Mathematics 07 [7]

Table of contents :
Cover
Introduction & Contents
Math G - 7 Dari

Citation preview

‫رياضى‬

‫صنف ‪7‬‬

‫رياضي صنف‪7‬‬ ‫‪5cm‬‬ ‫‪5cm‬‬

‫‪5cm‬‬

‫‪ 1398‬هـ ‪ .‬ش‪.‬‬

‫وزارت معارف‬

‫وزارت معارف‬ ‫کتب درسی‬

‫سرود ملی‬ ‫دا وطن افغانس���تـــان دى‬

‫دا عـ���زت د هـــر افـغـان دى‬

‫دا وطن د ټول���و کـور دى‬

‫د بـــــلـوڅــــ���و د ازبـکـــــ���و‬

‫کور د سولې کور د تورې‬ ‫د پښ���تــون او هــ���زاره وو‬

‫ورس���ره عرب‪ ،‬گوجــر دي‬

‫براهوي دي‪ ،‬قزلباش دي‬ ‫دا هېـــ���واد به تل ځليږي‬ ‫په س���ينــه کې د آس���يـــا به‬

‫نوم د حق م���و دى رهبـــر‬

‫هر بچی يې قهرمـــــان دى‬ ‫د تـــرکـمنــــ���و د تـــاجـکـــ���و‬

‫پــاميــري���ان‪ ،‬نـورس���تانيــــان‬ ‫هـــم ايمـــاق‪ ،‬هم پشـه يان‬

‫لـکـه لـمــر پـر ش���نـه آس���مـان‬ ‫لـکـ���ه زړه وي جـــاويـــ���دان‬ ‫واي���و اهلل اکبر وايو اهلل اکبر‬

‫‪1398‬‬ ‫هـ ‪ .‬ش ‪.‬‬

‫الف‬

‫مشخصات‌کتاب‬

‫‪-----------------------------------------------------‬‬‫مضمون‪ :‬ریاضی‬

‫مؤلفان‪ :‬گروه مؤلفان کتاب‌های درسی دیپارتمنت ریاضی نصاب تعلیمی‬ ‫ویراستاران‪ :‬اعضای دیپارتمنت ویراستاری و ایدیت زبان دری‬

‫صنف‪ :‬هفتم‬

‫زبان متن‪ :‬دری‬

‫انکشاف دهنده‪ :‬ریاست عمومی انکشاف نصاب تعلیمی و تالیف کتب درسی‬

‫ناشر‪ :‬ریاست ارتباط و آگاهی عامۀ وزارت معارف‬

‫سال چاپ‪ 1398 :‬هجری شمسی‬ ‫مکان چاپ‪ :‬کابل‬ ‫چاپ‌خانه‪:‬‬

‫ایمیل آدرس‪[email protected] :‬‬

‫‪-----------------------------------------------------‬‬‫حق طبع‪ ،‬توزیع و فروش کتاب‌های درسی برای وزارت معارف جمهوری اسالمی‬ ‫افغانستان محفوظ است‪ .‬خرید و فروش آن در بازار ممنوع بوده و با متخلفان برخورد‬ ‫قانونی صورت می‌گیرد‪  .‬‬

‫ب‬

‫پیام وزیر معارف‬

‫اقرأ باسم ربک‬ ‫سپاس و حمد بیکران آفریدگار یکتایی را که بر ما هستی بخشید و ما را از نعمت بزرگ خواندن‬ ‫و نوشتن برخوردار ساخت‪ ،‬و درود بی‌پایان بر رسول خاتم‪ -‬حضرت محمد مصطفی‪ ‬که‬ ‫نخستین پیام الهی بر ایشان «خواندن» است‪.‬‬ ‫چنانچه بر همه‌گان هویداست‪ ،‬سال ‪ 1397‬خورشیدی‪ ،‬به نام سال معارف مسمی گردید‪ .‬بدین‬ ‫ملحوظ نظام تعلیم و تربیت در کشور عزیز ما شاهد تحوالت و تغییرات بنیادینی در عرصه‌های‬ ‫مختلف خواهد بود؛ معلم‪ ،‬متعلم‪ ،‬کتاب‪ ،‬مکتب‪ ،‬اداره و شوراهای والدین‪ ،‬از عناصر شش‌گانه‬ ‫و اساسی نظام معارف افغانستان به شمار می‌روند که در توسعه و انکشاف آموزش و پرورش‬ ‫کشور نقش مهمی را ایفا می‌نمایند‪ .‬در چنین برهه سرنوشت‌ساز‪ ،‬رهبری و خانوادۀ بزرگ‬ ‫معارف افغانستان‪ ،‬متعهد به ایجاد تحول بنیادی در روند رشد و توسعه نظام معاصر تعلیم و‬ ‫تربیت کشور می‌باشد‪.‬‬ ‫از همین‌رو‪ ،‬اصالح و انکشاف نصاب تعلیمی از اولویت‌های مهم وزارت معارف پنداشته‬ ‫می‌شود‪ .‬در همین راستا‪ ،‬توجه به کیفیت‪ ،‬محتوا و فرایند توزیع کتاب‌های درسی در مکاتب‪،‬‬ ‫مدارس و سایر نهادهای تعلیمی دولتی و خصوصی در صدر برنامه‌های وزارت معارف قرار‬ ‫دارد‪ .‬ما باور داریم‪ ،‬بدون داشتن کتاب درسی باکیفیت‪ ،‬به اهداف پایدار تعلیمی در کشور‬ ‫دست نخواهیم یافت‪.‬‬ ‫برای دستیابی به اهداف ذکرشده و نیل به یک نظام آموزشی کارآمد‪ ،‬از آموزگاران و‬ ‫مدرسان دلسوز و مدیران فرهیخته به‌عنوان تربیت کننده‌گان نسل آینده‪ ،‬در سراسر کشور‬ ‫احترامانه تقاضا می‌گردد تا در روند آموزش این کتاب درسی و انتقال محتوای آن به فرزندان‬ ‫عزیز ما‪ ،‬از هر نوع تالشی دریغ نورزیده و در تربیت و پرورش نسل فعال و آگاه با ارزش‌های‬ ‫دینی‪ ،‬ملی و تفکر انتقادی بکوشند‪ .‬هر روز عالوه بر تجدید تعهد و حس مسؤولیت پذیری‪،‬‬ ‫با این نیت تدریس راآغاز کنند‪ ،‬که در آیندۀ نزدیک شاگردان عزیز‪ ،‬شهروندان مؤثر‪ ،‬متمدن‬ ‫و معماران افغانستان توسعه یافته و شکوفا خواهند شد‪.‬‬ ‫همچنین از دانش آموزان خوب و دوست داشتنی به مثابه ارزشمندترین سرمایه‌های فردای‬ ‫کشور می‌خواهم تا از فرصت‌ها غافل نبوده و در کمال ادب‪ ،‬احترام و البته کنجکاوی علمی از‬ ‫درس معلمان گرامی استفادۀ بهتر کنند و خوشه چین دانش و علم استادان گرامی خود باشند‪.‬‬ ‫‪ ‬در پایان‪ ،‬از تمام کارشناسان آموزشی‪ ،‬دانشمندان تعلیم و تربیت و همکاران فنی بخش نصاب‬ ‫تعلیمی کشور که در تهیه و تدوین این کتاب درسی مجدانه شبانه روز تالش نمودند‪ ،‬ابراز‬ ‫قدردانی کرده و از بارگاه الهی برای آن‌ها در این راه مقدس و انسان‌ساز موفقیت استدعا دارم‪.‬‬ ‫با آرزوی دستیابی به یک نظام معارف معیاری و توسعه یافته‪ ،‬و نیل به یک افغانستان آباد و‬ ‫مترقی دارای شهروندان آزاد‪ ،‬آگاه و مرفه‪.‬‬ ‫دکتور محمد میرویس بلخی‬ ‫وزیر معارف‬

‫ج‬

‫فهرست‬

‫صفحه‬

‫• فصل اول(ست)‪3 ................................................................................‬‬ ‫مفهوم ست‪ ،‬عناصر و روش‌های نوشتن یک ست ‬ ‫ست های مساوی و معادل ‬ ‫ست فرعی‪ ،‬تقاطع و اتحاد ست ها ‬ ‫تفاضل ست ها‪ ،‬ست کلی و مکملة یک ست ‬ ‫ست های متناهی و نامتناهی ‬ ‫خالصۀ فصل اول و تمرین ‬

‫ ‬

‫• فصل دوم( اعداد طبیعی)‪27 ................................................................‬‬ ‫قابلیت‌های تقسیم و تجزیۀ اعداد طبیعی ‬ ‫طاقت و قوانین طاقت (قوانین ضرب و تقسیم طاقت)‬ ‫روش علمی عددنویسی ‬ ‫بزرگ‌ترین قاسم مشترک و دریافت آن توسط تجزیه ‬ ‫کوچک‌ترین مضرب مشترک و دریافت آن توسط تجزیه به اعداد اولیه ‬ ‫موارد استعمال کوچک‌ترین مضرب مشترک و بزرگترین قاسم مشترک در حل مسائل روزمرۀ زنده‌گی‬ ‫رابطه بین کوچک‌ترین مضرب مشترک و بزرگ‌ترین قاسم مشترک دو عدد‬ ‫دریافت همزمان کوچک‌ترین مضرب مشترک و بزرگ‌ترین قاسم مشترک دو عدد‬ ‫مربع و جذر مربع تام اعداد طبیعی توسط تجزیه و طریق عمومی ‬ ‫جذر مکعب تام اعداد طبیعی ‬ ‫خالصۀ و تمرین فصل دوم ‬ ‫• فصل سوم(اعداد تام)‪71 ......................................................................‬‬ ‫اعداد مثبت و منفی ‬ ‫ترتیب اعداد تام و نمایش اعداد تام روی محور اعداد ‬ ‫قیمت مطلقۀ یک عدد تام‪ ،‬جمع‪ ،‬تفریق‪ ،‬ضرب و تقسیم اعداد تام ‬ ‫قیمت افاده‌های حسابی ‬ ‫خواص عملیه‌ها ‬ ‫خالصۀ فصل سوم و تمرین ‬ ‫• فصل چهارم( اعداد نسبتی)‪97 ............................................................‬‬ ‫اعداد نسبتی ‬ ‫مقایسۀ اعداد نسبتی ‬ ‫جمع و تفریق‪ ،‬ضرب و تقسیم اعداد نسبتی ‬ ‫خواص عملیه های اعداد نسبتی ‬ ‫تبدیل اعداد نسبتی به اعداد اعشاری‬

‫د‬

‫ ‬

‫ ‬

‫ ‬

‫فهرست‬ ‫خالصۀ فصل چهارم و تمری ‬ ‫ن‬

‫صفحه‬

‫• فصل پنجم( مثلث ها و چندضلعی ها)‪119 ........................................‬‬ ‫صنف‌بندی و اقسام مثلث ها‪ ،‬میانه‪ ،‬ارتفاع و ناصف‌الزاویه در مثلث ‬ ‫مجموع زوایای داخلی یک مثلث و زوایای خارجی یک مثلث‬ ‫رابطة بین اضالع یک مثلث ‬ ‫چندضلعی‌ها(مضلع ها)‬ ‫مجموع زوایای داخلی و خارجی یک مضلع(چندضلعی) ‬ ‫اشکال انطباق‌پذیر ‬ ‫حاالت انطباق‌پذیری‌ مثلث‌ها‬ ‫خالصۀ فصل پنجم و تمرین‬ ‫• فصل ششم(خطوط موازی و عمود)‪157 .........................................‬‬ ‫زوایای متبادلۀ داخلی و خارجی ‬ ‫زوایای متوافقه ‬ ‫زوایای متممۀ داخلی یک طرف خط قاطع ‬ ‫چهارضلعی ها (متوازی‌االضالع‪ ،‬مستطیل‪ ،‬مربع‪ ،‬معین و ذوزنقه) ‬ ‫زوایای مقابل متوازی‌االضالع‬ ‫زوایای خارجی یک چهارضلعی ‬ ‫خاصیت قطرهای متوازی‌االضالع ‬ ‫خاصیت قطرهای مستطیل ‬ ‫خاصیت قطرهای لوزی(معین) ‬ ‫خالصۀ فصل ششم و تمرین‬ ‫• فصل هفتم ( احصائیه)‪187 ..............................................................‬‬ ‫روش های جمع‌آوری اطالعات ‬ ‫جامعه و نمونه ‬ ‫نمونۀ تصادفی ‬ ‫متحول تصادفی و انواع آن ‬ ‫جدول کثرت (فریکونسی) ‬ ‫گراف تصویری ‬ ‫مد(‪ )Mode‬‬ ‫اوسط ‬ ‫خالصۀ فصل هفتم و تمرین‬ ‫• فصل هشتم(احتماالت)‪211 .............................................................‬‬ ‫چانس ‬ ‫احتمال‬ ‫تجربه کردن یک اتفاق‬ ‫تجربة تصادفی ‬ ‫فضای نتیجه یا نمونه ‬ ‫احتمال نظری‪ ،‬خالصۀ و تمرین فصل هشتم‬

‫ ‬

‫ ‬

‫ ‬

‫ ‬

‫هـ‬

‫فصل ا ّول‬ ‫ِست‬

‫مفهوم ست (‪)Concept of a Set‬‬

‫آیا تا به حال تصميم گرفته ايد كه‬ ‫عضو يكي از تيم هاي ورزشي مكتب‬ ‫خود شوید؟‬

‫فعالیت‬ ‫تصور کنید كه در صنف هفتم يك مكتب ‪ 10‬شاگرد وجود دارند و آن‌ها می‌خواهند كه‬ ‫در سه تيم واليبال‪‌،‬فوتبال و باسكتبال مکتب خود شامل شوند‪ .‬در تيم واليبال ‪ 5‬نفر و در تيم‬ ‫فوتبال ‪ 7‬نفر عضو می‌شود و در تيم باسكتبال هيچ شاگردي شركت نكرده باشند‪.‬‬ ‫• چه تعداد شاگردان در تيم واليبال و هم در تيم فوتبال ثبت نام كرده  اند؟‬ ‫• چه تعداد شاگردان در هر یک از تيم هاي ورزشي فوق ثبت نام كرده  اند؟‬ ‫هر يك از تيم هاي فوق يك خصوصيت مشترك دارند‬ ‫‪A‬‬ ‫محمود‬ ‫حسن‬ ‫يا به عبارت ديگر هر يك از اين تيم ها يك مجموعه احمد‬ ‫(ست) را تشكيل مي دهند‪.‬‬ ‫قاسم‬ ‫زلمي‬ ‫نادر‬ ‫معموال‌ً ست ها را به حروف كالن زبان انگليسي چون‬ ‫عزت اهلل‬ ‫صفت اهلل‬ ‫‪ A, B, C ... X, Y, Z‬نشان می دهند و عناصر ست‬ ‫عطاءاهلل‬ ‫دين محمد‬ ‫توسط حروف کوچک مثل ‪ a , b , c ... x , y , z‬را در‬ ‫داخل عالمت } { مي نويسند‪ .‬عناصر ست توسط عالمت «‪ »,‬از يكديگر جدا مي شوند‪.‬‬ ‫مثال اول‪ :‬اگر ست شاگردان صنف ‪ 7‬را‪ ،‬ست ‪ ، A‬ست تیم والیبال را ‪ ، B‬ست تیم فوتبال‬ ‫را ‪ C‬و ست تیم باسکتبال را ‪  D‬بناميم؛ هر یک از این ست ها به طور زير نشان داده مي شود‪:‬‬ ‫{ زلمي ‌‪ ،‬محمود ‌‪ ،‬دين محمد‪ ‌،‬عطاءاهلل‪ ‌،‬نادر‪ ،‬عزت اهلل‪ ،‬قاسم‪ ،‬صفت اهلل‪ ،‬حسن‪ ،‬احمد}=‪A‬‬ ‫{ محمود‪ ،‬زلمي‪ ،‬قاسم‪ ،‬حسن‪ ،‬احمد}=‪B‬‬ ‫{عزت اهلل‪ ،‬عطاء اهلل‪ ‌،‬دين محمد‪ ‌،‬نادر‪ ،‬صفت اهلل‪ ،‬قاسم‪‌،‬احمد}=‪C‬‬ ‫ست ‪ D‬خالی است؛ زيرا در تيم باسكتبال هيچ شاگردي اشتراك نكرده است‪D = { } .‬‬

‫‪3‬‬

‫ستی كه هيچ عنصر نداشته باشد‪ ،‬به نام ست خالي ياد مي شود و به عالمت و يا{ }نشان داده‬ ‫مي شود‪.‬‬ ‫ست‌ها را می‌توانيم توسط اشكال مختلف نشان دهيم كه به نام دياگرام وين ياد می‌شوند؛‬ ‫طور مثال مي توان ست‌هاي ‪ B, A‬و ‪ C‬را توسط وین دیاگرام طور زير نشان دهيم‪.‬‬ ‫‪ A‬ست شاگردان صنف ‪7‬‬

‫احمد زلمي‬ ‫حسن‬ ‫محمود قاسم صفت اهلل‬ ‫نادر‬ ‫دين محمد ‬ ‫عزت اهلل عطاء اهلل‬

‫‪ B‬ست تيم واليبال‬

‫احمد‬ ‫حسن‬ ‫زلمي‬ ‫محمود قاسم‬

‫‪ C‬ست تيم فوتبال‬

‫قاسم‬ ‫احمد‬ ‫صفت اهلل‬ ‫دين محمد نادر‬ ‫عزت اهلل عطاءاهلل‬

‫فعالیت‬ ‫• ستي را بنويسيد كه عناصر آن‪ ،‬لوازم و سامان یک بكس هندسي باشند‪.‬‬ ‫• يك ست ‪ 5‬عنصري را بنویسيد كه عناصر آن نام‌هاي حيوانات اهلي باشند‪.‬‬ ‫• ست ‪ 6‬عنصري را بنويسيد كه عناصر آن نام هاي ميوه هاي تازه باشند‪.‬‬ ‫مثال دوم  ‪ :‬اگر ست اعداد طاقی را كه از ‪ 10‬كوچك‌تر باشد ‪ ،O‬و ست اعداد جفتی را‬ ‫كه از ‪ 10‬كوچك‌تر باشد ‪ E‬بناميم‪ ،‬در این صورت‪:‬‬ ‫}‪O = {1,3,5,7,9‬‬ ‫}‪E = {2, 4,6,8‬‬ ‫هر دستة مشخص شده از اشيا را يك ست‌ و اشياى آن را عناصر (عضو) ست مي نامند‪.‬‬

‫تمرین‬ ‫‪ -1‬ستي را بنويسيد كه عناصر آن نام‌ روز‌هاي هفته باشند‪.‬‬ ‫‪ -2‬ستي را بنويسيد كه عناصر آن نام‌ ماه‌هاي سال باشند‪.‬‬ ‫‪ -3‬ست حروف صدادار زبان انگليسي را بنويسيد‪.‬‬ ‫‪ -4‬ستی را بنویسيد كه عناصر آن نام‌هاي واليات افغانستان باشند‪.‬‬ ‫‪ -5‬ستي را بنويسيد كه عناصر آن انسان هايي باشند كه قدآن ها ‪ 3‬متر است‪.‬‬

‫‪4‬‬

‫عناصر يك ست(‪)Members of a Set‬‬ ‫آیا می‌توانيد بگوييد كه بز در ست حيوانات‬ ‫اهلي شامل است يا خير؟‬

‫در مثال تيم هاي ورزشي‪ ،‬صفت اهلل عضو تيم فوتبال بود‪ .‬او يك عنصر از ست ‪ C‬مي باشد و‬ ‫اين طور نشان داده مي شود‪ ∈ C :‬صفت اهلل‬ ‫چون زلمي عنصر(عضو) تيم فوتبال (ست ‪ )C‬نيست‪ ،‬اين طور نشان داده می‌شود‪:‬‬ ‫‪ ∉ C‬زلمي (زلمي عنصر ست ‪ C‬نيست و يا عنصر ست تيم فوتبال نيست‪).‬‬ ‫اما زلمي عضو تيم واليبال يا عنصر ست ‪ B‬بوده؛ بنابراین‪:‬‬ ‫‪ ∈ B‬زلمي (زلمی‌عنصر ست ‪ B‬است)‬

‫فعالیت‬ ‫ست‌هاي زير را در نظر بگيريد‪:‬‬

‫}‪A = {a , b , c , d , e‬‬ ‫}‪B = {2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8‬‬

‫• آيا ‪ b‬عنصر ست ‪ B‬می‌باشد؟ در مورد عضویت ‪ d‬در ست ‪ B‬چه مي گوييد؟‬ ‫• آيا ‪ 5‬عنصر ست ‪ A‬است؟ آيا ‪ 5‬عنصر ست ‪ B‬است؟‬ ‫• ست ‪ A‬چند عنصر دارد؟ ست ‪ B‬چند عنصر دارد؟‬ ‫مثال اول‪ :‬ست‌هاي ‪ A‬و ‪ B‬را در نظر مي گيريم طوری كه‬

‫{ اعداد جفت يك‌رقمي}=‪A‬‬ ‫{اعداد يك‌رقمي كه بر ‪ 3‬قابليت تقسيم دارند}=‪B‬‬ ‫• ست هاي‪ A‬و‪ B‬را با عناصرشان بنويسيد‪.‬‬ ‫• ست هاي‪ A‬و‪ B‬را به وسیلۀ دياگرام وين نشان دهيد‪.‬‬

‫‪5‬‬

‫حل‬ ‫مشاهده مي شود که‪:‬‬

‫}‪A = {2, 4, 6,8‬‬ ‫}‪B = {3, 6,9‬‬ ‫‪33∈∈BB‬‬ ‫‪99∉∈BB‬‬ ‫‪6 6∈∈BB‬‬

‫‪4∉B‬‬

‫‪2∈ A‬‬ ‫‪4∈ A‬‬ ‫‪8∈ A‬‬ ‫‪6∈ A‬‬

‫‪B‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪9‬‬

‫مثال دوم‪ :‬درستي يا نادرستي رابطه های زیر را تعيين كنيد‪.‬‬

‫‪A‬‬

‫‪8 2‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪6‬‬

‫}∉‬ ‫‪{ )a‬‬ ‫حل‪ a :‬درست است؛ اما ‪ b‬درست نیست‪.‬‬ ‫عنصر بودن و يا شامل بودن یک عنصر در يك ست با عالمت )∈( و عنصر نبودن در يك‬ ‫ست با عالمت ()∉)( نشان داده می‌شود‪.‬‬ ‫‪)b‬‬

‫تمرین‬

‫}‪f ∈ {a , b , c , d , e‬‬

‫‪B‬‬

‫‪1 3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪15‬‬

‫‪6‬‬

‫‪12‬‬

‫‪ -1‬خانه هاي خالي زير را بر اساس شکل فوق ست‌های ‪ A‬و ‪ B‬پر كنيد‪.‬‬ ‫‪6 B‬‬ ‫∉‪3‬‬

‫‪7‬‬

‫‪A‬‬

‫‪5‬‬

‫‪12‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪ -2‬اگر}‪ A = {2, 4, 6,8‬و}‪ B = {1,3,5, 7 ,9‬باشد‪ ،‬كدام يك از عبارات زير درست‬

‫و كدام يك نادرست  است؟‬ ‫‪، 7∉A ، 9∈B ، 8∉B‬‬

‫‪، 4∈A‬‬

‫∈‪5‬‬ ‫∉‪7‬‬

‫‪5∈A‬‬

‫‪10 ∈ A ، 11 ∈ B ، 1 ∉ A ، 2 ∈ A ، 3 ∉ B‬‬ ‫‪ -3‬اگر}‪ A = {1, 2,3, 4‬و}‪ B = {3, 4,5, 6‬باشد‪ ،‬كدام يك از عبارات زير درست و كدام‬ ‫يك نادرست است؟‬ ‫‪6∉ A‬‬

‫‪5∈ A‬‬

‫‪6∈ A‬‬

‫‪ -4‬درستي و نادرستي عبارت‌هاي زير را مشخص كنيد‪.‬‬ ‫}‪5 ∉ {2,4,6,8,10‬‬ ‫}‪     g ∉ {a,b,c,d,e‬‬

‫‪،‬‬ ‫‪،‬‬

‫‪5∈ B‬‬

‫‪2∉ A‬‬

‫‪2∈ B‬‬

‫‪4∈ A‬‬

‫‪3∈ A‬‬

‫}‪8 ∈ {3,5,7,8,9,11,13‬‬ ‫}‪10∈ {1,2,3,4,5,6,7,8‬‬

‫‪6‬‬

‫طرق نوشتن يك ست‬ ‫یک ست را به چند روش می‌توان نشان داد؟‬

‫}‬

‫‪,‬‬

‫‪A={ ,‬‬ ‫‪B‬‬

‫{پنج بنای اسالم}=‪C‬‬

‫به طور عموم ست را به دو روش نشان می دهند‪:‬‬ ‫‪ -1‬تمام عناصر يك ست و يا تصاوير عناصر به این روش در بين عالمت ست{    } قرار‬ ‫می‌گیرند طوری که در بين عناصر عالمت (‪ ),‬نوشته مي شود‪ .‬اين روش را روش تفصيلي يا‬ ‫روش لست كردن عناصر (‪ )Tabulation Method‬می‌گویند‪.‬‬ ‫مثال اول‪{ :‬‬

‫‪,‬‬

‫‪,‬‬

‫‪,‬‬

‫‪,‬‬

‫=‬

‫} ‪{ ، A‬احمد‪ ،‬حسن‪ ،‬قاسم‪ ،‬زلمي‪ ،‬محمود} = ‪B‬‬

‫} ‪ D = {a , b , c , d , e} C = {1, 2, 3, 4,5, 6, 7 ,8‬و }‪E = {1, 2,3, 4,...,500‬‬

‫چون عناصر ست ‪ E‬زياد مي باشد‪ ،‬بدین سبب سه نقطۀ (‪ )...‬این مفهوم را دارد كه اعداد الي‬ ‫‪ 500‬دوام دارند‪.‬‬ ‫‪ -2‬ست را به اساس خاصيت هاي مشترک عناصر در يك جمله مشخص می کنند‪ .‬در اين‬ ‫طريقه‪ ،‬نوشتن عالمت } { ضروري نيست‪ .‬اين روش را روش اجمالي يا روش توصيفي‬ ‫(‪ )Description Method‬مي نامند‪.‬‬ ‫مثال دوم‪ :‬ست ‪ B‬و ست ‪ E‬مثال اول را توسط طريقۀ اجمالی طور زير مي نويسيم‪:‬‬ ‫ست نام‌های شاگردان تيم واليبال صنف ‪B = 7‬‬ ‫ست ‪ 500‬عدد طبيعي پیهم که با ‪ 1‬شروع می شوند = ‪E‬‬ ‫}‪ P = {2,3,5, 7,11,...‬را به شكل زیر نشان می‌دهيم‬ ‫ست اعداد اوليه = ‪P‬‬ ‫مثال سوم ‪ :‬اگر{كلمة طيبه ‪‌,‬نماز ‪ ,‬روزه ‪ ,‬زكات ‪ ,‬حج}=‪ K‬باشد‪ ،‬ست ‪ K‬را توسط طريقۀ‬ ‫اجمالی به شكل زیر نشان مي دهيم‪:‬‬ ‫ست پنج بناي اسالم = ‪K‬‬

‫‪7‬‬

‫فعالیت‬ ‫ست ‪ 8‬حرف اول زبان انگليسي = ‪A‬‬ ‫ست اعداد طبیعی كوچك تر از ‪ 10‬و بزرگ تر از ‪B = 2‬‬ ‫ست مضرب هاي عدد ‪ 3‬کمتر از ‪C = 20‬‬

‫ست هاي ‪ B ، A‬و ‪ C‬را توسط روش لست كردن عناصر بنويسيد‪.‬‬

‫مثال چهارم  ‪ :‬اگر }‪ A = {a , e , i , o , u‬و }‪ B = {a , b , c , d , e‬باشد‪ .‬اين ست ها را به‬ ‫روش اجمالي يا توصيفي بنويسيد‪.‬‬ ‫حل‪ :‬ست حروف صدادار زبان انگليسي = ‪ ، A‬ست پنج حرف اول زبان انگليسي = ‪B‬‬

‫تمرین‬ ‫‪ -1‬ست هاي زير را به روش لست كردن عناصر بنويسيد‪.‬‬

‫ست نام روزهاي يك هفته = ‪B‬‬ ‫ست نام ماه هاي يك سال = ‪A‬‬ ‫ست رنگ هاي بیرق افغانستان = ‪E‬‬

‫‪ -2‬ست هاي زير را به طريقة توصيفي(تشريحي) بنويسيد‪.‬‬

‫}‪A = {a , e , i , o , u‬‬ ‫‪A‬‬ ‫{سياه‪ ،‬سرخ‪ ،‬سبز} = ‪B‬‬

‫}‪C = {1,3,5,7,9‬‬ ‫}‪D = {2, 4,6,8‬‬

‫}‪E = {1, 2,3, 4,5‬‬

‫‪ -3‬ست هاي زير را به طريقة لست كردن عناصر بنويسيد‪.‬‬ ‫ست اعداد طبيعي جفت يك‌رقمي = ‪K‬‬ ‫ست اعداد طبيعي طاق يك‌رقمي = ‪L‬‬ ‫ست مضرب‌هاي عدد هفتم = ‪T‬‬ ‫ست شاگردان تيم فوتبال صنف هفتم = ‪C‬‬ ‫ست شاگردان تيم واليبال صنف هفتم = ‪B‬‬ ‫ست شاگردان صنف هفتم = ‪A‬‬

‫‪8‬‬

‫ست هاي مساوي و ست هاي معادل(‪)Equal and Equivalent Sets‬‬ ‫آيا می‌توان گفت كه ست‌هاي ‪ A‬و ‪ C‬چه‬ ‫رابطه‌یی با هم دارند و نيز در بين ست‌هاي ‪A‬‬ ‫و ‪ B‬چه رابطه‌یی موجود است؟‬

‫}‬

‫}‬

‫}‬

‫‪,‬‬

‫‪,‬‬

‫‪,‬‬

‫‪,‬‬

‫{=‪A‬‬

‫‪,‬‬

‫{=‪B‬‬

‫‪,‬‬

‫{=‪C‬‬

‫فعالیت‬ ‫اگر ست }‪ A = {1, 2 , 3 , 4 , 5 , 7 , 8‬باشد‪  ،‬ست هاي ‪ B‬و ‪ C‬را از روی ست ‪ A‬طوری‬ ‫بسازید که‪:‬‬ ‫• ‪ B‬ست اعداد جفت يك‌رقمي باشد‪.‬‬ ‫• ‪ C‬ست اعداد يك‌رقمي یی كه بر ‪ 2‬قابليت تقسيم را دارند‪.‬‬ ‫• در بارة ست هاي ‪ B‬و ‪ C‬چه گفته مي توانيد؟‬ ‫تعريف‪ :‬ست‌هاي ‪ A‬و ‪ B‬را ست هاي مساوي مي نامند‪ ،‬هرگاه تعداد عناصر هر دو ست با هم‬ ‫مساوی و يكسان باشند‪ .‬به عبارت ديگر‪ ،‬اگر تمام عناصر ست ‪ A‬در ست ‪ B‬و تمام عناصر‬ ‫ست ‪ B‬در ست ‪ A‬شامل باشند‪ ،‬در این صورت می نویسیم كه ‪ A = B‬مي باشد‪.‬‬ ‫مثال اول‪ :‬اگر }‪ A = {1, 2 , 6‬و }‪ B = {1,1, 2 , 2 , 6‬باشد متوجه باشيد كه‪:‬‬ ‫‪ A = B = C‬مي باشد‪.‬‬ ‫متوجه بايد بود كه }‪ {2 , 3 , 5 , 7} = {5 , 3 , 2 , 7‬مي باشد‪ .‬ست های }‪ A = {1, 2‬و }‪B = {2 , 3‬‬ ‫را در نظر بگیرید‪ .‬اين دو ست با هم مساوي نيستند؛ زيرا كه ‪ ، 1 ∈ A‬ولی ‪1 ∉ B‬‬ ‫تكرار عناصر يك ست و يا تبديل كردن جاهاي عناصر يك ست‪ ،‬هیچ كدام تغيیري در ست وارد‬ ‫نمي كند‪.‬‬

‫‪9‬‬

‫فعالیت‬ ‫دو ست ‪ A‬و ‪ B‬را در نظر بگيريد‪:‬‬ ‫}‪ B = {5,4,7,8‬و }‪A = {a,b,c,d‬‬ ‫• تعداد عناصر هر یک از ست ‪ A‬و ‪ B‬چند است؟‬ ‫• آيا ‪ a‬عنصر ست ‪ B‬است؟‬ ‫• آيا ست ‪ A‬با ست ‪ B‬مساوي است‪ ،‬چرا؟‬ ‫مثال دوم‪ :‬اگر } ‪,‬‬ ‫هم معادل  اند؟‬ ‫چون تعداد عناصر ست ‪ A‬سه و تعداد عناصر ست ‪ B‬نيز سه می‌باشند؛ پس ست‌هاي ‪ A‬و ‪B‬‬ ‫با هم معادل اند‪.‬‬ ‫مثال سوم  ‪ :‬آيا ست اعداد طاق يك‌رقمی‌و ست اعداد جفت يك‌رقمي با هم معادل اند؟‬ ‫حل‪:‬‬ ‫}‪A = {1, 3 , 5 , 7 , 9‬‬ ‫}‪B = {2 , 4 , 6 , 8‬‬ ‫چون تعداد عناصر ست ‪ A‬مساوی به پنج و تعداد عناصر ست ‪ B‬مساوی به چهار مي باشد‪A ،‬‬ ‫و ‪ B‬با هم معادل نيستند‪.‬‬ ‫اگر عناصر ست هاي ‪ A‬و ‪ B‬یکسان باشند به نام ست‌های مساوی و اگر صرف تعداد عناصر شان‬ ‫با هم مساوي باشند به نام ست هاي معادل )‪ )Equivalent Sets‬ياد مي شوند‪.‬‬ ‫‪ -1‬ست های }‪ A = {1, 2 , 3 , 4 , 5‬و }‪ B = {a , b , c , d , e‬را در نظر بگیرید‪:‬‬

‫‪ A = { ,‬و }‪ B = {8,10,12‬باشند‪ ،‬آيا دو ست ‪ A‬و ‪ B‬با‬

‫تمرین‬ ‫• آيا ست ‪ A‬مساوي با ست ‪ B‬می باشد؟‬ ‫• آيا ست ‪ A‬معادل با ست ‪ B‬می‌باشد؟‬

‫‪ -2‬ست های }‪ A = {1,7,8,9‬و }‪ B = {9,8,1, 7 ,9‬را در نظر بگیرید‪:‬‬ ‫• آيا ست ‪ A‬با ست ‪ B‬مساوي است؟‬ ‫‪ -3‬كدام يك از عبارات زير درست و كدام يك نادرست است؟‬ ‫• اگر }‪ A = {5, 6,8,11‬و }‪ B = {11,11, 6,5,8‬باشد‪ ،‬پس ‪ A = B‬است‪.‬‬ ‫• اگر{ شنبه‪ ،‬يك شنبه ‌‪ ،‬دو شنبه} = ‪ C‬و }‪ D = {x , y , z‬باشد‪ ،‬ست ‪ C‬با ست ‪ D‬معادل‬ ‫مي باشد‪.‬‬ ‫• اگر }‪ M = {2 , 4 , 6‬و }‪ N = {6 , 4 , 6 , 2‬باشد ‪ M ≠ N‬است‪.‬‬

‫‪10‬‬

‫ست فرعي(‪) Subset‬‬ ‫اعضاي خانوادة شما اهل یک شهر يا قریه استند‪،‬‬ ‫اهالي شهر يا قریة شما از مردمان افغانستان استند‪،‬‬ ‫مردم افغانستان ‪. ...‬‬

‫فعالیت‬ ‫‪ A‬ست شاگردان صنف ‪ 7‬و ‪ B‬ست شاگردان تيم واليبال صنف ‪ 7‬می‌باشد‪.‬‬ ‫‪B‬‬

‫زلمي احمد‬ ‫عزت اهلل‬ ‫محمود قاسم‬ ‫حسن‬ ‫صفت اهلل‬

‫‪A‬‬

‫عطاء اهلل‬ ‫دين محمد‬ ‫نادر‬

‫●با توجه به شكل فوق عناصر ست های ‪ A‬و ‪ B‬را بنويسيد‪.‬‬ ‫● بين عناصر ست ‪ A‬و ‪ B‬چه رابطه‌یی وجود دارد؟ توضيح دهيد‪.‬‬ ‫ديده مي شود كه هر عنصر ست ‪ B‬عنصر ست ‪ A‬نيز می‌باشد‪ ‌،‬در این صورت مي گوييم كه‬ ‫ست ‪ B‬يك ست فرعي ست ‪ A‬بوده كه اين طور نشان داده مي شود‪B ⊂ A :‬‬ ‫اين ⊂ عالمت ست فرعی می‌باشد‪ .‬از طرف دیگر چون هر عنصر ست ‪ A‬در ست ‪ B‬موجود‬ ‫نيست؛ پس ست ‪ ،   A‬ست فرعي ‪ B‬نمي باشد و اين طور نشان داده مي شود‪A ⊄ B :‬‬ ‫مثال اول‪ :‬ست‌هاي زير را در نظر می‌گيريم‪:‬‬ ‫{احمد‪ ،‬محمود‪ ،‬زهرا‪ ،‬مريم} = ‪A‬‬ ‫{داوود‪ ،‬قاسم‪ ‌،‬احمد‪ ،‬مريم} = ‪B‬‬ ‫{مريم‪ ،‬احمد} = ‪C‬‬

‫‪11‬‬

‫‪، C⊂B‬‬ ‫‪، B⊄ A‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪C⊂A‬‬ ‫پس مي توان گفت كه‪A ⊄ B :‬‬ ‫و نيز مي توان گفت كه ‪ A ⊂ A‬می‌باشد؛ یعنی هر ست‪ ،‬ست فرعي خودش مي باشد‪.‬‬ ‫اگر هر عنصر ست ‪ A‬در ست ‪ B‬و برعکس هر عنصر ست ‪ B‬در ست ‪ A‬شامل باشد‪،‬‬ ‫مي‌گوييم كه اين دو ست با همديگر مساوي اند و مي‌توانيم بنويسيم‪:‬‬ ‫‪ B⊂ A ⇒ A= B‬و ‪A⊂ B‬‬

‫فعالیت‬ ‫ست های }‪ E = {7 , 6 , 2 , 5} ، B = {5 , 7} ، A = {2 , 5 , 6 , 7‬و }‪D = {1, 2 , 5 , 6‬‬

‫داده شده  اند‪.‬‬ ‫● آيا ‪ B ⊂ A‬مي باشد؟‬ ‫ ‬ ‫● آيا ‪ D ⊂ A‬مي باشد؟‬

‫● آيا ست ‪ E‬ست فرعي ‪ A‬می‌باشد؟‬

‫مثال دوم  ‪ :‬اگر }‪ A = {2 , 4 , 6 , 8‬باشد‪ ،‬كدام يك از ست‌هاي زير ست فرعي ‪ A‬می‌باشد؟‬ ‫‪،‬‬ ‫}‪B = {1 , 2 , 4‬‬ ‫} {= ‪E‬‬ ‫حل‪ E ⊂ A :‬است؛ زيرا ست خالي ست فرعي هر ست شده می تواند‪ ،‬و ‪ B( B ⊄ A‬ست‬ ‫فرعي ‪ A‬نيست؛) زيرا ‪ 1∈ B‬است؛ ولی ‪. 1∉ A‬‬ ‫اگر تمام عناصر ست ‪ B‬در ست ‪ A‬شامل باشند‪ ،‬ست ‪ B‬يک ست فرعى ست ‪ A‬می‌باشد‬ ‫که این طور نشان داده می‌شود ‪. B ⊂ A‬‬

‫تمرین‬ ‫‪ -1‬هرگاه }‪ A = {1 , 2 , 3 , 4‬باشد‪ ،‬ست های ‪ C, B‬و ‪ D‬را به شکل تفصیلی بنويسيد‪.‬‬

‫• ‪ B‬ستي باشد كه همه عناصر آن اعداد جفت باشند‪.‬‬ ‫• ‪ C‬ستي باشد كه همه عناصر آن اعداد طاق باشند‪.‬‬ ‫• ‪ D‬ستي باشد كه همه عناصر آن اعداد بزرگتر از چهار باشند‪.‬‬ ‫‪ -2‬آيا هر ست‌‪ ،‬ست فرعي خودش می‌باشد؟‬ ‫‪ -3‬كدام يك از ست‌هاي زير ست فرعي ست }‪ C = {2 , 4 , 6 , 8‬مي باشد؟‬ ‫‪A = {1, 2, 4} ،‬‬ ‫} {= ‪B‬‬ ‫‪ -4‬كدام يك از ست‌هاي زير ست فرعي ست }‪ C = {1, 2 , 3 , 4 , 5‬مي باشد؟‬ ‫‪A = {3,5, 7} ،‬‬ ‫}‪B = {1, 2,3, 4,5‬‬ ‫‪ -5‬كدام يك از ست‌هاي زير با ست }‪ C = {1, 2 , 3 , 4‬مساوي می باشد؟‬ ‫}‪، B = {4,3, 2,1‬‬ ‫}‪A = {1, 2,3‬‬

‫‪12‬‬

‫تقاطع ست‌ها (‪)Intersection of Sets‬‬

‫آيا از مثال اول درس اول گفته مي‌توانيد‬ ‫كه كدام شاگردان صنف هفتم هم در‬ ‫تيم واليبال و هم در تيم فوتبال اشتراك‬ ‫دارند؟‬

‫تيم فوتبال ‪C‬‬ ‫طوري كه ديده می‌شود‪ ،‬احمد و قاسم در هر دو تيم‬ ‫عزت اهلل‬ ‫واليبال و فوتبال اشتراك دارند‪ .‬تقاطع دو ست ‪ B‬و ‪C‬‬ ‫حسن‬ ‫نادر‬ ‫عبارت از ستي است كه عناصر آن احمد و قاسم بوده‪،‬‬ ‫احمد‬ ‫زلمي‬ ‫صفت اهلل‬ ‫این گونه نشان داده مي شود‪.‬‬ ‫قاسم‬ ‫محمود‬ ‫دين محمد‬ ‫{احمد‪ ،‬قاسم} = ‪ B  C‬که ‪ ‬عالمت تقاطع می‌باشد‪.‬‬ ‫عطاء اهلل‬

‫تيم واليبال ‪B‬‬

‫{احمد‪ ,‬قاسم‪ ‌,‬عزت اهلل‪ ,‬نادر‪ ,‬صفت اهلل‪‌,‬دين محمد‪ ,‬عطاء اهلل} ‪{ ‬حسن‪ ,‬زلمي‪ ,‬محمود‪ ‌,‬احمد‪‌,‬قاسم} = ‪B  C‬‬

‫{احمد‪‌,‬قاسم} =‬ ‫مثال اول‪ :‬هرگاه س��ت های }‪ A = {4 , 5 , 6 , 8,10‬و }‪ B = {3 , 5 , 8 , 1‬داده شده باشند‪،‬‬ ‫‪ A  B‬و ‪ B  A‬را دريابيد‪.‬‬ ‫‪A‬‬ ‫حل‪B A  B = {4 , 5 , 6 , 8,10}  {3 , 5 , 8 ,1} = {5 , 8} :‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5 1‬‬ ‫}‪B  A = {3 , 5 , 8 ,1}  {4 , 5 , 6 , 8,10} = {5 , 8‬‬

‫در نتيجه طوري‌كه در شكل نیز مشاهده مي شود‪ ،‬مي توان گفت كه‪3 :‬‬ ‫}‪A  B = B  A = {5 , 8‬‬

‫‪8‬‬

‫‪6‬‬

‫‪10‬‬

‫فعالیت‬ ‫هرگاه ست های }‪ B = {1,2 , 7 , 8} ، A = {1, 2 , 3 , 4 , 5 , 6‬و }‪ C = {2 , 3 , 7 , 8 , 9‬داده شده‬ ‫باشند‪CB , C ، A,  BA ،‬و‪ ( A  B) BC‬را دريافت نموده و توسط دیاگرام وین نشان دهيد‪.‬‬ ‫‪B‬‬

‫مثال دوم‪ :‬دو ست ‪ A‬و ‪ B‬را قرار زیر در نظر بگیرید‪.‬‬ ‫}‪B = {2 , 4 , 8‬‬

‫دیده می شود که‪:‬‬

‫‪13‬‬

‫}‪A = {1, 3 , 5‬‬

‫‪A  B = {1,3,5}  {2,4,8} = φ‬‬

‫‪A‬‬

‫‪B‬‬ ‫‪2 4‬‬

‫‪3‬‬

‫‪8‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪5‬‬

‫= ‪A B‬‬

‫س��ت هایی را ك��ه هيچ عنصر مش��ترك ندارند س��ت هاي غير مش��ترك(‪)Disjoint Sets‬‬ ‫مي نامند‪.‬‬ ‫تقاطع دو ست ‪ A‬و ‪ B‬در صورتی كه تمام عناصر ‪ A‬در ‪ B‬شامل باشند‪ ،‬با ست ‪ A‬برابر است‪.‬‬ ‫مثال سوم  ‪ :‬اگر }‪ A = {1, 2 , 3‬و }‪ B = {1,2 , 3, 4 , 5, 6‬باشد ‪ A  B‬را دريابيد‪.‬‬ ‫حل‪ :‬همان طوركه در دياگرام مقابل نشان داده شده‬ ‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫است‪:‬‬ ‫‪4 1 2 6‬‬ ‫‪A  B = {1, 2 , 3}  {1,2 , 3, 4 , 5, 6} = {1, 2 , 3} = A‬‬

‫‪A B‬‬

‫‪3‬‬

‫‪5‬‬

‫مثال چهارم  ‪ :‬اگر }‪ B = {1, 2} , A = {1‬و }‪ C = {1, 2 , 3‬باشد؛‬ ‫‪ ( A  B)  C‬و ) ‪ A  ( B  C‬را دریافت نموده‪ ،‬با هم مقایسه کنید‪.‬‬ ‫}‪B  C = {1, 2}  {1, 2 , 3} = {1, 2‬‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫حل‪:‬‬

‫}‪A  ( B  C ) = {1}  {1, 2} = {1‬‬ ‫}‪A  B = {1}  {1, 2} = {1‬‬ ‫}‪( A  B)  C = {1}  {1, 2 , 3} = {1‬‬

‫ ‬ ‫به همین ترتیب‬ ‫ ‬

‫}‪A  ( B  C ) = ( A  B )  C = {1‬‬

‫در نتیجه ‬

‫این خاصیت را به نام خاصیت اتحادی تقاطع یاد می کنند‪.‬‬ ‫تقاطع دو ست ‪ A‬و ‪ B‬عبارت از ستي است كه عناصر آن هم در ‪ A‬و هم در ‪ B‬شامل باشند‪.‬‬ ‫‪AA = A‬‬ ‫تقاطع هر ست ‪ A‬با خودش مساوي به خود ‪ A‬است‪ :‬‬

‫تمرین‬ ‫‪B‬‬

‫‪d x‬‬ ‫‪c t‬‬

‫‪a‬‬

‫‪A‬‬

‫‪ -1‬شكل مقابل را در نظر بگيريد‪.‬‬ ‫• عناصر هر يك از ست‌هاي ‪ A‬و ‪ B‬را از روي شكل بنويسيد‪.‬‬ ‫‪b‬‬ ‫● ‪ A  B‬و ‪ B  A‬را به دست آورده‪ ،‬در شكل نشان دهيد‪.‬‬ ‫‪ -2‬اگر }‪ B = {6,10,12, 20} ، A = {5,10,15, 20‬و }‪ C = {1, 2,10, 20,30‬باشند‪.‬‬ ‫● ست‌هاي ‪ B ، A‬و ‪ C‬را در دياگرام وين نشان دهيد‪.‬‬ ‫● ‪ A  C ، A  B‬و ‪ B  C‬را دريابيد‪.‬‬

‫‪14‬‬

‫اتحاد ست ها (‪)Union Of Sets‬‬ ‫‪ 5‬نفر شاگرد صنف ‪ ،7‬عضو تيم واليبال‬ ‫و ‪ 7‬نفر شاگرد صنف ‪ 7‬عضو تيم‬ ‫فوتبال مي باشند؛ زمانی که شاگردان هر‬ ‫دو تيم فوتبال و واليبال غرض درس به‬ ‫صنف می‌روند‪ ،‬جمعاً در صنف چند نفر‬ ‫مي باشند؟‬

‫ست شاگردان صنف ‪{ = 7‬دين محمد‪ ‌,‬عطاءاهلل‪ ,‬صفت اهلل‪ ,‬نادر‪‌,‬عزت اهلل ‌‪ ,‬قاسم‪ ‌,‬احمد‪ ,‬محمود‪ ,‬زلمي‪ ,‬حسن} = ‪A‬‬ ‫ست تيم واليبال = { قاسم‪ ,‬احمد‪ ,‬محمود‪ ,‬زلمي‪ ,‬حسن} = ‪B‬‬ ‫ست تيم فوتبال = {عطاء اهلل‪ ‌,‬دين محمد‪ ,‬صفت اهلل‪ ‌,‬نادر‪ ,‬عزت اهلل‪ ,‬قاسم‪ ,‬احمد} = ‪C‬‬

‫مشاهده مي گردد كه ‪ 5‬نفر در تيم واليبال و ‪ 7‬نفر در تيم فوتبال اشتراك دارند؛ اما زمانی كه‬ ‫به صنف مي روند جمعاً در صنف ‪ 10‬نفر می‌شوند؛ این مسـأله اتحاد ست های ‪ B‬و ‪ C‬بوده‬ ‫به شکل زیر نمايش داده می‌شود‪:‬‬ ‫‪، B  C‬كه ‪ ‬عالمت اتحاد بین دو ست مي باشد‪.‬‬

‫{عطاءاهلل‪ ‌,‬دين محمد‪ ,‬صفت اهلل‪ ‌,‬نادر‪ ,‬عزت اهلل‪ ,‬قاسم‪ ,‬احمد} ‪ { ‬قاسم‪ ,‬احمد‪ ,‬محمود‪ ,‬زلمي‪ ,‬حسن} = ‪B  C‬‬ ‫{دين محمد‪ ,‬عطاءاهلل‪ ,‬صفت اهلل‌‪ ,‬نادر‪ ,‬عزت اهلل‪ ‌,‬قاسم‪ ,‬احمد‪ ,‬محمود‪ ,‬زلمي‪ ,‬حسن} = ‪A‬‬ ‫تيم فوتبال ‪C‬‬

‫ديده مي شود كه قاسم و احمد هم عضو تيم‬ ‫واليبال و هم عضو تيم فوتبال مي باشند‪ .‬در‬ ‫اتحاد ست ها عناصر مشترك تنها يك بار نوشته‬ ‫مي شوند‪ ،‬طوري كه در دياگرام وين نشان داده‬ ‫شده است‪.‬‬

‫فعالیت‬

‫عزت اهلل‬ ‫نادر‬ ‫احمد‬ ‫صفت اهلل‬ ‫قاسم‬ ‫دين محمد‬ ‫عطاء اهلل‬

‫حسن‬ ‫زلمي‬ ‫محمود‬

‫= ‪ B  C‬تيم واليبال ‪B‬‬

‫هرگاه ست های }‪ A = {1, 2 , 3 , 4‬و }‪ B = {3 , 4 , 5 , 6‬داده شده باشند‪ A  B ،‬و‬ ‫‪ B  A‬را به دست آورده و در دياگرام وين نشان دهيد‪.‬‬

‫‪15‬‬

‫مثال اول‪ :‬اگر ست های }‪ A = {1, 2 , 3‬و }‪B = {1, 2 , 3 , 4 , 5‬‬ ‫داده شده باشند‪ A  B ،‬و ‪ B  A‬را دريافت نموده و در شكل‬

‫‪B‬‬ ‫‪A‬‬

‫‪5‬‬

‫نشان دهيد‪.‬‬

‫‪1‬‬

‫‪3‬‬

‫‪4‬‬

‫‪2‬‬

‫}‪A  B = {1, 2 , 3}  {1, 2 , 3 , 4 , 5} = {1, 2 , 3 , 4 , 5‬‬ ‫}‪B  A = {1, 2 , 3 , 4 , 5}  {1, 2 , 3} = {1, 2 , 3 , 4 , 5‬‬

‫مثال دوم  ‪:‬اگرست های }‪ A = {1, 3 , 5‬و }‪ B = {2 , 4 , 6‬داده شده باشند‪ A  B ،‬رادريافت‬ ‫نموده و در شكل نشان دهيد‪A  B = {1,3,5}  {2, 4, 6} = {1, 2,3, 4,5, 6} .‬‬ ‫‪B‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪3‬‬

‫‪6‬‬

‫‪A B‬‬

‫‪5‬‬

‫مثال سوم  ‪ :‬اگر }‪ B = {1, 2} , A = {1‬و }‪ C = {1, 2 , 3‬باشد‬ ‫را دریافت نمایید‪:‬‬ ‫}‪B  C = {1, 2}  {1, 2,3} = {1, 2,3‬‬ ‫ ‬ ‫حل‪:‬‬ ‫}‪A  (B  C) = {1}  {1, 2,3‬‬ ‫}‪= {1, 2,3‬‬

‫‪ (A  B)  C‬و )‪A  (B  C‬‬

‫}‪A  B = {1}  {1, 2} = {1, 2‬‬ ‫}‪(A  B)  C = {1 , 2}  {1, 2,3} = {1, 2,3‬‬ ‫در نتيجه ‪A  (B  C) = (A  B)  C‬‬

‫خاصیت فوق را به نام خاصیت اتحادی عملیۀ اتحاد ست ها یاد می نمایند‪.‬‬ ‫اتحاد دو ست ‪ A‬و ‪ B‬عبارت از ستی است که عناصر آن یا در ‪ A‬و يا در ‪ B‬شامل باشند‪.‬‬

‫تمرین‬ ‫بادر نظر داشت شكل مقابل‪ ،‬ست های ‪B ، A‬‬ ‫و ‪:C‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪ ، B  C ، A  C ،‬و ‪( A  B)  C‬‬ ‫را به طریق لست کردن عناصر بنويسيد‪.‬‬

‫‪B‬‬

‫‪2‬‬

‫‪4‬‬

‫‪6‬‬ ‫‪7‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪10‬‬

‫‪A‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪C‬‬

‫‪16‬‬

‫تفاضل دو ست(‪)Difference Of two Sets‬‬ ‫اگر شاگردان تيم واليبال صنف ‪ 7‬به‬ ‫مسابقه بروند‪ ،‬در صنف ‪ 7‬چند نفر‬ ‫شاگرد باقي مي ماند؟‬

‫طوري كه می دانید‪:‬‬ ‫شاگردان صنف ‪ 7‬که عضو تيم واليبال استند‪ ،‬عبارت از ست {قاسم‪ ،‬احمد‪ ،‬محمود‪ ،‬زلمي ‪ ،‬حسن} = ‪B‬‬ ‫بوده و ست تمام شاگردان صنف ‪ 7‬يا ست ‪ A‬مساوي است به‪:‬‬ ‫{زلمي‪ ،‬محمود‪ ،‬دين محمد‪ ،‬عطاءاهلل‪ ،‬نادر‪ ،‬عزت اهلل‪ ،‬قاسم‪ ،‬صفت اهلل‪ ،‬احمد‪،‬حسن} = ‪A‬‬

‫بنابراین ست شاگرداني كه در صنف مي مانند و عضو تیم والیبال نیستند‪ ،‬عبارت است از‪:‬‬ ‫ل اين دو ست مي باشد‪.‬‬ ‫صفت اهلل‪ ،‬عزت اهلل‪ ،‬نادر‪ ،‬عطاءاهلل و دين محمد ‪ ،‬كه در حقيقت تفاض ‬

‫شاگردان باقي‌مانده در صنف كه عضو تيم واليبال نيستند{صفت اهلل‪ ،‬عزت اهلل‪ ،‬نادر‪ ،‬عطاءاهلل‪ ،‬دين محمد} = ‪A − B‬‬

‫که در حقیقت تفاضل این دو ست می‌باشد‪ .‬تفاضل دو ست فوق در شكل نیز نشان داده شده‬ ‫است‪:‬‬ ‫‪ A‬شاگردان صنف ‪7‬‬ ‫ ‬ ‫‪ B‬تيم واليبال‬

‫حسن‬ ‫زلمي‬ ‫محمود‬ ‫احمد‬ ‫قاسم‬

‫صفت اهلل‬ ‫عزت اهلل‬ ‫نادر = ‪A − B‬‬ ‫عطاء اهلل‬ ‫دين محمد‬

‫تيم واليبال ={محمود‪ ،‬زلمي‪ ،‬قاسم‪ ،‬حسن‪ ‌،‬احمد} = ‪B‬‬ ‫مثال اول‪:‬‬ ‫تيم فوتبال={عزت اهلل‪ ،‬عطاءاهلل‪ ،‬دين محمد‪ ،‬نادر‪ ،‬صفت اهلل‪ ،‬قاسم‪ ،‬احمد} = ‪C‬‬

‫‪ B − C‬و ‪ C − B‬را دريافت نموده و در شكل‬ ‫نشان دهيد‪.‬‬ ‫حل‪ :‬در ‪ B − C‬عناصري شامل اند كه در ‪B‬‬ ‫شامل؛ اما در ‪ C‬شامل نیستند؛ بدين معنا شاگرداني‬ ‫كه در تيم واليبال باشند؛ اما در تيم فوتبال نباشند‪،‬‬ ‫مطلوب است‪.‬‬

‫تيم فوتبال ‪C‬‬

‫عزت اهلل‬

‫تيم واليبال ‪B‬‬

‫نادر‬ ‫حسن‬ ‫احمد‬ ‫صفت اهلل‬ ‫زلمي‬ ‫قاسم‬ ‫دين محمد‬ ‫محمود‬ ‫عطاء اهلل‬ ‫‪B−C‬‬ ‫{عزت اهلل‪ ،‬عطاءاهلل‪ ،‬دين محمد‪ ،‬نادر‪ ،‬صفت اهلل‪ ،‬قاسم‪ ،‬احمد}‪{-‬محمود‪ ،‬زلمي‪ ،‬قاسم‪ ،‬حسن‪ ،‬احمد} = ‪B − C‬‬ ‫{محمود‪ ,‬زلمي‪ ,‬حسن}= ‪B − C‬‬

‫‪17‬‬

‫در ‪ C − B‬شاگرداني شامل مي باشند كه در تيم فوتبال شامل؛ اما در تيم واليبال شامل نمي باشند‪.‬‬ ‫{محمود‪ ،‬زلمي‪ ،‬قاسم‪ ،‬حسن‪ ‌،‬احمد}‪{-‬عزت اهلل‪ ،‬عطاءاهلل‪ ‌،‬دين محمد‪ ،‬نادر‪ ،‬صفت اهلل‪ ‌،‬قاسم‪ ،‬احمد} = ‪C − B‬‬ ‫{عزت اهلل‪ ،‬عطاءاهلل‪ ،‬دين محمد‪ ،‬نادر‪ ،‬صفت اهلل} =‬ ‫‪ C − B‬در شكل هندسی به طور زیر نشان داده‬ ‫تيم فوتبال ‪C‬‬ ‫شده است‪:‬‬

‫عزت اهلل‬ ‫ديده مي شودكه ‪ B − C ≠ C − B‬بوده و عالمت‬ ‫نادر‬ ‫حسن‬ ‫≠ به مفهوم مساوي نيست به كار مي رود‪.‬‬ ‫احمد‬ ‫صفت اهلل‬ ‫زلمي‬ ‫قاسم‬ ‫دين محمد‬ ‫محمود‬ ‫عطاء اهلل‬ ‫تيم واليبال ‪B‬‬ ‫‪C−B‬‬

‫فعالیت‬

‫‪B‬‬

‫• عناصر ست ‪ A‬و ‪ B‬را بنويسيد‪.‬‬ ‫• ‪ A − B‬و ‪ B − A‬را به دست آورده و در شكل نشان دهيد‪.‬‬ ‫ ‬ ‫مثال دوم  ‪:‬‬ ‫حل‪:‬‬

‫‪5 7 9‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪4 3 6 8‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪A‬‬

‫‪2‬‬

‫}‪{a , b} − {b} = {a‬‬ ‫}‪{x , y , z} − {a , b} = {x , y, z‬‬ ‫= }‪{a , b} − {a , b‬‬

‫تفاضل دو ست ‪ A-B‬عبارت از ستی است که عناصر آن در ‪ A‬شامل؛ اما در ‪ B‬شامل نیستند‪.‬‬ ‫و ‪ B-A‬عبارت از ستی است که عناصر آن در ‪ B‬شامل؛ اما در ‪ A‬شامل نیستند‪.‬‬

‫تمرین‬ ‫‪ -1‬اگر ست های }‪ B = {1, 3 , 5 , 7} , A = {2 , 4 , 6 ,8‬و }‪ C = {4 , 6 , 8‬داده شده باشند‪.‬‬ ‫‪ A − C , B − B , B − A , A − B , A − A‬و ‪ C − A‬را دريابيد‪.‬‬ ‫‪ -2‬اگر ست های}‪ C = {a , b ,8,12‬و }‪ D = {a ,12,16‬داده شده باشند‪.‬‬ ‫‪ C − D‬و ‪ D − C‬را دريابيد‪.‬‬ ‫‪ -3‬در كدام شكل قسمت رنگ‌شده ست ‪ A − B‬را نشان مي  دهد؟‬ ‫‪B‬‬

‫‪A‬‬

‫‪B‬‬

‫‪b:‬‬

‫‪ -4‬اگر }‪ A = {1, 3 , 5‬و }‪ B = {2 , 4 , 6‬داده شده باشند‪ A − B ،‬مساوي است به‪:‬‬ ‫‪b( A‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪a:‬‬

‫‪a( B‬‬

‫‪18‬‬

‫ست كلي و مكملة يك ست (‪)Universal Set and Complement Set‬‬

‫در صن��ف ‪ 7‬مضامي��ن تعليمات اس�لامي‪،‬‬ ‫رياضي‪ ،‬ساينس‪ ،‬اجتماعيات‪ ،‬پشتو‪ ،‬دري‪،‬‬ ‫انگليس��ي‪ ،‬عرب��ي‪ ،‬هنر‌ه��ا و تربي��ت بدني‬ ‫تدريس مي شوند‪.‬‬ ‫يك ش��اگرد صنف ‪ ،7‬كتاب هاي تعليمات‬ ‫اسالمي‪ ،‬اجتماعيات‪ ،‬پشتو‪ ،‬هنرها‪ ،‬انگليسي‪،‬‬ ‫عربي و تربيت بدني را به دست آورده است‪.‬‬ ‫این ش��اگرد كدام كتاب ها را بايد به دست‬ ‫آورد تا تمام كتاب هايش تكميل گردند؟‬

‫فعالیت‬ ‫•ست تمام حروف زبان انگليسي را بنویسيد و آن را به ‪ U‬نشان دهيد‪.‬‬ ‫• ست تمام حروف صدادار زبان انگليسي را مشخص نموده‪ ،‬آن را ‪ A‬بناميد‪.‬‬ ‫• ست تمام حروف زبان انگليسي را با دياگرام وين نشان دهيد‪.‬‬ ‫• ست حروف صدا دار و ست حروف بی صدا (غير واول) را در همان شكل نشان دهيد‪.‬‬ ‫در فعاليت فوق ست حروف زبان انگليسي را ست عمومی‌ می نامند که به ‪ U‬نشان داده‬ ‫می‌شود و ست حروف بي صدای (غير واول) را به نام ست مكملة حروف صدا دار (واول) ‪A‬‬ ‫ياد مي كنند‪ .‬مکملۀ ست ‪ A‬را به ‪ A′‬يا ‪ A‬نشان می دهند‪.‬‬ ‫به عبارة ديگر‪ ،‬اتحاد ست حروف بي صدا زبان انگليسي با ست حروف صدا دار‪ ،‬ست‬ ‫حروف زبان انگليسي را تشکیل می دهند‪.‬‬ ‫طوري كه مي دانيد‪ ،‬زبان انگليسي ‪ 26‬حرف داشته كه ‪ 5‬حرف آن صدا دار و ‪ 21‬حرف آن غير‬ ‫بی صدا مي باشد‪ .‬ست حروف بی صدا به نام ست مكملة ست حروف صدادار ياد مي شوند‪.‬‬ ‫ ‬ ‫}‪A = {a , e , i , o , u‬‬ ‫}‪U = {a, b, c, d , e, f , g , h, i, j , k , l , m, n, o, p, q, r , s, t , u, v, w, x, y, z‬‬

‫‪ ←‬ست حروف غير واول (بی صدا)‬ ‫‪ A = U − A ‬‬ ‫ست حروف واول (صدادار) →‬ ‫↓‬

‫ست حروف زبان انگليسي‬

‫}‪A = {a, b, c, d, e, f , g, h,i, j, k, l, m, n, o, p, q, r,s, t, u, v, w, x, y, z} − {a , e,i , o , u‬‬ ‫}‪= {b, c, d, f , g, h, j, k, l, m, n, p, q, r,s, t, v, w, x, y, z‬‬

‫‪19‬‬

‫‪U‬‬

‫‪ A‬كه در این شكل خط خط شده است؛‬ ‫مكملة ست ‪ A‬می‌باشد‪.‬‬

‫‪g‬‬

‫‪h‬‬

‫‪d‬‬

‫‪f‬‬ ‫‪l‬‬

‫‪a‬‬

‫‪e‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪o u‬‬ ‫‪w‬‬ ‫‪x y z‬‬

‫‪c‬‬ ‫‪k‬‬

‫‪n‬‬ ‫‪s‬‬

‫در هر موردي كه بحث می‌شود‪ ،‬يك ست‬

‫‪b‬‬ ‫‪j‬‬

‫‪m‬‬ ‫‪r‬‬

‫‪q‬‬

‫‪v‬‬

‫‪t‬‬

‫‪A‬‬

‫‪A‬‬

‫مشخص وجود دارد كه تمام عناصر مربوط موضوع را احتوا نموده و آن را ست عمومی‌يا‬ ‫ست كلي مي نامند‪.‬‬

‫مثال  ‪ :‬اگر }‪ U = {1, 2,3, 4,5, 6, 7 ,8,9,10‬و }‪ A = {2, 4, 6,8,10‬باشد مكملة ‪A‬‬ ‫را نظر به ‪ U‬دريافت نموده و در شكل نشان دهيد‪.‬‬ ‫حل‪ :‬براي به دست آوردن ‪ A‬عناصر ست ‪ A‬را از ست ‪ U‬حذف می‌كنيم؛ عناصري كه‬ ‫در ست ‪ U‬باقي مي مانند‪ A ،‬يا مكملة ‪ A‬نظر به ‪ U‬مي باشند‪.‬‬ ‫}‪A = U − A = {1, 2,3, 4,5, 6, 7 ,8,9,10} − {2, 4, 6,8,10} = {1,3,5, 7 ,9‬‬ ‫‪4 A‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪8 10‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪A‬‬ ‫مكملة ست ‪ A‬را به '‪ A‬يا ‪ A‬نشان داده و داراي‬ ‫عناصری مي باشد كه آن عناصر در ست عمومي‪U‬‬ ‫شامل بوده‪ ،‬اما در ست ‪ A‬شامل نمی باشند‪ .‬قسمتي‬ ‫كه سبز رنگ است عبارت از ست ‪ A‬مي باشد‪.‬‬

‫‪7‬‬

‫‪1‬‬

‫‪3‬‬

‫‪U‬‬

‫‪9‬‬

‫‪A‬‬ ‫'‪A‬‬

‫تمرین‬ ‫‪ A -1‬و ‪ B‬را در شكل مقابل مشخص كنيد‪.‬‬ ‫‪ -2‬ست اعداد اولیۀ کوچک‌تر از ‪ 20‬را دریافت نموده و آن را ‪ U‬بنامید‪.‬‬ ‫• ست فرعی ‪ B‬را طوری مشخص کنید که عناصر آن بین ‪ 5‬و ‪15‬‬ ‫باشد‪.‬‬ ‫• ‪ B‬را در شکل مشخص کنید‪.‬‬

‫‪U‬‬

‫‪B‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪U‬‬

‫‪20‬‬

‫ست های متناهی و نامتناهی)‪(Finite and Infinite Sets‬‬ ‫آیا س��تاره گانی را که در آس��مان می بینید‪،‬‬ ‫قابل شمارش اند؟‬

‫هرگاه }‪ A = {a , b‬باشد‪ A ،‬داراي دو عنصر و هرگاه }‪ B = {1, 2 , 3 , 4‬باشد‪B ،‬‬ ‫داراي چهار عنصر می باشد‪ .‬هرگاه ست اعداد طبیعی طاق بین ‪ 2‬تا ‪ 20‬را به ‪ C‬نشان دهيم‪،‬‬ ‫}‪ C = {3,5, 7 ,9,11,13,15,17 ,19‬بوده و دارای ‪ 9‬عنصر می باشد‪.‬‬ ‫مثال اول‪ :‬ست حروف صدا دار زبان انگلیسی که عناصر آن قابل شمارش اند یک ست‬ ‫ ‬ ‫متناهی است‪:‬‬ ‫}‪A = {a , e , i , o , u‬‬ ‫اما ست اعداد طبیعی که یک ست نامتناهی بوده و عناصر آن قابل شمارش نمی‌باشند‪ ،‬طور‬ ‫زیر نشان داده می‌شود‪ :‬‬ ‫}‪N = {1, 2 , 3 , 4 ...‬‬ ‫ارائۀ نقطه نقطه(‪ )...‬بدین معنا است که اعداد طبیعی پایان ندارند‪.‬‬

‫فعالیت‬ ‫• ست اعداد جفت بین ‪ 20‬و ‪ 30‬را بنویسید‪.‬‬ ‫• تعداد عناصر آن را تعیین نموده و بگویید که آیا این يك ست متناهی است‪ ،‬یا خیر؟‬ ‫• ست اعداد جفت بزرگتر از عدد ‪ 20‬را بنویسید‪ .‬آیا می توانید تعداد عناصر این ست را‬ ‫تعيين كنيد‪ .‬آیا این یک ست متناهی است یا نامتناهی؟‬ ‫مثال دوم  ‪ :‬در ست های زیر کدام ست ها متناهی و کدام ست ها نامتناهی می باشند؟‬ ‫{نام‌های ماه های سال} = ‪A‬‬ ‫{رنگ های بیرق افغانستان} = ‪B‬‬

‫}‪C = {2 , 3 , 4 , 5‬‬

‫}‪D = {2 , 4 , 6 , 8 , ... ,100‬‬ ‫}‪E = {2 , 4 , 6 , 8 , ...‬‬ ‫}‪N = {1, 2 , 3 , 4 , 5 , 6 ...‬‬

‫‪21‬‬

‫حل‪ :‬ست های ‪ C , B , A‬و ‪ D‬ست‌های متناهی اند؛ اما ست های ‪ E‬و ‪ N‬ست های‬ ‫نامتناهی می باشند‪.‬‬ ‫مثال سوم  ‪ :‬در ست هاي زير كدام ست متناهي و كدام ست نا متناهي است؟‬ ‫{حروف زبان انگليسي} = ‪A‬‬ ‫ ‬ ‫{مضرب‌هاي عدد شش} = ‪ B‬‬ ‫حل‪ :‬ست ‪ A‬يك ست متناهي است‪ ،‬زيرا ‪ 26‬عنصر دارد‪ .‬اما ست ‪ B‬يك ست نامتناهي‬ ‫است‪ ،‬زيرا مضرب‌هاي عدد ‪ 6‬قابل شمارش نمی‌باشند‪.‬‬ ‫اگر عناصر یک ست قابل شمارش(معین) باشند‪ ،‬به نام ست متناهی یاد می‌شود؛ اما اگر عمل‬ ‫شمارش عناصر یک ست به انتها نرسد‪ ،‬این گونه ست را ست نامتناهی می گویند‪ .‬ست خالی‬ ‫نیز یک ست متناهی است‪.‬‬

‫تمرین‬ ‫‪ -1‬در ست های زیر ست های متناهی و نامتناهی را مشخص کنید‪M = {1, 2 , 3 , a , b , c} .‬‬ ‫}‪D = {a , b , c , d , e‬‬ ‫}‪O = {1, 3 , 5 , 7 , 9 ...‬‬ ‫}‪E = {10, 20,30,...,1000‬‬ ‫‪ -2‬كدام يك از ست هاي زير ست نامتناهي مي باشد؟‬ ‫}‪A = {1, 2,3...,1000‬‬ ‫}‪B = {1, 2,3...‬‬ ‫{اعداد طاق بين ‪ 50‬و ‪C = }100‬‬ ‫‪ -3‬كدام يك از ست‌هاي زير ست متناهي می‌باشد؟‬ ‫{پنج بناي اسالم} = ‪A‬‬ ‫}‪B = {2 , 4 , 6 , 8...‬‬ ‫}‪D = {1, 3 ,5...‬‬

‫‪ -4‬چهار ست متناهي و چهار ست نامتناهي را بنويسيد‪.‬‬

‫‪22‬‬

‫خالصۀ فصل اول‬

‫• هر دستۀ مشخص شده از اشیای مختلف را یک ست می نامند و اشیای آن عبارت از عناصر‬ ‫ست می باشند‪ .‬عناصر ست را در بین عالمت ست{ } نوشته و توسط عالمت «‪ »,‬از یکدیگر‬ ‫جدا می سازند‪.‬‬ ‫• ستی‌که هیچ عنصری ندارد به نام ست خالی یاد می‌گردد که توسط عالمت و یا{ }‬ ‫نشان داده می شود‪.‬‬ ‫• عنصر بودن در یک ست با عالمت ∈ و عنصر نبودن در یک ست با عالمت ∉ نشان داده‬ ‫می شود‪.‬‬ ‫• ست ها عموماً به دو روش ارائه می‌شوند‪ .‬روش لست کردن (روش تفصیلی) که تمام‬ ‫عناصر و یا تصاویر آن‌ها در بین عالمت { } نوشته می‌شوند و طریق توصیفی(روش اجمالی)‬ ‫که بر اساس خاصیت های مشترک عناصر‪ ،‬در یک جمله نگاشته مي شوند‪.‬‬ ‫• دو ست که عناصر آن‌ها یکسان باشند ست‌های مساوی و اگر تنها تعداد عناصرآن‌ها با هم‬ ‫مساوی باشند؛ به  نام ست های معادل  یاد می کنند‪.‬‬ ‫• اگر تمام عناصر ست ‪ B‬در ست ‪ A‬شامل باشند‪ ،‬ست ‪ B‬ست فرعی ست ‪ A‬بوده و این‬ ‫طور نشان داده می شود‪B ⊂ A :‬‬ ‫• تقاطع دو ست ‪ A‬و ‪ B‬عبارت از ستی است که عناصر آن هم در ‪ A‬و هم در ‪ B‬شامل باشند‬ ‫و این طور نشان داده می شود‪A  B :‬‬ ‫• اتحاد دو ست ‪ A‬و ‪ B‬عبارت از ستی است که عناصر آن یا در ‪ ، A‬يا در ‪ B‬و یا در هر‬ ‫دوی آن ها شامل باشند و این طور نشان داده می شوند‪A  B :‬‬ ‫• تفاضل دو ست ‪ A − B‬عبارت از ستي است كه عناصر آن در ست ‪ A‬شامل بوده؛ ولی‬ ‫در ست‪ B‬شامل نباشند‪.‬‬ ‫• مکملۀ یک ست ‪ A‬نظر به یک ست ‪ U‬عبارت از ستي است که عناصر آن در ‪ U‬شامل‬ ‫بوده؛ ولی در ‪ A‬شامل نباشد که به ‪ A‬نشان داده می‌شود‪.‬‬ ‫• ستی که عناصر آن قابل شمارش باشد‪ ،‬ست متناهی و ستی که عناصر آن قابل شمارش‬ ‫نباشد‪ ،‬ست نامتناهی نامیده می شود‪.‬‬ ‫• قوانين تبديلي و اتحادي در عمليه‌هاي تقاطع و اتحاد ست ها صدق مي‌كنند‪.‬‬

‫‪23‬‬

‫تمرین فصل اول‬ ‫‪ -1‬ست اعداد طاق را که بر ‪ 2‬پوره قابل تقسیم باشند بنویسید‪.‬‬ ‫‪ -2‬اگر ‪ A‬ست نام‌ ماه هاي سال باشد‪ ،‬آن را به طریق لست کردن عناصر ارائه کنید‪.‬‬ ‫‪ -3‬اگر }‪ B = {2 , 4 , 6 , 8} ، A = {1, 2 , 3 , 4‬و }‪ C = {a , e , i , o , u‬باشد‪،‬‬ ‫خانه‌خالی‌های زیر را با استفاده از عالمت ∈ و ∉ پر کنید‪.‬‬ ‫‪3 A , u B , 10 C , i A , 8 B , e C‬‬ ‫‪f C , 2 A , e B , 8 C‬‬ ‫‪8 A , 3 B ,‬‬ ‫‪ -4‬اگر ست های }‪ B = {1, 2 , 3} ، A = {a , b , c‬و }‪ C = {b , a , c‬داده  شده‬ ‫باشند‪ ،‬کدام جفت از ست ها‪ ،‬مساوی و کدام آن‌ها معادل  اند؟‬ ‫‪ -5‬اگر ست شاگردان مکتب شما ‪ A‬و ست شاگردان صنف شما ‪ B‬باشد‪ ،‬آیا ست ‪B‬‬ ‫می تواند ست فرعی ‪ A‬باشد؟‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ -6‬اگر ست های }‪ B = {0 , ,1} ، A = {0 ,1, 2‬و }‪ C = {3 , 4‬داده شده باشند‪،‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ AB , CA , BC , AC , AB , AA‬و ‪BC‬‬ ‫را دریابید‪.‬‬ ‫‪ -7‬هرگاه }‪ A = {1, 2 , 3 , 4 , 5‬و }‪ B = {2 , 4 , 6 , 8‬باشد‪ A − B ،‬و ‪ B − A‬را‬ ‫دریابید‪.‬‬ ‫‪ -8‬اگر }‪A = {2 , 4 , 6 , 8 ,10 } ، U = {1, 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 ,10‬‬ ‫و }‪ B = {1, 3 , 5 , 7 , 9‬باشد؛ ‪ A , B , A  B , B  A , A  B‬و ‪A  B‬‬ ‫را دریابید‪.‬‬ ‫‪ -9‬کدام یک از این ست ها متناهی و کدام یک نامتناهی می باشد؟‬ ‫}‪A = {x , y , m‬‬ ‫}‪B = {1, 2 , 3 , 4 ....‬‬ ‫}‪C = {1, 2 ...100‬‬ ‫‪ -10‬در كدام شكل قسمت رنگ‌شده تقاطع دو ست ‪ A‬و ‪ B‬را نشان می‌دهد؟‬

‫□‬ ‫□‬

‫‪B‬‬

‫□‬ ‫□‬

‫□‬ ‫□‬

‫□‬ ‫□‬

‫‪B‬‬

‫‪A‬‬

‫)‪b‬‬

‫□‬ ‫□‬

‫□‬ ‫□‬

‫‪A‬‬

‫)‪a‬‬

‫‪ -11‬اگر ست های }‪ A = {7 ,9,11,13‬و }‪ B = {6,8,10,12‬داده شده باشند‪A − B ،‬‬ ‫و ‪ B − A‬را دريابيد و در دیاگرام وین نشان دهيد‪.‬‬

‫‪24‬‬

‫فصل دوم‬ ‫اعداد طبیعی‬

‫بشر از ابتدای تاریخ با شمارش اشیا‬ ‫در محیط خود آشنا بود‪.‬‬

‫اعداد طبیعی(‪)Natural numbers‬‬

‫چه فكر می‌كنيد اولين اعدادي كه‬ ‫بشر به آن‌ها سر و كار داشت كدام‬ ‫اعداد بودند؟‬

‫انسان ها از زمان قدیم به شمارش اشیایی که در طبیعت مشاهده می کردند‪ ،‬ضرورت داشتند‪.‬‬ ‫از همین شمار  کردن اشیا مفهوم اعداد طبيعي به  وجود آمده  است‪ .‬اعداد طبیعی را اعداد‬ ‫شمارش(‪ )Count numbers‬نیز می گویند‪.‬اين اعداد از یک شروع می‌شود و با عالوه نمودن‬ ‫یک به عدد قبلی‪ ،‬عدد بعدی حاصل می گردد‪ .‬اعداد ‪ 1,2,3,4...‬را اعداد طبيعي مي گويند‪.‬‬ ‫و ست آن به طور زیر نشان داده می شود‪:‬‬ ‫}⋅⋅⋅ ‪IN = {1, 2,3, 4,5,6,7,8,9,10,11,12,‬‬ ‫اعداد طبيعي را می توان روی خط اعداد (‪ )line numbers‬به طور زیر نشان داد‪:‬‬ ‫‪10 11 12 13 14‬‬

‫‪9‬‬

‫‪8‬‬

‫‪7‬‬

‫‪6‬‬

‫‪5‬‬

‫‪4‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫هر عدد كه به طرف راست عدد ديگري واقع باشد‪ ،‬بزرگتر و اگر به طرف چپ عدد واقع‬ ‫باشد كوچكتر از آن عدد مي باشد به طورمثال‪ 7 < 8 :‬و ‪ 8 < 9‬است‪.‬‬ ‫مي دانيم كه حاصل جمع دو عدد طبيعي نيز يك عدد طبيعي است؛ به طور مثال‪ 3 :‬و ‪5‬‬ ‫دو عدد طبيعي اند و حاصل جمع آن دو ( ‪ ) 3 + 5 = 8‬نيز يك عدد طبيعي است‪ ،‬پس ست‬ ‫اعداد طبیعی در عملیۀ جمع دارای خاصیت بسته‌گی می‌باشد‪.‬‬ ‫سؤال‪ :‬آیا در جمع دو عدد طبیعی ترتیب جمع کردن آن ها با هم شرط است؟‬ ‫مثال اول‪ 7 + 6 = 13 :‬و نیز ‪ 6 + 7 = 13‬می‌شود؛ پس‪6 + 7 = 7 + 6 :‬‬ ‫دیده می شود که در جمع دو عدد طبیعی‪ ،‬ترتیب قرارگرفتن آن ها با هم شرط نیست‪ .‬این‬ ‫خاصیت را خاصیت تبدیلی اعداد طبیعی در عملیۀ جمع می گویند‪.‬‬ ‫‪8 + (3 + 2) = (8 + 3) + 2‬‬ ‫مثال دوم‬ ‫‪8 + 5 = 11 + 2‬‬

‫‪13 = 13‬‬

‫‪27‬‬

‫اين خاصيت را خاصيت اتحادي اعداد طبيعي در عملیۀ جمع مي گويند‪.‬‬ ‫صفر با هر عدد طبيعي که جمع شود‪ ،‬حاصل جمع مساوي با خود عدد مي گردد؛ مث ً‬ ‫ال‪:‬‬ ‫‪ 3+0=0+3=3‬است صفر را به نام عنصر عينيت عملية جمع ياد مي كنند‪.‬‬

‫فعالیت‬ ‫• آيا خاصيت هاي فوق در عملیۀ ضرب اعداد طبيعي نيز صدق مي‌كنند؟‬ ‫• خانه هاي خالي زير را پر كنيد‪.‬‬ ‫‪888 888 = 0 = 0،‬‬ ‫)‪11 + (11 + (+ 17)+=17‬‬ ‫‪( = (+ 18)++18) +‬‬ ‫‪15‬‬

‫‪(18‬‬ ‫‪11 +(18 +) = ) = 18 + 18 + 15‬‬

‫‪11‬‬

‫‪25 = 12 = 12‬‬

‫‪25‬‬

‫دیده می شود خاصیت های اتحادی و تبدیلی در عملیۀ ضرب اعداد طبیعی نیز صدق می کنند‪.‬‬

‫به خاطر داشته باشيد‪ :‬حاصل ضرب هر عدد طبيعي با صفر مساوي به صفر و حاصل ضرب هر‬ ‫عدد طبيعي با يك مساوی به خود عدد مي باشد؛ مث ً‬ ‫‪3 × 0 = 0 , 3 ×1 = 3‬‬ ‫ال ‪:‬‬ ‫مثال سوم  ‬ ‫)‪3 × (4 + 5) = (3 × 4) + (3 × 5‬‬ ‫‪3 × 9 = 12 + 15‬‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫اين خاصيت به نام خاصيت توزيعي ضرب باالي جمع ياد مي گردد‪.‬‬ ‫‪27 = 27‬‬ ‫صفر عنصر عینیت در عملیۀ جمع و یک عنصر عینیت در عملیۀ ضرب می‌باشد و خاصیت‌های‬ ‫بسته‌گی‪ ،‬تبدیلی و اتحادی در عملیه‌های جمع و ضرب اعداد طبیعی و خاصیت توزیعی‬ ‫ضرب باالی جمع صدق می‌کنند‪.‬‬

‫تمرین‬

‫‪ -1‬کدام یک از جمالت زیر درست و کدام یک نادرست است؟‬ ‫• حاصل جمع دو عدد طبيعي‪ ،‬يك عدد طبيعي است‪.‬‬ ‫• در اعداد طبیعی‪ ،‬عدد یک‪ ،‬عنصر عینیت عملیۀ جمع می‌باشد‪.‬‬ ‫• اعداد طبیعی در عملیۀ جمع از خاصیت تبدیلی پیروی می کنند‪.‬‬ ‫• اعداد طبیعی در عملیۀ ضرب نیز از خاصیت تبدیلی پیروی می کنند‪.‬‬ ‫• خاصیت تبدیلي عملیۀ تفریق در اعداد طبیعی صدق می کند‪.‬‬ ‫• خاصیت تبدیلي عملیۀ تقسیم در اعداد طبیعی صدق می کند‪.‬‬ ‫‪ -2‬خالیگاه های زیر را پر کنید‪.‬‬ ‫)‬

‫‪+‬‬

‫( × ‪325 × 88 + 325 × 73 = 325‬‬ ‫× ‪803 × 593 = 593‬‬ ‫‪× 35) × 89‬‬

‫‪211 + 327 = 327 +‬‬ ‫× ‪3935‬‬ ‫‪=0‬‬ ‫( = )‪79 × (35 × 89‬‬

‫‪28‬‬

‫قابليت هاي تقسيم (‪ )Divisibility‬در اعداد طبيعي‬ ‫آي��ا ع��دد ‪ 82‬ب��ر ‪ 9‬پوره تقس��يم مي ش��ود؟‬ ‫ع��ددي را پيدا كنيد كه بر ‪ 9‬پوره قابل تقس��يم‬ ‫باشد‪.‬‬

‫طبق مثال داده شده‪ ،‬خانه های خالی جدول زیر را پر كنيد‪.‬‬ ‫كدام اعداد بر كدام اعداد پوره تقسيم مي شوند؟‬ ‫ﺍﻋﺪﺍﺩ‬

‫‪2‬‬

‫‪3‬‬

‫‪4‬‬

‫‪5‬‬

‫‪6‬‬

‫‪7‬‬

‫‪8‬‬

‫‪9‬‬

‫‪10‬‬

‫‪210‬‬

‫‪1200‬‬ ‫‪817‬‬ ‫‪105‬‬ ‫‪2008‬‬

‫اگر ‪ 36 ,81‬و‪ 45‬را بر ‪ 9‬تقسيم كنيم‪ ،‬باقي‌ماندۀ تقسيم مساوی به صفر است؛ ولي در تقسيم‬ ‫‪ 82‬بر ‪ 9‬باقي‌مانده صفر نمي شود‪ .‬در حالت اول تقسيم‪ ،‬که باقي‌مانده مساوی به صفر شد‪،‬‬ ‫مي گوييم ‪ 81‬بر ‪ 9‬پوره قابل تقسيم است؛ ولي ‪ 82‬بر ‪ 9‬پوره قابل تقسيم نیست‪.‬‬

‫فعالیت‬ ‫• زير اعدادي كه بر ‪ 2‬پوره قابل تقسيم اند خط بكشيد‪:‬‬ ‫‪47, 29, 7821 , 2790 , 3154 , 106 , 218 , 7822‬‬ ‫• زير اعدادی كه بر ‪ 9‬پوره قابل تقسيم اند خط بكشيد‪:‬‬ ‫‪882 , 1232 , 11115 , 1115 , 315 , 702‬‬ ‫• جملة صحيح را به عالمت ‪ ‬و جملة غلط را به عالمت× مشخص كنيد‪:‬‬ ‫عددي كه رقم یک‌های آن صفر و یا ‪ 5‬باشد‪ ،‬بر ‪ 5‬پوره قابل تقسيم است‪.‬‬ ‫‪-‬‬

‫□‬

‫‪29‬‬

‫ □ عددي كه مجموع ارقام آن بر ‪ 3‬پوره تقسيم شود‪ ،‬آن عدد بر ‪ 3‬پوره قابل تقسيم است‪.‬‬‫‪ □ -‬اگر عددي بر ‪ 9‬پوره قابل تقسيم باشد‪ ،‬بر ‪ 3‬نیز پوره قابل تقسيم است‪.‬‬

‫• زير اعدادي كه هم بر ‪ 2‬و هم بر ‪ 3‬پوره قابل تقسيم اند‪ ،‬خط كشيده و توسط عملية تقسيم‬ ‫نشان دهيد كه باالي ‪ 6‬نيز پوره قابل تقسيم مي باشند یا خیر؟‬ ‫‪438 , 216 , 73 , 128 , 54 , 537 , 126 , 582 , 602‬‬ ‫مثال  ‪ :‬کدام عدد بر ‪ 6‬و کدام عدد بر ‪ 9‬پوره قابل تقسيم است؟ ‪14,12,24,18‬‬ ‫حل‪ :‬چون ‪ 18 , 12‬و ‪ 24‬هم بر ‪ 3‬و هم بر ‪ 2‬پوره قابل تقسیم استند‪ ،‬پس بر ‪ 6‬نیز پوره‬ ‫قابل تقسیم استند‪ 18 .‬تنها عددی است که بر ‪ 9‬نیز پوره قابل تقسیم است‪.‬‬ ‫هر گاه در تقسيم دو عدد با هم‪ ،‬باقي‌مانده صفر شود‪ ،‬مي گوييم مقسوم برمقسوم عليه پوره قابل تقسيم است‪.‬‬

‫تمرین‬ ‫‪ -1‬در خانه هاي خالي كوچك‌ترين رقمی را بنويسيد تا عددی که حاصل می‌شود‪ ،‬بر اعداد‬ ‫داده شده پوره قابل تقسيم باشند‪.‬‬ ‫‪56‬‬

‫‪ 723‬ﺑﺮ ‪6‬‬

‫‪ 56‬ﺑﺮ ‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪56‬‬

‫‪ 725‬ﺑﺮ ‪4‬‬

‫‪ 392‬ﺑﺮ ‪2‬‬

‫‪5‬‬

‫‪ -2‬جواب‌های درست را انتخاب کنید‪.‬‬ ‫ اعدادی که رقم یک‌ها آن‌ها صفر باشد‪ ،‬بر کدام اعداد قابلیت تقسیم را دارند؟‬‫‪d) 8‬‬

‫‪c) 4‬‬

‫‪d) 9‬‬

‫‪c) 7‬‬

‫ عدد ‪ 1110‬بر کدام عدد زیر پوره قابل تقسیم است؟‬‫‪ -‬عدد ‪ 12300‬بر کدام اعداد پوره قابل تقسیم است؟‬

‫‪b) 3‬‬

‫‪a) 2,5,10‬‬

‫‪b) 4‬‬

‫‪a) 2,5, 6,10‬‬

‫‪c) 2,3, 4,5, 6,10‬‬ ‫‪d) 7,8,9‬‬ ‫ ‪ -3‬کدام اعداد زیر بر ‪ 4,3,2‬و ‪ 6‬پوره قابل تقسیم است؟‬ ‫‪128‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪858‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪1017‬‬ ‫‪76‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪531‬‬

‫‪a) 7‬‬

‫‪b) 8‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪,‬‬

‫‪ -4‬سه عدد مختلف را دریابید که هم بر ‪ 3‬و هم بر ‪ 4‬پوره قابل تقسیم باشند‪.‬‬ ‫‪ -5‬سه عدد مختلف را دریابید که هم بر ‪ 2‬و هم بر ‪ 3‬پوره قابل تقسیم باشند‪.‬‬ ‫‪ -6‬عدد ‪ 4092‬بر کدام اعداد زیر پوره قابل تقسیم است؟‬ ‫‪d ) 13‬‬

‫‪ 672‬ﺑﺮ ‪5‬‬

‫‪c) 11,3‬‬

‫‪b) 7‬‬

‫‪87‬‬ ‫‪24324‬‬

‫‪a) 8‬‬

‫‪30‬‬

‫تجزيه(‪)Factoring‬‬ ‫اعداد طبیعی‬ ‫عدد ‪ 20‬را به شكل حاصل ضرب دو عدد‬ ‫طبيعي بنويسيد‪.‬‬ ‫زير اعدادي كه تنها به عدد یک و خود شان‬ ‫قابل تقسیم  اند خط بكشيد‪:‬‬ ‫‪21, 17, 15, 23, 32‬‬

‫می دانیم که ‪ 24 = 4 × 6‬است و اعداد ‪ 4‬و ‪ 6‬را به نام اجزای ضربی(عوامل ضربی) ‪24‬‬ ‫یاد می کنند‪.‬‬ ‫سؤال‪ :‬آيا تنها ‪ 6‬و ‪ 4‬اجزاي ضربي ‪ 24‬می باشند ؟‬

‫فعالیت‬ ‫• اعداد ‪ 18‬و ‪ 31‬را به اجزاي ضربي تجزيه نموده و بگوييد كه تعداد اجزاي ضربي ‪ 18‬زيادتر‬ ‫است يا از ‪ 31‬؟‬ ‫• اجزاي ضربي اعداد ‪ 11 ،5‬و ‪ 19‬را بنويسيد‪.‬‬ ‫در فعاليت فوق ديديم كه برخي از اعداد مانند ‪ 18‬بيشتر از دو جزء ضربي دارند و برخي از اعداد‬ ‫مانند ‪ 31‬و ‪ 11‬تنها دو جزء ضربي دارند‪.‬‬ ‫اع�داد اولی�ه )‪ :(Prime Numbers‬اعدادی ان��د ک��ه ب��ه ج��ز از ی��ک و خودش��ان‬ ‫ب��ر ع��دد دیگ��ری پ��وره قاب��ل تقس��یم نمی باش��ند‪ .‬ب��ه عب��ارة دیگ��ر اع��دادی ک��ه تنه��ا دو‬ ‫قاس��م داش��ته باش��ند‪ ،‬ب��ه ن��ام اع��داد اولیه ی��اد می‌ش��وند‪ .‬س��ت اع��داد اولیه ب��ا ‪ P‬نش��ان داده‬ ‫{⋅⋅⋅ ‪P = }2, 3, 5, 7,11,13,17,19, 23, 29, 31‬‬ ‫می شودو عبارت است از‪ :‬‬ ‫اعداد مرکب )‪ :(Composite Numbers‬اعدادی که عالوه بر یک و خودشان براعداد دیگری‬ ‫نیز قابل تقسیم باشند به نام اعداد مرکب یاد می گردند‪ .‬مانند‪:‬‬ ‫{‪C = }4,6,8,9,10,12,14,15.....‬‬

‫يادداشت‪ :‬عدد يك نه اوليه و نه مركب است‪.‬‬ ‫مثال‪ :‬كدام يك از عدد هاي ‪ 36, 17, 27‬و‪ 19‬اوليه و كدام یک آن ها مركب  اند؟‬ ‫حل‪ :‬ابتدا قاسم هاي هر يك از اعداد را مي‌نويسيم‪:‬‬

‫‪31‬‬

‫اعداد‪ 3,9,27‬و ‪ 1‬قاسم هاي‪ 27‬می باشند‪ ،‬بنابراین ‪ 27‬عددی مرکب است‪.‬‬ ‫اعداد‪ 1,17‬قاسم هاي ‪17‬می باشند‪ ،‬بنابراین عدد ‪ 17‬عددی اولیه است‪.‬‬ ‫اعداد‪ 2 ,3 ,4 ,6 ,9 ,12 ,18 ,36‬و ‪ 1‬قاسم هاي عدد ‪ 36‬می باشند‪ ،‬بنابراین ‪ 36‬عددی‬ ‫مرکب است‪.‬‬ ‫اعداد ‪ 3 ,9‬و ‪ 1‬قاسم هاي ‪ 9‬می باشند‪ ،‬بنابراین ‪ 9‬عددی مرکب است‪.‬‬ ‫اعداد ‪ 19‬و ‪ 1‬قاسم هاي ‪ 19‬می باشند‪ ،‬بنابراین ‪ 19‬عددی اولیه است؛ زیرا که تنها دو قاسم‬ ‫دارد‪.‬‬ ‫نوشتن يك عدد به صورت حاصل ضرب اجزاي ضربي را تجزيه (‪ )Factoring‬مي گويند‪.‬‬

‫تمرین‬ ‫‪ -1‬کدام جمله درست است؟‬ ‫‪ )a‬عدد يک‪ ،‬عدد اولیه نيست‪.‬‬

‫‪ )b‬عدد یک‪ ،‬عدد قابل تجزیه می باشد‪.‬‬

‫‪ -2‬اگر ‪ 187 = 11×17‬باشد؛ پس‪:‬‬ ‫‪ 187 (a‬یک عدد اولیه است‪.‬‬

‫‪ 17 (b‬جزء ضربی ‪ 187‬است‪.‬‬

‫‪ -3‬کدام یک از اعداد زیر اولیه وکدام یک مرکب است؟‬ ‫‪،‬‬

‫‪49‬‬

‫‪51 ، 15‬‬ ‫‪ -4‬آیا عدد یک‪ ،‬عدد مرکب است؟ چرا؟‬ ‫‪ -5‬در مقابل اعدادی که اولیه اند‪ ،‬اولیه و در مقابل اعدادی که مرکب اند‪ ،‬مرکب بنویسید‪.‬‬ ‫‪67‬‬ ‫‪1111‬‬

‫‪ -6‬در اعداد زیر‪ ،‬کدام یک آن‌ها عدد اولیه نیست؟‬ ‫ ‪c) 21‬‬ ‫‪d) 23‬‬ ‫‪ -7‬در اعداد زیر‪ ،‬کدام یک آن‌ها عدد مرکب نیست؟‬ ‫‪d) 64‬‬

‫ ‪c) 39‬‬

‫‪،‬‬

‫‪37‬‬

‫‪،‬‬

‫‪90‬‬ ‫‪847‬‬

‫‪14‬‬

‫‪،‬‬

‫‪11‬‬

‫‪59‬‬ ‫‪73‬‬

‫ ‪b) 19‬‬

‫ ‪a) 47‬‬

‫ ‪b) 67‬‬

‫ ‪a) 90‬‬

‫‪32‬‬

‫تجزيه به اعداد اوليه)‪(Prime Factoring‬‬ ‫‪ 12 = 3 × 4‬و ‪12 = 2 × 2 × 3‬‬

‫چه تفاوتي بين اجزاي ضربي ‪ 12‬در ارائه های‬ ‫فوق وجود دارد؟‬

‫عدد ‪ 72‬را به اشکال مختلف اجزای ضربی آن تجزیه نمایید‪:‬‬ ‫‪1) 72 = 2 × 36 = 2 × 4 × 9 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3‬‬ ‫‪2) 72 = 6 × 12= 2 × 3 × 3 × 4 = 2 × 3 × 3 × 2 × 2‬‬ ‫تجزيه های فوق را در شكل زير نشان مي دهيم‪:‬‬ ‫‪72‬‬

‫‪72‬‬ ‫‪12‬‬

‫‪2‬‬

‫‪6‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪4‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪36‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪9‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪3‬‬

‫فعالیت‬ ‫‪72‬‬

‫‪2‬‬

‫‪9‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬

‫شکل دیگر تجزیه می‌توانید؛ طرز ارائۀ آن را نيز‬ ‫چند ‪2‬‬ ‫عدد ‪ 72‬را عالوه بر دو شکل فوق‪ ،‬به‪36‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪18‬‬ ‫نشان دهيد‪.‬‬

‫‪33‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫می‌توان عملیۀ تجزیه را در یک جدول به شکل زیر خالصه کرد‪:‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪72‬‬ ‫‪36‬‬ ‫‪18‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪72 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3‬‬

‫ديديم از هر روشي كه براي تجزيۀ يک عدد به اجزای اوليۀ ضربي‌اش استفاده كنيم‪ ،‬در پايان‬ ‫همواره به يك نتيجه مي رسيم‪.‬‬ ‫مثال‪ :‬اعداد ‪ 208, 416‬و ‪ 2574‬را به اجزای ضربی اولیۀ آن‌ها تجزیه کنید‪.‬‬ ‫حل‪:‬‬ ‫‪2574‬‬ ‫‪1287‬‬ ‫‪429‬‬ ‫‪143‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪2574‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1287‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪429‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪143‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪13‬‬

‫‪2574 = 2 × 3 × 3 × 11× 13‬‬

‫‪416‬‬ ‫‪2574‬‬ ‫‪208‬‬ ‫‪1287‬‬ ‫‪104‬‬ ‫‪429‬‬ ‫‪52‬‬ ‫‪143‬‬ ‫‪26‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪131‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪416‬‬ ‫‪22‬‬ ‫‪208‬‬ ‫‪23‬‬ ‫‪104‬‬ ‫‪23‬‬ ‫‪52‬‬ ‫‪211‬‬ ‫‪26‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪13 13‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪13‬‬

‫‪208‬‬ ‫‪416‬‬ ‫‪104‬‬ ‫‪208‬‬ ‫‪10452‬‬ ‫‪5226‬‬ ‫‪2613‬‬ ‫‪131‬‬

‫‪208‬‬ ‫‪22‬‬ ‫‪104‬‬ ‫‪22‬‬ ‫‪52‬‬ ‫‪22‬‬ ‫‪26‬‬ ‫‪22‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪12‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪13‬‬

‫‪13‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪416 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 13‬‬

‫‪208‬‬ ‫‪104‬‬ ‫‪52‬‬ ‫‪26‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪13‬‬

‫‪208 = 2 × 2 × 2 × 2 × 13‬‬

‫می‌دانیم‪ :‬در تجزية يك عدد تجزيه‌پذير(عدد مركب) به اجزاي ضربي اوليه‪ ،‬عدد را به صورت‬ ‫حاصل ضرب دو عدد طبيعي بزرگ‌تر از يك مي توانیم بنويسيم؛ اگر يكي از اجزاي ضربي يا هر‬ ‫دوي آن‌ها تجزيه پذير باشند‪ ،‬آن‌ها را نیز به  صورت حاصل ضرب اعداد طبيعي بزرگ‌تر از يك‬ ‫مي نويسيم‪ .‬اين كار را ادامه مي دهيم تا اين‌كه همة اجزاي ضربي اعداد اولیه باشند؛ اگر همة اجزاي‬ ‫ضربي يك عدد مركب‪ ،‬اعداد اوليه باشند‪ ،‬اين‌گونه تجزيه را تجزيه به اعداد اوليه مي نامند‪.‬‬

‫تمرین‬ ‫‪ -1‬اعداد ‪ 48 ، 36‬و ‪ 70‬را به اجزاي ضربي اولية آن‌ها تجزيه كنيد‪.‬‬ ‫‪ -2‬اعداد ‪ 64 ، 45 ، 20 ، 12‬و ‪ 80‬را به اجزاي ضربي اولية آن‌ها تجزيه كنيد‪.‬‬

‫‪ -3‬اعداد ‪ 70‬و ‪ 80‬را اول به اجزاي ضربي مركب و سپس به اجزاي ضربي اولية آن‌ها تجزيه كنيد‪.‬‬

‫‪ -4‬کدام یک از تجزیه‌های اعداد زیر درست و کدام یک نا درست است؟‬ ‫‪15 = 53‬‬

‫‪16 = 2 × 13‬‬

‫‪16 = 24‬‬

‫‪27 = 3 × 9‬‬

‫‪ -5‬تمام اجزای ضربی اولیۀ اعداد ‪ 24,9,15‬و‪ 29‬را بنویسید‪.‬‬ ‫‪ -6‬اعداد ‪ 144‬و ‪ 121‬را به اجزای ضربی اولیۀ آن تجزیه کنید‪.‬‬

‫‪2‬‬

‫‪28 = 2 × 9‬‬ ‫‪18 = 2 × 32‬‬

‫‪34‬‬

‫‪2‬‬

‫طاقـت )‪(Power‬‬ ‫ﻣﺮﺣﻠﻪ ﺳﻮﻡ‬

‫می دانیم که هر حجره چگونه به دو حجره‬ ‫تقسیم می شود‪ .‬در شکل مقابل‪ ،‬مراحل‬ ‫انقسام يک حجره مشاهده می‌شود‪.‬‬

‫ﻣﺮﺣﻠﻪ ﺳﻮﻡ‬

‫ﻣﺮﺣﻠﻪ ﺩﻭﻡ‬

‫ﻣﺮﺣﻠﻪ ﺩﻭﻡ‬

‫ﻣﺮﺣﻠﻪ ﺍﻭﻝ‬

‫ﻣﺮﺣﻠﻪ ﺍﻭﻝ‬

‫فعالیت‬ ‫ﭼﻬﺎﺭﻡ‬

‫ﺳﻮﻡ‬

‫ﭼﻬﺎﺭﻡ‬

‫ﺩﻭﻡ‬

‫ﺍﻭﻝ‬

‫ﺻﻔﺮ‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫ﺳﻮﻡ‬

‫‪2 2 2 2 2‬‬

‫ﻣﺮﺣﻠﻪ‬

‫ﺩﻭﻡ ﺍﻭﻝ‬ ‫ﺗﻌﺪﺍﺩ ﺣﺠﺮﻩ ﻫﺎ‬

‫‪2 2 2 2 2‬‬

‫• مرحلۀ چهارم را بکشید و جدول را کامل کنید‪.‬‬ ‫• بین تعداد حجرات و مراحل تقسیم آن ها چه رابطه‌یی وجود دارد؟‬ ‫• در مرحلۀ دهم چند عدد حجره خواهیم داشت؟‬ ‫• آیا می توانیم تعداد حجرات را در مرحلۀ دهم به شکل خالصه بنویسیم؟‬

‫‪2‬‬

‫حاصل جمع مقابل را به کمک عملیۀ ضرب خالصه کنید‪:‬‬ ‫‪4 + 4 + 4 = 3 × 4 = 12‬‬ ‫‪3 + 3 + 3 + 3 = 4 × 3 = 12‬‬ ‫آیا حاصل ضرب ‪ 2 × 2 × 2‬را نیز می‌توان خالصه کرد؟‬ ‫برای آسانی کار می توان ‪ 2 × 2 × 2‬را به شکل ‪ 23‬نوشته و آن را این طور می خوانیم‪ 2 ،‬به‬ ‫توان ‪ ،3‬در عدد ‪ 2 ، 23‬را قاعده(‪ 3 ، )Base‬را توان‌نما(‪ )Exponent‬و ‪ 23‬را به نام طاقت‬ ‫سوم ‪ 2‬یاد می کنند‪ .‬توان نما نشان می دهد که قاعده چند دفعه در خودش ضرب شده است‪.‬‬ ‫‪ 43‬نشان می دهد که ‪ 4‬سه دفعه در خودش ضرب گردیده است؛ یعنی‪43 = 4 × 4 × 4 :‬‬

‫مثال اول‪ :‬قيمت هر  یک از طاقت های زیر را دریابید‪42 , 53 , 23 , 54 , 102 , 34 :‬‬

‫حل‪:‬‬ ‫‪، 23 = 2 × 2 × 2 = 8 ، 102 = 10 ×10 = 100‬‬ ‫‪53 = 5 × 5 × 5 = 125 ، 54 = 5 × 5 × 5 × 5 = 625 ، 34 = 3 × 3 × 3 × 3 = 81‬‬ ‫‪42 = 4 × 4 = 16‬‬

‫‪2‬‬ ‫به همین ترتیب ‪ ( 2 ) 4‬به معنای ‪ 2 × 2 × 2 × 2‬است که‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3 3 3 3‬‬

‫‪35‬‬

‫قاعده و ‪ 4‬توان‌نما می باشد‪.‬‬

‫ﺻﻔﺮ‬ ‫‪1‬‬

‫ﻣ‬

‫ﺗﻌﺪﺍﺩ‬

‫فعالیت‬ ‫• قيمت هر يك از طاقت‌هاي زير را دريافت كنيد‪:‬‬

‫بنویسید‪□ ، 4 = □ ، 10 =□ ،:‬‬ ‫□= ‪1 =□ ، 2 =□ ، 10‬‬ ‫•حاصل ضرب‌های زیر را به شکل طاقت‬ ‫‪5‬‬

‫‪2‬‬

‫‪5‬‬

‫=‪8×8×8×8×8×8×8×8‬‬

‫• آیا اعداد ‪ 27‬و ‪ 72‬با هم مساوی اند؟ چرا؟‬

‫‪3‬‬

‫‪3‬‬

‫=‪9×9×9×9‬‬

‫‪2 3 23‬‬ ‫و ) ( برابر اند؟‬ ‫مثال دوم‪ :‬آيا اعداد‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬

‫= ‪32‬‬

‫=‪4×4×4‬‬

‫‪23 2 × 2 × 2 8‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2 2 2 8‬‬ ‫= × × = ‪( )3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3 3 3 27‬‬

‫حل‪:‬‬

‫‪2 3 23‬‬ ‫و ) ( برابر نیستند‪.‬‬ ‫پس‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬

‫هرگاه یک عدد چندین مرتبه در خودش ضرب شود‪ ،‬در این صورت حاصل ضرب به طور‬ ‫ساده به شکل طاقت ارائه می‌گردد و یا کوتاه ترین طریقة نشان دادن حاصل ضرب تکرار‬ ‫یک عدد را طاقت )‪ (Power‬می نامند‪.‬‬

‫تمرین‬ ‫‪ -1‬حاصل ضرب ‪ 2 × 2 × 2 × 2 × 2‬مساوی است به‪:‬‬ ‫‪c) 25‬‬ ‫ ‪d) 36‬‬ ‫‪ -2‬حاصل ضرب ‪ 10 × 10 × 10‬مساوی است به‪:‬‬ ‫‪c) 100‬‬

‫‪b) 5‬‬

‫‪a) 2‬‬

‫‪b) 310‬‬

‫‪a) 103‬‬

‫‪2‬‬

‫‪5‬‬

‫ ‪d) 1010‬‬ ‫‪ -3‬عدد ‪ 33‬مساوی است به‪:‬‬ ‫‪a) 9‬‬ ‫‪b) 27‬‬ ‫‪c) 54‬‬ ‫ ‪d) 12‬‬ ‫‪ -4‬یک شاگرد عددی را به اجزای ضربی اولیه تجزیه نموده که جواب آن ‪2 × 2 × 5 × 2 × 5‬‬ ‫می باشد‪ .‬این جواب را به شکل طاقت چگونه می‌توانیم بنویسیم؟‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪a) 2 × 5‬‬ ‫‪b) 23 × 52‬‬ ‫‪c) 22 × 52‬‬ ‫ ‪d) 23 × 53‬‬ ‫‪ -5‬اعداد ‪ 36‬و ‪ 24‬را به اجزای ضربی اولیۀ آن‌ها تجزیه نموده و به شکل طاقت بنويسید‪.‬‬ ‫‪ -6‬اجزاي ضربي اوليۀ عدد ‪ 416‬به شكل طاقت مساوي است به‪:‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪a) 2 × 13‬‬ ‫‪b) 24 × 13‬‬ ‫‪ -7‬اجزاي ضربي اوليۀ عدد ‪ 208‬به شكل طاقت مساوي است به‪:‬‬ ‫‪a) 24 × 13‬‬ ‫‪b) 25 × 13‬‬

‫‪36‬‬

‫قانون ضرب طاقت ها‬ ‫‪ 24 × 36‬را به عوامل ضربی اولیه تجزیه کرده‬ ‫و حاصل ضرب را به صورت طاقت بنویسید‪.‬‬ ‫‪ 16‬را به دو شکل به صورت طاقت بنویسید‪.‬‬ ‫آیا می توانید عدد دیگری را پیدا کنید که به دو‬ ‫شکل به صورت طاقت نوشته شود؟‬

‫مثال اول‪ :‬حاصل ضرب ‪ 33 × 32‬و ‪ 35‬را مقایسه کنید‪.‬‬ ‫حل‪ :‬چون می دانیم که ‪ 32 = 3 × 3‬و ‪ 33 = 3 × 3 × 3‬است‪ ،‬بنابراین‪:‬‬

‫‪32 × 33 = 3 × 3 × 3 × 3 × 3 = 35‬‬ ‫در نتیجه دیده می شود که‪ :‬‬

‫‪32 × 33 = 32+3 = 35‬‬

‫فعالیت‬ ‫• تساوي هاي زیر را کامل کنید‪.‬‬

‫‪+‬‬ ‫‪)=2‬‬

‫‪7 3 × 7 2 = (7 × 7 × 7 ) × (7 × 7 ) = 7‬‬ ‫×‬

‫×‬

‫×‬

‫( × )‪22 × 24 = (2 × 2‬‬

‫• آیا می توانید برای ضرب اعداد توان‌دار با قاعده های مساوی‪ ،‬یک قاعدۀ عمومی را پیشنهاد‬ ‫کنید؟‬

‫در فعاليت فوق ديديم كه در ضرب طاقت هایی که دارای قاعده های مساوی باشند‪ ،‬حاصل‬ ‫ضرب مساوی به‪ :‬قاعدة مشترک به توان حاصل جمع توان های داده شده می باشد‪.‬‬ ‫مثال دوم‪ :‬حاصل ضرب ‪ 23 × 25‬و ‪ 32 × 33 × 34‬را به دست آورید‪.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪3+ 5‬‬ ‫‪2 × 2 = 2 = 28‬‬ ‫ ‬ ‫حل‪:‬‬

‫‪32 × 33 × 34 = 32+3+ 4 = 39‬‬

‫‪37‬‬

‫در مورد حاصل ضرب ‪ 23 × 33‬چه گفته می توانید؟‬ ‫‪23 × 33 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 = (2 × 3)(2 × 3)(2 × 3) = (2 × 3)3 = 63‬‬ ‫در ضرب طاقت هایی که توان های مساوی و قاعده های مختلف داشته باشند‪ ،‬قاعده ها را در هم‬ ‫ضرب نموده و به توان یکی از توان های مساوی می‌نویسیم‪:‬‬ ‫مثال سوم‪:‬‬

‫‪3 × 4 = (3 × 4) = 12‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪5‬‬

‫مثال چهارم‪:‬‬

‫‪5‬‬

‫‪5‬‬

‫‪5‬‬

‫‪،‬‬

‫یا‬

‫‪(34 ) 2 = (3) 4× 2 = 38‬‬

‫‪2 × 3 = (2 × 3) = 6‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪5‬‬

‫‪5‬‬

‫‪(34 ) 2 = 34 × 34 = 38‬‬

‫در صورتی که یک عدد توان دار به توان برسد‪ ،‬با استفاده از قانون ضرب طاقت ها قاعده را‬ ‫به توان حاصل ضرب هر دو توان می‌نویسیم‪.‬‬

‫تمرین‬ ‫‪ -1‬حاصل ضرب‌های زیر را به شکل عدد توان‌دار بنویسید‪:‬‬ ‫‪ -2‬حاصل ضرب ‪ 23 × 32‬مساوی است به‪:‬‬

‫‪7 2 × 73 × 75 , 25 × 35 , 34 × 32‬‬

‫‪c) 65‬‬ ‫‪ -3‬حاصل ضرب ‪ 3 × 32 × 33‬مساوی است به‪:‬‬ ‫هر دو غلط  اند )‪c‬‬

‫‪ -4‬حاصل ضرب ‪ 23 × 33 × 43‬مساوی است به‪:‬‬ ‫‪c) 93‬‬ ‫‪d) (24)27‬‬

‫ ‬

‫ ‬

‫‪a) 81‬‬

‫‪b) 72‬‬ ‫ ‬

‫‪a) 35‬‬

‫‪b) 36‬‬

‫‪b) (2 × 3 × 4)3‬‬

‫ ‬

‫ ‬

‫‪a) (24)9‬‬

‫ ‬

‫‪ (42 )3 -5‬مساوی است به‪:‬‬ ‫‪d) 45‬‬

‫‪c) 24‬‬

‫‪b) 48‬‬

‫‪a) 46‬‬

‫‪38‬‬

‫تقسیم  طاقت ها‬ ‫برای پیدا کردن حاصل  ضرب طاقت ها‬ ‫توانستیم قاعدۀ عمومی را به دست آوریم‪.‬‬ ‫آیا می توانید برای تقسیم طاقت ها نیز چنین‬ ‫کاری را کنید؟‬

‫‪54‬‬ ‫در مورد حاصل تقسیم ‪ 2‬چه گفته می توانید؟‬ ‫‪5‬‬

‫ 4 :‬می باشد‪.‬‬ ‫‪35‬‬

‫‪35‬‬

‫مثال دوم‪ :‬از دو عدد نسبتی‬

‫حل‪:‬‬

‫بنابر این می توانیم بنویسیم که‪:‬‬

‫‪ 4‬و ‪7‬‬ ‫‪12 9‬‬

‫‪7‬‬

‫‪5‬‬

‫‪ ،‬کدام یک بزرگ‌تر است؟‬

‫‪63‬‬ ‫‪48‬‬ ‫>‬ ‫‪108 108‬‬

‫‪3 7 21‬‬ ‫= ×‬ ‫‪5 7 35‬‬

‫‪7 9‬‬ ‫‪63‬‬ ‫= ) (×‬ ‫‪12 9‬‬ ‫‪108‬‬

‫‪,‬‬

‫‪4 12‬‬ ‫‪48‬‬ ‫= ) (×‬ ‫‪9 12 108‬‬

‫و از اینجا می‌توانیم نتیجه‌بگیریم که‪:‬‬

‫‪7‬‬ ‫‪4‬‬ ‫>‬ ‫‪12 9‬‬

‫در مقایسۀ اعداد نسبتی یی که مخرج‌هایشان باهم مساوی باشند عددی‌که صورت آن بزرگ‬ ‫است بزرگ‌تر می‌باشد و اگر صورت‌های شان با هم مساوی باشند‪ ،‬عددی‌که مخرج آن‬ ‫بزرگ‌تر است‪ .‬کوچک‌تر می‌باشد و اما اگر‪ ،‬نه صورت‌ها و نه مخرج‌های شان باهم مساوی‬ ‫باشند در این صورت اعداد نسبتی را هم مخرج می‌سازیم‪ .‬یا به عبارت دیگر کوچک‌ترین‬ ‫مضرب مشترک را در می‌یابیم و بعد با هم مقایسه می‌کنیم‪.‬‬

‫تمرین‬ ‫اعداد نسبتی زیر را باهم مقایسه کنید‪.‬‬

‫‪5 3 1‬‬ ‫‪, ,‬‬ ‫‪9 7 3‬‬

‫)‪e‬‬

‫‪−8 −11‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪7‬‬

‫)‪d‬‬

‫‪1 −1‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪2 2‬‬

‫)‪c‬‬

‫‪5 −6‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪7 11‬‬

‫)‪b‬‬

‫‪3 4‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪5 7‬‬

‫)‪a‬‬

‫‪100‬‬

‫عملیه‌های جمع و تفریق اعداد نسبتی‬ ‫‪1‬‬ ‫برای ساختن يک چادر‪ 5 ،‬متر تکه الزم است‪ ،‬و‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫برای ساختن یک دستمال گردن به ‪ 2‬متر دیگر‬ ‫‪5‬‬ ‫از همان تکه ضرورت می‌باشد‪ .‬اگر تمام تکـۀ مورد‬ ‫نیاز از تکه‌یی که طول آن ‪ 15 1‬متر است‪ ،‬قطع‬ ‫‪2‬‬ ‫گردد‪ ،‬چقدر تکۀ دیگر باقی می‌ماند؟‬

‫فعالیت‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ -1‬ابتدا‬ ‫‪2‬‬

‫‪ −‬را روی محور اعداد نشان دهید و آن را نقطۀ ‪ A‬بنامید‪.‬‬

‫‪13‬‬ ‫‪ -2‬از نقطۀ ‪ A‬به اندازۀ‬ ‫‪10‬‬ ‫‪ -3‬نقطۀ ‪ B‬معادل کدام عدد نسبتی است؟‬

‫به سمت راست حرکت کنید و آن را ‪ B‬بنامید‪.‬‬

‫‪1 13‬‬ ‫‪ -4‬با استفاده از مخرج مشترک‪ ،‬حاصل جمع‬ ‫‪2 10‬‬

‫‪ -5‬حاصل جمع‬

‫‪2 3‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪6 6‬‬

‫و حاصل تفریق‬

‫‪5 4‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪6 6‬‬

‫‪ − +‬را پیدا کنید‪.‬‬

‫را دریابید‪.‬‬

‫مثال اول‪ :‬اعداد نسبتی زیر را از طریق یافتن مخرج مشترک و یا کوچک‌ترین مضرب‬ ‫مشترک مخرج‌ها‪ ،‬جمع کنید‪:‬‬

‫حل‪:‬‬

‫‪5 7 60 + 126 186 93 31‬‬ ‫= ‪+‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪18 12‬‬ ‫‪216‬‬ ‫‪216 108 36‬‬

‫حاال اگر در این مثال کوچک‌ترین مضرب مشترک مخرج‌ها را پیدا کنیم‪ ،‬می‌توانیم عملیۀ‬ ‫جمع را به قرار زیر انجام دهیم‪:‬‬ ‫‪18 = 2 × 3 × 3 = 2 × 32‬‬ ‫‪12 = 3 × 2 × 2 = 3 × 2 2‬‬ ‫دیده می‌شود که کوچک‌ترین مضرب مشترک ‪ 18‬و‪ 12‬عبارت از ‪ 32 × 22 = 36‬است‪ ،‬لذا‬

‫ ‬ ‫داریم که‪:‬‬

‫‪101‬‬

‫‪5 7 10 + 21 31‬‬ ‫= ‪+‬‬ ‫=‬ ‫‪18 12‬‬ ‫‪36‬‬ ‫‪36‬‬

‫فعالیت‬ ‫‪5‬‬ ‫‪ -1‬ابتدا عدد نسبتی‬ ‫‪6‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ -2‬از نقطۀ ‪ A‬به اندازۀ به طرف چپ محور بروید‪ ،‬به کدام نقطه می‌رسید؟‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5 1‬‬ ‫‪ -3‬حاصل ‪ −‬را با استفاده از دریافت کوچک‌ترین مضرب مشترک به دست آورید‪.‬‬ ‫‪6 4‬‬

‫را روی محور نشان دهید و آن را ‪ A‬بنامید‪.‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪5‬‬ ‫مثال دوم ‪ :‬از عدد نسبتی عدد نسبتی‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬

‫حل ‪:‬‬

‫را تفریق کنید‪.‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪15 − 8‬‬ ‫‪7‬‬ ‫= ) (‪−‬‬ ‫=‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪12‬‬

‫چه در جمع و چه در تفریق اعداد نسبتی‪ ،‬کافی است ابتدا مخرج مشترک را دریابیم و سپس‬ ‫صورت‌ها را جمع یا تفریق کنیم‪.‬‬

‫تمرین‬ ‫‪ -1‬حاصل جمع اعداد نسبتی زیر را به دست آورید‪.‬‬

‫‪4 −6‬‬ ‫‪7 3‬‬ ‫‪−5 −7‬‬ ‫‪−9 3‬‬ ‫‪+‬‬ ‫)‪= , b) + = , c‬‬ ‫‪+‬‬ ‫)‪= , d‬‬ ‫= ‪+‬‬ ‫‪5 5‬‬ ‫‪3 4‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪16 8‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪5‬‬ ‫را روی محور اعداد نشان داده و از آن‪ ،‬عدد نسبتی را تفریق نمایید‪.‬‬ ‫‪ -2‬عدد نسبتی‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‪a‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ -3‬یک شاگرد در روز اول‪ ،‬حصۀ یک کتاب را و در روز دوم‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬

‫مطالعه کرد‪ .‬چند حصۀ کتاب مذکور باقی‌مانده است؟‬

‫حصۀ همان کتاب را‬

‫‪102‬‬

‫ضرب و تقسیم اعداد نسبتی‬ ‫شکل مقابل نشان‌دهندۀ چه رابطه یی بین‬ ‫مستطیل ها است؟‬

‫?‬

‫=‬

‫فعالیت‬ ‫‪ -1‬یک نخ را به طول یک واحد در نظر گرفته‪ ،‬آن را نصف کنید‪.‬‬ ‫‪ -2‬این نصف‌ها را به سه حصۀ مساوی تقسیم کنید‪.‬‬ ‫‪ -3‬طول هر حصۀ به دست آمده‪ ،‬کدام قسمت واحد است؟‬ ‫‪1 1 1‬‬ ‫‪ -4‬چه رابطه یی را بين ‪ ،‬و‬ ‫‪6 3 2‬‬

‫مي‌توانيد مشاهده كنيد؟‬

‫براي ضرب دو عدد نسبتي‪ ،‬صورت  را در صورت و مخرج  را در مخرج ضرب می كنيم‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫مثال اول ‪:‬‬ ‫‪7‬‬

‫حل‪:‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬

‫را ضرب در ) ‪ (−‬کنید‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2 (−3) (−6) −3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫× = ) ‪( ) × (−‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫= ‪=−‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪28 14‬‬ ‫‪14 − 14‬‬

‫‪8‬‬ ‫مثال دوم ‪ :‬عدد نسبتی )‬ ‫‪15‬‬

‫حل ‪:‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪ (−‬را در عدد نسبتی ) ‪ (−‬ضرب کنید‪:‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪−8 −3 (−8) × (−3) 24 2‬‬ ‫= ) × ( = ) ‪) (−‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪15‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪15 4‬‬ ‫‪15 × 4‬‬ ‫‪60 5‬‬

‫حاال تقسيم دو عدد نسبتي را در مثال‌های زیر بررسي مي كنيم‪:‬‬

‫‪103‬‬

‫‪(−‬‬

‫‪7‬‬ ‫‪3‬‬ ‫را بر‬ ‫مثال سوم  ‪:‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪10‬‬

‫تقسیم کنید‪.‬‬ ‫‪7 3 7 5 35 7‬‬ ‫= × = ÷‬ ‫=‬ ‫‪10 5 10 3 30 6‬‬

‫ ‬ ‫حل ‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪21‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪3‬‬ ‫= ) ‪(−3 ) ÷ (− ) = (− ) ÷ (− ) = (− ) × (−‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫مثال چهارم ‪ :‬عدد نسبتی ) ‪ (−3‬را بر عدد نسبتی ) ‪ (−‬تقسیم کنید‪.‬‬ ‫ ‬ ‫حل‪:‬‬

‫در عملیۀ ضرب اعداد نسبتی‪ ،‬صورت را در صورت و مخرج را در مخرج ضرب می‌کنیم‬ ‫و در عملیۀ تقسیم‪ ،‬عدد دوم نسبتی(مقسوم علیه) معکوس و سپس مانند عملیۀ ضرب عمل‬ ‫می‌شود‪.‬‬

‫تمرین‬ ‫‪ -1‬اعداد زير را در هم ضرب نموده و جواب آن‌ها را به ساده‌ترین شکل بنویسید‪.‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪12‬‬ ‫) ‪× (−‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫) ‪f ) (− ) × × (−‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫)‪c‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪,‬‬ ‫‪,‬‬

‫‪−12 −5‬‬ ‫) ×‬ ‫‪3‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪3‬‬ ‫× ) ‪e) ( −‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪4‬‬ ‫( )‪b‬‬

‫‪41 13‬‬ ‫×‬ ‫‪,‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪−13‬‬ ‫( )‪d‬‬ ‫(×)‬ ‫‪) ,‬‬ ‫‪−11‬‬ ‫‪9‬‬ ‫)‪a‬‬

‫حصۀ عدد ‪ 111‬چند می‌شود؟‬

‫‪1‬‬ ‫‪ -3‬هر انسان کم از کم باید هر روز در برابر هر کیلو گرام وزن خود‬ ‫‪2‬‬

‫دیسی لیتر آب‬

‫بنوشد‪ .‬یک شخص با وزن ‪ 70‬کیلو گرام روزانه به چه مقدار آب ضرورت دارد؟‬

‫‪104‬‬

‫خواص عملیه‌های اعداد نسبتی‬ ‫احمد و محمود مي خواهند يك اتاق را رنگ كنند‪.‬‬ ‫احمد ‪ 2‬حصة كار و محمود ‪ 1‬حصة كار را انجام‬ ‫‪3‬‬

‫‪5‬‬

‫می‌دهد‪ ،‬احمد می‌گوید‪ :‬ب��راي آنكه ببينیم چقدر‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪5‬‬

‫كار انجام شده اس��ت‪ ،‬بايد‪ + :‬را جمع کنیم؛‬

‫اما محمود می‌گوید‪ ،‬بايد حاصل جمع ‪ 1 + 2‬را به‬ ‫‪5‬‬

‫‪3‬‬

‫دست آوريم‪ ،‬به نظر شما حاصل جمع آن‌ها با هم فرق‬ ‫مي‌كند؟‬

‫فعالیت‬ ‫‪ -1‬نخی را به طول ‪ 1m‬در نظر بگیرید؛ بعد آن را نصف کنید و سپس هر نصف را به سه‬ ‫قسمت مساوی تقسیم کنید‪ ،‬اکنون طول هر قسمت را حساب کنید‪.‬‬ ‫‪ -2‬اگر نخ دیگری به طول ‪ 1m‬را ابتدا سه قسمت مساوی کرده و بعد هر قسمت را نصف‬ ‫کنید‪ ،‬طول هر نصف مساوی به چند خواهد بود؟‬ ‫‪ -3‬طول اين دو قطعه نخ با هم چه رابطه يي دارند؟‬ ‫در فعالیت باال نتیجه حاصل می‌شود که خاصیت تبدیلی در ضرب اعداد نسبتی نیز صدق‬ ‫می‌کند‪.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪7‬‬ ‫مثال اول‪ :‬با استفاده از اعداد و ) ‪ (−‬خاصيت تبديلي جمع و ضرب را در اعداد‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫نسبتي نشان دهيد‪.‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪28 − 15 13‬‬ ‫= ) ‪+ (−‬‬ ‫=‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪20‬‬

‫از این رو‪:‬‬

‫ ‬

‫ ‬

‫‪7‬‬ ‫‪−3‬‬ ‫‪−21‬‬ ‫=) (×) (‬ ‫به همین ترتیب داریم که‪:‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪20‬‬

‫از این رو‪:‬‬

‫‪105‬‬

‫‪3 7 −15 + 28 13‬‬ ‫= ‪(− ) +‬‬ ‫=‬ ‫‪,‬‬ ‫‪4 5‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪7 7‬‬ ‫‪3‬‬ ‫) ‪(− ) + = + (−‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5 5‬‬ ‫‪4‬‬

‫ ‬

‫‪3‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪−21‬‬ ‫= ) ( × ) ‪(−‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪−3‬‬ ‫‪7 7‬‬ ‫‪3‬‬ ‫) ‪( ) × = × (−‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5 5‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫مثال دوم  ‪ :‬عدد نسبتی را از عدد نسبتی‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫کنید‪.‬‬ ‫حل‬

‫‪5 3 3 5‬‬ ‫لذا‪− ≠ − :‬‬ ‫‪2 2 2 2‬‬

‫‪5 3 5−3 2‬‬ ‫= ‪−‬‬ ‫‪= =1‬‬ ‫‪2 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3 5 3 − 5 −2‬‬ ‫= ‪−‬‬ ‫=‬ ‫‪= −1‬‬ ‫‪2 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫است و خاصیت تبدیلی در عملیۀ تفریق صدق نمی‌کند‪.‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫مثال سوم  ‪ :‬عدد را بر‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬

‫حل‪:‬‬

‫تفریق نموده و در آن خاصیت تبدیلی را بررسی‬

‫تقسیم نموده و خاصیت تبدیلی را در آن بررسی کنید‪.‬‬ ‫‪4 2 4 3 12‬‬ ‫‪÷ = × = =2‬‬ ‫‪3 3 3 2 6‬‬ ‫‪2 4 2 3 6 1‬‬ ‫= = × = ÷‬ ‫‪3 3 3 4 12 2‬‬ ‫‪2 4 4 2‬‬ ‫÷ ≠ ÷‬ ‫‪3 3 3 3‬‬

‫ديده مي شود كه‪:‬‬ ‫خاصيت تبديلي در عملية تقسيم اعداد نسبتی صدق نمي کند‪ .‬خاصیت تبدیلی تنها در‬ ‫عملیه‌های جمع و ضرب اعداد نسبتی صدق می‌کند‪.‬‬

‫تمرین‬ ‫در جاهای خالی عدد مناسب را بنویسید‪.‬‬

‫‪1 17‬‬ ‫‪1‬‬ ‫×‬ ‫) ‪= ( ) × (−‬‬ ‫‪5 2‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪8‬‬ ‫) ‪(− ) + ( ) = + (−‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪8‬‬ ‫) ( × )‪× (−5) = (−5‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪−2‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫) ( × ) ‪) = (−‬‬ ‫(×‬ ‫‪3‬‬ ‫‪−6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪−3‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪9‬‬ ‫) ( × )‪× ( 5 + 6) = (11‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪−‬‬

‫)‪a‬‬ ‫)‪b‬‬ ‫)‪c‬‬ ‫)‪d‬‬ ‫)‪e‬‬

‫‪106‬‬

‫خاصیت اتحادی‬

‫اگ��ر عدد ‪ 1‬با حاصل جم��ع اعداد ‪ 2‬و ‪3‬‬ ‫‪4 5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪1‬‬ ‫جمع ش��ود و یا اگر حاص��ل جمع دو عدد‬ ‫‪5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫و ‪ 2‬با عدد جمع ش��ود آیا این دو حاصل‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬

‫جمع با هم فرق دارند؟‬

‫فعالیت‬ ‫الف) ابتدأ دو عدد نسبتی ‪ 2‬و ‪ 4‬را با هم جمع کنید‪.‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪3‬‬

‫ب) حاصل جمع (الف) را با عدد نسبتی ‪ 6‬جمع کنید‪.‬‬ ‫‪7‬‬

‫پ) عدد ‪ 4‬و عدد ‪ 6‬را باهم جمع کنید‪.‬‬

‫‪7‬‬ ‫‪5‬‬ ‫ت) حاصل جمع (پ) را با عدد نسبتی ‪ 2‬جمع کنید‪.‬‬ ‫‪3‬‬

‫ث) حاال حاصل جمع به دست آمدۀ (ب) و (ت) را باهم مقایسه کنید‪.‬‬ ‫ ‬

‫در فعالیت باال مالحظه می‌شود که‪:‬‬

‫اين خاصيت را خاصيت اتحادي عملیۀ جمع می‌نامند‪.‬‬

‫‪2 4 6 2 4 6‬‬ ‫) ‪( + )+ = +( +‬‬ ‫‪3 5 7 3 5 7‬‬

‫مثال اول‪ :‬آیا ) ‪ ( 3 + 2 ) + 3 = 3 + ( 2 + 3‬است؟‬ ‫‪5 5‬‬

‫‪2‬‬

‫‪5‬‬

‫‪2 5‬‬

‫‪2 3‬‬ ‫حل‪ :‬با كمي دقت مي‌بينيم که اگر و‬ ‫‪5 5‬‬

‫از خاصيت اتحادي جمع استفاده مي‌كنيم‪.‬‬

‫‪107‬‬

‫را با هم جمع كنيم‪ ،‬كار ما ساده‌تر می‌شود؛ پس‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3 2 3 3‬‬ ‫‪+ ( + ) = +1 = 1 +1 = 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2 5 5 2‬‬ ‫‪3 2 15 + 4 19‬‬ ‫= ‪+‬‬ ‫=‬ ‫‪2 5‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪19 3 19 + 6 25‬‬ ‫= ‪+‬‬ ‫=‬ ‫‪=2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪10 5‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪10‬‬

‫‪2 4 6‬‬ ‫‪2 4 6‬‬ ‫مثال دوم  ‪ :‬درستي × ) × ( = ) × ( ×‬ ‫‪3 5 7‬‬ ‫‪3 5 7‬‬ ‫‪2 4 6‬‬ ‫‪8 6 48 16‬‬ ‫= ×) ( = ×) × (‬ ‫=‬ ‫‪3 5 7 15 7 105 35‬‬

‫لذا داريم كه‪:‬‬

‫را نشان دهيد‪.‬‬

‫‪2 4 6‬‬ ‫‪2 24‬‬ ‫‪48 16‬‬ ‫= ) (× = ) × (×‬ ‫=‬ ‫‪,‬‬ ‫‪3 5 7‬‬ ‫‪3 35 105 35‬‬

‫‪2 4 6‬‬ ‫‪2 4 6 16‬‬ ‫= ×) × ( = ) × (×‬ ‫‪3 5 7‬‬ ‫‪3 5 7 35‬‬

‫بنابر اين‪ ،‬خاصیت اتحادي در عملية ضرب اعداد نسبتي صدق می‌کند‪.‬‬

‫مثال سوم  ‪ :‬خاصيت اتحادي تفريق را با‬

‫حل‪:‬‬

‫‪4 1 1‬‬ ‫) ‪−( −‬‬ ‫‪3 2 5‬‬

‫بررسي كنيد‪.‬‬

‫‪4 1 1 4 5−2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪40 − 9 31‬‬ ‫(‪−( − ) = −‬‬ ‫=‬ ‫= ) (‪) = −‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪3 2 5 3‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪3 10‬‬ ‫‪30‬‬ ‫‪30‬‬ ‫‪4 1 1 8 − 3 1 5 1 25 − 6 19‬‬ ‫(= ‪( − )−‬‬ ‫= ‪)− =( )−‬‬ ‫=‬ ‫‪3 2 5‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪5 6 5‬‬ ‫‪30‬‬ ‫‪30‬‬ ‫‪4 1 1‬‬ ‫‪4 1 1‬‬ ‫‪−( − ) ≠ ( − )−‬‬ ‫‪3 2 5‬‬ ‫‪3 2 5‬‬

‫از این‌رو‪:‬‬ ‫نامساوی ) ≠ ( باال نشان می دهد که ‪ :‬خاصيت اتحادي در عملية تفريق صدق نمي كند‪.‬‬ ‫مثال چهارم  ‪ :‬خاصيت اتحادي را براي تقسیم سه عدد نسبتي بررسي كنيد‪.‬‬ ‫حل‪:‬‬ ‫‪4 1 1 4 1 5 4 5 4 2 8‬‬

‫‪4 1 1‬‬ ‫‪4 1 1‬‬ ‫لذا‪÷ ( ÷ ) ≠ ( ÷ ) ÷ :‬‬ ‫‪3 2 5‬‬ ‫‪3 2 5‬‬

‫= × = ÷ = ) × (÷ = ) ÷ (÷‬ ‫‪3 2 5 3 2 1 3 2 3 5 15‬‬ ‫‪4 1 1 4 2 1 8 1 8 5 40‬‬ ‫= × = ÷) (= ÷) × (= ÷) ÷ (‬ ‫‪3 2 5 3 1 5 3 5 3 1 3‬‬

‫خاصیت اتحادی تنها در عملیه‌های جمع و ضرب اعداد نسبتی صدق می‌کند؛ اما در‬ ‫عملیه‌های تفریق و تقسیم صدق نمی‌کند‪.‬‬ ‫‪4 2 5‬‬ ‫=‬ ‫تمرین‪a) ( + ) +‬‬ ‫‪3 5 7‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4 3‬‬ ‫بررسی( ×‬ ‫زیر ×‬ ‫ کنید‪b) .‬‬ ‫خاصیت اتحادی را در عملیه های= )‬ ‫‪7‬‬ ‫‪9 5‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪2 4‬‬ ‫= ) ‪c) − ( +‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪3 9‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5 2‬‬ ‫= ) ÷ ( ÷ )‪d‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3 5‬‬

‫‪4 2 5‬‬ ‫= ‪a) ( + ) +‬‬ ‫‪3 5 7‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4 3‬‬ ‫= ) × ( × )‪b‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪9 5‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪2 4‬‬ ‫= ) ‪c) − ( +‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪3 9‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5 2‬‬ ‫‪108‬‬ ‫= ) ÷ ( ÷ )‪d‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3 5‬‬

‫خاصیت توزیعی‬ ‫خاصی��ت توزیعی ض��رب باالی جم��ع را در‬ ‫اعداد تام دیده  اید‪ ،‬آیا این خاصیت در اعداد‬ ‫نسبتی نیز صدق می‌کند؟‬

‫فعالیت‬

‫‪B‬‬

‫‪4‬‬

‫‪E‬‬

‫‪2‬‬

‫‪A‬‬

‫شکل مقابل را در نظر بگيريد‪.‬‬ ‫• مساحت مستطيل ‪ AEFD‬چقدر است؟‬ ‫• مساحت مستطيل ‪ EBCF‬چقدر است؟‬ ‫• مساحت مستطيل ‪ ABCD‬چقدر است؟‬ ‫‪C‬‬ ‫‪F‬‬ ‫• آيا مي توانيم بگوييم كه‪:‬‬ ‫مساحت ‪ + EBCF‬مساحت ‪ = AEFD‬مساحت ‪ABCD‬‬ ‫)‪3(2 + 4) = (3 × 2) + (3 × 4‬‬ ‫• آيا مي توانيم بنويسيم كه‪:‬‬ ‫هرگاه يك عدد در مجموع دو عدد ديگر ضرب شود‪ ،‬مي توان آن عدد را جداگانه در هر‬ ‫يك از اعداد ضرب و حاصل ضرب‌ها را با هم جمع کرد‪ .‬اين خاصيت را خاصيت توزيعي‬ ‫ضرب باالی جمع مي‌نامند‪.‬‬

‫مثال اول ‪:‬‬ ‫خاصیت توزیعی را در عملیۀ ضرب باالی جمع بررسی کنید‪.‬‬ ‫حل‪ :‬اوالً عملیۀ ضرب را به صورت معمولی حل می‌کنیم؛ یعنی‪:‬‬

‫‪15 4 2 15 20 + 6 15 26 390 39 13‬‬ ‫‪1‬‬ ‫(× = ) ‪×( +‬‬ ‫= ) (× = )‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪=3‬‬ ‫‪120 12 4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪3 5‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪8 15‬‬

‫حاال عملیۀ باال را به صورت توزیعی بررسی می‌کنیم؛ یعنی‪:‬‬

‫‪109‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪D‬‬

‫‪15 4 2 15 4 15 2 60 30 5 3 10 + 3 13‬‬ ‫‪1‬‬ ‫= × ‪×( + ) = × +‬‬ ‫‪+‬‬ ‫= ‪= +‬‬ ‫‪= =3‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪3 5‬‬ ‫‪8 3 8 5 24 40 2 4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬

‫از مقایسۀ دو طریق حل فوق نتیجه می‌گیریم که‪:‬‬

‫‪15 4 2‬‬ ‫‪15 4‬‬ ‫‪15 2 13‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪×( + ) = ( × ) + ( × ) = = 3‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪3 5‬‬ ‫‪8 3‬‬ ‫‪8 5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪2 −4 7‬‬ ‫مثال دوم ‪ :‬حاصل ) ‪÷ ( +‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪5 2‬‬

‫را نخست بدون تطبیق خاصیت توزیعی و سپس با تطبیق‬

‫خاصیت توزیعی به دست آورید و نتیجه را با هم مقایسه کنید‪ .‬آيا خاصيت توزيعي تقسيم‬ ‫باالی عملیۀ جمع صدق می‌کند؟‬ ‫حل‪:‬‬ ‫‪2 10‬‬ ‫‪20‬‬

‫‪2 −4 7‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪−8 + 35‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪27‬‬ ‫( ÷ = ) ‪÷( +‬‬ ‫= ) (× = ) ( ÷ = )‬ ‫‪3‬‬ ‫‪5 2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪27‬‬ ‫‪81‬‬

‫حاال خاصیت توزیعی را تطبیق می‌نماییم‪:‬‬ ‫‪2 −4 7‬‬ ‫‪2 −4 2 7 2‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪2 2 10‬‬ ‫‪4 −70 + 16 −54 −9‬‬ ‫= × ‪÷( + ) = ÷( ) + ÷ = ×( ) +‬‬ ‫= ‪+‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪3‬‬ ‫‪5 2 3‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪3 2 3 −4 3 7 −12 21‬‬ ‫‪84‬‬ ‫‪84 14‬‬

‫‪2 −4 7‬‬ ‫‪2 −4‬‬ ‫‪2 7‬‬ ‫(÷‬ ‫÷ (≠) ‪+‬‬ ‫) ÷ (‪)+‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪5 2‬‬ ‫‪3 5‬‬ ‫‪3 2‬‬

‫از این رو‪:‬‬ ‫از اينجا نتيجه مي شود كه‪:‬‬

‫‪20 − 9‬‬ ‫≠‬ ‫‪81 14‬‬

‫خاصیت توزیعی ضرب باالی جمع در اعداد نسبتی صدق می کند؛ اما در عملیۀ تقسیم باالی‬ ‫جمع صدق نمی‌کند‪.‬‬

‫تمرین‬ ‫‪ -1‬خاصیت توزیعی را در عملیه‌های زیر بررسی کنید‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫) ‪×( +‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪−3 −2‬‬

‫)‪c‬‬

‫‪−5‬‬ ‫‪−5‬‬ ‫‪−2‬‬ ‫( ×‬ ‫‪−‬‬ ‫)‬ ‫‪6‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪,‬‬

‫)‪b‬‬

‫‪,‬‬

‫‪ -2‬خاصیت توزیعی را در سؤال زیر بررسی کنید‪:‬‬

‫‪6 4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫×) ‪+‬‬ ‫‪5 3‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪ -3‬خاصیت توزیعی را در عملیه های زیر بررسی کنید‪:‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪3 −3‬‬ ‫‪÷ ( +‬‬ ‫)‬ ‫‪2 4‬‬ ‫‪−5‬‬

‫)‪c‬‬

‫‪,‬‬

‫‪−6‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫) ‪÷ ( −‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪3 1‬‬ ‫) ‪×( +‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪2 4‬‬

‫)‪a‬‬

‫)‪b‬‬

‫‪,‬‬

‫‪6‬‬ ‫‪3 1‬‬ ‫) ‪÷ ( +‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪2 2‬‬

‫(‬

‫)‪a‬‬

‫‪110‬‬

‫تبديل عدد نسبتي به عدد اعشاري‬ ‫احمد و برادرش می‌خواهند كاري را در‬ ‫چهـار روز انجام دهنـد‪ .‬در انتهاي روز اول‬ ‫احمد از برادرش می‌پرسد‪« :‬تا حاال چند فیصد‬ ‫كار را انجام داده  ايم؟»‬

‫فعالیت‬ ‫• چند مربع در شكل مقابل رنگ‬ ‫شده است؟‬ ‫• چه كسري از مربع‌ها‪ ،‬رنگ آبي‬ ‫دارند؟ اين مقدار را با عدد اعشاري‬ ‫نشان دهيد‪.‬‬ ‫• چه كسري از مربع‌ها‪ ،‬رنگ سبز‬ ‫دارند؟ اين مقدار را با يك عدد‬ ‫اعشاري نشان دهيد‪.‬‬ ‫•چه كسري از مربع‌ها رنگ شده اند؟‬ ‫اين مقدار را با يك عدد اعشاري نشان‬ ‫دهيد‪.‬‬ ‫‪257363‬‬ ‫مثال اول ‪ :‬عدد نسبتی‬ ‫‪100‬‬

‫حل‪:‬‬

‫‪111‬‬

‫را به صورت عدد اعشـاري نمـايش دهيـد‪.‬‬

‫‪257363‬‬ ‫‪63‬‬ ‫‪63‬‬ ‫‪= 2573‬‬ ‫‪= 2573 +‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪60‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪= 2573 +‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪100 100‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪= 2573 + +‬‬ ‫‪= 2573.63‬‬ ‫‪10 100‬‬

‫در اين حالت‪ 2573 ،‬را جزء صحيح عدد و ‪ 0.63‬را جزء اعشاري عدد مذكور مي نامند‪.‬‬

‫فعالیت‬ ‫اعداد ‪ 2.3125‬و ‪ 0.412‬را به صورت اعداد نسبتي بنویسيد‪.‬‬ ‫(‬

‫)‬ ‫‪10000‬‬

‫=‬

‫(‬

‫)‬ ‫‪10000‬‬ ‫)‬

‫‪+‬‬ ‫(‬

‫‪1000‬‬

‫(‬

‫)‬ ‫‪1000‬‬

‫=‬

‫)‬

‫‪+‬‬ ‫(‬

‫‪1000‬‬

‫(‬

‫)‬ ‫‪100‬‬

‫‪+‬‬

‫)‬

‫‪+‬‬ ‫(‬

‫‪100‬‬

‫)‬ ‫‪10‬‬

‫‪+‬‬

‫مثال دوم ‪ :‬عدد ‪ 2.32‬را به صورت عدد نسبتي بنويسيد‪.‬‬ ‫حل‪:‬‬ ‫‪200 30‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪232‬‬

‫‪+‬‬ ‫‪+‬‬ ‫=‬ ‫‪100 100 100 100‬‬

‫(‬

‫)‬

‫‪2.3157‬‬ ‫‪2.3125 = 2 +‬‬ ‫(‬

‫‪10‬‬

‫‪0.412 = 0 +‬‬

‫= ‪2.32 = 2 + 0.3 + 0.02‬‬

‫می‌توانیم اعداد نستبی را به شکل اعداد اعشاری و اعداد اعشاری را به شکل اعداد نسبتی‬ ‫تبدیل کنیم‪.‬‬

‫تمرین‬ ‫‪ -1‬اعداد اعشاری ‪ 0.420 ، 0.212‬و ‪ 5.215‬را به شکل اعداد نسبتی نشان دهید‪.‬‬ ‫‪2410‬‬ ‫‪235‬‬ ‫‪4250‬‬ ‫و‬ ‫‪،‬‬ ‫‪ -2‬اعداد نسبتی‬ ‫‪10000 100‬‬ ‫‪1000‬‬ ‫‪ -3‬اعداد اعشاری ‪ −1.5 ، 0.5‬و ‪ 1.25‬را روی محور اعداد نشان دهید‪.‬‬

‫را به شکل اعداد اعشاری بنویسید‪.‬‬

‫‪ - 4‬در جدول زير‪ ،‬جزء صحيح و جزء اعشاري هر عدد را در محل هاي مشخص شده وارد‬ ‫كنيد‪.‬‬ ‫ﺟﺰء ﺍﻋﺸﺎﺭﻯ‬

‫ﺟﺰء ﺻﺤﻴﺢ‬

‫ﻋﺪﺩ ﺍﻋﺸﺎﺭﻯ‬

‫‪12.1‬‬ ‫‪13.25‬‬ ‫‪1.7394‬‬ ‫‪0.16‬‬

‫‪112‬‬

‫خالصۀ فصل چهارم‬ ‫‪n‬‬ ‫• عدد نسبتی عـددی است که معموالً به شکل‬ ‫‪d‬‬ ‫‪ d‬اعداد تام باشند و ‪d ≠ 0‬‬

‫نشان داده می شود‪ ،‬در صورتی‌که ‪ n‬و‬

‫اعـداد نـسبتـی بـه نـام اعـداد گـویـا‪ ،‬اعـداد نــاطــق« ‪ » Rational Numbers‬یـاد مـی شوند‪.‬‬

‫• همان‌طوری که هر عدد تام بدون صفر دارای عدد متضاد است‪ ،‬هر عدد نسبتی نیز دارای‬ ‫عدد متضاد می‌باشد‪.‬‬

‫• ساده ساختن اعداد نسبتی‪ ،‬مانند ساده ساختن کسرعام بوده و در صورتی که صورت و‬ ‫مخرج به یک عدد قابل تقسیم باشند‪ ،‬آن را تقسیم می‌کنیم تا به اعدادی برسیم که دیگر‬

‫قابل تقسیم نباشند‪.‬‬

‫• از دو عدد نسبتي همان عدد بزرگ‌تر است كه در روی محور اعداد نظر به عدد دیگری‪،‬‬ ‫طرف راست قرار دارد‪ ،‬آنچه در مورد اعداد تام نيز مشاهده كرده‌ايد‪.‬‬

‫• در مقایسۀ دو عدد نسبتی که صورت‌ها و مخرج‌های شان با هم مساوی نیستند‪ ،‬نخست باید‬ ‫این دو عدد را هم‌مخرج نموده و سپس با هم مقایسه کنیم‪.‬‬

‫• جمع دو عدد نسبتی مانند جمع اعداد کسرعام است‪ ،‬طوری‌که اول کوچک‌ترین مخرج‬ ‫مشترک را پیدا نموده و سپس صورت‌ها را مانند اعداد تام با هم جمع می کنیم‪.‬‬

‫• عملیۀ تفریق در اعداد نسبتی مانند عملیۀ جمع است‪ ،‬با این تفاوت که در عملیۀ تفریق فقط‬ ‫عالمت مفروق تغییر می‌کند و سپس عملیۀ جمع باالی آن تطبیق می گردد‪.‬‬

‫• در جمع و تفریق اعداد نسبتی می‌توانیم از محور اعداد نیز استفاده کنیم‪ ،‬چنانچه در مورد‬ ‫اعداد تام نیز از آن استفاده کرده‌ایم‪.‬‬

‫• در عملیـۀ ضـرب اعداد نسبتی‪ ،‬صورت‌ها و مخرج‌ها در همدیگر ضرب می‌شوند؛ اما در‬ ‫عملیۀ تقسیم‪ ،‬اول مقسوم علیه معکوس می گردد و سپس عملیۀ ضرب را انجام می‌دهیم‪.‬‬

‫‪113‬‬

‫• خاصیت تبدیلی در عملیۀ جمع و ضرب اعداد نسبتی صدق می‌کند‪ ،‬در حالی کـه این‬ ‫خاصیت در عملیۀ تفریق و تقسیم اعداد نسبتی صدق نمی کند‪.‬‬

‫• خاصیت اتـحادی در عملیۀ جمع و ضرب اعداد نسبتـی صدق می کند‪ ،‬در حالی‌که این‬ ‫خاصیت در عملیۀ تفریق و تقسیم اعداد نسبتی صدق نمی‌کند‪.‬‬ ‫• خاصیت توزیعی فقط در عملیۀ ضرب باالی جمع و تفریق صدق می‌کند و بس‪.‬‬ ‫• تبدیل اعداد نسبتی به اعداد اعشاری‪ ،‬مانند تبدیل کسر عام به اعشاری است و به همین‬ ‫ترتیب تبـدیل اعداد اعشاری به اعـداد نسبتی‪ ،‬ماننـد تبـدیل اعـداد اعشاری به کسر عام‪.‬‬

‫‪114‬‬

‫تمرین فصل چهارم‬ ‫‪ -1‬اعداد نسبتی زیر را روی محور اعداد نشان دهید‪:‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪3‬‬

‫)‪e‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪,‬‬

‫)‪d‬‬

‫‪−1‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪,‬‬

‫‪,‬‬

‫)‪c‬‬

‫‪−7‬‬ ‫‪3‬‬

‫)‪b‬‬

‫‪,‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪a) −‬‬

‫‪ -2‬در محور اعداد زیر‪ ،‬اعداد نسبتی‌یی را که با هم جمع شده اند توسط اعداد بنویسید‪.‬‬

‫–‬

‫‪+‬‬ ‫‪+1‬‬

‫‪1‬‬ ‫—‪+‬‬

‫‪5‬‬ ‫—–‬ ‫‪8‬‬

‫‪0‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪ -3‬از عدد نسبتی عدد نسبتی‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪–1‬‬

‫‪3‬‬ ‫—–‬

‫‪–2‬‬

‫‪2‬‬

‫را تفریق کنید و در روی محور اعداد نشان دهید‪.‬‬

‫‪ -4‬اعداد نسبتی زیر را جمع و سپس خاصیت تبدیلی را در آن بررسی کنید‪.‬‬ ‫‪−6‬‬ ‫‪4‬‬ ‫) (‪+‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪,‬‬

‫‪3 1‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪5 7‬‬

‫‪,‬‬

‫‪5 1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪2 3‬‬

‫‪ -5‬خاصیت اتحادی را در ضرب های زیر بررسی کنید‪.‬‬ ‫‪−5‬‬ ‫‪3 3‬‬ ‫) × (×‬ ‫‪6‬‬ ‫‪2 5‬‬

‫‪,‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪3 5‬‬ ‫) × (×‬ ‫‪2‬‬ ‫‪5 3‬‬

‫‪ -6‬جاهای خالی را با اعداد مناسب پر کنید‪.‬‬

‫)‬

‫‪3 −2‬‬ ‫‪b) ( +‬‬ ‫‪)×( ) =1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1 4‬‬ ‫( )‪d‬‬ ‫(‪+ )× =( × )+‬‬ ‫‪−2 5‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2 5‬‬

‫‪115‬‬

‫‪,‬‬ ‫‪,‬‬

‫‪,‬‬

‫‪8‬‬ ‫‪4 6‬‬ ‫) × (×‬ ‫‪5‬‬ ‫‪3 10‬‬

‫‪1 1‬‬ ‫‪a) ( + ) × ( ) = 1‬‬ ‫‪2 3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪c) ( ) × = 1‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪ -7‬خاصیت توزیعی را در سؤاالت زیر بررسی کنید‪.‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪−3 2‬‬ ‫(×‬ ‫) ‪−‬‬ ‫‪−9‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪,‬‬

‫‪−5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪−4‬‬ ‫(×‬ ‫‪+‬‬ ‫)‬ ‫‪8‬‬ ‫‪−2‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪,‬‬

‫‪6‬‬ ‫‪−3 2‬‬ ‫(×‬ ‫) ‪+‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪ -8‬خاصیت اتحادی در ست اعداد نسبتی‪ ،‬درکدام عملیه‌های زیر صدق نمی‌کند؟‬ ‫‪ )a‬جمع‬

‫‪ )b‬ضرب‬

‫‪ )d‬تقسیم‬

‫‪ )c‬تفریق‬

‫‪ )e‬هیچکدام‬

‫‪−6‬‬

‫را به عدد اعشاری تبدیل نموده و در روی محور اعداد نشان دهید؛‬ ‫‪ -9‬عدد نسبتی‬ ‫‪5‬‬ ‫همچنین متضاد آن را به شکل اعشاری بنویسید‪.‬‬ ‫‪ -10‬اعداد اعشاری زیر را به شکل اعداد نسبتی بنویسید‪.‬‬ ‫‪1.23412‬‬

‫‪,‬‬

‫‪5.2345‬‬

‫‪,‬‬

‫‪2.342‬‬

‫‪,‬‬

‫‪0.340‬‬

‫‪ -11‬دو عدد اعشاری ‪ 3.234‬و ‪ 4.543‬را به شکل اعداد نسبتی نشان دهید‪.‬‬ ‫‪ -12‬خاصیت تبدیلی در کدام عملیه‌های اعداد نسبتی زیر صدق نمی کند؟‬ ‫‪ )d‬تقسیم‬ ‫‪ )c‬تفریق‬ ‫‪ )b‬جمع‬ ‫‪ )a‬ضرب‬ ‫‪ -13‬خاصیت توزیعی در کدام عملیۀ اعداد نسبتی صدق می کند؟‬ ‫‪ )c‬هر دو درست اند‪.‬‬ ‫‪ )b‬ضرب باالی تفریق‬ ‫‪ )a‬ضرب باالی جمع‬ ‫‪ -14‬اعداد اعشاری ‪ 1.25‬و ‪ 2.5‬را با اعداد نسبتی نشان داده و همچنین متضاد آن‌ها را‬ ‫به شکل اعداد نسبتی در روی محور اعداد نشان دهید‪.‬‬

‫‪116‬‬

‫فصل پنجم‬ ‫مثلث ها و چندضلعی‌ها‬

‫مثلث ها در اطراف ما استند‪.‬‬

‫اقسام مثلث از حیث اضالع‬ ‫در شكل مقابل کدام اشكال هندسی را مشاهده‬ ‫می کنید؟‬

‫فعالیت‬ ‫• در شكل‌هاي زير طول هر ضلع را اندازه‌گيري‌کرده و اندازۀ آن را بنويسيد‪.‬‬ ‫• اگر بخواهيم اين مثلث‌ها را دسته‌بندي كنيم‪ ،‬كدام مثلث ها در يك دسته قرار می‌گیرد؟‬

‫)‪c‬‬ ‫)‪f‬‬

‫)‪a‬‬

‫)‪b‬‬ ‫)‪e‬‬

‫)‪d‬‬

‫• براي قرار دادن مثلث ها در هر دسته بندی چه خصوصيتی را در نظر گرفته ايد؟‬ ‫• زاويه هاي مثلث هايی را كه اضالع آن‌ها با هم برابراند‪ ،‬اندازه بگيريد‪ .‬چه نتيجه یی به‌دست‬ ‫مي آورید؟‬ ‫• زاويه‌هاي مثلث‌هايي را كه دو ضلع مساوي دارند‪ ،‬اندازه‌ بگيريد‪ ،‬چه نتيجه یی به ‌دست‬ ‫مي آوريد؟‬ ‫از فعاليت فوق نتیجه‌ می‌گیریم که مثلث ها را می توانیم از نظر طول اضالع به سه دسته‬ ‫تقسيم بندي كنيم‪:‬‬ ‫ مثلثي كه سه ضلع آن با هم مساوي باشند‪ ،‬مثلث متساوي‌االضالع نامیده می‌شود‪ .‬در هر‬‫مثلث متساوي‌االضالع سه زاوية آن نيز با هم برابر اند‪.‬‬

‫‪119‬‬

‫ مثلثی كه دو ضلع آن با هم مساوي باشند‪ ،‬مثلث متساوي‌الساقين ناميده مي شود‪ ،‬هر یک از‬‫ضلع‌های مساوي در مثلث متساوي‌الساقين را ساق مثلث و ضلع سوم را قاعدۀ مثلث مي نامند‪.‬‬ ‫در مثلث متساوي‌الساقين دو زاوية كنار ساق ها با هم مساوي اند‪.‬‬ ‫ مثلثی كه طول هر سه ضلع آن با هم مساوي نيستند‪ ،‬مثلث مختلف‌االضالع ناميده مي شود‪.‬‬‫مثال‪ :‬هر يك از مثلث هاي شكل زير را نظر به اضالع شان نام گذاري كنيد‪.‬‬

‫)‪(b‬‬

‫)‪(a‬‬

‫)‪(c‬‬

‫حل‪ :‬ابتدا طول هر ضلع مثلث را اندازه کرده و سپس نام‌گذاری می‌کنیم‪ .‬مثلث ‪ a‬که سه‬ ‫ضلع برابر دارد متساوی االضالع‪ ،‬مثلث ‪ b‬که دو ضلع برابر دارد متساوی الساقین‪ ،‬و مثلث ‪c‬‬ ‫که طول هر سه ضلع آن مختلف می‌باشد مختلف االضالع است‪.‬‬

‫تمرین‬ ‫‪ -1‬یک مثلث متساوی‌االضالع را رسم کنید که هر ضلع آن ‪ 4cm‬باشد‪.‬‬ ‫‪ -2‬يک مثلث متساوي‌الساقين رسم کنيد که دو ضلع مساوي آن هر يک ‪ 3cm‬بوده و ضلع‬ ‫سوم آن کيفي باشد‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ -3‬یک مثلث متساويالساقين را رسم نمایید که یک زاویۀ آن ‪ 90‬باشد‪.‬‬ ‫‪ -4‬طول اضالع یک مثلث به ترتیب ‪ 4cm ،5cm‬و ‪ 8cm‬است‪ .‬این مثلث به کدام نام یاد‬ ‫می‌شود؟‬

‫‪120‬‬

‫اقسام مثلث نظر به زاويه‬ ‫اگ��ر بخواهید ک��ه مثلث‌ها را نظر ب��ه زاويه‬ ‫نام گ��ذاري كنيد‪ ،‬زوایای مثل��ث را با کدام‬ ‫زاویه مقایسه می‌کنید؟‬

‫‪A‬‬

‫‪D‬‬ ‫‪B‬‬

‫‪C‬‬

‫‪H‬‬

‫‪I‬‬

‫‪E‬‬ ‫‪G‬‬

‫‪F‬‬

‫فعالیت‬ ‫مثلث هاي زير را در نظر بگيريد‪.‬‬ ‫‪B‬‬

‫‪E‬‬

‫)‪f‬‬

‫‪G‬‬

‫)‪e‬‬

‫‪F‬‬

‫‪D‬‬

‫‪b) H‬‬

‫‪I c) A‬‬

‫‪C‬‬ ‫)‪d‬‬

‫)‪a‬‬

‫• ابتدا زاويه‌هاي هر مثلث را اندازه‌بگيريد و درجة آن را مشخص کنید‪.‬‬ ‫• زاويه‌هاي هر يك از مثلث‌ها را با زاوية‌ قايمه مقايسه كنيد‪.‬‬ ‫• در کدام مثلث‌ها‪ ،‬تمام زاويه‌هاي آن كوچك‌تر از زاویۀ قايمه استند؟‬ ‫دارد؟ﻙﻱ ﻩﻙ ﻱﻱﺍﻩ ﺙﻝﺙﻡﻥﺁ ﺓﻱﻭﺍﺯ ﻙﻱ ﻩﻙ ﻱﻱﺍﻩﺙﻝ‬ ‫ﺓﻱﻭﺍﺯ‬ ‫ﺙﻝﺙﻡ ‌ةﻥﺁ‬ ‫كدامﻩﻙ‬ ‫ﻩﻱﻭﺍﺯ‬ ‫قايمه‬ ‫ﻱﻱﺍﻩث‌ها زاوي‬ ‫يك از مثل‬ ‫ﺍﻩ ﻥﺁ ﻱﺍﻩ •‬ ‫‪.‬ﺕﺱﺍ ﻩﻡﻱﺍﻕ‬ ‫دارد؟ﺭﺕگﺭﺯﺏ‬ ‫ﻩﻡﻱﺍﻕ ﺯﺍ‬ ‫ﺭﺕﻙچﻭﻙ‬ ‫ﻩﻡﻱﺍﻕ‬ ‫‪.‬ﺕﺱﺍاز قايمه‬ ‫زاويۀ بزرگ‌تر‬ ‫كدامﺯﺍيك از مثلث‌ها‬ ‫‪.‬ﺕﺱﺍ •‬ ‫• در جدول زير نام مثلث‌ها را بنويسيد‪.‬‬ ‫مثلث‌هايي که زاویه های آن مثلث‌هايي که یک زاویه آن مثلث‌هايي که تنها يک زاويۀ‬ ‫آن قايمه باشد‬ ‫کوچک‌تر از زاويۀ قايمه باشند بزرگ‌تر از زاويۀ قايمه باشد‬

‫‪121‬‬ ‫‪A‬‬

‫‪D‬‬

‫مثلث ها را از حيث زاويه به سه دسته تقسيم كرده‌اند‪:‬‬ ‫ مثلثي كه در آن يك زاوية قايمه وجود دارد‪ ،‬مثلث قايم‌الزاويه‌ناميده مي‌شود‪.‬‬‫ مثلثـي كـه در آن يك زاوية بزرگ‌تر از ‪ 90 ‬وجود  دارد‪ ،‬مثلث منفرج  الزاويه ناميده‬‫مي شود‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫ مثلثي‌که تـمام زاويـه هاي آن كوچك‌تر از ‪ 90‬است‪ ،‬مثلث حاد‌الزاويه نامیده مي شود‪.‬‬‫مثال‪ :‬كدام يك از مثلث هاي زير حادالزاويه‪ ،‬قايم‌الزاويه و منفرج‌الزاويه است؟‬

‫‪B‬‬

‫‪E‬‬ ‫‪G‬‬

‫‪CF‬‬

‫‪I A‬‬

‫‪D‬‬

‫‪H‬‬

‫حل‪ :‬ابتدا زاويه هاي مثلث ها را اندازه مي گيريم‪:‬‬ ‫ مثلث ‪ BAC‬كه يك زاوية آن ‪ 90 ‬می‌باشد‪ ،‬مثلث قايم‌الزاويه است‪.‬‬‫ مثلث ‪ EGF‬كه يك زاوية آن‌ بزرگ‌تر از ‪ 90 ‬است‪ ،‬مثلث منفرج‌الزاويه مي باشد‪.‬‬‫ مثلث ‪ DHI‬كه تمام زاويه هاي آن كوچك‌تر از ‪ 90 ‬است‪ ،‬مثلث حادالزاويه مي باشد‪.‬‬‫در تقسیم مثلث‌ها از حیث زاویه‌‪ ،‬زاویۀ قایمه را معیار قرار می دهند‪.‬‬

‫تمرین‬ ‫‪ -1‬مثلثی را رسم کنید که یک ضلع آن ‪ 3cm‬بوده و دو زاویۀ مجاور آن هر یک ‪60‬‬

‫ﻙﻱ ﻩﻙ ﻱﻱﺍﻩ ﺙﻝﺙﻡﻥﺁ ﻩﻱﻭﺍﺯ ﻙﻱ ﻩﻙ ﻱﻱﺍﻩ ﺙﻝﺙﻡ‬ ‫ﻩﻱﻭﺍﺯکنید‪.‬‬ ‫ﻥﺁمشخص‬ ‫ﺙﻝﺙﻡرا‬ ‫ﻱﻱﺍﻩ این مثلث‬ ‫ﻩﻙ نوعیت‬ ‫ﺁ ﻱﺍﻩ ﻩﻱﻭﺍﺯ باشد‪،‬‬ ‫ﻩﻡﻱﺍﻕ‬ ‫ﻩﻡﻱﺍﻕ‬ ‫‪.‬ﺕﺱﺍ‬ ‫‪.‬ﺕﺱﺍ‌باشد‪،‬‬ ‫ﺭﺕگﺭﺯﺏاست‪ ،‬چه نوع مثلثی می‬ ‫زاویۀﺯﺍبین آن‌ها ‪90‬‬ ‫مساوی و‬ ‫ﺭﺕﻙچﻭﻙ آن با هم‬ ‫‪.‬ﺕﺱﺍ ﻩﻡﻱﺍﻕ‪-2‬ﺯﺍمثلثی که دو ضلع‬ ‫از حیث اضالع و زوایا‪ ،‬نوعیت آن‌را تعیین کنید‪.‬‬ ‫‪ -3‬مثلثی رسم کنید که یک زاویۀ آن ‪ 120‬و ضلع مجاور این زاویه ‪ 4cm‬باشد‪ .‬چند تا از‬ ‫این مثلث‌ها رسم کرده می توانید؟‬ ‫‪‬‬ ‫‪ -4‬یک مثلث منفرج‌الزاویه رسم کنید که زاویۀ منفرجۀ آن ‪ 100‬و طول دو ضلع مجاور این‬ ‫زاویه ‪ 4cm‬و ‪ 6cm‬باشد‪.‬‬

‫‪122‬‬ ‫‪A‬‬

‫میانه‪ ،‬ارتفاع و ناصف‌الزاویۀ مثلث‬ ‫تا به حال سعی کرده‌اید‪ ،‬یک پنسل را عمود‬ ‫گذاشته و یک شی مثلثیشکل را روی آن‬ ‫قرار دهید؟‬

‫فعالیت‬ ‫‪Δ‬‬

‫• یک مثلث کیفی ‪ ABC‬رسم کنید‪.‬‬ ‫• سه ارتفاع این مثلث را ترسیم کنید‪.‬‬ ‫• آیا نقطه‌یی را پیدا کرده می‌توانید که هر سه ارتفاع مثلث در آن نقطه همدیگر را قطع‬ ‫کنند؟‬ ‫• سه میانۀ این مثلث را رسم کنید‪ ،‬آیا هرسه میانه در یک نقطه همدیگر را قطع می‌کنند؟‬ ‫• سه ناصف‌الزاویۀ این مثلث را رسم کنید‪ .‬آیا سه ناصف‌الزاویه‪ ،‬یک دیگر را در یک نقطه‬ ‫نیز قطع می کنند؟‬ ‫فعالیت باال نشان می دهد که در یک مثلث‪ ،‬سه ارتفاع‪ ،‬سه میانه و سه ناصف‌الزاویه یکدیگر‬ ‫را در یک نقطه قطع می کنند‪.‬‬ ‫‪2 1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪123‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪B‬‬

‫‪H‬‬ ‫‪Δ‬‬

‫مثال اول‪ :‬یک مثلث منفرج الزاویۀ ‪ ABC‬را رسم ‪C‬‬ ‫کنید‪.‬‬ ‫نقطه یی را پیدا کنید که در آن سه ارتفاع همدیگر را قطع‬ ‫‪C‬‬ ‫می کنند‪.‬‬ ‫‪N‬‬ ‫حل‪ :‬چون در یک مثلث منفرج الزاویه‪ ،‬بعضی ارتفاع ها‬ ‫در خارج مثلث  واقع اند‪ ،‬نقطۀ تقاطع آن ها نیز خارج از‬ ‫مثلث قرار دارد‪.‬‬

‫‪A‬‬

‫‪B‬‬

‫‪H‬‬ ‫‪A‬‬

‫‪D‬‬ ‫‪D‬‬

‫‪N‬‬

‫‪M‬‬ ‫‪M‬‬

‫‪Δ‬‬

‫مثال دوم‪ :‬یک مثلث حادالزاویۀ کیفی ‪ ABC‬را رسم‬ ‫کرده و نقطۀ تقاطع میانه های آن را پیدا کنید‪.‬‬ ‫حل‪ :‬یک مثلث حاد الزاویۀ کیفی را رسم کرده؛ سپس‬ ‫میانه های آن را رسم می کنیم‪ ،‬دیده می شود که میانه ها در‬ ‫یک نقطۀ داخل مثلث همدیگر را قطع می کنند؛ این همان‬ ‫نقطهیی است که شی مثلث‌شکل در آن نقطه باالی نوک‬ ‫پنسل به حالت تعادل قرار می‌گیرد‪ ،‬از این‌رو گفته می توانیم ‪C‬‬ ‫که نقطۀ تقاطع میانه های مثلث‪ ،‬مرکز ثقل مثلث می باشد‪.‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪O‬‬

‫‪B‬‬ ‫‪O‬‬

‫‪B‬‬

‫‪C‬‬

‫میانه‌ها‪ ،‬ارتفاع‌ها و ناصف‌الزاویه‌های یک مثلث در یک نقطه همدیگر را قطع می‌کنند‪.‬‬

‫تمرین‬ ‫‪ -1‬یک مثلث قایم‌الزاویه رسم کنید و نقطۀ تقاطع میانه‌ها را در آن نشان دهید‪.‬‬ ‫‪ -2‬ارتفاع‌های مثلثی را رسم کنید که اضالع آن ‪ 3cm ، 5cm‬و ‪ 6cm‬استند‪.‬‬ ‫‪ -3‬یک مثلث متساوی‌الساقین که طول  هر ساق آن ‪ 4cm‬و قاعدۀ آن ‪ 6cm‬است رسم کنید‬ ‫و نقطۀ تقاطع ناصف الزوایای آن را پیدا کنید‪.‬‬ ‫‪ -4‬یک مثلث متساوی‌االضالع ترسیم کرده و میانه ها‪ ،‬ارتفاع ها و ناصف‌الزاویه های آن را‬ ‫نشان دهید‪ .‬چه نتیجه‌یی در آن مشاهده می کنید؟‬

‫‪124‬‬

‫مجموع زاویه‌های داخلی مثلث‬ ‫آیا مجموع زاویه های داخلی تمام مثلث ها با‬ ‫هم مساوی اند؟‬

‫˚‪60‬‬ ‫˚‪60‬‬

‫˚‪60‬‬ ‫˚‪90‬‬

‫˚‪30‬‬

‫˚‪60‬‬

‫˚‪60˚ + 90˚ + 30˚ = 60˚ + 60˚ + 60‬‬

‫فعالیت‬

‫‪A‬‬

‫‪Δ‬‬

‫• یک مثلث کیفی ‪ ABC‬را روی کاغذ رسم نموده و آن را قیچی‬ ‫نمایید‪.‬‬ ‫• از رأس ‪ ، A‬ارتفاع وارد بر قاعده را رسم کنید و محل تقاطع ارتفاع‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫با قاعده را ‪ H‬بنامید‪.‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪H‬‬ ‫• مثل��ث را ط��وری ق��ات کنی��د ک��ه ‪ A‬روی ‪ H‬ق��رار گی��رد‪.‬‬ ‫(خط‌هاى نقطه چین در شکل‪ ،‬محل قات کردن را نشان می دهند‪).‬‬ ‫• این بار مثلث را طوری قات کنید که رأس ‪ B‬و رأس ‪ C‬نیز روی ‪ H‬قرار گیرند‪.‬‬ ‫• از روی قات کردن‪ ،‬جوا ب سؤال های زیر را پیدا کنید‪.‬‬ ‫∧‬

‫?=‪C‬‬

‫‪,‬‬

‫∧‬

‫?= ‪B‬‬

‫∧‬

‫‪,‬‬ ‫∧‬

‫?=‪A‬‬ ‫∧‬

‫∧‬

‫∧‬

‫∧‬

‫‪,‬‬ ‫∧‬

‫∧‬

‫‪B‬‬

‫∧‬

‫? = ‪H1 + H 2 + H 3‬‬ ‫∧‬

‫‪H1 + H 2 + H 3 = A + B+ C = 180 ‬‬ ‫از این رو داریم که‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫زيرا زاویه‌یی كه در يك طرف خط مستقيم تشکیل می‌شود ‪ 180‬است‪.‬‬

‫• زاویه‌های مثلث را با نقاله اندازه بگیرید و نتیجه‌هاي باال را بررسی کنید‪.‬‬

‫از فعالیت باال می‌توان نتیجه گرفت که‪:‬‬ ‫مجموع زوایای داخلی یک مثلث مساوی به ‪ 180‬است و هر یک از زاویه های داخل مثلث‬ ‫را یک زاویۀ داخلی یا به صورت مختصر زاویۀ مثلث می نامند‪.‬‬ ‫‪‬‬

‫‪Δ‬‬

‫مثال اول‪ :‬در مثلث متساوی‌الساقین ‪ ، ABC‬اندازة یکی از زاویه های مساوی آن برابر به‬ ‫‪ 70 ‬است‪ ،‬اندازۀ زاویۀ سومی مثلث را پیدا کنید‪.‬‬

‫‪125‬‬

‫حل‪ :‬چون مثلث‪ ،‬متساوی‌الساقین است‪ ،‬بنا بر این دو زاویۀ مجاور دو ساق با هم برابرند‪.‬‬ ‫∧‬

‫∧‬

‫‪ B = C = 70‬‬ ‫ ‬ ‫پس‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫چون مجموع زاویه‌های داخلی یک مثلث ‪ 180‬است‪ ،‬می‌توان نوشت که‪:‬‬ ‫∧‬

‫∧‬

‫‪, 70 o + 70 o + A = 180 o‬‬

‫‪, 140 o + A = 180 o‬‬

‫∧‬

‫∧‬

‫∧‬

‫‪A + B+ C = 180 o‬‬

‫∧‬

‫از اين جا معلوم مي‌شود كه ‪ A = 40 ‬است‪.‬‬ ‫مثال دوم‪ :‬زاویه های حادۀ یک مثلث قایم‌الزاویۀ متساوی‌الساقین چند درجه است؟‬ ‫حل‪ :‬چون مثلث قایم‌الزاویه است‪ ،‬یک زاویۀ آن ‪ 90 ‬و دو زاویۀ دیگر آن حاده می باشند‪،‬‬ ‫مانند شکل زیر‪:‬‬ ‫∧‬ ‫∧‬ ‫∧‬ ‫‪B‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪A + B + C = 180‬‬ ‫∧‬

‫∧‬

‫‪90+ B + C = 180‬‬ ‫∧‬

‫∧‬

‫‪B + C = 90‬‬

‫چون مثلث متساوي‌الساقين است‪:‬‬

‫∧‬

‫∧‬

‫‪B = C = 90 ÷ 2 = 45‬‬

‫‪‬‬

‫پس هر زاویۀ حادۀ آن ‪45‬‬

‫‪C‬‬

‫‪A‬‬

‫‪‬‬

‫می‌باشد‪.‬‬

‫فعالیت‬ ‫یک مثلث قایم‌الزاویه رسم کنید که هر ضلع قایم آن ‪ 5cm‬باشد‪ .‬دو زاویۀ دیگر این مثلث‬ ‫چند درجه است؟ ابتدا بدون نقاله و سپس توسط نقاله اندازة زاویه‌ها را دریابید‪.‬‬ ‫مجموع زاویه های داخلی در تمام مثلث ها ‪ 180‬است و به نوعیت مثلث ارتباط ندارد‪.‬‬

‫تمرین‬ ‫‪ -1‬اگر در یک مثلث متساوی‌الساقین‪ ،‬زاویه بین دو ساق برابر به ‪ 50 ‬باشد‪ ،‬هر یک از‬ ‫زاویه های دیگر آن چند درجه است؟‬ ‫‪ -2‬در یک مثلث متساوی‌االضالع‪ ،‬هر زاویۀ آن چند درجه است ؟‬ ‫‪ -3‬اگر در یک مثلث متساوی‌الساقین‪ ،‬زاویۀ بین دو ساق ‪ 70‬باشد‪ ،‬دو زاویۀ دیگر آن‬ ‫هرکدام چند درجه است؟‬

‫‪126‬‬

‫زاوية خارجي یک مثلث‬ ‫چند نوع زاويه  را در شكل مقابل‬ ‫مي بينيد؟‬

‫فعالیت‬ ‫‪Δ‬‬

‫• مثلث ‪ ABC‬را در نظر بگیرید‪ .‬ضلع ‪ BC‬را از نقطۀ ‪ C‬امتداد می‌دهیم تا زاوية ‪C2‬‬

‫تشكيل شود‪.‬‬ ‫• به سؤال‌هاي زير پاسخ دهيد‪:‬‬

‫‪A‬‬ ‫∧‬

‫∧‬

‫∧‬

‫∧‬

‫? = ‪C1+ C 2‬‬ ‫∧‬

‫? = ‪C 1 + A+ B‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪C‬‬

‫‪A‬‬

‫‪1‬‬

‫‪B‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫• از دو تساوي باال چه نتيجه‌یی  به دست مي آيد؟‬ ‫در هر مثلث زاويه یی كه از امتداد يكي از اضالع با ضلع ديگر مثلث تشكيل مي شود‪ ،‬زاوية‬ ‫خارجي نام دارد‪ .‬اندازة هر زاوية خارجي در یک مثلث مساوي به مجموع دو زاوية داخلي‬ ‫غير مجاور آن است‪.‬‬ ‫‪C‬‬

‫مثال اول‪ :‬در يك مثلث قايم‌الزاوية متساوي‌الساقين می خواهیم اندازة زاوية‌ خارجي را كه‬ ‫از امتداد وتر آن به  دست مي آيد‪ ،‬اندازه بگیریم‪ .‬آيا در اين وضعيت فرق مي كند كه وتر را‬ ‫‪B‬‬ ‫به كدام جهت امتداد دهيم؟‬ ‫‪‬‬ ‫‪B‬‬ ‫حل‪ :‬چون مثلث قايم‌الزاويه است‪ ،‬يك زاوية ‪ 90‬دارد؛‬ ‫چون متساوي‌الساقين است‪ ،‬هر يك از زاويه های حادة آن‬ ‫‪ 45 ‬است‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫∧‬ ‫∧‬ ‫∧‬ ‫∧‬ ‫‪C‬‬ ‫‪A 1 C‬‬ ‫‪C2 = A + B‬‬ ‫‪C2 = 90  + 45  = 135 ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪A‬‬ ‫چون دو زاوية حاده با هم مساوي اند‪:‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪127‬‬

‫‪B‬‬

‫زاويه هاي خارجي آن‌ها نیز با هم مساوي اند و فرقي نمي کند که زاویۀ خارجی در کدام‬ ‫باشد‪.‬‬ ‫طرف وتر قرار داشته‬ ‫‪Δ‬‬ ‫∧‬ ‫∧‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫مثال دوم‪ :‬در مثلث ‪ A = 50 ، ABC‬و ‪ B = 70‬است‪ .‬زاوية خارجي ‪ C‬چند درجه‬ ‫است؟‬ ‫∧‬

‫∧‬

‫∧‬

‫‪C2 = A + B = 50  + 70  = 120 ‬‬

‫فعالیت‬ ‫اندازۀ هر سه زاویۀ  خارجی مثلث مختلف‌االضالع زیر را پیدا کنید‪.‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪50‬‬ ‫‪30‬‬

‫‪A‬‬

‫‪100‬‬

‫‪B‬‬

‫هر یک از زاویۀ خارجی یک مثلث‪ ،‬مساوی به مجموع دو زاویۀ داخلی غیر مجاور آن می‌باشد‪.‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪60° 30°‬‬

‫‪x‬‬

‫تمرین‬

‫‪60°‬‬

‫‪C‬‬

‫‪A‬‬

‫‪A‬‬

‫‪x‬‬

‫‪A‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪x‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪120° 144°‬‬

‫‪B‬‬

‫‪B‬‬ ‫آوريد‪:‬‬ ‫شده اند‪ ،‬به‪C‬دست‬ ‫‪ -1‬در اشكال زير‪ ،‬اندازة‪C‬زاويه‌هايي را كه به عالمت ‪ x‬مشخص ‪B‬‬ ‫‪B‬‬

‫‪C‬‬

‫‪60°‬‬ ‫‪30°‬‬

‫‪140°‬‬

‫‪A‬‬

‫‪A‬‬

‫‪x‬‬

‫‪60° 30°‬‬

‫‪x‬‬

‫‪C‬‬

‫‪60°‬‬

‫‪A‬‬

‫‪B‬‬

‫‪C‬‬ ‫‪140°‬‬

‫‪A‬‬

‫‪x‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪120° 144°‬‬

‫‪B‬‬

‫‪C‬‬

‫‪B‬‬

‫‪C‬‬

‫‪60°‬‬ ‫‪30°‬‬

‫‪ -2‬اندازة زاويه‌هاي خارجي در مثلث متساوي‌االضالع چه رابطه یی با هم دارند؟‬ ‫‪ -3‬يک مثلث قايم‌الزاويه رسم کنيد که اضالع آن ‪ 4cm ، 3cm‬و ‪ 5cm‬باشد؛ سپس‬ ‫مجموع زاویه‌های خارجی آن را پیدا نمایید‪.‬‬ ‫‪ -4‬با چند مثال نشان دهید که مجموع زاویه های خارجی مثلث ها برابر و ثابت اند‪.‬‬ ‫‪ -5‬مجموع زاویـه های خارجی در یک مثلث‪ ،‬چنـد برابر مجموع زاویـه های داخلی آن‬ ‫می باشد؟‬

‫‪128‬‬

‫‪B‬‬

‫‪B‬‬

‫رابطه بين اضالع يك مثلث‬ ‫آيا مثلثی وجود دارد که مجموع دو ضلع آن از‬ ‫ضلع سوم کوچک تر باشد؟‬

‫فعالیت‬ ‫• يك قطعه‌خط به طول ‪ 7cm‬رسم کرده‪ ،‬آن را ‪ AB‬بناميد‪.‬‬ ‫• از نقطۀ ‪ A‬يك دايره به شعاع ‪ 4cm‬و از نقطۀ ‪ B‬دايره يي به شعاع ‪ 5cm‬رسم كنيد‪.‬‬ ‫• محل تقاطع دو دايره را ‪ C‬بناميد و آن را به ‪ A‬و ‪ B‬وصل کنید‪.‬‬ ‫‪Δ‬‬

‫• مثلث ‪ ABC‬را در نظر گرفته و بگویید طول ‪ AC‬و طول ‪ BC‬چند است؟‬ ‫• اين بار از نقطۀ ‪ A‬يك دايره يي به شعاع ‪ 4cm‬و از نقطۀ ‪ B‬دايره يي به شعاع ‪ 2cm‬رسم‬ ‫كنيد‪.‬‬ ‫• آيا اين دو دايره يك ديگر را قطع مي كنند و مثلث تشكيل مي شود؟‬ ‫• اگر از ‪ A‬دايره يي به شعاع ‪ 4cm‬و از ‪ B‬دايره‌يي به شعاع ‪ 3cm‬رسم كنيم‪ ،‬آيا دايره ها‬ ‫همديگر را قطع مي كنند؟‬ ‫• چه تفاوتي میان سه حالت باال وجود داردكه در یک حالت توانستیم مثلث تشکیل دهیم‪،‬‬ ‫و در دو حالت دیگر نتوانستيم مثلث را تشکیل دهیم؟‬ ‫‪A‬‬

‫در فعاليت باال ديديم كه برای تشکیل یک مثلث‬ ‫مجموع دو ضلع يك مثلث بايد از ضلع سوم بزرگ‌تر‬ ‫‪Δ‬‬

‫باشد؛ يعني در مثلث ‪ ABC‬بايد مجموع اندازة‌ اضالع‬ ‫‪ AC‬و ‪ BC‬از اندازة ‪ AB‬بزرگ‌تر باشد‪.‬‬

‫‪129‬‬

‫‪C‬‬

‫‪B‬‬

‫مثال اول‪ :‬مثلثي رسم كنيد كه اضالع آن ‪ 6cm ، 3cm‬و ‪ 8cm‬باشد؟‬ ‫حل‪ :‬بايد ببينيم كه آيا رابطة اضالع مثلث براي تمام اضالع برقرار است يا خير؟‬

‫‪3+ 6 = 9 , 9 > 8‬‬ ‫‪3 + 8 = 11 , 11 > 6‬‬ ‫‪6 + 8 = 14 , 14 > 3‬‬

‫‪6‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪8‬‬

‫پس مي‌توان اين مثلث را رسم كرد‪ .‬شکل باال را مشاهده کنید‪.‬‬ ‫مثال دوم  ‪ :‬آيا مي‌توانيد مثلثي رسم كنيد كه اضالع آن ‪ 6cm ، 3cm‬و ‪ 2cm‬باشد؟‬ ‫حل‪:‬‬ ‫‪3+ 6 = 9 , 9 > 2‬‬ ‫‪2 + 6 = 8 , 8> 3‬‬ ‫‪3+ 2 = 5 , 5 < 6‬‬

‫براي اين‌كه بتوانیم یک مثلث را رسم  کنیم بايد هر سه شرط برقرار باشد؛ يعني‪ :‬مجموع طول‬ ‫دو ضلع باید از طول ضلع سوم بزرگ‌تر باشد و چون در اين جا ‪ 3 + 2 = 5 < 6‬است‪ ،‬مثلث‬ ‫تشكيل نمي شود‪.‬‬ ‫اگر مجموع طول دو ضلع از ضلع سوم کوچک‌تر باشد‪ ،‬مثلث تشکیل نمی شود‪.‬‬

‫تمرین‬ ‫‪ -1‬آیا می‌توان مثلثی رسم کرد که دو ضلع آن ‪ 5cm‬و ‪ 7cm‬و ضلع سوم آن به اندازۀ‬ ‫نصف مجموع دو ضلع دیگر آن باشد‪.‬‬ ‫‪ -2‬چرا با سه قطعةخطی که یک قطعه‌خط از مجموع دو قطعه‌خط دیگر بزرگ‌تر باشد‪،‬‬ ‫نمی توان یک مثلث را رسم کرد؟‬ ‫‪ -3‬با اندازه گيري اضالع مثلث های زیر‪ ،‬رابطه بين اضالع مثلث را بررسي كنيد‪.‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪C‬‬

‫(‪)c‬‬

‫‪CB‬‬

‫‪A‬‬

‫(‪)b‬‬

‫‪A‬‬

‫‪B‬‬

‫‪C‬‬

‫(‪)a‬‬

‫‪B‬‬

‫‪ -4‬يك مثلث قايم‌الزاويه رسم كنيد كه اضالع زاوية قايم آن ‪ 5cm‬و ‪ 3cm‬و طول وتر آن‬ ‫‪ 7cm‬باشد؟‬ ‫‪ -5‬آيا مي توانيد يك مثلث متساوي‌الساقين رسم كنيد كه طول قاعدة آن سه برابر يكي از‬ ‫ساق  هاي آن باشد؟‬

‫‪130‬‬

‫چندضلعي ها (مضلع ها)‬ ‫در تصوير مقابل‪ ،‬چند نوع چندضلعي ‌را‬ ‫مشاهده مي‌كنيد؟‬

‫فعالیت‬ ‫• به جدول زير نگاه کرده‪ ،‬شكل هاي داخل ستون‌ها را با هم مقايسه كنيد‪.‬‬ ‫ﭼﻨﺪ ﺿﻠﻌﻰ ﻣﻨﻈﻢ‬

‫ﭼﻨﺪ ﺿﻠﻌﻰ ﺍﺳﺖ‬

‫ﭼﻨﺪ ﺿﻠﻌﻰ ﻧﻴﺴﺖ‬

‫• شكل هاي ستون اول و دوم را از چپ به راست با هم مقايسه كنيد‪.‬‬ ‫• در چه صورت يك شكل را چندضلعي مي ناميم و در چه صورتي‪ ،‬يك شكل‬ ‫چندضلعي نيست؟‬ ‫• زاويه هاي يك چندضلعي منظم را اندازه بگيريد و بگویید كه با هم چه رابطه يي دارند؟‬ ‫آيا اين خصوصيات در تمام چندضلعي‌ها وجود دارند؟‬

‫‪131‬‬

‫در فعاليت آغاز این درس ديده مي‌شود كه يك چندضلعي عبارت از خط منكسر بسته‌يي‬ ‫است كه فقط يك ناحية بسته را در بر دارد‪.‬‬ ‫اگ��ر ان��دازة زاويه ه��ا و اض�لاع ي��ك چند ضلع��ي ب��ا ه��م مس��اوي باش��ند‪ ،‬چند ضلع��ي منظ��م نامي��ده‬ ‫مي شود و چند ضلعي‌یی كه اضالع و زواياي آن مساوي نباشند‪ ،‬به نام چند ضلعي غير منظم ياد مي گردد‪.‬‬ ‫مثال‪ :‬کدام یک از شکل‌های زیر یک چندضلعی است؟‬

‫)‪(b‬‬

‫)‪(c‬‬

‫)‪(a‬‬

‫حل‪:‬‬ ‫شکل‪ a‬یک شکل بسته نیست؛ پس یک چندضلعی نیست‪.‬‬ ‫شکل‪ b‬خط منکسر بسته نیست؛ پس یک چندضلعی نیست‪.‬‬ ‫شکل ‪ c‬خط منکسر بسته است؛ پس یک چندضلعی است‪.‬‬ ‫شکل ‪ d‬خط منکسر بسته است؛ پس یک چندضلعی می‌باشد‪.‬‬ ‫شکل‪ e‬خط منکسر بسته است؛ پس چندضلعی است‪.‬‬ ‫شکل ‪ f‬خط منکسر بسته است و در میان تمام اشکال باال یگانه شکلی است که اضالع‬ ‫آن با هم مساوی اند‪ ،‬بنابر این یک چندضلعی منظم است؛ سایر چند ضلعی های باال به نام‬ ‫چندضلعی غیر منظم یاد می شوند که از تقاطع چند خط تشکیل شده اند‪.‬‬ ‫چندضلعی ها‪ ،‬ناحیه های بسته یی اند که از تقاطع چند قطعه‌خط تشکیل می‌شوند و هیچ یک از‬ ‫دو خط آن در امتداد یک خط مس��تقیم قرار ندارد؛ همچنان هر رأس مضلع فقط و فقط نقطۀ‬ ‫تقاطع دو قطعه‌خط است‪.‬‬ ‫)‪(f‬‬

‫)‪(e‬‬

‫)‪(d‬‬

‫تمرین‬ ‫‪ -1‬چند ضلعی هایی را که می‌شناسید‪ ،‬نام ببرید‪.‬‬ ‫‪ -2‬در میان چند ضلعی‌هایی که می‌شناسید‪ ،‬کدام‌های شان چند ضلعی منظم اند؟‬ ‫‪ -3‬آیا مستطیل‪ ،‬ذوزنقه و معین چندضلعي‌های منظم استند چرا؟‬ ‫‪ -4‬آیا یک مثلث قایم الزاویۀ متساوی‌الساقین یک چندضلعی منظم است؟ چرا ؟‬ ‫‪ -5‬آیا یک مثلث متساوی‌االضالع ‪ ،‬یک چندضلعی منظم است؟ چرا؟‬ ‫‪ -6‬اگر سه شکل مستطیل‪ ،‬دایره و مربع را در نظر بگیریم‪ ،‬کدام یک آن‌ها‪ ،‬چندضلعی نیست و‬ ‫کدام یک چندضلعی منظم و کدام یک چندضلعی غیر منظم است؟‬

‫‪132‬‬

‫مجموع زاويه هاي داخلي يك مضلع‬ ‫در هر يك از مضلع‌های مقابل مجموع‬ ‫زواياي داخلی آن چند درجه است؟‬

‫‪90º‬‬

‫‪90º‬‬

‫? = ‪90º + 90º + 90º + 90º‬‬

‫‪90º‬‬ ‫‪108º‬‬ ‫‪108º‬‬

‫‪90º‬‬

‫‪108º‬‬

‫‪108º 108º‬‬

‫? = ‪108º + 108º + 108º + 108º + 108º‬‬

‫فعالیت‬ ‫• در اشكال زير هر ضلع را امتداد دهيد‪.‬‬

‫)‪(e‬‬

‫)‪(d‬‬

‫)‪(c‬‬

‫)‪(b‬‬

‫)‪(a‬‬

‫• شکل‌های ( ‪ ) e‬و ( ‪ ) a‬چه فرقی با شکل‌های ( ‪ ) d ( ، ) b‬و ( ‪ ) c‬دارند؟‬

‫از فعالیت باال نتیجه می گیریم که در بعضی از چند ضلعی ها‪ ،‬امتداد برخی اضالع از داخل چند‬ ‫ضلعی عبور می‌کند که آن‌ها را چند ضلعی مقعر می گویند و چند ضلعی‌يي که امتداد اضالع‬ ‫آن  از بین چند ضلعی عبور نمی‌کند‪ ،‬آن را چندضلعی محدب می نامند‪ .‬ناگفته نماند که اگر در‬ ‫چندضلعی ها نام مقعر یا محدب ذکر نگردد‪ ،‬منظور چند ضلعی محدب است‪.‬‬

‫فعالیت‬

‫• چهار ضلعي ‪ ABCD‬را در نظر بگيريد‪.‬‬ ‫• زاويه هاي داخلي این چهار ضلعي را با نقاله اندازه گرفته و با هم جمع کنید‪.‬‬ ‫• يك قطر چهار ضلعي را رسم كنيد‪ .‬اين قطر‪ ،‬چهارضلعي را به چند مثلث تقسيم مي كند؟‬ ‫• مجموع زاويه هاي داخلي را بدون استفاده از نقاله پيدا كنيد‪.‬‬ ‫• اگر به جای آن قطر‪ ،‬يك قطر ديگر از اين چهارضلعي را رسم مي‌كرديد‪ ،‬آيا نتيجه‬ ‫متفاوت می‌بود؟‬

‫‪133‬‬

‫• يك پنج ضلعي رسم كنيد‪ .‬دو قطر كيفي اين پنج‌ضلعي را از يك رأس رسم كنيد و‬ ‫مجموع زاويه هاي داخلي پنج ضلعي را پيدا كنيد‪.‬‬ ‫تعداد اضالع‬ ‫مجموع زوایای داخلی‬ ‫• يك شش ضلعي رسم كنيد و بگویید که چند قطر بايد‬ ‫‪‬‬ ‫رسم شود تا مجموع زاويه‌هاي داخلي شش ضلعي به دست‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1×180‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2 × 180‬‬ ‫آید‪.‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪5‬‬ ‫• جدول مقابل را در کتابچه های خود نوشته و آن را تکمیل‬ ‫‪3× 180‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪4 × 180‬‬ ‫كنيد‪ .‬در هر رديف چه عددي در ‪ 180‬ضرب مي شود‪ ،‬اين‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫عدد چه رابطه یی با تعداد اضالع چندضلعي دارد؟‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫• آیا حدس زده می توانید که مجموع زواياي داخلي‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫هشت ضلعي چند درجه است؟‬ ‫‪3‬‬ ‫• مجموع زوایای داخلي ‪ n‬ضلعي چقدر است؟‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬

‫از فعاليت باال معلوم گرديد كه ‪ S = )n − 2( ×180 ‬م‪6‬ی باشد در اينجا ‪ S‬مجموع زوایای‬ ‫داخلي و ‪ n‬تعداد اضالع چندضلعي را نشان مي دهد‪.‬‬ ‫مثال‪ :‬مجموع زاويه‌هاي داخلي يك ‪ 10‬ضلعي چند درجه است؟ همچنان معلوم كنيد كه‬ ‫چند برابر يك زاوية قايمه مي شود؟‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫حل ‪:‬‬ ‫‪S = )n − 2( × 180 = )10 − 2( × 180 = 8 × 180 = 1440 ‬‬ ‫که ‪ 16‬برابر یک زاویۀ قایمه است‪.‬‬ ‫مجموع زاویه های داخلی یک چند ضلعی مربوط به تعداد اضالع آن است‪.‬‬ ‫)‪d‬‬

‫تمرین‬

‫)‪c‬‬

‫)‪b‬‬

‫‪ -1‬در اشکال زیر‪ ،‬چند ضلعی محدب و چند ضلعی مقعر را نشان دهید‪.‬‬

‫)‪d‬‬

‫)‪c‬‬

‫)‪b‬‬

‫)‪a‬‬

‫‪ -2‬مجموع زوایای داخلی یک ‪ 12‬ضلعی را دریابید‪.‬‬ ‫‪ -3‬مجموع زوایای داخلی یک ‪ 8‬ضلعی چند برابر یک زاویۀ قایمه می شود؟‬ ‫‪ -4‬مجموع زوایای داخلی یک مثلث‪ ،‬یک مربع‪ ،‬یک مستطیل و یک ‪ 20‬ضلعی را از روی‬ ‫فورمول باال دریابید‪.‬‬

‫‪134‬‬

‫)‪a‬‬

‫مجموع زاويه هاي خارجي يك مضلع‬ ‫‪72º‬‬

‫آیا می‌توانید بگویید كه مجموع زوایای‬ ‫خارجي يك چندضلعی چند درجه است؟‬

‫‪72º‬‬

‫‪72º‬‬ ‫‪72º‬‬ ‫‪72º‬‬ ‫? = ‪72º + 72º + 72º + 72º + 72º‬‬

‫فعالیت‬ ‫‪Δ‬‬

‫• مثلث ‪ ABC‬را در نظر بگيريد‪.‬‬ ‫• ضلع ‪ AB‬را از ‪ A‬به طرف ‪ B‬امتداد دهيد‪.‬‬ ‫• ضلع ‪ BC‬را از ‪ B‬به طرف ‪ C‬امتداد دهيد‪.‬‬ ‫• ضلع ‪ AC‬را از ‪ C‬به طرف ‪ A‬امتداد دهيد‪.‬‬ ‫• سه زاوية خارجي این مثلث را مشخص و نامگذاري كنيد‪C .‬‬ ‫• جدول زير را در کتابچه های خود نوشته و آن را تکمیل کنید‪.‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫چند ضلعی‌ها‬

‫مجموع زاویه‌های‬ ‫مجموع زاویه‌های‬ ‫مجموع زاویه‌های‬ ‫داخلی‬ ‫خارجی‬ ‫داخلی و خارجی‬ ‫‪o‬‬ ‫‪..........‬‬ ‫‪..........‬‬ ‫‪.......‬‬ ‫‪........‬‬ ‫? = ‪+ .......‬‬ ‫? = ‪ ........ × 180‬سه ضلعی‬ ‫‪o‬‬ ‫? = ‪........................... ........ + .......‬‬ ‫? = ‪ ........ × 180‬چهار ضلعی‬ ‫‪o‬‬ ‫? = ‪ ........ × 180 = ? ........................... ........ + .......‬پنج ضلعی‬ ‫‪o‬‬ ‫? = ‪........................... ........ + .......‬‬ ‫? = ‪ ........ × 180‬شش ضلعی‬

‫‪...‬‬

‫‪...‬‬

‫‪...‬‬

‫• يك چهار ضلعي رسم کرده و زاويه هاي خارجي آن را نشان دهيد‪.‬‬ ‫• يك پنج ضلعي رسم کرده و زاويه هاي خارجي آن را نشان دهيد‪.‬‬

‫‪...‬‬

‫فعاليت باال نشان مي دهد كه‪ :‬مجموع زاويه هاي خارجي در يك چندضلعي‪ 360°‬بوده و به‬ ‫تعداد اضالع ارتباط ندارد‪.‬‬

‫‪135‬‬

‫‪A 2‬‬

‫‪D‬‬

‫مثال اول‪ :‬مجموع زوایای خارجی یک مربع را اوالً از روی رسم‬ ‫پیدا نمایید و سپس آن را از روی فورمول دریافت کرده و با هم‬ ‫∧‬ ‫∧‬ ‫کنید‪.‬‬ ‫مقایسه‬ ‫‪o‬‬ ‫‪o‬‬ ‫‪o‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪1 + A 2 = 90 + 90 = 180‬‬ ‫خط‬ ‫طرف‬ ‫یک‬ ‫به‬ ‫زوایا‬ ‫مجموع‬ ‫‌دانیم‬ ‫ی‬ ‫م‬ ‫‌که‬ ‫ی‬ ‫طور‬ ‫همان‬ ‫حل‪:‬‬ ‫‪1 21‬‬ ‫∧‬ ‫∧‬ ‫∧‬ ‫∧∧‬ ‫‪‬‬ ‫‪o‬‬ ‫‪o‬‬ ‫‪o‬‬ ‫مستقیم‬ ‫‪oo‬‬ ‫‪oo‬‬ ‫‪oo‬‬ ‫‪2 C A1 + A 2 = 90 + 90 = 180‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪A‬‬ ‫است؛‪90‬‬ ‫‪90180‬‬ ‫‪180‬‬ ‫‪2 ==90‬‬ ‫پس‪B11 B 2:‬‬ ‫‪++90‬‬ ‫‪==180‬‬ ‫‪1 2‬‬

‫‪CB1 + CB 2 = 90 o + 90 o = 180 o‬‬

‫∧‬

‫∧‬

‫‪90oo ++90‬‬ ‫‪90oo ==180‬‬ ‫‪180oo‬‬ ‫‪BA11++ BA22 ==90‬‬

‫∧∧‬

‫∧∧‬

‫∧∧‬

‫∧‬

‫∧‬

‫∧‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪A 2‬‬

‫‪B‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2 C‬‬

‫‪CB1 + CB2 = 90 o + 90 o = 180 o‬‬

‫‪12‬‬

‫‪B‬‬

‫‪C1 + CD22 = 90 oo + 90 oo = 180 oo‬‬ ‫‪D‬‬ ‫∧‬ ‫∧‬ ‫∧‬ ‫∧‬ ‫∧‬ ‫‪∧o‬‬ ‫∧‬ ‫‪o‬‬ ‫‪o oo‬‬ ‫است به‪ooo:‬‬ ‫خارجی ∧مربع مساوی ‪oo‬‬ ‫زوایای‬ ‫مجموعۀ‬ ‫پس‬ ‫‪A 2 + B 2A‬‬ ‫‪+ C 2 + D 2 = 90 o + 90D‬‬ ‫‪++90‬‬ ‫‪+=90‬‬ ‫‪=+360‬‬ ‫‪o‬‬ ‫‪o‬‬ ‫‪o‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪90‬‬ ‫‪90‬‬ ‫=‬ ‫‪180‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2 = 90 + 90 = 180‬‬ ‫‪2‬‬ ‫∧‬ ‫متساوی∧‌الساقین را دریابید‪.‬‬ ‫قايمالزاویۀ‬ ‫يک‪ Δ‬مثلث‬ ‫مثال دوم‪ :‬مجموع زاویه‌های خارجی‬ ‫‪45°‬‬ ‫‪o‬‬ ‫‪o‬‬ ‫‪o‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪1 + D 2 = 90 + 90 = 180‬‬ ‫حل‪ :‬مثلث قایم‌الزاویۀ متساوی‌الساقین ‪ ABC‬را رسم نموده و اضالع‬ ‫‪A‬‬ ‫دیده‬ ‫آن را تا آنجا امتداد دهید که زاویه های خارجی آن تشکیل گردد‪،‬‬ ‫‪90°‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪45°‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪45°‬‬ ‫می شود که‪:‬‬ ‫∧ ‪C‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪A 2 =180 − 45 = 135‬‬ ‫∧‬

‫‪B2 = 180 − 90 = 90‬‬ ‫∧‬

‫‪C2 = 180 − 45 = 135‬‬

‫‪2‬‬

‫‪C‬‬

‫‪45°‬‬

‫‪90°‬‬ ‫‪2‬‬

‫از این رو مجموع زاویه‌های خارجی مثلث برابر است به‪:‬‬ ‫∧‬

‫∧‬

‫∧‬

‫‪A 2 + B2 + C2 =135 + 90 + 135 = 360‬‬

‫مجموع زاویه های خارجی هر مضلع(چند‬ ‫ندارد‪.‬‬

‫ضلعی) ‪360‬‬

‫است و به تعداد اضالع آن ارتباط‬

‫تمرین‬ ‫‪ -1‬مجموع زاویه‌های خارجی یک مثلث متساوی‌االضالع را دریابید‪.‬‬ ‫‪ -2‬اگر در یک مثلث متساوی‌الساقین‪ ،‬زاویه بین دو ساق ‪ 80‬باشد‪ ،‬مجموع زاویه‌های‬ ‫خارجی آن را پیدا کنید‪.‬‬ ‫‪ -3‬مجموع زاویه‌های خارجی یک ‪ 10‬ضلعي منظم را پیدا کنید‪.‬‬ ‫‪ -4‬هر یک از زاویه‌های خارجی یک مستطیل چند درجه است؟ مجموع آن‌ها را به دست‬ ‫آورید‪.‬‬

‫‪136‬‬

‫‪B‬‬

‫‪2‬‬

‫اشکال انطباق‌پذیر‬ ‫همان طور که می دانید اکثر قفل ها دارای دو‬ ‫یا سه کلید اند‪ .‬چرا؟ این کلید ها با همدیگر‬ ‫چه رابطه دارند که قفل را باز می کنند‪،‬‬ ‫آیا در جواب های زیر‪ ،‬جواب صحیح وجود‬ ‫دارد؟‬ ‫الف) زیرا این کلید ها دارای عین رنگ اند‪.‬‬ ‫ب) زیرا دارای عین درازی اند‪.‬‬ ‫ ‬ ‫پ) زیرا دارای عین دندانه ها اند‪.‬‬ ‫ت) زیرا دارای عین ضخامت اند‪.‬‬ ‫ج) ب‪ ،‬پ و ت درست اند‪.‬‬

‫فعالیت‬ ‫• یک مربع روی کاغذ رسم نموده که هر ضلع آن ‪ 4cm‬باشد‪ .‬نام آن را (الف) بگذارید‪.‬‬ ‫• یک مربع دیگر روی کاغذ رسم کنید که هر ضلع آن ‪ 6cm‬باشد‪ .‬نام آن را (ب) بگذارید‪.‬‬ ‫• یک مربع دیگر نیز روی کاغذ رسم کنید که هر ضلع آن ‪ 4cm‬باشد‪ .‬نام آن را (پ) بگذارید‪.‬‬ ‫• این مربع ها را قیچی کرده و دو به دو باالی همدیگر گذاشته و با هم مقایسه کنید‪.‬‬ ‫برای نمایش انطباق‌پذیری دو شکل از عالمت ( ≅ ) استفاده می شود‪.‬‬ ‫مثال اول‪ :‬دراشکال زیر اشکالی را که با هم انطباق‌پذیر اند‪ ،‬مشخص کنید‪ (.‬اعداد مربوطه‪،‬‬ ‫اندازۀ طول را به سانتی متر نشان می دهند‪).‬‬ ‫حل‪ :‬جوره های اشکال(‪ )a‬و (‪ )c‬با هم انطباق‌پذیر اند؛ اما اشکال (‪ )b‬با هم انطباق‌پذیر‬ ‫نیستند‪.‬‬

‫‪2‬‬

‫)‪c‬‬

‫‪4‬‬

‫‪4‬‬

‫‪4‬‬

‫‪4‬‬

‫‪4‬‬

‫‪2‬‬

‫‪4‬‬

‫‪4‬‬

‫‪4‬‬

‫‪4‬‬

‫)‪b‬‬

‫‪4‬‬

‫)‪a‬‬

‫مثال دوم‪ :‬یک مستطیل کیفی رسم کنید و سپس بگویید چگونه مي توان یک مستطیل‬ ‫دیگری که با مستطیل اولی انطباق‌پذیر باشد رسم کرد؟‬

‫‪137‬‬

‫‪A‬‬

‫‪D‬‬

‫‪C‬‬

‫‪B‬‬

‫‪B‬‬

‫‪A‬‬

‫حل‪ :‬این کار را به دو روش انجام می‌دهيم‪.‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪ -1‬مستطیل کیفی ‪ ABCD‬را به رنگ روشن رسم کرده؛ ‪C‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪D‬‬

‫سپس یک ورق کاغذ شفاف را باالی شکل اولی قرار‬ ‫می‌دهیم و از روی آن‪ ،‬شکل مستطیل را رسم می‌کنیم‪ .‬حاال‬ ‫‪C‬‬ ‫این دو شکل با هم انطباق‌پذیر اند‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ -2‬چون می‌دانیم که زاویه‌های مستطیل هر کدام ‪ 90‬است‪F ،‬‬ ‫زاویۀ قایمۀ ‪ E‬را رسم کرده و به اندازۀ دو ضلع مجاور مستطیل‬ ‫اولی‪ ،‬به طور مثال از اضالع ‪ AB‬و ‪ AD‬عمود‌های جدید‬ ‫جدا نموده و اضالع ‪ EF‬و ‪ EH‬را به دست می آوریم؛ بعد ‪F‬‬ ‫‪G‬‬ ‫از نقاط ‪ F‬و ‪ H‬توسط پرکار به اندازۀ اضالع اولی ‪ BC‬و‬ ‫‪ DC‬اضالع ‪ FG‬و ‪ HG‬را رسم می کنیم‪.‬‬ ‫است‪.‬‬ ‫اکنون مستطیل دومی ‪ EFGH‬با مستطیل ‪ ABCD‬انطباق‌پذیر ‪G‬‬

‫‪D‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪H‬‬ ‫‪H‬‬

‫دو شکلی که کام ً‬ ‫ال بر هم منطبق می‌باشند‪ ،‬یعنی یکدیگر را می‌پوشانند‪ ،‬اشکال انطباق‌پذیر‬ ‫نامیده می شوند‪.‬‬

‫تمرین‬ ‫‪ -1‬دو مربع که با هم انطباق‌پذیر باشند رسم کنید‪.‬‬ ‫‪ -2‬دو لوزی داده شده است‪ ،‬چطور بدانیم که با هم انطباق‌پذیراند؟‬ ‫‪ -3‬دو مثلث انطباق‌پذیر را رسم کنید‪.‬‬ ‫‪ -4‬یک دایره به شعاع ‪ 4cm‬رسم کرده؛ سپس یک دایرۀ دیگر ترسیم کنید که با دایرۀ اولی‬ ‫انطباق پذیر باشد‪.‬‬

‫‪138‬‬

‫انطباق‌پذيري دو مثلث در حالتی كه دو ضلع و‬ ‫زاويۀ بين آن‌ها مساوي باشد‬ ‫براي آن كه ببينيم آيا دو باغچه در شكل‬ ‫انطباق‌پذير استند يا خير‪ ،‬آيا مي توانيم يكي‬ ‫از آن شکل‌ها را بلند كنيم روي ديگري قرار‬ ‫دهيم؟‬

‫فعالیت‬ ‫‪Δ‬‬

‫‪Δ‬‬

‫• در دو مثلث ‪ ABC‬و '‪ A' B' C‬شکل زیر‪:‬‬ ‫∧‬

‫∧‬

‫'‪ AC = A' C' ، AB = A' B‬و ‪ A = A′‬می‌باشد‪.‬‬

‫‪A‬‬

‫‪A′‬‬

‫‪B‬‬

‫‪B′‬‬ ‫‪C′‬‬

‫‪Δ‬‬

‫‪C‬‬ ‫‪Δ‬‬

‫• يك كاغذ نازك برداشته‪ ،‬روي مثلث ‪ ABC‬قرار دهيد و از روي مثلث ‪ ABC‬آن را‬ ‫قطع کنید و آن را ‪ A′′B′′C′′‬بناميد‪.‬‬ ‫• رأس ‪ A′‬را روي ‪ A′′‬قرار دهيد‪.‬‬ ‫• آيا دو ضلع ‪ A′B′‬روي ‪ A′′B′′‬و ‪ A′C′‬روي ‪ A′′C′′‬قرار مي‌گيرند؟ چرا؟‬ ‫• آيا رأس ‪ B′‬روي ‪ B′′‬و ‪ C′‬روي ‪ C′′‬قرار مي گيرد؟ چرا؟‬ ‫‪Δ‬‬

‫‪Δ‬‬

‫• دو مثلث ‪ ABC‬و '‪ A' B' C‬چه رابطه‌یی با هم دارند؟‬ ‫‪Δ‬‬ ‫∆‬ ‫• دو مثلث ‪ ABC‬و "‪ A" B" C‬چه رابطه‌یی با هم دارند؟ چرا؟‬ ‫‪A′‬‬ ‫∆‬

‫• دو مثلث ‪ A′B′C′‬و "‪ A" B" C‬چه رابطه‌یی با هم دارند؟ چرا؟‬ ‫از فعاليت باال مي توان چنين نتيجه گرفت‪:‬‬ ‫زاويۀ بین آن دو ضلع مثلث‬ ‫اگر دو ضلع و زاويۀ بين این دو ضلع یک مثلث‪ ،‬با دو ضلع و ‪A‬‬ ‫ديگر مساوي باشند اين دو مثلث با هم انطباق‌پذير اند‪.‬‬

‫‪139‬‬

‫‪C′‬‬

‫‪B′‬‬

‫‪C‬‬

‫‪B‬‬

‫مثال‪:‬‬ ‫در شكل زير ‪ AB = BC‬و ‪ BH‬ناصف‌الزاوية ‪ ABC‬است‪ ،‬ثابت كنيد كه دو مثلث‬ ‫‪2‬‬ ‫‪Δ‬‬

‫‪4‬‬

‫‪ABH ≅ HBC‬‬ ‫∆‬ ‫∆‬ ‫∧‬ ‫∧‬ ‫)‪ b‬زاوية ‪ B‬نصف‬ ‫ث هاي‪ ABH 4‬و ‪ B1 = B2 : BCH‬زیرا‬ ‫حل‪ :‬در مثل )‪c‬‬

‫‪4‬‬

‫‪4‬‬

‫‪4‬‬

‫‪4‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬

‫‪2‬‬ ‫گرديده است‪.‬‬ ‫اضالع ‪ BA = BC‬كه مثال داده شده است و‬ ‫‪( BH = BH‬ضلع مشترک)‬ ‫‪Δ‬‬ ‫‪Δ‬‬ ‫از اينجا معلوم مي‌شود كه در دو مثلث ‪ ABH‬و ‪ BCH‬كه دو ضلع و ‪C‬‬ ‫‪C‬‬ ‫زاوية بين آن‌ها با هم مساوي اند با هم انطباق‌پذير مي باشند‪.‬‬

‫‪4‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬

‫)‪a‬‬

‫‪12‬‬

‫‪BA‬‬

‫‪H‬‬ ‫‪A‬‬

‫تمرین‬

‫‪A1 2‬‬

‫‪ -1‬درشكل مقابل ‪ AE = BD‬است و همديگر را در نقــطة‬ ‫تنصي��ف( ‪ ) C‬قطع مي‌كنن��د و نیز دو خ��ط ‪ AE‬و ‪ BD‬بر‬ ‫∆‬

‫‪4‬‬

‫∆‬

‫‪C‬‬ ‫‪D‬‬

‫‪B‬‬ ‫‪C‬‬

‫همديگر عمود  اند‪ .‬ثابت كنيد كه ‪. ABC ≅ CDE‬‬

‫‪A‬‬

‫‪B‬‬

‫‪E‬‬

‫‪D‬‬

‫‪A‬‬

‫‪B‬‬

‫‪O‬‬

‫‪ -2‬اگر دو قطر دايره با همديگر عمود باشند و نقاط تقاطع اين‬ ‫دو قطر با محيط دايره را قرار شكل به هم وصل كنيم‪ ‌،‬آيا دو‬ ‫‪Δ‬‬

‫‪Δ‬‬

‫مثلث ‪ AOD‬و ‪ BOC‬با هم انطباق‌پذير اند؟‬

‫‪D‬‬

‫‪O‬‬

‫‪C‬‬

‫‪B‬‬

‫‪C‬‬

‫‪ -3‬يك زمين مستطيل شكل را چگونه به دو مثلث انطباق‌پذير تقسيم مي‌كنيد؟‬

‫‪140‬‬

‫انطباق‌پذيري دو مثلث از حیث دو زاویه و‬ ‫ضلع بین شان‬

‫‪A‬‬

‫‪C‬‬

‫اگر در دو مثلث دو زاويه و ضلع بين آن‌ها‬ ‫با هم مساوي باشند‪ ،‬چگونه مي‌توانيم ثابت‬ ‫كنيم كه اين دو مثلث‪ ،‬انطباق‌پذير اند؟‬

‫‪B‬‬

‫‪A′‬‬ ‫‪C′‬‬

‫‪B′‬‬

‫‪AB = A′B′‬‬ ‫^ ^‬ ‫‪A = A′‬‬ ‫^ ^‬ ‫‪B = B′‬‬

‫‪A‬‬

‫‪A′‬‬

‫فعالیت‬ ‫‪Δ‬‬

‫• مثلث ‪ ABC‬را كه در آن ضلع ‪ B = 60  ، BC = 4 cm‬و زاوية ‪B′ C = 80 ‬‬ ‫است رسم‬ ‫كنيد‪.‬‬ ‫∧‬

‫‪C′‬‬

‫∧‬

‫∧‬

‫‪C‬‬

‫∧‬

‫• مثلث ‪ A′B′C′‬را كه در آن ‪ B′C′ = 4Δ cm‬و ‪ B' = 60 o‬و ‪Δ C′ = 80 ‬باشد‪ ،‬رسم كنيد‪.‬‬ ‫شفاف روي مثلث ‪ ABC‬بگذاريد و از کناره‌های مثلث ‪ ABC‬آن را ببريد‪.‬‬ ‫• يك كاغذ‬ ‫‪Δ‬‬ ‫اين مثلث را "‪ A" B" C‬بناميد‪.‬‬ ‫• رأس ‪ B′′‬را روي ‪ B′‬بگذاريد‪ .‬آيا ‪ C′′‬روي ‪ C′‬قرار مي‌گيرد؟ چرا؟‬ ‫• آيا ضلع "‪ A" B‬بر '‪ A' B‬منطبق مي شود؟ چرا؟‬ ‫• آيا ضلع "‪ A" C‬بر '‪ A' C‬منطبق مي شود؟ چرا؟‬

‫از فعاليت باال نتيجه مي‌شود كه‪:‬‬ ‫اگر دو زاويه و ضلع بين آن‌ها درمثلثي با دو زاويه‬ ‫و ضلع بين آن‌ها در مثلث ديگر مساوي باشند‪ ،‬دو‬ ‫مثلث انطباق‌پذير اند‪.‬‬ ‫چنانکه در شكل مقابل‪ ،‬داريم‪:‬‬ ‫‪C′‬‬ ‫∧‬

‫∧‬

‫∧‬

‫∧‬

‫‪AB = A′B′ , A = A′ , B = B′‬‬

‫بنابراین مثلث ‪ ABC‬و ‪ A′B′C′‬انطباق‌پذير اند‪.‬‬

‫‪141‬‬

‫‪C‬‬

‫‪A′‬‬

‫‪A‬‬

‫‪B′‬‬

‫‪B‬‬

‫‪Δ‬‬

‫مثال اول‪ :‬در مثلث متساوي‌الساقين ‪ ، ABC‬قطعه‌خط ‪ AH‬ناصف‌الزاويه بر قاعده ‪BC‬‬ ‫‪Δ‬‬

‫‪Δ‬‬

‫عمود است‪ .‬ثابت كنيد كه مثلث هاي ‪ ABH‬و ‪ ACH‬با هم انطباق پذير اند‪.‬‬ ‫حل‪ :‬در دو مثلث ‪ ABH‬و ‪ ACH‬داريم كه‪:‬‬ ‫∧‬ ‫∧‬ ‫چون زاویۀ ‪ A‬نصف شده است‪A1∧ = A∧2 .....................‬‬ ‫‪A‬‬ ‫مثلث متساوي‌الساقين است‪B = C ...........................‬‬ ‫‪12‬‬ ‫ساق‌هاي متساوي‌الساقين اند‪AB = AC .....................‬‬ ‫قـرار فـعاليت باال در دو مثلث ‪ ABH‬و ‪ ACH‬داريم كه‬ ‫دو زاويه و يك ضلع در هر دو مثلث با هم مساوي اند لذا‪:‬‬ ‫‪Δ‬‬ ‫‪Δ‬‬ ‫ ‬ ‫‪B‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪ABH ≅ ACH‬‬ ‫‪H‬‬ ‫مثـال دوم‪ :‬چرا دو مثلث قايم‌الـزاوية متساوي الســاقین که‬ ‫ساق‌های شان با هم مساوی اند‪ ،‬با هم انطباق‌پذير اند؟‬ ‫حل‪ :‬در دو مثلث ‪ ABC‬و ‪ A′B′C′‬كه مثلث‌های قايم‌الـزاويۀ متساوي‌الساقين اند داريم‬ ‫كه‪:‬‬ ‫∧‬ ‫∧‬ ‫'‪A‬‬ ‫‪A‬‬ ‫قرار قايمه‪B = B′ .‬‬ ‫در مثال داده شده است‪AB = A′B′ .......‬‬ ‫‪B‬‬ ‫'‪C‬‬ ‫'‪C B‬‬ ‫ساق‌هاي متساوي‌الساقين‪BC = B′C′ .......‬‬ ‫چون در دو مثلث ‪ ABC‬و ‪ A′B′C′‬دو ضلع و زاوية بين آن‌ها با هم مساوي اند‪.‬‬ ‫‪A‬‬ ‫∆‬

‫∆‬

‫‪ABC ≅ A′B′C′‬‬

‫اگر در دو مثلث‪ ،‬دو زاويه و ضلع بين آن‌ها با هم مساوي باشند‪ ،‬این دو مثلث با هم انطباق‌پذیر‬ ‫‪D‬‬ ‫اند‪.‬‬ ‫‪O‬‬

‫تمرین‬ ‫‪C‬هم منطبق‬ ‫‪ -1‬دو مثلث متساوي‌الساقين قایم الزاویه باید كدام شرط ديگر را داشته باشند تا بر‬ ‫گردند؟‬ ‫∧‬ ‫∧‬ ‫∧‬ ‫∧‬ ‫‪ -2‬در این دو مثلث مختلف‌االضالع اگر '‪ A = A' , B = B‬و '‪ AB = A' B‬است؛ آیا این‬ ‫دو مثلث با هم انطباق‌پذیر استند چرا؟‬ ‫‪A‬‬

‫‪C‬‬ ‫‪B‬‬

‫‪142‬‬

‫‪B‬‬

‫انطباق‌پذيري دو مثلث از حیث سه ضلع مساوي‬

‫اگر سه ضلع یک مثلث با سه ضلع مثلث دیگر‬ ‫مساوی باشند‪ ،‬این دو مثلث با همدیگر چه‬ ‫رابطه یی دارند؟‬

‫‪A‬‬

‫‪C‬‬ ‫‪A′‬‬

‫‪B‬‬

‫‪C′‬‬

‫‪AB = A′B′‬‬

‫‪B′‬‬

‫‪AC = A′C′‬‬ ‫‪BC = B′C′‬‬

‫فعالیت‬ ‫• دو قطعه‌خط ‪ A' B' = AB = 5cm‬را رسم کنید‪.‬‬ ‫• روي اين دو قطعه‌خط دو مثلث بسازيد طوري كه‪:‬‬

‫‪AC = A' C ' = 7cm‬‬

‫و‬ ‫ ‬ ‫∆‬ ‫• يك كاغذ شفاف روي ‪ ABC‬قرار داده و مثلث ‪ A′′B′′C′′‬را ببريد‪.‬‬ ‫• اين مثلث ‪ A′′B′′C′′‬را روي مثلث ‪ A′B′C′‬قرار بدهید‪ ،‬چه اتفاقي مي افتد؟‬

‫‪BC = B' C ' = 4cm‬‬

‫در فعاليت باال مي بينيم که‪:‬‬ ‫اگر سه ضلع یک مثلث با سه ضلع مثلث ديگر برابر باشند‪ ،‬اين دو مثلث با هم انطباق‌پذير‬ ‫اند‪.‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪C′‬‬ ‫به طور مثال در دو مثلث زیر داریم که‪:‬‬ ‫' ‪AB = A' B‬‬

‫‪B′‬‬

‫' ‪AC = A' C‬‬ ‫‪A‬‬

‫‪A′‬‬

‫' ‪BC = B ' C‬‬

‫چون سه ضلع این دو مثلث با هم مساوی اند‪ ،‬این دو مثلث با هم انطباق‌پذیر می باشند‪ ،‬یعنی‪:‬‬ ‫∆‬

‫∆‬

‫‪ABC ≅ A′B′C′‬‬

‫‪143‬‬

‫‪B‬‬

‫‪Δ‬‬

‫مثال اول‪ :‬در دو مثلث ‪ ABC‬و ‪ ، ECD‬اگر ‪ AB = ED‬باشد‪ ،‬آيا این دو مثلث با هم‬ ‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫انطباق‌پذير استند؟ ‪ AD‬و ‪ EB‬قطرهای دایره  اند‪.‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫حل‪:‬‬ ‫‪AB = AC‬‬ ‫‪CD‬‬ ‫‪AB = CE‬‬ ‫‪CD‬‬ ‫شعاع دايره‬ ‫‪C‬‬ ‫شعاع دايره‬ ‫‪AB‬‬ ‫‪CD‬‬ ‫‪AB‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪AD == BC‬‬ ‫‪AD‬‬ ‫‪BC ==CD‬‬ ‫‪BC‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪AD‬مفروض‬ ‫‪= AB‬قرار‬ ‫=‬ ‫‪ED‬‬ ‫‪AD‬‬ ‫= ‪BC‬‬ ‫‪= BD‬‬ ‫‪BC‬‬ ‫‪BD = BD‬‬ ‫چون در دو مثلث باال سه ضلع آن‌ها با هم مساوي اند؛‬ ‫ ‪ ∆ BD =∆BD = BD‬‬ ‫لذا‪:‬‬ ‫‪ABC ≅ ECD‬‬

‫مثال دوم‪ :‬اگر یک قطر مستطیل را رسم کنیم‪ ،‬آیا مستطیل به دو ‪B‬مثلث مساوی ‪A‬‬ ‫تقسیم‬ ‫می‌شود؟ چرا؟‬ ‫‪BB‬‬ ‫‪A A‬‬ ‫حل‪ :‬مستطیل و یک قطر آن را رسم می‌کنیم‪.‬‬ ‫دیده می‌شود که‪:‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪D‬‬

‫‪AB = CD‬‬

‫‪CC‬‬

‫‪AD = BC‬‬ ‫‪BD = BD‬‬

‫‪D D‬‬

‫چون در دو مثلث ‪ ABD‬و ‪ BCD‬سه ضلع با هم مساوی اند‪ ،‬با هم انطباق‌پذیر می‌باشند‪.‬‬ ‫قطر‪ ،‬مستطیل را به دو حصۀ مساوی تقسیم می‌کند‪.‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪A‬‬ ‫اگر سه ضلع یک مثلث با سه ضلع مثلثی دیگر مساوی باشند‪ ،‬این دو مثلث با هم انطباق‌پذیر‬ ‫اند‪.‬‬ ‫‪A‬‬

‫‪A‬‬

‫تمرین‬

‫‪C‬‬

‫‪D‬‬ ‫‪B‬‬

‫‪C‬‬

‫‪ C‬ديگر كه مجموع دو ضلع‪B‬‬ ‫‪ -1‬يك مثلث داراي اضالع ‪ 7Cm ،5Cm‬و ‪ 3cm‬است‪ .‬يك مثلث‬ ‫آن ‪ 10cm‬است‪ ،‬ضلع سومش چند سانتی متر باید باشد تا با مثلث اولی انطباق‌پذير گردد؟‬

‫‪A‬‬

‫‪ -2‬مثلث ‪ ABC‬قرار شكل مقابل داده شده است‪ ،‬يك مثلث‬ ‫ديگر كه با مثلث داده شده انطباق‌پذير باشد رسم كنيد‪.‬‬

‫‪C‬‬

‫‪B‬‬

‫‪144‬‬

‫حالت انطباق‌پذيري دو مثلث‬ ‫قايم‌الزاويه که وتر و یک زاویۀ حادۀ‬ ‫آن‌ها با هم مساوی باشند‪.‬‬ ‫عالوه بر سه حالتی كه در مورد انطباق‌پذیری‬ ‫دو مثلث مطالعه کردید‪ ،‬آيا در مورد مثلث‬ ‫قايم الزاويه حالت ديگري وجود دارد؟‬

‫‪A‬‬

‫‪B‬‬

‫‪A′‬‬

‫‪C‬‬

‫‪C′‬‬

‫‪B′‬‬

‫‪AB = A′B′‬‬ ‫^ ^‬ ‫‪B = B′‬‬

‫فعالیت‬ ‫•یک قطعه‌خط ‪ AB‬را به طول ‪ 5cm‬رسم کنید‪.‬‬ ‫• در نقطة ‪ B‬ضلع ‪ ، AB‬يك زاويه ‪ 40 ‬را رسم کنید که یک ضلع آن ‪ AB‬و ضلع دیگر‬ ‫آن ‪‌BC‬باشد‪.‬‬ ‫• از نقطة ‪ A‬بر ضلع ‪ BC‬عمود رسم كنيد‪.‬‬ ‫• چه نوع مثلثي ايجاد مي‌شود؟‬ ‫• يك مثلث ديگر با همين شرايط رسم نموده و آن را ‪ A′B′C′‬بناميد‪.‬‬ ‫• یک کاغذ نازک روی مثلث ‪ A′B′C′‬قرار دهید و مثلث ‪ A′′B′′C′′‬را بسازید‪.‬‬ ‫دهيد‪′′ .‬آيا‪ B′′C‬روي '‪ B‬قرار می‌گيرد؛ چرا؟‬ ‫• ‪ A′′‬را روي ‪ A′‬قرار‪B′C′‬‬ ‫روي ' ‪ B'C‬قرار مي‌گيرد؟ چرا؟‬ ‫• آيا "‪B′ B"C‬‬ ‫‪ ABC‬و ‪ A′B′C′‬با هم انطباق‌پذير اند؟‬ ‫• آيا دو مثلث ‪C′‬‬

‫از فعاليت فوق نتیجه می‌شود كه‪:‬‬ ‫ه��ر گاه وتر و ي��ك زاوية حادۀ یک مثل��ث قایم الزاویه‪ ،‬ب��ا وتر و يك زاوي��ۀ حادۀ مثلث‬ ‫قایم‌الزاویة دیگر برابر باشند‪ ،‬این دو مثلث با هم انطباق‌پذير اند‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫مثال اول‪ :‬دو مثلث قايم الزاويه كه وتر آن‌ها ‪ 5cm‬و يك زاوية حادة آن‌ها ‪ 60‬باشد‪،‬‬ ‫رسم كنید‪.‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪A‬‬ ‫آيا اين دو مثلث انطباق‌پذير اند؟‬ ‫‪5cm‬‬ ‫‪5cm‬‬ ‫حل‪ :‬اول زاوية ‪ 60 ‬را رسم می‌کنیم و بعد يك‬ ‫‪4cm‬‬ ‫‪4cm‬‬ ‫ضلع آن را به اندازة ‪ 5cm‬جدا کرده از انجام اين‬ ‫‪60°‬‬ ‫‪60°‬‬ ‫‪C B‬‬ ‫ضلع‪ ،‬يك عمود باالي ضلع ديگر رسم مي کنیم‪C .‬‬ ‫‪B‬‬

‫‪145‬‬

‫به همین ترتیب‪ ،‬مثلث دوم را رسم می‌کنیم؛‬ ‫چون وتر و يك زاويۀ حادة‌ اين دو مثلث قايم‌الزاويه با هم مساوي اند‪:‬‬ ‫اين دو مثلث با هم انطباق‌پذير مي‌باشند‪.‬‬ ‫مثال دوم‪ :‬از یک نقطۀ ناصف‌الزاویه دو خط عمود باالی دو ضلع این زاویه رسم می‌کنیم‪،‬‬ ‫اکنون چگونه ثابت کنیم که دو مثلث تشکیل شده با هم انطباق‌پذیر اند؟‬ ‫حل‪ :‬زاویۀ ‪ B‬و ناصف‌الزاویۀ آن را قرار زیر ترسیم کرده و دو مثلث را قرار شکل زیر‬ ‫تشکیل می‌دهیم‪ .‬در دو مثلث قایم‌الزاویۀ ‪ ABD‬و ‪ DBC‬داریم که‪:‬‬ ‫∧‬

‫∧‬

‫‪B1 = B2 .................‬‬ ‫قرار ناصف‌الزاویه‬

‫قرار ضلع مشترک ‪BD = BD‬‬

‫چون در دو مثلث قایم الزاویه وتر و یک زاویۀ حادۀ آن‌ها‬ ‫با هم مساوی اند‪.‬‬ ‫این دو مثلث انطباق‌پذیر اند‪.‬‬

‫‪D‬‬ ‫‪C‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪B‬‬

‫برای انطباق‌پذیری مثلث‌های قايم‌الزاويه‪ ،‬مساوی بودن یک زاویۀ حاده و وترکفایت می‌کند‪.‬‬

‫تمرین‬ ‫‪ -1‬دو مثلث قايم‌الزاويه كه وتر آن ها ‪ 6cm‬و يك زاوية حادة‌‌ آن ها برابر به ‪ 60 ‬باشد را در‬ ‫نظر بگیرید‪ .‬چگونه مي توانيد ثابت کنید كه این دو مثلث با هم انطباق‌پذير اند؟‬ ‫‪ -2‬يك قطر مربع‪ ،‬آن را به دو مثلث تقسيم مي کند‪ .‬ثابت کنید كه اين دو مثلث با هم انطباق‌پذير‬ ‫اند؟‬

‫‪146‬‬

‫حالت انطباق پذيري دو مثلث قايم‌الزاويه‬ ‫كه وتر و يك ضلع قايم آن‌ها مساوی‬ ‫باشد‬ ‫آيا در مثلث قايم‌الزاويه غير از حالت ذكر‬ ‫شده‪ ،‬حالت ديگري وجود دارد كه تحت‬ ‫شرايط آن‪ ،‬دو مثلث قايم‌الزاويه با هم‬ ‫انطباق‌پذير باشند؟‬

‫‪A‬‬

‫‪B‬‬

‫‪A′‬‬

‫‪C‬‬

‫‪B′‬‬

‫‪C′‬‬

‫‪AB = A′B′‬‬ ‫‪BC = B′C′‬‬

‫فعالیت‬ ‫• يك زاويۀ قايمه رسم کرده‪ ،‬رأس آن را ‪ A‬بناميد‪.‬‬ ‫• روي يك ضلع اين زاويه‪ ،‬به طول ‪ 4cm‬جدا نموده‪ ،‬آن نقطه را ‪ B‬بناميد‪.‬‬ ‫• از نقطۀ ‪ B‬به طول ‪ 5cm‬وتر را رسم کنید‪ ،‬تا ضلع ديگر زاوية ‪ A‬را قطع كند‪.‬‬ ‫• مثلث ديگري نیز با اين شرايط رسم کرده‪ ،‬آن را ‪ A′B′C′‬بناميد‪.‬‬ ‫• يك کاغذ شفاف را روي مثلث ‪ A′B′C′‬قراد دهید و مثلث ‪ A′′B′′C′′‬را که انطباق‌پذیر‬ ‫با مثلث ‪ A′B′C′‬باشد‪ ،‬بسازید‪.‬‬ ‫• رأس ‪ A′′‬را روي ‪ A‬قرار دهيد‪ .‬آيا ‪ B′′‬روي ‪ B‬قرار می گيرد؛ چرا؟‬ ‫• آيا رأس ‪ C′′‬روي ‪ C‬قرار مي گيرد؟‬ ‫• آيا دو مثلث ‪ ABC‬و ‪ A′′B′′C′′‬با هم انطباق‌پذيراند؟‬ ‫از فعاليت فوق نتیجه مي‌شود كه‪:‬‬ ‫اگر وتر و يك ضلع یک مثلث قايم‌الزاويه با وتر ويك ضلع مثلث قايم‌الـزاويۀ ديگری‬ ‫مساوي باشند‪ ،‬مثلث‌ها با هم انطباق‌پذيراند‪.‬‬ ‫مثال اول‪ :‬دو مثلث قايم‌الزاويه را كه وتر هر یک آن‌ها ‪ 5cm‬و يك ضلع قايم آن‌ها‪4cm‬‬ ‫باشد‪ ،‬چگونه رسم مي كنيد؟ آيا اين دو مثلث با هم انطباق‌پذير استند؟‬ ‫حل‪ :‬اول ضلع قايم معلوم را رسم کرده‪ ،‬سپس در يك انجام آن زاوية قايمه و از انجام ديگر‬ ‫‪A‬‬ ‫‪A‬‬ ‫این ضلع قوسی كه شعاع آن به اندازة وتر باشد‪،‬‬ ‫رسم مي‌کنیم‪ .‬در هر قسمتي كه دايره ضلع‬ ‫‪5cm‬‬ ‫‪5cm‬‬ ‫ديگر قايم را قطع کند نقطة تقاطع را به انجام‬ ‫‪4cm‬‬ ‫‪4cm‬‬ ‫ضلع قايم معلوم وصل مي‌کنیم‪ .‬به همين ترتيب‪،‬‬ ‫‪60°‬‬ ‫‪60°‬‬ ‫‪C‬‬

‫‪147‬‬

‫‪B‬‬

‫‪C‬‬

‫‪B‬‬

‫يك مثلث قايم‌الـزاوية ديگر رسم می‌کنیم‪ ،‬در اين دو مثلث قايم‌الزاويه وتر ويك ضلع قايم‬ ‫آن‌ها با هم مساوي اند؛ بنابراین‪ :‬اين دو مثلث قايم‌الزاويه با هم انطباق‌پذيراند‪.‬‬ ‫مثال دوم‪ :‬در شکل زیر قطر مستطیل را رسم کرده و ثابت کنید که دو مثلث ‪ ABD‬و‬ ‫‪ CBD‬انطباق پذیراند؟‬ ‫حل‪ :‬قرار شكل زیر مستطیلی داريم كه‪:‬‬ ‫‪ AB = DC‬و ‪ BD=BD‬می‌باشد‪.‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫چون در دو مثل��ث قايم‌الـزاوية ‪ ABD‬و ‪ DBC‬وتر و يك ضلع‬ ‫قاي��م با هم مس��اوي اند؛ پس ه��ر دو مثلث انطباق‌پذیر می‌باش��ند‬ ‫همچنین می توان انطباق پذیری دو مثلث را از حیث دو ضلع و زاویۀ‬ ‫بین آن ها بررسی کرد‪:‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪C‬‬ ‫(دو ضلع و زاویۀ بین آن‌ها مساوی اند)‬

‫‪AB = DC‬‬

‫‪AD = BC‬‬ ‫∧‬

‫∆‬

‫∆‬

‫∧‬

‫‪A=C‬‬

‫چون‪:‬‬ ‫‪B‬‬ ‫نتيجه گرفته مي‌شود كه‪:‬‬ ‫در مثلث‌های قايم‌الزاويه عالوه بر شرط‌هاي سه‌گانه‪ ،‬دو حالت ديگر نيز وجود دارد‪:‬‬ ‫‪ABD ≅ DBC‬‬

‫‪B‬‬ ‫‪C‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪A‬‬

‫‪ -1‬اگر وتر و يك زاوية حادة يك مثلث قايم الزاويه با وتر و يك زاوية حادة مثلث‬ ‫قايم الزاوية ديگر مساوي باشند‪ ‌،‬این دو مثلث با هم انطباق‌پذير اند‪.‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪ C‬قايم مثلث قايم الزاویة‬ ‫‪ -2‬اگر وتر و يك ضلع قايم يك مثلث قايم الزاويه با وتر و يك ضلع‬ ‫‪D‬‬ ‫ديگر مساوي باشند‪ ،‬این دو مثلث انطباق‌پذير اند‪.‬‬

‫تمرین‬ ‫‪ -1‬در شكل زير ‪ AC‬قطر دايره است؛ اگر در دو مثلث قايم‌الـزاوية‬ ‫‪ ABC‬و ‪ ، ADC‬ضلع ‪ BC = CD‬باشد‪ ‌،‬آيا اين دو مثلث با هم ‪C‬‬ ‫انطباق‌پذيراند؟ چرا؟‬ ‫‪‌-2‬ثابت كنيد كه قطر مربع‪ ،‬آن را به دو مثلث قايم‌الـزاوية انطباق‌پذير‬ ‫تقسیم مي كند‪.‬‬

‫‪B‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪D‬‬

‫‪148‬‬

‫خالصه فصل پنجم‬ ‫• مثلث ها از نظر طول اضالع به سه دسته تقسيم شده  اند‪:‬‬ ‫مثلث متساوي‌االضالع‪ ،‬مثلث متساوي‌الساقين و مثلث مختلف‌االضالع‬ ‫• مثلث ها را از حيث زاويه نیز به سه دسته تقسيم كرده  اند‪:‬‬ ‫مثلث حاده الزاويه‪ ،‬مثلث قايم‌الزاويه و مثلث منفرج‌الزاويه‬ ‫• در هر مثلث‪ ،‬ارتفاع ها‪ ،‬ميانه ها و ناصف‌الزاويه‌ها به ترتیب همديگر را در يك نقطه قطع‬ ‫مي كنند‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫• در هر مثلث مجموع زاويه هاي داخلي آن ‪ 180‬است‪.‬‬ ‫• زاوي��ة خارج��ي يك مثلث مس��اوي با مجم��وع دو زاوي��ة‌ داخلي غير مج��اور این مثلث‬ ‫می باشد‪.‬‬ ‫• در هر مثلث‪ ،‬بايد طول مجموع دو ضلع از طول ضلع سوم آن بزرگ‌تر باشد‪.‬‬ ‫• در مثلث متساوی‌الساقین‪ ،‬مقابل ساق های مساوی‪ ،‬زاویه های مساوی قرار دارند‪.‬‬ ‫• يك چندضلعي(مضلع) عبارت از خط منكسر بسته يي است كه فقط يك ناحیه بسته را‬ ‫تشكيل مي دهد‪ ،‬و هیچ یک از دو خط آن در امتداد یک خط مستقیم قرار ندارد و هر رأس‬ ‫مضلع فقط و فقط نقطۀ تقاطع دو قطعه‌خط می باشد‪.‬‬ ‫• در بعضي از چندضلعي ها امتداد يك يا برخي اضالع آن‌ها از داخل چندضلعي عبور کرده‬ ‫كه آن‌ها را چندضلعي مقعر مي نامند و چندضلعي‌یی كه امتداد اضالع آن از داخل چند‬ ‫ضلعی عبور نمي كنند را چندضلعي محدب مي گويند‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫• مجموع زاويه هاي داخلي يك ‪ n‬ضلعي برابر است به‪)n − 2( ×180 :‬‬ ‫• مجموع زاويه هاي خارجي در يك چندضلعي ‪ 360 ‬است و به تعداد اضالع آن‌ها ارتباط‬ ‫ندارد‪.‬‬ ‫• به دو شكلي كه كام ً‬ ‫ال بر هم منطبق شوند‪ ،‬يعني يكديگر را بپوشانند‪ ،‬اشكال انطباق پذير‬ ‫نامیده می شود‪.‬‬ ‫• اگر دو ضلع و زاوية بين يك مثلث با دو ضلع و زاوية بين مثلث ديگر با هم مساوي باشند‪،‬‬ ‫آن دو مثلث انطباق‌پذير اند‪.‬‬ ‫• اگر دو زاويه و ضلع بین این دو زاویة يك مثلث با دو زاويه و ضلع بین این دو زاویة یک‬ ‫مثلث ديگر مساوي باشند‪ ،‬این دو مثلث با هم انطباق‌پذير اند‪.‬‬ ‫• اگر سه ضلع يك مثلث با سه ضلع مثلث ديگر دو به دو مساوي باشند‪ ،‬آن دو مثلث با هم‬ ‫انطباق‌پذير اند‪.‬‬ ‫• اگر وتر ویک ضلع قایم یک مثلث‪ ،‬با وتر و یک ضلع قایم مثلث دیگر مساوی باشند و یا‬ ‫وتر و یک زاویۀ حادۀ آن ها دو به دو با هم مساوی باشند‪ ،‬آن دو مثلث انطباق پذیر اند‪.‬‬

‫‪149‬‬

‫تمرین فصل پنجم‬ ‫‪ -1‬در مقابل هر سؤال‪ ،‬چهار جواب داده شده اند‪ ،‬جواب درست را مشخص کنید‪.‬‬ ‫• مجموع زواياي داخلي يک ‪ 9‬ضلعي چند درجه است؟‬ ‫‪1260° (b‬‬ ‫ ‬ ‫‪ 360° )a‬‬ ‫‪ (d‬هيچكدام‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫‪180° )c‬‬ ‫• مجموع زواياي داخلي يک مضلع‪ 1980°‬می‌باشد‪ .‬این مضلع داراي چند ضلع است؟‬ ‫‪13 (b‬‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫‪18 )a‬‬ ‫‪17 (d‬‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫‪11 )c‬‬ ‫• اگر سه قطعه‌خط در يک نقطه يکديگر را قطع کنند‪ ،‬مجموع زوايایی که به دور نقطة‬ ‫تقاطع تشکيل می شود‪ ،‬چند درجه است؟‬ ‫‪180° (b‬‬ ‫ ‬ ‫‪ 260° (a‬‬ ‫‪ (d‬هيچکدام‬ ‫‪ 360° (c‬‬ ‫• اگر اندازۀ يک زاويۀ داخلي يک مضلع منظم‪ 144°‬باشد‪ ،‬تعداد اضالع آن مساوی است به‪:‬‬ ‫‪9 (b‬‬ ‫‪ 8 (a‬‬ ‫‪12 (d‬‬ ‫‪ 10 (c‬‬ ‫• شکل زیر که همۀ اضالع و زوایای آن با هم مساوی اند به کدام نام یاد می‌شود؟‬

‫‪ (a‬مضلع منظم محدب ‪ 10‬ضلعي ‬

‫‪ (b‬مضلع منظم مقعر ‪ 10‬ضلعي ‬

‫• اگر در يك مثلث دو ضلع آن با هم مساوى باشند‪ ،‬این مثلث چه نام دارد؟‬ ‫‪ )a‬متساوي الساقين‬ ‫‪ )b‬متساوي االضالع‬ ‫‪ )c‬مختلف االضالع‬ ‫‪ )d‬مختلف الزاويه‬

‫‪150‬‬

‫• اگر در يك مثلث دو زاويۀ آن با هم مساوى باشند‪ ،‬این مثلث چه نام دارد؟‬ ‫‪ )a‬مثلث مختلف‌االضالع‬ ‫‪ )b‬مثلث متساوىالساقين‬ ‫‪ )c‬مثلث متساوىاالضالع‬ ‫‪ (d‬هيچكدام‬ ‫• اگر در يك مثلث قايم‌الزاويه اندازۀ يكي از زواياى حادۀ آن ‪ 60°‬باشد‪ ،‬وسعت زاويۀ‬ ‫حادۀ ديگر آن مساوی است به‪:‬‬ ‫‪50°(b‬‬ ‫‪29° (d‬‬ ‫‪40° (c‬‬ ‫‪30° )a‬‬ ‫• زاويۀ خارجى يك مثلث با مجموع زواياى غير مجاور داخلى آن چه رابطه دارد؟‬ ‫‪ (b‬مساوي است ‪ (c‬كوچکتر است ‪ (d‬هيچكدام‬ ‫‪ (a‬بزرگ‌تر است ‬ ‫‪ -2‬مقابل جملة صحيح (ص) و مقابل جملة غلط (غ) بگذاريد‪.‬‬ ‫• ( )بزرگ‌ترين زاوية خارجی یی که از امتداد یک ضلع يک چندضلعی منظم ساخته مي شود‪120°‬‬ ‫است‪.‬‬ ‫• ( )مثلث مي تواند يک مضلع مقعر باشد‪.‬‬ ‫• ( )اندازۀ يک زاوية خارجي يک سه ضلعي هيچ گاه کمتر از يک زاوية داخلي آن‬ ‫نمي باشد‪.‬‬ ‫• ( )دو ضلع غيرمجاور يک مضلع در يکي از رأس‌هاي آن مضلع با هم متقاطع اند‪.‬‬ ‫• ( )يک مضلع را وقتي متساوي الزوايا گويند که تمام اضالع آن با هم مساوي باشند‪.‬‬ ‫• ( )مجموع زواياي خارجي يک مضلع منظم عبارت از‪ )n-2( 180°:‬است‪.‬‬ ‫• ( )اگر تعداد اضالع يک مضلع تزايد نمايند‪ ،‬مجموع زواياي خارجي آن تزايد مي نمايد‪.‬‬ ‫• ( )مثلث حادالزاویه ‪ ،‬مثلثی است که صرف دو زاویۀ آن حاده می باشد‪.‬‬ ‫• ( )دو مثلث وقتی انطباق پذیر  اند که طول یک ضلع و اندازۀ دو زاویۀ مجاور آن ها‬ ‫یک به یک مساوی باشند‪.‬‬ ‫• ( ) اگر دو ضلع يك مثلث با هم مساوى باشند‪ ،‬زواياى مقابل این دو ضلع نيز با هم‬ ‫مساوي  اند‪.‬‬ ‫• ( ) اندازۀ هر يك از زواياى مثلث متساوى االضالع ‪ 61°‬است‪.‬‬ ‫• ( ) اندازۀ زاويۀ خارجي يك مثلث مساوى به مجموع زواياى غير مجاور داخلي آن می باشد‪.‬‬ ‫• ( ) مجموع وسعت زواياى داخلي يك مثلث سه قايمه است‪.‬‬

‫‪151‬‬

‫‪ -3‬جا‌هاي خالي را با کلمات مناسب پر کنید‪.‬‬ ‫• اگر اندازۀ يک زاویۀ خارجي يک مضلع منظم دو برابر اندازۀ زاوية داخلي همجوار آن‬ ‫باشد مضلع مذکور ‪ .......................‬ناميده مي شود‪.‬‬ ‫• با تزايد اضالع يک مضلع منظم‪ ،‬مجموع زوایای داخلي مضلع ‪ ................‬و مجموع‬ ‫زوایای خارجي آن ‪ ..............‬نمي کند‪.‬‬ ‫• از يک رأس هشت ضلعي ‪ ......‬قطر رسم شده مي تواند‪.‬‬ ‫∧‬ ‫• اگر اندازۀ يک زاویۀ خارجي يک مضلع منظم ‪ 120‬درجه باشد آن مضلع داراي‪.................‬‬ ‫ضلع مي باشد‪.‬‬ ‫• اگر مجموع اندازۀ زواياي داخلي يک مضلع مساوي به مجموع اندازۀ زواياي خارجي‬ ‫همان مضلع باشد‪ ،‬مضلع مذکور داراي ‪ ............‬ضلع است‪.‬‬ ‫• يک مثلث متساوي‌االضالع و يک مربع به نام ‪ ...................‬منظم ياد مي شود‪.‬‬ ‫• خط مستقيمی که دو رأس غير مجاور يک مضلع را با هم وصل کند‪.......،‬ناميده مي شود‪.‬‬ ‫• مثلثي كه هر سه ضلع آن مساوي باشند‪ ،‬مثلث‪..........................‬ناميده مى شود‪.‬‬ ‫• در هر مثلث مجموع طول دو ضلع آن‪ ........................‬از طول ضلع سوم آن مي  باشد‪.‬‬ ‫• خطي كه از رأس مثلث به ضلع مقابل آن عمود باشد به نام ‪........................‬ياد مي شود‪.‬‬ ‫• اگر اندازۀ زاویۀ رأس مثلث متساوى الساقین‪ 50°‬باشد‪ ،‬اندازۀ هر يك از دو زاوية ديگر‬ ‫آن ‪ .................................‬است‪.‬‬ ‫‪ -4‬سؤالهای زیر را حل کنید‪:‬‬ ‫• مجموع يکي از زواياي داخلي و زاوية خارجي مجاور آن در يک مضلع چند درجه است؟‬ ‫∆‬ ‫∆‬ ‫• اگر در مثلث‌هاى متساوىالساقين ‪ ABC‬و ‪ DBC‬قاعده ‪ BC‬را مشترك در نظر‬ ‫∧‬

‫∧‬

‫بگيريم‪ ،‬ثابت کنید كه‪ D B A = A C D :‬در صورتي كه رأس هاى ‪ A‬و ‪ D‬به يك  طرف‬ ‫‪ BC‬واقع نباشند‪.‬‬

‫‪152‬‬

‫∆‬

‫‪A‬‬

‫∧‬

‫• در مثلث متساوى الساقين ‪ AB = AC ، A BC‬است؛ اگر ‪ B‬و‬ ‫∧‬

‫‪ C‬توسط ‪ OB‬و ‪ OC‬تنصيف گردند‪ ،‬ثابت كنيد كه‪:‬‬

‫‪A‬‬

‫‪OC = OB )a‬‬

‫‪O‬‬

‫‪C‬‬

‫‪ OA )b‬ناصف‌الزاويه ˆ‪ A‬است‪.‬‬

‫‪B‬‬

‫‪O‬‬

‫‪B‬‬ ‫• ثابت کنید كه اندازۀ هر يك از زواياى حادۀ يك مثلث متساوي ‪C‬‬ ‫‌الساقين قايم‌الزاويه ‪45°‬‬

‫است‪.‬‬

‫∆‬

‫• ضلع ‪ BC‬مثلث ‪ A BC‬قرار شکل زیرتا نقطۀ ‪ D‬امتداد داده شده است‪ ،‬در صورتي كه‬ ‫‪A‬‬

‫‪ DCA = 134‬و ‪ˆ = 42°‬‬ ‫‪ BAC‬باشد‪ ،‬اندازة دو زاويۀ ديگر مثلث را معلوم کنید‪.‬‬ ‫∧‬

‫‪42°‬‬

‫‪A‬‬

‫‪134°‬‬

‫‪C‬‬

‫‪D‬‬

‫‪42°‬‬

‫‪B‬‬

‫‪134°‬‬

‫• در مثلث‌هاي ‪ ACD‬و ‪ AEB‬قرار شكل مقابل‪ ،‬داريم كه‪:‬‬ ‫‪ AD = AB‬و ‪ ‌. AE = AC‬ثابت كنيد كه‪:‬‬ ‫∆‬

‫‪D‬‬

‫‪B‬‬

‫‪C‬‬ ‫‪C‬‬

‫∆‬

‫‪ACD ≅ AEB‬‬

‫‪B‬‬ ‫‪E‬‬

‫‪D‬‬

‫‪A‬‬

‫• ‪ 5‬حالت انطباق‌پذيری در مثلث های قایم‌الزاویه را ذکر کنید‪.‬‬ ‫• یک قطر يك معين‪ ،‬معين را به دو مثلث تقسيم مي‌كند‪ ،‬به چند حالت ثابت كرده مي توانيد‬ ‫كه اين دو مثلث با هم انطباق‌پذير اند؟‬

‫‪153‬‬

‫• در یک مثلث متساوی‌الساقین‪ ،‬میانه یی که از رأس به قاعده رسم می شود مثلث را به دو‬ ‫مثلث دیگر تقسیم می‌کند‪ .‬آیا این دو مثلث انطباق‌پذیر اند؟ به چند حالت می توانید آن را‬ ‫ثابت کنید؟‬ ‫• اگر ناصف‌الزاویۀ یک مثلث قایم‌الزاویۀ متساوی‌الساقین را از رأس قایم به قاعده رسم‬ ‫کنیم‪ ،‬مثلث قایم‌الزاویه به دو مثلث تقسیم می‌شود‪ .‬آیا این دو مثلث انطباق‌پذیر اند؟ چرا؟‬ ‫∆‬

‫• در مثلث ‪ AB = AC ، A BC‬و ‪ AD‬ناصف الزاویۀ رأس ‪ A‬است‪ .‬ثابت کنید که‪:‬‬ ‫ارتفاع= ‪ AD‬میانۀ مثلث ذکر شده نیز می باشد‪.‬‬ ‫‪AB‬‬ ‫‪A‬‬

‫‪A‬‬

‫‪C‬‬ ‫‪B D D‬‬ ‫‪C‬‬ ‫∧‬ ‫• اگر در شکل زیر ‪ BP‬ناصف الزاویۀ ‪ HBR‬باشد‪ ،‬ثابت کنید که‪HP = PR :‬‬

‫‪P‬‬ ‫‪R‬‬

‫‪P‬‬

‫‪H‬‬

‫‪R‬‬

‫‪B‬‬

‫‪H‬‬

‫‪B‬‬

‫‪B‬‬

‫‪154‬‬

‫فصل ششم‬

‫خطوط موازی و عمود‬

‫طبیعت پُر از خطوط موازی است!‬

‫‪F‬‬

‫‪D‬‬

‫‪E‬‬

‫‪2‬‬

‫خطوط موازي و عمود(‪)Parallel and Perpendicular Lines‬‬ ‫در شكل چند خط مش��اهده مي شود‪ .‬راجع به‬ ‫وضعيت خطوط چه گفته مي توانيد؟‬ ‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬

‫‪E‬‬ ‫‪F‬‬

‫‪H‬‬

‫‪D‬‬ ‫‪G‬‬

‫‪C‬‬

‫فعالیت‬ ‫‪A‬‬

‫ابتدا خط مستقیم ‪ d‬را رسم کرده گونيا را روي خط ‪ d‬طوري‬ ‫كه در شكل نشان داده شده است‪ ،‬مي گذاريم‪ .‬رأس گونيا را ‪A A‬‬ ‫مي ناميم و خطوط ‪ AH‬و ‪ AD‬را رسم مي كنيم‪.‬‬ ‫و ‪d‬‬ ‫• باالي خط مستقیم ‪ d‬از نقطة ‪ A‬سه خط مستقیم ‪AB ، AE‬‬ ‫‪H‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪ AC‬را كه يكي عمود و دو خط دیگر مايل باشند‪d،‬رسم كنيد‪.‬‬ ‫‪H‬‬ ‫‪D‬‬ ‫• خط‌ها را با خط‌کش اندازه گرفته و تعیین کنید که کدام خط از همه کوچکتر است‪.‬‬ ‫‪A‬‬

‫خط ‪ AH‬با خط ‪ d‬زاويه ‪ 90‬مي سازد‪ .‬قطعه‌خط ‪ AH‬عمود بر‪C‬خط مستقیم ‪ d‬است‪ ،‬که‬ ‫ ‬ ‫این طور نشان داده مي شود‪:‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪CAH ⊥ d‬‬ ‫‪d1‬‬ ‫‪B‬‬

‫‪5‬‬

‫‪6‬‬

‫‪4‬‬

‫‪4‬‬

‫‪6‬‬

‫فعالیت‬

‫‪5‬‬

‫‪d‬‬

‫‪4‬‬

‫‪4‬‬

‫‪3‬‬

‫‪E‬‬

‫‪F‬‬

‫‪3‬‬

‫‪D‬‬

‫‪3‬‬

‫‪3‬‬

‫‪F‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪E‬‬

‫‪1‬‬

‫‪H1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪d2‬‬

‫‪D‬‬

‫• خط‌كش را روي كاغذ بگذاريد و از هر دو كنار خط‌كش دو خط رسم كنيد و اين‬ ‫خطوط را ‪ d1‬و ‪ d 2‬بناميد‪.‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪6‬‬

‫‪4‬‬

‫‪F‬‬

‫‪5‬‬

‫‪3‬‬

‫‪4‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪D‬‬

‫‪E‬‬

‫‪1‬‬

‫‪d2‬‬

‫• باالي خط ‪ d1‬سه نقطه ‪ B ، A‬و ‪ C‬را انتخاب و به كمك گونيا از نقطة ‪ ، A‬نقطۀ ‪ B‬و‬ ‫‪E H‬‬ ‫بنامید‪.‬‬ ‫نقطة ‪ C‬بر خط ‪ d 2‬عمود رسم کنید و نظر به شکل عمود‌ها را ‪ BE , AD‬و ‪CF‬‬ ‫‪F‬‬ ‫بگیرید‪E .‬در  ‪A‬‬ ‫ شان‬ ‫• طول قطعه خط های مستقیم ‪ BE ، AD‬و  ‪ CF‬را اندازه ‬ ‫‪H‬‬ ‫مورد طول هاي ‪D‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪F‬‬ ‫چه گفته مي توانيد؟‬ ‫‪G‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬

‫‪157‬‬

‫‪D‬‬

‫‪G‬‬

‫‪C‬‬

‫‪H‬‬

‫‪E‬‬ ‫‪F‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪D‬‬

‫‪d1‬‬ ‫‪d2‬‬

‫‪G‬‬ ‫‪C‬‬

‫‪G‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪C‬‬

‫‪A‬‬

‫‪G‬‬ ‫‪C‬‬

‫‪D‬‬ ‫‪G‬‬ ‫‪C‬‬

‫‪A‬‬

‫دو خط ‪ d1‬و ‪ d 2‬را كه فاصله بين شان مساوي است‪ ،‬خطوط‬ ‫موازي مي‌نامند که اين طور نشان داده مي‌شود‪. d1 || d 2 :‬‬ ‫‪A‬‬ ‫دو خط مستقیم ‪ AC‬و ‪ DG‬كه فاصله بين آن‌ها مساوي‬ ‫نيست‪ ،‬طوري‌كه در شكل نیز مشاهده مي شود موازي نيستند؛ زیرا که امتداد یافتۀ آن‌ها یکدیگر‬ ‫ شود‪AC || DG :‬‬ ‫داده مي ‪A‬‬ ‫را در یک نقطه قطع می‌کند و این طور نمايش ‪C‬‬ ‫می توان به کمک گونیا یا خط‌کش نشان داد که فاصلۀ بین‬ ‫‪A‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪F‬‬ ‫این دو قطعه‌خط مستقیم در نقاط مختلف مساوی نیست‪.‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪F‬‬ ‫اگر دو قطعه‌خط ‪ AB‬و ‪ CD‬را باالي ‪ EF‬عمود رسم كنيم‬ ‫‪A‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪C‬‬ ‫موازی‬ ‫( ‪ AB ⊥ EF‬و ‪ ) CD ⊥ EF‬خطوط ‪ DC‬و ‪ABD‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪E‬‬ ‫مي باشند‪ ،‬زيرا اگر موازي نباشند همدیگر را قطع می‌کنند که ‪F‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪D‬‬ ‫از یک نقطة تقاطع دو عمود بر خط ‪ EF‬رس��م شده است و‬ ‫اين امکان ندارد‪.‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪D‬‬ ‫مثال‪ :‬در بین خطوط زير خطوط موازي‪ ،‬عمود و متقاطع را مشخص كنيد‪:‬‬ ‫‪D‬‬

‫‪D‬‬ ‫‪A‬‬

‫´‪a‬‬

‫‪b‬‬ ‫´‪b‬‬

‫‪d‬‬

‫´‪d‬‬

‫´‪b‬‬

‫‪e‬‬

‫‪a‬‬

‫‪b‬‬

‫‪d‬‬

‫´‪d‬‬

‫´‪e‬‬

‫´‪a‬‬

‫‪a‬‬

‫‪d‬‬

‫‪b‬‬

‫´‪a‬‬ ‫´‪a‬‬

‫‪e‬‬

‫´‪d d‬و ‪b′‬‬ ‫خطوط ‪b‬‬ ‫و‬ ‫´‪d‬‬

‫با هم متقاطع اند‪.‬‬ ‫حل‪a ' ⊥ a ، d ||b d ′ ، e || e′ :‬‬ ‫‪a‬‬ ‫دو خط مس��تقیم را وقتي ´‪b‬‬ ‫موازي مي‌گوييم كه خود خطوط و یا امتداد‪a‬ش��ان نقطة مش��ترك‬ ‫´‪b‬‬ ‫نداشته باشند‪ .‬فاصله بين اين دو خط در تمام نقاط مساوي می باشد‪ .‬دو خط وقتي با هم عمود‬

‫اند كه زاويه بين آن ها يك زاویۀ قايمه ( ‪ ) 90‬باشد‪.‬‬ ‫‪C‬‬

‫‪G‬‬

‫تمرین‬

‫‪F‬‬

‫• در شكل مقابل كدام قطعه‌خط‌ها ‪D‬‬ ‫موازي اند؟‬ ‫• كدام قطعه‌خط ها بر هم عمود اند؟‬ ‫• كدام دو قطعه‌خط‌ها متقاطع اند؟‬ ‫• كدام زاویه ها قايمه  اند؟‬ ‫• آيا همۀ خطوط متقاطع بر هم عمود مي باشند؟‬

‫‪B‬‬

‫‪C‬‬

‫‪E‬‬

‫‪G‬‬ ‫‪A‬‬

‫‪C‬‬

‫‪C‬‬

‫‪FG‬‬ ‫‪E‬‬

‫‪D‬‬ ‫‪D‬‬

‫‪D‬‬

‫‪F‬‬ ‫‪E‬‬

‫‪B‬‬ ‫‪G‬‬

‫‪F‬‬

‫‪B‬‬

‫‪B‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪A‬‬

‫‪E‬‬

‫‪A‬‬

‫‪158‬‬

‫´‪e‬‬ ‫‪e‬‬ ‫´‪e‬‬

‫‪e‬‬ ‫´‪e‬‬

‫زواياي متبادلۀ داخلي و خارجی‬ ‫(‪)Alternate interior and exterior angles‬‬

‫زوایای متبادلۀ خارجی‬

‫ش��كل مقابل را مش��اهده و در م��ورد زواياي‬ ‫تشكيل شدة‌‌ آن اظهار نظر کنید‪.‬‬

‫زوایای متبادلۀ داخلی‬

‫فعالیت‬ ‫دو خط موازي ‪ d1‬و ‪ d 2‬و دو خط غير موازي ‪ d3‬و ‪ d 4‬را رسم كنيد‪.‬‬ ‫خطوط ‪ d 3‬و ‪ d 4‬را قطع‬ ‫• دو خط قاطع را كه يكي از آن خطوط ‪ d1‬و ‪ d 2‬و ديگر آن‬ ‫‪E‬‬ ‫كند رسم كنيد‪.‬‬ ‫ﺧﺎﺭﺟﻰ ﺧﺎﺭﺟﻰ‬ ‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫• زوايایي را كه قاطع با خطوط موازي مي‌سازند و زوايايي را كه قاطع با خطوط غير موازي‬ ‫ﺩﺍﺧﻠﻰ ﺩﺍﺧﻠﻰ‬ ‫مي سازند‪ ،‬توسط نقاله اندازه بگیرید‪ .‬چه نتيجه‌یی به دست مي آيد؟‬ ‫‪D‬‬

‫دو قطعهخط ‪ AB‬و ‪ CD‬با هم موازي  اند و توسط ‪ EF‬قطع‬ ‫شده اند‪.‬‬ ‫‪B‬‬ ‫طوري‌كه در شکل مشاهده مي‌شود ناحيه بين دو خط را ناحيۀ‬ ‫داخلي و ناحيۀ خارج دو طرف دو خط را ناحيۀ خارجي ‪D‬‬ ‫مي گويند‪.‬‬ ‫‪ AB || CD‬است و خط ‪ LK‬این دو خط را قطع کرده است‪.‬‬ ‫∧‬ ‫∧‬ ‫براي نش��ان دادن اين كه ‪ 3 = 6‬اس��ت‪ ،‬نقط��ۀ ‪ O‬را روي خط‬ ‫‪ LK‬انتخ��اب نموده و از نقطۀ ‪ O‬خ��ط عمود بر ‪ AB‬و ‪CD‬‬ ‫∆‬ ‫∆‬ ‫‪B‬‬ ‫رسم مي‌كنيم‪ ،‬دو مثلث ‪ OME‬و ‪ OFN‬تشكيل مي شود‪.‬‬ ‫∧‬

‫∧‬

‫چــون ‪ MOE = FON‬مــتقــابــل به رأس و‬ ‫∧‬ ‫∧‬ ‫‪ OME = ONF = 90‬است؛ پس زاويه هاي سومي اين‬

‫‪159‬‬

‫‪D‬‬

‫‪B‬‬

‫‪E‬‬

‫ﺧﺎﺭﺟﻰ ﺧﺎﺭﺟﻰ‬

‫ﺧﺎﺭﺟﻰ ﺧﺎﺭﺟﻰ ‪F‬‬

‫‪A‬‬

‫ﺩﺍﺧﻠﻰ ﺩﺍﺧﻠﻰ‬ ‫ﺧﺎﺭﺟﻰ ﺧﺎﺭﺟﻰ‬

‫‪C‬‬

‫‪F‬‬ ‫‪K‬‬ ‫‪M E‬‬

‫‪A‬‬

‫‪3 4‬‬

‫‪O‬‬

‫‪5 6‬‬

‫‪C‬‬

‫‪F N‬‬

‫‪K‬‬

‫‪M E‬‬

‫‪L‬‬

‫‪3 4‬‬

‫‪O‬‬ ‫‪D‬‬

‫‪C‬‬

‫‪5 6‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪C‬‬

‫‪F N‬‬

‫‪L‬‬

‫∧‬

‫∧‬

‫∧‬

‫∧‬

‫∧‬

‫∧‬

‫مثلث ها نيز با هم مساوي مي باشند؛ در نتيجه ‪ 6 = 3‬مي شود‪ .‬زوايای ‪ 3‬و ‪ 6‬را به نام زواياي‬ ‫‪E‬‬

‫داخلي نیز‬ ‫متبادلۀ داخلي ياد مي كنند؛ به همين ترتيب‪ 4 = 5 ،‬است و هر دو زواياي متبادلة‬ ‫‪1 3‬‬ ‫‪B‬‬

‫مي باشند‪.‬‬

‫∧ ∧‬

‫∧‬

‫∧‬

‫همچني��ن در ش��كل زواي��اي ‪ 2 , 7 , 1‬و ‪ 8‬زواي��اي متبادل��ۀ‬ ‫خارجي مي‌باش��ند؛ پس به كمك زواياي متبادلۀ داخلي داريم‪:‬‬ ‫∧‬

‫∧‬

‫∧‬

‫‪8=2‬‬

‫∧‬

‫‪1=7 ,‬‬

‫ ‬

‫ ‬

‫∧‬

‫∧‬

‫∧‬

‫∧‬

‫∧‬

‫∧‬

‫زواياي ‪ 6 , 5 , 3 , 2 , 1‬و ‪ 8‬چند درجه مي باشند؟‬ ‫حل‪:‬‬ ‫‪ 6 = 60‬متبادلۀ داخلي‬ ‫∧‬ ‫‪ 5 = 120‬متقابل به رأس‬

‫‪ 8 = 6 = 60 ‬متقابل به رأس‬

‫‪ 5 = 3‬متبادلة داخلي‬

‫خارجي‬ ‫‪........‬‬ ‫‪ 2 = 8‬متبادلة‬

‫∧‬

‫∧‬

‫‪D‬‬ ‫‪B‬‬

‫∧‬

‫∧‬

‫‪D‬‬ ‫‪B‬‬

‫∧‬

‫∧‬

‫‪D‬‬ ‫∧‬

‫‪E‬‬

‫‪5 6‬‬ ‫‪8 120‬‬

‫‪1 2‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪4 3‬‬

‫‪D‬‬

‫‪A F‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪C F‬‬

‫‪5 6‬‬ ‫‪F 8 120 1 2‬‬ ‫‪60 3‬‬

‫‪E‬‬

‫در نتيجه ‪ 3 = 120‬است و از مقایسۀ مساوات فوق ‪ 2 = 60‬م‪B‬ی‌باشد‪.‬‬

‫‪C‬‬ ‫‪A‬‬

‫‪2 4 1‬‬

‫‪1 2‬‬ ‫‪60 3 E‬‬ ‫‪5 6‬‬ ‫‪8 120 1 2 E‬‬ ‫‪60 3‬‬ ‫‪5 61 2‬‬ ‫‪60 3‬‬ ‫‪8 120‬‬

‫‪B‬‬

‫‪B‬‬ ‫‪D‬‬

‫خارجي‬ ‫‪ 1 = 120‬متبادلة‬ ‫‪..........‬‬

‫∧‬

‫‪B‬‬ ‫‪D‬‬

‫‪1 3‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪2 4‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪F2 4 1 3‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪2 4‬‬

‫‪D‬‬ ‫‪B‬‬

‫∧‬

‫∧‬

‫‪D‬‬ ‫‪B‬‬

‫‪E‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪D‬‬

‫مثال ‪ :‬در شكل مقابل دو زاويۀ ‪ 60‬و ‪ 120‬داده شده اند‪،‬‬

‫‪E‬‬

‫‪A‬‬

‫‪1 2‬‬

‫‪F‬‬

‫‪C‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪C‬‬

‫‪A F‬‬

‫‪5 6‬‬

‫‪C‬‬

‫‪E‬‬ ‫‪8 7‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫اگر دو خط موازي ‪ AB‬و ‪ CD‬توسط خط قاطع ‪ EF‬قطع شوند دو جوره ‪4 3‬‬ ‫متبادلۀ‬ ‫زوایای‬ ‫‪C F 85 61 2‬‬ ‫‪D‬‬ ‫داخلي و دو جوره زوایای متبادلۀ خارجي را مي سازند كه‪:‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪74 3‬‬ ‫∧‬

‫∧‬

‫متبادلۀ داخلي‪4∧ = 6∧ :‬‬ ‫متبادلۀ خارجي‪2 = 8 :‬‬

‫‪,‬و‬ ‫‪,‬و‬

‫∧‬

‫∧‬

‫∧‪3∧ = 5‬‬ ‫‪1=7‬‬

‫‪D‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪D‬‬

‫تمرین‬ ‫∧‬

‫∧‬

‫∧‬

‫∧‬

‫∧‬

‫∧‬

‫∧‬

‫∧‬

‫∧‬

‫‪B‬‬

‫‪E‬‬

‫‪D‬‬ ‫‪B‬‬

‫‪E‬‬

‫‪D‬‬ ‫∧‪B‬‬

‫‪ -1‬اگر ‪ AB || CD‬باشد‪ ،‬در شكل زواياي ‪2 ,6,7,8, 3, 1‬‬

‫∧‬

‫‪D‬‬ ‫‪B‬‬

‫∧‬

‫‪ 2 ,6,7,8,‬چند درجه می‌باشند؟‬ ‫و‬ ‫‪3, 1‬‬

‫∧‬

‫‪ -2‬در شــكـل اگــر ‪ 7 = 120‬بــاشـد‪ ،‬مقـــدار زوايـــاي‬

‫‪D‬‬ ‫‪B‬‬

‫‪ 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6 ، 8‬و ‪ 1‬را دريابيد‪.‬‬

‫‪B‬‬ ‫‪D‬‬

‫∧‬

‫∧‬

‫∧‬

‫∧‬

‫∧‬

‫∧‬

‫∧‬

‫‪E‬‬ ‫‪C F85 6‬‬ ‫‪7 1 2‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪4 3‬‬ ‫‪F 5 6‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪8‬‬

‫‪D‬‬ ‫‪B‬‬

‫‪D‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪D‬‬

‫‪E‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪7‬‬

‫‪30 3‬‬

‫‪150 6 1 2‬‬ ‫‪8 730 3‬‬ ‫‪150 6‬‬ ‫‪8 7 1 2‬‬ ‫‪30 3‬‬

‫‪F‬‬

‫‪A‬‬

‫‪C‬‬ ‫‪A‬‬

‫‪C‬‬ ‫‪A F‬‬

‫‪C F 8150 6‬‬ ‫‪7 1 2‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪30 3‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪F 150 6‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪8 7‬‬ ‫‪1 2 E‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪4 3‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪5 6 1 2‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪8 1204 3 E‬‬

‫‪5 6‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪A F 8 1204 1 3 2‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪C F85 6‬‬ ‫‪120 1 2‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪4 3‬‬ ‫‪F 5 6‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪8‬‬

‫‪160‬‬

‫‪120‬‬

‫‪F‬‬

‫موازی بودن دو خط در صورتی که زوایای متبادله با هم مساوی باشند‬ ‫∧‬

‫∧‬

‫‪K‬‬

‫در شكل مقابل زوایایی ‪ 3‬و ‪ 6‬كه دو زاوية‬ ‫متبادلة داخلي اند با هم مساوی می‌باشند‪.‬‬ ‫آيا ‪ AB || CD‬شده می تواند؟‬

‫‪E‬‬

‫‪B‬‬

‫‪A‬‬

‫‪3‬‬

‫‪O‬‬

‫‪6‬‬

‫‪D‬‬

‫‪C‬‬

‫‪F‬‬ ‫‪L‬‬

‫فعالیت‬ ‫∧‬

‫‪E‬‬

‫∧‬

‫زواياي ‪ 3‬و ‪ 6‬با هم مساوي اند‪.‬‬ ‫‪K‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪ O‬وسط‬ ‫• در شكل مقابل از نقطة‬ ‫‪110°‬خط ‪ EF‬باالی‪AB A‬‬ ‫‪K‬‬ ‫‪E‬‬ ‫بناميد و ‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫آن را‬ ‫تقاطع‬ ‫عمود رسم كنيد‪ .‬نقطة‬ ‫‪ D‬با ‪ AB‬را‪120°M3‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪B‬‬ ‫امتداد دهيد كه خط ‪ CD‬را در ‪ N‬قطع ‪O‬كند‪.‬‬ ‫∆‬ ‫∆‬ ‫‪6‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪C‬‬ ‫• نشان  دهيد كه دو مثلث ‪ MOE‬و ‪ FON‬با ‪F‬هم مساوي  اند‪.‬‬ ‫‪D‬‬ ‫• آيا خط مستقیم ‪ MN‬بر خط مستقیم ‪ CD‬نیز عمود‪ L‬است؟‬ ‫• چرا ‪ AB‬موازی با ‪ CD‬است؟‬

‫‪A‬‬

‫‪K‬‬

‫‪E‬‬

‫‪C‬‬ ‫‪110°‬‬

‫‪B‬‬

‫‪110°E‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪DO‬‬

‫‪A‬‬

‫‪B‬‬

‫‪6‬‬

‫‪70°‬‬

‫‪D‬‬

‫‪C‬‬

‫‪F‬‬ ‫‪L‬‬

‫مثال اول‪ :‬در اشكال زير كدام دو خط مستقیم ‪ AB‬و ‪ CD‬با هم موازي اند ؟‬ ‫‪A‬‬

‫‪E‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪D‬‬

‫‪E‬‬

‫‪C‬‬ ‫‪A‬‬

‫‪110°‬‬ ‫‪120°‬‬

‫‪C‬‬

‫‪110°‬‬

‫‪E‬‬ ‫‪B‬‬

‫‪F‬‬

‫‪D‬‬

‫‪K‬‬

‫‪110°‬‬

‫‪F‬‬

‫‪B‬‬

‫‪110°‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪D‬‬

‫‪G120°‬‬

‫‪A‬‬

‫‪A‬‬

‫حل‪ 70 = 70 :‬متبادلة خارجي؛ پس ‪CC AB || CD‬است‪.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪4‬‬ ‫است‪.‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪AB‬‬ ‫‪ 110 = 110‬متبادلة داخلي؛ پس ‪E || CD‬‬ ‫‪H‬‬ ‫‪120 ≠ 110‬؛ پس ‪ AB || CD‬است‪.‬‬

‫‪161‬‬ ‫‪A‬‬

‫‪70°‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪C‬‬

‫‪D‬‬

‫‪2‬‬

‫‪A‬‬

‫‪110°‬‬ ‫‪70°‬‬

‫‪F‬‬

‫‪1‬‬

‫‪E‬‬

‫‪C‬‬

‫‪B‬‬

‫‪L‬‬

‫‪D‬‬

‫‪110°‬‬

‫‪B‬‬ ‫‪F‬‬

‫‪D‬‬

‫‪D‬‬

‫‪B‬‬

‫∧‬

‫∧‬

‫∧‬

‫∧‬

‫∧‬

‫∧‬

‫مثال دوم‪ :‬اگر ‪ 2 = 3 ، 1 = 2‬و ‪ 3 = 4‬باشد‪ ،‬كدام جوره از خطوط موازي  اند؟‬ ‫حل‪:‬‬ ‫‪A‬‬ ‫∧‬

‫∧‬

‫چون ‪ 1 = 2‬است؛ پس ‪FG || BC‬‬ ‫∧‬

‫∧‬

‫∧‬

‫∧‬

‫‪G‬‬

‫‪ 2 = 3‬است؛ پس ‪AB || CH‬‬

‫‪ 3 = 4‬؛ پس ‪ BC || DE‬مي‌باشد‪.‬‬

‫‪C‬‬

‫‪E‬‬

‫‪4‬‬

‫‪1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪3‬‬

‫‪F‬‬

‫‪B‬‬

‫‪D‬‬

‫‪H‬‬

‫اگر دو خط توسط یک خط طوری قطع شوند که دو زاویۀ متبادلۀ مساوی را بسازند‪ ،‬این دو‬ ‫خط با هم موازی اند‪.‬‬

‫تمرین‬ ‫∧‬

‫∧‬

‫‪B‬‬

‫∧‬

‫‪1‬‬

‫‪A‬‬

‫∧‬

‫‪B‬‬

‫‪A‬‬

‫‪ -1‬در شكل زیر ‪ B1 = D 2‬و ‪ B2 =2 D1‬است‪ ،‬آيا ‪ 2AB || CD‬است؟ چرا؟‬ ‫‪2‬‬

‫‪C‬‬

‫‪ -2‬در شكل زیر‪ ،‬اگر‪:‬‬ ‫∧‬

‫∧‬

‫∧‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪B‬‬

‫‪D‬‬

‫‪2C‬‬

‫‪1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪C‬‬

‫‪1‬‬

‫‪D‬‬

‫∧‬

‫‪ A1 = D 2‬و ‪ A 2 = D1‬باشد‪ ،‬كدام خطوط ‪A‬‬ ‫مستقیم با هم موازي اند؟‬ ‫‪1 2‬‬

‫‪E‬‬

‫‪1 2‬‬

‫‪E‬‬

‫‪1 2‬‬

‫‪C‬‬

‫‪A‬‬

‫‪D‬‬

‫‪E‬‬

‫‪B‬‬

‫‪C‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪1 2‬‬

‫‪1 2‬‬

‫‪B‬‬

‫‪D‬‬

‫‪ -3‬در هر يك از شكل‌هاي زير كدام دو خط ‪ AB‬و ‪ CD‬با هم موازي اند؟‬

‫‪1 2‬‬

‫‪C‬‬

‫‪B‬‬

‫‪120°‬‬ ‫‪130°‬‬

‫‪D‬‬

‫‪A‬‬

‫‪B‬‬

‫‪C‬‬

‫‪130°‬‬ ‫‪DB D‬‬ ‫‪150° 120°‬‬

‫‪c‬‬

‫‪B‬‬ ‫‪120°‬‬

‫‪150°‬‬

‫‪b‬‬

‫‪D‬‬

‫‪B‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪F‬‬

‫‪30°‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪70°‬‬

‫‪2‬‬

‫‪E‬‬

‫‪D‬‬

‫‪A‬‬

‫‪A‬‬

‫‪B‬‬ ‫‪D FG‬‬ ‫‪F‬‬

‫‪150° 60°‬‬ ‫‪150°‬‬

‫‪B DD‬‬

‫‪C‬‬

‫‪BA‬‬ ‫‪DC‬‬

‫‪150°‬‬ ‫‪60°‬‬

‫‪BB‬‬

‫‪CA C‬‬

‫‪130°‬‬

‫‪B‬‬

‫‪a‬‬

‫‪D‬‬

‫‪30°‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪70°‬‬ ‫‪30°‬‬ ‫‪1 2‬‬ ‫‪70°‬‬

‫‪2‬‬

‫‪150°‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪C‬‬

‫‪E‬‬ ‫‪E‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪CG‬‬ ‫‪G‬‬

‫‪AA‬‬

‫‪B‬‬

‫‪A CC‬‬

‫‪B D‬‬

‫‪C‬‬

‫‪D‬‬

‫‪162‬‬

‫‪60°‬‬ ‫‪60°‬‬

‫‪60°‬‬

‫‪60°‬‬

‫زواياي متوافقه(‪)Corresponding angles‬‬

‫‪F‬‬

‫در ش��كل ‪ AB || CD‬است و خط ‪ EF‬اين‬ ‫دو خط را قطع كرده است‪.‬‬ ‫∧‬

‫∧‬

‫∧‬

‫∧‬

‫∧‬

‫∧‬

‫∧‬

‫‪1 2‬‬ ‫‪4E 3‬‬

‫‪B‬‬

‫∧‬

‫زواياي( ‪ 4‬و ‪ 2 ( ،)8‬و ‪ 7 ( ،) 6‬و ‪ ) 3‬و( ‪1‬و‪) 5‬‬ ‫را ب��ه نام زواياي متوافقه ي��اد مي كنند‪ .‬آيا اين‬

‫‪B‬‬

‫‪D‬‬

‫زوايا با هم مساوي  اند؟‬

‫‪51 2‬‬ ‫‪4 36‬‬

‫‪E‬‬

‫‪E‬‬

‫‪B‬‬ ‫‪D‬‬

‫‪A‬‬

‫‪8 7‬‬

‫‪1 2‬‬ ‫‪5 6‬‬ ‫‪8 7 41 23‬‬

‫‪B‬‬

‫‪D‬‬

‫‪A‬‬

‫‪4 3‬‬

‫‪C‬‬

‫‪E‬‬

‫‪A‬‬

‫‪F 5 6‬‬ ‫‪8 7‬‬

‫فعالیت‬

‫‪E‬‬

‫‪C‬‬

‫‪F‬‬

‫‪F‬‬

‫‪M‬‬

‫‪1 2‬‬ ‫‪4 3‬‬

‫‪B‬‬

‫شكل مقابل را در نظر بگيريد‪.‬‬ ‫• چهار طرف شكل را توسط قيچي ببريد‪.‬‬ ‫‪5 6‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪8 7 1 12 2 B B‬‬ ‫• سپس محل نقطه‌چين را جدا كنيد‪.‬‬ ‫‪N 4 43 3‬‬ ‫• حال قطعه‌خط ‪ CD‬را به روي قطعه‌خط ‪ AB‬قرار دهيد تا ‪  M‬روی ‪ N‬قرار گیرد‪F 5 6 .‬‬ ‫‪5 6‬‬ ‫‪D D‬‬ ‫‪8 7‬‬ ‫∧‬ ‫∧‬ ‫‪8 7‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪1‬‬ ‫گفت؟‬ ‫‌توان‬ ‫ي‬ ‫م‬ ‫چه‬ ‫تا‬ ‫دربارة زواياي‬ ‫‪F‬‬ ‫∧‬

‫‪C‬‬

‫‪85 76‬‬

‫‪D‬‬

‫∧‬

‫‪A‬‬ ‫‪C‬‬

‫‪E E‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪C‬‬

‫∧ ‪∧ F‬‬

‫∧‬

‫‪1=5 ,‬‬ ‫⋅⋅⋅= ‪2‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪⋅⋅⋅ = 7‬‬ ‫⋅⋅⋅ =∧ ‪, ∧ 4‬‬ ‫• به كمك نقاله زواياي ‪1‬تا ‪ 8‬را اندازه کرده‪ ،‬درستي برابري هاي باال را بررسي كنيد‪.‬‬ ‫‪E‬‬

‫همچنين اگر دو خط توسط يك قاطع طوری قطع شوند که زواياي متوافقۀ‪E‬مساوي را بسازند‬ ‫‪1 2‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪4 3‬‬ ‫اين دو خط با هم موازي اند‪.‬‬ ‫‪E‬‬ ‫دو قطعه‌خط مستقیم ‪ AB‬و‪ CD‬توسط خط مستقیم ‪ EF‬قطع شده اند‪.‬‬ ‫∧‬

‫∧‬

‫‪B‬‬

‫‪D‬‬ ‫‪B‬‬

‫اگر ‪ 2 = 6‬باشد‪ ،‬مي خواهيم نشان دهيم كه ‪ AB || CD‬مي‌باشد‪.‬‬ ‫چون‬

‫∧‬

‫∧‬

‫قرار متقابل به رأس ‪2 = 4‬‬ ‫∧‬

‫‪D‬‬

‫‪1 2‬‬ ‫‪4 3‬‬

‫‪A‬‬

‫‪5 6‬‬ ‫‪1 2‬‬ ‫‪85 67 4 3‬‬

‫‪C‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪C‬‬

‫‪8 7‬‬

‫‪F‬‬

‫‪C F 85 6‬‬ ‫‪7‬‬

‫‪D‬‬

‫‪F‬‬

‫∧‬

‫قرار مفروض ∧‪2 = 6‬‬ ‫∧‬ ‫∧‬ ‫∧‬ ‫در نتيجه ‪ 4 = 6‬است‪ .‬از طرف دیگر چون ‪ 4‬و ‪ 6‬زواياي متبادله استند‪ ،‬در نتيجه ‪AB || CD‬‬ ‫می باشد‪.‬‬ ‫∧‬ ‫∧‬ ‫∧‬ ‫∧‬ ‫∧‬ ‫∧‬ ‫∧‬ ‫∧‬ ‫‪a b‬‬ ‫‪c d‬‬ ‫‪A‬‬ ‫مثال اول‪ :‬در شكل‪ m = o ، b = j ، h = p :‬و ‪ n = p‬مي‬ ‫باشد‪e af b g h c dB .‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪e f‬‬ ‫‪g h‬‬ ‫آیا قطعه‌خط ‪ AB‬موازی با قطعه‌خط ‪ CD‬و ‪ d1 || d 2‬است؟‬ ‫‪i j‬‬ ‫‪k q‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪B‬‬

‫‪163‬‬

‫‪d‬‬

‫‪m n j o p q‬‬ ‫‪i a b k c‬‬

‫‪m ne‬‬ ‫‪o pg‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪h‬‬

‫‪d2‬‬

‫‪k q‬‬ ‫‪o p‬‬

‫‪D‬‬

‫‪E‬‬

‫‪d1‬‬

‫‪i j‬‬ ‫‪m n‬‬

‫‪C‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪C‬‬

‫حل‪ :‬چون ‪ h = p‬و ‪ b = j‬می‌باشد که زوایای متوافقه اند و با هم مساوی؛ پس ‪AB || CD‬‬ ‫∧‬

‫است‪.‬‬ ‫و چون ‪ n = p‬و‬ ‫∧‬

‫∧‬

‫∧‬

‫∧‬

‫∧‬

‫∧‬

‫∧‬

‫‪A‬‬ ‫است‪.‬‬

‫‪ m = o‬می‌باشدکه زوایای متوافقه اند و با هم مساوی؛ پس ‪A A d1 || d 2‬‬ ‫∧‬ ‫∧‬ ‫‪G 2‬‬ ‫‪1 A‬‬ ‫مثال دوم‪ :‬در شکل(‪ )a‬دو زاویۀ ‪ ABC‬و ‪ DEF‬که ضلع ‪AB‬‬ ‫‪1 C DG G‬‬ ‫موازی و هم‌جهت با ‪ ED‬و ضلع ‪ BC‬موازی و هم‌جهت با ‪2 2 EF‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪1 C D DG 2 A‬‬ ‫∧‬ ‫∧‬

‫می‌باشد‪ .‬آیا می توانید نشـان دهیـد که ‪ 1 = 3‬می‌باشد؟‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ ED‬را‪G‬امتداد‬ ‫حل‪ :‬ابتدا مطابق شکل های(‪ )a‬و (‪ )b‬اضالع ‪ BC‬و‬ ‫‪CD‬‬ ‫مي‌دهيم تا در نقطۀ ‪ G‬همدیگر را قطع كنند‪.‬‬ ‫∧‬

‫در شکل ‪: a‬‬ ‫∧‬

‫∧‬

‫متوافقه ∧‪1∧ = 2‬‬ ‫متوافقه ‪3 = 2‬‬

‫∧‬

‫در نتیجه‪ 1 = 3 :‬می‌باشد‪.‬‬

‫‪1‬‬

‫‪F‬‬

‫‪B F‬‬

‫‪A‬‬

‫‪E‬‬ ‫‪A‬‬

‫‪CA‬‬

‫‪2A‬‬

‫‪1‬‬

‫‪G‬‬ ‫‪CC‬‬

‫‪E‬‬

‫‪B‬‬

‫‪B‬‬ ‫‪31‬‬

‫‪F‬‬

‫‪FB‬‬

‫‪)b( FDBF‬‬

‫‪1‬‬

‫‪33‬‬

‫‪2 2‬‬

‫‪A‬‬

‫‪E3‬‬

‫‪E E‬‬

‫‪3‬‬

‫‪1‬‬

‫‪B‬‬

‫‪)a( B‬‬

‫‪E‬‬

‫‪3‬‬

‫‪FF‬‬

‫‪3‬‬

‫‪F‬‬

‫‪3 D‬‬ ‫‪C‬‬

‫‪B‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪B‬‬

‫‪D‬‬

‫همچني��ن در ش��کل(‪ )b‬ضلع ‪ AB‬م��وازی و مختلف‌الجهت با ضل��ع ‪GB‬‬ ‫‪E EC‬‬ ‫موازی‪D‬و‬ ‫‪BC‬‬ ‫‪ G،ED‬و‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2 F‬‬ ‫∧‬

‫∧‬

‫∧‬

‫∧‬

‫ان��د؛ ‪E‬‬ ‫مختل��ف الجه��ت با ضلع ‪ EF‬می‌باش��د‪ .‬زوایای و نیز با‪C‬هم مس��اوی ‪G‬‬ ‫زیرا‪1 = 2 :‬‬ ‫‪3 1‬‬ ‫∧‬

‫∧‬

‫‪G‬‬

‫(قرارمتبادله)‪( ،‬قرارمتوافقه) ‪ 3 = 2‬‬ ‫∧‬

‫‪2‬‬

‫‪3‬‬

‫‪E‬‬

‫ﺳﺒﺰ ﺁﺑﻰ‬ ‫‪D‬‬ ‫ﻗﺮﻣﺰ ﺯﺭﺩ‬

‫∧‬

‫ﺁﺑﻰ ﺁﺑﻰ‬ ‫ﺳﺒﺰ ﺳﺒﺰ‬ ‫ﺳﺒﺰ ﺁﺑﻰ‬ ‫ﺯﺭﺩ ﺯﺭﺩ‬ ‫ﻗﺮﻣﺰﻗﺮﻣﺰ‬

‫در نتیجه‪ 1 = 3 :‬مي‌باشد‪.‬‬ ‫اگر دو خط موازي توس��ط ي��ك خط قاطع قطع ش��وند‪ ،‬زواياي‬ ‫قاطع‬ ‫خط ﺁﺑﻰ‬ ‫مساوي متوافقه را مي‌سازند و اگر دو خط مستقیم توسط ﺳﺒﺰ‬ ‫ﻗﺮﻣﺰ ﺯﺭﺩ‬ ‫خط‬ ‫طوري قطع شوند كه زواياي متوافقة مساوي را بسازند‪ ،‬اين دو‬ ‫‪E‬‬ ‫ﺳﺒﺰ ﺁﺑﻰ‬ ‫با هم موازي  اند‪.‬‬

‫‪B‬‬

‫‪D‬‬

‫‪120° D‬‬

‫‪120°‬‬

‫‪F‬‬

‫‪110°‬‬

‫‪B‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪120°‬‬ ‫‪C‬‬

‫‪D 110°‬‬

‫‪F‬‬

‫‪F BD‬‬ ‫‪D‬‬

‫‪D‬‬

‫‪DB‬‬

‫‪C‬‬ ‫‪E‬‬

‫‪D‬‬

‫‪30°C‬‬

‫‪B‬‬ ‫‪D‬‬

‫‪i‬‬ ‫‪m n‬‬

‫‪k q‬‬ ‫‪o p‬‬

‫‪30° 30°‬‬

‫‪30°‬‬ ‫‪E‬‬

‫‪30°‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪a b‬‬

‫‪AC e fD‬‬

‫‪F‬‬ ‫‪F‬‬

‫‪i j‬‬

‫‪a mb n‬‬ ‫‪e f‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪C‬‬

‫‪C‬‬

‫‪164‬‬

‫‪i j‬‬ ‫‪m n‬‬

‫‪C‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪F‬‬

‫‪A‬‬

‫‪a b‬‬ ‫‪e f‬‬

‫‪AC‬‬

‫‪30°‬‬

‫‪C‬‬

‫‪i j‬‬ ‫‪m n‬‬

‫‪C‬‬ ‫‪A‬‬

‫‪F‬‬

‫‪j‬‬

‫‪k q‬‬ ‫‪o p‬‬

‫‪c d‬‬ ‫‪g hj‬‬

‫‪30°‬‬

‫‪i‬‬ ‫‪C a bm‬‬ ‫‪Fn‬‬ ‫‪A e f‬‬

‫‪k q‬‬ ‫‪o p‬‬

‫‪a b‬‬ ‫‪e f‬‬

‫‪A‬‬

‫‪30°E‬‬

‫‪B‬‬

‫‪k q‬‬ ‫‪o pc d‬‬ ‫‪g h‬‬

‫‪c d‬‬ ‫‪g h‬‬

‫‪D‬‬

‫‪k q‬‬ ‫‪o p‬‬

‫‪CA‬‬

‫‪c d‬‬ ‫‪g h‬‬

‫‪110°‬‬

‫‪ -2‬دو خط مستقیم ‪ AB‬و ‪ CD‬با هم موازی اند‪ ،‬كدام زاويه ها‬ ‫‪B‬‬ ‫با هم مساوي  اند؟‬ ‫‪c d‬‬ ‫‪g h‬‬

‫‪B‬‬

‫‪30°‬‬ ‫‪E‬‬

‫‪D‬‬ ‫‪B‬‬

‫‪A 30°‬‬

‫‪DB‬‬

‫‪F‬‬

‫‪B‬‬

‫‪F‬‬

‫‪E‬‬

‫‪B‬‬

‫‪C‬‬ ‫‪A‬‬

‫‪110°‬‬

‫‪E‬‬

‫ﺳﺒﺰ ﺁﺑﻰ‬ ‫ﻗﺮﻣﺰ ﺯﺭﺩ‬

‫‪A‬‬

‫‪120°‬‬ ‫‪E‬‬

‫‪D‬‬

‫‪E‬‬ ‫‪B‬‬

‫ﺯﺭﺩ‬ ‫ﻗﺮﻣﺰ‬ ‫ﻗﺮﻣﺰ ﺯﺭﺩ‬

‫‪E BD‬‬ ‫‪110°‬‬ ‫‪120°‬‬

‫تمرین‬ ‫‪ -1‬كدام جوره از خطوط مستقیم‬ ‫با هم موازي اند؟‬

‫ﻗﺮﻣﺰ ﺯﺭﺩ‬

‫ﺳﺒﺰ ﺁﺑﻰ‬ ‫ﺁﺑﻰ‬ ‫ﺳﺒﺰ‬ ‫ﺁﺑﻰ ﺯﺭﺩ‬ ‫ﺳﺒﺰ ﻗﺮﻣﺰ‬

‫ﻗﺮﻣﺰ ﺯﺭﺩ‬

‫‪B‬‬

‫‪D‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪C‬‬

‫زواياي متممۀ داخلي يك طرف خط قاطع(‪)Supplementary Angles‬‬ ‫اگ��ر ‪ AB || CD‬و خ��ط مس��تقیم ‪ EF‬دو‬ ‫خط موازي را طوري كه در ش��كل مش��اهده‬ ‫مي شود قطع كرده  باشد‪ ،‬آيا مي توانيد بگوييد‬ ‫∧‬ ‫∧‬ ‫كه ‪ 2+ 3‬چند درجه می‌شود؟‬

‫‪E‬‬ ‫‪B‬‬

‫‪A‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪D‬‬

‫‪C‬‬

‫‪E‬‬

‫‪E F‬‬

‫‪B‬‬

‫‪2‬‬

‫‪B‬‬

‫‪D‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪A‬‬

‫‪C‬‬

‫‪3‬‬

‫‪F‬‬

‫‪D‬‬

‫فعالیت‬

‫‪A‬‬

‫‪C‬‬

‫‪E‬‬

‫‪F‬‬ ‫‪1 2‬‬

‫‪B‬‬ ‫مطابق شكل قطع‪A‬كرده‬ ‫دو خط مستقیم ‪ AB‬و ‪ CD‬موازي اند و خط مستقیم ‪ EF‬آن‌ها را ‪4 3‬‬ ‫است‪.‬‬

‫•‬

‫∧‬

‫‪D‬‬

‫∧‬

‫= ‪3+ 4‬‬ ‫∧‬

‫‪1 2‬‬ ‫‪4 3‬‬

‫‪B‬‬

‫∧‬

‫‪D‬‬

‫‪C‬‬

‫‪4 3‬‬

‫‪D‬‬

‫∧‬

‫• به كمك نقاله زاويه های ‪ 3‬و ‪ 6‬را اندازه گرفته‪ ،‬مجموع آن دو را به دست آوريد‪.‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫• خانة خالي زیر را پر كنيد‪.‬‬ ‫∧‬

‫‪A‬‬

‫‪F‬‬

‫= ‪3+ 6‬‬ ‫∧‬

‫‪5 6‬‬ ‫‪18 27‬‬

‫‪B‬‬

‫∧‬

‫‪A‬‬

‫‪F‬‬

‫‪E‬‬

‫• از طرف ديگر ‪ 4 = 6‬است‪ .‬چرا؟‬ ‫• از دو تساوی باال خانۀ خالی زیر را پر كنيد‪.‬‬ ‫∧‬

‫‪E‬‬

‫‪5 6‬‬ ‫‪8 7‬‬

‫‪C‬‬

‫‪5 6‬‬ ‫‪8 7‬‬

‫‪F‬‬

‫∧‬

‫= ‪4+ 5‬‬

‫‪1 75°‬‬ ‫‪2B‬‬

‫∧‬

‫∧‬

‫‪A‬‬

‫مثال‪ :‬در شكل اگر خطوط مستقیم ‪ AB‬و ‪ CD‬با هم موازی باشند‪ ،‬اندازۀ ‪1‬و ‪ 2‬را‬ ‫‪1 75°‬‬ ‫دريابيد‪.‬‬ ‫‪D‬‬

‫∧‬

‫‪C‬‬

‫‪2‬‬

‫حل‪ :‬چون ‪ 1‬و زاویۀ ‪‬‬ ‫‪ 75‬متممۀ داخلی استند و مجموع آن ها ‪ 180‬است؛ ‪BC‬‬ ‫∧‬ ‫‪‬‬

‫‪D‬‬

‫‪1+ 75 = 180‬‬

‫‪165‬‬

‫∧‬

‫‪2 = 75‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪A‬‬

‫‪C‬‬

‫∧‬

‫پس‪1 = 180 − 75 = 105 :‬‬ ‫∧‬ ‫چون زاویۀ ‪ 75‬و ‪ 2‬متبادله استند‪:‬‬

‫‪1 75°‬‬ ‫‪2‬‬

‫=‪4+5‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪3D‬‬ ‫‪4+‬‬ ‫= ‪5+ =4‬‬

‫‪C‬‬

‫‪BC‬‬

‫‪3+‬‬ ‫= ‪3 4+ =6‬‬ ‫=‪3+6‬‬

‫=‪4+5‬‬

‫اگر دو خط مستقیم ‪ AB‬و ‪ CD‬موازی باشند و خط مستقیم ‪ EF‬اين دو خط را طوري كه‬ ‫‪F‬‬ ‫در شكل مشاهده مي شود قطع كرده باشد‪ ،‬دو زاويۀ داخلي‬ ‫يك طرف قاطع به نام زواياي متممۀ داخلی یک طرف خط‬ ‫‪B‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪1 2‬‬

‫‪F‬‬ ‫مساوی به ‪ 180‬مي شود‪.‬‬ ‫قاطع ياد می‌گردند كه مجموع شان‬ ‫∧‬

‫∧ ‪B‬‬

‫∧‬

‫∧‬

‫‪D‬‬

‫‪A‬‬

‫‪ 2+ 3 = 180‬و ‪.1+ 4 = 180‬‬ ‫مستقیم‪ ،‬دو‪4 3‬‬ ‫زاوية متممة‪ C‬داخلي‬ ‫اگر يك خط قاطع با دو خط ‪D‬‬ ‫يك طرف خط قاطع را بسازد‪ ،‬اين دو خط با‪ E‬هم موازي اند‪.‬‬ ‫‪1 2‬‬

‫‪4 3‬‬ ‫‪F‬‬

‫‪E‬‬

‫‪B‬‬

‫‪A‬‬

‫‪1 2‬‬

‫‪A‬‬

‫‪4 3‬‬

‫‪D‬‬

‫‪A‬‬

‫تمرین‬ ‫∧‬

‫‪D‬‬

‫‪C‬‬

‫‪D‬‬ ‫‪A‬‬

‫∧‬

‫‪F‬‬

‫‪B‬‬

‫‪D‬‬

‫‪F‬‬ ‫‪‬‬

‫‪D‬‬

‫‪‬‬

‫‪81‬‬

‫‪99‬‬

‫‪140‬‬

‫‪C‬‬

‫‪B‬‬

‫‪F‬‬

‫‪E‬‬ ‫‪B‬‬

‫‪F‬‬

‫‪E‬‬

‫‪B‬‬

‫‪30‬‬

‫‪E‬‬

‫‪C‬‬

‫‪E‬‬

‫‪ -1‬در شكل مقابل دو ‪C‬‬ ‫‪ ABC‬و ‪ BDEF‬را داريم‬ ‫زاويۀ‬ ‫‪D‬‬ ‫‪G‬‬ ‫كه ضلع ‪ AB‬موازي و هم‌جهت ‪ ED‬و ضلع ‪ BC‬موازي‬ ‫‪C‬‬ ‫ بــاشد؛ نشــان دهــيد كــه ‪F‬‬ ‫و مـختـلف‌الــجهت ‪ ‌EF‬مي‪G‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪E‬‬ ‫∧‬ ‫∧‬ ‫‪ ABC+ DEF = 180‬مي شود‪.‬‬ ‫‪G‬‬ ‫‪ -2‬كدام جوره از خطوط مستقیم زير با هم موازي اند؟‬

‫‪B‬‬

‫‪C‬‬

‫‪E‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬

‫‪B‬‬

‫‪118‬‬ ‫‪‬‬

‫‪D‬‬

‫‪DF‬‬

‫‪C‬‬

‫‪F‬‬

‫‪61‬‬

‫‪99‬‬

‫‪EB‬‬

‫‪A‬‬

‫‪A‬‬

‫‪B‬‬

‫‪C‬‬

‫‪D‬‬

‫‪B‬‬

‫‪E‬‬ ‫‪D‬‬

‫‪F‬‬

‫‪A 81‬‬

‫‪A‬‬

‫‪60‬‬

‫‪F‬‬

‫‪‬‬

‫‪120‬‬

‫‪F‬‬

‫‪E‬‬

‫‪C‬‬

‫‪D‬‬

‫‪C‬‬

‫‪61‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪AC 80‬‬ ‫‪E‬‬

‫‪118‬‬

‫‪D‬‬

‫‪B‬‬

‫‪C‬‬

‫‪61‬‬

‫‪D‬‬

‫‪166‬‬ ‫‪A‬‬

‫‪D‬‬ ‫‪60‬‬

‫‪BA‬‬

‫‪B‬‬ ‫‪A‬‬

‫‪A‬‬

‫‪C‬‬

‫‪C‬‬

‫‪81‬‬

‫‪E‬‬

‫‪A‬‬

‫‪F‬‬

‫‪‬‬

‫‪D‬‬ ‫‪99‬‬

‫‪E 118‬‬

‫‪D‬‬

‫‪F‬‬

‫‪C‬‬ ‫‪F‬‬

‫‪C‬‬

‫‪A‬‬

‫‪80‬‬

‫‪C‬‬

‫چهارضعلی ها(‪)Quadrilaterals‬‬ ‫در ش��کل مقابل چه تعداد چهارضلعی مشاهده‬ ‫می‌شود؟‬

‫‪A‬‬ ‫‪D‬‬

‫‪B‬‬

‫فعالیت‬

‫‪C‬‬

‫‪A‬‬

‫• ‪ ABCD‬یک چهارضلعی است‪ .‬چهار ضلع‪ ،‬چهار رأس‪ ،‬چهار زاویه و دو‬ ‫قطر آن را نام ببرید‪.‬‬ ‫•  هر یک از چهارضلعی های زیر را نام ببرید‪.‬‬ ‫‪A‬‬

‫‪B‬‬

‫‪C‬‬

‫شکل(‪)1‬‬

‫‪B‬‬

‫‪D‬‬

‫‪B‬‬

‫‪C‬‬

‫‪C‬‬

‫‪B‬‬

‫شکل(‪)5‬‬

‫‪B‬‬

‫‪A‬‬

‫شکل(‪)2‬‬

‫‪A‬‬

‫‪C‬‬

‫‪D‬‬

‫‪A‬‬

‫‪B‬‬

‫‪B‬‬

‫‪D‬‬ ‫‪C D‬‬

‫‪C‬‬

‫‪B‬‬

‫‪A‬‬

‫‪D‬‬

‫‪A‬‬

‫‪C‬‬

‫شکل(‪)3‬‬

‫‪D‬‬

‫شکل(‪)4‬‬

‫‪C‬‬

‫‪D‬‬

‫‪A‬‬

‫‪D‬‬

‫طوری که می دانید در تمام چهارضعلی های باال‪ ،‬به ‪B‬جز ذوزنقه‪ ،‬اضالع ‪A‬مقابل آن‌ها دو به دو‬ ‫با هم موازی اند و در ذوزنقه فقط دو ضلع مقابل آن با هم موازی استند‪.‬‬ ‫‪B‬‬ ‫شکل شماره (‪ )1‬متوازی االضالع(‪ :)Parallelogram‬یک چهارضلعي است که اضالع‬ ‫ باشند‪.‬‬ ‫مقابل آن دو به دو با هم موازی و مساوی می ‪C‬‬ ‫‪D‬‬ ‫شکل (‪ )2‬مستطیل(‪ :)Rectangle‬یک چهارضلعي است که اضالع مقابل آن دو به دو‬ ‫موازی و مساوی اند و هر چهار زاویة آن قایمه می باشند‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫شکل (‪ )3‬مربع(‪ :)Square‬یک چهارضلعي است که هر چهار ضلع آن با هم مساوی‬

‫‪167‬‬

‫‪2‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪43‬‬

‫‪B‬‬

‫‪C‬‬

‫‪A‬‬

‫‪C‬‬

‫و هر چهار زاویۀ آن قایمه می باشند‪.‬‬ ‫شکل(‪ )4‬معین یا لوزی(‪ :)Rhombus‬یک چهارضلعي است که اضالع مقابل آن دو به  دو‬ ‫موازی و هر چهار ضلع آن با هم مساوی و زوایای مقابل آن نيز با هم مساوی مي باشند‪.‬‬ ‫شکل (‪ )5‬ذوزنقه یا منحرف (‪ :)Trapezoid‬چهارضلعي‌یی است که فقط دو ضلع مقابل‬ ‫آن با هم موازی اند‪.‬‬ ‫‪F‬‬ ‫مثال‪ :‬در اشکال زیر‪ ،‬مربع‪ ،‬مستطیل‪ ،‬متوازی ‪B‬‬ ‫نشان‬ ‫‌االضالع‪ ،‬معین‪A‬یا لوزی و ذوزنقه را ‪B‬‬ ‫دهید‪.‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪G‬‬ ‫‪F‬‬

‫‪B‬‬

‫)‪(a‬‬ ‫‪B‬‬

‫)‪(c‬‬

‫‪D‬‬

‫)‪(b‬‬

‫‪E‬‬

‫‪G‬‬

‫‪D‬‬

‫‪A‬‬

‫‪H‬‬

‫‪B‬‬ ‫‪H‬‬

‫‪B‬‬

‫‪F‬‬

‫‪C‬‬

‫‪B‬‬

‫‪E‬‬

‫‪F‬‬

‫‪D‬‬

‫‪D‬‬

‫)‪(d‬‬

‫‪C‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪C‬‬

‫‪C‬‬

‫‪A‬‬

‫‪C‬‬

‫‪E‬‬

‫‪E‬‬

‫‪C‬‬

‫‪E‬‬

‫‪B‬‬

‫‪A‬‬

‫‪D‬‬

‫‪A‬‬

‫‪D‬‬

‫‪A‬‬

‫‪C‬‬

‫‪A‬‬

‫‪F‬‬

‫‪C‬‬

‫‪F‬‬

‫‪D‬‬

‫حل‪ :‬در شکل (‪ ABDC )a‬مربع و شکل ‪ FEHG‬معین می‌باشد؛ در شکل(‪ABDC )b‬‬ ‫یک ذوزنقه است‪ ،‬در شکل (‪ )c‬اشکال ‪ EFDC ،ABDC‬و ‪B ABFE‬ذوزنقه‌ می‌باشند‪A‬و در‬ ‫‪F AFCE‬‬ ‫مستطیل است‪.‬‬ ‫یک‬ ‫شکل(‪ ABDC ،)d‬یک متوازی‌االضالع و‬ ‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪B‬‬

‫‪G‬‬

‫تمرین‬ ‫‪D‬‬

‫‪D‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪H‬‬ ‫‪F‬‬

‫‪D‬‬

‫‪E‬‬

‫‪E‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪B‬‬

‫‪E‬‬

‫‪B‬‬

‫‪CC‬‬

‫‪F‬‬

‫‪F‬‬

‫‪E‬‬

‫‪C‬‬

‫‪E‬‬

‫‪A‬‬

‫‪B‬‬ ‫‪D‬‬

‫‪A‬‬

‫‪A‬‬

‫‪C‬‬

‫‪F‬‬

‫‪C‬‬ ‫‪C‬‬

‫‪E‬‬ ‫‪ -1‬در شکل مقابل کدام یک مستطیل و کدام ‪B‬‬ ‫یک ذوزنقه است؟‪A‬و‬ ‫نیز بگویید که در این شکل چند مثلث موجود م‪F‬ی‌باشد؟‬ ‫‪E‬‬ ‫اند؟‬ ‫‪ -2‬کدام جمالت درست و کدام نادرست‬ ‫‪C‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪D‬‬ ‫ی تواند‪A.‬‬ ‫• هیچ‌گاه یک ذوزنقه متوازی‌االضالع شده نم‪B‬‬ ‫• اضالع مقابل مستطيل دو به دو موازي و مساوي اند‪.‬‬ ‫موازي و مساوي‪ E‬مي‬ ‫‌باشند‪C.‬‬ ‫• اضالع مقابل ذوزنقه دو به دو ‪D‬‬ ‫‪F‬‬ ‫• لوزی یک متوازی‌االضالع است‪.‬‬ ‫• مربع یک متوازی‌االضالع است‪.‬‬ ‫‪B‬‬ ‫•لوزی یک مربع است‪.‬‬ ‫‪ -3‬در ش��کل مقاب��ل س��ه ذوزنق��ه‪ ،‬ی��ک مس��تطیل و یک‬ ‫‪D‬‬ ‫‪E‬‬ ‫متوازی االضالع را نشان  دهید‪.‬‬

‫‪D‬‬

‫‪C‬‬

‫‪A‬‬

‫‪168‬‬

‫‪F‬‬

‫‪C‬‬

‫‪A‬‬

‫‪F‬‬

‫‪D‬‬

‫‪B‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪BB‬‬

‫زوایای مقابل متوازی االضالع‬

‫‪A‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪AA‬‬ ‫‪D‬‬

‫‪D‬‬

‫‪C‬‬

‫‪C‬‬ ‫‪CC‬‬

‫آیا زوایای مقاب��ل متوازی ‪DD‬‬ ‫االضالع با هم‬ ‫مساوی استند؟‬

‫‪B‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪BB‬‬

‫‪110°‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪AA110°‬‬

‫‪110°‬‬ ‫‪110°‬‬

‫‪70°‬‬

‫‪D‬‬

‫‪70°‬‬

‫‪D‬‬ ‫‪DD‬‬

‫‪A‬‬

‫‪C 70°‬‬ ‫‪CC 70°‬‬

‫فعالیت‬ ‫=‪A+C‬‬

‫متوازی االضالع ‪ ABDC‬داده شده است‪.‬‬ ‫•چون ‪AB || CD‬‬

‫• چون ‪AC || BD‬‬

‫• از رابطۀ باال داریم‪:‬‬ ‫∧‬

‫• از تفريق كردن ‪C‬‬ ‫∧‬

‫‪B‬‬

‫=‪A+C‬‬ ‫==‪AA++CC‬‬ ‫‪ ،‬پس‬ ‫=‪C+D‬‬ ‫‪ ،‬پس‬ ‫==‪CC++DD‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪A+C=C+‬‬ ‫‪AA++CC==CC++‬‬ ‫از هر دو طرف چه رابطه یی به دست مي‌آيد؟‬

‫‪A‬‬

‫=‪C+D‬‬ ‫‪D‬‬

‫‪+AC = C +‬‬

‫‪CA‬‬

‫=‬

‫∧‬

‫∧‬

‫∧‬

‫ی توان گفت؟ به همین ترتیب نشان‪D‬دهید ‪ B = C‬می‌باشد‪C .‬‬ ‫• راجع به زوایای ‪ A‬و ‪ D‬چه م =‬

‫==‬

‫‪B‬‬

‫=‪A+B+C+D‬‬ ‫==‪AA++BB++CC++DD‬‬

‫در یک متوازی‌االضالع زوایای مقابل آن با هم مساوی  اند‪.‬‬

‫متوازی ‪A‬االضالع است‪ ،‬اندازة‬ ‫مثال‪ :‬شکل ‪ ABDC‬یک =‬

‫زوایای ∧ و ∧ را معلوم کنید‪AA == .‬‬ ‫‪D B‬‬

‫حل‪ :‬چون زوایای مقابل یک متوازی‌االضالع با هم‬ ‫∧‬

‫∧‬

‫‪A + B +A110°‬‬ ‫=‪C+D‬‬

‫∧‬

‫∧‬

‫مساوی  اند؛ پس ‪  D = A = 110‬و ‪B = C = 70‬‬

‫‪D‬‬

‫‪70°‬‬

‫= ‪A‬‬

‫‪B‬‬

‫‪110°‬‬

‫‪A‬‬

‫=‪A+C‬‬ ‫=‪C+D‬‬

‫‪D‬‬

‫‪A+C=C+‬‬ ‫=‬

‫‪169‬‬

‫‪C‬‬

‫=‪A+C‬‬

‫=‪A+B+C+D‬‬

‫=‪C+D‬‬

‫‪A + CA==C +‬‬

‫‪70°‬‬

‫‪C‬‬

‫‪C‬‬

‫فعالیت‬ ‫‪B‬‬

‫=‪D+C+C+D‬‬

‫چهارضلعی‪ ABDC‬را در نظر می گیریم‪.‬‬ ‫•‬

‫∧‬

‫∧‬

‫∧‬

‫‪A‬‬

‫= ‪2C + 2D‬‬

‫∧‬

‫= ‪)I(........ A + B+ C+ D‬‬

‫=‪C+D‬‬

‫‪D‬‬

‫∧‬

‫∧‬

‫∧‬

‫‪C‬‬

‫∧‬

‫∧‬

‫‪B =, C , A =,‬‬ ‫داریم‪A:‬‬ ‫• با توجه به تساوي زواياي مقابل متوازی‌االضالع =‬ ‫• اکنون در رابطۀ(‪ )I‬به عوض ‪ A‬و ‪ B‬مقدار‌های ‪ C‬و ‪ D‬را می گذاریم‪.‬‬ ‫=‪D+C+C+D‬‬

‫از رابطة باال‬

‫‪B‬‬

‫‪B‬‬ ‫‪70°‬‬

‫= ‪2C + 2D‬‬ ‫=‪C+D‬‬

‫‪110°‬‬

‫‪D‬‬

‫‪A‬‬

‫‪D‬‬ ‫‪110°‬‬

‫∧‬

‫‪B=C‬‬

‫‪A‬‬

‫‪70°‬‬

‫‪C‬‬

‫‪C‬‬

‫• قطعه‌خط‌های‪ AB‬و ‪ CD‬چه رابطه یی با هم دارند؟‬ ‫• به طور مشابه چه رابطه یی بین ‪ AC‬و ‪ BD‬وجود دارد؟‬ ‫‪B‬‬

‫‪A‬‬

‫‪70°‬‬ ‫ االضالع‬ ‫چهارضعلی متوازی‬ ‫‪110°‬باشند ‪ ،‬این‬ ‫آن با هم مساوی‬ ‫اگر در یک چهارضعلی زوایای مقابل‬ ‫‪B‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪100°‬‬ ‫‪80°‬‬ ‫است‪.‬‬ ‫‪70°‬‬ ‫‪110°‬‬

‫‪C‬‬

‫‪D‬‬

‫تمرین‬

‫‪C‬‬

‫‪D‬‬

‫‪D‬‬

‫‪80°‬‬

‫‪100°‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬

‫‪A‬‬

‫‪∧110°‬‬

‫‪120°‬‬

‫∧‬

‫∧‬

‫∧‬

‫‪B‬‬

‫‪D‬‬

‫‪ -1‬اگر در متوازي‌االضالع زیر ‪ D = 110‬باشد‪ ،‬زوايای ‪ A , B‬و ‪ C‬را دريابيد‪.‬‬ ‫ ‬

‫‪B‬‬

‫‪D‬‬

‫‪D‬‬

‫‪80°‬‬

‫‪B‬‬

‫‪D‬‬

‫‪B‬‬

‫‪A‬‬

‫‪‬‬ ‫‪110‬‬ ‫‪C‬‬

‫‪50°‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪80°‬‬

‫‪D‬‬

‫‪C‬‬

‫‪100°‬‬

‫‪100°‬‬

‫‪C‬‬

‫‪A‬‬

‫‪C‬‬ ‫‪80°‬‬

‫‪C‬‬

‫‪A‬‬

‫‪B‬‬ ‫چهارضعلی را به‪A‬دو مثلث انطباق پذير تقسيم كند‪ ،‬آيا اين‬ ‫‪ -2‬اگر قطر يك چهارضلعي‪،‬‬ ‫‪110°‬‬ ‫‪120°‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪D‬‬ ‫چهارضلعي متوازي‌االضالع است؟‬ ‫‪D‬‬

‫‪80°‬‬

‫‪50°‬‬

‫‪C‬‬

‫‪C‬‬

‫‪170‬‬

‫‪C‬‬

‫زواياي خارجي يك چهارضلعي‬ ‫آي��ا مي تواني��د بگوييد ك��ه مجم��وع‌زواياي‬ ‫خارجي يك چهارضلعي چند درجه مي شود؟‬

‫‪B‬‬

‫‪6‬‬

‫‪D‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪A‬‬

‫‪1‬‬

‫‪8‬‬

‫‪3‬‬

‫‪4‬‬

‫‪C‬‬

‫‪7‬‬

‫∧‬

‫∧‬

‫∧‬

‫اضالع ‪ BD ، AB ، AC‬و ‪ CD‬را مطابق شكل باال امتداد مي‌دهيم‪ .‬زواياي ‪7 ، 6 ، 5‬‬ ‫∧‬

‫و ‪ 8‬زواياي خارجي اين چهارضلعي مي باشند‪.‬‬ ‫∧‬ ‫∧‬ ‫∧‬ ‫∧‬ ‫مي‌خواهيم نشان دهيم كه ‪ 5+ 6+ 7 + 8 = 360‬مي باشد‪.‬‬

‫‪1 + 5 = 180°‬‬ ‫‪2 + 6 = 180°‬‬ ‫‪4 + 7 = 180°‬‬

‫اگر هر دو طرف را جمع كنيم داريم كه‪:‬‬

‫‪3 + 8 = 180°‬‬ ‫∧‬

‫∧‬

‫∧‬

‫∧‬

‫∧‬

‫∧‬

‫∧‬

‫∧‬

‫∧‬

‫‪360° +‬‬

‫∧‬

‫∧‬

‫∧‬

‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1+ 2+ 3+ 4 + 5+ 6+ 7 + 8 = 180 + 180 + 180 + 180‬‬

‫با توجه به این که مجموع‬ ‫زوایای داخلی چهارضلعی ‪360°‬‬ ‫‪ 360°‬است داریم‪:‬‬ ‫∧‬

‫∧‬

‫∧‬

‫‪+‬‬

‫‪360°‬‬

‫∧‬

‫= ‪5+ 6 + 7 + 8‬‬

‫در نتیجه ‪ 5+ 6+ 7+ 8 = 360‬پس مجموع زوایای خارجی یک چهارضعلی ‪ 360‬می‌باشد‪.‬‬

‫فعالیت‬ ‫در شكل دو زاويۀ خارجي چهارضلعي نامعلوم‬ ‫مي باشند؛ آن‌ها را دريابيد‪.‬‬

‫‪171‬‬

‫مثال‪ :‬سه زاوية خارجي اين چهارضلعي داده‬ ‫شده  اند‪ .‬زاوية چهارمي آن چند درجه مي شود؟‬ ‫ ‬ ‫حل‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪150 + 30 + 85 = 265‬‬ ‫چون مجموعة هـــر چهار زاوية خــارجي يك‬ ‫چهارضلعي ‪ 360‬مي‌باشد‪ ،‬زاوية چهارمي‬ ‫مساوي است به‪360 − 265 = 95 :‬‬

‫‪85°‬‬ ‫‪30°‬‬

‫‪150°‬‬

‫‪85°‬‬

‫‪30°‬‬

‫مجموعة زواياي خارجي يك چهارضلعي ‪ 360‬مي‌باشد‪.‬‬ ‫‪150°‬‬

‫تمرین‬ ‫‪ -1‬مجم��وع س��ه زاوي��ۀ خارجي ي��ك چهارضلع��ي ‪ 301‬مي باش��د‪ .‬زاوي��ة چهارمی اين‬ ‫چهارضلعي چند درجه مي‌شود؟‬ ‫‪ -2‬در شكل مقابل يك زاوية خارجي چهارضلعي داده‬ ‫شده است‪ ،‬سه زاوية خارجي ديگر اين چهارضلعي را‬ ‫دريابيد‪.‬‬

‫‪C‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1 2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪D‬‬

‫‪110°‬‬

‫‪1‬‬

‫‪B‬‬

‫‪2‬‬

‫‪A 1110°‬‬

‫‪ -3‬آيا مجموع چهار زاوية داخلي يك چهارضلعي با مجموع چهار زاوية خارجي يك‬ ‫چهارضلعي مساوي است؟ چرا؟‬ ‫‪ -4‬مجموع زوايای داخلي و خارجي يك چهارضلعي مساوي است به‪:‬‬

‫‪a) 360‬‬ ‫‪b) 720‬‬ ‫‪ -5‬اگر مجموع سه زاوية داخلي يك چهارضلعي ‪ 315‬باشد‪ ،‬زاوية چهارم داخلی اين‬ ‫چهارضلعي چند درجه است؟‬ ‫‪c) 25‬‬

‫‪b) 45‬‬

‫‪‬‬

‫‪a) 50‬‬

‫‪172‬‬

‫‪B‬‬

‫‪2‬‬

‫خاصيت هاي قطرهاي چهارضلعي‬ ‫خاصيت‌های قطر‌هاي متوازي‌االضالع‬ ‫در م��ورد قطره��اي ي��ك متوازي‌االضالع چه‬ ‫مىتوان گفت؟‬

‫‪3‬‬

‫‪4‬‬

‫‪D‬‬

‫‪B‬‬

‫‪A‬‬

‫‪1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪D‬‬

‫‪4‬‬

‫‪1‬‬

‫‪B‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪4‬‬

‫‪D‬‬

‫‪ BC‬و ‪ AD‬دو قطر متوازي‌االضالع ‪ ABDC‬مي‌باشند‪.‬‬

‫‪B‬‬

‫فعالیت‬ ‫• ابتداء طول قطر‌هاي متوازي‌االضالع را معلوم كنيد‪.‬‬ ‫• گفته مي‌توانيد كه قطر‌ها با همديگر چه رابطه یی دارند؟‬ ‫• خانه‌هاي خالي زير را پر كنيد‪.‬‬ ‫‪B‬‬ ‫چرا؟‬ ‫=‪1‬‬ ‫چرا؟‬

‫=‪3‬‬

‫چرا؟‬

‫= ‪AB‬‬

‫‪A‬‬

‫‪3‬‬

‫‪E‬‬

‫=‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪E‬‬

‫‪2‬‬

‫‪E‬‬

‫‪3‬‬

‫‪4‬‬

‫‪3‬‬

‫‪4‬‬

‫‪C‬‬

‫‪A‬‬

‫‪1‬‬

‫‪C‬‬

‫‪A‬‬ ‫=‪1‬‬ ‫= ‪31‬‬

‫‪A‬‬

‫‪A‬‬

‫‪C‬‬

‫‪1‬‬

‫=‪1‬‬

‫‪AB‬‬ ‫= ‪D‬‬

‫‪D‬‬

‫‪C‬‬

‫‪C‬‬

‫= ‪AB‬‬

‫چرا؟‬ ‫آيا مي توانيد از تساوي دو مثلث ‪ ABE‬و ‪ CED‬بگوييد كه قطرهاي متوازي‌االضالع‬ ‫‪E B‬‬ ‫‪A‬‬ ‫يك ديگر را نصف مي كنند؟‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪B‬‬

‫‪E‬‬

‫قطرهاي متوازي االضالع يكديگر را نصف مي كنند‪D.‬‬

‫‪4‬‬

‫‪C‬‬

‫ باشد؛‬ ‫قطر ‪ AD = 6cm‬مي ‪C‬‬ ‫مث�ال‪ :‬در متــوازي االضالع ‪ ABDC‬قــطر ‪ BC = 8cm‬و ‪D‬‬ ‫طول‌های ‪ AE‬و‪ EC‬را معلوم كنيد‪.‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪A‬‬

‫‪B‬‬

‫‪E‬‬ ‫‪D‬‬

‫‪173‬‬

‫=‪1‬‬ ‫=‪3‬‬ ‫= ‪AB‬‬

‫‪C‬‬

‫حل‪ :‬چون قطر‌هاي متوازي‌االضالع يك ديگر را نصف مي كنند‪ ،‬بنابراین‪:‬‬ ‫ ‬ ‫‪BC 8cm‬‬ ‫‪AD‬‬ ‫=‬ ‫‪= 4cm‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫ ‬

‫‪AD‬‬ ‫= ‪EC‬‬

‫‪،‬‬

‫‪AD‬‬ ‫‪AD 6cm‬‬ ‫=‬ ‫‪= 3cm‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫= ‪AD‬‬ ‫‪AE‬‬

‫ ‬

‫تمرین‬ ‫‪ -1‬در چهارضلعي  زیر قطعه‌خط هاي نامعلوم را دريابيد‪.‬‬ ‫‪A‬‬

‫‪B‬‬ ‫‪2.5cm‬‬

‫‪2cm‬‬

‫‪R‬‬

‫‪3cm‬‬

‫‪D‬‬

‫‪C‬‬

‫‪4.5cm‬‬

‫‪-2‬کامل‌ترین جواب را نشانی کنید‪.‬‬ ‫در يك متوازي‌االضالع قطرها‪:‬‬ ‫‪ )a‬با هم عمود اند‪ .‬‬ ‫‪ )b‬يكديگر را نصف مي كنند‪ .‬‬ ‫‪ )c‬هر دو درست  اند‪.‬‬

‫‪B‬‬ ‫‪2.5cm‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪4cm‬‬

‫‪3cm‬‬

‫‪4cm‬‬

‫‪4cm‬‬

‫‪D‬‬

‫در يك متوازي‌االضالع‪:‬‬ ‫‪ )a‬زواياي مقابل آن دو به دو با هم مساوي  اند‪.‬‬ ‫‪ )b‬اضالع مقابل آن دو به دو با هم مساوي  اند‪.‬‬ ‫‪ )c‬هر دو درست  اند‪.‬‬ ‫از تقاطع قطر‌هاي متوازي‌االضالع‪:‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪ )a‬دو جوره مثلث‌هاي انطباق‌پذير تشكيل مي شوند‪.‬‬ ‫‪4cm‬‬ ‫‪ )b‬چهار مثلث انطباق‌پذير تشكيل مي شوند‪.‬‬ ‫‪D‬‬

‫‪5cm‬‬

‫‪C‬‬

‫‪A‬‬

‫‪2cm‬‬

‫‪5cm‬‬

‫‪3cm‬‬

‫‪1.5cm‬‬

‫‪C‬‬

‫‪174‬‬

‫قطر‌هاي مستطيل‬ ‫در ش��كل مقاب��ل س��طح روي ميز كدام‬ ‫شكل هندسي را دارد؟ در مورد خواص‬ ‫آن چه مي دانيد؟‬

‫فعالیت‬ ‫مستطيل ‪ ABDC‬را در نظر بگیرید‪:‬‬ ‫بناميد‪.‬‬ ‫• قطر‌هاي مستطيل را رسم نموده‪ ،‬نقطۀ تقاطع را ‪B E‬‬ ‫= ‪DB‬‬ ‫• قطرهای مستطیل را با خط‌کش اندازه گرفته و ببینید که با هم مساوی اند؟‬ ‫مثلث ‪ ACD‬و ‪ ، BCD‬خانه هاي خالي‪E‬زير را پر كنيد‪.‬‬ ‫• با در نظرداشت شكل زیر دو = ‪C‬‬ ‫=‬ ‫= ‪DB‬‬

‫‪B‬‬

‫ضلع مشترك‬

‫‪A‬‬ ‫‪D‬‬

‫=‪C‬‬

‫‪A‬‬

‫‪C‬‬

‫‪E‬‬

‫=‬ ‫‪C‬‬

‫‪D‬‬

‫• دربارة دو مثلث ‪ ACD‬و ‪ BCD‬چه مي توان گفت؟‬ ‫• آیا ‪ BC = AD‬است؟‬ ‫در هر مستطيل قطرها با هم مساوي و يكديگر را نصف مي كنند‪.‬‬ ‫مثال‪ :‬در شكل مقابل ‪ AD‬و ‪ BC‬قطر‌هاي مستطيل‬ ‫‪ AD‬باشد‪ ،‬طول‬ ‫‪ ABDC‬مي‌باشند؛ اگر ‪ED = 4cm‬‬ ‫‪ BC‬را معلوم كنيد‪.‬‬

‫‪175‬‬

‫‪A‬‬

‫‪B‬‬

‫‪E‬‬ ‫‪D B‬‬

‫‪D‬‬

‫‪C A‬‬

‫‪C‬‬

‫حل‪ :‬چون قطرهاي مستطيل يكديگر را نصف مي كنند‪ AE = 4cm :‬و ‪AD = 8cm‬‬

‫مي باشند‪.‬‬ ‫از طرف ديگر چون قطر‌هاي مستطيل با همديگر مساوي اند‪ BC = AD .‬؛ پس ‪BC = 8cm‬‬ ‫مي‌باشد‪.‬‬

‫تمرین‬ ‫‪ -1‬در مستطيل زير طول‌هاي نامعلوم را دريابيد‪.‬‬

‫‪B‬‬

‫‪A‬‬

‫‪8cm‬‬ ‫‪5cm‬‬

‫‪6cm B‬‬

‫‪8cm‬‬

‫‪E‬‬

‫‪5cm‬‬ ‫‪6cm‬‬

‫‪D‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪C‬‬

‫‪E‬‬

‫‪C‬‬

‫‪D‬‬

‫‪ -2‬اگر ‪ BC = 6cm‬باشد‪ ،‬طول ‪ EB ، ED ، AE ، AD‬و ‪ EC‬را معلوم كنيد‪.‬‬ ‫‪B‬‬

‫‪B‬‬

‫‪E‬‬ ‫‪D‬‬

‫‪A‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪C‬‬

‫‪ -3‬اگر يك قطر مستطيل ‪ 18cm‬باشد‪ ،‬اندازة قطر ديگر اين مستطيل ‪E‬‬ ‫مساوي است به‪:‬‬ ‫‪a) 9cm‬‬ ‫‪c) 4.5cm‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪D b) 18cm‬‬

‫‪ -4‬اگر نصف يک قطر يك مستطيل ‪ 6cm‬باشد‪ ،‬هر قطر اين مستطيل مساوي است به‪:‬‬ ‫‪a) 12cm‬‬ ‫‪b) 6cm‬‬ ‫‪c) 24cm‬‬ ‫‪ -5‬از تقاطع قطرهاي يك مستطيل چند مثلث انطباق‌پذير تشكيل مي‌شوند؟‬ ‫‪b) 4‬‬ ‫هر دو غلط اند )‪c‬‬

‫‪a) 2‬‬

‫‪ -6‬کامل‌ترین جواب را نشانی کنید‪.‬‬ ‫در مستطيل قطر ها‪:‬‬ ‫‪ )a‬با هم مساوي اند‪ .‬‬ ‫‪ )b‬يكديگر را نصف مي‌كنند‪ .‬‬ ‫ ‬ ‫‪ )c‬هر دو درست اند‪ .‬‬ ‫‪ -7‬چهارضلعي هایي كه تمام خواص متوازي‌االضالع را دارند‪ ،‬عبارت اند از‪:‬‬ ‫‪ )d‬هر سه پاسخ درست اند‬ ‫‪ )c‬مستطيل‬ ‫‪ )b‬معين (لوزي)‬ ‫‪ )a‬مربع‬

‫‪176‬‬

‫قطرهاي لوزي(معين)‬ ‫در شکل مقابل اشکال هندسی را نام ببرید‪.‬‬

‫فعالیت‬ ‫• يك لوزي را رسم کنید كه يك ضلع آن ‪ 4cm‬و يك زاوية آن ‪ 50‬باشد‪.‬‬ ‫• قطر‌هاي این لوزي را رسم كنيد‪.‬‬ ‫• زاويه بين قطر‌هاي اين لوزي را اندازه بگیرید‪ .‬در مورد آن چه مي‌توان گفت؟‬ ‫‪ AC‬و ‪ BD‬دو قطر لوزي ‪ ABCD‬مي‌باشند‪.‬‬ ‫مي خواهيم ثابت كنيم كه قطرهاي لوزي بر يكديگر عمود اند‪.‬‬ ‫در لوزي ‪ ABCD‬داريم كه‪:‬‬ ‫اضالع لوزي با هم مساوی اند ‪AB = BC = CD = AD ....‬‬ ‫از طرف ديگر دو قطر ‪ AC‬و ‪ BD‬يكديگر را نصف مي كنند‪C .‬‬ ‫(لوزي يك متوازي‌االضالع است‪).‬‬ ‫پس‪:‬‬ ‫‪EB = ED‬‬

‫‪AE = EC‬‬ ‫∆‬

‫∆‬

‫‪B‬‬

‫‪E‬‬

‫‪A‬‬

‫‪D‬‬

‫دو مثلث ‪ ABC‬و ‪ ACD‬متساوي‌الساقين مي‌باشند‪(.‬اضالع لوزي با يكديگر مساوي اند‪).‬‬ ‫∆‬ ‫در مثلث متساوي‌الساقين ‪ ABC‬ضلع ‪ AC‬به دو قسمت مساوي تقسيم شده است؛ بدين‬ ‫∆‬ ‫معني كه خط مستقیم ‪ BE‬ميانه و ارتفاع مثلث ‪ ABC‬نیز مي‌باشد‪.‬‬ ‫چون در نقطة ‪ E‬خط مستقیم ‪ BE‬عمود بر ‪ AC‬و همچنین در نقطة ‪ E‬خط مستقیم ‪ED‬‬ ‫عمود بر ‪ AC‬مي باشد؛ در نتيجه‪ BD ⊥ AC :‬مي‌باشد‪.‬‬

‫‪177‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪D‬‬

‫‪B‬‬

‫‪C‬‬

‫مثال‪ :‬در شكل مقابل ‪ AC‬و ‪ BD‬قطر‌هاي لوزي ‪ABCD‬‬ ‫مي باشند‪.‬‬ ‫∧‬ ‫∧‬ ‫∧‬ ‫∧‬ ‫∧‬ ‫‪34‬‬ ‫اگر ‪ A1 = A 2 = C5 = C6 = 60‬باشد‪ ،‬اندازة زواياي ‪، B3‬‬ ‫∧‬ ‫∧‬ ‫∧‬ ‫‪D‬‬ ‫‪ D 7 ، B4‬و ‪8‬‬ ‫دريابيد‪.‬‬ ‫را‬ ‫‪1‬‬ ‫‪5‬‬ ‫∆‬ ‫∆‬ ‫∆‬ ‫‪A B2 A 6 C‬‬ ‫∆‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪B‬‬ ‫حل‪ :‬چون مثلث هاي ‪ CDE ، BCE ، ABE‬و ‪ ADE‬قايم الزاويه‬ ‫‪E‬‬ ‫مي باشند‪.‬‬ ‫‪87‬‬ ‫∧‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪D7 = 90 − 60 = 30‬‬ ‫‪D‬‬ ‫∧‬ ‫∧‬ ‫∧‬ ‫‪C‬‬ ‫‪C‬‬ ‫∧‪C‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪D‬‬ ‫در نتيجه‪ B3 = B4 = D7 = D8 = 30 :‬مي باشد‪.‬‬ ‫ ‬ ‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫قطرهاي لوزي بر همديگر عمود اند و يكديگر را نصف مي كنند‪.‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪C‬‬

‫‪B‬‬

‫‪D‬‬ ‫‪C‬‬

‫تمرین‬ ‫‪ -1‬آيا قطرهاي لوزي زاويه هاي رأس را نصف مي كنند؟‬ ‫‪ -2‬آيا در لوزي قطرها با هم مساوي و بر یکدیگر عمود اند؟‬ ‫‪ -3‬آیا قطر‌های معین یکدیگر را نصف می‌کنند؟‬

‫‪A‬‬

‫‪ -4‬آيا معين(لوزي) يك متوازي‌االضالع است؟‬ ‫‪ -5‬در این شكل معين(لوزي) در صورتی‌که یک زاویه آن ‪ 35‬باشد‪.‬‬ ‫∧‬

‫∧‬

‫∧‬

‫∧‬

‫∧‬

‫مقدار زواياي ‪ 4 , 3 , 2 , 1‬و ‪ 5‬را دريابيد‪.‬‬

‫‪2 B‬‬

‫‪11‬‬

‫‪‬‬

‫‪2‬‬

‫‪35‬‬

‫‪5 35‬‬

‫‪D5‬‬ ‫‪43‬‬

‫‪43‬‬

‫‪C‬‬

‫‪178‬‬

‫‪A‬‬

‫‪D‬‬

‫‪D‬‬

‫خالصۀ فصل ششم‬ ‫• دو خط مستقیمی كه در يك مستوي قرار دارند و خود شان یا امتداد شان نقطة مشتركی‬ ‫نداشته باشند‪ ،‬با هم موازی اند‪ .‬فاصلۀ بین دو خط موازی‪ ،‬مساوی است‪.‬‬

‫• دو خط مستقیم عمود بر یک خط مستقیم‪ ،‬با هم موازی اند‪.‬‬

‫• دو خط مستقیم وقتي بر همديگر عمود مي باشند كه زاويه بين آن‌ها ‪ 90‬باشد‪.‬‬

‫• اگر دو خط موازي توسط خط قاطع قطع شوند‪ ،‬چهار زاوية متبادلة داخلي و چهار زاوية‬ ‫متبادلة خارجي را مي سازند كه دو به دو با هم مساوي اند‪.‬‬ ‫∧‬

‫∧‬

‫‪2=8‬‬

‫زواياي متبادلة خارجي‬

‫‪‬‬ ‫‪1=7 ‬‬ ‫∧‬

‫∧‬

‫∧‬

‫‪E‬‬ ‫∧‪B‬‬

‫‪3 = 5‬‬

‫‪1 2‬‬ ‫‪4 3‬‬

‫زوایاي متبادلة داخلي‪‬‬ ‫‪4 = 6‬‬ ‫∧‬

‫∧‪D‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪5 6‬‬ ‫‪8 7‬‬

‫‪C‬‬ ‫‪F‬‬

‫• اگر دو خط مستقیم توسط يك خط مستقیم طوري قطع شوند كه زاويه‌هاي متبادلة مساوي‬ ‫را بسازند‪ ،‬اين دو خط با هم موازي اند‪.‬‬

‫• اگر دو خط موازي توسط يك خط مستقیم قطع شوند ‪ 8‬زاوية متوافقة مساوي را مي سازند‬ ‫که دو به دو با هم مساوی اند‪.‬‬ ‫∧‬

‫∧‬

‫∧‬

‫∧‬

‫‪1=5‬‬ ‫‪4=8‬‬

‫∧‬

‫∧‬

‫∧‬

‫∧‬

‫‪2=6‬‬ ‫‪3=7‬‬

‫• اگر دو خط مستقیم توسط يك خط طوري قطع شوند كه زاويه هاي متوافقۀ مساوي را‬ ‫بسازند‪ ،‬اين دو خط با هم موازي  اند‪.‬‬

‫• اگر دو خط مستقیم موازي توسط يك خط مستقیم قطع شوند‪ ،‬مجموع زواياي داخلي يك‬

‫طرف خط قاطع مساوی به ‪ 180‬مي باشد‪.‬‬

‫• اگر دو خط مستقیم توسط يك خط طوري قطع شوند كه مجموع زواياي داخلي يك‬

‫طرف خط قاطع ‪ 180‬باشد‪ ،‬اين دو خط با هم موازي  اند‪.‬‬

‫•در يك متوازي‌االضالع زواياي مقابل آن‪ ،‬دو به دو با هم مساوي می باشند‪.‬‬

‫• قطرهاي متوازي‌االضالع يكديگر را نصف کرده و از تقاطع آن‌ها دو جوره مثلث انطباق‬

‫‪179‬‬

‫پذير تشكيل مي شوند‪.‬‬

‫•در مستطيل قطرها با هم مساوي اند و يكديگر را تنصيف نموده‪ ،‬از تقاطع قطرها دو جوره‬ ‫مثلث انطباق‌پذير تشكيل مي شوند و هر چهار زاوية مستطيل قايمه مي باشند‪.‬‬

‫•چهار ضلع معين(لوزي) با هم مساوي  اند‪ ،‬قطرها بر هم عمود اند و يكديگر را نصف‬

‫مي كنند و از تقاطع آن‌ها چهار مثلث انطباق‌پذير تشكيل مي شوند‪ .‬همچنین قطرها زاوية‬ ‫رأس را نصف مي كنند‪.‬‬

‫• قطرهاي مربع با هم مساوي اند‪ ،‬بر يك ديگر عمود اند و يك ديگر را نصف می‌كنند‪.‬‬

‫قطرهاي مربع‪ ،‬زاوية رأس را نصف مي كنند و از تقاطع آن‌ها چهار مثلث انطباق پذير تشكيل‬

‫مي شوند‪.‬‬

‫•مجموع چهار زاوية داخلي يك چهارضلعي ‪ 360‬مي‌باشد و مجموع چهار زاوية خارجي‬ ‫يك چهارضلعي نيز ‪ 360‬است‪.‬‬

‫• تقاطع خاصيت‌هاي متوازي‌االضالع‪ ،‬مستطيل‪ ،‬معين(لوزي) و مربع در دياگرام وين توسط‬

‫تقاطع ست ها نشان داده شده است‪.‬‬

‫ﻣﺘﻮﺍﺯﻯ ﺍﻻﺿﻼﻉ‬ ‫ﻣﻌﻴﻦ ﻣﺮﺑﻊ ﻣﺴﺘﻄﻴﻞ‬

‫‪180‬‬

‫‪B‬‬ ‫‪50°‬‬

‫‪A‬‬

‫‪40°‬‬

‫‪B‬‬

‫‪B‬‬

‫‪60°‬‬

‫‪C‬‬

‫‪D‬‬ ‫تمرينات فصل ششم‬ ‫‪50°‬‬

‫‪A‬‬

‫‪60°‬‬

‫‪D‬‬

‫‪B‬‬

‫‪ -1‬در كدام‪D‬يك از‬ ‫اشكال زير‪ ،‬دو قطعه‌خط ‪ AB‬و ‪CD‬‬ ‫‪B 40°‬‬ ‫‪D‬‬

‫‪C‬‬

‫‪B‬‬ ‫‪70°50° B‬‬

‫‪D‬‬

‫‪A‬‬

‫‪40°‬‬ ‫‪110°‬‬

‫‪D‬‬

‫‪C‬‬

‫‪70°‬‬ ‫‪C‬‬

‫‪C‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪60°‬‬

‫‪80°‬‬ ‫‪60°‬‬

‫‪70°‬‬

‫‪C‬‬

‫‪80°‬‬

‫‪B‬‬

‫‪A‬‬

‫‪110°‬‬ ‫‪C‬‬

‫‪80°‬‬

‫‪D‬‬

‫‪A‬‬

‫‪C‬‬

‫‪E‬‬

‫‪A‬‬

‫‪A‬‬

‫‪CC A‬‬

‫‪80°‬‬

‫‪D‬‬

‫‪A‬‬

‫‪C‬‬

‫‪C‬‬

‫‪B‬‬

‫‪B‬‬

‫‪110° D‬‬

‫‪60°‬‬ ‫موازي اند؟‬

‫‪80°D D B‬‬

‫‪A‬‬

‫‪A‬‬

‫‪60°‬‬ ‫‪80°‬‬

‫‪D‬‬ ‫‪B‬‬

‫‪A‬‬

‫∧‪C‬‬

‫∧‬

‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫چند درجه‬ ‫‪ AB || CD‬و ‪ CD || EF‬باشد‪ ،‬زواياي ‪ 1‬و ‪2‬‬ ‫‪ -2‬در اشكال ‪1‬زير اگر ‪110°‬‬ ‫‪30°‬‬ ‫‪1E‬‬ ‫مي باشند؟‬ ‫‪95°‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪B‬‬ ‫‪30°‬‬

‫‪A‬‬

‫‪C 1‬‬

‫‪C‬‬

‫‪D‬‬

‫‪110°‬‬

‫‪F‬‬

‫‪2‬‬

‫‪B‬‬

‫‪C‬‬ ‫‪30°‬‬

‫‪1‬‬

‫‪95°‬‬

‫‪ED‬‬

‫‪D A‬‬

‫‪1‬‬

‫‪110°‬‬

‫‪F‬‬

‫‪D‬‬

‫‪C‬‬

‫‪2‬‬

‫‪CB‬‬

‫‪1D‬‬

‫‪2‬‬

‫‪A2‬‬

‫‪B95°‬‬

‫∧‬

‫‪A‬‬

‫‪2‬‬

‫∧‬

‫زوايای ‪ 1‬و ‪ 2‬را دريابيد‪.‬‬ ‫‪ -3‬در شكل زير اگر ‪ AB || ED‬و ‪ FE || CD‬باشد‪F ،‬‬ ‫‪D‬‬

‫‪C‬‬

‫‪F‬‬ ‫‪B‬‬

‫‪C‬‬ ‫‪D‬‬

‫‪181‬‬

‫‪2‬‬

‫‪C‬‬ ‫‪D‬‬

‫‪F‬‬

‫‪110°‬‬

‫‪110°‬‬

‫‪1F‬‬

‫‪B‬‬ ‫‪D‬‬

‫‪1‬‬

‫‪E‬‬

‫‪2‬‬

‫‪B‬‬

‫‪110°‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪A‬‬

‫‪E‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪E‬‬

‫‪B‬‬

‫‪ -4‬هر خاصيتی كه چهارضلعي‌ها دارند‪ ،‬در مقابل آن عالمت ‪ ‬را بگذاريد‪.‬‬ ‫مربع‬

‫لوزي‬

‫مستطيل‬

‫متوازي االضالع‬

‫خاصيت‌ها‬ ‫قطرها يكديگر را نصف مي كنند‬ ‫قطرها با هم مساوي  اند‪.‬‬ ‫قطرها بر هم عمود  اند‪.‬‬ ‫قطرها زواياي رأس را نصف مي كنند‪.‬‬ ‫از تقاطع قطرها دو جوره مثلث  انطباق‌پذير تشكيل مي شوند‪.‬‬ ‫از تقاطع قطرها‪ ،‬چهار مثلث انطباق پذير تشكيل مي شوند‪.‬‬ ‫اضالع مقابل مساوي و موازي  اند‪.‬‬ ‫تمام اضالع مساوي اند‪.‬‬ ‫زواياي مقابل مساوي اند‪.‬‬ ‫هر چهار زاويه با هم مساوي اند‪.‬‬

‫‪ -5‬جواب درست را انتخاب كنيد‪:‬‬ ‫وقتي كه از تقاطع دو خط مستقیم با يك قاطع زاويه هاي متبادلۀ مساوي تشكيل شود‪ ،‬اين دو‬ ‫خط با هم‪:‬‬ ‫‪ )c‬متقاطع اند‪.‬‬ ‫‪ )b‬موازي اند‪.‬‬ ‫‪ )a‬عمود اند‪.‬‬ ‫دو زاويه‌یی كه اضالع شان موازي و هم جهت يا موازي و مختلف الجهت باشند‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ )b‬متمم يكديگر اند‪ )c .‬مجموع این دو زاويه ‪ 90‬مي شود‪.‬‬ ‫‪ )a‬مساوي اند‪.‬‬ ‫دو زاويه‌يى كه دو ضلع آن‌ها موازي و هم جهت و دو ضلع آن‌ها موازي و مختلف الجهت باشند‪:‬‬ ‫‪ )c‬با هم مساوي  اند‪.‬‬ ‫‪ )a‬مجموع آن‌ها ‪ 180‬مي شود‪ )b .‬مجموع آن‌ها ‪ 90‬مي شود‪.‬‬

‫‪182‬‬

‫دو خط مستقیم عمود بر يك خط‪ ،‬با هم‪:‬‬ ‫‪ )c‬متقاطع اند‪.‬‬ ‫‪ )b‬عمود اند‪.‬‬ ‫‪ )a‬موازي اند‪.‬‬ ‫اگر دو خط مستقیم توسط يك خط طوري قطع شوند كه مجموع دو زاوية داخلي يك‬ ‫طرف خط قاطع ‪ 180‬شود‪ ،‬اين دو خط با هم‪:‬‬ ‫‪ )b‬عمود اند‪.‬‬ ‫‪ )a‬موازي اند‪.‬‬

‫‪ )c‬متقاطع اند‪.‬‬

‫‪‌2.5‬هاي زير طول اضالعی را‪5‬كه معلوم نيستند‪ ،‬دريابيد‪:‬‬ ‫‪ -6‬در چهارضلعي‬ ‫‪2.5‬‬

‫‪2.5‬‬

‫‪4‬‬

‫‪2.5‬‬

‫‪2.5‬‬

‫‪5‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪4‬‬

‫‪5‬‬

‫‪3‬‬

‫‪4‬‬

‫‪2.5‬‬

‫‪3‬‬

‫‪4‬‬

‫‪ -7‬اندازة سه زاوية ديگر چهارضلعي هاي زير را به دست آورید‪:‬‬ ‫‪90°‬‬

‫‪130°‬‬

‫‪60°‬‬

‫‪130°‬‬

‫‪90°‬‬

‫‪60°‬‬

‫‪130°‬‬

‫‪90°‬‬

‫‪60°‬‬

‫∧‬

‫‪ -8‬در شكل ‪ Pp || q‬و ‪ m || n‬است؛ اگر ‪ 2 = 40‬باشد‪ ،‬اندازۀ زاويه هاي متباقي چند‬ ‫درجه مي باشد؟‬ ‫‪n‬‬

‫‪m‬‬

‫‪m‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪1 2‬‬ ‫‪9 10‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪4 3‬‬ ‫‪12 11‬‬ ‫‪1 2‬‬ ‫‪9 10‬‬ ‫‪4 13 2‬‬ ‫‪129 1110‬‬ ‫‪5 6‬‬ ‫‪13 14‬‬ ‫‪4 3‬‬ ‫‪12 11‬‬ ‫‪8 7‬‬ ‫‪16 15‬‬ ‫‪5 6‬‬ ‫‪13 14‬‬ ‫‪8 7‬‬ ‫‪16 15‬‬ ‫‪5 6‬‬ ‫‪13 14‬‬ ‫‪8 7‬‬ ‫‪16 15‬‬

‫‪183‬‬

‫‪p‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪q‬‬ ‫‪q‬‬

‫‪q‬‬

‫‪ -9‬در بین جمله‌های زیركدام‌ها درست و كدام‌ها‌ نا درست اند؟‬ ‫• قطرهاي متوازي‌االضالع با هم مساوي  اند‪.‬‬ ‫• قطرهاي مربع بر يكديگر عمود اند‪.‬‬ ‫• قطرهاي معين (لوزي) يكديگر را نصف مي كنند‪.‬‬ ‫• هر چهار زاوية معين (لوزي) قايمه مي باشند‪.‬‬ ‫• اضالع مقابل يك متوازي‌االضالع دو به دو با هم مساوي و موازي اند‪.‬‬ ‫• اضالع مقابل يك ذوزنقه دو به دو موازي مي‌باشند‪.‬‬ ‫• هيچ گاه يك ذوزنقه متوازي‌االضالع شده نمي‌تواند‪.‬‬ ‫• هر مستطيل يك چهارضلعي است‪.‬‬ ‫• معين(لوزي) يك متوازي‌االضالع مي‌باشد‪.‬‬ ‫• مربع یگانه چهارضلعي یی است كه هر چهار زاوية آن قايمه مي‌باشند‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫• اگر مجموع سه زاوية يك چهارضلعي‪ 300°‬باشد‪ ،‬زاوية چهارم آن ‪ 60‬است‪.‬‬ ‫• مجموع زواياي خارجي يك چهارضلعي ‪ 360‬مي‌باشد‪.‬‬ ‫• مجموع زواياي داخلي يك چهارضلعي ‪ 360‬مي‌باشد‪.‬‬ ‫• قطرهاي يك متوازي‌االضالع بر هم عمود اند‪.‬‬ ‫• از تقاطع قطر‌هاي مستطيل‪ ،‬چهار مثلث انطباق‌پذير تشكيل مي‌شود‪.‬‬ ‫• از تقاطع قطرهاي معين(لوزي) چهار مثلث انطباق‌پذير تشكيل مي‌شود‪.‬‬ ‫• قطر‌هاي مستطيل يكديگر را نصف می‌کنند‪.‬‬ ‫• قطر‌هاي معين برهمديگر عمود اند‪.‬‬ ‫‪ -10‬اگر يك زاوية متوازی االضالع قايمه باشد‪ ،‬نشان دهيد كه سه زاوية ديگر آن نيز قايمه‬ ‫مي باشند‪.‬‬ ‫‪ -11‬اگر يك زاوية متوازي‌االضالع ‪ 55‬باشد‪ ،‬سه زاوية ديگر اين متوازي‌االضالع را‬ ‫دريابيد‪.‬‬ ‫∧‬

‫∧‬

‫∧‬

‫‪ -12‬در شكل زير ‪ AB || CD‬مي‌باشد؛ ‪ 2 ،1‬و ‪ 3‬را دريابيد‪.‬‬ ‫‪C‬‬

‫‪90°‬‬

‫‪90°‬‬

‫‪A‬‬

‫‪3 2‬‬ ‫‪D‬‬

‫‪70° 1 50°‬‬ ‫‪B‬‬

‫‪184‬‬

‫فصل هفتم‬ ‫احصائیه‬

‫احصائیه‪ ،‬روشن گر اطالعات اطراف ما می باشد‪.‬‬

‫روش هاي جمع‌آوري اطالعات‬ ‫مدي��ر مكتب ش��ما مي خواهد ی��ک برنامۀ‬ ‫تفريحي را براي شما تهيه كند‪.‬‬ ‫اگـر شما بـه  جـاي مـدیر مــكتب باشيد چه‬ ‫اطالعاتي را بايد کسب كنيد؟‬

‫فعالیت‬ ‫مدير مكتب از شما خواسته است که اطالعاتي از هم‌صنفي‌هاي خود جمع‌آوري كنيد و در‬ ‫اختيار او قرار دهيد تا بتواند يك برنامة تفريحي براي شما تهيه كند‪.‬‬ ‫‪ -1‬از ‪ 5‬نفر از هم‌صنفي‌هاي خود سؤاالت زير را بپرسيد‪:‬‬ ‫• چه نوع ورزشي را دوست داريد؟‬ ‫• چند ساعت در هفته می‌خواهيد ورزش کنید؟‬ ‫• آياحاضر استید در روز رخصتی برای ورزش کردن به مکتب بیایید؟‬ ‫‪ -2‬چه فكر می كنيد اطالعات باال را بهتر است که با پرسيدن شفاهي از هم صنفي‌هاي خود‬ ‫به دست آوريد يا سؤاالت را براي آن ها بنويسيد و آن ها پاسخ بگویند؟‬ ‫• پرسيدن شفاهي با پرسيدن كتبي چه فرقی می‌كند؟‬ ‫• مي خواهيد بفهميد كه كدام هم‌صنفي شما بازي واليبال را بلد است؟‬ ‫ آيا از او می‌پرسيد؟‬‫آيا ترجیح مي دهيدکه بازي او را تماشا كنيد؟‬‫• دو روش باال چه فرقی با هم دارند؟ كدام يك بهتر است؟‬ ‫• براي انتخاب تيم بسكتبال‪ ،‬قد هم‌صنفي هاي خود را اندازه بگيريد‪.‬‬ ‫• آیا روش دیگری برای پیدا کردن اندازۀ قد آن‌ها وجود دارد؟‬ ‫اطالعات خود را در يك ورق بنويسيد و به معلم بدهيد‪.‬‬ ‫وقتي که برای جمع‌آوري اطالعات‪ ،‬سؤال می‌کنید‪ ،‬سؤال را مي توانید به شكل شفاهي يا كتبي‬ ‫بپرسيد‪ .‬برخی اوقات بهتر است سؤال نكنيم؛ در اين مورد به مشاهده آن بپردازيم تا اطالعات بهتر‬ ‫به دست آوريم و بعضي اوقات بايد آزمايشي را انجام دهیم تا اطالعات را جمع‌آوري نماییم‪.‬‬

‫‪187‬‬

‫برخی از روش هاي جمع‌آوري اطالعات عبارت از جمع آوري معلومات از طريق پرسش‬ ‫(شفاهي یا كتبي)‪ ،‬مشاهده و آزمايش اند‪.‬‬ ‫مثال‪:‬‬ ‫‪ -1‬اگر بخواهیم درآمد يك خانواده را بدانيم‪ ،‬از چه روشی بهتر است اطالعات را جمع‬ ‫آوري نماييم یا از اطالعاتی که از قبل ثبت شده‪ ،‬استفاده نماییم؟‬ ‫‪ -2‬اگر بخواهيم نمرۀ رياضي شاگردان صنف ششم را بررسي نماییم‪ ،‬از چه روشي بهتر است‬ ‫اطالعات را جمع آوري نماییم؟‬ ‫‪ -3‬اگر بخواهیم تعداد خواهران و برادران شاگردان را بدانيم از چه روشي اطالعات را‬ ‫جمع‌آوري  كنیم؟‬ ‫‪ -4‬اگر بخواهیم وزن نوزادان را بررسی کنیم‪ ،‬از چه روشی بهتر است اطالعات را جمع آوری‬ ‫نماییم؟‬ ‫حل‬ ‫در مثال ‪ 1‬هرگاه در آمد کم باشد‪ ،‬ممکن است شاگردان خوش نداشته باشند که معلومات‬ ‫دهند؛ پس بهتر است بدون نام از آن ها بپرسیم‪.‬‬ ‫در مثال (‪ )2‬ممكن است شاگردان نمرۀ واقعي خود را نگويند‪ ،‬بهتر است از دفاتر ثبت شده‬ ‫استفاده كنيم‪.‬‬ ‫در مثال (‪ )3‬می توانیم از پرسش شفاهی یا کتبی استفاده کنیم‪.‬‬ ‫در مثال (‪ )4‬باید وزن نوزادان را اندازه گیری نماییم‪.‬‬

‫تمرین‬ ‫‪ -1‬اگر شما بخواهيد تعداد اشخاص با سواد محل  تان را بدانید از چه روشي بايد استفاده‬ ‫كنيد؟‬ ‫‪ -2‬اگر شما بخواهيد تعداد شاگردان مکتب خود را بیابید‪ ،‬از چه روشی باید استفاده کنید؟‬ ‫‪ -3‬اگر شما بخواهید رفتار حیوانات را در شب بررسی کنید‪ ،‬از چه روشی باید استفاده کنید؟‬ ‫‪ -4‬دو موضوع بررسي براي هر يك از روش‌هاي جمع‌آوري اطالعات بيان كنيد‪.‬‬ ‫• پرسش شفاهي ( مصاحبه)‬ ‫• پرسش كتبي‬ ‫• مشاهده‬

‫‪188‬‬

‫جامعه و نمونه(‪)Population and sample‬‬ ‫آيا يک مشت برنج نمونه يى از يک بوجى‬ ‫برنج شده مى تواند؟‬

‫فعالیت‬ ‫وزارت معارف می‌خواهد نظر معلمان را در مورد كافي بودن تعداد ساعت‌هاي درسی‬ ‫مضمون رياضي بررسی كند‪.‬‬ ‫• فكر مي‌كنيد‪ ،‬از چه كساني بايد سؤال شود؟‬ ‫• آيا از معلمان صنف خاصي بايد سؤال صورت گیرد؟‬ ‫• چه فكر مي‌كنيد؛ اگر بخواهيم از همة معلمان مربوطه سؤال كنيم‪ ،‬چه مشكالتي وجود‬ ‫خواهد داشت؟‬ ‫• آيا کافی  است تا از یک بخشی از معلمان سؤال كنيم؟‬ ‫• آيا کافی  است تا اين بخش را فقط از معلمان صنف هفتم انتخاب كنيم؟‬ ‫درفعاليت باال معلمان رياضي‪ ،‬افرادی استند كه از آن‌ها بايد سؤال شود؛ ولي لزومي ندارد‬ ‫كه از معلم اجتماعيات سؤال شود‪.‬‬ ‫دریک بررسي‪ ،‬همة افراد و اشيایی كه از آن ها اطالعات مورد نياز را دريافت مي كنيم‪ ،‬جامعه‬ ‫می‌ناميم؛ اگر اطالعات را از همة اعضاي جامعه به دست آوريم‪ ،‬این عمل را رأی‌پرسی‬ ‫همگانی مي گويند‪ .‬برخي اوقات به دليل مشكالتی چون كمبود وقت‪ ،‬مشكالت اقتصادي‪،‬‬ ‫امكان نداشتن دسترسي به همة افراد جامعه مجبور استيم فقط اطالعات بخشي از اعضاي‬ ‫جامعه را به دست آوریم‪.‬‬ ‫ُ‬ ‫نمونه‪ ،‬بخشی از اعضاي جامعه است‪ .‬نمونه‌یی از یک جامعه‪ ،‬بايد خاصيت و صفات کل‬ ‫جامعه را داشته باشد‪.‬‬

‫‪189‬‬

‫مثال ‪ :‬مثال هایي از جامعه و موضوع مورد بررسي آن ها به صورت زير است‪:‬‬ ‫‪ ......................‬سابقۀ تدريس معلمان در هرات ‬ ‫• معلمان واليت هرات ‬ ‫‪ ......................‬ميزان توليد پنبه‬ ‫• محصول پنبة سمت شمال‬ ‫ ‬ ‫• محصوالت زراعتي افغانستان ‪ ......................‬انواع محصوالت افغانستان‬ ‫‪ -2‬مثال هایي از نمونه به صورت زير است ‪:‬‬ ‫• يك مشت برنج‪ ،‬نمونه یی از يك بوجي برنج است‪.‬‬ ‫• شاگردان صنف هفتم مكتب شما نمونه یی از شاگردان صنف هفتم افغانستان استند ‪.‬‬ ‫• معلمان رياضي کندز‪ ،‬نمونه‌یی از معلمان کندز است‪.‬‬ ‫• گندم نمونه‌یی از محصوالت زراعتي افغانستان است‪.‬‬

‫تمرین‬ ‫‪ -1‬در موضوع‌هاي بررسی زیر جامعۀ آن‌ها را تعیین کنید‪:‬‬ ‫• ميزان تحصيالت اعضاي خانوادة شما‪.‬‬ ‫• تعداد خوا هران و برادران شاگردان صنف شما‪.‬‬ ‫• ساعات كار دكتوران شفاخانة علي‌آباد‪.‬‬ ‫• مدت زمان عبور موتر‌ها از يك سرك‪.‬‬ ‫‪ -2‬در كدام حالت از سرشماري و دركدام حالت از نمونه‌گيري براي جمع‌آوري اطالعات‬ ‫استفاده مي كنيم؟‬ ‫• پيدا كردن جمعيت افغانستان‪.‬‬ ‫• ميزان عالقة كودكان ‪ 5‬ساله به فوتبال‪.‬‬ ‫• وزن متوسط يك گوسفند ‪ 2‬ساله‪.‬‬ ‫• نمرة رياضي شاگردان صنف هفتم براي درجه بندي ‪.‬‬ ‫• قابليت نوشيدن آب يك چاه‪.‬‬ ‫• رضايت مشتريان از محصوالت يك كارخانه‪.‬‬ ‫• احصائيه گیري تعداد فرزندان هر خانواده در شهر كابل‪.‬‬

‫‪190‬‬

‫نمونۀ تصادفي‬ ‫در ای��ن کارت��ن نام‌های ش��اگردان صنف‬ ‫هفتم در پارچه‌های کاغذ نوش��ته شده اند؛‬ ‫اگر ب��رای انتخاب اعضای تیم باس��کتبال‪،‬‬ ‫این ش��اگرد نام‌های پنج نف��ر را از کارتن‬ ‫بیرون کن��د‪ ،‬آیا این یک نمون��ۀ تصادفی‬ ‫شده می‌تواند؟‬

‫فعالیت‬ ‫مي خواهيم قد شاگردان صنف دهم واليت شما را اندازه بگيريم‪:‬‬ ‫• آيا می‌توانيم بلندي قد همة شاگردان صنف دهم واليت شما را تعيین كنيم؟‬ ‫• آيا اعضاي تيم باسكتبال صنف دهم واليت شما را می‌توانيم براي اين بررسي انتخاب‬ ‫كنيم؟ چرا؟‬ ‫• به عنوان نمونة صنف دهم مكتب خود را در نظر بگيريد‪ 6 ،‬نفر از آن‌ها را به ترتيب الفباي‬ ‫نام شان انتخاب كنيد‪ .‬آيا اين نمونه می‌تواند نشان‌دهندۀ قد شاگردان صنف دهم مكتب شما‬ ‫باشد؟‬ ‫• آيا اين نمونه مي تواند نمونۀ قد تمام شاگردان صنف دهم والیت شما باشد؟‬ ‫در فعاليت باال نمونۀ انتخاب شده در تيم باسكتبال يك نمونة تصادفي نيست؛ زيرا از قبل‬ ‫مي توانيم حدس بزنيم همة آن‌ها قد بلند اند؛ ولي نمونۀ انتخاب با حروف الفباي نام  شان يك‬ ‫نمونة تصادفي است؛ زيرا نام شاگردان به قد آن‌ها مربوط نمي باشد و اگر از قبل شاگردان را‬ ‫نشناسيم نمي‌توانيم با دانستن نام آن‌ها قد شان را حدس بزنيم‪.‬‬ ‫براي آن كه يك نمونه‪ ،‬نشان‌دهندۀ يك جامعه و داراي خصوصيات جامعه باشد‪ ،‬بايد‬ ‫خصوصیات زير را داشته باشد‪:‬‬ ‫ امكان انتخاب هر فرد و يا شي به عنوان عضوی از نمونه امكان‌پذير باشد‪.‬‬‫ قبل از انتخاب نمونه نتوانیم در بارة اعضاي نمونه قضاوت كنيم‪.‬‬‫‪ -‬تمام اعضاي جامعه به عنوان يك نمونه سهم برابر داشته باشند‪.‬‬

‫‪191‬‬

‫مثال ‪ :‬کدام یک از نمونه های زیر یک نمونة تصادفی است؟‬ ‫ موضوع بررسی‪ :‬سواد اهالی شهر‪.‬‬‫ جامعه ‪ :‬اهالی شهر ‪.‬‬‫ نمونۀ اول‪ :‬هر فردی که ساعت ‪ 5‬بعد از ظهر از سرک عبورکند‪.‬‬‫ نمونۀ دوم‪ :‬دکتوران یک شفاخانه‪.‬‬‫حل‪:‬‬ ‫ نمونۀ اول یک نمونة تصادفی است؛ زیرا از قبل سواد افرادی که از سرک می‌گذرند را‬‫نمی توان پیش‌بینی کرد‪.‬‬ ‫ نمونۀ دوم یک نمونة غیرتصادفی است؛ زیرا از قبل می‌توان نتیجه را پیش‌بینی کرد و این‬‫نمونه نشان دهندة همه جامعه نیست‪.‬‬

‫تمرین‬ ‫‪ -1‬در هر يك از بررسي‌هاي زير‪ ،‬علت مناسب بودن يا مناسب نبودن نمونه‌ها را بيان كنيد‪.‬‬ ‫• موضوع‪ :‬رضايت مشتريان از محصوالت يك كارخانه‪.‬‬ ‫نمونه‪ :‬خانوادة كارگران كار خانه‪.‬‬ ‫• موضوع‪ :‬مطالعۀ تعداد فرزندان هر خانواده در شهر ‪.‬‬ ‫نمونه‪ :‬ساكنين يكي از مناطق یک شهرکه به گونة تصادفی انتخاب شده باشند‪.‬‬ ‫‪ -2‬نام تمام هم‌صنفي‌هاي خود را روی كاغذ های كوچك نوشته و سپس به اساس قرعه ‪5‬‬ ‫نفر را انتخاب كنيد‪ .‬آيا اين يک نمونة تصادفي است؟ چرا؟‬

‫‪192‬‬

‫متحول تصادفی و انواع آن‬ ‫زلمی به بازار رفت و از دیدن رنگ‌های‬ ‫مختلف میوه‌ها شادمان شد‪ .‬چند عدد کیله‬ ‫چند عدد بادرنگ و ‪ 2‬کیلو گرام انگور‬ ‫خرید‪ .‬طرز خریدن این میوه‌ها چه تفاوتی‬ ‫با هم دارند؟‬

‫فعالیت‬ ‫• یک موضوع مورد بررسی را نام ببرید که اطالعات پیرامون آن  را می‌توانیم با اندازه گیری‬ ‫به‌دست آوریم‪.‬‬ ‫• یک موضوع مورد بررسی را نام ببرید که برای پاسخ دادن به آن بتوان شمارش کرد‪.‬‬ ‫• پاسخ‌های دو موضوع باالچه تفاوتی با هم دارند؟‬ ‫• یک موضوع مورد بررسی را نام ببرید که پاسخ های آن را نمی‌توانیم با عدد بیان کنیم‪.‬‬ ‫• در هر یک از موارد باال یک جامعه را بررسی و معرفی کنید‪.‬‬ ‫• در مثال های باال آیا اطالعات در مورد موضوعی را می توان قبل از جمع‌آوری اطالعات‬ ‫در مورد هر یک از اعضای جامعه پیش‌بینی کرد؟‬ ‫اگر اطالعات جمع آوری شده از موضوع مورد مطالعه از یک عضو جامعه به عضو دیگر‬ ‫قابل پیشبینی نباشد‪ ،‬موضوع را متحول تصادفی می نامیم‪.‬‬ ‫برخی از اطالعات را با عدد می توان بیان نمود‪.‬‬ ‫این دسته از متحول ها را به نام متحول کمی یا عددی می‌نامیم؛ هرگاه در متحول ک ّمی نتوانیم‬ ‫بین دو واحد پشت سر هم عددی پیدا کنیم‪ ،‬آن را متحول کمی مجزا می نامیم‪.‬‬ ‫اگر بین دو واحد پشت سر هم بتوانیم عددی را پیدا نماییم‪ ،‬آن متحول را متحول کمی پیوسته‬ ‫می نامیم‪.‬‬ ‫در صورتی که اطالعات را توصیف و بدون عدد بیان کنیم‪ ،‬متحول را متحول کیفی یا‬ ‫توصیفی می نامیم‪.‬‬

‫‪193‬‬

‫مطالب باال را می‌توان به شکل زیر نشان داد‪:‬‬

‫متحول تصادفی‬ ‫کمی‬ ‫پیوسته‬

‫کیفی‬ ‫منفصل‬

‫مثال‪:‬‬ ‫سه متحول تصادفی را نام بگیرید که بتوان با شمارش‪ ،‬سه متحول تصادفی را نام ببرید که بتوان با‬ ‫اندازه گیری و سه متحول تصادفی را نام ببرید که بتوان با توصیف در مورد آن ها سخن گفت‪.‬‬ ‫ک ّمی پیوسته‬

‫ک ّمی مجزا‬

‫طول قد شاگردان‬

‫تعداد اعضای خانوادۀ تان‬ ‫تعداد صنف‌های مکتب‬

‫کیفی‬

‫رنگ چشم شاگردان‬

‫درجة حرارت شهر شما میزان سواد کارگران‬

‫تعداد موتر‌هایی که از یک سرک می‌گذرند وزن گوسفندان‬

‫موسیقی مورد عالقۀ مردم‬

‫تمرین‬ ‫‪ -1‬متحول های تصادفی‌یی را نام ببرید که مربوط به سه نوع شکل ماده‪ :‬مایع‪ ،‬جامد و گاز‬ ‫باشند‪.‬‬ ‫‪ -2‬آیا درجۀ حرارت والیت کابل در روزهای ماه جدی متحول های تصادفی می باشد؟ چرا؟‬ ‫نوع آن را تعیین کنید‪.‬‬ ‫‪ -3‬آیا تعداد موترهایی که از پیش‌روی شما در ساعت هشت صبح می گذرد متحول تصادفی‬ ‫است؟ چرا؟ نوع آن را تعیین کنید‪.‬‬ ‫‪ -4‬کدام یک از متحول های زیر مجزا‪ ،‬پیوسته و کدام یک آن ها کیفی  اند؟‬ ‫• تعداد مکالمات تیلفونی یک اداره در یک روز‪.‬‬ ‫• زمان مکالمات تیلفونی یک اداره‪.‬‬ ‫• جنسیت شرکت کننده گان در یک مهمانی‪.‬‬ ‫• تعداد نامه‌های یک صندوق‪.‬‬ ‫• وضع سواد مردم یک والیت‪.‬‬ ‫• وزن نامه‌های موجود در یک صندوق‪.‬‬ ‫• تعداد بیماران مراجعه کننده به یک شفاخانه در طول روز‪.‬‬ ‫• میزان تحصیالت اهالی یک شهر (بکلوریا‪ ،‬لیسانس‪ ،‬ماستر‪ ،‬دکتور)‪.‬‬ ‫• حالت متأهل بودن کارمندان یک اداره‪.‬‬

‫‪194‬‬

‫جدول کثرت(‪)Frequency Table‬‬ ‫در کلمۀ معلم چند مرتبه حرف "م" تکرار‬ ‫شده است؟‬

‫ﻣـﻌـﻠـﻢ‬

‫فعالیت‬ ‫رنگ مورد عالقۀ ‪ 30‬نفر از شاگردان مکتب شما را که همة به گونة تصادفی انتخاب شده‬ ‫بودند پرسیدیم‪ .‬جواب آن‌ها قرار زیر است‪:‬‬

‫سبز‬ ‫سرخ‬ ‫زرد‬

‫آبی‬ ‫زرد‬ ‫سرخ‬

‫زرد‬ ‫سبز‬ ‫زرد‬

‫سرخ‬ ‫آبی‬ ‫آبی‬

‫سبز‬ ‫آبی‬ ‫آبی‬

‫سفید‬ ‫سبز‬ ‫سبز‬

‫آبی‬ ‫زرد‬ ‫آبی‬

‫سبز زرد سرخ‬ ‫سرخ سفید آبی‬ ‫سرخ زرد زرد‬

‫• آیا با یک نگاه سریع می‌توانید بگویید کدام رنگ بیشتر از همه یا کمتر از‬ ‫همه رنگ‌ها مورد عالقه واقع شده است؟‬ ‫• با شمارش بگویید‪ ،‬تعداد افرادی که هر رنگ را انتخاب کرده اند چند‬ ‫است؟ جواب را در جاهای خالی بنویسید‪.‬‬ ‫• جمع اعداد ستون راست چند است؟ این عدد چه چیزی را نشان می دهد؟‬ ‫• اکنون با نگاه کردن به رنگ‌ها‪ ،‬آیا می‌توانید سریع‌تر به سؤال اول جواب‬ ‫دهید؟‬ ‫• اگر ترتیب نوشتن رنگ‌ها را عوض کنیم‪ ،‬آیا جواب شما عوض می شود؟‬

‫ﺗﻌﺪﺍﺩ ﺭﻧﮓ‬ ‫ﺁﺑﻰ‬

‫ﺯﺭﺩ‬ ‫ﺳﺒﺰ‬

‫ﺳﻔﻴﺪ‬

‫ﺳﻴﺎﻩ‬

‫ﺳﺮﺥ‬

‫در یک بررسی‪ ،‬داتا‌های جمع‌آوری شده را که روی آن هیچ عملی انجام نشده باشد داتای‬ ‫خام می نامند‪ .‬در هر بررسی با منظم کردن داتا‌ها جدولی تشکیل نموده که آن را جدول کثرت‬ ‫می نامیم‪ ،‬در فعالیت فوق ستون چپ این جدول نشان‌دهندة داتا ها و ستون راست این جدول‬ ‫نشان‌دهندة کثرت هر یک از این داتا ها می باشد‪ .‬برخی اوقات جدول را به شکل سطری‬ ‫ترتیب نموده و تعداد دفعاتی را که یک داتا تکرار شده است کثرت آن داتا می نامیم‪.‬‬

‫‪195‬‬

‫مجموع کثرت داتا‌ها در یک نمونه برابر با کل داتا ها یا تعداد اعضای نمونه می‌باشد؛ اگر‬ ‫‪ f1‬کثرت دیتای اول‪ f 2 ،‬کثرت داتای دوم‪ f n ...،‬کثرت داتای ‪-n‬ام و تعداد ُکل داتا‌ها‬ ‫مساوی به ‪ n‬باشد؛ پس‪:‬‬ ‫‪n = f1 + f 2 + ... + f n‬‬ ‫توجه‪ :‬اطالعات اولیة جمع‌آوري شده را دایتا (‪ )Data‬مي گويند‪.‬‬ ‫مثال‪:‬‬ ‫یک شهر را به عنوان جامعه و چهل خانوادة از این شهر را به عنوان نمونه انتخاب کرده؛ سپس‬ ‫از این خانواده‌ها تعداد اعضای  شان را می‌پرسیم و داتا های زیر را به دست می‌آوریم‪:‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪6‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪8‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪7‬‬

‫برای به دست آوردن معلومات بهتر‪ ،‬داتا های باال را به صورت منظم در جدول زیر خالصه‬ ‫می‌کنیم‪ .‬در این جدول سطر اول نوع خانواده از نظر جمعیت و سطر دوم تعداد خانواده ها را‬ ‫نشان می دهد‪:‬‬ ‫مجموع‬

‫‪40‬‬

‫‪8‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪7‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪6‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪8‬‬

‫‪5‬‬

‫‪5‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪9‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪7‬‬

‫‪ 1‬تعداد اعضای هر خانواده‬ ‫تعداد خانواده‌ها‬

‫‪5‬‬

‫جدول باالنشان می‌دهد که پنج خانواده ‪ 1‬نفر عضو و ‪ 8‬خانواده ‪ 4‬نفر عضو دارند و در بین‬ ‫خانواده ها فقط یک خانواده دارای ‪ 8‬عضو است‪.‬‬

‫تمرین‬

‫‪40‬‬

‫‪8‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪7‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪6‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪6‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪8‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪9‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪7‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪ -1‬از ‪ 20‬نفر دوستان‪ ،‬فامیل یا همسایه‌گان خود بپرسید که به کدام یک از ورزش ها‬ ‫(فتبال‪ ،‬والیبال‪ ،‬باسکتبال و دوش) عالقه دارند‪ .‬پاسخ ها را در یک جدول کثرت خالصه‬ ‫کنید‪ .‬کدام ورزش بیشتر از دیگر ورزش ها مورد عالقه است؟‬ ‫‪ -2‬جدول مقابل اوسط حرارت شهر های مختلف را در ماه‬ ‫حمل بر حسب درجۀ سانتی گرید نشان می‌دهد‪.‬‬ ‫• کدام شهر در این ماه از همه سردتر است؟‬ ‫• کدام شهر در این ماه از همه گرم‌تر است؟‬

‫نام شهر‬

‫اوسط درجۀ حرارت‬

‫بلخ‬

‫‪20‬‬

‫بامیان‬

‫‪10‬‬

‫کندز‬

‫‪24‬‬

‫جالل آباد‬

‫‪25‬‬

‫‪196‬‬

‫گراف تصویری‬ ‫اگر در ابتدای یک سرک عالمت‬

‫ببینید‪ ،‬چه پیامی به ذهن تان می رسد؟‬

‫را‬

‫فعالیت‬ ‫انسان‌های اولیه خواندن و نوشتن را نمی‌دانستند؛ اگر شما به جای انسان‌های اولیه می‌بودید‬ ‫برای بیان تعداد گوسفندان خود چه می‌کردید؟‬ ‫• اگر یک گوسفند می‌داشتید؟‬ ‫• اگر پنج گوسفند می‌داشتید؟‬ ‫• اگر صد گوسفند می‌داشتید؟‬ ‫از فعالیت باال فهمیده می شود که برای دانستن اطالعات می توانیم از سمبول ها و اشکال‬ ‫استفاده کنیم‪ ،‬این روش ارائه توسط تصویر را به نام گراف تصویری یاد می کنند‪ .‬در صورتی‬ ‫که کثرت (فریکونسی) داده‌ها زیاد باشد‪ ،‬از مقیاس استفاده می کنیم‪.‬‬ ‫مثال‪ :‬یک هنرمند یک تعداد مجسمه را در مدت زمان شش ماه (حمل‪ ،‬ثور‪ ،‬جوزا‪ ،‬سرطان‪،‬‬ ‫اسد و سنبله) می سازد و آن ها را در یک قفسة کارگاه خود‪ ،‬قرار شکل زیر جا به جا‬ ‫می کند‪:‬‬

‫‪=2‬‬

‫‪197‬‬

‫ﺣﻤﻞ‬

‫ﺛﻮﺭ‬

‫ﺟﻮﺯﺍ‬

‫ﺳﺮﻃﺎﻥ‬

‫ﺍﺳﺪ‬

‫ﺳﻨﺒﻠﻪ‬

‫• در کدام ماه تعداد بیشتر مجسمه ساخته شده  اند؟ چند تا؟‬ ‫• در کدام ماه تعداد کمتر مجسمه ساخته شده  اند؟ چند تا؟‬ ‫حل‪ :‬مقیاس «دو» است‪ ،‬پس هر عالمت دو مجسمه را نشان می‌دهد‪ ،‬بیشترین مجسمه در‬ ‫ماه سرطان ساخته شده اند؛ زیرا ‪ 6 × 2 = 12‬می‌شود و کمترین مجسمه در ماه جوزا و اسد‬ ‫ساخته  شده اند؛ زیرا ‪ 3 × 2 = 6‬است‪ .‬گراف نشان می‌دهد که در ماه‌های جوزا و اسد به‬ ‫تعداد برابر مجسمه ساخته شده  اند‪.‬‬ ‫ﻣﺬﻫﺒﻰ‬ ‫ﻣﺬﻫﺒﻰ‬ ‫ﻣﺬﻫﺒﻰ‬

‫ﺩﺍﺳﺘﺎﻧﻰ‬

‫ﺩﺍﺳﺘﺎﻧﻰ‬

‫ﺩﺍﺳﺘﺎﻧﻰ‬

‫ﺩﺭﺳﻰ تمرین‬

‫ﺩﺭﺳﻰ‬

‫ﺩﺭﺳﻰ‬

‫‪ -1‬خالد تعدادی از کتاب هاي خود را با گراف تصویری زیر نشان داده است‪.‬‬

‫نوع کتاب‌ها‬

‫•خالد از هر نوع کتاب چند تا دارد ؟‬ ‫•از کدام نوع کتاب بیشتر دارد ؟‬

‫ﺭﻭﺯﻫﺎﻯ ﻫﻔﺘﻪ‬

‫ﻫﺎﻯ ﻫﻔﺘﻪ‬ ‫ﭼﻬﺎﺭﺷﻨﺒﻪ‬

‫ﭼﻬﺎﺭﺷﻨﺒﻪ‬

‫ﺳﻪ ﺷﻨﺒﻪ‬

‫ﺩﻭﺷﻨﺒﻪ‬

‫ﻳﻚ ﺷﻨﺒﻪ‬

‫ﻣﺬﻫﺒﻰ‬

‫ﺩﺍﺳﺘﺎﻧﻰ‬

‫ﺩﺭﺳﻰ‬

‫ﻣﺬﻫﺒﻰ‬

‫ﺩﺍﺳﺘﺎﻧﻰ‬

‫ﺩﺭﺳﻰ‬

‫ﺷﻨﺒﻪ‬

‫ﺷﻨﺒﻪ در روزهای مختلف نشان می‌دهد‪.‬‬ ‫ﺷﻨﺒﻪخالد را‬ ‫مطالعۀ‬ ‫گراف‬ ‫میزان ﻳﻚ‬ ‫ﺷﻨﺒﻪ زیرﺩﻭﺷﻨﺒﻪ‬ ‫‪ -2‬ﺳﻪ‬ ‫ﭼﻬﺎﺭﺷﻨﺒﻪ‬ ‫ﺳﻪ ﺷﻨﺒﻪ‬

‫ﺩﻭﺷﻨﺒﻪ‬

‫ﻳﻚ ﺷﻨﺒﻪ‬

‫ﺷﻨﺒﻪ‬ ‫ﺭﻭﺯﻫﺎﻯ ﻫﻔﺘﻪ‬

‫ﭼﻬﺎﺭﺷﻨﺒﻪ‬

‫ﺳﻪ ﺷﻨﺒﻪ‬

‫ﺩﻭﺷﻨﺒﻪ‬

‫ﻳﻚ ﺷﻨﺒﻪ‬

‫ﺷﻨﺒﻪ‬

‫‪ 3‬ساعت =‬ ‫نشان‌دهندة چیست؟‬ ‫نشان‌دهندة چیست؟‬ ‫•‬ ‫• خالد در هر روز چند ساعت مطالعه کرده است ؟‬ ‫ﺭﻭﺯﻫﺎﻯ ﻫﻔﺘﻪ‬

‫ﭼﻬﺎﺭﺷﻨﺒﻪ‬

‫ﺳﻪ ﺷﻨﺒﻪ‬

‫ﺩﻭﺷﻨﺒﻪ‬

‫ﻳﻚ ﺷﻨﺒﻪ‬

‫ﺷﻨﺒﻪ‬

‫‪198‬‬

‫ُمـــد(‪) Mode‬‬ ‫فابریکه های تولید لباس‪ ،‬از بعضی رنگها‬ ‫بیشتر استفاده می‌کنند‪ .‬فکر می کنید چرا؟‬

‫فعالیت‬ ‫در یک والیت که حدود دوصدوپنجاه هزار جمعیت دارد سه نفر می خواهند‪ ،‬برای عضویت‬ ‫در شورای ملی خود را کاندید نمایند‪ ،‬کسی که بیشترین رأی را کسب نماید عضو مجلس‬ ‫شورای ملی می گردد‪ .‬در رأى گیری ‪ 150000‬نفر شرکت کردند‪.‬‬ ‫شما می خواهید بدانید که کدام یک از این کاندید ها عضویت شورای ملی را حاصل نموده‬ ‫است‪.‬‬ ‫‪ 30‬فی‌صد آراء را از خود می‌کند‪.‬‬ ‫کاندید اول ‬ ‫‪ 50‬فی‌صد آراء را از خود می‌کند‪.‬‬ ‫کاندید دوم ‬ ‫‪ 20‬فی‌صد آراء را از خود می‌کند‪.‬‬ ‫کاندید سوم ‬ ‫• جدول کثرت برای تعداد رأی هر کاندیدا را تشکیل دهید‪.‬‬ ‫• بیشترین تعداد رأی را چه کسی گرفته است؟ چند رأی گرفته است؟‬ ‫• چه کسی وارد شورای ملی می‌شود؟‬ ‫• آیا تفاوت رأی بین رای‌های دو کاندید دیگر‪ ،‬در انتخابات اثرگذار است؟‬ ‫در فعالیت باال دیدیم که می‌توان داتایی را یافت که بیشترین فریکونسی را دارد‪ ،‬داتایی که‬ ‫بیشترین کثرت داشته باشد ‪ Mode‬می‌نامیم‪ .‬مد در بسیاری از موضوعات کاربرد دارد؛ مانند‪:‬‬ ‫رأی گیری ها‪ ،‬فروش کاال ها و غیره‪.‬‬ ‫مثال اول‪ :‬نمرات مضمون ریاضی یک شاگرد صنف هفتم در طول شش سال گذشته برابر‬ ‫است با‪:‬‬ ‫‪91‬‬

‫‪199‬‬

‫‪,‬‬

‫‪81.5‬‬

‫‪,‬‬

‫‪70‬‬

‫‪,‬‬

‫‪81‬‬

‫‪,‬‬

‫‪, 91‬‬

‫‪71‬‬

‫مد نمرات شاگرد را حساب كنيد‪.‬‬ ‫مد نمرات شاگرد عدد ‪ 91‬است؛ زیرا بیشتر از بقیة داتا ها آمده است‪.‬‬ ‫توجه‪ :‬ممکن است یک مجموعه از اطالعات داده شدة یک یا بیشتر از یک مُد داشته باشد‬ ‫و یا هم هیچ مُد نداشته باشد‪.‬‬ ‫مثال دوم‪ :‬اطالعات داده شدة‬ ‫‪1 , 1 , 2 , 3 , 4 , 2 , 5 , 7, 5 , 5‬‬ ‫داراي سه مد ‪ 1، 2‬و ‪ 5‬است‬ ‫همچنان اطالعات داده شدة‬ ‫‪2 ,4 , 3 , 5 , 7‬‬ ‫هیچ مد ندارد‪.‬‬

‫تمرین‬ ‫‪ -1‬مد اطالعات داده شدۀ زیر را در یافت کنید‪.‬‬ ‫• ‪2 , 2 , 5 , 7 , 9 , 9 , 10 , 10 , 11 , 12 , 18‬‬ ‫• ‪3 , 5 , 8 , 10 , 2 , 15 , 16‬‬ ‫• ‪2 , 3 , 4 , 4 , 4 , 5 , 5 , 7, 7, 7‬‬ ‫‪ -2‬مُد را در ست ‌های زیر دریافت کنید‪.‬‬

‫}‪A = {17, 19, 19, 19, 21‬‬ ‫} ‪B = {1, 4, 10, 61‬‬

‫ﺩﺭﻯ‬

‫ﭘﺸﺘﻮ‬

‫ﺗﻌﻠﻴﻤﺎﺕ‪C = {0 , 9 , 8 ,‬‬ ‫}‪5 , 9 , 10, 8‬‬ ‫ﺍﻧﮕﻠﻴﺴﻰ‬

‫ﻋﺮﺑﻰ‬

‫ﺍﺳﻼﻡ‬

‫ﺍﺟﺘﻤﺎﻋﺎﺕ ﺗﺮﺑﻴﺖ ﺑﺪﻧﻰ‬

‫دریافت‪78‬کنید‪.‬‬ ‫است‪ .‬مد ‪77‬آن را‬ ‫شده‬ ‫‪ -3‬نمرات ساالنۀ يك شاگرد در زیر داده‬ ‫‪81‬‬ ‫‪84‬‬ ‫‪68‬‬ ‫‪90‬‬ ‫دری‬

‫پشتو انگلیسی عربی تعلیمات اسالمی‬

‫اجتماعیات‬

‫تربیت بدنی‬

‫هنر‬

‫ساینس‬

‫‪95‬‬

‫ﻫﻨﺮ‬

‫ﺳﺎﻳﻨﺲ‬

‫ﺭﻳﺎﺿﻰ‬

‫‪80‬‬

‫‪82‬‬

‫‪97‬‬

‫ریاضی‬

‫‪97 82 80‬‬ ‫‪95‬‬ ‫‪81‬‬ ‫‪78‬‬ ‫‪84 77 68 90‬‬ ‫‪ -4‬در یک مغازۀ لباس‪ ،‬پنج نوع لباس به رنگ های سرخ‪ ،‬سبز‪ ،‬سیاه‪ ،‬سفید و آبی موجود‬ ‫است‪ .‬از لباس سرخ ‪ ، 9‬از لباس سبز ‪ ، 14‬از لباس سیاه ‪ ،12‬از لباس سفید ‪ 8‬و از لباس آبی‬ ‫‪19‬دست به فروش رسیده است؛ بیش ترین لباس هایی که‬ ‫به فروش رسیده اند را تعیین کنید‪.‬‬ ‫‪ -5‬در گراف زیر محل تقریبی مد را مشخص کنید‪.‬‬

‫‪200‬‬

‫اوسط(‪)Mean‬‬ ‫اوسط نمرات یک شاگرد ‪ 78‬است‬ ‫و اوسط نمرات شاگرد دیگر ‪ 82‬آیا‬ ‫ﺍﻧﮕﻠﻴﺴﻰ‬ ‫ﭘﺸﺘﻮ‬ ‫ﺩﺭﻯ‬ ‫می توان گفت که شاگرد دوم در تمام‬ ‫‪77‬‬ ‫بهتر است؟‪68‬‬ ‫مضامین از شاگرد اول‪90‬‬

‫ﻋﺮﺑﻰ‬

‫ﺗﻌﻠﻴﻤﺎﺕ‬ ‫ﺍﺳﻼﻡ‬

‫ﺍﺟﺘﻤﺎﻋﺎﺕ ﺗﺮﺑﻴﺖ ﺑﺪﻧﻰ‬

‫‪37 +8145 +7829 84‬‬ ‫?=‬ ‫‪3‬‬

‫‪95‬‬

‫فعالیت‬ ‫پرویز چهار روز متوالی کتاب خواند؛ روز اول ‪ 12‬صفحه‪ ،‬روز دوم ‪14‬صفحه‪ ،‬روز سوم ‪13‬‬ ‫صفحه و روز چهارم ‪ 11‬صفحه؛ این اطالعات با گراف زیر نشان داده شده است‪.‬‬

‫چهارم‬ ‫روز‬ ‫ﺳﻪ ﺷﻨﺒﻪ‬

‫روز سوم‬ ‫ﺩﻭﺷﻨﺒﻪ‬

‫روز دوم‬ ‫ﻳﻜﺸﻨﺒﻪ‬

‫اول‬ ‫روز‬ ‫ﺷﻨﺒﻪ‬

‫• پرویز چند صفحه خوانده است؟‬ ‫• مربع های روی میله ها را طوری جابه جا کنید که هر چهار میله طول یکسان داشته باشند‪،‬‬ ‫شکل آن را رسم کنید‪.‬‬ ‫• طول میله ها پس از برابری‪ ،‬مساوی به چند واحد است؟‬ ‫• مجموع طول میله های برابر چقدر است؟ آیا این مجموع تفاوتی با مجموع صفحات‬ ‫خوانده شده دارد؟‬ ‫• چطور می توانیم طول میله های برابر را با داشتن تعداد کل صفحات و تعداد روزها پیدا کنیم؟‬ ‫• آیا پرویز می تواند بگوید که به طور اوسط هر روز چند صفحة کتاب را خوانده است؟‬ ‫از فعالیت باال معلوم شد که اوسط چند عدد را می‌توانیم با تقسیم حاصل جمع اعداد بر تعداد‬ ‫عدد ها پیدا کنیم‪ .‬اگر به تعداد ‪ n‬ديتا داشته باشیم و آن‌ها را با ‪ ....x n‬و ‪ x 2‬و ‪ x1‬نشان دهیم‬ ‫و اوسط را به ‪ X‬داریم‪:‬‬

‫‪201‬‬

‫‪x1 + x 2 + ..... + x n‬‬ ‫‪n‬‬

‫=‪X‬‬

‫ﻫﻨﺮ‬

‫‪80‬‬

‫مثال‪ :‬نمره های نازو و زرغونه در پایان سال گذشته در مضمون‌های مختلف به صورت زیر‬ ‫است‪:‬‬

‫مضمون‬

‫زرغونه‪:‬‬ ‫نازو‪:‬‬

‫ریاضی‬

‫ساینس‬

‫دری‬

‫پشتو‬

‫عربی‬

‫تعلیمات اسالمی‬

‫هنرها‬

‫تربیت بدنی‬

‫انگلیسی‬

‫علوم اجتماعی‬

‫‪78‬‬ ‫‪86‬‬

‫‪78‬‬ ‫‪89‬‬

‫‪85‬‬ ‫‪85‬‬

‫‪87‬‬ ‫‪88‬‬

‫‪79‬‬ ‫‪91‬‬

‫‪90‬‬ ‫‪79‬‬

‫‪70‬‬ ‫‪89‬‬

‫‪85‬‬ ‫‪90‬‬

‫‪91‬‬ ‫‪73‬‬

‫‪86‬‬ ‫‪92‬‬

‫بادیدن نمرات‪ ،‬آیا می توانید بگویید کدام شاگرد‪ ،‬بیشتر درس خوانده است؟‬ ‫باپید اکردن اوسط نمرات ابراز نظر کنید‪.‬‬ ‫اگر مکتب به زرغونه دوباره فرصت دهد تا اوسط خود را بهتربسازد‪ ،‬فکر می کنید که کدام‬ ‫مضمون را باید دوباره امتحان دهد؟‬ ‫برای آن که اوسط نمرات زرغونه به‪ 85‬برسد‪ ،‬در مضمون هنرها چه نمره یی باید بگیرد؟‬ ‫آیا امکان دارد که اوسط او به ‪ 90‬برسد؟‬ ‫حل‪:‬‬ ‫‪829‬‬ ‫‪86 + 91 + 85 + 70 + 90 + 79 + 87 + 85 + 78 + 78 831‬‬ ‫=‬ ‫‪==83.1‬‬ ‫اوسط نمرات زرغونه ‪82.9‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪92 + 73 + 90 + 89 + 79 + 91 + 88 + 85 + 89 + 86 862‬‬ ‫=‬ ‫‪== 86.2‬‬ ‫اوسط نمرات نازو ‪86.2‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪10‬‬

‫نمره ی��ی را ک��ه زرغون��ه در امتح��ان مج��دد در مضمون هنره��ا باید به دس��ت آورد چنین‬ ‫پیدا می‌کنیم‪.‬‬ ‫‪86 + 91 + 85 +‬‬ ‫‪+ 90 + 79 + 87 + 85 + 78 + 78‬‬ ‫‪= 85‬‬

‫‪10‬‬ ‫‪+ 759 = 85 · 10 = 850‬‬ ‫‪= 850 - 759 = 91‬‬

‫پ��س برای آن که اوس��ط نم��رات زرغونه ‪ 85‬ش��ود‪ ،‬او باید نم��رۀ ‪ 91‬را در مضمون هنرها‬ ‫به دست آورد‪.‬‬ ‫برای آن که اوسط نمرات زرغونه ‪ 90‬شود‪ ،‬چنین عمل می کنیم‪.‬‬ ‫‪= 90‬‬

‫‪+ 90 + 79 + 87 + 85 + 78 + 78‬‬

‫‪86 + 91 + 85 +‬‬

‫‪10‬‬ ‫‪+ 759 = 90 × 10 = 900‬‬ ‫‪= 900 −‬‬ ‫‪- 759 = 141‬‬

‫کسب چنین نمره یی امکان ندارد؛ پس اوسط نمرات زرغونه با یک امتحان دیگر در مضمون‬ ‫هنرها هیچگاه ‪ 90‬نمی شود‪.‬‬

‫‪202‬‬

‫تمرین‬ ‫‪ -1‬محصوالت پنبۀ سه مزرعه در پنج سال گذشته به صورت زیر بوده است‪( .‬عدد‌ها برحسب‬ ‫ت ُن است‪).‬‬

‫مزرعۀ اول‪:‬‬ ‫مزرعۀ دوم‪:‬‬ ‫مزرعۀ سوم‪:‬‬

‫‪8‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪10‬‬

‫‪13‬‬ ‫‪18‬‬ ‫‪8‬‬

‫‪20‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪11‬‬

‫‪12‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪18‬‬

‫‪15‬‬ ‫‪17‬‬ ‫‪9‬‬

‫• اوسط محصول پنبۀ هر مزرعه را در پنج سال گذشته پیدا کنید‪.‬‬ ‫کدام مزرعه به طور متوسط تولید بیشتری داشته است؟‬ ‫‪ -2‬درآمد ماهانۀ ‪ 6‬نفر از اعضای یک خانواده قرار زیر است‪:‬‬ ‫‪ 5000‬افغانی‪ 10000 ،‬افغانی‪ 8000 ،‬افغانی‪ 5000 ،‬افغانی‪ 15000 ،‬افغاني و ‪ 3500‬افغانی‬ ‫• مجموعة درآمد این خانواده را پیدا کنید‪.‬‬ ‫• اوسط درآمد ماهوار این خانواده را پیدا کنید‪.‬‬ ‫‪ -3‬سن بازیکنان تیم ملی فوتبال به شرح زیر است‪:‬‬ ‫‪22‬‬ ‫‪21‬‬

‫‪23‬‬ ‫‪31‬‬

‫‪18‬‬ ‫‪33‬‬

‫‪31‬‬ ‫‪25‬‬

‫‪19‬‬ ‫‪25‬‬

‫‪29‬‬ ‫‪29‬‬

‫‪26‬‬ ‫‪23‬‬

‫‪26‬‬ ‫‪27‬‬

‫‪24‬‬ ‫‪26‬‬ ‫‪25‬‬

‫‪27‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪26‬‬

‫• اوسط سن بازیکنان تیم را به دست آورید‪.‬‬ ‫• تعداد بازیکنانی که سن آن‌ها باالتر از اوسط‪ .‬و همچنان تعداد بازیکنانی که سن آن‌ها‬ ‫کمتر از اوسط است را تعیین کنید‪.‬‬ ‫‪ -4‬اوسط ‪ 9‬عدد ‪ a،8،7،3،9،5،8،3‬و‪ 4‬برابر ‪ 5.5‬است؛ ‪ a‬را پیدا کنید‪.‬‬

‫‪203‬‬

‫‪ -5‬نمرات امتحان ساالنۀ احمد و حامد در جدول زير داده شده اند‪:‬‬ ‫ﻣﻀﻤﻮﻥ‬

‫ﺭﻳﺎﺿﻰ‬

‫ﺳﺎﻳﻨﺲ‬

‫ﻋﺮﺑﻰ‬

‫ﺍﻧﮕﻠﻴﺴﻰ‬

‫ﺩﺭﻯ‬

‫ﭘﺸﺘﻮ‬

‫ﻋﻠﻮﻡ‬ ‫ﺍﺟﺘﻤﺎﻋﻰ‬

‫ﺗﺮﺑﻴﺖ ﺑﺪﻧﻰ ﻫﻨﺮ ﻫﺎ‬

‫ﺗﻌﻠﻴﻤﺎﺕ‬ ‫ﺍﺳﻼﻣﻰ‬

‫ﺍﺣﻤﺪ‬

‫‪73‬‬

‫‪71‬‬

‫‪76‬‬

‫‪86‬‬

‫‪93‬‬

‫‪75‬‬

‫‪82‬‬

‫‪85‬‬

‫‪62‬‬

‫‪92‬‬

‫ﺣﺎﻣﺪ‬

‫‪85‬‬

‫‪65‬‬

‫‪76‬‬

‫‪82‬‬

‫‪94‬‬

‫‪78‬‬

‫‪66‬‬

‫‪93‬‬

‫‪91‬‬

‫‪82‬‬

‫• اوسط نمرات هر كدام را حساب كنيد‪.‬‬ ‫• با مقايسۀ اوسط نمرات آن‌ها بگوييد كه‪ :‬كدام يك بيشتر نمره گرفته است؟‬

‫‪204‬‬

‫خالصه فصل هفتم‬ ‫• اطالعات جمع‌آوری شده را ديتا می‌گويند‪.‬‬

‫‪ -‬روش‌های جمع‌آوری اطالعات عبارت اند از‪:‬‬

‫‪ -‬پرسش (شفاهی یا کتبی) مشاهده‪ ،‬انجام آزمایش و استفاده از اطالعات ثبت شده‪.‬‬

‫• جامعۀ احصائیه‌یی یا به  طور خالصه جامعه‪ ،‬مجموعه یی از افراد و اشیايی است که در بارة‬ ‫اعضای آن اطالعات مورد نیاز را دریافت می‌کنیم‪.‬‬

‫• بخشی از جامعه را نمونه می گویند‪.‬‬

‫‪ -‬تعداد اعضای جامعه اندازۀ جامعه و تعداد اعضای نمونه را اندازة نمونة می‌نامند‪.‬‬

‫• برای شناخت جامعه‪ ،‬نمونه يي را كه از آن جامعه انتخاب می کنیم‪ ،‬باید نمونة تصادفی‬

‫باشد‪ ،‬شرط‌های انتخاب نمونه قرار زیر اند‪:‬‬

‫‪ -‬انتخاب هر فرد به عنوان عضوی از نمونه امکان پذیر باشد‪.‬‬

‫‪ -‬پيش از انتخاب يك نمونه بايد نتوانيم دربارة مشخصات آن قضاوت كنيم‪.‬‬

‫• اطالعات جمع‌آوری شده در بارة یک موضوع را متحول‌های تصادفی می‌گويند‪.‬‬ ‫• متحول هاي تصادفي دو نوع اند‪:‬‬

‫‪ -‬ك ّمي يا عددي كه قابل اندازه گيري اند‪.‬‬

‫‪ -‬كيفي يا غير عددي كه قابل اندازه‌گيري نمی باشند‪.‬‬

‫• متحول‌هاي ك ّمي دو نوع اند‪:‬‬

‫‪ -‬پيوسته‪ ،‬كه بين هر دو مقدار آن می‌توان مقدار ديگر را دريافت كرد‪.‬‬

‫‪ -‬مجزا‪ ،‬كه پيوسته نباشد‪.‬‬

‫• اگر ‪ x1, x2, ... , xn‬تعداد ديتای یک موضوع باشند‪ ،‬تعداد دفعاتی که یک ديتا تکرار‬ ‫می‌شود به نام کثرت آن ديتا ياد می‌شود و معموالً آن را به ‪ f1 , f2 , ... , fn‬نشان می دهند‪.‬‬ ‫• گاهی برای دانستن اطالعات داده شده از سمبول‌ها و اشکال استفاده می کنند که این ارائه‬ ‫توسط تصوير را به نام گراف تصویري ياد می کنند‪.‬‬

‫• مُد ديتايى است که بیش‌ترین کثرت را داشته باشد‪.‬‬

‫• اوسط ديتا  را می‌توان از تقسیم حاصل جمع ديتا بر تعداد ديتا  به دست آورد‪.‬‬

‫‪205‬‬

‫تمرین فصل هفتم‬ ‫‪ -1‬موضوعات زیر را در نظر گرفته و دربارۀ بهترین روش جمع‌آوری داده‌ها برای آزمایش‬ ‫این فرضیه‌ها تصمیم بگیرید‪.‬‬

‫ بیش‌تر مردم فکر می‌کنند حد اکثر سرعت در دستگاه ها باید معین باشد‪.‬‬‫‪ -‬در زمان مطالعه گوش دادن به موسیقی به یاد گیری کمک می‌کند‪.‬‬

‫‪ -‬رژیم گرفتن موجب کاهش هوش می‌شود‪.‬‬

‫‪ -2‬اگر گفته شود که تعداد فرزندان خانواده‌ها در سال‌های قبل به طور اوسط ‪ 7‬نفر بوده و‬ ‫اکنون ‪ 5‬نفر است و از شما خواسته شود که یک نمونه ‪ 100‬تایی را در نظر گرفته و درستی‬ ‫این موضوع را بررسی کنید‪ ،‬در این مطالعه‪ ،‬جامعه و نمونه را واضح سازيد‪.‬‬

‫‪ -3‬یک موضوع بررسی و جامعه یی را نام بگیرید که صنف شما نمونة آن باشد‪.‬‬ ‫‪ -4‬یک موضوع بررسی و نمونه یی از جمعیت افغانستان را نام بگیرید‪.‬‬ ‫‪ -5‬جاهای خالی را پرکنید‪.‬‬

‫‪ -‬اگر تمام افراد جامعه را مورد مطالعه قرار دهیم‪ ،‬می گوییم ‪ ..........‬کرده  ایم‪.‬‬

‫‪ -‬نمونه مجموعة ‪ ............‬از جامعه است‪.‬‬

‫‪ -‬تعداد اعضای جامعه را ‪ .............‬جامعه می گويند‪.‬‬

‫‪ -‬تعداد اعضای نمونه را ‪ ..................‬نمونه می گویند‪.‬‬

‫‪ -6‬متحول های تصادفی چند نوع اند؟‬

‫‪ -7‬چهار نوع متحول تصادفی را نام ببرید و نوع هر یک را از نظر ک ّمی و کیفی  بودن تعیين‬ ‫کنید‪.‬‬

‫‪ -8‬چهار نوع متحول ک ّمی را نام ببرید که دو تای آن ها پیوسته و دو تای آن ها مجزا باشند‪.‬‬

‫‪ -9‬شش نوع متحول تصادفي را نام ببرید که سه تای آن ها قابل اندازه گیری و سه  تای دیگر‬ ‫آن‌ها قابل اندازه گیری نباشند‪.‬‬

‫‪ -10‬در جملۀ «من متعلم صنف هفتم استم»‬

‫بیش‌ترین کثرت را کدام حرف دارد؟ تعداد آن را معین کنيد‪.‬‬

‫‪206‬‬

‫‪ -11‬طول قد یک گروه ده نفری برحسب سانتی متر قرار زیر داده شده است‪:‬‬ ‫‪175‬‬

‫‪156‬‬

‫‪170‬‬

‫‪151‬‬

‫‪177‬‬

‫‪177‬‬ ‫‪156‬‬

‫‪156‬‬ ‫‪170‬‬

‫‪159151‬‬

‫‪152 177‬‬

‫‪175‬‬

‫‪156‬‬

‫‪159‬‬

‫‪152‬‬

‫‪177‬‬

‫‪177‬‬

‫‪177‬را بنویسید‪.‬‬ ‫کثرت عدد ‪ 177‬و عدد ‪159‬‬ ‫‪ 40 -12‬خانواده را از یک شهر به عنوان نمونه انتخاب کرده و آن‌ها را به سه دسته مانند‬ ‫جدول تقسیم کنید‪.‬‬

‫ﺟﻤﻊ‬ ‫ﺟﻤﻊ‬ ‫‪40‬‬ ‫‪40‬‬

‫ﺑﺎ ﺟﻤﻌﻴﺖ‬ ‫ﭘﺮﺟﻤﻌﻴﺖ ﺑﺎ ﺟﻤﻌﻴﺖ‬ ‫ﻣﺘﻮﺳﻂﻛﻢ ﺟﻤﻌﻴﺖ ﻧﻮﻉ ﺧﺎﻧﻮﺍﺩﻩ‬ ‫ﭘﺮﺟﻤﻌﻴﺖ‬ ‫ﻣﺘﻮﺳﻂ‬

‫ﻛﻢ ﺟﻤﻌﻴﺖ ﻧﻮﻉ ﺧﺎﻧﻮﺍﺩﻩ‬

‫‪12 12‬‬

‫‪2020‬‬

‫ﺗﻌﺪﺍﺩ ﺧﺎﻧﻮﺍﺩﻩ‬ ‫‪ 8‬ﺗﻌﺪﺍﺩ ﺧﺎﻧﻮﺍﺩﻩ‬

‫‪8‬‬

‫اعداد ‪ 12 ، 8‬و ‪ 20‬را به نام چه یاد می کنند؟‬ ‫‪ -13‬در باغ وحش پنج نوع ماهی قرار جدول زیر نگهداری می‌شوند‪.‬‬

‫ﻣﻴﺪﺍﻥﻭﺭﺩﻙ‬ ‫ﻣﻴﺪﺍﻥ‬ ‫ﻏﺰﻧﻰ ﻏﺰﻧﻰ ‪500000‬‬ ‫ﻭﺭﺩﻙ ‪200000‬‬ ‫‪500000‬‬ ‫‪200000‬‬ ‫ﭘﻨﺠﻢ‬ ‫ﻧﻮﻉ ﭼﻬﺎﺭﻡ ﻧﻮﻉ‬ ‫ﺍﻭﻝ ﻧﻮﻉ ﺩﻭﻡ‬ ‫ﻧﻮﻉ‬ ‫‪ 400000‬ﻧﻮﻉ ﺳﻮﻡ ﻟﻮﮔﺮ‬ ‫ﭘﺮﻭﺍﻥ‬ ‫‪350000‬‬ ‫ﻟﻮﮔﺮ‬ ‫ﭘﺮﻭﺍﻥ‬ ‫‪350000‬‬ ‫‪400000‬‬ ‫ﻛﺎﭘﻴﺴﺎ‬ ‫ﻟﻐﻤﺎﻥ‬ ‫‪450000‬‬ ‫‪250000‬‬ ‫ﻛﺎﭘﻴﺴﺎ‬ ‫ﻟﻐﻤﺎﻥ‬ ‫‪70‬‬ ‫‪120‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪450000110‬‬ ‫‪25000080‬‬

‫ ‬

‫ﺳﻮﻡ ﻧﻮﻉ ﭼﻬﺎﺭﻡ ﻧﻮﻉ ﭘﻨﺠﻢ‬ ‫باشد‪ ،‬ﺍﻭﻝ‬ ‫اگر ‪ ‬نشان‌دهندة ‪ 10‬ماهی ﻧﻮﻉ‬ ‫ﻧﻮﻉکنید‪.‬‬ ‫ﻧﻮﻉ‌هاﺩﻭﻡرا رسم‬ ‫گراف آن‬

‫‪ -14‬مد ديتاي زیر را حساب کنید‪.‬‬ ‫‪, 15 137‬‬ ‫‪, 4 155‬‬ ‫‪, 0 , 13912 , 150 15 ,155 6 , 50‬‬ ‫ شود؟‬ ‫‪130‬حاصل می‬ ‫‪135‬چه تأثيری‪160‬در مقدار مد‬ ‫‪141‬برابر کنیم‪،‬‬ ‫‪ -15‬اگر دیتا های باال را دو‬ ‫‪132‬‬ ‫‪100‬‬

‫‪158‬‬

‫‪144‬‬

‫‪80‬‬

‫‪120‬‬

‫‪150‬‬

‫‪142‬‬

‫ دهد‪.‬‬ ‫‌متر نشان می‪146‬‬ ‫حسب سانتی‪138‬‬ ‫شاگرد را بر ‪140‬‬ ‫‪ -16‬ديتای زیر‪ ،‬قد ‪141 20‬‬ ‫ ‬

‫‪70‬‬

‫‪151‬‬ ‫‪156‬‬

‫‪155‬‬

‫‪150‬‬

‫‪139‬‬

‫‪155‬‬

‫‪137‬‬

‫‪141‬‬ ‫‪158‬‬ ‫‪141‬‬

‫‪135‬‬ ‫‪144‬‬ ‫‪140‬‬

‫‪160‬‬ ‫‪142‬‬ ‫‪138‬‬

‫‪130‬‬ ‫‪150‬‬ ‫‪146‬‬

‫‪132‬‬ ‫‪151‬‬ ‫‪156‬‬

‫‪ -‬اوسط قد شاگردان يک صنف را حساب کنید‪.‬‬

‫‪207‬‬

‫‪110‬‬

‫‪5‬‬

‫ اگر در هر ديتا عدد ‪ 2‬را ضرب کنیم‪ ،‬چه تغییری در اوسط وارد می‌شود؟‬‫‪ -‬اگر از هر یک ديتا ‪ 10‬تا کم شود‪ ،‬چه تغییری در دیتا  وارد می شود؟‬

‫‪ -17‬اگر تعداد ديتا ‪ 20‬و اوسط ديتا ‪ 8.5‬باشد‪ ،‬مجموع ديتا را حساب کنید‪.‬‬

‫‪ -18‬نمرات چهارونيم ماهة ‪ 5‬شاگرد صنف ششم در جدول زير داده شده است‪ ،‬بگوييد كه‬ ‫اوسط نمرات كدام شاگرد بيشتر است‪.‬‬ ‫ﻣﻀﻤﻮﻥ‬

‫ﺭﻳﺎﺿﻰ‬

‫ﺳﺎﻳﻨﺲ‬

‫ﻋﺮﺑﻰ‬

‫ﺍﻧﮕﻠﻴﺴﻰ‬

‫ﭘﺸﺘﻮ‬

‫ﺩﺭﻯ‬

‫ﺗﻌﻠﻴﻤﺎﺕ‬ ‫ﺍﺳﻼﻣﻰ‬

‫ﻫﻨﺮ ﻫﺎ‬

‫ﻋﻠﻮﻡ‬ ‫ﺗﺮﺑﻴﺖ ﺑﺪﻧﻰ‬ ‫ﺍﺟﺘﻤﺎﻋﻰ‬

‫ﻣﺤﻤﻮﺩ‬

‫‪24‬‬

‫‪35‬‬

‫‪20‬‬

‫‪25‬‬

‫‪27‬‬

‫‪22‬‬

‫‪36‬‬

‫‪34‬‬

‫‪30‬‬

‫‪40‬‬

‫ﺍﺣﻤﺪ‬

‫‪22‬‬

‫‪26‬‬

‫‪28‬‬

‫‪30‬‬

‫‪35‬‬

‫‪40‬‬

‫‪37‬‬

‫‪32‬‬

‫‪38‬‬

‫‪33‬‬

‫ﻣﻨﺼﻮﺭ‬

‫‪40‬‬

‫‪38‬‬

‫‪32‬‬

‫‪30‬‬

‫‪33‬‬

‫‪35‬‬

‫‪33‬‬

‫‪40‬‬

‫‪39‬‬

‫ﺧﺎﻟﺪ‬

‫‪40‬‬

‫‪30‬‬

‫‪20‬‬

‫‪35‬‬

‫‪38‬‬

‫‪34‬‬

‫‪22‬‬

‫‪27‬‬

‫‪30‬‬

‫ﭘﮋﻭﺍﻙ‬

‫‪35‬‬

‫‪38‬‬

‫‪39‬‬

‫‪40‬‬

‫‪35‬‬

‫‪26‬‬

‫‪28‬‬

‫‪40‬‬

‫‪35‬‬

‫‪208‬‬

‫فصل هشتم‬ ‫احتماالت‬

‫احتمال به ما کمک می کند که از طریق‬ ‫پیش بینی حوادث‪ ،‬برای آیندة  ما برنامه ریزی‬ ‫کنیم‪.‬‬

‫چـانس‬ ‫آيا فردا هم چانس باريدن باران وجود دارد؟‬ ‫تصوير از ابر و باران‬

‫فعالیت‬ ‫چانس وقوع رویدادهای زیر را بر اساس تجارب روزانه‪ ،‬با يكي از عبارت‌هاي "حتمي‬

‫‌است"‪" ،‬ممكن است" و "ناممكن است"جواب دهيد‪ ،‬جواب تان را در خانه‌هاي خالي مقابل‬ ‫رویدادهای داده شدۀ زير بنويسيد‪.‬‬

‫ ‬ ‫• هر هم‌صنفي ما‪ ،‬روزانه يك گيالس شير مي‌نوشد‪.‬‬ ‫• فيل پرواز مي‌كند‪.‬‬

‫• بازي با توپ فوتبال باالي بام خانه خطر ندارد‪.‬‬ ‫• آفتاب از شرق طلوع مي‌كند‪.‬‬

‫ ‬

‫ ‬

‫• نتیجة باال انداختن سکه رو يا پشت(شير يا خط) سكه است‪ .‬‬ ‫‪2‬‬

‫• اگر سكه را باال بيندازيم‪ ،‬دو باره پايين نمي‌آيد‪   .‬‬

‫(‬

‫)‬

‫(‬

‫ ‬

‫• چانس به روی آمدن سكه برابر به ‪ 1‬است‪.‬‬

‫(‬

‫)‬

‫ ‬

‫ ‬

‫(‬

‫(‬

‫(‬ ‫(‬

‫• به جاي كلماتی‌که براي پاسخ‌ها به كار برديدكلمات مناسب ديگري بنويسيد‪.‬‬

‫ ‬ ‫حتمي‌ (‬

‫) ‬

‫( ‬

‫)‬

‫ناممكن ( ‬

‫) ‬

‫( ‬

‫)‬

‫ ‬ ‫ممكن (‬

‫‪211‬‬

‫) ‬

‫( ‬

‫)‬

‫)‬ ‫)‬

‫)‬

‫)‬ ‫)‬

‫از فعاليت صفحة قبل نتيجة زير به دست مي آيد‪:‬‬ ‫نتيجه‪ :‬يك حادثه را مي‌توان با سه درجۀ «حتمي»‪« ،‬ممكن» و «ناممكن» ويا با كلمات معادل‬ ‫آن‌ها؛ مانند‪ :‬صد فيصد‪ ،‬شايد و هيچ‪ ،‬ارزيابي کرد و با كاربرد كلمة «چانس» آن  را پيش بيني‬ ‫نمود‪.‬‬ ‫مثال‪ :‬كلمات حتمي‪ ،‬ممكن‪ ،‬ناممكن‪ ،‬شايد‪ ،‬صد فيصد‪ ،‬و صفر فيصد را مقابل جمله هاي‬ ‫زير در جاهای خالی مناسب بنويسيد‪:‬‬ ‫(حتمی‪ ،‬صد فيصد)‬ ‫‪ )a‬زمستان پس از خزان می‌‌‌ آید‪.‬‬ ‫(ناممكن‪ ،‬صفر فيصد)‬ ‫  ‬ ‫‪ )b‬آفتاب در شمال غروب مي‌كند‪.‬‬ ‫(ممكن‪ ،‬شايد)‬ ‫     ‬ ‫‪ )c‬مرغ همسايه يك لنگ دارد‪.‬‬ ‫      (ناممكن‪ ،‬صفر فيصد)‬ ‫‪ )d‬از آسمان صاف همیشه ژاله مي بارد‪.‬‬ ‫(ممكن‪ ،‬شايد)‬ ‫     ‬ ‫‪ )e‬اطفال شيریني را دوست ندارند‪.‬‬ ‫‪ )f‬یک توپ که به هوا پرتاپ شده  باشد‪ ،‬به زمین بر می گردد‪( .‬حتمی‪ ،‬صد فيصد)‬

‫تمرین‬ ‫براي كلمات حتمي‪ ،‬ممكن و ناممکن از زنده گی روزمرة خود هر كدام مثال هایی دريافت‬ ‫کرده و در جا هاي خالي بنویسيد‪:‬‬ ‫‪ -1‬حتمي‪:‬‬ ‫‪ )a‬زمين به دور آفتاب مي چرخد‪.‬‬ ‫‪....................................................... )b‬‬ ‫‪...................................................... )c‬‬ ‫‪ -2‬ممكن‪:‬‬ ‫‪ )a‬ممكن است شب به خاطر ديدن پدركالنم بروم‪.‬‬ ‫‪........................................................ )b‬‬ ‫‪........................................................ )c‬‬ ‫‪ -3‬ناممكن‪:‬‬ ‫‪ )a‬شتر  پرواز مي كند‪.‬‬ ‫‪........................................................ )b‬‬ ‫‪........................................................ )c‬‬

‫‪212‬‬

‫احتمال (‪)Probability‬‬ ‫زلمي‌به هم‌صنفي اش گفت‪:‬‬ ‫«امروز بعد از ظهر پيش من بيا تا با هم فوتبال‬ ‫بازي كنيم‪».‬‬ ‫هم صنفی اش جواب داد‪« :‬ممكن است بيايم‪».‬‬

‫فعالیت‬ ‫از جريان فعاليت‌هاي روزمرة خود با درجه‌هاي مختلف امكانات‪ ،‬با در نظرداشت فيصدي هاي داده‬ ‫شده مثال‌هایی بگوييد‌که در آن‌ها فيصدي احتمال صورت گرفتن واقعه وجود داشته باشد‪.‬‬ ‫‪ 95% -1‬امكان دارد‌که فردا مكتب بياييم‪.‬‬ ‫(‪ 95‬فيصد) ‬ ‫‪ 0% -2‬بز پرواز می كند‪.‬‬ ‫(‪ 0‬فيصد) ‬ ‫‪................................................................. -3‬‬ ‫(‪ 10‬فيصد) ‬ ‫‪................................................................. -4‬‬ ‫(‪ 50‬فيصد) ‬ ‫‪................................................................ -5‬‬ ‫(‪ 20‬فيصد) ‬ ‫‪................................................................. -6‬‬ ‫(‪ 75‬فيصد) ‬ ‫‪................................................................. -7‬‬ ‫(‪ 80‬فيصد) ‬ ‫‪................................................................ -8‬‬ ‫(‪ 99‬فيصد) ‬ ‫‪................................................................. -9‬‬ ‫(‪ 100‬فيصد) ‬ ‫‪............................................................... -10‬‬ ‫(‪ 1‬فيصد) ‬ ‫سؤال‪:‬‬ ‫َ‬ ‫مثالي را‌که در فعاليت باال براي شمارة ‪ 5‬آورده ايد‪ ،‬به پهلوفيل خود نشان داده و از او بپرسيد‬ ‫‌که آيا او هم با شما موافق است که احتمال صورت گرفتن واقعه‪ 20%‬است‪.‬‬ ‫از فعاليت فوق نتيجۀ زیر به دست مي آيد‪:‬‬

‫‪213‬‬

‫نتيجه‪:‬‬ ‫براي پيش بيني احتمال وقوع يك اتفاق‪ ،‬يك واقعۀ ناممكن را با ‪ 0%‬و احتمال يك واقعة‬ ‫مطمئن یا امكان‌پذير قطعي را با ‪ 100%‬يا ‪ 1‬نشان مي‌دهند‪.‬‬ ‫احتمال وقوع واقعه‌هاي ممكن بين اعداد ‪ 0‬و ‪ 1‬واقع مي گردد‪.‬‬ ‫مثال‪ :1‬بازي چرخ طالع بجنگان را طوري در نظر‬ ‫مي گيريم‌که قرار شكل ذيل با دوران عقربة ساعتي باالي‬ ‫نواحي رنگه ايستاده مي شود‪.‬‬ ‫فيصدي احتمال واقعات زير را طوري دريافت كنيد‌که‬ ‫عقربه بعد از دوران باالي رنگ‌هاي زير ايستاده شود‪.‬‬

‫‪ -1‬احتمال اين‌که باالي رنگ نارنجي ايستاده شود‪ 50% ،‬مي‌باشد؛ زيرا‪:‬‬

‫‪1 50‬‬ ‫=‬ ‫(نسبت مساحت رنگ نارنجي نظر به مساحت كل دايره) ‪= 50%‬‬ ‫‪2 100‬‬

‫‪ -2‬احتمال اين‌که باالي رنگ سرخ ايستاده شود (‪ )25%‬مي‌باشد؛ زيرا‪:‬‬

‫‪1 25‬‬ ‫=‬ ‫(نسبت مساحت رنگ سرخ نظر به مساحت كل دايره) ‪= 25%‬‬ ‫‪4 100‬‬

‫‪ -3‬احتمال اين‌که باالي رنگ سياه ایستاده شود‪ )0%( ،‬مي‌باشد؛ زيرا‪:‬‬

‫‪0‬‬ ‫=‪0‬‬ ‫(نسبت مساحت رنگ سياه در دايره وجود ندارد) ‪= 0%‬‬ ‫‪100‬‬

‫تمرین‬ ‫شكل بازي چرخ طالع بجنگان را در نظر گرفته و احتمال رویدادهای زير را دريافت كنيد‪.‬‬ ‫‪ -1‬احتمال اين‌که عقربه باالي رنگ آبي يا سبز ايستاده شود‪.‬‬ ‫‪ -2‬احتمال اين‌که عقربه باالي رنگ زرد ايستاده شود‪.‬‬ ‫‪ -3‬احتمال‌هاي كدام رنگ‌ها با هم برابر اند؟‬ ‫‪ -4‬احتمال كدام رنگ دو چند احتمال رنگ ديگر است؟ قيمت‌هاي آن‌ را دريافت كنيد‪.‬‬ ‫‪ -5‬احتمال آمدن یکی از رنگ‌ها چند است؟‬

‫‪214‬‬

‫تجربه كردن يك اتفاق‬ ‫برای آغاز مسابقۀ واليبال از طرف راست‬ ‫میدان‪ ،‬داور يك سكه را میان دو تيم به‬ ‫هوا مي اندازد‪.‬‬ ‫مي توانيد بگوييد ‌که کدام یک از دو تيم‬ ‫والیبال اولين سرويس را از سمت راست‬ ‫انجام خواهد داد ؟‬

‫فعالیت‬ ‫يك سكه را چندين بار به هوا انداخته‪ ،‬نتايج به ُرخ يا به پشت آمدن آن را درجدول زير‬ ‫نوشته و احتمال واقعه را محاسبه كنيد‪(.‬رخ= خط ‪ ،‬پشت = شیر)‬ ‫احتمال‬

‫تعداد آمدن رخ‬

‫تعداد دفعات پرتاب سكه‬

‫مسؤول انجام تجربه‬

‫شماره‬

‫‪3‬‬ ‫‪8‬‬

‫‪3‬‬

‫‪ 8‬بار‬

‫محمود‬

‫‪1‬‬

‫‪215‬‬

‫‪ 15‬بار‬

‫‪2‬‬

‫‪ 20‬بار‬

‫‪3‬‬

‫‪ 25‬بار‬

‫‪4‬‬

‫‪ 40‬بار‬

‫‪5‬‬

‫‪ 20‬بار‬

‫‪6‬‬

‫‪ 30‬بار‬

‫‪7‬‬

‫از فعاليت باال مي توانيم دو نتيجة زير را بگیریم‪:‬‬ ‫نتيجه‪:‬‬ ‫‪ -1‬بیان چانس وقوع یک حادثه توسط اعداد به نام «احتمال» یاد می‌شود‪.‬‬ ‫‪ -2‬در فعاليت باال ديده شد‌که نتايج تجارب براي افراد مختلف متفاوت مي باشند‪.‬‬ ‫مثال‪ :‬نتايج مسابقات تيم‌هاي ورزشي افغانستان در پنج سال اخير نشان مي دهد‪‌،‬که تيم‬ ‫تكواندوي دختران در مسابقات منطقه یي برنده نبوده اند؛ براي پيش بيني نتيجه در مسابقات‬ ‫منطقه یي امسال‪ ،‬به جمله‌هاي زير با كلمات صحيح و يا غلط جواب دهيد‪:‬‬ ‫‪ -1‬بر اساس نتایج سال های گذشته احتمال برنده شدن تیم دختران در مسابقات امسال چقدر‬ ‫است؟‬ ‫جواب‪ :‬چون تیم دختران در هیچ یک از ‪ 5‬سال گذشته برنده نبوده است ‪ ،‬احتمال برنده شدن‬ ‫‪0‬‬ ‫امسال برابر است با‪= 0 :‬‬ ‫‪5‬‬ ‫ولی چون در بیان احتمال‪ ،‬یک پیش‌بینی انجام می شود‪ ،‬این پیش بینی ممکن است صحیح‬ ‫نباشد‪ ،‬یعنی تیم دختران یا تیم پسران امسال امکان برنده شدن را نیز دارند‪.‬‬ ‫)‬ ‫• احتمال دارد تيم ورزشي دختران برنده شود‪(    .‬‬ ‫)‬ ‫• احتمال دارد تيم ورزشي پسران برنده شود‪( .‬‬

‫تمرین‬ ‫‪ -1‬يك دانه رمل‪ 1‬را هشت بار انداختیم‪ ،‬سه  بار عدد ‪ 1‬آمد‪.‬‬ ‫احتمال اين‌که در پرتاب بار نهم شمارة رمل ‪ 1‬بيايد چقدر است؟‬ ‫‪ -2‬در يك مكتب حاضري روزانه هر صبح باالي لين گرفته مي شود‪ ،‬دريافت كنيد احتمال‬ ‫آن‌که امروز‪:‬‬ ‫‪ )a‬حاضري باالي لين گرفته شود‪.‬‬ ‫‪ )b‬حاضري باالي لين گرفته نشود‪.‬‬

‫‪ -1‬رمل‪ :‬يك دانة مكعبي است‌که داراي شش سطح برابر و در هر  سطح شماره ها (خال ها) ‪ .....، ¨¨ ، ¨. ، ¨ ، .‬و ¨¨ را دارا‬ ‫¨¨‬ ‫مي‌باشد‪.‬‬

‫‪216‬‬

‫تجربة تصادفي‬ ‫آيا شاگردان صنف اول با سواد استند؟‬ ‫گفته مي‌توانيد‌که يك نطاق تلويزيون باسواد یا‬ ‫بی سواد است؟‬ ‫آيا هر باشندة كوچه ما با سواد است؟‬

‫فعالیت‬ ‫• اگر كنار يك سرك پر از ازدحام ترافيك ايستاده باشيد‪ ،‬از همه اول تر انتظار عبور كدام‬ ‫نوع عراده را خواهيد داشت؟‬ ‫(الري‪ ،‬سرويس‪ ،‬تيزرفتار‪ ،‬موترسايكل‪ ،‬بايسكل و يا گادي)‬ ‫آيا گفته مي‌توانيد‌که‪:‬‬ ‫• در يك ساعت چند عدد الري از پيش روي تان خواهد گذشت؟‬ ‫• چند موتر تيز رفتار از طرف راست به چپ در هر ساعت عبور خواهد كرد؟‬ ‫• موتر بعدي كدام نوع خواهد بود؟‬ ‫• فيل هم از پيش روي تان خواهد گذشت؟‬ ‫• عبور فيل در جاده با حادثة عبور الري در سرك چه فرقی دارد؟‬ ‫• آيا مي‌توانید يك حادثة تصادفی را قبل از وقوع پيش بیني كنید؟‬ ‫از فعاليت باال نتيجۀ زير را به دست مي آوريم‪:‬‬ ‫نتيجه‪:‬‬ ‫يك حادثه‌که هنوز نتايج آن به صورت قطعي معلوم نشده و به صورت تصادفي اتفاق افتاده‬ ‫است تجربۀ تصادفي ياد مي شود‪.‬‬ ‫برای حوادثی‌که تصادفي و يا اتفاقي نيستند‪ ،‬پيش بيني معنا ندارد‪.‬‬

‫‪217‬‬

‫مثال‪ :‬برای انتخاب نمايندة صنف از راه قرعه کشی‪ ،‬پنج تن از متعلمان عالقه‌مند (حسن‪،‬‬ ‫زلمي‪ ،‬خيبر‪ ،‬انور و زمري) نام‌هاي خود را در ورقه‌هاي كوچك كاغذي نوشته و داخل يك‬ ‫جعبه مي‌اندازند‪.‬‬ ‫از میان جعبه يك ورقه را‌که روی آن ها نام يكي از نامزدان نوشته شده‪ ،‬بي طرفانه بر می داريم‪.‬‬ ‫اين پروسه جمعاً يك تجربه تصادفي مي باشد‪.‬‬ ‫اما اگر پنج نفر نامزد نباشند و تنها يك نفر مث ً‬ ‫ال‪ :‬خيبر نامزد باشد‪ ،‬آيا مي توان گفت‌که تجربه‬ ‫در اين صورت نيز تصادفي است؟ نخیر؛ زیرا نتیجۀ آن پیش از پیش معلوم است‪.‬‬

‫تمرین‬ ‫‪ -1‬آيا انداختن يك سك ‌ه که هر دو طرف آن يكسان است‪ ،‬مي‌تواند يك تجربۀ تصادفي‬ ‫باشد؟ اگر نه‪ ،‬چرا؟‬ ‫‪ -2‬انتخاب رئيس جمهور ‌که توسط رأي مستقيم مردم به صورت سري صورت می گیرد‬ ‫مي تواند يك تجربۀ تصادفي باشد؟‬ ‫‪ -3‬دو نمونه از تجربۀ تصادفي را از زنده گي روزمرۀ خود بنویسید‪.‬‬ ‫‪..................................)a‬‬ ‫‪..................................)b‬‬ ‫‪ -4‬آيا گرفتن يك گلوله از يك جعبه‌که در آن ‪ 3‬گلوله به رنگ سبز قرار دارند‪ ،‬مي تواند‬ ‫يك تجربۀ تصادفي باشد؟‬

‫‪218‬‬

‫فضاي نتيجه و یا نمونه‬ ‫نتيجه چه خواهد شد؟‬ ‫شیر یا خط‪ ،‬کدام  یک؟‬

‫فعالیت‬ ‫• آيا پرتاب سكه يك تجربۀ تصادفي است؟‬ ‫• آيا مي‌توان گفت‌که سكه خط خواهد آمد؟‬ ‫• اگر سكه خط نيايد‪ ،‬چه خواهد آمد؟‬ ‫• آيا غير از دو حالت شیر و خط سكه‪ ،‬حالت سومي‌ هم وجود دارد؟‬ ‫• بگوييد‌که تجربه چند نتيجة ممكن دارد‪.‬‬ ‫• نتايج ممكن انجام تجربۀ تصادفي را داخل عالمت ست (‪ )set‬بنويسيد‪.‬‬ ‫بعد از انجام فعاليت باال به نتيجة زير مي رسيم‪:‬‬ ‫نتيجه‪:‬‬ ‫تمام نتايج ممكن يك تجربۀ تصادفي را در يك مجموعه يا ست (‪ )Set‬نشان داده مي‌توانيم‬ ‫که به نام فضاي نمونه ياد مي‌شود‪ .‬فضاي نمونه را معموالً به ‪ S‬نشان مي‌دهيم‪.‬‬ ‫هر عضو فضاي نمونه‪ ،‬يك نتيجة ممكن همان تجربۀ تصادفي است که به نام حوادث اولیه‬ ‫یاد می گردند‪.‬‬ ‫مثال‪ :‬شکل مقابل انداختن يك تير را از فاصلة سه متری باالي يك‬ ‫صفحۀ دايره یي نشان مىدهد‪ .‬دايره به چند ناحية مختلف تقسيم شده‬ ‫است؟‬

‫‪219‬‬

‫هرگاه تير به شماره‌هاي داده شدة ‪ 3،1،2‬و ‪ 6‬اصابت كند‪ ،‬همان شماره که تير به آن اصابت‬ ‫کرده نتيجه است‪ .‬يادداشت‪ :‬اگر تير خارج دايره اصابت كند به نتيجه نمرۀ ‪ 0‬داده مي شود‪.‬‬ ‫بنابر اين تعداد نتايج ممكنه پنج عدد است‌که فضاي نمونة آن عبارت است از  ‪:‬‬ ‫}‪S = {0,1, 2,3, 6‬‬

‫در شكل صفحة قبل بعضي قسمت‌هاي دايره دو بار توسط يك عدد نشان داده شده است؛‬ ‫مث ً‬ ‫ال عدد ‪ .  2‬اين مسأله چانس اصابت به ناحیة ‪ 2‬را بيشتر کرده؛ ولي دو نتيجه از هم متفاوت‬ ‫نمي‌باشند‪.‬‬

‫‪8‬‬

‫تمرین‬ ‫‪13‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪17‬‬

‫شكل مقابل داده شده است در نظر‬ ‫‪ -1‬خریطه‌یی را‌ که‪ 5‬قرار‪6 4‬‬ ‫بگيريد‪ .‬در داخل آن به تعداد ‪ 8‬گلولة يكسان که با اعداد مختلف‬ ‫نمره‌گذاري شده  اند‪ ،‬قرار دارند؛ اگر از داخل آن چشم‌بسته‪ ،‬به‬ ‫صورت تصادفي يك گلوله برداشته شود‪ ،‬آیا امكان دارد‌ که از‬ ‫خریطه‪ ،‬گلوله‌یی با شمارة ‪ 50‬بيرون آيد؟‬

‫‪5‬‬

‫‪8‬‬

‫اگر نه؛ پس فضاي نمونه و تعداد نتايج ممكن را ارائه كنيد‪.‬‬ ‫‪ -2‬فضاي نمونه و تعداد نتايج ممكن را براي انداختن يك دانۀ رمل بنویسيد‪.‬‬

‫‪13‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪6‬‬

‫‪12‬‬ ‫‪17‬‬

‫‪50‬‬

‫‪220‬‬

‫احتمال نظري‬ ‫حسن‪ ،‬زلمي‪ ،‬خيبر‪ ،‬انور و زمري برای‬ ‫نماينده گي صنف‪ ،‬خود را نامزد کرده بودند‪.‬‬ ‫آيا احتمال دارد زلمي‌برنده شود؟‬ ‫احتمال برد انور چقدر است؟‬

‫فعالیت‬ ‫فضاي تجربة انداختن يك دانۀ رمل را در نظر مي‌گيريم‪ ،‬نتايج ممكنه عبارت اند از‪:‬‬

‫• فضاي نمونة تجربه را بنويسيد‪.‬‬ ‫• تعداد نتايج ممكنه چند است؟‬ ‫• ديده مي شود‌که آمدن شمارة ‪ 2‬يكي از ‪ 6‬حالت ممكن دانة رمل است‪ ،‬احتمال آن را با‬ ‫يك كسر بنويسيد‪.‬‬ ‫• آيا احتمال آمدن شمارة ‪ 1‬و شمارة ‪ 2‬رمل با هم برابر اند؟‬ ‫• احتمال آمدن هر شمارۀ رمل چند است؟‬ ‫• چند شمارة رمل جفت اند؟ احتمال آمدن شمارۀ جفت را با يك كسر بنویسيد‪.‬‬ ‫در دريافت احتمال‌هاي حوادث فوق‪ ،‬ارقام صورت كسر تعداد حاالت مساعد نتيجۀ مورد‬ ‫نظر و يا مطلوب را نشان مي‌دهد‪.‬‬ ‫از حاالت فوق مي توان نتيجۀ زير را به دست آورد‪:‬‬ ‫نتيجه‪:‬‬ ‫احتمال يك نتيجه را مي‌توان توسط كسر ذيل به دست آورد‪:‬‬ ‫تعداد حاالت مساعد براي وقوع حادثۀ اتفاقی‬ ‫تعداد كل حاالت نتيجه‌هاي تجربه = احتمال وقوع يك نتيجه يا حادثۀ اتفاقي‬

‫‪221‬‬

‫مثال‪ :‬در تجربة تصادفي‪ ،‬انداختن يك دانۀ رمل را در نظر گرفته و احتمال حوادث زير را‬ ‫دريافت كنيد‪.‬‬ ‫‪ )a‬شمارۀ دانۀ رمل طاق باشد‪.‬‬ ‫‪ )b‬شمارۀ دانۀ رمل ‪ 5‬باشد‪.‬‬ ‫‪ )c‬شمارۀ دانۀ رمل ‪ 8‬باشد‪.‬‬ ‫‪ )d‬شمارۀ دانۀ رمل بزرگ‌تر از‪ 1‬یا مساوی به‪ 1‬باشد‪.‬‬ ‫حل‪ :‬مي‌دانيم‌که تعداد كل حاالت ممكن مساوی به ‪ 6‬است؛ با در نظرداشت تعريف احتمال داريم‪:‬‬ ‫‪ )a‬حاالت مساعد در اين صورت ‪ 3‬عدد بوده؛ بنابراين‪:‬‬ ‫‪3 1‬‬ ‫‪= = 50%‬‬ ‫‪6 2‬‬

‫= (احتمال اين‌كه شماره رمل طاق باشد)‬

‫‪ )b‬حاالت مساعد در اين صورت مساوي به ‪ 1‬بوده؛ پس‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪= 0.167 = 16.7%‬‬ ‫‪6‬‬

‫= (احتمال اين‌که شمارة ‪ 5‬باشد)‬

‫‪ )c‬حاالت مساعد در اين صورت براي شمارة ‪ 8‬وجود ندارد؛ بنابراين‪:‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪= 0 = 0%‬‬ ‫‪6‬‬

‫‪ )d‬حاالت مساعد براي اين حالت ‪ 6‬عدد بوده؛ بنابراين‪:‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪= 1 = 100%‬‬ ‫‪6‬‬

‫= (احتمال اين‌که شمارة ‪ 8‬باشد)‬

‫= (احتمال اين‌که شماره بزرگ‌تر از‪ 1‬یا مساوی به ‪ 1‬باشد)‬

‫تمرین‬ ‫‪ -1‬از بين ‪ 12‬پسر و ‪ 6‬دختر نمایندة صنف هاي مختلف يك مكتب‪ ،‬يك تن به حيث نمايندۀ‬ ‫عمومي‌ متعلمين بر اساس قرعه انتخاب مي گردد؛ احتمال اين‌که‪:‬‬ ‫‪ )a‬نمايندۀ عمومي‌ شاگردان‪ ،‬يك دختر باشد‪.‬‬ ‫‪ )b‬نمايندۀ عمومي‌شاگردان‪ ،‬يك پسر باشد‪.‬‬ ‫‪ -2‬در بين يك جعبه سه عدد گلوله به رنگ سبز‪ ،‬دو عدد به رنگ زرد و يك عدد به رنگ‬ ‫سرخ قرار دارد؛ اگر به صورت اتفاقي از بين جعبه يك گلوله برداريم‪ ،‬احتمال حوادث زير‬ ‫را دريافت كنيد‪.‬‬ ‫‪ )a‬احتمال آن‌که رنگ گلوله سبز باشد‪.‬‬ ‫‪ )b‬احتمال آن‌که رنگ گلوله زرد باشد‪.‬‬ ‫‪ )c‬احتمال آن‌که رنگ گلوله سياه باشد‪.‬‬ ‫‪ -3‬در انداختن تجربۀ تصادفي يك سكه‪ ،‬احتمال حوادث ذيل را به دست آوريد‪:‬‬ ‫‪ )a‬سكه به رو بيايد‪.‬‬ ‫‪ )b‬سكه نه به رو و نه به پشت بيايد‪.‬‬

‫‪222‬‬

‫خالصۀ فصل هشتم‬

‫چانس‪ :‬در پیش بینی حوادثي‌که از نگاه عددي قابل اندازه نباشند‪ ،‬از كلمۀ چانس‬ ‫استفاده مي‌گردد‪ .‬كلمات‪ :‬امكان دارد‪ ،‬ممكن نيست‪ ،‬حتمي ‌است‪ ،‬چانس كمتر‪،‬‬ ‫چانس بيشتر و چانس ندارد براي پيش بيني يك اتفاق به كار برده مي شوند؛ مث ً‬ ‫ال  ‪:‬‬

‫‪ -1‬چانس طي نمودن فاصلة هرات ‪ -‬لغمان با موتر در يك ساعت‪ ،‬ناممكن است‪.‬‬

‫‪ -2‬چانس آمدن روز بعد از هر شب به رضاي خداوند(ج) حتمي‌و صد فيصد است‪.‬‬ ‫‪ -3‬چانس باريدن باران در تابستان نيز ممكن است‪.‬‬

‫احتمال‪ :‬اگر چانس يك اتفاق با اعداد و ارقام پيش بيني گردد‪ ،‬به نام احتمال حادثۀ‬

‫اتفاقي ياد مي شود‪.‬‬

‫احتمال يك واقعۀ ناممكن ‪ 0‬و احتمال يك حادثۀ مطمئن ‪ 1‬است؛ مث ً‬ ‫ال ‪:‬‬

‫‪ -1‬احتمال اين‌که مدير يك ليسه بي سواد باشد‪ 0 ،‬است‪.‬‬ ‫‪ -2‬احتمال اين‌که آفتاب از شرق طلوع كند‪ 1 ،‬است‪.‬‬

‫حادثة اتفاقي‪ :‬به تجربه‌یی‌که نتيجة ممكنة آن هنگام اجرا معلوم نباشد‪ ،‬حادثۀ اتفاقي‬ ‫مي گویند‪ .‬مث ً‬ ‫ال ‪:‬‬ ‫‪ -1‬آيا مي‌توان پيش بيني كرد‌که برندۀ نمرات عالي كانكور امسال يك دختر باشد؟‬ ‫‪ -2‬آيا مي‌توان پيش بيني كرد‌که زمستان امسال با خانواده به جالل آباد می رويم؟‬

‫تجربۀ تصادفي‪ :‬يك فعاليت‌که تا هنوز نتايج آن معلوم نباشد و يا حادثه یی که به‬ ‫صورت تصادفي اتفاق افتد‪ ،‬به نام تجربۀ تصادفي ياد مي گردد؛ مث ً‬ ‫ال‪:‬‬ ‫انتخاب نمايندة صنف از میان چند نامزد توسط قرعه يك تجربۀ تصادفي است‪.‬‬

‫يا انداختن يك سكه‌که نتيجة آن به رو يا پشت قرارگرفتن سكه منجر مي‌شود نيز يك‬

‫تجربۀ تصادفي است‪.‬‬

‫‪223‬‬

‫احتمال تجربي‪ :‬احتمالی‌که توسط انجام تجربه به شكل عملي يا از روي تعداد‬ ‫نتايج يك تجربه به دست مي‌آيد‪ ،‬به نام احتمال تجربي ياد مي گردد‪.‬‬

‫احتمال نظري‪ :‬احتمالي‌که از روي فضاي نمونه‪ ،‬نسبت حاالت مساعد بر تعداد كل‬ ‫حاالت يك تجربه به دست مي آید‪ ،‬به نام احتمال نظري ياد مي گردد‪.‬‬ ‫تعداد حاالت مساعد براي حادثۀ اتفاقی‬

‫تعداد كل حاالت نتيجه‌هاي تجربه = احتمال يك نتيجه يا حادثۀ اتفاقي‬

‫‪224‬‬

‫تمرينات فصل هشتم‬ ‫‪ -1‬سؤاالت زیر را با کار برد کلمات‪ :‬ممکن است‪ ،‬ممکن نیست و حتمی است‪ ،‬جواب دهید‪.‬‬

‫• از آسمان ابری‪ ،‬باران می‌بارد‪.‬‬

‫• چانس دیدن ستاره ها روزانه ممکن نیست‪.‬‬ ‫• شترمرغ پرواز می‌ کند‪.‬‬

‫• گوسفند چوچه نمی‌ دهد‪ ،‬تخم می دهد‪.‬‬

‫‪ -2‬یک تجربۀ تصادفی را مثال گفته‪ ،‬حوادث اتفاقی اولیه و چند حادثة اتفاقی آن را مشخص‬ ‫کنید‪.‬‬

‫‪ -3‬یک فضای نمونه که ‪ 4‬حادثۀ اولیة اتفاقی داشته باشد‪ ،‬چند حادثۀ اتفاقی دارد‪ .‬با یک‬ ‫مثال واضح کرده و فهرست حوادث اتفاقی را بنویسید‪.‬‬

‫‪ -4‬حادثة اتفاقی مطمئن و ناممکن را در یک مثال تجربۀ اتفاقی واضح سازید‪.‬‬ ‫‪ -5‬یک فضای نمونه چیست؟ با عالمت (‪ )P‬جواب صحیح را نشانی کنید‪.‬‬ ‫(‬

‫)هر نتیجه یک تجربه فضای نمونه است‪.‬‬

‫(‬

‫)ست تمام نتایج ممکن یک تجربه است‪.‬‬

‫(‬

‫(‬

‫)فضای نمونه نتیجه ندارد‪.‬‬

‫)حادثة مطمئن و ناممکن است‪.‬‬

‫‪ -6‬در یک تجربۀ تصادفی هر حادثۀ اتفاقی ‪( ....‬جواب درست را با (‪ )P‬نشانی کنید‪).‬‬ ‫(‬

‫)یک عنصر فضای نمونه است‪.‬‬

‫(‬

‫)در یک تجربۀ تصادفی حادثۀ اتفاقی چانس ندارد‪.‬‬

‫(‬

‫(‬

‫)ست فرعی فضای نمونه است‪.‬‬ ‫)ناممکن است‪.‬‬

‫‪ -7‬در انداختن دو دانه سکه‪:‬‬

‫• فضای نمونه را تشکیل دهید‪.‬‬

‫• دریافت کنید احتمال آن که هر دو سکه شیر باشند‪.‬‬ ‫• دریافت کنید احتمال آن که هر دو سکه خط باشند‪.‬‬

‫• در یافت کنید احتمال آن که هر دو سکه یکسان باشند‪.‬‬

‫‪225‬‬

‫‪ -8‬در بين گلوله‌های مساوی که در يک خريطه قرار دارند و روی آن‌ها از ‪ 1‬تا ‪ 100‬شماره‬ ‫زده شده است‪ ،‬قرعه‌کشی می‌شود‪ ،‬دریافت کنید احتمال این که‪:‬‬

‫• عدد قرعة برآمده قابل تقسیم بر ‪ 5‬باشد‪.‬‬ ‫• عدد قرعه جفت باشد‪.‬‬

‫• عدد قرعه بر ‪ 12‬قابل تقسیم باشد‪.‬‬ ‫• عدد سه‌رقمی باشد‪.‬‬

‫• عدد چهاررقمی باشد‪.‬‬

‫‪226‬‬