch den Ursprung

oder Funktionsgleichung ohne Absolutglied ansetzen

Kf schneidet die x-Achse bei x = a

Punktprobe mit N(a;0):

f (a) = 0

Kf hat einen Extrempunkt (Hoch- oder Tiefpunkt) in E(a;b)

1. Punktprobe mit E(a ; b): 2. Extrempunkteigenschaft:

f(a) = b f '(a) = 0

Ein Extrempunkt erfüllt immer zwei Bedingungen.

Ein Extrempunkt führt zu zwei Gleichungen.

Kf berührt die x-Achse bei x = a

1. Punktprobe mit E(a ; b):

f (a) = b

Berühren der x-Achse bedeutet: Extrempunkt

2. Extrempunkteigenschaft:

f '(a) = 0

Kf berührt die Gerade g(x) = mx +b

1. Punktprobe im Berührpunkt S(a ; b): f(a) = b 2. In S gleiche Steigung von Kf und Gerade: f '(a) = m

Der Berührpunkt S(a;b) muss als Schnittpunkt von Kf und der Geraden erst berechnet werden.

Kf verläuft bei x = a parallel zu der Geraden g(x) = mx + b

Gleiche Steigung von Kf und Gerade: f '(a) = m

Kf hat bei W(a ; b) einen Wendepunkt

1. Punktprobe mit W(a ; b): 2. Wendepunkteigenschaft:

Diese Formulierung beinhaltet stets zwei Bedingungen. Wendepunkt mit Wendetangente der Steigung c ( = Tangente durch den Wendepunkt mit der Steigung c)

f(a) = b f ''(a) = 0

Ein Wendepunkt führt stets zu 2 Gleichungen

1. Punktprobe mit W(a ; b):

f(a) = b

2. Steigung im Wendepunkt:

f '(a) = c

34.3 Extremwertaufgaben

389

Die Angabe der verschiedenen Punkte erfüllen somit eine verschiedene Anzahl von Bedingungen Nullstellen und andere Punkte: Punktprobe Extrema: Punktprobe und Extremaleigenschaft (f ’(x) = 0) Wendepunkte: Punktprobe und Wendepunkteigenschaft (f “(x) = 0)

→ 1 Bedingung → 2 Bedingungen → 2 Bedingungen

34.3 Extremwertaufgaben 34.3 Extremwertaufgaben

In Technik und Wirtschaft kommen Optimierungsaufgaben häufig vor. Es ist bei vorgegebenen Bedingungen ein maximaler Querschnitt oder ein minimaler Werkstoffverbrauch zu ermitteln. In wirtschaftlichen Rechnungen ist es üblich, das Minimum der Kosten zu berechnen. Diese Extremwertaufgaben lassen sich mit der Differentialrechnung lösen.

Beispiel Aus rechteckigen Blechstreifen der Länge a und der Breite b sollen Behälter mit einem maximalen Fassungsvermögen hergestellt werden. Die Behälter sollen oben offen sein. Berechnen Sie die Höhe h dieser Behälter und das mögliche Fassungsvermögen V für a = 500 mm und b = 200 mm. (Die Blechdicke soll unberücksichtigt bleiben !) Lösung

Die Rechtecksfläche muss gleichmäßig an den 4 Ecken eingeschnitten werden. Diese Einschnitte entsprechen der Höhe h, wenn die Reststreifen hochgebogen werden. Damit lässt sich das Fassungsvermögen als Volumen aus Länge a, Breite b und Höhe h berechnen. Wir erhalten eine Volumenfunktion, die nur noch abhängig ist vom Einschnitt h.

Hauptgleichung für das Maximum: V=x⋅y⋅h

(1)

Wird wenig eingeschnitten, so ist zwar die Grundfläche groß, aber die Höhe und damit V klein. Wird tief eingeschnitten, so wird zwar die Höhe h groß, aber die Grundfläche klein. Bei Berücksichtigung der Nebenbedingungen (2) und (3) in (1) eingesetzt erhalten wir eine Volumenfunktion, die nur noch von der Variablen h abhängt (a und b sind Konstanten).

Nebenbedingungen:

Bei einer bestimmten Höhe h erhalten wir ein Maximum für V, das als Extremum der Volumenfunktion berechnet wird.

(2) und (3) in (1) eingesetzt:

Bei Berücksichtigung der Nebenbedingungen erhalten wir eine Volumenfunktion, die nur noch von der Variablen h abhängt (a und b sind Konstanten). Durch Differenzieren und Nullsetzen der ersten Ableitung der Volumenfunktion erhalten wir die Höhe h, für die V den größten Wert annimmt.

x = a – 2h

(2)

y = b – 2h

(3)

V = (a – 2h)(b – 2h) h V = abh – 2ah2 – 2bh2 + 4 h3 V ' = ab – 4ah – 4bh + 12h2 V '' = – 4a – 4b + 24h = 24h – 4(a + b) V ' = 0: ab – 4ah – 4bh + 12h2 = 0

390

34 Anwendung der Differentialrechnung bei ganzrationalen Funktionen

h2 −

a +b ab ⋅h + =0 3 12

⎛ a + b ⎞2 ab a +b ± ⎜ ⎟− 6 ⎝ 6 ⎠ 12

h1 ist unbrauchbar, da h < a + b sein muss

h1/2 =

Mit den gegebenen Zahlenwerten erhält man:

1⎡ ⎤ h2 = ⎣ a + b − (a + b)2 − 3ab ⎦ ⎥ 6⎢

h1 =

1⎡ ⎤ 2 ⎢ 500 + 200 + (500 + 200) − 3⋅500⋅200 ⎦ ⎥mm = 189,31mm (unbrauchbar) 6⎣

h2 =

1⎡ ⎤ 2 ⎢ 500 + 200 − (500 + 200) − 3⋅500⋅200 ⎦ ⎥mm = 44,02 mm 6⎣

Den Nachweis für das Maximum erhalten wir mit der zweiten Ableitung V ''(h): V "(189,31) ≈ 1743 > 0, d.h. Minimum V "(44,02) ≈ – 1743 < 0, d.h. Maximum Das maximale Volumen erhält man aus der Volumengleichung: Vmax = 2,03 dm3

Beispiel Es sollen zylindrische Blechbehälter für ein Fassungsvermögen V mit möglichst geringen Materialkosten, d. h. mit minimalem Blechbedarf hergestellt werden. Bestimmen Sie den Durchmesser d und die Höhe h des Zylinders mit minimaler Oberfläche (Die Wandstärke soll vernachlässigt werden). Welchen Durchmesser und welche Höhe ergeben sich für ein Fassungsvermögen von V = 3 A (= 3000 cm3) ? Lösung

Die Oberfläche eines oben geschlossenen Zylinders setzt sich zusammen aus der Mantelfläche und den beiden Deckflächen. Hauptbedingung:

A = π ⋅d⋅h + 2 ⋅

π ⋅d2 4

(1)

π ⋅d2 ⋅h (2) 4 Die Hauptgleichung für A enthält noch zwei Variable d und h, die voneinander abhängen, sie sind durch die Nebenbedingung mit V verknüpft. Wir müssen deshalb mit Hilfe der Nebenbedingung (2) eine der beiden Variablen ersetzen. Wird d eliminiert, so entstehen Wurzelterme, die die Rechnung erschweren. Wird h eliminiert, so wird die Rechnung einfacher.

Nebenbedingung:

Aus Gleichung (2) erhalten wir h =

V=

4⋅ V π ⋅d2

(2 ')

34.3 Extremwertaufgaben

391

Das Einsetzen von Gl. (2 ') in Gl. (1) ergibt: A

=

π ⋅d⋅

4⋅ V π ⋅d2 4⋅ V π ⋅d2 + 2⋅ = + 2 4 d 2 π ⋅d

oder

π A = 4⋅ V ⋅d−1 + ⋅ d2 2

(3)

A ' = – 4 · V · d–2 + π · d A '' = 8 · V · d–3 + π A ' = 0: – 4 · V · d–2 + π · d = 0 d3 =

4⋅ V π

d

3

=

A '' =

4⋅ V π

(4)

⎛ 4⋅ V ⎞−3 3 8⋅ V ⋅⎜ ⎜ π ⎟ ⎟ + π = 3 π > 0, = d. h. Minimum ⎝ ⎠

Mit Gl. (4) erhält man mit Gl. (2 '):

h=

4⋅ V ⎛ 4⋅ V ⎞2 3 π ⋅⎜ ⎜ π ⎟ ⎟ ⎝ ⎠

=

4⋅ V 4⋅ V 4⋅ V ⋅ 3 4⋅ V π π = =3 2 ⋅ 4 V π 4⋅ V ⎞ 3 4⋅ V π⋅ ⎟ ⋅ π ⎟ π ⎠ π

4⋅ V ⋅ 3 ⎛ 3 π ⋅⎜ ⎜ ⎝

Der Blechbedarf ist am geringsten, wenn Durchmesser und Höhe gleich sind (d = h). Für V = 3000 cm3 sind die optimalen Maße: d= 3 h=

4⋅3000 cm3 = 15,63 cm π

4⋅3000 cm3 = 15,63 cm π ⋅(15,63 cm)2

Beispiel In einem kegelförmigen Behälter mit der Höhe h und dem Grundkreisdurchmesser d soll ein zylindrischer Wasserbehälter mit maximalem Volumen untergebracht werden. Berechnen Sie die Höhe und den Durchmesser des zylindrischen Behälters. Lösung

Wir nennen den gesuchten Zylinder-Durchmesser x und die Höhe y. Damit erhalten wir das Zylindervolumen, das ein Maximum werden soll. Aus der Ähnlichkeit der Dreiecke erhalten wir verschiedene Verhältnisgleichungen. Wir wollen das große Dreieck mit dem kleinen vergleichen:

392

34 Anwendung der Differentialrechnung bei ganzrationalen Funktionen Hauptbedingung:

π 2 ⋅x ⋅y 4 Nebenbedingungen: V=

d 2

d x − 2 2

y = h

y=

(2) in (1) eingesetzt: V =

d− x 2 = d − x (Strahlensatz) d d 2 d− x ⋅h d

⎞ π ⋅ x2 d − x π⎛ h ⋅ ⋅h = ⎜h⋅ x 2 − ⋅ x3 ⎟ 4 d 4⎝ d ⎠

V=

π ⋅h 2 π ⋅h 3 ⋅x − ⋅x 4 4⋅d

V' =

π ⋅h 3⋅ π ⋅h 2 ⋅x − ⋅x 2 4⋅ d

V '' =

(3)

π ⋅h 3⋅ π ⋅h − ⋅x 2 2⋅ d

V' = 0 :

π ⋅h 3⋅ π ⋅h 2 ⋅x − ⋅x = 0 2 4⋅d

⎛ 3h ⎞ x ⋅⎜2h − ⋅ x ⎟= 0 d ⎠ ⎝ Als Lösungen erhalten wir: x1 = 0 (unbrauchbar, da x < 0 sein muss) und x 2 = 2 ⋅d 3

( )

π ⋅h 3⋅ π ⋅h 2⋅d π⋅h Nachweis des Maximums: V'' 2 ⋅d = − ⋅ =− < 0 , d. h. Maximum 3 2 2⋅ d 3 2

y=

d− 2 d 3 ⋅h = 1 ⋅h 3 d

Ergebnis: Das Zylindervolumen wird am größten, wenn für den Durchmesser x = 2 ⋅ d und für 3 1 die Höhe y = ⋅h gewählt wird. 3

Beispiel Einem Dachquerschnitt von der Form eines gleichschenkligen Dreiecks soll ein rechteckiger Schachtquerschnitt eingepasst werden. Welche Grundseite x und welche Höhe y muss das Rechteck haben, damit die Querschnittsfläche maximal wird ? Lösung

Wir haben es hier, obwohl die geometrischen Verhältnisse gleich bleiben, nicht mehr mit einem räumlichen Problem, sondern mit einem ebenen Problem zu tun.

34.3 Extremwertaufgaben

393

Hauptbedingung: A=x·y

(1)

Nebenbedingungen: (wie im vorigen Beispiel): Strahlensatz

y = h

y=

d− x 2 = d − x oder d d 2 d− x ⋅h d

(2)

(

)

(2) in (1) eingesetzt: A = x ⋅ d − x ⋅h = h⋅ x − h ⋅ x 2 d d A ' = h − 2 ⋅h ⋅ x d

(3)

A '' =− 2⋅ h < 0 , d. h. Maximum d A ' = 0 : h − 2 ⋅h ⋅ x = 0 d Mit Gleichung (2) erhält man: y =

mit der Lösung

x=

h⋅ d 1 = ⋅d 2⋅h 2

d− 1 d 2 ⋅h = 1 ⋅h 2 d

Ergebnis: Die maximale Querschnittsfläche erhält man in diesem Fall, wenn die Rechtecksei1 1 ten so ausgelegt werden, dass x = ⋅d und y = ⋅h gewählt werden. 2 2

Beispiel Gegeben: f(x) = – 1 · (x – 3)2 + 3 und g(x) = (x – 1,5)2 + 0,5 2 An welcher Stelle ist die Ordinatendifferenz am größten ? Lösung

Ordinatendifferenz: d(x) = f(x) – g(x) d(x) = − 1 ⋅(x − 3)2 + 3 − (x −1,5)2 + 0,5 2 3 d(x) = − ⋅ x 2 + 6x − 17 2 4 d'(x) = – 3 · x + 6 d''(x) = – 3 < 0 , d. h. Maximum d'(x) = 0 : – 3 · x + 6 = 0; x = 2

(

Ergebnis: Bei x = 2 ist die Ordinatendifferenz am größten.

Beispiel Gegeben sei f(x) =

1 2 ⋅ x4 − ⋅ x2 24 3

)

394

34 Anwendung der Differentialrechnung bei ganzrationalen Funktionen

Eine Gerade x = u (u > 0) schneidet die x-Achse im Punkt A und den Funktionsgraphen Kf im 4. Quadranten im Punkt P. Bestimmen Sie u so, dass das Dreieck OPA einen maximalen Flächeninhalt erhält. Lösung

Da der Punkt P im 4. Quadranten liegt, ist f(x) negativ. Um einen positiven Flächeninhalt zu bekommen, ist der Betrag von f(x) zu wählen oder das Vorzeichen von f(x) mit (– f(x)) umzukehren. Dreiecksfläche: A = 1 ⋅u⋅ | f(u) | 2 A = 1 ⋅u⋅ (−f(u)) 2 A = 1 ⋅u⋅ − 1 ⋅u4 + 2 u2 2 24 3 1 1 A = − ⋅u5 + ⋅u3 48 3 5 4 A ' = − ⋅u + u2 48 A '' = − 5 ⋅u3 + 2⋅u 12 A ' = 0: − 5 ⋅u4 + u2 = 0 48

(

(

)

)

u2 ⋅ −5⋅u2 + 48 = 0 Als Lösungen erhalten wir: u1/2 = 0 (unbrauchbar, da u > 0 sein muss) u3/4 = ±

48 ; u = 48 ≈ 3,1 (u > 0) 5 5

⎛ ⎞ A ''⎜ 48 ⎟=− 5 ⋅ 48 ⋅ 48 + 2⋅ 48 =−2⋅ 48 < 0 d. h. Maximum 12 5 5 5 5 ⎝ 5 ⎠ Ergebnis: Bei u =

48 ≈ 3,1 ergibt sich eine maximale Dreiecksfläche. 5

Aufgaben zu 34.1 Kurvendiskussion

Führen Sie für folgende Funktionen eine Kurvendiskussion durch. 1. f(x) = (x2 + x – 2) (x + 2) 3. f(x) =

1 3

· x4 – 2 ⋅ x2 + 1

2. f(x) = −

1 12

1 ⋅ x 4 + ⋅ x3 + x 2 6

4. f(x) = x3 – x2 – 4x + 4

Bestimmen Sie bei den Funktionsgraphen der folgenden Funktionen die Tangenten in den Punkten P 5. f(x) = x3 + x2 – x – 1 P (–3; f (– 3))

1 6. f(x) = − ⋅ x 3 + x bei P (3; f(3)) 5

34.3 Extremwertaufgaben

395

07. In welchen Punkten hat die Kurventangente an den Funktionsgraphen von f(x) = 0,5 x4 + 2x einen Steigungswinkel von 60° ? zu 34.2 Funktionssynthese 08. Bestimmen Sie die Funktionsgleichung der ganzrationalen Funktion 3. Grades, deren Funktionsgraph die y-Achse bei y = – 4 schneidet und deren Wendepunkt auf der x-Achse bei x = 1 liegt. Die Tangente im Schnittpunkt mit der y-Achse verläuft parallel zu der Geraden mit der Funktionsgleichung y – 3x = 2. 09. Der Funktionsgraph einer ganzrationalen Funktion 4. Grades geht durch den Ursprung und durch den Wendepunkt W(– 2; 2). In diesen beiden Punkten ist die Tangente jeweils waagrecht. Bestimmen Sie die Gleichung der Funktion. 10. Der Funktionsgraph einer ganzrationalen Funktion 4. Grades hat im Ursprung einen Wendepunkt und die x-Achse als Wendetangente. Die Gerade mit der Gleichung y = 2x – 3 schneidet den Funktionsgraphen an den Stellen x = – 3 und x = 3. Bestimmen Sie die Funktionsgleichung. 11. Der Graph einer ganzrationalen Funktion 3. Grades hat bei x = 0 eine Nullstelle und durch⎛ 4⎞ läuft seinen Wendepunkt W ⎜ 4; − ⎟ mit einem Steigungswinkel von 45°. Bestimmen Sie ⎝ 3⎠ die Funktionsgleichung. 12. Gegeben sei die Funktion mit der Funktionsgleichung f(x) = a x − 1 . Bestimmen Sie a so, dass die Tangente bei x = 5 die Steigung ½ hat. 13. Die dargestellte Abbildung ist das Schaubild einer ganzrationalen Funktion 4. Grades. Der Hochpunkt liegt bei x = 0.

f(x)

Bestimmen Sie die Funktionsgleichung.

3

1 –2

1 –1

2 x

zu 34.3 Extremwertaufgaben 14. Der Punkt P(u ; f(u)) sei ein Punkt des Funktionsgraphen Kf mit f: x 6 0,5 x3 – x2 im 4. Quadranten. Der Punkt Q (u; 0) liegt auf der x-Achse. Der Ursprung sei der Punkt O. Bestimmen Sie u so, dass das Dreieck OPQ einen maximalen Flächeninhalt erhält. 15. Untersuchen Sie, an welcher Stelle x1 ∈ [0; 3], die Ordinatendifferenz d(x) zwischen den Funktionsgraphen Kf mit f(x) = 0,1 · x2 · (x2 – 9) und Kg mit g(x) = –2 ⋅ x2 + 6x am größten wird. Verwenden Sie zur Berechnung das Newton’sche Näherungsverfahren und geben Sie x1 auf 3 Dezimalstellen genau an. 16. Ein Trapez, dessen Grundseite auf der x-Achse und dessen weitere Eckpunkte im 1. Quadranten auf Kg mit g(x) = –2 ⋅ x2 + 6x liegen, soll einen maximalen Flächeninhalt erhalten. Bestimmen Sie die Grundseite, die Höhe sowie den Flächeninhalt dieses Trapezes. 17. Einem Halbkreis mit dem Radius R ist ein Trapez mit maximalem Flächeninhalt einzubeschreiben. Bestimmen Sie die Längen der beiden parallelen Seiten, die Höhe und den maximalen Flächeninhalt des Trapezes.

396

35 Gebrochenrationale Funktionen Gebrochenrationale Funktionen sind Funktionen, die als Quotient zweier ganzrationaler Funktionen (Polynomfunktionen) g(x) und h(x) gebildet werden.

f: x6

g(x) h(x)

=

am xm + am−1xm−1 + ... + a1x + ao bn xn + bn−1xn−1 + ... + b1x + bo

Man unterscheidet: Echt gebrochene Funktionen:

m 0, d. h. Minimum 2(3,22 − 2)3

x1 = 2 +

3 = 3,22 ; 2

x2 = 2 −

3 3 = 0,775 ; f′′(x) = =− 0,82 < 0, d. h. Maximum 2 2(0,775 − 2)3

f(x1) = 2,47 ;

f′′(x) =

E1 (3,22 ; 2,47)

f(x 2 ) = 0,25 ; E2 (0,78 ; 0,025)

5. Graph f(x) 3 E1

2

Asymptote 1 1 y= x+ 4 2

1 E2 1

2

3

Polgerade x=2

4

5

x

35 Gebrochenrationale Funktionen

401

Zusammenfassung Bei den gebrochenrationalen Funktionen haben wir folgende Besonderheiten kennen gelernt.

1. Polstellen Nennernullstellen, die nicht gleichzeitig Zählernullstellen sind.

2. Definitionslücken (oder kurz: Lücken) Nennernullstellen, die gleichzeitig Zählernullstellen sind, d. h. gemeinsame Nullstellen von Zähler und Nenner.

3. Asymptoten Asymptoten sind Geraden oder Funktionen, denen sich der Funktionsgraph im Unendlichen nähert. Die Art der Asymptoten ergibt sich aus dem Grad des Zähler- und Nennerpolynoms: a) Grad des Zählers < Grad des Nenners (echt gebrochen-rationale Funktion) Asymptote: y = 0 ( = x-Achse)

b) Grad des Zählers = Grad des Nenners (unecht gebrochen rationale Funktion) Asymptote: y = a ( = Parallele zur x-Achse)

c) Grad des Zählers > Grad des Nenners (unecht gebrochen rationale Funktion) Asymptote: y = f(x) ( = schräge Asymptote oder ganzrationale Funktion, die sich durch Polynomdivision ergibt)

Aufgaben zu 35 Gebrochen-rationale Funktionen

Untersuchen Sie Funktionen mit folgenden Funktionsgleichungen 1. f(x) =

4. f(x) =

1 1+ x

2

x−2 x 2 + 2x + 2

2. f(x) =

x x+x

5. f(x) =

3. f(x) =

2

x 2 + 4x + 1 x −1

6. f(x) =

x +1 2

x + 2x + 1 x 3 + 4x 2 - 2x x 2 − 4x

7. Der Funktionsgraph der Funktion mit der Funktionsgleichung

f(x) =

ax 2 − bx x+c

geht durch die Punkte A (1; 3) und B (–3; 3) . Die Tangente im Ursprung hat die Steigung 5. Bestimmen Sie Funktionsgleichung.

402

36 Trigonometrische Funktionen 36.1 Ableitungen f(x) = sin x

Um die Ableitung zu finden, bilden wir den Differenzenquotienten Δy Δx

f(x + Δ x) − f(x)

=

Δx

=

=

sin (x + Δ x) − sin x Δx

sin x ⋅ cos ǻx + sin ǻx ⋅ cos x − sin x ǻx

= sin x ⋅

cos ǻx − 1 ǻx

+ cos x ⋅

sin ǻx ǻx

Mit den Grenzwertsätzen erhält man den Differentialquotienten. Die Einzel-Grenzwerte werden dabei mit folgender Umrechnung ermittelt: cos ǻx − 1 ǻx

=

(cos ǻx − 1) (cos ǻx + 1)

=

ǻx ⋅ (cos ǻx + 1) sin ǻx ǻx

⋅ sin ǻx ⋅

=

cos2 ǻx − 1 ǻx ⋅ (cos ǻx + 1)

=

−sin2 ǻx

ǻx ⋅ (cos ǻx + 1)

1 cos ǻx + 1

⎛ sin ǻx ⎞ ⎛ sin ǻx ⎞ ⎟= 1 , damit lim ⎜− ⎟= − 1 ǻx ⎠ ǻx→0 ⎝ ǻx ⎠ ǻx→0 ⎝ lim ⎜

lim ǻx→0

dy dx dy dx

cos ǻx − 1 ǻx

⎛ sin ǻx ⎞ 1 1 = lim ⎜− ⋅ sin ǻx ⋅ =0 ⎟= −1⋅ 0 ⋅ ǻx cos ǻx + 1 ⎠ 1+ 1 ǻx→0⎝

⎛ ǻx→0 ⎝

= lim ⎜ sin x ⋅

cos ǻx − 1 ǻx

+ cos x ⋅

sin ǻx ⎞

⎟

ǻx ⎠

= sin x ⋅ 0 + cos x ⋅1 = cos x

→

f '(x) = cos x

Entsprechend erhält man die Ableitungen der Kosinusfunktion und der Tangensfunktion: f(x) = sin x

→

f '(x) = cos x

f(x) = cos x

→

f '(x) = – sin x

→

f '(x) =

f(x) = tan x =

sin x cos x

1 2

cos x

= 1+ tan2 x

H. Rapp, Mathematik für die Fachschule Technik, DOI 10.1007/978-3-8348-9803-6_36, © Vieweg+Teubner | GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2010

36.2 Funktionsuntersuchung trigonometrischer Funktionen

403

36.2 Funktionsuntersuchung trigonometrischer Funktionen Beispiel Gegeben ist die Funktion f mit der Funktionsgleichung f(x) = sin x + sin (2x). Untersuchen Sie die Funktion auf Nullstellen, Extrem- und Wendepunkte und zeichnen Sie den Graphen für x ∈ [0 ; 2π]. Lösung

f '(x) = cos x + 2 · cos (2x)

1. Ableitungen:

f ''(x) = – sin x – 4 · sin (2x) 2. Nullstellen:

f(x) = 0 :

sin x + sin (2x) = 0

Bei der Lösung der goniometrischen Gleichungen sind folgende Umrechnungen erforderlich: sin 2x = 2·sin x · cos x cos 2x = cos2 x – sin2x = 2·cos2x – 1 sin x + 2 · sin x · cos x = 0 sin x · (1 + 2 cos x) = 0 sin x = 0 :

cos x =−

1 : 2

x1 = 0

N1(0; 0)

x2 = π

N2 ( π; 0)

x3 = 2π

N3 (2ʌ;0)

x4 = 2,09

N4 (2,09;0)

x5 = 4,19

N5 (4,19;0)

3. Extrema: f'(x) = 0 : cos x + 2 · cos(2x) = 0

cos x + 2 · (2 cos2 x – 1) = 0 cos2 x + 1 · cos x – 1 = 0 4 2 (cos x)1/2 = − 1 ± 8

( 81 ) + 21 =− 81 ± 0,7181

x1 = 0,9359, f (x1) =

2

1,7602

E1 (0,94; 1,76)

x2 = 5,3473, f (x2) = – 1,7602

E2 (5,35; −1,76)

x3 = 2,5738, f (x3) = – 0,3690

E3 (2,57; − 0,37)

x4 = 3,7094, f (x4) =

E4 (3,71; 0,37)

0,3690

Untersuchung der Art der Extremwerte f ''(x1) < 0 d. h. E1 ist Hochpunkt (Maximum) f ''(x2) > 0 d. h. E2 ist Tiefpunkt (Minimum) f ''(x3) > 0 d. h. E3 ist Tiefpunkt (Minimum) f ''(x4) < 0 d. h. E4 ist Hochpunkt (Maximum)

404

36 Trigonometrische Funktionen

4. Wendepunkte:

f ''(x) = 0

– sin x – 4 · sin 2x

= 0



– sin x – 4 · (2 · sin x · cos x) = 0 sin x · (– 1 – 8 · cos x) = 0 sin x = 0: x1 = 0 x2 = π

W1 = N1 W2 = N2

x3 = 2π cos x =−

1 : 8

W3 = N3

x4 = 1,6961,

f (x4) = 0,7442

W4 (1,70; 0,74)

x5 = 4,5871,

f (x5) = – 0,7442

W5 (4,59; − 0,74)

Die Überprüfung mit f ''' ergibt, dass bei allen Wendestellen f '''(x) ≠ 0 ist. Es sind somit alles Wendepunkte mit nicht waagrechter Tangente. 5. Graph

Zusammenfassung: Sind trigonometrische Funktionen additiv aus Teilfunktionen zusammengesetzt, so kann für den ersten Überblick der Kurvenverlauf aus der Addition der Einzelfunktionen ermittelt werden. Bei der Berechnung der Null-, Extrem- und Wendestellen ist auf Folgendes zu achten: 1. Die goniometrischen Gleichungen sollten Terme mit gleichem Argument erhalten: z. B. cos x – cos 2x = 0 mit cos 2x = cos2 x − sin2 x = 2 ⋅ cos2 x − 1 2. Erst wenn die Terme das gleiche Argument haben, sollte man auf Terme mit der gleichen Winkelfunktion übergehen. Im vorliegenden Beispiel sollte man zweckmäßigerweise die zweite Umformung wählen. 3. Wenn es möglich ist, sollte man faktorisierbare Gleichungen anstreben, um Wurzelgleichungen zu vermeiden: z. B. cos x – sin x · cos x = 0 Die Substitution sin x = 1− cos2 x ist hier nicht sinnvoll wegen der damit entstehenden Wurzelgleichung. Schneller führt die Faktorisierung zum Ziel: cos x · (1 – sin x) = 0 mit den Lösungen cos x = 0 ∨ 1 – sin x = 0

36.2 Funktionsuntersuchung trigonometrischer Funktionen

405

Beispiel Gegeben ist die Funktion f mit der Funktionsgleichung f(x) = x – sin (1,5 x) – 1. Untersuchen Sie die Funktion im Intervall x ∈ [–2; 6] auf Extrem- und Wendepunkte. In welchem Punkt schneidet der Funktionsgraph die y-Achse und welche Steigung liegt hier vor? Zeigen Sie, dass es in dem betrachteten Intervall noch eine weitere Stelle gibt, an der die Steigung –0,5 ist. An welcher Stelle hat der Funktionsgraph einen Steigungswinkel von 45°? An welcher Stelle hat die Kurve eine Steigung von 2,5? Zeichnen Sie das Schaubild für x ∈ [–2; 6]. Lösung

f '(x) = 1 – 1,5·cos (1,5·x)

1. Ableitungen:

f ''(x) =

9 4

⋅ sin (1,5 x)

2. Extrema: f'(x) = 0 : 1 – 1,5·cos (1,5·x) = 0 1,5 ⋅ sin (1,5 x) = 1 cos (1,5 x) =

2 3

1,5 x = 0,841 → x1 = 0,5607,

f (x1)= – 1,185

E1 (0,56 ; − 1,185)

1,5 x = - 0,841 → x2 = -0,5607, f (x2)= – 0,815

E2 ( −0,56 ; − 0,85)

1,5 x = 2π - 0,841 → x3 = 5,72, f (x3)= 3,4896

E3 (5,72 ; 3, 49)

Untersuchung der Art der Extremwerte f ''(x1) > 0 d. h. E1 ist Tiefpunkt (Minimum) f ''(x2) < 0 d. h. E2 ist Hochpunkt (Maximum) f ''(x3) < 0 d. h. E3 ist Hochpunkt (Maximum) 3. Wendepunkte: f ′′(x) = 0 :

9 ⋅ sin (1,5 x) = 0 ⇔ sin (1,5 x) = 0 4

1,5 x = 0 → x 1 = 0

, f (x1) = – 1

W1 (0 ; − 1)

2ʌ , f (x2) = 1,09 1,5 x = π → x 2 = 3

W2 (2,09 ; 1,09)

4ʌ , f (x3) = 3,19 1,5 x = 2π → x 3 = 3

W3 (4,19 ; 3,19)

4. Schnittpunkt mit der y-Achse:

x = 0: f(0) = – 1 Steigung f ′(0) = − 0,5

S y (0 ; − 1) = W1

406

36 Trigonometrische Funktionen 1 – 1,5·cos (1,5·x) = – 0,5

5. Stellen mit der Steigung –0,5:

⇔

cos (1,5x) = 1

3π ⇔ x2 = π 2 Stellen mit der Steigung 1: Steigungswinkel 45° bedeutet „Steigung = tan 45° = 1“ 1,5 x = 0 → x1 = 0 oder 1,5 x =

1 – 1,5·cos (1,5·x) = 1 ⇔ 1,5 x = 1,5 x =

π

⇔

2

3π ⇔ 2

x1 =

π 3

cos (1,5x) = 0

= 1,047

x 2 = π = 3 ,14

Stelle mit der Steigung 2,5:

1 – 1,5·cos (1,5·x) = 2,5 ⇔ 1,5 x = π

⇔

x=

cos (1,5x) = − 1

3π = 4,71 2

6. Schaubild: f(x) 4 3 2 1

–2

–1

1

2

3

4

5

6

x

–1 –2 –3

Beispiel a) Gegeben ist die Funktion f mit der Funktionsgleichung f(x) = 1 − 2 sin x . Untersuchen Sie die Funktion im Intervall x ∈ [–4; 5] auf Nullstellen, Extrem- und Wendepunkte. b) Berechnen Sie die Gleichung der Tangente an den Funktionsgraphen K f , die parallel zu der Geraden y = 2x verläuft. c) Die Gerade x = u schneidet K f im Punkt P und den Funktionsgraph K g von g(x) = 3 – cos x im Punkt Q. Berechnen Sie die Werte von u mit 0 ≤ u ≤ 5 , für die die Strecke PQ die Länge d = 2 LE hat. d) An welcher Stelle ist die Länge der Strecke d(x) = PQ maximal? e) Zeichnen die Schaubilder K f und K g .

36.2 Funktionsuntersuchung trigonometrischer Funktionen

407

Lösung

a) Ableitungen: f ′(x) = − 2 cos x , f ′′(x) = 2 sin x Nullstellen: f(x) = 0 : 1 − 2 sin x = 0 , sin x =

π 1 5π §π · § 5π · , x1 = , x 2 = , N1 ¨ ; 0 ¸ , N2 ¨ ; 0¸ 6 2 6 6 ¹ ¹ © © 6

Extrema: f ′(x) = 0 : − 2 cos x = 0 , cos x = 0 , x 1 = x2 =

π 2

§π · , f ( x 1 ) = − 1 , E1 ¨ ;−1¸ 2 © ¹

3π § 3π · , f ( x 2 ) = 0, E2 ¨ ; 0¸ 2 © 2 ¹

Wendepunkte: f ′′(x) = 0 : 2 sin x = 0 , sin x = 0 , x 1 = 0 ,

f (x1 ) = 1,

W1 (0; 1)

x2 = π ,

f (x 2 ) = 1 ,

W 2 (π ; 1) W3 (−π ; 1)

x3 = − π , f ( x3 ) = 1 ,

b) Die Tangentensteigung ist gleich der Steigung des Funktionsgraphen im Berührpunkt, damit gilt: f ′(x) = 2 : − 2 cos x = 2 ⇔ cos x = − 1 , x = π Der Berührpunkt ist damit W2 (π ; 1) . Die Gleichung der Tangente, die parallel zu der Geraden g: y = 2x verläuft, lautet: y − 1 = 2(x − π )

⇔

t : y = 2x + 1 − 2 π

c) Abstand PQ: d(x) = g(x) – f(x) d(x) = (3 – cos x) – (1 – 2 sin x) = 2 − cos x + 2 sin x d′(x) = sin x + 2 cos x ,

d(x) = 2 :

d′′(x) = cos x − 2 sin x

2 − cos x + 2 sin x = 2 , 2 sin x = cos x

sin x 1 = tan x = cos x 2

Ÿ x 1 = 0,45 ,

d) Maximaler Abstand : d ′(x) = 0 : sin x + 2 cos x = 0 ,

Ÿ

x 2 = 0,45 + π = 3,59 tan x = − 2

x 1 = − 1,107 , d ′′(x1 ) = cos ( −1,107) − 2 sin( −1,107) = 2,24 > 0 d. h. Minimum x 2 = − 1,107 + π = 2,03 , d′′(x1) = cos (2,03) − 2 sin(2,03) = − 2,24 < 0 , d. h. Maximum

e) Schaubild

–4

–π

–

π –1 2

f(x) g(x)

g(x)

1

f(x)

1

π 2 π

3π 2

6

x

408

36 Trigonometrische Funktionen

36.3 Funktionssynthese trigonometrischer Funktionen Beispiel Gegeben sei die Funktion mit der Funktionsgleichung f(x) = a·x + b + c·sin (0,5x). Ihr Funktionsgraph hat im Punkt A (0 ; – 2) einen Steigungswinkel von 45° und an der Stelle x = – 2/3 π einen Extrempunkt. Bestimmen Sie die Gleichung der Funktion. Lösung 1. Ableitungen

f (x) = a · x + b + c · sin (0,5x) 1 f '(x) = a + · c · cos (0,5x) 2 2. Bedingungen:

f(0) =−2 : b = –2

(1)

f '(0) = 1 : a + 0,5 · c = 1

(2)

⎛ 2 ⎞ f '⎜− π ⎟= 0 : a – 0,5 · 0,5 · c = 0 (3) ⎝ 3 ⎠ 1 4 und c = 3 3 1 4 x 3. Funktionsgleichung : f(x) = x − 2 + ⋅ sin 3 3 2

Aus (3) c = 4a, eingesetzt in (2): a =

Beispiel

f(x)

Bestimmen Sie die Funktionsgleichung aus dem dargestellten Schaubild. Geben Sie die Amplitude und die Periode an.

1

1

2

3

–2

Lösung

1. Allgemeine Funktionsgleichung

y = A sin (Ȧx)

2. Eigenschaften: Amplitude A = 2 (aus der Zeichnung) Periode p = 4 (aus der Zeichnung)

Amplitude A = 2 Periode p = 4

Aus p =

2π

ω

erhalten wir ω =

2π p

ω=

2π

=

2π

=

π

p 4 2 Funktionsgleichung:

§π x· ¸ ©2 ¹

y = 2 ⋅ sin ¨

4

x

36.3 Funktionssynthese trigonometrischer Funktionen

Beispiel

409

f(x)

Bestimmen Sie die Funktionsgleichung aus dem dargestellten Schaubild.

3 1

Geben Sie die Amplitude und die Periode an. 1

2

4

3

5 x

Lösung

§ ©

y = a ⋅ sin (b x + c) = a ⋅ sin b ⋅ ¨ x +

1. Allgemeine Funktionsgleichung

c·

¸

b¹

2. Eigenschaften:

Amplitude a = 3 (aus der Zeichnung) Periode: p = 4 (aus der Zeichnung) b=

2π p

=

2π 4

=

π

Amplitude a = 3 Periode: p = 4 Funktionsgleichung

2

c π Verschiebung − = 1 → c = − b = − b 2

§π ©2

y = 3 ⋅ sin ¨

x-

· ¸ 2¹

π

Beispiel Die Schwingung eines elastischen Federpendels (= harmonische Schwingung) erfolgt nach einer Sinusfunktion mit der Gleichung f(t) = A sin (Ȧt + ij). a) Wie lautet die Funktionsgleichung, wenn die Schwingung eine maximale Auslenkung von A = 3 cm und eine Periode von 2 s hat. b) Wie lautet die Funktionsgleichung, wenn die Funktion eine Phasenverschiebung um eine Viertelperiode nach links erfährt? Lösung Allgemeine Funktionsgleichung: A = Maximale Auslenkung (Amplitude) p = Periodendauer, auch als Schwingungsdauer T bezeichnet

p= Aus p =

2π

ω

2π

ω

(1)

2π 2

ω = Drehfrequenz der Schwingung ω = 2π ⋅ f =

T

(2)

Phasenverschiebung: to =

Amplitude: A = 3 cm Kreisfrequenz: ω = π s

−1

Funktionsgleichung: f(t) = 3 ⋅ sin (π t )

= 2 ergibt sich ω =

2π

a) f(t) = A ⋅ sin (ω t )

1 2π 1 2π 1 ⋅ = ⋅ = s 4 ω 4 π 2

=π

§ ©

b) f(t) = A ⋅ sin (ω t + ϕ ) = A ⋅ sin ω ⋅ ¨ t +

· ¸ Ȧ¹ ϕ

Phasenverschiebung: to =

1 2π 1 2π 1 ⋅ = ⋅ = s 4 ω 4 π 2

Funktionsgleichung:

§ ©

f(t) = 3 ⋅ sin π ¨ t +

1·

§ ¸ = 3 ⋅ sin ¨ π 2¹ ©

t+

· ¸ 2¹

π

410

36 Trigonometrische Funktionen

Aufgaben zu 36 Trigonometrische Funktionen 1. Untersuchen Sie die Funktion f mit der Funktionsgleichung 1 ⋅ cosx − 2 ⋅ sin x ; x ∈ [ 0;2 π ] 2 auf Nullstellen, Extrema und Wendepunkte. Zeichnen Sie das Schaubild. f(x) =

2. An welchen Stellen und unter welchem Winkel schneiden sich die Funktionsgraphen von 3 1 ⋅ cosx − ⋅ sin x ; x ∈ [0;2 π ] und 2 2 1 g(x) = − ⋅ sin x ; x ∈ [ 0;2 π ] ? 2 f(x) =

3. Untersuchen Sie die Funktion mit der Funktionsgleichung

f(x) = cos2 x − 2 ⋅ cos x + 1 ; x ∈ [ 0;2π ] auf Nullstellen, Extrem- und Wendepunkte. Zeichnen Sie das Schaubild. 4. Eine Funktion mit der Funktionsgleichung f(x) = a ⋅ x + b sin x soll im Ursprung eine waagrechte Tangente besitzen und durch den Punkt P (2 π ; 4) gehen. Bestimmen Sie die Funktionsgleichung. 5. K f ist das Schaubild der Funktion f mit der Funktionsgleichung

f(x) 2

§ʌ · f(x) = ax − sin¨ x ¸ + b ©2 ¹

Kf

1

Bestimmen Sie die Koeffizienten a und b. –2

–1

6. Das dargestellte Schaubild stellt eine trigonometrische Funktion dar.

Bestimmen Sie die Periodenlänge und die Funktionsgleichung als Sinusund als Kosinusfunktion.

1

x

f(x) 1

π

–π –2π

–2

1

2

2π x

–1 –2 –3

7. Eine Sinusfunktion mit der Amplitude 0,8 und der Periode 4 soll um eine Drittelperiode nach rechts verschoben werden. Bestimmen Sie die Funktionsgleichung. Wie lautet Funktionsgleichung in der Kosinusform?

411

37 Logarithmus- und Exponentialfunktionen 37 Logarithmus- und Exponentialfunktionen

37.1 Ableitungen 37.1.1 Ableitung der Logarithmusfunktionen x 6 lg x und x 6 ln x Differenzenquotient von y = lg x : ǻy ǻx

=

lg (x + ǻx) − lg x ǻx

lg

x + ǻx

=

x ǻx

=

1 ǻx

⋅ lg

x + ǻx x

=

1

x

⋅ ⋅ lg x ǻx

x + ǻx x

x

⎛ x + ǻx ⎞Δ x = ⋅ lg⎜ ⎟ ⎝ x ⎠ x 1

Differentialquotient x

⎛ x + ǻx ⎞Δ x = ⋅ lim lg⎜ ⎟ dx x ǻx→0 ⎝ x ⎠ dy

1

x

⎛ 1 ⎞n ⎛ ǻx ⎞Δ x Da lim ⎜1+ ⎟ = e, ist auch lim ⎜1+ ⎟ = e. Somit ist n⎠ x ⎠ n→∞⎝ ǻx→0 ⎝ x

⎛ ǻx ⎞Δ x 1 = ⋅ lim lg⎜1+ ⎟ = ⋅ lg e. dx x ǻx→0 ⎝ x ⎠ x dy

1

Für y = ln x ist entsprechend

dy dx

=

1

⋅ ln e =

x N 1

1 x

f(x) = lg x

→

f '(x) =

f(x) = ln x

→

f '(x) =

f(x) = ln ( g(x))

→

f '(x) =

1 x

⋅ lg e

1 x g'(x) g(x)

37.1.2 Ableitung der Exponentialfunktionen x 6 ax und x 6 ex Logarithmiert man die Funktionsgleichung y = ax auf beiden Gleichungsseiten, so erhält man In y = ln ax = x · ln a. Wendet man die Ableitungsregel auf diese Logarithmusgleichung an, so y' erhält man = 1 · ln a = ln a. Damit ist y ' = y · ln a = ax · ln a y

f(x) = ax Für a = e: f(x) = ex →

→

f '(x) = ax · ln a

f '(x) = ex · ln e = ex N 1

H. Rapp, Mathematik für die Fachschule Technik, DOI 10.1007/978-3-8348-9803-6_37, © Vieweg+Teubner | GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2010

412

37 Logarithmus- und Exponentialfunktionen

Beispiele 4 = x x 2 1 2 f '(x) = ⋅ = 3 x 3x

1. f(x) = ln x4 = 4 · ln x 2. f(x) = ln

3

3. f(x) = ln

x2 =

2 − x3 2 + x3

2 3

f '(x) = 4 ⋅

⋅ ln x

= ln (2 − x 3 ) − ln (2 + x 3 )

4. f(x) = e2x

f '(x) = −

1

3x 2 2 − x3

−

3x 2 2 + x3

f '(x) = 2 · e2x

5. f(x) = xx oder y = xx, daraus ln y = x ⋅ ln x;

y' y

= 1⋅ ln x +

x x

= ln x + 1

y' = y ⋅ (ln x + 1) = x x ⋅ (ln x + 1) 6. f(x) = ln xsin x oder f(x) = sin x ⋅ ln x

f '(x) = cos x · ln x +

sin x x

37.2 Funktionsuntersuchung von Exponentialfunktionen Beispiel Untersuchen Sie die Funktion mit der Funktionsgleichung f(x) = − 1+ 0,5 ⋅ x + e− x auf Extremund Wendepunkte und zeichnen Sie das Schaubild im Intervall [–1; 3]. Lösung

f '(x) = 1 − e−x 2 f ''(x) = e–x

1. Ableitungen:

2. Extrema:

f '(x) = 0 :

+ 1 − e−x = 0 2 −x e =1 2 ln e–x = ln 1 ; x = ln 2 2 x = ln 2; f (ln 2) = – 0,153

E (0,69 ; − 0,153)

−ln 2 f ''(ln 2) = e N > 0 , d. h. Minimum 0,5

3. Wendepunkte: f ''(x) = 0 : e–x = 0 nicht erfüllbar, d. h. keine Wendepunkte

4. Wertetabelle:

5. Graph

x f(x)

–1 1,218

0 0

1 –0,032

2 0,135

3 0,55

37.2 Funktionsuntersuchung von Exponentialfunktionen

413

Beispiel a) Das Schaubild der Funktion f mit f(x) = − e− x − 0,5e ⋅ x + 5 sei K f . Untersuchen Sie die Funktion auf Extrempunkte. Begründen Sie, warum das Schaubild keinen Wendepunkt hat. b) Das Schaubild der Funktion g mit g(x) = e x+2 − 0,5e ⋅ x − 8 sei K g . Berechnen Sie den Extrempunkt. An welchen Stellen schneidet sich K f mit K g . Zeichnen Sie die Schaubilder im Bereich −4 ≤ x ≤ 4 . Lösung

a) 1. Ableitungen: 2. Extrema:

f ′(x) = e− x − 0,5e ; f ′′(x) = − e− x −x

f ′(x) = 0 : e

− 0,5e = 0 ⇔

−x 1

f ′′(x1 ) = − e

f (x1 ) = 4,058 ;

=−

1 ex

=

e 2

⇔ ex =

2 e

Ÿ x1 = ln

2 = ln 2 − 1 e

e 1 = − < 0 , d. h. Maximum ln (2 / e) 2 e

E( −0,31; 4,04)

3. Wendepunkte: f ′′(x) = 0 : − e− x = 0 , diese Gleichung ist nicht lösbar, da e− x nicht Null werden kann. Die Funktion hat deshalb keine Wendepunkte. b) 1. Ableitungen: 2. Extrema:

g ′(x) = e

x+2

− 0,5e ; g ′′(x) = e

x+2

g ′(x) = 0 : e x + 2 − 0,5e = 0 ⇔ e x + 2 =

e 2

Ÿ x + 2 = ln

⇔ x 2 = − 1 − ln 2 g ′′(x 2 ) = > 0 , d. h. Minimum g(x 2 ) = − 4,3396 ;

E( −1,69; - 4,34)

3. Schaubilder f(x)

g(x) S1

3 2 1

–1

1

2

3

4

5

x

g(x) f(x)

S2

e = 1 − ln 2 2

414

37 Logarithmus- und Exponentialfunktionen

4. Schnittpunkte: f(x) = g(x) :

− e− x − 0,5 ⋅ e ⋅ x + 5 = e x+2 − 0,5 ⋅ e ⋅ x − 8 − e− x = e x+2 − 13

⇔

2

⎛ 13 (e ) − e + = 0 Ÿ ( e )1 / 2 = ± ⎜ ⎜ 2 ⎝ 2e e2 e2 2e2 x

13

2

x

1

13

x

x 2

x

e ⋅ ( e ) − 13 e + 1 = 0

⎞2 ⎟ − 1 = 0,8797 ± 0,799 ⎟ ⎠ e2

e x = 1,6788 Ÿ

x 3 = ln 1,6788 = 0,518 ;

f(x 3 ) = 3,70

e x = 0,0807 Ÿ

x 4 = ln 0,0807 = − 2,517 ;

f(x 4 ) = − 3,97 S1 ( −2,52; − 3,97)

S1 (0,52; 3,70)

Beispiel Gegeben seien die Funktionen f mit f(x) = 0,5 ⋅ e2x − x − 2 und g mit g(x) = e x − x − 1 . Ihre Schaubilder seien K f und K g . a) Untersuchen die Funktion f auf Extrempunkte. Begründen Sie, warum das Schaubild K f keinen Wendepunkt hat. b) Berechnen Sie den Tiefpunkt von K g . c) Berechnen Sie die Schnittpunkte von K f mit K g . Zeichnen Sie die Schaubilder von K f und K g im Bereich − 3 ≤ x ≤ 1 . d) Unter welchem Winkel schneiden sich die beiden Funktionsgraphen? e) An welcher Stelle ist der senkrechte Abstand der beiden Funktionsgraphen am größten? Lösung

a) Ableitungen: f ′(x) = e2x − 1 ; f ′(x) = 0 : f ′(x) = 0 : ; e2x = 1 ;

f ′′(x) = 2 ⋅ e2x 2x ⋅ ln Ne = ln N1 ; 1

f (0) = 0,5 − 2 = − 1,5

x=0

0

; f ′′(0) = 2 > 0, d.h. Minimum E(0; − 1,5)

Bedingung für Wendepunkte: f ′′(x) = 0 : 2 ⋅ e2x = 0 (Diese Gleichung hat keine Lösung, d. h. es gibt keinen Wendepunkt) b) Ableitungen: g ′(x) = e x − 1 ;

g ′′(x) = e x

g′(x) = 0 : e x − 1 = 0 ;

g(0) = 0;

c) Schnittpunkte: x 2

x

1, 005

f(1,005) = e

g′′(0) = 1 > 0, d. h. Minimum E(0; 0 )

f(x) = g(x):

( e ) − 2 ⋅e − 2 = 0

x=0

0,5 ⋅ e2x − x − 2 = e x − x − 1 ; 0,5 ⋅ e2x − e x − 1 = 0

Ÿ ( e x )1 / 2 = 1± 1 + 2 = 1 ± 3 Ÿ x = ln 2,732 = 1,005

− 1,005 − 1 = 0,7269

→ S(1,005; 0,7269)

37.3 Funktionssynthese von Exponentialfunktionen

415

Schaubilder f(x)

f(x) g(x)

g(x)

1

–1

2

1

x

–1,5

d) Schnittwinkel: Steigungen in S: f ′(x) = e2⋅1,005 − 1 = 6, 4633

⇒ α1 = arc tan 6, 4633 = 81,2049°

g(x) = e1,005 − 1 = 1,7319

Ÿ α 2 = arc tan 1,7319 = 59,9978 °

δ = α1 − α2 = 21,207°

Schnittwinkel: e) Maximalwert der Ordinatendifferenz: d(x) = g(x) – f(x)

d(x) = e x − x − 1 − (0,5 ⋅ e2x − x − 2) = e x − 0,5 ⋅ e2x + 1 

d ′(x) = e x − 2 ⋅ 0,5 ⋅ e2x = e x − e2x d ′′(x) = e x − e2x x

d ′(x) = 0 : e − e

2x

= 0 ; ex ( 1 − ex ) = 0 Ÿ

1 − ex = 0

Ÿ x=0

d′′(0) = 1 − 2 = − 1 < 0 , d. h. Maximum, Maximale Ordinatendifferenz bei x = 0: d(0) = 1,5

37.3 Funktionssynthese von Exponentialfunktionen Beispiel Der Funktionsgraph von f mit f(x) = 0,5x − e− k⋅x soll a) bei x = 4 eine Nullstelle haben b) bei x = 0 eine Steigung von 1,5 haben. Bestimmen Sie die Funktionsgleichungen. Lösung

a) Punktprobe: f(4) = 0: 2 – e – k · 4 = 0

⇔ e – k · 4 = 2 Ÿ – 4 k ln e = ln 2 −

ln 2 k =− ; 4

b) Die Steigung ergibt sich aus der Ableitungsfunktion f ′(x) = Bedingung:

f '(0) = 1,5: 0,5 + k ⋅ e− k ⋅ 0 = 1,5 Ÿ k = 1;

f(x) = 0,5 x − e 1 2

ln 2 ⋅x 4

−k x

+ k ⋅e

f(x) = 0,5 x − e−⋅x

416

37 Logarithmus- und Exponentialfunktionen

Beispiel Der Funktionsgraph der Funktion mit der Funktionsgleichung f(x) =− e2ax + e2 + 3 geht durch den Punkt P(2; 3). Bestimmen Sie die Funktionsgleichung. Lösung 4a

2

Punktprobe mit P(2; 0): f(2) = 3:

3 =−e

+e +3

Funktionsgleichung:

f(x) =− e x + e2 + 3

Ÿ

4a·ln e = 2·ln e

Ÿ

a=

1 2

Beispiel Der Funktionsgraph von f(x) = eax + 1− 0.5e x hat im Punkt P(0; e) eine waagrechte Tangente. Bestimmen Sie die Funktionsgleichung. Lösung f ′(x) = aeax + 1 − 0.5e f ′(x) = ae

ax + 1

− 0.5e

Bedingung: f ′(x) = 0 : ae − 0.5e = 0

⇔

a = 0,5

f(x) = e0, 5x + 1 − 0,5e ⋅ x

Funktionsgleichung:

Aufgaben zu 37 Logarithmus- und Exponentialfunktionen

Berechnen Sie für die Funktionen mit folgenden Funktionsgleichungen die 1. Ableitung 3

1. f(x) = ln ⋅ ( 2x ) + ln x 2 + 1 3. f(x) =

1 2

2

⋅ e x − e− 0,5 ⋅ x

2. f(x) = ln ⋅

( 3 3x ) + ln

x 2 + 2x

4. f(x) = 0, 4 ⋅ e2x − e− 0,8 ⋅ x

2

5. Berechnen Sie den Extrempunkt des Funktionsgraphen von

f(x) =

1 4

⋅ e x+2 + e2−x .

6. Untersuchen Sie die Funktion mit der Funktionsgleichung

f(x) =

1 2

⋅ e x + e−x − 3

7. Führen Sie für f(x) = x 3 ⋅ 2−x eine Kurvendiskussion durch. 8. Bei einem Aufladevorgang, der nach der Funktionsgleichung f(t) = a ⋅ (1− e−b ) abläuft, sind nach 1 s bereits 60 % der Sättigung erreicht, d. h. der Punkt auf der Sättigungskurve hat die Koordinaten (1;0,6a). Die Sättigungskurve hat im Ursprung die Steigung 4. Bestimmen Sie die Gleichung der Sättigungskurve. 9. Gegeben ist die Funktion mit der Funktionsgleichung f(x) = e2x + 1 − 0,5e ⋅ x . Berechnen Sie den Extrempunkt und weisen Sie nach, dass der Funktionsgraph keinen Wendepunkt hat.

417

Integralrechnung

38 Der Begriff des Integrals Problemstellungen Tellerfedern und zylindrische Schraubenfedern haben lineare Federkennlinien. Die Federungsarbeit ergibt sich aus der unterhalb der Kennlinie liegenden Fläche und beträgt W=

1 2

⋅F ⋅ s

Sie entspricht geometrisch dem Flächeninhalt des Dreiecks unterhalb der Federkennlinie. Wie lässt sich jedoch die Federarbeit einer Feder mit progressiver Kennlinie berechnen? Wie kann der Flächeninhalt einer Fläche unterhalb eines gekrümmten Funktionsgraphen bestimmt werden ? Die Berechnung einer physikalischen Größe, der mechanischen Arbeit, ist zu einem geometrischen Flächenberechnungsproblem geworden.

38.1 Die Flächeninhaltsfunktion Um den Flächeninhalt einer Fläche zu berechnen, die begrenzt ist durch den Funktionsgraphen, die x-Achse und zwei Parallelen zur y-Achse, geht man von folgender Überlegung aus: Die linksseitige Begrenzung (untere Grenze) sei mit x = a festgelegt. Die rechtsseitige Grenze (obere Grenze) sei zunächst noch variabel gehalten. Dann ist der Flächeninhalt A eine Funktion F(x) der rechten Grenze x. Vergrößert man die Fläche, indem man die obere Grenze um Δx vergrößert, so erhält man den Flächenzuwachs F(x + Δx) – F(x). Dieser liegt zwischen den beiden Rechtecksflächen A1 = f(x) · Δx und A2 = f(x + Δx) · Δx, d. h. f (x)·Δx ≤ F (x + Δx) – F(x) ≤ f (x + Δx) · Δx.

H. Rapp, Mathematik für die Fachschule Technik, DOI 10.1007/978-3-8348-9803-6_38, © Vieweg+Teubner | GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2010

418

38 Der Begriff des Integrals

Dividiert man die Ungleichung durch Δx, so erhält man f(x) ≤

F(x + ǻx) − F(x) ≤ f(x + ǻx). ǻx

Für Δx → 0 erhält man die Grenzwerte lim f(x + Δ x) = f(x)

Δ x →0

und

lim

ǻx→0

F(x + ǻx) − F(x) dF(x) = = F'(x) ǻx dx

Daraus folgt: F'(x) = f(x)

Die Ableitungsfunktion der Flächenfunktion F(x) ist die Funktion f(x) der Flächenbegrenzungslinie. Zur Ermittlung der Flächenfunktion muss also eine Funktion gefunden werden, deren Ableitung mit f(x) übereinstimmt. Das Bestimmen dieser Funktion F(x) wird Integrieren genannt Die Integration ist also die Umkehrung der Differentiation.

38.2 Stammfunktionen (= unbestimmte Integrale) Während wir bei der Differentialrechnung zu einer gegebenen Funktion f(x) die Ableitungsfunktion f '(x) bestimmt haben, stellt sich bei der Integralrechnung die umgekehrte Aufgabe, zu einer gegebenen Ableitungsfunktion diejenige Funktion zu bestimmen, aus der die Ableitungsfunktion hervorgegangen ist. Man nennt solche Funktionen Stammfunktionen. Integrieren

Differenzieren

F(x) ←⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯ f(x) ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ → f'(x) Wenn das Integrieren die Umkehrung des Differenzierens ist, folgt daraus, dass bestimmte Gesetzmäßigkeiten des Differenzierens auch für das Integrieren gelten. Dies bedeutet: 1. Konstante Faktoren bleiben beim Integrieren erhalten (Konstantenregel) 2. Summen von Funktionen können gliedweise integriert werden (Summenregel) Weitere Integrationsregeln werden wir später behandeln. Wir wollen durch folgende Beispiele die Integralrechnung der Differentialrechnung gegenüberstellen.

38.2 Stammfunktionen (= unbestimmte Integrale) Differentialrechnung

419 Integralrechnung

Geg.: f (x)

Geg.: f(x) = F '(x)

Ges.: f '(x) = Ableitungsfunktion

Ges.: F(x) = Stammfunktion

Beispiele:

Beispiele:

f(x) = C ( = Konstante)

f '(x) = 0

f(x) = 0

F(x) = C (= Konstante)

f(x) = a x

f '(x) = a

f(x) = a

F(x) = a x + C

f(x) = 3x – 5

f '(x) = 3

f(x) = 3

F(x) = 3x + C

f(x) = 3x

f '(x) = 3

f(x) = 6x

F(x) = 3x2 + C

f(x) = 3 x2

f '(x) = 6x

f(x) = 3 x2

F(x) = 3 ⋅

f(x) = ax3

f '(x) = 3 a x2

f(x) = a · x4

F(x) = a ⋅

f(x) = ax3 + C

f '(x) =

3 a x2

allgemein:

x3 3 x5 5

+ C = x3 + C

+C

allgemein:

f(x) = a ⋅ xn → f '(x) = a ⋅ n ⋅ xn− 1

f(x) = a ⋅ xn → F(x) = a ⋅

xn+ 1 n+ 1

+C

Da beim Differenzieren die konstanten Summanden zu Null werden, lassen sie sich beim Integrieren nicht mehr reproduzieren. Bei der Integration ist deshalb stets eine allgemeine Konstante C (= Integrationskonstante) hinzuzufügen, die alle reellen Zahlenwerte annehmen kann, d. h. auch Null werden kann. Zu einer gegebenen stetigen Ableitungsfunktion (Differentialfunktion) gibt es deshalb beliebig viele Stammfunktionen, die sich nur durch eine additive Konstante C unterscheiden. Man nennt deshalb diese Funktionen auch unbestimmte Integrale. Geometrisch bedeutet eine additive Konstante C eine Verschiebung des Funktionsgraphen in Richtung der positiven oder negativen y-Achse. Aus dem unbestimmten Integral erhalten wir Kurvenscharen in unbegrenzter Anzahl, wie aus dem dargestellten Beispiel zu ersehen ist. Zur Bildung des Integrals wird das von Leibniz 1 eingeführte Integralzeichen œ ... dx verwendet. Die Menge aller Stammfunktionen von f kann somit in folgender Form geschrieben werden:

∫ f(x) dx = F(x) + C (gelesen: „Integral f von x dx“) Beispiel für eine einfache Integration (vgl. obige Darstellung) : 1 Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 – 1716), deutscher Philosoph und Mathematiker

420

38 Der Begriff des Integrals

∫ 2x dx = x2 + C Definition:

Eine differenzierbare Funktion F mit F '(x) = f (x) heißt Stammfunktion oder unbestimmtes Integral der Funktion f: ∫ f(x) dx = F(x) + C mit C ∈ R

38.3 Grundintegrale elementarer Funktionen Aus der Tatsache, dass Integrieren und Differenzieren entgegengesetzte Operationen sind, lassen sich aus den Ableitungen von Funktionen in umgekehrter Richtung Integrale bilden. Die einfachsten Formen nennt man Grundintegrale.

∫ xn dx =

xn + 1 n +1

∫ x−1 dx = ∫

dx x

+C

n ∈ Z \ {– 1} Bei n < – 1 darf x ≠ 0 sein

= ln | x | + C

∫ ax dx = ln a + C ,

ax

a > 0,

a≠1

∫ ex dx = ex + C ∫ sin x dx = −cos x + C

∫ cos x dx = sin x + C

∫ sinh x dx = cosh x + C

∫ cosh x dx = sinh x + C

∫

dx 2

sin x

∫

= −cot x + C

dx cos2 x

= tan x + C

38.4 Das bestimmte Integral als Fläche Um die Fläche A zwischen den Grenzen x = a und x = b zu berechnen, gehen wir wieder von der Flächenfunktion mit variabler oberer Grenze x aus. Diese Funktion lässt sich als Stammfunktion mit der Gleichung A = F(x) + C darstellen. Für x = a wird der Flächeninhalt Null. Daraus ergibt sich wegen 0 = F(a) + C: C = – F(a). Damit ist A = F(x) – F(a). Setzt man als obere Grenze x = b ein, so erhält man A = F(b) – F(a). Die Fläche mit der festen unteren Grenze a und der festen oberen Grenze b ist damit ein bestimmtes Integral geworden und lässt sich mit Hilfe der Stammfunktion auf folgende Weise berechnen: b

A=

∫ f(x) dx = [F(x)] ba = F(b) − F(a) a

38.5 Die Fläche als Grenzwert

421

Ist F(x) eine Stammfunktion der stetigen Funktion f(x), so dass F '(x) = f(x) ist, so erhält man den Flächeninhalt der Fläche zwischen dem Funktionsgraphen von f(x) in den Grenzen von x = a und x = b als bestimmtes Integral von f(x): b

b A = ∫ f(x) dx = [ F(x) ] a = F(b) − F(a)

a

(Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung)

38.5 Die Fläche als Grenzwert In den Fällen, bei denen eine Stammfunktion nur sehr schwer oder mit zu großem Aufwand zu erhalten ist, kann das Integral durch Summen von Rechteckflächen (Obersummen und Untersummen) approximiert werden. Durch Zerlegung des Integrationsintervalls [a; b] in beliebig viele äquidistante Teilintervalle erhält man eine im Grenzfall gegen Unendlich gehende Anzahl von Rechteckflächen, durch deren Summierung die Fläche unterhalb des Funktionsgraphen beliebig genau angenähert werden kann. Dieses Verfahren ist die Grundlage für die numerische Integration, bei der auch Integrale näherungsweise gelöst werden können, für die es keine Stammfunktion des Integranden gibt. Wir wollen dies an einer durch eine Gerade begrenzten Fläche zeigen.

Beispiel Bestimmen Sie die Fläche zwischen der Geraden mit der Funktionsgleichung f(x) = 0,5 x und der x-Achse im Intervall [a; b]. Lösung

Teilt man die zwischen Funktionsgraph und x-Achse liegende Fläche zwischen x = 0 und x = b in n Rechteckstreifen ein, so erhält man die Streifenbreite ǻx =

b n

Obersumme

Die Summe aller über den Funktionsgraphen hinausgehenden Rechteckflächen wird als Obersumme Ao bezeichnet. Sie ergibt sich aus folgender Rechnung: n

Ao =

∑ f(xi )⋅ ǻx i=0

Ao =

1

1 1 ǻx ⋅ ǻx + 2 ⋅ ⋅ ǻx ⋅ ǻx + 3 ⋅ ǻx ⋅ ǻx + ... 2 2 2 Ao =

( ǻx )2 2

( 1+ 2 + 3 + 4 + ...... + n)

422

38 Der Begriff des Integrals

Mit der für die Bildung der Summe der natürlichen Zahlen gegebenen Summenformel: 1 +2 + 3 + 4 + 5 + ... + n =

Ao =

1 2

( ǻx )2 n (n + 1) ⋅

2

2

⋅ n ⋅ (n + 1) erhalten wir =

1 b 2 n2 + n ⋅ ⋅ 2 n2 2

2

1 b ⎛ 1⎞ ⋅ ⋅⎜1+ ⎟→ 2 2 ⎝ n⎠

Ao =

1 b2

A = lim A o = ⋅ 2

n→∞

A=

b

2

2

4

Die Summe aller unterhalb des Funktionsgraphen liegenden Rechtecksflächen wird als Unter1 b2 ⎛ 1⎞ ⋅ ⎜1− ⎟ bezeichnet. Auch mit dieser Untersumme kann die Fläche als 2 2 ⎝ n⎠ Grenzwert berechnet werden:

summe Au =

A = lim A u = n→∞

A=

1 b2 ⋅ 2 2

b2 4

Aufgaben zu 38 Integralrechnung Lösen Sie die folgenden unbestimmten Integrale (Grundintegrale) 1.

∫ (4x3 + 3x) dx

2.

∫ (x3 +

4.

∫ x⋅

5.

∫

7.

∫ (sin x + sin (2x )) dx

8.

x dx

3.

∫ 3 x2

dx

6.

∫ e−2x dx

∫ (3x − 3 2x ) dx

9.

∫(

12.

∫ ⎜⎝ x3 +

1 x

3x ) dx

dx

)

x ⋅ 2x dx

Berechnen Sie den Wert der folgenden bestimmten Integrale. 2

10.

∫ 1

1 x3

4

dx

11.

∫ (sin 2x) dx 0

4

1

π

13.

∫ (x3 − 3x2 + 4x) dx π

14.

⎛

x

⎞

∫⎜⎝cos 2 + 1⎟⎠ dx 0

1

3

15.

⎛

1 ⎞

∫ (2x − 3) dx 0

⎟ dx

2 x⎠

423

39 Flächenberechnung mit Hilfe der Integralrechnung 39 Flächenberechnung mit Hilfe der Integralrechnung

39.1 Flächen zwischen Funktionsgraph und x-Achse Beispiel Bestimmen Sie die Fläche zwischen dem Funktionsgraphen der Funktion x 6 4 – x2 und der x-Achse a) im Intervall [0; 2] b) im Intervall [–2; 2] Lösung Schnittstellen mit der x-Achse: (= Nullstellen des Funktionsgraphen) 4 – x2 = 0 x1 = 2, x2 = – 2 2

2 ⎡ x3 ⎤ a) A = ∫ (4 − x 2 ) dx =⎢ 4x − ⎥ 3 ⎦ ⎣ 0 0

8 A = (4⋅2 − ) − 0 3 A=

16 FE 3

2 2 ⎡ x3 ⎤ b) A = ∫ (4 − x 2 ) dx =⎢ 4x − ⎥ 3 ⎦ ⎣ −2 −2

8 ⎛ (− 8) ⎞ A = (4⋅ 2 − ) −⎜ 4⋅(−2) − ⎟ 3 ⎝ 3 ⎠ 8 8 16 A = 8 − + 8 − = 16 − 3 3 3 A=

32 FE 3

Aus Symmetriegründen hätte diese Fläche auch auf folgende Weise berechnet werden können: 2

2

−2

0

A = ∫ (4 − x 2 ) dx = 2⋅ ∫ (4 − x 2 ) dx

H. Rapp, Mathematik für die Fachschule Technik, DOI 10.1007/978-3-8348-9803-6_39, © Vieweg+Teubner | GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2010

424

39 Flächenberechnung mit Hilfe der Integralrechnung

Beispiel 1 1 Berechnen Sie die Fläche zwischen dem Funktionsgraphen von f (x) = − x 3 + x 2 + 3x und 2 2 der x-Achse. Lösung

Schnittstellen mit der x-Achse (= Nullstellen): 1 1 − x3 + x 2 + 3x = 0 2 2

x3 – x2 – 6x = 0 x · (x2 – x – 6) = 0 x1 = 0 1 1 1 5 x 2/3 = ± +6 = ± 2 4 2 2 x2 = – 2, x3 = 3 Integrationsintervalle: [–2; 0] und [0; 3] Liegt die Kurve unterhalb der x-Achse, so ist f(x) negativ und damit auch das Produkt f(x)·dx. Dies bedeutet, dass der Wert des Integrals negativ wird. Für Flächen unterhalb der x-Achse muss deshalb stets der Betrag des Integralwertes genommen werden, da der Integralwert negativ ist b

A=

∫ f(x) dx a

Liegen die Flächen teils unterhalb, teils oberhalb der x-Achse, so muss das Integrationsintervall an den Nullstellen unterteilt werden und die Flächen müssen gesondert berechnet werden unter Berücksichtigung des Vorzeichens des Integralwertes. 0

A1 =

⎛ 1

⎞

1

∫ ⎜⎝− 2 x3 + 2 x2 + 3x ⎟⎠dx

−2

0 ⎡ 1 ⎡ ⎤ 1 3 ⎤ 4 = ⎢− x 4 + x3 + x 2 ⎥ = 0 −⎢−2 − + 6 ⎥ ⎣ 8 ⎣ ⎦ 6 2 ⎦−2 3

A1 =

8 = 2,67 FE 3

3 3⎛ ⎞ ⎡ 1 1 1 1 3 ⎤ A 2 = ∫⎜− x3 + x 2 + 3x ⎟dx =⎢− x 4 + x3 + x 2 ⎥ ⎣ 8 2 6 2 ⎦0 ⎝ 2 ⎠ 0

63 = 7,875 FE 8 253 = A1 + A 2 = = 10,542 FE 24 A2 =

A ges

Beispiel Berechnen Sie die Fläche zwischen dem Funktionsgraphen von f(x) = sin 0,5 x und der x-Achse im Bereich [0; 2π].

39.1 Flächen zwischen Funktionsgraph und x-Achse

425

Lösung

Schnittstellen mit der x-Achse: sin 0,5 x = 0, daraus x2 = 2π,

x1 = 0, 2π

A = ∫ sin 0

x3 = 4π 2π

⎡ 1 1 ⎤ x dx =⎢−2⋅cos x ⎥ ⎣ 2 2 ⎦0

A = –2 · cos π – (– 2 · cos 0) = 4 FE

Beispiel Eine Sinusfunktion mit der Funktionsgleichung f(x) = 2 sin (ax) schneidet die x-Achse bei x = 4. Berechnen Sie die Fläche zwischen der Kurve und der x-Achse. Lösung

Berechnung des Parameters a: Schnittstelle mit der x-Achse x = 4:

f(x) = sin (a·4) = 0 ;

Funktionsgleichung:

f(x) = 2 ⋅ sin

4a = π ⇔ a =

ʌ 4

ʌ 4

Fläche: ª º 4 ª π º4 16 ʌº ª 4 8 A = ³ «2 ⋅ sin » dx = 2 ⋅ «− ⋅ cos » = − ⋅ «cos ʌ − cos 0» = = 5,09 FE 



« » ʌ π π 4 4 ¬ ¼ ¬ ¼ 0 0 1 ¼» ¬« − 1

Beispiel x

⎛ 1⎞ Berechnen Sie die Fläche, die berandet ist durch Kf mit f(x) = ⎜ ⎟ − 3 , der x-Achse und der ⎝2⎠ Geraden x = 3. Lösung

Schnittstelle mit der x-Achse:

⎛ 1 ⎞x ⎜ ⎟ −3 = 0 ⎝2⎠ x ⋅ ln

x=

1 = ln 3 2

ln 3 ln 3 =− =−1,585 ln ln 2 N1− ln 2 0

Integrationsintervall: [–1,585; 3] ⎡ ⎛ 1 ⎞x ⎤3 ⎢⎜ ⎟ ⎥ ⎛⎛ ⎞x ⎞ 3 1 ⎢⎝2⎠ ⎥ A = ∫ ⎜⎜ ⎟ − 3⎟dx = ⎢ − 3x ⎥ ⎜⎝ 2 ⎠ ⎟ ⎛ 1⎞ ⎠ −1,585 ⎝ ⎢ ln⎜ ⎟ ⎥ ⎢ ⎝2⎠ ⎥ ⎣ ⎦

−1,585

= (−9,18 − 0,43) = 9,61FE

426

39 Flächenberechnung mit Hilfe der Integralrechnung

39.2 Flächen zwischen zwei Funktionsgraphen Die Fläche zwischen den Funktionsgraphen von f und g kann berechnet werden als Differenz der Flächen b

A1 = ∫ f(x) dx und a

b

A 2 = ∫ g (x) dx , a

wobei die Grenzen a und b die Schnittstellen der Funktionsgraphen sind. Da beide Integrale die gleichen Grenzen haben, lassen sie sich zusammenfassen zu einem Integral. b

b

b

a

a

a

A = A1 − A 2 = ∫ f(x) dx − ∫ g(x) dx = ∫ ( f(x) − g(x)) dx

Beispiel Berechnen Sie die Flächen zwischen den beiden Funktionsgraphen f und g mit den Funktionsgleichungen f(x) = –x2 + 3 und g(x) = x2 + 2x – 1. Lösung

In diesem Fall sind für die Integrationsgrenzen die Schnittstellen der Funktionsgraphen maßgeblich. Liegen Nullstellen dazwischen, so ist dies unerheblich, da sich das Vorzeichen des Integranden immer erst nach den Schnittpunkten verändert. Schnittstellen:

g(x) f(x)

f (x) = g (x) – x2 + 3 = x2 + 2x – 1 2 ⋅ x2 + 2x – 4 = 0

f(x)

g(x)

x2 + x – 2 = 0 1 1 1 3 x1/2 =− ± + 2 =− ± 2 4 2 2

x

x1 = 1, x2 = –2 Integrationsintervall: [1;–2 ] 1

1

((

) (

))

1

A = ∫ ( f(x) − g(x)) dx = ∫ −x 2 + 3 − x 2 + 2x −1 dx = ∫ (−2x 2 − 2x + 4) dx −2

−2 1

−2

⎡ 2 ⎤ A =⎢− x 3 − x 2 + 4x ⎥ = 9 FE ⎣ 3 ⎦−2

Beispiel Berechnen Sie den Flächeninhalt der Flächen, die begrenzt sind durch den Funktionsgraphen 1 1 von f(x) = x 3 − x 2 − und die Gerade mit der Funktionsgleichung g(x) = 2x – 3. 3 3

39.2 Flächen zwischen zwei Funktionsgraphen

427

Lösung

Schnittstellen:

f(x) = g(x) 1 3 1 x − x 2 − = 2x − 3 3 3 x3 – 3x2 – 6x + 8 = 0

Mit Hilfe des Hornerschemas ergeben sich die Lösungen x1 = –2, x2 = 1 und x3 = 4. Da sich an den Schnittstellen die Vorzeichen der Integralwerte ändern, müssen die Flächen getrennt berechnet werden, wobei von dem negativen Integralwert der Betrag genommen werden muss. Aus den Integrationsbereichen [-2;1] und [1;4] ergeben sich folgende Flächen: 1 1 1 ⎛ ⎡ 1 1 8⎞ 1 8 ⎤ A1 = ∫ ( f(x) − g(x)) dx = ∫ ⎜ x 3 − x 2 − 2x + ⎟dx =⎢ x 4 − x 3 − x 2 + x ⎥ = 6,75 FE ⎣ 12 3⎠ 3 3 ⎦−2 ⎝3 −2 −2 4

A2 =

∫ (f(x) − g(x)) dx = 1

4 ⎛1 3 ⎡ 1 4 1 3 8⎞ 8 ⎤ 2 2 x x 2x dx x x x x − − + = − − + ⎜ ⎟ ∫ ⎝3 ⎢ ⎥ = 6,75 FE ⎣ 12 3⎠ 3 3 ⎦1 1 4

Beispiel Die Fläche zwischen den Funktionsgraphen f und g mit f(x) = –x2 + 3 und g(x) = x2 + 2x – 1 soll durch eine Gerade x = u (u > – 2) so begrenzt werden, dass der Flächeninhalt zwischen den 2 FE beträgt. Berechnen Sie die Gleichung der Funktionsgraphen und dieser Geraden A = 6 3 Geraden. u

Lösung

Schnittstellen der Funktionsgraphen: x1 = –2 , x2 = 1 Da die untere Grenze festliegt, ist nur noch die obere Grenze variabel. Wir erhalten ein Integral mit gegebenem Integralwert aber variabler oberer Grenze. Wir haben damit folgende Gleichung zu lösen: 2 20 20 − u3 − u2 + 4u + = 3 3 3

Als Lösung ergibt sich u1 = 0. Die Lösungen u2 und u3 liegen beide außerhalb des Intervalls [–2; 1] und sind damit unbrauchbar.

A = ∫ (−2x 2 − 2x + 4) dx −2

⎡ 2 ⎤u 20 A =⎢− x3 − x 2 + 4x ⎥ = ⎣ 3 ⎦−2 3 2 20 20 − u3 − u2 + 4u + = 3 3 3 2 3 − u − u2 + 4u = 0 3 3 u⋅(u2 + u − 6) = 0 2 u1 = 0

u2 = 3,3117 u3 = 1,8117

(unbrauchbar)

Ergebnis:

Die Gerade x = 0, d. h. die y-Achse begrenzt den Flächeninhalt auf die gewünschte Größe.

428

39 Flächenberechnung mit Hilfe der Integralrechnung

Beispiel Gegeben seien die Funktionen f mit der Funktionsgleichung f(x) = 2 ⋅ sin

ʌ x und g mit der Funk4

tionsgleichung g(x) = 2 ⋅ x − 1 . Ihre Schaubilder seien K f und K g . K g schneidet die x-Achse in A und K f in C. Berechnen Sie die Fläche ABC zwischen der x-Achse, K f und K g . Lösung

Wir teilen die Fläche auf in die Teilfläche A1 ,

f(x) g(x)

die unterhalb K g liegt und die Teilfläche A 2 , die unterhalb K f liegt.

g(x)

2

Schnittpunkt der Funktionsgraphen: f(x) = g(x):

2 ⋅ sin

π 4

f(x)

1

x = 2 x −1

A2

A1

⎛ π ⎞2 ⎜ sin x ⎟ = x − 1 ⎝ 4 ⎠

1

2

4

3

x

Durch Probieren oder mit Hilfe eines Näherungs-Verfahrens findet man als Lösung x = 2: Probe: f(2) = 2 ⋅ sin

A = A1 + A 2 =

2

³

1

π 4

2 = 2 ; g(2) = 2 ⋅ 2 − 1 = 2 4

2 ⋅ x − 1 dx + ³ 2 ⋅ sin 2

ʌ x dx 4

2 4 8 ʌ ⎤ 4 ⎡2 ⎡ 4 3 ⎤ (x − 1) ⎥ + 2 ⋅⎢− cos x ⎥ = + = 3,88 FE ⎣ ʌ ⎦ ⎣3 ⎦1 4 2 3 ʌ

A = 2 ⋅⎢

Beispiel Gegeben sei die Funktion mit der Funktionsgleichung f(x) = e2x − 4 e x . Ihr Schaubild sei K f . a) Untersuchen Sie die Funktion auf Nullstellen, Extrema und Wendepunkte. Berechnen Sie die Gleichung der Wendetangente. An welcher Stelle schneidet die Wendetangente die x-Achse. b) Berechnen Sie die Fläche zwischen dem Funktionsgraphen K g von g(x) = 0,5 ⋅ e x , K f und der y-Achse. Zeichnen Sie die Schaubilder von K f und K g in ein Koordinatensystem. Lösung

a) Funktionsuntersuchung Ableitungen: f ′(x) = 2 ⋅ e2x − 4 e x , Nullstellen: f(x) = 0 :

e

2x

f ′′(x) = 4 ⋅ e

x

x

2x

x

−4e ,

f ′′′(x) = 8 ⋅ e

2x

x

− 4 e = 0 ⇔ e (e − 4) = 0 → e x = 4 Ÿ x = ln 4 ;

Extrema: f ′(x) = 0 : 2 ⋅ e2x − 4 e x = 0 ⇔

x

x

e (e − 2) = 0 → e x = 2 ⇒ x = ln 2

−4e

x

N(ln 4; 0)

39.2 Flächen zwischen zwei Funktionsgraphen

429

Wendepunkte: f ′′(x) = 0 : 4 ⋅ e2x − 4 e x = 0 ⇔ e x (e x − 1) = 0 → e x = 1 ⇒ x = ln 1 = 0 0

0

f ′′′(x) = 8 − 4 = 4 ≠ 0 , d. h. Wendepunkt, f(0) = e − 4 ⋅ e = − 3 ; W(0;−3)

Tangente im Wendepunkt:

f ′(0) = 2 − 4 = − 4 ; → y − ( −3) = − 2(x − 0) Ÿ

y = − 2x − 4

b) Flächenberechnung Schnittstellen der Funktionsgraphen: e

2x

x

x

x

f(x) = g(x)

x

− 4 e = 0,5 ⋅ e ⇔ e (e − 4) = 0,5 ⋅ e

x

x

x

e − 4 = 0,5 ⇔ e = 4,5 Ÿ x = ln 4,5

Keine weiteren Schnittstellen, da e x nicht Null werden kann. ln 4,5

A = ∫ (g(x) − f(x))dx

f(x) g(x)

0 ln 4, 5

A = ∫ (0,5 e x − e2x + 4 e x ) dx 0

1 ln 4, 5

A = ∫ (4,5 e x − e2x ) dx 0

⎡

A =⎢ 4,5 e x −

⎢ ⎣

1

e2x 2

1,5 2

x

⎤ln4, 5 ⎥ ⎥ ⎦0

4,5 ⋅ 4,5 1º ª A = «4,5 ⋅ 4,5 − − 4,5 + » 2 2¼ ¬ A = 6,125 FE

Beispiel Gegeben sei die Funktion mit der Funktionsgleichung f(x) = 0,5 ⋅ e 0,5x − 0,5 x . Vom Ursprung aus sollen Tangenten an den Funktionsgraphen gelegt werden. Bestimmen Sie deren Funktionsgleichung. An welcher Stelle x = a (a > 0) schneidet die 2. Winkelhalbierende den Funktionsgraphen K g x mit g(x) = 0,5 ⋅ e − x − 3 ? Zeichnen Sie K f und K g in ein Koordinatensystem.

An welcher Stelle x < a ist die Ordinatendifferenz der Funktionsgraphen am größten? Berechnen Sie die Fläche zwischen K f , K g , der Geraden x = a und der y-Achse.

430

39 Flächenberechnung mit Hilfe der Integralrechnung

Lösung

g(x)

f(x) g(x)

Berührpunkt : B(u; f(u)) f(u) = 0,5 ⋅ e 0,5u − 0,5 u

2

f ′(u) = 0,25 e 0,5u − 0,5

f(x)

1

Gleichung der Tangente:

Asymptote

Tangente

y = f ′(u) ⋅ (x − u) + f(u) 1

y = (0,25 e 0,5 u − 0,5) ⋅ (x − u) + 0,5 ⋅ e 0,5u − 0,5 u

–1

Punktprobe mit O(0; 0):

S

0 = (0,25 e 0,5u − 0,5) ⋅ (0 − u) + 0,5 e 0,5u − 0,5 u

–2 y = –x

0,5 e0,5u − 0,25 e0,5u ⋅ u = 0 0,5 e0,5u ⋅ ( 1 − 0.5 u) = 0 ⇔ e

x

2

0,5u

= 0 ∨ (1 − 0,5 u) = 0

Da e0,5u nicht Null werden kann, gibt es nur die die endliche Berührstelle u = 2. Mit f(2) = 0,5 ⋅ e − 1 und f ′(2) = 0,25 e − 0,5 erhalten wir die Tangentengleichung: ª e 1º y = (0,25 e – 0,5)(x – 2) + 0,5 e – 1 oder t : y = « − » x = 0,18 x ¬4 2¼ u 0,5u − 0,5 u die Asymptote: y = − 0,5 x Mit lim N e = 0 erhalten wir für f(u) = 0,5 ⋅ e u→ − ∞

Schnittstelle der Geraden y = − x mit K g : x

x

x

0,5 ⋅ e − x − 3 = − x ⇔ 0,5 ⋅ e = 3 ⇔ e = 6 ⇒ x = ln 6 = 1,79

Ordinatendifferenz d(x) = f(x) − g(x)

d(x) = ( 0,5 ⋅ e0, 5x − 0,5 x) − ( 0,5 ⋅ e x − x − 3) = 0,5 ⋅ e0, 5x − 0,5 ⋅ e x + 0,5 x + 3 d′(x) = 0,25 ⋅ e0,5x − 0,5 ⋅ e x + 0,5 ;

d′′(x) = 0,125 ⋅ e0,5x − 0,5 ⋅ e x

(

0,5x d′(x) = 0 : 0,25 ⋅ e0,5x − 0,5 ⋅ e x + 0,5 = 0 ⇔ e0,5x − 2 ⋅ e x + 2 = 0 ⇔ − 2 ⋅ e

(e0,5x )

2

e 0,5x =

e0,5x =

1

− e0,5x − 1 = 0 2

1 + 17 1 + 17 x Ÿ = ln 4 4 2 1 − 17 x 1 − 17 Ÿ = ln 4 2 4

⇔

Ÿ

x = 2 ⋅ ln

(e0,5x )1/2 =

) + e0,5x + 2 = 0 2

1 1 1 ± 17 ± +1= ; 4 16 4

1 + 17 = 0,49 ; d ′′(x) < 0 , d. h. Maximum 4

(unbrauchbar, nicht definiert)

39.2 Flächen zwischen zwei Funktionsgraphen

431

dmax = 3,068 LE

Maximale Ordinatendifferenz: Flächenberechnung ln 6

ln 6

0

0

A = ∫ (f(x) − g(x)) dx = ∫ ((0,5 ⋅ e0, 5x − 0,5 x ) − (0,5 ⋅ e x − x − 3)) dx ln 6

0, 5x

A = ∫ (0,5 ⋅ e 0

⎡ ⎤ln 6 x2 0, 5x x − 0,5 ⋅ e + 0,5 ⋅ x + 3) dx =⎢ e − 0,5 ⋅ e + + 3x ⎥ 4 ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ x

0

A = 5,127 FE

Elementare Integrationsregeln 1. Vertauschung der Grenzen (Vorzeichenwechsel) Durch Vertauschen der Grenzen ändert sich das Vorzeichen b

∫ f(x) dx = F(b) − F(a) a

⇒

a

∫ f(x) dx = F(a) − F(b) = −(F(b) − F(a))

b

a

a

b

∫ f(x) dx = −∫ f(x) dx

b

Um bei der Fläche zwischen zwei Funktionsgraphen zu einem Integralwert mit anderem Vorzeichen zu kommen, kann auch die Funktionsdifferenz umgedreht werden. b

b

a

a

∫ ( f(x) − g(x)) dx = −∫ (g(x) − f(x)) dx 2. Faktorregel Enthält ein Integrand einen konstanten Faktor, so kann dieser vor das Integral gezogen werden. b

b

a

a

∫ a ⋅ f(x) dx = a ⋅ ∫ f(x) dx 3. Summenregel Besteht der Integrand aus Summen und Differenzen, so kann das Integral aufgespalten werden. b

b

b

a

a

a

∫ ( f(x) ± g(x)) dx = ∫ f(x) dx ± ∫ g(x) dx

432

39 Flächenberechnung mit Hilfe der Integralrechnung

In umgekehrter Weise können Summen von Integralen zusammengefasst werden, wenn die Integrale gleiche Grenzen haben. 4. Aufspaltung in Teilbereiche c

b

c

a

a

b

∫ f(x) dx = ∫ f(x) dx + ∫ f(x) dx Aufgaben zu 39 Flächenberechnungen 1. Berechnen Sie die Fläche zwischen den Funktionsgraphen von f(x) = (x2 + x – 2) und 1 1 Funktionsgraphen von g(x) = − x2 + x − rechts des Schnittpunktes P(–1;–2). 2 2

dem

2. Gegeben sind die Funktionen mit den Funktionsgleichungen

f(x) =

1 10

x 2 ⋅ (x 2 − 9) und g(x) = – 2x2 + 6x.

Berechnen Sie die von den Funktionsgraphen Kf und Kg begrenzte Fläche im 1. und 4. Quadranten. 3. Der Funktionsgraph von f(x) =

1

· x3 −

1

⋅ x2 + 2x und g(x) = −

32 2 vall [0; 4] eine Fläche. Berechnen Sie den Flächeninhalt.

1 2

⋅ x2 begrenzen im Inter-

4. Gegeben sind die Funktionen f und g mit den Funktionsgleichungen

f(x) =

3 2

1 ⋅ cos x − ⋅ sin x und g(x) = – 0,5 · sin x mit x ∈ [0;2π]. 2

An welchen Stellen und unter welchem Schnittwinkel schneiden sich die Funktionsgraphen ? ⎡ π 3π ⎤ Berechnen Sie die zwischen den Schnittpunkten im Intervall x ∈ ⎢ ; ⎥ liegende durch ⎣2 2 ⎦ die beiden Funktionsgraphen begrenzte Fläche. 5. Gegeben ist die Funktion mit Funktionsgleichung

f(x) =

1 6

⋅ x3 − x2 −

1 6

x+5

Berechnen Sie die Nullstellen. Bestimmen Sie den Flächeninhalt der beiden durch den Funktionsgraphen und die x-Achse begrenzten Flächen. 6. Berechnen Sie den Flächeninhalt der Fläche, die begrenzt ist durch den Funktionsgraphen der Funktion f mit der Funktionsgleichung

39.2 Flächen zwischen zwei Funktionsgraphen

f(x) =

1 3

433

⋅ x3 − x 2 −

1 3

und der Geraden g mit der Funktionsgleichung g(x) = 2x – 3. 07. Die Funktionsgraphen der Funktionen f und g mit den Funktionsgleichungen

f(x) = 3 – x2 und g(x) = x2 + 2x – 1 begrenzen eine Fläche. Berechnen Sie die Fläche zwischen den Schnittstellen. Eine Gerade x = u begrenzt diese Fläche zusätzlich. Welchen Wert darf u annehmen, wenn der Flächeninhalt der Fläche zwischen den Funktionsgraphen und der Geraden x = u gera2 FE. beträgt ? de 6 3 08. Gegeben ist die Funktion mit der Funktionsgleichung x

⎛ 1⎞ f(x) =.⎜ ⎟ − 3 ⎝2⎠ Berechnen Sie die Nullstelle und bestimmen Sie die Steigung an der Stelle x = – 1. Unter welchem Winkel schneidet der Funktionsgraph die x-Achse ? Berechnen Sie den Flächeninhalt der Fläche, die berandet ist durch den Funktionsgraphen, die x-Achse und die Gerade x = 3. 09. Gegeben sind die Funktionen g und h mit den Funktionsgleichungen

g(x) =

5 2x

– 3 und h(x) = 2x + 1.

Berechnen Sie die Schnittwinkel, unter denen sich die Funktionsgraphen schneiden. Berechnen Sie den Flächeninhalt der Fläche, die berandet ist durch die beiden Funktionsgraphen und die Geraden x = 2 und x = 3. 10. Gegeben ist die Funktion f mit der Funktionsgleichung f(x) = e0,5x − e x + 0,5 x 2 + 3x .

Untersuchen Sie die Funktion auf Nullstellen, Extrema und Wendepunkte. Bestimmen Sie den Flächeninhalt der Flächen zwischen dem Funktionsgraph und der x-Achse zwischen den Nullstellen.

434

40 Das bestimmte Integral als Volumen (Volumen von Rotationskörpern) 40 Das bestimmte Integral als Volumen

40.1 Rotationssymmetrie zur x-Achse Bei der Rotation einer Fläche zwischen Funktionsgraph und x-Achse im Intervall a < x < b um die x- Achse entsteht ein Rotationskörper (Drehkörper). Für die Berechnung des Volumens zerlegt man das Intervall [a; b] in dünne zylindrische Scheiben der Dicke Δx. Das Volumen dieser Zylinderscheiben berechnet sich aus

Δx

Gesamtvolumen b

V = π · r2 · h = π · [f(xi)]2 · Δx

V = π ⋅ ∑ [ f(xi )] ⋅ ǻx 2

a

Damit ist das Volumen der 1. Scheibe:

V1 = π · [f(x1)]2 · Δx

der 2. Scheibe:

V2 = π · [f(x2)]2 · Δx

b

V = π ⋅ ∫ [ f(xi )] ⋅ dx 2

a

usw. Bei Verfeinerung der Zerlegung, d. h. für Δx→ 0 geht die Summe über in das Integral.

mit den Grenzen x = a und x = b auf der x-Achse.

Beispiel Berechnen Sie das Volumen eines Drehparaboloids, das durch Rotation des Funktionsgraphen von f(x) = x im x-Intervall [0;4] um die x-Achse entsteht. Lösung b

4

2 V = π ⋅ ∫ [ f(x)] dx = π ⋅ ∫ ⎡ ⎣ a

0

2

x ⎤ ⎦ dx

4

⎡x ⎤ V = π ⋅ ∫ x ⋅ dx = π ⋅⎢ ⎥ ⎣ 2 ⎦0 0 4

2

V = 8⋅ π = 25,13 VE

H. Rapp, Mathematik für die Fachschule Technik, DOI 10.1007/978-3-8348-9803-6_40, © Vieweg+Teubner | GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2010

40.2 Rotationssymmetrie zur y-Achse

435

40.2 Rotationssymmetrie zur y-Achse Δy

Bei der Drehung um die y-Achse erhält man nach einer entsprechenden Zerlegung des yIntervalls [c; d] in Zylinderscheiben der Dicke Δy mit dem Radius r = xi das Volumen V = π ⋅ xi2 ⋅ Δ y der einzelnen Zylinderscheiben, die über das Intervall summiert werden. Gesamtvolumen d

Vy = π ⋅ ∑ xi2 ⋅ ǻy c

Im Grenzfall für Δy → 0 geht die Summe über in das Integral d

Vy = π ⋅ ∫ x 2 ⋅ dy c

mit den Grenzen y = c und y = d auf der y-Achse.

Beispiel Berechnen Sie das Volumen des Drehkörpers, der durch Rotation der Parabel mit der Funktionsgleichung f(x) = 4 – x2 um die y-Achse im y-Intervall [0; 3] entsteht. Lösung d

V = π ⋅ ∫ x 2 ⋅ dy c

f(x) = 4 – x2 → x2 = 4 – y 3 3 ⎡ y2 ⎤ V = π ⋅ ∫ (4 − y)⋅ dy = π ⋅⎢ 4y − ⎥ 2 ⎦ ⎣ 0 0

Vy = π ⋅[12 − 4,5] = 7,5 ⋅ π = 23,56 VE

Aufgaben zu 40 Volumen von Rotationskörpern 1. Bestimmen Sie das Volumen des Rotationskörpers, der durch Rotation des durch den Funk-

tionsgraphen von y = x 2 − 16 (x ∈ [5;8]) und der x-Achse berandeten Flächenstücks um die x-Achse entsteht. Wie groß ist das Volumen bei Rotation um die y-Achse ? 2. Ein Kugelgriff mit dem Kugeldurchmesser d = 36 mm soll eine zylindrische Bohrung mit einem Durchmesser von 10 mm erhalten. Die Bohrung soll bis zur Mitte gehen (Tiefe = 18 mm). Die Ausbohrung soll mit einem Flachbohrer erfolgen. Welches Volumen hat die Restkugel ?

436

Vektorrechnung – Analytische Geometrie auf Vektorbasis

41 Punkte und Vektoren (im Anschauungsraum R3) 41 Punkte und Vektoren

41.1 Definition eines Vektors Vektoren sind gerichtete Größen. Das geometrische Bild eines Vektors ist der Pfeil. Auf den Unterschied zwischen Pfeil und Zeiger (s. Komplexe Rechnung !) sei hingewiesen. Bezeichnung von Vektoren:

B

Vektoren werden bezeichnet G G G G a) mit Kleinbuchstaben und Pfeil a, b, c, p, b) mit dem AnfangsJJG JJG JJG und Endpunkt des Pfeiles AB, OA, OP, c) mit deutschen Buchstaben a,b

v A

G

JJJG

Vektor: v = AB

d) durch Fettdruck. In der Darstellung könnten in unendlich vielen Punkten Geschwindigkeitspfeile, die parallel und gleichgerichtet verlaufen, eingezeichnet werden. Jeder einzelne Pfeil repräsentiert die GeschwindigkeitGund ist somit ein Repräsentant des Vektors v . Da parallele Geschwindigkeitsvektoren gleichwertig sind, können diese Vektoren auch beliebig parallel verschoben werden. Wir nennen sie deshalb freie Vektoren.

v

Daneben gibt es noch weitere Arten von Vektoren. Man unterscheidet zwischen folgenden Vektoren: a) freie Vektoren,

die beliebig parallel verschoben werden können.

b) linienflüchtige Vektoren,

die nur längs ihrer Wirkungslinie verschoben werden können, wie es bei Kräften der Fall ist.

c) ortsgebundene Vektoren,

die an einem bestimmten Ort ihren Anfang nehmen wie z. B. bei Ortsvektoren, die im Ursprung des Koordinatensystems beginnen.

G G Beispiele für Vektoren sind: Geschwindigkeit v, Kraft F, magnetische und elektrische FeldG G stärke B und E. Richtungsunabhängige Größen werden im Gegensatz dazu Skalare genannt. Beispiele für Skalare sind:

Temperatur ϑ, Masse m, Zeit t, Streckenlängen s,G Flächen A, Volumen V, Beträge von vektoriellen Größen (z. B. F = F ).

H. Rapp, Mathematik für die Fachschule Technik, DOI 10.1007/978-3-8348-9803-6_41, © Vieweg+Teubner | GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2010

41.2 Ortsvektoren

437

41.2 Ortsvektoren Ortsvektoren sind Vektoren, die im Ursprung eines Koordinatensystems beginnen und zu einem Punkt in der Ebene (bzw. im Raum) hinführen. Mit Hilfe von Ortsvektoren lassen sich Punkte in der Ebene (bzw. im Raum) beschreiben. Der Ortsvektor des Punktes A (4; 2) in R2 ist JJG G G G OA = a = 4 ⋅ e1 + 2 ⋅ e2 (Komponentenschreibweise)

Der Ortsvektor kann jedoch auch kürzer als Spaltenvektor geschrieben werden:

JJG G ⎛ 4⎞ OA = a =⎜ ⎟ ⎝ 2⎠

Ortsvektor in der Ebene

Entsprechend ist der Ortsvektor des Punktes A (3; 5; 7) in R3:

z

JJG

P(3;5;7)

G G G G OA = a = 3 ⋅ e1 + 5 ⋅ e2 + 7 ⋅ e3 oder

⎛3⎞ G ⎜ ⎟ OA = a =⎜5⎟ JJG

⎜ ⎟ ⎝7⎠

1 5

1

y

3

x

Verallgemeinerung:

Ortsvektor im Raum

Der Ortsvektor eines Punktes A ( a1; a2 ; a3 ) lässt sich als Linearkombination der Komponenten darstellen. JJG G G G G OA = a = a1 ⋅ e1 + a2 ⋅ e2 + a3 ⋅ e3 G G G Dabei sind e1, e2 und e3 die Basisvektoren oder Einheitsvektoren mit der Länge 1 (1 LE). Die EinG G G heitsvektoren werden oft auch mit i, j und k bezeichnet. Einfacher und kürzer ist die Schreibweise als Spaltenvektor:

Die Größen a1, a2 und a3 sind die skalaren VektorG komponenten von a oder die „Vektorkoordinaten“. Anmerkung:

Bei Vektoren in der Ebene entfällt die 3. Komponente.

⎛a1 ⎞ G ⎜ ⎟ OA = a =⎜a2 ⎟ JJG

⎜ ⎟ ⎝ a3 ⎠

438

41 Punkte und Vektoren

41.3 Betrag eines Vektors Die Länge eines Vektors lässt sich nach dem Satz des Pythagoras berechnen. Man bezeichnet die Länge eines Vektors auch als Betrag des Vektors.

z ⎛a1 ⎞ G ⎜ ⎟ Vektor : a =⎜a2 ⎟

A(a1, a2, a3) a

⎜ ⎟ ⎝ a3 ⎠

a3 a2

0

Betrag des Vektors :

y a1

a1 2+

G a

2

=

2

a1 + a 2 + a3

2

a2 2

x Beispiel

⎛ 2⎞ G ⎜ ⎟ Gegeben ist der Vektor a =⎜3 ⎟. Bestimmen Sie den Betrag des Vektors. ⎜ ⎟ ⎝5 ⎠

Lösung

G Betrag des Vektors: a = 22 + 32 + 52 = 4 + 9 + 25 = 38 G a = a = 6,164 LE

41.4 Vektoren im Raum Beliebige Vektoren im Raum, die ja keine Ortsvektoren sind, lassen sich als Summen oder Differenzen von Ortsvektoren darstellen und auf diese Weise bestimmen.

41.4.1 Vektor-Addition Die geometrische Addition wird in der Weise durchgeführt, dass man an den ersten Pfeil den zweiten Pfeil anfügt. Der Verbindungsvektor vom Anfangspunkt des ersten Vektors zum Endpunkt des letzten Vektors (hier des zweiten Vektors) stellt die geometrische oder vektorielle Summe der beiden Vektoren dar. G G G Vektor-Addition: c = a + b a c

b

b b

c

a

a

Fasst man die beiden Dreiecke zusammen, so ergibt sich die Vektor-Summe auch als Diagonale eines Parallelogramms.

b

c

a

41.4 Vektoren im Raum

439

41.4.2 Vektor-Subtraktion Eine Vektor-Differenz kann gebildet werden, indem man den Gegenvektor des zu subtrahierenden Vektors addiert. G G G G G Vektor-Subtraktion: c = a + (− b) = a − b a

c

b

c

Merkregel: „Direkter Weg = Umweg !“

–b

a

41.4.3 Anwendungsbeispiele Beispiel Gegeben: Punkt A (1; 3) und B (3; 2) JJG G Gesucht: Vektor AB = c

1

1

Lösung G G G b = a + c (Vektor-Addition) G G G c = b − a (Vektor-Subtraktion G G G G G c = (3⋅e1 + 2⋅e2 ) − (1⋅e1 + 3⋅e2 ) G G G ⎛2⎞ c = (3 −1)⋅e1 + (2 − 3) ⋅e2 =⎜ ⎟  

  ⎝−1⎠ 2 (−1) JJJJG G ⎛ 2 ⎞ AB = c =⎜ ⎟ ⎝−1⎠

Summen und Differenzen von Vektoren werden gebildet, indem man die Komponenten der entsprechenden Vektoren addiert bzw. subtrahiert.

Beispiel

⎛a1 ⎞ ⎛b ⎞ G ⎜ 1⎟ G ⎜ ⎟ Gegeben: a =⎜a2 ⎟und b =⎜b2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ a3 ⎠

⎜ ⎟ ⎝ b3 ⎠

G G G G Gesucht: Vektorsumme a + b und Vektordifferenz a − b .

Lösung ⎛a + b ⎞ ⎛ a1 − b1 ⎞ G G G G ⎜ 1 1⎟ ⎜ ⎟ a + b =⎜a2 + b2 ⎟und a − b = ⎜a2 − b2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ a3 − b3 ⎠ ⎝ a3 + b3 ⎠

440

41 Punkte und Vektoren

41.4.4 Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar (S-Multiplikation) Beispiel

()

G Vektor a = 42

Gegeben:

G a) Gleichgerichteter Vektor mit der halben Länge von a

Gesucht:

G b) Gleichgerichteter Vektor mit der doppelten Länge von a G c) Entgegengesetzt gerichteter Vektor von a G (= Gegenvektor oder inverser Vektor von a )

Lösung G 1G 1 ⎛ 4 ⎞ ⎛ 2⎞ a) b = a = ⋅⎜ 2⎟=⎜ 1⎟ 2 2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

G G ⎛ 4⎞ ⎛ 8 ⎞ b) b = 2⋅a = 2⋅⎜ 2⎟=⎜ 4⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

G G ⎛ 4⎞ ⎛−4⎞ c) b = −a = −1⋅⎜ 2⎟ =⎜−2⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Vektoren lassen sich durch Multiplikation mit einem beliebigen reellen Faktor λ in der Länge und im Richtungssinn verändern. Da es sich hier um die Multiplikation einer Zahl (= Skalar) mit einem Vektor handelt, wird diese Art der Multiplikation kurz S-Multiplikation genannt.

S-Multiplikation: ⎛a1 ⎞ ⎛ λ⋅ a1 ⎞ G G ⎟ ⎜ ⎟ b = λ⋅ a = λ⋅⎜ ⎜a2 ⎟=⎜ λ⋅ a2 ⎟ ( λ ∈ R) ⎝a3 ⎠ ⎝ λ⋅ a3 ⎠

G b ist ein Vielfaches G oder ein Bruchteil von a . G G b ist linear abhängig von a . G G b ist eine Linearkombination von a .

Besondere Vektoren: ⎛a1 ⎞ ⎛0⎞ G G ⎟ ⎜ ⎟ Für λ = 0 wird jeder Vektor λ⋅ a = 0 ⋅⎜ ⎜a2 ⎟=⎜0⎟= 0 ⎝ a3 ⎠ ⎝ 0 ⎠ G G Einheitsvektor e : Der Einheitsvektor ist ein Vektor von der Länge 1: e = 1. G Nullvektor 0 :

Die Einheitsvektoren in den drei Koordinatenachsen werden mit G G G G G G e1, e2 und e3 oder mit i, j und k bezeichnet. Linearkombinationen von Vektoren Zwei linear unabhängige Vektoren (d. h. Vektoren, die nicht parallel sind) lassen sich zu einem resultierenden Vektor zusammenfassen. μ

·b

c

b a

λ

·a

G G G c = λ⋅ a + μ ⋅ b

41.4 Vektoren im Raum

441

Drei linear unabhängige Vektoren (d. h. Vektoren, die nicht in einer Ebene liegen) lassen sich durch Linearkombination zu einem resultierenden Vektor zusammenfassen.

G G G G d = λ⋅ a + μ ⋅ b + ν⋅ c

41.4.5 Lineare Abhängigkeit von Vektoren Die Vektorgleichung G G G G p ⋅ a + q⋅ b + r ⋅ c = 0 ist erfüllt, wenn 1. alle Parameter p, q und r Null sind.

2. mindestens 1 Parameter nicht Null ist.

triviale Lösung: p = q = r = 0 G G G Dann sind a, b, und c

nichttriviale Lösungen: p, q, r ∈ R G G G Dann sind a, b, und c

linear unabhängig.

linear abhängig.

Geometrische Bedeutung der linearen Abhängigkeit 1. Zwei Vektoren im Raum Eindimensionaler Vektorraum V 1 a

l·a

Die beiden Vektoren liegen auf einer einzigen Linie oder sie liegen parallel zueinander. Sie sind kollinear. Sie bilden einen eindimensionalen Vektorraum V1. G G Zwei linear abhängige Vektoren a und b sind immer kollinear, d. h. sie sind parallel oder liegen auf derselben Linie. Kollinearitätsbedingung:

(= Bedingung, dass 2 Vektoren auf einer Linie liegen oder parallel sind) G G G G G p p ⋅ a + q ⋅ b = 0 oder b = λ⋅ a für λ = − q

(p, q, λ ∈ R)

442

41 Punkte und Vektoren

2. Drei Vektoren im Raum Zweidimensionaler Vektorraum V 2 G Wenn c ein Diagonalenvektor sein soll, dannGist er G G G linear abhängig von a und b , dann liegen a , b und G c in einer Ebene, sie sind komplanar.

Komplanaritätsbedingung

(= Bedingung, dass 3 Vektoren in einer Ebene liegen)

G G G G G G G ρ⋅ a + q⋅ b + r ⋅ c = 0 oder c = λ⋅ a + μ⋅ b

(p, q, r, λ, μ ∈ R ) Beispiel G ⎛ 2⎞ G ⎛ 4⎞ ⎟ und b =⎜3 ⎟, die ein Dreieck im Raum festlegen. Gegeben sind die Vektoren a =⎜ 3 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝1 ⎠ ⎝ 2⎠

a) Bestimmen Sie den Schwerpunkt S dieses Dreiecks. b) Bestätigen Sie durch Rechnung das Teilverhältnis der Seitenhalbierenden. Lösung

Da die beiden Basisvektoren ein Dreieck aufspannen, können sie nicht linear abhängig sein, d. h. sie müssen linear unabhängig sein. Wir wollen nun nacheinander die Vektorgleichungen zweier Seitenhalbierender formulieren und den Schnittpunkt dieser Vektoren berechnen. a)

JJG G G 1 G OE = a − (a − b)

B

2

E

b

a–b

JJG

O

a

G (a + b)

(1)

JJG G 1G AF = − a + b

(2)

OE =

A

1 G 2

B b F

O

S a

E

a–b A

2

41.4 Vektoren im Raum

443

Weiterhin ist:

JJJG

JJG

OS N +

SA N

JJJG r⋅OE

JJJG − s⋅AF

JJJG G + AO N = 0 G −a

G G ⎛ G 1 G⎞ G 1 G r ⋅ ( a + b ) – s ⋅⎜− a + b ⎟– a = 0 ⎝ 2 ⎠ 2

Mit Gl.(1) und (2):

1 ⎤ G G ⎡1 ⎤ G ⎡1 r + s − 1⎥⋅ a +⎢ r − s ⎥⋅ b = 0 ⎢ ⎣2 ⎦ ⎣2 2 ⎦  

 

p

(3)

q

G G Da die Basisvektoren a und b nach der Aufgabe nicht parallel, d. h. linear unabhängig sind, wird die Gleichung nur erfüllt, wenn die Koeffizienten p = q = 0 werden. Nullsetzen der Koeffizienten: 1 r + s − 1 =0 2 1 1 = 0 r − s 2 2

(4) (5)

Aus diesen beiden Gleichungen (4) und (5) erhält man r =

2 2 und s = , was bereits das in 3 3

Aufgabe b) gesuchte Teilverhältnis ergibt. Der Ortsvektor von S ist: ⎛ 4 + 2⎞ ⎛ 2⎞ JJJG 2 JJJG 2 1 G G ⎟ ⎜ ⎟ 1 G G 1⎜ OS = ⋅OE = ⋅ (a + b) = ⋅(a + b) = ⋅⎜3 + 3 ⎟=⎜2⎟ 3 3 2 3 3 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝1+ 2 ⎠ ⎝1 ⎠

Ergebnis: Der Schwerpunkt S hat die Koordinaten S (2; 2; 1).

b) Als Teilverhältnis der Strecken erhalten wir 2

OS r ⋅OE r 2 = = = 3 = =2:1 1− r 1 SE (1− r)⋅OE 1− 2 3

Ergebnis: Die Strecken verhalten sich wie 2 : 1

Beispiel In einem dreidimensionalen Koordinatensystem sind die Punkte A (1; 2; 2), B (1; 3; 4) und C (2; 6; 2) gegeben. H

G

C c

D

B

E

b O

le AH durch den Punkt T im Verhältnis 3:1 geteilt wird ?

T

S

a

A

a) In welchem Punkt S trifft die Raumgerade GT auf die Ebene OBHC, wenn die Raumdiagona-

b) In welchem Verhältnis wird die Strecke GS durch T geteilt ?

444

41 Punkte und Vektoren

Lösung

a) Ausgehend vom Ursprung O wird ein räumliches Vektorpolygon formuliert: G G JJJG JJJG G G (1) a + b + c + GS − OS = 0 JJJG JJJG G G G In dieser Vektorgleichung sind GS und OS mit Hilfe der Basisvektoren a , b und c auszudrücken. Ein Vektorpolygon über den Punkt T führt zu folgender Vektorgleichung: G JJJG JJG JJJG G a + AT + TS + SO = 0 G JJG JJJG JJJG G 3 JJJG 3 G mit AT = AH = (−a + b + c) und TS = r ⋅GS erhält man 4 4 JJJG JJJG G G 3 G G G a + (−a + b + c) + r ⋅GS − OS = 0 4 JJJG JJJG G G G Aus Gleichung (1) erhält man GS = OS − a − b − c

(2) (1´)

(1´) eingesetzt in (2) führt zu der Gleichung: G G JJJG G JJJG G G G G 3 G a + (−a + b + c) + r ⋅(OS − a − b − c) − OS = 0 4 C

(3)

JJJG Da S in der Ebene OBHC liegt, lässt sich OS als G Vektor ausdrücken, der linear abhängig ist von b G und c :

H

S q·c

→ G G OS = p⋅b + q⋅c

B

O

(4)

p ·b

Gleichung (4) in (3) eingesetzt, führt zu der Vektorgleichung: G G G 3 G G G G G G G G G a + (−a + b + c) + r(pb + qc − a − b − c) − pb − qc = 0 4 G 3 G G G 3 3 (1− − r)⋅a + ( + rp − r − p)⋅b + ( + rq − r − q)⋅c = 0 4 4 4 G G G Da a , b und c nicht in einer Ebene liegen, d. h. linear unabhängig sind, entsteht der Nullvektor nur dadurch, wenn alle Koeffizienten Null werden.

⎛1 ⎞ G ⎛3 ⎞ G ⎛3 ⎞G G ⎜ − r ⎟⋅a +⎜ + rp − r − p⎟⋅b +⎜ + rq − r − q⎟⋅c = 0 4 ⎠ 4 4 ⎝ 

⎝ 

⎠ ⎝ 

⎠ =0

=0

=0

Nullsetzen der Koeffizienten: 1 − r = 0 4

→ (5) ⎯⎯⎯

3 + rp − r − p = 0 (6) ⎯⎯⎯ → 4 3 + rq − r − q = 0 (7) ⎯⎯⎯ → 4

r =

1 4

3 1 + p − 4 4 3 1 + q − 4 4

(5′) 1 − p = 0 (6′) 4 1 − q = 0 (7′) 4

41.4 Vektoren im Raum

445

Aus (6´) und (7´) mit (5´) erhält man: p =

2 2 und q = . 3 3

Der Ortsvektor des Schnittpunktes S ist nach Gleichung (4)

⎛ 2⎞ JJJG 2G 2G 2 ⎛ 1⎞ 2 ⎛ 2⎞ OS = b + c = ⋅⎜ 3⎟ 6⎟ 6⎟ + ⋅⎜ =⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ 3 3 3 ⎝ 4 ⎠ 3 ⎝ 2⎠ ⎜ ⎝ 4⎠ Ergebnis: Schnittpunkt S (2; 6; 4) JJG JJJG 1 JJJG b) Aus TS = r ⋅GS = ⋅GS ergibt sich das Teilverhältnis 3 : 1. 4

Ergebnis: T teilt die Strecke GS im Verhältnis 3 : 1. Lösungsgang:

1. Aufstellen einer Vektorgleichung (Polygongleichung), in der der gesuchte Punkt S vorkommt. 2. Einführen der gegebenen Bedingungen in die Vektorgleichung (z. B. Polygon über den Punkt T mit dem vorgegebenen Teilverhältnis). G G G 3. Formulierung der Gleichung mit Hilfe der Basisvektoren a, b und c. 4. Nullsetzen der Koeffizienten und Auflösen des entsprechenden linearen Gleichungssystems.

Aufgaben zu 41 Punkte und Vektoren im Anschauungsraum 1. Gegeben seien die Punkte A (5; 3; 2) und B (2; –1; 1). Berechnen Sie mit Hilfe der OrtsvekG G G G 1 G G toren a und b die Vektoren b − a und ⋅(a − b ) . Welche Länge hat die Strecke AB und 2

welche Koordinaten hat der Mittelpunkt M der Strecke AB ? G 2. Durch welche Gegenkraft F lassen sich die Kräfte

G ⎛ 20 ⎞ G ⎛−120 ⎞ G ⎛−40 ⎞ ⎟kN , F2 =⎜ 80 ⎟kN und F3 =⎜ 40⎟kN im Gleichgewicht halten ? F1 =⎜ 100 − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ − 20 ⎠ ⎝ 60 ⎠ ⎝ 50 ⎠ 3. Untersuchen Sie folgende Vektoren auf lineare Abhängigkeit

G ⎛ 4⎞ G ⎛ 2 ⎞ G ⎛ 1,6 ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ a) a =⎜ ⎜ 3 ⎟, b =⎜ 1,5 ⎟und c =⎜ 1,2 ⎟ ⎝7⎠ ⎝3,5 ⎠ ⎝ 2,8 ⎠

G ⎛ 2 ⎞ G ⎛−2 ⎞ G ⎛ 1⎞ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ b) a =⎜ ⎜−3 ⎟, b =⎜ 1,5 ⎟und c =⎜3⎟ ⎝5⎠ ⎝ 2,5 ⎠ ⎝5⎠

G ⎛ 2⎞ G ⎛7⎞ G ⎟ ⎜ ⎟ 4. Bestimmen Sie den Vektor a =⎜ ⎜a2 ⎟ so, dass die Vektoren a und b =⎜−5 ⎟ kollinear sind. ⎝ 7⎠ ⎝ a3 ⎠

446

41 Punkte und Vektoren

G ⎛ 2⎞ G ⎛ 4⎞ ⎟ und b =⎜−5 ⎟ nicht kollinear sind. 05. Zeigen Sie, dass die Vektoren a =⎜ − 3 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 5⎠ ⎝ 7⎠ G ⎛ 2⎞ G ⎛ −1⎞ G ⎛−2 ⎞ ⎟, b =⎜ 4⎟und c =⎜ 6 ⎟ in einer Ebene lie06. Prüfen Sie nach, ob die Vektoren a =⎜ − 3 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝−4 ⎠ ⎝ 2⎠ ⎝ 4⎠ gen, d. h. komplanar sind. 07. Prüfen Sie nach, ob die Punkte A (-1; 0; 1), B (0; -1; 0), C (3; - 4; -3) und D (1; -2; -1) in einer Ebene liegen.

G ⎛ 4⎞ G ⎛ 2 ⎞ G ⎛ 1,6 ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 08. Prüfen Sie nach, ob die Vektoren a =⎜ ⎜ 3 ⎟, b =⎜ 4 ⎟, c =⎜ 1,2 ⎟ in einer Ebene liegen. ⎝7⎠ ⎝3,5 ⎠ ⎝ 2,8 ⎠

G ⎛ 1⎞ ⎟ 09. Gegeben sei der Vektor c =⎜ ⎜−2⎟. Prüfen Sie nach, ob die Ortsvektoren der Punkte A ⎝ 2⎠ (5; –5; 8) und B (2; 3; 7) komplanar sind zu diesem Vektor. 10. In einem räumlichen Rechteck mit den Eckpunkten A (2; 3; 1), B (2; 7; 1), C ( 2; 7; 7),

D (2; 3; 7) ist E der Mittelpunkt der Strecke BC und F der Mittelpunkt von DC . a) Wie lauten die Ortsvektoren zu den Punkten E und F und welche Koordinaten haben damit diese Punkte ? Berechnen Sie den Betrag dieser Ortsvektoren. b) Wie viel Längeneinheiten ist der Punkt E vom Punkt A und der Punkt F vom Punkt B entfernt ?

447

42 Geraden im Raum 42.1 Vektorielle Geradengleichungen 42.1.1 Punkt-Richtungs-Gleichung A

u

l·u X

a x O

G G Geht man von einem Punkt A mit dem Ortsvektor a um das λ-fache in Richtung des Vektors u G G weiter, so kommt man auf einen Punkt X mit dem Ortsvektor a + λu . Verkleinert oder vergrößert man λ, so erhält man weitere Punkte, die alle auf einer Geraden liegen. Die Gleichung dieser Geraden lässt sich damit mit folgender Vektorgleichung formulieren: →

→

→

x

a

Ȝ⋅u

OX = OA + AX N NG N G G

Geradengleichung in Parameterform (Punkt-Richtungs-Gleichung)

G G G x = a + λ⋅ u, λ ∈ R \ {0}

G a = Stützvektor G u = Richtungsvektor λ

= Parameter (Variable)

(Diese Geradengleichung wird deshalb als Parametergleichung bezeichnet.)

Beispiel Eine Gerade geht durch den Punkt A (2; 5; 7) parallel zu der Geraden mit dem Richtungsvektor G ⎛ 2⎞ ⎟ u =⎜ ⎜ 1⎟. Bestimmen Sie die Gleichung der Geraden. ⎝5 ⎠ Lösung

Geradengleichung:

G G G x = a + λ⋅u ⎛ 2⎞ ⎛ 2⎞ G ⎟ ⎜ ⎟ x =⎜ ⎜5⎟ + λ⋅⎜ 1⎟ ⎝7 ⎠ ⎝5 ⎠

H. Rapp, Mathematik für die Fachschule Technik, DOI 10.1007/978-3-8348-9803-6_42, © Vieweg+Teubner | GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2010

448

42 Geraden im Raum

42.1.2 Zwei-Punkte-Gleichung A

b–a B

l(b – a)

a

X x

O

Wird die Richtung der Geraden durch die Punkte A und B, bzw. der Richtungsvektor durch die G G Differenz der Ortsvektoren a − b dieser Punkte festgelegt, so erhält man aus der Vektorgleichung →

→

→

x

a

G λ⋅(b−a)

OX = OA + AX N N N G G G die Zwei-Punkte-Gleichung der Geraden.

Parametergleichung der Geraden (Zwei-Punkte-Gleichung) G G G G x = a + λ⋅ (b − a) , λ ∈ R \ {0} G G G x, a, b = Ortsvektoren der Punkte X, A und B λ = Parameter

Beispiel Eine Gerade soll durch die Punkte A(2; –1; –2) und B(3; 2; –1) gehen. Bestimmen Sie die Gleichung dieser Geraden. Lösung

Geradengleichung:

G G G G x = a + λ⋅(b − a) ⎛⎛ 3 ⎞ ⎛ 2 ⎞⎞ G ⎛2⎞ ⎟+ λ⋅⎜⎜ 2 ⎟−⎜−1⎟⎟ x =⎜ 1 − ⎜ ⎟ ⎜⎜−1⎟ ⎜−2⎟⎟ ⎝−2⎠ ⎝⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎠ ⎛ 1⎞ G ⎛ 2⎞ ⎟+ λ⋅⎜3⎟ − x =⎜ 1 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝−2⎠ ⎝ 1⎠

Beispiel ⎛4⎞ G ⎛ 6⎞ Gegeben ist die Gerade g: x =⎜ 3 ⎟+ λ⋅⎜ 0 ⎟. Prüfen Sie nach, ob die Punkte A (2; 3; 1) und B ⎝ 2⎠

⎝ 1⎠

(2; 1; –1) auf der Geraden liegen. Lösung

Wenn die Punkte auf der Geraden liegen sollen, muss der Ortsvektor des beliebigen Punktes X auf der Geraden mit dem Ortsvektor des Punktes A bzw. des Punktes B übereinstimmen.

42.2 Darstellung von Geraden

449

G G G G Wir setzen also jeweils x = a und x = b . G G Punkt A: x=a ⎛ 2⎞ ⎛ 6 ⎞ ⎛ 4⎞ ⎜3⎟=⎜3⎟+ λ⋅⎜ 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 1⎠ ⎝ 2⎠ ⎝ 1⎠

Soll diese Gleichung erfüllt sein, so muss es für alle Komponenten einen gemeinsamen Parameter λ geben, für den die Komponenten gleich sind. Wir bestimmen deshalb für jede Komponente den Parameter: ⎛ 2⎞ ⎛ 6 ⎞ ⎛ 4⎞ → ⎜3⎟=⎜3⎟+ λ⋅⎜ 0 ⎟ → ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 1⎠ ⎝ 2⎠ ⎝ 1⎠ →

2 = 6 + 4⋅λ ⇔ λ = −1 3 = 3 + λ⋅0 ⇔ λ beliebig 1 = 2 + λ⋅1 ⇔ λ = −1

Da es für alle drei Komponenten einen gemeinsamen Parameter λ = –1 gibt, für den die Vektorgleichung erfüllt ist, liegt der Punkt A auf der Geraden g.

Punkt B:

G G x=b

⎛ 2⎞ ⎛ 6 ⎞ ⎛ 4⎞ ⎜ 1⎟=⎜3⎟+ λ⋅⎜ 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝−1⎠ ⎝ 2⎠ ⎝ 1⎠

→ λ =−1 → λ beliebig , aber 1 = 3 + 0⋅λ nicht erfüllbar → λ =−3

Da es für die drei Komponenten keinen gemeinsamen Parameter λ gibt, für den die Vektorgleichung erfüllt ist, liegt der Punkt B nicht auf der Geraden. Ergebnis: Punkt A liegt auf der Geraden g (A ∈ g) . Punkt B liegt nicht auf der Geraden (B ∉ g).

Beispiel Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes A (?; 13; ?) so, dass er auf der Geraden

⎛ 4⎞ G ⎛ 6⎞ ⎟+ λ⋅⎜ 5 ⎟ liegt. g: x =⎜ 3 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 2⎠ ⎝ 1⎠ Lösung Aus der Gleichung der zweiten Komponente 13 = 3 + 5λ erhalten wir λ = 2. Daraus erhalten wir die übrigen Komponenten und damit die Koordinaten von A:

A (14;13; 4)

42.2 Darstellung von Geraden 42.2.1 Räumliche Darstellung im Koordinatensystem Die Achsen des dreidimensionalen Koordinatensystems werden mit x, y, und z oder mit x1, x2 und x3 bezeichnet.

450

42 Geraden im Raum

Beispiel

⎛ 1⎞ G ⎛3⎞ ⎟+ λ⋅⎜ 2⎟ im dreidimensionalen Koordinatensystem dar. Stellen Sie die Gerade g : x =⎜ 2 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 4⎠ ⎝−3 ⎠ Lösung

42.2.2 Projektion einer Geraden auf die Koordinatenebenen (Projektionsgeraden) Die Koordinatenebenen werden bezeichnet als Grundriss:

x1 x 2 – Ebene (x y – Ebene) : z = 0

Aufriss:

x 2 x 3 – Ebene (y z – Ebene) : x = 0

Seitenriss:

x1 x 3 – Ebene (x z – Ebene) : y = 0

Bei der senkrechten Projektion auf die Koordinatenebenen erhalten wir zwei-dimensionale Geraden, da jeweils eine Komponente Null wird. Wir setzen in der Geradengleichung sowohl beim Stützvektor wie auch beim Richtungsvektor die jeweilige Komponente Null und erhalten auf diese Weise die Projektionsgeraden.

Beispiel Bestimmen Sie die Gleichungen der Projektionsgeraden, die durch senkrechte Projektion der ⎛4⎞ G ⎛3⎞ ⎟+ λ⋅⎜ 3 ⎟ auf die Koordinatenebenen entstehen. Geraden g: x =⎜ 2 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝−1⎠ ⎝−2⎠ Lösung

Projektion in die x1x2-Ebene (xy-Ebene): z = 0

42.2 Darstellung von Geraden

451

Das Nullsetzen der z-Komponente führt zu der Geradengleichung:

⎛ 4⎞ G ⎛3 ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ g′ : x =⎜ ⎜2⎟+ λ⋅⎜3 ⎟ ⎝0 ⎠ ⎝0⎠ Projektion in die x2x3-Ebene (yz-Ebene): x = 0 Das Nullsetzen der x-Komponente führt zu der Geradengleichung: ⎛0⎞ 0⎞ G ⎛ ⎜ 2 ⎟+ λ⋅⎜ 3 ⎟ g′′ : x =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝−1⎠ ⎝−2⎠ Projektion in die x1x3-Ebene (xz-Ebene): y = 0 Das Nullsetzen der y-Komponente führt zu der Geradengleichung: ⎛4⎞ 3⎞ G ⎛ ⎜ 0 ⎟+ λ⋅⎜ 0 ⎟ g′′′ : x =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝−1⎠ ⎝−2⎠

42.2.3 Spurpunkte von Geraden Die Spurpunkte von Geraden sind die Schnittpunkte der Geraden mit den Koordinatenebenen. In diesen Punkten durchdringen die Geraden die Koordinatenebenen.

Beispiel

⎛ 4⎞ G ⎛ 3⎞ ⎟+ λ⋅⎜ 3 ⎟ Bestimmen Sie die Spurpunkte der Geraden g: x =⎜ 2 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝−4 ⎠ ⎝−2 ⎠ Lösung

a) Spurpunkt in der x1x2-Ebene (xy-Ebene): z = 0 Das Nullsetzen der z-Komponente der Geradengleichung führt zu 0 = – 4 – 2⋅ λ ⇔ λ = −2 Setzt man λ in die Geradengleichung ein, so erhält man den Ortsvektor des Spurpunktes: ⎛ 3⎞ ⎛ 4⎞ G ⎟ + (−2)⋅⎜ 3 ⎟ = xS = ⎜ 2 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝−4⎠ ⎝−2⎠

⎛ 3 − 8⎞ ⎜ 2 − 6⎟ = ⎜ ⎟ ⎝−4 + 4⎠

Der Spurpunkt in der x1x2-Ebene (xy-Ebene) hat die Koordinaten S1(−5;−4;0) b) Spurpunkt in der x2x3-Ebene (yz-Ebene): x = 0 Das Nullsetzen der x-Komponente der Geradengleichung führt zu 0 = 3 + 4⋅ λ ⇔ λ = −

3 4

⎛−5⎞ ⎜−4⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 0⎠

452

42 Geraden im Raum

Setzt man λ in die Geradengleichung ein, so erhält man den Ortsvektor des Spurpunktes: ⎛ 3 − 3 ⎞ ⎛ 3⎞ ⎛ 3 ⎞ ⎛ 4⎞ ⎜ ⎟ G ⎜ 2 ⎟ + ⎜− ⎟⋅⎜ 3 ⎟ = ⎜ 2 − 9 ⎟ = xS = ⎜ ⎟ ⎝ 4 ⎠⎜ ⎟ 4 ⎟ ⎜ ⎝−4⎠ ⎝−2⎠ ⎝−4 + 1,5⎠

⎛ 0 ⎞ ⎜−0,25⎟ ⎜ ⎟ ⎝ −2,5 ⎠

Der Spurpunkt in der x1x2-Ebene (xy-Ebene) hat die Koordinaten S2 (0;−0,25;−2,5) c) Spurpunkt in der x1x3-Ebene (xz-Ebene): y = 0 ⎛1 8⎞ Entsprechend erhält man den Spurpunkt S3 ⎜ ; 0 ; − ⎟ in der x1x3-Ebene. 3⎠ ⎝3

Beispiel

⎛ 1⎞ G ⎛ 2⎞ ⎟+ λ⋅⎜ 2 ⎟ die Spurpunkte und stellen Sie die Gerade Berechnen Sie für die Gerade g: x =⎜ 4 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝5⎠ ⎝− 4⎠ g und ihre Projektionen auf die Koordinatenebenen in einem dreidimensionalen Koordinatensystem dar (x2- und x3-Achse: 1 LE = 1 cm, x1-Achse mit Schrägbildwinkel 45° und 1 LE = 1 2

2 cm).

Lösung

Spurpunkte: 5 4

⎯⎯⎯ → S1 (3,25 ; 6,5 ; 0)

xy-Ebene (z = 0):

0 = 5 − 4λ ⇔ λ=

yz-Ebene (x = 0):

0 = 2 + λ ⇔ λ =−2

⎯⎯⎯ → S2 (0 ; 0 ; 13)

xz-Ebene (y = 0):

0 = 4 + 2λ ⇔ λ =−2

⎯⎯⎯ → S3 (0 ; 0 ; 13)

Projektionsgeraden: xy-Ebene (z = 0):

G ⎛ 2⎞ ⎛ 1⎞ ⎟ ⎜ ⎟ g′ : x =⎜ ⎜ 4⎟+ λ⎜2⎟ ⎝ 0 ⎠ ⎝0 ⎠

yz-Ebene (x= 0):

G ⎛0⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ g′′ : x =⎜ ⎜ 4⎟+ λ⎜ 2 ⎟ ⎝ 5 ⎠ ⎝− 4⎠

xz-Ebene (y = 0):

G ⎛ 2⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ g′′′ : x =⎜ ⎜0 ⎟+ λ⎜ 0 ⎟ ⎝5⎠ ⎝− 4⎠

42.3 Spezielle Geraden

453

Graphische Darstellung

Stützpunkt von g’’ Stützpunkt von g’’

Stützpunkt von g’

42.3 Spezielle Geraden a) Geraden parallel zu einer Koordinatenebene Beispiel

⎛3⎞ G ⎛3⎞ Gegeben ist die Gerade g: x =⎜ 2⎟+ λ⋅⎜ 1⎟. ⎝5⎠

⎝7⎠

Bestimmen Sie die Gleichung der Parallelen zu den Koordinatenebenen.

454

42 Geraden im Raum

Lösung

Verläuft eine Gerade parallel zu einer Koordinatenebene, so verläuft sein Richtungsvektor parallel zu dieser Ebene. Wir verändern deshalb in den Geradengleichungen den Richtungsvektor. Gerade parallel zur xy-Ebene (z = 0):

⎛ 3⎞ G ⎛3 ⎞ ⎟+ λ⋅⎜ 1⎟ x =⎜ 2 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝5 ⎠ ⎝ 0⎠ Gerade parallel zur yz-Ebene (x = 0):

⎛ 0⎞ G ⎛3 ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ x =⎜ ⎜2⎟+ λ⋅⎜ 1⎟ ⎝5 ⎠ ⎝ 7⎠ Gerade parallel zur xz-Ebene (y = 0):

⎛ 3⎞ G ⎛3 ⎞ ⎟+ λ⋅⎜0⎟ x =⎜ 2 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝5 ⎠ ⎝ 7⎠

b) Geraden parallel zu den Koordinatenachsen Die Koordinatenachsen haben im Richtungsvektor nur eine Komponente, die andern beiden sind Null zu setzen.

Beispiel

⎛3 ⎞ G ⎛3⎞ ⎟+ λ⋅⎜ 1⎟. Bestimmen Sie die Gleichung der Parallelen zu der Gegeben ist die Gerade g: x =⎜ 2 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝5⎠ ⎝7 ⎠ z-Achse. Lösung Der Richtungsvektor der Parallelen zur z-Achse hat nur eine z-Komponente:

⎛0 ⎞ G ⎛3⎞ ⎟+ λ⋅⎜0⎟ 2 Parallelle zur z-Achse: x =⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝5⎠ ⎝7 ⎠ ⎛0 ⎞ G ⎛0 ⎞ G ⎟ ⎜ ⎟ Da der Richtungsvektor v = ⎜ ⎜0⎟ kollinear zum Vektor u = ⎜0⎟ verläuft, könnte die Gerade ⎝ 1⎠ ⎝7 ⎠ auch mit diesem Richtungsvektor formuliert werden. ⎛0 ⎞ G ⎛3⎞ ⎟ ⎜ ⎟ Parallele zur y–Achse: x =⎜ ⎜ 2⎟+ λ⋅⎜ 1⎟ ⎝5⎠ ⎝0 ⎠

⎛3 ⎞ G ⎛3⎞ ⎟ ⎜ ⎟ Parallele zur x–Achse: x =⎜ ⎜ 2⎟+ λ⋅⎜0⎟ ⎝5⎠ ⎝0 ⎠

c) Koordinatenachsen Die Geradengleichungen der Koordinatenachsen vereinfachen sich in folgender Weise: x–Achse:

⎛u1⎞ G ⎛a1⎞ ⎟+ λ⋅⎜ 0 ⎟ oder, da der Ursprung auch zur Achse gehört: x =⎜ 0 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝0⎠ ⎝0⎠

42.4 Schnittpunkt zweier Geraden

455

⎛u1⎞ G ⎛0⎞ ⎟+ λ⋅⎜ 0 ⎟ oder, da man den Nullvektor nicht schreibt: x =⎜ 0 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝0⎠ ⎝0⎠ ⎛ 1⎞ G ⎟ x = λ⋅⎜ ⎜0 ⎟ ⎝0 ⎠ y–Achse:

⎛0 ⎞ G ⎟ x = λ⋅⎜ ⎜ 1⎟ ⎝0 ⎠

z-Achse:

⎛0 ⎞ G ⎟ x = λ⋅⎜ ⎜0 ⎟ ⎝ 1⎠

42.4 Schnittpunkt zweier Geraden Geraden im Raum können verschiedene Lagen zueinander haben: 1. Sie können sich schneiden (g1 mit g2 und g3). 2. Sie können parallel sein (g2 und g3). 3. Sie können windschief sein. (g4 bezüglich g1, g2 und g3). g1

g2

g3

g4

Beispiel 1 (Sich schneidende Geraden)

⎛ 2⎞ ⎛2⎞ ⎛ 1⎞ ⎛4⎞ G G Gegeben sind die Geraden g: x1 = ⎜ 3 ⎟ + λ⋅⎜10 ⎟ und h: x 2 = ⎜ 4 ⎟ + μ⋅⎜ 8 ⎟. ⎝5⎠

⎝4⎠

⎝ 2⎠

⎝10 ⎠

Bestimmen Sie den Schnittpunkt S dieser Geraden. Lösung

G G Der Vektor x1 durchläuft die Gerade g, der Vektor x 2 durchläuft die Gerade h. Schneiden sich die beiden Geraden, so führen die beiden Vektoren im Schnittpunkt auf einen Punkt, der beiden Geraden gemeinsam ist. Der Vektor zu diesem Punkt ist der Ortsvektor des Schnittpunktes S. Wir erhalten ihn, indem wir die beiden Vektoren gleichsetzen:

456

42 Geraden im Raum

Gleichsetzen der Vektoren:

G G x1 = x 2

S

⎛4⎞ ⎛ 2⎞ ⎛ 2 ⎞ ⎛ 1⎞ ⎜3⎟+ λ⋅⎜10⎟= ⎜ 4⎟+ μ⋅⎜ 8 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝10⎠ ⎝5 ⎠ ⎝ 4 ⎠ ⎝ 2⎠

u A

⎛ 2 − 1⎞ ⎛2⎞ ⎛4⎞ ⎜3 − 4⎟+ λ⋅⎜10⎟ = μ⋅⎜ 8 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝5 − 2⎠ ⎝4⎠ ⎝10⎠

v B

x1 = x2

g

h a

b

Da Vektoren nur dann gleich sind, wenn ihre Komponenten gleich sind, setzen wir die Komponenten ebenfalls gleich und erhalten als Lösungssystem ein lineares Gleichungssystem (LGS), aus dem die Parameter λ und μ bestimmt werden. 1+

2λ = 4 μ

−1 + 10 λ = 8 μ 3 + 4 λ = 10 μ

Aus den Gleichungen (1) und (2) erhält man λ=

(1) (2) (3)

1 1 und μ = . 2 2

Diese beiden Parameter erfüllen die Gleichung (3), so dass es Lösungen des LGS sind. Setzt man diese in die Geradengleichungen ein, erhält man den Ortsvektor des Schnittpunktes. Wir erhalten als Schnittpunkt S (3;8;7)

Beispiel 2 (Parallele Geraden)

⎛2⎞ ⎛3⎞ ⎛−1⎞ G ⎛ 1⎞ ⎟+ λ⋅⎜−4 ⎟ und h: xG 2 =⎜ 4 ⎟+ μ⋅⎜ 2 ⎟ 3 Gegeben sind die Geraden g: x1 =⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 2⎠ ⎝ 6 ⎠ ⎝5⎠ ⎝−3⎠ Prüfen Sie nach, ob sich die Geraden g und h schneiden und berechnen Sie gegebenenfalls den Schnittpunkt. Lösung

G Setzt man in diesem Fall die beiden Vektoren x gleich, so erhält man folgendes Gleichungssystem:

−2 + 2λ = −μ −1− 4 λ = 2μ −3 + 6 λ = −3 μ

Dieses LGS hat für λ und μ keine Lösung, so dass wir auch keinen Schnittpunkt erhalten. Da die beiden Richtungsvektoren aber linear abhängig sind, verlaufen die beiden Geraden parallel. Die Parallelität kann auch auf folgende Weise nachgeprüft werden: 1. Untersuchung der Richtungsvektoren: Da die beiden Richtungsvektoren linear abhängig sind, verlaufen die Geraden in derselben Richtung. 2. Punktprobe: Da der Punkt A (1; 3; 2) nicht auf der Geraden h liegt, sind die Geraden nicht identisch, sondern verlaufen parallel.

42.4 Schnittpunkt zweier Geraden

457 Parallelität von Geraden

A a

b–a

g B h

b O

Die Geraden g und h sind parallel, wenn ihre Richtungsvektoren G G u und ν kollinear sin d.

Gleichheit von Geraden A

g

B

b–a

h

a

b

O

Die Geraden g und h sind gleich (identisch), wenn ihre Richtungsvektoren G G G G G G u und v kollinear sind und zusätzlich b − a kollinear zu u und v ist, oder wenn A auf h liegt.

Beispiel 3 (Gleiche Geraden) Untersuchen Sie die gegenseitige Lage der beiden Geraden

⎛ 1⎞ G ⎟ g: x = ⎜ ⎜ 2⎟ + ⎝3⎠

⎛ 2⎞

G

⎛ 2⎞

⎛ 1⎞

⎝6⎠

⎝ 3⎠

⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ λ⋅⎜ ⎜−4 ⎟ und h: x 2 =⎜0 ⎟ + μ⋅⎜−2⎟. ⎝ 6⎠

Lösung

1. Die Richtungsvektoren der beiden Geraden sind linear abhängig. 2. Der Punkt A (1; 2; 3) liegt auf der Geraden h, d. h. es handelt sich um dieselbe Gerade. Die Geraden sind identisch.

458

42 Geraden im Raum

Beispiel 4 (Windschiefe Geraden) Untersuchen Sie die gegenseitige Lage der Geraden

⎛ 2⎞ ⎛5 ⎞ ⎛ 1⎞ G ⎛ 1⎞ ⎟+ λ⋅⎜−4 ⎟ und h: xG 2 = ⎜ 1⎟ + μ⋅⎜5 ⎟ 3 g: x1 =⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝3 ⎠ ⎝3⎠ ⎝ 2⎠ ⎝ 6⎠ Lösung

G G Falls sich die Geraden schneiden, muss gelten: x1 = x 2

Daraus ergibt sich das LGS

−4 = − 2λ + μ 2 = 4λ + 5 μ −1 = − 6 λ + 3 μ

(1) ⋅ 2 (2) (3)

Addiert man die Gleichungen 2⋅(1) und (2), so erhält man – 6 = 7⋅μ oder μ = − diesen Wert in Gl. (1) ein, so ergibt sich − 4 = − 2λ−

6 . Setzt man 7

6 11 oder λ = . 7 7

66 18 − , d. h. die 7 7 Werte erfüllen die Gl. (3) nicht: und das LGS hat keine Lösung. Damit haben die Geraden keinen gemeinsamen Schnittpunkt. Da außerdem die Richtungsvektoren linear unabhängig sind, sind die Geraden auch nicht parallel. Die Geraden sind somit windschief.

Werden diese beiden Werte in Gl. (3) eingesetzt, so erhält man: −1 = −

Aufgaben zu 42 Geraden im Raum

⎛2⎞ G ⎛ 1⎞ ⎟+ λ⋅⎜−5 ⎟. Prüfen Sie nach, ob die Punkte A (5; –5; 8) 1. Gegeben sei die Gerade g: x =⎜ 5 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 2⎠ ⎝3⎠ und B (2; 3; 7) auf der Geraden g liegen. 2. Eine Gerade g soll die Punkte P (2; –3; 5) und Q (–3; –2; 4) enthalten. a) Bestimmen Sie die Gleichung dieser Geraden und daraus die Spurpunkte.

b) Bestimmen Sie die Gleichung der Projektionsgeraden g′′′, die durch orthogonale Projektion der Geraden g in die xz-Ebene entsteht.

⎛ 3⎞ G ⎛ 1⎞ ⎟+ λ⋅⎜ −1⎟ in der xy- und in der xz3. Bestimmen Sie die Spurpunkte der Geraden g: x =⎜ 2 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝5⎠ ⎝ 4⎠ Ebene. Durch den Spurpunkt in der xy-Ebene soll eine Parallele zur z-Achse gehen. Bestimmen Sie die Gleichung dieser Geraden. 4. Berechnen Sie den Schnittpunkt der Geraden

⎛ 4⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ 2⎞ G ⎛ 1⎞ ⎟+ λ1 ⋅⎜−3 ⎟ und h : xG =⎜3 ⎟+ λ2 ⋅⎜−2⎟. 2 g: x =⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 2⎠ ⎝ 6⎠ ⎝ 2⎠ ⎝ 3⎠

459

43 Vektorielle Darstellung von Ebenen 43.1 Parameterdarstellung einer Ebene 43.1.1 Punkt-Richtungs-Gleichung G G Eine Ebene ist durch einen Punkt A und zwei linear unabhängige Richtungsvektoren u und v festgelegt. X

m·v v A

l·u

u a

x O

G Damit lassen sich alle Ortsvektoren x eines beliebigen Punktes X aus der Summe des OrtsvekG G G tors a und der Vektoren λ⋅ u und μ⋅ v darstellen.

Gleichung der Ebene in Parameterform: (Punkt-Richtungs-Gleichung)

G G G G E: x = a + λ⋅u + μ⋅ v

Parameter: λ, μ ∈ R \ { 0

}

Beispiel G ⎛ 1⎞ ⎟ Eine Ebene geht durch den Punkt A (2; 4; 3) und hat die Richtungsvektoren u =⎜ ⎜3 ⎟ und

⎝5⎠

G ⎛2⎞ ⎟ v =⎜ ⎜ 5 ⎟. Bestimmen Sie die Ebenengleichung.

⎝4⎠

Lösung G G G G E: x = a + λ⋅u + μ⋅ v

⎛ 2⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ 2⎞ G ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ E: x =⎜ 4⎟+ λ⋅⎜3⎟+ μ⋅⎜5 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝3⎠ ⎝5 ⎠ ⎝ 4⎠

H. Rapp, Mathematik für die Fachschule Technik, DOI 10.1007/978-3-8348-9803-6_43, © Vieweg+Teubner | GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2010

460

43 Vektorielle Darstellung von Ebenen

43.1.2 Drei-Punkte-Gleichung Eine Ebene lässt sich auch durch drei Punkte festlegen, die nicht auf einer Geraden liegen. Ersetzt in der Punkt-Richtungs-Gleichung die Richtungsvektoren durch die DifferenzvektoG man G G G G G G ren b − a und c − a , so erhält man die Drei-Punkte-Gleichung der Ebene. a, b und c sind dabei die Ortsvektoren der Punkte A, B und C.

Gleichung der Ebene in Parameterform: (Drei-Punkte-Gleichung) G G G G G G E: x = a + λ⋅ (b − a) + μ ⋅ (c − a) Parameter: λ, μ ∈ R \ { 0

}

Beispiel Von einer Ebene sind die Punkte A (1; 5; 2), B (2; 4; 5) und C (3; 7; –2) gegeben. Bestimmen Sie die Gleichung dieser Ebene. Lösung

Aus den Koordinaten der Punkte ergeben sich folgende Ortsvektoren: ⎛ 1⎞ ⎛ 3 ⎞ 2⎞ G ⎛ G ⎜ ⎟ G ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ A (1; 5; 2) → a =⎜5⎟ , B (2; 4; 5) → b =⎜ 4⎟ , C (3; 7; –2) → c =⎜ 7 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 2⎠ ⎝5⎠ ⎝− 2⎠ G G G G G G Die Gleichung der Ebene lautet damit: x = a + λ⋅(b − a) + μ⋅(c − a) ⎛⎛ 2⎞ ⎛ 1⎞⎞ ⎛⎛ 3 ⎞ ⎛ 1⎞⎞ ⎛ 1⎞ G ⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎟ E: x =⎜5⎟+ λ⋅⎜⎜ 4⎟−⎜5⎟⎟+ μ⋅⎜⎜ 7 ⎟−⎜5⎟⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 5 ⎟ ⎜⎜−2⎟ ⎜ 2⎟⎟ ⎝ 2⎠ ⎝⎝ ⎠ ⎝ 2⎠⎠ ⎝⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎠ ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ 2⎞ G ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ E : x = ⎜5⎟ + λ⋅⎜−1⎟ + μ⋅⎜ 2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 2⎠ ⎝ 3⎠ ⎝−4⎠

43.2 Koordinatengleichung der Ebene

461

43.2 Koordinatengleichung der Ebene Aus der Parametergleichung einer Ebene lässt sich eine parameterfreie Ebenengleichung berechnen. Berechnungsverfahren:

⎛ x1 ⎞ ⎛ a1 ⎞ ⎛ u1 ⎞ ⎛ v1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ Die Ebenengleichung E: ⎜ x 2 ⎟=⎜ a2 ⎟+ λ ⋅⎜u2 ⎟+ μ⋅⎜ v 2 ⎟ lässt sich auch als Gleichungssystem ⎝ x 3 ⎠ ⎝ a3 ⎠ ⎝u3 ⎠ ⎝v3 ⎠ der Komponenten schreiben: x1 = a1 + λ⋅ u1 + μ ⋅ v1 x 2 = a2 + λ⋅ u2 + μ ⋅ v 2 x 3 = a3 + λ⋅ u3 + μ ⋅ v 3 Aus jeweils zwei dieser Gleichungen lassen sich die Parameter λ und anschließend μ eliminieren. Daraus erhält man eine parameterfreie Gleichung, die man als Koordinatengleichung der Ebene bezeichnen kann.

Koordinatengleichung der Ebene: (Parameterfreie Ebenengleichung)

A ⋅ x1 + B ⋅ x 2 + C⋅ x 3 = D A, B, C, D ∈ R

Wie wir später sehen werden, ist diese Gleichung nur eine andere Schreibweise der mit Hilfe des Normalenvektors der Ebene formulierten Punkt-Normalengleichung. Man könnte diese Gleichungsform deshalb auch als Normalengleichung bezeichnen. Diese Gleichung spielt bei Schnittproblemen und bei Winkelberechnungen eine wichtige Rolle. Die Berechnungsverfahren lassen sich mit dieser Gleichungsform wesentlich vereinfachen.

Beispiel Bestimmen Sie die Koordinatengleichung aus folgender Parametergleichung: E:

⎛ 2⎞ ⎛− 3 ⎞ G ⎛ 6⎞ x =⎜ 0 ⎟+ λ⋅⎜ 1 ⎟+ μ⋅⎜ 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 0⎠

⎝0⎠

⎝ 1⎠

Lösung x1 = 6 − 3 λ+ 2 μ x2 = λ x3 = μ

(1) (2) (3) ⋅2 = (3')

Subtrahiert man die Gleichungen (1) und (3´) voneinander, so erhält man:

(1) − (3′) :

x1 − 2x3 = 6 − 3 λ (4) x2 = λ (2) ⋅3 = (2')

(4) + (2′) :

x1 + 3x 2 − 2x3 = 6

Anmerkung: Anstelle dieser Gleichung kann auch geschrieben werden: E: x + 3y − 2z = 6

462

43 Vektorielle Darstellung von Ebenen

43.3 Achsenabschnittsgleichung Die Achsenabschnittsgleichung ist eine umgeformte Koordinatengleichung, aus der die Schnittpunkte der Ebene mit den Koordinatenachsen unmittelbar abgelesen werden können.

Beispiel Bestimmen Sie die Achsenschnittpunkte der Ebene E: x + 3y − 2z = 6. Lösung

x + 3y − 2z = 6

Dividiert man die Koordinatengleichung durch den konstanten Term 6, so dass rechts der Gleichung die Zahl 1 entsteht, so erhält man zunächst die nebenstehende Gleichung:

x 3y −2z + + =1 6 6 6

Daraus erhält man nach folgender Umformung die Achsenabschnittsgleichung. Die Nenner geben unmittelbar die Abschnitte auf den Koordinatenachsen an.

x y z + + =1 6 2 −3

Die Achsenschnittpunkte sind somit: A x (6; 0; 0) A y (0; 2; 0) A z (0; 0; − 3) Achsenabschnittsgleichung:

x a

+

y b

+

z c

=1

a, b, c ∈ R \ { 0

}

Die Achsenschnittpunkte sind A (a; 0; 0), B (0; b; 0), C (0; 0; c).

43.4 Zeichnerische Darstellung von Ebenen 43.4.1 Spurgeraden von Ebenen Verbindet man die Achsenschnittpunkte einer Ebene miteinander, so erhält man die in den Koordinatenebenen liegenden Spurgeraden. Zum Zeichnen einer Ebene verwenden wir die Spurgeraden. Die Spurgeraden in den einzelnen Koordinatenebenen sind: Grundrissspur: g1 = s12 in der xy–Ebene (z = 0) Aufrissspur:

g2 = s23 in der yz–Ebene (x = 0)

Seitenrissspur: g3 = s13 in der xz–Ebene (y = 0)

43.4 Zeichnerische Darstellung von Ebenen

463

Beispiel

⎛2⎞ ⎛1⎞ G ⎛−2⎞ 3 ⎟+ λ⋅⎜ 1 ⎟+ μ ⋅⎜ 2 ⎟. Gegeben ist die Ebene E: x =⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝4⎠

⎝−1⎠

⎝−2⎠

Bestimmen Sie die Grundrissspur in der xy-Ebene. Lösung

In der xy-Ebene ist z = 0. Wir setzen deshalb die z-Komponente Null und erhalten 0 = 4 – λ – 2μ oder μ = 2 −

λ . 2

Setzt man dieses Ergebnis in die Ebenengleichung ein, so erhält man ⎛−2⎞ ⎛2⎞ ⎛ 1⎞ G ⎜ ⎟ λ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎛ x =⎜ 3 ⎟+ λ⋅⎜ 1 ⎟+⎜2 − ⎟⋅⎜ 2 ⎟ 2 ⎠⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎝4⎠ ⎝−1⎠ ⎝−2⎠ ⎛−2 + 2 λ+ 2 − 0,5 λ ⎞ G ⎜ ⎟ x =⎜ 3 + λ+ 4 − λ ⎟ ⎜ ⎟ 4 − λ− 4 + λ ⎠ ⎝ Spurgerade in der xy-Ebene: ⎛0 ⎞ ⎛1,5⎞ G ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ x =⎜7⎟+ λ⋅⎜ 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝0 ⎠ ⎝0⎠ (= Parallele zur x-Achse)

Beispiel Gegeben ist die Ebene E: 2x1 + 4x 2 − 5x 3 = 2. Bestimmen Sie die Spurgeraden in den Koordinatenebenen. Lösung

Die Berechnung der Spurgeraden ist bei der Koordinatengleichung wesentlich einfacher als bei der Parameterform der Ebenengleichung. Wir erhalten als Spurgeraden in der: xy–Ebene:

z = 0 ( x3 = 0) :

2x1 + 4x 2 = 2

yz–Ebene:

x = 0 ( x1 = 0) :

4x 2 − 5x3 = 2

xz–Ebene:

y = 0 ( x 2 = 0) :

2x1 − 5x3 = 2

Die Spurgeraden können auch als Verbindungsgeraden der Achsenschnittpunkte berechnet werden: Achsenschnittpunkte aus der Achsenabschnittsgleichung: x y z + + =1 2 1 1 − 2 5 Die Achsenschnittpunkte sind A x (1; 0; 0), A y (0; 0,5; 0) und A z (0; 0; − 0,4).

464

43 Vektorielle Darstellung von Ebenen

43.4.2 Zeichnen einer Ebene Beispiel Stellen Sie die Ebene E: 2x1 + 3x 2 + 4x3 = 6 in einem dreidimensionalen Koordinatensystem dar. Lösung

Ausgehend von den Achsenschnittpunkten A x (3; 0; 0),

x3

A y (0; 2; 0), A z (0; 0; 1,5)

Az

zeichnen wir als Verbindungsgeraden dieser Punkte die Spurgeraden. Wir erhalten damit einen dreieckigen Ausschnitt der Ebene.

Ay

Anmerkung:

Die x1 -Achse (x-Achse) wird mit dem verkürzten Maßstab 1 LE =

2 2

cm (bei karier-

tem Papier) oder 1 LE = 0,5 cm (bei unliniertem Papier) gezeichnet.

Ax

x2

x1

Beispiel Stellen Sie die Ebene E : 2x1 + 3x 2 + 5x 3 = 0 in einem dreidimensionalen Koordinatensystem dar. Lösung

Diese Ebene geht durch den Ursprung. Es kann keine Achsenabschnittsgleichung angegeben werden, da eine Division durch Null nicht definiert ist. Die Ebene schneidet die Achsen im Ursprung.

x3

s13

s12

Die Spurgeraden sind: s12 : 2x1 + 3x 2 = 0

x2

s13 : 2x1 + 5x3 = 0 s23 : 3x2 + 5x3 = 0 Als Darstellung der Ebene wird ein dreieckiger Ausschnitt mit Parallelen zu den Spurgeraden gezeichnet.

x1

s23

Ebenen, die parallel zu einer oder zwei Koordinatenachsen verlaufen, werden mit einem rechteckigen Ausschnitt gezeichnet.

43.4 Zeichnerische Darstellung von Ebenen

465

Beispiel 1. Parallele Ebene zur x3-Achse

2. Parallele Ebene zur x2- und x3-Achse

E: 4x1 + 3x 2 = 6

E: 2x1 = 4 x3

x3

1

1

1 A1

s12

1

A2

1

x2

2

1

x2

A1

x1

x1

Aufgaben zu 43 Vektorielle Darstellung von Ebenen 1. Von einer Ebene seien die Punkte A (2; 5; 7), B (1; 3; 4) und C (–1; 4; 6) gegeben.

a) Bestimmen Sie die Gleichung der Ebene in der Parameterform. b) Berechnen Sie die Koordinatengleichung dieser Ebene und geben Sie mit Hilfe der Achsenabschnittsgleichung die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen an.

⎛ 1⎞ ⎛4⎞ G ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 2. Eine Ebene E soll die Gerade g: x = 2 + λ⋅ −3 und den Punkt A (3; 5; 8) enthalten. ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 2⎠ ⎝6⎠ a) Bestimmen Sie die Gleichung der Ebene E in der Parameter- und Koordinatenform. b) Berechnen Sie die Achsenschnittpunkte. c) Berechnen Sie die Spurgerade dieser Ebene in der xy-Koordinatenebene. 3. Untersuchen Sie, ob der Punkt A (3; 1; 4) auf der Ebene E: 2x – y + 3z –17 = 0 liegt.

⎛ 5⎞ 4⎞ G ⎛ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 4. Untersuchen Sie, ob die Gerade g: x = 3 + λ⋅ 0 auf der Ebene E: 3x – 2y + 5z = 16 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 2⎠ ⎝−3 ⎠ liegt. Bestimmen Sie die Schnittpunkte der Ebene E mit den Koordinatenachsen.

466

Produkte von Vektoren

44 Das Skalarprodukt 44.1 Winkel zwischen Vektoren G G Die Vektoren a und b spannen ein Dreieck auf. Der Winkel ϕ zwischen den beiden Vektoren lässt sich mit Hilfe des Kosinussatzes G 2 G G 2 G 2 G c = a + b − 2 ⋅ a ⋅ b ⋅ cos ϕ (1) berechnen: Die Längen der Dreieckseiten ergeben sich aus den G G G G G Beträgen der Vektoren a, b und c = b − a :

G G a = a12 + a22 + a32 , b = b12 + b22 + b32 und G c = (b1 − a1 )2 + (b2 − a2 )2 + (b3 − a3 )2 Durch Quadrieren erhält man: G 2 c = c 2 = (b1 − a1 )2 + (b2 − a2 )2 + (b3 − a3 )2

c 2 = b12 − 2a1b1 + a12 + b22 − 2a2b2 + a22 + b32 − 2a3b3 + a3 2 c 2 = (a12 + a22 + a32 ) + (b12 + b22 + b32 ) − 2 ⋅ (a1b1 + a2b2 + a3b3 ) Setzt man diese Beträge in Gleichung (1) ein, so erhält man nach entsprechender Zusammenfassung und Kürzung: G G a1b1 + a2b2 + a3b3 = a ⋅ b ⋅ cos ϕ Der Winkel zwischen zwei beliebigen Vektoren im Raum lässt sich somit nach folgender Gleichung berechnen: cos ϕ =

a1b1 + a2b2 + a3b3 G G a ⋅ b

Beispiel

G G Bestimmen Sie den Winkel zwischen den beiden Vektoren a = (1; − 2; 3) und b = (3; 2; 4).

Lösung

cos ϕ =

a1b1 + a2b2 + a3b3 1⋅3 + (−2)⋅2 + 3⋅ 4 = G G 1+ 4 + 9 ⋅ 9 + 4 +16 a ⋅ b

=

3 − 4 +12 11 = 14 ⋅ 29 14⋅29

ϕ = 56,91°

H. Rapp, Mathematik für die Fachschule Technik, DOI 10.1007/978-3-8348-9803-6_44, © Vieweg+Teubner | GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2010

44.2 Definition des Skalarproduktes

467

44.2 Definition des Skalarproduktes Wie sich aus der Winkelberechnung zwischen zwei Vektoren ergeben hat, ist der Ausdruck a1b1 + a2b2 + a3b3 eine reelle Zahl oder ein Skalar. Diesen Ausdruck kann man sich jedoch auch verstanden denken als eine Verknüpfung zweier Vektoren, bei denen die beiden Komponenten miteinander multipliziert und die Produkte addiert werden. Man nennt deshalb eine solche Verknüpfung „Skalarmultiplikation“. G G GG G G G G Für das Skalarprodukt sind folgende Schreibweisen möglich: a ⋅ b, ab, a D b oder (a,b) Definition des Skalarproduktes: G G G G a ⋅ b = a ⋅ b ⋅ cos ϕ = Skalar

(Koordinatenfreie Form)

⎛a1 ⎞ ⎛b1 ⎞ G G ⎜ ⎟⎜ ⎟ a ⋅ b =⎜a2 ⎟⋅⎜b2 ⎟= a1b1 + a2b2 + a3b3

(Koordinatenform)

⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ a3 ⎠ ⎝ b3 ⎠

Für das Skalarprodukt gelten folgende Rechenregeln: G G G G a ⋅b = b ⋅ a (Kommutativgesetz) G G G G G G G (Distributivgesetz) a ⋅ (b + c) = a ⋅ b + a ⋅ c G G G G (gemischtes Assoziativgesetz) λ⋅ a ⋅ b = λ⋅ (a ⋅ b) (S-Multiplikation) Anmerkung: 1. Skalarprodukte können nur mit zwei Vektoren gebildet werden. 1 G G G G G G 2. Mehrfachprodukte wie a ⋅ b ⋅ c oder (a)3 ergeben keinen Sinn, ebenso a 2 = a .

G G 3. Der Wurzelbegriff der reellen Zahlen kann nicht einfach auf Vektoren übertragen werden: (a)2 ≠ a , denn G G (a)2 = a2 = a12 + a22 + a3 2 ist ein Skalar und kein Vektor. GG G 4. Das Produkt (ab) N ⋅ c ist jedoch wieder sinnvoll, da es sich um die Multiplikation eines Skalars mit einem Skalar

Vektor handelt. Aber für Vektoren gilt das Assoziativgesetz nicht: GG G G GG (ab)⋅ c ≠ a ⋅(bc)

G G 5. Da das Dividieren durch einen Vektor nicht möglich ist, ist die Gleichung a ⋅ b = c nicht umkehrbar,

G G G d. h. der Vektor a kann nicht aus b und c berechnet werden, a ≠ cG . b

Sonderfälle: 1. Parallele Vektoren 2. Gleiche Vektoren 3. Orthogonale Vektoren

G G a ⋅b = a ⋅ b ⋅ cos 0° = a ⋅ b G G (ϕ = 0°) : a ⋅ a = a ⋅ a ⋅ cos 0° = a ⋅ a = a2 G G (ϕ = 90°): a ⋅b = a ⋅ b ⋅ cos 90° = 0

(ϕ = 0°) :

 

0

468

44 Das Skalarprodukt

44.3 Anwendungen des Skalarproduktes 44.3.1 Winkel eines räumlichen Dreiecks Beispiel G ⎛ 4⎞ G ⎛ 2⎞ Ein räumliches Dreieck wird aufgespannt durch die beiden Vektoren a =⎜ −2⎟ und b =⎜ 5 ⎟. ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝

G G Berechnen Sie den Winkel zwischen a und b .

5⎠

⎝3⎠

Lösung

⎛ 2⎞⎛ 4⎞ ⎜−2⎟⎜ ⋅ 5⎟ G G ⎜ ⎟⎜ ⎟ a⋅b ⎝ 5 ⎠⎝ 3 ⎠ cos ϕ = = a⋅b 4 + 4 + 25 ⋅ 16 + 25 + 9

=

2 ⋅ 4 + (−2)⋅ 5 + 5 ⋅ 3 33 ⋅ 50

13

=

33 ⋅ 50

ϕ = 71,33°

Beispiel Gegeben ist ein räumliches Dreieck mit den Eckpunkten A (1; 0; 0;), B (0; 5; 0) und C (2; 4; 7). Bestimmen Sie den Winkel ∠ (A, C, B) zwischen den Seiten CA und CB . Lösung C

⎛ 1− 2 ⎞ ⎛−1⎞ G G ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ CA = a − c =⎜0 − 4⎟=⎜−4⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝0 − 7 ⎠ ⎝−7⎠ →

x3

0 − 2 ⎞ ⎛−2⎞ → G G ⎛ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ CB = b − c =⎜5 − 4⎟=⎜ 1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝0 − 7 ⎠ ⎝−7⎠

A x1

cos ϕ =

(−1)⋅(−2) + (−4)⋅1+ (−7)⋅(−7) 2

2

2

2

2

2

(−1) + (−4) + (−7) ⋅ (−2 ) +1 + (−7)

=

f

B 5

1

x2

47 = 0,78727 66 ⋅ 54

ϕ = 38,068°

44.3.2 Schnittwinkel von Geraden Der Schnittwinkel von Geraden ist der Winkel zwischen den Richtungsvektoren der Geraden. g1 u1

cos ϕ =

G G u1 ⋅ u2 u1 ⋅ u2

f u2 g2

44.3 Anwendungen des Skalarproduktes

469

Beispiel

⎛5⎞ ⎛−1⎞ G ⎛ 1⎞ G ⎛3⎞ Die Geraden g1 : x =⎜ 2 ⎟+ λ⋅⎜−1⎟und g2 : x =⎜10 ⎟+ μ ⋅⎜−4 ⎟ schneiden sich im Punkt ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝6⎠

⎝−7 ⎠

⎝0⎠

⎝3⎠

S(1; 2; 6). Bestimmen Sie den Schnittwinkel der beiden Geraden. Lösung

Der Schnittwinkel ergibt sich aus den Richtungsvektoren der beiden Geraden: ⎛ 5⎞ ⎛−1⎞ G ⎜ ⎟ G ⎜ ⎟ u1 =⎜−1⎟ und u2 =⎜−4⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝−7⎠ ⎝3⎠ Meist ist es üblich, als Schnittwinkel einen Winkel bis zu 90° anzugeben. Demnach beträgt der Schnittwinkel 60,12°.

⎛ 5 ⎞⎛−1⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ −1 ⋅ −4⎟ ⎜ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ − ⎝ 7⎠⎝ 3 ⎠ cos ϕ = 25 +1+ 49 ⋅ 1+16 + 9 cos ϕ =

−5 + 4 − 21 =−0,4982 75 ⋅ 26 ϕ = 119,88° bzw. 60,12°

Beispiel

⎛ 5 ⎞ ⎛5⎞ ⎛ 2⎞ G ⎛−5 ⎞ G ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 0 ⎟+ μ ⋅⎜−4 ⎟. Gegeben sind die Geraden g1 : x = 4 + λ⋅ 2 und g2 : x =⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 1⎠ ⎝−2⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎝ 1⎠ Prüfen Sie nach, ob diese Geraden senkrecht aufeinander stehen. Lösung

Das Skalarprodukt der Richtungsvektoren führt zu folgendem Ergebnis: ⎛ 2 ⎞ ⎛5 ⎞ G G ⎜ ⎟⎜ ⎟ u1⋅u2 = ⎜−4⎟ ⋅⎜2⎟ = 2⋅5 + (−4)⋅2 + (−2)⋅1= 10 − 8 − 2 = 0 . ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝−2⎠ ⎝ 1⎠ Dies bedeutet, dass die Geraden senkrecht aufeinander stehen.

Aufgaben zu 44 Das Skalarprodukt (s. auch 49 Schnittwinkel) 1. Die Punkte A (2; 5; 4) und B (3; 7; -3) bilden mit dem Ursprung O (0; 0; 0) ein räumliches Dreieck.

JJG

JJG

Berechnen Sie den Winkel zwischen den Vektoren OA und OB . 2. In welchem Punkt S und unter welchem Winkel schneiden sich die Geraden

⎛ 1⎞ ⎛ 4⎞ ⎛−3 ⎞ ⎛ 4,5 ⎞ G ⎜ ⎟ G ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ g: x1 = 2 + λ⋅ −4 und h: x 2 = 5 + μ⋅ −4 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 2⎠ ⎝−8 ⎠ ⎝−4 ⎠ ⎝ −2 ⎠ ⎛ 1⎞ ⎛ 4⎞ G ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 3. Eine Gerade g soll auf der Geraden h: x = 2 + λ⋅ −3 senkrecht stehen. ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 2⎠ ⎝ 6⎠ Welchen Richtungsvektor muss die Gerade g erhalten ?

470

45 Das Vektorprodukt 45.1 Definition des Vektorproduktes Die multiplikative Verknüpfung von Vektoren führt neben dem Skalarprodukt noch auf ein weiteres Produkt, das wir äußeres Produkt, Kreuzprodukt, vektorielles Produkt oder kurz Vektorprodukt nennen, d. h. das Ergebnis ist kein Skalar, sondern ein Vektor. Diese Verknüpfung wird durch das Symbol „ × “ gekennzeichnet. Neben der Addition und Subtraktion haben wir also für die Multiplikation von Vektoren folgende Produktbildungen: G G 1. das Skalarprodukt a ⋅ b , es führt zu einem Skalar. G G 2. das Vektorprodukt a × b , es führt zu einem Vektor. G G G 3. das Spatprodukt (a × b) ⋅ c , es führt zu einem Skalar. Daneben gibt es noch weitere Möglichkeiten der Produktbildung durch die Kombination beider Multiplikationsarten: G G G G G G G G G G G z. B. (a × b) × c (a × b) ⋅ (c × d) (a × b) × (c × d) Definition des Vektorproduktes:

Unter dem Vektorprodukt (äußeres Produkt, Kreuzprodukt) versteht man den Vektor G G G c = a ×b G G der sowohl auf a als auch auf b senkrecht steht. Der Betrag dieses Vektors G G G c = a ⋅ b ⋅ sin ϕ G G entspricht dem Flächeninhalt des von a und b aufgespannten Parallelogramms.

Geometrische Deutung des Vektorprodukts: sin ϕ =

h b

; h = b ⋅ sin ϕ

Flächeninhalt des Parallelogramms: A = a ⋅ h = a ⋅ b ⋅ sin ϕ Höhe eines Parallelogramms G G a × b A h= = G g a Flächeninhalt eines Rechtecks: A = a ⋅ b ⋅ sin 90° = a ⋅ b

 

1

H. Rapp, Mathematik für die Fachschule Technik, DOI 10.1007/978-3-8348-9803-6_45, © Vieweg+Teubner | GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2010

45.1 Definition des Vektorproduktes

471

Die Berechnung des Kreuzproduktes kann auf folgende Weise erfolgen: Vektorprodukt in Determinantenschreibweise: G ex G G a × b = ax

G ey

G ez

ay

az

bx

by

bz

Vektorprodukt in Komponentenschreibweise:

⎛ a ⎞ ⎛b ⎞ ⎛ a yb z − a zb y ⎞ G G ⎜ x⎟ ⎜ x⎟ ⎜ ⎟ a × b =⎜ a y ⎟×⎜b y ⎟=⎜ a zb x − a x b z ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ a b −a b ⎟ ⎝ a z ⎠ ⎝b z ⎠ ⎝ x y y x⎠ Die obige Determinante lässt sich nach der Regel von Sarrus berechnen. Eigenschaften des Kreuzproduktes:

1. Beim Vertauschen der Vektoren ändert sich das Vorzeichen: G G G G a × b = − (b × a) (nicht kommunikativ) 2. Bei kollinearen Vektoren erhalten wir als Vektorprodukt einen Nullvektor: G G G a×b = 0 G G G G G G G G G 3. Falls a = 0 oder b = 0 , oder a parallel zu b liegt, gilt ebenfalls a × b = 0 . G G 4. In allen übrigen Fällen ist a × b derjenige Vektor, der G G a) senkrecht auf a und b steht, b) dessen Betrag gleich dem Flächeninhalt A des Parallelogramms ist, das von den VektoG G ren a und b aufgespannt wird. G G G G 5. Die Vektoren a , b und a × b bilden in dieser Reihenfolge ein Rechtssystem. b x a (Daumen) b (Mittelfinger) a (Zeigefinger)

Rechenregeln

1. Vertauschen der Vektoren ist nur mit Vorzeichenwechsel möglich: G G G G a × b = −(b × a) (nicht kommunikativ, Alternativgesetz) G G G G G G G 2. a × (b + c) = a × b + a × c Distributivgesetze G G G G G G G (a + b) × c = a × c + b × c G G G G G G λ⋅(a × b) = ( λ⋅a) × b = a × ( λ⋅b) ( λ ∈ R) G G G G G G G G G 3. a × a = 0 , a × λa = 0 und a×0 = 0

472

45 Das Vektorprodukt

45.2 Anwendungen des Vektorproduktes Normalenvektor einer Ebene

Beispiel Eine Ebene E soll durch die Punkte A (2; 1; 4), B (3; –2; 1) und C (1; 4; 2) gehen. Berechnen Sie den Normalenvektor dieser Ebene. Lösung

Denkt man sich die Ebene aufgespannt durch die Vektoren ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ JJJG G G ⎜ 1− 2 ⎟ ⎜ − 1⎟ AC = c − a =⎜ 4 − 1⎟=⎜ 3 ⎟ und ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝2 − 4⎠ ⎝− 2⎠

C n

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ JJJG G G ⎜ 3 − 2 ⎟ ⎜ 1 ⎟ AB = b − a =⎜−2 − 1⎟=⎜−3 ⎟, so ist ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 1− 4 ⎠ ⎝− 3⎠

AC

A

JJJG JJJG der Normalenvektor dieser Ebene das Kreuzprodukt AC × AB :

B

AB

⎛ − 1⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 3⋅(−3) − (−2)⋅(−3) ⎞ ⎛−15⎞ JJJG JJJG ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − (−1)⋅(−3) ⎟= ⎜− 5 ⎟ AC × AB = ⎜ 3 ⎟×⎜−3 ⎟=⎜ (−2)⋅1 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝− 2⎠ ⎝− 3⎠ ⎝(−1)⋅(−3) − 3⋅1 ⎠ ⎝ 0⎠

⎛−15⎞ G ⎜ ⎟ Ergebnis: Der Normalenvektor ist n =⎜− 5 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 0⎠

Flächeninhalt von Dreiecken im Raum Beispiel Ein Dreieck habe die Eck-Punkte A (2; 4; 1), B (–1; 7; 3) und C (–6; 6; 4). Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks. Lösung

JJJG JJJG Bildet man die Vektoren AB und AC zu den Eckpunkten des Dreiecks, so ergibt sich der Flächeninhalt aus dem halben Betrag des Vektorproduktes (= halbes Parallelogramm) A=

JJJG 1 JJJG ⋅ AB × AC 2 C

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ JJJG ⎜−1⎟ ⎜ 2⎟ ⎜−3⎟ JJJG ⎜−6⎟ ⎜ 2⎟ ⎜−8⎟ AB =⎜ 7⎟−⎜ 4⎟=⎜ 3 ⎟ ; AC =⎜ 6 ⎟−⎜ 4⎟=⎜ 2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 3⎠ ⎝ 1⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 4 ⎠ ⎝ 1⎠ ⎝ 3 ⎠ A

⎛−3⎞ ⎛−8⎞ ⎛ ⎛ 5⎞ 3 ⋅3 − 2⋅ 2 ⎞ 1 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 1 ⎜ ⎟ 1 ⎜ ⎟ 1 A = ⋅ ⎜ 3 ⎟×⎜ 2 ⎟ = ⋅⎜ 2⋅(−8) − (−3)⋅3 ⎟= ⋅ ⎜ −7 ⎟ = ⋅ 398 = 9,97 FE. 2 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 2 ⎜ ⎟ 2 ⎜ ⎟ 2 ⎝ 2⎠ ⎝ 3⎠ ⎝ (−3)⋅2 − 3⋅(−8)⎠ ⎝ 18⎠

B

45.2 Anwendungen des Vektorproduktes

473

Anwendungen aus der Physik Beispiel G Bei einer um eine feste Achse drehbar gelagerten Scheibe greift an dem Radiusvektor r eine G Kraft F an. Wie groß ist das Drehmoment und welche Drehrichtung hat dieses Drehmoment ? Lösung

M

Das Drehmoment ist eine gerichtete Größe, d. h. ein Vektor. G Um den Momentenvektor M zu erhalten, bildet man aus dem OrtsG G das Kreuzprodukt vektor r und der F. G G G Kraft Die Vektoren M, F und r stehen senkrecht aufeinander und bilden ein Rechtssystem. G M zeigt in die Richtung, in die sich eine Rechtsschraube beim Eindrehen bewegen würde. G G G Die Richtung der Vektoren M , F und r lässt sich jeweils mit der Rechte-HandRegel bestimmen. Für das Drehmoment G lassen sich bezüglich der Richtung von F drei Fälle unterscheiden: G G (1) F und r gehen in G beliebige Richtung. F Dabei muss die Kraft in die Komponenten G G F1 und F2 zerlegt werden. Lediglich die G Komponente F1 liefert einen Beitrag zum Moment. G G (2) Stehen rGund F Gsenkrecht, so ist M = Fr. (3) Gehen F und r in die gleiche Richtung, so ist keine Drehwirkung vorhanden. Das Drehmoment ist Null.

F1 r

f

F

F2

G G G M=F × r (gelesen: „ F Kreuz r“) Der Betrag dieses Momentes ist G G M = F ⋅ r ⋅ sin ϕ Man unterscheidet dabei drei Fälle: G G (1) F und r in beliebiger Richtung: G G M = F ⋅ r ⋅ sin ϕ G G G G (2) r ⊥ F : M = F1 ⋅ r G G (3) r und F in gleicher Richtung: M=0

Beispiel

G G In einer Entfernung von r (0,5 m; 0 m; 0,8 m) vom Drehpunkt O wirkt eine Kraft F (1 kN; 2 kN; 0,5 kN). Welches Drehmoment wird durch diese Kraft erzeugt ?

Lösung

0,5 m⎞ ⎛ 1kN ⎞ ⎛ − 1,6 kNm⎞ G ⎛ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ M =⎜ 0 m ⎟×⎜ 2 kN ⎟=⎜ 0,55 kNm ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝0,8 m⎠ ⎝0,5 kN⎠ ⎝ 1kNm ⎠ G M = 3,8625 kNm = 1,965 kNm

474

45 Das Vektorprodukt

Aufgaben zu 45 Das Vektorprodukt 1. Die Ortsvektoren von A (3; 6; 7) und B (1; 5; 2) spannen eine Parallelogramm auf. G G G G a) Berechnen Sie den zu den Ortsvektoren a und b senkrecht stehenden Vektor a × b . b) Berechnen Sie die Fläche des Parallelogramms. c) Welche Höhe h (= Abstand der parallelen Seiten) hat dieses Parallelogramm ?

2. Die Punkte A (2; 4; 1), B (1; 7; 6) und C (–1; –2; 8) liegen in einer Ebene. a) Bestimmen Sie die Gleichung der Ebene in der Parameterform. b) Geben Sie die Koordinatenform dieser Ebene an. c) Berechnen SieJJG mit HilfeJJGdes Vektorproduktes den Normalenvektor der Ebene, der auf den Vektoren AB und AC senkrecht steht.

3. Eine Ebene enthält die Punkte A (2; 3; 7), B (–1; 5; 3) und C (1; 2; 5). a) Bestimmen Sie die Gleichung der Ebene in Parameterform. b) Bestimmen Sie mit JJG Hilfe desJJG Vektorprodukts den Normalenvektor der Ebene, der auf den Richtungsvektoren AB und AC senkrecht steht.

JJG

JJG

c) Die Vektoren AB und AC spannen ein Parallelogramm auf. Berechnen Sie den Flächeninhalt dieses Parallelogramms.

⎛ 1⎞ ⎛−2 ⎞ 1⎞ G ⎛ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 4. Eine Ebene E hat die Parametergleichung x = 4 + λ⋅ 3 + μ⋅ −2 . ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 2⎠ ⎝6⎠ ⎝ 4⎠ a) Berechnen Sie mit Hilfe des Vektorprodukts den Normalenvektor der Ebene E, der auf den Richtungsvektoren senkrecht steht. b) Bestimmen Sie die Gleichung der Geraden durch den Punkt A (–5; 2; 30), die die Ebene E orthogonal schneidet. c) Geben Sie für eine zu E parallele Ebene, die durch den Ursprung geht, die Koordinatengleichung an.

5. Die Punkte A (1; 4; 2), B (2; 7; 8) und C (–1; 2; 6) bilden ein Dreieck. Berechnen Sie mit Hilfe des Vektorproduktes den Flächeninhalt des Dreiecks.

⎛ 3 m⎞ G ⎜ ⎟ 6. Ein Punkt mit dem Ortsvektor r = − 2 m habe bei Drehung die Winkelgeschwindigkeit ⎜ ⎟ ⎝ 5m⎠

⎛ 2 s−1 ⎞ G G G G ⎜ −1 ⎟ ω =⎜ 1 s ⎟. Berechnen Sie den Betrag der Umfangsgeschwindigkeit v = ω × r . ⎜ −1 ⎟ ⎝2s ⎠

475

46 Das Spatprodukt 46.1 Definition des Spatproduktes Das Produkt eines Vektors mit einem Vektorprodukt wird Spatprodukt genannt. Es ist ein Skalar. G G G Die drei Vektoren a , b und c spannen ein b xc Parallelepiped (auch Spat genannt) auf. Das Volumen dieses Spats ist a f

f

V = A ⋅ h = Grundfläche ⋅Höhe h

cos ϕ =

c A= b xc b

G n G ; h = a ⋅ cos ϕ a

G G G V= ⎡ ⎣ b×c ⎤ ⎦ ⋅ a ⋅ cos ϕ

Spatprodukt dreier Vektoren G G G G G G G Skalarprodukt aus dem Vektor a

⎡ ⎣ a bc ⎤ ⎦= a (b × c) =

G G und dem Kreuzprodukt b × c Berechnung des Spatproduktes:

⎛a ⎞ ⎛ b yc z − bz c y ⎞ G G G ⎜ x ⎟⎜ ⎟ a (b × c) =⎜ a y ⎟⋅⎜b z c x − b x c z ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ b c −b c ⎟ ⎝ az ⎠ ⎝ x y y x⎠ ax G G G a (b × c) = b x

ay

az

by

bz

cx

cy

cz

in Komponentenschreibweise

in Determinantenschreibweise

Eigenschaften des Spatproduktes 1. Vektoren des Spatproduktes dürfen zyklisch vertauscht werden: G GGG G ⎡ G G ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ GG ⎤ ⎣ a b c ⎦=⎣ b c a ⎦ =⎣ c a b ⎦ 2. Das Vertauschen zweier Vektoren bewirkt einen Vorzeichenwechsel: G G ⎡ aG b cG ⎤=−⎡ cG b aG ⎤ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ G G G 3. Bilden die Vektoren a, b und c in dieser Reihenfolge ein Rechtssystem (Linkssystem), so ist das Spatprodukt positiv (negativ). G G G G G G 4. Ist das Spatprodukt a b c = 0 , so sind die Vektoren a, b und c komplanar.

[

]

H. Rapp, Mathematik für die Fachschule Technik, DOI 10.1007/978-3-8348-9803-6_46, © Vieweg+Teubner | GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2010

476

46 Das Spatprodukt

46.2 Anwendungen des Spatproduktes 1. Nachweis der Komplanarität dreier Vektoren G G G Drei Vektoren a, b und c sind komplanar, d. h. liegen in einer Ebene, wenn G G G

⎡ ⎣ a bc ⎤ ⎦= 0 Beispiel

G G G Prüfen Sie nach, ob die Vektoren a = (2, –2, 1), b = (3, –1, 0) und c = (–8, 8, –4) in einer Ebene liegen. Lösung

ax G ⎡ aG b cG ⎤= b Spatprodukt: ⎣ x ⎦ cx

ay by cy

az 2 −2 1 b z = 3 −1 0 8 −4 −8 cz

2 −2 3 −1 = 8 + 24 − (8 + 24) = 0 −8 8

d. h. die Vektoren liegen in einer Ebene. 2. Spat-Volumen G G G V= ⎡ ⎣ a bc ⎤ ⎦

Beispiel

G G G Welches Volumen hat ein Spat, der von den Vektoren a = (2, 4,1), b = (3, –1, 0) und c = (2, 3, 5) aufgespannt wird ? Lösung

ax G ⎡ aG b cG ⎤= b x ⎣ ⎦ cx

ay by cy

az 2 4 1 2 4 bz = 3 -1 0 3 −1 =−10 + 9 − (−2 + 60) =− 59 2 3 5 2 3 cz

V = −59 = 59 VE

Beispiel G Berechnen Sie das Volumen eines Tetraeders, der von den Vektoren a = (2, 4, 1) , G G b = (3, –1, 0) und c = (2, 3, 5) aufgespannt wird ? Lösung

Das Volumen des Tetraeders ist ein Sechstel des Spatvolumens G GG 1 V= ⋅ ⎡ a bc ⎤ ⎣ ⎦ 6

1 Damit ist V = ⋅ −59 = 9,83 VE 6

B b

C c

O

a

A

46.2 Anwendungen des Spatproduktes

477

3. Abstand windschiefer Geraden (= Höhe h des Spates) g2 u2 B h u2

b –a A

h=

A

=

g1

u1

G

V

u1 x u2

G

G G ⎡ ⎣ (b − a) u1 u2 ⎤ ⎦ G G u1 × u2

G G G G (b − a) ⋅ (u1 × u2 ) = G G u1 × u2

Beispiel Berechnen Sie den Abstand der windschiefen Geraden

⎛ 1⎞ ⎛2⎞ ⎛3 ⎞ ⎛ 3⎞ G ⎜ ⎟ G ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ g1 : x1 = 3 + λ⋅ 3 und g2 : x 2 = 7 + μ⋅ −1 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 1⎠ ⎝1⎠ ⎝ 2⎠ ⎝ 0⎠ Lösung

Verbindungsvektor:

3⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ 2⎞ G G ⎛ JJJG ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ AB = (b − a) =⎜7⎟−⎜3⎟=⎜ 4⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝2⎠ ⎝ 1⎠ ⎝ 1⎠

Vektorprodukt der Richtungsvektoren: ⎛ 3⋅0 − 1⋅(−1)⎞ ⎛ 1 ⎞ G G ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ u1× u2 =⎜ 1⋅3 − 2⋅0 ⎟=⎜ 3 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 2⋅(−1) − 3⋅3 ⎠ ⎝ −11⎠ G G A = u1× u2 =

12 + 32 + (−11)2 = 11,45 FE

Spatprodukt:

⎛ 2⎞⎛ 1 ⎞ G G G G ⎜ ⎟⎜ ⎟ (b − a)⋅(u1 × u2 ) =⎜ 4⎟⎜ ⋅ 3 ⎟= 2 + 12 − 11= 3 ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ 1⎠⎝−11⎠ Spatvolumen (= Betrag des Spatproduktes): V = 3 VE h=

3 V = = 0,26 LE. A 11,45

478

46 Das Spatprodukt

Aufgaben zu 46 Das Spatprodukt Spat-Volumen

⎛ 2⎞ ⎛7⎞ ⎛ 1⎞ G ⎜ ⎟ G ⎜ ⎟ G ⎜ ⎟ 1. Ein Spat werde durch die Vektoren a = 4 , b = 1 und c = 4 aufgespannt. ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 1⎠ ⎝5⎠ ⎝8⎠ G G a) Wie groß ist die Parallelogrammfläche, die durch die Vektoren a und b aufgespannt wird ? b) Berechnen Sie das Spatvolumen und die Höhe des von den drei Vektoren aufgespannten Spates.

2. Die Eckpunkte O (0; 0; 0), A (1; 4; 3), B (–3; 2; 0) und C (5; 3; 7) bilden eine Pyramide. Berechnen Sie das Volumen dieser Pyramide. 3. Berechnen Sie das Volumen des Tetraeders, der von den Ortsvektoren der Punkte A (2; 4; 1), B (1; 7; –1) und C (3; 5; 7) aufgespannt wird. Komplanarität von Vektoren

4. Prüfen Sie mit Hilfe des Spatproduktes nach, ob die Ortsvektoren der Punkte A (2; 4; 1), B (1; 7; –1) und C (3; 1; 3) komplanar sind, d. h. in einer Ebene liegen. Abstand windschiefer Geraden

5. Berechnen Sie mit Hilfe des Spatproduktes den Abstand der windschiefen Geraden g:

⎛ 2⎞ G ⎛5 ⎞ x1 =⎜ 3 ⎟+ λ⋅⎜ 0 ⎟ und h: ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 2⎠

⎝ 1⎠

⎛ 1⎞ ⎛ 1 ⎞ G ⎟ ⎜ ⎟ x 2 =⎜ ⎜ 2⎟+ λ⋅⎜ 4 ⎟. ⎝5⎠

⎝ 2⎠

6. Berechnen Sie mit Hilfe des Spatproduktes den Abstand der windschiefen Geraden g:

⎛ 4⎞ G ⎛ 1⎞ x1 =⎜ 2 ⎟+ λ⋅⎜−3 ⎟ und h: ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 2⎠

⎝

6⎠

⎛ 1⎞ ⎛ 2⎞ G x 2 =⎜ 5 ⎟+ λ⋅⎜−3 ⎟. ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 2⎠

⎝

5⎠

479

47 Normalenformen der Ebenengleichung 47.1 Punkt-Normalengleichung der Ebene G Ein auf einer Ebene E senkrecht stehender Vektor n heißt Normalenvektor der Ebene. Er steht auf allen Richtungsvektoren und auf jedem beliebigen Vektor der Ebene senkrecht. Verbindet man einen beliebigen Punkt X der Ebene mit einem gegebenen Punkt A der Ebene, so steht der Verbindungsvektor JJG G G AX = x − a G senkrecht auf dem Normalenvektor n. Bildet man von diesen orthogonalen Vektoren das Skalarprodukt, so erhält man, da das Skalarprodukt orthogonaler Vektoren Null ist, folgende Gleichung: G G G n ⋅ (x − a) = 0

oder G G G G n⋅ x − n⋅a = 0 Dies ist eine neue parameterfreie Form der Ebenengleichung, die als Punkt-Normalenform bezeichnet wird, da zur Bestimmung der Ebene nur ein Punkt A und der Normalenvektor erforderlich ist. Da das Skalarprodukt

⎛ n1 ⎞⎛ a1 ⎞ G G n ⋅ a = ⎜n2 ⎟⎜ ⋅ a2 ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝n3 ⎠⎝a3 ⎠ n1a1 + n2 a2 + n3 a3 = c zu einem Skalar, d. h. zu einer konstanten Zahl c führt, kann die Ebenengleichung auch in der Form G G n⋅ x − c = 0 N GG na geschrieben werden. Diese Gleichung kann zur Unterscheidung als allgemeine Normalenform bezeichnet werden, da der Punkt A aus dieser Gleichung nicht mehr abzulesen ist.

n

A

x –a

X a

x

O

Punkt-Normalengleichung der Ebene

G G G n ⋅ (x − a) = 0 G G G G n⋅ x − n⋅a = 0

⎛ n1 ⎞⎛ a1 ⎞ G G ⋅ a2 ⎟ = c n ⋅ a = ⎜n2 ⎟⎜ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝n3 ⎠⎝a3 ⎠ (c ∈ R )

allgemeine Normalengleichung G G n⋅ x − c = 0 N GG na

H. Rapp, Mathematik für die Fachschule Technik, DOI 10.1007/978-3-8348-9803-6_47, © Vieweg+Teubner | GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2010

480

47 Normalenformen der Ebenengleichung

Beispiel

G ⎛ 2⎞

⎟ Eine Ebene mit dem Normalenvektor n =⎜ ⎜3 ⎟ geht durch den Punkt A (4; 2; 5). Bestimmen Sie ⎝ 1⎠

die Ebenengleichung. Lösung

Setzt man die gegebenen Größen in die Punkt-Normalengleichung G G G n⋅(x − a) = 0 ein, so erhält man mit den entsprechenden Skalarprodukten die Gleichung der Ebene in Normalenform.

G Schreibt man den Vektor x in Komponentenform, so erhält man nach Bildung des Skalarproduktes durch Ausmultiplizieren die Koordinatengleichung der Ebene. Die Koordinatengleichung ist somit nur eine andere Schreibweise der Normalenform. Der Normalenvektor ergibt sich aus den Koeffizienten der Koordinatengleichung.

⎛ 2⎞ ⎛ ⎛ 4⎞⎞ ⎜ ⎟⎜G ⎜ ⎟⎟ 3 ⋅ x − 2 ⎟= 0 ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎟ ⎟⎟ 1 5 ⎝ ⎠⎝ ⎝ ⎠⎠

⎛ 2⎞ ⎛ 2⎞⎛ 4⎞ ⎜ ⎟G ⎜ ⎟⎜ ⎟ 3 x 3 ⋅ 2⎟ = 0 ⋅ − ⎜ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ 1⎠ ⎝ 1⎠⎝ 5 ⎠ ⎛ 2⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟G ⎜ 2⋅ 4 + 3⋅2 + 1⋅5⎟ = 0 3 x ⋅ − ⎜ ⎜   ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎝ ⎠ 19 ⎝ 1⎠ ⎛ 2⎞ ⎜ ⎟G 3 ⋅ x − 19 = 0 ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎝ 1⎠

⎛2⎞ ⎛ x1 ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ 3 ⋅⎜ x 2 ⎟ − 19 = 0 ⎜ ⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎟ ⎝ 1⎠⎝ x3 ⎠ 2x1 + 3x 2 + x3 = 19

Beispiel Bestimmen Sie aus der Koordinatengleichung 2x1 + 3x 2 − 5x 3 = 4 die Normalenform der Ebenengleichung und den Normalenvektor. Lösung

⎛ 2⎞ ⎜ ⎟ G Normalenform der Ebenengleichung : ⎜ 3 ⎟⋅x = 4 ⎜ ⎟ ⎝−5 ⎠ Normalenvektor:

⎛ 2⎞ G ⎜ ⎟ n =⎜ 3 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝−5 ⎠

47.2 Hesse’sche Normalengleichung der Ebene

481

47.2 Hesse’sche1 Normalengleichung der Ebene 47.2 Hesse’sche Normalengleichung der Ebene

Die Hesse-Form ist eine weitere Normalengleichung, bei der der Normalenvektor die Länge 1 hat. Diese Ebenengleichung eignet sich zu Abstandsberechnungen von Punkten senkrecht zu einer Ebene oder senkrecht zu einer Geraden. Teilt man den Normalenvektor durch seinen Betrag, so erhält er die Länge 1. Man nennt diesen normierten Vektor deshalb Einheitsnormalenvektor: G G G n n no = G = n n12 + n22 + n32

G G G Dividiert man eine Normalengleichung n ⋅ (x − a) = 0 durch den Betrag des Normalenvektors, G G G so entsteht eine neue Gleichungsform no ⋅ (x − a) = 0, die als Hesseform der Normalengleichung bekannt ist.

Hesse’sche Normalengleichung G G G no ⋅ (x − a) = 0

oder n1x1 + n2 x 2 + n3 x 3 − c n12 + n22 + n3 2

=0

Beispiel Eine Ebene hat die Gleichung 3x1 + 4x 2 + 5x 3 − 10 = 0 . Bestimmen Sie die Hesseform dieser Ebenengleichung. Lösung

Hesse-Gleichung:

n1x1 + n2 x 2 + n3 x3 − c n12 + n22 + n32 3x1 + 4x 2 + 5x3 −10 32 + 42 + 52

=0

=0

3x1 + 4x 2 + 5x3 −10 =0 50 3x1 + 4x 2 + 5x3 10 − =0 50 50 3x1 + 4x 2 + 5x3 − 2 =0 5⋅ 2 1

nach Otto Ludwig Hesse (1811 – 1874), deutscher Mathematiker

482

47 Normalenformen der Ebenengleichung

Das Vorzeichen vor dem Absolutglied ist für die Lage der Ebene von Bedeutung. Es ergibt sich G G aus dem Skalarprodukt n⋅a. Soll die Ebene über dem Ursprung liegen, so ist als Vorzeichen ein Minuszeichen zu wählen, damit der Normalenvektor in Richtung des Ursprungs zeigt, andernfalls liegt die Ebene spiegelbildlich zum Ursprung. Dividiert man das Absolutglied durch den Betrag des Normalenvektors, so erhält man das Absolutglied der Hessegleichung: c d= G n Dieser Wert ergibt direkt den Abstand zum Ursprung. Bei unserer Ebene ist der Abstand d = 2 LE . (Abstand der Ebene vom Ursprung)

Diese und weitere Abstandsberechnungen werden im folgenden Kapitel 48 nochmals ausführlicher besprochen.

Aufgaben zu 47 Normalenformen der Ebenengleichung

G ⎛ 2⎞ ⎟ 1. Von einer Ebene sei der Punkt A (3; 5; 2) und der Normalenvektor n =⎜ ⎜ 1⎟ bekannt. Be-

⎝3 ⎠

stimmen Sie die Gleichung der Ebene. 2. Eine Ebene habe die Gleichung 6x + 4y – 8z – 4 = 0. Bestimmen Sie die Hesseform dieser Ebenengleichung und berechnen Sie den Abstand dieser Ebene vom Ursprung. 3. Welche Gleichung hat eine Ebene E2 , die zur Ebene E1 : 2x1 − 5x 2 + 4x 3 − 5 = 0 parallel verläuft und einen Abstand von d = 2 LE hat ?

483

48 Abstandsberechnungen 48.1 Abstand eines Punktes von einer Ebene Um den Abstand eines Punktes P von einer Ebene zu berechnen, gehen wir von folgender Überlegung aus: Die Ebene E sei gegeben in der Hesse’schen Normalenform G G G no ⋅ (x − a) = 0 (1)

Wenn wir von P das Lot auf die Ebene fällen, erhalten wir den Lotfußpunkt F. Der gesuchte Abstand ist somit der Betrag des Vektors

JJG

P

JJG

FP. Der Vektor FP ergibt sich aus dem Vektorpolygon JJG JJG G G FP = −AF − a + p (2)

A F

JJG

Da nach Voraussetzung FP senkrecht steht

JJG

JJG JJG

auf AF, ist das Skalarprodukt FP ⋅ AF = 0.

p

Aus diesem Grunde multiplizieren wir die

JJG

Gleichung (2) mit dem Vektor FP und erhalten:

O

JJG JJG JJG JJG JJG G G FP ⋅ FP = − AF ⋅FP + FP ⋅ (p − a )  

0

JJG JJG

JJG

JJG JJG G G FP ⋅FP = FP ⋅ FP = FP ⋅ (p − a) Dividiert man diese Gleichung (3) durch

JJG

FP , so erhält man

JJG

FP =

(3)

JJG

FP

G

G

JJG ⋅ (p − a) .

FP

JJG G Da der Vektor n = FP senkrecht auf der Ebene steht, ist er ein Normalenvektor der Ebene und wir können schreiben: G JJG G G G G G n FP = G ⋅ (p − a ) = no ⋅ (p − a) (4) n Vergleicht man die Gleichungen (4) und (1) miteinander, so ist zu ersehen, dass man den Abstand eines Punktes P von der Ebene E unmittelbar aus der Hesse’schen Normalengleichung G erhält, indem man den Ortsvektor x eines beliebigen Punktes der Ebene durch den Ortsvektor des Punktes P ersetzt. Das sich ergebende Skalarprodukt ist jetzt nicht mehr Null, sondern kann jeden reellen Zahlenwert annehmen. Dieser Zahlenwert gibt den Abstand des Punktes P von der Ebene E an.

G G G Abstand eines Punktes P von der Ebene E: no ⋅ (x − a) = 0 G G G d = no ⋅ (p − a)

H. Rapp, Mathematik für die Fachschule Technik, DOI 10.1007/978-3-8348-9803-6_48, © Vieweg+Teubner | GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2010

484

48 Abstandsberechnungen

Abstand des Punktes P von der Ebene E: n1x1 + n2 x 2 + n3 x 3 − c = 0

n1p1 + n2p2 + n3p3 − c

d=

n12 + n22 + n32

Beispiel Berechnen Sie den Abstand des Punktes P (1; – 4; 5) von der Ebene E: 2x1 + 5x 2 − 3x 3 − 2 = 0 . Lösung

G Der Betrag des Normalenvektors ist n = 22 + 52 + (−3)2 = 38 . Abstand des Punktes P von E: d=

2⋅1+ 5⋅(−4) + (−3)⋅5 − 2 2 − 20 −15 − 2 −35 = = 38 38 38

d = 5,68 LE

48.2 Abstand einer Ebene vom Ursprung Setzt man in die Abstandsgleichung die Koordinaten des Ursprungs ein, so erhält man den Abstand des Ursprungs von der Ebene mit folgender Gleichung: −c

d=

n12

2

+ n2 + n3

2

=

c n12

+ n22 + n32

Beispiel Berechnen Sie den Abstand der Ebene E: 2x1 + 5x 2 − 3x 3 − 2 = 0 vom Ursprung. Lösung

d=

−2 2

2

2

2 + 5 + (−3)

=

2 38

d = 0,324 LE

48.3 Abstand paralleler Ebenen Der Abstand paralleler Ebenen kann dadurch berechnet werden, dass von jeder Ebene der Abstand zum Ursprung bestimmt wird. Der Abstand der parallelen Ebenen ergibt sich aus der Abstandsdifferenz: d = d2 − d1 Liegt die eine Ebene jenseits des Ursprungs, was an dem Vorzeichen des Absolutgliedes zu erkennen ist, so sind natürlich die Abstände zu addieren: d = d1 + d2

48.4 Abstand eines Punktes von einer Geraden

485

48.4 Abstand eines Punktes von einer Geraden Um den Abstand eines Punktes P von einer Geraden im Raum zu bestimmen, berechnen wir den Lotfußpunkt F auf der Geraden g, für

JJJG

den FP ⊥ g ist. Dieser liegt in einer gedachten Ebene E durch den Punkt P mit dem Richtungsvektor der Geraden als Normalenvektor der Ebene. Mit Hilfe des Schnittpunktes F der Geraden g mit der Ebene E erhält man den Abstand des Punktes P von der Geraden g.

P

g F

Die Berechnung vollzieht sich also in drei Schritten: 1. Aufstellen einer Ebenengleichung durch P orthogonal zu g 2. Berechnung des Schnittpunktes F von g mit E

JJG

3. Berechnung des Betrages des Vektors FP

Beispiel Berechnen Sie den Abstand des Punktes P (2; 3; –1) von der Geraden

⎛ 4⎞ ⎛ 2 ⎞ G g: x =⎜ 1⎟+ λ⋅⎜−4 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝5⎠ ⎝ 2 ⎠ Lösung

1. Koordinatengleichung der Ebene durch P: Für diese Ebene ist noch die Konstante c mit der Punktprobe zu bestimmen. 2. Punktprobe mit P (2; 3; –1): Damit haben wir die Gleichung einer Ebene durch P erhalten. 3. Ebenengleichung: 4. Schnittpunkt F: Wir setzen die drei Komponenten der Geradengleichung in die Ebenengleichung ein und erhalten den Parameter λ, mit dessen Hilfe wir die Koordinaten des Lotfußpunktes F berechnen können. 5. Mit dem Parameter λ ergeben sich die Koordinaten des Lotfußpunktes F: Den gesuchten Abstand des Punktes P von der Geraden erhalten wir schließlich aus dem Betrag des Vektors JJG G G FP = p − f

2x1 − 4x 2 + 2x3 = c

2⋅2 − 4⋅3 + 2⋅(−1) = c

c = −10 E: 2x1 − 4x 2 + 2x 3 = −10 2(4 + 2λ) − 4(1− 4 λ) + 2(5 + 2λ) = −10 8 + 4 λ− 4 +16 λ+10 + 4 λ = −10 λ =−1

⎛ 4⎞ ⎛ 2⎞ G ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ xF = ⎜ 1⎟ − 1⋅⎜−4⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝5⎠ ⎝ 2⎠ F (2; 5; 3) JJG G G FP = p − f

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ JJG ⎜ 2 − 2⎟ ⎜ 0 ⎟ FP =⎜ 3 − 5⎟ =⎜−2⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝−1− 3⎠ ⎝−4⎠ d = (−2)2 + (−4)2 = 4,47 LE

486

48 Abstandsberechnungen

Anmerkung:

Für die Gerade gibt es im 3-dimensionalen Raum nur die Parameterform. Eine Umrechnung in die Koordinatenform oder in die Hesse-Normalenform ist nicht möglich, so dass auch eine Abstandsberechnung auf diese Weise nicht möglich ist. Geraden in der Ebene lassen sich jedoch in der Koordinatenform bzw. in der Hesse’schen Normalenform angeben. Der Abstand eines Punktes von einer Geraden wird dabei ebenso berechnet wie der Abstand eines Punktes von einer Ebene.

Beispiel Berechnen Sie den Abstand des Punktes P (2; 4) von der Geraden g: g : 4x1 − 3x 2 − 8 = 0 . Lösung

Der Abstand ist d =

4 ⋅ 2 −3⋅ 4 − 8 2

2

4 + (−3)

=

12 −12 LE. = 5 5

Beispiel Berechnen Sie den Abstand des Punktes P (4; –2) von der Geraden g:

⎡G g : ⎢x − ⎣

(35)⎤⎦⎥⋅(32) =

0.

Lösung

⎡⎛ 4⎞ ⎛3⎞⎤ ⎛ 2⎞ 1 Der Abstand beträgt d = ⎢⎜ ⎟−⎜ ⎟⎥⋅⎜ ⎟⋅ ⎣⎝ 2⎠ ⎝5⎠⎦ ⎝3⎠ 22 + 32

=

2 − 9 − 21 28 = LE 13 13

d = 7,766 LE

48.5 Abstand windschiefer Geraden Sind zwei Geraden g und h windschief, so gibt es eine Stelle, an der diese Geraden sich am nächsten kommen. An dieser Stelle steht der Distanzvektor sowohl auf g wie auch auf h senkrecht. Der Abstand windschiefer Geraden wird in folgender Weise berechnet: Beispiel

Berechnen Sie den Abstand der windschiefen G G G Geraden g : x1 = a + λu G G G und h : x 2 = b + μv

v

48.5 Abstand windschiefer Geraden

487

Lösung 1. Berechnungsmethode

G G G d = x1 − x 2 G G G G G (1) d = a + λ⋅u − (b + μ⋅ v) G G G G G G G G u⋅d = 0 (da u ⊥ d) und v ⋅d = 0 (da v ⊥ d) G G Multipliziert man die Gleichung (1) nacheinander mit den Richtungsvektoren u und v , so erhält man zwei Gleichungen, aus denen die Parameter λ und μ bestimmt werden können. G G G G G G d = a + λ⋅u − b − μ⋅ v ⋅u G G G G G G G G G G (2) d ⋅u = a⋅u + λ⋅u⋅u − b⋅u − μ⋅ v ⋅u N

Der Distanzvektor oder Abstandsvektor ergibt sich aus der Vektorgleichung. Er steht sowohl auf der Geraden g als auch auf der Geraden h senkrecht. Damit gilt:

0

G G G G G G d = a + λ⋅u − b − μ⋅ v ⋅v G G G G G G G G G G d ⋅ v = a⋅ v + λ⋅u⋅ v − b⋅ v − μ⋅ v ⋅ v N

(3)

0

Aus (2) und (3) erhält man λ und μ. Setzt man diese Parameter in Gleichung (1) ein, so erhält G man den Distanzvektor d . G Der Abstand ist d = d = d12 + d22 + d32 Da diese Berechnung relativ aufwändig ist, wollen wir noch zwei weitere Berechnungsmethoden vorstellen. 2. Berechnungsmethode

Wir legen durch die beiden Geraden G G G G G G g: x1 = a + λu und h: x 2 = b + μ v

G jeweils eine Ebene durch die Punkte A und B, wobei die jeweiligen Richtungsvektoren u und G v der Geraden Spannvektoren der Ebenen sind. Der kürzeste Abstand zweier windschiefer Geraden ist damit nach folgender Gleichung zu berechnen:

d=

G

G

G

( b − a )⋅no

K G G n Den Normalenvektor n und damit no = G , der auf den beiden Geraden und damit auf ihren n Richtungsvektoren senkrecht steht, erhält man aus folgender Berechnung: ⎛ n ⎞⎛ u ⎞ G G ⎜ 1 ⎟⎜ 1 ⎟ 1. n ⊥ u : ⎜n2 ⎟⎜ ⋅ u2 = 0; ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎟ ⎝n3 ⎠⎝u3 ⎠

n1u1 + n2u2 + n3u3 = 0

(1)

⎛ n ⎞⎛ v ⎞ G G ⎜ 1 ⎟⎜ 1 ⎟ ⋅ v 2 = 0; 2. n ⊥ v : ⎜n2 ⎟⎜ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎟ ⎝n3 ⎠⎝ v 3 ⎠

n1v1 + n2v 2 + n3 v 3 = 0

(2)

488

48 Abstandsberechnungen

3. Berechnungsmethode

Eine besonders einfache Abstandsberechnung bei windschiefen Geraden erhält man mit Hilfe des Vektor- und Spatproduktes über das Volumen und die Grundfläche eines Spats: G G G G (u1 × u2 )⋅(b − a) V d= = G G A u1 × u2 (vgl. 45 Vektorprodukt !)

Beispiel Berechnen Sie den Abstand der windschiefen Geraden

⎛ 1⎞

⎛ 4⎞

⎛ 4⎞

⎛1 ⎞

⎝ 2⎠

⎝ 1⎠

⎝3 ⎠

⎝1 ⎠

G ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ G ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ g : x = ⎜3⎟ + λ⎜ 3 ⎟ und h: x =⎜ 2 ⎟+ μ⎜−3⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ Lösung (Berechnung nach der 2. Berechnungsmethode) G G G G 1. n ⊥ u : n⋅u = 0 G G G G 2. n ⊥ v : n⋅ v = 0

(1) (2)

Die beiden Gleichungen (1) und (2) bilden ein Gleichungssystem mit 3 Variablen: 4n1 + 3n2 + n3 = 0 n1 − 3n2 + n3 = 0

(1) (2)

Durch das Additionsverfahren erhält man die Gleichung (1) + (2): 5n1 + 2n3 = 0

(3)

2 n1 =− n3 5

Damit ist eine Variable frei wählbar. Die übrigen werden mit diesem Wert berechnet. Wir wählen n3 = 5 und erhalten damit n1 = −2 und n2 = 1. Mit diesen Werten ist das Gleichungssystem erfüllt. ⎛−2 ⎞ G ⎜ ⎟ n =⎜ 1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 5⎠

Der Normalenvektor lautet Der gesuchte Abstand ist damit

d=

⎛−2⎞ ⎡⎛ 4⎞ ⎛ 1⎞⎤ ⎜ ⎟ ⎢⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎥ 1 ⋅⎢⎜ 2⎟−⎜3⎟⎥ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 5 ⎝ ⎠⎢ ⎣⎝ 3 ⎠ ⎝2⎠⎥ ⎦ 4 +1+ 25

=

− 6 −1+ 5 30

=

2 ; d = 0,365 LE 30

48.5 Abstand windschiefer Geraden

489

Aufgaben zu 48 Abstandsberechnungen 1. Vom Punkt A(0; 0; –2) wird das Lot auf die Ebene E:

x1 − x 2 − x 3 = 1 gefällt.

a) Welche Koordinaten hat der Lotfußpunkt ? b) Wie groß ist der Abstand des Punktes A von der Ebene E ?

2. Eine Ebene hat die Parametergleichung E:

⎛ 1⎞ ⎛ 2⎞ ⎛ 3⎞ G ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ x = 1 + λ⋅ 1 + μ⋅ −1 . ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 4⎠ ⎝0⎠ ⎝ 1⎠

a) Geben Sie die Ebenengleichung in einer Normalenform an. b) Welchen Abstand hat der Punkt A (2; –3; –1) von der Ebene E ? 3. Berechnen Sie für folgende Ebenen den Abstand zum Ursprung.

a) E1 :

x1 − x 2 − x 3 = 1

b) E2 :

x1 + 2 x 2 + 3 x 3 − 2 = 0 .

4. Welche Lage haben die beiden Ebenen E1 :

x1 + 2 x 2 − 4x 3 − 7 = 0 und

E2 : 3x1 + 6x 2 − 12x 3 + 18 = 0 zueinander und wie groß ist der Ebenen-Abstand ?

5. Zeigen Sie, dass die Ebenen E1 :

⎛ 1⎞ ⎛−1⎞ ⎛ 1⎞ G ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ x = 1 + λ⋅ −1 + μ ⋅ −1 und ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝−2⎠ ⎝ 0⎠ ⎝ 2⎠

E2 : − x1 + x 2 + x 3 − 2 = 0 parallel sind. Berechnen Sie den Abstand dieser Ebenen. 6. Welchen Abstand hat der Punkt A (2; 7; 3) von der Geraden

g:

⎛ 2⎞ ⎛−3 ⎞ G ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ x = 1 + λ⋅ 2 ? ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝3 ⎠ ⎝ 4⎠

7. Welchen Abstand haben die windschiefen Geraden

⎛ 2⎞ ⎛−4 ⎞ ⎛ 2⎞ ⎛−5 ⎞ G ⎜ ⎟ G ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ g : x = −1 + λ⋅ 5 und h : x 2 = 1 + μ ⋅ 2 ? ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 5⎠ ⎝ 1⎠ ⎝−2⎠ ⎝ 1⎠ Weitere Aufgaben zum Abstand windschiefer Geraden im Kapitel „46 Spatprodukt “ !

490

49 Schnittwinkel 49.1 Schnittwinkel von Gerade und Ebene Der Winkel ϕ zwischen dem Richtungsvektor G G u der Geraden und dem Normalenvektor n der Ebene lässt sich mit Hilfe des Skalarproduktes berechnen. Der Winkel zwischen diesen beiden Vektoren ist jedoch noch nicht der Schnittwinkel α, sondern der Ergänzungswinkel von α zu 90°. Der Winkel zwischen den Vektoren ist somit ϕ = 90° – α

Da aber cos (90° – α) = sin α ist, kann der Schnittwinkel α mit Hilfe der Sinusfunktion direkt berechnet werden.

G G u⋅n G G u ⋅ n

cos (90° − α) =

sin α =

G G u⋅n

G G u ⋅ n

Beispiel Berechnen Sie den Winkel zwischen der Ebene E: 4x – 3y + 2z – 5 = 0 oder 4x – 3y + 2z = 5 und der Geraden g:

⎛ 1⎞ G ⎛3⎞ ⎟ ⎜ ⎟ x =⎜ ⎜ 4⎟+ λ⋅⎜ 2 ⎟ ⎝ 1⎠ ⎝ 4 ⎠

Lösung

⎛ 1⎞⎛ 4 ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ 2 ⋅ −3⎟ ⎜ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ 4 −6+8 6 ⎝ 4⎠⎝ 2 ⎠ sin α = = = 1+ 4 +16 ⋅ 16 + 9 + 4 21⋅29 609 α = 14,07°

H. Rapp, Mathematik für die Fachschule Technik, DOI 10.1007/978-3-8348-9803-6_49, © Vieweg+Teubner | GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2010

49.2 Schnittwinkel zweier Ebenen

491

49.2 Schnittwinkel zweier Ebenen E2

E2

E1

E1

f

f

n1

f

n2

Für den Schnittwinkel zweier Ebenen sind die beiden Normalenvektoren der Ebenen maßgeblich. Den Schnittwinkel erhalten wir aus der nebenstehenden Beziehung.

G G n1 ⋅ n2 G G n1 ⋅ n2

cos α =

Beispiel Bestimmen Sie den Schnittwinkel der beiden Ebenen E: 3x + 4y –7z = 6 und F: 2x + 4y – 3z = 4. Lösung

⎛ 3 ⎞⎛ 2 ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ 4 ⋅ 4⎟ ⎜ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ 6 +16 + 21 43 ⎝−7⎠⎝−3⎠ = = cos δ = 9 +16 + 49 ⋅ 4 +16 + 9 74 ⋅ 29 2146 δ = 21,84°

49.3 Schnittwinkel zweier Geraden (vgl. Kap. 44.3.2 !) Unter der Voraussetzung, dass sich die Geraden

G G G g: x = a + λ⋅ u und G G G h: x = b + μ ⋅ v

schneiden, lässt sich ihr Schnittwinkel aus den Richtungsvektoren berechnen.

Schnittwinkel von Geraden G G u⋅ v

∂2 Ω cos = G G u ⋅ v ∂u2 G G Die Betragsstriche bei u ⋅ v bedeuten, dass der Schnittwinkel zwischen 0° und 90° liegen soll. Üblicherweise wird der Schnittwinkel als spitzer Winkel angegeben.

492

49 Schnittwinkel

Aufgaben zu 49 Schnittwinkel

⎛0 ⎞ ⎛ 1⎞ G ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 1. Berechnen Sie den Schnittwinkel der Geraden g: x = 0 + λ⋅ −1 mit der Ebene ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝5 ⎠ ⎝ 1⎠ E: x1 − x 2 − x 3 = 1 , sowie den Abstand der Ebene vom Ursprung. 2. Berechnen Sie den Schnittwinkel der Ebenen

E1 : 2x1 + 6x 2 + 7x 3 − 8 = 0 und E2 : x1 + 3 x 2 − 4 x 3 − 4 = 0 . 3. Berechnen Sie den Schnittwinkel der Geraden

⎛ 2⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ 6⎞ ⎛ −1⎞ G ⎜ ⎟ G ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ g: x1 = 3 + λ1 ⋅ −1 und h: x 2 = −3 + λ2 ⋅ 2 . ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝5 ⎠ ⎝ 2⎠ ⎝ 1⎠ ⎝ 4⎠ ⎛0⎞ ⎛1⎞ G ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 4. Zeigen Sie, dass die Gerade x1 = 0 + λ1 ⋅ −1 senkrecht verläuft zu der Ebene ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝5⎠ ⎝1⎠ ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ ⎛0 ⎞ G ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ E: x = 0 + λ2 ⋅ 1 + μ⋅ 1 . ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 1⎠ ⎝0⎠ ⎝ 1⎠ 5. Bestimmen Sie die Gleichungen der Geraden durch den Punkt A (2; – 5; 1), die

a) parallel und

⎛7⎞ ⎛ 4⎞ G ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ b) orthogonal zu der Geraden g : x = 7 + λ⋅ 2 verlaufen. ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 1⎠ ⎝0⎠ 6. Die Punkte A (1; 0; 1), B (2; 1; 1) und C (1; 1; 2) sind die Eckpunkte eines Dreiecks.

JJG

JJG

a) Berechnen Sie den Winkel zwischen den Vektoren AC und AB. b) Untersuchen Sie, ob das Dreieck ABC gleichschenklig oder gleichseitig ist. Berechnen Sie die Fläche dieses Dreiecks. c) Welchen Abstand hat die Ebene mit den Punkten A, B und C vom Ursprung ? 7. Ein Würfel mit der Kantenlänge a hat die Eckpunkte O (0; 0; 0), A (a; 0; 0), B (a; a; 0), C (0; a; 0), D (0; a; a), E (0; 0; a) F (a; 0; a) und G (a; a; a).

JJG

JJG

Unter welchem Winkel schneiden sich die Raumdiagonalen BE und OG ?

493

50 Umrechnung von Ebenengleichungen Bei vielen Berechnungen eignen sich bestimmte Ebenengleichungsformen nicht. Wir müssen in solchen Fällen die Ebenengleichung in eine andere Form umrechnen. So sind z. B. Achsenschnittpunktsberechnungen von Ebenen oder Schnittwinkel- und Abstandsberechnungen zwischen Geraden und Ebenen oder zwischen zwei Ebenen nur mit dem Normalenvektor der Ebene üblich oder überhaupt möglich. Dazu benötigen wir eine Normalenform der Ebenengleichung. Oft sind von einer Ebene 3 Punkte bekannt, oder eine Ebene soll eine Gerade enthalten und durch einen bestimmten Punkt gehen. In diesem Fall kann die Ebene sehr einfach durch eine Drei-Punkte-Gleichung oder durch eine Punkt-Richtungs-Gleichung angegeben werden. Eine Umrechnung in die Koordinatenform erleichtert die Nachprüfung, ob weitere Punkte auf dieser Ebene liegen. Wir wollen deshalb im Folgenden einige dieser Umrechnungen aufzeigen. Drei-Punkte-Gleichung

Punkt-Richtungsgleichung Punkt-Normalengleichung

Hesse’sche Normalengleichung

Koordinatengleichung

Achsenabschnittsgleichung

1. Drei-Punktegleichung ⎯ ⎯→ Punkt-Richtungsgleichung Beispiel Bestimmen Sie die Gleichung der Ebene durch die Punkte A (2; 4; –1), B (2; 5; 3) und C (5; –2; 1). Lösung Die Ebenengleichung lautet:

G G G G G G x = a + λ⋅(b − a) + μ⋅(c − a)

⎛⎛ 2⎞ ⎛ 2 ⎞⎞ ⎛⎛ 5 ⎞ ⎛ 2 ⎞⎞ ⎛ 2 ⎞ G ⎜ ⎜⎜ ⎟ ⎜ ⎜⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎟ ⎟ ⎟⎟ x =⎜ 4 ⎟+ λ⋅⎜⎜5⎟−⎜ 4 ⎟⎟+ μ⋅⎜⎜−2⎟−⎜ 4 ⎟⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎟ ⎜ ⎜⎜ 1 ⎟ ⎜−1⎟⎟ ⎝−1 ⎠ ⎝⎝3⎠ ⎝−1 ⎠⎠ ⎝⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎠

⎛ 2⎞ ⎛0⎞ ⎛ 3⎞ G ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ x =⎜ 4⎟+ λ⋅⎜ 1⎟+ μ⋅⎜−6⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝−1⎠ ⎝ 4⎠ ⎝ 2⎠

(Punkt-Richtungsgleichung der Ebene) H. Rapp, Mathematik für die Fachschule Technik, DOI 10.1007/978-3-8348-9803-6_50, © Vieweg+Teubner | GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2010

494

50 Umrechnung von Ebenengleichungen

2. Punkt-Richtungsgleichung ⎯ ⎯→ Koordinatengleichung Beispiel Gegeben ist die Parameterform (Punkt-Richtungsgleichung) einer Ebene

⎛ 2⎞ ⎛0⎞ ⎛ 3⎞ G ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ x = 4 + λ⋅ 1 + μ⋅ −6 . Berechnen Sie die Koordinatenform der Ebenengleichung. ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ −1⎠ ⎝ 4⎠ ⎝ 2⎠ Lösung

x= 2 + 3 μ (1) y = 4 + λ− 6 μ (2) ⋅− ( 4) =(2’) z =−1+ 4 λ+ 2μ (3)

Die Komponentengleichungen bilden ein Gleichungssystem, aus dem die Parameter durch das Additionsverfahren eliminiert werden. Durch die Addition der Gleichungen (3) und (2’) entsteht die Gleichung (4).

− 4y + z =−17 + 26 μ (4) x = 2 + 3 μ (1)

Durch die Addition der Gleichungen (4’) und (1’) wird der Parameter μ eliminiert.

⋅(−3) = (4 ') ⋅26 = (1')

E : 26x +12y − 3z = 103

Es entsteht eine parameterfreie Ebenengleichung.

(Koordinatengleichung)

3. Koordinatengleichung ⎯ ⎯→ Normalengleichung Wir gehen von der Koordinatengleichung 12x –3y –22z = 7 aus. Die Koeffizienten von x, y und z sind die Komponenten des Normalenvektors. Unmittelbar aus der Koordinatengleichung lässt sich somit die Normalengleichung in folgender Weise angeben:

⎛ 12 ⎞ ⎜−3 ⎟⋅ xG − 7 = 0 ⎜ ⎟ ⎝ 22 ⎠ (Normalengleichung)

4. Koordinatengleichung ⎯⎯⎯ → Achsenabschnittsgleichung Die Achsenabschnittsform der Ebenengleichung 12x –3y –22z = 7 lässt sich durch eine kleine Umformung leicht ausrechnen. 12x 7 x 7 12

−

+

3y 7 y

−

7 3

−

22z

= 1

7 z

+ −

7

= 1

22

(Achsenabschnittsgleichung)

5. Koordinatengleichung ⎯ ⎯→ Hesse’sche Normalenform Bei der Hesseform der Ebenengleichung wird die Koordinatengleichung 12x – 3y – 22z = 7 durch den Betrag des Normalenvektors dividiert. Wichtig ist dabei, dass vor dem Absolutglied ein Minuszeichen steht, sonst müsste die Gleichung noch mit (–1) multipliziert werden.

50 Umrechnung von Ebenengleichungen 12x − 3y − 22z − 7 122 + 32 + 222

1 637

495

=0

(12x − 3y − 22z − 7) = 0

(Hesse’sche Normalengleichung)

6. Normalengleichung (Koordinatengleichung) ⎯ ⎯→ Parametergleichung Diese Umrechnung kann erforderlich sein, wenn die Schnittgerade zweier Ebenen berechnet werden soll und beide Ebenengleichungen in Normalenform (bzw. Koordinatenform) vorliegen. Auch bei der Schnittpunktberechnung von Gerade und Ebene kann von dieser Umrechnung ausgegangen werden.

Beispiel

⎛ 3 ⎞ ⎡ G ⎛ 2⎞⎤ ⎟ ⎢ ⎜ ⎟⎥ Gegeben ist die Ebene E: ⎜ ⎜ 2 ⎟⋅ x −⎜ 1⎟ = 0. Bestimmen Sie eine Parametergleichung. ⎢ ⎝ 4⎠ ⎣

⎥ ⎝−1⎠⎦

1. Lösung

Aus der Normalengleichung erhält man die Koordinatengleichung 3x1 + 2x 2 + 4x3 − 4 = 0 oder 3x + 2y + 4z – 4 = 0 Wir berechnen nun mit Hilfe dieser Gleichung drei beliebige Punkte der Ebene und bestimmen daraus die Parametergleichung. Bei der Berechnung der Ebenenpunkte wählen wir zwei beliebige einfache Koordinaten (z. B. z = 0, y =− 1) frei und berechnen mit Hilfe der Koordinatengleichung die dritte Koordinate. Die Punkte A (2; –1; 0), B (4; 0; –2), C (0; 2; 0) liegen auf dieser Ebene. Sie wurden auf die dargestellte Weise berechnet. Wir können nun mit Hilfe dieser drei Punkte eine Parametergleichung aufstellen: ⎛ 2⎞ ⎛ 4 − 2 ⎞ ⎛0− 2⎞ G ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ E: x =⎜−1⎟+ r ⋅⎜ 0 − (−1) ⎟+ s⋅⎜2 − (−1)⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 0⎠ ⎝ −2 − 0 ⎠ ⎝0 − 0⎠ ⎛ 2⎞ ⎛ 2⎞ ⎛−2⎞ G ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ E: x =⎜−1⎟+r ⋅⎜ 1 ⎟+ s⋅⎜ 3 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 0⎠ ⎝−2⎠ ⎝ 0⎠ (Parametergleichung) 2. Lösung

Wir lösen die Koordinatengleichung nach x1, x 2 oder x3 auf (möglichst so, dass keine Brüche entstehen !) und setzen die beiden verbleibenden Komponenten gleich r und s. Aus erhalten wir

3x1 + 2x 2 + 4x3 − 4 = 0 x 2 = 2 −1,5x1 − 2x3

496

50 Umrechnung von Ebenengleichungen

Ersetzt man x1 und x3 durch die Parameter r und s (oder λ und μ), so erhält man die Komponentengleichungen x1 =

r

x2 =

2 −1,5r − 2s

x3 =

s

und daraus in Spaltenschreibweise die Punkt-Richtungsform (Parametergleichung) ⎛0 ⎞ ⎛ 1 G ⎜ ⎟ ⎜ x =⎜ 2⎟+ r⋅⎜−1,5 ⎜ ⎟ ⎜ ⎝0 ⎠ ⎝ 0

⎞ ⎛ 0⎞ ⎟ ⎜ ⎟ + −2 ⎟ ⋅ s ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎠ ⎝ 1⎠

(Parametergleichung)

497

51 Inzidenz1 von Geraden und Ebenen 51 Inzidenz von Geraden und Ebenen

51.1 Schnittgerade zweier Ebenen Beispiel 1 (Parameterform – Koordinatenform) Bestimmen Sie die Schnittgerade der Ebenen und

E1 :

2x − 3y + z − 5 = 0

(1)

E2 :

⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ 2⎞ G ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ x = 3 + λ⋅ 0 + μ ⋅ 1 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠ ⎝0⎠

(2)

Lösung Wir setzen die Komponenten der Parametergleichung in die Koordinatengleichung ein und

2(1 + λ + 2μ) – 3(3 + μ) + (2 + 2λ) – 5 = 0 2 – 9 + 2 – 5 + λ(2 + 2) + μ(4 – 3) = 0 –10 + 4λ + μ = 0

erhalten:

μ = – 4λ + 10 Setzt man Gleichung (3) in Gleichung (2) ein,

⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ 2⎞ G ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ x =⎜3⎟+ λ⋅⎜0⎟+ (−4 λ+10)⋅⎜ 1⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠ ⎝0 ⎠

so erhält man aus der Ebenengleichung eine

⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ ⎛−8 λ+ 20⎞ G ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ x =⎜3⎟+ λ⋅⎜0⎟+⎜−4 λ+10 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 0 ⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠ ⎝ ⎠

Geradengleichung. Dies ist die Schnittgerade

⎛ 21⎞ ⎛−7⎞ G ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ g: x =⎜13 ⎟+ λ⋅⎜−4⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠

der beiden Ebenen.

(3)

(Schnittgerade)

Beispiel 2 (Koordinatenform – Koordinatenform) Bestimmen Sie die Schnittgerade den beiden Ebenen

E1 :

2x − 3y + z − 2 = 0

(1)

E2 :

x + 4y − z + 4 = 0 .

(2)

1 Inzidenz = Zusammenfallen von einem oder mehreren Punkten (Schnittpunkt, Schnittgerade) oder

von allen Punkten zweier Geraden oder Ebenen (Identität von Geraden und Ebenen)

H. Rapp, Mathematik für die Fachschule Technik, DOI 10.1007/978-3-8348-9803-6_51, © Vieweg+Teubner | GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2010

498

51 Inzidenz von Geraden und Ebenen

1. Lösung Da beide Ebenengleichungen in Koordinatenform vorliegen, wollen wir für eine Ebenengleichung Parameter einführen. Wir lösen die Gleichung (2) nach z auf:

z = x + 4y + 4

und setzen für x und y die Parameter r und s ein:

x=r y=s z = 4 + r + 4s

Die Ebene hat damit folgende Parameterform

⎛ 0 ⎞ ⎛ 1⎞ ⎛0⎞ G ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ E2 : x =⎜ 0 ⎟+ r ⋅⎜0⎟+ s⋅⎜ 1⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 4⎠ ⎝ 1⎠ ⎝ 4⎠

(3)

Setzt man die Komponenten dieser Ebene wieder in die Gleichung (1) ein, so erhält man 2r – 3s + 4 + r + 4s – 2 = 0 oder s = –3r – 2

(4)

Durch das Einsetzen von Gleichung (4) in Gleichung (3) erhält man ⎛ 0 ⎞ ⎛ 1⎞ ⎛0⎞ G ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ x =⎜ 0 ⎟+ r ⋅⎜0⎟+ (−3r − 2)⋅⎜ 1⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 4⎠ ⎝ 1⎠ ⎝ 4⎠ ⎛ 0⎞ ⎛ 1 ⎞ G ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ g: x =⎜−2⎟+ r ⋅⎜ −3 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝−4⎠ ⎝−11⎠

(Schnittgerade) 2. Lösung Wir formen die beiden Koordinatengleichungen so um, dass bei der Addition der beiden Ebenengleichungen eine Koordinate eliminiert wird. Im vorliegenden Beispiel ist eine Umrechnung der Ebenengleichungen nicht erforderlich. Bei der Addition von Gleichung (1) und (2) fällt z heraus. 2x − 3y + z − 2 = 0 x + 4y − z + 4 = 0 (1) + (2)

3x + y + 2 = 0

oder

y = –3x – 2

(3) in (1) eingesetzt:

2x + 9x + 6 + z – 2 = 0

oder

z = – 11x – 4

(1) (2) (3) (4)

Führt man für x den Parameter r ein, so erhält man mit x = r mit den Gleichungen (3) und (4) die Schnittgerade

⎛ 0⎞ ⎛ 1 ⎞ G ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ g: x =⎜−2⎟+ r ⋅⎜ − 3 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝−4⎠ ⎝−11⎠

(Schnittgerade)

51.2 Schnittpunkt von Geraden und Ebenen

499

Beispiel 3 (Parameterform – Parameterform) Bestimmen Sie die Schnittgerade der Ebenen

E1 :

⎛0⎞ G ⎛ 0 ⎞ ⎛ 1⎞ x1 =⎜ 0 ⎟+ r ⋅⎜ 0 ⎟+ s ⋅⎜ 1⎟ (1) und ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 4⎠

⎝ 1⎠

⎝ 4⎠

E2 :

⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ 2⎞ G x 2 =⎜ 3 ⎟+ λ⋅⎜ 0 ⎟+ μ⋅⎜ 1⎟ (2) ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 2⎠

⎝ 2⎠

⎝0⎠

1. Lösung

Wir formen eine der beiden Ebenengleichung in die Koordinatenform um und bestimmen die Schnittgerade wie in Beispiel 1. 2. Lösung

G G In der Schnittgerade ist der Ortsvektor x1 der Ebene E1 und der Ortsvektor x 2 der Ebene E2 G G gleich. Wir setzen x1 = x 2 ⎛ 0 ⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ 2⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 0 + r ⋅ 0 + s ⋅ 1 = 3 + λ ⋅ 0 + μ ⋅ 1 ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ 4 1 4 2 2 0 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Zwei Vektoren sind gleich, wenn ihre Komponenten gleich sind. Das Gleichsetzen der Komponenten führt zum folgenden Gleichungssystem: (1) r = 1+ λ+ 2μ s=3+ μ (2) ⋅(−2) 4 + r + 4s = 2 + 2λ (3) Die Addition von Gl.(1) mit Gl.(2´) führt zu Gl. (4). Gl.(4) wird mit (–2) multipliziert und zu Gl.(3) addiert und ergibt die Gl.(5). r − 2s =− 5 + λ (4) ⋅ (−2) r + 4s =− 2 + 2λ (3)

(4´) + (3): – r + 8s = 8 oder r = 8s – 8 (5) Setzt man Gl.(5) in die Gl.(1) ein so erhält man die Gleichung der Schnittgeraden. ⎛0⎞ ⎛ 1⎞ ⎛0⎞ G ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ x =⎜ 0 ⎟+ (8s − 8)⋅⎜0⎟+ s⋅⎜ 1⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 4⎠ ⎝ 1⎠ ⎝ 4⎠ ⎛−8⎞ ⎛ 8⎞ G ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ g: x =⎜ 0 ⎟+ s⋅⎜ 1⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝−4⎠ ⎝12 ⎠

51.2 Schnittpunkt von Geraden und Ebenen Beispiel 1 (Ebene in Koordinatenform) Bestimmen Sie den Schnittpunkt der Ebene E: 2x + 4y – 3z = 1 mit der Geraden

⎛ 1⎞ ⎛ 2⎞ G g: x =⎜3⎟+ λ⋅⎜ 4⎟. ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 1⎠ ⎝5⎠

500

51 Inzidenz von Geraden und Ebenen

Lösung

Setzt man die Komponenten der Geraden in die Ebenengleichung ein, so erhält man

2(1 + 2λ) + 4(3 + 4λ) – 3(1 + 5λ) = 1

2 + 4λ + 12 + 16λ – 3 – 15λ = 1

λ = – 2.

λ = –2 ⎛ 1⎞ ⎛ 2⎞ ⎛−3⎞ G ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ x s =⎜3⎟− 2⋅⎜ 4⎟=⎜−5⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 1⎠ ⎝5 ⎠ ⎝−9⎠

Wird dieser Parameter in die Geradengleichung eingesetzt, so erhält man den Ortsvektor des Schnittpunktes und damit die Koordinaten des Schnittpunktes S.

S(−3; − 5; − 9)

Beispiel 2 (Ebene in Parameterform) ⎛ 1⎞ ⎛ 2⎞ G ⎜ ⎟ Bestimmen Sie den Schnittpunkt der Geraden g : x1 =⎜3⎟+ λ⋅⎜ 4⎟ mit der Ebene ⎜ ⎟ ⎝ 1⎠ ⎝ 5 ⎠ ⎛ 1⎞ ⎛2⎞ ⎛0 ⎞ G E : x 2 =⎜0 ⎟+ r ⋅⎜5 ⎟+ s ⋅⎜ 1⎟. ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 3 ⎠ ⎝3 ⎠ ⎝ 2⎠ Lösung

G G Man setzt x1 = x 2 ⎛0 ⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ 2⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ 2⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = 0 + r ⋅ 5 + s ⋅ 1 3 + λ ⋅ 4 ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ 3 3 2 1 5 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Die beiden Vektoren sind gleich, wenn ihre Komponenten gleich sind. Das Gleichsetzen der Komponenten führt zu dem Gleichungssystem (1) 1+ 2λ = 1+ 2r 3 + 4 λ = 5r + s (2) ⋅ (−2) 1+ 5 λ = 3 + 3r + 2s (3) (2´) + (3) ergibt Gl. (4):

– 8 – 3λ = – 7r

(4)

Nach Gl. (1) ist r = λ. Ersetzt man in Gl. (4) r durch λ, so erhält man den Parameter:

λ= 2. Der Parameter λ = 2 wird in die Geradengleichung eingesetzt und ergibt den Ortsvektor des Schnittpunktes ⎛ 1⎞ ⎛ 2⎞ G ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ x s =⎜3⎟+ 2⋅⎜ 4⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 1⎠ ⎝5⎠

Der Schnittpunkt ist damit S (5; 11; 11)

2. Lösung:

Man formt die Ebenengleichung in die Koordinatenform um und bestimmt den Schnittpunkt wie in Beispiel 1.

51.3 Parallelität und Inzidenz von Ebenen

501

51.3 Parallelität und Inzidenz von Ebenen Beispiel 1 (Parallele Ebenen) Bestimmen Sie die Gleichung einer zu E: 2x + 3y – 4z = 3 parallelen Ebene, die durch den Punkt A (3; 1; 3) geht. Lösung

Sollen die Ebenen parallel sein, so muss ihr Normalenvektor gleich oder linear abhängig sein.

Ansatz für die parallele Ebene:

⎛ 2⎞ G ⎜ ⎟ Der Normalenvektor ist n = ⎜ 3 ⎟ . ⎜ ⎟ ⎝−4⎠

Einsetzen der Koordinaten von A:

2x + 3y – 4z = c

2⋅3 + 3⋅1− 4⋅3 = c 6 + 3 – 12 = c

In diese Gleichung setzen wir die Koordinaten des Punktes A ein und erhalten c = – 3. Damit lautet die Gleichung der parallelen Ebene:

c=–3 Ebenengleichung: E: 2x + 3y − 4z = − 3

Beispiel 2 (Identität zweier Ebenen) Prüfen Sie nach, welche Lage die beiden Ebenen E1 : 2 x + 3 y – 4 z = 1 und E2 : – 9x – 13,5 y + 18z = – 4,5 zueinander haben. Lösung 1. Untersuchung der Normalvektoren auf Parallelität (lineare Abhängigkeit)

− 9 = 2⋅ λ ⎯⎯⎯ → λ = − 4,5 ⎛ −9 ⎞ ⎛ 2⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ −13,5⎟= λ⋅⎜ 3 ⎟ ⇒ − 13,5 = 3⋅ λ ⎯⎯⎯ → λ = − 4,5 ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 18 ⎠ ⎝−4⎠ → λ = − 4,5 18 = − 4⋅ λ ⎯⎯⎯ d. h. die Ebenen sind parallel. 2. Untersuchung auf Identität

Liegt bei parallelen Ebenen ein Punkt der einen Ebene gleichzeitig auf der anderen Ebene, so sind die Ebenen identisch. Wir suchen einen beliebigen Punkt der Ebene E1 und setzen dessen Koordinaten in die Gleichung der Ebene E2 ein. Der durch Berechnung gefundene Punkt A (1; 1; 1) liegt beispielsweise in der Ebene E1 . Setzt man die Koordinaten in die zweite Ebenengleichung ein, so erhält man 9 – 13,5 + 18 = – 4,5 (wahr), d. h. die beiden Ebenen sind gleich. Es handelt sich bei E1 und E2 um identische Ebenen.

502

51 Inzidenz von Geraden und Ebenen

51.4 Parallelität und Inzidenz von Geraden Aus Geradengleichungen ist nicht sofort zu erkennen, ob es sich um gleiche oder verschiedene Geraden handelt. Es gibt bei einer Geraden beliebig viele Ortsvektoren zu Punkten von Geraden (Stützvektoren) und ebenso viele gleich oder entgegengesetzt wirkende Richtungsvektoren. Liegt aber bei parallelen Geraden ein Punkt der einen Gerade gleichzeitig auf der anderen Geraden, so sind die Geraden identisch.

Beispiel

⎛ 5 ⎞ ⎛ 4⎞ ⎛3⎞ ⎛−6 ⎞ G ⎜ ⎟ G ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ Untersuchen Sie, ob folgende Geraden g : x1 = −1 + r ⋅ −6 und h : x 2 = 2 + s ⋅ 9 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 6⎠ ⎝ 2⎠ ⎝5⎠ ⎝−3 ⎠ parallel sind oder ob es sich um ein und dieselbe Gerade handelt.

Lösung 1. Untersuchung auf Parallelität Bei Parallelität müssen die Richtungsvektoren linear abhängig sein.

Ansatz:

⎛ 4 ⎞ ⎛−6⎞ 4r =− 6 → r =− 1,5 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ r ⋅⎜−6⎟=⎜ 9 ⎟⇒ − 6r = 9 → r =− 1,5 ⇒ d. h. die Geraden sind parallel. ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠ ⎝−3⎠ 2r =− 3 → r =− 1,5

2. Untersuchung auf Identität

Wir suchen einen beliebigen Punkt auf der ersten Geraden, z. B. A (1; 5; 4) und setzen den Ortsvektor dieses Punktes in die zweite Geradengleichung ein. Erfüllen die Koordinaten dieses Punktes die Geradengleichung, so handelt es sich um dieselbe Gerade. 1 3 ⎛ 1⎞ ⎛3⎞ ⎛−6⎞ 1 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⇒ d. h. die Geraden sind identisch. 5 ⎟=⎜2⎟+⎜ 9 ⎟⇒ 5 = 2 + 9s → s = ⎜ 3 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 4⎠ ⎝5⎠ ⎝−3⎠ 1 4 = 5 − 3s → s = 3 1= 3 − 6s → s =

Die Geradengleichungen beschreiben dieselbe Gerade.

51.4 Parallelität und Inzidenz von Geraden

Aufgaben zu 51 Inzidenz von Geraden und Ebenen 1. Berechnen Sie die Schnittgerade der Ebenen E1 : 2 x1 + 6 x 2 + 7 x 3 − 8 = 0 und

E2 : x1 + 3 x 2 − 4 x 3 − 4 = 0

⎛0⎞ ⎛ 1⎞ G ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 2. Berechnen Sie den Schnittpunkt der Geraden g : x = 0 + λ1 ⋅ −1 mit der Ebene ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝5⎠ ⎝ 1⎠ ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ ⎛0⎞ G ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ E : x = 0 + λ2 ⋅ 1 + μ⋅ 1 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 1⎠ ⎝0 ⎠ ⎝ 1⎠ ⎛−2 ⎞ ⎛ 0⎞ G ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 3. In welchem Punkt durchstößt die Gerade g : x = 4 + λ⋅ 3 die Ebene ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ −1⎠ ⎝−1⎠ E: y + z – 7 = 0 ?

503

504

Komplexe Zahlen und Funktionen

52 Grundbegriffe der komplexen Rechnung Die reellen Zahlen bestehen aus zwei Gruppen von Zahlen, den rationalen und den irrationalen Zahlen. Die rationalen Zahlen umfassen die ganzen und gebrochenen Zahlen. Die irrationalen Zahlen setzen sich zusammen aus den algebraisch irrationalen Zahlen, die sich aus Lösungen algebraischer Gleichungen ergeben, und den transzendent irrationalen Zahlen, die nicht aus algebraischen Lösungen mit Wurzeln erhalten wurden. Reelle Zahlen R Rationale Zahlen Q Ganze Zahlen Z

Irrationale Zahlen

Gebrochene Zahlen

z. B. 1, 2, 3, –1, –2, –3...

1 5

;

3 7

; 0,48; ...

Algebraisch irrationale Zahlen 2;

5;

Transzendente irrationale Zahlen sin 20º; e ; π ; ...

7 ;...

Die reellen Zahlen haben die Eigenschaft, dass ihre Quadrate immer größer oder gleich Null werden. Damit sind die Quadratwurzeln aus negativen Zahlen keine reellen Zahlen mehr.

52.1 Imaginäre Zahlen Da −4 keine reelle Zahl ist, wollen wir sie in folgender Weise umformen: −4 =

4 ⋅ (−1) =

4 ⋅ −1 = 2 ⋅ −1

Auf diese Weise lässt sich jeder Wurzelterm

−a stets so umformen, dass ein Produkt entsteht aus einer reellen Zahl Faktor

a und dem

−1 , der definiert werden muss.

Durch Einführung der imaginären Zahleneinheit j, unter der man eine Zahl versteht, deren Quadrat gleich –1 ist, lässt sich jede gerade Wurzel aus einer negativen Zahl mit Hilfe der imaginären Einheit als imaginäre Zahl schreiben.

−a = nicht reelle Zahl Umformung:

−a =

(−1) ⋅ a =

−1 ⋅ a

Einführung der imaginären Einheit

−1 = j

Definitionsgleichung 1 j2 = – 1 Damit erhält man die imaginäre Zahl −a = j · a 1 nach Leonhard Euler (1707 – 1783)

H. Rapp, Mathematik für die Fachschule Technik, DOI 10.1007/978-3-8348-9803-6_52, © Vieweg+Teubner | GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2010

52.1 Imaginäre Zahlen

505

Eine imaginäre Zahl ist somit immer das Produkt aus der imaginären Einheit und einer reellen Zahl.

Schreibweisen von imaginären Zahlen:

In der Mathematik ist es üblich, die imaginäre Einheit mit i zu bezeichnen und hinter die reelle Zahl zu schreiben, z. B. 2i, 5i.

Beispiele:

In der Elektrotechnik wird jedoch dafür das Symbol j verwendet und vor den reellen Term geschrieben, z. B. j · 2, j sin ϕ, j ω t, da die Bezeichnung i für die Stromstärke verwendet wird. Nach DIN 1302 sind beide Schreibweisen möglich.

Für die imaginären Zahlen gelten dieselben Rechenregeln wie für reelle Zahlen unter der Berücksichtigung von j2 = –1. Da die Wurzelgesetze nur für positive Radikanden abgeleitet wurden, ist zu beachten, dass Quadratwurzeln aus negativen Zahlen immer zuerst als Produkt mit der imaginären Einheit geschrieben werden müssen. So ist z. B. −a ⋅ −b = j a ⋅ j b = j2 ab = − ab

und nicht etwa

(−a) ⋅ (−b) = ab .

Bei der Division durch eine imaginäre Zahl ist es üblich, mit der Einheit j zu erweitern, um den Nenner rational zu machen.

2i j2

−4 = 2 −1 =

1.

−4 + −3 = j ⋅ 2 + j 3 = j (2 + 3)

2.

−8 − −18 = j ⋅ 2 2 − j ⋅ 3 2 = j(2 2 − 3 2 )

= −j 2

−4 ⋅ −9 = j 4 ⋅ j 9 = j2 ⋅ 6 = − 6

3.

4.

2 −4

=

2

2

=

j 4

j⋅2

=

j 2 2

j ⋅2

=

j 2 −2

Potenzen der imaginären Einheit j

j2 = – 1 j3 = j2 · j = – j j4 = j2 · j2 = (–1) · (–1) = 1

Bei der Multiplikation zweier imaginärer Zahlen ist das Produkt stets reell.

j5 = j2 · j2 · j = j usw.

Das Produkt zweier imaginärer Einheiten ist nach Definition stets –1. Mit jn erhalten wir somit immer einen reellen Wert, wenn die Hochzahl n gerade ist. Entsprechendes erhalten wir mit negativen Hochzahlen.

= −j

1⋅ j j = = −j j–1 = 1 = j j ⋅ j −1

j–2 =

j–3 =

j–4 =

1 2

j

1 j3 1 j

4

= = =

1 −1

= −1

1

=

j2 ⋅ j 1 2

2

j ⋅j

1 −j

=

=

j −j ⋅ j 1

(−1) (−1)

=j =1

2 2

506

52 Grundbegriffe der komplexen Rechnung

Aus j–1 = – j folgt

Daraus folgt allgemein:

( j−1 ) 2 = (−j)

2

= j 2= −1

( j−1 ) 3 = (−j ) 3= (−j ) 2 ⋅ (−j ) = (−1) ⋅ (−j ) = j (−j ) −2 = (−j ) −3 =

1 (−j)

=

3

1 = =− j j

1 (−j)

1

2

−1

( − j ) n = j n , wenn n gerade ( − j ) n = − j n , wenn n ungerade ( j −1) n = j −n = (−j) n

=−1

( − j ) −n= j n j0 =1

52.2 Komplexe Zahlen C Algebraische Summen aus reellen und imaginären Zahlen nennt man komplexe Zahlen. Sie umfassen somit alle bisher bekannten Zahlen.

z = x+ j y reelle Zahl imaginäre Zahl

Zur Unterscheidung von reellen Größen werden komplexe Größen insbesondere bei der Anwendung in der Elektrotechnik durch Unterstreichung gekennzeichnet. In der Mathematik wird auf die Unterstreichung oft verzichtet.

x = Re (z) = Realteil y = Im (z) = Imaginärteil

Man nennt x den Realteil von z und y den Imaginärteil von z. Komplexe Zahlen, die sich nur durch das Vorzeichen des Imaginärteiles unterscheiden, nennt man konjugiert-komplex. Die zu z konjugiert-komplexe Zahl wird zusätzlich durch einen Stern oder durch Überstreichung gekennzeichnet.

z* = x − j y z* ist die konjugiert-komplexe Zahl zu z. z + z* = (x + j y) + (x – j y) = 2x z · z* = (x + j y) (x – j y) = x2 + y2

Die Summe und das Produkt zweier konjugiert-komplexer Zahlen ergeben stets reelle Zahlen.

z = 0 + j y = j y (imaginär) z = x + j · 0 = x (reell)

Als Sonderfall erhält man für x = 0 ... eine imaginäre Zahl y = 0 ... eine reelle Zahl. Auch für komplexe Zahlen gelten die gleichen Rechenregeln wie für reelle Zahlen. Bei der Addition und Subtraktion lassen sich Realteil und Imaginärteil zusammenfassen.

Beispiele 1. (2 + j 3) + (3 + j 5) = (2 + 3) + j (3 + 5) = 5 + j 8 2. (2 – j 5) – (1 – j 4) = (2 – 1) – j (5 – 4) = 1− j 3. (2 – j 3) (4 + j 2) = 8 + j 4 –j 12 – j26 = 14 − j 8

52.3 Gauß’sche Zahlenebene

507

Bei der Multiplikation komplexer Zahlen verfährt man wie bei der Multiplikation von Klammertermen.

4.

3 − j4 3 = −j 4 4

Beim Dividieren durch eine reelle Zahl werden Realteil und Imaginärteil einzeln dividiert.

5.

6 − j 4 j 6 − j2 4 j 6 + 4 = = =−2 − j 3 j2 −2 j2 2

6.

20 − j 30 (20 − j 30) (2 + j 4) = 2− j 4 (2 − j 4) (2 + j 4)

Beim Dividieren durch eine imaginäre Zahl wird der Nenner durch Erweitern mit j reell gemacht. Bei der Division durch eine komplexe Zahl wird der Nenner durch Erweitern mit der konjugiert-komplexen Zahl reell gemacht.

=

40 + j 80 − j 60 + 120 160 + j 20 = 8+ j = 4 + 16 20

52.3 Gauß’sche Zahlenebene Graphische Darstellung komplexer Zahlen Komplexe Zahlen bestehen aus einem imaginären und einem reellen Anteil. Trägt man auf zwei orthogonalen Zahlengeraden jeweils die imaginären und die reellen Zahlen ab, so entsteht eine Zahlenebene (Gauß’sche Zahlenebene), in der sich komplexe Zahlen als Bildpunkte oder Pfeile (auch Zeiger genannt) vom Ursprung zu den Bildpunkten darstellen lassen. Durch die reelle und die imaginäre Achse wird die komplexe Zahlenebene – analog zum Koordinatensystem – in vier Quadranten aufgeteilt.

Beispiel

Lösung

Stellen Sie die folgenden Zahlen in der Gauß’schen Zahlenebene dar: a) die komplexe Zahl z1 = 4 + j 2,5

1

b) die zu z1 konjugiert-komplexe Zahl z1 * c) die komplexe Zahl z2 = – 5 + j 2.

1

Aufgaben zu 52.3 Gauß’sche Zahlenebene

Stellen Sie die folgenden komplexen Zahlen als Bildpunkte und als Zeiger in der komplexen Ebene dar. 1. z = – 5 – j 3

2. z = – 1 + j 3

3. z = 4 + j 3

4. z = 3 + j 4

5. z = 5 – j 3

6. z = – 6 + j 3

508

53 Darstellungsformen komplexer Zahlen 53.1 Komplexe Zahlen in Komponentenform (algebraische oder kartesische Form) Bei der graphischen Darstellung in der Gauß’schen Zahlenebene haben wir gezeigt, dass die komplexe Zahl auch als Zeiger dargestellt werden kann. Dabei können die reellen und imaginären Anteile x und y wie bei Vektoren als die beiden „Komponenten“ der komplexen Zahl bezeichnet werden.

Im

z=x+jy y x

Dies entspricht den kartesischen Koordinatenangaben. Zeiger und Vektoren mit zwei Komponenten stimmen nur bezüglich ihrer geometrischen Darstellung und in den Rechengesetzen der Addition und Subtraktion überein. Sonst gelten unterschiedliche Verknüpfungen. Bei den Vektoren ist die skalare und vektorielle Multiplikation, bei den komplexen Zahlen die komplexe Multiplikation und Division definiert.

Re

z=x+jy Komponentengleichung

|z| =

Die Länge des Zeigers entspricht dem Betrag | z | der komplexen Zahl z.

x2 + y2

Betrag der komplexen Zahl

Beispiel Berechnen Sie den Betrag der komplexen Zahl z = 3 + j 4. Lösung Der Betrag ist die Länge des Pfeiles und berechnet sich wie die Länge einer Strecke nach folgender Gleichung |z|=

2

x +y

|z|=

32 + 42 = 25

z =5

2

Beispiel Bestimmen Sie graphisch und rechnerisch den komplexen Widerstand Z des in Reihe geschalteten Wirkwiderstandes R = 60 Ω und des induktiven Widerstandes XL = 40 Ω. Lösung Für die in Reihe geschalteten Widerstände gilt:

Z = R + j XL = (60 + j 40) Ω

Z = Z = R2 + XL2 = 602 + 402 Ω

R

XL

Z = Z = 72,11Ω

H. Rapp, Mathematik für die Fachschule Technik, DOI 10.1007/978-3-8348-9803-6_53, © Vieweg+Teubner | GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2010

53.1 Komplexe Zahlen in Komponentenform

509

Zeichnerische Lösung

XL W

Z = (60 + j 40)

40 Z = 72,11 10 10 Z = (60 + j 40) Ω Ohm'scher Widerstand

induktiver Widerstand

R

60

W

Gesamtwiderstand Z = Z = 602 + 402 Ω = 72,11 Ω

Beispiel Bestimmen Sie für die dargestellte Reihenschaltung den komplexen Widerstand für eine Frequenz von f = 50 Hz. (R = 600 Ω, C = 4 μF).

I

R

UR

C

UC

U

Lösung

Der Gesamtwiderstand setzt sich wieder zusammen aus dem Ohm'schen Widerstand und dem kapazitiven Blindwiderstand.

Z = R + j XC Z =R− j

1 ω⋅ C

Wegen

600 1 =−j j

lässt sich der kapazitive Widerstand schreiben als 1 1 = −j jω ω⋅C 1 1 = ω C 2 π ⋅50 s−1⋅ 4⋅10−6 F

1 = 795,77 Ω ωC

R W

795,8

XC

Z=600–j795,8

W

Gesamtwiderstand: Z = Z = 6002 + 795,772 Ω Z = 996,62 Ω

510

53 Darstellungsformen komplexer Zahlen

53.2 Komplexe Zahlen in Polarform 53.2.1 Trigonometrische Form Für die zeichnerische Darstellung von Produkten komplexer Zahlen gehen wir auf Polarkoordinaten über. Die komplexe Zahl lässt sich auch mit Hilfe der Länge r des Zeigers und dem Richtungswinkel ϕ darstellen. Mit x = r · cos ϕ und y = r · sin ϕ erhält man aus z = x + j y eine trigonometrische Darstellungsform. z = r · cos ϕ + j r · sin ϕ

Dabei ist r = z die Länge des Zeigers, die dem Betrag der komplexen Zahl entspricht.

z = r · (cos ϕ + j sin ϕ) Trigonometrische Form (Polarform)

Der Richtungswinkel ϕ ergibt sich aus y tan ϕ = . x

r = z = x2 + y2

ϕ = arc tan

y x

Beispiel Verwandeln Sie z = – 5 + j 3 in die trigonometrische Form. Geben Sie die Länge r des Zeigers sowie den Phasenwinkel an. Lösung

Betrag von z:

Für die trigonometrische Schreibweise ist der Betrag der komplexen Zahl und der Richtungswinkel ϕ zu bestimmen.

r = z = (−5)2 + 32 = 5,83 Richtungswinkel von z: 3 =− 0,6 ; ϕ = 149,04° −5 Trigonometrische Schreibweise:

Dazu ist die nebenstehende Umrechnung erforderlich.

tan ϕ =

z = 5,83 (cos 149,04º +j sin 149,04º )

53.2.2 Komplexe Zahlen in Exponentialform Ersetzt man in der Mac Laurin’schen Reihe für eϕ e

ϕ

= 1+

ϕ

1! ϕ durch j · ϕ, so erhält man

e

jϕ

= 1+

+

jϕ 1!

ϕ2

2!

+

+

ϕ3

3!

( j ϕ )2 2!

+

+

ϕ4

4!

( j ϕ )3 3!

+ ...

+

( j ϕ )4 4!

+ ... =1+

jϕ 1!

−

ϕ2

2!

−

j ϕ3 3!

+

ϕ4

4!

+.....

53.2 Komplexe Zahlen in Polarform

e j ϕ = 1−

ϕ2

+

511 ϕ4

2! 4!  

⎛

− ... + j⎜ ⎜ϕ −

ϕ2

+

ϕ4

−

ϕ6

+

ϕ5

⎞

− ...⎟ ⎟

(1)

3! 5! ⎝   ⎠

cos ϕ

Da cos ϕ = −

ϕ3

sin ϕ

+ ... (2) und sin ϕ = ϕ −

ϕ3

+

ϕ5

−

ϕ7

2! 4! 6! 3! 5! 7! aus den Beziehungen (1), (2) und (3) die EULER’sche Gleichung

+ ... (3) sind, erhält man

e jϕ = cos ϕ + j sin ϕ Da die Winkelfunktionen periodisch sind, ist auch cos (ϕ + k · 360°) + j · sin (ϕ + k ⋅ 360°) = cos ϕ + j · sin ϕ Legt man die Euler’sche Gleichung zugrunde, so erhält man aus der trigonometrischen Form die Exponentialform einer komplexen Zahl

D z = r ⋅ e jϕ = r ⋅ e j( ϕ+k⋅360 )

Diese Darstellungsform bringt weitere Vorteile insbesondere beim Multiplizieren, Potenzieren, Radizieren und Logarithmieren.

Beispiel Berechnen Sie das Produkt aus z1 = r1 ⋅ e

jϕ 1

und z2 = r2 ⋅ e

jϕ 2

.

Lösung z = z1⋅ z2 = r1⋅r2 ⋅ e j( ϕ1+ϕ2 )

Beispiel Berechnen Sie das Produkt z1 ⋅ z2 und den Quotienten

z2 z1

aus z1 = 2 ⋅ e

j20°

Lösung

z1 ⋅ z 2 = 2 ⋅ 5 ⋅ e j⋅(20

D

+100D )

D

= 10 ⋅ e j120 ,

⎛5⎞ D D D =⎜ ⎟⋅ e j (100 −20 ) = 2,5 ⋅ e j 80 z1 ⎝ 2 ⎠

z2

D

und z 2 = 5 ⋅ e j 100 .

512

54 Komplexe Arithmetik Die Addition und Subtraktion komplexer Zahlen wird in der Komponentenform durchgeführt. Die Multiplikation und Division kann sowohl in der Komponentenform als auch in der Polarform erfolgen. Beim Potenzieren, Radizieren und Logarithmieren wird vorzugsweise mit der Polarform (Exponentialform) gearbeitet.

54.1 Rechenoperationen in der Komponentenform 54.1.1 Addition und Subtraktion komplexer Zahlen Komplexe Zahlen in der Darstellung als Pfeile lassen sich wie Vektoren geometrisch addieren und subtrahieren.

1. Addition Beispiel Berechnen Sie die Summe der komplexen Zahlen z1 = 3 + j 2 und z 2 = 1 + j 2 Lösung rechnerisch:

zeichnerisch:

z = z1 + z2 z = (3 + j 2) + (1 + j 2) z = (3 + 1) + j (2 + 2)

z = 4+ j 4

2. Subtraktion Beispiel Berechnen Sie die Differenz der komplexen Zahlen z1 = (4 + j 4) und z 2 = 1 + j 3 Lösung rechnerisch:

zeichnerisch:

z = z1 – z2 z = (4 + j 4) – (1 + j 3) z = (4 – 1) + j (4 – 3)

z = 3+ j

H. Rapp, Mathematik für die Fachschule Technik, DOI 10.1007/978-3-8348-9803-6_54, © Vieweg+Teubner | GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2010

54.1 Rechenoperationen in der Komponentenform

513

Regeln der Addition und Subtraktion

Komplexe Zahlen werden addiert bzw. subtrahiert, indem man jeweils ihre Realteile und ihre Imaginärteile addiert bzw. subtrahiert. z = z1 + z 2 = (x1 + j ⋅ y1 ) + (x 2 + j ⋅ y 2 ) = (x1 + x 2 ) + j ⋅ (y1 + y 2 ) z = z1 − z2 = (x1 + j ⋅ y1 ) − (x 2 + j ⋅ y 2 ) = (x1 − x 2 ) + j ⋅ (y1 − y 2 )

54.1.2 Multiplikation und Division komplexer Zahlen 1. Multiplikation Beispiel Berechnen Sie das Produkt der komplexen Zahlen z1 = (2 – j 3) und z 2 = (3 + j 4) Lösung

z = z1 ⋅ z2 z = (2 − j⋅3)⋅(3 + j⋅ 4) = 6 + j⋅8 − j⋅9 − j2 ⋅12 = 6 − j + 12 = 18 − j

Beispiel Bilden Sie das Produkt aus z1 = a + j b und der zu z1 konjugiert-komplexen Zahl z1* = a – j b. Lösung

z = z1 · z1* = (a + j b) · (a – j b) = a2 + b2 z = z1 ⋅ z2 = (x1 + j⋅ y1)⋅(x 2 + j⋅ y 2 ) = (x1⋅ x 2 − y1⋅ y 2 ) + j⋅(x 2 y1 + x1y 2 )

(Regel der Multiplikation)

2. Division Beispiel Berechnen Sie den Quotienten aus den komplexen Zahlen z1 = (5 – j 5) und z2 = (1 + j 2). Lösung

Bei den Divisionsaufgaben mit komplexen Zahlen ist es üblich, den Bruch mit der konjugiert-komplexen Zahl z1* = 1 – j 2 des Nenners zu erweitern, um einen reellen Nenner zu erhalten.

z=

=

z1 z2

=

5 − j 5 (5 − j 5) (1− j 2) = = 1+ j 2 (1+ j 2) (1− j 2)

5 − j 10 − j 5 −10 −5 − j 15 = = 1+ 4 5

=−1− j 3

514

54 Komplexe Arithmetik

54.2 Rechenoperationen in der Polarform 54.2.1 Multiplikation in der trigonometrischen Form Beispiel Eine komplexe Zahl z1 hat den Betrag 2 und den Richtungswinkel 30º. Eine zweite komplexe Zahl z 2 hat den Betrag 3 und den Richtungswinkel 45º. Bestimmen Sie das Produkt z = z1 · z2 dieser beiden komplexen Zahlen. Lösung

In der trigonometrischen Schreibweise lauten die komplexen Zahlen z1 = 2 (cos 30º + j sin 30º) und z2 = 3 (cos 45º + j sin 45º) Das Produkt ist somit z = z1 · z 2 = 2 (cos 30º + j sin 30º) · 3 (cos 45º + j sin 45º) z = 2 · 3 [(cos 30º · cos 45º – sin 30º cos 45º) + j (sin 30º · cos 45º + cos 30º · sin 45º)] Durch Anwendung der Additionstheoreme erhält man als weitere Vereinfachung: z = 2 · 3 [cos (30º + 45º) + j sin (30º + 45º)] = 6 [cos 75º + j sin 75º] z z = z1 · z2 = r1 · r2 · [cos (ϕ1 + ϕ2) + j · sin (ϕ1 + ϕ2)]

Das Produkt komplexer Zahlen erhalten wir, indem wir die absoluten Beträge multiplizieren und die Argumente addieren. In Komponentenschreibweise erhalten wir:

z = 1,553 + j 5,796 Zeichnerische Lösung

Die Multiplikation zweier komplexer Zahlen bedeutet geometrisch eine Drehstreckung, d. h. 1. eine Drehung des Zeigers von z1 um den Winkel ϕ2 in positiver Drehrichtung (Gegenuhrzeigersinn) und 2. eine Streckung des Zeigers z2 um den Faktor r2.

Im z = z1 · z2 5 4 3 2

z2

ϕ1

ϕ2

1 ϕ1

1

z1 2

Re

54.2 Rechenoperationen in der Polarform

515

Beispiel Bestimmen Sie das Produkt der komplexen Zahlen z1 = 2 + j und z 2 = 3 + j 4 . Lösung

Im

r1 =

22 +12 = 5

r2 =

3 2 + 42 = 5

z

10

r = r1 · r2 = 5⋅ 5 ≈ 11,18 ϕ1 = arctan

1 = 26,565º 2

ϕ2 = arctan

4 = 53,13º 3

z2

ϕ = ϕ1 +ϕ2 = 79,695º z =5·

5 (cos 79,695º + j sin 79,695º)

z = 2 + j⋅10,999

z1

1

Re 1

Beispiel Bestimmen Sie das Produkt der komplexen Zahlen z1 = 2 – j und z 2 = 3 + j 4. einfachere Rechnung:

Lösung

r1 =

22 +12 = 5

r2 =

3 2 + 42 = 5

r = r1 · r2 = 5⋅ 5 ≈ 11,18

z = z1 · z 2 = (2 – j) · (3 + j 4) =6+j8–j3+4 = 10 + j 5

−1 = – 26,565º = 333,435º 2 4 ϕ2 = arctan = 53,13º 3

ϕ1 = arctan

ϕ = ϕ1 +ϕ2 = 386,565º z =5·

5 (cos 386,565º + j sin 386,565º) = 5 ·

z = 10 + j 5

5 · (0,89443 + j · 0,447213)

516

54 Komplexe Arithmetik

54.2.2 Division in der trigonometrischen Form Ausgehend von der trigonometrischen Darstellungsform der komplexen Zahlen erhält man bei der Division der komplexen Zahlen z1 und z 2 als Quotient: z1

z=

z2

=

r1(cos ϕ 1 + j sin ϕ 1 ) r2 (cos ϕ 2 + j sin ϕ 2 )

Durch Erweiterung mit der konjugiert-komplexen Zahl z *2 wird der Nenner gleich r2: z1

z=

z2

=

r1 (cos ϕ 1 + j sin ϕ 1 )

⋅

(cos ϕ 2 − j sin ϕ 2 )

r2 (cos ϕ 2 + j sin ϕ 2 ) (cos ϕ 2 − j sin ϕ 2 )

r1 (cos ϕ 1 ⋅ cos ϕ 2 + sin ϕ 1 ⋅ sin ϕ 2 ) + j (sin ϕ 1 ⋅ cos ϕ 2 − cos ϕ 1 ⋅ sin ϕ 2 ) ⋅ r2 (cos2 ϕ 2 + sin2 ϕ 2 )

z=

Mit Hilfe der Additionstheoreme erhält man: z=

z1 z2

=

r1 r2

⋅ [cos (ϕ1 – ϕ2) + j sin (ϕ1 – ϕ2)]

Den Quotienten zweier komplexer Zahlen erhält man durch Division der absoluten Beträge und durch Subtraktion ihrer Argumente.

Beispiel Berechnen Sie den Quotienten der komplexen Zahlen z1 = 1 + j 3 und z 2 = 3 + j. Lösung 12 + 32 = 10

r1 = r2 =

32 +12 = 10

tan ϕ1 =

3 = 3; 1

1 tan ϕ2 = ; 3

z=

z1 z2

=

ϕ1 = 71,565º

ϕ2 = 18,435º

10 ⋅[cos 53,13º +j sin 53,13º ] 10

z = cos 53,13º +j sin 53,13º z = 0,6 + j 0,8

andere Berechnungsweise: z1 1+ j 3 z= = z2 3+ j =

(1+ j 3) (3 − j) (3 + j) (3 − j)

=

3 − j+ j 9 + 3 9 +1

=

6+ j 8 10

= 0,6 + j 0,8

54.2 Rechenoperationen in der Polarform

517

54.2.3 Potenzieren in der Exponentialform Das Produkt zweier gleicher komplexer Zahlen z ist somit z = z 2 = r 2 ⋅ e j 2 ϕ .

Nach der Multiplikationsregel komplexer Zahlen in trigonometrischer Form gilt: z 2 = r2 [cos ϕ + j sin ϕ]2 = r2 [cos 2ϕ + j sin 2ϕ]. Damit ist

[cos ϕ + j sin ϕ]2 = [cos 2ϕ + j sin 2ϕ] [cos ϕ + j sin ϕ]3 = [cos 3ϕ + j sin 3ϕ] [cos ϕ + j sin ϕ]4 = [cos 4ϕ + j sin 4ϕ] ... [cos ϕ + j sin ϕ]n = [cos nϕ + j sin nϕ] MOIVRE'sche Formel

Die n-te Potenz einer komplexen Zahl z = r · e jϕ führt zu zn = rn · e j nϕ zn = rn · e j n ϕ = rn [cos ϕ + j sin ϕ]n = rn [cos nϕ + j sin nϕ]

Beispiel Berechnen Sie für z = 3 (cos π2 + j sin π2 ) die komplexen Zahlen z · z = z2 und z3 . Lösung π π + j ⋅ sin 2 ⋅ ) = 9 (cos π + j ⋅ sin π ) =−9 oder z2 = 9 · e j · π 2 2 3π π π 3π 3π + j⋅sin ) =−j 27 oder z3 = 27 e 2 z3 = 33 (cos 3⋅ + j⋅sin 3 ⋅ ) = 27 (cos 2 2 2 2

z2 = 32 (cos 2⋅

54.2.4 Radizieren in der Exponentialform Die n-te Wurzel aus der komplexen Zahl z = r · e jϕ ist n

n

z = r ⋅e

j

ϕ

n

n

= r ⋅e

j⋅(

ϕ

n

+k⋅

360° n

)

Für k = 0, 1, 2, 3, ..., (n–1) ergeben sich n verschiedene komplexe Wurzeln.

Beispiel Berechnen Sie für z = – 25 den Wert

z.

Lösung

Wir wandeln

z in die Exponentialform einer komplexen Zahl um.

Dabei ist r =

(−25)2 = 25 und ϕ = 180º und wir erhalten z = 25 · ej ·180º.

Damit ist

z=

⎛ 180° 360° ⎞ j⋅⎜ + k⋅ ⎟ 2 2 ⎠ = 5 ⋅e j ⋅ (90º + k⋅180º) ⎝ 25 ⋅ e

518

54 Komplexe Arithmetik

k=0:

z = 5 · ej·(90º) = 5 (cos 90º + j sin 90º) = j 5

k=1:

z = 5⋅ e

j⋅(

180º 360º ) + 2 2

= 5⋅ e j⋅270º =−j 5

Für k = 0, 1, ... , n – 1 ergeben sich n verschiedene Argumente und damit n verschiedene Wurzeln. Für k = 2 ist die Periode bereits überschritten und die Werte wiederholen sich. Für −25 erhält man also im komplexen Bereich zwei Wurzelwerte, während Wurzelwert, nämlich 5 ergibt.

Beispiel Berechnen Sie für z = 27 e j ⋅ 60 ° die Wurzelwerte von 3 z . Lösung ⎛ 60° 360° ⎞ j⋅⎜ + k⋅ ⎟ 3 ⎠ = 3 ⋅e j ⋅ (20º + k⋅120º) ⎝ 3

3

z = 3 27 ⋅e

k = 0:

3

z = 3⋅e j⋅20º = 3 (cos 20º +j · sin 20º ) = 2,819 + j · 1,026

k = 1:

3

z = 3⋅e j⋅140º = 3 (cos 140º +j · sin 140º ) =−2,2981+ j · 1,9284

k = 2:

3

z = 3⋅e j⋅260º = 3 (cos 260º +j · sin 260º ) =−0,5209 − j · 2,9544

Der Wert für k = 3 ist gleich dem Wert für k = 0 usw., d. h. die Werte wiederholen sich nach jeder Periode.

54.2.5 Logarithmieren in der Exponentialform Durch Logarithmieren der Exponentialform erhält man folgendes Ergebnis: ln z = ln [r · ej·(ϕ + k · 360º)] = ln r + j·(ϕ + k · 360º) ln e. Mit ln e = 1 ergibt sich: ln z = ln r + j · (ϕ + k · 360º) Für k = 0 erhält man den Hauptwert mit (0 ≤ ϕ < 2π) ln z = ln r + j · ϕ

25 nur einen

54.2 Rechenoperationen in der Polarform

Beispiel

519

Berechnen Sie den natürlichen Logarithmus von z = 27 · e j · 60º.

Lösung

ln z = ln 27 + j · (60º + k · 2π) ln z = ln 27 + j · π = 3,2958 + j⋅1,0472 3

k = 0:

Da das Bogenmaß von 360º gleich 2π ist, vergrößert sich der Imäginärteil jeweils um diesen Wert. Der Imaginärteil ist somit nicht mehr eindeutig. Für k = 0 erhält man den Hauptwert.

Beispiel

Bestimmen Sie den natürlichen Logarithmus der Zahl z = – 25.

Lösung

Aus der Umwandlung der Zahl z in die Exponentialform z = 25 · e j ·180º erhält man ln z = ln [25 · e j ·180º] = ln 25 + j · 180º = ln 25 + j · π = 3,2189 + j⋅ π Der natürliche Logarithmus einer negativen Zahl ist somit im komplexen Bereich berechenbar, während er im reellen Bereich nicht definiert ist.

Aufgaben zu 53 Darstellungsformen komplexer Zahlen und 54 Komplexe Arithmetik 1. Geben Sie die folgenden komplexen Zahlen in der trigonometrischen Form und in der Exponentialform an. Wie lauten jeweils die konjugiert-komplexen Zahlen dazu ? a) z = – 5 – j 3 b) z = –1 + j 3 c) z = 4 + j 3 d) z = 3 + 4 j e) z = 5 – j 3 2. Bilden Sie von folgenden komplexen Zahlen die kartesische Form.

a) z = 5 (cos 60º – j sin 60º)

d) z = – cos π + j sin π

b) z = 3 (cos 22,5º – j sin 22,5º)

e) z = – 6 (cos

c) z = –2 (cos 30º – j sin 30º)

f) z = – cos

π π – j sin ) 2 2

3π 3π + j sin 2 2

3. Berechnen Sie von folgenden komplexen Zahlen den Betrag.

a) z = – 5 – j3

b) z = – j2

c) z = 2 (cos 30º – j sin 30º)

d) z = – 2 · e j· 60º

4. Berechnen Sie mit den komplexen Zahlen z1 = 4 – j 3 und z2 = – 5 – j 3 die Terme

a) z = z1 – z2

c) z = z1 · z*2

b) z = z1 + 0,5 z2

d) z =

z1 2⋅ z2

5. Berechnen Sie folgende Potenzen mit Hilfe der Formel von Moivre und geben Sie die komplexen Zahlen in der algebraischen Form und in der Polarform (Exponentialform) an.

⎡ π π ⎤6 a) z = 3 ⎣ cos − j sin 6 6 ⎦

3

b) z = 5 ⋅[cos (−20° ) + j sin (−20° )]

6. Berechnen Sie folgende Wurzeln

a) z =

2− j 3

b) z =

3 −3 + j

4

c) z =

3

27 ⋅ e−j 80º .

7. Bestimmen Sie sämtliche Lösungen von

a) z3 = 4 – j 5

b) z3 = 25 (cos 30º + j sin 30º)

c) z3 = 2 · e j·10º

520

55 Anwendungen der komplexen Rechnung 55.1 Komplexe Funktionen Zeitabhängige Wechselgrößen der Schwingungslehre oder der Wechselstromtechnik werden in der Regel mit trigonometrischen Funktionen beschrieben. So lautet die Funktionsgleichung einer harmonischen Schwingung f(t) = A · sin (ω t + ϕ) Diese lässt sich mit Hilfe der Euler’schen Gleichung in eine komplexe Funktionsgleichung umschreiben: z(t) = A · e j (ω t + ϕ) Der Zeitwert der Schwingung ergibt sich aus dem Imaginärteil

Im z A e j (ω t + ϕ )

A sin (ω t + ϕ)

lm z = A · sin (ω t + ϕ) bzw. dem Realteil Re z = A · cos (ω t + ϕ) des Zeigers in der komplexen Ebene.

ω

t+ϕ A cos (ω t + ϕ)

Re z

Die umständlich zu handhabende trigonometrische Wechselgröße ist in der komplexen Ebene ein einfacher Zeiger geworden, der in exponentieller Schreibweise leichter zu berechnen ist als eine Winkelfunktion. Wir haben dabei folgende Umrechnung: z (t) = A · [cos (ω t + ϕ) + j · sin (ω t + ϕ)] = A · e j (ω t + ϕ) Durch Aufspaltung des Exponentialterms erhält man folgende Einzelfaktoren:

z (t) = A ⋅ e j (ω t + ϕ ) = A ⋅

jϕ e 

Winkelfakt or (zeitunabhängig)

jωt e 

⋅

Drehzeiger (zeitabhängig)

e j ϕ = Winkelfaktor Versor-Schreibweise des Winkelfaktors: e j ϕ = /ϕ

(gelesen: „Versor phi“)

H. Rapp, Mathematik für die Fachschule Technik, DOI 10.1007/978-3-8348-9803-6_55, © Vieweg+Teubner | GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2010

55.2 Symbolische Darstellung von Schwingungen

521

Die komplexe Funktion lässt sich somit immer in zwei Faktoren zerlegen: 1. Zeitunabhängiger Faktor:

A · e j ϕ = A = komplexe Amplitude oder Festzeiger

2. Zeitabhängiger Faktor:

e j ω t = Drehzeiger (Phasor) jωt z(t) = A ⋅ e jϕ ⋅ e N   A

Drehzeiger

Im z Drehzeiger ω

A = A e jϕ

t ϕ

Re z

Die Größe A kann dabei der Strom oder die Spannung sein. In der Nachrichtentechnik wird hierfür der Scheitelwert verwendet, in der Energietechnik ist es üblich, den Effektivwert zu nehmen.

55.2 Symbolische Darstellung von Schwingungen Die komplexe Darstellung trigonometrischer Wechselgrößen mit Hilfe eines Zeigers wird in der Elektrotechnik als symbolische Schreibweise bezeichnet. Schreibt man das Ohm’sche Gesetz der Wechselstromtechnik in der komplexen Form U = Z ⋅ I, so erhalten wir für einen Wechselstromkreis mit dem Ohm'schen Widerstand Z = R folgende Gleichung U · e jωt = R · I · e jωt oder U = R ⋅ I Der Zeitfaktor e j ω t kürzt sich heraus. Wir benötigen zur Kennzeichnung einer Schwingung nur noch die komplexe Amplitude A als zeitunabhängigen Festzeiger, der die Anfangslage des mit der Winkelgeschwindigkeit ω rotierenden Zeigers kennzeichnet. Der Vorteil dieser symbolischen Methode liegt darin, dass man zur Beschreibung von Strom und Spannung neben der Frequenz nur noch den Phasenwinkel und den Scheitelwert bzw. den Effektivwert von Spannung oder Strom benötigt.

Beispiel Bestimmen Sie die resultierende Wechselspannung u(t) zweier sich überlagernder Wechselspannungen u1 (t) = 200 V · sin (ω t) und u2 (t) = 150 V ⋅ sin (ω t + 0,8 π) mit gleicher Frequenz von 50 Hz.

522

55 Anwendungen der komplexen Rechnung

Lösung Die komplexen Spannungsgleichungen lauten: u1 =

4

200 V ⋅ e j ω t und u2 = 150 V ⋅ e j ( ω t + 5 π ) = 150 V  ⋅ e j⋅0,8⋅ʌ ⋅ e j ω t  

 

Scheitelwert

Scheitelwert

Die komplexen Scheitelwerte sind uˆ 1 = 200 V und uˆ 2 = 150 V · e j · 0,8 π Die Addition der komplexen Amplituden (= Addition der komplexen Scheitelwerte) ergibt: uˆ = uˆ 1 + uˆ 2 = 200 V + 150 V · e j · 0,8 π

uˆ = 200 V + 150 V · (cos 0,8 π + j · sin 0,8 π) uˆ = 78,647 V + j · 88,168 V Daraus lässt sich die Länge des Zeigers (= reeller Scheitelwert) berechnen. û = | uˆ | =

(78,647 V)2 + (88,168 V)2 = 118,148 V

Der Phasenwinkel der resultierenden Wechselspannung berechnet sich wie folgt: tan ϕ =

88,168 V 78,647 V

= 1,121; ϕ = 0,842 rad

Der komplexe Scheitelwert wird damit û = û · e j ϕ = 118,148 V · e j·0,842 Die resultierende Wechselspannung ist u(t) = û · e j ϕ = 118,148 V · e j·0,842 · e j ω t u(t) = 118,148 V ⋅ e j ( ω t + 0,842) Die Überlagerung gleichfrequenter Wechselspannungen erhält man also unmittelbar aus der Addition der komplexen Amplituden. Der Betrag der resultierenden komplexen Amplitude ist û = | û |. Die resultierende Wechselspannung lautet damit in komplexer Form: u(t) = uˆ ⋅ e

j( ϕ1 + ϕ2 )

⋅e

jω t

55.3 Komplexe Widerstände Schreibt man das Ohm’sche Gesetz der Wechselstromtechnik in der komplexen Form U = Z ⋅ I , so lässt sich der komplexe Widerstand in folgender Form schreiben: Z=

U I

=

U⋅ e j⋅ϕ1 I⋅ e

j⋅ϕ2

= Z⋅e j ( ϕ1− ϕ2 ) = Z⋅e j⋅ϕZ

Dabei ist ϕz der zwischen Strom und Spannung auftretende Phasenwinkel. Der Kehrwert des komplexen Widerstandes ist der komplexe Leitwert Y = 1/ Z . In Wechselstromkreisen haben wir es häufig neben den Ohm’schen Widerständen mit Spulen (induktive Widerstände) und Kondensatoren (kapazitive Widerstände) zu tun. Diese komplexen Widerstände werden mit folgenden Formeln berechnet:

55.3 Komplexe Widerstände

523

Ohm’scher Widerstand

ZR = R

Induktiver Widerstand

ZL = XL = j ω L

Kapazitiver Widerstand

Z C = XC =

1 jωC

=− j

1

ωC

Der Gesamtwiderstand berechnet sich bei der Reihenschaltung nach folgender Gleichung: Z = Z1 + Z2 + Z3 Für die Parallelschaltung gilt: Z=

1 1 Z1

+

1 Z2

+ Z1

3

Beispiel In einem Wechselstromkreis mit f = 20 Hz ist eine Spule mit einer Induktivität von 300 mH mit einem Ohm’schen Widerstand von 200 Ω in Reihe geschaltet. a) Wie groß ist damit der Gesamtwiderstand (Scheinwiderstand) ? b) Wie groß ist dieser bei doppelter Frequenz ? Lösung

Die an der gesamten Anordnung abfallende Spannung U setzt sich aus UR und UL in folgender Weise zusammen: U = UR + UL . Der Scheinwiderstand der Reihenschaltung ist damit

U UR UL oder Z = R + j ω L = + I I I

a) Z = R + j ω L Z = 200 Ω + j · 2π · 20 s–1 · 0,300 H Z = (200 + j · 37,699112) Ω

Darstellung des komplexen Scheinwiderstandes Z in Abhängigkeit von der Frequenz ω.

Z = Z = 2002 + 37,6991122 Ω Z = 203,52 Ω

Im (Z) 100

Z (2 ω)

b) bei der doppelten Frequenz wird Z = (200+ j · 2 · 37,699112) Ω

Z = 213,74 Ω

50

Z (ω ) 100

200

Re Z

524

55 Anwendungen der komplexen Rechnung

Beispiel In einem Wechselstromkreis mit f = 50 Hz ist ein Kondensator mit der Kapazität C = 10 μF mit einem Ohm’schen Widerstand von 150 Ω in Reihe geschaltet. a) Berechnen Sie den Scheinwiderstand Z. b) Wie groß ist die Phasenverschiebung zwischen Spannung und Strom ? Lösung

a) Mit dem Blindwiderstand XC =

1 1 = ω C 2 π 50 s−1⋅10⋅10−6 F

XC = 318,3 Ω erhalten wir den komplexen Widerstand Z =R–j·

Im (Z) 50

Ω

100

200 Re (Z) Ω

1 ω⋅C

Z = 150 Ω – j · 318,3 Ω

Daraus ergibt sich der Scheinwiderstand Z = Z = 1502 + 318,32 Ω

Z = 150 Ω – j 318,3 Ω

Z = 351,87 Ω − 1 ω C −318,3 Ω b) tan ϕ = = =−2,122 R 150 Ω

Phasenverschiebung zwischen Spannung und Strom – 64,77º. Der Strom eilt der Spannung in der Phase voraus.

ϕ =− 64,7677º

55.4 Ortskurven Wird bei der Impedanz Z = R + j ω L einer Spule die Frequenz ω verdoppelt oder verdreifacht, so wird der Blindwiderstand der Spule ebenfalls verdoppelt oder verdreifacht. Bei der Darstellung der komplexen Scheinwiderstände als Zeiger in der Gauß’schen Zahlenebene erhalten wir eine Schar von Zeigern, deren Spitze alle auf einer Geraden enden, die wir als Ortskurve der Impedanz Z bezeichnen. Die Ortskurve ist also der geometrische Ort aller Zeigerspitzen für veränderliche Frequenzen ω und beschreibt die Abhängigkeit des Scheinwiderstandes Z von ω. Die Ortskurve hat den Vorteil, dass man für jeden Winkel ϕ die komplexe Zahl Z und deren Betrag | Z | ablesen kann. Die einfachste Ortskurve ist die Gerade.

55.4 Ortskurven

525

Beispiel Bestimmen Sie Ortskurve des Scheinwiderstandes Z = R + j ω L. Lösung Diese komplexe Zahl hat die Form

Im (Z)

Ortskurve für Z=a+jωb

Z =a+j·ω·b ω

Da der Realteil a konstant ist und sich der Zeiger nur durch den Imaginärteil ωb ändert, liegen die Spitzen alle auf einer Geraden parallel zur imaginären Achse. Verläuft ω von ω = 0 bis ω = ∞, so liegen die Zeigerspitzen auf einer Halbgeraden von ω = 0 bis ω = ∞. Dies ist die gesuchte Ortskurve.

ω

a=R

=0 Re (Z)

Beispiel

Im (Z)

Bestimmen Sie die Ortskurve für

Ortskurve für Z=aω+jb

Z =a·ω+j·b Lösung Da in diesem Fall der Imaginärteil b konstant ist, ändert sich der Zeiger mit dem veränderlichen Realteil a · ω.

b

Re (Z)

Die Zeigerspitzen liegen alle auf einer Parallelen zur reellen Achse. Dies ist somit die Ortskurve.

Beispiel Bestimmen Sie mit Hilfe einer Wertetabelle die Ortskurve der komplexen Funktion Z (ω) = (2 + j 4) – ω (1 – j 2) Lösung

Durch Umformung erhält man die Parameterform Z (ω) = (2 – ω) – j (4 + 2 ω) Wertetabelle

Im (Z) Ortskurve

6 4

ω

Z (ω)

0

2+j4

+1

1+j6

+2

0+j8

–2

4+j0

2 1

2

3 4

Re (Z)

526

55 Anwendungen der komplexen Rechnung

Beispiel Bestimmen Sie die Ortskurve von Z(t) = r ⋅ e j ω t . Lösung

In diesem Fall ist der Radius r konstant, d. h. die Ortskurve ist ein Kreis um den Ursprung mit dem Radius r.

Im (Z)

Aus der trigonometrischen Schreibweise ergibt sich

r

Ortskurve für Z (t) = r e j ω t

Z (t) = r cos ω t + j r sin ω t

Re (Z)

Z (t) = r (cos ω t + j sin ω t) Für 0 ≤ ω · t < 2π erhält man als Ortskurve einen Ursprungskreis mit dem Radius r.

Beispiel Bestimmen Sie die Ortskurve der komplexen Funktion Z (ω) = r (ω) e j ϕ Lösung

In diesem Fall ist der Winkel ϕ des Zeigers konstant. Der Radius ändert sich mit ω. Die Ortskurve ist ein Strahl unter dem konstanten Winkel ϕ vom Ursprung aus.

55.5 Inversion einer Ortskurve Bei Parallelschaltungen von Widerständen haben wir den Kehrwert der Widerstände zu nehmen. Der Kehrwert des komplexen Scheinwiderstandes Z ist der komplexe elektrische Leitwert Y=

1 Z

.

Der Übergang von einer komplexen Zahl zu ihrem Kehrwert wird als Inversion bezeichnet.

Inversion

z ⎯⎯⎯⎯⎯→ w =

1 z

Inversion einer komplexen Zahl Inversion

z = r ⋅ e j⋅ϕ ⎯⎯⎯⎯⎯→ w =

⎛ 1⎞ =⎜ ⎟⋅ e− j ϕ z ⎝r ⎠ 1

Beispiel Bilden Sie den Kehrwert der komplexen Zahl z = 2 ⋅ e j⋅ 90

º

55.5 Inversion einer Ortskurve

527

Lösung

Der Kehrwert der gegebenen komplexen Zahl lautet w = Ein Bildpunkt mit großem Abstand vom Ursprung führt durch Invertierung zu einem Bildpunkt mit kleinem Abstand und umgekehrt.

1 2⋅ e

j⋅90º

1 = ⋅e−j⋅90º 2

Zeichnerische Darstellung der Invertierung

Im (z)

Der Vorzeichenwechsel im Argument bedeutet geometrisch eine Spiegelung von z an der reellen Achse.

2 z 1

Die Inversion hat somit zwei Veränderungen zur Folge:

w = z1

1. Eine Kehrwertbildung des Betrages von z.

Re (z)

2. Ein Vorzeichenwechsel des Argumentes (des Winkels) von z. Geometrisch führt dies zu einer Verkürzung oder Verlängerung des Zeigers und zu einer Rückwärtsdrehung um den Winkel ϕ.

Beispiel Bilden Sie den Kehrwert der komplexen Zahl z = 0,6 · ej · 20º. Lösung

Der Kehrwert lautet w =

1 z

=

1 0,6 ⋅ e

j⋅20º

=

5 3

⋅ e−j⋅20º Zeichnerische Darstellung

Im

Ein Bildpunkt oberhalb der reellen Achse führt durch Invertierung zu einem Punkt unterhalb der reellen Achse und umgekehrt.

z

0,6 20 ° –20 ° 5 3

Re w = z1

528

55 Anwendungen der komplexen Rechnung

Beispiel Bilden Sie die invertierte Ortskurve zu Z = R +

1 jωC

, wobei bei fester Frequenz ω die Kapazi-

tät C variiert werden soll. Lösung

Der Kehrwert zu Z lautet Y(ω) =

1 R+ 1 jωC

=

1 R − j⋅ 1 ωC

Ortskurve zu Z (ω)

Ortskurve zu Y (ω)

Im C

Im Re C

C=∞

Ortskurve von Z C=0 Gerade, die nicht durch den Ursprung geht

1 R

Re

Kreis durch den Ursprung

Invertierung In Exponentialschreibweise:

⎛ 1 ⎞2 j⋅arc tan Aus Z = R +⎜ ⎟ ⋅e ⎝ ω C⎠ 2

−1 ω⋅ C⋅R

folgt

Y=

−j⋅arc tan

1 R2 +

1

⋅e

−1 ω⋅R ⋅ C

( ω C)2

In Komponentenschreibweise:

Aus Y( ω) =

1 R+ 1 jωC

=

1 R − j⋅ 1 ωC

folgt durch Erweitern des Bruches

1 R+ j 1 R+ j 1 R ωC ωC ωC = = + j⋅ Y( ω) = 1 1 1 (R − j 1 ) ⋅ (R + j 1 ) R2 + R2 + R2 + ωC ωC ω2 ⋅ C 2 ω2 ⋅ C 2 ω2 ⋅ C 2

55.5 Inversion einer Ortskurve

529

Aufgaben zu 55 Anwendungen der komplexen Rechnung 1. Berechnen Sie für die dargestellte Schaltung den komplexen Scheinwiderstand Z für R = 2 kΩ, L = 500 mH, C = 25 μF und f = 50 Hz. Zeichnen Sie die Ortskurve Z (ω).

R

C

L 2. Berechnen Sie den komplexen Scheinwiderstand für die dargestellte Reihenschaltung für eine Frequenz von 50 Hz und R = 700 Ω, L1 = 1,5 H, L2 = 1 H, C = 225 μF.

R

C L1

L2 3. Bilden Sie den Kehrwert folgender komplexer Zahlen

a) z = 2 + j 5

b) z = –2 + j 3

d) z = – 0,5 ⋅ e j 3

e) z = –2 (cos

c) z = 3 ej 60º π 2

+ j sin

π 2

)

f)

z = – 0,5 (cos 45º + j sin 45º)

4. Bestimmen Sie für folgenden Schaltkreis mit variabler Frequenz

R

C

a) die Netzwerkfunktion Z = Z (ω) b) die Ortskurven für Z (ω) und Y (ω) =

1 Z

c) die Ortskurve für einen variablen ohmschen Widerstand.

530

Lösungen 1.2 Mengen

2.1.1 Addition und Subtraktion 1. 2. 3. 4.

188 244 247 – 2 773

5. 6. 7. 8.

618 29,1x + 26,2y = – 23,3 10a + 17b – 202 = – 269 11,3xy – 21x – 12y = – 20,3

09. 10.

29,3x + 31a = 304,9 7a – 2b – 4x = – 1,5

2.2.1 Multiplikation 1. 2. 3.

30abc 231abc 20 abmn 3

4. 5. 6. 7. 8.

15abc 15a – 2,04ax 31,35ax – 5,4abx

09. 10. 11. 12. 13.

– 6ax 5,44ab 994abc 140axyz – 5,076ab

14. 15. 16. 17. 18.

15,34pq – 4,88x 11,194mnx 217,75abc 18,7xy

19. 20.

0,5157ac 2,9xy

2.2.3 Multiplikation mit Summentermen 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28.

5a – 5b 7x – 14 10x – 15y 3a – 3b – 3ax + 3ay – 3az 42ac – 18ab – 3a 13 13b – a 3 10abx – 14aby

29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37.

4xy + ax – 3x x + 4y 12a2 – ab – 5b2 4a2 – 57ab + 9b2 – 0,9a + 4,3b + 0,8c 5zy – 6,8xz – 8,6z 8,03a – 11,9b – 10,06c ac – 2a + bc – 2b xy – 2x – 4y + 8

38. 39. 40. 41. 42. 43. 44. 45.

2a – 2ac – 4b + 4bc 4ax – 2ay – 4bx + 2by 6ax – 3ay – 2bx + by 2ax – 3ay – 2bx + 3by am – bm + 2cm + 2cn + an – bn 2mx + 2nx – 2cx – 4m + 4c – 4n ax + ay – a – bx – by + b + cx + cy – c 12ax – 12acx – 9adx + 9acdx

H. Rapp, Mathematik für die Fachschule Technik, DOI 10.1007/978-3-8348-9803-6, © Vieweg+Teubner | GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2010

Lösungen

531

2.2.4 Binomische Formeln 46. m2 + 2mn + n2

58. a2 + b2 + c2 – 2ab – 2ac + 2bc

70. 25x2 – 4y2

47. n2 – 2n + 1

59. a2 + b2 – 2ab – 2a + 2b + 1

71. 1,69 – x2

48. a2 + 8a + 16

60. p2 + q2 + 4p – 2pq – 4q + 4

72. x2 + 4x + 4

49. r2 + 2r + 1 50. a2 – 2ac + c2

61. 6,25x2 – 3,5xy + 0,49y2 62. 1,69a2 + 6,76ab + 6,76b2

73. a2 – 4b2

51. 1 – 8x + 16x2 52. 16s2 – 24rs + 9r2 53. 25x2 – 10x + 1

63. 0,04a2 – 0,04ab + 0,01 b2 64. a2 – 9

75. b2 – a2 + 2b + 1

65. 1 – y2

77. – 2x – 2

1 54. 9x2 + 3xy + y2

66. 9x2 – 4y2 67. 16m2 – 25

78. 2p2 – 10pq + 50q2

68. 4a2 – 4b2

80. 1,08x

4

55.

u2 – uv + 4v2 16

56. a2 + b2 + c2 – 2ab + 2ac – 2bc

74. 9x2 – 12xy + 4y2 76. – 6ab – 3b2

79. 3x – 6y + 4

69. x2 – 4

57. a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc

2.2.6.1 Brüche als rationale Zahlen 1. 2.

11 3 1 3

3. 4.

54 5 1 3

5.

2997 1210

6. 53

7. 8.

23 10 25 441

2.2.6.2 und 2.2.6.3 Multiplikation und Division von Bruchtermen x +1 x −1

1 tan x 2 1 20. sin x 2

2 3

09. – 4m

14.

10. 1,5

15. 2a

11. 6x + 6

16.

y−x y+x

21.

b−a b+a

26.

y−x y+x

12. 0,25

17.

1 1 − x y

22.

x +1 a

27.

1 x +1

18.

x+y xy

23.

1 + sinĮ sinĮ + cosĮ

1 2

36.

a – 6b + 4

40.

13.

x (n − m)2

19.

24.

25. 2xy – 2

Kürzen von Bruchtermen 28.

2x y

32.

29.

– 4a

33.

1

37.

1 a

41.

30.

a+b 2

34.

1 n−2

38.

x+1

42.

31.

2 3

35.

x −b 2

39.

1 8

43.

1 2b − a 1 − cos x 1 + cos x 1 – sin α

44.

–1

1 5x + 7y

532

Lösungen

Erweitern von Bruchtermen 45. 46.

x(x + 2)

47.

x2 − 4 − 91x − 7ax

48.

a2 − 169

2x 2 + x − 1 1 − 4x + 4x 2 4x 2 − 2x − 12 2x 2 − 8x + 8

x 2 − 2x + 1

49.

2x 2 − 2x x − ax − 1 + a

51.

50.

1 + a − x − ax 2 + x + 2a + ax

52.

2ax + 2a

2a2 − 2x − 2

4ax − x 2 − 4a + x 2x 2 − 2

2.2.6.4 Addition und Subtraktion von Bruchtermen 53.

2x a

58.

54.

−x − 4 2x

59.

55.

a+3 a +1

60.

56.

2a x − 4a

61.

57.

1− a 1− x

62.

−2x − 1 ( x + 1) (2x + 3) 4a a2 − x 2 9x − y x−y −5x 2 x2 − 1

2x 2 − 2x − 3a2 ax − a

63.

1 x +1

68.

64.

10 a+b

69.

2x 5a − 3

70.

4 a −1

65. 66. 67.

2x 2 − 7x (x − 2)2

a2 − 1

x 3 + 3x 2 − 3x (1 − x 2 ) (2x − 3) 4a x −5

3.3 Einfache lineare Gleichungen 1. {2}

­8 ½ 07. ® ¾ ¯9 ¿

2. {– 1}

08. {2}

3. {– 4} ­ 17 ½ 4. ® ¾ ¯3¿

09. {14} 10. {5}

13. {– 2}

19. {3}

­ 6½ 14. ®− ¾ ¯ 7¿ 15. {6} ­ 25 ½ 16. ®− ¾ ¯ 17 ¿

­ 4½ 20. ®− ¾ ¯ 3¿ 21. {19} ­ 15 ½ 22. ®− ¾ ¯ 8 ¿

25. {– 0,02}

31. {3}

26. {2}

32. {18}

27. {– 20}

33. {2a – 3c}

28. {2,5}

34.

{a + 2 }

5. {– 10}

­5½ 11. ® ¾ ¯4¿

­ 22 ½ 17. ® ¾ ¯7 ¿

23. {– 4}

⎧ 2⎫ 29. ⎨ ⎬ ⎩9⎭

­ 1½ 35. ® ¾ ¯2¿

6. {2}

­ 7 ½ 12. ®− ¾ ¯ 17 ¿

­6½ 18. ® ¾ ¯5 ¿

­ 1½ 24. ® ¾ ¯4¿

­3 ½ 30. ® ¾ ¯2¿

36. {7}

3.4 Bruchgleichungen 1.

­ 1½ ® ¾ ¯3 ¿

­ 20 ½ 06. ®− ¾ ¯ 7 ¿

11. {5}

­ 11½ 16. ® ¾ ¯3¿

21. {25}

26. {10}

2.

­ 7½ ®− ¾ ¯ 2¿

­ 1½ 07. ® ¾ ¯3 ¿

12. {2}

17. {2}

22. {2}

­ 1½ 27. ®− ¾ ¯ 3¿

18. {– 1}

23. { }

19. {5}

24. { }

20. {4}

25. {3}

3. {8} 4. {– 2} 5. {6}

­ 8½ 08. ®− ¾ ¯ 3¿ 09. {4} ­2½ 10. ® ¾ ¯3 ¿

­ 1½ 13. ® ¾ ¯3 ¿ 14. { } 15. {3}

­4½ 28. ® ¾ ¯7¿ 29. {8} 30. {4} 31. {3}

Lösungen

533

3.5 Gleichungen mit Formvariablen a b−a

01. x =

02. x = ac + bc

2a

21. sin γ =

03. x =

ab c+2

n − i ⋅ n4 23. ns = 1 1− i

04. x =

ab 1 − ab

24. l =

n 05. d1 = d2 · 2 n1 06. Δϑ =

l − l0 α ⋅ l0

d −d 07. m = k 2 08. ϑ2 =

Q + ϑ1 c ⋅m

09. d = D – C · I 10. F1 =

F ⋅ x − F2 ⋅ x 2 x1

11. v0 = v + g · t

Mv 2 − 2d 6 E1 42. m = 3 E1 − E

43. I =

M 0,3 ⋅ sn ⋅ D ⋅ k s

2s a in − 1 27. i0 = in

, r1,2 = −

48. r =

R1R2 R1 + R2

b⋅g b+g

l x

2a − z1 m

49. r = R –

2⋅ FR G

50. r = R –

2⋅ Rh s

1 − ηu ⋅ ηo ηu − ηu ⋅ ηo

51. R =

n⋅U i ⋅ (n + 1)

12. m =

D ⋅ sin β − y sin β + 1

32. C =

C1C2C3 C2C3 + C1C3 + C1C2

52. Vc =

Vh ε −1

13. m =

y − d ⋅ sin β 1 + sin β

33. m =

Q − k ⋅ c v ⋅ (T2 − T1) Q − c v ⋅ (T2 − T1)

53. z1 =

1− i ⋅ z3 i

14. D =

4⋅ A + d2 π

v w − f ⋅v 34. u = 0 f − v0 2 E 35. m = ; v= v2

l − l ⋅ (n − 1) 16. a = 1 2

36. b =

t ⋅ t2 2t 2 − t

37. x1 =

18. l2 =

2a – l1 h

38. c =

P 19. n1 = ns + w T 20. sin

α D = 2 2y − D

F +F 54. I1 = B m ⋅ l3 G − FB 2 E m

a2 − 2ax − 2cx 2 (x − a)

17. t1 =

x (y 2 − y1) + x 2 (y1 − y) y2 − y

2⋅ A − a ⋅ h h

R R − RR3 39. R2 = 1 3 R − R1 − R3 40. s =

2⋅ A − r ⋅ b h− r

ω2 ⋅ l2 + 4 a ⋅ l

2⋅ A − l ⋅ b lB − l

31. iu =

2 ⋅ vR ⋅ I 15. D = +d L

1 ± 2

R ⋅ (R2 + R3 ) R2 − R

45. R1 =

47. z2 =

28. v = r ⋅ g ⋅ tan α

30. f =

a − rω2

46. d = D –

26. t =

29. R =

r 2 ⋅ ω2

R (R − R) 44. R2= 1 1 R − 2R1

2v 2bh1 − gh2

25. a = b –

2dM

41. m =

a2 − 1 nc 22. iAB = nc + nA ⋅ nB

55. A =

b ⋅ tan2 β tan α− tan β

tan β ⋅ (A + b ⋅ tan β) A n ⋅ f ⋅ r2 56. r1 = r2 − n ⋅ f tan α =

57. b =

BH3 − 12 ⋅ l h3

58. s =

v ⋅ (t 2 − a2 ) 2⋅ t

59. x =

b − a2

a2 f ⋅c − f ⋅c 60. v = 1 f1 61. xac =

V ⋅ (xab + x) − u 1− V

4 ω2

534

Lösungen

62. am = 63.

2 ⋅ Em2 λ⋅Ω ⋅k 67. m1 = b − λ⋅(a1 + Δ a) m2 ⋅ ( v12 − v 22 ) − 2 E

R1 =

U1 R2 U − I⋅ R2 − U1

64. x = u2 – v2

65. x = r – 1

E − E2 + m2 66. m1 = 1 c2

68.

i=

69. μ =

2ac 2 A ⋅ sin ϕ cos ϕ ⋅ (2Ac1 ⋅ sin ϕ − vk ⋅F)

x 2 + y 2 + 2y x 2 + y 2 − 2y

2

−

( x2 + y2 ) 4 ⋅ π ⋅h⋅ σ ⋅ F x ⋅( x 2 + y 2 − 2y )

24ab ⋅ (C2 ⋅ sin β − C1 ⋅ sin α )

12 ⋅ c + 24a 2 ⋅ x + x 3 24a 2 + x 2 2 ⋅ A − b ⋅ ( y 2 − y 3 ) − c ⋅ ( y 3 − y1) 71. a = y1 − y 2 70. sin γ =

3.7 Textliche Gleichungen 1. d1 = 15 mm; d2 = 20 mm

08. 70 %ige H2SO4

15. t = 2s

2. a = 13 cm; b = 18 cm

09. 72 t Stahlschrott

16. 14,09 Uhr

3. Die Zahl heißt 753

10.

4. 45 Stimmen wurden abgegeben 30 Stimmen dafür, 15 dagegen,

11. 2,67 g Kupfer

18. 5,625h

5. Die Zahl heißt 98.

12. 16,67 g Gold (12 karätig)

19. a) 5,56 h; b) 6 h

6. 437,5 kg CuZn42;

13. AB = 12,2 m

20. 4,78 Tage

312,5kgCuZn30 7. 100 Liter Wasser

75 kg Magnalium 1125 kg Magnesium

__

t = 21,5 s (Bewegungszeit) 14. v = 64 km/h

87,776 km von F entfernt 17. Pumpzeiten: Pumpe 1: 8,56 h Pumpe 2: 7,13h

21. a) 2,35 Tage

b) 1,76 Tage c) 4,06 Tage

4 Funktionen 1. Grades

Lösungen

535

07. m = – 4; (0 ; – 3); (– 0,75 ; 0) 10. m = 5 ; (0; – 1) ; (0,2 ; 0)

08. m = 0,5; (0 ; – 1); (2 ; 0) 2 § 1· §3 · 11. m = ; ¨¨ 0 − ¸¸ ; ¨¨ ; 0 ¸¸ 3 © 4¹ ©8 ¹ 1 ; (0 ; 2); (6 ; 0) 3

09. m = – 2; (0 ; – 1,5); (– 0,75 ; 0) 12. m = – 0,5 ; (0 ; 2) ; (4 ; 0)

13. m = – 0,5 ; (0 ; – 2) ; (– 4 ; 0)

14. m = –

16. y = x + 2

17. y = – 4x + 2

18. y = −

20. y = x – 1,5

21. y =

19. y = –

11 3 x+ 12 2

1 x+5 2 1 25. y = – x − 4 4 22. y =

23. y = –

1 5 x+ 3 12

26. y = – 4x + 16

15. m = – 5 ; (0 ; 2,5) ; (0,5 ; 0)

145 59 x− 44 22

6 x − 28 5 3 24. y = – x + 21 2 2 27. y = – x 7

5 Systeme linearer Gleichungen 01. {(2 ; 1)} ⎧ ⎪⎛ 61 7 ⎞⎫ ⎪ ; 05. ⎨⎜ ⎟⎬ ⎪⎝ 76 76 ⎠⎭ ⎪ ⎩

02. {(3 ; 4)}

03. {(0,5 ; 2)}

04. {(4 ; 3)}

06. {(3 ; 4)}

07. {(5 ; 4)}

08. {(3 ; 1)}

09. {(3 ; – 1,2)}

10. {(3,5 ; 4,5)}

11. {(b ; 0)}

13. {(20 ; 15)} ­§ 3 ·½ 17. ®¨¨ − a ; 3b ¸¸¾ ¹¿ ¯© 8

14. {(3 ; 6)}

15. {(0,5 ; 1)}

⎧⎛ a − b a + b ⎞⎪ ⎫ ⎪ ; 12. ⎨⎜ ⎟⎬ ⎪ ⎪ a b ⎝ ⎠ ⎩ ⎭ 16. {(– 7 ; – 3)}

18. {(2 ; 2,5)}

19. {(3 ; 0,5)}

20. {(12 ; 15)}

21. {(3 ; 40)}

22. {(1 ; 3)}

­§ 9 18 ·½ 23. ®¨¨ − ; − ¸¾ 7 ¸¹¿ ¯© 2

24. {(3 ; 2)}

­§ 8 7 ·½ 25. ®¨¨ ; ¸¸¾ ¯© 3 2 ¹¿ 29. {(2 ; 4)}

­§ 4 ·½ 26. ®¨¨ 0 ; − ¸¸¾ 3 ¹¿ ¯© 30. {(3 ; 2)} ­§ 3 ·½ 34. ®¨¨ ; 7 ¸¸¾ ¯© 7 ¹¿

27. {(– 7 ; 2)}

28. {(6 ; 4)}

31. {(– 11 ; – 2)} ­§ l l ·½ 35. ®¨¨ 400 ; 500 ¸¸¾ min min © ¹¿ ¯

32. {(7 ; 8)}

33. {(5 ; 7)}

­§ 3 2 13 ·½ 40. ®¨¨ ; − ; − ¸¸¾ ¯© 2 7 14 ¹¿

37. {(7 ; 0 ; 2)}

38. {(4 ; – 3 ; – 5)}

41. {(2 ; 3 ; 7)}

­§ 2a + b − c 2b + c − a 2c + a − b ·½ ; ; 42. ®¨¨ ¸¸¾ 14 14 14 ¹¿ ¯©

43. {(30 ; 20 ; 40)}

44. {(3 ; – 1 ; 2,5)}

45. {(4 ; 3 ; 5)}

46. {(5 ; 3 ; 2)}

47. {(5 ; – 1 ; – 3)}

48. {(3 ; 4 ; 2)}

49. {(1 ; 1 ; 1)}

50. {(3 ; – 2 ; 1 ; 4)}

51. FN =

§ l − μ ⋅ l2 − l · l μ⋅l ¸ ⋅ F ; FA = FA 2x + FA 2y ; FAy = F − FN = ¨¨ 1 ⋅ F ; FAx = μ ⋅ FN = ¸ l1 − μ ⋅ l2 l1 − μ ⋅ l2 © l1 − μ ⋅ l2 ¹ 1+

52. FN =

53. D = 1

39. {(2 ; 3 ; 6)}

36. {(3 : – 2 ; 4)}

μ ⋅ l1 ⋅F l2

ª l +l º sin α − μ ⋅ «1 + 2 3 ⋅ cos α − cos α » l 2 ¬ ¼ 54. D = – 13

; FN = 590,71 N ; FNA = 858,7 N ; FNB = 1154,06 N

55. D = – 8

56. D = – 120

536

Lösungen

6.2 Potenzgesetze 01. 2

02. – 243

03. 1

04. 16

05. – 0,000 001

06. – 1,0201

07. – 1

08. – 15,625

09. 4

10. 100

11. 27

12. 5

13. 2

14. (– 2)–2 =

16. 2

17. a2

18. x

19. 1

xn 20. xn–2 = x2

21. x2m

22. x

23. 2

24. 4x

25. 4x2

26. xa

27.

28. 1

29.

31. a2

32. x

33. xa

34. x

36. a5–4x

1 37. x–3 = x3

38. x2

39.

41.

xn yn

b a

1 4

3 a

15. 10

1 30. a–1 = a

35. – x6

y 21

40. xy

x2

n

§x· = ¨¨ ¸¸ ©y¹

6.5 Potenzen von Binomen 1. 1 + 3x + 3x2 + x3 5. a3 +

3 100

a2 +

2. a3– 3a2 + 3a – 1

3a

+

10 000

3.

1

a3 b

3

3a

+

b

2

6. x3 +3x +

1 000 000

+

3 ab

+

1 a3

4. 8x3y + 8xy3

3 1 + x x3

7 Wurzeln 01. 2

02. 0,5

03. 0,5

04. 2

05. 30

06. 0,4

07.

27 8

08. 25

09. x2

10. 2

11. ab

12. x2

13.

14. x2

15. x6

16. 3 · 3b

17. 2

18. ab

19. 3 6

20. 4 2

21. x2

22. 3 x

23.

3 6

26. m+1 xm

27.

2

28.

8 7 2

31. 6 · n a

32. 3 · x

a

36. 41.

4 3a

x +1 x −1

46. 3 + 2 2

x6 ⋅ y2 z6

24.

33. 3 ⋅ 5 = 45

a+b 4

37.

2a

38.

42.

x x

43. 4 · x + y

47. 3 x − 1

48.

a−b

2.

­2 2½ ® ;− ¾ ¯9 9 ¿

34. 2ab a

35. 2 · n x + y

2 a 5

44. 5 + 2 6 49.

3.

3

30. 6 ·

2 − 3x 2 1 − x2

8 Quadratische Gleichungen 1. {2,83 ; – 2,83}

3 a x

29. 4 · 5 = 80

39.

a2 + 2 + a

25.

­° 2 2 ½° ;− ® ¾ 3 °¿ °¯ 3

40.

a

2−x

45. 4a – 3b 50.

a 2 + 2x 2 a ⋅ (a 2 + x 2 )

Lösungen

537

­3 3 ½ 04. ® ; − ¾ ¯5 5 ¿

05. {21 ; – 21}

06. { 21; − 21}

07. { 83 ;− 83 }

08. {19 ; – 19}

­8 8 ½ 09. ® ; − ¾ ¯3 3 ¿

­ 1 1½ 10. ® ; − ¾ ¯7 7 ¿

28. {1 ; 23}

46. {6,05a ; – 1,65 a}

11. {1 ; – 1}

29. {4 ; 14}

47. {1 + a ; 49 – a}

12. {12 ; – 2}

30. {0,13 ; 4,13}

48. { a 2 + b2 ; − a 2 + b2 }

13. {5}

31. {2 ; – 1}

49. a = 1 ± 1 − sin γ

14. {11 ; – 15}

32. {– 8}

50. a = ± d2 + 4x(D − d) − D2

15. {2 ; – 4}

33. {28 ; 50}

D1/2 = 2x ±

d2 + 4x(x − d) − a2

16. { 3; − 5}

34. {a}

d1/2 = 2x ±

a2 + 4x(x − D) + D2

17. { 2; −2}

35. {a ; – b}

51. a =

18. {0 ; – 2}

36. {b}

52. dwk = –dwg ± 4e (L w − 2e − 1,57 (dwg + dwv ))

19. {2 ; – 4}

37. {a ; b}

53. tan χ =

20. {1 ; – 2}

­ a½ 38. ®a ; ¾ ¯ 2¿

54. {– 1 ; 1 ; 2 ; – 2}

21. {-1+ 3 ; − 1 − 3 }

­a b ½ 39. ® ; ¾ ¯3 2¿

55. { 1; − 1; 7 ; − 7 }

22. {3 ; – 5}

b ½ ­ a ; 40. ® ¾ ¯a − b a − b ¿

56. { 1; − 1; 5 ; − 5 }

23. {1 ; – 3}

41. {a + 2 ; a – 2}

57. { 1; − 1; 15 ; − 15 }

24. {1 ; – 4}

42. {a + 3 ; a – 3}

58. {2 ; – 2 ; 3 ; – 3}

25. {– 3 ; 7}

­a b ½ 43. ® ; ¾ ¯b a ¿

59. { 2; − 2; 6; − 6 }

26. {– 0,667 ; 0,5}

44. {2a ; 2b}

27. {2 ; 4}

­u v ½ 45. ® ; ¾ ¯ 2v 2u ¿

3 7 ± ;{5; −2} 2 2

2 16yM − u2 + 4T 2 4 ⋅ yM ± u − 2T (u − 2T)2

8.6 Textaussagen, die auf quadratische Gleichungen führen 1. h = 1,43 mm 2. s = 1,89 mm 3. a =

d ± 2

4. a = 152,17 mm 5. x = 7,831 Ω 2

§d· ¨¨ ¸¸ − b2 ©2¹

6. f = 255,88 Hz

7. R1 = 18,74 Ω; R2 = 21,4 Ω

538

Lösungen

9 Wurzelgleichungen 01. D = {x | x ≥ – 5}; L = {20}

12. D = {x | x ≥ 5}; L = {9}

­ 19 ½ 23. D = {x | x ≥ 3}; L = ®4 ; ¾ ¯ 6¿

02. D = {x | x ≥ 6); L = {10}

13. D = {x | x ≥ 4}; L = {8}

5½ ­ 24. D = ®x | x ≥ ¾ ; L = {3} 3¿ ¯

2½ ­ 03. D = ®x | x ≥ ¾ ; L = { } 3¿ ¯

3½ ­ 14. D = ®x | x ≥ ¾ ; L = {3} 4¿ ¯

25. L = {(1 ; 2)} (u =

3y + 3;v = 4x − 3 )

2½ ­ 04. D = ®x | x ≥ ¾ ; L = {6} 3¿ ¯ 05. D = {x | x ≥ 1}; L = {3} 06. D = {x | x ≥ 0,5}; L = {3}

­ 19 ½ 15. D = {x | x ≥ 3}; L = ®7 ; ¾ 26. L = {(6 ; 2)} ¯ 5¿ 27. L = {(4 ; 1)} 16. D = {x | x ≥ 5}; L = {5} 28. L = {(3 ; 5)} 17. D = {x | x ≥ –1,2}; L = {6} 7½ ­ ­ 11½ 07. D = {x | – b ≤ x ≤ 3b}; L = {b} 18. D = ®x | x ≥ ¾ ; L = ®2 ; ¾ 8¿ ¯ ¯ 9¿ 08. D ={x | x ≥ 3}; L = {3}

09. D = {x | x ≥ 10}; L = {19} 10. D = {x | x ≥ 1,5}; L = {6 ; 14} 11. D = {x | x ≥ 12}; L = {21}

15 ½ ­ 19. D = ®x | x ≥ ¾ ; L = {4} 16 ¿ ¯ 20. D = {x | x ≥ 2,5}; L = {7} 21. D = {x | x ≥ 3}; L = {5} 22. D = {x | x ≥ 1,5}; L = {6}

10.2 Einfache lineare Ungleichungen 1. {x | x > – 19} 2.

17 ½ ­ ®x | x < − ¾ 3¿ ¯

07. {x | x < – 1,25}

11.

08. {x | x > – 2}

12.

1½ ­ ®x | x > − ¾ 9¿ ¯ 5. {x | x > 12,5}

4.

= {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5} 10. {x ∈ Z| – 0,5 < x ≤ 6}

= {0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6}

6. {x | x < 1,5}

x|x > −

x|x < −

} }

60

11

7

3 7½ ­ 13. ®x | x < ¾ 4¿ ¯

09. {x ∈ N* | x < 6}

3. {x | x < 5,5}

{ {

19 ½ ­ 14. ®x | x < ¾ 7 ¿ ¯ 15. {x | x < 9} 1½ ­ 16. ®x | x < − ¾ 4 ¿ ¯

10.3 Bruchungleichungen 17. D = Q \ {– 1};

L = {x | x > – 1}

24. D = Q \ {0 ; 5};

18. D = Q \ {2};

L = {x | 2 < x < 2,5}

25. D = Q \ {2 ; – 5};

19. D = Q \ {– 4};

L = {x | x > – 4}

26. D = Q \ {1};

L = {x | x < 3 ∨ x > 4,5} L = {x | – 1 < x < 1} L = {x | 1 < x ≤ 2} L = {x | – 7 < x < 7}

27. 28. 29. 30.

20. 21. 22. 23.

D=Q D=Q D=Q D=Q

\ {3}; \ {1}; \ {1}; \ {– 7};

D=Q D=Q D=Q D=Q

\ {– 1 ; 0}; \ {– 3 ; 2}; \ {1}; \ {– 5};

L = {x | 0 < x < 5} 10 ½ ­ L = ®x | x < −5 ∨ 2 < x < ¾ 3¿ ¯ 5½ ­ L = ® x |1 < x < ¾ 3¿ ¯ L = {x | x < – 2,5 ∨ – 1 < x < 0} L = {x | – 3 < x < 2 ∨ x > 4,5} L = {x | x > 1 ∨ x < – 0,5} L = {x | x < – 5 ∨ x > 10}

Lösungen

539

11 Lineare Ungleichungssysteme

L = {(1 ; 1) ; (1 ; 2) ; ... ; (6 ; 1) ; (6 ; 2)}

L = {(1 ; 1) ; (1 ; 2) ; (2 ; 1) ; (2 ; 2) ; (2 ; 3) ; (2; 4); (3 ; 2); (3 ; 3) ; (3 ; 4) ; (4 ; 2) ; (4; 3) ; (4 ; 4) ; (5 ; 3) ; (6 ;3)}

540

Lösungen

L

= {(2 ; 2) ; (2 ; 3);(2 ; 4) ; (2 ; 5) ; (3 ; 2) ; (3 ; 3) ; (3 ; 4) ; (4 ; 3) ; (4 ; 4)}

L

= {(4 ; 2) ;(4 ; 3);(4 ; 4); (5 ; 2) ; (5 ; 3) ; (6 ; 2) ; (6 ; 3) ;(7 ; 2)}

a) S1 (1 | 0) S2 (3,38 | 2,38) S3 (0 | 3,5) b) {(2 ; 1)} c) {(1 ; 3)}

12 Lineares Optimieren

Optimum: 6 Teile A, 6 Teile B

Lösungen

541

(1) (2) (3)

x = Anzahl der Teile A y = Anzahl der Teile B y ≤ 400 y ≤ 400 x ≤ y + 100 ⇔ y ≥ x – 100 0,8x + 0,6x≤ 540 ⇔ y ≤ – 4 x + 900 3

(1 ) (2') (3')

b) Zielgerade: z = – 4 x + 900 ... { (375,400 ) } , d. h. Optimum bei 375 Teilen A 3

und 400 Teilen B

c) Zielgerade: z = 0,8x + 0,4y .. { 428,329)} , d. h. Optimum bei 428 Teilen A

und 329 Teilen B

Optimum:

Typ A: 200 Produktionstage =ˆ 16 · 200 = 3 200 Maschinen Typ B: 100 Produktionstage =ˆ 40 · 100 = 4 000 Maschinen

542 4.

Lösungen a)

0,75x + 0,5y ≤ 7,5 0,5y ≤ 3,5 0,25x + 0,75y ≤ 6

c)

Gewinn: 300 €

d)

Kapazitätsauslastung: M1: 100 % M2: 85,71 % M3: 100 %

5.

a) Selbstkostenoptimum (= Selbstkostenminimum) bei 90 Teilen nach Verfahren A und 30 Teilen nach Verfahren B b) Kapazitätsauslastung: A1: 90 % A2: 38 % A3: 100 %

a) 32 Geräte G1 48 Geräte G 2 b) 19 Geräte G1 57 Geräte G2 c) Gewinn: 704 € und 61 7,50 €

Lösungen

543

a) Optimum: 250 Geräte A 350 Geräte B b) Kapazitätsauslastung der Montageabteilung für Gerät A: 71,43 % für Gerät B: 87,50 %

8.

544

Lösungen Anzahl der Fahrten:

x ... von W1 nach A u ... von W2 nach A y ... von W1 nach B w ... von W2 nach B

(1)

u = – 3 x + 12

(1')

3y + 2v = 19

(2)

v = – 3 x + 9,5 2

(2')

x + y ≤ 12

(3)

y ≤ – x + 12

(3')

u + v ≤ 12

(4)

y≥–x+61

((1') u. (2') in (4))

u≥ 2

(5)

x≤62 3

((1') in (5))

x + u ≤ 10

(6)

x≥4 y≥2

((1') in (6)) (7)

3x + 2u = 24

Zielgerade:

2

3

z = 30x + 22x + 42u + 36 v y=−

Einsatzplan:

33 z − 846 x+ 32 32

x

y

u

v

4

3

6

5

= Anzahl der Fahrten

13.1 Die allgemeine quadratische Funktion und ihre graphische Darstellung 1. a) S (0 ; 2) 2. a) S (3 ; 0) d) S (2 ; 0) 3. a) S (– 2 ; 1) d) S (3 ; 1) 4. yo = 8,46 mm

b) b) e) b) e) 5.

S (0 ; 3) S (2,5 ; 0) S (– 2 ; 0) S (1 ; 3) S (4 ; 0,5) Graph mit Hilfe der Wertetabelle

c) c) f) c) f)

S (0 ; 1,5) S (– 1,5 ; 0) S (1,5 ; 0) S (1,5 ; – 1) S (– 3 ; 1,5)

13.2 Scheitelform der quadratischen Funktionsgleichung 1 · (x – 6)2 – 11 ; S (6 ; – 11) 6

y = (x + 2)2 + 1 ; S (– 2 ; 1)

f)

b)

y = – (x – 1,5)2 – 1,75 ; S (1,5 ; –1,75)

5· 9 9 · § §5 ; S ¨¨ ; − ¸¸ g) y = 4 · ¨¨ x − ¸¸ − 8¹ 16 © © 8 16 ¹

c)

1· 31 § § 1 31 · ; S ¨¨ ; ¸¸ y = 2 · ¨¨ x − ¸¸ + 8¹ 32 © © 8 32 ¹

d)

y=–

e)

y = – 3 (x + 4,5)2 + 27,75 ; S (– 4,5 ; 27,75)

1. a)

y=

2

2

2. y =

1 (x – 17,5)2 + 42,25 ; S (17,5 ; 42,25) 7

1 · (x – 2)2 – 3 ; N1 (5,87 ; 0) ; N2 (– 1,87 ; 0) 5

h) y = –

1 · (x + 1)2 + 1 ; S (– 1 ; 1) 3

i)

1 · (x – 2)2 + 2 ; S (2 ; 2) 2

y=–

Lösungen

545

y = x · tan α –

3. a)

c)

⎛ v2 ⎞ v2 b) S⎜ 0 ⋅sinα⋅cosα 0 ⋅sin2 α⎟ ⎜ g ⎟ 2g ⎝ ⎠ mit v0 = 30 m/s ergibt sich S (43,11 ; 15,09)

g ⋅ x2 2 ⋅ v o2 ⋅ cos2 α

Wurfweite = 86,21 m

4. x = 96 cm

13.4 Aufstellen von Funktionsgleichungen nach Vorgaben 5 (x + 3)2 + 2,5 32 2 6. y = – (x + 1,5)2 + 4 9

8 2 56 26 x − x+ 9 9 9 11 2 1 28 8. y = – x + x+ 30 2 15

5. y = –

7. y =

9. y =

3 2 1 15 x − x− 8 2 8

15.1 Quadratwurzelfunktionen Darstellung des Funktionsgraphen mit Hilfe der Wertetabelle oder durch Darstellung der Grundfunktion mit anschließender Verschiebung des Funktionsgraphen, z. B.

1. bis 9. und 11.

y = x − 1 durch Verschiebung des Graphen von y = x um 1 LE nach rechts. 10. Der Funktionsgraph hat zwei Äste mit folgenden Definitions- und Wertebereichen

D1 = {x | 1 ≤ x ≤ 4} mit W1 = {y − 3 ≤ y ≤ 15} und D2 = {x | x ≤ –1}

mit W2 = {y y ≥ − 5}

16 Exponentialfunktionen 01. a), b), c) Zeichnen der Funktionsgraphen mit Hilfe einer Wertetabelle x

x § 2 · ¸ durch folgende Umformung: Aus y1 = 0,4x = §¨ 4 ·¸ ergibt sich 02. Aus y1 = 0,4x ergibt sich y2 = ¨ ¨ 10 ¸ ¨ 10 ¸ © ¹ ¹ ©

durch Wurzelziehen y2 = 03. a), b), c) und

x

x § 1/ 2 · 4 ·¸ § 4 · ¸ = §¨ 2 = ¨¨ ¨¨ ¸¸ ¸¸ ¨ 10 ¨ 10 ¸ ¨ © 10 ¹ © © ¹ © ¹

§

0,4 x = ¨

· ¸ ¸ ¹

x

4. a), b), c), d) Funktionsgraph aus Wertetabelle

5 · § 05. a) Kn = 10 000 · 1,05n; Zinsfaktor q = ¨¨1 + ¸¸ = 1,05 © 100 ¹

b) Graph

c) nach 8,31 Jahren; aus 15 000 = 10 000 · 1,05n ergibt sich n = 8,31. 20 · § 06. a) Kx = a · qx = 180 000 · 0,8n ; q = ¨¨1 − ¸¸ = 0,8 © 100 ¹

b) k6= 47 185,92 €

c) nach 11 Jahren ist die degressive Abschreibung geringer als die lineare 07. a)

y = 50 000 · e 0,028 · t

b) 153 242,71 fm

c) nach 24,76 Jahren

2

08. a) Aus dem Verhältnis

2 700 a ⋅ e ⋅ k = erhält man k = ln 1,5 = 0,40547 und daraus 1 1800 a⋅e ⋅k

a = 1 200 Bakterien b) y = a · ek · t = 1 200 · e 0,40547 · t

c) t = 1,7095 Stunden

546

Lösungen

09. a) Q = 12 · 0,000 008 (1 – e– t/ 0,008 ) ; Zeitkonstante τ = C · R = 0,008 s

Q = 0,000 096 · (1 – e –125 t) ;

l = 0,012 – e–125 · t

b) t = 0,0129 s c) l0 = 0,012 A = 12 mA; Aus l = l0 – e–2τ / τ ergibt sich l / l0 = e–2 = 0,1353, d. h. der Anfangsstrom ist auf 13,5 % abgesunken. 10. a) N = N0 · e –1,25 d (d in mm)

b) d0,5 = 0,55 mm

17 Logarithmen 1. a) log2 1 = 0, denn 20 = 1

b) log2 0,25 = – 2; denn 2 – 2 =

2. a) 2

c) – 2

b) – 5

d) –

3 4

1 4

c) – 4 e) –

b) 5,9162

c) 2,5462

d) 1,9005

e) 4,3013

b) – 12,9826

c) 2,0586

d) – 0,1233

5. a) ln e2 = 2 ⋅In e = 2

b) ln

d) a g) −

5 3

1 = ln 1 – ln e = 0 – 1 = – 1 e

e) – 4

2 3

3. a) lb 512 = log2 512 = 9 ; aus 2x folgt lg 2x = lg 512 oder x · lg 2 = lg 512 ; x =

4. a) 4,6052

d) 1

f)

f) – 5

3 2

lg 512 = 9. lg 2 f) 0,8257

c)

1 3

e) 4

f) – 1,5

h) 21

i) 0,9619

18 Logarithmusfunktionen 1. Die Funktionsgleichungen der Umkehrfunktionen werden rechnerisch ermittelt durch Vertauschen der Variablen und Auflösen nach y:

a) y =−

ln x ln 2

b) y =

ln x 1 3

ln ( )

=−

ln x

c) y =− ln x

ln 3

d) y =

ln x ln 2

−1

Die Schaubilder der Logarithmusfunktionen erhalten wir durch Spiegelung der Schaubilder der Ausgangsfunktionen an der 1. Winkelhalbierenden. 2. Die Schaubilder können mit Hilfe einer Wertetabelle gezeichnet werden. Einfacher ist es aber auch hier, über die Umkehrfunktionen zu gehen und sie an der 1. Winkelhalbierenden zu spiegeln.

Die Gleichungen der Umkehrfunktionen lauten: a) y =

ex 2

b) y = e−x

c) y =

e –x 4

Lösungen

547

19 Exponentialgleichung 01. {0}

02. {– 3} ­ 1½ 05. ® ¾ ¯3 ¿

04. {1,2619}

03. {0,5} 06. {– 4}

07. unlösbar für a = 1, a ≤ 0 und b ≤ 0 08. nach 11,6 Jahren 10. a) h = 1785,15 m; 11. a) μ · α = 4,19971 b) p = 535,26 mbar b) α = 687,5°, d. h. 1,9097 ≈ 2 mal 13. {3,11296} 14. {6} 16. {1,83453} 17. {– 4,5} 19. {43,1884} 20. {– 2,37373} 22. {0,5769} 23. {– 2 ; 3} 25. {0,2123} 26. {1,1693} 28. {131,9944} 29. {4,49515}

09. jährliche Zuwachsrate 3,18 % 12. {– 0,65629}

15. 18. 21. 24. 27.

{– 0,06482} {6} {0,4} {0,74752} {– 0,0673 ; 3,0673}

20 Analytische Geometrie 20.1 Länge und Steigung von Strecken 1. m = −

4 ; P1P2 = 41 5

3. m = 4 ; P1P2 = 17

2. m = 10 ; P1P2 = 25,25

4. m = – 1 ; P1P2 = 7 ⋅ 2

20.3 Geradengleichungen 5. y = – 6x + 3 6. y = 7x – 2 7. y = – 3x – 12 3 2 8. y = x − 5 5 1 9. y = x − 2 3

10. y = – 2x – 4 11. p = 5 12. p = 5,37

15. d = 1,79 16. d = 2,85 17. d = 2,236 (p1 = 1,342; p2 = 0,894)

13. p = 3,92 14. y = 1,875x + 8,5

20.4 Winkel zwischen Geraden 18. α = 26,57º

21. α = 91,15º

§ 5 13 · ¸ ; δ = 85,24º 25. S ¨¨ − ¸ © 12 6 ¹

19. α = 123,69º

22. α = 161,57º

§ 20 43 · ¸ ; δ = 81,67º 26. S ¨¨ ¸ © 41 41 ¹

20. α = 158,20º

23. α = 77,47º 24. S (1,2 ; – 2,4) ; δ = 45º

§ 18 27. S ¨¨ © 7

29. y = – 3x + 11

30. y = 3x – 11

8· ¸ ; δ = 81,87º 7 ¸¹

20.5 Orthogonale Geraden 28. y = 1,5x

20.6 Kreisgleichungen 1. (x + 2)2 + (y + 7,5)2 = 49

4. (x + 3,8544)2 + (y + 3,2468)2 = 88,9421

2. (x – 8)2 + (y + 2)2 = 64

5. a) M (0 ; – 2); r = 2 ; b) M (1,5 ; 1); r = 2,4324

3.

(x – 21,9443)2 + (y – 21,9443)2 = 481,5523 (x – 4,0557)2 + (y – 4,0557)2 = 16,4487

6. M (3 ; 0) ; r = 5

548

Lösungen

20.7 Kreis und Gerade 07. S1 (8,87 ; 6,43) ; S2 (– 10,47 ; – 3,23)

13. S1 (0 ; 2) ; S2 (8 ; 8)

08. (x + 4)2 + (y – 3)2 = 39,2

14. l = 2,96 LE.

09. (x – 0,3284)2 + (y + 2,3284)2 = 16 (x + 5,3284)2 + (y + 3,3284)2 = 16

15. B1 (2,75 ; – 3,44) ; B2 (– 0,558 ; 0,698) 16. a) P1 (30 ; 0) ; P2 (– 5,21 ; 29,54) ;

10. y1 = – x + 14 ; y 2 = − x − 14

b) S (– 90 ; 14,59) ; c) a = 54,59 LE. 17. a) x2 + y2 = 722 b) (x – 60)2 + (y + 25)2 = 122 c) C (61,85 ; – 36,86) d) B (52,4 ; – 31,23)

11. y = – 2x + 22 12. a) d = 1,82 LE. b) d = 1,96 LE. c) d = 2,585 LE.

22.3 Längen- und Winkelberechnungen 01. a = 5,2 cm ; b = 6,08 cm ; α = 40,5416°, β = 49,4584° 02. A = 617,08m2; CD = 23,42m 03. a = 30,75 cm

4. t = 10,04 m; h = 87,5 cm

α R − r 2 (R − r ) 05. a) sin = = 2 a/2 a

b) α = 22,62º

06. a) x =

a 2a ; d2 = d1 − sin α cos α

b) x = 0,4732 mm ; d2 = 29,5586 mm

β a α· § 07. a) x = D · sin ¨¨ 36º − ¸¸ ; sin = 2 D 2¹ ©

09. x =

d 2 ⋅ sin

α 2

10. x = a · tan

; y=

d 2 ⋅ sin

α 2

+

α· α· § § 8. h = r · ¨¨1 − cos ¸¸ ; H = R ⋅ ¨¨1 − cos ¸¸ 2¹ 2¹ © ©

· § d d ¨¨ 1 ¸¸ = ⋅ 1+ α¸ 2 2 ¨ sin ¸ ¨ 2¹ ©

90° − α β 90° − α α· § ; y = R ⋅ tan = R ⋅ tan = R ⋅ tan ¨¨ 45° − ¸¸ 2 2 2 2¹ ©

11. β = 34,1554°

12.

x=a+d+

d tan α 2

13. x = a – d –

d tan α

14.

x = 56,5526 mm; y = 20,0514 mm

16.

x = 11,143 mm

2

15. A(21,64; 21,64); B(23,38; – 6,26); C(– 29,56; 7,92) 17. x = 28,06 mm

(Annahme: Strecke a tangential an Kreis, bei Annahme eines Kreises x= 29,535 mm)

18. x = 4,93 mm 19. α = 42,84° 20. a) a = 90° – (β + y); β aus tan β =

γ aus sin γ =

r2 d · § (b − a)2 + ¨ y − 1 ¸ 2 ¹ ©

2

2y − d1 2 (b − a)

b) x = a – (r2 + r1)2 − (r2 + r1 − y)2

Lösungen

549

22.5 Winkelfunktionen beliebiger Winkel 01. α1 = 146,69°, α 2 = 213,31°

02. α1 = 338,92°, α 2 = 201,08°

03. α1 = 92,10°, α 2 = 272,10°

04. α1 = 10,61°,

α 2 = 190,61°

05. α1 = 10,80°,

α 2 = 169,20°

06. α1 = 64,16°,

07. α1 = 122,43°, α 2 = 237,57°

08. α1 ≈ 270°,

α 2 ≈ 90°

09. – sin α

10. 13. 16. 19.

– cos α – cos α – cos x – tan x

11. 14. 17. 20.

– tan α – sin x – cos x – sin x

α 2 = 115,84°

12. – tan α 15. cos x 18. tan x

22.6 Graphen der Winkelfunktionen 1. a)

b)

2.

sin x cos x

sin x

cos x

tan x

tan x =

Q1

+

+

+

Haben sin x und cos x gleiche Vorzeichen, so ist tan x positiv.

Q2

+

–

–

Haben sin x und cos x verschiedene Vorzeichen, so ist tan x negativ.

Q3

–

–

+

Haben sin x und cos x gleiche Vorzeichen, so ist tan x positiv.

Q4

–

+

–

Haben sin x und cos x verschiedene Vorzeichen, so ist tan x negativ.

3. a) sin (α – 360°) = sin α a) sin (x – 2π) = sin x

b) sin (α – 270°) = cos α ⎛ 3π ⎞ b) sin⎜ x − ⎟= cos x ⎝ 2 ⎠

c) sin (α – 180°) = – sin α c) sin (x – π) = – sin x

550

Lösungen

4.

5.

6.

7.

Amplitude

Periode

Phasenverschiebung

a)

3 2

20 π 3

2π

b)

1 5

π

π 4

8.

9.

Lösungen

551

10.

22.7 Trigonometrische Gleichungen (Goniometrische Gleichungen) 1. x = 1,5π 3. 5. 7. 9.

7π π x1 = 0; x2 = ; x3 = π ; x 4 = ; x5 = 2π 4 4 x1 = 1,0472 ; x2 = 4,1888 x3 = 2,0944 ; x4 = 5,2360 α = 79,99987º ≈ 80º α1 = 5º ; α2 = 95º

02. x1 = 0,6749 ; x2 = 5,6083 04. x1 = 0,9117 ; x2 = 2,2299 ; x3 = 5,3714 ; x4 = 4,0533 06. x1 = 0 ; x2 = π ; x3 = 2π ; x4 = 0,9273 ; x5 = 2,2143 08. α = 90º 10. α1 = 0º ; α2 = 120º ; α4 = 360º außerhalb des Lösungsintervalls

23.1 Sinussatz 01. 02. 03. 04. 05. 06. 07. 08. 09. 10. 11. 12. 13.

a = c = 6,5m α = 51,15° β = 40,36667° α = 61,546° β = 49,550° α = 36,855° c = 5,602 cm γ = 75,7° α = 57,521° α = 72,027° c = 5,071 m γ = 80° F1 = 698,14 N x = 89,344 mm F1 = 12,26 kN

b = 4,446 m β = 66,68° b = 4,1396 m β = 43,813° γ = 71,6498° γ = 74,978°

γ = 70° a = 4,579 cm c = 5,4976 m γ = 74,642° b = 5,249 cm a = 3,479 cm

a = 7,112 cm c = 6,547 cm b = 5,384 cm

a = 5,602 m γ = 47,479° γ = 61,306°

b = 4,882 m b = 5,038 cm a = 5,499 m

c = 6,458 m c = 3,844 cm b = 4,205 m

a = 51,21 mm F2 = 170,53 N d = 92,38 mm F2 = 15,76 kN

b = 48,29 mm

r = 32,49 mm

l1 = 2,23 m

l2 = 2,87 m

14. AC = 1432,99 m 15. h =

a ⋅ sin (β − α ) ⋅ sin δ – b = 70,49m sin (δ − β) ⋅ sin α

ª sin (α − 360º / z) º 16. a) x = r ⋅ «1 − » sin (180º −α ) ¼ ¬

b) bei 32 Zähnen: x = 1,98 mm

17. vr = 340 m/min

v2 = 169,2 m/min

18. a)

Weg des Lichtstrahls im Prisma: a ⋅ sin γ a⋅ 3 2 = AB = sin (90º +β − γ ) 4 ⋅ sin (β + 30º ) AB =

a⋅ 3 2 [ 3 ⋅ sin β + cos β]

ε = α – β + α1 – β1 oder mit β1 = 60º – β ε = α − α1 − 60º

b)

α = 30° ... sin β =

2 1 · sin 30° = ; β = 19,4712°; sin α1 = 1,5 · sin β1 = 1,5 sin (60° – β) 3 3

552

Lösungen α1 = 77,0958°; ε = 47,0958º ; AB = 0,5697 ⋅ a

2 2 sin 45° = ; β = 28,1255°; 3 3

α = 45° sin β =

ε = 37,3813º ; AB = 0,5099 ⋅ a

23.2 Kosinussatz 01. 02. 03. 04. 05. 06. 07. 08. 09. 10. 11. 12. 13.

α = 71,094° α = 52,36° α = 81,916° β = 67,429° α = 77,049° α = 34,85° a) a = y = 107,75° a) a = c = 27,99 mm c) A = 401,4 mm2 F1 = 794,8 N a) F = 2313 N α = 18,8631° α = 43,7617° a) x = (r1 + r2) · sin γ1

cos β =

β = 47,823° γ = 49,64° β = 55,021° γ = 60,571° γ = 64,951° β = 41,082° e = 46,83 cm b = d = 14,87cm

c = 5,551 cm b = 6,547 m γ = 43,063° a = 4,886 cm a = 6,822 cm γ = 104,068° f = 59,36 cm b) α = γ = 74,64°

F2 = 585,6 N b) β = 36,6°

α = 13,4°

β = 58,6941° γ1 = 180° – α – β

γ = 77,5442°

y = (r1 + r2) · cos γ1

a tan α = b

a 2 + b 2 + (r1 + r2 )2 − (r2 + r3 )3 2 ⋅ (r1 + r2 ) ⋅ a 2 + b 2

14. a) r = 72,36 mm; b) b = 57,96 mm 16. x = 78 mm; y = 46,48 mm

b = 5,725 cm b = 4,310 cm ; c = 6,342 cm c = 6,79 cm b) A = 1039,30 cm2 β = δ = 105,36°

b) x = 37,13 mm; y = 14,88 mm

15. s = 23,5795 mm ; α = 47,82º 17. AB = 204,83 m 19. α = 44,415º ; γ = 57,122º ; V = 46,17 dm3

18. CD = 83,92 m 20. c = 1,04 m

24 Additionstheoreme 1. α = 15º 4.

2.

2,3558 ⋅ sin α − cos α sin α + 2,3558 ⋅ cos α

3 ⋅ sin α

3. 1,8794 · cos α

5. sin α

6. ε = β + 10º

tan ε = tan (β + 10º) = tan β =

tan β + tan10º 1 − tan 10º ⋅ tan β

85 mm ( x + 50 − 30) mm

Aus (1) und (2):

(1) (2)

x = 137,3 mm

7. 4 · sin x · (1 – sin2 x) = 4 sin x · cos2 x

08. 4 sin x · cos3 x – 3 sin x · cos x

9. – 1

10. sin(75° ) = sin(90° −15° ) = sin90   

°⋅cos15° − cos90   

°⋅sin15° = cos15° 1

25.1 Satz des Pythagoras 1. a) D = a ·

2 − (1 + 2) (d + 2x) = 2 ⋅ [a − (d + 2x)] − (d + 2x)

b) D = 109,35 mm; c) x = 4,87 mm 2. a) x = 2 ⋅ (a − c) −

a−b 2 = · [a + b – 2c] ; b) x = 188,8 mm 2 2

0

Lösungen

553 2

03. x =

2 d − d1 (d − d1) + b b + = 4 4(d − d1) 4(d − d1)

2

2

04. d = 2 (y – x – r) + 8 (r + rx − ry − xy)

oder

d = 2 [ y − x − r + 2(r + x ) ⋅ (r − y ) ]

05. x = 53,596 mm ≈ 53,6 mm 06. a) x = D ( 2 − 1) ; b) x = d (1 + 2) 07. d = a · (2 − 2) ≈ 0,5858 · a 08. a = (2R + 2r ) Δd − Δd2 = Δd ⋅ (2R + 2r − Δd) 09. r1= ( t +

b )2

bt + 2 ⋅ r2 ⋅ t

10. b = 15 3 = 25,98 mm 11. x =

ab

; y=

4b2 − a2

2b2 4b2 − a2

12. d = 19,63 mm ≈ 20 mm 13. x = 2 · 80 mm · ( 2 − 1) = 66,27 mm 14. la =

a⋅d−a

2

= a ⋅ ( d − a)

15. x = 13,96 mm d 16. a) s = ⋅ 2 2

b) s =

d 3 2

c) s=

d ⋅ 2+ 2 2

17. d1 = 2a + 2b – d2 – 8ab 18. x = y 2 + 4(a + d) ⋅ (2r + a + d)2 − y 2 − 4(a + d) (2r + a + d) 19. R =

a ⋅ 2 4

20. t = a2 − (R − r)2 21. t = a2 − (R + r)2 22. A = 0,5 · 1700 mm · 1723,37 mm = 1,464 865 m2 ; 2A = 2,9297 m2 (beidseitig) 23. h = 0,5 ·[ D + d + 2dD + d2 + 4d2 − D2 24. a) l1 = h12 +

b2 4

;

25. a) b = 24,25 mm

l2 = (h1 + h2 )2 +

b2 4

b) x = 28 mm

26. A1 : A2 = 9 : 25 27. a = 4,5 cm; l = 3a = 13,5cm; h = 28. 29. 30. 31.

] b) l1 = 7,62 m

l2 = 9,22 m

c) D = 97 mm

d) d = 57,74 mm

a ⋅ 3 = 3,9 cm 2

α = 30° : x = a + r 3 – 2r – Δd α = 45° : x = a – r · 2 + r – Δd x = 38,453 mm x1 = 9,24 mm ; x2 = 12,24 mm ; y1 = 8,00 mm ; y2 = 10,60 mm FN ≈ 1,68 · F

32. a)

b = 8s + d +

3 · (d + 3s) (zweireihige Anordnung) 2

b = 8s + d +

3 · (d + 3s) · 3 (vierreihige Anordnung) 2

3 · (d + 3s) · (n – 1) (n-reihige Anordnung) 2 b) bei vierreihiger Anordnung: b = 187,8 mm ≈ 188 mm b = 8s + d +

554

Lösungen

bei achtreihiger Anordnung:b = 366,2 mm (bei Wendestreifen größere Steg- und Randbreiten) c) n = 6,16 d. h., es sind 6 Reihen möglich. 2 (b − 8s − d) d) Aus a) erhält man n = +1 3 ⋅ (d + 3s) 33. d = d3 + 34. x =

e) b = 389,9 mm

17 ⋅ 3 3 17 ⋅ 3 ⋅ P = 56 mm ; d2 = d3 + ⋅ P = 52,428 mm ; h3 = ⋅ P = 3,374 mm 24 3 48

19 ⋅ 3 = 16,45 mm ; y = 37,60 mm 2

25.3 Höhensatz 01. l = 2 ⋅ h ⋅ ( d − h) = 18,57 mm

b) A = 39 cm2

02. a) a = 10,82 cm ; b = 7,21 cm ; c = 13cm ; 03. Höhensatz: hc

2

Durch Einsetzen von (2') und (3') in (1) erhält man:

= p · q (1)

Kathetensatz: a2 = c · p (2) ; p =

a2 c

b b2 = c · q (3) ; q =

2

(3')

c

2

a2 ⋅ b 2 c ⋅c a⋅b hc = c

hc2 =

(2')

2

2 h h 04. a) c = 2 ; h1 = d2 + h2 − a 2 ; b = 1 d a 05. b = 44,72 mm 06. h = 10,74 mm

07. a) h = 0,8 d – (0,8 d)2 −

b) c = 28,22 mm ; h1 = 10,95 mm ; b = 2,55 mm

d2 = 0,18 ⋅ d 4

b) h1 = 140,40 mm ; h2 = 175,50 mm

08. a) a = b2 − c 2 + 2pc

b) h = 3,46 mm

09. x = 28,62 mm 2a 10. a) h = = 0,4 ⋅ a 5

b) l =

3⋅ 5 · a ≈ 1,34 · a 5

26 Ähnlichkeit und Strahlensätze 1. h = 8,10 m 2. b = 3,2 m

c=2m

3. l1 = 1,25 m ;

l2 = 2 m

4. a) s = ( h − 5. FH =

D ) ⋅ 3 − h⋅(D − h) 2

d = 2,69 m

f = d = 2,69 m

g = 8,08 m

b) s = 0,27 · 3 · D – D · 0,17771 = 0,0468 · D c) t ≈ 0,23 · D

h ⋅ FG l

7. x = 35,84 mm 9.

e=1m

DE = 265 m

26.2 Streckenteilung und Mittelwerte 1. m = 4 cm ; g = 3,87 cm ; h = 3,75 cm

06. l1 = 882,20 mm ; l2 = 874,38 mm ; l3 = 759 mm 08. AC = 240 m 10. a) a =

c b2 − c 2 / 4 c + b2 − c 2 / 4

; b) a = 47,29 mm

Lösungen

2. a)

555

15 = 3 ⋅ 5

b)

3⋅2 6⋅ 6 = = 6 = 2⋅3 6 6⋅ 6

3 ·5 = 15 6

M 3

5

3

2

3. vm = 29,51 m/min

vm = 74,42 km / h 1 1 1 : : 5. Die Schwingungszahlen verhalten sich wie 4 : 5 : 6 = ; d. h. die Längen der Orgelpfeifen 15 12 10 6 · 264 = 396. verhalten sich wie 15 : 12 :10. Die Schwingungszahl von g ist damit beispielsweise 4 4.

26.3 Stetige Teilung 1. Das Verhältnis der Seitenlängen bei DIN-Formaten ist y : x = x · 2 : x , dies entspricht jedoch nicht dem Teilverhältnis der stetigen Teilung. 2. a) Konstruktion nach dem Beispiel

b) a = 30,902 mm

3. a = 58,779 mm ; e = 95,106 mm 4. a) a : d = d : b oder a =

d2 b

b) b =

5. s. Beispiel! 7. s = 13 cm

d d + ⋅ 5 c) a : d = d : b oder d = ab 2 2 6. a) d = 55,1 mm b) d = 47,1 mm Nachweis mit Hilfe entsprechender Dreiecke.

8.

27.1 Geradlinig begrenzte Flächen 1. A = 29,6 cm2 2.

5. x = 6 cm

A = 3827,45 mm2 ≈ 38,28 cm2

3. b = 36 mm ; a1 = 24,49 mm ; b1 = 36,74 mm 4. A = 144,46 mm2

ab 1 ab2 ; A= ⋅ b) x = 56 mm ; A = 1120 mm2 c −b 2 c −b 7. a) A = s (7a – 10s) b) x = 56 mm ; A = 1120 mm2 6. a) x =

8. A = 6,57 m2

27.2 Kreisförmig begrenzte Flächen π· § 1. A = a2 ¨¨1 − ¸¸ ≈ 0,215 · a2 2 © ¹

§ r2 3. A = π · r2 – ¨ r 2 + ¨ 2 © 4. a) d2 =

c) A =

2 ⋅ d1 2 +1

π ⋅ d12 8

2.

A=

π ⋅a2 3 2 a2 − ⋅a = ⋅( π − 3 ) 2 2 2

§ · 3 ·¸ 3 ¸ = r 2 ¨ π − 1− ¸ ¨ 2 ¸¹ ¹ ©

= 2 ⋅ ( 2 − 1) ⋅ d1 = 33,14 mm

b) e = r1 – r2 = 3,43 mm

d2 π ⋅ d22 + 1 − = 165,9 mm2 4 4

ª π º 5. A = a2 «1 + − 3 » = 0,315 a2 ¬ 3 ¼

6.

A = 817,5 mm2 ; Sehne s = 60 mm; a = 73,7398º

556

Lösungen

07. a) A1 =

π 2 · r ; b) A1 = 6702,06 mm2 3

c) s = r · 3 = 138,56 mm ;

d) A1 : A = 1 : 3

π· § 08. A = d2 ¨¨1 − ¸¸ ≈ 0,2146 d2 4 © ¹ 2 d2 § π ⋅ α · d § π⋅β · 09. a) A = 1 ¨¨ − sin α ¸¸ − 2 ¨¨ − sin β ¸¸ 4 © 180º ¹ 4 © 180º ¹

mit sin

α d3 β d = und sin = 3 2 d2 2 d1

b) A = 472,34 mm2 π ⎡ ⎤ 10. a) A = π · r12 + 2(r1 − a)⎢ 2ar1 − a2 − − r22 − (r1 − a)2 ⎥− α r 2 + α2r22 ⎣ ⎦ 180º 1 1

(

α r −a α r −a mit cos 1 = 1 und sin 2 = 1 2 r1 2 r2

b) A = 229,55 mm2

11. A = 16,9135 mm2

12.

A = 1919,86 mm2

d ⋅ 3 (3 d1 + 24 r) + π · r2 = 6208,25 mm2 ; 13. a) A = 1 16 14. a) A =

)

b) A = 5566,58 mm2

a2 π ⋅ a2 + ; b) A = 5981,75 mm2 2 32

15. a) A = 117,787 mm2; b) 4,166 %

16.

A = 114,385 mm2

α α⋅π πº ª 17. A = r2 «cot + − » 2 360º 2 ¼ ¬

18. A =

ª r 2 − r 2 − a2 º π » [β r12 − α r22 ] + a ⋅ r12 − « 2 1 « » 360 º 2⋅a ¬ ¼

mit cos 19. A =

2

α r22 − r12 + a2 β r 2 − r 2 + a2 = und cos = 2 1 2 2ar2 2 2ar1

[

]

π β a⋅s s α s α r12 − β r22 − mit sin = und sin = 360 º 2 2 2 ⋅ r2 2 2 ⋅ r1

28.1 Prismatische Körper 01. h = 10,25 cm

2.

03. V = 28,74 cm3 ; A = 115,57 cm2

4.

m1 = 18,38 kg; m2 = 22,09 kg

A M = 120 cm2; A0 = 141,73 cm2; V = 108,64 cm3

05. h = 17,22 cm 06. a) m = 1,65 g; b) m = 3,30 g 07. l = 535,714 m 08. 590 Rohre ; 16,955

kg lfm

09. Länge des Durchbruchs l = 2 · 202 + 502 mm = 107,7033 mm ; V = 456,92 cm3 10. a) V =

2 3 · a ; b) A0 = a2 (3 + 3 ); 3

c) Alle Ansichten sind gleich (Quadrat mit Diagonale von unten links nach rechts oben)

5a3 11. a) V = ≈ 0,8333 · a3 6

b) A0 = a2 (3 + 3 ) ≈ 4,7321 a2

Lösungen

12. V =

557

11 3 a 360

13. V = 2163,33a + 14. a) V =

130 2 · a ; a in mm; V in mm3 6

a2h π 2 a3 π 2 § 1 9π · − ⋅ d h ; b) V = − d a ; c) V = a3 ¨¨ − ¸¸ ≈ 0,28 a3 ; d) V = 19,2876 cm3 2 8 2 8 © 2 128 ¹

15. a) V = 2πr 3 ≈ 6,28 r3 ; b) Ao = 6π · r2 = 18,85 r2

28.2 Pyramidenförmige und kegelförmige Körper 01. V = 33,1 cm3 7 3 d ; b) V = 14 cm3 4 03. a = 8,0498 cm 04. a) tan β = cos δ (tan α + tan γ · tan δ) a 2b ⋅ tan β ab 2 ⋅ tan γ − c) V = abc – 6 ⋅ cos δ 6 3 05. V = 12,3698 cm

02. a) V =

07. a) V =

π ⋅ h3

3 ⋅ tan2 α

08. a) x = h –

b) x = h –

V = 2,2 cm3

b) h = 1,59 m ; r = 2,45m

(

Ag ⋅ h

2 A g + A gA d + A d

) ; bei quadratischen Pyramiden x = h ·

31

2

d2 d π ⋅ d⋅ s ; b) α = · 180° ; c) A = 4 s 2

2 d 12 V 3d1 h − − 1 ; b) d2 = (d3 – d1) + d1 ; c) d3 = 980,6 mm ; d) d2 = 1075,7 mm h1 4 2 π h1 2

π § d − d1 · (d1 + d2 ) h2 ¨¨ 2 ¸¸ ; 2 © 2 ¹ 12. a) V = 5,01 l ; b) V = 163,4 cm3 π ª 2 6dh 4h2 º 14. a) V = ⋅ h«3d − + »; 12 ¬« tan α tan2 α ¼» 11. a) AM =

15. 17. 18. 20.

6.

Ag ⋅ h n m ⋅ ; bei quadratischen Pyramiden x = h · 3 1 − m A g + A gA d + A d n

09. a) s = h2 + 10. a) d3 =

;

b) β = 21,0525°

b) AM = 2,7 m2 ; c) V = 566,15 l 13.

V = 11,18 cm3

b) d = 75,225 cm

V = 4,38 m3 ; A = 10,4 m2 16. r1 = 23,43 cm ; r2 = 62,48 cm ; α = 230,47° a) AM = 786,79 cm2; b) h = 129 mm; D = 233,3 mm; d = 124,4 mm ; c) V = 3341,82 cm3 ≈ 3,34 l V = 45 826,84 cm3 ≈ 45,83 l 19. V = 165,2 dm3 V = 55,3 dm3 21. a) V = 29,154 dm3 ; b) m = 228,86 kg ; c) 13 Masten

22. V =

º hª 3 π « (s12 + s 22 + s1 ⋅ s 2 ) − (d12 + d22 + d1d2 )» ; V = 540,4 dm3 3 «¬ 2 4 »¼

28.3 Kugelförmige Körper 1. a) m = 120,43 kg ; b) m = 4110,25 kg ; c) A0 = 3,14 m2

2. 105261 Kugeln

3. F = 10 677,68 N

4. m = 702,7 g

558

Lösungen

05. a) d = 29,90 m ; b) A o = 2812,51 m2 ; c) m = 397,41 t

6. m = 373,7 g

07. a) d = 88,5 mm ; s = 1,4 mm ; b) d = 102,45 mm ; s = 1,04 mm

8. m = 258g

09. V = 70,08 cm3 10. a) V =

πh ª 2 πh ª 2 3d − h 2 − 3d22 º 3d + 2h2 − 3d22 º ; mit d32 = d12 − h 2 wird V = »¼ »¼ 12 «¬ 1 12 «¬ 3

b) V = 12 341,39 mm3 = 12,34 cm3 ; mit d3 = d2 erhält man V =

11. a) V =

πh 6

2 ª§ d º «¨ 3 − d2 ·¸ + h2 » mit h = ¨ ¸ «© 2 » 2 ¹ ¬ ¼

d2 − 3 + 4 4 2

d1

2

π ⋅ h3 6

2

d1

d − 2 4 4

b) 14481,89 mm3 = 14,48 cm3 ; c) h = 30,173 mm 2π 12. a) V1 = 3

ª «§ d ·3 § d «¨¨ 1 ¸¸ − ¨¨ 3 «© 2 ¹ © 2 «¬

3 § § d ·2 § d · ¸¸ − ¨¨ ¨¨ 1 ¸¸ − ¨¨ 2 ¨© 2 ¹ © 2 ¹ ©

ª 2 4 π « §¨ § d1 · §d « ¨¨ ¸¸ − ¨¨ 2 b) V1 = ¨ 3 « ¨© 2 ¹ © 2 «¬ © 13. a) V =

(

· ¸¸ ¹

3

§ ¸ − ¨ §¨ d3 ¨¨ ¨ 2 ¸¸ ¹ ©©

2·

· ¸¸ ¹

2

3

§ ¸ + ¨ §¨ d3 ¨¨ ¨ 2 ¸¸ ¹ ©©

2·

· §d · ¸¸ − ¨¨ 2 ¸¸ © 2 ¹ ¹

2

· §d ¸¸ − ¨¨ 2 © 2 ¹

3º 2· · ¸ » ¸¸ ¸ » ¹ ¸ » ¹ » ¼

3º 2· »

¸ » ¸¸ » ¹ » ¼

)

π ⎡ 2 2 3 2 ⎤; b) V = 4485,69 mm3 ⎢ 3h ⋅ d2 − d1 + 4h − f ⋅ (12 d1 ⋅ f + 8 ⋅ f ) ⎦ ⎥ 24 ⎣

14. a) V = 33,58 cm3 ; b) A = 20,106 cm2 15. a) V =

π b ⋅ (d22 − d12 ) ; b) V = 13 069,03 cm3 4

16. a) V =

l· π 2 π 2 π§ d l + d r + ¨¨ r − ¸¸ ; 8 4 3© 2¹

3

17. V =

b) A0 = πdl + 4πr2 – 2πrl

π (4d3 – 3bd + b3) 24

18. a) V = 96,66 cm3 ; b) m = 309,31 g 19. V1 = 53,826 cm3 (σ = 140°) ; V2 = 52,959 cm3 (σ = 80°) π 20. V = (b2s + s3 − bs2 3 ) 3

31. Differentiation elementarer Funktionen Summen- und Potenzregel 1. y ′ = f ′(x) = 6 x 2 + 2 3. y′= − 2 x− 3 + 1 ⋅ x 2

02. y ′ = 6 x + 4 − 32

1

=−

2

x3

+

1 2⋅ x ⋅ x

1 − 2 1 5. y ′ = − 2 ⋅ x − 3 − x 2 = − − 2 x3 2 ⋅ x

1

04. y ′ =

2 −3 2 ⋅x = 3 3⋅3 x

Lösungen

559 5

1

2

3 − 3 1,5 06. y′=− ⋅ x 2 − ⋅ x 2 =− − 1,5⋅ 2 2 x2 x 08. y′ =

1 2 x

+

07. y ′ =

x

1

5 5 ⋅ x 3 = ⋅ 3 x2 3 3

09. y′= 4⋅(a2 +1)⋅ xa

2x x

2

11. y′= 0,5e x + x

10. y ′ = f ′( t ) = −a sin t + b ⋅ cos t

Produkt-, Quotienten- und Kettenregel 12. y ′ = (6 x − 2) ⋅ ( x + 3) + 3 x 2 − 2x − 1 = 9 x 2 + 14 x − 7 13. y ′ = cos2 x − sin2 x = 1 − 2 ⋅ sin2 x 15. y ′ = −e − x ⋅ cos x − e − x ⋅ sin x = −e − x ⋅ (sin x + cos x )

14. y ′ = 4 ⋅ ln x + 4 16. y ′ = n ⋅ xn − 1 ⋅ e − x − xn ⋅ e − x =

n ⋅ xn −1 − xn ex

17. y ′ = e x ⋅ sin 2x + x ⋅ e x ⋅ sin 2x + 2 ⋅ x ⋅ e x ⋅ cos 2x = e x ⋅ (sin 2x + x ⋅ sin 2x + 2x ⋅ cos 2x ) 18. y ′ =

19. y ′ = 20. y ′ =

5(x 2 − 1) − 5x ⋅ 2x (x 2 − 1)2

−5x 2 − 5 (x 2 − 1)2

8x3 (x 2 + 1) − 2x 4 ⋅ 2x (x 2 + 1)2

=

=−

5(x 2 + 1) (x 2 − 1)2

4x5 + 8x3

=

(x 2 + 1)2

4x3 ⋅ (x 2 + 2) (x 2 + 1)2

(8 x 3 − 2x )( x 2 − x + 1) − (2x 4 − x 2 + 1)(2x − 1) ( x 2 − x + 1)2 =

21. y ′ = 22. y ′ = 24. y ′ =

25. y ′ =

26.

=

8 x 5 − 2 x 3 − 8 x 4 + 2 x 2 + 8 x 3 − 2x − 4 x 5 + 2x 3 − 2x + 2x 4 − x 2 + 1 4x 5 − 6x 4 + 8x 3 + x 2 − 4x + 1 = 2 2 ( x − x + 1) ( x 2 − x + 1)2

( 1 + 1)( x − x) − (2 x + x)( 1 − 1) x

1 x4

( x − x)2

⋅ 4x3 =

2 x

1,5

=

x ⋅ (1 − x )2

4 x

23. y ′ =

f ′(x) f(x)

2 + x 2 −2x(2 + x 2 ) − (2 − x 2 ) ⋅ 2x −4x − 2x3 − 4x + 2x3 −8x ⋅ = = 2 − x2 (2 + x 2 )2 (2 + x 2 )(2 − x 2 ) 4 − x4 − 3 ⋅ e3x + 1 2 2 − e3x + 1

1 + x 2 + 2 ⋅ In 2x 1 + 1 + 2 ln 2 x 2 ( 1 + 1) − ln 2x ⋅ ( −2x − 3 ) x 2 + 2 ⋅ ln(2x ) + 1 3 x 3 2x x 2 x3 x = x y′ = = = 2 2 ( x − 2 + 1)2 ( x − 2 + 1)2 − 2 x +1 § 1 + x2 · ¸¸ x 3 ¨¨ 2 x © ¹ x 3 + 2x ⋅ ln(2x ) + x

(

=

27. y′ =

)

(1 + x 2 )2

cos x(cos x + 1) − (sin x − 1)(− sin x) (cos x + 1)2

=

28. y ′ = 2 ⋅ e2x ⋅ sin x 2 + e2x ⋅ 2x ⋅ cos x 2 = 2 e

cos2 x + cos x + sin2 x − sin x

2x

(cos x + 1)2 2

2

(sin x + x ⋅ cos x )

=

cos x − sin x + 1 (cos x + 1)2

29. y ′ = ln(x + e x ) +

x⋅(1+ ex ) x + ex

560

Lösungen

30. y = f ′(t) = ω ⋅ cos(ωt + π ) 3(x 2 − x)2 ⋅ (2x − 1)

32. y ′ =

2 ⋅ (x 2 − x)3

−( x − 1 + 34. y ′ =

= (3x − 1,5) x 2 − x

x ) 2⋅ x − 1

x 2 (x − 1) 3 ⋅x − 2 4 + 3x x2

35. y ′ =

31. y ′ =

=

33. y ′ =

− (2x − 2 + x) 2x 2 (x − 1) x − 1

4 + 3x =

1,5x − 4 − 3x x 2 4 + 3x

− 2x 2 ⋅ (x 2 − 1)3

=

−x (x 2 − 1)3

1 − 1,5x

=

=

2x − 2 3

3 ⋅ (x 2 − 2x)2

x 2 (x − 1)3 −4 − 1,5x x 2 4 + 3x

Extrema 36. E1 (0; − 2) , E2 ( −8;83,33)

4 4 §1 · § 1 · 37. E1 ¨¨ 6 ;− 6 ¸¸ , E 2 ¨¨ − 6; 6 ¸¸ 9 9 ©3 ¹ © 3 ¹

38. E1(0,55 ; − 0,63) , E2 (− 1,22 ; 2,11)

39. E1 (0 ; 0) , E2 (–2 ; –4)

40. E(e; 1 )

41. E(0;e)

e

42. E( 1 ; − 1 ) , (für x = 0 ist f(x) nicht definiert)

43. E (e ; e)

44. E1( 2 ;2 2) , E2 (− 2 ;− 2 2 )

45. E (0 ; 2)

46. E1( −3 ; 0) , E2 (9 ; −24)

§ 1 · 47. E1 ¨¨ − ; 7 ¸¸, E 2 (− 4 ; 0) © 2 ¹

e

2e

Höhere Ableitungen 48. y ′′ = 2 ⋅ In x + 3 = In x 2 + 3 50. y ′′ =

49. y ′′ =

−x ( 1− x

51. y ′′ = 2

3

)

4 ( x − 1)3 − sin x − cos x − 2 (cos x − 1)2

32 Horner-Schema und Nullstellen ganzrationaler Funktionen 01. N1(1 ; 0), N2 (2 ; 0), N3 (3 ; 0)

02. N1( 2 ; 0 ) , keine weiteren Nullstellen

03. N1(4 ; 0), N2 ( −4 ; 0), N3 ( 1 ; 0)

04. N1( −2 ; 0), N2 ( 1 ; 0), N3 ( − 7 ; 0)

05. N1(2 ; 0), N2 ( −5 ; 0), N3 (4 ; 0)

06. N1( −2 ; 0) , keine weiteren Nullstellen

07. N1(1 ; 0), N2 (3,548 ; 0), N3 ( −4,298 ; 0)

08. N1(3 ; 0), N2 (2 ; 0), N3 ( 1 ; 0), N4 ( −5 ; 0)

09. N1( −1 ; 0), N2 (2 ; 0), N3 ( 3; 0), N4 ( −3 ; 0)

10. N1(2 ; 0), N2 ( −3 ; 0), N3 ( 1,62 ; 0), N4 ( −0,62; 0)

11. N1/ 2 (2 ; 0), N3 ( − 1 ; 0), N4 ( −5 ; 0)

12. N1(1 ; 0), N2 ( −2 ; 0), N3 ( 4; 0), N4 ( −4 ; 0)

4

2

2

5

2

Biquadratische Funktionsgleichungen 13. N1(2 ; 0), N2 ( −2 ; 0), N3 ( 3; 0), N4 ( −3 ; 0)

14.

N1(1 ; 0), N2 ( −1 ; 0), N3 (

15. N1(3 ; 0), N2 ( −3 ; 0), N3 (

2; 0), N4 ( − 2 ; 0)

16.

N1(1 ; 0), N2 ( −1 ; 0), N3 ( 7; 0), N4 ( −7 ; 0)

2; 0), N4 ( − 2 ; 0)

17. N1(2 ; 0), N2 ( −2 ; 0), N3 ( 0,5; 0), N4 ( −0,5 ; 0)

18.

N1(1,95 ; 0), N2 ( −1,95 ; 0) keine weiteren Nullst.

Lösungen

561

33 Das Newton’sche Näherungsverfahren 19. N1(− 2,893 ; 0) ; N2 (− 0,755 ; 0) ; N3 (1,146 ; 0)

20. N(1,032 ; 0)

21. N(−3,155 ; 0)

22. N(1,278 ; 0)

23. N(1,763 ; 0)

24. N (0,865 ; 0)

34 Anwendung der Differentialrechnung auf ganzrat. Funktionen 34.1 Kurvendiskussion 1.

N1(1 ; 0), N2 / 3 ( −2 ; 0), E1( −2 ; 0), E2 (0 ; −4), W( −1 ; −2)

2.

N1/ 2 (0 ; 0), N3 ( 4,61 ; 0), N4 ( −2,61 ; 0) , E1(0 ; 0), E 2 (3,31 ; 7), E 3 ( −1,81 ; 1,39) W1( −1 ; 3 ) , W2 (2 ; 4) 4

3.

N1(2,33 ; 0), N2 ( − 2,33 ; 0), N3 (0,742 ; 0) , N4 ( −0,742 ; 0)

E1(0 ; 1), E2 ( 3 ; −2), E3 ( − 3 ; −2) , W1(1 ; −0,67) , W2 ( −1 ; −0,67) 4.

N1(1 ; 0), N2 ( 2 ; 0), N3 ( −2 ; 0) , E1(1,535 ; − 0,879), E2 (− 0,869 ; 6,065) , W( 1 ; 2,59) 3

Tangenten in Punkten 5.

y = 20x + 44

6. y = −

22 54 x + = − 4,4x + 10,8 5 5

7. P( −0,512 ; − 0,99)

34.2 Funktionssynthese (Funktionsgleichungen aus Vorgaben) 08.

f(x) = −0,5x3 + 1,5x 2 + 3x − 4

10.

f (x) = −

12.

f (x) = 2 ⋅ x − 1

1 4 2 3 x + x 9 27

3 4 x + 2x3 + 3x 2 8 1 3 x + x 2 − 3x 11. f(x) = − 12 1 13. f(x) = x 4 − 2x 2 + 3 4

09. y =

34.3 Extremwertaufgaben 14.

u = 1,5

15. x = 1,7511

16.

a = 3; c = 1; h = 4; A = 8 FE

17. a = 2R; b = R; h =

3 3 ⋅R ; A = 3 R2 2 4

35 Gebrochen-rationale Funktionen 1. keine Nullstellen, E (0 ; 1), W1 (0,5 ; 0,8), W2 (–0,5 ; 0,8) 2. Polstelle bei x = –1, keine Extrema, keine Wendepunkte, x-Achse waagrechte Asymptote 3. Polstelle bei x = –1, keine Extrema, keine Wendepunkte, x-Achse waagrechte Asymptote 4. E1 (–1,16 ; –3,08), E2 (5,16 ; 0,08), W1 (–0,77 ; –2,63), W2 (–1,72 ; –2,45), y = 0 (x-Achse) waagrechte Asymptote 5. Polstelle bei x = 1, E1 (–1,5 ; 1,1), E2 (3,45 ; 10,9), W (3 ; 11), y = x + 5 schiefe Asymptote 6. Polstelle bei x = 4, Nullstellen N1 (0,45 ; 0), N2 (–4,45 ; 0), E1 (9,48 ; –22,95), E2 (–1,48 ; 1,05), W (0,25 ; 0,25), y = x + 8 schiefe Asymptote 7.

f(x) =

x 2 + 5x x+ 1

562

Lösungen

36 Trigonometrische Funktionen 1.

N1(0,245 ; 0), N2 ( 3,387 ; 0), E1(1,816 ; −2,06), E2 (4,957 ; 2,06), W1(0,245 ; 0) , W2 (3,386 ; 0) π 3π , Schnittwinkel: ϕ1 = ϕ2 = 56,31° , x2 = 2 2 N1(0 ; 0), N2 ( 2π ; 0), E1(0 ; 0), E 2 ( π ; 4), E3 (2π ; 0) , W1(2,094 ; 2,249 ) , W2 ( 4,189 ; 2,249 )

2. Schnittstellen: 3.

x1 =

W3 (0 ; 0) , W4 (2π ; 0)

4.

f (x) =

2 2 x − ⋅ sin x π π

⎛π ⎞ x ⎟+ 2 ⎝2 ⎠

5. Aus dem Schaubild: (–1 ; 2), (1 ; 2), f ( x) = x − sin⎜ 6. Periode p = 4 π ,

ω=

2π p

=

2π 4π

=

1 2

Aus dem Schaubild: E1 (0 ; –3), E2 (2 π ; 1), P (π ; –1)

⎛x ⎞ Funktionsgleichung: f ( x ) =− 2 cos⎜ + 2 π ⎟− 1 oder ⎝2 ⎠

⎛x⎞ ⎟− 1 ⎝2⎠

f ( x ) =− 2 cos⎜

⎛π 2π⎞ ⎟ x− ⎝2 3 ⎠

7. Sinusfunktion : f ( x ) = 0 ,8 sin⎜

⎛π 2π x− ⎝2 3

Kosinusfunktion: f ( x ) = 0 ,8 cos⎜

−

π⎞

⎛π 7π⎞ ⎟ = 0 ,8 cos⎜ x − ⎟ ⎝2 2⎠ 6 ⎠

37 Logarithmus- und Exponentialfunktionen 3

x 2 x +1

f ′ ( x) =

1

x +1

1.

f ′(x) =

3.

f ′( x ) = x ⋅ (e x 2 + e −0,5 x 2 )

4.

f ′( x ) = 0,8 ⋅ (e 2x + e −0,8 x )

5.

E(ln 2 ; e2 ) = E(0,693 ; 7,389)

6.

N1(1,73 ; 0), N2 ( −1,04 ; 0), E(ln

7.

N(0 ; 0), E1 = N(0 ; 0), E2 (4,33 ; 4,04), W1 = N(0 ; 0) , W2 (6,83 ; 2,80) , W3 (1,83 ; 1,72)

8.

f(t) = − 4,365 ⋅ (1 − e − 0,916 t )

x

+

2.

3x

+

2

x +2 x

2 ; − 1,59)

38 Integralrechnung Unbestimmte Integrale 1.

F(x) = x 4 + 1,5 x 2 + C

3.

F(x) =

5.

F(x) = 2 ⋅ x + C

7.

F(x) = − cos x −

3 3 5 3 ⋅ x + C = ⋅ x ⋅ 3 x2 + C 5 5

cos 2x + C 2

2.

F(x) =

x4 2 3 x4 2 x + C= + 3⋅ + ⋅ 3x3 + C 4 3 4 3

4.

F(x) =

2 2 ⋅ x5 + C = ⋅ x 2 x + C 5 5

6.

1 F(x) = − ⋅ e −2x + C 2

8.

F( x ) =

3x 3 3 − x ⋅ 2x + C ln 3 4

Lösungen

09.

∫(

563

3

2 x ) dx =

∫ ( 2 x3 )1/ 4

4

dx = ⋅ 2

4

4

∫ ( x3/ 4 ) dx = 4 2 7 ⋅ x7/ 4 + C = 7 ⋅ 4 2 ⋅ x ⋅ 4 x 3

+C

Bestimmte Integrale 10. 2 −

2 = 0,5858

11. 30,75

12. 64,75

14. 2 + π = 5,14

13. 0

15. 1,099

39 Flächenberechnungen 1. A = 2 FE.

2. A = 12,24 FE.

3. A = 18 FE.

π 3π , Schnittwinkel: α1 = 123,69° , α 2 = 56,31° , x2 = 2 2

4.

A = 3 FE , Schnittstellen: x1 =

5.

N1( −2 ; 0), N2 ( 3 ; 0), N3 (5 ; 0), A1 = 15,625 FE. , A 2 = 1,33 FE.

6.

A1 = 6,75 FE. , A 2 = 6,75 FE. , A = 13,5 FE.

8.

N(− 1,585 ; 0) , f ′(− 1) = − 1,38629 , α = 115, 683° , A = 9, 607 FE.

9.

Schnittste lle : x = 0, Schnittwin kel : α = 108,63° bzw. 71,37° , A = 8,87 FE.

7. A = 9 FE. , u = 0

40 Volumen von Rotationskörpern 1.

Vx = 81 π = 254,47 VE ,

Vy = 517,43 VE

2.

VRe st = 23,04 cm3

Vektorrechnung 41 Punkte und Vektoren

1.

§ −3 · G G ¨ ¸ b − a = ¨ − 4¸ ; ¨−1 ¸ © ¹

2.

G G G G F = − (F1 + F2 + F3 )

3. a)

b)

4.

G a G a G a G a

§ 3 · §1,5 · 1 G G 1¨ ¸ ¨ ¸ (a − b ) = ¨ 4 ¸ = ¨ 2 ¸ ; 2 2¨ ¸ ¨ ¸ ©1 ¹ © 0,5 ¹

G = λ ⋅b ; λ = 2 G = λ ⋅ c ; λ = 2,5 , G ≠ λ ⋅b ; G ≠ λ ⋅c ;

G G AB = b − a =

26 = 5,1 LE ; M (3,5 ; 1 ; 1,5)

⎛−140⎞ G ⎜ ⎟ F =−⎜ 20 ⎟; F = 167,63 kN ⎜ ⎟ ⎝ 90 ⎠

G G a ist linear abhängig von b G G a ist linear abhängig von c G a ist linear unabhängig von G a ist linear unabhängig von

⎛7 ⎞ G a =⎜ ⎜−17 ,5⎟ ⎟ ⎝24 ,5 ⎠

G b G c

G G 5. Nachprüfung der Kollinearität mit a = λ ⋅ b . Für jede Komponente ist ein anderer Parameter Gλ G erforderlich, d. h. es gibt kein gemeinsames λ für den Vektor, d. h. α ist nicht kollinear zu b . G G G 6. Nachprüfung der Komplanaritätsbedingung a = λ⋅ b + μ⋅ c . Die Gleichung ist erfüllt für λ = 3 und G G G μ = – 2,5, damit sind a , b und c komplanar (liegen in einer Ebene). G G G G G G 7. x = a + λ ⋅ (b − a) + μ ⋅ (c − a) als Ebenengleichung,

D ∈ E, d. h. die Punkte liegen in einer Ebene

564

Lösungen

G G G 08. Die Vektoren sind komplanar. Nachweis der Komplanarität auch mit [ a b c ] = 0 (s. Spatprodukt)

09. Die drei Vektoren sind nicht komplanar. § 2· § 2· ¨ ¸ ¨ ¸ 10. a) OE = ¨ 7 ¸ ; OF = ¨ 5 ¸ ; OE = 8,31 LE ; OF = 8,83 LE b) AE = 5 LE ; BF = 40 = 6,32 LE ¨ 4¸ ¨7¸ © ¹ © ¹

42 Geraden im Raum 1. Der Punkt A liegt auf g (A ∈ g) . Der Punkt B liegt nicht auf g ( B ∉ g ).

§ 2· § −5 · ¸ ¨ ¸ G ¨ 2. a) Gerade g: x = ¨ − 3 ¸ + λ ⋅ ¨ 1 ¸ ; Spurpunkte: S1 ( −23 ; 2 ; 0) ; S 2 ( −13 ; 0 ; 2) ; S3 (0 ; − 2,6 ; 4,6) ¨ 5¸ ¨ − 1¸ © ¹ © ¹ § 2· § −5 · ¨ ¸ G ¨ ¸ g′′′ : x = ¨ 0 ¸ + λ ⋅ ¨ 0 ¸ ¨5¸ ¨ − 1¸ © ¹ © ¹

b) Projektionsgerade: 3. Spurpunkte:

in der xy-Ebene (z = 0):

S1 ( −2,75 ; 3,25 ; 0)

in der xz-Ebene (y = 0):

S 3 (7 ; 0 ; 13 )

Parallele zur z-Achse (in der xy-Ebene): 4.

§ −2,75 · §0· ¸ ¨ ¸ G ¨ x = ¨ 3,25 ¸ + λ ⋅ ¨ 0 ¸ ¨ 0 ¸ ¨1 ¸ © ¹ © ¹

S (5 ; −1 ; 8)

43 Vektorielle Darstellung von Ebenen §2· § −1 · § −3 · ¨ ¸ ¨ ¸ G ¨ ¸ 1. a) E: x = ¨ 5 ¸ + λ ⋅ ¨ − 2 ¸ + μ ⋅ ¨ − 1¸ ¨7¸ ¨− 3¸ ¨ − 1¸ © ¹ © ¹ © ¹ 3 3 A x ( −3 ; 0 ; 0) ; A y (0 ; ; 0) ; A z (0 ; 0 ; − ) 8 5

b) E: − x + 8y − 5z = 3 ;

§1 · §4 · § 2· ¨ ¸ ¨ ¸ G ¨ ¸ 2. a) E: x = ¨ 2 ¸ + λ ⋅ ¨ − 3 ¸ + μ ⋅ ¨ 3 ¸ ; 6x + 2y − 3z − 4 = 0 ¨ 2¸ ¨6 ¸ ¨ 6¸ © ¹ © ¹ © ¹ b) Achsenschnittpunkte: A x (

2 4 ; 0 ; 0) ; A y (0 ; 2 ; 0) ; A z (0 ; 0 ; − ) 3 3

c) Spurgerade in der xy-Ebene: 6x + 2y = 4 oder y = −3x + 2 3. Einsetzen der Koordinaten des Punktes A erfüllt die Ebenengleichung, d. h. A liegt in der Ebene E. 4. Die Gerade g liegt in der Ebene E, da der Stützpunkt der Geraden in der Ebene liegt und der Richtungsvektor der Geraden senkrecht zum Normalenvektor der Ebene liegt.

Achsenpunkte: A x (

16 16 ; 0; 0), A y (0; − 8 ; 0), A Z (0; 0; ) 3 5

44 Das Skalarprodukt 1.

ϕ = 58,12°

2.

S (6 ; − 3 ; − 8) ; ϕ = 36,45° (bzw. ϕ = 143,55° )

Lösungen § 4· ¨ ¸ 3. Lotvektoren zu ¨ − 3 ¸ ; ¨ 6¸ © ¹

565 § 0· ¨ ¸ ¨ − 6¸ ; ¨− 3¸ © ¹

§ 6· ¨ ¸ ¨ 0¸ ; ¨ − 4¸ © ¹

§3 · ¨ ¸ ¨ 4¸ ¨0 ¸ © ¹

45 Vektorprodukt § −23 · ¸ G G ¨ 1. a) a × b = ¨ 1 ¸ ¨ 9 ¸ © ¹

G G b) A = a × b = 24,718 FE.

G G a × b c) h = = 2,55 LE. G a

§2· § −1 · § −3 · ¨ ¸ ¨ ¸ G ¨ ¸ 2. a) E: x = ¨ 4 ¸ + λ ⋅ ¨ 3 ¸ + μ ⋅ ¨ − 6 ¸ ¨1 ¸ ¨ 5¸ ¨ 7¸ © ¹ © ¹ © ¹

b) E: 51x – 8y + 15z = 85

§ 51· ¸ G ¨ c) n = ¨ − 8 ¸ ¨ 15 ¸ © ¹

§ 2· § −3 · § −1 · ¨ ¸ ¨ ¸ G ¨ ¸ 3. a) E: x = ¨ 3 ¸ + λ ⋅ ¨ 2 ¸ + μ ⋅ ¨ − 1 ¸ ¨7¸ ¨ − 4¸ ¨ − 2¸ © ¹ © ¹ © ¹

§ −8 · G ¨ ¸ b) n = ¨ − 2 ¸ ¨ 5¸ © ¹

c) A = 9,64 FE

§ 24 · ¸ G ¨ 4. a) n = ¨ − 16 ¸ ¨ 4 ¸ © ¹

§ −5 · § 24 · ¨ ¸ ¨ ¸ G ¨ ¸ ¨ ¸ b) g : x = ¨ 2 ¸ + λ ⋅ ¨ −16 ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ 30 ¸ ¨ 4¸ © ¹ © ¹

c) E: 24x –16y +4z = 0 oder 6x –4y + z = 0

5. A = 14,56 FE

v = 12,08 m/s

6.

46 Spatprodukt 1. a) A = 32,34 FE

b) Spatvolumen V = 201 VE ; h = 6,215 LE

2. V = 6,83 VE

3. V = 8,67 VE

4. Die Vektoren sind komplanar 6. Abstand h = 2,299 LE ≈ 2,3 LE.

5. Abstand der windschiefen Geraden h = 4,56 LE

47 Normalenformen der Ebenengleichung 1. E: 2x + y + 3z – 17 = 0 3.

2.

E:

3 x + 2 y − 4z 29

−

2 29

= 0 , d = 2 = 0,37LE.

E : 2 x1 − 5 x 2 + 4 x 3 − ( 5 + 6 5 ) = 0

48 Abstandsberechnungen 1. a) F(-1 ; 1 ; -1)

b) d = 0,58 LE

2. a) E: x – 2y – 5z + 21 = 0

b) d = 3,83 LE

3. a) d = 0,577 LE

b) d = 0,53 LE

4. Die beiden Ebenen sind parallel (gleicher Normalenvektor !); Abstand d = 2,84 LE 5. Die beiden Ebenen sind parallel (gleicher Normalenvektor !); Abstand d = 2,309 LE 6. d = 5,57 LE

7.

h = 7 LE

29

566

Lösungen

49 Schnittwinkel 1.

ϕ = 19,47° , d = 1 = 0,577 LE.

2.

3

ϕ = 99,57°

3.

ϕ = 63,549°

4. Normalenvektor der Ebene (Berechnung mit Vektorprodukt!) ist Richtungsvektor der Geraden, d. h. die Gerade verläuft orthogonal zur Ebene.

§ 4· G § 2· 5. a) Parallele Gerade: x = ¨ − 5 ¸ + λ ⋅ ¨ 2 ¸ ¨0¸ ¨ 1¸ © ¹ © ¹

⎛0 ⎞ § −2 · G § 2· G ⎛ 2⎞ ⎟ ⎜ ⎟ a) senkrechte Gerade: x = ¨ − 5 ¸ + λ ⋅ ¨ 4 ¸ oder x =⎜ ⎜5⎟+ λ⋅⎜0 ⎟ ¨ 1¸ ¨ 0¸ 1 ⎝ ⎠ ⎝ 4⎠ © ¹ © ¹ 6. a) cos ϕ = 1 ; ϕ = 60° b) AB = 2 , AC = 2

2 , CB = 2 , d. h. das Dreieck ist gleichseitig

JJJG JJJG A = 1 AB × AC = 1 ⋅ 3 = 0,866 FE. 2

7.

c) d = 2 = 1,155 LE.

2

3

ϕ = 109,47°

51 Inzidenz von Geraden und Ebenen §0 · §1 · G § 0· 1. Umrechnung von E2 in die Parameterform E 2 : x = ¨ 0 ¸ + r ⋅ ¨ 0 ¸ + s ⋅ ¨1 ¸ . ¨ 0,75 ¸ ¨ − 1¸ ¨ 0,25 ¸ © ¹ © ¹ © ¹ Komponenten von E2 eingesetzt in die Ebenengleichung von E1 ergibt r = 4 – 3s. § −3 · § 4· ¨ ¸ G ¨ ¸ Daraus erhält man die Schnittgerade g : x = ¨ 0 ¸ + s ⋅ ¨ 1 ¸ ¨ 0¸ ¨ − 0¸ © ¹ © ¹ 2.

S( −1;1;4) ;

3.

Komplexe Rechnung 52.3 Gauß’sche Zahlenebene

Im 4

4 3

2 6

3 4

Re

1 5

S( -2 ; 10 ; -3)

Lösungen

567

53 Darstellungsformen komplexer Zahlen und 54 Komplexe Arithmetik 1. a)

z=

34 ⋅ (cos 210 ,96° + j ⋅ sin 210 ,96° ) = 34 ⋅ e

b)

z = 10 ⋅ (cos 108 , 43° + j ⋅ sin 108 , 43° ) = 10 ⋅ e

c)

z = 5 ⋅ (cos 36 ,87° + j ⋅ sin 36 ,87° ) = 5 ⋅ e

d)

z = 5 ⋅ (cos 53 ,13° + j ⋅ sin 53 ,13° ) = 5 ⋅ e

e)

z=

j⋅210 ,96°

j⋅108 ,43°

j⋅36 ,87° j⋅53 ,13°

34(cos 329,04° + j ⋅ sin 329,04°) =

34 ⋅ e j ⋅ 329,04°

Konjugation bedeutet geometrisch: Spiegelung des Bildpunktes an der reellen Achse. Bei den komplexen Zahlen ist deshalb bei unverändertem Betrag r jeweils nur im Imaginärteil bzw. Argument das Vorzeichen zu wechseln, um die konjugiert-komplexen Zahlen zu erhalten. 2. a) d)

z = 2,5 − j ⋅ 4,33

b)

z = 2,77 − j ⋅ 1,15

c)

z = −1,73 + j

z = 1+ j ⋅ 0 = 1

e)

z = j6

f)

z = −j

b)

z = 2

c)

z = 2

3. a)

z =

4. a)

z= 9

5. a)

z = 3⋅ (cos π − j⋅ sin π ) = − 3 ,

b)

25 + 9 =

34

b)

z = 1,5 − j⋅ 4,5

c)

z = 2

d)

z = − 11+ j ⋅ 27

d) z = − 0,162 + j ⋅ 0,397

z = 3⋅e j⋅π

z = 5 ⋅ (cos(3 ⋅ (− 20°)) + j ⋅ sin(3 ⋅ (− 20°))) = 5 ⋅ (cos340°+ j ⋅ sin340°) = 5 ⋅ (0,5 − j ⋅ 0,5 ⋅ 3) ,

z = 2, 5 − j ⋅ 4,33 , z = 5 ⋅ e j 300°

z1 = 1,674 − j ⋅ 0,896

z2 = − 1,674 + j ⋅ 0,896

b)

z1 = 1,26495 + j ⋅ 1,1506

z2 = − 1,6289 + j ⋅ 0,5202

z3 = 0,36398 − j ⋅ 1,67079

c)

z1 = − 0,1743 + j ⋅ 2,9949

z2 = − 2,5066 − j ⋅ 1,6484

z3 = 2,6809 − j ⋅ 1,3464

7. a)

z1 = − 0,4141+ j ⋅ 1,8102

z2 = − 1,3606 − j ⋅ 1,2637

z3 = 1,7747 − j ⋅ 0,5464

b)

z1 = 2,8796 + j ⋅ 0,5078

z2 = − 1,8795 − j ⋅ 2,2399

z3 = 1,0001− j ⋅ 2,7477

c)

z1 =1, 2578 + j ⋅ 0 ,0732

z 2 =− 0 , 6923 + j ⋅1,0526

z3 = −0 ,5655 − j ⋅1,1259

6. a)

55 Anwendungen der komplexen Rechnung 1.

Z = Z = 284,77ȍ

2. Z = Z = 729,76 ȍ

3. a)

1 2 5 = − j⋅ z 29 29

b)

e)

1 1 − j⋅ ʌ = − ⋅e 2 z 2

f)

3 1 2 =− − j⋅ 13 z 13

1 = −2 ⋅ e − j⋅45° z

c)

1 1 = ⋅ e− j ⋅ 60° z 3

d)

1 = − 2 ⋅ e j⋅3 z

568

Lösungen

4. a) Z = R − j ⋅ b) Y( ω) =

1 Z

1 Ȧ⋅C =

1 R − j⋅

1

ω⋅C

=

R ⎛ 1 ⎞2 R2 + ⎜ ⎟ ⎝ ω⋅C ⎠

+ j⋅

1 ⎛ ⎞ ⎛ 1 ⎞2 ⎟ ω⋅C⋅⎜ R2 + ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎝ ω⋅C ⎠ ⎠ ⎝

Ortskurve für Y( ω) (Halbkreis durch den Ursprung mit dem Radius

1 ) 2R

569

Sachwortverzeichnis A Ableitung – der Kosinusfunktion 368, 402 – der Sinusfunktion 368 – der Tangensfunktion 368, 402 – elementarer Funktionen 368 –, höhere 369 – von Exponentialfunktionen 368, 411 – von Logarithmusfunktionen 368, 411 – von Potenzfunktionen 364 – von trigonometrischen Funktionen 368 Ableitungsregeln, allgemeine 365 Abstand – einer Ebene vom Ursprung 484 – eines Punktes von einer Ebene 483 – eines Punktes von einer Geraden 485 – paralleler Ebenen 484 – windschiefer Geraden 477, 486 Abstandsberechnung 483 Abszisse 59 Achsenabschnittsform 209 Achsenabschnittsgleichung 462 Additionstheoreme 276 Additionsverfahren 74 Ähnlichkeit 301 Ankathete 229 Äquivalenz von Aussageformen 27 Äquivalenzumformung 27 Arkusfunktionen 368 Assoziativgesetz 9 Asymptote 359, 398 ff. Aufgaben – Arbeits- 53 – Behälter- 51, 90 – Bewegungs- 48, 89 – Extremwert- 163, 389 – Mischungs- 45, 88 Aussage 27 Aussageform 27 B Basis 93 Bernoulli-de L'Hospital, Regel von 360 Beweis, indirekter 105 Biegeträger 287 Binome 13 Binomische Formel 13

Biquadratische Gleichung 123 Bogenmaß 250 Bruchgleichung 31 Bruchterme 79 Bruchungleichung 138 C Cavalieri, Satz des 337, 349 Cramer'sche Regel 78, 85 D Definitionsmenge 31 Determinante 77 Determinantenverfahren 77, 85 Diagramme – Euler- 4 – Mengen- 4 – Venn- 4 Differentialquotient 363 Differentiation – der Logarithmus- und Exponentialfunktionen 411 – der Potenzfunktionen 364 – trigonometrischer Funktionen 402 Differenzenquotient 363 Differenzmenge 6 Diskriminante 119 f. Distributivgesetz 12 E Ebene –, Hesse'sche Normalengleichung 481 –, Identität zweier 501 –, Koordinatengleichung 461 –, parallele 501 –, Spurgerade 462 –, vektorielle Darstellung 459 Ebenengleichung, Normalenform 479 e-Funktion 183 Einheit, imaginäre 504 Einheitskreis 250 Einsetzungsverfahren 71 Element einer Menge 3 Element, neutrales 9 Euklid, Satz des 296 Euler-Diagramm 4 Euler'sche Gleichung 511

H. Rapp, Mathematik für die Fachschule Technik, DOI 10.1007/978-3-8348-9803-6, © Vieweg+Teubner | GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2010

570 Exponent 93 Exponentialfunktion 180 f. Exponentialgleichung 199 Extremwertaufgaben 389 F Faktorisieren 22 Faktorregel 365 f. Fläche – kreisförmig begrenzte 318 – zwischen zwei Funktionsgraphen 426 Formvariable 34 Funktion –, Exponential- 180 –, gebrochenrationale 396 –, komplexe 520 –, Kosinus- 232 –, Kotangens- 235, 254 –, lineare 62 –, Polygon- 380 –, Potenz- 171 –, quadratische 156 –, Sinus- 230 –, Stamm- 418 –, Stetigkeit von 361 –, Tangens- 235, 254 –, Winkel- 229, 249 –, Wurzel- 174 Funktionssynthese 385 – trigonometrischer Funktionen 408 G Ganze Zahlen 1 Gauß'scher Algorithmus 83 Gauß'sche Zahlenebene 3, 507 Gebrochenrationale Funktion 396 Gegenkathete 229 Gerade –, Abstand windschiefer 477 –, orthogonale 216 –, Schnittpunkt zweier 455 –, Sonderfälle 64 – Spurpunkt 451 –, windschiefe 458 Geradengleichung 207 –, Hesse-Form 210 –, vektorielle 447 Gleichsetzungsverfahren 71 Gleichung –, biquadratische 123

Sachwortverzeichnis –, defektquadratische 117 –, Exponential 199 –, gemischtquadratische 117 –, goniometrische 256 –, Hyperbel, allgemeine 227 –, Kreis- 218 –, lineare 28 –, quadratische 114 f., 126 –, reinquadratische 115 –, trigonometrische 256 –, Wurzel- 129 Gleichungssystem, lineares 69 Goldener Schnitt 311 Graphen der Winkelfunktionen 249 Grenzwert 355 –, linksseitig 358 –, rechtsseitig 358 –, von Funktionen 356 –, von Zahlenfolgen 355 Grenzwertregeln 356 Grundintegral 420 Guldin’sche Regel 352 H Hesse'sche – Normalengleichung 481 – Normalform 210 Höhensatz 298 Horner-Schema 373 f. Hyperbel 227 –, achsensymmetrische 173 –, punktsymmetrische 173 Hyperbelgleichung 227 I Integralrechnung 417 Inversionsregel 137 Iteration 376 K Kathetensatz 296 Kegel 333 Kegelstumpf 333 Kehrwert 21 Kettenproportion 42 Kettenregel 366 f. Klammerregel 10 Koeffizientenregel von Vieta 120 f. Körper –, prismatischer 326

Sachwortverzeichnis –, kugelförmiger 337 Kollinearitätsbedingung 441 Kommutativgesetz 9 Komplanarität 476 Komplanaritätsbedingung 442 Komplementwinkel 244 Komplexe Funktion 520 Komplexe Zahl –, Betrag einer 508 Komplexe Zahlen 1, 506 –, Exponentialform 510 –, Komponentenform 508 –, Polarform 510 Kosinusfunktion 232 Kosinussatz 266 f. Kotangensfunktion 235, 254 Kraft-Weg-Kennlinie 61 Kreisabschnitt 320 Kreisausschnitt 320 Kreisgleichung, allgemeine 219 Kreissegment 320 Kreissektor 320 Kreuzprodukt 470 Kugel 337 -abschnitt 340 -ausschnitt 344 -schicht 341 -segment 340 -sektor 344 Kurvendiskussion 378 L Lageänderung 159 linear abhängig 70 f. Lineare Funktion 62 Lineare Gleichung 27 Lineares Optimieren 147 Logarithmen 189 Logarithmengesetz 192 Logarithmensystem 190 Logarithmus 189 –, binärer 190 –, Briggs'scher 190 –, dekadischer 190 –, natürlicher 190 Logarithmusfunktion 197 –, allgemeine 196 –, natürliche 198 Lücke 396

571 M Menge 3 –, Differenz- 5 –, Durchschnitts- 5 –, Elemente einer 3 –, leere 3 –, Rest- 5 –, Schnitt- 5 –, Teil- 4 –, Vereinigungs- 5 Mengenbeziehung 6 Mengendiagramm 4 Mengenoperation 5 Mengenrelation 4 Mengenverknüpfung 5 f. Mittelpunktsgleichung eines Kreises 218 Mittelwert –, arithmetischer 309 –, geometrischer 309 –, harmonischer 308 Moivre'sche Formel 517 N Natürliche Zahl 1 Newton'sches Näherungsverfahren 376 Normalenvektor 472 Normalparabel 157 Nullfolge 356 Nullprodukt 11 Nullvektor 440 Numerus 189 O Obersumme 421 Ortskurve 524 –, Inversion 526 Ortsvektor 437 P Paarmenge 6 Papiere, logarithmische 228 Parabel –, achsensymmetrische 172 –, punktsymmetrische 172 Parabelgleichung 225 Pascal'sches Dreieck 102 Passante 221 Phasenverschiebung 251 Planungspolygon 152 Polarform 514

572 Polarkoordinaten 59 Polarkoordinatensystem 59 Polstelle 396 Polygonfunktion 380 Polynomdivision 372 Potenzen 93 –, von Binomen 101 Potenzfunktion 171 Potenzgesetz 93 Potenzregel 94 ff., 108, 365 Potenzterme 109 Produkt –, Kreuz- 470 –, Spat- 475 –, Vektor 470 Produktregel 365, 367 Projektion 450 Projektionsgerade 450 Proportion 40 –, fortlaufende 42 Punkt-Steigungs-Form 207 Pyramide 332 Pyramidenstumpf 332 Pythagoras, Satz des 282 Q Quadratische Funktion 156 Quadratische Gleichung 114 f., 126 Quotientenregel 366 f. R Rationale Zahl 1 Reelle Zahl 1 f. Relation 65 Rotationssymmetrie 435 S Sarrus-Regel 85 Scheitelform 161 Schnittgerade zweier Ebenen 497 Schnittmenge 6 Schnittpunkt von Geraden und Ebenen 499 Schnittwinkel – von Gerade und Ebene 490 –, zweier Ebenen 491 –, zweier Geraden 215, 491 Sekante 221 Simpson’sche Regel 350 Sinusfunktion, allgemeine 251 Sinussatz 259 f.

Sachwortverzeichnis Skalar 440 Skalarprodukt 466 –, Anwendung 468 S-Multiplikation 440 Spatprodukt 475 Stammbruch 18 Stammfunktion 418 Steigungswinkel 213 Strahlensatz 301 – 1. Strahlensatz 301 – 2. Strahlensatz 303 Strecke, Mittelpunkt 206 Streckenteilung 308 Substitutionsverfahren 80 Summenregel 365 f. T Tangensfunktion 235, 254 Teilmenge 4 Teilung –, äußere 308 –, harmonische 308 –, innere 308 Trigonometrie 229 Trigonometrische Form 510 U Ungleichung 135 –, Äquivalenzumformung 135 Ungleichungssystem 144 f. Untersumme 422 V Vektor –, -Addition 438 –, Betrag eines 438 –, Einheits- 437, 440 –, Lineare Abhängigkeit 441 –, Null- 440 –, Orts- 437 –, -Subtraktion 439 Vektorprodukt 470 Vektorrechnung 436 Venn-Diagramm 4 Vereinigungsmenge 6 Verhältnisgleichung 40 Verknüpfungsgesetz 6 Vieta, Satz von 121 Vollkugel 337 Volumen von Rotationskörpern 434

Sachwortverzeichnis W Wertepaar, geordnetes 58, 71 Widerstand, komplexer 522 Winkelfunktionen, Graphen 249 –, Definition 230 Wurzelbegriff, allgemeiner 106 Wurzel 103, 107, 112 Wurzelfunktion 174 Wurzelgleichung 129 Wurzelregel 108 Wurzelwert 103 f. Z Zahlen –, Addition komplexer 512

573 –, Division komplexer 513 –, ganze 2 –, imaginäre 504 –, irrationale 104 f. –, komplexe 3 –, Multiplikation komplexer 513 –, natürliche 1 –, rationale 2 –, Subtraktion komplexer 512 Zehnerlogarithmen 191 Zehnerpotenz 98 Zielfunktion, aufstellen 149 Zinseszinsformel 180 Zwei-Punkte-Form 208 Zyklometrische Funktionen 368