Macroeconomía. Enfoques y Modelos Tomo 2: Ejercicios Resueltos [2 ed.] 9972425622, 9789972425622

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book 2
Capitulo 1
Capitulo 2
Capitulo 3
Capitulo 4
Capitulo 5
Capitulo 6
Capitulo 7
Capitulo 8
capitulo 9
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capitulo 10
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capitulo 11
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Capítulo 8 K e y n e s ia n is m o , m o n e t a r is m o y NUEVA MACROECONOMÍA «CLÁSICA»

r

EJERCICIO 1 En relación con la curva de Phillips, se le pide analizar la veracidad de las siguien­ tes afirm aciones: a) b)

c)

La curva de Phillips im plica que los salarios y los precios se ajustan lenta­ m ente cuando varía la dem anda agregada. En términos de política m acroeconóm ica, la curva de Phillips im plicaba que era posible conseguir un nivel de desem pleo bajo tolerando una tasa de in­ flación alta. Las variables de la dem anda agregada que alteran la tasa de desem pleo de este período afectan los salarios de los períodos posteriores.

| Solución:____________________________________________________ a)

Es correcta, pues un desplazam iento de la demanda agregada ocasiona una ele­ vación del nivel de precios. La subida de los precios genera una caída en el sala­ rio real y, por lo tanto, un exceso de demanda en el mercado de trabajo (L > L s). El mecanism o descrito por la curva de Phillips implica que los salarios nom ina­ les se elevarán para restaurar el equilibrio en el mercado. W = - p* = pf_j, los agentes form ulan sus expectativas de m anera adaptativa miope; esto es, los agentes no corrigen sus expectativas al cam biar de período. (a2) Si X = 1, los agentes generan sus expectativas de m anera adaptativa estática. Los precios esperados son iguales a los precios que se dieron en el período pasado. b)

Iterando obtenemos:

( l - X ) ¡ Pl_M i— I En la formulación de las expectativas sobre los precios, los precios esperados dependen únicam ente de los precios pasados, donde los más antiguos obtienen un m enor peso que los más recientes.

\ EJERCICIO 7 Suponga el siguiente modelo: y, = c, + a + M, c, = c(y'J)e E(H) = 0

M ° . o2) Los agentes pueden form ular sus expectativas de la siguiente manera: Expectativas racionales:

(y,d)e = (1 - k )E (y,)

Expectativas adaptativas:

(y,d)c = (1 - k)yt_, a Si asumimos que E(yt ) = ------------------ , ¿con cuál de los procesos de formación de [l-c (l-k )] expectativas será m enor el im pacto de un increm ento de la tasa de im puestos (k) sobre la demanda agregada? ¿Por qué?

| Solución:_______________________________________ ____________ Con expectativas adaptativas: y ,= c (l - k) y,_, + a + p.,

Rezagando obtenem os: y, = c (l - k ) L y ( + a + p,

a

y, = ---------------- + ---------------------

l-c (l-k )

1 - c (1 - k)L

y ,= -------------- + T [c(l - k) L ]1p, 1 —c( 1 —k) dy,

¡=o a

----- = _ C - — ---------------------- ] T i | c ( l - k ) ] ’ p,_|

dk

11 - c( 1 - k)]2

M

Con expectativas racionales: y,= c(l - k ) E(y,) + a + jí .

■+* a

y, = c(l - k ) 1-c (l -k )

) —c( 1 —k) Por lo tanto, con expectativas racionales las fluctuaciones son menores. Esto se debe al hecho de que los individuos poseen predicciones eficientes sobre el futuro, dado que utilizan de manera óptima toda la inform ación de la cual disponen.

EJERCICIO 8 Sea el m odelo de Cagan con expectativas adaptativas y racionales. Suponga una eco­ nomía en la cual existen dos agentes (i = 1, 2), cada uno con una demanda de dinero y una form a de generar sus expectativas. Así, la dem anda por dinero de cada agente viene dada de la siguiente forma: M,

Pi+i - P .

Pi

p;

c > 0 ; b > 0 ;i = l,2

donde: M, pt , 2

es la cantidad nom inal de dinero es el nivel de precios es la expectativa del nivel de precios en t + 1 que se formula el agente 1 en el período t es la expectativa del nivel de precios en t + 1 que se formula el agente 2 en el período t

Además, suponga que los form uladores de políticas piensan que la oferta m one­ taria debe fijarse según el nivel de precios esperado por los agentes. Así:

M, = 80- 5 |P, P, = 4>P,' (1 - hOp ,2

a) b)

c) d)

C onvierta la función de demanda de dinero en una ecuación de precios. ¿Cuál será la cantidad de dinero que debe proveerse? Suponga que el agente 1 form ula sus expectativas de manera racional y el agente 2 de manera adaptativa estática. ¿Cuál será la cantidad de dinero que debe proveerse si ambos agentes for­ mulan sus espectativas de manera racional? Com pare la cantidad de dinero hallada en b) con la cantidad hallada en c) y evalúe las conclusiones que se pueden deri var de este análisis.

| S o lu c ió n :_________________________________________________________________ a)

Reordenando la expresión para que sea una ecuación de precios:

1

b

p¡ = — r M . + — -P ¡+ i + e ¡ c+b c+b b)

Para el agente 1 (expectativas racionales):

(1 )

PÍ = — - r M . + — ~t E.‘ Lp,+|] + e¡ c+b c+b Adelantamos un período y tomamos esperanzas: e í = [p,+1i = — 1— e ; [ Ml+1i + e ; [Pl+2] c+b c+b

Repetimos esta operación T veces y después de reem plazar en (1) nos queda: 1 P t:

T

— 2=o c + b c + b i¿

E J M .J +

E j [Pi+t +|] + ei

(2)

c+b

Para el agente 2 (expectativas adaptativas estáticas): 1

b

P,2 = --------- H + ---------- (P,2) + e,‘

c+b i p f= —

c

c+b 1

M , + — é r ..

(3)

c

La cantidad de dinero consistente con la regla de política es: M t = S0 —Sjlttip,1(1 - ^ p , 2] ...

(4)

R eem plazando (2) y (3) en (4): 1

T

M, = 50- 5 , c+b

c+b

f] + 0-a------(I

+

c

despejando M:

c5,< c(c + b) M. = -8 b c(c + b) + c5j(J) + 5, (c + b) (1 + (])) c(c + b) + c5,)

donde V, es el error aleatorio. c)

Si ambos tipos de agentes formulan sus expectativas de manera racional () -f- b5, (1-)> c(c + b) + cS,

(b, 8j > 0) Es decir, los términos de c) son mayores que los de b), pues los denom ina­ dores han caído. Por lo tanto, la cantidad de dinero en b) es m enor que en c). Se puede concluir que la oferta monetaria será fijada en un monto m enor en b) que en c), porque cuando existen expectativas adaptativas de parte de los agentes los ajustes en las expectativas ante subidas en el nivel de precios son menores y más lentos que cuando todos tienen expectativas racionales. Esto es porque con ex ­ pectativas adaptativas existen errores sistem áticos. Dicho de otra manera, al existir dos tipos de agentes, cada cual con una racio­ nalidad disdnta, la autoridad monetaria debe ser capaz de percatarse de esta distin­ ción en la población; pero si de lo que se trata es de homogeneizar creyendo que existe un solo tipo de agente, la política monetaria va a manifestar una actitud más bien restrictiva, lo cual podría causar efectos negativos en la economía.

EJERCICIO 9_______________________________________________ En la siguiente ecuación, la tasa de cam bio instantánea del nivel esperado de p re­ cios (Pc) se corrige dinám icam ente en el tiem po respecto al error de predicción, es decir Pe = S(P - Pe)> donde 5 e . a) b)

Determine Ptí (suponga que P es dado). Analice la estabilidad de la solución. D eterm ine Ptí si P = a t ( a > 0) y analice la estabilidad de la solución.

[_ Solución:______________________________________________________________ a)

Tenemos la siguiente ecuación diferencial de prim er orden para Pe: Pe = 8(P - P6) pe —§ pe = SP (*) Se plantea como posible solución hom ogénea Pe = AeAl y sustituyendo Ptí en (*) 1legamos a la siguiente ecuación característica:

oc + 5 = O a - -5 Entonces, la solución hom ogénea es Pe = Ae-5' A demás, sea la solución particular de la forma Pe = k. Reemplazando en la ecua­ ción diferencial se deduce que k = P Entonces, la solución general es Pe = Ae-51 + P Como 0 < 5 < 1, la solución es estable. b)

Ahora, la ecuación diferencial para Pe viene dada por: F + 5Pe=5oct que es una ecuación diferencial de prim er orden con término variable. Recordemos la fórmula general para solucionar este tipo de ecuaciones (véase Chiang 1984): y + u(t)y = w(t) y(t) = e-Judl [A + |w e í,ldl dt] Luego, sea |i(t) = 5, w(t) = 5 a t en la fórmula p e = e-J S d t[A + S a J t e f 50' d t j

a

F = A e “6, + a t ------

5 Nuevamente, la solución es estable dado que 0 < 5 < 1.

EJERCICIO 10_______________________________________________ Suponga que la tasa de inflación es proporcional al desequilibrio en el mercado monetario. Es decir, p = (¡>( 1 - j.i), donde p = M d / M \ ([>> 0, M d y M s son la demanda y oferta de dinero respectivam ente. También se sabe que la ratio m es función de la inflación (p), la lasa de crecim iento del producto (y) y la tasa de expansión m oneta­ ria (m).

El gobierno considera la posibilidad de operar bajo los siguientes esquemas de política monetaria: a)

La tasa de emisión monetaria será proporcional a la tasa de inflación: m = m(p), m ’(p) < 0.

b)

La tasa de emisión monetaria será proporcional a la variación en la tasa de inflación: m = m(p), m ’(p) < 0

Para cada uno de los casos, construya detalladamente el diagrama de fases co­ rrespondiente. ¿Qué sucede en cada caso con la convergencia de la solución?

| Solución:___________________________________________________ a)

Para construir el diagram a de fases debemos graficar las curva p = 0 y ji = 0, que llamaremos F y G respectivamente. F: (t>(l-p.) = 0 G:

p + y - m(p) = 0

cuyas pendientes son dp dpdp

á\i

=0 G

Para ver la dinámica, es útil determ inar los signos de las siguientes derivadas:

3p

-----= - 0 3p

dp

La d eriv ad a-----nos indica que, a medida que \i crece, p decrece. Esto signiiica

3|i

que en lodo el espacio arriba de p = 0 donde f.i crece, p decrece (flechas hacia la izquierda), mientras que en el espacio debajo de p = 0, p aumenta (flechas hacia la derecha). dú De manera similar, la d e riv a d a -----nos indica que existe una relación positiva

3p entre ji y p. En el espacio a la derecha de la curva |i = 0, p crece, por lo que m crece también (flechas hacia arriba), mientras que en el espacio inferior p y m caen (flechas hacia abajo). El diagrama de fases que corresponde a este ejercicio es:

b)

En este caso, la curva G sería de la forma: G: p + y - m(p) = 0 cuya pendiente es:

. dp

dp - m ’ (p ) -----dfi = 0 dp. dp y c o m o -----= - dji

dp

-----

du

= - 0

-

( A i'f l U LO 8. K liY N E S lA N IS M G , M O N H T A R iS M O Y N U EVA M A C R O E C O N O M ÍA « C L Á S IC A »

pues m ’Cp) < 0. Como vemos, en este caso la curva G tiene pendiente positiva. Las derivadas que nos interesan son: dp

---- =

- (j) < 0

d\x

da

----=

1 >0

dp Es decir, las flechas tendrán el mismo sentido que en el ejercicio a); sin embargo, en este caso se trata de un nodo estable mientras que en el ejercicio a) teníamos un vórtice.

Esto m uestra que en el caso (a) hay un vórtice, es decir, una «órbita» alrede­ dor del equilibrio sin llegar nunca a este; m ientras en el caso (b) tenemos un nodo estable, que muestra estabilidad en todos sus puntos. Podemos dem ostrar estas proposiciones matemáticam ente. Según Ronald Shone (Economic D yna­ mics. C am bridge LIniversity Press, 1997: 151), las condiciones para un vórtice son traza = 0 y determinante > 0, mientras las condiciones para un nodo estable son traza < 0 y determinante > 0. Veamos si se cumplen:

C aso (a) P =

p

- p

II

E

■e-

A

n -1

En este caso, traza = í()m’ < 0, (jjm ^ 0, pues m ’< 0, y determ inante = > 0. Vemos, pues, que en cada caso se cumplen las condiciones requeridas para que sea un vórtice y un nodo estable.

EJERCICIO 11 Considere las siguientes ecuaciones que resumen la dinám ica del salario (w) y el precio esperado (Pe):

P(w, M) w = X [ld (w) - I s [w ,------------]] Pe [p

(W ,

M) - Pe]

donde ld y Is son la demanda y oferta de trabajo, M es la oferta monetaria, P es el nivel de precios y Pe es el precio esperado. X y y son constantes positivas. Haga el diagram a de fases. (Ayuda: diferencie totalmente las ecuaciones.)

| Solución:____ ________________________________________________________ _ Trabajemos primero con la curva w = 0: P(w, M) ]'> (w) = Is (W, — -------- ) P"

D iferenciándola totalmente:

cuya pendiente es, bajo el supuesto de que el denom inadores negativo: dw

- l spP / P e2

w

w

F

w

Ahora, veamos la curva: F = y [P(w, M) - P°] = 0 Pwdw + P MdM = dP* dw 1 -----= ------> 0 dPtí Pw y entonces el diagrama de fases correspondiente es:

EJERCICIO 12 Dado el siguiente modelo: Y

= C .+ 1 + G

C

= C(Y)

I

= I(Y ,r)

M /P = L(i, Y) P _ _ — = h [('Y - Y) / Y] + k P donde: r i n Y

= = = =

a) b) c)

d) e)

tasa de interés real (r - k ) tasa de interés nominal tasa de inflación esperada producción de pleno empleo Defina las variables endógenas de corto y largo plazo. Exprese el modelo en form a matricial y analice las condiciones de estabili­ dad. A suma que n = 0. Analice los efectos de corto plazo de: (e l) Una expansión del gasto del gobierno (c2) Un aumento del nivel de precios inicial (c3) Una política monetaria expansiva Introduzca im puestos autónom os en el modelo y halle el m ultiplicador del presupuesto equilibrado. Obtenga los m ultiplicadores de largo plazo y analice el efecto de una expan­ sión m onetaria sobre los precios.

Solución: a)

En el corto plazo, las variables endógenas son Y, r y P, m ientras que Jas variables exógenas son G, M, P, Y. En el largo plazo, las variables endógenas son r y P, m ientras que las variables exógenas son G, M.

b)

La forma estructural de este sistem a de tres ecuaciones para el análisis de estáti­ ca com parativa es la siguiente: - o

- c

y -

Ly h/Y

V

L r

0 0

0

- l/p _

*r

~dY dr _ d P „

‘ -1 = 0

_0

0 1/p

0 -M /P 2

0 0

0

- P/P2

hY /Y 2_

dG dM dP

HY

Las condiciones de estabilidad de este sistem a se cumplen ya que traza = - (1 - C y - 1 y ) + Lf - ] /P determ inante = ( J - Cy - Iy )Lf / P + Ir Ly/P < 0

L
0

Los efectos de corto plazo sobre el producto, la tasa de interés y la variación del nivel de precios pueden obtenerse usando el método de Cramer. (e l) A umento del gasto de gobierno dY Lr/P -----= - J [ — > 0 dG det dr

L , /P

dG

det

dP

L ^ /Y

dG

det

-> 0

>0

(c2) Aumento del nivel de precios dY

I M /P 3

dP

det

-0

dP

(1 - C y - Iy)Lr P/P2 - Ir [-L y P/P2 + M h/P2Y]

dP

det

(c3) Aum ento de la cantidad de dinero dY

I /P 2

dM

det

^

dr J l - C y - I y) / P 2

0

d)

Con la introducción de im puestos autónomos, la form a estructural del sistema es la siguiente: -(1 - C y d - I y ) Ly

Ir

o

dY~

K

o

dr

-1 /P

_ dP_

Cyd~ dG

=

0

0

_0

0

dT

o

h/Y

~ -l

_

Para el m ultiplicador del presupuesto equilibrado, hacemos dG = dT. Los efectos sobre el producto, la tasa de interés y la variación del nivel de precios son: dY

( l - C yd)L r /P

dG

det

>0 dr

(1 - Cyd) Ly/P

dG

det

>0

e)

dP

( 1 - C y c O L ^ /Y

dG

det

>0

En el largo plazo, Y = Y y la inflación actual es igual a la inflación esperada, por lo que nuestro m odelo puede reducirse a un sistem a de dos ecuaciones cuyas variables endógenas son P y r.

0

Ir

dP

0

M /P2

L,

dr

1/P

dM

traza = Lr < 0 determ inante = - Ir (M /P2) > 0 Los efectos sobre el nivel de precios y la tasa de interés ante un aumento de la

dP

L /P

--- = --------- > 0

dM

det

dr --------- =

0

dM

EJERCICIO 13_______________ Dado el siguiente modelo: Y = C (1 - t)Y + I(r ~ 7ie) + G M/P = L(r , Y) P

Y -Y +

7T

P P tc = X (------n) P donde: t nc Y f

= = = =

tasa im positiva tasa de inflación esperada producción de pleno empleo parám etro que indica el grado de sensibilidad de los precios con respecto a la variación de los salarios ante variaciones del empleo.

Analice y explique intuitivam ente los efectos de corto plazo de: a) b)

Un incremento exógeno de las expectativas inflacionarias. Una disminución del stock nominal de dinero.

Asuma pleno em pleo y tasa de inflación esperada nula en la situación inicial.

| Solución:________________________________ a)

__

En el corto plazo, una etevación de las expectativas inflacionarias reduce la tasa de interés real aum entando la demanda agregada y, por lo tanto, el producto. En el mercado monetario, 4a tasa de interés sube ante el exceso de demanda de dine­ ro. Como el producto está por encim a de su nivel de pleno empleo, hay presiones

inflacionarias que inducen al ajuste de las expectativas. En el largo plazo, la LM se desplaza hacia arriba y regresa al equilibrio de pleno empleo.

b)

En el caso de una dism inución del stock nominal de dinero, hay una presión para que suba la tasa de interés nominal y real, dism inuyendo la demanda agregada y el producto. Como el producto está por debajo de su nivel de pleno empleo, hay una deflación que induce al ajuste hacia abajo de las expectativas inflacionarias. En el largo plazo, el efecto sobre el nivel de precios eleva los saldos reales y se retorna al equilibrio inicial.

EJERCICIO 14_______________________________________________ En el modelo del ejercicio 13, suponga una situación inicial de pleno empleo y tasa de inflación esperada nula. En este contexto se presenta, repentinamente, una reducción de la tasa impositiva. Si la autoridad m onetaria tiene como objetivo mantener fija la tasa de interés nominal: a) b)

¿Qué impacto tendrá este shock de demanda? Analice intuitiva y gráficamente. ¿Cómo cambiaría su respuesta si la política fuera mantener constante el stock nominal de dinero?

| Solución:_____________________________________________________________ a)

Una reducción de la tasa im positiva tiene efectos positivos sobre el consumo y la demanda agregada. En el m ercado monetario, ante el exceso de demanda de di­ nero y si el Banco Central controla la tasa de interés, debe aumentar la oferta monetaria. Por otro lado, el aum ento del producto por encima de su nivel de pleno empleo señera presiones inflacionarias que inducen a un ajuste hacia arriba

( 'aIM I'U LO 8. K E Y N E S IA N IS M O , M ONETARISMO Y N UEVA M A C R O E C O N O M ÍA « C L Á S IC A »

de las expectativas inflacionarias. Estas reducen la tasa de interés real y se esti­ mula nuevamente la demanda agregada. Ante el nuevo exceso de demanda di­ dinero, se eleva la oferta monetaria. Como puede deducirse, el objetivo de fijar­ la tasa de interés lleva a una inflación acelerada y a un sistema que se aleja cada vez más del equilibrio de pleno empleo.

b)

En el caso de fijar la oferta monetaria, el sistema sí puede converger al equilibrio. Veamos por qué. La reducción de la tasa impositiva eleva la demanda agregada y el producto. Ante el exceso de demanda de dinero, la tasa de interés nominal sube. El hecho de que el producto esté por encima del pleno empleo genera presiones inflacionarias que inducen al ajuste hacia arriba de las expectativas inflacionarias. Ello reduce la tasa de interés real y estimula la demanda agregada. Ahora bien, en el largo plazo ios saldos reales se reducen y si el aumento de la tasa de interés nominal prevalece sobre el aumento de las expectativas inflacionarias, se regresa al nivel de pleno empleo (punto D).

EJERCICIO 15 Dado el modelo de oferta y dem anda agregada tradicional representado por las si­ guientes ecuaciones estructurales: (1)

Y=C+I+G

(2) C = C (y)

y (IS) >DA

(3) I = i (y. r) (4) M /P = L (y, 1)

(LM) ,

(5) P/P = H [(Y - Y) / Y] + n —» OA donde Y es el ingreso real, C el consum o real, I la inversión real, G el gasto público, M /P la oferta real de dinero, L la dem anda real de dinero y 71: = inflación esperada. Supuestos: Cy , Iy > 0, Ly > 0, H ’ > 0 lr < 0, L¡ < 0 O < Cy < 1 a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k)

¿Cómo cam bia el modelo cuando 11 = 0? ¿Bajo qué supuestos sobre H llegamos al modelo neoclásico y al keynesiano? ¿Cuáles son las variables endógenas y las variables exógenas del modelo en el corto plazo (CP) y largo plazo (LP)? D iferencie totalm ente el modelo. Ordene m atricialm ente el modelo en el CP. ¿Se puede decir que el modelo es recursivo en bloques? Encuentre los m ultiplicadores de CP. A nalice la estabilidad o convergencia al equilibrio. D em uestre la estabilidad gráficamente. O rdene m atricialm ente el m odelo en el LP y halle los multiplicadores, ¿Se cumple la teoría m onetarista de la inflación en el LP? Asuma que el Banco Central de Reserva decide controlar la tasa de interés y no la cantidad de dinero. Presente m atricialmente el modelo en el CP.

| Solución:________________________________________________________ a)

A sum iendo que F1 = 0, la ecuación (5) se convierte en: P /P = H [ ( Y - Y ) / Y ] Además, conociendo la ecuación de Fischer, i = r + 7ie, y asum iendo previsión perfecta, es decir, que la inflación esperada es igual a la inflación efectiva (en este caso igual a cero), tenem os que r = i, la tasa de interés nominal y real son iguales, por lo que podemos expresar nuestro modelo en función de la tasa de interés real o nominal indistintamente.

b)

En el enfoque neoclásico, la oferta agregada (OA) está dada. Ante un aumento de la dem anda agregada (DA), se genera inflación. En el caso keynesiano extremo, el aumento en la demanda agregada aum entará el producto y no generará ningún movim iento en precios.

Neoclásico

c)

Keynesiano extremo

Las variables endógenas y exógenas no son las mismas en el CP y el LP, porque a CP somos keynesianos (precios rígidos, dados) y a LP som os clásicos (precios flexibles): CP: Variables endógenas: Variables exógenas:

Y, C, 1, r, P G, P, M, Y

LP: Variables endógenas:

Y, C, 1, r, P G, M, Y

Variables exógenas:

d)

D iferenciando el modelo: (i)

dY = dC + di + dG

(ii) dC = Cy dY (iii) di = I dr + Irdr PdM - M dP dM M -----------------= -------------dP = L vdY + L rdr p2 p p2 »

(iv) d

PdP ~ PdP

dP

(v) d

- dP = H ’

dY Y

Derivam os la curva IS reem plazando (ii) y (iii) en (i) y la ordenam os en exceso de demanda: d Y = CydY + IydY + Irdr + dG (IS)

0 = -(1 - Cy - Iy)dY + Irdr + dG

O rdenando el mercado de dinero en exceso de demanda:

(LM )

dM M 0 = ------- + — dP + Lv dY + Lr dr p p2 y

La ecuación (v) es la curva de Phillips, que no es más que una curva de oferta agregada.

(OA)

e)

0 = H’

1 . P d Y ------dP + — dP P P2

Ordenando m atricialm ente el modelo:

- o - c y- i y)

Ir

o

Ly

Lr

0

ir

dr

1 0 -1 /P Y

dY~ dP

-

- 1

0

0

dG

0

1/P

-M /P 2

dM

0

0

- P/P2

dP

CaH'I'ULO 8 .

287

K.EYNES1 A N IS M O , M O N E T A R IS M O Y N U K VA M A C R O E C O N O M ÍA ^ C L Á S IC A »

El sistem a es recursivo en bloques; es decir, el sistema se va retroai¡mentando en bloques, en el sentido de que las dos primeras ecuaciones pueden resolverse por sí mism as, sin necesidad de la tercera ecuación de la oferta agregada.

( l ~ c y- l y) Ly

I,

dY

Lr ,

dr

0

-1

dG

0

dM 1/P

0

- M /P2

El determ inante de esta m atriz es distinto de cero, por lo que tiene inversa.

|A |= —(1 - C y - I y) L r - l r Ly > 0 f)

Los m ultiplicadores nos m uestran el efecto de una variable exógena como G, M, P sobre las endógenas (Y, r): dY

- o - c y - i y)

dr

ir

-l

-1 0

’ ¡A|

1/P

- 1 0

L,

dG

0

dM

^y

1

0

- M /P2

dP

dG

0

dM 0

- Ly

1/P

-M /P 2

dP

M 1 = íáí

Ly

dY

1

dr g)

+1

~ 1 ,/P

-K

1 — (1 -C -I) P y y

dG dM

M

' Ú)

(+)

(-)

dG dM

" | A | k(+)

(- )

(+)

dp

dP

Para que el m odelo sea estable se tiene que cumplir la siguiente condición: dP ■< 0

Se asume que Y = Y se alcanza en el LP (en el equilibrio). Vamos a analizar la ecuación dinám ica 1 . P _ _ d P ----- dP = H ’

dP = 0

dY

P, = Pt+! = Pl+n —> en el LP las variables están en equilibrio.

— dP = — dY P lY , dP

PH ’

dY

Y

(1) Del modelo de corto plazo tenemos: dY

1 M /P2

dP

- [(1 - Cy - l y) Lr + Ir L y ]

(2)

PH ’ De (1)

dP =

De (2)

dY = -

dY

(H

I M /P 2

-dP

( 2 ’)

K l - C y- l y) L r + Ir Ly ] De (1 ’) y (2 ’) PH ’ dP = -

I, M /P2 -d P t d - C y- I y) Lr + Ir Ly ]

dP

(-) H11M

1

dP

PY

L r[( 1 - C - Iy) + Ir L ]

(+) dP

0 E ntonces, podemos dem ostrar gráficam ente la convergencia de dos formas: por m edio de las pendientes de las curvas de oferta y demanda agregadas, y por m e­ dio de las pendientes de las curvas IS y LM. Análisis de estabilidad por medio de las curvas de dem anda y oferta agregada dY

L M /P

dP

(1 - Cy - ly) L r + lr Ly

dP

( 1 - C y- I y) L r + l r Ly ]

dY

LM

Si (1 - Cy - Iy)L¡ + IrLy > 0

dP (+) ----- -- ---------> o D A pendiente + dY (-) Para analizar la estabilidad, asumimos que e s­ tamos en un punto fuera del equilibrio (B por ejem plo). B es un punto de exceso de dem an­ da, por lo que los precios se elevarán con el fin de mantener el equilibrio en el mercado de bienes.

S lO -C y -l^ + l^ C O

-----= ---------< 0 DA pendiente dY (-) En A, ante el exceso de demanda, los precios se elevarán para mantener el equilibrio en el mercado de bienes. De manera análoga, en B. ante el exceso de oferta, los precios se re­ ducirán para mantener el equilibrio en el mer­ cado de bienes.

Análisis de estabilidad p o r medio de las curvas IS y LM dr

1

(IS): Ir

dY dr

(LM): dY

Lr dr

dr

Asumiendo: dY

_y_

LM

dY

1- c - I

L; - L y Ir > L , ( l ~ C y - l y) 0

> L¡ (1 - C y - l y) + Ly l r

Casos en los que el m odelo es estable: Si la pendiente de la curva LM es m ayor que la pendiente de la curva 1S (con­ dición necesaria y suficiente para la estabilidad), se cum ple la estabilidad del modelo.

Caso en el que el modelo es inestable: El modelo es inestable cuando la pendiente de la curva LM es m enor que la pendiente de la curva IS.

En este caso, dr

dr

dY

dY

y no se cum ple la estabilidad i)

En el largo plazo, las variables endógenas y exógenas son: Variables endógenas: Y, r, P, C, I Variables exógenas:

G, M, Y

(IS)

- ( 1 - C y - I y) dY + Irdr = -d G

(LM)

M dM L d Y + Ljdi + -----dP = -

(OA)

IT

P 1 . dY + -----dP = — dP

En el largo plazo, el producto es igual al producto de pleno empleo Y, por lo que la variación de aquel será igual a cero: dY = dY = 0 = dP

Dado que el sistem a era recursivo, solo utilizarem os las dos primeras ecuaciones (IS y LM ) l rdr = - dG M dM L-di + -----dP = -----1 _"i P ■ P2 0

I,

dP

(- 1

0

dG

M /P2

Lr

dr

0

1/P

dM

0

dG

-V P

dM

M ultiplicadores de largo plazo:

- Ir M /P2

dr

dP ' dr

j)

M /P2

1

' dP

,~

L,

~ l/lr

0

L¡P2/IrM

P/M

dG dM j

La teoría m onetarista de la inflación nos dice que la inflación se genera por cam ­ bios en la cantidad de dinero. Mv = PQ dM

dv

dP

dQ

dM

dP

M

v

P

Q

M

P

La teoría cuantitativa nos dice que la velocidad es constante y como la produc­ ción está dada, es decir, estam os en una situación de pleno empleo, todo incre­ mento en la cantidad de dinero se traducirá en cambios en precios. A nalizando los m ultiplicadores de largo plazo: dP

P

dP

dM

dM

M

P

M

sí se cum ple la teoría m onetarista de la inflación.

C a p í t u l o 8. K e y n e s i a n i s m o ,

293

«c l á s ic a »

Si el BCR decide controlar la tasa de interés: (IS)

( 1 - C y - I y)d Y = - d G - I , d r

(LM)

dM M L d Y ------- = - L d i -------- dP P ' P2

(OA)

H’

1 . P d Y ------dP = ------ dP P P2

o

o

Ly

-1 /P

0

dM

=

dP

o

X

1 U i

1

'w '

dY

* J

a

+ X§

1+

1

b)

_ Y m,

La estabilidad de este sistem a de ecuaciones en diferencias ocurre siempre que X 0 (1 + *40

los valores propios de la matriz A =

sean menores que uno en valor

1 0 (1 +A4>)_ absoluto. Para hallar los valores propios debemos resolver la ecuación |ti - A| = 0

f

k

0

t

0

(1 + X$)

0

t

i

= 0 0

(1

+ 7$)

j

t = 0

0

t(1 + X(f>) 1

cuyas soluciones son t,= 0 y t2 = -

que en ambos casos son menores que

1 + Xty uno, por lo que la estabilidad se satisface. Una elevación anticipada de la oferta monetaria implica que los agentes conocen los cambios en el valor esperado de la variable monetaria, es decir, dme = din. En cambio, si la elevación de la oferta monetaria es no anticipada, el valor esperado de la variable monetaria es diferente al valor efectivo. En el ejercicio se supone que Am = Ame , y que se produce una elevación no anticipada del gasto fiscal (Af). Los efectos de corto plazo son, respectivamente: o \

1

An -

- Am + -

- Ame + -

-Af

1 + X(j)

1 + X(t>

- Ame + -

1 + A4>

- Af

1 + A.

1 +X

Introducim os la restricción Am = Ame aX

A n = Ame + -

-Af 1 + M>

Ay = -

-Af 1 + X

Nótese que solo los cambios no anticipados (Af) tienen efectos sobre el producto. Ahora bien, los resultados de largo plazo son diferentes puesto que hay que consi­ derar la restricción: 71, = 7t( J , Y, = Yt |, lo que en el sistema matricial significa:

Lo que desarrollando la inversa da:

0

0

-l/X

-a/¡M>

]

1

a/ '1 -0* 0 (2) n c = j ( n - n e)

, 0 < J < 1,

(3)

, k>0

Ü = -k (m -n )

Ejercicio lomado de Chiang 1992.

donde: n

= inflación efectiva

n c = inflación esperada U = tasa de desem pleo m = tasa de crecim iento de la oferta m onetaria a)

U tilizando (1) (2) y (3) construya una ecuación diferencial de segundo or­ den, cu ya variable sea la inflación esperada.

b)

R esuelva la ecuación diferencial y encuentre la trayectoria de

| Solución: a)

n e.

_____________________________________________

Reemplazando la ecuación (1) en (2): n e = j ( a - T - p u + h n e - n c) (4) n e =j ( a - T - PU) ~ j( l -h) IT Ecuación diferencial de orden 1, pero toda­ vía depende de la tasa de desem pleo U. Diferenciando la ecuación (4) un periodo y reem plazando la ecuación (3) en (4): n e= -j( p Ü ) - j( l~ h ) n e

n e = - jp(~k(m - r i) ) - j( i -h ) rie (5) n e = j p k m - j p k n - j ( l - h ) n e Como buscamos que Fíe sea la endógena, reem plazam os la ecuación (2) en (5): Despejamos ÍT de (2): Óe + j f l c = j í l r r + jr r En (5): n e = jPkm - jp k

- jd - j) n e

J

fie =jpkm - [pk +j(l - h)]ftc - jpkne f ic = fpk + j( 1 - h)]lie-f (jpk)ne= jpkm

b)

La solución particular nos m uestra el valor ai que se converge, tenemos: Ecuación característica: r2 + a,r + a2 = b y — b:

y” = y’ = 0

y ” + a ,y ’ + a2y = b 0 + 0 + a^y = b b

jbkm

y =— a*»

jb k

yb= m En el largo plazo, IT va a con verger a m. Esto quiere decir que la inflación esperada va a ser igual a la tasa de crecim iento del dinero nominal. Por otro lado, la solución hom ogénea nos m uestra la dinámica de transi­ ción, es decir, si existe un equilibrio al cual se convergerá. Las raíces características están dadas por:

2 Para que exista una dinám ica de transición la condición es que las raíces sean negativas, ya que a medida que t crece, si la raíz característica es negativa, la solución hom ogénea (A ¡eril —* 0) tenderá a un valor de equilibrio, en este caso particular al valor m. No sabem os si: a ,2 ^ 4 a 2, por lo tanto, no sabem os si las raíces son reales e iguales, reales y distintas o com plejas. Veam os los tres casos: R a íces reates d istin ta s: a 2 > 4a2 ; a, > 0, a2 > 0

=> r, < 0,

r2 c 0

Por io tanto, el equilibrio es dinám icam ente estable. R aíces re a le s ig u ales: a 2 > 4 a 2 - ai r j « r 2 -----------> Por lo tanto, el equilibrio es dinám icam ente estable.

R aíces c o m p leja s: para ver la convergencia, en caso tengamos raíces com plejas, solo nos interesa la parte real. La parte real es h = ~a¡/2, por lo tanto, en este caso el equilibrio también es estable. Notemos que la convergencia en este caso es oscilante y ondeada, porque en la solución tenemos las funciones seno y coseno. Y = IT = ehl (A j eos vt + A 2 sen vt) Donde: h = la parte real de la raíz v = la parte imaginaria de la raíz La solución compleja está replicando bien la econom ía, porque la trayecto­ ria de una variable en el tiempo es oscilante.

r i e(t)

Por lo tanto, la trayectoria de í l e es estable, converge a m.

EJERCICIO 23 Se tiene el siguiente modelo que relaciona el consumo esperado con la renta anticipada:

(i) donde se supone, a d e m á s, que el consumo esperado puede representarse m ediante de un proceso de ajuste parcial: C,

C t ¡ —8(C j

Ct j ) + m,

(2 )

donde mt es un térm ino estocástico bien com portado [mt ~ N(0, a 2)]. Por otro lado, direm os que el ingreso esperado acepta la hipótesis de expectativas adaptativas: Y '- Y V i = ( !-* .) ( Y ,-Y '.,)

(3)

R esuelva el m odelo (elim ine las variables de expectativas).

| Solución: Para resolver este ejercicio, vam os a definir el operador de rezago (L) aplicado a la variable X t com o:

Lo que hace el operador de rezago es rezagar n periodos a la variable X t. Por ejem plo, L X t = X,_, retrasa un período a la variable. D espejando de la segunda ecuación el consum o esperado:

C , - C M = 5 C ' - 8 C M +^, C,

(1-8)

5

8

C,

(1-8)

8

8

C? = 8

t

5

Cj = — [[(1 -0

En el largo plazo: m t = mt_j = m,_2 ... = m* Reem plazando esto en (1):

1

ay

1

m* +

l+ a y

l+ a y ¡=o 1 + ay p,=

ay

C

1

ay

ay

1 + ay

3 + ay

1 + ay

ay

< 1 , la sum atoria converge a -

Dado que

ay

1 + ay

+ ay Entonces:

ay P .= -

+C

1 + ay

ay

1 + ay

1 + ay 1

1

ay

+c

P, = m*

l+ a y

1+ qeY_ 1+ 9ty.

/ +P t

i

1

1 + ay

ay

l+ a y

1

[ 1 + ay

ay P, = m + C

1 + ay g)

Diferenciem os totalmente, tomando en cuenta: fot - 1 dm, = dmt+2 = dml+3 = ... = 0 = Cd

dP,

drrr

1- a

a- 1

Entonces, el efecto de un increm ento de m l+1 sobre pt es: dP,

i -a

dm fJ h)

-> 0 ; a < 0 (1 - a)2

En el largo plazo, m, = ml+1 = m l+2 = ... = m* y reem plazando esto en la ecuación anterior:

P, =-

l -a

a- 1

D iferenciando totalmente:

EJER C IC IO 25 Se tiene ia siguiente ecuación de com portam iento para los saldos m onetarios reales:

m ,-p ,= a (p '+| -p ,) a < 0

(1)

que refleja el hecho de que la dem anda por saldos reales es función inversa de la in ilación esperada. Si la inflación esperada se com porta según:

( 2)

P % r Pi = (&-Pt-i) a) b)

R esolver el m odelo y analizar las condiciones de estabilidad. ¿Qué sucede si nos desenvolvem os en un mundo de «previsión perfecta»: p'+i = p ,+i? •

| Solución:__________________________________________________________ a)

Reem plazam os (2) en (1):

m I- Pl = a M>(p, - P,_, )] y despejam os pt:

a $

m,

P« = -----------Pi-i+ ------------

(a + 1)

(a$+l )

Esta es una ecuación en diferencias de prim er orden con térm ino variable. Va­ mos a aplicar el método de operadores de rezago para h allar la solución b ack­

w ard-looking. 1

Lp, +

Pr

1 4- 0C(|)

1 m t + (1 - XL)cX*

( l - XL)p, =

1 + a 1

1

1 4 ac¡)

1 - XL

m, 4 cXl

[1 + A.L + X2L 2 + ...] m, + cX'

Pr 1 + a 1

Pi =

[m, + A.ml_| + XJm,_2 + ...) + cX'

1 + a ] ¿

Pi =

(W " 1 h + C(W

aty P.=

1 + a

1 + a2y* + 4>3y t_, + 4£, Reem plazando p, y EM p, en (4):

1

5 -

, in + 0 , y ’ + i y,_, + 4 e, = ------- ((I), m +

1+8

5p

8

8

1+8

1+8

1+8

----y,_, +--- (P -l) y* +--- e,

y ’ + 3 y,_,) + -------- m

'

1+8

e igualando los coeficientes de ambos lados de la ecuación, podemos hallar los coeficientes indeterm inados: 5

*, =1, *2=P-1, +3=- M 4=--1+8 La solución de pt es, entonces:

6

p, = m - y* - P(y,_, - y*) + ------- e, 1 +6 y reem plazando en ( 2 ’) encontram os la solución para y t: l

yt = y*+—

1+ 5

Reem plazam os y t_j para la solución final de p,:

„

*

P

S

pi = m ~ y ----------£3 = -

i

La solución de p, es, entonces: 6 Pl = m + ------- £ , - / 1 +5 y reem plazando en (1) encontram os la solución para y,: ] y t = y * + ---- e, 1 +5

EJER C IC IO 28 Considere una econom ía donde y, = y, m, = m, pero una variable fiscal, zv afecta la demanda agregada de la siguiente manera: ( !)

y , = P o + P | ( m t - P 1) + p 2 ( E 1 P .- f i - P

1) + P 3 z 1 + v i -

p 3 > 0 -

Suponga, además, que la política fiscal se conduce según:

(2)

z, = Yo + V -,-1+ f,

donde í {es una perturbación estocástica. Halle una solución para pt. Asum a que E[f,] = 0 y E fv J = 0.

| Solución:_____________________________________________________________ I a posible solución para p{es: P, = 0 + ‘M .- l + W + 3v , Reem plazando (2), pt y Et pt+, en (1): y = Po + P, 3v .) + P 3 (7o + Ti V i + f«) + v ,

( V i

igualando térm inos, podem os hallar los coeficientes indeterminados: 0 2 VOP1V

♦0=----

P

1

-

- [Y - Po - M

- Ptfol / Po

P2(Yj - i ) - P , P3T, 4>i -

■ —

P2(Yi - 1) - Pi

fii-P z l -

P'7 '------- ]

P2(Y, -

d

- p.

Y2----------------------------------------P] + P2

P, + P2 EJER C IC IO 29 C onsidere las siguientes ecuaciones de demanda y oferta agregadas: y* ~ P0 +

P,(m, -

Pj) + v,

y, = y + a(p, - E (_, pt)

DA OA

La perturbación estocástica de la demanda (v t) sigue el proceso v t = p vt_, + er donde Ele,] = 0. Suponga que la oferta m onetaria tiene el siguiente com portam iento: mt ~ M-o + M-| Vi~l + ei» donde Efe, ] = 0 y e, no está correlacionado con v r D erive una solución para p , e y ( .

| Solución:____________________________________________________________ _ Reem plazam os la ecuación de com portam iento de la oferta m onetaria y el proceso autorregresivo del térm ino aleatorio en la DA: y = P0 + Pi(|jn + n ,v t_, + et) - p,p, + pv,_, + e,

(1)

e igualando la oferta y la demanda

y + a(p,-E,_,pt) = P0+ p,(p.0 + n,vM + e,) - p,Pl + pv,_, + e,

(2)

S e plantea que la posible solución de p{ es de la forma P. = 't’o + 4>i v (._, + 2e, + 36 ,

(3)

E|_|P|= 't’o + (t’|v i-|

(4)

A l reem plazar (3) y (4) en (2) podem os hallar los coeficientes indeterminados: P ih + p P, i «Pl = ------------ . 2= --------- ' $1 = --------- ' P, a + p, a + P,

p 0 + p ,n 0 - y = ---------------- --P,

Por lo tanto: P o + P iH o -y

i^ i P i

+

p

Pi

J

a +P,

a+P,

p, =-------------- +-----------V|_| +--------e, +------ -e,

Pi

p,

y reem plazando pt en la oferta agregada, hallam os la solución para y (:

_

ap,

a

yt = y + ---------e, + (----------) e,

a+ p ,

a + p,

EJERCIC IO 30________________________________________________________I Considere un m odelo IS-LM bajo el supuesto de que la econom ía se com porta de manera clásica, es decir, y t = y*, donde y* es el producto de pleno empleo: mt - p, - y + aR ,

(IS)

Rt = cp + Et (pt+, - pt) + p,

(LM )

donde las variables en m inúsculas denotan logaritm os y las m ayúsculas niveles. A d e­ más, se sabe que a es negativo y |i, es bien com portado. Asum a, también, que el gobierno emite según la siguiente regla monetaria: m ^ o + ^ t + e, donde e, es bien com portado y no correlacionado con p r Se le pide hallar una solu­ ción para p( y luego para Rr

| Solución:_________________ ______________________________________ Supongam os que la posible solución de pt es de la form a: p( = 9 Ü+ 0 ,t +0?e( A delantando un período:

pl+i = ert + e 1a + i) + e2e,+1 + 03^ , Tomando esperanza matemática a pl+1 - pt : E[pH, - p, ] = 0j Reem plazando p ,, mt y R t en la 1S: (¡>0 + (¡jjt + e , - 0 O- 0 ,t - 0 2e, - 0 3p t = y + o

o ~ Y - ° (P “ a 0 y la oferta de dinero sigue el siguiente proceso: m,+|= X fñ + (1 - X)m, + el+1

( 1)

donde Ete,+, = 0 y m y es una constante. R esu elva para el nivel de precios p, utilizan­ do el m étodo de los coeficientes indeterminados. (Nota: E,X(+1 es la esperanza condicional a la inform ación disponible en el período t.)

__________________________________________________

| Solución:

Supongam os una solución de la form a:

P t = K0 + K l mi que sustituimos en (1) K»mt = - « E , ( K

o+

K,m1+J - Kq - Kj mf)

de donde despejam os Etmt+I: (I+00^-1

Ko

Etm x+] = ------------------ mx + -----aK,

aK ,

(3 )

A partir de (2) podem os hallar Etm(+1: Etm t+1 = X ¡ü + (1 - A.)m(

(4)

pues según dato Ete(+, = 0. Finalm ente, igualam os los coeficientes de (3) y (4) y obte­ nemos las siguientes ecuaciones:

----- = A. m aK, ( l + a) Kt - l _ i

aK, de donde se obtienen soluciones para Kq y k ,, que serían:

aX m

1 K -----------1 + aX por lo que la solución para el nivel de precios será:

EJER C IC IO 32 C onsidere el siguiente m odelo dinám ico:

p, = 5 e >p1+i + “ y,

r, = r,R + E.P.+I - P. donde p, es el logaritm o del n ivel de precios, y, es el logaritm o del producto, rr^ es la oferta de dinero, r, la tasa de interés nom inal y rtR la tasa de interés real que supondre­ m os constante. a) b)

Suponga que la oferta m onetaria es exógena. R esuelva para p , yt, y r, en térm inos de los valores corrientes y futuros de la cantidad de dinero. A h ora suponga que el gobierno im plem enta una regla del «k% », lo que im plica: E, (mI+i- m t+i_1) = k suponiendo que 8 e , m uestre que a m ayor elasticidad ingreso de la dem anda por dinero m enor es la tasa de interés nominal.

| Soluc ión: a)

En prim er lugar, utilizarnos la segunda ecuación para despejar y f: n\~ Pt y» = que sustituim os en la ecuación de precios: ~m i~ P i

p. = 5E. p.+i + a Sim plificando:

~a + T|~ 5

a

Pl = E,Pi+i + —r m,

r)5

utilizando operadores de rezagos: E( p1+| = E, L~1p, = L *p,

Con lo hallado, podemos elim inar Et p ^ jd e la ecuación anterior:

a + rj r|5

— L~ Pt = — ni

TI» 1 a

rj5

Pt = '

a -f rj

a + r)

donde le hemos dado la form a para poder aplicar la propiedad: 1 1

-2> ' - a

>=fl

Finalmente:

a

ns

= E,m,+ 0 . + TJ i=o

a + r|

A fin de hallar la solución para la tasa de interés nominal, sustituimos lo hallado en:

rt = rtR + E,Ap,+|

y tenemos: r\b

a +r| i=0 a + r| b)

Sabiendo que: E,(m1+i- m |+w) = k E, Am,+i = k la ecuación de la tasa de interés nom inal se convierte simplem ente en: ak ~ r, = r,R + -------- 2 a + T1 t S Desairollando:

TI» a + T)

a + r| - r|S la elasticidad-renta de la dem anda por dinero es T|; para ver la relación entre la tasa de interés y rj, derivam os:

8r,

a k (l- S )

3ri

(a + n - t)8)2

que es negativo siempre que 5 £ , por lo que, cuanto mayor es la elastici­ dad renta de la demanda por dinero, menor es la tasa de interés nominal.

EJERCICIO 3 3 Sea el siguiente m odelo con expectativas racionales: ( 1 ) y, = ao + a i(m, - E ^ jím ,)) + a, y,_, + p,

Curva de oferta agregada

(2)

Regla de política

m, = b0 + b,y,_, + e,

donde e, ~ iid N (0 ,a 2) Et_,Cmt) = E(_t [b0 + b , y,_, + e, ] (3)

Et ,(m,) = b0 + b, y,_,

R esu elva el m odelo. ¿Q ué conclusiones extrae?

| Solución: R eem plazando (3) en (1): y, = a0 + 3 ,( 111, - b0 - b jy ,.,) + a2y,_, + = a0 + a,m , - a,b 0 - a ^ y , . , + a ^ ,., + p., = a„ - a ,b (J + a,m , + (a , - ajb^y,.., + n,

= 0O+ e,m, + 02yl_, + |i,

0o = f( a o, a ,,b 0) 9 , = f (a,) 02 = f ( a ,, a2, b ,) Notemos que si la regía de política cam bia, tendría que cam biar b0 ó b ,, y si estos cambian, 90 ó 0 2 también cambian, por lo que no se puede suponer que 0 o ó 0, son constantes (fijos). Por lo tanto, este m odelo sí es com patible con la crítica de Lucas, ya que no se puede hablar del impacto de la política porque los parám etros 0 0 , 0, , 0 2 no reflejan los parám etros estructurales.

EJERCI CI O 3 4 Dadas las siguientes ecuaciones: (1)

Qj = Lj

(2)

Cj = ------P

(3)

U - C - — L y fu n ció n utilidad dada por el consum o y el trabajo 1 ’ y ' (genera desutilidad)

P¡Qi

Tecnología individual

Valor real del consumo (individual) deflactado por inflación

y > 1 elasticidad a) b) c)

Encuentre la curva de oferta de trabajo del bien i en términos logarítm icos. Encuentre el precio de equilibrio del bien i. ¿Q ué pasa en el equilibrio si trabajamos en términos prom edios?

| Solución: a)

______________

Reem plazando (1) en (2) y (2 ’) en (3):

condición de prim er orden: ¿)U —

p. =

0

1 (4)

= ------------------

3L¡

P

/?

i

L; =

(5)

= Q?

En términos logarítm icos: 1 InL,

: [lnPj - lnP] = InQ?

1- 1 : lp, - p] = qf

( 6)

Y- 1 Esta es la oferta individual (del bien i) en logaritm os. La oferta nos muestra la relación entre em pleo y precios. Si los cam bios en precios relativos son m ayores a los cam bios en precios agregados, Ap¡ > Ap, se responde contratando más trabajo y pro­ duciendo más. Dadas las ecuaciones de oferta anteriores y las siguientes ecuaciones por el lado de la demanda:

q ;1= y

Pj_ p

Tomando logaritm os: q? = y + z¡ - n(p¡ donde:

p)

(7)

~ (0, a 2) n>0

q^es la dem anda del bien i, la cual depende del producto agregado (y), de shocks de dem anda (z¡) y de la respuesta de la dem anda al precio (n) cuando el cambio en los precios relativos es m ayor que el nivel general de precios. A sum iendo que la dem an­ da agregada está dada por: y =m- p

; m: instrum entos de política

(8)

I,)

En equilibrio: qjS= q¡d 1 •(Pi - p ) = y + z¡ - °(P i - p) Y- 1 1

i - P i----------p = y + Zj~ np¡ + np

y -\

Y -l

-+ n

Y -l

y -1 y-

i

(9)

PÍ = P + + n y- n c)

Trabajando en térm inos prom edios:

E(q¡) = q¡ = y

( 10)

E(p¡) = P¡ = P

(H)

Eíz¡) = z, = 0

( 12)

Tomando esperanzas a (9): Y- 1

(E(y) + E (z¡))

E[p¡] = E[p] + 1 + ny - n Y- 1

p=p +

(y + 0)

(13)

1 + ny - n Y -l

y =0 y = o .... (

1 + ny - n

Y = 1; pero Y > 1

Entonces tenemos que: y =0 ln y = 0

(14)

y- 1 De (14) y (8) tenemos: 0 =y =m- p m=p M =P El dinero es neutral (oferta inelástica).

EJERCICIO 35 Sea la siguiente definición del precio relativo del bien i:

( 1) P Rj = precio relativo del bien i P¡ = precio del bien i P = nivel de precios agregados Tomando logaritm os a (1) In R. = In P. - In P

(2 )

r¡ = P¡ - P r¡ = señal por extraer p¡ = observado p = ruido aleatorio Estimando r¡ por m ínim os cuadrados ordinarios: r¡= P o + P|P, - p Etr¡ ' P¡] = t>0 + b,P; V

fp, - E(p)] p

(3)

Los precios relativos (r¡) no son conocidos, por eso los estimam os. a)

Encuentre la curva de oferta del bien i y la curva de oferta agregada (o curva de oferta agregada de Lucas), dada la siguiente curva de oferta de trabajo para el individuo i.

(4)

(P¡-P) Y -l b) c) d)

Sea la curva de dem anda agregada y d = m - p; encuentre los niveles de precio y producto de equilibrio. ¿S e cumple la relación establecida por la curva de Phillips en este m odelo? Explique la crítica de Lucas.

Solución: a)

Reemplazando (2) en (4):

1? = —

fri)

y- 1 1

(5)

• E[r¡ / p¡]

Y- 1 Reemplazando (3) en (5): 1 n= — Y -1 .

[Pi-E(p)]

l is = b[pi -E (p )] = q.s

(6 )

(7)

Promediando (7) entre todos los productores: q = q¡ y dado que y = q -y que p = p¡ y = b [p -E (p )]

b =-

1

Y- i S i V j —» 0 ó V p —> o o = > b —>0

(8) C urva de oferta agregada de Lucas

y si b —> 0, la cu rva de o fe rta de Lucas es vertical, es decir el producto no respon­ dería ante cam bios en los precios. b)

En equilibrio: y d = y s m - p = b [ p -E (p )] m - p = bp - bE(p) p (b + 1) = m + bE(p) b

1

-m + +b

1

1

-E (p)

(9)

+b

El precio está dado por una parte p olítica y por otra de los precios esperados. Reem plazando (9) en ( 8 ): 1

y - b 1

b . m 4- ------- E(p) - E(p) +b 1 + b b2 H(p)

1

+b b

b 2 - b - b: E(p)

1

+b

1

+b

b E(p) 1

+b

1

( 10)

+b

A plicando esperanza m atem ática a (9):

E(p) = ------- E(m) + -------- E(p) 1 + b i +b

1

+b

E(p) = ------- E(m) 1 + b

-------E(p) = -------- E(m ) 1 + b 1 + b E(p) = E(m)

( 11)

Los individuos esperan una inflación igual, en prom edio, a la variación de la cantidad de dinero. Es decir, todo cam bio de la política afecta solo a los precios y no al producto. Usando ( 1 1 ) y m = E(m) + [m - E(m)] Reescribiendo (9): 1

b

p --------- [E(m) + (m - E(m))] + -------- E(p) 1 +b 1

1 +b b

----+----+b

1+b

(E(m) + -------(m - E(m)) 1 +b

p = E(m) + -------(m - E(m)) 1+b

( 12)

R eem plazando ( 1 1) en (10):

E(m) 1+b

(13)

- (m - E(m)) 1+b

Solo los shocks no anticipados de dinero tendrán efecto sobre el producto y no los shocks anticipados, ya que y = 0 (porque m = E(m)); sin embargo, los precios sí cambiarían. v r está asociado a v vp está asociado a v^ 1 7- 1 1 ; cuando n = 1

b=7 -1

v ,+ v„

c)

En este m odelo encontram os que la inflación y el producto están correlacionados positivam ente, por lo que podem os decir que el m odelo de inform ación im per­ fecta im plica que se cum ple la relación establecida por la curva de Phillips. Por otro lado, podem os decir que los shocks inesperados de oferta de dinero afectan tanto al producto com o a los precios; en cam bio, los shocks anticipados afectarán solo a los precios. En este contexto, podríam os decir que se cum ple la curva de Phillips a corto plazo, mas no a largo plazo. A pesar de que existe una relación estadística entre inflación (11) y producto (y ), no existe un trade-o ff aprovechable en térm inos de política económ ica, ya que si v m « ó v z —» 0 => b —» 0, el producto no respondería ante cam bios en la cantidad de dinero.

d)

Si los diseñadores de política tratan de aprovechar las relaciones estadísticas, los efectos que operen por m edio de las experiencias pueden ocasionar el colapso de estas relaciones. Si las autoridades abusan de este trade-off\ el producto no responderá.

P-E (p)

—» 0; cuando y = 0

V p ->.

y- i Por lo tanto, la política m onetaria puede afectar a la producción solo si los form uladores de políticas tienen inform ación que no está disponible para los agen­ tes privados.

Capítulo 9 B a la n za d e p a g o s , t ip o de cam bio Y EXPECTATIVAS