Matematica generale 882074161X, 9788820741617

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Paolo Maroellini - Carlo Sbordone

Matematica Generale

Liguori Editore

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2007 by Liguori Editore, S.r.l.

Tutti l d1rltt1 sono riservati Prima edizione ltallana Ottobre 2007 Stampato In !talla da OGL- Napol1 M&I'C61lin1, Pe.olo :

Maumatica G~n~raldPe.olo Marcellln1, Carlo Sbordone Napoli : Llguorl, 2007 ISBN-13 978-88-207-4161 -7

l . Numeri e funzioni 2 . Derivate e Integrali 3 . Serle 4 . Applicazioni I. Titolo .

15 14 13 12 11 10 09 08 07

10 9 8 7 6 5 4 3 2 2 l

La carta utlllzzata per la stampa d1 questo volume è Inalterabile, priva d1 acld1, a ''" neutro,

conforme alle norme UNI EN Iso 9706 ~ . realizzata con materie fibrose verglnl provenienti da piantagioni rlnnovablll e prodotti auslllarl assolutamente naturali, non Inquinanti e totalmente blodegradablll.

o

INDICE

pag.

Prefazione

Capitolo l l.

2. 3. 4. 5. 6. Capitolo 2

7. 8.

9. Capitolo 3

10. 11. 12. 13.

-

l NUMERI REALI

Premessa Gli assiomi dei numeri reali Cenni di teoria degli insiemi Numeri naturali, interi, razionali n principio di induzione Massimo, minimo, estremo superiore, estremo inferiore -

3 4 6 8 lO

12

LE FUNZIONI REALI

Funzioni e loro proprietà Funzioni monotòne Un elenco di funzioni elementari -

l

17 22 25

LIMITI DI SUCCESSIONI

Introduzione a i limiti di successioni Successioni limitate Teoremi di confronto Proprietà principali e limiti notevoli di successtoni

39 47 47 49

VI

Indice

Appendice al capitolo 3

A3.l Utilizzo del numero e in matematica finanziaria. Interesse composto Capitolo 4

14. 15. 16. l 7. 18. l 9. Capitolo 5

20. 21 . 22. 23. 24. 25. 26. 27.

-

LIMITI DI FUNZIONI. FUNZIONI CONTINUE

Premessa Definizioni Esempi e proprietà dei limiti di funzioni Funzioni continue Discontinuità Alcuni teoremi sulle funzioni continue -

pag. 56

63 66 69 72 73 75

MATRICI, DETERMINANTI E SISTEMI LINEARI

Introduzione Matrici Operazioni con le matrici Determinante di una matrice 2 x 2 Determinante di una matrice 3 x 3 Determinante di una matrice n x n Sistemi lineari di m equazioni in n incognite n teorema di Cramer Matrici inverse

81 84 85 88 90 93 95 96 99

Appendice aJ capitolo 8

A5. 1 Autovalori di una matrice A5.2 Esempi di ut111zzo di sistemi lineari: leggi di Kirchhoff e flusso di traffico automobilistico Capitolo 6

28. 29. 30. 31. 32. 33. 34 .

l 00 l 03

-DERIVATE

Tasso di accrescimento. Significato meccanico della derivata Definizione di derivata Operazioni con le derivate Derivate delle funzioni composte e delle funzioni inverse Derivate delle funzioni elementari Significato geometrico della derivata. Retta tangente Le funzioni trigonometriche inverse

107 109 112 113 115 118 121

Indice

VII

Appendice al capitolo 6

Introduzione A6.l Crescita di una popolazione batterica A6 .2 Crescita della popolazione mondiale Capitolo 7

35. 36. 37. 38. 39. 40. Capitolo 8

41. 42. 43. Capitolo 9

44. 45. 46. 47. 48. 49. 50. 51. Capitolo l O

52. 53. 54. 55.

pag. 125 125 126

- APPLICAZIONI DELLE DERIVATE. STUDIO DI FUNZIONI

Massimi e minimi relativi. Teorema di Fermat I teoremi di Rolle e di Lagra.nge Funzioni crescenti e decrescenti Funzioni convesse e concave Il teorema di L 'Hòpital Studio del grafico di una funzione -

INTEGRALI DEFINITI

Definizioni e notazioni Proprietà degli integrali definiti Il teorema della media -

149 152 154

INTEGRALI INDEFINITI

Il teorema fondamentale del calcolo integrale Primitive. Formula fondamentale del calcolo integrale L'integrale indefinito Integrazione per decomposizione in somma Integrazione delle funzioni razionali Integrazione per parti Integrazione per sostituzione Calcolo di aree di figure piane -

131 133 135 138 141 143

157 159 161 163 165 170 172 176

FUNZIONI DI DUE VARIABILI

Funzioni di due variabili: dominio; rappresentazione cartesiana Derivate parziali. Gradiente Derivate successive. Teorema di Schwarz Massimi e minimi relativi

179 185 189 190

Appendice al capitolo l O

A l O. l Sistemi di disequazioni di primo grado in due incognite

196

VIli

Indice

Al0.2 Programmazione lineare A l 0.3 Teoria dei giochi e teorema di minimax Cs.pitolo l l

56. 57. 58. 59. 60.

pag. 201 • 212

-SERIE

Serie numeriche Serie a termini non negativi La serie geometrica La serie armonica Criteri di convergenza

• 219 • 221 • 221 • 222 • 224

Appendice &l os.pitolo 11

A l l . l Moltiplicazione dei depositi bancari

•

226

PREFAZIONE

La riforma dell'Università, con cui sono stati introdotti i Corsi di Laurea di tre anni, ha reso necessario rivedere i contenuti dei vari insegnamenti, aggiornando e spesso riducendo i programmi. Anche i corsi di matematica rientrano fra gli insegnamenti da impartire, in genere, in un numero minore di ore di lezione e di esercitazione. Con il presente volume gli autori hanno predisposto un approccio semplificato ad un corso di Matematica Generale. Pur proponendo un libro rigoroso nei contenuti, è stata attuata una drastica riduzione del materiale relativo al percorso culturale "numeri reali, matrici e sistemi lineari, limiti, funzioni continue, derivate, grafici di funzioni, integrali, funzioni di due variabili, serie", tale da poter essere appreso da uno studente universitario in un corso breve di Matematica Generale. n poco tempo a disposizione per impartire il corso di insegnamento non dovrebbe determinare l'impoverimento dei contenuti culturali; alcune dimostrazioni sono infatti proposte proprio per questo scopo. Il testo è anche arricchito da numerosi esempi, a complemento della teoria e da svariate applicazioni della Matematica. Per questi motivi gli autori si augurano che i lettori possano trarre profitto e giovamento da queste note.

CAPITOLO 1 l NUMERI REALI

1. Premessa

n metodo comunemente usato in Matematica consiste nel precisare senza ambiguità i presupposti, da non cambiare durante l'elaborazione dei dati o della teoria, e nel dedurre da tali presupposti, in modo logico e coerente, il maggior numero di informazioni possibili. In altre parole, i presupposti sono le regole del gioco, che potrebbero essere state anche diverse, ma che, una volta iniziato il gioco, non vengono più cambiate. In Matematica tali presupposti vengono chiamati postulati o assiomi. Da essi, mediante dimostrazioni, si deducono i risultati o teoremi. Sinonimo di teorema è lemma, parola più spesso usata per indicare un risultato intermedio, utile soprattutto per dimostrare un altro teorema; altri sinonimi sono corollario e proposizione. n nostro punto di partenza è quello di assumere, come postulato, che esista il sistema dei numeri reali. Cioè assumiamo che esista un insieme di numeri, che chiamiamo numeri reali e che indichiamo con R, su cui sia possibile, ad esempio, eseguire le quattro operazioni elementari C+, -, · ,/) , oppure sia possibile stabilire qual è il maggiore tra due numeri. n sistema dei numeri reali è sicuramente già familiare alla maggioranza degli studenti che leggono queste pagine. Infatti stiamo assumendo come punto di partenza (come assioma) quell'insieme di regole per operare sui numeri che il lettore ha sempre usato in modo

4

c

PfiOIO l

naturale fin da quando ha imparato a far di conto. Per esempio, è per tutti naturale che 2 + 3 sia uguale a 3 + 2, o che 2 · 3 = 3 · 2. Esprimiamo ciò 1n modo generale per due numeri reali a, b, dicendo che valgono le proprietà commutative della somma e del prodotto: ( l. l)

a+ b = b +a,

a · b=b · a

Il lettore conosce sicuramente (provi a scriverle) anche la proprietà associativa, sia rispetto alla somma che al prodotto, e la proprietà distributiva. Nel paragrafo successivo è riportato un elenco completo delle proprietà che assumiamo valere per assioma. Dividiamo tali proprietà in tre gruppi: quelle relative alle operazioni, le proprietà relative all'ordinamento, e l'assioma di completezza.

2. Gli assiomi dei numeri reali Assiomi relativi alle operazioni. Sono definite le operazioni di addizione ( +) e moltiplicazione C·) tra coppie di numeri reali, con le

seguenti proprietà (ab, c indicano numeri reali generici): (2.1)

Proprietà associativa.:

(2.2)

Ca+ b)+ c= a+ Cb+ c), ca · b) · c= a · (b · c). Proprietà commutativa.: a + b = b + a, a · b = b · a. Proprietà, distributiva.: a · Cb + c) = a · b + a · c.

(2.3) (2.4)

(2.5) (2.6)

Esistenza. degli elementi neutri: esistono in R due numeri distinti O, l, tali che a+ O= a, a · l =a. Esistenza. degli opposti: per ogni numero reale a esiste un numero reale, indicato con - a, tale che a+ C- a) = O. Esistenza. degli inversi: per ogni numero reale a*" O esiste un numero, indicato con a- 1 , tale che a · ca- 1) = l.

Assiomi relativi all'ordinamento . È definita la relazione di minore o uguale (:5) tra coppie di numeri reali con le seguenti proprietà: (2. 7) (2.8)

Dicotomia.: per ogni coppia. di numeri reali a, b si ha. a :5 b oppure b :5 a. Proprietà asimmetrica.: se va.Jgono contemporaneamente le relazioni a :5 b, b :5 a, a.llora. a = b.

l numeri reali

(2.9) Se a~ b allora. vale anohe a+ c ~ b + c. (2.10) Se O ~ a e O ~ b allora. valgono anohe O~ a+ b,

O~

5

a · b.

Assioma di completezza

(2.11) Siano A e B due insiemi non vuoti di numeri reali oon la. proprietà ohe a~ b, oomunque si soeJ.gano a. elemento di A e b elemento di B. Allora. esiste almeno un numero reale c tale ohe a ~ c ~ b, qualunque siano a in A e b in B.

Abbiamo così elencato le proprietà dei numeri reali che vengono assunte come assiomi. Tutte le altre proprietà e teoremi esposti in questo libro discendono dagli assiomi. Sono conseguenze degli assiomi anche quelle proprietà elementari che in genere fanno parte del «bagaglio matematico»di ogni studente, come ad esempio il fatto che un prodotto è nullo quando almeno uno dei due fattori è nullo, oppure quella regola dei segni per il prodotto (che, dagli studenti delle scuole elementari talvolta è accettata come imposizione, perché incompresa) che schematicamente si enuncia: meno per meno fa. più; oppure la norma di frequente applicazione nel risolvere disequazioni: moltiplioa.ndo entrambi i membri per una. quantità negativa., il verso della. disequazione oa.mbia..

L'assioma di completezza (2.11) a prima vista può sembrare ovvio: «se tutti i numeri dell'ins~eme A sono minori od uguali a tutti i numeri dell'insieme B, allora esisterà certamente un numero c intermedio fra A e B, cioè tale che a~ c~ b per ogni elemento a di A e per ogni elemento b di B; basterà infatti scegliere come numero c il più grande elemento di A, oppure il più piccolo elemento di B». Ebbene, la. frase soritta. precedentemente fra. virgolette è sba.glia.ta.l Infatti non tutti gli insiemi numerici hanno il più grande od il più piccolo elemento: ad esempio, l'insieme

che, rappresentato sulla retta dà luogo ad uno schema come quello in figura l .l, ha il più grande elemento, che è uguale ad l , ma non ha il più piccolo elemento; potremmo essere tentati di dire che lo zero è il più piccolo elemento di B, ma lo zero non è un elemento di BI Infatti lo zero è diverso da l /n qualunque sia n (una frazione è nulla se e soltanto se il numerato re della frazione è nullo).

6

Capitolo 1

0 .... .. .! ...1 1 8 5 4

1

1 2

1 3

Figura 1.1

L'assioma di completezza è, in effetti, un assioma molto più profondo di quanto possa sembrare a prima vista: soltanto tramite l'assioma di completezza è possibile distinguere l'insieme dei numeri rappresentabili sotto forma di frazione, insieme detto dei numeri razionali, dall'insieme dei numeri reali. Nell'insieme dei numeri razionali l'assioma di completezza non sussiste, come vedremo nel seguito. 3. Cenni di teoria degli Insiemi

Introduciamo alcune notazioni e definizioni tratte dalla teoria degli insiemi. Sia S un insieme di natura qualsiasi. Per indicare che x è un elemento di S scriveremo: XES

(x

appartiene a. S).

Per indicare, invece, che y non è un elemento d1 S, scriveremo:

yES

(y

non appartiene a. S).

Se A è un insieme i cui elementi sono anche elementi di S, diremo che A è un sottoinsieme o parte di S. Tra i sotto insiemi di S si suole considerare anche l'insieme vuoto, cioè l'insieme privo di elementi, che si indica con f/J. Se A e B sono due sotto insiemi di S, l' intersezione A n B di A e B è l'insieme degli elementi di S che sono comuni ad A e B (figUra 1.2): (3.1)

A n B = (x E S : x E A e x E B}.

L'unione A u B di A e B è l'insieme costituito dagli elementi di S che appartengono ad almeno uno dei due insiemi A e B (figura 1.3): (3.2)

AuB=(XE S : xE AoppurexE B}.

Diremo che A è contenuto in B CA anche elemento di B:

ç;;

B) se ogni elemento di A è

l numeri reali

7

Figura 1.2

(3.3)

n simbolo

(aE

CA ç: B)

A~aE

B)

(::::::::) si legge •se e solo se- ed il simbolo

~

si legge

«implica,•.

Se A e B sono due sottoinsiemi dell'insieme S, il complemento A-B di B rispetto ad A è l'insieme degli elementi di A che non appartengono aB (figura 1.4): (3.4)

A-B= {x E S: x E A e x e B}.

In particolare, per A = S, l'insieme S - B, complemento di B rispetto a S, si chiama anche complementare di B e si indica con Be oppure con- B. Evidentemente si ha:

Figura 1.3

g

Capitolo 1

Figura. 1.4

(3.5)

AçB

L'insieme di tutti i sottoinsiemi diSsi suole indicare con P(S) e si chiama insieme delle parti di S.

4. Numeri naturali, interi, razionali

Abbiamo visto come tra gli assiomi dei numeri reali ci sia l'esistenza degli elementi neutri O e l. Quindi apparterranno ad R (come già detto, indichiamo con R l'insieme dei numeri rea.li) anche i risultati delle operazioni eseguite a partire da O e l . In particolare sono numeri reali: l+ l= 2, (l+ l)+ l = 3, ... Tale sottoinsieme diR, che si chiama insieme dei numeri naturaJi, si indica con (4.1)

N= (1, 2, 3, ... ,n, ... }.

Analogamente indichiamo con Z il sottoinsieme di R costituito dagli elementi di N, dai loro opposti, e dallo O. Cioè l'insieme dei numeri interi (o interi relativl) si indica con (4.2)

Z = {0, ± l,± 2, ... } = {0} u {±n: n

E

N}.

I risultati della divisione m/n (che, con la terminologia introdotta dagli assiomi, significa m-n- 1) con m, n E Z, n * O, si chiamano numeri ra.zionaJi e si indicano con

l numeri reali

Q={~:m,nE

(4.3)

9

Z,n:;to}.

Risulta N ç Z ç Q ç R. Naturalmente, essendo N, Z, Q sottoinsiemi di R, su di essi sono definite le operazioni di addizione e di moltiplicazione e l'ordinamento indotti da R. Però essi non soddisfano tutti gli assiomi dei numeri reali. Ad esempio, N non soddisfa (2.5): nell'ambito di soli numeri naturali non esiste l'opposto di alcun numero. Z non soddisfa (2.6): tutti i numeri interi, escluso l, hanno per inverso un numero reale che non è intero; in altre parole, non esiste l'inverso nell'ambito dei numeri interi. Si può verificare che invece Q soddisfa tutte le proprietà algebriche relative alle operazioni e all'ordine. L'unico assioma non soddisfatto da Q è l'assioma di completezza (2.11). Mostriamo ciò con un esempio: consideriamo i due sottoinsiemi A e B di Q (4.4)

A

= (a E

Q : a 2 ~ 2},

B = (b

E

Q: b 2 ~ 2, b > 0} .

Tutti i numeri di A sono minori di tutti i numeri di B. In base all'assioma di completezza esiste un numero reale c con la proprietà che a~ c~ b, per ogni a E A, bE B. Tale numero, che si può dimostrare essere unico, è tale che c2 = 2 e si denota comunemente con c = ..J2 . Però c non è un numero razionale, come è dimostrato nella proposizione che segue. PROPOSIZIONE. - Il numero reale

..J2

non è razionale.

Dimostrazione: continuando ad usare la notazione c= ..J2 , ricordiamo che c è un numero reale positivo con la proprietà che c2 = 2. Se, per assurdo, c fosse un numero razionale, in base alla definizione (4.3) esisterebbero m, n numeri interi per cui c = m/n. Se necessario possiamo • semplificare~ la frazione m/n, ottenendo m, n primi fra loro, cioè privi di divisori comuni. Risulta (m/n) 2 = c2 = 2, cioè 2n2 = m 2 • Essendo il primo membro 2n2 un numero intero pari, anche m 2 deve essere pari; ma allora anche m deve essere pari (se m fosse dispari, anche m 2 sarebbe dispari); quindi m= 2k, con k intero. Ne segue che (4.5)

Ripetendo il ragionamento, risulta che anche n deve essere un nu-

1O

Cap itolo 1

mero pari, ciò che contrasta con l 'ipotesi che m ed n siano numeri interi primi fra loro. Riassumendo con parole semplici, possiamo dire che nell'insieme dei numeri naturali N si possono eseguire le operazioni di addizione e di moltiplicazione, ma non è possibile in genere eseguire le operazioni inverse di sottrazione e di divisione. Z è un ampliamento di N che permette di calcolare anche le differenze, ma non i quozienti. Q è un ult~riore ampliamento; in Q è possibile eseguire le quattro operazioni fondamentali (tranne naturalmente la divisione per zero), ma non è possibile in generale eseguire altri calcoli altrettanto utili, come ad esempio l'estrazione di radice. Come vedremo, R è invece sufficientemente ricco per la maggior parte delle applicazioni. 5. Il principio di induzione

Consideriamo la seguente implicazione: (5.1)

"v'ne N.

Vogliamo dimostrarla per mezzo del principio di induzione. Supponiamo preliminarmente che essa valga per un certo indice n Cciò che dobbiamo provare è che la (5 .l) sia vera per tutti gli n; qui stiamo supponendo che la (5 .1) sia vera per qualche n; ad esempio, per n= l la (5.1) è banalmente vera!) . Perciò supponiamo che valgano le disuguaglianze O~ x 1 < x 2 , x~< x~ . Otteniamo: (5.2)

Cioè abbiamo provato che, se vale la (5 . 1) per un certo indice n, allora essa vale anche per l'indice successivo n+ l. Ma allora la (5.1) vale sempre, perché: sappiamo che la proposizione vale per n = l (lo verifichiamo banalmente); per quanto sopra detto essa vale anche per l'indice successivo, cioè n= 2; ancora, sempre per lo stesso motivo la (5.1) vale per il successivo n= 3, e così via ... Possiamo raggiungere con questo argomento qualsiasi naturale n . Formuliamo in generale il PRINCIPIO DI INDUZIONE. - SupponiBJilo che una proposizione dipendente da un indice n e N sia vera per n = l e che inoltre,

l numeri reali

11

supposta vera per n, sia vera anche per il successivo n + l. Allora la proposizione è vera per ogni n E N. Per chiarire meglio il principio consideriamo altri esempi. Dimostriamo per induzione la formula che esprime la somma dei primi n numeri naturali (questa formula era nota a Gauss dall'età di nove anni!): (5.3)

1 + 2 + 3 + ... + (n - l) + n =

n(n +l) · 2

La formula è vera per n= l; infatti si ha l'identità l = (l · 2)/2. Supponiamo vera la (5.3) e dimostriamo la formula analoga con l'indice n+ l al posto n. Per ottenere ciò, è naturale sommare adentrambi i membri il numero n + l:

l + 2 + 3 + .. . + n + (n + l) =

n(n +l)

2

+ (n + l) =

(5.4)

n(n + l) + 2(n + l) 2

=

=

(n + l )(n + 2) 2

Abbiamo ottenuto ciò che volevamo; quindi la (5.3) risulta vera per ogni n E N. Un'altra applicazione del principio di induzione è la seguente:

x

~

DISEGUAGLIANZA DI BERNOULLI. - Per ogni numero reale - l, e per ogni naturale n, risulta

(5.5)

(l

+ X)n ~ l + nx.

Dimostrazione: per n= l la proposizione è vera (con il segno=) . Supponiamo vera la (5. 5) per un numero naturale n; moltiplichiamo entrambi i membri per l + x, che è una quantità maggiore o uguale a zero: (l + x)n+ l ~ (l + nx) (l + x) = (5.6)

=l +x+nx+nx 2 ~ l+ (n+ l) x. Abbiamo ottenuto la proposizione con n + l al posto di n. Perciò, in base al principio di induzione, la (5.5) è provata.

12

Capitolo 1

Utilizzando il principio di induzione, dimostriamo la formula che esprime la somma di una progressione geometrica di ragione x :t:- l : C5.7)

l + x + x 2 + ... + xn

=

l - xn+l

1- x

' vx

:t:-

l.

Per n = l, a secondo membro abbiamo l - x 2 = Cl - x) Cl + x)

C5.8)

1-x

= 1 + x·

1-x

'

quindi la CB. 7) è vera per n = l. Supponendo verificata la (5. 7), sommiamo ad entrambi i membri il termine xn• 1 : l + x + x2 + .. . + x n + xn+ l

=

l - xn+l 1-x

+ xn+ l

=

C5.9) =

1-x

= --1-x

Abbiamo ottenuto la proposizione con n + l al posto di n. Quindi, in base al principio di induzione, la formula C5. 7) è dimostrata.

6. Massimo, minimo, estremo superiore, estremo inferiore

Sia A un insieme di numeri reali. n massimo di A, se esiste, è un numero M dell'insieme A che è maggiore od uguale ad ogni altro elemento dell'insieme. In simboli: C6.1)

M massimo di A

CM=maxA)

{

M~a.

Vae A;

Me A.

Analogamente, il minimo di un insieme di numeri reali A, se esiste, è un numero m dell'insieme A che è minore od uguale ad ogni altro elemento di A. In simboli:

l numeri reali

(6.2)

Jm~a .

m minimo diA Cm= minA)

13

"i/ a E A;

lmE A.

Non tutti gli insiemi di numeri reali hanno il massimo ed il minimo. Ad esempio, se A è costituito da tutti i numeri reali positivi, A non ha né massimo, né minimo (non esiste il più piccolo numero reale positivo; ad esempio, lo zero non è il minimo, perché non appartiene ad A). Si verifica facilmente che quando esistono, il massimo o il minimo sono unici. Infatti, se M 1 e M2 sono due massimi di un insieme A, allora per definizione M 1 ~a.

M 2 ~a.

"i/aE A;

ma dato che M 1 ed M2 sono elementi di A, posto a rispettivamente uguale ad M2 ed a M 1 nelle relazioni precedenti, si ottiene M 1 ~ M2 e M 2 ~M,, cioè M, = M2 • Un numero reale L si dice un maggior8Jlte per un insieme A, se L~ a per ogni a E A. Analogamente un numero reale l' è un minor8Jlte di A, se l' ~ a per ogni a E A. È bene notare esplicitamente che un insieme A non sempre ammette maggioranti o minoranti. Se A è di nuovo l'insieme dei numeri reali positivi, A non ammette alcun maggiorante, mentre lo zero (ed anche qualsiasi numero reale negativo) è un minorante di A. Diciamo che A è limitato superiormente se ammette un maggiorante. A è limitato inferiormente se ammette un minorante. Infine si dice limitato un insieme che è limitato sia superiormente che inferiormente. In simboli (3 si legge esistono): (6.3)

A limitato

~

3 1', L E R:

l'~ a~

L,

"i/ a E A.

Il risultato che segue, alla base della definizione di estremo superiore, è conseguenza dell'assioma di completezza (2.11) per i numeri reali. TEOREMA DI ESISTENZA DELL'ESTREMO SUPERIORE.- Su.Jr poniamo che A sia un insieme non vuoto di numeri reali limitato superiormente. Allora esiste il minimo dell'insieme dei maggior8Jlti diA.

Infatti, indichiamo con B l'insieme costituito dai maggioranti di

14

Capitolo 1

A. B è non vuoto, perché A è limitato superiormente. Applichiamo l'assioma di completezza (2.11) ai due insiemi A, B. Esiste un numero reale M tale che (6 .4)

VaE A, VbE B.

a~M~b.

Dato che M è maggiore od uguale a tutti gli elementi di A, M è un maggiorante di A; cioè M E B. Inoltre M è minore od uguale a tutti gli elementi di B. Quindi, in base alla definizione (6.2), M è il minimo di B.

In base al teorema precedente, poniamo la seguente DEFINIZIONE. - Sia A un insieme di numeri reali non vuoto e limitato superiormente. Diciamo che M E R è l'estremo superiore di A se M è il minimo dei maggioranti di A. Ciò equivale a dire che M è un maggiorante, e che ogni numero più piccolo di M, diciamo M - E con E positivo, non è un maggiorante; cioè M- E è minore di qualche elemento dell'insieme A. In simboli (.3 si legge esiste): (6.5)

{M ~ a, V a

di A . M es t remo superiore

CM = sup A)

E

V E >O, .3 a

E

A; A: M-

E
O, .3 a

E

A: m + E > a.

Quindi, se un insieme è limitato superiormente esiste l 'estremo superiore ed è un numero reale. Se un insieme è limitato inferio~ mente esiste l 'estremo inferiore ed è un numero reale. È utile introdurre i simboli+ oo,- oo per descrivere gli insiemi non limitati. Precisamente, sia A un insieme non vuoto. L'estremo superiore di A è +oo se A non è limitato superiormente; l'estremo inferiore di A è- oo se A non è limitato inferiormente. In simboli:

(6.8)

e

=+ oo

~

'v'L, 3 a

inf A = - oo

~

'v' l', 3 a E A: a < l'.

su p A

(6.7)

E

A: a > L.

Nelle relazioni sopra scritte ci si può limitare a considerare L > O O. Facendo uso dei simboli +oo e - oo si può quindi affermare che ogni

l'
O} , allora sup A = + oo,

(6.9)

inf A = O

ed il massimo e minimo di A non esistono. Se B ={(n - 1)/n:nE Nl (l'insieme B è schematizzato in figura 1.5), risulta

1 = sup B

O= minB

o

2 3

1 2

3 4 4 5

Figura 1.5

(6.10)

sup B = l,

inf B = min B =O.

Se infine C= {(n+ 1)/n: n E N}) (si veda la figura 1.6), si trova (6.11)

1- inf C n+ 1 ) 111111 6l 5l -n5 4

su p C = max C = 2, inf C = l.

4

3

3

2 Figura 1.6

2= maxC l ~ 2

CAPITOLO 2 LE FUNZIONI REALI

7. Funzioni e loro proprietà

Consideriamo un insieme A di numeri reali. Indicando come nel paragrafo 2 con R l'insieme dei numeri reali, ad esempio consideriamo l'insieme (talvolta diremo il sottoinsieme) dei numeri positivi (7.1)

A = {x

x > 01

R:

E

Oppure consideriamo un intervallo di estremi a e b (a, b sono due numeri reali fissati, con a< b), intendendo con ciò l'insieme di tutti i numeri reali compresi fra a e b; più precisamente scriveremo A= Ca, b), oppure A = [a, b), dove (7.2)

(a, b)

= {x

(7 . 3)

[a, b)

= {x E

E

R: a < x < b) R: a

~

x

~

bi

sono gli intervalli di estremi a, b, nel primo caso con gli estremi a, b esclusi, mentre nel secondo caso a, b sono inclusi nell'insieme A. È talvolta utile anche la notazione [a, + "") per indicare l'intervallo di numeri reali di primo estremo (compreso) a, illimitato a destra, della forma (7.4)

[a, + oo)

= {x E

R:

x~

a}

18

Cap itolo 2

o quella analoga per l'intervallo (a, + oo), quando il primo estremo non è compreso. Notazioni analoghe si hanno per gli intervalli illimitati a sinistra C- oo, b), C- oo , b). Siano A, B due insiemi di numeri reali. Una funzione definita su A con valori in B è una legge che ad ogni elemento di A fa corrispondere un elemendo di B (ed uno solo) . Se indichiamo con la Ietterà f tale funzione, utilizzeremo anche il simbolo y = f(x), intendendo che la funzione f fa corrispondere ad ogni elemento x E A un elemento y E B. Si dice che x è la variabile indipendente, mentre y è la variabile dipendente. Si dice inoltre che l'insieme A è il dominio (o insieme di definizione) della funzione f. Simboli equivalenti per indicare la funzione f sono f(x), oppure f: A~B. che si utilizzano, nel primo caso quando non è necessario indicare esplicitamente la variabile dipendente y, mentre nel secondo caso quando è opportuno denotare esplicitamente il dominio della funzione. ESEMPIO l . Un esempio di funzione è il seguente x- l f(x ) = - - . 2

( 7 .6 )

La funzione f(x) è definita (calcolabile) per ogni x e R; pertanto il suo dominio è tutto R. n lettore sa come rappresentare il grafico di una funzione in un sistema di assi cartesiani. In particolare per la funzione f(x), definita in ( 7 .5 ), utilizziamo l'espressione equivalente y = ex- l ) /2 . Il grafico si esegue facilmente , trattandosi di una retta; basta infatti determinare due punti di tale retta. Si possono fissare due distinti valori della variabile indipendente x, determinando in conseguenza i corrispondenti valori y ; una scelta è, ad esempio,

( 7 .6 )

x=O

o- l l y = f(O) = - 2- = -

( 7 .7 )

X=2

y = f(2) = - - = -

2,

2 - l

l

2

2

o

Si ottiene il grafico in figura 2 .1, in un sistema di riferimento di assi x , y . n lettore può notare anche la scelta della variabile indipendente x = l , che fornisce il valore f( l ) = O; in corrispondenza il grafico della funzione y = f(x ) interseca l'asse delle x .

y

x

Figura 2 . 1 ESEMPIO 2 . Un altro esempio di funzione è il seguente (7 .8)

f(x)

=x 2

.

y

-2

_,

x

2

Figura 2 .2 Anche questa funzione f(x) è definita per ogni x E R; quindi il suo dominio è tutto R. Calcoliamo alcuni valori della funzione, secondo la seguente tabella

x f(x)

o o

l

-l

2

-2

3

-3

4

l

l

4

4

9

9

16

e rlportl.a.mo 1 valori in un riferimento ca.rtesla.no, come 1n figura. 2.2 . SI ottiene come grafico della. funzione f(x) la. ben nota. pa.ra.bola. rivolta. verso l'alto, con vertice nell'origine degli a.ssi. ESEMPIO 3. Un terzo esempio d1 funzione è

n seguente

l

f(x) = - .

(7 .9)

x

A differenza. delle funzioni considerate negli esempi precedenti, questa. funzione f(x) non è definita. per ogni x e R; infatti il suo dominio è costituito dall'insieme (x e R: x~ 01. Calcoliamo alcuni valori della. funzione ra.ppresenta.ndoU con la. seguente tabella. x

l

2

l/2

l/4

-l

-2

-3

-1/2

f(x)

l

1/2

2

4

-l

- 1/2

- 1/3

-2

e riportl.a.mo 1 va.lorlin un riferimento ca.rtesia.no, come in figura. 2.3, ottenendo come grafico della. funzione f(x) l'iperbole equilatera., avente come asintoti gli a.ssl ca.rtesia.nl, x, y . y

2

1

2

x

2

Figura. 2 .3

Diremo che la corrispondenza stabilita dalla funzione f tra due insiemi A, B è biunivoca se, non solo ad ogni x E A corrisponde un valore (ed uno solo) y E B, ma anche per ogni y E B esiste un valore x E A (ed uno solo) tale che f(x) = y. In tal caso diremo anche che la funzione f: A~B è invertibile.

Inoltre, se la corrispondenza determinata dalla funzione f fra A e B è biunivoca, e quindi se f: A~B è invertibile, si può definire la funzione inversa di f, indicata con il simbolo I 1 , che ad ogni y E B associa l'unico x E A tale che f(x) = y. In simboli ciò equivale a scrivere (7.10)

~

x= r 1(y)

y = f(x).

Notiamo anche che I 1 è una corrispondenza fra B ed A, cioè, ancora in simboli, I 1 : B~A. Ad esempio, la funzione f(x) =ex- 1)/2, definita in (7.5), stabillsce una corrispondenza biunivoca fra A= Re B = R; infatti, fissato y E R, si ricava n corrispondente unico numero x E R (1 fac111 passa.ggi sono lasciati al lettore) x-l y = - 2-

(7 . 11)

~

x = 2y + l.

Pertanto la funzione f(x) =(x- 1)/2 è invertibile su Re la funzione inversa è -l data da f (y) = 2y + l. Al contrario, la funzione f(x) = x 2 , definita in (7.8), non stabillsce una corrispondenza biunivoca fra l'insieme A= Re l'insieme B = (y E R: y ~ 0} = [0, + oo); infatti, fissato y E B, si ricavano i corrispondenti valori di x E R (7.12)

y=x 2

~ x=±..JY;

si trovano quindi due valori distinti per x E R per ogni y E B con y '# O (un solo valore solo se y = 0). La corrispondenza fra i due insiemi A e B, stabilita dalla funzione f(x) = x 2 definita in (7.8), non è quindi biunivoca e f(x) non è invertibne sull'insieme A= R. Se però restringia.mo n dominio di definizione, limitandoci all'insieme A 1 ={x E R: x ;:: 0} = [0, + oo), allora la corrispondenza fra l'insieme A 1 e l'insieme B, mediante la legge f(x) = x 2 , f: A 1 ~B. risulta biunivoca perché ad ogni y E B corrisponde il solo valore di x E A 1 dato da x= -./Y; in formule : ( 7.13)

y = x2 , x

E

A 1 ={x E R: x~ 01

x = + y .

In figura 2 .4 sono schematizzati i grafici delle nuove corrispondenze fra x e y,

mediante lafunzioney = f(x) = x 2 , con x E A 1, e la funzione inversa x= 1 1 (y) = -./Y. -l Si noti in particolare che i grafici delle due funzioni f(x) e f (y) sono costituiti da archi di parabola (''metà" parabola) ottenuti limitando la variab111tà della x all'insieme A 1 = {x E R: x ~ 0}.

y

x

A,

'

'' x

A,

y

''

Figura 2.4

8. Funzioni monotòne Con riferimento ai grafici in figura 2 .5, relativi in entrambi i casi ad una funzione f: A---+B, si evidenzia nel primo grafico che la funzione f è crescente, mentre nel secondo grafico è rappresentata una funzione f decrescente.

B

f (x2) f (x,)

B

f (x,) f (x2)

x,

x,

x2

A

x2

A

Figura 2.6

Precisamente, si dice che una funzione f: scente sull'insieme A se (8.1)

A~B

è monotòna. cre-

Le funzioni reati

V si legge per ogn1). Analogamente una funzione f: monotòna decrescente sull'insieme A se

(il simbolo

23

A~B

è

(8.2)

Una funzione f: A~B che verifica una delle due condizioni sopra scritte per ogni coppia di punti X~o x 2 E A si dice monotòna sull'insieme A . Se poi vale anche la disuguaglianza stretta f(x 1) < f(x 2 ) per ogni coppia di punti x 11 x 2 E A, con x 1 < x 2 , si dice chef è monotòna strettamente crescente sull'insieme A, o più semplicemente, chef è strettamente crescente su A . Naturalmente, nel caso in cui f(x 1 ) > f(x 2 ) per ogni x 1 , x 2 E A, con x 1 < x 2 , f è strettamente decrescente su A.

Si noti che l'unica funzione che su di un insieme A risulta allo stesso tempo crescente e decrescente è la funzione costante su A, cioè la funzione f(x) = c, che assume un valore costante c E R per ogni x E A. Ad esempio, la funzione f(x ) = (x - l ) /2, considerata nell'esempio l, è monotòna strettamente crescente su A= R; infatti per ogni coppia. di punti x 1 , x 2 E R, con x 1 < x 2 , risulta ( 8 .3 )

x 1 - l x2 - l -- fCx 2 ) ed f(x) è strettamente decrescente. Infine, se m = O, la funzione f(x) q è costante (ed 11 suo grafico è una retta orizzontale). Queste proprietà d1 monotonia sono schematizzate in figura 2. 7.

=

La funzione vBJore assoluto è indicata con il simbolo f(x) = l x l ed è definita, per ogni x E R, dalla formula

(9.4)

lxi={

x

-x

se x ~o se x< O ·

Quindi la funzione valore assoluto f(x) = l x l è uguale a y = x quando x~ O. n suo grafico in questo caso è la semiretta di equazione

26

Capitolo 2

y

y

y

q

x

x

x

Figura. 2 . 7 - f(x) = mx + q

y = x, perché occorre tener conto della limitazione x ;::: O (si veda la figura 2.8). Invece f(x) = l x l è uguale a y = -x quando x < O. n suo grafico in questo caso è la semiretta di equazione y = - x, con la limitazione x< O (si veda la figura 2.9). Unendo i due casi si ottiene il grafico completo della funzione valore assoluto in figura 2.10. y

,

y

x

, ,,

'

Figura. 2.8

''

'

'

Figura. 2 .9

La funzione potenza con esponente n intero positivo (n

(9 .5)

x

f(x)

=X

E

N)

0 ,

non è altro che la moltiplicazione del numero reale x per se stesso n volte. Qualunque sia n E N, la funzione potenza è quindi definita per ogni x E R. Il valore f(x) = X 0 è positivo se x> O, mentre se x< O

y

x

Figura 2 . 10

il risultato f(x) = X 0 è positivo se n è pari (ad esempio f(x) = x 2 , per n= 2), ma è negativo se n è dispari (ad esempio f(x) = x 3 per n- 3, oppure con f(x) =x con n= l). Per n= l, 2, 3, i grafici delle funzioni f 1 (x) = x 1 = x, f 2 (x) = x 2 , f 3 (x) = x 3 , sono rappresentati in figura 2.11 .

x

Figura 2.11

In particolare come già osservato nel paragrafo precedente, la funzione f(x) = x 2 non è invertibile su tutto l'asse reale. Così pure la funzione potenza f(x) = r per ogni n pari (invece X 0 risulta invertibile su tutto l'asse reale se n è dispari).

28

Capitolo 2

Pertanto, quando si considera la funzione potenza con esponente n E N generico (pari e dispari), nell'esaminare l'invertibilità di tale funzione si conviene di restringere l'insieme di definizione all'intervallo [0, + oo) ={X E R: x~ 0}. In tale intervallo la funzione potenza f(x) = xn è strettamente monotona ed invertibile, ed il legame inverso fra le variabili x, y è dato da (9.6)

si noti come sia stato scelto il segno più (x = + n y invece di x =± ~) anche quando n è pari, a causa della limitazione x~ O. Si dice quindi che la funzione potenza f(x) = xn è invertibile per x ~ O e che la funzione inversa è la radice n-sima, indicata con 11 simbolo (9.7)

In figura 2.12 sono rappresentati i grafici delle funzioni potenza e radice n -sima.

y

y

y=x"

x y=\[X=x

1/n

Figura. 2.12 Osserviamo esplicitamente che, per n dispari, la. funzione radice n-sima. può essere definita. per ogni x E R, assumendo chef- l (-y) =- f - 1 (y) . n valore f- l (y) = y 11 n, per n dispari, è quindi positivo se y > O, mentre è negativo se y < O. In ta.l modo, se n è dispari, la. funzione potenza. f(x) = xn risulta.invertibtle su tutto l'asse reale e la. sua. inversa. è f - 1(y) = y l/n per ogni y E R.

Le funzioni reali

29

Tali definizioni (delle funzioni potenza e radice n-sima) si possono interpretare, in un contesto unificante, parlando di funzione potenza xb con esponente b reale; in formula (9.8)

f(x) = xb ..

Con tale notazione i casi precedenti si ottengono quando b = n (funzione potenza con esponente intero positivo) e per b = l /n (funzione radice n-sima). Rientrano però in questo contesto, ad esempio, anche le potenze con esponente negativo. Ad esempio, se b = - l, si ottiene la funzione f(x) = x- 1 = l /x, che ha per grafico l'iperbole rappresentata in figura 2.3. Ma, secondo la convenzione di considerare solamente i numeri reali x positivi, in questo contesto diremo che la funzione f(x) = x- 1 ha per grafico un ramo di iperbole, limitata dalla condizione x> O. Dato che b è un generico numero reale (come già detto, in caso, anche negativo), l'insieme di definizione della funzione potenza con esponente reale f(x) = xb, invece che uguale a [0, + oo) =(x E R: x~ 0}, per convenzione si assume uguale a (0, + oo) =(x E R: x> 0}. Tre grafici della funzione potenza con esponente reale f(x) = xb, in corrispondenza ai tre casi b > l, O < b < l, b < O, sono rappresentati in figura 2.13. n lettore pensi ad esempio ai valori b = 2, b = l /2, b =-l.

Figura 2 . 13

La funzione esponenziaJe, avente come base il numero reale positivo a, si indica con il simbolo

(9.9)

30

Capitolo 2

Allo scopo di disegnare 11 grafico della funzione esponenziale per qualche valore della. base a> O, consideriamo preliminarmente ad esempio 11 caso a = 2. 8i ottiene la seguente tabella. x f(x)

= 2x

l

2

3

o

2

4

8

l

8i noti che tutti i valori della funzione (sia che x sia positivo, che negativo, ed anche nullo) sono positivi. Riportando i valori in un riferimento cartesiano come 1n figura 2 .14, otteniamo "per punti" 11 grafico della funzione f(x) = 2x. La "positività " della funzione corrisponde ad un grafico "al di sopra." dell'asse x.

-2

-1

2

x

Figura. 2 . 14

La funzione 2x è strettamente crescente su R; così pure la funzione esponenziale a x quando la base a è un numero reale maggiore di l.

Al contrario, se la base a è un numero reale positivo e minore di 1, allora la funzione esponenzialè è strettamente decrescente su R; infatti, ad esempio, per a= 1/2 si ottiene la funzione (9.10)

f(x) =

(!J = _!_ = 2-x 2 2x

e, 1n corrispondenza, la seguente tabella ed 11 grafico 1n figura 2.16.

y=( ~ )•

-2

-1

2

x

Figura 2 . 15

x f(x)

= 2-x

l

1/2

2 1/4 l

1~8

l

o

-l

-2

-3

-4

l

2

4

8

16

Riassumendo le proprietà di monotonia della funzione esponenziale f(x) = ax, tale funzione risulta strettamente crescente su R se a > l , mentre è strettamente decrescente su R se O < a < l . Si noti che, se a = l, la funzione f(x) = l x è costante, identicamente uguale ad l.

Se a* l, la funzione esponenziale y = aX, come applicazione fra l'insieme A= (x e R} e l'insieme B = (y > 0} è invertibile. La. funzione inversa è definita sull'insieme dei numeri reali positivi B ed ha valori in A = R. La. funzione inversa della funzione f(x) = ax si chiama logB.I'itmo in base a e si indica con il simbolo ! 1(y) = lo~y. Ciò equivale a scrivere (9.11)

Per evidenziare il ruolo della variabile indipendente, spesso si invertono i simboli x e y e si usa la notazione y = lo~x; naturalmente con questi simboli risulta (9.12)

La funzione logB.I'itmo y = lo~x Ccon base a maggiore di zero e diversa da l) è quindi definita per x> O. Utilizzando le corrispondenti proprietà della funzione esponenziale, si verifica che la fun-

32

Capitolo 2

y

y

y=log 8 x, 0 l, mentre è una funzione strettamente decrescente se O < a < l. I grafici nei due casi sono schematizzatiin figura 2.16 e si possono ottenere dai grafici della funzione esponenziale, rappresentati in casi particolari nelle figure 2.14 e 2.15, scambiando fra loro gli assi orizzontale e verticale. Un ruolo speciale viene assunto dalla funzione logaritmo Ced in corrispondenza anche dalla funzione esponenziale) quando la base a è uguale al numero di Nepero e, definito nel paragrafo 13, che è un numero reale compreso fra 2 e 3 e la cui espressione decimale approssimata è data da e = 2, 71... In tal caso si suole omettere l'indicazione esplicita della base e si utilizzano i simboli, fra loro equivalenti, log,x = log x. Dato che il numero e è maggiore di l, log x ed ex (cioè il logaritmo e l'esponenziale con base e) sono funzioni strettamente crescenti. Per permettere al lettore che li incontra. per la prima. volta di fa.mllla.rizza.re con i logaritmi consideriamo, a.d esempio, i seguenti valori loga.ritmici (9.13) Utillzza.ndo la relazione (9.12), a.bbia.mo

Le funzioni reali

33

(9. 14)

da. cui, essendo 2 3 = 8, si ottiene y = 3. Quind1lo~8 = 3. Analogamente risulta.loft42 = l/2,lo~(l/3) =- l,lo&tl =O. Mentre log 100nonesiste (od anche, non è definito) perché se esistesse un numero reale y = log 100, allora. l'equazione l oY = Odovrebbe essere soddisfatta. da. tale valore y E R, contrariamente a.l fatto che a.Y (ed anche loY) è una. funzione positiva., cioè a.Y> o (in particolare a.Y ~ 0) per ogni y E R. n lettore ricordi, come già. detto, che la. funzione lo~x è definita. per x > O. In particolare non è definita. per x =O e per x negativo.

Le funzioni trigonometriche senx, cosx, tgx dovrebbero essere già note al lettore. Infatti molti studenti hanno a lungo studiato la trigonometria nei loro corsi di studio di scuola secondaria; chi invece non avesse avuto l'occasione in precedenza, potrà trovare di seguito alcuni dettagli elementari. La. misura. d1 un angolo sarà. in genere espressa. in radianti. Con riferimento alla. figura. 2.17 la. misura. d1 un angolo in radianti si ottiene considerando una. circonferenza. d1 raggio l, di centro nel vertice dell'angolo, e misurando la. lun· ghezza. dell'arco d1 circonferenza. a. partire dall'asse delle ordinate, in senso antio· ra.rio (avendo fissato tale orientamento, talvolta. parleremo d1 angoli orientati).

Figura. 2. l 7 Quindi, a.d esempio, la. misura. in ra.dia.nti dell'angolo giro, è uguale a.lla. lun· ghezza. dell'intera. circonferenza.; avendo fissato il raggio uguale a.d l, tale lun· ghezza. vale 21rr = 21t. Pertanto la. misura. in radianti dell'angolo giro (che in gradi corrisponde a. 360°) è pari a. 21t. Con successive suddivisioni, si verifica. subito che la. misura. in radianti dell'angolo piatto è uguale a. 1t, mentre la. misura. in ra.dia.nti dell'angolo retto vale 1t/2.

34

Capitolo 2

La funzione seno, indicata con il simbolo senx, è definita per ogni valore dell'angolo (o argomento) orientato x, espresso in radianti. Con riferimento alla figura 2.18, assegnato un angolo orientato x, il valore sen x è l'ordinata del punto P che si trova sulla circonferenza di centro nell'angolo e raggio l, che sottende l'angolo x.

Figura 2 .18

A titolo esemplificativo, utilizzando la definizione, si ottiene la seguente tabella, ed in corrispondenza, il grafico in figura 2.19. x f(x)

= sen x

o o

rt/2

1t

3rt/2

21t

6rt/2

3rt

7rt/2

l

o

-l

o

l

o

-l

y

x -1

Figura 2.19

Una proprietà. evidente, conseguente dalla definizione e ben visibile nel grafico in figura 2.19 (si vedano i valori sull'asse y), è che

Le funzioni reali

35

tutti i valori della funzione senx sono compresi fra -l ed l; in formula: (9.15)

-l~

sen x~ l,

'v'XE

R.

La funzione coseno, indicata con il simbolo cos x, è definita per ogni valore dell'angolo Co argomento) orientato x, espresso in radianti. Con riferimento alla figura 2.20, assegnato un angolo orientato x, il valore cos x è l'ascissa, del punto P che si trova sulla. circonferenza. di centro nell'angolo e raggio l, che sottende l'angolo x.

x radianti

cos x

Figura 2.20

Utilizzando la definizione, si ottiene la seguente tabella, ed in corrispondenza, il grafico della. funzione coseno in figura. 2. 21 .

f(x)

x

o

rt/2

1t

3rt/2

2rt

6rt/2

3rt

7rt/2

= cos x

l

o

-l

o

l

o

-l

o

Come per il seno, tutti i valori della. funzione cos x sono compresi fra -l e + l. Cioè (9.16)

-l~

cos x~ l,

'v'XE

R.

Una relazione importante che lega le due funzioni seno e coseno è conseguenza del teorema di Pitagora, a.ppllca.to al triangolo rettangolo avente uno dei due angoli non retti di misura. x (consideriamo in questa sede soltanto il caso in cui l'angolo x sia. compreso fra. O e rr./2, anche se il risultato vale in generale). Se in un tale triangolo

36

Capitolo 2

y

x -1

Fl.gura 2.21

scegliamo l'ipotenusa di lunghezza l , allora possiamo utilizzare le definizioni di sen x, cos x, date precedentemente; ne risulta che i due cateti sono lunghi appunto sen x, cos x, come in figUra 2.22.

sen x

cos x Flgura 2.22

Per il teorema di Pitagora vale la relazione fondamentale (9.17)

sen2 x + cos2 x = l,

V'xeR.

Altre relazioni importanti sono le cosiddette formule di addizione (9.18)

Le funzioni reali

37

(9.19) La. funzione ta.ngente è definita. dalla relazione

senx

(9 .20)

tg x= cos x ·

Dato che 11 denominatore deve risultare differente da zero, la funzione tangente è definita. per ogni numero reale x diverso dai valori che annullano la funzione coseno, che sono 1t/2, 31t/2, ... , ed anche i valori negativi-1t/2, -31t/2, .. . , ecc. In formula compatta si scrive che la funzione tangente è definita. per ogni numero reale x tale che (9.21)

'v'ke Z.

n grafico della funzione tangente è rappresentato in figura 2 .23. Si notino i valori x=± 1t/2, ± 31t/2, ... , ecc, dove la funzione tangente non è definita. y y =tg x

x

Jtl

-!· l

Figura. 2 .23

Una relazione importante che coinvolge la funzione tangente si può dedurre dal disegno in figura 2.24. Si considera un angolo compreso fra O e 1t/2, che esprime la lunghezza dell'arco di circonfe-

38

Capitolo 2

renza disegnato in figura 2.24, di centro l'origine e raggio l. n segmento AP ha lunghezza pari a sen x. Infine la lunghezza del segmento BT vale tg x; infatti, per le proporzioni che valgono nel caso di triangoli simili, risulta BT = BT/OB = AP/OA = sen x/cos x= tg x.

o

cos x

A

B

Figura. 2.24

Si ottiene la seguente catena di disuguaglianze, che esprime il fatto che l'arco x ha lunghezza compresa tra le lunghezze del segmento AP e del segmento BT (9.22)

O < sen x < x < tg x,

CAPITOLO 3 LIMITI DI SUCCESSIONI

1O. Introduzione ai limiti di successioni

Una successione è una funzione definita sull'insieme N dei numeri naturali, con valori in R . Con le notazioni relative alle funzioni, introdotte nel paragrafo 7, una successione f si può rappresentare con il simbolo f: N---+R. Se n e N è la variabile indipendente, i valori della successione possono essere denotati con il simbolo f(n), od anche, più esplicitamente, con la seguente tabella ne N f(n)

E

R

l

2

3

4

6

f(l)

f(2)

f(3)

f(4)

f(6)

... .. .

n

...

f(n)

...

È però consuetudine rappresentare il valore generico f(n) di una

successione, corrispondente al numero naturale n, con un indice nel modo seguente; ad esempio &n oppure bn oppure Cn e così via. Quindi la precedente tabella diviene nE N &n

E

R

Consideriamo gli esempi seguenti

6

n

40

Capitolo 3

(10.1) (10.2) (-l)n

(10.3)

Cn= - - .

n

Calcoll&mo alcuni termlnl della successione &n = (n + 2) /2n 1n (l O.l). Ponendo n= l si ottiene a. 1 = (l + 2)/2 = 3/2. Per n= 2 ottenia.mo a.2 = (2 + 2)/(2 · 2) = l, eccetera.. Per n= 100 a.bbia.mo a. 100 = (100 + 2)/(2 · 100) = 61/100 = 0,61, mentre risulta. a. 1000 = (1000 + 2)/(2 · 100) = 601/1000 = 0,601. Vale quindi la. seguente tabella. n e N

l

2

3

&n = (n + 2)/2n

3/2

l

6/6

... ...

100

...

1000

.. .

0,61

...

0,601

.. .

Rappresentiamo su di un asse i valori trovati, come 1n figura. 3.1.

1

o l

2 4111 l l l a,ooo

14

3

5

2

6

l 83

82

a,

•

Figura. 3 . 1 Aumentia.mo ulteriormente il valore dell'indice n; risulta. a.d esempio a. 10 .000 = 0,6001, a. 100.000 = 0,60001. Dalla. figura. 3 .1 e dalle espressioni numeriche trovate si nota. che il valore di &n s1 avvicina. al numero l /2 = 0,6 tanto più quanto più n è grande.

n limite per n che tende a.ll'infinito (si scrive n-Hoo) della. successione &n definita. in (10.1) è uguJ.e a. 1/2; in simboli (10.4)

11m &n= lim n+2 = _ 21. n--++~ 2n

n--H ~

Ciò significa. che, qualunque sia. l'interva.llo Cl /2 - E, l /2 + E), in ta.le interva.llo cadono tutti i valori &n della. successione, purché l'indice n sia. sufficientemente grande. In figura. 3.2 sono schema.tlzza.ti tre interva.lli Cl /2 - E, l /2 + E), per tre differenti valori di E.

Limiti di successioni

1

t+E

2

a1ooo

t+E

as

1

n>v=2

aa

a2

t+E

2

a1ooo 1

~

n>v=5

as

~

aa

a2

1

2-E-.... .....-2+E 81000

41

n>v=1000

as

~

aa

a2

FigUra 3.2

Consideriamo 11 caso generico di limite a. e R. La. condizione geometrica. di appartenenza. di &n a.ll'interva.llo (a.- E, a.+ E) si esprime anaJ.itica.m.ente con le disuguaglianze a.- E< &n< a.+ E. La. condizione che l'indice n debba essere sufficientemente grande si esprime con una disugua,glianza del tipo n> v, dove v è un numero da determinare in dipendenza del valore E positivo fissato (v è tanto più grande quanto più e è piccolo). La. definizione formale di 11mite (finito) di successione è la. seguente: una successione &n converge s.d un numero rea.le a (equivs.lentemente, &n tende s.d a, oppure ha limite ugua.Je s.d a.), e si scrive (10.5)

11m &n= a. (oppure &n~ a.),

n-H·oo

se, qua.lunque sia 11 numero positivo denza un numero v tale che

(10.6)

S.- E

E

fissato, esiste in corrispon-

< 8.n < a+

E,

per ogni n> v. Consideriamo ora la successione bn = (n - 3)/n 1n (l 0 .2). Ponendo n = l si ottiene b 1 = (l - 3)/ l =- 2. Per n= 2 risulta b 2 = (2- 3)/2 =-l /2, e cosi via. Per n= 100 abbiamo b 100 = (100- 3)/100 = 0,97, mentre per n= 1000 risulta b 1000 = (1000- 3)/1000 = 0,997. Otteniamo la tabella ne N

l

2

3

...

100

...

1000

...

bn =(n- 3)/n

-2

-1/2

o

...

0,97

...

0,997

...

Rappresentiamo su d1 un asse i valori trovati, come 1n figUra 3.3.

42

Capitolo 3

-2

o

-1

l

l

..

111111•a

b, FigUra 3 .3 Aumentando l'indice n si trovano, ad esempio, i valori b 10 . 000 = 0,9997, a 100.000 = 0,99997. Dalla. figUra 3 .3 e dalle espressioni numeriche trovate si intuisce facilmente che &n è vicino al numero l, tanto più quanto più n è grande.

Con la definizione data. precedentemente si può verificare che il limite per n~+ oo della successione bn definita. in Cl 0.2) è uguale a l; in simboli 11m bn

(10.7)

O -+ + ~

= 11m n n- 3 = l. O -+ + ~

Infine prendiamo in considerazione la successione in Cn = (- 1)0 /n in (10.3). Per n= l si ottiene c 1 = (- 1) 1 /l=- l. Per n= 2 abbiamo c,a = (- 1) 2 /2 = + 1/2. Per 100 n = 100 si ha c 100 = 0). Si ha.

Ponendo v= ma.x (v 1 , v2 } , le relazioni sopra scritte valgono contemporaneamente e si ha (si usa la disuguaglianza triangolare l x 1 + x 2 l ~ l x 1 l + lx 2 l ) : l a.- b l = l Ca- &n)+ C&n- b) l ~ (10.30)

~

la-&nl + l&n-bl =

= l&n-al + l&n-bl v. Quindi · (11.4)

IB.n l = l (Sn- a)

+a l

Ma allora, per ogni n

E

~ IB.n-

a l + la l < l + la l ,

'v'n>v.

N, si ha:

(11.5) 12. Teoremi di confronto

Studiamo in questo paragrafo alcune rèlazioni tra limiti e ordinamento.

48

Capitolo 3

TEOREMA DELLA PERMANENZA DEL SEGNO. - Se 11m &n = a > O , esiste un numero v tale che B.n > O per ogni n > v. n-++-

Dimostrazione: dato che a> O, possiamo scegliere E= a/2. Esiste quindi un numero v per cui 1&n- a l < a/2 per ogni n > v. Ciò equivale a - a/2 < &n- a< a/2. In particolare abbiamo

a

(12.1)

a

&n > a- 2 = 2 > O,

COROLLARIO. -

\in> v.

Se 11m &n = a , e se 8.n ;;::: O per ogni n, allora n-++-

anche a;;::: O.

Dimostrazione: se per assurdo fosse a< O, 11 teorema della permanenza del segno, applicato alla successione- s.n. comporterebbe che an< O per n grande. COROLLARIO. - Se 11m &n = a, 11m bn = b , e se B.n 2: bn per ogni n-++-

n-++oo

n, allora a ; : : b. Per ottenere la dimostrazione d1 quest'ultimo corollario, basta applicare 11 corollario precedente alla successione B.n- bn. Possiamo schematizzare i risultati ottenuti nel modo seguente (si noti la differenza tra 1 segni> e 2:): (12.2)

&n ~ a,

a> O

(12.3)

&n ~ a,

&n ; : : O \i n

~

\in> v;

3v: &n > O, E

N

~

a;;::: O;

(12.4) TEOREMA DEI CARABINIERI. tali che

(12.5)

Siano B.n, bn. Cn tre successioni

\in E N.

Se 11m &n = 11m bn = a , allora anche la successione Cn è convergente n-++oo

e

11m n-++-

n--;+-

Cn

=a.

Limiti di successioni

Dimostrazione: per ipotesi, per ogni

E

49

>O

(12.6) Ricordiamo che le disuguaglianze con 11 valore assoluto si possono anche scrivere (12. 7)

a- E < B.n < a+

t;

a- t < bn < a + t.

Quindi, se n> v= max {v 1 , v 2 l, risulta (12.8) Perciò l cn - a l < t per ogni n > v, come volevasi dimostrare. Valgono analoghi teoremi di confronto anche per i limiti infiniti: (12.9) (12.10) Dimostriamo la (12.9) (la prova della (12. 10) è analoga): per ipotesi ~ ~ + oo che, per la definizione di limite, significa: (12.11)

V'M > O, 3 v: B.n > M,

V'n> v.

Dato che bn ~ 8.n per ogni n e N, si ottiene la tesi (12.12)

V'n> v.

13. Proprietà principali e limiti notevoli di successioni RiprencU.a.mo 1n considerazione l& successione (n+ 2)/2n 1n (10.1). Con l& scomposizione della frazione 1n somma d1 due frazioni otteniamo n+ 2 l l - = - +- · 2n 2 n'

(13.1)

-

è chiaro che l& successione costante &n = l /2

ne N

l

2

3

100

8.n = 1/2

1/2

1/2

1/2

1/2

50

Capitolo 3

converge al numero l/2. È anche semplice verificare che la successione bn = l/n ne N

l

2

3

...

100

.. .

1000

bn = l/n

l

l/2

1/3

.. .

0,01

..

0,001

... ...

converge a zero. n limite della successione (n + 2)/2n è quindi ottenibile come somma dei limiti delle due successioni &n= 1/2 ~ l/2 e bn = l/n-+ O, cioè (13.2)

&n+b 0 -+ l/2+0= l/2,

riottenendo il valore del limite della successione (n + 2)/2n, già. determinato in (10.4).

Enunciamo in generale la. proprietà util1zza.ta. nell'esempio precedente, relativa. a.lla. somma di due successioni. La. proprietà va.le anche per le operazioni di differenza, prodotto e quoziente Ccon denominatore non nullo). OPERAZIONI CON I LIMITI. - Se 8.n e bn sono due successioni convergenti, con B.n---+ a., bn ---+ b Ca., be R), sJlora anche (13.3) (13.4) (13.5) (13.8) Si noti che, nelle operazioni con i limiti sopra enunciate, si suppone che i valori limite a, b siano numeri reali, cioè non siano +oo né --oo, Ad esempio, l'espressione formale +oo- ( +oo) = +oo- oo non è "semplificabile" e non permette di scrivere+-- oo

= 01 Infatti con il simbolo +- - ( +oo) si intende la differenza di due successioni &n e bn divergenti a +oo e la corrispondente successione Cn = &n - bn può avere diversi comportamenti al limite. D1 seguito sono elencati alcuni casi di successioni divergenti a+-, la cui successione differenza ha limiti diversi (13.7)

8n = n 2 -+ +oo, bn = n 2 + 7 -+ +oo

=>

&n-

(13.8)

&n = n2 -+ +oo, bn = n 2+ 7 ~ +oo

=>

B.n- b 0 = 13

(13.9)

&n = n 2 -+ +oo, bn = n 2 + n -+ +oo

=>

8n - bn = - n-+

(13.10)

&n = n 2 + n -+ +oo, bn = n 2 -+ +oo

=>

8n - bn = -

b 0 =- 7-+- 7, ~

13, --oo,

n~ --oo,

Limiti di successioni

51

od a.nche 11 limite della differenza può non esistere

(per verificare 1n ( 13. 11) che &n = n 2 + (- l )n --+ +oo si osservi che (- l )n = - l per n dispari, mentre (- l )n= l per n pari; quindi per ogni n E N risulta (-l )n~- l, da cui 2

&n= n + (- l)

n

2

~n

- l

--+ +oo) .

Esempi a.naloghi si possono costruire a.nche per la somma, 11 prodotto ed U quoziente; per U quoziente 1n particolare risulta indeterminato a.nche U caso 0/0.

Risultano quindi escluse dalle operazioni con i limiti sopra. enunciate le seguenti FORME INDETERMINATE.- Bi dicono forme indeterminate, cioè a cui non si applicano le operazioni con i limiti, le seguenti espressioni:

(13.12)

oo- oo 1

O· oo 1

oo/oo,

0/Q.

Tenendo in conto di qua.li sia.no le forme indeterminate (13.12), si può invece osservare che per alcuni limiti infiniti si possono subito da.re i risultati delle operazioni. Ad esempio, se 8.n 8.n + bn ~ + oo,

~

+

oo,

bn

~

+

oo,

a.llora. evidentemente

Se 8.n ~a.> O, bn ~ + oo, a.llora. 8.n · bn ~ + oo, Se 8.n ~a< O, bn ~ + oo, a.llora. 8.n · bn ~- oo. Si noti a tal proposito che l'espressione an~ O, bn ~ +oo è elencata in (13.12) fra. le forme indetermina.te, proprio perché non è possibile applicare alcuna. proprietà generale per dedurre, in questo ca.so, il limite del prodotto 8.n · bn, ma occorre invece eseguire semplificazioni per poter giungere a.l risultato del limite del prodotto. Riprendiamo 1n considerazione la successione 1n (l 0 .3) (13.13)

(- l)n Cn= - - .

n

Essendo (- l )n=- l per n dispari, (- l )n= l per n pari, per ogni n S (- l)n S l, da cui :

) !Jt

~\>t ': l ·.~.T/';

E

N risulta- l

52

Capitolo 3

l n

(13.14)

(- l)n n

l n

V n e N.

- - :s; - - :s; -

Indlca.ndo con &n = - l /n, bn = l /n, risulta (13.16) e ta.ll cond1zion11mpllca.no che anche per la successione intermedia si possa calcolare il limite Cn ~O, concordemente con quanto avevamo già trovato 1n (10.8), ed anche conformemente al teorema dei carabinieri.

Sia. b un numero reale fissato. La. successione potenza è da.ta. da. nb (medla.nte U simbolo &n, utillzza.to per rappresentare una. generica successione, dovremmo scrivere &n= nb). Vediamo due esempi, per b = 2 e per b = - l. Nel primo caso abbiamo ne N

l

2

3

l

4

9

e si vede facilmente che la successione diverge a +oo. Del resto, come limite d1 un prodotto, per n ~ +oo risulta n 2 = n · n ~ + oo. Nel secondo caso abbiamo ne N

l

2

3

...

100

l/n Cb=- l)

l

1/2

1/3

...

0,01

... ...

.. .

1000 10-3

e si tratta della già nota successione l /n, che converge a zero per n

~

+

... oo .

n risl.,llta.to dipende da.ll'esponente b ed è diverso se b >O, oppure se b < O (per b = O si ottiene U ca.so ovvio della. successione costante, 1n cui nb = n° = l ---+ 1). In generale vale U seguente schema. 11m nb =

(13.17)

n-++oo

{+oo o

seb>O seb l, oppure se O < a < l (per a.= l si ottiene il ca.so ovvio della successione costante, in cui a n = l n = l ~ l). In generale vale lo schema 11m an= {

(13.19)

n-++-

se a> l se O< a< l

+oo O

Più in generale, anche prendendo in considerazione valori negativi Co nulli) della ba.se a., vale la seguente formula per il limite della successione esponenzia.le

(13.20)

se a > l se a= l se- l l),

n ~ +-

11m

n .... +-

(_!_)n = O (a.= l /67 < l), 67

mentre, per a. = - l, si ottiene la. successione (- l )n che, come già sa.ppia.mo, non ammette limite per n -+ +oo. Esa.minia.mo ora tre limiti relativi alle funzioni trigonometriche. I primi due sono:

54

Capitolo 3

(13.22)

&n ---+ O => sen &n ---+ O

(13.23)

&n ---+

o => cos

&n ---+ l.

Ad esempio sen Cl /n) ---+ O, cos Cl /n) ---+ l, perché l /n ---+ O. Dimostrazione della C13.22): dato che a." converge a. zero, per la. def1n1z1one di l1m1te esiste un Indice v per cui l a." l < 1r /2 per ogni n> v. Per ta.l1 valori d1 n, per la. d1sugua.gl1s.nza. (9. 22), otteniamo (13.24)

O s l sen a.n l = sen l a.n l s l &n l .

Per 1l teorema. del carab1n1er1, l sen &n l -+O. Infine, come s1 vede fa.cllmente, sen &n-+ O. Dimostrazione della (13.23): s1 perviene a.l risultato dalla (13.22), utilizzando la. relazione cos x = ± ~l - sen2 x. Allo scopo di stabilire 1l segno nella relazione precedente, Indichiamo con v l'Indice tale che risulti- :re /2 s &n s 1r /2 per ogni n> v Cv esiste per la. definizione di limite, dato che~ -+ 0). Per ta.l1 valori di n risulta. cos ~~O e quindi (13.26)

cos &n =

l - sen2 &n

Vn >v.

,

Avendo già provato che sen ~ -+ O, ne segue che b" = l - sen" a." -+ l; la. tesi è infine conseguenza del fatto che .Jb;. -+ {l= l.

n terzo limite di funzione trigonometrica che prendiamo in considerazione è: (13.26)

&n ---+ O, &n :;; O 'V n

=>

sen &n

- - - ---+l.

Notiamo che, dato che~ -+ O, Csen a.n)/a.n è una. forma. Indeterminata.. Cominciamo col dimostrare che (13.28)

O< lxi

senx cos x < - - < l. x

Infatti, se x è positivo, dalla (9.22) si ottiene senx senx

o.

Se x< O si ottiene la situazione a.na.loga l/x::; fCx)::;- l/x; comunque, essendo f(x) una funzione pari (cioè f(- x)= f(x) pe,r ogni x e R -101, è sufficiente studi&rne le proprietà. per x> O, riportando poi il disegno anche per x< O, per simmetria rispetto all'asse y.

Le funzioni y =- l /x e y = l /x, che appaiono nella stima (14.2),

hanno per grafico dei rami diiperbole, come in figura 4.1. Tenendo conto del segno di f(x), che per x> O è lo stesso segno di sen x, si ottiene per f(x) un grafico come quello disegnato con tratto continuo in figura 4. l. n disegno è sig:nificativo per x sufficientemente grande; è invece indeterminato per x "vicino" a zero.

64

Capitolo 4

y

4n

3n

-----1

x

, / l

l

l

l

/

1

y=

x

l

Ftgura 4.1

Ricordiamo che la funzione f(x) in al;

(15. 7)

(- oo,

b)

=(X

E

R:

(15.8)

(-oo,b)

=(X

E

R: x O, esiste un numero d > O ts.le che r-e < f(x) < r + r, per ogni XE A - (Xol, con x 0 - d < x < Xo + d. E

n teorema., di cui per semplicità. omettiamo la. dimostrazione, può essere enunciato in simboli 11m f(x) =l' 'Ve> O, 3d > 0: lf(x)- l'l < r, (15.12)

X--+JCo

'Vx

E

A: O * l x

- Xo l < d.

Valgono analoghe definizioni per ilim1t11nfin1t1. Così a.d esempio:

(15.13)

'VM > O, 3 d > 0: f(x) > M, 'Vx

(15.14)

A: O

* lx

- Xo l < d.

'Ve> O, 3k: lf(x)- l'l < r, 'V x

(15.15)

E

E

A: x> k.

'VM > O, 3k: f(x) > M, 'Vx

E

A: x> k.

È utile considerare anche 1 cosiddetti limite destro (x --+ x;) e

Limiti di funzioni. Funzioni continue

69

lJmite sinistro (x~ XQ), quando ci si avvicina. s.l punto x 0 per vs.lori d1 x e A rispettivamente solo maggiori d1 x 0 , o solo minori. Consideriamo per brevità. solo i ca.si d1 limite cfinito (11 lettore formuli i ca.si con limite infinito):

(15.16)

~

'fiE

'V 11m f(X) =l'

X-->x(,

(16.17)

> 0, 3d > 0: l f(X) - fl
f(Xo)- - - = - - > O.

(19.1)

2

2

Molto importanti sono i tre teoremi che seguono: il teorema dell'esistenza degli zeri, il teorema dell'esistenza dei valori intermedi ed il teorema di Weierstrass sull'esistenza del massimo e del mimino. TEOREMA DELL'ESISTENZA DEGLI ZERI.- Sia, f(x) una, funzione continua in un interva.llo [a, b). Se f(a) < O, f(b) > O, a.llors, esiste Xo e (a, b) tsJe che f(Xo) =O.

Naturalmente la tesi vale anche se f(a) > 6 e f(b) < O; cioè il teorema dell'esistenza degli zeri vale supponendo che i valori f(a), f(b) siano di segno discorde. Dimostrazione: consideriamo il numero c, punto di mezzo dell'intervallo [a, b), cioè c = Ca+ b)/2. Se f(c) = O abbiamo trovato una radice. Altrimenti consideriamo i due casi f(c) > O, f(c) < O. Se f(c) > O, la funzione f assume valori di segno discorde agli estremi dell'intervallo [a, c], mentre se f(c) O

~

a 1 =a, b 1 = c

se f(c) O

~

se f(cn) O,

'v'n

E

N.

È semplice scrivere la relazione che lega &n con bn (oppure con Cn); infatti, a.d ogniitera.zione, la lunghezza dell'intervallo [B.n, bnl si dimezza. Quindi b 1 - a 1 =Cb- a)/2, b 2 - a.a =Cb- a)/22 , e dopo n passi

(19.5)

'v'n

E

N.

Per costruzione, la successione &n è crescente Ca 1 ~ a:a ~ 8.:3 ~ ••. )ed è limitata., perché contenuta. nell'intervallo [a, b). Per 11 teorema sulle successioni monotòne &n ammette limite finito, e sia x 0 tale limite; anche la successione bn, espressa mediante la (19.5) da b-a bn =&n +2n '

(19.6)

converge ad Xo per n~+ oo. Quindi, ricordando la (19.4), dalla continuità. di f si ottiene (19.7)

f(x0 ) = 11m f(&n) ~O; f(x 0 ) =11m f(bn) n-++oo

~O .

n -++oo

Perciò f(Xo) =O ed 11 teorema dell'esistenza degli zeri è provato. Dalla dimostrazione proposta risulta chiaro come calcolare numericamente la soluzione Xo· Infatti le tre successioni &n. bn, Cn convergono ad Xo· I termini di una qualunque delle tre successioni sono valori approssimati di x 0 ; in particolare, i valori d1 &n sono approssimazioni per difetto, quelli di bn sono approssimazioni per eccesso, cioè (19.8)

'v'n e N.

Dalle C19.6), ( 19.8) si deduce che l'errore d1 approssimazione che si commette sostituendo Xo con &n (oppure con bn) è inferiore a (b- a)/2n. Dato che Cn è 11 punto d1 mezzo dell'intervallo l&n. bnl, l'errore che si commette nell'appossimare Xo con Cn è minore di (b - a)/2n+l. Per mostrare la portata del teorema, consideriamo come esempio le seguenti due equazioni nella incognita x (19.9)

x 3 +x-l= O,

78

Capitolo 4

ex+ x= o,

(19 .10)

che non rientrano tra. le equazioni algebriche di primo e secondo grado di cui è facile ricordare la. formula. risolutiva.. La. prima. delle due equazioni è una. equazione algebrica di terzo lft'e.do, mentre la. seconda. è un'equazione trascendente. Procediamo per tentativi, assegnando ad x alcuni valori: x

-2

- l

o

l

2

f(x) = x 3 + x - l

-11

-3

- l

l

9

l

e+ l

e2 + 2

e- 2 -

f(x) =ex+ x

2

e- 1 -

l

Nel caso f(x) = x 3 + x - l, abbiamo f(O) < O, f(l) > O. In base al teorema. dell'esistenza. degli zeri, esiste un numero Xo nell'intervallo (0, l) tale che f(Xo) = O; cioè Xo è una. soluzione dell'equazione (19.9). Nel secondo caso f(x) =ex+ x, risulta. f(- l) = l /e- l < O, f(O) = l > O. Quindi esiste nell'intervallo (- l, 0) una. radice Xo dell'equazione (19.1 0). Ci proponiamo il ca.lcolo delle rispettive radici con un errore inferiore a. l o-3 . In entrambi i casi abbiamo un intervallo di ampiezza. b - a. = l; infatti nel primo caso [a., b) = [0, l), nel secondo [a., b) = [ - l , 0). L'errore di approssimazione che si commette sostituendo la. soluzione Xo con Cn è minore di l /2n+ 1 ; in particolare, per n = 9, risulta. (19.11)

81 ottiene la. tabella. di valori: c

cl

...

ca

c7

ca

Cg

x 3 +x- l =O

0 .6

0 .76

...

0 .6796

0.6836

0.6816

0 .6826

ex+ x= O

- 0.6

-0.76

...

- 0 .670 - 0.666 - 0.568 - 0 .667 3 4 3 3

Quindi la. radice dell'equazione x 3 +x- l =O è x 0 = 0.682 C± 0 .001); la. radice dell'equazione ex+ x= O è Xo = - 0.567(± 0.001) . n numero± 0.001 è una. stima. dell'errore; cioè ad esempio nel primo caso risulta. 0 .681 < Xo < 0 .683 .

(PRIMO) TEOREMA DELL'ESISTENZA DEI VALORI INTERMEDI. - Una funzione continua in un intervsJ.lo [a, b) s.ssume tutti i vsJori compresi tra f(a) e f(b).

Dimostrazione: per semplificare le notazioni consideriamo il. caso in cui f(a) ~ f(b). La tesi consiste nel provare che, qualunque sia Yo E [f(a), f(b)], esiste Xo E [a, b) tale che f(Xo) = Yo·

Limiti di funzioni. Funzioni continue

79

Se y 0 = f(a) si può porre Xo =a; analogamente se Yo = f(b), allora basta prendere Xo =b. Per trattare il caso y 0 e (f(a), f(b)) consideriamo la funzione g(x) = f(x) - Yo

(19.12)

'V x E[a, b);

essendo f(a) < y 0 < f(b), risulta (19.13)

g(a) = f(a)- Yo O.

Per il teorema dell'esistenza degli zeri esiste un numero x 0 tale che g(Xo) = O, cioè f(xo) = Yo·

E

(a, b)

TEOREMA DI WEIERSTRA.SS. - Sia f(x) una funzione continua in un intervaJlo chiuso e limitato [a, b). Allora f(x) assume massimo e minimo in [a, b), cioè esistono in [a, b) X t. x 2 tali che 'V x

(19.14)

E

[a, b).

I numeri x1o x 2 sono detti rispettivamente punti dl minimo e dl massimo per f(x) nell'intervallo [a, b); i corrispondenti valori m= f(x 1) e M= f(x 2 ) sono detti minimo e massimo di f(x) in [a, b) (si veda la figura 4. 6). f(x)

x Figura 4.5

Del teorema di Weierstrass non diamo per brevità la dimostrazione; in questa sede ci limitiamo a mettere in luce con degli esempi

80

Capitolo 4

l'importanza delle ipotesi (funzione continua. definita in un intervallo chiuso e limitato) che garantiscono l'esistenza del massimo e del minimo. Enunciamo infine 11 (SECONDO) TEOREMA DELL'ESISTENZA DEI VALORI INTERMEDI.- Una. funzione continua. in un intervsJlo [a, b) assume tutti i vs.lo:ri compresi fra. il massimo ed il minimo.

valori y { non assunti

--v

minimo= f(x 1) ---1 ---~---~---~-------+---------------------~---~----+

a

x,

Figura 4.6 Una funzione def1n1ta in un intervallo (a, b), ma discontinua in alcuni punti dell'intervallo, può non assumere tutti i valori compresi fra 11 valore minimo ed 11 valore massimo. Ciò è quanto acca.de per la funzione rappresentata in figura 4.6, che è discontinua in corrispondenza al punto Xo· n teorema precedente afferma che se invece la funzione è continua, allora deve necessariamente assumere tutti i valori intermedi fra 11 minimo f(x 1) ed 11 massimo f(x 2 ).

CAPITOLO 5 MATRICI, DETERMINANTI E SISTEMI LINEARI

Introduzione Prima. d1 introdurre la. nozione di matrice, indichiamo possibili applicazioni delle matrici e delle operazioni su d1 esse definibili. Nella. seguente tabella. sono riportati i prezzi di due prodotti industriali applicati da. due differenti stabilimenti.

--------

Prodotto l

Prodotto 2

(€)

(€)

Stabilimento A

1000

760

Stabilimento B

600

1600

Due imprenditori devono acquistare tali prodotti nelle quantità. sotto indicate:

--------

Imprenditore

x

Imprenditore y

Prodotto l

2

3

Prodotto 2

l

l

n problema. consiste nel determinare a. quale stabilimento conviene rivolgersi per l'acquisto d1 tali prodotti.

82

Capitolo 5

Ad esempio, supponendo che l'imprenditore X acquisti i suoi prodotti presso lo stabilimento A, la spesa (in euro) sostenuta sarà pari a: 1000 . 2 + 750 . l = 2750 Analogamente in tabella si riportano i costi che i due imprenditori sosterrebbero affidandosi ad uno dei due stabilimenti.

--------

Imprenditore

x

Imprenditore y

Stabilimento A

2750

3750

Stabilimento B

2500

3000

da cui segue che ad entrambi gli imprenditori conviene affidarsi allo stabilimento B. Si può schematizzare la prima tabella con la seguente matrice: M= ( 1000

500

750] 1500

a due righe e due colonne. La seconda tabella può essere schematizzata con la seguente matrice delle stesse dimensioni:

Nel paragrafo 21 vedremo che la terza matrice, collegata all'ultima tabella: (

2750

3750]

2500

3000

è quella che prenderà il nome di prodotto righe per colonne di M per N.

Consideriamo un altro esempio. Nella seguente tabella sono riportati i tassi di interesse attivi e

Matrici, determinanti e sistemi lineari

83

passivi applicati da due Istituti di Credito, denominati Banca A e Banca B:

-----------

INTERESSI ATTIVI

INTERESSI PASSIVI

Banca A

1.10

6 .50

Banca B

1.00

5.90

La Banca A applica un tasso netto di interesse attivo Ca favore del cliente) dell' 1.10% sui conti correnti, mentre applica un tasso di interesse passivo (in caso di saldo debitore o scopertura sul conto) del6.50%. Così vuol dire, ad esempio che, se per un anno un cliente ha depositato sul proprio conto corrente la somma di l O.000 euro (senza compiere alcun prelievo) allora alla fine dell'anno egli avrà maturato interessi attivi per 110 euro. Viceversa, se per un anno un cliente ha avuto un debito fisso di 1000 euro, alla fine dell'anno dovrà restituire alla Banca 65 euro. Si avverte il lettore che in questo schema semplificato non figurano aliquote varie che nella realtà vengono applicate dalle Banche nel calcolo degli interessi. Due persone, X e Y, devono accendere un conto corrente ciascuno, sapendo già a priori che per il primo anno manterranno sul conto una cifra fissa e per il secondo anno avranno invece un debito fisso, come descritto in sintesi sulla seguente tabella ove i segni meno indicano debito.

-----------

x

y

1° anno

+ 10•000

+ 20•000

2° anno

- 1•000

- 4•000

Si vuol stabilire a quale Banca affidarsi sulla base delle precedenti condizioni per l'accensione di un conto di durata esattamente biennale. Se X si rivolge alla Banca A, il saldo del suo conto alla fine del secondo anno si otterrà dalla somma: 10·000 ' 1.10 - 1·000 ' 6 .50

= 4·500

84

Capitolo 5

Analogamente in tabella. si riportano gli altri saldi in tutti e quattro i casi possib111:

--------

x

y

Banca A

4'600

- 4 •000

Banca B

4'100

- 3"600

Da. cu1 segue che a. X conviene la. Banca. A, mentre a. Y la. Banca. B. Anche qui abbiamo determinato operazioni su matrici (vedi pa.ra.gra.fo 21). 20. Matrici

Si chiama. matrice di m righe ed n colonne Co matrice m x n) una. figura. costituita. da. m · n numeri, disposti in m righe orizzonta.ll ed in n colonne vertica.li, racchiusi tra. due parentesi tonde:

(20.1)

8.12

•••

~~2

:::

Bm2 ...

l:n . S.1n

8nm

I numeri sono indicati media.nte una. lettera. con due indici, il primo dei quali indica. la. riga., il secondo la. colonna. a. cu1 il numero appartiene. Nella. matrice (20.1) si distinguono le m righe

(20.2)

(8.11

8.12

S.1n),

(~l

~2

S.2n),

C&m1

&m2

B.mn),

e le n colonne

(20.3)

a.ll

8.12

8.21

8.22

S. l n

' llm 1

&m2

... '

~n

B.rnn

Matrici. determinanti e sistemi lineari

85

n numero a.u prende n nome di elemento di posto i, j della matrice e si trova all'incrocio della riga i-sima con la colonna j-sima. Ad esempio, l'elemento a 12 si trova all'incrocio della prima riga con la seconda colonna: (20.4)

[&" 9

al3

l

~l

a22

a23

a,. ~n

B.mt

8om2

8om3

B.mn

~l a

riga

i 2a colonna Nel caso particolare che sia m= n, la matrice si dice quadrata, di ordine m = n. Ad esempio, la matrice (20.5)

(!

5 3

o

è una matrice quadrata di ordine 3.

Una matrice l x n ha la forma (20.6)

e prende n nome di vettore riga. Una matrice m x l ha la forma

(20.7)

e prende n nome di vettore colonna. Nel seguito indicheremo brevemente con (B.u) la matrice (20.1 ), n cui elemento di posto i, j è B.u· 21. Operazioni con le matrici

Se A = (B.y) e B = Cbu) sono due matrici m x n, si chiama somma di A e B e si indica con C = A + B, la matrice m x n n cui elemento cu, di posto i, j, è dato da cu = a.y + bu.

86

Capitolo 5

Se A = C&u) è una matrice m x n, e À e R, n prodotto di À per A, indica.to con À A, è la. matrice m x n, n cui elemento di posto i, j è À · &u· Un'altra operazione importante che si introduce tra matrici è n prodotto righe per colonne.

A tale scopo, premettiamo che n prodotto A · B di un vettore riga A, come in (20.6), per un vettore colonna B, come in (20. 7), è definito da

(21.1)

(al ' .. . , B.n)

Ad esempio risulta.

(1,0,3)[_~)= 1 · 2+0 · 4+3 · (-7)=2-21 =-19 .

(21.2)

Per definire n prodotto righe per colonne, cominciamo con n caso particolare di due matrici 2 x 2

all

A= (

(21.3)

~l

n loro prodotto righe per colonne AB è la matrice 2 x 2 (21.4)

ove, per i, j = l ,2, cu è n prodotto del vettore riga Can, vettore

B.t2)

per n

colonna~~), cioè

(21.5)

n seguente schema è un'utUe rappresentazione del prodotto righe per colonne di due matrici 2 x 2:

87

Matrici, determinanti e sistemi lineari

b12 ba·a

(21.6)

J

~Il21

C12

=

Ca t

c22

J

(eli Ca! bl2 baa

J

~Il21

eli

eta Caa

J

(eli Ca t

l

In generale siano:

[a"

(21.7) A= ~ 1 &m l

8.12 8.22 &m2

a" ~r

l

&mr

B=

l:"

bl2

b,.

.~~

b22

b2n

rl

br2

bm

'

due matrici, di culla. prima. m x r e la. seconda. r x n. Ossia. il numero delle colonne della prima è uguale al numero di righe della seconda.

Formiamo n prodotto di ognuna. delle m righe di A per ognuna. delle n colonne di B. Ad esempio n prodotto della. prima. riga. di A per la. prima. colonna. di B è la. matrice

(21.8)

quello della. 1-sima. riga. di A per la. j-sima. colonna. di B è:

(21.9)

e l'indice i varia. tra. l ed m, mentre l'indice j varia. tra. l ed n. La. matrice m x n n cui elemento di posto (1J) è eu, prende n nome di prodotto di A per B rJ.ghe per colonne.

88

Capitolo 5

Si osservi che: per poter moltiplics.re (righe per colonne) la matrice A per la matrice B, occorre che il numero di colonne della matrice A coincida con il numero di righe della matrice B. n risultato è una matrice C che ha lo stesso numero di righe della prima e lo stesso numero di colonne della seconda. Potremo perciò scrivere (21.10)

(matrice m x r) (matrice r x n) = matrice m x n

Si verifica facilmente che il prodotto righe per colonne gode della proprietà. associativa, cioè (21.11)

ACBC)

=CAB)C ,

ma non gode della proprietà. commutativa; cioè, in generale, risulta (21.12)

AB'#BA,

per A, B matrici quadrate di ordine n. Ad esempio, siano

(21.13)

A=(~

!).

B=G

~).

allora. si ha.

B·A=G

(21.14)

~) ·

22. Determinante di una matrice 2 x 2 Considerata la matrice quadrata 2 x 2 (22.1)

A=

(all ~l

si chiama determinante di A il numero (22.2)

n determinate della matrice (22 .l) si indica anche con il simbolo

Matrici. determinanti e sistemi lineari

89

(22.3) Ad

esempio, si ha

(22.4)

l : : l= 40- 12 =28.

L'uso dei determina.nti è frequente nella risoluzione d1 sistemi d1 due equazioni lineari in due incognite x, y del tipo Jallx + atJ = bt (22.5)

1a.:atx + a2J = b2 Per soluzione d1 tale sistema si intende una coppia ordinata Cx, y) d1 numeri reali che verifica simultaneamente le due equazioni in (22.5) .

Volendo risolvere tale sistema, moltiplichiamo la prima equazione per ~2 e la seconda per - a 12 . In tal modo otteniamo le equazioni (22.6)

Ja llB.:a:aX + a ta&:aaY = b t&:aa 1- a128.:a1 x- a128.:aaY = - b2a12

Addizionando membro a membro tali relazioni, si ha (22.7)

Indicando con A la matrice dei coefficienti del sistema (22.5), cioè ponendo (22.8)

e supposto det A= ali a 22 - a 12a 21 mula risolutiva per x: (22.9)

:;é

O, da (22. 7) otteniamo la for-

90

Capitolo 5

Con analoghi passaggi, si ottiene poi la formula risolutiva per y: (22.10)

a 11 b 2 - a 21 b 1

Y=

detA

Pertanto, la nozione di determinante si rivela utile per ottenere l'espressione della risoluzione (x, y) del sistema (22.5). Con simboli ancora più compatti, per mezzo delle matrici B1 , B2 definite da (22.11) le formule risolutive (22.9), (22.10) si scrivono equivalentemente nella forma (22.12)

detB 1 X= detA'

detB 2 y= detA ·

Una generalizzazione di queste formule verrà. data, con il teorema di Cramer, nel paragrafo 26. 23. Determinante di una matrice 3 x 3 Data la. matrice 3 x 3 (23.1) e fissati due indiciiJ e (l, 2, 3J, indichiamo con Au la. matrice ottenuta da. A eliminando la. riga. i-sima. e la colonna. j-sima.. Ad esempio, considerata la matrice 3

(23.2)

si ha.

x

3

Matrici, determinanti e sistemi lineari

(23.3)

Au

= [-

91

l l

(23.4)

ll determinante della matrice A in (23.1) è definito dalla posizione (23.5)

~21· ~2

~3~+a l a 33 13

Nel caso della matrice A definita dalla (23.2) si ha (23.6)

detA=l · l

~

~

1-2·1-g

~ 1+0 · ~-~

~l=

=l. (2- l)- 2(- 6- 0) = l + 12 = 13 .

Se i, j sono due indici compresi fra l e 3, il determinante det Au prende il nome di minore complement&re dell'elemento a.u della matrice A, mentre il numero (- l ) 1+J det Au è il complemento algebrico di

B.u·

Dalla definizione (23.5) di det A segue perciò che il determinante di A è la somma dei prodotti degli elementi della prima riga a 11 , a 12 ,

a 13 di A per i rispettivi complementi algebrici det A 1 tt - det A 12 , detA Si dimostra che, anche partendo da un'altra riga, eseguendo la somma dei prodotti dei suoi elementi per i rispettivi complementi algebrici, si ottiene come risultato ancora il determinante di A. Ad esempio, calcoliamo

22.

(23.7)

92

Capitolo 5

Mettendo in evidenza a111 a1 2 e a1 3 , abbiamo

(23.8)

e quindi, per la (23.5) (23.9)

b = detA.

In generale si può dimostrare che:

n det A è uguaJe a.lls somma. dei prodotti degli elementi di una. riga. (o di una colonna.) per i rispettivi complementi s.Igebrici.

Figura 5.1

In ogni caso 11 determinante della matrice 3 x 3 in (23 .l) è dato, in forma esplicita, da

(23.10)

Per ricordare la formula (23.10) è utile lo schema in figura 5.1,

Matrici. determinanti e sistemi lineari

93

dove la linea continua sta a s1.gnifica.re che 11 prodotto dei tre termini va preso con 11 segno +, mentre la linea tratteggiata significa. che 11 prodotto dei tre termini va preso con 11 segno-. 24. Determinante di una matrice n x n

Se A è una matrice n x n, con n

(24.1)

[an

A=::

~

2, data da

... ...

ai2 a22

...

&1n]

~n

... 8.nn

B.n2

'

11 determinante di A, denotato con 11 simbolo det A, è definito dalla posizione

(24.2)

n

+ .. . + (-1) 1+ndetA 1n = ~ (-1) 1+Ja 1J detA 1J,

J=l

ove con A 11 indichiamo la matrice (n- l) x (n- l) ottenuta da A eliminando la prima riga e la colonna j-esima. Si suole anche indicare 11 determinante con la seguente notazione:

(24.3)

detA =

Notiamo che la definizione precedente riconduce la nozione di determinante di una matrice n x n a quella di determinante delle n matrici (n- l) x (n- 1): A 11 , A 12 , ... , A1n· Se iJ sono due indici compresi fra l e n, 11 determinante det Au è 11 minore complementare di a.y, mentre 11 numero C- l ) 1+J det Au è 11 complemento s.Jgebrico di a.y; pertanto 11 determinante della matrice A è la somma dei prodotti degli elementi della riga (a 11 , a 12 , ... , a1n) per i rispettivi complementi algebrici.

94

Capitolo 5

Consideriamo ora una qualunque altra riga (B.jlt B.j2 , ••• ,B.m) della matrice A ed eseguiamo la. somma dei prodotti dei suoi elementi per i rispettivi complementi algebrici: n

(24.4)

L (- 1)1+J au detAu; J=l

in modo analogo a come visto nel paragrafo precedente per n = 3, si può dimostrare che tale numero coincide con det A qualunque sia l'indice i, e si suol dire çhe (24.4) è lo sviluppo del determinante di A secondo la riga i-esima. Un altro metodo per ottenere il determinante di A è quello di considerare una colonna. (a 1J, a~, ... ,~) della matrice A ed eseguire la somma dei prodotti dei suoi elementi per i rispettivi complementi algebrici: n

(24.5)

L C- 1) 1+J 9.u detAu; l= l

in tal caso si dice che (24.5) è lo sviluppo del determinante di A secondo la colonna j-esima. Le principali proprietà dei determinanti sono le seguenti: (24.6) Se la. ma.trioe A' si ottiene da. A soa.mbiando le righe oon le colonne, allora. det A = det A' . (24. 7) Se la. ma.trioe A' si ottiene da. A soa.mbiando fra. loro due righe o due colonne, a.llora. det A = - det A' . (24.8) Se la. ma.trioe A' si ottiene da. A moltiplioa.ndo tutti gli el~ menti di una. riga. (o di una. colonna.) per una. costante À. e R, a.llora. det A' = À det A. (24.9) Se due righe (o due colonne) della. ma.trioe A sono ugu.a.li, a.llora. è det A = O. Più in generale, se gli elementi di una. riga. (risp. colonna.) sono proporzionali a. quelli di un 'fl)tra. riga. (risp. colonna.), a.llora. il determinante è nullo. (24 .l 0) La. somma. dei prodotti degli elementi di una. riga. (o ocr lonna.) per i complementi a.J.gebrioi degli elementi analoghi di un 'altra. riga. (o colonna.) è uguale a. zero.

Osserviamo inoltre che, se una matrice di ordine n ha una riga Co una colonna) ad elementi tutti nulli, allora il suo determinante è zero. Infatti basta. sviluppare il determinante secondo tale riga Co colonna).

Matrici, determinanti e sistemi lineari

95

Diamo un esempio d1 applicazione delle precedenti proprietà al calcolo di determinanti. Calcoliamo 11 determinante del quarto ordine

2 -l D= O l

(24.11)

-l 3 4 5 -3 -8

l 2 -3 2

3

4

Addizioniamo alla terza riga la somma delle prime due. Si ha

(24.12)

2

l

- l D= l l

2

-l 3

4 5

o

oo

2

3 4

e, sviluppando secondo la terza riga, si ha (24 .13)

l D= l · l 2

2

2 +li 2

- l 4 3 2 6 4 l+ 3 1 2

~ l = (li

4 3

6 4 l+

4 3 l)=- 7.

25. Sistemi lineari di m equazioni In n incognite Un sistema lineare di tipo generale è della forma

(25.1)

n sistema lineare (25.1) è costituito da m equazioni nelle n incc; ... , Xn. n sistema si dice lineare perché le incognite sono

gnite x 11 x 2 ,

legate fra loro da equazioni algebriche di primo grado. I numeri reali a 11 a 12 , • •• , che compaiono in (25.1 ), indicati brevemente con a.u. prendono il nome di coefficienti del sistema; invece i numeri reali b 11 b 2 , .. . , bm prendono il nome di termini noti. Se, in

96

Capitolo 5

particolare, i termini noti sono tutti nulli, 1l sistema lineare si dice omogeneo.

n sistema (25.1) si può esprimere in forma compatta. ut111zza.ndo la matrice dei coefficienti

(25.2)

A=

&:a 1

8.:a2

&m l

8om2

••·

&mn

detta. anche matrice del sistema, ed i vettori colonna (si ricordi la (20. 7)) dei termini noti e delle incognite

(25.3)

con ta.l1 notazioni il sistema lineare (25.1) prende la forma matriciale

(25.4)

A·X=B,

dove A · X è 1l prodotto righe per colonne della. matrice A ·per la matrice X (si ved8.1l paragrafo 21). Si osservi che, in a.ccordo con la (21 .10), si tratta. del prodotto d1 una matrice m x n per una matrice n x l, che dà per risultato una matrice m x l. n problema che affrontiamo nel paragrafo seguente è quello di stabilire delle condizioni sui coefficienti e sui termini noti affinché esistano dei valori reali delle incognite x 1 , x 2 , •. . , xn (in ta.l caso X è detta. una soluzione) per i quali tutte le equazioni del sistema risultino simultaneamente soddisfatte. In breve, affrontiamo 1l problema della risoluzione del sistema (25.1). Nel paragrafo che segue cominciamo con 1l caso m = n. 26. Il teorema di Cramer

In questo paragrafo proponiamo un metodo d1 risoluzione del sistema lineare di n equazioni in n incognite:

Matrici, determinanti e sistemi lineari

97

(26.1)

In modo ana.logo a quanto fatto nel paragrafo precedente, indichiamo con A, B, X le matrici:

(26.2)

A=[~: ~ ........

Bn1

~:]. B=~:J. X=[~J· l~n

....... ::: ....... Bn2 ··· 8nn

Xn

Indichiamo inoltre con Btt per i= l, 2, ... ,n, la matrice quadrata ottenuta sostituendo la colonna i-esima della matrice dei coefficienti A con la colonna B dei termini noti; cioè:

(26.3)

Traendo spunto da.l caso particolare n= 2, già studiato nel paragrafo 22 (si veda in particolare la (22.12)), la soluzione X del sistema si può rappresentare utilizzando le matrici sopra introdotte, nella forma: (26.4)

detB 1 x 1 = detA'

detB 2 x 2 = detA'

... ,

detBn Xn = detA '

purché il determinante di A non sia nullo. Precisamente va.le il seguente teorema di cui per semplicità omettiamo la dimostrazione: TEOREMA DI CRAMER. -Se det A "' O, il sistema lineare (26. 1) ammette una ed una sola soluzione, data. ds.lla (26.4). A titolo d1 esempio r1solv1&mo con la formula d1 Cramer (26.4) U seguente sistema

98

Capitolo 5

(26.6)

La matrice del sistema è:

-!l

A=[_! ~

(26.6) e si verifica che (26.7)

detA = 24;

dato che det A~ O, in base al teorema di Cramer, il sistema lineare (26.6) ammette una ed una sola soluzione. Inoltre sl ha

det B 1 =

(26.8)

l

6

4

2

3

- l

l

l

2

=- 27;

2

l

4

l

2

- l

- l

l

2

2

6

l

l

3

2

- l

l

l

= 21;

=- 12.

La soluzione (x 1 , x 2 , x 3) è quindi fornita dalla regola di Cramer (26.4):

detB 1 detA

27 24

9 8

xl=--=--=--

(26.9)

Xa=--= detB2 detA

detB 3 detA

21 24 12 24

7

=a l 2

x3=--=--=--

Matrici, determinanti e sistemi lineari

99

27. Matrici Inverse

Sia A una matrice quadrata di ordine n. Diremo che A è invertibile se esiste una matrice A- 1 di ordine n tale che (27.1)

ove I è la matrice identica, cioè

o (27.2)

l

I=[t.

o

In tal caso la matrice A- l si chiama inversa di A. Si può verificare che, se esiste, l'inversa di una matrice è unica. Infatti se oltre aB =A-l esistesse una matrice C tale che AC = CA = =I, essendo A·A- 1 =I, si avrebbe

(27.3)

ed anche (27.4)

(CA) A- 1 =I A- 1 = A- 1

da cui C = A- 1 , per la proprietà associativa della moltiplicazione

righe per colonne. Ad esempio, la. matrice inversa. di A= (

(27.6)

- 4 - 3

-- 3)2

è la. matrice

B=( 2

(27.6)

- 3

in quanto risulta. (27.7) -l

in simboli risulta. quindi B = A .

- 3)

4 •

100

Capitolo 5

Sussiste 11 seguente TEOREMA. -Se A= (B.u) è una matrice di ordine n con det A~ O, a.llora A è invertibile e gli elementi bu della matrice inversa A - l sono dati da b = (-

(27.8)

u

l)l+j

det A. •jl detA '

ove det AJ 1 è il minore complementare di a., 1 (si veda il paragrs.fo 24).

Dimostrazione: indichiamo con C= (Cu) la matrice prodotto (B.u) · Cbu) e dimostriamo che risulta. eu = l per i = j, eu = O per i ~ j. Da.lla formula (21. 9) per 11 prodotto di matrici segue

(27.9) n

= (detA)- 1

L

C- l)h+J ~ det~h·

h= l

La conclusione segue dal fatto che n

L

(27.10)

C- l )h+J ~ det ~h = O

h= l

se

i~

j, a ca.usa della proprietà. (24.10), mentre per i= j: n

(27.11)

L

C- l )h+J 8.ut det Alh = det A.

h= l

Appendice al capitolo 5 A5.1 Autovalori di una matrice

Sia A = (B.u) una matrice quadrata. n x n. Si chiama autovalore di A ogni soluzione À. dell'equazione (A5.1.1)

det CA- ìJ) = O,

Matrici, determinanti e sistemi lineari

101

ove I è la. matrice identica. di ordine n. L'equazione (A5.1.1) può essere scritta. esplicitamente sotto la. forma.

(A5.1.2)

~l

~2- À.

~n

=o.

&n l

Ad esempio, per n= 2 si ha. l'equazione (A5.1.3) ~l

~2- À.

=o,

ovvero (A5 .1.4)

che è un'equazione di secondo grado in ì... In generale il determinante a. primo membro della. (A5.1.2) è un polinomio di grado n in ì.., detto polinomio caratteristico della. matrice A; si può dimostrare che ha. la. forma.: (A5. 1.5)

À.n-

(a.u + ... + Snn)

À.n- 1 +

... + (-l)n detA =O.

Tale polinomio ammette radiai resJl nel caso che la matrice A sia simmetrica,, cioè risulti &u = &:J 1• Verifichiamo ta.le affermazione nel caso particolare n= 2. scriminante dell'equazione (A5. 1.4) è, in ta.l caso

(A5.1.6)

Pertanto l'equazione (A5.1.4) ammette radici reali.

n di-

102

Capitolo 5

Se l'ipotesi a. 12 = ~ 1 non è soddisfatta., la. matrice può essere effettivamente priva. di autovalori (reali). Ad esempio, nel ca.so della. matrice

A=(-~

(A5.1.7)

~)

la. (A5. 1.3) diviene

CA5.1.8)

À

1

- l

cioè }.2 + l =O, che non ha. radici rea.ll.

Osserviamo che, se ì.. E R è un autovalore della matrice A= (8.tJ), il sistema omogeneo (A5.1.9)

CA- ìJ)u =O,

con u = (x 1 , ••• , xn) e I matrice identica, ha almeno una soluzione u ~ O. Una tale soluzione u prende il nome di autovettore di A corrispondente all'autovalore À.. Si verifica immediatamente che se u è un autovettore allora anche a·u lo è qualunque sia a E R- (0} ; infatti (A5.1.10)

CA - ìJ) au = a(A - ìJ) u = a · O = O.

Prima. di descrivere alcune notevoli proprietà degli autovettori di una. matrice, diamo la. definizione di prodotto scs.le.re di due vettori. Sia.nou =ex •• ... , Xn) e v= 01. ' ... , Yn) due vettori. Si ch1a.ma.prodottoscs.lared1 u e v e si indica. con (u, v) 11 numero reale (A5.l.ll)

(u, V)= X 1 Y1 + ... + XnYn,

ovvero, utilizzando 11 simbolo di somma.toria., n

(A5. 1.12)

(U, V)=

l:,

X1 y 1 •

l= l

Il prodotto sca.la.re gode delle seguenti proprietà di semplice verifica.:

(A5.1.13)

(U, V)= .(V, U),

CA5.1.14)

(U +V, W)= (U, W) + (V, W),

CA5.1.15) (A5.1.16)

(&U, V)

= &(U, V), (U, U)

2:0.

a. e R,

Matrici, determinanti e sistemi lineari

103

Due vettori u, v si dicono perpendicolari fra loro (o anche ortogonali) se risulta (u, v) = O, cioè se il loro prodotto scalare è nullo.

Siamo ora in grado di dimostrare 11 seguente TEOREMA. -Se A è una. matrice simmetrica., À1 , À2 e R sono due a.utova.lori di A e u 1 , u 2 due corrispondenti autovettori, a.llora. (A5.1.17)

=>

Cioè, due autovettori corrispondenti a.d a.utova.lori diversi sono fra. loro ortogona.li. Dimostrazione: per ipotesi risulta (A6.1.18) (A6. 1.19) Eseguiamo 11 prodotto scalare della (A6 .l. 18) per u 2 e quello della (A6.1. 19) per u 1 ; si ha (A6.1.20) (A6. 1.21) Inoltre, dalla simmetria cl1 A =

(S.U)

si deduce facilmente

(A6. 1.22)

(A6.1.23) Essendo ì.. 1

~

ì.. 2 ne segue (u 1, u 2 ) =O, come volevasi dimostrare.

A5.2 Esempi di utilizzo di sistemi lineari: leggi di Klrchhoff e flusso di traffico automobilistico

In questo paragrafo presentiamo due esempi di sistemi lineari che costituiscono dei modelli matematici in questioni applicative. Consideriamo preliminarmente 11 problema cl1 determinare l'intensità della corrente elettrica in ciascuna maglia di un cirCUito costituito di resistenze e generatori cl1 tensione (si veda la figura 6 .2).

104

Capitolo 5

l,

l,

EoFigura 6.2

Utilizziamo le due leggi dl Kirchhoff: (A6.2.1) se più conduttori convergono in un punto, la somma algebrica delle intensità Ik delle correnti che concorrono in esso è nulla; (A6.2.2) in una maglla di conduttori, la somma algebrica delle forze elettromotrici attive lungo i successivi rami è uguale alla somma dei prodotti delle intensità per le resistenze rispettive del singoli rami della maglla. Se ne deduce che le equazioni per le correnti incognite I ~o 12 e I3 nella figura 6.2 sono 11 -la- 13 (A6.2.3)

"'

O

1Rala-R3I3=0 ( R 1 + R4

)

11 + Ra la

=E

e cioè si perviene ad un sistema di tre equazioni nelle tre incognite matrice dei coefficienti è data da

I~o

12 , 13 . La

- l (A6.2.4)

Ra Ra

ed 11 suo determinante vale (A6.2.6) ed è positivo perché R~o R2 , R3 sono numeri reali positivi. n teorema di Cramer è quindi applicabile e la soluzione è fornita dalla formula (26.4).

Matrici. determinanti e sistemi lineari

105

Come secondo esempio consideriamo un tratto di rete stra.da.le costituita. da. quattro strade a. senso unioo come in figura. 6.3. 200

400

400

5_00

x. 300

x,

200 100

300

Figura. 6.3- Flusso di traffico a.utomobillstioo. I numeri in figura. 6.3, posti alle due estremità di ciascuna. delle strade, indicano rispettivamente 11 numero di a.utomob111 che accedono a.d. essa. e che fuoriescono da. essa. in un'ora.. Propon1a.moci di determinare 11 flusso di trs.ffico (cioè 11 numero di auto che circolano in un'ora.) attraverso ciascuno dei quattro tratti intermedi, indicato oon i valori x 1, x 2 , x 3 , x 4 • Per risolvere tale problema. applichiamo l'a.na.loga. della. prima. legge di Kirchhoff sui circu1ti elettrici; si hanno le relazioni: X3+X4=200+400=600

x2 + x3 = 400 + 600 = 900 (A6.2.6)

x4 + x 1 = 200 + 100 = 300

x 1 + x2 = 300 + 300 = 600 che costituiscono un sistema. di quattro equazioni lineari nelle inoogntte x 1, x 2 , x 3 , x 4 • La. matrice dei coefficienti è data. da.

o (A5.2.7)

l

o l

l l

o o

sviluppando 11 determinante di A secondo gu elementi della. prima. riga. ottenia.mo

106

Capitolo 5

l

(A6.2.8)

detA=I!

o l

!1-1 !

l

o l

l

o = 1- l= o. o

Dato che det A= O, il teorema di Cramer non è applicabile al sistema (A6.2 .6). Si verifica però che la matrice incompleta A e la matrice completa del sistema (A6.2.6) hanno la stessa caratteristica, uguale a 3. Data la forma analitica molto semplice del sistema (A6.2.6) è possibile risolverlo esplicitamente, anche per sostituzione, ottenendo le soluzioni

(A6.2.9)

l

xa = 600-x 1 x 3 = 300+x 1 • x 4 = 300-x 1

In (A6.2.9) x 1 ha la funzione di parametro; quindi, come sisuol dire, il sistema (A5.2 .6) ammette oo 1 soluzioni. Inoltre, data la natura delle quantità x 1, x 2 , x 3 , x 4 , occorre tener presente che il parametro x 1 deve va.riare rispettando le limitazioni O~ x 1 ~ 300, in modo che x 1 risulti non negativo per ogni i = l, 2, 3, 4.

CAPITOLO 6 DERIVATE

28. Tasso di accrescimento. Significato meccanico della derivata Consideriamo un semplice processo d1 crescita. d1 un corpo, supponendo che U peso p del corpo vari a.l crescere del tempo; cioè supponla.mo che u peso sia. una. funzione del tempo p= p(t). Prendiamo in considerazione va.r1a.zion1 d1 peso a. partire da. un certo istante t. Al tempo tU peso è p(t), mentre all'istante t+ h, dopo che è trascorso un tempo uguale a.d h, U peso è p(t +h). Quindi, nell'intervallo d1 tempo h, U cambio d1 peso è p(t +h)- p(t). n rapporto (28.1)

p(t + h) - p(t) h

dà una. indicazione d1 quanto sia. cambiato U peso per unità d1 tempo. Più precisamente U rapporto (28.1) esprime la. va.rla.zione media per unità d1 tempo del peso nell'intervallo [t, t + h). Si chiama. anche ts.sso medio di accrescimento, o tasso medio d1 va.rla.zione, o velocità. media di accrescimento. Irlvece della. va.rla.zione media nell'intervallo [t, t + h), spesso è più uttle la. va.rla.zione istantanea a.l tempo t. Intuitiva.mente si considera. l'espressione (28.1)

per alcuni valori d1 h sempre più vicini a. zero. Con U 11.ngua.gglo più preciso introdotto nei capitoli precedenti, si ca.lcola. U limite, per h -+ O, del rapporto (28.1 ): (28.2)

Tasso dl accrescimento

=11m h-+0

p(t + h) - p(t) h

·

Si noti come sla.indlspensa.bUe usare Ulimite per h-+ O, dato che, se nella. (28.1)

108

Capitolo 6

si pone direttamente h = O, si ottiene una espressione senza significato. Invece, col linguaggio dei limiti, Hlimite in (28.2) è una. forma indeterminata. 0/0 (se p(t) è una funzione continua) . Per mostrare come il tasso di accrescimento possa essere effettivamente ca.lcolato, consideriamo a titolo di esercizio il caso in cui il peso dipenda. da.l tempo in modo qua.dratico (28 .3) per ogni h (28 .4)

p(t) = t 2 c#

;

O, risulta. p( t+ h) - p( t) h

=

(t+ h ) 2 - t 2 h

=

t 2 + 2ht + h 2 - t 2 h

= 2t+ h.

L'ultimo membro della. (28.4) tende a 2t per h--+ O. Quindi il tasso di accrescimento vale 2t. Ciò s1g.nifica. che, al crescere del tempo t(> 0), non soltanto il peso cresce come t 2 , ma. anche il ca.mbiamento di peso per unità di tempo aumenta. (nel caso in considerazione, 1n modo proporzionale al tempo). Proponiamo un esempio numerico: secondo la. legge p( t) =t 2 , al tempo t = l O n peso risulta. essere uguale a p(lO) = 100. n tasso di a.ccrescimento, uguale a 2t, al tempo t = l O vale 20. Ciò significa. che, dopo una. unità di tempo, il peso del corpo aumenta. di circa. 20 unità; quindi p(ll) vale a.ll'incirca. 120. Si noti che effettivamente 11 valore trovato 120 non differisce di molto da. p( 11) = 11 2 = 121 . Abbiamo già detto che "velocità di a.ccresctmento" è sinonimo di "tasso di accrescimento" ; ciò deriva dal fatto che una. velocità si def1n1sce in modo analogo a quanto fatto sopra. Consideriamo a.d esempio un'automobile che percorre una. strada., ed indichiamo con s(t) lo spazio percorso 1n funzione del tempo t. La. velocità. media dell'automobile nell 'interva.llo di tempo (t, t+ h] è uguale al rapporto tra lo spazio percorso s(t + h) - s(t) ed n tempo h impiegato a fare il percorso. La. velocità. istantanea (quella indicata. dal tachimetro sul cruscotto dell'auto, se s(t) è espresso in chilometri e t in ore), è H limite, per h --+ O, della. velocità media; quindi (28.5)

.

Velocità istantanea

=11m

s(t + h) - s(t) h

.

b-+0

È chiaro che nei due esempi precedenti lo schema matematico è identico. In entrambi gli esempi occorre ca.lcola.re il limite di un rapporto incremente.Je, cosi chiamato perché a denominatore c'è l'incremento h della. variabile indipendente, mentre a numeratore c'è l'incremento della. variabile dipendente. Occorre ca.lcolare il limite del rapporto incrementa.le anche in molte altre situazioni, analoghe a quelle del due esempi esposti. Ad esempio, se si considera la densità di un fluido o di una. popolazione, o l'accelerazione di un corpo che si muove di moto rettilineo. Un altro esempio, di tipo geometrico, è studiato nel paragrafo 33. Introdurremo nel prossimo paragrafo la. derivata. come limite del rapporto incrementa.le, quando l'incremento tende a zero.

Derivate

109

29. Definizione di derivata

Sia f(x) definita nell'intervallo aperto (a, b) e sia x un punto di (a, b); si dice che la funzione f è derivabile nel punto x se esiste finito il limite del rapporto incrementa.le

l1m f(x + h) - f(x) .

(29.1)

h~O

h

Tale limite è la derivata di f, e si indica con una delle seguenti notazioni, fra loro equivalenti: (29.2)

f'(x),

df dx'

y',

Df(X),

dy dx '

Dy.

Si dice chef è derivabile nell'intervsJlo aperto (a, b) se è derivabile in ogni punto x E (a, b). In alcuni casi è utile considerare al posto della definizione (29.1 ), invece del limite completo per h~ O, soltanto il limite destro per h ~ o•, oppure il limite per h ~ o-. Nel primo caso si parla di derivata destra, nel secondo caso si parla di derivata sinistra. Se f(x) è definita in [a, b], si dice chef è derivabile nell'intervsJlo chiuso [a, b] se è derivabile in ogni punto x E (a, b) e inoltre se f ammette derivata destra nel punto x = a e derivata sinistra nel punto x= b . Consideriamo alcuni esempi. In1z1amo da.lla. funzione costante f(x) = q, per ogni x e R, e proviamo che tale funzione è derivabile su tutto R e che la derivata è identicamente nulla; 1nfatti11 rapporto incrementale vale costantemente zero, qualunque sia l'incremento h t:. O (si veda la figura 6.1 ) : (29 .3)

f_C_x _+_h_)_-_r_cx_) = q_ -_q = ~ = 0 h h h

e quindi anche 11 limite del rapporto incrementale, per h -+ O, vale zero (11 lettore non cada nell'errore di considerare 1111mite per h-+ O di (29.3) una forma indeterminata 0/0). Più generalmente verifichiamo che la derivata della funzione f(x) = mx + q, con m e q costanti (11 cui grafico è una retta), è identicamente uguale ad m; 1nfatti11 rapporto incrementale vale costantemente m, qualunque sia h t:. 0: (29.4)

f(x + h) - f(x)

- - -,-----= h

(m(x + h) + q] - (mx + q] h

=m.

11 O

Capitolo 6

f (x ) = f( x +h l -+----------.....----'-l_x_J_...._c_ostante

)(

Figura 6.1

Abbiamo già. calcolato nel paragrafo precedente la derivata della funzione =x 2 , trovando f'Cx) =2x. Verifichiamo invece che la funzione f(x) = l x l non è derivabile per x = O. Infatti se h * O si ha

f(x)

f(O + h) - f(O) l O + h l - l O l l h l --:----= =h h h

(29.6)

Il limite per h (29.6)

--+

O del rapporto incrementale non esiste, perché risulta: l hl 11m - = l · h--+0+

h

•

l hl 11m =-1. h--+0-

h

Quindi f(x) = l x l non è derivabile per x = O; mentre esistono le derivate destra e sinistra, uguali rispettivamente a + l e - l.

Confrontiamo la nozione di derivabilltà. con quella di continuità.. Ricordiamo che una funzione f è continua in un punto x se (29 .7)

11m f(x +h)= f(x). h-+0

L'esempio precedente, con f(x) = l x l , mostra che una funzione continua può non essere derivabile. Invece, olflll funzione derivabile in x è continua, in x; infatti:

Derivate

(29.8)

111

11m f(x +h)= f(x) +11m [f(x +h)- f(x)) = h-+0

h-+0

= f(x) + 11m f(x + h) - f(x) . 11m h = h-+0 h h-+0 = f(x) + f' (x)· O= f(x). Se una. funzione è derivabile in tutti i punti di un intervallo (a., b), allora. la. sua. derivata. f' (x) è una. funzione definita. su Ca., b). Se questa. funzione è a. sua. volta. derivabile, diremo che la. sua. derivata. Cf')' è la. derivata seconda della. funzione f, ed indicheremo tale derivata. con uno dei simboli: (29.9)

f"

y" '

'

Se a. sua. volta. la. derivata. seconda. è derivabile parleremo di derivata. terza. f"' è così via.. Useremo, il simbolo per la. derivata. n-sima.. Può a.cca.dere che una. funzione ammetta. derivate fino a.d un ordine n e N; oppure che sia. derivabile infinite volte, cioè che ammetta. derivate di qua.lsia.si ordine n.

r:n)

Ad esempio, la funzione f(x) = x 2 ammette derivate di ogni ordine; infatti abbiamo verificato nel paragrafo precedente chef' (x) = 2X; poi dalla (29.4) ).l~gue che f"(x) = 2 e da~ (29.3) che f"'(x) =O; dato chef"' è costante, si ottiene f' .. =O e, analogamente, r-n)(x) =O per ogni n~ 3 . Invece, la funzione f(x) = x · l x l ammette per x = O derivata prima, ma non derivata seconda; infatti, essendo

f(x) =

(29.10)

f(x) è derivabile e, per x

~

O, si ha

f'(x) =

(29.11)

l l

se

x~

se

x< O

2x

se

x> O

- 2x

se

x< O

.

O

mentre, se x = O, si ha (29.12)

lim f(O + h)- f(O) = lim h l h l - O = lim 1h 1 = O; h-+0 h h-+0 h h-+0

112

Capitolo 6

pertanto f' (0) = O. In definitiva f(x) è derivabile per ogni x

E

R e la derivata vale

f'(x)=21xl,

(29.13)

Vx

E

R.

Però f' (x) non è derivabile per x = O; quindi non esiSte la derivata seconda di f(x) nel punto x= O.

30. Operazioni con le derivate Per le derivate valgono le seguenti regole di calcolo: OPERAZIONI CON LE DERIVATE. - Se f e g sono due funzioni derivabili in un punto x, allora sono derivabili in x anche la somma, la differenza, il prodotto, il quoziente (purché il denominatore sia diverso da zero), e si ha:

(30.1) (30.2)

(fg)' = f' g + fg'

(30.3)

f) f'g- fg' (g = g2 , (se g * 0). l

Dimostriamo la. (30.1) con 11 segno + : per ogni h* O, scriviamo 11 rapporto incrementa.le relativo alla. funzione somma. f + g: [f(x +h)+ g(x +h)]- [f(x) + g(x)] h

=

(30.4)

=

f(x + h) - f(x) h

g(x + h) - g(x)

+ -=------=--=--h

Dato che 11 limite di una. somma. è uguale alla. somma. dei limiti, per h --+ O si ottiene la. (30.1 ). Dimostriamo ora. la. regola. di derivazione del prodotto. A tal fine scriviamo 11 rapporto incrementa.le relativo alla. funzione prodotto fg:

Derivate

f(x + h) g(x + h) - f(x) g(x)

(30.5) =

h

=

f(x + h) g(x + h) - f(x) g(x + h) + f(x) g(x + h) - f(x) g(x) h

=

f(x + h) - f(x) h

g(x +

h)

113

=

f ) g(x + h) - g(x) + ex h .

La funzione g, essendo per ipotesi derivabile in x, è anche continua. Quindi al limite per h ~ O risulta g(x + h) ~ g(x). Dalla relazione sopra scritta si ottiene la tesi, passando al limite per h~ O. Per dimostrare la formula (30.3) relativa al quoziente, supponiamo g(x) '*O. Per 11 teorema della permanenza del segno (paragrafo 19), esiste un numero 6 > O per cui, se l h l < 6, allora g(x + h) -:~; O. Scriviamo 11 rapporto incrementale di f l g:

( f(x + h) _ f(x)) .!_ = f(x + h) g(x) - f(x) g(x + h) = g(x + h) g(x) h g(x + h) g(x) h (30.6)

=

f(x + h) g(x) - f(x) g(x) + f(x) g(x) - f(x) g(x + h) gcx + h) g(x) h

=

= (f(x + h) - f(x) (x) _ f(x) g(x + h) - g(x)) l . g(x + h) g(x) h g h Al limite per h ~ O si ottiene la tesi, ricordando che, come nel caso del prodotto, la funzione g è continua in x e quindi g(x + h) tende a g(x). Notiamo che un caso particolarmente importante di derivazione di un prodotto si ha quando una delle due funzioni è costante. Dato che la derivata di una costante vale zero, dalla regola (30.2) si ottiene (30. 7)

(cf)' =cf'

(c

= costante).

31. Derivate delle funzioni composte e delle funzioni inverse

Una delle più importanti regole di derivazione è quella relativa alle funzioni composte. Se y è funzione di z (y = f(z)) e z a sua volta è funzione di x cz = g(x)), y = f(g(x)) è la funzione compost& risultante. Si usa anche 11 simbolo f(g(x)) = fog(x).

114

Capitolo 6

Son~ funzion~composte, ad esempio, y = sen x 2 (y = sen z, z = x 2 ), oppure y = sen x (y = z , z = sen x).

TEOREMA DI DERIVAZIONE DELLE FUNZIONI COMPOSTE. -

Se

g è una. funzione derivabile in x, e se f è una. funzione derivabile nel punto g(x), aJlorala funzione composta. f(g(x)) è derivabile in x, e si ha

D f(g(x)) = f'(g(x)) g'(x).

(31.1)

Per semplificare la. dimostrazione, consideriamo in questo paragrafo soltanto 11 caso in cui risulti g(x + h) g(x) per ogni h O. n rapporto incrementa.le della. funzione composta., nel punto x, vale

'*

'*

( 31 _2 ) f(g(x +h))- f(g(x)) = f(g(x +h))- f(g(x)) . g(x +h)- g(x) .

h

g(x + h) - g(x)

h

Nel primo dei due quozienti a. secondo membro compare 11 rapporto incrementa.le della. funzione f nel punto g(x), con incremento k = g(x +h)- g(x). Tale incremento k tende a. zero per h~ O, dato che g è continua. in x. Quindi lim f(g(x +h))- f(g(x)) = h~o g(x + h) - g(x) (31.3)

= lim f(g(x) + k)- f(g(x)) = f'(g(x)), k~O

k

che corrisponde alla. tesi (31.1 ). Cosi, ad esempio, 1n base a.lla.rgola. d1 deriv~lone delle funzioni composte, la. derivata. della. f~ione y = se2 x va.le y' = cos(x ) · 2x, mentre la. derivata. della. funzione y = sen x= Csen x) va.le y ' = 2 sen x · cos x.

Esaminiamo ora la regola. di derivazione delle funzioni inverse. Ricordiamo quanto già detto circa le funzioni strettametne monotòne: una funzione f(x) è strettamente crescente nell'intervallo [a, b) se (31.4)

Se f è continua e strettamente crescente in [a., b) allora. è anche E [f(a.), f(b)] corrisponde un solo x E [a., b) per cui f(x) = y, e si indica x= ! 1(y); la stessa. proprietà vale per le funzioni strettamente decrescenti. invertibile, cioè a.d. ogni y

Derivate

115

TEOREMA DI DERIVAZIONE DELLE FUNZIONI INVERSE. - Sia. f(x) una funzione continua. e strettamente crescente (oppure stretr ta.mente decrescente) in un intervsJlo [a, b). Se f è derivabile in un puntoxe (a, b) esef' (x) ~o. aJlora.anchel 1 è derivabile nel punto y = f(x) e la. derivata. vale (31.5)

l

l

Dl 1 (y) = - - = -------,--f'(x) f'C 1 1 (y))

Invece di dare la dimostrazione, applichiamo U teorema. a.d un esempio concreto: la. funzione y = f(x) = x 2 è continua. e strettamente crescente per x > O. La. funzione inversa. f - 1 è x = r- 1 (y) = -./Y . Abbiamo già visto che la. funzione y = x 2 è derivabile e che la derivata. va.le y' = 2x. In ba.se a.l teorema. di derivazione delle funzioni inverse, anche x= y è deriva.bUe per y > O e la. derivata. va.le (31.6)

l l l D-./Y= - - = - = . D( x 2 ) 2x 2 ,fy

32. Derivate delle funzioni elementari In questo paragrafo calcoliamo le derivate di alcune funzioni elementari. Cominciamo con la potenza ad esponente naturale n: (32.1) Questa formula (che si ottiene anche dalla più generale formula (32.10)) si può dimostrare facendo uso del principio di induzione: abbiamo già verificato che D x = l (si veda la (29.4)); quindi la (32.1) è vera per n = l. Supponiamo, secondo lo schema del principio di induzione, che la (32.1) sia vera e calcoliamo per mezzo della regola di derivazione del prodotto: (32.2) =n xn- l x+ xn. l =(n+ l) xn.

Abbiamo quindi verificato che la (32.1) vale anche per l'indice n + l. Perciò la (32.1) è provata. Notiamo che U risultato ottenuto ci permette d1 ca.lcolare la. derivata. d1 un pollnomio qua.lsia.si:

116

Capitolo 6

y =&n x"+ &n - l xn-•+ ... +a. x+ &o ; (32.3)

y

l

= Il&n

xn - l + (n- l) &n - l xn-2 + ... + a •.

In particolare, la derivata d1 un pollnomio d1 grado n è un polinomio di grado n- l (n e N) .

Proviamo che la. derivata del logaritmo in base a ca. > o' a * l ) di x vale: l

'

D loga x = - lo&, e, x

(32.4)

o.

Utillzziam.o le proprietà del logaritmo (tra. cui la. sua. continuità) ed il limite notevole (16.8) 11m

loga (X + h) - loga X h

h--+0

(32.5)

x+

l x +h = 11m - log - - = h--+0 h a X

h)lth = lo&, 11m (l + -h)l/h =

= 11m lo&, (- h--+0 x

h--+0

x

Risulta ora chiaro l'interesse nel considerare logaritmi in base e: dato che log, e = l, la derivata del logaritmo in base e di x è semplice-

mente (32.6)

l

Dlogx = - , x

'

o.

La funzione y = log x è invertibile e la. sua. inversa è x= f!'. Dal teorema di derivazione delle funzioni inverse otteniamo

(32.7)

Dfì'=

l

l

=-=x=eY. D logx 1/x

Usando, come si è soliti fare, il simbolo x per denotare la. variabile indipendente, possiamo riscrivere la formula precedente:

Derivate

117

(32.8)

Ricordiamo la proprietà.: e1011 x = x, che è sempre utile quando si vuole calcolare la derivata di un esponenziale o di una potenza che non rientrano nei casi precedenti. Ad esempio, si può calcolare la derivata delle funzioni esponenziali con base a > O, a "#- l, facendo uso del teorema di derivazione delle funzioni composte: D

a x= D

eloga.X =D ex Joga. =

(32.9)

=ex Iog a. D(x log a) =ax log a. Analogamente si calcola la derivata della funzione potenza. xb, con esponente b resJe

(32.10)

= eb Iog x D(b log x) = xb · b- = b xb- 1

.

x

La. formula precedente è molto utile. È utllizzata ad esempio nel casi b = l /2 (in questo caso si riottlene (31.6)) e b = - l:

(32.11)

(32.12)

Calcoliamo ora. le derivate delle funzioni trigonometriche sen x, cos x, tg x. Cominciamo con (32.13)

D sen x = cos x;

D cos x = - sen x.

Dimostriamo la prima delle due: facciamo uso delle formule di addizione e dei limiti notevoli (15.10), (16.10): 11m sen(x + h) - sen x = h-+0 h

(32.14)

= 11m sen x cos h + sen h cos x - sen x = h-+0

= senx ·11m

h-+0

h

cos h-l senh h + cos x · 11m - h = cos x. h-+0

118

Capitolo 6

Allo stesso modo si calcola la derivata di cos x: 11m

COS (X

+ h) -

=

h

h--+0

(32.15)

COS X

= lim cos x cos h - sen x sen h - cos x = h--+0 h

cos h- l =cos x · 11m h--+0 h

senh

- sen x · 11m - h--+0

h

=- sen x.

La derivata della funzione tg x si calcola con la regola di derivazione del rapporto:

sen x) D(sen x) cos x- sen x D(cos x) D t gx= D (- = = cosx cos 2 x (32 . 16)

cos 2 x + sen2 x l = - -- - -- = -=-cos2 x

cos2 x ·

Riassumiamo in una tabella le principali formule di derivazione trovate in questo paragrafo: f(x) xb

f'(X) b xb-- 1

log x ex

1/x ex

sen x cos x tg x

cos x - sen x 1/cos2 x

33. Significato geometrico della derivata. Retta tangente Sia f(x) una funzione definita in un intorno di un punto x 0 e si consideri nel piano x, y il grafico della funzione, come in figura 6.2. Ci proponiamo di determinare l'equazione della retta r passante per

Derivate

119

y

f (X o)

Xo+ h

Xo

x

F1gura6.2

11 punto P 0 di coordinate (x0 , f(x 0 )) e tangente al grafico della funzione f. Ciò che preliminarmente è più opportuno fare, è determinare l'equazione di una retta r' secante 11 grafico della funzione f nei punti P0 =C:xo, f(x 0 )) e P= Cx0 +h, f(x 0 +h)). L'equazione di una generica retta non verticale è y = mx + q; determiniamo i parametri m, q imponendo che la retta passi per i punti dati: (33.1)

{

f(x 0 ) = m x 0 + q

(passaggio per P 0 )

f(x 0 + h) = m(Xo + h) + q

(passaggio per P)

Abbiamo un sistema in due equazioni nelle due incognite m, q, che si può risolvere per sostituzione, oppure sottraendo la prima equazione dalla seconda. Si ottiene m= [f( x 0 +h)- f( x 0 )]/h e poi si ricava q dalla prima equazione. L'equazione della retta secante risulta essere: (33.2)

L'equazione della retta tangente, quando esiste, è il limite per h~ O

120

Capitolo 6

dell'equazione della retta secante. Si può passare al limite nella (33. 2) se e solo se f è derivabile in Xo· Quindi, se f è derivabile in x 0 , si ottiene l 'equazione della. retta. tangente in (Xo, f(x 0 )) al grafico della. funzione f:

(33.3)

y

=f(x 0 )

+ f' Cx0 ) (x- x 0 ).

Quanto stabilito fornisce il significato geometrico della derivata. Dato che nell'equazione della retta tangente il coefficiente della x è uguale a m = f' (Xo), si dice che la derivata di una funzione f in un punto Xo è il coefficiente s.ngola.re della retta tangente al grafico della funzione nel punto (Xo, f(Xo)). La derivata è quindi una misura della pendenza. del grafico della funzione. Diamo un esempio numerico di utmzzazione dell'equazione della retta tangente, esaminando un problema d1 calcolo approssimato dei valori d1 una funzione. Normalmente non è immediato 11 calcolo del valore numerico d1 una funzione in un punto. Ad esempio, è facile calcolare a mente i valori numerici delle funzioni .JX , oppure sen x, solo per particolari valori della x. Al contrarlo, è sempre elementare calcolare i valori numerici delle funzioni y = mx + q, che hanno per grafico una retta. L'idea è quella d1 "sostituire" una funzione data con l'equazione della sua retta tangente in un punto d1 ascissa XQ, con x 0 vicino al punto x in cu1 si vuole calcolare la funzione. Dalla figura 6.3 è intultivamente chiaro che l'errore che si commette è tanto più piccolo, quanto più x è vicino all'ascissa del punto d1 tangenza Xo·

f(x)

-------------

t+f 1(Xo)(x-Xo)-- - - - - - -

-------

Xo

x

FigUra 6 .3 Cioè la quantità. f( Xo) + f' (Xo )(x- Xo) rappresenta una approssimazione d1 f(x), tanto migl1ore quanto più x è vicino ad XQ; scriveremo:

Derivate

(33.4)

f(x)

121

(se x è vicino adJCo) .

=f(Jeo) + f ' (JCo) (x- Xo)

n punto Xo va. scelto in modo che sia. semplice C&lcola.re f(Xo) e f'(XQ). Si può dare un sl.gnifioato rigoroso a.lla. scrittura. (33.4) usa.ndo i limiti. La. (33.4) sl.gnifioa che, non solo la. differenza tra. primo e secondo membro tende a zero qua.ndo x -+ XQ, ma a.nche che tende a. zero più rapidamente della. qua.ntità x XQ, cioè che: (33.6)

f(x)- [f(Xo) + f ' (Jeo)(x- JCo))

11m x-+ Xo

- - - - X-JCo - - - -- -=o.

La. verifica della. relazione sopra. scritta è lmmedla.ta; infatti, dato che f è deriva.bne in Xo. possiamo rlscrivere n limite precedente nella. forma:

(33.6)

11m x-+x.,

f(X)- f(Jeo) - - - - - f ' (Xo) X-JCo

=f'(Xo)- f'(Xo) =o.

Ad esempio, se f(x) =..{x, la. (33.4) diventa (33.7)

(se x-+ Jeo).

Volendo esprimere in forma decima.le (33.8)

.,J80 , scegliendo Xo =

81 otteniamo

.,JBO: 9 + -l ( - l ) = 9 -l- = 8 .9444 .. . 2 ·9

18

cn va.lore esatto è .,J80 = 8.9442 ... ). Qualcuno forse avrà pensato che n conto è stato possibne soltanto perché 80 è vicino a.l quadrato perfetto 81. Proviamo con ~ : si può C&lcola.re ~200, e poi dividere n risultato per 10. Il quadrato più vicino a. 200 è 196 = 142 ; si ha quindi: (33.9)

Perciò~= 1.41428 cn va.lore esatto di~ è 1.41421...).

I conti fatti dovrebbero aver dato un'idea dell'utllità delle derivate nella. tabula.zione delle funzioni elementari.

34. Le funzioni trigonometriche Inverse

Le funzioni trigonometriche sen x, cos x, tg x, non sono monotòne su tutto Re non esistono le loro funzioni inverse su R. Però

122

Capitolo 6

possiamo restringere ad un intervallo limitato l'insieme in cui prendere in considerazione tali funzioni, in modo che risultino monotòne nell'insieme considerato. Cominciamo con la funzione sen x. È una funzione strettamente crescente nell'intervallo [- 1t/2, 1t/2] . Consideriamo quindi f(x) = senx, con f: [-1t/2, 1t/2]---+ [-l, l]. La funzione f è continua e quindi assume tutti i valori compresi tra il suo minimo C= - l) ed il massimo C= 1). Essendo strettamente monotòna, è anche invertibile. Pertanto esiste la funzione inversa 1 1 : [ - l, l] ---+ [- 1t/2, 1t/2], che viene indicata con 1 1(x) = arcsen x (a:rcoseno di x) . Il nome deriva dal fatto che, se y = arcsen x, vuol dire che y è uguale alla misura dell'arco, o angolo, il cui seno è x (sen y = x). Il grafico dell'arcoseno si ottiene immediatamente dal grafico della funzione seno, come nella figura 6.4. x x== seny

y = arcsenx

1

-n/2 x

y

-- -n;2 Figura. 6 .4

La funzione arcoseno è quindi definita nell'intervallo chiuso[..: l, l]. Dal teorema di derivazione delle funzioni inverse si ottiene che la funzione arcsen x è derivabile nell'intervallo aperto C- l, l), e la derivata vale:

Darcsenx=

l l l =- - = = 1 _ sen2 y D sen y cos y

(34. 1) l

l

=---;====::== = = = =r== 2 l - sen (arcsen x)

sono state utilizzate le relazioni

=== '

l - x2

Derivate

(34.2)

cosy= l-sen2 y,

123

sen(arcsen x) = x,

la prima delle quali vale perché cos y >O per ogni y e (- Jt/2, Jt/2). La funzione arcsen x non è derivabile per x = ± l, dato che cos y = = D sen y si annulla per i corrispondenti valori y = arcsen (±l) = = ±Jt/2. Graficamente, ciò corrisponde al fatto che la funzione arcsen x ha retta tangente verticale se x = ± l. Passiamo alla funzione f(x) =cos x. Risulta chef: [0, Jt] ~ [- l, l J è continua e strettamente decrescente; quindi è invertibile in tale intervallo. La funzione inversa 1 1 : [- l, l J ~ [0, Jt] viene indicata con 1 1(x) = arcos x (arcocoseno di x). n grafico si ottiene dal grafico della funzione coseno, come in figura 6.5. x

y

x= cosy y= arcos x y

-1

1

x

Figura. 6.6

La funzione y = arcos x è definita nell'intervallo chiuso[- l, l]. È

derivabile nell'intervallo aperto C- l , l) e la derivata vale: Darcosx= D (34.3)

-l l l cosy = -seny = ~l- cos2 y =

-l -l =-;:~=l=- =c=os=2:=(=a=rc=o=s=x=) - ~l - x 2 La più usata funzione trigonometrica itlversa è quella relativa

124

Capitolo 6

y

y = arctg x

x

Figura 6.6

alla tangente. La funzione f(x) = tg x è continua e strettamente crescente nell'intervallo aperto (- 1t/2, 1t/2). È qu1nd1invertib1le in tale intervallo. La funzione inversa ! 1 : R ~ (- 1t/2, 1t/2) viene indicata con ! 1(x) = arctg x (a.roota.ngente di x) ed ha 11 grafico come in figura 6.6. La funzione y = arctg x è definita per ogni x reale. Per i limiti all'infinito si ha: (34.4)

1t 2

11m arctgx =-; x-++~

1t

11m arctgx = - -

2

x-+-

È una funzione derivabile per ogni x e R e la derivata vale: l

Darctgx=Dtgy= (34.5)

=

l

1/ cos 2 y

l

(cos 2 y + sen2 y)/ cos 2 y l

=

l

= l + tg2 (arctg x) = l + x 2

•

= l

l+ tg2 y

=

Derivate

125

Riassumiamo nella tabella seguente i valori trovati per le derivate: f(x) a.rcsenx a.rcos x a.rctg x

f'(X) l

~l -x2 - l

'b-r l

--

1

+r

Appendice al capitolo 6 Introduzione

All'inizio del presente capitolo, abbiamo introdotto il concetto intuitivo di derivata a partire da esempi di crescita. Vogliamo tornare sull'argomento descrivendo. fenomeni di crescita "esponenziale", e "logistica", sempre a partire da fenomeni naturali (rispettivamente, la crescita di batteri, e quella della popolazione mondiale). A6.1 Crescita di una popolazione batterica

Cominciamo con la descrizione della crescita di una popolazione, ad esempio di batteri. Supponiamo che una popolazione batterica sia costituita, in un certo istante, di No batteri. In un certo intervallo di tempo, ciascun membro della popolazione si divide in due, cosicché la popolazione diviene di 2 No batteri. In un secondo intervallo di tempo, uguale al precedente, la popolazione diviene di4 No batteri. Dopo k

intervalli di tempo, essa diviene di 2k No batteri. Indichiamo con N(t) 11 numero di batteri della popolazione all'istante di tempo t, e supponiamo che T sia 11 tempo di riproduzione. In precedenza abbiamo calcolato la funzione N(t) per t USUale ad un multiplo di T; infatti, per t= kT con k e N, abbiamo trovato che N(t) = 2~0 . Cioè 1n questo caso N(t) è una funzione del rapporto k = t/T.

126

Capitolo 6

Anche 1n generale 11 numero N(t) d1 batteri d1 una popolazione all'istante t dipende dal rapporto t/T. Esso è dato sperimentalmente Cln condizioni ideali ed entro certi limiti) dalla legge N(t) = N0 2t/T .

CA6.1.1) Ponis.m.o e A = 2 1 /T, cioè A =

(l /T)

log 2 . Otteniamo la legge di crescita: N(t) = N0 eAt .

(A6. 1.2)

Questa formula permette d1 valutare 11 numero d1 batteri di una popolazione, noti i numeri No ed A; cioè not111 numero lniziale d1 batteri, ed 11 tempo d1 riproduzione T. La funzione (A6.1.2) permette anche di stabllire 11 tempo di riproduzione T, una volta che siano not111 numero di batteri a due istanti d1 tempo distlnti t 1 , t 2 . Risulta: (A6.1 .3) N(t 1) = N0 eAt, , N(~)= N0 eA t, . Per ricavare A si considera 11 rapporto N( ~ )/NC t 1 ) e si calcola 11loga.ritmo 1n base e d1 entrambi 1 membri: (A6. 1.4) Ricordando 11 legame tra A e T si ottiene: l T=Aio g 2=

(A6.1 .6)

(~ - t 1 )/og2

log (N(~)/N(ti)J.

La formula precedente si applica in particolare per t 1 = O, in cui risulta N(t 1) = N(O) = N0 •

A6.2 Crescita della popolazione mondiale · La seguente tabella indica approssimativamente la. popolazione della. Terra. nelle epoche dal 10.000 avanti Cristo a.i nostri giorni e anche piu 1n là nel futuro, sotto forma. di previsione: 10.000 a..C

tra. 2 e 20 m111oni

l

250 milioni

d .C.

1650

500 m111oni

1830

l miliardo

1920

2 m111a.rdi

1950

2.6 miliardi

1987

5 miliardi

1999

6 miliardi

~009

7 miliardi

2020

8 miliardi

2030

9 miliardi

Naturalmente le ultime tre righe della tabella corrispondono a previsioni elaborate con metodi matematici. Scopo del presente paragrafo è di dare un 'idea di come si giunga matematicamente a formulare tali proiezioni. Indichiamo con p(t) C~ 0) il numero degli individui di una popolazione in funzione del tempo. Supponiamo che la popolazione sia isolata, cioè che la crescita non sia influenzata da fattori esterni. Indichiamo con t, t + h (h "1:- 0) due istanti di tempo. Supporremo che la crescita della popolazione, nell'intervallo di tempo h, sia proporzionale alla popolazione stessa e all'intervallo di tempo: CA6 .2.1)

p(t + h)- p(t) = ahp(t).

Il fattore di proporzionalità a può essere considerato costante in un piccolo intervallo di tempo. Però ciò non è realistico in un lungo intervallo di tempo; infatti è ragionevole pensare che maggiore è 11 numero degli individui, peggiori divengano le condizioni ambientali e di conseguenza minore divenga la capacità di riproduzione. Perciò si ottiene un modello più realistico supponendo che a sia una funzione decrescente di

p. Il belga Verhulst ha proposto un modello basato su una funzione a(p) lineare:

CA6.2.2)

a(p)'= - mp + q,

con m,q costanti positive. A causa del segno meno, la funzione a(p) è decrescente. n grafico di a(p) è riportato in figura 6. 7. Essendo interessati al caso a(p) > O, supporremo che CA6.2.3)

O< p< q/m.

Prima di procedere oltre è opportuno osservare che, per ogni t, p( t) è un numero intero; quindi la funzione p(t), se non è costante, è discon-

128

Capitolo 6

a (p)

p

m Figura 6.7

tinua. Nelle applicazioni è interessante considerare popolazioni con un grande numero di individui; in tal caso, non si modifica la sostanza del modello supponendo che p(t) vari con continuità riSpetto al tempo. Anzi, più precisamente, supporremo che p(t) sia derivabile riSpetto al tempo. Dividiamo entrambi i membri dell'equazione CA6.2.1) per h, e calcoliamo il limite per h -+ O; abbiamo CA6.2.4)

p' =ap.

Tenendo presente l'espressione CA6.2.2) di a= a(p), otteniamo l'equazione differenziale CA6.2.6)

cioè un'equazione la cui incognita è la funzione p= p(t) . Si tratta di un'equazione differenziale del primo ordine non lineare, che si può risolvere, la cui soluzione è del tipo (A6.2.6)

p(t) =

q m+ cq e--qt

La soluzione p(t) trovata è definita per ogni t se la costante c è positiva; inoltre, in tal caso CA6.2.7)

o < p(t) =

q O, le condizioni CA6.2.3) sono verificate.

Derivate

129

La funzione p(t) in CA6.2.6), detta funzione logistica, è crescente; dato che il coefficiente ad esponente della funzione esponenziale è negativo, per t~+ oo, p(t) tende al valore q 11m p(t) = - . t-H ~ m

CA6.2.8)

Il lettore è invitato a verificare, calcolando le derivate prime e seconde, che, se c, m, q sono positivi, la funzione p( t) è strettamente crescente per ogni t, è convessa per t< Cl /q) log(cq/m) ed è concava altrimenti. In figura 6.8 è disegnato il grafico di p(t).

p (t)

q

--------------

..!_ log E..9. q

m

t

Fl.gura. 6.8

Si noti che inizialmente p(t) cresce lentamente; poi la crescita diventa più rapida, in prossimità del punto di flesso; infine, per t ~ + oo, p( t) cresce più lentamente ed il tasso di accrescimento p' (t) tende a zero. Si noti anche che, per valori di p(t) vicini a zero, la funzione p(t) è convessa ed ha un grafico simile alla funzione esponenziale.

CAPITOLO 7 APPLICAZIONI DELLE DERIVATE. STUDIO DI FUNZIONI

35. Massimi e minimi relativi. Teorema di Fermat In questo capitolo esam1n1a.mo tra l'altro 11 problema d1 come disegnare 11 grafico d1 una funzione. Cominciamo col definire i punti d1 massimo ed i punti d1 m1n1mo relativo. Sia f(x) una funzione definita in un intervallo [a, b). Diremo che un punto Xo E [a, b) è d1 massimo (relativo) per f, nell'intervallo [a, b), se 11 valore f(Xo) è più grande dei valori f(x), con x E [a, b) vicino ad x 0 ; più precisamente, se esiste un numero d > O tale che

(35.1)

f(Xo);?: f(x),

V'x E [a, b):

lx -x0 l O per cui (35.2)

f(Xo)

:5;

f(x),

V'x E [a, b): l x- x 0 l O per cui (35.3)

f(Xo)

~

'V h: lhl O e h< O; dalla (35.3) si ottien~:

(35.4)

J

se

1~o

se -b , supponendo f' (x) ~ O per ogni x E (a, b), occorre dimostrare che, se a ~ x 1 < x 2 ~ b, allora f(x 1) ~ fCx 2 ). Scriviamo la tesi del teorema di Lagrange nell'intervallo [x 1, x 2 ]: esiste Xo E (x 1, x 2 ) per oui (37.3)

dato che f'(Xo) ~O e dato che x 2 > xlt risulta anche f(x 2 ) ~ fCx1). Viceversa, se la funzione f è crescente in [a, b), per ogni x E Ca, b) e h> O tale che x+ h E (a, b) risulta f(x +h) ~ f(x) e quindi (37.4)

f(x +h)- f(x) > 0 h

-

(il lettore noti che la (37.4) vale anche per h< 0); al limite per h~ o• si trova la tesi f' (x)~ O.

Consideriamo a.lcuni esempi di a.ppllcazione del criterio precedente. La. funzione ex è (strettamente) crescente su tutto R, perché la. derivata. D ex = ex è positiva.. La. funzione log x è crescente per x> O, perché la sua. derivata. D log x= l /x è positivBs.a Così pure la funzione a.rctg x è crescente su tutto R, perché D(a.rctg

20 dEfiva.ta. ugua.le a. 2x, che è positiva. per x> O, negativa. per x x) =r.!/ < O; quindi la funzione x è decrescente per x< O e crescente per x> O; x= O è perciò un punto dl m1n1mo. La. funzione f(x) = x 3 - 3x ha. come derivata. f' = 3Cx2 - l), che si a.nnulla. per x=± l, è positiva. all'esterno dell'intervallo[- l, l), ed è negativa. a.ll'interno. Quindi la. funzione f è crescente per x > l e x < - l, ed è decrescente per- l < x < l. Il punto x = - l è dl ma.ssimo relativo, mentre il punto x = l è dl minimo. Queste sole considerazioni, unita.mente a.d a.lcuni va.lori della. funzione (per x = O, x = ± l, x = ± 3 ~ facilmente ca.lcolablll, permettono di disegnare il gra.fico della. funzione f(x) = x - 3x come in figura. 7.4.

~i~n~ ~ ha.

136

Capitolo 7

Fl.gura 7.4 In generale, si tenga conto che 11 segno della derivata prima costituisce una delle principali informazioni per disegnare 11 grafico d1 una funzione.

Conseguenza del criterio di monotonia è la CARATTERIZZAZIONE DELLE FUNZIONI COSTANTI IN UN INTERVALLO.- Una funzione è costante in un intervallo [a, b) se e solo se è derivabile in [a, b) e la derivata è ovunque nulla.

Dimostrazione: come in (29.3) si prova che la derivata di una funzione costante in [a, b) è nulla per ogni x E [a, b). Viceversa, se f(x) è derivabile in [a, b) e f' (x) =O per ogni x E [a, b), per i criteri di monotonia (37.1), (37.2), f(x) è contemporaneamente crescente e decrescente in [a, b); perciò, per ogni x E (a, b) (essendo x> a) risulta allo stesso tempo f(x) ~ f(a) e f(x) ~ f(a); cioè f(x) è identicamente uguale ad f(a). Combinando 11 criterio d1 monotonia e 11 teorema d1 caratterizzazione delle funzioni costanti in un intervallo si giunge facilmente al seguente: CRITERIO DI STRETI'A MONOTONIA. derivabile in (a, b). Allora

Sia f una funzione continua in (a, b) e

Applicazioni delle derivate. Studio di funzioni

f' (x) ~ O, Vx e (a., b); f' non si annulla identi(37.5)

camente in alcun intervallo contenuto in (a.,b)

(37.6)

f'(x) ~ O, Vx e Ca., b); !' non si annulla identica-

mente in alcun intervallo contenuto in (a.,b)

137

l~ fèstrettamentecrescentein [a., b);

l

~ f è strettamente decrescente in [a., b).

Dimostrazione: proviamo l'implicazione ~ in (37 .5); essendo f' (x) ~O per ogni x E (a, b), per 11 criterio d1 monotonia (37.1) f(x) è crescente in (a, b). Se non fosse strettamente crescente, esisterebbero xlt x 2 E (a, b) con x 1 < x 2 tali che f(x 1 ) = f(x 2 ); ma allora, dato che f(x 1) s; f(x)::;; f(x 2 ) se x 1

~

f(x 0 ) + f' (x0 ) (x- x 0 ),

'\/x, x 0

E

[a, b);

Applicazioni delle derivate. Studio di funzion i

f(X) :5 f(X 0 )

(38.2)

f concava in [a, b)

139

+ f' (X0 ) (X- X 0 ),

~::) {

"ii x, x 0

E

[a, b).

Si può dimostrare il seguente utile: CRITERIO DI CONVESSITÀ. - Supponiamo che f(x) sia una funzione derivabile in [a, b) e che ammetta derivata seconda in ca, b); le seguenti condizioni sono fra loro equiva.lenti

è convessa in

[a, b);

(a)

f(x)

(b)

f' (x) è crescente in [a, b);

(c)

f''(x)

~

O per ogni x

E

Ca, b).

Osserviamo subito che un analogo criterio vale per le funzioni concave; in particolare una funzione f(x) derivabile due volte è concava in [a, b) se e soltanto se f'(x) ~ O per ogni x e (a, b). Riprendiamo gli esempi introdotti nel paragrafo precedente. La fWlZione ex è

~;~e:~~~~~~~e~,x~~.c~:!h~uÌ: ~~~vd~~~=:~c;aco~~~! ~~s)!i~aè ~~:~~-n~ lettore può verificare che la fWlZione arctg x è convessa per x< O, ed è concava per x> O; 11 punto x = O è di flesso per la fWlZione arctg x. La fWlZione x 2 è convessa su tutto R. La fWlZione f(x) = x 3 - 3x, considerata in precedenza, ha come derivate successive: f' = 3x2 - 3, f' = 6x. Quindi f(x) è convessa per x> O ed è concava per x< O. Si confronti con il grafico in figUra 7.4. Le proprietà. stab111te in questi ultimi due paragrafi ci consentono di motivare il grafico delle fWlZioni trigonometriche sen x , cos x. Consideriamo ad esempio la funzione f(x) = sen x, limitatamente all'intervallo [0, 2.11'). Calcoliamo 11 segno delle derivate f' = cos x, f ' = - sen x : x

rr 0- x-+ o•- b

= 11m

Per mezzo del teorema d1 L'HOpita.l si calcolano anche a.lcunilimltl che si presentano sotto le forme indetermlna.te Oo, l - , ooo, come negli esempi seguenti:

(39.10) Um

x logx

= e x-+ o•

(39.11)

IIm

logx

IIm

= e x-+ o• 1/x = e x-+ o• -

11x 1/ x• = e o = l.

x-+0

x-+0

sen xl IIm oos x x =e• -oO l+senx=e'=e.

IIm l CO +

=e•-oO

40. Studio del grafico di una funzione I risultati ottenuti 1n questo capitolo ci permettono di studiare l'andamento d1 una funzione f(x) e di disegnarne 11 grafico. 8i può procedere secondo lo schema seguente: A. - 8i determina 11 dominio (o insieme di definizione) della funzione f(x).

144

Capitolo 7

B.- Si esamina se la funzione gode di qualche simmetria; ad esempio se f è una funzione pari: fC- x) = fCx), 'l;f x, oppure dispari: fC- x) = - fCx), 'l;fx, oppure periodica di periodo T: fCx + T) = fCx), 'l;fx E R. Quando è semplice farlo, si calcolano le intersezioni con gli assi ed 11 segno della funzione. C. -Si determinano gu eventuali asintoti orizzontali o verticali. Ricordiamo che gli asintoti orizzontali si trovano calcolando i limiti per x ~ ± oo, se tali limiti esistono e sono finiti. Cioè: C40.1)

y

=c

asintoto orizzonts.le

O. Quindi la derivata prima è positiva se (l - l/x) > O, cioè se x > l oppure x < O. La derivata prima è negativa se O < x < l. Ne segue che la funzione è crescente nei due intervalll (- oo, 0) e (l, + oo), ed è decrescente nell'in· tervallo (0, l). n punto x = l è di m1nimo relativo; in corrispondenza la funzione assume 11 valore f( l) = e. E. - La derivata seconda vale

(40.11) =e

1/x

x

l ( l . x2 . - l + l + l ) = e 1/x . x3 .

La derivata seconda è positiva per x> O, ed è negativa per x < O. Quindi la funzione è convessa per x > O, ed è concava per x < O. Dato che f(x) non è def1n1ta per x= O, non ci sono punti d1 flesso.

F.- Poiché 1111mite (40.7) per x-+± oo vale 1nf1n1to, occorre esaminare se esistono asintoti obliqui. Calcoliamo, come in (40.6), i limiti (40.12)

q= 11m (xe 11 x -x)= 11m x( e 11 x -l)=

(40.13)

=11m el/x=l; X~.!_oo

per calcolare q si è usato 11 teorema di L'Hòpital. Si è trovato che la retta di equazione y = x + l è un asintoto obliquo per x -+ ± oo per la funzione f(x).

Applicazioni delle derivate. Studio di funzioni

147

y

y,. xe 1/ x

r

1

/l

l l

x

FigUra. 7.8 Con gli elementi trovati (dom1n1o della funzione, segno, a.sintoto verticale per x--+ o•, limite notevole (40.8) per x--+ o-, 1nterva.lll d1 monotonia e d1 convessità, punto d1 minimo relativo 1n x= l, a.sintoto obliquo) si e segue 11 disegno del grafico di f come 1n figura. 7.8.

CAPITOLO 8 INTEGRALI DEFINITI

41. Definizioni e notazioni Lo studio degllintegr&ll definiti è importante per 11 calcolo delle aree di figure piane. In particolare, data una funzione continua e positiva in un intervallo chiuso [a, b), tale studio conduce alla definizione e al calcolo dell'area di quella parte di piano che è compresa tra 11 grafico della funzione, le rette verticali di equazioni x = a e x = b e l'asse delle ascisse. Sia f(x) una funzione continua nell'intervallo chiuso [a, b) di R. Una partizione P di [a, b) è un insieme ordinato costituito di n + l punti distinti Xo, x 1 , ... , Xn, con n e N, t&l1 che (41.1)

a= x 0 < x 1 < ... < xk < ... < Xn =b.

Quindi, per definizione, risulta P= tx 0 , x 1 , ... , Xnl· Gli n + l punti individuano n intervalli [xk-lt xk], con k = l, 2, ... , n. Per ogni partizione P di [a, b), poniamo (41.2) (41.3)

Ricordiamo ora che vi è un modo compatto per scrivere la somma. di più addendi, che fa. ricorso al simbolo di sommatoria. Se a 1 , ~ •••• , &n

150

Capitolo 8

sono n numeri reali, poniamo n

L

(41.4)

k=l

~

= ai+

a2+ · · · + B-n-1 + B.n

e leggiamo il primo membro come "sommatoria degli ak per k che va da l an" . Definiamo le somme (integrali) inferiori n

s(P) =

(41.5)

L mk Cxk- xk_1 ) k=l

e le somme (integrali) superiori n

S(P) = L Mk Cxk- xk_1).

(41.6)

k=l

Se la funzione f(x) è positiva in [a, b), le somme integrali hanno il chiaro significato geometrico di somma delle aree dei rettangoli rispettivamente inscritti e circoscritti, come in figura 8 .l. Si noti però che s(P), S(P) sono definite, indipendentemente dal significato geometrico di area, anche se f(x) non è positiva nell'intervallo [a, b).

a =X 0

x.

x Figura 8.1

Dato che mk (41.7)

~

Mk per ogni k, dalla definizione risulta che s(P) ~ S(P),

'v' P.

Integrali definiti

151

Più in generale, vale il seguente lemma, di cui omettiamo la dimostrazione: LEMMA.- Sia m~ f(x) ~M per x partizioni P, Q di [a, b), si ha

(41.8)

m(b-

a)~

E

[a, b); per ogni coppia di

s(P) ~ S(Q) ~ M(b- a).

Indichiamo ora con A l'insieme numerico descritto dalle somme integrali inferiori s(P) e con B l'insieme delle somme superiori S(Q), al variare delle partizioni P e Q dell'intervallo [a, b): (41.9)

A= (s(P)};

B = (S(Q)}.

Dal lemma precedente segue che i due insiemi A e B sono separati, cioè a~ b per ogni a e A, bE B. Dall'assioma (2.11) di completezza segue che esiste almeno un numero reale c maggiore o uguale a tutti gli elementi di A e minore o uguale a tutti gli elementi di B. Sfruttando la continuità f di prova il seguente importante teorema, di cui omettiamo la dimostrazione TEOREMA (DI INTEGRABILITÀ DELLE FUNZIONI CONTINUE).Gli insiemi A e B definiti ds.lla ( 41 . 9) ammettono un unico elemento di separazione, che si indica con b

c=

(41.10)

J f(x) dx a.

e si chiama integrale definito di fin [a, b). Dal lemma precedente segue b&nalmente che, se f(x) è una funzione costante con f(x) = m per ogni x e [a., b), allora b

(41.11)

b

Jf(x) dx =J mdx = m (b - a.) a

a

L'integrale definito di una funzione ha un notevole significato geometrico. Ad esempio, se f(x) è una funzione positiva, continua nell'intervallo chiuso [a, b), qualunque siano le partizioni P e Q di [a, b), la somma s(P) rappresenta l'area di un pluriretts.ngolo (cioè di una unione di rettangoli) contenuto nell'insieme

152

Capitolo 8

(41.12)

S =((x, y) e [a, b)

x R:

O$ y $ f(x)},

mentre la somma S(Q) rappresenta l'area di un plurirettangolo contenente S. L'insieme S prende il nome di retta.ngoloide di base [a, b) relativo alla funzione f(x). n teorema precedente afferma allora che vi è un unico numero c tale che s(P)

(41.13)

$

c

$

SCQ)

qualunque siano le partizioni P e Q di [a, b), cioè un unico numero compreso fra le aree dei plurirettangoli "inscritti" e quelle dei plurirettangoli "circoscritti". Tale numero, che è l'integrale di f su [a, b), può essere ragionevolmente assunto come area del rettangoloide S. In altre parole, possiamo affermare che, se f(x) è positiva e continua, l'area del rettangoloide di base [a, b) è uguale all'integrale (41.10) .

Concludiamo il paragrafo con alcune utili notazioni e definizioni. Nell'espressione (41.10) i numeri a, b si dicono estremi di integrazione, la funzione f si dice funzione integranda, la variabile x si dice variabile di integrazione. Si noti che il risultato dell'integrazione non dipende da x, cioè non è una funzione (non costante) di x, ma è semplicemente un numero reale. È utile considerare l'integrale definito (41.10) anche se il primo estremo di integrazione non è minore del secondo. Poniamo:

Jf(x) dx = -j f(x)dx (a> b); .a.

b

(41.14)

a.

b

a.

(41.15)

f

f(X)

dx = 0.

a.

42. Proprietà degli integrali definiti

Esaminiamo alcune semplici proprietà dell'integrale definito di una funzione integrabile in un intervallo chiuso e limitato. Cominciamo con una proprietà che ha un chiaro significato geometrico quando si interpretano gU integrali definiti di funzioni positive come

Integrali definiti

153

aree di certe regioni piane. In ta.le contesto la proprietà di additività corrisponde al fatto che l'area della unione di due regioni piane prive di punti in comune è uguale alla somma delle due aree. ADDITIVITÀ DELL'INTEGRALE RISPETTO ALL'INTERVALLO.Se a, b, c sono tre punti di un intervs.llo dove la funzione f(x) è integrabile, s.llora c

b

b

J f(x) dx = J f(x) dx + J f(x) dx.

(42.1)

a

a

c

Dimostrazione: se due, tra i tre punti a, b, c, coincidono fra loro, allora la tesi (42.1) segue dalle definizioni (41.14), (41.15). Altrimenti, consideriamo preliminarmente 11 caso in cui c sia un punto interno all'intervallo [a., b). Se P 11 P 2 sono partizioni rispettivamente degli intervalli [a, c], [c, b), allora P = P 1 u P 2 è una pa.rtizione dell'intervallo [a, b) e risulta: (42.2) Da ciò segue fac1lmente la tesi. I casi rimanenti (ad esempio con b interno all'intervallo [a., c], ecc) si riconducono al caso già trattato, tramite la C41.14). LINEARITÀ DELL'INTEGRALE.- Se f, g sono funzioni integrabili in [a, b) e se c è un numero reale, a,nche f + g e c · f sono integrabili in [a, b) e risulta b

(42.3)

J

b

[f(x) + g(x)] dx = J f(x) dx + J g(x) dx;

a

a b

(42.4)

b

a b

J c· f(x) dx =c· J f(x) dx. a

a

Dalla definizione di integrale segue fac1lmente anche la seguente proprietà.: CONFRONTO TRA INTEGRALI.- Se f, g sono funzioni integrabill in [a, b) e se f(x) s g(x) per ogni x e [a, b) s.llora

154

Capitolo 8

I

b

(42.5)

I

b

f(x) d.x s

a

g(x) d.x

a

Dato che l'integrale definito della funzione identicamente nulla è zero, dalla proprietà precedente si deduce che: (42.6)

f(x)

.b

~O

=>

j f(x)

d.x

~O Ca< b).

a

Infine, ut111zzando le disuguaglianze - l f(x) l

(42.7)

s f(x) s l f(x) l, V'x E [a, b),

ancora dalla proprietà di confronto (42.5) e dalla (42.4) con c=- l, si deduce (42.8)

b

b

b

a

a

a

-I l f(x) l d.x s I f(x) d.x s I l f(x) l d.x,

che, in base alle proprietà del valore assoluto, si scrive anche nella forma:

I

b

(42.9)

I

b

f(x) dx s

a

l f(x) l d.x

(a< b).

a

43. Il teorema della media

Nella dimostrazione del teorema fondamentale del calcolo integrale (proposto nel paragrafo 44) faremo uso del risultato che segue. Be f(x) è una. funzione continua. in [a, b) ts.le che

TEOREMA DELLA MEDIA. -

[a, b), esiste un punto Xo

E

Integrali definiti

I

155

b

(43.1)

f(x) d.x = fCXo) (b-a). o

a

Dimostrazione: l'integrale definito è l'elemento di separazione delle somme integrali inferiori s(P) e delle somme integrali superiori S(P); perciò, qualunque sia la partizione P dell'intervallo [a, b), risulta (43.2)

s(P)

~I

b

f(x) d.x ~ SCP).

a

Scegliendo la partizione banale di [a, b), costituita dai soli punti a, b CP =(a, bD, otteniamo (43.3)

s(P) =m Cb -a),

S(P) =M (b-a).

o

o

dove m, M rappresentano rispettivamente il minimo ed il ms,ssimo della funzione f(x) nell'intervallo chiuso e limitato [a, b), certamente esistenti in base al teorema di Weierstrass (paragrafo 19). Sostituendo la (43.3) nella (43.2) otteniamo (43.4)

m · Cb - a)

~

I

b

f(x) d.x ~ M · Cb - a)

a

e dividendo tutti i membri per la quantità positiva Cb- a) (che non cambia il verso delle disuguaglianze)

(43.5)

m ~ b l-a

Ibf(x) d.x

~M .

a

Indichiamo con y 0 e R il valore

(43.6)

l Yo = b -a

Ibf(x) d.x , a

che quindi, per la (43.5), è un valore compreso fra il minimo m ed il massimo M di f(x) nell'intervallo [a, b). In base al secondo teorema

156

Capitolo 8

d1 esistenza dei valori intermedi (paragrafo 19), esiste un punto Xo e [a, b) tale che f(Xo) = y 0 ; ricordando la definizione (43.6) d1 y 0 , ciò significa

(43.7)

l f(y0 ) =b-a

Jbf(x) dx, &

che equivale alla tesi (43.1).

CAPITOLO 9

INTEGRALI INDEFINITI

44. Il teorema fondamentale del calcolo Integrale

Ci proponiamo di mettere in evidenza una importante relazione tra integrali e derivate, che ha notevoli applicazioni in tutto 11 calcolo integrale. Siafunafunzionecontinuanell'intervallo[a, b].Perognixe [a, b) consideriamo l'integrale definito: x

(44.1)

F(x) = J f(t) dt. a

Notiamo che abbiamo rappresentato l'integrale definito usando la variabile di integrazione t, invece che la x, con un puro scambio di simboli. Invece abbiamo denotato con x 11 secondo estremo di inte-

grazione. Per ogni x è determinato l'integrale definito nell'intervallo [a, x] della funzione f; pertanto 11 risultato dell'integrazione risulta una funzione di x. Ciò spiega 11 simbolo di funzione F(x) a primo membro della C44.1 ); tale funzione si chiama funzione integrale. TEOREMA FONDAMENTALE DEL CALCOLO INTEGRALE. -Sia f una. funzione continua nell'inte:rv&llo [a, b). La funzione integrale F(x), definita. in C44 .l), è derivabile e la derivata. vale

158

Capitolo 9

(44.3)

F'(x)

=f(X),

V'x e [a, b).

Dimostrazione: occorre calcolare U limite del rapporto incrementa.le della funzione F(x), quando l'incremento tende a zero. Cominciamo con U rapporto incrementale F(x + h~ - F(x) = ~ [

(44.4)

=~[

X+h

f f(t) dt + f

f(t) dt -

X+h

X

a

=~

t

t l X

l

f f(t) dt = X

f(t) dt-

f(t) dt =

x

a

X+h

f

f(t) dt.

x

Abbiamo utilizzato la proprietà di additività dell'integrale rispetto all'intervallo. Trasformiamo l'ultimo integrale per mezzo del teorema della media applicato all'intervallo di estremi x e x + h: esiste un punto compreso tra x ed x + h, che dipende quindi da h, che indichiamo con x(h), tale che X+h

(44.5)

F(x +h)- F(x) = ~ J

h

h

f(t) dt = f(x(h)).

x

Dato che x(h) è compreso tra x ed x+ h, per (44.8)

h~O

risulta:

lim X(h) =X. h~O

La tesi segue dalla continuità della funzione integranda f; infatti:

(44.7)

11m FCx +h)- F(x) = lim f(x(h)) = f(x). h~O

h

h~O

Integrali indefiniti

159

45. Primitive. Formula fondamentale del calcolo Integrale

DEFINIZIONE. - Una funzione F(x), derivabile nell'intervallo [a, b), è una primitiva di f(x) se F' (x) = f(x) per ogni x E [a, b). Ad esempio una primitiva della funzione f(x) =x è F(x) = x 2 /2. Una primitiva della funzione f(x) = sen x è F(x) = - cos x.

Tenendo presente la definizione di primitiva, possiamo enunciare il teorema fondamentale del calcolo integrale dicendo che: se f è una funzione continua in [a, b), allora la funzione integrale F, definita in (44.1), è una primitiva di f. È chiaro che, se F(x) è una primitiva di una funzione f(x), anche G(x) = F(x) +c, qualunque sia la costante c, è una primitiva di f(x). Come provato nel lemma seguente, vale anche il viceversa, cioè tutte le primitive di f si ottengono nel modo anzidetto. Ciò caratterizza l'insieme delle primitive di una data funzione. CARATTERIZZAZIONE DELLE PRIMITIVE DI UNA FUNZIONE IN UN INTERVALLO. - Se F(x) e G(x) sono due primitive di una. stessa. funzione f(x) in un intervallo [a, b), esiste una. costante c tale che (45.1)

G(x) = F(x) + c,

Vx

E

[a, b).

Dimostrazione: poniamo H(x) = G(x)- F(x); risulta (45.2)

H'(x) = G'(x)- F'(x) = f(x)- f(x) =O.

Applichiamo il teorema di Lagrange alla funzione H(x) nell'intervallo [a, x], con x fissato in (a, b): esiste x 0 E (a, x) tale che (45.3)

H(x)- H(a) = H'(Xo)(x- a)= O· (x- a)= O;

perciò H(x) = H(a), per ogni x e (a, b). Ponendo c= H(a), HCx) risulta costante, uguale a c, per ogni x E [a, b) (si noti che avremmo potuto equivalentemente dedurre dalla (45.2) che H(x) è una funzione costante in [a, b), utilizzando la caratterizzazione delle funzioni costanti del paragrafo 37). Quindi, G(x) = F(x) + H(x) = F(x) +c, per ogni x E [a, b). La formula che segue riconduce il calcolo degli integrali definiti alla ricerca delle primitive delle funzioni continue.

160

Capitolo 9

FORMULA FONDAMENTALE DEL CALCOLO INTEGRALE.- Sia f una funzione continua in [a, b). Sia G una primitiva di f. Allora b

J f(x) dx = [G(x) ]~ =G(b)- G(a).

(45.4)

e.

1:

n simbolo [G(x) significa appunto la differenza dei valori della funzione G(x) per x = b e x = a. Per dimostrare la formula fondamentale, consideriamo la funzione integrale (44.1), indicando con t la variabile di integrazione. La funzione integrale F e la funzione G sono entrambe primitive della funzione f. In base alla caratterizzazione precedente, esiste una costante c tale che x

(45.5)

G(x) = F(x) + c = c + J f(t) dt,

'Vx e [a, b).

e.

Per x = a abbiamo a

(45.6)

G(a) = c +

J f(t) dt = c a

e, sostituendo 11 valore trovato al posto di c nella (45.5), x

(45.7)

G(x) = G(a) +

J f(t) dt. a

La tesi segue ponendo x= b in (45. 7). Media.nte la formula fondamentale del calcolo tntegra.le si risolve fa.cllmente U problema. consistente nel ca.lcolo dell'integrale deflnlto, ad esempio, della. funzione f(x) = sen x nell'interva.llo (0, :rt): da.to che una primitiva della. funzione sen x è O(x) = - oos x, si ottiene Il

(46.8)

J sen x dx =(-os x)~ =- cos :rt + cos O =2 . o

Integrali indefiniti

161

46. L'Integrale Indefinito

Nel paragrafo precedente abbiamo ricondotto il calcolo di un integrale definito alla ricerca delle primitive della funzione integranda. È perciò naturale porre la seguente DEFINIZIONE. - Bis. f uns. funzione continua in un intervs.llo [a, b). L 'insieme di tutte le pri.mitive di f in [a, b) si chis.ms. integrale indefinito di f e si indica. con il simbolo

Jf(x) dx.

(46.1)

In base alla caratterizzazione data nel paragrafo precedente, possiamo affermare che

Jf(x) dx = F(x) + c,

(46.2)

dove F è una primitiva di f e c è una costante arbitraria. Sottolineiamo che c'è una sostanziale differenza tra l'integrale definito e quello indefinito, che indichiamo rispettivamente con i simboli b

(46.3)

J f(x) dx,

Jf(x) dx;

a

il primo dei due integrali è un numero reale, il secondo integrale è un insieme di funzioni. Il legame tra i due integrali è dato dalla formula

fondamentale (45.4). Ricordando che la derivata di una somma è uguale alla somma. delle derivate, si ottiene la proprietà. corrispondente per gli integrali indefiniti: (46.4)

J[f(x) + g(x)] dx = Jf(x) dx + Jg(x) dx.

Analogamente, ricordando la. formula. (30. 7), che esprime la. derivata del prodotto di una costante per una funzione, risulta

162

Capitolo 9

(46.5)

Jc f(x) d.x =c Jf(x) d.x (c = costante).

Si notil'a.na.logta delle due proprietà sopra. elencate per l'integrale indefinito con le proprietà dilinea.ritA (42.3), (42.4) per l'integrale definito.

Riportiamo di seguito una. serie di1ntegra.l11ndef1niti1mmediat1. Ta.liintegra.li, di facile verifica., sono ottenuti a partire dalle tabelle per le derivate esposte nei paragrafi 32, 34. xb+l

(46.6)

f xbd.x =--+c b +l '

b:;é-1

(46.7)

J~ d.x = log x + c,

X>O;

(46.8) (46.9)

Jsen x d.x = - cos x + c ;

(46.10)

Jcos x d.x = sen x + c ;

(46.11)

fcos x d.x=tgx+c;

(46.12)

f~l-x d.x = arcsen x + c ;

1

2

1

2

(46.13) A proposito dell'integrale ( 46. 7), notia.mo che risulta. (46.14)

l

Dlog lxi=-, x

TI

x~

O;

infatti, se x > O la. relazione precedente è ben nota.. Invece, se x < O, per la. regola. di derivazione delle funzioni composte, risulta.

Integrali indefiniti

(46. 16)

l

l

Dloglxl =Dlog(-X)=-·(-1)= -x x

163

(XO. Pertanto (0, .;2 /2) è un punto d1 massimo e (0, - .;2 /2) è un punto d1 minimo per la. funzione f(x, y), 11 cui grafico è rappresentato 1n figura. l 0.16. Chiudiamo 11 pa.ra.gra.fo con un esempio d1 punto d1 massimo (o d1 minimo) per una. funzione con determinante Hessia.no nullo. Dalla. figura. l 0 .11 si vede chiaramente che 11 punto centrale, d1 coordina.te (0, 0), è d1 massimo per la. funzione (66.23)

f x. L'insieme S può esser rappresentato dalla parte di piano tratteggiata in fig. 10.19, cioè da un semipiano di origine la retta y = x, privato dei punti della retta stessa. y

x

Figura l 0.19

Se invece consideriamo la disequazione: y

(A10.1.3)

~x,

l'insieme T delle sue soluzioni è l'unione di S con l'insieme dei punti della retta y =x. In generale, risolvere la d.isequs.ztone dJ prtmo grado in due variabili x e y: CA10.1.4)

vuol dire determinare l'insieme T delle coppie (x, y) di numeri reali che, sostituiti nella (A10.1.4), rendono soddisfatta la disuguaglianza. Per risolvere la disequazione (A10.1.4), consideriamo la retta r di equazione ax + by = c ed osserviamo che, se b > O, la disequazione (A10.1.4) equivale alla:

a

c

b

b

y~- - X+ -

e dunque, una soluzione (x, y) della disequazione data ha ordinata y maggiore o uguale all'ordinata:

198

Capitolo 10

CA10.1.5)

a

- -

b

c

X+ -

b

del punto dir che ha la stessa ascissa x (fig. 10.20).

a c y=--X+b

b

x Figura 10.20

Pertanto, l'insieme delle soluzioni ex, y) della disequazione CA10.1.4) è uno dei due semipianiindividuati dalla retta r (quello superiore). Se invece è b l , esiste un indice v per cui (60.8)

V'n> v.

Quindi la successione B.n è strettamente crescente per n > v, e perciò non può convergere a zero; in base alla proposizione del paragrafo 56, la serie data è divergente (essendo a termini positivi). Come esempio consideriamo la serie esponenziale (60.9)

con x numero reale fissato. Ponendo (60.10)

an= x

0

/nl, se x> O si trova

B.r,.,

xn•l

8.n

(n+ 1)1

-=

nl

x

·-=--; X

0

n+ l

la quantità an + l l an tende a zero per n ~ + oo; in base al criterio del rapporto, la serie esponenziale è convergente per x > O.

Talvolta è utile anche il criterio seguente, detto della radice, che si dimostra confrontando la serie data con la serie geometrica, analo-

gamente a quanto è stato fatto per dimostrare il criterio del rapporto. CRITERIO DELLA RADICE. - Sia &n una successione a termini non negativi. Supponiamo che esista il limite (60.11)

l' =lim ~n-++ ~

Allora vaJgono le stesse conclusioni (60.4), (60.5) del criterio precedente.

Dimostrazione: nell'ipotesi c< l, sia E > O tale che l'+ E < l. Per definizione di limite, esiste v E N tale che~< l' + E per n~ v, ovvero tale che &n l, sia v E N tale che ~ > l , cioè &n > l per ogni n > v. Poiché &n non può essere infinitesima, per la proposizione del paragrafo 56 la serie non è convergente e dunque è divergente (in quanto a termini non negativi).

Appendice al capitolo 11

A 11.1. Moltiplicazione dei depositi bancari Discutiamo in questo paragrafo di un argomento di attualità, che ha influenza sulle attività economiche di uno Stato. In particolare parliamo della quantità di moneta in circolazione, che influenza la bilancia dei pagamenti ed il tasso diinfla· zione; esponiamo il fenomeno della moltiplicazione dei depositi bancari. Spieghiamo il fenomeno con un esempio: supponiamo che un cliente depositi in una banca l O mila euro; la banca che ha ricevuto il deposito deve accantonare una parte della somma ricevuta (di solito circa il 20%), in parte come riserva obbliga· toria di liquidità, in parte come riserva libera; la parte residua (nell'esempio 8 mila euro) può essere data in prestito alla clientela. n nuovo cliente che riceve in prestito gli 8 mila euro in genere uttlizza tale somma per effettuare pagamenti. Per semplificare, supponiamo che chi riceve gli 8 mila euro versi a sua volta la cifra in deposito presso una banca. Di nuovo la banca accantona una parte e rimette in circolazione il resto (diciamo 1'80%, cioè 6"400 euro); e cosi via.

Con il procedimento descritto, i l O mila euro iniziali hanno creato una circolazione superiore: lO+ 8 + 6.4. + ... mila euro. Ci si chiede: quanta circolazione di moneta può creare il sistema bancario con questo sistema? Indichiamo con d il deposito iniziale e con x la percentuale che può essere data in prestito. Nell'esempio precedente risultava d = 10 mila euro e x = 80%, cioè x = 0.80. Si noti che x è sempre un numero compreso tra O e l. A partire dal deposito d, si può creare un prestito uguale a dx, che a sua volta può diventare deposito e originare un prestito uguale a dx 2 , e così via. La circolazione totale è data dalla somma della serie geometrica: CAll.l.l)

L k=O

l

dxk= d - - . l-

X

Nell'esempio precedente, con d= lO e x= 0.8, si trova che la quantità. di moneta che può essere messa in circolazione con un deposito iniziale di l O mila euro è data CAll.l.2)

l lO lO - - - = lO · - = 50 mila euro. l- 0.8 2

Si noti che, se x--+1 - , la quantità. di moneta, rappresentata dalla (All.l.l), tende a + oo . Cioè si può creare una circolazione di moneta arbitrariamente grande riducendo la percentuale di riserva. Questo è il motivo per cui la Banca Centrale e il Ministero del Tesoro impongono una percentuale di riserva obbligatoria sui depositi.