Matematik 7. 1. Kitap
327 110 24MB
Turkish Pages [134] Year 2021
Polecaj historie
Table of contents :
MATEMATİK7-1-ön KAPAK
Page 1
No63-Matematik-7-1_210x275
MATEMATİK7-1-arka KAPAK
Page 1
Citation preview
CMYK
MATEMATİK 7, Kitap 1
MATEMATİK 1.
MATEMATİK 7-1
7. Sınıf
KKTC MİLLİ EĞİTİM VE KÜLTÜR BAKANLIĞI Bu ders kitabı KKTC Milli Eğitim ve Kültür Bakanlığı tarafından ücretsiz olarak dağıtılmaktadır.
KKTC Milli Eğitim ve Kültür Bakanlığı
7
Matematik 7 1. Kitap Yazarlar Tunç Tağmaç Fuat Ortaş Dr. Ayşen Özerem Evren Gürbüzer Öncü
Editörler Prof. Dr. Osman Cankoy Yrd. Doç. Dr. Tuba Gökmenoğlu
KKTC Milli Eğitim ve Kültür Bakanlığı Bu kitap, Temel Eğitim Program Geliştirme Projesi kapsamında geliştirilmiş ve KKTC Milli Eğitim ve Kültür Bakanlığı, Talim ve Terbiye Dairesi tarafından, ortaokullarda ders kitabı olarak kullanılması uygun bulunmuştur.
ÜNİTE 1 DOĞAL SAYILARLA İŞLEMLER, GEOMETRİ 1 ve ÖLÇME 1
ÜNİTE 1 DOĞAL SAYILARLA İŞLEMLER, GEOMETRİ 1 ve ÖLÇME 1 ©KKTC MİLLİ EĞİTİM VE KÜLTÜR BAKANLIĞI/2020 Matematik 7 MİLLİ EĞİTİM VE KÜLTÜR BAKANLIĞI/2020 ©KKTC 1. KitapMatematik 7 1. Kitap
Proje Yürütücüsü Prof. Dr.Proje Ahmet Pehl van Yürütücüsü DAÜ Öğret m Üyes Prof. Dr. Ahmet Pehl van DAÜ Öğret m Üyes
Dil Uzmanı UzmanıPehlivan Prof. Dr.DilAhmet
Prof. Dr. Ahmet Pehlivan
Grafik Tasarım Grafik Tasarım Tunç Tağmaç Tunç Tağmaç Sayfa Düzeni Sayfa Düzeni Tunç Tağmaç Tunç Tağmaç Prof. Dr.Prof. Osman Cankoy Dr. Osman Cankoy Kapak Tasarımı Kapak Tasarımı Dr. Osman Cankoy Prof. Dr.Prof. Osman Cankoy
Baskı Baskı İlk2020 Baskı2020 : Ağustos 2020 AğustosAğustos Son Baskı : Haziran 2021
225 42 47
225 42 47
225 31 28
[email protected] 225 31 28 Şht. Mustafa Ruso Cad. No. 44
[email protected] K.Kaymaklı - Lefkoşa Şht. Mustafa Ruso Cad. No. 44 K.Kaymaklı - Lefkoşa
KKTC MİLLİ EĞİTİM VE KÜLTÜR BAKANLIĞI YAYINIDIR.
KKTC
MİLLİ EĞİTİM VE KÜLTÜR BAKANLIĞI YAYINIDIR. Bu kitap KKTC Milli Eğitim ve Kültür Bakanlığına aittir ve her hakkı saklıdır. Kitabın metin, soru, resim ve şekilleri kısmen de olsa hiçbir surette alınıp yayımlanamaz.
Bu kitap KKTC Milli Eğitim ve Kültür Bakanlığına aittir ve her hakkı saklıdır. Kitabın metin, soru, resim ve şekilleri kısmen de olsa hiçbir surette alınıp yayımlanamaz.
İSTİKLAL MARŞI İSTİKLAL MARŞI Korkma! yüzen al sancak, Korkma!Sönmez Sönmezbubuşafaklarda şafaklarda yüzen al sancak, Sönmeden tüten en son ocak. Sönmedenyurdumun yurdumunüstünde üstünde tüten en son ocak. O parlayacak; O benim benimmilletimin milletiminyıldızıdır, yıldızıdır, parlayacak; O ancak. O benimdir, benimdir,o obenim benimmilletimindir milletimindir ancak. Çatma, kurban olayım, çehreni ey nazlı hilal! Çatma, kurban olayım, çehreni ey nazlı hilal! Kahraman ırkıma bir gül; ne bu şiddet, bu celal? Kahraman ırkıma bir gül; ne bu şiddet, bu celal? Sana olmaz dökülen kanlarımız sonra helal... Sana olmaz dökülen kanlarımız sonra helal... Hakkıdır, Hakk’a tapan milletimin istiklal.
Hakkıdır, Hakk’a tapan milletimin istiklal.
Mehmet Akif Ersoy
Mehmet Akif Ersoy
DOĞALSAYILARLA SAYILARLAİŞLEMLER, İŞLEMLER,GEOMETRİ GEOMETRİ1 1veveÖLÇME ÖLÇME1 1 ÜÜNNİİTTEE11DOĞAL
ANDIMIZ ANDIMIZ Türk’üm, Türk’üm,doğruyum, doğruyum,çalışkanım. çalışkanım. İlkem, İlkem,küçüklerimi küçüklerimikorumak, korumak,büyüklerimi büyüklerimisaymak, saymak, Yurdumu, Yurdumu,milletimi, milletimi,özümden özümdençok çoksevmektir. sevmektir. Ülküm, Ülküm,yükselmek, yükselmek,ileri ilerigitmektir. gitmektir. EyEyBüyük BüyükAtatürk! Atatürk! Açtığın Açtığınyolda, yolda,gösterdiğin gösterdiğinhedefe, hedefe, Durmadan Durmadanyürüyeceğime yürüyeceğimeant antiçerim. içerim. Varlığım, Varlığım,Türk Türkvarlığına varlığınaarmağan armağanolsun. olsun. Ne NeMutlu MutluTürk’üm Türk’ümdiyene! diyene!
Mustafa MustafaKemal KemalAT AA TTÜRK ATÜRK (1881 (1881- 1938) - 1938)
DOĞALSAYILARLA SAYILARLAİŞLEMLER, İŞLEMLER,GEOMETRİ GEOMETRİ1 1veveÖLÇME ÖLÇME1 1 ÜÜNNİİTTEE11DOĞAL
Dr. Dr.Fazıl FazılKÜÇÜK KÜÇÜK (1906 (1906- 1984) - 1984)
Rauf RaufR.R.DENKT DENKT AŞ AŞ 1924-2012 1924-2012
DOĞAL SAYILARLA İŞLEMLER, GEOMETRİ 1 ve ÖLÇME 1 ÜÜNNİİTTEE11SAYILAR İçindekiler ÜNİTE 1: SAYILAR..............................................................................................................................1 BÖLÜM 1 – Tamsayılar......................................................................................................................1 1.1 Tamsayılar....................................................................................................................................2 1.1.1 Mutlak Değer.............................................................................................................................4 1.1.2 Tam Sayıların Karşılaş rılması....................................................................................................5 1.1.3 Tam Sayılarla Toplama İşlemi.....................................................................................................8 1.1.4 Tam Sayılarla Çıkarma İşlemi......................................................................................................13 1.1.5 Tam Sayılarla Çarpma İşlemi.......................................................................................................16 1.1.6 Tam Sayılarla Bölme İşlemi........................................................................................................19 1.1.7 Tam Sayıların Kuvvetleri.............................................................................................................21 1.1.8 Tam Sayılarla Problem Zamanı...................................................................................................24 BÖLÜM DEĞERLENDİRME TESTİ.........................................................................................................28 BÖLÜM 2 – Rasyonel Sayılar.............................................................................................................31 1.2.1 Rasyonel Sayılar........................................................................................................................32 1.2.1 Rasyonel Sayıları Sayı Doğrusunda Gösterme...........................................................................34 1.2.3 Rasyonel Sayıları Sıralama.........................................................................................................3 7 1.2.4 Rasyonel Sayılarla Toplama İşlemi ............................................................................................40 1.2.5 Rasyonel Sayılarla Toplama İşleminin Özellikleri.......................................................................42 1.2.6 Rasyonel Sayılarla Çıkarma İşlemi .............................................................................................45 1.2.7 Rasyonel Sayıların Ondalık Gösterimi........................................................................................49 1.2.8 Rasyonel Sayılarla Çarpma İşlemi .............................................................................................53 1.2.9 Rasyonel Sayılarla Çarpma İşleminin Özellikleri ........................................................................55 1.2.10 Bir Rasyonel Sayının Karesi ve Küpü.........................................................................................57 1.2.11 Rasyonel Sayılarla Bölme İşlemi...............................................................................................59 1.2.12 Rasyonel Sayılarla Problem Zamanı.........................................................................................63 1.2.13 Rasyonel Sayılarla Çoklu İşlemler ve İşlem Sırası.....................................................................66 BÖLÜM DEĞERLENDİRME TESTİ.........................................................................................................70 ÜNİTE DEĞERLENDİRME TESTİ............................................................................................................7 2 ÜNİTE 2: CEBİR 1...............................................................................................................................77 2.1 Cebir ve Günlük Hayat...................................................................................................................78 2.1.1 Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklem Kurma..................................................................78 2.1.2 Denklemlerde Eşitliğin Korunumu .............................................................................................80 2.1.3 Cebirsel İfadeleri Toplama ve Çıkarma.......................................................................................84 2.1.4 Denklemlerde Bilinmeyeni Bulma ..............................................................................................88 2.1.5 Problemler ..................................................................................................................................90 BÖLÜM DEĞERLENDİRME TESTİ...........................................................................................................93 ÜNİTE DEĞERLENDİRME TESTİ.............................................................................................................94 TARAMA TESTİ......................................................................................................................................96 ÜNİTE 3: CEBİR 2...............................................................................................................................99 3.1 Koordinat Sistemi ve Günlük Hayat...............................................................................................100 3.1.1 Koordinat Düzleminde Bir Noktanın Gösterimi..........................................................................101 3.1.2 Doğrusal İlişkiler ve Grafikleri.....................................................................................................106 BÖLÜM DEĞERLENDİRME TESTİ..........................................................................................................118 ÜNİTE DEĞERLENDİRME TESTİ...........................................................................................................120 TARAMA TESTİ.....................................................................................................................................122
76
SAYILAR E ÜNİT 1
BÖLÜM 1
Tam Sayılar
3-256 1
ÜNİTE 1 SAYILAR TAM SAYILAR
1.1
Televizyondaki hava durumu haberlerini dinleyerek, ertesi günün hava sıcaklığını merak edeniniz oldu mu? Peki, haberlerde hava sıcaklığının sıfırın altında 2 derece olacağını duymuş olsanız, bir termometreden sıfırın altında 2’nin neresi olabileceğini bulabilir miydiniz?
4°C 2°C 0°C -2°C -4°C -6°C
Girne Güzelyurt Le oşa İskele
Yandaki termometrede sıfırın altında iki derecenin ok ile gösterilen yer olduğunu görebilirsiniz. Sıfırın altındaki sıcaklıkları göstermek için eksi (-) ; üstündeki sıcaklıkları göstermek için ise artı (+) işaretleri kullanılır. Bu durumda hava sıcaklığını -2 şeklinde ifade edebiliriz.
Aşağıda (+) ve (-) sembollerinin kullanıldığı bazı durumlara yer verilmiş r, inceleyiniz. Deniz seviyesini “0" (sı r) kabul edecek olursak, Selv l Tepe
12 m
Selvili Tepe, Girne Dağları'nda, Lapta yakınlarında bulunur. Deniz seviyesinden 1024 metrelik yüksekliği ile Kuzey Kıbrıs’ın en yüksek noktasıdır. (+ 1024)
Dalgıç, deniz seviyesinin 12 m al�ndadır. (- 12)
3
2
Bazı binaların asansörlerindeki gösterge panellerinde “-1” sembolünü görmüşsünüzdür. Hatta yanlışlıkla buna bastıysanız kendinizi bodrum katında bulmuşsunuzdur. Kısacası zemin kat al�ndaki katların konumlarını nega f, üstündekileri pozi f tam sayıları kullanarak ifade edebiliriz.
2
3.kat
+3
2.kat
+2
1.kat
+1
-1
0
-2
Zemin kat
Bodrum Katı - 1 Oto park
-2
1 4 4 3 3
2 2
1 1 0 0
-1 -1
0
-2 -2
Asansör gösterge paneli
BÖLÜM 1: TAM SAYILAR Örnek Günlük hayatımızda karşılaşabileceğimiz bazı durumları anlatan cümleler aşağıda verilmiştir. Bu cümlelerdeki kelimelere ait sayıları “-” ve “+” ile ifade edelim. TAM SAYI GÖSTERİM
İFADE Cem’in 7 bilyesinin kaybolması
-7
Türk Ocağı Limasol Futbol Takımı’nın maçta 3 gol atması
+3
Disk atmada Kutay Kırmızı’nın derecesini 20 cm geliştirmesi
+20
Bir ayakkabı fiyatında 35 TL indirim yapılması
-35
Hava sıcaklığının 13 oC yükselmesi
+13
Bahçedeki kuyunun derinliği 4 m dir.
-4
Verdiğimiz örneklerden de anlaşılacağı gibi, bazı durumlarda bugüne kadar öğrendiğimiz doğal sayılar yetersiz kalabilir. Bu nedenle yeni bir sayı kümesine daha ihtiyacımız vardır. Sıfırdan büyük yüksekliği, sıcaklığı göstermek için kullanılan +1, +2, +3, +4, ... gibi sayılara pozitif tam sayılar diyoruz. Soğukluk, derinlik gibi benzeri ölçümlerde kullanılan ve sıfırdan küçük olan -1, -2, -3, -4, ... gibi sayılara ise negatif tam sayılar denir. Pozitif tam sayılar, negatif tamsayılar ve “0” (sıfır) tam sayıları oluşturur. Sıfır, ne negatif ne de pozitif bir tam sayıdır. Aşağıdaki sayı doğrusunda sıfır başlangıç noktasından hareketle pozitif ve negatif sayıların yerleri belirtilmiştir. İnceleyiniz.
Sayılar sağa gidildikçe büyür.
... -6
-5
-4
-3
-2
Nega f Tam Sayılar
Sayılar sola gidildikçe küçülür.
-1
0
+1 +2 +3 +4 +5 +6 ... pozi f Tam Sayılar
3
ÜNİTE 1 SAYILAR Sayı doğrusunda sıfırın eşlendiği noktaya başlangıç noktası; herhangi bir tam sayının eşlendiği noktaya ise bu sayının görüntüsü diyoruz.
Örnek Aşağıdaki sayı doğrusu üzerinde verilen harflerin görüntüleri ardışık tam sayıları temsil etmektedir. Buna göre A, B ve C harflerine karşılık gelen tam sayıları bulunuz. A
B
C 0
-2
+1
Çözüm: A = -3 , B = -1 ve C = +2 dir.
1.1.1
MUTLAK DEĞER Ali’nin Kaldığı Apartman
... -6
-5
-4
-3
-2
-1
Okul
Kitabevi
0
+1 +2 +3 +4 +5 +6 ...
Okul çıkışı Ali, kaldığı apartmana giderken, Ayşe ise kitabevine gidiyor. Yukarıda verilen bilgilere göre hangisinin gi�ği yol daha uzundur? Okuldan Ali’nin kaldığı apartmana ve okuldan kitabevine olan uzaklıklar kaçar birimdir?
Örnek Aşağıda verilen sayı doğrusunu inceleyelim. A -5
B O
+3
Sayı doğrusuna göre +3 noktasının görüntüsü B noktasıdır. B noktasının “sıfır” başlangıç noktasına uzaklığı 3 birimdir. -5 noktasının görüntüsü ise A noktası olup, “sıfır” başlangıç noktasına olan uzaklığı 5 birimdir.
4
BÖLÜM 1: TAM SAYILAR Sayı doğrusu üzerinde bulunan bir tam sayının görüntüsünün başlangıç noktasına olan uzaklığına bu tam sayının MUTLAK DEĞERİ denir. Mutlak değer “| |” sembolü ile gösterilir. Bir sayının mutlak değeri hiçbir zaman negatif olamaz.
Örnek Aşağıda bazı tam sayıların mutlak değeri verilmiş r, inceleyiniz. a) |+2|= 2
b) |-3|= 3
c) |+7|= 7
d) |-9|= 9
e) |-12|= 12
f) |+28|= 28
g) |-43|= 43
h) |0|= 0
1.1.2
“0” (sıfır) sayısı başlangıç noktasıdır .
TAM SAYILARIN KARŞILAŞTIRILMASI
{
Pozitif tam sayılar
0
+1
+2
+3
+4
En k ü tam çük poz sayı i “+1” tif dir.
+5
Artar
Pozitif tam sayılar, sayma sayılarının bütün özelliklerini taşıdıkları için, “0” dan uzaklaştıkça değerleri artar. Sayı doğrusuna göre “0”ın sağ tarafına doğru ilerledikçe sayıların değerleri artmaktadır. Bu durumda, 0 < +1 < +2 < +3 < +4 ... olur. Her pozitif tam sayı solundaki tam sayıdan büyük, sağındaki tam sayıdan küçüktür. Her pozitif tam sayı sıfırdan büyüktür. Negatif Tam Sayılar
{ En b ü tam yük ne ga sayı “-1” tif olur .
-5
-4
-3
-2
-1
0
Azalır
Negatif tam sayılar, “0” dan uzaklaştıkça değerleri azalır. Sayı doğrusunda “0”ın sol tarafına doğru ilerledikçe sayıların değerleri küçülmektedir. Bu durumda, ... -5 < -4 < -3 < -2 < -1 < 0
dır.
5
ÜNİTE 1 SAYILAR Negatif tam sayılar sıfırdan uzaklaştıkça küçülür. Her negatif tam sayı sıfırdan küçüktür.
Örnek +4, -2, -5 ve +1 tam sayılarını, sayı doğrusu üzerinde gösterip sıralayınız. Çözüm: -5
-2
0
+1
+4
Bu durumda verilen tam sayılar, -5 < -2 < +1 < +4 şeklinde sıralanır. Örnek -8 tam sayısını, küçükten büyüğe doğru sıralanmış yere yazınız.
-12 < -6 < -1 < +2 < +9
ifadesinde uygun
Çözüm: Sayı doğrusu üzerinde -8 tam sayısı, -6 sayısının solunda ve -12 sayısının sağında bulunur. Buna göre doğru sıralama -12 < -8 < -6 < -1 < +2 < +9 şeklinde olur. Örnek Ň Ù Y Ť Ü Ě Û �Ų H ŠẂ X Ũ Ū W Ŭ ŞẀ Ů ŠŲ V �Ū Ě ȘÛ Ũ W Ť Ü Ŭ Ù Ẃ ŠŨ W Ų �Ū T Ě X Y Ť Ù ŞẀ Ü Ħ Gizem, ölçmüş olduğu buz parçalarının sıcaklık değerlerini sıralamak isterse, doğru sıralama nasıl olacaktır?
-11 derece
-7 derece
-14 derece
Çözüm: -14 < -11 < -7
şeklinde olur.
Örnek -10 < |-7| < -1 < -2 < +4 sıralamasında bazı sayıların yeri yanlış yazılmıştır. Doğru sıralamayı yazınız. Çözüm: Sıralamada verilen sayılardan |-7| = +7 ve -2'nin yerleri yanlış yazılmıştır. Bu durumda doğru sıralama -10 < -2 < -1 < +4 < |-7| şeklinde olmalıdır.
6
BÖLÜM 1: TAM SAYILAR Alış rmalar 1) Tabloda verilmiş cümlelerdeki kelimelere ait sayıları “-” ve “+” ile ifade edelim. TAM SAYI GÖSTERİM
İFADE Deniz seviyesinin 23 metre altı 450 TL zarar o
Sıcaklık sıfırın üstünde 38 C Arda’nın boyunun geçen yıla göre 4 cm uzamış olması 2) Aşağıdaki sayı doğrusu üzerinde verilen harflerin görüntüleri olan tam sayıları bulunuz. A
C
B -2
-7
+3
3) Aşağıdaki sayı çiftlerinin arasına veya = sembollerinden uygun olanı yazınız. a) -3 ...... 3
b) 6 ....... -30
c) -10 ....... |-10|
d) 8 ...... 18
e) |-6| ....... |6|
f) -5 ....... -15
g) -1 ...... -4
h) -27 ....... 0
ı) -125 ....... -136
4) +8, -3, -1, +5, 0, -4, -7 tam sayılarını sayı doğrusu üzerinde gösterip, büyükten küçüğe doğru sıralayınız. 5) Aşağıda verilen tam sayıları küçükten büyüğe doğru sıralayınız. a) 15, -8, 12, -9, -21, 21, 0
b) -312, -22, 14, -313, -55, 24
c) -23, -87, -65, -10
d) +7, |-13|, -4, -15, |+8|
6) Mutlak değeri 5’ten büyük olan en büyük negatif tam sayıyı yazınız. 7) Sayı doğrusu üzerinde A ve B noktaları arasındaki mesafe, B ve C noktaları arasındaki mesafeye eşittir. Şekilde verilenlere göre, A noktasına hangi tam sayı karşılık gelir? A
B
C
+2
+7
7
ÜNİTE 1 SAYILAR TAM SAYILARLA TOPLAMA İŞLEMİ
1.1.3
o
“Başlangıç ısısı +3 C olan bir sınıfa, soba yakılmıştır. Bir saat sonra o sınıfın ısısı +2 C arttığına göre, sınıfın son ısısı kaç derece olmuştur?” sorusunun cevabını sayı doğrusu üzerinde modelleyerek gösterelim. Başlangıçta sınıfın ısısı (+3) olduğundan başlangıç noktasından 3 birim sağa doğru ilerlenir. Sınıfın ısısı (+2) arttığından bulunduğumuz noktadan sağa doğru 2 birim ilerlenir.
+3 0
+1
+2 +2
+3
+4
+5 (+3) + (+2) = +5 r.
+5
o
“Bir buzun ısısı -2 C iken, ısısı 4oC azalırsa, buzun ısısı kaç derece olur?” Yukarıda verilen ifadeye ait çözümü yine sayı doğrusu üzerinde modelleyerek gösterelim. -4 -5
-4
o
-2 C
-2 -3
-2
-1
0
(-2) + (-4) = -6 dır.
-6 Aynı işaretli iki tam sayının toplamını bulmak için sayıların mutlak değerleri toplanır; ortak işaret ise, toplamın işareti olur.
Örnek Aşağıda verilen toplama işlemlerini inceleyiniz. a) (+6) + (+12) = +18
b) (+20) + (+3) = +23
c) (+124) + (+52) + (+4) = +180
d) (-8) + (-1) = -9
e) (-15) + (-10) = -25
f) (-4) + (-9) + (-13) = -26
8
BÖLÜM 1: TAM SAYILAR “Boş bir kumbaraya 5 TL atıp sonra 3 TL’sini alırsak kumbarada kaç TL kalmış olur?” Sorunun çözümü için sayma pullarını kullanalım. + ile kumbaraya a�lan 1 TL’yi - ile kumbaradan alınan 1 TL’yi ifade edelim.
+ + + + + -
+ + + + + -
+ +
(+5) + (-3) = +2 dir.
“Bir apartmanın zemin katından asansöre binen Ali, 3 kat yukarı çıktıktan sonra, 5 kat aşağıya inip asansörden çıkıyor. Bu durumda zemine göre Ali, asansörden hangi katta inmiştir?” Çözümü sayı doğrusunu dikey kullanarak ve modelleyerek gösterelim.
+3 +2 +1 ZEMİN
+3 3 kat yukarı
+2 +1
0
0
-1
-1
-2
-2
5 kat aşağı
(+3) + (-5) = -2 dir.
Ters işaretli iki tam sayının toplama işlemi yapılırken sayıların mutlak değerlerinin farkı alınır. Toplamın işareti ise, mutlak değeri büyük olan sayının işareti ile aynı olur.
9
ÜNİTE 1 SAYILAR Örnek Aşağıda verilen toplama işlemlerini inceleyiniz. a) (+6) + (-2) = +4
b) (+9) + (-15) = -6
c) (-10) + (+7) = -3
d) (-8) + (+9) = +1
e) (-4) + (+4) = 0
f) (+12) + (-12) = 0
Toplamları 0 (sıfır) olan iki tam sayı, toplama işlemine göre birbirinin tersidir.
Örnek Yandaki şekilde alttaki iki tam sayının toplamı üstlerindeki kutuya yazılarak işlemlere devam edildiğinde en üstteki sayıyı bulalım. Çözüm:
-4
+6
+3
-16
+7 +11 +2 -4
+9 +6
En üs�eki sayı 7'dir.
-4 -13 +3
-16
Örnek Aşağıda verilen toplama işlemlerini yaparak sonuçlarını karşılaştıralım. a) (-4) + (+9)
b) (+9) + (-4)
Çözüm: a) (-4) + (+9) = +5
b) (+9) + (-4) = +5
Bu durumda (-4) + (+9) = (+9) + (-4) olur.
a ve b birer tam sayı olmak üzere; a + b = b + a olduğundan tam sayılarla toplama işleminin değişme özelliği vardır.
10
BÖLÜM 1: TAM SAYILAR Örnek Aşağıda verilen toplama işlemlerini yaparak sonuçlarını karşılaştıralım. a) (-12) + [(-3) + (+7)]
b) [(-12) + (-3)] + (+7)
Çözüm: = (-12) + (+4) = -8
b) [(-12) + (-3)] + (+7)
içindeki işlem yapılır.
}
}
a) (-12) + [(-3) + (+7)] Önce parantez
= (-15) + (+7) = -8
Bu durumda (-12) + [(-3) + (+7)] = [(-12) + (-3)] + (+7) olur. a, b ve c birer tam sayı olmak üzere; (a + b) + c = a + (b + c) olduğundan tam sayılarla toplama işleminin birleşme özelliği vardır.
Örnek Aşağıda verilen toplama işlemlerinde boş kutulara uygun sayıları yazınız. a) (+5) +
= (-4) + (+5)
b) (-8) +
d) (+5) + [(+3) + (-2)] = [(+5) +
=0
] +(-2)
c) (0) +
e)
= -15
+ (+36) = 0
Çözüm: a) Toplama işleminin değişme özelliğinden
= -4 tür.
b) Bir tam sayının toplama işlemine göre tersi özelliğinden c) Toplama işleminin etkisiz eleman özelliğinden d) Toplama işleminin birleşme özelliğinden
= -15
= +8 dir. r.
= +3 tür.
e) Bir tam sayının toplama işlemine göre tersi özelliğinden
= -36 dır.
Örnek (+12) + (-5) + (+6) + (-11)
toplama işleminin sonucunu bulalım.
Çözüm: Toplama işleminin değişme özelliğinden yararlanarak aynı işaretli sayıları yan yana ge relim. (+18)
}
}
(+12) + (+6) + (-5) + (-11) = (+18) + (-16) = +2 dir. (-16)
11
ÜNİTE 1 SAYILAR Alış rmalar 1) Aşağıda verilen toplama işlemlerinin cevaplarını modelleyerek gösteriniz. a) (+3) + (+5)
b) (-5) + ( -3)
c) (-6) + (+6)
d) (+9) + (-3)
e) (-7) + (+2)
f) (-2) + (-1) + (-3)
g) (+7) + (-4)
h) (+8) + (-8)
i) (-3) + 0 + (-3)
j) (+4) + 0
k) (-9) + (+5)
l) (-4) + (-4)
2) Aşağıdaki toplama işlemlerini yapınız. a) (-15) + (+23)
b) (+9) + (+36)
c) (-13) + (-26)
d) (-99) + (+100)
e) (-56) + (-79)
f) (-65) + (+65)
g) (+8) + (-13)
h) (-16) + (+7)
3) Aşağıdaki toplama işlemlerini yapınız. a) (-1) + (-3) + (+10)
b) (+6) + (-12) + (+5)
c) (+13) + (-21) + (-8)
d) [ (-19) + (+25) ] + (-21)
e) [ (-5) + (+4) ] + [(-1) + (-4)]
f) (+8) + (-13) + (+6) + (-2)
4) Aşağıdaki toplama işlemlerinde boş kutulara uygun sayıları yazınız. a) (+12) + (-33) = (-33) + e) [ (-5) + (+4) ] + (-3) = (-5) + [
b) (+32) + + (-3)]
=0 f) [
c) 0 +
= -9
+ (-7) ] + (+1) = (-7) + [(-7) + (+1)]
5) Bir toplama işleminde (-6) sayısı hangi sayı ile toplanmalıdır ki sonuç (+4) olsun? 6) İki basamaklı en büyük negatif tam sayı ile iki basamaklı en küçük pozitif tamsayı toplanırsa sonuç kaç olur? 7) Aşağıda sayma pulları ile modellenen işlemi yazınız.
+ - + - - -
12
- -
BÖLÜM 1: TAM SAYILAR 1.1.4
TAM SAYILARLA ÇIKARMA İŞLEMİ
Zeminden 2m aşağıda asansöre binen bir madenci zeminden 4 m aşağıda asansörden iniyor. Buna göre, madencinin asansöre bindiği yer ile indiği yer arasındaki farkı bulalım.
0
Zeminin 2 m aşağısı (-2) dir. Yine zeminin 4 m aşağısı (-4) tür. Bir sayı ile (-4)’ü toplamak aynı sayıdan 4'ü çıkarmakla
Zemin
-2
eş r. Bu durumda -4'ü çıkarırken aslında 4'ü eklemiş oluruz. Bu durumda fark, (-2) - (-4) = (-2) + (+4) = +2 olarak bulunur. -4
Örnek (-3) - (-7) işlemini sayma pulları ile modelleyelim. -3'ten -7 çıkarabilmemiz için en az 4 tane daha (-) pula ihtiyaç vardır.
- - + - - + - - + - + Modelimize 4 tane 0 (sıfır) pulu ekleyelim.
- - + - - + - - + - +
+ + + +
Böylece 7 tane (-) pul elde edilmiş oldu.
7 tane (-) pulu çıkarırsak geriye 4 tane (+) pul kalmış olur. (-3) - (-7) = (-3) + (+7) = +4 olur.
Tam sayılarda yapılan çıkarma işleminde; eksilen sayı, çıkan sayının toplama işlemine göre tersi ile toplanır.
Örnek Aşağıda verilen işlemleri inceleyiniz. a) (-13) - (+2 ) = (-13) + (-2) = (-15)
b) (+16) - (-3) = (+16) + ( +3 ) = (+19)
c) (-12) - (+5) = (-12) + (-5) = (-17)
d) (-30) - (-15) = (-30) + (+15) = (-15)
13
ÜNİTE 1 SAYILAR Örnek Bir toplama işleminde çıkan toplam (+27) dir. Toplananlardan biri (-13) ise diğeri kaçtır? Çözüm: Verilen ifadeyi matematik dilinde yazalım. + (-13 ) = (+27)
Bir toplama işleminde toplanan sayılardan biri biliniyorsa, diğerini bulmak için çıkarma işlemi yapılır.
= (+27) - (-13 ) = (+27) + (+13 ) = +40 tır. Örnek
Bir çıkarma işleminde fark (+18) ve çıkan (-8) dir. Buna göre eksilen sayıyı bulunuz. Çözüm: Bir çıkarma işleminde eksilen = fark + çıkan dır. Bu durumda - (-8 ) = +18 = (+18) + (-8 ) = +10 olur. Örnek Ahmet, bir dağın eteklerinde bulunduğu sırada hava sıcaklığını -5oC olarak ölçmüştür. Daha sonra zirveye tırmanarak sıcaklığı yeniden o ölçmüş ve -14 C olduğunu görmüştür. Bu durumda, sıcaklık farkını bulalım. Çözüm: (-14) - (-5) = (-14) + (+5) Sonucun nega f çıkması sıcaklığın düştüğünü göstermektedir. = -9 oC dir. Örnek [(-6) - (+26)] - (-3)
işleminin sonucunu bulalım.
Çözüm: [(-6) - (+26)] - (-3) = [(-6) + (-26)] - (-3) İşlem sırasına göre, önce = (-32) - (-3) = (-32) + (+3) = -29 olur
14
parantez içindeki işlem yapılır.
BÖLÜM 1: TAM SAYILAR Alış rmalar 1) Aşağıda verilen işlemleri yapınız. a) (+4) - (+6)
b) (-8) - (+5)
c) (+10) - (-2)
d) (-13) - (-9)
e) (-12) - (+12)
f) (-1) - (-1)
2) Aşağıda verilen işlemlerde boş kutulara uygun sayıları yazınız. a)
- (+13) = -21
b) (+42) -
= -6
c) (-8) -
= -8
3) Aşağıda verilen işlemleri yapınız. a) (-3) + (-4) - (+9)
b) [ (+5) - (+12) ] + 9
c) (-7) + (+16) - (+9) - (-6)
d) [ (-13) + (-26) ] + [ (-3) - (+12) ]
4) Aşağıda sayma pulları ile modellenen işlemleri matematik dilinde yazınız. a)
- - - -
- - - - + - -
- - - - -
b)
+ + + +
+ + + + + + + +
+ + + +
-
-
+ + + + + + + +
+ + + +
5) Bir çıkarma işleminde fark (+18) ve çıkan sayı farkın (-8) fazlasıdır. Buna göre eksilen sayıyı bulunuz. 6) Sayı doğrusu üzerinde (-6) ve (-1) sayıları arasında kalan tam sayıların toplamı kaç olur? 7) Elif, düşündüğü sayıdan (+25) çıkarınca farkın (-71) olduğunu görüyor. Buna göre, bu sayı kaçtır?
8) Cem, Can, Mert, Sema ve Selin sırasına göre kendi aralarında oyun oynayacak şekilde soldan sağa doğru oturmuşlardır. Oyunun kuralına göre herkes kendisinden önceki oyuncudan duyduğu sayıyı 3 azaltarak bir sonraki oyuncunun kulağına söyleyecektir. Selin’e söylenen sayı (-8) olduğuna göre, oyun hangi sayı ile başlamıştır ? 9) (-5) sayısından kaç çıkarılmalıdır ki sonuç en küçük doğal sayı olsun ?
15
ÜNİTE 1 SAYILAR TAM SAYILARLA ÇARPMA İŞLEMİ
1.1.5
o
o
Başlangıç ısısı 0 C olan bir odanın ısısı her 1 saatte 2 C azalmaktadır. o
Buna göre 3. saatin sonunda odanın ısısı (-2) + (-2) + (-2) = -6 C olur. Bu durumu sayma pullarını modelleyerek gösterelim. - - - -
- - - o
Sıcaklık her 1 saatte 2 C azalmakta ve bu durum 3 saat sürmektedir.
Bu işlemi,
3. saatin sonunda o sıcaklık -6 C olur.
(-2) x (+3) = -6 şeklinde gösterebiliriz.
Şimdi de (-3) x (+4) şleminin sonucunu modelleyerek bulalım. (-3) x (+4) işlemi için 3 tane 4�lü sı�r çi�i oluşturalım.
-
+ + + +
-
+ + + +
-
-
+ + + +
Modelden 4 tane (+) pulu çıkaralım.
-
-
Böylece 12 tane (-) pul elde edilmiş oldu.
İşlemi, (-3) x (+4) = -12 şeklinde gösterebiliriz.
“SevÜ ek” olumlu bir durum olduğu için buna “+”, “Nefret Etmek” olumsuz bir durum olduğu için buna “-” diyelim. “Sevmekten nefret ederim!” Diyen bir kişi OLUMLU birisi olamaz. Yani sonuç “-” dir. (+) x (-)
(-)
“Nefret etmekten, nefret ederim!” Diyen bir kişi OLUMLU birisidir. Yani sonuç “+” dir. (-) x (-)
(+)
Aynı işaretli iki tam sayının çarpımının sonucu pozitif bir tam sayıdır. Ters işaretli iki tam sayının çarpımının sonucu negatif bir tam sayıdır.
16
BÖLÜM 1: TAM SAYILAR Örnek Aşağıda verilen çarpma işlemlerini inceleyiniz. a) (+12) x (+3) = +36
b) (-5) x (+8) = -40
c) (+4) x (-9) = -36
d) (-10) x (-7) = +70
e) (+6) x (-1) = -6
f) (-3) x 0 = 0
g) (-8) x (-12) = +96
h) (+7) x (+7) = +49
Ù Ğ Ě Ĝ Ĥ ĪẄ ÏĶ Ģ ÎÌ
j) (+15) x (-8) = -120
Û Ğ Ě Ĝ Ģ ÎĪẄ ÏĶ ÍÌ
l) (-12) x (+12) = -144
Örnek Aşağıda verilen çarpma işlemlerini yapıp sonuçlarını inceleyelim. a) (-5) x (+4)
b) (+4) x (-5)
Çözüm: a) (-5) x (+4) = -20
b) (+4) x (-5) = -20
Bu durumda (-5) x (+4) = (+4) x (-5) dir.
a ve b iki tam sayı olsun. a x b = b x a olduğundan tam sayılarla çarpma işleminin değişme özelliği vardır.
Örnek Aşağıda verilen çarpma işlemlerini yapıp sonuçlarını inceleyelim. a) [(-2) x (+6)] x (-3)
b) (-2) x [(+6) x (-3)]
Çözüm: a) [(-2) x (+6)] x (-3) = (-12) x (-3)
b) (-2) x [(+6) x (-3)] = (-2) x (-18)
= +36
= +36
Bu durumda [(-2) x (+6)] x (-3) = (-2) x [(+6) x (-3)] tür.
a, b ve c birer tam sayı olsun. [a x b] x c = a x [b x c] olduğundan tam sayılarla çarpma işleminin birleşme özelliği vardır.
17
ÜNİTE 1 SAYILAR Örnek Aşağıda yapılışı verilen işlemlerden hangisinin sonucu yanlıştır? a) (-6) x (+5) + (-12) = (-30) + (-12) b) (+5) - (-4) x (+7) = (+5) - (-28) c) [(+4) x (-5)] + [(-2) x (-3)] = (+5) + (-28) = (-20) + (+6) = -42 = -23 = -14 Çözüm: (b) deki işlem yanlış yapılmış�r. Doğru çözüm (+5) - (-4) x (+7) = (+5) - (-28) (Önce çarpma işlemi) = (+5) + (+28) (Sonra toplama işlemi) şeklinde olur. = +33
Alış rmalar 1) Aşağıdaki işlemlerin sonuçlarını çarpma işleminden yararlanarak bulunuz. a) (+4) + (+4) + (+4)
b) (-8) + (-8) + (-8) + (-8)
c) (-1) + (-1) + (-1) + (-1) + (-1) + (-1) + (-1)
2) Aşağıda verilen işlemleri yapınız. a) (+4) x (+3)
b) (-8) x (+5)
c) (+10) x (-2)
d) (-1) x (-6)
e) (-5) x (-5)
f) (-6) x (+6)
g) (-4) x (-9)
h) (+12) x (-7)
3) Aşağıdaki işlemleri çarpma işleminin değişme ve birleşme özelliklerinden yararlanarak yapınız. a) (-5) x (-3) x (-2)
b) (-7) x (+5) x (-8)
c) (-15) x (+3) x (+6)
4) Yandaki kutuları, üstteki her kutuda altındaki iki kutuda bulunan sayıların çarpımı olacak şekilde tamamlayınız.
-4 -4 5) Yanda verilen çarpma tablosuna göre a + b + c toplamı kaçtır?
x
b
3 -6 0 c 0 -5 -4
18
-2 a
8
0
4
-6 +3
BÖLÜM 1: TAM SAYILAR 1.1.6
TAM SAYILARLA BÖLME İŞLEMİ
Tam sayılarla çarpma işleminde (+8) x (-5) = -40 olduğunu biliyoruz. x (-5) = -40 ifadesinde birinci çarpanı bulmak için bölme işlemi yapıldığını doğal sayılarla bölme işlemlerinden öğrenmiştik. Bu durumda bilinmeyen çarpan (-40) : (-5) = +8 şeklinde elde edilir. Örnek (+12) : (+4) işleminin sonucunu sayı doğrusundan yararlanarak bulalım. 3. adım
0
2. adım
+4
+12'den sı ra 4'er 4'er 3 adımda ulaş�k.
1. adım
+8
+12
(+12) : (+4) = +3
Örnek (-8) : (+4) işleminin sonucunu sayma pullarından yararlanarak bulalım. - - - - - - -
- - - - - - -
8 tane
-
pul
- - -
-
-
Pullar 4 gruba ayrılırsa her gruptaki pul sayısı sonucu verir.
(-8) : (+4) = -2 dir.
Aynı işaretli iki tam sayının bölme işlemi sonucu pozitif bir sayıdır. Ters işaretli iki tam sayının bölme işlemi sonucu negatif bir sayıdır.
Örnek Aşağıda verilen bölme işlemlerini inceleyiniz. a) (+12) : (+3) = +4
b) (-15) : (-3) = +5
c) (+4) : (-1) = -4
d) (-10) : (+1) = -10
e) (+6) : (-2) = -3
f) (-16) : (-2) = +8
g) (+20) : (+10) = +2
h) (-7) : (+7) = -1
i) (-5) : (-5) = +1
j) (+36) : (-9) = -4
k) (+42) : (+6) = +7
l) 0 : (+12) = 0
19
ÜNİTE 1 SAYILAR Örnek Aşağıdaki işlemleri yapınız. a) (+12) + (-6) : (+3)
b) [(-8) : (+4)] - (-5)
c) [(-15) : (-5)] x [(-10) : (+2)]
Çözüm: İşlemlerin çözümünde işlem sırasını uygulayacak olursak, a) (+12) + (-6) : (+3)
b) [(-8) : (+4)] - (-5)
c) [(-15) : (-5)] x [(-10) : (+2)]
= (+12) + (-2)
= (-2) - (-5)
= (+3)
= +10
= (-2) + (+5)
= -15
x
(-5)
= +3
Alış rmalar 1) Aşağıdaki bölme işlemlerini yapınız. a) (+4) : (+2)
b) (-9) : (+3)
c) (+12) : (-4)
d) (-18) : (-6)
e) (-11) : (+1)
f) (+21) : (-3)
g) (-15) : (-15)
h) (+56) : (+7)
i) (-60) : (-10)
j) (-25) : (+5)
k) (-27) : (-3)
l) (+80) : (-8)
2) Aşağıda verilen işlemlerdeki boş kutulara uygun sayıları yazınız. a)
x (+3) = -12
e) (-14) :
= +2
b) (+8) x
f)
= +40
: (+6) = -8
c) (-10) x
g)
: (-9) = -6
3) (-5) ten sıfıra kadar olan tamsayıların toplamını 3 ile bölersek sonuç kaç olur ? 4) Aşağıdaki işlemleri yapınız.
20
a) (-36) : [(+12) : (-4)]
b) (-21) : (-3) x (-10)
c) (+6) + (-40) : (+5) - (-2)
d) (-9) : (-1) - [(-9) : (+1)]
= +10
BÖLÜM 1: TAM SAYILAR TAM SAYILARIN KUVVETLERİ
1.1.7
Daha önce doğal sayıların kuvvetlerini bulmayı öğrenmiş niz. Kısaca ha�rlayacak olursak,
* 5 ® Üs (Kuvvet) ® 2 Taban
Üs, tabanın kaç kez yazılıp çarpılacağını gösterir. 5
2 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 32 3
3 = 3 x 3 x 3 = 27 dir. Örnek Aşağıda tekrarlı çarpım şeklinde verilmiş tam sayılar üslü biçimde yazılmış�r, inceleyiniz. 4
3
a) (+5) x (+5) x (+5) x (+5) = (+5)
b) (-2) x (-2) x (-2) = (-2) 6
2
c) (-7) x (-7) x (-7) x (-7) x (-7) x (-7) = (-7)
d) (-18) x (-18) = (-18)
Örnek Aşağıdaki üslü sayıların kuvetleri ile değerleri arasındaki ilişkiyi inceleyiniz. 0
0
(+2) = +1
(-2) = +1
(+2) = +2
(-2) = -2
(+2) = (+2).(+2) = +4
(-2) = (-2).(-2) = +4
(+2) = (+2).(+2).(+2) = +8
(-2) = (-2).(-2).(-2) = -8
1
1
2
2
3
3
4
4
(+2) = (+2).(+2).(+2).(+2) = +16
(-2) = (-2).(-2).(-2). (-2) = +16
5
5
(+2) = (+2).(+2).(+2) (+2). (+2). = +32
(-2) = (-2).(-2).(-2). (-2). (-2) = -32
Pozitif bir tam sayının bütün doğal sayı kuvvetleri pozitif tam sayıdır. Negatif bir tam sayının çift doğal sayı kuvvetleri pozitif, tek doğal sayı kuvvetleri negatif tam sayıdır. Özel olarak bir sayının üssü 2 ise bu sayının karesi, üssü 3 ise bu sayının küpü diye okunur. 2
(+4) : 4'ün karesi
ve
3
(-6) : -6'nın küpü
21
ÜNİTE 1 SAYILAR Örnek Aşağıda 1 ve -1 tam sayılarının bazı nega f ve pozi f doğal sayı kuvvetlerine ait değerler verilmiş r, inceleyiniz. 2
2
(+1) = (+1) x (+1) = +1
(-1) = (-1) x (-1) = +1
(+1) = (+1) x (+1) x (+1) = +1
(-1) = (-1) x (-1) x (-1) = -1
3
3
4
4
(+1) = (+1) x (+1) x (+1) x (+1) = +1
(-1) = (-1) x (-1) x (-1) x (-1) = +1
.. .
.. .
99
(+1) = (+1) x (+1) x (+1) x ... x (+1) = +1
99
(-1) = (-1) x (-1) x (-1) x ... x (-1) = -1
Örnek (+3) ve (-3) tam sayılarının sı rıncı kuvve nin 1'e eşit olduğunu gösterelim. Çözüm: 4
a) (+3) = +81
4
3
: (+3)
2
: (+3)
1
: (+3)
0
: (+3)
(+3) = +27 (+3) = +9 (+3) = +3 (+3) = +1
b) (-3) = +81 3
: (-3)
2
: (-3)
1
: (-3)
0
: (-3)
(-3) = -27 (-3) = +9 (-3) = -3 (-3) = +1
Sıfırdan farklı tüm tam sayıların sıfırıncı kuvveti 1 'e eşittir.
Örnek 2
2
(-5) ve -5
üslü ifadelerin değerleri eşit midir?
Çözüm: 2
(-5) = (-5) x (-5) = +25 (Üs, parantezin içindeki ifadeyi etkiler.) 2
2
Örnek 2
3
(+3) x (-2)
işleminin sonucunu bulalım.
Çözüm: Önce üslü sayıların değerini bulalım: 2
Örnek 2
(+4) - (-3)
3
işleminin sonucunu bulalım.
Çözüm: Önce üslü sayıların değerini bulalım: 2
(-3) = (-3) x (-3) = +9 3 (-2) = (-2) x (-2) x (-2) = -8
(+4) = (+4) x (+4) = +16 3 (-3) = (-3) x (-3) x (-3) = -27
Buna göre (+9) x (-8) = -72 dir.
Buna göre (+16) - (-27) = +43 tür.
22
2
Bu durumda (-5) ¹ -5 dir.
-5 = -(5 x 5) = -25 (Üs, sadece 5'e aittir. İşareti etkilemez.)
BÖLÜM 1: TAM SAYILAR Alış rmalar 1) Aşağıda tekrarlı çarpım şeklinde verilen ifadeleri üslü sayı biçiminde yazınız. a) (+4).(+4).(+4)
c) (-11).(-11).(-11).(-11).(-11).(-11).(-11)
b) (-8).(-8).(-8).(-8)
2) Aşağıdaki üslü sayıların değerlerini hesaplayınız. 3
b) (-2) =
2
e) (+8) =
20
h) (-1)
0
k) -7 =
a) (+3) = d) (-4) =
6
c) (+5) =
3
f) (-10) =
4
5
932
201
g) (+1) =
=
i) (-1) =
0
j) (-7) = 4
3
l) -6 =
9
m) -6 =
1
n) -10 =
3)
o) (-12) =
4
Yanda verilen eşitlik ve ifadelerden kaç tanesi doğrudur?
a) (-3) = -81 2
b) -2 = -4 0
c) (-15) = +1 2
2
d) (-2) ile -2 arasında 7 tane tam sayı vardır. e) -5 tam sayısının küpü, karesinden büyüktür. f) Karelerinin değeri 16 olan iki tam sayı vardır. 4) Aşağıdaki işlemleri yapınız. 2
1
a) (-10) + (-10)
3
2
0
b) 4 + (-4) + (-4)
3
2
c) (-2) - (-6) : (-9)
5) Aşağıdaki şekil örüntüsünün ilk dört adımı verilmiştir. Buna göre 8. adımdaki şekil kaç eş bölümden oluşacaktır?
1. adım
2. adım
3. adım
4. adım
23
ÜNİTE 1 SAYILAR 1.1.8
TAM SAYILARLA PROBLEM ZAMANI
Aşağıdaki problem sorularının çözümünde kullanılan problemi anlama, plan yapma ve planı uygulama stratejilerini inceleyiniz. Elde e�ğiniz sonuçları kontrol etmeyi unutmayınız. Örnek 1 Deniz seviyesinin 13 metre üzerinde uçan bir kuş, dik bir dalış yaparak deniz seviyesinin 3 metre al�ndaki balığa ulaşmış�r. Buna göre kuş, balığı avlamak için kaç metre hareket etmiş r? Çözüm:
Problemi Anlayalım
iyesine Kuş ve balığın deniz sev r. göre konumları verilmiş daki sın Bizden, kuş ve balık ara uzaklık istenmektedir.
Plan
Yapma Deniz se viyesinin üstünü ( al�nı ise +) (-) alıp ik i mesafe arasında ki farkı h esaplam alıyız.
Planı Uygulama (+13) - (-3) = (+13) + (+3) = 16 m hareket etmiş r.
Problemi çözerken veya kontrol ederken hesap makinesi kullanabiliriz. Tam sayıları yazarken +/- tuşu kolaylık sağlar. Örneğin -3 yazmak için önce +/- tuşu sonra 3 yazarsak -3 yazmış oluruz.
Örnek 2 Ayşe, 250 sayfalık kitabın 34 sayfasını ilk gün okumuş, geriye kalan kısmı ise 4 günde her gün eşit sayıda sayfa okuyarak bi rmiş r. Buna göre, Ayşe 4. gün kaç sayfa okumuştur? Çözüm:
Problem Anlayalım
Ayşe’nin okumuş olduğu kitabın sayfa sayısı ve ilk gün okuduğu sayfa sayısı verildi. Geriye kalan sayfaları 4 günde her gün eşit sayıda okudu. İstenen 4. günün sayfa sayısı ise eşit sayıda sayfa okunan güne denk gelmektedir.
24
ma Plan Yap dan ilk
yfa sayısın Kitabın sa yısını n sayfa sa a n u k o n ü g sayfa riye kalan çıkarıp, ge . bölmeliyiz sayısını 4'e
Planı Uygulama (+250) - (+34) = (+250) + (-34)
= +216 geriye kalan sayfa sayısıdır. (+216) : (+4) = 54 ise 4. gün okuduğu sayfa sayısıdır.
BÖLÜM 1: TAM SAYILAR Maç Sayısı
Örnek 3 Yanda verilen puan cetvelinde takımların oynadıkları maçların sonuçlarına göre aldıkları puanlar verilmiş r. Galibiyete +3, beraberliğe +1 ve mağlubiyete (-1) puanın verildiği bu ligde hangi takım 10 galibiyet 5 beraberlik 7 mağlubiyet almış�r?
Takım Adı
Puan
22
Yenicami
30
22
Türk Ocağı
28
22
Doğan Türk Birliği
26
22
Binatlı
25
22
Mağusa Türk Gücü
23
Çözüm: Problemi Anlayalım
Puan tablosunda takımların almış oldukları maç sonuçlarına göre sıralamaları verilmiş r. Bizden istenen, soruda verilen galibiyet, beraberlik ve mağlubiyet sayısının hangi takıma ait olduğudur.
Planı Uygulama
Plan Yapma
Galibiyet sayısını, galibiyet (+10).(+3) + (+5).(+1) + (+7).(-1) puanıyla, beraberlik sayısını = (+30) + (+5) + (-7) beraberlik puanıyla, mağlubiy et = +28 sayısını ise mağlubiyet puanı ile 28 puanı Türk Ocağı takımı çarpıp elde edilen sonuçları almış�r. toplamalıyız.
Gelir (TL)
Gider (TL)
1. Ay
2250
1920
2. Ay
2250
2370
3. Ay
2250
2490
Örnek 4 Bir ailenin üç aylık gelir ve gider tablosu yanda verilmiş r. Tabloya göre bu ailenin üç ay sonunda gelir-gider durumu nasıl olur?
Çözüm: Tabloda verilen 3 aylık gelir ve gider durumlarını ayrı ayrı toplayalım. Gelir durumu: 2250 + 2250 + 2250 = 6750 TL Gider durumu: 1920 + 2370 + 2490 = 6780 TL
{
Gelir ve Gider arasındaki fark: 6750 - 6780 = (+6750) + (-6780) = -30 TL olur.
25
ÜNİTE 1 SAYILAR Soru Oluşturma Aşağıda verilen işlemlere uygun sorular oluşturunuz. 1) (+40) : (+2) = +20 (+20) - (+8) = +12
2) (-9).(+2) = -18 (-18) + (-6) = -24
Man ksızlıkları Bulma Aşağıdaki sorularda verilenlerle sorunun çözülmesi mümkün değildir ya da bulunan cevaplar man ksızdır. Her soruda bu man ksızlıkları bulup düzel niz. 1) İki çocuğuna haftada toplam 200 TL harçlık ayıran bir baba, birinci çocuğuna günde 25 TL veriyor. Buna göre, ikinci çocuğu günde kaç TL alıyor? 2) Zehra, 25 yaşındaki annesinin yaşının 2 katından 6 yaş küçüktür. Bu durumda Zehra kaç yaşındadır?
3) Mert, 3000 TL olan televizyona 1. ay 1300 TL, 2. ay 1100 TL ödemiş, geriye kalanını 700 TL’lik taksitler halinde kaç ayda tamamlamıştır?
Eksiklikleri Bulma Aşağıdaki soruları cevaplamak için her soruda bir bilgiye daha ih yaç vardır. Bu bilgileri bularak soruları cevaplayınız. 1) Aşağıda bir hafta boyunca ölçülen hava sıcaklıklarının değerleri verilmiştir. Bu sıcaklık değerlerinin toplamı kaça eşittir? 8 , -2 , 0 , -1 , 5 , 3 2) Bir deneydeki karışıma katılan üç maddenin sıcaklıkları 3'er derece, diğer maddelerin ise -4'er derecedir. Buna göre, bu karıştırılan maddelerin sıcaklıkları toplamı kaç derecedir?
26
BÖLÜM 1: TAM SAYILAR Alış rmalar 1) 34 yolcuyla birinci duraktan hareket eden bir otobüsten ikinci durakta 15 kişi inmiş ve otobüse 9 kişi binmiş r. Otobüs üçüncü durağa kadar hiç durmadan yol almış ve üçüncü durakta otobüsten bir önceki yolcu sayısının yarısı kadar yolcu inmiş r. Bu durumda, otobüste kaç yolcu kalmış�r?
2) Ahmet, 50 soruluk bir tes�n tüm sorularını yanıtlamış�r. Doğru yanıtladığı her soru için 2 puan almış, yanlış yanıtladığı her soru için ise 1 puanı silinmiş r. Ahmet, 40 soruyu doğru, diğer soruları yanlış cevapladığına göre, toplam kaç puan almış�r?
3) Bir sinema salonunda, 234 kadın, 456 erkek seyirci vardır. Filme ara verildiğinde 245 erkek ve kadınların yarısı salondan ayrılmış�r. Film tekrar başladığında 100 erkek salona geri dönmüştür. Son durumda, salonda toplam kaç seyirci vardır?
4) Yandaki sihirli karede, oklarla gösterilen yönlerdeki tüm toplamların 34 etmesi gerekmektedir. Buna göre, boş kutulara gelmesi gereken sayıları bulunuz.
1
15 6
4 7
8 13
5 2
1
5) Bir dalgıç denizin 32 m dibinde bulunmaktadır. Dakikada 2 m daha derine dalacak biçimde 4 dakika daha dalmaya devam ediyor. Deniz yüzeyi sı r kabul edilirse, dalgıcın son derinliğini ifade eden tam sayı kaç olur?
27
ÜNİTE 1 SAYILAR Bölüm Değerlendirme Tes 1) Aşağıdaki sayı doğrusu üzerinde verilen harflerin görüntüleri olan tam sayıları bulunuz. A
C
B -4
-9
+1
2) Aşağıdaki sayı çiftlerinin arasına veya = sembollerinden uygun olanı yazınız. a) -12 ...... -10
b) 6 ....... -30
c) -6 ....... |-6|
d) 4 ...... 12
e) |-8| ...... |8|
f) -3 ....... -18
g) -1 ...... -2
h) -24 ....... 0
ı) -109 ....... -123
3) Aşağıda verilen işlemlerde boş kutulara uygun sayıları yazınız. a)
- (+15) = -27
b) (+34) -
= -8
c) (-6) -
= -6
4) Aşağıda verilen işlemlerdeki boş kutulara uygun sayıları yazınız. a)
x (+2) = -18
d) (-26) :
= +2
b) (+5) x
e)
= +25
: (+9) = -4
c) (-15) x
f)
= +15
: (-8) = -5
5) Aşağıdaki üslü sayıların değerlerini hesaplayınız. 3
b) (-3) =
2
e) (-5) =
a) (+2) = d) (-6) =
4
c) (+4) =
3
f) (-10) =
3
3
6) Aşağıdaki işlemleri yapınız. 3
b) 25 x (-4) + (-3) =
2
e) (-124) + (-5) : (+5)=
a) (-2) + 5 - (-3) =
d) (-5) - (-6) + 12 =
28
3
0
2
1
3
c) (-4) - (-2) + 13 = 2
2
f) (-10) - (-6) - 100 =
7) Bir salonda 56 kadın, kadınların sayısının iki ka�nın 4 eksiği kadar da erkek seyirci vardır. Erkek seyircilerin 78'i salondan ayrıldığı zaman salonda kalan toplam seyirci sayısı kaç olur?
8) Ayşe’nin de�erine yazdığı sayı 154'ün üç ka�ndan 246 eksik r. Oya’nın de�erine yazdığı sayı ise Ayşe’nin sayısından 12 fazladır. Bu durumda, bu iki arkadaşın de�erlerine yazdıkları sayıların toplamı kaç�r?
9) Bir çıkarma işleminde fark 26, çıkan sayı ise (-12) dir. Buna göre eksilen sayı kaç�r?
10) 20 soruluk bir yarışmada her doğru cevap için +3 puan verilmekte, her yanlış cevap için ise yarışmacının puanından 2 puan düşülmektedir. Bu yarışmada 7 soruya doğru cevap veren bir kişi toplam kaç puan almış olur?
11) Mehmet bir dağın zirvesinde iken hava sıcaklığı -15 oC dir. Mehmet bu dağın eteklerine indiğinde o
hava sıcaklığı 7 C artmış�r. Buna göre, dağın eteklerindeki hava sıcaklığı kaç oC dir?
12) (-5) sayısının karesi, küpünden kaç fazladır?
13) 70 kilo zey n için 420 TL ödeyen bir kişi, almış olduğu zey nin kilosunu 4 TL’den satarsa kaç TL zarar etmiş olur?
29
ÜNİTE 1 SAYILAR
30
B Ö L Ü M
2
Rasyonel Sayılar
31
ÜNİTE 1 SAYILAR RASYONEL SAYILAR
1.2.1
Pisag or ve G ita r 1
Pisagor, telli çalgılarda tellerin
8/9
boylarını belirli oranlarda uza�p
64 / 81 3/4
kısaltarak farklı sesler elde
2/3 16 / 27
edilebileceğini keşfetmiş r.
128 / 243 1/2
Günümüzde gitar yapımında bu oranlar yani rasyonel sayılar kullanılmaktadır.
2 5
, 13 , 2 1 10 8
...
gibi kesirler aynı zaman da birer rasyonel sayıyı ifade etmektedir.
A ve B sayıları birer tamsayı ve B ≠ 0 olmak üzere, A B Rasyonel Sayı diyoruz.
şeklindeki kesirsel ifadelere
Rasyonel sayılar, pay ve paydası birer tam sayı olduğundan nega f (-) veya pozi f (+) Rasyonel Sayılar şeklinde ifade edilir. Örneğin, +2 = + 2 +5 5
,
-2 2 = + -5 5
,
+2 = - 2 -5 5
,
-2 = - 2 +5 5
Örnek Aşağıdaki eşitlikleri inceleyiniz. a) 2 = 2 1
b) +5 = + 5 1
c) -7 = - 7 1
d) 0 = 0 1
Her tamsayı, paydasına “1” yazılarak rasyonel sayı şeklinde gösterilebilir.
32
BÖLÜM 2: RASYONEL SAYILAR Kesirlerin bazılarını kullanarak kesir çeşitlerini hatırlayalım; Basit Kesirler
Tam Sayılı Kesirler
Bileşik Kesirler
Payın mutlak değeri, paydasının Payın mutlak değeri, paydasının mutlak değerinden küçük olan mutlak değerine eşit veya kesirlerdir. büyük olan kesirlerdir.
2 , - 1 3 5
Bir tam sayı ve bir basit kesrin yan yana yazılmasıyla elde edilen kesirlerdir.
4 , 13 , - 21 + 15 9 4
12 7
, -2 2 5
Örnek
5
kesri negatif bir basit kesir olduğuna göre “
” yerine yazılabilecek tam sayılar hangileridir?
Çözüm: Kesrin işareti negatif olduğuna göre, kesrin payındaki tam sayının işareti de (-) olmalıdır. Basit kesir olduğu için payın mutlak değeri 5'ten küçük olmalıdır. Buna göre “
” yerine yazılabilecek
tam sayılar -1,-2,-3,-4 olur. Örnek
-4
ifadesi pozitif bir bileşik kesir olduğuna göre “ değeri kaçtır?
” yerine yazılabilecek en büyük tam sayı
Çözüm: Verilen ifadenin işareti negatiftir. Bizden pozitif bir rasyonel sayı istediğine göre payda negatif bir tam sayıdır. Ayrıca bileşik kesir olacağından paydaya -1, -2, -3, -4 sayıları yazılabilir. Bu sayıların en büyüğü ise -1 dir. Örnek Yanda görülen bir tabaktaki pasta dilimi, tabak yüzeyinin kaçta kaçıdır? Çözüm: Pasta dilimini dikkate alarak tabak yüzeyinde çizgiler oluşturalım.
Çizgilerin oluşturduğu bölümlerden de anlaşılacağı gibi yaklaşık 1 'i kadardır. 8
33
ÜNİTE 1 SAYILAR 1.2.2
RASYONEL SAYILARI SAYI DOĞRUSUNDA GÖSTERME
3 kesrini sayı doğrusu üzerinde göstererek bu kesre 4 denk olan diğer kesirleri de bulalım. 3 kesri 0 ile 1 arasında bulunmaktadır. Bu durumda 4 0 ile 1 arasını 4 eş parçaya ayırdığımızda, bu 4 eş parçadan
Bir kesrin pay ve paydasını sı rdan farklı bir sayı ile çarparak veya bölerek elde edeceğimiz kesirlere denk kesirler denir.
3'üncüsü, 3 ’ü gösterir. 4 0
1
3 4 6 8 9 12
. ..
}
3 ≡ 6 ≡ 9 ... kesirleri denk r. 4 8 12
Örnek
- 2 kesrini sayı doğrusunda gösterelim. 5
Çözüm: “0" ile “-1" arası 5 eş parçaya bölünür ve daha sonra sı rdan başlayarak sola doğru 2 tane 1 birim sayılır. Ulaşılan çizgi 2 ’i gösterir. 5 5
- 25
-1
0
Örnek
- 1 1 kesrini sayı doğrusunda gösterelim. 3
Çözüm: - 1 1 kesrinin sayı doğrusundaki yerini 3 bulmak için -1 ile -2 arası 3 eş parçaya ayrılır ve -1'den i baren sola doğru 1 tane 1 birim alınır. 3
-2
-1 13 -1
Negatif rasyonel sayılar üç değişik şekilde ifade edilebilir. Örneğin; - 1 = -1 = 1 5 5 -5
34
0
BÖLÜM 2: RASYONEL SAYILAR Örnek Aşağıdaki sayı doğrusu üzerinde oklarla gösterilen yerlerin rasyonel sayı karşılıklarını altlarındaki boş kutulara yazınız.
-2
-3
0
-1
1
Çözüm: Boş kutulara soldan sağa doğru sırasıyla, -2 3 , -1 1 , - 1 , 2 , 1 6 4 2 5 3 10
2
yazılır.
Bileşik kesri, tam sayılı kesre çevirmek için kesrin payını paydasına böleriz. Bölme sonucunda, bölüm kesrin tam kısmı, kalan pay ve bölen ise payda olarak yazılır. 14 3
Payda 14 3 12 4 Tam Kısmı 2 Pay
14 2 =4 3 3
olur.
Tam sayılı kesri bileşik kesre çevirmek için kesrin paydası ile tam kısmı çarpılır. Çarpım, pay ile toplanır ve paya yazılır. Payda ise aynen yazılır. 4
(3 x 4) + 2 14 2 = = 3 3 3
Örnek a) - 11 bileşik kesrini tam sayılı kesre çeviriniz. 5
b) - 5 3 8
tam sayılı kesrini bileşik kesre çeviriniz.
Çözüm: a) 11 5 - 10 2 1
Payda Tam Kısmı Pay
- 11 = - 2 1 olur. 5 5
(8 x 5) + 3 43 b) - 5 3 = =8 8 8
dir.
35
ÜNİTE 1 SAYILAR Alış rmalar 1) En büyük birim kesri yazınız. 2) A bir bileşik kesri ifade etmektedir. Bu durumda, “A + 4” doğal sayısı en az kaç olabilir? 4 3) A B bir tam sayılı kesri ifade etmektedir. “A + B = 5” olduğuna göre, bu kesrin bileşik kesre 8 dönüştürülmüş biçiminde pay en çok kaç olabilir?
4) 6 bir basit kesri ifade etmektedir. Bu durumda “A + 6” doğal sayısı en az kaç olabilir? A
5) Aşağıdaki sayı doğrusu üzerinde oklarla gösterilen yerlerin rasyonel sayı karşılıklarını altlarındaki boş kutulara yazınız.
-1
-2
1
0
2
3
6) 8 kesrinde en az kaç adet birim kesir vardır? 13
7) Aşağıdaki kesirlerin yerini verilen sayı doğruları üzerinde işaretleyerek gösteriniz.
36
a) 7 5
0
b) 3 10
0
c) -3 4
-1
1
2
1
0
1
BÖLÜM 2: RASYONEL SAYILAR 1.2.3
RASYONEL SAYILARI SIRALAMA
Biliyoruz ki sayı doğrusu üzerinde sola doğru gidildikçe sayıların değerleri küçülmekte, sağa doğru gidildikçe sayıların değerleri büyümektedir. Bu durumla ilgili aşağıda verilen sayı doğrusu üzerinde A, B ve C noktalarına karşılık gelen rasyonel sayıları bularak küçükten büyüğe doğru sıralayınız.
-1
B
A
1
0
C
2
Sayı doğrusunda, “-1" ve “0" aralığı 3 eş parçaya ayrılmıştır. “1" ve “2" arası ise 2 eş parçaya ayrıldığına göre, 2 1 1 A =, B=ve C = 1 dir. 3 3 2 En soldaki sayı en küçük ve en sağdaki ise en büyük olduğuna göre doğru sıralama A < B < C yani - 2 < - 1 < 1 1 şeklinde olur. 3 3 2 Rasyonel sayıları sayı doğrusundan yararlanarak sıralamak dışında kullanabileceğimiz başka yöntemler de bulunmaktadır. Bu durumlarla ilgili aşağıda verilen örnekleri inceleyiniz.
Örnek Aşağıda verilen sayıları küçükten büyüğe doğru sıralayalım. 4 3
2 3
3 13
Çözüm 1: Verilen kesirleri sayı doğrusunda gösterelim.
0
2 3
1
4 3
2
(1 13)
Buna göre, sayıların küçükten büyüğe doğru sıralanışı;
3
1 33
2 < 4 < 31 3 3 3
4
şeklinde olur.
Çözüm 2: 1 10 3 3 = 3 (tam sayılı kesr b leş k kesre çev rd k.) Bu durumda paydaları eşit olan kesirlerde payı büyük olan kesrin daha büyük olmasından dolayı, 2 < 4 < 10 veya 2 < 4 < 3 13 olur. 3 3 3 3 3
37
ÜNİTE 1 SAYILAR Çözüm 3:
A ve C gibi iki kesir karşılaştırılırken, B D (A x D)
C D
A B
A B
Bir kesrin payı ile diğer kesrin paydası çarpılır.
(B x C)
ve
C D
(A x D) > (B x C) ise
Çarpım sonuçları payların üzerine yazılabilir.
A > C dir. B D
Hangi kesrin üzerindeki çarpım büyükse o, kesir daha büyüktür.
Soruda verilen kesir sayılarını ikişerli gruplandırarak yukarıdaki kuralı uygulayalım. (6)
2 3
(12)
(6)
(30)
2 3
4 3
10 3
Her iki kesre göre de küçük
(30)
(12)
4 3
10 3
sıralamamız ise 2 < 4 < 10 olur. 3 3 3
En büyük kesir
Örnek - 2 5
ve - 3 7
kesirlerini karşılaştıralım.
Çözüm 1: Verilen kesirlerin önce paydalarını eşitleyelim. - 2 = - 14 - 3 = - 15 5 35 7 35 (7)
(5)
Paydaları eşitlediğimize göre, artık paylarına bakıp hangi kesrin daha büyük olduğuna karar verebiliriz. Bu durumda 3 - 2 dir. > 5 7 Çözüm 2: İşaretlere bakılmaksızın bir kesrin paydası ile diğer kesrin payını çarparız. Daha sonra işaretlerle birlikte karşılaş�rma yapılır. (-14)
- 2 5
38
> (-15) - 3 7
- 2 5
3 > - 7
dir.
BÖLÜM 2: RASYONEL SAYILAR Örnek Aşağıda verilen rasyonel sayılardan hangisi en küçüktür? 8 5
-3 2
-1 1 4
Çözüm: Tüm pozi f rasyonel sayılar, nega f rasyonel sayılardan büyüktür. Ayrıca nega f basit kesirler, nega f tam sayılı kesirlerden büyüktür. Bu durumda 8 ve - 3 kesirlerini eleyebiliriz. Geriye 5 2 kalan kesirleri karşılaş�racak olursak, - 3 < - 1 1 olduğu görülür. En küçük kesir - 3 dir. 4 2 2
Alış rmalar 1) Aşağıdaki kesir sayılarının arasına “” işaretlerinden uygun olanını yazınız. a)
8 15
d) -2
5 13
6 17
-1
b)
9 14
-3 8
e) 3
3 8
-2 9
2
5 7
2)
2 4 ve arasında olan bir kesir sayısı yazınız. 3 5
3)
2 9 kesrinden büyük, kesrinden küçük bir kesirli sayı yazınız. 3 12
4)
-5 kesrinden daha küçük olan bir kesirli sayı yazınız. 7
5)
c)
-9 16
-11 24
f)
-17 5
-3
3 5
-10 kesrinden daha büyük olan nega f bir kesirli sayı yazınız. 4
39
ÜNİTE 1 SAYILAR RASYONEL SAYILARLA TOPLAMA İŞLEMİ
(
(
( birim kesir vardır. ( + 4 5
( = 4 x (+ 1 5
( (
kesrinin içerisinde 3 tane 1 birim kesir vardır. + 3 = 3 x + 1 5 5 5 kesrinin içerisinde 4 tane 1 5 3 5
( (
4 5
0
7 5
1
(+ 35 + (+ 45 (
(+ 35 (+ 45
işlemini sayı doğrusundan faydalanarak yapalım.
2
(
(+ 35 + (+ 45
( (
1.2.4
=+ 7 5
Örnek işlemlerini sayı doğrusunda gösterelim. - 7 6
(
- 8 6
-2
- 1 6
-1
(- 16 + (- 76 (
(
Çözüm:
0
(
(- 54 + (+ 34 (
ve
(
(- 16 + (- 76
=- 8 6
- 5 4
(
-1
0 +3 4
(
-2
(- 54 + (+ 34
=- 2 4
- 2 4
Paydaları eşit olan rasyonel sayılarla toplama işleminde; paylar toplamı paya, ortak payda ise toplamın paydasına aynen yazılır.
(
(
(
(+1) + (+2) = -3 3 =-4 3 3 1
+ 3 + -1 1 = + 3 + - 5 = - 2 = - 1 4 4 4 4 42 2
(
(
(
(
(
40
(
= [(-2) + (-1)]
(
1
(-5) + (+8) - 5 + +8 = =+ 3 =+ 1 9 9 93 3 9
(- 2 13 + (-1 23
(
(
(
(+4) + (+2) =+ 6 7 7
(
(
=
(
(+ 47 + (+ 27
BÖLÜM 2: RASYONEL SAYILAR
Rasyonel sayılarla toplama işleminde paydalar eşit değilse, önce paydalar eşitlenir daha sonra toplama işlemi yapılır.
(
(
(
(
1
+ 1 + + 1 = + 2 + + 1 =+ 3 =+ 1 3 6 6 6 6 2
(
(
(
(1)
(
(2)
2
25 = - 33 (- 15 + (- 58 = (- 408 + (- 40 40
(
(
(
(
(
(
(
(-5) + + 2 = - 5 + + 2 = - 35 + + 2 = - 33 = - 4 5 7 1 7 7 7 7 7
(
(
(
(1)
(
(
(7)
(
(
(
(
(5)
(
(8)
(
+ - 38 = - 14 (+1 26 + (- 2 19 = (+ 86 + (- 199 = (+ 24 18 ( 18 18
(
(
(2)
(
(
(
(3)
(
(2)
Örnek
(
(+ 18 + (+ 125 + (+ 13
işleminin sonucunu bulalım.
(
(
Çözüm:
(
(
(
(
(
(
(
(
7
işleminin sonucunu bulalım.
+ 1 + + 5 + + 1 = + 3 + + 10 + + 8 = + 21 = + 7 8 8 12 3 24 24 24 24
(
(8)
(
(
(2)
(
(
(3)
8
Örnek
(- 29 + (+ 153 + (-1 15 (
(
Çözüm:
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
11
- 2 + + 3 + -1 1 = - 2 + + 3 + - 6 = - 10 + + 9 + - 54 = - 55 = - 11 9 15 5 9 15 5 45 45 45 45 9
(
(
(
(9)
(
(
(3)
9
(
(
(5)
= -1
2 9
41
(
(
(
ÜNİTE 1 SAYILAR 1.2.5
RASYONEL SAYILARLA TOPLAMA İŞLEMİNİN ÖZELLİKLERİ
Aşağıdaki tabloda rasyonel sayılarla toplama işlemine ait değişme, birleşme, etkisiz eleman ve ters eleman özellikleri verilmiştir, inceleyiniz. AÇIKLAMA
(
? + 5 = 2 + -1 + 5 6 5 3 6
1 + 5 = 2 + 1 15 6 5 2
ise rasyonel sayıların toplama işlemine göre birleşme özelliği vardır.
9 = 9 10 10
bir rasyonel sayı olsun.
A +0 = 0+ A = A B B B
ETKİSİZ ELEMAN
Rasyonel sayılarda toplama işleminin etkisiz elemanı "0" sıfırdır.
A B
42
(
( AB + CD (+ FE = AB +( CD + EF ( A B
TERS ELEMAN
(
BİRLEŞME ÖZELLİĞİ
( 25 + -13
1 = 10
bir rasyonel sayı olsun.
( (
1 + 0 = 0+ 1 = 1 2 2 2
(- 35 ( + 0 = 0 + (- 35 ( = - 35 (+104 ( + ( - 104 ( = 0
+ 4 ’un toplama işlemine göre 10 tersi - 4 ’dur. 10 Toplamları "0" (sıfır) olan iki - 4 ’un toplama işlemine göre 10 rasyonel sayıdan biri diğerinin toplama işlemine göre tersidir. tersi + 4 ’dur. 10 A A =0 + B B
(
olsun.
(
(
A , C ve E üç rasyonel sayı B D F
(- 101
(
? 1 + - 3 = + 2 5
(
ise rasyonel sayıların toplama işlemine göre değişme özelliği vardır.
(
DEĞİŞME ÖZELLİĞİ
C + A = D B
(
A + C B D
(- 35 + (+ 12
(
A ve C iki rasyonel sayı B D olsun.
ÖRNEK
(
ÖZELLİK
BÖLÜM 2: RASYONEL SAYILAR Örnek 5 2 7 = + + 9 6 3 6
(
+
5 2 7 7 = + + 9 3 6 6
ifadesinde “
Toplama işleminin (birleşme özelliğinden)
(
+
(
2 3
(
(
2 3
(
( 59 +
Toplama işleminin (değişme özelliğinden)
Çözüm:
5 2 7 + + 9 3 6
( (
=
5 2 7 + + 9 3 6
=
5 2 + + 9 3 6
(
(
(
(
( 59 +
” yerine yazılması gereken sayıyı bulalım?
= 7 dir.
Örnek Aşağıda verilen rasyonel sayıların toplama işlemine göre terslerini bulunuz. 5 9
-2 1 7
17 5
Çözüm: 5 ’un toplama işlemine göre tersi - 5 ’dur. 9 9 - 2 1 ’nin toplama işlemine göre tersi 2 1 ’dir. 7 7 17 ’in toplama işlemine göre tersi 17 ’ r. 5 5
Örnek 8 +A = 0 15
ifadesinde “A” yerine hangi rasyonel sayı yazılmalıdır?
Çözüm: Toplamları sı r eden iki rasyonel sayıdan biri diğerinin toplamaya göre tersi olduğuna göre, A = - 8 r. 15
43
ÜNİTE 1 SAYILAR Örnek - 2 + =- 2 7 7 9
ifadesinde “
Çözüm: - 2 + =- 2 7 7 9
” yerine hangi tam sayı yazılmalıdır?
eşitliğinin sağlanması için
9
= 0 olmalıdır. Bu durumda
= 0 dır.
Alış rmalar 1) Aşağıda verilen toplama işlemlerini yapınız. 11 4 + 25 25
(A)
(B) ( -4 ) + ( -3 ) 21 21
(D) ( -2 ) + ( -11 ) 3 12
(E)
7 -5 +( ) 14 7
(C) (
+6 ) + ( -8 ) 5 15
(F) (
-3 ) + ( +1 ) 6 9
2) Aşağıdaki sayı doğrusunda verilen toplama işlemini sembol kullanarak yapınız.
-1
0
+1
3) Aşağıdaki toplama işlemlerini yaparak cevabı en sade şekilde yazınız. (A) -3
1 +5 1 -7 1 8 4 12
1 (B) -2 + 5 3 - 6 4 36
(D) -5 1 + 5 1 - 10 1 6 2 24
(C) 9
1 - 8 1 + 10 1 24 4 72
(E) 7 + 5 11 - 6 4 + (-9) 26 13
4) Aşağıdaki ifadelerde “?” ile belirtilen sayıyı bulunuz. (A)
4 4 ? + = 21 21 8
(B)
(D)
-7 ( 138 + 25
[
+(
? -10 -5 -1 + = + 24 12 24 24
-2 ) = 16 + ( -2 ) + ? 55 26 55
(C)
-1 4 + + ? =0 9 3
[
(
5) Aşağıdaki sayıların toplama işlemine göre terslerini yazınız. 4 17 6)
44
34 5
(-4) 3 + + A =0 2 5
-1
9 14
-15 8
37 -10
ifadesinde “A” yerine hangi rasyonel sayının yazılacağını bulunuz.
BÖLÜM 2: RASYONEL SAYILAR RASYONEL SAYILARLA ÇIKARMA İŞLEMİ
1.2.6
Birik rdiğim harçlığımın 1/8'i ile kalem, 2/5'i ile de�er aldım. Geriye harçlığımın kaçta kaçının kaldığını bulmak için hangi işlemleri yapmalıyım?
?
??
“ + 2 rasyonel sayısı hangi sayı ile toplanırsa sonuç + 3 olur ?” sorusunun matematiksel dilde 5 5 ifadesi aşağıdaki gibi yazılabilir: (+ 2 ) + 5
= (+
Yandaki toplama işleminde bilinmeyeni bulmak için “çıkarma işlemi” yapmalıyız. Bu durumda;
3 ) 5
(+ 3 ) - ( + 2 ) = + 1 5 5 5
sonucu elde edilir.
Bu çıkarma işlemini sayı doğrusunda gösterelim. Yukarıdaki çıkarma işleminde kullanılan rasyonel sayıların birim kesirleri 1 dir. Buna göre; 5 +
3 5 +
2 5
0
+1
+
1 5
İki rasyonel sayının çıkarma işlemi yapılırken eksilen sayı, çıkan sayının toplama işlemine göre tersi ile toplanır.
(
(
(
(4)
(
1
(-12) + (+9) -1 - - 9 = - 1 + + 9 = =- 3 12 12 1 12 12 4
(
(12)
(1)
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(3)
(
(
(1)
(1)
(
(
+ 4 - - 1 = + 4 + + 3 =+ 7 9 3 9 9 9
(- 38 - (+ 2 12 = (- 38 + (- 52 = (- 38 + (- 208 = - 238 (
(
=+ 2 7
(
(+ 67 - (+ 47 = (+ 67 + (- 47
=- 1 4
45
ÜNİTE 1 SAYILAR Örnek Aşağıdaki çıkarma işlemlerini yapalım.
( ( (
5 4 a) + 12 18
(
(
b) + 2
1 3
( - (- 4 25 (
(
c) + 4
( ( (
6 +5 11
Çözüm:
( ( (
( ( ( (
( ( ( (
(
5 4 5 4 15 8 23 a) = = =+ + + 12 18 12 18 36 36 36 (3)
(2)
66 31 1 + + = =2 ( - (- 4 25 ( = (- 73 ( + (+ 225 ( = (- 35 15 ( ( 15 ( 15 15
(
1 3
(
6 50 5 50 55 - 5 +5 = + + + = + = 11 11 1 11 11 11
b) + 2
c) + 4
(5)
(3)
( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( (1)
(11)
Örnek Aşağıdaki çıkarma işlemlerine ait eşitliklerin doğruluğunu işlem yaparak kontrol ediniz.
( ( - (+ 34 ( = (+ 34 ( - (- 56 ( (- 56 ( + (- 34 ( = (+ 34 ( + (+ 56 (
5 a) 6
(2)
(3)
(3)
(2)
9 9 10 = + + + + (- 10 12 ( ( 12 ( ( 12 ( ( 12 ( 19 - 19 = + 12 12
( ( ([ - (- 12 ( = (- 56 ( - [(+ 34 ( - (- 12 ([
[(
( ( ([ - (- 12 ( = (- 56 ( - [(+ 34 ( - (- 12 ([
5 - 3 b) + 6 4 (2)
(1)
(3)
[(
( ( ([ ( ( ( ( [( ( ( ([ ( ( ( ( ( ( ( (
- 10 + - 9 - - 1 = - 5 - + 3 + + 2 12 12 2 6 4 4 1 5 5 - 19 + + = - + 2 12 4 6 (1)
(6)
46
(2)
6 10 + (+ ( = (- ( (- 19 ( 12 12 12 -
Rasyonel sayılarla çıkarma işleminin değişme özelliği yoktur.
(2)
}
Çözüm:
[(
5 - 3 b) + 6 4
}
( ( - (+ 34 ( = (+ 34 ( - (- 56 (
5 a) 6
13 25 = 12 12
(3)
+
(- 15 12 (
Rasyonel sayılarla çıkarma işleminin birleşme özelliği yoktur.
BÖLÜM 2: RASYONEL SAYILAR
[
Örnek (-2) - (1
[
4 2 ) +1 işlemini yapınız. 5 15
Çözüm: Önce parantez içindeki işlemi yapalım.
[
[
9 10 9 10 9 19 (- 2 ( - (+ ) = (- ( - (+ ) = (- ( + (- ) = 5 5 5 5 5 5 1 (5)
(1)
8
19 19 57 40 2 17 17 =- 8 (- ( + (+1 ) = (- ( + (+ ) = (- ( + (+ ) = 5 5 15 15 15 15 15 3 (3)
dir.
3
(1)
Örnek Aşağıdaki sayı doğrusunda “A” ve “B” noktalarının rasyonel sayı karşılıklarına göre, (B - A) işleminin sonucu kaça eşi�r?
A
-2
-1
0
B
+1
Çözüm:
Sayı doğrusuna göre A = -1 4 ve B = + 1 dir. Bu durumda 6 3
B - A = (+ 1 ( - (-1 4 ( = (+ 1 ( + (+ 10 ( = (+ 2 ( + (+ 10 ( = 12 = 2 dir. 6 6 6 3 3 6 6 (2)
(1)
Örnek
(
(-5 34 - (-2 16
işleminin sonucu hangi iki tam sayı arasındadır?
(
Çözüm:
(
(2)
(
(
(3)
(
(-5 34 - (-2 16 = (-5129 + (+2122
= -3
7 12
- 3 7 rasyonel sayısı -3 ile -4 tam sayıları arasındadır. 12
47
ÜNİTE 1 SAYILAR Alış rmalar 1) Aşağıdaki sayı doğruları üzerinde verilen işlemleri sembol kullanarak gösteriniz.
0
1
2
3
-1
0
1
2) Aşağıdaki işlemleri yapınız.
(
(
(
(
h) + 1 3 - (-4) 4
(
f) - 5 - + 3 1 2
(
i) - 2 9 - (+5) 10
(
e) + 2 1 - - 4 9 12
(
(
(
c) + 3 - - 4 4 8
(
(
(
(
(
(
(
g) +8 - - 4 2 7
(
(
(
d) - 1 2 - - 2 5 5 6
(
(
(
(
b) + 1 - + 4 9 9
(
(
(
(
a) - 8 - + 13 7 7
3) Aşağıdaki işlemleri yapınız.
(
(
(
(
4) - 5 8
b) -10
1 + 73 - 2 5 2 4 6
(
c) -1 1 - 1 - 2 1 + 5 18 4 12 8
5 rasyonel sayısına önce 2 4 sayısı eklenir sonra elde edilen sayıdan 1 çıkartılırsa 12 9
sonuç kaça eşit olur? 6 5) Yandaki bidonun ’i su ile doludur. Buna göre, bidondaki suyun 8 kaçta kaçı boşaltılırsa, bidonun 1 ’ünde su kalmış olur? 4
48
(
(
(
(
(
5 a) 2 1 - 3 - 8 12 6
BÖLÜM 2: RASYONEL SAYILAR 1.2.7
RASYONEL SAYILARLARIN ONDALIK GÖSTERİMİ
Haya�mızın birçok alanında kesirler karşımıza çıkar. Günlük haya�a kesirler alışverişte, marketlerde, manavlarda, mühendislikte, spor karşılaşmalarında ve birçok alanda kullanılır. Örneğin bir markete gi�ğimizde yarım kilo peynir almak istersek burada kesir kullanırız. Çünkü yarım kilo peynir 1/2 kg peynir demek r veya kilosu 2 lira olan portakaldan 5 liralık aldığımızda 2.5 kilo portakal almış oluruz. Kilo ve litre ölçü birimlerine göre marketlerde sa�n alınan tüm ürünlerin miktarları ondalık kesir olarak ifade edilir. Çünkü tam sayılı olarak verilirken bazı sorunlara neden olabilir. Buna paketleme veya ürün çeşitliliği bakımından ih yaç duyulmaktadır. 41.50 kg
52.65 kg
Örnek Aşağıdaki rasyonel sayıların paydası 10, 100, 1000 olacak şekilde genişle lmiş ve ondalık gösterim olarak yazılmış�r, inceleyiniz. 4 5
-5 2
3 4
1 8
Çözüm: 4 4 .2 8 = . = = 0.8 5 5 2 10
(2)
. - 5 = - 5 . 5 = - 25 = - 2.5 2 2 5 10 (5)
3 3 .25 75 = = = 0.75 4 4 .25 100
(25)
1 1 . 125 125 = = . = 0.125 8 8 125 1000
(125)
Paydası 10, 100, 1000, ... gibi 10'un pozitif kuvveti şeklinde yazılabilen kesirlere ondalık sayı denir. Ondalık sayılar aynı zamanda birer rasyonel sayıdır. Bir rasyonel sayının payı, paydasına bölünerek bu sayının ondalık gösterimi elde edilebilir. Örneğin, 4 = 0.8 eşitliğini kesri, paydasını 10 yapacak şekilde genişleterek elde etmiş k. Eğer kesrin 5 payını, paydasına bölecek olursak, 4 5 0.8 Sağlamasını hesap - 0 0.8 40 makinesinde 4'ü 5'e - 40 bölerek yapabilirsiniz. 0
49
ÜNİTE 1 SAYILAR Örnek 13 , 11 ve - 9 2 25 50
rasyonel sayılarının ondalık gösterimlerini bulalım.
Çözüm:
13 2 - 12 6.5 10 - 10 0
13 13 . 5 65 = . = = 6.5 aynı sonucu 13'ü 2'ye 2 2 5 10 bölerek bulalım. (5)
11 11 . 4 44 = = = 0.44 aynı sonucu 11'i 25'e 25 25 . 4 100 bölerek bulalım.
11 25 - 00 0.44 110 - 100 100 - 100 0
9 50 - 0 0.18 90 - 50 400 - 400 0
- 9 = - 0.18 50
(4)
. - 9 = - 9 .2 = - 18 = - 0.18 aynı sonucu 9'u 50'ye 50 50 2 100 bölerek bulalım. (2)
Örnek 2 ve - 16 rasyonel sayılarının ondalık gösterimlerini bulalım. 3 9 Çözüm: Verilen rasyonel sayıların paydasını 10, 100, 1000, ... olacak şekilde 10'un herhangi bir kuvve şeklinde yazamayız. Bu durumda paylarını, paydalarına bölerek ondalık gösterimlerini bulalım. 2 3
2 3 0 0.666... 20 - 18 20 - 18 20 - 18 2. ..
2 = 0.666... = 0.6 3
- 16 9
16 9 - 9 1.777... 70 - 63 70 - 63 70 - 63 7. ..
- 16 = - 1.777... = - 1.7 9
Bir rasyonel sayının ondalık gösteriminde, ondalık kısmındaki sayılar belirli bir rakamdan sonra tekrar ediyorsa bu gibi sayılara devirli ondalık sayı denir. Devirli ondalık sayılarda tekrar eden rakam veya rakamların üzerine çizgi konulur.
50
BÖLÜM 2: RASYONEL SAYILAR Örnek 63 ve - 25 99 6
rasyonel sayılarını ondalık gösterim olarak ifade edelim.
Çözüm: 63 99
63 99 - 0 0.6363... 630 - 594 360 - 297 630 - 594 36 .. .
63 = 0.6363... = 0.63 99
- 25 6
25 6 - 24 4.1666... 10 - 6 40 - 36 40 - 36 4. ..
- 25 = - 4.166... = - 4.16 6
Örnek Aşağıda verilen ondalık gösterimler rasyonel sayı olarak ifade edilmiş r, inceleyiniz. a) 0.02 = 2 = 1 100 50
b) - 0.21 = - 21 100
c) - 0.001 = - 1 1000
d) 5.4 = 54 = 27 10 5
e) -1.2 = - 12 = - 6 10 5
f) - 30.24 = - 3024 = - 756 100 25
g) 25.5 = 255 = 51 10 2
h) 200.4 = 2004 = 1002 10 5
i) - 1.040 = - 1040 = - 26 1000 25
Örnek Aşağıda sayı doğrusunda gösterilen P, R, S ve T noktalarına karşılık gelen ondalık gösterimleri bulalım. P
-3
R
-2
S
-1
T
0
1
2
Çözüm: P = -2
3 6 = -2 = -2.6 5 10
(2)
R = -1
1 5 = -1 = -1.5 2 10
(5)
S =-
1 - 25 = = - 0.25 4 100
(25)
4 T = 1 = 1.4 10
51
ÜNİTE 1 SAYILAR Alış rmalar 1) Aşağıdaki rasyonel sayıların ondalık gösterimlerini yazınız. a) 1 2
b) 6 5
c) 17 4
d) 3 20
e) 46 25
f) 124 50
g) 12 8
h) 4 125
2) Aşağıdaki rasyonel sayılara ait devirli ondalık gösterimleri yazınız. a) 1 9
b) 8 3
c) 22 6
d) 32 90
3) Aşağıdaki ondalık gösterimleri verilen rasyonel sayıları yazınız. a) 0.5
b) - 1.72
c) - 25.4
d) 0.038
4) Aşağıdaki ifadelerden doğru olanların sonuna “D”, yanlış olanların ise “Y” yazınız. a) 2.8 ondalık gösterime ait rasyonel sayı 14 r. (.........) 5 b) - 29 rasyonel sayısının ondalık gösterimi -3.2 dir. (.........) 9 c) 5.0343434... sayısı 5.034 ile gösterilir. (.........) d) 15 rasyonel sayısının ondalık gösterimi 0.075 r. (.........) 200 e) - 37 rasyonel sayısının ondalık gösterimi -3.083 tür. (.........) 12 5) Ali, bir tahtayı 20 eş parçaya bölüp 9 parçasını boyuyor. Buna göre, Ali’nin boyadığı kısmın ondalık sayı gösterimini hesaplayınız.
6) Aşağıda sayı doğrusunda gösterilen A, B, C, D ve E noktalarına karşılık gelen ondalık gösterimleri bulunuz. A
-2
52
C
B
-1
0
D
1
E
2
3
BÖLÜM 2: RASYONEL SAYILAR RASYONEL SAYILARLA ÇARPMA İŞLEMİ
1.2.8
2 x 3 Daha önce kesirli sayılarla çarpma işlemi yapmayı öğrenmiş niz. Aşağıda işlemi 5 5 modelleme yöntemi kullanılarak yapılmış�r.
x
=
Kesir kartlarından 2 ve 3 ’i ifade edenleri alalım. 5 5
Bu kartları üst üste yerleştirdiğimizde yeşil renkli bölge, tüm şeklin 6 ’ini 25 ifade eder.
İki rasyonel sayı ile çarpma işlemi yaparken, bu rasyonel sayıların paylarının çarpımı, çarpımın payı; paydalarının çarpımı ise çarpımın paydası olarak yazılır. Örneğin,
1
2 x 3 2x3 6 1 = = = 3 4 3 x 4 12 2 2
Örnek
(
1) +
(
( (
Rasyonel sayılarla çarpma işlemi yaparken, tam sayılarla ve kesirli sayılarla işlem yapma becerilerimizi kullanacağız. Buna göre, Aşağıda verilen çarpma işlemlerini inceleyiniz.
(
( ( x (+ 47 ( = - 498
1 3 3 =+ x + 4 5 20
( ( (
2 2) 7
1
2 5 2x5 - 5 == x 4) + 3 6 3x6 9
( ( (
3
1
( ( ( (
(
9 5 9 =+ 9 6) +5 x + = + x + 10 2 1 10 2
(
1 5) - 1 2
( (
( ( x (- 59 ( = + 25 54
5 3) 6
( ( ( ( (
1
4
2 3 8 3x8 4 =+ = = + = +4 x -2 x 3 2 3 2x3 1
(
( ( ( ( ( (
1
1
2
(
8 x +18 = - 35 x + 18 = -70 7) -3 9 9 1 1
53
ÜNİTE 1 SAYILAR 1.2.9
RASYONEL SAYILARLA ÇARPMA İŞLEMİNİN ÖZELLİKLERİ
Aşağıdaki tabloda rasyonel sayılarla çarpma işlemine ait değişme, birleşme, etkisiz eleman, ters eleman ve yutan eleman özelliklerine ait örneklere yer verilmiştir, inceleyiniz. ÖRNEK
( (
(
? 1 x - 3 = + 2 5 3 = 10
( (
( (
(
1) DEĞİŞME ÖZELLİĞİ
(- 35 x (+ 12 (- 103
(
ÖZELLİK
[(+ 25 ( x (- 13 ([ x (+ 56 ( ?= (+ 25 ( x [(- 13 ( x (+ 56 ([ 2) BİRLEŞME ÖZELLİĞİ
(- 152 ( x (+ 56 ( = (+ 25 ( x (- 185 ( - 10 = - 10 90 90
(
(+1) x - 5 = - 5 8 8
(
3) ETKİSİZ ELEMAN
x (+1) = + 3 5
(
(+ 35
Bir rasyonel sayının “1" ile çarpımı yine kendisine eşi�r.
( (
( (
4) TERS ELEMAN
(- 35 x (- 53 (+ 49 x (+ 94
=+
15 = +1 15
=+
36 = +1 36
İki rasyonel sayının çarpımı “1" ise, bu rasyonel sayılar çarpma işlemine göre birbirinin tersidir.
(
x 0=0
0 x - 1 =0 2
(
5) YUTAN ELEMAN
(
(+ 116
Bir rasyonel sayının “0" ile çarpımı sı ra eşi�r.
54
BÖLÜM 2: RASYONEL SAYILAR 6) Sı rdan farklı bir rasyonel sayının “-1" ile çarpımı x (-1) = - 3 5
(
(+ 35
(
Sı rdan farklı bir rasyonel sayının “-1" ile çarpımı, o rasyonel sayının ters işaretli haline eşi�r.
(-1) x - 5 = + 5 8 8
(
7) Çarpma işleminin toplama ve çıkarma işlemleri üzerine dağılma özelliği Aşağıda verilen eşitliklerde, eşitliğin solundaki işlem ile sağındaki işlem ayrı ayrı yapılmış�r, inceleyiniz.
? 2 1 2 x 1 + 5 = x + 2 x 5 3 4 6 3 4 3 6
(
(3)
(
(2)
( ( (
( (
? 3 2 3 x 2 - 7 = x - 3 x 7 4 5 10 4 5 4 10
(
(
(2)
(1)
(
( ( (
( (
2 x 3 + 10 = 2 + 10 3 12 12 12 18
3 x 4 - 7 = 6 - 21 4 10 10 20 40
2 x 13 = 6 + 20 36 36 3 12 26 = 26 36 36
3 x - 3 = 12 - 21 40 40 4 10 - 9 =- 9 40 40
(
(3)
( (
(2)
(2)
(
(1)
( (
( (
2 x 1 + 5 = 2 x 1 + 2 x 5 3 4 6 3 4 3 6
(
ve
(
( (
( (
3 x 2 - 7 = 3 x 2 - 3 x 7 4 5 10 4 5 4 10
(
şeklinde yazılabilen eşitlikler, rasyonel sayılarla çarpma işleminin toplama ve çıkarma işlemleri üzerine dağılma özelliğini göstermektedir. Örnek
(
4 x -2 + 5 5 9 6
Yandaki işlemi, çarpma işleminin toplama işlemi üzerine dağılma özelliğini kullanarak yapmaya çalıştım. Fakat işlemin adımlarından birinde hata yaptım. Sizce bu hatayı kaçıncı adımda yapmış olabilirim?
( = ( 54 x -29 ( - ( 54 x 65 ( = -8 - 20 45 30 (2)
(3)
= -16 - 60 90
= - 76
90
1. adım 2. adım
3. adım 4. adım
90
Çözüm: İşlemin birinci adımında hata yapılmış�r. İki parantezin arasında çıkarma değil, toplama işlemi olmalıydı. İşlemin doğru sonucu ise 44 dır. 90
55
ÜNİTE 1 SAYILAR BİR RASYONEL SAYININ KARESİ VE KÜPÜ
1.2.10
Aşağıda bazı rasyonel sayıların kareleri verilmiş r, inceleyiniz. 2
2
2
2
( ( ( (( (
a) + 1 = + 1 x + 1 = + 1 x 1 = + 12 = + 1 2 2 2 2x2 4 2
( ( ( (( (
Pozi f bir rasyonel sayının karesi, pozi f işaretlidir.
b) + 3 = + 3 x + 3 = + 3 x 3 = + 32 = + 9 4 4 4 4x4 16 4 2
( ( ( (( (
2
c) + 7 = + 7 x + 7 = + 7 x 7 = + 7 2 = + 49 10 10 10 10 x 10 100 10 2
2
2
2
2
2
( ( ( (( (
(-3) 9 d) - 3 = - 3 x - 3 = (-3) x (-3) = 2 =+ 4 2x2 2 2 2 2
( ( ( (( (
Nega f bir rasyonel sayının karesi, pozi f işaretlidir.
(-1) 1 1 x - 1 (-1) x (-1) 1 = = = e) 2 = + 25 5x5 5 5 5 5
( ( ( ( ( (
(-9) 9 9 x - 9 (-9) x (-9) 81 = = = f) 2 = + 144 12 x 12 12 12 12 12 Aşağıda bazı rasyonel sayıların küpleri verilmiş r, inceleyiniz. 3
3
3
3
3
3
( ( ( (( (( (
a) + 2 = + 2 x + 2 x + 2 = + 2 x 2 x 2 = + 23 = + 8 3 3 3 3 3x3x3 27 3
( ( ( (( (( (
b) +
1 1 x 1 x 1 1x1x1 1 1 =+ = + = + 3= + + + 4 4 4 4 4x4x4 64 4
( ( ( (( (( (
Pozi f bir rasyonel sayının küpü, pozi f işaretlidir.
c) + 5 = + 5 x + 5 x + 5 = + 5 x 5 x 5 = + 53 = + 125 6 6 6 6 6x6x6 216 6 3
3
3
3
3
3
( ( ( (( (( (
1 d) - 1 = - 1 x - 1 x - 1 = (-1) x (-1) x (-1) = (-1) =3 2 2 2 2 2x2x2 8 2
( ( ( (( (( (
(-3) e) - 3 = - 3 x - 3 x - 3 = (-3) x (-3) x (-3) = 3 = - 27 5 5 5 5 5x5x5 125 5
( ( ( (( (( (
4 4 x - 4 x - 4 (-4) x (-4) x (-4) (-4) - 64 = = = f) 3 = 1000 10 10 10 10 10 x 10 x 10 10
56
Nega f bir rasyonel sayının küpü, nega f işaretlidir.
BÖLÜM 2: RASYONEL SAYILAR Alış rmalar 1) Aşağıda verilen işlemleri yanlarında verilen şekilleri kullanarak yapınız. a) 1 x 2 3 3
x
b) 3 x 2 4 5
=
x
=
2) Aşağıda verilen çarpma işlemlerini yapınız.
(
a) +
( (
2 3 x + 5 4
(
( ( x (+ 16 (
5 c) 8
(
f) -6 x + 4 2 3
( ( ( (
e) +3
(
3 h) -15 4
2 x +9 d) 9 g) +2
1 2
( ( x (- 104 (
6 b) 7
( x (+1 15 (
1 5
( x (-1 78 (
(
( ( (
( x (-2 27 (
(
(
(
i) + 3 4 x (-3) 12
3) Aşağıda verilen çarpma işlemlerini yapınız.
(
a) +
(
3 x0 8
(
( ( x (+1)
2 c) (-1) x 9
( (
(
f) 0 x - 2 1 2
4 b) 5
d) (+1) x + 6 11
(
e) +
(
(
8 x (-1) 25
(
4) Aşağıda verilen eşitliklerde boş kutulara yazılması gereken sayıları bulunuz.
(
(
a) - 6 x 7
( (
d) - 5 x 11 f) 9 x 14
(
( ( (
2 = x - 6 9 7
=0
( (
(
b) (-1) x
e)
( (
[(+ 14 ( x (- 38 ([ x (+ 29 ( =
- 1 = 9 x 2 - 9 x 1 12 14 5 14 12
( (
3 x c) 5
=+ 4 9
x
=1
[(- 38 ( x (+ 29 ([
(
57
ÜNİTE 1 SAYILAR 5) Aşağıdaki işlemin sonucunu dağılma özelliğini kullanarak bulunuz.
(
(
18 x 5 + 11 = 55 9 36 6) Aşağıdaki üslü rasyonel sayıların değerini hesaplayınız. 2
( (
3
c) - 2 = 9
3
f) +3 1 = 3
b) - 1 = 6
2
e) + 4 = 7
(
2
( (
a) + 5 = 8
(
( (
( (
d) +1 3 = 4
(
3
(
7) Karesi 81 olan rasyonel sayıların çarpımı kaça eşittir? 64
8) - 3 rasyonel sayısının çarpma ve toplama işlemlerine göre tersi olan sayıların çarpımı kaçtır? 4
9) Yandaki çarpım ağacına göre mavi balon üzerine hangi sayı yazılmalıdır?
-3 8
+
4 5
x -4 x
10) Aşağıdaki çarpma işlemi tablosuna göre, “A + B” toplamı kaça eşittir?
x
-1 3
-3 8
A
-2 1 4
58
+8
B
BÖLÜM 2: RASYONEL SAYILAR RASYONEL SAYILARLA BÖLME İŞLEMİ
1.2.11
Daha önce kesirlerle bölme işlemi yapmayı öğrenmiş niz. Aşağıda 1 ¸ 3 işlemi, modelleme 6 yöntemi kullanılarak yapılmış�r.
Bir bütünün 1 ’sı 6
Bütünün 1 ’sının 3'te 1'i 6 1 ¸3 6
Bütünün İşlem:
1 ’i 18
1¸ 1 x 1 = 1 3= 6 6 3 18
İki rasyonel sayının bölme işleminde, birinci rasyonel sayı, ikinci rasyonel sayının çarpma işlemine göre tersi ile çarpılır. Örneğin,
1
2 4 2 x 5 2x5 5 ¸ = = = 3 5 3 4 3 x 42 6
Örnek Rasyonel sayılarla bölme işlemine ait aşağıda verilen örnekleri inceleyiniz.
(
( (
( (
( (
(
( (
( (
( ( (
3 1 3 x 5 15 ¸ + 1) + + = + =+ 4 5 4 1 4
(
3) +
2 1 = + 2 x - 2 =- 4 ¸ -1 3 2 3 3 9
( (
1
( ( (
(
5) - 4 ¸ (+ 12) = - 4 x + 1 = - 1 9 9 12 27 3
( ( (
1
( ( ( (
6
(
3 9 3 12 6 ¸ + = =x + 2) 10 12 10 9 15 5
3
6
( ( ( ( ( (
4) (- 36) ¸ - 6 = - 36 x - 7 = 42 7 1 6 1
6)
(
( (
-2 1 ¸ + 1 1 4 8
2
1
( ( ( (
(
9 8 = -2 = x + 4 9 1
1
59
ÜNİTE 1 SAYILAR İki tam sayının çarpma işleminde, sıfırdan farklı bir çarpan biliniyorken diğerini bulmak için bölme işlemi yapılır. Örneğin, = 36 ¸ 4 = 9'dur.
4 x ? = 36
Örnek Aşağıda verilen çarpma işlemlerinde bilinmeyen çarpanları elde edelim.
(
a) +
(
4 x 9
=-
8 27
b)
Çözüm: a)
( ( (
2
( ( ( (
8 8 x 9 ¸ +4 = = + 27 27 9 4 3
=-
1
(
b)
1
(
(
1 x -1 =9 2
( ( (
3
( ( (
3 9 2 = (+9) ¸ = + x 2 1 3
1
= -6 dır.
2 3
Örnek Rasyonel sayılarla bölme işleminde değişme ve birleşme özellikleri var mıdır? Bu özelliklerin varlığı ile ilgili aşağıda yapmış olduğum iki örneği inceleyiniz.
( ¸ (- 38 2 x - 8 = (+ ( 3 5
( (
- 15 = - 16 16 15
( (
? 2 = + 5
( (
( ( (- 38 x (+ 52
a) - 3 ¸ + 2 8 5
b)
[(+ 12 ( ¸ (- 13 ([ ¸ (+ 45 ( ?= (+ 12 ( ¸ [(- 13 ( ¸ (+ 45 ([ [(+ 12 ( x (- 31 ([ ¸ (+ 45 ( = (+ 12 ( ¸ [(- 13 ( x (+ 54 ([ (- 32 ( ¸ (+ 45 ( = (+ 12 ( ¸ (- 125 (
( (
(- 32 ( x (+ 54 ( = (+ 12 ( x (- 125( - 15 = - 12 8 10 Örneklerden de anlaşılacağı gibi, rasyonel sayılarla bölme işleminde değişme ve birleşme özellikleri yoktur.
60
BÖLÜM 2: RASYONEL SAYILAR Örnek Aşağıda “1” ve “-1” ile yapılan bölme işlemlerini, inceleyiniz.
( (
a) - 2 ¸ (+1) = - 2 11 11
(
(
b) + 8 ¸ (+1) = + 8 15 15
( (
a) - 6 ¸ (-1) = + 6 7 7
(
(
b) + 1 ¸ (-1) = - 1 9 9
Bir rasyonel sayının 1'e bölümü kendisine eşi�r.
Bir rasyonel sayının -1'e bölümü, o rasyonel sayının ters işaretli halidir.
( (
1'in sı rdan farklı bir rasyonel sayıya bölümü o rasyonel sayının 8 15 çarpma işlemine göre d) (+1) ¸ + =+ 15 8 tersine eşi�r. c) (+1) ¸ - 2 = - 11 11 2
(
(
( (
c) (-1) ¸ - 6 = + 7 7 6
(
(
d) (-1) ¸ + 1 = -9 9
Örnek
-1'in sı rdan farklı bir rasyonel sayıya bölümü o rasyonel sayının çarpma işlemine göre tersinin, ters işaretlisine eşi�r.
Aşağıda yapılan “sı rı” bölme işlemlerini, inceleyiniz.
( ( =0
a) 0 ¸ - 4 5
(
b) 0 ¸ + 1 3
( =0
Sı rın,sı rdan farklı bir rasyonel sayıya bölümü sı ra eşi�r.
Etkinlik Rasyonel sayıların ondalık gösterimlerini yazdıktan sonra hesap makinesinde işlem yapmak kolaylaşacaktır.
20'yi 20'den 0'a kadar bazı sayılara bölerek elde ettiğim sonuçları sınıfta arkadaşlarımla tartışmak istiyorum. Bazılarının cevabını buldum. Geriye kalanlarını hesap makinesiyle bulmama yardımcı olur musun? 20 : 20 = 1 20 : 10 = 2 20 : 5 = 4 20 : 2 = 10 20 : 1 = 20 20 : 1 = 40 2
Bölen sayı küçüldükçe bölümün büyüdüğüne dikkat edin!
20 : 1 = 100 5 20 : 1 = 200 10 20 : 1 = 2000 100
1 = 20 : 0.00001 = 10000 1 20 : = 20 : 0.0000001 = Bölen sı ra 1000000 . 20 :
yaklaş kça bölümün değeri çok ar�.
20 : 1 = 20000 1000
..
Bölen sı r olduğunda ...
20 : 0 = ?
61
ÜNİTE 1 SAYILAR Alış rmalar 1) Aşağıda verilen işlemleri yanlarında verilen şekillere göre modelleyerek yapınız. a) 1 ¸ 2 3
b) 3 ¸ 3 4 2) Aşağıda verilen bölme işlemlerini yapınız.
(
a) +
( (
2 1 ¸ + 9 3
(
( ( (
5 ¸ 3 b) + 8 4
( ( ( (
4 d) ¸ +8 15
(
g) +8
( (
1 4 ¸ +6 2 5
(
(
( ( ( (
2 6 c) ¸ 7 7
e) +1
(
1 7 ¸ -2 5 10
( (
(
(
( (
(
1 1 h) -13 ¸ -2 2 4
( ( (
f) -6 ¸ + 5 3 9
(
( ( (
(
i) + 1 1 ¸ - 4 3 3
3) Aşağıda verilen bölme işlemlerini yapınız.
(
a) 0 ¸ +
3 8
(
(
d) (+1) ¸ + 6 11
( (
2 c) (-1) ¸ 9
( (
(
1 f) 0 ¸ - 2 2
4 b) ¸ (+1) 5
(
e) +
(
(
8 ¸ (-1) 25
(
4) Aşağıda verilen eşitliklerde boş kutulara yazılması gereken sayıları bulunuz.
(
(
a) - 6 x 7
2 = 9
( (x
b) - 8 9
5) Yanda verilen eş büyüklükteki iki şekilden II. şekildeki boyalı kısmın içinde I. şekildeki boyalı kısımdan kaç tane vardır? 6) 20 7 sayısı 9 sayısının kaç katıdır? 10 20
62
=+ 2 3
I II
(
c) + 2 1 6
(x
=- 5 7
BÖLÜM 2: RASYONEL SAYILAR 1.2.12
RASYONEL SAYILARLA PROBLEM ZAMANI
1) Deniz seviyesinin 4 1 m altında olan bir balık ile deniz 2 seviyesinin 10 1 m üzerinde olan bir martı arasında kaç 4 metrelik bir mesafe vardır?
10 4
1m 4
1m 2
Çözüm: Balık ile mar� arasındaki mesafeyi bulmak için toplama işlemi yapmalıyız. Bu durumda 1 1 1 2 3 metredir. 4 + 10 = 4 + 10 = 14 4 4 2 4 4 (2)
2) Yandaki tahtayı 7 eş parçaya bölüp 5 parçasını boyarsak, tahtanın 10 metre uzunluğundaki kısmını boyamış oluruz. Buna göre, tahtanın tüm uzunluğu kaç metredir?
10 m
Çözüm: Kesir kadarı bilinen bir bütünün tamamını bulmak için bölme işlemi yapıldığını öğrenmiş k. Buna göre tahta, x 7 = 14 m uzunluğundadır. 10 ¸ 5 = 10 1 7 5
3) 36 litre zeytinyağının tamamı 1 1 litre zeytinyağı alan şişelere doldurulmak isteniyor. Buna 2 göre, en az kaç şişeye ihtiyaç vardır? Çözüm: Zey n yağını aynı ölçüdeki şişelere dolduracağımızdan, gerekli olan şişe sayısını bulmak için bölme işlemi yapmalıyız. 1 ¸ 3 = 36 x 2 = 24 şişeye ihtiyaç vardır. 36 ¸ 1 = 36 1 2 2 1 3 4) Ayşe, evde yapmış olduğu limonatayı şişelere dolduracaktır. Ayşe, 3 litrelik şişelerden 15 tanesini 5 ve 1 1 litrelik şişelerden 20 tanesini tamamen limonata ile doldurduğuna göre, şişelerde 2 toplam kaç litre limonata vardır? Çözüm: Aynı ölçüdeki şişelerin sayısı ile ölçüsünü çarpalım: 15 x 3 = 9 litre ve 20 x 1 1 = 30 litre olduğuna göre, şişelerde toplam 9 + 30 = 39 litre 2 5 limonata vardır.
63
ÜNİTE 1 SAYILAR 5) Başlangıçta 7 ’i su dolu olan bir depodan 9 L su alındığında, su 8 seviyesi deponun yarısına inmektedir. Buna göre, deponun
7/8
tamamı kaç litre su alır? Çözüm: 7 ’i dolu olan deponun 9 litresi kullanıldığında Şekilsel Çözüm: 8 Şekildeki bidon, sekiz eş parçaya ayrılmış�r. deponun yarısında su kaldığına göre, Suyun 7/8 ölçeğinden bidonun 7 - 1 = 7 - 4 = 3 ’i yarısına gelmesi için 3 bölüm 8 2 8 8 8 inmesi gerekir. Bu da kullanılan (4) 7/8 suyun kullanılan 9 litresinin kesirsel karşılığıdır. 9 litre sudur. Demek ki her bir bölüm 3 litre suya karşılık gelir. Bu durumda depo, 1/2 Buna göre, bidonun tamamı x 8 = 24 litre su alır. 9¸ 3 = 9 8 x 3 = 24 litre su alır. 1 8 3
6) Parasının önce 2 ’ini, sonra kalanın 1 ’ünü harcayan bir kişi, parasının toplam kaçta kaçını 5 3 harcamıştır? Çözüm:
Parasının önce 2 ’ini harcayan bir kişinin geriye 5 5 2 parasının - = 3 ’i kalmış�r. 5 5 5 Daha sonra kalan parasının 1 ’ünü harcadığına göre 3 1 aslında tüm paranın 3 x 1 = 1 ’ine karşılık gelir. 5 31 5 Toplamda ise parasının 2 + 1 = 3 ’ini harcamış�r. 5 5 5
Bir bütünün veya kesrin kesir kadarını bulmak için çarpma işlemi yapılır.
Man ksızlıkları Bulma 1) Ali, 350 sayfalık bir kitabın günde 3 ’sini okuyarak üç günde bitiriyor. Buna göre Ali, günde 7 kaç sayfa okumuştur? 2) Bir araba gideceği yolun 1. gün 2 ’ini, 2. gün 3 ’ünü gidiyor. Buna göre, yolun tamamını gitmesi 5 4 için geriye yolun kaçta kaçı kalmıştır?
64
BÖLÜM 2: RASYONEL SAYILAR Alış rmalar Aşağıdaki problemleri çözünüz. 1) Bir su deposunun beşte ikisi su ile doludur. Depoya 20 litre su eklendiği zaman deponun yarısı dolmuş olur. Bu durumda, deponun tamamı kaç litre kapasitesindedir?
2) Zeynep, cebindeki paranın üçte ikisi ile de�er, geri kalanın yarısı ile de kalem almış�r. Zeynep’in geriye 8 TL’si kaldığına göre, başlangıçta cebinde kaç TL vardı?
3) Ali, bir sınavdaki soruların on ikide yedisini doğru, geriye kalanları ise yanlış çözmüştür. Her sorunun 4 puan olduğu bu sınavda Ali, 56 puan aldığına göre, sınavda kaç soru vardı?
4) Kerem, borcunun 2/11'ini peşin olarak ödedikten sonra geriye kalan borcunu her ay 45 TL taksit ödeyerek 6 ayda kapatmış�r. Bu durumda, Kerem'in başlangıçta borcu kaç TL idi?
5) Bir sayının 1/4'ü ile 5/8'i arasındaki fark 36 olduğuna göre, bu sayı kaç�r?
6) Her bir ka�nda 25 odanın bulunduğu 12 katlı bir otelde odaların 2/5'si 2 yataklı, 3/4'ü ise 4 yataklıdır. Bu otelde 4 yataklı oda sayısı, 2 yataklı oda sayısından ne kadar fazladır?
65
ÜNİTE 1 SAYILAR RASYONEL SAYILARLA ÇOKLU İŞLEMLER VE İŞLEM SIRASI
1.2.13
Aşağıda verilen işlemleri işlem sırasını uygulayarak çözelim.
Hatırlatma
1) 1 + 1 x 3 işleminin sonucunu bulalım. 4 5 2
İşlem Sırası 1) Üslü sayıların değeri bulunur. 2) Parantez içindeki işlemler yapılır. 3) Çarpma ve bölme işlemi 4) Toplama ve çıkarma işlemi
Çözüm: Çözüme önce çarpma işleminden başlayalım.
Önceliği olmayan işlemlerde (toplama-çıkarma veya çarpma-bölme) işlem sırası soldan sağa doğru yapılır.
1 + 1 x 3 = 1 + 3 = 10 + 3 = 13 4 5 2 2 20 20 20 20 (10)
Çözüme önce toplama işlemini yaparak başlarsak, 1 + 1 x 3 = 2 + 1 x 3 = 3 x 3 = 9 olur. Bir işlemin iki farklı sonucu olamaz. 4 5 4 5 4 5 20 2 4
(2)
Rasyonel sayılarla işlem yaparken çözümlerimizi işlem sırasını dikkate alarak yapmalıyız.
(
2) 5 ¸ - 3 + 2 6 8 3
(
işleminin sonucunu bulalım.
Çözüm: İşlem sırasına göre, çözüme önce parantez içindeki işlemden başlamalıyız.
(
(
(
(
5 3 2 5 9 16 5 7 ¸ - + ¸ ¸ - + = = 6 8 3 6 24 24 6 24 (3)
(8)
5 24 x 6 7 1
= =
4
20 dir. 7
3) - 1 ¸ 2 x 5 işleminin sonucunu bulalım. 9 3 12 Çözüm: İşlem önceliği aynı olan işlemlerde önce soldaki işlem yapılır. - 1 ¸ 2 x 5 =- 1 x 3 x 5 9 3 12 9 2 12 ==-
66
1
3 x 5 18 12 4
5 72
BÖLÜM 2: RASYONEL SAYILAR
(
(
2 4) 8 + 1 - 2 x 5 10 2 5
işleminin sonucunu bulalım.
Çözüm: Çözüme önce üslü sayının değerini bularak başlayalım. Daha sonra parantez içindeki işlemi yapalım. 2 8 1 - 2 8 1 - 2 8 5 - 4 + x5 = + x 25 = + x 25 10 2 5 10 2 5 10 10 10
(
(
2 3 5) - 2 x 18 + - 1 3 2
( (
( (
(
(5)
(2)
(
(
(
=
8 1 25 + x 10 10 1
=
8 25 + 10 10
=
33 10
İşlem önceliği çarpma işleminindir.
olur.
işleminin sonucunu bulalım.
Çözüm: Çözüme önce üslü sayıların değerini bularak başlayalım ve çarpma işlemi ile devam edelim. 2 3 - 2 x 18 + - 1 = 4 x 18 + - 1 3 2 1 9 8
( (
( (
( (
2
1
=
( (
8 + -1 1 8
(8)
3
( (-2
6) 9 ¸ - 3 4
( (
4 x 18 + - 1 = 1 9 8
(1)
Son olarak toplama işlemini yaparak çözüme ulaşalım.
( (
=
64 - 1 + 8 8
=
63 olur. 8
işleminin sonucunu bulalım.
Çözüm: 1 3 3 9 27 9 9¸ -2= -2 = x - 64 - 2 = - 64 - 2 ¸ 4 1 64 1 27 3 1
( (
( (
( ( 3
(1)
(3)
64 - 6 3 3 70 olur. =3 =-
67
ÜNİTE 1 SAYILAR Kesir çizgisi kullanılan işlemlerde, kesrin payındaki işlemin sonucu, paydasındaki işlemin sonucuna bölünerek yapılır. Kesir çizgisi, eşi�r seviyesinde olan ve genellikle en uzun çizgidir. Örneğin,
1 2 + 2 3 5 6
=
( 21 + 32 ( ¸ 65 = ( 63 + 64 ( ¸ 65 = (3)
7 ¸ 5 6 6 7 x 61 = 6 5 1
(2)
7 5
= 7)
8
işleminin sonucunu bulalım.
3 - 4 4 5 Çözüm: 8 3 - 4 4 5
=8¸
( 43
(5)
-
( (
15 16 = 8 ¸ - 1 4 = 8¸ 20 20 20 5 1
(4)
(
(
(
( (
20 = 8 x 1 1
= -160 dır.
8)
1 3 4
işleminin sonucunu bulalım.
Çözüm: 1 3 4 1 = 1 ¸ = 1 x = 1 4 1 3 4 12 3
9)
1 3 + 4
1 3 4
veya
1 3 4
1 = 1 x = 1 4 12 3
dir.
işleminin sonucunu bulalım.
Çözüm: 1 3 + 4
68
1 1 1 x 4 = 1 4 = 1 16 = 17 = 1 x + + + olur. 4 3 12 3 12 12 12 3 1 3 (1) (4) 4
r.
BÖLÜM 2: RASYONEL SAYILAR Alış rmalar Aşağıdaki işlemleri yapınız. 1) 2 - 1 x 1 4 5 5
8)
2) 3 ÷ 9 x 1 8 12 3
9)
(
(
2 3) 2 + 3 - 1 x 3 10 8 6
10)
2 1 - 3 4 5
7 2 + 1 3 2
1 3 4
11)
1 1 2 + 8 3 7
2 3 5) - 1 x 12 + - 1 2 3
12)
5 6 9
6) 2 ÷ ( 3 + 5 ) 11 3 7
13)
1 2÷ 2
( ( ( (
2 7) 4 ÷ ( 1 + 1 ) 2 3 9
14)
( 31 ( ÷ ( 31 (
3 4) 24 ¸ - 2 - 6 3
( (
( (
( (
-
3
2 9 12
1 2 4
2
69
ÜNİTE 1 SAYILAR Bölüm Değerlendirme Tes 1) Aşağıda verilen kesir gruplarını küçükten büyüğe doğru sıralayınız. a) -2 3
-5 6
c) 2 2
11
3
4
-1 2
32 9
b) -5 3
-7 8
-9 7
d) 12 5
17 9
19 6
2) A B bir tam sayılı kesri ifade etmektedir. “A + B = 8” olduğuna göre, bu kesrin bileşik kesre 6 dönüştürülmüş biçiminde pay en çok kaç olabilir?
3) Aşağıdaki kesirlerin yerini verilen sayı doğruları üzerinde işaretleyerek gösteriniz. a) 9 5
1
b) -1 2 5
2
3
-1
-2
4) Aşağıda verilen eşitliklerde boş kutulara yazılması gereken sayıları bulunuz.
(
(
a) - 3 + 4
( (x
1 = 8
b) - 2 5
=+ 3 8
(
c) + 1 1 4
5) Aşağıdaki rasyonel sayıların ondalık gösterimlerini yazınız. a) 1 4
b) 8 5
c) 41 20
d) 9 25
6) Aşağıdaki rasyonel sayılara ait devirli ondalık gösterimlerini yazınız. a) 1 3
70
b) 7 3
c) 42 6
d) 23 90
(x
=- 2 5
BÖLÜM 2: RASYONEL SAYILAR 7) Aşağıdaki ondalık gösterimleri verilen rasyonel sayıları yazınız. a) 0.2
b) - 1.25
c) - 75.2
d) 0.016
8) Aşağıdaki üslü rasyonel sayıların değerini hesaplayınız. 2
( (
3
c) - 2 = 7
3
f) +2 2 = 3
b) - 1 = 3
2
e) + 2 = 6
(
2
( (
a) + 2 = 5
(
( (
( (
d) +1 2 = 6
(
3
(
9) Aşağıdaki işlemlerin sonucunu hesaplayınız. a) 1 ÷ 5 x 2 8 16 3
(
b)
(
2 c) 4 + 3 - 1 x 2 12 5 3
3 e) 48 ¸ - 1 - 9 2
( (
d)
f)
3 2 + 3 5 2 2 5 8
1 3 + 9
1 3 8
10) Aşağıdaki problemleri çözünüz. a) Bir salonun dör�e biri seyirci ile doludur. Salona 120 seyirci daha geldiği zaman salonun beşte ikisi dolmuş olur. Bu durumda, salonun tamamı kaç seyirci kapasitesindedir?
b) Ahmet, cebindeki paranın sekizde üçü ile kitap, geri kalanın üçte biri ile de de�er almış�r. Ahmet’in geriye 20 TL’si kaldığına göre, başlangıçta cebinde kaç TL vardı?
71
ÜNİTE 1 SAYILAR Ünite Değerlendirme Tes 1) Aşağıdaki sayı doğrusu üzerinde verilen harflerin görüntüleri olan tam sayıların toplamı kaçtır? A
C
B -5
-10 A) -15
B) -13
0 C) 13
D) 15
2) Aşağıdaki işlemde boş kutuya gelmesi gereken sayı, seçeneklerde verilenlerden hangisidir? - (-23) = -36 A) 59
B) 13
C) -13
D) -59
3) Aşağıdaki işlemde boş kutuya gelmesi gereken sayı, seçeneklerde verilenlerden hangisidir? (-12) x
= +48
A) -60
B) -4
C) 4
D) 36
4) Aşağıdaki işlemde boş kutuya gelmesi gereken sayı, seçeneklerde verilenlerden hangisidir? : (-4) = -8 A) -32
B) -2
C) 2
D) 32
C) -72
D) -22
C) -3
D) 3
5) Aşağıdaki işlemin sonucu kaçtır? 3
o
5
(-3) - (-2) + (-25) - 28 = A) -112
B) -86
6) Aşağıdaki işlemin sonucu kaçtır? 3
2
1
(-2) - (-4) + (-10) + 5 = A) -29
72
B) 29
BÖLÜM 2: RASYONEL SAYILAR 7) Aşağıda verilen eşitlikte boş kutuya yazılması gereken sayı, seçeneklerde verilenlerden hangisidir?
(+ 1 35 ( x A) - 16 15
=- 2 3 B) 16 15
C) - 1 4
D) 1 4
8) Aşağıda verilen eşitlikte boş kutuya yazılması gereken sayı, seçeneklerde verilenlerden hangisidir?
(+ 49 ( A) 82 63
=- 6 7 B) - 82 63
C) - 26 63
D) 26 63
9) Aşağıdaki rasyonel sayının ondalık gösterimi, seçeneklerde verilenlerden hangisidir? 2 25 A) 8
B) 0.8
C) 0.24
D) 0.08
10) Aşağıdaki rasyonel sayının ondalık gösterimi, seçeneklerde verilenlerden hangisidir? 17 20 A) 8.5
B) 0.85
C) 0.17
D) 0.085
11) Aşağıdaki rasyonel sayıya ait devirli ondalık gösterim, seçeneklerde verilenlerden hangisidir? 2 9 A) 0.02
B) 0.2
C) 2.02
D) 2.2
12) Aşağıdaki rasyonel sayıya ait devirli ondalık gösterim, seçeneklerde verilenlerden hangisidir? 5 6 A) 0.083
B) 0.83
C) 0.83
D) 8.3
73
ÜNİTE 1 SAYILAR 13) -3 , -2 , -1 2 4 5
kesirli sayılarının küçükten büyüğe doğru sıralanışı hangi seçenekte verilmiştir?
A) -3 < -2 < -1 2 4 5
14) 2 , 3 , 4 9 5 8
B) -3 < -1