Matematica Maravillosa

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Introducción

2006 Espiral de Fibonacci (2006) La imagen representa el desarrollo de la espiral de Fibonacci utilizando al átomo como inicio y al Universo como la representación del infinito. Esta espiral pasa por los distintos estadios de la complejidad universal: átomo, organismo multicelular, girasol, el hombre, el planeta Tierra y el Universo. Ilustración: Rogelio Chovet

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Nuevamente ponemos en tus manos, amigo lector, joven estudiante, respetado educador, un material de estudio cuidadosamente elaborado que, estamos seguros, se convertirá en una herramienta útil para una mejor comprensión y dominio de los conceptos y técnicas propias de la matemática. Matemática Maravillosa, como hemos titulado la colección que hoy iniciamos, está particularmente dirigida a los estudiantes de los últimos años del bachillerato, educación técnica y preuniversitaria. En esta obra que presentaremos en 30 fascículos se aborda la matemática de las formas y las transformaciones a través de temas tales como: polígonos y poliedros, trigonometría, cónicas y cuadráticas, matrices, fractales y para cerrar la colección disfrutarán de unos fascículos finales que vinculan la matemática con las artes, la arquitectura y la ingeniería. Como en las colecciones anteriores, Matemáticas para todos y El mundo de la matemática, donde se expusieron los contenidos propios de la educación básica y media, en esta obra sus autores, luego de un arduo trabajo, han volcado lo mejor de sus talentos, formación y experiencia y han puesto especial cuidado en presentar los temas tratados de una manera sencilla, atractiva y motivante, con profusión de imágenes y gráficos que ilustran los diversos conceptos desarrollados, relacionándolos permanentemente con hechos de la vida cotidiana y estableciendo numerosas conexiones entre esta importante disciplina y otras áreas del conocimiento tales como: física, química, geografía, economía, entre otras, lo cual le imprime a estas colecciones un carácter decididamente innovador. Empresas Polar, de la mano con su fundación y el decidido apoyo del diario Últimas Noticias, harán posible que cada martes, miércoles y jueves, durante los próximos meses, llegue gratuitamente Matemática Maravillosa a cientos de miles de hogares venezolanos trayendo luces para todos. Impulsados por nuestra fe en el porvenir, desde Fundación Polar seguiremos aportando soluciones. Leonor Giménez de Mendoza

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Matemática Maravillosa concluye la colección de tres volúmenes cuyos dos primeros se publicaron en los años 2004 y 2005 y llevan por título, respectivamente, Matemática para todos y El mundo de la matemática. Esta trilogía constituye una unidad dentro de la multiplicidad de temas presentados, abarcando desde el nivel de la tercera etapa de la educación básica hasta el primer semestre universitario y recorriendo el espectro de una variedad temática integrada por contenidos de aritmética, álgebra, geometría, medidas, trigonometría, gráficos, curvas y superficies, estadística y probabilidades, llegando hasta temas más recientes como los códigos, los fractales, los splines, los modelos matemáticos, y ciertos aspectos de estadística utilizados actualmente como tallos, hojas y cajas, los cuales impregnan el dinamismo de la matemática y suministran una característica de su vitalidad. Esta tercera colección de fascículos, Matemática Maravillosa, se orienta básicamente hacia los alumnos y docentes de la educación media, diversificada y profesional, y los del primer semestre universitario. Asimismo, para aquellos bachilleres en ciencias, profesionales y técnicos que cursaron algunas asignaturas de matemática y quisieran revisar ciertos contenidos de una manera actualizada y vinculada a diversas disciplinas como la de ellos mismos. Ha sido un esfuerzo de trabajo sostenido durante más de cuatro años de un equipo multidisciplinario de profesionales (matemáticos, docentes de matemática de educación básica y media diversificada, especialistas en educación matemática, especialistas de lenguaje, físicos, estadísticos y diseñadores) que, bajo el patrocinio de la Fundación Polar y con el apoyo para su publicación del diario Últimas Noticias, han permitido alcanzar la meta de producción de esta obra que en su totalidad cubre más de 600 páginas.

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A través de toda la obra los temas se presentan en una forma sencilla, prestando atención especial al uso de imágenes y gráficas que ilustran los diversos conceptos y temas desarrollados. Estos temas cubren parte de la matemática que figura en los programas oficiales de los niveles educativos en referencia, pero son expuestos de una forma más atractiva a lo cotidiano del aula puesto que incluyen diversas secciones, a saber: reseñas históricas, situaciones interesantes, retos, tengo que pensarlo, juegos, ayer y hoy, ventana didáctica y orientaciones metodológicas, información actualizada de libros y páginas web, y numerosas conexiones de la matemática con otras áreas: arquitectura, ingeniería, artes, medicina, geografía, béisbol, poblaciones, economía, química, física, entre otras, que usualmente no se contemplan en esos programas de estudio. Tanto el equipo de redacción y diseño de los fascículos como los patrocinantes: Empresas Polar, Fundación Polar y Últimas Noticias, aspiran que esta publicación y la colección completa, contribuyan a refrescar y aumentar el caudal cultural de los habitantes de nuestro país en cuanto a la ciencia matemática y sus vinculaciones con una vasta gama de otras disciplinas y, por otra parte, favorezcan y mejoren el proceso de enseñanzaaprendizaje. La colección de los tres volúmenes se propuso ser un canal de divulgación de la matemática para un público amplio, escrito de una manera actualizada y de fácil entendimiento. Esperamos haber alcanzado dicha meta, pues ello incide positivamente en mejorar la percepción que puedan tener los ciudadanos de la matemática y a acrecentar su importancia para el desarrollo de la sociedad.

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El mayor porcentaje de los temas desarrollados en estos fascículos es de geometría o están vinculados con esta rama de la matemática. Igualmente, incluye trigonometría la cual aborda aspectos geométricos sobre ángulos y lados de un triángulo. Asimismo, en los contenidos sobre matrices se ha puesto especial atención a las transformaciones geométricas en un plano y en el espacio, y en los últimos fascículos que relacionan la matemática con las artes y la arquitectura, además de las vinculaciones geométricas se ha desarrollado el tema de construcciones con regla y compás y de perspectiva. En este sentido podemos afirmar que, de manera general, es una colección sobre La matemática de las formas y sus transformaciones. Los distintos temas se agrupan en los títulos que se describen a continuación.

POLÍGONOS Y POLIEDROS Iniciando por los polígonos regulares convexos y estrellados, que habíamos tratado brevemente en “Matemática para todos”, especialmente lo referido a los triángulos, ahora se insiste en sus conexiones con las artes, la arquitectura, la biología y la química, abordando el tópico de “teselaciones” con mosaicos regulares, mosaicos semirregulares, mosaicos de Escher y teselaciones de Penrose. Esto último sirve de introducción a los cuasicristales. De aquí pasamos a la dimensión tres, extendiéndonos hasta la cuarta dimensión y utilizando tanto el lenguaje de coordenadas como el de grados de libertad. Desarrollamos lo referente a los poliedros regulares convexos y estrellados e, igualmente, sus vinculaciones con las artes, la arquitectura y la ingeniería, y con la química al abordar lo relativo a los fulerenos y los nanotubos. En “Matemática para todos” ya se había iniciado el tratamiento de este tema. Al pasar a la cuarta dimensión nos referimos previamente al famoso libro de Edwin A. Abbot “Flatland. A Romance of Many Dimensions” (“Planilandia. Un romance de muchas dimensiones”, 1884) que nos sirve de introducción al tema, en donde se estudia especialmente el hipercubo mostrando algunas de sus aplicaciones.

TRIGONOMETRÍA La trigonometría es una rama de la matemática que estudia las relaciones de ángulos con conceptos geométricos. Además de las funciones definidas sobre los ángulos, se tienen las funciones trigonométricas definidas sobre conjuntos de números reales, donde la vinculación entre ambas está dada por la medida de ángulos. La trigonometría de ángulos tiene importancia especial en la astronomía, la geodesia, la geografía, la navegación, las construcciones civiles, entre otras. Las funciones trigonométricas de números reales son utilizadas en el cálculo infinitesimal y en los fenómenos oscilatorios y periódicos.

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Los fascículos dedicados a trigonometría contemplan los siguientes tópicos en cuanto a la trigonometría de ángulos: Ángulos y medida de ángulos; las funciones trigonométricas de ángulos, la identidad fundamental sen2 α + cos2 α = 1 y su equivalencia con el teorema de Pitágoras; la ley de los senos y la ley del coseno, y, finalmente, algunos aspectos de la geometría de la esfera y las coordenadas geográficas. Luego se estudian las funciones trigonométricas con dominio en un y sus gráficas respectivas. Se aplican las funciones subconjunto trigonométricas a las artes (construcción de Durero) y a la música (con las aproximaciones de Fourier). Asimismo, para honrar a un grupo de venezolanos que llegó hasta el Polo Norte, se desarrolla una aplicación referida a esta excursión.

CÓNICAS Y CUÁDRICAS La geometría del espacio ha sido un tema descuidado en los programas instruccionales previos a la educación universitaria. La visualización de figuras en el espacio desde diferentes ángulos, sus secciones con planos y sus propiedades y características, es un tema que presenta dificultades de aprendizaje para estudiantes tanto a nivel de la educación secundaria como la superior. Por ello se incluyó el estudio de las cuádricas como lo análogo de las cónicas en un plano, con el fin de explorar un tema geométrico en el espacio, además de su importancia en varias áreas de la matemática y de la arquitectura e ingeniería. Definimos las cónicas como lugares geométricos de puntos de un plano así como secciones planas de una superficie cónica. Presentamos diversas aplicaciones de las cónicas, desde las tradicionales de órbitas elípticas de los planetas al moverse alrededor del Sol y los rayos de luz en una linterna, y otras vinculantes con la arquitectura y la ingeniería. Incluimos otras curvas como la catenaria y la cicloide. El espacio lo iniciamos presentando las rectas y planos y sus posiciones relativas. Luego, al pasar del plano al espacio mediante rotación de curvas planas en torno de ejes, se obtienen superficies cuádricas de revolución: esferas, cilindros, elipsoides, paraboloides e hiperboloides. Las cuádricas son superficies muy utilizadas en la arquitectura y la ingeniería, desde las clásicas como los conos, los cilindros (que son cuádricas regladas) y las cúpulas esféricas, hasta las otras cuádricas regladas como los hiperboloides de una hoja y el paraboloide hiperbólico. De esto se muestran diversos ejemplos de obras civiles.

MATRICES Y TRANSFORMACIONES Las matrices (cuadros rectangulares de números) constituyen una herramienta fundamental en el tratamiento de los problemas lineales. De hecho, su estudio es parte del Álgebra Lineal. Mediante las mismas se pueden estudiar las transformaciones geométricas del plano y del espacio: rotaciones, reflexiones, homotecias, lo cual las vincula con la geometría. Asimismo, cabe destacar que los sistemas lineales de ecuaciones se formulan y estudian en términos matriciales.

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El desarrollo del tema se inicia con algunas situaciones conducentes a plantear matrices y sigue con sus operaciones (adición y sustracción, producto por un número, multiplicación) y algunas matrices especiales. Se expresan diversas transformaciones geométricas del plano y del espacio con matrices y se estudian los cuadrados mágicos y los códigos como aplicaciones del álgebra matricial.

FRACTALES Este es un tema novedoso para los estudiantes y docentes, y en general para el público, puesto que no está incluido en los programas de la educación secundaria ni en el primer año universitario y, por lo tanto, gran parte de los lectores que habrán escuchado tal nombre no lo conocen, pues no tuvieron oportunidad de estudiarlo. Sin embargo, ya en “El mundo de la matemática” se motivaron las sucesiones con el fractal de Sierpinski y en el “Tengo que pensarlo” correspondiente se propuso el fractal copo de nieve de von Koch. La geometría fractal es la “geometría de la naturaleza”. Fue creada por Benoît Mandelbrot en 1975 y desde entonces se ha desarrollado vastamente, pasando a ser una teoría matemática con numerosas aplicaciones a otras ciencias e inclusive es utilizada en las artes. Presentamos ejemplos diversos de fractales: fractal de Sierpinski, fractal H, el polvo de Cantor, y se define la dimensión fractal que es, junto con la autosemejanza, la característica clave de los fractales. Además de los fractales en dos dimensiones, se construyen algunos en tres dimensiones y se dan ejemplos de fractales en obras de arte.

MATEMÁTICA, ARTE Y ARQUITECTURA A lo largo de todos los fascículos que componen los tres volúmenes de la colección de matemática, se han incluido, de manera sistemática, conexiones de los temas tratados con las artes (pintura, escultura y música) y la arquitectura e ingeniería. En el cierre de la colección presentamos una visión unificadora en cuanto a esas conexiones y una comparación entre la evolución de la matemática y la de las artes (básicamente pintura y escultura), resaltándolas con pensamientos de artistas venezolanos como Jesús Soto, Mercedes Pardo y Manuel Quintana Castillo. Asimismo, dedicamos un fascículo a construcciones geométricas; entre éstas a los polígonos regulares y a la perspectiva, puesto que como se observa a través de la colección, ellas tiene incidencia en arte, arquitectura e ingeniería. Este campo de relaciones fructíferas matemática-arte-arquitectura se ha desarrollado a nivel internacional con énfasis durante la segunda mitad del siglo XX, y mayor ímpetu a partir de los años setenta, lo que se refleja en congresos y seminarios internacionales, sociedades y revistas creadas al respecto y publicación de libros. Se espera que dicho campo se convierta en un factor útil para el proceso de enseñanza-aprendizaje de la matemática, camino donde todavía hay bastante por realizar y profundizar.

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Polígonos y poliedros

Fotografía del enrejado de la pirámide de Pei que es la cubierta de la entrada del Museo del Louvre en París, Francia.

“Si no puedo dibujarlo es que no lo comprendo” Albert Einstein (Alemania, 1879-1955).

Tributo a Einstein Bruni Sabian. Artista brasileña.

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“Defiende tu derecho a pensar, porque incluso pensar en forma errónea es mejor que no pensar” Hipatia de Alejandría (Egipto, 370-415 d.C.)

El mundo de las formas poligonales y poliédricas La geometría euclidiana establece como elementos básicos puntos, rectas, planos y el espacio. Estudia las diferentes figuras que se pueden construir con esos elementos, con parte de ellos y con otras figuras como cónicas, cuádricas, etc. Así, con semirrectas y segmentos como partes de rectas se comienzan a construir ángulos, polígonos y poliedros.

Punto. Dimensión 0: no tiene largo, ancho ni altura

Recta. Dimensión 1: tiene largo, no tiene ancho ni altura

El mundo de los polígonos Lo anterior nos indica que los polígonos (poli=muchos y gonos=ángulo) son figuras de muchos ángulos, pero es necesario establecer que los polígonos se definen de tal forma que el número de ángulos, de lados y vértices son iguales. Una definición de polígono es: una figura plana, cerrada, formada por segmentos que se unen sólo en sus extremos y en donde dos segmentos adyacentes no son colineales.

Estos son polígonos

Plano. Dimensión 2: tiene largo y ancho, no tiene altura

Espacio. Dimensión 3: tiene largo, ancho y altura

Estos no son polígonos

Lado

ia

go

na

l

Vértice

D

Un segmento, diferente a los lados, que une a dos vértices, se denomina diagonal del polígono. La unión de dos lados consecutivos del polígono determina un ángulo del mismo llamado ángulo interior del polígono. Un lado y la prolongación del otro determinan un ángulo exterior.

Ángulo interior

Fascículo 2 • Polígonos y poliedros

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Ángulo exterior

Clasificación de polígonos Una clasificación de los polígonos es:

Polígonos

Convexos

No convexos (cóncavos) P

P

Q

P Q

Q P

Q

Se caracterizan porque si elegimos en el polígono dos puntos P y Q cualesquiera, el segmento PQ también está en el polígono. Otra caracterización de los polígonos convexos es que todos sus ángulos internos miden menos de 180°.

Regulares

Se caracterizan porque se puede elegir dos puntos P y Q cualesquiera en el polígono, pero el segmento PQ no está completamente contenido en el polígono. Otra caracterización es que al menos uno de sus ángulos internos mide más de 180°.

Equiláteros (lados iguales)

No regulares

Se obtienen al dividir una circunferencia en partes iguales y luego al unir los puntos de división de dos en dos, de tres en tres, puede resultar un poligono regular estrellado

Se caracterizan porque son polígonos equiángulos (todos sus ángulos son iguales) y equiláteros (todos sus lados son iguales)

Decide: ¿cuáles de las siguientes figuras son polígonos? ¿Cuáles son convexos? ¿Cuáles son equiángulos? ¿Cuáles son equiláteros? ¿Cuáles son regulares? y ¿cuáles son no regulares? Explica en cada caso el porqué de tu decisión. Fascículo 2 • Polígonos y poliedros

No equiláteros

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A

E

B

F

C

G

D

H

El mundo de los polígonos regulares Los polígonos regulares son aquellos que tienen todos sus lados iguales y todos sus ángulos iguales. Por ello un polígono regular es inscrito en una circunferencia (todos sus vértices son puntos de la circunferencia) y es circunscrito en una circunferencia (todos sus lados son tangentes a una circunferencia). Se denomina ángulo central de un polígono regular el ángulo que tiene de vértice el centro del polígono y sus lados pasan por dos vértices consecutivos.

Hexágono regular

Octágono regular

Cada ángulo central de un triángulo equilátero mide 360° =120°. 3 Cada ángulo central del pentágono regular mide 360° =72°. 5

Ángulo central 72° Apotema

¿Cuánto mide cada ángulo central de un hexágono regular? ¿El de un octágono regular? En general, ¿cuánto mide cada ángulo central de un polígono regular de n lados? Se denomina apotema de un polígono regular al segmento determinado por el centro del polígono y el punto medio de un lado del polígono. La medida de un ángulo interior de un polígono regular es igual a 180° menos la medida del ángulo central. ¿Por qué? El ángulo interior de un pentágono mide 108°. ¿Cuánto mide el ángulo interior de un hexágono regular y el de un octágono regular? En general, ¿cuánto mide cada ángulo interior de un polígono regular de n lados? A partir de un polígono regular de n lados se pueden construir polígonos estrellados o formas estrelladas (que son no convexas) y se clasifican en dos categorías: polígonos estrellados y polígonos falsos estrellados. Para construir una forma estrellada partimos de un polígono regular de n vértices. Enumeramos todos los vértices. Partimos de uno de éstos, por ejemplo del número 1, uniéndolos mediante segmentos de la siguiente manera: El vértice 1 lo unimos con el 3, luego el 3 con el 5, el 5 con el 7 y así sucesivamente de dos en dos (p=2). Podemos saltar de tres en tres, 1 - 4 - 7 .... (p=3), etc. Si al final se han unido todos los vértices y se llega al vértice inicial se obtiene una figura estrellada (polígono estrellado).

α

α

n=6

1

2

5

3

4 Pentagrama 1 - 3 - 5 - 2 - 4 - 1 (p=2)

6

3 4

12

1 2

5

Fascículo 2 • Polígonos y poliedros

2α = 180°- 360° = 6 180 (6-2) = 2 x180 6 3

360°/n

1

Cuando resulta más de un polígono éste se llama polígono compuesto o falso estrellado.

Ángulo interno 108°

Hexagrama Falso estrellado 1-3-5-1 2-4-6-2

2

8

3

7

4

6

5

Falso estrellado 1-3-5-7-1 2-4-6-8-2

Otro ejemplo de polígonos estrellados

30°

A partir de un dodecágono regular (n=12), el cual se puede construir por duplicación de un hexágono regular o, también, utilizando un transportador y marcando sobre la circunferencia un ángulo central de 360°/12 = 30°. Tomar un compás y con esta abertura trazar los vértices del dodecágono. Numeramos las marcas del 1 al 12.

360° =30° 12

1 12

2

11

3 p=5

1-6-11-4-9-2-7-12-5-10-3-8-1 Resulta un dodecágono estrellado 10

4

9

p=2

5

1-3-5-7-9-11-1 2-4-6-8-10-12-2

8

6 7

p=3

Resultan dos hexágonos por

1-4-7-10-1

lo que es un estrellado compuesto o falso estrellado

2-5-8-11-2

1

1

3-6-9-12-3

12

2

12

Resultan tres cuadrados por

2

lo que es un falso estrellado 11

11

3

10

4

9

5

8

6 7

10

4

9

5

8

6 7

¿Cuántos octágonos estrellados hay? ¿Cuantos undecágonos estrellados hay? Sugerencia: Determina los números primos con 8 menores que 4 y aquellos primos con 11 y menores a 5.

Fascículo 2 • Polígonos y poliedros

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El mundo de los cuadriláteros concíclicos Todo triángulo es inscrito en una circunferencia de centro el punto de corte de las mediatrices de los lados del triángulo y es circunscrito en una circunferencia de centro el punto de corte de las bisectrices de los ángulos internos del triángulo. Además, todos los polígonos regulares satisfacen las mismas propiedades. En el caso especial de los cuadriláteros, existen los que se pueden inscribir en una circunferencia denominados concíclicos o inscriptibles, como los cuadrados (polígonos regulares de 4 lados) y los rectángulos. Además de los rectángulos, hay otros cuadriláteros no regulares que son concíclicos. Mostramos varios ejemplos de estos cuadriláteros.

Una caracterización de los cuadriláteros concíclicos es la siguiente: “Un cuadrilátero es concíclico sí y solo sí tiene dos ángulos opuestos suplementarios”. Veamos porqué si un cuadrilátero es concíclico entonces tiene dos ángulos opuestos suplementarios. El cuadrilátero ABCD es concíclico. Los ángulos ADC y ABC son ángulos inscritos en la circunferencia por ello m ( ADC) es la mitad de la medida del arco ABC (en fucsia) y m ( ABC) es la mitad del arco ADC (en azul). Pero la medida del arco ABC más la medida del arco ADC es 360º, luego m( ADC) + m( ABC) = 180°. Por tanto, los ángulos ADC y ABC, opuestos en el cuadrilátero concíclico, son suplementarios. De igual forma se demuestra que los ángulos BAD y BCD son suplementarios. Observa en la figura los ángulos del cuadrilátero y los diferentes ángulos que se forman al trazar las diagonales del cuadrilátero. Se establece que si el cuadrilátero es concíclico entonces se cumple cada una de las siguientes relaciones: i) m (

BAD) + m(

BCD)=180° ii) m(

ABC) + m(

ADC)=180°

iii) a = w iv) b = u v) c = d vi) x = y Y recíprocamente, si alguna de las relaciones es verdadera el cuadrilátero es concíclico. Fascículo 2 • Polígonos y poliedros

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O

O

D

C A O

B

D d w A

x a

O b y

B

u c C

Los polígonos en el diseño, las artes y la arquitectura Desde tiempos remotos los polígonos se han utilizado en la pintura, en la arquitectura y en la decoración de monumentos, además de su sentido místico-religioso. A los pitagóricos, conocedores del dodecaedro que representa El Universo, con sus doce caras pentagonales, les fascinaba este poliedro por su relación con el pentagrama o estrella de cinco puntas que era el símbolo místico y de identificación de esa hermandad, lo que a su vez está relacionado con el número de oro. Éste fue también el signo cabalístico con el que el Fausto del gran escritor alemán Göethe (1749-1832) atrapó a Mefistófeles. Diseño de un teatro romano realizado por Vitruvio. Se observa una circunferencia para representar el perímetro interior y las filas de asientos. Se inscriben cuatro triángulos equiláteros que reproducen el polígono estrellado compuesto de 12 lados (n=12 y p=4). Los astrólogos utilizan desde tiempos inmemoriales una figura semejante a ésta para representar los 12 signos del zodíaco. En el diseño de edificaciones como templos, monumentos, edificios, también es común encontrar polígonos.

El gran genio del Renacimiento italiano, Leonardo Da Vinci (1452-1519), en sus planos para construir iglesias utilizaba los polígonos regulares como una parte esencial del diseño. Allí vemos una planta octogonal en la que se agregan capillas a la iglesia sin que se afecte la simetría del edificio principal.

Fascículo 2 • Polígonos y poliedros

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En la circunferencia externa del borde del teatro se situaron las columnas.

Muchos logotipos de fábricas o marcas comerciales se hacen sobre la base de polígonos, como mostramos a continuación con Mitsubishi Motors y Chrysler Corporation.

El eminente arquitecto italiano de origen suizo, Francesco Castelli, conocido como Borromini (1599-1667), uno de los maestros del barroco italiano, igualmente se valía de los polígonos. Observemos, a la derecha, el esquema geométrico de la planta de San Ivo alla Sapienza, Roma (1650), que se refleja en su parte superior. La decoración, el diseño artístico, las artes en general, tienen en los polígonos un gran aliado. Es innumerable la utilización de los polígonos en estos campos, de los que suministramos unas pocas muestras en estos fascículos.

Composición de Víctor Vasarely (Hungría, 19081997). Observa los cuadrados y los rombos, que al mantener fija la vista crean una sensación de movimiento.Vasarely es uno de los maestros del arte cinético virtual. Mediante “trucos perceptivos” se observa un movimiento debido a los ángulos de enfoque y al desplazamiento del observador.

Fascículo 2 • Polígonos y poliedros

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En la fotografía observamos el famoso Pentágono sede del departamento de defensa de los Estados Unidos. Éste es el edificio más grande del mundo con forma de pentágono, consistente de cinco anillos consecutivos de cinco plantas cada uno.

Polígonos y poliedros

Rojo central (1980). El científico se ocupa de demostrar hechos, para comprobarlos, las mentes más estrictas utilizan ecuaciones matemáticas, luego vienen otros hombres, que aplican estos conocimientos y los traducen en objetos concretos con aplicabilidad práctica. El artista por su parte demuestra la otra realidad del universo, aquella que no es tangible, aquella que no se puede demostrar a través de esas fórmulas matemáticas: es la realidad sensible, son dos formas de explorar, descubrir y explicar el universo, los cuales normalmente marchan paralelas" Jesús Rafael Soto (Venezuela, 1923 -2005).

El mundo de los poliedros Pasamos del mundo de los polígonos (figuras planas o bidimensionales) al mundo de los poliedros (cuerpos en el espacio tridimensional). En el proceso de fabricación de piezas y en la construcción de edificios tiene especial importancia la interpretación del plano de la pieza o del edificio, para luego construir el modelo, réplica de la pieza que se producirá posteriormente. Así también construimos cuerpos a partir de sus respectivas redes o planos, lo que nos permite proyectar edificios y estructuras de uso en la construcción y el diseño. Las figuras representadas son cuerpos geométricos en el espacio, limitados por un número finito de superficies planas. Estos cuerpos reciben el nombre de poliedros. Las superficies planas en cuestión son polígonos y se denominan caras del poliedro.

Vértice Observa cualquiera de los poliedros que están dibujados y algunos de sus elementos característicos: a) ¿Cómo definirías cada uno de sus elementos? b) ¿Cuántas caras, vértices y aristas tiene? c) ¿Cuántas caras, como mínimo, habrá que juntar en un vértice? d) ¿Cuánto pueden sumar, como máximo, los ángulos de las caras que concurren en un mismo vértice? Se denomina orden del vértice al número de caras que concurren a un mismo vértice. Este poliedro tiene orden del vértice 3.

Este es un poliedro que tiene 14 vértices, 21 aristas y nueve caras.

Cara

Este cuerpo geométrico no es un poliedro.

¿Por qué el cuerpo de la derecha no es un poliedro? Fascículo 3 • Polígonos y poliedros

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Clasificación de poliedros Una clasificación de los poliedros es la siguiente:

Poliedros

Convexos

No convexos (cóncavos)

Se caracterizan porque cada uno de ellos se puede apoyar en una superficie plana sobre cada una de sus caras.

Regulares (sólo hay 5)

Se caracterizan porque todas sus caras son polígonos regulares congruentes y en cada vértice concurre el mismo número de caras.

Se caracterizan porque cada uno de ellos no se puede apoyar en una superficie plana sobre alguna de sus caras.

Regulares estrellados (hay 4)

No regulares

No regulares

Se caracterizan porque son poliedros con caras no congruentes y en el caso de la segunda figura, aunque sus caras son congruentes no tienen el mismo número de caras en cada vértice.

Decide: ¿cuáles de los siguientes cuerpos son poliedros? ¿Cuáles son convexos? ¿Cuáles son cóncavos? ¿Cuáles son regulares? y ¿cuáles son irregulares?

A

Explica en cada caso el porqué de tu decisión.

E

Fascículo 3 • Polígonos y poliedros

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B

F

C

G

D

H

El mundo de los poliedros regulares

Icos a (aguedro a)

Observa los cinco poliedros regulares, las caras idénticas que se encuentran en cada vértice y el elemento que representan.

Do (u de c n ive aed rso ro )

Hexaedro regular o cubo

Tetraedro (fuego)

ro ed ta e) Oc (air

Poliedro regular

Platón (Grecia 428-347 a.C.)

o Cubra) (tier

Los poliedros regulares convexos son conocidos con el nombre de sólidos platónicos en honor al filosofo griego Platón (428-347 a.C.) que los cita en el Timeo, pero lo cierto es que no se sabe en que época llegaron a conocerse. Algunos investigadores asignan el cubo, el tetraedro y el dodecaedro a Pitágoras (siglo IV a.C.) y el octaedro e icosaedro a Teeteto (415-369 a.C.). Para Platón los elementos últimos de la materia son los poliedros regulares, asignando el fuego al tetraedro (el fuego tiene la forma del tetraedro, pues es el elemento mas pequeño, ligero, móvil y agudo), la tierra al cubo (el poliedro mas sólido de los cinco), el aire al octaedro (para los griegos el aire, de tamaño, peso y fluidez, en cierto modo intermedios, se compone de octaedros) y el agua al icosaedro (el agua, el más móvil y fluido de los elementos, debe tener como forma propia o "semilla , el icosaedro, el sólido más cercano a la esfera y, por tanto, el que con mayor facilidad puede rodar), mientras que al dodecaedro le asignó el Universo. Como los griegos ya tenían asignados los cuatro elementos dejaban sin pareja al dodecaedro, por lo que lo relacionaron con el Universo como conjunción de los otros cuatro. La forma del dodecaedro es la que los dioses emplean para disponer las constelaciones en los cielos. Dios lo utilizó para todo cuando dibujó el orden final. En cada uno de los poliedros abajo representados cuenta el número de vértices V, el número de aristas A y el número de caras C. Calcula V-A+C. ¿Qué número se obtiene? La relación resultante fue demostrada por Euler. Tetraedro regular

Dodecaedro regular

Icosaedro regular

Octaedro regular

6 cuadrados

4 triángulos equiláteros

12 pentágonos regulares

20 triángulos equiláteros

8 triángulos equiláteros

Vértices

8

4

20

12

6

Aristas

12

6

30

30

12

Aristas por vértice

3

3

3

5

4

Modelo

Caras

Fascículo 3 • Polígonos y poliedros

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Euclides (Grecia, s. III a.C.) demostró, de forma algebraica, porqué sólo existen cinco tipos de poliedros regulares convexos. Supongamos que se pueda construir un poliedro regular convexo cuyas caras sean polígonos regulares de n lados. Luego, el ángulo de cada vértice del polígono mide (n-2) n x 180°. Si el orden del vértice de un poliedro regular es p, entonces la suma de los ángulos de un vértice del poliedro es: p [ (n-2) x 180°]. Pero esta suma tiene que ser menor que 360°, n porque si fuera igual a 360° las caras estarían en un plano y no se tendría una figura sólida. Luego: p[ (n-2) n x 180°] < 360° p[ (n-2) p(n-2) < 2n n ]