Übungsbuch Mathematik für Fachschule Technik und Berufskolleg: 444 anwendungsorientierte Aufgaben mit ausführlichen Lösungen [6. Aufl.] 9783658311070, 9783658311087

Table of contents :
Front Matter ....Pages I-IX
Front Matter ....Pages 1-1
Elementare Rechenoperationen (Heinz Rapp, Jörg Matthias Rapp)....Pages 3-13
Algebraische Gleichungen (Heinz Rapp, Jörg Matthias Rapp)....Pages 15-41
Ungleichungen (Heinz Rapp, Jörg Matthias Rapp)....Pages 43-48
Lineare Gleichungssysteme (Heinz Rapp, Jörg Matthias Rapp)....Pages 49-68
Lineares Optimieren (Heinz Rapp, Jörg Matthias Rapp)....Pages 69-81
Exponential- und Logarithmusgleichungen (Heinz Rapp, Jörg Matthias Rapp)....Pages 83-92
Front Matter ....Pages 93-93
Längenberechnungen am Dreieck (Heinz Rapp, Jörg Matthias Rapp)....Pages 95-132
Trigonometrie (Heinz Rapp, Jörg Matthias Rapp)....Pages 133-169
Analytische Geometrie (Heinz Rapp, Jörg Matthias Rapp)....Pages 171-183
Flächenberechnung (Planimetrie) (Heinz Rapp, Jörg Matthias Rapp)....Pages 185-216
Volumenberechnung (Stereometrie) (Heinz Rapp, Jörg Matthias Rapp)....Pages 217-245
Front Matter ....Pages 247-247
Funktionen und Relationen (Heinz Rapp, Jörg Matthias Rapp)....Pages 249-270
Differentiation elementarer Funktionen (Heinz Rapp, Jörg Matthias Rapp)....Pages 271-275
Allgemeine Ableitungsregeln (Heinz Rapp, Jörg Matthias Rapp)....Pages 277-291
Anwendung der Differentialrechnung auf ganzrationale Funktionen (Heinz Rapp, Jörg Matthias Rapp)....Pages 293-337
Newton’sches Näherungsverfahren (Heinz Rapp, Jörg Matthias Rapp)....Pages 339-346
Gebrochenrationale Funktionen (Heinz Rapp, Jörg Matthias Rapp)....Pages 347-353
Trigonometrische Funktionen (Heinz Rapp, Jörg Matthias Rapp)....Pages 355-366
Exponentialfunktionen (Heinz Rapp, Jörg Matthias Rapp)....Pages 367-379
Front Matter ....Pages 381-381
Flächenberechnung mit Hilfe der Integralrechnung (Heinz Rapp, Jörg Matthias Rapp)....Pages 383-398
Vertiefung der Differential- und Integralrechnung (Heinz Rapp, Jörg Matthias Rapp)....Pages 399-406
Rotationsvolumen (Heinz Rapp, Jörg Matthias Rapp)....Pages 407-413
Front Matter ....Pages 415-415
Vektoroperationen (Vektoralgebra) (Heinz Rapp, Jörg Matthias Rapp)....Pages 417-430
Analytische Geometrie auf Vektorbasis (Heinz Rapp, Jörg Matthias Rapp)....Pages 431-442
Anwendungen der Vektorrechnung (Heinz Rapp, Jörg Matthias Rapp)....Pages 443-450
Front Matter ....Pages 451-451
Komplexe Arithmetik (Heinz Rapp, Jörg Matthias Rapp)....Pages 453-467
Anwendungen der komplexen Rechnung (Heinz Rapp, Jörg Matthias Rapp)....Pages 469-474
Back Matter ....Pages 475-478

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Heinz Rapp Jörg Matthias Rapp

Übungsbuch Mathematik für Fachschule Technik und Berufskolleg 444 anwendungsorientierte Aufgaben mit ausführlichen Lösungen 6. Auflage

Übungsbuch Mathematik für Fachschule Technik und Berufskolleg

Heinz Rapp  Jörg Matthias Rapp

Übungsbuch Mathematik für Fachschule Technik und Berufskolleg 444 anwendungsorientierte Aufgaben mit ausführlichen Lösungen 6., überarbeitete Auflage

Heinz Rapp Winterbach, Deutschland

ISBN 978-3-658-31107-0 https://doi.org/10.1007/978-3-658-31108-7

Jörg Matthias Rapp Winterbach, Deutschland

ISBN 978-3-658-31108-7 (eBook)

Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.d-nb.de abrufbar. Springer Vieweg © Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2007, 2011, 2012, 2015, 2018, 2020 Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung, die nicht ausdrücklich vom Urheberrechtsgesetz zugelassen ist, bedarf der vorherigen Zustimmung des Verlags. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Bearbeitungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von allgemein beschreibenden Bezeichnungen, Marken, Unternehmensnamen etc. in diesem Werk bedeutet nicht, dass diese frei durch jedermann benutzt werden dürfen. Die Berechtigung zur Benutzung unterliegt, auch ohne gesonderten Hinweis hierzu, den Regeln des Markenrechts. Die Rechte des jeweiligen Zeicheninhabers sind zu beachten. Der Verlag, die Autoren und die Herausgeber gehen davon aus, dass die Angaben und Informationen in diesem Werk zum Zeitpunkt der Veröffentlichung vollständig und korrekt sind. Weder der Verlag noch die Autoren oder die Herausgeber übernehmen, ausdrücklich oder implizit, Gewähr für den Inhalt des Werkes, etwaige Fehler oder Äußerungen. Der Verlag bleibt im Hinblick auf geografische Zuordnungen und Gebietsbezeichnungen in veröffentlichten Karten und Institutionsadressen neutral. Lektorat: Thomas Zipsner Springer Vieweg ist ein Imprint der eingetragenen Gesellschaft Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH und ist ein Teil von Springer Nature. Die Anschrift der Gesellschaft ist: Abraham-Lincoln-Str. 46, 65189 Wiesbaden, Germany

V

Vorwort Das Übungsbuch enthält viele Beispielaufgaben aus der Technik mit ausführlichem Lösungsweg. Es vermittelt den Stoff anwendungsorientiert. Inhaltlich umfasst es den gesamten Stoff der Fachschule bis zur Hochschulreife. Die Aufgaben des Lehrbuches „Mathematik für Fachschule Technik und Berufskolleg“ wurden mit einem Stern * gekennzeichnet. Das Buch eignet sich zur Vorbereitung auf Klausuren und Prüfungen und zur Vorbereitung auf ein technisches Studium an einer Hochschule und ist zum Selbststudium geeignet. Die vorliegende Auflage ist durch weitere Aufgaben aus der Analysis, der Vektorrechnung und der komplexen Rechnung erweitert worden. Wir wünschen allen Benutzern ein gutes und erfolgreiches Arbeiten mit diesem Buch. Heinz Rapp Jörg Matthias Rapp

Stuttgart Juni 2020

Ein besonderes Wort des Dankes an . . . 4 den Verlag für die Neugestaltung des Buches. 4 Herrn Dipl.-Ing. Thomas Zipsner vom Lektorat des Verlages, der durch seine wertvollen mathematischen Hinweise sehr zum Gelingen des Buches beigetragen hat.

VII

Inhaltsverzeichnis I

Algebra

1 1.1 1.2

Elementare Rechenoperationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 2.1 2.2 2.3

Algebraische Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 3.1 3.2

Ungleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4 4.1 4.2 4.3

Lineare Gleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Konventionelle Lösungsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gauß’sches Eliminationsverfahren (Gauß’scher Algorithmus) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Determinantenverfahren für Gleichungssysteme mit drei Variablen . . . . . . . . . . . . . . . .

49 50 58 64

5

Lineares Optimieren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

69

6 6.1 6.2

Exponential- und Logarithmusgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

83 84 90

II

Geometrie

7 7.1 7.2

Längenberechnungen am Dreieck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8 8.1 8.2

Trigonometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9 9.1 9.2

Analytische Geometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10 10.1 10.2

Flächenberechnung (Planimetrie) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Potenzen, Wurzeln und Logarithmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Lineare Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Quadratische Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Wurzelgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Einfache lineare Ungleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bruchungleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Exponentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Logarithmusgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Ähnlichkeitssätze (Strahlensätze) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pythagoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Winkelfunktionen am rechtwinkligen Dreieck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Winkelfunktionen am schiefwinkligen Dreieck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Geraden und Strecken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kreis und Gerade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Geradlinig begrenzte Flächen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kreisförmig begrenzte Flächen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 4 6 15 16 26 33 43 44 46

95 97 108 133 134 150 171 172 174 185 186 192

VIII

Inhaltsverzeichnis

11 11.1 11.2 11.3

Volumenberechnung (Stereometrie) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

III

Differentialrechnung

12 12.1 12.2 12.3 12.4

Funktionen und Relationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13 13.1 13.2

Differentiation elementarer Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14 14.1 14.2 14.3 14.4

Allgemeine Ableitungsregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15 15.1 15.2 15.3 15.4

Anwendung der Differentialrechnung auf ganzrationale Funktionen . . . .

16 16.1 16.2 16.3

Newton’sches Näherungsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ganzrationale Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Trigonometrische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exponentialfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

339 340 343 344

17

Gebrochenrationale Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

347

18 18.1 18.2 18.3

Trigonometrische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

355 356 364 365

19 19.1 19.2

Exponentialfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Prismatische Körper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pyramidenförmige und kegelförmige Körper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kugelförmige Körper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Ganzrationale Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gebrochenrationale Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exponentialfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Trigonometrische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Nullstellen und Extremstellen ganzrationaler Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nullstellen und Extremstellen von Exponentialfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Produktregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Quotientenregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kettenregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Logarithmische Ableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Tangente und Normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kurvendiskussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Funktionssynthese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Extremwertaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Kurvendiskussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Funktionssynthese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Extremwertaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Kurvendiskussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Funktionsgleichungen aus Vorgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

217 218 226 237

249 250 260 262 265 271 272 274 277 278 283 285 289 293 294 300 310 321

367 368 377

IX Inhaltsverzeichnis

IV

Integralrechnung

20 20.1 20.2 20.3

Flächenberechnung mit Hilfe der Integralrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ganzrationale Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Trigonometrische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exponentialfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

383 384 389 395

21

Vertiefung der Differential- und Integralrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

399

22 22.1 22.2

Rotationsvolumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

407 408 410

V

Vektorrechnung

23 23.1 23.2

Vektoroperationen (Vektoralgebra) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24 24.1 24.2

Analytische Geometrie auf Vektorbasis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Geraden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ebenen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

431 432 437

25

Anwendungen der Vektorrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

443

VI

Komplexe Rechnung

26 26.1 26.2 26.3 26.4

Komplexe Arithmetik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27 27.1 27.2

Anwendungen der komplexen Rechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Rotation um die x-Achse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Rotation um die y-Achse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Vektorbetrag, Addition, Subtraktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Produkte von Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Darstellungsformen komplexer Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Potenzieren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Radizieren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Punktmengen und Gebiete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Schwingungen in komplexer Darstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Komplexe Widerstände . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Serviceteil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Stichwortverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

417 418 426

453 454 459 461 466 469 470 471 475 476

1

Algebra Inhaltsverzeichnis Kapitel 1

Elementare Rechenoperationen – 3

Kapitel 2

Algebraische Gleichungen – 15

Kapitel 3

Ungleichungen – 43

Kapitel 4

Lineare Gleichungssysteme – 49

Kapitel 5

Lineares Optimieren – 69

Kapitel 6

Exponential- und Logarithmusgleichungen – 83

I

3

Elementare Rechenoperationen Inhaltsverzeichnis 1.1

Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division – 4

1.2

Potenzen, Wurzeln und Logarithmen – 6

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2020 H. Rapp, J.M. Rapp, Übungsbuch Mathematik für Fachschule Technik und Berufskolleg, https://doi.org/10.1007/978-3-658-31108-7_1

1

4

1

Kapitel 1  Elementare Rechenoperationen

Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division

1.1

> Lehrbuch Kapitel 2 1.1.1

Berechnen Sie den Wert der Bruchdifferenz 1 3

1 

1 7

1 1  3 7



Brüche lassen sich zusammenfassen, wenn sie gleichnamig sind. Deshalb wollen wir die Brüche durch Erweitern gleichnamig machen:

17 37

1 



13 73

17 13 .7 C 3/ 10 1 1  D 73  D 4  37 73 21 21 21 21

Ein Bruch wird dividiert, indem man mit dem Kehrwert multipliziert. Dadurch werden Doppelbrüche beseitigt. 21  21 10  4 441  40 401  D D 4  21 21  4 4  21 84 1.1.2

Berechnen Sie den Bruchterm x 1xC

1 1x 2



1 x

x x

Da wir es hier mit Doppelbrüchen zu tun haben, müssen wir diese der Reihe nach durch Erweitern und Zusammenfassen in Einfachbrüche umwandeln. x 1xC

1 1x 2



x 1 x x

D

x 1xC

1 1x 2



xx . x1 x /x

D

x 1xC

1 1x 2



x2 1x 2

Jetzt können die gleichnamigen Brüche des Nenners zusammengefasst werden. x 1xC

1x 2 1x 2

D

x x D 1x C1 2x

5 1.1  Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division

1.1.3

Berechnen Sie den Bruchterm aCb ab b aCb





ab aCb b.ba/ a2 C2abCb 2

Um die Doppelbrüche in einen Einfachbruch umwandeln zu können, müssen die Brüche des Zählers und die Brüche des Nenners zusammengefasst werden. Dies ist aber nur möglich, wenn sie durch Erweitern mit dem Hauptnenner gleichnamig gemacht worden sind. .aCb/.aCb/ .ab/.aCb/ b.aCb/ .aCb/.aCb/

 

.ab/.ab/ .aCb/.ab/ b.ba/ a2 C2abCb 2

D

2 2/ a2 C2abCb 2  .a 2abCb a2 b 2 a2 b 2 2 ab/ abCb 2  a2.b a2 C2abCb 2 C2abCb 2

D

4ab a2 b 2 2ab .aCb/2

Diese Doppelbrüche vereinfachen wir, indem wir den Bruch des Zählers mit dem Kehrwert des Nenners multiplizieren und den Bruch durch Kürzen vereinfachen. 4ab .a C b/2 4ab.a C b/.a C b/ .a C b/  D D2 a2  b 2 2ab 2ab.a  b/.a C b/ .a  b/ 1.1.4

Berechnen Sie den Gesamtwiderstand R der parallel geschalteten Widerstände aus 1 1 1 1 D C C R R1 R2 R3

Diese Aufgabe lässt sich auf verschiedene Weise lösen: 1. Wir lösen die Gleichung unmittelbar nach R auf und erhalten einen Doppelbruch, der in der gewohnten Weise umgeformt werden muss. RD

1 1 R1

RD 

C

1 R1

1 R2

C

1 R3

1  R1 R2 R3 R1 R2 R3  D 1 1 R2 R3 C R1 R3 C R1 R2 C R2 C R3  R1 R2 R3

2. Wir addieren die Brüche auf der rechten Seite. Diese müssen jedoch wieder durch Erweitern gleichnamig gemacht werden. 1  R1 R3 1  R1 R2 R2 R3 C R1 R3 C R1 R2 1 1  R2 R3 C C D D R R1  R2 R3 R2  R1 R3 R3  R1 R2 R1 R2 R3 Durch Multiplizieren mit dem Hauptnenner RR1 R2 R3 und Umformung erhalten wir RD

R1  R2  R3 R2  R3 C R1  R3 C R1  R2

1

6

1

Kapitel 1  Elementare Rechenoperationen

Anmerkung Zum gleichen Ergebnis kommt man, wenn man die Brüche einfach umdreht, d. h. auf jeder Gleichungsseite Zähler und Nenner vertauscht. Dies ist jedoch nur möglich, wenn auf jeder Seite nur noch ein Bruch steht und der Bruchstrich gleichsam die gemeinsame „Drehachse“ darstellt. 2 Beispiel: x1 D 14 C 12 D 14 C 22 D 34 und daraus x D 43 . Die Rechnung x1 D 41 C 21 D 6 ist bekanntlich falsch.

Potenzen, Wurzeln und Logarithmen

1.2

> Lehrbuch Kapitel 3, 4 und 5 1.2.1

Fassen Sie folgende Terme zusammen 

ex C ex 2



2 

ex  ex 2

2

  x  x e  ex 2 e C ex 2 .ex C ex /2  .ex  ex /2  D 2 2 4 x 2 x x .e / C 2e e C .ex /2  .ex /2 C 2ex ex  .ex /2 D 4 D1 1.2.2

Berechnen Sie von p pdie Wurzelwerte 1 a) 4 2401  5 125  p 5 625 q p 3 ab b) ab  .ab/2  p 6 .ab/5

Wir wandeln die Wurzeln um in Potenzen und fassen diese zusammen. a) p p 1 1 1 1 1 1 1 4 5 D .2401/ 4  .125/ 5  .625/ 5 D ..7/4 / 4  ..5/3 / 5  ..5/4 / 5 2401  125  p 5 625 7 3 4 3 4 1 D 7  5 5  5 5 D 7  5 5  5 D 7  5 5 D p 5 5 b)

 1 1 1 1 q p  ab  a 2  b 2  a 3  b 3 ab ab 2 1 3 2 2 3 ab  .ab/  p D ab  .ab/  D 5 5 5 6 .ab/5 .ab/ 6 a6  b6

7 1.2  Potenzen, Wurzeln und Logarithmen

Nun fassen wir die Potenzterme mit den gleichen Grundzahlen zusammen und kürzen den Bruch so weit wie möglich.  5  1C1 1 1 5 a 6  b 6  ab a 2 3  b 2 C 3  ab D D ab D 5 5 5 5 a6  b6 a6  b6 1.2.3

Fassen Sie folgende Terme zusammen p x2 p C x  1  x2 2 1 1x

Wenn im Nenner Binome (zweigliedrige Terme) vorkommen, wird der Bruchterm entsprechend der binomischen Formel .a  b/.a C b/ D a2  b 2 so erweitert, dass die Wurzel im Nenner wegfällt. Wir machen den Nenner wurzelfrei und damit rational durch Erweitern mit dem geeigneten Binom. p   2 2 p p  1 C 1  x x x2 p p p C x  1  x2 D     C x  1  x2 1  1  x2 1  1  x2  1 C 1  x2 p   p x2  1 C 1  x2 D p 2 C x  1  x 2 12  1  x2 p   p x2  1 C 1  x2 D C x  1  x2 2 2 1  .1  x / „ ƒ‚ … 

D 1C

p

x2

p  1  x2 C x  1  x2 D 1 C x

1.2.4

Fassen Sie folgende Terme zusammen p  p .a  b/ 3a  3b p p aC b

Wir machen den Nenner wieder wurzelfrei und damit rational durch Erweitern mit dem geeigneten Binom (vgl. vorige Aufgabe!) p  p p p  p p .a  b/ 3a  3b a b .a  b/ 3a  3b p D p p p  p p aC b aC b a b p 2 p p p 2 p p .a  b/ 3 a  b D 3 a b D ab

1

8

1

Kapitel 1  Elementare Rechenoperationen

1.2.5

Fassen Sie folgende Terme zusammen p ax 4x  a a  .x  1/  p C 2a  8 a4 aC2 a

p ax 4x  a a  .x  1/ p C  2a  8 a4 aC2 a p p 4x  a a  .x  1/ ax  .a  2  a/ p p C  D 2.a  4/ a4 .a C 2  a/  .a  2  a/ p p 2x  a a  .x  1/ ax  .a  2  a/ p 2 C  D 2 .a  4/ a4 a  .2  a/ p p 2x  a ax  a ax  .a  2  a/ C  D 2 a  4a p a p4 a4 ax  .a  2  a/ 2x  a ax  a D C  a.a  4/ a4 a4 p p 2x  a ax  a x  .a  2  a/ C  D a  4p ap 4 a4 ax  2x  a C 2x  a  ax C a a D D a4 a4 1.2.6

Fassen Sie folgende Wurzelterme so weit wie möglich zusammen q anCb n

.x C y/aCb C

q .x C y/ab

anb n

1. Wurzeln p lassen sich in Potenzen mit gebrochenen Hochzahlen umwandeln und umm gekehrt: n am D a n 2. Werden Potenzen oder Wurzeln addiert, subtrahiert, multipliziert oder dividiert, so haben die Rechenoperationen 3. Ordnung Vorrang. Im vorliegenden Fall wandeln wir die Wurzeln in Potenzen um und vereinfachen die Hochzahl durch Kürzen. aCb

aCb

ab

ab

.x C y/ anCbn C .x C y/ anbn D .x C y/ n.aCb/ C .x C y/ n.ab/ 1

1

D .x C y/ n C .x C y/ n Diese Potenzen wandeln wir wieder in Wurzeln um: p p p n xCyC n xCy D2 n xCy

9 1.2  Potenzen, Wurzeln und Logarithmen

1.2.7

Fassen Sie zusammen und vereinfachen Sie die Terme

a2

1 2x 2 .a2  x 2 /  .2x/  .a2  x 2 /  2x 2a Cq C  2 2 2 .a2 x 2 /2 Cx a.a C x / .a2 C x 2 /2 1  .a 2 Cx 2 /2

Wir wollen zunächst den Wurzelradikanden und damit die Wurzel durch Zusammenfassen umformen: s s s .a2 C x 2 /2 .a2 C x 2 /2  .a2  x 2 /2 .a2  x 2 /2 .a2  x 2 /2 1 2 D  2 D 2 2 2 2 2 2 2 .a C x / .a C x / .a C x / .a2 C x 2 /2 s ..a2 C x 2 /  .a2  x 2 //  ..a2 C x 2 / C .a2  x 2 // D .a2 C x 2 /2 s 2x 2  2a2 2ax D D 2 .a2 C x 2 /2 a C x2 Damit können wir den daraus entstandenen Doppelbruch mit dem Kehrwert formulieren und wir erhalten: a2

2a 2x 2 .a2 C x 2 / .a2  x 2 /  .2x/  .a2  x 2 /  2x C C  2 2 2 Cx a.a C x / 2ax .a2 C x 2 /2

Daraus ergibt sich durch Kürzen und Zusammenfassen:

a2

2x 2 2a 1 .a2  x 2 /  .4x/ C C  2 2 2 Cx a.a C x / 2ax .a2 C x 2 / 2x 2 1 .a2  x 2 /  .2/ 2a C C  D 2 2 2 2 a Cx a.a C x / a .a2 C x 2 /

Diese Brüche müssen nun auf gleichen Nenner gebracht werden, damit sie zusammengefasst werden können. 2a  a 2x 2 .a2  x 2 /  .2/ 2a2 C 2x 2  2a2 C 2x 2 C C D a  .a2 C x 2 / a  .a2 C x 2 / a  .a2 C x 2 / a  .a2 C x 2 / 4x 2 D a  .a2 C x 2 / 1.2.8

Aus einer Extremwertaufgabe ergaben sich für einen Kegel folgende optimale Größen h D q V r 2

V und Radius r D 3 2 . Wie verhält sich die Höhe h zum Durchmesser d D 2r des Grundkreises?

1

10

1

Kapitel 1  Elementare Rechenoperationen

Bildet man das Verhältnis h=d , so erhält man: V p 2 V 3 V  V V h 2 2 r q D q D q  q D q q q  D   2 d V V V V V V V 3 2  3 2 2  3 2 2  3 2  3 2 2  3 2  3 2  3 2

Wir fassen die dritten Wurzeln zusammen nach der Beziehung p p p p p p 3 3 a2  3 a D 3 a  a  3 a D 3 a  a  a D a3 D a oder p 3

a2 

p p p 3 3 3 a D a2  a1 D a3 D a

und erhalten h V  2 V D 2V D D1W1 d 2  V 2 d. h. Durchmesser d und Höhe h müssen gleich sein. 1 Logarithmen

Für das Rechnen mit Logarithmen benötigen wir folgende Logarithmengesetze, die sich aus den Potenzgesetzen ergeben.

logc .a  b/ D logc a C logc b logc an D n  logc a

a

D logc a  logc b b p  1 logc n a D  logc n logc

Diese Logaritmengesetze gelten für alle Logarithmensysteme

1.2.9

Berechnen Sie die Summe folgender Logarithmen ln e4 C lg 0;001 C lb 32 C log3 81

1. Wir haben es hier mit Logarithmen aus verschiedenen Logarithmensystemen zu tun. Da mit dem Taschenrechner üblicherweise nur Zehnerlogarithmen (lg . . . ) und natürliche Logarithmen (ln . . . ) berechenbar sind, müssen Logarithmen mit einer anderen Basis in diese Logarithmensysteme umgerechnet werden entsprechend der Beziehung

loga x D

lg x lg a

oder

loga x D

ln x ln a

11 1.2  Potenzen, Wurzeln und Logarithmen

Damit erhalten wir folgende Umformung lg 32 lg 81 C lg 2 lg 3 1;50515 1;908485 D43C C 0;30103 0;477121 D 4  3 C 5 C 4 D 10

ln e 4 C lg 0;001 C lb 32 C log3 81 D ln e 4 C lg 0;001 C

2. Einfacher kommen wir in diesem Fall zum Ergebnis, wenn die Argumente der Logarithmen als Potenzen geschrieben werden. Mit Anwendung der Logarithmengesetze ln e D n ergibt sich: lg an D n  lg a und ln en D n  „ƒ‚… 1

ln e4 C lg 0;001 C lb 32 C log3 81 D loge .e/4 C log10 .10/3 C log2 .2/5 C log3 .3/4 D 4  „ƒ‚… ln e C .3/  lg 10 C 5  log2 2 C 4  log3 3 D 4  3 C 5 C 4 D 10 „ƒ‚… „ƒ‚… „ƒ‚… 1

1

1

1

1.2.10

Vereinfachen Sie folgenden Term s lg

p 3

4

16  x 4 

p 3

y1

!

.y  1/3  .y 2  2y C 1/

Wir wandeln zunächst die Wurzeln in Potenzen um. s lg

16  x 4 

p 3

y 1

!

1

16  x 4  .y  1/ 3

! 14

D lg p 1 3 .y  1/3  .y 2  2y C 1/ ..y  1/3  .y  1/2 / 3 ! 14 1 16  x 4  .y  1/ 3 D lg 5 .y  1/ 3  1 1 5 D  lg 16 C 4  lg x C  lg.y  1/   lg.y  1/ 4 3 3  1 4 D  4  lg 2 C 4  lg x   lg.y  1/ 4 3 1 D lg 2 C lg x   lg.y  1/ 3 1 2x D lg 2 C lg x  lg.y  1/ 3 D lg p 3 .y  1/ 4

Anmerkung lg.ab/ ¤ lg alg b (ein häufiger Fehler!), denn lg alg b D lg ab , d. h. lg.y 1/ kann nicht weiter umgeformt werden.

1

12

1

Kapitel 1  Elementare Rechenoperationen

1.2.11

Vereinfachen Sie folgenden Term 0 B lg @ q 4

p 4

r

a  .a  c/

b2 

1 .ac/.a2 2acCc 2 /



1 b 1 C A a

Wir wandeln wiederum die Wurzeln in Potenzen um. 1 0 0 1 r p 1  1  12 4 1 b .a  .a  c// 4 a  .a  c/ b C B A   lg @ q A D lg @ 1 1 a a 2  .a  c/3 / 4 4 .b b 2  .ac/.a2 2acCc 2/ !   1 1 1 .a  c/ a 4  .a  c/ 4  b  2 D lg D lg 1 3 1 1 b 2  .a  c/ 4  a 2 b  a4 ac p D lg b 4a Anmerkung Der Bruchterm könnte auch auf folgende Weise umgeformt werden. p 4 q 4

b2 

a  .a  c/ 1 .ac/.a2 2acCc 2 /

r 

v r r r u 4 u a  .a  c/ b 1 1 1 4 a  .a  c/ 4 t  D D 2 b2 a a  b b a b 2 .ac/.ac/ 1

1

2

1

1

D .a  c/  a 4  a 2  b  4  b  2 D .a  c/  a 4  b 1 D

ac p b 4a

1.2.12

Der Schweredruck unserer Luft berechnet sich unter der Voraussetzung, dass in jeder Höhe die gleiche Temperatur herrscht, nach der barometrischen Höhenformel 

p D p0  e

0 g p0 h

Dabei ist für eine Lufttemperatur #0 D 0 ı C der Druck p0 D 1;01325  105 Pa und 0 D 1;293 mkg3 . In welcher Höhe h ist der Luftdruck nur noch halb so groß?

Um den Potenzterm zu isolieren, bringen wir den Faktor p0 auf die linke Seite der Glei g  0 h chung: pp0 D e p0 . Um die Höhe h berechnen zu können, logarithmieren wir jede Seite der Gleichung mit dem natürlichen Logarithmus, da wir die Grundzahl e haben.

13 1.2  Potenzen, Wurzeln und Logarithmen

Denn es gilt ln ea D a  „ƒ‚… ln e D a. 1

 ln hD

   0 g h  p 0  g h D D ln e p0 p0 p0   ln pp0  p0 g 0

1;293

kg

9;81 m

4 1 m3 s2 Mit den Zahlenwerten ist der Exponent p0 g D 1;0132510 m . 5 Pa D 1;2518  10 0 p 1 Ist der Luftdruck nur noch halb so groß, so ist p0 D 2 . Daraus ergibt sich

ln 12 D 5537 m 1;2518  104 m1 h  5;5 km

hD

1

15

Algebraische Gleichungen Inhaltsverzeichnis 2.1

Lineare Gleichungen – 16

2.2

Quadratische Gleichungen – 26

2.3

Wurzelgleichungen – 33

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2020 H. Rapp, J.M. Rapp, Übungsbuch Mathematik für Fachschule Technik und Berufskolleg, https://doi.org/10.1007/978-3-658-31108-7_2

2

16

Kapitel 2  Algebraische Gleichungen

2.1

2

Lineare Gleichungen

> Lehrbuch Abschn. 6.1–6.5 2.1.1

Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Gleichung 3x C 5 4  3x 2x  1 2x  5  D  7 14 14 21

Wir machen die Brüche gleichnamig und multiplizieren die Gleichung mit dem Hauptnenner. 3  2  .2x  1/ 3  .2x  5/ 3  .3x C 5/ 2  .4  3x/  D  327 3  14 3  14 2  21 6  .2x  1/  3  .2x  5/ D 3  .3x C 5/  2  .4  3x/ 12x  6  6x C 15 D 9x C 15  8 C 6x 6x C 9 D 15x C 7 2 D 9x 2

9  2 LD 9 xD

2.1.2

Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Gleichung 2ax  4a2  3x C 12a D 9c c

Wir multiplizieren die Gleichung mit c und erhalten 2ax  4a2  3cx C 12ac D 9c 2 2ax  3cx D 4a2  12ac C 9c 2 x  .2a  3c/ D 4a2  12ac C 9c 2 xD

.2a  3c/2 D 2a  3c 2a  3c L D f2a  3cg

17 2.1  Lineare Gleichungen

2.1.3

Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Gleichung   1 a 1 3x p C1 C  Dx 2 a 2 a 2

  1 3x p C1 D x 2 a 2   3 1 x  p 1 D 2 a 2   1 1  p x D 2 a 2 ! p 2 a 2 p  p D x 2a 2 2a 2 p .a2  2/  2a 2 p D xD 2a  .a 2  2/ p L D fa C 2g

a 1  2 a aa 2  2a 2a a2  2 2a a2  2 2a p p p p .a  2/.a C 2/  2a 2 p p DaC 2 2a  2  .a  2/

2.1.4*

Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Gleichung 3 9 2 C D 2 x1 xC1 x 1

Gleichungen, bei denen die Variable im Nenner vorkommt, werden Bruchgleichungen genannt. Bei diesen Gleichungen ist zu prüfen, für welche Werte ein Nenner Null werden kann. Diese Zahlenwerte können nicht Lösung sein, denn sie gehören nicht zur Definitionsmenge D. Zur Bestimmung der Definitionsmenge D setzen wir der Reihe nach die einzelnen Nenner Null und erhalten x D 1 und x D 1. Damit lautet die Definitionsmenge D D R n f1I 1g Die Gleichung lösen wir, indem wir die Brüche durch Erweitern alle auf den gleichen Nenner – den Hauptnenner – bringen und die ganze Gleichung mit diesem Nenner durchmultiplizieren. Anmerkung Bei der Berechnung des Hauptnenners genügt es, das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) zu nehmen. Faktoren, die mehrfach vorkommen, werden nur einmal berücksichtigt. So sind in unserem Beispiel die Faktoren (x  1) und (x C 1) in (x 2  1) enthalten, so dass wir als Hauptnenner (x  1)(x C 1) oder x 2  1 wählen und nicht etwa (x  1)(x C 1)(x 2  1). 2  .x C 1/ 3  .x  1/ 9 C D 2 .x  1/.x C 1/ .x C 1/.x  1/ x 1

2

18

Kapitel 2  Algebraische Gleichungen

Die Multiplikation mit dem Hauptnenner führt zu der Gleichung

2

2  .x C 1/ C 3  .x  1/ D 9 2x C 2 C 3x  3 D 9 5x D 10 oder x D 2 L D f2g 2.1.5*

Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Gleichung 1 1 2 C D xC1 1x x

Definitionsmenge D D R n f1I 0I 1g Wir machen die Gleichung bruchfrei, indem wir die Brüche wieder gleichnamig machen und die Gleichung mit dem Hauptnenner .x C 1/  .1  x/  x multiplizieren. 2  .1  x/  x 1  .x C 1/  x 1  .x C 1/.1  x/ C D .x C 1/.1  x/  x .1  x/.x C 1/  x x.x C 1/.1  x/ 2  .1  x/  x C 1  .x C 1/  x D 1  .x C 1/.1  x/ 2x  2x 2 C x 2 C x D 1  x 2 1

3  1 LD 3

3x D 1 oder x D

2.1.6*

Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Gleichung 3 2 2x C 1  C 2 D0 x1 x3 x  4x C 3

Definitionsmenge D D R n f1I 3g 3.x  3/ 2.x  1/ 2x C 1  C 2 D0 .x  1/.x  3/ .x  3/.x  1/ x  4x C 3 Da .x  1/.x  3/ D x 2  4x C 3 ist, ist dies gleichzeitig der Hauptnenner. Wir multiplizieren mit dem Hauptnenner und erhalten 3x  9  2x C 2 C 2x C 1 D 0 oder 3x  6 D 0I x D 2 L D f2g

19 2.1  Lineare Gleichungen

2.1.7*

Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Gleichung 2.x  1/ 3.x  1/ 1  D x  2 .x  2/.x  4/ .1  x/.x  4/

Definitionsmenge D D R n f1I 2I 4g 1. Lösungsweg 1 2.x  1/ 3.x  1/ D C x 2 .x  2/.x  4/ .x  1/.x  4/ Wir kürzen den letzten Bruchterm mit .x  1/ und erweitern mit .x  2/: 1 2.x  1/ 3.x  2/ D  x 2 .x  2/.x  4/ .x  2/.x  4/ 1 2.x  1/  3.x  2/ 2x  2  3x C 6 D D x 2 .x  2/.x  4/ .x  2/.x  4/ 1 x C 4 .x  4/ D D x 2 .x  2/.x  4/ .x  2/.x  4/ 1 1 Nach dem Kürzen mit .x  4/ ergibt sich: x2 D  x2 ! Widerspruch, d. h. L D f g. Von hier ab könnte die Gleichung aber auch noch weiter bearbeitet werden über einen 2. Lösungsweg „Über Kreuz multiplizieren“

1 1 D x 2 x2 x  2 D x C 2 x D 2 … D; d. h. L D f g 3. Lösungsweg 1  .x  4/ 2.x  1/ 3.x  1/  D .x  2/.x  4/ .x  2/.x  4/ .1  x/.x  4/ x  4  2x C 2 3.x  1/ D .x  2/.x  4/ .x  1/.x  4/ x  2 3.x  2/ D .x  2/.x  4/ .x  2/.x  4/ x  2 D 3x C 6 oder 2x D 8 x D 4 … D; d. h. L D f g

2

20

Kapitel 2  Algebraische Gleichungen

2.1.8*

2

Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Gleichung 4 4 9 9  C D x  11 x  13 x4 x7

Definitionsmenge D D R n f4I 7I 11I 13g Bei 4 verschiedenen Nennern fassen wir jeweils 2 Bruchterme auf jeder Seite der Gleichung zusammen, um die Berechnung etwas zu vereinfachen: 4.x  11/ 4.x  7/ 9.x  13/ 9.x  4/ C D C .x  11/.x  4/ .x  4/.x  11/ .x  13/.x  7/ .x  7/.x  13/ 9x  36 C 4x  44 4x  28 C 9x  117 D 2 x  15x C 44 x 2  20x C 91 .13x  80/.x 2  20x C 91/ D „ ƒ‚ … 13x 3 260x 2 C1391x80x 2 C1600x7280

.13x  145/.x 2  15x C 44/ „ ƒ‚ … 13x 3 1315x 2 C13x44145x 2 C15145x44145

340x C 2783x  7280 D 340x 2 C 2747x  6380 2

36x D 900I

x D 25

L D f25g 2.1.9

Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Gleichung 5x  1 7.25  10x C x 2 / 3x  2  D 6x  6 3x C 3 6  6x 2

Definitionsmenge D D R n f1I 1g 3x  2 5x  1 7.25  10x C x 2 /  D 6.x  1/ 3.x C 1/ 6.1  x 2 /  .1/ .3x  2/.x C 1/ .5x  1/  2.x  1/ 7.25  10x C x 2 /  D 6.x  1/.x C 1/ 3.x C 1/  2.x  1/ 6.x 2  1/ .3x  2/.x C 1/  .5x  1/  2.x  1/ D 7.25  10x C x 2 / 3x 2  2x C 3x  2  .10x 2  2x  10x C 2/ D 175 C 70x  7x 2 70x  13x D 175  4 57x D 171I L D f3g

xD3

21 2.1  Lineare Gleichungen

2.1.10*

Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Gleichung 2x  1 x4 5x 2  x D  3x 2  11x C 6 x3 3x  2

 2 Definitionsmenge D D R n 3I 3 5x 2  x .2x  1/.3x  2/ .x  4/.x  3/ D  2 3x  11x C 6 .x  3/.3x  2/ .3x  2/.x  3/ 5x 2  x D .2x  1/.3x  2/  .x  4/.x  3/ 5x 2  x D 6x 2  3x  4x C 2  .x 2  4x  3x C 12/ 5x 2  x D 5x 2  7x C 2 C 7x  12 x D 10I

L D f10g

2.1.11*

Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Gleichung 5.2x C 3/ 3x  1 6 C 5D xC1 2x  3 2x 2  x  3



3 Definitionsmenge D D R n 1I 2



6.2x  3/ 5.2x C 3/.x C 1/ 2x 2  x  3 3x  1 C 5 2 D .x C 1/.2x  3/ .2x  3/.x C 1/ 2x  x  3 2x 2  x  3 6.2x  3/ C 5.2x C 3/.x C 1/  5.2x 2  x  3/ D 3x  1 12x  18 C 10x 2 C 25x C 15  10x 2 C 5x C 15 D 3x  1 39x D 13I

 1 LD  3

xD

1 3

2

22

Kapitel 2  Algebraische Gleichungen

2.1.12*

2

Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Gleichung   4 3x 2  8 3x 4x 3x C 4 C D C 2 3x  4 9x  16 3x  4 3x C 4

 4 4 Definitionsmenge D D R n  I 3 3 .3x C 4/.3x C 4/ 4.3x 2  8/ 3x.3x C 4/ 4x.3x  4/ C D C 2 .3x  4/.3x C 4/ 9x  16 .3x  4/.3x C 4/ .3x C 4/.3x  4/ .3x C 4/.3x C 4/ C 4.3x 2  8/ D 3x.3x C 4/ C 4x.3x  4/ 9x 2 C 24x C 16 C 12x 2  32 D 9x 2 C 12x C 12x 2  16x 28x D 16I

 4 LD 7

xD

4 7

2.1.13*

Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Gleichung 2D

35  15 C

8 x 16 x

Definitionsmenge D D R n f0g Durch Erweitern mit x beseitigen wir die Doppelbrüche:   35  x8  x  2D  15 C 16 x x 35x  8 2D 15x C 16 2.15x C 16/ D 35x  8 30x C 32 D 35x  8 5x D 40I x D 8 L D f8g

23 2.1  Lineare Gleichungen

2.1.14*

Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Gleichung 3.3x1/ 11 6xC1 5

3 5

D

 1 Definitionsmenge D D R n  6 5  3  .3x  1/ 3  .6x C 1/ D 11 5 Nach Kürzen durch 3 und „Über-Kreuz-Multiplizieren“: 25  .3x  1/ D 11  .6x C 1/ 75x  25 D 66x C 11I 9x D 36I x D 4I

L D f4g

2.1.15

Berechnen Sie z1 aus iD

1 1C

z1 z3

I

z3 ¤ 0

1  z3 z3 D z1 .1 C z3 /  z3 z1 C z3 z3 z3 i  .z1 C z3 / D z3 I z1 C z3 D I z1 D  z3 i  i   1 1i z1 D z3  1 D z3 i i iD

2.1.16

Berechnen Sie x aus a x

Ca b x

D

1 I a

x¤0

a 1 b Ca D  I x a x xD

aa a  ax b C D I ax ax ax

b b  a2 D 2 1 2 a a

a2 C a2 x D b

2

24

Kapitel 2  Algebraische Gleichungen

2.1.17*

2

Berechnen Sie x aus vx ux D u2 C v 2  uCv uv

ux vx C D u2 C v 2 uCv uv ux.u  v/ vx.u C v/ C D u2 C v 2 .u C v/.u  v/ .u  v/.u C v/ x  .u2  uv C vu C v 2 / D .u2 C v 2 /.u2  v 2 / x  .u2 C v 2 / D .u2 C v 2 /.u2  v 2 / x D u2  v 2 2.1.18*

Berechnen Sie R1 und R2 aus UR1 I   R1 R2 R1 C R2 R1 C R2

U1 D

U1 D

UR1  I  R1 R2 R1 C R2

U1 .R1 C R2 / D UR1  I  R1 R2 U1 R1  UR1 C I  R1 R2 D U1 R2

U1 R2 C I  R1 R2 D UR1  U1 R1

R1 .U1  U C I  R2 / D U1 R2

R2 .U1 C I  R1 / D UR1  U1 R1

R1 D

U1 R2 U1 R2 D U1  U C I  R2 U  U1  I  R2

2.1.19

Berechnen Sie t1 aus t  t1 C t  t2 D 2t1  t2

t  t1  2t1  t2 D t  t2 I t1 D

t  t2 t  t2 D t  2t2 2t2  t

t1 .t  2t2 / D t  t2

R2 D

R1 .U  U1  1/ U1 C R1

25 2.1  Lineare Gleichungen

2.1.20

Berechnen Sie sin ˛2 aus   1 d P DaC  1C 2 sin ˛2

  d 1 1 2.P  a/  1C D1C I ˛ 2 sin 2 d sin ˛2 2.P  a/ 1  d 2.P  a/  d 1 1 I  D D d d sin ˛2 d sin ˛2 ˛ d sin D 2 2.P  a/  d P a D

2.1.21

Berechnen Sie  aus   2xy F x2  .1  /  D .1  /  2 4h x C y2 .x 2 C y 2 /2

4h 2xy x2  .1  /  2 D .1  /  2 2 F x Cy .x C y 2 /2 4h   4h   D1 D1 x2 x 2 .x 2 Cy 2 /2xy 2xy F  x 2 Cy 2  .x 2 Cy 2 /2 F .x 2 Cy 2 /2 D1

4h    .x 2 C y 2 /2 F  .x 2 .x 2 C y 2 /  2xy/

2.1.22

Berechnen Sie am aus D

b a1 C a C

˝k am

  ˝k   a1 C a C Db am ˝k Db a1 C a C am ˝k D b  a1  a am ˝k am D b  a1  a

2

26

Kapitel 2  Algebraische Gleichungen

2.2

2

Quadratische Gleichungen

> Lehrbuch Abschn. 6.8

Wir unterscheiden zwischen drei Arten von quadratischen Gleichungen.

1) x 2 C px D 0 (defektquadratische Gleichung): Lösung durch Ausklammern von x und Nullsetzen der Faktoren x  .x C p/ D 0 ! x D 0 _ x D p 2) x 2  q D 0 (reinquadratische Gleichung): Lösung durch Faktorisieren oder Radizieren: x 2 D qI

p

x2 D

p

p x1=2 D ˙ q

qI

jxj D

p q

3) x 2 C px C q D 0 (allgemeine quadrat. Gleichung): Lösung mit Hilfe der „Lösungsformel“ x1=2

p D ˙ 2

r  p 2 2

q

2.2.1

Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Gleichung 9x 2  108x D 0

x  .9x  108/ D 0 Das Nullsetzen der Faktoren führt zu den Ergebnissen: x1 D 0 _ x2 D 12; L D f0I 12g 2.2.2*

Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Gleichung 9x 2 D 72

27 2.2  Quadratische Gleichungen

72 9x 2 D 72I x 2 D D 8I p p9 p x1=2 D ˙ 8 D ˙ 4  2 D ˙2 2 p p L D f2 2I 2 2g 2.2.3*

Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Gleichung 66 2 D 2 11 x C2

Das Kürzen durch den Faktor 2 und das „Überkreuz-Multiplizieren“, das der Multiplikation mit dem Hauptnenner entspricht, führt zu dem Ergebnis x 2 C 2 D 11  33I x 2 D 363  2 D 361I p x1=2 D ˙ 361 D ˙19 L D f19I 19g 2.2.4*

Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Gleichung .x C 2/2 D 169

Wir ziehen auf jeder Seite der Gleichung die Wurzel und erhalten p

p .x C 2/2 D 169 jx C 2j D 13 ˙.x C 2/ D 13 oder x C 2 D ˙13I x1 D 13  2 D 15I x2 D C13  2 D 11

L D f15I 11g 2.2.5*

Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Gleichung 5x 2 C 10x D 40

2

28

Kapitel 2  Algebraische Gleichungen

5x 2 C 10x D 40 j W 5 x 2 C 2x  8 D 0

2

x1=2 D 1 ˙

p 1 C 8 D 1 ˙ 3

L D f2I 4g 2.2.6*

Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Gleichung 3x 2 C 9x  12 D 0

3x 2 C 9x  12 D 0 j W 3 x 2 C 3x  4 D 0 x1=2 L D f1I 4g

3 D ˙ 2

r

9 3 C4D ˙ 4 2

r

2.2.7*

Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Gleichung .x  7/2 D 4x  7

x 2  14x C 49 D 4x  7 x 2  18x C 56 D 0 x1=2 D 9 ˙

p

81  56 D 9 ˙ 5

L D f4I 14g 2.2.8*

Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Gleichung x 2  4;26x C 0;5369 D 0

p x1=2 D 2;13 ˙ 2;132  0;5369 D 2;13 ˙ 2 L D f0;13I 4;13g

9 44 3 5 C D ˙ I 4 4 2 2

29 2.2  Quadratische Gleichungen

2.2.9*

Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Gleichung 3;5x 2 D 8;91x 2  5;41x  10;82

5;41x 2  5;41x  10;82 D 0 j W 5;41 r

1 ˙ 2 L D f1I 2g

x1=2 D

x2  x  2 D 0 r 1 1 1 24 1 3 C2D ˙ C D ˙ 4 2 4 4 2 2

2.2.10

Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Gleichung     3 16;17 C 2 C 6;93 x  6;93x  D 2;31x 2  x x

    3 16;17 2 x  6;93x  D 2;31x  C 2 C 6;93 x 2 6;93x 2  16;17 D 6;93x C 4;62x 2 C 6;93 2;31x 2  6;93x  23;1 D 0 j W 2;31 x 2  3x  10 D 0 r r 9 9 3 3 10  4 3 7 x1=2 D ˙ C 10 D ˙ C D ˙ 2 4 2 4 4 2 2 L D f2I 5g 2.2.11*

Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Gleichung 35 7x D 13x  280 x  13



280 D DRn I 13 13



2

30

Kapitel 2  Algebraische Gleichungen

7x 35 D 13x  280 x  13 7x 2  91x D 455x  9800

2

7x 2  546x C 9800 D 0 j W 7

x1=2

x 2  78x C 1400 D 0 p p D 39 ˙ 392  1400 D 39 ˙ 121 D 39 ˙ 11

L D f28I 50g 2.2.12*

Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Gleichung a.48  a/ 7 x.x  50/ C D 7.x C a/ 7x C 7a aCx

x.x  50/ a.48  a/ 7 C D 7.x C a/ 7x C 7a aCx x 2  50x C 48a  a2 D 49

x1=2

j  7.x C a/

x 2  50x C 48a  a2 C 49 D 0 p p D 25 ˙ 252 C a2  48a  49 D 25 ˙ 576  48a C a2 p x1=2 D 25 ˙ .24  a/2 D 25 ˙ .24  a/

L D f.1 C a/I .49  a/g 2.2.13*

Lösen Sie die folgende Gleichung nach d auf xD

D 2  d 2 C a2 4.D  d /

D 2  d 2 C a2 4.D  d / 2 4xD  4xd D D  d 2 C a2 xD

d 2  4xd C 4xD  D 2  a2 D 0 p d1=2 D 2x ˙ 4x 2 C D 2 C a2  4xD

j  4.D  d /

31 2.2  Quadratische Gleichungen

2.2.14*

Lösen Sie die folgende Gleichung nach dwg auf Lw D 2e C 1;57.dwg C dwv / C

.dwg C dwv /2 4e

.dwg C dwv /2 j  4e 4e 2 2 C 2dwv dwg C dwv 4eLw  8e 2 D 6;28e  dwg C 6;28e  dwv C dwg Lw D 2e C 1;57.dwg C dwv / C

2 2 dwg C .6;28e C 2dwv /dwg C 8e 2  4eLw C dwv D0 q 2 .dwg /1=2 D .3;14e C dwv / ˙ .3;14e C dwv /2 C 4eLw  8e 2  dvw

2.2.15*

Lösen Sie die folgende Gleichung nach tan  auf yM D

T 4



 u 1 1  tan  C tan  C tan  8 tan 

yM

T D 4



 1 u 1  tan  C tan  C tan  8 tan 

j  8  tan 

8yM  tan  D 2T  2T  tan2  C u  tan2  C u .2T  u/  tan2  C 8yM  tan   2T  u D 0 8yM 2T C u  tan   D0 tan2  C 2T  u s 2T  u 2  4yM 4yM 2T C u .tan /1=2 D C ˙ u  2T u  2T 2T  u 2.2.16*

Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Gleichung x 4  8x 2 C 7 D 0

Dies ist eine biquadratische Gleichung. Sie lässt sich aber durch die Substitution u D x 2 in eine quadratische Gleichung umformen, die wir mit der Lösungsformel lösen können. .x 2 /1=2 D 4 ˙

p 16  7 D 4 ˙ 3

2

32

Kapitel 2  Algebraische Gleichungen

Wir erhalten als Zwischenergebnis zwei quadratische Gleichungen. Aus x 2 D 4  3 D 1 erhalten wir x1 Dp1 _ x2 D 1. p Aus x 2 D 4C3 D 7 erhalten wir x3 D 7_x4 D  7. Damit ist die Lösungsmenge

2

p  p ˚ L D 1I 1I 7I  7 2.2.17*

Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Gleichung 5x 4  30x 2 C 25 D 0

5x 4  30x 2 C 25 D 0 j W 5 x 4  6x 2 C 5 D 0 p .x 2 /1=2 D 3 ˙ 9  5 D 3 ˙ 2

p x1=2 D ˙1 oder x3=4 D ˙ 5 p p  ˚ L D 1I 1I 5I  5 2.2.18*

Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Gleichung x2 C

15  16 D 0I x2

x¤0

15  16 D 0 j  x 2 x2 x 4 C 15  16x 2 D 0 x 4  16x 2 C 15 D 0 p .x 2 /1=2 D 8 ˙ 64  15 D 8 ˙ 7 p x1=2 D ˙1 oder x3=4 D ˙ 15 n p o p L D 1I 1I 15I  15 x2 C

2.2.19*

Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Gleichung x2 C

36 D 13I x2

x¤0

33 2.3  Wurzelgleichungen

36 D 13 x2 x 4  13x 2 C 36 D 0 x2 C

.x 2 /1=2 D 6;5 ˙

p p 42;25  36 D 6;5 ˙ 6;25 D 6;5 ˙ 2;5

L D f2I 2I 3I 3g 2.2.20*

Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Gleichung 5;3x 2 C

63;6 D 42;4I x2

5;3x 2 C

x¤0

ˇ x2 63;6 ˇ D 42;4 ˇ  x2 5;3

x 4  8x 2 C 12 D 0I .x 2 /1=2 D 4 ˙ np p p p o LD 2I  2I 6I  6

2.3

p

16  12 D 4 ˙ 2

Wurzelgleichungen

> Lehrbuch Abschn. 6.9

1. Quadratwurzeln werden durch Quadrieren eliminiert. Deshalb ist es zweckmäßig, vor dem Quadrieren eine Wurzel zu isolieren, weil sonst bei der Anwendung der binomip p schen Formel . a C b/2 D a C 2b a C b 2 wieder ein Wurzelterm entsteht. Dieses Isolieren einer Wurzel auf einer Seite kann beibehalten werden bis zu Wurzelgleichungen mit maximal 3 Wurzeltermen. 2. Bei 4 Wurzeltermen ist es zunächst zweckmäßiger 2 Wurzelterme auf jeder Seite zu quadrieren und anschließend so zu verfahren wie nach 1), da bei jedem Quadrieren die Potenzen höher werden. 3. Kommen unter der Wurzel schon quadratische oder höhere Potenzterme vor, ist es zweckmäßig, die Wurzeln auf andere Weise zu eliminieren. 4. Da das Quadrieren eine nichtäquivalente Umformung ist, genügt es für die Bestimmung der Lösungsmenge nicht, nur die Definitionsmenge heranzuziehen. Die Lösungen müssen in die Ausgangsgleichung eingesetzt werden und eine wahre Aussage ergeben. Diese Probe ist deshalb immer erforderlich.

2

34

Kapitel 2  Algebraische Gleichungen

2.3.1*

2

Bestimmen Sie die Definitions- und Lösungsmenge der Gleichung p

3x  2 D x  2

Quadratwurzeln sind im Reellen (G D R) für negative Radikanden nicht definiert, deshalb muss der Radikand 3x  2  0 oder x  23 sein (vgl. Kapitel über Ungleichungen!).  ˚ Damit ist die Definitionsmenge D D x j x  23 . Die Quadratwurzel lässt sich beseitigen, indem man sie auf einer Seite isoliert und die ganze Gleichung quadriert. p . 3x  2/2 D .x  2/2 3x  2 D x 2  4x C 4 x 2  7x C 6 D 0

r 49 6  4 7 7 5 x1=2 D ˙  D ˙ 2 4 4 2 2 x1 D 1 _ x2 D 6

Beide Werte gehören zur Definitionsmenge. Da aber das Quadrieren keine Äquivalenzumformung ist, können durch das Quadrieren Lösungen hinzugekommen sein, die nicht Lösung der Wurzelgleichung sind. Wir müssen deshalb zur Kontrolle die erhaltenen Werte in die Ausgangsgleichung einsetzen. Die Probe ergibt folgendes Ergebnis: p 3  1  2 D 1  2 oder 1 D 1 .f/; d. h. dies ist keine Lösung x1 D 1W p 3  6  2 D 6  2 oder 4 D 4 .w/; d. h. dies ist eine Lösung x2 D 6W Lösungsmenge: L D f6g 2.3.2*

Bestimmen Sie die Definitions- und Lösungsmenge der Gleichung q p 9 C 8 2x  2 D 5

Definitionsmenge D D fx j x  1g q 2 p 9 C 8 2x  2 D 25 p 9 C 8 2x  2 D 25 p p 2x  2 D 2 8 2x  2 D 16 oder 2x  2 D 4 oder x D 3 L D f3g

35 2.3  Wurzelgleichungen

2.3.3*

Bestimmen Sie die Definitions- und Lösungsmenge der Gleichung 2C

p

2x  3 D

p

3x C 7

Hier treten zwei Wurzelterme auf. Die erste Wurzel ist definiert für D1 D fx j x  32 g, die zweite Wurzel für D2 D fx j x   73 g. Damit ist die Definitionsmenge der gesamten Wurzelgleichung D D fx j x  32 g. Dies ist die Schnittmenge von D1 und D2 . .2 C

p

p 2x  3/2 D . 3x C 7/2

p 4 C 4 2x  3 C 2x  3 D 3x C 7 p 4 2x  3 D x C 6

16.2x  3/ D x 2 C 12x C 36 x 2  20x C 84 D 0

Probe: x1 D 6W x2 D 14W

p x1=2 D 10 ˙ 100  84 D 10 ˙ 4 x1 D 6 _ x2 D 14 p p 2C 263D 36C7 oder 5 D 5 .w/ p p 2 C 2  14  3 D 3  14 C 7 oder 7 D 7 .w/

L D f6I 14g 2.3.4*

Bestimmen Sie die Definitions- und Lösungsmenge der Gleichung p p p 2 x C 8 D x  4 C 2 2x  7

Die Definitionsmengen der drei Wurzelterme sind D1 D fx j x  8g, D2 D fx j x  4g, D3 D fx j x  72 g. Damit ist die Definitionsmenge der Wurzelgleichung D D fx j x  4g. p p p .2 x C 8/2 D . x  4 C 2 2x  7/2 p p 4.x C 8/ D x  4 C 4 x  4  2x  7 C 4.2x  7/ p 4x C 32 D x  4 C 4 .x  4/.2x  7/ C 8x  28 p 64  5x D 4 2x 2  15x C 28 4096  640x C 25x 2 D 16.2x 2  15x C 28/ 7x 2 C 400x  3648 D 0 400 3648 x D0 x2 C 7 7

2

36

2

Kapitel 2  Algebraische Gleichungen

456 x1 D 8 _ x2 D  …D p p7 p Probe: 2 8 C 8 D 8  4 C 2 2  8  7 oder 8 D 8 .w/ L D f8g 2.3.5*

Bestimmen Sie die Definitions- und Lösungsmenge der Gleichung p

xC4

p

2x  6 D

p

2x  1 

p

x1

Die Definitionsmengen der 4 Wurzelterme sind D1 D fx j x  4g; D2 D fx j x  3g;

ˇ  1 ˇ D3 D x ˇ x  ; D4 D fx j x  1g: 2 Damit ist die Definitionsmenge der Wurzelgleichung D D fx j x  3g. p p x C 4 C 2x  6  2 .x C 4/.2x  6/ D 2x  1 C x  1  2 .2x  1/.x  1/ Nach Division durch .2/: p p .x C 4/.2x  6/ D .2x  1/.x  1/ p p 2x 2 C 2x  24 D 2x 2  3x C 1

Probe:

p

5x D 25 oder x D 5 p p p 5 C 4  2  5  6 D 2  5  1  5  1 oder 1 D 1 .w/

L D f5g 2.3.6*

Bestimmen Sie die Definitions- und Lösungsmenge der Gleichung p

3x C 7 C

p

5x C 1 D

p

3x  5 C

p

5x C 21

Die Definitionsmengen der 4 Wurzelterme sind

ˇ   7 1 ˇ D1 D x j x   ; D2 D x ˇ x   ; 3 5

ˇ

ˇ   5 21 ˇ ˇ D3 D x ˇ x  ; D4 D x ˇ x   : 3 5

37 2.3  Wurzelgleichungen

 ˚ Damit ist die Definitionsmenge der Wurzelgleichung D D x j x  53 . p p 3x C 7 C 5x C 1 C 2 .3x C 7/.5x C 1/ D 3x  5 C 5x C 21 C 2 .3x  5/.5x C 21/ p p 2 15x 2 C 38x C 7 D 8 C 2 15x 2 C 38x  105 p p 15x 2 C 38x C 7 D 4 C 15x 2 C 38x  105 p 15x 2 C 38x C 7 D 16 C 15x 2 C 38x  105 C 8 15x 2 C 38x  105 p 12 D 15x 2 C 38x  105

s

144 D 15x 2 C 38x  105 38 83 0 D x2 C x  15 5

 19 2 83  45 19 64 C D ˙ 15 5  45 15 15 83 …D x1 D 3 _ x2 D  15 p p p p 3  3 C 7 C 5  3 C 1 D 3  3  5 C 5  3 C 21 oder 8 D 8 .w/ Probe: L D f3g x1=2

19 D ˙ 15



2.3.7

Bestimmen Sie die Definitions- und Lösungsmenge der Gleichung p

p x2  2 C

2 D x

p x 3

2

I

x¤0

n p p o D D xjx  2 _ x   2 p p p p 2 3 2 2 2 2 x 2D  D x x x 8 2 4 x  2 D 2 oder x  2x 2  8 D 0 x p .x 2 /1=2 D 1 ˙ 1 C 8 D 1 ˙ 3 x 2 D 4I

x1 D 2 _ x2 D 2

x D 2 (keine reellen Lösungen) p p p p p p 2 2 2 3 2 Probe: x1 D 2W 42C 2C D 2 I D .w/ 2 2 2 3 p p p p p p 2 2 3 2 3 2 42C 2 x2 D 2W D I D .f/ 2 2 2 2 L D f2g 2

2

38

Kapitel 2  Algebraische Gleichungen

2.3.8

2

Bestimmen Sie die Definitions- und Lösungsmenge des Gleichungssystems p

25  x 2 C x D 6 p x 25  x 2 D 9

.1/ .2/

D D fx j jxj  5g Die Wurzeln lassen sich bei diesem Gleichungssystem mit Hilfe des Additionsverfahrens (vgl. Kapitel über Gleichungssysteme!) beseitigen. Dazu muss die Gleichung (1) zuvor mit (x) multipliziert werden. p 25  x 2 C x p x 25  x 2 p x 25  x 2  x 2 p x 25  x 2 .10 / C .2/W

D6 D9

.1/ .2/

D 6x D9

.10 / .2/

j  .x/

x 2 D 6x C 9 oder x 2  6x C 9 D 0

p Dies ergibt die Lösungen x1=2 D 3 ˙ 9  9 D 3. Die Probe ist für beide Gleichungen erfüllt, damit erhalten wir die Lösungsmenge L D f3g 2.3.9

Bestimmen Sie die Definitions- und Lösungsmenge der Gleichung 1 1 8 Cp D 2 x 15 34  x

D D fx j jxj
Lehrbuch Kapitel 7

1. Ungleichungen lassen sich wie Gleichungen lösen. Lediglich beim Multiplizieren und Dividieren mit einem negativen Term muss das Ungleichheitszeichen umgekehrt werden (Inversionsregel). 2. Bei Bruchungleichungen müssen wir berücksichtigen, dass ein Bruch positiv ist, wenn Zähler und Nenner positiv sind, aber auch, wenn Zähler und Nenner negativ sind. Bei negativen Brüchen kann alternativ der Zähler oder der Nenner negativ sein. Wir haben es also bei Ungleichungen mit mehreren Fallunterscheidungen zu tun. 3. Bei Brüchen und Bruchtermen darf der Nenner nicht null werden. Wir müssen deshalb solche Werte in der Definitionsmenge ausschließen.

3

3.1

Einfache lineare Ungleichungen 3.1.1

Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Ungleichung 5x  4 < 2.7  3x/ C 2x

.G D R/

Das Ausmultiplizieren der Klammer und das Ordnen der Ungleichung ergibt folgendes Ergebnis: 5x  4 < 14  6x C 2xI 9x < 18 x 0

Bei Beträgen müssen wir berücksichtigen, dass der Term innerhalb der Betragsstriche positiv oder negativ sein kann. In unserem Fall kann also x  2 > 0 oder x  2 < 0 sein. Wir erhalten also als Lösungen x > 2 oder x < 2. (_ D Symbol für „oder“)

45 3.1  Einfache lineare Ungleichungen

Wenn wir also die Betragsstriche wegnehmen, müssen wir statt dessen schreiben ˙ .x  2/ > 0 Wir erhalten auf diese Weise die oben genannten beiden Lösungen. Die Lösungsmenge ist somit L D fx j x < 2 _ x > 2g 3.1.3

Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Gleichung jx  3j > 3x C 2

jx  3j > 3x C 2 ˙.x  3/ > 3x C 2 C.x  3/ > 3x C 2 _ .x  3/ > 3x C 2 x  3 > 3x C 2 _ x C 3 > 3x C 2 x  3x > 2 C 3 _ x  3x > 2  3 2x > 5 _ 4x > 1 5 1 x< _x < (Inversionsregel beachten!) 2 4 x < 2;5 _ x < 0;25 L D fx j x < 2;5g 3.1.4

Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Gleichung 1 < 2x ^ 1;5x  6 C 0;5x

1 < 2x ^ 1;5x  6 C 0;5x 1  2 2 7  2x C 2x 2 C x > 2 2 7>x2 9>x

j 2

Anmerkung Wird diese Ungleichung von rechts nach links gelesen, so erhalten wir x < 9. L D fx j x < 9g

3.2

Bruchungleichungen 3.2.1*

Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Ungleichung xC3 2x ^ x < 3 4;5 > x ^ x < 3 x 4;5g 3.2.2*

Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Ungleichung 3 1 < x2 xC3

In diesem Fall ist es zweckmäßig, die beiden Bruchterme auf den gleichen Nenner zu bringen und zu einem einzigen Bruchterm zusammenzufassen. 1  .x C 3/ 3  .x  2/  0 „ ƒ‚ „ ƒ‚ … positiv

negativ

positiv

4;5 < x ^ x > 2 ^ x > 3 4;5 < x ^ „ x >2^ ƒ‚x > 3 … x>2

2. Fall: 9 < 2x ^ x 2 2x ^ x 2 … 0 „ ƒ‚

3

negativ

positiv

x < 4;5 ^ „ x 3 … 3 2x ^ x 2 >… 0^„ x Cƒ‚ 3 2^ ƒ‚x < 3 … Widerspruch

keine Lösung

49

Lineare Gleichungssysteme Inhaltsverzeichnis 4.1

Konventionelle Lösungsverfahren – 50

4.2

Gauß’sches Eliminationsverfahren (Gauß’scher Algorithmus) – 58

4.3

Determinantenverfahren für Gleichungssysteme mit drei Variablen – 64

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2020 H. Rapp, J.M. Rapp, Übungsbuch Mathematik für Fachschule Technik und Berufskolleg, https://doi.org/10.1007/978-3-658-31108-7_4

4

50

Kapitel 4  Lineare Gleichungssysteme

> Lehrbuch Kapitel 8

Bei der Lösung von linearen Gleichungssystemen sind folgende Lösungsverfahren üblich, die wir im folgenden Abschnitt konventionelle Lösungsverfahren nennen wollen: 4 Additionsverfahren, 4 Gleichsetzungsverfahren, 4 Einsetzungsverfahren.

4 4.1

Konventionelle Lösungsverfahren 4.1.1*

Bestimmen Sie die Lösungsmenge des folgenden Gleichungssystems: ˇ ˇ 3x C 4y D 24 ˇ ˇ ˇ 7x  2y D 22

ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ

Beim Additionsverfahren, das wir hier anwenden wollen, ist es das Ziel eine Gleichung mit nur einer Variablen zu haben. Um hier die Variable y zu eliminieren, muss die Gleichung (2) mit dem Faktor 2 multipliziert werden. Wollte man die Variable x eliminieren, müssten beide Gleichungen umgeformt werden. ˇ ˇ 3x C 4y D 24 ˇ ˇ 7x  2y D 22 .1/ C .20 /W .3/ in .2/W

ˇ ˇ ˇ ˇ

.1/ .2/ j  2

17x D 68I x D 4 .3/ 28  2y D 22I y D 3 L D f.4I 3/g

Anmerkung Um zu dokumentieren, dass es sich bei der Lösungsmenge um ein geordnetes Paar von 2 verschiedenen Variablen x und y handelt, muss das Ergebnis in eine Klammer .xI y/ geschrieben werden.

4.1.2

Bestimmen Sie die Lösungsmenge des folgenden Gleichungssystems: ˇ ˇ ˇ yx D2 ˇ ˇ ˇ ˇ y  2x 3 ˇˇ I ˇ D ˇ 5  3y 2 ˇ

y¤

5 3

51 4.1  Konventionelle Lösungsverfahren

ˇ ˇ y DxC2 ˇ ˇ 2y  4x D 15  9y .10 / eingesetzt in .20 /W

.10 / .20 /

2x C 4  4x D 15  9x  18 7x D 7I

.3/ in .10 /W

ˇ ˇ ˇ ˇ

x D 1

.3/

yD1 L D f.1I 1/g

4.1.3*

Bestimmen Sie die Lösungsmenge des folgenden Gleichungssystems: ˇ 4 5 ˇ C D ˇ ˇ x y ˇ ˇ 5 3 ˇ  D ˇ x y

ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ 1 ˇˇ ˇ 20 8 15

.1/ .2/

ˇ 4 5 ˇ C D ˇ ˇ x y ˇ ˇ 5 3 ˇ  D ˇ x y .10 / C .20 /W

.10 / in .1/W

8 15 1 20

ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ

.1/ j  3 .2/ j  5

12 25 8 1 C D C x x 5 4 37 37 .3/ D oder x D 20 x 20 1 5 8 4 5 8 13 1 C D I C D  D I 5 y 15 20 y 15 5  3 3 L D f.20I 15/g

4.1.4

Bestimmen Sie die Lösungsmenge des folgenden Gleichungssystems: ˇ 2 1 ˇ D ˇ ˇ 2y  9 xy ˇ ˇ 7;5 3 ˇ D ˇ 3x  2 4y  6

ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ

.1/ .2/

ˇ ˇ x  y D 4y  18 ˇ ˇ 12y  18 D 22;5x  15 ˇ ˇ ˇ x  5y D 18 ˇˇ ˇ ˇ 22;5x  12y D 3 ˇ

ˇ ˇ .10 / ˇ ˇ .20 / .100 / .200 /

j  45 j2

y D 15

4

52

Kapitel 4  Lineare Gleichungssysteme

.1000 /  .2000 /W 201y D 804 yD4 .3/ .3/ in .10 /W x D 18 C 20 D 2 L D f.2I 4/g 4.1.5*

4

Bestimmen Sie die Lösungsmenge des folgenden Gleichungssystems: ˇ 5x  6y 3 5 ˇ  D ˇ ˇ 4x  5y 3 2 ˇ ˇ 4 5x  6y 11 ˇ C D ˇ 4x  5y 15 5

ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ

.1/ .2/

1 Substitution

.3/ C .40 /W .5/ in .4/W

1 Du 4x  5y 5x  6y Dv ˇ 15 ˇ ˇ ˇ ˇ 5u  5v D 3 ˇ ˇ 2 ˇˇ ˇ ˇ ˇ ˇ 4u C v D 11 ˇ ˇ ˇ 5 3 25 1 25u D C 11 D oder u D 2 2 2 1 11 oder v D 2Cv D 5 5

1 Rücksubstitution

(Einsetzen der Ergebnisse in Gleichung (I) und (II)) ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ .90 /  .80 /W

ˇ 1 ˇ 1 ˇ D 4x  5y 2 ˇˇ 5x  6y 1 ˇˇ D ˇ 15 5ˇ 4x  5y D 2 ˇˇ 5x  6y D 3 ˇ

yD2

.10/ in .8/W x D 3 L D f.3I 2/g

.6/ .7/ j  15 .8/ j  5 .9/ j  4 .10/

.I/ .II/ .3/ .4/ .5/

j5

4

53 4.1  Konventionelle Lösungsverfahren

4.1.6*

Bestimmen Sie die Lösungsmenge des folgenden Gleichungssystems: ˇ 9 10 ˇ ˇ C D8 ˇ 2x C 3y  29 7x  8y C 24 ˇ ˇ 7x  8y 2x C 3y  29 ˇ D C8 ˇ 2 3

ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ

.1/ .2/

Wir bringen zunächst die zweite Gleichung in eine andere Form, indem wir 8 D zu dem Bruchterm hinzunehmen und erhalten: ˇ ˇ 9 10 ˇ ˇ ˇ C D 8 ˇ .1/ ˇ ˇ 2x C 3y  29 7x  8y C 24 ˇ ˇ ˇ ˇ 2x C 3y  29 7x  8y C 24 ˇ ˇ  D 0 ˇ .2/ ˇ 2 3 Damit können wir wieder eine Substitution durchführen. 1 Substitution

aus .4/W

.3/ C .400 /W .5/ in .4/W

2x C 3y  29 D u 7x  8y C 24 D v ˇ ˇ 9 ˇ 10 ˇ ˇ C D8 ˇ ˇ u ˇ v ˇ ˇ ˇ u v ˇ ˇ  D0 ˇ 2 3 v 2 3 2 3 u D oder D oder  D 0 2ˇ 3 u ˇ v u v ˇ 10 ˇ 9 ˇ ˇ ˇ u Cv D8 ˇ ˇ ˇ ˇ 2 3 ˇ ˇ  D 0 ˇˇ ˇ u v 16 D 8I u D 2 u 3 1  D 0I v D 3 v

1 Rücksubstitution ˇ

ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ

.700 / C .800 /W .9/ in .70 /W

ˇ 2x C 3y  29 D 2 ˇˇ 7x  8y C 24 D 3 ˇ ˇ 2x C 3y D 31 ˇˇ 7x  8y D 21 ˇ

.7/ .8/ .70 / j  8 .80 / j  3

37x D 185I x D 5 .9/ 10 C 3y D 31I y D 7 .10/ L D f.5I 7/g

.I/ .II/ .3/ .4/ .40 / .3/ .40 / j  3 .5/ .6/

83 3

D

24 3

54

Kapitel 4  Lineare Gleichungssysteme

4.1.7*

Bestimmen Sie die Lösungsmenge des folgenden Gleichungssystems: ˇ ˇ ˇ xC yC zD9 ˇ ˇ ˇ ˇ x C 2y C 4z D 15 ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ x C 3y C 8z D 23 ˇ

.1/ .2/ .3/

4 .2/  .1/W .3/  .2/W .5/  .4/W .6/ in .4/W

y C 3z D 6 y C 4z D 8 zD2 yD0

.4/ .5/ .6/ .7/

.8/ .6/ und .7/ in .1/W x D 7 L D f.7I 0I 2/g 4.1.8*

Bestimmen Sie die Lösungsmenge des folgenden Gleichungssystems: ˇ ˇ 2x  3y C z D 12 ˇ ˇ x C 5y  2z D 9 ˇ ˇ ˇ 3x  8y  5z D 61

ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ

.1/ .2/ .3/

ˇ ˇ 2x  3y C z D 12 ˇ ˇ x C 5y  2z D 9 ˇ ˇ 3x  8y  5z D 61 .10 / C .2/W

ˇ ˇ .1/ ˇ ˇ .2/ ˇ ˇ .3/

3x  y D 15

.4/

.1 / C .3/W

13x  23y D 121

.5/

.40 /  .5/W

56x D 224I

.6/

.6/ in .4/W

y D 3

00

xD4

.6/ und .7/ in .1/W z D 12  8  9 D 5 L D f.4I 3I 5/g

.7/ .8/

j2 j5

j  23

55 4.1  Konventionelle Lösungsverfahren

4.1.9*

Bestimmen Sie die Lösungsmenge des folgenden Gleichungssystems: ˇ 2 3 ˇ ˇ C C ˇ x y ˇ ˇ 2 3 ˇ C C ˇ ˇ x 4y ˇ ˇ 4 3 ˇ C  ˇ x y

ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ D1 ˇ ˇ ˇ 4 ˇˇ D ˇ 3

5 D2 2z

.1/

5 4z

.2/

10 3z

.3/

Diese Aufgabe kann mit Hilfe des Substitutionsverfahrens gelöst werden. Es ist jedoch auch die folgende Lösung ohne Substitution möglich: .1/  .2/W

5 9 C D1 4y 4z

.4/

oder

5 9 C D4 y z

.40 /

2  .2/  .3/W

35 2 6 C D 4y 6z 3

.5/

oder



35 9 C D4 y z

.50 /

.40 / C .50 /W

40 D 8I z D 5 z 9 C 1 D 4I y D 3 y

.6/ in .40 /W .6/ und .7/ in .1/W

1 2 C 1 C D 2I x 2

.6/ .7/

x D 4 .8/

L D f.4I 3I 5/g 4.1.10*

Bestimmen Sie die Lösungsmenge des folgenden Gleichungssystems: ˇ ˇ 4 5 ˇ ˇ C D3 ˇ ˇ ˇ ˇ x C 2y 6y  3z ˇ ˇ ˇ ˇ 4 7 ˇ ˇ  D2 ˇ ˇ ˇ ˇ x C 2y 3x C 3y ˇ ˇ ˇ ˇ 3 10 ˇ C D 1 ˇˇ ˇ xCy 2z  4y

Diese Aufgabe kann nur mit Hilfe des Substitutionsverfahrens gelöst werden.

4

56

Kapitel 4  Lineare Gleichungssysteme

1 Substitution

4

.40 /  .50 /W oder

1 Du x C 2y

.I/

1 Dv xCy

.II/

1 Dw z  2y ˇ 5 ˇ ˇ 4u  w D 3 ˇ 3 ˇ ˇ ˇ 7u  4 v D 2 ˇ 3 ˇ ˇ 3 ˇ ˇ 10v C w D 1 2 16 35 v  w D 13 3 3

.III/ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ

.4/ j  7 .5/ j  4 ˇ 8 ˇ .6/ ˇ  5 .7/ .70 /

16v  35w D 39

12 8 wD .60 / 5 5 12 8 w C 35w D  39I 5 5 187 187 wD I w D 1 .8/ 5 5 3 1 10v  D 1I v D .9/ 2 4

16v C .60 /  .70 /W

.8/ in .6/W .8/ in .1/W

4v C

5 D 3I 3

uD

1 3

.10/

1 Rücksubstitution

1 1 1 1 D I D I x C 2y 3 xCy 4 ˇ ˇ ˇ x C 2y D 3 ˇ .11/ ˇ ˇ ˇ x C y D 4 ˇˇ .12/ ˇ ˇ 2y C z D 1 ˇ .13/ .11/  .12/W

y D 1

.14/ in .12/W x D 5 .14/ in .13/W z D 3 L D f.5I 1I 3/g

.14/

1 D 1 z  2y

57 4.1  Konventionelle Lösungsverfahren

4.1.11

Bestimmen Sie die Lösungsmenge des folgenden Gleichungssystems: ˇ ˇ 7 3 ˇ ˇ ˇ  D1 ˇ ˇ ˇ x C y 2x  2y ˇ ˇ ˇ ˇ 1 32 ˇ ˇ  D3 ˇ ˇ ˇ ˇ 2x C 2y xCz ˇ ˇ ˇ ˇ 4 2 ˇ C D 4 ˇˇ ˇ x y xCz

Diese Aufgabe lässt sich mit Hilfe des Substitutionsverfahrens lösen. 1 Substitution

oder

1 Du xCy 1 Dv xy 1 Dw xCz ˇ ˇ 3 ˇ ˇ D1 ˇ ˇ 7u  v ˇ ˇ 2 ˇ 16u  w D 3 ˇˇ ˇ ˇ 4v C 2w D 4 ˇ ˇ ˇ 112u  24v D 16 ˇ ˇ 112u  7w D 21 ˇ ˇ 24v C 12w D 24

.I/ .II/ .III/ .4/ j  16 .5/ j  7 .6/ j  6 ˇ ˇ .40 / ˇ ˇ .50 / ˇ ˇ .60 /

.40 /  .50 /W

24v C 7w D 5

.7/

.60 / C .7/W

24v C 12w D 24 19w D 19I w D 1

.60 / .8/

.8/ in .6/W

4v C 2 D 4I

.8/ in .5/W

16u  1 D 3I

vD

1 2

uD

1 4

.9/ .10/

4

58

Kapitel 4  Lineare Gleichungssysteme

1 Rücksubstitution

1 1 D I xCy 4 ˇ ˇ xCy D4 ˇ ˇ xy D2 ˇ ˇ xCz D1

ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ

1 1 D I xy 2 .11/ .12/ .13/

.11/ C .12/W x D 3

4

1 D1 xCz

.14/

.14/ in .12/W y D 1 .14/ in .13/W z D 2 L D f.3I 1I 2/g

4.2

Gauß’sches Eliminationsverfahren (Gauß’scher Algorithmus)

Beim Gauß’schen Eliminationsverfahren wird das System der Gleichungen durch ein geeignetes Additionsverfahren in eine „Dreiecksform“ gebracht (s. unten). Anschließend wird von unten nach oben zurückgerechnet, um die Lösungsmenge zu bestimmen. 4.2.1

Bestimmen Sie die Lösungsmenge des folgenden Gleichungssystems: ˇ ˇ ˇ 4x1 C 5x2  3x3 D 5 ˇ ˇ ˇ ˇ 4x  x C 2x D 1 ˇ ˇ ˇ 1 2 3 ˇ ˇ ˇ 2x1 C 3x2  x3 D 7 ˇ

.1/ .2/ .3/

Wir addieren die Gleichungen (1) und (2) und erhalten die Gleichung (4). Addiert man die mit .2/ multiplizierte Gleichung (3) zu Gleichung (1), so erhält man Gleichung (5). ˇ ˇ ˇ 4x1 C 5x2  3x3 D 5 ˇ ˇ ˇ ˇ 4x1  x2 C 2x3 D 1 ˇ ˇ ˇ ˇ 2x1 C 3x2  x3 D 7 ˇ

.1/ .2/ .3/ j  .2/

ˇ ˇ 4x1 C 5x2  3x3 D 5 ˇ ˇ 4x2  x3 D 6 ˇ ˇ  x2  x3 D 9

ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ

.1/ .4/ .5/

Nun wollen wir in Gleichung (5) die Variable x2 eliminieren, indem wir zur 4-fachen Gleichung (5) die Gleichung (4) addieren. Die erhaltene Gleichung (6) wollen wir anschließend durch .5/ dividieren. ˇ ˇ 4x1 C 5x2  3x3 D 5 ˇ ˇ 4x2  x3 D 6 ˇ ˇ  5x3 D 30

ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ

.1/ .4/ .6/

ˇ ˇ ˇ 4x1 C 5x2  3x3 D 5 ˇ ˇ ˇ ˇ 4x2  x3 D 6 ˇˇ ˇ ˇ x3 D 6 ˇ

.1/ .4/ .60 /

59 4.2  Gauß’sches Eliminationsverfahren (Gauß’scher Algorithmus)

Dieses Gleichungssystem hat bereits die „Dreiecksform“ und wir können daraus durch Zurückrechnen ausgehend von Gleichung .60 / mit den Gleichungen (4) und (1) die Lösungsmenge berechnen: L D f.2I 3I 6/g Diese Rechnung kann man schematisieren, indem man nur noch die Koeffizienten aufschreibt und die entsprechenden Umformungen durchführt. Addiert man zur Gleichung (2) die Gleichung (1), so ist in Gleichung (2) die Variable x1 eliminiert. Subtrahiert man das 2-fache der Gleichung (3) von Gleichung (1), so ist auch in Gleichung (3) die Variable x1 eliminiert. 4

5

–3

5

4

5

–3

5

–4

–1

2

1

0

4

–1

6

2

3

–1

7

0

–1

–1

–9

Nun wollen wir in Gleichung (3) die Variable x2 eliminieren, indem wir zum 4-fachen der Gleichung (3) die Gleichung (2) addieren. Gleichzeitig wollen wir Gleichung (3) zu Gleichung (1) addieren. 4

4

–4

–4

0

4

–1

6

0

0

1

6

Hier könnten wir abbrechen und zurückrechnen. Führen wir jedoch die Umformung noch weiter, so können wir die Ergebnisse direkt ohne Rückrechnung erhalten. Wir dividieren die Gleichung (1) durch 4 und addieren zu Gleichung (2) die Gleichung (3). Dadurch wird in Gleichung (2) die Variable x3 eliminiert. 1

1

–1

–1

0

4

0

12

0

0

1

6

Gleichung (2) kann jetzt durch 4 dividiert werden. 1

1

–1

–1

0

1

0

3

0

0

1

6

Addiert man zu Gleichung (1) die Gleichung (3) und subtrahiert man anschließend die Gleichung (2) von Gleichung (1), so erhält man bereits die gewünschte „Dreiecksform“. 1

1

0

5

1

0

0

2

0

1

0

3

0

1

0

3

0

0

1

6

0

0

1

6

4

60

Kapitel 4  Lineare Gleichungssysteme

Es ergibt sich die „Dreiecksform“ des linearen Gleichungssystems ˇ ˇ ˇ x1 D2 ˇ ˇ ˇ ˇ D 3 ˇˇ x2 ˇ ˇ x3 D 6 ˇ mit der Lösungsmenge

4

L D f.2I 3I 6/g Wenn wir das Schema noch mehr vereinfachen wollen, so können wir schreiben: 4

5

–3

5

–4

–1

2

1

Addiert man Gl. 2 zu Gl. 1, so erhält man Gl. 4.

2

3

–1

7

Addiert man die mit (–2) multiplizierte Gl. 3 zu Gl. 1, so erhält man Gl. 5.

4

–1

6

–1

–1

–9

Addiert man das 4-fache von Gl. 5 zu Gl. 4, so erhält man Gl. 6.

–5

–30

Dividiert man Gl. 6 durch (–5), so entsteht die einfachere Gl. 7.

1

6

Die Zeilen mit Grauraster werden zur Rückrechnung verwendet.

4.2.2

Bestimmen Sie die Lösungsmenge des folgenden Gleichungssystems mit Hilfe des Gauß’schen Eliminationsverfahrens: ˇ ˇ ˇ 2x1 C 2x2 C 2x3 D 18 ˇ .1/ ˇ ˇ ˇ 2x  4x  8x D 30 ˇ .2/ ˇ ˇ 1 2 3 ˇ ˇ ˇ x1 C 3x2 C 8x3 D 23 ˇ .3/

Als erstes dividieren wir die beiden Gleichungen (1) und (2) durch 2. Mit den damit erhaltenen Koeffizienten erhalten wir folgendes Schema, bei dem wir zunächst x1 und dann x2 eliminieren. 1

1

1

9

–1

–2

–4

–15

1

3

8

23

–1

–3

–6

2

7

14

1

2

x3 D 2 eingesetzt: x2  3  2 D 6 oder x2 D 0; x1 C 0 C 2 D 9 oder x1 D 7 L D f.7I 0I 2/g

61 4.2  Gauß’sches Eliminationsverfahren (Gauß’scher Algorithmus)

4.2.3

Bestimmen Sie die Lösungsmenge des folgenden Gleichungssystems: ˇ ˇ ˇ x1  ˇ ˇ ˇ 9x1  ˇ ˇ 3x1 C

ˇ ˇ 2 x2 C x3 D 2 ˇˇ 3 ˇ 2x2 C 10x3 D 10 ˇ ˇ 4x2 C 7x3 D 11 ˇ

.1/ .2/ .3/

Wir multiplizieren Gleichung (1) mit 3 und wenden das Gauß’sche Eliminationsverfahren an: 3

–2

3

–6

9

–2

10

–10

3

4

7

11

4

1

8

⋅ 14

14

11

43

⋅4

56

14

112

56

44

172

30

60

x3 D 2 1 Rückrechnung

4x2 C 2 D 8 3 x2 D 2 3x1  3 C 6 D 6 x1 D 3 L D f.3I 1;5I 2/g 4.2.4

Bestimmen Sie die Lösungsmenge des folgenden Gleichungssystems mit Hilfe des Gauß’schen Eliminationsverfahrens: ˇ ˇ ˇ 5x1  x2 C 3x3 D 6 ˇ .1/ ˇ ˇ ˇ 3x C 5x  x D 5 ˇ .2/ ˇ ˇ 1 2 3 ˇ ˇ ˇ x1 C 3x2 C 5x3 D 3 ˇ .3/

Wir ziehen von Gleichung (1) die Gleichung (2) ab und addieren zu dieser Gleichung (4) das 2-fache von Gleichung (3) und erhalten Gleichung (7). Wenn wir das 3-fache von

4

62

Kapitel 4  Lineare Gleichungssysteme

Gleichung (4) vom 2-fachen der Gleichung (2) subtrahieren, erhalten wir Gleichung (7). In beiden Gleichungen ist x1 eliminiert. Wir dividieren Gleichung (8) durch 7 und Gleichung (7) durch 14 und erhalten die Gleichungen .80 / und .70 /.

4

5

–1

3

6

(1)

3

5

–1

5

(2)

–1

3

5

3

(3)

Rückrechnung:

2

–6

4

1

(1) – (2) = (4) ⋅ (−3)

Setzen wir x 3 = 0,5

–2

6

10

6

2 ⋅ (3)

in Gl. (8′) ein, so erhalten wir

3

5

–1

5

(2)

14

7

(7)

28

–14

7

(8)

Setzen wir x 2 = 0,5 und x 3 = 0,5

4

–2

1

(8′)

in Gl. (1) ein, so erhalten wir

1

0,5

(7′)

5 x 1 − 0,5 + 1,5 = 6 oder x 1 = 1.

⋅2

4 x 2 − 1 = 1 oder x 2 = 0,5.

Damit ist die Lösungsmenge L D f.1I 0;5I 0;5/g 4.2.5

Bestimmen Sie die Lösungsmenge des folgenden Gleichungssystems mit Hilfe des Gauß’schen Eliminationsverfahrens: ˇ ˇ ˇ 2x1 C 2x2  x3 D 0 ˇˇ .1/ ˇ ˇ x C 2x3  x4 D 3 ˇˇ .2/ ˇ 1 ˇ ˇ ˇ 2x3 C x4 D 4 ˇ .3/

2

1

–1

0

0

–1

0

2

–1

2

0

0

2

1

4

3

–2

4

2

1

4

1

Wir erhalten 2x3 C x4 D 4 oder x3 D 2  0;5x4 . Aus der Zurückrechnung erhalten wir weiter x2 C61;5x4 2x4 D 4 oder x2 D 2C3;5x4 und 2x1 2C3;5x4 2C0;5x4 D 0 oder x1 D 2  2x4 . Die Parameterlösung ist damit L D f.2  2x4 I 2 C 3;5x4 I 2  0;5x4 /g

63 4.2  Gauß’sches Eliminationsverfahren (Gauß’scher Algorithmus)

Wir erhalten also keine eindeutige, sondern eine von x4 abhängige Lösung, da wir 4 Variable, aber nur 3 Gleichungen haben. Setzen wir diesen frei wählbaren Parameter x4 D , so kann die Lösung auch als Lösungsvektor geschrieben werden. 0

1 0 1 2 2 xE D @2A C   @ 3;5 A 2 0;5 4.2.6

Für welche a 2 R besitzt das lineare Gleichungssystem (LGS) ˇ ˇ ˇ x1  x2 C x3 D 1 ˇ ˇ ˇ ˇ x  2x  ax D 2 ˇ ˇ ˇ 1 2 3 ˇ ˇ ˇ 2x1 C ax2 C 2x3 D 3 ˇ

.1/ .2/ .3/

eine eindeutige Lösung, unendlich viele Lösungen oder keine Lösung?

Wir wenden das Gauß’sche Eliminationsverfahren an: 1

–1

1

1

–1

–2

–a

–2

2

a

2

3

–3

1–a

–1

⋅ (a + 2)

0

1

⋅ (3)

−a −a + 2

1–a

a+2 2

Bedingung für eine eindeutige Lösung: a2  a C 2 ¤ 0. Wir berechnen die Werte von a, für die die Gleichung null wird. Dazu lösen wir die quadratische Gleichung a2  a C 2 D 0: r 1 1 1 3 a1=2 D  ˙ C2D ˙ 2 4 2 2 a1 D 1 oder a2 D 2 Diese Werte müssen wir also ausschließen. Eindeutige Lösung für a 2 R n f1; 2g. Bedingung für unendlich viele Lösungen: 1  a D 0; a D 1. Bedingung für keine Lösung: a D 2. Dieser Wert führt zu einem Widerspruch. Dies sehen wir, wenn wir den Wert einsetzen: a2  a C 2 ) .2/2  .2/ C 2 D 0 1  a ! 1  .2/ D 3 ¤ 0; d. h. Widerspruch

4

64

Kapitel 4  Lineare Gleichungssysteme

4.3

Determinantenverfahren für Gleichungssysteme mit drei Variablen

Ein Gleichungssystem mit drei Variablen von der Form

4

a1 x C b1 y C c1 z D d1 a2 x C b2 y C c2 z D d2 a3 x C b3 y C c3 z D d3 lässt sich auch mit dem Determinantenverfahren lösen. Wir haben es hier mit einer dreireihigen Determinante zu tun. Die Berechnung erfolgt nach der Regel von Sarrus nach folgendem Schema:

a1

b1

c1

a1

b1

a2

b2

c2

a2

b2

a3

b3

c3

a3

b3

+

– Die Determinante wird wieder in folgender Form geschrieben: ˇ ˇa1 ˇ ˇa ˇ 2 ˇ ˇa3

ˇ c1 ˇˇ c2 ˇˇ D a1 b2 c3 C b1 c2 a3 C c1 a2 b3  c1 b2 a3  a1 c2 b3  b1 a2 c3 ˇ c3 ˇ

b1 b2 b3

Diese Berechnung der Determinanten nach der Regel von Sarrus ist bei .4; 4/-Determinanten nicht mehr möglich. Diese müssen erst elementar oder mit einer Laplace-Entwicklung umgeformt werden in eine .3; 3/-Determinante. Die speziellen Determinanten Dx , Dy und Dz werden gebildet, indem man jeweils die erste, zweite und dritte Spalte gegen die freien Glieder (D Spalte rechts des Gleichheitszeichens) austauscht. ˇ ˇd1 ˇ ˇ Dx D ˇd2 ˇ ˇd3

b1 b2 b3

ˇ c1 ˇˇ c2 ˇˇ ˇ c3 ˇ

ˇ ˇa1 ˇ ˇ Dy D ˇa2 ˇ ˇa3

d1 d2 d3

ˇ c1 ˇˇ c2 ˇˇ ˇ c3 ˇ

ˇ ˇa1 ˇ ˇ Dz D ˇa2 ˇ ˇa3

Damit erhält man mit der Cramer’schen Regel die Lösung: xD

Dx ; D

yD

Dy ; D

zD

und damit die Lösungsmenge

 LD

Dx Dy Dz I ; D D D



Dz D

(C RAMER’sche Regel)

b1 b2 b3

ˇ d1 ˇˇ d2 ˇˇ ˇ d3 ˇ

65 4.3  Determinantenverfahren für Gleichungssysteme mit drei Variablen

4.3.1

Berechnen Sie mit Hilfe der Cramer’schen Regel die Lösungsmenge des folgenden Gleichungssystems x1  3x2 D 15 2x1 C 4x2 D 16

Wir bilden die Determinanten und berechnen daraus die Lösungen ˇ ˇ1 D D ˇˇ 2 ˇ ˇ15 Dx1 D ˇˇ 16 ˇ ˇ1 Dx2 D ˇˇ 2

ˇ 3ˇˇ D 4  6 D 2I 4ˇ ˇ 3ˇˇ D 60 C 48 D 12 4ˇ ˇ 15ˇˇ D x1 12 D 16  30 D 14I x1 D D D 6I 16 ˇ D 2 D x2 14 x2 D D D7 D 2 L D f .6I 7/ g 4.3.2

Bestimmen Sie die Lösungsmenge des folgenden Gleichungssystems mit Hilfe eines Determinantenverfahrens 3x C 5y  z D 5 x C 3y C 5z D 3 5x  y C 3z D 6

.1/ .2/ .3/

Wir bilden aus den Koeffizienten des Gleichungssystems Determinanten und berechnen sie nach der Regel von Sarrus. ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ3 5 1ˇ ˇ 3 5 1ˇ 3 5 ˇ ˇ ˇ ˇ 5 ˇˇ D ˇˇ1 3 5 ˇˇ 1 3 D D ˇˇ1 3 ˇ 5 1 3 ˇ ˇ 5 1 3 ˇ 5 1 D 27 C 125  1 C 15 C 15 C 15 D 196 ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ5 5 1ˇ ˇ5 5 1ˇ 5 5 ˇ ˇ ˇ ˇ 5 ˇˇ D ˇˇ3 3 5 ˇˇ 3 3 Dx D ˇˇ3 3 ˇ6 1 3 ˇ ˇ6 1 3 ˇ 6 1 D 45 C 150 C 3 C 18 C 25  45 D 196

4

66

Kapitel 4  Lineare Gleichungssysteme

ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ 3 5 1ˇ ˇ 3 5 1ˇ 3 5 ˇ ˇ ˇ ˇ Dy D ˇˇ1 3 5 ˇˇ D ˇˇ1 3 5 ˇˇ 1 3 ˇ5 6 3ˇ ˇ5 6 3ˇ 5 6

4

D 27 C 125 C 6 C 15  90 C 15 D 98 ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ3 5 5ˇ ˇ 3 5 5ˇ 3 5 ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ 1 3 3 1 3 3 1 3 Dz D ˇ ˇDˇ ˇ ˇ 5 1 6ˇ ˇ 5 1 6ˇ 5 1 D 54 C 75 C 5  75 C 9 C 30 D 98 Mit Hilfe der Cramer’schen Regel erhalten wir die Lösungen des Gleichungssystems.  Dx Dy Dz I I D D D

  196 98 98 LD I I 196 196 196 L D f.1I 0;5I 0;5/g



LD

4.3.3

Berechnen Sie die folgende .3; 3/-Determinante mit Hilfe der Laplace-Entwicklung ˇ ˇ2 ˇ ˇ0 ˇ ˇ ˇ3

0 4 3

ˇ 5ˇˇ 1ˇˇ ˇ 2ˇ

Diese Determinante können wir nach der 1. Zeile oder nach der 1. Spalte entwickeln, da hier jeweils gleich viele Nullen vorhanden sind. Wir entwickeln die Determinante nach der 1. Spalte.

D=

2 0 5 0 4 1 3 3 2

Die Vorzeichen sind alternierend entsprechend einer Schachbrettregel zu wählen. ˇ ˇ ˇ2 0 5ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ4 1ˇ ˇ0 5ˇ ˇ0 5ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ D D ˇ0 4 1ˇ D 2  ˇ 0ˇ C3ˇ 3 2ˇ 3 2ˇ 4 1ˇ ˇ3 3 2ˇ D D 2  .4  2  1  3/  0  .0  2  5  3/ C 3  .0  1  5  4/ D 50 In entsprechender Weise lassen sich .4; 4/-Determinanten auf .3; 3/-Determinanten reduzieren, die dann mit der Sarrus-Regel vollends berechnet werden können.

67 4.3  Determinantenverfahren für Gleichungssysteme mit drei Variablen

4.3.4

Berechnen Sie die folgende .4; 4/-Determinante durch Rückführung mit Hilfe der LaplaceEntwicklung in .3; 3/-Determinanten und anschließender Berechnung nach der Sarrus-Regel ˇ ˇ2 ˇ ˇ3 ˇ ˇ ˇ1 ˇ ˇ4

1 0 2 1

0 1 1 7

ˇ 2ˇˇ 3ˇˇ ˇ 5ˇ ˇ 1ˇ

Wir entwickeln die Determinante nach der 3. Spalte. Die entsprechenden Unterdeterminanten erhalten wir durch Streichen der 3. Spalte und nacheinander der 1., 2., 3. und 4. Zeile. Bei der Bildung der Unterdeterminanten sind die alternierenden Vorzeichen nach folgender Schachbrettregel zu beachten: C   C C   C

C  C  ˇ ˇ3 ˇ D D 0  ˇˇ1 ˇ4

 C  C

ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ2 1 2ˇ ˇ2 1 2ˇ ˇ2 1 2ˇ 0 3ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ 2 5ˇˇ  1  ˇˇ1 2 5ˇˇ C .1/  ˇˇ3 0 3ˇˇ  7  ˇˇ3 0 3ˇˇ ˇ1 2 5ˇ ˇ4 1 1ˇ ˇ4 1 1ˇ 1 1ˇ

D D 0  1  .2  2  1 C 1  5  4 C 2  1  1  2  2  4  2  5  1  1  1  1/ C .1/  .2  0  1 C 1  3  4 C 2  3  1  2  0  4  2  3  1  1  3  1/  7  .2  0  5 C 1  3  1 C 2  3  2  2  0  1  2  3  2  1  3  5/ D 0  1  .4 C 20 C 2  16  10  1/  1  .0 C 12 C 6  0  6  3/  7  .0 C 3 C 12  0  12  15/ D D 76 Sinnvoll ist es, durch elementare Umformung (durch Addition oder Subtraktion einer Zeile oder des Vielfaches einer Zeile) möglichst viele Nullen in einer Determinante zu haben. Die Berechnung lässt sich damit sehr vereinfachen. Wir wollen dies an dem vorliegenden Beispiel zeigen. Subtrahiert man bei der gegebenen Determinante das 2-fache der 1. Zeile von der 3. Zeile und subtrahiert man die 1. Zeile von der 4. Zeile, so ändert sich der Wert der Determinante nicht. Die sich ergebende Determinante lautet: ˇ ˇ2 ˇ ˇ3 ˇ ˇ3 ˇ ˇ2

ˇ 1 0 2ˇ ˇ 0 1 3 ˇˇ 0 1 1 ˇˇ 0 7 1ˇ

4

68

Kapitel 4  Lineare Gleichungssysteme

Wegen der vielen Nullen entwickeln wir die .4; 4/-Determinante nach der 2. Spalte und erhalten eine einzige .3; 3/-Unterdeterminante. 2 3 –3 2

4

1 0 0 1 0 –1 0 7

2 3 1 –1

Diese lösen wir mit der Regel nach Sarrus und erhalten: ˇ ˇ ˇ3 1 3ˇ ˇ ˇ D D 1  ˇˇ3 1 1 ˇˇ D 1  .3 C 2  63 C 6  21  3/ D 1  .76/ ˇ2 7 1ˇ D D 76 4.3.5

Berechnen Sie das Volumen des Spates, der durch die Ortsvektoren der Punkte A .3I 0I 0/, B .0I 4I 0/ und C .2I 1I 6/ aufgespannt wird.

Das Volumen des Spates ergibt sich aus dem Spatprodukt (vgl. Vektorrechnung) ˇ

ˇ V D ˇ aE bE cE ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇa ay az ˇ ˇ3 0 0ˇ ˇ ˇ ˇ

ˇ x aE bE cE D ˇˇbx by bz ˇˇ D ˇˇ 0 4 0ˇˇ ˇ cx cy cz ˇ ˇ2 1 6ˇ Wir entwickeln diese Determinante nach der 1. Zeile und erhalten: ˇ ˇ ˇ4 0ˇ ˇ D 3  24 D 72 D D 3  ˇˇ 1 6ˇ V D j72j D 72 VE

69

Lineares Optimieren

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2020 H. Rapp, J.M. Rapp, Übungsbuch Mathematik für Fachschule Technik und Berufskolleg, https://doi.org/10.1007/978-3-658-31108-7_5

5

70

Kapitel 5  Lineares Optimieren

> Lehrbuch Abschn. 7.4 5.1*

Ein Maschinenteil besteht aus zwei Einzelteilen A und B, die beide in mehreren Arbeitsprozessen an den Maschinen M1 , M2 und M3 bearbeitet werden. Auf jeder Maschine kann jeweils nur entweder Teil A oder Teil B bearbeitet werden. Stückzeiten: für Teil A auf M1 : 45 min, für Teil B auf M1 : 30 min

5

für Teil B auf M2 : 40 min. Stückzeiten: für Teil A auf M2 : 20 min, für Teil B auf M3 : 40 min. Die maximale tägliche Betriebsstundenzahl beträgt an Maschine M1 : 7,5 h, an Maschine M2 : 4,5 h, an Maschine M3 : 6 h. Die Umrüstzeiten von Teil A auf Teil B sollen unberücksichtigt bleiben. Bei welchen Fertigungsziffern ist der Gewinn möglichst groß, wenn an Teil A 20 EUR und an Teil B 30 EUR Gewinn erzielt wird und die Produktion am Gewinn orientiert wird?

x D Anzahl der Teile A y D Anzahl der Teile B 1 Bedingungen

Fertigungszeiten in Stunden an Maschine M1 W an Maschine M2 W an Maschine M3 W

0;75x C 0;5y  7;5 .1/ 2 y  4;5 .2/ 3 1 2 xC y6 .3/ 3 3

1 Optimierungsbedingung (Aufstellen der Zielfunktion)

Der Gewinn ist abhängig von der jeweiligen Stückzahl. Wir erhalten als Gesamtgewinn in EUR: z D 20x C 30y

.4/

Wir lösen die Ungleichungen sowie die Optimierungsgleichung jeweils nach y auf und stellen sie graphisch dar. Es entsteht ein Planungspolygon. Da es sich bei x und y um Stückzahlen handelt, kommen dafür keine negativen Werte in Frage. Das Planungspolygon liegt im 1. Quadranten und ist durch die x- und y-Achse begrenzt. y  1;5x C 15 y  6;75 y  0;5x C 9 2 z yD xC 3 30 z , der AchsenDa der Gewinn z unbekannt ist, aber möglichst groß sein soll, ist auch 30 abschnitt auf der y-Achse möglichst groß zu wählen. Dies erreichen wir, wenn wir eine

71 Kapitel 5  Lineares Optimieren

Gerade mit der Steigung  23 , ausgehend vom Ursprung parallel in den äußersten noch möglichen Punkt des Planungspolygons verschieben. Damit wird der Achsenabschnitt und damit z am größten.

Wenn x und y eine Anzahl darstellt, sollte x und y ganzzahlig sein. Der Optimalpunkt muss deshalb nicht unbedingt auf der Grenzgeraden des Planungspolygons liegen, sondern kann auch noch innerhalb des Planungspolygons liegen. 1 Ergebnis

Bei einer Stückzahl von 6 Teilen A und 6 Teilen B wird ein optimaler Gewinn erzielt. Dieser beträgt z D .20  6 C 30  6/ EUR D 300 EUR. 5.2*

Auf einer Maschine sollen zwei Teile A und B gefertigt werden, bei denen von Teil B täglich maximal 400 Stück benötigt werden. Von Teil A sollen höchstens 100 Stück mehr als von Teil B hergestellt werden. Stückzeit für Teil A: 0,8 min. Stückzeit für Teil B: 0,6 min. Die tägliche Fertigungszeit beträgt maximal 540 min. Die Umrüstzeit von Teil A auf Teil B soll unberücksichtigt bleiben. a) Stellen Sie das Ungleichungssystem auf und zeichnen Sie das Planungspolygon b) Welche Stückzahlkombination wird man bei optimaler Ausnutzung der Maschinenkapazität wählen? c) Wie viel Stück von jedem Teil wird man täglich fertigen, wenn Teil A 0,8 EUR und Teil B 0,4 EUR Gewinn bringen und ein optimaler Gewinn erzielt werden soll?

x D Anzahl der Teile A y D Anzahl der Teile B

5

72

Kapitel 5  Lineares Optimieren

1 Bedingungen

y D 400

Maximale Stückzahl der Teile B pro Tag:

Anzahl der Teile A höchstens 100 Stück mehr als von B: x  y C 100

.1/ .2/

Fertigungszeiten in min:

0;8x C 0;6y  540 .3/

Zielfunktion für maximalen Gewinn:

z D 0;8x C 0;4y

.4/

a) Ungleichungssystem und graphische Darstellung (Planungspolygon)

5

.1/ y  400

, y  400

.1/

.2/ x  y C 100

, y  x  100

.20 /

.3/ 0;8x C 0;6y  540

4 , y   x C 900 .30 / 3 z .40 / , y D 2x C 0;4

.4/ z D 0;8x C 0;4y

b) Zielgerade: z D  43 x C 900 : : : f.375; 400/g, d. h. Optimum bei 375 Teilen A und 400 Teilen B c) Zielgerade: z D 0;8x C 0;4y : : : f.428; 329/g, d. h. Optimum bei 428 Teilen A und 329 Teilen B

73 Kapitel 5  Lineares Optimieren

5.3*

Eine Firma stellt Maschinen vom Typ A zum Preis von 9000 EUR und Maschinen vom Typ B zum Preis von 7500 EUR her. Pro Tag können entweder 16 Maschinen des Typs A oder 40 Maschinen des Typs B fertiggestellt werden. In 300 Tagen sollen maximal 7200 Maschinen produziert werden. Wie viele Maschinen von jedem Typ sind herzustellen, wenn eine möglichst hohe Umsatzsumme erreicht werden soll?

x D Anzahl der Produktionstage für Maschine A y D Anzahl der Produktionstage für Maschine B 1 Bedingungen

x C y  300

Anzahl der Produktionstage:

In 300 Tagen maximal 7200 Maschinen: 16x C 40y  7200 z D 16x  9000 C 40y  7500

Gewinn in EUR (D Zielfunktion): .1/ x C y  300

,

y  x C 300

.1/

.2/ 16x C 40y  7200

,

.20 /

.3/ z D 16x  9000 C 40y  7500

,

2 y   x C 180 5 36 z yD xC 75 300:000

.30 /

5

74

Kapitel 5  Lineares Optimieren

5.4*

Zwei Werkstücke A und B, die in mehreren Arbeitsprozessen an den Maschinen M1 , M2 und M3 gefertigt werden, sollen mit optimaler Ausnutzung der Maschinenkapazität hergestellt werden. Betriebsstunden an der Maschine

5

Durchschnittliche Bearbeitungszeit

Durchschnittliche Bearbeitungszeit

Maximale Betriebsstundenzahl

In h für 1 Teil A

In h für 1 Teil B

Pro Tag

M1

0,75

0,5

7,5

M2

–

0,5

3,5

M3

0,25

0,75

6

Gewinn pro Stück

20 EUR

30 EUR

a) Berechnen Sie die Ungleichungen und zeichnen Sie das Planungspolygon. b) Ermitteln Sie aus dem Planungspolygon die Fertigungsziffern für einen maximalen Gewinn. c) Berechnen Sie die Höhe des Gewinns. d) Bestimmen Sie für die Fertigungsziffern von A und B nach Aufgabe b) die prozentuale Auslastung der einzelnen Maschinen. a) x D Anzahl der Fertigungsstunden für Teil A y D Anzahl der Fertigungsstunden für Teil B 1 Bedingungen

0;75x C 0;5y  7;5

, y  1;5x C 15 .1/

0;5y  3;5

, y7

.2/

0;25x C 0;75y  6

1 , y  xC8 3

.3/

Daraus ergeben sich die Gleichungen der Grenzgeraden, die das Planungspolygon eingrenzen und mit denen wir das Planungspolygon zeichnen: y D 1;5x C 15 yD7 1 y D xC8 3

75 Kapitel 5  Lineares Optimieren

z b) Die Gleichung der Zielgeraden lautet: z D 20x C 30y , y D  23 x C 30 . Wir verschieben die Zielgerade in den äußersten Punkt des Planungspolygons und erhalten den Punkt mit den Koordinaten x D 6 und y D 6. Ergebnis: Die optimalen Stückzahlen sind 6 Teile A und 6 Teile B. c) Der maximale Gewinn ergibt sich aus der Zielgleichung:

z D .20  6 C 30  6/ EUR D 300 EUR d) Die Kapazitätsauslastung erhält man, wenn man die Optimalwerte in die obigen Gleichungen einsetzt und das Verhältnis prozentual formuliert. Wir erhalten folgende Kapazitätsauslastungen:   6  100 % D 100 % M1 W 100 % 1;5  6 C 15   6 M2 W 85;71 %  100 % D 85;71 % 7   6  100 % D 100 % M3 W 100 %  13  6 C 8 5.5*

Für die Herstellung eines Motorrad-Ersatzteiles stehen drei Fertigungs-Automaten zur Verfügung. Während der Automat A1 täglich 600 min zur Verfügung steht, sind die Automaten A2 nur 400 min und A3 nur 270 min verfügbar, da auf ihnen noch andere Teile hergestellt werden müssen. Wird das Ersatzteil nach dem Verfahren A hergestellt, so sind nur die Automaten A1 und A3 erforderlich, wird das Teil nach dem Verfahren B hergestellt, so werden die Automaten A1 und A2 benötigt. Insgesamt sollen täglich 120 Ersatzteile gefertigt werden. Die Fertigungszeiten nach den beiden Verfahren sind folgende: Fertigungszeiten in min für 1 Stück A1

A2

A3

Verfahren A

4

–

3

Verfahren B

6

5

–

5

76

Kapitel 5  Lineares Optimieren

Die Selbstkosten je Stück betragen nach dem Verfahren A 1,70 EUR, nach dem Verfahren B 2,20 EUR. a) Wie viele Teile sind nach jedem Verfahren herzustellen, wenn die Selbstkosten einer Tagesproduktion minimal bleiben sollen? b) Wie groß ist dabei die Kapazitätsauslastung der einzelnen Automaten?

5

a) x D Stückzahl nach Verfahren A y D Stückzahl nach Verfahren B 1 Bedingungen

2 , y   x C 100 3

.1/

5y  400

, y  80

.2/

3x  270

, x  90

.3/

Stückzahlen:

x C y D 120

, y D x C 120

.4/

Zielfunktion:

z D 1;70  x C 2;20  y

, yD

Fertigungszeiten in min: 4x C 6y  600

z 17 xC 22 22

.5/

77 Kapitel 5  Lineares Optimieren

b) Kapazitätsauslastung 

 4  90 C 6  30 540 D D 0;9 ! 90 % 600 600   5  30 150 A2 W D D 0;375 ! 37;5 % 400 400   3  90 270 A3 W D D 1 ! 100 % 270 270 A1 W

5.6*

Ein Elektrogroßhändler beabsichtigt, seinen Lagerbestand für 8400 EUR aufzustocken. Vorgesehen ist die Erweiterung des Sortiments durch zwei neue Geräte, von denen Gerät G1 im Einkauf 80 EUR, Gerät G2 120 EUR kostet. Aufgrund der Marktsituation werden voraussichtlich mehr Geräte G2 verkauft, deshalb soll von G2 das 1,5-fache bis das 3-fache der Anzahl der Geräte G1 auf Lager genommen werden. a) Welche Anzahl von jedem Gerät ist einzukaufen, wenn bei Gerät G1 10 EUR und bei Gerät G2 8 EUR Gewinn erzielt werden kann und der Gesamtgewinn möglichst groß sein soll? b) Welche Anzahl von jedem Gerät ist auf Lager zu nehmen, wenn bei G1 5,5 EUR und bei G2 9 EUR erzielt werden und der Lagerbestand nach dem optimalen Gewinn ausgerichtet werden soll? c) Berechnen Sie jeweils den zu erzielenden Gesamtgewinn.

a) x D Anzahl der Geräte G1 y D Anzahl der Geräte G2 1 Bedingungen

4 Anzahl der Geräte G2 mehr als das 1,5-fache der Geräte G1 : y  1;5  x 4 Anzahl der Geräte G2 weniger als das 3-fache der Geräte G1 : y  3  x

Der Einkaufspreis für beide Geräte soll weniger als 8400 EUR betragen: 80  x C 120  y  8400 Der Gewinn beträgt: z D 10  x C 8  y y  1;5  x y 3x

, ,

80  x C 120  y  8400

,

z D 10  x C 8  y

,

y  1;5  x y 3x 2 y   x C 70 3 z 5 yD xC 4 8

.1/ .2/ .3/ .4/

5

78

Kapitel 5  Lineares Optimieren

5

Ergebnis: Bei 32 Geräten G1 und 48 Geräten G2 wird ein maximaler Gewinn erzielt. b) Bei den veränderten Gewinnzahlen ergibt sich die Zielfunktion: z D 5;5  x C 9  y , y D 

11 z xC 18 9

Ergebnis: Der maximale Gewinn ergibt sich in diesem Fall bei 19 Geräten G1 und 57 Geräten G2 . c) Der Gewinn berechnet sich nach a) zu z D .10  32 C 8  48/ EUR D 704 EUR; nach b) zu z D .5;5  19 C 9  57/ EUR D 617;50 EUR: 5.7*

Eine Elektrofirma stellt zwei Geräte A und B her. Die Gehäuse für beide Geräte werden von einer Zulieferfirma hergestellt, die monatlich höchstens 600 Stück produzieren kann. Die Montageabteilung für Gerät B kann monatlich maximal 400 Geräte zusammenbauen, die Montageabteilung für Gerät A kann monatlich höchstens 350 Geräte bauen. Für die elektronische Installation des Gerätes A sind 2 h, für das Gerät B 5 h erforderlich, wobei monatlich nicht mehr als 2250 Arbeitsstunden geleistet werden können. a) Welche Geräteanzahl von jeder Sorte ist herzustellen, wenn Gerät A einen Gewinn von 96 EUR und Gerät B 120 EUR erbringt und ein maximaler Gewinn erzielt werden soll? b) Zu wie viel % sind die Montageabteilungen ausgelastet?

a) x D Anzahl der Geräte A y D Anzahl der Geräte B

79 Kapitel 5  Lineares Optimieren

1 Bedingungen

Maximal 400 Geräte A: y  400 Maximal 350 Geräte B: x  350 Montagestunden:

2x C 5y  2250

Gewinn:

z D 96  x C 120  y

, y  400 , x  350 2 , y   x C 450 5 z 4 , yD xC 5 120

.1/ .2/ .3/ .4/

5.8*

Ein Werk hat wöchentlich 24 t Frachtgut an einen Filialbetrieb A und 19 t Frachtgut nach einem Ort B zu transportieren. Dazu stehen zwei LKW W1 und W2 mit jeweils 3 t bzw. 2 t Ladekapazität zur Verfügung. Stellen Sie für die beiden Fahrzeuge einen Einsatzplan mit möglichst geringen Frachtkosten auf. Dabei sind folgende Bedingungen zu beachten: 1. Sowohl für Wagen W1 wie für Wagen W2 sind wöchentlich jeweils höchtens 12 Fahrten möglich. 2. Mindestens zweimal wöchentlich soll Wagen W2 nach A und Wagen W1 nach B fahren. 3. Nach A sollen wöchentlich nicht mehr als 10 Fahrten vorgesehen werden. 4. Die Fahrtkosten von Wagen W1 betragen nach A 30 EUR, nach B 22 EUR. Die Fahrtkosten des Zwei-Tonners betragen nach A 42 EUR und nach B 36 EUR.

5

80

Kapitel 5  Lineares Optimieren

5

3 3x C 2u D 24 .1/ u D  x C 12 2 3 3y C 2v D 19 .2/ v D  x C 9;5 2 x C y  12 .3/ y  x C 12 1 u C v  12 .4/ y  x C 6 3 2 u2 .5/ x  6 3 x C u  10 .6/ x  4 y2

.10 / .20 / .30 / ..10 / u. .20 / in (4)) ..10 / in (5)) ..10 / in (6)) .7/

81 Kapitel 5  Lineares Optimieren

1 Zielgerade

z D 30x C 22x C 42u C 36v z  846 33 yD xC 32 32 1 Ergebnis

Einsatzplan:

x

y

u v

4

3

6

5

D Anzahl der Fahrten

5

83

Exponential- und Logarithmusgleichungen Inhaltsverzeichnis 6.1

Exponentialgleichungen – 84

6.2

Logarithmusgleichungen – 90

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2020 H. Rapp, J.M. Rapp, Übungsbuch Mathematik für Fachschule Technik und Berufskolleg, https://doi.org/10.1007/978-3-658-31108-7_6

6

84

Kapitel 6  Exponential- und Logarithmusgleichungen

> Lehrbuch Abschn. 6.10 6.1

Exponentialgleichungen

Exponentialgleichungen sind Gleichungen, bei denen die Variable im Exponenten vorkommt. Sie lassen sich durch Logarithmieren lösen. Sie können jedoch nur dann gelöst werden, wenn die Gleichungen „logarithmierbar“ sind oder wenn sie in eine logarithmierbare Form gebracht worden sind. Man versteht darunter Formen, auf die folgende Logarithmengesetze lg.a  b/ D lg a C lg b

6

lg.a=b/ D lg a  lg b lg.an / D n  lg a anwendbar sind. Wurzelgleichungen mit Variablen im Wurzelexponenten lassen sich durch Umformen der Wurzelterme in Potenzterme in Exponentialgleichungen umformen und auf die gleiche Weise lösen.

Anmerkung ax  b x D 0 ist z. B. noch nicht in einer „logarithmierbaren Form“. Das Logarithmieren der Gleichung in der Form lg.ax  b x / D lg 0 wäre sinnlos, weil 1. lg.ax  b x / zu keiner Umwandlungsform führt, auf die ein Logarithmengesetz anwendbar wäre. 2. lg 0 nicht definiert ist.

6.1.1*

Bestimmen Sie die Lösungsmenge folgender Exponentialgleichung: 3x  4 D 0

Um eine Exponentialgleichung logarithmieren zu können, müssen wir den Exponentialterm isolieren. 3x D 4 Jetzt können wir die Gleichung, d. h. die linke und rechte Seite der Gleichung logarithmieren unter Anwendung des Logarithmengesetzes lg ax D x  lg a. x  lg 3 D lg 4 xD

lg 4 0;6021 D D 1;2619 lg 3 0;4771

L D f1;2619g

85 6.1  Exponentialgleichungen

6.1.2*

Bestimmen Sie die Lösungsmenge folgender Exponentialgleichung: 7x 

1 D0 343

1 D 73 343 x  lg 7 D 3  lg 7 3  lg 7 D 3 xD lg 7 7x D

L D f3g 6.1.3*

Bestimmen Sie die Lösungsmenge folgender Exponentialgleichung:  x  4 5 4 D 4 5

x  lg

    5 4 D 4  lg 4 5 4 4  lg 5   D 4 xD lg 54

L D f4g 6.1.4*

Bestimmen Sie die Lösungsmenge folgender Wurzelgleichung: p

xC4

32x4 D 2

Wir formen zunächst den Wurzelterm um in einen Potenzterm. Dabei wandeln wir auch die Zahl 32 in einen Potenzterm mit der Grundzahl 2 um: 32 D 25 x4  5  xC4 D2 2 5x  20  lg 2 D lg 2 xC4 5x  20 D x C 4 4x D 24 L D f6g

6

86

Kapitel 6  Exponential- und Logarithmusgleichungen

6.1.5*

Bestimmen Sie die Lösungsmenge folgender Wurzelgleichung: p

5x

3xC5 D 22

Schreibt man den Wurzelterm wieder in einen Potenzterm um, so kann die Gleichung logarithmiert werden. xC5

3 5x D

6

1 4

1 Lösung durch Logarithmieren xC5

lg 3 5x D  lg 4 xC5  lg 3 D  lg 4 5x x  lg 3 C 5  lg 3 D 5  lg 4 C x  lg 4 x  .lg 3  lg 4/ D 5  .lg 3 C lg 4/ 5  lg 12 5  lg.3  4/   D D 43;1884 xD lg.0;75/ lg 34 L D f43;1884g 6.1.6*

Bestimmen Sie die Lösungsmenge folgender Wurzelgleichung: p x ax2 D

p

4x3

a4xC4

Wir wandeln wieder die Wurzelterme um und erhalten a

x2 x

4xC4

D a 4x3

1 Lösung durch Exponentenvergleich

Da die Grundzahlen gleich sind, müssen auch die Hochzahlen gleich sein. Aus dem Gleichsetzen der Hochzahlen erhält man x2 4x C 4 D x 4x  3

87 6.1  Exponentialgleichungen

Durch „Überkreuz-Multiplizieren“ erhalten wir 4x 2  3x  8x C 6 D 4x 2 C 4x 2 , 15x D 6 , x D D 0;4 5 L D f0;4g 6.1.7*

Bestimmen Sie die Lösungsmenge folgender Wurzelgleichung: p

xC8

729xC1 D 0;2

p

xC8

729xC1 D 0;2 xC1

729 xC8 D 0;2 xC1  lg 729 D lg 0;2 xC8 x  lg 729 C lg 729 D x  lg 0;2 C 8  lg 0;2 x  .lg 729  lg 0;2/ D 8  lg 0;2  lg 729 8;45449 D 2;373724 xD 3;56170 L D f2;3737g 6.1.8*

Bestimmen Sie die Lösungsmenge folgender Wurzelgleichung: p

2x

3xC3 

p

3x

3x1 D 4;82

x1 3x

D 4;82

3.xC3/ 2.x1/ 32x C 23x

D 4;82

5xC7 6x

D 4;82

3 3

xC3 2x

3

3

5x C 7  lg 3 D lg.4;82 / D lg 23;04 6x 5x  lg 3 C 7  lg 3 D 6x  lg 23;04 x.5  lg 3  6  lg 23;04/ D 7  lg 3 xD

7  lg 3 D 0;5769 5  lg 3  6  lg 23;04

L D f0;5769g

6

88

Kapitel 6  Exponential- und Logarithmusgleichungen

6.1.9*

Bestimmen Sie die Lösungsmenge folgender Exponentialgleichung: 52x1 C 23xC1 D .5x /2 C .2x1 /3

Da der Logarithmus einer Summe nicht definiert ist, müssen die Summen erst in Produkte umgewandelt werden. Vorher spalten wir die Hochzahl auf. 52x  51 C 23x  21 D 52x C 23x  23

6

Nun formen wir die Gleichung so um, dass auf jeder Seite nur Potenzen mit der gleichen Grundzahl vorkommen. 23x  21  23x  23 D 52x  52x  51 Durch Ausklammern erhält man     1 1 23x  2  D 52x  1  8 5 23x D 52x

4 5 15 8

D

48 32 D 5  15 75

.23 /x 8x 32 D D .52 /x 25x 75  x 8 32 D 25 75     8 32 x  lg D lg 25 75  32  lg  D 0;74752 x D  75 8 lg 25 L D f0;74752g 6.1.10*

Bestimmen Sie die Lösungsmenge folgender Exponentialgleichung: 4xC1  22x1 D 33xC1  22x

89 6.1  Exponentialgleichungen

Diese Gleichung enthält mehr als 2 verschiedene Grundzahlen. Wir müssen deshalb die Grundzahl 4 in eine Potenz mit der Grundzahl 2 umformen: 4 D 22 . Ordnen der Potenzterme:

22xC2  22x1 C 22x D 33xC1

Umwandlung der Potenzen:

22x  22  22x  21 C 22x D 33x  3

Ausklammern u. Zusammenfassen:

22x  .22  21 C 1/ D 33x  3 „ ƒ‚ … 4;5

Ordnen der Potenzen:

22x 3 D 3x 3 4;5  x 4 2 .22 /x D D 3 x .3 / 27 3 2 lg x D  34  D 0;21233 lg 27 L D f0;21233g

6.1.11*

Bestimmen Sie die Lösungsmenge folgender Exponentialgleichung: 38x  28:700 D 812x1

Wir wollen die Potenzterme 38x und 812x in Potenzen mit gleichen Grundzahlen z. B. 3 oder 81 D 34 umwandeln. .34 /2x  28:700 D 812x  811 1 812x  812x  D 28:700 81   1 D 28:700 812x  1  81 28:700  81 812x D 80 28:700  81 2 x  lg.81 / D lg 80 4;46328 D 1;16932 xD 3;81697 L D f1;16932g

6

90

Kapitel 6  Exponential- und Logarithmusgleichungen

6.2

Logarithmusgleichungen

Um logarithmische Gleichungen „entlogarithmieren“ zu können, müssen wir auf folgenden Zusammenhang zurückgreifen: Logarithmiert man die Gleichung 10y D x auf beiden Seiten der Gleichung, so erhält man lg 10y D y  lg 10 D lg x oder y D lg x. Damit gilt folgende Umrechnung: „ƒ‚… lg x D y

,

1

x D 10y

Wir können uns auch folgende Umrechnungen merken:

6 Zehnerlogarithmus:

10lg x D x

Natürlicher Logarithmus:

eln x D x

Binärlogarithmus:

2lb x D x

6.2.1

Bestimmen Sie die Lösungsmenge folgender logarithmischer Gleichung: 3 C 2  lg x D 4

Wir formen die Gleichung in folgende Form um, um den logarithmischen Term zu isolieren: 2  lg x D 1 lg x D

1 2

Aus der Definitionsgleichung des Zehnerlogarithmus 10lg x D x erhalten wir für die obige Gleichung die Lösung, indem wir schreiben: 1

10lg x D 10 2

p 1 x D 10 2 D 10 p L D f 10g D f3;1623g

6.2.2

Bestimmen Sie die Lösungsmenge folgender logarithmischer Gleichung: lg.4x/ C lg.5x/ D 2 C lg.2x/

91 6.2  Logarithmusgleichungen

Zusammenfassen der Terme:

lg.4x/ C lg.5x/  lg.2x/ D 2   4x  5x D lg.10x/ D 2 lg 2x 10x D 102

,

x D 10

L D f10g 6.2.3

Bestimmen Sie die Lösungsmenge folgender logarithmischer Gleichung: lg.4x /  lg.3x / D 5



4x lg x 3

 D5 xD

,

 x 4 D5 lg 3

  4 ) x  lg D5 3

5 D 40;0196 lg 43

L D f40;0196g 6.2.4

Bestimmen Sie die Lösungsmenge folgender logarithmischer Gleichung: lg

p 3

8x  lg

p 3

lg

x2 D 2

p 3

8x  lg 1

p 3 x2 D 2 2

lg.8x/ 3  lg x 3 D 2 1 2  lg.8  x/   lg x D 2 3 3 1 2 .lg 8 C lg x/   lg x D 2 3 3 1 1 2  lg 8 C  lg x   lg x D 2 3 3 3 1 1 lg 8  2 D  lg x 3 3 lg 8  6 D lg x x D 10.lg 86/ x D 8  106 L D f0;000008g

j 3

6

92

Kapitel 6  Exponential- und Logarithmusgleichungen

6.2.5

Bestimmen Sie die Lösungsmenge folgender logarithmischer Gleichung: 3  ln.x 2 /  ln.x 4 / D 4

3  2  ln x  4  ln x D 4 ln x D 2 x D e2 L D f7;389g

6 6.2.6

Bestimmen Sie die Lösungsmenge folgender logarithmischer Gleichung:   p p 1 1 3 D9 8  ln. x/ C ln. x 2 / C  ln 3 x5

1  ln.x/5 3 1 2 5 8   ln.x/ C ln.x/   ln x 2 3 3 5 2 4  ln.x/ C ln.x/   ln x 3 3 3  ln x ln x 1

2

8  ln.x/ 2 C ln.x/ 3 C

D9 D9 D9 D9 D3

x D e3 L D f20;086g 6.2.7

Bestimmen Sie die Lösungsmenge folgender logarithmischer Gleichung: ln.x a /  a  ln.x 3 / C ln x D 2a  1

a  ln x  3a  ln x C ln x D 2a  1 .2a C 1/  ln x D 2a  1 2a  1 .1  2a/ ln x D D D 1 2a C 1 .1  2a/ x D e1 L D f0;36788g

93

Geometrie Inhaltsverzeichnis Kapitel 7

Längenberechnungen am Dreieck – 95

Kapitel 8

Trigonometrie – 133

Kapitel 9

Analytische Geometrie – 171

Kapitel 10

Flächenberechnung (Planimetrie) – 185

Kapitel 11

Volumenberechnung (Stereometrie) – 217

II

95

Längenberechnungen am Dreieck Inhaltsverzeichnis 7.1

Ähnlichkeitssätze (Strahlensätze) – 97

7.2

Pythagoras – 108

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2020 H. Rapp, J.M. Rapp, Übungsbuch Mathematik für Fachschule Technik und Berufskolleg, https://doi.org/10.1007/978-3-658-31108-7_7

7

96

Kapitel 7  Längenberechnungen am Dreieck

Mit Hilfe der Höhe h wird das rechtwinklige Dreieck in zwei weitere rechtwinklige Dreiecke aufgeteilt, die ähnlich sind, weil ihre Winkel gleich sind. Damit verhalten sich die Seiten wie folgt: aWcDpWa

.1/

bWcDqWb

.2/

hWpDqWh

.3/

7 Diese drei Verhältnisgleichungen sind bekannt geworden als

Kathetensatz: Höhensatz:

a2 D p  c

.10 /

b2 D c  q

.20 /

h D pq

.30 /

2

Addiert man die beiden Gleichungen .10 / und .20 /, so erhält man a2 C b 2 D c  p C c  q D c  .p C q/: „ ƒ‚ … c

Diese Gleichung ist bekannt als

Satz des Pythagoras:

a2 C b2 D c 2

Für die Berechnung von Längen, die wiederum zur Bestimmung des Flächeninhaltes von Flächen oder zur Volumenberechnung benötigt werden, gibt es verschiedene Berechnungsmethoden. 1. Lassen sich bei einer Berechnung ähnliche Dreiecke feststellen, so lässt sich die Längenberechnung mit Hilfe der Ähnlichkeitssätze (Strahlensätze) durchführen. 2. Sind die Dreiecke rechtwinklig, so ist der „Pythagoras“ hilfreich. 3. Eine weitere wichtige Möglichkeit zur Längenberechnung aber auch zur Winkelbestimmung sind die „trigonometrischen Funktionen“. 4. Schließlich gibt es bei schiefwinkligen Dreiecken noch die Möglichkeit, mit dem Sinussatz und dem Kossinussatz zu arbeiten. In dieser Reihenfolge wollen wir die Aufgaben angehen. Die Aufgaben können jedoch nicht immer streng einer Berechnungsmethode zugeordnet werden.

97 7.1  Ähnlichkeitssätze (Strahlensätze)

7.1

Ähnlichkeitssätze (Strahlensätze) 7.1.1

Welche Höhe hat ein Leitungsmast, der einen Schatten von 4,5 m wirft, wenn ein unmittelbar danebenstehender, 1,8 m hoher Zaunpfahl eine Schattenlänge von 1 m hat?

h 1;8 m D D 1;8 4;5 m 1m h D 1;8  4;5 m h D 8;1 m 7.1.2

Welche Länge hat die Höhe h in einem rechtwinkligen Dreieck ( D 90ı )?

Der Flächeninhalt des dargestellten rechtwinkligen Dreiecks lässt sich auf zweifache Weise berechnen: A D ab oder A D ch . 2 2 Da beides denselben Flächeninhalt ergibt, muss auch gelten ab ch D 2 2 Damit ist hD

ab c

oder a  b D c  h

7

98

Kapitel 7  Längenberechnungen am Dreieck

7.1.3

Wie verhalten sich die Strecken x und y zu den Abständen a und b, wenn bei der Langlochführung der halbe Winkel ı durchlaufen ist? Berechnen Sie das Verhältnis x W y allgemein und für a D 50 mm und b D 70 mm.

7 Wir ziehen durch B eine Parallele zur Winkelhalbierenden durch C und erkennen zwei ähnliche Dreiecke. Da der Winkel ı als Stufenwinkel und als Wechselwinkel vorkommt, zeigt sich, dass das Dreieck BEC ein gleichschenkliges Dreieck ist und damit die Strecke CE D a ist.

Damit ergibt sich mit Anwendung des Strahlensatzes die folgende Verhältnisgleichung b D x xCy D x y 1C D x x b D y a

aCb xCy aCb b a C1 b

Für die angegebenen Maße erhalten wir das Verhältnis x W y D 70 mm W 50 mm D 7 W 5

99 7.1  Ähnlichkeitssätze (Strahlensätze)

7.1.4

Eine Platte soll so abgeschrägt werden, dass bis zur Bohrung noch eine Stegbreite von 20 mm erhalten bleibt. Welches Maß x muss dabei eingehalten werden?

AM D

35 mm D 70 mm: sin 30ı

Damit ist

AB D 20 mm p CD D 50  3 mm .Höhe im gleichseit. Dreieck/ p p DE D .50 3  20/ mm D x  3 p .50 3  20/ mm xD D 38;45 mm p 3

7

100

Kapitel 7  Längenberechnungen am Dreieck

7.1.5*

Berechnen Sie für den dargestellten Dachbinder die Längen der Obergurtstäbe, der Vertikalund Diagonalstäbe für h D 3 m und a D 2;5 m.

7

Länge der Vertikalstäbe (Strahlensatz) c 2a 2 2 D D I c D h D 2m h 3a 3 3 e a 1 1 D D I e D h D 1m h 3a 3 3 Diagonalstäbe (Pythagoras) p p a2 C c 2 D .2;5 m/2 C .2 m/2 D 3;2 m p p d D a2 C e 2 D .2;5 m/2 C .1 m/2 D 2;69 m bD

Obergurtstäbe (Pythagoras) p p a2 C e 2 D .2;5 m/2 C .1 m/2 D 2;69 m p p g D h2 C .3a/2 D .3 m/2 C .7;5 m/2 D 8;08 m

f D

101 7.1  Ähnlichkeitssätze (Strahlensätze)

7.1.6

Entwickeln Sie eine Formel zur Berechnung der Länge x in Abhängigkeit von den angegebenen Größen a, r und d für ˛ D 30ı und ˛ D 45ı .

Mit Anwendung des Strahlensatzes ergeben sich für die beiden Winkel folgende Verhältnisgleichungen. ˛ D 30ı :

 p  d  r  1  23 a  x  r2 p D r r  3 2 2   p p r 3 a  x  D d  3  r  3 2 2 p p x D a  d  3 C r  3  2r p p x D a  d  3 C r. 3  2/ ˛ D 45ı :

7

102

Kapitel 7  Längenberechnungen am Dreieck

ax p 2

pr

2

  r D d  r  p 2

r x D a  d C r  2  p 2 p x D a  d C r  .1  2/ 7.1.7*

Bestimmen Sie das Maß x.

x

7

26

x

15

Da die beiden Bohrungen auf einem Halbkreis (Thaleskreis) liegen, haben wir es mit einem rechtwinkligen Dreieck zu tun, dessen Höhe x gesucht ist und dessen Hypotenuse sich aus den Längenabschnitten (26 mm C x) und 15 mm zusammensetzt. Verhältnisgleichung:

x 26 C x D 15 x

x 2 D 15  .26 C x/ x 2  15x  390 D 0 x1=2 x D 28;62 mm

.„Höhensatz“!/

.s. Quadrat. Gleichungen/ p D 7;5 ˙ 7;52 C 390 .negativer Wert unbrauchbar/

103 7.1  Ähnlichkeitssätze (Strahlensätze)

7.1.8*

Wie groß wird die Höhe h des dargestellten Behälterbodens, wenn R D 0;8  d ist?

a) Berechnen Sie h allgemein in Abhängigkeit von d . b) Welche Höhe ergibt sich für d D 800 mm und d D 1000 mm?

Die sich ergebenden Dreiecke sind ähnlich, da ihre Winkel gleich sind. Wir erhalten folgende Seitenverhältnisse: a) h W r D r W .2R  h/  2 d 2 r D D h  .2R  h/ 2 (Diese Gleichung erkennen wir wieder als Höhensatz.)

7

104

Kapitel 7  Längenberechnungen am Dreieck

Mit R D 0;8  d erhält man: d2 D h  .1;6  d  h/ 4 d2 h2  1;6  d  h C D0 4 r

d2 0;64  d 2  4 p D 0;8  d ˙ d  0;39 .Positiver Wurzelterm zu groß/

h1=2 D 0;8  d ˙

h1=2 p h D 0;8  d  d  0;39 D 0;1755  d

b) Mit den Zahlenwerten ergibt sich für

7

d D 800 mmW h D 140;4 mm d D 1000 mmW h D 175;5 mm 7.1.9*

Für das dargestellte Kontaktblech, das mit einem Schnittwerkzeug herausgeschnitten werden soll, sind die Maße x1 , x2 , y1 und y2 zu berechnen.

Bei den sich ergebenden ähnlichen Dreiecken kann die Höhe im gleichseitigen Dreieck nach Pythagoras direkt angegeben werden. Die Aufgabe könnte somit auch zu 7 Abschn. 7.2 genommen werden.

105 7.1  Ähnlichkeitssätze (Strahlensätze)

Wir erhalten aus der Zeichnung folgende Zahlenwertgleichung: 1;5 x1 6;2 p 3 D 2 2 p 2 x1 D .6;2 3  1;5/ mm D 9;24 mm p x2 D .6;2 3 C 1;5/ mm D 12;24 mm p 6;2 1 y1 D 6;2 mm C mm   1;5  3 mm D 8;00 mm 2 2 p 6;2 1 y2 D 6;2 mm C mm C  1;5  3 mm D 10;60 mm 2 2 7.1.10*

Eine Last mit einseitiger Schwerpunktslage hängt an einer Kette.

a) Welchen Abstand h hat der Haken? b) Welche Länge l hat die einen rechten Winkel einschließende Kette?

7

106

Kapitel 7  Längenberechnungen am Dreieck

Die sich ergebenden Dreiecke sind ähnlich, da ihre Winkel gleich sind. Wir erhalten folgende Seitenverhältnisse:

a)

7

a 4a D W h .Diese Gleichung erkennen wir wieder als Höhensatz/ 5 5 4a a 4a2 h2 D  D 5 5 25 4 h D a D 0;8  a 5

hW

b) Die Teillängen der Kette sind die Längen der Hypotenusen der Dreiecke. Sie lassen sich nach Pythagoras berechnen. Damit leitet die Aufgabe über zum folgenden 7 Abschn. 7.2. s r   2 4 a 2 2 C h2 a Ch C lD 5 5 r r 16a2 a2 4a2 4a2 lD C C C 25 25 25 25 r r 2 2 20a 5a lD C 25 25 p 1 p 2 l D a 5C a 5 5 5 p 3 l D  5a 5

107 7.1  Ähnlichkeitssätze (Strahlensätze)

7.1.11*

Ein Wellenzapfen soll ein Dreikantprofil nach folgender Darstellung:

a) Berechnen Sie s in Abhängigkeit von h und D. b) Bestimmen Sie s in Abhängigkeit von D für das bei stumpfen Dreikanten übliche Verhältnis h W D D 0;77: c) Wie groß wird die Frästiefe t in Abhängigkeit von D unter Berücksichtigung des Verhältnisses h W D D 0;77‹

7

108

Kapitel 7  Längenberechnungen am Dreieck

a) Aus der Ähnlichkeit der Dreiecke DEF und MAB lässt sich folgende Verhältnisgleichung aufstellen:p s s  3 2 Dp 2 2 r R  r2 C s Nach „Überkreuz-Multiplikation“ und Kürzung durch

s 2

ergibt sich

p p R2  r 2 C s D r  3 oder p p s D r  3  R2  r 2 Mit h D r C

D 2

oder r D h 

D 2

erhält man

s     2  p D D D 2 s D h  h  3 2 2 2   p p D s D h  3  h  .D  h/ 2

7

b) Mit h = 0;77  D wird p p s D .0;77D  0;5D/  3  0;77  D  .D  0;77  D/ p s D 0;27  3  D  0;421  D s  0;0467  D c)

7.2

t D D  h D D  0;77  D t D 0;23  D

Pythagoras 7.2.1

In der dargestellten Raumecke soll ein Kanal mit quadratischem Querschnitt mit einer maximalen Kantenlänge a untergebracht werden. Berechnen Sie a allgemein und für b D 3 m und c D 5 m.

109 7.2  Pythagoras

Wir erkennen zwei ähnliche Dreiecke und erhalten daraus die Verhältnisgleichung a D h

ca 2 c 2

oder a  c D h  c  a  h

a  .c C h/ D h  c hc aD cCh Hier ist noch die unbekannte Höhe h enthalten, die wir nach Pythagoras wie folgt berechnen: r c2 h D b2  4 Damit wird q  2 b 2  c2 hc aD q D  2 cCh c C b 2  c2 c

Mit den angegebenen Werten b D 3 m und c D 5 m wird p .3 m/2  .2;5 m/2 q aD D 1;25 m 5 m C .3 m/2  .2;5 m/2 5m

7

110

Kapitel 7  Längenberechnungen am Dreieck

7.2.2*

Welchen Durchmesser D muss die große Bohrung erhalten, wenn zwischen den Bohrungen sowie zwischen Bohrung und Kante der Abstand x eingehalten muss?

7

a) Berechnen Sie D allgemein: b) Berechnen Sie D für a D 120 mm, d D 15 mm und x D 5 mm. c) Berechnen Sie x für d D 15 mm, D D 110 mm und a D 120 mm.

a) Wir suchen uns ein charakteristisches Dreieck aus, das durch die Mittelpunkte der Bohrungen mit dem Durchmesser d festgelegt ist. Dieses rechtwinklige Dreieck ist ein halbes Quadrat mit der Kantenlänge a  .d C 2x/. Die Diagonale in diesem Quadrat (die Hypotenuse des Dreiecks) ist D C .d C 2x/. p Dieses ist aber bekanntlich (s. Lehrbuch!) das 2-fache der Kantenlänge des Quadrats. Damit gilt: p D C .d C 2x/ D 2  .a  .d C 2x// p p D D a  2  .1 C 2/  .d C 2x/

111 7.2  Pythagoras

Ausführlich und damit sehr aufwendig gerechnet erhalten mit Hilfe des Pythagoras folgenden Zusammenhang: Œa  .d C 2x/ 2 C Œa  .d C 2x/ 2 D ŒD C .d C 2x/ 2 Zur Vereinfachung der Rechnung setzen wir d C 2x D b und erhalten .a  b/2 C .a  b/2 D .D C b/2 2  .a  b/2 D .D C b/2 Nach dem Radizieren der Gleichung erhalten wir p 2.a  b/ D jD C bj p D C b D ˙ 2.a  b/ .negativer Längenwert unbrauchbar/ p p D D b C 2.a  b/ D .d C 2x/ C 2.a  d  2x/ p p p p D D a 2  .d C 2x/  2.d C 2x/ D a 2  .1 C 2/.d C 2x/ b) D D 120 mm 

p p p 2  .1 C 2/  25 mm D .95 2  25/mm D 109;35 mm

c) Wir setzen D D 110 mm in die Gleichung nach Aufgabe a) ein und erhalten folgende Zahlenwertgleichung p p 110 D 120  2  .1 C 2/.15 C 2x/ p p 60  2  55 120  2  110 p oder x D p  7;5 15 C 2x D 1C 2 1C 2 x D 4;86 mm 7.2.3*

Berechnen Sie das Maß x

a) allgemein b) für a D 155 mm, b D 122 mm, c D 5 mm.

7

112

7

Kapitel 7  Längenberechnungen am Dreieck

a) Wir ergänzen das Rechteck zu einem Quadrat und wollen auch hier das p einfache Verfahren anwenden. Wir formulieren die Diagonalen im Quadrat als das 2-fache der Kantenlänge und erhalten: p x C v D .a  c/ 2 .1/ p .2/ ab Dv 2 Aus (1) mit (2) ergibt sich: p ab x D .a  c/ 2  p 2 p p p p 2 2 aC b x Da 2c 2 2 2 p 2 xD  .a C b  2c/ 2 b)

p

2  .155 mm C 122 mm  10 mm/ 2 p x D 133;5 mm  2 x D 188;8 mm

xD

113 7.2  Pythagoras

7.2.4*

Bestimmen Sie für die ballige Lauffläche einer Riemenscheibe den Radius x in Abhängigkeit von den beiden Durchmessern d und d1 und der Scheibenbreite b.

Wir suchen ein geeignetes Dreieck, auf das wir den Satz des Pythagoras anwenden können.

Zur Vereinfachung nennen wir die Strecke d  d1 D a: 2

Damit gilt nach dem Satz des Pythagoras: x 2 D .x  a/2 C

b2 4

x 2 D x 2  2ax C a2 C xD

b2 4

a2 b2 a b2 C D C 2a 4  2a 2 8a

7

114

Kapitel 7  Längenberechnungen am Dreieck

d  d1 b2 C 4 4.d  d1 / 2 .d  d1 / C b 2 xD 4.d  d1 / xD

7.2.5*

Berechnen Sie den Durchmesser d für das Langloch, wenn die übrigen Abmessungen gegeben sind.

7

Wir suchen ein geeignetes rechtwinkliges Dreieck, auf das wir den Satz des Pythagoras anwenden können.

115 7.2  Pythagoras

Nach Pythagoras gilt:       d 2 d 2 d 2 D xC C y r 2 2 2 r 2  dr C d 2 =4 D x 2 C dx C d 2 =4 C y 2  dy C d 2 =4 d2 C y 2  dy 4 d 2 C d  .4x C 4r  4y/ C 4  .x 2 C y 2  r 2 / D 0 p d1=2 D 2x  2r C 2y ˙ 4.x C r  y/2  4.x 2 C y 2  r 2 / i h p d D 2  y  x  r C x 2 C 2xr C r 2  2.x C r/  y C y 2  x 2  y 2 C r 2 q h i d D 2  y  .x C r/ C 2xr C 2r 2  2y.x C r/ „ ƒ‚ … 2r.xCr/ i h p d D 2  y  .x C r/ C 2.x C r/.r  y/ r 2  dr D x 2 C dx C

7.2.6*

Welches Kontrollmaß x muss eingehalten werden, um die rechtwinklige Anordnung der drei Stifte zu gewährleisten?

Wir verbinden die Mittelpunkte der Bohrungen und erhalten ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten (x  8 mm) und 25 mm. Die Hypotenuse hat die Länge 52 mm. Damit gilt: .x  8/2 C 252 D 522 .x  8/2 D 522  252 D 2079 p jx  8j D ˙.x  8/ D 2079 p x D 8 ˙ 2079 .negativer Wert unbrauchbar!/ x D 53;6 mm

7

116

Kapitel 7  Längenberechnungen am Dreieck

7.2.7*

Für den Rundungsübergang ist das Maß a in Abhängigkeit von den übrigen Größen zu bestimmen.

7

Nach Pythagoras gilt: .R C r/2 D a2 C .R C r  d /2 .R C r/2 D a2 C .R C r/2  2.R C r/  d C .d /2 p a D 2.R C r/  d  .d /2

117 7.2  Pythagoras

7.2.8*

Wie groß darf der Kabeldurchmesser x höchstens sein, wenn vier gleichgroße Kabelstränge in einem Rohr vom Innendurchmesser D untergebracht werden sollen?

a) Berechnen Sie x in Abhängigkeit vom Kerndurchmesser d . b) Berechnen Sie x in Abhängigkeit von D und d .

a) Die Verbindungslinie der Mittelpunkte führt zu einem rechtwinkligen Dreieck, auf das wir den Pythagoras anwenden.

7

118

Kapitel 7  Längenberechnungen am Dreieck

p .d C x/2 D x 2 C x 2 oder d C x D x  2 p p d D x 2  x D x  . 2  1/ p d  . 2 C 1/ d D p p xDp 21 . 2  1/. 2 C 1/ p x D d  . 2 C 1/ b) D D d C 2x;

damit x D

Dd 2

7.2.9*

7

Ein quaderförmiges Werkstück wird unter einem Winkel von 45ı gefräst. Wie groß ist das Maß x?

Wir formulieren die Diagonale im Quadrat auf verschiedene Weise und erhalten: p x C 80 D 80  2 2 p  p x 21 D 80  2  80 D 80  2  p 2  1 mm x D 160  x D 66;27 mm

119 7.2  Pythagoras

7.2.10*

Bestimmen Sie für das Langloch das Maß x.

152 D x 2 C 5;52 p x D 152  5;52 x D 13;96 mm 7.2.11*

Aus Blechabfällen der dargestellten Form sollen kreisförmige Blechteile (D Ronden) herausgeschnitten werden?

Welcher maximale Durchmesser d ist möglich bei gegebener Seitenlänge a?

7

120

Kapitel 7  Längenberechnungen am Dreieck

Die Diagonale eines Quadrates mit der Kantenlänge a ist a  Die halbe Diagonale ist damit p 2 a : 2

p

2.

.1/

Diese Strecke kann auch ausgedrückt werden als Differenz der Längen a

d : 2

.2/

7

Damit erhalten wir die Beziehung Halbe Diagonale im Quadrat D Streckendifferenz .1/ D .2/ p 2 d a Da 2 2 p 2 d Daa 2 2 p d D a  .2  2/ D 0;586  a

121 7.2  Pythagoras

7.2.12*

Für die dargestellte Rollenführungsbahn ist der Ausrundungsradius r1 in Abhängigkeit von r2 , t und b zu berechnen.

Aus der Figur erkennen wir ein rechtwinkliges Dreieck, bei dem sich die Seite a als Summe zweier Strecken ergibt: a D r1 C .r2  t/ Nach Pythagoras gilt:  .r1 C r2 /2 D ..r1 C r2 /  t/2 C

b  r1 2

2

.r1 C r2 /2 D .r1 C r2 /2  2t  .r1 C r2 / C t 2 C

b2  br1 C r12 4

b2 r12  r1  .b C 2t/  2r2  t C t 2 C D0 4 r b2 b b2 C bt C t 2  t 2  C 2r2 t r1 D C t ˙ 2 4 4 .positiver Wert zu groß, unbrauchbar/ p b r1 D C t  bt C 2r2 t 2

7

122

Kapitel 7  Längenberechnungen am Dreieck

7.2.13*

Für eine Bohrvorrichtung sind die Maße a und b gegeben. Berechnen Sie die Abstandsmaße x und y in Abhängigkeit von a und b.

7

Aus den beiden ähnlichen Dreiecken erhält man: 2x a D y b 2bx yD a

.1/ .10 /

Nach Pythagoras gilt: y2 D x2 C b2

.2/

Setzt man Gleichung .10 / in (2) ein, so erhält man: 4  b2  x2 D x2 C b2 a2  2  4b 2 x   1 D b2 a2 r a2b 2 ab xD Dp 2 2 4b  a 4b 2  a2

.3/

123 7.2  Pythagoras

(3) in .10 /: yD

2b  ab 2b 2 Dp p a  4b 2  a2 4b 2  a2

7.2.14

Aus einem Rundmaterial soll ein Sechskant der Schlüsselweite SW 26 hergestellt werden. Welchen Durchmesser d muss der Rundstahl mindestens haben?

Wir wenden auf das charakteristische Dreieck den Satz des Pythagoras an. r2 D

 r 2 2

C 132

3 2 r D 169 4 d D 30;02 mm  30 mm

7

124

Kapitel 7  Längenberechnungen am Dreieck

7.2.15

Aus einem Rundmaterial vom Durchmesser d soll a) ein Vierkant, b) ein Sechskant hergestellt werden. Berechnen Sie in allgemeiner Form die mögliche Schreibweise s in Abhängigkeit von d .

a) Vierkant

7

p d D s 2 .Diagonale im Quadrat/ p d p d sD p D  2Dr 2 2 2 b) Sechskant

 2  2  2 d d s C D 2 4 2 p d p sD  3Dr 3 2

125 7.2  Pythagoras

7.2.16*

Bestimmen Sie den Rundungsradius R der ursprünglichen rechtwinkligen Spitze in Abhängigkeit von a.

R2 C R2 D

 a 2

2 2 a 2  R2 D p 4 2 RDa 4

7

126

Kapitel 7  Längenberechnungen am Dreieck

7.2.17

Bestimmen Sie für den dargestellten Bolzen die Maße x und y.

7

CD D

19 p  3Dx 2

.D Höhe im gleichseitigen Dreieck/

x D 16;45 mm s y1 D

 .20 mm/2 

y1 D 17;6 mm y D 20 mm C y1 y D 37;6 mm

19 mm 2

2

127 7.2  Pythagoras

7.2.18*

Aus einem Rechteckblech sollen zwei Ronden mit den Durchmessern d1 und d2 ausgeschnitten werden.

Berechnen Sie den Durchmesser d1 in Abhängigkeit von d2 , a und b.

.r1 C r2 /2 D Œa  .r1 C r2 / 2 C Œb  .r1 C r2 / 2 .r1 C r2 /2 D a2  2a.r1 C r2 / C b 2  2b.r1 C r2 / C 2.r1 C r2 /2 0 D a2 C b 2  2ar1  2ar2  2br1  2br2 C r12 C 2r1 r2 C r22 r12  2r1 .a C b  r2 / C r22 C a2 C b 2  2ar2  2br2 D 0 q r1 D a C b  r2 ˙ .a C b  r2 /2 C 2ar2 C 2br2  a2  b 2  r22 .positiver Wurzelterm unbrauchbar/ d1 D 2a C 2b  d2 

p

8ab

7

128

Kapitel 7  Längenberechnungen am Dreieck

7.2.19

Eine Klauenkupplung mit formgleichen Klauen soll im Durchgang mit einem Scheibenfräser gefräst werden.

7

a) Bestimmen Sie für einen Innendurchmesser d D 56 mm die Fräserbreite b. b) Berechnen Sie das Prüfmaß x, das dem Lückenmaß entspricht. c) Wie groß muss der Außendurchmesser D werden, wenn kein Werkstoff stehen bleiben soll? d) Wie groß muss der Innendurchmesser d bei einer Fräserbreite b D 25 mm werden?

a)

r bD

d2 d2 d p  D  3 D 24;25 mm 4 16 4

b) xD

56 mm d D D 28 mm 2 2

129 7.2  Pythagoras

c)



2

d2 3 D d2  D  d2 4 4 p D D d  3 D 96;99 mm  97 mm D 2

d) Aus b D

p 3 4

 d ergibt sich

4 4 d D p  b D p  25 mm D 57;74 mm 3 3 7.2.20*

a) Bestimmen Sie die Streifenbreite b in allgemeiner Form. Der Abstand zwischen den Ronden soll der dreifachen Blechstärke entsprechen, der Abstand vom Rand der vierfachen Blechstärke. b) Wie groß wird die Streifenbreite b für d D 50 mm, s D 0;5 mm und n D 8? c) Entwickeln Sie eine Gleichung zur allgemeinen Berechnung der Rondenzahl. d) Wie viele Ronden mit 70 mm Durchmesser lassen sich pro Hub aus einem Blech mit 400 mm Breite und 0,8 mm Blechstärke ausschneiden?

7

130

Kapitel 7  Längenberechnungen am Dreieck

a) Streifenbreite

7

d d C 3s p d C .n  1/   3 C C 4s 2 p 2 2 3 b D 8s C d C  .d C 3s/  .n  1/ 2 b D 4s C

b)

p b D 8  0;5 mm C 50 mm C

3 .50 C 1;5/ mm  7 2

b D 366;2 mm c)

2.b  8s  d / Aus a) n  1 D p 3.d C 3s/ 2.b  8s  d / C1 nD p 3.d C 3s/

d) nD

2.400  8  0;8  70/ mm C 1 D 6;16; d. h. es sind 6 Reihen möglich p 3.70 C 3  0;8/ mm

131 7.2  Pythagoras

7.2.21

Das Getriebegehäuse eines Zahntriebes soll auf dem Lehrenbohrwerk gebohrt werden. Dazu sind die Koordinaten x und y erforderlich.

Modul m D 3 mm, Zähnezahlen: z1 D 32;

z2 D 28;

z3 D 20;

z4 D 18:

Aus den Zähnezahlen lassen sich die Teilkreisdurchmesser berechnen nach der Beziehung d d1 d2 d3 d4

D m  z: D m  z1 D m  z2 D m  z3 D m  z4

D 3 mm  32 D 96 mm D 3 mm  28 D 84 mm D 3 mm  20 D 60 mm D 3 mm  18 D 54 mm

Die genauen geometrischen Verhältnisse ergeben sich aus der folgenden Skizze.

7

132

Kapitel 7  Längenberechnungen am Dreieck

Danach ergibt sich die x-Koordinate als Summe der Radien von Teilkreis 1 und 3. xD

1 .d1 C d3 / D 78 mm 2

Da das Dreieck ABC nicht rechtwinklig ist, könnten wir zur Berechnung von y den Kosinussatz (7 Abschn. 8.2) heranziehen.

7 Einfacher ist es jedoch, wenn wir von dem Teildreieck BCD ausgehen. Dabei lässt sich y mit Hilfe des Satzes von Pythagoras berechnen: y 2 D .69 mm/2  .51 mm/2 y D 46;48 mm

133

Trigonometrie Inhaltsverzeichnis 8.1

Winkelfunktionen am rechtwinkligen Dreieck – 134

8.2

Winkelfunktionen am schiefwinkligen Dreieck – 150

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2020 H. Rapp, J.M. Rapp, Übungsbuch Mathematik für Fachschule Technik und Berufskolleg, https://doi.org/10.1007/978-3-658-31108-7_8

8

134

Kapitel 8  Trigonometrie

Winkelfunktionen am rechtwinkligen Dreieck

8.1

Definition

a Gegenkathete D Hypotenuse c Gegenkathete a tan ˛ D D Ankathete b sin ˛ D

8

Ankathete b D Hypotenuse c Ankathete b 1 cot ˛ D D D Gegenkathete a tan ˛

cos ˛ D

Die reziproken Werte a=b D sec ˛ und c=b D cosec ˛, d. h. die Kehrwerte der Sinus- und Kosinusfunktion werden selten verwendet und sind damit entbehrlich.

1 Spezielle Werte der Winkelfunktionen ˛

0°

30°

45°

60°

90°

120°

135°

150°

180°

x

0

 6

 2

3 4 p 2 2 p



0

2 3 p 3 2

5 6

1 2 p

 3 p

sin x

 4 p 2 2 p 2 2

1 2

0

cos x

1

tan x

0

cot x

–

3 2 p 3 3 p 3

3 2

1 2 p

1

3 p 3 3

1

1 0 – 0

1 2 p  3 p 3  3 

 1 1

2 2

p

3 2 p 3  3 p  3 

1 Umkehrfunktionen und -relationen x

0

arcsin x

0

arccos x

 2

1 2  6  3

p 2 2  4  4

arcsin x C arccos x D

p 3 2  3  6

 2

1  2 0

1 0 –

135 8.1  Winkelfunktionen am rechtwinkligen Dreieck

x

p 3 3  6  3

0

arctan x

0

arccot x

 2

1

p 3

 4  4

 3  6

arctan x C arccot x D

!1  2 0

 2

Diese Tabellen sind entbehrlich, wenn wir uns die Winkelfunktionen der folgenden drei wichtigen Winkel einprägen.

sin 30ı D cos 30ı D

1 2 p

3 2

p 1 2 sin 45ı D p D 2 2 p 2 1 cos 45ı D p D 2 2

p sin 60ı D cos 60ı D

3 2

1 2

Entsprechend lassen sich die Werte der Tangens- und Kotangensfunktion als Quotienten der Sinus- und Kosinusfunktionen berechnen.

8

136

Kapitel 8  Trigonometrie

8.1.1*

Bei einem Grundstück sind die beiden Vermessungspunkte B und C 45 m voneinander entfernt. Sie erscheinen vom Grenzpunkt A unter einem Winkel a D 58;64ı .

8

Welche Größe hat das Grundstück? Wie groß ist die Entfernung CD?

45 m b 45 m D 27;425 m bD tan 58;64ı 1 A D  45 m  b D 617;06 m2 2 CD D b  sin ˛ D 27;425 m  sin 58;64ı tan ˛ D

CD D 23;42 m

137 8.1  Winkelfunktionen am rechtwinkligen Dreieck

8.1.2*

Bestimmen Sie den Winkel ˛ in Abhängigkeit von den Radien R und r, sowie vom Bohrungsabstand a

a) allgemein b) für R D 32 mm, r D 24 mm und a D 80 mm.

Wir erkennen zwei ähnliche Dreiecke, für die gilt: a) ˛ r sin D .1/ 2 x x C a2 x D ; r R

daraus x D

ar 2  .R  r/

Setzt man (1) in (2) ein, so erhält man: sin

r  2  .R  r/ 2  .R  r/ ˛ D D 2 ar a

sin

˛ 2  .32 mm  24 mm/ D D 0;2 2 80 mm

b)

˛ D 23;07ı

.2/

8

138

Kapitel 8  Trigonometrie

8.1.3*

Ein kegliges Werkstück wird mit einer Spantiefe a abgedreht.

a) Entwickeln Sie eine Gleichung zur Berechnung des Durchmessers d2 und des Maßes x. b) Berechnen Sie d2 und x für d1 D 30 mm, ˛ D 25ı und a D 0;2 mm.

8

a) sin ˛ D

a I x

xD

a sin ˛

d1  d2 2x 2x  tan ˛ D d1  d2 d2 D d1  2x  tan ˛

.1/

tan ˛ D

.2/

(1) in (2): 2  a  tan ˛ 2  a  sin ˛ D d1  sin ˛ sin ˛  cos ˛ 2a d2 D d1  cos ˛ d2 D d1 

b) xD

0;2 mm D 0;47 mm sin 25ı

d2 D 30 mm 

2  0;2 mm D 29;56 mm cos 25ı

139 8.1  Winkelfunktionen am rechtwinkligen Dreieck

8.1.4*

Bestimmen Sie das Abstandsmaß x der fünf Schleifsegmente in Abhängigkeit von a, r und D.

a) allgemein b) für D D 120 mm und a D 50 mm?

a)

a a ˇ D D2 D .1/ 2 D 2   ˇ x sin 36ı  D 2 D   ˇ ı x D D  sin 36  2  a Mit (1) wird x D D  sin 36ı  arcsin D

RD

D I 2

sin

8

140

Kapitel 8  Trigonometrie

b) 50 mm ˇ ˇ D D 0;4167I D 24;6243ı 2 120 mm 2 x D 120 mm  sin.36ı  24;6243ı / x D 23;67 mm sin

8.1.5*

Bestimmen Sie bei dem dargestellten Segment die Maße h und H in Abhängigkeit von r, R und ˛.

8

˛ RH D 2  R ˛ H D R  1  cos 2 cos

˛ r h D 2  r ˛ h D r  1  cos 2 cos

141 8.1  Winkelfunktionen am rechtwinkligen Dreieck

8.1.6*

Bestimmen Sie die Maße x und y in Abhängigkeit von d und ˛.

sin

d ˛ D 2I 2 x

xD

d 2  sin ˛2

d d d D ˛ C 2 2  sin 2 2   d 1 yD 1C 2 sin ˛2

yDxC

8

142

Kapitel 8  Trigonometrie

8.1.7

Bestimmen Sie x und y in Abhängigkeit von a, R und ˛.

8

tan

ˇ y D I 2 R

y D R  tan

ˇ 2

Da ˛ C ˇ D 90ı , ist ˇ ˛ 90  ˛ D D 45ı  2 2 2   ˛ y D R  tan 45ı  2 Andererseits ist tan x D a  tan

ˇ 2

ˇ x D , damit ist 2 a  ˛ oder x D a  tan 45ı  2

143 8.1  Winkelfunktionen am rechtwinkligen Dreieck

8.1.8*

Nach dem Brechungsgesetz verhält sich der Sinus des Einfallswinkels in Luft zum Sinus des Brechungswinkels in Wasser wie 4 W 3.

Bestimmen Sie für einen Einfallswinkel von 48,468° den Brechungswinkel ˇ.

sin ˛ Dn sin ˇ sin ˛ sin 48;468ı sin ˇ D D 0;5614 D 4 n 3 ˇ D 34;1554ı 8.1.9*

Bestimmen Sie das Prüfmaß x.

8

144

Kapitel 8  Trigonometrie

tan

d ˛ D 2I 2 b

bD

d 2  tan ˛2

x D a C d C 2b   1 d DaCd  1C x DaCd C tan ˛2 tan ˛2 8.1.10*

Bestimmen Sie das Prüfmaß x.

8

tan

d ˛ D 2I 2 b

bD

d 2  tan ˛2

x D a  d  2b   1 d D a  d  1  x Dad  tan ˛2 tan ˛2

145 8.1  Winkelfunktionen am rechtwinkligen Dreieck

8.1.11*

Bestimmen Sie die Koordinaten x und y.

0;5 mm b 0;5 mm D 1;4619 mm bD sin 20ı sin 20ı D

y xb x2 C y2 D r 2 p Aus .2/W y D r 2  x 2 p r 2  x2 0 ı .2 / in .1/W tan 20 D xb p ı tan 20  .x  b/ D r 2  x 2 tan 20ı D

tan2 20ı  .x 2  2bx C b 2 / D r 2  x 2

.1/ .2/ .20 /

8

146

Kapitel 8  Trigonometrie

x 2  .1 C tan2 20ı /  2b  tan2 20ı  x C b 2  tan2 20ı  r 2 D 0 x2 

2b  tan2 20ı b 2  tan2 20ı  r 2  x C D0 1 C tan2 20ı 1 C tan2 20ı

Mit den gegebenen Zahlenwerten erhält man: x 2  0;34  x  3178;63 D 0 p x1=2 D 0;17 ˙ 0;172 C 3178;63 D 0;17 ˙ 56;38 (negativer Wert unbrauchbar) x D 56;55 mm p y D .60 mm/2  .56;55 mm/2 y D 20;05 mm 8.1.12*

8

Bestimmen Sie für den Steuerhebel das Prüfmaß x.

tan 40ı D

15 mm

AB 15 mm AB D D 17;88 mm tan 40ı AC D 60;05 mm  AB AC D 42;174 mm ME D 66;05 mm  AB ME D 48;17 mm †˛ D †MED D †ACE (Wechselwinkel)

147 8.1  Winkelfunktionen am rechtwinkligen Dreieck

Aus dem 4MED erhält man: sin ˛ D

x C 5 mm ME

.1/

Aus dem 4ACE ergibt sich: sin ˛ D q

15 mm

.2/

.15 mm/2 C .AC /2

Aus (1) D (2) folgt: x C 5 mm ME

15 mm Dq .15 mm/2 C .AC /2

15 mm  ME xDq  5 mm 2 2 .15 mm/ C .AC / 15 mm  48;174 mm  5 mm xDp .15 mm/2 C .42;174/2 x D 11;14 mm 8.1.13*

Die dargestellte Sperrklinke hat die Maße a D 10 mm, r D 35 mm, R D 53;5 mm.

Bestimmen Sie das Maß x.

8

148

Kapitel 8  Trigonometrie

Das Maß x ergibt sich aus folgender Streckendifferenz:

8

x D R  AM

.1/

Die Strecke AM erhalten wir aus dem Dreieck ABM : sin ˇ D

AM I R

AM D R  sin ˇ

.2/

Der Winkel ˇ lässt sich mit Hilfe des Dreiecks BCD berechnen: tan ˇ D

a I Rr

ˇ D arctan

a Rr

.3/

Setzt man (3) und (2) in (1) ein, so erhält man: h x D R  R  sin arctan

a i Rr

Mit den gegebenen Zahlenwerten erhalten wir: x D 28;06 mm

149 8.1  Winkelfunktionen am rechtwinkligen Dreieck

Ø

Ø

8.1.14*

Bestimmen Sie den Winkel ˛.

Wir erhalten folgende geometrische Verhältnisse:

8

150

8

Kapitel 8  Trigonometrie

Dabei zeigt sich, dass wir den Winkel ˛ aus der Winkeldifferenz ˛ D 90ı  ˇ 

berechnen können. Dazu benötigen wir die Winkel ˇ und , die wir folgendermaßen bestimmen: p a D .40 mm/2 C .38 mm/2 D 55;17 mm 3;5 mm tan ˇ D 55;17 mm ˇ D 3;63ı 38 mm 40 mm

D 43;53ı tan D

˛ D 90ı  ˇ 

˛ D 90ı  3;63ı  43;53ı ˛ D 42;84ı

8.2

Winkelfunktionen am schiefwinkligen Dreieck

Sinussatz

151 8.2  Winkelfunktionen am schiefwinkligen Dreieck

8.2.1*

Berechnen Sie den Bohrungsabstand x, sowie den Teilkreisdurchmesser d .

Die Verbindungslinien durch die Kreismittelpunkte ergeben kein rechtwinkliges, sondern ein schiefwinkliges Dreieck.

Mit dem Sinussatz erhalten wir sin ˇ sin 60ı D 65 mm 80 mm 65 mm  sin 60ı D 0;7036I sin ˇ D 80 mm ˇ D 44;72ı Damit ist D 75;28ı (aus der Winkelsumme im Dreieck) x 80 mm D sin

sin 60ı xD

sin  80 mm D 89;34 mm sin 60ı

Der Teilkreisdurchmesser d entspricht dem Umkreisdurchmesser des Dreiecks: dD

80 mm D 92;38 mm sin 60ı

8

152

Kapitel 8  Trigonometrie

8.2.2*

Eine Kraft F D 800 N ist so in zwei Komponenten zu zerlegen, dass die Wirkungslinien dieser Komponenten mit der Wirkungslinie der Kraft F die Winkel ˛ D 10;5ı und ˇ D 48;25ı einschließen. Bestimmen Sie die Größe der Komponenten F1 und F2 .

8

F1 F D sin ˇ sin

D 180ı  .˛ C ˇ/ D 121;25ı F1 D

F  sin ˇ 800 N  sin 48;25ı D sin

sin 121;25ı

F1 D 698;14 N F2 D

F  sin ˛ 800 N  sin 10;5ı D sin

sin 121;25ı

F2 D 170;53 N 8.2.3*

Bestimmen Sie bei dem Wanddrehkran die Stabkräfte für F D 8 kN. Welche Länge haben die Stäbe 1 und 2?

153 8.2  Winkelfunktionen am schiefwinkligen Dreieck

F1 F D sin 50ı sin 30ı F  sin 50ı F1 D D 12;26 kN sin 30ı F2 F D ı sin 100 sin 30ı F  sin 100ı F2 D D 15;76 kN sin 30ı 2;2 m 2;2 m cos 10ı D I l1 D D 2;23 m l1 cos 10ı 2;2 m 2;2 m sin 50ı D W l2 D D 2;87 m l2 sin 50ı 8.2.4*

Um die Entfernung zwischen den Punkten A und C zu bestimmen, die wegen eines Sees und eines teilweise sumpfigen Geländes nicht direkt gemessen werden kann, wird die Entfernung AB zu einem seitlich liegenden Punkt A gemessen und ˛ mit einem Messfernrohr bestimmt.

Berechnen Sie AC für AB D 1230 m, BC D 1000 m und ˛ D 43;28ı .

8

154

Kapitel 8  Trigonometrie

sin

AB

D

sin D

sin ˛ BC AB  sin ˛ BC

D

1230 m  sin 43;28ı 1000 m

D 57;48ı I damit ˇ D 79;24ı

(Winkelsumme im Dreieck)

AC BC D sin ˇ sin ˛

8

AC D

BC  sin ˇ 1000 m  sin 79;24ı D sin ˛ sin 43;28ı

AC D 1433 m 8.2.5*

Bestimmen Sie Höhe h für folgende Messergebnisse: a D 12;26 m

b D 27;35 m

a D 8;34ı

b D 32;27ı

g D 28;25ı

d D 47;17ı

155 8.2  Winkelfunktionen am schiefwinkligen Dreieck

sin ˛ D

a AB

I

AB D

a sin ˛

1. Berechnung von BD mit ABD BD AB D sin.ˇ  ˛/ sin.  ˇ/ BD D

AB  sin.ˇ  ˛/ a  sin.ˇ  ˛/ D sin.  ˇ/ sin ˛  sin.  ˇ/

2. Berechnung von BD mit BDF sin ı D

hCb

I BD D

hCb sin ı

BD .2/ D .1/ hCb a  sin.ˇ  ˛/ D sin ı sin ˛  sin.ı  ˇ/ a  sin ı  sin.ˇ  ˛/ hD b sin ˛  sin.ı  ˇ/

.2/

Winkelberechnung: †EDB D 90ı  ıI †EDA D 90ı  ˇI †ADB D 90ı  ˇ  90ı C ı D ı  ˇ D 14;9ı ˇ  ˛ D 23;93ı 12;26 m  0;733351  0;4056 hD  27;35 m 0;1450  0;2571 h D 70;49 m

.1/

8

156

Kapitel 8  Trigonometrie

8.2.6*

Bestimmen Sie für das dargestellte Schaltrad die Frästiefe x

a) allgemein b) für z D 32 Zähne, r D 15 mm und ˛ D 60ı

8

a)

b)

r x r D sin.˛  ˇ/ sin.180ı  ˛/ r  sin.˛  ˇ/ r x D sin.180ı  ˛/ r  sin.˛  ˇ/ xDr sin.180ı  ˛/ " #  ı sin ˛  360 z x Dr  1 sin.180ı  ˛/

360ı 360ı D D 11;25ı z 32  sin 48;75ı x D 15 mm  1  sin 120ı x D 1;98 mm

Mit ˇ D

157 8.2  Winkelfunktionen am schiefwinkligen Dreieck

8.2.7* m Eine Strömungsgeschwindigkeit v1 D 480 min wird durch eine Gegenströmung verringert. Welche Geschwindigkeit vr ergibt sich, wenn sich der Richtungswinkel von ˛ D 28ı zu ˇ D 41;51ı verändert?

Wie groß ist damit die Geschwindigkeit v2 der Gegenströmung?

vr v1 D ı sin ˛ sinŒ180  ..ˇ  ˛/ C ˛/ m  sin 28ı 480 min v1  sin ˛ D sinŒ180ı  ˇ sin 138;49ı m vr D 340 min

vr D

v2 v1 D sin.ˇ  ˛/ sinŒ180ı  ˇ m  sin 13;51ı 480 min v1  sin.ˇ  ˛/ D sinŒ180ı  ˇ sin 138;49ı m v2 D 169;20 min

v2 D

8

158

Kapitel 8  Trigonometrie

8.2.8*

Das dargestellte Glasprisma mit der Seitenlänge a und g D 60ı hat eine Brechungszahl n D 32 .

Bestimmen Sie den Ablenkungswinkel " sowie den Weg des Lichtstrahls im Prisma in halber Prismenhöhe. a) allgemein b) für ˛ D 30ı und 45ı .

8

a) Weg des Lichtstrahls im Prisma

p  sin

a 3 AB D D sin.90ı C ˇ  / 4  sin.ˇ C 30ı / p a 3 p AB D 2  3  sin ˇ C cos ˇ a 2

" D ˛  ˇ C ˛1  ˇ1 ; " D ˛ C ˛1  60ı

oder mit ˇ1 D 60ı  ˇ

b) ˛ D 30ı W

2 1  sin 30ı D I ˇ D 19;47ı 3 3 sin ˛1 D 1;5  sin ˇ1 D 1;5  sin.60ı  ˇ/ ˛1 D 77;1ı ; sin ˇ D

" D 47;1ı I

AB D 0;57  a

159 8.2  Winkelfunktionen am schiefwinkligen Dreieck

ı

˛ D 45 W

p 2 2 ı sin ˇ D  sin 45 D I ˇ D 28;13ı 3 3 sin ˛1 D 1;5  sin ˇ1 D 1;5  sin.60ı  ˇ/ ˛1 D 52;37ı " D 37;38ı I

AB D 0;51  a

Kosinussatz

8.2.9*

Eine Kraft F D 1;2 kN ist so in zwei Komponenten zu zerlegen, dass deren Wirkungslinien mit F die Winkel ˛ D 25ı und ˇ D 35ı einschließen. Wie groß sind damit die Komponenten F1 und F2 ?

8

160

Kapitel 8  Trigonometrie

Da keine Komponente bekannt ist, wollen wir die Komponente F2 zunächst berechnen. Dazu benötigen wir den Sinussatz. F2 F D sin ˛ sin 120ı F2 D F 

sin ˛ sin 35ı D 1;2 kN  sin 120ı sin 120ı

F2 D 0;5856 kN D 585;6 N Die Kraft F1 könnte ebenfalls mit dem Sinussatz berechnet werden. Wir wollen sie jedoch mit dem Kosinussatz berechnen. Berechnung von F1 nach dem Kosinussatz F12 D F 2 C F22  2  F  F2  cos ˇ F12 D .1;2 kN/2 C .0;5856 kN/2  2  1;2 kN  0;5856 kN  cos 35ı

8

F1 D 794;8 N 8.2.10*

Zwei in einem Punkt angreifende Kräfte F1 und F2 bilden einen Winkel von 50ı . a) Berechnen Sie die Resultierende für F1 D 1;8 kN und F2 D 0;7 kN. b) Welchen Winkel bilden die Kräfte F1 und F2 mit der Resultierenden?

a) Berechnung nach dem Kosinussatz F 2 D F12 C F22  2  F1  F2  cos 130ı F 2 D .1;8 kN/2 C .0;7 kN/2  2  1;8 kN  0;7 kN  cos 130ı F D 2313 N

161 8.2  Winkelfunktionen am schiefwinkligen Dreieck

b)

F12 D F22 C F 2  2  F2  F  cos ˇ F22 C F 2  F12 2  F  F2 .0;7 kN/2 C .2;313 kN/2  .1;8 kN/2 cos ˇ D 2  .1;8 kN/  .0;7 kN/ ı ˇ D 36;59 I ˛ D 50ı  ˇ D 13;41ı

cos ˇ D

8.2.11*

Welche Winkel schließen die Mittelpunktslinien ein? d1 D 70 mm;

cos ˛ D

d2 D 50 mm;

d3 D 35 mm:

52;52 C 602  42;52 D 0;7222 2  52;5  60

˛ D 43;76ı cos ˇ D

602 C 42;52  52;52 D 0;5196 2  60  42;5

ˇ D 58;69ı I

D 180ı  ˛  ˇ D 57;54ı

8

162

Kapitel 8  Trigonometrie

8.2.12*

Auf dem Umfang sind fünf Langlochschlitze von 38 mm Länge vorhanden.

Berechnen Sie den Winkel ˛.

8

Nach dem Kosinussatz gilt die Zahlenwertgleichung: .22/2 D .55/2 C .65/2  2  55  65  cos ˛ cos ˛ D

552 C 652  222 D 0;94629 2  55  65

˛ D 18;86ı 8.2.13*

Bestimmen Sie für den Dachbinder die Stablänge c. a D 2;20 m;

b D 3;00 m;

˛ D 15ı :

163 8.2  Winkelfunktionen am schiefwinkligen Dreieck

c 2 D a2 C b 2  2  a  b  cos ˛ c 2 D 2;22 C 32  2  2;2  3  cos 15ı c D 1;09 m 8.2.14*

Berechnen Sie die Entfernung von A nach B, die wegen eines unzugänglichen Geländes nicht unmittelbar gemessen werden kann. AC D 75 m;

BC D 168 m;

D 108ı 460

c 2 D 1682 C 752  2  168  75  cos 108;77ı c D AB D 204;83 m 8.2.15*

Berechnen Sie die Mittelpunktskoordinaten x und y

a) allgemein b) für a D 40 mm, b D 20 mm, r1 D 30 mm, r2 D 10 mm, r3 D 25 mm.

8

164

Kapitel 8  Trigonometrie

a) Berechnung von x: x r1 C r2 x D .r1 C r2 /  sin 1

sin 1 D

8

.1/

Bestimmung von 1 über ˛1 und ˇ1 :

1 D 180ı  ˛1  ˇ1 a tan ˛1 D .2/ b p .r2 C r3 /2 D .r1 C r2 /2 C .a2 C b 2 /  2  .r1 C r2 /  a2 C b 2  cos ˇ1 .r1 C r2 /2 C .a2 C b 2 /  .r2 C r3 /2 p 2  .r1 C r2 /  a2 C b 2 y D .r1 C r2 /  cos 1 .4/

cos ˇ1 D

.3/

b) a 40 D arctan D 63;435ı b 20 .30 C 10/2  .402 C 202 /  .10 C 25/2 p cos ˇ1 D D 0;6638 2  .30 C 10/  402 C 202 ˇ1 D 48;41ı I 1 D 180ı  ˛1  ˇ1 D 68;16ı ˛1 D arctan

x D 40 mm  cos 1 D 14;88 mm

165 8.2  Winkelfunktionen am schiefwinkligen Dreieck

8.2.16*

Berechnen Sie für das Langloch

a) den Radius r, b) die Bogenlänge b des Führungsschlitzes.

a)

r 2 D 602 C .r  52/2  2  60  .r  52/  cos 120ı r 2 D 602 C r 2  104r C 522  120  .r  52/  cos 120ı 44r D 3184 r D 72;36 mm

b) Bogenlänge von ˛: 602 D r 2 C .r  52/2  2r  .r  52/  cos ˛ 2r 2  104r C 522  602 D 0;696 2r 2  104r ˛ D 45;89ı ˛  2  r bD D 57;96 mm 360ı

cos ˛ D

8

166

Kapitel 8  Trigonometrie

8.2.17*

Berechnen Sie den Schnittwinkel der Tangenten in den Schnittpunkten zweier Kreise, deren Mittelpunkte den Abstand a haben. d1 D 70 mm;

d2 D 50 mm;

a D 55 mm:

Welche Länge hat die gemeinsame Sehne?

8

Berechnung der Winkel mit Hilfe des Kosinussatzes: 352 C 252  552 D 0;67143I 2  35  25

D 132;18ı

cos D

352 C 552  252 D 0;94156I 2  35  55 ˛1 D 19;68ı

cos ˛1 D

252 C 552  352 D 0;88182I 2  25  55 ı ˇ D 28;14

cos ˇ D

Berechnung der Sehne s: sin ˛1 D

s 2

35 mm s D 23;57 mm

I

s D 2  35 mm  sin 19;68ı

167 8.2  Winkelfunktionen am schiefwinkligen Dreieck

Schnittwinkel ˛: Der Gesamtwinkel ist:

C 90ı C ˛ C 90ı D 360ı ; daraus ˛ D 180ı 

˛ D 47;82ı 8.2.18*

Berechnen Sie die Entfernung DC für AB D 128 m.

a D 24;17ı

b D 32;25ı

g D 76;83ı

d D 26;67ı

" D 180ı  .˛ C ˇ C ı/ D 96;9166ı "0 D 180ı  .˛ C / D 79ı c 2 D d 2 C e 2  2  d  e  cos ˇ

8

168

Kapitel 8  Trigonometrie

a  sin ı 128 m  sin 26;6667ı D 57;87 m D sin " sin 96;9166ı a  sin

128 m  sin 76;83ı D D 126;97 m e D AC D sin "0 sin 79ı p c D d 2 C e 2  2  d  e  cos ˇ

d D AD D

c D CD D 83;92 m 8.2.19*

Ein Behälter hat die Form eines schiefen Kegels mit den Abmessungen a D 70 cm, b D 50 cm und r D 30 cm.

8

Berechnen Sie den Spitzenwinkel , den Neigungswinkel ˛ und das Fassungsvermögen.

Spitzenwinkel : .2r/2 D a2 C b 2  2  a  b  cos

cos D

702 C 502  4  302 a2 C b 2  4  r 2 D 2ab 2  70  50

D 57;12ı

169 8.2  Winkelfunktionen am schiefwinkligen Dreieck

Neigungswinkel ˛: 50 cm  sin 57;12ı b  sin

D D 0;6999 2r 60 cm ˛ D 44;42ı sin ˛ D

sin ˛ D

h I a

h D a  sin ˛

1 1   r 2  a  sin ˛ D    .30 cm/2  70 cm  sin 44;42ı 3 3 V D 46:167;43 cm3 D 46;17 dm3

V D

8

171

Analytische Geometrie Inhaltsverzeichnis 9.1

Geraden und Strecken – 172

9.2

Kreis und Gerade – 174

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2020 H. Rapp, J.M. Rapp, Übungsbuch Mathematik für Fachschule Technik und Berufskolleg, https://doi.org/10.1007/978-3-658-31108-7_9

9

172

Kapitel 9  Analytische Geometrie

> Lehrbuch Kapitel 10 9.1

Geraden und Strecken 9.1.1*

Bestimmen Sie die Länge der Strecke P1 P2 und die Steigung für P1 .1I 2/ und P2 .4I 2/

p p Länge der Strecke: P1 P2 D .4  .1//2 C .2  2/2 D 41 D 6;4 LE. y 2  2 4 Steigung: m D D D x 4  .1/ 5 9.1.2

Eine Gerade schneidet die Koordinatenachsen in den Punkten Sx .4I 0/ und Sy .0I 12/. Bestimmen Sie die Gleichung der Geraden.

9 Geradengleichungen können auf verschiedene Weise berechnet werden. Da zwei Punkte gegeben sind, kann die Geradengleichung mit der Hauptgleichung y D mx C b oder mit der Zwei-Punkte-Gleichung berechnet werden. In diesem Fall, in dem die Achsenabschnitte gegeben sind, eignet sich auch die Achsenabschnittsgleichung: x y C D 1I a b

x y C D 1I 4 12

y D 3x  12

9.1.3*

Bestimmen Sie den Abstand der Geraden y D 0;5x C 3 vom Ursprung.

Abstandsberechnungen lassen sich leicht mit der Hesse-Gleichung berechnen. Dazu formen wir die Gleichung wie folgt um: s r p  2 1 5 5 0;5x C y  3 D 0I Korrektur-Faktor k D C 12 D D 2 4 2 2y 23 x p C p  p D0 5 5 5 ˇ ˇ ˇ 6 ˇ 6 ˇ Abstand vom Ursprung: d D ˇ p ˇˇ D p D 2;68 LE. 5 5 Hesse-Gleichung:

173 9.1  Geraden und Strecken

9.1.4*

Wie lautet die Gleichung der Geraden, die vom Ursprung den Abstand d D 4 besitzt und durch den Punkt P .4I 1/ geht?

Hauptform der Geradengleichung: y D mx C b Punktprobe mit P .4I 1/: 1 D 4m C b; b D 1 C 4m (1) Abstand vom Ursprung (nach der Hessegleichung): dDp

b m2 C 1

D 4I

b D4

p

m2 C 1

.2/

p Gleichsetzen von (1) und (2): 4 m2 C 1 D 1 C 4m;

mD

15 8

(3)

17 15 D 8 2 17 15 xC yD 8 2

(3) in (2): b D 1 C 4  Geradengleichung: 9.1.5*

Bestimmen Sie den Abstand der beiden parallelen Geraden g1 W y D 2x C 3

und

g2 W y D 2x  2:

3 3 Dp 4C1 5 2 2 Abstand der Geraden g2 vom Ursprung: p2 D p Dp 4C1 5 1 Abstand der parallelen Geraden: d D jp1  p2 j D p D 0;45 LE 5 Abstand der Geraden g1 vom Ursprung: p1 D p

9.1.6

Unter welchem Winkel und in welchem Punkt schneiden sich die Geraden g1 W y1 D 2x C 3 und

2 g2 W y2 D  x C 2‹ 5

Schnittpunkt S: y1 D y2 2 2x C 3 D  x C 2I 5

xD

5 I 12

yD

13 6

Schnittpunkt der Geraden: S .0;42I 2;17/

9

174

Kapitel 9  Analytische Geometrie

Schnittwinkel: tan ˛1 D 2I 2 tan ˛2 D  I 5

˛1 D arctan 2 D 63;43ı   2 ˛2 D arctan  D 21;80ı D 338;20ı 5

Schnittwinkel der Geraden: ı D ˛2  ˛1 D 274;77ı 9.1.7*

Vom Punkt A .5I 4/ wird das Lot gefällt auf die Gerade 2x C 6y D 6. Bestimmen Sie die Gleichung der Lotgeraden.

1 Gleichung der Geraden: y D  x C 1 3 Aus der Orthogonalitätsbedingung m1 m2 D 1 ergibt sich für die Lotgerade m2 D 3 Gleichung der orthogonalen Lotgeraden: y D 3x C b Punktprobe mit A .5I 4/: 4 D 3  5 C b; b D 11 Gleichung der Lotgeraden: y D 3x  11

9 9.2

Kreis und Gerade 9.2.1

a) Bestimmen Sie die Gleichung eines Kreises mit dem Radius r D 5 und dem Mittelpunkt M .2I 6/. b) Welche Gleichung hat ein Kreis mit dem Mittelpunkt M .6I 4/, der die y-Achse berührt?

a) Kreisgleichung: .x  xM /2 C .y  yM /2 D r 2 Für M .2I 6/ und r D 5 lautet die Kreisgleichung: .x C 2/2 C .y C 6/2 D 25 b) Aus der Lage des Mittelpunktes, der 6 Längeneinheiten von der y-Achse entfernt ist, ergibt sich, dass r D 6 sein muss. Die Kreisgleichung lautet: .x C 6/2 C .y  4/2 D 36 9.2.2*

Bestimmen Sie die Gleichung des Kreises, der durch den Punkt P .5I 8/ geht und die beiden Koordinatenachsen berührt.

Aus der Darstellung ergibt sich, dass der Radius bei Berührung mit den Koordinatenachsen r D xM D yM sein muss. Berücksichtigt man dies, so erhält man die Gleichung 2 .x  xM /2 C .y  xM /2 D xM

175 9.2  Kreis und Gerade

Punktprobe mit P .5 j 8/: 2 .5  xM /2 C .8  xM /2 D xM 2 2 2 25  10xM C xM C 64  16xM C xM D xM

.xM /1=2

2 xM  26xM C 89 D 0 p p D 13 ˙ 169  89 D 13 ˙ 80 .xM /1 D 21;94427 .xM /2 D 4;0557

Kreisgleichungen: .x  21;94/2 C .y  21;94/2 D 21;942 .x  4;06/2 C .y  4;06/2 D 4;062 9.2.3*

Ein Kreis soll durch die Punkte A .12I 8/, B .2I 6/ und C .5I 0/ gehen. Bestimmen Sie die Kreisgleichung.

Bestimmung des Kreismittelpunktes als Schnittpunkt der Mittellote zweier Verbindungsgeraden z. B. AB und BC : Streckenmitte von AB: D.7I 1/ y 14 yB  yA 7 Steigung von AB: m1 D D D D x xB  xA 10 5 Streckenmitte von BC : F .1;5I 3/ 6 6 Steigung von BC : m2 D D 7 7 5 Mittellot durch D .7I 1/ mit m3 D  : 7 eingesetzt in die Geradengleichung y D mx C b 5  1 D   .7/ C b; daraus b D 6 7 5 y1 D   x  6 .1/ 7 7 Mittellot durch F .1;5I 3/ mit m4 D : 6 eingesetzt in die Geradengleichung: 7 5  .1;5/ C b; daraus b D D 1;25 6 4 7 5 .2/ y2 D  x C 6 4

3D

9

176

Kapitel 9  Analytische Geometrie

Schnitt der Mittellote: .1/ D .2/ 7 5 5  x 6 D x C 7 6 4 x D 3;8544I

yD

5 7  .3;8544/ C D 3;2468 6 4

Berechnung des Radius mit Hilfe des Pythagoras: CM D r D

p .5 C 3;8544/2 C .3;2468/2 D 9;4309

Kreisgleichung:

.x C 3;85/2 C .y C 3;25/2 D 9;432

9.2.4*

Bestimmen Sie den Mittelpunkt und den Radius bei folgenden Kreisgleichungen: a) x 2 C y 2 C 4y D 0 b) 3x 2 C 3y 2  9x C 6y  8 D 0

9 a) Kreisgleichung: x 2 C y 2 C 4y C 4 D 4 (quadratische Ergänzung) x 2 C .y C 2/2 D 22 Mittelpunkt und Radius: b) Kreisgleichung:

M .0I 2/; r D 2

3x 2 C 3y 2  9x C 6y  8 D 0 3x 2  9x C : : : C C3y 2 C 6y C : : : D 8 8 x 2  3x C 1;52 C y 2 C 2y C 12 D C 1;52 C 12 (quadratische Ergänzung) 3 71 .x  1;5/2 C .y C 1/2 D 12 r 71 Mittelpunkt und Radius: M .1;5I 1/; r D D 2;43 12 9.2.5*

Ein Kreis ist durch die Relationsgleichung y 2 D 25  .x  3/2 gegeben. Bestimmen Sie die Koordinaten des Mittelpunktes und den Radius.

Mittelpunkt und Radius:

.x  3/2 C y 2 D 25, daraus M .3I 0/; r D 5

177 9.2  Kreis und Gerade

9.2.6*

In welchen Punkten schneidet die Gerade x D 2y C 4 den Kreis mit der Relationsgleichung x 2 C y 2 D 120?

x D 2y  4 .1/

Gerade:

x 2 C y 2 D 120

Kreis:

.2/

(1) eingesetzt in (2): .2y  4/ C y D 120 2

2

4y 2  16y C 16 C y 2 D 120 5y 2  16y  104 D 0 16 104 D0 y2  y  5 5 r r 64 584 8 104 8 y1=2 D ˙ C D ˙ 5 25 5 5 25 x1 D 8;866 y1 D 6;433 eingesetzt in (1): y2 D 3;233 eingesetzt in (1): x2 D 10;466 S1 .8;87I 6;43/; S2 .10;47I 3;23/

Schnittpunkte: 9.2.7*

Ein Kreis berührt die Gerade 2x  4y D 8. Bestimmen Sie die Gleichung dieses Kreises, dessen Mittelpunkt M .4I 3/ ist.

Die Gerade ist damit Tangente mit der Gleichung y D 0;5x  2 .1/ Die Normale hat somit die Gleichung y D 2x C b

.2/

Da M .4I 3/ auf der Normalen liegen muss, erhalten wir mit der Punktprobe 3 D 2.4/ C bI

b D 5

Gleichung der Normalen: y D 2x  5 .3/ Schnittpunkt von Normale und Tangente: .1/ D .3/ 0;5x  2 D 2x  5 x D 1;2I y D 2;6 S .1;2I 2;6/

9

178

Kapitel 9  Analytische Geometrie

Berechnung des Radius mit Hilfe des Pythagoras: p p MS D r D .4  1;2/2 C .3 C 2;6/2 D 39;2 D 6;26 Kreisgleichung:

.x C 4/2 C .y  3/2 D 39;2

9.2.8*

Ein Kreis mit dem Durchmesser 8 berührt die Gerade g W y D xC3 im Punkt P .2;5I 0;5/. Bestimmen Sie die möglichen Kreis-Mittelpunkte und geben Sie die Kreisgleichungen an.

Gleichung der Normalen zu g: y D x C b Punktprobe mit P .2;5I 0;5/: 0;5 D 2;5 C b, daraus b D 2 Normalengleichung: y D x  2 (1) Da der Kreismittelpunkt gesucht ist, formulieren wir die Kreisgleichung mit dem allgemeinen Mittelpunkt M .x1 I y1 /, wobei berücksichtigt wird, dass der Punkt P .2;5I 0;5/ auf dem Kreis liegt. Kreisgleichung:

9

.2;5  x1 /2 C .0;5  y1 /2 D 16 .2/ Da die Normale auch durch den Mittelpunkt M .x1 I y1 / geht, müssen die Mittelpunktskoordinaten die Normalengleichung ebenfalls erfüllen und wir erhalten das folgende Gleichungssystem, das wir mit dem Einsetzungsverfahren lösen. y1 D x1  2 .2;5  x1 / C .0;5  y1 /2 D 16 2

.1/ .2/

(1) in (2): .2;5  x1 /2 C .0;5 C x1 C 2/2 D 16 .2;5  x1 /2 C .2;5 C x1 /2 D 16 2  2  5 5 C x1 D 16   x1 C 2 2 25 25 C 5x1 C x12 C C 5x1 C x1 2 D 16 4 4 2x12 C 10x1  3;5 D 0 x12 C 5x1  x1=2

5 D ˙ 2

x1 D 0;3284I

r

7 D0 4

25 7 5 p C D ˙ 8 4 4 2

y1 D 2;3284I

Kreisgleichungen: .x  0;33/2 C .y C 2;33/2 D 16 .x C 5;33/2 C .y  3;33/2 D 16

x2 D 5;3284I

y2 D 3;3284

179 9.2  Kreis und Gerade

9.2.9*

Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an den Kreis mit der Gleichung x 2 C y 2 D 7, die parallel zu der Geraden y D x C 8 verläuft.

Die Gleichung der Tangente im Berührpunkt B.x1 I y1 / an den Kreis k: x 2 C y 2 D 7 lautet in allgemeiner Form xx1 C yy1 D 7. Diese Gleichung lösen wir nach y auf und erhalten als Kreistangente: yD

7 x1 xC y1 y1

.1/

y1 D 1, daraus y1 D x1 x1 Gleichung der Normalen: y D x .2/ Schnitt der Normalen mit dem Kreis: Steigung der Normalen: 

x2 C x2 D 7 2x D 7I 2

r x1=2 D ˙

7 2

r ! r ! r 7 7 7 7 Berührpunkte: B1 I ; B2  I 2 2 2 2 p p Tangenten: yI D x C 14; yII D x  14 r

9.2.10*

Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente im Punkt P .7I 8/ des Kreises k: .x  3/2 C .y  6/2 D 20:

.x  3/.x1  3/ C .y  6/.y1  6/ D 20 Punktprobe für den Berührpunkt: P .7I 8/: .x  3/.7  3/ C .y  6/.8  6/ D 20 4.x  3/ C 2.y  6/ D 20 4x  12 C 2y  12 D 20 Gleichung der Tangente: t: y D 2x C 22

9

180

Kapitel 9  Analytische Geometrie

9.2.11*

Berechnen Sie den senkrechten Abstand der Geraden g: 1 y D  x C 6 vom Kreis k: x 2 C y 2 D 16: 4

Schnitt der Orthogonalen zu g mit dem Kreis: k W x 2 C y 2 D 16. Orthogonale: y D 4x (D Senkrechte zur Geraden g mit der Steigung m D  14 ) eingesetzt in die Kreisgleichung: x 2 C .4x/2 D 16 17x D 16I 2

9

r x1=2 D ˙

16 I 17

r y1=2 D ˙4

16 17

Schnittpunkte: S1 .0;97I 3;88/; S1 .0;97I 3;88/ Abstand der Punkte vom Kreismittelpunkt: r D 4 6 D 5;82 Abstand der Geraden vom Ursprung: p D p 0;252 C 1 Abstand der Geraden vom Kreis: d D 5;82  4 D 1;82 LE 9.2.12*

Berechnen Sie den senkrechten Abstand der Geraden y D 2x C 1 vom Kreis kW .x  4/2 C .y C 2/2 D 6;25:

1 Orthogonale zu g: y D  x C b 2 Punktprobe mit dem Kreismittelpunkt M .4I 2/: 2 D  12  4 C b; b D 0 p Abstand des Ursprungs vom Punkt M .4I 2/: p D 42 C 22 D 4;47 Abstand der Geraden g vom Kreis: d D p  r D 4;47  2;5 D 1;97 LE

181 9.2  Kreis und Gerade

9.2.13*

Bestimmen Sie die Koordinaten a) der Punkte P1 und P2 , b) des Punktes S, c) die Länge des Abstandes a. y 10

P2

°

0

R3

s P1 40

a

x

120

a) Kreisgleichung der Ausrundung: x 2 C y 2 D 900 (1) 1 Normalengleichung (Normale durch P2 ): y D  x tan 10ı Schnitt der Normalen mit dem Kreis: (2) eingesetzt in (1):

(2)

x 2 D 900 tan 10ı x D 5;2094; mit Gl. (2) y D 29;544

 x2 C 

Wir erhalten damit für die Kreispunkte folgende Koordinaten: P1 .30I 0/ und P2 .5;2094I 29;544/ b) Tangentengleichung (Tangente in P2 ): xx1 C yy1 D 900 .3/ 900 x1  x yD y1 y1 900  15;8694 D 14;59 29;544 Der Punkt S hat damit die Koordinaten S .90I 14;59/ c) Der Abstand a ergibt sich aus a D .40 C 14;59/ mm D 54;59 mm Mit y1 D 29;544 und x D 90 ergibt sich y D

9

182

Kapitel 9  Analytische Geometrie

9.2.14*

Bestimmen Sie für die Maße a D 60 mm, b D 25 mm, c D 60 mm, d D 12 mm a) die Gleichung der Kreislinie um D mit Radius r D .c C d / (Kreis 1) b) die Gleichung der Kreislinie um A mit Radius r D d (Kreis 2) c) den Schnittpunkt C von Kreis 1 und Kreis 2 d) die Koordinaten des Punktes B y a

D b

x

d

A

c

B

d

9

C

=1 Rs

a) Kreisgleichung des Kreises um Punkt D (Kreis 1): x 2 C y 2 D 722 b) Kreisgleichung des Kreises um Punkt A (Kreis 2):

(1)

.x  a/2 C .y  b/2 D d 2 .x  60/2 C .y  25/2 D 122

.2/

c) Schnitt von Kreis p 1 und Kreis 2: Aus (1) y D ˙ 722  x 2 , eingesetzt in Gleichung (2): p .x  60/2 C . 722  x 2  25/2 D 122 p x 2  120x C 602 C 722  x 2  50  722  x 2 C 252 D 122 9265  120x D 50 

p 722  x 2

6;76x 2  889;44x C 29:152;09 D 0 x 2  131;574x C 4312;44 D 0 x1 D 69;72; y1 D 17;97 x2 D 61;85; y2 D 36;86 Schnittpunkt der Kreise: C.61;85I 36;856/ d) B als Schnittpunkt der Gerade CD mit dem Kreis um D mit dem Radius r D c C 1 D 61 mm

183 9.2  Kreis und Gerade

36;856  x (1) 61;852 Kreis um D: x 2 C y 2 D 612 (2) (1) in (2): Gerade CD: y D 

 2 36;856 x C   x D 612 61;852 2

x 2 D 2745;99 x1=2 D ˙52;40 (negativer Wert unbrauchbar) Mit (1): y D 31;225 Koordinaten des Schnittpunktes B: B.52;40I 31;22/

9

185

Flächenberechnung (Planimetrie) Inhaltsverzeichnis 10.1

Geradlinig begrenzte Flächen – 186

10.2

Kreisförmig begrenzte Flächen – 192

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2020 H. Rapp, J.M. Rapp, Übungsbuch Mathematik für Fachschule Technik und Berufskolleg, https://doi.org/10.1007/978-3-658-31108-7_10

10

186

Kapitel 10  Flächenberechnung (Planimetrie)

> Lehrbuch Kapitel 15 10.1

Geradlinig begrenzte Flächen

10.1.1*

Berechnen Sie die Querschnittsfläche.

Flächen dieser Art lassen sich aus elementaren Grundflächen additiv oder subtraktiv (indem man z. B. Leerflächen von einer Gesamtfläche abzieht) zusammensetzen.

10

 1 A D Œ10  .4  1;6/ cm2 C 5  1;6   3  1;6 cm2 D 29;6 cm2 „ ƒ‚ … 2 „ ƒ‚ … Rechteck Trapez

10.1.2*

Berechnen Sie die Querschnittsfläche.

Für das Trapez ist noch die Grundseite zu berechnen.

187 10.1  Geradlinig begrenzte Flächen

Bei einem Winkel von 60° handelt es sich um ein gleichseitiges Dreieck. Die Höhe im gleichseitigen Dreieck ist hD

a p  3: 2

p 2  24 mm 2h D 16  3 mm. p Damit ist a D p D 3 3 Die Querschnittsfläche ist damit    p 1 cm2 D 38;27 cm2 A D 4  14  2;4  6 C  2;4  16  3 2 10.1.3*

Ein Vierkantstahl nach DIN 1014 mit 30 mm Kantenlänge soll auf eine Dicke von 20 mm heruntergewalzt werden. Wie breit wird damit das Rechteckprofil? Auf welche Dicke müsste der Stahl heruntergewalzt werden, wenn sich die Rechteckseiten wie 2 W 3 verhalten sollen ?

Die neue Querschnittsfläche ist A D 20 mm  b. A 30 mm  30 mm Damit ist b D D D 45 mm. 20 mm 20 mm

Wenn sich die Kantenlängen wie 2 W 3 verhalten, ergibt sich als Querschnittsfläche A D 2x  3x D 6x 2 :

10

188

Kapitel 10  Flächenberechnung (Planimetrie)

Der Proportionalitätsfaktor ist somit r xD

A D 6

r

p 900 mm2 D 150 mm 6

Die Dicke des Walzprofils ist damit s D 2 

p 150 mm D 24;49 mm

10.1.4*

Ein Schnittabfall hat die Form eines Parallelogramms.

Berechnen Sie die Fläche A für a D 19 mm; b D 9 mm und c D 25 mm:

10

Die Fläche lässt sich aus zwei Dreiecksflächen zusammensetzen. Dazu benötigen wir die Dreieckshöhe h. Sie berechnet sich aus sin ˛ D

h I b

h D b  sin ˛

Den Winkel ˛ berechnen wir mit dem Kosinussatz: a2 D b 2 C c 2  2  b  c  cos ˛ cos ˛ D

b 2 C c 2  a2 92 C 252  192 D D 0;7667I 2bc 2  9  25

Die Parallelogrammfläche hat somit den Flächeninhalt AD2

1  c  h D c  h D c  b  sin ˛ 2

A D 144;45 mm2

˛ D 39;94ı

189 10.1  Geradlinig begrenzte Flächen

10.1.5*

50 cm

x

Ein Luftschacht von quadratischem Querschnitt soll außen von einem zweiten Schacht umgeben werden.

x

50 cm

Welches Abstandsmaß x ergibt sich, wenn eine Querschnittsfläche von 1056 cm2 für den Zwischenraum gefordert ist? (Die Wandstärke des Bleches soll jeweils unberücksichtigt bleiben.)

Die mittlere Restfläche hat den Flächeninhalt A D 50 cm  50 cm  1056 cm2 D 1444 cm2 p Damit ist die Kantenlänge des Quadrates a D 1444 cm2 D 38 cm. Die Stegbreite berechnet sich zu x D 12  .50 cm  38 cm/ D 6 cm 10.1.6*

Berechnen Sie das Maß x und damit die Fläche A des schattierten Dreiecks in Abhängigkeit von a, b und c.

x

a) allgemein b) für a D 35 mm, b D 40 mm, c D 65 mm.

10

190

Kapitel 10  Flächenberechnung (Planimetrie)

a) Die Fläche A berechnen wir mit Hilfe der Teilflächen A1 D a  b D x  .c  b/. Damit ist ab xD cb 1 a  b2 AD bx D 2 2  .c  b/ b)

35 mm  40 mm D 56 mm .65  40/ mm 1 A D  40 mm  56 mm D 1120 mm2 2

xD

10 10.1.7*

Berechnen Sie die Fläche in Abhängigkeit von a und der Stegbreite s a) allgemein b) für a D 100 mm und s D 12 mm

a)

A D 5s  .a  2s/ C „ ƒ‚ … senkrechte Stege

2 a  …s „ ƒ‚

D 5as  10  s 2 C 2as D 7as  10s 2

waagrechte Stege

A D s  .7a  10s/ b) A D 12 mm  .7  100 mm  10  12 mm/ D 6960 mm2

191 10.1  Geradlinig begrenzte Flächen

10.1.8*

Berechnen Sie die Fläche in m2 .

Die Gesamtfläche setzt sich aus mehreren Teilflächen zusammen: A1 D 0;9 m  .AG  GH / m Berechnung der Strecke GH : Aus der Ähnlichkeit der Dreiecke GEF  GHI folgt (nach dem Strahlensatz): FG 1;8 m D 0;9 m GH Dabei ist GH D

p

.1;2 m/2  .0;9 m/2 D

p 0;63 m

Aus dem GHI erhalten wir sin ˛ D

0;9 m D 0;75 und ˛ D 48;6ı 1;2 m

und F G D

1;8 m  0;9 m p D 2;04 m 0;63 m

10

192

Kapitel 10  Flächenberechnung (Planimetrie)

Die Strecke AG berechnet sich mit sin ˛ D AG D

1;8 m AG

zu

1;8 m 1;8 m D 2;4 m D sin ˛ sin 48;6ı

Damit ist AH D AG  a D 2;4 m 

p 0;63 m D 1;61 m

Nun können wir die einzelnen Teilflächen berechnen: p A1 D 0;9 m  .2;4  0;63/ m D 1;4456 m2 p 1 1 A2 D  0;9 m  a D  0;9 m  0;63 m D 0;3572 m2 2 2 A3 D .2;2 m  3 m/ 

1;8 m  F G D 6;6 m2  0;9 m  2;04 m D 4;7631 m2 2

A D A1 C A2 C A3 D 6;5659 m2  6;57 m2

10.2

Kreisförmig begrenzte Flächen

10 10.2.1*

Bei aufgeschichteten Rohren entstehen Zwischenräume.

Berechnen Sie die schraffierte Fläche.

A D Quadratfläche  4  Fläche des Viertelkreises     a2  0;2146  a2 D a2 1  A D a2  4 4

193 10.2  Kreisförmig begrenzte Flächen

10.2.2*

Berechnen Sie den Querschnitt des Polygonprofils.

1   a2    a2 D 6 6 2  a 1 a2 ap  a 3D A2 D 6 2 ƒ‚2 … 2 „ „ƒ‚…

A1 D

Sektor

Dreieck

p ! 3   3 2

p ! 3   a2  A D A1 C 2A2 D C a2  D a2 6 3 2 p ! 3 2  ADa   0;7  a2 2 2

p ! 3   C  6 3 2

10.2.3*

Einem Kreis vom Radius r soll ein Viereck der dargestellten Form einbeschrieben werden.

Berechnen Sie den Flächeninhalt der schraffierten Kreissegmente.

10

194

Kapitel 10  Flächenberechnung (Planimetrie)

1  2r  r D r 2 2 1 A2 D  2r  h, dabei ist 2 A1 D

r p hD  3 2 „ ƒ‚ … Höhe im gleichseit. Dreieck

p 3 2 1 r p A2 D  2r   3 D r 2 2 2 2

!

2

10.2.4*

Eine Exzenterwelle wird in der dargestellten Form abgefräst.

2

d

e

d1

10

p

3 2 A D  r  .A1 C A2 / D  r  r C r 2 p ! 3 AD  1  r 2  1;28  r 2 2 2

a) Bestimmen Sie den Durchmesser d2 für d1 D 40 mm. b) Berechnen Sie die Exzentrizität. c) Berechnen Sie die schraffierte Anlagefläche.

195 10.2  Kreisförmig begrenzte Flächen

a) eC

d2 p d1 D  2 2 2

e D r1  r2 D p 2 d1 d1  d2 C D  d2 2 2 2 p 2d1  d2 D 2  d2 p d2 . 2 C 1/ D 2d1

Exzentrizität: (2) in (1):

.1/ (Diagonale im Quadrat!) d1  d2 2

.2/

p 2. 2  1/  d1 D p p  d1 d2 D p 2C1 . 2 C 1/. 2  1/ 2

p d2 D 2. 2  1/  d1

Mit d1 D 40 mm erhalten wir d2 D 33;14 mm d1  d2 40  33;14 b) e D r1  r2 D D mm D 3;43 mm 2 2 c) Dreiecksfläche A D 12  2r1  r1 D r12 Damit ist die Restfläche ARest D

 r12 r12 C    r22 „ƒ‚… „ƒ‚… 2 „ƒ‚… Dreieck

unt. Halbkreis

Kreis

  2 p  2   d12 ARest D 1 C 2  1  d12  r1    r22 D 1 C    2 2 4    p 2 1  ARest D 21 C    d12 D 165;91 mm2 4 8

10

196

Kapitel 10  Flächenberechnung (Planimetrie)

10.2.5*

Bestimmen Sie den Flächeninhalt der dargestellten Polygons.

10 A1 D „ƒ‚… a2 I Quadrat

A2 D „ƒ‚… a2  Quadrat

  a2 4 „ƒ‚… Viertelkreis

  A3 D „ƒ‚… a 2  A2 D a2 1 2 2

Quadrat

197 10.2  Kreisförmig begrenzte Flächen

A4 A4 A6 A4

D A2  2A5 D A2  2.A2  A6 / D A2  2A5 D A2  2.A2  A6 / D Viertelkreis  A7 D 2A6  A1   a2   a2  a2 C  2A7 4 4 p 3 2  2  2 a2 p  2 D a C a  3D a  a 6 6 4 4 p3 3 2 3 2 2 2 D a  a2  a C a 4 3 2 D A3  2A4 p   3 3 2 2 2 2  2 2 Da 1  a a  a C a 2 4 3 2   4 p D a2 1   C  3 3    p D a2 1 C  3 D 0;315  a2 3ƒ‚ „ …

A4 D 2  A7 A4 A8 A8 A8 A8

0;315

10.2.6*

Bestimmen Sie den Flächeninhalt der dargestellten Querschnittsfläche einer Linse.

10

198

Kapitel 10  Flächenberechnung (Planimetrie)

A D 2  A1 I A1 D

A1 D Sektor  Dreieck

˛ r s  .r  h/  360 2 2

Sehne: p p s D 2  h  .2r  h/ D 2  10 mm  .100 mm  10 mm/ s D 60 mm

10

Winkel: sin

s 30 mm ˛ ˛ D 2 D D 0;6I D 36;8699ı 2 r 50 mm 2   73;7398ı    .50 mm/2 60 mm.50 mm  10 mm/ AD2  D 817;51 mm2 360ı 2

10.2.7*

Bestimmen Sie den Flächeninhalt des schraffierten Kreisausschnitts

a) b) c) d)

allgemein für r D 80 mm Welche Länge hat die gemeinsame Sehne bei r D 80 mm? Wie groß ist das Flächenverhältnis zwischen Kreisausschnitt und Vollkreis?

199 10.2  Kreisförmig begrenzte Flächen

a)

˛ D 120ı

(gleichseitiges Dreieck)

ı

120    r 2  D  r2 ı 360 3  2 b) A1 D  .80 mm/ D 6702;0 mm2 3 s r p c) D  3 (Höhe im gleichseitigen Dreieck) 2 2 p p s D r  3 D 80 mm  3 D 138;56 mm A1 D

d)

A1 A

D

1 3

 r2 D1W3 r2

10.2.8*

Aus einem Blechstreifen sollen Ronden (D runde Bleche, die zum Tiefziehen weiterbearbeitet werden) vom Durchmesser d ausgeschnitten werden.

Berechnen Sie für die dargestellte Anordnung die Größe der schraffierten Restfläche (D Abfallfläche).

10

200

Kapitel 10  Flächenberechnung (Planimetrie)

A D Quadrat  4Viertelkreise    d2  A D d2  D d2  1   0;2146  d 2 4 4 10.2.9*

Berechnen Sie die Querschnittsfläche des dargestellten Brückenpfeilers.

10 A D 2  APolygon C ARechteck

Polygonfläche: A1 D ASektor  ADreieck

.gleichseit. Dreieck/ p 3 2  2  2 r  2 A1 D r C r  3D r  r 6 6 4 3 4 p ! 3  A1 D r 2  3 4 p ! 3 2  A D 2  .2 m/  C2m6m 3 4 2p

A D 16;9135 m2

201 10.2  Kreisförmig begrenzte Flächen

10.2.10*

Ein Hohlzylinder erhält eine Querbohrung vom Durchmesser d3 .

Bestimmen Sie die Größe der verbleibenden Querschnittsfläche a) allgemein b) für d1 D 35 mm, d2 D 21 mm, d3 D 10 mm.

a)

A D 2  .A1  A2 / A1  A2 D Differenz zweier Segmente Flächen der Segmente:   d12 ˛   1 A1 D   sin ˛ 4 360ı 2   d22 ˇ   1 A2 D   sin ˇ 4 360ı 2   ˛  ˇ d12 d22 2 2 AD   d   d  sin ˇ   sin ˛ C 4 180ı 1 180ı 2 4 4

10

202

Kapitel 10  Flächenberechnung (Planimetrie)

b) mit cos

˛ d3 =2 ˇ d3 =2 D und cos D folgt 2 d1 =2 2 d2 =2

10 mm d3 ˛ D D I ˛ D 146;797ı 2 d1 35 mm ˇ 10 mm d3 cos D D I ˇ D 123;126ı 2 d2 21 mm   146;797ı  123;126ı 2 2 AD   .35 mm/   .21 mm/ 4 180ı 180ı .21 mm/2 .35 mm/2 C  sin 123;126ı   sin 146;797ı 4 4  A D  .999;035  301;659/ 4 .21 mm/2 .35 mm/2 C  sin 123;126ı   sin 146;797ı 4 4 A D .547;718 C 92;331  167;705/ mm2 D 472;344 mm2 cos

10.2.11*

Ein Rohr vom Außendurchmesser d1 wird beidseitig auf die Tiefe a abgefräst.

d1–2a

2

d

d1

a

10

Berechnen Sie die verbleibende Querschnittsfläche a) allgemein b) für d2 D 34 mm, a D 8 mm bei einer Wandstärke von s D 4 mm.

203 10.2  Kreisförmig begrenzte Flächen

a)

A D  r12  2  A1  2  A2  A3 „ƒ‚… „ƒ‚… „ƒ‚… „ƒ‚… Sektor

Kreis

A1 D

˛ 360ı

Sektor

Rechteck

p   r12  .r1  a/ 2r1  a  a2

q ˇ 2   r  .r  a/ r22  .r1  a/2 1 2 360ı q A3 D 2.r1  a/  2 r22  .r1  a/2 A2 D

s1 D s

q r12  .r1  a/2

˛ ˇ r1  a r1  a I sin D D 2 r1 2 r2 q r  h D r22  .r1  a/2  2  d1 d12 d22 ˛ ˇ AD     4 180ı 4 180ı 4 s p  2  d1 d22 2 C .d1  2a/  ad1  a   a 4 2 cos

mit cos b)

˛ ˇ d1  2a d1  2a und sin D D 2 d1 2 d2

˛ D 103;5068ı I ˇ D 99;7617ı   103;51ı 99;76ı 2 2 A D   212   21   17 180ı 180ı  p p 2 2  .21  8/2 /  8  42  8 17 C .42  16 „ ƒ‚ … 26

A D   .212  0;42494  172  0;55422/ C 26  „ ƒ‚ … „ 27;228

A D 229;53 mm2

p p  272  120 ƒ‚ … 143;987

10

204

Kapitel 10  Flächenberechnung (Planimetrie)

10.2.12*

Berechnen Sie den Flächeninhalt der dargestellten Fläche.

10 Die Fläche ergibt sich als Summe aus der Kreisringfläche und der Kreisringausschnittsfläche A1 ˛  .r12  r22 / 360ı 70ı    .502  152 / mm2 A1 D 360ı A1 D 1389;72 mm2  A D  .302  152 / mm2 C A1 4 A D 1919;86 mm2 A1 D

205 10.2  Kreisförmig begrenzte Flächen

10.2.13*

Berechnen Sie die Dichtungsfläche des Flansches.

a) ohne Bohrungen b) mit Berücksichtigung der Maße d1 D 80 mm, d2 D 25 mm, d3 D 8 mm, r D 16 mm.

10

206

Kapitel 10  Flächenberechnung (Planimetrie)

a)

AFlansch D ADreieck C 3  ARechteck C 3  ASektor AFlansch D A1 C 3  A2 C 3  A3 A1 D

1  AB  CD 2

AB r1 D sin 120ı sin 30ı AB

CD A1 A2

p p 3 p 3 sin 120ı 2 D  r1 D 1  r1 D 3  r1 D  d1 sin 30ı 2 2 p p p 3 3 3 3 D  AB D   d1 D  d1 (Höhe im gleichseitigen Dreieck) 2 2 2 4 p p 3 1 3 3 3 2 D  d1  d1 D d 2 2 4 16 1 p 3 D AB  r D d1  r 2

120ı r2 2   r D 360ı 3 p p 3 3 2 3 3 D d C d1  r C  r 2 16 1 2 p 3 3 2 D .d C 8d1  r/ C  r 2 16 1

A3 D

10

AFlansch AFlansch b)

AFlansch D AB D

p 3 3 ..80 mm/2 C 8  80 mm  16 mm/ C   .16 mm/2 D 6208;25 mm2 16 d22 d32  C3 D ..25 mm/2 C 3  .8 mm/2 / 4 4 4

D 641;67 mm (Fläche der Bohrungen) A D AFlansch  AB D 5566;58 mm2

207 10.2  Kreisförmig begrenzte Flächen

10.2.14*

Eine Leitschaufel hat die dargestellte Form.

Berechnen Sie den Flächeninhalt der dargestellten Querschnittsfläche a) allgemein b) für a D 100 mm

a) A D A1 C A2  A3 C A4 a2 2   a2 Sektor BCF : A2 D 4   a2 Sektor BDE: A3 D 4 Rechteck CDEF :

A1 D

10

208

Kapitel 10  Flächenberechnung (Planimetrie)

Halbkreis (mit Durchmesser a4 ): 1   a2  2 16 a2   a2   a2   a2 AD C  C 2 4 4 32   1 a2   a2  AD C D C  a2 D 0;598  a2 2 32 2 32

A4 D

b)

a2   a2 AD C D 2 32



1  C 2 32

  .100 mm/2

A D 5981;75 mm2 10.2.15*

Eine Welle mit 60 mm Durchmesser erhält eine Passfedernut mit 18 mm Breite und einer Tiefe von 7 mm.

10

a) Um wie viel mm2 wird der Querschnitt dadurch geschwächt? b) Wie viel % beträgt die Querschnittsschwächung?

a) Nutquerschnitt: A D ASektor  ADreieck C ARechteck

209 10.2  Kreisförmig begrenzte Flächen

Sektor AMB: A1 D

˛ 34;915ı 2  r D    .30 mm/2 360ı 360ı

A1 D 274;22 mm2 ˛ 9 mm D D 0;3I ˛ D 34;915ı 2 30 mm 1 A2 D  AB  M C 2 p M C D .30 mm/2  .9 mm/2 D 28;62 mm

sin

A2 D

1  18 mm  28;62 mm D 257;58 mm2 2

BE D M C  23 mm D 5;62 mm A3 D 18 mm  5;62 mm D 101;16 mm2 A D 274;22 mm2  257;58 mm2 C 101;16 mm2 D 117;8 mm2 b) Prozentuale Querschnittsschwächung:

117;8 mm2 D 0;04166, d. h. 4,166 %   .30 mm/2

10.2.16*

Eine Scheibenfeder 6  9 DIN 6888 soll in eine Welle eingepasst werden.

Wie groß ist die Anpressfläche?

10

210

Kapitel 10  Flächenberechnung (Planimetrie)

 s 2 D r 2  .r  h/2 2 p s D .11 mm/2  .11 mm  7;5 mm/2 2 s D 20;857 mm sin

s ˛ 10;4283 mm D 2 D D 0;948 2 r 11 mm ı ˛ D 142;89 ˛ s AD   r 2  .r  h/ 360ı 2 142;89ı    .11 mm/2  10;428 mm  .11 mm  7;5 mm/ D 360ı A D 114;38 mm2

10.2.17*

Berechnen Sie den durch die Rundung wegfallenden schraffierten Flächenanteil in Abhängigkeit von r und ˛.

10

211 10.2  Kreisförmig begrenzte Flächen

A D ABM C BCM  Sektor ACM , dabei ist ABM D BCM : 1  AB  r 2 ˛ r ˛ r tan D I AB D ˛ D r  cot 2 tan 2 2 AB 1 ˛ A1 D  r 2  cot 2  2 ˛ ı D 180ı  ˛ †AM C D 2  90  2     .180ı  ˛/ 180ı ˛ 1 ˛ 2 2    r    r2    r D  D  A2 D 360ı 360ı 360ı 2 360ı   1 ˛ ˛ A D 2  A1  A2 D r 2  cot      r2 2 2 360ı  ˛  ˛ A D r 2  cot C    2 360ı 2 A1 D

10.2.18*

Eine Leitschaufel hat die dargestellte Form. Berechnen Sie die schraffierte Querschnittsfläche.

Die Querschnittsfläche lässt sich berechnen als Differenz der beiden Segmente ABD und ABE.

10

212

Kapitel 10  Flächenberechnung (Planimetrie)

Segment ABD: A1 D

ˇ s    r12   FM 1 ı 360 2

.1/

Segment ABE: ˛ s    r22   .FM 1 C a/ 360ı 2 A D A1  A2 ˇ s ˛ s s AD    r12   FM 1     r22 C  FM 1 C  a ı ı 360 2 360 2 2  s   2 2 AD  ˇ  r1  ˛  r2 C  a 360ı 2

A2 D

Bestimmung von ˛, ˇ und 2s :

10 Nach dem Kosinussatz gilt: r12 D r22 C a2  2  a  r2  cos cos

˛ r 2  r12 C a2 D 2 2 2ar2

.4/

ˇ r 2  r12  a2 D 2 2 2ar1

.5/

˛ 2

  ˇ r22 D r12 C a2  2  a  r1  cos 180ı  2   ˇ r22 D r12 C a2  2  a  r1   cos 2

cos

.2/

.3/

213 10.2  Kreisförmig begrenzte Flächen

Aus dem AFM2 ergibt sich sin

s s ˇ D 2 D 2 r1 2  r1

Aus sin2 

ˇ 2

s 2  r1

 s 2 2

ˇ 2

C cos2 

2 C

D



D 1 ergibt sich mit Gleichungen (5) und (6)

r22  r12  a2 2ar1

 r12

.6/

2

r22  r12  a2 2a

D1 2

s s D 2

r12

 

r22  r12  a2 2a

2 .7/

Setzt man Gleichung (7) in Gleichung (3) ein, so erhält man eine allgemeine Gleichung der Fläche s  2 2   r2  r12  a2  2 2 2  ˇ  r  ˛  r r  C a  AD 1 2 1 360ı 2a Die Winkel ˛ und ˇ erhält man aus den Gleichungen (4) und (5): cos

˛ r 2  r12 C a2 D 2 2 2ar2

10.2.19*

Berechnen Sie die Fläche.

und

cos

ˇ r 2  r12  a2 D 2 2 2ar1

10

214

Kapitel 10  Flächenberechnung (Planimetrie)

Die Fläche kann folgendermaßen berechnet werden: A D Sektor M1 EF  Segment ABC  M1 BA

10

Dazu benötigen wir die Winkel ˛ und ˇ. Diese lassen sich aus dem Dreieck wie folgt berechnen: sin

ˇ ˛ s s und sin D D 2 2  r2 2 2  r1

Die Fläche ist somit  ˇ ˛ s s 2 2 AD    r1     r2   DM 2  .DM 2 C a/ 360ı 360ı 2 2 s   Œ˛  r12  ˇ  r22   a AD ı 360 2

215 10.2  Kreisförmig begrenzte Flächen

10.2.20

Berechnen Sie die Fläche.

Segment ACD: A1 D

90ı a a  r 2 a2  r2   D  ı 360 2 2 4 4

Segment AEB: A2 D tan

˛ a   r12   M1 F ı 360 2

a ˛ D 2 2 M1 F

M1 F D

a 2  tan ˛2

.3/

.2/

.1/

10

216

Kapitel 10  Flächenberechnung (Planimetrie)

Gleichung (3) in (2): A2 D

˛ a   r12  360ı 4  tan ˛2

Damit lässt sich die Querschnittsfläche wie folgt berechnen: A D a2 C 2  A1  2  A2  2    r ˛ a2 a2 2 A D a2 C 2    r   2 1 4 4 360ı 4  tan ˛2 A D a2 C Da r D

 r 2 a2 a2 ˛   r12 C   ı 2 2 180 2  tan ˛2

a p a ist, gilt  2 (Diagonale im Quadrat) und AM 1 D r1 D 2 2  sin ˛2 a2 a2 a2 a2 ˛    C   4 2 180ı 2  tan ˛2 4  sin2 ˛2 " # a2  ˛  ˛ AD  C cot  1C  2 ˛ ı 2 2 360 sin 2 2

A D a2 C

10

˛ D 90ı W

 i a2 h a2   90ı   ı D  C cot 45  1C   1 C  C 1 2 2 360ı sin2 45ı „ ƒ‚ … 2 2 2 „ ƒ‚ … 1 2 0;5 ADa AD

217

Volumenberechnung (Stereometrie) Inhaltsverzeichnis 11.1

Prismatische Körper – 218

11.2

Pyramidenförmige und kegelförmige Körper – 226

11.3

Kugelförmige Körper – 237

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2020 H. Rapp, J.M. Rapp, Übungsbuch Mathematik für Fachschule Technik und Berufskolleg, https://doi.org/10.1007/978-3-658-31108-7_11

11

218

Kapitel 11  Volumenberechnung (Stereometrie)

11.1

Prismatische Körper

11.1.1*

Welche Höhe muss ein regelmäßiges dreiseitiges Prisma mit der Grundkantenlänge a D 3 cm haben, damit seine Oberfläche 100 cm2 beträgt?

1 a p   3  a C 3ah 2 p2 A  23  a2 hD 3a h D 10;25 cm

AD2

11.1.2*

11

Warmgewalzter Sechskantstahl soll mit den Schlüsselweiten 52 mm und 57 mm geliefert werden. Wie viel kg wiegt jeweils der laufende Meter?

Wir wollen die Sechseckfläche aus sechs gleichseitigen Dreiecken mit der Grundseite (d D Umkreisdurchmesser) formulieren und erhalten: AD6

3 p 1 d d p    3 D  3  d2 2 2 4 8

d 2

219 11.1  Prismatische Körper

Da die Höhe des Dreiecks fläche

d p s 2s  3 D oder d D p ist, ergibt sich als Querschnitts4 2 3

p 3 2 3  4  s2 p  3D s 83 2 p 3 D 52 mmW A1 D  .52 mm/2 D 2341;73 mm2 2 p 3 D 57 mmW A2 D  .57 mm/2 D 2813;72 mm2 2 g D 23;4173 cm2  7;85 D 18;38 kg=m cm3 g D 28;1372 cm2  7;85 D 22;09 kg=m cm3

AD s s m1 m2

11.1.3*

Berechnen Sie für einen Flachhalbrundstahl DIN 1018-25  8 USt 37-2 (nach DIN 10 027-S235 JR) von 200 mm Länge Volumen und Oberfläche.

A D Fläche Kreisausschnitt  Fläche Dreieck

˛ s    r 2   .r  h/ ı 360 2

.25 mm/2 C 4  64 mm2 s 2 C 4h2 D D 13;766 mm 8h 64 mm s 25 mm ˛ D 0;9081I ˛ D 130;477ı sin D 2 D 2 r 2  13;766 mm rD

A D 143;69 mm2 I

V D 28:738 mm3 D 28;74 cm3

Oberfläche: A D 2  143;69 mm2 C 25 mm  200 mm C A D 11:556;93 mm2 D 115;57 cm2

130;477ı  2  13;766 mm  200 mm 360ı

11

220

Kapitel 11  Volumenberechnung (Stereometrie)

11.1.4*

Eine Platte soll eine diagonal verlaufende Führungsnut erhalten.

Berechnen Sie das Zerspanungsvolumen (D abzutragendes Werkstoffvolumen).

11

p a p 2  2x/  2  0;1a 6 1 a p D   2 2 6p a p a p D a 2  2  2  0;1a 6 6  p a p a p a3 D a 2  2  2  0;1a D 6 6 36  a 2 a3  a 2 D V1 C  0;1a D  0;1aI C 6 36 6

V1 D .a  Mit x V1 V1 V

V D

11 3 a 360

221 11.1  Prismatische Körper

11.1.5*

Eine 50 mm dicke quadratische Platte hat einen Durchbruch mit einem quadratischem Querschnitt (20  20 mm).

Welches Volumen hat damit die Platte noch?

Länge des Durchbruchs: 2x D 2 

p .20 mm/2 C .50 mm/2 D 107;7 mm

Volumen des Hohlraumes: V1 D Querschnitt  Länge des Durchbruchs p V1 D 2 cm  2 cm  2  .2 cm/2 C .5 cm/2 V1 D 43;08 cm3 Volumen der Platte: V D 10 cm  10 cm  5 cm  V1 D 456;92 cm3

11

222

Kapitel 11  Volumenberechnung (Stereometrie)

11.1.6*

In einen Würfel der Kantenlänge a ist der dargestellte Körper einzubeschreiben.

Berechnen Sie a) das Volumen des Körpers, b) die Oberfläche des Körpers. c) Welche Besonderheit haben die drei Ansichten des Körpers?

a) V D a3  2 

11 b)

a2 2  a D  a3 6 3

p p a 2 p a2 AD6 2a 2  3 2 2 p p D 3a2  2 3  a2 D .3  2 3/  a2

c) Alle Ansichten sind gleich, lediglich um 90° versetzt.

223 11.1  Prismatische Körper

11.1.7*

Ein Würfel mit der Kantenlänge a wird an allen Ecken so abgeflacht, dass sich in allen drei Ansichten das dargestellte gleiche Bild ergibt.

a) Berechnen Sie das Volumen. b) Berechnen Sie die Oberfläche.

a)

1  a 2 a 1 a3   D  2 2 2 3 48 8  a3 5 3 3 V D a  8  V1 D a  D  a3 48 6

V1 D

11

224

Kapitel 11  Volumenberechnung (Stereometrie)

b)

 a p 2 1 ap  ap  2 3  2 C8  2 2 2 4 p p ! 6 2 6 2 2 AO D 3  a C a Da  3C 2 2

AO D 6 

11.1.8*

Ein angeschrägter Quader mit quadratischem Querschnitt hat eine Bohrung vom Durchmesser d .

11 Berechnen Sie das Restvolumen a) allgemein, b) für h D a, c) für h D a und d D 34 a, d) für a D 40 mm, h D 30 mm, d D 20 mm.

1 2 d 2 h a2  h  a h  D   d2  h 2 4 2 2 8 a3  b) h D aW V D   d2  a 2 8   1 3 a3  9a3 9 c) h D a und d D aW V D  a3   D  4 2 8 16 2 128 „ ƒ‚ … a) V D

0;28

d) V D

.4 cm/  3 cm    .2 cm/2  3 cm D 19;29 cm3 2 8 2

225 11.1  Prismatische Körper

11.1.9*

Entwickeln Sie für den aus zwei Halbzylindern zusammengesetzten Körpern eine Gleichung zur Berechnung a) des Volumens, b) der Oberfläche.

r2 r2  2r C  2r D 2    r 3 2 2   2  r2 b) A D C   r  2r  2 D 6    r 2 2 a) V D

11.1.10* kg Wie viele Stahlrohre . D 7;85 dm 3 / von 3 m Länge mit einem Außendurchmesser von 30 mm und 2,5 mm Wandstärke können auf einem Lkw mit 3 t Ladekapazität befördert werden? Wie viel kg wiegt der laufende Meter?

  ..3 cm/2  .2;5 cm/2 /  300 cm D 647;95 cm3 4 g m D 647;95 cm3  7;85 3 D 5086;43 g D 5;09 kg cm

V D

Anzahl der Rohre:

3000 kg D 589;8  590 Rohre 5;086 kg

Gewicht des laufenden Meters:  g g kg  ..3 cm/2  .2;5 cm/2 /  7;85 3 D 16;95 D 1;695 4 cm cm m

11

226

Kapitel 11  Volumenberechnung (Stereometrie)

11.2

Pyramidenförmige und kegelförmige Körper

11.2.1*

Berechnen Sie das Volumen der dargestellten Scheibe.

Pyramidenstumpf (D Hohlraum) V1 D

  p 1  2 cm  2 cm  2 cm C 4 cm2  2;25 cm2 C 1;5 cm  1;5 cm D 6;167 cm3 3

Volumen der Scheibe:

11 V D

  .5 cm/2  2 cm  V1 D 33;103 cm3 4

11.2.2*

Eine Kugel soll in einen pyramidenförmigen Hohlraum eingepasst werden.

Berechnen Sie das Hohlraumvolumen des vierseitigen Pyramidenstumpfes a) allgemein b) für d D 20 mm.

227 11.2  Pyramidenförmige und kegelförmige Körper

a)

p 1  h  .Ag C Ag  Ad C Ad / 3 d Grundseite: 2x C 2 x tan ˛ D I x D d  tan ˛ d ˛ D 90ı  2ˇ V D

tan ˇ D

d 4 d 2

D

1 I 2

ˇ D 26;5651ı I

.1/ .2/ .3/

˛ D 36;8699ı

tan ˛ D 0;75 .4/ in .3/W x D 0;75d .5/ in .2/W Grundseite: 2  0;75  d C 0;5  d D 2  d Ag D 4  d 2 I

Ad D

1 V D  d  4d 2 C 3 b) V D

7  .2 cm/3 D 14 cm3 4

d2 4 r 4

d2

d2 d2  C 4 4

.4/ .5/

! D

7 3 d 4

11

228

Kapitel 11  Volumenberechnung (Stereometrie)

11.2.3*

Berechnen Sie das Volumen des dargestellten Werkstücks.

  p 1  2 cm  1 cm2 C 1 cm2  .2;4 cm/2 C .2;4 cm/2 D 6;107 cm3 3   .3 cm/2   .3;5 cm/2 V D  0;3 cm C  1;7 cm  V1 D 12;37 cm3 4 4

V1 D

11.2.4*

11

Entwickeln Sie für den dargestellten Quader mit Ausfräsung eine Gleichung zur Berechnung des Winkels ˇ.

Bestimmen Sie a) ˇ in Abhängigkeit von ˛, und ı. b) ˇ für ˛ D 17ı , D 15ı und ı D 60ı . c) das Volumen des Körpers.

229 11.2  Pyramidenförmige und kegelförmige Körper

a) Wir berechnen zunächst den Teilquader mit der Höhe z. Dabei ist z d a a cos ı D oder d D d cos ı

tan ˇ D

.1/ .2/

Die Höhe z setzt sich aus den Teilstrecken z1 und z2 zusammen: 9 z1 tan ˛ D I z1 D a  tan ˛ > = a z D z1 C z2 D a  tan ˛ C b  tan .3/ z2 ; tan D I z2 D b  tan > b Aus tan ı D

b a

erhält man b D a  tan ı. Damit ist

z D a  tan ˛ C a  tan ı  tan

.4/

Andererseits ist z D d  tan ˇ D

a  tan ˇ cos ı

.5/

Setzen wir die beiden Gleichungen (4) und (5) gleich, so erhalten wir tan ˇ D a  tan ˛ C a  tan ı  tan

cos ı tan ˇ D cos ı  .tan ˛ C tan ı  tan / a

b)

tan ˇ D cos 60ı  .tan 17ı C tan 15ı  tan 60ı / D 0;3849I ˇ D 21;05ı

c) tan ˛ D

a I z1

z1 D

a a D tan ˛ tan 17ı

11

230

Kapitel 11  Volumenberechnung (Stereometrie)

cos ˛ D

a I x

xD

a a D cos ˛ cos 17ı

z tan ˇ D p 2 a C b2 p z D a2 C b 2  tan ˇ „ ƒ‚ … d

a  tan ˇ cos ı Grundfläche der Pyramide: Mit Gleichung (2): z D

11

z C z1 2  a  1  tan ˇ C a  tan ˛ AD a 2 cos ı

ADa

Volumen der Pyramide: V1 D

 a  1 1 1 Ab D  a  tan ˇ C a  tan ˛  b 3 3 2 cos ı

Restvolumen:  a  1 V D a  b  c  V1 D a  b  c   a  b   tan ˇ C a  tan ˛ 6 cos ı   tan ˇ a2  b  C tan ˛ V Dabc 6 cos ı   tan 21;05ı a2  b ı V Dabc C tan 17 D a  b  c  0;179  a2  b  6 cos 60ı

231 11.2  Pyramidenförmige und kegelförmige Körper

11.2.5*

Bestimmen Sie das Volumen des mit Hilfe eines Förderbandes aufgeschütteten kegelförmigen Sandhaufens

a) allgemein in Abhängigkeit von h und a. b) Wie hoch wird ein Sandhaufen von 10 m3 Sand bei einem Schüttwinkel von ˛ D 33ı ? Wie groß wird dabei der Radius r des Grundkreises?

a) 1    r 2  hI 3 1 h3 V D   3 tan2 ˛

V D

b)

tan ˛ D

h I r

rD

h tan ˛

s s 2 3 2 ı h3 1 3 3  V  tan ˛ 3 3  10 m  tan 33 I hD D D 1;59 m V D   2 3 tan ˛   h 1;59 m rD D 2;45 m D tan ˛ tan 33ı 11.2.6*

Bestimmen Sie für den Trichter

a) den Radius s des Abwicklungssektors b) den Winkel ˛ des Abwicklungssektors c) den Blechbedarf (ohne Berücksichtigung der Materialzugabe)

11

232

Kapitel 11  Volumenberechnung (Stereometrie)

a)

Nach Pythagoras ist r d2 s D h2 C 4 b)

Der Umfang des Abwicklungssektors ist U D   d . Für den Zentriwinkel gilt die Verhältnisgleichung

11

 d ˛ D ı 360 2 s d 360ı  d D  180ı ˛D 2s s c) A D

d  s s

11.2.7*

Ein konischer Behälter soll mit einem Volumen V gefüllt werden.

233 11.2  Pyramidenförmige und kegelförmige Körper

a) Entwickeln Sie eine Gleichung zur Berechnung des Durchmessers d3 in Abhängigkeit von V , d1 und h1 . b) Bestimmen Sie d2 in Abhängigkeit von d1 , d3 , h1 und h. c) Wie viel Liter sind in dem Behälter, wenn bei d1 D 60 cm und d2 D 80 cm die Füllhöhe h1 D 50 cm beträgt?

a) Das Volumen eines Kegelstumpfes ergibt sich aus der Gleichung V D

1    h1  .r12 C r1  r3 C r32 / 3

Diese Gleichung lösen wir nach r3 auf: 3V D0 r32 C r1  r3 C r12    h1 s r12 r1 3V .r3 /1=2 D  ˙  r12 C 2 4   h1 s 12  V d1 3   d12 d3 D  C 2   h1 4

(negativer Wert unbrauchbar)

b)

Aus den ähnlichen Dreiecken ergibt sich die Verhältnisgleichung h d2  d1 D d3  d1 h1 h d2  d1 D  .d3  d1 / h1 h1 d2 D .d3  d1 / C d1 h c) Mit den Zahlenwerten ergibt sich   1    5 dm  .3 dm/2 C .3 dm/  .4 dm/ C .4 dm/2 3 V D 193;73 dm3  194 Liter

V D

11

234

Kapitel 11  Volumenberechnung (Stereometrie)

11.2.8*

Für eine Abdichtung werden kegelförmige Kunststoffkappen in der dargestellten Form benötigt.

Wie viel cm3 Kunststoff sind zur Herstellung einer einzelnen Kappe erforderlich?

V D VAußenkegel  VInnenkegel 1 V D    .r22  h2  r12  h1 / 3

11

Außenkegel: r2 D

p

.40 mm/2  .15 mm/2 D 37;08 mm

h2 D 15 mm Innenkegel: y 40 mm D 3 mm 15 mm

(ähnliche Dreiecke)

daraus y D 8 mm und damit r1 D r2  8 mm D 29;08 mm

235 11.2  Pyramidenförmige und kegelförmige Körper

x 40 mm I D 3 mm r2

xD

3 mm  40 mm D 3;236 mm 37;08 mm

h1 D h2  x D 15 mm  3;236 mm D 11;764 mm, damit V D

  1    .37;08 mm/2  15 mm  .29;08 mm/2  11;764 mm D 11:179;58 mm3 3

V D 11;18 cm3 11.2.9*

Bestimmen Sie das Füllvolumen des Behälters d1 D 20 cm d2 D 40 cm a D 45 cm h D 22 cm

Der Körper setzt sich zusammen aus einem Kegelstumpf und einem Prisma. VKegelstumpf D VPrisma D

    22 cm  .40 cm/2 C 40 cm  20 cm C .20 cm/2 D 16:126;84 cm3 12 40 cm C 20 cm  22 cm  45 cm D 29:700 cm3 2

V D VKegelstumpf C VPrisma D 45:826;84 cm3 D 45;83 l

11

236

Kapitel 11  Volumenberechnung (Stereometrie)

11.2.10*

Ein Betonmast für Straßenbeleuchtungsanlagen hat die Form eines sich nach oben verjüngenden Sechseck-Pyramidenstumpfes mit einem konischen Innenhohlraum.

Bestimmen Sie für einen Mast mit einer Gesamtlänge von 8,30 m das Volumen. s1 D 240 mm d1 D 150 mm s2 D 115 mm d2 D 50 mm

11

Sechseck:

s s l p D  3I l D p 2 2 3 6l s 3 s ASechseck D D  p s 4 2 3 p 3 2  s  0;866  s 2 ASechseck D 2 ! p 3 1 2 2 VPyramidenstumpf D   ..0;24 m/ C 0;24 m  0;115 m C .0;115 m/  8;30 m 3 2

VPyramidenstumpf D 0;235827 m3  VKegelstumpf D  ..0;15 m/2 C 0;15 m  0;05 m C .0;05 m/2 /  8;30 m 12 VKegelstumpf D 0;07062 m3 V D VPyramidenstumpf  VKegelstumpf D 0;1652 m3

237 11.3  Kugelförmige Körper

11.3

Kugelförmige Körper

11.3.1*

Wie viel kg wiegt eine Kugel von 1 m Durchmesser aus a) aus Kork ( D 0;23 b) aus Stahl ( D 7;85

kg ) dm3 kg ) dm3

c) Wie groß ist die Oberfläche?

  kg D 120;43 kg  d 3   D  .10 dm/3  0;23 6 6 dm3  kg  D 4110;25 kg D 4;11 t b) m D V   D  d 3   D  .10 dm/3  7;85 6 6 dm3 c) AO D   d 2 D   .1 m/2 D 3;14 m2 a) m D V   D

11.3.2*

Wie viele Schrotkugeln (d D 2 mm) lassen sich aus 5 kg Blei ( D 11;34 (ohne Berücksichtigung der Schmelzverluste)?

kg ) dm3

herstellen

   d 3 D  .0;2 cm/3 D 0;0041887 cm3 6 6 g Masse einer Kugel: m D V   D 0;0041887 cm3  11;34 D 0;0475 g cm3 5000 g Anzahl der Kugeln: n D D 105:261 Kugeln 0;0475 g Volumen einer Kugel: V D

11.3.3*

Wie groß ist der Auftrieb eines Kugelballons mit 12 m Innendurchmesser, der mit Wasserstoff (Dichte von Wasserstoff Wasserstoff D 0;0899 mkg3 im Normalzustand) gefüllt ist ohne Berücksichtigung der Ballonmasse? (Dichte von Luft Luft D 1;2922 mkg3 bei 0 °C und einem Druck von 1,01325 bar)

Die Auftriebskraft FA ist gleich der Gewichtskraft der verdrängten Luft. Das verdrängte Luftvolumen beträgt V D

   d 3 D  .12 m/3 D 904;78 m3 6 6

Die Masse dieser Luft beträgt mLuft D 904;78 m3  1;2922

kg D 1169;16 kg m3

11

238

Kapitel 11  Volumenberechnung (Stereometrie)

Die Masse der Wasserstofffüllung beträgt mWasserstoff D 904;78 m3  0;0899

kg D 81;34 kg m3

Damit beträgt der Auftrieb FA D .mLuft  mWasserstoff /  9;81

m D 10:671;48 N s2

11.3.4

Ein kugelförmiger Gasbehälter für ein Fassungsvermögen von 14.137 m3 soll aus Stahlblech von 20 mm Dicke zusammengeschweißt werden. a) Wie groß ist der Innendurchmesser des Behälters? b) Wie viel Tonnen Stahl werden benötigt?

a)  V D  d 3I 6

r dD

3

6V D 

r 3

6  14:137 m3 D 30 m 

Oberfläche der Kugel: AO D   d 2 D   ..30 C 0;020/ m/2 D 2831;20 m2

11

b) m D 2831;20 m2  0;02 m  7;85

t D 444;5 t: m3

11.3.5*

Berechnen Sie das Volumen einer zylindrisch durchbohrten Kugel

a) allgemein b) für d1 D 35 mm, d2 D 15 mm, h D 17;5 mm.

239 11.3  Kugelförmige Körper

a)

V D VKugelzone  VZylinder  h   d22 .3  r32 C 3  r32 C h2 /  h 6 4   d2  h   d22 6  3 C h2   h .1/ V D 6 4 4

V D

d3 nicht gegeben ist, müssen wir d3 mit Hilfe des Pythagoras Da in unserem Fall r3 D 2 berechnen: d12 D d32 C h2 I

d32 D d12  h2

.2/

(2) in (1):  h V D 6



 6   d22 2 2 2  .d1  h / C h  h 4 4

V D

 h .3d12  3d22  h2 / 12

V D

  17;5 mm .3  .35 mm/2  3  .15 mm/2  .17;5 mm/2 / 12

b)

V D 12:341;39 mm3 D 12;34 cm3

11

240

Kapitel 11  Volumenberechnung (Stereometrie)

11.3.6*

Berechnen Sie das Volumen einer konisch durchbohrten Kugel

a) allgemein b) Wie groß wird h und V für d1 D 35 mm, d2 D 15 mm, d3 D 20 mm?

11

a)

V D VKugelzone  VKegelstumpf  h VKugelzone D .3  r22 C 3  r32 C h2 / 6  h 2 .r3 C r2  r3 C r22 / VKegelstumpf D 3  h .2r32 C 2r2  r3 C 2r22 / VKegelstumpf D 6  h 2 .r3  2r2  r3 C r22 C h2 / V D 6  h ..r3  r2 /2 C h2 / V D 6 !   d3 d2 2  h 2 Ch V D  6 2 2 mit h D h1 C h2 D

q q r12  r32 C r12  r22 D

1 2



q

d12  d32 C

q  d12  d22

241 11.3  Kugelförmige Körper

b) h D h1 C h2 D

p 1 p  . .35 mm/2  .20 mm2 / C .35 mm/2  .15 mm/2 / 2

h D 30;17 mm V D

  30;17 mm ..10 mm  7;5 mm/2 C .30;17 mm/2 / 6

V D 14:477;59 mm3 D 14;48 cm3 11.3.7*

Berechnen Sie für die dargestellte Kugelpfanne das Volumen und die Auflagefläche für die Kugelscheibe für die Maße d1 D 28 mm;

d2 D 62 mm;

f D 7;3 mm;

r D 32 mm;

h D 10 mm

Volumen der Kugelschicht VKugelzone D

 h .3  r32 C 3  r12 C h2 / 6

11

242

Kapitel 11  Volumenberechnung (Stereometrie)

Berechnung von r3 : 2

r32 D r 2  MB q MB D r 2  r12  h p MB D .32 mm/2  .14 mm/2  10 mm MB D 18;775 mm r32 D .32 mm/2  .18;775 mm/2 r32 D 671;499 mm2   10 mm .3  671;499 mm2 C 3  .14 mm/2 C .10 mm/2 / 6 D 14:150;247 mm3

VKugelzone D VKugelzone

  .28 mm/2  7;3 mm D 4494;99 mm3 4   .62 mm/2 VZylinder 2 D  .10 mm C 7;3 mm/ D 52:229;92 mm3 4 V D VZylinder 2  VZylinder 1  VKugelzone D 33:584;68 mm3 D 33;58 cm3 VZylinder 1 D

Auflagefläche der Kugelscheibe: AM D   d  h D   2  r  h D   2  32 mm  10 mm D 2010;619 mm2

11

AM D 20;11 cm2 11.3.8*

Berechnen Sie für eine beidseitig abgefräste Hohlkugel das Volumen a) allgemein, b) für d1 D 500 mm, d2 D 540 mm, b D 400 mm.

Das Volumen ergibt sich aus der Differenz der äußeren und der inneren Hohlraum-Kugelschicht.

243 11.3  Kugelförmige Körper

a)

 b V1 D 6

  b2 2 2 3r2 C 3r3 C 4

Mit r32 D r22 

b2 wird 4

  b2 b2 2 2 3r2 C 3r2  3  C 4 4    b b2 V1 D 6r22  6 2    b b2 V2 D 3r12 C 3r42 C 6 4  b V1 D 6

Mit r42 D r12 

b2 wird 4

  b2 b2 2 2 3r1 C 3r1  3  C 4 4    b b2 V2 D 6r12  6 2  b V2 D 6

11

244

Kapitel 11  Volumenberechnung (Stereometrie)

Das Volumen ist damit  b 6   2 V D   b  r2  r12 V D .V1  V2 / D

b)

  b2 b2 6r22   6r12 C 2 2

  V D   4 dm  .2;7 dm/2  .2;5 dm/2 D 13;069 dm3 11.3.9*

Ein Windkessel hat die Form eines Zylinders mit aufgesetzten Kugelsegmenten.

11

Bestimmen Sie a) das Volumen b) die Oberfläche

a)

V D VZylinder C 2  VKugelabschnitt  2  s   d2 h2 V D l C2 h C 4 8 6

2 !  r  2l d2 C 8 6 3    d2   r  d 2   l  d 2   r  2l V D l C   4 4 8 3     d2  l   r  d2  l 3 V D C   r 8 4 3 2 2r  l   d2 l C2   V D 4 2

b)

  l AO D   d  l C 2    d  h D   d  l C 2    2r  r  2 AO D   d  l C 4    r 2  2  r  l

245 11.3  Kugelförmige Körper

11.3.10*

Eine Kugel vom Durchmesser d wird bis zur Mitte eingefräst.

Berechnen Sie das Restvolumen.

1  VKugelschicht 2  2  2 !  2 2  b2 h b d D C3 C 3 6 2 2 2    b 3 2 3 2 1 2 D d C h C b .1/ 6 4 4 4

V D VKugel  VKugelschicht VKugelschicht

Nach Pythagoras gilt: d 2 D b 2 C h2 oder h2 D d 2  b 2

.2/

(2) in (1):    b 3 2 3 1  b  d C  .d 2  b 2 / C  b 2 D .6  d 2  2  b 2 / 6 4 4 4 24  b D .3  d 2  b 2 / .3/ 12 d 3 1   b  V D   .3  d 2  b 2 / D .4d 3  3bd 2 C b 3 / 6 2 12 24

V2 D

11

247

Differentialrechnung Inhaltsverzeichnis Kapitel 12

Funktionen und Relationen – 249

Kapitel 13

Differentiation elementarer Funktionen – 271

Kapitel 14

Allgemeine Ableitungsregeln – 277

Kapitel 15

Anwendung der Differentialrechnung auf ganzrationale Funktionen – 293

Kapitel 16

Newton’sches Näherungsverfahren – 339

Kapitel 17

Gebrochenrationale Funktionen – 347

Kapitel 18

Trigonometrische Funktionen – 355

Kapitel 19

Exponentialfunktionen – 367

III

249

Funktionen und Relationen Inhaltsverzeichnis 12.1

Ganzrationale Funktionen – 250

12.2

Gebrochenrationale Funktionen – 260

12.3

Exponentialfunktionen – 262

12.4

Trigonometrische Funktionen – 265

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2020 H. Rapp, J.M. Rapp, Übungsbuch Mathematik für Fachschule Technik und Berufskolleg, https://doi.org/10.1007/978-3-658-31108-7_12

12

250

Kapitel 12  Funktionen und Relationen

12.1

Ganzrationale Funktionen

12.1.1

a) In welchen Punkten schneidet die Gerade g mit der Funktionsgleichung 1 g.x/ D  x  2;5 2 die Parabel Kf mit f .x/ D  12 .x  1/.x  2/? b) Berechnen Sie die Koordinaten des Scheitelpunktes der Parabel. c) Berechnen Sie die Nullstellen der Parabel.

a) Bedingung für die Schnittstellen: f .x/ D g.x/ 1 1  .x  1/.x  2/ D  x  2;5 2 2 1 5 1 2 j  .2/  .x  3x C 2/ D  x  2 2 2 x 2  4x  3 D 0 p x1=2 D 1 ˙ 1 C 3 D 1 ˙ 2

12

Die Schnittstellen sind somit: x1 D 1 _ x2 D 3 Berechnung der Funktionswerte mit f .x/ oder g.x/: G.1/ D 2 und g.3/ D 4 Schnittpunkte: S1 .1I 2/ und S2 .3I 4/ b) Die Scheitelkoordinaten erhalten wir aus der Scheitelform der Parabelgleichung. 1 f .x/ D  .x  1/.x  2/ 2 1 2 f .x/ D  .x  3x C 2/ 2 1 2 f .x/ D  .x  3x C : : :/  1 2 Ergänzung zu einem vollständigen Binom (D „quadratische Ergänzung“): 1 f .x/ D  .x 2  3x C 1;52 /  1  .0;5  1;52 / 2 1 f .x/ D  .x 2  3x C 1;52 / C 0;125 2 1 f .x/ D  .x  1;5/2 C 0;125 („Scheitelgleichung“) 2 Scheitelkoordinaten:

S.1;5I 0;125/

251 12.1  Ganzrationale Funktionen

Der Scheitel kann auch mit Hilfe der Differentialrechnung berechnet werden. Dazu bilden wir die 1. Ableitung und erhalten f 0 .x/ D x C 1;5. Am Scheitel ist f 0 .x/ D 0W

x C 1;5 D 0I

x D 1;5I

f .1;5/ D

1 D 0;125I 8

S.1;5I 0;125/

c) Nullstellenberechnung: f .x/ D 0: 1  .x  1/.x  2/ D 0 2 x1 D 1 _ x2 D 2 Nullstellen:

N1 .1I 0/, N2 .2I 0/

12.1.2

Prüfen Sie nach, ob sich die beiden Parabeln mit den Funktionsgleichungen 1 f .x/ D  x 2  4x C 3 und g.x/ D x 2  2x C 1 2 schneiden, oder ob sie sich nur berühren. Berechnen Sie gegebenenfalls die Koordinaten des Berührpunktes oder der Schnittpunkte.

Wir gehen zunächst davon aus, dass sich die Funktionsgraphen schneiden. An den Schnittstellen ist f .x/ D g.x/. 1  x 2  4x C 3 D x 2  2x C 1 2 1 2 x  2x C 2 D 0 2 x 2  4x C 4 D 0 p x1=2 D 2 ˙ 4  4 D 2 .D doppelte Schnittstelle, d. h. Berührstelle/ f .2/ D 7 Berührpunkt: B .2I 7/ Wir erkennen aus diesem Beispiel, dass die gegenseitige Lage der Funktionsgraphen aus der Diskriminante D der quadratischen Gleichung abzulesen ist. Wir erhalten die drei Fälle: 1. D > 0: die Parabeln schneiden sich (2 reelle Schnittpunkte) 2. D D 0: die Parabeln berühren sich (1 doppelter Schnittpunkt) 3. D < 0: die Parabeln schneiden sich nicht (kein Schnittpunkt)

12

252

Kapitel 12  Funktionen und Relationen

12.1.3

Bilden Sie von den Parabelgleichungen a) y D x 2  4x C 3 1 b) y D  x 2  3x C 5 2 1 c) y D  x 2 C 3x 3 die Scheitelform und bestimmen Sie die Extrema (D Koordinaten des Scheitels). Berechnen Sie die Nullstellen.

Anmerkung Extremwertaufgaben, die auf Funktionen 2. Grades führen, können mit der Scheitelgleichung gelöst werden. Üblicherweise löst man diese Aufgaben sonst mit Hilfe der Differentialrechnung.

a) Ausgangsgleichung: y D x 2  4x C 3 y D .x 2  4x C : : :/ C 3 Quadratische Ergänzung: y D .x 2  4x C 22 / C 3  22 y D .x 2  4x C 4/  1

12

Scheitelgleichung: y D .x  2/2  1 Scheitelkoordinaten: S .2I 1/ Nullstellen: y D 0: x 2  4x C 3 D 0 p x1=2 D 2 ˙ 4  3 D 2 ˙ 1 Nullstellen: N1 .1I 0/; N2 .3I 0/ 1 b) Ausgangsgleichung: y D  x 2  3x C 5 2 1 y D  .x 2 C 6x C : : :/ C 5 2 1 Quadratische Ergänzung: y D  .x 2 C 6x C 32 / C 5  .0;5/32 2 1 y D  .x 2 C 6x C 9/ C 9;5 2 1 Scheitelgleichung: y D  .x C 3/2 C 9;5 2 Scheitelkoordinaten: S .3I 9;5/ 1 Nullstellenberechnung: y D 0:  x 2  3x C 5 D 0I x 2 C 6x  10 D 0 2 p p x1=2 D 3 ˙ 9 C 10 D 3 ˙ 19 Nullstellen: N1 .7;36I 0/; N2 .1;36I 0/

253 12.1  Ganzrationale Funktionen

1 c) Ausgangsgleichung: y D  x 2 C 3x 3 1 y D  .x 2  9x C : : :/ 3   1 1 2 2  4;52 Quadratische Ergänzung: y D  .x  9x C 4;5 /   3 3   1 81 27 2 yD x  9x C C 3 4 4 1 Scheitelgleichung: y D  .x  4;5/2 C 6;75 3 Scheitelkoordinaten: S .4;5I 6;75/   1 Nullstellenberechnung: y D 0: x   x C 3 D 0 3 Nullstellen: N1 .0I 0/; N2 .9I 0/ 12.1.4*

Die Oberfläche einer rotierenden Flüssigkeit nimmt in einer Zentrifuge die Oberfläche eines Rotationsparaboloids an.

Ein ebener Schnitt durch die Zylinderachse ergibt als Schnittfigur eine Parabel mit der Gleichung y  yO D

!2  x2 2g

.g D Fallbeschleunigung/

Wie groß ist yO , d. h. wie weit senkt sich die Flüssigkeit in der Zylinderachse nach unten ab, wenn bei einer Drehzahl von n D 750 min1 die Flüssigkeit gerade den oberen Gefäßrand erreicht?

Die Winkelgeschwindigkeit ist ! D 2  n D

2  750 1 D 78;54 : 60 s s

12

254

Kapitel 12  Funktionen und Relationen

Setzt man die gegebenen Größen in die Gleichung ein, so erhält man die Gleichung  2 2  750 601 s !2 2  x 2 C yO  x C yO D yD 2g 2  9;81 sm2 Punktprobe für A .0;01I 0;04/:  0;040 m D

2  750 601 s 2  9;81 sm2

2  .0;010 m/2 C yO

yO D 0;00856 m D 8;56 mm 12.1.5*

Ein Speerwerfer wirft einen Speer unter einem Winkel von 35ı zur Waagerechten ab. a) Geben Sie die Gleichung der Wurfparabel an. b) Berechnen Sie den Kulminationspunkt (D Scheitel). c) Welche Wurfweite kann bei einer Abwurfgeschwindigkeit von v0 D 30 ms erreicht werden?

12

a) Für die Wurfparabel beim schiefen Wurf gilt die Gleichung yD

vy0 g  x  2  x2 vx0 2vx0

dabei sind vx0 D v0 cos ˛ und vy0 D v0 sin a die Geschwindigkeitskomponenten in waagerechter und senkrechter Richtung. Damit lässt sich die Funktionsgleichung auch schreiben: y D .tan ˛/  x 

2

v02

g  x2  cos2 ˛

Mit den gegebenen Größen erhält man die Funktionsgleichung y D 0;7x  0;008122  x 2

255 12.1  Ganzrationale Funktionen

b) Zur Bestimmung der Scheitelkoordinaten wird die Funktionsgleichung durch quadratische Ergänzung in die Scheitelform gebracht und der Scheitel bestimmt. g  x 2 C .tan ˛/  x 2  v02  cos2 ˛   .tan ˛/  2  v02  cos2 ˛ g 2  x  x C::: yD g 2  v02  cos2 ˛   g 2  .sin ˛/  .cos ˛/  v02 2 yD   x  x C : : : g 2  v02  cos2 ˛ 2  v 2  sin2 ˛ .sin ˛/  .cos ˛/  v02 g C 0  x  yD 2 2 g 2g 2  v0  cos ˛ yD

Scheitelkoordinaten:  2  v0 v2 S  sin ˛  cos ˛I 0  sin2 ˛ g 2g S .43;105 mI 15;09 m/ c) maximale Wurfweite D doppelte Abszisse des Scheitels s D 2  43;105 m D 86;21 m Lösung mit Hilfe der Differentialrechnung: y0 D 

v02

g  x C tan ˛I  cos2 ˛

y 0 D 0W x D

v02  sin ˛  cos ˛I g

yD

12.1.6

Eine Parabel soll durch die Punkte A .2I 1/, B .1I 2/ und C .4I 1/ gehen. Bestimmen Sie die Funktionsgleichung.

Funktionsgleichung: y D ax 2 C bx C c Bedingungen: A .2I 1/ W f .2/ D 1 W B .1I 2/ W f .1/ D 2 W B .4I 1/ W f .4/ D 1 W

4a  2b C c D 1 .1/ aCbCc D2 .2/ 16a C 4b C c D 1 .3/

v02  sin2 ˛ 2g

12

256

Kapitel 12  Funktionen und Relationen

Auswertung der Bedingungen: .1/  .2/W .3/  .1/W 1  .5/ C .4/W 2 2 aD 9

3a  3b D 1 .4/ 12a C 6b D 2 .5/ 9a D 2 .6/

1 9 19 .6/ und .7/ in .2/W c D 9 .6/ in .4/W

bD

Funktionsgleichung:

.7/

2 1 19 y D  x2 C x C 9 9 9

12.1.7

Ein parabelförmiges Gewölbe ist 8 m breit und hat in der Mitte eine Höhe von 5,60 m.

12 Sind in diesem Fall noch 2 Fahrbahnen mit je 3 m Breite und einer Mindesthöhe von 2,40 m möglich?

Die Gleichung dieser Parabel hat die allgemeine Form: y D a  x 2 C b Punktprobe mit S .0I 5;6/: b D 5;6 7 Punktprobe mit A .4I 0/: 0 D 16a C 5;6; a D  20 7 2 Gleichung der Parabel: y D   x C 5;6 20 Bei x D 3 m erhalten wir rechnerisch eine Höhe von y D 2;45 m Ergebnis: Zwei Fahrbahnen mit je 3 m Breite und 2,40 m sind möglich.

257 12.1  Ganzrationale Funktionen

12.1.8

Ein zweiseitig aufgelagerter Biegeträger wird durch eine Streckenlast q und eine Punktlast F belastet.

Berechnen Sie den Verlauf der Momentenlinie.

Wir machen zunächst den Träger frei und berechnen die Auflagerreaktionen:

Aus den Gleichgewichtsbedingungen (Momentengleichgewicht und Kräftegleichgewicht) erhalten wir: X X

MB D 0W F  b C q  l  Fy D 0W

l  FA  l D 0 .1/ 2

FA C FB  F  q  l D 0

.2/

b l Cq .3/ l 2     (3) in (2): FB D F C q  l  F  bl C q  2l D F  1  bl C q  Bestimmung der Schnittgrößen: Aus (1)W

FA D F 

l 2

Dazu schneiden wir den Biegeträger an der beliebigen Stelle x vor dem Auflager B und tragen an der Schnittstelle die zu Herstellung des Gleichgewichts erforderlichen Schnittgrößen M und Fq ein.

12

258

Kapitel 12  Funktionen und Relationen

Aus den Gleichgewichtsbedingungen ergibt sich: X X

Fy D 0W

FA  F  q  x  Fq D 0

MSchnittstelle D 0W M  FA  x C q  x 

M D FA  x  q  x 

x C F  .x  a/ D 0 2

x  F  .x  a/ D 0 2

Mit Gleichung (3) ergibt sich als Verlauf der Momentenlinie: 

l b M.x/ D F   F C q  l 2

 x

q 2 x CF a 2

12.1.9

Eine ganzrationale Funktion 3. Grades hat die Funktionsgleichung f .x/ D

11 1 3 x  3x 2 C x C 7: 3 3

Berechnen Sie die Nullstellen. Welche Funktionswerte ergeben sich für x D 3 C a und für x D 3  a .a > 0/? Welche Eigenschaft bezüglich des Funktionsverlaufs ergibt sich daraus?

f .x/ D 0W

Nullstellen:

12

1 3 11 x  3x 2 C x C 7 D 0 3 3 x 3  9x 2 C 11x C 21 D 0

HORNER-Schema 9 11 21 1 10 21 u1 D 1 1 10 21 0 1

x 2  10x C 21 D 0 p x1=2 D 5 ˙ 25  21 D 5 ˙ 2I

x2 D 3 _ x3 D 7

Nullstellen: N1 .1I 0/; N2 .3I 0/; N3 .7I 0/ Wir berechnen zunächst zwei beliebige Funktionswerte z. B. für a D 2: 11 1 3C C7D8 3 3 125 55 f .5/ D  75 C C 7 D 8 3 3 f .1/ D

Daraus ergibt sich, dass f .3  2/ D f .3 C 2/ ist.

259 12.1  Ganzrationale Funktionen

Damit liegt die Vermutung nahe, dass allgemein f .3  a/ D f .3 C a/ ist und dass eine Punktsymmetrie zum Punkt N2 .3I 0/ vorliegt. Verschiebt man den Funktionsgraphen auf der x-Achse um 3 Einheiten nach links, so ergibt sich folgende Funktionsgleichung: 11 1 .x C 3/3  3.x C 3/2 C .x C 3/ C 7 3 3 1 3 16 f .x/ D x  x .Punktsymmetrie zum Ursprung, da f .x/ D f .x// 3 3 f .x/ D

Ergebnis: Der Graph von f .x/ D N2 .3I 0/.

11 1 3 x 3x 2 C x C7 ist punktsymmetrisch zum Punkt 3 3

12.1.10

Eine ganzrationale Funktion 4. Grades hat die Funktionsgleichung f .x/ D

1 4 x  2x 2 C 6: 8

Berechnen Sie die Nullstellen. Welche Funktionswerte ergeben sich für x D a und für x D a .a > 0/? Welche Eigenschaft bezüglich des Funktionsverlaufs ergibt sich daraus?

Nullstellen:

f .x/ D 0W

1 4 x  2x 2 C 6 D 0 8 x 4  16x 2 C 48 D 0

Diese Gleichung bezeichnet man als biquadratische Gleichung. Biquadratische Gleichungen lösen wir mit Hilfe der Substitution. Denkt man sich x 2 durch x 2 D u ersetzt, so haben wir es mit einer quadratischen Gleichung mit der Variablen u zu tun: u2  16u C 48 D 0 Diese kann mit der Lösungsformel gelöst werden. Wir erhalten u1=2 D 8 ˙

p

64  48 D 8 ˙ 4

Aus der Rücksubstitution von u2 D 4 und u1 D 12 erhalten wir die Lösungen: u2 D x 2 D 4 ! x3=4 D ˙2 p u1 D x 2 D 12 ! x1=2 D ˙ 12 p p Als Nullstellen erhalten wir N1 . 12I 0/, N2 .2I 0/, N3 .2I 0/, N3 . 12I 0/

12

260

Kapitel 12  Funktionen und Relationen

Untersuchung des Symmetrieverhaltens: Funktionswerte für x D aW

1 4 a  2a2 C 6 8 1 1 f .a/ D .a/4  2.a/2 C 6 D a4  2a2 C 6 8 8 f .a/ D

für x D aW

Die Berechnung der Funktionswerte zeigt, dass f .a/ D f .a/ ist, d. h. der Funktionsgraph verläuft achsensymmetrisch zur y-Achse. Wir erkennen dies auch daran, dass die Funktionsgleichung nur x-Terme mit geraden Hochzahlen hat. 12.1.11

Eine ganzrationale Funktion 4. Grades hat die Funktionsgleichung 1 f .x/ D  x 4 C 2x 2 C 3;5: 4 Berechnen Sie die Nullstellen. In welchem Punkt schneidet der Funktionsgraph die y-Achse?

Nullstellen: f .x/ D 0:

12

1  x 4 C 2x 2 C 3;5 D 0 4 x 4  8x 2  14 D 0 p p .x 2 /1=2 D 4 ˙ 16 C 14 D 4 ˙ 30 q p p 2 .x /1 D 4 C 30 D 9;477 ! x1=2 D ˙ 4 C 30 D ˙3;0785 p .x 2 /2 D 4  30 D 1;477 (keine reellen Lösungen) Wir erhalten die Nullstellen N1 .3;08I 0/ und N2 .3;08I 0/. Schnittpunkt mit der y-Achse: x D 0: f .0/ D 3;5, Sy .0I 3;5/ 12.2

Gebrochenrationale Funktionen

12.2.1

a) In welchen Punkten schneidet die Funktion f mit der Funktionsgleichung f .x/ D

x 3  2x 2  x 2x  8

die x-Achse? b) Berechnen Sie die Polstelle.

261 12.2  Gebrochenrationale Funktionen

a) Nullstellen: f .x/ D 0: x 3  2x 2  x D 0I 2x  8

x.x 2  2x  1/ D 0I

x1 D 0I x2=3 D 1 ˙

p p 1C1D1˙ 2

Nullstellen: N1 .0I 0/; N2 .2;41I 0/; N3 .0;41I 0/ b) Polstellen sind Nennernullstellen, die nicht gleichzeitig Zählernullstellen sind. Nullsetzen des Nenners: 2x  8 D 0 xD4 Polstelle:

xD4

12.2.2

Gegeben ist die Funktion f mit der Funktionsgleichung f .x/ D

x 3  8x 2  x x2  9

Berechnen Sie die Nullstellen, die Polstellen und Asymptoten.

Nullstellen: f .x/ D 0: x 3  8x 2  x D 0I

x  .x 2  8x  1/ D 0I

x1 D 0I x2=3 D 4 ˙

p

16 C 1 D 4 ˙

Nullstellen: N1 .0I 0/; N2 .0;12I 0/; N3 .8;12I 0/ Polstellen (D Nennernullstellen): x 2 D 9; x1 D 3; x2 D 3 Polynomdivision: 8x  72 .x 3  8x 2  x/ W .x 2  9/ D x  8 C 2 x 9 x3  9x  8x 2 C 8x C 72  8x 2 8x  72 Asymptote (D schiefe Asymptote): y D x  8

p 17

12

262

Kapitel 12  Funktionen und Relationen

12

12.3

Exponentialfunktionen

12.3.1

In welchen Punkten schneidet die Funktion f mit der Funktionsgleichung f .x/ D

1 x e 3 2

die Koordinaten-Achsen?

263 12.3  Exponentialfunktionen

Nullstellen: f .x/ D 0: 1 x e  3 D 0I 2

ex D 6 ln ex D ln 6

x  „ƒ‚… ln e D ln 6 D 1;79 1

Nullstelle: N .1;79I 0/ Schnittpunkt mit der y-Achse: Achsenschnittpunkt:

x D 0: f .0/ D

Sy .0I 2;5/

1 2

e0 3 D 2;5 „ƒ‚… 1

12.3.2

In welchen Punkten schneidet die Funktion f mit der Funktionsgleichung f .x/ D 2x  5 die Koordinaten-Achsen?

Nullstellen: f .x/ D 0: 2x  5 D 0 2x D 5 x  ln 2 D ln 5 xD

ln 5 D 2;32 ln 2

Nullstelle: N .2;32I 0/ Achsenschnittpunkt: x D 0: f .0/ D 20  5 D 4; Sy .0I 4/ 12.3.3

In welchen Punkten schneidet die Funktion f mit der Funktionsgleichung f .x/ D e2x  e2x C 4 die Koordinaten-Achsen?

Nullstellen: f .x/ D 0: e2x  e2x C 4 D 0 1  2x  e2x C 4 D 0 e

12

264

Kapitel 12  Funktionen und Relationen

Diese Gleichung multiplizieren wir mit dem Nenner e2x und erhalten 1  .e2x /2 C 4  e2x D 0 .e2x /2  4  e2x C 1 D 0 Diese Gleichung fassen wir als quadratische Gleichung auf mit der Variablen e2x und lösen sie mit der Lösungsformel: p p .e2x /1=2 D 2 ˙ 4  1 D 2 ˙ 3 p .e2x /1 D 2 C 3 D 3;732 ! ex D ˙1;93185 p .e2x /2 D 2  3 D 0;2679 ! ex D ˙0;5176 Da ex nicht negativ werden kann, scheiden die negativen Werte aus. Wir erhalten durch Logarithmieren: ln ex D x  „ƒ‚… ln e D ln 1;93185 ! x1 D 0;65848 1

ln e D x  „ƒ‚… ln e D ln 0;5176 ! x1 D 0;65855 x

1

Nullstellen: N1 .0;658I 0/, N2 .0;658I 0/ Schnittpunkt mit der y-Achse: x D 0: f .0/ D e0  e0 C 4 D 2 Achsenschnittpunkt: Sy .0I 2/ 12.3.4

12

In welchen Punkten schneiden sich die Funktionsgraphen von Kf und Kg mit den Funktionsgleichungen f .x/ D ex  8 und g.x/ D 2  16  ex ?

Schnittpunktbedingung: f .x/ D g.x/ e  8 D 2  16  ex 16 .ex /  10 C x D 0 e .ex /2  10  ex C 16 D 0 p .ex /1=2 D 5 ˙ 25  16 D 5 ˙ 3 .ex /1 D 5 C 3 D 8I .ex /2 D 5  3 D 2 ln ex D x  „ƒ‚… ln e D ln 8 ! x1 D 2;0794 x

1

ln ex D x  „ƒ‚… ln e D ln 2 ! x2 D 0;6931 1

f .ln 8/ D „ƒ‚… eln 8  8 D 0I

f .ln 2/ D „ƒ‚… eln 2  8 D 6

8

2

Schnittpunkte:

S1 .ln 8I 0/; S2 .ln 2I 6/ oder S1 .2;08I 0/; S2 .0;69I 6/

265 12.4  Trigonometrische Funktionen

12.4

Trigonometrische Funktionen

12.4.1

In welchen Punkten schneidet die Funktion f mit der Funktionsgleichung f .x/ D 2 sin x 

p

2

die Koordinaten-Achsen?

p p p Schnittpunkt mit der y-Achse: x D 0: f .0/ D 2 „ƒ‚… sin 0  2 D  2; Sy .0I  2/ p 0 Nullstellen: f .x/ D 0: 2 sin x  2 D 0 In diesem Fall haben wir es mit einer goniometrischen Gleichung zu tun, die zu lösen ist. Wir formen dazu die Gleichung so um, dass die Winkelfunktion isoliert wird. 2 sin x D

p

2 p

r 2 1 sin x D  D D 0;7071 2 2

Da es sich um eine periodische Funktion handelt, gibt es innerhalb der Periode meist mehrere x-Werte, für die die Gleichung erfüllt ist. Diese erhalten wir aus dem Schaubild der Grundfunktion oder mit Hilfe des Einheitskreises.

12

266

Kapitel 12  Funktionen und Relationen

Nullstellen:

x2 D 0;7854 D 5;4978I x1 D 3;927 N1 .3;93I 0/I N2 .5;498I 0/

12.4.2

In welchen Punkten schneidet die Funktion f mit der Funktionsgleichung f .x/ D 2  cos x  .sin x  0;5/ die Koordinaten-Achsen?

12   Schnittpunkt mit der y-Achse: x D 0: f .0/ D 2  „ƒ‚… cos 0  „ƒ‚… sin 0  12 D 1 Achsenschnittpunkt: Sy .0I 1/ 1 0

Nullstellen: f .x/ D 0: 2  cos x  .sin x  0;5/ D 0 cos x D 0W

x1 D

 D 1;57I 2

1 W 2

x3 D

 5 D 0;524I x4 D D 2;618 6 6

sin x D

x2 D

3 D 4;71 2

267 12.4  Trigonometrische Funktionen

Nullstellen: N1 .1;57I 0/; N2 .4;71I 0/; N3 .0;52I 0/; N4 .2;62I 0/ Graph:

12.4.3

In welchen Punkten schneidet die Funktion f mit der Funktionsgleichung f .x/ D cos2 x C 2  sin x C 2 die Koordinaten-Achsen?

Schnittpunkt mit der y-Achse: x D 0:

f .0/ D „ƒ‚… cos2 0 C 2  „ƒ‚… sin x C2 D 3 1

Achsenschnittpunkt mit der y-Achse: Nullstellen: f .x/ D 0:

Sy .0I 3/

cos2 x C 2  sin x C 2 D 0 „ƒ‚… 1sin2 x 2

1  sin x C 2  sin x C 2 D 0I sin2 x  2  sin x  3 D 0 p .sin x/1=2 D 1 ˙ 1 C 3 D 1 ˙ 2 sin x D 3 (unbrauchbar, da sin x  1) 3 sin x D 1W x D D 4;7124 2 Nullstelle innerhalb der Periode:

N1 .4;71I 0/

0

12

268

Kapitel 12  Funktionen und Relationen

12.4.4

In welchen Punkten schneidet die Funktion f mit der Funktionsgleichung f .x/ D 2  6  cos2 x  2  cos x  tan x die Koordinaten-Achsen?

Schnittpunkt mit der y-Achse: x D 0: f .0/ D 2  6  „ƒ‚… cos2 0 2  „ƒ‚… cos 0  „ƒ‚… tan 0 D 4 Achsenschnittpunkt mit der y-Achse:

Sy .0I 4/

1

Nullstellen: f .x/ D 0:

12

2  6  cos2 x  2  cos x  tan x D 0 sin x D0 1  3  cos2 x  cos x  cos x 1  3  cos2 x  sin x D 0 1  3  .1  sin2 x/  sin x D 0 1 2 sin2 x  sin x  D 0 3 3 r 1 1 2 1 5 .sin x/1=2 D ˙ C D ˙ 6 36 3 6 6  sin x D 1I x1 D D 1;57 2 2 sin x D  I x2 D 0;7297 D 2  0;7297 D 5;55 3 x3 D  C 0;7297 D 3;87 Nullstellen:

N1 .1;57I 0/, N2 .5;55I 0/, N3 .3;87I 0/

1

0

269 12.4  Trigonometrische Funktionen

12.4.5

In welchen Punkten schneiden sich die Funktionsgraphen der Funktion f mit der Funktionsgleichung f .x/ D 2 sin x C 1 und der Funktion g mit der Funktionsgleichung g.x/ D 2 cos x?

f .x/ D g.x/: 2 sin x C 1 D 2 cos x p 1  2 sin x D 2  1  sin2 x  p 2 .1  2 sin x/2 D 2  1  sin2 x 1  4 sin x C 4 sin2 x D 4  .1  sin2 x/ 1  4 sin x C 4 sin2 x D 4  4 sin2 x 8 sin2 x  4 sin x  3 D 0 1 3 sin2 x  sin x  D 0 2 8 r r 1 7 1 3 1 .sin x/1=2 D ˙ C D ˙ 4 16 8 4 16 r 7 1 x1 D 1;1468 .sin x/1 D C 4 16 D 0;9114I x2 D   x1 D 1;9948 r 7 1 .sin x/2 D  x3 D 0;4240 D 5;8592 4 16 D 0;411I x4 D 3;5656 Schnittpunkte: S1 .1;99I 0;82/ ; S2 .5;86I 1;82/

! Probe: 0;823 D 0;823 (f) ! Probe: 0;823 D 0;823 (w) ! Probe: 1;823 D 1;823 (w) ! Probe: 0;1771 D 1;8229 (f)

12

270

Kapitel 12  Funktionen und Relationen

12.4.6

In welchen Punkten schneidet die Funktion f mit der Funktionsgleichung f .x/ D 2  cos x  1I x 2 ŒI 2 die Koordinaten-Achsen? Geben Sie den Wertebereich von f an.

Schnittpunkt mit der y-Achse: x D 0: f .0/ D 1; Sy .0I 1/ Nullstellen: f .x/ D 0: 2  cos x  1 D 0 1 cos x D 2 x1 D 1;047 x2 D 1;047 D 2  1;047 D 5;236I Nullstellen: N1 .1;047I 0/, N2 .5;236I 0/ Wertebereich: Da 1  cos x  1; liegen die y-Werte zwischen 1 und 3. Damit ist der Wertebereich W D Œ3I 1 .

12

271

Differentiation elementarer Funktionen Inhaltsverzeichnis 13.1

Nullstellen und Extremstellen ganzrationaler Funktionen – 272

13.2

Nullstellen und Extremstellen von Exponentialfunktionen – 274

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2020 H. Rapp, J.M. Rapp, Übungsbuch Mathematik für Fachschule Technik und Berufskolleg, https://doi.org/10.1007/978-3-658-31108-7_13

13

272

Kapitel 13  Differentiation elementarer Funktionen

> Lehrbuch Kapitel 19 Differentiation elementarer Funktionen und Abschn. 19.4 Ableitung elementarer Funktionen (Übersicht)

1 Ableitung elementarer Funktionen f .x/ D x n

f 0 .x/ D n  x n1

f .x/ D sin x

f 0 .x/ D cos x

f .x/ D cos x

f 0 .x/ D  sin x

f .x/ D tan x

1 D 1 C tan2 x cos2 x 1 f 0 .x/ D  2 D 1  cot2 x sin x

f .x/ D cot x

f 0 .x/ D

f .x/ D ex

f 0 .x/ D ex

f .x/ D ax

f 0 .x/ D .ln a/  ax

f .x/ D ln x

1 x 1 1  f 0 .x/ D ln a x

f .x/ D loga x

13.1

f 0 .x/ D

Nullstellen und Extremstellen ganzrationaler Funktionen

13.1.1

13

Der Graph Kf einer ganzrationalen Funktion f mit 1 f .x/ D  .x  5/.x  2/.x 2  2x  3/ 5 verläuft teils oberhalb, teils unterhalb der x-Achse. An welchen Stellen ist f .x/ > 0? Welche Steigung hat der Funktionsgraph in den Nullstellen?

An den Stellen, an denen der Funktionsgraph Kf die x-Achse überschreitet, wechselt der Funktionswert f .x/ das Vorzeichen. Oberhalb der x-Achse ist f .x/ > 0, unterhalb der x-Achse ist f .x/ < 0, in den Nullstellen ist der Funktionswert f .x/ D 0. Durch Nullsetzen von f .x/ erhält man: f .x/ D 0W

1  .x 2  2x  3/.x  5/.x  2/ D 0 5

Diese Gleichung lösen wir nach dem Satz vom Nullprodukt, indem wir die Linearfaktoren p Null setzen. Wir erhalten x 2 2x 3 D 0; x1=2 D 1˙ 1 C 3; x1 D 1; x2 D 3; x3 D 2;

273 13.1  Nullstellen und Extremstellen ganzrationaler Funktionen

x4 D 5. Da der Funktionswert an allen 4 Stellen f .x/ D 0 ist, erhalten wir als Nullstellen folgende Punkte: N1 .1I 0/, N2 .2I 0/, N3 .3I 0/, N4 .5I 0/ In den Intervallen x 2 Œ1I 2 und x 2 Œ3I 5 ist f .x/ > 0. Die Steigung erhalten wir mit der 1. Ableitung: 1 f .x/ D  .x  5/.x  2/.x 2  2x  3/ 5 Um die Ableitung einfacher durchführen zu können, multiplizieren wir die Funktionsgleichung aus und erhalten: 1 f .x/ D  .x 2  7x C 10x/.x 2  2x  3/ 5 1 f .x/ D  .x 4  9x 3 C 21x 2 C x  30/ 5 1 f 0 .x/ D  .4x 3  27x 2 C 42x C 1/ 5 In den Nullstellen ergeben sich somit folgende Steigungen: f 0 .1/ D 14;4;

f 0 .2/ D 1;8;

f 0 .3/ D 1;6;

f 0 .5/ D 7;2

13.1.2

Kf ist der Graph einer ganzrationalen Funktion f mit 1 f .x/ D  .4x 3  27x 2 C 42x C 1/ 3 Berechnen Sie die Extrempunkte. Mit welcher Steigung und mit welchem Steigungswinkel schneidet Kf die y-Achse?

Ableitungen: f 0 .x/ D 4x 2 C 18x  14 f 00 .x/ D 8x C 18 Extrema: f 0 .x/ D 0: 9 7 4x 2 C 18x  14 D 0I x 2  x C D 0 2 2 r 81 7 9 9 5 x1=2 D ˙  D ˙ 4 16 2 4 4 x1 D 1I f .1/ D 6;67I f 00 .x1 / D 10 > 0, d. h. Tiefpunkt, E1 .1I 6;67/ x2 D 3;5I f .3;5/ D 3;75I f 00 .x2 / D 10 < 0, d. h. Hochpunkt, E2 .3;5I 3;75/

13

274

Kapitel 13  Differentiation elementarer Funktionen

Steigung an der y-Achse: f 0 .0/ D 14 tan ˛ D 14I Steigungswinkel: 13.2

˛ D 85;91ı D 175;91ı

Nullstellen und Extremstellen von Exponentialfunktionen

13.2.1

An welchen Stellen schneidet der Funktionsgraph Kf der Funktion f mit f .x/ D 4 C x 

2 x e 5

die y-Achse? An welcher Stelle hat Kf ein Extremum?

Schnittpunkt mit der y-Achse: x D 0: f .0/ D 4 

2 18  „ƒ‚… e0 D D 3;6 5 5 1

Sy .0I 3;6/ 2 Nullstellen: f .x/ D 0W 4 C x   ex D 0 5 Diese Gleichung kann nur noch näherungsweise gelöst werden. Vgl. auch Kap. 16 (Newton‘sches Näherungsverfahren)! Als Näherungen erhalten wir folgende Nullstellen Achsenschnittpunkt:

13

N1 .4I 0/ und N2 .2;84I 0/ Ableitungen: f 0 .x/ D 1 

2 x e 5

2 f 00 .x/ D   ex 5 Extremum: 2 x  e D 0I ex D 2;5 5 x D ln 2;5 D 0;916 2 f .ln 2;5/ D 4 C ln 2;5   2;5 D 3 C ln 2;5 D 3;916 5 2 f 00 .ln 2;5/ D   eln 2;5 D 1 < 0, d. h. Hochpunkt 5 f 0 .x/ D 0W 1 

Extrempunkt (Hochpunkt): E .0;92I 3;92/

275 13.2  Nullstellen und Extremstellen von Exponentialfunktionen

13.2.2

Gegeben ist die Funktion mit der Funktionsgleichung f .x/ D 2x  3x C 1 a) b) c) d)

Bilden Sie die Ableitungen. Berechnen Sie die Nullstellen und den Achsenschnittpunkt mit der y-Achse. Berechnen Sie den Extrempunkt. Berechnen Sie die Steigungen in den Nullstellen und im Achsenschnittpunkt Sy .

a) Ableitungen: f 0 .x/ D 2x  ln 2  3 f 00 .x/ D 2x  .ln 2/2 b) Nullstellen: f .x/ D 0:

2x  3x C 1 D 0 oder 2x D 3x  1

x1 D 1 (durch Probieren): N1 .1I 0/ x2 D 3 (durch Probieren): N2 .3I 0/ Anmerkung: Die Gleichung kann auch mit dem Newton’schen Näherungsverfahren gelöst werden. x D 0W

f .0/ D 1 C 1 D 2 Sy .0I 2/

c) Extrema: f 0 .x/ D 0: 2x  ln 2  3 D 0 3 ln 2   ln ln32 xD D 2;114 E.2;114I 1;013/ ln 2

2x D

d) Steigungen: N1 .1I 0/W N2 .3I 0/W Sy .0I 2/W

f 0 .1/ D 2  ln 2  3 D 1;614 f 0 .3/ D 8  ln 2  3 D 2;545 f 0 .0/ D 1  ln 2  3 D 2;307

13

277

Allgemeine Ableitungsregeln Inhaltsverzeichnis 14.1

Produktregel – 278

14.2

Quotientenregel – 283

14.3

Kettenregel – 285

14.4

Logarithmische Ableitung – 289

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2020 H. Rapp, J.M. Rapp, Übungsbuch Mathematik für Fachschule Technik und Berufskolleg, https://doi.org/10.1007/978-3-658-31108-7_14

14

278

Kapitel 14  Allgemeine Ableitungsregeln

Produktregel

14.1

f .x/ D u  v

f 0 .x/ D u0  v C u  v 0

f .x/ D u  v  w

f 0 .x/ D u0  v  w C u  v 0  w C u  v  w 0

14.1.1

Gegeben sei die Funktion f mit f .x/ D .2x 2  3x/  .x  4x 2 /. a) Berechnen Sie die 1. Ableitung und geben Sie die Steigung und den Steigungswinkel bei x D 2 an. b) Wie lautet die 2. und die 3. Ableitung?

a) Wir betrachten die Klammerterme als die von x abhängigen Funktionsterme u.x/ D 2x 2  3x

mit u0 .x/ D 4x  3 und

v.x/ D x  4x 2

mit v 0 .x/ D 1  8x

Die Funktion mit der Funktionsgleichung f .x/ D u.x/  v.x/ oder kurz f .x/ D u  v hat damit die 1. Ableitung f 0 .x/ D u0  v C u  v 0 : f 0 .x/ D .4x  3/  .x  4x 2 / C .2x 2  3x/  .1  8x/ „ ƒ‚ … „ ƒ‚ … „ ƒ‚ … „ ƒ‚ … u0

v

u

v0

0

f .2/ D .4  2  3/  .2  4  4/ C .2  4  3  2/  .1  8  2/ D 5  .14/ C 2  .15/ D 100

14

Steigungswinkel: tan ˛ D 100I

˛ D 89;427ı D 270;573ı

b) In diesem Fall ist es zweckmäßiger, die Klammerterme von f 0 .x/ erst auszumultiplizieren, da sonst die Berechnung zu aufwendig wird. f 0 .x/ D 4x 2  3x  16x 3 C 12x 2 C 2x 2  3x  16x 3 C 24x 2 D 32x 3 C 42x 2  6x f 00 .x/ D 96x 2 C 84x  6I

f 000 .x/ D 192x C 84

Anmerkung Die Funktion hätte sich nach Ausmultiplizieren der Klammerterme auch ohne Anwendung der Produktregel differenzieren lassen. Bei verschiedenen Funktionsarten ist eine Ableitung jedoch nur noch mit der Produktregel möglich.

279 14.1  Produktregel

14.1.2

Gegeben sei die Funktion f mit f .x/ D .x  1/  sin x. Berechnen Sie die 1., 2. und 3. Ableitung.

f 0 .x/ D „ƒ‚… 1  „ƒ‚… sin x C .x  1/  „ƒ‚… cos x D sin x C .x  1/  cos x „ ƒ‚ … u0

v

v0

u

1  „ƒ‚… cos x C .x  1/  . sin x/ D 2  cos x  .x  1/  sin x f 00 .x/ D cos x C „ƒ‚… „ ƒ‚ … „ ƒ‚ … u0

v

v0

u

000

1  „ƒ‚… sin x C .x  1/  „ƒ‚… cos x D 3 sin x C .x  1/  cos x f .x/ D 2  sin x  „ƒ‚… „ ƒ‚ … u0

v

v0

u

14.1.3

Gegeben sei die Funktion f mit f .x/ D .x C x 2 /  ln x. Berechnen Sie die 1. und 2. Ableitung.

Die Teilfunktionen sind u.x/ D x C x 2 mit der Ableitung u0 .x/ D 1 C 2x und 1 v.x/ D ln x mit der Ableitung v 0 .x/ D x Damit ist 1 D .1 C 2x/  ln x C 1 C x x 1 1 2  „ƒ‚… ln x C .1 C 2x/  C1 D 2  ln x C C 3 f 00 .x/ D „ƒ‚… „ ƒ‚ … „ƒ‚… x x 0 f 0 .x/ D u0 v C uv 0 D .1 C 2x/  ln x C .x C x 2 / 

u

v

u

v0

14.1.4

Gegeben sei die Funktion f mit f .x/ D ex  ln x. Berechnen Sie die 1. und 2. Ableitung.

  1 1 x f .x/ D „ƒ‚… e  „ƒ‚… ln x C „ƒ‚… e  D e  ln x C x x „ƒ‚… 0 0

x

u

x

v

u

v0

    1 1 1 00 x x e  ln x C C „ƒ‚… e   f .x/ D „ƒ‚… x x x2 u „ ƒ‚ … „ ƒ‚ … u0 v

  2 1 f 00 .x/ D ex  ln x C  2 x x

v0

14

280

Kapitel 14  Allgemeine Ableitungsregeln

14.1.5

Gegeben sei die Funktion f mit f .x/ D Berechnen Sie die 1. Ableitung.

p

x  ln x.

p p x 1 1 ln x f .x/ D p  „ƒ‚… ln x C x  D p C „ƒ‚… x x 2 x 2 x „ƒ‚… v „ƒ‚… u 0

v0

u0

Für die 2. Ableitung benötigen wir bereits die Quotientenregel, wenn wir das obige Ergebnis weiter ableiten. Formen wir das Ergebnis jedoch in folgender Weise in ein Produkt um, so können wir die 2. Ableitung auch mit der Produktregel erhalten: p p x 1 ln x 1 p C D  ln x  x  2 C x  x 1 x 2 2 x p p 1 1 1 D ln x  x  2 C x  2 D x  2  .ln x C 1/ 14.1.6

Gegeben ist die Funktion f mit f .x/ D .x  1/.x C x 2 /  sin x. Berechnen Sie die 1. und 2. Ableitung.

Diese Funktionsgleichung kann man sich zusammengesetzt denken aus drei von x abhängigen Funktionen: f .x/ D .x  1/ .x C x 2 /  „ƒ‚… sin x D u  v  w „ ƒ‚ … „ ƒ‚ … u

14

w

v

Zweckmäßiger ist es aber, zuerst die beiden Klammerterme auszumultiplizieren und dann erst zu differenzieren. sin x f .x/ D .x 3  x/  „ƒ‚… „ ƒ‚ … v

u

Wir haben damit die Gleichung auf die zwei Funktionsterme u und v reduziert. Hier müssen wir zweimal die Produktregel anwenden. Wir benutzen dabei die Bezeichnungen u und v. Sie haben jedoch – auf das Produkt bezogen – jeweils eine andere Bedeutung. f 0 .x/ D .3x 2  1/  sin x C .x 3  x/  cos x 6x 2  „ƒ‚… sin x C .x 3  x/  . sin x/ f 00 .x/ D „ƒ‚… „ ƒ‚ … „ ƒ‚ … u0

v

v0

u

D sin x  .6x  x C x/ D .x C 6x 2 C x/  sin x 2

3

3

281 14.1  Produktregel

14.1.7

Gegeben ist die Funktion f mit f .x/ D .x  1/  tan x  sin x. Berechnen Sie die 1. und 2. Ableitung.

In diesem Fall lässt sich das Produkt nicht zusammenfassen. Wir haben es mit einem Produkt aus drei verschiedenen Funktionen zu tun: f .x/ D .x  1/  „ƒ‚… tan x  „ƒ‚… sin x D u  v  w „ ƒ‚ … u

v

w

Die Ableitung lautet: f 0 .x/ D u0  v  w C u  v 0  w C u  v  w 0 u D x  1I u0 D 1I v D tan xI v 0 D f 0 .x/ D 1  tan x  sin x C .x  1/ 

1 I w D sin xI w 0 D cos x cos2 x

1  sin x C .x  1/  tan x  cos x cos2 x

Wir berücksichtigen dabei, dass tan x  cos x D f 0 .x/ D tan x  sin x C .x  1/ 

sin x cos x

 cos x D sin x ist.

sin x C .x  1/  sin x cos2 x

sin2 x sin x C .x  1/  C .x  1/  sin x cos x cos2 x   sin x 1  cos x C .x  1/  C sin x f 0 .x/ D cos x cos2 x   sin x f 00 .x/ D  1  cos2 x  sin x C sin x C 1  C sin x cos2 x   cos x  cos2 x  sin x  2  cos x  sin x C .x  1/ C cos x cos4 x ! 1 2  sin2 x 00 f .x/ D 2 sin x C .x  1/   C cos x cos x cos3 x   1 2  .1  cos2 x/ f 00 .x/ D 2 sin x C .x  1/   C cos x cos x cos3 x   3 2 f 00 .x/ D 2 sin x C .x  1/   C cos x cos x cos3 x f 0 .x/ D

14

282

Kapitel 14  Allgemeine Ableitungsregeln

14.1.8

Gegeben sei die Funktion f mit f .x/ D .x  ex /  ln x. Berechnen Sie die 1. und 2. Ableitung.

1 ex f 0 .x/ D .1  ex /  „ƒ‚… ln x C .x  ex /  D .1  ex /  ln x C 1  „ ƒ‚ … „ ƒ‚ … „ƒ‚… x x v

u0

u

v

1

D ln x  e  .ln x C x / C 1   1 1 ex  ex  .ln x C x 1 /  „ƒ‚…  x 2 f 00 .x/ D  „ƒ‚… „ ƒ‚ … x x u „ ƒ‚ … u0 v x

v0

1 2ex ex D  ex  ln x  C 2 x x x 14.1.9

Gegeben sei die Funktion f mit f .x/ D .ex  ex /  ln x. Berechnen Sie die 1. und 2. Ableitung.

f 0 .x/ D .ex C ex /  „ƒ‚… ln x C .ex  ex /  „ ƒ‚ … „ ƒ‚ … v

u0

u

1 x „ƒ‚… v0

x

ln x e 1 D ex  ln x C x C C e x x  ex 0 x 1 x f .x/ D e  .ln x C x / C e .ln x C x 1 /

14

ex  .ln x C x 1 / C „ƒ‚… ex  .x 1  x 2 / f 00 .x/ D „ƒ‚… „ ƒ‚ … „ ƒ‚ … u0

u

v x

v

x

v0

 „ƒ‚… e .ln x C x / C „ƒ‚… e  .x  x 2 / „ ƒ‚ … „ ƒ‚ … u0

1

u

1

v0

        1 1 1 1 1 1 1 1 f 00 .x/ D ex  ln x C C ex   2  x ln x C C x  2 x x x e x e x x x x 2e ln x 1 e  2 x  2 x f 00 .x/ D ex  ln x C x x e x e     1 2 1 f 00 .x/ D ex ln x C  2  ex ln x  2 x x x

283 14.2  Quotientenregel

14.2

Quotientenregel

f .x/ D

u v

f 0 .x/ D

u0  v  u  v 0 v2

14.2.1

Gegeben sei die Funktion f mit f .x/ D

x 2 C 2x : x1

Berechnen Sie die 1. und 2. Ableitung.

u.x/ D x 2 C 2xI

u0 .x/ D 2x C 2I

v.x/ D x  1I

v 0 .x/ D 1

u0  v  u  v 0 .2x C 2/.x  1/  .x 2 C 2x/  1 D 2 v .x  1/2 2x 2  2  x 2  2x x 2  2x  2 f 0 .x/ D D 2 .x  1/ .x  1/2 .2x  2/  .x  1/2  .x 2  2x  2/  2  .x  1/ f 00 .x/ D .x  1/4 2 2x  2x  2x C 2  2x 2 C 4x C 4 6 f 00 .x/ D D 3 .x  1/ .x  1/3 f 0 .x/ D

14.2.2

Gegeben sei die Funktion f mit f .x/ D

x2 C 2 : x2

Berechnen Sie die 1. und 2. Ableitung.

u.x/ D x 2 C 2I

u0 .x/ D 2xI

v.x/ D x  2I

u0  v  u  v 0 2x.x  2/  .x 2 C 2/  1 D v2 .x  2/2 2 2 2 2x  4x  x  2 x  4x  2 D D .x  2/2 .x  2/2

f 0 .x/ D

v 0 .x/ D 1

14

284

Kapitel 14  Allgemeine Ableitungsregeln

Für die Ableitung ist eigentlich die Kettenregel erforderlich. Wir können jedoch auch schreiben: .x  2/2 D x 2  4x. Dabei lautet die Ableitung ohne Kettenregel: 2x  4x D 2.x  2/. .2x  4/.x  2/2  .x 2  4x  2/  2.x  2/ .x  2/4 .2x  4/.x  2/  2.x 2  4x  2/ D .x  2/3 2 2x  4x  4x C 8  2x 2 C 8x C 4 12 f 00 .x/ D D 3 .x  2/ .x  2/3 f 00 .x/ D

14.2.3

Gegeben sei die Funktion f mit f .x/ D

ln x : x

Berechnen Sie die 1. und 2. Ableitung.

 x  .ln x/  1 1  ln x D 2 x x2 1 2   x  .1  ln x/  2x x  2x C 2x  ln x 3x C 2x  ln x f 00 .x/ D x D D 4 4 x x x4 3 C 2  ln x D x3 2 ln x  3 f 00 .x/ D x3 f 0 .x/ D

14

1 x

14.2.4

Gegeben sei die Funktion f mit f .x/ D

cos x : tan x

Berechnen Sie die 1. und 2. Ableitung.

f 0 .x/ D f 0 .x/ D

. sin x/  tan x  cos x  tan2 x  cos1 x

sin x . sin x/  cos x  sin x 2 cos x



cos x D  cos x C sin2 x



. sin x/  tan x  cos1 x tan2 x 2  sin x  1 .sin2 x C 1/ cos x D D 2 sin x sin2 x 1 cos2 x

D

cos x

285 14.3  Kettenregel

"

. sin x/  sin2 x  cos x  2  sin x  cos x f .x/ D   sin x C sin4 x

#

00

f 00 .x/ D sin x C f 00 .x/ D sin x C D sin x C f 00 .x/ D sin x C f 00 .x/ D sin x C

sin2 x C 2 cos2 x sin3 x C 2 sin x  cos2 x D sin x C sin4 x sin3 x 2 2 1  cos x C 2 cos x 1 C cos2 x D sin x C sin3 x sin3 x 2 1 C 1  sin x sin3 x 2  sin2 x sin3 x 2 1  sin3 x sin x

14.2.5

Gegeben sei die Funktion f mit f .x/ D

sin x : x2

Berechnen Sie die 1. und 2. Ableitung.

f 0 .x/ D

cos x  x 2  sin x  2x x  cos x  2  sin x D 4 x x3

Ableitung des Zählers: u.x/ D x  cos x  2  sin xI u0 .x/ D 1  cos x C x  . sin x/  2  cos x D x  sin x  cos x .x  sin x  cos x/  x 3  .x  cos x  2 sin x/  3x 2 x6 .x  sin x  cos x/  x  .3x  cos x  6  sin x/ f 00 .x/ D 4 x x 2 sin x  4x  cos x C 6 sin x D x4

f 00 .x/ D

14.3

Kettenregel

f .x/ D f „



u.x/ „ƒ‚… innere Funktion

ƒ‚

äußere Funktion

…

dy du dy D  dx du dx „äußere Ableitung mal innere Ableitung“ f 0 .x/ D

14

286

Kapitel 14  Allgemeine Ableitungsregeln

14.3.1

Gegeben sei die Funktion f mit f .x/ D sin2 x. Berechnen Sie die 1. und 2. Ableitung.

f .x/ D sin2 x D .sin x/2 du D cos x dx dy D 2u D 2 sin x Die äußere Funktion ist eine Potenzfunktion, die Ableitung lautet du Damit lautet die 1. Ableitung der Gesamtfunktion: Die innere Funktion ist eine Winkelfunktion, die Ableitung lautet

f 0 .x/ D 2„ ƒ‚ sin x cos x …  „ƒ‚… äußere innere „ ƒ‚ … Ableitung

Die 2. Ableitung erhält man mit der Produktregel:   f 00 .x/ D 2  Œcos x  cos x C sin x  . sin x/ D 2  cos2 x  sin2 x f 00 .x/ D 2  .1  sin2 x  sin2 x/ D 2  .1  2  sin2 x/ 14.3.2

Gegeben sei die Funktion f mit f .x/ D .x 2 C 3x C 1/3 . Berechnen Sie die 1. und 2. Ableitung.

14

Diese Funktion könnte man auch ohne Kettenregel ableiten, wenn man den Klammerterm ausmultipliziert und die Summenterme gliedweise differenziert. Einfacher geht es jedoch mit der Kettenregel. f 0 .x/ D 3  .x 2 C 3x C 1/2  .2x C 3/ Bei der 2. Ableitung benötigen wir zusätzlich noch die Produktregel. f 0 .x/ D 3  .x 2 C 3x C 1/2  .2x C 3/ „ ƒ‚ … „ ƒ‚ … u

v

u.x/ D 3  .x 2 C 3x C 1/2 I u0 .x/ D 6  .x 2 C 3x C 1/  .2x C 3/ v.x/ D 2x C 3I v 0 .x/ D 2 f 00 .x/ D u0 v C uv 0 D 6  .x 2 C 3x C 1/  .2x C 3/.2x C 3/ C 3  .x 2 C 3x C 1/2  2

287 14.3  Kettenregel

14.3.3

Gegeben sei die Funktion f mit f .x/ D .ln x C x/2 . Berechnen Sie die 1. und 2. Ableitung.



0

1 C1 x



f .x/ D 2.ln x C x/    ln x 0 f .x/ D 2  C 1 C ln x C x x Weitere Umformungen sind möglich: 2  ln x ln x 2 C 2 C 2  ln x C 2x D C ln x 2 C 2x C 2 x x   1 0 C1 f .x/ D 2.ln x C x/  x

f 0 .x/ D

Die letzten Umformungen sind für die 2. Ableitung nicht unbedingt erforderlich, wir gehen deshalb von der Anfangsform aus: 

0

f .x/ D 2 

ln x C 1 C ln x C x x



!  x  ln x  1 1 f .x/ D 2  C C1 x2 x   1  ln x 1 f 00 .x/ D 2  C C1 2 x x 1 x

00

14.3.4

Gegeben sei die Funktion f mit f .x/ D

p

2x 3 C x 2 C 1:

Berechnen Sie die 1. und 2. Ableitung.

f .x/ D

p

1

2x 3 C x 2 C 1 D .2x 3 C x 2 C 1/ 2

1 1 6x 2 C 2x  .2x 3 C x 2 C 1/ 2  .6x 2 C 2x/ D p 2 2 2x 3 C x 2 C 1 2 3x C x f 0 .x/ D p 2x 3 C x 2 C 1

f 0 .x/ D

14

288

Kapitel 14  Allgemeine Ableitungsregeln

f 00 .x/ D

.6x C 1/ 

p

2x 3 C x 2 C 1  .3x 2 C x/  p6x 3C2x2 2

2

2x Cx C1

2x 3 C x 2 C 1 .6xC1/.2x 3 Cx 2 C1/.3x 2 Cx/2

p

2x 3 Cx 2 C1 2x 3 C x 2 C 1

f 00 .x/ D

12x 4 C 2x 3 C 6x 3 C x 2 C 6x C 1  9x 4  6x 3  x 2 p .2x 3 C x 2 C 1/ 2x 3 C x 2 C 1 3x 4 C 2x 3 C 6x C 1 3x 4 C 2x 3 C 6x C 1 p D p f 00 .x/ D .2x 3 C x 2 C 1/  2x 3 C x 2 C 1 .2x 3 C x 2 C 1/3 f 00 .x/ D

14.3.5

Gegeben sei die Funktion f mit f .x/ D sin.x 2  2x/: Berechnen Sie die 1. und 2. Ableitung.

f 0 .x/ D cos.x 2  2x/  .2x  2/ Bei der 2. Ableitung ist noch die Produktregel erforderlich. f 00 .x/ D  sin.x 2  2x/  .2x  2/  .2x  2/ C cos.x 2  2x/  2 f 00 .x/ D .4x 2 C 4x  4/  sin.x 2  2x/ C 2  cos.x 2  2x/ 14.3.6

Gegeben sei die Funktion f mit

14

2

f .x/ D esin x : Berechnen Sie die 1. und 2. Ableitung.

f 0 .x/ D esin x  cos x 2  2x D 2x  cos x 2  esin x 2

2

Bei der 2. Ableitung haben wir es mit der Ableitung eines Produktes von drei Funktionen zu tun. f 0 .x/ D „ƒ‚… 2x  „ƒ‚… cos x 2  „ƒ‚… esin x 2

u

v

w

Die Ableitungen sind u0 D 2I

v 0 D  sin x 2  2xI

w 0 D esin x  cos x 2  2x 2

14

289 14.4  Logarithmische Ableitung

Damit ist f 00 .x/ D u0 vw C uv 0 w C uvw 0 f 00 .x/ D 2  cos x 2  esin x  2x  2x  sin x 2  esin x C 2x  cos x 2  2x  cos x 2  esin x 2

2

2

f 00 .x/ D 2  .cos x 2  esin x  2x 2  sin x 2  esin x C 2x 2  .cos x 2 /2  esin x / 2

2

2

f 00 .x/ D 2  Œ.cos x 2 C 2x 2 . sin x 2 C cos2 x 2 //  esin x 2

f 00 .x/ D 2  Œ.cos x 2 C 2x 2 .1  2 sin x 2 //  esin x 2

14.3.7

Gegeben sei die Funktion f mit f .t/ D sin.!t C /: Berechnen Sie die 1. und 2. Ableitung.

f 0 .t/ D !  cos.!t C /I f 00 .t/ D ! 2  sin.!t C / 14.4

Logarithmische Ableitung

14.4.1

Gegeben sei die Funktion f mit y D x x . Berechnen Sie die 1. Ableitung.

Diese Funktion ist keine Potenzfunktion, bei der die Hochzahl eine Konstante sein muss, noch eine Exponentialfunktion, bei der die Grundzahl eine Konstante sein muss. Es kann also weder die Ableitungsregel für Potenzfunktionen noch für Exponentialfunktionen angewandt werden. Wir logarithmieren deshalb die beiden Gleichungsseiten und erhalten ln y D ln x x D x  ln x Nun differenzieren wir die beiden Gleichungsseiten. Dabei ist zu beachten, dass y noch eine Funktion von x ist, d. h. wir müssen die Kettenregel anwenden. .ln y/0 D

1 0 y0 y D y y

Die rechte Seite wird nach der Produktregel abgeleitet: .x  ln x/0 D 1  ln x C x 

1 D ln x C 1 x

290

Kapitel 14  Allgemeine Ableitungsregeln

Damit erhalten wir y0 y „ƒ‚… Ableitung der linken Seite

D ln C… 1 „ xƒ‚ Ableitung der rechten Seite

Diese Gleichung lösen wir nach y 0 auf und berücksichtigen, dass y D x x ist. y 0 D y  .ln x C 1/ D x x  .ln x C 1/ D x x  ln x C x x 14.4.2

Gegeben sei die Funktion f mit   1 x : y D 1C x Berechnen Sie die 1. Ableitung.

Logarithmieren der Funktionsgleichung:   1 x D x  ln.1 C x 1 / ln y D ln 1 C x Differenzieren der logarithmierten Gleichung:

14

y0 1 1 .x 2 / D ln.1 C x 1 /  D 1  ln.1 C x 1 / C x  1 y x C 1 1C x    x   1 1 1 y 0 D y  ln.1 C x 1 /   ln.1 C x 1 /  D 1C xC1 x xC1 14.4.3

p Gegeben sei die Funktion f mit y D . x/x . Berechnen Sie die 1. Ableitung.

Logarithmieren der Funktionsgleichung: p 1 1 ln y D x  ln. x/ D x  ln x 2 D  x  ln x 2

291 14.4  Logarithmische Ableitung

Ableitung der logarithmierten Funktionsgleichung: p y0 1 1 1 1 D  ln x C x  D ln x C y 2 2 x 2   p 1 y 0 D y  ln x C 2   p p 1 y 0 D . x/x  ln x C 2 14.4.4

Gegeben sei die Funktion f mit y D .sin x/x . Berechnen Sie die 1. Ableitung.

Logarithmieren der Funktionsgleichung: ln y D x  ln.sin x/ Ableitung der logarithmierten Funktionsgleichung: y0 1 D 1  ln.sin x/ C x   cos x y sin x h cos x i y 0 D y  ln.sin x/ C x  sin x h cos x i 0 x y D .sin x/  ln.sin x/ C x  sin x

14

293

Anwendung der Differentialrechnung auf ganzrationale Funktionen Inhaltsverzeichnis 15.1

Tangente und Normale – 294

15.2

Kurvendiskussion – 300

15.3

Funktionssynthese – 310

15.4

Extremwertaufgaben – 321

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2020 H. Rapp, J.M. Rapp, Übungsbuch Mathematik für Fachschule Technik und Berufskolleg, https://doi.org/10.1007/978-3-658-31108-7_15

15

294

Kapitel 15  Anwendung der Differentialrechnung auf ganzrationale Funktionen

1 Ableitungsregeln f .x/ D a  x n

f 0 .x/ D a  n  x n1

(Potenzregel)

(Faktorenregel)

Konstante Faktoren bleiben erhalten

(Konstantenregel)

Die Ableitung von Summen kann gliedweise erfolgen.

(Summenregel)

15.1

Tangente und Normale

Die Steigung der Normalen berechnen wir mit der Steigung der Tangenten nach folgender Beziehung:

Steigung der Tangente: mt D

y2  y1 y D x2  x1 x

Steigung der Normalen: mn D 

1 mt

D negativ-reziproker Wert der Tangentensteigung

Die Steigung von Kurven wird mit der 1. Ableitung der Funktionsgleichung berechnet. Diese Ableitung kann auf verschiedene Weise formuliert werden: y0I

f 0 .x/I

dy I dx

df .x/ I dx

df .t/ D yP dt

(D Ableitung nach der Zeit t)

15.1.1

15

Gegeben sei die Funktion f mit 3 1 f .x/ D  x 3   x 2 C 3: 6 4 a) Berechnen Sie die 1. Ableitung (D Steigungsfunktion) und geben Sie die Steigung im Kurvenpunkt bei x D 2 an. b) Berechnen Sie die Gleichung der Tangente in diesem Punkt. c) Welche Gleichung hat die Normale in diesem Kurvenpunkt?

1 2 3 1 3  x  x; f 0 .2/ D  22   2 D 2  3 D 1 2 2 2 2 4 4 1 3 3 2 b) Funktionswert bei x D 2: f .2/ D  2   2 C 3 D  3 C 3 D 6 4 3 3   Kurvenpunkt: A 2I 43 a) f 0 .x/ D

295 15.1  Tangente und Normale

Tangentengleichung (Punkt-Steigungsgleichung): y D f 0 .x1 /  .x  x1 / C y1 4 1 y D 1  .x  2/ C I y D x C 3 3 3  4 c) Gleichung der Normalen in A 2I 3 mn D 

1 D 1I 1

4 y D 1  .x  2/ C I 3

yDx

2 3

15.1.2

Gegeben sei die Parabel mit der Funktionsgleichung f .x/ D

1 1 .x  2/2 C 1 D x 2  2x C 3: 2 2

Bestimmen Sie die Gleichungen der Tangenten vom Punkt A .1I 3/ an den Funktionsgraphen.

Da kein Berührpunkt bekannt ist, gehen wir von einem noch unbekannten Berührpunkt B .uI f .u// aus. Die Tangente in diesem Berührpunkt hat folgende Funktionsgleichung y D f 0 .u/  .x  u/ C f .u/ Mit f .u/ D 12 u2  2u C 3 und f 0 .u/ D u  2 erhält man die Tangentengleichung 1 y D .u  2/  .x  u/ C u2  2u C 3 2 Da der Punkt A .1I 3/ auf der Tangente liegen muss, setzen wir die Koordinaten in die Tangentengleichung ein und erhalten: 1 3 D .u  2/.1  u/ C u2  2u C 3 2 u2 1 3 D u  2  u2 C 2u C  2u C 3 oder  u2 C u C 4 D 0 2 2 oder u2  2u  8 D 0 p u1=2 D 1 ˙ 1 C 8 D 1 ˙ 3I u1 D 4 _ u2 D 2 Berührpunkte: B1 .4I 3/; B2 .2I 9/ Tangenten: t1 W y D 2x  5 t2 W y D 4x C 1

15

296

Kapitel 15  Anwendung der Differentialrechnung auf ganzrationale Funktionen

15.1.3

Gegeben sei die Funktion f mit 8 1 f .x/ D  x 3 C x: 6 3 Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente vom Punkt A .1I 2/ an den Funktionsgraphen.

Der Berührpunkt sei B .uI f .u//. Gleichung der Tangente: y D f 0 .u/  .x  u/ C f .u/ 1 8 1 8 Mit f .x/ D  x 3 C x und f 0 .x/ D  x 2 C lautet die Tangentengleichung 6 3 2 3   1 8 8 1 y D  u2 C  .x  u/  u3 C u 2 3 6 3 Punktprobe für A .1I 2/:   8 1 1 2 8  .1  u/  u3 C u 2D  u C 2 3 6 3 1 2 8 1 14 1 3 8 1 3 8 1 2 D u  C u  u  u C u D u3 C u2  2 3 2 3 6 3 3 2 3 u3 C 1;5u2  14 D 0 Lösung: u1 D 2 (durch Probieren) H ORNER-Schema 1 1;5 0 14 2 7 14 1 3;5 7 0 r 49 7 D ˙  7 (keine reellen Lösungen) 4 16

u1 D 2

u2=3

15

B .2I 4/ 2 8 Tangente: tW y D x C 3 3 Berührpunkt:

15.1.4

Gegeben sei die Funktion f mit f .x/ D

1 3 x  2x: 2

Bestimmen Sie die Gleichung der Tangenten vom Punkt A .2I 0/ an den Funktionsgraphen. Die Tangenten schneiden die y-Achse in den Punkten B und C . Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks ABC .

297 15.1  Tangente und Normale

Berührpunkt: B .uI f .u// Tangentengleichung: y D f 0 .u/  .x  u/ C f .u/ 1 3 Mit f .u/ D u3  2u; f 0 .u/ D u2  2 erhält man die Tangentengleichung 2 2   3 2 1 yD u  2  .x  u/ C u3  2u 2 2 Punktprobe mit A .4I 0/:  0D

 3 2 1 u  2  .2  u/ C u3  2u 2 2

u3 C 3u2  4 D 0 u1 D 1 (durch Probieren) H ORNER-Schema 1 3 0 4 1 4 4 1 4 4 0 p D 2 ˙ 4  4 D 2

u1 D 1 u2=3

B1 .1I 1;5/; B2 .2I 0/ 1 Tangenten: t1 W y D  x  1 t2 W y D 4x C 8 2 Schnittpunkte der y-Achse: x D 0: B .0I 1/, C .0I 8/ 1 1 Fläche des Dreiecks ABC : A D  BC  OA D  9  2 D 9 FE 2 2 Berührpunkte:

15.1.5

Gegeben seien die Funktionen f mit f .x/ D

1 3 3 x C x2 C 2 5 10

und g mit g.x/ D

1 3 1 2 6 x C x C x C 2: 10 5 5

Ihre Schaubilder sind Kf und Kg . a) Berechnen Sie die Schnittpunkte der Funktionsgraphen. b) Unter welchem Winkel schneiden sich Kf und Kg bei x D 0. c) In welchem Punkten schneiden Tangente und Normale an Kg in Q .0I f .0// die x-Achse?

15

298

Kapitel 15  Anwendung der Differentialrechnung auf ganzrationale Funktionen

a) Schnittpunkte von Kf und Kg : f .x/ D g.x/ 1 3 3 2 1 3 1 2 6 x C x C2D x C x C xC2 5 10 10 5 5 1 2 6 1 3 x C x  xD0 10 10 5 x 3 C x 2  12x D 0 x  .x 2 C x  12/ D 0 x1 D 0I f .0/ D 2I

S1 .0I 2/ r 1 1 1 7 x2=3 D  ˙ C 12 D  ˙ I x2 D 3 _ x3 D 4 2 4 2 2 x2 D 3I f .3/ D 10;1I S2 .3I 10;1/ x3 D 4I f .4/ D 6I S3 .4I 6/

b) 3 2 3 x C xI f 0 .0/ D 0I 5 5 3 2 2 6 6 g 0 .x/ D x C x C I g 0 .0/ D D 1;2I 10 5 5 5

f 0 .x/ D

15

˛1 D 0ı tan ˛2 D 1;2I ˛2 D 50;19ı

Damit beträgt der Schnittwinkel ı D ˛2  ˛1 D 50;19ı 6 c) Tangente: t: y D x C 2 5 6 5 Schnittpunkt mit der x-Achse: y D 0: 0 D x C 2; x D  5 3   5 Schnittpunkt der Tangente: S t  I 0 3 5 Normale: n: y D  x C 2 6 5 12 Schnittpunkt mit der x-Achse: y D 0: 0 D  x C 2; x D 6 5   12 Schnittpunkt der Normalen: S t I 0 oder S t .2;4I 0/ 5 15.1.6

Gegeben sei die Funktion f mit f .x/ D  12  x 2 C 3x  1;5. a) Bestimmen Sie die Nullstellen und die Koordinaten des Scheitels. b) Wie groß ist im Kurvenpunkt A .4I f .4// der Steigungswinkel der Tangente an die Parabel. Berechnen Sie die Gleichung der Tangente und Normalen in A. c) Die Tangente in A schneidet die y-Achse in C , die Normale in A schneidet die y-Achse in B. Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks ABC .

299 15.1  Tangente und Normale

a) Nullstellen: f .x/ D 0: 1   x 2 C 3x  1;5 D 0 oder x 2  6x C 3 D 0 2 p p x1=2 D 3 ˙ 9  3 D 3 ˙ 6I x1 D 3 C 2;449 D 5;45 _ x2 D 0;55 N1 .5;45I 0/ N2 .0;55I 0/ f 0 .x/ D x C 3

Extrempunkt: Ableitungen:

f 0 .x/ D 0W x C 3 D 0I

x D 3I

9 f .3/ D  C 9  1;5 D 3 2

Scheitel: S .3I 3/ b)

f 0 .x/ D x C 3 f 0 .4/ D 1I

tan ˛ D 1I

Tangentengleichung: y D x C 6;5

˛ D 45ı D 315ı

y D f 0 .4/  .x  4/ C f .4/I y D 1  .x  4/ C 2;5;

c) AD

1  BC  4 2

AD

1  .6;5 C 1;5/  4 D 16 FE 2

15

300

Kapitel 15  Anwendung der Differentialrechnung auf ganzrationale Funktionen

Kurvendiskussion

15.2

15.2.1

Gegeben sei die Funktion f mit f .x/ D a) b) c) d)

1 3 3 2  x   x C 2: 8 4

Bestimmen Sie die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen. Berechnen Sie die Extrema (Hoch- und Tiefpunkte) und den Wendepunkt. Bestimmen Sie die Gleichung der Wendetangente. Zeichnen Sie den Funktionsgraphen.

y D 2 Sy .0I 2/ 1 3 3 2 Schnittpunkte mit der x-Achse: f .x/ D 0: x  x C2D0 8 4 (Nullstellen)

a) Schnittpunkt mit der y-Achse:

x D 0:

x 3  6  x 2 C 16 D 0 Durch Probieren erhalten wir: H ORNER-Schema x1 D 2

x1 D 2 N1 .2I 0/

1 6 0 16 2 8 16 1 4 8 0

p p x 2  4x  8 D 0I x1=2 D 2 ˙ 4 C 8 D 2 ˙ 12 p p x1 D 2 C 12 D 5;464 _ x2 D 2  12 D 1;464 N2 .5;464I 0/I N3 .1;464I 0/

15

b) Extrema: 3 2 3 3 3  x  xI f 00 .x/ D x  8 2 4 2   3 3 3 3 f 0 .x/ D 0W  x 2  x D 0I x  x D 0I 8 2 8 2 x D 0I f .0/ D 2 3 f 00 .0/ D  < 0 (Hochpunkt)I E1 .0I 2/ 2 3 3 x  D 0I x D 4 8 2 f .4/ D 2 3 f 00 .4/ D > 0 .Tiefpunkt E2 .4I 2// 2 f 0 .x/ D

301 15.2  Kurvendiskussion

Wendepunkt: f 00 .x/ D 0: 3 3 x  D 0I x D 2I W .2I 0/ D N1 .2I 0/ 4 2 3 f 000 .2/ D ¤ 0, d. h. Wendepunkt (kein Sattelpunkt) 4 c) Wendetangente: 3 3 3 4 2D 8 2 2 Gleichung der Wendetangente (Punkt-Steigungsgleichung):

Steigung im Wendepunkt W .2I 0/: f 0 .2/ D

3 y  0 D  .x  2/I 2

3 y D xC3 2

d) Graph:

15.2.2

Gegeben sei die Funktion f mit f .x/ D x 3 C 1;5x 2  0;5. a) Bestimmen Sie die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen. b) Berechnen Sie die Extrema (Hoch- und Tiefpunkte) und den Wendepunkt. c) Bestimmen Sie die Gleichung der Wendetangente. d) Zeichnen Sie den Funktionsgraphen Kf .

15

302

Kapitel 15  Anwendung der Differentialrechnung auf ganzrationale Funktionen

a) Schnittpunkt mit der y-Achse:

x D 0:

y D 0;5 Sy .0I 0;5/

3 1 Schnittpunkte mit der x-Achse: f .x/ D 0: x 3 C  x 2  D 0 2 2 (Nullstellen) Durch Probieren erhalten wir: x1 D 1 N1 .1I 0/ H ORNER-Schema x1 D 1

1 1;5 0 0;5 1 0;5 0;5 1 0;5 0;5 0

x C 0;5x  0;5 D 0I 2

x2 D

1 _ x3 D 1 2

x2=3

1 D ˙ 4

N2 .0;5I 0/I

r

1 1 1 3 C D ˙ 16 2 4 4

N3 .1I 0/

b) Extrema: f 0 .x/ D 0 f 0 .x/ D 3x 2 C 3xI f 00 .x/ D 6x C 3 3x 2 C 3x D 0I x D 0I

x  .3x C 3/ D 0I f .0/ D 

1 2

  1 f .0/ D 3 > 0 (Tiefpunkt); E1 0I  2 00

3x C 3 D 0I x D 1 f .1/ D 0 f 00 .1/ D 3 < 0 (Hochpunkt) E2 .1I 0/ D N

15

  1 1 1 Wendepunkt: f .x/ D 0: 6x C 3 D 0; x D  W  I 2 2 4 c) Wendetangente:     1 1 3 3 3 1 Steigung im Wendepunkt: W  I  f0  D  D 2 4 2 4 2 4 Gleichung der Wendetangente (Punkt-Steigungsgleichung): 00

yD

  1 1 3 xC  I 4 2 4

3 5 yD x 4 8

303 15.2  Kurvendiskussion

d) Graph:

15.2.3

Gegeben sei die Funktion f mit 1 6 1 3 x C x 2  x: f .x/ D 10 10 5 a) Bestimmen Sie die Schnittpunkte mit der x-Achse (D Nullstellen) und die Steigung in diesen Punkten. b) Berechnen Sie die Extrema (Hoch- und Tiefpunkte) und den Wendepunkt. c) Bestimmen Sie die Gleichung der Wendetangente und Wendenormalen. d) Von dem Punkt P .3I 0/ soll eine Tangente an den Funktionsgraphen Kf gelegt werden. Berechnen Sie die Koordinaten der Berührpunkte und geben Sie die Gleichungen der Tangenten an. e) Zeichnen Sie das Schaubild.

15

304

Kapitel 15  Anwendung der Differentialrechnung auf ganzrationale Funktionen

a) Nullstellen: f .x/ D 0: 1 3 1 6 x C x2  x D 0 10 10 5 x 3 C x 2  12x D 0 oder x  .x 2 C x  12/ D 0 x1 D 0 N1 .0I 0/ r 1 1 1 7 x2=3 D  ˙ C 12 D  ˙ I x2 D 3 _ x3 D 4I 2 4 2 2

N2 .3I 0/I

N3 .4I 0/

b) Extrema: 3 2 1 3 6 1 x C x  I f 00 .x/ D x C 10 5 5 5 5 3 2 1 2 6 0 2 x C x  D 0I x C x  4 D 0 f .x/ D 0W 10r 5 5 3 p 1 37 1 1 x1=2 D  ˙ C4D ˙ I x1 D 1;69 _ x2 D 2;36 3 9 3 3 f 00 .1;69/  0 (Tiefpunkt); E1 .1;69I 1;26/ 00 f .2;36/  0 (Hochpunkt); E2 .2;36I 2;07/ f 0 .x/ D

Wendepunkt:

00

f .x/ D 0:

3 1 x C D 0; 5 5

1 xD ; 3

  1 W  I 0;407 3

c) Wendetangente: f0

15

  1 1 1 6 11 D C  D 3 30 15 5 10   11 1 yD xC C 0;407 10 3 11 y D  x C 0;04 10

Wendenormale:   10 1 yD xC C 0;407 11 3 10 yD x C 0;71 11 d) Berührpunkt: B .uI f .u// Tangentengleichung: y D f 0 .u/  .x  u/ C f .u/ 1 3 1 2 6 3 2 1 Mit f .u/ D u C u  u und f 0 .x/ D u C u 10 10 5 10 5  3 2 1 6 1 3 u C u  .x  u/ C u C Tangentengleichung y D 10 5 5 10

6 erhält man die 5 1 2 6 u  u 10 5

305 15.2  Kurvendiskussion

Punktprobe mit A .3I 0/:   3 2 1 1 6 6 1 0D u C u  .3  u/ C u3 C u2  u 10 5 5 10 10 5 u3  4u2  3u C 18 D 0 u1 D 2 (durch Probieren erhalten) H ORNER-Schema: 1 4 3 18 2 12 18 1 6 9 0 p D 3 ˙ 9  9 D 3 ¶ N2

u1 D 2 u2=3

Berührpunkte: B1 .2I 2/; B2 .3I 0/ D N2 Tangenten: 2 6 t1 W y D  x C 5 5 21 63 x t2 W y D 10 10 e) Graph:

15

306

Kapitel 15  Anwendung der Differentialrechnung auf ganzrationale Funktionen

15.2.4

Gegeben sei die Funktion f mit f .x/ D 2x 3 C 5x 2  4x  3. a) Bestimmen Sie die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen. b) Berechnen Sie die Extrema (Hoch- und Tiefpunkte) und den Wendepunkt. c) Zeichnen Sie den Funktionsgraphen K.

a) Nullstellen: f .x/ D 0: 2x 3 C 5x 2  4x  3 D 0 H ORNER-Schema: x1 D 1

2 5 4 3 2 7 3 2 7 3 0

7 3 2x 2 C 7x C 3 D 0I x 2 C x C D 0 2 2 r 49 3 7 7 5 x2=3 D  ˙  D ˙ 4 16 2 4 4 1 x2 D  _ x3 D 3  2  1 N2  I 0 I N3 .3I 0/ 2 b) Ableitungen: f 0 .x/ D 6x 2 C 10x  4 f 00 .x/ D 12x C 10 Extrema:

15

5 2 f 0 .x/ D 0W 6x 2 C 10x  4 D 0I x 2 C x  D 0 3 3 r 25 5 1 2 5 7 x1=2 D  ˙ C D  ˙ I x1 D _ x2 D 2 36 3 6 6 3    6 1 1 D> 0 (Tiefpunkt); E1 I 3;70 f 00 3 3 f 00 .2/ D< 0 (Hochpunkt); E2 .2I 9/ Wendepunkt:

00

f .x/ D 0:

5 12x C 10 D 0; x D  ; W 6



 5  I 2;65 6

307 15.2  Kurvendiskussion

c) Graph:

15.2.5

Gegeben sei die Funktion f mit 1 f .x/ D  x 4 C 2x 2 : 4 a) Untersuchen Sie den Funktionsgraphen auf Symmetrie. b) Berechnen Sie die Schnittpunkte mit der x-Achse (D Nullstellen). c) Berechnen Sie die Koordinaten der Extrema (Hoch- und Tiefpunkte) und den Wendepunkt. d) Bestimmen Sie die Gleichung der Wendetangenten. e) In welchen Punkten hat der Funktionsgraph eine Tangente, die parallel zu der Geraden g mit g.x/ D 3x C 2 verläuft? f) Zeichnen Sie den Funktionsgraphen.

a) Symmetrie: Der Funktionsgraph ist achsensymmetrisch zur y-Achse, da es sich um eine „gerade Funktion“ handelt. Da wir bei x nur gerade Hochzahlen haben, ist f .x/ D f .x/

15

308

Kapitel 15  Anwendung der Differentialrechnung auf ganzrationale Funktionen

b) Nullstellen: 1  x 4 C 2x 2 D 0 4   1 x2  x2 C 2 D 0 4

f .x/ D 0W

x1=2 D 0I

N1=2 .0I 0/ (doppelte Nullstelle D Extrempunkt)

1  x 2 C 2 D 0 oder x 2 D 8 4 p p x3=4 D ˙ 8 D ˙2 2 D ˙2;828I N3 .2;83I 0/I

x3 D 2;83 _ x4 D 2;83

N4 .2;83I 0/

c) Extrema: f 0 .x/ D x 3 C 4xI f 00 .x/ D 3x 2 C 4 f 0 .x/ D 0W x1 D 0I

x 3 C 4x D 0I

x  .x 2 C 4/ D 0

f .0/ D 0I f 00 .0/ D 4 > 0 d. h. Tiefpunkt E1 .0I 0/ D N1=2

x 2 D 4I

x2 D 2 _ x3 D 2

f .2/ D f .2/ D 4 f 00 .2/ D f 00 .2/  8 < 0;

d. h. Hochpunkte E2 .2I 4/I

E3 .2I 4/

Wendepunkte: f 00 .x/ D 3x 2 C 4

15

f

r

4 f .x/ D 0W 3x C 4 D 0I x1=2 D ˙ D ˙1;15 3 ! r 4 ˙ D 2;22I W1 .1;15I 2;22/I W2 .1;15I 2;22/ 3 00

2

d) Steigungen in den Wendepunkten: r r r ! 4 4 4 4 16 p 0 3 D 3079 D C4 D f 3 3 3 3 9 r r r r ! 4 4 4 4 8 4 0 f  D 4 D D 3079 3 3 3 3 3 3 Gleichungen der Wendetangenten: t1 W y D 3;079  .x  1;15/ C 2;22 D 3;079x  1;32 t2 W y D 3;079  .x C 1;15/ C 2;22 D 3;079x  1;32

309 15.2  Kurvendiskussion

e) Steigung des Funktionsgraphen f 0 .x/ D Steigung der Geraden x 3 C 4x D 3 oder x1 D 1

 x 3 C 4x C 3 D 0

(durch Probieren gefunden)

H ORNER-Schema: x1 D 1

1 0 4 3 1 1 3 1 1 3 0

x 2 C x C 3 D 0 oder x 2  x  3 D 0 r 13 1 x2=3 D ˙ I x2 D 2;30 _ x3 D 1;30 2 4 f .1/ D 1;75I

f .2;30/ D 3;58I

f .1;30/ D 2;67

Die Punkte sind: A .1I 1;75/, B .2;30I 3;58/ und C .1;30I 2;67/ f) Graph:

15

310

Kapitel 15  Anwendung der Differentialrechnung auf ganzrationale Funktionen

Funktionssynthese

15.3

Bestimmung ganzrationaler Funktionen aus Vorgaben 15.3.1

Der Graph einer ganzrationalen Funktion 3. Grades soll die x-Achse bei x D 4 berühren und im Ursprung die Steigung  14 haben. Bestimmen Sie die Funktionsgleichung.

Funktionsgleichung: f .x/ D ax 3 C bx 2 C cx 0

.Graph geht durch den Ursprung: d D 0/

f .x/ D 3ax C 2bx C c f 00 .x/ D 6ax C 2b 2

Bedingungen: N .4I 0/: f .4/ D 0W 0

f .4/ D 0W

64a C 16b C 4c D 0 16a C 4b C c D 0 .1/ 48a C 8b C c D 0 .2/

1 f 0 .0/ D  W 4

cD

1 4

.3/

Auswertung der Gleichungen: 1 D0 4 1 24a C 4b  D 0 8 1 1 8a D  I a D  8 64 1 bD 8

.3/ in .1/ und .2/W 16a C 4b 

15

.20 /  .10 /W .4/ in .10 /W

Funktionsgleichung:

f .x/ D 

.10 / .20 / .4/

1 3 1 2 1 x C x  x 64 8 4

15.3.2

Der Graph einer ganzrationalen Funktion 3. Grades hat bei S .2I 1/ einen Sattelpunkt und soll durch den Ursprung gehen. Bestimmen Sie die Funktionsgleichung.

311 15.3  Funktionssynthese

Funktionsgleichung: f .x/ D ax 3 C bx 2 C cx 0

.Graph geht durch den Ursprung: d D 0/

f .x/ D 3ax C 2bx C c f 00 .x/ D 6ax C 2b 2

Bedingungen: S.2I 1/: f .2/ D 1W

8a C 4b C 2c D 1

f 0 .2/ D 0W

4a C 2b C c D 0;5 .1/ 12a C 4b C c D 0 .2/ Sattelpunkt: f 0 .x/ D 0

f 00 .2/ D 0W 12a C 2b D 0

.3/ Sattelpunkt: f 00 .x/ D 0

Auswertung der Gleichungen: .2/  .1/W

8a C 2b D 0;5

.3/  .4/W

4a D 0;5I

.5/ in .3/W

bD

.5/ und .6/ in .1/W

cD

Funktionsgleichung:

1 aD 8

3 4

.4/ .5/ .6/

3 2

.7/

f .x/ D

1 3 3 2 3 x  x C x 8 4 2

15.3.3

Der Graph einer Funktion 3. Grades geht durch die Punkte N .1I 0/ und Sy .0I 2/ und hat bei T .4I 1/ einen Tiefpunkt. Bestimmen Sie die Funktionsgleichung.

Funktionsgleichung: Bedingungen:

f .x/ D ax 3 C bx 2 C cx C d ; f 0 .x/ D 3ax 2 C 2bx C c

Sy .0I 2/W

f .0/ D 2W

d D2

.1/

N .1I 0/W

f .1/ D 0W a C b  c C d D 0

.2/

T .4I 1/W

f .4/ D 1W

64a C 16b C 4c C d D 1 .3/

f 0 .4/ D 0W

48a C 8b C c D 0

.4/

15

312

Kapitel 15  Anwendung der Differentialrechnung auf ganzrationale Funktionen

Auswertung der Gleichungen: Gleichung (1) eingesetzt in Gleichungen (2) und (3). ˇ ˇ a C b  c D 2 ˇ ˇ 48a C 8b C c D 0 ˇ ˇ 64a C 16b C 4c D 1 4  .10 / C .30 /W .10 / C .4/W

60a C 20b D 9 47a C 9b D 2

.60 /  .50 /W

400a D 41 oder a D

.7/ in .6/W

bD

.7/ und .8/ in .10 /W

303 D 0;7575 400 114 cD D 1;14 100

Funktionsgleichung:

ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ

.10 / j  4 .4/ .30 / .5/ j  9 .6/ j  20

41 D 0;1025 .7/ 400 .8/

f .x/ D 0;1025x 3  0;7575x 2 C 1;14x C 2

15.3.4

a) Der Graph Kf einer ganzrationalen Funktion 3. Grades verläuft punktsymmetrisch zum Ursprung und hat bei x D 3 und x D 3 Nullstellen. Die Steigung im Ursprung ist f .0/ D 2. Bestimmen Sie die Funktionsgleichung. b) Welche Funktionsgleichung hat eine ganzrationale Funktion 3. Grades, deren Graph Kg die gleichen Nullstellen hat wie Kf und Kg im Ursprung senkrecht scheidet. c) Unter welchem Winkel schneiden sich die Schaubilder Kf und Kg im Punkt N .3I 0/? d) Zeichnen Sie die beiden Schaubilder in das gleiche Koordinatensystem.

a) Funktionsgleichung von f : f .x/ D ax 3 C bx (Punktsymmetrie zum Ursprung)

15

Punktprobe mit N .3I 0/W

.2/ in .1/W Funktionsgleichung: b) Funktionsgleichung von g: g.x/ D cx 3 C dx g 0 .x/ D 3cx 2 C d

f 0 .x/ D 3ax 2 C b f .3/ D 0W 27a C 3b D 0 .1/ f 0 .0/ D 2W b D 2 .2/ 2 .3/ 27a  6 D 0 a D 9 2 f .x/ D x 3  2x 9

313 15.3  Funktionssynthese

Bedingung für Orthogonalität: g 0 .x1 / D 

1 f

0 .x

1/ 1 1 1 g 0 .0/ D  0 D D W f .0/ 2 2

dD

1 2

.4/

Punktprobe für N .3I 0/: 27c C 3d D 0 (5) 1 3 (6) (4) in (5): 27c C D 0; c D  2 18 1 1 Funktionsgleichung: g.x/ D  x 3 C x 18 2 c) 2 2 x  2I f 0 .3/ D 4I tan ˛1 D 4I ˛1 D 75;96ı 3 1 1 g 0 .x/ D x 2 C I g 0 .3/ D 2I tan ˛2 D 2I ˛2 D 63;43ı 6 2

f 0 .x/ D

Schnittwinkel: ı D ˛1  ˛2 D 75;96ı  63;43ı D 12;53ı Der Schnittwinkel kann auch direkt mit den Steigungen berechnet werden: tan ı D d) Graph:

42 2 m2  m1 D D I 1 C m1  m2 1C24 9

ı D 12;53ı

15

314

Kapitel 15  Anwendung der Differentialrechnung auf ganzrationale Funktionen

15.3.5

Der Graph einer ganzrationalen Funktion 4. Grades verläuft symmetrisch zur y-Achse, hat einen Hochpunkt bei x D 2, schneidet die x-Achse bei x D 4 und die y-Achse bei y D 2. Bestimmen Sie die Funktionsgleichung.

Funktionsgleichung: f .x/ D ax 4 C bx 2 C c 0

f .x/ D 4ax C 2bxI 3

(Achsensymmetrie zur y-Achse: nur gerade Potenzen) f 00 .x/ D 12ax 2 C 2b

Bedingungen: Sy .0I 2/W

f .0/ D 2W

cD2

N .4I 0/W

f .4/ D 0W

256a C 16b C c D 0 .2/

H .2I f .2//W

f 0 .2/ D 0W

32a C 4b D 0

.1/ .3/

Auswertung der Gleichungen: .1/ in .2/W .4/  .3/W .5/ in .3/W

256a C 16b C 2 D 0 oder 64a C 4b D 0;5 32a C 4b D 0 1 32a D 0;5I aD 64 1 bD 8

Funktionsgleichung: f .x/ D 

15

1 4 1 2 x C x C2 64 8

.4/ .3/ .5/ .6/

315 15.3  Funktionssynthese

15.3.6

a) Eine nach oben geöffnete Parabel hat die Nullstellen N1 .3I 0/ und N2 .3I 0/ und schneidet die y-Achse bei y D 3. Bestimmen Sie die Funktionsgleichung. b) Eine zum Ursprung punktsymmetrische ganzrationale Funktion 3. Grades hat die gleichen Nullstellen wie die Parabel nach Aufgabe a). Sie soll die Parabel im Punkt N1 .3I 0/ senkrecht schneiden. Bestimmen Sie die Funktionsgleichung. c) Unter welchem Winkel schneiden sich die Schaubilder Kf und Kg im Punkt N .3I 0/? d) Zeichnen Sie die beiden Schaubilder in das gleiche Koordinatensystem.

a) Aus den gegebenen Nullstellen erkennen wir die Achsensymmetrie zur y-Achse. Damit hat die Parabelgleichung nur gerade Exponenten. Da außerdem der AchsenAbschnitt auf der y-Achse gegeben ist, lautet die Funktionsgleichung f .x/ D ax 2  3: Punktprobe mit N1 .3I 0/: 0 D 9a  3; a D

1 3

1 2 x 3 3 b) Punktsymmetrie zum Ursprung bedeutet, dass bei der Funktionsgleichung nur ungerade Exponenten vorkommen dürfen. Die Funktionsgleichung lautet damit in allgemeiner Form g.x/ D ax 3 C bx. Zur Berechnung der Steigerungen sind die Ableitungen erforderlich: Funktionsgleichung:

f .x/ D

g 0 .x/ D 3ax 2 C b 2 f 0 .x/ D xI f 0 .3/ D 2 3 Bedingung für die Orthogonalität: g 0 .x1 / D  Mit g 0 .3/ D  27a C b D 

1 1 D  und g 0 .3/ D 27a C b gilt: f 0 .3/ 2

1 2

.4/

Punktprobe für N .3I 0/: 27a C 3b D 0 (5) 1 1 I bD 2 4 3 1 .6/ in .5/W 27a C D 0I a D  4 36

.5/  .4/W

1 f 0 .x1 /

2b D

Funktionsgleichung: g.x/ D 

.6/ .7/

1 3 1 x C x 36 4

15

316

Kapitel 15  Anwendung der Differentialrechnung auf ganzrationale Funktionen

c) 2 xI f 0 .3/ D 2I tan ˛1 D 2I ˛1 D 63;435ı D 296;565ı 3 1 1 1 1 g 0 .x/ D  x 2 C I g 0 .3/ D  I tan ˛2 D  I ˛2 D 26;565ı D 333;435ı 12 4 2 2

f 0 .x/ D

Schnittwinkel: ı D ˛2  ˛1 D 36;87ı Der Schnittwinkel kann auch mit den Steigungen direkt berechnet werden: tan ı D

 12 C 2 3 m2  m1  1 D I D 1 C m1  m2 4 1 C .2/   2

ı D 36;87ı

d) Graph:

15.3.7

15

Eine ganzrationale Funktion hat bei x D 3 eine doppelte Nullstelle. Der Funktionswert wechselt bei x D 1 das Vorzeichen. Die Steigung ist an dieser Stelle 2. Bestimmen Sie die Funktionsgleichung.

Da bei dieser Aufgabe keine Aussage über den Grad der Funktion gemacht wurde, gehen wir von der einfachsten ganzrationalen Funktion aus. Da 4 Bedingungen bekannt sind, ist das eine ganzrationale Funktion 3. Grades. Funktionsgleichung: f .x/ D ax 3 C bx 2 C cx C d Ableitungen: f 0 .x/ D 3ax 2 C 2bx C c f 00 .x/ D 6ax C 2b

317 15.3  Funktionssynthese

Bedingungen: Doppelte Nullstelle bei x D 3 bedeutet: Extrempunkt und Kurvenpunkt. Vorzeichenwechsel für den Funktionswert bei x D 1 bedeutet: Nullstelle. N1=2 .3I 0/W

f .3/ D 0W

27a C 9b C 3c C d D 0 .1/

0

N3 .1I 0/W

f .3/ D 0W

27a C 6b C c D 0

.2/

f .1/ D 0W

a C b  c C d D 0

.3/

3a  2b C c D 2

.4/

0

f .1/ D 2W

Auswertung der Gleichungen: .1/  .3/W

28a C 8b C 4c D 0 oder 7a C 2b C c D 0 .50 /  .4/W 4a C 4b D 0 .2/  .4/W 24a C 8b D 2 oder 12a C 4b D 1 1 .7/ in .6/W 8a D 1I a D C 8 1 .8/ in .6/W bD 8 7 2 5  C c D 0I c D  .8/ und .9/ in .50 /W 8 8 8 5 3 1 1 .8/; .9/ und .10/ in .3/W C  C C d D 0I d D  8 8 8 8 Funktionsgleichung:

.5/ .50 / .6/ .7/ .8/ .9/ .10/

1 1 5 3 f .x/ D  x 3  x 2  x  8 8 8 8

15.3.8

Die dargestellte Kurve K einer ganzrationalen Funktion 3. Grades hat bei x D 2 die eingezeichnete Kurventangente.

Entnehmen Sie die Bedingungen der graphischen Darstellung und berechnen Sie damit die Funktionsgleichung.

15

318

Kapitel 15  Anwendung der Differentialrechnung auf ganzrationale Funktionen

Aus der Zeichnung ist zu ersehen, dass die Tangente durch den Kurvenpunkt A .2I 3/ die y-Achse bei y D 2 schneidet. Die Tangente geht somit durch die Punkte A .2I 3/ und 1 Sy .0I 2/ mit der Steigung m D yx22 y D 32 D 12 . Dies ist zugleich die Steigung der x1 20 Kurve im Punkt A .2I 3/. Die Tangentengleichung lautet somit y D 12 x C 2. Funktionsgleichung: f .x/ D ax 3 C bx 2 C cx C d Ableitungen: f 0 .x/ D 3ax 2 C 2bx C c f 00 .x/ D 6ax C 2b Bedingungen: A .2I 3/W

f .2/ D 3W

B .0I 1/W

1 1 f 0 .2/ D W 12a C 4b C c D 2 2 d D1 f .0/ D 1W

C .5I 0/W

f .5/ D0W

8a C 4b C 2c C d D 3

.1/ .2/ .3/

125a C 25b C 5c C d D 0 .4/

Auswertung der Gleichungen: .3/ in .1/W .3/ in .4/W

.6/  .5/W

15

.6/  .2/W .8/  .7/W .9/ in .7/W .9/ und .10/ in .5/W

8a C 4b C 2c D 2 4a C 2b C c D 1 125a C 25b C 5c C 1 D 0 1 25a C 5b C c D  5 1 12a C 4b C c D 2 6 21a C 3b D  5 2 7a C b D  5 7 13a C b D  10 1 3 6a D  I a D  10 20 2 1 7 Cb D I b D  20 5 20 1 13 1 c D1C C I c D 5 10 10

Funktionsgleichung: f .x/ D 

.5/

.6/ .2/

.7/ .8/ .9/ .10/ .11/

1 13 1 3 x  x2 C x C 1 20 20 10

319 15.3  Funktionssynthese

15.3.9

Eine ganzrationale Funktion 4. Grades hat bei x D 3 eine einfache und bei x D 1 eine doppelte Nullstelle, außerdem ist f .3/ D f .1/ D 2. Bestimmen Sie die Funktionsgleichung.

Eine doppelte Nullstelle ist gleichzeitig eine Extremstelle, d. h. es ist f .1/ D 0 und f 0 .1/ D 0. Weiterhin ist aus f .3/ D f .1/ D 2 ersichtlich, dass der Funktionsgraph achsensymmetrisch zu x D 1 ist. Da wir keine Achsensymmetrie zur y-Achse haben, muss die allgemeine Funktionsgleichung angesetzt werden. Funktionsgleichung: f .x/ D ax 4 C bx 3 C cx 2 C dx C e Ableitung: f 0 .x/ D 4ax 3 C 3bx 2 C 2cx C d Bedingungen: f .3/ D 2W

81a C 27b C 9c C 3d C e D 2 .1/

f .3/ D 0W 81a  27b C 9c  3d C e D 0

.2/

aCbCcCd Ce D0

.3/

f .1/ D 2W a  b C c  d C e D 2

.4/

f .1/ D 0W 0

f .1/ D 0W

4a C 3b C 2c C d D 0

.5/

Auswertung: ˇ ˇ 81a C 27b C 9c C 3d ˇ ˇ 81a  27b C 9c  3d ˇ ˇ aC bC cC d ˇ ˇ a bC c d ˇ ˇ 2a C 1;5b C c C 0;5d .1/  .2/W .3/  .4/W 1 .6/  .7/W 3

.8/ in .7/W .8/ und .9/ in .3/W .8/ und .9/ in .2/W .11/  .10/W

54b C 6d D 2 27b C 3d D 1 2b C 2d D 2 b C d D 1 4 8b D 3 1 bD 6 7 d D 6 aCcCe D1 81a C 9c C e D 1 80a C 8c D 0 10a C c D 0

Ce Ce Ce Ce

D2 D0 D0 D2 D0

ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ

.1/ .2/ .3/ .4/ .5/ .6/ .7/

.8/ .9/ .10/ .11/ .12/

15

320

Kapitel 15  Anwendung der Differentialrechnung auf ganzrationale Funktionen

.8/ und .9/ in .5/W

2a C c D

.12/  .13/W

1 3 1 aD 24 5 cD 12

1 3

.13/

8a D 

.14/ in .12/W Aus .10/ mit .14/ und .15/W

Funktionsgleichung:

e D1C

f .x/ D 

1 5  I 24 12

.14/ .15/ eD

5 8

.16/

5 7 1 4 1 3 5 x C x C x2  x C 24 6 12 6 8

15.3.10

Eine ganzrationale Funktion 3. Grades hat bei x D 5 eine Nullstelle, außerdem ist f .2/ D f .2/ D 2. Bestimmen Sie die Funktionsgleichung.

Aus den Vorgaben ist ersichtlich, dass der Funktionsgraph punktsymmetrisch zum Ursprung ist. Damit kann beim Aufstellen der Funktionsgleichung die vereinfachte Funktionsgleichung angesetzt werden. Funktionsgleichung: f .x/ D ax 3 C bx (Punktsymmetrie zum Ursprung) Bedingungen:

15

f .2/ D 2W

8a  2b D 2

f .5/ D 0W

4a C b D 1 .1/ 125a C 5b D 0

.2/  .1/ W

.3/ in .1/ W

25a C b D 0 21a D 1 1 aD 21 25 bD 21

Funktionsgleichung:

f .x/ D

.2/

.3/

1 3 25 x  x 21 21

321 15.4  Extremwertaufgaben

15.4

Extremwertaufgaben

15.4.1*

Einem Halbkreis mit dem Radius r ist ein Trapez mit maximalem Flächeninhalt einzubeschreiben. Bestimmen Sie die Längen der beiden parallelen Seiten, die Höhe und den maximalen Flächeninhalt des Trapezes.

Wir legen durch den Halbkreis ein Koordinatensystem in der dargestellten Form.

Damit ist die Trapezfläche (Hauptbedingung) r Cx y 2 A D .r C x/  y .1/ AD2

Da die Trapezfläche noch von x und y abhängig ist, müssen wir mit Hilfe einer Nebenbedingung eine Variable durch die andere ersetzen. Diese Nebenbedingung ist gegeben durch die Kreisgleichung x2 C y2 D r 2 Für den vorliegenden Halbkreis erhalten aus obiger Relationsgleichung die Funktionsgleichung yD

p r 2  x2

.oberer Halbkreis/

.2/

(2) in (1): A D .r C x/ 

p

r 2  x2

.3/

Setzen wir die Nebenbedingung (2) in die Hauptgleichung (1) ein, so erhalten wir für die Fläche A eine Funktionsgleichung, die nur noch von der einzigen Variablen x abhängt, die jetzt nach x differenziert werden kann. Zur Berechnung der maximalen Fläche müssen wir die Flächenfunktion differenzieren.

15

322

Kapitel 15  Anwendung der Differentialrechnung auf ganzrationale Funktionen

Dazu haben wir zwei Möglichkeiten: 1. Anwendung der Produktregel 2. Ausmultiplizieren und Differenzieren Wir wollen die zweite Vorgehensweise anwenden. ADr

p

r 2  x2 C x 

p

r 2  x2 D r 

p

r 2  x2 C

p r 2x2  x4

2rx 2r 2 x  4x 3 r  x 2x  .r 2  2x 2 / p A0 D p C p Dp C 2 r 2  x2 2 r 2x2  x4 r 2  x2 2x  r 2  x 2 r 2  r  x  2x 2 A0 D p r 2  x2 p .r  4x/ r 2  x 2  .r 2  rx  2x 2 / p2x u0 v  uv 0 2 r 2 x 2 00 A D D v2 r 2  x2 .r  4x/.r 2  x 2 / C .r 2  rx  2x 2 /  x A00 D p .r 2  x 2 / r 2  x 2 .r  4x/.r 2  x 2 / C r 2 x  rx 2  2x 3 p D .r 2  x 2 / r 2  x 2 r 2  r  x  2x 2 r r2 A0 D 0W p D 0I x 2 C  x  D0 2 2 r 2  x2 r r2 r r2 r 3r x1=2 D  ˙ C D ˙ 4 16 2 4 4 r x1 D I x2 D r (unbrauchbar) 2 Nachweis:  2 3 .r  2r/ r 2  r4 C r2  A .x1 / D q  2 2 r 2  r4 r 2  r4 00

15

(d. h. Maximum) Höhe des Trapezes aus Gleichung (2): r yD

r2 r2  D 4

r

3 2 rp 3 r D 4 2

Maximale Trapezfläche A D .r C x/  y D Amax D

3p 3  r2 4

3 rp 3 r 2 2

r3 4



r3 4

D

p 3r  34 r 2 6 D p D 2 3 < 0 q 3 2 3 r  34 r 2 4

323 15.4  Extremwertaufgaben

15.4.2*

Ein Trapez, dessen eine Grundseite auf der x-Achse und dessen weitere Eckpunkte im 1. Quadranten und auf Kg mit g.x/ D 2x 2 C 6x liegen, soll einen maximalen Flächeninhalt erhalten. Bestimmen Sie die Länge der Grundseite, die Höhe sowie den Flächeninhalt dieses Trapezes.

Die durch den Ursprung gehende Parabel hat ihre weitere Nullstelle bei x D 3. Damit hat die Grundseite die maximal mögliche Länge von 3 LE. Die Oberseite hat damit die Länge 1;5  x. Mit diesen Größen erhalten wir die Gleichung der Trapezfläche A.x/.

Hauptgleichung: AD

3 C 2.1;5  x/ y 2

.1/

Nebengleichung: y D 2x 2 C 6x 3 C 3  2x  .2x 2 C 6x/ .2/ in .1/W A D 2 A D .3  x/  .2x 2 C 6x/

.2/ .3/

A D 6x 2 C 18x C 2x 3  6x 2 A D 2x 3  12x 2 C 18x A0 D 6x 2  24x C 18 A00 D 12x  24 A0 D 0W

6x 2  24x C 18 D 0

x 2  4x C 3 D 0 p x1=2 D 2 ˙ 4  3 D 2 ˙ 1I x1 D 3 _ x2 D 1 A00 .x1 / D 12 > 0 .d. h. Minimum/ A00 .x2 / D 12 < 0 .d. h. Maximum/

15

324

Kapitel 15  Anwendung der Differentialrechnung auf ganzrationale Funktionen

Höhe des Trapezes: y D 4 LE. Ergebnis: Das Trapez mit der Grundseite a D 3 LE und der Höhe y D 4 LE hat einen Flächeninhalt von A D 8 FE. 15.4.3*

Der Punkt P .uI f .u// sei ein Punkt des Funktionsgraphen Kf mit f W x 7! 12 x 3  x 2 im 4. Quadranten. Der Punkt Q .uI 0/ liegt auf der x-Achse. Der Ursprung sei der Punkt O. Bestimmen Sie u so, dass das Dreieck OPQ einen maximalen Flächeninhalt erhält.

Der Flächeninhalt des Dreiecks berechnet sich nach folgender Gleichung: AD

1 uv 2

Dabei ist u D x und v der Funktionswert von x im 4. Quadranten. Dieser ist aber negativ. Damit wir eine positive Fläche erhalten, muss der Funktionswert im Vorzeichen umgedreht werden.

 Wir erhalten v D .f .x// D 

15

1 3 x  x2 2



1 D  x3 C x2. 2

Damit ist die Dreiecksfläche    1 3 1 1 1 2 x x AD x  D  x4 C x3 2 2 4 2 3 A0 D x 3 C x 2 2 A00 D 3x 2 C 3x A0 D 0W x1 D 1;5I

3 x 3 C x 2 D 0I 2

 x2

3 x 2

 D0

x2=3 D 0 (unbrauchbar, da hier A D 0 wäre)

A00 .x1 / < 0 (d. h. Maximum) Ergebnis: A D

1 1 .1;53 /  .1;54 / D 1;6875  1;265625 D 0;4219 FE. 2 4

325 15.4  Extremwertaufgaben

15.4.4

Der Parabel mit der Funktionsgleichung y D  29 x 2 C 2 ist im 2. Quadranten ein Dreieck einzubeschreiben, das durch die x-Achse und durch die Gerade x D u begrenzt ist und dessen Spitze im Ursprung liegt. Wie groß muss u sein, damit der Flächeninhalt des Dreiecks maximal wird?

Der Flächeninhalt des Dreiecks berechnet sich nach folgender Gleichung: AD

1 uv 2

Dabei ist u im 2. Quadrant negativ. Um eine positive Fläche zu erhalten, muss von u der Betrag genommen werden.

Wir erhalten als Fläche 1  juj  f .u/ 2   1 2 1 A D  .u/   u2 C 2 D u3  u 2 9 9

AD

1 2 u 1 3 2 A00 D u 3 1 A0 D 0W  u2  1 D 0I 3 A0 D

p u1 D C 3 (unbrauchbar, da im 1. Quadrant) oder p u2 D  3

2p 3 < 0 (d. h. Maximum) 3 p p Ergebnis: Für u D  3 ergibt sich als maximale Dreiecksfläche A D 23 3 D 1;15 FE: A00 .x2 / D 

15

326

Kapitel 15  Anwendung der Differentialrechnung auf ganzrationale Funktionen

15.4.5

Gegeben sei die Funktion f mit f .x/ D

1 3 x  x2: 5

Die Gerade x D u (5 > u > 0) schneidet den Funktionsgraphen von f in A .uI f .u// und die x-Achse in B .uI 0/. Welchen Wert muss u annehmen, damit das Dreieck OAB einen maximalen Flächeninhalt erhält?

Da f .u/ in dem angegebenen Bereich negativ wird, muss für f .u/ der Betrag genommen werden, damit die Dreiecksfläche positiv wird. Wir erhalten als Dreiecksfläche 1 u  jf .u/j 2 ˇ ˇ ˇ 1 ˇˇ 1 3 2ˇ AD uˇ x x ˇ 2 5    1 1 3 2 AD u  u u 2 5 AD

1 4 1 3 u C u 10 2 2 3 A0 D  u3 C u2 5 2 6 A00 D  u2 C 3u 5 2 3 A0 D 0W  u3 C u2 D 0I 5 2 AD

15 D 3;75I u2=3 D 0 (unbrauchbar) 4  2 15 6 15 3  45 45  2 45 00 C3 D C D < 0 (d. h. Maximum) A D  5 4 4 8 42 8 u1 D

15

  3 2 u2  u C D 0I 5 2

327 15.4  Extremwertaufgaben

Ergebnis: Für u D

15 D 3;75 erhalten wir die maximale Dreiecksfläche A D 6;59 FE. 4

15.4.6

Gegeben sei die Funktion f mit 1 f .x/ D 4  x 2 : 3 Dem Schaubild wird oberhalb der x-Achse ein Dreieck so einbeschrieben, dass der Dreieckspunkt P auf dem Funktionsgraphen Kf liegt und die beiden anderen Dreieckspunkte A und B auf der x-Achse liegen, wobei der Punkt B von P auf die x-Achse projiziert liegt. Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes P so, dass die Fläche ABP einen maximalen Flächeninhalt erhält.

15

328

Kapitel 15  Anwendung der Differentialrechnung auf ganzrationale Funktionen

Die Nullstellen der Parabel ergeben sich aus 1 .x/ D 0 W 4  x 2 D 0 W 3

p N1 .2 3I 0/I

p N2 .2 3I 0/

Damit hat die Dreiecksfläche den Flächeninhalt 1 p .2 3 C u/  f .u/ 2   p 1 2 u  4 u 3C AD 2 3 p p 3 2 1 A D  u3  u C 2u C 4 3 6 3p 3 1 2 A0 D  u2  uC2 2 p 3 2 3 A00 D u  3 p p 1 2 3 4 3 0 2 2 A D 0W  u  u C 2 D 0I u C u4D0 2 3 r r 3 p p p p 4 4 2 3 2 3 12 2 3 4 3 u1=2 D  ˙ C4D ˙ C D ˙p p 3 3 3 3 3 3 3 3 p p 4 3 2 3 ˙ D 3 3 p p 2 3 u1 D _ u2 D 2 3 3p 4 3 A00 .u1 / D  < 0 .d. h. Maximum/ 3 p !2 1 4 2 3 32 f .u1 / D 4   D4 D 3 3 9 9 p 4 3 > 0 .d. h. Minimum/ A00 .u2 / D 3   p 2 3 32 I oder P .1;15I 3;56/ erhalten wir eine maximale DreiecksErgebnis: Für P 3 9 fläche. AD

15

329 15.4  Extremwertaufgaben

15.4.7

In einem Hohlraum, dessen Begrenzung sich durch die Kurve Kf mit f .x/ D x 2 C 3x C 2 beschreiben lässt, soll ein rechteckiger Schacht eingebaut werden.

Welche Höhe h und welche Breite b muss der Schacht erhalten, damit die Querschnittsfläche maximal wird?

u liegt im 2. Quadranten und ist deshalb negativ. Um eine positive Fläche zu erhalten, müssen wir von u den Betrag nehmen: A D juj  f .u/ Dies erreichen wir, wenn wir bei u einen Vorzeichenwechsel vornehmen. A D u  .u2 C 3u C 2/u 2 Œ1I 0 A D u3  3u2  2u A0 D 3u2  6u  2 A00 D 6u  6 2 D0 3 r p 3 2 1 D 1 ˙ 1  D 1 ˙ p D 1 ˙ 3 3 3

A0 D 0 W 3u2  6u  2 D 0I u1=2

u2 C 2u C

u1 D 0;4226 u2 D 1;57735 .u … D/ .unbrauchbar/ A00 D .u1 / D 3;4644 < 0 ! Minimum Ergebnis: Mit einer Breite b D 42;26 cm und einer Höhe h D 91;08 cm wird der Rechteckquerschnitt am größten.

15

330

Kapitel 15  Anwendung der Differentialrechnung auf ganzrationale Funktionen

15.4.8

Ein Schachtgewölbe habe die Form einer Parabel, die sich mit der Funktionsgleichung f .x/ D  14 x 2 C 4 beschreiben lässt. a) Welcher Rechteckquerschnitt mit maximaler Querschnittsfläche passt noch in diesen Schacht? b) Welche trapezförmige Querschnittsfläche mit maximalem Flächeninhalt ist möglich?

a)

A D 2xy   1 2 1 A D 2x   x C 4 D  x 3 C 8x 4 2 3 A0 D  x 2 C 8 2 A00 D 3x

15

3 A0 D 0 W  x 2 C 8 D 0I 2

4p 4 x1=2 D ˙ p D ˙ 3 3 3

x1=2 D ˙2;309 x1 D C2;309vx2 D 2;309I A00 .x1 / < 0 .Maximum/ A00 .x2 / > 0 .Minimum/ Ergebnis: Eine maximale Rechteckfläche ergibt sich, wenn die Breite b D 4;62 m und die Höhe h D 2;67 m beträgt. Die maximale Querschnittsfläche beträgt in diesem Fall A D 12;3 m2 .

331 15.4  Extremwertaufgaben

b) Die größte Trapezfläche ergibt sich, wenn wir für die eine Grundseite die volle Breite nehmen, sie beträgt 8 m. Die zweite Grundseite verändert sich mit der Höhe. Wir erhalten damit folgende Trapezfläche:

2u C 8  f .u/ 2   1 2 A D .u C 4/   u C 4 4 1 3 A D  u  u2 C 4u C 16 4 3 A0 D  u2  2u C 4 4 3 00 A D u2 2 3 8 16 0 D0 A D 0W  u2  2u C 4 D 0I u2 C u  4 r 3 3 16 4 16 4 8 u1=2 D  ˙ C D ˙ 3 9 3 3 3 4 u1 D _ u2 D 4 3 3 4 A00 .u1 / D   D 2 < 0 .d. h. Maximum/ 2 3 3 00 A .u2 / D   .4/ D 2 > 0 .d. h. Minimum/ 2 AD

Ergebnis: Die größte Trapezfläche mit maximalem Flächeninhalt hat die Grundseite a D 8 m und b D 2  43 m D 2;67 m bei einer Höhe von h D 32 m D 3;56 m. 9 Die Querschnittsfläche ist A D 18;99 m2 .

15

332

Kapitel 15  Anwendung der Differentialrechnung auf ganzrationale Funktionen

15.4.9

Untersuchen Sie, an welcher Stelle zwischen den Schnittstellen der Funktionsgraphen Kf und Kg die Ordinatendifferenz d.x/ zwischen Kf mit f .x/ D  13 x 2 C 4 und Kg mit g.x/ D 12 x 2  2x  6 am größten wird. Wie groß ist die maximale Ordinatendifferenz?

d.x/ D f .x/  g.x/ 1 1 d.x/ D  x 2 C 4  x 2 C 2x C 6 3 2 5 d.x/ D  x 2 C 2x C 10 6 5 5 d 0 .x/ D  x C 2I d 00 .x/ D  < 0 .d. h. Maximum/ 3 3 d 0 .x/ D 0W

5  x C 2 D 0I 3

xD

6 D 1;2 5

Ergebnis: Bei x D 1;2 ist die Ordinatendifferenz am größten, sie ist dmax D 11;2 LE. 15.4.10

Untersuchen Sie, an welcher Stelle x1 2 Œ0I 5 , die Ordinatendifferenz d.x/ zwischen den Funktionsgraphen Kf mit f .x/ D  12 .x 3  6x 2 C 4x C 12/ und der Geraden mit der Funktionsgleichung g.x/ D  12 x  1 am größten wird.

d.x/ D f .x/  g.x/

  1 1 3 2 d.x/ D  .x  6x C 4x C 12/   x  1 2 2

15

1 d.x/ D  x 3 C 3x 2  1;5x  5 2 3 d 0 .x/ D  x 2 C 6x  1;5 2 d 00 .x/ D 3x C 6 3  x 2 C 6x  1;5 D 0I x 2  4x C 1 D 0 2 p p D 2 ˙ 4  1 D 2 ˙ 3I x1 D 3;73 _ x2 D 0;27

d 0 .x/ D 0W x1=2 00

d .x1 / D 5;19 < 0 .d. h. Maximum/ d 00 .x2 / D 5;19 > 0 .d. h. Minimum/ Ergebnis: Bei x D 3;73 wird der Abstand der Kurve von der Geraden am größten. Er beträgt d D 5;196 LE.

333 15.4  Extremwertaufgaben

15.4.11

Untersuchen Sie, an welcher Stelle x1 2 Œ3I 5 , die Ordinatendifferenz d.x/ zwischen den Funktionsgraphen Kf mit f .x/ D  18 x 4 C x 3  x 2  4x und der Parabel mit der Funktionsgleichung g.x/ D  14 x 2 C x am größten wird.

d.x/ D f .x/  g.x/     1 2 1 4 3 2 d.x/ D  x C x  x  4x   x C x 8 4 1 3 d.x/ D  x 4 C x 3  x 2  5x 8 4 1 3 d 0 .x/ D  x 3 C 3x 2  x  5 2 2 1 3 d 0 .x/ D 0W  x 3 C 3x 2  x  5 D 0 2 2 H ORNER-Schema: 0;5

3 1;5 5 0;5 3;5 5 x1 D 1 0;5 3;5 5 0 1  x 2 C 3;5x  5 D 0I x 2  7x C 10 D 0 2 r 49 7 7 3 x2=3 D ˙  10 D ˙ I x2 D 5 _ x3 D 2 .< 3, d. h. unbrauchbar/ 2 4 2 2 Ergebnis: Die Ordinatendifferenz wird im Intervall Œ3I 5 bei x D 5 am größten. Sie beträgt d D 3;125 LE.

Extreme Volumina 15.4.12

Aus einer rechteckigen Blechtafel der Länge a und der Breite b soll ein Behälter mit einem maximalen Fassungsvermögen hergestellt werden.

15

334

Kapitel 15  Anwendung der Differentialrechnung auf ganzrationale Funktionen

Der Behälter soll oben offen sein. a) Berechnen Sie das Fassungsvermögen V in Abhängigkeit von der Länge a, der Breite b und der Höhe h. Für welches h erhält man ein maximales Fassungsvermögen? (Die Blechdicke soll unberücksichtigt bleiben) b) Berechnen Sie die Höhe h und das maximale Fassungsvermögen V für a D 300 mm und b D 200 mm. (Die Blechdicke soll unberücksichtigt bleiben) c) Welche Höhe h ist erforderlich, um bei einem quadratischen Blech ein maximales Volumen zu erhalten? d) Von p welcher Blechgröße ist auszugehen, wenn man bei einem Längenverhältnis a W b D 2 W 1 ein optimales Fassungsvermögen von 5 Litern erhalten will? e) Welche Höhe h ist erforderlich, wenn man bei einem Längenverhältnis a D 2b ein Volumen von 1000 cm3 erhalten will? Welche Maße muss das Blech haben?

a) Die Rechtecksfläche muss an den 4 Ecken gleichmäßig eingeschnitten werden. Diese Einschnitte entsprechen der Höhe h, wenn die Reststreifen hochgebogen werden. Damit lässt sich das Fassungsvermögen als Volumen aus Länge a, Breite b und Höhe h berechnen. Hauptgleichung für das Maximum: V Dxyh

.1/

Nebenbedingungen:

15

x D a  2h .2/ y D b  2h .3/ Bei Berücksichtigung der Nebenbedingungen (2) und (3) erhalten wir mit Gleichung (1) eine Volumenfunktion, die nur noch von der Variablen h abhängt. (a und b sind Konstanten) (2) und (3) in (1) eingesetzt: V D .a  2h/.b  2h/h V D abh  2ah2  2bh2 C 4h3 Bei einer bestimmten Höhe h erhalten wir ein Maximum für V , das als Extremum der Volumenfunktion berechnet wird.

335 15.4  Extremwertaufgaben

Durch Differenzieren und Nullsetzen der ersten Ableitung der Volumenfunktion erhalten wir die Höhe h, für die V den größten Wert annimmt. V 0 D ab  4ah  4bh C 12h2 V 00 D 4a  4b C 24h D 24h  4.a C b/ V 0 D 0 W ab  4ah  4bh C 12h2 D 0 1 1 h2  .a C b/h C ab D 0 3 12 r .a C b/2 3ab aCb ˙  h1=2 D 6 36 36 p

1 h D .a C b/  .a C b/2  3ab 6 Die quadratische Gleichung führt zu zwei Lösungen, von denen aber nur eine brauchbar ist. Da h < a C b sein muss, ist aCb hD C 6

r

.a C b/2 3ab  36 36

unbrauchbar. b) Mit den gegebenen Zahlenwerten erhält man hD

p

1 500  5002  3  200  300 mm D 39;24 mm 6

Den Nachweis für das Maximum erhalten wir mit der zweiten Ableitung V 00 .h/: V 00 .39;24/  1058;24 < 0, d. h. Maximum Das maximale Volumen ergibt sich aus der Volumengleichung: Vmax D 1;056 dm3 c) Für a D b erhält man hD

p

b 1 2b  4b 2  3b 2 D 6 6

Das maximale Volumen beträgt V D d) Für a D

p

b3 6

2  b ergibt sich

q q p i p i 1h p b hp h D b. 2 C 1/  b 3  2 D  2 C 1  3  2 D 0;19249  b: 6 6

15

336

Kapitel 15  Anwendung der Differentialrechnung auf ganzrationale Funktionen

Damit ist p V D . 2  b  2h/  .b  2h/  h D 0;1899  b 3 s 3 3 5 dm bD D 2;975 dm D 297;5 mm; 0;1899 p a D 2  b D 420;72 mm und h D 57;265 mm e) Für a D 2b ergibt sich hD

p p  b  1 3b  b  3 D  3  3 : 6 6

Daraus ergibt sich V D .2b  h/.b  h/  h D 0;2981  b 3 oder s 3 3 1000 cm bD D 14;97 cm D 149;7 cm; 0;2181 a D 299;4 mm und h D 31;63 mm: 15.4.13

Unter einer Schräge, die durch die Achsenabschnitte a und b begrenzt ist, soll ein Zylinder mit maximalem Volumen untergebracht werden.

b

y

y1

15 x1

x a

a) Berechen Sie den Radius und die Höhe des Zylinders mit maximalem Volumen in Abhängigkeit von a und b. b) Berechnen Sie für b D 2a den Zylinderdurchmesser und die Zylinderhöhe für ein maximales Zylindervolumen.

a) Das Zylindervolumen berechnet sich zu V D   x2  y

.1/ Hauptgleichung

337 15.4  Extremwertaufgaben

Die Vorderansicht der Schräge ist gegeben durch die Geradengleichung x y C D 1 .2/ Nebenbedingung a b Aus (2) erhält man yDb

b x a

.20 /

Setzt man (20 ) in (1) ein, so erhält man   b b V D   x  b  x D   b  x2    x3 a a b V 0 D 2  b  x  3  x 2 a b V 00 D 2  b  6  x a b 0 V D 0W 2  b  x  3  x 2 D 0  a  2 b x  2  b  3  x D 0 ) x D 0 _ x D a a 3   2 V 00 a D 2  b  4  b D 4  b < 0, d. h. Maximum 3 b 4 2 x D a; y D ; Vmax D    a2 b 3 3 27 2

b) Für b D 2a erhält man als Geradengleichung y D 2x C 2a. Das Zylindervolumen wird damit V D   x 2  .2a  2x/ D 2  a  x 2  2  x 3 V 0 D 4  a  x  6  x 2 V 00 D 4  a  12  x V 0 D 0W x.4  a  6  x/ D 0

)x D0_x D

2 a 3

 2 V a D 4a  8a D 4a < 0, d. h. Maximum 3 2 2 8 x D a; y D a; Vmax D    a3 3 3 27 00



15

339

Newton’sches Näherungsverfahren Inhaltsverzeichnis 16.1

Ganzrationale Funktionen – 340

16.2

Trigonometrische Funktionen – 343

16.3

Exponentialfunktionen – 344

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2020 H. Rapp, J.M. Rapp, Übungsbuch Mathematik für Fachschule Technik und Berufskolleg, https://doi.org/10.1007/978-3-658-31108-7_16

16

340

Kapitel 16  Newton’sches Näherungsverfahren

> Lehrbuch Abschn. 19.7 16.1

Ganzrationale Funktionen

16.1

Gegeben sind die Funktionen f und g mit den Funktionsgleichungen f .x/ D x 3  2;5  x  4

und

g.x/ D 2x  2

Berechnen Sie die Nullstelle von Kf , sowie die Schnittstelle der beiden Funktionsgraphen Kf und Kg .

1. Nullstelle: f .x/ D 0W x 3  2;5  x  4 D 0 Wir berechnen für die Bereichsgrenzen folgende beliebig gewählte Funktionswerte f .2/ D 8  5  4 D 1 f .2;5/ D 15;625  6;25  4 D 5;375 Daraus ist zu ersehen, dass die Nullstelle zwischen x D 2 und x D 2;5 liegen muss, da bei den Funktionswerten ein Vorzeichenwechsel stattgefunden hat. Zur Bestimmung der Nullstelle verwenden wir das Newton’sche Näherungsverfahren. Danach ist

xnC1 D xn 

16

f .xn / f 0 .xn /

Dazu benötigen wir noch die 1. Ableitung f 0 .x/ D 3x 2  2;5 Anfangswert: x0 D 2 f .2/ 1 D2 D 2;105 1. Näherung: x1 D 2  0 f .2/ 9;5 0;0648 2. x2 D 2;105  D 2;098996 10;793 0;0002763 3. x3 D 2;099  D 2;09897 10;7174 Nullstelle: N .2;09897I 0/ 2. Schnittstelle: f .x/ D g.x/ x 3  2;5  x  4 D 2x  2 x 3  0;5  x  2 D 0

341 16.1  Ganzrationale Funktionen

Da die Gleichung nicht elementar lösbar ist, suchen wir mit Hilfe des Newton’schen Näherungsverfahrens die Nullstelle von h.x/ D x 3  0;5  x  2. Die Ableitungsfunktion lautet h0 .x/ D 3x 2  0;5. Um einen geeigneten Startwert zu erhalten, wählen wir jetzt ein geometrisches Verfahren. Dazu stellen wir die Gleichung folgendermaßen um: x 3  2 D 0;5x Zeichnet man die Kurve y D x 3  2 und die Gerade y D 0;5x in ein Koordinatensystem, so zeigt sich, dass die Funktionsgraphen sich genau in einem Punkt schneiden.

Diese Schnittstelle entnehmen wir der Skizze. Sie liegt bei x0  1;3. Diesen Wert nehmen wir als Anfangswert. Anfangswert: x0 D 1;3 Näherungswerte: 0;453 D 1;399 4;57 0;03862 x2 D 1;399  D 1;3918 5;3716 0;00016586 x3 D 1;3918  D 1;391769 5;31132 0;0000012097 x4 D 1;391769  D 1;391768772 5;31106 x1 D 1;3 

Die gesuchte Schnittstelle ist x D 1;39177. Der Schnittpunkt hat die Koordinaten S .1;3918I 4;7835/

16

342

Kapitel 16  Newton’sches Näherungsverfahren

16.2

Gegeben ist die Funktion f mit der Funktionsgleichung f .x/ D 4x 3 C 5x 2  4x  6 Berechnen Sie die Extrema, den Wendepunkt und die Nullstelle.

1. Ableitungen: f 0 .x/ D 12x 2 C 10x  4 f 00 .x/ D 24x C 10 f 000 .x/ D 24 ¤ 0 2. Extrema: f 0 .x/ D 0W

12x 2 C 10x  4 D 0 5 1 x2 C x  D 0 6 3 r r 25 73 5 1 5 x1=2 D  ˙ C D ˙ 12 144 3 12 144 x1 D 0;295I f .x1 / D 6;64I f 00 .x1 / D 17;08 > 0, d. h. E1 .0;30I 6;64/ TP x2 D 1;129I f .x2 / D 0;867I f 00 .x2 / D 17;096 < 0, d. h. E2 .1;13I 0;87/ HP

3. Wendepunkt: f 00 .x/ D 0: 24x C 10 D 0 5 xD D 0;417I 12

f .x/ D 3;75;

W .0;42I 3;75/

4. Nullstelle: f .x/ D 0: 4x 3 C5x 2 4x6 D 0 Aus der Lage der Extrema ergibt sich, dass der Funktionsgraph bei x > 0;295 eine Nullstelle haben muss. Wir berechnen deshalb folgende Funktionswerte:

16

f .1/ D 1

und f .2/ D 38

Die Nullstelle liegt somit zwischen x D 1 und x D 2. Wir wählen x D 1 als Anfangswert: Anfangswert: x0 D 1 1 D 1;056 18 0;062 D 1;05289 x2 D 1;056  19;9416 0;000179 x3 D 1;05289  D 1;05288 19;83183 N .1;05288I 0/ x1 D 1 

343 16.2  Trigonometrische Funktionen

16.2

Trigonometrische Funktionen

16.3

Gegeben sind die Funktionen f und g mit den Funktionsgleichungen f .x/ D 2  2  sin x

und

g.x/ D 2 

4x 

In welchen Punkten schneiden sich die Funktionsgraphen im Bereich x 2 Œ0I 2 ?

An den Schnittstellen ist f .x/ D g.x/ 4x 2  2  sin x D 2   2 sin x D  x  Diese Gleichung ist nicht mehr elementar lösbar. Wir suchen mit Hilfe des Newton’schen Näherungsverfahrens eine Näherungslösung. Dazu betrachten wir die Funktion mit der Funktionsgleichung h.x/ D sin x  2  x, von der wir die Nullstellen suchen. Wir benötigen dazu noch die 1. Ableitung h0 .x/ D cos x  2 Den Anfangswert erhalten wir üblicherweise mit Hilfe der Funktionswerte, bei denen ein Vorzeichenwechsel stattfindet. Bei einfachen Funktionen kann ein Näherungswert auch graphisch gefunden werden als Schnittstelle von Kf und Kg .

Die graphischen Lösungen sind x1 D 0 und x2  2.

16

344

Kapitel 16  Newton’sches Näherungsverfahren

Anfangswert: x0 D 2 sin 2  4 h.2/ D 2  h0 .2/ cos 2  2 0;36344 D2 D 1;6548 1;05276 0;0536 D 1;65  D 1;5751 0;71574 0;0026854 D 1;575  D 1;57081 0;64082 0;00000234 D 1;5708  D 1;570796 0;63662

1. Näherung: x1 D 2  x1 2. Näherung: x2 3. Näherung: x3 4. Näherung: x4

Die beiden Funktionsgraphen schneiden sich in den Punkten O .0I 0/ und A .1;5708I 1/ 16.3

Exponentialfunktionen

16.4

Gegeben sind die Funktionen f und g mit den Funktionsgleichungen f .x/ D 0;1  ex  0;5  x  4 und

g.x/ D 0;1  ex C 5

Berechnen Sie die Schnittstelle der Funktionsgraphen im Bereich x  0.

Schnittstelle: f .x/ D g.x/ 0;1  ex  0;5x  46 D 0;1  ex C 5 0;1  ex C 0;1  ex  0;5x  9 D 0

16

Diese Gleichung ist nicht mehr elementar zu lösen. Wir verwenden das Newton’sche Näherungsverfahren. Dazu suchen wir eine Nullstelle von h.x/ D 0;1  ex C 0;1  ex  0;5x  9 Die Berechnung der Funktionswerte h.4/ D 5;54 und h.5/ D 3;34 zeigt, dass zwischen x D 4 und x D 5 eine Nullstelle liegen muss. Wir wählen als Anfangswert x0 D 4;5. Um zu prüfen, ob der vorgesehene Anfangswert geeignet ist, benutzen wir das folgende Konvergenzkriterium, das wir hier zum ersten Mal einführen und das bei allen übrigen Näherungsrechnungen ebenfalls angewandt werden kann:

345 16.3  Exponentialfunktionen

ˇ ˇ ˇ h.x0 /  h00 .x0 / ˇ ˇ ˇ ˇ .h0 .x //2 ˇ < 1 0

Dazu benötigen wir noch h.4;5/ und die Ableitungswerte h0 .4;5/ und h00 .4;5/: h.x/ D 0;1  ex C 0;1  ex  0;5x  9 h0 .x/ D 0;1  ex  0;1  ex  0;5 h00 .x/ D 0;1  ex C 0;1  ex

) ) )

h.4;5/ D 2;247 h.4;5/ D 8;5006 h00 .4;5/ D 9;003

Das Konvergenzkriterium führt zu dem Ergebnis: ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ h.4;5/  h00 .4;5/ ˇ ˇ 2;247  9;003 ˇ ˇ ˇDˇ ˇ ˇ .h0 .4;5//2 ˇ ˇ .8;501/2 ˇ D 0;2799 < 1 Der Startwert x0 D 4;5 ist somit gut geeignet. Der 1. Näherungswert ist damit 2;247176 D 4;76435 8;500602 0;295449 x2 D 4;76  D 4;7335586 11;173736 0;00202 D 4;7331863 x3 D 4;733  10;862716 0;000069 x4 D 4;73318  D 4;7331863 10;864762 x1 D 4;5 

Ergebnis: Die Funktionsgraphen schneiden sich bei x D 4;7332. 16.5

Gegeben ist die Funktion f mit der Funktionsgleichung f .x/ D 4  e.4x/  2  .x  4/ Berechnen Sie die Nullstellen.

Nullstellen: f .x/ D 0W 4  e.4x/  2  .x  4/ D 0 oder 12  e.4x/  2x D 0 Diese Gleichung ist nicht mehr elementar zu lösen. Wir verwenden das Newton’sche Näherungsverfahren. Dazu skizzieren wir den groben Verlauf von f .x/ und lesen die ungefähre Lage der Nullstellen ab. 1. Nullstelle: x0  1;8 (aus dem skizzierten Kurvenverlauf)

16

346

Kapitel 16  Newton’sches Näherungsverfahren

Zur Bestätigung der ungefähren Nullstelle berechnen wir die Funktionswerte f .2/ D 0;61 und f .1/ D 10;086 und erkennen einen Vorzeichenwechsel. Die Ableitungen von f .x/ sind: f .x/ D 12  e.4x/  2x f 0 .x/ D e.4x/  2 f 00 .x/ D e.4x/ Anfangswert: x0 D 1;8 (aus dem skizzierten Kurvenverlauf) f .1;8/ D 0;625I

f 0 .1;8/ D 7;025I

f 00 .1;8/ D 9;025

Das Konvergenzkriterium führt zu dem Ergebnis: ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ f .1;8/  f 00 .1;8/ ˇ ˇ 0;625  .9;025/ ˇ ˇ ˇDˇ ˇ D 0;1143 < 1 ˇ .f 0 .1;8//2 ˇ ˇ ˇ .7;025/2 Der Startwert x0 D 1;8 ist also gut geeignet. 0;625 D 1;88897 7;025 0;02824 2. Näherungswert: x2 D 1;89  D 1;8945 6;24824 0;000208 3. Näherungswert: x3 D 1;8945  D 1;89453I 6;211208 1. Näherungswert: x1 D 1;8 

N .1;8945I 0/

2. Nullstelle: x0  5;5 (aus dem skizzierten Kurvenverlauf) Anfangswert: x0 D 5;5 12  e1;5  11 0;77687 D 5;5  D 5;9372 1;5 e 2 1;77687 12  e1;94  11;88 2. Näherungswert: x2 D 5;94  e1;94  2 0;0237 D 5;927219 D 5;94  1;8563 0;0000448 3. Näherungswert: x3 D 5;9272  D 5;92722I N2 .5;9272I 0/ 1;8544 0;00000234 4. Näherung: x4 D 1;5708  D 1;570796 0;63662 1. Näherungswert: x1 D 5;5 

16

Die beiden Funktionsgraphen schneiden sich in den Punkten O .0I 0/ und A .1;5708I 1/

347

Gebrochenrationale Funktionen

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2020 H. Rapp, J.M. Rapp, Übungsbuch Mathematik für Fachschule Technik und Berufskolleg, https://doi.org/10.1007/978-3-658-31108-7_17

17

348

Kapitel 17  Gebrochenrationale Funktionen

17.1

Gegeben sei die Funktion f mit der Funktionsgleichung f .x/ D

2 1 C x2

Geben Sie den Definitionsbereich an. Untersuchen Sie die Funktion auf Nullstellen, Extrema, Asymptoten und Polstellen und zeichnen Sie das Schaubild.

Definitionsbereich: Da für alle x 2 R der Nenner 1 C x 2 ¤ 0 ) D D r Achsenschnittpunkt mit der y-Achse: x D 0W f .0/ D 2 ) Sy .0I 2/ Nullstellen:

f .x/ D 0W

2 D 0; 2 ¤ 0 1 C x2

)

keine Nullstellen

Ableitungen: 2  2x .1 C x 2 /2 4  .1 C x 2 /2 C 4x  2.1 C x 2 /  2x 4  4x 2 C 16x 2 4.3x 2  1/ f 00 .x/ D D D .1 C x 2 /4 .1 C x 2 /3 .1 C x 2 /3 2 3 2 2 2 24x.1 C x /  .12x  4/  3.1 C x /  2x f 000 .x/ D .1 C x 2 /6 3 24x C 24x  6x.12x 2  4/ x3  x f 000 .x/ D D 48  .1 C x 2 /4 .1 C x 2 /4 f 0 .x/ D

Extrema: f 0 .x/ D 0W 4x D 0 ) x D 0 f 00 .0/ D 4 < 0 (Maximum) f .0/ D 2 E .0I 2/ Wendepunkte: 00

17

1 )x D 3

f .x/ D 0W 4.3x  1/ D 0 r ! r ! 1 1 000 ¤0 f ˙ D 1;5 W1 f 3 3 Asymptoten:

2

2

lim f .x/ D lim

x!˙1 2

Polstellen: 1 C x D 0

)

2 2 x!˙1 1Cx 2

x D 1

r

p 1 3 ) x1=2 D ˙ D˙ 3 3 ! ! p p 3 3 I 1;5 ; W2  I 1;5 3 3

D 0 yA D 0 )

keine Polstellen

349 Kapitel 17  Gebrochenrationale Funktionen

Graph:

17.2

Gegeben sei die Funktion f mit der Funktionsgleichung f .x/ D

x2 x 2 C 2x  3

Untersuchen Sie die Funktion auf Nullstellen, Extrema, Asymptoten und Polstellen.

Definitionsbereich:

D D R n f3I 1g

Achsenschnittpunkt mit der y-Achse: Nullstellen: f .x/ D 0W Ableitungen:

  2 Sy 0I 3

x D 2, Achsenschnittpunkt mit der x-Achse N .2I 0/

x 2 C 2x  3  .x  2/  .2x C 2/ x 2 C 4x C 1 D .x 2 C 2x  3/2 .x 2 C 2x  3/2 .2x C 4/  .x 2 C 2x  3/2  .x 2 C 4x C 1/  2  .2x C 2/.x 2 C 2x  3/ f 00 .x/ D .x 2 C 2x  3/4 .2x C 4/  .x 2 C 2x  3/  .x 2 C 4x C 1/.4x C 4/ f 00 .x/ D .x 2 C 2x  3/3 2x 3  12x 2  6x  16 f 00 .x/ D .x 2 C 2x  3/3 f 0 .x/ D

Extrema: p f 0 .x/ D 0W x 2  4x  1 D 0 x1=2 D 2 ˙ 4 C 1 D 2 ˙ 2;236 x1 D 4;24 f 00 .4;24/ < 0 (Maximum) f .4;24/ D 0;095 E .4;24I 0;095/ x2 D 0;24 f 00 .0;24/ > 0 (Minimum) f .0;24/ D 0;65 E .0;24I 0;65/ x2 D 0 yA D 0 x 2 C 2x  3 Polstellen: x 2 C 2x  3 D 0 xp1 D 1I xp2 D 3 Asymptoten: lim

x!1

17

350

Kapitel 17  Gebrochenrationale Funktionen

17.3

Gegeben sei die Funktion f mit der Funktionsgleichung f .x/ D

x 2 C 2x C 1 x2

Untersuchen Sie die Funktion auf Nullstellen, Extrema, Wendepunkte, Asymptoten und Polstellen.

Definitionsbereich: D D R n f0g Nullstellen: f .x/ D 0W

x 2 C 2x C 1 D 0 ) x1=2 D 1 ˙

p

1  1 D 1

N .1I 0/

Ableitungen: .2x C 2/  x 2  .x 2 C 2x C 1/  2x 2x 2 C 2x  2x 2  4x  2 D 4 x x3 2x  2 D x3 2x 3 C .2x C 2/  3x 2 2x C 6x C 6 4x C 6 f 00 .x/ D D D 6 4 x x x4 4 3 4x  .4x C 6/  4x 12x  24 f 000 .x/ D D x8 x5 f 0 .x/ D

17

Extrema: f 0 .x/ D 0W 2x  2 D 0 , x D 1 f 00 .1/ D 2 > 0 (Minimum) f .1/ D 0 E .1I 0/ D N

351 Kapitel 17  Gebrochenrationale Funktionen

Wendepunkt: f 00 .x/ D 0W 4x C 6 D 0 , x D 

Asymptote: Polstellen: Graph:

3 2

f 000 .1;5/ ¤ 0 W .1;5I 0;11/

x 2 C 2x C 1 D 1; x!1 x2 x D 0 xp D 0 lim

yA D 1

17.4

Gegeben sei die Funktion f mit der Funktionsgleichung f .x/ D

x 2  2x  3 x2

Berechnen Sie die Nullstellen, Polstellen, Extrema und Asymptoten. Welche Gleichung hat die Tangente des Funktionsgraphen im Punkt A .4I f .4//?

Definitionsbereich: D D R n f2g Achsenschnittpunkt mit der y-Achse: Nullstellen: f .x/ D 0: x 2  2x  3 D 0 , x 2  2x  3 D 0I x2 x1 D 3I x2 D 1 Achsenschnittpunkte mit der x-Achse:

x D 0W

f .0/ D 1;5 Sy .0I 1;5/

x1=2 D 1 ˙

p 1C3D1˙2

N1 .3I 0/; N2 .1I 0/

17

352

Kapitel 17  Gebrochenrationale Funktionen

Ableitungen: f 0 .x/ D

.2x  2/.x  2/  .x 2  2x  3/  1 x 2  4x C 7 D 2 .x  2/ .x  2/2

f 00 .x/ D

.2x  4/  .x  2/2  .x 2  4x C 7/  2.x  2/ .x  2/4

f 00 .x/ D

2x 2  8x C 8  2x 2 C 8x  14 6 D 3 .x  2/ .x  2/3

Extrema: f 0 .x/ D 0W

x 2  4x C 7 D0 .x  2/2

x 2  4x C 7 D 0I

x1=2 D 2 ˙

p p 4  7 D 2 ˙ 3 d. h. keine Extrema

Steigung in A .4I f .4//: f 0 .4/ D

16  16 C 7 7 D I 4 4

f .4/ D

16  8  3 5 D 2 2

Tangentengleichung: y  2;5 D yD

7 .x  4/ 4

7 x  4;5 4

Asymptoten: f .x/ ist unecht gebrochen, deshalb ist eine Polynomdivision erforderlich: 3 .x 2  2x  3/ W .x  2/ D x  x2 x 2  2x 3   3 lim x  D 1I x!1 x2

17

Asymptote: yA D x Polstellen:

x2D0,

xp D 2

353 Kapitel 17  Gebrochenrationale Funktionen

Graph:

17

355

Trigonometrische Funktionen Inhaltsverzeichnis 18.1

Kurvendiskussion – 356

18.2

Funktionssynthese – 364

18.3

Extremwertaufgaben – 365

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2020 H. Rapp, J.M. Rapp, Übungsbuch Mathematik für Fachschule Technik und Berufskolleg, https://doi.org/10.1007/978-3-658-31108-7_18

18

356

Kapitel 18  Trigonometrische Funktionen

18.1

Kurvendiskussion

18.1.1

Gegeben ist die Funktion f mit der Funktionsgleichung f .x/ D 3  sin x C 2I x 2 Œ2I 6 Berechnen Sie den Schnittpunkt mit der y-Achse, die Nullstellen, Extrema und Wendepunkte. An welchen Stellen hat der Funktionsgraph die Steigung 1? Zeichnen Sie das Schaubild.

1. Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen: Schnittpunkt mit der y-Achse: x D 0: f .0/ D 2; Sy .0I 2/ Nullstellen: f .x/ D 0: 3  sin x C 2 D 0 2 3 x1 D 0;7297 x2 D  C 0;7297 D 3;8713 x3 D 0;7297 C 2 D 5;5535

sin x D 

Nullstellen: N1 .0;73I 0/, N2 .3;87I 0/, N3 .5;55I 0/

18

2. Ableitungen: f 0 .x/ D 3  cos x f 00 .x/ D 3  sin x

357 18.1  Kurvendiskussion

3. Extrema: f 0 .x/ D 0W 3  cos x D 0I cos x D 0  x1 D I f .x1 / D 5 2 3 x2 D I f .x2 / D 1 2  f 00 .x1 / D 3  sin D 3 < 0, d. h. Hochpunkt 2 3 00 D 3 > 0, d. h. Tiefpunkt f .x2 / D 3  sin 2     3 I 5 (HP)I E2 I 1 (TP) E1 2 2 4. Wendepunkte: f 00 .x/ D 0W

3  sin x D 0I

sin x D 0

x1 D 0I f .x1 / D 2I W1 .0I 2/ x2 D I f .x2 / D 2I W1 .I 2/ x3 D 2I f .x3 / D 2I W1 .2I 2/

5. Steigung des Funktionsgraphen: f 0 .x/ D 1W

3  cos x D 1I

x1 D 1;2309 x2 D 2  x1 D 5;052

cos x D

1 3

18

358

Kapitel 18  Trigonometrische Funktionen

6. Graph:

18.1.2

An welchen Stellen und unter welchem Winkel schneiden sich die Funktionsgraphen von 1 3  cos x   sin xI x 2 Œ0I 2 und 2 2 1 g.x/ D   cos xI x 2 Œ0I 2 ‹ 2

f .x/ D

Schnittstellen:

18

f .x/ D g.x/ 3 1 1  cos x   sin x D   cos x 2 2 2 4  cos x D sin x p 4  cos x D 1  cos2 x 16  cos2 x D 1  cos2 x 17 cos2 x D 1 cos x D ˙

r

1 D ˙0;2425 17

359 18.1  Kurvendiskussion

Da beim Lösen der Wurzelgleichung quadriert wurde, haben wir es mit einer Nicht-Äquivalenzumformung zu tun. Die richtigen Werte müssen deshalb noch mit Hilfe einer Probe ermittelt werden: x1 x2 x3 x4

D 1;3258 D 2  1;3258 D 4;9574 D 1;8158 D 2  1;8158 D 4;4674

! Probe: 0;9701 D 0;9701 (w) ! Probe: 0;9701 ¤ 0;9701 (f) ! Probe: 0;9701 ¤ 0;9701 (f) ! Probe: 0;9701 D 0;9701 (w)

Schnittwinkel: 3 1 f 0 .x/ D   sin x   cos x 2 2 f 0 .x1 / D 1;5765I ˛1 D arctan.1;5765/ D 57;61ı D 302;39ı f 0 .x4 / D 1;5765I ˛4 D arctan.1;5765/ D 57;61ı 1 g 0 .x/ D  sin x 2 g 0 .x1 / D 0;4851I ˇ1 D arctan.0;4851/ D 25;88ı g 0 .x4 / D 0;4851I ˇ4 D arctan.0;4851/ D 28;75ı D 331;25ı Schnittwinkel bei x1 : Schnittwinkel bei x4 :

ı1 D ˇ1  ˛1 D 25;88ı  .302;39ı / D 276;51 D 83;49ı ı4 D ˇ4  ˛4 D 273;64ı oder ı4 D 83;49ı1

18.1.3

Untersuchen Sie die Funktion f mit der Funktionsgleichung f .x/ D

1  cos x  2  sin xI 2

x 2 Œ0I 2

auf Nullstellen, Extrema und Wendepunkte. Zeichnen Sie das Schaubild.

1. Nullstellen: 1  cos x  2  sin x D 0 2 cos x D 4  sin x p 1  sin2 x D 4  sin x 1  sin2 x D 16  sin2 x 17  sin2 x D 1 1 sin x D I 17 2

1

r sin x D ˙

1 D ˙0;24253 17

Bei Schnittwinkeln ist es üblich, Winkel unter 90ı anzugeben.

18

360

Kapitel 18  Trigonometrische Funktionen

x1 x2 x3 x4

D 0;24497 D   x1 D 2;8966 D 3;3866 D 6;0382

N1 .0;2445I 0/;

! Probe: 0;9701 D 0;9701 (w) ! Probe: 0;9701 ¤ 0;9701 (f) ! Probe: 0;9701 D 0;9701 (w) ! Probe: 0;9701 ¤ 0;9701 (f)

N2 .3;387I 0/

2. Ableitungen: 1 f 0 .x/ D   sin x  2  cos x 2 1 00 f .x/ D   cos x C 2  sin x 2 1 f 000 .x/ D  sin x C 2  cos x 2 3. Extrema: 1   sin x  2  cos x D 0 2 sin x D 4  cos x p sin x D 4  1  sin2 x

f 0 .x/ D 0W

sin2 x D 16  .1  sin2 x/ 17  sin2 x D 16

r 16 16 sin x D I sin x D ˙ D ˙0;9701 17 17 D 1;3258 ! Probe: 0;9701 ¤ 0;9701 (f) D 1;8158 ! Probe: 0;9701 D 0;9701 (w) D 4;4674 ! Probe: 0;9701 ¤ 0;9701 (f) D 1;3258 D 4;9574 ! Probe: 0;9701 D 0;9701 (w) 2

x1 x2 x3 x4

E1 .1;816I 2;062/;

E2 .4;9574I 2;062/

4. Wendepunkte: 1   cos x C 2  sin x D 0 2 4  sin x D cos x p 4  sin x D 1  sin2 x f 00 .x/ D 0W

18

16  sin2 x D 1  sin2 x 17  sin2 x D 1 1 sin x D I 17 2

r sin x D ˙

1 D ˙0;2425 17

361 18.1  Kurvendiskussion

Die Berechnung und Probe ergibt (vgl. Berechnung der Nullstellen!), dass nur die Werte x1 D 0;245 und x2 D 3;387 in Frage kommen. Dies sind gleichzeitig die Nullstellen. W1 .0;245I 0/ D N1 I

W2 .3;387I 0/ D N2

5. Graph:

18.1.4

Untersuchen Sie die Funktion f mit der Funktionsgleichung f .x/ D cos2 x  2  cos x C 1I x 2 Œ0I 2 auf Nullstellen, Extrema und Wendepunkte. Zeichnen Sie das Schaubild.

1. Nullstellen: cos2 x  2  cos x C 1 D 0 p .cos x/1=2 D 1 ˙ 1  1 D 1 x1 D 0I x2 D 2 f .x/ D 0W

N1 .0I 0/I

N2 .2I 0/

18

362

Kapitel 18  Trigonometrische Funktionen

2. Ableitungen: f 0 .x/ D 2 cos x  . sin x/  2  . sin x/ f 0 .x/ D 2 sin x  .1  cos x/ f 00 .x/ D 2 cos x  .1  cos x/ C 2 sin x  sin x f 00 .x/ D 2 cos x  2 cos2 x C 2 sin2 x f 00 .x/ D 2 cos x  2 cos2 x C 2  2  cos2 x f 00 .x/ D 2 cos x  4 cos2 x C 2 f 000 .x/ D 2 sin x C 8 cos x  sin x 3. Extrema: f 0 .x/ D 0W sin x D 0W cos x D 1W f .0/ D 0I

2 sin x  .1  cos x/ D 0 x1 D 0I x2 D I x3 D 2 x4 D x1 D 0I x5 D x3 D 2 f ./ D 4; f .2/ D 0

E1 .0I 0/I f 00 .0/ D 0, d. h. Sattelpunkt E2 .I 4/I f 00 ./ D < 0, d. h. Hochpunkt E3 .2I 0/I f 00 .0/ D 0, d. h. Sattelpunkt 4. Wendepunkte: f 00 .x/ D 0W

2 cos x  4 cos2 x C 2 D 0 1 1 cos2 x  cos x  D 0 2 2 r 1 1 1 1 3 .cos x/1=2 D ˙ C D ˙ 4 16 2 4 4 cos x D 1W x1 D 0I x2 D 2I f .x1 / D 0I f .x2 / D 0 (Sattelpunkte) 1 cos x D  W x3 D 2;094I f .x3 / D 2;249 2 x4 D 4;189I f .x4 / D 2;24 S .0I 0/ D E1 I S .2I 0/ D E3 I W1 .2;09I 2;25/I W2 .4;19I 2;25/

18

363 18.1  Kurvendiskussion

5. Graph:

18.1.5

Auf einem Oszillographen wird der Sinusimpuls f .t/ D 1;5  sin t mit einem linearen Impuls g.t/ D 0;5  t zur Überlagerung gebracht. Diskutieren Sie den zeitlichen Verlauf des Gesamtimpulses für t 2 Œ0I 2 .

1. Nullstellen: f .t/ D 0W

1;5  sin t C 0;5  t D 0 3  sin t D t t1 D 0 N1 .0I 0/

2. Ableitungen: f 0 .t/ D 1;5  cos t C 0;5 f 00 .t/ D 1;5  sin t f 000 .t/ D 1;5  cos t 3. Extrema: f 0 .t/ D 0W

1;5  cos t C 0;5 D 0 cos t D 

1 3

t1 D 1;9106I f .t1 / D 2;3695 t2 D  C 1;9106 D 5;0522I f .t2 / D 1;1119 E1 .1;91I 2;37/I

E2 .5;05I 1;11/

18

364

Kapitel 18  Trigonometrische Funktionen

4. Wendepunkte: f 00 .t/ D 0W 1;5  sin t D 0 t1 D 0I t2 D I t3 D 2 W1 .0I 0/ D N1 I W2 .I 1;57/I

W3 .2I /

5. Graph:

18.2

Funktionssynthese

18.2.1

Eine Funktion mit der Funktionsgleichung f .x/ D a  x C b  sin x soll im Ursprung eine waagrechte Tangente besitzen und durch den Punkt P .2I 4/ gehen. Bestimmen Sie die Funktionsgleichung.

1. Ableitung: f 0 .x/ D a C b  cos x 2. Bedingungen:

18

f .2/ D 4W a  2 C b  sin.2/ D 4 .1/ „ ƒ‚ … 0 0

cos 0 D 0 f .0/ D 0W a C b  „ƒ‚…

.2/

1

2 3. Auswertung: Aus (2): a D b, eingesetzt in Gleichung (1): b  2 D 4; b D  ,  2 damit a D .  2 2 4. Funktionsgleichung: f .x/ D  x   sin x  

365 18.3  Extremwertaufgaben

18.2.2

Der Funktionsgraph mit der Funktionsgleichung f .x/ D a  x C 1  b  cos.2x/    I einen Steigungswinkel von 45ı haben. 2 2 Bestimmen Sie die Funktionsgleichung. soll im Punkt A

1. Ableitung: f 0 .x/ D a C 2b  sin.2x/ 2. Bedingungen und Auswertung: f0 f

  2   2

D 1W

a C 2b  „ƒ‚… sin  D 1I

a D 1 .1/

0

   D W a  C 1  b  cos./ D „ ƒ‚ … 2 2 2

.2/

1

3. Auswertung: Gleichung (1) in (2): b D 1 (3) 4. Funktionsgleichung: f .x/ D x C 1  cos.2x/ 18.3

Extremwertaufgaben

18.3.1

Gegeben sind die Funktionen f mit der Funktionsgleichung f .x/ D 2 sin x C 1 und die Funktion g mit der Funktionsgleichung g.x/ D 3 sin x. An welchen Stellen schneiden sich die beiden Funktionsgraphen? An welchen Stellen im Bereich zwischen den Schnittstellen ist die Ordinatendifferenz d.x/ D f .x/  g.x/ am größten?

1. Schnittstellen: f .x/ D g.x/ 2 sin x C 1 D 3 sin x 1 sin x D  5 x1 D 0;2014 D 6;0818 x2 D   x1 D 3;343

18

366

Kapitel 18  Trigonometrische Funktionen

2. Ordinatendifferenz: d.x/ D f .x/  g.x/ d.x/ D 2 sin x C 1  .3 sin x/ d.x/ D 5 sin x C 1 d 0 .x/ D 5 cos x d 00 .x/ D 5 sin x d 0 .x/ D 0W 5 cos x D 0I cos x D 0I     x3 D D 1;5708I d D 5  sin C 1 D 6 LE: 2 2 2   3 3 3 D 4;7124I d D 5  sin C 1 D j4j D 4 LE: x4 D 2 2 2 (Das Minuszeichen ergibt sich hier aus der Überschneidung der Funktionsgraphen: g.x/ ist im Bereich x1  x  x2 größer als f .x/.) Ergebnis: Die Ordinatendifferenz ist am größten bei x4 D 4;7124.

18

367

Exponentialfunktionen Inhaltsverzeichnis 19.1

Kurvendiskussion – 368

19.2

Funktionsgleichungen aus Vorgaben – 377

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2020 H. Rapp, J.M. Rapp, Übungsbuch Mathematik für Fachschule Technik und Berufskolleg, https://doi.org/10.1007/978-3-658-31108-7_19

19

368

Kapitel 19  Exponentialfunktionen

19.1

Kurvendiskussion

19.1.1

Gegeben sei die Funktion f mit der Funktionsgleichung f .x/ D 2  0;5  ex  ex Berechnen Sie die Nullstellen und den Extrempunkt. Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente im Punkt A.0I f .0// an den Funktionsgraphen.

Nullstellen: f .x/ D 0W

2  0;5  ex  ex D 0 2

1  ex D 0 2  ex

4  ex  1  2  e2x D 0

.ex /1=2

1 .ex /2  2  ex C D 0 2 r r p 1 2 1 D1˙ 1 D1˙ D1˙ 2 2 2

.ex /1 D 1;7071I

ln ex D x  „ƒ‚… ln e D ln 1;7071 1

x1 D 0;53479I .e /2 D 0;29289I x

x2 D 1;2279I

N1 .0;5348I 0/ x D ln 0;29289 D 1;2279 N2 .1;2279I 0/

Ableitungen: f 0 .x/ D 0;5  ex  ex f 00 .x/ D 0;5  ex  ex

19

369 19.1  Kurvendiskussion

Extrema: f 0 .x/ D 0W

0;5  ex  ex D 0 r 1 1 x 2 x .e / D I .e /1=2 D ˙ I 2 2 r r 1 1 x x I ln e D x1 D ln D 0;3466I f .x1 / D 0;5858 .e /1 D 2 2 f 00 .x1 / D 1;4142 < 0, d. h. Maximum; E .0;3466I 0;5858/ r r ! 1 1 x I x2 D ln  (nicht definiert, d. h. keine weitere Lösung) .e /2 D  2 2 Berechnung der Tangente:   1 1 1 0  e D , damit A 0I 2  e0 2 2   1 1 : f 0 .0/ D 0;5  e0 C e0 D  Steigung in A 0I 2 2   1 1 1 Gerade durch A 0I : y  D  .x  0/ 2 2 2 1 1 Tangentengleichung: y D  x C 2 2 Graph:

f .0/ D 2 

19

370

Kapitel 19  Exponentialfunktionen

19.1.2

Gegeben sei die Funktion f mit dem Schaubild Kf und der Funktionsgleichung f .x/ D 0;1  ex C 0;1  ex  0;5  x  3 Untersuchen Sie Kf auf Nullstellen und Extrempunkte. Zeigen Sie, dass Kf keinen Wendepunkt hat. Zeichnen Sie das Schaubild für x 2 Œ3I 4 .

Nullstellen: f .x/ D 0W

0;1  ex C 0;1  ex  0;5  x  3 D 0 ex C

1  5x  30 D 0 ex

1  5x  30 ex 1 g 0 .x/ D ex  x  5 e g.x/ D ex C

x0 D 3;5 (aus dem skizzierten Kurvenverlauf) 14;3544 D 4;0111 28;08525 5;115 D 3;90796 x2 D 4;01  50;1287 0;36899 D 3;90177 x3 D 3;91  44;8789 0;0329 D 3;90174 x3 D 3;901  44;43165 x1 D 3;5 

Eine Nullstelle: N .3;90I 0/ Die zweite Nullstelle ist ebenfalls näherungsweise zu berechnen. Ableitungen: f 0 .x/ D 0;1  ex  0;1  ex  0;5 f 00 .x/ D 0;1  ex C 0;1  ex

19

371 19.1  Kurvendiskussion

Extrema: f 0 .x/ D 0W

0;1  ex  0;1  ex  0;5 D 0 ex 

1 5D0 ex

.ex /2  5ex  1 D 0 r r 25 29 5 5 x .e /1=2 D ˙ C1D ˙ 2 4 2 4 r 29 5 D 5;19258 .ex /1 D C 2 4 x1 D ln.5;19258/ D 1;6472I f .x1 / D 3;285I E1 .1;65I 3;285/ r 29 5 x .e /2 D  D 0;1926I x2 D ln.0;1926/ nicht definiert, 2 4 d. h. keine weiteren Extrema. Wendepunkte: f 00 .x/ D 0W 0;1  ex C 0;1  ex D 0 1 ex C x D 0 oder .ex /2 D 1 e Diese Gleichung hat keine reellen Lösungen, da e2x nicht negativ werden kann, d. h. es gibt keinen Wendepunkt. Graph:

19

372

Kapitel 19  Exponentialfunktionen

19.1.3

Gegeben sei die Funktion f mit dem Schaubild Kf und der Funktionsgleichung f .x/ D 0;1  ex C 0;1  ex C 0;5  x C 2 Untersuchen Sie Kf auf Nullstellen und Extrempunkte und Wendepunkte. Zeichnen Sie das Schaubild für x 2 Œ4I 4 .

Nullstellen: f .x/ D 0W 0;1  ex C 0;1  ex C 0;5  x C 2 D 0 g.x/ D ex  ex  5  x  20 g 0 .x/ D ex C ex  5 x0 D 3;5 (aus dem skizzierten Kurvenverlauf) 4;4147 D 3;6568 x1 D 3;5  28;1456 0;40037 x2 D 3;656  D 3;6441 33;73204 0;001638 x3 D 3;644  D 3;64405 33;27066 N .3;644I 0/ Ableitungen: f 0 .x/ D 0;1  ex  0;1  ex C 0;5 f 00 .x/ D 0;1  ex C 0;1  ex Extrema: f 0 .x/ D 0W

19

0;1  ex  0;1  ex C 0;5 D 0 1 ex  x C 5 D 0 e 2 .ex /  5  ex C 1 D 0 r r 25 21 5 5 x .e /1=2 D ˙ 1D ˙ 2 4 2 4 r 21 5 D 4;7913I x1 D ln.4;7913/ D 1;5668I .ex /1 D C 2 4 f .x1 / D 2;325I E1 .1;57I 2;32/ r 21 5 x .e /2 D  D 0;2087I x2 D ln.0;2087/ D 1;5668 2 4 f .x2 / D 1;6748I E2 .1;57I 1;67/

373 19.1  Kurvendiskussion

Wendepunkte: f 00 .x/ D 0W

.ex /2 D 1I ex D 1I f .0/ D 2I

0;1  ex C 0;1  ex D 0 1 ex C x D 0 e .ex / D ˙1 (negativer Wert unbrauchbar, da ln.1/ nicht definiert ist!) x D ln 1 D 0 W .0I 2/

Graph:

19.1.4

Gegeben sei die Funktion f mit dem Schaubild Kf und der Funktionsgleichung f .x/ D

 x 1 C 2  2xC1  8 2

Untersuchen Sie Kf auf Nullstellen und Extrempunkte und Wendepunkte. Zeichnen Sie das Schaubild für x 2 Œ4I 4 .

19

374

Kapitel 19  Exponentialfunktionen

Nullstellen: f .x/ D 0W

 x 1 C 2  2xC1  8 D 0 2 1 C 2  2xC1  8 D 0 2x

1 C 2  2x  2xC1  8  2x D 0 1 C 2xC1  2xC1  4  2  2x D 0 .2xC1 /2  4  2xC1 C 1 D 0 p p .2xC1 /1=2 D 2 ˙ 4  1 D 2 ˙ 3 p .2xC1 /1 D 2 C 3 D 3;73205 p .2xC1 /2 D 2  3 D 0;26795  p  ln 2 C 3 p .x C 1/  ln 2 D ln.2 C 3/I x1 D  1 D 0;89997I N1 .0;9I 0/ ln 2  p  ln 2  3 p .x C 1/  ln 2 D ln.2  3/I x2 D  1 D 2;89997I N2 .2;9I 0/ ln 2 Ableitungen:  x 1 f .x/ D 2  x 1 f 0 .x/ D 2  x 1 f 00 .x/ D 2

C 2  2xC1  8 D 2x C 2xC2  8 1 C 2  2xC1  ln 2 2   1 2  ln C 2  2xC1  .ln 2/2 2  ln

Extrema: 0

f .x/ D 0W

 x   1 1  ln C 2xC2  ln 2 D 0 2 2 1 2x  . ln 2/ C 4  2x  ln 2 D 0 j  x 2 ln 2 1 C 4  22x D 0

 x 1 22x D 22 D 4x D 4

19

x  ln 4 D  ln 4 x D 1I

f .1/ D 4I

f 00 .1/ > 0, d. h. Tiefpunkt, E .1I 4/

375 19.1  Kurvendiskussion

Wendepunkt: 00

f .x/ D 0W

 x   1 1 2  ln C 2  2xC1  .ln 2/2 D 0 2 2 1 2x  . ln 2/2 C 2  2xC1  .ln 2/2 D 0 j  x 2 .ln 2/2

1 C 4  .2x /2 D 0I

4x D 

1 4

x  ln 4 D ln.0;25/; ln.0;25/ nicht definiert d. h. kein Wendepunkt. Graph:

19.1.5

Gegeben sei die Funktion f mit dem Schaubild Kf und der Funktionsgleichung f .x/ D 0;5  e0;5x C x  2 Untersuchen Sie Kf auf Extrempunkte. Berechnen Sie die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen und zeichnen Sie das Schaubild für x 2 Œ6I 4 . Berechnen Sie die Fläche, die begrenzt ist durch Kf , die Koordinatenachsen und die Gerade x D 5.

19

376

Kapitel 19  Exponentialfunktionen

Ableitungen: f 0 .x/ D .0;5/2  e0;5x C 1 f 00 .x/ D .0;5/3  e0;5x Nullstellen: f .x/ D 0W

0;5  e0;5x C x  2 D 0 e0;5x C 2x  4 D 0

Die näherungsweise Lösung dieser Gleichung ergibt die Nullstellen N1 .5;385I 0/I

N2 .1;796I 0/

Schnittpunkt mit der y-Achse: Extrema: f 0 .x/ D 0:

x D 0: f .0/ D 0;5  e0  2 D 1;5: Sy .0I 1;5/

 .0;5/2  e0;5x C 1 D 0 e0;5x D 4I xD

0;5x  ln e D ln 4 ln 4 D 2  ln 4 D  ln 16 D 2;77 0;5

f .2;77/ D 0;5  e0;5.2;77/  2;77  2 D 2;77I E .2;77I 2;77/ (Minimum) f 00 .2;77/ D .0;5/3  e0;5.2;77/ D 0;499 > 0 d. h. Minimum Graph:

19

377 19.2  Funktionsgleichungen aus Vorgaben

Flächenberechnung: Da die Fläche im 3. Quadranten d. h. unterhalb der x-Achse liegt, ist der Funktionswert f .x/ und damit der Integralwert negativ. Um einen positiven Flächeninhalt zu bekommen, ist deshalb der Betrag des Integralwertes zu nehmen. Ein Vorzeichenwechsel wird auch erreicht durch die Umkehrung der Integrationsgrenzen. Wir kehren deshalb die Integrationsgrenzen um. Z5 AD 0

 5 x2 .0;5  e0;5x C x  2/dx D e0;5x C  2x 2 0

A D .e2;5 C 12;5 C 10/  .1/ A D 11;32 FE 19.2

Funktionsgleichungen aus Vorgaben

19.2.1

Die Tangente an den Funktionsgraphen von f mit der Funktionsgleichung f .x/ D a  ex C b hat die Gleichung y D x  2 und berührt Kf auf der y-Achse. Bestimmen Sie die Funktionsgleichung von f .

Bedingungen: Kf hat im Schnittpunkt mit der y-Achse die gleiche Steigung wie die Tangente: Steigung von Kf : f 0 .x/ D a  ex f 0 .0/ D a  e0 D 1I

a D 1 .1/

Schnittpunkt der Tangente mit der y-Achse: x D 0: y D 2 Sy .0I 2/W

f .0/ D 2W

a  e0 C b D 2 .2/

(1) in (2): 1  „ƒ‚… e0 Cb D 2, daraus b D 1 1

Funktionsgleichung: f .x/ D ex  1

19

378

Kapitel 19  Exponentialfunktionen

19.2.2

Der Funktionsgraph Kf von f mit der Funktionsgleichung f .x/ D a  eax C bx schneidet die y-Achse bei y D 2 und hat im Schnittpunkt eine Tangente, die orthogonal zur 1. Winkelhalbierenden mit der Gleichung y D x verläuft. Bestimmen Sie die Funktionsgleichung.

Bedingungen: Sy .0I 2/ ist Kurvenpunkt: f .0/ D 2W a  „ƒ‚… e0 D 2I f 0 .x/ D a2  e

Steigung von Kf W

0

Cb

f .0/ D 1W a C b D 1 .1/ in .2/W 4 C b D 1I b D 5

Steigung in Sy .0I 2/W

Funktionsgleichung:

a D 2 .1/

1 ax

2

.2/

f .x/ D 2  e2x  5x

19.2.3

Der Funktionsgraph Kf von f mit der Funktionsgleichung f .x/ D a  ebx C ebx C c schneidet die y-Achse bei y D 2. Die Kurventangente im Berührpunkt Sy .0I 2/ hat die Gleichung y D 0;5x  2. Die Steigung bei x D 1 ist 0;5e  e1 . Bestimmen Sie die Funktionsgleichung.

Bedingungen: Sy .0I 2/ ist Kurvenpunkt: f .0/ D 2W a  e0 C e0 C c D 2 Mit e0 D 1 erhält man: Steigung von Kf W Steigung in Sy .0I 2/W Steigung bei x D 1W

19

a C c D 3 0

.1/ bx

f .x/ D a  b  e  b  e f 0 .0/ D 0;5W a  b  b D 0;5 0

bx

f .1/ D 0;5e  e W a  b  eb  b  eb D 0;5e  e1

Nach (2) a  b D b  0;5 in (3) eingesetzt:

.2/

1

.b  0;5/  eb  b  eb D 0;5e1  e1

.3/

379 19.2  Funktionsgleichungen aus Vorgaben

Der Koeffizientenvergleich und der Vergleich der Hochzahlen ergibt, dass die Gleichung nur dann erfüllt wird, wenn b D 1 ist. Mit b D 1 ergibt sich aus (2): a D 0;5 Aus (1) erhält man: c D 3;5 Funktionsgleichung:

f .x/ D 0;5  ex C ex  3;5

19

381

Integralrechnung Inhaltsverzeichnis Kapitel 20

Flächenberechnung mit Hilfe der Integralrechnung – 383

Kapitel 21

Vertiefung der Differential- und Integralrechnung – 399

Kapitel 22

Rotationsvolumen – 407

IV

383

Flächenberechnung mit Hilfe der Integralrechnung Inhaltsverzeichnis 20.1

Ganzrationale Funktionen – 384

20.2

Trigonometrische Funktionen – 389

20.3

Exponentialfunktionen – 395

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2020 H. Rapp, J.M. Rapp, Übungsbuch Mathematik für Fachschule Technik und Berufskolleg, https://doi.org/10.1007/978-3-658-31108-7_20

20

384

Kapitel 20  Flächenberechnung mit Hilfe der Integralrechnung

20.1

Ganzrationale Funktionen

20.1.1*

Gegeben ist die Funktion mit der Funktionsgleichung f .x/ D

1 1 3 x  x2  x C 5 6 6

Berechnen Sie die Nullstellen. Bestimmen Sie den Flächeninhalt der beiden durch den Funktionsgraphen und die x-Achse begrenzten Flächen.

Nullstellen: f .x/ D 0: Hornerschema: x1 D 2

1 3 6x

 x 2  16 x C 5 D 0 oder x 3  6x 2  x C 30 D 0

1 6 1 30 2 16 30 1 8 15 0

x 2  8x C 15 D 0 p x2=3 D 4 ˙ 16  15 D 4 ˙ 1 x2 D 5I x3 D 3I N1 .2I 0/I

N2 .3I 0/I

N3 .5I 0/

Integrationsintervalle: Œ2I 3 ; Œ3I 5 Z3 

  3 1 3 1 1 x4 x3 x2 2 A1 D x  x  x C 5 dx D    C 5x 6 6 6 4 3 12 2 2   2 27 3 8 1 5 A1 D  9  C 15  C   10 D 15 D 15;625 FE 8 4 3 3 3 8 Wir wollen beim nächsten Integral die Grenzen vertauschen, damit wir einen positiven Integralwert für die Fläche erhalten. 

3 1 x4 x3 x2    C 5x A2 D 6 4 3 12 5   54 53 25 33 3 4 D  9  C 15    C 25 D FE 8 4 24 3 12 3 23 Ages D A1 C A2 D 16 FE 24 20.1.2*

20

Berechnen Sie die Fläche zwischen dem Funktionsgraphen von f .x/ D x 2 Cx 2 und dem Funktionsgraphen von g.x/ D  12 x 2 C x  12 rechts des Schnittpunktes von P .1I 2/.

385 20.1  Ganzrationale Funktionen

Schnittstellen der Funktionsgraphen: f .x/ D g.x/ 1 1 x2 C x  2 D  x2 C x  2 2 3 2 x  1;5 D 0I x1=2 D ˙1 2 Integrationsintervall: Œ1I 1 Z1 

Z1 AD

.f .x/  g.x//dx D 1

1

  1 3 x3 3 2 x  1;5 dx D   1;5x 2 2 3 1

ˇ  ˇ ˇ ˇ1 1 ˇ jAj D ˇ  1;5   C 1;5 ˇˇ D 2 FE 2 2 20.1.3*

Gegeben sind die Funktionen mit den Funktionsgleichungen f .x/ D

1 2 2 x .x  9/ 10

und

g.x/ D 2x 2 C 6x

Berechnen Sie den von den Funktionsgraphen Kf und Kg begrenzte Fläche im 1. und 4. Quadranten.

Schnittstellen der Funktionsgraphen: f .x/ D g.x/ 1 2 2 x .x  9/ D 2x 2 C 6x 10 1 4 11 2 x C x  6x D 0 10 10 x  .x 3 C 11x  60/ D 0 x1 D 0 Hornerschema: 1 0 11 60 3 9 60 x1 D 3 1 3 20 0 Aus dem Restpolynom x 2 C 3x C 20 erhalten wir die quadratische Gleichung x 2 C 3x C 20 D 0 mit den Lösungen r 9  20 .keine reellen Lösungen, x2=3 D 1;5 ˙ 4 d. h. keine weiteren Schnittstellen)

20

386

Kapitel 20  Flächenberechnung mit Hilfe der Integralrechnung

Integrationsintervall: Œ0I 3 Z3 

Z3 .f .x/  g.x//dx D

AD 0



3

 1 4 11 2 x C x  6x dx 10 10

0

x 11  x C  3x 2 50 30 ˇ 5 ˇ0 3 ˇ3 ˇ 11  3 jAj D ˇˇ C  3  9ˇˇ D j12;24j D 12;24 FE 50 30 5

D

3

20.1.4*

Die Funktionsgraphen von f .x/ D

1 3 1 2 x   x C 2x 32 2

und

1 g.x/ D  x 2 2

begrenzen im Intervall Œ0I 4 eine Fläche. Berechnen Sie den Flächeninhalt.

Schnittstellen der Funktionsgraphen: f .x/ D g.x/ 1 3 1 2 1 x  x C 2x D  x 2 32 2 2 1 3 x C 2x D 0   32 1 2 x C 2 D 0I x1 D 0I x 32 1 2 x C 2 D 0 (keine weiteren reellen Schnittstellen) 32 Integrationsintervall: Œ0I 4 Z4 

Z4 AD

.f .x/  g.x//dx D 0

0

Z4 D



 1 3 x C 2x dx 32

0

 AD

20

x4 C x2 4  32

4 D 18 FE 0

   1 3 1 2 1 2 x  x C 2x   x dx 32 2 2

387 20.1  Ganzrationale Funktionen

20.1.5*

Die Funktionsgraphen von f .x/ D

1 1 3 x  x2  3 3

und

g.x/ D 2x  3

begrenzen zwei Flächen. Berechnen Sie den Flächeninhalt.

Schnittstellen der Funktionsgraphen: f .x/ D g.x/ 1 3 1 x  x 2  D 2x  3 3 3 x 3  3x 2  6x C 8 D 0 Hornerschema: 1 3 6 8 1 2 8 1 2 8 0 p D 1 ˙ 1 C 8 D 1 ˙ 3I

x1 D 1 x2=3

x2 D 4I

x3 D 2

Integrationsintervalle: Œ2I 1 ; Œ1I 4 Z1 

Z1 A1 D

.f .x/  g.x//dx D 2

2

1 3 1  x  x2  3 3



  .2x  3/ dx

 1 3 8 2  x  x  2x  dx A1 D 3 3 2 ˇ 1 ˇˇ ˇ x4 x3 8 ˇ ˇ 2  x  x jA1 j D ˇ ˇ ˇ 12 3 3 2 ˇ ˇ ˇ  ˇ ˇ ˇ1 16 1 8 8 16 ˇˇ ˇˇ 111 ˇˇ 37 ˇ C 4C D 9;25 FE jA1 j D ˇ   1   D ˇ D ˇ ˇ 12 3 3 12 3 3 12 4  Z4  1 3 8 2 A2 D  x  x  2x  dx 3 3 Z1 

1



 4 4 4 x4 x3 x 8 8 x3   x2  x D    x2  x 12 3 3 1 12 3 3 1     1 64 64 1 8 32 367 A2 D   1    16  D D 30;58 FE 12 3 3 3 3 3 12 478 Ages D A1 C A2 D D 39;83 FE 12 A2 D

20

388

Kapitel 20  Flächenberechnung mit Hilfe der Integralrechnung

20.1.6

Die Funktionsgraphen von f .x/ D 0;5x 3  1;5x 2  2x C 2 und

g.x/ D 2x

begrenzen eine Fläche. Berechnen Sie den Flächeninhalt. Begründen Sie, warum die Gerade g.x/ D 2x den Funktionsgraphen Kf berührt. Berechnen Sie den Berührpunkt.

Schnittstellen: f .x/ D g.x/ 0;5x  1;5x  2x C 2 D 2x 3

2

0;5x 3  1;5x 2 C 2 D 0

20

389 20.2  Trigonometrische Funktionen

Hornerschema: x1 D 2

0;5 1;5 0 2 1 1 2 0;5 0;5 1 0

0;5x 2  0;5x  1 D 0 oder x 2  x  2 D 0 r 1 1 1 3 x2=3 D ˙ C2D ˙ 2 4 2 2 x2 D 2 _ x3 D 1 Aus der doppelten Schnittstelle ist zu erkennen, dass die Gerade g.x/ D 2x die Kurve Kf bei x D 2 berührt. Die Steigung von Kf ist f 0 .x/ D 1;5x 2  3x  2I

f 0 .2/ D 2

Dies ist auch die Steigung der Geraden g.x/ D 2x. Bei x D 2 ist g.2/ D 2  2 D 4 Der Berührpunkt hat damit die Koordinaten B .2I 4/. Z2

Z2 .f .x/  g.x//dx D

AD 1

.0;5x 3  1;5x 2  2x C 2  .2x//dx 1

Z2 .0;5x 3  1;5x 2 C 2/dx

AD 1

2    8 x3 1 1 x4 D 0;5  4  1;5  C 4  0;5  C 1;5   2  1;5  C 2x A D 0;5  4 3 3 4 3 1 27 AD D 3;375 FE 8 20.2

Trigonometrische Funktionen

20.2.1

Gegeben seien die Funktionen f und g mit den Funktionsgleichungen f .x/ D sin x

und

g.x/ D cos x

a) Berechnen Sie die Fläche zwischen dem Funktionsgraphen von f und der x-Achse im Bereich x 2 Œ0I  . b) In welchen Punkten schneiden sich die Funktionsgraphen von f und g? c) Berechnen Sie die Schnittwinkel zwischen den beiden Funktionsgraphen im Bereich x 2 Œ0I 2 . d) Berechnen Sie die Fläche zwischen den Funktionsgraphen f und g im Bereich   3 I . x2 4 4

20

390

Kapitel 20  Flächenberechnung mit Hilfe der Integralrechnung

a) Flächenberechnung: Der Sinuskurve schneidet die x-Achse bei x D 0 und x D 

Anmerkung Bei Flächen zwischen Kurve und x-Achse wechseln die Funktionswerte ihr Vorzeichen bei den Nullstellen. Für die Grenzen des Integrationsbereichs sind somit die Nullstellen maßgeblich.

Z AD

sin xdx D Πcos x 0 D 1  .1/ 0

A D 2 FE b) Schnittstellen der Funktionsgraphen: f .x/ D g.x/ sin x D cos x Um nur noch eine einzige Winkelfunktion zu erhalten, müssen wir eine der Winkelfunktionen umrechnen. Aus der Beziehung sin2 x C cos2 x D 1 erhalten wir p cos x D 1  sin2 x. Diesen Wert setzen wir in die obige Gleichung ein und erhalten folgende Wurzelgleichung, die wir durch Quadrieren lösen. p sin x D 1  sin2 x

r )

sin x D 1  sin x 2

2

)

.sin x/1=2 D ˙

p 1 2 D˙ 2 2

p 2  5 die Werte x1 D und x2 D Als Lösungen erhalten wir aus sin x D 2 4 4 Anmerkung Da bei der obigen Wurzelgleichung noch eine Probe zu machen ist, ist folgende Berechnung sinnvoller. Man vermeidet dadurch das Quadrieren, was zu zusätzlichen Lösungen führt, die gar keine Lösung der ursprünglichen Gleichung sind und durch die Probe ausgeschieden werden müssen.

sin x D cos x tan x D 1

20

!

j W cos x x1 D

 I 4

x2 D x1 C  D

5 4

391 20.2  Trigonometrische Funktionen

c) Schnittwinkel: p 2  f D cos D D 0;707 4 4 2p   2  g0 D  sin D  D 0;707 4 4 2 0

 

p

 5 

2 5 D cos D D 0;707 4 4 2p  5  5 2 D  sin g0 D D 0;707 4 4 2

f0

) ˛1 D 45ı ) ˛2 D 135ı .315ı / ) ı1 D a2  ˛1 D 90ı ) ˛3 D 135ı .315ı / ) ˛4 D 225ı .315ı / ) ı2 D a4  ˛3 D 90ı

d) Flächenberechnung:

Anmerkung Bei Flächen zwischen zwei Kurven sind als Grenzen die Schnittstellen maßgeblich, da hier bei der Differenz das Vorzeichen wechselt. 5

5

Z4 AD

Z4 .f .x/  g.x//dx D

 4

.sin x  cos x/dx  4

p ! p p ! p 2 2 2 2 C    D 2 2 FE 2 2 2 2

p

A D Πcos x  sin x

5 4  4

D

20.2.2

Gegeben seien die Funktionen f und g mit den Funktionsgleichungen f .x/ D 

x 2

und

g.x/ D 2 sin x

a) Berechnen Sie die Schnittstellen der Geraden f .x/ mit dem Funktionsgraphen von g. b) Berechnen Sie die Flächen zwischen den Funktionsgraphen Gf und Gg zwischen den Schnittstellen x D 0 und x D .

20

392

Kapitel 20  Flächenberechnung mit Hilfe der Integralrechnung

a) Schnittstellen: f .x/ D g.x/ x 2 sin x D  2

Diese Gleichung ist nicht exakt lösbar. Wir verwenden zur Lösung das Newtonsche Näherungsverfahren (s. 7 Kap. 16). Aus den Schaubildern ergibt sich als ungefährer Schnittpunkt der Funktionsgraphen x0 D 2;5: Mit diesem Anfangswert erhalten wir als erste Näherung x1 D 2;48: Durch weitere Näherungen ergibt sich als Schnittstelle x D 2;4746: b) Flächenberechnung: 2;4746 Z

A1 D

2;4746 Z

  x   .2 sin x/ dx  2

.f .x/  g.x//dx D 0

0

A1 D Œ1;5309 C 1;5714  Œ2 A1 D 2;04 FE Da sich an der Schnittstelle die Funktionsgraphen überkreuzen, wird die Differenz f .x/  g.x/ negativ. Um zu einem positiven Flächenwert zu kommen, müssen wir bei A2 den Betrag des negativen Integralwertes nehmen oder wir wählen als Integrand

20

393 20.2  Trigonometrische Funktionen

die Differenz g.x/  f .x/ oder wir vertauschen die Integrationsgrenzen. Wir wählen das Letztere.  2 2;4746  x  x A2 D  C 2 sin x dx D   2 cos x 2 4    2 D Œ1;5309  .1;5714/   C2 4 A2 D 0;508 FE 2;4746 Z

20.2.3

Gegeben seien die Funktionen f und g mit den Funktionsgleichungen f .x/ D 2  2  sin x

und

g.x/ D 2 

4x 

Berechnen Sie die Fläche zwischen den Funktionsgraphen und den beiden Schnittstellen.

Die beiden Funktionsgraphen schneiden sich in den Punkten O .0I 0/ und A .1;5708I 1/ (Schnittstellenberechnung nach dem Newtonschen Näherungsverfahren in Aufgabe 16.3.1). Die Fläche zwischen den Funktionsgraphen Kf und Kg hat in diesem Bereich den Flächeninhalt 1;5708 Z 

AD

2  2 sin x  2 C 

0

1;5708   Z  4x 4x dx D dx 2 sin x C  

1;5708

0

2  x2  0 jAj D j1;5708  2j D j0;4292j D 0;4292 FE D 2 cos x C

20.2.4

Gegeben sei die Funktion f mit der Funktionsgleichung f .x/ D 4  cos

x 2



 C 1I 2

x 2 Œ0I 4

Der Funktionsgraph Kf , die x-Achse und die y-Achse begrenzen im 1. Quadranten eine Fläche A. Die Gerade x D u (0  u  4) soll diese Fläche zusätzlich begrenzen. Wie groß muss u werden, damit diese Fläche einen Flächeninhalt von 8 FE hat?

20

394

Kapitel 20  Flächenberechnung mit Hilfe der Integralrechnung

In diesem Fall ist der Flächeninhalt bekannt, aber die obere Integrationsgrenze ist noch zu bestimmen. Zu    h  iu   4  cos 0;5x  C 1 dx D 8  sin 0;5x  Cx AD 2 2 0 0       C u  8  sin  A D 8  sin 0;5u  D8 2 „ ƒ‚ 2 … 1

Es ergibt sich folgende Gleichung 8  sin

u 2



 CuD0 2

Diese lässt sich nicht mehr elementar lösen. Wir wenden deshalb das Newton’sche Näherungsverfahren an. Wir denken uns dabei die Funktion g mit der Funktionsgleichung g.u/ D 8  sin

u 2



 C u; 2

von der wir eine Nullstelle bestimmen wollen. Dazu benötigen wir noch die Ableitungsfunktion g 0 .u/ D 8  0;5  cos

u 2



u    C 1 D 4  cos  C1 2 2 2

Anfangswert: u0 D 3 (aus dem skizzierten Kurvenverlauf von Kg ) g.3/ 2;4341 D3 D 2;5122 0 g .3/ 4;98998 g.u1 / 0;03598 u2 D 2;5122  0 D 2;5122  D 2;5047 g .u1 / 4;80356 g.u2 / 0;000031 u2 D 2;5047  0 D 2;5047  D 2;5047 g .u2 / 4;798892 u1 D 3 

Ergebnis: Bei x  2;5 wird A D 8 FE.

20

395 20.3  Exponentialfunktionen

20.3

Exponentialfunktionen

20.3.1

Gegeben sei die Funktion f mit der Funktionsgleichung f .x/ D 4  e.4x/  2  .x  4/ a) Berechnen Sie die Fläche zwischen dem Funktionsgraphen Kf , der x-Achse und den Geraden x D 2 und x D 5. b) Welche Fläche ergibt sich zwischen Kf , der x-Achse und den Nullstellen?

a) Flächenberechnung: Z5 A1 D

Z5 .4  e

.4x/

 2x C 8/dx D

2

.12  2x  e.4x/ /dx D Œ12x  x 2 C e.4x/ 52 2

A1 D Œ60  25 C 0;368  Œ24  4 C 7;389 D 7;98 FE b) Nullstellen: f .x/ D 0: 4  e.4x/  2  .x  4/ D 0 Die Nullstellen lassen sich nicht mehr exakt berechnen. Sie wurden bereits früher berechnet (vgl. Aufgabe 16.3.2) Die Berechnung der Nullstellen nach dem Newtonschen Näherungsverfahren ergab mit den Startwerten x0 D 1;8 und x0 D 5;5 die Näherungswerte x D 1;8945 und x D 5;9272. Mit diesen Werten wollen wir die Flächenrechnung durchführen. Flächenberechnung: 5;9272 Z

5;9272 Z

.4  e

AD

.4x/

 2  .x  4//dx D

1;8945

A D Œ12x C e.4x/ 

.12  e.4x/  2x/dx 1;8945

5;9272 x 2 1;8945

D 36;14  27;36 D 8;78 FE

20.3.2

Gegeben seien die Funktionen f und g mit den Funktionsgleichungen f .x/ D 2x C 1 und

g.x/ D

5 3 2x

a) Berechnen Sie die Schnittstellen der Funktionsgraphen von f und g. b) Berechnen Sie den Schnittwinkel, unter dem sich die Funktionsgraphen schneiden. c) Berechnen Sie die Fläche zwischen den Funktionsgraphen, der y-Achse und der Geraden x D 2;5.

20

396

Kapitel 20  Flächenberechnung mit Hilfe der Integralrechnung

a) Schnittstellen: f .x/ D g.x/ 5 2x C 1 D x  3 j  2x , .2x /2 C 4  2x  5 D 0 2 p .2x /1=2 D 2 ˙  4 C 5 D 2 ˙ 3 2x D 1 ) x D 0 (einzige Schnittstelle); 2x D 5 (unbrauchbar) b) Schnittwinkel: Ableitungen: f 0 .x/ D 2x  ln 2

20

f 0 .0/ D 20  ln 2 D ln 2 D 0;693 ! ˛1 D 34;728ı  x   1 1 5  ln 2 g 0 .x/ D 5   ln D x 2 2 2 5  ln 2 g 0 .0/ D  0 D 5  ln 2 D 3;466 ! ˛2 D 73;905ı 2

397 20.3  Exponentialfunktionen

Schnittwinkel: ı D ˛1 C ˛2 D 108;63ı bzw. ı D 71;37ı (Der Schnittwinkel wird üblicherweise als spitzer Winkel angegeben.) c) Flächenberechnung:    Z2;5 Z2;5 Z2;5 5 5 x x 3 dx D A D .f .x/  g.x//dx D .2 C 1/  2  x C 4 dx 2x 2 0

0

0

" #2;5  1 x  x  Z2;5 1 2x x 2 C 4 dx D  5   1  C 4x AD 2 5 2 ln 2 ln 2 0 0  x 2;5 2 5 D C x C 4x ln 2 2  ln 2 0 A D Œ8;161 C 1;275 C 10  Œ1;443 C 7;213 D 19;436  8;656 D 10;78 FE 20.3.3

Gegeben sei die Funktion f mit der Funktionsgleichung p x2  2x f .x/ D 2 ex  4 a) Bestimmen Sie die Gleichung der Wendetangente. b) Zeigen Sie, dass die Normale im Wendepunkt die x-Achse bei x D 2 schneidet. c) Berechnen Sie den Flächeninhalt der Fläche zwischen Funktionsgraph und x-Achse zwischen den Grenzen x D 8 und x D 0.

a) Wendetangente: Für die Ableitungen formen wir die Gleichung in folgende Form um:

f 00 .x/ D 0 W

p x2 x2 f .x/ D 2 ex   2x D 2e0;5x   2x 4 4 x 1 f 0 .x/ D e0;5x   2I f 00 .x/ D 0;5e0;5x  2 2 1 1 1 0;5e0;5x  D 0 , e0;5x D , e0;5x D 1 2 2 2 0;5x D 0 , x D 0 p Wendepunkt: W .0I 2/ f .0/ D 2  e0  0 D 2I

Steigung der Wendetangente (D Steigung des Funktionsgraphen im Wendepunkt): f 0 .0/ D 1  2 D 1 Gleichung der Wendetangente: y D x C 2

20

398

Kapitel 20  Flächenberechnung mit Hilfe der Integralrechnung

b) Normale: Gleichung der Normalen: y D x C 2 Schnitt mit der x-Achse: y D 0: x D 2 c) Flächenberechnung:   0 Z0  x2 x3 0;5x 0;5x 2    2x dx D 4e x AD 2e 4 12 8 8

A D Œ4  Œ0;073 C 42;667  64 D 4 C 21;26 A D 25;26 FE

20

399

Vertiefung der Differentialund Integralrechnung

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2020 H. Rapp, J.M. Rapp, Übungsbuch Mathematik für Fachschule Technik und Berufskolleg, https://doi.org/10.1007/978-3-658-31108-7_21

21

400

21

Kapitel 21  Vertiefung der Differential- und Integralrechnung

21.1

Gegeben seien die Funktionen f und g mit den Funktionsgleichungen f .x/ D

1 3 1 2 x  x xC2 3 2

und

g.x/ D x 2  x C 2

a) In welchen Punkten schneiden sich die Funktionsgraphen? b) Berechnen Sie die Fläche zwischen den Funktionsgraphen zwischen den Schnittstellen. c) An welcher Stelle ist die Ordinatendifferenz am größten? Wie groß ist diese?

a) Berechnung der Schnittstellen: f .x/ D g.x/ 1 3 1 2 x  x  x C 2 D x2  x C 2 3 2 1 3 3 2 x  x D 0 ) x1=2 D 0 (Berührpunkt); x3 D 4;5 3 2 Schnittpunkte: S1=2 .0I 2/I b) Flächenberechnung:

S3 .4;5I 17;75/

  Z4;5 Z4;5 1 3 1 2 2 dx A D .g.x/  f .x//dx D x  x xC2 .x  x C 2/  3 2 0

Z4;5 AD 0

0



 1 3 3 2 1 4 1 3 4;5 D 11;39 FE x C x dx D  x C x 3 2 12 2 0

c) Ordinatendifferenz: 3 1 d.x/ D g.x/  f .x/ D  x 3 C x 2 3 2 d 0 .x/ D x 2 C 3xI d 00 .x/ D 2x C 3 d 0 .x/ D 0W

x 2 C 3x D 0

) x1 D 3 _ x2 D 0 (unbrauchbar)

00

d .3/ D 6 C 3 D 3 < 0 d. h. Maximum 27 D 4;5 LE dmax D 9 C 2 21.2

Eine Funktion f sei gegeben durch die Funktionsgleichung f .x/ D ax 4 C x 3  bx 2  4 Bestimmen Sie die Koeffizienten a und b so, dass die beiden Wendestellen bei x D 3 und x D 1;5 liegen.

401 Kapitel 21  Vertiefung der Differential- und Integralrechnung

Berechnung der Wendestellen: f 0 .x/ D 4ax 3 C 3x 2  2bx f 00 .x/ D 12ax 2 C 6x  2b f 00 .x/ D 0W

12ax 2 C 6x  2b D 0 ) 6ax 2 C 3x  b D 0

Wir setzen die x-Werte in diese Gleichung ein und erhalten folgende Gleichungen: x1 D 3W x2 D

3 W 2

.1/  .2/W

54a C 9  b D 0

.1/

54 9 a C  b D 0 .2/ 4 2 27 3  54 a D0 4 2

)aD

1 3

eingesetzt in Gleichung (1): b D 9

Damit lautet die Funktionsgleichung: f .x/ D

1 4 x C x 3  9x 2  4 3

21.3

Gegeben sei die Parameter-Funktion mit der Funktionsgleichung fa .x/ D

x 2 C 2ax C a xC2

a) Bestimmen Sie die Gleichungen der Asymptoten. b) Berechnen Sie die Nullstellen. Für welche Werte von a gibt es Nullstellen? c) Untersuchen Sie die Funktion auf Extremstellen in Abhängigkeit von a. Für welche Werte von a gibt es keine Extremstellen? d) Skizzieren Sie den Funktionsgraphen für a D 1 im Intervall x 2 Œ4I 4 . e) Berechnen Sie die Fläche zwischen dem Funktionsgraphen von f1 .x/ und der x-Achse im Intervall x 2 Œ1I 2 .

a) Asymptoten: Nennernullstelle: x D 2 (D Polstelle) Polynomdivision: 4  3a .x 2 C 2ax C a/ W .x C 2/ D x C .2a  2/ C xC2 .x 2 C 2x/ .2a  2/x C a Œ.2a  2/x C 4a  4 3a C4 lim f .x/ D x C 2a  2

x!1

) y D x C 2a  2 (D schiefe Asymptote)

21

402

21

Kapitel 21  Vertiefung der Differential- und Integralrechnung

b) Nullstellen: f .x/ D 0W

x 2 C 2ax C a D 0

) )

p x1=2 D a ˙ a2  a p N1 .a C a2  aI 0/ p N2 .a  a2  aI 0/

Keine Nullstellen für 0 < a < 1. c) Extrema: .2x C 2a/  .x C 2/  .x 2 C 2ax C a/ x 2 C 4x C 3a D 2 .x C 2/ .x C 2/2 .2x C 4/  .x C 2/2  .x 2 C 4x C 3a/  2.x C 2/ 8  6a fa00 .x/ D D .x C 2/4 .x C 2/3 p f 0 .x/ D 0W x 2 C 4x C 3a D 0 ) x1=2 D 2 ˙ 4  3a

fa0 .x/ D

4 gibt es keine Extremstellen 3 d) Funktionsgraph: Für a >

a D 1W

f1 .x/ D

x 2 C 2x C 1 xC2

Polstelle: x D 2 Asymptote: y D x Nullstelle: N .1I 0/ Extremstellen: x1=2 D 2 ˙ 1 Graph:

)

E1 .1I 0/; E2 .3I 4/

403 Kapitel 21  Vertiefung der Differential- und Integralrechnung

e) Flächenberechnung: Z2 AD 1

x 2 C 2x C 1 dx xC2

Um das Integral lösen zu können, führen wir zunächst eine Polynomdivision durch: 1 .x 2 C 2x C 1/ W .x C 2/ D x C xC2 x 2 C 2x 1   2 2 x 1 1 D 2 C ln 4   „ƒ‚… dx D C ln jx C 2j ln 1 xC2 2 2 1

Z2  AD xC 1

0

D 1;5 C „ƒ‚… ln 4 2ln 2

A D 2;886 FE 21.4

Gegeben sei die Parameter-Funktion mit der Funktionsgleichung fa .x/ D eax  ax 

1 a

a) Bestimmen Sie die Nullstellen in Abhängigkeit von a. Für welche Werte von a gibt es keine Nullstellen? b) Untersuchen Sie die Funktion auf Extremstellen in Abhängigkeit von a. Für welche Werte von a gibt es keine Extremstellen? c) Untersuchen Sie die Funktion f .x/ D e0;5x  0;5x  2 und zeichnen Sie den Funktionsgraphen im Intervall x 2 Œ4I 4 . d) Berechnen Sie die Fläche zwischen dem Funktionsgraphen von f2 .x/ und der x-Achse im Intervall x 2 Œ3I 2 .

a) Nullstellen: fa .x/ D 0W

ax

e

1 1  ax  D 0 , eax D ax C a a

Für a D 0 gibt es keine Nullstellen.

ˇ ˇ 2 ˇa x C 1ˇ ˇ ˇ ) ax D ln ˇ ˇ a ˇ ˇ 2 ˇa x C 1ˇ 1 ˇ ) x D  ln ˇˇ ˇ a a

21

404

21

Kapitel 21  Vertiefung der Differential- und Integralrechnung

b) Extrema: fa0 .x/ D a  eax  a; fa00 .x/ D a2 eax fa0 .x/ D 0W a  eax  a D 0 , eax D 1

) ln eax D „ƒ‚… ln 1

)xD0

0

1 fa .0/ D 1  W a

  1 , keine Extrema für a D 0. E 0I 1  a

c) Kurvenuntersuchung für f .x/ D e0;5x  0;5x  2 Nullstellen: f .x/ D 0W e0;5x  0;5x  2 D 0 Diese Gleichung ist nur mit Hilfe eines Näherungsverfahrens zu lösen. Wir verwenden das Newtonverfahren. Anfangswerte: x D 3 und x D 2 Konvergenzkriterien für die Anfangswerte: f 0 .x/ D 0;5  e0;5x  0;5; f 00 .x/ D 0;25  e0;5x ˇ ˇ ˇ f .3/  f 00 .3/ ˇ ˇ D 0;259 < 1 ˇ x D 3W ˇ x D 2W .f 0 .3//2 ˇ

ˇ ˇ ˇ f .2/  f 00 .2/ ˇ ˇ ˇ ˇ .f 0 .2//2 ˇ D 0;0209 < 1

Beide Anfangswerte sind somit geeignet. Wir erhalten als Ergebnis: N1 .3;6828I 0/ N2 .2;29239I 0/ Extrema: f 0 .x/ D 0: 0;5  e0;5x  0;5 D 0 ) e0;5x D 1 ) x D 0 E .0I 1/ Wendepunkte: f 00 .x/ D 0W 0;25  e0;5x D 0 ) d. h. es gibt keinen Wendepunkt Graph:

d) Flächenberechnung: 

Z2

e0;5x x2  0;5x  2/dx D A D .e   2x 0;5 4 3   1;5 e e 9 D 14   C6 0;5 0;5 4 A D 0;4366  4;19626 D j3;7596j D 3;76 FE

2

0;5x

3

405 Kapitel 21  Vertiefung der Differential- und Integralrechnung

21.5

Gegeben sei die Funktion f mit der Funktionsgleichung f .x/ D e2x  2ex  3. a) Untersuchen Sie die Funktion auf Nullstellen, Extrema und Wendepunkte. b) Bestimmen Sie den Flächeninhalt der Fläche zwischen dem Funktionsgraphen und den beiden Koordinatenachsen. c) An welchen Stellen schneidet sich der Funktionsgraph der Funktion f mit dem Funktionsgraphen von g mit g.x/ D e2x  2ex  x 2 C 1? d) Berechnen Sie die Fläche zwischen den Schnittpunkten der Funktionsgraphen. e) Wie groß muss a (a > 0) gewählt werden, damit der Flächeninhalt zwischen den Grenzen x D 1 und x D a und dem Funktionsgraphen 22=3 FE beträgt?

a) Funktionsuntersuchung Nullstellen: f .x/ D 0: p e2x  2ex  3 D 0 ) .ex /1=2 D 1 ˙ 1 C 3 D 1 ˙ 2 ex D 1 (unbrauchbar) ex D 3 ) x D ln 3 D 1;099 N .ln 3I 0/ Ableitungen: f 0 .x/ D 2e2x  2ex , f 00 .x/ D 4e2x  2ex , f 000 .x/ D 8e2x  2ex Extrema: f 0 .x/ D 0: 2e2x  2ex D 0 , ex .2ex  2/ D 0

) ex D 1 ) x D 0: ex ¤ 0 für alle x.

f 00 .0/ D 4e0  2e0 D 2 > 0 d. h. Minimum f .0/ D 4 E .0I 4/ D Sy Wendepunkte: f 00 .x/ D 0: 4e2x  2ex D 0 , ex .4ex  2/ D 0 f 000 .ln 0;5/ ¤ 0;

) ex D 0;5 ) x D ln 0;5 D  ln 2 D 0;69

f .ln 0;5/ D 3;75 W .0;69I 3;75/

b) Flächenberechnung ˇ  2x ln 3 ˇ Zln 3 ˇ9 ˇ e 1 2x x x ˇ D ˇ  2  3  3  ln 3  C 2ˇˇ : A D .e  2e  3/dx D  2e  3x 2 2 2 0 0

A D j3  ln 3j D 3;296 FE c) Schnittstellen f .x/ D g.x/W e2x  2ex  3 D e2x  2ex  x 2 C 1 x2  4 D 0 x1=2 D ˙2

21

406

Kapitel 21  Vertiefung der Differential- und Integralrechnung

21

d) Flächenberechnung Z2 AD

Z2 .g.x/  f .x//dx D

2

.e2x  2ex  x 2 C 1  e2x C 2ex C 3/dx 2



2 x3 A D .x C 4/dx D  C 4x 3 2 2   8 8 16 32 AD C8  8 D  C 16 D FE 3 3 3 3 Z2

2

e) Flächenberechnung Za AD

Za .g.x/  f .x//dx D

1 Za

AD

.e2x  2ex  x 2 C 1  e2x  2ex C 3/dx 1



x3 .x C 4/dx D  C 4x 3

a

2

1

1

a3 D  C 4a  3



 1 22 4 D 3 3

a3  12a C 11 D 0 ) .a  1/.a2 C a  11/ D 0 ) a D 1 (Die weiteren Lösungen liegen außerhalb der Schnittstellen)

407

Rotationsvolumen Inhaltsverzeichnis 22.1

Rotation um die x-Achse – 408

22.2

Rotation um die y-Achse – 410

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2020 H. Rapp, J.M. Rapp, Übungsbuch Mathematik für Fachschule Technik und Berufskolleg, https://doi.org/10.1007/978-3-658-31108-7_22

22

408

Kapitel 22  Rotationsvolumen

22.1

22

Rotation um die x-Achse

> Lehrbuch Abschn. 20.7 22.1.1

Bestimmen Sie das Volumen p des Rotationskörpers, der durch Rotation des durch den Funktionsgraphen von y D x 2  16 .x 2 Œ4I 8 / und der x-Achse begrenzten Flächenstücks um die x-Achse entsteht. Wie groß ist das Volumen bei Rotation um die y-Achse?

Z8 Vx D  

Z8 p Z8 2 2 Œf .x/ dx D   Œ x  16 dx D   .x 2  16/dx 2

4



8

4



x 8 4  16x D    128  C 64 Vx D   3 3 3 4 Vx D 85;33   D 268;08 VE 3

3

4

3

22.1.2

Ein Kugelgriff mit dem Kugeldurchmesser d D 40 mm soll eine zylindrische Bohrung mit einem Durchmesser von 12 mm erhalten. Die Bohrung soll mit einem Flachbohrer ausgeführt werden und im fertigen Zustand noch eine Tiefe von 22 mm haben.

Berechnen Sie das Volumen der Restkugel.

Durch die Ausbohrung ist ein kleiner Kugelabschnitt weggefallen.

409 22.1  Rotation um die x-Achse

Die Restlänge x, die die obere Integrationsgrenze darstellt, berechnet sich nach Pythagoras wie folgt: 22 D x 2 C 0;62 x 2 D 22  0;62 D 3;64 p x D 3;64 D 1;908 cm Damit können wir das Volumen der Restkugel als Rotationsvolumen berechnen. Die y-Achse legen wir in die Symmetrieachse der p ursprünglichen Kugel. Die untere Integrationsgrenze bei x1 D 2, die obere bei x2 D 3;64. p Z3;64

p 3 3;64 x V1 D   .22  x 2 /dx D   4x  3 2 2 p  p 3;64  3;64 8 V1 D   4  3;64   4  .2/ C 3 3



V1 D 10;65   D 33;46 cm3 Das Volumen des Hohl-Zylinders wollen wir elementargeometrisch berechnen. V2 D   .0;6 cm/2  2;2 cm D 2;488 cm3 Restvolumen: V D V1  V2 D 30;97 cm3 22.1.3

Die Innnenkontur eines Gefäßes hat die Form einer Kurve Kf mit f .x/ D

p

x C 4I

x 2 Œ0I 6 :

Die Außenkontur hat die Form einer Kurve Kg mit g.x/ D

p

x C 4 C 1I

x 2 Œ1;5I 6 :

a) Welches Volumen fasst das Gefäß? b) Wie groß ist das Materialvolumen?

a) Rotationsvolumen des Hohlraumes: Z6 Vx D  

Z6 h Z6 i2 p Œf .x/ dx D   x C 4 dx D  .x C 4/dx 2

0

 Vx D  

2

x C 4x 2

6

0

0

D   .18 C 24/ D 42   VE D 131;947 VE 0

22

410

Kapitel 22  Rotationsvolumen

b)

Z6

Z6 h i2 p Œg.x/ dx D   x C 4 C 1 dx

Vx D  

22

2

1;5

1;5

Z6 D

.x C 4 C 2 

p

x C 4 C 1/dx

1;5

 2 6 Z6   p x .x C 4/1;5 Vx D   x C 5 C 2  x C 4 dx D   C 5x C 2 1;5 1;5 1;5 p !  p ! 20  10 5  2;5 Vx D   18 C 30 C  1;125  7;5 C D 72;822   3 3 D 228;78 VE Materialvolumen: V D 96;83 VE 22.2

Rotation um die y-Achse

22.2.1

Das Hohlraumvolumen eines Behälters hat die Form einer Parabel mit der Funktionsgleichung y D x 2  4I

y 2 Œ0I 10

a) Berechnen Sie das Fassungsvermögen. b) Bis zu welcher Höhe muss er gefüllt sein, wenn er halb voll ist? c) Bis zu welcher Höhe h muss der Behälter gefüllt sein, wenn er V D 100 VE enthält?

a) Die Umkehr-Relation der Parabel lautet: x 2 D y C 4 Zy2 Vy D  

Z10 Œf .y/ dy D  

y1



Vy D  

y2 C 4y 2

10

Z10 Œx dy D  

2

.y C 4/dy

2

0

0

D   .50 C 40/ D 90   VE D 282;74 VE 0

411 22.2  Rotation um die y-Achse

b) Bei halber Füllung ist das Volumen Vy D obere Integrationsgrenze d zu bestimmen.

1 2

 90   VE D 45   VE. Dafür ist die



 2 d  y2 d C 4y D   C 4  d D 45   VE 2 2 0   2 d C 4  d D 45    2 Vy D  

d 2 C 8  d  90 D 0 p p d1=2 D 4 ˙ 16 C 90 D 4 ˙ 106 p p d1 D 4 C 106 D 6;296I d2 D 4  106 D 14;296 (unbrauchbar) Bei einer Füllhöhe von h D 6;296 LE ist der Behälter halb gefüllt. c)



 2 d  y2 d C 4y D   C 4  d D 100 2 2 0 200 d2 C 8  d  D0  r 200 d1=2 D 4 ˙ 16 C  r 200 D 4;925 d1 D 4 C 16 C  r 200 D 12;925 (unbrauchbar) d2 D 4  16 C  Vy D  

Bei h D 4;925 LE ist der Behälter mit V D 100 VE gefüllt. 22.2.2

Das Hohlraumvolumen eines Behälters hat die Form einer Parabel mit der Funktionsgleichung y D x 2  2x  3 Berechnen Sie das Rotationsvolumen Vy für x 2 Œ3I 4

Zy2 Das Rotationsvolumen Vy ergibt sich aus Vy D  

x 2 dy y1

1. Integrationsgrenzen Da die Rotation um die y-Achse erfolgt, muss das x-Intervall in ein y-Intervall umgerechnet werden. x1 D 3W

y1 D 32  2  3  3 D 0

x2 D 4W

y2 D 42  2  4  3 D 5

22

412

Kapitel 22  Rotationsvolumen

22

2. Integrand Auch die Funktionsgleichung muss umgerechnet werden: y D x 2  2x  3 y D .x 2  2x C : : :/  3 y D .x 2  2x C 1/  3  1 (quadratische Ergänzung) y D .x  1/2  4 .x  1/2 D y C 4 p x D yC4C1 p x2 D y C 4 C 2  y C 4 C 1 p x2 D y C 2  y C 4 C 5 3. Volumenberechnung Zy2 Vy D  

Z5   p y C 2  y C 4 C 5 dy x dy D   2

y1

"

0

#5  2 5 3 y y2 .y C 4/ 2 4 p 3 C 5y D   Vy D   C2 C  .y C 4/ C 5  y 3 2 2 3 0 2 0   p p 25 4 4 Vy D   .5 C 4/3 C 25  64 D 62;83   C 2 3 3 Vy D 197;4 VE

413 22.2  Rotation um die y-Achse

22.2.3

Das Hohlraumvolumen p eines Trichters hat die Form einer Wurzelfunktion mit der Funkx 2  1. p Berechnen Sie das Fassungsvermögen mit Hilfe des tionsgleichung y D Rotationsvolumens Vy für x 2 Œ1I 10 .

1. Integrationsgrenzen Bei der Rotation um die y-Achse muss das x-Intervall in ein y-Intervall umgerechnet werden. p x1 D 1W y1 D 12  1 D 0 p p x2 D 10W y2 D 10  1 D 3 2. Integrand Auch die Funktionsgleichung muss umgerechnet werden. yD

p x2  1

y2 D x2  1 x2 D y2 C 1 3. Volumenberechnung Z3 Vy D 

Z3 Œx.y/ dy D 

.y 2 C 1/ dy

2

0

Vy D  



3

y Cy 3

0

3

D   .9 C 3/ 0

Vy D 12 D 37;7 VE

22

415

Vektorrechnung Inhaltsverzeichnis Kapitel 23

Vektoroperationen (Vektoralgebra) – 417

Kapitel 24

Analytische Geometrie auf Vektorbasis – 431

Kapitel 25

Anwendungen der Vektorrechnung – 443

V

417

Vektoroperationen (Vektoralgebra) Inhaltsverzeichnis 23.1

Vektorbetrag, Addition, Subtraktion – 418

23.2

Produkte von Vektoren – 426

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2020 H. Rapp, J.M. Rapp, Übungsbuch Mathematik für Fachschule Technik und Berufskolleg, https://doi.org/10.1007/978-3-658-31108-7_23

23

418

Kapitel 23  Vektoroperationen (Vektoralgebra)

23.1

23

Vektorbetrag, Addition, Subtraktion

In diesem Abschnitt werden behandelt: 4 Rechenoperationen mit Vektoren (Addition, Subtraktion, S-Multiplikation) 4 Produkte von Vektoren (Skalarprodukt, Vektorprodukt, Spatprodukt) > Lehrbuch Kapitel 21 23.1.1

! p 6 a) Ein Vektor xE D hat die Länge jxj E D 52 LE. y Welchen Wert muss damit die y-Komponente annehmen? p a j D 14. b) Der Ortsvektor aE des Punktes A .2I 3I a3 / hat den Betrag jE Wie lautet die fehlende dritte Koordinate des Punktes A?

a) Die Länge eines Vektors pentspricht dem Betrag des Vektors. Er wird auf folgende 2 Weise berechnet: jxj E D x 2 C yp p Im vorliegenden Fall ist 52 D 36 C y 2 oder y 2 D 16 ) y D ˙4. Wir haben also zwei Vektoren mit der gleichen Länge oder dem gleichen Betrag: xE1 D

    6 6 oder xE2 D 4 4

b) Bei Ortsvektoren liegt der Anfangspunkt im Ursprung. Der Betrag des räumlichen Ortsvektors wird nach folgender Beziehung berechnet: q jE aj D a12 C a22 C a32 q q p 14 D 22 C 32 C a32 D 13 C a32 ) a3 D ˙1 Wir haben wieder zwei Punkte, die vom Ursprung die gleiche Entfernung haben: A .2I 3I 1/ oder A0 .2I 3I 1/ Anmerkung Im ersten Fall handelt es sich um eine Spiegelung des Vektors xE an der x-Achse. Im zweiten Fall handelt es sich um eine Spiegelung des Punktes A an der xy-Ebene.

419 23.1  Vektorbetrag, Addition, Subtraktion

23.1.2

Gegeben sind die Vektoren 0

1 10 B5C aE D @ A ; 8

0 1 5 B3C E bD@ A 4

0

und

1 8 B10C cE D @ A 4

c  aE/ a) Berechnen Sie den Vektor dE D .bE  aE/ C 2.E a C 12 cE/  3.E b) Berechnen Sie den Betrag und die Richtungswinkel dieses Vektors.

a)

b)

0

1 0 1 0 1 5  10 10 C 4 8  10 dE D @ 3  5 A C 2  @ 5 C 5 A  3  @10  5A 48 8C2 48 0 1 0 1 0 1 0 1 15 14 2 19 D @ 2 A C 2  @10A  3  @ 5 A D @ 3 A 4 10 4 28 jdEj D

p p 192 C 32 C 282 D 1154 D 33;97

Richtungswinkel zur x-, y- und z-Achse: 19 dx Dp D 0;5593 ) ˛ D 55;99ı E 1154 jd j dy 3 Dp D 0;08831 ) ˇ D 84;93ı cos ˇ D E 1154 jd j cos ˛ D

cos D

28 dz Dp D 0;8242 ) D 34;49ı E 1154 jd j

23

420

Kapitel 23  Vektoroperationen (Vektoralgebra)

23.1.3

a) Berechnen Sie die Resultierende der Kräfte 0

1 10 B C FE1 D @15A N; 25

23

0

1 5 B C FE2 D @10A N und 20

0

1 8 B C FE3 D @ 10 A N 10

b) Berechnen Sie den Betrag und die Richtungswinkel dieser Resultierenden.

a) Die resultierende Kraft ist FE D FE1 C FE2 C FE3 0 1 0 1 0 1 0 1 10 5 8 13 E @ A @ A @ A @ 15 10 10 F D C C D 15 A N 25 20 10 5 b)

jFE j D

p p 132 C 152 C .5/2 N D 419 N D 20;47 N

Richtungswinkel der Resultierenden Fx 13 N Dp D 0;63509 ) ˛ D 50;57ı 419 N jFE j Fy 15 N Dp D 0;732798 ) ˇ D 42;88ı cos ˇ D 419 N jFE j 5 N Fz Dp D 0;244266 ) D 104;14ı cos D E 419 N jF j cos ˛ D

23.1.4

0

1 0 1 2 1 B1C B3C E Berechnen Sie von den Vektoren aE D @ A und b D @ A 3 5 E a) die Beträge jE aj und jbj. E 2 D b2 b) jE aj2 D a2 und jbj 2 E E c) aEb und .E ab/ d) aE2 bE2

a)

p p 22 C .1/2 C 32 D 14 D 3;74 p p E D b D 12 C .3/2 C 52 D 35 D 5;916 jbj jE aj D a D

b) jE a j2 D a 2 D

2 p 2 p 22 C .1/2 C 32 D 14 D 14I

E 2 D b2 D jbj

p

2 35 D 35

421 23.1  Vektorbetrag, Addition, Subtraktion

c)

d)

0

1 0 1 2 1 aE bE D @1A  @3A D 2  1 C .1/  .3/ C 3  5 D 20I 3 5

E 2 D .20/2 D 400 .E ab/

20

1 0 13 20 1 0 13 2 2 1 1 aE 2 bE2 D 4@1A  @1A5  4@3A  @3A5 D Œ4 C 1 C 9  Œ1 C 9 C 25 3 3 5 5 D 14  35 D 490 E 2 ¤ aE 2 bE2 ist. Wir sehen daraus, dass .E ab/ 23.1.5

! ! Ein Parallelogramm wird durch die Vektoren AB und AC mit A .2I 4I 6/, B .1I 5I 2/ und C .6I 7I 8/ aufgespannt. Berechnen Sie den Flächeninhalt des Parallelogramms.

Die Vektoren, die das Parallelogramm aufspannen, sind 0 1 0 1 0 1 1 2 1 ! AB D aE D @5A  @4A D @ 1 A und 2 6 4 0 1 0 1 0 1 6 2 4 ! E @ A @ A @ A 7 4 AC D b D  D 3 8 6 2 Der Flächeninhalt berechnet sich nach A D a  ha q

Nach Pythagoras ist b 2 D b12 C h2a oder ha D b 2  b12 q p Damit ist A D a  b 2  b12 oder A D a2 b 2  .ab1 /2 Mit a2 D aE 2 , b 2 D bE2 , ab1 D ab  cos ' D aE bE ergibt sich q E2 aE 2 bE2  .E ab/ v u20 1 0 13 20 1 0 13 20 1 0 132 u 1 1 4 4 1 4 u 4 @ A @ A 5 4 @ A @ A 5 4 @ A @ 1 1 3 3 1 3A5 ADu      t 4 4 2 2 4 2 s D .1 C 1 C 16/.16 C 9 C 4/  .4 C 3  8/2 „ ƒ‚ … „ ƒ‚ …

AD

522

p A D 441 FE D 21 FE

81

23

422

23

Kapitel 23  Vektoroperationen (Vektoralgebra)

2. Lösung: Die Parallelogrammfläche lässt sich auch mit Hilfe des Vektorproduktes berechnen. ˇ! !ˇ ˇ ˇ A D ˇAB  AC ˇ ˇ ˇ0 ˇ0 1 0 1ˇ ˇ 1ˇ ˇ 1 4 ˇ ˇ 1  2  .4/  3 ˇ ˇ 14 ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ A D ˇˇ@ 1 A  @3Aˇˇ D ˇˇ4  4  .1/  2ˇˇ D ˇˇ@14Aˇˇ ˇ 4 2 ˇ ˇ 1  3  1  4 ˇ ˇ 7 ˇ p p D 196 C 196 C 49 D 441 A D 21 FE 23.1.6

1 3 B C Gegeben ist der Vektor aE D @5A. 8 0

a) Berechnen Sie den zu aE gleichgerichteten Vektor bE mit der Länge 4 LE. ! 3 b) Bestimmen Sie die zu cE D orthogonalen Vektoren. 6 c) Bestimmen Sie die zu aE senkrechten Vektoren (Normal- oder Lotvektoren).

a) Zunächst bestimmen wir den Einheitsvektor aE0 D

aE . jE aj

Damit ist bE D 4  aE0 .

0

1 3 @5A 8

0

1 3 1 D p  @5A I aE0 D p 9 C 25 C 64 98 8

0

1 0 1 3 1;21 4 bE D p  @5A D @2;02A 98 8 3;23

b) Normalvektoren oder Lotvektoren in R2 erhält man, wenn man bei einem gegebenen Vektor die Komponenten vertauscht und bei einer Komponente dieses Vektors einen Vorzeichenwechsel durchführt. Auf diese Weise erhalten wir die Normalenvektoren     6 6 I nE2 D nE 1 D 3 3 c) Normalvektoren eines Vektors in R3 erhält man, wenn man eine Koordinate des Ausgangsvektors Null setzt, die andern beiden vertauscht und bei einer dieser Koordinaten einen Vorzeichenwechsel durchführt. Dadurch wird jeweils das Skalarprodukt aE  nE D 0. Es ergeben sich somit folgende Lösungen: 0 1 0 1 0 1 0 8 5 nE 1 D @8A ; nE 2 D @ 0 A ; nE 3 D @3A oder 5 3 0 0 1 0 1 0 1 0 8 5 @ @ @ A A 8 0 nE 4 D ; nE 5 D ; nE6 D 3A 5 3 0

423 23.1  Vektorbetrag, Addition, Subtraktion

23.1.7

0

1 4 ! B C Zerlegen Sie den Vektor aE D @1A in Komponenten parallel und normal zu bE D CD mit C .1I 2I 1/ und D .3I 2I 4/. 18

0 0 1 1 0 1 31 0 2   ! E E E @ @ A @ A Der Vektor b D CD D 2 C 2 D 4 , der zu b orthogonale Vektor b1 D 3A und 0 1 41 4 3 4 E @ A der Vektor aE D 1 liegen in einer Ebene. Damit muss die Bedingung aE D  b C bE1 18 erfüllt sein. Mit den Koordinaten ergibt sich folgendes lineares Gleichungssystem 4 D 2 .1/ 1 D 4  3 .2/ 18 D 3 C 4 .3/ Aus (1) ergibt sich  D 2, eingesetzt in (2) erhält man  D 3. Diese Werte erfüllen auch die Gleichung (3). Die beiden Vektoren lauten damit aEb D  bE D .4I 8I 6/ und aEb1 D  bE1 D .0I 9I 12/ 23.1.8

Zeigen Sie, dass die Punkte A .3I 4 C ay I 5/ und B .2I 6 C ay I 8/ für alle ay 2 R den gleichen Abstand haben. Wie groß ist dieser?

0

1 0 1 3 2 Die Ortsvektoren der Punkte sind aE D @4 C ay A und bE D @6 C ay A. 5 8 0 1 0 1 23 1 ! Der Distanzvektor AB D @.6 C ay /  .4 C ay /A D @ 2 A ist unabhängig von ay . 85 3 Der Abstand der beiden Punkte A und B ist p p ! AB D jABj D 1 C 4 C 9 D 14  3;74 LE unabhängig von ay :

23

424

Kapitel 23  Vektoroperationen (Vektoralgebra)

23.1.9

0

23

1 0 1 2 1 B C B C Gegeben seien die Vektoren aE D @1A und bE D @3A, die ein räumliches Dreieck aufspannen. 5 7 a) Berechnen Sie den bei senkrechter Projektion des Vektors bE auf aE entstehenden Bildvektor aEb . b) Berechnen Sie den Flächeninhalt des räumlichen Dreiecks.

a) senkrechte Projektion 0

1 0 1 2 1 @1A  @3A 0 1 0 1 0 1 " # 2 2 2 E 5 7 aE  b 40 4 @ @ @ A A A 1 1 1  a E D    aEb D D D 0 12 aE 2 30 3 2 5 5 5 „ ƒ‚ … @1A Skalar 5 Anmerkung Der Vektor aE kann nicht gekürzt werden. Der Klammerterm ist ein Skalar.

b) Dreiecksfläche Die Dreiecksfläche ist die halbe Parallelogrammfläche. Damit ist der Flächeninhalt AD

1 E  jE aj  jhj 2

E E Der Vektor hE"berechnet # sich aus der Vektorsumme"b D aE#b C h. Mit dem ProjektionsE E aE  b aE  b vektor aEb D  aE wird hE D bE  aEb D bE   aE und aE 2 aE 2

AD

1 2

D

1 2

AD

1 2

ˇ0 1ˇ ˇ0 1 0 1ˇ ˇ " # ˇ ˇ 2 ˇ ˇ 1 2 ˇ ˇ E ˇ ˇ ˇˇ ˇ ˇ ˇ aE  b 1 ˇ@ Aˇ ˇ@ A 4 @ Aˇˇ ˇ 1 1 3 D  ˇaE ˇ  ˇbE     a E   ˇ ˇ ˇ ˇ aE 2 2 ˇˇ 5 ˇˇ ˇˇ 7 3 5 ˇ ˇ0 1ˇ ˇ 0 1ˇ ˇ 2 ˇ ˇ 5 ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ1 ˇ ˇ ˇ @ @ A  ˇ 1 ˇ  ˇ  5Aˇˇ ˇ 5 ˇ ˇ3 1 ˇ p 1p 51 D 6;52 FE  30  3

425 23.1  Vektorbetrag, Addition, Subtraktion

S-Multiplikation 23.1.10

0 1 8 B C Eine Kraft FE D @21A kN soll durch 3 Kräfte ins Gleichgewicht gebracht werden, die 0 1 0 1 0 1 10 1 3 2 B C B C B C in Richtung der Kräfte FE1 D @2A kN, FE2 D @1A kN und FE3 D @3A kN gehen. Um 0

5

4

welchen Faktor müssen die Kräfte vergrößert werden, damit Gleichgewicht herrscht?

Die Resultierende der drei Kräfte ergibt nicht die erforderliche Gegenkraft zu FE , deshalb müssen wir sie vergrößern. Wir stellen deshalb eine Gleichung auf für das Kräftegleichgewicht. 0 1 0 1 0 1 0 1 1 3 2 8 1 @2A C 2 @1A C 3 @3A D @21A 0 5 4 10 In Komponentenschreibweise erhalten wir das lineare Gleichungssystem 1 C 32 C 23 D 8 21 C 2 C 33 D 21 52 C 43 D 10 Das Gleichungssystem lösen wir in gewohnter Weise und erhalten 1 D 4;

2 D 2;

3 D 5

Die Kräfte müssen damit folgende Größe erhalten FE1

FE2

FE3

0 1 0 1 1 4 @ A @ D 4  2 D 8A kN; 0 0 0 1 0 1 3 6 D 2  @1A D @ 2 A kN; 5 10 0 1 0 1 2 10 D 5  @3A D @15A kN 4 20

23

426

Kapitel 23  Vektoroperationen (Vektoralgebra)

23.2

Produkte von Vektoren

Skalarprodukt

23

1 Winkelberechnung 23.2.1*

Die Punkte A.2I 5I 4/ und B.3I 7I 3/ bilden mit dem Ursprung ein räumliches Dreieck. ! ! Berechnen Sie den Winkel zwischen den Vektoren OA und OB.

0 1 0 1 2 3 @5 A  @ 7 A 4 3 6 C 35  12 p D 0;528 p D p cos  D p 4 C 25 C 16  9 C 49 C 9 45  67  D 58;12ı

Vektorprodukt 1 Flächenberechnung 23.2.2

0

1 0 1 2 1 B1C B3C E Gegeben seien die Vektoren aE D @ A und b D @ A, die ein räumliches Dreieck 5 7 aufspannen. (Vgl. auch Aufgabe 22.1.9!) Berechnen Sie den Flächeninhalt des räumlichen Dreiecks mit Hilfe des Vektorproduktes.

Die Aufgabe 22.1.9 lässt auch mit Hilfe des Vektorproduktes lösen ˇ0 1 0 1ˇ ˇ ˇ ˇ 2 ˇ 1  7  5  .3/ ˇ 1 ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ 1 1ˇ 1 ˇ a  bEˇ D ˇˇ@1A  @3Aˇˇ D ˇˇ 5  1  2  7 ˇˇ A D ˇE 2 2ˇ 5 2 ˇ2  .3/  .1/  1ˇ 7 ˇ ˇ 0 1ˇ ˇ 8 ˇ 1 p 1 ˇˇ@ Aˇˇ 1 p A D ˇ 9 ˇ D  82 C .9/2 C .5/2 D  170 2 ˇ 5 ˇ 2 2 A D 6;52 FE

427 23.2  Produkte von Vektoren

23.2.3*

Die Punkte A.1I 4I 2/, B.2I 7I 8/ und C.1I 2I 6/ sind die Ecken eines Dreiecks. Berechnen Sie mit Hilfe des Vektorproduktes den Flächeninhalt des Dreiecks.

! ! Die Vektoren AB und AC zu den Ecken des Dreiecks spannen ein Parallelogramm auf, dessen halbe Fläche die Fläche des Dreiecks darstellt. 0 1 0 1 0 1 0 1 21 1 1  1 2 ! @ ! AB D 7  4A D @3A AC D @ 2  4 A D @2A 82 6 62 4 Damit erhält man die Dreiecksfläche mit Hilfe des folgenden Vektorproduktes ˇ0 1 0 1ˇ ˇ0 1ˇ ˇ 1 ˇ 24 ˇ 2 ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ 1 1 1 ! ! A D jAB  AC j D ˇˇ@3A  @2Aˇˇ D ˇˇ@16Aˇˇ 2 2ˇ 6 2ˇ 4 ˇ 4 ˇ p 1p 2 1p AD 24 C .16/2 C 42 D 848 D 212 D 14;56 FE 2 2 1 Orthogonalvektor, Parallelogrammfläche, Abstandsberechnung 23.2.4*

Die Ortsvektoren von A.3I 6I 7/ und B.1I 5I 2/ spannen ein Parallelogramm auf. E a) Berechnen Sie den zu den Ortsvektoren aE und bE orthogonalen Vektor aE  b, b) Berechnen Sie die Fläche des Parallelogramms. c) Welche Höhe h (D Abstand der parallelen Seite zur Grundseite) hat das Parallelogramm?

a) Normalenvektor 0 1 0 1 0 1 3 1 23 nE D aE  bE D @6A  @5A D @ 1 A 7 2 9 b) Fläche des Parallelogramms AD

p p .23/2 C 1 C 92 D 611 D 24;72 FE

c) Länge der Grundseite jE aj DD

p p 9 C 36 C 49 D 94

p E 611 jE a  bj D 2;55 LE hD D p jE aj 94

23

428

Kapitel 23  Vektoroperationen (Vektoralgebra)

1 Anwendungen aus der Physik 23.2.5*

0

23

1 3m B C Ein Punkt mit dem Ortsvektor rE D @2 mA habe bei der Drehung die Winkelgeschwin0 1 1 5m 2s B1 s1 C digkeit !E D @ A. 2 s1 Berechnen Sie den Betrag der Umfangsgeschwindigkeit.

Die vektorielle Umfangsgeschwindigkeit berechnet sich nach der Gleichung vE D !E  rE Mit den vorgegebenen Werten erhalten wir 0

1 0 1 0 1 3 2 9 m vE D @2A  @1A D @ 4 A s 5 2 7 p p m v D 81 C 16 C 49 D 146 D 12;08 s

Spatprodukt 1 Spatvolumen 23.2.6

0

1 0 1 2 1 B1C E B3C Berechnen Sie das Volumen des Spates, das durch die Vektoren a E D , b D @ A @ A 0 1 5 5 7 B3C und cE D @ A aufgespannt wird. 2

Das Spat-Volumen lässt sich mit Hilfe des Spatproduktes berechnen. Es gilt ˇ

ˇ V D ˇ aE bE cE ˇ

429 23.2  Produkte von Vektoren



ˇ ˇa

ˇ x aE bE cE D ˇˇbx ˇ cx

ay by cy

ˇ ˇ ˇ az ˇ ˇ2 1 5ˇ 2 1 ˇ ˇ ˇ bz ˇˇ D ˇˇ1 3 7ˇˇ 1 3 cz ˇ ˇ5 3 2ˇ 5 3

D 12  35 C 15  .75 C 42  2/ D 3 V D 3 VE 1 Nachweis der Komplanarität 23.2.7

Prüfen Sie mit Hilfe des Spatproduktes nach, ob die Kräfte FE1 .2I 4I 1/ kN, FE2 .1I 7I 1/ kN und FE3 .3I 1I 3/ in einer Ebene liegen.

Spatprodukt:

ˇ ˇa

ˇ x aE bE cE D ˇˇbx ˇ cx

ay by cy

ˇ ˇ ˇ az ˇ ˇ2 4 1 ˇ 2 4 ˇ ˇ ˇ bz ˇˇ D ˇˇ1 7 1ˇˇ 1 7 cz ˇ ˇ3 1 3 ˇ 3 1

D 42  12 C 1  .21  2 C 12/ D 0 d. h. die Kräfte liegen in einer Ebene. 1 Abstand windschiefer Geraden 23.2.8

Berechnen Sie mit Hilfe des Spatproduktes den Abstand der windschiefen Geraden 0 1 0 1 0 1 0 1 1 4 1 2 B C B C B C B C gW xE1 D @2A C   @3A und h W xE2 D @5A C   @3A : 2 6 2 5

0 1 0 1 0 1 1 1 0 ! Verbindungsvektor: AB D .bE  aE / D @5A  @2A D @3A 2 2 0 Vektorprodukt der Richtungsvektoren: 0

1 0 1 3  5  6  .3/ 3 @ A @ A 6  2  4  5 8 D uE 1  uE 2 D 4  .3/  .3/  2 6 p A D jE u1  uE 2 j D 32 C .8/2 C .6/2 D 10;44 FE

23

430

Kapitel 23  Vektoroperationen (Vektoralgebra)

Spatprodukt: 0 1 0 1 0 3 .bE  aE/  .E u1  uE 2 / D @3A  @8A D 24 0 6

23

Spatvolumen (D Betrag des Spatproduktes): V D 24 VE Abstand der windschiefen Geraden: hD

j24j V D D 2;299  2;3 LE A j10;44j

431

Analytische Geometrie auf Vektorbasis Inhaltsverzeichnis 24.1

Geraden – 432

24.2

Ebenen – 437

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2020 H. Rapp, J.M. Rapp, Übungsbuch Mathematik für Fachschule Technik und Berufskolleg, https://doi.org/10.1007/978-3-658-31108-7_24

24

432

Kapitel 24  Analytische Geometrie auf Vektorbasis

In diesem Abschnitt werden behandelt: 4 Geraden (Vektorielle Geradengleichungen in Parameterform, Schnittpunkte und Schnittwinkel von Geraden, Abstandsberechnungen) 4 Ebenen (Vektorielle Ebenengleichungen in verschiedenen Formen, Schnittgeraden und Schnittwinkel von Ebenen und Ebenen mit Geraden, Abstandsberechnungen) > Lehrbuch Kapitel 23, 24 und 25

24

24.1

Geraden

24.1.1

a) Bestimmen Sie die Gleichung der Geraden durch die Punkte A .2I 3I 5/, B .2I 1I 6/. b) 0 Eine 1 Gerade0soll1durch Punkt P .1I 4I 3/ gehen und parallel zu der Geraden hW xE D 2 2 B1C B1C @ A C   @ A verlaufen. Bestimmen Sie die Geradengleichung. 1 3 c) Der Punkt D .2I x2 I x3 / soll auf der Geraden h nach Aufgabe b) liegen. Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes D. Prüfen Sie nach, ob der Punkt C .6I 1I 5/ auf der Geraden h liegt.

a) Wir setzen die Ortsvektoren der beiden Punkte in die Zweipunkte-Form der Geradengleichung xE D aE C   .bE  aE/ ein und erhalten: 0 1 0 1 0 1 0 1 2 22 2 0 g W xE D @3A C   @1  3A D @3A C   @2A 5 65 5 1 b) Bei parallelem Verlauf haben die Geraden den gleichen Richtungsvektor. Die Geradengleichung lautet somit: 0 1 0 1 1 2 @ A @ g1 W xE D 4 C   1A 3 3 c) Wir setzen in der Geradengleichung für den Vektor xE den Ortsvektor von D ein und erhalten: 0 1 0 1 0 1 2 2 2 2 D 2 C 2 !  D 2 @ x2 A D @1A C   @1A bzw. in Koordinaten x2 D 1   ! x2 D 3 x3 x3 D 1  3 ! x3 D 7 1 3 Damit muss der Punkt D folgende Koordinaten haben D.2I 3I 7/:

433 24.1  Geraden

Um zu überprüfen, ob der Punkt C.6I 1I 5/ auf der Geraden h liegt, setzen wir die Koordinaten in die Geradengleichung ein und erhalten 0

1 0 1 0 1 6 2 2 6 D 2 C 2 !  D 2 @1A D @1A C   @1A bzw. in Koordinaten 1 D 1   !  D 2 5 1 3 5 D 1  3 !  D 2 Das lineare Gleichungssystem hat die eindeutige Lösung  D 2. Damit liegt der Punkt C auf der Geraden h. 24.1.2

a) Prüfen Sie nach, ob die Punkte A .1I 3I 4/, B .2I 2I 6/ und C .5I 1I 12/ auf einer Geraden liegen. b) Geben Sie die Strecke PQ mit P .1I 4/ und Q .6I 8/ durch eine Vektorgleichung an.

a) Wir formulieren mit den Punkten A und B eine Geradengleichung 0 1 0 1 0 1 0 1 1 21 1 1 xE D @3A C   @2  3A D @3A C   @1A 4 64 4 2 Nun setzen wir die Koordinaten des Punktes C in die Geradengleichung ein. 0

1 0 1 0 1 5 1 1 5D1C! D4 @1A D @3A C   @1A bzw. in Koordinaten 1 D 3   !  D 4 12 4 2 12 D 4 C 2 !  D 4 d. h. die Punkte A, B und C liegen auf einer Geraden. b) Die Strecke PQ lässt sich beschreiben durch         1 61 1 5 xE D C D C ;  2 Œ0I 1 4 84 4 4 24.1.3

Berechnen Sie den Schnittpunkt und den Schnittwinkel der Geraden 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 2 B C B C B C B C g1 W xE1 D @4A C   @2A und g2 W xE2 D @3A C   @7A 1 4 2 1

Schnittpunkt S: Bei der Schnittpunktberechnung müssen wir einen Punkt suchen, der auf beiden Geraden liegt. Diesen Punkt S bestimmen wir mit dem Ortsvektor

24

434

Kapitel 24  Analytische Geometrie auf Vektorbasis

xEs D xE1 D xE2 . Wenn diese Vektoren gleich sein sollen, müssen auch ihre Komponenten gleich sein. Wir setzen deshalb die Komponenten gleich und erhalten dabei ein lineares Gleichungssystem, das lösbar sein muss. ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ   2 D 2ˇ .1/ ˇ   2 D 2ˇ .1/ 1 C  D 1 C 2 ˇ ˇ ˇ ˇ 3 D 3ˇˇ .4/ 4 C 2 D 3 C 7 ! ˇˇ 2  7 D 7ˇˇ .2/ ! ˇˇ ˇ 4   D 1ˇ .3/ ˇ 4   D 1ˇ .3/ 1 C 4 D 2 C 

24

Subtrahiert man das 2-fache von Gleichung (1) von Gleichung (2), so erhält man Gleichung (4), aus der wir  D 1 erhalten. Setzen wir dieses Ergebnis in Gleichung (1) ein, so ergibt sich  D 0. Diese beiden Werte müssen aber auch noch die noch nicht berücksichtigte Gleichung (3) erfüllen: 4  0  .1/ D 1 oder 1 D 1. Gleichung (3) ist also erfüllt. Der Ortsvektor von S kann mit jeder der beiden Geradengleichungen berechnet werden. Wir erhalten als Schnittpunkt S.1I 4I 1/ Schnittwinkel ': Den Schnittwinkel erhalten wir als Winkel zwischen den beiden Richtungsvektoren. 0 1 0 1 1 2 @2A  @7A 4 1 2 C 14 C 4 p D 0;5939 p D p cos ' D p 1 C 4 C 16  4 C 49 C 1 21  54 ' D 53;57ı Anmerkung

Beim Schnitt zweier Geraden ergeben sich jeweils zwei Winkel, die sich zu 180ı ergänzen. Als Schnittwinkel wird aber üblicherweise immer der kleinere Winkel unter 90ı angegeben.

Gegenseitige Lage von Geraden 1 Parallele Geraden 24.1.4

Untersuchen Sie die gegenseitige Lage der der folgenden Geraden 0 1 0 1 2 1 B C B C gW x1 D @ 1 A C   @ 3 A 0 2

0

und

0 1 0 1 3 2 B C B C hW x2 D @0A C   @6A 1 4

1 0 1 0 1 1 2 1 @ A @ A @ 3 6 Die Richtungsvektoren uE D und vE D D 2  3 A sind linear abhängig. 2 4 2 Damit handelt es sich um parallele Geraden.

435 24.1  Geraden

Es ist jedoch noch zu prüfen, ob die Gleichungen nicht die gleiche Gerade beschreiben. Zur Überprüfung der Gleichheit setzen wir die Koordinaten des Stützpunktes der einen Geraden in die die Gleichung der zweiten Geraden ein. Wir erhalten für A.2I 1I 0/: 0

1 0 1 0 1 2 3 2 @ 1 A D @0A C   @6A 0 1 4

)

2 D 5 6 D 1 4 D 1

Das heißt, A liegt nicht auf der Geraden h. Die Geraden sind verschieden. 1 Abstand paralleler Geraden

Wir berechnen die Fläche des Parallelogramms mit Hilfe des Vektorproduktes und dividieren durch die Grundseite und erhalten so den Abstand der parallelen Geraden. Vektorprodukt: 0

1 0 1 0 1 5 1 5 .bE  aE/  uE D @1A  @ 3 A D @11A 1 2 14 Parallelogrammfläche: AD

p p .5/2 C .11/2 C 142 D 342

Abstand der parallelen Geraden: p p 342 342 .bE  aE /  uE D 4;943 LE D p dD Dp jE uj 14 .1/2 C 32 C 22 1 Windschiefe Geraden 24.1.5

Untersuchen Sie die gegenseitige Lage der folgenden Geraden 0

1 0 1 1 4 B C B C gW x1 D @2A C   @3A 3 7

und

0 1 0 1 1 3 B C B C hW x2 D @ 3 A C   @1A 4 5

24

436

Kapitel 24  Analytische Geometrie auf Vektorbasis

Da die Richtungsvektoren linear unabhängig sind, handelt es sich um zwei verschiedene Geraden, die nicht parallel verlaufen. Es ist deshalb nur noch nachzuprüfen, ob sie sich schneiden oder ob sie windschief sind. Wenn sich die Geraden schneiden, so muss im Schnittpunkt gelten xE1 D xE2 . 0 1 0 1 0 1 0 1 1 4 1 3 @2A C   @3A D @ 3 A C   @1A 3 7 4 5

24

Das daraus resultierende lineare Gleichungssystem 4  3 D 2 .1/ 3   D 5 .2/ 7  5 D 1 .3/ hat keine Lösung. Die aus Gleichung (1) und (2) berechneten Werte für  und  führen mit der Gleichung (3) zu einem Widerspruch. Damit schneiden sich die Geraden nicht, sie sind windschief. 1 Abstand windschiefer Geraden

Wir berechnen den minimalen Abstand, indem wir das Volumen eines Spates berechnen und durch die Grundfläche des Spates dividieren. Die Höhe des Spates entspricht dem Abstand der windschiefen Geraden.

Berechnung der Grundfläche als Parallelogrammfläche mit Hilfe des Vektorproduktes 0 1 0 1 0 1 4 3 8 @ A @ A @ 3 1 1A uE  vE D  D 7 5 5 q p A D jE u  vEj D 82 C 1 C .5/2 D 90 Das Volumen des Spates berechnen wir mit folgender Beziehung ˇ ˇ V D ˇ.bE  aE/.E u  vE/ˇ ˇ0 1 0 1ˇ ˇ 2 8 ˇ ˇ ˇ ˇ @ A @ V D ˇ 5  1 Aˇˇ D j16j D 16 ˇ 1 5 ˇ Damit erhalten wir als Abstand der Geraden: dD

16 V D p D 1;686 LE A 90

437 24.2  Ebenen

24.2

Ebenen

24.2.1

0 1 0 1 2 1 B C B C Gegeben sei die Gerade gW xE D @0A C   @1A 1 2 a) In welchem Punkt schneidet die Gerade g die Ebene E W 2x1 C x2 C 7x3 C 2 D 0‹ b) Berechnen Sie die Spurgeraden der Ebene E. c) In welchen Punkten durchstoßen die Koordinatenachsen die Ebene E?

a) Wir setzen die Komponenten aus der Geradengleichung in die Ebenengleichung ein und erhalten: 2.2 C /   C 7.1  2/ C 2 D 0 4 C 2   C 7  14 C 2 D 0 ,  D 1 0 1 0 1 0 1 2 1 3 @ A @ A @  D 1 eingesetzt in die Geradengleichung ergibt xE D 0 C 1  1 D 1A 1 2 1 Der Schnittpunkt hat damit die Koordinaten S .3I 1I 1/. b) Die Spurgeraden in den Koordinatenebenen erhalten wir, indem wir jeweils die dritte Komponente Null setzen. Wir erhalten somit die Spurgerade in der x1 x2 -Ebene (x3 D 0): g 0 W 2x1 C x2 C 2 D 0 in der x1 x3 -Ebene (x2 D 0): g 00 W 2x1 C 7x3 C 2 D 0 in der x2 x3 -Ebene (x1 D 0): g 000 W x2 C 7x3 C 2 D 0 c) Die Durchstoßpunkte können aus den Spurgeraden berechnet werden, indem man in der Spurgerade die entsprechende Koordinate Null setzt. Aus g 0 W 2x1 C x2 C 2 D 0 erhält man den Spurpunkt S1 durch Nullsetzen von x2 . Die Durchstoßpunkte der Koordinatenachsen sind somit   2 S1 .1I 0I 0/; S2 .0I 2I 0/; S3 0I 0I  7 Die Durchstoßpunkte der Koordinatenachsen werden auch Achsenschnittpunkte genannt. Sie können direkt aus der Achsenabschnittsgleichung der Ebenengleichung erhalten werden. Wir formen deshalb die Ebenengleichung in die Achsenabschnittsgleichung um, indem wir die ursprüngliche Ebenengleichung durch 2 dividieren, damit wir auf der rechten Seite die Zahl 1 erhalten. x1 x2 x3 EW C C 2 D1 1 2 7

24

438

Kapitel 24  Analytische Geometrie auf Vektorbasis

Die Achsenschnittpunkte sind somit S1 .1I 0I 0/;

S2 .0I 2I 0/;

S3

  2 0I 0I  7

24.2.2

24

Gegeben sind die Punkte A .3I 1I 1/, B .2I 0I 1/ und C .1I 2I 0/. a) Berechnen Sie die Gleichung der Ebene E1 durch A, B und C in Parameterform und in Koordinatenform. b) Welchen Abstand hat der Punkt D .3I 7I 2/ von der Ebene E1 ? c) Berechnen der Ebene E2 W 7x1  x2 C 5x3 D 24 mit der Geraden 0 Sie 1 den Schnittwinkel 0 1 3 1 B C B C g W xE D @0A C   @1A. 1 2

a) Ebenengleichung (in Parameterform) 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 3 23 13 3 1 2 @ A @ A @ A @ A @ A @ E1 W xE D 1 C   0  1 C   2  1 D 1 C  1 C  1 A 1 11 01 1 0 1 Ebenengleichung (in Koordinatenform) Wir schreiben von der vektoriellen Ebenengleichung die Komponenten auf, die ein lineares Gleichungssystem (LSG) bilden. Bei diesem eliminieren wir durch geeignete Addition bzw. Subtraktion die Parameter, so dass eine parameterfreie Ebenengleichung entsteht, die wir als Koordinatenform bezeichnen. x1 D 3    2 x2 D 1   C  x3 D 1  

.1/ .2/ j  2 .3/

Addiert man zu Gleichung (2) die Gleichung (3), so erhält man die Gleichung (4). Addiert man das 2-fache der Gleichung (2) zu Gleichung (1), so erhält man die Gleichung (5). x2 C x3 D 2   x1 C 2x2 D 5  3 )

.4/ j  .3/ .5/

3x2  3x3 D 6 C 3 x1 C 2x2 D 5  3

.40 / .5/

Durch die Addition der Gleichung (40 ) zu Gleichung (5) erhält man die parameterfreie Ebenengleichung: E1 W x1  x2  3x3 D 1

439 24.2  Ebenen

b) Abstand d des Punktes D .3I 7I 2/ von E1 Wir formen die Ebenengleichung in die H ESSE-Form um, indem wir die Normalengleichung durch den Betrag des Normalenvektors dividieren. H ESSE-Form der Ebenengleichung: 1 E1 W p .x1  x2  3x3 C 1/ D 0 11 Setzen wir die Koordinaten des Punktes D .3I 7I 2/ in die H ESSE-Gleichung ein, so ist der erhaltene Zahlenwert der gesuchte Abstand d . Einsetzen der Koordinaten von D in die H ESSE-Gleichung: ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ 9 ˇ ˇ 1 ˇ ˇ ˇ d D ˇ p .3  7  6 C 1/ˇ D ˇ p ˇˇ D 2;71 LE 11 11 c) Schnittwinkel .g \ E2 / Mit der Kosinusfunktion ergibt sich der Ergänzungswinkel des Schnittwinkels zu 90ı . Wir wählen deshalb die Sinusfunktion, um den Schnittwinkel direkt zu berechnen. nE  uE sin ˛ D ˇ ˇ ˇ ˇ ˇnEˇ  ˇuE ˇ 0

1 0 1 1 1 @1A  @1A 3 2 p sin ˛ D p 1C1C9 1C1C4 1C16 4 sin ˛ D p p D p D 0;49237 11  6 66 ˛ D 29;496ı  330;5ı Als Schnittwinkel wird üblicherweise der spitze Winkel angegeben. Damit erhalten wir als Schnittwinkel ˛ D 29;5ı

Umrechnung von Ebenengleichungen 24.2.3

Von einer Ebene sind die Punkte A.2I 5I 7/, B.1I 3I 4/ und C.1I 4I 6/ gegeben. a) Bestimmen Sie die Gleichung der Ebene in Parameterform. b) Berechnen Sie die Koordinatengleichung dieser Ebene und geben Sie mit Hilfe der Achsenabschnittsgleichung die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen an.

24

440

Kapitel 24  Analytische Geometrie auf Vektorbasis

a) Die Ebene wird aufgespannt durch die Vektoren 0 1 0 1 0 1 0 1 12 1 1  2 3 ! @   ! A @ A @ A @ AB D 3  5 D 2 und AC D 4  5 D 1A 47 3 67 1

24

Damit lautet die Ebenengleichung in Parameterform 0 1 0 1 0 1 2 1 3 @ A @ A @ EW xE D 5 C   2 C   1A 7 3 1 b) Um die Koordinatengleichung zu erhalten, gibt es verschiedene Wege. Wir berechnen aus den beiden „Spannvektoren“ mit Hilfe des Vektorproduktes den Normalenvektor 0 1 0 1 0 1 1 3 1 ! ! @ A @ A @ A 8 nE D AB  AC D 2  1 D 3 1 5 Die Punkt-Normalengleichung lautet nE  .xE  aE/ D 0. Wir benötigen also noch einen Punkt, durch den die Ebene durchgehen soll. Dazu verwenden wir den Punkt A. Damit lautet die Ebenengleichung in der PunktNormalengleichung 0 1 00 1 0 11 1 x 2 @ 8 A  @@y A  @5AA D 0 5 z 7 EW x C 8y  5z  3 D 0 (Koordinatengleichung) 2. Lösung Wir formulieren mit Hilfe des Normalenvektors die Koordinatengleichung x C 8y  5z  c D 0 und erhalten mit Hilfe der Punktprobe mit A.2I 5I 7/: c D 3 Daraus ergibt sich die Koordinatengleichung x C 8y  5z  3 D 0: Die Schnittpunkte der Ebene mit den Koordinatenachsen lesen wir aus der Achsenabschnittsgleichung der Ebene ab. Diese Ebenengleichung erhalten wir durch eine einfache Umformung der Koordinatenform Die Koordinatengleichung x C 8y  5z D 3 wird durch folgende Umformung in die Achsenabschnittsgleichung gebracht. (Umformung: Wir dividieren die ganze Gleichung durch 3, um auf der rechten Seite der Gleichchung eine 1 zu erhalten. Das Minuszeichen der Summanden kommt in den Nenner.) Achsenabschnittsgleichung x z y C 3 C 3 D1 3 5 8 Die Achsenschnittpunkte sind damit Ax .3I 0I 0/, Ay .0I 0;375I 0/ und Az .0I 0I 0;6/

441 24.2  Ebenen

Schnittgeraden von Ebenen 1 Ebenengleichungen in Parameterform 24.2.4

Berechnen Sie die Schnittgerade der Ebenen 0 1 0 1 0 1 2 1 4 B C B C B C E1 W xE1 D @1A C r @3A C s @ 2 A 4 1 4

und

0 1 0 1 0 1 4 2 4 B C B C B C E2 W xE2 D @2A C  @ 1 A C  @2A : 5 1 1

Aus der Schnittbedingung xE1 D xE2 erhält man das lineare Gleichungssystem 2 C r  4s D 4  2 C 4 1  3r C 2s D 2 C   2 4  r C 4s D 5    

)

r  4s C 2  4 D 2 .1/ 3r C 2s   C 2 D 1 .2/ r C 4s C  C  D 1 .3/

Aus der Addition von Gleichung (1) und (3) erhalten wir 3  3 D 3 oder  D   1. Diesen Parameter setzen wir in die Ebenengleichung von E2 ein und erhalten mit 0 1 0 1 0 1 0 1 4 2 4 4 2 C4  4 xE D @2A C  @ 1 A C .  1/ @2A D @2 C 2 C 2A 5 1 1 5   C 1 die Gleichung der Schnittgeraden: 0 1 0 1 0 2 xE D @4A C  @1A 6 2 1 Ebenengleichungen in Koordinatenform 24.2.5

Berechnen Sie die Schnittgerade der Ebenen E1 W x1 C 6x2  4x3 D 7 und

E2 W x1 C 3x2 C x3 D 5:

Die Lösung des linearen Gleichungssystems führt zu folgenden Ergebnissen: x1 C 6x2  4x3 D 7 .1/ x1 C 3x2 C x3 D 5 .2/ .1/  2  .2/W

3x1  6x3 D 3 oder x1 D 1 C 2x3

Mit Einführung des Parameters x3 D t erhalten wir x1 D 1 C 2t .

24

442

Kapitel 24  Analytische Geometrie auf Vektorbasis

Aus Gleichung (2) erhalten wir x2 D 2  t . Damit ergibt sich als Gleichung der Schnittgeraden 0

1 0 1 1 2 xE D @ 2 A C t @1A 0 1

24

1 Ebenengleichungen in Koordinatenform und Parameterform 24.2.6

Berechnen Sie die Schnittgerade der Ebenen

E1 W 2x1 C 3x2 C 2x3 D 6 und

0 1 0 1 0 1 1 1 2 B C B C B C E2 W xE2 D @2A C r @ 4 A C s @ 2 A : 1 3 4

Wir setzen die Komponenten der Ebene aus der Parameterform in die Koordinatenform ein: 2  Œ1  r C 2s C 3  Œ2 C 4r C 2s C 2  Œ1  3r  4s D 6 Daraus ergibt sich 4r C 2s D 4 oder s D 2  2r Diesen Parameter setzen wir in die Ebenengleichung von E2 ein und erhalten mit 0 1 0 1 0 1 0 1 1 2 1 r xE D @2A C r @ 4 A C .2  2r/ @ 2 A D @2 C4r 1 3 4 1 3r die Gleichung der Schnittgeraden 0

1 0 1 3 5 xE D @2A C r @ 0 A 9 5

1 4  4r 4  4r A C8 C 8r

443

Anwendungen der Vektorrechnung

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2020 H. Rapp, J.M. Rapp, Übungsbuch Mathematik für Fachschule Technik und Berufskolleg, https://doi.org/10.1007/978-3-658-31108-7_25

25

444

Kapitel 25  Anwendungen der Vektorrechnung

25.1

Ein Flugzeug, das in konstanter Höhe h mit der Geschwindigkeit v fliegt, wird von der Radarstation erfasst. Die Projektion der Flugbahn auf die xy-Ebene lässt sich durch die Geradengleichung y D ax C b beschreiben. Bestimmen Sie den Ortsvektor zum Flugzeug.

25

Der Ortsvektor zum Flugzeug ist 0 1 0 1 x x rE D @y A D @ax C b A z h 25.2

Ein Flugzeug hat beim Landeanflug auf dem Radarbildschirm die Position A .3000 mI 2000 mI 500 m/. Nach 26 Sekunden ist die Position B .1600 mI 1500 mI 250 m/ erreicht. a) Welche Geschwindigkeit hat das Flugzeug? b) An welchem Punkt C setzt das Flugzeug bei geradlinigem Landeanflug auf die Landebahn auf?

a) Richtungsvektor des Flugzeugs 0 1 0 1 3000  1600 1400 uE D @2000  1500A D @ 500 A 500  250 250 Zurückgelegte Wegstrecke D Betrag der Differenz der Ortsvektoren ˇ ˇ p s D ˇuE ˇ D 14002 C 5002 C 2502 D 1507;48 m

445 Kapitel 25  Anwendungen der Vektorrechnung

Diese Strecke wird in 26 s zurückgelegt, damit ist die Geschwindigkeit vD

m km 1507;48 m D 57;98 D 208;73 26 s s h

b) Gleichung der Fluglinie 0 1 0 1 3000 1400 xE D @2000A C  @ 500 A 500 250 Bei der Landung wird die Höhenkomponente z D 0. Damit gilt: )

0 D 500 C 250  D 2

Wir erhalten als Landekoordinaten x D 3000  2  1400 D 200 und y D 2000  2  500 D 1000 Landestelle C .200 mI 1000 m/ 25.3

Ein Flugzeug, das zum Landeanflug angesetzt hat, hat die Position (4556; 3000; 330) (Angabe in m). Gleichzeitig wird die Position eines Hubschraubers mit (2400; 3424; 200) festgestellt. Nach 10 s ist das Flugzeug auf der Position (3876; 2800; 280) Der Hubschrauber erreicht nach 20 s die Position (2225; 3108; 180) a) Welchen Weg haben das Flugzeug und der Hubschrauber zurückgelegt und welche Geschwindigkeiten haben sie? b) Prüfen Sie nach, ob sich das Flugzeug und der Hubschrauber auf Kollisionskurs befinden.

25

446

Kapitel 25  Anwendungen der Vektorrechnung

a) Differenz der Ortsvektoren 0

1 0 1 4556  3876 680 für das Flugzeug uE D @3000  2800A D @200A 330  280 50 p 6802 C 2002 C 502 D 710;56 m 710;56 m m km Geschwindigkeit v D D 71;056 D 255;80 10 s s h

Weg s D jE uj D

25

0

1 0 1 2400  2225 175 für den Hubschrauber uE D @3424  3108A D @316A 200  180 20 p m km 1752 C 3162 C 202 D 361;77 m ) v D 18;09 D 65;12 s h b) Gleichungen der Fluglinien Weg s D jE uj D

0

1 0 1 4556 680 Flugzeug: xE1 D @3000A C  @200A I 330 50

0

1 0 1 2400 175 @ A @ Hubschrauber: xE2 D 3424 C  316A 200 20

Beim Kollisionskurs müssen sich die Flugbahnen schneiden, d. h. es muss sein: xE1 D xE2 1 0 1 0 1 0 1 4556 680 2400 175 @3000A C  @200A D @3424A C  @316A 330 50 200 20 0

In Komponentenschreibweise: 4556 C 680 D 2400 C 175 .1/ 3000 C 200 D 3424 C 316 .2/ 330 C 50 D 200 C 20 .3/ Aus Gleichung (3) ergibt sich 50 D 20  130 ,  D

13 2  5 5

.4/

eingesetzt in Gleichung (1): 97 D 388 ,  D 4, mit Gleichung (4):  D 4;2 Die Fluglinien treffen sich bei geradlinigem Kurs im Punkt (1700; 2160; 120). Anmerkung Obowohl sich Flugzeug und Hubschrauber auf Kollisionskurs befinden, kommt es nicht zum Zusammenstoß, da die Geschwindigkeiten verschieden sind.

447 Kapitel 25  Anwendungen der Vektorrechnung

25.4

Gegeben seien die Punkte A .3I 0I 6/, B .2I 2I 1/, C .2I 3I 2/ und D .1I 4I 4/. a) Berechnen Sie die Gleichung der Ebene E1 durch B, C und D in Parameterform und in Koordinatenform. b) In welchem Punkt E trifft 1 Laserstrahl die Ebene E1 , wenn er vom Punkt A mit dem 0 ein 4 B C Richtungsvektor uE D @ 2 A ausgesandt wird? 4 c) Welche Entfernung hat der Punkt E vom Ausgangspunkt A? d) Berechnen Sie die Vektoren der Kanten und deren Länge des durch A, B, C und D gebildeten Tetraeders (D Pyramide)

a) Ebenengleichung in Parameterform 0

1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 2 2C2 1C2 2 4 3 @ A @ A @ A @ A @ A @ E1 W xE D 2 C  3 C 2 C  4 C 2 D 2 C  5 C  6A 1 21 41 1 1 3 Umrechnung in die Koordinatenform mit den Komponentengleichungen: x D 2 C 4 C 3 y D 2 C 5 C 6 z D 1 C  C 3

.1/  .3/ W x  z D 3 C 3 .1/ .2/ ) 2  .1/  .2/ W 2x  y D 2 C 3 .3/

j .4/ j .5/

(5)–(4): E1 W x  y C z D 1 b) Auftreffpunkt des Laserstrahls: Dazu setzen wir die Komponenten der Geradengleichung des Laserstrahls: 0

1 0 1 3 4 xE D @ 0 A C @ 2 A 6 4 in die Ebenengleichung ein: 3 C 4  2 C 6  4 D 1 Wir erhalten als Auftreffpunkt E .1I 2I 2/ c) Entfernung des Punktes E von A: 0

1 0 1 1C3 4 dE D @ 2  0 A D @ 2 A 26 4

)

dD

p 16 C 4 C 16 D 6 LE

,

D1

25

448

Kapitel 25  Anwendungen der Vektorrechnung

d) Kantenlängen des Tetraeders:

25

0 1 0 1 0 1 0 1 2C2 4 1C2 3 ! @   ! BC D 3 C 2A D @5A I BD D @4 C 2A D @6A I 21 1 41 3 0 1 0 1 0 1 0 1 5 3 C 2 1 2C3 ! @ ! BA D 0 C 2 A D @ 2 A I AC D @ 3  0 A D @ 3 A I 4 61 5 26 0 1 0 1 12 1 ! CD D @4  3A D @ 1 A 42 2 Kantenlängen: p p 16 C 25 C 1 D 42 D 6;48 LEI p p BD D 9 C 36 C 9 D 54 D 7;35 LE p p BA D 1 C 4 C 25 D 30 D 5;48 LEI p p AC D 25 C 9 C 16 D 50 D 7;07 LE p p CD D 1 C 1 C 4 D 6 D 2;45 LE

BC D

25.5

Die Eckpunkte einer Pyramide mit der Spitze A haben folgende Koordinaten: A .3I 0I 6/; B .2I 2I 1/; C .2I 3I 2/ und D .1I 4I 4/: a) Berechnen Sie die Grundfläche BCD der Pyramide. ! ! ! b) Berechnen Sie das Spatvolumen, des von den Vektoren BC , BD und BA aufgespannten Spats. Welchen senkrechten Abstand von der Grundfläche BCD hat der Punkt A? c) Berechnen Sie das Volumen der Pyramide auf zwei verschiedene Arten. d) Berechnen Sie die Gleichung der auf der Fläche ABC senkrechten Ebene E2 , die durch die Punkte A und B geht.

a) Fläche des Dreiecks BCD ˇ0 1 0 1ˇ ˇ0 1ˇ ˇ 4 ˇ 9 ˇ 3 ˇ 1 ˇˇ! !ˇˇ 1 ˇˇ@ A @ Aˇˇ 1 ˇˇ@ Aˇˇ 5 6 A D ˇBC  BD ˇ D ˇ  ˇ D 2 ˇ 9 ˇ 2 2ˇ 1 ˇ 9 ˇ 3 ˇ 9 p 1 p D  81 C 81 C 81 D  3 D 7;794 FE 2 2

449 Kapitel 25  Anwendungen der Vektorrechnung

b) Spatvolumen    4 5 1    V D  3 6 3 1 2 5 Determinantenberechnung nach der Regel von Sarrus: ˇ ˇ ˇ 4 5 1ˇ 4 5 ˇ ˇ ˇ 3 6 3ˇ 3 6 D 120  15 C 6  .6 C 24 C 75/ D 18 ˇ ˇ ˇ1 2 5ˇ 1 2 V D j18j D 18 VE Höhe des Spats hD

VSpat 18 p D 1;155 LE D AParallelogramm 9 3

c) Volumen der Pyramide 1. Methode (elementargeometrische Berechnung): V D

p 18 1 1 1 p D 3 VE Ah D  9 3 3 3 2 9 3

2. Methode (Berechnung mit Hilfe des Spatprodukts, vgl. Aufg. b): 1 1 V D  VSpat D 6 6

   4 5 1   1    3 6 3 D 6  j18j D 3 VE 1 2 5

d) Orthogonale Ebene E W nE  .xE  aE/ D 0 mit dem Normalenvektor der Fläche ABC 0 1 0 1 0 1 1 5 23 nE D @2A  @ 3 A D @21A 5 4 13 0 1 0 0 11 23 1 E2 W @21A  @xE  @2AA D 0 13 5 E2 W E2 W

23x  21y C 13z  .23 C 42  65/ D 0 23x  21y C 13z D 0

25

450

Kapitel 25  Anwendungen der Vektorrechnung

25.6

Von einem im Landeanflug befindlichen Flugzeug wird die Position P1 .20I 18I 7/ (Angabe in km) festgestellt. Nach einiger Zeit ist die Position P2 .18I 15I 6/. Das Flugzeug befindet sich auf einer geradlinigen Flugbahn. Wie nahe kommt das Flugzeug einem in der Nähe der Einflugschneise befindlichen Krankenhaus mit der Position K .4I 10I 0/?

25

Die Flugbahn hat die Geradengleichung 0 1 0 1 0 1 0 1 20 18  20 20 2 xE D @18A C  @15  18A D @18A C  @3A 7 67 7 1

Flu P2

gba

hn

x

P1

O d K

xK

! Der Distanzvektor ist dE D xE  OK 20 1 0 13 0 1 0 1 0 1 20 2 4 16 2 dE D 4@18A C  @3A5  @10A D @ 8 A C  @3A 7 1 0 7 1 Der kürzeste Abstand ergibt sich, wenn der Distanzvektor gerade senkrecht steht auf dem Richtungsvektor der Flugbahn. Für die senkrechten Vektoren ist somit das Skalarprodukt Null. Es gilt also die Orthogonalitätsbedingung: 20 1 0 13 0 1 16 2 2 4@ 8 A C  @3A5  @3A D 0 7 1 1 32  24  7 C .4 C 9 C 1/ D 0 9 63 D D 14 2 Damit ist der Distanzvektor 0 1 0 1 0 1 16 2 7 9 dE D @ 8 A C @3A D @5;5A 2 1 7 2;5 Der kürzeste Abstand ist der Betrag des Distanzvektors dE: p d D 85;5 D 9;25 km

451

Komplexe Rechnung Inhaltsverzeichnis Kapitel 26

Komplexe Arithmetik – 453

Kapitel 27

Anwendungen der komplexen Rechnung – 469

VI

453

Komplexe Arithmetik Inhaltsverzeichnis 26.1

Darstellungsformen komplexer Zahlen – 454

26.2

Potenzieren – 459

26.3

Radizieren – 461

26.4

Punktmengen und Gebiete – 466

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2020 H. Rapp, J.M. Rapp, Übungsbuch Mathematik für Fachschule Technik und Berufskolleg, https://doi.org/10.1007/978-3-658-31108-7_26

26

454

Kapitel 26  Komplexe Arithmetik

> Lehrbuch Kapitel 26, 27 und 28 26.1

Darstellungsformen komplexer Zahlen

Für komplexe Zahlen z gibt es folgende Darstellungsformen: (Zur Unterscheidung werden diese in der Elektrotechnik unterstrichen (z), in der Mathematik wird oft auf die Unterstreichung verzichtet.)

Kartesische Form:

z D a C j  b oder z D x C j  y

Polarformen:

26

ExponentialformW

z D r  e j'

z D r  .cos ' C j  sin '/ p mit dem Betrag von z (Radius) r D jzj D a2 C b 2

Trigonometrische FormW

und dem Argument von z (Winkel)

' D arctan

b a

26.1.1

Berechnen Sie mit den komplexen Zahlen z1 D 4  j  5 und z2 D 5  j  2 die komplexen Zahlen a) z D z 1  z 2 b) z D z 1 C z 2  z 1 z1 c) z D 2  z2

a) z D z 1  z 2 D 4  j  5 C 5 C j  2 D .4 C 5/ C j  .5 C 2/ D 9  j  3 b)

z D z 1 C z 2  z 1 D .4  j  5/ C .5  j  2/  .4  j  5/ D .4  j  5/  .„ƒ‚… 1  5 j  2/ 4

z D 16 C j  20  j  8  10 D 26 C j  12 c)

z1 4j5 .4  j  5/.5 C j  2/ D D 2  z2 2  .5  j  2/ 2  .5  j  2/.5 C j  2/ 20 C j  25 C j  8 C 10 D 2  .25 C 4/ 10 C j  33 5 33 zD D Cj D 0;1724 C j  0;569 58 29 58 zD

455 26.1  Darstellungsformen komplexer Zahlen

26.1.2

Berechnen Sie von folgenden komplexen Zahlen den Betrag und geben Sie das Argument (D Richtungswinkel ' des Zeigers) im Gradmaß und Bogenmaß an. a) z D j  2 b) z D 2  .cos 30ı  j  sin 30ı /

p  0 C .2/2 D 2; ' D  oder ' D 270ı 2 ! p p 3 ı ı z D 2  .cos 30  j  sin 30 / D 2   j  0;5 D 3  j (4. Quadrant) 2 qp p 1 r D jzj D . 3/2 C 1 D 3 C 1 D 2I Richtungswinkel: tan ' D p 3 1 mit Gradmaß: ' D arctan p D 30ı C 360ı D 330ı 3 1 im Bogenmaß: ' D arctan p D 0;5236 C 2 D 5;7596 3

a) r D jzj D b)

26.1.3

Berechnen Sie den Betrag folgender komplexer Zahlen und geben Sie das Argument (D Richtungswinkel des Zeigers) im Gradmaß und Bogenmaß an. a) z D 4 C j  3 b) z D 3 C j  2 c) z D 5  j  3 d) z D 5  j  4

a) z D 4 C j  3 (1. Quadrant) r D jzj D

p p 42 C 32 D 25 D 5

Richtungswinkel: tan ' D 34 D 0;75 Im Gradmaß: ' D arctan 0;75 D 36;87ı Im Bogenmaß: ' D arctan 0;75 D 0;6435

26

456

Kapitel 26  Komplexe Arithmetik

b) z D 3 C j  2 (2. Quadrant) r D jzj D

p

.3/2 C 22 D

p 13

2 D  23 3 ' D arctan  23 D 33;69ı C 180ı D 146;31ı   ' D arctan  23 D 0;588 C  D 2;5536

Richtungswinkel: tan ' D Im Gradmaß: Im Bogenmaß:

26

c) z D 5  j  3 (3. Quadrant) r D jzj D

p

.5/2 C .3/2 D

p

34

Richtungswinkel: tan ' D 3 5 D 0;6 Im Gradmaß: ' D arctan.0;6/ D 30;96ı C 180ı D 210;96ı Im Bogenmaß: ' D arctan.0;6/ D 0;5404 C  D 3;6820

d) z D 5  j  4 (4. Quadrant) r D jzj D

p

52 C .4/2 D

p 41

D 0;8 Richtungswinkel: tan ' D 4 5 Im Gradmaß: ' D arctan.0;8/ D 38;66ı C 360ı D 321;34ı Im Bogenmaß: ' D arctan.0;8/ D 0;6747 C 2 D 5;6084

457 26.1  Darstellungsformen komplexer Zahlen

Für die 4 Quadranten sind somit folgende Berechnungsformeln zu berücksichtigen:

1. Quadrant:

' D arctan

2. und 3. Quadrant:

' D arctan

4. Quadrant:

' D arctan

y  x y x y x

C C 2

26.1.4

Geben Sie für folgende komplexen Zahlen die Exponentialform und die trigonometrische Form an. a) z D 2 C j  3 b) z D 3  j  2

a) Für diese beiden Darstellungsformen benötigen wir jeweils den Betrag r D jzj (D Länge des Zeigers) und das Argument (Winkel '). r D jzj D

p p .2/2 C 32 D 13

3 D 1;5 2 Im Gradmaß: ' D arctan.1;5/ D 56;31ı C 180ı D 123;69ı Im Bogenmaß: ' D arctan.1;5/ D 0;9828 C  D 2;1588 Wir erhalten mit dem Gradmaß: p p ı z D 2 C j  3 D 13  e j123;69 D 13  .cos 123;69ı C j  sin 123;69ı / Richtungswinkel: tan ' D

mit dem Bogenmaß z D 2 C j  3 D

p

13  e j2;1588 D

p 13  .cos 2;1588 C j  sin 2;1588/

26

458

Kapitel 26  Komplexe Arithmetik

p

p .3/2 C .2/2 D 13 2 2 D Richtungswinkel: tan ' D 3 3   2 D 33;69ı C 180ı D 213;69ı Im Gradmaß: ' D arctan 3   2 Im Bogenmaß: ' D arctan D 0;588 C  D 3;7296 3 Wir erhalten mit dem Gradmaß: p p ı z D 3  j  2 D 13  e j213;69 D 13  .cos 213;69ı C j  sin 213;69ı /

b) r D jzj D

mit dem Bogenmaß

26

z D 3  j  2 D

p

13  e j3;7296 D

p 13  .cos 3;7296 C j  sin 3;7296/

26.1.5

Bilden Sie aus folgenden komplexen Zahlen die algebraische (kartesische) Form. a) z D 4  .cos 22;5ı  j  sin 22;5ı /    b) z D 6  cos  j  sin 6 6 ı c) z D 3  e j60

  a) z D 4  cos 22;5ı j  sin 22;5ı D 3;6955  j  1;5307 „ ƒ‚ … „ ƒ‚ … 0;38268   0;92388   D 5;196  j  3 b) z D 6  cos j  sin 6 6 „ƒ‚… „ƒ‚… 0;866 ı

0;5

c) z D 3  e j60 D 3  .cos 60ı C j  sin 60ı / D 3  .0;5 C j  0;866/ D 1;5 C j  2;598 26.1.6

Geben Sie folgende komplexen Zahlen in der algebraischen (kartesischen) Form an. a) z D 3j b) z D 2j3 c) z D 43Cj2

a) Um komplexe Exponenten bearbeiten zu können, müssen wir die Grundzahl in eine e-Potenz umschreiben. Bekanntlich gilt für jede reelle positive Zahl a:

a D eln a

459 26.2  Potenzieren

 j Damit ist 3 D eln 3 und z D 3j D eln 3 D e jln 3 ; r D jzj D 1 ; ' D ln 3 D 1;0986 z D 1  .cos.ln 3/ C j  sin.ln 3// D 0;4548 C j  0;8906 b) Auch hier muss die Grundzahl 2 in eine e-Potenz umgeformt werden. Wir erhalten  j3 z D 2j3 D eln 2 D e j3ln 2 D e jln 8 Mit der trigonometrischen Form ergibt sich z D e jln 8 D cos.ln 8/ C j  sin.ln 8/ D 0;48649 C j  0;8734 c) Diese komplexe Potenz wollen wir zunächst in folgender Weise umformen: z D 43Cj2 D 43  4j2 D 64  .42 /j D 64  16j Nun wird die Grundzahl 16 in eine e-Potenz umgeschrieben:  j z D 64  eln 16 D 64  e jln 16 Mit der trigonometrischen Form erhalten wir z D 64  .cos.ln 16/ C j  sin.ln 16// D 64  .0;93268 C j  0;36068/ z D 59;692 C j  23;084 26.2

Potenzieren

26.2.1

Berechnen Sie für z D j C

1 1Cj

die Potenz z 4 .

Das Potenzieren wollen wir mit Hilfe der Exponentialform durchführen. Dazu müssen wir zunächst die beiden Terme zusammenfassen. z DjC

1 j1C1 j D D 1Cj 1Cj 1Cj

Nun gibt es mehrere Lösungsmöglichkeiten. 1. Lösung Durch das Erweitern des Bruches mit der konjugiert komplexen Zahl .1 j/ erhält man zD

 j  .1  j/ jC1 1 p j D D D  2  e j. 4 / 1Cj .1 C j/  .1  j/ 2 2

26

460

Kapitel 26  Komplexe Arithmetik

Durch die Umformung in die Exponentialform lässt sich das Potenzieren leicht durchführen und wir erhalten p z D 4

2 j.  /  e 4 2

!4 D

1 j./ 1 1 D  .1/ D e 4 4 4

2. Lösung Wir formen den Nenner in eine Exponentialform um: 1CjD

p



2  ej 2 :

Damit kann die sich ergebende komplexe z unmittelbar potenziert werden.

26

26.2.2 

Berechnen Sie für z D .1  j/  ej 2 die Potenz z 2 .

Wir formen 1  j in die Exponentialform um: 1jD

p  2  ej. 4 / :

Damit ist 

z 2 D 2  ej. 2 / D 2  .1/ D 2 26.2.3

Berechnen Sie folgende Potenzen mit Hilfe der Formel von Moivre und geben Sie die komplexen Zahlen in der algebraischen Form und in der Exponentialform an. a) z D .1 C j  2/4 h  i8  b) z D 2  cos  j  sin 8 8

a) z D .1 C j  2/4 p p Betrag: r D jzj D 12 C 22 D 5 2 Argument: tan ' D D 2; ' D 1;1071 1 Mit Hilfe der Moivre’schen Formel erhalten wir z D .1 C j  2/4 D

p 4 5  .cos.4  1;1071/ C j  sin.4  1;1071//

z D 25  .cos.4;4286/ C j  sin.4;4286// D 25  .0;28  j  0;960/ z D 7  j  24

461 26.3  Radizieren

h   i8 b) z D 2  cos  j  sin 8 8 Mit Hilfe der Moivre’schen Formel erhalten wir       C j  sin 8  D 2  .cos  C j  sin / z D 2  cos 8  8 8 z D 2  .1 C j  0/ D 2 26.3

Radizieren

Algebraische Gleichungen n-ten Grades haben auch in der Menge C der komplexen Zahlen n Lösungen. Diese werden Wurzeln genannt. Für die Lösung benötigen wir einen komplexen Lösungsansatz in der Polarform z D jzj  ej mit jzj D r oder z D r  .cos  C j  sin / Da die trigonometrischen Funktionen und damit auch die komplexe Funktion 2-periodisch ist, gilt auch zk D r  .cos. C k  2/ C j  sin. C k  2// D r  ej.Ck2/ : Damit erhalten wir als n-te Wurzel wk D

p n

 j

r e

Ck2 n



26.3.1

Berechnen Sie alle (reellen und komplexen) Lösungen der Gleichung z 3 D 1

Wir formen w D 1 in die Exponentialform um und erhalten für jzj D 1 und  D  wk D

p 3

1  ej.

Ck2 3

/

Wir erhalten als Lösungen für k D 0W k D 1W k D 2W

p p 3 1 1 w1 D e D Cj D .1 C j 3/ 2 2 2 w2 D ej./ D 1 p p 3 1 1 j. 5 / 3 w3 D e D j D .1  j 3/ 2 2 2 j. 3 /

26

462

Kapitel 26  Komplexe Arithmetik

26.3.2

Berechnen Sie alle (reellen und komplexen) Lösungen der Gleichung z 3 D j

Wir berechnen zunächst 

w D ej. 2 / D ej.

26

3 2 /

und erhalten p  3 3 wk D 1  ej. 6 Ck 6 / Als Lösungen erhalten wir für p

j. 6 /

k D 0W z1 D e

3 1 1 p C j D . 3 C j/ 2 2 2 p p 3 1 1 D Cj D .1 C j 3/ 2 2 p2 3 1 1 p D  j D . 3  j/ 2 2 2

D

k D 1W z2 D ej.

2 3

/

k D 2W z3 D ej.

7 6

/

26.3.3

Berechnen Sie sämtliche Lösungen der Gleichung z 5 C 32 D 0.

Löst man die Gleichung nach z auf, so erhält man zD

p 5

32

Das Radizieren wollen wir in zwei Schritten durchführen: 1. Umwandlung des Radikanden (32) in eine komplexe Polarform p Betrag: r D jzj D .32/2 C 02 D 32 0 Argument: tan ' D 32 D 0; ' D 

463 26.3  Radizieren

Polarform: z D 32  .cos  C j  sin /

2. Anwendung der Formel von Moivre zD

  p     5 D 2  cos C j  sin 32  cos C j  sin 5 5 5 5

z k D 2  e j

Ck2 5

    D 1;618 C j  1;1756 k D 0W z 1 D 2  e j 5 D 2  cos C j  sin 5 5   3 3 3 k D 1W z 2 D 2  e j 5 D 2  cos C j  sin D 0;618 C j  1;902 5 5 k D 2W z 3 D 2  e j D 2  .cos  C j  sin / D 2   7 7 j 7 5 D 2  cos k D 3W z 4 D 2  e C j  sin D 0;618  j  1;902 5 5   9 9 9 k D 4W z 5 D 2  e j 5 D 2  cos C j  sin D 1;618  j  1;1756 5 5 26.3.4

Berechnen Sie sämtliche Lösungen der Gleichung z 4 D 625  .cos 80ı C j  sin 80ı /

Löst man die Gleichung nach z auf, so erhält man zD

p 4 625  .cos 80ı C j  sin 80ı /

26

464

Kapitel 26  Komplexe Arithmetik

Da der Radikand schon in einer Polarform vorliegt, müssen wir nur die Umformung nach Moivre vornehmen.   p 80ı 80ı 4 z 1 D 625 cos C j  sin D 5  .cos 20ı C j  sin 20ı / 4 4 z k D 5  e j

80ı Ck360ı 4

k D 0W z D 5  e j

80ı 4

k D 1W z D 5  e j

440ı 4

D 5  e j110

k D 2W z D 5  e j

800ı 4

D 5  e j200

k D 3W z D 5  e j

1160ı 4

ı

D 5  e j20

ı ı ı

D 5  e j290

26

26.3.5

Berechnen Sie sämtliche Lösungen der Gleichungen a) z 2 D 4  j  3 ı

b) z 3 D 8  e j30

a) Da Wurzeln aus komplexen Zahlen nicht definiert sind, müssen wir die Berechnung über die Exponentialform durchführen. p p Betrag: r D 42 C .3/2 D 25 D 5 3 D 0;75I ' D 0;6435I z 2 D 5  e j0;6435 Argument: tan ' D 4 p p 0;6435 k2 z k D 5  e j. 2 C 2 / D 5  e j.0;32175Ck/ p p k D 0W z 1 D 5  e j.0;32175/ D 5  .cos.0;32175/ C j  sin.0;32175// D 2;1213  j  0;7071 p p k D 1W z 2 D 5  e j.0;32175C/ D 5  .cos.2;8198/ C j  sin.2;8198// D 2;1213 C j  0;7071

465 26.3  Radizieren

b)

ı

z 3 D 8  e j30   ı ı p ı ı j 30 Ck 360 3 3 zk D 8  e 3 D 2  e j.10 Ck120 / ı

k D 0W z 1 D 2  e j10 D 2  .cos 10ı C j  sin 10ı / D 1;9696 C j  0;3473 ı

k D 1W z 2 D 2  e j130 D 2  .cos 130ı C j  sin 130ı / D 1;2856 C j  1;5321 ı

k D 2W z 3 D 2  e j250 D 2  .cos 250ı C j  sin 250ı / D 0;6840  j  1;8794 26.3.6

Wie lautet die Exponentialform der komplexen Zahl z D .3  j  4/j1

Da hier sowohl die Grundzahl als auch die Hochzahl komplex ist, müssen wir die Grundzahl in eine e-Potenz umformen. Es lässt sich nicht nur eine reelle Zahl a, sondern auch eine komplexe Zahl z in eine e-Potenz umformen: z D eln z Mit z D r  e j' wird ln z D ln.r  e j' / D ln r C j  '  „ƒ‚… ln e D ln r C j  '. 1 p p Betrag der Grundzahl: r D jzj D 32 C .4/2 D 25 D 5 4 ; ' D 0;92729 C 2 D 5;3559 Argument: tan ' D 3  j1 D e jln 55;3559ln 5j5;3559 z D .3  j  4/j1 D eln 5Cj5;3559

z D e ln 55;3559  e j.ln 55;3559/ D e6;9653  ej3;74556 z D 0;000944  ej3;74556 26.3.7

Berechnen Sie sämtliche Lösungen der Gleichung z2  z C

1  j2 D 0 4

Durch Umformung erhalten wir    1 1 2 2 D 2  ej. 2 / z  z C D j2 oder z 4 2   Mit w D z  12 erhalten wir p  wk D 2  ej. 4 Ck/

26

466

Kapitel 26  Komplexe Arithmetik

Als Lösungen ergeben sich für p p ! 2 2 Cj D1Cj 2 2 p p ! p 2 2 D 2  j D 1  j 2 2

p p  k D 0W w1 D 2  ej. 4 / D 2 k D 1W w1 D Mit z D w C z1 D

26 26.4

1 2

p 5 2  ej. 4 /

erhalten wir die Lösungen

3 1 C j und z2 D   j 2 2

Punktmengen und Gebiete

26.4.1

Gegeben sei jz  .2 C j/j D jRe.z/  4j (Re.z/ D Realteil von z) Welche Funktion wird durch diese Gleichung dargestellt?

Wir setzen die komplexe Zahl z D x C j  y in die Betragsgleichung ein: jx C j  y  .2 C j/j D jx  4j jx C j  y  2  jj D jx  4j j.x  2/ C j  .y  1/j D jx  4j Wir berechnen die Beträge der komplexen und der reellen Zahl: p .x  2/2 C .y  1/2 D ˙.x  4/ Durch Quadrieren ergibt sich .x  2/2 C .y  1/2 D .x  4/2 x 2  4x C 4 C .y  1/2 D x 2  8x C 16 .y  1/2 D 4x C 12 p .y  1/ D ˙2 3  x p y D1˙2 3x 26.4.2

Welches Gebiet in der komplexen Ebene wird durch folgende Punktmenge beschrieben? ˇ  ˚ M D z 2 C ˇ jz  1 C jj  2

467 26.4  Punktmengen und Gebiete

Wir betrachten zunächst nur die Gleichung jz  1 C jj D 2 Nun ersetzen wir z durch z D x C jy und erhalten jx C jy  1 C jj D 2 Die Trennung in Real- und Imaginärteile ergibt j.x  1/ C j.y C 1/j D 2 Der Betrag der komplexen Zahl ist p

.x  1/2 C .y C 1/2 D 2

Durch Quadrieren erhalten wir .x  1/2 C .y C 1/2 D 4 Die Lösung ist somit .x  1/2 C .y C 1/2  4 Gebiet innerhalb eines Kreises um M.1I 1/ mit Radius r D 2 und Einschluss der Kreislinie.

26

469

Anwendungen der komplexen Rechnung Inhaltsverzeichnis 27.1

Schwingungen in komplexer Darstellung – 470

27.2

Komplexe Widerstände – 471

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2020 H. Rapp, J.M. Rapp, Übungsbuch Mathematik für Fachschule Technik und Berufskolleg, https://doi.org/10.1007/978-3-658-31108-7_27

27

470

Kapitel 27  Anwendungen der komplexen Rechnung

27.1

Schwingungen in komplexer Darstellung

27.1.1

Welche Schwingungsgleichung hat eine Schwingung, die sich aus der Überlagerung (Superposition) folgender gleichfrequenter Teilschwingungen (! > 0) ergibt? 

  x1 .t/ D 2  sin !t  4    x2 .t/ D 2  cos !t C 6   p 3 x3 .t/ D 6  cos !t  4 p

27 1. Gleiche Grundfunktionen Da zwei Kosinusfunktionen vorliegen, wollen wir die Sinusfunktion auch noch in eine Kosinusfunktion umrechnen.     p p    x1 .t/ D 2  sin !t  D 2  cos !t   4 4 2   p 3 x1 .t/ D 2  cos !t  4 2. Übergang ins Komplexe z1 .t/ D

p

2  e j.!t 

3 4 /

D



p 3 2  e j. 4 /  e j.!t / D z10  e j.!t / 

z2 .t/ D 2  e j.!t C 6 / D 2  e j 6  e j.!t / D z20  e j.!t / p p 3 3 z3 .t/ D 6  e j.!t  4 / D 6  e j. 4 /  e j.!t / D z30  e j.!t / 3. Addition der Teilgrößen z0 D z10 C z20 C z30 p p 3  3 z0 D 2  e j. 4 / C 2  e j 6 C 6  e j. 4 / p p p p    p    p p 1 2 2 3 2 2 z0 D 2  j C2 Cj C 6  j 2 2 2 2 2 2 p p p p z0 D 1  j C 1 C j 3  3  j 3 D  3  j 4. Berechnung von A und ' AD

qp p . 3/2 C 1 D 4 D 2

tan ' D

1 1 p Dp I  3 3

'D

 6

471 27.2  Komplexe Widerstände

5. Übergang ins Reelle 



z.t/ D 2  e j 6  e j!t D 2  e j.!t C 6 /    x.t/ D Re.z/ D 2  cos !t C 6     2   D 2  sin !t C x.t/ D 2  sin !t C C 6 2 3 27.2

Komplexe Widerstände

27.2.1

In einem Wechselstromkreis mit einer Frequenz von f D 25 Hz ist eine Spule mit einer Induktivität von 400 mH und ein Ohm’scher Widerstand von 0,4 k in Reihe geschaltet. a) Berechnen Sie den Gesamtwiderstand (D Scheinwiderstand) Z. b) Wie groß ist dieser bei f D 50 Hz?

a) Bei Reihenschaltung addieren sich die Widerstände. Z D Z R C ZL D R C j  !L Z D .400 C j  2  25 s1  0;400 H/ D .400 C j  62;83/ p Z D 4002 C .62;83/2 D 404;90 b) Bei der doppelten Frequenz ändert sich der induktive Widerstand und damit der Gesamtwiderstand wie folgt: Z D Z R C ZL D R C j  !L Z D .400 C j  2  50 s1  0;400 H/ D .400 C j  125;66/ p Z D 4002 C .125;66/2 D 419;27 27.2.2

In einem Wechselstromkreis mit f D 50 Hz ist ein Kondensator mit der Kapazität von C D 20 µF mit einem Ohm’schen Widerstand von 300 in Reihe geschaltet. a) Berechnen Sie den Gesamtwiderstand Z. b) Wie groß ist die Phasenverschiebung zwischen Spannung und Strom?

27

472

Kapitel 27  Anwendungen der komplexen Rechnung

a) 1 !C 1 Z D 300  j  1 2  50 s  0;000020 F Z D .300  j  159;15/ p Z D 3002 C .159;15/2 D 339;60

Z D ZR C ZC D R  j 

b)

159;15 D 0;5305 300 ' D 27;95ı , d. h. der Strom eilt der Spannung voraus.

tan ' D

27.2.3

27

Wie groß ist der Gesamtwiderstand für folgende Widerstände, die parallel geschaltet sind? Z 1 D .30 C j  50/ Z 2 D .20  j  60/

Bei Parallelschaltung addieren sich die Leitwerte. Wir berechnen deshalb zunächst die Leitwerte der Einzel-Widerstände. 1 Z1 1 Z1 1 Z2 1 Z1

1 1 1  .30  j  50/ 1 30  j  50 D D 2 30 C j  50 .30 C j  50/  .30  j  50/ 30 C 502 1 D .0;0088  j  0;0147/

1 1 1 1  .20 C j  60/ 20 C j  60 D D D 2 20  j  60 .20  j  60/  .20 C j  60/ 20 C 602 1 D .0;005 C j  0;015/

D

1

1

Der komplexe Gesamtwiderstand bei dieser Parallelschaltung ist damit ZD

1 Z1

1 C

1 Z2

1 1 D .0;0088235  j  0;0147059/ C .0;005 C j  0;015/ 0;0138235 C j  0;0002941 1  .0;0138235  j  0;0002941/ ZD .0;0138235 C j  0;0002941/  .0;0138235  j  0;0002941/ Z D .72;31  j  1;5384/ p Z D 72;312 C .1;5384/2 D 72;326 ZD

473 27.2  Komplexe Widerstände

27.2.4

Wie groß ist der Gesamtwiderstand für folgende Widerstände, die in einem Wechselstromkreis parallel geschaltet sind? Z 1 D .250  j  120/ Z 2 D .400 C j  1000/

Die Leitwerte der Widerstände sind 1 1 1  .250 C j  120/ 1 250 C j  120 1 D D 250  j  120 .250  j  120/  .250 C j  120/ 2502 C 1202 1 D .0;0033 C j  0;0016/

1 1 1  .400  j  1000/ 1 D D 400 C j  1000 .400 C j  1000/  .400  j  1000/ 400  j  1000 1 1 D D .0;0003448  j  0;000862/ 4002 C 10002

1 1 D ZD 1 1 0;0035957 C j  0;0006985 Z C Z

1 Z1 1 Z1 1 Z2 1 Z2

D

1

2

0;0035957  j  0;0006985 .0;0035957 C j  0;0006985/  .0;0035957  j  0;0006985/ Z D .267;997  j  52;06/ p Z D 267;9972 C .52;06/2 D 273;01 ZD

27.2.5*

Berechnen Sie für die dargestellte Schaltung den komplexen Scheinwiderstand Z für R D 1 k , L D 500 mH, C D 25 F und f D 50 Hz.

Wir berechnen zunächst den Leitwert der Parallelschaltung: YP D

1 1 1 1 !L  j  R C D j D R j!L R !L R  !L

27

474

Kapitel 27  Anwendungen der komplexen Rechnung

Damit ist der Widerstand der Gesamtschaltung: 1 1 R!L D j  C YP !C !L  j  R 1 R!L  .!L C j  R/ D j  C !C .!L  j  R/  .!L C j  R/  R2  !L 1 R  .!L/2 Cj  D .!L/2 C R2 .!L/2 C R2 ! C  10002  .2  50  0;5/ 1000  .2  50  0;5/2 1 D C j  

.2  50  0;5/2 C 10002 .2  50  0;5/2 C 10002 2  50  0;000025 D .24;08 C j  Œ153;297  127;324 / D .24;08 C j  25;97/ p D 24;082 C 25;972 D 35;42

Z D ZC C Z

Z Z Z Z

27

27.2.6*

Berechnen Sie den komplexen Scheinwiderstand für die dargestellte Reihenschaltung für eine Frequenz von 50 Hz und R D 500 , L1 D 1;5 H, L2 D 1 H, C D 225 F.

Der Scheinwiderstand der Reihenschaltung berechnet sich aus Z D ZL1 C Z C C Z 2 D j  !L1  j 

1 C Z2 !C

Dabei ist Z2 D Z2 D

Z2 Z Z Z

1 C

1 ZL2

1 !L2 jR R!L2

D

D

1 R

1 D 1 C j!L 2

1 R

1 j

1 !L2

R!L2 R!L2  .!L2 C j  R/ D !L2  j  R .!L2 /2 C R2

R.!L2 /2 R2  .!L2 / C j  .!L2 /2 C R2 .!L2 /2 C R2 2 500.2  50  1/ .500/2  .100/ D C j  .100/2 C 5002 .100/2 C 5002 D .141;522 C j  225;239/ 1 D j  !L1  j  C Z 2 D .j  471;239  j  14;147 C 141;522 C j  225;239/ !C D .141;522 C j  682;33/ p D jZj D 141;522 C 682;332 D 696;85

Z2 D Z2

1 ZR

475

Serviceteil Stichwortverzeichnis – 476

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2020 H. Rapp, J.M. Rapp, Übungsbuch Mathematik für Fachschule Technik und Berufskolleg, https://doi.org/10.1007/978-3-658-31108-7

476

Stichwortverzeichnis

Stichwortverzeichnis A

G

Ableitung 272 – elementarer Funktionen 272 – trigonometrischer Funktionen 356 – von Exponentialfunktionen 368 Ableitungsregeln – allgemeine Ableitungsregeln 278 – Kettenregel 285 – Logarithmische Ableitung 289 – Produktregel 278 – Quotientenregel 283 Abstandsberechnungen – Abstand Punkt–Ebene 439, 447 – Abstand Punkt–Gerade 450 – Abstand windschiefer Geraden 429 Analytische Geometrie 172

Ganzrationale Funktionen 250 Gauß’sches Eliminationsverfahren (Gauß’scher Algorithmus) 58 Gebrochenrationale Funktionen 260 Geraden und Strecken 172 Geradlinig begrenzte Flächen 186 Gleichungen – Bruchgleichungen 17 – lineare 16 – mit Formvariablen 23 – quadratische 26 – Wurzelgleichungen 33 Gleichungssysteme 50 – konventionelle Lösungsverfahren 50 – lineare 50

C

H

Cramer’sche Regel

Hornerschema

64

296, 297, 300, 306, 309

D

I

Determinantenverfahren 64 Differentialrechnung 247 Differentiation elementarer Funktionen

Integralrechnung 381 – Flächenberechnung bei Exponentialfunktionen 395 – Flächenberechnung bei ganzrationalen Funktionen 384 – Flächenberechnung bei Trigonometrischen Funktionen 389

272

E Ebenengleichung 437 – Koordinatengleichung 438 – Parametergleichung 438 Exponentialfunktionen 262 – Funktionsgleichungen aus Vorgaben – Kurvendiskussion 368 Extremwertaufgaben 321

F Flächenberechnung (Planimetrie) 186 – Geradlinig begrenzte Flächen 186 – Kreisförmig begrenzte Flächen 192 Funktionen und Relationen 250 – Exponentialfunktionen 262 – Ganzrationale Funktionen 250 – Gebrochenrationale Funktionen 260 – Trigonometrische Funktionen 265 Funktionssynthese – bei Exponentialfunktionen 377 – bei ganzrationalen Funktionen 310

K 377

Kegelförmige Körper 226 Kettenregel 285 Komplanarität 429 Komplexe Rechnung 451 – Anwendungen der komplexen Rechnung 471 – Komplexe Zahlen (Darstellungsformen) 454 Kosinussatz 159 Kreis und Gerade 174 Kreisförmig begrenzte Flächen 192 Kreisgleichung 174 Kugelförmige Körper 237 Kurvendiskussion 300

L Längenberechnungen am Dreieck Lineares Optimieren 70 Logarithmische Ableitung 289 Logarithmusgleichungen 90

96

A–W

477 Stichwortverzeichnis

N

T

Newtonsches Näherungsverfahren Nullstellen und Extremstellen von Exponentialfunktionen 274

Tangente und Normale 294 Trigonometrie 134 Trigonometrische Funktionen – Kurvendiskussion 356

340

P Prismatische Körper 218 Produktregel 278 Pyramidenförmige und kegelförmige Körper Pythagoras 108

U 226

Ungleichungen 44 – Bruchungleichungen – einfache lineare 44

46

V

Q Quotientenregel

265

283

R Rotationsvolumen 408 – Rotation um die x-Achse – Rotation um die y-Achse

S Sarrus-Regel 64 Schnittwinkel – Gerade und Ebene 439 Sinussatz 150 Spatprodukt 428 – Spatvolumen 449 Strahlensätze 96

408 410

Vektoralgebra 418 – Vektoraddition 418 – Vektorbetrag 418 – Vektorsubtraktion 418 vektorielle Ebenengleichung 437 vektorielle Geradengleichung 432 Vektorprodukt 426 Volumenberechnung (Stereometrie) 218 – Kugelförmige Behälter 237 – Prismatische Körper 218 – Pyramidenförmige und kegelförmige Körper 226

W Windschiefe Geraden 429 Winkelfunktionen am rechtwinkligen Dreieck Winkelfunktionen am schiefwinkligen Dreieck 150

134

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