Matematici speciale [I]

Table of contents :
1
2
3
4
6

Citation preview

-

MINISTERUL ÎNVAŢAMîNTULUI

I. GH. ŞABAC

!MATEMATICI SPECIALE

lvm.il

EDITURA DIDACTICĂ ŞI PEDAGOGICĂ BUCUREŞTI - 1964

Partea intli

CALCULUL VECTORIAL

Capitolul I.

ALGEBRA VECTORIALA

§ 1. SCALARI

ŞI

VECTORI.

OPERAŢII

LINIARE

1.01. Miriml scalare, mărimi vectoriale. Mărimile fizice care se întîlnesc în studiul diverselor fenomene prezintă o mare varietate cu privire la natura lor. Dintre acestea, o primă categorie o formează mărimile scalare. D e f i n i ţ i e. O mărime fizică este o mărime s.calară dacă într-un sistem de unităţi dat poate fi reprezentată printr-un singur număr real (pozitiv, negativ sau nul), independent de sistemul de referinţă al spaţiului. Exemple: timpul, temperatura, lungimea unui segment. . Alte mărimi, ca: translaţia, forţa, viteza, nu pot fi caracterizate complet printr-un singur număr real, independent de sistemul de referinţă. O translaţie este precizată prin cunoaşterea direcţiei şi sensului în care se produce deplasarea şi a distanţei parcurse de punctele figurii deplasate. De asemenea, acţiunea unei forţe asupra unui punct material .este ~unoscută, dacă sînt •precizate direcţia şi sensul în care acţionează, precum şi intensitatea forţei, ex• primată printr-un număr pozitiv sau nul. Viteza unui .punct material, .într-o mişcare rectilinie şi uniformă, va trebui să arate nu numai distanţa parcursă de punctul material în unitatea de timp, ci şi direcţia şi sensul în care se produce deplasarea. Prin urmare, o astfel de mărime nu poate fi caracterizată printr-un singur număr real, ci trebuie să i se mai ataşeze o direcţie şi un sens. . în scopul reprezentării geometrice a acestor mărimi vom introduce noţiunea de segment orientat. Dotiă puncte A şi A' determină un segment de dreaptă care are direcţia dreptei AA~ şi lungimea egală cu distanţa dintre cele două puncte. Stabilind o ordine a celor două puncte, de exemplu (A, A'), se obţine un segment orientat care se notează AA' şi se figurează grafic ·priritr-o săgeată (fig. 1.1). Punctul A se numeşte originea segmentului orientat şi A' vîrful său. Sensul în care se parcurge segmentul de la A la A' este sensul segmentului orientat AA'. . Prin -schimbarea ordinei celor două puncte se obţine segmentu~ orientat A'A, opusul lui AA'. Prin urmare, două puncte A şi A' determină două segmente orientate AA' şi A7 A avînd: · direcţia dreptei AA', lungimea egală cu distanţa dintre ceie două ·puncte şi sensuri opuse. · Dreapta AA' se numeşte suportul segmentului orienlat AA'.

6

CALCULUL VECTORIAL

Două

segmente orientate au

aceeaşi direcţie, dacă

dreaptă sau pe drepte paralele.

sînt situate pe

aceeaşi

în caz contrar, au directii diferite. Seg-

mentele orientate care au aceeaşi direcţie pot avea acelaşi sens sau sensuri deosebite. Legătura între sensurile a două segmente orientate AA' şi BB' de aceeaşi direcţie, se poate preciza în modul următor : Dacă AA' şi BB' sînt situate pe aceeaşi dreaptă, ele pot determina pe acea dreaptă un acelaşi sens de parcurgere sau sensuri opuse. în primul caz, AA' şi BB' sînt de acelaşi sens, în caz contrar, sînt de sensuri opuse. Dacă AA' şi BB' sînt situate pe două drepte paralele, unim A cu B N~ ( şi A' cu B'. în cazul cînd segmentele I I AB şi A' B' nu au un punct comun, I I I I, I AA' şi BB' vor avea acelaşi sens, iar · I I în cazul contrar vor avea sensuri opuse. I I Se observă că un segment orientat . AA', dat prin perechea ordonată de ~ .. puncte (A, A'), are direcţia, sensul şi A lungimea determinate. Reciproc, dacă se dau originea A, direcţia, sensul şi Fig. 1.1. lungimea, segmentuJ orientat AA' este ·· determinat. Mărimile citate mai sus: translaţia, forţa, viteza, cu unele precizări care vor fi date la locul potrivit, pot fi reprezentate prin segmente orientate. Pentru început, vom pune în evidenţă cîteva elemente din studiul translaţiilor. Reamintim că translaţia este deplasarea unei figuri geometrice în care orice segment de dreaptă AM se transformă într-un segment A' M', paralel şi egal cu segmentul iniţial AM A'" (fig. 1.1). Figura AMM'A' este un paralelogram. Se observă că este suficient să cunoaştem noua poziţie A' a punctului A, pentru a putea spune care este noua poziţie M' a oricărui punct M. . Dar poziţia lui A' faţă de A poate fi caracterizată complet prin segmentul de dreaptă orientat

-----------7"'

/

___ _./ . ,

AA'. Poziţia dată de

A

F'ig. 1.2. lui" M' faţă de M va fi segmentul orientat MM', paralel cu AA', de acelaşi sens şi de aceeaşi lungime.. Segmentele orientate care au aceeaşi direcţie, acelaşi sens ş1 aceeaşi lungime se· ·numesc· echipolente. Două. segmente orientate echipolente au în studiul translaţiilor aceeaşi semnificaţie. O translaţie poate fi caracterizată complet prin AA' sau prin orice segment: orientat MM', echipolent cu acesta.

ALGEBRA VECTORIALA

7

(T') şi (T"), caracterizate, respectiv, prin AA' şi AA" (fig. 1.2). Fie A"' vîrful opus lui A în paralelogramul construit pe AA' şi AA" ca laturi. Translaţia (T') transformă pe A în A', iar translaţia (T") transformă, evident, pe A' în A'". Succesiunea acestor două translaţii poate fi înlocuită printr-o singură translaţie (T"'), caracterizată prin AA'", care transformă direct pe A în A"'. Translaţia (T"') este, prin definţie, rezultatul compunerii translaţiilor ( T') şi (T"), în această ordine. Dacă am fi aplicat lui A mai întîi translaţia ( T") şi apoi translaţia (T'), punctul A se transforma în A", apoi A" în A"', deci obţineam acelaşi rezultat. Compunerea translaţiilor este comutativă. Operaţia de compunere a celor două translaţii poate fi reprezentată prin compunerea sau adunarea segmentelor orientate AA' şi AA":

Compunerea

translaţiilor.. Să considerăm două translaţii,

+ A' A"' = AA"', AA'' + AA' = AA" + A"A"' = AA"'. AA' + AA" = AA'

In prima

relaţie

am înlocuit pe AA" prin A' A"', care este echipolent cu AA", iar în a doua, pe AA' prin echipolentul său A"A"'. Deci, cele două segmente orientate se adună aşezînd unul din ele cu originea în vîrful celuilalt. Suma sau rezultanta va avea ca origine originea primului, şi ca vîrf extremitatea ultimului. Aceasta este regula triunghiului. Se observă că rezultanta AA'" este situată pe diagonala paralelogramului construit pe AA' şi AA" ca laturi. Originea rezultantei este în originea comună a celor două componente, iar extremitatea, în vîrful paralelogramului opus originii. Aceasta este regula paralelogramului. Proprietatea de comutativitate a compunerii translaţiilor se traduce priri proprietatea de comutativitate a adunării segmentelor orientate.

AA' +A-A"= AA"

+ AA'.

Compunerea translaţiilor este şi asociativă. Să considerăm translaţiile (T1), (T2 ), (T3) care aplicate succesiv unui punct îl duc, respectiv, din A în A 1 , din A1 în A2 , din A 2 în A3 (fig. 1.3). Această succesiune de translaţii poate fi înlocuită prin translaţia care duce direct pe A în A3 , ceea ce se traduce

~n

.

AA 3 = (AA 1

+ A A + A2A 1

2)

3•

Modul în care s-au adunat cele trei segmente orientate se

poligonului. Este evident

că

AA 3 = AA 2

+ A2A3 = AA + A1 A3 • 1

numeşte

regula

CALCULUL VECTORIAL

8

Avem deci

următoarea relaţie:

care exprimă _proprietatea ~e asociativitate _a com~unerii translaţiilor. In mulţ1~ea translaţulor p~tem considera ş1 translaţia nulă care lasă punctele neschimbate. Vom spune că această translaţie este reprezentată prin segmentul orientat nul, care are lungimea nulă, iar direcţia şi sensul arbitrare. Vom avea, evident,

+

AA1 A1A1 = AA1 segmentul orientat nul fiind reprezentat aici prin A1A1 • De asemenea, se poate asocia fiecărei transla ţii o translaţie inversă sau opusă. Dacă translaţia iniţială este caracterizată prin AA1 , translaţia opusă va fi dată de segmentul orientat

A

Ar

Fig. 1.8.

AA1 + A1 A = AA1

A 1A

=-

AA1 ,

opusul lui AA1 • Avem

relaţia evidentă

+ (-AA1) = AA.

Segmentul orientat nul AA reprezintă translaţia nulă, obţinută prin compunerea celor două translaţii opuse. 1nmulţirea segmentului orientat AA' cu un număr real 11. se defineşte ca fiind tot un segment orientat, A AA', avînd aceeaşi direcţie cu AA' ; sensul lui AA' sau sensul opus, după cum "'> O sau A O, sau A .1 + 5>.3 = O i.1

al

cărui

determinant este evident nul. Se

obţine

Â1

= - ~=

lS° Fie trei vectori v1, F 9, v'9 liniar independenti. de coplanaritate a vectorilor

Să

Â3 ].

2 se arate

că condiţia

necesari

şi

suficientă

~1

= «11~1 + «Js:s + CX13~,

ex 11

= «11V1 + «nVa + .) ;,~

= r2 -

i.r3 , (1 - µ) r;

= 'ra -

µr1, (i.(.L - 1) ;:; = )µi1

is.

-

cu ).,

Adunînd aceste trei relaţii, dintre care a doua a fost multiplicată în prealabil se obţine (1 - i.) -;;; µ).)i; + (>.µ - l)f~ ·= O, condiţia. de coliniaritate a punctelor M 1, Mt,, .1lf3 din exerciţiul precedent].

+ (). -

18°

Să.

se ara.te

că condiţ.ia necesară şi suficientă

pentru ca patru puncte .Au .A1 , .A3, r1, i-2 , i 3 , i-4 să existe o relaţie de

A4 să fie în acelaşi plan, este ca între vectorii lor de poziţie

forma

).1i 1

+ ).2'ii2 + ).8r3 + ">.,r, = O,

cu i.1

+ 1.2 + Âa + Ât = O.

[Jnd. Condiţia. este necesară, aşa cum rezultă din descompunerea vectorului .A.1..4 9 după. A1 A3 şi A1A4 : r 9 -T1. = i.('ii3 - r1) + µ(r4 - T1), adică (1 - i. - µ)i1 - i1 + i.i'3 + + p.1'4 = O. Condiţ.ia este şi suticientă, deoarece ea se poate scrie i.ii1 + A:1'1 + >.ara - (">.1 + +>.11 + >.a)r, = O. Sub forma i.1(r1 - T4) + "2(i'1 - i 4) + i.3(r3 - F4) = O, constituie condiţia de coplanaritate a vectorilor A 1 A~, As~, AaAtJ. 19° Daţi fiind patru vectori ;-11 ;-2, ;-3 , ;-,, avînd aceeaşi origine O, iar vîrfuri!e Â1, A,., A.3, A, situate oricum în spaţiu, să se ara.te că vectorii 'ii1 +i2, r1 'i'a, 'i'3 + 'i',, i 4 + i 1 au virfurile în acelaşi plan. Interpreta.re geometrică. · [Ind. Se va folosi exerciţiul precedent]. 20° F:e A1, As, ~' A. virfurile unui patrulater strîmb şi M1, M2 , M3 , M• patru puncte situate pe laturile sale, astfel ca . . direcţiile

+

M 1 A1 =l1 M 1 .A 2 , M~l.At='-t M 2 .A 3, .MaAs=Âa M3 A4 , M,Âa·-=~ M4 A1 • Să

se arate ci dacă i.1 ).2 ).3 ) 4 = 1, cele patru puncte sînt in [Jnd. Se va ţine seama de exerciţiile 17° şi 18°].

acolaşi

plan.

§ 2. PRODUSE CU VECTORI

1.07. Produsul scalar. Fie, în spaţiul euclidian cu lrei dimensiuni, doi vectori a şi b, reprezentaţi prin segmentele orientate OA şi 0B (fig. 1.12). Dintre unghiurile formate de cei doi vectori, vom considera, în cele ce nr-

CALCULUl, VECTORIAL

:mează,

cel. tnai mic 1 unghi pozitiv* format de semidreptele OA acest unghi este 8, J. • . O ~ 8 ~ 7t.

şi

OB. Dacă

_

Definiţie. Produsul scalar al vectorilor a şi ·6 este numărul ~bţinut qiodulelor lor cu cosinusul unghiului format de cei doi vectori. Se scrie · ·

.

.înmulţind-produsul

·a"6 = i:Lb

(21)

cos 6.

... Un exemplu de mărime fizică exprimată printr-un produs scalar este ·1ucrul mecanic produs de o forţă constantă F = b ~înd punctul .său de aplicaţie se deplasează de la O la A. Dacă se desB· compune Jii după direcţia OA şi perpendiculara pe această direcţie, componenta normală dă un lucru mecanic nul. întreg lucrul mecanic al forţei 'r este dat de componenta după direcţia A OA. Această componentă are expresia F cos 8= = b cos 8. Lucrul mecanic va fi produsul dintre această componentă şi deplasarea a = OA. n Dacă 6 < . . ::.. , lucrul mecanic este activ şi se Fig. ,1.12.

2

exprimă

-,

..

.

printr-un număr strict pozitiv, iar dacă

:~ >.-fl luc~ulr:~~ca~ic este rezistent şi se exprimă printr-UtJ.

număr negativ.

Produsul ~catar are următoarele proprietăţi :

. ~b . ba (comutativ) . (A a) 1J = A (ab), A fiind un scalar oarecare(a .b} -~ . + bc (distributiv faţă de adunare)

:+

ac

· aci ·= . a 2 ~ Q, egalitatea are loc

P;ima

\i ·iiiti~~

proprietate

~~.18:

dacă _şi

rezultă

numai

imediat din

dacă

(22)

a= O.

definiţie.

A doua -se

._~p_ţine__ uşor,.pofpin~ ~efiniţie. şi ~tudiind cele ·trei ca_z~ri :. A> O, A.< O.! A =·O. Pentru cea de.:.a treia relaţie dm (22), se face mai mtu observaţia ca

produsul scalar ab este egal cu produsul dintre modulul unuia din vecto!:!

+

şi proiecţia celuilalt ·p~- eL In egalitatea care exprimă că proiecţia lui a b pe este egală cu _sµtpa proiecţiilor vectorilor a şi b pe vectorul se înmul ţese

c

c,

ambii membri cit c şi se ob_ţine relaţia căutată. Modulul unui produs scalar este mai mic sau cel mult egal cu produsul modulelor .

·· · 1a1>1 ~ab. · .Într-adevăr, ·I ab I = lab cos •• J \

'I,

:

:·..

(23)

61 = ab Icos 81, iar Icos 6 I-< 1.

'~

:· · · *·Un num_5.r. ceai..z -este pozitiv,

dacă

:r~O. Dacă

:i;

> O,

x

este strict pozitiv~

23

~LGBBRA VECTORIALA

Obs e 1_va ţii. 1) Din (21) se poate deduce unghiul formal ~e dou~. direcJii .d~te prin vectorii ii şi b,

. ab

cos 8 = - · ab

(24)

în cazul particular, cînd a şi b sînt vectori unitari, cos 8 =-- îib. 2) Produsul scalar a. doi vecton e$ta nul, dacă unu] din vectori este nul sau dacă cei doi vectori sînt perpendiculari. Reciproc, dacii cei doi vectori sint ortogonali, produsul lor scalar este nul. Deci : O condiJie necesară şi suficientă pentru ca doi vectori nenuli să fie perpendiculari esle ca produsul Zor scalar să_ fie nul. . 3) Din relaţia ·

ax = ac, a =t= o nu rezultă cu necesitate x = c, ci numai ci x şi c au aceeaşi proiecţie pe a, printr-un vector oarecare p perpendicular pe a. Ecuaţia dată se mai scrie

{26) deci pot diferi

a(x - c) = o.. Rezultă

sau

x - c = O,

sau

x - c = p.

Soluţia ecuaţiei

date este

x=c+p, unde p este un vector arbitrar perpendicular pe

a.

tn egalitatea (25) nu se poate simplifica prin a. De asemenea-, se vede uşor că produsul scalar nu admite operaJie problema determinării unui vector x, astfel ca Aşadar,

inversă,

ax= ot,

în sensul

că

{26)

unde a şi ot sînt daţi, admite o infinitate de soluţii. într-adevăr, o soluţie particularii. a ecuaţiei (26) este un vector x0 coliniar cu a, avînd sensul lui a sau sensul opus după cum ex> O sau ex

< O, şi modulul x0 = ~ . Cu acesta, (26) se mai scrie ax = ax0 şi, procedînd ca mai sus, a

se

x = x + p,

obţine soluţia generală Reţinem deci că tmpărţirea

scalar, nu are sens.

cu p arbitrar, perpendicular pe a. . 0 unui scalar printr-un vector a, ca operaţie inversă a produsului .

4) Folosind proprietăţile do distributivitate şi comutativitate ale produsului scalar, produsul scalar a două sume se efectuează după aceleaşi reguli ca produsul a două polinoame. în particular, (a+ b)2 = a 2 + ·62 + 2a·6 = a2 + b2 + 2ab cos 8,

(a + b)(a - b) = as - "62 = a2 Din prima

relaţie, rezultă

-

b2•

expresia modulului sumei a doi vectori

I a + b I = Va2 + b2 + 2ab cos 8

(27)

Expresia carteziană a produsului ~calar. In geometria analitică s-a observat că, atunci cînd intervin unghiuri şi distanţe, problemele se tratează mai uşor luînd ca reper un sistem de axe ortogonale _şi _pe ~cestea o aceeaşi unitate de măsură. Vom lua ca bază trei vectori i, j, k, unitari şi ortogonali (fig. 1.13), deci

H = H = kk -.

1,

U = Jk = ki = o.

(28)

CALCULUL VECTORIAL

24

Vectorii

a şi b

vor avea expresiile

a= ai"i + aJ + ask, b = b1"i + b23 + bsk. înmulţind scalar aceste două sume şi ţinînd seama de (28), se _obţine

ab = o.ib1 + o..i.b2 + aaba.

(?.9)

Observ aţi i. 1) înmulţind scalar expresia. lui ii cu I se obţine "1· Analog pentrn. celelalte componente. "1 =

iii, a2 = jii, a3 = kii.

2) Pentru

b = ii,

(29) devine

3) Expresia (24), care vectori, se mai scrie

Fig. 1.18.

dă

unghiul a doi

1.08. Produsul vectorial. Dacă se cercetează care este cantitatea de fluid ce străbate o porţiune de suprafaţă plană I:, în unitatea de timp, se observă numai aria a a acelei suprafeţe, ci şi direcţia

că este necesar să se precizeze nu normalei la suprafaţă. Mai mult, deoarece nu este indiferent în ce sens a fost străbătută suprafaţa, este necesar să se facă distincţia între cele două feţe ale suprafeţei. Una din feţe o vom numi negativă, iar cealaltă pozitivă. O porţiune de suprafaţă plană :I:, limitată de o curbă închisă simplă C. şi la care se face distincţia între cele două feţe, se numeşte element plan orientat. Vom spune că două elemente plane orientate sînt egale, dacă sînt cuprinse în plane paralele, au ariile egale şi printr-o translaţie putem suprapune ii cele două plane astfel ca feţele lor pozitive să coincidă. Cele două curbe care delimitează elementele plane pot avea forme diferite. Toate aceste însuşiri, comune elementelor plane orientate egale, pot fi reprezentate printr-un vector liber, norFig. 1.14. .mal planelor, dirijat în sensul în care este străbătută suprafaţa cînd. se trece de pe faţa negativă pe faţa pozitivă şi avînd modulul egal cu aria comună a elementelor plane. Sensul normalei la suprafaţa :I: mai poate fi stabilit şi în modul următor: se alege un sens pozitiv pentru parcurgerea curbei C care delimitează porţiunea de suprafaţă l::. Un observator care ar avea poziţia normalei ar vedea

2f>

ALGEBRA VECTORIALA

parcurgîndu-se conturul C în sens trigonometric sau, rotind un şurub drept, normal la l::, în sensul indicat de parcurgerea frontierei C, el va înainta în sensul normalei (fig. 1.14). Fie n versorul normalei la l:. Vectorul care reprezintă elementul plan orientat, de arie a, va fi

a= na. ln particular, vectorii a= OA, b

să considerăm un paralelogram OACB, determinat de

= 0B, sensul pozitiv pe frontieră fiind dat de a (fig. 1.15). Acest element plan, fiind determinat de doi vectori într-o ordine precizată, se numeşte bivector. D e f i n i ţ i e. Pr~usul vectorial al vectorilor a şi b în această

ordine se

tJ B C

notează

a=axb şi

este un vector cu unnătoarele Fig. 1.16. h~: l) El este perpendicular pe planul determinat de a şi b. 2) a indică un sens de parcurgere pe conturul paralelogramului de laturi a şi b. Sensul produsuiui vectorial este sensul normale~ obţinut prin convenţia de mai sus. 3) Modulul produsului vectorial este egal cu aria · paralelogramului determinat de cei doi vectori.

Ia X b I =

a ~ ab sin 6

(30)

Deoarece vectorul de poziţie al unui punct din spaţiu şi produsul vectorial a doi vectori au comportări deosebite faţă de schimbările de axe, se obişnuieşte să se facă distincţia între aceşti doi vectori. Primul se numeşte vector polar, iar al doilea, vector axial. Pentru ca produsul vectorial să poată fi numit vector, este necesar să arătăm că două_produse vectoriale se adună după regula triunghiului sau a paralelogramului. In prealabil va trebui să definim suma a două elemente plane orientate. indicaţie în această privinţ.ă. rezultă din următoarea problemă. de hidrostatică. Să considerăm un fluid perfect, incompresibil, în stare de repaus, asupra căruia nu acţionează forţe exterioare. După. legea lui Pascal, presiunea hidrostatică. p, care acţionează pe unitatea. de suprafaţă,, este aceeaşi în toată. masa fluidului şi este independentă de orientarea suprafeţei. Presiunea care se exercită pe o porţiune de suprafaţă plană :E, de arie a, este o forţă de intensitate pa, normală Ia :E. Dacă se notează cu versorul normalei la ~, această forţă se reprezintă. prin vectorul Fie V un volum din fluid, mărginit de o suprafaţă S, aYînd forma unei prisme cu bazele OAB, O' A' B'. Să. notăm cu versorii normalelor la feţele OAB, O' A' B', OAA'O'. 1, 1 , ABB' A', OBB'O', dirijate spre exterior, şi cu 3 aceste feţe privite ca elemente 1, 8, plane orientate (fig. 1.16). Deoarece asupra acestui volum acţionează numai presiunea hidro-

O

±pan= ± pa.

n, n', n n

ns

n

a, a', a a a

CALCULUL VECTORIAL

26 statică,

va. treb~ ca suma presiunilor care se

sau~ simplificînd cu Suma

feţelor

-p,

exercită

a + a' + a1_t

pe

feţele

acestei prisme

să

fie

nulă,

deci

~. + a3 = o.

orientate ale prismei, .dirijate toate spre exterior,, este Deoarece a' = - a, deducem de aici

nulă.

al +as= -=b xc,

q=cxa,

T=iiX b.

36

CALCULUL VECTOR.IAL

21° Intre vectorii ii, b, c şi reciprocii lor a', b', c' există relaţiile t) (a'bc)+(ab'c)+(abc')=(abc)(a' 2+°b'2+c':), 2) (a'xb', b'xc', c'xa')=(a'b'c')4(axb, îixc, cxa), 8) [ii x (b x c)][ii' x (b' x c')] =(ab)(a'b')+(ac)(ii'c'), 4) iixa'+bxb'+cxc'=O, o)

aa'b' + bb'c' +cc'a'

ab+bc+ca iibc

22° Fie ii, b, c trei vectori liniar independenţi şi «,(3,y unghiurile formate de ei doi cite doi. Să se arate că dacă iix(ax~+bx~x~+cx~x~=~ avem relatia cos ex cos(3 cosy = 1. . 28° Cu vectorii a1, ii'2, ii3, liniar independenţi, se construiesc· vectorii b1 ~(c;ia1}w+ii1x~, b 2=(oo°a2)oo+a2 xoo, b3 =(6ia3 )oo+ă'a x c;;,. µ_nd.«1 ~- este· un vector unitar. Să. se arate că dacă a 1ii2ii3 = b 1 '611 b 3 = 1, rer.ip_rocii vectorilor b 1, b 2 , b 3 .se exprimă cu reciprocii vectorilor ii1, ii2, ci3 prin relaţii analoge : = (~a~) oo + +a; x"cd etc. 24° Să se calculeze produsul scalar al vectorilor

b;

v1 =ax [b x(cxa')], F2 =a' x [b' x(c' xii)], µnde ii', b', c'· sînt (Ind~ Se vor 26°.....,Se dau unde â', b', c' sînt Să. se arate

reciprocii vectorilor ii, b, c. calcula mai întîi duble.I~ produse vectoriale din p~rantezele mari]. vectorii ii=ii+a', v=b+_b'. w=c+c', reciprocii vectorilor a, b, c. că

u.v w=(ii b ~(1+a'2 +b'2 +c'2)+(ii' b' c')(l+a2 +b~+c2). 26° Fie M 0 , M 1, M 2 , M 3 vîrfurile unui tetraedru oarecare. Se notează v1 = M 0 M1, v2 = şi cu N0 , N1 , N2 , N3 vectorii normali pe feţele tetraedrului, dirijaţi spre exteriorul tetraedrului şi avînd ~l_I_!OdJ!.lii-9gaji cu ariile feţelor respective. 1) ~ă. se exprime vectorii N 0 , Nu N 2• N 3,.Jol9~ind vectorii v1, v1 , V-3 , şi să se afle relaţia dintre volumul tetraedrului determinat de N11 N 2 , N 3, aşeza.ţi cu originea în acelaşi punct O, şi volumul tetraedr.µttj iniţial. __ _ 2LSli. se determine componentele unui vector oarecare w faţă de triedrele v11 v8 , v3 şi

= M0 M2, v3 = M0 M3

N 11 N 2, N 3•

'

8) Să~ ş,r..at('_că., __ dacă tetraedrul este regulat. între cosinusurile unghiurilor formato de w cu N 0 , N 1 , N 9 , N 3 există relaţia. ao+cx1 +cxa+cxa=O. Prin ce se

înlocuieşte relaţia

în cazul tetraedrului oarecare?

§ 3. ECUAfll CU VECTORI

1.11. Crteva observaţii în legătură cu rezolvarea ecuaţiilor cu vectori. în rezolvarea unor probleme de fizică se. întîlnesc uneori ecuaţii în care figurează vectori şi scalari, legaţi prin operaţiile algebrei vectoriale. Necunoscutele

ALGEBRA VECTORIALA

87

pot fi scalari, vectori sau şi vectori, .şi scalari. După natura celor doi membri, se pot împărţi în : - ecuaţii scalare, egalităţi între scalari; - ecuaţii vectoriale, egalităţi între vectori. Două ecuaţii sînt echivalente, dacă admit aceleaşi soluţii. Operaţiile care transformă o ecuaţie într-o ecuaţie echivalentă, trebuie să satisfacă următoarele condiţii : · · 1) Să admită o operaţie inversă, pentru a putea reveni la ecuaţia iniţială. 2) Operaţia folosită şi inversa sa să conducă la rezultate uni·ce. De exemplu, ecuaţia · · (46) x=a ecuaţiile

nu este

echivalentă

cu niciuna din

ecuaţiile

ex = ca, c x x = c x a. Ecuaţia iniţială are o singură soluţie, pe cînd fiecare din aceste ecuaţii admite o infinitate de soluţii (1.07 obs. 3 şi 1.08 obs. -2). . .. Motivul pentru care prin înmulţire scalară sau vectorială nu s-au obţinut ecuaţii echivalente este faptul că produsul scalar şi produsul vectorial nu admit operaţii inverse. Dimpotrivă, ecuaţia dată ·este echivalentă cu fiecare din ecuaţiile

şi

cu sistemul

px = pa, qx = qa, rx = ra (pqr =I= O), deoarece adunarea, înmulţirea cu un scalar  =I= O şi descompunerea unui vector după un triedru nedegenerat admit operaţii inverse. Trecerea de la acest sistem la ecuaţia iniţială se poate face pornind de la

x = a.'p' + ~'q' + y'r', (45), a.'=px, ~'=qx, y' = r~; p', q', r' sînt reciprocii vectorilor

unde, după p, q, r. Deci,

x = (px)p' + (qx)q'+ (r~)r' = {pa)Ii' + (qa)q' + (ra)r' = a. în particular, dacă p = i, q = 3, r = k, x = x;f, + X1?J + x3k, a = aiî + aJ + aak. Ecuaţia

(46) este

echivalentă

cu sistemul

Xi = a1, X2 = a2, Xa = as. Deoarece ecuaţiile cu vectori prezintă o mare varietate, nu se pot da metode generale de rezolvare. Ne vom limita la enumerarea cîtorva operaţii, mai des utilizate, prin care se obţin ecuaţii echivalente. Pentru ecuaţiile scalare. 1) Se poate aduna acelaşi scalar în ambii membri ai ecuaţiei. Practic, se pot trece termeni dintr-un membru în celălalt cu semn schimbat.

88

CALCULUL VECTORIAL

2) Se pot înmulţi sau împărţi amîndoi membrii ai unei ecuaţii cu un scalar diferit de zero, cu condiţia ca acesta să nu conţină necunoscute, pentru a nu introduce soluţii străine şi a nu îndepărta soluţii ale ecuaţiei date. 3) Ecuaţiile >-.a= µa şi >-. = µ sînt echivalente, dacă a este un vector dat, diferit de zero, iar >-. şi µ sînt funcţii de necunoscute. 4) O ecuaţie de forma

·acelaşi

ia + µb + vc = o, unde a, b, c sînt trei vectori daţi, necoplanari, iar este echivalentă cu sistemul = 0,

Â

(L

=

0,

V

Â, 1-1-, v funcţii

de necunoscute,

= 0,

deoarece între :trei vectori liniar independenţi a, b, c nu poate exista o astfel de relaţie decît dacă· toţi coeficienţii sînt nuli. Această proprietate se utilizează uneori sub o formă puţin diferită; ecuaţia

Âa + 1-1-"5 + vc = ra +mb+ ne,

a, b, c stnt

unde

liniar independenţi, este echivalentă cu sistemul Â

=

l,

1-1-

= m,

v

= n.

5) Prin adunarea ecuaţiilor unui sistem, multiplicate în prealabil cu constante scalare, se obţine o ecuaţie care poate înlocui oricare din ecuaţiile adunate efectiv. · Pentru ecuaţiile vectoriale. 1) Se poate aduna în ambii membri ai ecuaţiei un acelaşi vector, deci se pot trece termeni dintr-o parte în alta a egalităţii cu semn schimbat. 2) Se pot înmulţi sau împărţi amîndoi membrii ecuaţiei cu un acelaşi scalar diferit de zero şi care nu conţine necunoscute. 3) Adunînd ecuaţiiţe unui sistem, multiplicate în prealabil cu constante scalare, se obţine o nouă ecuaţie, care va fi verificată de soluţiile sistemului. Această ecuaţie poate înlocuiJn sigem oricare din ecuaţiile adunate efectiv. 4) O ecuaţie de forma E1 = E este echivalentă cu sistemul

pE1 = pE2, ,fE1 = qE2, rE1 = rE2, în care p, q, r sînt vectori constanţi liniar independenţi. în continuare vom da cîteva exemple de ecuaţii şi sisteme de ecuaţii însoţite de rezolvarea lor. Exemplul 1. studiată

i.

Ecuaţia

(47)

în 1.07, admite o infinitate de soluţii. Căutînd o soluţie de forma. ~

= ia,

se

obţine

= ...!... deci x0 =...!..ii. Soluţia generală este a'

a'

x == ; ii+p; p arbitrar, Pentru p

= O,

se obpne

perpendicular pe ii.'

solnţia particulară

x0•

(48)

89

ALGEBRA VECTORIALA

E:i:emplul 2.

Ecuaţia

iixx=b, cu iib=O,

(49)

eonsiderată în 1.08, admite, de asemenea, · o infinitate d@.. soluţii.

Se observă că vectorul reprezentată printr-un vector

x este perpendicular x0 perpendicular şi x0 = Â(ii X b).

pe b. Vom pe ii

căuta

o

soluţie particulară

Introducem în (49)

Âii x (ii x b) Deoarece ii şi b sînt ortogonali,

= b ; ). ((iib) ii ...... a11b) = b.

rămîne

- >.a11b

= b, de

unde

Â

= - ..!.....Avem a'

deci

soluţia particulară

= - -1

x'o Din ecuaţia (49) şi ii x

x0 = _b ii

deci

x - x0 = µii,

a'

(ii X -b).

rezultă prin scădere

X (x -

µ fiind un scalar arbitrar.

x0) = O, Soluţia generală

a

ecuaţiei

(49) este

l (. -x=--, ax -b) +µa.

(60)

a

E:i:emplul 3. Sistemul ii eu iib

ecuaţii

X X

= b, ex_= ex,

(61)

.

= O, ac=/= O, admite totdeauna o soluţie şi numai una singură. este (60).

Urmează să determinăm

pe µ astfel ca

să

fie

Soluţia generală a primei

satisfăcută şi

a doua

ecuaţie

-- - 1 r;;-bii'I ,a c,+µac=oc. aa

De aici se scoate µ

şi soluţia

_

sistemului (61) este oe a'

+ (iibc)

_ · ii x b

X=-------a- - - • a' (ac) a11

(62)

Inter:J?retare geometrică : dacă x este vectorul de poziţie al punctului curent din spaţiu, (61.) reprezintă o dreaptă de direcţie a, ceea ce se citeşte uşor pe (60). A doua ecuaţie reprezintă un plan perpendicular pe c. Dacă dreapta nu este paralelă cu planul, adică ac=f=O, acesta, va, intersecta planul într-un singur punct al cărui vector de poziţie este (62). E:i:emplul 4. Sistemul de ecuaţii prima

ecuaţie

px

=

oe, 'iix

= (3, n = y ; (P q r) =/= o

(68)

admite totdeauna o soluţie şi numai una singură. Pentru a determina pe x este preferabil să alegem un triedru de referintă convenabil, şi a.nume triedrul p', 'ii', r', reciprocul triedrului p, q, i,

x = a:i p' + Xa 'ii' + Za -r'.

40

CALCULUL VECTORIAL

Componentele x1 , :r11, Xa se de (44)

determină X1

Deci,

soluţia

introducînd în sistemul dat

= ex, Xg = f3,

X:i

=

şi ţinind

seama.

y.

sistemului (63) este

x=

l . [ ex (q x r)

pq-r

+ ~0"

X

P)

+ y (P X q) J.

(54}

Rezolvarea acest1µ sistem este echivalentă, din punct de vedere geometric, cu determinarea intersecţiei a trei plane. Intr-adevăr, dacă x este vectorul de poziţie al punctului curent din spaţiu, cele trei ecuaţii (68) reprezintă trei plane care au normalele, respectiv, p, q, r. Dacă. (p xq) ;;~, atunci p x q =t= O şi. primele două plane au o dreaptă comună de directie p x xq, iar p X q nu este perpendicular pe T şi această dreaptă intîlneşte al treilea plan într-un punct al cărui vector de poziţie este (64). Exemplul 6. Pentru a rezolva ecuaţia.

x

ii

unde ii, b, c, nu sînt coplanari, iar sub forma şi

Introducînd în (66) -

r1.

(b

x

x)

= c,

(66}

c este perpendicular pe ii, este preferabil să se

caute soluţia.

x = cxa + ~b + yc.

dezvoltînd dublele produse, se

(iib) ii+ exa 2b - [y (iib) + l]c

obţine

= o.

Deoarece ii, b, c sînt liniar independenţi, urmează. că IX

Dacă

iib =r O, se

(âb)

obţine

= O, cxa2 = O, y (iib) + 1 = O.

ex= O, y

= - ~. Soluţia generală iib

x = ~b - ~ c, ab

Dacă

ab

= O,

~

ecuaţiei

(66) este

arbitrar.

(66)

ecuaţia (66) se reduce, dezvoltind dublul produs, la

(ax) b

= c.

c sînt coliniari, ceea ce este contrar ipotezei că ii, b, c sînt _ _ ipoteza a b c=f=O prin iib =0, b şi c coUIJiari, ecuaţia se reduce

In acest caz, vectorii liniar

cu

a

independenţi.

b

şi

Dacă se înlocuieşte la o ecuaţie de forma iix=s, unde s este scalarul care rul c.

înmulţeşte

pe b pentru a

obţin6

vecto-

Exercitii 1° Să se determine punctul de intersecţie al dreptei T=To + :>.ii cu planul AJ: [Ind. Se caută soluţia comună f pentru cele două ecuaţii. Se obţine (r0 +).ii)A

de unde ).

=

Vec t oru1 de

ex

--~oA, aA

.. poziţie

cu

condiţia

aA =f= O,

. t ersec ţ·1e1. va fi -r aI JD

adică

= -r0 +

dreapta

să

-J

nu fie

ex -âAr0A a •

paralelă.

= ex. = «,

cu planul.

41

ALGEBRA VECTORIALA

2° Să se scrie pentru intersecţia planelor ar =::. ex, bf = ~ o sinID!ră. ec_qaţie. (Ind. Dacă cele două plane nu sînt para~le, ax b=f=~ şi triedrul a, b, ii x b este propriu. Se caută soluţia sub forma. T = ).ii + µb + v(ii x b)]. 3° Să se rezolve ecuaţia (iixx)xx=b.

(Ind. Dezvoltînd dublul prQ,gus vectoriah. o\Jţinem (ax)x - x2ii

= b,

de unde rezultă

x este în planul vectorilor ii şi Q.: Dacă ii şi b sint coliniari, se caută soluţii" de forma x = = ).ii. tn ca~ contrar, x .== 1.ii+µb. Pentru determinarea scalarilor). şi µ, obţiRem sistemul ).µa 2 + µ 2 (iib) = 1, 1.µ(iib) + µ 2b2 = O al _cărui determinant  = a2b2 - (iib)2 =f= O). 4° Să se rezolve ecuaţia cxx + ii(bx) = c, ex =f= O. (Ind. Se observă că x este coplanar cu aşi c. Dacă a şi c sînt coliniari, se ~aută soluţii de forma. x = 1.a; dacă nu, x ='>.ii+ µc. Pentru ex+ âb =f= O, " = bc __ că

ot(ex

+ iib)

1 µ=-· ex tn cazul cînd ix + iib = O, bc = O, Â rămîne nedeterminat. Dacă ot + ab = O, bc =f= O, ecuaţia. nu admite soluţii]. 6° Să st rezolve ecuaţia

x+ii x x= "5. [Ind. Se va observa mai intîi că, dacj ii şi b sint coliniari, x trebuie să.fie şi el coli)!iar cu a şi ş_olnţia se obţine imediat. Dacă ii x b =f= O, se caută soluţia sub forma x = )..ii + µb + + 'll(ii x b ). Se obţine

ab

). = 1 +a2 '

µ

1 ]

= - " = 1 +a2

•

6° · Să se rezolve sistemul otX + ~y

= A,

X X

y = B.

[Ind. B fiind perpendicular şi pe x şi pe y, va trebui să fie perpendicular şi pe A. altfel sistemul nu admite soluţii. Se scoate y din prima ecuaţie, se introduce în a doua şi se obţine o ecuaţie de forma â x x = m care a fost studiată în text]. 7° Să se rezolve sistemul

ocx + ~li = A, xy = s. [Ind. Se procedează ca în 8° Să. se rezolve sistemul

exerciţiul

precedent].

ex1x + ~{(bY) ii

= c11

«sY + ~2 (bx) ii = c2• (Ind.

sînt evident de forma X=1.1ii + µ1c1 , y = A.sii + !J.2C2• lntroducind în cele vom avea patru ecuaţii scalare pentru cei patru parametri 1.1, µ 1, "2, !J.21•

x şi ii

două ecuaţii,

.

Gapltolul li -NOŢIUNI

DE BAZI ALE ANALIZEI VECTORIALE

§ 1. FUNCJII VECTORIALE DE O VARIABILI SCALARI

2.01. Funcţii vectoriale. Limită, continuitate. Studiul fenomenelor fizice impune introducerea unor noi operaţii cu vectori şi scalari, diferite de cele întîlnite în algebra vectorială. Noţiunile de funcţie, limită, continuitate, derivată, integrală, cunoscute din analiza matematică, vor fi extinse şi pentru mulţimile formate cu vectori, alături de mulţimile formate cu scalari. Aceste noţiuni, împreună cu operaţiile corespunzătoare, formează obiectul analizei vectoriale. Exemple. Să considerăm mişcarea unui punct material cînd timpul t se scurge de la momentul li pînă la momentul fs. Mulţimea E a valorilor lui t, în acest fenomen, este reprezentată prin mulţimea numerelor reale cuprinse între li şi fs, deci intervalul [ţ1 , 11 ]. Poziţia punctu]ui material poate fi dată în diverse moduri, corespunzătoare reprezentărilor punctelor M din spaţiu. Vom ataşa punctului M vecton1l său de poziţie ;; = OM, în raport cu un punct fix O. Intre vectorii r şi pnncte1e M există o corespondenţă biunivocă. Vectorii r, corespunzători poziţiilor M, ocupate de punctul material în această mişcare, formează o nouă mulţime

F.

Mişcarea se consideră cunoscută, dacă se ştie care este poziţia punctuloi material _în fiece moment din acest interval de timp, cu alte cuvinte, dacă se cunoaşte corespondenţa între elementele ceJor două mulţimi. Este clar că rolurile pe care -le au cele două mulţimi,. una faţă de cealaltă, în această. problemă, sînt diferite. Interesează care este vectorul i' din mulţimea F, care corespunde unui t dat, oarecare, din mulţimea. E. Alte exemple de aceeaşi natură : vitezele, acceleraţiile punctului material în mişcare formează mulţimi de vectori care se pun în corespondenţă ~u valorile pe care le ia timpul t într-un anume intervaJ. In studiul unei curbe strîmbe, vectorii de poziţie ai punctelor M care aparţin curbei se pun in corespondenţă cu abscisele curbilinii ale acestor puncte etc.

Să considerăm, în general, o mulţime E de numere reale şi mulţimea R 3 a v·ectorilor v din spaţiul euclidian cu trei dimensiuni. Mulţimea E poate avea o infinitate de elemente sau chiar un număr finit. Dacă fiecărui element t din E îi corespunde un element v din R 3 şi numai unul singur, după~ anumită lege, zicem că avem definită o aplicaţie a mulţimii E în mulţimea R 3 • Ansamblul format din mulţimea E, mulţimea R 3 şi corespondenţa t-+ v de la E la R 3 se numeşte funcţie. Elementul arbitrar t din E se numeşte variabila independentă sau argumentul funcţiei, iar elementul v din R 3 , corespunzător

NOŢIUNI

DE BAZA ALE ANAIJZEI VECTORIALE

43

lui t, este valoarea funcţiei pentru valoarea respectivă a variabilei t. Mulţimea F, formată cu aceşti vectori, se numeşte mulţimea valorilor funcţiei, iar mulţimea E este mulţimea de definiţie a funcţiei. De obicei, mulţimea E, pe care este definită funcţia, este un interval, ca în primul exemplu de mai sus. Relaţia dintre v şi t se scrie

v = v (t).

(1)

Se zice că v (t) este o funcţie definită pe mulţimea E cu valori în R adică cu valori vectoriale, sau că v (t) este o funcţie vectorială de variabila reală t definită pe mulţimea E. Nu trebuie confundată funcţia cu mulţimea valorilor funcţiei sau cu elementul v, arbitrar din F, deşi vom obişnui să notăm atît funcţia cît şi valoarea sa, pentru t dat, tot cu v (t). în cele ce urmează vom considera de cele mai multe ori ~a mulţime de -definiţie E un interval deschis (a, b) sau un interval închis [a, b], adică mulţimea valorilor lui t astfel ca a < t < b, respectiv a ~ t ~ b. . Din modul în care a fost definită funcţia, rezultă că în fiecare punct t din intervalul considerat funcţia ia o singură valoare. Funcţia v (t) se zice că este mărginită, dacă există un număr M > O, astfel ca pentru orice t din intervalul de definiţie să avem . 3,

lv(t) I

O, există 1J > O, astfel incit pentru orice t =I= t0 ,

I t - to I < 1l

implică

I v (t) - a I
t0 , a se numeşte limita la dreapta. Se poate întîmpla ca v(t) să admită o limită la dreapta lui t0 şi altă limită · la stînga. Dacă cele două limite coincid, valoarea lor comună este limita în punctul t0 • Să notăm

v(t) =a+ e i(t). 1n locul

(3)

inegalităţilor (2) se scrie

I t - t0 I < "IJ,

dacă

I e1 (t) I
O, astfel incit, oricare ar fi diviziunea d cu v (d) < "IJ ( e) şi oricare ar fi alegerea punctelor intermediare în diviziunea d, să avem I a" - 11 < e. Vectorul Î se numeşte integrala funcţiei v (t) pe intervalul [a, b], în sensul lui Riemann, şi se scrie .

î =

~b

ifj

(t) dt.

„a

Avem deci

(" v (t) dt = lim o= (d). Să descompunem vectorul

v

(t) după triedul

v (t) = î V1 (t) + J Vz (t) Suma integrală n

a~ = i b

a"

(19)

v(d)➔O

Ja

+ kva (t).

devine n

V1 ('t",) (t, -

i, J, k,

,,:1) + 3b v.,. ('t"z)

l -1

n

(t, - t,-1)

l col

+ k, b V3 ('t",) (t, -

t,-1>·

l =-l

Componentele sale sînt sumele integrale ale componentelor lui

v (t)

cores-

punzătoare aceleiaşi diviziuni şi aceloraşi puncte intermediare. De aici rezultă: T e ore mă .. Funcţia v{t) este integrabilă pe [ a, b] atunci şi numai atunci

cind componeritele sale v1 {t), v2 (t), v3 (t) sînt integrabile pe intervalul [a, _b]. 1n acest caz, ~: V(I) cit

=Î

~>

1

(I) cit

~>•

+J

(I) dt

+ic ~: Va (I) dt,

(20)

NOŢIUNI

51

DB BAZA ALB ANAUZEI VECTORIALB

Se ştie că o clasă particulară de funcţii scalare integrabile pe [a. b] este clasa funcţiilor continue pe acest interval. Deoarece v (t) are ·componentele continue atunci şi numai atunci cînd v (t) este continuă, din teorema de mai sus rezultă că : .. . Orice funcţie v(t) continuă pe intervalul . [a, bJ este integrabilă pe [a, b ]. Se numeşte primitivei. a -funcţiei v (t) o funcţie V (t) cu proprietatea V' (t)

Dacă unei primitive V (t)

= v (t).

(21)

i se

adat.i@ un vecto~ constant C oarecare, se + C, deoarece derivata unei con~tante sînt două pritnitive, valorile acestor· funcţii diferă printr-o constantă. · într-adevăr, din ·

obţine încă o primitivă W (f) = V _(ţ} este nulă. Reciproc, dacă V (t) şi W (t) două

·

W' (t) =

v (t),

V' (t)

= v (t)

rezultă

W' (t) - V' (t) = ...!. [W (t) - V (t)] -:-: O. dt

Dacă derivata unei funcţii vectoriale C (t) = iC1 (t) + JC2 (t) + kC3 (t) este nulă în toate punctele unui interval (a, b), componentele sale vor ~yea derivatele nule în (a, b). Deci C1 , C2, C3 sînt constante în (a, b), aşa.că şi C(t) se reduce la o constantă C în acest interval. UrmE:ază .că.

W (t) - V (t) = C, C constant, în tot intervalul considerat. Mulţimea tuturor primitivelor lui v (t) se a funcţiei v (t) şi se· notează

(22)

; numeşte integrala. n~definită

..

~ V (t) dt. Dacă

V (t) este o

primitivă,

· .

=

.1

vom avea

~ ;, (t) dt = V (t) + C, unde C este o

i,

constantă vectorială arbitrară.

Să raportăm vectorii

1, k:

v

şi V la un triedru fix, de _exemplu la ;triedrul

.

v (t) = i V1 (t) + jV2 (t) + k Va (t), V (t) = i V1 (t) + 3 Va (t) + k. Va .(t).

!

62

CALCULUL_VECTO~IAL

Relaţia

(21), care defineşte primitiva V (/), se desface în trei

Vi.(/) =

V1

(t),

relaţii"scalare:

v; (t) ·= V2 (t), v; (t) = V3 (t),

deci componentele unei primitive sînt primitive ale componentelor. Folosind . acţastă observaţie, se demonstrează uşor : T e o r e m ă. Dacă· v (t) este integrabilă pe [a, b] şi dacă are primitive pe acest interval, atunci .

\b. v (t) dt = V (b) .a

(23)

V (a),

.

oricare ar fi primitiva V (t) a lui v (t). • . Formula (23) se numeşte formula lui Leibniz-Newton şi este analogă celei întîlnite la funcţiile scalare. · · · 1n (23) se poate schimba variabila de integrare t în T. După aceea; notăm cu tun punct oarecare di~ intervalul [a, b] în_care a~ea_stă relaţie există. Avem

(e

)a

Din aceasta

rezultă

~V

v (-r) d-t"

(t) -

~ (a).

.

.i ..J' v (-r) d-r = v (t). dt Ja

(24)

Pornind fie de la definiţia integralei, fie de la descompunerea (20), se dovedesc uşor următoarele proprietăţi, analoge celor întîlni te la funcţiile scalare :

+ w (t)) dt = \ ~ (I) dt 6

\" [ v(t)

-

.a

(b Kv (t)· dt = K\b v )a .a

+\b

w (~

dt

• a

o1a

(t) dt; K este o

constantă

~b C v (t) dt = C \b v (/) dt; C este un vector constant. •a

.a

(b C )a

X V (t) dt

~: V (t) dl =

I~:

V (t) dl

(25)

=C

~: V

X

~b V

.a

(t) dl +

I~ ~: I

(t)

r

dt

V (t) dl; a

< c 8),' să se arate ca dacă i', if", if"' sînt în acelaşi plan, în planul lor se vor găsi toate derivatele ·lui if. VîrfuJ vectorului i, cu originea într-un punct fix O, va descrie o curbă plană. '[Ind. Din condiţia de coplanaritate (T'i'"r"')=O se deduce prin d•eiiva:re· (r'T"rIV)== = O ; din (T''T"'.,XV)=O rezultă {T'9"'fV)=0 etc. Presupunînd că toate derivatele pînă la ordinul p < n sînt în planul vectorilor ,-', r", se dednce cii şi T!JJ+l> este, în planul lor etc. O a doua metodă constă în a scrie condiţia de !tOplanaritate sub fQrma i'" ·=·ci;:'-+ (3T'1· · 7° Se dă fnncţia T(t) = ii cos t+b sin t, unde ii_şi b sînt consţante. Să se arate că: 1) ':_inul vecto!Ulni ;- ~esc?~ o elipsă p~n~ ~are a ş! ·bw sînt ~_ouă ~aze conjugate ·; 2) într,e doua raze con1ugate T 1 ş1 -r2 ale acele1aş1 tbpse, există relaţiile · ·. ' · · · · ~

'i + r~ = a + b2, 11 X Ta = a X b. 2

I

'.

n

(a X b) cos t, se. ite_duce (a.2< 2 + .(b ?{ r)2 = din planul vectorilor a şi b, este o ecuaţie de gradul II în coordonatele virfului lui i. Conica nu poate fi decît elipsă, deoarece r a + b. Direcţia co~jugat.ă razei T este dată de tangenta r' la cu_rbă :şi. se· observă că se Qbţi~_e., di.~

,

c::

Lind. Pin

(ax b)2, care,

aceasta,

mărind

=-

=

X1 (a X b) sin t, b X T transcrisă. faţă de două axe

(Î

argumentul eu ;

l




= i a, i):,;

+ 3acpay + k acpaz

•

(16)

Aceasta este expresia carteziană a gradientului. Derivatele parţiale sînt calculate în P0 , adică în punctul în care se consideră gradientul. Funcţia q> (P), al cărui gradient este V = grad q>, se numeşte funcţia de forţă a vectorilor V, iar U (P) = - q> (P) se numeşte potenţialul vectorilor V. Deoarece suprafeţele V (P) = C, C constant, coincid cu şuprafeţele q> (P) = C, suprafeţele de nivel se mai numesc şi suprafeţe echipotenţiale. Fier= OP vectorul de poziţie al punctului arbitrar P (x, y, z). Descompus după triedrul î, 3, k, ·

r =Ix+ JY + kz; deci,

diferenţiala

sa este dr = idx

Folosind expresia (16), se

observă că

dq> relaţie

+ Jdy + k dz.

=

(17)

grad q> dr,

pe care o vom folosi deseori, atît în chestiuni teoretice cît

şi

în

aplicaţii.

O b serva ţie. Să. presupunem că am reuşit să. scriem diferenţiala unei funcţii scalare cp (P) sub forma I

(18)

dcp=Vdr.

Comparînd cu (17), gradcp di= Vdf,

deci vectorii grad cp şi V au proiecţii egale pe direcţia. lui di. Cum di este arbitrar, cei doi vectori au proiecţii egale pe orice direcţie, prin urmare sînt egali, gradcp=

Deci, pentru calculul gradientului

(P) sub forma (!Ş).· Dacă aceasta este cp (P) este chiar V.

11>

funcţiei tJalabilă

v.

(19)

să punem diferenţiala funcJiei pentru orice deplasare dr, gradientul funcţiei

cp, este suficient

.

Reguli de calcul pentru gradient. Gradientul unui cîmp scalar poate fi calculat fie pornind de la definiţie, fie folosind expresia sa carteziană, fie cu ajutorul diferenţialei, aşa cum am arătat în observaţia de mai sus. Calculul poate fi simplificat deseori, folosind unele reguli de calcul, analoge celor întîl6 - e. 1692

CALCULUL VECTORIAL

82

nite la derivata după o direcţie. Acestea pot fi deduse folosind expresia cartea gradientului, printr-un calcul analog cu cel ce ne-a condus la formula (13) sau folosind relaţia (11') şi formulele (13) şi (14). Vom utiliza această ultimă cale. Relaţia (13) se mai poate scrie

ziană

s grad F = aF s grad

1Y -

aX,

diferenţial

dx dy da ---------·----2Z - aY 6>1Y Cr>3X -

v(P)

CJ>18

•

Cr>zX

O combinaţie integrabilă. se obţine amplificînd fracţiile, respectiv, cu CJ> 1, CJ>1 , 3 şi adunfnd numărătorii între ei şi numitorii între ei. Acest nou numitor fiind nul, urmează. că şi noul numărător este nul 1dx + 3dy + 3dz = O. O a. doua combinaţie integrabilă. se obţine pe aceeaşi cale, amplificînd cele trei fracţii, respectiv, cu :e, y, z. Rezultă

x da: + y dy + z dz = O. integralele prime, independente, 1X

Fig. 8.7

x2

+ CJ>2Y + CJ>3Z = 01, + y'J + z2 = c,.

Prima ecuaţie reprezintă un plan perpendicular pe c;i, iar a doua o sferă eu centrul în O. Intersecţia lor este un cere. Desigur, acest sistem de ecuaţii, depinzînd de doi parametri, reprezintă o familie de cercuri, din ca.re nu toate, şi unele nu în întregime, vor fi linii de cîmp„ ci numai arcele de cerc cuprinse în domeniul D. Să tratăm aceeaşi problemă. încercînd să integrăm care, în acest caz, este J

(ii X r) X dr = Dezvoltînd dublul produs vectorial, avem

o.

(i>1r) ,- - (rdi) ii

=

ecuaţia diferenţială vectorială

(29)

O.

Am obţinut o relaţie de forma. a.f' + ~~ = O. Interpretarea. acesteia; este imediată. : sau , şi ii- sînt coliniari, sau ex = ~ = O. Cum ii şi i nu sînt coliniari decit cînd M este situat pe A, urmează. că, în afara acestui ax, ~di

= O,

ii di

= o~

Ecuaţia diferenţială s-a desfăcut în două ecuaţii eu diferenţiale exacte. lntr-adevăr, acestea.

se mai pot scrie

d(c;i"i) deci liniile de cîmp au

c,;if

r.are coincid cu cele

= O,

d(r2)

= O,

ecuaţ.iile

obţinute

=

0 1, r 2

pe prima cale.

= 0 1,

Să. observăm că, dacă cele două. integrale prime ale sistemului diferenţial s-au obţinut prin artificii nu totdeauna. uşor de observat, pornind de la ecuaţia diferenţiali vectorială, aceasta s-a desfă.cut în două ecuaţii uşor integrabile, numai prin dezvoltarea. unui dublu produs vectorial şi cu observaţia simplă că c,;i şi ;, nu sînt coliniari, cînd M nu este situat pe â.

TEORIA CIMPURILOR

89

3.08. Suprafeţe de ctmp. Un cîmp- vectorial V (P), definit pe un domeniu D, are o infinitate de linii de cîmp, ecuaţiile lor fiind de forma (31), în care C1 şi C2 sînt constante arbitrare. De obicei, prin fiecare punct din domeniul D trece o linie de cîmp. D e f i n i ţ i e. Se numeşte suprafaţă de cimp o suprafaţă generată de linii de cimp. Liniile de cîmp formează o familie (L) de curbe depinzînd de doi parametri. Pentru ca o familie de curbe să genereze o suprafaţă, trebuie ca acea familie să conţină un singur parametru. Liniile de cîmp (31) vor genera o suprafaţă„ dacă vor fi supus~ unei condiţii care să se traducă analitic printr-o relaţie între el şt C2, (32)

De exemplu, se poate genera o suprafaţă de cîmp cu linţile de cîmp tangente unei sfere sau unui elipsoid. C.Ondiţia ca sistemul format de (31) şi ecuaţia suprafeţei să aibă rădăcini duble va fi o relaţie de forma (32). De asemenea„ liniile de cîmp care întîlnesc o curbă r de ecuaţii,

f (x, y, z) =

O, g (x, y, z)

=

O,

(33)

generează o suprafaţă de cîmp. într-adevăr, pentru ca o linie de cîmp să aibă

un punct comun cu r, trebuie ca sistemul format cu cele patru ecuaţii (31} (33) să fie compatibil, adică x, y, z obţinuţi din trei dintre aceste ecuaţii verifice şi pe cea de-a patra. Efectuarea acestor operaţii revine la eliminarea variabilelor x, y, z între ecuaţiile (31) şi (33),· obţinînd astfel o relaţie de forma (32)·. Ecuatia suprafeţei de cîmp se obţine eliminînd C1 şi C2 între ecuaţiile (31) ale liniilor de cîmp şi relaţia (32), deci va avea forma şi să

este o funcţie arbitrară, derivabilă, este soluţie a ecuaţiei (36), respectiv· (36~), şi reciproc, orice soluţie a acestei ecuaţii este de forma (39), de_ci : · Soluţia generală a ecuaţiei cu arbitrară de F1 şi F2 •

derivate

parţiale

(36') este (39), în care

(P), limitele care definesc integralele curbilinii există, iar calculul lor se reduce la calculul unor integrale definite. _ . . . Vom justifica această afir!_ll~ie pentru prima integrală. Descompunem vectorii v şi r după triedrul i, j, kJ

v (P)

V (P)

+ 3V2 (P) + k V3 (P), r = ix + 3y + kz.

= i Vi (P)

Vom avea

= i Vi (Q,) + JV2 (Q,) + kV3 (Q,), r., - r,_1 = i (x, - x,_i) + 3(y, - y,._1) + k (z, V (Q,)

şi

prima

fl

~

sumă

devine

.

•

I

îJ (Qi(r,

~

n

.

r,_J =

1-1

- z,_ 1)

.

~ [v1(Q,)(x,-x,_J+v2(Q,)(y,-y,_1)+va (Q,) (z,-z,_J] Z=l

sau, notînd cu ~,, "t),, ~, coordonatele punctului Q,, în ultima sumă vom- avea de făcut înlocuirile Vi

(Q,) = V1 (~,, "tl1, ?;,), V2 (Q,)' = V2 (~,, "tl1, ~z), V3 (Q,) = V3 (~z, "tl1, ~,).

Recunoaştem, în aceasta, suma care, prin procesul de trecere la limită indicat mai sus, dă o integrală curbilinie cunoscută. Deci, limita sumei există şi avem

,· ' . V , .A1J

şi

dr·= ~

.·v1 (x, y, z) dx

+ V2 (x, y, z) dy + V3 (~, Y, z) dz.

(52)

• .A.B

ln mod analog se arată că şi celelalte două integrale curbilinii (51) există au expresiile · \ aAB

V X dr

=i ~

V2dz - V3 dy

aAB

+k \

+ J(

JAB

V3dX -

v1 dy - v2 dx.

.AB

ljAB q> dr =d JAB l' cp dx + 3' cp dy -t k (- cp dz. aAB JAB '

V1

dz

+ (52') ·

101

TEORIA ClMPURILOR

Dac~ aceste integrale, cun_oscute din analiza funcţiilor scalare, se transîn integrale definite, cu notaţiile (50), devin · - .. . . ..

formă

r

JAB

V

dr= rb [V1 (t) x' (t)

Ja

+ V2 (t) y' (t) + Vs (t) z' (t)] dt =

= ~: V (t) T' (t) dt. (

)AR

VX

dr. = .i (b [V2 (t) z' (t) - Va (t) y' (t)]. dt. +

Ja

.-· ~ ~

= ~: V (t). X T' (t) dl (

1B

. .: .ln

'P. dr

= i (b )a

(t)

x' (t) dt +

(53)

··-........

.. .. · (b ·~ (t) T' (t) dt. Ja

.

cazul cînd v (P) reprezintă o forţă, produsul v dr se numeşte lucr~ ~ecanic elementar, iar prima integrală (51) reprezintă lucrul mecanic al forţeî v (P), cînd P descrie arcul AB. · · · 1n· general, prima integrală (51), care e&te cea mai importantă dintre ac.este trţi inţegrale curbilinii, se numeşte integrală de linie a. vecţontlui v( P). . Dacă )J. şi B coincid, arcul de curbă AB devine o curbă închisă. Vom presupune că, atunci cînd t descrie intervalul [a, b] în mod continuu şi monoton,punctul M descrie această curbă închisă, o dată şi nu"rnâi '~dâtă,-· poţnirid din~ punctul A şi revenind în acest punct. Toate cele expuse mai sus rămtn·valabile· şi în acest caz. Integralcţ de linie a vectorului v (P) pe o curbă închisă_Csenul)leşte circula/ia lui v (P) pe curba C. . . ,. · · '· ' ~-~ , ,:_ Proprietăţi. Pornind de la definiţia integralei curbilinii ·ca limită a unei sume, se pot· demonstra uşor urm~toarele ; . . .. .. .. , • · a)

C. (v + w) dr = ( vdr + ~ w dr; ·

JAB

JAB

b) \ .

'.A~ d~

=

c) (

J.4B

4)

AB

'.A fiind o

..

. . . ,.

constaf:Ită ;_:.

: .. · ......

.An

v dr= ( v dr+ ( vdr, P fiind un,Punct )Al' JPB

I-~ v~rJ0 ale căror volume le notăm tot cu c.>1 • Reţeaua de suprafeţe utilizată o notăm cu d şi o numim diviziune a domeniului O. Fie 81 diametrul subdomeniului c.>1• Cel mai mare dintre diametrii a, îl notăm cu v (d) si îl numim norma diviziunii d. Fie P, un punct arbitrar în c.>1 • ' ·

( I

cp de.>

)a

(

)n

V doo

= lim

v(d)➔O

=

lim

v(d)➔O

f f

cp (P,)

l -1

l-1

001

(65) V (P1)

00 1•

înţelesul acestor egalităţi, · care· definesc cele două integrale de volum, este analog cu cel în_tîlnit la celelalte integrale studiate pînă aici. De exemplu, pentru a doua :

E xi sili

un uector

r, pe care

U

notlim ~

V d"',

cu proprietatea următoare :

pentru orice e > O, există un număr 1)( e:) > O, astfel încît, oricare ar fi diviziunea d cu v (d) < l) ( e:), şi oricare ar fi alegerea punctelor P1 în subdomeniile c.>1 , avem

I]' - ,t

I
O, există un număr "fJ ( e) > O, astfel că oricare ar fi n, cu Po E n şi a (O) < "fJ (e), să avem

_

I

(divV)Po -

Existenţa

+I: nVdal

n

< E.

(66')

acestei limite este asigurată în condiţii suficient de largi aşa în: „ Da că -av , -av , av . t„a mu-o vecmautate a Iu1• p şi smt T e o r e m a. - exts

cum se

arată

A

"-

•

A

ax ay az

0

continue in P O; dacă suprafeţele ::E care mărginesc diversele volume O au proprietatea că există două numere po7.itive k 1 şi k 2 independente de ::E, astfel că pentru aria A2:: a suprafeţei ::E şi pentru volumul O corespunzător să avem

A2:

~

k1 82(0),

n > k2 83 (O},

atunci limita (66) există. Pentru sferele cu centrul în P0 • paralelipipedele dreptunghice cu centrul în P 0 , k1 şi k 2 pot fi determinaţi uşor, cleci acestea fac parte din clasa suprafeţelor care îndeplinesc condiţiile de mai sus. Să demonstrăm teorema enunţată. Fie x0 , Yo, z0 cqordonatele lui P0 şi x0 Yo "fJ, z0 t coordonatele p~nctului arbitrar P de pe suprafaţa ~- Variabilele ţ, "fJ, t pot fi considerate drept coordonatele lui P faţă de un sistem de axe cu originea în P0 şi paralele cu axele iniţiale. Vom evalua diferenţa dintre valoarea funcţiei V (P) într-un punct arbi• ţrar de pe I: şi valoarea sa în P 0 • Cu descompunerea

+ ~' +

V (P)

=i

Vi(P)

+

+ 3 V2 (P) + k Va (P)

avem

V (P) - V (Po)

V1 cPo)l + J [V2 (P) - Va (Po)] + k [V3 (P) - Va (Po)].

= ilV1 (P)

-

+

• 119

TEORIA ClMPURILOR

în ipotezele enunţate, diferenţele din partea dreaptă a acestei egalităţi pot fi dezvoltate astfel :

= Vi (Xo +

V, (P) - V, (P0)

= (av,) ţ + (av,) 1J + (av,) ax Dy 8z O

O

ţ, Yo

+ 'IJ, Zo + O - Vi (Xo, Y,oZo) =

t + e:;ţ + e:;'1l + e:;" t; l = l, 2, 3, 0

unde

e:i

e:i

=

(ţ, 11,

O, e:i'

e:;· (~, ·11, t),

=

e:i', = e:;" (t 11, t)

tind între zero, cînd P tinde către P 0 • înmulţim aceste egalităţi cu i, 3, e' =ie:~ + i e:; + k e:; etc. şi avem

însumăm. Notăm

k

şi

v (P) - v (Po) = (av) ţ + (aîl) "I)+ (av) ~ + e'ţ+ e"lJ + e"' t. ax o oy o az o Fluxul prin

suprafaţa ~

poate fi exprimat acum sub forma

JJ nV (P) da= V (Po) (bJ n da+ (aîl) da.

etc. sînt calculate în P 0 şi ies de sub semnul de integrare.

"' = (-:i -aîi +-.3 -av + -k a:x:

e: "I)

ţnda +

I:

seama acum de 3.12, exemplele 2) 'V

o I:

I:

I:

ay

av) az

n

~~

o

+ f

şi

JI:

3), avem

-n (-' e: ½'I;

încă

+ _,, da. e: "I) + _,,,,,) e: \:>

împărţim în ambele părţi ale egalităţii cu O,

§1: nîi da

n

+-- aîl + -k -aîi) = aîl ax 1ay(-:

i -

f)z

1

+ - 1 f _(-,'I; _,, _,,,,,) d n e: ½ + e: 1J + e: \:> a. o n J I:

Considerăm numai domenii O care conţin punctul P O şi ne ocupăm de limita ultimului termen, cînd 8(0) ~ O, deci toate punctele suprafeţei ~ tind către

P 0•

I~ ~" n

(i'~ +

Evaluăm

S"'IJ + O"' O da [ < ~ f,, (e' I ~I+ e" I '11 +

ultima

integrală

folosind faptul

e"' li:l)da.

că

I ţ I ~ 8(0), I "I) I ~ 8(0), I t I ~ 8(0) şi că e', e", e'" tind către zero, există trei numere 11' ( e:), 11" ( e:),

e:'(ţ, "I),

O < e,

dacă

cînd P tinde către P0 ; deci, pentru orice e: > O 11"' ( e:), astfel că

IPoP I < "1) 1 ( e) etc.

CALCULUL VECTORIAL

120

Fie "tJ(e) cel mai mic dintre numerele "tJ'(e), "tJ"(e), '1J'"(e). Cu atît mai mult e:' Condiţia

WoPI

~

< e:,

< e:,

e:"'

< e:,

I P0 P I < "tJ( e:) poate fi

dacă

I P0 P I < "IJ( e:).

înlocuită

cu 8(0)

< '1J ( e:),

deoarece

S(!l). Avem deci e:'

şi

e:"

< e:,

e:"

< e,

e"'

< e,

dacă

8(!1)

< "IJ( e)

cu acestea,

r -n ~' - 1

. ..

în relaţia (119), înmulţim_ cu (l)l şi însumăm

f. (divV)Pz (l)l = ~ ij ·

l=1

nV dcr+ a1

_(119).

p~ntru e > O· arbitrar,-: există un cu Pi e (1),, avem

Ie:, I ,,1r n, -V da= ~ d1v . -d V 6>.

(t>

JI

Fig. 8.26

,_iJ :E

n

i

(122}

A p I i c a ţ i e. Să se determine ctmptd vitezelor unui fluiel incompresibil datorit unei: surse de debit q situată tntr-un punct P0 • Particulele fluide care izvorăsc din P O vor descrie semidrepte ce pornesc din P o, deci viteza într-un punct .e_ va avea direcţia şi sensul vectorului ;-= P0 P. Din motive de simetrie, modulul viteiei V va fi funcţie numai de distanţa ,, deci viteza -va avea o expresie: de forma = f(r)'f.

v

TEORIA CIMPURILOR

163

Urmează să determinăm funcţia f(r). Pentru aceasta vom folosi fa.ptul~ă. mişca.rea se datoreşte unei singure surse situată. ln P 0 , deci în afara acestui punct div V= O. Vom scrie relaţia (122) pentru două sfere· S şi 8 1 cu centrul în P 0

f

n V da + f nl -V da = o, s J 81

n1 fiind dirijat spre interiorul sferei 81• Dacă notăm tot cu teriorul său, n1 = - n,

n normala

.

la 8 1 dirijată spre ex-

f n -V da = f n -V da = q. jS J81 în P0• Normala. n la sfera S în punctul P are expresia. d>

q fiind debitul sursei situată.

n = ",. , unde r = P0 P. Produsul nV = f(r)i' T = rf(r) r

este constant pe sfera S de

rază.

f

-

r şi integrala devine