Mathematics 07 [7]

Citation preview

‫ر اض‬ ‫د اووم ！ﻮل‪／‬ﻲ رﻳاضﻲ‬

‫‪7‬‬

‫‪5cm‬‬

‫‪5cm‬‬

‫‪5cm‬‬

‫‪ ١٣٩٨‬هـ ‪ .‬ش‪.‬‬

‫！ولگ‬

‫د پوهن‪ ３‬وزارت‬

‫ملي سرود‬ ‫دا وطن افغانســـتـــان دى‬

‫دا عــــزت د هـــر افـغـان دى‬

‫کور د سول‪ ３‬کور د تورې‬

‫هر بچی ي‪ ３‬قهرمـــــان دى‬

‫دا وطن د ټولـــو کـور دى‬

‫د بـــــلـوڅـــــــو د ازبـکــــــــو‬

‫د پښـــتــون او هـــــزاره وو‬

‫د تـــرکـمنـــــــو د تـــاجـکــــــو‬

‫ورســـره عرب‪ ،‬گوجــر دي‬

‫پــاميــريـــان‪ ،‬نـورســـتانيــــان‬

‫براهوي دي‪ ،‬قزلباش دي‬

‫هـــم ايمـــاق‪ ،‬هم پشـه يان‬

‫دا ه‪５‬ــــــواد به تل ځلي‪８‬ي‬

‫لـکـه لـمــر پـر شـــنـه آســـمـان‬

‫په ســـينــه ک‪ ３‬د آســـيـــا به‬

‫لـکــــه زړه وي جـــاويــــــدان‬

‫نوم د حق مـــو دى رهبـــر‬

‫وايـــو اهلل اکبر وايو اهلل اکبر‬

‫رياضي‬ ‫‪٧‬‬ ‫ټـولگى‬ ‫‪1398‬‬ ‫ﻫـ ‪ .‬ش‪.‬‬

‫الف‬

‫د تاب ان ت او‬

‫‪-----------------------------------------------------‬‬‫مضمون ر ا‬

‫مؤلف ن د تعل مي نصاب د ر ا‬

‫ديپار نت د در‬

‫تابونو مؤلف‬

‫ا يټ وون ي د پ تو ب د اډيټ د پار نت غړي‬ ‫ټول‬

‫دم‬

‫اووم‬

‫به پ تو‬

‫ان شاف ور وون‬

‫خ روون‬

‫د اپ ال‬ ‫د اپ ا‬ ‫اپخونه‬

‫بر نال‬

‫د تعل مي نصاب د پراخت ا او در‬

‫تابونو د تأل ف لو ر است‬

‫د پوهن وزارت د اړ و او عامه پوهاوي ر است‬ ‫هجري شم‬ ‫ابل‬ ‫ته ‪[email protected]‬‬

‫‪-----------------------------------------------------‬‬‫تابونو د چاپ و ش او پلورلو حق د افغانستان اس مي جمهور ت د پوهن‬ ‫د در‬ ‫پلورل او پ رودل منع دي له غړوون و ه‬ ‫وزارت ه محفوظ د په بازار‬ ‫قانو‬ ‫ب‬

‫چلند‬

‫ي‬

‫د‬

‫ن د ز ر غام‬

‫اقرأ باسم رب‬ ‫مو ته ي وند راب ل او د لوست او لي‬ ‫ش ر ه ا وو‬ ‫د لو او ب ون خدا‬ ‫له نعمت خه ي برخمن ي يو او د الله تعال ر وروست غم محمد مصطف‬ ‫اله لوم ن غام ورته لوستل و درود وايو‬ ‫هجري ريز ال د وهن د ال ه نامه ونومول شو له د‬ ‫ولو ته اره ده‬ ‫رن ه‬ ‫تاب‬ ‫زده وون‬ ‫امله به د ران ه واد وونيز نظام د ورو بدلونونو شاهد وي وون‬ ‫اداره او د والدينو شورا ان د ه واد د وهنيز نظام ش و بنس يز عنا بلل ي ي‬ ‫وون‬ ‫د ه واد د وون او روزن ه راختيا او رمختيا مهم رول لري ه داس مهم وخت‬ ‫د افغانستان د وهن وزارت د م تابه مقام د ه واد ه وونيز نظام د ود او راخت ا ه لور‬ ‫بنس يزو بدلونونو ته من د‬ ‫له همد امله د وونيز نصاب اص ح او راختيا د وهن وزارت له مهمو لوم يتوبونو خه دي‬ ‫تابونو‬ ‫وونيزو تأسيساتو د در‬ ‫همدارن ه ه وون يو مدرسو او ولو دولت او خصو‬ ‫ا لري مو ه د باور يو‬ ‫محتوا يفيت او توز ع ته املرنه د وهن وزارت د ارو ه‬ ‫د با يفيته در تابونو له شتون رته د وون او روزن اسا اهدافو ته رس دل نشو‬ ‫وونيز نظام د رامن ته ولو ل اره د راتلون نسل د‬ ‫ورتنيو موخو ته د رس دو او د اغ زنا‬ ‫روزون و ه تو ه د ه واد له ولو ز ه سواندو وون و استادانو او مسل مديرانو خه ه درناوي‬ ‫هي‬ ‫تابونو ه تدريس او د محتوا ه ل دولو‬ ‫د ه واد ب يانو ته د د در‬ ‫هيله وم‬ ‫ول ه ه او هاند ونه س موي او د يوه فعال او ه دين م او انتقادي تف ر سمبال نسل ه روزنه‬ ‫ه ه د نيت‬ ‫و ي هره ور د من ه نوي ولو او د مسؤوليت ه در‬ ‫زيار او و‬ ‫ران زده وون به سبا د يوه رمختل افغانستان مع ران او‬ ‫د نن ور‬ ‫لوست ل ي‬ ‫د ولن متمدن او ور اوس دون وي‬ ‫د ه واد ارز تنا ه ان ه ده غو تنه لرم و له هر‬ ‫همدا راز له خو و زده وون و خه‬ ‫و او فعالو ونوالو ه تو ه او‬ ‫ه روسه د‬ ‫فرصت خه ه ورته ي او د زده‬ ‫وون و ته ه درناوي ه له تدر س خه ه او اغ زنا ه استفاده و ي‬ ‫د وون او روزن له ولو وهانو او د وونيز نصاب له مسل هم ارانو خه‬ ‫ها‬ ‫دي مننه وم‬ ‫دون هل ل‬ ‫د د تاب ه لي لو او متو ولو ي نه ست‬ ‫بريا‬ ‫له دربار خه دو ته ه د س ي ل او انسان جو وون ه‬ ‫او د لو خدا‬ ‫غوا م‬ ‫د معياري او رمختل وونيز نظام او د داس ودان افغانستان ه ه له و ي خ لوا وه‬ ‫او سو اله وي‬ ‫د وهن وزير‬ ‫د تور محمد م ويس بلخ‬ ‫ج‬

‫فهرست‬

‫مخونه‬

‫لوم‪７‬ى څپرکى (سټ)‪3 ................................................................................‬‬ ‫د س＀ ﻣفﻬﻮم‪ ،‬د ﻳﻮه س＀ عﻨاصر او د ﻳﻮ س＀ د ﻟﻴکﻠﻮ طرﻳﻘ‪３‬‬ ‫ﻣساوي او ﻣعادل س＂ﻮﻧﻪ‬ ‫فرعﻲ س＀‪ ،‬د س＂ﻮﻧﻮ تﻘاطع‪ ،‬د س＂ﻮﻧﻮ اتحاد‪ ،‬د دوو س＂ﻮﻧﻮ تفاضﻞ‪ ،‬کُﻠﻲ س＀ او ﻣکﻤﻠﻪ س＀‬ ‫ﻣعﻴﻦ او غﻴر ﻣعﻴﻦ س＂ﻮﻧﻪ‬ ‫د ﻟﻮﻣ‪７‬ي ＇پرکﻲ ﻟﻨ‪６‬ﻳز او پﻮ＊تﻨ‪３‬‬ ‫دويم څپرکى (طبيعي عددونه)‪27 .................................................................‬‬ ‫د طبﻴعﻲ عددوﻧﻮ د وﻳش ﻳا تﻘسﻴﻢ ﻗابﻠﻴتﻮﻧﻪ‪ ،‬د طبﻴعﻲ عددوﻧﻮ تجزﻳﻪ او پﻪ ﻟﻮﻣ‪７‬ﻧﻴﻮ عددوﻧﻮ تجزﻳﻪ‬ ‫طاﻗت‪ ،‬د طاﻗتﻮﻧﻮ د ضرب ﻗاﻧﻮن او د طاﻗتﻮﻧﻮ و‪４‬ش ﻗاﻧﻮن‬ ‫د عدد د ﻟﻴکﻠﻮ عﻠﻤﻲ طرﻳﻘﻪ‬ ‫تر ！ﻮﻟﻮ ﻟﻮى ﻣشترک ﻗاسﻢ او د تجزﻳ‪ ３‬پﻪ ﻣرستﻪ د تر ！ﻮﻟﻮ ﻟﻮى ﻣشترک ﻗاسﻢ پﻴدا کﻮل‬ ‫تر ！ﻮﻟﻮ کﻮچﻨﻰ ﻣشترک ﻣضرب او پﻪ ﻟﻮﻣ‪７‬ﻧﻴﻮ عددوﻧﻮ باﻧدې د تجزﻳ‪ ３‬پﻪ واسطﻪ د تر ！ﻮﻟﻮ کﻮچﻨﻲ ﻣشترک‬ ‫ﻣضرب پﻴدا کﻮل‬ ‫د ور‪＄‬ﻨﻲ ژوﻧد د ﻣساﻳﻠﻮ پﻪ حﻞ ک‪ ３‬د کﻮچﻨﻲ ﻣشترک ﻣضرب او د تر ！ﻮﻟﻮ ﻟﻮى ﻣشترک ﻗاسﻢ د استعﻤال ‪＄‬اﻳﻮﻧﻪ‬ ‫د دوو عددوﻧﻮ د تر ！ﻮﻟﻮ ﻟﻮى ﻣشترک ﻗاسﻢ او کﻮچﻨﻰ ﻣشترک ﻣضرب تر ﻣت‪ ＃‬اړﻳک‪３‬‬ ‫پﻪ ﻳﻮه وخت ک‪ ３‬د کﻮچﻨﻲ ﻣشترک ﻣضرب او تر！ﻮﻟﻮ ﻟﻮی ﻣشترک ﻗاسﻢ پﻴدا کﻮل‪ ،‬د ﻳﻮه طبﻴعﻲ عدد ﻣربع او د‬ ‫عدد پﻮره ﻣربع جذر پﻴدا کﻮل د تجزﻳ‪ ３‬پﻪ طرﻳﻘﻪ‪ ،‬د ﻳﻮ عدد د ﻣربع جذر د پﻴدا کﻮﻟﻮ عﻤﻮﻣﻲ طرﻳﻘﻪ‪،‬‬ ‫د ﻳﻮه طبﻴعﻲ عدد ﻣکعب (درﻳﻢ) جذر‪ ،‬د دوﻳﻢ ＇پرکﻲ ﻟﻨ‪６‬ﻳز او پﻮ＊تﻨ‪３‬‬ ‫دريم څپرکى(تام عددونه)‪71 .......................................................................‬‬ ‫ﻣثبت او ﻣﻨفﻲ عددوﻧﻪ‬ ‫تام عددوﻧﻪ او د عددوﻧﻮ پر ﻣحﻮر باﻧدې د تاﻣﻮ عددوﻧﻮ ＊ﻮدﻧﻪ‬ ‫د ﻳﻮه عدد ﻣطﻠﻘﻪ ﻗﻴﻤت‪ ،‬د تاﻣﻮ عددوﻧﻮ د جﻤع‪ ،３‬تفرﻳق‪ ،‬ضرب او وﻳش عﻤﻠﻴ‪３‬‬ ‫د حسابﻲ افادو د ﻗﻴﻤتﻮﻧﻮ پﻴدا کﻮل‬ ‫د عﻤﻠﻴﻮ خاصﻴتﻮﻧﻪ‬ ‫د درﻳﻢ ＇پرکﻲ ﻟﻨ‪６‬ﻳز او پﻮ＊تﻨ‪３‬‬ ‫څلورم څپرکى(نسبتي عددونه)‪97 ................................................................‬‬ ‫ﻧسبتﻲ عددوﻧﻪ‬ ‫د ﻧسبتﻲ عددوﻧﻮ پرتﻠﻪ کﻮل‬ ‫د ﻧسبتﻲ عددوﻧﻮ د جﻤع‪ ،３‬تفرﻳق‪ ،‬ضرب او تﻘسﻴﻢ(وﻳش) عﻤﻠﻴ‪３‬‬ ‫د ﻧسبتﻲ عددوﻧﻮ د عﻤﻠﻴﻮ خاصﻴتﻮﻧﻪ‬ ‫پﻪ اعشاري عددوﻧﻮ باﻧدې د ﻧسبتﻲ عددوﻧﻮ بدﻟﻮل‬ ‫د ＇ﻠﻮرم ＇پرکﻲ ﻟﻨ‪６‬ﻳز او پﻮ＊تﻨ‪３‬‬

‫د‬

‫پنځم څپرکى(مثلثونه او څو ضلعي(مضلع گانې)‪119 .................................‬‬ ‫د ﻣثﻠث ډوﻟﻮﻧﻪ(د ﻣثﻠث ارتفاع‪ ،‬ﻣﻴاﻧﻪ او ﻧاصف اﻟزاوﻳﻪ)‬ ‫د ﻣثﻠث د داخﻠﻲ زاوﻳﻮ ﻣجﻤﻮعﻪ‪ ،‬د ﻳﻮه ﻣثﻠث خارجﻲ زاوﻳ‪３‬‬ ‫د ﻳﻮه ﻣثﻠث د ضﻠعﻮ تر ﻣﻨ‪ ＃‬اړﻳک‪３‬‬ ‫ﻣضﻠع گاﻧ‪＇(３‬ﻮ ضﻠعﻲ)‬ ‫د ﻳﻮې ﻣضﻠع د داخﻠﻲ او خارجﻲ زاوﻳﻮ ﻣجﻤﻮعﻪ‬ ‫اﻧطباق ﻣﻨﻮﻧکﻲ شکﻠﻮﻧﻪ‬ ‫د ﻣثﻠثﻮﻧﻮ د اﻧطباق ﻣﻨﻨ‪ ３‬حاﻟتﻮﻧﻪ‬ ‫د پﻨ‪％‬ﻢ ＇پرکﻲ ﻟﻨ‪６‬ﻳز او پﻮ＊تﻨ‪３‬‬ ‫شپ‪８‬م څپرکى(موازي او عمود خطونه)‪157 ............................................‬‬ ‫داخﻠﻲ او خارجﻲ ﻣتبادﻟ‪ ３‬زاوﻳ‪ ،３‬د دوه ﻣستﻘﻴﻤﻮ کر＊ﻮ د ﻣﻮازاتﻮ ＇‪７５‬ﻧﻪ کﻠﻪ چ‪ ３‬ﻣتبادﻟ‪ ３‬زواﻳ‪３‬‬ ‫سره‪...‬‬ ‫ﻣتﻮافﻘ‪ ３‬زاوﻳ‪３‬‬ ‫د ﻳﻮه ﻗاطع ﻣستﻘﻴﻢ خط ﻳﻮې خﻮا تﻪ داخﻠﻲ ﻣتﻤﻤ‪ ３‬زاوﻳ‪３‬‬ ‫＇ﻠﻮر ضﻠع‪ ３‬گاﻧ‪(３‬ﻣتﻮازي اﻻضﻼع‪ ،‬ﻣستطﻴﻞ‪ ،‬ﻣربع‪ ،‬ﻣعﻴﻦ او ذوزﻧﻘﻪ)‬ ‫د ﻣتﻮازي اﻻضﻼع ﻣﻘابﻠ‪ ３‬زاوﻳ‪ ،３‬د ﻳﻮې ＇ﻠﻮر ضﻠع‪ ３‬خارجﻲ زاوﻳ‪３‬‬ ‫د ＇ﻠﻮر ضعﻠﻲ د ﻗطروﻧﻮ خاصﻴتﻮﻧﻪ‪ ،‬د ﻣتﻮازي اﻻضﻼع د ﻗطروﻧﻮ خاصﻴتﻮﻧﻪ‬ ‫د ﻣستطﻴﻞ ﻗطروﻧﻪ‬ ‫د ﻣعﻴﻦ(ﻟﻮزي) ﻗطروﻧﻪ‬ ‫د شپ‪８‬م ＇پرکﻲ ﻟﻨ‪６‬ﻳز او پﻮ＊تﻨ‪３‬‬ ‫اووم څپرکى(احصائيه)‪187 ................................................................‬‬ ‫د اطﻼعاتﻮ د را！ﻮﻟﻮﻟﻮ طرﻳﻘ‪３‬‬ ‫！ﻮﻟﻨﻪ او ﻧﻤﻮﻧﻪ‬ ‫تصادفﻲ ﻧﻤﻮﻧﻪ‬ ‫تصادفﻲ ﻣتحﻮل او ډوﻟﻮﻧﻪ ﻳ‪３‬‬ ‫د فرﻳکﻮﻧسﻲ جدول‬ ‫تصﻮﻳري (اﻧ‪％‬ﻮرﻳز) ‪－‬راف‬ ‫ﻣﻮډ(‪)Mode‬‬ ‫اوسط‬ ‫د اووم ＇پرکﻲ ﻟﻨ‪６‬ﻳز او پﻮ＊تﻨ‪３‬‬ ‫اتم څپرکى(احتماالت)‪211 ................................................................‬‬ ‫چاﻧس‬ ‫احتﻤال‪ ،‬د ﻳﻮې تصادفﻲ پﻴ‪ ３＋‬تجربﻪ‬ ‫تصادفﻲ تجربﻪ‬ ‫د ﻧتﻴج‪ ３‬ﻳا ﻧﻤﻮﻧ‪ ３‬فضا‬ ‫ﻧظري احتﻤال‬ ‫د اتﻢ ＇پرکﻲ ﻟﻨ‪６‬ﻳز او پﻮ＊تﻨ‪３‬‬

‫هـ‬

‫لـومړى څپرکى‬

‫سـټ‬

‫د سټ مفهوم‬ ‫(‪of a Set‬‬

‫‪)Concept‬‬

‫آيا تر اوسه مو تصميم نيولى دى چې د خپل‬ ‫ښوونځي دلوبغاړو د ټيمونو د کوم ټيم غ‪７‬ي‬ ‫شئ؟‬

‫ﻓعاﻟﻴت‬ ‫فرض ک‪７‬ئ چې د يوه ښوونځي په اووم ټولگي کې ‪ 10‬کسه زده کوونکي دي او هغوی غواړي چې د‬ ‫خپل ښوونځي د واليبال‪ ،‬فوټبال او باسکټبال په دريو ټيمونو کې شامل شي‪.‬که چيرې ‪ 5‬تنه د واليبـال‪،‬‬ ‫‪ 7‬تنه د فوټبـال په ټيمونو کې شامل شي او د باسکټبال په ټيم کې يو زده کوونکي هم برخه نه وي‬ ‫اخستي نو‪:‬‬ ‫د هغو زده کوونکو شمېر به څو وي چې هم د واليبال او‬ ‫‪A‬‬ ‫هم د فوټبال په ټيمونو کې يې نومونه ليکلي دي؟‬ ‫محمود‬ ‫حسن‬ ‫احمد‬ ‫قاسم‬ ‫زلمي‬ ‫د هغو زده کوونکو شمېر به څو وي چې په درې واړو نادر‬ ‫پورتينو ټيمونو کې يې نومونه ليکلي دي؟‬ ‫عزت اهلل‬ ‫صفت اهلل‬ ‫عطاءاهلل‬ ‫پورتني ټيمونه هر يو‪ ،‬يوه گ‪６‬ه ځانگ‪７‬تيا لري‪ .‬يا په بل عبارت دين محمد‬ ‫دا هر يو ټيم يوه مجموعه(سټ) جوړوي‪.‬‬ ‫په عمـومي ډول سيټونه د انگليسي ژبې په لويو تورو لکــه ‪ A ,B , C … X, Y, Z‬سره ښودل‬ ‫کې‪８‬ي او د سټ عناصر(غ‪７‬ي) په وړو تورو‪ ،‬لکه‪ a , b , c ... x , y , z :‬سره چې د { }عالمې په منځ‬ ‫کې ليکل کې‪８‬ي‪ ،‬د سټ عناصر ددې( ) عالمې په مرسته يو له بله جال کېـ‪８‬ي‪.‬‬ ‫لومړى مثال‪ :‬که چيرې د اووم ‘‬ ‫ټولگي د زده کوونکو سټ په ‪ ،A‬د واليبال ټيم په ‪ ،B‬د فوټبال ټيم‬ ‫په ‪ C‬او د باسکټبال ټيم په ‪ D‬ونوموو‪ ،‬دا هر يو سټ په الندې ډول ښودل کېـ‪８‬ي‪:‬‬ ‫{زلمى‪ ،‬محمود‪ ،‬دين محمد‪ ،‬عطاء اهلل‪ ،‬نادر‪ ،‬عزت اهلل‪ ،‬قاسم‪ ،‬صفت اهلل‪ ،‬حسن‪ ،‬احمد}=‪A‬‬ ‫{محمود‪ ،‬زلمي‪ ،‬قاسم‪ ،‬حسن‪ ،‬احمد}=‪B‬‬ ‫{عزت اهلل‪ ،‬عطاء اهلل‪ ،‬دين محمد‪ ،‬نادر‪ ،‬صفت اهلل‪ ،‬قاسم‪ ،‬احمد}=‪C‬‬ ‫د ‪ D‬سټ خالي دی‪ ،‬ځکه د باسکټبال په ټيم کې هېڅ زده کوونکي برخه نه ده اخيستې{ }=‪D‬‬

‫‪3‬‬

‫هغه سټ چې هيڅ عنصر و نه لري؛ د تش سټ په نوم يادې‪８‬ي او د‬ ‫ښودل کې‪８‬ي‪.‬‬

‫يا { }عالمې په مرسته‬

‫کوالى شو سټونه د مختلفو شکلونو په مرسته وښيو چې د وين دياگرام په نامه يادېـ‪８‬ي‪.‬‬ ‫د مثال په ډول کوالى شو د ‪ A ، B‬او ‪ C‬سټونه دوين دياگرام په مرسته په الندې ډول ښکاره‬ ‫ک‪７‬و‪.‬‬ ‫‪A‬د اووم ټولگي د زده کوونکو سټ‬

‫‪ B‬د واليبال د ټيم سټ‬

‫احﻤد زﻟﻤﻲ‬ ‫حسﻦ‬ ‫ﻣحﻤﻮد ﻗاسﻢ ﺻﻔت اﷲ‬ ‫ﻧادر‬ ‫دﻳﻦ ﻣحﻤد‬ ‫ﻋزت اﷲ ﻋﻄاء اﷲ‬

‫احﻤد‬ ‫حسﻦ‬ ‫زﻟﻤﻲ‬ ‫ﻣحﻤﻮد ﻗاسﻢ‬

‫‪ C‬د فوټبال د ټيم سټ‬

‫ﻗاسﻢ‬ ‫احﻤد‬ ‫ﺻﻔت اﷲ‬ ‫دﻳﻦ ﻣحﻤد ﻧادر‬ ‫ﻋزت اﷲ ﻋﻄاءاﷲ‬

‫ﻓعاﻟﻴت‬ ‫يو داسې سټ وليکئ چې عناصر يې د هندسي بکس سامان او آالت وي‪.‬‬ ‫يو پنځه عنصري سټ وليکئ چې عناصر يې د اهلي حيواناتو نومونه وي‪.‬‬ ‫يو شپ‪ ８‬عنصري سټ وليکئ چې عناصر يې د تازه مېوو نومونه وي‪.‬‬ ‫دويم مثال‪:‬که د هغو طاقو عددونو سټ ته چې له ‪ 10‬څخه کوچني وي ‪ O‬او د هغه جفتو عددونو‬ ‫سټ ته چې له ‪ 10‬څخه کوچني وي ‪ E‬ووايو‪ ،‬نو‪:‬‬ ‫}‪O = {1,3,5,7,9‬‬ ‫}‪E = {2, 4,6,8‬‬ ‫يو شمېر ځانگ‪７‬و شيانو ته سټ او په خپله شيانو ته د سټ عناصر(غ‪７‬ي) وايي‪.‬‬

‫پوښتنې‬ ‫‪ -1‬داسې يو سټ وليکئ چې عناصر يې د اون‪ ９‬د ورځو نومونه وي‪.‬‬ ‫‪ -2‬داسې يو سټ وليکئ چې عناصر يې د کال د مياشتو نومونه وي‪.‬‬ ‫‪ -3‬د انگليسي ژبې د غ‪ ８‬لرونکو(واول) تورو سټ وليکئ‪.‬‬ ‫‪ -4‬داسې يو سټ وليکئ چې عناصر يې د افغانستان د واليتونو نومونه وي‪.‬‬ ‫‪ -5‬داسې يو سټ وليکئ چې عناصر يې هغه انسانان وي چې د تنې لوړوالى يې ‪ 3‬متره وي‪.‬‬

‫‪4‬‬

‫د يو سټ عناصر(غړي)‬

‫)‪(Members of a Set‬‬

‫آيا کوالى شئ ووايئ چې وزه د اهلي حيواناتو په‬ ‫سټ کې شامله ده که نه؟‬

‫د ورزشي ټيمونو په مثال کې مو وليدل صفت اهلل د فوټبال د ټيم غ‪７‬ى(عنصر) و چې د ‪ C‬د سټ يو‬ ‫عنصر دى او په دې ډول ښودل کې‪８‬ي‪ C :‬صفت اهلل‬ ‫څرنگه چې زلمى د فوټبال د ټيم (د ‪ C‬د سټ) غ‪７‬ى (عنصر) نه دى‪ ،‬په دې ډول ښودل کې‪８‬ي‪.‬‬ ‫‪ C‬زلمی (زلمى د ‪ C‬د سټ يا د فوټبال د ټيم عنصر نه دى)‬ ‫ليکن زلمى د واليبال د ټيم يا د ‪ B‬د سټ عنصر دى‪ ،‬نو په دې اساس ليکو‪:‬‬ ‫‪B‬‬

‫زلمى (زلمى د ‪ B‬د سټ عنصر دى)‬ ‫فعاليت‬

‫الندې سټونه په پام کې ونيسئ‪:‬‬

‫}‪A = {a, b, c, d, e‬‬ ‫}‪B = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8‬‬

‫آيا ‪ b‬د ‪ B‬د سټ عنصر دى؟ د ‪ d‬په برخه کې څه ويالى شئ چې د ‪ B‬عنصر دى که نه؟‬ ‫آيا ‪ 5‬د ‪ A‬د سټ عنصر دى؟ آﻳا ‪ 5‬د ‪ B‬د سټ عنصر دى؟‬ ‫د ‪ A‬سټ څو عناصر لري؟ همدارنگه د ‪ B‬سټ څو عناصر لري؟‬ ‫لومړى مثال‪ :‬د ‪ A‬او ‪ B‬سټونه په دې ډول په پام کې نيسو چې‪:‬‬

‫{جفت يو رقمي عددونه}=‪A‬‬ ‫{هغه يو رقمي عددونه چې پر ‪ 3‬پوره د وېش وړ وي}=‪B‬‬

‫د ‪ A‬او ‪ B‬د سټونو عناصر وليکئ‪.‬‬ ‫د ‪ A‬او ‪ B‬سټونه د وين د دياگرام په واسطه ښکاره ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫حل‬

‫‪5‬‬

‫}‪A = {2, 4, 6,8‬‬ ‫}‪B = {3, 6,9‬‬

‫ليدل کې‪８‬ي چې‪:‬‬ ‫‪3 B‬‬ ‫‪9 B‬‬ ‫‪6 B‬‬

‫‪2 A‬‬ ‫‪4 A‬‬ ‫‪8 A‬‬

‫‪4 B‬‬

‫‪6 A‬‬

‫‪B‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪9‬‬

‫‪6‬‬

‫‪A‬‬

‫‪8 2‬‬ ‫‪4‬‬

‫دويم مثال‪:‬له الندې اړيکو څخه کومه يوه سمه او کومه يوه ناسمه ده؟‬ ‫‪(a‬‬

‫{‬

‫‪(b‬‬

‫}‬

‫‪f‬‬

‫}‪{a , b , c , d , e‬‬

‫حل‪ :‬د ‪ a‬اړيکه سمه؛ خو د ‪ b‬اړيکه ناسمه ده‪.‬‬ ‫په يوه سټ کې د يو عنصر غ‪７‬يتوب د ( ) عالمې او نه غ‪７‬يتوب د( )عالمې په واسطه ښودل‬ ‫کې‪８‬ي‪.‬‬ ‫پوښتنې‬ ‫‪B‬‬

‫‪1 3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪15‬‬

‫‪6‬‬

‫‪12‬‬

‫‪7‬‬

‫‪A‬‬

‫‪5‬‬

‫‪ -1‬الندې تش ځايونه د ‪ A‬او ‪ B‬د سټونو د پورتني شکل په اساس ډک ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪B‬‬

‫‪12‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪-2‬که}‪ A = {2, 4, 6,8‬او}‪ B = {1,3,5, 7 ,9‬وي په الندې عبارتونو کې کوم يو سم او کوم‬

‫يو يې ناسم دى؟‬

‫‪B‬‬

‫‪A ، 9‬‬

‫‪B ، 8‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪7‬‬

‫‪6‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪A ، 7‬‬

‫‪، 4‬‬

‫‪A‬‬

‫‪5‬‬

‫‪10 A ، 11 B ، 1 A ، 2 A ، 3 B‬‬ ‫‪ -3‬که }‪ A = {1, 2, 3, 4‬او }‪ B = {3, 4, 5, 6‬وي په الندې عبارتونو کې کوم يو يې سم او کوم يو‬ ‫ناسم دى؟‬ ‫‪A‬‬

‫‪6‬‬

‫‪A‬‬

‫‪5‬‬

‫‪5 B‬‬

‫‪A‬‬

‫‪4‬‬

‫‪A‬‬

‫‪6‬‬

‫‪A‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪A‬‬

‫‪3‬‬

‫‪B‬‬

‫‪ -4‬په الندې عبارتونو کې سم او نا سم و ښاياست‪:‬‬ ‫}‪{2,4,6,8,10‬‬ ‫}‪{a,b,c,d,e‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪g‬‬

‫‪،‬‬ ‫‪،‬‬

‫}‪8 {3,5,7,8,9,11,13‬‬ ‫}‪10 {1,2,3,4,5,6,7,8‬‬

‫‪6‬‬

‫د يو سټ د ليکلو طريقې‬ ‫يو سټ په څو ډوله ښودالى شو؟‬

‫}‬

‫‪,‬‬

‫‪,‬‬

‫{=‪A‬‬

‫{د طييبې کلمه‪ ،‬لمونځ‪ ،‬روژه‪ ،‬زکات‪ ،‬حج}=‪B‬‬ ‫{د اسالم پنځه بناوې}=‪C‬‬

‫په عمومي ډول سټ په دوو طريقو ليکي‪:‬‬ ‫‪ -1‬هغه طريقه ده چې د سټ ټول عنصرونه او يا يې تصويرونه د سټ د عالمې{ } په منځ کې وي په‬ ‫دې ډول چې د عناصرو تر منځ(‪ )،‬عالمه ليکل کې‪８‬ي‪ .‬دې طريقې ته تفصيلي طريقه او يا د عناصرو‬ ‫د لست کولو طريقه(‪ )Tabulation Method‬وايي‪.‬‬ ‫لومړى مثال‪{:‬‬

‫‪,‬‬

‫‪,‬‬

‫‪,‬‬

‫‪,‬‬

‫}=‪{ ، A‬احمد ‪ ،‬حسن ‪ ،‬قاسم ‪ ،‬زلمی ‪ ،‬محمود} = ‪B‬‬

‫} ‪ D = {a , b , c , d , e} , C = {1, 2, 3, 4,5, 6, 7 ,8‬او }‪E = {1, 2,3, 4,...,500‬‬

‫څرنگه چې د ‪ E‬د سټ عناصر زيات دي‪ ،‬په همدې اساس درې ټکي ‪ ...‬دا مفهوم لري چې عددونه‬ ‫تر ‪ 500‬پورې دوام لري‪.‬‬ ‫‪ -2‬د سټ د عناصرو د خاصيتونو په اساس سټ په يوه جمله کې ځانگ‪７‬ی کې‪８‬ي‪ .‬په دې طريقه کې‬ ‫د سټ د عالمې{ } ليکل ضروري نه دی‪ .‬دا طريقه د اجمالي يا تشريحي طريقې‬ ‫(‪ )Description Method‬په نامه يادې‪８‬ي‪.‬‬ ‫دويم مثال‪ :‬د لوم‪７‬ي مثال د ‪ B‬او ‪ E‬سټونه د اجمالي طريقې په مرسته په الندې ډول ليکو‪:‬‬ ‫د اووم ټولگي د زده کوونکو د واليبال ټيم د نومونوسټ = ‪B‬‬ ‫له(‪ )1‬څخه تر ‪ 500‬پورې د طبيعي عددونو سټ = ‪E‬‬ ‫}‪ P = {2,3,5, 7,11,...‬په الندې ډول ليکو‪:‬‬ ‫د لوم‪７‬نيو عددونو سټ = ‪P‬‬ ‫دريم مثال‪ :‬که {طييبې کلمه‪ ،‬لمونځ‪ ،‬روژه‪ ،‬زکات‪ ،‬حج}=‪ K‬وي‪ ،‬د ‪ K‬سټ د اجمالي طريقې‬ ‫په شکل په الندې ډول ليکو‪:‬‬ ‫د اسالم د پنځو بناوو سټ = ‪K‬‬

‫‪7‬‬

‫فعاليت‬ ‫د انگليسي ژبې د ‪ 8‬لوم‪７‬نيو تورو سټ = ‪A‬‬ ‫له (‪ )2‬څخه لوى او له (‪ )10‬څخه د کوچنيو طبيعي عددونو سټ = ‪B‬‬ ‫د (‪ )3‬عدد د مضربونو سټ چې له ‪ 20‬څخه کوچنى وي = ‪C‬‬

‫د ‪ B، A‬او ‪ C‬سټونه‪ ،‬د عناصرو د لست کولو په طريقې وليکئ‪.‬‬

‫څلورم مثال‪ :‬که }‪ A = {a , e , i , o , u‬او }‪ B = {a , b , c , d , e‬وي‪ ،‬دا سټونه په اجمالي يا‬ ‫توصيفي طريقې سره وليکئ‪.‬‬ ‫حل‪:‬‬ ‫د انگليسي ژبې د غ‪ ８‬لرونکو تورو سټ = ‪ ، A‬د انګليسي ژبې د پنځو لوم‪７‬نيو تورو سټ = ‪B‬‬

‫پوښتنې‬ ‫‪-1‬الندې سټونه د عناصرو د لست کولو په طريقې وليکئ‪.‬‬ ‫د اون‪ ９‬د ورځو د نومونو سټ = ‪B‬‬ ‫د کال د مياشتو د نومونو سټ = ‪A‬‬ ‫د افغانستان د بيرغ د رنگونو سټ = ‪E‬‬

‫‪ -2‬الندې سټونه په توصيفي( تشريحي) طريقې سره وليکئ‪.‬‬ ‫}‪A = {a , e , i , o , u‬‬ ‫{تور‪ ،‬سور‪ ،‬شين} = ‪B‬‬

‫}‪C = {1,3,5,7,9‬‬ ‫}‪D = {2, 4,6,8‬‬ ‫}‪E = {1, 2,3, 4,5‬‬ ‫‪ -3‬الندې سټونه د عناصرو د لست کولو په طريقې وليکئ‪.‬‬ ‫د جفتو يو رقمي طبيعي عددونو سټ = ‪K‬‬ ‫د طاقو يو رقمي طبيعي عددونو سټ = ‪L‬‬ ‫د (‪ )7‬د عدد د مضربونو سټ = ‪T‬‬ ‫د اووم ټولگي د زده کوونکو د فوټبال دټيم سټ = ‪C‬‬ ‫د اووم ټولگي د زده کوونکو د واليبال دټيم سټ = ‪B‬‬ ‫د اووم ټولگي د زده کوونکو سټ = ‪A‬‬

‫‪8‬‬

‫مساوي او معادل سټونه‬ ‫)‪(Equal and Equivalent Sets‬‬ ‫آيا ويالى شئ چې د ‪ A‬او ‪ C‬سټونه په خپل منځ‬ ‫کې څه اړيکه لري همدارنگه د ‪ A‬او ‪ B‬د سټونو‬ ‫په منځ کې څه اړيکه وجود لري؟‬

‫}‬

‫‪,‬‬

‫‪,‬‬

‫{=‪A‬‬

‫}‬

‫‪,‬‬

‫‪,‬‬

‫{=‪B‬‬

‫}‬

‫‪,‬‬

‫‪,‬‬

‫{=‪C‬‬

‫ﻓعاﻟﻴت‬ ‫که }‪ A = {1, 2 , 3 , 4 , 5 , 7 , 8‬سره وي‪ ،‬د ‪ A‬د سټ له مخې د ‪ B‬او ‪ C‬سټونه داسې وليکئ‪،‬‬ ‫چې‪:‬‬ ‫‪ B‬د جفتو يو رقمي عددونو سټ وي‪.‬‬ ‫‪ C‬د يو رقمي عددونو سټ چې پر ‪ 2‬پوره د وېش وړ وي‪.‬‬ ‫د ‪ B‬او ‪ C‬د سټونو په اړه څه ويالى شئ؟‬

‫تعريف‪ :‬د ‪ A‬او ‪ B‬سټونه هغه وخت سره مساوي دي چې د دواړو سټونو د عناصرو شمېر مساوي‬ ‫او يو شى وي او يا په بل عبارت که د ‪ A‬سټ ټول عناصرد ‪ B‬په سټ کې او د ‪ B‬د سټ ټول عناصر‬ ‫د ‪ A‬په سټ کې شامل وي‪ .‬په دې حالت کې ليکو چې‪ A=B:‬دى‪.‬‬ ‫لومړى مثال‪:‬که }‪ A = {1, 2 , 6‬او }‪ B = {1,1, 2 , 2 , 6‬وي‪ ،‬متوجه اوسئ چې ‪ A = B‬دى‪.‬‬ ‫بايــد پــه پــام کــې ولــرو چــې }‪ {2, 3, 5, 7} = {5, 3, 2, 7‬دى‪ .‬د }‪ A = {1, 2‬او }‪B = {2, 3‬‬ ‫ســټونه پــه نظــر کــې ونيســئ‪ ،‬دا دواړه ســټونه يو له بل ســره مســاوي نــه دي ځکه چــې ‪ 1 A‬دى‬ ‫ليکن ‪. 1 B‬‬ ‫د يو سټ د عناصرو تکرار او يا د يو سټ د عناصرو د ځايونو بدلول په سټ کې هېڅ بدلون نه راوړي‪.‬‬

‫‪9‬‬

‫ﻓعاﻟﻴت‬ ‫د ‪ A‬او ‪ B‬دوه سټونه په پام کې ونيسئ‪.‬‬ ‫}‪ B = {5,4,7,8‬او }‪A = {a,b,c,d‬‬ ‫د ‪ A‬او ‪ B‬د هر يو سټ د عناصرو شمېر څو دى؟‬ ‫آﻳا ‪ a‬د ‪ B‬د سټ عنصر دى؟‬ ‫آﻳا د ‪ A‬سټ د ‪ B‬له سټ سره برابر دى‪ ،‬ولې؟‬ ‫‪ A = { ,‬او}‪ B = {8,10,12‬وي‪ ،‬آﻳا د ‪ A‬او ‪ B‬سټونه سره‬

‫دويم مثال‪ :‬که } ‪,‬‬ ‫معادل دي؟‬ ‫حل‪ :‬څرنگه چې د ‪ A‬دسټ د عناصرو شمېر درې او د ‪ B‬سټ د عناصرو شمېر هم درې دى نو‪،‬‬ ‫د ‪ A‬او ‪ B‬سټونه سره معادل دي‪.‬‬ ‫دريم مثال‪ :‬آﻳا د طاقو او جفتو يو رقمي عددونو سټونه سره معادل دي؟‬ ‫حل‬ ‫څرنگه چې د ‪ A‬سټ د عناصرو شمېر پنځه او د ‪ B‬سټ د عناصرو شمېر څلور دى‪ ،‬نو له دې کبله‬ ‫د ‪ A‬او ‪ B‬سټونه سره معادل نه دي‪.‬‬ ‫د ‪ A‬او‪ B‬سټونه چې عناصر يې يو شى وي‪ ،‬مساوي سټونه دي او که يوازې د عناصرو شمېر يې سره‬ ‫مساوي وي‪ ،‬د معادل سټونو(‪ )Equivalent sets‬په نامه يادې‪８‬ي‪.‬‬ ‫}‪B = {2 , 4 , 6 , 8‬‬

‫}‪A = {1, 3 , 5 , 7 , 9‬‬

‫پوښتنې‬ ‫‪ -1‬د } ‪ A = 1, 2, 3, 4, 5,‬او }‪ B = {a, b, c, d , e‬سټونه په پام کې ونيسئ‪.‬‬ ‫آﻳا د ‪ A‬سټ د ‪ B‬له سټ سره مساوي دى؟‬ ‫آﻳا د ‪ A‬سټ د ‪ B‬له سټ سره معادل دى؟‬ ‫‪ -2‬د }‪ A = {1, 7, 8, 9‬او }‪ B = {9, 8,1, 7, 9‬سټونه په پام کې ونيسئ‪.‬‬ ‫آﻳا د ‪ A‬سټ د ‪ B‬له سټ سره مساوي دى؟‬ ‫‪ -3‬له الندې عبارتونو څخه کوم يو يې سم او کوم يو يې ناسم دی؟‬ ‫که }‪ A = {5, 6, 8,11‬او }‪ B = {11, 11, 6, 5, 8‬وي‪ ،‬نو ‪ A = B‬دى‪.‬‬ ‫که {شنبه‪ ،‬يکشنبه‪ ،‬دوشنبه}=‪ C‬او }‪ D = {x, y, z‬وي‪ ،‬د ‪ C‬او ‪ D‬سټونه سره معادل دي‪.‬‬ ‫که }‪ M = {2, 4, 6‬او }‪ N = {6, 4, 6, 2‬وي‪ M N ،‬دى‪.‬‬

‫‪10‬‬

‫فرعي سټ)‪(Subset‬‬ ‫ستاسو د کورن‪ ９‬غ‪７‬ي د يو ښار يا کلي خلک دي‪،‬‬ ‫او ستاسو د ښار يا کلي خلک د افغانستان له خلکو‬ ‫څخه دي او د افغانستان خلک ‪. ...‬‬

‫فعاليت‬ ‫‪ A‬د اووم ټولگي د زده کوونکو سټ او ‪ B‬د اووم ټولګي د زده کوونکو د واليبال ټيم سټ دى‪.‬‬ ‫‪B‬‬

‫زﻟﻤﻲ احﻤد‬ ‫ﻋزت اﷲ‬ ‫ﻣحﻤﻮد ﻗاسﻢ‬ ‫حسﻦ‬ ‫ﺻﻔت اﷲ‬

‫‪A‬‬

‫ﻋﻄاء اﷲ‬ ‫دﻳﻦ ﻣحﻤد‬ ‫ﻧادر‬

‫پورته شکل ته په پام سره‪ ،‬د ‪ A‬او ‪ B‬د سټونو عناصر وليکئ‪.‬‬ ‫د ‪ A‬او ‪ B‬د سټونو د عناصرو په منځ کې څه ډول اړيکه موجوده ده؟ څرگنده يې ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫ليدل کې‪８‬ي چې د ‪ B‬سټ هر عنصر د ‪ A‬سټ عنصر هم دى نو ويالى شو چې د ‪ B‬سټ د ‪ A‬د سټ‬ ‫يو فرعي سټ دى چې په دې ډول ښودل کې‪８‬ي‪ ، B A :‬دا د فرعي سټ عالمه ده‪.‬‬ ‫له بلې خوا څرنگه چې د ‪ A‬د سټ هر عنصر د ‪ B‬په سټ کې نشته‪ ،‬نو ‪ A‬د ‪ B‬د سټ‪ ،‬فرعي سټ‬ ‫نه دى‪ ،‬چې داسې ښودل کې‪８‬ي ‪A B :‬‬ ‫لومړى مثال‪ :‬الندې سټونه په نظر کې نيسو‪:‬‬ ‫{احمد ‪ ،‬محمود ‪ ،‬زهرا ‪ ،‬مريم} = ‪A‬‬ ‫{داوود ‪ ،‬قاسم ‪ ،‬احمد ‪ ،‬مريم} = ‪B‬‬ ‫{مريم ‪ ،‬احمد} = ‪C‬‬

‫‪11‬‬

‫‪B‬‬

‫‪B ,‬‬

‫‪C‬‬

‫‪A‬‬

‫‪,‬‬

‫‪C‬‬

‫نو کوالى شو چې ووايو‪A , A B :‬‬ ‫او همدارنگه ويالى شو چې ‪ A A‬دى‪ .‬يا هر سټ د خپل ځان فرعي ست دى‪.‬‬

‫که د ‪ A‬د سټ هر عنصر د ‪ B‬په سټ کې او د ‪ B‬د سټ هر عنصر د ‪ A‬په سټ کې شامل وي‪ ،‬نو‬ ‫ويالى شو چې دا دواړه سټونه يو له بل سره مساوي دي او ليکالى شو‪:‬‬ ‫‪ B A‬او ‪A B‬‬ ‫‪A=B‬‬ ‫فعاليت‬ ‫د }‪ E = {7, 6, 2, 5} ، B = {5, 7} ، A = {2, 5, 6, 7‬او }‪ D = {1, 2, 5, 6‬سټونه راک‪７‬ل شوي دي‪.‬‬ ‫آﻳا ‪ B A‬دى؟‬ ‫آﻳا ‪ D A‬دى؟‬ ‫آﻳا د ‪ E‬سټ د ‪ A‬د سټ يو فرعي سټ دى؟‬ ‫دويم مثال‪ :‬که }‪ A = {2, 4, 6, 8‬وي له الندې سټونو څخه کوم سټ د ‪ A‬فرعي سټ دى؟‬

‫} { = ‪B = {1, 2 , 4} , E‬‬ ‫حل‪ E A :‬دى؛ ځکه چې تش سټ د هر سټ فرعي سټ کيداى شي‪ ،‬او ‪A‬‬ ‫فرعي ست نه دى) ځکه چې ‪ 1 B‬دى ليکن ‪1 A‬‬

‫‪ B( B‬د ‪A‬‬

‫که د ‪ B‬سټ ټول عناصر د ‪ A‬په سټ کې شامل وي‪ B ،‬د ‪ A‬سټ يو فرعي سټ دى چې داسې‬ ‫‪B A‬‬ ‫ښودل کې‪８‬ي‪:‬‬

‫پوښتنې‬ ‫‪ -1‬که }‪ A = {1, 2, 3, 4‬وي‪ ،‬د ‪ C ، B‬او ‪ D‬سټونه په تفصيلي طريقې سره وليکئ‪.‬‬ ‫‪ B‬يو داسې سټ وي چې ټول عناصر يې جفت عددونه وي‪.‬‬ ‫‪ C‬يو داسې سټ وي چې ټول عناصر يې طاق عددونه وي‪.‬‬ ‫‪ D‬يو داسې سټ وي چې ټول عناصر يې له ‪ 4‬څخه لوى وي‪.‬‬ ‫‪ -2‬آﻳا هر سټ‪ ،‬د خپل ځان فرعي سټ دى؟‬ ‫‪ -3‬له الندې سټونو څخه کوم يو د }‪ C = {2, 4, 6,8‬د سټ فرعي سټ دى؟‬ ‫} { = ‪A = {1,2,4} , B‬‬

‫‪ -4‬له الندې سټونو څخه کوم يو يې د }‪ C = {1, 2, 3,4, 5‬سټ فرعي سټ دى؟‬ ‫}‪A = {3,5, 7‬‬ ‫}‪، B = {1, 2,3, 4,5‬‬ ‫‪ -5‬له الندې سټونو څخه کوم يو يې د }‪ C = {1, 2, 3,4‬له سټ سره مساوي دى؟‬ ‫}‪B = {4,3, 2,1‬‬

‫‪،‬‬

‫}‪A = {1, 2,3‬‬

‫‪12‬‬

‫د سټونو تقاطع‬ ‫)‪(Intersection of Sets‬‬

‫آﻳا د لوم‪７‬ي لوست له لوم‪７‬ي مثال څخه ويالى‬ ‫شئ چې کومو زده کوونکو هم د واليبال او هم د‬ ‫فوټبال په ټيم کې برخه اخيستې ده؟‬

‫‪ C‬د فوټبال ټيم‬ ‫لکه څرنگه چې ليدل کې‪８‬ي‪ ،‬احمد او قاسم د واليبال او فوټبال په‬ ‫ﻋزت اﷲ‬ ‫دواړو ټيمونو کې برخه اخيستى ده‪.‬‬ ‫ﻧادر‬ ‫احﻤد‬ ‫د ‪ B‬او ‪ C‬د سټونو تقاطع له هغه سټ څخه عبارت ده چې ﺻﻔت اﷲ‬ ‫ﻗاسﻢ‬ ‫عناصر يې احمد او قاسم دي او په دې ډول ښودل کې‪８‬ي‪:‬‬ ‫دﻳﻦ ﻣحﻤد‬ ‫{احمد‪ ،‬قاسم}= ‪ B A‬چې د تقاطع عالمه ده‪.‬‬ ‫ﻋﻄاء اﷲ‬ ‫{احمد‪ ،‬قاسم‪ ،‬عزت اهلل‪ ،‬نادر‪ ،‬صفت اهلل‪ ،‬دين محمد‪ ،‬عطاء اهلل} {حسن‪ ،‬زلمی‪ ،‬محمود‪ ،‬احمد‪ ،‬قاسم} = ‪A‬‬ ‫{احمد‪،‬قاسم} =‬

‫‪ B‬د واليبال ټيم‬ ‫حسﻦ‬ ‫زﻟﻤﻲ‬ ‫ﻣحﻤﻮد‬ ‫‪B‬‬

‫‪U‬‬

‫‪U‬‬

‫‪U‬‬

‫‪U‬‬

‫لومړى مثال‪ :‬که د }‪ A = {4, 5, 6, 8,10‬او }‪ B = {3, 5, 8,1‬سټونه راک‪７‬ل شوي وي‪B ،‬‬ ‫او ‪ B A‬پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫حل‪A B = {4 , 5 , 6 , 8,10} I {3 , 5 , 8 ,1} = {5 , 8} :‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪4‬‬ ‫}‪B A = {3 , 5 , 8 ,1} I {4 , 5 , 6 , 8,10} = {5 , 8‬‬ ‫‪5 1‬‬

‫‪A‬‬

‫‪U‬‬

‫‪U‬‬

‫‪U‬‬ ‫‪U‬‬

‫په پايله کې لکه څرنگه چې په شکل کې هم ليدل کې‪８‬ي ويالى شو چې‪:‬‬

‫‪3‬‬

‫}‪A B = B A = {5 , 8‬‬

‫‪8‬‬

‫‪6‬‬

‫‪10‬‬

‫‪U‬‬

‫‪U‬‬

‫فعآليت‬ ‫که د }‪ B = {1, 2 , 7, 8} ، A = {1, 2, 3, 4, 5, 6‬او }‪ C = {2, 3, 7, 8, 9‬سټونه راک‪７‬ل شوي وي‬ ‫‪ B C ، A B‬او ‪ (A I B) I C‬پيدا او د وين په دياگرام کې يې وښاياست‪.‬‬ ‫‪U‬‬

‫‪U‬‬

‫دويم مثال‪ :‬د ‪ A‬او ‪ B‬سټونه‪ ،‬په الندې ډول په پام کې ونيسئ‪:‬‬ ‫}‪A = {1, 3 , 5} ، B = {2 , 4 , 8‬‬ ‫ليدل کې‪８‬ي چې‪:‬‬ ‫= }‪A B = {1, 3, 5} {2, 4, 8‬‬ ‫‪U‬‬

‫‪U‬‬

‫‪13‬‬

‫‪A‬‬

‫‪B‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪2‬‬

‫‪3‬‬

‫‪8‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪5‬‬

‫=‪AI B‬‬

‫هغه سټونه چې هېڅ مشترک( گ‪ )６‬عنصر ونه لري‪ ،‬د غير مشترکو(سره بېل) سټونو‬ ‫(‪ )Disjoint Sets‬په نامه يادې‪８‬ي‪.‬‬ ‫د ‪ A‬او ‪ B‬د داسې د دوو سټونو تقاطع چې د ‪ A‬ټول عناصر د ‪ B‬په سټ کې شامل وي‪ ،‬د ‪ A‬له سټ‬ ‫څخه عبارت دی‪.‬‬ ‫دريم مثال‪ :‬که }‪ A = {1, 2, 3‬او }‪B = {1, 2, 3, 4, 5, 6‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪4 1 2 6‬‬ ‫وي‪ A B ،‬معلوم ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪AI B‬‬ ‫‪3‬‬ ‫حل‪ :‬لکه څنگه چې په شکل کې ښودل شوي دي‪.‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪U‬‬

‫‪U‬‬

‫‪A B = {1, 2, 3} {1, 2, 3, 4, 5, 6} = {1, 2, 3} = A‬‬ ‫‪U‬‬

‫څلورم مثال‪ :‬که }‪ B = {1, 2} ، A = {1‬او }‪ C = {1, 2, 3‬وي ‪ ،‬د ‪ (A B) C‬او‬ ‫‪U‬‬

‫‪U‬‬

‫‪U‬‬

‫‪U‬‬

‫)‪ A (B C‬پيدا ک‪７‬ئ او يو له بل سره يې پرتله ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫}‪B I C = {1, 2}I {1, 2, 3} = {1, 2‬‬ ‫}‪A ( B C( = {1} {1, 2} = {1‬‬ ‫}‪A B = {1} {1, 2} = {1‬‬ ‫}‪(A B) C = {1} {1, 2, 3} = {1‬‬ ‫‪U‬‬ ‫‪U‬‬

‫‪U‬‬

‫‪U‬‬

‫‪U‬‬

‫په همدې ډول‪:‬‬

‫‪U‬‬ ‫‪U‬‬

‫حل‪:‬‬

‫‪U‬‬

‫‪U‬‬

‫‪U‬‬

‫په نتيجه کې‪:‬‬ ‫دې خاصيت ته د سټونو د تقاطع اتحادي خاصيت وايي‪.‬‬ ‫د ‪ A‬او ‪ B‬د دوو سټونو تقاطع له هغه سټ څخه عبارت ده چې عناصر يې هم د ‪ A‬او هم د ‪ B‬په‬ ‫سټ کې شامل وي‪ .‬د ‪ A‬د سټ تقاطع له خپل ځان سره (له ‪ A‬سره) برابره ده‪A A = A .‬‬ ‫}‪A (B C ) = (A B) C = {1‬‬ ‫‪U‬‬

‫‪U‬‬

‫‪U‬‬

‫‪U‬‬

‫‪U‬‬

‫پوښتنې‬ ‫‪ -1‬شکل په پام کې ونيسئ‪.‬‬ ‫د شکل له مخې د ‪ A‬او ‪ B‬د سټونو عناصر وليکئ‪.‬‬ ‫‪U‬‬

‫‪U‬‬

‫‪ A B‬او ‪ B A‬پيدا ک‪７‬ئ او په شکل کې يې وښياست‪.‬‬ ‫‪ -2‬که }‪ B = {6,10,12, 20} ، A = {5,10,15, 20‬او‬ ‫}‪ C = {1, 2,10, 20, 30‬وي‪.‬‬ ‫د ‪ B ، A‬او ‪ C‬سټونه په وين دياگرام کې وښياست‪.‬‬ ‫‪ A C ، A B‬او ‪ B C‬پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬

‫‪B‬‬

‫‪d x‬‬ ‫‪c t‬‬

‫‪a‬‬

‫‪A‬‬

‫‪b‬‬

‫‪U‬‬

‫‪14‬‬

‫‪U‬‬

‫‪U‬‬

‫د سټونو اتحاد‬ ‫)‪(Union of Sets‬‬ ‫د اووم ټولگي ‪ 5‬تنه زده کوونکي د واليبـال‬ ‫او‪ 7‬تنه زده کوونکي د فوټبال په ټيم کې‬ ‫شامل دي‪ .‬هغه وخت چې د دواړو ټيمونو‬ ‫زده کوونکي د درس لپاره ټولگي ته ځي‪ ،‬په‬ ‫ټولگي کې به ټول څو زده کوونکي وي؟‬

‫د اووم ټولگى د زده کوونکو سټ = {دين محمد‪ ،‬عطاءاهلل‪ ،‬صفت اهلل‪ ،‬نادر‪،‬عزت اهلل‪ ،‬قاسم‪ ،‬احمد‪ ،‬محمود‪ ،‬زلمي‪ ،‬حسن}=‪A‬‬ ‫د واليبال د ټيم سټ = { قاسم‪ ،‬احمد‪ ،‬محمود‪ ،‬زلمی‪ ،‬حسن}=‪B‬‬ ‫د فوټبال د ټيم سټ = {عطاء اهلل‪ ،‬دين محمد‪ ،‬صفت اهلل‪ ،‬نادر‪ ،‬عزت اهلل‪ ،‬قاسم‪ ،‬احمد} = ‪C‬‬

‫ليدل کې‪８‬ي چې ‪ 5‬زده کوونکي د واليبال په ټيم کې او ‪ 7‬زده کوونکي د فوټبال په ټيم کې برخه لري‪.‬‬ ‫خو کله چې ټولگي ته ځي‪ ،‬په ټولگي کې ‪ 10‬تنه زده کوونکي دي‪ ،‬دا د ‪ B‬او ‪ C‬د سټونو اتحاد دى‬ ‫چې په الندې ډول ښود ل کې‪８‬ي‪.‬‬ ‫‪ B U C‬چې ‪ U‬د دوو سټو په منځ کې د اتحاد عالمه ده‪.‬‬ ‫{عطاءاهلل‪ ،‬دين محمد‪ ،‬صفت اهلل‪ ،‬نادر‪ ،‬عزت اهلل‪ ،‬قاسم‪ ،‬احمد} ‪ { U‬قاسم‪ ،‬احمد‪ ،‬محمود‪ ،‬زلمی‪ ،‬حسن} = ‪B U C‬‬ ‫{دين محمد‪ ،‬عطاءاهلل‪ ،‬صفت اهلل‪ ،‬نادر‪ ،‬عزت اهلل‪ ،‬قاسم‪ ،‬احمد‪ ،‬محمود‪ ،‬زلمی‪ ،‬حسن} = ‪A‬‬ ‫‪ C‬د فوټبال ټيم‬

‫ليدل کې‪８‬ي چې قاسم او احمد هم د واليبال د ټيم او هم‬ ‫د فوټبال د ټيم غ‪７‬ي(عناصر) دي‪ .‬د سټونو په اتحاد کې‬ ‫مشترک عناصر يا گ‪ ６‬غ‪７‬ي يوازې يو وار ليکل کې‪８‬ي‪.‬‬ ‫لکه څنگه چې په شکل کې ښودل شوي دي‪.‬‬

‫فعاليت‬

‫ﻋزت اﷲ‬ ‫ﻧادر‬ ‫احﻤد‬ ‫ﺻﻔت اﷲ‬ ‫ﻗاسﻢ‬ ‫دﻳﻦ ﻣحﻤد‬ ‫ﻋﻄاء اﷲ‬

‫حسﻦ‬ ‫زﻟﻤﻲ‬ ‫ﻣحﻤﻮد‬

‫‪ B B U C‬د واليبال ټيم‬

‫که د }‪ A = {1, 2, 3, 4‬او }‪ B = {3, 4, 5, 6‬سټونه راک‪７‬ل شوي وي‪ A U B ،‬او ‪ B U A‬پيدا‬ ‫او په وين دياگرام کې يې وښاياست‪.‬‬

‫‪15‬‬

‫‪B‬‬

‫‪A‬‬

‫لومړى مثال‪ :‬که }‪ A = {1, 2, 3‬او }‪ B = {1, 2, 3, 4, 5‬سټونه‬ ‫راک‪７‬ل شوي وي‪ A U B ،‬او ‪ B U A‬پيدا او په شکل کې يې‬ ‫وښاياست‪.‬‬

‫‪5‬‬

‫‪1‬‬

‫‪3‬‬

‫‪4‬‬

‫‪2‬‬

‫}‪A U B = {1, 2 , 3} U {1, 2 , 3 , 4 , 5} = {1, 2 , 3 , 4 , 5‬‬ ‫}‪B U A = {1, 2 , 3 , 4 , 5} U {1, 2 , 3} = {1, 2 , 3 , 4 , 5‬‬

‫دويم مثال‪ :‬که د }‪ A = {1, 3, 5‬او }‪ B = {2, 4, 6‬سټونه راک‪７‬ل شوي وي‪ A U B ،‬پيدا او په‬ ‫}‪A U B = {1,3,5} U {2, 4, 6} = {1, 2,3, 4,5, 6‬‬ ‫شکل کې يې وښاياست‪:‬‬ ‫‪B‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪6‬‬

‫‪5 3‬‬

‫‪AU B‬‬

‫دريم مثال‪ :‬که }‪ B = {1, 2} , A = {1‬او }‪ C = {1, 2, 3‬وي‪ A U ( B U C ) ،‬او ‪( A U B) U C‬‬

‫پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫حل‪:‬‬

‫}‪B U C = {1, 2} U {1, 2,3} = {1, 2,3‬‬ ‫}‪A U (B U C) = {1} U {1, 2,3} = {1, 2,3‬‬ ‫}‪A U B = {1} U {1, 2} = {1, 2‬‬ ‫}‪(A U B) U C = {1 , 2} U {1, 2,3} = {1, 2,3‬‬

‫په پايله کې‪A U (B U C) = (A U B) U C :‬‬ ‫پورتني خاصيت ته د سټونو د اتحاد د عمليي اتحادي خاصيت وايي‪.‬‬

‫د ‪ A‬او ‪ B‬د دوو سټونو اتحاد هغه سټ دى چې عناصر يې يا په ‪ A‬او يا په ‪ B‬کې شامل وي‪.‬‬

‫پوښتنې‬ ‫د مخامخ شکل له مخې‪:‬‬ ‫د ‪ B , A‬او ‪ C‬سټونو په پام کې نيولو سره د‬ ‫‪ B U C ، A U C ، A U B‬او ‪(A U B) U C‬‬ ‫سټونه‪ ،‬د عناصرو د لېست کولو په طريقې‬ ‫وليکئ‪.‬‬

‫‪B‬‬

‫‪A‬‬

‫‪1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪4‬‬

‫‪6‬‬ ‫‪7‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪10‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪C‬‬

‫‪16‬‬

‫د دوو سټونو تفاضل‬ ‫)‪(Difference of two Sets‬‬

‫که د اووم ټولگي د واليبال د ټيم زده کوونکي‬ ‫مسابقې ته الړ شي‪ ،‬په ټولگي کې به څو تنه‬ ‫زده کوونکي پاتې شي؟‬

‫لکه څنگه چې پوهې‪８‬ئ‪ :‬د اووم ټولگي هغه زده کوونکي چې د واليبال په ټيم کې دي‪ ،‬د ‪ B‬له سټ څخه عبارت‬ ‫دی‪.‬‬ ‫{قاسم‪ ،‬احمد‪ ،‬محمود‪ ،‬زلمي ‪ ،‬حسن} = ‪B‬‬

‫د اووم ټولگي د ټولو زده کوونکو سټ يا د ‪ A‬سټ مساوي دى په‪:‬‬ ‫{زلمی‪ ،‬محمود‪ ،‬دين محمد‪ ،‬عطاءاهلل‪ ،‬نادر‪ ،‬عزت اهلل‪ ،‬قاسم‪ ،‬صفت اهلل‪ ،‬احمد‪،‬حسن} = ‪A‬‬ ‫په دې ډول هغه زده کوونکي چې په ټولگي کې پاتې کې‪８‬ي او د واليبال په ټيم کې شامل نه دي‪،‬‬ ‫له‪:‬صفت اهلل‪ ،‬عزت اهلل‪ ،‬نادر‪ ،‬عطاء اهلل او دين محمد څخه عبارت دي‪.‬‬ ‫په ټولگي کې پاتې زده کوونکي چې د واليبال په ټيم کې شامل نه دي={صفت اهلل‪ ،‬عزت اهلل‪ ،‬نادر‪ ،‬عطاءاهلل‪ ،‬دين محمد} = ‪A B‬‬ ‫‪ A‬د اووم ټولګي زده کوونکو سټ‬

‫چې په حقيقت کې د دې دواړو سټونو تفاضل دى‪.‬‬ ‫د پورتنيو دوو سټونو تفاضل په شکل‬ ‫کې هم ښودل شوى دى‪.‬‬

‫‪ B‬د واليبال ټيم‬

‫حسﻦ‬ ‫زﻟﻤﻲ‬ ‫ﻣحﻤﻮد‬ ‫احﻤد‬ ‫ﻗاسﻢ‬

‫ﺻﻔت اﷲ‬ ‫ﻋزت اﷲ‬ ‫ﻧادر‬ ‫ﻋﻄاء اﷲ‬ ‫دﻳﻦ ﻣحﻤد‬

‫‪A B‬‬

‫د واليبال ټيم ={محمود‪ ،‬زلمي‪ ،‬قاسم‪ ،‬حسن‪ ،‬احمد} = ‪B‬‬ ‫لومړى مثال‪:‬‬ ‫د فوټبال ټيم ={عزت اهلل‪ ،‬عطاءاهلل‪ ،‬دين محمد‪ ،‬نادر‪ ،‬صفت اهلل‪ ،‬قاسم‪ ،‬احمد} = ‪C‬‬

‫‪ B C‬او ‪ C B‬پيدا او په شکل کې وښاياست‪.‬‬ ‫ﻋزت اﷲ‬ ‫حل‪ :‬په ‪ ، B C‬کې هغه عناصر شامل دي چې د ‪ B‬په‬ ‫ﻧادر‬ ‫حسﻦ‬ ‫سټ کې شامل وي‪ ،‬خو د ‪ C‬په سټ کې شامل نه وي‪(،‬هغه‬ ‫احﻤد‬ ‫ﺻﻔت اﷲ‬ ‫زﻟﻤﻲ‬ ‫زده کوونکي چې د واليبال په ټيم کې شامل وي او د فوټبال‬ ‫ﻗاسﻢ‬ ‫دﻳﻦ ﻣحﻤد‬ ‫ﻣحﻤﻮد‬ ‫په ټيم کې شامل نه وي)‬ ‫ﻋﻄاء اﷲ‬ ‫‪ C‬د فوټبال ټيم‬

‫‪B C‬‬

‫‪17‬‬

‫‪ B‬د واليبال ټيم‬

‫{عزت اهلل‪ ،‬عطاءاهلل‪ ،‬دين محمد‪ ،‬نادر‪ ،‬صفت اهلل‪ ،‬قاسم‪ ،‬احمد}‪{-‬محمود‪ ،‬زلمي‪ ،‬قاسم‪ ،‬حسن‪ ،‬احمد} = ‪B C‬‬ ‫{محمود‪ ،‬زلمي‪ ،‬حسن} = ‪B C‬‬ ‫په ‪ C B‬کې هغه زده کوونکي شامل دي چې د فوټبال په ټيم کې شامل وي‪ ،‬خو د واليبال په ټيم کې‬

‫شامل نه وي‪.‬‬ ‫{محمود‪ ،‬زلمی‪ ،‬قاسم‪ ،‬حسن‪ ،‬احمد}‪{-‬عزت اهلل‪ ،‬عطاءاهلل‪ ،‬دين محمد‪ ،‬نادر‪ ،‬صفت اهلل‪ ،‬قاسم‪ ،‬احمد} = ‪B‬‬

‫{عزت اهلل‪ ،‬عطاءاهلل‪ ،‬دين محمد‪ ،‬نادر‪ ،‬صفت اهلل} =‬

‫‪ C‬د فوټبال ټيم‬

‫‪ C B‬په شکل کې‪ ،‬په الندې ډول ښودل شوي دي‪.‬‬ ‫ليدل کې‪８‬ي چې ‪ B C C B‬دى‪ ،‬د( )عالمه د‬ ‫مساوي نه دى په مفهوم په کار وړل کې‪８‬ي‪.‬‬

‫ﻓعاﻟﻴت‬

‫‪C‬‬

‫ﻋزت اﷲ‬ ‫ﻧادر‬ ‫حسﻦ‬ ‫احﻤد‬ ‫اﷲ‬ ‫ﺻﻔت‬ ‫زﻟﻤﻲ‬ ‫ﻗاسﻢ‬ ‫دﻳﻦ ﻣحﻤد‬ ‫ﻣحﻤﻮد‬ ‫ﻋﻄاء اﷲ‬

‫‪C‬‬

‫‪B‬‬

‫‪ B‬دواليبال ټيم‬

‫‪B‬‬

‫‪1 5 7 9‬‬ ‫‪3 6‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪A‬‬

‫‪2‬‬

‫د ‪ A‬او ‪ B‬د سټونو عناصر وليکئ‪.‬‬ ‫‪ A B‬او ‪ B A‬په الس راوړئ او په شکل کې يې وښاياست‪.‬‬ ‫}‪{a , b} {b} = {a‬‬ ‫دويم مثال‪:‬‬ ‫}‪{x , y , z} {a , b} = {x , y, z‬‬ ‫حل‪:‬‬ ‫= }‪{a , b} {a , b‬‬ ‫‪ A B‬هغه سټ دى چې عناصر يې د ‪ A‬په سټ کې شامل وي‪ ،‬خو د ‪ B‬په سټ کې شامل نه وي او‬ ‫‪ B A‬هغه سټ دى چې عناصر يې د ‪ B‬په سټ کې شامل وي‪ ،‬خو د ‪ A‬په سټ کې شامل نه وي‪.‬‬

‫پوښتنې‬ ‫‪ -1‬که }‪ B = {1, 3, 5, 7} ، A = {2, 4, 6, 8‬او }‪ C = {4, 6, 8‬سټونه راک‪７‬ل شوي وي‪:‬‬ ‫‪ A C , B B , B A , A B , A A‬او ‪ C A‬په الس راوړئ‪.‬‬ ‫‪-2‬که د }‪ C = {a, b, 8,12‬او }‪ D = {a,12,16‬سټونه راک‪７‬ل شوي وي ‪ C D‬او ‪D C‬‬ ‫پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪ -3‬په کوم يو شکل کې‪ ،‬رنگه شوې برخې‪A B ،‬‬ ‫‪b:‬‬ ‫ښکاره کوي؟‬ ‫‪ -4‬که د }‪ A = {1, 3, 5‬او }‪ B = {2, 4, 6‬سټونه‬ ‫راک‪７‬ل شوي وي‪ A B ،‬مساوي دى په‪:‬‬ ‫‪a( B‬‬ ‫‪b( A‬‬

‫‪18‬‬

‫‪a:‬‬

‫کلي سټ او مکمله سټ‬ ‫)‪(Universal Set and Complement Set‬‬

‫په اووم ټولگي کې د اسالمي ښوونې‪ ،‬رياضي‪،‬‬ ‫ساينس‪ ،‬اجتماعياتو‪ ،‬پښتو‪ ،‬دري‪ ،‬انگليسي‪،‬‬ ‫عربي‪ ،‬هنر او د بدني روزنې مضمونونه لوستل‬ ‫کې‪８‬ي‪ .‬د اووم ټولگي يو زده کوونکى‪ ،‬د اسالمي‬ ‫ښوونې‪ ،‬ټولنيزو‪ ،‬پښتو‪ ،‬هنر‪ ،‬انگليسي‪ ،‬عربي‪،‬‬ ‫او بدنــې روزنــې کتابونــه الســته راوړي دي‪.‬‬ ‫زده کوونکى بايد نور کوم کتابونه السته راوړي‬ ‫چې کتابونه يې ټول پوره شي؟‬

‫ﻓعاﻟﻴت‬ ‫د انگليسي ژبې د ټولو تورو سټ وليکئ او په ‪ U‬سره يې وښاياست‪.‬‬ ‫د انگليسي ژبې د غ‪ ８‬لرونکو(واول) تورو سټ په ‪ A‬سره وښاياست‪.‬‬ ‫د انگليسي ژبې د ټولو تورو سټ د وين دياگرام په مرسته وښاياست‪.‬‬ ‫د غ‪ ８‬لرونکو(واول) تورو او غ‪ ８‬نه لرونکو(غير واول) تورو سټونه په همدې شکل کې وښاياست‪.‬‬ ‫په پورتني فعاليت کې د انگليسي ژبې د تورو سټ ته کلي سټ وايي چې په ‪ U‬سره ښودل کې‪８‬ي‪ .‬د‬ ‫غ‪ ８‬نه لرونکو(غيرواول) تورو سټ د غ‪ ８‬لرونکو(واول) تورو سټ د(‪ )A‬د مکمله سټ په نامه يادې‪８‬ي‪.‬‬ ‫د ‪ A‬مکمله سټ په '‪ A‬يا ‪ A‬سره ښودل کې‪８‬ي‪.‬‬ ‫يا په بل عبارت د انگليسي ژبې غ‪ ８‬نه لرونکو( غير واول) تورو د سټ اتحاد له غ‪ ８‬لرونکو(واول) تورو‬ ‫سره د انگليسي ژبې د تورو سټ جوړوي‪.‬‬ ‫لکه چې پوهېـ‪８‬ئ د انگليسي ژبې توري ‪ 26‬دي‪ 5 .‬توري يې غ‪ ８‬لرونکي او ‪ 21‬توري يې غ‪ ８‬نه‬ ‫لرونکي دي‪ .‬د غ‪ ８‬نه لرونکو تورو سټ د غ‪８‬لرونکو تورو د سټ د مکمله سټ په نامه يادې‪８‬ي‪:‬‬ ‫}‪A = {a , e , i , o , u‬‬ ‫}‪U = {a, b, c, d , e, f , g , h, i, j , k , l , m, n, o, p, q, r , s, t , u, v, w, x, y, z‬‬ ‫د غ‪ ８‬لرونکو تورو سټ‬

‫‪A‬‬

‫‪A =U‬‬

‫د غ‪ ８‬نه لرونکو تورو سټ(غير واول)‬

‫د انگليسي ژبې د تورو سټ‬ ‫}‪A = {a, b, c, d, e, f , g, h,i, j, k, l, m, n, o, p, q, r,s, t, u, v, w, x, y, z} {a , e,i , o , u‬‬ ‫}‪= {b, c, d, f , g, h, j, k, l, m, n, p, q, r,s, t, v, w, x, y, z‬‬

‫‪19‬‬

‫‪U‬‬ ‫‪g‬‬

‫‪h‬‬

‫‪f‬‬

‫‪ A‬د ‪ A‬د سټ‪ ،‬مکمله سټ دى چې په شکل‬ ‫کې خط‪ ،‬خط شوى دى‪.‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪i‬‬ ‫تر بحث الندې موضوع په اړوند يو ټاکلى سټ‬ ‫‪o u‬‬ ‫چې د موضوع ټول اړوند عناصر پکې شامل وي د‬ ‫‪w‬‬ ‫‪x y z‬‬ ‫عمومي يا کلي سټ په نامه يادې‪８‬ي‪.‬‬ ‫‪e‬‬

‫‪d‬‬ ‫‪l‬‬

‫‪a‬‬

‫‪c‬‬ ‫‪k‬‬

‫‪n‬‬

‫‪b‬‬ ‫‪j‬‬

‫‪m‬‬

‫‪s‬‬

‫‪q‬‬

‫‪r‬‬

‫‪v‬‬

‫‪t‬‬

‫‪A‬‬

‫‪A‬‬

‫مثال‪ :‬که }‪ U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10‬او }‪ A = {2, 4,6, 8, 10‬وي د ‪ A‬مکمله سټ‬ ‫نظر ‪ U‬ته پيدا ک‪７‬ئ او په شکل کې يې وښاياست‪.‬‬ ‫حل‪ :‬د '‪ A‬د پيدا کولو لپاره د ‪ A‬د سټ عناصر له ‪ U‬څخه حذفوو‪ .‬هغه عناصر چې د ‪ U‬په سټ‬ ‫کې پاتې کې‪８‬ي‪ A ،‬يا د ‪ A‬مکمله سټ نظر ‪ U‬ته په الس راځي‪.‬‬ ‫}‪A = U A = {1, 2,3, 4,5, 6, 7 ,8,9,10} {2, 4, 6,8,10} = {1,3,5, 7 ,9‬‬ ‫‪4 A‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪8 10‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪A‬‬ ‫د ‪ A‬د سټ مکمله په '‪ A‬يا ‪ A‬سره ښکاره کوي‪ .‬د‬ ‫‪ A‬د سټ عناصر هغه دي چې په عمومي سټ ‪ U‬کې‬ ‫شامل او په ‪ A‬کې شامل نه وي‪ .‬په شکل کې هغه برخه‬ ‫چې شين رنگ لري له ‪ A‬څخه عبارت ده‪.‬‬

‫‪7‬‬

‫'‪A‬‬

‫‪1‬‬

‫‪3‬‬

‫‪U‬‬

‫‪9‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪U‬‬

‫پوښتنې‬ ‫‪ -1‬د شکل له مخې‪ A ،‬او ‪ B‬په مخامخ شکل کې وښاياست‪.‬‬ ‫‪ -2‬له ‪ 20‬څخه کوچني د لوم‪７‬نيو عددونو سټ پيدا ک‪７‬ئ او په ‪ U‬سره يې‬ ‫وښياست‪.‬‬ ‫د ‪ B‬فرعي سټ داسې وټاکئ چې عناصر يې د ‪ 5‬او ‪ 15‬تر منځ وي‪.‬‬ ‫‪ B‬په شکل کې وښاياست‪.‬‬

‫‪B‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪U‬‬

‫‪20‬‬

‫معين او غير معين سټونه‬ ‫)‪(Finite and Infinite Sets‬‬

‫آﻳا ستوري چې په اسمان کې وينئ د شميرلو وړ‬ ‫دي؟‬

‫که }‪ A = {a, b‬وي ‪ A‬دوه عنصره او که }‪ B = {1, 2 , 3, 4‬وي‪ B ،‬څلور عنصره لري‪ .‬که د ‪ 2‬او ‪20‬‬ ‫تر منځ د طبيعي طاقو عددونو سټ په ‪ C‬سره ښکاره ک‪７‬و نو }‪C = {3, 5, 7, 9,11,13,15,17 ,19‬‬ ‫دى او ‪ 9‬عناصر لري‪.‬‬ ‫لومړى مثال‪ :‬د انگليسي ژبې د غ‪ ８‬لرونکو تورو سټ چې عناصر يې د شمېر وړ دي يو معين سټ‬ ‫}‪A = {a , e , i , o , u‬‬ ‫دى‪.‬‬ ‫خو د طبيعي عددونو سټ يو غير معين سټ دى چې په الندې ډول ښودل کې‪８‬ي‪.‬‬ ‫چې عناصر يې د شمېر وړ نه دي‪:‬‬ ‫}‪N = {1, 2 , 3 , 4 ...‬‬ ‫‪ ...‬دا نقطې د دې معنا ورکوي چې طبيعي عددونه دوام لري او پاى نه لري‪.‬‬

‫ﻓعاﻟﻴت‬ ‫د ‪ 20‬او ‪ 30‬تر منځ د جفتو عددونو سټ وليکئ‪.‬‬ ‫د دې سټ عناصر(غ‪７‬ي) وشمېرئ او وواياست چې دا يو معين سټ دى او که نه؟‬ ‫له ‪ 20‬څخه د لويو جفتو عددونو سټ وليکئ‪ .‬آﻳا کوالى شئ چې ددې سټ عناصر وشمېرئ؟ آﻳا‬ ‫دا يو معين او که غير معين سټ دى؟‬ ‫دويم مثال‪ :‬په الندې سټونو کې کوم سټونه معين او کوم سټونه غير معين دي؟‬ ‫{د يو کال د مياشتو نومونه} = ‪A‬‬ ‫{د افغانستان د بيرغ رنگونه} = ‪B‬‬

‫}‪C = {2 , 3 , 4 , 5‬‬

‫}‪D = {2 , 4 , 6 , 8 , ... ,100‬‬ ‫}‪E = {2 , 4 , 6 , 8 , ...‬‬ ‫}‪N = {1, 2 , 3 , 4 , 5 , 6 ...‬‬

‫‪21‬‬

‫حل‪ :‬د ‪ A ، B ، C‬او ‪ D‬سټونه معين‪ ،‬خو د ‪ E‬او ‪ N‬سټونه غير معين سټونه دي‪.‬‬ ‫دريم مثال‪ :‬په الندې سټونو کې کوم يو معين او کوم يو غير معين سټ دى؟‬ ‫{د ‪ 6‬د عدد مضربونه} = ‪B‬‬

‫‪،‬‬

‫{د انگليسي ژبې توري} = ‪A‬‬

‫حل‪ :‬د ‪ A‬سټ يو معين سټ دى‪ ،‬ځکه چې ‪ 26‬عناصر لري‪ ،‬خو د ‪ B‬سټ يو غير معين سټ دى‪،‬‬ ‫ځکه چې د ‪ 6‬مضربونه شمېرالى نه شو‪.‬‬ ‫که د يو سټ عناصر د شمېر وړ وي‪ ،‬نو د معين سټ په نامه يادې‪８‬ي او که د يو سټ عناصر د شمېر وړ‬ ‫نه وي‪ ،‬نو دې ډول سټ ته غير معين سټ ويل کې‪８‬ي‪ .‬تش سټ هم يو معين سټ دى‪.‬‬

‫پوښتنې‬ ‫‪ -1‬په الندې سټونو کې معين او غير معين سټونه وښاياست‪:‬‬ ‫}‪M = {1, 2 , 3 , a , b , c‬‬ ‫}‪D = {a , b , c , d , e‬‬ ‫}‪O = {1, 3 , 5 , 7 , 9 ...‬‬ ‫}‪E = {10, 20,30,...,1000‬‬

‫‪ -2‬په الندې سټونو کې کوم سټ غير معين سټ دى‪:‬‬ ‫{د ‪ 50‬او ‪ 100‬تر منځ طاق عددونه} = ‪A = {1, 2,3...,1000} ، B = {1, 2,3...} ، C‬‬ ‫‪ -3‬په الندې سټونو کې کوم يو معين سټ دى؟‬ ‫‪،‬‬ ‫{د اسالم پنځه بناوې} = ‪A‬‬ ‫}‪B = {2 , 4 , 6 , 8...} ، D = {1, 3 ,5...‬‬ ‫‪ -4‬څلور معين او څلور غير معين سټونه وليکئ‪.‬‬

‫‪22‬‬

‫د لومړى څپرکي لنډيز‬ ‫يو شمېر ټاکلو او سره راز راز شيانو ته سټ وايي او دا شيان د سټ له غ‪７‬و يا عناصرو څخه عبارت‬ ‫دي‪ .‬د يوه سټ عناصر د { } عالمې په منځ کې ليکل کې‪８‬ي چې د ((‪ ))،‬عالمې په مرسته يو له بله‬ ‫جال کې‪８‬ي‪.‬‬ ‫هغه سټ چې عناصر يې د شمېر وړ وي معين او که عناصر يې د شمېر وړ نه وي د غير معين سټ‬ ‫په نامه يادې‪８‬ي‪.‬‬ ‫} عالمې په‬ ‫يا {‬ ‫هغه سټ چې هيڅ عنصر و نه لري د تش سټ په نامه يادې‪８‬ي چې د‬ ‫مرسته ښودل کې‪８‬ي‪.‬‬ ‫په يو سټ کې د عنصر د شموليت عالمه ( ) ده او د يو عنصر‪ ،‬نه شموليت په يوه سټ کې د ( )‬ ‫عالمې په مرسته ښودل کې‪８‬ي‪.‬‬ ‫سټونه عموماً په دوو طريقو ليکل کې‪８‬ي‪ .‬د عناصرو د لېست کولو طريقه(تفصيلي طريقه) چې د يو‬ ‫سټ ټول عناصر او يا تصويرونه يې د { } عالمې په منځ کې ليکل کې‪８‬ي او بله توصيفي(اجمالي)‬ ‫طريقه ده چې د عناصرو د ځانگ‪７‬تياوو پر اساس په يوه جمله کې ليکل کې‪８‬ي‪.‬‬ ‫دوه سټونه چې عناصر يې يو شى وي‪ ،‬مساوي سټونه دي او که يوازې د عناصر وشمېر يې مساوي‬ ‫وي د معادلو سټونو په نامه يادې‪８‬ي‪.‬‬ ‫که د ‪ B‬د سټ ټول عناصر د ‪ A‬په سټ کې شامل وي‪ ،‬نو ‪ B‬د ‪ A‬فرعي سټ دى او داسې ښودل‬ ‫کې‪８‬ي‪B A .‬‬ ‫د ‪ A‬او ‪ B‬د دوو سټونو تقاطع هغه سټ دى چې عناصر يې هم په ‪ A‬او هم په ‪ B‬کې شامل وي او‬ ‫داسې ښودل کې‪８‬ي‪A I B :‬‬ ‫د ‪ A‬او ‪ B‬د دوو سټونو اتحاد هغه سټ دى چې عناصر يې يا په ‪ A‬يا په ‪ B‬او يا په دواړو کې شامل‬ ‫وي‪ ،‬او داسې ښودل کې‪８‬ي‪A U B :‬‬ ‫د ‪ A‬او ‪ B‬د دوو سټونو تفاضل( ‪ ) A B‬له هغه سټ څخه عبارت دى چې عناصر يې د ‪ A‬په‬ ‫سټ کې شامل وي‪ ،‬خو د ‪ B‬په سټ کې شامل نه وي‪.‬‬ ‫د ‪ A‬دسټ مکمله نظر د ‪ U‬سټ‪ ،‬له هغه سټ څخه عبارت دى چې عناصر يې د ‪ U‬په سټ کې‬ ‫شامل وي‪ ،‬خو د ‪ A‬په سټ کې موجود نه وي او په ‪ A‬سره ښودل کې‪８‬ي‪.‬‬ ‫د سټونو د تقاطع او اتحاد په عمليو کې د تبديل‪ ９‬او اتحادي قوانين صدق کوي‪.‬‬

‫‪23‬‬

‫د لومړى څپرکي پوښتنې‬ ‫‪ -1‬د هغو طاقو عددونو سټ وليکئ چې پر ‪ 2‬پوره د وېش وړ وي‪.‬‬ ‫‪ -2‬که ‪ A‬د کال د مياشتو د نومونو سټ وي‪ ،‬د عناصرو د لست کولو په طريقه يې وليکئ‪.‬‬ ‫‪ -3‬که }‪ B = {2 , 4 , 6 , 8} ، A = {1, 2 , 3 , 4‬او }‪ C = {a , e , i , o , u‬وي‪ ،‬تش‬ ‫ځايونه د او عالمو په مرسته ډک ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪3 A , u B , 10 C , i A , 8 B , e C‬‬ ‫‪f C , 2 A , e B , 8 C‬‬ ‫‪8 A , 3 B ,‬‬

‫□‬ ‫□‬

‫□‬ ‫□‬

‫□‬ ‫□‬

‫□‬ ‫□‬

‫□‬ ‫□‬

‫□‬ ‫□‬

‫‪ -4‬که }‪ B = {1, 2, 3} , A = {a, b, c‬او }‪ C = {b, a, c‬سټونه راک‪７‬ل شوي وي‪ ،‬کومه جوړه‬ ‫يې مساوي او کومه يوه يې معادل سټونه دي؟‬ ‫‪ -5‬که ستاسو د ښوونځي د زده کوونکو سټ ‪ A‬او ستاسو د ټولگي د زده کوونکو سټ ‪ B‬وي‪ ،‬آﻳا‬ ‫کيداى شي چې د ‪ B‬سټ د ‪ A‬دسټ فرعي سټ وي؟‬ ‫‪1‬‬

‫‪-6‬کـــه د }‪ B = {0, ,1} , A = {0,1, 2‬او }‪ C = {3, 4‬ســـــټونه راکـــــ‪ ７‬شـــــوي وي‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ A U B , C U A , B U C , A I C , A I B , A I A‬او ‪ B I C‬پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪-7‬که }‪ B = {2, 4, 6, 8} , A = {1, 2, 3, 4, 5‬وي‪ A B ،‬او ‪ B A‬پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪-8‬کــه }‪ A = {2 , 4 , 6 , 8 ,10 }، U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10‬او}‪B = {1, 3, 5, 7 , 9‬‬ ‫وي‪.‬‬ ‫‪ A , B , A U B , B U A , A I B‬او ‪ A U B‬پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪ -9‬له الندې سټونو څخه کوم معين او کوم يو غير معين سټ دى؟‬ ‫}‪A = {x , y , m‬‬ ‫}‪B = {1, 2 , 3 , 4 ....‬‬ ‫}‪C = {1, 2 ...100‬‬ ‫‪ -10‬په کوم شکل کې رنگه شوې برخه د ‪ A‬او ‪ B‬د دوو سټونو تقاطع ښکاره کوي؟‬ ‫‪B‬‬

‫‪B‬‬

‫‪A‬‬

‫(‪b‬‬

‫‪A‬‬

‫(‪a‬‬

‫‪-11‬که }‪ A = {7, 9,11,13‬او }‪ B = {6, 8,10,12‬سټونه راک‪７‬ل شوي وي‪ A B ،‬او ‪A‬‬

‫‪B‬‬

‫پيدا او په وين دياگرام کې يې وښاياست؟‬

‫‪24‬‬

‫دويم څپر کى‬ ‫طﺒيعي عﺪدونه‬

‫انسانان د تاريخ له لوم‪７‬يو وختونو را هيسې په خپل چاپېريال‬ ‫کې د شيانو له شميرلو سره بلد وو‪.‬‬

‫طﺒيعي عﺪدونه )‪:(Natural Numbers‬‬

‫څه فکــر کوئ‪ ،‬لومــ‪７‬ي عددونــه چې د‬ ‫انســانانو ورســره مخــه وه‪ ،‬کــوم عددونه‬ ‫وو؟‬

‫انسانانو له پخوا زمانې راهيسې‪ ،‬د هغو شيانو شميرلوته چې په طبيعت کې به يې ليدل اړتيا درلوده‪.‬‬ ‫د شيانو له همدې شميرنې څخه د طبيعي عددونو مفهوم منځ ته راغلى دى‪ .‬طبيعي عددونو ته د‬ ‫شميرنې عددونه (‪ )Count Numbers‬هم وايي‪.‬‬ ‫دا عددونــه لــه يــو څخه پيــل او له مخکني عدد ســره د يوه په زياتولو ســره وروســتنى عدد الس تــه راځي‪ ،‬د‬ ‫‪ 1, 2 , 3 , 4 ...‬عددونو ته طبيعي عددونه وايي او د طبيعي عددونو سټ په الندې ډول ښودل کې‪８‬ي‪:‬‬ ‫} ‪IN = {1, 2,3, 4,5,6,7,8,9,10,11,12,‬‬ ‫کوالى شو چې طبيعي عددونه د اعدادو پر محور (‪ )Line Numbers‬په الندې دول وښيو‪:‬‬ ‫‪10 11 12 13 14‬‬

‫‪9‬‬

‫‪8‬‬

‫‪7‬‬

‫‪6‬‬

‫‪5‬‬

‫‪4‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫کوم عدد چې د عددونو پر محور د يوه عدد ښي خواته واقع وي‪ ،‬له دې عدده لوى او کوم چې يې‬ ‫کي‪２‬ې خواته پروت وي‪ ،‬له دې عدد څخه کوچنى دى‪.‬‬ ‫د مثال په ډول‪ 7 < 8 :‬او ‪ 5 < 6‬په دې پوهې‪８‬و چې د دوو طبيعي عددونو د جمعې حاصل‬ ‫بيا هم يو طبيعي عدد دى‪ ،‬لکه ‪ 3‬او ‪ 5‬دوه طبيعي عددونه دي‪ 3 + 5 = 8 ،‬چې ‪ 8‬بيا هم يو طبيعي‬ ‫عدد دى‪ ،‬نو د طبيعي عددونو سټ د جمعې په عمليه کې يو ت‪７‬لى سټ دى‪.‬‬ ‫پوښتنه‪ :‬آﻳا د دوو طبيعي عددونو په جمع کولو کې ترتيﺐ شرط دى؟‬ ‫لومړى مثال‪ :‬پوهي‪８‬و چې ‪ 7 + 6 = 13‬او هم ‪ 6 + 7 = 13‬دي او په دې ډول ‪6 + 7 = 7 + 6‬‬ ‫دى‪.‬‬ ‫ليدل کې‪８‬ي چې د دوو طبيعي عددونو په جمع کولو کې‪ ،‬د عددونو ترتيﺐ ضروري نه دى‪ ،‬دې‬ ‫خاصيت ته د طبيعي عددونو د جمعې د عمليې تبديل‪ ９‬خاصيت وايي‪.‬‬ ‫دويم مثال‪:‬‬ ‫‪8 + (3 + 2) = (8 + 3) + 2‬‬ ‫‪8 + 5 = 11 + 2‬‬ ‫‪13 = 13‬‬

‫‪27‬‬

‫دې خاصيت ته د طبيعي عددونو د جمعې د عمليي اتحادي خاصيت وايي‪.‬‬ ‫صفر که د هر طبيعي عدد سره جمع شي‪ ،‬د جمعې حاصل خپله له عدد سره مساوي کي‪８‬ي‪.‬‬ ‫ال‪ 0 + 3 = 3 + 0 = 3 :‬صفر د جمعې د عمليې د عينيت د عنصر په نامه يادې‪８‬ي‪.‬‬ ‫مث ً‬

‫فعاليت‬ ‫آﻳا پورتني خاصيتونه د طبيعى عددونو د ضرب په عمليه کې هم صدق کوي؟‬ ‫الندې تش ځايونه ډک ک‪７‬ئ‪:‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪=0‬‬ ‫( = )‪11 + ( +17‬‬ ‫‪+ 18) +‬‬

‫‪888‬‬

‫‪، 11 (18 +‬‬ ‫=)‬ ‫‪18 +‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪= 12‬‬ ‫ليدل کې‪８‬ي چې د طبيعي عددونو د ضرب په عمليه کې هم اتحادي او تبديلي خاصيتونه صدق کوي‪.‬‬ ‫په ياد ولرئ ﭼې‪ :‬د هر طبيعي عدد د ضرب حاصل له صفر سره مساوي په صفر او د هر طبيعي عدد‬ ‫‪3 × 0 = 0 , 3 ×1 = 3‬‬ ‫د ضرب حاصل له يوه سره په خپله له عدد سره مساوي دى‪.‬‬ ‫دريم مثال‪:‬‬ ‫)‪3 × (4 + 5) = (3 × 4) + (3 × 5‬‬ ‫‪ 27 = 27‬يا ‪3 × 9 = 12 + 15‬‬ ‫دې خاصيت ته پر جمع باندې د ضرب توزيعي قانون وايي‪.‬‬ ‫صفر د طبيعي عددونو د جمعې او يو د ضرب د عمليې د عينيت عنصر دى او د بستگ‪ ،９‬تبديل‪９‬‬ ‫او اتحادي خاصيتونه د طبيعي عددونو د جمعې او ضرب په عمليو کې او د ضرب توزيعي قانون پر‬ ‫جمع باندې صدق کوي‪.‬‬

‫پوښتنې‪:‬‬ ‫‪ -1‬له الندې جملو څخه کومه يوه يې سمه او کومه يوه يې ناسمه ده؟‬ ‫د دوو طبيعي عددونو د جمع حاصل يو طبيعي عدد دى‪.‬‬ ‫د طبيعي عددونو د جمعې په عمليه کې يو د عينيت عنصر دى‪.‬‬ ‫د طبيعي عددونو د جمعې په عمليه کې د تبديل‪ ９‬خاصيت صدق کوي‪.‬‬ ‫د طبيعي عددونو د ضرب په عمليه کې هم د تبديل‪ ９‬خاصيت صدق کوي‪.‬‬ ‫د تبديل‪ ９‬خاصيت د طبيعي عددونو د تفريﻖ په عمليه کې صدق کوي‪.‬‬ ‫د تبديل‪ ９‬خاصيت د طبيعي عددونو د وېش (تقسيم) په عمليه کې صدق کوي‪.‬‬ ‫‪ -2‬الندې تش ځايونه ډک ک‪７‬ئ!‬ ‫)‬

‫‪+‬‬

‫( × ‪325 × 88 + 325 × 73 = 325‬‬ ‫× ‪803 × 593 = 593‬‬ ‫‪× 35) × 89‬‬

‫‪211 + 327 = 327 +‬‬ ‫× ‪3935‬‬ ‫‪=0‬‬ ‫( = )‪79 × (35 × 89‬‬

‫‪28‬‬

‫د طﺒيعي عﺪدونو د و‪４‬ﺶ يا تقسيم ﻗاﺑليتونه )‪:(Divisibility‬‬ ‫آﻳا د ‪ 82‬عدد پر ‪ 9‬پوره وېشل کې‪８‬ي‬ ‫(تقسيمې‪８‬ي)؟‬ ‫يو داسې عدد پيدا ک‪７‬ئ چې پر ‪ 9‬پوره د وېش‬ ‫(تقسيم) وړ وي‪.‬‬

‫له را ک‪７‬ل شوي مثال سره سم‪ ،‬د جدول تش ځايونه ډک ک‪７‬ئ‪ ،‬کوم عدد په کومو عددونو پوره وېشل‬ ‫کې‪８‬ي؟‬ ‫ﺍﻋﺪﺍﺩ‬

‫‪2‬‬

‫‪3‬‬

‫‪4‬‬

‫‪5‬‬

‫‪6‬‬

‫‪7‬‬

‫‪8‬‬

‫‪9‬‬

‫‪10‬‬

‫‪210‬‬ ‫‪1200‬‬ ‫‪817‬‬ ‫‪105‬‬ ‫‪2008‬‬

‫که د ‪ 36،81‬او ‪ 45‬عددونه پر ‪ 9‬ووېشو نو‪ ،‬د وېش باقي يا پاتې له صفره سره مساوي کې‪８‬ي‪ ،‬ليکن‬ ‫که ‪ 82‬پر ‪ 9‬ووېشو‪ ،‬نو باقي نه صفر کې‪８‬ي‪ .‬په لوم‪７‬ې حالت کې چې باقي صفر کې‪８‬ي‪ ،‬نو وايو چې‬ ‫د ‪ 81‬عدد پر ‪ 9‬پوره د وېش وړ دى‪ ،‬خو د ‪ 82‬عدد پر ‪ 9‬پوره د وېش وړ نه دى‪.‬‬

‫فعاليت‬ ‫د هغو عددونو الندې چې پر ‪ 2‬پوره د وېش وړ وي‪ ،‬کرښه وکاږئ‪:‬‬ ‫‪47, 29, 7821 , 2790 , 3154 , 106 , 218 , 7822‬‬ ‫د هغو عددونو الندې‪ ،‬چې پر ‪ 9‬پوره د وېش وړ وي کرښه وکاږئ‪:‬‬ ‫‪882 , 1232 , 11115 , 1115 , 315 , 702‬‬ ‫سمې جملې د او ناسمې جملې د × عالمې په مرسته په نښه ک‪７‬ئ‪:‬‬ ‫‪ -‬هغه عدد چې يويز رقم يې صفر او يا ‪ 5‬وي‪ ،‬پر ‪ 5‬پوره د وېش وړ دى‪.‬‬

‫‪29‬‬

‫ هغه عدد چې د رقمونو مجموعه يې پر ‪ 3‬پوره ووېشل شي‪ ،‬پر ‪ 3‬پوره د وېش وړ دى‪.‬‬‫ که يو عدد پر ‪ 9‬پوره د وېش وړتيا ولري‪ ،‬پر ‪ 3‬هم پوره وېشل کې‪８‬ي‪.‬‬‫د هغو عددونو الندې چې پر ‪ 2‬او هم پر ‪ 3‬پوره وېشل کي‪８‬ي کرښه وکاږئ او د وېش د عمليې په‬ ‫مرسته وښاياست چې پر ‪ 6‬هم پوره د وېشلو وړ دي او کنه؟‬ ‫‪438 , 216 , 73 , 128 , 54 , 537 , 126 , 582 , 602‬‬ ‫مثال‪ :‬کوم عدد پر ‪ 6‬او کوم عدد پر ‪ 9‬پوره د وېش وړ دى؟ ‪14,12,24,18‬‬ ‫حل‪ :‬څرنګه چې ‪ 18،12‬او ‪ 24‬هم پر ‪ 3‬او هم پر ‪ 2‬پوره د وېش وړ دي‪ ،‬نو په ‪ 6‬هم پوره د وېش‬ ‫وړ دي او يوازى د ‪ 18‬عدد پر ‪ 9‬هم پوره وېشل کې‪８‬ي‪.‬‬ ‫که چيرې يو پر بل باندې د دوو عددونو د وېش په عمليه کې باقي صفر شي‪ ،‬نو وايو چې مقسوم پر‬ ‫مقسوم عليه د وېش وړ دى (د تقسيم قابليت لري)‪.‬‬

‫پوښتنې‬ ‫‪ -1‬په تشو ځايونو کې تر ټولو داسې کوچنى رقم وليکئ تر څو هغه عدد چې السته راځي پر راک‪７‬ل شوو‬ ‫عددونو پوره د وېش وړ وي‪:‬‬ ‫پر‬ ‫پر‬ ‫‪4 725‬‬ ‫‪3 56‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ 723‬پر ‪6‬‬ ‫‪56‬‬ ‫‪56‬‬

‫‪ 392‬پر ‪2‬‬

‫‪5‬‬

‫‪ -2‬صحيﺢ ځوابونو په نښه ک‪７‬ئ‪:‬‬ ‫ هغه عددونه چې يويز رقم يې صفر وي پر کومو عددونو د وېش وړ دي؟‬‫‪c) 4‬‬

‫‪d) 8‬‬

‫‪ 672‬پر ‪5‬‬

‫‪a) 2,5,10‬‬

‫‪b) 3‬‬

‫ د ‪ 1110‬عدد له الندې عددونو څخه پر کوم يو پوره د وېش وړ دى؟‬‫‪c) 7‬‬

‫‪d) 9‬‬

‫‪a) 2,5, 6,10‬‬

‫‪b) 4‬‬

‫ د ‪ 12300‬عدد پر کومو عددونو پوره د وېش وړ دى؟‬‫‪d) 7,8,9‬‬

‫‪c) 2,3, 4,5, 6,10‬‬

‫‪a) 7‬‬

‫‪b) 8‬‬

‫‪ -3‬له الندې عددونو څخه کوم عددونه پر ‪ 4،3،2‬او ‪ 6‬پوره د وېش وړ دي؟‬ ‫‪1017‬‬

‫‪,‬‬

‫‪858‬‬ ‫‪531‬‬

‫‪,‬‬ ‫‪,‬‬

‫‪128‬‬ ‫‪76‬‬

‫‪,‬‬ ‫‪,‬‬

‫‪ -4‬درې داسې بېالبېل عددونه پيدا ک‪７‬ئ چې هم پر ‪ 3‬او هم پر ‪ 4‬پوره د وېش وړ وي‪.‬‬ ‫‪ -5‬درې داسې بېالبېل عددونه پيدا ک‪７‬ئ چې هم پر ‪ 2‬او هم پر ‪ 3‬پوره د وېش وړ وي‪.‬‬ ‫‪ -6‬د ‪ 4092‬عدد په الندې کومو عددنونو پوره د وېش وړ دی؟‬ ‫‪d ) 13‬‬

‫‪c) 11,3‬‬

‫‪b) 7‬‬

‫‪87‬‬ ‫‪24324‬‬

‫‪a) 8‬‬

‫‪30‬‬

‫د طبيعي عددونو تجز ه‬ ‫)‪(Factoring‬‬

‫د ‪ 20‬عدد د دوو طبيعي عددونو د ضرب د‬ ‫حاصل په شکل وليکئ‪.‬‬ ‫د هغو عددونو الندې چې يوازې پر يو او پر خپل‬ ‫ځان د وېش وړ وي کرښه وکاږئ‪:‬‬ ‫‪21, 17, 15, 23, 32‬‬

‫پوهي‪８‬و چې ‪ 24 = 4 × 6‬دي‪ 4 ،‬او ‪ 6‬د ‪ 24‬د عدد د ضربي اجزاوو(ضربي عواملو) په نامه يادي‪８‬ي‪.‬‬ ‫پوښتنه‪ :‬آﻳا يوازې ‪ 6‬او ‪ 4‬د ‪ 24‬ضربي اجزاوې دي؟‬

‫فعاليت‬ ‫د ‪18‬او ‪ 31‬عددونه په ضربي اجزاوو تجزيه ک‪７‬ئ‪ ،‬وواياست چې د ‪ 81‬د ضربي اجزاوو شمېر‬ ‫زيات دى که د ‪31‬؟‬ ‫د ‪ 11،5‬او ‪ 19‬ضربي اجزاوې وليکئ‪.‬‬ ‫په پورتني فعاليت کې مو وليدل چې ځينې عددونه لکه ‪ 18‬له دوو څخه زياتې ضربي اجزاوې لري‪،‬‬ ‫او ځينې عددونه لکه ‪ 31‬او ‪ 11‬يوازې دوه ضربي اجزاوې لري‪.‬‬

‫لومړني عﺪدونه (‪ :)Prime Numbers‬هغه عددونه دي چې پرته له يو او خپل ځان څخه په بل عدد‪،‬‬ ‫پوره د وېش وړ نه وي يا هغه عددونه چې دوه قاسمونه ولري‪ ،‬د لوم‪７‬نيو عددنو په نامه يادي‪８‬ي‪ .‬لوم‪７‬ني عددونه‬

‫په ‪ P‬سره ښيو او عبارت دي‪ ،‬له‪P = {2, 3, 5, 7,11,13,17,19, 23, 29, 31 } :‬‬ ‫مرکﺐ عددونه (‪ :)Composite Numbers‬هغه عددونه دي چې سربېره د يو او خپل ځان څخه‬ ‫په نورو عددونو هم پوره د وېش وړ وي‪ ،‬داسې عددونه د مرکبو عددونو په نوم يادي‪８‬ي لکه‪:‬‬ ‫}‪C = {4,6,8,9,10,12,14,15.....‬‬ ‫په ياد ولرئ ﭼې‪ :‬د يو(‪ )1‬عدد نه لوم‪７‬نى او نه مرکﺐ عدد دى‪.‬‬

‫مثال‪ :‬له ‪ 36،17،27‬او ‪ 19‬عددونو څخه کوم يو لوم‪７‬نى او کوم يو يې مرکﺐ عدد دى؟‬ ‫حل‪ :‬لوم‪７‬ى د هر يوه عدد قاسمونه ليکو‪:‬‬

‫‪31‬‬

‫د ‪ 3،9،27‬او ‪ 1‬عددونه د ‪ 27‬د عدد قاسمونه دي‪ ،‬نو ‪ 27‬يو مرکﺐ عدد دى‪.‬‬ ‫د‪ 1‬او ‪ 17‬عددونه د ‪ 17‬قاسمونه دي‪ ،‬نو په دې اساس د ‪ 17‬عدد لوم‪７‬نى عدد دى‪.‬‬ ‫د ‪ 2 ,3 ,4 ,6 ,9 ,12 ,18 ,36‬او ‪ 1‬د ‪ 36‬د عدد قاسمونه دي‪ ،‬نو په دې اساس د ‪ 36‬عدد يو‬ ‫مرکﺐ عدد دى‪.‬‬ ‫د ‪ 3،9‬او ‪ 1‬عددونه د ‪ 9‬د عدد قاسمونه دي‪ ،‬نو ‪ 9‬يو مرکﺐ عدد دى‪.‬‬ ‫د ‪ 19‬او(‪ )1‬عددونه د ‪ 19‬عدد قاسمونه دي‪ ،‬نو ‪ 19‬يو لوم‪７‬نى عدد دى‪ ،‬ځکه چې يوازې دوه‬ ‫قاسمونه لري‪.‬‬ ‫د ضربي اجزاوو د ضرب په شکل د يو عدد ليکلو ته تجزيه (‪ )Factoring‬وايي‪.‬‬

‫پوښتنې‬ ‫‪ -1‬کومه جمله سمه ده؟‬ ‫‪ )b‬د يو (‪ )1‬عدد د تجزيې وړ دى‪.‬‬ ‫‪ )a‬يو (‪ )1‬لوم‪７‬نى عدد نه دى‪.‬‬ ‫‪ -2‬که ‪ 187 = 11×17‬وي‪ ،‬نو‪:‬‬ ‫‪ 17 )b‬د ‪ 187‬يوه ضربي جزوه ده‪.‬‬ ‫‪ 187 )a‬يو لوم‪７‬نى عدد دى‪.‬‬ ‫‪ -3‬له الندې عددونو څخه کوم يو يې لوم‪７‬نى او کوم يو مرکﺐ عدد دى؟‬ ‫‪، 14 ، 37 ، 49 ، 51 ، 15‬‬ ‫‪-4‬آﻳا د يو عدد يو مرکﺐ عدد دى؟ ولې؟‬

‫‪11‬‬

‫‪ -5‬د هغو عددونو په وړاندې چې لوم‪７‬ني دي‪ ،‬لوم‪７‬ني او د هغه عددونو په وړاندې چې مرکﺐ دي‬ ‫مرکﺐ وليکئ‪:‬‬ ‫‪67‬‬ ‫‪1111‬‬

‫‪ -6‬په الندې عددونو کې کوم عدد‪ ،‬لوم‪７‬نى عدد نه دی؟‬ ‫‪c) 21‬‬ ‫‪d) 23‬‬ ‫‪ -7‬په الندې عددونو کې کوم‪ ،‬يو مرکﺐ عدد نه دي؟‬ ‫‪d) 64‬‬

‫‪c) 39‬‬

‫‪90‬‬ ‫‪847‬‬

‫‪b) 19‬‬ ‫‪b) 67‬‬

‫‪59‬‬ ‫‪73‬‬

‫‪a) 47‬‬ ‫‪a) 90‬‬

‫‪32‬‬

‫په لومړنيو عﺪدونو تﺠزيه‬ ‫)‪(Prime Factoriing‬‬ ‫‪ 12 = 3 × 4‬و ‪12 = 2 × 2 × 3‬‬

‫د ‪ 12‬د ضربي اجزاوو په منځ کې چې په پورته‬ ‫ډول ليکل شوي دي‪ ،‬څه توپير شته دى؟‬

‫د ‪ 72‬عدد په بېال بېلو ډولونو سره په ضربي اجزاوو تجزيه ک‪７‬ئ‪:‬‬ ‫‪1) 72 = 2 × 36 = 2 × 4 × 9 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3‬‬ ‫‪2) 72 = 6 × 12= 2 × 3 × 3 × 4 = 2 × 3 × 3 × 2 × 2‬‬

‫پورتن‪ ９‬تجزيې په الندې ډول ښيو‪:‬‬ ‫‪72‬‬

‫‪72‬‬ ‫‪12‬‬

‫‪2‬‬

‫‪6‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪4‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪3‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪36‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪3‬‬

‫فعاليت‬ ‫د ‪ 72‬عدد دوو په پورتنيو ډولونو سربېره پر څو نورو ډولونو تجزيه کوالى شئ د تجزيې ډول يې هم‬ ‫وښاياست‪.‬‬

‫‪33‬‬

‫‪3‬‬

‫‪72‬‬ ‫‪36‬‬ ‫‪18‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬

‫کوالى شو چې د تجزيې عمليه په يوه جدول کې په الندې ډول لن‪６‬ه ک‪７‬و‪:‬‬ ‫‪72 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬

‫که د تجزيې عمليه په هر ډول سرته ورسوو‪ ،‬ليدل کې‪８‬ي چې په پای کې يوې پايلې ته رسې‪８‬و‪:‬‬ ‫مثال‪ :‬د ‪ 208،416‬او ‪ 2574‬عددونه په لوم‪７‬نيو ضربې اجزاوو (ضربي عواملو) تجزيه ک‪７‬ئ‪:‬‬ ‫حل‪:‬‬ ‫‪2574‬‬ ‫‪1287‬‬ ‫‪429‬‬ ‫‪143‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪13‬‬

‫‪416‬‬ ‫‪208‬‬ ‫‪104‬‬ ‫‪52‬‬ ‫‪26‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪13‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪13‬‬

‫‪208‬‬ ‫‪104‬‬ ‫‪52‬‬ ‫‪26‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪208 = 2 × 2 × 2 × 2 × 13 ، 416 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 13 ، 2574 = 2 × 3 × 3 × 11× 13‬‬

‫پوهي‪８‬و چې د يو عدد په تجزيه کولو کې که د تجزيې وړ (مرکﺐ عدد) وي‪ ،‬کوالى شو عدد د دوو طبيعي‬ ‫عددونو د ضرب د حاصل په ډول چې له يوه څخه لوى وي وليکو‪ ،‬که له دې ضربي اجزاوو څخه يو او يا‬ ‫دواړه د تجزيې وړ وي‪ ،‬د طبيعي عددونو د ضرب دحاصل په ډول يې ليکو او دې کار ته‪ ،‬تر هغو پورې ادامه‬ ‫ورکوو‪ ،‬ترڅو ټولې ضربي اجزاوې‪ ،‬لوم‪７‬ني عددونه شي‪ .‬که د يوه مرکﺐ عدد ټولې ضربي اجزاوې لوم‪７‬ني‬ ‫عددونه وي‪ ،‬دې ډول تجزيې ته په لوم‪７‬نيو عددونو تجزيه وايي‪.‬‬

‫پوښتنې‬ ‫‪ -1‬د ‪ 48،36‬او ‪ 70‬عددونه په لوم‪７‬نيو ضربي اجزاوو تجزيه ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪ -2‬د ‪ 64،45،20،12‬او ‪ ،80‬عددونه په لوم‪７‬نيو ضربي اجزاوو تجزيه ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪ -3‬د ‪ 70‬او ‪ 80‬عددونه‪ ،‬لوم‪７‬ى په مرکبو او بيا يې په لوم‪７‬نيو ضربي اجزاوو تجزيه ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪ -4‬له الندې عددونو څخه د کوم عدد تجزيه سمه او د کوم يو ناسمه ده؟‬ ‫‪15 = 53‬‬ ‫‪16 = 2 × 13‬‬

‫‪16 = 24‬‬

‫‪28 = 22 × 9‬‬

‫‪27 = 3 × 9‬‬

‫‪18 = 2 × 32‬‬

‫‪ -5‬د ‪ 24،9،15‬او ‪ 29‬د عددونو ټولې لوم‪７‬ني ضربي اجزاوې وليکئ؟‬ ‫‪ -6‬د ‪ 144‬او ‪ 121‬عددونه‪ ،‬په لوم‪７‬نيو ضربي اجزاوو تجزيه ک‪７‬ئ‪.‬‬

‫‪34‬‬

‫طاﻗت )‪(Power‬‬

‫پوهي‪８‬و چې هره حجره څنګه په دوو حجرو‬ ‫وېشل کې‪８‬ي‪ .‬په مخامخ شکل کې د دې عمل د‬ ‫سرته رسيدلو پ‪７‬اوونه ليدل کې‪８‬ي‪.‬‬

‫فعاليت‬ ‫دريمه‬

‫څلورمه‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫دويمه لوم‪７‬نى صفر‬ ‫‪2‬‬

‫‪2 2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫پ‪７‬اوونه(مرحلې)‬

‫د حجرو شمېر‬

‫څلورم پ‪７‬او وليکئ او جدول پوره ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫د حجرو د شمېر او د وېش د پ‪７‬اوونو ترمنځ کومه اړيکه شته؟‬ ‫په لسم پ‪７‬او کې به څو حجرې ولرو؟‬ ‫د لسم پ‪７‬او د حجرو شمېر په لن‪ ６‬ډول ليکالی شو؟‬ ‫د جمعې حاصل د ضرب د عمليې په مرسته په لن‪ ６‬ډول وليکئ‪:‬‬ ‫‪4 + 4 + 4 = 3 × 4 = 12‬‬ ‫‪3 + 3 + 3 + 3 = 4 × 3 = 12‬‬ ‫د ‪ 2 × 2 × 2‬د ضرب حاصل په لن‪ ６‬ډول ليکالى شو؟‬ ‫د کار د اسانتيا لپاره ‪ 2 × 2 × 2‬د ‪ 23‬په ډول ليکو او داسې وايو چې ‪ 2‬په توان د ‪ ،3‬د ‪ 23‬په عدد‬ ‫توان= ‪16‬‬ ‫کې‪ 2 ،‬ته قاعده (‪13 ،)Base‬ته× ‪2‬‬ ‫ښودونکى (‪ )Exponent‬او ‪ 23‬د ‪ 2‬د دريم طاقت په نامه‬ ‫يادوي‪.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫توان ښودونکى ښکاره کوي چې قاعده څو ځلې په خپل ځان کې ضرب شوې ده‪ ،‬د ‪ 4‬عدد کې ‪4‬‬ ‫درې ځلې په خپل ځان کې ضرب شوي دي‪ .‬يعنې‪43 = 4 × 4 × 4 :‬‬ ‫لومړى مثال‪ :‬د الندې طاقتونو د هر يوه قيمت پيدا ک‪７‬ئ‪:‬‬ ‫‪42 , 53 , 23 , 54 , 102 , 34‬‬ ‫حل‪:‬‬ ‫‪42 = 4 × 4 = 16 ، 23 = 2 × 2 × 2 = 8 ، 102 = 10 ×10 = 100‬‬ ‫‪53 = 5 × 5 × 5 = 125 ، 54 = 5 × 5 × 5 × 5 = 625 ، 34 = 3 × 3 × 3 × 3 = 81‬‬ ‫په همدې ډول‬

‫‪35‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪( )4‬‬ ‫‪3‬‬

‫د‬

‫‪2 2 2 2‬‬ ‫× × ×‬ ‫‪3 3 3 3‬‬

‫په معنا دي چې‬

‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬

‫قاعده او ‪ ٤‬توان ښوودونکى دى‪.‬‬

‫ﻓعاﻟﻴت‬ ‫د الندې طاقتونو د هر يوه قيمت پيدا ک‪７‬ئ‪:‬‬

‫وليکئ‪□ ، 4 = □ ، 10 =□ ، 1:‬‬ ‫□= ‪=□ ، 2 =□ ، 10‬‬ ‫الندې د ضرب حاصلونه د طاقت په ډول‬ ‫‪5‬‬

‫‪2‬‬

‫‪5‬‬

‫=‪8×8×8×8×8×8×8×8‬‬

‫‪3‬‬

‫‪3‬‬

‫=‪9×9×9×9‬‬

‫‪2‬‬

‫= ‪3‬‬

‫=‪4×4×4‬‬

‫آﻳا ‪ 27‬او ‪ 7 2‬عددونه سره برابر دي؟ ولې؟‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫دويم مثال‪ :‬آﻳا د ‪ 2‬او ‪ ( )3‬عددونه سره برابر دي؟‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫حل‪:‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪2× 2× 2 8‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2 2 2 8‬‬ ‫= × × = ‪( )3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3 3 3 27‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪2 3 23‬‬ ‫او ) ( عددونه سره مساوي نه دي‪.‬‬ ‫په پايله کې ويالى شو چې د‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫که چيرې يو عدد څو ځلې په خپل ځان کې ضرب شوى وي‪ ،‬نو د ضرب حاصل د طاقت په شکل په لن‪６‬‬ ‫ډول ليکل کې‪８‬ي او يا د يو عددد څو ضلعې د ضرب د حاصل د ښودلو لن‪６‬ې طريقې ته طاقت(‪)Power‬‬ ‫وايې‪.‬‬

‫پوښتنې‬ ‫‪ -1‬د ‪ 2 × 2 × 2 × 2 × 2‬د ضرب حاصل مساوي دى په‪:‬‬ ‫‪c)25‬‬ ‫‪d) 36‬‬ ‫‪-2‬د ‪ 10 ×10 ×10‬د ضرب حاصل مساوي دى په‪:‬‬ ‫‪c)100‬‬

‫‪2‬‬

‫‪5‬‬

‫‪b) 5‬‬

‫‪a) 2‬‬

‫‪b) 310‬‬

‫‪a) 103‬‬

‫‪d) 1010‬‬ ‫‪ -3‬د ‪ 33‬عدد مساوي دى په‪:‬‬ ‫‪a) 9‬‬ ‫‪b) 27‬‬ ‫‪c)54‬‬ ‫‪d) 12‬‬ ‫‪ -4‬يو ه زده کوونکي يو عدد په لوم‪７‬نيو ضربي اجزاوو تجزيه ک‪７‬ى دى چې ځواب يې‬ ‫‪ 2 × 2 × 5 × 2 × 5‬دى‪ .‬دا ځواب د طاقت په شکل څنګه ليکالى شو؟‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪a) 2 × 5‬‬ ‫‪b) 23 × 52‬‬ ‫‪c) 22 × 52‬‬ ‫‪d) 23 × 53‬‬ ‫‪ -5‬د ‪ 36‬او ‪ 24‬عددونه په لوم‪７‬نيو ضربي اجزاوو تجزيه او د طاقت په ډول يې وليکئ‪.‬‬ ‫‪ -6‬د ‪ 416‬د عدد لوم‪７‬ن‪ ９‬ضربي اجزاوې‪ ،‬د طاقت په شکل مساوي دي په‪:‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪a) 2 × 13‬‬ ‫‪b) 24 × 13‬‬ ‫‪ -7‬د ‪ 208‬د عدد لوم‪７‬ن‪ ９‬ضربي اجزاوې‪ ،‬د طاقت په شکل مساوي دي په‪:‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪a) 2 × 13‬‬ ‫‪b) 25 × 13‬‬

‫‪36‬‬

‫د طاﻗتونو د ضرب ﻗانون‬ ‫‪ 24×36‬په لوم‪７‬نيو ضربي اجزاوو تجزيه او د طاقت‬ ‫په ډول يې وليکئ د ‪ 16‬عدد په دوه ډوله د طاقت په‬ ‫ډول وليکئ‪ .‬آﻳا کوالى شئ کوم بل عدد پيدا ک‪７‬ئ‬ ‫چې په دوه ډوله د طاقت په شکل وليکل شي؟‬

‫لومړى مثال‪ 33 × 3 2 :‬د ضرب حاصلله ‪ 35‬سره پرتله ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫حل‪ :‬څرنگه چې پوهي‪８‬و ‪ 32 = 3 × 3‬او ‪ 33 = 3 × 3 × 3‬دى په دې اساس‪:‬‬

‫‪32 × 33 = 3 × 3 × 3 × 3 × 3 = 35‬‬ ‫په نتيجه کې ليدل کې‪８‬ي چې‪:‬‬

‫‪32 × 33 = 32+3 = 35‬‬

‫فعاليت‬ ‫په الندې مساواتو کې تش ځايونه ډک ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪)=2‬‬

‫‪7 3 × 7 2 = (7 × 7 × 7 ) × (7 × 7 ) = 7‬‬ ‫×‬

‫×‬

‫×‬

‫( × )‪22 × 24 = (2 × 2‬‬

‫آﻳا کوالى شئ د هغه توان لرونکو عددونو د ضرب لپاره چې مساوي قاعدې ولري يوه عمومي‬ ‫قاعده وړاندې ک‪７‬ئ؟‬ ‫په پورته فعاليت کې مو وليدل چې د هغو طاقتونو په ضرب کې چې مساوي قاعدې ولري له مساوي‬ ‫قاعدو څخه يوه قاعده ليکو چې توان يې د ټولو توانونو د جمعې له حاصل څخه عبارت دى‪.‬‬ ‫دويم مثال‪ :‬د ‪ 23 × 25‬او ‪ 32 × 33 × 34‬د ضرب حاصل په الس راوړئ‪.‬‬ ‫حل‪:‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪3+ 5‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪2 ×2 = 2 = 2‬‬ ‫‪32 × 33 × 34 = 32+3+ 4 = 39‬‬

‫‪37‬‬

‫د ‪ 23 × 33‬د ضرب حاصل په برخه کې څه ويالى شئ؟‬ ‫‪23 × 33 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 = (2 × 3)(2 × 3)(2 × 3) = (2 × 3)3 = 63‬‬ ‫د هغو طاقتونو په ضرب کې چې توانونه يې مساوي‪ ،‬خو قاعدې يې مختلفې وي‪ ،‬قاعدې يو له بله سره‬ ‫ضربوو او له مساوي توانونو څخه د يوه په توان يې ليکو‪.‬‬ ‫دريم مثال‪:‬‬ ‫‪3 × 4 = (3 × 4) = 12‬‬

‫‪5‬‬

‫څلورم مثال‪:‬‬

‫‪5‬‬

‫‪5‬‬

‫‪5‬‬

‫‪2 × 3 = (2 × 3) = 6‬‬

‫‪5‬‬

‫‪،‬‬

‫‪(34 ) 2 = (3) 4× 2 = 38‬‬

‫يا‬

‫‪5‬‬

‫‪5‬‬

‫‪5‬‬

‫‪(34 ) 2 = 34 × 34 = 38‬‬

‫په هغه صورت کې چې يو توان لرونکى عدد په توان پورته شي‪ ،‬د طاقتونو د ضرب د قانون په اساس‬ ‫قاعده د دواړو توانونو د ضرب د حاصل په توان ليکو‪.‬‬

‫پوښتنې‬ ‫‪ - 1‬الندې د ضرب حاصلونه د توان لرونکي عدد په ډول وليکئ‪:‬‬ ‫‪ - 2‬د ‪ 23 × 32‬د ضرب حاصل مساوي دى په‪:‬‬

‫‪7 2 × 73 × 75 , 25 × 35 , 34 × 32‬‬

‫‪c) 65‬‬ ‫‪ - 3‬د ‪ 3 × 32 × 33‬د ضرب حاصل مساوي دى په‪:‬‬ ‫دواړه نا سم دي )‪c‬‬ ‫‪ -4‬د ‪ 23 × 33 × 43‬ﻣساوي دى ﭘﻪ‪:‬‬ ‫‪d) (24)27‬‬

‫‪c) 93‬‬

‫‪b) 72‬‬

‫‪a) 81‬‬

‫‪b) 36‬‬

‫‪a) 35‬‬

‫‪b) (2 × 3 × 4)3‬‬

‫‪a) (24)9‬‬

‫‪ (42 )3 - 5‬مساوي دى په‪:‬‬ ‫‪d) 45‬‬

‫‪c) 24‬‬

‫‪b) 48‬‬

‫‪a) 46‬‬

‫‪38‬‬

‫د طاﻗتونو و‪４‬ﺶ‬ ‫د طاقتونو د ضرب د حاصل لپاره مو وکوالى‬ ‫شول چې عمومي قاعده پيدا ک‪７‬و آﻳا کوالى‬ ‫شئ چې د طاقتنونو د وېش لپاره هم کومه‬ ‫عمومي قاعده الس ته راوړئ؟‬

‫‪n‬‬

‫‪A An-m‬‬ ‫=‬ ‫‪Am‬‬

‫‪m2‬‬

‫‪2 3‬‬

‫‪–3 < –1‬‬

‫مثبت تام عددونه‪ ،‬صفر او منفي تام عددونه مو مخکې د محور پر مخ په دې ډول ښودلي دي‪:‬‬

‫–‬

‫‪+‬‬ ‫‪+3‬‬

‫‪+2‬‬

‫‪+1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪–1‬‬

‫‪–2‬‬

‫‪–3‬‬

‫که پورتني محور ته پام وک‪７‬و ليدل کې‪８‬ي چې د ‪ 1‬او ‪ –1‬عددونه له مبدآ څخه په مساوي‬ ‫واټنو(فاصلو) کې پراته دي‪ .‬په دې معنا چې دا دواړه عددونه له مبدآ(صفر) څخه د يوه واحد‬ ‫په اندازه لرې پراته دي دا دواړه عددونه يو د بل ﺟمعې معکوس (متضاد) دي‪ ،‬په همدې‬ ‫ډول ‪ +2‬او ‪ -2‬يا ‪ +3‬او ‪ –3‬يو د بل جمعې معکوسونه(متضاد) دي‪.‬‬ ‫نو هر تام عدد او جمعې معکوس يې د عددونو پر محور له صفر څخه په مساوي فاصلو کې پراته دي او‬ ‫عالمې يې مختلفې دي د يو عدد فاصله له مبد ْا څخه د عدد د مﻄلقه ﻗيمت په نوم يادي‪８‬ي‪.‬‬

‫‪75‬‬

‫د مثال په ډول‪ :‬د ‪ +3‬او ‪ –3‬دواړه عددونه له صفر څخه د ‪ 3‬واحدونو په اندازه لېرې پراته دي‪ ،‬نو د‬ ‫‪ +3‬او ‪ –3‬د عددونو مطلقه قيمت ‪ 3‬دى‪ .‬د يوه عدد مطلقه قيمت د ښودلو لپاره عدد د دوو عمودي‬ ‫خطونو( | | ) تر منځ ليکل کې‪８‬ي‪.‬‬ ‫‪| - 3| = 3‬‬

‫‪,‬‬

‫‪| + 3| = 3‬‬

‫‪,‬‬

‫‪|0|= 0‬‬

‫فعاليت‬ ‫– د مخامخ عددونو جمعې معکوسونه وليکئ‪:‬‬

‫‪–6 , –12 , –20 , +13 , –15 , 8‬‬

‫– د مخامخ عددونو مطلقه قيمت پيدا ک‪７‬ئ‪-8, 3 , 5 , –11 , –1 , –14 , +17 , 19 :‬‬ ‫زده مو کړل ﭼې‪:‬‬ ‫هر عدد چې صفر نه وي مثبت يا منفي مطلقه قيمت يې مثبت عدد دى‪ ،‬خو د صفر مطلقه‬ ‫قيمت صفر دى يعنې‪| 0 | = 0 :‬‬ ‫د يو عدد او د عدد د جعمې معکوس مطلقه قيمت سره مساوي دی‪:‬‬ ‫‪| –7 | = | +7 | = 7‬‬

‫پوښتنې‬ ‫‪ –1‬الندې تام عددونه په داسې ډول له کي‪２‬ې څخه ښ‪ ９‬خوا ته ترتيﺐ ک‪７‬ئ چې کوچنى عدد کي‪２‬ې‬ ‫خواته وي‪:‬‬ ‫‪–5‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪+6‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪–8 ,‬‬ ‫‪–3 ,‬‬ ‫‪+12‬‬ ‫‪ –2‬د ‪ –6‬او ‪ –9‬په عددونو کې کوم يو لوى دى او په ‪ –7‬او صفر کې کوم عدد کوچنى دى؟‬ ‫‪ –3‬دالندې عددونو مطلقه قيمت پيدا ک‪７‬ئ‪:‬‬ ‫‪+5‬‬ ‫‪, –5‬‬ ‫‪, –3‬‬ ‫‪, 3‬‬ ‫‪, –7‬‬ ‫‪+16‬‬ ‫‪, –10‬‬ ‫‪, 10‬‬ ‫‪, +12 , –12‬‬ ‫‪+132‬‬ ‫‪, –132‬‬ ‫‪, +200‬‬ ‫‪, a‬‬ ‫‪, –200‬‬ ‫‪ –4‬يو محور رسم ک‪７‬ي او د ‪ +2 ،–5‬او ‪ –3‬عددونه د محور پر مخ وټاکئ او ددې عددونو د هر‬ ‫يو جمعې معکوس(متضاد) هم پر همدې محور وښاياست‪.‬‬

‫‪76‬‬

‫د ﻫم عﻼمه تامو عﺪدونو د‬ ‫ﺟمعې عمليه‬ ‫فرض ک‪７‬ئ يو څوک د عددونو پر محور ‪ 9‬واحده‬ ‫کي‪２‬ې خوا ته او بيا ‪ 3‬واحده نور هم کي‪２‬ې خواته تللى‬ ‫وي‪ ،‬نوموړي څو واحده وهلې دي؟‬

‫)‪(–3‬‬

‫)‪(–9‬‬

‫–‬

‫‪+‬‬ ‫‪+1‬‬

‫‪–1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪–2‬‬

‫‪–3‬‬

‫‪–4‬‬

‫‪–5‬‬

‫‪–6‬‬

‫‪–7‬‬

‫‪–8‬‬

‫‪–11 –10 –9‬‬

‫‪–12‬‬

‫)?(‬

‫په طبيعي عددونو کې د جمعې په عمليه پوهي‪８‬ئ د مثال په ډول ‪3 + 4 = 7‬‬

‫هر طبيعي عدد په حقيقت کې يو تام مثبت عدد دى‪ ،‬نو کوالى شو‪ ،‬د جمعې پورتن‪ ９‬عمليه په الندې‬ ‫ډول وليکو‪)+3( + )+4( = )+7 ( :‬‬ ‫د تامو عددونو د جمع کولو لپاره يوه طريقه دا هم ده چې د عددونو له محور څخه گټه واخلو‪.‬‬ ‫د مثﺒتو عﺪدونو ﺟمع‬ ‫د (‪ )+3( + )+4‬عددونو د محور پر مخ د ښودلو لپاره الندې محور ته پاملرنه وک‪７‬ئ‪:‬‬ ‫)‪(+3‬‬

‫)‪(+4‬‬

‫–‬

‫‪+‬‬ ‫‪+7‬‬

‫‪+6‬‬

‫‪+5‬‬

‫‪+4‬‬

‫‪+3‬‬

‫‪+2‬‬

‫‪+1‬‬

‫‪0‬‬

‫)‪(+7‬‬

‫په پورتني محور کې ليدل کې‪８‬ي چې‪:‬‬ ‫( ‪) +3 ( + )+4 ( = )+7‬‬ ‫‪3 + 4 = 7‬‬

‫يا‬

‫فعاليت‬ ‫د ‪ +5‬عدد د ‪+2‬له عدد سره جمع ک‪７‬ئ او پر محور يې وښاياست‪.‬‬

‫‪77‬‬

‫‪–1‬‬

‫‪–2‬‬

‫د منفي عﺪدونو ﺟمع‬ ‫که چېرې له مبدآ څخه کي‪２‬ې خواته ‪ 5‬واحده (‪ )-5‬او بيا ‪ 3‬واحده نور هم کي‪２‬ې خواته (‪ )-3‬په‬ ‫اندازه حرکت وک‪７‬و‪ ،‬په حقيقت کې چپې خواته د (‪ )-8‬ټکې ته رسي‪８‬و‪ .‬الندې شکل و‪－‬ورئ‪.‬‬ ‫)‪(–3‬‬

‫)‪(–5‬‬

‫–‬

‫‪+‬‬ ‫‪+1‬‬

‫‪–1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪–2‬‬

‫‪–3‬‬

‫‪–5‬‬

‫‪–4‬‬

‫‪–6‬‬

‫‪–7‬‬

‫‪–8‬‬

‫)‪(–8‬‬

‫( ‪)–5 ( + ) – 3 ( = ) –8‬‬

‫له دې امله ‪:‬‬

‫مثال‪ :‬که يو کس د محور پر مخ ‪ 8‬واحده کي‪２‬ې خواته حرکت وک‪７‬ي او بيا ‪ 4‬واحده نور هم کي‪２‬ې‬ ‫خواته الړ شي‪ ،‬نوموړى کوم ټکې ته رسيدلى دى؟‬ ‫حل‪:‬‬

‫)‪(–4‬‬

‫)‪(–8‬‬

‫–‬

‫‪+‬‬ ‫‪+1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪–1‬‬

‫‪–2‬‬

‫‪–3‬‬

‫‪–4‬‬

‫‪–5‬‬

‫‪–6‬‬

‫‪–7‬‬

‫‪–8‬‬

‫‪–9‬‬

‫‪–11 –10‬‬

‫‪–12‬‬

‫)‪(–12‬‬

‫‪(–8 ( + (–4 ( = –12‬‬ ‫زده مو کړل ﭼې‪ :‬د دوو هم عالمه عددونو د جمعې حاصل ددې دواړو عددونو د مطلقه قيمتونو‬ ‫له جمعې سره برابر دى او شريکه عالمه يې د جمعې د حاصل عالمه ده‪.‬‬

‫پوښتنې‬ ‫‪ –1‬الندې عددونه جمع ک‪７‬ئ‪:‬‬

‫?=(‪)–12(+)–3‬‬ ‫?=(‪)–7(+)–6‬‬ ‫?=‪37+47‬‬ ‫‪ –2‬زينﺐ خپلې گوتې ته د ‪ 3‬واحدونو په اندازه د عددونو پر محور د محور له مبدا(صفر) څخه‬ ‫ښ‪ ９‬خواته او بيا ‪ 4‬واحده نور هم ښ‪ ９‬خواته حرکت ورکوي او په دې ټکي گوته ږدي‪ ،‬د زينﺐ‬ ‫گوته کوم عدد ته رسيدلي ده؟‬ ‫‪ –3‬په عمودې ډول يو محور رسم او د محور پر مخ د مبدا ټکى و ټاکئ‪ ،‬د يو مي‪８‬ي حرکت ‪4‬‬ ‫واحده له مبدآ ښکته خواته ا و بيا ‪ 6‬واحده نور هم د محور ښکته خوا ته په پام کې ونيسئ د مي‪８‬ي‬ ‫اخيرنى ځاى دمحور پر مخ وښاياست‪.‬‬

‫‪78‬‬

‫د مﺨتلف العﻼمه تامو عﺪدونو ﺟمع‬ ‫احمد له يوه دوکاندار څخه ‪ 7‬افغان‪ ９‬پور اخيستي‬ ‫وې (پور په منفي عالمه ښکاره کوو)‪ ،‬څو ورځې‬ ‫وروسته يې هغه دوکاندار ته ‪ 5‬افغانى ورک‪７‬ې‪،‬‬ ‫اوس احمد څو افغان‪ ９‬پور وړى دى؟‬

‫که چېرې د محور پر مخ له مبدا څخه په حرکت پيل وک‪７‬و لوم‪７‬ى د ‪ 2‬واحدونو په اندازه کي‪２‬ې‬ ‫خواته او بيا له همدې ټکي څخه د ‪ 6‬واحدونو په اندازه ښـ‪ ９‬خواته حرکت وک‪７‬و‪ ،‬په پای کې د ‪+4‬‬ ‫ټکي(نقطې) ته رسي‪８‬و‪ .‬الندې شکل ته وگورئ‪:‬‬ ‫)‪(+6‬‬ ‫)‪(–2‬‬

‫‪+‬‬ ‫‪+5‬‬

‫‪+6‬‬

‫‪+3‬‬

‫‪+4‬‬

‫‪+2‬‬

‫‪0‬‬

‫‪+1‬‬

‫–‬ ‫‪–1‬‬

‫‪–3‬‬

‫‪–2‬‬

‫)‪(+4‬‬

‫د پورته شکل له مخې ليدل کي‪８‬ي چې‪ –2 + )+6 ( = )+4 ( :‬يا ‪–2 + 6 = 4‬‬ ‫لومړى مثال‪ :‬د (‪ )–8‬عدد د (‪ )+3‬له عدد سره جمع کوو‪:‬‬ ‫حل‪:‬‬ ‫)‪(–8‬‬ ‫)‪(+3‬‬

‫‪+‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪–1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪–3‬‬

‫‪–2‬‬

‫‪–4‬‬

‫–‬ ‫‪–5‬‬

‫‪–6‬‬

‫‪–7‬‬

‫)‪(–5‬‬

‫‪–8‬‬

‫‪(–8( + (+3( = –8+ 3 = –5‬‬ ‫دويم مثال‪ :‬ددې لوست په پيل کې چې کومه پوښتنه راک‪７‬ل شوې وه‪ ،‬د عددونو له محور څخه په‬ ‫گټه اخيستلو يې حلوو‪:‬‬ ‫)‪(–7‬‬ ‫ﺣﻞ‪:‬‬ ‫–‬ ‫‪+‬‬ ‫‪+2‬‬

‫‪+1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪–1‬‬ ‫)‪(–2‬‬

‫‪–2‬‬

‫‪–3‬‬

‫‪–4‬‬

‫‪–5‬‬

‫‪–6‬‬

‫)‪(+5‬‬

‫‪(–7( + (+5( = –2‬‬ ‫پوښتنه‪ :‬د (–) عالمه د (‪ )–2‬په عدد کې څه شى ښکاره کوي؟‬

‫‪79‬‬

‫‪–7‬‬

‫فعآليت‬ ‫د الندې شکل له مخې يوه پوښتنه جوړه او بيا يې حل ک‪７‬ئ‪:‬‬

‫–‬

‫‪+‬‬ ‫‪+6‬‬

‫‪+5‬‬

‫‪+3 +4‬‬

‫‪+2‬‬

‫‪+1‬‬

‫‪–1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪–2‬‬

‫‪–3‬‬

‫‪–4‬‬

‫دريم مثال‪ :‬د ژمې په يوه ورځ کې د کابل د تودوخې درجه له صفر څخه ‪ 5‬درجې د سانتي ‪－‬ري‪６‬‬ ‫پورته ده که د شپې له خوا د کابل د تودوخې درجه د (‪ )–3‬په اندازه تغير وک‪７‬ي‪ ،‬په شپه کې د کابل‬ ‫د تودوخې درجه څومره ده؟‬ ‫)‪(+5‬‬ ‫حل‪:‬‬

‫–‬

‫)‪(–3‬‬

‫‪+‬‬ ‫‪+6‬‬

‫‪+5‬‬

‫‪+3 +4‬‬

‫‪+2‬‬

‫‪+1‬‬ ‫)‪(+2‬‬

‫‪0‬‬

‫‪–1‬‬

‫‪–2‬‬

‫‪–3‬‬

‫‪–4‬‬

‫(‪(+5( + (–3( = (+2‬‬ ‫د کابل هوا په شپه کې ‪ 2‬درجې د سانتي ‪－‬ري‪ ６‬له صفره پورته يا ‪ +2‬درجې د سانتي ‪－‬ري‪ ６‬ده‪.‬‬ ‫پاملرنه‪ :‬د ورځې له خوا دکابل د تودوخې درجه ‪ 5( +5‬درجې له صفر څخه پورته) او په شپه کې چې‬ ‫هوا س‪７‬ي‪８‬ي‪ ،‬نو د تودوخې درجه د ‪ 3‬درجو په اندازه تغيير کوي او د ‪ 3‬درجو په اندازه نسبت ورځې ته‬ ‫س‪７‬ي‪８‬ي‪.‬‬ ‫زده مو کړل ﭼې‪ :‬د دوو تامو مختلﻒ العالمه عددونو د جمع کولو لپاره‪:‬‬ ‫له هغه عدد څخه چې مطلقه قيمت يې لوی وي‪ ،‬هغه عدد چې مطلقه قيمت يې کوچنى وي تفريقوو‬ ‫او د هغه عدد عالمه دتفريﻖ د حاصل عالمه ده چې مطلقه قيمت يې لوى وي‪.‬‬

‫پوښتنې‬ ‫‪ –1‬الندې راک‪７‬ل شوي تام عددونه سره جمع ک‪７‬ئ‪:‬‬ ‫=)‪(–3)+(+7)+(–4)+(–9‬‬

‫‪,‬‬

‫=)‪(+3)+(–5‬‬

‫‪,‬‬

‫=)‪(–6)+(+5‬‬

‫‪ –2‬د ( ‪ ) 4‬عدد د ( ‪ ) 3‬له تام عدد سره جمع ک‪７‬ئ او د محور پر مخ يې وښاياست‪.‬‬ ‫‪ –3‬که د هرات د تودوخې درجه ‪ 8‬درجې د سانتي گري‪ ６‬له صفره ښکته او باميان له هرات څخه ‪3‬‬ ‫درجې سوړ دى‪ ،‬د باميانو د تودوخې درجه څومره ده؟ پر محور يې وښاياست‪.‬‬ ‫‪ –4‬د ( ‪ ) + 8 ( ، ) 6‬او ( ‪ ) 10‬درې تام عددونه سره جمع ک‪７‬ئ‪.‬‬

‫‪80‬‬

‫د تامو عﺪدونو د تفريﻖ عمليه‬ ‫څرنگه کوالى شو چې د ‪ 7‬عدد د ‪ 5‬له عدد‬ ‫څخه تفريﻖ ک‪７‬و؟‬

‫په مخکنيو درسونو کې مو وليدل چې د تامو عددونو د جمعې پر عمليې د ښه پوهېدو لپاره د عددونو‬ ‫محور له موږ سره مرسته وک‪７‬ه‪.‬‬ ‫دلته دمحور په مرسته د تامو عددونو د تفريﻖ عمليه څي‪７‬و‪:‬‬

‫فعآليت‬ ‫)‪(+5‬‬

‫–‬

‫‪+‬‬ ‫‪+7‬‬

‫‪+6‬‬

‫‪+5‬‬

‫‪+4‬‬

‫‪+3‬‬ ‫)‪(- 4‬‬

‫‪+2‬‬

‫‪+1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪–1‬‬

‫‪–2‬‬

‫)‪(+1‬‬

‫ شکل ته په پاملرنه ښکاره ک‪７‬ئ چې ‪ 5 4‬څرنگه پيدا کوو؟‬‫ په همدې ډول ‪ 4 5‬پر محور وښياست او حاصل يې په الس راوړئ‪.‬‬‫ د يو محور پر مخ )‪ 4 + ( 5‬وښياست او حاصل يې پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬‫ ‪ 4 5‬او )‪ 4 + ( 5‬يو له بله سره پرتله ک‪７‬ئ‪ .‬څه نتيجه السته راځي؟‬‫د پورتني فعاليت پايله موږ ته ښکاره کوي‪ ،‬ددې لپاره چې د ‪ 4‬له عدد څخه د ‪ 5‬عدد تفريﻖ ک‪７‬و‪،‬‬ ‫بايد د ‪ -5‬عدد له ‪ 4‬سره جمع کوو‪ .‬يا په بل عبارت کوالى شو چې د تفريﻖ عمليه د جمعې په عمليه‬ ‫بدله ک‪７‬و‪:‬‬ ‫‪4 – 5 = )+4( + )–5( = –1‬‬ ‫ليدل کي‪８‬ي چې د تفريﻖ په عمليه کې د مفروق عالمه بدلون کوي‪ ،‬په دې معنا چې په حقيقت کې‬ ‫د تفريﻖ په عمليه کې د مفروق جمعې معکوس(‪ )Additive inverse‬د مفروق منه سره جمع‬ ‫کوو‪.‬‬

‫‪81‬‬

‫لومړى مثال‪ :‬د ‪ 5‬عدد د ‪ 7‬له عدد څخه تفريﻖ ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫حل‪ :‬د مفروق جمعې معکوس (متضاد) يا د ‪ 5‬جمعې معکوس چې ‪ + 5‬دى له مفروق منه (‪)7‬‬ ‫‪7 – (–5) = 7 + (+5) = 7+5 =12‬‬

‫سره جمع کوو‪:‬‬

‫دويم مثال‪ :‬د ‪ 9‬عدد د ‪ –3‬له عدد څخه تفريﻖ ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫دلته د ‪ 9‬عدد مفروق دى‪ ،‬نو د ‪ 9‬جمعې معکوس( ‪ ) 9‬له مفروق منه( ‪ ) 3‬سره جمع کوو‪.‬‬ ‫دريم مثال‪ :‬د ‪4‬‬

‫عدد د ‪2‬‬

‫‪(–3( – (+9( = (–3( + (–9( = – 12‬‬ ‫له عدد سره جمع ک‪７‬ئ او بيا د جمعې له حاصل څخه د ‪ 9‬عدد‬

‫تفريﻖ ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫حل‪ :‬لوم‪７‬ى د ‪ 4‬او ‪ 2‬عددونه سره جمع کوو‪ ،‬بيا د مفروق ( ‪ ) 9‬د عدد عالمه بدلوو چې‬ ‫‪ + 9‬شي‪ ،‬په پاى کې مفروق منه او مفروق سره جمع کوو‪:‬‬ ‫‪(–6( –(–9( =–6 +9 = +3 = 3‬‬

‫‪(–4( + (–2( = –6 ,‬‬

‫زده مو کړل ﭼې‪:‬‬ ‫د دوو تامو عددونو د تفريﻖ په عمليه کې لوم‪７‬ى د مفروق عالمه بدلوو او بيا مفروق له مفروق منه سره‬ ‫جمع کوو‪ .‬يا په بل عبارت د مفروق جمعې معکوس له مفروق منه سره جمع کوو‪.‬‬

‫پوښتنې‬ ‫‪ –1‬الندې حاصلونه په الس راوړئ‪:‬‬ ‫‪0–5‬‬

‫(‪)–3( – )–9( )–8( – )–4‬‬

‫‪5–0‬‬

‫‪8 – 12‬‬

‫‪– 20 – 12‬‬

‫(‪)–3( – )9‬‬

‫(‪)–12( –)–20‬‬

‫(‪)–25( – )–12( –13 – )–3‬‬

‫‪ –2‬د ‪ 6‬له تام عدد څخه چې مفروق منه دى د ‪ 4‬تام عدد تفريقوو‪ ،‬دا عمليه د عددونو پر محور‬ ‫وښاياست؟‬ ‫‪ –3‬د ‪ 6‬عدد له ‪ + 8‬سره جمع ک‪７‬ئ او د جمعې له حاصل څخه د ‪ 14‬عدد تفريﻖ ک‪７‬ئ‪.‬‬

‫‪82‬‬

‫د مﺨتلفو العﻼمه عﺪدونو ضرب‬

‫که چيرې دوه مختلﻒ العالمه تام عددونه ســره‬ ‫ضرب شــي دضــرب د حاصل عالمــه به څه‬ ‫وي؟‬

‫فعآليت‬ ‫که چېرې د ضرب په حاصل کې له يو ضربي عامل څخه يو‪ ،‬يو واحد کم ک‪７‬و د ضرب په حاصل‬ ‫کې به څه توپير راشي؟‬ ‫مخامخ ضربونو ته پاملرنه وک‪７‬ئ‪:‬‬ ‫‪4 × 4 = 16‬‬ ‫‪3× 2 = 6‬‬

‫د ضرب له پورتنيو حاصلونو څخه منځته راغلی بدلون پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫ د دوو مثبتو عددونو د ضرب د حاصل عالمه څه ده؟‬‫ د يوه منفي عدد او يو مثبت عدد د ضرب د حاصل عالمه څه ده؟‬‫په الندې ډول هم کوالى شو چې همدا نتيجه الس ته راوړو‪.‬‬

‫‪2× 2 = 4‬‬

‫‪3 × 4 = 12‬‬

‫‪1× 2 = 2‬‬ ‫‪0× 2 = 0‬‬

‫‪2× 4 = 8‬‬ ‫‪1× 4 = 4‬‬

‫‪1× 2 = 2‬‬ ‫‪2× 2 = 4‬‬ ‫‪3× 2 = 6‬‬

‫‪0× 4 = 0‬‬ ‫‪1× 4 = 4‬‬ ‫‪2× 4 = 8‬‬ ‫‪3 × 4 = 12‬‬

‫‪4× 2 = 8‬‬

‫‪00‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪00‬‬ ‫‪0‬‬

‫که چېرې يو تام مثبت عدد‪ ،‬د مثال په ډول ‪ +2‬درې ځلې سره جمع ک‪７‬و‪ ،‬نو ليدل کې‪８‬ي چې‪:‬‬ ‫‪(+2( + (+2( + (+2( = +6‬‬ ‫په دې ځاى کې په حقيقت کې د ‪ +2‬عدد درې چنده شوى دى په طبيعي عددونو کې مو درلودل‬ ‫‪3× 2 = 6‬‬ ‫چې‪:‬‬ ‫پورتن‪ ９‬عمليه د محور پر مخ داسې ښکاره کوو‪:‬‬ ‫)‪(+2‬‬

‫‪+‬‬ ‫‪+7‬‬

‫‪+6‬‬

‫‪+5‬‬

‫)‪(+2‬‬ ‫‪+4‬‬

‫‪+3‬‬

‫)‪(+2‬‬ ‫‪+2‬‬

‫‪+1‬‬

‫په همدې ډول په الندې شکل کې د ‪ –2‬عدد درې ځلې راغلى دى‪:‬‬

‫‪83‬‬

‫–‬ ‫‪0‬‬

‫‪–1‬‬

‫‪–2‬‬

‫)‪( –2‬‬

‫‪+‬‬ ‫‪+1‬‬

‫‪0‬‬

‫)‪( –2‬‬ ‫‪–2‬‬

‫‪–1‬‬

‫‪–3‬‬

‫)‪(–2‬‬ ‫‪–4‬‬

‫‪–5‬‬

‫–‬ ‫‪–6‬‬

‫‪–7‬‬

‫‪–8‬‬

‫‪–9‬‬

‫‪(–2( +(–2( +(–2( = 3 ×(–2( = –6‬‬ ‫مثال‪ :‬د ‪ 4‬عدد په ‪ 3‬کې ضرب ک‪７‬ئ‪:‬‬ ‫‪3 × (–4( = (–4( + (–4( + (–4( = –12‬‬ ‫حل‪:‬‬ ‫پوښتنه‪:‬الندې تش ځايونه ډک ک‪７‬ئ‪:‬‬ ‫( ( = ‪(–6( × 2‬‬ ‫‪, ( ( × 5 = –25‬‬ ‫‪, (–3(× ( ( = –3‬‬

‫فعآليت‬ ‫له ‪ 7‬څخه تر ‪ –7‬پورې د عددونو د ضرب حاصل له ‪ 2‬سره د دې لوست د لوم‪７‬ني فعاليت په شان‬ ‫وليکئ‪.‬‬

‫زده مو کړه ﭼې‪:‬‬ ‫ که چېرې دوه مثبت عددونه يوله بله سره ضرب شي‪ ،‬د ضرب د حاصل عالمه مثبت ده‪.‬‬‫ که چېرې يو منفي عدد له مثبت عدد سره او يا يو مثبت عدد له منفي عدد سره ضرب شي‪ ،‬د‬‫ضرب د حاصل عالمه منفي ده‪.‬‬

‫پوښتنې‬ ‫‪ –1‬د الندې محور پر مخ څه وينئ؟ د ضرب په شکل يې وليکئ‪.‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪-1‬‬ ‫‪-1‬‬

‫‪-1‬‬ ‫‪-2‬‬

‫‪-3‬‬

‫‪-4‬‬

‫پورې تام عددونه په ترتيﺐ سره په ‪ 2‬کې ضرب ک‪７‬ئ او د ضرب حاصلونه دوه په‬

‫‪ –2‬د ‪ + 5‬څخه تر ‪5‬‬ ‫دوه سره پرتله ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪ –3‬که چېرې د دووتامو عددونو د ضرب حاصل ‪ +8‬وي که يو عدد ‪ +4‬وي‪ ،‬بل عدد به څو وي؟‬ ‫‪ –4‬که چېرې د دوو تامو عددونو د ضرب حاصل ‪ _ 8‬دى که يو عدد ‪ _ 4‬وي‪ ،‬بل عدد به څو وي؟‬

‫‪ –5‬الندې د ضرب عمليې سرته ورسوئ؟‬

‫= ‪(–4( × 5‬‬ ‫= ‪(–5( × 3‬‬ ‫= (‪(–3( × (+1‬‬ ‫= (‪(–1( × (+1‬‬ ‫= (‪(–7( × (+10‬‬ ‫= (‪(–9( × (100‬‬ ‫‪ –6‬د ‪ +7‬سره کوم عدد ضرب ک‪７‬و‪ ،‬تر څو د ضرب حاصل ( ‪ ) 56‬شي؟‬

‫=‪4×7‬‬ ‫= (‪(–2( × (+3‬‬ ‫= ‪(–1( × 0‬‬

‫‪84‬‬

‫د منفي تام عﺪد ضرب په منفي‬ ‫تام عﺪد کې‬ ‫که چيرې يو تام عدد‪ ،‬لکه (د ‪ 2‬يا ‪ 5‬تام‬ ‫عددونه) په نورو تامو عددونو(مثبت‪ ،‬صفر او منفي‬ ‫تامو عددونو) کې په پرله پسې ډول په ترتيﺐ سره‬ ‫ضرب ک‪７‬و‪ ،‬د ‪ 2‬او ‪ 5‬د اړوندو عددونو د‬ ‫ضرب له حاصلونو څخه به‪ ،‬څه نتيجه په الس‬ ‫راوړو؟ سربېره پر دې د دوو منفي عددونو د ضرب‬ ‫د حاصل عالمه څه ده؟‬

‫‪3 × (–5) = – 15‬‬

‫‪3 × (–2) = – 6‬‬

‫‪2 × (–5) = –10‬‬

‫‪2 × (–2) = –4‬‬

‫‪1 × (–5) = –5‬‬

‫‪1 × (–2) = –2‬‬

‫‪0 × (–5) = 0‬‬

‫‪0 × (–2) = 0‬‬

‫‪–1 × (–5) = 5‬‬

‫‪–1 × (–2) = 2‬‬

‫‪–2 × (–5) = 10‬‬

‫‪–2 × (–2) = 4‬‬

‫‪–3 × (–5) = 15‬‬

‫‪–3 × (–2) = 6‬‬

‫فعآليت‬ ‫د لوم‪７‬ني ضربي عامل په کمولو سره د ضرب په حاصلونو کې څه توپير وينئ؟ ددې توپير په پام کې‬ ‫نيولو سره د ضرب الندې حاصلونه پوره ک‪７‬ئ‪:‬‬ ‫‪...‬‬ ‫‪5 × (–5) = –25‬‬ ‫‪4 × (–5) = –20‬‬ ‫‪3 × (–5) = –15‬‬ ‫‪2 × (–5) = –10‬‬ ‫‪1 × (–5) = –5‬‬ ‫‪0 × (–5) = 0‬‬ ‫‪–1 × (–5) = +5‬‬ ‫‪–2 × (–5) = +10‬‬ ‫‪–3 × (–5) = +15‬‬ ‫= )‪–4 × (–5‬‬ ‫= )‪–5 × (–5‬‬

‫‪..‬‬ ‫‪.‬‬

‫‪..‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪5 × (–2) = –10‬‬ ‫‪4 × (–2) = –8‬‬ ‫‪3 × (–2) = –6‬‬ ‫‪2 × (–2) = –4‬‬ ‫‪1 × (–2) = –2‬‬ ‫‪0 × (–2) = 0‬‬ ‫‪–1 × (–2) = +2‬‬ ‫‪–2 × (–2) = +4‬‬ ‫‪–3 × (–2) = +6‬‬ ‫= )‪–4 × (–2‬‬ ‫= )‪–5 × (–2‬‬

‫‪..‬‬ ‫‪.‬‬

‫ددې لوست د پيل په فعاليت کې مو وليدل‪ ،‬که يو منفي عدد په بل منفي عدد کې ضرب شي لکه‪:‬‬ ‫] )‪ [ ( 4) × ( 5‬د ضرب حاصل يې يو مثبت عدد کې‪８‬ي‪.‬‬

‫‪85‬‬

‫لومړى مثال‪ :‬د ‪ 6‬عدد د ‪ 2‬په عدد کې ضرب ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫حل‪ :‬لکه څرنګه چې ددې لوست د پيل په فعاليت کې مووليدل‪ ،‬ددې عددونو له ضربولو څخه‬ ‫الندې نتيجه الس ته راځي‪:‬‬ ‫‪(–6( × (–2( = +12‬‬ ‫دويم مثال‪ :‬د )‪ ( 2) × (+3) × ( 10‬د ضرب حاصل په الس راوړئ‪.‬‬ ‫حل‪ :‬لوم‪７‬ى د کي‪２‬ې خوا دوه عددونه سره ضربوو‪ ،‬بيا د ضرب حاصل له دريم عدد سره ضربوو‪:‬‬ ‫‪)–2( × )+3( = –6‬‬ ‫اوس د ضرب په الس راغلى حاصل په ( ‪ ) 10‬کې ضربوو‪ ،‬نو لرو چې‪:‬‬ ‫‪(–6( × (–10( = +60‬‬ ‫زده مو کړل ﭼې‪:‬‬ ‫‪ -1‬د يو مثبت او يو منفي عدد د ضرب حاصل يو منفي عدد دى‪.‬‬ ‫‪ -2‬ددوو منفي عددونو د ضرب حاصل يو مثبت عدد دى‪.‬‬ ‫‪ -3‬په عمومي ډول د دوو هم عالمه عددونو د ضرب حاصل يو مثبت عدد او د دوو مختلﻒ العالمه‬ ‫عددونو د ضرب حاصل‪ ،‬يو منفي عدد دى‪.‬‬

‫پوښتنې‬ ‫‪ –1‬الندې د ضرب عمليې سرته ورسوئ‪:‬‬ ‫= )‪(–1) × (–1‬‬

‫= )‪(+3) × (–3‬‬

‫= )‪(–6) × (–1‬‬

‫= )‪(–4) × (–8‬‬

‫= )‪(–2) × (+5‬‬

‫= )‪(–12) × (–3‬‬

‫‪ –2‬له ‪ + 2‬څخه تر ‪ 6‬پورې عددونه په ترتيﺐ سره د ‪ 3‬په عدد کې ضرب ک‪７‬ئ او د ضرب‬ ‫حاصلونه دوه په دوه سره پرتله ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪ –3‬په مناسبو عددونو سره الندې تش ځايونه ډک ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪(–3) × ( ) = +21‬‬ ‫) ( = )‪(–1) × (–11‬‬

‫) ( = )‪(–2) × (–5‬‬ ‫‪(–3) × ( ) = –6‬‬

‫‪ –4‬الندې د ضرب حاصلونه په الس راوړئ‬

‫= (‪(–3( × (+2( × (–5‬‬ ‫= (‪(–6( × (–4( × (–2‬‬ ‫= (‪(–10( × (–2( × (+1‬‬

‫‪(–4) × ( ) = +8‬‬ ‫‪( ) × (–9) = +27‬‬ ‫= (‪(–2( × (+3( × (–4‬‬ ‫= (‪(+7( × (–4( × (–2‬‬ ‫= (‪(–1( × (–1( × (–1‬‬

‫‪86‬‬

‫د تامو عﺪدونو و‪４‬ﺶ‬ ‫? = )‪(+18) ÷(–6‬‬

‫×‬ ‫‪(+18) ÷ ( – 6 ) = – 3‬‬

‫‪? × (+6) = –18‬‬

‫×‬ ‫‪(–18) ÷ ( – 6 ) = + 3‬‬

‫? = )‪(–18) ÷ (–6‬‬

‫لکه څرنگه چې د طبيعي عددونو له بحث څخه پوهي‪８‬و‪ ،‬د وېش عمليه د ضرب له عمليې سره‬ ‫معکوسه اړيکه لري‪ ،‬په دې معنا‪:‬‬ ‫که چېرې د ضرب حاصل په لوم‪７‬ۍ ضربي جزوو ووېشل شي‪ ،‬دويمه ضربي جزوه په الس راځي‪ ،‬په همدې‬ ‫ډول که د ضرب حاصل په دويمه ضربي جزوه وويشل شي‪ ،‬لوم‪７‬ۍ ضربي جزوه په الس راځي‪.‬‬

‫الندې جدول ته وگورئ!‬

‫د وېش عمليه‬

‫د ضرب عمليه‬

‫‪(+18( ÷ (+6( = +3‬‬

‫‪(+6( × (+3( = +18‬‬

‫‪(+18( ÷ (–6( = –3‬‬

‫‪(–6( × (–3( = +18‬‬

‫‪(–18( ÷ (+6( = –3‬‬

‫‪(+6( × (–3( = –18‬‬

‫‪(–18( ÷ (–6( = +3‬‬

‫‪(–6( × (+3( = –18‬‬

‫فعآليت‬ ‫د ضرب له الندې عمليو څخه د پورته جدول په شان يو جدول جوړ ک‪７‬ئ چې د تامو عددونو د‬ ‫ضرب او ويش تر منځ اړيکه ښکاره کوي‪:‬‬

‫واضﺢ ک‪７‬ئ چې دوه تام عددونه څرنګه يو پر بل وېشو‪.‬‬

‫‪87‬‬

‫‪1( 6 × 2 = 12‬‬ ‫‪2( (–6( × 2 = –12‬‬ ‫‪3( 6 × (–2( = –12‬‬ ‫‪4( (–6( × (–2( = 12‬‬

‫نتيﺠه‪ :‬د ضرب او وېش سرته رسيدلو عمليو ته مو په پام کولو سره وليدل چې‪:‬‬ ‫_ که يو منفي عدد پر مثبت عدد ووېشل شي‪ ،‬د وېش د حاصل عالمه منفي ده‪.‬‬ ‫_ که يو منفي عدد پر بل منفي عدد ووېشل شي‪ ،‬د وېش د حاصل عالمه مثبت ده‪.‬‬ ‫_ که يو مثبت عدد‪ ،‬پر منفي عدد ووېشل شي‪ ،‬د وېش د حاصل عالمه منفي ده‪.‬‬ ‫لومړى مثال‪ :‬لوم‪７‬ى د صورتونو او مخرجونو عالمې وټاکئ او بيا د وېش حاصلونه په الس‬ ‫راوړئ‪:‬‬ ‫ﺣﻞ‬

‫)‪(+5) × ( 8‬‬ ‫=‬ ‫)‪( 10) × (+1‬‬

‫)‪(+6) × ( 5‬‬ ‫=‬ ‫‪=? ? , ,‬‬ ‫)‪(+2) × ( 15‬‬

‫‪,‬‬

‫? =‪,‬‬

‫)‪( 4) × ( 3‬‬ ‫?=‬ ‫)‪( 2 )× ( 1‬‬

‫د تامو عددونو په وېش کې لکه د تامو عددونو د ضرب په شان لوم‪７‬ى د وېش د حاصل عالمه پيدا‬ ‫کوو بيا د وېش عمليه سرته رسوو‪:‬‬ ‫)‪( 4) × ( 3) (+12‬‬ ‫)‪(+6) × ( 5) ( 30‬‬ ‫)‪(+5) × ( 8) ( 40‬‬ ‫=‬ ‫‪=+6 ,‬‬ ‫=‬ ‫‪= +1 ,‬‬ ‫=‬ ‫‪=+ 4‬‬ ‫)‪(+2) × ( 15) ( 30‬‬ ‫)‪( 10) × (+1) ( 10‬‬ ‫)‪( 2 )× ( 1) (+2‬‬

‫په ياد ولرئ ﭼې‪:‬‬ ‫د وېش په عمليه کې‪ ،‬لوم‪７‬ى د وېش دحاصل عالمه ټاکو او بيا د مقسوم مطلقه قيمت د مقسوم عليه‬ ‫په مطلقه قيمت باندې وېشو‪.‬‬

‫پوښتنې‬ ‫‪ –1‬لوم‪７‬ى د کي‪２‬ې خوا تش ځايونه ډک او بيا د ښ‪ ９‬خوا د وېش حاصلونه وليکئ‪:‬‬ ‫‪( 5) × ( ) = +20‬‬ ‫‪,‬‬ ‫= )‪(20) ÷ ( 5‬‬ ‫‪(+7) × ( ) = 56‬‬ ‫‪,‬‬ ‫= )‪( 56) ÷ (+7‬‬ ‫)‪( ) × (+8‬‬ ‫‪8) == (4040) , , ( 40‬‬ ‫= )‪÷ (+÷8()+=8‬‬ ‫)‪( )40‬‬ ‫‪( ) × ( 5) = 35‬‬ ‫‪,‬‬ ‫= )‪( 35) ÷ ( 5‬‬

‫‪ –2‬د )‪ (+6) ( 18‬حاصل د )‪ ( 8) + ( 4‬افادې د حاصل په وېشلو کې بايد څرنګه عمل وک‪７‬و‪.‬‬

‫‪ –3‬الندې عمليې پوره‪ ،‬د ضرب او د وېش جدول يې جوړ ک‪７‬ئ‪:‬‬ ‫( = )‪(–42) ÷ (+6‬‬ ‫)‬ ‫‪( ) × (–2) = –72‬‬ ‫‪(–100) ÷ ( ) = +100‬‬ ‫)‪(+60) ÷ ( ) = (–20‬‬

‫) ( = )‪(–8) × (+4‬‬ ‫‪(+50) × ( ) = –200‬‬ ‫(‬ ‫‪) ÷ ( –4) =+20‬‬ ‫) ( = )‪(–12) × (+3‬‬

‫‪88‬‬

‫د حساﺑي افادو د ﻗيمتونو پيﺪا کول‬ ‫]})‪-3[2-(4-3)-{-1+1-(-1-1‬‬

‫که په يوه پوښتنه کې څو عمليې(جمع‪ ،‬تفريﻖ‪ ،‬ضرب‬ ‫او وېش) وي‪ ،‬څه بايد وک‪７‬و؟‬

‫]}‪-3[2-4+3-{-1+1+1+1‬‬

‫آيا الندې پوښتنه د څلورو اساسي عمليو په مرسته چې‬ ‫تر اوسه مو زده ک‪７‬ې دي حلوالى شئ؟‬

‫]‪-3[2-4+3+1-1-1-1‬‬

‫? = {( ‪( 5( – }( –4 ( × ( –7 ({ – }( –6 ( ÷ ( +2‬‬

‫‪-3[-1]=3‬‬

‫په ياد ولرئ ﭼې‪:‬‬ ‫دې( ) قوس ته کوچنى قوس‪ ،‬دې { } قوس ته منځنى او دې ] [ قوس ته لوى قوس وايي‪.‬‬ ‫د قوسونو په رفع کولو کې لوم‪７‬ى کوچنى قوس‪ ،‬بيا منځنى او په پاى کې لوى قوس خالصي‪８‬ي‪.‬‬ ‫د يوې حساﺑي افادې د ساده کولو لپاره ﻻنﺪې پړاوونه په پام کې نيسو‪:‬‬ ‫لومړى‪ :‬که په حسابي افادو کې طاقت او جذر وي‪ ،‬لوم‪７‬ى بايد هغه ساده ک‪７‬و‪.‬‬ ‫دويم‪ :‬که په حسابي افادو کې قوسونه وي‪ ،‬لوم‪７‬ى قوسونه له منځه وړو‪.‬‬ ‫دريم‪ :‬د ضرب او وېش عمليې له کي‪２‬ې خوا څخه ښ‪ ９‬خواته سر ته رسوو‪.‬‬ ‫څلورم‪ :‬د جمع او تفريﻖ عمليې له کي‪２‬ې خوا څخه ښ‪ ９‬خواته سرته رسوو‪.‬‬ ‫مثال‪ :‬الندې حسابي افاده ساده ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫ﺣﻞ‪:‬‬

‫‪( 6 × 4) × 23 5 + 49 ÷ 7 10‬‬

‫‪ : )–6 × 4( × 8 –5 + 7 ÷ 7 – 10‬لوم‪７‬ى‬ ‫‪ : –24 × 8 –5 +7 ÷ 7 –10‬دويم‬ ‫‪ : –192 – 5 + 7 ÷ 7 –10‬دريم‬ ‫‪ : –192 –5 + 1 – 10‬څلورم‬ ‫‪ : –197 + 1 – 10‬پنځم‬ ‫‪ : –196 – 10‬شپ‪８‬م‬ ‫‪ : –206‬اووم‬

‫‪89‬‬

‫د عمليو ﺧاصيتونه‪:‬‬

‫ﻓعاﻟﻴت‬ ‫الندې عمليې سرته ورسوئ‪:‬‬ ‫= )‪18 + ( 7‬‬

‫‪,‬‬

‫= ‪7 + 18‬‬

‫)‪1‬‬

‫= ‪{( 3)} + {( 7)} + 2‬‬ ‫= ‪( 3) × 2‬‬

‫‪,‬‬ ‫‪,‬‬

‫= )‪3 + ( 7 + 2‬‬ ‫= )‪2 × ( 3‬‬

‫)‪2‬‬ ‫)‪3‬‬

‫= ‪{( 4) × 5} × 7‬‬ ‫= }‪{( 4 × 7)} + {( 4) × 9‬‬

‫‪,‬‬ ‫‪,‬‬

‫= )‪( 4) × (5 × 7‬‬ ‫= )‪( 4) × (7 + 9‬‬

‫)‪4‬‬ ‫)‪5‬‬

‫‪ -6‬آيا لکه د طبيعي عددونو په شان د ضرب او جمعې د عمليو د تبديل‪ ９‬خاصيتونه په تامو عددونو‬ ‫کې هم صدق کوي؟‬ ‫‪ -7‬آيا لکه د طبيعي عددونو په شان د ضرب او جمعې د عمليو اتحادي خاصيت په تامو عددونو‬ ‫کې هم صدق کوي؟‬ ‫‪ -8‬آيا د تامو عددونو د تفريﻖ په عمليه کې‪ ،‬د تبديل‪ ９‬خاصيت صدق کوي که نه؟ له مثال سره يې‬ ‫وښياست‪.‬‬ ‫زده مو کړل ﭼې‪:‬‬ ‫د تامو عددونو د جمعې او ضرب په عمليو کې لکه په طبيعي عددونو کې د تبديل‪ ９‬او اتحادي‬ ‫خاصيتونه صدق کوي‪.‬‬

‫پوښتنې‬ ‫الندې افادې ساده ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪{(–6 × 4 ) × 2} – {5 × (–5 + 3)} + 20‬‬

‫)‪1‬‬

‫‪[9 ÷ {– (–3) × (5 – 8 )}] +10‬‬

‫)‪2‬‬

‫‪10 × 24 ÷ {– (–4) × (5 – 7 )} –6‬‬

‫)‪3‬‬

‫‪[{5 × (–4)} – {(–5) × (–1)}] – 10‬‬

‫)‪4‬‬

‫‪2×{(–3) + (–2)} + 8 – 2‬‬

‫)‪5‬‬

‫‪90‬‬

‫د دريم څپرکي لنډيز‬

‫دا ‪ ... 5, 4, 3, 2, 1, 0,1, 2, 3, 4, 5 , ...‬عددونه د تامو عددونو په نامه يادي‪８‬ي‪.‬‬ ‫د تامو عددونو سټ (مجموعه) په الندې ډول ښودل کي‪８‬ي‪:‬‬ ‫} ‪I = { . . . , –5, –4, –3, –2, –1, 0, +1, +2, +3, +4,+5, . . .‬‬

‫د عددونو محور يوه جهت لرونکې خط دی چې د هغې پر مخ کوالى شو چې مثبت‬ ‫عددونه‪ ،‬صفر او منفي عددونه وښيو‪.‬‬ ‫هر تام عدد او د هغه جمعې معکوس(متضاد) دمحور پر مخ له صفره څخه مساوي فاصلې‬ ‫لري او عالمې يې مختلفې وي چې له مبدآ (صفر) څخه دې فاصلې ته ددې عددونو مطلقه‬ ‫قيمت وايي‪.‬‬ ‫په مثبتو عددونو کې د عالمې ليکلو ته اړتيا نشته‪.‬‬ ‫د تامو عددونو د تفريﻖ په عمليه کې‪ ،‬لوم‪７‬ى د مفروق عالمه بدلوو او بيا نور د جمعې د‬ ‫عمليې په شان عمل کوو‪ ،‬يا په بل عبارت د مفروق جمعې معکوس(متضاد) له مفروق منه‬ ‫سره جمع کوو‪.‬‬ ‫د دوو هم عالمو عددونو دضرب حاصل مثبت دى‪.‬‬ ‫د دوو مختلﻒ العالمه عددونو د ضرب حاصل منفي دى‪.‬‬ ‫د تامو عددونو د وېش په عمليه کې لوم‪７‬ى د وېش د حاصل عالمه پيدا کوو او بيا د مقسوم‬ ‫مطلقه قيمت د مقسوم عليه پر مطلقه قيمت وېشو‪.‬‬ ‫د ( ) کوچنى قوس‪ ،‬دا {‬

‫‪91‬‬

‫} منځنى قوس او ]‬

‫[ لوى قوس دى‪.‬‬

‫د قوسونو د رفع کولو لپاره‪ ،‬لوم‪７‬ى کوچنى‪ ،‬بيا منځنى او په پاى کې لوى قوس له منځه‬ ‫وړل کې‪８‬ي‪ .‬که د قوس د باندې عالمه منفي وي د قوس د نني عالمې بدلي‪８‬ي او که د قوس د‬ ‫باندې عالمه مثبت وي نو د قوس په د ننه عالمو کې بدلون نه راځي‪.‬‬ ‫د جمعې او ضرب د عمليو تبديلي او اتحادي خاصيتونه د طبيعي عددونو په شان په تامو‬ ‫عددونو کې هم صدق کوي‪.‬‬

‫‪92‬‬

‫دريم څپرکي پوښتنې‬

‫‪ –1‬د ‪ 6, 4,+7, 3‬او ‪ + 10‬تام عددونه او د دوى جمعې معکوسونه د عددونو پر محور‬ ‫وښياست‪.‬‬ ‫‪ –2‬د ‪ 0, 10, + 8, 8‬او ‪ 12‬د عددونو مطلقه قيمتونه وليکئ‪.‬‬ ‫‪ –3‬الندې مساواتونه پوره ک‪７‬ئ‪:‬‬ ‫= )‪5 – (–3‬‬

‫)‪b‬‬

‫= ‪(–6) + 4‬‬

‫)‪a‬‬

‫= ‪(–8) + 0‬‬

‫)‪d‬‬

‫= ‪8+0‬‬

‫)‪c‬‬

‫‪ –4‬د )‪ (+2) , ( 4‬او )‪ ( 1‬دريو تامو عددونو د جمعې حاصل د يو محور پر مخ وښياست‪:‬‬ ‫‪ –5‬الندې تش ځايونه ډک ک‪７‬ئ‪:‬‬ ‫)‪a‬‬ ‫( ‪(+20) + (13) = +13 +‬‬ ‫)‬ ‫)‬

‫( ‪(–8 + 3 +0 ) – (–5 +0 ) = (–5) +‬‬

‫)‪b‬‬

‫( ‪+4 – (–2) + (3–7) = (–20) +‬‬

‫)‪c‬‬

‫)‬

‫‪ –6‬د عددونو پر محور د الندې شکل په شان حرکت د غشي په مرسته ښودل شوی دی دا‬ ‫عددونه جمع ک‪７‬ئ او حاصل يې په الس راوړئ‪.‬‬

‫–‬

‫‪+‬‬ ‫‪+6‬‬

‫‪+5‬‬

‫‪+3 +4‬‬

‫‪+2‬‬

‫‪+1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪–1‬‬

‫‪–2‬‬

‫‪–3‬‬

‫‪–4‬‬

‫‪ –7‬د کابل د تودوخې درجه له صفر نه پورته د سانتي گري‪ 30 ６‬درجې ده او بغالن له کابله ‪7‬‬ ‫درجې سوړ دى د بغالن د تودوخې درجه څو ده؟‬

‫‪93‬‬

‫‪ –8‬د قالت د تودوخې درجه له صفره الندې ‪ 5‬درجې د سانتي گري‪ ６‬ده او هرات له قالته ‪7‬‬ ‫درجې د سانتي گري‪ ６‬گرم دى‪ ،‬د هرات د تودوخې درجه څو ده؟‬ ‫‪ –9‬له ‪ ( 7) + 10‬تام عدد څخه د(‪ – ( –6 +10 – 4‬تام عدد تفريﻖ ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪ –10‬الندې د ضرب حاصلونه په الس راوړئ‪:‬‬ ‫= (‪a( )– 8 + 2 – 4( × ) –5 +2 –1‬‬ ‫= ( ‪b( – )– 4+ 6 –3( × ) –5 + 0‬‬ ‫= (‪c( )6 – 10 ( × ) –7 + 3 × 2‬‬ ‫‪ –11‬که چېرې يو منفي عدد پر بل منفي عدد وويشل شي د وېش د حاصل عالمه‪:‬‬ ‫د‪ :‬هېڅ يو‬ ‫ج‪ :‬هم مثبت او هم منفي ده‬ ‫الﻒ‪ :‬مثبت ده ب‪ :‬منفي ده‬ ‫‪ –12‬الندې د وېش حاصلونه په الس راوړئ‪:‬‬

‫= )‪a) – (–10) ÷ ( –2‬‬ ‫= )‪b) (–16 +4 ) ÷ (–2) × (3‬‬ ‫= )‪c) – (+10 +8 ) ÷ (– 6 ÷ 2‬‬

‫‪ –13‬الندې افاده ساده ک‪７‬ئ‪:‬‬ ‫= ‪) –6 ( ÷ ) –2 ( – [)10( ÷ })–2( + )+22×3({] – 2‬‬ ‫‪ –14‬الندې افاده ساده ک‪７‬ئ‪:‬‬ ‫= {( ‪(–2 ( × 23 + (–5 + 3( + 20 – 18 ÷}– (–3( × (5 – 8‬‬

‫‪94‬‬

‫څلورم څپرکى‬

‫نسﺒتي عﺪدونه‬

‫‪53‬‬ ‫‪kg‬‬ ‫‪500‬‬

‫وزن لري‪.‬‬ ‫پاسن‪ ９‬مرغ‪９‬‬ ‫د دې مرغ‪ ９‬وزن په يوه نسبتي عدد سره ښودل شوی دی‪.‬‬

‫نسﺒتي عﺪدونه‬

‫آيا کله مو فکر ک‪７‬ى دی‪ ،‬چې دوه م‪２‬ې په درېو تنو‬ ‫څرنګه په مساوي ډول ووېشالی شو؟‬

‫فعاليت‬ ‫‪ -1‬يو سپ‪２‬سي(تار) د ‪ 10cm‬په اوږدوالي راواخلئ‪.‬‬ ‫‪ -2‬سپ‪２‬سى په درېو مساوي برخو وويشئ‪.‬‬ ‫‪ -3‬د خط کش په مرسته د درې واړو برخو اوږدوالى پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫له پورتني فعاليت څخه معلومي‪８‬ي چې د هرې برخې اوږدوالى‪ ،‬له ‪ 3‬سانتي مترو څخه لوى او له‬ ‫‪ 4‬سانتي مترو څخه کوچنى دى‪ ،‬نوځکه نشو کوالى چې د تار اوږدوالى د تام (پوره) عدد په شکل‬ ‫ښکاره ک‪７‬و‪ ،‬نو د عددونو يو بل سټ ته اړتيا ده چې د هغو په مرسته پورتنى عدد وښيو‪ .‬په دې فعاليت‬ ‫کې څرنګه چې لس (‪ )10‬په درېو مساوي برخو ويشل شوی دی‪ ،‬نو کوالى شو چې د ‪ 10‬په شکل‬ ‫‪3‬‬ ‫يې وښيو دا ډول عددونه د نسبتي عدددونو په نامه يادې‪８‬ي‪.‬‬ ‫اوس غواړو چې د عددونو د محور په واسطه‪ ،‬د ‪10‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪10‬‬ ‫—‬

‫عدد وښيو‪.‬‬ ‫‪10‬‬ ‫—–‬

‫‪3‬‬

‫‪+‬‬

‫‪+1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 +8 +9 +10‬‬

‫‪3‬‬

‫‪0‬‬

‫–‬

‫‪–4 –3 –2 –1‬‬

‫لکه څنګه چې هر تام عدد جمعې معکوس لري‪ ،‬نو نسبتي عدد هم جمعې معکوس لري‪.‬‬ ‫د بيلگې په تو‪－‬ه‪ :‬د ‪ 10‬عدد جمعې معکوس‪ ،‬د ‪ 10‬عدد دى چې په پورته شکل کې ښودل شوی دى‪.‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪3‬‬

‫‪7 3‬‬ ‫مثال‪ :‬د ‪ 11 ، ،‬نسبتي عددونه او د دوې جمعې معکوسونه(متضاد)‪ ،‬د عددونو پر محور‬ ‫‪5‬‬

‫وښاياست‪.‬‬

‫‪97‬‬

‫‪5‬‬

‫‪5‬‬

‫حل‪:‬‬ ‫جمعي معکوس(متضاد)‬ ‫ﻣﺘﻀﺎﺩ‬ ‫‪11‬‬ ‫—‪+‬‬

‫‪+‬‬

‫‪7‬‬ ‫—‪+‬‬

‫‪5‬‬

‫‪3‬‬ ‫—‪+‬‬

‫‪5‬‬

‫‪+2‬‬

‫‪3‬‬ ‫—–‬

‫‪5‬‬

‫‪0‬‬

‫‪+1‬‬

‫‪7‬‬ ‫—–‬

‫‪5‬‬

‫‪11‬‬ ‫—–‬

‫‪5‬‬

‫‪–1‬‬

‫‪5‬‬

‫–‬

‫‪–2‬‬

‫معکوس(متضاد) دي‬ ‫يود بل جمعي ﻣﺘﻀﺎﺩ‬ ‫معکوس(متضاد) دي‬ ‫يود بل جمعي ﻣﺘﻀﺎﺩ‬

‫فعاليت‬ ‫‪ -1‬لوم‪７‬ى د عددونو پر محور‪ ،‬درې واحده جال ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪ -2‬دا درې واحده پر څلورو مساوي برخو وويشئ‪.‬‬ ‫‪ -3‬هره برخه‪ ،‬د کوم نسبتي عدد ښودونکې ده؟‬ ‫‪3‬‬

‫‪ -4‬يو واحد په څلورو مساوي برخو وويشئ او د عدد وښاياست‪.‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪ -5‬د دې عدد جمعې معکوس کوم عدد دی؟ د محور پر مخ يې وښاياست‪.‬‬ ‫که چيرې د‬ ‫چې د ‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫چې د ‪n‬‬ ‫‪d‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬

‫کسر د عددونو پر محور وښيو او د پورتني فعاليت نتيجه ورسره پرتله ک‪７‬و‪ ،‬ليدل کي‪８‬ي‬

‫نسبتي عدد همدا د‬

‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬

‫عام کسر دى‪ ،‬نو يو نسبتي عدد له هغه عدد څخه عبارت دى‬

‫په شکل وليکل شي‪ ،‬د ‪ n‬او ‪ d‬عددونه تام عددونه دي چې ‪ d 0‬دى‪.‬‬

‫پوښتنې‬ ‫‪7 5 2‬‬ ‫‪ -1‬د عددونو پر يوه محور باندې يو واحد په درېو مساوي برخو ووېشئ او د ‪, ,‬‬ ‫‪3 3 3‬‬

‫عددونه‬

‫او د هغوې جمعې معکوسونه د محور پر مخ وښياست‪.‬‬

‫‪ -2‬د محور پر مخ هر واحد په څلورو مساوي برخو ووېشئ او هرې برخې ته يې ‪ a‬ووايئ‪ ،‬بيا د‬ ‫نسبتي عدد او جمعي معکوس يې د محور پر مخ په نښه ک‪７‬ئ او همدارنگه وواياست چې د‬ ‫عدد د څو ‪ a‬په اندازه د‬

‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬

‫له عدد څخه لرې پروت دى‪.‬‬

‫‪4 3‬‬ ‫‪ -3‬يو محور داسې ووېشئ‪ ،‬چې د ‪,‬‬ ‫‪5 5‬‬

‫ښودل شوی وي‪.‬‬

‫‪6 7‬‬ ‫‪ ,‬او‬ ‫‪5 5‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬

‫نسبتي عددونه په ښکاره ډول پر محور‬

‫‪98‬‬

‫د نسﺒتي عﺪدونو پرتله کول‬

‫په کوم تصوير کې‪－ ،‬لونو ډېر ځاى پوښلى دى؟‬

‫‬ ‫>‬ ‫‪5 7‬‬ ‫‪35 35‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪7‬‬ ‫نسبتي عددونو کې کوم يو لوى دى؟‬ ‫دويم مثال‪ :‬د او‬ ‫‪9‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪7 9‬‬ ‫‪63‬‬

‫‪,‬‬

‫‪3 7 21‬‬ ‫= ×‬ ‫‪5 7 35‬‬

‫‪4 12‬‬ ‫‪48‬‬ ‫= ) (×‬ ‫‪,‬‬ ‫= ) (×‬ ‫حل‪:‬‬ ‫‪9 12 108‬‬ ‫‪12 9‬‬ ‫‪108‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪4‬‬ ‫نو ليکالى شو چې ‪ 63 > 48‬او له دې ځايه څخه کوالی شو نتيجه واخلو‪:‬‬ ‫>‬ ‫‪108 108‬‬ ‫‪12 9‬‬

‫د نسبتي عددونو په پرتله کولو کې چې مخرجونه يې سره مساوي وي هغه عدد لوى دى چې صورت يې‬ ‫لوى وي او که صورتونه يې سره مساوي وي‪ ،‬هغه عدد لوى دى چې مخرج يې کوچنى وي‪ .‬د دوو او يا‬ ‫زياتو داسې نسبتي عددونو د پرتله کولو لپاره چې صورتونه او مخرجونه يې سره مساوي نه وي‪ ،‬لوم‪７‬ى د‬ ‫دې عددونو مشترک مخرج(کوچنى مشترک مضرب) پيدا کوو او بيايې سره پرتله کوو‪.‬‬

‫پوښتنې‬ ‫الندې نسبتي عددونه سره پرتله ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪5 3 1‬‬ ‫‪, ,‬‬ ‫‪9 7 3‬‬

‫)‪e‬‬

‫‪11‬‬ ‫‪7‬‬

‫‪8‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪5‬‬

‫)‪d‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪2 2‬‬

‫)‪c‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪7 11‬‬

‫)‪b‬‬

‫‪3 4‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪5 7‬‬

‫)‪a‬‬

‫‪100‬‬

‫د نسﺒتي عﺪدونو د ﺟمعې او‬ ‫تفريﻖ عمليې‬ ‫‪1‬‬ ‫د يوه څادر د جوړولو لپاره‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫د غاړې د څادر لپاره ‪ 2‬متره له همدې ټوکر څخه‬ ‫‪5‬‬ ‫‪1‬‬ ‫اړتيا ده‪ .‬که د اړتياوړ ټوکر له ‪ 15‬مترو ټوکر څخه‬ ‫‪2‬‬ ‫پريک‪７‬و‪ ،‬څومره ټوکر به پاتې شي؟‬

‫‪ 5‬متره ټوکر په کار دى او‬

‫فعاليت‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ -1‬لوم‪７‬ى د‬ ‫‪2‬‬

‫عدد د عددونو پر محور وښاياست او د ‪ A‬ټکى ورته ووايئ‪.‬‬

‫‪ -2‬د ‪ A‬له ټکي څخه د ‪ 13‬په اندازه ښ‪ ９‬خواته حرکت وک‪７‬ئ او ‪ B‬ورته ووايئ‪.‬‬ ‫‪10‬‬

‫‪ -3‬د ‪ B‬ټکى له کوم نسبتي عدد سره برابر دى‪.‬‬ ‫‪ -4‬د دې عددونو د مشترک مخرج په مرسته‪ ،‬د ‪1 13‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪2 10‬‬

‫‪ -5‬د‬

‫‪2 3‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪6 6‬‬

‫د جمعې حاصل او د‬

‫‪4‬‬ ‫‪6‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪6‬‬

‫د جمعې حاصل پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬

‫د تفريﻖ حاصل پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬

‫لومړى مثال‪ :‬الندې نسبتي عددونه د کوچنی مشترک مخرج او يا د مخرجونو د کوچني مشترک‬ ‫مضرب د پيدا کولو په مرسته جمع ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫حل‪:‬‬

‫‪5 7 60 + 126 186 93 31‬‬ ‫= ‪+‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪18 12‬‬ ‫‪216‬‬ ‫‪216 108 36‬‬

‫که اوس په دې مثال کې د مخرجونو کوچنى مشترک مضرب پيدا ک‪７‬و‪ ،‬کوالى شو د جمعې عمليه‬ ‫په الندې ډول سرته ورسوو‪:‬‬ ‫‪18 = 2 × 3 × 3 = 2 × 32‬‬ ‫‪12 = 3 × 2 × 2 = 3 × 2 2‬‬ ‫ليدل کې‪８‬ي چې د ‪ 18‬او ‪ 12‬عددونو کوچنى مشترک مضرب له ‪ 32 × 22 = 36‬څخه عبارت دى‪.‬نو‬

‫لرو چې‪:‬‬ ‫‪5 7 10 + 21 31‬‬ ‫= ‪+‬‬ ‫=‬ ‫‪18 12‬‬ ‫‪36‬‬ ‫‪36‬‬

‫‪101‬‬

‫فعاليت‬ ‫‪5‬‬ ‫‪ -1‬لوم‪７‬ى د‬ ‫‪6‬‬

‫نسبتي عدد د محور په مخ وښاياست او دې ټکې ته ‪ A‬ووايئ‪.‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪ -2‬د ‪ A‬له ټکي څخه د‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5 1‬‬ ‫د تفريﻖ حاصل د کوچني مشترک مضرب د پيدا کولو په مرسته په الس راوړئ‪.‬‬ ‫‪ -3‬د‬ ‫‪6 4‬‬

‫په اندازه د محور کي‪２‬ې خواته الړ شئ‪ ،‬کوم ټکي ته رسي‪８‬ئ؟‬

‫‪2‬‬ ‫‪5‬‬ ‫دويم مثال‪ :‬د له نسبتي عدد څخه‪ ،‬د‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬

‫نسبتي عدد تفريﻖ ک‪７‬ئ‪:‬‬

‫حل‪:‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪15 8‬‬ ‫‪7‬‬ ‫= ) (‬ ‫=‬ ‫‪3‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪12‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬

‫د نسبتي عددونو د جمعې يا تفريﻖ په عمليو کې هم دومره بس دى چې مشترک مخرج يې پيدا ک‪７‬و‬ ‫او صورتونه يې سره جمع يا تفريﻖ ک‪７‬و‪.‬‬

‫پوښتنې‬ ‫‪ -1‬الندې نسبتي عددونه جمع ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪7 3‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪9 3‬‬ ‫‪+‬‬ ‫)‪= , b) + = , c‬‬ ‫‪+‬‬ ‫)‪= , d‬‬ ‫= ‪+‬‬ ‫‪5 5‬‬ ‫‪3 4‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪16 8‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪5‬‬ ‫نسبتي عدد د محور پر مخ وښاياست او له دې عدد څخه د‬ ‫‪ -2‬د‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬

‫)‪a‬‬

‫نسبتي عدد تفريﻖ ک‪７‬ئ‪.‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪ -3‬يو زده کوونکى په لوم‪７‬ۍ ورځ د يو کتاب برخه او په دويمه ورځ يې د همدې کتاب‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬

‫برخه‬

‫ولوستله د کتاب کومه برخه ال لوستل شوی نه ده؟‬

‫‪102‬‬

‫د نسﺒتي عﺪدونو ضرب او تقسيم (و‪４‬ﺶ)‬

‫مخامخ شکل‪ ،‬د مستطيلونو په منځ کې د کومې‬ ‫اړيکې ښودونکى دى؟‬

‫?‬

‫=‬ ‫فعآليت‬ ‫‪ -1‬يو سپ‪２‬سي (تار) د يو واحد په اندازه په پام کې ونيسئ‪ ،‬بيا يې نيم ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪ -2‬هره نيمايي برخه په درېو مساوي برخو وويشئ‪.‬‬ ‫‪ -3‬دا هره يوه برخه د واحد څوومه برخه ده؟‬ ‫‪1 1‬‬ ‫‪ -4‬د ‪ ،‬او ‪ 1‬په منځ کې څه اړيکه ليدالى شئ‪.‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪3‬‬

‫‪6‬‬

‫د دوو نسبتي عددونو د ضرب لپاره‪ ،‬صورت په صورت کې او مخرج په مخرج کې‪ ،‬يو له بله سره‬ ‫ضربوو‪.‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫) کې ضرب ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫نسبتي عدد‪ ،‬په (‬ ‫لومړى مثال‪ :‬د‬ ‫‪4‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫)‪2 ( 3) ( 6‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫حل‪:‬‬ ‫× = ) (×) (‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪7‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪28 14‬‬ ‫‪14‬‬ ‫‪14‬‬ ‫‪3‬‬ ‫) په نسبتي عدد کې ضرب ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫دويم مثال‪ :‬د ( ‪ ) 8‬نسبتي عدد‪ ،‬د (‬ ‫‪4‬‬ ‫‪15‬‬ ‫ﺣﻞ ‪:‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪8 3 ( 8) × ( 3) 24 2‬‬ ‫(‬ ‫=) × (=) ( )‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪15‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪15 4‬‬ ‫‪15 × 4‬‬ ‫‪60 5‬‬

‫اوس د دوو نسبتي عددونو وېش په الندې مثالو کې څې‪７‬و‪.‬‬ ‫‪3 7‬‬ ‫پر‬ ‫دريم مثال‪:‬‬ ‫‪5 10‬‬

‫ﺣﻞ ‪:‬‬

‫‪103‬‬

‫وويشئ‪.‬‬

‫‪7 3 7 5 35 7‬‬ ‫= × = ÷‬ ‫=‬ ‫‪10 5 10 3 30 6‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫څلورم مثال‪ :‬د ( ‪ ) 3‬نسبتي عدد د (‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﺣﻞ‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪21‬‬ ‫= ) (×) ( = ) ( ÷ ) ( = ) ( ÷ ) ‪( 3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬

‫) پر نسبتي عدد ووېشئ‪.‬‬

‫د نسبتي عددونو د ضرب په عمليه کې‪ ،‬صورت په صورت او مخرج په مخرج کې ضربوو او د تقسيم‬ ‫په عمليه کې دويم نسبتي عدد(مقسوم عليه) سرچپه کوو او نور د ضرب په شان عمل کوو‪.‬‬

‫پوښتنې‬ ‫‪-1‬الندې عددونه‪ ،‬يو په بل کې ضرب او ځواب يې په ساده ډول وليکئ‪:‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪12‬‬ ‫(×‬ ‫)‬ ‫‪16‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫) ( × × ) ( )‪, f‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫برخه څو کې‪８‬ي؟‬ ‫‪ - 2‬د ‪ 111‬د عدد‬ ‫‪3‬‬ ‫)‪c‬‬

‫‪,‬‬

‫‪12‬‬ ‫‪5‬‬ ‫) ×‬ ‫‪3‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪3‬‬ ‫( )‪e‬‬ ‫×)‬ ‫‪15‬‬ ‫‪4‬‬ ‫( )‪b‬‬

‫‪41 13‬‬ ‫×‬ ‫‪,‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪13‬‬ ‫( )‪d‬‬ ‫(×)‬ ‫‪) ,‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪9‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪-3‬هر انسان بايد ل‪ ８‬تر ل‪８‬ه‪ ،‬د خپل بدن د هر کيلو ‪－‬رام وزن لپاره‪ ،‬هره ورځ تقريبا َ‬ ‫‪2‬‬

‫)‪a‬‬

‫ديسي ليتره اوبه‬

‫وڅښي‪ .‬يو س‪７‬ى چې ‪ 70‬کيلو ‪－‬رامه وزن لري‪ ،‬هره ورځ څومره اوبو ته اړتيا لري؟‬

‫‪104‬‬

‫د نسﺒتي عﺪدونو د عمليو ﺧاصيتونه‬

‫احمد اومحمود غواړي چې يوه کوټه رن‪ ，‬ک‪７‬ي‪،‬‬ ‫‪2‬‬ ‫احمد‬ ‫‪5‬‬

‫‪1‬‬ ‫برخه او محمود‬ ‫‪3‬‬

‫برخه کار ک‪７‬ي‬

‫دى‪ .‬احمد وويل‪ :‬د دې لپاره چې و‪－‬ورو څومره‬ ‫‪2 1‬‬ ‫کار سرته رسيدلى دى نو بايد ‪+‬‬ ‫‪5 3‬‬ ‫‪1 2‬‬ ‫محمود وويل‪ ،‬بايد ‪ +‬د جمعې حاصل په‬ ‫‪3 5‬‬

‫جمع ک‪７‬و‪،‬‬

‫الس راوړو‪ ،‬آيا ستاسو په فکر دا توپير لري؟‬

‫فعآليت‬ ‫‪ - 1‬که يو متر سپ‪２‬سى ولرئ او نيمايي يې ک‪７‬ئ او بيا هره نيمايي برخه په درېو مساوي برخو ووېشئ‬ ‫د هرې برخې اوږدوالى پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪ - 2‬که يو بل سپ‪２‬سى د يو متر په اوږدوالي ولرئ‪ ،‬لوم‪７‬ى يې په درېو مساوي برخو ووېشئ او بيا هره‬ ‫برخه نيمايي ک‪７‬ئ د هرې نيمايي برخې اوږدوالي پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪ - 3‬ددې دواړو سپ‪２‬سيو اوږدوالى څه اړيکه سره لري‪.‬‬ ‫له پورتني فعاليت څخه داسې پايله په الس راځي چې د نسبتي عددونو په ضرب کې د تبديل‪９‬‬ ‫خاصيت هم صدق کوي‪.‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪7‬‬ ‫) عددونو په مرسته د نسبتي عددونو د جمعې او ضرب په عمليو‬ ‫لومړى مثال‪ :‬د او (‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬

‫کې د تبديلي خاصيت وښاياست‪.‬‬

‫‪7‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪28 15 13‬‬ ‫= ) (‪+‬‬ ‫=‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪20‬‬

‫نو‪:‬‬ ‫په همدې ډول لرو‪ ،‬چې‪:‬‬

‫‪7‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪21‬‬ ‫=) (×) (‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪20‬‬

‫ﻧﻮ‪:‬‬

‫‪105‬‬

‫‪3 7‬‬ ‫‪15 + 28 13‬‬ ‫= ‪)+‬‬ ‫=‬ ‫‪,‬‬ ‫‪4 5‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪7 7‬‬ ‫‪3‬‬ ‫) (‪( )+ = +‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5 5‬‬ ‫‪4‬‬

‫(‬

‫‪3‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪21‬‬ ‫=) ( × )‬ ‫‪,‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪7 7‬‬ ‫‪3‬‬ ‫(× = ×) (‬ ‫)‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5 5‬‬ ‫‪4‬‬

‫(‬

‫‪5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫دويم مثال‪ :‬د نسبتي عدد د‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫نسبتي عدد څخه تفريﻖ ک‪７‬ئ او د تبديل‪ ９‬خاصيت پکې وڅي‪７‬ئ‪.‬‬

‫حل‪:‬‬

‫‪5 3 5 3 2‬‬ ‫=‬ ‫‪= =1‬‬ ‫‪2 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3 5 3 5‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪= 1‬‬ ‫‪2 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪5 3 3 5‬‬ ‫‪2 2 2 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫پر عدد ووېشئ او د تبديل‪ ９‬خاصيت پکې وڅي‪７‬ئ‪.‬‬ ‫عدد د‬ ‫دريم مثال‪ :‬د‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫حل‪:‬‬ ‫‪4 2 4 3 12‬‬ ‫‪÷ = × = =2‬‬ ‫‪3 3 3 2 6‬‬

‫دى‪ ،‬نو د تفريﻖ په عمليه کې د تبديل‪ ９‬خاصيت صدق نه کوي‪.‬‬

‫‪2 4 2 3 6 1‬‬ ‫= = × = ÷‬ ‫‪3 3 3 4 12 2‬‬ ‫‪2 4 4 2‬‬ ‫÷‬ ‫÷‬ ‫‪3 3 3 3‬‬

‫ليدل کې‪８‬ي چې‪:‬‬ ‫د تبديل‪ ９‬خاصيت د نسبتي عددونو د وېش په عمليه کې صدق نه کوي د تبديل‪ ９‬خاصيت يوازې د‬ ‫جمعې او ضرب په عمليو کې صدق کوي‪.‬‬

‫پوښتنې‬ ‫په تشو ځايونو کې مناسﺐ عدد وليکئ‪:‬‬

‫‪1 17‬‬ ‫‪1‬‬ ‫×‬ ‫) (×) (=‬ ‫‪5 2‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪8‬‬ ‫( ‪( )+ ( ) = +‬‬ ‫)‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪8‬‬ ‫) ( × )‪× ( 5) = ( 5‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫(×‬ ‫) (×) (=)‬ ‫‪3‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪9‬‬ ‫) ( × )‪× ( 5 + 6) = (11‬‬ ‫‪2‬‬

‫)‪a‬‬ ‫)‪b‬‬ ‫)‪c‬‬ ‫)‪d‬‬ ‫)‪e‬‬

‫‪106‬‬

‫اتحادي ﺧاصيت‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫کــه د عــدد ســره د ‪ 2‬او ‪ 3‬عددونــو د‬ ‫‪5‬‬

‫‪5‬‬

‫‪4‬‬

‫جمعــې حاصل جمع کــ‪７‬و او يا داچــې که د‬ ‫‪ 1‬او ‪ 2‬عددونود جمعې له حاصل سره د ‪3‬‬ ‫‪5 5‬‬ ‫‪4‬‬

‫عدد جمع ک‪７‬و آيا د جمعې دا دواړه حاصلونه‬ ‫يو له بله سره توپير لري؟‬

‫فعاليت‬ ‫‪4 2‬‬ ‫الﻒ) لوم‪７‬ى د او‬ ‫‪5 3‬‬

‫دوه نسبتي عددونه سره جمع ک‪７‬ئ‪.‬‬

‫‪6‬‬ ‫ب) د الﻒ د برخې د جمعې حاصل‪ ،‬د‬ ‫‪7‬‬ ‫‪6 4‬‬

‫پ) د‬

‫‪5‬‬

‫او‬

‫‪7‬‬

‫له نسبتي عدد سره جمع ک‪７‬ئ‪.‬‬

‫عددونه سره جمع ک‪７‬ئ‪.‬‬

‫‪2‬‬ ‫ت) د پ د برخې د جمعې حاصل د‬ ‫‪3‬‬

‫له نسبتي عدد سره جمع ک‪７‬ئ‪.‬‬

‫ث) اوس د (ب) او (ت) د برخو د جمعې حاصلونه سره پرتله ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪2 4 6 2 4 6‬‬ ‫) ‪( + )+ = +( +‬‬ ‫‪3 5 7 3 5 7‬‬

‫په پورته فعاليتونو کې ليدل کې‪８‬ي چې‪:‬‬

‫دې خاصيت ته د جمعې د عمليې اتحادي خاصيت وايي‪.‬‬ ‫لومړى مثال‪ :‬آﻳا ) ‪ ( 3 + 2 ) + 3 = 3 + ( 2 + 3‬دى؟‬ ‫‪5‬‬

‫‪5‬‬

‫‪2‬‬

‫حل‪ :‬په ل‪８‬ه پاملرنه سره وينو چې که‬

‫‪3‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪5‬‬

‫‪5‬‬

‫او‬

‫‪2‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪2‬‬

‫سره جمع ک‪７‬و‪ ،‬کارمو اساني‪８‬ي‪ ،‬نو د جمعې د اتحادي‬

‫خاصيت په مرسته لرو چې‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪=2‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3 2 3 3‬‬ ‫‪+ ( + ) = +1 = 1 +1 = 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2 5 5 2‬‬ ‫‪3 2 15 + 4 19‬‬ ‫= ‪+‬‬ ‫=‬ ‫‪2 5‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪19 3 19 + 6 25‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1 1‬‬ ‫= ‪+‬‬ ‫=‬ ‫‪=2‬‬ ‫‪2 =22‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪10 5‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪10‬‬

‫دويم مثال‪ :‬د ‪ 2 × ( 4 × 6 ) = ( 2 × 4 ) × 6‬ددې مساوات صحت ښکاره ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪7‬‬

‫‪107‬‬

‫‪3 5‬‬

‫‪5 7‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2 4 6‬‬ ‫‪8 6 48 16‬‬ ‫= ×) ( = ×) × (‬ ‫=‬ ‫‪3 5 7 15 7 105 35‬‬

‫‪2 4 6‬‬ ‫‪2 24‬‬ ‫‪48 16‬‬ ‫= ) (× = ) × (×‬ ‫=‬ ‫‪,‬‬ ‫‪3 5 7‬‬ ‫‪3 35 105 35‬‬ ‫‪2 4 6‬‬ ‫‪2 4 6 16‬‬ ‫= ×) × ( = ) × (×‬ ‫‪3 5 7‬‬ ‫‪3 5 7 35‬‬

‫نو لرو چې‪:‬‬

‫په دې اساس د نسبتي عددونو د ضرب په عمليه کې اتحادي خاصيت هم صدق کوي‪.‬‬ ‫دريم مثال‪ :‬د تفريﻖ اتحادي خاصيت په ) ‪ 4 ( 1 1‬کې وڅي‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪2‬‬

‫‪3‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪40 9 31‬‬ ‫=‬ ‫=) (‬ ‫‪,‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪30‬‬ ‫‪30‬‬ ‫‪1 25 6 19‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪5‬‬ ‫‪30‬‬ ‫‪30‬‬

‫نو په الس راځي‪:‬‬

‫‪4 1 1 4 5 2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫(‬ ‫=)‬ ‫(‬ ‫=)‬ ‫‪3 2 5 3‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4 1 1 8 3 1 5‬‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫(=‬ ‫)‬ ‫) (=‬ ‫‪3 2 5‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪5 6‬‬

‫‪1 1‬‬ ‫)‬ ‫‪2 5‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬

‫(‬

‫‪4 1 1‬‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫‪3 2 5‬‬

‫دا ) ( د غير مساوات عالمه ده ښکاره کوي چې د تفريﻖ په علميه کې اتحادي خاصيت صدق نه‬ ‫کوي‪.‬‬ ‫څلورم مثال‪ :‬د نسبتي عددونو د وېش په علميه کې اتحادي خاصيت د دريو عددونو لپاره‬ ‫‪4 1 1 4 1 5 4 5 4 2 8‬‬ ‫وڅي‪７‬ئ‪.‬‬ ‫= × = ÷ = ) × (÷ = ) ÷ (÷‬ ‫‪3 2 5 3 2 1 3 2 3 5 15‬‬ ‫‪4 1 1 4 2 1 8 1 8 5 40‬‬ ‫= × = ÷) (= ÷) × (= ÷) ÷ (‬ ‫‪3 2 5 3 1 5 3 5 3 1 3‬‬ ‫‪4 1 1‬‬ ‫÷) ÷ (‬ ‫‪3 2 5‬‬

‫نو‪:‬‬

‫‪4 1 1‬‬ ‫) ÷ (÷‬ ‫‪3 2 5‬‬

‫اتحادي خاصيت د نسبتي عددونو د جمعې او ضرب په عمليو کې صدق کوي‪ ،‬ليکن د تفريﻖ او‬ ‫وېش په عمليو کې صدق نه کوي‪.‬‬

‫پوښتنې‬ ‫په دې عمليو کې اتحادي خاصيت وڅي‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪9 5‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪2 4‬‬ ‫)‪c‬‬ ‫=) ‪( +‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪3 9‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5 2‬‬ ‫= ) ÷ ( ÷ )‪d‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3 5‬‬

‫‪4 2 5‬‬ ‫= ‪a) ( + ) +‬‬ ‫‪3 5 7‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4 3‬‬ ‫= ) × ( × )‪b‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪9 5‬‬

‫‪108‬‬

‫توزيعي ﺧاصيت‬

‫په تامو عددونو کې مو د ضرب توزيعي قانون‬ ‫پر جمع باندې وليده‪ .‬آيا دا خاصيت په نسبتي‬ ‫عددونو کې هم صدق کوي‪.‬‬

‫فعاليت‬ ‫‪B‬‬

‫‪4‬‬

‫‪E‬‬

‫‪2‬‬

‫مخامخ شکل په پام کې ونيسئ‪.‬‬ ‫د ‪ AEFD‬مستطيل مساحت څومره دى؟‬ ‫د ‪ EBCF‬مستطيل مساحت څومره دى؟‬ ‫د ‪ ABCD‬مستطيل مساحت څومره دى؟‬ ‫‪C‬‬ ‫‪F‬‬ ‫آﻳا کوالى شو چې ووايو‪ EBCF :‬مساحت ‪ AEFD +‬مساحت = ‪ ABCD‬مساحت‪.‬‬ ‫)‪3(2 + 4) = (3 × 2) + (3 × 4‬‬ ‫آﻳا کوالى شو چې وليکو‪:‬‬ ‫کله چې يو عدد‪ ،‬د دوو عددونو د جمعې په حاصل کې ضرب شي‪ ،‬کوالى شو دا عدد په هر يو د‬ ‫دې عددونو کې ضرب ک‪７‬و او بيا د ضرب حاصلونه سره جمع ک‪７‬و چې دې خاصيت ته د ضرب‬ ‫توزيعي خاصيت پر جمعې باندې وايي‪.‬‬ ‫لومړى مثال‪ :‬د ضرب توزيعي خاصيت په جمع باندې وڅي‪７‬ئ‪.‬‬ ‫حل‪ :‬لوم‪７‬ى په عادي ډول عمليې سرته رسوو‪:‬‬ ‫‪15 4 2 15 20 + 6 15 26 390 39 13‬‬ ‫‪1‬‬ ‫(× = ) ‪×( +‬‬ ‫= ) (× = )‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪=3‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪3 5‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪8 15‬‬ ‫‪120 12 4‬‬ ‫‪4‬‬

‫اوس توزيعي خاصيت پرې تطبيقوو‪:‬‬ ‫‪15 4 2 15 4 15 2 60 30 5 3 10 + 3 13‬‬ ‫‪1‬‬ ‫= × ‪×( + ) = × +‬‬ ‫‪+‬‬ ‫= ‪= +‬‬ ‫‪= =3‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪3 5‬‬ ‫‪8 3 8 5 24 40 2 4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪109‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪D‬‬

‫د پورتنيو دواړو حلونو له پرتله کولو څخه په الس راځي چې‪:‬‬ ‫‪15 4 2‬‬ ‫‪15 4‬‬ ‫‪15 2 13‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪×( + ) = ( × ) + ( × ) = = 3‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪3 5‬‬ ‫‪8 3‬‬ ‫‪8 5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬

‫دويم مثال‪ :‬د ) ‪ 2 ÷ ( 4 + 7‬حاصل د توزيعي خاصيت له تطبيﻖ کولو پرته او د توزيعي‬ ‫‪3‬‬ ‫‪5 2‬‬ ‫خاصيت د تطبيﻖ په صورت کې په الس راوړئ‪ ،‬دواړه نتيجې سره پرتله ک‪７‬ئ چې آيا د وېش د علميې‬ ‫توزيعي خاصيت د جمعې په عمليې باندې صدق کوي؟‬ ‫حل‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪27‬‬ ‫‪2 10‬‬ ‫‪20‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪4 7‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪8 + 35‬‬ ‫( ÷ = ) ‪÷( +‬‬ ‫= ) (× = ) ( ÷ = )‬ ‫‪3‬‬ ‫‪5 2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪27‬‬ ‫‪81‬‬

‫اوس پرې توزيعى خاصيت تطبيقوو‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4 7‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4 2 7 2‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪2 2 10‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪70 + 16‬‬ ‫‪54‬‬ ‫‪9‬‬ ‫= × ‪÷( + ) = ÷( ) + ÷ = ×( ) +‬‬ ‫= ‪+‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪3‬‬ ‫‪5 2 3‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪3 2 3‬‬ ‫‪4 3 7‬‬ ‫‪12 21‬‬ ‫‪84‬‬ ‫‪84 14‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪4 7‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2 7‬‬ ‫) ÷ ( ‪÷ ( + ) [ ÷ ( )] +‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪5 2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪3 2‬‬

‫له دې ځايه داسې نتيجه په الس راځي‪:‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪14‬‬

‫‪20‬‬ ‫‪81‬‬

‫توزيعي خاصيت د ضرب په جمع باندې صدق کوي ليکن توزيعي خاصيت د وېش پر جمع باندې‬ ‫صدق نه کوي‪.‬‬

‫پوښتنې‬ ‫‪ -1‬په الندې عمليو کې توزيعي خاصيت وڅي‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫) ‪×( +‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬

‫)‪c‬‬

‫‪2‬‬ ‫)‬ ‫‪5‬‬

‫‪,‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫( ×‬ ‫‪6‬‬ ‫‪3‬‬

‫)‪b‬‬

‫‪,‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪3 1‬‬ ‫) ‪×( +‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪2 4‬‬

‫)‪a‬‬

‫‪-2‬په الندې پوښتنه کې توزيعي خاصيت وڅي‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪6 4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫×) ‪+‬‬ ‫‪5 3‬‬ ‫‪2‬‬

‫(‬

‫‪ -3‬په الندې عمليو کې توزيعي خاصيت وڅي‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪÷ ( +‬‬ ‫)‬ ‫‪5‬‬ ‫‪2 4‬‬

‫)‪c‬‬

‫‪,‬‬

‫‪2‬‬ ‫)‬ ‫‪3‬‬

‫‪6‬‬ ‫‪3‬‬ ‫( ÷‬ ‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬

‫)‪b‬‬

‫‪,‬‬

‫‪6‬‬ ‫‪3 1‬‬ ‫) ‪÷ ( +‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪2 2‬‬

‫)‪a‬‬

‫‪110‬‬

‫د نسﺒتي عﺪدونو ﺑﺪلول په اعﺸاري عﺪدونو‬ ‫ﺑانﺪې‬

‫احمد او ورور يې غواړي چې يو کار په څلورو‬ ‫ورځو کې سرته ورسوي د لوم‪７‬ۍ ورځې په پاى‬ ‫کې احمد له وروره پوښته وک‪７‬ه چې »تر اوسه څو‬ ‫سلنه کار سرته رسيدلى دى؟«‬

‫فعاليت‬ ‫په مخامخ شکل کې څو مربع گانې‬ ‫رنگه شوې دي‪.‬‬ ‫د دې مربع گانو کوم کسر آبي رنگ لري‬ ‫دا عدد په اعشاري عدد سره وښاياست‪.‬‬ ‫د دې مربع گانو کوم کسر شين رنگ لري‬ ‫دا عدد په اعشاري عدد سره وښاياست‪.‬‬ ‫د دې مربع گانو کوم کسر رنگه شوی‬ ‫دی؟ د يو اعشاري عدد په مرسته يې‬ ‫وښاياست‪.‬‬ ‫لومړى مثال‪ :‬د ‪ 257363‬نسبتي (‪－‬ويا) عدد‪ ،‬د اعشاري عدد په ډول وښاياست‪.‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪257363‬‬ ‫‪63‬‬ ‫‪63‬‬ ‫حل‪:‬‬ ‫‪= 2573‬‬ ‫‪= 2573 +‬‬

‫په دې حالت کې ‪ 2573‬ته د عدد صحيﺢ برخه او‬ ‫‪ 0.63‬ته د عدد اعشاري برخه وايي‪.‬‬

‫‪111‬‬

‫‪100‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪60‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪= 2573 +‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪100 100‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪= 2573 + +‬‬ ‫‪= 2573.63‬‬ ‫‪10 100‬‬

‫‪100‬‬

‫فعاليت‬ ‫د ‪ 2.3125‬او ‪ 0.412‬اعشاري عددونه د نسبتي عددونو په شکل وليکئ‪.‬‬ ‫(‬

‫)‬ ‫‪10000‬‬

‫=‬

‫(‬

‫)‬ ‫‪10000‬‬ ‫)‬

‫‪+‬‬ ‫(‬

‫‪1000‬‬

‫(‬

‫)‬ ‫‪1000‬‬

‫=‬

‫)‬

‫‪+‬‬ ‫(‬

‫‪1000‬‬

‫)‬

‫‪+‬‬

‫(‬ ‫‪100‬‬ ‫)‬

‫‪+‬‬ ‫(‬

‫‪100‬‬

‫)‬ ‫‪10‬‬

‫‪+‬‬

‫دويم مثال‪ :‬د ‪ 2.32‬عدد د نسبتي عدد په شکل وليکئ‬ ‫حل‪:‬‬ ‫‪200 30‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪232‬‬

‫‪+‬‬ ‫‪+‬‬ ‫=‬ ‫‪100 100 100 100‬‬

‫(‬

‫)‬

‫‪2.3125 = 2 +‬‬ ‫‪2.3157‬‬

‫(‬ ‫‪10‬‬

‫‪0.412 = 0 +‬‬

‫= ‪2.32 = 2 + 0.3 + 0.02‬‬

‫کوالى شو نسبتي عددونه د اعشاري عددونو په شکل او اعشاري عددونه د نسبتي عددونوپه شکل‬ ‫تبديل ک‪７‬و‪.‬‬

‫پوښتنې‬ ‫‪ -1‬د ‪ 0.420 ، 0.212‬او ‪ 5.215‬اعشاري عددونه د نسبتي عددونو په ډول وښاياست‪.‬‬ ‫‪235 4250‬‬ ‫او ‪ 2410‬نسبتي عددونه د اعشاري عددونو په شکل وليکئ‪.‬‬ ‫‪ -2‬د‬ ‫‪,‬‬ ‫‪10000 100 1000‬‬ ‫‪ -3‬د ‪ 1.5 , 0.5‬او ‪ 1.25‬اعشاري عددونه دمحور پر مخ وښاياست‬

‫‪ - 4‬په الندې جدول کې د هر عدد صحيﺢ او اعشاري برخه په ټاکلو ځايونو کې وليکئ‪.‬‬ ‫اعشاري برخه‬

‫صحيﺢ برخه‬

‫اعشاري عددونه‬

‫‪12.1‬‬ ‫‪13.25‬‬ ‫‪1.7394‬‬ ‫‪0.16‬‬

‫‪112‬‬

‫د څلورم څپرکي لنډيز‬ ‫‪n‬‬ ‫" نسبتي عدد هغه عدد دی چې‬ ‫‪d‬‬ ‫( ‪ ) d 0‬دى‪.‬‬

‫په شکل وليکل شي په داسې حال کې چې ‪ n‬او ‪ d‬تام عددونه او‬

‫نسبتي عددونه د ‪－‬ويا يا ناطقو عددونو(‪ )Rational numbers‬او يا کسري عددونوپه نوم هم‬ ‫يادي‪８‬ي‪.‬‬ ‫لکه څنګه چې هر تام عدد (پرته له صفره) يو جمعې معکوس لري‪ .‬هر نسبتي عدد(پرته له صفر)‬ ‫هم يو جمعي معکوس لري‪.‬‬ ‫د نسبتي عددونو ساده کول‪ ،‬لکه د عام کسر په شان که صورت او مخرج پر يوه عدد د وېش وړ وي‬ ‫نو پر هغه عدد يې وېشو‪ ،‬تر څو چې صورت او مخرج شريک قاسم و نه لري‪.‬‬ ‫په دوو نسبتي عددونو کې هغه عدد لوى دى چې د عددونو پر محور نظر بل عدد ته ښ‪ ９‬خواته‬ ‫پروت وي‪ ،‬لکه چې په تامو عددو کې مو هم وليدل‪.‬‬ ‫د دوو نسبتي عددونو د پرتله کولو لپاره چې صورتونه او مخرجونه يې سره مساوي نه وي لوم‪７‬ى دا‬ ‫عددونه بايد هم مخرج ک‪７‬و او بيا يې سره پرتله ک‪７‬و‪.‬‬ ‫د دوو يا څو نسبتي عددونو په جمع کولو کې د عام کسر دجمعې په شان‪ ،‬تر ټولو کوچنى مشترک‬ ‫مخرج يې پيدا کوو او صورتونه يې د تامو عددونو په شان جمع کوو‪.‬‬ ‫د نسبتي عددونو د تفريﻖ عمليه دجمعې د عمليې په شان ده يوازې دا توپير لري چې د مفروق‬ ‫عالمه بدلون مومي او بيا نور د جمعې په شان عمل کوو‪.‬‬ ‫نسبتي عددونه‪ ،‬لکه د تامو عددونو په شان د عددونو د محور په مرسته هم جمع او يا تفريﻖ‬ ‫کوالى شو‪.‬‬ ‫د نسبتي عددونو د ضرب په عمليه کې صورت په صورت کې او مخرج په مخرج کې ضربوو خو‬ ‫د وېش په عمليه کې لوم‪７‬ى مقسوم عليه معکوس کوواو نور د ضرب په شان عمل سرته رسوو‪.‬‬

‫‪113‬‬

‫د تبديل‪ ９‬خاصيت د نسبتي عددونو د جمعې او ضرب په عمليو کې صدق کوي‪ ،‬خو د تفريﻖ او‬ ‫وېش په عمليو کې صدق نه کوي‪.‬‬ ‫د نسبتي عددونو د جمعې او ضرب په عمليو کې اتحادي خاصيت صدق کوي خو دا خاصيت د‬ ‫تفريﻖ او وېش په عمليو کې صدق نه کوي‪.‬‬ ‫په نسبتي عددونو کې توزيعي خاصيت پر جمع او تفريﻖ باندې صدق کوي او بس‪.‬‬ ‫د عام کسر په شان نسبتي عددونه‪ ،‬د اعشاري عددونو او اعشاري عددونه د نسبتي عددونو په شکل‬ ‫ليکالى شوو‪.‬‬

‫‪114‬‬

‫د څلورم څپرکي پوښتنې‬ ‫‪ -1‬الندې نسبتي عددونه د عددونو پر محور وښاياست‪:‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪3‬‬

‫)‪e‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪,‬‬

‫)‪d‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪,‬‬

‫)‪c‬‬

‫‪7‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪,‬‬

‫)‪b‬‬

‫‪,‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬

‫)‪a‬‬

‫‪ -2‬د عددونو په الندې محور باندې نسبتي عددونه چې د محور پر مخ سره جمع شوي دي‪ ،‬د‬ ‫عددونو په مرسته يې وليکئ‪.‬‬

‫–‬

‫‪+‬‬ ‫‪+1‬‬

‫‪1‬‬ ‫—‪+‬‬

‫‪5‬‬ ‫—–‬ ‫‪8‬‬

‫‪0‬‬

‫‪2‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ -3‬د نسبتي عدد څخه د‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪3‬‬ ‫—–‬

‫‪–1‬‬

‫‪–2‬‬

‫‪2‬‬

‫نسبتي عدد تفريﻖ او د عددونو پر محور يې وښاياست‪.‬‬

‫‪ -4‬الندې نسبتي عددونه جمع او د تبديل‪ ９‬خاصيت پکې وڅې‪７‬ئ‪:‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪4‬‬ ‫) (‪+‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪,‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪7‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪,‬‬

‫‪5 1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪2 3‬‬

‫‪ -5‬د ضرب په الندې عمليو کې اتحادي خاصيت وڅې‪７‬ئ‪:‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪3 3‬‬ ‫) × (×‬ ‫‪6‬‬ ‫‪2 5‬‬

‫‪,‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪3 5‬‬ ‫) × (×‬ ‫‪2‬‬ ‫‪5 3‬‬

‫‪,‬‬

‫‪8‬‬ ‫‪4 6‬‬ ‫) × (×‬ ‫‪5‬‬ ‫‪3 10‬‬

‫‪ -6‬تش ځايونه په مناسبو عددونو سره ډک ک‪７‬ئ‪:‬‬

‫)‬

‫‪115‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪b) ( +‬‬ ‫‪)×( ) =1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1 4‬‬ ‫( )‪d‬‬ ‫(‪+ )× =( × )+‬‬ ‫‪2 5‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2 5‬‬

‫‪,‬‬ ‫‪,‬‬

‫‪1 1‬‬ ‫‪a) ( + ) × ( ) = 1‬‬ ‫‪2 3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪c) ( ) × = 1‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪ -7‬په الندې پوښتنو کې توزيعي خاصيت وڅې‪７‬ئ‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‬ ‫‪3‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫(×‬ ‫‪9‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪,‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫(×‬ ‫‪+‬‬ ‫)‬ ‫‪8‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪,‬‬

‫‪6‬‬ ‫‪3 2‬‬ ‫(×‬ ‫) ‪+‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪ -8‬د نستبي عددونو اتحادي خاصيت په الندې کومو عمليو کې صدق نه کوي؟‬ ‫‪ )a‬جمع‬ ‫‪6‬‬ ‫‪ -9‬د‬ ‫‪5‬‬

‫‪ )c‬تفريﻖ‬

‫‪ )b‬ضرب‬

‫‪ )e‬هېڅ يو‬

‫‪ )d‬تقسيم‬

‫نسبتي عدد په اعشاري عدد تبديل د محور پر مخ يې وښاياست او هم د دې عدد‬

‫جمعې معکوس په اعشاري ډول وليکئ‪.‬‬ ‫‪ -10‬الندې اعشاري عددونه د نسبتي عددونو په شکل وليکئ‪.‬‬ ‫‪1.23412‬‬

‫‪,‬‬

‫‪5.2345‬‬

‫‪,‬‬

‫‪2.342‬‬

‫‪0.340‬‬

‫‪,‬‬

‫‪ -11‬د ‪ 3.234‬او ‪ 4.543‬دوه اعشاري عددونه د نسبتي عددونو په شکل وښاياست‪.‬‬ ‫‪ -12‬د نسبتي عددونو د تبديل‪ ９‬خاصيت په الندې په کومو عمليو کې صدق نه کوي‪.‬‬ ‫‪ )a‬جمع‬

‫‪ )b‬ضرب‬

‫‪ )c‬تفريﻖ‬

‫‪ )d‬تقسيم‬

‫‪ -13‬د نسبتي عددونو توزيعي خاصيت په الندې کومو عمليو کې صدق کوي‬ ‫‪ )a‬ضرب په جمع باندې‬

‫‪ )b‬ضرب په تفريﻖ باندې‬

‫‪ )c‬دواړه سم دي‬

‫‪ -14‬د ‪ 1.25‬او ‪ 2.5‬اعشاري عددونه د نسبتي عددونو په ډول وښاياست او په همدې ډول جمعې‬ ‫معکوسونه يې د نسبتي عددونو په شکل د عددونو پر محور وښاياست‪.‬‬

‫‪116‬‬

‫پن‪％‬م څپرکى‬ ‫مثلثونه آو څو ضلعي گانې‬ ‫(مﻀلع گانې)‬

‫مثلثونه‪ ،‬زموږ په چاپېريال کې شته‪.‬‬

‫د ضلعو له پلوه د مثلﺚ ډولونه‬

‫په مخامخ شکل کې کوم هندسي شکلونه وينئ؟‬

‫فعاليت‬ ‫په الندې شکلونو کې د هرې ضلعې اوږدوالى پيدا او ويې ليکئ‪.‬‬ ‫که وغواړو چې دا مثلثونه په ډولونو ووېشو‪ ،‬کوم مثلثونه په يوه ډول کې راځي؟‬

‫)‪c‬‬

‫)‪f‬‬

‫)‪a‬‬

‫)‪b‬‬

‫)‪e‬‬

‫)‪d‬‬

‫ددې لپاره چې مثلثونه په بېال بېلو ډولو وويشئ‪ ،‬کوم خاصيتونه مو په پام کې نيولي دي؟‬ ‫د هغو مثلثونو زاويې چې ضلعې يې سره مساوي دي‪ ،‬پيدا ک‪７‬ئ‪ ،‬څه نتيجه الس ته راوړئ؟‬ ‫د هغو مثلثونو زاويې چې دوه ضلعې يې سره مساوي وي پيدا ک‪７‬ئ‪ ،‬څه نتيجه به الس ته راوړئ؟‬ ‫له پورتني فعاليت څخه نتيجه اخلو چې مثلثونه د ضلعو د اوږدوالي له پلوه په درې ډولو ويشالی‬ ‫شو‪:‬‬ ‫_ هغه مثلث چې درې واړه ضلعې يې سره مساوي وي متساوي االضالع مثلث نومې‪８‬ي‪ .‬په هر‬ ‫متساوي االضالع مثلث کې درې واړه زاويې هم سره مساوي دي‪.‬‬

‫‪119‬‬

‫_ هغه مثلث چې دوه ضلعې يې سره مساوي وي‪ ،‬متساوي الساقين مثلث نومې‪８‬ي‪ .‬په متساوي‬ ‫الساقين مثلث کې له دواړو مساوي ضلعو څخه‪ ،‬هرې يوې ته د مثلث ساق او دريمې ضلعې ته يې‬ ‫قاعده وايې‪ .‬په متساوي الساقين مثلث کې د ساقونو مجاورې زاويې سره مساوي وي‪.‬‬ ‫_ هغه مثلث چې د درې واړو ضلعو اوږدوالى يې سره توپير ولري‪ ،‬مختلﻒ االضالع مثلث ور ته‬ ‫وايې‪.‬‬ ‫مثال‪ :‬الندې هر يو مثلث د ضلعو له پلوه ونوموئ‪.‬‬

‫)‪(a‬‬

‫)‪(b‬‬

‫)‪(c‬‬

‫حل‪ :‬لوم‪７‬ى د هرې ضلعې اوږدوالى پيدا کوو او بيا پرې نوم ږدو‪ .‬د (‪ )a‬د شکل مثلث چې درې‬ ‫مساوي ضلعې لري‪ ،‬متساوي االضالع مثلث دى‪ .‬د (‪ )b‬دشکل مثلث چې دوه مساوي ضلعې لري‬ ‫متساوي الساقين مثلث دى او د (‪ )c‬د شکل مثلث چې د درې واړو ضلعو اوږدوالى يې سره توپير‬ ‫لري‪ ،‬مختلﻒ االضالع مثلث دى‪.‬‬

‫پوښتنې‬ ‫‪ -1‬يو متساوي االضالع مثلث رسم ک‪７‬ئ چې هره ضلعه يې ‪ 4cm‬وي‪.‬‬ ‫‪ -2‬يو متساوي الساقين مثلث رسم ک‪７‬ئ چې له دوو مساوي ضلعو څخه هره يوه يې ‪ 3cm‬وي او د‬ ‫قاعدې اوږدوالى يې اختياري وي‪.‬‬ ‫‪ -3‬يو متساوي الساقين مثلث رسم ک‪７‬ئ چې يوه زاويه يې ‪ 90‬وي‪.‬‬ ‫‪ -4‬د يــو مثلــث د ضلعو اوږدوالى په ترتيﺐ ســره ‪ 4cm ،5cm‬او ‪ 8cm‬دی‪ .‬دا مثلث په کوم نوم‬ ‫يادې‪８‬ي؟‬

‫‪120‬‬

‫د زاويو له حيثه د مثلﺚ ډولونه‬ ‫که وغواړئ چــې د زاويو له پلوه په مثلثونو باندې‬ ‫نوم کې‪８‬دئ‪ ،‬د مثلث زاويې له کومې زاويې ســره‬ ‫پرتله کوئ؟‬

‫‪A‬‬

‫‪D‬‬

‫‪B‬‬

‫‪C‬‬

‫‪E‬‬

‫‪H‬‬

‫‪I‬‬

‫‪G‬‬ ‫‪F‬‬

‫فعاليت‬ ‫الندې مثلثونه په پام کې ونيسئ‪.‬‬

‫‪f‬‬

‫‪e‬‬

‫‪d‬‬

‫‪b‬‬

‫‪c‬‬

‫‪a‬‬

‫لوم‪７‬ى د هر مثلث زاويې اندازه ک‪７‬ئ چې څو درجې دي؟‬ ‫د هر يوه مثلث زاويې له قايمې زاويې سره پرتله ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫په کومو مثلثونو کې ټولې زاويې يې له قايمې زاويې څخه کوچن‪ ９‬دي؟‬ ‫کوم يو له دې مثلثونو څخه قايمه زاويه لري؟‬ ‫کوم يو له دې مثلثونو څخه له قايمې زاويې څخه لويه زاويه لري؟‬ ‫په الندې جدول کې د مثلثونو نومونه وليکئ‪.‬‬ ‫هغه مثلثونه چې زاويې يې له قايمې‬ ‫څخه کوچنى وي‬

‫‪121‬‬

‫هغه مثلثونه چې يوه زاويه يې له قايمې‬ ‫څخه لويه وي‬

‫هغه مثلثونه چې يوه زاويه يې قايمه وي‬

‫مثلثونه يې د زاويو له پلوه هم په دريو ډولو ويشلي دي‪.‬‬ ‫_ هغه مثلث چې يوه زاويه يې قايمه وي‪ ،‬قايم الزاويه مثلث نومې‪８‬ي‪.‬‬ ‫_ هغه مثلث چې يوه زاويه يې له قايمې زاويې څخه لويه وي‪ ،‬منفرج الزاويه مثلث نومې‪８‬ي‪.‬‬ ‫_ هغه مثلث چې درې واړه زاويې يې له ‪ 90‬څخه کوچن‪ ９‬وي‪ ،‬حاده الزاويه مثلث نومې‪８‬ي‪.‬‬ ‫مثال‪ :‬له الندې مثلثونو څخه کوم يو يې حاده الزاويه‪ ،‬قايم الزاويه او منفرج الزاويه مثلث دى؟‬

‫‪B‬‬

‫‪E‬‬ ‫‪G‬‬

‫‪C F‬‬

‫‪A‬‬

‫‪D‬‬

‫‪I‬‬

‫‪H‬‬

‫حل‪ :‬لوم‪７‬ى د مثلثونو زاويې اندازه کوو‪:‬‬ ‫ د ‪ BAC‬مثلث چې يوه زاويه يې ‪ 90‬ده‪ ،‬قايم الزاويه مثلث دى‪.‬‬‫ د ‪ EGF‬مثلث چې يوه زاويه يې له ‪ 90‬څخه لويه ده‪ ،‬منفرج الزاويه مثلث دى‪.‬‬‫ د ‪ DHI‬مثلث چې ټولې زاويې له ‪ 90‬څخه کوچن‪ ９‬دي‪ ،‬حاده الزاويه مثلث دى‪.‬‬‫د زاويو له حيثه(پلوه) د مثلثونو په ډولونو د ويشلو لپاره قايمه زاويه معيار ټاکل کې‪８‬ي‪.‬‬

‫پوښتنې‬ ‫‪ -1‬يو مثلث رسم ک‪７‬ئ چې يوه ضلعه يې ‪ 3cm‬او د دې ضلعې هره مجاوره زاويه يې ‪ 60‬وي دا‬ ‫کوم ډول مثلث دى؟‬ ‫‪ -2‬هغه مثلث چې دوه ضلعې يې سره مساوي او ددې ضلعو تر منځ زاويه يې ‪ 90‬وي‪ ،‬د ضلعو او‬ ‫زاويو له پلوه کوم ډول مثلث دى؟‬ ‫‪ -3‬يو داسې مثلث رسم ک‪７‬ئ چې يوه زاويه يې ‪ 120‬او د دې زاويې يوه مجاوره ضلع يې ‪ 4cm‬وي‬ ‫په دې ډول څو نور مثلثونه رسموالى شئ؟‬ ‫‪ -4‬يو منفرج الزاويه مثلث رسم ک‪７‬ئ چې منفرجه زاويه يې ‪ 100‬وي او د دې زاويې دوه مجاورې‬ ‫ضلعې ‪ 4cm‬او ‪ 6cm‬وي‪.‬‬

‫‪122‬‬

‫د يوه مثلﺚ لوړوالﯽ(ارتفاع)‪ ،‬ميانه‬ ‫او ﻧاﺻﻒ اﻟﺰاوﻳﻪ‬ ‫آﻳا تراوسه مو کوښ） ک‪７‬ئ دى چې پر عمودا ً‬ ‫والړ پنسل کوم مثلث ډوله شى ودروئ؟‬

‫فعاليت‬ ‫د ‪ ABC‬يو کيفي(اختياري) مثلث رسم ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫د دې مثلث درې واړه ارتفاع گانې رسم ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫آﻳا داسې نقطه(ټکى) پيدا کوالى شئ چې د مثلث درې واړه ارتفاع گانې پکې قطع شوي وي؟‬ ‫د دې مثلث درې واړه ميانې رسم ک‪７‬ئ‪ ،‬آﻳا دا درې واړه ميانې په يوه ټکى کې يوه له بلې سره قطع‬ ‫کوي؟‬ ‫د دې مثلث درې واړه ناصﻒ الزاويه رسم ک‪７‬ئ‪ ،‬آﻳا درې واړه ناصﻒ الزاويه هم په يوه ټکى کې‬ ‫قطع کوي؟‬ ‫پورتني فعاليتونه ښکاره کوي چې په يوه مثلث کې درې واړه ارتفاع گانې درې واړه مياني او درې واړه‬ ‫ناصﻒ الزاويه‪ ،‬يو بل په يوه نقطه کې قطع کوي‪.‬‬

‫‪2 1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪123‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫لومړى مثال‪ :‬د ‪ ABC‬يو منفرج الزاويه مثلث رسم ک‪７‬ئ او‬ ‫هغه ټکى پيدا ک‪７‬ئ چې درې واړه ارتفاع گانې يو بل سره پکې ‪C‬‬ ‫قطع کوي‪.‬‬ ‫حل‪ :‬څرنگه چې په يوه منفرج الزاويه مثلث کې ځينې ارتفاع‬ ‫گانې له مثلث څخه د باندې پرتې دي‪ ،‬نو له همدې کبله د ارتفاع‬ ‫گانو د تقاطع ټکى هم له مثلث څخه د باندې پروت دى‪.‬‬

‫‪B‬‬

‫‪H‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪M‬‬

‫دويم مثال‪ :‬د ‪ ABC‬يو کيفي حاده الزاويه مثلث رسم ک‪７‬ئ‬ ‫او د ميانو د تقاطع ټکى يې پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫حل‪ :‬لوم‪７‬ی يو کيفي حاده الزاويه مثلث او بيا يې ميانې رسموو‬ ‫ليدل کې‪８‬ي‪ ،‬چې د مثلث په دننه کې درې واړه ميانې په يوه ټکي‬ ‫کې قطع کوي‪.‬‬ ‫‪O‬‬ ‫دا هماغه ټکى دى چې په دې ټکي کې مثلث ډوله شى د پنسل‬ ‫په څوکه د تعادل په حال کې دى‪ ،‬نو له همدې کبله ويالى شو ‪C‬‬ ‫د يوه مثلث د ﺛقل مرکز د مثلث د درې واړو ميانو د تقاطع ټکى‬ ‫دى‪.‬‬ ‫د يوه مثلث ميانې‪ ،‬ارتفاع گانې او ناصﻒ الزاويه درې واړه په يوه ټکي کې قطع کوي‪.‬‬ ‫‪A‬‬

‫‪B‬‬

‫پوښتنې‬ ‫‪ -1‬يو قايم الزاويه مثلث رسم ک‪７‬ئ او د ميانو د تقاطع ټکى په کې وښاياست‪.‬‬ ‫‪ -2‬د هغه مثلث ارتفاع گانې رسم ک‪７‬ئ چې ضلعې(څن‪６‬ې) يې ‪ 3cm , 5cm‬او ‪ 6cm‬وي‪.‬‬ ‫‪ -3‬يو متساوي الساقين مثلث رسم ک‪７‬ئ چې د هر ساق اوږدوالى يې ‪ 4cm‬او قاعده يې ‪ 6cm‬وي‬ ‫د زاويو د ناصفونو د تقاطع ټکى يې پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪ -4‬يو متساوي االضالع مثلث رسم ک‪７‬ئ ميانې‪ ،‬ارتفاع گانې او د زاويو ناصفونه يې په شکل کې‬ ‫وښاياست څه نتيجه پکې وينئ؟‬

‫‪124‬‬

‫د يوه مثلﺚ د داﺧلي زاويو مﺠموعه‬ ‫آﻳا د ټولو مثلثونو د داخلي زاويو مجموعې سره‬ ‫مساوي دي؟‬

‫˚‪60‬‬ ‫˚‪60‬‬

‫˚‪60‬‬ ‫˚‪90‬‬

‫˚‪30‬‬

‫˚‪60‬‬

‫˚‪60˚ + 90˚ + 30˚ = 60˚ + 60˚ + 60‬‬

‫فعاليت‬ ‫‪A‬‬

‫د کاغذ پر مخ د ‪ ABC‬يو کيفي(اختياري) مثلث رسم ک‪７‬ئ او بيا يې د‬ ‫قيﭽي په واسطه پرې ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫د ‪ A‬له راس څخه پر قاعده ارتفاع رسم د ارتفاع او قاعدې د تقاطع ټکي‬ ‫ته ‪ H‬ووايئ‪.‬‬ ‫مثلث داسې قات ک‪７‬ئ چې د ‪ A‬ټکى د ‪ H‬پر ټکي باندې واقع شي (ټکى ‪C‬‬ ‫ټکى خطونه د قات کيدو ځاى راښيي)‪.‬‬ ‫دا وار مثلث داسې قات ک‪７‬ئ چې د ‪ B‬او ‪ C‬راسونه هم پر ‪ H‬منطبﻖ شي‪.‬‬ ‫د قات کولو له مخې د الندې پوښتنو ځوابونه پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫?=‪C‬‬

‫‪B=? ,‬‬

‫‪,‬‬

‫?=‪A‬‬

‫‪,‬‬

‫‪3‬‬

‫‪1‬‬

‫‪H‬‬

‫‪2‬‬

‫‪B‬‬

‫? = ‪H1 + H 2 + H 3‬‬

‫نو لرو چې‪H1 + H 2 + H 3 = A + B+ C = 180o :‬‬

‫ځکه چې د يو مستقيم خط يوې خوا ته د زاويو مجموعه ‪ 180o‬ده‪.‬‬ ‫د مثلث زاويې‪ ،‬د نقالې په مرسته اندازه ک‪７‬ئ او پورتن‪ ９‬نتيجې وڅي‪７‬ئ‪.‬‬ ‫له پورتني فعاليت څخه کوالی شو چې نتيجه واخلو‪:‬‬ ‫د هر مثلث د داخلي زاويو مجموعه ‪ 180o‬ده او د مثلث هرې يوې داخلي زاويې ته په لن‪ ６‬ډول د‬ ‫مثلث زاويه وايي‪.‬‬ ‫لومړى مثال‪ :‬د ‪ ABC‬د يو متساوي الساقين مثلث دريمه زاويه پيدا ک‪７‬ئ که له دوو مساوي زاويو‬ ‫څخه يوه يې ‪ 70o‬وي‪.‬‬

‫‪125‬‬

‫حل‪ :‬څرنگه چې مثلث متساوي الساقين دى‪ ،‬د ساقونو مجاورې زاويې يې سره مساوي دي‪،‬‬ ‫نو‪:‬‬ ‫څرنگه چې د مثلث د داخلي زاويو مجموعه ‪ 180‬ده‪ ،‬نو ليکلى شو چې‪:‬‬ ‫‪B = C = 70o‬‬

‫‪o‬‬

‫‪, 140 o + A = 180 o‬‬

‫‪, 70 o + 70 o + A = 180 o‬‬

‫‪A + B+ C = 180 o‬‬

‫له دې ځايه معلومې‪８‬ي چې ‪ A = 40o‬ده‪.‬‬ ‫دويم مثال‪ :‬د يوه قايم الزاويه متساوي الساقين مثلث حادې زاويې څو درجې دي؟‬ ‫حل‪ :‬څرنگه چې مثلث قايمه زاويه دى‪ ،‬نو يوه زاويه يې ‪ 90o‬ده او نورې دوه زاويې يې حاده دي‬ ‫لکه په الندې شکل کې‪:‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪A + B + C = 180o‬‬ ‫‪90o + B + C = 180o‬‬ ‫‪B + C = 90‬‬ ‫‪B + C = 90o‬‬

‫‪C‬‬

‫څرنگه چې مثلث متساوي الساقين دى‪ ،‬نو‪:‬‬

‫‪A‬‬

‫‪B = C = 90 ÷ 2 = 45o‬‬ ‫‪o‬‬

‫نو هره حاده زاويه يې ‪ 45 o‬ده‪.‬‬

‫فعاليت‬ ‫يو قايمه زاويه مثلث رسم ک‪７‬ئ چې هره قايمه څن‪６‬ه يې ‪ 5cm‬وي‪ ،‬د دې مثلث دوه نورې زاويې‬ ‫څو درجې دي‪ .‬لوم‪７‬ى يې له نقالې څخه پرته پيدا او بيا يې د نقالې په مرسته اندازه پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫ د هر مثلث د داخلي زاويو مجموعه ‪ 180o‬ده او د مثلث په ډول پورې اړه نه لري‪.‬‬‫پوښتنې‬ ‫‪ -1‬که په يوه متساوي الساقين مثلث کې د دوو ساقونو تر منځ زاويه ‪ 50 o‬وي‪ ،‬ددې مثلث له دوه نورو‬ ‫زاويو څخه هره يوه به څو درجې وي؟‬ ‫‪ -2‬په يو متساوي االضالع مثلث کې‪ ،‬هره زاويه څو درجې ده؟‬ ‫‪ -3‬که په يو متساوي الساقين مثلث کې‪ ،‬د دوو ساقونو تر منځ زاويه ‪ 70 o‬وي‪ ،‬دوې نورې زاويې‬ ‫هره يوه به يې‪ ،‬څو درجې وي؟‬

‫‪126‬‬

‫د يوه مثلﺚ ﺧارﺟي زاويې‬

‫په مخامخ شکل کې څو ډوله زاويې وينئ؟‬

‫فعاليت‬ ‫د ‪ ABC‬مثلث په پام کې ونيسئ د ‪ BC‬ضلعې ته د ‪ C‬له ټکي څخه امتداد ورکوو تر څو چې‬ ‫د ‪ C 2‬زاويه جوړه شي‪.‬‬ ‫الندې پوښتنو ته ځواب ورک‪７‬ئ‪.‬‬

‫‪A‬‬

‫? = ‪C1+ C 2‬‬ ‫? = ‪C 1 + A+ B‬‬

‫له پورتنيو دوو مساواتونو څخه کومه نتيجه الس ته راځي؟‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪C‬‬

‫‪B‬‬

‫يه هر مثلث کې هغې زاويې ته چې د مثلث د يوې ضلعې له امتداد څخه د مثلث له بلې ضلعې سره‬ ‫جوړې‪８‬ي‪ ،‬د مثلث خارجي زاويه وايي او په يوه مثلث کې د هرې خارجي زاويې اندازه د مثلث د دوو‬ ‫نورو غيرو مجاورو داخلي زاويو له مجموعې سره مساوي ده‪.‬‬ ‫لومړى مثال‪ :‬په يوه قايم الزاويه متساوي الساقين مثلث کې غواړو چې هغه خارجي زاويه چې‬ ‫د وتر له امتداد ورکولو څخه جوړې‪８‬ي‪ ،‬اندازه ک‪７‬و‪ .‬آﻳا دا به توپير ولري چې وتر ته کومه خوا امتداد‬ ‫‪B‬‬ ‫ورک‪７‬و؟‬ ‫‪o‬‬ ‫حل‪ :‬څرنگه چې مثلث قايم الزاويه دى‪ ،‬نو يوه زاويه يې ‪ 90‬ده او هم‬ ‫څرنگه چې مثلث متساوي الساقين دى‪ ،‬نو هره يوه حاده الزاويه يې ‪45 o‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪C‬‬ ‫ده‪، C2 = 90 o+ 45 o= 135 o .‬‬ ‫‪C2 = A + B‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪2‬‬ ‫څرنگه چې دواړه حاده زاويې سره مساوي دي‪:‬‬

‫‪127‬‬

‫نو خارجي زاويې يې هم سره مساوي دي‪ .‬دا توپير نه لري چې خارجي زاويه د وتر کومې خواته پرته‬ ‫وي‪.‬‬ ‫‪o‬‬ ‫‪o‬‬ ‫دويم مثال‪ :‬د ‪ ABC‬په يوه مثلث کې که ‪ A = 50‬او ‪ B = 70‬وي د ‪ C‬خارجي زاويه‬ ‫به څو درجې وي؟‬ ‫‪C2 = A + B = 50 o + 70 o = 120 o‬‬

‫فعاليت‬ ‫‪C‬‬

‫د الندې مختلﻒ االضالع مثلث د درې واړو خارجي زاويو‬ ‫اندازه پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬

‫‪50o‬‬

‫‪A‬‬

‫‪30o‬‬

‫‪100o‬‬

‫‪B‬‬

‫د يوه مثلث خارجي زاويه د مثلث د دوو داخلي غير مجاورو زاويو له مجموعې سره مساوي ده‪.‬‬

‫پوښتنې‬ ‫‪ -1‬په الندې شکلونو کې هغه زاويې چې د ‪ x‬په عالمې سره ښودل شوي دي‪ ،‬په الس راوړئ‪:‬‬ ‫‪A‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪A‬‬

‫‪x‬‬

‫‪60° 30°‬‬

‫‪x‬‬

‫‪60°‬‬

‫‪C‬‬

‫‪B‬‬

‫‪C‬‬ ‫‪140°‬‬

‫‪A‬‬

‫‪x‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪120° 144°‬‬

‫‪B‬‬

‫‪C‬‬

‫‪B‬‬

‫‪C‬‬

‫‪60°‬‬ ‫‪30°‬‬

‫‪ -2‬د يوه متساوي االضالع مثلث خارجي زاويې په خپل منځ کې څه اړيکه لري؟‬ ‫‪ -3‬يو قايم الزاويه مثلث رسم ک‪７‬ئ چې ضلعې يې ‪ 4cm , 3cm‬او ‪ 5cm‬وي‪ ،‬بيا د دې مثلث د‬ ‫خارجي زاويو مجموعه پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪ -4‬د څو مثالونو په مرسته وښاياست چې د مثلثونو د خارجي زاويو مجموعه ﺛابته ده؟‬ ‫‪ -5‬د يو مثلث د خارجي زاويو مجموعه د مثلث د داخلي زاويو د مجموعې څو چنده ده؟‬

‫‪128‬‬

‫‪B‬‬

‫د يوه مثلﺚ د ضلعو تر من‪＃‬‬ ‫اړيکې‬

‫آيا داسې مثلث جوړيدالی شي چې د دوو‬ ‫ضلعو د اوږدوالي مجموعه يې له دريمې‬ ‫ضلعې څخه کوچنی وي؟‬

‫فعآليت‬ ‫د ‪ AB‬يو قطعه خط د ‪ 7cm‬په اوږدوالي رسم ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫د ‪ A‬له ټکي څخه يوه دايره د ‪ 4cm‬په شعاع او د ‪ B‬له ټکي څخه يوه دايره د ‪ 5cm‬په شعاع‬ ‫رسم ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫د دواړودايرو د تقاطع ټکي ته ‪ C‬ووايئ او د ‪ A‬او ‪ B‬سره يې ونښلوئ‪.‬‬ ‫د ‪ ABC‬مثلث په پام کې ونيسئ او ووايئ چې د ‪ AC‬او ‪ BC‬د ضلعو اوږدوالى څومره دى؟‬ ‫بل ځل د ‪ A‬له نقطې څخه يوه دايره‪ ،‬د ‪ 4cm‬په شعاع او د ‪ B‬له نقطې څخه يوه دايره د ‪2cm‬‬ ‫په شعاع رسم ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫آﻳا دا دواړه دايرې يو له بله سره قطع کوي او مثلث جوړې‪８‬ي؟‬ ‫که د ‪ A‬له نقطې څخه يوه دايره د ‪ 4cm‬او د ‪ B‬له نقطې څخه يوه دايره د ‪ 3cm‬په شعاع رسم‬ ‫ک‪７‬و‪ .‬آﻳا دا دواړه دايرې يو له بل سره قطع کوي؟‬ ‫په پورتنيو دريو حالتونو کې څه توپير دى چې په يو حالت کې مو مثلث جوړ ک‪ ７‬او په دوو نورو‬ ‫حالتونو کې مو ونشو کولى چې مثلثونه جوړ ک‪７‬و‪.‬‬ ‫په پورتني فعاليت کې مو وليدل چې د مثلث د جوړيدو‬ ‫‪A‬‬

‫لپاره د مثلث د دوو ضلعو مجموعه بايد له دريمې ضلعې‬ ‫څخه زياته وي‪ .‬په دې معنا چې د ‪ ABC‬په مثلث کې‬ ‫د ‪ BC‬او ‪ AC‬د ضلعو مجموعه له ‪ AB‬څخه لويه‬ ‫ده‪.‬‬

‫‪129‬‬

‫‪C‬‬

‫‪B‬‬

‫لومړى مثال‪ :‬يو داسې مثلث رسم ک‪７‬ئ چې ضلعې يې ‪ 6cm , 3cm‬او ‪ 8cm‬وي؟‬

‫حل‪ :‬بايد وگورو چې د مثلث د ضلعو تر منځ اړيکه‪ ،‬د ټولو ضلعو لپاره سمه ده او که نه؟‬ ‫‪6‬‬

‫‪3‬‬

‫‪3+ 6 = 9 , 9 > 8‬‬ ‫‪3 + 8 = 11 , 11 > 6‬‬ ‫‪6 + 8 = 14 , 14 > 3‬‬

‫‪8‬‬

‫نو کوالى شو چې دا مثلث رسم ک‪７‬و‪ ،‬پورته شکل ته وگورئ‪.‬‬

‫دويم مثآل‪ :‬آﻳا کوالى شو چې يو داسې مثلث رسم ک‪７‬و چې ضلعې يې ‪ 6cm , 3cm‬او ‪2cm‬‬

‫وي؟‬ ‫حل‪:‬‬

‫‪3+ 6 = 9 , 9 > 2‬‬ ‫‪2 + 6 = 8 , 8> 3‬‬ ‫‪3+ 2 = 5 , 5 < 6‬‬

‫د دې لپاره چې وکوالی شو يو مثلث رسم ک‪７‬و‪ ،‬بايد درې واړه شرطونه صدق وک‪７‬ي‪ .‬په دې معنا چې د‬ ‫دوو ضلعو د اوږدوالي مجموعه يې له دريمې ضلعې څخه لويه وي‪ ،‬په دې مثال کې ‪3 + 2 = 5 < 6‬‬ ‫ده نو مثلث نه جوړې‪８‬ي‪.‬‬ ‫که د دوو ضلعو د اوږدوالي مجموعه له دريمې ضلعې څخه کوچن‪ ９‬وي مثلث نه جوړې‪８‬ي‪.‬‬ ‫پوښتنې‬ ‫‪ -1‬آيا کوالى شو داسې يو مثلث رسم ک‪７‬و چې دوه ضلعې يې ‪ 7cm , 5cm‬او دريمه ضلع يې د‬ ‫دواړو نورو ضلعو د مجموعې له نيمايي سره برابره وي؟‬ ‫‪ -2‬له داسې دريو قطعه خطونو څخه چې يو قطعه خط د دوو قطعه خطونو له مجموعې څخه لوى‬ ‫وي‪ ،‬ولې مثلث نه شو رسموالى؟‬ ‫‪ -3‬په الندې مثلثونو کې د ضلعو د اندازه کولو په مرسته د ضلعو تر منځ اړيکه پکې وڅي‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪A‬‬

‫‪A‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬

‫‪C‬‬

‫‪B‬‬

‫‪C B‬‬ ‫‪C‬‬ ‫)‪(b‬‬ ‫)‪(c‬‬ ‫)‪(a‬‬ ‫‪ -4‬يو داسې قايم الزاويه مثلث رسم ک‪７‬ئ چې قايمې ضلعې يې ‪ 5cm‬او ‪ 3cm‬او د وتر اوږدوالى‬ ‫يې ‪ 7cm‬وي؟‬

‫‪ -5‬آﻳا يو متساوي الساقين مثلث رسموالى شئ چې د قاعدې اوږدوالى يې د يوه ساق اوږدوالي‬ ‫درې چنده وي؟‬

‫‪130‬‬

‫مﻀلع گانې يا څو ضلعې‬

‫په مخامخ شکل کې څو ډوله مضلع گانې‬ ‫وينئ؟‬

‫فعاليت‬ ‫الندې جدول ته وگورئ او د ستونونو دننه شکلونه سره پرتله ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫منظمې څو ضلعي(مضلعې گانې)‬

‫څو ضلعي دي (غير منظمې)‬

‫څو ضلعي نه دي‬

‫د لوم‪７‬ي او دويم ستون شکلونه له کي‪２‬ې څخه ښ‪ ９‬خواته سره پرتله ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫په کوم حالت کې يو شکل مضلع او په کوم حالت کې يو شکل مضلع نه ده؟‬ ‫د يوې منظمې مضلعې زاويې اندازه او وواياست چې په خپل منځ کې څه اړيکه لري؟‬ ‫آيا دا خصوصيت په ټولو مضلع گانو کې شته دى؟‬ ‫ددې لوست د پيل په فعاليت کې ليدل کې‪８‬ي چې مضلع يو ت‪７‬لى منکسر خط دى چې يوازې يوه‬ ‫ت‪７‬لې ناحيه ولري‪.‬‬

‫‪131‬‬

‫که د يوې مضلع زاويې او ضلعې سره مساوي وي‪ ،‬منظمه مضلع ورته وايې‪ .‬هغه مضلع چې زاويې او‬ ‫ضلعې يې سره مساوي نه وي‪ ،‬د غير منظمې مضلع په نامه يادې‪８‬ي‪.‬‬ ‫مثال‪ :‬له الندې شکلونو څخه کوم يو يې څو ضلعي(مضلع) ده؟‬

‫)‪(c‬‬

‫)‪(f‬‬

‫)‪(b‬‬

‫)‪(e‬‬

‫)‪(a‬‬

‫)‪(d‬‬

‫حل‪ :‬د (‪ )a‬شکل يو ت‪７‬لى شکل نه دى‪ ،‬نو يوه مضلع هم نه ده‪.‬‬ ‫د (‪ )b‬شکل ت‪７‬لى دی خو منکسر خط نه دى‪ ،‬نو يوه مضلع نه ده‪.‬‬ ‫د (‪ )c‬شکل يو ت‪７‬لى منکسر خط دى‪ ،‬نو يوه مضلع ده‪.‬‬ ‫د (‪ )d‬شکل يو ت‪７‬لى منکسر خط دى‪ ،‬نو يوه مضلع(څو ضلعي) ده‪.‬‬ ‫د (‪ )e‬شکل يو ت‪７‬لى منکسر خط دى نو يوه مضلع(څو ضلعي) ده‪.‬‬ ‫د (‪ )f‬شکل يو ت‪７‬لى منکسر خط دى اوپه ټولو پورتنيو شکلونو کې يوازينى شکل دى چې ضلعې‬ ‫يې سره مساوي دي‪ ،‬نو يوه منظمه مضلع ده او نورې پورتن‪ ９‬مضلع گانې‪ ،‬د غير منظمو مضلع گانو‬ ‫په نامه يادې‪８‬ي‪.‬‬ ‫مضلع(څوضلعي) يوه ت‪７‬لې ناحيه ده چې د څو مستقيمو قطعه خطونو له تقاطع څخه جوړې‪８‬ي چې‬ ‫هېڅ دوه خطونه د يوه مستقيم خط په امتداد نه وي او د مضلعې هر رآس يوازې او يوازې د دوه قطعه‬ ‫خطونو د تقاطع ټکى وي‪.‬‬ ‫پوښتنې‬ ‫‪ -1‬څو ضلعې ‪－‬انې چې پيﮋنئ‪ ،‬نومونه يې واخلئ‪.‬‬ ‫‪ -2‬په څو ضلعي گانو کې چې يې پېﮋنئ کومې يې منظمې څو ضلعي گانې دي؟‬ ‫‪ -3‬آﻳا مستطيل‪ ،‬ذوذنقه او معين منظمې مضلعې گانې(څو ضلعي گانې) دي؟‬ ‫‪ -4‬آﻳا يو قايم الزاويه متساوي الساقين مثلث يوه منظمه څو ضلعې ده‪ ،‬ولې؟‬ ‫‪ -5‬آﻳا يو متساوي االضالع مثلث يوه منظمه مضلع ده‪ ،‬ولې؟‬ ‫‪ -6‬که درې شکلونه مستطيل‪ ،‬دايره او مربع په پام کې ونيسو‪ ،‬کوم يو له دې شکلونو څخه مضلع نه‬ ‫ده‪ ،‬کومه يو يې منظمه مضلع او کومه يوه يې غير منظمه مضلع ده؟‬

‫‪132‬‬

‫د يوې مﻀلع د داﺧلي زاويو مﺠموعه‬ ‫د مخامخ مضلع گانو د داخلي زاويو مجموعه‬ ‫څو درجې ده؟‬

‫‪90º‬‬

‫‪90º‬‬

‫? = ‪90º + 90º + 90º + 90º‬‬

‫‪90º‬‬ ‫‪108º‬‬ ‫‪108º‬‬

‫‪90º‬‬

‫‪108º‬‬

‫‪108º 108º‬‬

‫? = ‪108º + 108º + 108º + 108º + 108º‬‬

‫فعاليت‬ ‫په الندې شکلونو کې هرې ضلعې ته امتداد ورک‪７‬ئ‪.‬‬

‫)‪(e‬‬

‫)‪(d‬‬

‫)‪(c‬‬

‫)‪(b‬‬

‫)‪(a‬‬

‫د (‪ )e‬او (‪ )a‬شکلونه د (‪ )d( ،)b‬او (‪ )c‬له شکلونو سره څه توپير لري؟‬ ‫له پورته فعاليت څخه داسې نتيجه السته راځي چې د ځينو مضلع گانو د ځينو ضلعو امتداد د څو‬ ‫ضلعي گانو له منځه څخه تيرې‪８‬ي چې داسې څو ضلعي ته مقعره څو ضلعي وايي‪ .‬او هغه مضلع گانې‬ ‫چې د ضلعو امتداد يې د مضلع له منځ څخه نه تيري‪８‬ي‪ ،‬محدبه مضلع بلل کې‪８‬ي‪.‬پاتې دې نه وي که د‬ ‫مضلع له نوم سره د مقعرې او محدبې نوم ونه ويل شي موخه(هدف) ترې محدبه مضلع ده‪.‬‬

‫فعاليت‬ ‫د ‪ ABCD‬څلور ضلعي په پام کې ونيسئ‪.‬‬ ‫د دې څلور ضلعي داخلي زاويې د نقالې په مرسته اندازه ک‪７‬ئ او د زاويو مجموعه يې پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫د څلور ضلعي يو قطر رسم ک‪７‬ئ‪ ،‬دا قطر څلور ضلعي په څو مثلثونو ويشي؟‬ ‫د داخلي زاويو مجموعه د نقالې له مرستې پرته پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬

‫‪133‬‬

‫که د دې قطر پر ځاى مو د څلور ضلعي بل قطر رسم ک‪７‬ى‬ ‫واى آيا په نتيجه کې به توپير راغلى واى؟‬ ‫يوه پنځه ضلعي رسم ک‪７‬ئ او د دې پنځه ضلعي له يوه‬ ‫رآس نه دوه اختياري(کيفي) قطرونه رسم ک‪７‬ئ‪ ،‬د پنځه‬ ‫ضلعي د داخلي زاويو مجموعه پيدا ک‪７‬ئ؟‬ ‫يوه شپ‪ ８‬ضلعي رسم ک‪７‬ئ او ووياست چې څو قطرونه بايد‬ ‫رسم ک‪７‬و تر څو د شپ‪ ８‬ضلعي د داخلي زاويو مجموعه په‬ ‫الس راوړو‪.‬‬ ‫مخامخ جدول په خپلو کتابﭽو کې وليکئ او پوره يې‬ ‫ک‪７‬ئ‪ ،‬د ضلعو د هر شمېر په مقابل کې کوم عدد په ‪180 o‬‬ ‫کې ضربي‪８‬ي‪ ،‬دا عدد د څو ضلعې د ضلعو له شمېر سره‬ ‫څه اړيکه لري؟‬

‫د داخلي زاويو مجموعه‬

‫د ضلعو شمېر‬

‫˚‪1 × 180‬‬

‫‪3‬‬

‫˚‪2 × 180‬‬

‫‪4‬‬

‫˚‪3 × 180‬‬

‫‪5‬‬

‫˚‪4 × 180‬‬

‫‪6‬‬

‫·‬

‫·‬

‫·‬

‫·‬

‫·‬

‫·‬

‫آﻳا اټکلوالى شئ چې د يوې اته ضلعي د داخلي زاويو مجموعه څو درجې ده؟‬ ‫د ‪ n‬ضلعي د داخلي زاويو مجموعه څومره ده؟‬ ‫له پورتني فعاليت څخه څرگندي‪８‬ي چې ‪ S = (n 2)180 o‬ده چې دلته ‪ S‬د داخلي زاويو مجموعه‬ ‫او ‪ n‬د مضلع د ضلعو شمېر ښکاره کوي‪.‬‬ ‫مثال‪ :‬د يوې لس ضلعي د داخلي زاويو مجموعه څو درجې ده؟ او هم وواياست چې د يوې قايمې‬ ‫زاويې څو برابره کې‪８‬ي؟‬ ‫‪o‬‬ ‫‪o‬‬ ‫‪o‬‬ ‫‪o‬‬ ‫حل‪:‬‬ ‫‪S = (n 2) ×180 = (10 2) ×180 = 8 ×180 = 1440‬‬ ‫چې د يوې قايمې زاويې له (‪)16‬چنده سره برابره ده‪.‬‬ ‫د يوې مضلع د داخلي زاويو مجموعه د مضلع د ضلعو په شمېر پورې اړه لري‪.‬‬ ‫پوښتنې‬ ‫‪ -1‬په الندې مضلع گانو کې محدبې او مقعرې مضلع گانې وښاياست؟‬

‫)‪(d‬‬

‫)‪(c‬‬

‫)‪(b‬‬

‫)‪(a‬‬

‫‪ -2‬د يوې دولس ضلعي د داخلي زاويو مجموعه پيدا ک‪７‬ئ؟‬ ‫‪ -3‬د يوې اته ضلعي د داخلي زاويو مجموعه د يوې قايمې زاويې څو برابره کې‪８‬ي؟‬ ‫‪ -4‬د يو مثلث‪ ،‬يوې مربع‪ ،‬يو مستطيل او يوې شل ضلعي د داخلي زاويو مجموعه د پورتني فورمول‬ ‫له مخې پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬

‫‪134‬‬

‫د يــوې مﻀلع(څو ضلعي) د‬ ‫ﺧارﺟي زاويو مﺠموعه‬ ‫‪72º‬‬

‫آﻳا کوالى شئ ووايئ‪ ،‬د يوې مضلع(څوضلعي)‬ ‫د خارجي زاويو مجموعه څو درجې ده؟‬

‫‪72º‬‬

‫‪72º‬‬ ‫‪72º‬‬ ‫‪72º‬‬ ‫? = ‪72º + 72º + 72º + 72º + 72º‬‬

‫فعاليت‬

‫‪A‬‬

‫د ‪ ABC‬يو مثلث په پام کې ونيسئ‪.‬‬ ‫د ‪ AB‬ضلعي ته له ‪ A‬څخه ‪ B‬ته امتداد ورک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫د ‪ BC‬ضلعې ته له ‪ B‬څخه ‪ C‬ته امتداد ورک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫د ‪ AC‬ضلعې ته له ‪ C‬څخه ‪ A‬ته امتداد ورک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫د دې مثلث درې خارجي زاويې وښاياست او نوم پرې کې‪８‬دئ‪.‬‬ ‫الندې جدول په خپلو کتابﭽو کې وليکئ او پوره يې ک‪７‬ئ‪:‬‬

‫‪C‬‬

‫د داخلي زاويو‬ ‫مجموعه‬

‫د خارجي زاويو‬ ‫د داخلي او خارجي‬ ‫مجموعه‬ ‫زاويو مجموعه‬ ‫‪o‬‬ ‫? = ‪............. × 180 = ? ........................... .......... .........‬‬ ‫? = ‪........................... .......... .........‬‬

‫? = ‪............. × 180o‬‬

‫? = ‪........................... .......... .........‬‬

‫? = ‪............. × 180o‬‬

‫? = ‪........................... .......... .........‬‬

‫? = ‪............. × 180‬‬

‫‪...‬‬

‫‪...‬‬

‫‪o‬‬

‫‪...‬‬

‫‪B‬‬ ‫مضلع گانې‬ ‫درې ضلعي‬ ‫څلور ضلعي‬ ‫پنځه ضلعي‬ ‫شپ‪ ８‬ضلعي‬ ‫‪...‬‬

‫يوه څلور ضلعي رسم او خارجي زاويې يې وښاياست‪:‬‬ ‫يوه پنځه ضلعي رسم او خارجي زاويې يې وښاياست‪:‬‬ ‫‪o‬‬ ‫پورتنى فعاليت ښکاره کوي چې د يوې مضلع د خارجي زاويو مجموعه ‪ 360‬ده او د ضلعوپه شمېر‬ ‫پورې اړه نه لري‪.‬‬

‫‪135‬‬

‫لومړى مثال‪ :‬د يوې مربع د خارجي زاويو مجموعه لوم‪７‬ى د شکل له‬ ‫مخې او بيا يې د فورمول له مخې پيدا او سره پرتله يې ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫حل‪ :‬څرنگه چې پوهې‪８‬و د يوه مستقيم خط يوې خوا ته د زاويو مجموعه‬ ‫‪ 180 o‬ده‪ .‬نو‪:‬‬ ‫‪B1 + B 2 = 90 o + 90 o = 180 o‬‬

‫‪A1 + A 2 = 90 o + 90 o = 180 o‬‬

‫‪D1 + D 2 = 90 o + 90 o = 180 o‬‬

‫‪C1 + C 2 = 90 o + 90 o = 180 o‬‬

‫نو د مربع د خارجي زاويو مجموعه مساوي ده‪ ،‬په‪:‬‬

‫‪A 2‬‬

‫‪D‬‬ ‫‪1 2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2 C‬‬

‫‪2‬‬

‫‪B‬‬

‫‪A 2 + B 2 + C 2 + D 2 = 90 o + 90 o + 90 o + 90 o = 360 o‬‬

‫دويم مثال‪ :‬د يوه قايم الزاويه متساوي الساقين مثلث د خارجي زاويو مجموعه پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫حل‪ :‬د ‪ ABC‬يو قايم الزاويه متساوي الساقين مثلث رسم ک‪７‬ئ‪ ،‬ضلعو ته يې‬ ‫امتداد ورک‪７‬ئ‪ ،‬تر څو خارجي زاويې يې جوړې شي‪ .‬ليدل کې‪８‬ي چې‪:‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪45°‬‬

‫‪A 2 =180o 45o = 135o‬‬ ‫‪B2 = 180o 90o = 90o‬‬ ‫‪C2 = 180o 45o = 135o‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪C‬‬

‫‪45°‬‬

‫‪90°‬‬ ‫‪2‬‬

‫نو د مثلث خارجي زاويو مجموعه يې مساوي ده په‪:‬‬ ‫‪A 2 + B2 + C2 =135o + 90o + 135o = 360o‬‬ ‫د يوې مضلع (څو ضلعي) د خارجي زاويو مجموعه ‪ 360 o‬ده او د مضلع د ضلعو په شمېر پورې‬

‫اړه نه لري‪.‬‬

‫پوښتنې‬ ‫‪ -1‬د يو متساوي االضالع مثلث د خار جي زاويو مجموعه پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪ -2‬که په يوه متساوي الساقين مثلث کې د دوو ساقونو تر منځ زاويه ‪ 80 o‬وي‪ ،‬د دې مثلث د‬ ‫خارجي زاويو مجموعه پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪ -3‬د يوې منظمې لس ضلعي د خارجي زاويو مجموعه پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪ -4‬د مستطيل هره خارجي زاويه څو درجې ده؟ مجموعه يې په الس راوړئ‪.‬‬

‫‪136‬‬

‫‪B‬‬

‫انﻄﺒاق منوونکى ﺷکلونه‬ ‫لکه څنگه چې پوهې‪８‬ئ‪ ،‬زيات قلفونه دوه يا درې کيلي‬ ‫گانې لري‪ .‬ولې؟ دا کيلي گانې په خپل منځ کې څه‬ ‫اړيکه لري چې قلﻒ پرې خالصې‪８‬ي‪ ،‬آﻳا په الندې‬ ‫ځوابونو کې سم ځواب شته دى؟‬ ‫الﻒ) ځکه چې دا کيلي گانې يو رنگ لري‪.‬‬ ‫ب) ځکه چې د دې کيلي گانو اوږدوالى يو شى دي‪.‬‬ ‫پ) ځکه چې يو شان غاښونه لري‪.‬‬ ‫ت) ځکه چې د دې کيلي گانو پن‪６‬والى برابر دى‪.‬‬ ‫ج) د ب‪ ،‬پ او ث ځوابونه سم دي‪.‬‬

‫فعاليت‬ ‫د کاغذ پر مخ يوه داسې مربع رسم ک‪７‬ئ چې هره ضلع يې ‪ 4cm‬وي او الﻒ ورته ووايئ‪.‬‬ ‫د کاغذ پر مخ يوه داسې مربع رسم ک‪７‬ئ چې هره ضلع يې ‪ 6cm‬وي او(ب) ورته ووايئ‪.‬‬ ‫د کاغذ پر مخ يوه داسې مربع رسم ک‪７‬ئ چې هره ضلع يې ‪ 4cm‬وي او(پ) ورته ووايئ‪.‬‬ ‫دا مربع گانې‪ ،‬د قيﭽي په مرسته جال ک‪７‬ئ او دوه په دوه يې يو پر بل کې‪８‬دئ او سره يې پرتله ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫د دوه انطباق منوونکو شکلو تر منځ د‬

‫عالمه کارول کې‪８‬ي‪.‬‬

‫لومړى مثال‪ :‬په الندې شکلونو کې انطباق منوونکي شکلونه وښاياست(اړونده عددونه په سانتي متر‬ ‫سره د شکلونو د ضلعو اوږدوالى ښکاره کوي)‪.‬‬ ‫‪4‬‬ ‫حل‪ :‬د ‪ a‬او ‪ c‬جوړه شکلونه يو له بل سره‬ ‫انطباق منونکي دي ليکن د ‪ b‬شکلونه يو له‬ ‫بل سره انطباق منونکي نه دي‪.‬‬

‫‪4‬‬

‫‪4‬‬

‫‪4‬‬

‫‪4‬‬

‫‪4‬‬

‫‪4‬‬

‫(‪(a‬‬

‫(‪(b‬‬

‫‪4‬‬

‫‪2‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬

‫(‪(c‬‬ ‫‪2‬‬ ‫دويم مثال‪ :‬يو اختياري مستطيل رسم ک‪７‬ئ‪ ،‬څرنگه کوالى شو چې يو داسې مستطيل رسم ک‪７‬و چې‬ ‫به لوم‪７‬ي مستطيل منطبﻖ وي‪.‬‬

‫‪137‬‬

‫حل‪ :‬په دوه ډوله دا کار سرته رسوو‪.‬‬ ‫‪ -1‬د ‪ ABCD‬يو مستطيل په تيز رنگ سره رسموو‪ ،‬بيا يو نرۍ کاغذ‬

‫‪B‬‬

‫‪A‬‬

‫ددې مستطيل پر مخ ږدو‪ ،‬د کاغذ پر مخ پنسل پرې گرځوو اود کاغذ پر‬

‫مخ بل مستطيل رسموو‪ ،‬اوس نو دا دواړه شکلونه يو له بله سره منطبﻖ ‪C‬‬

‫‪D‬‬

‫‪F‬‬

‫‪E‬‬

‫‪G‬‬

‫‪H‬‬

‫دي‪.‬‬

‫‪ -2‬څرنگه چې پوهې‪８‬و‪ ،‬د مستطيل هره زاويه ‪ 90o‬ده‪ ،‬نو د شکل‬ ‫مطابﻖ د ‪ E‬قايمه زاويه رسموو او د ‪ EF‬ضلع د ‪ AB‬په اندازه او د‬ ‫‪ EH‬ضلع د ‪ CD‬په اندازه رسموو‪ ،‬بيا د پرکار په مرسته د ‪ FG‬ضلع‬ ‫د ‪ BC‬په اندازه او د ‪ HG‬ضلع د ‪ DC‬په اندازه رسموو‪ ،‬اوس نو د‬

‫‪ EFGH‬مستطيل د ‪ ABCD‬له مستطيل سره انطباق منونکی دی‪.‬‬ ‫دوه شکلونه چې پوره يو پر بل منطبﻖ وي‪ ،‬په دې معنا چې يو بل وپوښي‪ ،‬انطباق منونکي شکلونه ورته‬ ‫وايې‪.‬‬

‫پوښتنې‬ ‫‪ -1‬دوه انطباق منوونکي مربع گانې رسم ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪ -2‬دوه لوزي گانې راک‪７‬ل شوي دي‪ ،‬څرنگه پوهېداى شو چې سره انطباق منوونکي دي؟‬ ‫‪ -3‬دوه انطباق منوونکي مثلثونه رسم ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪ -4‬يوه دايره چې ‪ 4cm‬شعاع لري رسم ک‪７‬ئ‪ ،‬يوه بله داسې دايره رسم ک‪７‬ئ چې له لوم‪７‬ۍ دايرې سره‬ ‫منطبﻖ وي‪.‬‬

‫‪138‬‬

‫د ﻫﻐو مثلثونو انﻄﺒاق مننه ﭼې د يوه مثلﺚ‬ ‫دوې ضلعې او د من‪ ＃‬زاويه يې د ﺑل مثلﺚ د‬ ‫دوو ضلعو او د من‪ ＃‬زاويې سره مساوي وي‬

‫د دې لپاره چې ووينو‪ ،‬آيا په شکل کې دا دواړه‬ ‫باغﭽې سره انطباق منوونکي دي او که نه؟‬ ‫آيا کوالى شو چې يو شکل راواخلو او پر بل يې‬ ‫کې‪８‬دو؟‬

‫فعاليت‬ ‫په الندې شکل کې د ‪ ABC‬او '‪ A' B' C‬په مثلثونو کې '‪ AB = A' B‬او '‪ AC = A' C‬او‬ ‫‪A‬‬

‫‪A′‬‬

‫'‪ A = A‬ده‪.‬‬

‫‪B′‬‬ ‫‪C′‬‬

‫‪B‬‬

‫‪C‬‬

‫يو نرى کاغذ راواخلئ او د ‪ ABC‬د مثلث پر مخ يې کې‪８‬دئ او د ‪ ABC‬له مثلث سره برابر يې‬ ‫پرې ک‪７‬ئ او د "‪ A" B" C‬ورته ووايئ‪.‬‬ ‫د '‪ A‬رآس پر "‪ A‬کې‪８‬دئ‪.‬‬ ‫آيا د '‪ A' B‬ضلع پر "‪ A" B‬او د ' ‪ A'C‬ضلع پر "‪ A" C‬پر يوزي؟ ولې؟‬ ‫آيا د '‪ B‬رآس پر "‪ B‬او ' ‪ C‬پر "‪ C‬پريوزي؟ ولې؟‬ ‫د ‪ ABC‬او '‪ A' B' C‬دوه مثلثونه يو له بل سره څه اړيکه لري ولې؟‬ ‫د ‪ ABC‬او "‪ A" B" C‬دوه مثلثونه يو له بل سره څه اړيکه لري ولې؟‬ ‫د '‪ A' B' C‬او "‪ A" B" C‬دوه مثلونه يو له بل سره څه اړيکه لري ولې؟‬ ‫کوالى شو له پورتني فعاليت څخه يوه داسې نتيجه واخلو‪:‬‬ ‫که د يوه مثلث دوه ضلعې او ددې ضلعو د منځ زاويه‪ ،‬د بل مثلث د دوه ضلعو او د منځ زاويې سره‬ ‫مساوي وي دا مثلثونه انطباق منونکي دي‪.‬‬

‫‪139‬‬

‫مثال‪ :‬په الندې شکل کې ‪ AB = BC‬او ‪ BH‬د ‪ ABC‬د زاويې ناصﻒ الزاويه دى‪ ،‬ﺛبوت ک‪７‬ئ‬ ‫چې د ‪ ABH‬او ‪ BCH‬دوه مثلثونه انطباق منوونکي دي( ‪HBC‬‬

‫‪) ABH‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬

‫حل‪ :‬د ‪ ABH‬او ‪ BCH‬په مثلثونو کې‪( B1 = B 2 :‬ځکه چې د ‪B‬‬ ‫زاويه نيمايې شوې ده) ‪ BA = BC‬دى چې په مثال کې راک‪７‬ل شوى دى‪.‬‬ ‫او ‪( BH = BH‬مشترکه ضلعه) له دې ځايه څرگندې‪８‬ي چې د ‪ ABH‬او‬ ‫‪ BCH‬په دوو مثلثونو کې دوې ضلعي او د منځ زاويې سره مساوي دى‪،‬‬

‫‪12‬‬

‫‪C‬‬ ‫‪C‬‬

‫نو دا دواړه مثلثونه انطباق منوونکي دي‪.‬‬

‫‪H‬‬

‫‪BA‬‬

‫پوښتنې‬ ‫‪A‬‬

‫‪ -1‬په مخامخ شکل کې ‪ AE = BD‬دى او يو بل د تنصيﻒ په ټکى(‪ )C‬کې‬ ‫قطع کوي او هم د ‪ AE‬او ‪ BD‬دوه خطونه يو پر بل عمود دي‪ ،‬ﺛبوت ک‪７‬ئ‪،‬‬ ‫چې ‪ ABC CDE‬دي؟‬

‫‪D‬‬

‫‪C‬‬

‫‪B‬‬

‫‪E‬‬

‫‪ -2‬که چيرې د دايرې دوه قطرونه يو پر بل عمود وي او د قطرونو‬ ‫د تقاطع ټکي د دايرې له محيط سره د شکل په شان ونښلوو آﻳا د‬ ‫‪ AOD‬او ‪ BOC‬مثلثونه سره انطباق منونکي دي؟‬

‫‪A‬‬

‫‪D‬‬

‫‪O‬‬

‫‪B‬‬

‫‪C‬‬

‫‪ -3‬يوه مستطيل الشکله ځمکه په څه ډول په دوه انطباق منونکو مثلثونو ويشالى شئ؟‬

‫‪140‬‬

‫د دوو مثلثونو د انﻄﺒاق مننې حالت‪ ،‬د دوو‬ ‫زاويو او ددې زاويو د من‪ ＃‬د ضلعې له مﺨې‬

‫که چيرې په دوو مثلثونو کې دوې زاويې او د‬ ‫منځ ضلعه يې سره مساوي وي‪ ،‬څرنگه کوالى‬ ‫شو ﺛبوت ک‪７‬و چې دا دواړه مثلثونه سره انطباق‬ ‫منونکي دي؟‬

‫‪A‬‬

‫‪C‬‬ ‫‪A′‬‬

‫‪B‬‬

‫‪C′‬‬ ‫‪B′‬‬

‫‪AB = A′B′‬‬ ‫^ ^‬ ‫‪A = A′‬‬ ‫^ ^‬ ‫‪B = B′‬‬

‫فعاليت‬ ‫د ‪ ABC‬يو داسې مثلث رسم ک‪７‬ئ چې ‪ BC = 4cm‬د ‪ B = 60 o‬او د ‪ C = 80 o‬وي‪.‬‬ ‫د ' ‪ A' B' C‬يو داسې مثلث رسم ک‪７‬ئ چې ‪ B' C ' = 4cm‬د ‪ B' = 60 o‬او د ‪ C' = 80 o‬وي‪.‬‬ ‫يو نرى کاغذ د ‪ ABC‬د مثلث پر مخ کې‪８‬دئ او کاغذ د ‪ ABC‬له مثلث سره برابر پرې ک‪７‬ئ‪ ،‬دې‬ ‫مثلث ته "‪ A" B" C‬ووايئ‪.‬‬ ‫د "‪ B‬رآس په '‪ B‬کې‪８‬دئ آيا "‪ C‬په ' ‪ C‬پريوزي ولې؟‬ ‫آيا د "‪ A" B‬ضلع په '‪ A' B‬منطبﻖ کې‪８‬ي ولې؟‬ ‫آيا د "‪ A"C‬ضلع په ' ‪ A'C‬منطبﻖ کې‪８‬ي ولې؟‬ ‫له پورتني فعاليت څخه دا نتيجه په الس راځي چې‪:‬‬ ‫که د يوه مثلث دوه ضلعې او د منځ زاويه يې د بل مثلث‬ ‫د دوه ضلعو او د منځ زاويې سره مساوي وي‪ ،‬دا دواړه‬ ‫مثلثونه انطباق منونکي دي‪.‬‬ ‫لکه څنگه چې په مخامخ شکل کې لرو چې‪:‬‬ ‫‪C′‬‬

‫‪A′‬‬

‫‪A‬‬

‫‪B′‬‬

‫'‪AB = A' B' , A = A' , B = B‬‬

‫نــو د ‪ ABC‬او '‪ A' B' C‬مثلثونه ســره انطباق منونکي‬ ‫دي‪.‬‬ ‫مثال‪ :‬د ‪ ABC‬په متساوي الساقين مثلث کې د ‪ AH‬ناصﻒ الزاويه د ‪ BC‬پر قاعده عمود دي‪،‬‬ ‫‪C‬‬

‫ﺛبوت ک‪７‬ئ چې د ‪ ABH‬او ‪ ACH‬مثلثونه سره انطباق منونکي دي‪.‬‬

‫‪141‬‬

‫‪B‬‬

‫حل‪ :‬د ‪ ABH‬او ‪ ACH‬په دوو مثلثونو کې لرو چې‪:‬‬ ‫د ‪ A‬زاويه نيمايې شوې ده‬ ‫‪A1 = A 2 .....................‬‬ ‫مثلث متساوي الساقين دى‬ ‫‪B = C ......................‬‬ ‫د متساوي الساقين مثلث ساقونه ‪AB = AC ...................‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪12‬‬

‫له پورتني فـعــــاليت څخه لـرو چې د ‪ ABH‬او ‪ ACH‬په دوو‬ ‫مثـلثـونـو کې د ‪ABH‬‬

‫د مثلــث دوي زاويې او د منــــځ ضــلع د ‪C‬‬

‫‪ ACH‬د مثلث د دوه زاويو او د منځ ضلعې سره مساوي دي‪ ،‬نو‪:‬‬ ‫‪ACH‬‬

‫‪B‬‬

‫‪H‬‬

‫‪ABH‬‬

‫دويم مثال‪ :‬ولې داسې دوه قايم الزاويه متساوي الساقين مثلثونه چې د دواړو مثلثونو ساقونه سره‬ ‫مساوي وي‪ ،‬انطباق منونکي دي؟‬ ‫حل‪ :‬د ‪ ABC‬او ' ‪ A' B' C‬په دوه قايم الزاويه متساوي الساقين مثلثونو کې لرو چې‪:‬‬ ‫(قايمه) ‪B = B‬‬ ‫د متساوي الساقين ساقونه سره مساوي دي ‪AB = A B .........‬‬ ‫'‪A‬‬ ‫متساوي الساقين ساقونه سره مساوي دي ‪BC = B C .........‬‬ ‫څرنگه چې په دواړو مثلثونو د ‪ ABC‬او ' ‪A' B' C‬‬ ‫'‪C B‬‬ ‫کې دوه ضلــــعي او د هغــــوى د منــــځ زاويې ســـــره '‪C‬‬ ‫مساوي دي‪.‬‬ ‫‪ABC‬‬

‫‪ABC‬‬

‫که په دوو مثلثونو کې دوې زاويې او د منځ ضلعي سره مساوي وي‪ ،‬دا مثلثونه سره انطباق منوونکي‬ ‫دي‪.‬‬

‫پوښتنې‬ ‫‪ -1‬دوه قايم الزاويه متساوي الساقين مثلثونه بايد کوم بل شرط ولري تر څو يو پر بل منطبﻖ شي‪.‬‬ ‫‪ -2‬که په دې دوه مختلﻒ االضالع مثلثونو کې '‪ A = A' , B = B‬او '‪ AB = A' B‬وي آيا دا‬ ‫دوه مثلثونه سره انطباق منوونکي دي‪ ،‬ولې؟‬ ‫‪A‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪B‬‬

‫‪142‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬

‫د مثلثونو انﻄﺒاق مننه د در‪４‬و‬ ‫مساوي ضلعو له حيثه‬

‫‪A‬‬ ‫‪C‬‬

‫که د يوه مثلث درې واړه ضلعې‪ ،‬د بل مثلث له‬ ‫درې واړو ضلعو سره مساوي وي‪ ،‬دا دواړه مثلثونه‬ ‫په خپل منځ کې څه اړيکه لري؟‬

‫‪A′‬‬

‫‪B‬‬

‫‪C′‬‬

‫‪AB = A′B′‬‬

‫‪B′‬‬

‫‪AC = A′C′‬‬ ‫‪BC = B′C′‬‬

‫فعاليت‬ ‫د ‪ A' B' = AB = 5cm‬دوه قطعه خطونه رسم ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫که دا دوه قطعه خطونه د دوو مثلثونو ضلعې وي او دوه نورې ضلعې يې ‪AC = A' C' = 7cm‬‬ ‫او ‪ BC = B' C' = 4cm‬وي‪ .‬دا مثلثونه رسم ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫يو نرى کاغذ د ‪ ABC‬د مثلث پر مخ کې‪８‬دئ او پرې يې ک‪７‬ئ چې د "‪ A" B" C‬مثلث جوړ شي‪.‬‬ ‫دا د "‪ A" B" C‬مثلث د ' ‪ A' B' C‬د مثلث پر مخ کې‪８‬دئ‪ ،‬څه به وشي؟‬

‫له پورتني فعاليت څخه څرگندې‪８‬ي چې که د يوه مثلث درې واړه ضلعې د بل مثلث له دريو ضلعو‬ ‫سره مساوي وي دا مثلثونه انطباق منونکي دي‪.‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪C′‬‬ ‫د مثال په ډول په دې دوو مثلثونو کې لرو چې‪:‬‬ ‫'‪AB = A' B‬‬

‫‪B′‬‬

‫'‪AC = A' C‬‬ ‫'‪BC = B' C‬‬

‫‪A′‬‬

‫‪A‬‬

‫څرنگه چې د دې مثلثونو درې واړه ضلعې يوه له بلې سره مساوي دي‪ ،‬نو دا دواړه مثلثونه سره انطباق‬ ‫منونکي دي‪.‬‬ ‫‪ABC‬‬

‫‪143‬‬

‫‪ABC‬‬

‫‪B‬‬

‫لومړى مثال‪ :‬د ‪ ABC‬او ‪ ECD‬په دوو مثلثونو کې که چيرې ‪ AB = ED‬وي‪ ،‬آﻳا دا دواړه‬ ‫مثلثونه سره انطباق منونکي دي‪ AD ،‬او ‪ EB‬د دايرې قطرونه دي‪.‬‬ ‫حل‪:‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫( د دايرې شعاع گانې)‬ ‫‪AC = CE .......................‬‬ ‫د دايرې شعاع گانې‬ ‫‪BC = CD .......................‬‬ ‫‪C‬‬ ‫په مثال کې راک‪７‬ل شوي دي ‪AB = ED .......................‬‬ ‫څرنگه چې په دې دواړو مثلثونو کې درې ضلعې يې يوه‬ ‫‪E‬‬ ‫‪D‬‬ ‫له بلې سره مساوي دي‪ ،‬نو‪:‬‬ ‫‪ECD‬‬

‫‪ABC‬‬

‫دويم مثال‪ :‬که د يوه مستطيل يو قطر رسم ک‪７‬و‪ ،‬آيا قطر مستطيل په دوو مساوي مثلثونو ويشي‪،‬‬ ‫ولې؟‬ ‫‪B‬‬ ‫‪A‬‬ ‫حل‪ :‬مستطيل او يو قطر يې رسموو ليدل کې‪８‬ي چې‪:‬‬ ‫‪AB = CD‬‬ ‫‪AD = BC‬‬ ‫‪BD = BD‬‬

‫‪C‬‬

‫‪D‬‬

‫څرنگه چې د ‪ ABD‬او ‪ BCD‬د مثلثونو درې واړه ضلعې سره مساوي دي‪ ،‬نو دا دواړه مثلثونه سره‬ ‫انطباق منونکي دي او د مستطيل قطر مستطيل په دوو مساوي برخو ويشي‪.‬‬ ‫که چيرې د يوه مثلث درې ضلعې د بل مثلث له درې ضلعو سره برابرې وي‪ ،‬دا دواړه مثلثونه سره‬ ‫انطباق منوونکي دي‪.‬‬ ‫پوښتنې‬ ‫‪ -1‬د يوه مثلث درې ضلعې ‪ 7cm , 5cm‬او ‪ 3cm‬دي د يوه بل مثلث د دوو ضلعو مجموعه‬ ‫‪ 10cm‬ده‪ ،‬دريمه ضلع به يې څو سانتي متره وي‪ ،‬ترڅو دا دواړه‬ ‫‪A‬‬ ‫مثلثونه سره انطباق منونکي شي؟‬ ‫‪ -2‬د مخامخ شکل په شان د ‪ ABC‬مثلث راک‪７‬ل شوى دى‪ ،‬بل يو‬ ‫داسې مثلث رسم ک‪７‬ئ چې د دې مثلث سره انطباق منونکي وي‪.‬‬

‫‪C‬‬

‫‪B‬‬

‫‪144‬‬

‫ﻫﻐــه ﻗايــم الزاويــه انﻄﺒــاق منونکــي‬ ‫مثلثونه ﭼې وتر او يــوه حاده الزاويه‬ ‫يې سره مساوي وي‬ ‫په دريو حالتونو ســربېره چې د دوه مساوي(انطباق‬ ‫منونکــو) مثلثونو په برخه کې مو ولوســتل‪ ،‬آﻳا د‬ ‫قايم الزاويه مثلثونو په برخه کې بل حالت هم شته‬ ‫دى؟‬

‫‪A‬‬

‫‪B‬‬

‫‪C‬‬

‫‪A′‬‬

‫‪B′‬‬

‫‪C′‬‬

‫‪AB = A′B′‬‬ ‫^ ^‬ ‫‪B = B′‬‬

‫فعاليت‬ ‫د ‪ 5cm‬په اوږدوالي د ‪ AB‬يو قطعه خط رسم ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫د ‪ AB‬د ضلعې د ‪ B‬په ټکي کې د ‪ 40 o‬زاويه رسم ک‪７‬ئ چې يوه ضلع يې ‪ AB‬او بله يې ‪ BC‬وي‪.‬‬ ‫د ‪ A‬له ټکي څخه د ‪ BC‬پر ضلع عمود رسم ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫کوم ډول مثلث جوړې‪８‬ي؟‬ ‫په همدې شرطونو يو بل مثلث رسم ک‪７‬ئ او '‪ A' B' C‬ورته ووايئ‪.‬‬ ‫يو نرى کاغذ د '‪ A' B' C‬مثلث پر مخ کې‪８‬دئ او د " '‪ A" B" C‬مثلث جوړ ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫"‪ A‬د '‪ A‬پر مخ کې‪８‬دئ‪ ،‬آيا "‪ B‬پر '‪ B‬پرې وزي‪ ،‬ولې؟‬ ‫آيا "‪ B"C‬په ' ‪ B'C‬پريوزي؟ ولې؟‬ ‫آيا د ‪ ABC‬او '‪ A' B' C‬مثلثونه سره انطباق منونکي دي؟‬ ‫له پورتني فعاليت څخه څر‪－‬ندي‪８‬ي چې‪:‬‬ ‫که چيرې د يو قايم الزاويه مثلث وتر او يوه حاده زاويه د بل مثلث له وتر او حاده زاويې سره مساوي وي‬ ‫دا دواړه مثلثونه سره انطباق منونکي دي؟‬ ‫‪A‬‬ ‫‪A‬‬ ‫لومړى مثال‪ :‬دوه قايم الزاويه مثلثونه چې وتر يې ‪5cm‬‬ ‫‪5cm‬‬ ‫‪5cm‬‬ ‫او هره يوه حاده زاويه يې ‪ 60 o‬وي رسم ک‪７‬ئ‪ ،‬آيا دا دواړه‬ ‫‪60°‬‬ ‫‪60°‬‬ ‫مثلثونه انطباق منونکي دي؟‬ ‫‪C‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪B‬‬

‫‪145‬‬

‫‪B‬‬

‫حل‪ :‬لوم‪７‬ى د ‪ 60o‬زاويه رسموو چې يوه ضلع يې ‪ 5cm‬وي‪ ،‬د دې ضلعې له انجام څخه پر بله‬ ‫ضلعه يو عمود رسم ک‪７‬ئ او په همدې ډول دويم مثلث هم رسموو‪ ،‬څرنگه چې د دې قايمه الزاويه‬ ‫مثلثونو وتر او يوه حاده زاويه سره مساوي دي‪ ،‬دا مثلثونه انطباق منونکي دي‪.‬‬ ‫دويم مثال‪ :‬څرنګه ﺛبوت ک‪７‬و که يوې زاويې د ناصﻒ الزاويه له يوه ټکى څخه د زاويې په دوو‬ ‫ضلعو دوه عمود خطونه رسم ک‪７‬و دوه مثلثونه چې جوړې‪８‬ي انطباق منونکي دي‪.‬‬ ‫حل‪ :‬د ‪ B‬زاويه او د دې زاويې ناصﻒ الزاويه‪ ،‬د الندې شکل‬ ‫په شان رسموو او دالندې شکل په شان دوه مثلثونه د ‪ ABD‬او‬ ‫‪ DBC‬جوړې‪８‬ي په دې دواړو قايم الزاويه مثلثونو کې لرو چې‪:‬‬

‫‪D‬‬

‫‪B1 = B2 .................‬‬ ‫(ناصﻒ الزاويه د ‪ B‬زاويه نيمايي ک‪７‬ې ده)‬ ‫مشترکه ضلعه‪BD = BD ................................‬‬

‫‪C‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪B‬‬

‫څرنگه چې په دوه قايم الزاويه مثلثونو کې وتر او يوه حاده زاويه سره مساوي دي‪ ،‬دا دواړه مثلثونه انطباق‬ ‫منونکي دي‪.‬‬ ‫په قايم الزاويه مثلثونو کې د انطباق مننې لپاره د يوې حاده زاويې او وتر مساوي کيدل کفايت کوي‪.‬‬

‫پوښتنې‬ ‫‪ -1‬دوه داسې قايم الزاويه مثلثونه چې د هر يوه وتر ‪ 6cm‬او يوه حاده زاويه يې ‪ 60 o‬وي په پام کې‬ ‫ونيسئ‪ ،‬څرنگه ﺛبوتوالى شئ چې دا دواړه مثلثونه سره انطباق منوونکي دي‪.‬‬ ‫‪ -2‬د مربع قطر‪ ،‬مربع پر دوو مثلثونو ويشي‪ ،‬ﺛبوت ک‪７‬ئ چې دا دواړه مثلثونه سره انطباق منونکي‬ ‫دي‪.‬‬

‫‪146‬‬

‫د ﻫﻐو ﻗايم الزاويه مثلثونو د انﻄﺒاق‬ ‫مننې حالت ﭼې وتر او يوه ﻗايمه‬ ‫ضلعه يې سره مساوي وي‬ ‫آيا په قايم الزاويه مثلثونو کې‪ ،‬په مخکني حالت‬ ‫سربېره د انطباق مننې بل حالت هم شته دى‪،‬‬ ‫چې دوه قايم الزاويه مثلثونه سره انطباق منونکي‬ ‫وي؟‬

‫‪A‬‬

‫‪B‬‬

‫‪C‬‬

‫‪A′‬‬

‫‪B′‬‬

‫‪C′‬‬

‫‪AB = A′B′‬‬ ‫‪BC = B′C′‬‬

‫فعاليت‬ ‫يوه قايمه زاويه رسم او رآس ته يې ‪ A‬ووايئ‪.‬‬ ‫د دې زاويې له يوې ضلعې څخه د ‪ 4cm‬په اندازه خط جال ک‪７‬ئ او د خط انجام ته ‪ B‬ووايئ‪.‬‬ ‫د ‪ B‬له ټکي څخه د ‪ 5cm‬په اوږدوالي وتر رسم ک‪７‬ئ‪ ،‬تر څو د ‪ A‬د زاويې بله ضلع قطع ک‪７‬ي‪.‬‬ ‫يو بل مثلث هم په همدې شرطونو رسم ک‪７‬ئ او ' ‪ A' B' C‬ورته ووايئ‪.‬‬ ‫يو نرى کاغذ د ' ‪ A' B' C‬د مثلث پر مخ کې‪８‬دئ او د "‪ A" B" C‬مثلث چې د ' ‪ A' B' C‬سره‬

‫انطباق منونکى وي‪ ،‬جوړ ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫د "‪ A‬رآس پر ‪ A‬کې‪８‬دئ‪ ،‬آيا "‪ B‬پر ‪ B‬واقع کې‪８‬ي‪ ،‬ولې؟‬ ‫آيا د "‪ C‬رآس په ‪ C‬هم لوې‪８‬ي؟‬ ‫آيا د ‪ ABC‬او "‪ A" B" C‬مثلثونه يو له بله سره منطبﻖ دي؟‬ ‫له پورتني فعاليت څخه څرگندي‪８‬ي چې‪:‬‬ ‫که د يوه قايم الزاويه مثلث وتر او يوه قايمه ضلعه‪ ،‬د بل قايم الزاويه مثلث د وتر او يوې قايمې ضلعې‬ ‫سره مساوي وي‪ ،‬دا دواړه مثلثونه انطباق منونکي دي‪.‬‬ ‫لومړى مثال‪ :‬دوه داسې قايم الزاويه مثلثونه چې د هر يوه وتر ‪ 5cm‬او يوه قايمه ضلع يې ‪4cm‬‬ ‫وي څرنگه رسموئ‪ ،‬آﻳا دا دواړه مثلثونه انطباق‬ ‫‪A‬‬ ‫‪A‬‬ ‫منوونکي دي؟‬ ‫حل‪ :‬لوم‪７‬ى راک‪ ７‬شوې قايمه ضلعه رسموو چې په يو‬ ‫‪5cm‬‬ ‫‪5cm‬‬ ‫‪4cm‬‬ ‫‪4cm‬‬ ‫انجام کې يې قايمه زاويه او د دې قايمې ضلعې بل انجام‬ ‫‪C‬‬

‫‪147‬‬

‫‪60°‬‬

‫‪B‬‬

‫‪C‬‬

‫‪60°‬‬

‫‪B‬‬

‫مرکز نيسو او د وتر د اوږدوالې په شعاع يو قوس وهو‪ .‬په هر ټکي کې چې قوس د قايمې زاويې بله‬ ‫قايمه ضلع قطع ک‪７‬ي‪ ،‬د تقاطع ټکى د راک‪７‬ل شوې قايمې ضلعې سره وصلوو او په همدې ډول يو بل‬ ‫قايم الزاويه مثلث رسموو‪ ،‬چې د يوه مثلث وتر او يوه قايمه ضلع د بل مثلث له وتر او قايمې ضلعې‬ ‫سره مساوي وي‪ ،‬نو دا دواړه مثلثونه سره انطباق منونکي دي‪.‬‬ ‫دويم مثال‪ :‬په الندې شکل کې‪ ،‬د مستطيل قطر رسم ک‪７‬ئ‪ ،‬ﺛبوت ک‪７‬ئ چې ‪ ABD‬او ‪ CBD‬دوه‬ ‫انطباق منونکي مثلثونه دي‪.‬‬ ‫حل‪ :‬د مستطيل د الندې شکل له مخې لرو چې‪ AB = DC :‬او ‪ BD = BD‬نو د ‪ ABD‬او‬ ‫‪ CBD‬دواړه مثلثونه سره انطباق منونکي دي چې وتر او يوه قايمه ضلع يې سره مساوي ده‪.‬‬ ‫همدارنگه د دې دوو مثلثونو انطباق مننه د دوه ضلعو او ددې ضلعو تر منځ زاويې له حالته هم څي‪７‬لى‬ ‫شو‪.‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫(دوه ضلعې او د منځ زاويې يې سره مساوي دي)‪.‬‬ ‫‪AB = DC‬‬ ‫‪AD = BC‬‬ ‫‪A=C‬‬

‫‪D‬‬

‫‪C‬‬

‫نو‬ ‫له دې ځايه نتيجه اخيستل کې‪８‬ي‪:‬‬ ‫په قايم الزاويه مثلثونو کې د انطباق مننې له دريو حالتونو سربېره دوه نور حالتونه هم شته دي‪.‬‬ ‫‪ -1‬که د يوه قايم الزاويه مثلث وتر او يوه حاده زاويه د بل قايم الزاويه مثلث له وتر او يوې حادې زاويې‬ ‫سره مساوي وي دا دواړه مثلثونه انطباق منونکي دي‪.‬‬ ‫‪ -2‬که د يوه قايم الزاويه مثلث وتر او يوه قايمه ضلعه د بل قايم الزاويه مثلث له وتر او يوې قايمې ضلعې‬ ‫سره مساوي وي دا دواړه مثلثونه سره انطباق منونکي دي‪.‬‬ ‫‪DBC‬‬

‫‪ABD‬‬

‫پوښتنې‬ ‫‪ -1‬په الندې شکل کې ‪ AC‬د دايرې قطر دى که د ‪ ABC‬او ‪ADC‬‬ ‫په قايم الزاويه مثلثونو کې ‪ BC = CD‬وي آﻳا دا دواړه مثلثونه سره انطباق‬

‫منوونکي دي؟ ولې؟‬ ‫‪ -2‬ﺛبوت ک‪７‬ئ چې د مربع قطر‪ ،‬مربع په دوو انطباق منونکو قايم الزاويه‬ ‫مثلثونو ويشي‪.‬‬

‫‪B‬‬ ‫‪C‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪D‬‬

‫‪148‬‬

‫د پن‪％‬م څپرکى لنډيز‬ ‫د اضالعو له پلوه مثلثونه په دريو ډولونو ويشل شوي دي‪.‬‬ ‫متساوي االضالع مثلث‪ ،‬متساوي الساقين مثلث او مختلﻒ االضالع مثلث‪.‬‬ ‫د زاويو له حيثه هم مثلثونه په دريو ډولونو ويشل شوي دي‪.‬‬ ‫حاده الزاويه مثلث‪ ،‬قايم الزاويه مثلث او منفرجه الزاويه مثلث‪.‬‬ ‫په هر مثلث کې ميانې‪ ،‬ناصﻒ الزاويه او ارتفاع گانې په ترتيﺐ سره په يوټکي کې قطع کوي‪.‬‬ ‫د هر مثلث د داخلي زاويو مجموعه ‪ 180 o‬کې‪８‬ي‪.‬‬ ‫د يوه مثلث خارجي زاويه د مثلث د دوو غير مجاورو داخلي زاويو له مجموعى سره مساوي ده‪.‬‬ ‫په هر مثلث کې بايد د دوو ضلعو مجموعه له دريمې ضلعې څخه لويه وي‪.‬‬ ‫په متساوي الساقين مثلث کې د مساوي ساقونو مخامخ زاويې سره مساوي دي‪.‬‬ ‫يو څوضلعي له هغه منکسر خط څخه عبارت ده چې يوازې يوه ت‪７‬لى ناحيه جوړه ک‪７‬ي هېڅ دوه‬ ‫خطونه يې د يوه مستقيم خط په امتداد نه وي او د مضلع هر رآس يوازې او يوازې د دوو خطونو د‬ ‫تقاطع ټکي وي‪.‬‬ ‫په ځينو څو ضلعي گانو کې د يوې يا څو ضلعو امتداد يې‪ ،‬د څو ضلعي له داخل څخه تيرې‪８‬ي چې‬ ‫داسې څو ضلعي ته مقعره څو ضلعي وايي او هغه څو ضلعي چې دضلعو امتداد يې د څو ضلعي له‬ ‫داخل څخه نه تيرې‪８‬ي محدبه څو ضلعي نومې‪８‬ي‪.‬‬ ‫‪o‬‬ ‫د هغې مضلعې د داخلي زاويو مجموعه چې(‪ )n‬ضلعې ولري‪ ،‬مساوي ده په‪(n 2)180 :‬‬ ‫د هرې څو ضلعي د خارجي زاويو مجموعه ‪ 360 o‬ده او د ضلعو په شمېر پورې اړه نه لري‪.‬‬ ‫دوه شکلونه چې په پوره ډول يو پر بل منطبﻖ شي او يو بل وپوښي‪ ،‬انطباق منونکي شکلونه ورته‬ ‫وايي‪.‬‬ ‫که د يوه مثلث دوې ضلعې او د دې ضلعو د منځ زاويه د بل مثلث له دوو ضلعو او د منځ زاويې‬ ‫سره مساوي وي دا دواړه مثلثونه سره انطباق منوونکي دي‪.‬‬ ‫که د يوه مثلث دوې زاويې او د دې زاويو تر منځ ضلعه دبل مثلث له دوو زاويو او د تر منځ ضلعې‬ ‫سره مساوي وي دا دواړه مثلثونه انطباق منوونکي دي‪.‬‬ ‫که د يو مثلث درې واړه ضلعې دوه په دوه‪ ،‬د بل مثلث له درې واړه ضلعو سره مساوي وي‪ ،‬دا‬ ‫مثلثونه سره مساوي (انطباق منونکي) دي‪.‬‬ ‫په قايمه الزاويه مثلثونو کې که د يوه مثلث وتر او يوه قايمه ضلع د بل مثلث د وتر او يوې قايمې‬ ‫ضلعې سره مساوي وي او يا وتر او يوه حاده زاويه يې د بل قايم الزاويه مثلث د وتر او حاده زاويې سره‬ ‫دوه په دوه مساوي وي‪ ،‬نو دا قايم الزاويه مثلثونه سره انطباق منونکي دي‪.‬‬

‫‪149‬‬

‫د پن‪％‬م څپرکي پوښتنې‬ ‫‪ -1‬هرې پوښتنې ته څلور ځوابونه ورک‪７‬ى شوي دي سم ځواب وټاکئ‪:‬‬ ‫د يوې نهه ضلعي د داخلي زاويو مجموعه څو درجې ده؟‬ ‫‪1260° )b‬‬ ‫‪360° )a‬‬ ‫‪ )d‬هيڅ يو‬ ‫‪180° )c‬‬ ‫د يوې مضلع د داخلي زاويو مجموعه ‪ 1980 o‬ده‪ ،‬د دې څو ضلعي(مضلعې) د ضلعو شمېر څو‬ ‫دى؟‬ ‫‪13 )b‬‬ ‫‪18 )a‬‬ ‫‪17 )d‬‬ ‫‪11 )c‬‬ ‫که درې خطونه په يوه ټکي کې يو بل سره قطع ک‪７‬ي‪ ،‬د هغو زاويو مجموعه چې د تقاطع د ټکي پر شاخوا‬ ‫جوړې‪８‬ي څو درجې ده؟‬ ‫(‪180° b‬‬ ‫(‪260° a‬‬ ‫‪ )d‬هيڅ يو‬ ‫(‪360° c‬‬ ‫که د يوې مضلع يوه داخلي زاويه ‪ 144 o‬وي‪ ،‬د دې مضلع د ضلعو شمېر مساوي دى‪ ،‬په‪:‬‬ ‫‪9 )b‬‬ ‫‪8 )a‬‬ ‫‪12 )d‬‬ ‫‪10 )c‬‬ ‫د الندې شکل ټولې ضلعې او زاويې سره مساوي دي‪ ،‬دا شکل په کوم نوم يادې‪８‬ي؟‬

‫‪ )a‬منظمه محدبه لس ضلعي مضلع ده‪.‬‬ ‫‪ )b‬منظمه مقعره لس ضلعي مضلع ده‪.‬‬ ‫که په يوه مثلث کې دوې ضلعې سره مساوي وي نو دا مثلث څه نومي‪８‬ي؟‬ ‫‪ )a‬متساوي الساقين‪.‬‬ ‫‪ )b‬متساوي االضالع‪.‬‬ ‫‪ )c‬مختلﻒ االضالع‪.‬‬ ‫‪ )d‬مختلﻒ الزوايه‪.‬‬

‫‪150‬‬

‫که په يو مثلث کې دوې زاويې سره مساوي وي نو دا مثلث څه مثلث نومي‪８‬ي‪:‬‬ ‫‪ )a‬مختلﻒ االضالع مثلث‪.‬‬ ‫‪ )b‬متساوي الساقين مثلث‪.‬‬ ‫‪ )c‬متساوي االضالع مثلث‪.‬‬ ‫‪ )d‬هېڅ يو‪.‬‬ ‫‪o‬‬ ‫که په يو قايم الزاويه مثلث کې يوه حاده زاويه يې ‪ 60‬وي‪ ،‬بله حاده زاويه يې مساوي ده‪ ،‬په‪:‬‬ ‫‪30° )a‬‬

‫‪50o )b‬‬

‫‪40° )c‬‬

‫‪29° )d‬‬

‫د يوه مثلث خارجي زاويه د مثلث له دوو غير مجاورو زاويو سره څه اړيکه لري؟‬ ‫‪ )d‬هيڅ يو‬ ‫‪ )c‬کوچن‪ ９‬ده‪.‬‬ ‫‪ )b‬مساوي ده‪.‬‬ ‫‪ )a‬لويه ده‪.‬‬ ‫‪ -2‬د سمې جملې په وړاندې(س) او د ناسمې په وړاندې(ن) وليکئ‪.‬‬ ‫) تر ټولو لويه زاويه چې د مضلع د يوې ضلعې له امتداد څخه جوړې‪８‬ي ‪ 120 o‬ده‪.‬‬ ‫(‬ ‫) مثلث کيداى شي يوه مقعره څو ضلعي وي‪.‬‬ ‫(‬ ‫) د يوې درې ضلعي(مثلث) خارجي زاويه هې（کله د مثلث د يوې داخلي زاويې څخه کوچن‪９‬‬ ‫(‬ ‫نه ده‪.‬‬ ‫) د يوې مضلع دوي غير مجاورې ضلعې د څو ضلعي له رآسونو څخه په يوه رآس کې متقاطع‬ ‫(‬ ‫دي‬ ‫(‬

‫) يوې مضلعې ته هغه وخت متساوي الزاويه وايي چې ټولې ضلعې يې سره مساوي وي‪.‬‬ ‫) د يوې منظمې مضلعې د خارجي زاويو مجموعه عبارت ده‪ ،‬له‪(n 2)180 :‬‬

‫(‬ ‫) که د يوې مضلعې د ضلعو شمېر زيات شي د خارجي زاويو مجموعه يې هم زياتې‪８‬ي‪.‬‬ ‫(‬ ‫) حاده الزاويه مثلث هغه مثلث دى چې يوازې دوه زاويې يې حاده وي‪.‬‬ ‫(‬ ‫) دوه مثلثونه هغه وخت انطباق منونکي دي چې د يوې ضلعې اوږدوالى او د دې ضلعې دوه‬ ‫(‬ ‫مجاورو زاويو اندازې يې يو په يو سره مساوي وي‪.‬‬ ‫) که په يو مثلث کې دوي ضلعې يې سره مساوي وي د دې ضلعو مقابلې زاويې هم سره مساوي‬ ‫(‬ ‫دي‪.‬‬ ‫) د يوه متساوي االضالع مثلث هره زاويه ‪ 61o‬وي‪.‬‬ ‫(‬

‫‪151‬‬

‫) د يوه مثلث د داخلي زاويو مجموعه له درې قايمو زاويو سره مساوي ده‪.‬‬ ‫(‬ ‫‪ -3‬په مناسبو کلمو سره تش ځايونه ډک ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫که د يوې منظمې مضلعې خارجې زاويه د مجاورې داخلي زاويې له دوه چنده سره مساوي وي دا مضلع‬ ‫د ‪ ...................‬په نوم يادې‪８‬ي‪.‬‬ ‫د يوې منظمې مضلعې د ضلعو د شمېر په زياتوالي سره د مضلعې د داخلي زاويو مجموعه‬ ‫‪ ...................‬او د خارجي زاويو مجموعه يې ‪ ...................‬نه کوي‪.‬‬ ‫د يوې اته ضلعي له يوه رآس څخه ‪ ...................‬قطرونه رسميداى شي‪.‬‬ ‫که د يوې منظمې مضلعې يوه خارجي زاويه ‪ 120 o‬وي‪ ،‬نوموړې مضلع‪ ..................‬ضلعې لري‪.‬‬ ‫که د يوې مضلع د داخلي زاويو مجموعه د خارجي زاويو له مجموعې سره مساوي وي‪ ،‬دا‬ ‫مضلع‪ ...................‬ضلعې لري‪.‬‬ ‫يو متساوي االضالع مثلث او يوې مربع ته منظمې ‪ ...................‬وايې‪.‬‬ ‫هغه مستقيم خط چې د يوې مضلعې دوه غير مجاور رآسونه سره وصلوي د ‪ ...................‬په نامه‬ ‫يادې‪８‬ي‪.‬‬ ‫يو متساوي االضالع مثلث او يوه مربع د منظمو‪ ...................‬په نامه يادې‪８‬ي‪.‬‬ ‫هغه مثلث چې درې واړه ضلعې يې سره مساوي وي ‪ ...................‬نومې‪８‬ي‪.‬‬ ‫په هر مثلث کې د دوو ضلعو د اوږدوالى مجموعه له دريمې ضلعې څخه ‪ ...................‬وي‪.‬‬ ‫هغه خط چې د مثلث له رآس څخه په مخامخ ضلع عمود وي د ‪ ...................‬په نامه يادې‪８‬ي‪.‬‬ ‫که د يوه متساوي الساقين مثلث د رآس زاويه ‪ 50o‬وي هره يوه له دوو نورو زاويو څخه‬ ‫‪ ..........................‬ده‪.‬‬ ‫‪ -4‬الندې پوښتنې حل ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫د يوې مضلع د يوې داخلي او يوې خارجې زاويې مجموعه څو درجې ده؟‬ ‫که د ‪ ABC‬او ‪ DBC‬په دوه متساوي الساقين مثلثونو کې د ‪ BC‬قاعده مشترکه وي‪ ،‬ﺛبوت ک‪７‬ئ‪،‬‬ ‫چې ‪ DBA = ACD‬په دې ډول چې د ‪ A‬او ‪ D‬رآسونه د ‪ BC‬د قاعدې يوې خواته واقع نه وي‪.‬‬

‫‪152‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪A‬‬

‫د ‪ ABC‬په متساوي الساقين مثلث کې ‪ AB = AC‬دى‪ ،‬که د ‪ B‬او‬ ‫‪ C‬زاويې د ‪ OB‬او ‪ OC‬په مرسته نيمايې شي ﺛبوت ک‪７‬ئ چې‪:‬‬ ‫‪OC = OB )a‬‬

‫‪C‬‬ ‫‪C‬‬

‫‪ OA )b‬د ‪ A‬د زاويې ناصﻒ الزاويه دى‪.‬‬

‫‪O‬‬ ‫‪O‬‬

‫‪B‬‬ ‫‪B‬‬

‫ﺛبوت ک‪７‬ئ چې د يوه قايم الزاويه متساوي الساقين مثلث له دوو حاده زاويو څخه هره يوه يې ‪ 45o‬ده‪.‬‬ ‫د ‪ ABC‬مثلث د ‪ BC‬ضلعې ته د الندې شکل په شان د ‪ D‬تر نقطې پورې امتداد ورک‪７‬ل شوی‬ ‫‪o‬‬ ‫‪o‬‬ ‫زاويې پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫دی په دې ډول چې ‪ DAC = 134‬او ‪ BAC = 42‬وي‪ ،‬د دې مثلث دوه نورې ‪A‬‬

‫‪A‬‬

‫‪42°‬‬

‫‪42°‬‬

‫‪134°‬‬

‫‪D‬‬ ‫‪D‬‬

‫‪B‬‬ ‫‪B‬‬

‫‪C134°‬‬ ‫‪C‬‬

‫د ‪ ACD‬او ‪ AEB‬په مثلثونو کې دالندې شکل په شان که ‪ AD = AB‬او ‪ AE = AC‬وي‬ ‫ﺛبوت ک‪７‬ئ‪ ،‬چې ‪ACD AEB‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪E‬‬

‫په قايم الزاويه مثلث کې د انتطباق مننې پنځه حالتونه کوم دي؟‬

‫‪D‬‬

‫‪A‬‬

‫د يوه معين(لوزي) يو قطر معين په دوو مثلثونو وويشئ‪ ،‬په څو حالتونو ﺛبوتوالى شئ چې دا دواړه مثلثونه‬ ‫انطباق منونکي دي‪.‬‬

‫‪153‬‬

‫په يوه متساوي الساقين مثلث کې هغه ميانه چې له راس څخه په قاعده رسمې‪８‬ي‪ ،‬دا مثلث پر دوو‬ ‫نورو مثلثونو ويشي‪ .‬آﻳا دا دواړه مثلثونه انطباق منونکي دي؟ په څو حالتونو سره کولى شئ چې‬ ‫ﺛبوت يې ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫که په يوه قايمه زاويه متساوي الساقين مثلث کې د قايمې زاويې له رآس څخه په قاعده ناصﻒ‬ ‫الزاويه رسم ک‪７‬و‪ ،‬دا قايمه زاويه مثلث په دوو مثلثونو ويشي‪.‬‬ ‫آﻳا دا دواړه مثلثونه سره انطباق منوونکي دي ولې؟‬ ‫د ‪ ABC‬په مثلث کې ‪ AB = AC‬او ‪ AD‬د ‪ A‬د زاويې ناصﻒ دى‪ ،‬ﺛبوت ک‪７‬ئ چې د‬ ‫‪A‬‬

‫‪ AD‬جگوالى يا ارتفاع ددې مثلث ميانه هم ده‪.‬‬

‫‪C‬‬

‫‪C‬‬

‫‪D‬‬

‫‪A‬‬

‫‪B‬‬ ‫‪D‬‬

‫‪B‬‬

‫که په الندې شکل کې ‪ PB‬د ‪ HBR‬د زاويې ناصﻒ وي ﺛبوت ک‪７‬ئ‪ ،‬چې ‪ HP = PR‬دى‪.‬‬ ‫‪H‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪R‬‬

‫‪P‬‬ ‫‪R‬‬

‫‪H‬‬

‫‪B‬‬

‫‪B‬‬

‫‪154‬‬

‫ﺷپ‪８‬م څپرکى‬ ‫موازي او عمود‬ ‫ﺧﻄونه‬

‫طبيعت له موازي خطونو څخه ډک دى‪.‬‬

‫موازي او عمود ﺧﻄونه‬ ‫‪Parallel and Perpendicular Lines‬‬ ‫په شکل کې څو خطونه وينئ‪ ،‬د خطونو د وضعيت‬ ‫په برخه کې څه ويالى شئ؟‬ ‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬

‫‪E‬‬ ‫‪F‬‬

‫‪H‬‬

‫‪D‬‬ ‫‪G‬‬

‫‪C‬‬

‫فعاليت‬ ‫‪A‬‬

‫لوم‪７‬ى د ‪ d‬مستقيم خط رسموو او‪－‬ونيا د ‪ d‬پر خط‪ ،‬لکه چې په‬ ‫شکل کې ښودل شوې ده ږدو‪ .‬د ‪－‬ونيا رآس ته ‪ A‬وايو د ‪ AH‬او ‪AD‬‬ ‫خطونه رسموو‪.‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪H‬‬ ‫‪D‬‬ ‫د ‪ A‬له نقطې څخه د ‪ d‬پر مستقيمه کرښه د ‪ AE , AB‬او ‪ AC‬درې‬ ‫مستقيم خطونه چې يو يې عمود او دوه خطونه مايل وي رسم ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫دا خطونه د خط کش په مرسته اندازه ک‪７‬ئ او ووياست چې تر ټولو کوچنى خط کوم دى؟‬ ‫د ‪ AH‬خط د ‪ d‬له خط سره د ‪ 90 o‬زاويه جوړ وي‪ .‬د ‪ AH‬خط د ‪ d‬پر مستقيم خط عمود دى‬ ‫‪AH d‬‬ ‫چې په دې ډول ښودل کې‪８‬ي‪:‬‬

‫فعاليت‬ ‫خط کش د کاغذ پر مخ کې‪８‬دئ او د خط کش له دواړو څن‪６‬و څخه دوه خطونه رسم ک‪７‬ئ ‪ d1‬او‬ ‫‪ d 2‬ورته ووايئ‪.‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪F‬‬

‫‪4‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪E‬‬

‫‪1‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪D‬‬

‫‪1‬‬

‫‪d2‬‬

‫د ‪ d1‬پر خط باندې د ‪ B,A‬او ‪ C‬درې ټکي وټاکئ او د ‪－‬ونيا په مرسته د ‪ B,A‬او ‪ C‬له ټکو څخه‬ ‫د ‪ d 2‬پر خط عمود خطونه رسم ک‪７‬ئ او د شکل له مخې ‪ AD,BE‬او ‪ CF‬ورته ووايئ‪.‬‬ ‫د ‪ AD,BE‬او ‪ CF‬خطونو اوږدوالى پيدا ک‪７‬ئ د اوږدوالو په برخه کې يې څه ويالى شئ‪.‬‬ ‫د ‪ d1‬او ‪ d 2‬دواړو مستقيمو خطونو ته چې ترمنځ فاصلې يې سره مساوي دي موازي خطونه وايي او‬ ‫دا ډول ښودل کې‪８‬ي‪d1 || d 2 :‬‬

‫‪157‬‬

‫‪G‬‬ ‫‪C‬‬

‫د ‪ AC‬او ‪ DG‬دوه مستقيم خطونه چې د دوى ترمنځ فاصله مساوي‬ ‫نه ده‪ ،‬لکه چې په شکل کې هم ليدل کې‪８‬ي‪ ،‬موازي خطونه نه دي‪،‬‬ ‫‪A‬‬ ‫ځکه چې امتداد يې يو بل په يوه نقطه کې قطع کوي او دا ډول ښودل‬ ‫کي‪８‬ي‪. AC || DG :‬‬ ‫کوالى شو چې د ‪－‬ونيا يا خط کش په واسطه وښيوو چې په مختفلو ټکو کې د دې دواړو مستقيمو‬ ‫خطونو په منځ کې فاصلې مساوي نه دي‪.‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪C‬‬ ‫که د ‪ AB‬او ‪ CD‬دوه قطعه خطونه د ‪ EF‬پر کرښې عمود رسم ک‪７‬و‬ ‫‪E‬‬ ‫‪F‬‬ ‫) ‪ ( AB EF‬او ) ‪ (CD EF‬نو د ‪ AB‬او ‪ CD‬قطعه خطونه‬ ‫په خپل منځ کې سره موازې دي‪ ،‬ځکه چې که موازي نه وي يو له بله‬ ‫سره قطع کوي او د تقاطع له نقطې څخه د ‪ FE‬پر خط دوه عمود خطونه‬ ‫‪B‬‬ ‫‪D‬‬ ‫رسم شوي دي او دا امکان نه لري‪.‬‬ ‫‪D‬‬

‫مثال‪ :‬په الندې خطونو کې موازي‪ ،‬عمود او متقاطع خطونه وښاياست‪.‬‬ ‫´‪a‬‬ ‫‪b‬‬

‫´‪d‬‬

‫‪d‬‬ ‫‪a‬‬

‫´‪b‬‬

‫حل‪a ، d || d ، e || e :‬‬

‫‪e‬‬ ‫´‪e‬‬

‫' ‪ a‬او د ‪ b‬او ‪ b‬خطونه سره متقاطع دي‪.‬‬

‫دوو خطونو ته هغه وخت موازي خطونه وايو چې خپله خطونه او يا امتداد يې شريک ټکي و نه لري‬ ‫او په ټولو نقطو کې د دې دواړو خطونو ترمنځ فاصله مساوي وي‪ .‬او دوه خطونه هغه وخت يو پر بل‬ ‫عمود دي چې د دواړو ترمنځ زاويه يوه قايمه زاويه ( ‪ ) 90o‬وي‪.‬‬

‫پوښتنې‬ ‫په مخامخ شکل کې کوم قطعه خطونه سره موازي دي؟‬ ‫کوم قطعه خطونه يو پر بل عمود دي؟‬ ‫کوم دوه خطونه متقاطع دي؟‬ ‫کومې زاويې قايمې دي؟‬ ‫آﻳا ټول متقاطع خطونه هر وخت يو پر بل عمود وي؟‬

‫‪C‬‬

‫‪B‬‬

‫‪G‬‬

‫‪F‬‬ ‫‪D‬‬

‫‪E‬‬

‫‪A‬‬

‫‪158‬‬

‫داﺧلي او ﺧارﺟي متﺒادلې زاويې‬ ‫‪(Alternate interior and‬‬ ‫)‪alternate exterior angles‬‬

‫خارجي متبادلې زاويې‬

‫مخامخ شکل ته و‪－‬وړئ د جوړوشوو زاويو په برخه‬ ‫کې خپل نظر څر‪－‬ند ک‪７‬ئ‪.‬‬

‫داخلي متبادلې زاويې‬

‫فعاليت‬ ‫د ‪ d1‬او ‪ d 2‬دوه موازي خطونه او د ‪ d 3‬او ‪ d 4‬دوه غير موازي خطونه رسم ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫دوه قاطع خطونه چې يو يې د ‪ d1‬او ‪ d 2‬خطونه او بل يې د ‪ d 3‬او ‪ d 4‬خطونه قطع ک‪７‬ي‪ ،‬رسم ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫د نقالې په مرسته هغه زاويې چې قاطع خط يې له موازي خطونو سره او هغه زاويې چې قاطع خط‬ ‫يې له غير موازي خطونو سره جوړ وي‪ ،‬اندازه ک‪７‬ئ‪ ،‬څه نتيجه به په الس راشي؟‬ ‫د ‪ AB‬او ‪ CD‬دوه قطعه خطونه سره موازي دي او د ‪ EF‬خط په‬ ‫واسطه قطع شوي دي‪ ،‬لکه څنګه چې په شکل کې ليدل کې‪８‬ي‪.‬‬

‫‪E‬‬ ‫‪B‬‬

‫ﺧﺎرﺟﻰ ﺧﺎرﺟﻰ‬

‫د دوو خطونو تر منځ ناحيې ته داخلي او د خطونو د باندې ناحيې‬ ‫ته خارجي ناحيه وايي‪.‬‬

‫ﺩﺍﺧﻠﻰ ﺩﺍﺧﻠﻰ‬ ‫‪D‬‬

‫‪ AB || CD‬دي او د ‪ LK‬خط دا دواړه خطونه قطع ک‪７‬ي دي‪ .‬ددې‬ ‫لپاره چې وښيو ‪ 3 = 6‬ده‪ ،‬د ‪ LK‬پر خط د ‪ O‬ټکی ټاکو او د ‪ O‬له‬

‫‪K‬‬

‫او ‪ OFN‬په دوه مثلثونو کې‪ ،‬څرنګه چې‬

‫‪B‬‬

‫متقابل براس ‪FON = EOM ................‬‬ ‫او ‪ OME = ONF = 90o‬ده‪ ،‬نو ددې مثلثونو دريمې زاويې هم‬

‫‪D‬‬

‫‪159‬‬

‫ﺧﺎرﺟﻰ ﺧﺎرﺟﻰ‬

‫‪C‬‬

‫‪F‬‬

‫ټکي څخه د ‪ AB‬او ‪ CD‬پر خطونو عمود خط رسموو‪ .‬د ‪OME‬‬

‫سره مساوي دي‪ .‬په نتيجه کې ‪ 3 = 6‬ده چې د ‪ 6‬او ‪ 3‬زاويې د‬ ‫داخلي متبادلو زاويو په نامه يادي‪８‬ي‪.‬‬ ‫په همدې ډول ‪ 4 = 5‬دي چې دا هم داخلي متبادلې زاويې دي‪.‬‬

‫‪A‬‬

‫‪M E‬‬

‫‪A‬‬

‫‪3 4‬‬

‫‪O‬‬ ‫‪5 6‬‬

‫‪C‬‬

‫‪F N‬‬

‫‪L‬‬

‫همدارنګه په شکل کې د ‪ 2 , 7 , 1‬او ‪ 8‬زاويې خارجي متبادلې‬ ‫زاويې دي‪.‬د داخلي متبادلو زاويو په مرسته لرو چې‪:‬‬ ‫‪1=7 , 8=2‬‬

‫‪E‬‬ ‫‪1 2‬‬ ‫‪60 3‬‬

‫‪B‬‬

‫مثال‪ :‬په مخامخ شکل کې د ‪ 60o‬او ‪ 120o‬دوې زاويې راک‪７‬ل‬

‫‪5 6‬‬ ‫‪8 120‬‬

‫‪D‬‬

‫شوې دي‪ ،‬د ‪ 6 ، 5 ، 3 ، 2 ، 1‬او ‪ 8‬زاويې څو درجې دي؟‬ ‫حل‪:‬‬ ‫‪( 6 = 60o‬داخلي متبادلې)‬ ‫‪( 5 = 120o‬متقابل برآس)‬ ‫‪( 5 = 3‬داخلي متبادلې)‬

‫‪A‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪F‬‬

‫‪ ..........‬متبادلې)‬ ‫‪( 1 = 120o‬خارجي‬ ‫‪( 8 = 6 = 60o‬متقابل برآس)‬ ‫‪........ 2 = 8‬‬ ‫(خارجي متبادلې)‬

‫په نتيجه کې ‪ 3 = 120 o‬ده‪.‬‬

‫په نتيجه کې ‪ 2 = 60o‬ده‪.‬‬

‫که د ‪ AB‬او ‪ CD‬دوه موازي مستقيم خطونه د ‪ EF‬د قاطع خط په واسطه قطع شي‪ ،‬دوه جوړې‬ ‫داخلي متبادلي او دوه جوړې خارجي متبادلې زاويې جوړ وي چې‪:‬‬ ‫‪E‬‬ ‫داخلي متبادلې‬ ‫خارجي متبادلې‬

‫‪4=6‬‬ ‫‪2=8‬‬

‫‪,‬او‬ ‫‪ ,‬او‬

‫‪3=5‬‬ ‫‪1=7‬‬

‫‪1 2‬‬ ‫‪4 3‬‬

‫‪B‬‬

‫‪A‬‬

‫‪5 6‬‬ ‫‪8 7‬‬

‫‪D‬‬

‫‪C‬‬ ‫‪F‬‬

‫پوښتنې‬ ‫‪E‬‬

‫‪ -1‬که ‪ AB || CD‬وي په شکل کې ‪ 6 , 7 , 8 , 3 , 1‬او ‪2‬‬

‫زاويې څو درجې دي؟‬

‫‪1 2‬‬ ‫‪30 3‬‬

‫‪B‬‬

‫‪150 6‬‬ ‫‪8 7‬‬

‫‪D‬‬

‫‪ -2‬په شکل کې که ‪ 7 = 120 o‬وي‪ ،‬د ‪2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 8‬‬

‫او ‪ 1‬زاويو اندازه پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬

‫‪D‬‬

‫‪C‬‬ ‫‪F‬‬

‫‪E‬‬ ‫‪B‬‬

‫‪A‬‬

‫‪1 2‬‬ ‫‪4 3‬‬

‫‪A‬‬

‫‪5 6‬‬ ‫‪8 120‬‬

‫‪C‬‬ ‫‪F‬‬

‫‪160‬‬

‫د دووه مستقيمو کرښو د موازاتو څ‪５‬ړنه‪،‬‬ ‫کله ﭼې متﺒادلې زاويې سره مساوي وي‬ ‫‪K‬‬

‫په مخامخ شکل کې ‪ 3 = 6‬ده چې دوه داخلي‬ ‫متبادلې زاويې دي آيا کيداى شي ‪AB || CD‬‬

‫‪E‬‬

‫‪B‬‬

‫وي؟‬

‫‪A‬‬

‫‪3‬‬

‫‪O‬‬ ‫‪6‬‬

‫‪D‬‬

‫‪C‬‬

‫‪F‬‬ ‫‪L‬‬

‫فعاليت‬ ‫‪K‬‬

‫‪ 3‬او ‪ 6‬زاويې سره مساوي دي‪.‬‬ ‫په مخامخ شکل کې د ‪ EF‬له نيمايي‪ ،‬د(‪ )O‬له نقطې څخه د‬ ‫‪ AB‬پر کرښه باندې عمود رسم ک‪７‬ئ‪ ،‬چې د ‪ AB‬خط د ‪M‬‬ ‫په نقطه کې قطع يا پريک‪７‬ئ او عمود خط ته امتداد ورک‪７‬ئ چې د‬ ‫‪ CD‬خط د ‪ N‬په نقطه کې قطع ک‪７‬ي‪.‬‬ ‫وښاياست چې د ‪ MOE‬او ‪ FON‬مثلثونه سره مساوي دي؟‬

‫‪E‬‬

‫‪B‬‬

‫‪A‬‬

‫‪3‬‬

‫‪O‬‬ ‫‪6‬‬

‫‪D‬‬

‫‪C‬‬

‫‪F‬‬ ‫‪L‬‬

‫آيا د ‪ MN‬مستقيم خط د ‪ CD‬پر مستقيم خط هم عمود دى؟‬ ‫ولې د ‪ AB‬خط د ‪ CD‬له خط سره موازي دى؟‬

‫لومړى مثال‪ :‬په الندې شکلونو کې د ‪ AB‬او ‪ CD‬کوم دوه خطونه سره موازي دي؟‬ ‫‪A‬‬

‫‪E‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪D‬‬

‫‪110°‬‬ ‫‪120°‬‬

‫‪C‬‬ ‫‪F‬‬

‫‪161‬‬

‫‪E‬‬

‫‪110°‬‬

‫‪A‬‬

‫‪B‬‬ ‫‪D‬‬

‫‪110°‬‬ ‫‪F‬‬

‫‪B‬‬ ‫‪D‬‬

‫‪K‬‬ ‫‪70°‬‬

‫‪A‬‬

‫‪70°‬‬ ‫‪L‬‬

‫‪C‬‬

‫حل‪( 70o = 70o :‬خارجي متبادلې)‬ ‫‪( 110o = 110o‬داخلي متبادلې)‬ ‫‪ ، 120o 110o‬نو ‪AB || CD‬‬

‫نو ‪ AB || CD‬دى‪.‬‬ ‫نو ‪ AB || CD‬دى‪.‬‬

‫دويم مثال‪ :‬که ‪ 2 = 3 ، 1 = 2‬او ‪ 3 = 4‬وي‪ ،‬کومه جوړه خطونه سره موازي دي؟‬ ‫‪A‬‬ ‫حل‪ :‬څرنگه چې‪:‬‬ ‫‪1= 2‬‬

‫ده‪ ،‬نو‬

‫‪2=3‬‬ ‫‪3=4‬‬

‫ده‪ ،‬نو‬

‫‪ FG || BC‬دى‪.‬‬ ‫‪ AB || CH‬دى‪.‬‬

‫ده‪ ،‬نو‬

‫‪ BC || DE‬دى‪.‬‬

‫‪G‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪E‬‬

‫‪4‬‬

‫‪2‬‬

‫‪3‬‬

‫‪F‬‬

‫‪1‬‬

‫‪B‬‬ ‫‪D‬‬

‫‪H‬‬

‫که دوه مستقيم خطونه د يو خط په واسطه داسې قطع شي چې دوه مساوي متبادلې زاويې جوړي‬ ‫ک‪７‬ي‪ .‬نو دا دواړه خطونه سره موازي دي؟‬ ‫پوښتنې‬ ‫‪ -1‬په الندې شکل کې ‪ B1 = D 2‬او ‪ B2 = D1‬ده آﻳا ‪ AB || CD‬دي‪ ،‬ولې؟‬ ‫‪B‬‬

‫‪A‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪C‬‬

‫‪D‬‬

‫‪ -2‬په الندې شکل کې که چيرې ‪ A1 = D 2‬او ‪ A 2 = D1‬وي‪ ،‬کوم مستقيم خطونه سره‬ ‫‪A‬‬ ‫موازي دي؟‬ ‫‪1 2‬‬

‫‪E‬‬ ‫‪1 2‬‬

‫‪C‬‬

‫‪ -3‬په الندې شکلونو کې د ‪ AB‬او ‪ CD‬کوم دوه خطونه سره موازي دي؟‬ ‫‪c‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪D‬‬

‫‪b‬‬

‫‪120°‬‬ ‫‪130°‬‬

‫‪A‬‬

‫‪B‬‬

‫‪C‬‬

‫‪D‬‬

‫‪150°‬‬

‫‪150°‬‬

‫‪B‬‬

‫‪D‬‬

‫‪a‬‬ ‫‪A‬‬

‫‪B‬‬

‫‪C‬‬

‫‪D‬‬

‫‪60°‬‬ ‫‪60°‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪C‬‬

‫‪162‬‬

‫متوافقې زاويې‬ ‫)‪(Corresponding angles‬‬ ‫په شکل کې ‪ AB || CD‬دي او د ‪ FE‬خط دا‬ ‫دواړه خطونه قطع ک‪７‬ي دي‪.‬‬

‫‪1 2‬‬ ‫‪4 3‬‬

‫په شکل کې ( ‪ 4‬او ‪ 2 ( ،) 8‬او ‪ 7 ( ،) 6‬او ‪ ) 3‬او‬

‫‪5 6‬‬ ‫‪8 7‬‬

‫( ‪ 1‬او ‪ ) 5‬زاويو ته متوافقې زاويې وايي‪ ،‬آﻳا دا‬ ‫زاويې يو له بله سره مساوي دي؟‬

‫فعاليت‬

‫‪E‬‬

‫مخامخ شکل په پام کې ونيسئ‪.‬‬ ‫د شکل څلور خواوي د قيﭽي په واسطه پرې ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫بيا د ټکي ټکى(‪ )....‬له ځايه يې سره جالک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫اوس د ‪ CD‬خط د ‪ AB‬پر خط کې‪８‬دئ‪ ،‬چې ‪ M‬د ‪ N‬له پاسه واقع شي‪.‬‬ ‫د ‪ 8, 7 , 6 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1‬زاويو په برخه کې څه ويالى شئ؟‬

‫=‪4‬‬

‫‪,‬‬

‫‪=7‬‬

‫‪,‬‬

‫‪B‬‬

‫‪M‬‬

‫‪1 2‬‬ ‫‪4 3‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪5 6‬‬ ‫‪8 7‬‬

‫‪D‬‬

‫‪N‬‬

‫=‪2‬‬

‫‪,‬‬

‫‪C‬‬ ‫‪F‬‬

‫‪1=5‬‬

‫د نقالې په واسطه له ‪ 1‬څخه تر ‪ 8‬زاويې پورې اندازه ک‪７‬ئ‪ ،‬د پورته مساواتو سموالى اوناسموالى‬ ‫وڅي‪７‬ئ‪.‬‬

‫همدارنګه که دوه کرښې د يو قاطع خط په واسطه داسې قطع شي چې مساوي متوافقې زاويې جوړې‬ ‫ک‪７‬ئ‪ ،‬دا دواړه خطونه سره موازي دي‪.‬‬ ‫‪E‬‬ ‫د ‪ AB‬او ‪ CD‬دوه مستقيم خطونه‪ ،‬د ‪ FE‬مستقيم خط په واسطه‬ ‫قطع شوي دي‪ ،‬که ‪ 2 = 6‬وي غواړو وښيو چې ‪ AB || CD‬دي‪.‬‬ ‫څرنګه چې‪:‬‬

‫متقابل برآس ‪2 = 4‬‬

‫‪B‬‬ ‫‪D‬‬

‫مفروض له مخې‪2 = 6 :‬‬

‫په نتيجه کې‪ 4 = 6 :‬ده‪.‬‬

‫له بلې خوا څرنګه چې ‪ 4‬او ‪ 6‬زاويې متبادلې زاويې دي‪ ،‬نو ‪ AB || CD‬دى‪.‬‬

‫‪163‬‬

‫‪1 2‬‬ ‫‪4 3‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪5 6‬‬ ‫‪8 7‬‬

‫‪C‬‬ ‫‪F‬‬

‫لومړى مثال‪ :‬په شکل کې‪ m = o , b = j , h = p :‬او ‪ n = p‬دي‪.‬‬ ‫آﻳا ‪ AB || CD‬او ‪ d1 || d 2‬دي؟‬

‫‪B‬‬

‫حل‪:‬څرنگــه چــې ‪ h = p‬او ‪ b = j‬دى چــې متوافقې زاويې دي او ســره‬

‫‪D‬‬

‫‪a b‬‬ ‫‪e f‬‬

‫‪c d‬‬ ‫‪g h‬‬ ‫‪k q‬‬ ‫‪o p‬‬

‫مساوي هم دي‪ ،‬نو ‪ AB || CD‬دى او څرنگه چې ‪ n = p‬او ‪ m = o‬دي‬

‫‪A‬‬

‫‪i j‬‬ ‫‪m n‬‬

‫‪C‬‬

‫‪d1‬‬

‫‪d2‬‬

‫چې متوافقې زاويې او سره مساوي هم دي‪ ،‬نو ‪ d1 || d 2‬دى‪.‬‬

‫دويم مثال‪ :‬د(‪ )a‬په شکل کې دوي زاويې د ‪ ABC‬او ‪، DEF‬‬

‫‪A‬‬

‫چې ‪ AB‬او ‪ ED‬ضلعې سره موازي او هم جهت او ‪ BC‬د ‪ EF‬د‬ ‫ضلعې سره موازي او هم جهت هم ده‪ ،‬آﻳا کوالى شئ چې وښاياست‬

‫‪G 2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪C D‬‬

‫‪ 1 = 3‬ده‪.‬‬

‫‪F‬‬

‫حل‪ :‬لوم‪７‬ۍ د (‪ )a‬او (‪ )b‬په شکلونو کې د ‪ BC‬او ‪ ED‬ضلعو ته امتداد‬ ‫ورکوو‪ ،‬تر څو د ‪ G‬په نقطه کې قطع ک‪７‬ي‪.‬‬ ‫د (‪ )a‬په شکل کې‪:‬‬ ‫متوافقې ‪1 = 2‬‬ ‫متوافقې ‪3 = 2‬‬ ‫په نتيجه کې ‪ 1 = 3‬ده‪.‬‬

‫‪1‬‬

‫‪3‬‬

‫‪A‬‬

‫همدارنګه د (‪ )b‬په شکل کې د ‪ AB‬ضلعه موازي او مختلﻒ‬

‫‪C‬‬

‫‪2‬‬

‫‪G‬‬

‫الجهت د ‪ ED‬د ضلعې او ‪ BC‬موازي او مختلﻒ الجهت د ‪ EF‬د‬

‫‪E‬‬

‫‪B‬‬

‫‪B‬‬

‫(‪a‬‬ ‫‪E‬‬

‫‪F‬‬

‫‪3‬‬

‫‪D‬‬

‫(‪b‬‬

‫ضلعې ده‪ ،‬نو ‪ 1‬او ‪ 3‬زاويې هم سره مساوي دي ځکه چې‪:‬‬ ‫(متبادلې) ‪ 1 = 2‬او (متوافقې) ‪ 3 = 2‬په نتيجه کې ‪ 1 = 3‬ده‪.‬‬ ‫که دوه موازي خطونه د يوه قاطع خط په واسطه قطع شي‪ ،‬مساوي متوافقې‬ ‫زاويې جوړوي او که دوه مستقيم خطونه د يوه قاطع خط په واسطه داسې‬ ‫قطع شي چې مساوي متوافقې زاويې جوړې ک‪７‬ي دا دواړه مستقيم خطونه‬ ‫سره موازي دي‪.‬‬ ‫پوښتنې‬ ‫‪E‬‬

‫‪ -1‬له دې مستقيمو خطونو څخه کومه‬ ‫جوړه خطونه سره موازي دي؟‬

‫‪B‬‬ ‫‪D‬‬

‫‪E‬‬ ‫‪A‬‬

‫‪120°‬‬

‫‪C‬‬

‫‪110°‬‬

‫‪B‬‬ ‫‪D‬‬

‫‪30°‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪30°‬‬

‫‪C‬‬

‫‪F‬‬

‫‪ -2‬د ‪ AB‬او ‪ CD‬دوه مستقيم خطونه سره موازي دي‪ ،‬کومې‬ ‫زاويې سره مساوي دي؟‬

‫‪F‬‬

‫‪B‬‬ ‫‪D‬‬

‫‪c d‬‬ ‫‪g h‬‬ ‫‪k q‬‬ ‫‪o p‬‬

‫‪a b‬‬ ‫‪e f‬‬ ‫‪i j‬‬ ‫‪m n‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪C‬‬

‫‪164‬‬

‫د يو ﻗاطع ﺧﻂ يوې ﺧواته داﺧلي متممې زاويې‪:‬‬

‫)‪(Supplementary Angles‬‬ ‫‪ AB || CD‬دى او د ‪ EF‬مســتقم خــط‪ ،‬لکه‬ ‫څنګــه چې په شــکل کې ليدل کيــ‪８‬ي‪ ،‬دا دواړه‬ ‫خطونه يې قطع ک‪７‬ي دي‪.‬‬ ‫آيــا کوالى شــئ چې ووايــئ ‪ 2+ 3‬څو درجې‬ ‫کي‪８‬ي؟‬

‫‪E‬‬ ‫‪B‬‬

‫‪A‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪D‬‬

‫‪C‬‬ ‫‪F‬‬

‫فعاليت‬ ‫د ‪ AB‬او ‪ CD‬دوه قطعه خطونه سره موازي او د ‪ EF‬قطعه خط‪ ،‬لکه څنګه چې په شکل کې‬ ‫ليدل کي‪８‬ي‪ ،‬قطع ک‪７‬ي دي‪.‬‬ ‫= ‪3+ 4‬‬

‫‪E‬‬

‫له بلې خوا ‪ 4 = 6‬ده‪ ،‬ولې؟‬ ‫له پورتنيو دوو مساواتو له مخې الندې تش ځاى ډک ک‪７‬ئ؟‬

‫‪B‬‬

‫‪1 2‬‬ ‫‪4 3‬‬ ‫‪5 6‬‬ ‫‪8 7‬‬

‫‪D‬‬

‫= ‪3+ 6‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪F‬‬

‫دنقالې په مرسته ‪ 3‬او ‪ 6‬اندازه ک‪７‬ئ او مجموعه يې په الس راوړئ‪.‬‬ ‫الندې تش ځای ډک ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫= ‪4+ 5‬‬

‫مثال‪ :‬که په شکل کې د ‪ AB‬خط د ‪ CD‬له خط سره موازي وي د ‪ 1‬او ‪ 2‬اندازه پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪o‬‬

‫حل‪ :‬څرنګه چې د ‪ 75‬درجو زاويه او ‪ 1‬داخلي متممې زاويې دي‪:‬‬ ‫‪BC‬‬

‫‪1+ 75o = 180o‬‬

‫‪1 75°‬‬ ‫‪2‬‬

‫نو‪1 = 180o 75o = 105o :‬‬ ‫څرنګه چې ‪ 75o‬زاويه او ‪ 2‬متبادلې دي‪ ،‬نو ‪ 2 = 75o‬ده‪.‬‬

‫‪165‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪A‬‬

‫‪D‬‬ ‫‪D‬‬

‫‪BC‬‬

‫که چيرې د ‪ AB‬خط د ‪ CD‬له خط سره موازي وي او د ‪ FE‬خط لکه څنګه چې په شکل کې‬ ‫ليدل کي‪８‬ي دا دواړه خطونه قطع ک‪７‬ي وي‪ ،‬د قاطع يوې خواته دوې داخلي زاويې د متممو زايو په نامه‬ ‫‪o‬‬ ‫يادي‪８‬ي چې د دواړو زاويو مجموعه ‪ 180‬کي‪８‬ي‪2+ 3 = 180o .‬‬

‫‪F‬‬

‫او ‪1+ 4 = 180o‬‬

‫‪B‬‬

‫او که يو قاطع خط چې دوه مستقيم خطونه يې داسې قطع ک‪７‬ې وي‬ ‫چې د قاطع خط يوې خواته يې دوې داخلي متممې زاويې جوړې‬ ‫ک‪７‬ې وي‪،‬دا دوه مستقيم خطونه سره موازي دي‪.‬‬

‫‪A‬‬

‫‪1 2‬‬ ‫‪4 3‬‬

‫‪D‬‬

‫‪C‬‬

‫‪E‬‬

‫پوښتنې‬ ‫‪A‬‬

‫‪ -1‬په مخامخ شکل کې د ‪ ABC‬او ‪ DEF‬دوه زاويې لرو چې‬ ‫د ‪ AB‬ضلع د ‪ DE‬له ضلعې سره موازي او هم جهت او د‬ ‫‪ BC‬ضلع د ‪ EF‬له ضلعې سره موازي او مختلﻒ الجهت ده‬

‫‪C‬‬

‫ښکاره ک‪７‬ئ چې ‪ ABC+ DEF = 180 o‬کې‪８‬ي‪.‬‬

‫‪B‬‬

‫‪D‬‬ ‫‪G‬‬

‫‪E‬‬

‫‪ -2‬له الندې خطونو څخه کوم جوړه خطونه سره موازي دي‪.‬‬ ‫‪D‬‬

‫‪F‬‬

‫‪F B‬‬ ‫‪C‬‬

‫‪B‬‬ ‫‪30°‬‬

‫‪F‬‬

‫‪D‬‬

‫‪140°‬‬

‫‪A‬‬

‫‪E‬‬ ‫‪E‬‬

‫‪C‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬

‫‪D‬‬

‫‪F‬‬

‫‪81°‬‬ ‫‪99°‬‬

‫‪C‬‬

‫‪F‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪60°‬‬ ‫‪120°‬‬

‫‪D‬‬ ‫‪B‬‬

‫‪A‬‬

‫‪118°‬‬

‫‪C‬‬

‫‪61°‬‬

‫‪B‬‬

‫‪D‬‬

‫‪A‬‬

‫‪80°‬‬

‫‪C‬‬

‫‪E‬‬

‫‪166‬‬

‫‪E‬‬

‫څلور ضلعي ‪－‬انې)‪(Quadrilaterals‬‬ ‫په مخامخ شکل کې څومره څلور ضلعې ‪－‬انې ليدل‬ ‫کې‪８‬ي؟‬

‫فعاليت‬ ‫‪A‬‬

‫‪ ABCD‬يوه څلور ضلعي ده‪ ،‬د څلورو ضلعو‪ ،‬څلورو رآسونو‪ ،‬څلورو زاويو او‬ ‫دوه قطرونو نومونه يې واخلئ‪.‬‬ ‫د الندې څلور ضلعي گانو نومونه وواياست‪.‬‬ ‫‪A‬‬

‫‪B‬‬

‫‪B‬‬

‫‪A‬‬

‫‪B‬‬

‫‪A‬‬

‫‪B‬‬

‫‪D‬‬

‫ﺷﻜﻞ(‪(1‬‬

‫‪C‬‬

‫ﺷﻜﻞ(‪(3‬‬ ‫‪D‬‬

‫‪C‬‬

‫‪C‬‬

‫ﺷﻜﻞ(‪(2‬‬

‫‪C‬‬

‫‪D‬‬

‫‪A‬‬

‫‪A‬‬

‫‪B‬‬

‫‪B‬‬

‫‪C‬‬

‫‪D‬‬

‫ﺷﻜﻞ(‪(5‬‬

‫‪D‬‬

‫ﺷﻜﻞ(‪(4‬‬

‫‪D‬‬ ‫‪C‬‬

‫لکه څنګه چې پوهي‪８‬ئ په پورتنيو ټولو څلور ضلعي ‪－‬انو کې پرته له ذوذنقې څخه د نورو څلور ضلعي‬ ‫گانو مخامخ ضلعې دوه په دوه سره موازي دي ‪ ،‬په ذوذنقه کې يوازې دوه مخامخ ضلعې سره موازي‬ ‫دي‪.‬‬ ‫په (‪ )1‬شکل کې متوازي االضالع (‪ )Parallelogram‬داسې يوه څلور ضلعي ده چې مخامخ‬ ‫ضلعې يې دوه په دوه سره موازي او مساوي دي‪.‬‬ ‫په (‪ )2‬شکل کې يو مستطيل (‪ )Rectangle‬هغه څلور ضلعې ده چې مخامخ ضلعي يې دوه په دوه‬ ‫سره موازي او مساوي دي او څلور واړه زاويې يې قايمې دي‪.‬‬ ‫په (‪ )3‬شکل کې مربع (‪ )Square‬هغه څلور ضلعې ده چې څلور واړه ضلعې يې سره مساوي دي او‬

‫‪167‬‬

‫څلور واړه زاويې يې قايمې دي‪.‬‬ ‫په (‪ )4‬شکل کې يو معين يا لوزي (‪ )Rhombus‬هغه څلور ضلعې ده چې مخامخ ضلعې يې دوه په‬ ‫دوه موازي‪ ،‬څلور واړه ضلعې يې مساوي او مخامخ زاويې هم يوه له بلې سره موازي وي‪.‬‬ ‫په (‪ )5‬شکل کې ذوذنقه يا منحرف (‪ )Trapezoid‬هغه څلور ضلعې ده‪ ،‬چې يوازې دوه مخامخ‬ ‫ضلعې يې سره موازي دي‪.‬‬ ‫مثال‪ :‬په الندې شکلونو کې مربع‪ ،‬مستطيل‪ ،‬متوازي االضالع‪ ،‬معين يا لوزي او ذوزنقه وښاياست‪:‬‬ ‫حل‪:‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪B‬‬

‫(‪)a‬‬

‫‪G‬‬

‫‪D‬‬

‫(‪)b‬‬

‫‪E‬‬

‫‪H‬‬

‫‪B‬‬

‫‪A‬‬

‫‪F‬‬

‫‪E‬‬

‫‪D‬‬

‫‪C‬‬

‫‪D‬‬

‫‪C‬‬

‫‪B‬‬

‫(‪)c‬‬

‫‪A‬‬

‫‪E‬‬

‫‪A‬‬

‫(‪)d‬‬ ‫‪C‬‬

‫‪C‬‬

‫‪D‬‬

‫‪F‬‬

‫د (‪ )a‬په شکل کې ‪ ABDC‬مربع او ‪ FEHG‬معين دى‪.‬‬ ‫د (‪ )b‬په شکل کې ‪ ABDC‬يوه ذوزنقه ده‪.‬‬ ‫د (‪ )c‬په شکل کې ‪ ABDC‬او ‪ EFDC‬ذوذنقې دي‪.‬‬ ‫د (‪ )d‬په شکل کې ‪ ABCD‬يوه متوازي االضالع ده او ‪ AFCE‬يو مستطيل دى‪.‬‬ ‫پوښتنې‬ ‫‪-1‬په الندې شکل کې کوم يو مستطيل او کومه يوه ذوذنقه ده او‬ ‫هم په دې شکل کې څو مثلثونه شته دي‪.‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪ -2‬کومې جملې سمې او کومې ناسمې دي؟‬ ‫هي（کله يوه ذوذنقه متوازي االضالع نه شي کيداى‪.‬‬ ‫د مستطيل مخامخ ضلعې دوه په دوه سره موازي او مساوي دي‪.‬‬ ‫د ذوذنقې مخامخ ضلعې دوه په دوه سره موازي او مساوي دي‪.‬‬ ‫معين (لوزي) يوه متوازي االضالع ده‪.‬‬ ‫مربع يوه متوازي االضالع ده‪.‬‬ ‫معين(لوزي) يوه مربع ده‪.‬‬ ‫‪ -3‬په مخامخ شکل کې درې ذوذنقې‪ ،‬يو مستطيل او يوه متوازي‬ ‫االضالع وښاياست‪.‬‬

‫‪A‬‬

‫‪B‬‬

‫‪E‬‬

‫‪D‬‬

‫‪F‬‬

‫‪B‬‬

‫‪A‬‬

‫‪E‬‬

‫‪F‬‬

‫‪C‬‬

‫‪C‬‬

‫‪168‬‬

‫د متوازي اﻻضﻼع مﺨامﺦ(مقاﺑلې) زاويې‬

‫آيا د متوازي االضالع مخامخ(مقابلې) زاويې‬ ‫سره مساوي دي؟‬

‫فعاليت‬ ‫د ‪ ABDC‬يوه متوازي االضالع راک‪７‬ى شوې ده‪:‬‬ ‫څرنګه چې ‪ AB || CD‬دى‪ ،‬نو‬ ‫=‪A+C‬‬ ‫څرنګه چې ‪ AC || BD‬دى‪ .‬نو‬ ‫=‪C+D‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪D‬‬ ‫له پورتن‪ ９‬رابطې څخه لرو چې‬ ‫‪A+C=C+‬‬ ‫که ‪ C‬له دواړوخواوو څخه تفريﻖ ک‪７‬و‪ ،‬کومه رابطه په الس راځي‪.‬‬ ‫=‬ ‫د ‪ A‬او ‪ D‬د زاويو په برخه کې څه ويالى شئ؟ په همدې ډول وښاياست چې ‪ B = C‬ده‪.‬‬ ‫په يوه متوازي االضالع کې مقابلې زاويې سره مساوي دي‪.‬‬ ‫مثال‪ :‬د ‪ ABDC‬شکل يوه متوازي االضالع ده د ‪ B‬او ‪ D‬د ‪B‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪110°‬‬ ‫زاويو اندازه پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫حل‪ :‬څرنګه چې د يوې متوازي االضالع مقابلې زاويې سره‬ ‫‪70°‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪o‬‬ ‫مساوي دي‪ D = A = 110 .‬او ‪B = C = 70o‬‬ ‫‪A‬‬

‫‪B‬‬

‫فعاليت‬ ‫‪A‬‬

‫‪B‬‬

‫د ‪ ABCD‬يوه څلور ضلعې په نظر کې نيسو‪:‬‬ ‫= ‪)I(........ A + B+ C+ D‬‬

‫‪D‬‬

‫دې ته په پام کولو سره چې د متوازي االضالع مقابلې زاويې سره مساوي دي‪ ،‬نو لرو چي‪:‬‬

‫‪169‬‬

‫‪C‬‬

‫‪A‬‬

‫‪B =, C , A =,‬‬

‫‪B C‬‬

‫اوس په لوم‪７‬ن‪ ９‬رابطه کې د ‪ A‬او ‪ B‬پرځاى ‪ C‬او ‪ D‬ږدو‪.‬‬ ‫=‪D+C+C+D‬‬

‫له پورتن‪ ９‬رابطې څخه لرو چې‪:‬‬

‫= ‪2C + 2D‬‬

‫د ‪ AB‬او ‪ CD‬خطونه په خپل منځ کې څه اړيکه لري؟‬ ‫او په همدې ډول‪ ،‬د ‪ AC‬او ‪ BD‬خطونه‪ ،‬په خپل منځ کې څه اړيکه لري؟‬

‫=‪C+D‬‬

‫که په يو څلور ضلعې کې مقابلې زاويې سره مساوي وي‪ ،‬دا څلور ضلعې متوازي االضالع ده‪.‬‬

‫پوښتنې‬ ‫‪ -1‬که د مخامخ شکل په متوازي االضالع کې د ‪D = 110 o‬‬

‫‪A‬‬

‫‪B‬‬

‫وي د ‪ A , B‬او ‪ C‬زاويو اندازه پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬

‫‪110o‬‬ ‫‪D‬‬

‫‪C‬‬

‫‪ -2‬که چيرې د يوې څلور ضلعي قطر‪ ،‬څلور ضلعې په دوه‬ ‫انطباق منوونکو مثلثونو وويشئ‪ ،‬آﻳا دا څلور ضلعي متوازي االضالع ده؟‬

‫‪170‬‬

‫د يوې څلور ضلعې ﺑانﺪنى (ﺧارﺟي)‬ ‫زاويې‬ ‫آيا کوالى شئ چې ووايئ چې د يوې څلور ضلعي‬

‫‪5‬‬

‫‪B‬‬

‫د خارجي زاويو مجموعه څو درجې کې‪８‬ي؟‬

‫‪6‬‬

‫‪D‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪7‬‬

‫‪2‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪8‬‬

‫‪3‬‬

‫‪C‬‬

‫د ‪ BD , AB , AC‬او ‪ CD‬ضلعو ته‪ ،‬له پورته شکل سره سم امتداد ورکوو ‪ 7 , 6, 5‬او ‪ 8‬د‬ ‫دې څلور ضلعې باندنى زاويې دي‪.‬‬

‫‪1 + 5 = 180°‬‬

‫غواړو چې وښيو ‪ 5+ 6+ 7+ 8 = 360o‬ده‪.‬‬ ‫که دواړه خواوې سره جمع ک‪７‬و لرو‪ ،‬چې‪:‬‬

‫‪2 + 6 = 180°‬‬ ‫‪4 + 7 = 180°‬‬ ‫‪3 + 8 = 180°‬‬

‫‪1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 180° + 180° + 180° + 180°‬‬

‫دا چې د يوې څلور ضلعي‬ ‫د داخلي زاويو مجموعه‬ ‫‪ 360o‬ده‪ ،‬نو‪:‬‬ ‫په نتيجه کې ‪ 5+ 6+ 7 + 8 = 360o‬کې‪８‬ي‪ ،‬نو د يوې څلور ضلعي د باندېنيو زاويو مجموعه ‪360o‬‬ ‫ده‪.‬‬ ‫‪360° + 360°‬‬

‫ﻓعاﻟﻴت‬ ‫په شکل کې د څلور ضلعي دوې خارجي زاويې معلومې‬ ‫نه دي‪ ،‬پيدا يې ک‪７‬ئ‪.‬‬

‫‪171‬‬

‫= ‪360° + 5+ 6+ 7 + 8‬‬

‫مثال‪ :‬د دې څلور ضلعي درې خارجي زاويې راک‪７‬ل‬

‫‪85°‬‬

‫شوي دي‪ ،‬څلورمه خارجي زاويه يې پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬

‫‪30°‬‬

‫حل‪:‬‬ ‫‪150 + 30 + 85 = 265‬‬ ‫څرنګه چې د يوې څلور ضلعي د خارجي زاويو‬ ‫‪o‬‬

‫‪o‬‬

‫‪o‬‬

‫‪o‬‬

‫‪150°‬‬

‫‪o‬‬ ‫مجموعه ‪ 360‬ده‪ ،‬نو د دې څلور ضلعي څلورمه زاويه مساوي ده‪ ،‬په‪360 o 265 o = 95 o :‬‬ ‫د يوې څلور ضلعي د خارجي زاويو مجموعه ‪ 360o‬ده‪.‬‬

‫پوښتنې‬ ‫‪ -1‬د يوې څلور ضلعي د دريو خارجي زاويو مجموعه ‪ 301o‬ده‪ ،‬د دې څلور ضلعي څلورمه‬ ‫خارجي زاويه څو درجې ده؟‬ ‫‪ -2‬په مخامخ شکل کې د څلور ضلعي يوه خارجي زاويه‬ ‫راک‪７‬ل شوې ده‪ ،‬ددې څلور ضلعي درې خارجي زاويې پيدا‬ ‫ک‪７‬ئ‪.‬‬

‫‪2C‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪D‬‬

‫‪ -3‬آﻳا د يوې څلور ضلعې د داخلي زاويو مجموعه او د‬ ‫خارجي زاويو مجموعه سره مساوي ده؟ ولې؟‬ ‫‪ -4‬د يوې څلور ضلعي د داخلي او خارجي زاويو مجموعه مساوي ده په‪:‬‬ ‫‪b) 720o‬‬

‫‪B‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪A 110°‬‬

‫‪a) 360o‬‬

‫‪ -5‬که چيرې د يوې څلور ضلعي د درېو داخلي زاويو مجموعه ‪ 315o‬وي‪ ،‬د دې څلور ضلعي‬ ‫څلورمه داخلي زاويه څو درجې ده؟‬ ‫‪c) 25o‬‬

‫‪b) 45o‬‬

‫‪a) 50o‬‬

‫‪172‬‬

‫د څلور ضلعي د ﻗﻄرونو ﺧاصيتونه‬ ‫د متوازي اﻻضﻼع د ﻗﻄرونو ﺧاصيتونه‪:‬‬ ‫د متوازي االضالع د قطرونو په برخه کې څه ويالى‬ ‫شئ؟‬

‫‪B‬‬

‫‪2‬‬

‫‪D‬‬

‫‪3‬‬

‫‪E‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪A‬‬

‫‪1‬‬

‫‪C‬‬

‫‪ BC‬او ‪ AD‬د ‪ ABDC‬د متوازي االضالع دوه قطرونه دي‪.‬‬

‫فعاليت‬ ‫لوم‪７‬ى د متوازي االضالع د قطرونو اوږدوالى پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫ويالى شئ چې قطرونه يو له بله سره څه اړيکې لري؟‬ ‫الندې تش ځايونه ډک ک‪７‬ئ؟‬ ‫‪B‬‬ ‫ولې؟‬ ‫=‪1‬‬ ‫ولې؟‬

‫=‪3‬‬

‫ولې؟‬

‫= ‪AB‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪A‬‬

‫‪E‬‬ ‫‪D‬‬

‫‪4‬‬

‫‪1‬‬

‫‪C‬‬

‫ولې؟‬ ‫آﻳا د ‪ ABE‬او ‪ CED‬د دوو مثلثونو له برابروالي څخه ويالى شي چې د متوازي االضالع قطرونه‬ ‫يو بل سره نيمايي کوي؟‬ ‫د متوازي االضالع قطرونه يو بل سره نيمايي کوي‪.‬‬ ‫مثال‪ :‬د ‪ ABDC‬په متوازي االضالع کې د ‪BC‬‬ ‫قطر ‪ 8cm‬او د ‪ AD‬قطر ‪ 6cm‬دى د ‪ AE‬او ‪EC‬‬

‫اوږدوالى پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬

‫‪173‬‬

‫‪A‬‬

‫‪B‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪D‬‬

‫‪C‬‬

‫حل‪ :‬څرنګه چې د متوازي االضالع قطرونه يو له بله سره نيمايي کوې‪ ،‬نو‪:‬‬ ‫‪BC 8cm‬‬ ‫=‬ ‫‪= 4cm‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫= ‪EC‬‬

‫‪AD 6cm‬‬ ‫=‬ ‫‪= 3cm‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫= ‪AE‬‬

‫پوښتنې‬ ‫‪ -1‬په دې څلور ضلعي کې نامعلوم قطعه خطونه پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪A‬‬

‫‪B‬‬ ‫‪2.5cm‬‬

‫‪D‬‬

‫‪2cm‬‬ ‫‪3cm‬‬

‫‪R‬‬

‫‪4.5cm‬‬

‫‪C‬‬

‫‪ -2‬پوره سم ځواب په نښه ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫په يوه متوازي االضالع کې قطرونه‪:‬‬ ‫‪ )a‬يو پر بل عمود وي‪.‬‬ ‫‪ )b‬يو له بله سره نيمايي کوي‪.‬‬ ‫‪ )c‬دواړه سم دي‪.‬‬ ‫‪ -3‬په يوه متوازي االضالع کې‪:‬‬ ‫‪ )a‬مخامخ زاويې دوه په دوه سره مساوي دي‪.‬‬ ‫‪ )b‬مخامخ ضلعې دوه په دوه سره مساوي دي‪.‬‬ ‫‪ )c‬دواړه سم دي‪.‬‬ ‫‪ -4‬د متوازي االضالع د قطرونو له تقاطع څخه‪:‬‬ ‫‪ )a‬دوه جوړې انطباق منوونکي مثلثونه جوړي‪８‬ي‪.‬‬ ‫‪)b‬څلور انطباق منوونکي مثلثونه جوړي‪８‬ي‪.‬‬

‫‪174‬‬

‫د مستﻄيل ﻗﻄرونه‬ ‫په مخامخ شکل کې‪ ،‬د مېز د مخ سطحه‪،‬‬ ‫کوم هندسې شکل لري او د خاصيتونو په‬ ‫برخه کې يې څه پوهي‪８‬ئ؟‬

‫فعاليت‬ ‫د ‪ ABDC‬مستطيل په نظر کې ونيسئ‪.‬‬ ‫د مستطيل قطرونه رسم ک‪７‬ئ او د تقاطع نقطې ته يې (‪ )E‬ووايئ‪.‬‬ ‫د خط کش په واسطه د مستطيل قطرونه اندازه ک‪７‬ئ او و‪－‬ورئ چې أيا يو له بله سره مساوي دي؟‬ ‫په الندې شکل کې د ‪ ACD‬او ‪ BCD‬د مثلثونو په نظر کې نيولو سره الندې تش ځايونه ډک‬ ‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫= ‪DB‬‬ ‫=‪C‬‬

‫ﻣﺸﺘﺮﻛﻪ ﺿﻠﻌﻪ‬

‫‪E‬‬

‫=‬ ‫‪C‬‬

‫‪D‬‬

‫د ‪ ACD‬او ‪ BCD‬د دوو مثلثونو په برخه کې څه ويالى شئ؟‬ ‫آيا ‪ BC = AD‬دى؟‬ ‫په هر مستطتيل کې قطرونه يو له بله سره مساوي او يو بل سره نيمايي کوي‪.‬‬ ‫مثال‪ :‬په مخامخ شکل کې ‪ AD‬او ‪ BC‬د ‪ABDC‬‬

‫‪B‬‬

‫د مستطيل قطرونه دي که چيرې ‪ ، ED = 4cm‬وي د ‪BC‬‬

‫‪E‬‬

‫اوږدوالى پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪D‬‬

‫‪175‬‬

‫‪A‬‬

‫‪C‬‬

‫حل‪ :‬څرنګه چې د مستطيل قطرونه يو بل سره نيمايي کوي‪ ،‬نو ‪ AE = 4cm‬او ‪AD = 8cm‬‬ ‫له بلې خوا څرنګه چې د مستطيل قطرونه يو له بله سره مساوي دي‪ BC = AD ،‬نو ‪BC = 8cm‬‬

‫دى‪.‬‬

‫پوښتنې‬ ‫‪ -1‬په الندې مستطيل کې نامعلوم اوږدوالی پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬

‫‪B‬‬

‫‪A‬‬

‫‪8cm‬‬ ‫‪5cm‬‬

‫‪6cm‬‬

‫‪E‬‬

‫‪C‬‬

‫‪D‬‬

‫‪ -2‬که چيرې ‪ BC = 6cm‬وي‪ ،‬د ‪ EB , ED , AE , AD‬او ‪ EC‬اوږدوالى پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪A‬‬

‫‪B‬‬ ‫‪E‬‬

‫‪C‬‬

‫‪D‬‬

‫‪ -3‬که چيرې د يوه مستطيل يو قطر ‪ 18cm‬وي‪ ،‬ددې مستطيل بل قطر مساوي دى په‪:‬‬ ‫‪a) 9cm‬‬ ‫‪b) 18cm‬‬ ‫‪c) 4.5cm‬‬ ‫‪ -4‬که د يوه مستطيل د يو قطر نيمايې ‪ 6cm‬وي‪ ،‬ددې مستطيل د هر قطر اوږدوالى مساوي‪ ،‬دى په‪:‬‬ ‫‪a) 12cm‬‬ ‫‪b) 6cm‬‬ ‫‪c) 24cm‬‬ ‫‪ -5‬د يوه مستطيل د قطرونو له تقاطع څخه څو انطباق منوونکى مثلثونه جوړي‪８‬ي‪.‬‬ ‫‪b( 4‬‬ ‫دواړه سم نه دي (‪c‬‬

‫‪a( 2‬‬

‫‪ -6‬پوره سم ځواب په نښه ک‪７‬ئ‪:‬‬ ‫په مستطيل کې قطرونه‪:‬‬ ‫‪ )a‬يو له بله سره مساوي دي‪:‬‬

‫‪ )b‬يو بل نيمايې کوي‪.‬‬

‫‪ )c‬دواړه سم دى‪.‬‬

‫‪ -7‬هغه څلور ضلعي ‪－‬انې چې د متوازي االضالع ټول خاصيتونه لري عبارت دي‪ ،‬له‪:‬‬ ‫‪ )a‬مربع‬

‫‪ )b‬معين (لوزی)‬

‫‪ )c‬مستطيل‬

‫‪ )d‬د رې واړه ځوابونه سم دي‬

‫‪176‬‬

‫د معين (لوزي) ﻗﻄرونه‬ ‫په مخامخ شکل کې د هندسي شکلونو نومونه‬ ‫واخلئ‪.‬‬

‫فعاليت‬ ‫يو داسې معين (لوزي) رسم ک‪７‬ئ چې يوه ضلعه يې ‪ 4cm‬او يوه زاويه يې ‪ 50o‬وي‪.‬‬ ‫د دې معين (لوزي) قطرونه رسم ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫د قطرونو ترمنځ زاويه پيدا ک‪７‬ئ‪ .‬ددې زاويو په برخه کې څه ويالى شئ؟‬ ‫‪ AC‬او ‪ BD‬د ‪ ABCD‬د معين دوه قطرونه دي‪.‬‬ ‫غواړو ﺛبوت ک‪７‬و چې د معين قطرونه يو پر بل عمود دي‪.‬‬ ‫د ‪ ABCD‬په معين (لوزي) کې لرو چې‪:‬‬ ‫‪C‬‬ ‫(د معين ضلعې سره مساوي دي) ‪AB = BC = CD = AD‬‬ ‫له بلې خوا د ‪ AC‬او ‪ BD‬دوه قطرونه يو بل سره نيمايي کوي‪.‬‬ ‫(لوزي يوه متوازي االضالع ده‪).‬‬ ‫نو‪:‬‬ ‫‪EB = ED‬‬ ‫‪AE = EC‬‬

‫‪B‬‬

‫‪E‬‬

‫‪A‬‬

‫‪D‬‬

‫‪ ABC‬او ‪ ACD‬دوه متساوي الساقين مثلثونه دي(د لوزي ضلعې سره مساوي دي‪).‬‬ ‫د ‪ ABC‬په متساوي الساقين مثلث کې د ‪ AC‬ضلعه په دوو مساوي برخو وېشل شوي ده‪ .‬په دې معنا‬ ‫چې د ‪ BE‬مستقيم خط د ‪ ABC‬د مثلث ميانه او ارتفاع هم ده‪.‬‬ ‫څرنګه چې د ‪ BE‬مستقيم خط د ‪ E‬په نقطه کې د ‪ AC‬پر ضلعه عمود دى او همدارنګه د ‪ED‬‬ ‫مستقيم خط د ‪ E‬په نقطه کې هم پر ‪ AC‬عمود دى‪.‬‬ ‫په نتيجه کې ‪BC AC‬‬ ‫‪ BD‬دى‪.‬‬

‫‪177‬‬

‫مثال‪ :‬په مخامخ شکل کې د ‪ AC‬او ‪ BD‬د ‪ ABCD‬د لوزي قطرونه‬

‫‪B‬‬

‫دي‪ ،‬که‪ A1 = A 2 = C5 = C6 = 60o :‬وي‪.‬‬

‫‪34‬‬

‫د ‪ D7 , B 4 , B3‬او ‪ D8‬زاويې پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬

‫حل‪ :‬څرنګه چې ‪ CDE ،BCE ،ABE‬او ‪ ADE‬مثلثونه قايم ‪C‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪6‬‬

‫الزاويه مثلثونه دي ‪D7 = 90o 60o = 30o‬‬ ‫په نتيجه کې‪ B3 = B4 = D7 = D8 = 30o :‬دى‪.‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2E‬‬

‫‪A‬‬

‫‪87‬‬

‫‪D‬‬ ‫د معين (لوزي) قطرونه يو پر بل عمود او يو بل نيمايي کوي‪.‬‬

‫پوښتنې‬ ‫‪ -1‬آﻳا د معين (لوزي) قطرونه د رآسونو زاويې نيمايي کوي؟‬ ‫‪ -2‬آﻳا د معين (لوزي) قطرونه يو پر بل عمود او يو له بل سره مساوي دي؟‬ ‫‪ -3‬آﻳا د معين (لوزي) قطرونه يو بل نيمايي کوي؟‬ ‫‪ -4‬آﻳا معين (لوزي) يوه متوازي االضالع ده؟‬ ‫‪A‬‬

‫‪ -5‬د معين (لوزي) په دې شکل کې ‪ 4 , 3 , 2 , 1‬او ‪ 5‬زاويې پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬

‫‪1‬‬

‫‪35o‬‬

‫‪2 B‬‬

‫‪D 5‬‬

‫‪43‬‬ ‫‪C‬‬

‫‪178‬‬

‫د ﺷپ‪８‬م څپرکي لنډيز‬ ‫دوه مستقيم خطونه چې په يوه مستوي کې واقع وي او خپله خطونه او يا امتداد يې شريکه نقطه ونه‬ ‫لري سره موازي دي‪ .‬د دوه موازي خطونو ترمنځ فاصله مساوي ده‪.‬‬ ‫دوه مستقيم خطونه چې پر يوه خط باندې عمود وي‪ ،‬په خپل منځ کې موازي دي‪.‬‬ ‫دوه مستقيم خطونه هغه وخت يو پر بل عمود دي چې تر منځ زاويه يې ‪ 90o‬وي‪.‬‬ ‫که چيرې دوه موازي خطونه د يوه قاطع خط په واسطه قطع شي‪ ،‬څلور داخلي متبادلې او څلور‬ ‫خارجي متبادلې زاويې جوړ وي چې دوه په دوه سره مساوي دي‪.‬‬

‫‪E‬‬ ‫‪B‬‬

‫خارجي متبادلې زاويې‬

‫‪2=8‬‬

‫داخلي متبادلې زاويې‬

‫‪3=5‬‬

‫‪D‬‬

‫‪1 2‬‬ ‫‪4 3‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪5 6‬‬ ‫‪8 7‬‬

‫‪4=6‬‬

‫‪1=7‬‬

‫‪C‬‬ ‫‪F‬‬

‫که چيرې دوه مستقيم خطونه د يوه خط په واسطه داسې قطع شي چې مساوي متبادلې زاويې جوړې ک‪７‬ي‬ ‫دا دوه مستقيم خطونه سره موازي دي‪.‬‬ ‫که چيري دوه موازي خطونه يو مستقيم خط قطع ک‪７‬ي‪ 8 ،‬متوافقي زاويې جوړ وي چې دوه په دوه سره‬ ‫مساوي دي‪.‬‬

‫‪، 1=5‬‬

‫‪2=6‬‬

‫‪، 4=8‬‬

‫‪3=7‬‬

‫که چيرې دوه مستقيم خطونه د يوه مستقيم خط په واسطه داسې قطع شي چې مساوي متوافقې زاويې‬ ‫جوړې ک‪７‬ي‪ ،‬دا دوه خطونه سره موازي دي‪.‬‬ ‫‪o‬‬

‫که دوه موازي خطونه د يو ه خط په واسطه قطع شي د قاطع يوې خواته د داخلي زاويو مجموعه ‪180‬‬ ‫کې‪８‬ي‪.‬‬ ‫که چيرې دوه مستقيم خطونه د يوه قاطع خط په واسطه داسې قطع شي چې د قاطع خط د يوې خوا د‬ ‫داخلي زاويو مجموعه ‪ 180o‬شي‪ ،‬دا دوه مستقيم خطونه سره موازي دي‪.‬‬ ‫په يوه متوازي االضالع کې مقابلې زاويې دوه په دوه سره مساوي دي‪.‬‬

‫‪179‬‬

‫د متوازي االضالع قطرونه يو بل نيمايي کوي او د قطرونو له تقاطع څخه دوه جوړې انطباق منوونکي‬ ‫مثلثونه جوړي‪８‬ي‪.‬‬ ‫په مستطيل کې قطرونه يو له بله سره مساوي او يو بل نيمايي کوي او د مستطيل د قطرونو د تقاطع څخه دوه‬ ‫جوړه انطباق منوونکي مثلثونه جوړي‪８‬ي او د مستطيل څلورواړه زاويې قايمې دي‪.‬‬ ‫د معين (لوزي) څلور ضلعې سره مساوي دي‪ ،‬قطرونه يې يو پر بل عمود دي او يو بل نيمايي کوي‪ .‬د‬ ‫قطرونو له تقاطع څخه څلور انطباق منونکي مثلثونه جوړي‪８‬ي او هم قطرونه د رآسونو زاويې نيمايي کوي‪.‬‬

‫د مربع قطرونه سره مساوي‪ ،‬يو پر بل عمود او يو بل سره نيمايي کوي‪ .‬د مربع قطرونه د رآس‬ ‫زاويې نيمايي کوي او د قطرونو له تقاطع څخه څلور انطباق منونکي مثلثونه جوړې‪８‬ي‪.‬‬ ‫د يوې څلور ضلعي د داخلي زاويو مجموعه ‪ 360o‬ده‪ .‬همدارنګه د څلور ضلعي د خارجي زاويو‬ ‫مجموعه هم ‪ 360o‬ده‪.‬‬ ‫د متوازي االضالع‪ ،‬مستطيل‪ ،‬معين (لوزي) او مربع د خاصيتونو شريکوالى د سټونو د تقاطع په ډول په‬ ‫وين ديا‪－‬رام کې ښودل شوي دي‪.‬‬

‫ﻣﺘﻮﺍزى ﺍﻻﺿﻼع‬

‫ﻣﻌﻴﻦ ﻣﺮﺑﻊ ﻣﺴﺘﻄﻴﻞ‬

‫‪180‬‬

‫د ﺷپ‪８‬م څپرکي پوښتنې‬ ‫‪ -1‬په الندې شکلونو کې د ‪ AB‬او ‪ CD‬کوم دوه قطعه خطونه سره موازي دي؟‬ ‫‪B‬‬ ‫‪50°‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬

‫‪40°‬‬

‫‪D‬‬

‫‪A‬‬

‫‪60°‬‬

‫‪C‬‬

‫‪60°‬‬

‫‪D‬‬

‫‪C‬‬

‫‪B‬‬

‫‪D‬‬

‫‪80°‬‬

‫‪B‬‬

‫‪70°‬‬

‫‪A‬‬

‫‪110°‬‬ ‫‪C‬‬

‫‪80°‬‬

‫‪D‬‬

‫‪A‬‬

‫‪C‬‬

‫‪ -2‬په الندې شکلونو کې که چيرې ‪ AB || CD‬او ‪ CD || EF‬وي‪ 1 ،‬او ‪ 2‬څو درجې دي؟‬ ‫‪E‬‬

‫‪B‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪30°‬‬

‫‪C‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪110°‬‬

‫‪1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪95°‬‬

‫‪2‬‬

‫‪D‬‬

‫‪C‬‬

‫‪F‬‬

‫‪D‬‬ ‫‪B‬‬

‫‪ -3‬په الندې شکل کې که ‪ AB || ED‬او ‪ EF || CD‬وي‪ 1 ،‬او ‪ 2‬پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬

‫‪C‬‬

‫‪F‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪D‬‬

‫‪181‬‬

‫‪A‬‬

‫‪110°‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪E‬‬

‫‪ -4‬هر څلور ضلعي چې کوم خاصيت لري مخامخ ورته د √ عالمه وليکئ‪.‬‬ ‫مربع‬

‫مستطيل‬

‫معين(لوزي)‬

‫خاصيتونه‬

‫متوازي االضالع‬

‫قطرونه يو بل سره نيمايي کوي‪.‬‬ ‫قطرونه سره مساوي دي‪.‬‬ ‫قطرونه يو پر بل عمود دي‪.‬‬ ‫قطرونه د راس زاويې نيمايي کوي‪.‬‬ ‫د قطرونو له تقاطع څخه دوه جوړى انطباق منونکي مثلثونه‬ ‫جوړي‪８‬ي‪.‬‬ ‫د قطرونو له تقاطع څخه‪ ،‬څلور انطباق منونکي مثلثونونه جوړي‪８‬ي‪.‬‬

‫مقابلې ضلعې يې سره موازي او مساوي دي‪.‬‬ ‫ټولې ضلعې يې سره مساوي دي‪.‬‬ ‫مقابلې زاويې يې سره مساوي دي‪.‬‬ ‫څلور واړه زاويې يې سره مساوي دي‪.‬‬

‫‪ -5‬سم ځوابونه په نښه ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫هغه وخت چې دوه مستقيم خطونه(کرښې) د يوه قاطع په واسطه قطع شي او مساوي متبادلې زاويې جوړې‬ ‫ک‪７‬ي‪ ،‬دا کرښې سره‪:‬‬ ‫‪ )c‬متقاطع دي‬ ‫‪ )b‬موازي دي‬ ‫‪ )a‬عمودي دي‬ ‫ دوه زاويې چې ضلعې يې سره موازي او هم جهت يا موازي او مختلﻒ الجهت وي‪ ،‬دا زاويې سره‬‫‪ )c‬د دواړو زاويو مجموعه ‪ 90o‬ده‪.‬‬ ‫‪ )b‬يو د بل متممې دي‬ ‫‪ )a‬مساوي دي‬

‫دوې زاويې چې دوې ضلعې يې موازي او هم جهت او دوې ضلعې يې موازي او مختلﻒ الجهت‬‫وي‪:‬‬

‫‪ )a‬مجموعه يې ‪ 180‬کې‪８‬ي‬ ‫‪o‬‬

‫‪o‬‬

‫‪ )b‬مجموعه يې ‪ 90‬کې‪８‬ي‪.‬‬

‫‪ )c‬سره مساوي دى‪.‬‬

‫‪182‬‬

‫ دوه مستقيم خطونه چې پر يوه خط باندې عمود وي يو له بله سره‪:‬‬‫‪ )c‬متقاطع دي‬ ‫‪ )b‬عمود دي‬ ‫‪ )a‬موازي دي‬ ‫ که چيرې دوه مستقيم خطونه ديوه مستقيم خط په واسطه داسې قطع شي چې د قاطع د يوې خوا‬‫د دوو داخلي زاويو مجموعه ‪ 180o‬شي‪ .‬دا دوه خطونه سره‪:‬‬ ‫‪ )a‬موازي دي‬

‫‪ )c‬متقاطع دي‬

‫‪ )b‬عمود دي‬

‫‪4‬‬

‫‪ -6‬په الندې څلور ضلعي ‪－‬انو کې د نامعلومو ضلعو اوږدوالى پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪2.5‬‬

‫‪2.5‬‬

‫‪5‬‬

‫‪2.5‬‬

‫‪2.5‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪2.5‬‬

‫‪2.5‬‬

‫‪4‬‬

‫‪5‬‬

‫‪4‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪4‬‬

‫‪ -7‬د الندې څلور ضلعي ‪－‬انو د هرې يوې درې نامعلومې زاويې پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪90°‬‬

‫‪130°‬‬

‫‪60°‬‬

‫‪90°‬‬

‫‪130°‬‬

‫‪60°‬‬

‫‪90°‬‬

‫‪130°‬‬

‫‪60°‬‬

‫‪ -8‬په شکل کې ‪ p || q‬او ‪ m || n‬دى‪ ،‬که ‪ 2 = 40‬وي‪ ،‬د نورو پاتې زاويو اندازه پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪o‬‬

‫‪m‬‬

‫‪n‬‬

‫‪m‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪1 2‬‬ ‫‪9 10‬‬ ‫‪4 3‬‬ ‫‪12 11‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪9 10‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪4 3‬‬ ‫‪12 11‬‬ ‫‪5 6‬‬ ‫‪13 14‬‬ ‫‪q‬‬ ‫‪1 2‬‬ ‫‪9 10‬‬ ‫‪p 8 7‬‬ ‫‪16 15‬‬ ‫‪4 3‬‬ ‫‪12 11‬‬ ‫‪5 6‬‬ ‫‪13 14‬‬ ‫‪q‬‬ ‫‪8 7‬‬ ‫‪16 15‬‬ ‫‪p‬‬

‫‪13 14‬‬ ‫‪16 15‬‬

‫‪183‬‬

‫‪5 6‬‬ ‫‪8 7‬‬

‫‪q‬‬

‫‪ -9‬د الندې جملو څخه کومه يوه يې سمه او کومه يوه يې ناسمه ده؟‬ ‫د متوازي االضالع قطرونه سره مساوي دي‪.‬‬ ‫د مربع قطرونه يو پر بل عمود دي‪.‬‬ ‫دمعين (لوزي) قطرونه يو بل سره نيمايي کوي‪.‬‬ ‫د معين (لوزي) څلورواړه زاويې قايمې دي‪.‬‬ ‫د متوازي االضلع مقابلې ضلعې دوه په دوه مساوي او موازي دي‪.‬‬ ‫د ذوذنقې مقابلې ضلعې دوه په دوه سره موازي دي‪.‬‬ ‫هي（کله يوه ذوذنقه متوازي االضالع کيداى نه شي‪.‬‬ ‫هر مستطيل يوه څلور ضلعي ده‪.‬‬ ‫معين (لوزي) يوه متوازي االضالع ده‪.‬‬ ‫يوازې مربع يوه داسې څلور ضلعي ده چې څلور واړه زاويې يې قايمې دي‪.‬‬ ‫که د يوې څلور ضلعي د درېو زاويو مجموعه ‪ 300o‬وي‪ ،‬څلورمه زاويه يې ‪ 60o‬ده‪.‬‬ ‫د يوې څلور ضلعي د خارجي زاويو مجموعه ‪ 360o‬ده‪.‬‬ ‫د يوي څلور ضلعي د داخلي زاويو مجموعه ‪ 360o‬ده‪.‬‬ ‫د متوازي االضالع قطرونه يو پر بل عمود دي‪.‬‬ ‫د مستطيل د قطرونو له تقاطع څخه څلور انطباق منونکي مثلثونه جوړي‪８‬ي‪.‬‬ ‫د معين(لوزي) د قطرونو له تقاطع څخه څلور انطباق منونکي مثلثونه جوړې‪８‬ي‪.‬‬ ‫د مستطيل قطرونه يو بل سره نيمايي کوي‪.‬‬ ‫د معين قطرونه يو پر بل عمود دي‪.‬‬ ‫‪ -10‬که د يوې متوازي االضالع يوه زاويه قايمه وي‪ ،‬ښکاره ک‪７‬ئ چې درې نورې زاويې يې هم‬ ‫قايمې دي‪.‬‬ ‫‪o‬‬ ‫‪ -11‬که د يوې متوازي االضالع يوه زاويه ‪ 55‬وي‪ ،‬درې نورې زاويې يې پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪ -12‬په شکل کې ‪ AB || CD‬دى ‪ 2 , 1‬او ‪ 3‬پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪C‬‬

‫‪90°‬‬

‫‪90°‬‬

‫‪A‬‬

‫‪3 2‬‬ ‫‪D‬‬

‫‪70° 1 50°‬‬ ‫‪B‬‬

‫‪184‬‬

‫اووم څپرکى‬ ‫احﺼاﺋيه‬

‫احصاﺋيه د چاپېريال په برخه کې زموږ د معلوماتو روښانه‬ ‫کوونکې ده‪.‬‬

‫د اطﻼعاتو د را！ولولو طريقې‬ ‫ستاسو د ښوونځي مدير غواړي چې ستاسو لپاره‬ ‫يو تفريحي پرو‪－‬رام جوړ ک‪７‬ي‪ .‬که تاسو د ښوونځي‬ ‫د مدير پر ځاى واى‪ ،‬کوم معلومات بايد الس ته‬ ‫راوړئ؟‬

‫فعاليت‬ ‫ستاسو د ښوونځي مدير له تاسو غوښتي دي چې له خپلو ټولګيوالو (هم صنفيانو) څخه معلومات را‬ ‫ټول ک‪７‬ئ او هغه ته يې ورک‪７‬ئ‪ ،‬تر څو مدير وکوالى شي ستاسو لپاره يو تفريحي پرو‪－‬رام جوړ ک‪７‬ي‪.‬‬ ‫‪ -1‬د خپل ټولگي له ‪ 5‬ملگرو څخه الندې پوښتنې وک‪７‬ئ‪:‬‬ ‫کوم ډول ورزش مو خوښ دى؟‬ ‫په يوه اون‪ ９‬کې څو ساعته ورزش کول غواړئ‪.‬‬ ‫آيا دې ته چمتو ياست چې د رخصت‪ ９‬په ورځ هم د ورزش کولو لپاره ښوونځي ته راشئ؟‬ ‫‪ -2‬څه فکر کوئ دا به ښه وي چې پورتني معلومات په شفاهي پوښتنو دخپل ټولگى له ملگرو څخه‬ ‫الس ته راوړئ او يا دا چې هغوى ته ليکلي پوښتنې ورک‪７‬ئ چې هغوى يې ځوابونه ووايي؟‬ ‫شفاهي پوښتنې له ليکلو پوښتنو سره څه توپير لري؟‬ ‫غواړئ چې پوه شئ چې ستاسو د ټولگي کوم ملگرى د واليبال له لوبې سره بلد دى؟‬ ‫ آﻳا له هغه پوښتنه کوئ؟‬‫ آﻳا دا ښه گ‪２‬ئ چې د هغه د لوبې سيل(ننداره) وک‪７‬ئ‪.‬‬‫په پورتنيو دوو طريقو کې څه توپير دى کومه طريقه ښه ده؟‬ ‫د باسکټبال د ټيم د ټاکلو لپاره د خپل ټولگي د ملگرو د تنې لوړوالى اندازه ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫آﻳا د هغوی د تنې د لوړوالي د پيدا کولو لپاره کومه بله طريقه وړاندې کوئ؟‬ ‫خپل معلومات د کاغذ په يوه پا‪１‬ه کې وليکئ او ښوونکي ته يې ورک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫څه وخت چې د معلوماتو د راټولولو لپاره پوښتنه کوئ کوالى شئ چې په شفاهي يا ليکلي ډول‬ ‫وپوښتئ‪ .‬ځينې وختونه ښه دا ده چې پوښتنه و نه ک‪７‬و او کتنه (مشاهده) وک‪７‬و تر څو ښه معلومات‬ ‫په الس راوړو او ځينې وختونه بايد تجربه سرته ورسوو تر څو معلومات را ټول ک‪７‬و‪ ،‬د معلوماتو د‬ ‫راټولولو ځينې طريقې (الرې) دا دي‪ :‬چې معلومات د پوښتنو (شفاهي يا ليکلي ډول)‪ ،‬مشاهدې او‬

‫‪187‬‬

‫تجربې په مرسته راټول ک‪７‬و‪.‬‬ ‫مثال‪:‬‬ ‫‪ -1‬که وغواړو چې د يوې کورن‪ ９‬په عايداتو وپوهي‪８‬و‪ ،‬کومه الره (طريقه) به ښه وي چې معلومات را‬ ‫ټول ک‪７‬و او که يا د مخکنيو ﺛبت شوو معلوماتو څخه ‪－‬ټه واخلو؟‬ ‫‪ -2‬که وغواړو چې د شپ‪８‬م ټولگي د زده کوونکو د رياضي نمرې و څي‪７‬و له کومي الرې (طريقي)‬ ‫څخه به ښه وي چې معلومات را ټول ک‪７‬و؟‬ ‫‪ -3‬که وغواړو چې د خويندو او ورو‪１‬و زده کوونکو په شمېر وپوهي‪８‬و‪ ،‬په کومه طريقه معلومات‬ ‫راټولوو؟‬ ‫‪-4‬که وغواړو چې د نوي زي‪８‬يدلو ماشومانو وزن وڅي‪７‬و د اطالعاتو د راټولولو لپاره کومه طريقه ښه ده؟‬ ‫حل‪ :‬په لوم‪７‬ى مثال کې که عايدات ل‪ ８‬وي‪ ،‬نو ښايې زده کوونکي معلومات ورکول خوښ نه ک‪７‬ي‪،‬‬ ‫نو ښه داده چې پرته له نامه له هغوی څخه پوښتنه وک‪７‬و‪.‬‬ ‫په دويم مثال کې امکان لري چې زده کوونکي خپله واقعي نمره ونه وايي ښه داده چې د هغو معلوماتو‬ ‫څخه گټه واخلو چې ﺛبت شوي وي‪.‬‬ ‫په (‪ )3‬مثال کې کوالى شو چې له شفاهي يا ليکل شوو پوښتنو څخه ‪－‬ټه واخلو‪.‬‬ ‫په (‪ )4‬مثال کې بايد د نوو زي‪８‬يدلو ماشومانو وزنونه اندازه ک‪７‬و‪.‬‬

‫پوښتنې‬ ‫‪-1‬که چپرې تاســو وغواړئ چې د خپل کلي د باســواده خلکو شــمېر معلوم ک‪７‬ئ‪ ،‬له کومې طريقې‬ ‫څخه بايد گټه واخلئ؟‬ ‫‪ -2‬که تاســو وغواړئ چې د خپل ښــوونځي د زده کوونکو شــمېر پيدا ک‪７‬ئ له کومې طريقې نه بايد‬ ‫گټه واخلئ؟‬ ‫‪ -3‬کــه تاســو وغواړئ چې د شــپې له خــوا د حيواناتو حال وڅيــ‪７‬ئ‪ ،‬بايد له کومــې طريقې نه ‪－‬ټه‬ ‫واخلئ؟‬ ‫‪ -4‬د اطالعاتــو د راټولولــو د هرې طريقې لپاره د اطالعاتو د راټولولو د څي‪７‬نې دوه ډوله موضوعگانې‬ ‫بيان ک‪７‬ئ‬ ‫شفاهي پوښتنې (مصاحبه)‬ ‫ليکلې پوښتنې‬ ‫مشاهده (کتنه)‬

‫‪188‬‬

‫！ولنه او نمونه‬ ‫‪Population and sample‬‬ ‫يو ‪－‬ن‪６‬ونکى غواړي چې د ښوونځي د زده کوونکو‬ ‫لپاره يو رن‪ ，‬کالي و‪－‬ن‪６‬ي‪.‬‬ ‫‪２－‬دونکــى بايــد د کومو شــا‪－‬ردانو د تنــې لوړوالى‬ ‫اندازه ک‪７‬ي؟‬

‫فعاليت‬ ‫د پوهنې وزارت غواړي چې د رياضي مضمون د درسې ساعتونو په برخه کې څي‪７‬نه وک‪７‬ي چې‬ ‫درسي ساعتونه ورته بس دي که نه؟‬ ‫څه فکر کوئ له چا څخه بايد پوښتنې وشي؟‬ ‫أيا د يو ځانګ‪７‬ي (خاص) ټولګي له ښوونکو څخه پوښتنه وشي؟‬ ‫څه فکر کوئ چې که وغواړو له ټولو اړونده ښوونکو څخه پوښتنې وک‪７‬و‪ ،‬څه ستونزې به وي؟‬ ‫أياهمدا به کافي وي چې له يو شمېر ښوونکو څخه پوښتنې وشي؟‬ ‫أيا همدا به بس وي چې دا ښوونکي يوازې د اووم ټولګي له ښوونکو څخه وټاکو؟‬ ‫په پورتني فعاليت کې د رياضي د ښوونکو څخه بايد پوښتنې وشي‪ ،‬ليکن په کار نه ده چې د ټولنيزو‬ ‫علومو له ښوونکي څخه پوښتنه وشي‪.‬‬ ‫په يوه څي‪７‬نه کې دهغو خلکو ډله او يا شيان چې د اړتيا وړ اطالعات ترې الس ته راوړو‪ ،‬ټولنه يا‬ ‫جامعه ورته وايو‪ .‬که د ټولنې ياجامعې له هر تن څخه اطالعات په الس راوړو‪ ،‬دې کار ته ټول پوښته‬ ‫وايي‪ .‬ځينې وختونه‪ ،‬د ځينو ستونزو له سببه‪ ،‬لکه د وخت کموالى‪ ،‬اقتصادي ستونزې‪ ،‬يا د ټولنې‬ ‫ټولو کسانو ته نه رسيدنې له امله مجبور يو چې د ېوې ټولنې(جامعې) د يوې برخې له غ‪７‬و نه معلومات‬ ‫په الس راوړو‪.‬‬ ‫نمونه د يوې ټولنې(جامعې) د غ‪７‬و يوه برخه ده‪ .‬د يوې ټولنې نمونه‪ ،‬بايد د ټولې ټولنې خاصيتونه او‬ ‫صفتونه ولري‪.‬‬

‫‪189‬‬

‫مثال‪ :‬د ټولنې او د دوى د څي‪７‬نې د موضوع ‪－‬انو مثالونه په الندې ډول دي‪:‬‬ ‫د هرات د ښوونکو د تدريس سابقه ‪ ..............................‬د هرات واليت ښوونکي‬ ‫د شمالي سيمو د پنبې پيداوار ‪ ............................‬د پنبې د پيداوارو اندازه‪.‬‬ ‫د افغانستان زراعتي محصوالت ‪ ..............................‬دافغانستان د محصوالتو ډولونه‪.‬‬ ‫‪ -2‬د نمونې مثالونه په الندې ډول دي‪:‬‬ ‫يو موټى وريجې د يوې بورې وريجو نمونه ده‪.‬‬ ‫ستاسو د ښوونځي د اووم ټولگي زده کوونکي د افغانستان د اوومو ټولگيو د زده کوونکو نمونه‬ ‫ده‪.‬‬ ‫د کندز واليت د رياضي ښوونکي د کندز د واليت د ښوونکو نمونه ده‪.‬‬ ‫غنم د افغانستان د زراعتي محصوالتو نمونه ده‪.‬‬

‫پوښتنې‬ ‫‪ -1‬د څي‪７‬نې د الندې موضوع گانو لپاره يوه ټولنه وټاکئ‪.‬‬ ‫ستاسو د کورنى د غ‪７‬و د تحصيل اندازه‪،‬‬ ‫ستاسو د ټولگي د خويندو او ورو‪１‬و زده کوونکو شمېر‪،‬‬ ‫د علي أباد روغتون د ډاکترانو د کار د ساعتونو شمېر‪،‬‬ ‫له يوه سرک څخه د موټرو د تېريدو وخت‪.‬‬ ‫‪ -2‬د اطالعاتو د راټولولو له پاره په کومو حالتونو کې د سرشميرنې او په کومو حالتونو کې له نمونې‬ ‫اخيستلو څخه کار اخلو‪.‬‬ ‫د افغانستان د نفوسو پيدا کول‪،‬‬ ‫د فوټبال له لوبې سره د ‪ 5‬کلنو ماشومانو د عالقې اندازه‪،‬‬ ‫په اوسط يا منځنى ډول د يو دوه کلن پسه وزن‪،‬‬ ‫د درجې د ټاکلو لپاره د اووم ټولګي د زده کوونکو د رياضي نمرې‪،‬‬ ‫د يوې څا د اوبو د څښلو وړتيا‪،‬‬ ‫د يوې کار خانې له محصوالتو څخه د اخيستونکو (مشتريانو) خوښي‪،‬‬ ‫د کابل ښار د هرې کورن‪ ９‬د اوالدونو شمېر‪.‬‬

‫‪190‬‬

‫تﺼادفي نمونه‬ ‫په دې کارټن کې د اووم ټولګي د زده کوونکو‬ ‫نومونه ليکل شوي دي که زده کوونکی د‬ ‫باسکټبال د ټيم د ټاکلو لپاره د پنځو زده‬ ‫کوونکو نومونه له کارټن څخه راوباسي‪ .‬آﻳا دا‬ ‫يوه تصادفي نمونه ده؟‬

‫فعاليت‬ ‫غواړو چې ستاسو د واليت د لسم ټولگي د زده کوونکو د تنې لوړوالى اندازه ک‪７‬و‪.‬‬ ‫أيا کوالى شو چې ستاسو د واليت د لسم تولگي د ټولو زده کوونکو د تنې لوړوالى اندازه ک‪７‬و؟‬ ‫أيا د دې څي‪７‬نې لپاره کوالى شو چې ستاسو د واليت د لسم ټولگي د باسکټبال د ټيم غ‪７‬ي وټاکو؟‬ ‫ولي؟‬ ‫د نمونې په ډول د خپل ښوونځي لسم ټولگی په پام کې ونيسئ‪ ،‬له هغوى څخه ‪ 6‬کسه د الفبا د‬ ‫تورو د ترتيﺐ په اساس غوره ک‪７‬ئ‪ .‬آيا کيداى شي چې دا نمونه ستاسو د ښوونځي د لسم ټولگي د‬ ‫زده کوونکو د تنې د لوړوالي ښکارندوی وي؟‬ ‫أيا کيداى شي چې د دغو شپ‪８‬و کسانو د تنې لوړوالى ستاسو د واليت د لسم ټولگي د ټولو زده‬ ‫کوونکو د تنې د لوړوالى نمونه وي؟‬ ‫په پورتني فعاليت کې د باسکټبال د ټيم غوره شوې نمونه يوه تصادفي نمونه نه ده‪ ،‬ځکه چې تر مخه‬ ‫اټکل کوالى شو چې د هغوى د ټولو تنې لوړې دي‪ .‬ليکن هغه نمونه چې د الفبا د تورو په اساس‬ ‫ټاکل شوي وي يوه تصادفي نمونه ده‪ ،‬ځکه د زده کوونکو لوړوالى د دوى په نومونو پورې اړه نه لري‪.‬‬ ‫او که له مخکې څخه زده کوونکي ونه پيﮋنو نشو کوالى چې له نومونو څخه د دوى د تنو د لوړوالي‬ ‫اټکل وک‪７‬اى شو‪.‬‬ ‫ددې لپاره چې يوه نمونه د يوې ټولنې او د ټولنې د خصوصيتونو ښکارندوى وي بايد دا الندې‬ ‫خصوصيتونه ولري‪:‬‬

‫‪191‬‬

‫ د نمونې د غ‪７‬ي په توگه د هر کس او يا هر شي ټاکنه امکان ولري‪.‬‬‫ د نمونې د ټاکنې تر مخه ونشو کوالى چې د نمونې د غ‪７‬و په برخه کې قضاوت وک‪７‬و‪.‬‬‫ په نمونه کې د نمونې ټول غ‪７‬ي برابره برخه ولري‪.‬‬‫مثال‪ :‬له الندې نمونو څخه کومه يوه يې تصادفي نمونه ده؟‬ ‫ موضوع‪ :‬د ښار د خلکو د سواد څي‪７‬نه‪.‬‬‫ ټولنه (جامعه)‪ :‬د ښار خلک‪.‬‬‫ لوم‪７‬ۍ نمونه‪ :‬هغه کس چې د مازديګر په ‪ 5‬بجو له سرک څخه تيري‪８‬ي‪.‬‬‫ دويمه نمونه‪ :‬د يوه روغتون ډاکتران‪.‬‬‫حل‪:‬‬ ‫ لوم‪７‬ن‪ ９‬نمونه تصادفي نمونه ده‪ ،‬ځکه چې نه شو کوالى مخکې له مخکې د هغه چا د سواد په‬‫برخه کې چې له سرک څخه تيري‪８‬ي‪ ،‬واړندوينه وک‪７‬و‪.‬‬ ‫ دويمه نمونه يوه غير تصادفي نمونه ده‪ .‬ځکه چې مخکې له مخکې کوالى شو چې د پايلې‬‫(نتيجې) په برخه کې وړاندوينه وک‪７‬و‪ .‬دا نمونه د ټولې ټولنې ښکارندوی نه ده‪.‬‬

‫پوښتنې‬ ‫‪ -1‬په الندې مثالونو کې ټولنه او د څي‪７‬نې وړ موضوع وټاکئ‪.‬‬ ‫موضوع‪ :‬د يوې کار خانې له محصوالتو څخه د اخيستونکو(مشتريانو) خوښي‪.‬‬ ‫نمونه‪ :‬د کارخانې د کاريګرو کورن‪.９‬‬ ‫موضوع‪ :‬د ښار د هرې کورن‪ ９‬د اوالدونو شمېر‬ ‫نمونه‪ :‬د ښار د يوې کوچن‪ ９‬برخې اوسيدونکي چې په تصادفي ډول ټاکل شوي وي‪.‬‬ ‫‪ -2‬د خپل ټولگي د ټولو ملگرو نومونه د کاغذ په وړو وړو پا‪１‬و کې وليکئ او بيا له هغو څخه د‬ ‫پﭽې په اساس پنځه کسان وټاکئ‪ ،‬آﻳا دا نمونه تصادفي ده‪ ،‬ولې؟‬

‫‪192‬‬

‫تﺼادفي متحول او ډولونه يې‬ ‫زلمى بازار ته الړ د مېوو د بېالبېلو رنګونو له‬ ‫ليدلو څخه خوشحاله شو‪ ،‬څو دانې کيلې‪،‬‬ ‫بادرن‪ ，‬او ‪ 2‬کيلو انګور يې واخيستل‪ .‬ددې‬ ‫مېوو د اخيستلو ډول سره څه توپير لري؟‬

‫فعآليت‬ ‫تر څي‪７‬نې الندې د يوې داسې موضوع نوم واخلئ چې د موضوع په برخه کې د اطالعاتو اندازه په‬ ‫الس راوړو‪.‬‬ ‫تر څي‪７‬نې الندې د يوې داسې موضوع نوم واخلئ چې وکوالى شو په شمېرنې سره يې ځواب ورک‪７‬و‪.‬‬

‫د پورتنيو دوو موضوعګانو ځوابونه‪ ،‬په خپل منځ کې څه توپير لري؟‬ ‫تر څي‪７‬نې الندې د يوې داسې موضوع نوم واخلئ چې په عدد سره يې ځواب وويالى شو‪.‬‬ ‫د پورتنيو مثالونو په هر حالت کې يوه ټولنه وڅي‪７‬ئ او معرفي يې ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫په پورتنيو مثالونو کې أيا کوالى شو چې په يوه موضوع کې له اطالعاتو له راټولولو څخه مخکې د‬ ‫جامعې د هر غ‪７‬ي په برخه کې واړندوينه وک‪７‬و؟‬ ‫که ترڅي‪７‬نې الندې موضوع څخه را ټول شوي اطالعات د ټولنې له يوه غ‪７‬ي څخه بل غ‪７‬ي ته د وړاند‬ ‫وينې وړ نه وي داسې موضوع ته تصادفي متحول وايي‪.‬‬ ‫کوالى شو ځينې اطالعات په عدد سره ښکاره ک‪７‬و‪:‬‬ ‫دا ډول متحولين دمقداري يا عددي متحول په نامه يادوو‪ .‬که په مقداري متحول کې ونشو کوالى چې د‬ ‫دوو پرله پسې واحدونو ترمنځ عدد پيدا ک‪７‬و‪ ،‬دې ته منفصل(يو له بله جال) مقداري متحول وايي او که د‬ ‫دوو پرله پسې واحدونو ترمنځ يو عدد پيدا ک‪７‬اى شو‪ ،‬نو متصل مقداري متحول ورته وايي‪.‬‬ ‫په هغه صورت کې چې معلومات پرته له عدده په توصيفي‬ ‫ډول بيان ک‪７‬و‪ ،‬داسې متحول ته کيفي يا توصيفي متحول‬ ‫وايي‪ .‬کوالى شو‪ ،‬پورتني مطلبونه د شکل په مرسته‬ ‫ښکاره ک‪７‬و‪.‬‬

‫‪193‬‬

‫مثال‪ :‬د درېو داسې تصادفي متحولينو نومونه واخلئ چې وکوالى شو په شمېرلو سره‪ ،‬د درېو داسې‬ ‫تصادفي متحولينو نومونه واخلئ چې په اندازه کولو سره او د درېو داسې تصادفي متحولينو نومونه واخلئ‬ ‫چې په توصيفي ډول د دوى په برخه کې خبرې وک‪７‬و‪.‬‬ ‫ﺣﻞ‪:‬‬ ‫کميتي (مقداري) منفصل‬

‫کميتي (مقداري) متصل‬

‫کيفي‬

‫ستاسو د کورن‪ ９‬د غ‪７‬و شمېر‬

‫د زده کوونکو د تنې لوړوالى‬

‫د زده کوونکو د ستر‪－‬و رنگ‬

‫د ښوونځي د ټولگيو شمېر‬

‫ستاسو د ښار د حرارت درجه‬

‫د کارگرانو د سواد اندازه‬

‫د هغه موټرو شمير چې له يوه‬ ‫سرک څخه تيري‪８‬ي‬

‫د پسونو وزن‬

‫د خلکو د خوښې موسيقي‬

‫پوښتنې‬ ‫‪ -1‬د داسې تصادفي متحولينو نومونه واخلئ چې د يوې مادې په درېو ډولونو (مايع‪ ،‬جامد او غاز)‬ ‫پورې اړه ولري‪.‬‬ ‫‪ -2‬آﻳا د مرغومي د مياشتې په ورځو کې د کابل واليت د تودخي (حرارت) درجه تصادفي‪،‬‬ ‫متحولونه دي‪ .‬ولې؟ دا کوم ډول متحول دى؟‬ ‫‪ -3‬آﻳا د هغه موټرو شمېر چې د سهار په اتو بجو‪ ،‬ستاسو له مخې څخه تيري‪８‬ي يو تصادفي متحول‬ ‫دى؟ ولې؟ د متحول ډول وټاکئ‪.‬‬ ‫‪ -4‬له الندې متحولينو څخه کوم يو يې منفصل‪ ،‬متصل اوکوم يو يې کيفي دى‪:‬‬ ‫په يوه ورځ کې د يوې ادارې د ټليفوني مکالمو(خبرو اترو) شمېر‪،‬‬ ‫د يوې ادارې د ټليفوني خبرو اترو وخت‪،‬‬ ‫په يوه ميلمستيا کې د ‪６－‬ون کوونکو جنسيت‪،‬‬ ‫په يوه صندق کې د ليکونو شمېر‪،‬‬ ‫د يوه واليت د خلکو د سواد حالت‪،‬‬ ‫په يوه صندوق کې د ليکونو وزن‪،‬‬ ‫په يوه ورځ کې يوه روغتون ته د راغلو ناروغانو شمېر‪،‬‬ ‫په يو ښار کې د اوسيدونکو د زده ک‪７‬و د درجواندازه (بکلوريا‪ ،‬ليسانس‪ ،‬ماسټر‪ ،‬ډاکتر)‪،‬‬ ‫د يوې ادارې د کارکوونکو مدني حالت‪.‬‬

‫‪194‬‬

‫د فريکونسي ﺟﺪول (‪)Frequency Table‬‬ ‫د ښوونکي په کلمه کې د (و) تورى څووارې‬ ‫تکرار شوى دى؟‬

‫ښوونکى‬

‫فعاليت‬ ‫ستاسو د ښوونځي له ‪ 30‬تنو زده کوونکو څخه چې په تصادفي ډول ټاکل شوي وو‪ ،‬د دوی د خوښې‬ ‫د رنگ په برخه کې پوښتنه وشوه چې د هغوى ځوابونه په الندې ډول دي‪:‬‬

‫شين‬ ‫سور‬ ‫ژي‪７‬‬

‫ابي‬ ‫ژي‪７‬‬ ‫سور‬

‫ژي‪７‬‬ ‫شين‬ ‫ژي‪７‬‬

‫سور‬ ‫ابي‬ ‫ابي‬

‫شين‬ ‫ابي‬ ‫ابي‬

‫سپين‬ ‫شين‬ ‫شين‬

‫ابي‬ ‫ژي‪７‬‬ ‫ابي‬

‫شين‬ ‫سور‬ ‫سور‬

‫أيا په يوه نظر سره ژر ويالى شئ چې کوم رن‪ ，‬تر ټولو زيات او کوم رن‪ ，‬تر ټولو‬ ‫رنگو ل‪ ８‬د عالقې وړ دى؟‬ ‫وشميرئ او وواياست چې د هر رن‪ ，‬خوښوونکي څو دي خپل ځوابونه په تشو‬ ‫ځايونو کې وليکئ‪.‬‬ ‫د ښ‪ ９‬خوا ستون د عددونو مجموعه څو ده؟ دا عدد څه شی ښکاره کوي؟‬ ‫أيا اوس چې رنگونو ته وگورئ د لوم‪７‬ۍ پوښتنې ځواب ژر ويالى شئ؟‬ ‫که د رنګو ترتيﺐ ته تغيير ورک‪７‬و‪ ،‬أيا ستاسو ځواب بدلي‪８‬ي؟‬

‫ژي‪７‬‬ ‫سپين‬ ‫ژي‪７‬‬

‫سور‬ ‫ابي‬ ‫ژي‪７‬‬

‫شمېر رنګونه‬ ‫ابي‬ ‫ژې‪７‬‬ ‫شين‬ ‫سپين‬ ‫سور‬

‫ورته وايي‪.‬‬ ‫د راټولو شوو ديتاگانو په څي‪７‬نه کې چې هيڅ عمل پرې سرته نه وي رسيدلى‪ ،‬خامه‬ ‫په هره څي‪７‬نه کې معلومات په يو جدول کې ترتيبوو چې دې جدول ته د فريکونسي جدول وايي په‬ ‫پورتنى فعاليت کې ددې جدول د کي‪２‬ې خوا ستون د راک‪７‬ل شوو ډيتاگانو يا معلوماتو ښکارندوى او‬ ‫ددې جدول د ښ‪ ９‬خوا ستون د دې معلوماتو د هر يوه فريکونسي ښکاره کوي‪ .‬ځينې وختونه جدول‬ ‫په سطري ډول ترتيبوي او د يو معلومات د ځلونو (وارونو) تکرار ته د دې معلوماتو فريکونسي وايي‪.‬‬

‫‪195‬‬

‫په يوه نمونه کې د فريکونسيو مجموعه د ټولو راک‪７‬ل شوو معلوماتو او يا د نمونې د غ‪７‬و شمېر وي که چيرې‬ ‫‪ f1‬د لوم‪７‬ى ډيټاگانو يا معلوماتو فريکونسي ‪ f 2‬د دويمو ډيټاگانو يا معلوماتو فريکونسي‪ , f n ... ،‬د‬ ‫ام ډيټاگانو يا معلوماتو فريکونسي او د ټولو راک‪ ７‬شوو ډيټاگانو يا معلوماتو شمېر وي‪.‬‬ ‫‪n = f1 + f 2 + ... + f n‬‬ ‫) وايو‪.‬‬ ‫پاملرنه‪ :‬د لوم‪７‬نيو راټول شوي معلوماتو ته ديتا (‬ ‫مثال‪ :‬يو ښار د جامعې او ددې ښار څلويښت کورن‪ ９‬د نمونې په تو‪－‬ه ټاکو‪ ،‬بيا له دې کورنيو څخه‬ ‫د کورنيو د غ‪７‬و د شمېر پوښتنه کوو او الندې معلومات مو الس ته راوړي دي‪.‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪6‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪8‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪7‬‬

‫د ښو معلوماتو د الس ته راوړنې لپاره پورتني معلوماتونه په منظم ډول په الندې جدول کې لن‪ ６‬وو‪.‬‬ ‫په دې جدول کې لوم‪７‬ن‪ ９‬کرښه (سطر) د کورنيو د غ‪７‬و شمېر او دويمه کرښه د کورنيو شمېر ښکاره‬ ‫کوي‪:‬‬ ‫د هرې کورن‪ ９‬د غ‪７‬و شمېر‬ ‫مجموعه‬ ‫‪40‬‬

‫‪8‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪7‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪6‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪8‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪9‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪7‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪5‬‬

‫د کورنيو شمېر‬

‫پورتنى جدول ښکاره کوي چې پنځه کورن‪ ９‬يو‪ ،‬يو او ‪ 8‬کورن‪ 4 ،4 ９‬غ‪７‬ي لري‪ .‬په پورتنيو کورنيو‬ ‫کې يوازې يوه کورن‪ ９‬ده چې ‪ 8‬غ‪７‬ي لري‪.‬‬ ‫پوښتنې‬ ‫‪ -1‬له ‪ 20‬تنو ملګرو‪ ،‬کورنيو يا له خپلو ‪－‬اون‪６‬يو څخه پوښتنه وک‪７‬ئ چې د (فوټبال‪ ،‬واليبال‪ ،‬باسکټبال‬ ‫او د من‪６‬و وهلو) لوبو څخه کومه يوه خوښه ‪２－‬ئ‪ .‬ځوابونه د فريکونسي په جدول کې په لن‪ ６‬ډول‬ ‫وليکئ کومه يوه لوبه يې له نورو څخه ډيره خوښه شوې ده؟‬ ‫د ښار نوم‬

‫‪ -2‬مخامخ جدول د وري په مياشت کې‪ ،‬په منځني ډول د بېال بېلو‬ ‫ښارونو د حرارت درجې د سانتي ‪－‬ري‪ ６‬په حساب ښکاره کوي‪.‬‬ ‫باميان‬ ‫په دې مياشت کې‪ ،‬کوم ښار تر ټولو ښارونو سوړ دى؟‬ ‫کندهار‬ ‫او کوم ښار په دې مياشت کې‪ ،‬تر ټولو ښارونو تود دى؟‬ ‫بلخ‬

‫ننګرهار‬

‫حرارتي اوسط‬ ‫‪20‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪24‬‬ ‫‪25‬‬

‫‪196‬‬

‫تﺼويري (ان‪％‬وريز) ‪－‬راف‬ ‫کــه د يــوه ســ‪７‬ک پــه پيــل کــې د‬ ‫نښه ووينئ‪ ،‬ستاسو ذهن ته څه درځي؟‬

‫فعاليت‬ ‫د لوم‪７‬نيو انسانانو لوستل او ليکل زده نه و چې که تاسو د لوم‪７‬نيو انسانانو په ځاى واى نو د خپلو پسونو‬ ‫د شمېر لو لپاره به مو څه کول؟‬ ‫که مو يو پسه درلود؟‬ ‫که مو پنځه پسونه درلودالى؟‬ ‫که مو سل پسونه درلودالى؟‬ ‫له پورتني فعاليت څخه ښکاري چې د معلوماتو پيﮋندلو لپاره کوالى شو‪ ،‬د سمبولونو او شکلونو‬ ‫څخه گټه واخلو‪ .‬دا طريقه د انځوري يا تصويري ‪－‬راف په نامه يادې‪８‬ي‪ .‬په هغه حالت کې چې د راک‪７‬ل‬ ‫شوو معلوماتو فريکونسي زياته وي‪ ،‬له مقياس څخه گټه اخلو‪.‬‬ ‫مثال‪ :‬يو هنرمند يو شمېر مجسمې په شپ‪８‬و مياشتو (ورى‪ ،‬غوايي‪ ،‬غبر‪－‬ولي‪ ،‬چنگاښ‪ ،‬زمرى او‬ ‫وږى) کې جوړوي او د خپل کار په المارۍ کې يې په الندې ډول ځاى پر ځاى کوي‪:‬‬

‫‪=2‬‬

‫‪197‬‬

‫ورى‬

‫غوايى‬

‫غبرگولى چنگاښ‬

‫زمرى‬

‫وږى‬

‫په کومه مياشت کې ډيرې مجسمې جوړې شوي دي‪ ،‬څو دانې؟‬ ‫په کومه مياشت کې‪ ،‬تر ټولو ل‪８‬ې مجسمې جوړې شوي دي‪ ،‬څو دانې؟‬ ‫حل‪ :‬مقياس دوه دى‪ ،‬نو هره نښه دوه مجسمې ښکاره کوي‪ ،‬تر ټولو زياتي مجسمې د چنګاښ په‬ ‫مياشت کې جوړې شوي دي‪ ،‬ځکه چې ‪ 6 × 2 = 12‬کي‪８‬ي او تر ټولو ل‪８‬ې مجسمې د غبرگولي په‬ ‫مياشت کې جوړې شوي دي‪ ،‬ځکه چې ‪－ ، 3 × 2 = 6‬راف ښکاره کوي‪ .‬د غبر‪－‬ولي او زمري په‬ ‫مياشتو کې برابرې مجسمې جوړې شوي دي‪.‬‬ ‫پوښتنې‬ ‫‪ -1‬خالد يو شمېر کتابونه د الندې انځوريز يا تصويري ‪－‬راف په مرسته ښکاره ک‪７‬ي دي‪:‬‬

‫د کتابونو ډولونه‬

‫خالد له هر ډول کتابونو څخه‪ ،‬څو کتابونه لري؟‬ ‫کوم ډول کتابونه ډير لري؟‬

‫مذهبي‬

‫داستاني‬

‫درسي‬

‫‪ -2‬الندې گراف په بېلو‪ ،‬بېلو ورځو کې‪ ،‬د خالد د مطالعې ساعتونه ښکاره کوي‪.‬‬

‫د اون‪ ９‬ورځې چهارشنبه سه شنبه دوشنبه يک شنبه‬

‫شنبه‬

‫‪ 3‬ساعتونه =‬ ‫د څه ښکاره کوونکي دي؟‬ ‫د څه ښکاره کوونکي دي؟‬ ‫خالد هره روځ څو ساعته مطالعه ک‪７‬ې ده؟‬

‫‪198‬‬

‫مـــوډ )‪(Mode‬‬

‫د لباسونو د جوړولو فابريکه له ځينو رنگونو‬ ‫څخه زياته استفاده کوي څه فکر کوئ چې‬ ‫ولې؟‬

‫فعاليت‬ ‫په يوه واليت کې چې دوه سوه پنځوس زره تنه نفوس لري‪ ،‬درې کسان غواړي چې دملي شوراى‬ ‫غ‪７‬يتوب لپاره ځانونه کانديد ک‪７‬ي‪ ،‬څوک چې زياتې رايې واخلي‪ ،‬د ملي شورا د مجلس غ‪７‬ي کې‪８‬ي‪.‬‬ ‫په رآى ورکولو کې ‪ 150000‬کسانو برخه اخيستې ده‪.‬‬ ‫تاسو غواړی‪ ،‬چې پوه شئ چې له دې کانديدانو څخه کوم يو يې د ملي شورا غ‪７‬يتوب ترالسه ک‪７‬ى دى‪.‬‬

‫لوم‪７‬نى کانديد‪ ...................‬په سلو کې ‪ 30‬رايې اخيستي دي‪.‬‬ ‫دويم کانديد‪ ...................‬په سلو کې رايې اخيستي دي‪.‬‬ ‫دريم کانديد‪ ...................‬په سلو کې رايې اخيستي دي‬ ‫د هر کانديد د رايو د شمير لپاره د فريکونسي جدول جوړ ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫زيا تې رايې چا اخيستي دي؟ څو رايې يې اخيستي دي؟‬ ‫څوک به ملي شوراى ته الړ شي؟‬ ‫أيا د دوو نورو کانديددانو د رايو د شمېر ترمنځ توپير‪ ،‬په ټولټاکنو کې څه تاتير لري؟‬ ‫په پورتني فعاليت کې مو وليدل چې کوالى شو هغه را ټول شوي معلومات پيدا ک‪７‬و چې زياته‬ ‫)‬ ‫فريکونسي لري‪ .‬هغه را ټول شوي معلومات چې زياته فريکونسي ولري موډ ورته وايي‪ .‬موډ(‬ ‫په ډيرو موضوع ‪－‬انو کې استعمالي‪８‬ي‪ ،‬لکه‪ :‬په رايې اچولو‪ ،‬د مالونو په خرڅولو او نورو کې‪.‬‬ ‫لومړى مثال‪ :‬په تيرو شپ‪８‬و مياشتو کې د اووم ټولگي د يوه زده کوونکي د رياضي د مضمون نمرې‬ ‫په دې ډول دى‪:‬‬ ‫‪91‬‬

‫‪199‬‬

‫‪81.5‬‬

‫‪70‬‬

‫‪81‬‬

‫‪91‬‬

‫‪71‬‬

‫د زده کوونکي د نمرو موډ پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫ددې زده کوونکي د نمرو موډ ‪ 91‬دى‪ .‬ځکه چې دا عدد تر ټولو زيات راغلى دی‪.‬‬ ‫پاملرنه‪ :‬امکان لري چې يوه سلسله راک‪７‬ل شوي معلومات يو يا له يوه څخه زيات موډونه ولري او‬ ‫يا هيڅ موډ و نه لري‪.‬‬ ‫دويم مثال‪ :‬الندې راک‪７‬ى شوي عددونه‪:‬‬ ‫‪1 , 1 , 2 , 3 , 4 , 2 , 5 , 7, 5 , 5‬‬ ‫درې موډه لري چې (‪ )1( ،)2‬او(‪ )5‬دي‪.‬‬ ‫او همدارنگه دا عددونه‪ 2,4,3,5,7 :‬هېڅ موډ نه لري‪.‬‬ ‫پوښتنې‬ ‫‪ -1‬د الندې راک‪７‬ل شوو عددونو موډ پيدا ک‪７‬ئ‪:‬‬ ‫‪2 , 2 , 5 , 7 , 9 , 9 , 10 , 10 , 11 , 12 , 18‬‬ ‫‪3 , 5 , 8 , 10 , 2 , 15 , 16‬‬ ‫‪2 , 3 , 4 , 4 , 4 , 5 , 5 , 7, 7, 7‬‬ ‫‪ -2‬د الندې سټونو موډ پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫}‪A = {17, 19, 19, 19, 21‬‬ ‫} ‪B = {1, 4, 10, 61‬‬ ‫}‪C = {0 , 9 , 8 , 5 , 9 , 10, 8‬‬

‫‪ -3‬د يوه زده کوونکي د کلن‪ ９‬أزموينې نمرې په الندې ډول راک‪７‬ل شوي دي موډ يې پيدا ک‪７‬ئ‪:‬‬ ‫دري‬

‫پښتو‬

‫‪68 90‬‬

‫انګليسي‬

‫عربي‬

‫اسالمي زده ک‪７‬ې‬

‫ټولنيز علوم‬

‫بدني روزنه‬

‫هنر‬

‫ساينس‬

‫رياضي‬

‫‪77‬‬

‫‪84‬‬

‫‪78‬‬

‫‪81‬‬

‫‪95‬‬

‫‪80‬‬

‫‪82‬‬

‫‪97‬‬

‫‪ -4‬د لباسونو په يوه پلورنځي کې پنځه ډوله لباسونه چې سور‪ ،‬شين‪،‬سپين‪ ،‬تور او ابي رنګونه لري‬ ‫شته دي‪ ،‬که د سره رن‪ ،9 ，‬د شنه رن‪ ،14 ，‬د تور رن‪،12 ，‬‬ ‫د سپين رن‪ ，‬او د ابي رن‪ ，‬جوړې خرڅې شوي وي د‬ ‫کوم رن‪ ，‬لباسونه زيات خرڅ شوي دي؟‬ ‫‪ -5‬په الندې گراف‪ ،‬کې د موډ تقريبي ځاى وټاکئ‪.‬‬

‫‪200‬‬

‫اوســـﻂ )‪(Mean‬‬ ‫د يوه زده کوونکي د نمرو ا وسط ‪ 87‬دى او‬ ‫د يوه بل زده کوونکي د نمرو اوسط ‪ 82‬دى‬ ‫أيا ويالى شئ چې ووايئ‪ ،‬دويم زده کوونکى‬ ‫په ټولو مضمونونو کې له لوم‪７‬ي زده کوونکي‬ ‫څخه ښه دى؟‬

‫‪37 + 45 + 29‬‬ ‫?=‬ ‫‪3‬‬

‫فعاليت‬ ‫پرويز يوکتاب څلور ورځې پرله پسې لوستى دي په لوم‪７‬ۍ ورځ يې ‪ 12‬پا‪１‬ې‪ ،‬په دويمه ورځ يې ‪14‬‬ ‫پا‪１‬ې‪ ،‬په دريمه ورځ کې ‪ 13‬پا‪１‬ې او په څلورمه ورځ کې ‪ 11‬پا‪１‬ې لوستې دي‪ .‬دا معلومات د الندې‬ ‫‪－‬راف په مرسته ښودل شوي دي‪.‬‬

‫د ورځو شمير‬

‫پرويز څو پا‪１‬ې لوستي دي؟‬ ‫د ميلو پر مخ مربع ‪－‬انې داسې ځاى پر ځاى ک‪７‬ئ چې د څلور واړو ميلو اوږدوالى برابر وي‪ ،‬شکل‬ ‫يې رسم ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫له برابروالى څخه وروسته د ميلو اوږدوالى څو واحده دى؟‬ ‫دميلو مجموعي اوږدوالى څومره دى؟ آﻳا دا مجموعه د کتاب له لوستل شوو مخونو سره څه‬ ‫توپير لري؟‬ ‫څنگه کوالى شو چې د کتاب د ټولو مخونو او ورځو له مخې د برابرو ميلو اوږدوالى پيدا ک‪７‬و؟‬ ‫أيا پرويز کوالى شي چې ووايي په اوسط ډول يې هر ورځ څو مخه لوستې دي؟‬ ‫څلورمه ورځ دريمه ورځ‬

‫دويمه ورځ لوم‪７‬ۍ ورځ‬

‫له پورتنى فعاليت څخه څرگنده شوه چې د څو عددونو اوسط د پيدا کولو لپاره د عددونو مجموعه د‬ ‫عددونو پر شمېر وويشو‪ .‬که عددونه ولرو او په ‪ x1 , x 2 , x 3 ...x n‬سره يې ښکاره ک‪７‬و او اوسط‬ ‫په ‪ X‬سره وښايو نو لرو چې‪:‬‬

‫‪201‬‬

‫‪x l + x 2 + ...x n‬‬ ‫‪n‬‬

‫=‪X‬‬

‫مثال‪ :‬د کال په پاى کې په مختلفو مضمونونو کې‪ ،‬د زرغونې او نازو نمرې په الندې ډول دي‪:‬‬ ‫مضمون رياضي‬

‫زرغونه‬ ‫نازو‬

‫‪78‬‬ ‫‪86‬‬

‫ساينس‬

‫‪78‬‬ ‫‪89‬‬

‫دري‬

‫پښتو‬

‫‪85‬‬ ‫‪85‬‬

‫‪87‬‬ ‫‪88‬‬

‫عربي‬

‫‪79‬‬ ‫‪91‬‬

‫اسالمي زده ک‪７‬ې‬

‫‪90‬‬ ‫‪79‬‬

‫هنرونه‬

‫بدني روزنه‬

‫‪70‬‬ ‫‪89‬‬

‫‪85‬‬ ‫‪90‬‬

‫انګليسي‬

‫ټولنېز علوم‬

‫‪86‬‬ ‫‪92‬‬

‫‪91‬‬ ‫‪73‬‬

‫د نمرو له ليدلو سره أيا ويالى شى چې ووايئ‪ ،‬کومې زده کوونکې ښه درس ويلى دى؟‬ ‫د اوسط په پيدا کولو سره خپل نظر وواياست‪.‬‬ ‫که ښوونځـی زرغونې ته د دويم ځل لپاره د ازموينې ورکولو وخت ورک‪７‬ئ چې خپل اوسط پورته‬ ‫ک‪７‬ي‪ ،‬نو د کوم مضمون ازموينه بايد د دويم ځل له پاره ورک‪７‬ي؟‬ ‫د دې لپاره چې د زرغونې اوسط ‪ 85‬ته ورسي‪８‬ي‪ ،‬نو د هنرونو په مضمون کې بايد څو نمرې‬ ‫واخلي؟‬ ‫آﻳا امکان لري چې د دې د نمرو اوسط ‪ 90‬ته ورسي‪８‬ي؟‬ ‫حل‪:‬‬

‫‪86 + 91 + 85 + 70 + 90 + 79 + 87 + 85 + 78 + 78 829‬‬ ‫‪831‬‬ ‫=‬ ‫‪== 83.1‬‬ ‫د زرغونه د نمبرو اوسط ‪82.9‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪92 + 73 + 90 + 89 + 79 + 91 + 88 + 85 + 89 + 86 862‬‬ ‫‪862‬‬ ‫=‬ ‫‪==86.2‬‬ ‫د نازو د نمبرو اوسط ‪86.2‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪10‬‬

‫هغه نمره چې زرغونه يې بايد د هنرونو د مضمون په دويمه ازموينه کې په الس راوړي داسې پيدا‬ ‫‪86 + 91 + 85 +‬‬ ‫‪+ 90 + 79 + 87 + 85 + 78 + 78‬‬ ‫کوو‪:‬‬ ‫‪= 85‬‬ ‫‪= 85‬‬

‫‪+ 10‬‬ ‫‪90 + 79 + 87 + 85 + 78 + 78‬‬

‫‪86 + 91 + 85 +‬‬

‫‪10‬‬ ‫‪+ 759 = 85 · 10 = 850‬‬ ‫‪+ 759 = 85 · 10 = 850‬‬ ‫‪= 850 - 759 = 91‬‬ ‫‪= 850 - 759 = 91‬‬

‫ددې لپاره چې د زرغونې د نمرو اوسط ‪ 85‬شي‪ ،‬بايد د هنرونو په مضمون کې ‪ 91‬نمرې په الس‬ ‫راوړي او ددې لپاره چې د زرغونې د نمرو اوسط شي‪ ،‬داسې عمل کوو‪:‬‬ ‫‪= 90‬‬ ‫‪= 90‬‬

‫‪+ 90 + 79 + 87 + 85 + 78 + 78‬‬

‫‪86 + 91 + 85 +‬‬

‫‪10 + 79 + 87 + 85 + 78 + 78‬‬ ‫‪+ 90‬‬

‫‪86 + 91 + 85 +‬‬

‫‪10‬‬ ‫‪+ 759 = 90 × 10 = 900‬‬ ‫‪+ 759 = 90 × 10 = 900‬‬ ‫‪= 900 - 759 = 141‬‬

‫داسې نمره امکان نه لري‪ ،‬نو د يوې بلې ازموينې په ورکولو سره د زرغونې د نمرو اوسط د هنرونو په‬ ‫‪= 900 - 759 = 141‬‬ ‫مضمون کې هي（کله ‪ 90‬نمرې نه کي‪８‬ي‪.‬‬

‫‪202‬‬

‫پوښتنې‬ ‫‪ -1‬د درې زراعتي فارمونو د تيرو پنځو کلونو د پنبې پيداوار د ټن په حساب په الندې ډول دى‪:‬‬

‫لوم‪７‬ن‪ ９‬مزرعه‪:‬‬

‫‪8‬‬

‫‪20‬‬

‫‪13‬‬

‫‪15‬‬

‫‪12‬‬

‫دويمه مزرعه‪:‬‬

‫‪13‬‬ ‫‪10‬‬

‫‪7‬‬ ‫‪11‬‬

‫‪18‬‬ ‫‪8‬‬

‫‪17‬‬ ‫‪9‬‬

‫‪11‬‬ ‫‪18‬‬

‫دريمه مزرعه‪:‬‬

‫په تيرو پنځو کلونو کې د هرې مزرعې د پيداوارو اوسط پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫په اوسط ډول د کومې مزرعې پيدا وار زيات دي؟‬ ‫‪ -2‬د يوې کورن‪ ９‬د شپ‪８‬و کسانو مياشتنى عايد په الندې ډول دى‪:‬‬ ‫‪ 5000‬افغان‪ 10000 ،９‬افغان‪ 8000 ،９‬افغان‪ 5000 ،９‬افغان‪ 15000 ،９‬افغان‪ ９‬او‬ ‫ددې کورن‪ ９‬د عايد مجموعه پيدا ک‪７‬ئ؟‬ ‫ددې کورن‪ ９‬د مياشتني عايد اوسط پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪ -3‬د فوټبال دملي ټيم د لوبغاړو عمرونه په الندې ډول دي‪:‬‬ ‫‪22‬‬ ‫‪21‬‬

‫‪23‬‬ ‫‪31‬‬

‫‪18‬‬ ‫‪33‬‬

‫‪31‬‬ ‫‪25‬‬

‫‪19‬‬ ‫‪25‬‬

‫‪29‬‬ ‫‪29‬‬

‫‪26‬‬ ‫‪23‬‬

‫‪26‬‬ ‫‪27‬‬

‫افغان‪９‬‬

‫‪24‬‬ ‫‪26‬‬ ‫‪25‬‬

‫‪27‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪26‬‬

‫د لوبغاړو د ټيم د عمرونو اوسط پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫د هغو لوبغاړو شمېر پيدا ک‪７‬ئ چې عمرونه يې تر اوسط زيات او هم د هغو لوبغاړو شمېر پيدا ک‪７‬ئ‬ ‫چې عمرونه يې تر اوسط ل‪ ８‬دي‪.‬‬ ‫‪ -4‬د ‪ a, 8 , 7, 3, 9, 5 , 8, 3‬او ‪ 4‬نهو عددونو اوسط ‪ 5.5‬دى‪ ،‬پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬

‫‪203‬‬

‫‪ -5‬د احمد او حامد د کلن‪ ９‬ازموينې نمرې په الندې جدول کې راک‪７‬ل شوې دي‪.‬‬ ‫مضمون رياضي‬

‫ساينس‬

‫عربي‬

‫انګليسي‬

‫دري‬

‫پښتو‬

‫ټولنيز علوم‬

‫بدني روزنه‬

‫هنرونه اسالمي زده ک‪７‬ې‬

‫احمد‬

‫‪73‬‬

‫‪71‬‬

‫‪76‬‬

‫‪86‬‬

‫‪93‬‬

‫‪75‬‬

‫‪82‬‬

‫‪85‬‬

‫‪62‬‬

‫‪92‬‬

‫حامد‬

‫‪85‬‬

‫‪65‬‬

‫‪76‬‬

‫‪82‬‬

‫‪94‬‬

‫‪78‬‬

‫‪66‬‬

‫‪93‬‬

‫‪91‬‬

‫‪82‬‬

‫د هر يوه د نمرو اوسط پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫د دوى د نمرو د اوسطونو د پرتله کولو له مخې وواياست چې کوم يوه زياتې نمرې اخيستي دي‪.‬‬

‫‪204‬‬

‫د اووم څپرکي لنډيز‬ ‫) وايي‪.‬‬ ‫را ټول شوو معلوماتو ته‪ ،‬ډيټا (‬ ‫ د معلوماتو د را ټولولو طريقې عبارت دي له‪:‬‬‫ پوښتنې (شفاهي يا تحريري)‪ ،‬کتنه (مشاهده)‪ ،‬د تجربې سرته رسول او يا له ليکل شوو معلوماتو څخه‬‫گټه اخيستل‪.‬‬ ‫احصاﺋيوي ټولنه يا په لن‪ ６‬ډول ټولنه‪ ،‬د هغو کسانو او يا شيانو مجموعه ده چې د غ‪７‬و په برخه کې يې‬ ‫د اړتيا وړ معلومات السته راوړو‪.‬‬ ‫د ټولنې يا جامعې يوې برخې ته نمونه وايي‪.‬‬ ‫د يوې ټولنې د غ‪７‬و شمېر ته‪ ،‬د ټولنې اندازه او د نموني د غ‪７‬و شمېر ته‪ ،‬د نمونې اندازه وايي‪.‬‬ ‫د يوې ټولنې د پېﮋندلو لپاره‪ ،‬هغه نمونه چې له ټولنې څخه ټاکل کې‪８‬ي بايد تصادفي نمونه وي‪ .‬د‬ ‫نمونې د ټاکلو شرطونه په الندې ډول دي‪:‬‬ ‫ د نمونې د هر غ‪７‬ي ټاکل امکان ولري‪.‬‬‫ د يوې نمونې د ټاکلو تر مخه د نمونې د خصوصياتو په برخه کې قضاوت ونه شو کوالى‪.‬‬‫د يوې موضوع په برخه کې راټول شوو معلوماتو ته ناڅاپي (تصادفي) متحول وايي‪.‬‬ ‫ناڅاپي يا تصادفي متحولونه په دوه ډوله دى‪:‬‬ ‫ مقداري يا عددي متحول چې د اندازه کولو وړ وي‪.‬‬‫ کيفي يا غير عددي متحول چې د اندازه کولو وړ نه وي‪.‬‬‫مقداري يا عددي متحول په دوه ډوله دى‪:‬‬ ‫ يو متصل دى چې د هرو دوو مقدارونو ترمنځ کوالى شو بل مقدار پيدا ک‪７‬و‪.‬‬‫ بل سره بيل (جال) مقداري متحول يا منفصل متحول دى‪.‬‬‫که ‪ x1 , x 2 , ...x n‬د يوې موضوع راک‪７‬ل شوي معلوماتو نه وي د راک‪７‬ل شوو معلومات تکرار د‬ ‫راک‪７‬ل شوو معلوماتو د فريکونس‪ ９‬په نامه يادي‪８‬ي او معموالَ يې په ‪ f1 , f 2 , ...f n‬سره ښکاره کوي‪.‬‬ ‫ځينې وختونه د اطالعاتو د پيﮋندلو لپاره له نښو (سمبولونو) او شکلونو څخه استفاده کوي چې‬ ‫انځوري يا تصويري گراف ورته وايي‪.‬‬ ‫)‪ :‬هغه راک‪７‬ل شوي معلومات دي چې ډيره فريکونسي ولري‪.‬‬ ‫موډ (‬ ‫د ارقامو د جمعې حاصل که د ارقامو پر شمېر وويشو‪ ،‬د ارقامو اوسط په الس راځي‪.‬‬

‫‪205‬‬

‫د اووم څپرکي پوښتنې‬ ‫‪ -1‬الندې موضوع گانې په پام کې ونيسئ او ددې فرضيو د تجربه کولو لپاره د معلوماتو د راټولولو لپاره‬ ‫د ښې طريقې په برخه کې تصميم ونيسئ‪.‬‬ ‫ زيات خلک دا فکر کوي چې د موټرو په تم ځاى کې‪ ،‬تر ټولو ل‪ ８‬سرعت بايد معلوم وي‪.‬‬‫ د مطالعې په وخت کې موسيقي ته غوږ نيول په يادولو کې مرسته کوي‪.‬‬‫ د غذايي رژيم مراعاتول د فکر د کمزورۍ سبﺐ گرځي‪.‬‬‫‪ -2‬که چيرې وويل شي چې په تيرو کلونو کې‪ ،‬په اوسط ډول د کورنيو د اوالدونو شمېر ‪ 7‬تنه او اوس‬ ‫‪ 5‬تنه دي‪ ،‬که له تاسو څخه وغوښتل شي چې يوه د ‪ 100‬کورنيو نمونه په پام کې ونيسئ او ددې‬ ‫موضوع سموالى وڅي‪７‬ئ په دې څې‪７‬نه کې تاسو جامعه (ټولنه) او نمونه وښاياست‪.‬‬ ‫‪ -3‬د يوې څي‪７‬نيزې موضوع او ټولنې نوم واخلئ چې ستاسو ټولگى يې نمونه وي‪.‬‬ ‫‪ -4‬د څي‪７‬نې له يوې موضوع او د افغانستان له ټولنې څخه د يوې نمونې نوم واخلئ‬ ‫‪ -5‬تش ځايونه ډک ک‪７‬ئ‪:‬‬ ‫ که د يوې ټولنې غ‪７‬ي د مطالعې الندې ونيول شي نو وايو چې ‪ .....................‬مو ک‪７‬ى ده‪.‬‬‫ نمونه د يوې جامعې (ټولنې) ‪ ............................‬مجموعه ده‪.‬‬‫ د يوې ټولنې د غ‪７‬و شمېر ته د جامعې ‪ .............................‬وايي‪.‬‬‫ د يوې نمونې د غ‪７‬و شمېر ته د نمونې ‪ .......................‬وايي‪.‬‬‫‪ -6‬نا څاپې (تصادفي) متحولونه په څو ډوله دى؟‬ ‫‪ -7‬د څلورو ډولونو تصادفي متحولينو نومونه وواياست او د کميت او کيفيت له مخې د هر يوه ډول‬ ‫وټاکئ‪.‬‬ ‫‪ -8‬د څلور ډولونو کمى متحولينو نومونه وواياست چې دوه يې متصل او دوه يې منفصل وي‪.‬‬ ‫‪ -9‬د شپ‪ ８‬ډوله ناڅاپي (تصادفي) متحولينو نومونه وواياست چې درې يې د اندازې وړ او درې نورې‬ ‫يې د اندازې وړ نه وي‪.‬‬ ‫‪ -10‬په دې جمله کې چې ( زه د اتم ټولگي زده کوونکى يم) د کوم حرف فريکونسي زياته ده؟‬ ‫‪ -11‬د يو لس کسيز ‪－‬روپ د تنې لوړوالى د سانتي متر په حساب الندې ډول راک‪７‬ل شوى دي‪:‬‬

‫‪156‬‬

‫‪170‬‬

‫‪151‬‬

‫‪177‬‬

‫‪175‬‬

‫‪177‬‬

‫‪156‬‬

‫‪159‬‬

‫‪152‬‬

‫‪177‬‬

‫د ‪ 177‬عدد او د ‪ 159‬عدد فريکونسي وليکى‪.‬‬

‫‪206‬‬

‫‪ -12‬د يو ښار‬ ‫وويشئ‪:‬‬ ‫مجموعه‬

‫‪40‬‬

‫‪156‬‬

‫‪170‬‬

‫‪151‬‬

‫‪177‬‬

‫‪175‬‬

‫‪177‬‬

‫‪156‬‬

‫‪159‬‬

‫‪152‬‬

‫‪177‬‬

‫کورن‪ ９‬د نمونې په ډول ټاکل شوي دي‪ ،‬په دريو ډلو يې د الندې جدول په شان‬

‫هغه کورن‪ ９‬چې د غ‪７‬و هغه کورن‪ ９‬چې د غ‪７‬و‬ ‫شمېر يې متوسط وي‬ ‫شمېر يې زيات وي‬

‫‪20‬‬

‫هغه کورن‪ ９‬چې د غ‪７‬و‬ ‫شمېر يې ل‪ ８‬وي‬

‫د کورن‪ ９‬ډول‬

‫‪8‬‬

‫د کورنيو شمېر‬

‫‪12‬‬

‫د ‪ ،12‬او عددونه د څه په نامه يادوي‪.‬‬ ‫‪ -13‬په ژوب‪ ０‬کې د الندې جدول په شان پنځه ډوله کبان ساتل کې‪８‬ي‪:‬‬ ‫‪ 200000‬دويم ډول‬ ‫لوم‪７‬ى ډول‬

‫دريم ډول‬

‫‪ 500000‬پنځم ډول‬ ‫څلورم ډول‬

‫‪80 400000‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪250000‬‬

‫‪120‬‬

‫‪110 350000‬‬ ‫‪70‬‬ ‫‪450000‬‬

‫کبانو ښکاره کوونکى وي‪ ،‬گراف يې رسم ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫د‬ ‫که‬ ‫‪ -14‬د الندې ډيتا موډ پيدا ک‪７‬ئ‪:‬‬ ‫‪110‬‬ ‫‪70‬‬ ‫‪120‬‬ ‫‪80‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪, 50‬‬ ‫‪137‬‬ ‫‪155‬‬ ‫‪139‬‬ ‫‪150‬‬ ‫‪155‬‬ ‫‪ -15‬که پورتني ډيټا دوه چنده ک‪７‬و د موډ په اندازه کې څه توپير راځى‪.‬‬ ‫‪132‬‬ ‫‪130‬‬ ‫‪160‬‬ ‫‪135‬‬ ‫‪141‬‬ ‫راښيئ‪:‬‬ ‫‪ 144‬سانتي متر‪142‬په حساب‬ ‫‪158‬تنې لوړوالى د‬ ‫‪ -16‬الندې ډيتا د زده کوونکو د‬ ‫‪151‬‬ ‫‪150‬‬ ‫‪141‬‬ ‫‪155‬‬

‫‪140‬‬ ‫‪150‬‬

‫‪138‬‬ ‫‪139‬‬

‫‪146‬‬ ‫‪155‬‬

‫‪156‬‬ ‫‪137‬‬

‫‪141‬‬ ‫‪158‬‬ ‫‪141‬‬

‫‪135‬‬ ‫‪144‬‬ ‫‪140‬‬

‫‪160‬‬ ‫‪142‬‬ ‫‪138‬‬

‫‪130‬‬ ‫‪150‬‬ ‫‪146‬‬

‫‪132‬‬ ‫‪151‬‬ ‫‪156‬‬

‫ د زده کوونکو د تنو د لوړوالي اوسط کې پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬‫ که دا ډيټا د په عدد کې ضرب ک‪７‬و په اوسط کې به څه بدلون راشي؟‬‫ که د هرې ډيټا څخه د عددکم ک‪７‬و‪ ،‬څه بدلون به په اوسط کې راشي؟‬‫وي‪ ،‬د ډيټا مجموعه پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪ -17‬که له راک‪７‬ل شوي ډيټا شمېر او د ډيټا اوسط‬

‫‪207‬‬

‫‪ -18‬د شپ‪８‬م ټولگي د تنو زده کوونکو د څلور نيم مياشتې ازموينې نمرې په الندې جدول کې‬ ‫راک‪７‬ل شوي دي وواياست چې د کوم زده کوونکي د نمرو اوسط زيات دى‪.‬‬ ‫مضمون رياضي ساينس عربي انګليسي‬

‫پښتو‬

‫دري اسالمي زده ک‪７‬ې هنرونه‬

‫بدني روزنه‬

‫ټولنيز علوم‬

‫محمود‬

‫‪24‬‬

‫‪35‬‬

‫‪20‬‬

‫‪25‬‬

‫‪27‬‬

‫‪22‬‬

‫‪36‬‬

‫‪34‬‬

‫‪30‬‬

‫‪40‬‬

‫احمد‬

‫‪22‬‬

‫‪26‬‬

‫‪28‬‬

‫‪30‬‬

‫‪35‬‬

‫‪40‬‬

‫‪37‬‬

‫‪32‬‬

‫‪38‬‬

‫‪33‬‬

‫منصور‬

‫‪40‬‬

‫‪38‬‬

‫‪32‬‬

‫‪30‬‬

‫‪33‬‬

‫‪35‬‬

‫‪33‬‬

‫‪40‬‬

‫‪39‬‬

‫خالد‬

‫‪40‬‬

‫‪30‬‬

‫‪20‬‬

‫‪35‬‬

‫‪38‬‬

‫‪34‬‬

‫‪22‬‬

‫‪27‬‬

‫‪30‬‬

‫پﮋواک‬

‫‪35‬‬

‫‪38‬‬

‫‪39‬‬

‫‪40‬‬

‫‪35‬‬

‫‪26‬‬

‫‪28‬‬

‫‪40‬‬

‫‪35‬‬

‫‪208‬‬

‫اتـم څپـرکى‬ ‫احـتماﻻت‬

‫احتماالت له موږ سره مرسته کوي چې د پېښو د‬ ‫وړاند وينې له مخې د راتلونکى وخت لپاره پالن‬ ‫جوړ ک‪７‬و‪.‬‬

‫ﭼانﺲ‬ ‫آيا سبا هم د باران د اوريدو چانس شته دى؟‬

‫ﺗﺼﻮﻳﺮ از اﺑﺮ و ﺑاران‬

‫ﻓعاﻟﻴت‬ ‫د ورځنيو تجربو په اساس د الندې پېښو د پيښيدو چانس په خامخا (حتمي) شونى(امکان لري)‬ ‫او ناشوني(ناممکن) ځوابونو سره وواياست‪ ،‬خپل ځوابونه د عبارتونو مخامخ په تشو ځايونو کې‬ ‫وليکئ‪.‬‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫زموږ هر ټولګيوال د ورځې يو ‪－‬يالس شيدې څښي‪.‬‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫پيل الوزي‪.‬‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫د کوټې په بام د فوټبال په پن‪６‬وس (توپ) لوبې کول خطر نه لري‪.‬‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫لمر له ختيځه راخيﮋي‪.‬‬ ‫د يوې روپ‪ ９‬په پورته اچولو کې‪ ،‬نتيجه کيداى شي چې د روپ‪ ９‬مخ يا شا(شېر يا خط وي)‪.‬‬

‫د روپ‪ ９‬د مخ چانس نيمايي ( ‪ ) 1‬دى‪.‬‬ ‫‪2‬‬

‫(‬

‫)‬

‫(‬

‫)‬

‫)‬ ‫(‬ ‫که يوه روپ‪ ９‬پورته واچول شي بيرته نه رالوي‪８‬ي‪.‬‬ ‫له پورتنيو کلمو څخه سربيره چې د پوښتنو د ځوابونو لپاره مو کارولى دي‪ ،‬کوالى شو‪ ،‬نورې‬ ‫مناسبې کلمې د پورته کلمو پر ځاى وليکئ‪:‬‬ ‫)‬ ‫) ‪( ،‬‬ ‫خامخا (‬ ‫)‬ ‫) ‪( ،‬‬ ‫امکان لري(‬ ‫)‬ ‫) ‪( ،‬‬ ‫امکان نه لري(‬

‫‪211‬‬

‫له پاسني فعاليت څخه الندې نتيجه په الس راځي‪.‬‬ ‫پايله‪:‬‬ ‫هره پېښه (حادﺛه) کوالى شو چې د خامخا‪ ،‬شونی او نا شونی او يا ددې د معادلو کلمو‪ ،‬لکه سل په‬ ‫سلو کې‪ ،‬ښايي او يا هيڅ‪ ،‬سره ارزيابي ک‪７‬و‪ .‬او د چانس د کلمې په کارولو سره وړاندوينه وک‪７‬و‪.‬‬ ‫مثال‪ :‬د الندې جملو مخامخ په تشو ځايونو کې د خامخا‪ ،‬ښايې‪ ،‬په سلو کې سل‪ ،‬په سلو کې صفر‬ ‫(‪ )0%‬کلمې وليکئ‪:‬‬ ‫‪ )a‬له منى وروسته ژمى راځى‪.‬‬ ‫‪ )b‬لمر په شمال کې پريوزي‪.‬‬ ‫‪ )c‬د گاون‪６‬ي چرګ يوه پښه لري‪.‬‬ ‫‪ )d‬له شين اسمان څخه تل ږل‪ ９‬اوري‪.‬‬ ‫‪ )e‬د ماشومانو خواږه نه دي خوښ‪.‬‬ ‫‪ )f‬يو پن‪６‬وس چې هوا ته اچول شوى وي‪ ،‬ځمکې ته را‪－‬رځي‪.‬‬

‫(خامخا‪ ،‬په سلو کې سل)‬ ‫(ناشونی‪ ،‬په سلو کې صفر)‬ ‫( شونی‪ ،‬ښايي)‬ ‫(ناشونی‪ ،‬په سلو کې صفر)‬ ‫( شونی‪ ،‬ښايې)‬ ‫(خامخا‪ ،‬سل په سلو کې)‬

‫پوښتنې‬ ‫له خپل ورځني ژوند څخه‪ ،‬د خامخا‪ ،‬شونې (امکان لري) او ناشونې( امکان نه لري) کلمو لپاره‬ ‫مثالونه پيدا او په تشو ځايونو کې يې وليکئ‪:‬‬ ‫‪ -1‬خامخا(حتمي)‪:‬‬ ‫‪ )a‬ځمکه د لمر پر شاوخوا څرخي‪.‬‬ ‫‪............................................. )b‬‬ ‫‪............................................ )c‬‬ ‫‪ -2‬شونې (ممکن)‪:‬‬ ‫‪ )a‬امکان لری چې نن شپه دخپل نيکه د ليدو لپاره الړ شم‪.‬‬ ‫‪..........................................‬‬ ‫‪)b‬‬ ‫‪.........................................‬‬ ‫‪)c‬‬ ‫‪ -3‬ناشونې(ناممکن)‪:‬‬ ‫‪ )a‬اوښ الوزي‬ ‫‪.....................................‬‬ ‫‪)b‬‬ ‫‪.....................................‬‬ ‫‪)c‬‬

‫‪212‬‬

‫احتمال )‪)Probability‬‬ ‫زلمي د خپل ټولگي يوه ملگري ته وويل‪:‬‬ ‫ماسپښين ما ته راشه چې د فوټبال لوبه‬ ‫وک‪７‬و‪.‬‬ ‫ملگري يې ځواب ورک‪:７‬‬ ‫شونى(امکان لري) دى چې درشم‪.‬‬

‫فعاليت‬ ‫د خپلو ورځنيو چارو له مخې په داسې ډول چې درک‪ ７‬شوې فيصدي په پام کې ونيسئ‪ ،‬د شونو(امکاناتو)‬ ‫د مختلفو درجو مثالونه ووايئ چې د يوې پېښې د احتمال فيصدي پکې موجوده وي‪.‬‬ ‫‪ 95% -1‬شونى دى چې سبا ښوونځى ته راشم‪.‬‬ ‫(‪ 95‬فيصده)‬ ‫‪ 0% -2‬وزه الوزي‬ ‫(‪ 0‬فيصده)‬ ‫‪................................................................. -3‬‬ ‫(‪ 10‬فيصده)‬ ‫‪................................................................. -4‬‬ ‫(‪ 50‬فيصده)‬ ‫‪................................................................ -5‬‬ ‫(‪ 20‬فيصده)‬ ‫‪................................................................. -6‬‬ ‫(‪ 75‬فيصده)‬ ‫‪................................................................. -7‬‬ ‫(‪ 80‬فيصده)‬ ‫‪................................................................ -8‬‬ ‫(‪ 99‬فيصده)‬ ‫‪................................................................. -9‬‬ ‫(‪ 100‬فيصده)‬ ‫‪............................................................... -10‬‬ ‫(‪ 1‬فيصده)‬ ‫پوښته‪ :‬هغه مثال مو چې په پورتني فعاليت کې د ‪ 5‬شميرې لپاره راوړى دى‪ ،‬د خپل څن‪ ，‬ملګرې‬ ‫ته يې وښاياست او له هغه نه پوښتنه وک‪７‬ئ چې آيا د هغه نظر هم له تا سو سره يو شان دی چې د‬ ‫پيښې د پيښيدو احتمال ‪ 20%‬دى؟‬ ‫له پورتني فعاليت څخه الندې نتيجه السته راځي‪:‬‬

‫‪213‬‬

‫پايله‪:‬‬ ‫د يوې پيښې د پېښېدو د احتمال د وړاند وينې لپاره يوه ناشونې پيښه په (‪ )0%‬او د خامخا شونې پيښه‬ ‫په ‪ 100%‬ښکاره کوي‪.‬‬ ‫د شونو(امکان لرونکو) پيښو د پېښېدو احتمال تل د(‪ )0‬او يو (‪ )1‬په منځ کې واقع کې‪８‬ي‪.‬‬ ‫مثال‪ :‬د بخت د ازميښت څرخ(طالع بجنګان) لوبه داسې په‬ ‫پام کې نيسو چې د شکل په شان لکه د ساعت ستنه په يوه رنګه‬ ‫شوې برخه دري‪８‬ي‪.‬‬ ‫د الندې پيښو د احتمال فيصدي داسې پيدا ک‪７‬ئ چې ستنه له‬ ‫څرخيدو وروسته په الندې رنګونو ودري‪８‬ي‪.‬‬

‫‪ -1‬د دې احتمال چې په نارنجي رن‪ ，‬ودري‪８‬ي ‪ 50%‬دى‪ ،‬ځکه چې‪:‬‬

‫‪1 50‬‬ ‫(د نارنجي رن‪ ，‬د سطحې نسبت د ټولې دايرې سطحې ته)‬ ‫=‬ ‫‪= 50%‬‬ ‫‪2 100‬‬ ‫‪1 25‬‬ ‫=‬ ‫‪ -2‬د دې احتمال چې په سره رن‪ ，‬ودري‪８‬ي (‪ )25%‬دى‪ ،‬ځکه چي‪= 25% :‬‬ ‫‪4 100‬‬ ‫‪0‬‬ ‫=‪0‬‬ ‫‪ -3‬د دې احتمال چې په تور رن‪ ，‬ودري‪８‬ي (‪ )0%‬دى‪ ،‬ځکه چې‪= 0% :‬‬ ‫‪100‬‬

‫پوښتنې‬ ‫د پورتني مثال د بخت د ازمايښت څرخ په پام کې ونيسئ د الندې پيښو احتمال حساب ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪ -1‬د دې احتمال چې ستنه (عقربه) په ابي يا شنه رن‪ ，‬ودري‪８‬ي‪.‬‬ ‫‪ -2‬د دې احتمال چې ستن په ژي‪ ７‬رن‪ ，‬ودري‪８‬ي‪.‬‬ ‫‪ -3‬د کومو رنګونو احتمال سره برابر دى؟‬ ‫‪ -4‬د کوم رن‪ ，‬احتمال د بل رن‪ ，‬دوه برابره دى؟ قيمتونه يې پيدا ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪ -5‬يوازې دا احتمال چې په يو اختياري رن‪ ，‬ودري‪８‬ي؟ (د ټولو رنګونو)‬

‫‪214‬‬

‫د يوې تﺼادفي پي‪＋‬ې تﺠرﺑه‬

‫له ښ‪ ９‬خوا څخه د واليبال د لوبې د پيل‬ ‫کېدو لپاره د ميدان رفري يوه روپ‪ ９‬د دواړو‬ ‫ټيمونو لپاره پورته واچوله‪.‬‬ ‫آﻳا ويالى شئ چې د واليبال ددې دواړو‬ ‫ټيمونو څخه کوم يو به لوم‪７‬ى له ښ‪ ９‬خوا‬ ‫سرويس وک‪７‬ي؟‬

‫فعاليت‬ ‫يوه روپ‪ ９‬څو وارې هوا ته واچوئ‪ ،‬د روپ‪ ９‬په مخ يا شا د راتلو پايلې په خپل نامه په الندې جدول کې‬ ‫شا (شير)‬ ‫وليکئ‪ .‬د پيښې احتمال حساب ک‪７‬ئ مخ (خط) ‪،‬‬ ‫احتمال‬

‫د پر مخ يا خط د‬ ‫راتللو شمېر‬

‫د روپى د پورته اچولو‬ ‫وارونه(ځلونه)‬

‫د ازميښت د سرته‬ ‫رسولو مسﺆول‬

‫شمېر‬

‫‪3‬‬ ‫‪8‬‬

‫‪3‬‬

‫‪ 8‬ځلې‬

‫ﻣﺤﻤﻮد‬

‫‪1‬‬

‫‪215‬‬

‫‪ 15‬ځلې‬

‫‪2‬‬

‫‪ 20‬ځلې‬

‫‪3‬‬

‫‪ 25‬ځلې‬

‫‪4‬‬

‫‪ 40‬ځلې‬

‫‪5‬‬

‫‪ 20‬ځلې‬

‫‪6‬‬

‫‪ 30‬ځلې‬

‫‪7‬‬

‫له پورتني فعاليت څخه کوالى شو چې الندين‪ ９‬دوي نتيجې واخلو‪.‬‬ ‫پايله‪:‬‬ ‫‪ -1‬د يوې پيښې د چانس بيانول په عدد سره‪ ،‬د احتمال په نوم يادي‪８‬ي‪.‬‬ ‫‪ -2‬په پورتني فعاليت کې وليدل شوه چې د تجربو نتيجې د مختلفو کسانو لپاره‪ ،‬يوه له بلې سره‬ ‫توپير لري‪.‬‬ ‫مثال‪ :‬د افغانستان د پنځو وروستنيو کلونو د ورزشي ټيمونو د لوبو نتيجې څرگندوي چې‪ :‬په سيمه‬ ‫ييزو سياليو کې د نجونو د تکواندو ټيم د لوبې گټوونکی نه و‪ ،‬د س‪ ８‬کال د سيمه ييزو سياليو د سيال‪９‬‬ ‫د نتيجو د وړاند وينې په هکله الندې جملو ته په سمو يا ناسمو کلمو سره ځواب ورک‪７‬ئ‪:‬‬ ‫‪ -1‬د تيرو کلونو د نتيجو پر بنسټ په س‪８‬ني سياليو کې د نجونو د ټيم د ‪－‬ټلو احتمال څومره دی؟‬ ‫‪＄‬واب‪ :‬څرنګه چې د نجونو ټيم په پنځو کلونو کې يوه لوبه هم نه ده گټلې‪ ،‬س‪ ８‬کال يې د گټلو‬ ‫‪0‬‬ ‫احتمال برابر دى په‪= 0 :‬‬ ‫‪5‬‬ ‫خو څرنگه چې د احتمال په بيانولو کې يوه وړاندوينه سرته رسي‪８‬ي‪ .‬دا وړاندوينه کيداى شي‪ ،‬سمه نه‬ ‫وي يعنې س‪ ８‬کال کيداى شي چې د نجونو ياهلکانو ټيم هم گټونکى شي‪.‬‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫احتمال لري چې د نجونو د لوبغاړو ټيم گټونکى شي‪.‬‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫" احتمال لري چې د هلکانو د لوبغاړو ټيم گټونکى شي‪.‬‬

‫پوښتنې‬ ‫‪ -1‬د يوه رمل(‪ )1‬دانه مو اته ځلې واچوله‪ ،‬درې ځلې د يو (‪ )1‬عدد ښکاره شو‪:‬‬ ‫‪ )a‬د دې احتمال څومره دى چې که د نهم ځل لپاره د رمل دانه واچول شي او د يو (‪ )1‬عدد‬ ‫ښکاره شي؟‬ ‫‪ -2‬په يوه ښوونځي کې حاضري هره ورځ سهار د لين پرسر اخيستل کې‪８‬ي‪ ،‬تاسو د دې احتمال‬ ‫پيدا ک‪７‬ئ چې نن ورځ به‪:‬‬ ‫‪ )a‬حاضري د لين پر سر واخيستل شي‪.‬‬ ‫‪ )b‬حاضري به د لين پر سروانه خيستل شي‪.‬‬ ‫‪ 1‬رمل داسې يوه مکعبي دانه ده چې شپ‪ ８‬برابرې خواوې چې هره يوه يې د ‪ .....، ¨¨ ، ¨. ، ¨ ، .‬او ¨¨ نښې‬ ‫¨¨‬ ‫لري‪.‬‬

‫‪216‬‬

‫تﺼادفي تﺠرﺑه‬ ‫آﻳا د لوم‪７‬ي ټولگى زده کوونکې سواد لري؟‬ ‫ويالى شئ چې د يو ټلويزون خبريال سواد لري او‬ ‫که نه؟‬ ‫آﻳا زمون‪ ８‬د کوڅې هر اوسيدونکى سواد لري؟‬

‫فعاليت‬ ‫که د يوه داسې سرک پر غاړه والړ اوسئ چې د موټرو زياته گ‪２‬ه گو‪１‬ه ولري تر ټولو د مخه به د کوم‬ ‫ډول موټرو د تېريدو انتظار وک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫(الرۍ‪ ،‬سرويس‪ ،‬گ‪７‬ندى موټر‪ ،‬موټر سايکل‪ ،‬بايسکل او يا بگ‪)９‬‬ ‫آﻳا ويالى شى چې‪:‬‬ ‫په يو ساعت کې به څو الرۍ ستاسو له مخې تيرې شي؟‬ ‫څو گ‪７‬ندي موټر به په يو ساعت کې له ښ‪ ９‬خوا څخه کي‪２‬ې خواته تېر شي؟‬ ‫د يو پيل د تېريدو انتظار هم لري؟‬ ‫په يو س‪７‬ک باندې د پيل د تيريدو او د الرۍ د تريدو د پيښې ترمنځ څه توپير دى؟‬ ‫آيا ويالى شئ چې د يوې تصادفې پيښې په برخه کې مخکې له پيښدو وړاندوينه وک‪７‬ئ؟‬ ‫له پورته فعاليت څخه الندې نتيجه يا پايله الس ته راځي‪.‬‬ ‫پايله‪:‬‬ ‫يوه داسې پيښه چې تر اوسه يې په بشپ‪ ７‬ډول پايله ښکاره نه وي او په ناڅاپه ډول پيښه شي د تصادفي‬ ‫تجربې په نامه يادي‪８‬ي‪.‬‬ ‫د هغه پيښو له پاره چې تصافي نه وي وړاندوينه معنا نه لري‪.‬‬

‫‪217‬‬

‫مثال‪ :‬د يوه ټولگى د مشر د غوره کولو لپاره د پﭽې اچولو په واسطه د پنځو عالقه لرونکو زده‬ ‫کونکو(حسن‪ ،‬زلمى‪ ،‬خيبر‪ ،‬انور او زمرى) نومونه د کاغذ په وړو وړو پا‪１‬و کې ليکو او په يوه جعبه‬ ‫کې يې اچوو له جعبې څخه يوه پا‪１‬ه چې د يوه کانديد نوم پرې ليکل شوى دى را اخلو دا کار يوه‬ ‫تصادفي تجربه ده‪.‬‬ ‫که پنځه تنه کانديدان نه وي او يوازې يو تن د مثال په ډول خيبر کانديد وي آﻳا ويالى شئ چې په دې‬ ‫حالت کې هم دا يوه تصادفي تجربه ده؟‬ ‫نه‪ ،‬ځکه چې پايله يې ښکاره ده او وړاندوينه مخکې له مخکې ښکاره ده‪.‬‬

‫پوښتنې‬ ‫‪ -1‬آﻳا د يوې داسې روپ‪ ９‬پورته اچول چې دواړه خواوې يې يو شان وي کيداى شي يوه ناڅاپى پيښه‬ ‫وي؟ که نه‪ ،‬نو ولې؟‬ ‫‪ -2‬آﻳا د خلکو د مستقيمو پټو رايو په مرسته د ولس مشر ټاکل کيداى شي چې يوه تصادفي پيښه‬ ‫وي؟‬ ‫‪ -3‬له خپل روځني ژوند څخه د تصادفي حادﺛې د دوو نمونو مثالونه وليکئ‪:‬‬ ‫‪...............................................‬‬ ‫‪)a‬‬ ‫‪...............................................‬‬ ‫‪)b‬‬ ‫که د يوې جعبې نه چې درې د شنه رن‪ ，‬پن‪６‬وسونه لري يو راواخلو‪ ،‬کيداى شي و وايو چې دا يوه‬ ‫ناڅاپه ازميښت يا تصادفي تجربه ده؟‬

‫‪218‬‬

‫د نتيﺠې يا د نمونې فﻀا‬ ‫نتيجه به څه وي مخ (خط) يا‬ ‫شا (شېر) کوم يو؟‬

‫فعاليت‬ ‫آﻳا د روپ‪ ９‬اچول يوه تصادفي تجربه ده؟‬ ‫آﻳا ويالى شو چې روپ‪ ９‬به په مخ راشي؟‬ ‫که روپ‪ ９‬په مخ يا خط را نه شي‪ ،‬نو څه به وشي؟‬ ‫آﻳا له دوو حالتو سربېره ( مخ يا شا څخه) درېم حالت هم شته دى؟‬ ‫وواياست چې ازميښت (تجربه) څو شونې پايلې لري؟‬ ‫د تصادفي تجربې شونې پايلې د سټ د عالمې په داخل کې وليکئ‪.‬‬ ‫د پورتني فعاليت په سرته رسولو کې الندې نتيجې ته رسي‪８‬و‪.‬‬ ‫پايله‪:‬‬ ‫د يو تصادفي ازميښت ټولې شونې(ممکنې) پايلې(نتيجې) د يوې مجموعي يا سټ (‪ )Set‬په مرسته‬ ‫ښودالى شو چې د نمونې د فضا په نوم يادې‪８‬ي‪ .‬يوه د نمونې فضا په عمومي ډول په ‪ S‬سره ښودل‬ ‫کې‪８‬ي‪.‬‬ ‫د نمونې د فضا هر غ‪７‬ى (عضو) د هماغه تصادفي تجربي يوه شونې پايله ده چې د لوم‪７‬نيو پيښو په‬ ‫نامه يادي‪８‬ي‪.‬‬

‫‪219‬‬

‫مثال‪ :‬د ‪ 3‬مترو په فاصله د يوې دايروي تختې سطحه په غشي ولو‪ ،‬لکه‬ ‫چې په مخامخ شکل کې ښودل شوى‪ ،‬دايره په څو بيلو بيلو برخو ويشل‬ ‫شوې ده؟ که غشى د ‪ 3،2،1‬او ‪ 6‬په عددونو ولګي‪８‬ي او هغه عددچې‬ ‫غشى پرې ولګي‪８‬ي د نتيجې په صفت وليکو‪ ،‬که چېرې غشى له دايرې‬ ‫څخه د باندې ولگي‪８‬ي پايلې ته صفر نمره ورکول کي‪８‬ي‪.‬‬ ‫په دې اساس د امکان لرونکو پايلو شمېر پنځه عددونه دي چې د نمونې‬ ‫فضايې عبارت ده له‪:‬‬ ‫}‪S = {0,1, 2,3, 6‬‬

‫په پورتني شکل کې د دايرې ځينې برخې دوه ځلې د يوه عدد په مرسته ښودل شوي دى‪ ،‬لکه د ‪2‬‬ ‫عدد‪ ،‬دا خبره د ‪ 2‬عدد د لګيدو چانس زياتوي‪ ،‬ليکن دواړه پايلې يو له بله توپير نه لري‪.‬‬

‫پوښتنې‬ ‫‪ -1‬د مخامخ شکل په شان په يوه ک（وړه کې اته يو شان پن‪６‬وسونه چې‬ ‫بېالبېل (مختلﻒ) عددونه پرې ليکل شوي دي په پام کې ونيسئ‪،‬‬ ‫کله چې په پټو ستر‪－‬و په تصادفي ډول د ک（وړې څخه يو پ‪２‬دوس را‬ ‫‪13‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪2‬‬ ‫واخيستل شي آﻳا امکان لري د ک（وړې څخه داسې پن‪６‬وس چې د‬ ‫‪8‬‬ ‫‪17‬‬ ‫‪ 50‬عدد پرې ليکل شوى وي‪ ،‬راووزي؟‬ ‫‪6 4 5‬‬ ‫کــه چيــرې ځــواب مو(نه) وي نــو د نمونــې فضــا او د امــکان لرونکو‬ ‫پايلو(نتيجو) شمېر وواياست‪.‬‬ ‫‪ -2‬د نمونې فضا اود امکان لرونکو پايلو شمېر د يو رمل داچولو له پاره وليکئ‪.‬‬

‫‪220‬‬

‫نﻈري احتمال‬ ‫حسن‪ ،‬زلمى‪ ،‬خيبر انور او زمري د خپل ټولگي د‬ ‫مشرۍ لپاره ځانونه کانديد ک‪７‬ي وو‪.‬‬ ‫آﻳا دا احتمال شته دى چې زلمى ‪－‬ټونکى شي؟‬ ‫د انور د گټنې احتمال څومره دى؟‬

‫فعاليت‬ ‫د يو رمل د دانې د اچولو د تجربې فضا په پام کې ونيسئ‪،‬‬ ‫شونې پايلې عبارت دي له‪:‬‬ ‫د تجربې د نمونې فضا وليکئ‪.‬‬ ‫د ممکنو نتيجو شمير څو دى؟‬ ‫ليدل کې‪８‬ي چې د رمل د ‪ 6‬امکان لرونکو حالتونو څخه يو‬ ‫حالت يې د ‪ 2‬د عدد ښکاره کيدل دي دا احتمال د يو کسر‬ ‫په شکل وليکئ‪.‬‬ ‫آيا د رمل د (‪ )1‬او (‪ )2‬د عددونو د ښکاره کيدو احتمال سره برابر دي‪.‬‬ ‫د رمل د دانې د هر عدد د راتلو احتمال څومره دى؟‬ ‫د رمل څو عددونه جفت دي؟ ددې احتمال چې جفت عدد ښکاره شي د يوه کسر په شکل‬ ‫وليکئ‪.‬‬ ‫د پورتنيو پيښو د احتمال په پيدا کولو کې د پام وړ پايلې د مساعدو(برابرو) حالتونو د شمېر رقمونه د‬ ‫کسر په صورت کې ليکل کې‪８‬ي‪.‬‬ ‫د پورتنيو حالتونو څخه کوالى شو چې الندې نتيجه په الس راوړو‪:‬‬ ‫پايله‪:‬‬ ‫د يوې پيښې احتمال کوالى شو د الندې کسر په مرسته په الس راوړو‪.‬‬ ‫د تصادفي پيښې دمساعدو حالتونوشمېر‬ ‫د تجربې د ټولو پايلود حالتونو شمېر‬

‫‪221‬‬

‫= د يوې تصادفي پيښې د پېښېدو احتمال‬

‫ﻣﺜال‪ :‬په تصادفي تجربه کې د يوې دانې رمل اچول په پام کې ونيسئ‪ ،‬د الندې پېښو احتمال پيدا‬ ‫ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪ - a‬که د رمل شمېره طاقه وي‪.‬‬ ‫‪ - b‬که د رمل شمېره ‪ 5‬وي‬ ‫‪ - c‬که د رمل شمېره ‪ 8‬وي‬ ‫‪ - d‬د رمل د دانې شمېره له (‪ )1‬او يا له يو څخه لويه وي‪.‬‬ ‫حل‪ :‬پوهي‪８‬و چې ټول ممکن حالتونه ‪ 6‬دى‪ ،‬د احتمال د تعريﻒ په پام کې نيولو سره لرو چې‪:‬‬ ‫‪ )a‬په دې حالت کې مساعد حالتونه ‪ 3‬دي‪ ،‬نو‪:‬‬

‫‪( = 3 = 1 = 50%‬د دې احتمال چې د رمل شمېره طاقه وي)‬ ‫‪6 2‬‬ ‫‪ )b‬په دې حالت کې مساعد حالتونه له (‪ )1‬سره مساوي دي نو‪:‬‬

‫‪( = 1 = 0,167 = 16,7%‬د دې احتمال چې د رمل شمېره ‪ 5‬وي)‬ ‫‪6‬‬ ‫‪ )c‬د (‪ )8‬د عدد له پاره مساعد حالتونه نشته دى نو‪:‬‬ ‫‪( = 0 = 0 = 0%‬ددې احتمال چې د رمل شمېره ‪ 8‬وي)‬ ‫‪6‬‬

‫‪ )d‬ممکن حالتونه په دې صورت کې ‪ 6‬عددونه دي نو‪:‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪= 1 = 100%‬‬ ‫‪6‬‬

‫= (د دې احتمال چې رمل شمېره (‪ )1‬او يا له (‪ )1‬څخه لوى وي)‬

‫پوښتنې‬ ‫‪ -1‬د يوه ښوونځي د ‪ 12‬هلکانو زده کوونکواو ‪ 6‬نجونو څخه ‪ 1‬تن د مشر په تو‪－‬ه په پﭽې ټاکل‬ ‫کي‪８‬ي‪ ،‬احتمال به څومره وي که‪:‬‬ ‫‪ )a‬د زده کوونکو مشره‪ ،‬يوه جل‪ ９‬وي‬ ‫‪ )b‬د زده کوونکو مشر‪ ،‬يو هلک وي‪.‬‬ ‫‪ -2‬په يوه جعبه کې درې شنه‪ ،‬دوه ژې‪ ７‬او يو سور پن‪６‬وسونه پراته دي‪ .‬که په ناڅاپي يا تصادفي ډول له‬ ‫جعبې نه يو پن‪６‬وس راوباسو‪ ،‬د الندې پيښو احتمال پيدا ک‪７‬ئ‪:‬‬ ‫‪ )a‬د دې احتمال چې پن‪６‬وس شين وي‪.‬‬ ‫‪ )b‬ددې احتمال چې پن‪６‬وس ژې‪ ７‬وي‪.‬‬ ‫‪ )c‬ددې احتمال چې تور وي‪.‬‬ ‫‪ -3‬د يوې روپ‪ ９‬د اچولو په ناڅاپى تجربه کې د الندې پېښو احتمال په الس راوړئ‪.‬‬ ‫‪ )a‬روپ‪ ９‬په مخ راځي‬ ‫‪ )b‬روپ‪ ９‬نه په مخ راځي اونه په شا(څټ)‪.‬‬

‫‪222‬‬

‫د اتم څپرکى لنډيز‬ ‫ﭼانﺲ‪ :‬د هغو پيښو د واړندوينې لپاره چې په عددي شکل د اټکل وړ نه وي د چانس له کلمې څخه‬ ‫‪－‬ټه اخيستل کې‪８‬ي‪ .‬د يوې پيښې د وړاند وينې لپاره دچانس دکلمې په کارولو سره‪ ،‬شونې‪ ،‬ناشونې‪،‬‬ ‫خامخا‪ ،‬ل‪ ８‬چانس‪ ،‬ډير چانس او يا چانس نه لري کلمې کارول کې‪８‬ي‪.‬‬ ‫د مثال په ډول‪:‬‬ ‫‪ -1‬د هرات او لغمان تر منځ فاصله په يو ساعت کې د موټرپه مرسته وهلى شو‪ ،‬ناشونې خبره ده‪.‬‬ ‫‪ -2‬د خداى‬

‫په قدرت هرې شپې پسې د ورځې د راتلو چانس خامخا او سل په سلو کې دى‪.‬‬

‫‪ -3‬په اوړي کې د باران اوريدل هم امکان لري‪.‬‬ ‫احتمال‪ :‬که چيرې د يوې پيښې د وړاندوينې چانس د عددونو يا رقمونو په مرسته وټاکل شي د‬ ‫ناڅاپي يا تصادفي پيښې د احتمال په نامه يادي‪８‬ي‪.‬‬ ‫د يوې ناممکنې پيښې احتمال (‪ )0‬او د يوې خامخا پيښودونکې پيښې احتمال (‪ )1‬دى‪.‬‬ ‫د مثال په تو‪－‬ه‪:‬‬ ‫‪ -1‬ددې احتمال چې د يوې ليسې مدير بي سواده وي صفر دى‬ ‫‪ -2‬د دې احتمال چې لمر له ختيځه را خيﮋي (‪ )1‬دى‬ ‫تﺼادفي پي‪＋‬ې‪:‬هغه ازميښت(تجربه) چې د سر ته رسولو په وخت کې يې ممکنه پايله معلومه نه‬ ‫وي د تصادفي پيښې په نوم يادي‪８‬ي‪.‬‬ ‫د مثال په ډول‪:‬‬ ‫‪ -1‬آﻳا کيداى شي چې واړندوينه وک‪７‬و چې د س‪ ８‬کال د کانکور د ازموينې د عالي نمرو ‪－‬ټونکي به‬ ‫يوه جل‪ ９‬وي؟‬ ‫‪ -2‬آﻳا کوالى شو چې وړاندوينه (پيشبيني) وک‪７‬و چې س‪８‬نى ژمى به خپلې کورن‪ ９‬سره جالل آباد‬ ‫ته الړ شو‪.‬‬ ‫تﺼادفي تﺠرﺑه‪:‬هغه پيښه چې تر اوسه يې پايله ښکاره نه وي او يا په ناڅاپې (تصادفي) ډول‬ ‫پيښې‪８‬ي د ناڅاپى ازميښت يا تصادفي تجربې په نامه يادي‪８‬ي‪.‬‬

‫‪223‬‬

‫د پﭽې اچولو په مرسته د يو ټولګي د مشر ټاکل د څو کانديدانو له جملې څخه يوه ناڅاپي پيښه يا‬ ‫تصادفي تجربه ده‪.‬‬ ‫او ياد يوې روپ‪ ９‬اچول چې نتيجه به يې خط يا شېر وي هم يوه تصادفي تجربه ده‪.‬‬ ‫تﺠرﺑوي احتمال‪:‬هغه احتمال ته چې د يوې تجربې په سرته رسولو کې په عملى ډول او يا ديوې‬ ‫تجربې د پايلو د شمېر له مخې په الس راځي د تجربوي احتمال په نامه يادي‪８‬ي‪.‬‬ ‫نﻈري احتمال‪:‬هغه احتمال چې د نمونې فضا له مخې د تصادفي پيښو د مساعدو حالتونو شمېر‬ ‫او د تجربې د پايلو د ټولو حالتونو د شمېر ترمنځ نسبت د نظري احتمال په نامه يادي‪８‬ي‪.‬‬

‫د تصادفي پيښې دمساعد حالتونوشمير = د يوې تصادفي پيښې د پېښېدو احتمال‬ ‫د تجربې د ټولو پايلو د حالتونو شمېر‬

‫‪224‬‬

‫د اتم څپرکي پوښتنې‬

‫‪ -1‬الندې سوالونه امکان لري‪ ،‬امکان نه لري او د خامخا په کلمو سره ځواب ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫له وريځ لرونکي اسمانه باران اوري‪،‬‬ ‫د ورځې له خوا د ستورو ليدل امکان نه لري‪،‬‬ ‫پيل مرغ الوزي‪،‬‬ ‫مي‪８‬ه ورى نه زي‪８‬وي‪ ،‬هګ‪ ９‬اچوي‪.‬‬ ‫‪ -2‬د يوې تصادفي تجربې بيلګه راوړئ لوم‪７‬ن‪ ９‬تصادفي پيښه او څو تصادفي پيښې په نښه ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪ -3‬که يوه نمونوي فضا څلور لوم‪７‬ن‪ ９‬تصادفي پيښى ولري‪ ،‬څو تصادفي پيښى لري د يو مثال په مرسته يې‬ ‫واضﺢ ک‪７‬ئ او د تصادفي پېښو فهرست وليکئ‪.‬‬ ‫‪ -4‬د ناڅاپي ازميښت(د تصادفي تجربې) په مثال کې ډاډمنې تصادفي پېښې او ناشونې تصادفي پېښې د‬ ‫مثال په مرسته واضﺢ ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫‪ -5‬يوه نمونه يي فضا څه شى دى؟‬ ‫سم ځواب د (‪ )P‬په توري سره په نښه ک‪７‬ئ‪.‬‬ ‫(‬

‫) د يو ازميښت(تجربې) هره نتيجه نمونوې فضا ده‬

‫(‬

‫) نمونوي فضا پايلې نه لري‬

‫(‬

‫) د يوې تجربې(ازميښت) د ټولو ممکنو پايلو سټ دى‪.‬‬

‫(‬

‫) يوه د ډاډ وړ او ناممکنه پېښه ده‪.‬‬

‫‪ -6‬په يوه تصادفي تجربه کې هره تصادفي پيښه په (‪ )P‬سره په نښه ک‪７‬ئ‬ ‫(‬

‫) يو عنصر د نمونې فضا ده‬

‫(‬

‫) د نمونې فضا يو فرعي سټ دى‬

‫(‬

‫) په يوه تصادفي تجربه کې تصادفي پيښه چانس نه لري‪.‬‬

‫(‬

‫) امکان نه لري‬

‫‪ -7‬د دوو دانو روپيو په اچولو کې‪:‬‬ ‫د نمونې فضا جوړه ک‪７‬ئ‪.‬‬

‫‪225‬‬

‫د دې احتمال پيدا ک‪７‬ئ چې دواړه روپ‪ ９‬شېر وي‬ ‫ددې احتمال پيدا ک‪７‬ئ چې دواړه روپ‪ ９‬خط وي‬ ‫ددې احتمال پيدا ک‪７‬ئ چې دواړه روپ‪ ９‬يو شان وي‬ ‫‪ -8‬په يوه ک（وړه کې سل ‪－‬لولى دي چى له (‪ )1‬څخه تر (‪ )100‬پورې عددونه پرې ليکل شوي دي يوه‬ ‫‪－‬لوله راباسو ددې احتمال پيدا ک‪７‬ئ چې‪:‬‬ ‫راويستل شوى عدد په ‪ 5‬پوره د وېش وړ وي‬ ‫راويستل شوى عدد جفت وي‬ ‫راويستل شوى عدد به په ‪ 12‬پوره د وېش وړ وي‬ ‫عدد درې رقمي وي‪.‬‬ ‫عدد څلور رقمي وي‪.‬‬

‫‪226‬‬